Giáo án Powerpoint bài 21 Phương trình đường tròn trong mặt phẳng tọa độ sách Kết nối tri thức-Phần 2

CHƯƠNG VII. PHƯƠ CHƯƠNG I
NG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG TOÁN ➉ 21
ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG 1
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN 2 1
PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN 3 4 5
2. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
HĐ2. Cho đường tròn Lời giải:
𝐶 : (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 = 25 a) Do
(4 − 1)2 + (−2 − 2)2 = 9 + 16 = 25 và điểm 𝑀 4; −2 .
nên điểm 𝑀 4; −2 thuộc 𝐶 .
a) Chứng minh điểm 𝑀 4; −2 thuộc đường tròn 𝐶 .
b) Xác định tâm và bán kính của 𝐶 .
b) Ta có 𝐶 có tâm 𝐼 = 1; 2 và bán
c) Gọi 𝛥 là tiếp tuyến của 𝐶 tại 𝑀. Hãy chỉ kính 𝑅 = 5.
ra một vectơ pháp tuyến của đường thẳng
c) 𝛥 là tiếp tuyến của 𝐶 tại 𝑀 4; −2 có
𝛥 (H.7.16). Từ đó, viết phương trình đường thẳng 𝛥.
vectơ pháp tuyến 𝑀𝐼 = −3; 4 . Phương
trình đường thẳng 𝛥 là
−𝟑 𝒙 − 𝟒 + 𝟒 𝒚 + 𝟐 = 𝟎
⇔ −𝟑𝒙 + 𝟒𝒚 + 𝟐𝟎 = 𝟎. Hình 7.16 Cho điểm 𝑀 𝑥 thuộc đường tròn 0; 𝑦0
𝐶 : (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑅2
(tâm 𝐼 𝑎; 𝑏 , bán kính 𝑅). Khi đó, tiếp tuyến 𝛥 của 𝐶 tại 𝑀 𝑥 có vectơ 0; 𝑦0
pháp tuyến 𝑀𝐼 = 𝑎 − 𝑥 và phương trình 0; 𝑏 − 𝑦0
𝒂 − 𝒙𝟎 𝒙 − 𝒙𝟎 + 𝒃 − 𝒚𝟎 𝒚 − 𝒚𝟎 = 𝟎. Ví dụ 4. Lời giải
Cho đường tròn 𝐶 có phương trình
Do (0 + 1)2 + (1 − 3)2 = 5, nên điểm 𝑀
(𝑥 + 1)2 + (𝑦 − 3)2 = 5. thuộc 𝐶 .
Điểm 𝑀 0; 1 có thuộc đường tròn 𝐶
Đường tròn 𝐶 có tâm là 𝐼 −1; 3 .
hay không? Nếu có, hãy viết phương trình tiếp tuyến tại Tiếp tuyến của 𝑀 của 𝐶 .
𝐶 tại 𝑀 0; 1 có vectơ
pháp tuyến 𝑀𝐼 = −1; 2 nên có phương trình
−𝟏 𝒙 − 𝟎 + 𝟐 𝒚 − 𝟏 = 𝟎
⇔ 𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟐 = 𝟎.
Luyện tập 4. Cho đường tròn Lời giải
Ta có 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 + 4𝑦 + 1 = 0
𝐶 : 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 + 4𝑦 + 1 = 0.
Viết phương trình tiếp tuyến
⇔ 𝑥 − 1 2 + 𝑦 + 2 2 = 4. 𝛥 của (C) tại điểm 𝑁 1; 0 .
Đường tròn 𝐶 có tâm là 𝐼 1; −2 .
Do 1 − 1 2 + 0 + 2 2 = 4 nên điểm 𝑁 thuộc đường tròn (C).
Tiếp tuyến của 𝐶 tại 𝑁 1; 0 có vectơ
pháp tuyến 𝑁𝐼 = 0; −2 , nên có phương trình
𝟎. 𝒙 − 𝟏 − 𝟐. 𝒚 − 𝟎 = 𝟎 ⇔ 𝒚 = 𝟎. Vận dụng 2. Lời giải
Trên mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑥𝑦, một vật
Đường tròn 𝐶 : 𝑥2 + 𝑦2 = 25 có tâm là
chuyển động nhanh trên đường tròn có điểm O 0; 0 .
phương trình 𝑥2 + 𝑦2 = 25. Khi tới vị trí Trong khoảng thời gian ngắn ngay sau khi
𝑀 3; 4 thì vật bị văng khỏi quỹ đạo
tròn và ngay sau đó, trong một khoảng
văng, vật chuyển động trên tiếp tuyến của
thời gian ngắn bay theo hướng tiếp 𝐶 tại 𝑀 3; 4 .
tuyến của đường tròn. Hỏi trong khoảng Tiếp tuyến của 𝐶 tại 𝑀 3; 4 có vectơ
thời gian ngắn ngay sau khi văng, vật pháp tuyến
chuyển động trên đường thẳng nào?
𝑀𝐼 = −3; −4 , nên có phương trình
−𝟑 𝒙 − 𝟑 − 𝟒 𝒚 − 𝟒 = 𝟎
⇔ 𝟑𝒙 + 𝟒𝒚 − 𝟐𝟓 = 𝟎. 3. BÀI TẬP Bài 7.13. Lời giải
Đường tròn (𝑥 + 3)2 + (𝑦 − 3)2 = 36 có
Tìm tâm và tính bán kính của đường tròn
tâm là điểm 𝐼 −3; 3 , có bán kính 𝑅 = 6.
(𝒙 + 𝟑)𝟐 + (𝒚 − 𝟑)𝟐 = 𝟑𝟔. 3. BÀI TẬP Bài 7.14. Lời giải
Hãy cho biết phương trình nào dưới đây
a)𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥𝑦 + 4𝑥 − 2 = 0 không phải là
là phương trình của một đường tròn và
phương trình của một đường tròn vì có 𝑥𝑦.
tìm tâm, bán kính của đường tròn tương
b) 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 4𝑦 + 5 = 0 ứng.
a) 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥𝑦 + 4𝑥 − 2 = 0;
⇔ 𝑥 − 1 2 + 𝑦 − 2 2 = 0 không phải là
b) 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 4𝑦 + 5 = 0;
phương trình của một đường tròn vì 𝑅 = 0.
c) 𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑥 − 8𝑦 + 1 = 0.
c) 𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑥 − 8𝑦 + 1 = 0 2
⇔ 𝑥 + 3 2 + 𝑦 − 4 2 = 2 6 là phương
trình của đường tròn tâm 𝐼 −3; 4 , bán kính 𝑅 = 2 6. 3. BÀI TẬP Bài 7.15. Lời giải
a) Phương trình của đường tròn là
Viết phương trình của đường tròn trong
𝑥 + 2 2 + 𝑦 − 5 2 = 49. mỗi trường hợp sau:
a) Có tâm 𝐼 −2; 5 và bán kính 𝑅 = 7;
b) Có tâm 𝐼 1; −2 và đi qua điểm 𝐴 −2; 2 ;
c) Có đường kính 𝐴𝐵, với
𝐴 −1; −3 , 𝐵 −3; 5 ;
d) Có tâm 𝐼 1; 3 và tiếp xúc với đường thẳng 𝑥 + 2𝑦 + 3 = 0. 3. BÀI TẬP Bài 7.15. Lời giải
Viết phương trình của đường tròn trong mỗi trường hợp sau:
a) Có tâm 𝐼 −2; 5 và bán kính 𝑅 = 7;
b) Có tâm 𝐼 1; −2 và đi qua điểm 𝐴 −2; 2 ;
b) Ta có 𝐴𝐼 = 3; −4 , bán kính của
c) Có đường kính 𝐴𝐵, với
đường tròn là 𝑅 = 𝐴𝐼 = 32 + −4 2 = 5.
𝐴 −1; −3 , 𝐵 −3; 5 ;
Phương trình của đường tròn là
d) Có tâm 𝐼 1; 3 và tiếp xúc với đường 𝑥 − 1 2+ 𝑦 + 2 2 = 25. thẳng 𝑥 + 2𝑦 + 3 = 0. 3. BÀI TẬP Bài 7.15. Lời giải
Viết phương trình của đường tròn trong mỗi trường hợp sau:
a) Có tâm 𝐼 −2; 5 và bán kính 𝑅 = 7;
b) Có tâm 𝐼 1; −2 và đi qua điểm
c) Đường tròn có tâm là trung điểm 𝐼 của 𝐴 −2; 2 ;
𝐴𝐵 và bán kính 𝑅 = 𝐴𝐼.
c) Có đường kính 𝐴𝐵, với
Ta có 𝐼 −2; 1 , 𝐴𝐼 = −1; 4 ,
𝐴 −1; −3 , 𝐵 −3; 5 ;
d) Có tâm 𝐼 1; 3 và tiếp xúc với đường 𝑅 = 𝐴𝐼 = −1 2 + 42 = 17. thẳng 𝑥 + 2𝑦 + 3 = 0.
Phương trình của đường tròn là 𝑥 + 2 2+ 𝑥 − 1 2 = 17. 3. BÀI TẬP Bài 7.15. Lời giải
Viết phương trình của đường tròn trong mỗi trường hợp sau:
a) Có tâm 𝐼 −2; 5 và bán kính 𝑅 = 7;
b) Có tâm 𝐼 1; −2 và đi qua điểm 𝐴 −2; 2 ;
d) Khoảng cách từ tâm 𝐼 đến đường
c) Có đường kính 𝐴𝐵, với
thẳng 𝑥 + 2𝑦 + 3 = 0 bằng bán kính 𝑅
𝐴 −1; −3 , 𝐵 −3; 5 ;
d) Có tâm 𝐼 1; 3 và tiếp xúc với đường Ta có |1+2.3+3| 𝑅 = = 2 5. 5 thẳng 𝑥 + 2𝑦 + 3 = 0.
Phương trình đường tròn là
𝑥 − 1 2 + 𝑦 − 3 2 = 20. 3. BÀI TẬP Bài 7.16.
Lời giải : Gọi 𝐶 là đường tròn ngoại tiếp tam giác 𝐴𝐵𝐶.
Phương trình (𝐶) có dạng
Trong mặt phẳng toạ độ,
𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑐 = 0.
cho tam giác 𝐴𝐵𝐶, với
𝐴 6; −2 , 𝐵 4; 2 , 𝐶 5; −5 .
Vì đường tròn 𝐶 đi qua ba điểm 𝐴 6; −2 , 𝐵 4; 2 , 𝐶 5; −5
nên ta có hệ phương trình
Viết phương trình đường
tròn ngoại tiếp tam giác đó.
62 + −2 2 − 2𝑎. 6 − 2𝑏. −2 + 𝑐 = 0
42 + 22 − 2𝑎. 4 − 2𝑏. 2 + 𝑐 = 0
52 + −5 2 − 2𝑎. 5 − 2𝑏. −5 + 𝑐 = 0
−12𝑎 + 4𝑏 + 𝑐 = −40 𝑎 = 1
⇔ −8𝑎 − 4𝑏 + 𝑐 = −20 ⇔ 𝑏 = −2
−10𝑎 + 10𝑏 + 𝑐 = −50 𝑐 = −20.
Vậy phương trình đường tròn 𝐶 là:
𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 + 4𝑦 − 20 = 0. 3. BÀI TẬP
Bài 7.17. Cho đường tròn Lời giải
𝐶 : 𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 − 4𝑦 + 4 = 0. Viết Ta có
𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 − 4𝑦 + 4 = 0
phương trình tiếp tuyến 𝑑 của 𝐶
⇔ 𝑥 + 1 2 + 𝑦 − 2 2 = 1, tại điểm 𝑀 0; 2 .
đường tròn 𝐶 có tâm là điểm 𝐼 −1; 2 .
Do 0 + 1 2 + 2 − 2 2 = 1 nên điểm 𝑀 thuộc đường tròn (C).
Tiếp tuyến của 𝐶 tại 𝑀 0; 2 có vectơ pháp
tuyến 𝑀𝐼 = −1; 0 , nên có phương trình
−𝟏 𝒙 + 𝟏 + 𝟎 𝒚 − 𝟐 = 𝟎 ⇔ 𝒙 + 𝟏 = 𝟎. 3. BÀI TẬP Bài 7.18. Lời giải
Chuyển động của một vật thể trong khoảng a) Vị trí ban đầu của vật thể tại thời điểm
thời gian 180 phút được thể hiện trong mặt 𝑡 = 0 có tọa độ 2 + sin0∘; 4 + cos0∘
phẳng tọa độ. Theo đó, tại thời điểm hay 2; 5 .
𝑡 0 ≤ 𝑡 ≤ 180 vật thể ở vị trí có tọa độ
Vị trí kết thúc của vật thể tại thời điểm 2 + sin𝑡∘; 4 + cost∘ . 𝑡 = 180 có tọa độ là
a) Tìm vị trí ban đầu và vị trí kết thúc của vật thể.
2 + sin180∘; 4 + cos180∘ hay 2; 3
b) Tìm quỹ đạo chuyển động của vật thể. 3. BÀI TẬP Bài 7.18. Lời giải
Chuyển động của một vật thể trong khoảng b) Quỹ đạo chuyển động của vật thể là
thời gian 180 phút được thể hiện trong mặt tập hợp các điểm 𝑀 𝑥; 𝑦 thỏa mãn
phẳng tọa độ. Theo đó, tại thời điểm
𝑡 0 ≤ 𝑡 ≤ 180 vật thể ở vị trí có tọa độ
𝑥 = 2 + 𝑠𝑖𝑛 𝑡 ° 2 + sin𝑡∘; 4 + cost∘ .
𝑦 = 4 + 𝑐𝑜𝑠 𝑡 °
a) Tìm vị trí ban đầu và vị trí kết thúc của vật thể.
⇔ 𝑥 − 2 2 + 𝑦 − 4 2 = 1.
b) Tìm quỹ đạo chuyển động của vật thể.
Vậy quỹ đạo chuyển động của vật thể là
đường tròn 𝐶 : 𝑥 − 2 2 + 𝑦 − 4 2 = 1,
có tâm 𝐼 2; 4 , bán kính 𝑅 = 1.