Hình Học Họa Hình | Đại học Bách Khoa Hà Nội

Hình Học Họa Hình | Đại học Bách Khoa Hà Nội. Tài liệu gồm 91 trang giúp bạn tham khảo, củng cố kiến thức và ôn tập đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Mời bạn đọc đón xem!

ĐẠI HC ĐÀ NNG
TRƯỜNG ĐẠI HC BÁCH KHOA
KHOA SƯ PHM K THUT
-----0-----
BÀI GING
HÌNH HA
GVC.ThS NGUYN ĐỘ
B môn Hình ha – V k thut
ĐÀ NNG - 2005
Baìi giaíng HÇNH HOAû í âáöu
M ĐẦU
A. MC ĐÍCH VÀ YÊU CU
1) Mc đích
Hình ho là mt môn hc thuc lĩnh vc Hình hc, nhm:
Nghiên cu các phương pháp biu din các hình trong không gian lên mt mt mà thông
thường là mt phng hai chiu
Nghiên cu các phương pháp gii các bài toán trong không gian bng cach gii chúng trên
các hình biu din phng đó
Cung cp mt s kiến thc hình hc cơ bn để hc tiếp môn V kĩ thut và gi
i quyết mt s
vn đề liên quan đến chuyên môn.
2) Yêu cu ca hình biu din
Hình biu din phi đơn gin, rõ ràng, chính xác. Các hình biu din phi tương ng vi mt
hình nht định trong không gian; người ta gi tính cht này là tính phn chuyn hay tính tương
đương hình hc ca hình biu din
3) Mt s ký hiu và quy ước
Trong bài ging này s dùng nhng ký hiu và qui ước sau:
Đim Ch in như: A, B, C,...
Đường thng Ch thường như: a,b,c,...
Mt phng Ch Hy lp hoc ch viết hoa
như: α, β, γ, δ,...A, B, C, ...
S liên thuc Ký hiu
như: đim Aa; đường thng a mp (α ), ...bmp(Q),...
Vuông góc như: a b
Giao như: A= d l
Kết qu = như: g= mpα mpβ
Song song // như: d // k
Trùng như: A B
B. CÁC PHÉP CHIU
I. PHÉP CHIU XUYÊN TÂM
1) Cách xây dng
Trong không gian cho mt phng P và mt đim S không thuc mp(P ).(Hình 1)
Người ta thc hin phép chiếu mt đim A bt k như sau:
V đường thng SA, đường thng này ct mt phng P ti đim A’
A
A
S
P
Ta có các định nghĩa:
P : Mt phng hình chiếu
S : Tâm chiếu
Hçnh1
SA : Đường thng chiếu hoc tia chiếu
A’ : Hình chiếu xuyên tâm ca đim A t tâm
chiêú S lên mt phng hình chiếu P .
Phép chiếu được xây dng như trên được gi là phép
chiếu xuyên tâm vi tâm chiếu S và mt phng hình chiếu P.
Mt phép xuyên tâm được xác định khi biết tâm chiếu S và mt phng hình chiếu P.
GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
1
Baìi giaíng HÇNH HOAû í âáöu
¾ Chú ý
a) Hình là mt tp hp đim. Vy để chiếu mt hình ta chiếu mt s đim thành phn ca hình
đủ xác định hình đó
b) Nếu trong không gian Ơclic ta b sung thêm các yếu t vô tn thì:
_ Hai đường thng son g song xem như ct nhau ti mt đim vô tn:
a // b a b = M
Như vy để biu din mt đim vô tn ta biu din nó bng mt phương đường thng
_ Hai mt phng son g song xem như ct nhau theo mt đường thng vô tn
mpα // mpβ mpα mpβ = d
2) Tính cht
1. Hình chiếu xuyên tâm ca mt đường thng không đi qua tâm chiếu là mt đường thng
Khi chiếu đường thng a, các tia chiếu SA, SB hình thành mt mt phng (SAB) gi là mt
phng chiếu. Do đó hình chiếu a’(A'B')= mp(SAB) mp(P) (hình 2)
2. Hình chiếu xuyên tâm ca nhng đường thng song song nói chung là nhng đường thng
đồng qui
Gi s cho a // b nên các mp(S,a) và mp(S,b) s giao vi mp(P) cho các giao tuyến a’, b’ ct
nhau ti đ
im M’ (M’ là hình chiếu xuyên tâm ca đim M
ca đường thng a, b) (hình 3)
P
P
S
M'
S
A
B
B'
A
'
a
a'
a
b
b'
a'
A
B
B'
A
Hình 2 Hình 3
II. PHÉP CHIU SONG SONG
1) Cách xây dng
Phép chiếu song song là trường hp đặc bit ca phép chiêu xuyên tâm khi tâm chiếu S xa vô
tn
Như vy phép chiếu song song được xác định khi biết mt phng hình chiếu P và phương chiếu s
A
P
A
t
s
Hçnh 4
Người ta chiếu song song đim A bng cách qua A v đường thng t song song vi phương s, v
giao đim A’ = t mp(P ) thì A’ là hình chiếu song song ca đim A t phương chiếu s lên mt
phng hình chiếu P (hình 4).
2) Tính cht
Phép chiếu song song là trường hp đặc bit ca phép chiêu xuyên tâm nên có nhng tính cht
ca phép chiếu xuyên tâm. Ngoài ra phép chiếu song song có nhng tính cht sau:
GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
2
Baìi giaíng HÇNH HOAû í âáöu
1. Hình chiếu song song ca nhng đường thng không song song vi phương chiếu là nhng
đường thng song song.
Gi s cho a // b nên các mt phng chiếu thuc a, b song song nhau, do đó giao tuyến ca chúng
vi mt phng hình chiếu P là nhng đường thng song song: a’ // b’ (hình 5)
P
P
s
s
a
'
b
'
a
C
'
B
'
A
'
C
B
A
Hình 5 Hình 6
2. T s đơn ca ba đim phân bit thng hàng bng t s đơn ca ba đim phân bit hình chiếu
c
a chúng
Cho ba đim A, B ,C phân bit thng hàng, chiếu thành ba đim A’, B’, C’ cũng phân bit thng
hàng.(hình 6). Theo định lý Thalet, ta có:
Ký hiu t s đơn ca ba đim A,B,C như sau: (ABC) = (A’B’C’)
''
''
BC
AC
CB
CA
=
III. PHÉP CHIU VUÔNG GÓC
1) Cách xây dng
Phép chiếu vuông góc là trường hp đặc bit ca phép chiêu
song song khi phương chiếu s vuông góc vi mt phng hình
chiếu P : s P (hình 7)
P
s
Hình 7
2) Tính cht
Phép chiếu vuông góc có nhng tính cht ca phép chiếu song song; Ngoài ra còn có nhiu tính
cht, chúng ta s nghiên cu các chương sau.
IV. NHN XÉT
Ta có th dùng các phép chiếu trên để biu din vt th trong không gian lên mt mt phng.
Tuy nhiên vi mi hình chiêu thì chưa xác định được mt vt th duy nht trong không gian
Vì vy mt hình chiếu chưa đảm bo được tính phn chuyn ca hình biu din.
¾ Trong các bài sau chúng ta s nghiên cu phương pháp các hình chiếu vuông góc mà các
hình biu din đảm bo tính phn chuyn được gi là đồ thc .
========================
GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
3
Baìi giaíng HÇNH HOAû Âiãøm
Bài 1 ĐIM
I. ĐỒ THC CA ĐIM
I.1 H thng hai mt phng hình chiếu vuông góc
a) Cách xây dng
Trong không gian cho hai mt phng P
1
và P
2
vuông góc nhau, để d hình dung đặt P
1
nm
ngang, P
2
thng đứng. Ta nhn được h thng hai mt phng hình chiếu vuông góc (hình 1.1)
x
A
x
(III)
Cao<0, xa
<0
(II)
Cao>0, xa <0
(I)
Cao>0, xa
>0
A
X
A
2
A
1
A
1
A
2
A
X
P
1
(IV)
Cao<0, xa
>0
P
2
Hình 1.1 Hình 1.2
Xét mt đim A bt k trong không gian.
_ Chiếu vuông góc đim A ln lượt lên P
1
và P
2
ta nhn được các hình chiếu A
1
, A
2
_ Quay mp P
1
quanh trc x mt góc 90
0
theo chiu mũi tên qui ước như (hình 1.1) đến trùng
P
2
. Vì mp (A A
1
A
2
) P
1
và P
2
nên s vuông góc vi trc x ti đim A
X
. Do đó sau khi
quay đến v trí mi ba đim A
1
, A
X
, A
2
thng hàng và vuông góc trc x (hình1.2)
b) Các định nghĩa
_ P
1
Mt phng hình chiếu bng
_ P
2
Mt phng hình chiếu đứng
_ x = P
1
P
2
Trc hình chiếu
_ A
1
Hình chiếu bng ca đim A
_ A
2
Hình chiếu đứng ca đim A
_ A
1
A
2
( x) Đường gióng
_ A
1
A
x
Độ xa ca đim A, qui ước dương nếu A
1
nm phía dưới trc x
_ A
2
A
x
Độ cao ca đim A, qui ước dương nếu A
2
nm phía trên trc x
_ (A
1
, A
2
) Cp đim hình chiếu này gi là đồ thc ca đim A.Tht vy t A
1
, A
2
ta
có th dng li được đim A theo th t ngược li vi cách dng đồ thc
ca nó
H thng P
1
và P
2
chia không gian ra làm 4 góc phn tư:
_ Góc phn tư 1 - Là phn không gian nm trên P
1
và trước P
2
_ Góc phn tư 2 - Là phn không gian nm trên P
1
và sau P
2
_ Góc phn tư 3 - Là phn không gian nm dưới P
1
và sau P
2
_ Góc phn tư 4 - Là phn không gian nm dưới P
1
và trước P
2
+ Mt phng phân giác 1. Là mt phng phân giác ca P
1
và P
2
đi qua góc phn tư th 1 và góc
phn tư th 3.
Nhng đim thuc mt phng phân giác1 có đồ thc là mt cp đim hình chiếu đứng và hình
chiếu bng đối xng nhau qua trc hình chiếu x
GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
4
Baìi giaíng HÇNH HOAû Âiãøm
+ Mt phng phân giác 2. Là mt phng phân giác ca P
1
và P
2
đi qua góc phn tư th 2 và góc
phn tư th 4.
Nhng đim thuc mt phng phân giác 2 có đồ thc là mt cp đim hình chiếu đứng và hình
chiếu bng trùng nhau
(Hình 1.3) là hình không gian biu din mt phng phân giác 1, mt phng phân giác 2 và các
góc phn tư ca h thng hai mt phng hình chiếu vuông góc P
1
và P
2
Phân giác 2 Phân giác 1
P
2
P
2
A
A
2
P
1
x
A
1
x
P
1
Hình 1.3 Hình 1.4
Nếu ta đặt trc hình chiếu x vuông góc vi mt phng ca t giy thì h thng hai mt phng
hình chiếu P
1
, P
2
và hai mt phng phân giác 1, 2 được biu din như (hình 1.4)
Tóm li
Đồ thc ca mt đim trong không gian là mt cp đim hình chiếu đứng và hình chiếu bng có
th phân bit hoc trùng nhau
I.2 H thng ba mt phng hình chiếu vuông góc
a) Cách xây dng
Thêm vào mt phng P
3
vuông góc vi P
1
và P
2
, thường P
3
đặt phía bên phi người quan sát, ta
nhn được h thng ba mt phng hình chiếu vuông góc như (hình 1.5)
Hình 1.5 Hình 1.6
x
A
P
2
y
z
0
A
z
A
1
P
1
x
z
y’
y
A
y
A
1
45
A
y
A
2
A
3
A
y
A
z
A
2
A
x
A
3
P
3
0
A
x
Gi y = P
1
P
3
; z = P
2
P
3
Xét mt đim A bt k trong không gian.
_ Chiếu vuông góc đim A ln lượt lên các mt phng P
1
, P
2
, P
3
ta nhn được các hình chiếu
A
1
, A
2
,
A
3
.
_ Quay các mp P
1
, P
3
ln lượt quanh các trc x, trc z mt góc 90
0
theo chiu mũi tên qui ước
như (hình 1.5). Trc y được tách ra làm hai phn, mt phn trc y theo mp P
1
đến trùng vi trc
GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
5
Baìi giaíng HÇNH HOAû Âiãøm
z, mt phn trc y’ theo mp P
3
đến trùng vi trc x. Sau khi quay ta nhn được hình biu din
như (hình1.6)
b) Các định nghĩa
_ P
3
Mt phng hình chiếu cnh
_ A
2
A
z
Độ xa cnh ca đim A, qui ước dương nếu A
2
nm phía bên trái trc z
_ A
3
Hình chiếu cnh ca đim A
¾ Chú ý
_ A
2
A
z
= 0 A
y’
= 0 A
y
=
A
x
A
1
_ Vì hai hình chiếu biu din đồ thc ca mt đim nên ta d dàng v được hình chiếu th ba
ca đim đó
Ví d
Cho đồ thc ca đim B (B
1
, B
2
) (hình 1.7a). Hãy v hình chiếu th ba ca đim B.
Hình 1.7a Hình 1.7b
B
Z
x
y
B
2
B
y’
B
Y
B
3
B
2
B
1
x
B
1
y’
Hình chiếu cnh B
3
ca đim B được v theo chiu mũi tên như (hình 1.7b) ,vi 0B
y'
= 0B
y
II. Quan h gia to độ Đềcác và đồ thc ca mt đim trong không gian
Nếu ly ba mt phng hình chiếu P
1
, P
2
, P
3
làm ba mt phng to độ Đềcác; ba trc hình chiếu x,
y, z làm ba trc to độ Đềcác (hình 1.8)
Vi đim A (x
A
, y
A
, z
A
) bt k trong không gian, ta có:
_ Hoành độ x
A
= 0A
x
: Độ xa cnh ca đim A
_ Tung độ y
A
= A
x
A
1
: Độ xa ca đim A
_ Cao độ z
A
= A
1
A : Độ cao ca đim A
Như vy
Nếu cho to độ Đềcác ca mt đim trong không
gian thì ta d dàng v được đồ thc cu đim đó.
P
3
0
z
y
x
A
1
A
A
x
y
A
z
A
x
A
P
2
Hình 1.8
P
1
Ví d
Cho to độ Đềcác ca các đim A (2, 3, 4); B
(4, -2, -5). Hãy v đồ thc ca chúng.
-2
+4
-
z
+
B
Z
B
Y
+
z
-
-5
Hình 1.9
+2
+3
x
-
x
+
x
+
+
z
-
A
Y
A
X
A
z
-
z
+
+4
A
1
A
2
B
2
B
1
B
X
Đồ thc ca các đim A, B được biu din nh
ư
(hình 1.9), chú ý chiu dương ca các trc x, y,
z .
x
-
Trong đó:
OA
x
= +2; OA
Y
= +3; OA
Z
= +4
OB
x
= +4; OB
Y
= -2; OB
Z
= -5
III. MT VÀI VÍ D GIÃI SN
GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
6
Baìi giaíng HÇNH HOAû Âiãøm
Ví d 1
Hãy v đồ thc ca các đim sau:
_ Đim A thuc mt phng P
1
_ Đim B thuc mt phng P
2
_ Đim C thuc mt phng Phân giác 1
_ Đim D thuc mt phng Phân giác 2
_ Đim E thuc trc hình chiếu x
Gii
_ Đim A thuc mt phng P
1
nên có A
1
A; A
2
x
_ Đim B thuc mt phng P
2
nên có B
2
B; B
1
x
_ Đim C thuc mt phng phân giác 1 nên có C
1
và C
2
đối xng nhau qua trc x
_ Đim D thuc mt phng phân giác 2 nên có D
1
D
2
_ Đim E thuc trc hình chiếu x nên có E
1
E
2
x ; (Hình 1.10)
Hình 1.10 Hình 1.11
F
2
A
1
o
y
y’
z
x
H
Y ’
F
Y
H
3
H
2
H
1
G
2
G
3
G
Y ’
G
1
F
Y ’
F
Y
G
Y
F
3
F
1
E
1
E
2
D
1
D
2
C
1
C
2
B
1
B
2
x
Ví d 2
Cho đồ thc ca các đim F, G, H (hình 1.11). Hãy v hình chiếu cnh ca chúng và cho biết
chúng thuc góc phn tư th my?
Gii
Hình chiếu cnh ca các đim F, G, H được v theo chièu mũi tên bt đầu đi t hình chiếu bng
F
1
, G
1
, H
1
tiếp theo là mũi tên đi qua hình chiếu đứng F
2
, G
2
, H
2
. Ta s xác định được các hình
chiếu cnh F
3
, G
3
, H
3
; (Hình 1.11)
_ Đim F có độ cao dương, độ xa âm nên đim F thuc góc phn tư th 2
_ Đim G có độ cao âm, độ xa âm nên đim G thuc góc phn tư th 3
_ Đim H có độ cao âm, độ xa dương nên đim H thuc góc phn tư th 4
================
GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
7
Baìi giaíng HÇNH HOAû Âæåìng thàóng
Bài 2 ĐƯỜNG THNG
I. ĐỒ THC CA ĐƯỜNG THNG
Đồ thc ca đường thng được xác định bi đồ thc ca hai đim thuc đường thng đó.
Gi s đường thng d được xác định bi hai đim A(A
1
, A
2
) và B (B
1
, B
2
) thì :
Hai đim A
1
, B
1
xác định hình chiếu bng d
1
ca đường thng d
Hai đim A
2
, B
2
xác định hình chiếu đứng d
2
ca đường thng d (hình 2.1)
B
2
d
1
d
2
A
2
B
1
A
1
x
d
1
d
2
x
Hình 2.1 Hình 2.2
Nếu d là đường thng thường (d
1
, d
2
không vuông góc trc hình chiếu x ), thì khi biu din đồ
thc ca đường thng d không cn biu din hai đim thuc nó (hình 2.2) .
¾ Chú ý
_ Nhng đường thng thuc mt phng phân giác1 có hình chiếu đứng và hình chiếu bng di
xng nhau qua trc hình chiếu x
_ Nhng đường thng thuc mt phng phân giác 2 có hình chiếu đứng và hình chiếu bng
trùng nhau
II. CÁC V TRÍ ĐẶC BIT CA ĐƯỜNG THNG
II. 1 Loi đường thng song song vi mt mt phng hình chiếu
1) Đường bng (h)
a) Định nghĩa: Đường bng là đường thng song song vi mt phng hình chiếu bng
Gi h là đường bng, ta có: h // P
1
(hình 2.3a)
h
2
h
1
B
1
A
2
B
2
β
A
1
A
B
A
1
B
1
A
2
B
2
h
1
h
2
h
β
x
x
P
2
P
1
β
Hình 2.3a Hình 2.3b
b) Tính cht:
Hình chiếu đứng ca đường bng song song vi trc x : h
2
// x (hình 2.3b)
GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
8
Baìi giaíng HÇNH HOAû Âæåìng thàóng
Hình chiếu bng ca đường bng hp vi trc x mt góc bng góc ca đường bng hp vi
mt phng hình chiếu đứng : (h
1
, x) = (h , P
2
) = β
Hình chiếu bng ca mt đon thng thuc đường bng, bng chính nó.
Gi s A, B h A
1
B
1
= AB (hình 2.3b)
2) Đường mt (f)
a) Định nghĩa: Đường mt là đường thng song song vi mt phng hình chiếu đứng:
Gi f là đường mt, ta có: f // P
2
(hình 2.4a)
C
D
f
2
f
1
D
1
C
2
D
2
α
C
1
f
1
f
2
f
P
1
P
2
x
x
D
1
C
2
D
2
C
1
α
α
Hình 2.4a Hình 2.4b
b) Tính cht
Hình chiếu bng ca đường mt song song vi trc x : f
1
// x (hình 2.4b)
Hình chiếu đứng ca đường mt hp vi trc x mt góc bng góc ca đường mt hp vi
mt phng hình chiếu bng : (f
2
, x) = (f , P
1
) = α
Hình chiếu đứng ca mt đon thng thuc đường mt, bng chính nó.
Gi s C, D f C
2
D
2
= CD (hình 2.4b)
3) Đường cnh (p)
a) Định nghĩa:
Đường cnh là đường thng song song vi mt phng hình chiếu cnh: p // P
3
(hình 2.5a)
z
x
z
x
P
2
2
p
1
E
2
F
2
α
E
1
P
1
α
β
F
1
E
3
F
3
E
1
F
1
E
2
F
2
E
3
F
3
β
β
α
0
0
P
3
P
3
p
2
p
1
P
P
3
F
E
Hình 2.5a Hình 2.5b
b) Tính cht
Hình chiếu đứng và hình chiếu bng ca đường cnh, trùng nhau và vuông góc vi trc x:
p
1
p
2
x . Hai hình chiếu này chưa biu din được mt đường cnh c th trong không
gian. Vì vy để biu din mt đường cnh c th ta cn phi biu din đồ thc ca hai đim
thuc đường cnh đó; (hình 2.5b) biu din đường cnh p được xác định bng hai đim E, F
Hình chiếu cnh ca đườ
ng cnh ln lượt hp vi trc y’, z các góc bng góc ca đường
cnh hp vi mt phng hình chiếu bng và mt phng hình chiếu đứng :
(p
3
, y’) = (p , P
1
) = α
GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
9
Baìi giaíng HÇNH HOAû Âæåìng thàóng
(p
3
, z) = (p , P
2
) = β
Hình chiếu cnh ca mt đon thng thuc đường cnh, bng chính nó.
Gi s E, F p E
3
F
3
= EF (hình 2.5b)
II.2 Loi đường thng vuông góc vi mt mt phng hình chiếu
(thì song song vi hai mt phng hình chiếu còn li )
1) Đường thng chiếu bng (d)
a) Định nghĩa:
Đường thng chiếu bng là đường thng vuông góc vi mt phng hình chiếu bng: dP
1
(Hình 2.6a )
d
2
x
P
2
x
B
2
A
2
A
B
2
A
2
d
2
d
A
1
B
1
d
1
A
1
B
1
d
1
B
P
1
Hình 2.6a Hình 2.6b
b) Tính cht
Hình chiếu bng ca đường thng chiếu bng suy biến thành mt đim: d
1
mt đim
Đường thng chiếu bng va là đường mt va là đường cnh nên có nhng tính cht ca hai
loi đường này, tc:
- Hình chiếu đứng ca đường thng chiếu bng vuông góc vi trc x:: d
2
x
- Hình chiếu đứng và hình chiếu cnh ca đon thng thuc đường thng chiếu bng, bng
nhau và bng chính nó. Gi s A, B d A
2
B
2
= A
3
B
3
= AB ; (hình 2.6b)
2) Đường thng chiếu đứng (k)
a) Định nghĩa:
Đường thng chiếu đứng là đường thng vuông góc vi mt phng hình chiếu đứng.
Gi k là đường thng chiếu đứng, ta có: k P
2
(Hình 2.7a )
Hình 2.7a Hình 2.7b
x
k
1
D
1
C
1
C
2
D
2
k
2
x
P
2
P
1
C
1
C
D
1
D
C
2
D
2
k
2
k
1
k
b) Tính cht:
Hình chiếu đứng ca đường thng chiếu đứng suy biến thành mt đim: k
2
mt đim
Đường thng chiếu đứng va là đường bng va là đường cnh nên có nhng tính cht ca
hai loi đường này, tc:
- Hình chiếu bng ca đường thng chiếu đứng vuông góc vi trc x: : k
1
x
GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
10
Baìi giaíng HÇNH HOAû Âæåìng thàóng
- Hình chiếu bng và hình chiếu cnh ca đon thng thuc đường thng chiếu đứng bng
nhau và bng chính nó. Gi s C, D k C
1
D
1
= C
3
D
3
= CD (hình 2.7b)
3) Đường thng chiếu cnh (l)
a) Định nghĩa
Đường thng chiếu cnh là đường thng vuông góc vi mt phng hình chiếu cnh
Gi l là đường thng chiếu cnh, ta có: l P
3
(Hình 2.8a )
Hình 2.8a Hình 2.8b
x
P
2
y
z
0
x
z
y'
0
l
2
l
1
E
3
F
3
l
3
E
3
F
3
l
3
P
3
l
l
2
l
1
P
1
F
E
F
1
E
1
F
2
E
2
E
1
F
1
F
2
E
2
b) Tính cht:
- Hình chiếu cnh ca đường thng chiếu cnh suy biến thành mt đim: l
3
- mt đim
Đường thng chiếu cnh va là đường bng va là đường mt nên có nhng tính cht ca hai
loi đường này, tc:
- Hình chiếu bng và hình chiếu đứng ca đường thng chiếu cnh song song nhau và song
song vi trc x: l
1
// l
2
// x .
- Hình chiếu bng và hình chiếu đứng ca đon thng thuc đường thng chiếu cnh bng
nhau và bng chính nó: Gi s E, F l E
1
F
1
= E
2
F
2
= EF (hình 2.8b)
III. S LIÊN THUC CA ĐIM VÀ ĐƯỜNG THNG
Sau đây s trình bày hai định lý không chng mimh
1) Đim thuc đường thng thường
Đường thng thường là đường thng không phi là đường đường cnh
Định lý
Điu kin cn và đủ để mt đim thuc mt đường thng thường là các hình chiếu cùng tên ca
đim và đường thng đó thuc nhau
Cho đim A(A
1
, A
2
) và đường thng d(d
1
, d
2
),
(hình2.9); định lý trên được viết dưới dng:
Hình 2.9
22
11
dA
dA
dA
d
1
d
2
x
A
2
A
1
2) Đim thuc đường cnh
Định lý
Điu kin cn và đủ để đim C thuc đường cnh AB là t s đơn ca ba đim A, B, C trên các
hình chiếu bng nhau .
Cho đim C (C
1
, C
2
) và đường cnh AB (A
1
B
1
, A
2
B
2
), định lý trên được viết dưới dng:
GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
11
Baìi giaíng HÇNH HOAû Âæåìng thàóng
Ví d
Cho đường cnh AB (A
1
B
1
, A
2
B
2
) và hình chiếu đứng C
2
ca đim C; (hình 2.10). Hãy v hình
chiếu bng C
1
ca đim C biết C AB .
Để v đim C
1
ta thc hin như sau:
_ V tia A
1
t bt k, đặt trên đó các đim C’, B’sao cho: A
1
C’ = A
2
C
2
; C’B’ = C
2
B
2
_ Ni B’B
1
_ Đường thng v qua đim C’song song vi
phương B’B
1
ct đường thng A
1
B
1
ti đim C
1
đim cn v;
Tht vy, theo định lý Thalet, ta có:
(A
1
B
1
C
1
) = (A
1
B’C‘)
Mà (A
1
B’C‘) = (A
2
B
2
C
2
) (A
1
B
1
C
1
) = (A
2
B
2
C
2
)
tho mãn định lý trên ; (Hình 2.10)
Hình 2.10
3) Vết ca đường thng
Vết ca đường thng là giao đim ca đường thng vi mt phng hình chiếu
a) Vết bng (M)
_ Định nghĩa:
Vết bng ca đường thng là giao đim ca đường thng vi mt phng hình chiếu bng
Gi M là vết bng c
a đường thng d, ta có: M = d P
1
( Hình 2.11a)
_ Tính cht
+ Hình chiếu bng ca vết bng trùng vi chính nó : M
1
M
+ Hình chiếu đứng ca vết bng thuc trc x : M
2
x ( Hình 2.11b)
x
B
2
C
2
A
A
C
1
B
1
C’
B
t
d
2
d
1
N
1
M
1
N
2
x
x
M
2
d
2
N
2
N
M
2
N
1
d
1
M
1
M
d
P
1
P
2
C AB (A
1
B
1
C
1
) = (A
2
B
2
C
2
)
Hình 2.11a Hình 2.11b
b) Vết đứng (N)
_ Định nghĩa
Vết đứng ca đường thng là giao đim ca đường thng vi mt phng hình chiếu đứng
Gi N là vết đứng ca đường thng d, ta có: N = d P
2
; ( Hình 2.11a)
_ Tính cht
+ Hình chiếu đứng ca vết đứng trùng vi chính nó : N
2
N
+ Hình chiếu bng ca vết đứng thuc trc x : N
1
x ; (hình 2.11b)
GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
12
Baìi giaíng HÇNH HOAû Âæåìng thàóng
IV.PHƯƠNG PHÁP TAM GIÁC
Phương pháp tam giác dùng để xác định độ dài tht ca mt đon thng và góc nghiêng ca đon
thng đó to vi mt phng hình chiếu
Gi sđon thng AB, chiếu vuông góc nó xung P
1
được A
1
B
1
; (hình 2.12).
K AC // A
1
B
1
Trong tam giác vuông ACB, ta có: AC = A
1
B
1
và BC = BB
1
- AA
1
: Hiu độ cao ca A, B.
Vi nhn xét này ta có th v được độ dài tht ca đon thng AB như sau:
“V mt tam giác vuông có mt cnh góc vuông A
1
B
1
là hình chiếu bng ca đon thng AB,
cnh góc vuông còn li B
1
B
0
bng hiu độ cao hai đầu mút A, B; thì cnh huyn A
1
B
0
độ dài
tht ca đon thng cn tìm và góc nghiêng
α
= (B
0
A
1
B
1
) là góc ca đon thng AB hp vi
mt phng hình chiếu bng “.
Hình 2.12 Hình 2.13
α
P
1
x
B
1
A
1
B
2
B
1
A
1
B
0
α
B
2
C
A
B
Phương pháp xác định độ dài tht ca đon thng AB và góc nghiêng ca đon thng đó to vi
mt phng hình chiếu bng P
1
đã nêu trên gi là phương pháp tam giác.
Tương t, ta cũng có th xác định được độ dài tht ca đon thng và góc nghiêng ca đon
thng to vi mt phng hình chiếu đứng; bng cách v mt tam giác vuông có mt cnh góc
vuông là hình chiếu đứng ca đon thng, cnh góc vuông còn li bng hiu độ xa ca hai đầ
u
mút đon thng đó
x
C
2
A
2
B
2
N
2
I
2
N
1
B
1
I
1
M
2
A
1
Hình 12.14
C
1
M
1
V. MT VÀI VÍ D GIÃI SN
Ví d 1
Cho đường thng AB. Hãy xác định:
a) Vết bng, vết đứng ca đường thng AB
b) Đim C trên đường thng AB có độ cao gp đôi độ xa
Gii
a) Gi M, N ln lượt là vết bng và vết đứng ca đường
thng AB, ta có :
_ M
2
= A
2
B
2
x M
1
A
1
B
1
- là vết bng ca AB
_ N
1
= A
1
B
1
x N
2
A
2
B
2
- là vết đứng ca AB
b) Gi I là đim có độ cao gp đôi độ xa và B
1
I
1
. Đường thng N
1
I
2
ct A
2
B
2
ti đim C
2
hình chiếu đứng ca đim C cn tìm.
T C
2
A
2
B
2
C
1
A
1
B
1
; (Hình 2.14)
GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
13
Baìi giaíng HÇNH HOAû Âæåìng thàóng
Ví d 2
Cho đim A(A
1
, A
2
) và hình chiếu đứng B
2
ca đim B. Hãy xác định hình chiếu bng ca đim
B trong các trường hp sau:
a) Biết AB có độ dài l = 30 mm
b) Biết AB hp vi P
1
góc α < 90
0
c) Biết AB hp vi P
2
góc β < 90
0
Gii
a) V tam giác vuông A
1
A
0
B’ vuông ti A
1
có mt cnh góc vuông A
1
A
0
bng hiu độ cao ca
hai đim A, B; cnh huyn A
0
B’ = AB = 30mm.
Theo phương pháp tam giác thì cnh góc vuông còn li A
1
B’ bng hình chiếu bng A
1
B
1
ca
AB. Như vy B
1
là giao đim ca đường tròn (A
1
, A
1
B’) vi đường gióng qua B
2
;
(Hình 2.15a)
β
90
0
-α
l= 30 mm
x
xx
A
2
B
0
A
2
A
2
B
2
B
2
B
2
B’
B
1
H
B’
B
1
B
1
B’
B’
B’
A
0
A
0
A
1
A
1
A
1
Hình 2.15a Hình 2.15b Hình 2.15c
b) V tam giác vuông A
1
A
0
B’ vuông ti A
1
có mt cnh góc vuông A
1
A
0
bng hiu độ cao ca
hai đim A, B. Vì (AB, P
1
) = α nên theo phương pháp tam giác thì cnh huyn A
0
B’ hp vi
cnh A
1
A
0
góc 90
0
- α và cnh góc vuông còn li A
1
B’ bng hình chiếu bng A
1
B
1
ca AB.
Như vy B
1
được v là giao đim ca đường tròn (A
1
, A
1
B’) vi đường gióng qua B
2
;
(Hình 2.15b)
c) V tam giác vuông A
2
B
2
B
0
vuông ti B
2
có mt cnh góc vuông A
2
B
2
. Vì (AB, P
2
) = β nên
theo phương pháp tam giác thì cnh huyn A
2
B
0
hp vi cnh A
2
B
2
góc β và cnh góc vuông
còn li B
2
B
0
bng hiu độ xa ca hai đim A, B, tc: B
2
B
0
= HB
1
= HB’
1
; (Hình 2.15c)
Ví d 3
Cho đim A(A
1
, A
2
). Hãy v đường thng đi qua đim A và nghiêng vi mpP
1
, mpP
2
ln lượt
các góc nhn α, β như hình 2.16a
Gii
_ Gi sđon thng AB nghiêng vi mpP
1
, mpP
2
ln lượt các góc α, β.
GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
14
Baìi giaíng HÇNH HOAû Âæåìng thàóng
_ Gia hình chiếu đứng A
2
B
2
, hiu độ xa ca A,B; độ dài tht ca AB và góc nghiêng ca AB
hp vi mpP
2
liên quan nhau bi tam giác vuông A
2
B
2
B
0
; (Hình 2.16b)
_ Gia hình chiếu bng A
1
B
1
, hiu độ cao ca A,B; độ dài tht ca AB và góc nghiêng ca AB
vi mpP
1
liên quan nhau bi tam giác vuông A
1
B
1
B
0
; (Hình 2.16b)
α
β
t’
t
x
A
1
A
2
B
2
B
2
’’’
B
2
’’
B
1
’’’
B
1
’’ B
1
B
1
B
2
B
1
B
2
B
0
A
1
A
2
β
α
a) b) c)
Hình 2.16
_ T (Hình 2.16b), ta v đồ thc ca đim B (Hình 2.16c) như sau:
+ V hai đường thng t, t’ // x và cách A
2
đon bng B
1
B
0
(hiu độ cao ca A, B)
+ V đường tròn (A
2
, A
2
B
2
), ct t, t’ ti 4 đim B
2
, B
2
’, B’’
1
, B’’’
2
là các hình chiếu đứng ca
các đim B cn dng
+ Đường tròn (A
1
, A
1
B
1
), ct các đường gióng qua các đim B
2
, B
2
’, B’’
2
, B’’’
2
ti 4 đim B
1
,
B
1
’, B’’
1
, B’’’
1
là các hình chiếu bng ca các đim B cn dng; (Hình 1.16c)
_ Bài toán có 4 nghim
(Để hiu k hơn hãy tham kho thêm bai s17
*
sách BÀI TP HÌNH HO GIÃI SN ca tác gi
Nguyn Độ)
=====================
GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
15
Baìi giaíng HÇNH HOAû Vë trê tæång âäúi giæîa hai âæåìng thàóng
Bài 3
V TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIA HAI
ĐƯỜNG THNG
Ttrong không gian, hai đường thng có các v trí tương đối: giao nhau, song song và chéo nhau
I. HAI ĐƯỜNG THNG GIAO NHAU
1) Hai đường thng thường giao nhau
Đường thng thường là đường thng không phi là đường cnh 35
Định lý
Điu kin cn và đủ để hai đường thng thường giao nhau là các hình chiếu cùng tên ca chúng
giao nhau ti các đim nm trên mt đường gióng
Cho hai đường thng a,b (hình 3.1), định lý trên được viết thành:
=
=
x
I
I
I
b a
I
b
=
I
b a
2 1
22 2
11 1
a
2
I
2
b
2
x
b
1
a
1
I
1
a
Hình 3.1
2) Mt đường thng thường và mt đường cnh giao nhau
Định lý
Đi
u kin cn và đủ để mt đường thng thường và mt đường cnh giao nhau là các hình chiếu
cùng tên ca chúng giao nhau ti các đim tho mn đồ thc ca đim thuc đường cnh đó
Cho đường thng thường d và đường cnh AB,
định lý trên được viết thành:
Hçnh 3.2
A
2
t
B’
x
d
1
I
2
B
2
A
1
B
1
I
1
I
J
1
J
2
d
2
=
=
=
=
)
(
)
(
1 2221 1
222 2
111 1
I
B
A
I
B
A
I
B
A
d
I
B
A
d
I
A
B
d
Ví d
Cho đường cnh AB và hình chiếu đứng d
2
ca đường thng d. Hãy v hình chiếu bng d
1
ca
đường thng d, biết d đi qua đim J và ct AB ti đim I
Gii
Hình chiếu bng I
1
ca đim I AB được v bng cách ng dng định lý Thalet như sau:
_ V tia A
1
t bt k ri đặt lên đó các đon A
1
I’ = A
2
I
2
và I’B’ = I
2
B
2
_ Ni B’B
1
Đường thng qua I’ song song vi B’B
1
ct A
1
B
1
ti đim I
1
; ta có:(A
1
B
1
I
1
) = (A
2
B
2
I
2
)
I AB. Vy d
1
I
1
J
1
(Hình 3.2)
GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
16
Baìi giaíng HÇNH HOAû Vë trê tæång âäúi giæîa hai âæåìng thàóng
II. HAI ĐƯỜNG THNG SONG SONG
1) Hai đường thng thường song song
Định lý
Điu kin cn và đủ để hai đường thng thường song song nhau là các cp hình chiếu cùng tên
ca chúng song song nhau
Cho hai đường thng thườg a,b; (hình 3.3),
định lý trên được viết thành:
a
2
b
2
x
Hçnh 3.3
Chng minh
_ Điu kin cn: Gi s a // b nên các cp mt phng chiếu qua a, b song song nhau, do đó
chúng s ct mt phng hình chiếu bng và mt ph
ng hình chiếu đứng theo các cp giao tuyến
song song nhau, tc là a
1
// b
1
và a
2
// b
2
.
_ Điu kin đủ: Gi s có hai đường thng thường a, b tho mãn a
1
// b
1
và a
2
// b
2
. Bng cách
xây dng ngược li phép chiếu vuông góc, cp mt phng song song vuông góc vi mt phng
hình chiếu bng qua a
1
, b
1
s ct cp mt phng song song vuông góc vi mt phng hình chiếu
đứng qua a
2
, b
2
theo hai giao tuyến a, b song song nhau .
3) Hai đường cnh song song
Xét hai đường cnh có các cp hình chiếu cùng tên không trùng nhau
Định lý
Điu kin cn và đủ để hai đường cnh song song nhau là có hai đường thng ta trên chúng
giao nhau hoc song song nhau “
Cho hai dường cnh EF và GH,
định lý trên được viết thành:
Hình 3.4 Hình 3.5
Chng minh
_ Điu kin cn: Gi s EF // GH, thì bn đim E, F, G, H đồng phng nên s có hai đường
thng EH, GF ta trên chúng giao nhau ti I hoc song song nhau ( đây xét giao nhau)
_ Điu ki
n đủ: Gi s có hai đường cnh EF, GH có các cp hình chiếu cùng tên không trùng
nhau và có hai đường thng ta trên chúng EH GF = I hoc EH // GF. Thì bn đim E, F, G, H
đồng phng nên hai đường cnh đó song song nhau, tc: EF // GH (Hình 3.4)
¾ Chú ý
Ngoài ra ta có th phát biu định lý trên như sau:
Điu kin cn và đủ để hai đường cnh song song nhau là hình chiếu cnh ca chúng song
song nhau “ (Hình 3.5)
b
1
a
1
//
22
11
//
//
ba
ba
ba
x
z
y'
y
E
3
x
0
F
3
H
3
G
3
H
1
G
1
F
1
E
1
H
1
G
1
F
1
E
1
I
1
I
2
G
2
H
2
F
2
E
2
F
2
H
2
G
2
E
2
=
GFEH
IGFEH
GHEF
//
//
GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
17
Baìi giaíng HÇNH HOAû Vë trê tæång âäúi giæîa hai âæåìng thàóng
Ví d
Cho đường cnh AB và đim M; (Hình 3.6). Hãy v đường thng MN // AB
Gii
Vì AB là đường cnh nên MN // AB cũng là đường cnh. Trong mp(MAB), v N tho mãn
MN // AB, gi s biết trước N
2
hãy v N
1
như sau:
Gi I = AN BM I
2
B
2
M
2
Mà N
2
A
2
I
2
N
1
A
1
I
1
I
1
B
1
M
1
Hçnh 3.6 Hçnh 3.7
III. HAI ĐỪƠNG THNG CHÉO NHAU
Hai đường thng không tho mãn song song hoc giao nhau thì chéo nhau; (Hình 3.7) biu din
hai đường thng c, d chéo nhau.
IV. HÌNH CHIÊÚ CA GÓC VUÔNG
Định lý
Điu kin cn và đủ để mt góc vuông chiếu xung mt phng hình chiếu thành mt góc vuông
là góc vuông đó có mt cnh song song vi mt phng hình chiếu và cnh góc vuông còn li
không vuông góc vi mt phng hình chiếu đó.”
Hình 3.8 Hình 3.9 Hình 3.10
Chng minh
_ Điu kin cn: Gi sAOB = 90
0
và OA // P
1
. Chiếu vuông góc xung mt phng hình
chiếu bng ta nhn được A
1
O
1
B
1
(Hình 3.8), cn chng minh A
1
O
1
B
1
= 90
0
Ta có: A
1
O
1
// AO
AO OB và AO OO
1
AO mp(B OO
1
) AO O
1
B
1
A
1
O
1
// AO A
1
O
1
O
1
B
1
_ Điu kin đủ : Gi s AOB = 90
0
chiếu vuông góc xung mt phng hình chiếu bng được
góc A
1
O
1
B
1
= 90
0
, ta cn chng minh góc vuông AOB có mt cnh song song mt phng hình
chiếu bng P
1
; ta có : A
1
O
1
mp(OO
1
B
1
) (1)
x
B
1
O
1
A
1
A
2
O
2
B
2
A
O
B
1
B
O
1
A
1
P
d
1
c
1
c
2
d
2
x
x
N
1
M
1
B
1
A
1
I
1
I
2
M
2
N
2
B
2
A
2
x
d
1
d
2
c
1
c
2
GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
18
Baìi giaíng HÇNH HOAû Vë trê tæång âäúi giæîa hai âæåìng thàóng
B
1
O
1
mp(OO
1
A
1
A) B
1
O
1
AO
Mà B O AO AO mp(OO
1
B
1
) (2)
T (1) và (2), AO // A
1
O
1
, tc AO // mp(P
1
)
(Hình 3.9) biu din đồ thc ca góc vuông AOB, có cnh OA // mp(P
1
).
¾ Chú ý
Định lý trên cũng đúng cho trường hp hai đường thng chéo nhau mà vuông góc vi nhau.
(Hình 3.10) biu din hai đường thng c, d chéo nhau mà vuông góc nhau, vi c // P
1
Ví d
C
1
x
B
2
C
2
H
1
B
1
A
1
H
2
A
2
Hãy v hình chiếu bng C
1
ca đim C, biết rng tam giác
ABC cân ti C, cho AB là đường bng, (Hình 3.11) .
Gii
Gi H là trung đim ca AB, vì tam giác ABC cân ti C nên
CH AB, v li AB // mp (P
1
)., nên theo định lý trên, ta có
C
1
H
1
A
1
B
1
.
T đó ta v được C
1
là giao đim ca đường gióng qua C
2
vi
đường thng A
1
B
1
ti H
1
Hçnh 3.11
V. MT VÀI VÍ D GII SN
d
1
x
c
1
A
2
b
1
B
1
B
2
c
2
d
2
b
2
a
1
A
1
a
2
Ví d 1
Cho ba đường thng a, b, c chéo nhau; (Hình 3.12). Hãy v
đường thng d song song vi c ct c a và b; trong đó a mp (P
1
)
Gii
Gi s đường thng d cn dng ct a, b ln lượt ti A, B. Vì a
mp (P
1
) nên A
1
a
1
. V li d // c nên d
1
qua A
1
và d
1
// c
1
Vì d b = B; t d
1
b
1
= B
1
B
2
b
2
V d
2
qua B
2
và d
2
// c
2
; (Hình 3.12)
Vy d là đường thng thng cn v
Hình 3.12
Ví d 2
Cho hai đường thng AB, CD chéo nhau; (Hình 3.13). Hãy xác định khong cách và dng đon
vuông góc chung ca hai đường thng đó trong các trường hp sau đây:
a) CD mp (P
1
); AB là đường thng thường
b) CD mp (P
2
); AB là đường cnh
c) CD mp (P
3
); AB là đường thng thường
Gii
a) Gi MN là đon vuông góc chung ca AB và CD, vi N AB, M CD
Vì CD mp (P
1
) nên M
1
C
1
D
1
và MN là đon đường bng
V li MN AB M
1
N
1
A
1
B
1
ti N
1
. T N
1
A
1
B
1
N
2
A
2
B
2
M
2
N
2
// x; (Hình 3.13a)
Kết lun: M
1
N
1
= MN - là khong cách gia hai đường thng AB, CD chéo nhau
b) Gi MN là đon vuông góc chung ca AB và CD, vi N AB, M CD
Vì CD mp (P
2
) nên M
2
C
2
D
2
và MN là đon đường mt
V li MN AB M
2
N
2
A
2
B
2
ti N
2
. T N
2
A
2
B
2
N
1
A
1
B
1
M
1
N
1
// x; (Hình 3.13b)
GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
19
| 1/91

Preview text:


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
KHOA SƯ PHẠM KỸ THUẬT -----0----- BÀI GIẢNG HÌNH HỌA GVC.ThS NGUYỄN ĐỘ
Bộ môn Hình họa – Vẽ kỹ thuật ĐÀ NẴNG - 2005 Baìi giaíng HÇNH HOAû Måí âáöu MỞ ĐẦU
A. MỤC ĐÍCH VÀ YÊU CẦU 1) Mục đích
Hình hoạ là một môn học thuộc lĩnh vực Hình học, nhằm:
− Nghiên cứu các phương pháp biểu diễn các hình trong không gian lên một mặt mà thông
thường là mặt phẳng hai chiều
− Nghiên cứu các phương pháp giải các bài toán trong không gian bằng cach giải chúng trên
các hình biểu diễn phẳng đó
− Cung cấp một số kiến thức hình học cơ bản để học tiếp môn Vẽ kĩ thuật và giải quyết một số
vấn đề liên quan đến chuyên môn.
2) Yêu cầu của hình biểu diễn
Hình biểu diễn phải đơn giản, rõ ràng, chính xác. Các hình biểu diễn phải tương ứng với một
hình nhất định trong không gian; người ta gọi tính chất này là tính phản chuyển hay tính tương
đương hình học của hình biểu diễn
3) Một số ký hiệu và quy ước
Trong bài giảng này sẽ dùng những ký hiệu và qui ước sau:
− Điểm Chữ in như: A, B, C,...
− Đường thẳng Chữ thường như: a,b,c,... − Mặt phẳng
Chữ Hy lạp hoặc chữ viết hoa như: α, β, γ, δ,...A, B, C, ... − Sự liên thuộc Ký
hiệu ∈ như: điểm A∈a; đường thẳng a ∈ mp (α ), ...b∈mp(Q),... − Vuông góc ⊥ như: a ⊥ b − Giao ∩ như: A= d ∩ l − Kết quả = như: g= mpα ∩ mpβ − Song song // như: d // k − Trùng ≡ như: A ≡ B B. CÁC PHÉP CHIẾU
I. PHÉP CHIẾU XUYÊN TÂM 1) Cách xây dựng
Trong không gian cho mặt phẳng P và một điểm S không thuộc mp(P ).(Hình 1)
Người ta thực hiện phép chiếu một điểm A bất kỳ như sau:
Vẽ đường thẳng SA, đường thẳng này cắt mặt phẳng P tại điểm A’ Ta có các định nghĩa: S
− P : Mặt phẳng hình chiếu A − S : Tâm chiếu − Hçnh1
SA : Đường thẳng chiếu hoặc tia chiếu
− A’ : Hình chiếu xuyên tâm của điểm A từ tâm A’
chiêú S lên mặt phẳng hình chiếu P . P
Phép chiếu được xây dựng như trên được gọi là phép
chiếu xuyên tâm
với tâm chiếu S và mặt phẳng hình chiếu P.
Một phép xuyên tâm được xác định khi biết tâm chiếu S và mặt phẳng hình chiếu P. GVC.ThS Nguyãùn Âäü 1
Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK Baìi giaíng HÇNH HOAû Måí âáöu ¾ Chú ý
a)
Hình là một tập hợp điểm. Vậy để chiếu một hình ta chiếu một số điểm thành phần của hình
đủ xác định hình đó
b) Nếu trong không gian Ơclic ta bổ sung thêm các yếu tố vô tận thì:
_ Hai đường thẳng son g song xem như cắt nhau tại một điểm ở vô tận: a // b ⎭ a ∩ b = M∞
Như vậy để biểu diễn một điểm ở vô tận ta biểu diễn nó bằng một phương đường thẳng
_ Hai mặt phẳng son g song xem như cắt nhau theo một đường thẳng ở vô tận
mpα // mpβ ⎭ mpα ∩ mpβ = d∞ 2) Tính chất
1.
Hình chiếu xuyên tâm của một đường thẳng không đi qua tâm chiếu là một đường thẳng
Khi chiếu đường thẳng a, các tia chiếu SA, SB hình thành một mặt phẳng (SAB) gọi là mặt
phẳng chiếu. Do đó hình chiếu a’(≡A'B')= mp(SAB) ∩ mp(P) (hình 2)
2. Hình chiếu xuyên tâm của những đường thẳng song song nói chung là những đường thẳng đồng qui
Giả sử cho a // b nên các mp(S,a) và mp(S,b) sẽ giao với mp(P) cho các giao tuyến a’, b’ cắt
nhau tại điểm M’ (M’ là hình chiếu xuyên tâm của điểm M∞ của đường thẳng a, b) (hình 3) S S b a A B B A a A' M' B' b' a' a' B' P P A’ Hình 2 Hình 3
II. PHÉP CHIẾU SONG SONG 1) Cách xây dựng
Phép chiếu song song là trường hợp đặc biệt của phép chiêu xuyên tâm khi tâm chiếu S ở xa vô tận
Như vậy phép chiếu song song được xác định khi biết mặt phẳng hình chiếu P và phương chiếu s A t s Hçnh 4 A’ P
Người ta chiếu song song điểm A bằng cách qua A vẽ đường thẳng t song song với phương s, vẽ
giao điểm A’ = t ∩ mp(P ) thì A’ là hình chiếu song song của điểm A từ phương chiếu s lên mặt
phẳng hình chiếu P (hình 4). 2) Tính chất
Phép chiếu song song là trường hợp đặc biệt của phép chiêu xuyên tâm nên có những tính chất
của phép chiếu xuyên tâm. Ngoài ra phép chiếu song song có những tính chất sau: GVC.ThS Nguyãùn Âäü 2
Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK Baìi giaíng HÇNH HOAû Måí âáöu
1. Hình chiếu song song của những đường thẳng không song song với phương chiếu là những
đường thẳng song song.
Giả sử cho a // b nên các mặt phẳng chiếu thuộc a, b song song nhau, do đó giao tuyến của chúng
với mặt phẳng hình chiếu P là những đường thẳng song song: a’ // b’ (hình 5) a C b s B A s a' C' B' P b' P A' Hình 5 Hình 6
2. Tỉ số đơn của ba điểm phân biệt thẳng hàng bằng tỉ số đơn của ba điểm phân biệt hình chiếu của chúng
Cho ba điểm A, B ,C phân biệt thẳng hàng, chiếu thành ba điểm A’, B’, C’ cũng phân biệt thẳng
hàng.(hình 6). Theo định lý Thalet, ta có: CA C 'A' = CB C 'B'
Ký hiệu tỉ số đơn của ba điểm A,B,C như sau: (ABC) = (A’B’C’)
III. PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC 1) Cách xây dựng
Phép chiếu vuông góc là trường hợp đặc biệt của phép chiêu
song song khi phương chiếu s vuông góc với mặt phẳng hình
s
chiếu P : s ⊥P (hình 7) P Hình 7 2) Tính chất
Phép chiếu vuông góc có những tính chất của phép chiếu song song; Ngoài ra còn có nhiều tính
chất, chúng ta sẽ nghiên cứu ở các chương sau. IV. NHẬN XÉT
Ta có thể dùng các phép chiếu trên để biểu diễn vật thể trong không gian lên một mặt phẳng.
Tuy nhiên với mổi hình chiêu thì chưa xác định được một vật thể duy nhất trong không gian
Vì vậy một hình chiếu chưa đảm bảo được tính phản chuyển của hình biểu diễn.
¾ Trong các bài sau chúng ta sẽ nghiên cứu phương pháp các hình chiếu vuông góc mà các
hình biểu diễn đảm bảo tính phản chuyển được gọi là đồ thức . ======================== GVC.ThS Nguyãùn Âäü 3
Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK Baìi giaíng HÇNH HOAû Âiãøm Bài 1 ĐIỂM
I. ĐỒ THỨC CỦA ĐIỂM
I.1 Hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu vuông góc a) Cách xây dựng
Trong không gian cho hai mặt phẳng P1 và P2 vuông góc nhau, để dễ hình dung đặt P1 nằm
ngang, P2 thẳng đứng. Ta nhận được hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu vuông góc (hình 1.1) (I) (II) P2 A2 Cao>0, xa >0 A Cao>0, xa <0 2 A x AX AX x (III) Cao<0, xa <0 A A 1 1 (IV) P1 Cao<0, xa >0 Hình 1.1 Hình 1.2
Xét một điểm A bất kỳ trong không gian.
_ Chiếu vuông góc điểm A lần lượt lên P1 và P 2 ta nhận được các hình chiếu A1 , A2
_ Quay mp P1 quanh trục x một góc 900 theo chiều mũi tên qui ước như (hình 1.1) đến trùng
P2. Vì mp (A A1 A2) ⊥ P1 và P2 nên sẽ vuông góc với trục x tại điểm AX. Do đó sau khi
quay đến vị trí mới ba điểm A1, AX, A2 thẳng hàng và vuông góc trục x (hình1.2) b) Các định nghĩa _ P1
Mặt phẳng hình chiếu bằng _ P2
Mặt phẳng hình chiếu đứng _ x = P1 ∩P2 Trục hình chiếu _ A1 Hình
chiếu bằng của điểm A _ A2 Hình
chiếu đứng của điểm A _ A1 A2 ( ⊥ x) Đường gióng _ A1 Ax
Độ xa của điểm A, qui ước dương nếu A1 nằm phía dưới trục x _ A2 Ax
Độ cao của điểm A, qui ước dương nếu A2 nằm phía trên trục x
_ (A1, A2 ) Cặp điểm hình chiếu này gọi là đồ thức của điểm A.Thật vậy từ A1, A2 ta
có thể dựng lại được điểm A theo thứ tự ngược lại với cách dựng đồ thức của nó
Hệ thống P1 và P 2 chia không gian ra làm 4 góc phần tư:
_ Góc phần tư 1 - Là phần không gian nằm trên P1 và trước P2
_ Góc phần tư 2 - Là
phần không gian nằm trên P1 và sau P2
_ Góc phần tư 3 - Là
phần không gian nằm dưới P1 và sau P2
_ Góc phần tư 4 - Là
phần không gian nằm dưới P1 và trước P2
+ Mặt phẳng phân giác 1. Là mặt phẳng phân giác của P1 và P2 đi qua góc phần tư thứ 1 và góc phần tư thứ 3.
Những điểm thuộc mặt phẳng phân giác1 có đồ thức là một cặp điểm hình chiếu đứng và hình
chiếu bằng đối xứng nhau qua trục hình chiếu x
GVC.ThS Nguyãùn Âäü 4
Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK Baìi giaíng HÇNH HOAû Âiãøm
+ Mặt phẳng phân giác 2. Là mặt phẳng phân giác của P1 và P2 đi qua góc phần tư thứ 2 và góc phần tư thứ 4.
Những điểm thuộc mặt phẳng phân giác 2 có đồ thức là một cặp điểm hình chiếu đứng và hình
chiếu bằng trùng nhau

(Hình 1.3) là hình không gian biểu diễn mặt phẳng phân giác 1, mặt phẳng phân giác 2 và các
góc phần tư của hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu vuông góc P1 và P2 Phân giác 2 Phân giác 1 P2 P2 A A2 P1 x A1 x P1 Hình 1.3 Hình 1.4
Nếu ta đặt trục hình chiếu x vuông góc với mặt phẳng của tờ giấy thì hệ thống hai mặt phẳng
hình chiếu P1 , P2 và hai mặt phẳng phân giác 1, 2 được biểu diễn như (hình 1.4) Tóm lại
Đồ thức của một điểm trong không gian là một cặp điểm hình chiếu đứng và hình chiếu bằng có
thể phân biệt hoặc trùng nhau
I.2 Hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu vuông góc a) Cách xây dựng
Thêm vào mặt phẳng P3 vuông góc với P1 và P2 , thường P3 đặt phía bên phải người quan sát, ta
nhận được hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu vuông góc như (hình 1.5) z z A A2 Az P z A 2 3 A2 P3 A A3 x Ax y’ A 0 x x 0 45 A A y y’ y A1 A P 1 A y y 1 Hình 1.5 Hình 1.6
Gọi y = P1 ∩ P3 ; z = P 2 ∩P3
Xét một điểm A bất kỳ trong không gian.
_ Chiếu vuông góc điểm A lần lượt lên các mặt phẳng P1, P2 , P3 ta nhận được các hình chiếu A1 , A2, A3 .
_ Quay các mp P1 , P3 lần lượt quanh các trục x, trục z một góc 900 theo chiều mũi tên qui ước
như (hình 1.5). Trục y được tách ra làm hai phần, một phần trục y theo mp P1 đến trùng với trục GVC.ThS Nguyãùn Âäü 5
Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK Baìi giaíng HÇNH HOAû Âiãøm
z, một phần trục y’ theo mp P3 đến trùng với trục x. Sau khi quay ta nhận được hình biểu diễn như (hình1.6) b) Các định nghĩa _ P3
Mặt phẳng hình chiếu cạnh
_ A2 Az Độ xa cạnh của điểm A, qui ước dương nếu A2 nằm phía bên trái trục z _ A3 Hình
chiếu cạnh của điểm A ¾ Chú ý
_ A2 Az = 0 Ay’ = 0 Ay = AxA1
_ Vì hai hình chiếu biểu diễn đồ thức của một điểm nên ta dễ dàng vẽ được hình chiếu thứ ba của điểm đó Ví dụ
Cho đồ thức của điểm B (B1, B2) (hình 1.7a). Hãy vẽ hình chiếu thứ ba của điểm B. B B B2 2 3 BZ B B B Y 1 1 x x y’ By’ y Hình 1.7a Hình 1.7b
Hình chiếu cạnh B3 của điểm B được vẽ theo chiều mũi tên như (hình 1.7b) ,với 0By'= 0By
II. Quan hệ giữa toạ độ Đềcác và đồ thức của một điểm trong không gian
Nếu lấy ba mặt phẳng hình chiếu P1, P2, P3 làm ba mặt phẳng toạ độ Đềcác; ba trục hình chiếu x,
y, z làm ba trục toạ độ Đềcác (hình 1.8) z
Với điểm A (xA , yA, zA) bất kỳ trong không gian, ta có: _ Hoành độ x A’ A = 0Ax
: Độ xa cạnh của điểm A P P _ 2 3 Tung độ yA = AxA1 : Độ xa của điểm A zA _ xA 0 Cao độ
zA = A1 A : Độ cao của điểm A Như vậy Ax y
Nếu cho toạ độ Đềcác của một điểm trong không x A
gian thì ta dễ dàng vẽ được đồ thức cuả điểm đó. yA 1 P Hình 1.8 1 Ví dụ
Cho toạ độ Đềcác của các điểm A (2, 3, 4); B
(4, -2, -5). Hãy vẽ đồ thức của chúng. y- z+ y- z+ +4 A
Đồ thức của các điểm A, B được biểu diễn như 2 Az B1 -2 B
(hình 1.9), chú ý chiều dương của các trục x, y, Z BX +4 AX +2 x- x+ x+ z . x- Trong đó: +3 A OAx = +2; OAY = +3; OAZ = +4 A Y 1 -5 B2 BY OBx = +4; OBY = -2; OBZ = -5 y+ z- y+ z- Hình 1.9
III. MỘT VÀI VÍ DỤ GIÃI SẴN GVC.ThS Nguyãùn Âäü 6
Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK Baìi giaíng HÇNH HOAû Âiãøm Ví dụ 1
Hãy vẽ đồ thức của các điểm sau:
_ Điểm A thuộc mặt phẳng P1
_ Điểm B thuộc mặt phẳng P2
_ Điểm C thuộc mặt phẳng Phân giác 1
_ Điểm D thuộc mặt phẳng Phân giác 2
_ Điểm E thuộc trục hình chiếu x Giải
_ Điểm A thuộc mặt phẳng P1 nên có A1≡ A; A2∈ x
_ Điểm B thuộc mặt phẳng P2 nên có B2≡ B; B1∈ x
_ Điểm C thuộc mặt phẳng phân giác 1 nên có C1và C2 đối xứng nhau qua trục x
_ Điểm D thuộc mặt phẳng phân giác 2 nên có D1≡ D2
_ Điểm E thuộc trục hình chiếu x nên có E1≡ E2∈ x ; (Hình 1.10) F F z 2 3 B 2 F F 1 Y G G Y 1 C2 E ≡E B 1 2 1 x x FY ’ o HY ’ y’ GY ’ H2 C1 H D ≡D 3 1 2 A G G 1 2 3 FY H1 Hình 1.10 Hình 1.11 y Ví dụ 2
Cho đồ thức của các điểm F, G, H (hình 1.11). Hãy vẽ hình chiếu cạnh của chúng và cho biết
chúng thuộc góc phần tư thứ mấy? Giải
Hình chiếu cạnh của các điểm F, G, H được vẽ theo chièu mũi tên bắt đầu đi từ hình chiếu bằng
F1, G1, H1 tiếp theo là mũi tên đi qua hình chiếu đứng F2, G2, H2. Ta sẽ xác định được các hình
chiếu cạnh F3, G3, H3 ; (Hình 1.11)
_ Điểm F có độ cao dương, độ xa âm nên điểm F thuộc góc phần tư thứ 2
_ Điểm G có độ cao âm, độ xa âm nên điểm G thuộc góc phần tư thứ 3
_ Điểm H có độ cao âm, độ xa dương nên điểm H thuộc góc phần tư thứ 4 ================ GVC.ThS Nguyãùn Âäü 7
Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK Baìi giaíng HÇNH HOAû Âæåìng thàóng
Bài 2 ĐƯỜNG THẲNG
I. ĐỒ THỨC CỦA ĐƯỜNG THẲNG
Đồ thức của đường thẳng được xác định bởi đồ thức của hai điểm thuộc đường thẳng đó.
Giả sử đường thẳng d được xác định bởi hai điểm A(A1, A2) và B (B1, B2) thì :
Hai điểm A1, B1 xác định hình chiếu bằng d1 của đường thẳng d
Hai điểm A2, B2 xác định hình chiếu đứng d2 của đường thẳng d (hình 2.1) B2 d A 2 2 d2 x x d1 d B 1 1 A1 Hình 2.1 Hình 2.2
Nếu d là đường thẳng thường (d1, d2 không vuông góc trục hình chiếu x ), thì khi biểu diễn đồ
thức của đường thẳng d không cần biểu diễn hai điểm thuộc nó (hình 2.2) . ¾ Chú ý
_ Những đường thẳng thuộc mặt phẳng phân giác1 có hình chiếu đứng và hình chiếu bằng dối
xứng nhau qua trục hình chiếu x
_ Những đường thẳng thuộc mặt phẳng phân giác 2 có hình chiếu đứng và hình chiếu bằng trùng nhau
II. CÁC VỊ TRÍ ĐẶC BIỆT CỦA ĐƯỜNG THẲNG
II. 1 Loại đường thẳng song song với một mặt phẳng hình chiếu 1) Đường bằng (h)
a) Định nghĩa:
Đường bằng là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng
Gọi h là đường bằng, ta có: h // P1 (hình 2.3a) B2 A P h 2 B 2 2 2 A h 2 2 h β A B x x β β A h A 1 1 B1 1 P B1 1 h1 Hình 2.3a Hình 2.3b b) Tính chất:
Hình chiếu đứng của đường bằng song song với trục x : h2 // x (hình 2.3b) GVC.ThS Nguyãùn Âäü 8
Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK Baìi giaíng HÇNH HOAû Âæåìng thàóng
Hình chiếu bằng của đường bằng hợp với trục x một góc bằng góc của đường bằng hợp với
mặt phẳng hình chiếu đứng : ∠(h1 , x) = ∠ (h , P2) = β
Hình chiếu bằng của một đoạn thẳng thuộc đường bằng, bằng chính nó.
Giả sử A, B ∈ h ⇒ A1 B1 = AB (hình 2.3b) 2) Đường mặt (f)
a) Định nghĩa:
Đường mặt là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng:
Gọi f là đường mặt, ta có: f // P2 (hình 2.4a) f 2 f2 D D2 2 f P 2 C D C 2 2 x α x α C α D f1 1 C f1 1 P C D 1 1 1 Hình 2.4a Hình 2.4b b) Tính chất
Hình chiếu bằng của đường mặt song song với trục x : f1 // x (hình 2.4b)
Hình chiếu đứng của đường mặt hợp với trục x một góc bằng góc của đường mặt hợp với
mặt phẳng hình chiếu bằng : ∠(f2 , x) = ∠(f , P1) = α
Hình chiếu đứng của một đoạn thẳng thuộc đường mặt, bằng chính nó.
Giả sử C, D ∈ f ⇒ C2 D2 = CD (hình 2.4b) 3) Đường cạnh (p) a) Định nghĩa:
Đường cạnh là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh: p // P3 (hình 2.5a) z p2 β z β P E3 2 E E E2 β 3 E 2 P3 p2 P P P 3 3 F F F 0 2 3 2 F F 3 x α x 0 E y’ 1 α p1 y E F 1 1 α P1 F 1 y p 1 Hình 2.5a Hình 2.5b b) Tính chất
Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của đường cạnh, trùng nhau và vuông góc với trục x:
p1 ≡ p2 ⊥ x . Hai hình chiếu này chưa biểu diễn được một đường cạnh cụ thể trong không
gian. Vì vậy để biểu diễn một đường cạnh cụ thể ta cần phải biểu diễn đồ thức của hai điểm
thuộc đường cạnh đó; (hình 2.5b) biểu diễn đường cạnh p được xác định bằng hai điểm E, F
Hình chiếu cạnh của đường cạnh lần lượt hợp với trục y’, z các góc bằng góc của đường
cạnh hợp với mặt phẳng hình chiếu bằng và mặt phẳng hình chiếu đứng :
∠(p3 , y’) = ∠(p , P1 ) = α GVC.ThS Nguyãùn Âäü 9
Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK Baìi giaíng HÇNH HOAû Âæåìng thàóng
∠(p3 , z) = ∠(p , P2) = β
Hình chiếu cạnh của một đoạn thẳng thuộc đường cạnh, bằng chính nó.
Giả sử E, F ∈ p ⇒ E3 F3 = EF (hình 2.5b)
II.2 Loại đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng hình chiếu
(thì song song với hai mặt phẳng hình chiếu còn lại )
1) Đường thẳng chiếu bằng (d) a) Định nghĩa:
Đường thẳng chiếu bằng là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng: d⊥P1 (Hình 2.6a ) d2 P d d A 2 2 2 A 2 A B 2 B2 x B x A ≡B ≡d 1 1 1 P1 A ≡B ≡d 1 1 1 Hình 2.6a Hình 2.6b b) Tính chất
Hình chiếu bằng của đường thẳng chiếu bằng suy biến thành một điểm: d1 một điểm
• Đường thẳng chiếu bằng vừa là đường mặt vừa là đường cạnh nên có những tính chất của hai
loại đường này, tức:
- Hình chiếu đứng của đường thẳng chiếu bằng vuông góc với trục x:: d2 ⊥ x
- Hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh của đoạn thẳng thuộc đường thẳng chiếu bằng, bằng
nhau và bằng chính nó. Giả sử A, B ∈ d ⇒ A2 B2 = A3 B3 = AB ; (hình 2.6b)
2) Đường thẳng chiếu đứng (k) a) Định nghĩa:
Đường thẳng chiếu đứng là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng.
Gọi k là đường thẳng chiếu đứng, ta có: k ⊥P2 (Hình 2.7a ) C ≡ D ≡ k 2 2 2 P 2 ≡ ≡ x C D k 2 2 2 C k x C D 1 C k1 1 D1 D1 P1 k1 Hình 2.7a Hình 2.7b b) Tính chất:
Hình chiếu đứng của đường thẳng chiếu đứng suy biến thành một điểm: k2 một điểm
• Đường thẳng chiếu đứng vừa là đường bằng vừa là đường cạnh nên có những tính chất của
hai loại đường này, tức:
- Hình chiếu bằng của đường thẳng chiếu đứng vuông góc với trục x: : k1⊥ x GVC.ThS Nguyãùn Âäü 10
Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK Baìi giaíng HÇNH HOAû Âæåìng thàóng
- Hình chiếu bằng và hình chiếu cạnh của đoạn thẳng thuộc đường thẳng chiếu đứng bằng
nhau và bằng chính nó. Giả sử C, D ∈ k ⇒ C1 D1 = C3 D3 = CD (hình 2.7b)
3) Đường thẳng chiếu cạnh (l) a) Định nghĩa
Đường thẳng chiếu cạnh là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu cạnh
Gọi l là đường thẳng chiếu cạnh, ta có: l ⊥P3 (Hình 2.8a ) z z E F ≡ E F ≡l P l 2 2 3 3 3 2 E F 2 2 2 l2 F E E ≡ F ≡l 3 3 3 l x y' 0 0 x P 3 l1 F y l E 1 1 1 P 1 E F 1 1 Hình 2.8a Hình 2.8b y b) Tính chất:
- Hình chiếu cạnh của đường thẳng chiếu cạnh suy biến thành một điểm: l3 - một điểm
• Đường thẳng chiếu cạnh vừa là đường bằng vừa là đường mặt nên có những tính chất của hai
loại đường này, tức:
- Hình chiếu bằng và hình chiếu đứng của đường thẳng chiếu cạnh song song nhau và song
song với trục x: l1 // l2 // x .
- Hình chiếu bằng và hình chiếu đứng của đoạn thẳng thuộc đường thẳng chiếu cạnh bằng
nhau và bằng chính nó: Giả sử E, F ∈ l ⇒ E1 F1 = E2 F2 = EF (hình 2.8b)
III. SỰ LIÊN THUỘC CỦA ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG
Sau đây sẽ trình bày hai định lý không chứng mimh
1) Điểm thuộc đường thẳng thường
Đường thẳng thường là đường thẳng không phải là đường đường cạnh Định lý
Điều kiện cần và đủ để một điểm thuộc một đường thẳng thường là các hình chiếu cùng tên của
điểm và đường thẳng đó thuộc nhau
Cho điểm A(A1, A2) và đường thẳng d(d1, d2), A2
(hình2.9); định lý trên được viết dưới dạng: d2 x ⎧A d Ad ⇔ 1 1 ⎨ ⎩A d d1 2 2 A Hình 2.9 1
2) Điểm thuộc đường cạnh Định lý
Điều kiện cần và đủ để điểm C thuộc đường cạnh AB là tỉ số đơn của ba điểm A, B, C trên các hình chiếu bằng nhau .
Cho điểm C (C1, C2) và đường cạnh AB (A1B1, A2B2), định lý trên được viết dưới dạng: GVC.ThS Nguyãùn Âäü 11
Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK Baìi giaíng HÇNH HOAû Âæåìng thàóng
C ∈ AB ⇔ (A B C ) = (A B C ) 1 1 1 2 2 2 Ví dụ
Cho đường cạnh AB (A1B1, A2B2) và hình chiếu đứng C2 của điểm C; (hình 2.10). Hãy vẽ hình
chiếu bằng C1 của điểm C biết C∈ AB .
Để vẽ điểm C1 ta thực hiện như sau:
_ Vẽ tia A1t bất kỳ, đặt trên đó các điểm C’, B’sao cho: A1 C’ = A2C2 ; C’B’ = C2B2 _ Nối B’B1
_ Đường thẳng vẽ qua điểm C’song song với phương B’B B 2
1 cắt đường thẳng A1B1 tại điểm C1 là điểm cần vẽ; C
Thật vậy, theo định lý Thalet, ta có: 2 (A1B1C1) = (A1B’C‘) Mà (A A x
1B’C‘) = (A2B2C2) ⇒ (A1B1C1) = (A2B2C2)
thoả mãn định lý trên ; (Hình 2.10) A Hình 2.10 C’ C1 B’
3) Vết của đường thẳng B1 t
Vết của đường thẳng là giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng hình chiếu a) Vết bằng (M) _ Định nghĩa:
Vết bằng của đường thẳng là giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng hình chiếu bằng
Gọi M là vết bằng của đường thẳng d, ta có: M = d ∩ P1 ( Hình 2.11a) _ Tính chất
+ Hình chiếu bằng của vết bằng trùng với chính nó : M1 ≡ M
+ Hình chiếu đứng của vết bằng thuộc trục x : M2 ∈ x ( Hình 2.11b) N2 N ≡N 2 P2 d2 d2 d x M M x 2 2 N1 d N 1 1 M ≡M 1 d1 P1 M1 Hình 2.11a Hình 2.11b b) Vết đứng (N) _ Định nghĩa
Vết đứng của đường thẳng là giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng hình chiếu đứng
Gọi N là vết đứng của đường thẳng d, ta có: N = d ∩ P2 ; ( Hình 2.11a) _ Tính chất
+ Hình chiếu đứng của vết đứng trùng với chính nó : N2 ≡ N
+ Hình chiếu bằng của vết đứng thuộc trục x : N1 ∈ x ; (hình 2.11b) GVC.ThS Nguyãùn Âäü 12
Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK Baìi giaíng HÇNH HOAû Âæåìng thàóng
IV.PHƯƠNG PHÁP TAM GIÁC
Phương pháp tam giác dùng để xác định độ dài thật của một đoạn thẳng và góc nghiêng của đoạn
thẳng đó tạo với mặt phẳng hình chiếu
Giả sử có đoạn thẳng AB, chiếu vuông góc nó xuống P1 được A1B1; (hình 2.12). Kẽ AC // A1B1
Trong tam giác vuông ACB, ta có: AC = A1B1 và BC = ⏐BB1 - AA1⏐: Hiệu độ cao của A, B.
Với nhận xét này ta có thể vẽ được độ dài thật của đoạn thẳng AB như sau:
“Vẽ một tam giác vuông có một cạnh góc vuông A1B1 là hình chiếu bằng của đoạn thẳng AB,
cạnh góc vuông còn lại B1B0 bằng hiệu độ cao hai đầu mút A, B; thì cạnh huyền A1B0 là độ dài
thật của đoạn thẳng cần tìm và góc nghiêng
α = (B0A1B1) là góc của đoạn thẳng AB hợp với
mặt phẳng hình chiếu bằng “. B B2 B 2 α C A x A B1 1 α B 1 P A1 1 B 0 Hình 2.12 Hình 2.13
Phương pháp xác định độ dài thật của đoạn thẳng AB và góc nghiêng của đoạn thẳng đó tạo với
mặt phẳng hình chiếu bằng P 1 đã nêu ở trên gọi là phương pháp tam giác.
Tương tự, ta cũng có thể xác định được độ dài thật của đoạn thẳng và góc nghiêng của đoạn
thẳng tạo với mặt phẳng hình chiếu đứng; bằng cách vẽ một tam giác vuông có một cạnh góc
vuông là hình chiếu đứng của đoạn thẳng, cạnh góc vuông còn lại bằng hiệu độ xa của hai đầu mút đoạn thẳng đó N2
V. MỘT VÀI VÍ DỤ GIÃI SẴN B2 C2 Ví dụ 1 A I 2 2
Cho đường thẳng AB. Hãy xác định:
a) Vết bằng, vết đứng của đường thẳng AB M2 x
b) Điểm C trên đường thẳng AB có độ cao gấp đôi độ xa N1 B ≡ I 1 1 Giải C1 A1
a) Gọi M, N lần lượt là vết bằng và vết đứng của đường M1 Hình 12.14 thẳng AB, ta có :
_ M2 = A2B2 ∩ x ⇒ M1 ∈A1B1- là vết bằng của AB
_ N1 = A1B1 ∩ x ⇒ N2 ∈ A2B2 - là vết đứng của AB
b) Gọi I là điểm có độ cao gấp đôi độ xa và B1≡ I1. Đường thẳng N1I2 cắt A2B2 tại điểm C2 là
hình chiếu đứng của điểm C cần tìm.
Từ C2∈ A2B2 ⇒ C1∈ A1B1 ; (Hình 2.14) GVC.ThS Nguyãùn Âäü 13
Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK Baìi giaíng HÇNH HOAû Âæåìng thàóng Ví dụ 2
Cho điểm A(A1, A2) và hình chiếu đứng B2 của điểm B. Hãy xác định hình chiếu bằng của điểm
B trong các trường hợp sau:
a) Biết AB có độ dài l = 30 mm
b) Biết AB hợp với P1 góc α < 900
c) Biết AB hợp với P2 góc β < 900 Giải
a) Vẽ tam giác vuông A1A0B’ vuông tại A1 có một cạnh góc vuông A1A0 bằng hiệu độ cao của
hai điểm A, B; cạnh huyền A0B’ = AB = 30mm.
Theo phương pháp tam giác thì cạnh góc vuông còn lại A1B’ bằng hình chiếu bằng A1B1 của
AB. Như vậy B1 là giao điểm của đường tròn (A1, A1B’) với đường gióng qua B2 ; (Hình 2.15a) B0 B2 B2 A A B2 2 2 β A x x 2 x B’ B’ B’ A A 1 1 A0 A 0 A1 H 900-α B B 1 1 l= 30 mm B1 B’ B’ Hình 2.15a Hình 2.15b Hình 2.15c
b) Vẽ tam giác vuông A1A0B’ vuông tại A1 có một cạnh góc vuông A1A0 bằng hiệu độ cao của
hai điểm A, B. Vì ∠(AB, P1 ) = α nên theo phương pháp tam giác thì cạnh huyền A0B’ hợp với
cạnh A1A0 góc 900 - α và cạnh góc vuông còn lại A1B’ bằng hình chiếu bằng A1B1 của AB.
Như vậy B1 được vẽ là giao điểm của đường tròn (A1, A1B’) với đường gióng qua B2; (Hình 2.15b)
c) Vẽ tam giác vuông A2B2B0 vuông tại B2 có một cạnh góc vuông A2B2. Vì ∠(AB, P2 ) = β nên
theo phương pháp tam giác thì cạnh huyền A2B0 hợp với cạnh A2B2 góc β và cạnh góc vuông
còn lại B2B0 bằng hiệu độ xa của hai điểm A, B, tức: B2B0= HB1 = HB’1; (Hình 2.15c) Ví dụ 3
Cho điểm A(A1, A2). Hãy vẽ đường thẳng đi qua điểm A và nghiêng với mpP1 , mpP2 lần lượt
các góc nhọn α, β như hình 2.16a Giải
_ Giả sử có đoạn thẳng AB nghiêng với mpP1 , mpP2 lần lượt các góc α, β. GVC.ThS Nguyãùn Âäü 14
Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK Baìi giaíng HÇNH HOAû Âæåìng thàóng
_ Giữa hình chiếu đứng A2B2, hiệu độ xa của A,B; độ dài thật của AB và góc nghiêng của AB
hợp với mpP2 liên quan nhau bởi tam giác vuông A2B2B0 ; (Hình 2.16b)
_ Giữa hình chiếu bằng A1B1, hiệu độ cao của A,B; độ dài thật của AB và góc nghiêng của AB
với mpP1 liên quan nhau bởi tam giác vuông A1B1B0 ; (Hình 2.16b) B ’’ B ’ 2 2 t’ A2 B2 B ’’’ 2 B2 t β β x A ≡A 1 2 B0 α α B ’’ B ’ 1 1 B1 A1 B ’’’ B 1 1 a) b) c) Hình 2.16
_ Từ (Hình 2.16b), ta vẽ đồ thức của điểm B ở (Hình 2.16c) như sau:
+ Vẽ hai đường thẳng t, t’ // x và cách A2 đoạn bằng B1B0 (hiệu độ cao của A, B)
+ Vẽ đường tròn (A2, A2B2), cắt t, t’ tại 4 điểm B2, B2’, B’’1, B’’’2 là các hình chiếu đứng của các điểm B cần dựng
+ Đường tròn (A1, A1B1), cắt các đường gióng qua các điểm B2, B2’, B’’2, B’’’2 tại 4 điểm B1,
B1’, B’’1, B’’’1 là các hình chiếu bằng của các điểm B cần dựng; (Hình 1.16c)
_ Bài toán có 4 nghiệm
(Để hiểu kỹ hơn hãy tham khảo thêm bai số17* sách “BÀI TẬP HÌNH HOẠ GIÃI SẴN” của tác giả Nguyễn Độ) ===================== GVC.ThS Nguyãùn Âäü 15
Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK Baìi giaíng HÇNH HOAû
Vë trê tæång âäúi giæîa hai âæåìng thàóng
Bài 3 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI
ĐƯỜNG THẲNG
Ttrong không gian, hai đường thẳng có các vị trí tương đối: giao nhau, song song và chéo nhau
I. HAI ĐƯỜNG THẲNG GIAO NHAU
1) Hai đường thẳng thường giao nhau
Đường thẳng thường là đường thẳng không phải là đường cạnh 35 Định lý
Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng thường giao nhau là các hình chiếu cùng tên của chúng
giao nhau tại các điểm nằm trên một đường gióng
Cho hai đường thẳng a,b (hình 3.1), định lý trên được viết thành: a2 I2 ⎧ a ∩ b 1 b = ⎪ 1 I1 2 ab =
I ⇔ ⎨ a 2 ∩ b = 2 I2 ⎪ x ⎩ I 1I ⊥ 2 x b1 I a 1 1 Hình 3.1
2) Một đường thẳng thường và một đường cạnh giao nhau Định lý
Điều kiện cần và đủ để một đường thẳng thường và một đường cạnh giao nhau là các hình chiếu
cùng tên của chúng giao nhau tại các điểm thoả mản đồ thức của điểm thuộc đường cạnh đó
Cho đường thẳng thường d và đường cạnh AB,
định lý trên được viết thành: A2 I2 d J 2 2 ⎧ dA B = 1 1 1 I1 x B 2 ⎪
dAB = I ⇔ ⎨ dA B = I A 2 2 2 2 1 ⎪ I ( 1 A 1 B I 1 ) = 1 ⎩ ( 2 A 2 B I2 ) d I 1 B’ Hçnh 3.2 J B1 1 t Ví dụ
Cho đường cạnh AB và hình chiếu đứng d2 của đường thẳng d. Hãy vẽ hình chiếu bằng d1 của
đường thẳng d, biết d đi qua điểm J và cắt AB tại điểm I Giải
Hình chiếu bằng I1 của điểm I ∈ AB được vẽ bằng cách ứng dụng định lý Thalet như sau:
_ Vẽ tia A1 t bất kỳ rồi đặt lên đó các đoạn A1I’ = A2I2 và I’B’ = I2B2 _ Nối B’B1
Đường thẳng qua I’ song song với B’B1 cắt A1B1 tại điểm I1; ta có:(A1B1I1 ) = (A2B2I2 )
⇒ I∈ AB. Vậy d1 ≡ I1J1 (Hình 3.2) GVC.ThS Nguyãùn Âäü 16
Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK Baìi giaíng HÇNH HOAû
Vë trê tæång âäúi giæîa hai âæåìng thàóng
II. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
1) Hai đường thẳng thường song song Định lý
Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng thường song song nhau là các cặp hình chiếu cùng tên của chúng song song nhau
Cho hai đường thẳng thườg a,b; (hình 3.3),
định lý trên được viết thành: a 2 b2 x a // b 1 1 b1
a // b ⇔ ⎨a b a ⎩ // 2 2 1 Hçnh 3.3 Chứng minh
_ Điều kiện cần: Giả sử a // b nên các cặp mặt phẳng chiếu qua a, b song song nhau, do đó
chúng sẽ cắt mặt phẳng hình chiếu bằng và mặt phẳng hình chiếu đứng theo các cặp giao tuyến
song song nhau, tức là a1 // b1 và a2 // b2 .
_ Điều kiện đủ: Giả sử có hai đường thẳng thường a, b thoả mãn a1 // b1 và a2 // b2. Bằng cách
xây dựng ngược lại phép chiếu vuông góc, cặp mặt phẳng song song vuông góc với mặt phẳng
hình chiếu bằng qua a1, b1 sẽ cắt cặp mặt phẳng song song vuông góc với mặt phẳng hình chiếu
đứng qua a2, b2 theo hai giao tuyến a, b song song nhau .
3) Hai đường cạnh song song
Xét hai đường cạnh có các cặp hình chiếu cùng tên không trùng nhau Định lý
Điều kiện cần và đủ để hai đường cạnh song song nhau là có hai đường thẳng tựa trên chúng
giao nhau hoặc song song nhau “
z
Cho hai dường cạnh EF và GH, E3 E
định lý trên được viết thành: 2 E2 G G3 I 2 2 G2 F2 H3 F 2 H H 2 2 x x 0 F3
EHGF= I EF//GH⇔ y' E1 E1 ⎢ ⎣EH// GF G1 G1 F1 F 1 I1 H1 H1 y Hình 3.4 Hình 3.5 Chứng minh
_ Điều kiện cần: Giả sử EF // GH, thì bốn điểm E, F, G, H đồng phẳng nên sẽ có hai đường
thẳng EH, GF tựa trên chúng giao nhau tại I hoặc song song nhau (ở đây xét giao nhau)
_ Điều kiện đủ: Giả sử có hai đường cạnh EF, GH có các cặp hình chiếu cùng tên không trùng
nhau và có hai đường thẳng tựa trên chúng EH ∩ GF = I hoặc EH // GF. Thì bốn điểm E, F, G, H
đồng phẳng nên hai đường cạnh đó song song nhau, tức: EF // GH (Hình 3.4) ¾ Chú ý
Ngoài ra ta có thể phát biểu định lý trên như sau:
“Điều kiện cần và đủ để hai đường cạnh song song nhau là hình chiếu cạnh của chúng song song nhau “ (Hình 3.5) GVC.ThS Nguyãùn Âäü 17
Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK Baìi giaíng HÇNH HOAû
Vë trê tæång âäúi giæîa hai âæåìng thàóng Ví dụ
Cho đường cạnh AB và điểm M; (Hình 3.6). Hãy vẽ đường thẳng MN // AB Giải
Vì AB là đường cạnh nên MN // AB cũng là đường cạnh. Trong mp(MAB), vẽ N thoả mãn
MN // AB, giả sử biết trước N2 hãy vẽ N1 như sau:
Gọi I = AN ∩ BM ⎭ I2 ∈ B2M2 Mà N2 ∈ A2 I2 ⎭ N1 ∈ A1 I1 I1 ∈ B1M1 A2 I c 2 M 2 2 d B 2 x 2 N2 x A 1 c1 M1 B1 I1 N d1 1 Hçnh 3.6 Hçnh 3.7
III. HAI ĐỪƠNG THẲNG CHÉO NHAU
Hai đường thẳng không thoả mãn song song hoặc giao nhau thì chéo nhau; (Hình 3.7) biểu diễn
hai đường thẳng c, d chéo nhau.
IV. HÌNH CHIÊÚ CỦA GÓC VUÔNG Định lý
“Điều kiện cần và đủ để một góc vuông chiếu xuống mặt phẳng hình chiếu thành một góc vuông
là góc vuông đó có một cạnh song song với mặt phẳng hình chiếu và cạnh góc vuông còn lại
không vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đó.”
B B2 d 2 O2 c A A 2 2 O x x B c 1 1 A1 B A1 1 O1 P d O 1 1 Hình 3.8 Hình 3.9 Hình 3.10 Chứng minh
_ Điều kiện cần: Giả sử có ∠AOB = 900 và OA // P1 . Chiếu vuông góc xuống mặt phẳng hình
chiếu bằng ta nhận được ∠A1O1 B1 (Hình 3.8), cần chứng minh ∠A1O1B1= 900 Ta có: A1O1 // AO
AO ⊥ OB và AO ⊥ OO1 ⇒ AO ⊥mp(B OO1) ⇒ AO ⊥ O1B1 Mà A1O1 // AO ⇒ A1O1 ⊥ O1B1
_ Điều kiện đủ : Giả sử ∠AOB = 900 chiếu vuông góc xuống mặt phẳng hình chiếu bằng được
góc ∠A1O1B1= 900, ta cần chứng minh góc vuông AOB có một cạnh song song mặt phẳng hình
chiếu bằng P1; ta có : A1O1 ⊥ mp(OO1B1) (1) GVC.ThS Nguyãùn Âäü 18
Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK Baìi giaíng HÇNH HOAû
Vë trê tæång âäúi giæîa hai âæåìng thàóng
B1O1 ⊥ mp(OO1A1A) ⇒ B1O1 ⊥ AO⎫
Mà B O ⊥ AO⎭ ⇒ AO ⊥ mp(OO1 B1) (2)
Từ (1) và (2), ⇒ AO // A1O1 , tức AO // mp(P1)
(Hình 3.9) biểu diễn đồ thức của góc vuông AOB, có cạnh OA // mp(P1). ¾ Chú ý
Định lý trên cũng đúng cho trường hợp hai đường thẳng chéo nhau mà vuông góc với nhau.
(Hình 3.10) biểu diễn hai đường thẳng c, d chéo nhau mà vuông góc nhau, với c // P1 Ví dụ C2
Hãy vẽ hình chiếu bằng C1 của điểm C, biết rằng tam giác
ABC cân tại C, cho AB là đường bằng, (Hình 3.11) . A B 2 2 Giải x H2
Gọi H là trung điểm của AB, vì tam giác ABC cân tại C nên C1
CH ⊥ AB, vả lại AB // mp (P1)., nên theo định lý trên, ta có A1 C1H1 ⊥ A1B1. H1 B1
Từ đó ta vẽ được C1 là giao điểm của đường gióng qua C2 với
đường thẳng ⊥ A1B1 tại H1 Hçnh 3.11
V. MỘT VÀI VÍ DỤ GIẢI SẴN Ví dụ 1 a B 2 2
Cho ba đường thẳng a, b, c chéo nhau; (Hình 3.12). Hãy vẽ A2
đường thẳng d song song với c cắt cả a và b; trong đó a ⊥ mp (P1) d b 2 2 Giải c2 x
Giả sử đường thẳng d cần dựng cắt a, b lần lượt tại A, B. Vì a ⊥ b1
mp (P1) nên A1≡ a1. Vả lại d // c nên d1 qua A1 và d1 // c1 a ≡A 1 1 B1
Vì d ∩ b = B; từ d1 ∩ b1 = B1 ⇒ B2∈ b2 d1
Vẽ d2 qua B2 và d2 // c2; (Hình 3.12) c1
Vậy d là đường thẳng thẳng cần vẽ Hình 3.12 Ví dụ 2
Cho hai đường thẳng AB, CD chéo nhau; (Hình 3.13). Hãy xác định khoảng cách và dựng đoạn
vuông góc chung của hai đường thẳng đó trong các trường hợp sau đây:
a) CD⊥ mp (P1); AB là đường thẳng thường
b)
CD⊥ mp (P2); AB là đường cạnh
c)
CD⊥ mp (P3); AB là đường thẳng thường Giải
a) Gọi MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD, với N ∈ AB, M ∈ CD
Vì CD⊥ mp (P1) nên M1 ≡ C1≡ D1và MN là đoạn đường bằng
Vả lại MN ⊥AB ⇒ M1N1 ⊥A1B1 tại N1. Từ N1∈ A1B1⇒ N2∈ A2B2 ⇒ M2N2 // x; (Hình 3.13a)
Kết luận: M1N1 = MN - là khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, CD chéo nhau
b) Gọi MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD, với N ∈ AB, M ∈ CD
Vì CD⊥ mp (P2) nên M2 ≡ C2≡ D2và MN là đoạn đường mặt
Vả lại MN ⊥AB ⇒ M2N2 ⊥A2B2 tại N2. Từ N2∈ A2B2⇒ N1∈ A1B1 ⇒ M1N1 // x; (Hình 3.13b) GVC.ThS Nguyãùn Âäü 19
Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK