Giáo Án Dạy Thêm Môn Toán 9 Cả Năm
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 60cm, AD = 32cm. Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với đường chéo AC, đường thẳng này cắt AC tại E và AB tại F. Tính độ dài EA, EC, ED, FB, FD. Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm nằm giữa A, B. Tia DE và tia CB cắt nhau ở F. Kẻ đường thẳng qua D vuông góc với DE, đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại G. Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời đọc đón xem!
Chủ đề: Tài liệu chung Toán 9 79 tài liệu
Môn: Toán 9 3.1 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
Ngày dạy: ……………………..
CĂN BẬC HAI. CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC 2 A = A
A./ Kiến thức cơ bản: 1. Căn bậc hai
- Định nghĩa: Căn bậc hai của số thực a là số x sao cho x2 = a. - Chú ý:
+ Mỗi số thực a > 0, có đúng 2 căn bậc hai là 2 số đối nhau: số dương: a , số âm: − a
+ Số 0 có căn bậc hai là chính nó: 0 = 0
+ Số thực a < 0 không có căn bậc hai (tức a không có nghĩa khi a < 0). 2. Căn bậc hai số học
- Định nghĩa: Với a 0 thì số x = a được gọi là căn bậc hai số học của a. Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0.
- Chú ý: Việc tìm căn bậc hai số học của 1 số không âm được gọi là phép khai phương.
- Định lý: Với a, b > 0, ta có:
+ Nếu a < b a b
+ Nếu a b a < b 3. Căn thức bậc hai
- Cho A là 1 biểu thức thì biểu thức A được gọi là căn thức bậc hai của A ; A được gọi là biểu thức lấy
căn hay biểu thức dưới dấu căn.
- A có nghĩa (hay xác định hay tồn tại) A 0 4. Hằng đẳng thức 2 A = A
- Định lý : Với mọi số thực a, ta có : 2 a = a A ê n u A 0
- Tổng quát : Với A là biểu thức, ta có : 2 A = A = -A nêu A<0
B./ Bài tập áp dụng
Dạng 1 : Tìm căn bậc hai, căn bậc hai số học * Phương pháp :
- Viết số đã cho dưới dạng bình phương của một số.
- Tìm căn bậc hai số học của số đã cho.
- Xác định căn bậc hai của số đã cho. 1
Bài 1 : Tìm căn bậc hai của các số sau : 121 ; 144 ; 324 ; ; 3 − 2 2 64 LG
+ Ta có CBHSH của 121 là : 2
121 = 11 = 11 nên CBH của 121 là 11 và -11 + CBHSH của 144 là : 2
144 = 12 = 12 nên CBH của 121 là 12 và -12 + CBHSH của 324 là : 2
324 = 18 = 18 nên CBH của 324 là 18 và -18 1 2 1 1 1 1 1 1 + CBHSH của là : = = nên CBH của là và − 64 64 8 8 64 8 8 + Ta có : − = − + = ( − )2 3 2 2 2 2 2 1
2 1 = 2 −1(vi 2 −1 0) nên CBH của 3 − 2 2 là 2 −1 và − 2 +1
Dạng 2 : So sánh các căn bậc hai số học * Phương pháp :
- Xác định bình phương của hai số.
- So sánh các bình phương của hai số.
- So sánh giá trị các CBHSH của các bình phương của hai số. Trang 1 Bài 2 : So sánh a) 2 và 3 b) 7 và 47 c) 2 33 và 10 d) 1 và 3 −1 e) 3 à v 5- 8 g) 2 + 11 à v 3 + 5 LG
a) Vì 4 > 3 nên 4 3 2 3
b) Vì 49 > 47 nên 49 47 7 47
c) Vì 33 > 25 nên 33 25 33 5 2 33 10
d) Vì 4 > 3 nên 4 3 2 3 2 −1 3 −1 1 3 −1 3 2 e) * Cách 1: Ta có:
3 + 8 5 3 5 − 8 8 3 * Cách 2: giả sử − + ( + )2 2 3 5 8 3 8 5 3
8 5 3 + 2 24 + 8 25
2 24 14 24 7 24 49
Bất đẳng thức cuối cùng đúng do đó bất đẳng thức đầu tiên đúng. 2 3 g) Ta có: 2 + 11 3 + 5 11 5
Dạng 3: Tìm điều kiện để căn thức xác định: A xác định A 0
Bài 3: Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau xác định: 2 1 1+ x 2 2 a) x − b) x + 2 c) d) 3x − 5 + 3 5 2x − 3 x − 4 LG
Để các căn thức trên có nghĩa thì: 2 1 2 1 3
a) x − 0 x x 3 5 3 5 10 b) Ta có: 2 2 x + 2 0, x
x + 2 xác định với mọi x 1+ x 1 + x 0 1 + x 0 c) 0 hoặc 2x − 3 2x − 3 0 2x − 3 0 x 1 − 1 + x 0 3 + Với 3 x 2x − 3 0 x 2 2 x 1 − 1 + x 0 + Với 3 x 1 − 2x − 3 0 x 2 3
Vậy căn thức xác định nếu x hoặc x −1 2 3 x − 5 0 5 3 x − 5 0 x d) 2 3 x 4 0 x − 4 0 x − 4 x 4
Dạng 4 : Rút gọn biểu thức
Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau:
a) A = 4 + 2 3 + 4 − 2 3 c) 2
C = 9x − 2x (x 0)
b) B = 6 + 2 5 + 6 − 2 5 d) 2
D = x − 4 + 16 − 8x + x (x 4) LG Trang 2 2 2
a) Cách 1 : A = ( 3 + ) 1 + ( 3 − ) 1 = 3 +1+ 3 −1 = 2 3 2
A = 4 + 2 3 + 4 − 2 3 + 2 (4 − 2 3).(4 + 2 3) = 8 + 2 16 −12 = 8 + 2.2 = 12 Cách 2 : A = 2 3 2 2 b) B = ( 5 + ) 1 + ( 5 − ) 1 = 5 +1+ 5 −1 = 2 5 c) C = ( x)2 3
− 2x = 3x − 2x = 3 − x − 2x = 5
− x (vi x 0) d) 2 2
D = x − 4 + 16 − 8x + x = x − 4 + (4 − x) = x − 4 + 4 − x = x − 4 + x − 4 = 2(x − 4) ( i v x 4)
Dạng 5 : Tìm Min, Max Bài 5 : Tìm Min 2 x x 2
a) y = x − 2x + 5 b) y = − +1 4 6 LG a) Ta có : 2 2 2
x − 2x + 5 = (x −1) + 4 4 x − 2x + 5 4 = 2
vậy Miny = 2. dấu ‘‘ = ’’ xảy ra khi và chỉ khi x – 1 = 0 => x = 1 2 2 2 x x x 1 35 35 x x 35 35 b) Ta có : − +1 = − + y = − +1 = 4 6 2 6 36 36 4 6 36 6 35 x 1 x 1 1 vậy Miny =
. Dấu « = » xảy ra khi và chỉ khi − = 0 = x = 6 2 6 2 6 3
**************************************************
Ngày dạy: ……………………..
VẬN DỤNG CÁC HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG
A./ Kiến thức cơ bản
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH sao cho ta có: ' ' AH = ,
h BC = a, AB = c, AC = ,
b BH = c ,CH = b khi đó: 2 ' 2 ' 1)b = . a b ; c = . a c A 2 ' '
2) h = b .c 3) . b c = . a h b 1 1 1 c 4) = + h 2 2 2 h b c 2 2 2
5) a = b + c (Pitago) c' b' B H C a B./ Bài tập áp dụng
Bài 1 : Tìm x, y trong các hình vẽ sau: a) + ta có: A 2 2
BC = AB + AC (Pitago) 2 2
BC = 4 + 6 = 52 7, 21 6 4 + Áp dụng định lý 1 : 2 2
AB = BC.BH 4 = 52.x x 2, 22 x y 2 2
AC = BC.CH 6 = 52.y y 4,99 B H C
Hay y = BC – x = 7,21 – 2,22 = 4,99 b)
- Xét tam giác ABC vuông tại A. áp dụng định lý 1 ta có : Trang 3 2 2 A
AC = BC.CH 12 = 18.y y = 8
x = BC − y =18 −8 =10 12 x y B H C 18 c) * Cách 1 : A
AH2 = BH.CH = 4.9 = 36 => AH = 6
Theo Pitago cho các tam giác vuông AHB; AHC ta có: y x 2 2 2 2
x = BH + AH = 4 + 6 = 52 2 2 2 2
y = CH + AH = 6 + 9 = 117 4 9 B
* Cách 2: Áp dụng định lý 1 ta có: H C 2
AB = BC.BH = (BH + CH ).BH = (4 + 9).4 = 52
AB = 52 x = 52 2
AC = BC.CH = (BH + CH ).CH = (4 + 9).9 =117
AC = 117 y = 117 d)
Áp dụng định lý 2, ta có: A 2 2
AH = BH.CH x = 3.7 = 21 x = 21
Áp dụng định lý 1. ta có : 2 = = + y AC BC.CH (BH CH ).CH x 2
y = (3+ 7).7 = 70 y = 70 2 2
( y = x + CH = 21+ 49 = 70) 3 7 B C H e) Theo Pitago, ta có : A 2 2 2 2
BC = AB + AC y = 13 +17 = 458
Áp dụng định lý 3, ta có : .
AB AC = BC.AH 17 13 x 221
13.17 = 458.x x = 10,33 458 B C H y g)
Áp dụng định lý 2, ta có : 2 A 5 2 2
AH = BH.CH 5 = 4.x x = = 6,25 4
Theo Pitago cho tam giác AHC vuông tại H, ta có : y 5 2 2 2 2
y = AH + CH = 5 + 6, 25 8 2 (D 1
L : y = BC.x = (4 + 6, 25).6, 25 y 8) 4 x B H C
Bài 2 : Cho tam giác ABC vuông tại A, có các cạnh góc vuông AB = 15cm, AC = 20cm. Từ C kẻ đường
vuông góc với cạnh huyền, đường này cắt đường thẳng AB tại D. Tính AD và CD? LG Trang 4 D µ 0 B
CD,C = 90 ,CA ⊥ BD . Theo định lý 3, ta có : 2 2 80 CA = A .
B AD 20 = 15.AD AD = 3 x
Theo Pitago trong tgiác ACD vuông tại A, ta có : 2 y 2 2 80 2 100
CD = AD + CA = + 20 = A 3 3 20 15 B C
Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 60cm, AD = 32cm. Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với đường
chéo AC, đường thẳng này cắt AC tại E và AB tại F. Tính độ dài EA, EC, ED, FB, FD. LG
Xét tam giác ADC vuông tại D, ta có: 2 2 2 2
AC = AD + CD = 32 + 60 = 68 2 2 AD 32 256 Theo định lý 1: 2
AD = AC.AE AE = = = AC 68 17 Theo định lý 1, ta có: A F 60 B 2 2 CD 60 900 2 E
CD = AC.CE CE = = = AC 68 17 32 Theo định lý 2, ta có: 480
DE = AE.EC = ... = D C 17 2 AD 544
Xét tam giác DAF, theo định lý 1: 2
AD = DF.DE DF = = ... = DE 15 Theo Pitago: 2 2 256 256 644
AF = DF − AD = .... =
FB = AB − AF = 60 − = 15 15 15
Bài 4: Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm nằm giữa A, B. Tia DE và tia CB cắt nhau ở F. Kẻ
đường thẳng qua D vuông góc với DE, đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại G. Chứng minh rằng: a) Tam giác DEG cân. 1 1 b) Tổng +
không đổi khi E chuyển động trên AB. 2 2 DE DF LG F a) Ta có: ¶ ¶
D = D (cùng phụ với ¶ D ) 1 3 2 xét AD E à v C DG ta có : A E
AD = DC(gt) B D = D cmt A DE = CD G g. . c g 1 3 ( ) ( ) 0 A = C = 90
DE = DG D EG cân tại D 1 1 1 b) vì DE = DG = 2 2 2 DE DG D C 3 1 1 1 1 ta có : + = + 2 2 2 2 DE DF DG DF
xét tam giác DGF vuông tại D, ta có : G 1 1 1 = + (định lý 4) 2 2 2 CD DG DF 1 Vì
không đổi khi E chuyển động trên AB, suy ra 2 CD Trang 5 1 1 1 1 tổng + = + không đổi khi E thay 2 2 2 2 DE DF DG DF đổi trên AB.
*******************************************************
Ngày day: …………………..
CÁC PHÉP TÍNH VỀ CĂN BẬC HAI
A./ Kiến thức cơ bản :
1. Khai phương một tích. Nhân các căn bậc hai.
a) Định lý : a;b 0,ta ó: c a.b = a. b
b) Quy tắc khai phương một tích : Muốn khai phương một tích các số không âm, ta có thể khai phương
từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau ( a;b 0,ta ó: c a.b = a. b )
c) Quy tắc nhân các căn bậc hai : Muốn nhân các CBH của các số không âm, ta có thể nhân các số dưới
dấu căn với nhau rồi khai phương kết quả đó ( ;
a b 0: a. b = a.b ) d) Chú ý : - Với A > 0 ta có : ( )2 2
A = A = A
- Nếu A, B là các biểu thức : ; A B 0ta ó c : .
A B = A. B - Mở rộng : . A .
B C = A. B. C ( , A B,C 0)
2. Khai phương một thương. Chia các căn bậc hai a a
a) Định lý : a 0,b 0 ta ó c : = . b b a
b) Quy tắc khai phương một thương : Muốn khai phương một thương , trong đó số a không âm và số b b
dương, ta có thể lần lượt khai phương số a và số b, rồi lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ hai a a
( a 0,b 0 ta ó c : = .) b b
c) Quy tắc chia hai CBH : Muốn chia CBH của số a không âm cho số b dương, ta có thể chia số a cho số a a
b rồi khai phương kết quả đó ( a 0,b 0 : = ) b b A A
d) Chú ý : Nếu A, B là biểu thức : A 0, B 0 : = B B
B./ Bài tập áp dụng : Dạng 1 : Tính
Bài 1 : Thực hiện phép tính: 2 2 2 24 1 49 81 1 7 9 1 7 9 1 63 a) 1 .5 .0,01 = . . = . . = . . = 25 16 25 16 100 5 4 10 5 4 10 200 2
b) 2, 25.1, 46 − 2, 25.0,02 = 2, 25(1, 46 − 0,02) = 2, 25.1, 44 = (1,5.1, 2) = 1,5.1, 2 = 1,8 2 25 169 (5.13) 5.13 13 c) 2,5.16,9 = . = = = 2 10 10 10 10 2 2 2
d ) 117,5 − 26,5 −1440 = (117,5 + 26,5).(117,5 − 26,5) −1440 = 144.91−144.10 2
= 144(91−10) = 144.81 = (12.9) =108
Dạng 2 : Rút gọn các biểu thức
Bài 2 : Tính giá trị các biểu thức: Trang 6 1 9 64 4 441
a) A = 0,1 + 0,9 + 6, 4 + 0, 4 + 44,1 = + + + + 10 10 10 10 10 1 3 8 2 2 35 35 10 7 10 = + + + + = = = 10 10 10 10 10 10 10 2 2 + ( 3+ 7) 2( 3+ 7 6 14 ) 2 b) B = = = = 2 3 + 28 2 3 + 2 7 2( 3 + 7) 2 + − (3+ 5)(4+ 3)+(3− 5)(4− 3 3 5 3 5 ) c) C = + = 4 − 3 4 + 3 (4+ 3)(4− 3)
12 + 3 3 + 4 5 + 15 +12 − 3 3 − 4 5 + 15 24 + 2 15 = = 16 − 3 13
Bài 3 : Rút gọn các biểu thức: a) (x − )2 9 5
(x 5) = 3 x −5 = 3(x −5) b) x (x − )2 2. 2
(x 0) = x . x −2 = −x(2− x) = x(x −2) 3 3 108x 108x c) (x 0) 2 =
= 9x =3 x = 3x 12x 12x 4 6 4 6 13x y 13x y 1 1 1 1 − d)
(x 0; y 0) = = = = = 6 6 2 6 6 208x y 208x y 16x 4 x 4 − x 4x
Dạng 3 : Chứng minh
Bài 4 : Chứng minh các biểu thức sau: a) 6 + 35. 6 − 35 = 1
VT = (6 + 35).(6 − 35) = 36 − 35 = 1 = VP
b) 9 − 17 . 9 + 17 = 8
VT = (9 − 17).(9 + 17) = 81−17 = 64 = 8 = VP c) ( 2 − )2 1 = 9 − 8
VT = 2 − 2 2 +1 = 3 − 2 2 VT = VP 2
VP = 3 − 2 .2 = 3 − 2 2
d ) ( 4 − 3)2 = 49 − 48 2 VT 4 2 12 3 7 2 2 .3 7 4 3 = − + = − = − VT = VP 2
VP = 7 − 4 .3 = 7 − 4 3 e ( − )+( − )2 ) 2 2 2 3 3 1 2 2 + 6 6 = 9
VT = 4 2 − 6 6 +1− 4 2 + 8 + 6 6 = 9 = VP
g) 8 − 2 15 − 8 + 2 15 = 2 − 3
VT = (5− 2. 5. 3 + 3) − (5+ 2. 5. 3 +3) = ( 5 − 3)2 − ( 5 + 3)2
= 5 − 3 − ( 5 + 3) = 5 − 3 − 5 − 3 = −2 3 =VP
Dạng 4 : Giải phương trình Trang 7
Bài 5 : Giải các phương trình sau:
a) 2 2x − 5 8x + 7 18x = 28 ( ) 1 dk : x 0 ( ) 28 784 392
1 2 2x − 5.2. 2x + 7.3. 2x = 28 13 2x = 28 2x = 2x = x = (tm) 13 169 169 1
b) 4x − 20 + x − 5 − 9x − 45 = 4 (2) 3 ( ) 1
2 4(x − 5) + x − 5 − 9(x − 5) = 4
dk : x − 5 0 x 5 3 1
2 x − 5 + x − 5 − .3 x − 5 = 4 2 x − 5 = 4 x − 5 = 2 x − 5 = 4 x = 9 (tm) 3 2 − x 3x 2 0 3 − + 2 3x − 2 3x 2 x 1 0 x 1 − x c) = 3 (3) đk : 0 + 3 x +1 x 1 3 x − 2 0 2 x x −1 x +1 0 3 x −1 3x − 2 1 − 1 Ta có (3) = 9 ... 6x = 1 − 1 x = thỏa mãn x +1 6 4 5x − 4 5 x − 4 0 x 4 d) = 2 (4) đk : 5 x x + 2 x + 2 0 5 x 2 −
(4) 5x − 4 = 2 x + 2 5x − 4 = 4( x + 2) ..... x =12 thỏa mãn a + b
Bài tập : (bất đẳng thức Cauchy) : Cho 2 số a và b không âm. Chứng minh rằng ab . Dấu đẳng 2 thức xảy ra khi nào? LG * Cách 1 :
+ vì a 0;b 0 a; b xác định. a + b
+ ta có : ( a − b)2 0 a − 2 ab +b 0 a +b 2 ab ab 2
+ dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b * Cách 2 : ta có (a −b)2 2 2 2 2 2 2
0 a − 2ab + b 0 a + b 2ab a + 2ab + b 4ab ( + )2 a + b
a b 4ab a + b 2 ab ab 2
*******************************************************
Ngày dạy: …………………..
TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN A. Kiến thức cơ bản 1. Định nghĩa : Cho 0 0 ABC
= (0 90 ) ta định nghĩa các tỉ số giữa các cạnh AB, BC, CA của tam
giác ABC vuông tại A như sau: Trang 8 AC AB sin = ; cos = C BC BC AC AB tg = ; cot g = Huyền AB AC Đối A B Kề
* Nhận xét : từ định nghĩa ta thấy : + tỉ số lượng giác của 1 góc nhọn luôn dương 1
+ 0 < sin, cos < 1 + cot g =
;tg.cot g =1 tg
2. Tỉ số lượng giác của 2 góc phụ nhau.
- Định lý : nếu 2 góc phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia, tg góc này bằng cotg góc kia. Tức: nếu s in = cos ; cos = sin 0
+ = 90 thì ta có : tg = cot g; cot g = tg
3. Bảng các tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt: 300 450 600 Tỉ số lượng giác Sin 1 2 3 2 2 2 Cos 3 2 1 2 2 2 tg 1 1 3 3 Cotg 3 1 1 3 * Nhận xét :
- Dựa vào bảng trên ta thấy: s
in sin ; tg tg với 0 0 1 2 1 2 0 ; 90 à v . 1 2 1 2
cos cos ; cot g cot g 1 2 1 2 Tức là :
+ góc lớn hơn thì có sin lớn hơn, nhưng lại có cosin nhỏ hơn.
+ góc lớn hơn thì có tg lớn hơn, nhưng lại có cotg nhỏ hơn.
Hay ta có thể phát biểu : 0 0 0 90 thì :
+ sin và tg đồng biến với góc .
+ cosin và cotg nghịch biến với góc .
4. Các hệ thức cơ bản: ( ) sin 1 tg = ; (3) tg.cot g =1; cos ( ) cos 2 cotg = ; (4) 2 2 sin + cos = 1 sin B. Bài tập áp dụng
Bài 1 : Cho biết sin = 0,6. Tính cos, tg và cotg? + ta có: 2 2 2 2
sin + cos = 1 cos = 1− sin = 1− 0,6 = 0,8 sin 0,6 3 cos 0,8 4 + tg = = = ; cotg = = = cos 0,8 4 sin 0,6 3 Bài 2: Trang 9
1. Chứng minh rằng: 1 1 2 2 4 4 2 a) tg +1 =
; b) cotg +1 =
; c) cos − sin = 2cos −1 2 2 cos sin
2. Áp dụng: tính sin, cos, cotg, biết tg = 2 LG 1. a) ta có: 2 2 sin sin sin 2 2 tg = tg = tg +1 = +1 2 2 cos cos cos 2 2 sin + cos 1 2 tg +1 = = 2 2 cos cos 2 2 2 cos cos + sin 1 b) 2
VT = cot g +1 = +1 = = = VP 2 2 2 sin sin sin c) 4 4
VT = cos − sin = ( 2 2 cos + sin ).( 2 2 cos − sin ) 2 2 = cos − sin 2 = cos − ( 2 1− cos ) 2 2 2
= cos −1+ cos = 2cos −1 = VP 2. Ta có: + tg = 2 ê n n (a) 1 1 1 2 2 2 +1 = cos = cos = ; 2 cos 5 5 1
+ tg = 2 cotg = ; 2 2 ( + b) 1 1 1 5 4 2 5 2 +1 = = sin = sin = 2 2 2 sin sin 4 5 5
Bài 3: Biết tg = 4/3. Tính sin, cos, cotg? LG
+ ta có: tg = 4/3 nên cotg = ¾ 1 9 3 + mà 2 2 tg +1 = cos = cos = ; 2 cos 25 5 2 + mặt khác: 2 2 2 3 4 sin cos 1 sin 1 cos + = = − = 1− = 5 5
Bài 4: Dựng góc trong các trường hợp sau: 1 2 a) sin = ; b) cos = ; c) tg = 3; d) cot g = 4 2 3 LG a)* Cách dựng y
- dựng góc xOy = 900 . Lấy đoạn thẳng làm đơn vị
- trên Oy lấy điểm B sao cho OB = 1
- vẽ cung tròn tâm B, bán kính bằng 2, cung này cắt Ox tại A.
- nối A với B BAO = cần dựng B * Chứng minh: 2 OB 1 1
- ta có: sin = sin BAO = = đpcm AB 2 x O A Trang 10 b)* Cách dựng y
- dựng góc xOy = 900 . Lấy đoạn thẳng làm đơn vị
- trên Ox lấy điểm A sao cho OA = 2. B
- vẽ cung tròn tâm A, bán kính bằng 3, cung này cắt Oy tại B.
- nối A với B BAO = cần dựng 3 * Chứng minh: OA 2
- ta có: cos = cos BAO = = đpcm AB 3 x O 2 A c) * Cách dựng: y
- dựng góc xOy = 900 . Lấy đoạn thẳng làm đơn vị.
- trên Ox lấy điểm A sao cho OA = 3
- trên Oy lấy điểm B sao cho OB = 1
OBA = cần dựng.
* Chứng minh: - thật vậy, ta có: OA 3 B tg = tg O BA = = = 3 đpcm OB 1 1 x O 3 A d) * Cách dựng y
- dựng góc xOy = 900 . Lấy đoạn thẳng làm đơn vị
- trên Ox lấy điểm A sao cho OA = 4
- trên Oy lấy điểm B sao cho OB = 1
OAB = cần dựng
* Chứng minh: - thật vậy, ta có: OA 4 B
cotg = cotg O AB = = = 4 đpcm OB 1 1 x O 4 A
Bài 5: Cho tam giác ABC có AB = 5; BC = 12; AC = 13 a) CMR tam giác ABC vuông.
b) Tìm tỉ số lượng giác của góc A và góc C. LG a) Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2
AB + BC = 12 + 5 = 169 = 13 = AC AB + BC = AC
theo định lý Pytago đảo, suy ra tam giác ABC vuông tại B. b) - vì 0 A + C = 90 ;
A C là 2 góc phụ nhau A - do đó: 12 5 13 sin A = cosC = ; cos A = sin C = 5 13 13 12 5 tgA = cot gC = ; cot gA = tgC = C 5 12 B 12
********************************************************* Trang 11
Ngày dạy: ……………………….
BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI A. Kiến thức cơ bản
1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:
A B (A 0;B 0) 2 A B = A B =
−A B (A 0; B 0)
2. Đưa thừa số vào trong dấu căn: 2
− A 0; B 0 : A B = A B 2
− A 0; B 0 : A B = − A B A . A B
3. Khử mẫu của biểu thức lấy căn : .
A B 0; B 0 : = B B
4. Trục căn thức ở mẫu: A A B a) B 0 : = B B C A B C 2 ( )
b) A 0; A B : = 2 A B A − B C ( A B C ) c) ,
A B 0; A B : = A B A − B * Chú ý:
- Các căn bậc hai đồng dạng là các căn bậc hai có cùng biểu thức dưới dấu căn.
- Biểu thức liên hợp: 2 biểu thức chứa căn thức được gọi là liên hợp với nhau nếu tích của chúng không chứa căn thức.
- Quy tắc trục căn thức ở mẫu: muốn trục căn thức ở mẫu của 1 biểu thức ta nhân tử và mẫu của biểu thức
đó với biểu thức liên hợp của mẫu.
B. Bài tập áp dụng
Dạng 1: Đưa nhân tử ra ngoài, vào trong dấu căn
Bài 1: Đưa nhân tử ra ngoài dấu căn:
a) 125x ( x 0)
= (5x)2 .5x = 5x 5x 4 b) 80 y = (4y )2 2 2 .5 = 4 y 5 c) 5(1− 2)2 = 1− 2 . 5 = ( 2 − ) 1 5 (1− 2 0) d) 27(2 − 5)2 2
= 2 − 5 . 3.3 = ( 5 − 2).3. 3 (2− 5 0) 2 ( 10 + 3) 2 ( 10 + 3 2 2 2 ) e) = = = = = 2 10 + 3 2 ( )
(3− 10) 3− 10 10 −3 ( 10 −3).( 10 +3) 10 − 9 Trang 12 ( − )2 5 1 3 5 1− 3 5 ( 3 − ) 1 g) = = (1− 3 0) 4 2 2
Bài 2: Đưa thừa số vào trong dấu căn và so sánh: a) 3 5 à v 5 3 ta có: 2 3 5 3 .5 45 = =
do 75 45 75 45 5 3 3 5 2 5 3 = 5 .3 = 75 b) 4 3 à v 3 5 ta có: 2 4 3 4 .3 48 = =
do 48 45 48 45 4 3 3 5 2 3 5 = 3 .5 = 45 c) 7 2 à v 72 ta có: 2
7 2 = 7 .2 = 98 do 98 72 98 72 7 2 72 d) 5 7 à v 4 8 ta có: 2 5 7 5 .7 175 = =
do 175 128 175 128 5 7 4 8 2 4 8 = 4 .8 = 128
Bài 3: Đưa nhân tử vào trong dấu căn và rút gọn: ( − a) 2a a) 2 (a 2) a − 2 2a (a − 2)2 = −
= − 2a (a − 2) (2− a 0) a − 2 x b) ( x − 5) 0 x 5 2 ( ) 25 − x x (5 − x)2 x (5 − x) = − ( = − x − 5 − x).(5 + x) (5+ x) ( 5 0) (a −b) 3a c) 0 a b 2 2 ( ) b − a
3a (a − b)2
3a (b − a)2
3a (b − a) = − = − = − a − b 0 2 2 b − a
(b − a).(b + a) (b + a) ( )
Dạng 2: Thực hiện phép tính và rút gọn biểu thức
Bài 4: Thực hiện phép tính:
a) 125 − 4 45 + 3 20 − 80 = ... = 5 5 −12 5 + 6 5 − 4 5 = 5 − 5 27 48 2 75 3 4 2 5 7 b) 2 − − = ... = 2. 3 − 3 − . 3 = ... = 3 4 9 5 16 2 3 5 4 6 9 49 25 3 1 1 5 1 7 − 1 7 − 2 c) 2 − + = ... = 2. . − 7. + . = ... = . = 8 2 18 2 2 2 3 2 3 2 6 Trang 13 1 2 2 1 d) 5 20 − 3 12 +15 − 4 27 + 5 − 4 = 5.2 5 − 3.2 3 +15. 5 − 4.3 3 + (5+ 4).(5−4) 5 5 =10 5 − 6 3 + 3 5 −12 3 +
9 = 13 5 −18 3 + 3 =13 5 −17 3
e) 7 + 4 3 + 28 −10 3 = (2 + 3)2 + (5− 3)2 = 2 + 3 + 5− 3 = 7
Bài 5: Rút gọn biểu thức với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa: x x + y y a) − xy
(x 0; y 0) x + y (
x + y ).(x − xy + y) =
− xy = x − xy + y − xy = x − 2 xy + y = ( x − y )2 x + y a + ( a + b a ab ) a b) (a;b 0) = = b + ab
b ( b + a ) b
(x y + y x).( x − y) c)
(x 0; y 0) xy
xy.( x + y ).( x − y ) =
= ( x + y ).( x − y ) = x − y xy
d ) A = x + 2 2( x − 2) + x − 2 2( x − 2) = x + 2 (x − 2). 2 + x − 2 (x − 2). 2
= (x − 2) + 2 (x − 2). 2 + 2 + (x − 2) − 2 (x − 2). 2 + 2
= ( x − 2 + 2)2 + ( x − 2 − 2)2 = x − 2 + 2 + x − 2 − 2
- nếu x − 2 2 x − 2 2 x 4
A = x − 2 + 2 + x − 2 − 2 = 2 x − 2
- nếu x − 2 2 x − 2 2 x 4
A = x − 2 + 2 − x − 2 + 2 = 2 2
Dạng 3: Trục căn thức ở mẫu
Bài 6: Trục căn thức ở mẫu 12.(3+ 3) 12.(3+ 3 12 ) a) = = = + 3 − 3 (3− 3).(3+ 3) 2.(3 3) 9 − 3 8.( 5 − 2) 8.( 5 − 2 8 ) b) = = = − 5 + 2 ( 5 +2).( 5 −2) 8.( 5 2) 5 − 4 14.( 10 − 3) 14.( 10 − 3 14 ) c) = = = − 10 + 3 ( 10 + 3).( 10 − 3) 2.( 10 3) 10 − 3 − (7 3−5 11).(8 3+7 11 7 3 5 11
) 168+49 33−40 33 −385 9 33 −217 d) = = = 8 3 − 7 11 (8 3−7 11).(8 3+7 11) 192 − 539 337 − Trang 14 − (3 5 −2 2).(2 5 +3 2 3 5 2 2
) 30+9 10 −4 10 −12 18+5 10 e) = = = 2 5 − 3 2 (2 5 −3 2).(2 5 +3 2) 20 −18 2
Bài 7: Trục căn thức ở mẫu và thực hiện phép tính: 5 1 6 7 − 5 a) + − − 4 − 11 3 + 7 7 − 2 2 5.(4 + 11) 6. − ( 7 +2 3 7 ) 7 − 5 = ( + − −
4 − 11).(4 + 11) (3+ 7 ).(3− 7 ) ( 7 − 2).( 7 + 2) 2 5.(4 + 11) 6. − ( 7 +2) 5. − (4+ 11) 6. − ( 7 +2 3 7 7 5 3 7 ) 7 −5 = + − − = + − − 16 −11 9 − 7 7 − 4 2 5 2 3 2 3 − 7 − 7 + 5 = 4 + 11 +
− 2( 7 + 2) = 4 + 11 + 4 − 7 − 2 7 − 4 = 4 + 11 −3 7 2 4 3 2 3 −1 b) + − + 5 − 2 5 − 2 3 − 2 6 4( 5 + 2) 3(. 5 + 2) 2.( 3 + 2) 3 −1 = ( + − +
5 − 2 ).( 5 + 2) ( 5 − 2).( 5 + 2) ( 3 − 2).( 3 + 2) 6
4( 5 + 2) 3(. 5 + 2) 2.( 3 + 2) 4 − ( 5 + 2 3 1 ) = + − + = + ( + )+ ( + ) 3 −1 3. 5 2 2. 3 2 + 5 − 2 5 − 4 3 − 4 6 3 6
8( 5 + 2) +18.( 5 + 2) +12.( 3 + 2) + 3 −1 8 5 +8 2 +18 5 + 36 +12 3 + 24 + 3 −1 = = 6 6 26 5 + 8 2 +13 3 + 59 = 6
***********************************************************
Ngày dạy: ………………………..
RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI.
ÔN TẬP ĐẠI SỐ - CHƯƠNG I A. Kiến thức cơ bản
Để rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, ta cần vận dụng thích hợp các phép biến đổi đã biết. B. Bài tập áp dụng Bài 1: Tính 2 2
a) 3 + 2 2 − 6 − 4 2 = ( 2 + )
1 − (2 − 2) = 2 −1−(2 − 2) = 2 2 −1 b) 5 − 3 − 29 −12 5 = 5 − 3 − (2 5 −3)2 = 5 − 3 − 2 5 + 3 = 5 − 6 − 2 5 = 5 − ( 5 − )2 1 = 5 − 5 +1 = 1
c) 6 + 2 5 − 29 −12 5 = 6 + 2 5 − 2 5 + 3 = 9 = 3
d ) 2 + 5 − 13 + 48 = 2 + 5 − 13 + 4 3 = 2 + 5 − (2 3 + )2 1 = 2 + 5 − 2 3 −1
= 2 + 4 − 2 3 = 2 + ( 3 − )2 1 = 2 + 3 −1 = 1+ 3 Trang 15
Bài 2: Thực hiện phép tính, rút gọn kết quả
a) 2 20 − 45 + 3 18 + 3 32 − 50 = 4 5 − 3 5 + 9 2 +12 2 − 5 2 = 5 +16 2 1 1 1 2 1 17 10 b) 32 + 0,5 − 2 − + 48 = 4 2 + 2 − 3 − 2 + 4 3 = ... = 2 + 3 3 8 2 3 4 4 3 1 1 c)
+ 4,5 − 12,5 − 0,5 200 + 242 + 6 1 − 24,5 2 8 1 9 25 1 9 49 2 2 = 2 + − − 10 .2 + 11 .2 + 6 − 2 2 2 2 8 2 1 3 5 3 7 = 2 + 2 − 2 − 5 2 +11 2 + 6. 2 − 2 2 2 2 4 2 1 3 5 3 7 13 = + − − 5 +11+ 6. − 2 = 2 2 2 2 4 2 2 3 2 3 2 d) 6 + 2 − 4 .3 − 12 − 6 2 3 2 3 3 2 = + − ( − − ) 1 6 6 2 6 . 6 2 3 6 = 6.( 2 − 3) = − 3 2 3 6
Bài 3: Chứng minh đẳng thức a + b a − b 2b 2 b a) − − = 2 a − 2 b
2 a + 2 b b − a a − b
Biến đổi vế trái ta được: a + b a − b 2b a + b a − b 2b VT = − − = − + 2 a − 2 b 2 a + 2 b b − a
2( a − b ) 2( a + b ) ( a + b ).( a − b )
( a + b)2 −( a − b)2 +4b a+2 ab +b−a+2 ab −b+4b 4 ab + 4b = = =
2( a − b )( a + b )
2( a − b )( a + b )
2( a − b )( a + b )
4 b ( a + b ) 2 b = = = VP
2( a − b )( a + b ) a − b 2 3 − 6 216 1 3 − b) − . = 8 2 3 − 6 2
Biến đổi vế trái ta được: − 6 ( 2 − ) 1 2 3 6 216 1 6 6 1 VT . = − = − 8 − 2 6 2 ( 2 − ) . 3 1 3 6 6 1 3 − 1 3 − = − 2 6 . = 6. = = VP 2 6 2 6 2
( a + b)2 −4 ab a b +b a
Bài 4: Cho biểu thức A = − a − b ab
a) Tìm điều kiện để A có nghĩa
b) Chửng tỏ rằng giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào a LG
a) đk: a > 0; b > 0; a khác b b) ta có: Trang 16
( a + b)2 −4 ab + + 2 + − 4
ab ( a + b a b b a a ab b ab ) A = − = − a − b ab a − b ab 2 2 ( − − + = −
a + b ) ( a b a ab b ) =
− ( a + b) = a − b − a − b = −2 b a − b a − b 2 x + x 1 x −1
Bài 5: Cho biểu thức B = − : x x 1 x 1 − − x + x +1 a) Tìm đk xác định b) Rút gọn biểu thức B LG
a) đk: x 0; x 1 b) Ta có: 2 x + x 1 x −1 2 x + x 1 x −1 B : = − = − x x − x − x + x + ( x − ) 1 (x + x + ) : 1 1 1 1
x −1 x + x +1
2 x + x − x − x −1 x + x +1 x −1 1 1 = ( = = x − ) 1 (x + x + ). . 1 x −1 x −1 x −1 x −1
x − 3 x x − 3 x − 2 9 − x
Bài 6: Cho biểu thức C = 1− : + − x 9 2 x 3 x x x 6 − − + + −
a) Tìm đk để C có nghĩa b) Rút gọn C c) Tìm x để C = 4 LG
a) đk: x 0; x 4; x 9 b) Ta có:
x − 3 x x − 3 x − 2 9 − x C = 1− : + − x 9 2 x 3 x x x 6 − − + + −
x ( x −3) 3 − x x − 2 9 − x 1 ( = − + −
x − 3)( x + 3) : x − 2 x + 3
( x −2)( x +3)
(3 − x )(3 + x ) + ( x − 2)2 − 9 + x 9 − x + + − ( x −2)2 −9 3 + x x x x = 1− ( = x + 3) : ( x −2)( x +3) : x + 3 ( x −2)( x +3) ( x −2)( x +3 3 ) 3 = . = x + 3 ( x − )2 x − 2 2 3 3 11 121 c) C = 4
= 4 x − 2 = x = x = x − 2 4 4 16 x
x + 9 3 x +1 1
Bài 7: Cho biểu thức D = + : − 3 + x
9 x x − 3 x x − a) Tìm đk b) Rút gọn c) Tìm x sao cho D < -1 LG a) đk: x > 0; x khác 9 b) Ta có: Trang 17 x
x + 9 3 x +1 1 x x + 9 3 x +1 1 D : = + − = + − 3 + x
− x x − 3 x x 3 + x (3+ x)(3− x) : 9 x
( x −3) x
x (3− x ) + x + 9 2 x + − x + x + ( x +2 3 1 3 3 9 ) = ( = + x )( − x ) : x ( x − ) ( + x)( − x) : 3 3 3 3 3 x ( x −3) 3( x + 3) x ( x −3) −3 x = ( =
3 + x )(3− x ) . 2( x + 2) 2 x + 4 3 − x c) D 1 − 1
− 3 x 2 x + 4 x 4 x 16 (2 x + 4 0) 2 x + 4
********************************************************
Ngày dạy: ……………………..
HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG A. Kiến thức cơ bản 1. Các hệ thức C
* Định lý: Trong 1 tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:
- Cạnh huyền nhân Sin góc đối hoặc Cosin góc kề
- Cạnh góc vuông kia nhân Tang góc đối hoặc Cotg góc kề
(trong tam giác ABC vuông tại A, BC = a; AB = c; AC = b, ta a b có: ( ) b = . a sin B = . a cosC ( ) b = . c tgB = . c cot gC 1 2 c = . a sin C = . a cos B c = . b tgC = . b cot gB B A c
2. Áp dụng giải tam giác vuông
* Giải tam giác vuông: là tìm tất cả các yếu tố của một tam giác vuông (các cạnh, các góc) nếu biết trước
2 yếu tố trong đó có ít nhất 1 yếu tố về cạnh và không kể góc vuông
* Một số trường hợp giải tam giác vuông thường gặp
a) Biết 2 cạnh góc vuông
- Tính cạnh huyền (theo Pi-ta-go)
- Tính một góc nhọn (tg hoặc cotg)
- Tính góc nhọn còn lại (2 góc phụ nhau)
b) Biết cạnh huyền và 1 góc nhọn
- Tính góc nhọn còn lại (2 góc phụ nhau)
- Tính các cạnh góc vuông (hệ thức về cạnh và góc – hệ thức (1))
c) Biết cạnh góc vuông và góc nhọn kề
- Tính góc nhọn còn lại
- Tính cạnh góc vuông còn lại và cạnh huyền (hệ thức về cạnh và góc – hệ thức (1); (2))
B. Bài tập áp dụng 4
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết tgB = và BC = 10. Tính AB; AC 3 B 4 - 0 ' tgB = B 53 07 3 10
- theo hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông 0 '
AB = BC cos B = 10.cos53 07 = 6 0 ' A C
AC = BC.sin B = 10.sin 53 07 = 8
Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A; AB = AC = 17; BC = 16. Tính đường cao AH và góc A, góc B của tam giác ABC Trang 18 A = A 1 2 A
+ tam giác ABC cân, có AH ⊥ BC BC BH = CH = = 8 2 1 2
+ xét tam giác AHC, vuông tại H 17 17 - ta có: 2 2 2 2
AH = AC − CH = 17 − 8 = 15 CH 8 - mặt khác: 0 ' 0 ' sin A = = A = A = 28 04 A = 2 A = 56 08 2 2 1 2 AC 17 B C
+ xét tam giác AHB vuông tại H, ta có: 16 0 0 0 ' 0 ' B = 90 − A = 90 − 28 04 = 61 56 1
Bài 3: Cho tam giác ABC có AB = 11, 0 0 AB
C = 38 ; ACB = 30 . Gọi N là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC. Tính AN; AC
- xét tam giác ANB vuông tại N, theo hệ thức về cạnh và góc A
trong tam giác vuông ta có: 0 AN = .
AB sin B = 11.sin 38 6,77 11
- xét tam giác ANC vuông tại N, theo hệ thức về cạnh và góc 380 300 C B N
trong tam giác vuông ta có: AN 6,77
AN = AC.sin C AC = = 13,54 0 sin C sin 30
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết BH = 9; HC = 16. Tính góc B, góc C? A
- xét tam giác ABC vuông tại A, theo hệ thức về cạnh và đường
cao trong tam giác vuông , ta có: 2
AH = BH.CH = 9.16 = 144 AH = 12
- xét tam giác AHB, vuông tại H, ta có: AH 12 0 ' tgB = = B = 53 7 BH 9 - mà 0 0 ' B + C = 90 C = 36 53 B 9 H 16 C
Bài 5: Cho tam giác ABC có 0 B
= 60 , các hình chiếu vuông góc của AB và AC lên BC theo thứ tự bằng
12 và 18. Tính các góc và đường cao của tam giác ABC A
- xét tam giác AHB vuông tại H 0 0 1 1 2 B
= 60 A = 30 BH = AB 2
AB = 2BH = 2.12 = 24 2 2 2 2
AH = AB + BH = 24 +12 = 20,8
- xét tam giác AHC, theo hệ thức lượng… 600 AH 20,8 B 12 H 18 C 0 ' tgC = = C = 49 06 HC 18 0 A
= 180 − (B + C) 0 ' = 70 54
- theo hệ thức về cạnh và góc, ta có: HC 18
HC = AC.cosC AC = = 27,5 0 ' cosC cos 49 06
Bài 6: Cho hình thang ABCD, có 0
A = D = 90 , đáy nhỏ AB = 4, đáy lớn CD = 8,
AD = 3. Tính BC, B, C ? Trang 19
- kẻ BH vuông góc với CD, suy ra AD = BH = 3; A 4 B
AB = DH = 4, do đó: CH = 8 – 4 = 4
- xét tam giác BHC vuông tại H, ta có: 3 2 2 2 2
BC = BH + CH = 3 + 4 = 5 BH 3 0 sin C = = C 37 D H C BC 5 8
- vì ABCD là hình thang nên: 0 0 0 0 0 B + C = 180 B
= 180 − C = 180 − 37 = 143
Bài 7: Giải các tam giác vuông sau, tam giác ABC vuông tại A biết: a) a = 18; b = 8 B b) b = 20; 0 C = 38 3
c) tgB = ; c = 4 a 4 c A b C a) a = 18; b= 8 AC 8 0 ' 0 0 ' 0 ' sin B = = B = 23 23 C = 90 − 23 23 = 63 37 BC 18 0 '
AB = BC.sin C = 18.sin 63 37 16,1 b) b = 20; 0 C = 38 0 0 0 AC 20 C = 38 B = 52 ;
AB = AC.tgC = 20.tg38 15,6; BC = = 25,4 0 sin B sin 52 3
c) tgB = ; c = 4 4 3 2 2 2 2
AC = ABtgB = 4. = 3;
BC = AB + AC = 3 + 4 = 5 4 c 4 0 ' 0 ' sin C = = = 0,8 C 53 08 B 36 52 a 5
*********************************************************
Ngày dạy: ……………………………
ÔN TẬP HÌNH HỌC – CHƯƠNG I A. Kiến thức cơ bản
1. Các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH sao cho ta có : ' ' AH = ,
h BC = a, AB = c, AC = ,
b BH = c ,CH = b khi đó : 2 ' 2 ' 1)b = . a b ; c = . a c 2 ' '
2) h = b .c A 3) . b c = . a h b c 1 1 1 h 4) = + 2 2 2 h b c c' b' B 2 2 2
5) a = b + c (Pitago) H C a
2. Định nghĩa các tỉ số lượng giác của góc nhọn Trang 20