Hình học không gian – Đặng Thành Nam Toán 12

Tài liệu gồm 36 trang trình bày phương pháp giải các dạng toán hình học không gian và các ví dụ minh họa có lời giải chi tiết.Mời các bạn đón xem.

Chun đề 8: Hình hc không gian
554
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Email : dangnamneu@gmail.com
Yahoo: changtraipkt
Mobile: 0976266202
CHUYÊN Đ 8:
HÌNH HC KHÔNG GIAN
Chun đề 8: Hình hc không gian
555
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HC KHÔNG GIAN
556
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Email : dangnamneu@gmail.com
Yahoo: changtraipkt
Mobile: 0976266202
Các yếu t trong tam giác cn nm vng
+ Vi tam giác
ABC
vuông ti
A
có đường cao
AH
khi đó
2 2 2 2 2
; . ; . ;
BC AB AC AB BH BC AC CH BC
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
+ Vi tam giác
ABC
các cnh
a b c
độ dài các trung tuyến
, ,
a b c
m m m
bán kính
đường tròn ngoi tiếp
R
, bán kính đưng tròn ni tiếp
r
, na chu vi
p
khi đó
Định lý cosin:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
cos ,cos ,cos .
2 2 2
b c a c a b a b c
A B C
bc ca ab
T đó tính được:
2
sin 1 os ,sin ,sin .
A c A B C
Định lý hàm s sin:
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
Độ dài đường trung tuyến:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
; ; .
4 4 4
a b c
b c a c a b a b c
m m m
Din tích tam giác:
1 1 1
. . .
2 2 2
a b c
S a h b h c h
1 1 1
sin sin asin
2 2 2
S ab C bc A c B
4
abc
S pr p p a p b p c
R
Với tam giác đều cnh
a
tdin tích
2
3
4
a
S
Din tích hình thang
1
.
2
S a b h
(
,
a b
là hai cạnh đáy
h
là chiu cao).
HÌNH HC KHÔNG GIAN
557
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
T giác có hai đưng chéo vuông góc vi nhau
1
.
2
ABCD
S AC BD
Các công thc tính th tích
+
V
(khi hp ch nht)
abc
( vi
a b c
là ba kích thước ca hình hp ch nht).
+
V
(khi chóp)
1
3
dt
(đáy)
.
chiu cao
+
V
(khối lăng trụ)
dt
(đáy).chiều cao
+
V
(khi cu)
3
4
3
R
Phương pháp xác định chiu cao ca khi chóp
Loi 1: Khi chóp có mt cnh vuông góc với đáy đó chính là chiu cao ca khi chóp.
Loi 2: Khi chóp mt mt bên vng c với đáy thì đường cao chính đường k t đnh
khi chóp đến giao tuyến ca mặt bên đó với đáy khối chóp.
Loi 3: Khi chóp hai mt bên k nhau ng vuông c với đáy thì đưng cao chính giao
tuyến ca hai mt bên đó.
Loi 4: Khi chóp có các cnh bên bng nhau hoc cùng to vi đáy mt góc bng nhau thì
đường cao là đường k t đỉnh khi chóp đến tâm vòng tròn ngoi tiếp đáy.
Loi 5: Khi chóp các mt bên ng to với đáy mt c bng nhau t đường cao là đưng
k t đỉnh đến tâm vòng tròn ni tiếp đáy.
Loi 6: Khi chóp hai mt bên cùng to với đáy mt c bng nhau tchân đường cao khi
chóp h t đnh s nm trên đường phân giác ca c to bi hai cnh nm trên mặt đáy của hai
mt bên. Chng hn khi chóp
.
S ABCD
có hai mt bên
SAC
SAB
cùng to với đáy góc
khi đó chân đường cao ca khi chóp h t đỉnh
S
nằm trên đường phân giác ca góc
BAC
.
Loi 7: Khi chóp có hai cnh bên bng nhau hoc cùng to với đáy mtc bng nhau t chân
đường cao h t đnh khi chóp nằm trên đường trung trc ni giữa hai giao đim ca hai cnh
bên với đáy. Chẳng hn khi chóp
.
S ABCD
cnh
SB SD
khi đó chân đường cao ca khi
chóp h t đỉnh
S
nằm trên đường trung trc ca
BD
.
Việc xác định chân đường cao ca khi chóp giúp ta gii quyết bài toán
HÌNH HC KHÔNG GIAN
558
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
+ Tính th tích khi chóp thông qua công thc
V
(khi chóp)
1
3
dt
(đáy)
.
chiu cao.
+ Tínhc to bởi đường thng hoc mt phng bên vi đáy hoặc tínhc gia hai mt bên khi
chóp(góc to bi cnh bên mặt đáy chính góc tạo bi cnh bên đường thng ni chân
đường cao khi chóp và giao điểm ca cnh bên với đáy). Chẳng hn khi chóp
SABCD
chân
đường cao h t đỉnh
S
ca khi chóp là
H
khi đó góc to bi cnh bên
SA
mt phẳng đáy
chính là góc giữa hai đường thng
SA
AH
.
+ Tính khong cách t mt đim ti mt mt phng:
3
d
V
h
S
.
Phương pháp tính thể tích khối đa diện
+ Khi xác định được chiu cao khi chóp t áp dng ch tính trc tiếp th tích khi chóp nh
công thc
V
(khi chóp)
1
3
dt
(đáy)
.
chiu cao.
+ Phân chia khi đa din thành nhiu khi đa din hơn và dễ tính th tích hơn.
+ Dùng t s th tích:
Cho ba đường thẳng không đồng đồng phng
, ,
SA SB SC
các đim ' ; ' ; '
A SA B SB C SC
khi
đó ta có t s th tích
' ' '
'. '. '
. .
V SA B C
SA SB SC
V SABC SA SB SC
'
'
V A ABC
A A
V SABC SA
Khong cách t một điểm đến mt mt phng
- Nếu đường thng
d
song song vi mt phng
P
t khong cách t mi điểm trên
d
đến
P
là như nhau.
- Đường thng
d
ct mt phng
P
tại điểm
M
hai đim
,
A B
trên
d
sao cho
AM kBM
t
; . ;
d A P k d B P
. Áp dng khi tính khong cách trc tiếp t mt điểm
đến mt phẳng kkhăn.
Tìm tâm và bán kính mt cu ngoi tiếp khối đa diện
Gi s
I
là tâm mt cu ngoi tiếp khi đa din
1 2
. ...
n
S A A A
khi đó
HÌNH HC KHÔNG GIAN
559
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
+
I
thuc trục đường tròn đáy đường thẳng đi qua tâm đưng tròn ngoi tiếp đáy vuông
góc vi mt phẳng đáy.
+
I
cách đều tt c các đim
1 2
, , ,...,
n
S A A A
nên
I
phi nm trên mt phng trung trc ca
i
SA
.
Để chứng minh các điểm đều thuc mt mt cu
+ Chng minh các điểm cùng nhìn mt cạnh dưới mt góc
0
90
.
+ Chng minh chúng cách đều một đim nào đó.
Dưới đây trình bày 4 bài toán cơ bản nhất, các em nên nắm vững để áp dụng vào bài thi
Bài toán cơ bản 1: Cho khối chóp din tích đáy
S
chiều cao khối chóp
h
khi đó thể tích
khối chóp được xác định theo công thức
1
.
3
V S h
.
Bài toán bản 2: Cho khối chóp
.
S ABC
trên các cạnh
; ;
SA SB SC
lần lượt ly các điểm
'; '; '
A B C
. Khi đó ta có
1 1 1
.
. 1 1 1
. .
S ABC
S A B C
V
SA SB SC
V SA SB SC
Bài toán bản 3: Cho tdiện
ABCD
,
d
khoảng ch giữa hai đường thẳng
,
AB CD
là góc giữa hai đường thẳng đó. Khi đó thể tích tứ diện
ABCD
được xác định theo công thức
1
. . .sin
6
ABCD
V AB CD d
Chứng minh:
HÌNH HC KHÔNG GIAN
560
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Dựng hình bình hành
ABCE
, khi đó
ECD
Ta có
. .
ABCD E BCD B CED
V V V ( do
AE
song song với mặt phẳng
BCD
)
Do
AB
song song với mặt phẳng
CED
nên khoảng cách gia
;
AB CD
cũng chính khoảng cách
t
B
đến mặt phẳng
CED
Vậy
.
ABCD B CED
V V
1 1
; . . .sin
3 2
d B CED CE CD
1
. . .sin
6
ABCD d
Bài toán bản 4: Tính thể ch khối tứ diện
ABCD
các cặp cạnh đối bằng nhau
; ;
AB CD a AC BD b AD BC c
.
Lời giải:
Dựng tứ din
APQR
sao cho
; ;
B C D
lần lượt trung điểm của
; ;
QR RP PQ
B
C
D
A
E
HÌNH HC KHÔNG GIAN
561
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Ta
1
2
AB CD QR
, mà
B
lại trung điểm của
QR
suy ra
tam giác
AQR
vuông tại
A
AQ AR
Một cách tương tự, ta cũng
;
AP AQ AR AP
Do
1
4
BCD PQR
S S
1 1 1
. . .
4 4 6
ABCD APQR
V V AQ AR AP
Ta xác định
; ;
AQ AP AR
:
Theo định lý pitago ta có:
2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2 4
2 4
2 4
AQ AR QR CD a
AQ AP QP BC c
AP AR PR BD b
Từ đây suy ra:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 ; 2 ; 2
AQ a b c AP a b c AR a b c
Vậy
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
12
ABCD
V a b c c b a c b a
1.1. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG CÔNG THỨC TRỰC TIẾP
- Với những khối chóp ta xác định được đường cao một cách tương đối dễ t nên áp dụng
cách y. Đây ng cách thông dụng nhất để giải các i toán thi đại học, mức độ yêu cầu
học sinh nắm chắc cách vận dụng kiến thc.
Q
R
P
A
B
C
D
HÌNH HC KHÔNG GIAN
562
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Cho hình chóp
.
S ABCD
đáy
ABCD
nh chữ nhật;
; 2
AB a AD a
. Cạnh
SA
vuông c với mặt phẳng đáy
ABCD
, cạnh bên
SB
to vi mặt đáy mt góc
0
60
. Trên cạnh
SA
lấy điểm
M
sao cho
3
3
a
AM ; mặt phẳng
BCM
cắt cạnh
SD
tại
N
. Tính thtích khối
chóp
.
S BCNM
.
Lời giải:
Do
AD
song song với
BC
nên
giao tuyến của mặt phẳng
BCM
với mặt phẳng
SAD
đường thẳng
MN
song song với
AD
Lại
BC AB
BC SAB BC BM
BC SA
vậy thiết diện là hình thang vuông
BCNM
AB
nh chiếu của
SB
trên mặt phẳng
ABCD
nên góc giữa cạnh
SB
mặt phẳng
SAB
chính là góc
0
60
SBA
Suy ra
0
tan60 3
SA AB a
Xét tam giác
SAD
có:
3
3
4
3
. .2
3
3
a
a
MN SM SA AM SA AM a
MN AD a
AD SA SA SA
a
D
A
B
C
H
S
M
N
HÌNH HC KHÔNG GIAN
563
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
2 2
2 3
3
a
BM AB AM
Diện tích hình thang
BCNM
2
1 1 4 2 3 10 3
2 .
2 2 3 3 9
BCNM
a a a
S AB MN BM a
Hạ
SH BM
, t do
BC SAB SH BC SH BCNM
Vậy
SH
chính là đường cao của khối chóp
.
S BCNM
0 0
3 1
tan 30 30
3 2
AM
ABH ABH SBH SH SB a
AB
Vậy
2 3
.
1 1 10 3 10 3
. . .
3 3 9 27
S BCNM BCNM
a a
V S SH a
Cách khác: Sdụng t số thể tích; tính thể tích khối chóp
.
S BCNM
theo tổng thể tích của khối
chóp
SBMN
SBCN
-
.
.
.
S BMN
S BAD
V
SM SN
V SA SD
-
.
.
S BCN
S BCD
V
SN
V SD
( chi tiết xem phương pháp t số thể tích).
Bài 2. Cho hình lăng tr tam giác đều
. ' ' '
ABC A B C
tất cả c cạnh bằng a. Mt phẳng
P
đi
qua
A
vuông góc với
'
B C
chia khối lăng trụ
. ' ' '
ABC A B C
tnh hai khối đa diện; mt khối
chứa đỉnh
C
, mt khối chưa đỉnh
'
B
. Tính thể
tích của khi chứa đỉnh
'
B
.
Lời giải:
Gọi
M
trung đim của
BC
; kẻ
MN
song song
với
' '
BC N CC
Khi đó
'
MN B C
A'
B'
C'
A
B
C
M
N
HÌNH HC KHÔNG GIAN
564
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
' ' '
'
AM BC
AM BCC B AM B C
AM BB
vậy tam giác
AMN
chính là thiết diện của
lăng trụ cắt bởi mặt phẳng
P
Ta có
2 3
. ' ' '
3 3
'. .
4 4
ABC A B C ABC
a a
V AA S a
3
.
1 1 3 1 3
. . . . .
3 3 2 2 2 2 48
A CMN CMN
a a a a
V AM S Vậy
3
' ' ' . ' ' ' .
11 3
(dvtt)
48
AA BMNC B ABC A B C A CMN
a
V V V
Bài 3. Cho hình chóp
.
S ABCD
đáy
ABCD
tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính
AD
;
SD
vuông góc với mặt phẳng đáy
ABCD
2 ; ;
AD a AB CD SD a
0
60
BAD
. Trên các đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
ABCD
tại
; ;
A B C
lần lượt lấy các
điểm
'; '; '
A B C
(
'; '; '
A B C
cùng phía với
S
). Tính thể tích khi chóp
.
S ABCD
chứng minh
rằng
. . ' ' '
S ABC D A B C
V V .
Lời giải:
Gọi
I
là trung đim của
AD
Do
AB CD
nên
BC
song song với
AD
, suy
ra tứ giác
ABCD
là hình thang cân
Lại
0
60
BAD
Suy ra tam giác
IAB
đều, cũng
ICD
đều;
IBC
đều cạnh a
Vậy
2 2
3 3 3
3 3.
4 4
ABCD IAB
a a
S S
O'
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
O
I
HÌNH HC KHÔNG GIAN
565
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Chứng minh:
. . ' ' '
S ABC D A B C
V V
Suy ra
2 3
.
1 1 3 3 3
. . .
3 3 4 4
S ABCD ABCD
a a
V SD S a (dvtt)
Gọi
; ' ' ' '
AC BD O A C B S O
Do
'
OO
song song với
SD
nên ta có:
; ' ' ' ;
;
' '
; ' ' ' ';
d D A B C d S ABC
SD SD
OO OO
d O A B C d O ABC
Từ đó suy ra
. '. . ' ' ' . ' ' '
;
' '
S ABC O ABC D A B C O A B C
SD SD
V V V V
OO OO
Ta chỉ cần chứng minh:
'. . ' ' '
O ABC O A B C
V V
Thật vậy:
-
. ' ' ' '. ' ' ' ' ' '
1 1
'; ' ' . '; ' ' .
3 3
O A B C B OA C OA C OA C
V V d B ACC A S d BB ACC A S
-
'. . ' ' '
1 1
; ' ' . '; ' ' .
3 3
O ABC B O AC O AC O AC
V V d B ACC A S d BB ACC A S
Mặt khác
' ' '
OA C O AC
S S ; từ đó ta có điều phải chứng minh.
Bài 4. Cho nh chóp
.
S ABCD
đáy
ABCD
nh thoi cạnh a. Mặt phng
SAC
SBD
cùng vuông góc với mặt đáy
ABCD
. Mặt bên
SAD
cân tại
S
tạo với đáy mt c
0
60
.
Tính thể tích khối chóp
.
S ABCD
.
Lời giải:
HÌNH HC KHÔNG GIAN
566
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Gọi
O
là tâm mặt đáy
ABCD
Do
SAC ABCD
SBD ABCD SO ABCD
SAC SBD SO
Gọi
M
là trung đim của
AD
Thì do tam giác
SAD
cân tại
S
nên
SM AD
Lại
SO AD
Từ đây suy ra
AD SMO
Vậy nên góc gia mặt bên
SAD
mặt đáy
ABCD
chính là c
0
60
SMO
Mặt khác
AD MO
, tam giác vuông
AOD
OM
vừa trung tuyến lại vừa là đường cao nên
nó là tam giác cân; hay
OD OA ABCD
là hình vuông
Vậy
0
3
tan60
2
a
SO OM
Vậy
3
2
.
1 1 3 3
. .
3 3 2 6
S ABCD ABCD
a a
V S SO a (đvtt)
Bài 5. Trên mặt phẳng
P
chứa tam giác đều
ABC
cạnh a,
D
đim đối xứng của
A
qua trung
điểm
I
của
BC
. Lấy điểm
S
trên đường thẳng vuông góc vi mặt phẳng
P
tại
D
, biết
6
2
a
SD . Gọi
H
hình chiếu của
I
trên
SA
. Chứng minh mặt phng
SAB
vuông góc với
mặt phẳng
SAC
. Tính thể tích khối chóp
.
H ABC
.
O
A
B
C
D
S
M
HÌNH HC KHÔNG GIAN
567
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Lời giải:
Ta có
ABCD
nh thoi( tất cả các cạnh
đều bằng a)
Suy ra
BC AD
Lại
BC SD
, từ đó suy ra
BC SAD BC SA
Mặt khác li
HI SA
Vậy
SA HBC
; suy ra c giữa hai mặt
phẳng
SAB
SAC
chính là góc
BHC
Ta tính góc
BHC
:
Tam giác ~ ( . )
2 2
AI AS a BC
AHI ADS g g HI
HI DS
. Tam giác
HBC
trung tuyến bằng
1
2
cạnh đối din nên nó là hình vuông. Vậy
0
90
BHC
Từ đó suy ra
SAB SAC
.
Ta có
3
.
1 1 1 2
. . . . .
3 2 6 2 24
2
H ABC
a a a
V AH HI BC a (đvtt)
Bài 6. Cho lăng trụ đứng đáy
. ' ' '
ABC A B C
đáy
ABC
tam giác vng ti
B
, c
0
60
BAC
, bán kính đường tn ni tiếp tam giác
ABC
bng a khong ch giữa hai đường
thng
'
A B
AC
bng
3 3
4
a
. Tính theo a th tích khi lăng trụ
. ' ' '
ABC A B C
.
Li gii:
I
H
A
B
D
C
S
HÌNH HC KHÔNG GIAN
568
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
BÀI TẬP ĐỀ NGH
1.1. Cho hình lập phương
. ' ' ' '
ABCD A B C D
cnh bng a. Gi
,
M N
ln lượt là trung
điểm các cnh
' '; ' '
A B B C
. Tính theo a th tích khi t din
'
AD MN
và khong cách t
A
đến
'
D N
.
1.2. Cho hình chóp đều
.
S ABC
cnh đáy bằng a, đường cao hình chóp bng
3
a
. Mt phng
P
qua cnh
BC
và vuông c vi
SA
. Hi mt phng
P
chia khi chóp thành hai
phn t s th tích bng bao nhiêu?.
1.3.
1.2. PHƯƠNG PHÁP TỶ SỐ THỂ TÍCH
Nội dung: Xem bài toán cơ bản 2
BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Cho hình chóp tứ giác đều
.
S ABCD
. t mặt phng
( )
đi qua hai điểm
;
A
B
trung
điểm
M
của cạnh
SC
. Tính t số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó.
Lời giải:
Kẻ
MN
song song với
SD N SD
Khi đó hình thang
ABMN
là thiết din
cắt bởi mặt phẳng
( )
hình chóp.
. . .
S ABMN S ABN S ABM
V V V
I
O
C
B
A
D
S
M
N
HÌNH HC KHÔNG GIAN
569
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Áp dụng t số thể tích cho hai khối chóp . ; .
S ABD S BCD
ta được:
-
.
. . .
.
1 1 1
2 2 4
S ABN
S ABN S ABD S ABCD
S ABD
V SN SM
V V V
V SD SD
-
.
. . .
.
1 1 1 1
. .
2 2 4 8
S BMN
S BMN S BCD S ABCD
S BDC
V SM SN
V V V
V SD SD
Từ đó suy ra:
. . . .
3
8
S ABMN S ABN S ABM S ABCD
V V V V
Suy ra:
.
3/8 3
. 1 3/ 8 5
S ABMN
V
V ABCDNM
.
Bài 2. Cho hình chóp tgiác đều
.
S ABCD
cạnh
a
, mặt bên hợp với mặt đáy một góc
0
60
. Mặt
phẳng đi qua hai điểm
;
A
B
trọng tâm
G
của tam giác
SCD
cắt các cạnh
;
SC SD
lần lượt tại
E
F
. Tính thể tíchkhối chóp
.
S ABEF
Lời giải:
Gọi
M
trung đim của
;
CD O
tâm hình vuông
ABCD
Ta có
0
60 .tan
SO CD
CD SMO SMO SO OM SMO
OM CD
Kẻ
EF
qua
G
song song với
;
CD E SC F SD
; khi thiết
diện là hình thang cân
ABEF
.
Áp dụng t số thể tích ta được:
-
.
. . . .
.
2 2 2 1 1
3 3 3 2 3
S ABF
S ABF S ABD S ABCD S ABCD
S ABD
V SF SG
V V V V
V SD SM
I
G
O
C
B
A
D
S
E
F
M
HÌNH HC KHÔNG GIAN
570
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
-
.
. . . .
.
2 2 4 4 1 2
. . .
3 3 9 9 2 9
S BEF
S ABF S BCD S ABCD S ABCD
S BCD
V SE SF
V V V V
V SC SD
Từ đó suy ra:
3
2
. . . . . .
1 2 5 5 1 3 5 3
. . .
3 9 9 9 3 2 54
S ABEF S ABF S BEF S ABCD S ABCD S ABCD
a a
V V V V V V a
Bài 3. Cho đim
M
trên cạnh
SA
, đim
N
trên cạnh
SB
của khi chóp
.
S ABC
sao cho
1
; 2
2
SM SN
MA NB
. Mặt phẳng
( )
qua
MN
song song với
SC
, chia khối chóp thành hai phần.
Tìm t số thể tích hai phần đó.
Lời giải:
oi
MN
cắt
AB
tại
I
Kẻ
song song với
SC
;
DI
cắt
BC
tại
E
Khi đó tgiác
MNED
thiết din
của khối chóp cắt bi mặt phng
( )
Trước hết ta tính thể tích khối chóp
AMNED
theo thể ch khối chóp
.
A SBC
Kẻ
MJ
song song với
AB
suy ra
1
3
SJ SB J
trung đim của
SN
. Từ đây suy ra
1
3
IB MJ AB
Theo công thức t số thể tích ta có
-
.
. . .
.
2 2 4 16 16 16
. . . .
3 3 3 27 27 27
A MDI
A MDI A SCB S ABC
A SCB
V AM AD AI
V V V
V AS AC AB
E
A
C
B
S
D
I
M
N
J
HÌNH HC KHÔNG GIAN
571
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
-
.
. . . .
.
1 1 1 1 1 1 16 1
. . . . .
4 2 2 16 16 16 27 27
I BNE
I BNE I AMD S ABC S ABC
I AMD
V IB IN IE
V V V V
V IA IM ID
Suy ra
. . .
15
27
ADMNE A MDI I BNE S ABC
V V V V
Vậy gọi
1 2
;
V V
lần lượt là thể tích phần dưới; phần trên do mặt phẳng
( )
to ra với khối chóp
.
S ABC
t
1
2
15/ 27 5
1 15/ 27 4
V
V
Bài 4. Cho khối chóp
.
S ABCD
đáy
ABCD
hình bình hành. Gọi
'; '
B D
lần lượt là trung
điểm của các cạnh
;
SB SD
. Mặt phẳng
' '
AB D
cắt cạnh
SC
tại
'
C
. Tìm t số thể tích của hai
khối chóp
. ' ' '
S AB C D
.
S ABCD
.
Lời giải:
Gọi
O
là tâm mặt đáy
; ' ' ; '
ABCD B D SO I AI SC C
Kẻ
''
OC
song song với
' ''
AC C SC
Do
' '
B D
là đường trung bình của tam giác
SBD
nên
I
là trung đim của
SO
O
là trung đim của
AC
. Từ đó suy ra
S
l
O
D
C
B
A
D'
B'
C'
C''
HÌNH HC KHÔNG GIAN
572
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
' 1
' ' ''; ' '' ''
3
SC
SC C C C C C C
SC
Theo công thức t số thể tích ta có
-
. ' '
. ' ' . .
.
' ' 1 1 1 1 1
. .
2 3 6 6 12
S AD C
S AD C S ADC S ABCD
S ADC
V SD SC
V V V
V SD SC
-
. ' '
. ' ' . .
.
' ' 1 1 1 1 1
. .
2 3 6 6 12
S AB C
S AB C S ABC S ABCD
S ABC
V SB SC
V V V
V SB SC
Vậy
. ' '
. ' ' . ' ' . ' ' .
.
1 1
6 6
S AB D
S AB D S AD C S AB C S ABCD
S ABCD
V
V V V V
V
Bài 5. Cho hình chóp
.
S ABCD
đáy
ABCD
hình vng cạnh
a
; cạnh
SA
vuông c với
đáy;
2
SA a
. Gi
'; '
B D
lần lượt là hình chiếu vuông c của điểm
A
trên các cạnh
;
SB SD
.
Mặt phẳng
' '
AB D
cắt cạnh
SC
tại
'
C
. Chứng minh rằng năm điểm
; ; '; '; '
S A B C D
cùng thuộc
mt mặt cầu và tính thể tích khối chóp
. ' ' '
S AB C D
.
Lời giải:
Để chứng minh năm điểm
; ; '; '; '
S A B C D
cùng thuộc một mặt
cầu ta chỉ cần chứng minh
'
AC SC
. khi đó chúng cùng
thuộc mặt cầu đường kính
SA
I
O
B
C
D
A
S
B'
C
C'
HÌNH HC KHÔNG GIAN
573
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Ta có:
'
( )
CD AD
CD SAD CD AD
CD SA gt
Mặt khác
' ' '
AD SD AD SCD AD SC
Tương tự ta cũng có:
'
AB SC
. Từ đó suy ra
' ' '
SC AB D SC SC
( ta có đpcm).
Dễ thấy
. ' ' ' . ' '
2
S AB C D S AB C
V V ( tính chất đối xứng xứng của hình chóp)
Theo công thức t số thể tích, ta có:
2 2 2 2
. ' '
2 2 2 2 2 2
.
' ' . ' . ' 4 4 8
. . . .
5 6 15
S AB C
S ABC
V
SB SC SB SB SC SC SA SA a a
V SB SC SB SC SB SC a a
Từ đó suy ra
3
3
. ' ' . . ' ' ' . ' '
8 8 1 1 8 16
. . . . 2
15 15 3 2 45 45
S AB C S ABC S AB C D S AB C
a
V V SA AB BC V V a
Bài 6. Cho nh chóp
.
S ABCD
đáy
ABCD
hình bình hành. Gọi
; ;
M N P
lần lượt là trung
điểm c cạnh
; ;
AB AD SC
. Chứng minh rằng mặt phẳng
MNP
chia khối chóp tnh hai phần
có thể tích bằng nhau.
Lời giải:
MN
cắt
BC
tại
I
, cắt
CD
tại
K
Cắt
AC
tại
L
; gọi
O
tâm hình nh
hành
ABCD
IP
cắt cạnh
SB
tại
;
E KP
cắt cạnh
SD
tại
F
Khi đó thiết diện của khối chóp cắt bởi
mặt phẳng
MNP
là ngũ giác
MNFPE
Theo tính chất song song ta có
L
K
F
E
A
B
C
D
S
I
M
N
O
P
HÌNH HC KHÔNG GIAN
574
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
3 3 3
;
2 2 2
CK CI CL
CK CD CI CB
CD CB CO
Do
P
trung điểm của cạnh
SC
nên
1
; ;
2
d P ABCD d S ABCD
-
.
1 1 1
. ; . . .sin
3 2 2
P CIK
V d S ABCD CK CI ICK
.
1 3 3 9
; . . .sin
12 2 2 16
S ABCD
d S ABCD CD CB DCB V
Bây giờ ta tính thể tích hai khối tứ din . ; .
I MBE K END
theo thể tích khi tdin
.
S ABCD
Vì tính chất đối xứng suy ra
. .
I BME K END
V V
Theo t số thể tích ta có:
.
. . .
.
1 1 1 1 1 1
. . . .
3 3 2 18 18 32
I BME
I BME I CKP S ABCD
I CKP
V IB IM IE
V V V
V IC IK IP
Gọi
1
V
là thể tích phần phía dưới tạo bởi mặt phẳng
MNP
và khối chóp
Ta
1 . . . .
9 1 1
2 2.
16 32 2
P CIK I BME S ABCD S ABCD
V V V V V
Từ đây ta đpcm.
Bài 7. Cho hình lập phương
. ' ' ' '
ABCD A B C D
. Gọi
;
E F
lần lượt trung điểm các cạnh
' '; ' '
C B C D
. Tính t số thể tích hai phn khi cắt hình lập phương bởi mặt phẳng
AEF
.
Lời giải:
EF
cắt
' '
A B
tại
;
M MA
cắt
'
BB
tại
Q
EF
cắt
' '
A D
tại
;
N PN
cắt
'
DD
tại
P
Gọi
O
là tâm hình vuông
' ' ' '
A B C D
K
giao điểm của
' '
A C
EF
Khi đó thiết diện của hình lập phương cắt bởi
mặt phẳng
AEF
là ngũ giác
APFEQ
Theo tính chất song song ta có
O
K
P
Q
B'
C'
D'
A'
A
D
B
C
N
M
E
F
HÌNH HC KHÔNG GIAN
575
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
' ' 3
' ' ' ' 2
A M A N AK
A B A D AO
Ta có
3
. '
1 1 3 3 3
'. ' . ' . . .
6 6 2 2 8
A A MN
a a a
V AA A M A N a
. ' . '
P D NF Q B ME
V V ( do tính chất đối xng)
3
1 1
'. ' . ' . .
6 6 2 2 3 72
a a a a
PD D F D N
Gọi
1
V
là phần thể tích phía dưới cắt bởi mặt phẳng
AEF
;
2
V
là phần thể tích phía trên
Ta có
3 3
3
1 . ' . ' . '
3 25
2.
8 72 72
A A MN P D NF Q B ME
a a
V V V V a
Suy ra
1
2
25/ 72 25
1 25/ 72 47
V
V
BÀI TẬP ĐỀ NGH
1.1. Cho hình chóp
.
S ABC
, gi
G
là trng tâm tam giác
SBC
. Mt phng quay quanh
AG
ct cnh
,
SB SC
theo th t ti
,
M N
. Gi
1
V
là th tích t din
SAMN
;
V
là th tích t
din
SABC
. Tìm giá tr ln nht, giá tr nh nht ca t s
1
V
V
.
1.2. Cho hình lp phương
. ' ' ' '
ABCD A B C D
độ dài các cnh bng
a
và điểm
K
thuc cnh
'
CC
sao cho
2
3
a
CK . Mt phng
P
đi qua
,
A K
song song vi
BD
chia hình lp
phương thành hai phần. Tính th tích hai phần đó.
BÀI TP V MT CU NGOI TIP, NI TIP ĐA DIỆN
BÀI TẬP MẪU
HÌNH HC KHÔNG GIAN
576
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 1. Cho nh chóp
.
A ABCD
đáy
ABCD
hình thang vng ti
,
A B
có
1
;
2
AB BC AD a SA
vuông góc với mặt phẳng
ABCD
. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
SACD
cắt
SB
tại
H
. Chứng minh rằng
AH BS
tính khoảng cách t
H
đến mặt phẳng
SCD
.
Lời giải:
Do
1
2
AB BC AD
nên
2 2 2 2
2
CD BC AB a
2 2 2 2
2
AC AB BC a
Suy ra
2 2 2 2
4
AC CD AD a
Vậy tam giác
ACD
vuông n tại ti
C
thế gọi
I
trung điểm của
SD
t
I
chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp
t diện
SACD
Do
H
cũng thuộc mặt cầu nên
0
90
SHD
hay
(1)
SH HD
Lại
SA ABCD
AD SAB AD SH
AD AB
(2)
Từ (1) và (2) ta suy ra
SB AHD AH SB
BÀI TẬP ĐỀ NGH
Bài 1. Cho nh chóp
.
S ABCD
đáy
ABCD
hình thang vng ti
A
B
; 2
AB BC a AD a
. Cnh bên
SA
vuông góc vi mt phẳng đáy
ABCD
SA a
. Gi
E
trung điểm ca
AD
. Tính th tích khi chóp
.
S CDE
xác định tâm bán kính mt cu ngoi
tiếp khi chóp đó.
C
D
A
S
B
I
H
HÌNH HC KHÔNG GIAN
577
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 2. Cho nh chóp
.
S ABCD
đáy
ABCD
hình ch nht cnh
AB a
2
AD a
. Góc
gia hai mt phng
SAC
ABCD
bng
0
60
. Gi
H
trung điểm ca
AB
. Biết mt bên
SAB
vuông góc với đáy tam gc cân đỉnh
S
. Tính th tích khi chóp
.
S ABCD
xác
định tâm bán kính mt cu ngoi tiếp khi chóp
.
S AHC
.
Bài 3. Cho t din
ABCD
ABC
tam gc đều cnh
3
,
3
a
a DA DB
CD
vuông c
vi
AD
. Trên cnh
CD
kéo dài lấy điểm
E
sao cho tam giác
AEB
vuông ti
E
. Tính c to bi
mt phng
ABC
mt phng
ABD
. Xác đnh m bán kính mt cu ngoi tiếp khi t
din
ABCE
.
Bài 4. Cho hình chóp
.
S ABCD
đáy
ABCD
hình vuông cnh
a
. Chân đường vuông c k
t đỉnh
S
trùng vi trng tâm tam gc
ABD
. Mt bên
SAB
to với đáy mt c
0
60
. Tính
theo
a
th ch khi chóp
.
S ABCD
. Xác đnh m bán kính mt cu ngoi tiếp khi chóp
.
S ABD
.
Bài 5. Cho hình lăng trụ tam giác đều
. ' ' '
ABC A B C
cạnh đáy bằng
a
. Gi
, ,
M N I
lần lượt
trung đim ca
' ,
A A AB
BC
. Biết c to bi mt phng
'
C AI
mt phng
ABC
bng
0
60
. Tính th tích khi chóp
. '
N AC I
xác định m, bán kính mt cu ngoi tiếp khi chóp
'.
C AIB
.
Bài 6. Cho nh chóp
.
S ABCD
đáy
ABCD
nh vuông cnh
a
có đường cao là
SH
trong
đó
H
điểm tha mãn
3
HN HM

(
,
M N
lần lượt là trung điểm ca
AB
CD
). Mt phng
SAB
to vi mt phẳng đáy
ABCD
mt c
0
60
. Tính khong cách t
N
đến mt phng
SAC
xác định th tích khi cu ngoi tiếp hình chóp
.
S ABCD
.
Bài 7. Cho nh chóp
.
S ABCD
đáy
ABCD
hình thang vng ti
A
B
; 2 ,
AB BC a AD a SAC
tam giác cân ti
S
nm trong mt phng vuông c với đáy,
SB
to vi mt phng
SAC
góc
0
60
. Gi
O
giao đim ca
AC
BD
. Gi s mt phng
P
qua
O
song song vi
SC
ct
SA
ti
M
. Tính th tích khi chop
MBCD
xác định tâm,
bán kính mt cu ngoi tiếp khi chop
SACD
.
HÌNH HC KHÔNG GIAN
578
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 8. Cho t din
ABCD
2 ;
AB a CB CD a
AB
vuông c vi mt phng
BCD
.
Gi
M
trung điểm ca
AB
. Tính khong ch t
M
đến mt phng
ACD
tính th tích
khi cu ngoi tiếp t din
ABCD
.
Bài 9. Cho tam giác
ABC
đều cnh
a
. Gi
M
trung đim
BC
, lấy điểm
D
đối xng vi
A
qua
M
. Trên đường thng vuông c vi mt phng
ABCD
ti
D
lấy điểm
S
sao cho
6
2
a
SD . Gi
N
hình chiếu vuông c ca
M
lên
SA
. Tính khong cách t
M
đến mt
phng
SAC
. Chng minh mt phng
SAC
vuông góc vi mt phng
SAB
xác đnh tâm,
bán kính mt cu ngoi tiếp khi chóp
NBCD
.
Bài 10. Cho t din
ABCD
ABC
tam giác đều cnh
3
, ,
3
a
a DA DB CD
vuông c
AD
. Trên cnh
CD
kéo dài lấy điểm
S
sao cho
0
90
ASB
. Tính góc to bi mt phng
ABC
mt phng
ABD
. Xác định tâm và th tích khi cu ngoi tiếp t din
ABCE
.
Bài 11. Cho hình chóp
.
S ABCD
đáy
ABCD
nh vuông cnh
2
a
. Mt bên vuông c vi
đáy. Biết 3;
SA a SB a
. Gi
,
M N
lần lượt là trung điểm ca
,
AB AD
O
là giao điểm ca
AC
BD
. Tính theo
a
th tích khi chóp
SAMBN
xác đnh tâm,bán kính mt cu ngoi tiếp
khi chóp
SAMON
.
Bài 12. Cho hình vuông
ABCD
cnh bng
2
a
. Ly điểm
H
trên đoạn
AC
sao cho
2
a
AH
. Trên đường thng vng c vi mt phng
ABCD
ti
H
lấy điểm
S
sao cho
0
AS 45
C
.
Xác định tâm và bán kính hình cu ngoi tiếp khi chóp
SABCD
.
Bài 13. Cho t din
ABCD
,
AB AC a BC b
. Hai mt phng
ABC
BCD
vuông
góc vi nhau tam giác
BCD
vuông ti
D
. Xác đnh tâm n kính mt cu ngoi tiếp t
din
ABCD
theo
,
a b
.
Bài 14. Cho hình chóp
SABC
0 0
;ASB 60 ; 90
SA SB SC a BSC
0
120
CSA
. Xác đnh
tâmbán kính mt cu ngoi tiếp khi chóp
SABC
.
HÌNH HC KHÔNG GIAN
579
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 15. Cho tam giác
ABC
vuông cân ti
B
AB a
. T trung điểm
M
ca
AB
ta dng
đường thng vng góc vi mt phng
ABC
, trên đó ly điểm
S
sao cho tam giác
SAB
đều.
Xác định tâm và bán kính mt cu ngoi tiếp khi chóp
SABC
.
Bài 16. Cho tam giác
ABC
vuông cân ti ,
A AB AC a
.
', '
BB CC
hai đoạn thng vng
góc vi mt phng
ABC
ng phía vi mt phng
ABC
biết
' '
BB CC a
. Tính th tích
khi chóp
' '
ABCC B
xác định tâm, bán kính mt cu ngoi tiếp khi chóp
' '
ABCC B
.
Bài 17. Cho hình lăng trụ tam giác đều
' ' '
ABCA B C
cạnh đáy bng
a
. Gi
, ,
M N P
lần lượt
trung đim ca
' , ,
A A AB BC
biết mt phng
MNP
to vi mt phng
ABC
góc
0
60
. Tính
th tích khi chóp
'
MNPC
xác định tâm, bán kính mt cu ngoi tiếp khi chóp
'
ABPC
.
Bài 18. Cho hình chóp
SABCD
. Hai mt bên
SAB
SAD
cùng vuông góc vi mặt đáy. Biết
đáy
ABCD
t giác ni tiếp trong đường tròn tâm
O
bán kính
R
. Xác đnh m n kính
khi cu ngoi tiếp khi chóp
SABCD
biết
SA h
.
Bài 19. Cho nh cu
S
đường kính
2
AB R
, lấy điểm
H
trên
AB
sao cho
(0 2 )
AH x x R
. Mt phng
P
vuông góc vi
AB
ti
H
ct mt cu
S
theo giao tuyến
đường tròn
C
.
MNPQ
là hình vuông ni tiếp trong đường tròn
C
1.
Tính bán kính đường tròn
C
độ dài ,
AC MN
.
2.
Tính th tích khi đa diện to bi hai khi chóp
AMNPQ
BMNPQ
.
Bài 20. Cho hình chóp t giác giác đều
SABCD
cạnh đáy bng
a
, tâm của đáy
O
, chiu cao
2
a
SH
.
1.
Chng minh rng có mt cu
S
tiếp xúc vi tt c các mt ca hình chóp
SABCD
. Xác định
tâmbán kính
R
ca mt cầu đó.
2.
Gi
P
mt phng song song và cách mt phng
ABCD
mt khong bng
(0 )
x x R
.
Gi
S
phn din tích to bi
P
hình chóp( b đi phần din tích nm trong mt cu
S
).
Xác định
x
để
2
S R
.
HÌNH HC KHÔNG GIAN
580
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 21. Cho hình chóp t giác đều
SABCD
chiu cao và cnh đáy cùng bằng
a
. Gi
,
E K
ln
lượt trung điểm ca các cnh
,
AD BC
.Tính din tích xung quanh, th tích ca mt cu
S
ngoi tiếp khi chóp
SEBK
.
Bài 22. Cho t din
ABCD
, ,
AB CD a AC BD b AD BC c
. Xác đnh m bán
kính mt cu ngoi tiếp t din
ABCD
.
Bài 23. Cho nh chóp t giác đều
SABCD
cạnh đáy bng
a
, các cnh bên to với đáy góc
0
30
. Tính thch khi cu ngoi tiếp khi chóp
SABCD
.
Bài 24. Cho hình chóp cụt tam giác đều ngoi tiếp mt hình cu n kính
r
. Tính th tích khi
chóp ct biết cạnh đáy lớn gấp đôi cạnh đáy nhỏ.
Bài 25. Cho hình chóp tam giác đều
SABC
độ dài cnh bên bng
a
. Các mt bên hp với đáy
góc
. Tính thch khi cu ngoi tiếp hình chóp
SABC
.
BÀI TP V HÌNH TR VÀ HÌNH NÓN
Bài 1. Cho hình tr hai đáy hai hình tn tâm
, '
O O
. Bán kính đáy bng chiu cao bng
a
. Trên đường tròn đáy tâm
O
lấy điểm
A
, trên đường tròn đáy tâm
B
lấy điểm
B
sao cho
2
AB a
.
1.
Tính din tích toàn phn ca hình tr th tích ca khi tr.
2.
Tính thch t din
'
OABO
.
Bài 2. Cho hình tr tròn xoay và nh vuông
ABCD
cnh bng
a
, hai đnh
,
A B
nm trên
đường tròn đáy thứ nhất hai đỉnh
,
C D
nằm trên đường tròn đáy thứ hai. Biết mt phng
ABCD
to với đáy hình tr mt góc
0
45
. Tính din tích xung quanh và din tích ca hình tr.
Bài 3. Cho hình nón đnh
S
đáy hình tn tâm
O
,
,
SA SB
hai đưng sinh. Biết
3
SO a
,
khong cách t
O
đến mt phng
SAB
bng
a
, din tích tam giác
SAB
bng
2
18
a
. Tính din
tích xung quanh và th tích hình nón.
HÌNH HC KHÔNG GIAN
581
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
BÀI TẬP TỔNG HỢP
1.1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O. Hình chiếu ca S lên mặt đáy
trùng với điểm H trung điểm của đoạn AO. Mt phng (SAD) to với đáy một
góc 600 và AB=a. Tính theo a th tích khi chóp S.ABCD và khong cách giữa hai đường
thng AB và SC.
1.2. Cho hình lăng trụ
. ' ' '
ABC A B C
độ dài cnh bên bằng 2a, đáy
ABC
là tam giác vuông
ti
, , 3
A AB a AC a
hình chiếu vuông góc của đnh
'
A
trên mt phng
ABC
trung đim ca cnh
BC
. Tính th tích khi chop
. ' '
A BCC B
theo a.
1.3. Cho hình chóp
SABCD
đáy
ABCD
hình vuông cnh a, tam giác
SAB
đều, tam
giác
SCD
vuông cân ti S. Gi
, ,
I J K
lần lượt trung đim các cnh
, ,
AB CD SA
.
Chng minh rng
SIJ ABCD
và tính th tích khi chóp
.
K IBCD
.
1.4. Cho hình chóp
SABCD
đáy
ABCD
là hình thang vuông ti
,
A B
đáy nhỏ
BC
.
Biết tam giác
SAB
đều độ dài cnh 2a nm trong mt phng vng c với đáy, đọ
dài
5
SC a
khong ch t D đến mt phng
SHC
bng
2 2
a
, vi H trung
điểm ca AB. Tính thch ca khi chóp
.
S ABCD
theo a.
1.5. Cho nh chóp t giác đu
.
S ABCD
có cnh bên to vi đáy mt góc
0
60
và cạnh đáy
bng a. Tính th tích khi chóp
.
S ABCD
, qua A dng mt phng
P
vuông góc vi
SC. Tính din tích thiết din to bi mt phng
P
và hình chóp
SABCD
.
1.6. Cho hình chóp
SABC
đáy
ABC
là tâm giác vuông cân ti A,
2
AB a
. Gi I
trung đim cnh BC. Hình chiếu vng c H ca S lên mt phng
ABC
tha mãn
2
IA IH
. Góc gia SC mt phng đáy
ABC
bng
0
60
. Tính th tích khi chóp
SABC
và khong cách t trung đim K của SB đến mt phng
SAH
.
HÌNH HC KHÔNG GIAN
582
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
1.7. Cho hình chóp
SABC
đáy
ABC
tam giác vuông n ti C, cnh huyn bng 3a,
trng tâm là G
14
,
2
a
SG ABC SB . Tính th tích khi chóp
SABC
và khong
cách t B đến mt phng
SAC
.
1.8. (TSĐH Khối D 2011) Cho hình chóp
.
S ABC
đáy
ABC
tam giác vuông ti
, 3
B BA a
4 ;
BC a
mt phng
SBC
vuông góc vi mt phng
ABC
. Biết
2 3
SB a
và
0
30
SBC
. Tính th tích khi chóp
.
S ABC
khong cách t đim
B
đến
mt phng
SAC
theo
a
.
1.9. (TSĐH Khối B 2011) Cho lăng trụ
1 1 1 1
.
ABCD A B C D
đáy
ABCD
hình ch nht.
, 3
AB a AD a
. Hình chiếu vuông c của điểm
1
A
trên mt phng
ABCD
trùng
với giao đim ca
AC
BD
. Góc gia hai mt phng
1 1
ADD A
ABCD
bng
0
60
.
Tính th tích khi lăng tr đã cho và khong cách t đim
1
B
đến mt phng
1
A BD
theo
a
.
1.10. (TSĐH Khối A 2011) Cho hình chóp
.
S ABC
đáy
ABC
tam giác vng n ti
B
2
AB BC a
. Hai mt phng
SAB
SAC
cùng vng c vi mặt đáy
ABC
.
Gi
M
là trung đim
AB
; mt phng qua
SM
song song vi
BC
, ct
AC
ti
N
. Biết
góc gia hai mt phng
SBC
ABC
bng
0
60
. Tính th tích khi chóp
.
S BCNM
khong cách giữa hai đường thng
AB
SN
theo
a
.
1.11. Cho hình chóp
.
S ABC
đáy
ABC
tam giác vuông ti
C
, ,
CA a CB b
. Cnh bên
SA
vuông góc vi mt phẳng đáy. S đo góc phẳng nh din cnh
BC
ca hình chóp
.
S ABC
bng
. Gi
D
là trung đim cnh
AB
.
- Tính thch khi chóp
.
S ABC
- Tính khong cách giữa hai đường thng
AC
SD
- Tính khong cách giữa hai đường thng
BC
SD
.
HÌNH HC KHÔNG GIAN
583
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
1.12. Cho hình chóp
.
S ABC
SA
vuông góc vi mặt đáy
ABC
tam giác
ABC
cân ti
A
;
cnh bên
SB
lần lưt to vi mt phẳng đáy, mt phng trung trc ca
BC
các c bng
0 0
30 ,45
, khong cách t
S
đến cnh
BC
bng
a
. Tính th tích khi chóp
.
S ABC
theo
a
.
1.13. Cho hình chóp tam giác đều c gia cnh bên mt phẳng đáy bng
0
60
. Khong
cách gia mặt bên và đỉnh đối din bng 6. Tính th tích ca khi chóp đã cho.
1.14. (TSĐH Khối A 2010) Cho hình chóp
.
S ABCD
đáy
ABCD
là hình vuông cnh
a
. Gi
,
M N
lần lượt là trung điểm các cnh
AB
AD
;
H
là giao đim ca
CN
DM
. Biết
SH
vuông góc vi mt phng
ABCD
3
SH a
. Tính th tích khi chóp
.
S CDNM
tính khong cách giữa hai đường thng
DM
SC
theo
a
.
1.15. (TSĐH Khối B 2010) Cho hình lăng trụ tam gc đều
. ' ' '
ABC A B C
AB a
, góc gia
hai mt phng
'
A BC
ABC
bng
0
60
. Gi
G
trng m tam giác
'
A BC
. Tính
th tích khi lăng trụ đã cho và bán kính mt cu ngoi tiếp t din
GABC
theo
a
.
1.16. (TSĐH Khối D 2010) Cho hình chóp
.
S ABCD
đáy
ABCD
hình vuông cnh
a
.
Cnh n
SA a
, nh chiếu vuông c của đỉnh
S
trên mt phng
ABCD
điểm
H
thuc đoạn ,
4
AC
AC AH . Gi
CM
là đường cao ca tam giác
SAC
. Chng minh
M
trung đim ca
SA
và tính th tích khi t din
SMBC
theo
a
.
1.17. Cho nh chóp
.
S ABCD
đáy
ABCD
hình thoi cnh
0
, 60
a BAD .
SA
vuông góc
vi mt phẳng đáy
,
ABCD SA a
. Gi
'
C
trung điểm ca
SC
. Mt phng
P
đi
qua
AC
song song vi
BD
ct các cnh
,
SB SD
lần lưt ti
', '
B D
. Tính th tích khi
chóp
. ' ' '
S AB C D
.
1.18. Cho nh chóp
.
S ABCD
đáy
ABCD
nh ch nht
, , 2
AB a AD a
. cnh
SA
vuông c với đáy
ABCD
, cnh
SB
hp vi đáy mt góc
0
60
. Trên
SA
lấy điểm
M
sao cho
3
3
a
AM . Mt phng
BCM
ct
SD
ti
N
. Tính th tích khi chóp
.
S BCMN
.
HÌNH HC KHÔNG GIAN
584
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
1.19. Cho hình chóp
.
S ABCD
đáy
ABCD
hình vuông cnh
a
.Chân đường vuông c h
t
S
trùng vi trng tâm tam giác
ABD
. Mt bên
SAB
to vi mt phẳng đáy
ABCD
góc
0
60
. Tính theo
a
th ch khi chóp
SABCD
khong cách t
B
đến mt phng
SAD
.
1.20. Cho hình lăng tr đứng
. ' ' ' '
ABCD A B C D
đáy
ABCD
hình thoi,
0
3, 120
AB a BAD . Biết c giữa đường thng
'
AC
mt phng
' '
ADD A
bng
0
30
. Tính th tích khi lăng tr trên theo
a
khong cách t trung đim
N
ca
'
BB
đến
mt phng
'
C MA
. Biết
M
là trung điểm ca
' '
A D
.
1.21. Cho hình chóp
SABC
góc to bi hai mt phng
SBC
ABC
bng
0
60
,
ABC
SBC
là các tam giác đều cnh
a
. Tính khong cách t đỉnh
B
đến mt phng
SAC
.
1.22. Cho hình chóp
.
S ABCD
đáy
ABCD
hình vuông cnh 2 ,
a SA a
3
SB a
. Mt
phng
SAB
vuông góc vi mặt đáy
ABCD
. Gi
,
M N
lần lượt là trung điểm ca các
cnh
AB
BC
. Tính theo
a
th tích khi chóp
SBMDN
tính sin c to bi
DN
SM
.
1.23. (TSĐH Khối A 2009) Cho hình chóp
.
S ABCD
đáy
ABCD
hình thang vuông ti
A
D
2 ,
AB AD a CD a
; c gia hai mt phng
SBC
ABCD
bng
0
60
. Gi
I
trung đim ca cnh
AD
. Biết hai mt phng
SBI
SCI
cùng vuông góc vi
mt phng
ABCD
. Tính th tích khi chóp
.
S ABCD
theo
a
.
1.24. (TSĐH Khối B 2009) Cho nh lăng trụ tam giác
. ' ' '
ABC A B C
'
BB a
, góc gia
đường thng
'
BB
mt phng
ABCD
bng
0
60
, tam giác
ABC
vuông ti
C
0
60
BAC
. Hình chiếu vuông góc của điểm
'
B
lên mt phng
ABC
trùng vi trng
tâm tam giác
ABC
. Tính thch khi t din
'.
A ABC
theo
a
.
1.25. (TSĐH Khối D 2009) Cho lăng trụ đứng
. ' ' '
ABC A B C
đáy
ABC
là tam giác vuông ti
B
,
, ' 2 , ' 3
AB a A A a A C a
. Gi
M
trung đim của đoạn thng
' '
A C
,
I
giao
HÌNH HC KHÔNG GIAN
585
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
điểm ca
AM
'
A C
. Tính theo
a
th ch khi t din
IABC
khong cách t đim
A
đến mt phng
IBC
.
1.26. (TSĐH Khối A 2008) Cho lăng trụ
. ' ' '
ABC A B C
độ dài cnh bên bng
2
a
, đáy
ABC
là tam giác vuông ti
, , 3
A AB a AC a
hình chiếu vuông góc của đnh
'
A
trên mt
phng
ABC
trung điểm ca cnh
BC
. Tính theo
a
th tích khi chóp
'.
A ABC
tính cosin ca góc giữa hai đưng thng
'
A A
' '
B C
.
1.27. (TSĐH Khối B 2008) Cho nh chóp
.
S ABCD
đáy
ABCD
hình vng cnh
2 , , 3
a SA a SB a
và mt phng
SAB
vuông c vi mt phẳng đáy. Gọi
,
M N
ln
lượt là trung điểm các cnh
,
AB BC
. Tính theo
a
th tích khi chóp
SBMDN
tính
cosin c giữa hai đường thng ,
SM DN
.
1.28. (TSĐH Khối D 2008) Cho lăng trụ đứng
. ' ' '
ABC A B C
đáy
ABC
tam giác vuông
AB BC a
, cnh bên
' 2
A A a
. Gi
M
trung đim cnh
BC
. Tính theo
a
th
tích khi lăng tr
. ' ' '
ABC A B C
và khong cách giữa hai đưng thng
AM
'
B C
.
1.29. (TSĐH Khối A 2007) Cho hình chóp
.
S ABCD
đáy
ABCD
hình vuông cnh
a
,
mt bên
SAD
là tam giác đều và nm trong mt phng vuông góc với đáy. Gọi
, ,
M N P
lần lượt là trung đim các cnh
, ,
SB BC CD
. Chng minh
AM
vuông góc vi
BP
tính
th tích khi t din
CMNP
.
1.30. (TSĐH Khối B 2007) Cho hình chóp t giác đều
.
S ABCD
đáy là hình vuông cnh
a
.
Gi
E
điểm đối xng ca
D
qua trung đim ca
SA
,
M
trung điểm ca
AE
,
N
trung đim ca
BC
. Chng minh
MN
vuông góc vi
BD
tính theo
a
khong cách
giữa hai đường thng
,
MN AC
.
1.31. (TSĐH Khối D 2007) Cho hình chóp
.
S ABCD
đáy hình thang,
0
90
ABC BAD
,
, 2
BA BC a AD a
. Cnh bên
2
SA a
vuông c với đáy. Gọi
H
nh chiếu
vuông góc ca
A
lên
SB
. Chng minh tam giác
SCD
vuông và tính theo
a
khong cách
t
H
đến mt phng
SCD
.
HÌNH HC KHÔNG GIAN
586
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
1.32. (TSĐH Khối B 2006) Cho hình chóp
.
S ABCD
đáy
ABCD
hình ch nht vi
,
AB a
2,
AD a SA a
SA
vuông góc vi
ABCD
. Gi
,
M N
lần lượt là trung
điểm ca
AD
SC
,
I
giao đim ca
BM
AC
. Chng minh rng mt phng
SAC
vuông góc vi mt phng
SMB
. Tính th tích khi t din
ANIB
.
1.33. (TSĐH Khối D 2006) Cho hình chóp
.
S ABC
đáy
ABC
tam giác đều cnh
, 2
a SA a
SA
vuông c vi mt phng
ABC
. Gi
,
M N
lần lượt là hình chiếu
vuông góc ca
A
trên các đường thng
,
SB SC
. Tính thch khi chóp
.
A BCMN
.
1.34. (TSĐH Khối A 2002) Cho hình chóp tam giác đu
.
S ABC
đỉnh
S
, độ dài cnh đáy
bng
a
. Gi
,
M N
lần lượt là trung đim ca
,
SB SC
. Tính theo
a
din tích tam giác
AMN
, biết rng mt phng
AMN
vuông góc vi mt phng
SBC
.
1.35. (TSĐH Khối A 2002) Cho hình lp phương
. ' ' ' '
ABCD A B C D
. Tính s đo góc phẳng
nh din
, ' ,
B A C D
.
1.36. (TSĐH Khối B 2002) Cho hình lập phương
1 1 1 1
.
ABCD A B C D
cnh bng
a
.
1.
Tính theo
a
khong cách giữa hai đường thng
1
A B
1
B D
.
2.
Gi
, ,
M N P
lần lượt là trung điểm ca
1 1 1
, ,
BB CD A D
. Tính góc giữa hai đường thng
MP
1
C N
.
1.37. (TSĐH Khối D 2003) Cho 2 mt phng
P
Q
vuông góc vi nhau, giao tuyến
đường thng
. Trên
lấy hai điểm
,
A B
vi
AB a
. Trong mt phng
P
lấy điểm
C
,
trong mt phng
Q
lấy điểm
D
sao cho
,
AC BD
cùng vng c vi
AC BD AB
. Tính n kính mt cu ngoi tiếp t din
ABCD
tính khong cách t
A
đến mt phng
BCD
theo
a
.
1.38. (TSĐH Khối B 2003) Cho hình lăng tr đứng
. ' ' ' '
ABCD A B C D
đáy
ABCD
mt
hình thoi cnh
a
, c
0
60
BAD
. Gi
M
trung điểm cnh
'
A A
N
trung điểm
cnh
'
CC
. Chng minh bốn điểm
', , ,
B M D N
cùng thuc mt mt phng. y tính độ
dài cnh
'
A A
theo
a
để t giác
'
B MDN
là hình vuông.
HÌNH HC KHÔNG GIAN
587
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
1.39. (TSĐH Khối B 2004) Cho hình chóp t giác đu
.
S ABCD
cạnh đáy bằng
a
, góc gia
cnh bên mặt đáy bằng
0 0
0 90
. Tính
tan
ca góc gia hai mt phng
SAB
ABCD
theo
. Tính th tích khi chóp
.
S ABCD
theo
a
.
1.40. Khi chóp
SABCD
đáy là hình nh hành,
M
trung điểm ca
SC
. Mt phng
P
đi qua
AM
, song song vi
BD
chia khi chóp làm hai phn. Tính t s th tích hai phn
đó.
1.41. Khi chóp
.
S ABCD
đáy là hình vuông cnh
a
SA
vuông c vi mt phẳng đáy
, 2
ABCD SA a
. Gi
,
E F
lần lượt là hình chiếu ca
A
trên
,
SB SD
;
I
giao đim
ca
SC
mt phng
AEF
. Tính thch khi chóp
.
S AEIF
.
1.42. Cho lăng trụ đứng
1 1 1
.
ABC A B C
đáy tam giác đều. Mt phng
1
A BC
to vi mt
phng
ABC
mt góc
0
30
và tam gc
1
A BC
có din tích bng
8
. Tính th tích khi lăng
tr đã cho.
1.43. Cho lăng trụ
1 1 1
.
ABC A B C
đáy là tam giác vuông cân, cạnh huyn
2
AB
. Mt phng
1
A AB
vuông c vi mt phng
1
, 3
ABC AA , góc
1
A AB
nhn , mt phng
1
A AC
to vi mt phng
ABC
mt góc
0
60
. Tính th tích khi lăng trụ.
1.44. Cho lăng trụ t giác đều
1 1 1 1
.
ABCD A B C D
khong cách gia hai đường thng
AB
1
A D
bằng 2, độ i đưng chéo mt bên bng
5
. H
AK
vuông c vi
1
A D
ti
K
.
Chng minh rng
2
AK
tính th tích khi lăng trụ đã cho.
1.45. Cho hình t din
ABCD
cnh
AD
vuông góc vi mt phng
ABC
4; 3; 3
AC AD AB BC
. Tính khong cách t
A
đến mt phng
BCD
.
1.46. Cho hình chóp tam giác đều
.
S ABC
độ dài cạnh đáy bằng
a
. Gi
,
M N
lần lưt là
trung đim cnh bên
,
SB SC
. Tính theo
a
din tích tam giác
AMN
, biết rng mt phng
AMN
vuông góc vi mt phng
SBC
.
1.47. Cho hình chóp
.
S ABC
3
SA a
vuông c vi mặt đáy
ABC
. Tam giác
ABC
0
2 , 120
AB BC a ABC . nh theo
a
khong cách t
A
đến mt phng
SBC
.
HÌNH HC KHÔNG GIAN
588
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
1.48. Cho hình chóp tam giác
.
S ABC
các cnh bên
SA SB SC a
, góc
0 0 0
AS 120 , 60 , 90
B BSC CSA . Chng minh tam giác
ABC
vuông và tính th tích
khối chóp đã cho.
1.49. Cho hình chóp t giác đều
.
S ABCD
khong cách t
A
đến mt phng
SBC
bng
2
a
, góc gia mt bên mặt đáy bằng
. Tính th tích khi chóp đã cho theo
,
a
. Xác
định
để th ch đó nhỏ nht.
1.50. Cho hình chóp
.
S ABCD
đáy
ABCD
hình ch nht
, , 2
AB a AD a
SA a
vuông c vi mt đáy. Gọi
,
M N
lần lượt trung điểm ca
,
AD SC
I
giao đim
ca
,
BM AC
. Chng minh rng mt phng
SAC
vuông góc vi mt phng
SMB
tính th tích khi chóp
ANIB
.
1.51. Cho hình lăng trụ đứng
. ' ' '
ABC A B C
đáy
ABC
tam giác vuông ti
, , ' 2 , ' 3
B AB a AA a A C a
. Gi
M
trung điểm của đoạn
' '
A C
I
giao đim
ca
AM
'
A C
. Tính theo
a
th ch khi t din
IABC
khong cách t
A
đến mt
phng
IBC
.
1.52. Cho hình chóp tam giác đều
SABC
7
SC a
. c to bi mt phng
SAB
mt
phng
ABC
bng
0
60
. Tính th tích khi chóp
.
S ABC
theo
a
.
1.53. Cho hình chóp
.
S ABCD
đáy
ABCD
hình thoi cnh
a
, c
,
3
2
a
SO
vuông góc vi mt phẳng đáy(
O
tâm mặt đáy),
M
là trung điểm ca
AD
. Gi
P
mt phng qua
BM
song song vi
SA
, ct
SC
ti
K
. Tính th tích khi chóp
KABCD
.
1.54. Cho hình chóp
SABCD
đáy
ABCD
là nh vng cnh
a
. Mt phng
SAC
vuông
góc với đáy, c
0
AS 90
C
SA
to với đáy mt góc
0
60
. Tính th tích khi chóp đã
cho.
0
60
ABC
HÌNH HC KHÔNG GIAN
589
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
1.55. Cho hình lăng trụ
. ' ' '
ABC A B C
đáy
ABC
tam giác đều cnh
a
. Mt phng
P
cha
BC
vuông c vi
'
AA
cắt lăng trụ theo mt thiết din din tích bng
2
3
8
a
.
Tính thch khi lăng trụ đã cho.
1.56. Cho hình chóp
SABC
, ; 3
2
a
AB AC a BC SA a
, góc
0
30
SAB SAC
. Tính
theo
a
thch khi chóp
.
S ABC
.
1.57. Cho hình chóp t giác đều
SABCD
cạnh đáy bằng
a
. Gi
G
trng tâm tam giác
SAC
, khong cách t
G
đến mt bên
SCD
bng
3
6
a
. Tính theo
a
th tích khi chóp
.
S ABCD
khong cách t tâm mặt đáy đến mt bên
SCD
.
1.58. Cho lăng trụ đứng
1 1 1
.
ABC A B C
1
, 2 , 2 5
AB a AC a AA a
và góc
0
120
BAC
. Gi
M
trung đim ca cnh
1
CC
. Chng minh rng
MB
vuông c vi
1
MB
tính
khong cách t
A
đến mt phng
1
A MB
.
1.59. Cho hình chóp
.
S ABC
góc gia hai mt phng
SBC
ABC
bng
0
60
. Các tam
giác
SBC
ABC
các tam giác đu cnh bng
a
. Tính theo
a
khong cách t
B
đến
mt phng
SAC
.
1.60. Trong mt phng
P
cho nửa đường tròn đường kính
2
AB R
, gi
S
điểm nm trên
đường thng vuông c vi mt phng
P
tại trung điểm ca
AB
điểm
C
thuc na
đường tròn sao cho góc gia hai mt phng
SAB
SBC
bng
0
60
. Gi
,
H K
ln
lượt là nh chiếu vuông góc ca
A
lên
,
SB SC
. Chng minh rng tam giác
AHK
vuông
tính theo
R
thch khi chóp
.
S ABC
.
1.61. Cho lăng trụ đứng
1 1 1
.
ABC A B C
có tt c các cnh bng
a
. Gi
M
là trung đim ca
1
AA
.
Chng minh rng
BM
vuông góc vi
1
B C
và tính khong cách giữa hai đường thẳng đó.
| 1/36

Preview text:

Chuyên đề 8: Hình học không gian Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Email : dangnamneu@gmail.com Yahoo: changtraipkt Mobile: 0976266202 CHUYÊN ĐỀ 8:
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 554 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Chuyên đề 8: Hình học không gian 555 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Email : dangnamneu@gmail.com Yahoo: changtraipkt Mobile: 0976266202
Các yếu tố trong tam giác cần nắm vững
+ Với tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH khi đó 1 1 1 2 2 2 2 2
BC AB AC ; AB BH.BC; AC CH.BC;   2 2 2 AH AB AC
+ Với tam giác ABC có các cạnh là , a ,
b c độ dài các trung tuyến m , m , m và có bán kính a b c
đường tròn ngoại tiếp R , bán kính đường tròn nội tiếp r , nửa chu vi là p khi đó 2 2 2 2 2 2 2 2 2
b c a
c a b
a b c
Định lý cosin: cos A  , cos B  , cos C  . 2bc 2ca 2ab Từ đó tính được: 2 sin A  1 o
c s A,sin B, sin C. a b c Định lý hàm số sin:    2R sin A sin B sin C
Độ dài đường trung tuyến: 2 2 2 b c  2  a 2 2 2 c a  2  b 2 2 2 a b  2  c 2 2 2 m  ; m  ; m  . a 4 b 4 c 4 Diện tích tam giác: 1 1 1 S  . a h  . b h  . c h 2 a 2 b 2 c 1 1 1 S ab sin C bc sin A  a c sin B 2 2 2 abc S   pr
p p a  p b p c 4R 2 a 3
Với tam giác đều cạnh a thì có diện tích là S  4 1
Diện tích hình thang S
a b.h ( ,
a b là hai cạnh đáy và h là chiều cao). 2 556 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 1
Tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau SAC.BD ABCD 2
Các công thức tính thể tích
+ V (khối hộp chữ nhật)  abc ( với , a ,
b c là ba kích thước của hình hộp chữ nhật). 1 + V (khối chóp) 
dt (đáy) .chiều cao 3
+ V (khối lăng trụ)  dt (đáy).chiều cao 4 + V (khối cầu) 3   R 3
Phương pháp xác định chiều cao của khối chóp
Loại 1: Khối chóp có một cạnh vuông góc với đáy đó chính là chiều cao của khối chóp.
Loại 2: Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chính là đường kẻ từ đỉnh
khối chóp đến giao tuyến của mặt bên đó với đáy khối chóp.
Loại 3: Khối chóp có hai mặt bên kề nhau cùng vuông góc với đáy thì đường cao chính là giao
tuyến của hai mặt bên đó.
Loại 4: Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc cùng tạo với đáy một góc bằng nhau thì
đường cao là đường kẻ từ đỉnh khối chóp đến tâm vòng tròn ngoại tiếp đáy.
Loại 5: Khối chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy một góc bằng nhau thì đường cao là đường
kẻ từ đỉnh đến tâm vòng tròn nội tiếp đáy.
Loại 6: Khối chóp có hai mặt bên cùng tạo với đáy một góc bằng nhau thì chân đường cao khối
chóp hạ từ đỉnh sẽ nằm trên đường phân giác của góc tạo bởi hai cạnh nằm trên mặt đáy của hai
mặt bên. Chẳng hạn khối chóp S.ABCD có hai mặt bên SAC  và  SAB cùng tạo với đáy góc
khi đó chân đường cao của khối chóp hạ từ đỉnh S nằm trên đường phân giác của góc BAC .
Loại 7: Khối chóp có hai cạnh bên bằng nhau hoặc cùng tạo với đáy một góc bằng nhau thì chân
đường cao hạ từ đỉnh khối chóp nằm trên đường trung trực nối giữa hai giao điểm của hai cạnh
bên với đáy. Chẳng hạn khối chóp S.ABCD có cạnh SB SD khi đó chân đường cao của khối
chóp hạ từ đỉnh S nằm trên đường trung trực của BD .
Việc xác định chân đường cao của khối chóp giúp ta giải quyết bài toán 557 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 1
+ Tính thể tích khối chóp thông qua công thức V (khối chóp) 
dt (đáy) .chiều cao. 3
+ Tính góc tạo bởi đường thẳng hoặc mặt phẳng bên với đáy hoặc tính góc giữa hai mặt bên khối
chóp(góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy chính là góc tạo bởi cạnh bên và đường thẳng nối chân
đường cao khối chóp và giao điểm của cạnh bên với đáy). Chẳng hạn khối chóp SABCD có chân
đường cao hạ từ đỉnh S của khối chóp là H khi đó góc tạo bởi cạnh bên SA và mặt phẳng đáy
chính là góc giữa hai đường thẳng SA AH . 3V
+ Tính khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng: h  . Sd
Phương pháp tính thể tích khối đa diện
+ Khi xác định được chiều cao khối chóp thì áp dụng cách tính trực tiếp thể tích khối chóp nhờ 1
công thức V (khối chóp) 
dt (đáy) .chiều cao. 3
+ Phân chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện hơn và dễ tính thể tích hơn.
+ Dùng tỷ số thể tích:
Cho ba đường thẳng không đồng đồng phẳng S ,
A SB, SC các điểm A' S ; A B ' S ; B C ' SC khi
đó ta có tỷ số thể tích
V SA' B 'C '
SA'.SB '.SC '  V SABCS . A S . B SC
V A' ABC A' AV SABCSA
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng -
Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng  P thì khoảng cách từ mọi điểm trên d đến P là như nhau. -
Đường thẳng d cắt mặt phẳng  P tại điểm M và có hai điểm ,
A B trên d sao cho
AM kBM thì d  ;
A P  k.d  ;
B P . Áp dụng khi tính khoảng cách trực tiếp từ một điểm
đến mặt phẳng khó khăn.
Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện
Giả sử I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện S.A A ...A khi đó 1 2 n 558 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
+ I thuộc trục đường tròn đáy là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và vuông
góc với mặt phẳng đáy.
+ I cách đều tất cả các điểm S, A , A ,..., A nên I phải nằm trên mặt phẳng trung trực của SA . 1 2 n i
Để chứng minh các điểm đều thuộc một mặt cầu
+ Chứng minh các điểm cùng nhìn một cạnh dưới một góc 0 90 .
+ Chứng minh chúng cách đều một điểm nào đó.
Dưới đây trình bày 4 bài toán cơ bản nhất, các em nên nắm vững để áp dụng vào bài thi
Bài toán cơ bản 1: Cho khối chóp có diện tích đáy là S và chiều cao khối chóp h khi đó thể tích 1
khối chóp được xác định theo công thức V S.h . 3
Bài toán cơ bản 2: Cho khối chóp S.ABC trên các cạnh S ; A S ;
B SC lần lượt lấy các điểm
A'; B ';C ' . Khi đó ta có V SA SB SC S . ABC  . . V SA SB SC S. A B C 1 1 1 1 1 1
Bài toán cơ bản 3: Cho tứ diện ABCD , có d là khoảng cách giữa hai đường thẳng A , B CD
là góc giữa hai đường thẳng đó. Khi đó thể tích tứ diện ABCD được xác định theo công thức 1 VA . B C . D d.sin ABCD 6 Chứng minh: 559 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN A E B D C
Dựng hình bình hành ABCE , khi đó  ECD Ta có VVV
( do AE song song với mặt phẳng BCD ) ABCD E.BCD B.CED
Do AB song song với mặt phẳng CED nên khoảng cách giữa A ;
B CD cũng chính là khoảng cách
từ B đến mặt phẳng CED Vậy VV ABCD B.CED 1 1  d  1 ;
B CED. CE.C . D sinA . B C . D d.sin 3 2 6
Bài toán cơ bản 4: Tính thể tích khối tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau AB CD  ;
a AC BD  ;
b AD BC c . Lời giải:
Dựng tứ diện APQR sao cho ;
B C; D lần lượt là trung điểm của Q ; R R ; P PQ 560 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 1
Ta có AB CD QR , mà B A 2
lại là trung điểm của QR suy ra
tam giác AQR vuông tại A AQ AR
Một cách tương tự, ta cũng có AP A ; Q AR AP 1 Q P Do SS BCD D 4 PQR 1 1 1 BVV  . A . Q A . R AP ABCD C 4 APQR 4 6 R Ta xác định A ; Q A ; P AR :
Theo định lý pitago ta có:
AQ AR QR  2CD2 2 2 2 2  4a  
AQ AP QP   2BC 2 2 2 2 2  4c
AP AR PR   2BD2 2 2 2 2  4b
Từ đây suy ra: AQ   2 2 2
a b c AP   2 2 2
a b c AR   2 2 2 2 ; 2 ;
2 a b c  2 Vậy V
a b c
c b a
c b a ABCD  2 2 2  2 2 2  2 2 2  12 1.1.
PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG CÔNG THỨC TRỰC TIẾP -
Với những khối chóp ta xác định được đường cao một cách tương đối dễ thì nên áp dụng
cách này. Đây cũng là cách thông dụng nhất để giải các bài toán thi đại học, vì mức độ yêu cầu
học sinh nắm chắc cách vận dụng kiến thức. 561 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật; AB  ;
a AD  2a . Cạnh SA
vuông góc với mặt phẳng đáy  ABCD , cạnh bên SB tạo với mặt đáy một góc 0 60 . Trên cạnh a 3
SA lấy điểm M sao cho AM
; mặt phẳng  BCM  cắt cạnh SD tại N . Tính thể tích khối 3 chóp S.BCNM . Lời giải:
Do AD song song với BC nên S giao tuyến của mặt phẳng
BCM  với mặt phẳng SAD là
đường thẳng MN song song với N AD H D C M Lại có BC AB
BC  SAB  BC BM BC SA
vậy thiết diện là hình thang vuông A B BCNM
AB là hình chiếu của SB trên mặt phẳng  ABCD nên góc giữa cạnh SB và mặt phẳng  
SAB  chính là góc 0 SBA  60 Suy ra 0
SA AB tan 60  a 3
Xét tam giác SAD có: a 3 a 3  MN SM SA AM SA AM 4 3 a    MN  .AD  .2a AD SA SA SA a 3 3 562 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 2a 3 Và 2 2 BM AB AM  3 2 1 1  4a  2a 3 10a 3
Diện tích hình thang BCNM SAB MN BM a   BCNM   2 .   2 2  3  3 9
Hạ SH BM , thì do BC   SAB  SH BC SH   BCNM
Vậy SH chính là đường cao của khối chóp S.BCNM AM 3  1 0  0 tan ABH  
ABH  30  SBH  30  SH SB a AB 3 2 2 3 1 1 10a 3 10a 3 Vậy VS .SH  . .a S .BCNM 3 BCNM 3 9 27
Cách khác: Sử dụng tỷ số thể tích; tính thể tích khối chóp S.BCNM theo tổng thể tích của khối
chóp SBMN SBCN V SM SN - S.BMN  . V SA SD S.BAD V SN - S .BCN V SD S.BCD
( chi tiết xem phương pháp tỷ số thể tích).
Bài 2. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A ' B 'C ' có tất cả các cạnh bằng a. Mặt phẳng  P đi
qua A và vuông góc với B 'C chia khối lăng trụ ABC.A ' B 'C ' thành hai khối đa diện; một khối
chứa đỉnh C , một khối chưa đỉnh B ' . Tính thể A C
tích của khối chứa đỉnh B ' . M Lời giải: B N
Gọi M là trung điểm của BC ; kẻ MN song song
với BC ' N CC '
Khi đó MN B 'C 563 Dang Thanh Nam A' C'
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam B'
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN AM BC Và 
AM   BCC ' B '  AM B 'C vì vậy tam giác AMN chính là thiết diện của AM BB ' 
lăng trụ cắt bởi mặt phẳng  P 2 3 a 3 a 3 Ta có VAA'.S  . a
ABC. A' B 'C ' ABC 4 4 3 1 1 a 3 1 a a a 3 VAM .S  . . . .  Vậy . A CMN 3 CMN 3 2 2 2 2 48 3 11a 3 VVV  (dvtt)
AA' BMNC ' B '
ABC. A' B 'C ' . A CMN 48
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AD ;
SD vuông góc với mặt phẳng đáy  ABCDAD  2 ; a AB C ; D SD a  0
BAD  60 . Trên các đường thẳng vuông góc với mặt phẳng  ABCD tại ; A ;
B C lần lượt lấy các
điểm A'; B ';C ' ( A'; B ';C ' cùng phía với S ). Tính thể tích khối chóp S.ABCD và chứng minh rằng VV . S .ABC
D. A' B 'C ' Lời giải:
Gọi I là trung điểm của AD A' D'
Do AB CD nên BC song song với AD , suy O'
ra tứ giác ABCD là hình thang cân B' C' Lại có  0 BAD  60
Suy ra tam giác IAB đều, cũng có ICD đều;
IBC đều cạnh a 2 2 a 3 3a 3 D Vậy S  3S  3.  A ABCD IAB I 4 4 O B C 564 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Chứng minh: VV S .ABC
D. A' B 'C ' 2 3 1 1 3a 3 a 3 Suy ra VS . D S  . . a  (dvtt) S . ABCD 3 ABCD 3 4 4
Gọi AC BD   
O ; A' C ' B ' S  O  '
Do OO ' song song với SD nên ta có: d  ;
D A' B 'C ' SD
d S; ABC SD  ;  d  ;
O A' B 'C ' OO '
d O '; ABC OO ' Từ đó suy ra SD SD VV ;VV S . ABC O '. ABC
D. A' B 'C '
O. A' B 'C ' OO ' OO '
Ta chỉ cần chứng minh: VV O '. ABC
O. A' B 'C ' Thật vậy: 1 1 - VV
d B '; ACC ' A' .S
d BB '; ACC ' A' .S
O. A' B 'C '
B '.OA'C '    OA'C'    OA'C' 3 3 1 1 - VVd ;
B ACC ' A' .S
d BB '; ACC ' A' .S O '. ABC B.O ' AC    O'AC    O' 3 3 AC Mặt khác SS
; từ đó ta có điều phải chứng minh. OA'C ' O ' AC
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Mặt phẳng SAC  và SBD
cùng vuông góc với mặt đáy  ABCD . Mặt bên SAD cân tại S và tạo với đáy một góc 0 60 .
Tính thể tích khối chóp S.ABCD . Lời giải: 565 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN S
Gọi O là tâm mặt đáy ABCD Do 
SAC    ABCD
SBD  ABCD  SO  ABCD 
SACSBD  SO
Gọi M là trung điểm của AD
Thì do tam giác SAD cân tại S nên D SM AD C
Lại có SO AD M
Từ đây suy ra AD  SMOO A
Vậy nên góc giữa mặt bên SADB
và mặt đáy  ABCD chính là góc  0 SMO  60
Mặt khác AD MO , tam giác vuông AOD OM vừa là trung tuyến lại vừa là đường cao nên
nó là tam giác cân; hay OD OA ABCD là hình vuông a 3 Vậy 0
SO OM tan 60  2 3 1 1 a 3 a 3 Vậy 2 VS .SO a .  (đvtt) S . ABCD 3 ABCD 3 2 6
Bài 5. Trên mặt phẳng  P chứa tam giác đều ABC cạnh a, D là điểm đối xứng của A qua trung
điểm I của BC . Lấy điểm S trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng  P tại D , biết a 6 SD
. Gọi H là hình chiếu của I trên SA . Chứng minh mặt phẳng  SAB vuông góc với 2
mặt phẳng SAC  . Tính thể tích khối chóp H .ABC . 566 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Lời giải:
Ta có ABCD là hình thoi( có tất cả các cạnh S đều bằng a)
Suy ra BC AD Lại có BC SD , từ đó suy ra H
BC   SAD  BC SA C
Mặt khác lại có HI SA A
Vậy SA   HBC  ; suy ra góc giữa hai mặt I phẳng  
SAB  và SAC  chính là góc BHC  Ta tính góc BHC : B D AI AS a BC
Tam giác AHI ~ ADS (g.g)    HI  
. Tam giác HBC có trung tuyến bằng HI DS 2 2
1 cạnh đối diện nên nó là hình vuông. Vậy  0 BHC  90 2
Từ đó suy ra  SAB  SAC  . 3 1 1 1 a a a 2 Ta có VAH. HI.BC  . . .a  (đvtt) H . ABC 3 2 6 2 2 24
Bài 6. Cho lăng trụ đứng có đáy ABC.A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B , góc  0
BAC  60 , bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng a và khoảng cách giữa hai đường a 3 3
thẳng A' B AC bằng
. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A ' B 'C ' . 4 Lời giải: 567 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 1.1.
Cho hình lập phương ABC .
D A ' B ' C ' D ' có cạnh bằng a. Gọi M , N lần lượt là trung
điểm các cạnh A' B '; B 'C ' . Tính theo a thể tích khối tứ diện AD ' MN và khoảng cách từ
A đến D ' N . 1.2.
Cho hình chóp đều S.ABC cạnh đáy bằng a, đường cao hình chóp bằng a 3 . Mặt phẳng
P qua cạnh BC và vuông góc với SA . Hỏi mặt phẳng P chia khối chóp thành hai
phần có tỷ số thể tích bằng bao nhiêu?. 1.3. 1.2.
PHƯƠNG PHÁP TỶ SỐ THỂ TÍCH
Nội dung: Xem bài toán cơ bản 2 BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD . Xét mặt phẳng () đi qua hai điểm ; A B và trung
điểm M của cạnh SC . Tính tỷ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó. Lời giải: S
Kẻ MN song song với SD N SD
Khi đó hình thang ABMN là thiết diện N
cắt bởi mặt phẳng () và hình chóp. M I VVV S .ABMN S. ABN S . ABM D A 568 Dang Thanh Nam O
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam C B
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Áp dụng tỷ số thể tích cho hai khối chóp S.AB ;
D S.BCD ta được: V SN SM 1 1 1 - S . ABN     VVV S . ABN S. ABD S. V SD SD 2 2 4 ABCD S. ABD V SM SN 1 1 1 1 - S .BMN  .  .  VVV S .BMN S .BCD S . V SD SD 2 2 4 8 ABCD S .BDC 3 Từ đó suy ra: VVVV S . ABMN S. ABN S. ABM S . 8 ABCD V 3 / 8 3 Suy ra: S . ABMN   . V .ABCDNM 1 3 / 8 5
Bài 2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh a , mặt bên hợp với mặt đáy một góc 0 60 . Mặt phẳng đi qua hai điểm ;
A B và trọng tâm G của tam giác SCD cắt các cạnh SC; SD lần lượt tại
E F . Tính thể tíchkhối chóp S.ABEF Lời giải:
Gọi M là trung điểm của ; CD O S
tâm hình vuông ABCD Ta có SO CD F
CD  SMO  0
SMO  60  SO OM. tan SMO G OM CDE I
Kẻ EF qua G và song song với D A
CD E SC; F SD ; khi dó thiết M
diện là hình thang cân ABEF . O C
Áp dụng tỷ số thể tích ta được: B V SF SG 2 2 2 1 1 - S. ABF     VVVV S . ABF S . ABD S. ABCD S. V SD SM 3 3 3 2 3 ABCD S . ABD 569 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN V SE SF 2 2 4 4 1 2 - S.BEF  .  .  VV  . VV S . ABF S.BCD S. ABCD S. V SC SD 3 3 9 9 2 9 ABCD S .BCD Từ đó suy ra: 3 1 2 5 5 1 a 3 5a 3 2 VVVVVV  . .a .  S . ABEF S. ABF S.BEF S . ABCD S . ABCD S. 3 9 9 ABCD 9 3 2 54
Bài 3. Cho điểm M trên cạnh SA , điểm N trên cạnh SB của khối chóp S.ABC sao cho SM 1 SN  ;
 2 . Mặt phẳng () qua MN và song song với SC , chia khối chóp thành hai phần. MA 2 NB
Tìm tỷ số thể tích hai phần đó. Lời giải:
Kéo dài MN cắt AB tại I S
Kẻ MD song song với SC ; DI cắt J BC tại E M
Khi đó tứ giác MNED là thiết diện N
của khối chóp cắt bởi mặt phẳng () I A E B
Trước hết ta tính thể tích khối chóp D
AMNED theo thể tích khối chóp C . A SBC 1
Kẻ MJ song song với AB suy ra SJ
SB J là trung điểm của SN . Từ đây suy ra 3 1 IB MJ AB 3
Theo công thức tỷ số thể tích ta có V AM AD AI 2 2 4 16 16 16 - . A MDI  . .  . .   VVV . A MDI A.SCB S. V AS AC AB 3 3 3 27 27 27 ABC . A SCB 570 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN V IB IN IE 1 1 1 1 1 1 16 1 - I .BNE  . .  . .   VV  . VV I .BNE I . AMD S . ABC S. V IA IM ID 4 2 2 16 16 16 27 27 ABC I . AMD 15 Suy ra VVVV ADMNE . A MDI I .BNE S . 27 ABC
Vậy gọi V ;V lần lượt là thể tích phần dưới; phần trên do mặt phẳng () tạo ra với khối chóp 1 2 V 15 / 27 5 S.ABC thì 1   V 115 / 27 4 2
Bài 4. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi B '; D ' lần lượt là trung
điểm của các cạnh S ;
B SD . Mặt phẳng  AB ' D ' cắt cạnh SC tại C '. Tìm tỷ số thể tích của hai
khối chóp S.AB 'C ' D ' và S.ABCD . Lời giải: S C' B' l D' C'' B A O D C
Gọi O là tâm mặt đáy ABC ;
D B ' D ' SO  I; AI SC  C  '
Kẻ OC ' song song với AC 'C '  SC
Do B ' D ' là đường trung bình của tam giác SBD nên I là trung điểm của SO
O là trung điểm của AC . Từ đó suy ra 571 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN SC ' 1
SC '  C 'C ' ;C 'C '  C ' C   SC 3
Theo công thức tỷ số thể tích ta có V SD ' SC ' 1 1 1 1 1 -
S . AD 'C '  .  .   VVV
S. AD 'C ' S . ADC S . V SD SC 2 3 6 6 12 ABCD S. ADC V SB ' SC ' 1 1 1 1 1 -
S . AB 'C '  .  .   VVV
S . AB 'C ' S. ABC S. V SB SC 2 3 6 6 12 ABCD S. ABC 1 V 1 Vậy
S. AB ' D ' VVVV  
S . AB ' D '
S . AD 'C '
S . AB 'C ' S . 6 ABCD V 6 S. ABCD
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ; cạnh SA vuông góc với
đáy; SA  2a . Gọi B '; D ' lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh S ; B SD .
Mặt phẳng  AB ' D ' cắt cạnh SC tại C '. Chứng minh rằng năm điểm S; ;
A B ';C '; D ' cùng thuộc
một mặt cầu và tính thể tích khối chóp S.AB 'C ' D ' . Lời giải: Để chứng minh năm điểm S S; ;
A B ';C '; D ' cùng thuộc một mặt
cầu ta chỉ cần chứng minh C'
AC '  SC . Vì khi đó chúng cùng C I
thuộc mặt cầu đường kính SA B' D A O B C 572 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CD AD Ta có: 
CD  SAD  CD AD '
CD SA ( gt) 
Mặt khác AD '  SD AD '   SCD  AD '  SC
Tương tự ta cũng có: AB '  SC . Từ đó suy ra  SC    AB ' D '  SC '  SC ( ta có đpcm). Dễ thấy V  2V
( tính chất đối xứng xứng của hình chóp)
S . AB 'C ' D '
S. AB 'C '
Theo công thức tỷ số thể tích, ta có: 2 2 2 2 V SB ' SC ' .
SB SB ' SC.SC ' SA SA 4a 4a 8
S . AB 'C '  .  .  .  .  2 2 2 2 2 2 V SB SC SB SC SB SC 5a 6a 15 S. ABC 3 8 8 1 1 8a 16 Từ đó suy ra 3 VV  . . . SA A . B BC   V  2Va
S . AB 'C ' S. ABC
S . AB 'C ' D '
S . AB 'C ' 15 15 3 2 45 45
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M ; N; P lần lượt là trung điểm các cạnh A ; B A ;
D SC . Chứng minh rằng mặt phẳng  MNP chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau. Lời giải:
MN cắt BC tại I , cắt CD tại K S
Cắt AC tại L ; gọi O là tâm hình bình hành ABCD
IP cắt cạnh SB tại E; KP cắt cạnh SD tại P F F
Khi đó thiết diện của khối chóp cắt bởi K
mặt phẳng  MNP là ngũ giác MNFPE E C D
Theo tính chất song song ta có L N O A 573 M B Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam I
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CK CI CL 3 3 3     CK C ; D CI CB Do
P là trung điểm của cạnh SC nên CD CB CO 2 2 2 d  1 ;
P ABCD  d S; ABCD 2 1 1 1 - V  . d S ABCD CK CI ICK P CIK  ;   . . .sin . 3 2 2 1  d  3 3 9 S; ABCD  . C . D C . B sin DCB V . 12 2 2 16 S ABCD
Bây giờ ta tính thể tích hai khối tứ diện I.MBE; K.END theo thể tích khối tứ diện S.ABCD
Vì tính chất đối xứng suy ra VV I .BME K .END
Theo tỷ số thể tích ta có: V IB IM IE 1 1 1 1 1 1 I .BME  . .  . .   VVV I .BME I .CKP S. V IC IK IP 3 3 2 18 18 32 ABCD I .CKP
Gọi V là thể tích phần phía dưới tạo bởi mặt phẳng  MNP và khối chóp 1  9 1  1 Ta có V V  2V   2. VV Từ đây ta có đpcm. 1 P.CIK I .BME   S.ABCD S .  16 32  2 ABCD
Bài 7. Cho hình lập phương ABC .
D A ' B ' C ' D ' . Gọi E; F lần lượt là trung điểm các cạnh
C ' B ';C ' D ' . Tính tỷ số thể tích hai phần khi cắt hình lập phương bởi mặt phẳng  AEF  . Lời giải:
EF cắt A' B ' tại M ; MA cắt BB ' tại Q A D
EF cắt A' D ' tại N; PN cắt DD ' tại P C B
Gọi O là tâm hình vuông A ' B 'C ' D ' và K
giao điểm của A 'C ' và EF P
Khi đó thiết diện của hình lập phương cắt bởi A'
mặt phẳng  AEF  là ngũ giác APFEQ Q O D' N K
Theo tính chất song song ta có F B' E C' 574 Dang M Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN A ' M A' N AK 3    A ' B ' A ' D ' AO 2 3 1 1 3a 3a 3a Ta có V
AA'.A' M .A' N  . . a .  . A A' MN 6 6 2 2 8 VV
( do tính chất đối xứng) P.D ' NF Q.B ' ME 3 1 1 a a a a
PD '.D ' F.D ' N  . .  6 6 2 2 3 72
Gọi V là phần thể tích phía dưới cắt bởi mặt phẳng  AEF  ; V là phần thể tích phía trên 1 2 3 3 3a a 25 Ta có 3 V VVV   2.  a 1 . A A'MN P.D ' NF Q.B 'ME 8 72 72 V 25 / 72 25 Suy ra 1   V 1 25 / 72 47 2
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 1.1.
Cho hình chóp S.ABC , gọi G là trọng tâm tam giác SBC . Mặt phẳng quay quanh AG cắt cạnh S ,
B SC theo thứ tự tại M , N . Gọi V là thể tích tứ diện SAMN ; V là thể tích tứ 1 V
diện SABC . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của tỷ số 1 . V 1.2.
Cho hình lập phương ABC .
D A ' B ' C ' D ' có độ dài các cạnh bằng a và điểm K thuộc cạnh 2a
CC ' sao cho CK
. Mặt phẳng  P đi qua ,
A K và song song với BD chia hình lập 3
phương thành hai phần. Tính thể tích hai phần đó.
BÀI TẬP VỀ MẶT CẦU NGOẠI TIẾP, NỘI TIẾP ĐA DIỆN BÀI TẬP MẪU 575 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Bài 1. Cho hình chóp .
A ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại , A B và có 1 AB BC AD  ;
a SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD . Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SACD 2
cắt SB tại H . Chứng minh rằng AH BS và tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng  SCD . Lời giải: S 1 Do AB BC AD nên 2 2 2 2 2
CD BC AB  2a I 2 2 2 2
AC AB BC  2a Suy ra 2 2 2 2
AC CD AD  4a H D
Vậy tam giác ACD vuông cân tại tại A C
Vì thế gọi I là trung điểm của SD
thì I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SACD
Do H cũng thuộc mặt cầu nên B C  0
SHD  90 hay SH HD (1) 
SA   ABCD Lại có 
AD  SAB  AD SH (2)  AD AB
Từ (1) và (2) ta suy ra SB   AHD  AH SB
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A B AB BC  ;
a AD  2a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy  ABCD và SA a . Gọi E
là trung điểm của AD . Tính thể tích khối chóp S.CDE và xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đó. 576 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật cạnh AB a AD a 2 . Góc
giữa hai mặt phẳng SAC  và  ABCD bằng 0
60 . Gọi H là trung điểm của AB . Biết mặt bên
SAB vuông góc với đáy và là tam giác cân đỉnh S . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và xác
định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.AHC . a 3
Bài 3. Cho tứ diện ABCD ABC là tam giác đều cạnh , a DA DB  và CD vuông góc 3
với AD . Trên cạnh CD kéo dài lấy điểm E sao cho tam giác AEB vuông tại E . Tính góc tạo bởi
mặt phẳng  ABC  và mặt phẳng  ABD . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện ABCE .
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Chân đường vuông góc kẻ
từ đỉnh S trùng với trọng tâm tam giác ABD . Mặt bên  SAB tạo với đáy một góc 0 60 . Tính
theo a thể tích khối chóp S.ABCD . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABD .
Bài 5. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A ' B 'C ' có cạnh đáy bằng a . Gọi M , N , I lần lượt là
trung điểm của A' ,
A AB BC . Biết góc tạo bởi mặt phẳng C ' AI  và mặt phẳng  ABC  bằng 0
60 . Tính thể tích khối chóp N.AC ' I và xác định tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp C '.AIB .
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a có đường cao là SH trong  
đó H là điểm thỏa mãn HN  3
HM ( M , N lần lượt là trung điểm của AB CD ). Mặt phẳng
SAB tạo với mặt phẳng đáy  ABCD một góc 0
60 . Tính khoảng cách từ N đến mặt phẳng
SAC  và xác định thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD .
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A B AB BC  ; a AD  2 ,
a SAC là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy,
SB tạo với mặt phẳng SAC  góc 0
60 . Gọi O là giao điểm của AC BD . Giả sử mặt phẳng
P qua O và song song với SC cắt SA tại M . Tính thể tích khối chop MBCD và xác định tâm,
bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chop SACD . 577 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Bài 8. Cho tứ diện ABCD AB  2 ;
a CB CD a AB vuông góc với mặt phẳng  BCD .
Gọi M là trung điểm của AB . Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng  ACD và tính thể tích
khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD .
Bài 9. Cho tam giác ABC đều cạnh a . Gọi M là trung điểm BC , lấy điểm D đối xứng với A
qua M . Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng  ABCD tại D lấy điểm S sao cho a 6 SD
. Gọi N là hình chiếu vuông góc của M lên SA . Tính khoảng cách từ M đến mặt 2
phẳng SAC  . Chứng minh mặt phẳng SAC  vuông góc với mặt phẳng  SAB và xác định tâm,
bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp NBCD . a 3
Bài 10. Cho tứ diện ABCD ABC là tam giác đều cạnh , a DA DB  ,CD vuông góc 3 AD
. Trên cạnh CD kéo dài lấy điểm S sao cho 0
ASB  90 . Tính góc tạo bởi mặt phẳng  ABC
và mặt phẳng  ABD . Xác định tâm và thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCE .
Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a . Mặt bên vuông góc với
đáy. Biết SA a 3; SB a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của A ,
B AD O là giao điểm của
AC BD . Tính theo a thể tích khối chóp SAMBN và xác định tâm,bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp SAMON . a
Bài 12. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a 2 . Lấy điểm H trên đoạn AC sao cho AH  2 . Trên đườ 
ng thẳng vuông góc với mặt phẳng  ABCD tại H lấy điểm S sao cho 0 ASC  45 .
Xác định tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp khối chóp SABCD .
Bài 13. Cho tứ diện ABCD AB AC a, BC b . Hai mặt phẳng  ABC  và  BCD vuông
góc với nhau và tam giác BCD vuông tại D . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo , a b .  0 
Bài 14. Cho hình chóp SABC có 0
SA SB SC  ;
a ASB  60 ; BSC   90 0
CSA  120 . Xác định
tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp SABC . 578 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Bài 15. Cho tam giác ABC vuông cân tại B AB a . Từ trung điểm M của AB ta dựng
đường thẳng vuông góc với mặt phẳng  ABC  , trên đó lấy điểm S sao cho tam giác SAB đều.
Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp SABC .
Bài 16. Cho tam giác ABC vuông cân tại ,
A AB AC a . BB ', CC ' là hai đoạn thẳng vuông
góc với mặt phẳng  ABC  và cùng phía với mặt phẳng  ABC  biết BB '  CC '  a . Tính thể tích
khối chóp ABCC ' B ' và xác định tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp ABCC ' B ' .
Bài 17. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABCA ' B 'C ' có cạnh đáy bằng a . Gọi M , N, P lần lượt
là trung điểm của A ' , A A ,
B BC biết mặt phẳng  MNP tạo với mặt phẳng  ABC  góc 0 60 . Tính
thể tích khối chóp MNPC ' và xác định tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp ABPC ' .
Bài 18. Cho hình chóp SABCD . Hai mặt bên  SAB và SAD cùng vuông góc với mặt đáy. Biết
đáy ABCD là tứ giác nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R . Xác định tâm và bán kính
khối cầu ngoại tiếp khối chóp SABCD biết SA h .
Bài 19. Cho hình cầu S  có đường kính AB  2R , lấy điểm H trên AB sao cho
AH x(0  x  2R) . Mặt phẳng  P vuông góc với AB tại H cắt mặt cầu S  theo giao tuyến là
đường tròn C  . MNPQ là hình vuông nội tiếp trong đường tròn C
1. Tính bán kính đường tròn C  và độ dài AC, MN .
2. Tính thể tích khối đa diện tạo bởi hai khối chóp AMNPQ BMNPQ .
Bài 20. Cho hình chóp tứ giác giác đều SABCD cạnh đáy bằng a , tâm của đáy là O , chiều cao a SH  . 2
1. Chứng minh rằng có mặt cầu S  tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp SABCD . Xác định
tâm và bán kính R của mặt cầu đó.
2. Gọi  P là mặt phẳng song song và cách mặt phẳng  ABCD một khoảng bằng x(0  x R) .
Gọi S là phần diện tích tạo bởi  P và hình chóp( bỏ đi phần diện tích nằm trong mặt cầu S  ). Xác định x để 2 S  R . 579 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Bài 21. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao và cạnh đáy cùng bằng a . Gọi E, K lần
lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC .Tính diện tích xung quanh, thể tích của mặt cầu S
ngoại tiếp khối chóp SEBK .
Bài 22. Cho tứ diện ABCD AB CD a, AC BD  ,
b AD BC c . Xác định tâm và bán
kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD .
Bài 23. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a , các cạnh bên tạo với đáy góc 0
30 . Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp SABCD .
Bài 24. Cho hình chóp cụt tam giác đều ngoại tiếp một hình cầu bán kính r . Tính thể tích khối
chóp cụt biết cạnh đáy lớn gấp đôi cạnh đáy nhỏ.
Bài 25. Cho hình chóp tam giác đều SABC có độ dài cạnh bên bằng a . Các mặt bên hợp với đáy
góc . Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp SABC .
BÀI TẬP VỀ HÌNH TRỤ VÀ HÌNH NÓN
Bài 1. Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn tâm O,O ' . Bán kính đáy bằng chiều cao và bằng
a . Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A , trên đường tròn đáy tâm B lấy điểm B sao cho AB  2a .
1. Tính diện tích toàn phần của hình trụ và thể tích của khối trụ.
2. Tính thể tích tứ diện OABO ' .
Bài 2. Cho hình trụ tròn xoay và hình vuông ABCD có cạnh bằng a , có hai đỉnh , A B nằm trên
đường tròn đáy thứ nhất và hai đỉnh C, D nằm trên đường tròn đáy thứ hai. Biết mặt phẳng
ABCD tạo với đáy hình trụ một góc 0
45 . Tính diện tích xung quanh và diện tích của hình trụ.
Bài 3. Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O , S ,
A SB là hai đường sinh. Biết SO  3a ,
khoảng cách từ O đến mặt phẳng  SAB bằng a , diện tích tam giác SAB bằng 2 18a . Tính diện
tích xung quanh và thể tích hình nón. 580 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
BÀI TẬP TỔNG HỢP 1.1.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O. Hình chiếu của S lên mặt đáy
trùng với điểm H là trung điểm của đoạn AO. Mặt phẳng (SAD) tạo với đáy một
góc 600 và AB=a. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC. 1.2.
Cho hình lăng trụ ABC.A ' B 'C ' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại ,
A AB a, AC a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A' trên mặt phẳng  ABC  là
trung điểm của cạnh BC . Tính thể tích khối chop .
A BCC ' B ' theo a. 1.3.
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều, tam
giác SCD vuông cân tại S. Gọi I , J , K lần lượt là trung điểm các cạnh A , B CD, SA .
Chứng minh rằng  SIJ    ABCD và tính thể tích khối chóp K.IBCD . 1.4.
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại ,
A B có đáy nhỏ BC .
Biết tam giác SAB đều độ dài cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, đọ
dài SC a 5 và khoảng cách từ D đến mặt phẳng  SHC  bằng 2a 2 , với H là trung
điểm của AB. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a. 1.5.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên tạo với đáy một góc 0 60 và cạnh đáy
bằng a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD , qua A dựng mặt phẳng  P vuông góc với
SC. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng  P và hình chóp SABCD . 1.6.
Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tâm giác vuông cân tại A, AB a 2 . Gọi I là
trung điểm cạnh BC. Hình chiếu vuông góc H của S lên mặt phẳng  ABC  thỏa mãn   IA  2
IH . Góc giữa SC và mặt phẳng đáy  ABC  bằng 0
60 . Tính thể tích khối chóp
SABC và khoảng cách từ trung điểm K của SB đến mặt phẳng  SAH  . 581 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 1.7.
Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C, cạnh huyền bằng 3a, a 14
trọng tâm là G có SG   ABC , SB
. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng 2
cách từ B đến mặt phẳng SAC  . 1.8.
(TSĐH Khối D 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại
B, BA  3a BC  4 ;
a mặt phẳng SBC  vuông góc với mặt phẳng  ABC  . Biết  SB  2a 3 và 0
SBC  30 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến
mặt phẳng SAC  theo a . 1.9.
(TSĐH Khối B 2011) Cho lăng trụ ABC .
D A B C D có đáy ABCD là hình chữ nhật. 1 1 1 1
AB a, AD a 3 . Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng  ABCD trùng 1
với giao điểm của AC BD . Góc giữa hai mặt phẳng  ADD A và  ABCD bằng 0 60 . 1 1 
Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng  A BD theo 1  1 a .
1.10. (TSĐH Khối A 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B
AB BC  2a . Hai mặt phẳng  SAB và SAC  cùng vuông góc với mặt đáy  ABC  .
Gọi M là trung điểm AB ; mặt phẳng qua SM và song song với BC , cắt AC tại N . Biết
góc giữa hai mặt phẳng SBC  và  ABC  bằng 0
60 . Tính thể tích khối chóp S.BCNM
khoảng cách giữa hai đường thẳng AB SN theo a .
1.11. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C , CA  ,
a CB b . Cạnh bên
SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Số đo góc phẳng nhị diện cạnh BC của hình chóp
S.ABC bằng . Gọi D là trung điểm cạnh AB . -
Tính thể tích khối chóp S.ABC -
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC SD -
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC SD . 582 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
1.12. Cho hình chóp S.ABC SA vuông góc với mặt đáy  ABC  và tam giác ABC cân tại A ;
cạnh bên SB lần lượt tạo với mặt phẳng đáy, mặt phẳng trung trực của BC các góc bằng 0 0
30 , 45 , khoảng cách từ S đến cạnh BC bằng a . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a .
1.13. Cho hình chóp tam giác đều có góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 0 60 . Khoảng
cách giữa mặt bên và đỉnh đối diện bằng 6. Tính thể tích của khối chóp đã cho.
1.14. (TSĐH Khối A 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Gọi
M , N lần lượt là trung điểm các cạnh AB AD ; H là giao điểm của CN DM . Biết
SH vuông góc với mặt phẳng  ABCD và SH a 3 . Tính thể tích khối chóp S.CDNM
và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM SC theo a .
1.15. (TSĐH Khối B 2010) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A ' B 'C ' có AB a , góc giữa 0
hai mặt phẳng  A' BC  và  ABC  bằng 60 . Gọi G là trọng tâm tam giác A' BC . Tính
thể tích khối lăng trụ đã cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a .
1.16. (TSĐH Khối D 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a .
Cạnh bên SA a , hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng  ABCD là điểm H AC
thuộc đoạn AC, AH
. Gọi CM là đường cao của tam giác SAC . Chứng minh M là 4
trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a . 
1.17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 0
a, BAD  60 . SA vuông góc
với mặt phẳng đáy  ABCD, SA a . Gọi C 'là trung điểm của SC . Mặt phẳng  P đi
qua AC và song song với BD cắt các cạnh S ,
B SD lần lượt tại B ', D ' . Tính thể tích khối
chóp S.AB 'C ' D ' .
1.18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật , AB a, AD  2a . cạnh SA 0
vuông góc với đáy  ABCD , cạnh SB hợp với đáy một góc 60 . Trên SA lấy điểm M a 3 sao cho AM
. Mặt phẳng  BCM  cắt SD tại N . Tính thể tích khối chóp 3 S.BCMN . 583 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
1.19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a .Chân đường vuông góc hạ
từ S trùng với trọng tâm tam giác ABD . Mặt bên  SAB tạo với mặt phẳng đáy  ABCD góc 0
60 . Tính theo a thể tích khối chóp SABCD và khoảng cách từ B đến mặt phẳng SAD . 1.20. Cho hình lăng trụ đứng ABC .
D A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD là hình thoi,  0
AB a 3, BAD  120 . Biết góc giữa đường thẳng AC ' và mặt phẳng  ADD ' A' bằng 0
30 . Tính thể tích khối lăng trụ trên theo a và khoảng cách từ trung điểm N của BB 'đến
mặt phẳng C ' MA . Biết M là trung điểm của A' D ' . 0
1.21. Cho hình chóp SABC có góc tạo bởi hai mặt phẳng SBC  và  ABC  bằng 60 , ABC
SBC là các tam giác đều cạnh a . Tính khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng SAC  .
1.22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA a SB a 3 . Mặt
phẳng  SAB vuông góc với mặt đáy  ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB BC . Tính theo a thể tích khối chóp SBMDN và tính côsin góc tạo bởi DNSM .
1.23. (TSĐH Khối A 2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A
D AB AD  2a, CD a ; góc giữa hai mặt phẳng SBC  và  ABCD bằng 0 60 . Gọi
I là trung điểm của cạnh AD . Biết hai mặt phẳng SBI  và  SCI  cùng vuông góc với
mặt phẳng  ABCD . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a .
1.24. (TSĐH Khối B 2009) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A ' B 'C ' có BB '  a , góc giữa
đường thẳng BB ' và mặt phẳng  ABCD bằng 0
60 , tam giác ABC vuông tại C và  0
BAC  60 . Hình chiếu vuông góc của điểm B ' lên mặt phẳng  ABC  trùng với trọng
tâm tam giác ABC . Tính thể tích khối tứ diện A '.ABC theo a .
1.25. (TSĐH Khối D 2009) Cho lăng trụ đứng ABC.A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại
B , AB a, A' A  2 ,
a A'C  3a . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A 'C ' , I là giao 584 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
điểm của AM A 'C . Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm
A đến mặt phẳng  IBC  .
1.26. (TSĐH Khối A 2008) Cho lăng trụ ABC.A ' B 'C ' có độ dài cạnh bên bằng 2a , đáy ABC là tam giác vuông tại ,
A AB a, AC a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A' trên mặt
phẳng  ABC  là trung điểm của cạnh BC . Tính theo a thể tích khối chóp A'.ABC
tính cosin của góc giữa hai đường thẳng A' A B 'C ' .
1.27. (TSĐH Khối B 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
2a, SA a, SB a 3 và mặt phẳng  SAB vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M , N lần
lượt là trung điểm các cạnh AB, BC . Tính theo a thể tích khối chóp SBMDN và tính
cosin góc giữa hai đường thẳng SM , DN .
1.28. (TSĐH Khối D 2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông
AB BC a , cạnh bên A' A a 2 . Gọi M là trung điểm cạnh BC . Tính theo a thể
tích khối lăng trụ ABC.A ' B 'C ' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM B 'C .
1.29. (TSĐH Khối A 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ,
mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M , N, P
lần lượt là trung điểm các cạnh S ,
B BC,CD . Chứng minh AM vuông góc với BP và tính
thể tích khối tứ diện CMNP .
1.30. (TSĐH Khối B 2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a .
Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA , M là trung điểm của AE , N
trung điểm của BC . Chứng minh MN vuông góc với BD và tính theo a khoảng cách
giữa hai đường thẳng MN, AC .  
1.31. (TSĐH Khối D 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, 0
ABC BAD  90 ,
BA BC a, AD  2a . Cạnh bên SA a 2 và vuông góc với đáy. Gọi H là hình chiếu
vuông góc của A lên SB . Chứng minh tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách
từ H đến mặt phẳng  SCD . 585 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
1.32. (TSĐH Khối B 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với
AB a, AD a 2, SA a SA vuông góc với  ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung
điểm của AD SC , I là giao điểm của BM AC . Chứng minh rằng mặt phẳng
SAC  vuông góc với mặt phẳng SMB . Tính thể tích khối tứ diện ANIB .
1.33. (TSĐH Khối D 2006) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh
a, SA  2a SA vuông góc với mặt phẳng  ABC . Gọi M , N lần lượt là hình chiếu
vuông góc của A trên các đường thẳng S ,
B SC . Tính thể tích khối chóp . A BCMN .
1.34. (TSĐH Khối A 2002) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S , có độ dài cạnh đáy
bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của S ,
B SC . Tính theo a diện tích tam giác
AMN , biết rằng mặt phẳng  AMN  vuông góc với mặt phẳng SBC  .
1.35. (TSĐH Khối A 2002) Cho hình lập phương ABC .
D A ' B ' C ' D ' . Tính số đo góc phẳng
nhị diện B, A'C, D .
1.36. (TSĐH Khối B 2002) Cho hình lập phương ABC .
D A B C D cạnh bằng a . 1 1 1 1
1. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A B B D . 1 1
2. Gọi M , N, P lần lượt là trung điểm của BB , CD, A D . Tính góc giữa hai đường thẳng MP và 1 1 1 C N . 1
1.37. (TSĐH Khối D 2003) Cho 2 mặt phẳng  P và Q vuông góc với nhau, có giao tuyến là
đường thẳng  . Trên  lấy hai điểm ,
A B với AB a . Trong mặt phẳng  P lấy điểm C ,
trong mặt phẳng Q lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với  và
AC BD AB . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ
A đến mặt phẳng  BCD theo a .
1.38. (TSĐH Khối B 2003) Cho hình lăng trụ đứng ABC .
D A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD là một 
hình thoi cạnh a , góc 0
BAD  60 . Gọi M là trung điểm cạnh A' A N là trung điểm
cạnh CC ' . Chứng minh bốn điểm B ', M , D, N cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ
dài cạnh A' A theo a để tứ giác B ' MDN là hình vuông. 586 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
1.39. (TSĐH Khối B 2004) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , góc giữa
cạnh bên và mặt đáy bằng  0 0
0   90  . Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng SAB
và  ABCD theo . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a .
1.40. Khối chóp SABCD có đáy là hình bình hành, M là trung điểm của SC . Mặt phẳng  P
đi qua AM , song song với BD chia khối chóp làm hai phần. Tính tỷ số thể tích hai phần đó.
1.41. Khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a SA vuông góc với mặt phẳng đáy
ABCD, SA  2a . Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của A trên S ,
B SD ; I là giao điểm
của SC và mặt phẳng  AEF  . Tính thể tích khối chóp S.AEIF .
1.42. Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy là tam giác đều. Mặt phẳng  A BC tạo với mặt 1  1 1 1
phẳng  ABC  một góc 0
30 và tam giác A BC có diện tích bằng 8 . Tính thể tích khối lăng 1 trụ đã cho.
1.43. Cho lăng trụ ABC.A B C có đáy là tam giác vuông cân, cạnh huyền AB  2 . Mặt phẳng 1 1 1  
A AB vuông góc với mặt phẳng  ABC , AA  3 , góc A AB nhọn , mặt phẳng 1  1 1
A AC tạo với mặt phẳng  ABC  một góc 0
60 . Tính thể tích khối lăng trụ. 1 
1.44. Cho lăng trụ tứ giác đều ABC .
D A B C D có khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và 1 1 1 1
A D bằng 2, độ dài đường chéo mặt bên bằng 5 . Hạ AK vuông góc với A D tại K . 1 1
Chứng minh rằng AK  2 và tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
1.45. Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng  ABC  và
AC AD  4; AB  3; BC  3 . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng  BCD .
1.46. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a . Gọi M , N lần lượt là
trung điểm cạnh bên S ,
B SC . Tính theo a diện tích tam giác AMN , biết rằng mặt phẳng
AMN  vuông góc với mặt phẳng SBC  .
1.47. Cho hình chóp S.ABC SA  3a và vuông góc với mặt đáy  ABC  . Tam giác ABC có  0
AB BC  2a, ABC  120 . Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC . 587 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
1.48. Cho hình chóp tam giác S.ABC có các cạnh bên SA SB SC a , góc  0  0  0
ASB  120 , BSC  60 , CSA  90 . Chứng minh tam giác ABC vuông và tính thể tích khối chóp đã cho.
1.49. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC  bằng 2a
, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng . Tính thể tích khối chóp đã cho theo , a  . Xác
định để thể tích đó là nhỏ nhất.
1.50. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật , AB a, AD a 2 và SA a
vuông góc với mặt đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD, SC I là giao điểm
của BM , AC . Chứng minh rằng mặt phẳng SAC  vuông góc với mặt phẳng  SMB và
tính thể tích khối chóp ANIB .
1.51. Cho hình lăng trụ đứng
ABC.A ' B 'C ' có đáy
ABC là tam giác vuông tại , B AB  , a AA'  2 ,
a A'C  3a . Gọi M là trung điểm của đoạn A 'C ' và I là giao điểm
của AM A 'C . Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A đến mặt phẳng  IBC  .
1.52. Cho hình chóp tam giác đều SABC SC a 7 . Góc tạo bởi mặt phẳng  SAB và mặt
phẳng  ABC  bằng 0
60 . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a .  0 a 3
1.53. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , góc ABC  60 , SO  2
và vuông góc với mặt phẳng đáy( O là tâm mặt đáy), M là trung điểm của AD . Gọi  P
là mặt phẳng qua BM và song song với SA , cắt SC tại K . Tính thể tích khối chóp KABCD .
1.54. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Mặt phẳng SAC  vuông góc với đáy, góc  0
ASC  90 và SA tạo với đáy một góc 0
60 . Tính thể tích khối chóp đã cho. 588 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
1.55. Cho hình lăng trụ ABC.A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Mặt phẳng  P 2 a 3
chứa BC và vuông góc với AA' cắt lăng trụ theo một thiết diện có diện tích bằng . 8
Tính thể tích khối lăng trụ đã cho. a  
1.56. Cho hình chóp SABC AB AC a, BC
; SA a 3 , góc 0
SAB SAC  30 . Tính 2
theo a thể tích khối chóp S.ABC .
1.57. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a . Gọi G là trọng tâm tam giác a 3
SAC , khoảng cách từ G đến mặt bên  SCD bằng
. Tính theo a thể tích khối chóp 6
S.ABCD và khoảng cách từ tâm mặt đáy đến mặt bên  SCD . 
1.58. Cho lăng trụ đứng ABC.A B C AB a, AC  2a, AA  2a 5 và góc 0 BAC  120 . Gọi 1 1 1 1
M là trung điểm của cạnh CC . Chứng minh rằng MB vuông góc với MB và tính 1 1
khoảng cách từ A đến mặt phẳng  A MB . 1 
1.59. Cho hình chóp S.ABC có góc giữa hai mặt phẳng SBC  và  ABC  bằng 0 60 . Các tam
giác SBC ABC là các tam giác đều cạnh bằng a . Tính theo a khoảng cách từ B đến
mặt phẳng SAC  .
1.60. Trong mặt phẳng  P cho nửa đường tròn đường kính AB  2R , gọi S là điểm nằm trên
đường thẳng vuông góc với mặt phẳng  P tại trung điểm của AB và điểm C thuộc nửa
đường tròn sao cho góc giữa hai mặt phẳng  SAB và SBC  bằng 0
60 . Gọi H , K lần
lượt là hình chiếu vuông góc của A lên S ,
B SC . Chứng minh rằng tam giác AHK vuông
và tính theo R thể tích khối chóp S.ABC .
1.61. Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có tất cả các cạnh bằng a . Gọi M là trung điểm của AA . 1 1 1 1
Chứng minh rằng BM vuông góc với B C và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng đó. 1 589 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam