Hiểu rõ bản chất hình học của bài toán cực trị tọa độ không gian – Võ Trọng Trí Toán 12

Hiểu rõ bản chất hình học của bài toán cực trị tọa độ không gian – Võ Trọng Trí Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

29 15 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian

Môn: Toán 12

Thông tin:

12 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
1
VÕ TR
Ọ
NG TRÍ
-
NGH
Ệ
HIỂU RÕ BẢN CHẤT HÌNH HỌC CỦA BÀI TOÁN CỰC TRỊ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN ĐỂ
GIẢI NHANH BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM.
Để giải nhanh bài toán cực trị trong hình học tọa độ không gian, chúng ta cần tìm được vị trí đặc biệt của
nghiệm hình để cực trị ( số đo góc, khoảng cách, độ dài ) xảy ra. Khi biết vị trí đặc biệt đó, việc tính toán
chỉ còn vài dòng đơn giản là ra kết quả. Sau đây các các bài toán cực trị thường gặp , bản chất hình học
của nó và công thức giải nhanh bài toán đó.
Bài toán 1: Viết phương trình mặt phẳng đi qua một đường thẳng d và cách một điểm
M d
∉
một
khoảng lớn nhất.
Giải: Gọi hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng và d lần
lượt là H, K. Ta có khoảng cách từ M đến mặt phẳng là đoạn
MH MK
≤
. Vậy MH lớn nhất khi và chỉ khi H trùng K. Hay
mặt phẳng chứa d và vuông góc với mặt phẳng chứa M và d.
Mặt phẳng cần tìm có véc tơ pháp tuyến
; ,
d d
n u AM u
=
,
trong đó
A d
∈
.
Ví dụ 1: Viết phương trình mp chứa đường thẳng
1 2
:
2 1 1
x y z
d
− +
= =
−
và cách
(
)
2;1;1
M
một khoảng
lớn nhất.
Giải: Ta có
(
)
(
)
2;1; 1 , 1;0; 2
d
u A
= − = −
(
)
1;1;3
AM⇒ =
. Vậy
( )
; , 6; 6; 18
d d
n u AM u
= = − − −
.
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là:
(
)
(
)
1 3 2 0 3 5 0
x y z x y z
− + + + = ⇔ + + + =
.
Ví dụ 2: Viết phương trình mp đi qua điểm
(
)
1; 2;1
A −
, song song với đường thẳng
1
:
2 2
x y
d z
−
= =
và
cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất.
Gợi ý:
; ,
d d
n u OA u
=
, phương trình mặt phẳng
11 16 10 53 0
x y z
− + − =
Ví dụ 3. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua O, vuông góc với mặt phẳng
(
)
: 2 1 0
Q x y z
− + − =
và
cách điểm
1
;0; 2
2
M
một khoảng lớn nhất.
Gợi ý: Bản chất mp cần tìm vẫn đi qua đường thẳng cố định qua O và vuông góc với (P). Nến véc tơ
pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm là
( ) ( )
, ;
Q Q
n n OM n
=
.
Ví dụ 4: Tìm a để khoảng cách từ
(
)
1;2; 2
M
−
đến mặt phẳng
(
)
(
)
(
)
: 1 2 3 1 0
P a x a y az a
− + − + + − =
lớn nhất.
d
M
H
K
2
VÕ TR
Ọ
NG TRÍ
-
NGH
Ệ
Gợi ý: Ta có thể áp dụng công thức khoảng cách trực tiếp hoặc mp đã cho chứa đtường thẳng cố đinh là
2 1 0
:
3 1 0
x y
d
x y z
− + =
− − + − =
,
(
)
2;1;5
d
u
=
và đi qua
(
)
1;0; 0
A −
, do đó khoảng cách lớn nhất khi và chỉ khi
; ;
P d d
n u AM u
=
, từ đó ta tìm được a=2.
Bài toán 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d, tạo với đường thẳng d’( d’
không song song với d) một góc lớn nhất.
Giải: Lấy K là điểm thuộc d, vẽ đường thẳng KM song song
với d’. Gọi H và I là hình chiếu vuông góc của M trên (P) và
d. Khi đó
( )
( )
sin '; cos
MH MI
d P KMH
KM KM
= = ≤ . Vậy góc
giữa d và (P) lớn nhất khi và chỉ khi H trùng I, hay (P) là mặt
phẳng nhận véc tơ
IM
làm véc tơ pháp tuyến, hay (P) là mặt
phẳng chứa d và vuông góc với mặt phẳng chứa d , song song
với d’.
Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng
(
)
P
cần tìm là
'
; ;
d d d
n u u u
=
.
Ví dụ 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa
1 1 2
:
2 1 2
x y z
d
− + −
= = và tạo với đường thẳng
1 1
:
1 2 1
x y z
d
+ −
′
= = một góc lớn nhất.
Giải: Ta có
( )
'
; ; 3; 12;3
d d d
n u u u
= = −
. (P) đi qua điểm
(
)
1; 1;2
A −
nên có phương trình
(
)
(
)
(
)
1 4 1 2 0 4 7 0
x y z x y z
− − + + − = ⇔ − + − =
.
Ví dụ 6: Viết phương trình mặt phẳng đi qua O và vuông góc với mặt phẳng
(
)
: 2 1 0
P x y z
+ − − =
và
tạo với trục Oy một góc lớn nhất.
Gợi ý: Bản chất không thay đôi, mặt phẳng cần tìm có véc tơ pháp tuyến
( )
; ; 2;5;1
P P
n n j n
= = −
.
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là
2 5 0
x y z
− − =
.
Ví dụ 7: Viết phương trình mặt phẳng đi qua O, song song với đường thẳng
1 2
:
2 1 3
x y z
d
− −
= = và tạo
với mặt phẳng
(
)
: 2 1 0
P x y z
+ − + =
một góc nhỏ nhất.
Gợi ý: Bản chất Bài toán toán vẫn là tìm phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng
a
( qua O và song
song với d) và tạo với đường thẳng b vuông góc với mp(P) một góc lớn nhất. Vậy véc tơ pháp tuyến mp
(P)
d'
d
M
H
K
I
3
VÕ TR
Ọ
NG TRÍ
-
NGH
Ệ
cần tìm là
( )
; ; 12; 27;17
d P d
n u n u
= = − −
, nên phương trình mặt phẳng cần tìm là
12 27 17 0
x y z
+ − =
.
Ví dụ 8: Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm
(
)
(
)
1;2; 1 , 2;1;3
A B
−
và tạo với trục Ox một góc
lớn nhất.
Gợi ý: Mặt phẳng cần tìm đi qua AB, cũng là mặt phẳng chứa đường thẳng AB cố định cho trước. Vậy
( )
; ; 17; 1; 4
n AB i AB
= = − −
.
Bài toán 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua một điểm A cho trước và nằm trong mặt
phẳng
(
)
P
cho trước và cách một điểm M cho trước một khoảng nhỏ nhất. ( AM không vuông góc
với (P)).
Giải: Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên
(P) và d. Dễ thấy ngay
(
)
;
d M d MK MH
= ≥
. Khoảng cách
này nhỏ nhất khi và chỉ khi
K H
≡
. Hay d là đường thẳng đi
qua A và hình chiếu H của M trên (P).
Véc tơ chỉ phương của đường thẳng d cần tìm là
( ) ( )
; ;
d
P P
u n AM n
=
.
Ví dụ 9: Viết phương trình đường thẳng
d
đi qua gốc tọa độ O , nằm trong mặt phẳng
(
)
: 2 0
P x y z
− + =
và cách điểm
(
)
1;2;1
M
một khoảng nhỏ nhất.
Giải: Ta có véc tơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm là
( ) ( )
( )
; ; 4; 13; 5
d
P P
u n OM n
= = − − −
.
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là
4 13 5
x y z
= =
.
Ví dụ 10: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm
(
)
1;1; 2
A
, vuông góc với đường thẳng
1 3
:
2 2 4
x y z
a
+ −
= = và cách gốc tọa độ O một khoảng nhỏ nhất.
Gợi ý: Bản chất d vẫn là đường thẳng đi qua A và nằm trong mặt phẳng cố định ( qua A và vuông góc với
a). Nên véc tơ chỉ phương vẫn là
; ;
d a a
u u OA u
=
.
Ví dụ 11: Viết phương trình đường thẳng d đi qua O và song song với mặt phẳng
(
)
: 2 1 0
P x y z
− − + =
và cách điểm
(
)
1; 1; 2
M
−
một khoảng nhỏ nhất.
Gợi ý: Bản chất d vẫn là đường thẳng đi qua O và nằm trong mặt phẳng cố định ( qua O và song song với
(P)). Nên véc tơ chỉ phương vẫn là
( ) ( )
; ;
d
P P
u n OM n
=

.
d
M
H
K
A
4
VÕ TR
Ọ
NG TRÍ
-
NGH
Ệ
Ví dụ 12: Tìm cặp số nguyên dương (a, b ) nhỏ nhất để khoảng cách từ O đến đường thẳng
( )
( )
1
: 2 0
1 2 2
x a at
d y b bt a
z a b a b t
= + +
= + + ≠
= + − + −
nhỏ nhất.
Gợi ý: Đường thẳng d đã cho đi qua điểm cố định
(
)
1;2;1
A
và do
(
)
(
)
; ;2 2; 1; 1
d
u a b a b n
= − ⊥ − −
nên d nằm trong mặt phẳng (P) qua A có véc tơ pháp tuyến
n
. Vậy véc tơ chỉ phương của đường thẳng
cần tìm là
( )
; ; 8; 11; 5
d
u n OA n
= = − − −

. Vậy ta phải có
8
2
11
8 11 5
a
a b a b
b
=
−
= = ⇒
=
.
Bài toán 4: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A cho trước, nằm trong mặt phẳng (P) và
cách điểm M ( M khác A, MA không vuông góc với (P)) một khoảng lớn nhất.
Giải: Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M
trên (P) và d. Khi đó ta dế thấy
(
)
;
d M d MK MA
= ≤
,
khoảng cách
(
)
;
d M d
lớn nhất khi và chỉ khi K trùng
A, hay d là đường thẳng nằm trong (P), đi qua A và
vuông góc với AM.
Đường thẳng d cần tìm có véc tơ chỉ phương là
( )
;
d
P
u n AM
=

.
Ví dụ 13: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm
(
)
1;1; 1
A
−
cho trước, nằm trong mặt phẳng
(
)
: 2 0
P x y z
− − =
và cách điểm
(
)
0; 2;1
M
một khoảng
lớn nhất.
Giải: Ta có véc tơ chỉ phương đường thẳng cần tìm là
( )
( )
; 1;3; 1
P
u AM n
= = −
. Vậy phương trình
đường thẳng cần tìm là
1 1 1
1 3 1
x y z
− − +
= =
−
.
Ví dụ 14: Viết phương trình đường thẳng d qua gốc tọa độ O, vuông góc với đường thẳng
1
1
:
2 1 2
x y z
d
−
= =
− −
và cách điểm
(
)
2;1;1
M
một khoảng lớn nhất.
Gợi ý: Véc tơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm là
1
;
d
u u AM
=
Ví dụ 15: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm
(
)
1;0;2
A
, song song với mặt phẳng
(
)
: 2 1 0
P x y z
− + − =
và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất.
Gợi ý: Véc tơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm là
( )
;
P
u OA n
=
.
d
M
H
K
A
5
VÕ TR
Ọ
NG TRÍ
-
NGH
Ệ
Ví dụ 16: Tìm a để đường thẳng
( )
1 2
: 2 2 1
1
x a at
d y a a t
z t
= − +
= − + + −
= +
( a là tham số ) cách điểm
1
;1; 4
2
M
một
khoảng lớn nhất.
Gợi ý: Dựa vào phương trình tham số của đường thẳng d đã cho, ta thấy d đi qua điểm cố định
(
)
1;0;3
A
( ứng với t=2) và vuông góc với đường thẳng có véc tơ chỉ phương
(
)
1
1;1; 1
u
= −
. Do đó véc tơ chỉ
phương của đường thẳng d khi khoảng cách từ M đến nó lớn nhất là
1
1 3
; 2; ;
2 2
d
u u AM
−
= =
. Vậy
ta có:
1 1 4
1 3
2 3
2 2
a a
a
−
= = ⇔ =
−
.
Bài toán 5: Cho mặt phẳng (P) và điểm
(
)
A P
∈
, và đường thẳng
d
( d cắt (P) và d không vuông
góc với (P)). Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua A, nằm trong (P) và tạo với d một góc nhỏ
nhất.
Giải: Từ A vẽ đường thẳng AM//d. Gọi H, I lần lượt là hình
chiếu vuông góc của M trên (P) và d’. Ta có
( )
cos ; ' cos
MH MI
d d MAH
AM MA
= = ≤
. Vậy góc (d;d’) bé nhất
khi và chỉ khi I trùng H. Hay d’ đi qua A và H, hay d’ đi qua A
và song song với hình chiếu vuông góc của d trên (P).
Véc tơ chỉ phương của đường thẳng d’ cần tìm là
( ) ( )
; ;
d d
p P
u n n u
′
=
.
Ví dụ 17: Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O , nằm trong mặt phẳng
(
)
: 2 0
P x y z
+ − =
và tạo với đường thẳng
1 1
:
2 1 2
x y z
d
− +
= =
−
một góc nhỏ nhất.
Giải: Véc tơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm là
( ) ( )
( )
; ; 10;7; 13
a d
p P
u n n u
= = − −
. Vậy
phương trình đường thẳng cần tìm là:
10 7 13
x y z
= =
− −
.
Ví dụ 18: Viết phương trình đường thẳng đi qua O, vuông góc với đường thẳng
1 1 1
:
2 2 1
x y z
d
− − +
= =
và tạo với mặt phẳng
(
)
: 2 1 0
P x y z
− + − =
một góc lớn nhất.
Gợi ý: Bản chất vẫn là Bài toán toán 5, với véc tơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm là
( )
; ;
d d
P
u u n u
=
.
(P)
d
d'
M
H
A
I
6
VÕ TR
Ọ
NG TRÍ
-
NGH
Ệ
Ví dụ 19: Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O, cắt đường thẳng
1
:
1 2 3
x y z
d
−
= =
và tạo
với trục Oy một góc nhò nhất.
Gợi ý: Bản chất đường thẳng cần tìm đi qua O và nằm trong
(
)
;
mp O d
. Do đó véc tơ chỉ phương cần
tìm là
( ) ( )
; ;
, ;
O d O d
u n j n
=
.
Bài toán 6: Cho mặt phẳng
(
)
P
và điểm
(
)
A P
∈
và đường thẳng d cắt (P) tại điểm khác M khác
A. Viết phương trình đường thẳng d’ nằm trong (P), đi qua A và khoảng cách giữa d và d’ lớn nhất.
Giải: Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và song song với d’. Khi đó
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
; ' ; ' ,
d d d d Q d d A Q
= =
.
Theo bài toán 1, khoảng cách này lớn nhất khi và chỉ khi
( )
; ; ,
d d
Q
n u u AB B d
= ∈
. Khi đó do
d’//(Q) và d’ nằm trong (P), nên
( ) ( )
'
;
d
Q P
u n n
=
Véc tơ chỉ phương của đường thẳng d cần tìm là
( )
; ; ; ,
d d d
P
u n u u AB B d
′
= ∈

.
Ví dụ 20: Cho mặt phẳng
(
)
(
)
: 2 3 0, 0;2;1
P x y z A+ + − =
và đường thẳng
1
:
1 2 1
x y z
d
−
′
= =
. Viết
phương trình đường thẳng d đi qua A, nằm trong (P) và khoảng cách giữa d và d’ lớn nhất.
Giải:. Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d’ và cách A một khoảng lớn nhất. Khi đó ta có:
(
)
1;0;0 '
B d
∈
,
( )
; ;
d d
Q
n u u AB
′ ′
=
(
)
10; 4;2
= −
, véc tơ chỉ phương cuat đường thẳng d cần tìm là
( ) ( )
( )
; 2;14; 18
d
Q P
u n n
= = −
. Phương trình đường thẳng d là:
2 1
1 7 9
x y z
+ −
= =
−
.
Bài toán 7: Cho mặt phẳng
(
)
P
và đường thẳng
(
)
/ /
d P
. Viết phương trình đường thẳng
/ /
d d
′
và cách d một khoảng nhỏ nhất.
Giải: Gọi A là điểm thuộc d, A’ là hình chiếu của A trên (P). Khi đó đường thẳng d’ cần tìm đi qua A’ và
song song với d.
Ví dụ 21: Cho mặt phẳng
(
)
: 2 1 0
P x y z
− + + =
. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mp(P),
song với mặt phẳng
(
)
: 2 2 0
Q x y z
− + + =
và cách gốc O một khoảng nhỏ nhất.
Gợi ý: Đường thẳng d cần tìm đi qua hình chiếu O’ của O trên mp(P) và có véc tớ chỉ phương
( ) ( )
;
d
P Q
u n n
=
.
Bài toán 8: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A và cách điểm M ( khác A) một khoảng lớn
nhất.
7
VÕ TR
Ọ
NG TRÍ
-
NGH
Ệ
Giải: Véc tơ pháp tuyến của mp cần tìm là
n AM
=
.
Ví dụ 22: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm
(
)
1;0; 2
A
−
và cách điểm
(
)
2;1;1
M
một khoảng lớn
nhất.
Giải: Véc tơ pháp tuyến của mp cần tìm là
(
)
1;1; 3
n AM
= = −
. Do đó phương trình mặt phẳng cần tìm
là
(
)
(
)
1 3 2 0 3 7 0
x y z x y z
− + − + = ⇔ + − − =
.
Bài toán 9: Các bài toán khác đòi hỏi chúng ta cần có trực giác hình học để giải nhanh.
Ví dụ 23: Cho đường thẳng
1 1
:
2 1 2
x y z
d
− −
= =
, viết phương trình đường thẳng d’ song song với d,
cách d một khoảng bằng 3 và cách điểm
(
)
3; 4;3
K −
một khoảng lớn nhất, nhỏ nhất.
Giải: Giả sử mp(P) qua K và vuông góc với d cắt d tại I, d’ tại M. Khi đó ta có
3
IM
=
, trong mp(P): ta
cần tìm M thuộc đường tròn tâm I, bán kính R=3 cách K một khoảng nhỏ nhất, lớn nhất.
Gọi
(
)
1 2 ; ;1 2
I t t t
+ +
,
(
)
(
)
4 2 ; 4; 2 2 , 2;1; 2
d
KI t t t u= + − − + =
,
. 0 0
d
KI u t
= ⇔ =
. Vậy
(
)
1;0;1
I
và
6 3
IK
= >
. Dễ thấy KM nhỏ nhất khi M trùng E, KM
lớn nhất khi M trùng F. Để tìm
(
)
; ;
E x y z
ta dùng véc tơ
( )
1
1; 2; 2
2
IE IK E= ⇔ = −
.
Vậy phương trình đường thẳng d’ cách K một khoảng nhỏ
nhất là
1 2 2
2 1 2
x y z
+ − −
= =
. Tương tự phương trình
đường thẳng d’ cách K một khoảng lớn nhất là
3 2
2 1 2
x y z
− −
= =
.
Ví dụ 24: Cho đường thẳng
3 3 3
:
2 1 1
x y z
d
− − −
= =
−
. Viết phương trình đường thẳng d’ song song với
d, cách d một khoảng bằng
3
và cách đường thẳng
2 1
:
1 2 1
x y x
− −
∆ = =
−
một khoảng nhỏ nhất ( lớn
nhất )
Giải: đường thẳng d’ cần tìm là một đường sinh của mặt trụ tròn xoay có trục là d, bán kính R=
3
. Gọi
(P) là mặt phẳng chứa
∆
và song song với d. Dễ dàng thấy ngay, d’ là giao mặt trụ trên với mặt phẳng
(Q) chứa d và vuông góc với (P) ( trong trường hợp (P) không cắt mặt trụ ).
Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến là
( )
( )
; 3;3;3
d
P
n u u
∆
= =
. Phương trình mặt phẳng (P) là
3 0
x y z
+ + − =
. Lấy
(
)
3;3;3
I d
∈
, hình chiếu của I trên (P) là
(
)
1;1;1
H
,
2 3
IH =
. Gọi
F
I
E
K
M
8
VÕ TR
Ọ
NG TRÍ
-
NGH
Ệ
(
)
; ;
M x y z
là giao điểm của IH với mặt trụ ( gần (P)) nhất. Ta có:
( )
1
2; 2;2
2
IM IH M= ⇒
. Vậy
phương trình đường thẳng d’ cần tìm đi qua M là
2 2 2
2 1 1
x y z
− − −
= =
−
.
Ví dụ 25: Cho đường thẳng
3 2
: 2
2
x t
d y t
z t
= +
= +
= +
. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song và cách d một
khoảng
2 2
R =
và cách
(
)
0;1;2
M
một khoảng nhỏ nhất ( lớn nhất).
Giải: Gọi (Q) là mp qua M và vuông góc cắt d tại I. Giả sử đường thẳng qua M vuông góc với (P) cắt (P)
tại A. Gọi B là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Ta thấy các điểm I, M,
B, A thuộc mp(Q) và
(
)
(
)
,
IB d d P R
= =
,
(
)
(
)
;
d M P MA
=
. Ta tìm
được
(
)
1;1;1
I
và
2
IM R
= <
Dễ thấy
MA MI IE IB MA IB MI
+ ≥ = ⇒ ≥ −
, MA nhỏ nhất khi và chỉ
khi A trùng B trùng E. Để tìm E ta sử dụng véc tơ
(
)
2 1;1;3
IE IM E= ⇔ −
. Mặt phẳng (P) đi qua E và có véc tơ pháp tuyến
( )
; 1; 3;1
d
n u IM
= = −
, nên có phương trình là:
(
)
(
)
(
)
1 1 3 1 1 1 0 3 3 0
x y z x y z
+ − − + − = ⇔ − + + =
. Trường hợp khoảng cách từ M đến (P) lớn nhất
khi và chỉ khi mp(P) đi qua F và có véc tơ pháp tuyến như trên.
Nhận xét: Nếu
IM R
>
thì khoảng cách từ M đến (P) lớn nhất khi và chỉ khi (P) đi qua M, và khoảng
cách lớn nhất khi (P) đi qua F.
Ví dụ 26. Cho mặt cầu
( ) ( ) ( )
2 2
2
: 1 4 8
S x y z
+ + − + =
và điểm
(
)
3;0;0
A
,
(
)
4; 2;1
B
. Gọi M là điểm
thuộc mặt cầu (S) . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
MA MB
+
.
Giải: Gọi
(
)
; ;
M a b c
thuộc mặt cầu (S), ta có:
( )
2
2 2 2 2 2
3 6 9
MA a b c a b c a
= − + + = + + − +
( )
2 2 2
4 4 4 6 9 3 9 2 8
a b c a a b
= + + − + − − − +
2 2 2
4 4 4 24 36
a b c b
= + + − +
( )
2
2 2 2 2 2
2 6 9 2 3 2
a b c b a b c MB
′
= + + − + = + − + =
với
(
)
0;3;0
B
′
. Dễ dàng kiểm tra thấy B’
nằm trong mặt cầu, B nằm ngoài mặt cầu, M nằm trên mặt cầu, vậy
(
)
2 2
MA MB MB MB
′
+ = +
nhỏ
nhất khi B’, M, B thẳng hàng, hay giá trị nhỏ nhất là
2 4 2
BB
′
=
.
BÀI TẬP
9
VÕ TR
Ọ
NG TRÍ
-
NGH
Ệ
Câu 1: Cho mặt phẳng
(
)
: 2 1 0
P x y z
− + − =
và đường thẳng
1
: 1
1
x t
d y t
z t
= +
= +
= −
. Gọi d’ là đường thẳng nằm
trong (P), song song với d và khoảng cách giữa d và d’ nhỏ nhất. Hỏi d’ đi qua điểm nào sau đây?
A.
1 2 1
; ;
3 3 3
M
− −
B.
4 4 2
; ;
3 3 3
M
C.
2 7 5
; ;
3 6 6
M
D.
2 2
; 1;
3 3
M
− −
Câu 2: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm
(
)
(
)
1;0;1 , 2;1;3
A B
và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất.
(P) đi qua điểm nào sau đây?
A.
(
)
0; 2; 1
M
−
B.
(
)
1;1;1
M
C.
(
)
3; 2;1
M
D.
(
)
1;1;1
M −
Câu 3: Gọi d là đường thẳng đi qua O và nằm trong mặt phẳng
(
)
Oyz
và cách điểm
(
)
1; 2;1
M −
một
khoảng nhỏ nhất. Tính góc giữa d và trục tung.
A.
2
arccos
3
B.
1
arccos
5
C.
2
arccos
5
D.
3
arccos
5
Câu 4: Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng
2
: 1
2
x t
d y t
z t
= +
= −
=
và tạo với trục Oz một góc lớn nhất. Hỏi
mp(P) đi qua điểm nào dưới đây?
A.
(
)
1;3;2
M
B.
(
)
2;1;0
M
C.
(
)
4;1;1
M
D.
(
)
1;1;1
M
Câu 5: Cho đường thẳng
( )
( )
:
1 2
x at
d y bt t R
z a b t
=
= ∈
= − +
( a, b là các tham số đã biết). Biết khoảng cách
giữa d và Ox lớn nhất. Tính
a
b
.
A.
0
a
b
=
B.
5
2
a
b
= −
C.
3
2
a
b
=
D.
4
a
b
= −
Câu 6: Cho đường thẳng
1
: 2
1
x t
d y
z t
= +
=
= +
. Gọi d’ là đường thẳng đi qua điểm
(
)
1; 2;1
I
và tạo với d một góc
0
30
và cách điểm
(
)
0;0; 2
J
−
một khoảng nhỏ nhất. Một véc tơ chỉ phương của d’là:
A.
(
)
1;1;0
u = −
B.
(
)
1;1; 0
u =
C.
(
)
1;0;1
u = −
D.
(
)
1;1; 2
u = −
10
VÕ TR
Ọ
NG TRÍ
-
NGH
Ệ
Câu 7: Cho hai điểm
(
)
0;0;3
A
,
(
)
1;4;0
B
và mặt cầu
(
)
2 2 2
: 8 2 9 0
S x y z y z
+ + − + + =
. Gọi M
thuộc mặt cầu (S) . Tính giá trị nhỏ nhất của
2
MA MB
−
.
A.
2 2
B.
3 2
C.
6
D.
3 6
Câu 8: Gọi d là đường thẳng đi qua O và song song với mặt phẳng
(
)
: 2 3 1 0
P x y z
+ − + =
và tạo với
trục Ox một góc nhỏ nhất. Hỏi d đi qua điểm nào sau đây?
A.
(
)
5; 3;1
M −
B.
(
)
2; 3; 1
M
− −
C.
(
)
4;6;2
M
D.
(
)
5; 6;1
M −
Câu 9: Gọi d là đường thẳng đi qua điểm
(
)
1;2;0
A
và nằm trong mặt phẳng
(
)
xOy
và cách điểm
(
)
2;1;1
B
một khoảng lớn nhất. Tìm véc tơ chỉ phương của d.
A.
(
)
1; 2;0
u =
B.
(
)
1; 1;0
u = −
C.
(
)
1;1; 0
u =
D.
(
)
2;1;0
u = −
Câu 10: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua O và song song với đường thẳng
1 1
:
2 2 1
x y z
d
− +
= =
và cách điểm
(
)
1;2;3
A −
một khoảng lớn nhất. Hỏi (P) song song với đường thẳng nào sau đây?
A.
1
2 1 2
x y z
−
= =
− −
B.
3 1
3 12 4
x y z
+ +
= =
−
C.
2 1 1
1 1 2
x y z
+ − +
= =
−
D.
1
2 2 1
x y z
+
= =
− − −
Câu 11: Cho đường thẳng
2
: 2
2
x t
d y t
z t
= +
= +
= +
và điểm
(
)
2; 4; 1
M
− −
. Gọi d’ là đường thẳng song song với d
và cách d một khoảng bằng
2
R =
và cách điểm M một khoảng nhỏ nhất. Hỏi d’ đi qua điểm nào dưới
đây?
A.
(
)
3;2;3
K
B.
(
)
0; 2;5
K −
C.
(
)
3;1; 2
K
D.
Câu 12: Gọi d là đường thẳng đi qua điểm
(
)
1;2;4
A
, nằm trong mặt phẳng (P)
2 3 0
x y
+ − =
và tạo
với trục Oy một góc nhỏ nhất. Hỏi d đi qua điểm nào sau đây?
A.
(
)
1;6;4
M −
B.
(
)
1; 6;4
M − −
C.
(
)
1;6; 4
M
− −
D.
(
)
1;2;6
M
Câu 13: Cho mặt phẳng
(
)
(
)
: 2 4 0, 1;1;1
P x y z A+ + − =
. Gọi d là đường thẳng đi qua A nằm trong (P)
và cách O một khoảng nhỏ nhất. Hỏi d đi qua điểm nào sau đây?
A.
(
)
1;6;0
M −
B.
(
)
1;3;3
M −
C.
(
)
0;3;1
M
D.
(
)
0;0;4
M
11
VÕ TR
Ọ
NG TRÍ
-
NGH
Ệ
Câu 14: Gọi d là đường thẳng đi qua
(
)
1; 2;1
A −
, vuông góc với trục Oy, và tạo với đường thẳng
2
: 2
1
x t
d y t
z t
= −
=
= +
một góc nhỏ nhất. d nhận véc tơ nào làm véc tơ chỉ phương?
A.
(
)
1;0; 2
u =
B.
(
)
1; 2; 1
u
= − −
C.
(
)
1;0;1
u =
D.
(
)
1;0;1
u = −
Câu 15: Gọi d là đường thẳng đi qua điểm
(
)
1; 2;4
A −
, song song với mặt phẳng
1 0
x y z
+ − + =
và tạo
với Oy một góc lớn nhất. Góc giữa d và Ox là:
A.
0
60
B.
0
30
C.
0
45
D.
arccos
3
Câu 16: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua đường thẳng
1
:
2 2
x t
d y t
z t
= +
=
= +
và cách
(
)
1; 1;1
A −
một khoảng lớn
nhất. Hỏi (P) nhận véc tơ nào dưới đây làm véc tơ pháp tuyến?
A.
(
)
3;1; 2
n
= −
B.
(
)
1; 1;0
n = −
C.
(
)
0; 2;1
n = −
D.
(
)
1;1; 1
n
= −
Câu 17: Gọi (P) là mặt phẳng chứa trục Ox, và tạo với đường thẳng
1 1
:
2 2 1
x y z
d
− +
= =
−
một góc lớn
nhất. Hỏi mp(P) đi qua điểm nào dưới đây?
A.
(
)
3; 1;1
A −
B.
(
)
1;3; 4
A
C.
(
)
1;2;1
A
D.
(
)
1;1; 2
A −
Câu 18: Gọi d là đường thẳng đi qua
(
)
1;2; 1
A
−
vuông góc với trục Ox và cách điểm
(
)
2;1; 2
M
−
một
khoảng nhỏ nhất. Một véc tơ chỉ phương của d là:
A.
(
)
3; 2;1
u = −
B.
(
)
1;2;1
u = −
C.
(
)
0;2; 1
u
= −
D.
(
)
0;1;1
u =
Câu 19: Gọi (P) là mặt phẳng qua gốc tọa độ O, vuông góc với mặt phẳng
(
)
: 2 1 0
Q x y z
− − + =
và tạo
với trục Oz một góc lớn nhất. Hỏi (P) đi qua điểm nào dưới đây?
A.
(
)
2;1;1
M −
B.
(
)
1;2; 1
M
−
C.
(
)
1;1;1
M
D.
(
)
1; 1;1
M −
Câu 20: Gọi d là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với đường thẳng
2 1
:
2 1 3
x y z
d
+ −
= =
−
và cách điểm
(
)
2; 1; 1
A
− −
một khoảng lớn nhất. Hỏi d đi qua điểm nào sau đây?
A.
(
)
3; 4;1
M −
B.
(
)
1; 2;0
M −
C.
(
)
2;1;2
M
D.
(
)
2; 4;0
M − −
12
VÕ TR
Ọ
NG TRÍ
-
NGH
Ệ
Câu 21: Cho mặt phẳng (P):
0
x y z
− + =
và điểm
(
)
2;1; 1
A
−
. Gọi d là đường thẳng đi qua A, nằm
trong (P) và khoảng cách giữa Oy và d lớn nhất. Góc giữa d và Oz là:
A.
0
45
B.
1
arccos
6
C.
arccos
3
D.
0
60
Câu 22: Cho mặt phẳng (P):
2 1 0
x y z
− − + =
và điểm
(
)
2;1; 1
A
−
. Gọi d là đường thẳng đi qua A, nằm
trong (P). Tính khoảng cách lớn nhất giữa Oy và d.
A.
( )
;
5
d d Oy =
B.
( )
3
;
5
d d Oy =
C.
( )
;
5
d d Oy =
D.
( )
4
;
5
d d Oy =
Câu 23: Cho hai điểm
(
)
0;0;3
A
,
(
)
4;1; 2
B
−
và mặt cầu
(
)
2 2 2
: 8 2 9 0
S x y z y z
+ + − + + =
. Gọi M
thuộc mặt cầu (S) sao cho
2
MA MB
+
nhỏ nhất. Hoành độ điểm M là:
A.
2
M
x
=
B.
3
M
x
= −
C.
1
2
M
x
= −
D.
5
M
x
=
Câu 24: Gọi d là đường thẳng đi qua điểm
(
)
1; 2;4
A −
, song song với mặt phẳng
2 1 0
x y z
+ − + =
và
tạo với Oy một góc lớn nhất. Một véc tơ chỉ phương của d là:
A.
(
)
1;5;2
u = −
B.
(
)
1;1;1
u =
C.
(
)
5;1;3
u =
D.
(
)
2; 0;1
u =
Câu 25: Cho mặt phẳng (P):
1 0
x y z
− + − =
và điểm
(
)
2;1;0
A
. Gọi d là đường thẳng đi qua A, nằm
trong (P) và khoảng cách giữa Ox và d lớn nhất. Một véc tơ chỉ phương của d là:
A.
(
)
1;1; 1
u
= −
B.
(
)
0;1;1
u =
C.
(
)
1;1;1
u =
D.
(
)
0;1; 1
u
= −
Người gửi: Võ Trọng Trí
Trường THPT Anh Sơn 1- Nghệ An
| 1/12
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

HIỂU RÕ BẢN CHẤT HÌNH HỌC CỦA BÀI TOÁN CỰC TRỊ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN ĐỂ
GIẢI NHANH BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM.
Để giải nhanh bài toán cực trị trong hình học tọa độ không gian, chúng ta cần tìm được vị trí đặc biệt của
nghiệm hình để cực trị ( số đo góc, khoảng cách, độ dài ) xảy ra. Khi biết vị trí đặc biệt đó, việc tính toán
chỉ còn vài dòng đơn giản là ra kết quả. Sau đây các các bài toán cực trị thường gặp , bản chất hình học
của nó và công thức giải nhanh bài toán đó.
Bài toán 1: Viết phương trình mặt phẳng đi qua một đường thẳng d và cách một điểm M ∉ d một khoảng lớn nhất. M
Giải: Gọi hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng và d lần
lượt là H, K. Ta có khoảng cách từ M đến mặt phẳng là đoạn
MH ≤ MK . Vậy MH lớn nhất khi và chỉ khi H trùng K. Hay
mặt phẳng chứa d và vuông góc với mặt phẳng chứa M và d.    d
Mặt phẳng cần tìm có véc tơ pháp tuyến n = u ; AM ,u  dd  , H K
trong đó A ∈ d . x −1 y z + 2
Ví dụ 1: Viết phương trình mp chứa đường thẳng d : = = và cách M (2;1; ) 1 một khoảng 2 1 −1 lớn nhất.   
Giải: Ta có u = (2;1; − )
1 , A = (1;0; −2 ⇒ AM = (1;1;3) . Vậy n = u ; AM ,u = (−6; 6 − ; −18  dd ) d )  .
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: ( x − )
1 + y + 3( z + 2) = 0 ⇔ x + y + 3z + 5 = 0 . x y −1
Ví dụ 2: Viết phương trình mp đi qua điểm A(1;−2; )
1 , song song với đường thẳng d : = = z và 2 2
cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất. G   
ợi ý: n = u ;OA , u  x − y + z − = d
d  , phương trình mặt phẳng 11 16 10 53 0
Ví dụ 3. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua O, vuông góc với mặt phẳng (Q) : 2x − y + z −1 = 0 và  1 
cách điểm M  ;0; 2  một khoảng lớn nhất.  2 
Gợi ý: Bản chất mp cần tìm vẫn đi qua đường thẳng cố định qua O và vuông góc với (P). Nến véc tơ   
pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm là n = n , OM ; n  (Q)  (Q)  .
Ví dụ 4: Tìm a để khoảng cách từ M (1;2;−2) đến mặt phẳng
( P) : (1− a) x + (2 − 3a) y + az +1− a = 0 lớn nhất.
1 VÕ TRỌNG TRÍ- NGHỆ AN
Gợi ý: Ta có thể áp dụng công thức khoảng cách trực tiếp hoặc mp đã cho chứa đtường thẳng cố đinh là
x − 2 y +1 = 0 d : 
, u = (2;1;5 và đi qua A(−1;0; 0) , do đó khoảng cách lớn nhất khi và chỉ khi d )
−x − 3y + z −1 = 0 n u ; AM  = ;u P  d
d  , từ đó ta tìm được a=2.
Bài toán 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d, tạo với đường thẳng d’( d’
không song song với d) một góc lớn nhất.
Giải: Lấy K là điểm thuộc d, vẽ đường thẳng KM song song
với d’. Gọi H và I là hình chiếu vuông góc của M trên (P) và M MH MI d'
d. Khi đó sin (d ';( P)) = cos KMH = ≤ . Vậy góc KM KM
giữa d và (P) lớn nhất khi và chỉ khi H trùng I, hay (P) là mặt d
phẳng nhận véc tơ IM làm véc tơ pháp tuyến, hay (P) là mặt H
phẳng chứa d và vuông góc với mặt phẳng chứa d , song song K I với d’. (P)   
Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P) cần tìm là n = u ;u ;u  d d '  d  . x −1 y +1 z − 2
Ví dụ 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d : = =
và tạo với đường thẳng 2 1 2 x +1 y z −1 d ′ : = = một góc lớn nhất. 1 2 1 Gi    ải: Ta có n = u ;u ;u = 3; −12;3 
A 1; −1; 2 nên có phương trình d d '  d ( )  . (P) đi qua điểm ( ) ( x − ) 1 − 4 ( y + )
1 + ( z − 2) = 0 ⇔ x − 4 y + z − 7 = 0 .
Ví dụ 6: Viết phương trình mặt phẳng đi qua O và vuông góc với mặt phẳng ( P) : 2x + y − z −1 = 0 và
tạo với trục Oy một góc lớn nhất. G   
ợi ý: Bản chất không thay đôi, mặt phẳng cần tìm có véc tơ pháp tuyến n = n ; j ; n = (−2;5; ) 1  PP  .
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là 2x − 5 y − z = 0 . x −1 y z − 2
Ví dụ 7: Viết phương trình mặt phẳng đi qua O, song song với đường thẳng d : = = và tạo 2 1 3
với mặt phẳng ( P) : x + 2 y − z +1 = 0 một góc nhỏ nhất.
Gợi ý: Bản chất Bài toán toán vẫn là tìm phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng a ( qua O và song
song với d) và tạo với đường thẳng b vuông góc với mp(P) một góc lớn nhất. Vậy véc tơ pháp tuyến mp
2 VÕ TRỌNG TRÍ- NGHỆ AN    cần tìm là n = u ; n ;u = ( 1 − 2; −27;17  d P d ) 
, nên phương trình mặt phẳng cần tìm là
12x + 27 y −17z = 0 .
Ví dụ 8: Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A(1;2;− )
1 , B (2;1;3) và tạo với trục Ox một góc lớn nhất.
Gợi ý: Mặt phẳng cần tìm đi qua AB, cũng là mặt phẳng chứa đường thẳng AB cố định cho trước. Vậy n  A ; B i =
; AB = (−17; −1; 4)    .
Bài toán 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua một điểm A cho trước và nằm trong mặt
phẳng ( P) cho trước và cách một điểm M cho trước một khoảng nhỏ nhất. ( AM không vuông góc với (P)).
Giải: Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên M
(P) và d. Dễ thấy ngay d ( M ; d ) = MK ≥ MH . Khoảng cách
này nhỏ nhất khi và chỉ khi K ≡ H . Hay d là đường thẳng đi
qua A và hình chiếu H của M trên (P). d
Véc tơ chỉ phương của đường thẳng d cần tìm là H A K u n ; AM  = ; nd  (P)  (P)  .
Ví dụ 9: Viết phương trình đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O , nằm trong mặt phẳng
( P) : 2x − y + z = 0 và cách điểm M (1;2; )
1 một khoảng nhỏ nhất. Gi   
ải: Ta có véc tơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm là u = n ;OM ; n = ( 4 − ; −13; 5 − d )  (P)  (P)  . x y z
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là = = . 4 13 5
Ví dụ 10: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1;1;2) , vuông góc với đường thẳng x +1 y z − 3 a : = =
và cách gốc tọa độ O một khoảng nhỏ nhất. 2 2 4
Gợi ý: Bản chất d vẫn là đường thẳng đi qua A và nằm trong mặt phẳng cố định ( qua A và vuông góc với   
a). Nên véc tơ chỉ phương vẫn là u = u ;OA ;u d  aa  .
Ví dụ 11: Viết phương trình đường thẳng d đi qua O và song song với mặt phẳng ( P) : 2x − y − z +1 = 0
và cách điểm M (1; 1
− ; 2) một khoảng nhỏ nhất.
Gợi ý: Bản chất d vẫn là đường thẳng đi qua O và nằm trong mặt phẳng cố định ( qua O và song song với   
(P)). Nên véc tơ chỉ phương vẫn là u = n ;OM ; n d  (P)  (P)  .
3 VÕ TRỌNG TRÍ- NGHỆ AN
Ví dụ 12: Tìm cặp số nguyên dương (a, b ) nhỏ nhất để khoảng cách từ O đến đường thẳng
x = 1+ a + at
d :  y = 2 + b + bt
(a ≠ 0) nhỏ nhất.
z =1+ 2a −b + 
(2a − b)t
Gợi ý: Đường thẳng d đã cho đi qua điểm cố định A(1; 2; )
1 và do u = (a; ;
b 2a − b) ⊥ n (2; −1; − ) 1 d
nên d nằm trong mặt phẳng (P) qua A có véc tơ pháp tuyến n . Vậy véc tơ chỉ phương của đường thẳng  −     a b 2a b a = 8 cần tìm là u = ;
n OA ; n = (−8; −11; −5 = = ⇒  . d )    . Vậy ta phải có 8 11 5 b  = 11
Bài toán 4: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A cho trước, nằm trong mặt phẳng (P) và
cách điểm M ( M khác A, MA không vuông góc với (P)) một khoảng lớn nhất.
Giải: Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M
trên (P) và d. Khi đó ta dế thấy d ( M ; d ) = MK ≤ MA , M
khoảng cách d ( M ; d ) lớn nhất khi và chỉ khi K trùng
A, hay d là đường thẳng nằm trong (P), đi qua A và vuông góc với AM. d
Đường thẳng d cần tìm có véc tơ chỉ phương là H un ; AM  = A d  (P)  . K
Ví dụ 13: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1;1; − )
1 cho trước, nằm trong mặt phẳng ( P) : 2x − y − z = 0 và cách điểm M (0; 2; ) 1 một khoảng lớn nhất.
Giải: Ta có véc tơ chỉ phương đường thẳng cần tìm là uAM ;n  = = (1;3; − ) 1  (P)  . Vậy phương trình x −1 y −1 z +1
đường thẳng cần tìm là = = . 1 3 −1
Ví dụ 14: Viết phương trình đường thẳng d qua gốc tọa độ O, vuông góc với đường thẳng x −1 y z d : = =
và cách điểm M (2;1; )
1 một khoảng lớn nhất. 1 2 1 − −2
Gợi ý: Véc tơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm là uu ; AM  =   1 d
Ví dụ 15: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1;0;2) , song song với mặt phẳng
( P) : 2x − y + z −1 = 0 và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất.
Gợi ý: Véc tơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm là uO ; A n  =  ( P)  .
4 VÕ TRỌNG TRÍ- NGHỆ AN
x = 1− 2a + at   1 
Ví dụ 16: Tìm a để đường thẳng d :  y = −2 + 2a + (1− a)t ( a là tham số ) cách điểm M  ;1;4 một   2  z = 1+ t khoảng lớn nhất.
Gợi ý: Dựa vào phương trình tham số của đường thẳng d đã cho, ta thấy d đi qua điểm cố định A(1; 0;3)
( ứng với t=2) và vuông góc với đường thẳng có véc tơ chỉ phương u = 1;1; 1 − . Do đó véc tơ chỉ 1 ( )  1 − 3 
phương của đường thẳng d khi khoảng cách từ M đến nó lớn nhất là uu ; AM  = =    2; ;  . Vậy d 1  2 2  a 1− a 1 4 ta có: = = ⇔ a = . 2 −1 3 3 2 2
Bài toán 5: Cho mặt phẳng (P) và điểm A∈( P) , và đường thẳng d ( d cắt (P) và d không vuông
góc với (P)). Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua A, nằm trong (P) và tạo với d một góc nhỏ nhất.
Giải: Từ A vẽ đường thẳng AM//d. Gọi H, I lần lượt là hình
chiếu vuông góc của M trên (P) và d’. Ta có M MH MI d
cos (d; d ') = cos MAH = ≤
. Vậy góc (d;d’) bé nhất AM MA
khi và chỉ khi I trùng H. Hay d’ đi qua A và H, hay d’ đi qua A
và song song với hình chiếu vuông góc của d trên (P). d' H A
Véc tơ chỉ phương của đường thẳng d’ cần tìm là I (P) u  = n   ′ ; n ;u d
 ( p)  (P) d  .
Ví dụ 17: Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O , nằm trong mặt phẳng − + ( x y 1 z 1
P) : 2x + y − z = 0 và tạo với đường thẳng d : = = một góc nhỏ nhất. 2 −1 2   
Giải: Véc tơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm là u = n ; n ;u = (−10;7; −13 a p   P d ) ( ) ( )  . Vậy x y z
phương trình đường thẳng cần tìm là: = = . −10 7 −13 x −1 y −1 z +1
Ví dụ 18: Viết phương trình đường thẳng đi qua O, vuông góc với đường thẳng d : = = 2 2 1
và tạo với mặt phẳng ( P) : x − y + 2z −1 = 0 một góc lớn nhất.
Gợi ý: Bản chất vẫn là Bài toán toán 5, với véc tơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm là u u ;n  = ;u
 d (P)  d  .
5 VÕ TRỌNG TRÍ- NGHỆ AN x y −1 z
Ví dụ 19: Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O, cắt đường thẳng d : = = và tạo 1 2 3
với trục Oy một góc nhò nhất.
Gợi ý: Bản chất đường thẳng cần tìm đi qua O và nằm trong mp ( ;
O d ) . Do đó véc tơ chỉ phương cần    tìm là u = n , j ; n  (O;d)  (O;d)  .
Bài toán 6: Cho mặt phẳng ( P) và điểm A∈( P) và đường thẳng d cắt (P) tại điểm khác M khác
A. Viết phương trình đường thẳng d’ nằm trong (P), đi qua A và khoảng cách giữa d và d’ lớn nhất.
Giải: Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và song song với d’. Khi đó d (d; d ') = d ((Q); d ') = d ( , A (Q)) .   
Theo bài toán 1, khoảng cách này lớn nhất khi và chỉ khi n
= u ; u ; AB , B ∈ d (Q) d   d  . Khi đó do
d’//(Q) và d’ nằm trong (P), nên un ;n  = d '  (Q) (P)     
Véc tơ chỉ phương của đường thẳng d cần tìm là u = n
; u ; u ; AB , B ∈ d d ′ (P) d    d  . x −1 y z
Ví dụ 20: Cho mặt phẳng ( P) : 2x + y + z − 3 = 0, A(0;2; )
1 và đường thẳng d ′ : = = . Viết 1 2 1
phương trình đường thẳng d đi qua A, nằm trong (P) và khoảng cách giữa d và d’ lớn nhất.
Giải:. Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d’ và cách A một khoảng lớn nhất. Khi đó ta có: B (1; 0;0) ∈ d ' , n  = u
 = −10;4;2 , véc tơ chỉ phương cuat đường thẳng d cần tìm là ′ ; u ′ ; AB (Q) d   d  ( ) x y + 2 z −1 un ;n  = = (2;14; −18 = = . d )  (Q) (P) 
. Phương trình đường thẳng d là: 1 7 −9
Bài toán 7: Cho mặt phẳng ( P) và đường thẳng d / / ( P) . Viết phương trình đường thẳng d′ / /d
và cách d một khoảng nhỏ nhất.
Giải: Gọi A là điểm thuộc d, A’ là hình chiếu của A trên (P). Khi đó đường thẳng d’ cần tìm đi qua A’ và song song với d.
Ví dụ 21: Cho mặt phẳng ( P) : 2x − y + z +1 = 0 . Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mp(P),
song với mặt phẳng (Q) : x − 2 y + z + 2 = 0 và cách gốc O một khoảng nhỏ nhất.
Gợi ý: Đường thẳng d cần tìm đi qua hình chiếu O’ của O trên mp(P) và có véc tớ chỉ phương un ;n  = d
 (P) (Q)  .
Bài toán 8: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A và cách điểm M ( khác A) một khoảng lớn nhất.
6 VÕ TRỌNG TRÍ- NGHỆ AN
Giải: Véc tơ pháp tuyến của mp cần tìm là n = AM .
Ví dụ 22: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1;0;−2) và cách điểm M (2;1; ) 1 một khoảng lớn nhất.
Giải: Véc tơ pháp tuyến của mp cần tìm là n = AM = (1;1; −3) . Do đó phương trình mặt phẳng cần tìm là ( x − )
1 + y − 3( z + 2) = 0 ⇔ x + y − 3z − 7 = 0 .
Bài toán 9: Các bài toán khác đòi hỏi chúng ta cần có trực giác hình học để giải nhanh. x −1 y z −1
Ví dụ 23: Cho đường thẳng d : = =
, viết phương trình đường thẳng d’ song song với d, 2 1 2
cách d một khoảng bằng 3 và cách điểm K (−3; 4;3) một khoảng lớn nhất, nhỏ nhất.
Giải: Giả sử mp(P) qua K và vuông góc với d cắt d tại I, d’ tại M. Khi đó ta có IM = 3 , trong mp(P): ta
cần tìm M thuộc đường tròn tâm I, bán kính R=3 cách K một khoảng nhỏ nhất, lớn nhất.
Gọi I (1+ 2t;t;1+ 2t ) , KI = (4 + 2t;t − 4; −2 + 2t ) ,u = (2;1; 2 , KI.u = 0 ⇔ t = 0 . Vậy I (1; 0; ) 1 d ) d
và IK = 6 > 3 . Dễ thấy KM nhỏ nhất khi M trùng E, KM M
lớn nhất khi M trùng F. Để tìm E ( ;
x y; z ) ta dùng véc tơ 1 IE =
IK ⇔ E = (−1; 2; 2) . 2 F I E K
Vậy phương trình đường thẳng d’ cách K một khoảng nhỏ x +1 y − 2 z − 2 nhất là = =
. Tương tự phương trình 2 1 2 x − 3 y − 2 z
đường thẳng d’ cách K một khoảng lớn nhất là = = . 2 1 2 x − 3 y − 3 z − 3
Ví dụ 24: Cho đường thẳng d : = =
. Viết phương trình đường thẳng d’ song song với 2 − 1 1 x − 2 y x −1
d, cách d một khoảng bằng 3 và cách đường thẳng ∆ : = =
một khoảng nhỏ nhất ( lớn 1 −2 1 nhất )
Giải: đường thẳng d’ cần tìm là một đường sinh của mặt trụ tròn xoay có trục là d, bán kính R= 3 . Gọi
(P) là mặt phẳng chứa ∆ và song song với d. Dễ dàng thấy ngay, d’ là giao mặt trụ trên với mặt phẳng
(Q) chứa d và vuông góc với (P) ( trong trường hợp (P) không cắt mặt trụ ).
Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến là nu ;u  = =  ∆ (3;3;3 P d ) ( ) 
. Phương trình mặt phẳng (P) là
x + y + z − 3 = 0 . Lấy I (3;3;3) ∈ d , hình chiếu của I trên (P) là H (1;1; ) 1 , IH = 2 3 . Gọi
7 VÕ TRỌNG TRÍ- NGHỆ AN 1 M ( ;
x y; z ) là giao điểm của IH với mặt trụ ( gần (P)) nhất. Ta có: IM =
IH ⇒ M (2; 2; 2) . Vậy 2 x − 2 y − 2 z − 2
phương trình đường thẳng d’ cần tìm đi qua M là = = . −2 1 1 x = 3 + 2t
Ví dụ 25: Cho đường thẳng d :  y = 2 + t . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song và cách d một  z = 2 + t
khoảng R = 2 2 và cách M (0;1; 2) một khoảng nhỏ nhất ( lớn nhất).
Giải: Gọi (Q) là mp qua M và vuông góc cắt d tại I. Giả sử đường thẳng qua M vuông góc với (P) cắt (P)
tại A. Gọi B là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Ta thấy các điểm I, M,
B, A thuộc mp(Q) và IB = d (d, ( P)) = R , d ( M ;( P)) = MA . Ta tìm được I (1;1; ) 1 và IM = 2 < R
Dễ thấy MA + MI ≥ IE = IB ⇒ MA ≥ IB − MI , MA nhỏ nhất khi và chỉ
khi A trùng B trùng E. Để tìm E ta sử dụng véc tơ
IE = 2IM ⇔ E (−1;1;3) . Mặt phẳng (P) đi qua E và có véc tơ pháp tuyến nu ; IM  = = (1; 3 − ; ) 1  d
, nên có phương trình là: 1( x + ) 1 − 3( y − ) 1 +1( z − )
1 = 0 ⇔ x − 3y + z + 3 = 0 . Trường hợp khoảng cách từ M đến (P) lớn nhất
khi và chỉ khi mp(P) đi qua F và có véc tơ pháp tuyến như trên.
Nhận xét: Nếu IM > R thì khoảng cách từ M đến (P) lớn nhất khi và chỉ khi (P) đi qua M, và khoảng
cách lớn nhất khi (P) đi qua F. Ví d 2 2
ụ 26. Cho mặt cầu ( S ) ( x + ) + ( y − ) 2 : 1 4
+ z = 8 và điểm A(3;0;0) , B (4; 2; ) 1 . Gọi M là điểm
thuộc mặt cầu (S) . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA + 2MB .
Giải: Gọi M ( ; a ;
b c) thuộc mặt cầu (S), ta có: MA = (a − )2 2 2 2 2 2 3
+ b + c = a + b + c − 6a + 9 2 2 2 =
4a + 4b + 4c − 6a + 9 − 3( 9 − − 2a + 8b) 2 2 2 =
4a + 4b + 4c − 24b + 36 =
a + b + c − b + = a + (b − )2 2 2 2 2 2 2 6 9 2 3
+ c = 2MB′ với B′(0;3;0) . Dễ dàng kiểm tra thấy B’
nằm trong mặt cầu, B nằm ngoài mặt cầu, M nằm trên mặt cầu, vậy MA + 2MB = 2 ( MB′ + MB) nhỏ
nhất khi B’, M, B thẳng hàng, hay giá trị nhỏ nhất là 2BB′ = 4 2 . BÀI TẬP
8 VÕ TRỌNG TRÍ- NGHỆ AN x = 1+ t
Câu 1: Cho mặt phẳng ( P) : 2x − y + z −1 = 0 và đường thẳng d :  y = 1+ t . Gọi d’ là đường thẳng nằm  z = 1− t
trong (P), song song với d và khoảng cách giữa d và d’ nhỏ nhất. Hỏi d’ đi qua điểm nào sau đây?  1 2 1   4 4 2   2 7 5   2 2 
A. M  − ; ; − 
B. M  ; ; 
C. M  ; ;  D. M  ; 1 − ; −   3 3 3   3 3 3   3 6 6   3 3 
Câu 2: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm A(1; 0; )
1 , B (2;1;3) và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất.
(P) đi qua điểm nào sau đây?
A. M (0; 2; − ) 1 B. M (1;1; ) 1 C. M (3; 2; ) 1 D. M ( 1 − ;1; ) 1
Câu 3: Gọi d là đường thẳng đi qua O và nằm trong mặt phẳng (Oyz ) và cách điểm M (1; 2 − ; ) 1 một
khoảng nhỏ nhất. Tính góc giữa d và trục tung. 2 1 2 3 A. arccos B. arccos C. arccos D. arccos 3 5 5 5 x = 2 + t
Câu 4: Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng d :  y = 1− t và tạo với trục Oz một góc lớn nhất. Hỏi  z = 2t
mp(P) đi qua điểm nào dưới đây? A. M (1;3; 2) B. M (2;1; 0) C. M (4;1; ) 1 D. M (1;1; ) 1 x = at
Câu 5: Cho đường thẳng d :  y = bt
(t ∈ R) ( a, b là các tham số đã biết). Biết khoảng cách z =1−  (a + 2b)t a
giữa d và Ox lớn nhất. Tính . b a a 5 a 3 a A. = 0 B. = − C. = D. = 4 − b b 2 b 2 bx = 1+ t
Câu 6: Cho đường thẳng d :  y = 2
. Gọi d’ là đường thẳng đi qua điểm I (1; 2; )
1 và tạo với d một góc  z = 1+ t 0
30 và cách điểm J (0;0; 2
− ) một khoảng nhỏ nhất. Một véc tơ chỉ phương của d’là: A. u = ( 1 − ;1;0) B. u = (1;1; 0) C. u = ( 1 − ;0; ) 1 D. u = ( 1 − ;1; 2)
9 VÕ TRỌNG TRÍ- NGHỆ AN
Câu 7: Cho hai điểm A(0; 0;3) , B (1; 4; 0) và mặt cầu ( S ) 2 2 2
: x + y + z − 8y + 2z + 9 = 0 . Gọi M
thuộc mặt cầu (S) . Tính giá trị nhỏ nhất của MA − 2MB . A. 2 2 B. 3 2 C. 6 D. 3 6
Câu 8: Gọi d là đường thẳng đi qua O và song song với mặt phẳng ( P) : 2x + 3y − z +1 = 0 và tạo với
trục Ox một góc nhỏ nhất. Hỏi d đi qua điểm nào sau đây? A. M (5; 3 − ; ) 1 B. M ( 2; 3 − ; − ) 1 C. M ( 4; 6; 2) D. M (5; 6 − ; ) 1
Câu 9: Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(1; 2; 0) và nằm trong mặt phẳng ( xOy) và cách điểm B (2;1; )
1 một khoảng lớn nhất. Tìm véc tơ chỉ phương của d.
A. u = (1; 2; 0) B. u = (1; 1 − ;0) C. u = (1;1; 0) D. u = ( 2 − ;1; 0) x y −1 z +1
Câu 10: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua O và song song với đường thẳng d : = = và cách điểm 2 2 1 A( 1
− ; 2;3) một khoảng lớn nhất. Hỏi (P) song song với đường thẳng nào sau đây? x −1 y z x + 3 y z +1 x + 2 y −1 z +1 A. = = B. = = C. = = D. 2 −1 −2 3 12 −4 1 1 2 − x +1 y z = = 2 − −2 1 − x = 2 + t
Câu 11: Cho đường thẳng d :  y = 2 + t và điểm M ( 2; 4 − ; − )
1 . Gọi d’ là đường thẳng song song với d  z = 2 + t
và cách d một khoảng bằng R =
2 và cách điểm M một khoảng nhỏ nhất. Hỏi d’ đi qua điểm nào dưới đây? A. K (3; 2;3) B. K (0; 2 − ;5) C. K (3;1; 2) D.
Câu 12: Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(1; 2; 4) , nằm trong mặt phẳng (P) 2x + y − 3 = 0 và tạo
với trục Oy một góc nhỏ nhất. Hỏi d đi qua điểm nào sau đây? A. M ( 1 − ;6; 4) B. M ( 1 − ; 6 − ; 4) C. M ( 1 − ; 6; 4 − ) D. M (1; 2; 6)
Câu 13: Cho mặt phẳng ( P) : 2x + y + z − 4 = 0, A(1;1; )
1 . Gọi d là đường thẳng đi qua A nằm trong (P)
và cách O một khoảng nhỏ nhất. Hỏi d đi qua điểm nào sau đây? A. M ( 1 − ;6;0) B. M ( 1 − ;3;3) C. M (0;3; ) 1 D. M (0; 0; 4)
10 VÕ TRỌNG TRÍ- NGHỆ AN
Câu 14: Gọi d là đường thẳng đi qua A(1; 2 − ; )
1 , vuông góc với trục Oy, và tạo với đường thẳng x = 2 − t
d :  y = 2t
một góc nhỏ nhất. d nhận véc tơ nào làm véc tơ chỉ phương?  z = 1+ t
A. u = (1; 0; 2)
B. u = (−1; 2; − ) 1 C. u = (1; 0; ) 1 D. u = ( 1 − ;0; ) 1
Câu 15: Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(1; 2
− ; 4) , song song với mặt phẳng x + y − z +1 = 0 và tạo
với Oy một góc lớn nhất. Góc giữa d và Ox là: 1 A. 0 60 B. 0 30 C. 0 45 D. arccos 3 x = 1+ t
Câu 16: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua đường thẳng d :  y = t và cách A(1; 1 − ; ) 1 một khoảng lớn  z = 2 + 2t
nhất. Hỏi (P) nhận véc tơ nào dưới đây làm véc tơ pháp tuyến? A. n = (3;1; 2 − ) B. n = (1; 1 − ;0)
C. n = (0; −2; ) 1
D. n = (1;1; − ) 1 x −1 y +1 z
Câu 17: Gọi (P) là mặt phẳng chứa trục Ox, và tạo với đường thẳng d : = = một góc lớn 2 −2 1
nhất. Hỏi mp(P) đi qua điểm nào dưới đây? A. A(3; 1 − ; ) 1 B. A(1;3; 4) C. A(1; 2; ) 1 D. A( 1 − ;1; 2)
Câu 18: Gọi d là đường thẳng đi qua A(1; 2; − )
1 vuông góc với trục Ox và cách điểm M (2;1; 2 − ) một
khoảng nhỏ nhất. Một véc tơ chỉ phương của d là: A. u = (3; 2 − ; ) 1 B. u = ( 1 − ; 2; ) 1
C. u = (0; 2; − ) 1 D. u = (0;1; ) 1
Câu 19: Gọi (P) là mặt phẳng qua gốc tọa độ O, vuông góc với mặt phẳng (Q) : 2x − y − z +1 = 0 và tạo
với trục Oz một góc lớn nhất. Hỏi (P) đi qua điểm nào dưới đây? A. M ( 2 − ;1; ) 1
B. M (1; 2; − ) 1 C. M (1;1; ) 1 D. M (1; 1 − ; ) 1 x + 2 y −1 z
Câu 20: Gọi d là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với đường thẳng d : = = 2 1 − 3
và cách điểm A(2; 1 − ; − )
1 một khoảng lớn nhất. Hỏi d đi qua điểm nào sau đây? A. M (3; 4 − ; ) 1 B. M (1; 2 − ; 0) C. M (2;1; 2) D. M ( 2 − ; 4 − ;0)
11 VÕ TRỌNG TRÍ- NGHỆ AN
Câu 21: Cho mặt phẳng (P): x − y + z = 0 và điểm A(2;1; − )
1 . Gọi d là đường thẳng đi qua A, nằm
trong (P) và khoảng cách giữa Oy và d lớn nhất. Góc giữa d và Oz là: 1 1 A. 0 45 B. arccos C. arccos D. 0 60 6 3
Câu 22: Cho mặt phẳng (P): x − y − 2z +1 = 0 và điểm A(2;1; − )
1 . Gọi d là đường thẳng đi qua A, nằm
trong (P). Tính khoảng cách lớn nhất giữa Oy và d.
A. d (d Oy) 1 ; =
B. d (d Oy) 3 ; =
C. d (d Oy) 6 ; =
D. d (d Oy) 4 ; = 5 5 5 5
Câu 23: Cho hai điểm A(0; 0;3) , B (4;1; 2
− ) và mặt cầu (S ) 2 2 2
: x + y + z − 8y + 2z + 9 = 0 . Gọi M
thuộc mặt cầu (S) sao cho MA + 2MB nhỏ nhất. Hoành độ điểm M là: 1 A. x = 2 B. x = −3 C. x = − D. x = 5 M M M 2 M
Câu 24: Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(1; 2
− ; 4) , song song với mặt phẳng x + y − 2z +1 = 0 và
tạo với Oy một góc lớn nhất. Một véc tơ chỉ phương của d là:
A. u = (−1;5; 2) B. u = (1;1; ) 1 C. u = (5;1;3) D. u = (2; 0; ) 1
Câu 25: Cho mặt phẳng (P): x − y + z −1 = 0 và điểm A(2;1; 0) . Gọi d là đường thẳng đi qua A, nằm
trong (P) và khoảng cách giữa Ox và d lớn nhất. Một véc tơ chỉ phương của d là:
A. u = (1;1; − ) 1 B. u = (0;1; ) 1 C. u = (1;1; )
1 D. u = (0;1; − ) 1
Người gửi: Võ Trọng Trí
Trường THPT Anh Sơn 1- Nghệ An
12 VÕ TRỌNG TRÍ- NGHỆ AN