Giáo trình tích phân mặt loại 2 | Đại học Bách Khoa Hà Nội

TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2
PHÁP TUYẾN CỦA MẶT CONG.
Cho mặt cong S: F(x, y, z) = 0, M(x ,y ,z ) 0 0 0  S
•L là đường cong trong S đi 
qua M. Tiếp tuyến của L tại M n
gọi là tiếp tuyến của S tại M.
•Các tiếp tuyến này cùng thuộc
1 mặt phẳng gọi là mặt tiếp diện của S tại M.
•Pháp tuyến của mặt tiếp
diện tại M gọi là pháp tuyến của S tại M. PHÁP TUYẾN MẶT CONG
Giả sử L S có pt: x = x(t), y = y(t), z = z(t) M = (x(t ), y(t ), z(t )) 0 0 0  L
Vt chỉ phương của tiếp tuyến tại M là :  u   x (
 t0),y (y0),z (t0) M S: F(x,y,z) = 0, ta có:
F(M)x (
 t0)  F(M)y (t0)  F (  M)z (  t0) 0 x y z    x (
 t0),y (t0),z (t0)
  F(M),F(M),F (  M) x y z   x (
 t0),y (t0),z (t0)
  F(M),F(M),F (  M) x y z 
(đúng với mọi đường cong trong S và qua M)   n = 
 F(M ),F(M ),F (  M) x y z  và các vector tỷ lệ
là pháp vector của S tại M Một ký hiệu khác: gradF(M) 
 F(M),F(M),F (  M) x y z  (gradient của F tại M)
Một số ví dụ tìm pháp vector 2 2 2 2
a/ Mặt cầu S : x  y  z R 

M(x0,y0, 0
z ) S, n(M)    2x0,2y0,2 0 z  (và các vector tỷ lệ)
n  n
OM(x0,y0, 0z)
Một số ví dụ tìm pháp vector 2 2 2
a/ Mặt trụ S : x  y R 

M(x0,y0, 0 z ) S, n(M)    2x0,2y0,0 (và các vector tỷ lệ)
M n
OM (  x0, y0,0)
Một số ví dụ tìm pháp vector 2 2 2
a/ Mặt nón S : x  y z  2 2
 z  x  y

M(x0,y0, 0
z ) S, n(M)  
 2x0,2y0, 2 0 z 
n(M) 0 z
M(x0,y0, 0 z ) M (  x0, y0,0)  0 z (x0,y0, 0 z ) MẶT ĐỊNH HƯỚNG
S được gọi là mặt định hướng (mặt 2 phía) nếu
cho pháp vector tại MS di chuyển dọc theo 1
đường cong kín không cắt biên, khi quay về điểm
xuất phát vẫn không đổi chiều.
Ngược lại, pháp vector đảo chiều, thì S được gọi
là mặt không định hướng (mặt 1 phía ).
Phía của S là phía mà đứng trên đó, pháp vector
hướng từ chân lên đầu.
(Chương trình chỉ xét mặt 2 phía) Mặt một phía Mặt hai phía
Ví dụ tìm PVT tương ứng với phía mặt cong 2 2 2 2
a/ Mặt cầu S : x  y  z R 
M(x0,y0, 0 z ) S,
n (  x0,y0, 0 z )
 pháp VT ngoài n


n  (x0,y0, 0 z )
OM(x0,y0, 0 z ) pháp VT trong 2 2 2
b/ Mặt trụ S : x  y R 

M(x0,y0, 0 z ) S, n(M)    2x0,2y0,0 PVT trong
M n (
 x0, y0,0) PVT ngoài c/ Mặt nón
M(x0,y0, 0 z ) S, PVT trong 0 z
n (  x0,y0, 0 z ) PVT ngoài  0 z Pháp vector đơn vị z
n    y x  n (  cos ,cos  ,cos)
ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2
Cho các hàm P, Q, R liên tục trên mặt định
hướng S.Gọi pháp vector đơn vị của S là  n (  cos ,cos  ,cos)
Tích phân mặt loại 2 của P, Q, R trên S định nghĩa bởi 
Pdydz Qdzdx  Rdxdy  (P,Q,R).nds   S S
Pdydz Qdzdx  Rdxdy  S 
(P cos Qcos   R cos)ds  S VÍ DỤ
1/ Cho S là phía ngoài của nửa mặt cầu 2 2 2
z  R  x  y , tính
I  xdydz  ydzdx  zdxdy  S
Tại M (x, y, z) trên S, pháp vector đơn vị là
 (x, y,z) n  R  (x, y,z)
I  (P,Q,R).nds  (x,y,z). ds   S S R 2 2 2
x  y  z 2 R  ds   ds R  ds R  R   S S S 3 2   R