Giải SBT Toán 12 bài 3: Phương trình đường thẳng

Giải SBT Toán 12 bài 3: Phương trình đường thẳng
Bài 3.31 trang 129 sách bài tập (SBT) – Hình học 12
Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng Δ trong các trường hợp sau:
a) Δ đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vecto chỉ phương a→=(3;3;1);
b) Δ đi qua điểm B(1; 0; -1) và vuông góc với mặt phẳng (α): 2x – y + z + 9 = 0
c) Δ đi qua hai điểm C(1; -1; 1) và D(2; 1; 4) Hướng dẫn làm bài:
a) Phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vecto
chỉ phương a→=(3;3;1) là {x=1+3t;y=2+3t;z=3+t
Phương trình chính tắc của Δ là x−1/3=y−2/3=z−3/1 b) Δ⊥ (α)⇒a → → Δ =aα =(2;−1;1)
Phương trình tham số của Δ là {x=1+2t;y=−t;z=−1+t
Phương trình chính tắc của Δ là x−1/2=y/−1=z+1/1
c) Δ đi qua hai điểm C và D nên có vecto chỉ phương CD→=(1;2;3)
Vậy phương trình tham số của Δ là {x=1+t;y=−1+2t;z=1+3t
Phương trình chính tắc của Δ là x−1;1=y+1/2=z−1/3
Bài 3.32 trang 129 sách bài tập (SBT) – Hình học 12
Viết phương trình của đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (α): x +2z = 0 và cắt hai đường kính
Gọi A và B lần lượt là giao điểm của d1 và d2 với (α). Đường thẳng Δ cần tìm
chính là đường thẳng AB. Ta có: A(1−t;t;4t)∈ d1 A∈ (α)⇔t+4.(2t)=0⇔t=0 Suy ra: A(1; 0; 0)
Ta có: B(2−t′;4+2t′;4)∈ d2
B∈ (α)⇔4+2t′+8=0⇔t′=−6 Suy ra B(8; -8; 4)
Δ đi qua A, B nên có vecto chỉ phương a → Δ =AB→=(7;−8;4)
Phương trình chính tắc của Δ là: x−1/7=y/−8=z/4
Bài 3.33 trang 129 sách bài tập (SBT) – Hình học 12
Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau:
a) d:x+1/1=y−1/2=z+3/3 và d′:x−1/3=y−5/2=z−4/2 Hướng dẫn làm bài: a) Ta có: a → d =(1;2;3) và ad′→=(3;2;2) Suy ra n→=a → → d ∧ ad′ =(−2;7;−4)
Ta có M0(−1;1;−2)∈ d,M0′(1;5;4)∈ d′⇒M0M0′→=(2;4;6) Ta có n→.M → 0M0′
=−4+28−24=0. Vậy đường thẳng d và d’ đồng phẳng và khác
phương, nên d và d’ cắt nhau. b) Ta có a → d
=(1;1;−1) và ad′=(2;2;−2).M0(0;1;2)∈ d Vì {a → →
d′ =2ad ;M0∉ d′ (tọa độ M0 không thỏa mãn d’) nên hai đường thẳng d và d’ song song.
c) d có vecto chỉ phương a → d =(−1;3;−2)
d’ có vecto chỉ phương a → d′ =(0;0;5) Gọi n→=a → → d ∧ ad′ =(15;5;0)≠0→ Ta có M0(0;0;−1)∈ d M′ → → 0(0;9;0)∈ d′⇒M0M0′ =(0;9;1),n→.M0M0′ =45≠0
Vậy d và d’ là hai đường thẳng chéo nhau.
Bài 3.34 trang 129 sách bài tập (SBT) – Hình học 12
Tìm a để hai đường thẳng sau đây song song: Hướng dẫn làm bài: Ta có a → → d
=(1;a;−1) và ad′ =(2;4;−2)
d//d′⇒1/2=a/4=−1/−2⇒a=2
Khi đó M′0(1;2;2) thuộc d’ và M’0 không thuộc d. Vậy d // d’ ⟺ a = 2.
Bài 3.35 trang 129 sách bài tập (SBT) – Hình học 12
Xét vị trí tương đối của đường thẳng d với mặt phẳng (α) trong các trường hợp sau Hướng dẫn làm bài:
a) Thay x, y, z trong phương trình tham số của đường thẳng d vào phương trình
tổng quát của mặt phẳng (α) ta được: t + 2(1 + 2t) + (1 – t) – 3 = 0 ⟺ 4t = 0 ⟺ t = 0
Vậy đường thẳng d cắt mặt phẳng (α) tại M0(0; 1; 1).
b) Thay x, y, z trong phương trình tham số của d vào phương trình tổng quát của
(α) ta được: (2 – t) +(2 + t) + 5 = 0 ⟺ 0t = -9
Phương trình vô nghiệm, vậy đường thẳng d song song với (α)
c) Thay x, y, z trong phương trình tham số của d vào phương trình tổng quát của
(α) ta được: (3 – t) + (2 – t) + (1 + 2t) – 6 = 0 ⟺ 0t = 0
Phương trình luôn thỏa mãn với mọi t. Vậy d chứa trong (α)
Bài 3.36 trang 130 sách bài tập (SBT) – Hình học 12
Tính khoảng cách từ điểm A(1; 0; 1) đến đường thẳng Δ:x−1/2=y/2=z/1 Hướng dẫn làm bài:
Đường thẳng Δ đi qua điểm M0(1; 0; 0) và có vecto chỉ phương a→=(2;2;1).
Ta có M0A→=(0;0;1),n→=a→∧ M0A→=(2;−2;0).
d(A,Δ)=|n→|/|a→|=√4+4+0/√4+4+1=2√2/3
Vậy khoảng cách từ điểm A đến Δ là 2√2/3
Bài 3.37 trang 130 sách bài tập (SBT) – Hình học 12
Cho đường thẳng Δ: x+3/2=y+1/3=z+1/2 và mặt phẳng (α): 2x – 2y + z + 3 = 0
a) Chứng minh rằng Δ song song với (α).
b) Tính khoảng cách giữa Δ và (α) Hướng dẫn làm bài: a) Ta có: a → →
Δ =(2;3;2) và nα =(2;−2;1) a → → Δ .nα =4−6+2=0 (1)
Xét điểm M0(-3; -1; -1) thuộc Δ, ta thấy tọa độ M0 không thỏa mãn phương trình
của (α). Vậy M0∉ (α) (2).
Từ (1) và (2) ta suy ra Δ//(α)
b) d(Δ,(α))=d(M0,(α))=|2.(−3)−2.(−1)+(−1)+3|/√4+4+1=2/3
Vậy khoảng cách giữa đường thẳng Δ và mặt phẳng (α) là 2/3.
Bài 3.38 trang 130 sách bài tập (SBT) – Hình học 12
Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng Δ và Δ′ trong các trường hợp sau: Hướng dẫn làm bài:
a) Gọi (α) là mặt phẳng chứa Δ và song song với Δ′. Hai vecto có giá song song
hoặc nằm trên (α) là: a→=(1;−1;0) và a→′=(−1;1;1). Suy ra n → α =(−1;−1;0) (α) đi qua điểm M →
1(1; -1; 1) thuộc Δ và có vecto pháp tuyến: nα′ =(1;1;0)
Vậy phưong trình của mặt phẳng (α) có dạng x – 1 + y + 1= hay x + y = 0
Ta có: M2((2; 2; 0) thuộc đường thẳng Δ′
d(Δ,Δ′)=d(M2,(α))=|2+2|/√1+1=2√2
b) Hai đường thẳng Δ và Δ′ có phương trình là:
Phương trình mặt phẳng (α) chứa Δ và song song với Δ′ là 9x + 5y – 2z – 22 = 0
Lấy điểm M’(0; 2; 0) trên Δ′ .
Ta có d(Δ,Δ′)=d(M′,(α))=|5.(2)−22|/√81+25+4=12/√110
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng Δ và Δ′ là 12/√110
Bài 3.39 trang 130 sách bài tập (SBT) – Hình học 12
Cho hai đường thẳng Δ:x−1/2=y+3/1=z−4/−2
Δ′:x+2/−4=y−1/−2=z+1/4
a) Xét vị trí tương đối giữa Δ và Δ′;
b) Tính khoảng cách giữa Δ và Δ′. Hướng dẫn làm bài:
a) Δ đi qua điểm M0(1; -3; 4) và có vecto chỉ phương a→=(2;1;−2)
Δ′ đi qua điểm M0’(-2; 1; -1) và có vecto chỉ phương a′→=(−4;−2;4)
Ta có {a′→=2a→;M0∉ Δ′
Vậy Δ′ song song với Δ b) Ta có M → 0M0′ =(−3;4;−5) a→=(2;1;−2)
n→=M0M0′→∧ a→=(−3;−16;−11)
d(Δ,Δ′)=M′0H=|n→|/|a→|=√9+256+121/√4+1+4=√386/3
Bài 3.40 trang 130 sách bài tập (SBT) – Hình học 12
Cho điểm M(2; -1; 1) và đường thẳng Δ:x−1/2=y+1/−1=z/2
a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng Δ;
b) Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng Δ. Hướng dẫn làm bài:
a) Phương trình tham số của
a) Phương trình tham số của Δ:x=1+2t;y=−1−t;z=2t
Xét điểm H(1+2t;−1−t;2t)∈ Δ
Ta có MH→=(2t−1;−t;2t−1) a → Δ =(2;−1;2)
H là hình chiếu vuông góc của M trên Δ⇔MH→.a → Δ =0
⇔2(2t−1)+t+2(2t−1)=0⇔t=4/9
Ta suy ra tọa độ điểm H(17/9;−13/9;8/9)
b) H là trung điểm của MM’, suy ra xM’ + xM = 2xH
Suy ra xM′=2xH−xM=34/9−2=16/9
Tương tự, ta được yM′=2yH−yM=−26/9+1=−17/9 zM′=2zH−zM=16/9−1=7/9 Vậy M′(16/9;−17/9;7/9)