Hình học tọa độ Oxyz (dành cho học sinh Yếu – TB) – Đặng Việt Đông

Hình học tọa độ Oxyz (dành cho học sinh Yếu – TB) – Đặng Việt Đông được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

44 22 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian

Môn: Toán 12

Thông tin:

106 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
BÀI 1: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
A – LÝ THUYẾT CHUNG
1.1. Khái niệm mở đầu
Trong không gian cho ba trục
, ,
Ox Oy Oz
phân biệt và vuông góc từng đôi một. Gốc tọa độ
,
O
truc hoành
,
Ox
trục tung
,
Oy
trục cao
Oz
các mặt tọa độ
, , .
Oxy Oyz Ozx
1.2. Khái niệm về hệ trục tọa độ
Khi không gian có hệ tọa độ thì gọi là không gian tọa độ
Oxyz
hay không gian
.
Oxyz
Chú ý:
1.3. Tọa độ véc tơ
1.4. Tọa độ điểm
1.5. Các công thức tọa độ cần nhớ
Cho
'
'
'
a a
u v b b
c c
1.6. Chú ý
Góc của 2 véc tơ là góc hình học (nhỏ) giữa 2 tia mang véc tơ có, giá trị trong là:
1.7. Chia tỉ lệ đoạn thẳng
M chia AB theo tỉ số k nghĩa là
i j k
a a
ij ik jk
2 2 2
2
2
1
0

u x y z u x y z u xi yj zk
( ; ; ) ( ; ; )
M x y z OM xi yj zk
( ; ; )
u a b c v a b c
( ; ; ), ( ; ; )
u v a a b b c c
; ;
ku ka kb kc
( ; ; )
u v u v u v aa bb cc
. . .cos( , )
uv aa bb cc
u v
u v u v
.
cos( , )
. .
u u a b c
2
2 2 2
u v u v
. 0
B A B A B A
AB x x y y z z
; ;

B A B A B A
AB AB x x y y z z
2 2 2
u v
,
0;
u v u v
2
sin , 1 cos , 0
MA kMB
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Công thức tọa độ của M là :
1.8. Công thức trung điểm
Nếu
M
là trung điểm
AB
thì
1.9. Công thức trọng tâm tam giác
Nếu
G
là trọng tâm của
ABC
thì
1.10. Công thức trọng tâm tứ diện
Nếu
G
là trọng tâm của tứ diện
ABCD
thì
1.11. Tích có hướng 2 véc tơ
Cho 2 véc tơ và ta định nghĩa tích có hướng của 2 véc tơ đó là một véc tơ, kí
hiệu hay có toạ độ:
1.12. Tính chất tích có hướng 2 véc tơ
,
u v
vuông góc với
u
và
v
, . sin ,
u v u v u v
, 0 ,
u v u v
cùng phương
1.13. Ứng dụng tích có hướng 2 véc tơ
Diện tích hình bình hành
ABCD
:
A B
M
A B
M
A B
M
x kx
x
k
y ky
y
k
z kz
z
k
1
1
1
MA MB
0
A B
M
A B
M
A B
M
x x
x
y y
y
z z
z
2
2
2
GA GB GC
0
A B C
G
A B C
G
A B C
G
x x x
x
y y y
y
z z z
z
3
3
3
GA GB GC GD
0
A B C D
G
A B C D
G
A B C D
G
x x x x
x
y y y y
y
z z z z
z
4
4
4
u a b c
( ; ; )
v a b c
( ; ; )
u v
,
u v
b c c a a b
u v
b c c a a b
, ; ;
bc b c ca ac ab ba
; ;
S AB AD
,
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Diện tích
ABC
:
Ba véc tơ đồng phẳng:
Thể tích khối hộp có đáy hình bình hành
ABCD
và cạnh bên
’
AA
:
Thể tích khối tứ diện
.
S ABC
:
2. Phương pháp giải 1 số bài toán thường gặp
2.1. Các phép toán về toạ độ của vectơ và của điểm
Phương pháp giải
Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian.
Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.
2.2. Xác định điểm trong không gian. Chứng minh tính chất hình học. Diện tích – Thể tích
Phương pháp giải
Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian.
Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.
Công thức xác định toạ độ của các điểm đặc biệt.
Tính chất hình học của các điểm đặc biệt:
, ,
A B C
thẳng hàng cùng phương
ABCD
là hình bình hành
Cho có các chân của các đường phân giác trong và ngoài của góc của
trên . Ta có: ,
, , ,
A B C D
không đồng phẳng không đồng phẳng
B – BÀI TẬP
Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho
3 2 2
u i j k
. Tìm tọa độ của
u
.
A.
2;3; 2
u
. B.
3;2; 2
u
. C.
3; 2;2
u
. D.
2;3;2
u
.
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho
1;2; 1 ,
a
3;4;3
b
. Tìm tọa độ của
x
biết
x b a
.
A.
2;2;4 .
x
B.
2; 2;4 .
x
C.
2; 2; 4 .
x
D.
1;1;2 .
x
Câu 3: Trong không gian
Oxyz
, cho các vectơ
1; 1;2
a
,
3;0; 1
b
và
2;5;1
c
. Toạ độ của
vectơ
u a b c
là:
A.
6; 6;0
u
B.
6;0; 6
u
C.
0;6; 6
u
D.
6;6;0
u
Câu 4: Trong không gian
Oxyz
cho hai véctơ
1; 2;1
u
và
2;1;1
v
, góc giữa hai vectơ đã cho
bằng
A.
6
. B.
2
3
. C.
3
. D.
5
6
.
Câu 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
cho ba vectơ
1;1;0
a
,
1;1;0
b
,
1;1;1
c
. Mệnh đề
nào dưới đây sai?
S AB AC
1
. ,
2
u v w
, ,
u v w
, . 0
V AB AD AA
, .
V AB AC SA
1
. , .
6
AB AC
,
 
AB k AC
 
AB AC
, 0
AB DC
ABC
E F
,
A
ABC
BC
AB
EB EC
AC
.
AB
FB FC
AC
.

AB AC AD
, ,
 
AB AC AD
, . 0
  
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
.
b a
B.
3.
c
C.
.
b c
D.
2.
a
Câu 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ
,
Oxyz
cho hai véc tơ
2;3; 1
u
và
5; 4; .
v m
Tìm
m
để
.
u v
A.
0
m
. B.
2
m
. C.
4
m
. D.
2
m
.
Câu 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho 2 vectơ
1;1;0
a
;
1;1;0
b
. Trong các kết
luận :
I
.
a b
;
II
.
b a
;
III
.
a b
;
IV
.
a b
, có bao nhiêu kết luận sai ?
A.
2
. B.
4
. C.
1
. D.
3
.
Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ
; ; ;
O i j k
, cho hai vectơ
2; 1;4
a
và
3
b i k
. Tính
.
a b
.
A.
. 5
a b
. B.
. 10
a b
. C.
. 11
a b
. D.
. 13
a b
.
Câu 9: Trong không gian
Oxyz
, cho hai vectơ
2; 4; 2
a
và
1; 2; 3
b
. Tích vô hướng của hai
vectơ
a
và
b
bằng
A.
12
. B.
30
. C.
6
. D.
22
.
Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho vectơ
1;1; 2
u
,
1;0;
v m
. Tìm
m
để góc giữa
hai vectơ
,
u v
bằng
45
.
A.
2
m
. B.
2 6
m . C.
2 6
m . D.
2 6
m .
Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
3; 2;1
A
,
1; 0; 5
B
. Tìm tọa độ trung
điểm của đoạn
AB
.
A.
(2; 2; 6)
I
. B.
( 1; 1;1)
I
. C.
(2;1; 3)
I
. D.
(1;1; 3)
I
.
Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
1;2;3
A
và
5;2;0
B
. Khi đó:
A.
61
AB
. B.
3
AB
. C.
5
AB
. D.
2 3
AB
.
Câu 13: Cho ba điểm
2 1 5
A ; ;
,
5 5 7
B ; ;
và
1
M x; y;
. Với giá trị nào của
x, y
thì ba điểm
A,B,M
thẳng hàng ?
A.
4
x
và
7
y
. B.
4
x
và
7
y
.
C.
4
x
và
7
y
. D.
4
x
và
7
x
.
Câu 14: Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
1;2;3
A và
2;1;2
B . Tìm tọa độ điểm
M
thỏa
2
MB MA
.
A.
4;3;1
M . B.
4;3;4
M . C.
1;3;5
M . D.
1 3 5
; ;
2 2 2
M
.
Câu 15: Tìm tọa độ điểm
M
trên trục
Ox
cách đều hai điểm
1;2; 1
A
và điểm
2;1;2
B
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
1
;0;0
2
M
. B.
3
;0;0
2
M
. C.
2
;0;0
3
M
. D.
1
;0;0
3
M
.
Câu 16: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, điểm thuộc trục
Oy
và cách đều hai điểm
(3;4;1)
A
và
(1;2;1)
B
là
A.
(0;5;0).
M
B.
(0; 5;0).
M
C.
(0;4;0).
M
D.
(5;0;0).
M
Câu 17: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho hai vec tơ
1; 2;0
a
và
2;3;1
b
. Khẳng định
nào sau đây là sai?
A.
14
b
. B.
. 8
a b
.
C.
2 2; 4;0
a
. D.
1;1; 1
a b
.
Câu 18: Trong không gian , điểm nào sau đây thuộc trục ?
A.
1 0 0
M ; ;
. B.
0 0 3
M ; ;
. C.
0 2 0
M ; ;
. D.
1 0 2
M ; ;
.
Câu 19: Trong không gian
,
Oxyz
cho điểm
1; 2;3
A
. Hình chiếu vuông góc của điểm
A
trên mặt
phẳng
Oyz
là điểm
.
M
Tọa độ của điểm
M
là
A.
1; 2;0
M
. B.
0; 2;3
M
. C.
1;0;0
M
. D.
1;0;3
M
.
Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho
1;5;2
OM
,
3;7; 4
ON
. Gọi
P
là điểm đối
xứng với
M
qua
N
. Tìm tọa độ điểm
P
.
A.
2;6; 1
P
. B.
5;9; 10
P
. C.
7;9; 10
P
. D.
5;9; 3
P
.
Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
2;4;6
K
, gọi
K
là hình chiếu vuông góc của
K
lên
Oz
, khi đó trung điểm của
OK
có tọa độ là:
A.
0;0;3
. B.
1;0;0
. C.
1;2;3
. D.
0;2;0
.
Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng
Oxy
?
A.
1;0;2
N . B.
0;1;2
P . C.
0;0;2
Q . D.
1;2;0
M .
Câu 23: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
1;2; 4
A
và
3;2;2
B
. Toạ độ của
AB

là
A.
2;4; 2
. B.
4;0;6
. C.
4;0; 6
. D.
1;2; 1
.
Câu 24: Trong không gian
Oxyz
, cho vectơ
a
biểu diễn của các vectơ đơn vị là
2 3
a i k j
. Tọa độ
của vectơ
a
là
A.
1; 3;2
. B.
1;2; 3
. C.
2; 3;1
. D.
2;1; 3
.
Câu 25: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
cho điểm
1;2;4
A
,
2;4; 1
B
. Tìm tọa độ trọng tâm
G
của tam giác
OAB
.
A.
1;2;1
G
. B.
2;1;1
G
. C.
2;1;1
G
. D.
6;3;3
G
.
Câu 26: Trong không gian
,
Oxyz
cho hai điểm
3;4;2 , 1; 2;2
A B
và
1;1;3
G
là trọng tâm của tam
giác
ABC
. Tọa độ điểm
C
là
Oxyz
Oy
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
0;1;2
C
. B.
0;0;2
C
. C.
1;1;5
C
. D.
1;3;2
C
.
Câu 27: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho ba điểm
1; 2; 1
A
,
2; 1; 3
B
,
3;5;1
C
.
Tìm tọa độ điểm
D
sao cho tứ giác
ABCD
là hình bình hành.
A.
2; 8; 3
D
. B.
2; 2;5
D
. C.
4;8; 5
D
. D.
4; 8; 3
D
.
Câu 28: Trong không gian
Oxyz
, cho ba điểm
1; 4;2
A
,
4;2; 3
B
,
3;1;5
C
. Tìm tọa độ đỉnh
D
của hình bình hành
ABCD
.
A.
6; 5 10
D
. B.
0;7;0
D
. C.
6; 5;10
D
. D.
2; 1;3
G
.
Câu 29: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho điểm
4;1; 2
A
. Tọa độ điểm đối xứng với
A
qua mặt phẳng
Oxz
là
A.
4; 1;2
A
. B.
4; 1;2
A
. C.
4; 1; 2
A
. D.
4;1;2
A
.
Câu 30: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
3;4;5
A
,
1;0;1
B
. Tìm tọa độ điểm
M
thõa mãn
0
MA MB

.
A.
4;4;4
M
.
B.
1;2;3
M
. C.
4; 4; 4
M
. D.
2;4;6
M
.
Câu 31: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
1;2;3
A và
5;2;0
B . Khi đó:
A.
3
AB
. B.
2 3
AB
. C.
61
AB
. D.
5
AB
.
Câu 32: Trong không gian
Oxyz
, cho
3;2;1
a
và điểm
4;6; 3
A
. Tìm tọa độ điểm
B
thỏa mãn
AB a
.
A.
7; 4;4
. B.
1; 8;2
. C.
7;4; 4
. D.
1;8; 2
.
Câu 33: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho bốn điểm
2;0;0 , 0;2;0 , 0;0;2
A B C
và
2;2;2
D
. Gọi
,
M N
lần lượt là trung điểm của
AB
và
CD
. Tọa độ trung điểm
I
của
MN
là:
A.
1; 1;2
I
. B.
1;1;0
I
. C.
1 1
; ;1
2 2
I
. D.
1;1;1
I
.
Câu 34: Trong không gian Oxyz cho các điểm
4;2;1
3; 4;0 ; 0;2;4 ;A CB
. Tọa độ diểm
D
trên
trục
Ox
sao cho
AD BC
là:
A.
0;0;0 0;0; 6
D D
. B.
0;0; 3 0;0;3
D D
.
C.
0;0;0 6;0;0
D D
. D.
0;0;2 0;0;8
D D
.
Câu 35: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho các điểm
0; 2; 1
A
và
1; 1; 2
A . Tọa độ
điểm
M
thuộc đoạn
AB
sao cho
2
MA MB
là
A.
2 4
; ; 1
3 3
M
. B.
1 3 1
; ;
2 2 2
M
. C.
2; 0; 5
M . D.
1; 3; 4
M
.
Câu 36: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho ba điểm
1;2; 1
A
,
2; 1;3
B
,
4;7;5
C
. Tọa độ
chân đường phân giác trong góc
B
của tam giác
ABC
là
A.
2;11;1
. B.
11
; 2;1
3
. C.
2 11 1
; ;
3 3 3
. D.
2 11
; ;1
3 3
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 37: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho hai vectơ
0;3;1
a
,
3;0; 1
b
. Tính
cos ,
a b
.
A.
1
cos ,
10
a b
. B.
1
cos ,
10
a b
.
C.
1
cos ,
100
a b
. D.
1
cos ,
100
a b
.
Câu 38: Trong không gian với hệ tọa độ
,
Oxyz
cho hai điểm
3; 2;3 , 1;0;4 .
M I
Tìm tọa độ điểm
N
sao cho
I
là trung điểm của đoạn
.
MN
A.
5; 4;2
N . B.
0;1;2
N
. C.
7
2; 1;
2
N
D.
1;2;5
N .
Câu 39: Trong không gian
Oxyz
cho điểm
3; 4;3
A
. Tổng khoảng cách từ
A
đến ba trục tọa độ bằng
A.
34
2
. B.
10 3 2
. C.
34
. D.
10
.
Câu 40: Cho các vectơ
1; 2;3
u
,
1;2; 3
v
. Tính độ dài của vectơ
2
w u v
A.
85
w
. B.
185
w
. C.
26
w
. D.
126
w
.
Câu 41: Trong không gian
O
xyz
, cho
5;2;3
E
,
F
là điểm đối xứng với
E
qua trục
Oy
. Độ dài
EF
là.
A.
2 34
. B.
2 13
. C.
2 29
. D.
14
.
Câu 42: Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, cho tứ diện
ABCD
với
0; 0; 3
A
,
0; 0; 1
B
,
1; 0; 1
C
,
0; 1; 1
D
. Mệnh đề nào dưới đây sai?
A.
AB BD
. B.
AB BC
. C.
AB AC
. D.
AB CD
.
Câu 43: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
,cho
1;2;4
A
,
1;1;4
B
,
0;0;4
C
. Tìm số đo của góc
ABC
.
A.
O
60
. B.
135
. C.
O
120
. D.
O
45
.
Câu 44: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho hình hộp .
ABCD A B C D
. Biết
2;4;0
A
,
4;0;0
B
,
1;4; 7
C
và
6;8;10
D
. Tọa độ điểm
B
là
A.
8;4;10
B
. B.
6;12;0
B
. C.
10;8;6
B
. D.
13;0;17
B
.
Câu 45: Trong không gian
Oxyz
, cho hình hộp .
ABCD A B C D
có
1;0;1
A
,
2;1;2
B
,
1; 1;1
D
,
4;5; 5
C
. Tính tọa độ đỉnh
A
của hình hộp.
A.
3;4; 6
A
. B.
4;6; 5
A
. C.
2;0;2
A
. D.
3;5; 6
A
.
Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ cho hình hộp có
và . Tọa độ trọng tâm của tam giác là.
A.
1;2; 1
.
B.
2;1; 2
. C.
2;1; 1
. D.
1;1; 2
.
,
Oxyz
.
ABCD A B C D
0;0;0 ,
A
3;0;0 ,
B
0;3;0
D
0;3; 3
D
A B C
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 47: Trong không gian
Oxyz
, cho hai vector
1 2 3 1 2 3
, , , , ,
a a a a b b b b
khác
0
. Tích có hướng của
a
và
b
và
c
. Câu nào sau đây đúng?
A.
1 3 3 1 2 2 1 2 3 2 2 3
, ,
c a b a b a b a b a b a b
. B.
3 1 1 3 1 2 2 1 2 3 3 1
, ,
c a b a b a b a b a b a b
.
C.
2 3 3 2 3 1 1 1 2 2 1
, ,
b
c a b a b a b a b a b a b
. D.
1 3 2 1 2 3 3 2 3 1 1 3
, ,
c a b a b a b a b a b a b
.
Câu 48: Cho
2 ;0; 1 , 1; 3; 2
a b
. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng ?
A.
, 3; 3; 6
a b
.
. B.
, 3; 3; 6
a b
.
C.
, 1; 1; 2
a b
. D.
, 1; 1; 2
a b
.
Câu 49: Cho
1;0; 3
a
;
2;1;2
b
. Khi đó
;
a b
có giá trị là
A.
8
. B.
3
. C.
74
. D.
4
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 10
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
A – LÝ THUYẾT CHUNG
1. Phương trình mặt cầu
1.1. Phương trình chính tắc
Phương trình của mặt cầu tâm bán kính là:
Phương trình được gọi là phương trình chính tắc của mặt cầu
Đặc biệt: Khi thì
1.2. Phương trình tổng quát
Phương trình : với là phương trình của mặt
cầu có tâm bán kính .
2. Một số bài toán liên quan
2.1. Dạng 1: có tâm và bán kính thì
2.2. Dạng 2: có tâm và đi qua điểm thì bán kính .
2.3. Dạng 3: nhận đoạn thẳng cho trước làm đường kính:
Tâm là trung điểm của đoạn thẳng
Bán kính .
2.4. Dạng 4: đi qua bốn điểm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện)
Giả sử phương trình mặt cầu có dạng:
Thay lần lượt toạ độ của các điểm vào ta được 4 phương trình.
THAM KHẢO THÊM SAU KHI HỌC BÀI PT MẶT PHẲNG, PT ĐƯỜNG THẲNG
2.5. Dạng 5: đi qua ba điểm và có tâm nằm trên mặt phẳng cho trước thì giải tương tự
dạng 4
6. Dạng 6: Viết phương trình mặt cầu có tâm , tiếp xúc với mặt phẳng cho trước thì bán
kính mặt cầu
2.7. Dạng 7: Viết phương trình mặt cầu có tâm , cắt mặt phẳng cho trước theo giao tuyến
là một đường tròn thoả điều kiện .
Đường tròn cho trước (bán kính hoặc diện tích hoặc chu vi) thì từ công thức diện tích đường tròn
hoặc chu vi đường tròn ta tìm được bán kính đường tròn giao tuyến .
Tính
Tính bán kính mặt cầu
S
I a b c
; ; ,
R
S x a y b z c R
2 2 2 2
( ):( ) ( ) ( )
1
1
I O
C x y z R
2 2 2 2
( ):
x y z ax by cz d
2 2 2
2 2 2 0
a b c d
2 2 2
0
S
I a b c
; ; ,
R a b c d
2 2 2
S
I a b c
; ;
R
S x a y b z c R
2 2 2 2
:( ) ( ) ( )
S
I a b c
; ;
A
R IA
S
AB
I
A B A B A B
I I I
x x y
A yB
y z z
x z; ;:
2 2 2
AB
R IA
2
S
A B C D
, , , (
S
x y z ax by cz d
2 2 2
2 2
*
2 0
.
A B C D
, , ,
* ,
S
A B C
, ,
I
P
S
I a b c
; ;
P
R d I P
;
S
I a b c
; ;
P
S r
P r
2
r
d d I P
,
R d r
2 2
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 11
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Kết luận phương trình mặt cầu.
B – BÀI TẬP
Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, mặt cầu
2 2
2
: 2 1 4
S x y z
có tâm
I
và
bán kính
R
lần lượt là
A.
2; 1;0 , 4
I R
. B.
2; 1;0 , 2
I R
. C.
2;1;0 , 2
I R
. D.
2;1;0 , 4
I R
.
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, tìm tọa độ tâm
I
và bán kính
R
của mặt cầu
2 2
2
: 1 1 4
S x y z
.
A.
1;0;1 , 2
I R
. B.
1;0; 1 , 4
I R
.
C.
1;0; 1 , 2
I R
. D.
1;0;1 , 4
I R
.
Câu 3: Trong không gian
Oxyz
, mặt cầu
2 2 2
1 2 3 4
x y z
có tâm và bán kính lần lượt là
A.
1;2; 3
I
;
2
R
. B.
1;2; 3
I
;
4
R
.
C.
1; 2;3
I ;
4
R
. D.
1; 2;3
I ;
2
R
.
Câu 4: Phương trình mặt cầu tâm
1;2; 3
I
bán kính
2
R
là:
A.
2 2 2
2
1 2 3 2
x y z
. B.
2 2 2
2 4 6 10 0
x y z x y z
.
C.
2 2 2
1 2 3 2
x y z
. D.
2 2 2
2 4 6 10 0
x y z x y z
.
Câu 5: Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, cho mặt cầu
S
có phương trình:
2 2 2
1 2 3 4
x y z
. Tìm toạ độ tâm
I
và bán kính
R
của
S
.
A.
( 1;2; 3)
I
và
4
R
. B.
(1; 2;3)
I
và
2
R
.
C.
( 1;2; 3)
I
và
2
R
. D.
(1; 2;3)
I
và
4
R
.
Câu 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
cho hai điểm
6;2; 5
M
,
4;0;7
N
. Viết phương
trình mặt cầu đường kính
MN
?
A.
2 2 2
1 1 1 62
x y z
. B.
2 2 2
5 1 6 62
x y z
.
C.
2 2 2
1 1 1 62
x y z
. D.
2 2 2
5 1 6 62
x y z
.
Câu 7: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
2 2 2
: 2 1 0
S x y z x y
. Tâm
I
và bán kính
R
của
S
là
A.
1
;1;0
2
I
và
1
2
R
B.
1
; 1;0
2
I
và
1
2
R
C.
1
; 1;0
2
I
và
1
2
R
D.
1
;1;0
2
I
và
1
4
R
Câu 8: Trong không gian với hệ trục
Oxyz
, cho mặt cầu
2 2 2
: 2 4 2 0
S x y z x y z
, toạ độ tâm
I
và bán kính
R
của mặt cầu
S
là.
A.
1; 2;1 , 6
I R . B.
1; 2;1 , 6
I R
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 12
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
C.
1;2; 1 , 6
I R . D.
1;2; 1 , 6
I R
.
Câu 9: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
2 2 2
: 4 2 6 5 0
S x y z x y z
. Mặt cầu
S
có bán
kính là
A.
3
. B.
5
. C.
2
. D.
7
.
Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt cầu
S
có phương trình
2 2 2
2 6 1 0
x y z x y
. Tính tọa độ tâm
I
, bán kính
R
của mặt cầu
S
.
A.
1;3;0
3
I
R
. B.
1; 3;0
3
I
R
. C.
1;3;0
9
I
R
. D.
1; 3;0
10
I
R
.
Câu 11: Trong không gian với hệ toạ độ , cho mặt cầu . Tìm
toạ độ tâm và tính bán kính của .
A. . B. .
C. . D. .
Câu 12: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, mặt cầu
2 2 2
: 8 4 2 4 0
S x y z x y z
có
bán kính
R
là
A.
5
R
. B.
25
R
. C.
2
R
. D.
5
R
.
Câu 13: Trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
, cho điểm
2;1;3
I
và mặt phẳng
P
:
2 2 10 0
x y z
. Tính bán kính
r
của mặt cầu
S
, biết rằng
S
có tâm
I
và nó cắt
P
theo một đường tròn
T
có chu vi bằng
10
.
A.
5
r
B.
34
r
C.
5
r
D.
34
r
Câu 14: Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, cho
(1;1;3), B( 1;3;2),C( 1;2;3)
A
. Mặt cầu tâm
O
và tiếp
xúc mặt phẳng
(ABC)
có bán kính
R
là
A.
3
2
R . B.
3
R
. C.
3
2
R
. D.
3
R
.
Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ
,
Oxyz
3; 4; 2
A
,
5; 6; 2
B
,
10; 17; 7
C
. Viết phương
trình mặt cầu tâm
C
bán kính
AB
.
A.
2 2 2
10 17 7 8
x y z
. B.
2 2 2
10 17 7 8
x y z
.
C.
2 2 2
10 17 7 8
x y z
. D.
2 2 2
10 17 7 8
x y z
.
Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
A
1;2;3
và B
1;4;1 .
Phương trình mặt
cầu đường kính
AB
là:
A.
2 2
2
3 2 12
x y z
. B.
2 2 2
1 2 3 12
x y z
.
C.
2 2 2
1 4 1 12
x y z
. D.
2 2
2
3 2 3
x y z
.
Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ
,
Oxyz
phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm
1;2; 4
I
và thể tích của khối cầu tương ứng bằng
36 .
Oxyz
2 2 2
: 4 2 6 2 0
S x y z x y z
I
R
S
2;1;3 , 4
I R
2; 1; 3 , 4
I R
2;1;3 , 2 3
I R
2; 1; 3 , 12
I R
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 13
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
2 2 2
1 2 4 3.
x y z
B.
2 2 2
1 2 4 9.
x y z
.
C.
2 2 2
1 2 4 9.
x y z
. D.
2 2 2
1 2 4 9.
x y z
.
Câu 18: Mặt cầu
S
có tâm
1;2; 1
I
và tiếp xúc với mặt phẳng
P
:
– 2 – 2 – 8 0
x y z
có phương
trình là
A.
2 2 2
1 – 2 1 3
x y z
. B.
2 2 2
1 – 2 1 9
x y z
.
C.
2 2 2
1 – 2 1 9
x y z
. D.
2 2 2
1 – 2 1 3
x y z
.
Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt cầu có phương trình
2 2
2
1 3 9
x y z
.
Tìm tọa độ tâm
I
và bán kính
R
của mặt cầu đó.
A.
1;3;0
I
;
3
R
. B.
1; 3;0
I
;
9
R
.
C.
1; 3;0
I
;
3
R
. D.
1;3;0
I
;
9
R
.
Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, mặt cầu tâm
2; 1;3
I tiếp xúc với mặt phẳng
Oxy
có
phương trình là
A.
2 2 2
2 1 3 3
x y z
. B.
2 2 2
2 1 3 4
x y z
.
C.
2 2 2
2 1 3 2
x y z
. D.
2 2 2
2 1 3 9
x y z
.
Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ
,
Oxyz
cho điểm
1;3;2
A và mặt phẳng
:3 6 2 4 0.
P x y z
Phương trình mặt cầu tâm
,
A
tiếp xúc với mặt phẳng
P
là
A.
2 2 2
1 3 2 49
x y z
. B.
2 2 2
1
1 3 2
49
x y z .
C.
2 2 2
1 3 2 7
x y z
. D.
2 2 2
1 3 2 1
x y z
.
Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
P
:
2 2 3 0
x y z
và điểm
1;2 3
I
. Mặt cầu
S
tâm
I
và tiếp xúc
mp P
có phương trình:
A.
2 2 2
( ): ( 1) ( 2) ( 3) 4
S x y z
B.
2 2 2
( ): ( 1) ( 2) ( 3) 2
S x y z
.
C.
2 2 2
( ): ( 1) ( 2) ( 3) 4
S x y z
D.
2 2 2
( ) :( 1) ( 2) ( 3) 16
S x y z
;
Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt cầu
S
có tâm
1;4;2
I
và tiếp xúc mặt phẳng
: 2 2 15 0
P x y z
. Khi đó phương trình của mặt cầu
S
là
A.
2 2 2
1 4 2 9
x y z
. B.
2 2 2
1 4 2 81
x y z
.
C.
2 2 2
1 4 2 9
x y z
. D.
2 2 2
1 4 2 81
x y z
.
Câu 24: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho mặt cầu
S
có tâm
2;1; 4
I
và mặt phẳng
: 2 1 0
P x y z
. Biết rằng mặt phẳng
P
cắt mặt cầu
S
theo giao tuyến là đường tròn
có bán kính bằng
1
. Viết phương trình mặt cầu
S
.
A.
2 2 2
: 2 1 4 25
S x y z
. B.
2 2 2
: 2 1 4 13
S x y z
.
C.
2 2 2
: 2 1 4 25
S x y z
. D.
2 2 2
: 2 1 4 13
S x y z
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 14
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Chưa học PTĐT)
A – LÝ THUYẾT CHUNG
1.1 Khái niệm về véc tơ pháp tuyến
khác và có giá vuông góc
mp P
được gọi là véc tơ pháp tuyến của
.
P
1.2. Tính chất của véc tơ pháp tuyến
Nếu là véc tơ pháp tuyến của
P
thì
, ( 0)
kn k
cũng là véc tơ pháp tuyến của
.
P
2.1 Phương trình tổng quát của
mp P
Phương trình tổng quát của
mp P
qua và có véc tơ pháp tuyến là
2.2. Khai triển của phương trình tổng quát
Dạng khai triển của phương trình tổng quát là:
(trong đó
, ,
A B C
không đồng thời
bằng 0)
2.3. Những trường hợp riêng của phương trình tổng quát
P
qua gốc tọa độ
0
D
P
song song hoặc trùng
0
Oxy A B
P
song song hoặc trùng
0
Oyz B C
P
song song hoặc trùng
0
Ozx A C
P
song song hoặc chứa
0
Ox A
P
song song hoặc chứa
0
Oy B
P
song song hoặc chứa
0
Oz C
P
cắt
Ox
tại
;0;0 ,
A a
cắt
Oy
tại
0; ;0
B b
và cắt
Oz
tại
0;0;
C c P
có phương trình
3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng và
Khi đó:
cắt
4.1 Khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng
Cho và ;
4.2. Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến
mặt phẳng kia.
5.1. Hình chiếu của 1 điểm lên mặt phẳng
n
0
n
M x y z
0 0 0
( ; ; )
n A B C
( ; ; )
A x x B y y C z z
0 0 0
( ) ( ) ( ) 0
Ax By Cz D
0
x y z
a b c
a b c
1 , , 0
: 0
P A B Dx y Cz
: 0.
xA zP B Cy D
P
P
: : :
.
:
A B C A B C
//
P P
.
A B C D
A B C D
P P
A B C D
A B C D
P P
. 0 0.
P P P P
n n n n AA BB CC
M x y z
0 0 0
; ;
P Ax By Cz D
(
: 0
)
Ax By Cz D
d M P
A B C
0 0 0
2 2 2
( ,( ))
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 15
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Điểm là hình chiếu của điểm trên .
5.2. Điểm đối xứng của 1 điểm qua mặt phẳng
Điểm đối xứng với điểm qua
6. Góc giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng có phương trình:
Góc giữa bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT .
Chú ý:
0 0
0 , 90
;
7. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu. Phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu
Cho mặt phẳng và mặt cầu có tâm
I
và không có điểm chung
tiếp xúc với với là tiếp diện
Để tìm toạ độ tiếp điểm ta có thể thực hiện như sau:
Viết phương trình đường thẳng đi qua tâm của và vuông góc với .
Tìm toạ độ giao điểm của và . là tiếp điểm của với .
cắt theo một đường tròn
Để xác định tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến ta có thể thực hiện như sau:
Viết phương trình đường thẳng đi qua tâm của và vuông góc với .
Tìm toạ độ giao điểm của và . Với là tâm của đường tròn giao tuyến của với
.
Bán kính của đường tròn giao tuyến:
8. Viết phương trình mặt phẳng
Để lập phương trình mặt phẳng ta cần xác định một điểm thuộc và một VTPT của nó.
8.1. Dạng 1: đi qua điểm có VTPT thì:
8.2. Dạng 2: đi qua điểm có cặp VTCP thì là một VTPT của
8.3. Dạng 3: đi qua điểm và song song với
: 0
Ax By Cz
thì
H
M
MH n cung phuong
H P
P
,
( )
M
'
M
MM MH
P 2
 
,
Ax B y C z D
1 1 1 1
: 0
A x B y C z D
2 2 2 2
: 0
,
n n
1 2
,
n n AA B B C C
n n
A B C A B C
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 2
1 1 1 2 2 2
.
cos ( ),( )
.
.
AA B B C C
1 2 1 2 1 2
( ) ( ) 0
Ax By Cz D
: 0
S x a y b z c R
2 2 2 2
:( ) ( ) ( )
S
d I R
( ,( ))
S
d I R
( ,( ))
d
I
S
H
d
H
S
S
d I R
( ,( ))
H
r
d
I
S
H
d
H
S
r
r R IH
2 2
M x y z
0 0 0
; ;
n A B C
; ;
A x x B y y C z z
0 0 0
: 0
M x y z
0 0 0
; ;
a b
,
n a b
,
M x y z
0 0 0
; ;
A x x B y y C z z
0 0 0
: 0
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 16
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
8.4. Dạng 4: đi qua 3 điểm không thẳng hàng . Khi đó ta có thể xác định một VTPT của
là:
THAM KHẢO THÊM SAU KHI HỌC BÀI ĐƯỜNG THẲNG
8.5. Dạng 5: đi qua một điểm
M
và một đường thẳng không chứa
M
:
Trên lấy điểm và VTCP .
Một VTPT của là:
8.6. Dạng 6: đi qua một điểm
M
, vuông góc với đường thẳng thì VTCP của đường thẳng
là một VTPT của .
8.7. Dạng 7: chứa đường thẳng cắt nhau
Xác định các VTCP của các đường thẳng
Một VTPT của là: .
Lấy một điểm
M
thuộc d
1
hoặc
8.8. Dạng 8: chứa đường thẳng và song song với đường thẳng
2
d
(
1 2
,
d d
chéo nhau
Xác định các VTCP của các đường thẳng
Một VTPT của là: .
Lấy một điểm
M
thuộc
8.9. Dạng 9: đi qua điểm
M
và song song với hai đường thẳng chéo nhau
1 2
,
d d
:
Xác định các VTCP của các đường thẳng
Một VTPT của là: .
8.10. Dạng 10: chứa một đường thẳng
d
và vuông góc với một mặt phẳng
Xác định VTCP của
d
và VTPT của
Một VTPT của là: .
Lấy một điểm
M
thuộc
8.11. Dạng 11: đi qua điểm
M
và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau
Xác định các VTPT của và
Một VTPT của là: .
8.12. Dạng 12: chứa đường thẳng
d
cho trước và cách điểm
M
cho trước một khoảng cho trước:
Giả sử () có phương trình: .
Lấy 2 điểm ta được hai phương trình
1 , 2
)
Từ điều kiện khoảng cách , ta được phương trình
A B C
, ,
n AB AC
,

d
d
A
u
n AM u
,
d
u
d
d d
1 2
,
:
a b
,
d d
1 2
, .
n a b
,
d M
2
.
d
1
)
:
a b
,
d d
1 2
, .
n a b
,
d M
1
.
a b
,
d d
1 2
, .
n a b
,
:
u
n
.
n u n
,
d M
, :
n n
,
.
n u n
,
k
Ax By Cz+D
0
A B C
2 2 2
0
A B d A B
, , (
d M k
( ,( ))
3 .
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 17
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giải hệ phương trình
1 , 2 , 3
(bằng cách cho giá trị một ẩn, tìm các ẩn còn lại).
8.13. Dạng 13: là tiếp xúc với mặt cầu tại điểm
Giả sử mặt cầu có tâm và bán kính
Một VTPT của là:
B – BÀI TẬP
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ
,
Oxyz
cho mặt phẳng
:2 1 0.
P x y z
Vectơ nào dưới đây
là vectơ pháp tuyến của
?
P
A.
2; 1; 1 .
n
B.
2; 1; 1 .
n
C.
1; 1; 1 .
n
D.
2; 1; 1 .
n
Câu 2: Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, cho phương trình mặt phẳng
:2 3 4 5 0
P x y z
.
Vectơ nào sau đây là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng
P
.
A.
2;3; 4
n
. B.
2;3;4
n
. C.
2;3;5
n
. D.
4;3;2
n
.
Câu 3: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
1
: 2 5 0
2
P x y z
. Vectơ nào dưới đây là vectơ
pháp tuyến của mặt phẳng
P
?
A.
2
1; 2;1
n
. B.
3
1; 4;2
n
. C.
1
2; 2;1
n
. D.
4
2;1;5
n
.
Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, viết phương trình mặt phẳng qua điểm
2; 3;4
M
và nhận
2;4;1
n
làm vectơ pháp tuyến
A.
2 4 11 0
x y z
. B.
2 4 12 0
x y z
.
C.
2 4 12 0
x y z
. D.
2 4 10 0
x y z
.
Câu 5: Trong không gian
Oxyz
, cho ba điểm
3;0;0
M
,
0; 2;0
N
và
0;0;1
P
. Mặt phẳng
MNP
có
phương trình là
A.
1
3 2 1
x y z
. B.
1
3 2 1
x y z
. C.
1
3 2 1
x y z
. D.
1
3 2 1
x y z
.
Câu 6: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
2;3;4
M
. Gọi
A
,
B
,
C
lần lượt là hình chiếu vuông góc của
M
lên các trục
Ox
,
Oy
,
Oz
. Viết phương trình mặt phẳng
ABC
.
A.
1
4 4 3
x y z
B.
1
3 4 2
x y z
C.
1
3 2 4
x y z
D.
1
2 3 4
x y z
Câu 7: Trong không gian
Oxyz
, gọi (P) là mặt phẳng cắt ba trục tọa độ tại ba điểm
(8,0,0); (0, 2,0);
A B
(0,0,4)
C
. Phương trình của mặt phẳng (P) là:
A.
1
4 1 2
x y z
. B.
0
8 2 4
x y z
.
C.
4 2 0
x y z
. D.
4 2 8 0
x y z
.
S
H
:
S
I
R
.
n IH
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 18
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ
,
Oxyz
cho điểm
12;8;6 .
M
Viết phương trình mặt phẳng
đi
qua các hình chiếu của
M
trên các trục tọa độ.
A.
2 3 4 24 0.
x y z
B.
1.
12 8 6
x y z
C.
1.
6 4 3
x y z
D.
26 0.
x y z
Câu 9: Trong không gian với hệ trục
Oxyz
, cho ba điểm
1;2;1
A
,
2; 1;0
B
,
1;1;3
C
. Viết phương
trình mặt phẳng đi qua ba điểm
A
,
B
,
C
.
A.
7 2 10 0
x y z
. B.
4 0
x y z
.
C.
4 7 0
x y z
. D.
7 2 12 0
x y z
.
Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
4;0;1
A và
2;2;3
B . Phương trình
nào dưới đây là phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
AB
?
A.
6 2 2 1 0
x y z
. B.
3 0
x y z
.
C.
3 6 0
x y z
. D.
3 1 0
x y z
.
Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho
1;2; 3
A
,
3;2;9
B
. Mặt phẳng trung trực của
đoạn thẳng
AB
có phương trình là:
A.
3 10 0
x z
. B.
4 12 10 0
x z
.
C.
3 1 0
x z
. D.
3 10 0
x z
.
Câu 12: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm
1;3;2
M
,
5;2;4
N
,
2; 6; 1
P
có dạng
0
Ax By Cz D
. Tính tổng
S A B C D
.
A.
3
S
. B.
1
S
. C.
6
S
. D.
5
S
.
Câu 13: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
1;0;0 , 0; 2;0
A B
. Phương trình nào
dưới đây là phương trình của mặt phẳng
OAB
?
A.
0
z
. B.
1 2 0
x y
.
C.
1
1 2
x y
. D.
0
1 2
x y
z
.
Câu 14: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
3;2;1
A
và mặt phẳng
:P x y z
3 2 2 0
.Phương
trình mặt phẳng
Q
đi qua
A
và song song mặt phẳng
P
là:
A.
:3 2 9 0
Q x y z
. B.
: 3 2 1 0
Q x y z
.
C.
: 3 2 4 0
Q x y z
. D.
: 3 2 1 0
Q x y z
.
Câu 15: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
cho các điểm
0;1;2
A
,
2; 2;1
B
,
2;0;1
C
.
Phương trình mặt phẳng đi qua
A
và vuông góc với
BC
là
A.
2 3 0
y z
. B.
2 1 0
x y
. C.
2 5 0
y z
. D.
2 1 0
x y
.
Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
3; 1; 2
M
và mặt phẳng
:3 2 4 0
x y z
. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua
M
và
song song với
?
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 19
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
3 2 6 0
x y z
. B.
3 2 14 0
x y z
.
C.
3 2 6 0
x y z
. D.
3 2 6 0
x y z
.
Câu 17: Trong hệ tọa độ
Oxyz
, cho bốn điểm
(0;1;1)
A
,
(1;0;1)
B
,
(0;0;1)
C
, và
(1;1;1)
I
. Mặt phẳng qua
I
, song song với mặt phẳng
ABC
có phương trình là:
A.
1 0
z
B.
1 0
y
C.
3 0
x y z
D.
1 0
x
Câu 18: Mặt phẳng có phương trình nào sau đây song song với trục
Ox
?
A.
2 1 0
x y
. B.
3 1 0
x
. C.
2 1 0
y z
. D.
2 0
y z
.
Câu 19: Trong không gian với hệ trục
Oxyz
, mặt phẳng chứa điểm
(1;0;1)
A
và
1;2;2
B
và song
song với trục
Ox
có phương trình là
A.
0
x y z
. B.
2 1 0
y z
. C.
2 2 0
y z
. D.
2 3 0
x z
.
Câu 20: Gọi
là mặt phẳng đi qua
1; 1;2
M
và chứa trục
Ox
. Điểm nào trong các điểm sau đây
thuộc mặt phẳng
?
A.
2;2;4
P
. B.
0;4;2
Q
. C.
0;4; 2
M
. D.
2;2; 4
N
.
Câu 21: Phương trình của mặt phẳng
qua
2; 1;4
A ,
3;2; 1
B
và vuông góc với mặt phẳng
: 2 3 0
x y z
là
A.
11 7 2 21 0.
x y z
B.
11 7 2 21 0.
x y z
C.
11 7 2 21 0.
x y z
D.
11 7 2 21 0.
x y z
Câu 22: Trong không gian hệ tọa độ
Oxyz
, cho
1;2; 1
A
;
1;0;1
B
và mặt phẳng
( ): 2 1 0
P x y z
. Viết phương trình mặt phẳng
( )
Q
qua
A
;
B
và vuông góc với
( )
P
A.
( ):2 3 0
Q x y
. B.
( ): 0
Q x z
.
C.
( ): 0
Q x y z
. D.
( ):3 0
Q x y z
.
Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho hai điểm
2;4;1
A
,
1;1;3
B
và mặt phẳng
: 3 2 5 0
P x y z
. Một mặt phẳng
Q
đi qua hai điểm
A
,
B
và vuông góc với
P
có
dạng:
11 0
ax by cz
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
a b c
. B.
5
a b c
. C.
;
a b c
. D.
a b c
.
Câu 24: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
1;2;3
H . Mặt phẳng
P
đi qua điểm
,
H
cắt
, ,
Ox Oy Oz
tại
, ,
A B C
sao cho
H
là trực tâm của tam giác
ABC
. Phương trình của mặt phẳng
P
là
A.
( ) : 3 2 11 0.
P x y z
B.
( ):3 2 10 0.
P x y z
C.
( ): 3 2 13 0.
P x y z
D.
( ): 2 3 14 0.
P x y z
Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, phương trình tổng quát của mặt phẳng
P
đi qua điểm
0; –1; 4
M
và nhận
(3,2,1)
u
,
( 3,0,1)
v
làm vectơ chỉ phương là:
A.
– 3 0
x y z
B.
– – –12 0
x y z
C.
– 3 3 –15 0
x y z
D.
3 3 – 0
x y z
2
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 20
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
1;1;1
A
và hai mặt phẳng
:2 3 1 0
P x y z
,
: 0
Q y
. Viết phương trình mặt phẳng
R
chứa
A
, vuông góc với
cả hai mặt phẳng
P
và
Q
.
A.
3 2 1 0
x z
. B.
3 2 2 0
x y z
.
C.
3 2 0
x z
. D.
3 2 4 0
x y z
.
Câu 27: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho hai mặt phẳng
P
và
Q
lần lượt có phương
trình là
0
x y z
,
2 3 4
x y z
và điểm
1; 2;5
M
. Tìm phương trình mặt phẳng
đi
qua điểm
M
đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng
P
,
Q
.
A.
4 3 6 0
x y z
. B.
5 2 4 0
x y z
.
C.
5 2 14 0
x y z
. D.
4 3 6 0
x y z
.
Câu 28: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
2 2 2
: 1 2 5 9
S x y z
. Mặt phẳng
P
tiếp
xúc với mặt cầu
S
tại điểm
2; 4;3
A
có phương trình là
A.
6 8 50 0
x y z
. B.
3 6 8 54 0
x y z
.
C.
2 2 4 0
x y z
. D.
2 2 4 0
x y z
.
Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt cầu
2 2 2
: 2 4 4 0
S x y z x y z
. Mặt
phẳng tiếp xúc với
S
tại điểm
3;4;3
A
có phương trình.
A.
2 2 17 0
x y z
. B.
4 4 2 17 0
x y z
.
C.
17 0
x y z
. D.
2 4 17 0
x y z
.
Câu 30: Cho mặt cầu
2 2 2
( ): 2 4 6 2 0
S x y z x y z
và mặt phẳng
( ): 4 3 12 10 0
x y z
. Mặt
phẳng tiếp xúc với (S) và song song với
( )
có phương trình là:
A.
4 3 12 78 0
x y z
. B.
4 3 12 78 0
x y z
hoặc
4 3 12 26 0
x y z
.
C.
4 3 12 26 0
x y z
. D.
4 3 12 78 0
x y z
hoặc
4 3 12 26 0
x y z
.
Câu 31: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
: 1 0
2 3
x y z
P a
a a a
cắt ba
trục
, ,
Ox Oy Oz
lần lượt tại ba điểm
, ,
A B C
. Tính thể tích
V
của khối tứ diện
OABC
.
A.
3
4
V a
. B.
3
V a
. C.
3
3
V a
. D.
3
3
V a
.
Câu 32: Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, phương trình mặt phẳng
P
chứa trục
Oy
và đi qua điểm
(1; 1;1)
M
là:
A.
0
x y
. B.
0
x y
. C.
0
x z
. D.
0
x z
.
Câu 33: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho hai mặt phẳng
: 1 0
x y z
và
: 2 2 2 0
x my z
. Tìm
m
để
song song với
.
A.
2
m
. B.
5
m
.
C. Không tồn tại
m
.
D.
2
m
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 21
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 34: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt cầu
2 2 2
: 2 4 6 5 0.
S x y z x y z
Tiếp
diện của
S
tại điểm
1;2;0
M
có phương trình là
A.
0.
z
B.
0.
x
C.
2 0.
x y
D.
0.
y
Câu 35: Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
2 2
: 1
4
x t
d y t
z t
. Mặt phẳng đi qua
2; 1;1
A
và vuông
góc với đường thẳng
d
có phương trình là:
A.
3 2 5 0
x y z
. B.
2 2 0
x y z
.
C.
3 2 3 0
x y z
. D.
3 2 3 0
x y z
.
Câu 36: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
2;1;1
H . Viết phương trình mặt phẳng qua
H
và cắt các
trục
Ox
,
Oy
,
Oz
lần lượt tại
A
,
B
,
C
sao cho
H
là trực tâm tam giác
ABC
.
A.
0
x y z
B.
2 6 0
x y z
C.
2 6 0
x y z
D.
1
2 1 1
x y z
Câu 37: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
:2 2 1 0
P x y z
và hai điểm
1; 2;3
A
,
3;2; 1
B
. Phương trình mặt phẳng
Q
qua
,
A B
và vuông góc với
P
là
A.
:2 2 3 7 0
Q x y z
. B.
:2 2 3 7 0
Q x y z
.
C.
:2 2 3 9 0
Q x y z
. D.
: 2 3 7 0
Q x y z
.
Câu 38: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, viết phương trình mặt phẳng
P
đi qua điểm
1;1;1
A
và
0;2;2
B
đồng thời cắt các tia
Ox
,
Oy
lần lượt tại
2
điểm
M
,
N
(không trùng với gốc tọa độ
O
) sao cho 2
OM ON
.
A.
:2 3 4 0
P x y z
. B.
:2 4 0
P x y z
.
C.
: 2 2 0
P x y z
. D.
:3 2 6 0
P x y z
.
Câu 39: Trong không gian với trục hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
1;2;3
H
là trực tâm của
ABC
với
, ,
A B C
là ba điểm lần lượt nằm trên các trục
, ,
Ox Oy Oz
(khác gốc tọa độ). Phương trình mặt
phẳng đi qua ba điểm
, ,
A B C
là
A.
3 2 9 0
x y z
B.
2 3 14 0
x y z
C.
3 2 10 0
x y z
D.
1
1 2 3
x y z
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 22
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG CÓ SỬ DỤNG PTĐT
Câu 1: Trong không gian
Oxyz
cho đường thẳng
1 2 1
:
2 1 1
x y z
d
. Trong các mặt phẳng dưới đây,
tìm một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng
d
A.
2 2 2 4 0
x y z
. B.
4 2 2 4 0
x y z
.
C.
4 2 2 4 0
x y z
. D.
4 2 2 4 0
x y z
.
Câu 2: Mặt phẳng
P
đi qua điểm
1;2;0
A
và vuông góc với đường thẳng
1 1
:
2 1 1
x y z
d
có
phương trình là :
A.
2 4 0
x y z
. B.
2 4 0
x y z
.
C.
2 4 0
x y z
. D.
2 4 0
x y z
.
Câu 3: Trong không gian
Oxyz
cho đường thẳng
d
có phương trình
1 3
2 ;
3 2
x t
y t t
z t
. Mặt phẳng
P
đi
qua
( 1; 2;1)
A
và
P
vuông góc với đường thẳng
d
thì
P
có phương trình là:
A.
: 3 2 3 0
P x y z
. B.
: 2 3 2 0
P x y z
.
C.
: 3 2 3 0
P x y z
. D.
: 2 3 2 0
P x y z
.
Câu 4: Trong không gian
Oxyz
, phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng
3 2 1
:
1 1 2
x y z
d
và
song song với đường thẳng
3 3
:
1 3 2
x y z
d
là
A.
2 2 0
x y z
B.
2 6 0
x z
C.
1
1 1 2
x y z
D.
2 7 0
x z
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, mặt phẳng
P
song song với hai đường thẳng
1
2 1
:
2 3 4
x y z
,
2
2
: 3 2
1
x t
y t
z t
. Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của
P
?
A.
5; 6;7
n
B.
5;6;7
n
C.
5;6; 7
n
D.
5; 6;7
n
Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng
( )
P
chứa đường thẳng
1 1 1
:
1 2 1
x y z
d
và đi qua điểm
'(0;2;2).
A
.
A.
5x 2 2 0.
y z
. B.
5x 2 2 0.
y z
C.
5x 5z 2 0.
. D.
2 0.
x z
Câu 7: Phương trình mặt phẳng
P
đi qua
1 ;2 ; 3
M
và chứa đường thẳng
2 1 4
1 3 4
x y z
là.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 23
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
11 8 1 0
x y z
. B.
–11 8 – 45 0
x y z
.
C.
11 8 45 0
x y z
. D.
–11 – 8 – 3 0
x y z
.
Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
1;2;3
A
và đường thẳng
1
: 3
3 4
x y
d z
.
Phương trình mặt phẳng chứa điểm A và đường thẳng d là.
A.
23 17 60 0
x y z
. B.
23 17 14 0
x y z
.
C.
23 17 14 0
x y z
. D.
23 17 14 0
x y z
.
Câu 9: Trong không gian
,
Oxyz
mặt phẳng
P
đi qua hai điểm
1; 2; 0
A
,
2; 3;1
B
và song song với
trục
Oz
có phương trình là.
A.
3 0
x y
. B.
1 0
x y
. C.
3 0
x y
. D.
3 0
x z
.
Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, viết phương trình mặt phẳng
P
đi qua điểm
3; 4;7
M
và chứa trục
Oz
.
A.
:3 4 0
P x y
. B.
: 4 3 0
P y z
. C.
:3 4 0
P x z
. D.
: 4 3 0
P x y
.
Câu 11: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
: 2 5 0
P x y z
và các điểm
1;2;3
A
,
1;1; 2
B
,
3;3;2
C
. Gọi
0 0 0
; ;
M x y z
là điểm thuộc
P
sao cho
MA MB MC
.
Tính
0 0 0
x y z
.
A.
4
B.
7
C.
5
D.
6
Câu 12: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
:2 2 7 0
P x y z
và mặt cầu
2 2 2
: 2 4 6 11 0
S x y z x y z
. Mặt phẳng song song với
P
và cắt
S
theo một
đường tròn có chu vi bằng
6
có phương trình là
A.
:2 2 19 0
P x y z
B.
:2 2 17 0
P x y z
C.
:2 2 17 0
P x y z
D.
:2 2 7 0
P x y z
Câu 13: Trong không gian
Oxyz
, mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau
1 2 4
2 1 3
x y z
và
1 2
1 1 3
x y z
có phương trình là
A.
2 0
x y z B.
6 9 8 0
x y z
C.
6 9 8 0
x y z D.
2 9 36 0
x y z
Câu 14: Viết phương trình mặt phẳng
P
chứa đường thẳng
1 1
:
2 1 3
x y z
d
và vuông góc với mặt
phẳng
: 2 0
Q x y z
.
A.
2 1 0
x y
. B.
2 0
x y z
. C.
2 1 0
x y
. D.
2 0
x y z
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 24
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 15: Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, cho đường thẳng
2 3
:
2 1 3
x y z
d
và điểm
B( 1;0;2)
. Viết phương trình mặt phẳng
P
đi qua
B
và vuông góc đường thẳng
d
.
A.
2 3 8 0
x y z
. B.
2 3 4 0
x y z
.
C.
2 3 8 0
x y z
. D.
2 3 4 0
x y z
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 25
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
BÀI 5: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
A – LÝ THUYẾT CHUNG
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
1.1. Ðịnh nghĩa
Cho đường thẳng . Nếu vectơ và có giá song song hoặc trùng với đường phẳng thì được
gọi là vectơ chỉ phương của đường phẳng . Kí hiệu:
1.2. Chú ý
là VTCP của thì cũng là VTCP của
Nếu đi qua hai điểm thì là một VTCP của
Trục có vectơ chỉ phương
Trục có vectơ chỉ phương
Trục có vectơ chỉ phương
1.3. Phương trình tham số của đường thẳng
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm và nhận làm VTCP
là :
1.4. Phương trình chính tắc của đường thẳng
Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm và nhận làm VTCP
là
2. Vị trí tương đối
2.1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
d
a
0
d
a
d
a a a a
1 2 3
( ; ; )
a
d
k a
.
k
( 0)
d
d
A B
,
AB
d
Ox
a i
(1;0;0)
Oy
a j
(0;1;0)
Oz
a k
(0;0;1)
( )
M x y z
0 0 0 0
( ; ; )
a a a a
1 2 3
( ; ; )
x x ta
y y ta t
z z ta
0 1
0 2
0 3
( ):
( )
M x y z
0 0 0 0
( ; ; )
a a a a
1 2 3
( ; ; )
x x y y z z
a a a
a a a
0 0 0
1 2 3
1 2 3
( ): , , 0
O
z
y
x
)(
0
M
),,( zyxM
a
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 26
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
2.1.1. Phương pháp hình học
Định lý
Trong không gian
Oxyz
cho đường thẳng có VTCP và qua và mặt phẳng có VTPT
Khi đó :
1 2 3
. 0 0
a n Aa Ba Ca
1 2 3
0 0 0 0
. 0
0
/ /
0
a n
Aa Ba Ca
M P Ax By Cz
1 2 3
0 0 0 0
. 0
0
0
a n
Aa Ba Ca
M P Ax By Cz
Đặc biệt
và cùng phương
2.1.2. Phương pháp đại số
Muốn tìm giao điểm
M
của và ta giải hệ phương trình: tìm Suy ra: .
Thế vào phương trình và rút gọn dưa về dạng:
d
cắt
mp P
tại một điểm
*
pt
có một nghiệm
t
.
d
song song với
*
P pt
vô nghiệm.
nằm trong có vô số nghiệm .
vuông góc và cùng phương
2.2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
2.2.1. Phương pháp hình học
Cho hai đường thẳng: đi qua
M
và có một vectơ chỉ phương
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 27
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
đi qua
N
và có một vectơ chỉ phương
cắt
và chéo nhau
2.2.2. Phương pháp đại số
Muốn tìm giao điểm
M
của ta giải hệ phương trình : tìm Suy ra:
2.3. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu
Cho đường thẳng
:
d
và mặt cầu có tâm , bán kính
2.3.1. Phương pháp đại số
Thế vào phương trình và rút gọn đưa về phương trình bậc hai theo
Nếu phương trình
*
vô nghiệm thì không cắt
S
Nếu phương trình có một nghiệm thì tiếp xúc
Nếu phương trình có hai nghiệm thì cắt tại hai điểm phân biệt
Chú ý:
Ðể tìm tọa độ ta thay giá trị vào phương trình đường thẳng
3. Lập phương trình đường thẳng
Để lập phương trình đường thẳng ta cần xác định 1 điểm thuộc và một VTCP của nó.
3.1. Dạng 1
đi qua điểm và có VTCP là.
3.2. Dạng 2
đi qua hai điểm Một VTCP của là .
3.3. Dạng 3
đi qua điểm và song song với đường thẳng cho trước: Vì nên VTCP của cũng là VTCP của .
3.4. Dạng 4
đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng cho trước: Vì nên VTPT của cũng là VTCP của .
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 28
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
3.5. Dạng 5
là giao tuyến của hai mặt phẳng
,
P Q
:
Cách 1:
Tìm một điểm và một VTCP.
Tìm toạ độ một điểm bằng cách giải hệ phương trình (với việc chọn giá trị cho một ẩn)
Tìm một VTCP của
Cách 2:
Tìm hai điểm thuộc , rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó.
3.6. Dạng 6
đi qua điểm và vuông góc với hai đường thẳng
Vì nên một VTCP của là:
3.7. Dạng 7
đi qua điểm , vuông góc và cắt đường thẳng .
Cách 1:
Gọi là hình chiếu vuông góc của trên đường thẳng . Thì . Khi đó đường thẳng là đường thẳng đi
qua
Cách 2:
Gọi là mặt phẳng đi qua và vuông góc với là mặt phẳng đi qua và chứa Khi đó
3.8. Dạng 8
đi qua điểm và cắt hai đường thẳng
Cách 1:
Gọi Từ điều kiện thẳng hàng ta tìm được Từ đó suy ra phương trình đường thẳng .
Cách 2:
Gọi , . Khi đó Do đó, một VTCP củacó thể chọn là .
3.9. Dạng 9
nằm trong mặt phẳng và cắt cả hai đường thẳng
Tìm các giao điểm
Khi đó chính là đường thẳng
3.10. Dạng 10
Viết phương trình mặt phẳng chứa và mặt phẳng chứa và
Khi đó
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 29
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
3.11. Dạng 11
là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau:
Cách 1:
Gọi Từ điều kiện , ta tìm được
Khi đó,
là đường thẳng
Cách 2:
Vì và nên một VTCP của có thể là: .
Lập phương trình mặt phẳng chứavà bằng cách:
Lấy một điểm trên
Một VTPT của có thể là: .
Tương tự lập phương trình mặt phẳng chứavà Khi đó
3.12. Dạng 12
là hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng
P
thì ta Lập phương trình mặt phẳng chứa và vuông
góc với mặt phẳng bằng cách:
Lấy .
Vì chứa và vuông góc với nên .
Khi đó
3.13. Dạng 13
đi qua điểm
M
, vuông góc với và cắt
Cách 1:
Gọi là giao điểm củavà Từ điều kiện ta tìm được Khi đó, là đường thẳng
Cách 2:
Viết phương trình mặt phẳng qua và vuông góc với
Viết phương trình mặt phẳng chứa và
Khi đó
B – BÀI TẬP
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho
1; 2; 3
A
,
1; 0; 2
B
. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A.
0; 2; 1
u
là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
.
AB
B.
0; 2; 1
u
là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
.
AB
C.
0; 2; 1
u
là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
.
AB
D.
2; 2; 5
u
là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
.
AB
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 30
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
1;2;2
A
,
3; 2;0
B
. Một vectơ chỉ phương
của đường thẳng
AB
là:
A.
2;4; 2
u
B.
1;2; 1
u
C.
2; 4;2
u
D.
1;2;1
u
Câu 3: Trong không gian
Oxyz
, phương trình nào dưới đây không phải là phương trình đường thẳng đi
qua hai điểm
4;2;0
A ,
2;3;1
B .
A.
2 3 1
2 1 1
x y z
. B.
4 2
2 1 1
x y z
.
C.
1 2
4
2
x t
y t
z t
. D.
4 2
2
x t
y t
z t
.
Câu 4: Trong không gian
Oxyz
, tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng
d
:
4 5 7
7 4 5
x y z
.
A.
4;5; 7
u
. B.
7; 4; 5
u
. C.
7;4; 5
u
. D.
5; 4; 7
u
.
Câu 5: Trong không gian
Oxyz
, phương trình đường thẳng đi qua điểm
1; 2;3
A và có vectơ chỉ
phương
2; 1;6
u
là
A.
2 1 6
1 2 3
x y z
. B.
2 1 6
1 2 3
x y z
.
C.
1 2 3
2 1 6
x y z
. D.
1 2 3
2 1 6
x y z
.
Câu 6: Cho đường thẳng
d
có phương trình tham số
1 2
2 .
3
x t
y t
z t
Viết phương trình chính tắc của đường
thẳng
d
.
A.
: .
x y z
d
1 2 3
2 1 1
B.
: .
x y z
d
1 2 3
2 1 1
C.
: .
x y z
d
1 2 3
2 1 1
D.
: .
x y z
d
1 2 3
2 1 1
Câu 7: Trong không gian
Oxyz
cho đường thẳng
2 1 3
:
3 1
2
x y z
d
. Điểm nào sau đây không thuộc
đường thẳng
d
?
A.
2; 1; 3
N
B.
5; 2; 1
P
C.
1;0; 5
Q
D.
2;1;3
M
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 31
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
có phương trình
2 2
1 3
4 3
x t
y t
z t
. Một
trong bốn điểm được liệt kê ở bốn phương án
, , ,
A B C D
dưới đây nằm trên đường thẳng
. Đó
là điểm nào?
A.
2; 7;10
Q
.
B.
0; 4; 7
M
. C.
0; 4;7
N
. D.
4;2;1
P
.
Câu 9: . Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
1 2
: 3
5 3
x t
d y
z t
. Trong các vecto sau, vecto nào là một
vecto chỉ phương của đường thẳng
d
.
A.
1
2;3;3
a
. B.
3
2;0;3
a
. C.
1
2;3;3
a
. D.
1
1;3;5
a
.
Câu 10: Trong không gian
Oxyz
, đường thẳng chứa trục
Oy
có phương trình tham số là
A.
0
1
x
y
z t
B.
0
0
x
y t
z
C.
0
0
x t
y
z
D.
0
0
x
y
z t
Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
d
:
1 2
1 3 2
x y z
, vectơ nào dưới
đây là vtcp của đường thẳng
d
?
A.
1;3; 2
u
. B.
1;3;2
u
. C.
1; 3; 2
u
. D.
1; 3;2
u
.
Câu 12: Trong không gian
Oxyz
, đường thẳng đi qua điểm
1;4; 7
A
và vuông góc với mặt phẳng
2 2 3 0
x y z
có phương trình là
A.
1 4 7
1 4 7
x y z
. B.
1 4 7
1 2 2
x y z
.
C.
1 4 7
1 2 2
x y z
. D.
1 4 7
1 2 2
x y z
.
Câu 13: Trong không gian
Oxyz
, đường thẳng đi qua điểm
1;2;3
A
và vuông góc với mặt phẳng
4 3 3 1 0
x y z
có phương trình là.
A.
1 4
2 3
3
x t
y t
z t
. B.
1 4
2 3
3 3
x t
y t
z t
. C.
1 4
2 3
3 3
x t
y t
z t
. D.
1 4
2 3
3 3
x t
y t
z t
.
Câu 14: Trong không gian
Oxyz
, đường thẳng đi qua điểm
3; 1;2
A
và vuông góc với mặt phẳng
: 3 5 0
P x y z
có phương trình là:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 32
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
3 1 2
:
1 1 3
x y z
d
. B.
3 1 2
:
1 1 3
x y z
d
.
C.
1 1 3
:
3 1 2
x y z
d
. D.
1 1 3
:
3 1 2
x y z
d
.
Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
d
có phương trình
1 2 3
3 2 4
x y z
.
Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng
d
?
A.
7;2;1
P
. B.
2; 4;7
Q
. C.
4;0; 1
N
. D.
1; 2;3
M
.
Câu 16: Trong không gian
Oxyz
, một vectơ chỉ phương của đường thẳng
2
: 1
1
x t
y t
z
là
A.
2; 1;0
v
. B.
2;1;1
u
. C.
2; 1;1
m
. D.
2; 1;0
n
.
Câu 17: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
: 2 3 2 0
P x y z
. Đường thẳng
d
vuông góc với
mặt phẳng
P
có một vectơ chỉ phương là
A.
4
1;2;3
u
B.
3
1; 3; 2
u
C.
1
1; 2; 2
u
D.
2
1; 2; 3
u
Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
3 2 1
:
2 1 4
x y z
d
. Điểm nào sau
đây không thuộc đường thẳng
d
?
A.
1; 1; 5
P
. B.
5; 3;3
Q
. C.
1; 1; 3
M
. D.
3; 2; 1
N
.
Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
0; 2; 0
M
và đường thẳng
4 3
: 2
1
x t
d y t
z t
.
Đường thẳng đi qua
M
, cắt và vuông góc với
d
có phương trình là
A.
2
1 1 2
x y z
B.
1
1 1 2
x y z
C.
1 1
1 1 2
x y z
D.
1
1 1 2
x y z
Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, đường thẳng
2 2
:
1 2 3
x y z
d
đi qua những điểm nào
sau đây?
A.
2;2;0
B
B.
3;0;3
C
C.
3;0;3
D
D.
2;2;0
A
Câu 21: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
:2 3 2z 2 0
P x y
và
: 3 2z 1 0
Q x y
.
Phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ
O
và song song với hai mặt phẳng
P
,
Q
là
A.
9 12 2
x y z
. B.
12 2 9
x y z
. C.
9 12 2
x y z
. D.
12 2 9
x y z
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 33
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 22: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
3;1; 5
A
, hai mặt phẳng
P
:
4 0
x y z
và
Q
:
2 4 0
x y z
. Viết phương trình đường thẳng
đi qua
A
đồng thời
song song với hai
mặt phẳng
P
và
Q
.
A.
:
3 1 5
2 1 3
x y z
. B.
:
3 1 5
2 1 3
x y z
.
C.
:
3 1 5
2 1 3
x y z
. D.
:
3 1 5
2 1 3
x y z
.
Câu 23: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
1; 2; 1
A
, đường thẳng
d
có phương trình
3 3
1 3 2
x y z
và mặt phẳng
α
có phương trình
3 0
x y z
. Đường thẳng
đi qua
điểm
A
, cắt
d
và song song với mặt phẳng
α
có phương trình là
A.
1 2 1
1 2 1
x y z
B.
1 2 1
1 2 1
x y z
C.
1 2 1
1 2 1
x y z
D.
1 2 1
1 2 1
x y z
Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
: 2 2 5 0
P x y z
và đường thẳng
1 1
:
2 2 1
x y z
d
. Đường thẳng
nằm trên mặt phẳng
P
, đồng thời vuông góc và cắt
đường thẳng
d
có phương trình là
A.
1 1 1
2 3 2
x y z
B.
1 1 1
2 3 2
x y z
.
C.
1 1 1
2 3 2
x y z
. D.
1 1 1
2 3 2
x y z
.
Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ
,
Oxyz
cho hai đường thẳng
1
1 2 1
:
3 1 2
x y z
và
2
1 1
:
1 2 3
x y z
. Phương trình đường thẳng song song với
3
: 1
4
x
d y t
z t
và cắt hai đường
thẳng
1 2
;
là
A.
2
3
3
x
y t
z t
. B.
2
3
3
x
y t
z t
. C.
2
3
3
x
y t
z t
. D.
2
3
3
x
y t
z t
.
Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho điểm
1;0;2
A và đường thẳng
d
có phương trình:
1 1
1 1 2
x y z
. Viết phương trình đường thẳng
đi qua
A
, vuông góc và cắt
d
.
A.
1 2
:
1 1 1
x y z
. B.
1 2
:
2 1 1
x y z
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 34
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
C.
1 2
:
1 3 1
x y z
. D.
1 2
:
1 1 1
x y z
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 35
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
BÀI 6: TOÁN TỔNG HỢP VỀ PP TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
:2 2 3 0
x y z
và điểm
1; 2;13
M
. Tính khoảng cách từ điểm
M
đến mặt phẳng
.
A.
5
,
3
d M
. B.
, 4
d M
. C.
4
,
3
d M
. D.
2
,
3
d M
.
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
: 2 2 5 0
P x y z
và điểm
1;3; 2 .
A
Khoảng cách
d
từ điểm
A
đến mặt phẳng
P
bằng
A.
1
d
. B.
2
3
d
. C.
3 14
14
d . D.
14
7
d .
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai mặt phẳng
: 2 2 3 0
P x y z
và
: 2 2 1 0
Q x y z
. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đã cho là
A.
4
3
. B.
2
3
. C.
4
. D.
4
9
.
Câu 4: Trong không gian
Ox
yz
, cho hai mặt phẳng
:2 3 4 0
P x y z
;
:5 3 2 7 0
Q x y z
Vị trí tương đối của
&
P Q
là
A. Vuông góc. B. Trùng nhau.
C. Song song. D. Cắt nhưng không vuông góc.
Câu 5: Khoảng cách từ điểm
2; 4;3
M
đến mặt phẳng
P
có phương trình
2 2 3 0
x y z
là:
A.
3
. B.
1
. C.
2
. D. Đáp án khác.
Câu 6: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
1;2;3
M . Hình chiếu vuông góc của
M
trên
Oxz
là điểm
nào sau đây.
A.
0;2;3
K . B.
1;2;0
H . C.
0;2;0
F . D.
1;0;3
E .
Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
2; 1;1
M
, tìm tọa độ
M
là hình chiếu vuông
góc của
M
trên mặt phẳng
Oxy
.
A.
2;1; 1
M
. B.
0;0;1
M
. C.
2; 1;0
M
. D.
2;1;0
M
.
Câu 8: Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
:2 2 4 0
P x y z
và điểm
( 1;2; 2)
A
. Tính khoảng cách
d
từ
A
đến mặt phẳng
P
.
A.
4
3
d
. B.
8
9
d
. C.
2
3
d
. D.
5
9
d
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 36
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 9: Trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
:3 4 2 4 0
P x y z
và điểm
1;–2;3 .
A Tính khoảng cách
d
từ điểm
A
đến mặt phẳng
.
P
A.
5
.
3
d B.
5
.
9
d
C.
5
.
29
d D.
5
.
29
d
Câu 10: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
2; 3;5
A
. Tìm tọa độ
A
là điểm đối xứng với
A
qua trục
Oy
.
A.
2; 3;5
A
B.
2; 3; 5
A
C.
2;3;5
A
D.
2; 3; 5
A
Câu 11: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
5;7; 13
M . Gọi
H
là hình chiếu vuông góc của
M
trên
mặt phẳng
Oyz
. Tọa độ điểm
H
là?
A.
5;0; 13
H B.
0;7; 13
H C.
5;7;0
H D.
0; 7;13
H
Câu 12: Trong không gian
Oxyz
cho điểm
1;2;1
A
, hình chiếu vuông góc của điểm
A
lên mặt phẳng
tọa độ
Oxy
là
A.
0;2;1
P
B.
1;0;1
N
C.
0;2;0
Q
D.
1;2;0
M
Câu 13: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
:2 3 6 19 0
P x y z
và điểm
2;4;3
A
. Gọi
d
là
khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
P
. Khi đó
d
bằng
A.
3
. B.
2
. C.
1
. D.
4
.
Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
0, 1,2
A
và mặt phẳng
có phương trình
4 2 3 0
x y z
. Tính khoảng cách
d
từ
A
đến mặt phẳng
.
A.
8
21
d . B.
8
21
d
.
C.
7
21
d
.
D.
8
21
d
.
Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, tính khoảng cách từ điểm
1; 2; 3
M
đến mặt phẳng
: 2 2 2 0
P x y z
.
A.
3
. B.
11
3
. C.
1
3
. D.
1
.
Câu 16: Trong không gian
Ox
yz
, góc giữa hai mặt phẳng
:8 4 8 11 0
P x y z
;
: 2 2 7 0
Q x y
.
A.
6
. B.
3
. C.
4
. D.
2
.
Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, mặt phẳng
:2 3 4 12 0
P x y z
cắt trục
Oy
tại điểm
có tọa độ là
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 37
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
0; 4;0
B.
0;6; 0
C.
0;3;0
D.
0; 4;0
Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, hình chiếu vuông góc
'
M
của điềm
)2;1;1(
M
trên
Oy
có
tọa độ là
A.
)2;0;0(
. B.
)0;1;0(
. C.
)0;1;0(
. D.
)0;0;1(
.
Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, hình chiếu của điểm
1; 3; 5
M
trên mặt phẳng
Oyz
có tọa độ là
A.
0; 3;0
. B.
0; 3; 5
. C.
0; 3;5
. D.
1; 3;0
.
Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ
,
Oxyz
cho hai đường thẳng
1
3 1 2
:
2 1 3
x y z
d
và
2
1 5 1
:
4 2 6
x y z
d
. Xét vị trí tương đối giữa
1
d
và
2
d
.
A.
1
d
chéo
2
d
. B.
1
d
cắt
2
d
.
C.
1
d
song song với
2
d
. D.
1
d
trùng
2
d
.
Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho bốn điểm
1;2;1
A
,
4;2; 2
B
,
1; 1; 2
C
,
5; 5;2
D
. Tính khoảng cách từ điểm
D
đến mặt phẳng
ABC
A.
3 3
d
. B.
4 3
d
. C.
3
d
. D.
2 3
d
.
Câu 22: Trong không gian với hệ trục
Oxyz
, cho hai đường thẳng
1
1 1
:
1 1 2
x y z
d
và
2
1 3
:
1 1 1
x y z
d
. Góc giữa hai đường thẳng đó bằng
A.
45
. B.
60
. C.
30
. D.
90
.
Câu 23: Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, cho mặt cầu
2 2 2
: 2 4 2 3 0
S x y z x y z
. Hỏi
trong các mặt phẳng sau, đâu là mặt phẳng không có điểm chung với mặt cầu
S
?
A.
3
: 2 2 3 0
x y z
. B.
4
:2 2 10 0
x y z
.
C.
1
: 2 2 1 0
x y z
. D.
2
:2 2 4 0
x y z
.
Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
:2 2 8 0
P x y z
và mặt cầu
2 2 2
: 6 4 2 2 0
S x y z x y z
. Gọi
, ,
I a b c
là tâm đường tròn giao tuyến của mặt cầu
S
với mặt phẳng
P
. Giá trị của tổng
S a b c
bằng
A.
1
. B.
2
. C.
1
. D.
2
.
Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
: 2 3 6 0
x y z
và đường thẳng
1 1 3
:
1 1 1
x y z
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 38
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
cắt và không vuông góc với
. B.
.
C.
//
. D.
.
Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
1;0;1
A
,
1;2; 3
B
. Đường thẳng
AB
cắt
mặt phẳng tọa độ
Oyz
tại điểm
; ;
M M M
M x y z
. Giá trị của biểu thức
M M M
T x y z
là
A.
0
. B.
4
. C.
2
. D.
4
.
Câu 27: Cho mặt phẳng
( ) : 2 3 1 0
P x y z
và đường thẳng
3
: 2 2
1
x t
d y t
z
.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A.
d
cắt
P
. B.
//
d P
. C.
d P
. D.
d P
.
Câu 28: Trong không gian
Oxyz
, cho
1;3; 2
A
,
3;5; 12
B
. Đường thẳng
AB
cắt mặt phẳng
Oyz
tại
N
. Tính tỉ số
BN
AN
.
A.
2
BN
AN
. B.
5
BN
AN
. C.
3
BN
AN
. D.
4
BN
AN
.
Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai mặt phẳng
: 2 2 3 0
P x y z
và
: 2 2 1 0
Q x y z
. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng
P
và
Q
là:
A.
4
9
. B.
2
3
. C.
4
3
. D.
4
3
.
Câu 30: Trong không gian
Oxyz
cho mặt phẳng
: 2 5 0
P x y z
và đường thẳng
1 2
:
2 1 3
x y z
. Gọi
A
là giao điểm của
và
P
; và
M
là điểm thuộc đường thẳng
sao cho
84
AM
. Tính khoảng cách từ
M
đến mặt phẳng
P
.
A.
3
B.
5
C.
6
D.
14
Câu 31: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai đường thẳng
1 1 1
:
2 3 2
x y z
d
và
1 2 3
:
2 1 1
x y z
d
. Tính khoảng cách
h
giữa hai đường thẳng
d
và
d
.
A.
10 21
.
21
h B.
4 21
.
21
h C.
22 21
.
21
h D.
8 21
.
21
h
Câu 32: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
3; 1;1
A
,
4;2; 3
B
. Gọi
A
là hình chiếu
vuông góc của
A
trên mặt phẳng
Oxy
và
B
là hình chiếu vuông góc của
B
trên mặt phẳng
Oyz
. Độ dài đoạn thẳng
A B
bằng
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 39
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
2
. B.
3
. C.
2 3
. D.
3 3
.
Câu 33: Trong không gian
Oxyz
, cho hai mặt phẳng
: 2 1 0
x y z
và
: 2 4 2 0
x y mz
.
Tìm
m
để
và
song song với nhau.
A.
1
m
. B.
2
m
. C.
2
m
. D. Không tồn tại
m
.
Câu 34: Trong không gian
Oxyz
, cho hai mặt phẳng
: 2 4 3 5 0
P x y z
và
: 6 2 0
Q mx ny z
. Giá trị của
m
,
n
sao cho
P
song song với
Q
là:
A.
4
m
;
8
n
B.
4
m n
C.
4
m
;
8
n
D.
4
m n
Câu 35: Trong không gian với hệ trục
Oxyz
, khoảng cách
h
từ điểm
4;3;2
A
đến trục
Ox
là
A.
13
h
. B.
3
h
. C.
2 5
h
. D.
4
h
.
Câu 36: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
1 3
; ;0
2 2
M
và mặt cầu
2 2 2
: 8
S x y z
. Đường
thẳng
d
thay đổi, đi qua điểm
M
, cắt mặt cầu
S
tại hai điểm
,
A B
phân biệt. Tính diện tích
lớn nhất
S
của tam giác
OAB
.
A.
2 7.
S B.
2 2.
S C.
7.
S D.
4.
S
Câu 37: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho mặt cầu
2 2 2
: 2 2 2 0
S x y z x y z
và đường
thẳng
2
:
x mt
d y m t
z mt
với
m
là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để đường thẳng
d
tiếp xúc với mặt cầu
S
.
A.
2
m
. B.
2
0
m
m
. C.
0
m
. D.
1
m
.
Câu 38: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
,
0; 1;2
A và
1;0; 2
B
lần lượt là hình chiếu vuông góc
của điểm
( ; ; )
I a b c
trên
1 2
:
4 1 1
x y z
và
: 2 2 6 0
P x y z
. Tính
S a b c
.
A. 0. B.
4 3
. C.
3 2
. D.
5 3
.
Câu 39: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
2 1
:
2 2 1
x y z
và điểm
2;1; 1
I
. Mặt cầu tâm
I
tiếp xúc với đường thẳng
cắt trục
Ox
tại hai điểm
A
,
B
. Tính độ
dài đoạn
AB
.
A.
6
AB
. B.
24
AB
. C.
4
AB
. D.
2 6
AB
.
Câu 40: Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
: 2 2 9 0
P x y z
, mặt cầu
S
tâm
O
tiếp xúc với mặt phẳng
P
tại
; ;
H a b c
. Tổng
a b c
bằng
A.
1
. B.
1
. C.
2
. D.
2
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
BÀI 1: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
A – LÝ THUYẾT CHUNG
1.1. Khái niệm mở đầu
Trong không gian cho ba trục
, ,
Ox Oy Oz
phân biệt và vuông góc từng đôi một. Gốc tọa độ
,
O
truc hoành
,
Ox
trục tung
,
Oy
trục cao
Oz
các mặt tọa độ
, , .
Oxy Oyz Ozx
1.2. Khái niệm về hệ trục tọa độ
Khi không gian có hệ tọa độ thì gọi là không gian tọa độ
Oxyz
hay không gian
.
Oxyz
Chú ý:
1.3. Tọa độ véc tơ
1.4. Tọa độ điểm
1.5. Các công thức tọa độ cần nhớ
Cho
'
'
'
a a
u v b b
c c
1.6. Chú ý
Góc của 2 véc tơ là góc hình học (nhỏ) giữa 2 tia mang véc tơ có, giá trị trong là:
1.7. Chia tỉ lệ đoạn thẳng
M chia AB theo tỉ số k nghĩa là
i j k
a a
ij ik jk
2 2 2
2
2
1
0

u x y z u x y z u xi yj zk
( ; ; ) ( ; ; )
M x y z OM xi yj zk
( ; ; )
u a b c v a b c
( ; ; ), ( ; ; )
u v a a b b c c
; ;
ku ka kb kc
( ; ; )
u v u v u v aa bb cc
. . .cos( , )
uv aa bb cc
u v
u v u v
.
cos( , )
. .
u u a b c
2
2 2 2
u v u v
. 0
B A B A B A
AB x x y y z z
; ;

B A B A B A
AB AB x x y y z z
2 2 2
u v
,
0;
u v u v
2
sin , 1 cos , 0
MA kMB
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Công thức tọa độ của M là :
1.8. Công thức trung điểm
Nếu
M
là trung điểm
AB
thì
1.9. Công thức trọng tâm tam giác
Nếu
G
là trọng tâm của
ABC
thì
1.10. Công thức trọng tâm tứ diện
Nếu
G
là trọng tâm của tứ diện
ABCD
thì
1.11. Tích có hướng 2 véc tơ
Cho 2 véc tơ và ta định nghĩa tích có hướng của 2 véc tơ đó là một véc tơ, kí
hiệu hay có toạ độ:
1.12. Tính chất tích có hướng 2 véc tơ
,
u v
vuông góc với
u
và
v
, . sin ,
u v u v u v
, 0 ,
u v u v
cùng phương
1.13. Ứng dụng tích có hướng 2 véc tơ
Diện tích hình bình hành
ABCD
:
A B
M
A B
M
A B
M
x kx
x
k
y ky
y
k
z kz
z
k
1
1
1
MA MB
0
A B
M
A B
M
A B
M
x x
x
y y
y
z z
z
2
2
2
GA GB GC
0
A B C
G
A B C
G
A B C
G
x x x
x
y y y
y
z z z
z
3
3
3
GA GB GC GD
0
A B C D
G
A B C D
G
A B C D
G
x x x x
x
y y y y
y
z z z z
z
4
4
4
u a b c
( ; ; )
v a b c
( ; ; )
u v
,
u v
b c c a a b
u v
b c c a a b
, ; ;
bc b c ca ac ab ba
; ;
S AB AD
,
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Diện tích
ABC
:
Ba véc tơ đồng phẳng:
Thể tích khối hộp có đáy hình bình hành
ABCD
và cạnh bên
’
AA
:
Thể tích khối tứ diện
.
S ABC
:
2. Phương pháp giải 1 số bài toán thường gặp
2.1. Các phép toán về toạ độ của vectơ và của điểm
Phương pháp giải
Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian.
Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.
2.2. Xác định điểm trong không gian. Chứng minh tính chất hình học. Diện tích – Thể tích
Phương pháp giải
Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian.
Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.
Công thức xác định toạ độ của các điểm đặc biệt.
Tính chất hình học của các điểm đặc biệt:
, ,
A B C
thẳng hàng cùng phương
ABCD
là hình bình hành
Cho có các chân của các đường phân giác trong và ngoài của góc của
trên . Ta có: ,
, , ,
A B C D
không đồng phẳng không đồng phẳng
B – BÀI TẬP
Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho
3 2 2
u i j k
. Tìm tọa độ của
u
.
A.
2;3; 2
u
. B.
3;2; 2
u
. C.
3; 2;2
u
. D.
2;3;2
u
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có:
3 2 2
u i j k
3; 2;2
u
.
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho
1;2; 1 ,
a
3;4;3
b
. Tìm tọa độ của
x
biết
x b a
.
A.
2;2;4 .
x
B.
2; 2;4 .
x
C.
2; 2; 4 .
x
D.
1;1;2 .
x
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
3 1;4 2;3 1 2;2;4 .
x b a
Câu 3: Trong không gian
Oxyz
, cho các vectơ
1; 1;2
a
,
3;0; 1
b
và
2;5;1
c
. Toạ độ của
vectơ
u a b c
là:
A.
6; 6;0
u
B.
6;0; 6
u
C.
0;6; 6
u
D.
6;6;0
u
Hướng dẫn giải
S AB AC
1
. ,
2
u v w
, ,
u v w
, . 0
V AB AD AA
, .
V AB AC SA
1
. , .
6
AB AC
,
 
AB k AC
 
AB AC
, 0
AB DC
ABC
E F
,
A
ABC
BC
AB
EB EC
AC
.
AB
FB FC
AC
.

AB AC AD
, ,
 
AB AC AD
, . 0
  
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Chọn A
u a b c
1 3 2; 1 0 5;2 1 1
6; 6;0
.
Câu 4: Trong không gian
Oxyz
cho hai véctơ
1; 2;1
u
và
2;1;1
v
, góc giữa hai vectơ đã cho
bằng
A.
6
. B.
2
3
. C.
3
. D.
5
6
.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
. 3 1 2
cos ; ;
2 3
6. 6
.
u v
u v u v
u v
.
Câu 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
cho ba vectơ
1;1;0
a
,
1;1;0
b
,
1;1;1
c
. Mệnh đề
nào dưới đây sai?
A.
.
b a
B.
3.
c
C.
.
b c
D.
2.
a
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
. 1.1 1.1 0.1 2 0
b c b
không vuông góc với
c
.
Câu 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ
,
Oxyz
cho hai véc tơ
2;3; 1
u
và
5; 4; .
v m
Tìm
m
để
.
u v
A.
0
m
. B.
2
m
. C.
4
m
. D.
2
m
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
u v
. 0
u v
10 12 0
m
2 0
m
2
m
.
Câu 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho 2 vectơ
1;1;0
a
;
1;1;0
b
. Trong các kết
luận :
I
.
a b
;
II
.
b a
;
III
.
a b
;
IV
.
a b
, có bao nhiêu kết luận sai ?
A.
2
. B.
4
. C.
1
. D.
3
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
1;1;0 1; 1;0
a b
. Do đó
;
I III
sai.
Ta có
2
a b
. Do đó
II
đúng.
Ta có
. 1 .1 1.1 0
ab
. Do đó
a b
hay
IV
đúng.
Vậy có
2
kết luận sai.
Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ
; ; ;
O i j k
, cho hai vectơ
2; 1;4
a
và
3
b i k
. Tính
.
a b
.
A.
. 5
a b
. B.
. 10
a b
. C.
. 11
a b
. D.
. 13
a b
.
Hướng dẫn giải
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Chọn B
Ta có
1;0; 3
b
nên
. 2 12 10
a b
.
Câu 9: Trong không gian
Oxyz
, cho hai vectơ
2; 4; 2
a
và
1; 2; 3
b
. Tích vô hướng của hai
vectơ
a
và
b
bằng
A.
12
. B.
30
. C.
6
. D.
22
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có:
.
a b
2.1 4. 2 2.3
12
.
Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho vectơ
1;1; 2
u
,
1;0;
v m
. Tìm
m
để góc giữa
hai vectơ
,
u v
bằng
45
.
A.
2
m
. B.
2 6
m . C.
2 6
m . D.
2 6
m .
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có:
.
cos ,
.
u v
u v
u v
2
2 2 2 2
1 2
1 1 2 . 1
m
m
2
1 2 2
2
6. 1
m
m
2
1 2 3 1
m m
2 2
4 4 1 3 3
m m m
(điều kiện
1
2
m
).
2
4 2 0
m m
2 6
2 6
m
m
. Đối chiếu đk ta có
2 6
m .
Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
3; 2;1
A
,
1; 0; 5
B
. Tìm tọa độ trung
điểm của đoạn
AB
.
A.
(2; 2; 6)
I
. B.
( 1; 1;1)
I
. C.
(2;1; 3)
I
. D.
(1;1; 3)
I
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Dựa vào công thức trung điểm
( ; ; )
I I I
I x y z
của đoạn
AB
.
2
2
2
A B
I
A B
I
A B
I
x x
x
y y
y
z z
z
(1;1;3)
I
.
Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
1;2;3
A
và
5;2;0
B
. Khi đó:
A.
61
AB
. B.
3
AB
. C.
5
AB
. D.
2 3
AB
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có:
4;0; 3
AB
. Suy ra:
2
2 2
4 0 3 5
AB
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 13: Cho ba điểm
2 1 5
A ; ;
,
5 5 7
B ; ;
và
1
M x; y;
. Với giá trị nào của
x, y
thì ba điểm
A,B,M
thẳng hàng ?
A.
4
x
và
7
y
. B.
4
x
và
7
y
.
C.
4
x
và
7
y
. D.
4
x
và
7
x
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
3 4 2
AB ; ;
,
2 1 4
AM x ; y ;
.
Để ba điểm
A,B,M
thẳng hàng thì
4
2 1 4
7
3 4 2
x
x y
y
.
Câu 14: Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
1;2;3
A và
2;1;2
B . Tìm tọa độ điểm
M
thỏa
2
MB MA
.
A.
4;3;1
M . B.
4;3;4
M . C.
1;3;5
M . D.
1 3 5
; ;
2 2 2
M
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi
; ;
M x y z
,
2
MB MA
2 2 1
1 2 2
2 2 3
x x
y y
z z
4
3
4
x
y
z
4;3;4
M .
Câu 15: Tìm tọa độ điểm
M
trên trục
Ox
cách đều hai điểm
1;2; 1
A
và điểm
2;1;2
B
.
A.
1
;0;0
2
M
. B.
3
;0;0
2
M
. C.
2
;0;0
3
M
. D.
1
;0;0
3
M
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi
;0;0
M x Ox
.
Ta có:
2 2
2 2
3 3
1 4 1 2 1 4 ;0;0
2 2
MA MB MA MB x x x M
.
Câu 16: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, điểm thuộc trục
Oy
và cách đều hai điểm
(3;4;1)
A
và
(1;2;1)
B
là
A.
(0;5;0).
M
B.
(0; 5;0).
M
C.
(0;4;0).
M
D.
(5;0;0).
M
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi
0; ;0
M b Oy
.
Theo đề:
2 2
10 4 2 2 4 20 5.
MA MB b b b b
Vậy
0;5;0
M
.
Câu 17: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho hai vec tơ
1; 2;0
a
và
2;3;1
b
. Khẳng định
nào sau đây là sai?
A.
14
b
. B.
. 8
a b
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
C.
2 2; 4;0
a
. D.
1;1; 1
a b
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
1;1;1
a b
.
Câu 18: Trong không gian , điểm nào sau đây thuộc trục ?
A.
1 0 0
M ; ;
. B.
0 0 3
M ; ;
. C.
0 2 0
M ; ;
. D.
1 0 2
M ; ;
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Điểm
0
M M M M M
M x ;y ;z Oy x z
.
Câu 19: Trong không gian
,
Oxyz
cho điểm
1; 2;3
A
. Hình chiếu vuông góc của điểm
A
trên mặt
phẳng
Oyz
là điểm
.
M
Tọa độ của điểm
M
là
A.
1; 2;0
M
. B.
0; 2;3
M
. C.
1;0;0
M
. D.
1;0;3
M
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Điểm
M
là hình chiếu vuông góc của điểm
A
trên mặt phẳng
Oyz
, khi đó hoành độ điểm
A
:
0
A
x
Do đó tọa độ điểm
0; 2;3
M
.
Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho
1;5;2
OM
,
3;7; 4
ON
. Gọi
P
là điểm đối
xứng với
M
qua
N
. Tìm tọa độ điểm
P
.
A.
2;6; 1
P
. B.
5;9; 10
P
. C.
7;9; 10
P
. D.
5;9; 3
P
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có:
1;5;2 1;5;2
OM M
,
3;7; 4 3;7; 4
ON N
.
Vì
P
là điểm đối xứng với
M
qua
N
nên
N
là trung điểm của
MP
nên ta suy ra được
2 5
2 9 5;9; 10
2 10
P N M
P N M
P N M
x x x
y y y P
z z z
Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
2;4;6
K
, gọi
K
là hình chiếu vuông góc của
K
lên
Oz
, khi đó trung điểm của
OK
có tọa độ là:
A.
0;0;3
. B.
1;0;0
. C.
1;2;3
. D.
0;2;0
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi
I
là trung điểm của
'
OK
.
Ta có
' 0;0;6
K
là hình chiếu vuông góc của
K
lên
Oz
0;0;3
I
.
Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng
Oxy
?
A.
1;0;2
N . B.
0;1;2
P . C.
0;0;2
Q . D.
1;2;0
M .
Hướng dẫn giải
Chọn D
Oxyz
Oy
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Phương trình mặt phẳng
: 0
Oxy z
. Kiểm tra tọa độ các điểm ta thấy
D Oxy
.
Câu 23: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
1;2; 4
A
và
3;2;2
B
. Toạ độ của
AB

là
A.
2;4; 2
. B.
4;0;6
. C.
4;0; 6
. D.
1;2; 1
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
4;0;6
AB
.
Câu 24: Trong không gian
Oxyz
, cho vectơ
a
biểu diễn của các vectơ đơn vị là
2 3
a i k j
. Tọa độ
của vectơ
a
là
A.
1; 3;2
. B.
1;2; 3
. C.
2; 3;1
. D.
2;1; 3
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
2 3 2 3
a i k j i j k
nên
2; 3;1
a
.
Câu 25: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
cho điểm
1;2;4
A
,
2;4; 1
B
. Tìm tọa độ trọng tâm
G
của tam giác
OAB
.
A.
1;2;1
G
. B.
2;1;1
G
. C.
2;1;1
G
. D.
6;3;3
G
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi
G
là trọng tâm của tam giác theo công thức ta có
3
3
3
A B O
G
A B O
G
A B O
G
x x x
x
y y y
y
z z z
z
1
2
1
G
G
G
x
y
z
.
Vậy
1;2;1
G
.
Câu 26: Trong không gian
,
Oxyz
cho hai điểm
3;4;2 , 1; 2;2
A B
và
1;1;3
G
là trọng tâm của tam
giác
ABC
. Tọa độ điểm
C
là
A.
0;1;2
C
. B.
0;0;2
C
. C.
1;1;5
C
. D.
1;3;2
C
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Do
G
là trọng tâm của tam giác
ABC
nên ta có
3
3 1
3 1 1;1;5
3
3 5
3
A B C
G
C G A B
A B C
G C G A B
C G A B
A B C
G
x x x
x
x x x x
y y y
y y y y y C
z z z z
z z z
z
.
Câu 27: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho ba điểm
1; 2; 1
A
,
2; 1; 3
B
,
3;5;1
C
.
Tìm tọa độ điểm
D
sao cho tứ giác
ABCD
là hình bình hành.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 10
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
2; 8; 3
D
. B.
2; 2;5
D
. C.
4;8; 5
D
. D.
4; 8; 3
D
.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có:
AD BC
1; 2; 1 5;6; 2
D D D
x y z
1 5
2 6
1 2
D
D
D
x
y
z
4;8; 3
D
.
Câu 28: Trong không gian
Oxyz
, cho ba điểm
1; 4;2
A
,
4;2; 3
B
,
3;1;5
C
. Tìm tọa độ đỉnh
D
của hình bình hành
ABCD
.
A.
6; 5 10
D
. B.
0;7;0
D
. C.
6; 5;10
D
. D.
2; 1;3
G
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi
; ;
D x y z
.
ABCD
là hình bình hành
AB DC
3 3
1 6
5 5
x
y
z
6
5
10
x
y
z
6; 5;10
D
.
Câu 29: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho điểm
4;1; 2
A
. Tọa độ điểm đối xứng với
A
qua mặt phẳng
Oxz
là
A.
4; 1;2
A
. B.
4; 1;2
A
. C.
4; 1; 2
A
. D.
4;1;2
A
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Hình chiếu của
A
lên mặt phẳng
Oxz
là
4;0; 2
H
.
tọa độ điểm đối xứng là
4; 1; 2
A
.
Câu 30: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
3;4;5
A
,
1;0;1
B
. Tìm tọa độ điểm
M
thõa mãn
0
MA MB

.
A.
4;4;4
M
.
B.
1;2;3
M
. C.
4; 4; 4
M
. D.
2;4;6
M
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi tọa độ điểm
M
là :
; ;
M x y z
Vậy
3 ; 4 ;5
MA x y z
và
1 ;0 ;1
MB x y z
Vậy
1
2 2 ; 4 2 ; 6 2 0 2
3
x
MA MB x y z y
z
.
Câu 31: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
1;2;3
A và
5;2;0
B . Khi đó:
A.
3
AB
. B.
2 3
AB
. C.
61
AB
. D.
5
AB
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có:
4;0; 3
AB
. Suy ra:
2
2 2
4 0 3 5
AB
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 11
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 32: Trong không gian
Oxyz
, cho
3;2;1
a
và điểm
4;6; 3
A
. Tìm tọa độ điểm
B
thỏa mãn
AB a
.
A.
7; 4;4
. B.
1; 8;2
. C.
7;4; 4
. D.
1;8; 2
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Giả sử
; ;
B a b c
khi đó
4; 6; 3
AB a b c
.
Khi đó
AB a
4 3
6 2
3 1
a
b
c
1
8
2
a
b
c
1;8; 2
B
.
Câu 33: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho bốn điểm
2;0;0 , 0;2;0 , 0;0;2
A B C
và
2;2;2
D
. Gọi
,
M N
lần lượt là trung điểm của
AB
và
CD
. Tọa độ trung điểm
I
của
MN
là:
A.
1; 1;2
I
. B.
1;1;0
I
. C.
1 1
; ;1
2 2
I
. D.
1;1;1
I
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Cách 1: Ta có
,
M N
lần lượt là trung điểm của
AB
và
CD
nên
1;1;0 , 1;1;2
M N
, từ đó
suy ra trung điểm của
MN
là
1;1;1
I
.
Cách 2: Từ giả thiết suy ra
I
là trọng tâm tứ diện.Vậy
1;1;1
I
.
Câu 34: Trong không gian Oxyz cho các điểm
4;2;1
3; 4;0 ; 0;2;4 ;A CB
. Tọa độ diểm
D
trên
trục
Ox
sao cho
AD BC
là:
A.
0;0;0 0;0; 6
D D
. B.
0;0; 3 0;0;3
D D
.
C.
0;0;0 6;0;0
D D
. D.
0;0;2 0;0;8
D D
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi
;0;0
xD
.
Ta có:
2
2 2
3;4;0
3 4 0
0
6
4;0; 3
5
AD x
AD x
x
x
BC
BC
.
Câu 35: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho các điểm
0; 2; 1
A
và
1; 1; 2
A . Tọa độ
điểm
M
thuộc đoạn
AB
sao cho
2
MA MB
là
A.
2 4
; ; 1
3 3
M
. B.
1 3 1
; ;
2 2 2
M
. C.
2; 0; 5
M . D.
1; 3; 4
M
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có:
2
AM MB
 
2( )
2( )
2( )
M A B M
M A B M
M A B M
x x x x
y y y y
z z z z
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 12
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
2
3
3 2
4
3 2
3
3 2
1
M
M B A
M B A M
M B A
M
x
x x x
y y y y
z z z
z
.
Câu 36: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho ba điểm
1;2; 1
A
,
2; 1;3
B
,
4;7;5
C
. Tọa độ
chân đường phân giác trong góc
B
của tam giác
ABC
là
A.
2;11;1
. B.
11
; 2;1
3
. C.
2 11 1
; ;
3 3 3
. D.
2 11
; ;1
3 3
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có:
1; 3;4 26; 6;8;2 2 26
BA BA BC BC
.
Gọi
D
là chân đường phân giác trong kẻ từ
B
lên
AC
của tam giác
ABC
Suy ra :
DA BA
DC BC
2
DC DA

2 11
; ;1
3 3
D
.
Câu 37: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho hai vectơ
0;3;1
a
,
3;0; 1
b
. Tính
cos ,
a b
.
A.
1
cos ,
10
a b
. B.
1
cos ,
10
a b
.
C.
1
cos ,
100
a b
. D.
1
cos ,
100
a b
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
2
2 2 2 2 2
0.3 3.0 1. 1
.
cos ,
.
0 3 1 . 3 0 1
a b
a b
a b
1
cos ,
10
a b
.
Câu 38: Trong không gian với hệ tọa độ
,
Oxyz
cho hai điểm
3; 2;3 , 1;0;4 .
M I
Tìm tọa độ điểm
N
sao cho
I
là trung điểm của đoạn
.
MN
A.
5; 4;2
N . B.
0;1;2
N
. C.
7
2; 1;
2
N
D.
1;2;5
N .
Hướng dẫn giải
Chọn D
Giả sử
( ; ; )
N x y z
. Do
I
là trung điểm của
MN
nên
2
2 1
2 2 ( 1;2;5)
2
2 5
2
M N
I
N I M N
M N
I N I M N
N I M N
M N
I
x x
x
x x x x
y y
y y y y y M
z z z z
z z
z
.
Câu 39: Trong không gian
Oxyz
cho điểm
3; 4;3
A
. Tổng khoảng cách từ
A
đến ba trục tọa độ bằng
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 13
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
34
2
. B.
10 3 2
. C.
34
. D.
10
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Hình chiếu của
A
lên trục
Ox
là
1
3;0;0
A
nên
1
, 5
d A Ox AA
.
Hình chiếu của
A
lên trục
Oy
là
2
0; 4;0
A
nên
2
, 3 2
d A Oy AA
.
Hình chiếu của
A
lên trục
Oz
là
3
0;0;3
A
nên
3
, 5
d A Oz AA
.
Tổng khoảng cách từ
A
đến ba trục tọa độ bằng
10 3 2
.
Câu 40: Cho các vectơ
1; 2;3
u
,
1;2; 3
v
. Tính độ dài của vectơ
2
w u v
A.
85
w
. B.
185
w
. C.
26
w
. D.
126
w
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
2
w u v
3; 6;9
2
2 2
3 6 9
w
126
.
Câu 41: Trong không gian
O
xyz
, cho
5;2;3
E
,
F
là điểm đối xứng với
E
qua trục
Oy
. Độ dài
EF
là.
A.
2 34
. B.
2 13
. C.
2 29
. D.
14
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi
H
là hình chiếu vuông góc của
E
lên
Oy
0;2;0
H
.
F
là điểm đối xứng với
E
qua trục
Oy
nên
H
là trung điểm
EF
.
Suy ra
2 ;2 ;2 5;2; 3
H E H E H E
F x x y y z z
.
Ta có :
10;0; 6
EF
.
2 34
EF EF
.
Câu 42: Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, cho tứ diện
ABCD
với
0; 0; 3
A
,
0; 0; 1
B
,
1; 0; 1
C
,
0; 1; 1
D
. Mệnh đề nào dưới đây sai?
A.
AB BD
. B.
AB BC
. C.
AB AC
. D.
AB CD
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
0; 0; 4
AB
,
1; 0; 4
AC
. 16 0
AB AC
AB
và
AC
không vuông góc.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 14
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 43: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
,cho
1;2;4
A
,
1;1;4
B
,
0;0;4
C
. Tìm số đo của góc
ABC
.
A.
O
60
. B.
135
. C.
O
120
. D.
O
45
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có:
0;1;0
BA
,
1; 1;0
BC
. 1
cos
.
2
BA BC
ABC
BA BC

O
135
ABC
.
Câu 44: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho hình hộp .
ABCD A B C D
. Biết
2;4;0
A
,
4;0;0
B
,
1;4; 7
C
và
6;8;10
D
. Tọa độ điểm
B
là
A.
8;4;10
B
. B.
6;12;0
B
. C.
10;8;6
B
. D.
13;0;17
B
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Giả sử
; ;
D a b c
,
; ;
B a b c
Gọi
O AC BD
1 7
;4;
2 2
O
3
8
7
a
b
c
.
Vậy
9;0;17
DD
,
4; ;
BB a b c
. Do .
ABCD A B C D
là hình hộp nên
DD BB
 
13
0
17
a
b
c
. Vậy
13;0;17
B
.
Câu 45: Trong không gian
Oxyz
, cho hình hộp .
ABCD A B C D
có
1;0;1
A
,
2;1;2
B
,
1; 1;1
D
,
4;5; 5
C
. Tính tọa độ đỉnh
A
của hình hộp.
A.
3;4; 6
A
. B.
4;6; 5
A
. C.
2;0;2
A
. D.
3;5; 6
A
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
C
(-1; 4;-7)
B
(4; 0; 0)
A
(2; 4; 0)
C'
A'
B'
D'
(6; 8; 10)
D
O
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 15
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Theo quy tắc hình hộp ta có:
AB AD AA AC
.
Suy ra
AA AC AB AD

.
Lại có:
3;5; 6
AC
,
1;1;1
AB
,
0; 1;0
AD
.
Do đó:
2;5; 7
AA
.
Suy ra
3;5; 6
A
.
Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ cho hình hộp có
và . Tọa độ trọng tâm của tam giác là.
A.
1;2; 1
.
B.
2;1; 2
. C.
2;1; 1
. D.
1;1; 2
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
.
Gọi , , .
Do tính chất hình hộp ta có:
.
.
.
Tọa độ trọng tâm của tam giác là: .
Câu 47: Trong không gian
Oxyz
, cho hai vector
1 2 3 1 2 3
, , , , ,
a a a a b b b b
khác
0
. Tích có hướng của
a
và
b
và
c
. Câu nào sau đây đúng?
A.
1 3 3 1 2 2 1 2 3 2 2 3
, ,
c a b a b a b a b a b a b
. B.
3 1 1 3 1 2 2 1 2 3 3 1
, ,
c a b a b a b a b a b a b
.
C.
2 3 3 2 3 1 1 1 2 2 1
, ,
b
c a b a b a b a b a b a b
. D.
1 3 2 1 2 3 3 2 3 1 1 3
, ,
c a b a b a b a b a b a b
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
,
Oxyz
.
ABCD A B C D
0;0;0 ,
A
3;0;0 ,
B
0;3;0
D
0;3; 3
D
A B C
1 2 3
; ;
A a a a
1 2 3
; ;
B b b b
1 2 3
; ;
C c c c
1
2
3
0
0
3
a
AA DD a
a
0;0; 3
A
1 1
2 2
3 3
3 0 3
0 0 3;0; 3
3 3
b b
BB DD b b B
b b
1 1
2 2
3 3
3 3
3 0 3 3;3;0
0 0
c c
DC AB c c C
c c
G
A B C
2;1; 2
G
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 16
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có:
2 3 3 1 1 2
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
2 3 3 1 1 2
; ; ; , ,
a a a a a a
a b a b a b a b a b a b a b
b b b b b b
.
Câu 48: Cho
2 ;0; 1 , 1; 3; 2
a b
. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng ?
A.
, 3; 3; 6
a b
.
. B.
, 3; 3; 6
a b
.
C.
, 1; 1; 2
a b
. D.
, 1; 1; 2
a b
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Với các vectơ
2;0;1 , 1;3; 2
a b
.
*
0 1 1 2 2 0
, ; ; 3; 3; 6
3 2 2 1 1 3
a b
.
Vậy
, 3; 3; 6
a b
.
Câu 49: Cho
1;0; 3
a
;
2;1;2
b
. Khi đó
;
a b
có giá trị là
A.
8
. B.
3
. C.
74
. D.
4
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
; 3; 8;1
a b
nên
2
2 2
; 3 8 1 74
a b
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 17
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
A – LÝ THUYẾT CHUNG
1. Phương trình mặt cầu
1.1. Phương trình chính tắc
Phương trình của mặt cầu tâm bán kính là:
Phương trình được gọi là phương trình chính tắc của mặt cầu
Đặc biệt: Khi thì
1.2. Phương trình tổng quát
Phương trình : với là phương trình của mặt
cầu có tâm bán kính .
2. Một số bài toán liên quan
2.1. Dạng 1: có tâm và bán kính thì
2.2. Dạng 2: có tâm và đi qua điểm thì bán kính .
2.3. Dạng 3: nhận đoạn thẳng cho trước làm đường kính:
Tâm là trung điểm của đoạn thẳng
Bán kính .
2.4. Dạng 4: đi qua bốn điểm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện)
Giả sử phương trình mặt cầu có dạng:
Thay lần lượt toạ độ của các điểm vào ta được 4 phương trình.
THAM KHẢO THÊM SAU KHI HỌC BÀI PT MẶT PHẲNG, PT ĐƯỜNG THẲNG
2.5. Dạng 5: đi qua ba điểm và có tâm nằm trên mặt phẳng cho trước thì giải tương tự
dạng 4
6. Dạng 6: Viết phương trình mặt cầu có tâm , tiếp xúc với mặt phẳng cho trước thì bán
kính mặt cầu
2.7. Dạng 7: Viết phương trình mặt cầu có tâm , cắt mặt phẳng cho trước theo giao tuyến
là một đường tròn thoả điều kiện .
Đường tròn cho trước (bán kính hoặc diện tích hoặc chu vi) thì từ công thức diện tích đường tròn
hoặc chu vi đường tròn ta tìm được bán kính đường tròn giao tuyến .
Tính
Tính bán kính mặt cầu
S
I a b c
; ; ,
R
S x a y b z c R
2 2 2 2
( ):( ) ( ) ( )
1
1
I O
C x y z R
2 2 2 2
( ):
x y z ax by cz d
2 2 2
2 2 2 0
a b c d
2 2 2
0
S
I a b c
; ; ,
R a b c d
2 2 2
S
I a b c
; ;
R
S x a y b z c R
2 2 2 2
:( ) ( ) ( )
S
I a b c
; ;
A
R IA
S
AB
I
A B A B A B
I I I
x x y
A yB
y z z
x z; ;:
2 2 2
AB
R IA
2
S
A B C D
, , , (
S
x y z ax by cz d
2 2 2
2 2
*
2 0
.
A B C D
, , ,
* ,
S
A B C
, ,
I
P
S
I a b c
; ;
P
R d I P
;
S
I a b c
; ;
P
S r
P r
2
r
d d I P
,
R d r
2 2
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 18
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Kết luận phương trình mặt cầu.
B – BÀI TẬP
Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, mặt cầu
2 2
2
: 2 1 4
S x y z
có tâm
I
và
bán kính
R
lần lượt là
A.
2; 1;0 , 4
I R
. B.
2; 1;0 , 2
I R
. C.
2;1;0 , 2
I R
. D.
2;1;0 , 4
I R
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, tìm tọa độ tâm
I
và bán kính
R
của mặt cầu
2 2
2
: 1 1 4
S x y z
.
A.
1;0;1 , 2
I R
. B.
1;0; 1 , 4
I R
.
C.
1;0; 1 , 2
I R
. D.
1;0;1 , 4
I R
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Tọa độ tâm
1;0; 1
I
và bán kính
2
R
.
Câu 3: Trong không gian
Oxyz
, mặt cầu
2 2 2
1 2 3 4
x y z
có tâm và bán kính lần lượt là
A.
1;2; 3
I
;
2
R
. B.
1;2; 3
I
;
4
R
.
C.
1; 2;3
I ;
4
R
. D.
1; 2;3
I ;
2
R
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Câu 4: Phương trình mặt cầu tâm
1;2; 3
I
bán kính
2
R
là:
A.
2 2 2
2
1 2 3 2
x y z
. B.
2 2 2
2 4 6 10 0
x y z x y z
.
C.
2 2 2
1 2 3 2
x y z
. D.
2 2 2
2 4 6 10 0
x y z x y z
.
Hướng dẫn giải
Chọn
A
2 2 2
R a b c d
4
;
1;2; 2
I
.
Câu 5: Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, cho mặt cầu
S
có phương trình:
2 2 2
1 2 3 4
x y z
. Tìm toạ độ tâm
I
và bán kính
R
của
S
.
A.
( 1;2; 3)
I
và
4
R
. B.
(1; 2;3)
I
và
2
R
.
C.
( 1;2; 3)
I
và
2
R
. D.
(1; 2;3)
I
và
4
R
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Câu 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
cho hai điểm
6;2; 5
M
,
4;0;7
N
. Viết phương
trình mặt cầu đường kính
MN
?
A.
2 2 2
1 1 1 62
x y z
. B.
2 2 2
5 1 6 62
x y z
.
C.
2 2 2
1 1 1 62
x y z
. D.
2 2 2
5 1 6 62
x y z
.
Hướng dẫn giải
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 19
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Chọn C
Tâm của mặt cầu là trung điểm của
MN
, ta có.
Bán kính mặt cầu:
62
r IM
.
Phương trình mặt cầu là
2 2 2
1 1 1 62
x y z
.
Câu 7: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
2 2 2
: 2 1 0
S x y z x y
. Tâm
I
và bán kính
R
của
S
là
A.
1
;1;0
2
I
và
1
2
R
B.
1
; 1;0
2
I
và
1
2
R
C.
1
; 1;0
2
I
và
1
2
R
D.
1
;1;0
2
I
và
1
4
R
Hướng dẫn giải
Chọn A
Phương trình mặt cầu
S
có dạng
2 2 2
2 2 2 0
x y z ax by cz d
với
2 1
2 2
2 0
1
a
b
c
d
1
2
1
0
1
a
b
c
d
.
Do đó
S
có tâm
1
;1;0
2
I
và bán kính
2 2 2
R a b c d
2
2
1 1
1 1
2 2
.
Câu 8: Trong không gian với hệ trục
Oxyz
, cho mặt cầu
2 2 2
: 2 4 2 0
S x y z x y z
, toạ độ tâm
I
và bán kính
R
của mặt cầu
S
là.
A.
1; 2;1 , 6
I R . B.
1; 2;1 , 6
I R
.
C.
1;2; 1 , 6
I R . D.
1;2; 1 , 6
I R
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
2 2 2
2 2 2
2 4 2 0 1 2 1 6
x y z x y z x y z
Do đó mặt cầu
S
có tâm
1;2; 1
I
và bán kính
6
R
.
Câu 9: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
2 2 2
: 4 2 6 5 0
S x y z x y z
. Mặt cầu
S
có bán
kính là
A.
3
. B.
5
. C.
2
. D.
7
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Mặt cầu
S
có tâm
2;1; 3
I
và bán kính
2 2
2
2 1 3 5 3
R
.
Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt cầu
S
có phương trình
2 2 2
2 6 1 0
x y z x y
. Tính tọa độ tâm
I
, bán kính
R
của mặt cầu
S
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 20
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
1;3;0
3
I
R
. B.
1; 3;0
3
I
R
. C.
1;3;0
9
I
R
. D.
1; 3;0
10
I
R
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Từ phương trình mặt cầu
S
suy ra tâm
1;3;0
I
và bán kính
2 2 2
3
R a b c d
.
Câu 11: Trong không gian với hệ toạ độ , cho mặt cầu . Tìm
toạ độ tâm và tính bán kính của .
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn B
Mặt cầu (với )
có tâm , bán kính .
Câu 12: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, mặt cầu
2 2 2
: 8 4 2 4 0
S x y z x y z
có
bán kính
R
là
A.
5
R
. B.
25
R
. C.
2
R
. D.
5
R
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Bán kính mặt cầu là
2 2
2
4 2 1 4 5
R
.
Câu 13: Trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
, cho điểm
2;1;3
I
và mặt phẳng
P
:
2 2 10 0
x y z
. Tính bán kính
r
của mặt cầu
S
, biết rằng
S
có tâm
I
và nó cắt
P
theo một đường tròn
T
có chu vi bằng
10
.
A.
5
r
B.
34
r
C.
5
r
D.
34
r
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đường tròn
T
có bán kính
5
R
.
, 3
d I P
Mặt cầu
S
cắt mặt phẳng
P
theo một đường tròn
T
nên có bán kính:
2
2
,r R d I P
34
.
Câu 14: Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, cho
(1;1;3), B( 1;3;2),C( 1;2;3)
A
. Mặt cầu tâm
O
và tiếp
xúc mặt phẳng
(ABC)
có bán kính
R
là
A.
3
2
R . B.
3
R
. C.
3
2
R
. D.
3
R
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có:
2;2; 1 , 2;1;0
AB AC
.
Oxyz
2 2 2
: 4 2 6 2 0
S x y z x y z
I
R
S
2;1;3 , 4
I R
2; 1; 3 , 4
I R
2;1;3 , 2 3
I R
2; 1; 3 , 12
I R
2 2 2
( ): 2 2 2 0
S x y z ax by cz d
2; 1; 3, 2
a b c d
( ; ; ) (2; 1; 3)
I a b c
2 2 2
4
R a b c d
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 21
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Mặt phẳng
ABC
qua
1;1;3
A và có vecto pháp tuyến là
, 1;2;2
n AB AC
.
Phương trình mặt phẳng
ABC
là:
1 2 1 2 3 0 2 2 9 0
x y z x y z
.
Vậy
9
, 3
3
R d O ABC
.
Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ
,
Oxyz
3; 4; 2
A
,
5; 6; 2
B
,
10; 17; 7
C
. Viết phương
trình mặt cầu tâm
C
bán kính
AB
.
A.
2 2 2
10 17 7 8
x y z
. B.
2 2 2
10 17 7 8
x y z
.
C.
2 2 2
10 17 7 8
x y z
. D.
2 2 2
10 17 7 8
x y z
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
2 2
AB
.
Phương trình mặt cầu tâm
C
bán kính
AB
:
2 2 2
10 17 7 8
x y z
.
Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
A
1;2;3
và B
1;4;1 .
Phương trình mặt
cầu đường kính
AB
là:
A.
2 2
2
3 2 12
x y z
. B.
2 2 2
1 2 3 12
x y z
.
C.
2 2 2
1 4 1 12
x y z
. D.
2 2
2
3 2 3
x y z
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Trung điểm của
AB
là:
0;3;2
I
, mặt khác
2 2
1 1 1 3
R IA
Phương trình mặt cầu cần tìm là:
2 2
2
3 2 3
x y z
.
Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ
,
Oxyz
phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm
1;2; 4
I
và thể tích của khối cầu tương ứng bằng
36 .
A.
2 2 2
1 2 4 3.
x y z
B.
2 2 2
1 2 4 9.
x y z
.
C.
2 2 2
1 2 4 9.
x y z
. D.
2 2 2
1 2 4 9.
x y z
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
3
4
36 3.
3
V R R
Phương trình mặt cầu tâm
1;2; 4
I
và bán kính
3
R
là :
2 2 2
1 2 4 9.
x y z
.
Câu 18: Mặt cầu
S
có tâm
1;2; 1
I
và tiếp xúc với mặt phẳng
P
:
– 2 – 2 – 8 0
x y z
có phương
trình là
A.
2 2 2
1 – 2 1 3
x y z
. B.
2 2 2
1 – 2 1 9
x y z
.
C.
2 2 2
1 – 2 1 9
x y z
. D.
2 2 2
1 – 2 1 3
x y z
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 22
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Do mặt cầu
S
tiếp xúc với mặt phẳng
P
nên
1 4 2 8
; 3
1 4 4
d I P R R
.
Phương trình mặt cầu
S
:
2 2 2
1 – 2 1 9
x y z
.
Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt cầu có phương trình
2 2
2
1 3 9
x y z
.
Tìm tọa độ tâm
I
và bán kính
R
của mặt cầu đó.
A.
1;3;0
I
;
3
R
. B.
1; 3;0
I
;
9
R
.
C.
1; 3;0
I
;
3
R
. D.
1;3;0
I
;
9
R
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Mặt cầu đã cho có tâm
1; 3;0
I
và bán kính
3
R
.
Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, mặt cầu tâm
2; 1;3
I tiếp xúc với mặt phẳng
Oxy
có
phương trình là
A.
2 2 2
2 1 3 3
x y z
. B.
2 2 2
2 1 3 4
x y z
.
C.
2 2 2
2 1 3 2
x y z
. D.
2 2 2
2 1 3 9
x y z
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có mặt phẳng
Oxy
có phương trình
0
z
nên
; 3
d I Oxy
phương trình mặt cầu là
2 2 2
2 1 3 9
x y z
.
Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ
,
Oxyz
cho điểm
1;3;2
A và mặt phẳng
:3 6 2 4 0.
P x y z
Phương trình mặt cầu tâm
,
A
tiếp xúc với mặt phẳng
P
là
A.
2 2 2
1 3 2 49
x y z
. B.
2 2 2
1
1 3 2
49
x y z .
C.
2 2 2
1 3 2 7
x y z
. D.
2 2 2
1 3 2 1
x y z
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Bán kính mặt cầu cần tìm:
2
2 2
3 18 4 4
, 1
3 6 2
d A P
Do đó,
2 2 2
: 1 3 2 1
S x y z
.
Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
P
:
2 2 3 0
x y z
và điểm
1;2 3
I
. Mặt cầu
S
tâm
I
và tiếp xúc
mp P
có phương trình:
A.
2 2 2
( ): ( 1) ( 2) ( 3) 4
S x y z
B.
2 2 2
( ): ( 1) ( 2) ( 3) 2
S x y z
.
C.
2 2 2
( ): ( 1) ( 2) ( 3) 4
S x y z
D.
2 2 2
( ) :( 1) ( 2) ( 3) 16
S x y z
;
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
( )
S
là mặt cầu có tâm
1;2; 3
I
và bán kính
R
.
Vì
( )
S
tiếp xúc với mặt phẳng
P
:
2 2 3 0
x y z
nên ta có
; 2
R d I P
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 23
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:
2 2 2
( 1) ( 2) ( 3) 4
x y z
.
Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt cầu
S
có tâm
1;4;2
I
và tiếp xúc mặt phẳng
: 2 2 15 0
P x y z
. Khi đó phương trình của mặt cầu
S
là
A.
2 2 2
1 4 2 9
x y z
. B.
2 2 2
1 4 2 81
x y z
.
C.
2 2 2
1 4 2 9
x y z
. D.
2 2 2
1 4 2 81
x y z
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
2 2 2
2. 1 2.4 2 15
27
, 9
3
2 2 1
r d I P
.
Vậy phương trình mặt cầu
S
là
2 2 2
1 4 2 81
x y z
.
Câu 24: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho mặt cầu
S
có tâm
2;1; 4
I
và mặt phẳng
: 2 1 0
P x y z
. Biết rằng mặt phẳng
P
cắt mặt cầu
S
theo giao tuyến là đường tròn
có bán kính bằng
1
. Viết phương trình mặt cầu
S
.
A.
2 2 2
: 2 1 4 25
S x y z
. B.
2 2 2
: 2 1 4 13
S x y z
.
C.
2 2 2
: 2 1 4 25
S x y z
. D.
2 2 2
: 2 1 4 13
S x y z
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
2 2 2
2 1 2. 4 1
, 2 6
1 1 2
h d I P
. Bán kính mặt cầu:
2 2
5
R h r
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 24
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Chưa học PTĐT)
A – LÝ THUYẾT CHUNG
1.1 Khái niệm về véc tơ pháp tuyến
khác và có giá vuông góc
mp P
được gọi là véc tơ pháp tuyến của
.
P
1.2. Tính chất của véc tơ pháp tuyến
Nếu là véc tơ pháp tuyến của
P
thì
, ( 0)
kn k
cũng là véc tơ pháp tuyến của
.
P
2.1 Phương trình tổng quát của
mp P
Phương trình tổng quát của
mp P
qua và có véc tơ pháp tuyến là
2.2. Khai triển của phương trình tổng quát
Dạng khai triển của phương trình tổng quát là:
(trong đó
, ,
A B C
không đồng thời
bằng 0)
2.3. Những trường hợp riêng của phương trình tổng quát
P
qua gốc tọa độ
0
D
P
song song hoặc trùng
0
Oxy A B
P
song song hoặc trùng
0
Oyz B C
P
song song hoặc trùng
0
Ozx A C
P
song song hoặc chứa
0
Ox A
P
song song hoặc chứa
0
Oy B
P
song song hoặc chứa
0
Oz C
P
cắt
Ox
tại
;0;0 ,
A a
cắt
Oy
tại
0; ;0
B b
và cắt
Oz
tại
0;0;
C c P
có phương trình
3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng và
Khi đó:
cắt
4.1 Khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng
Cho và ;
4.2. Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến
mặt phẳng kia.
5.1. Hình chiếu của 1 điểm lên mặt phẳng
n
0
n
M x y z
0 0 0
( ; ; )
n A B C
( ; ; )
A x x B y y C z z
0 0 0
( ) ( ) ( ) 0
Ax By Cz D
0
x y z
a b c
a b c
1 , , 0
: 0
P A B Dx y Cz
: 0.
xA zP B Cy D
P
P
: : :
.
:
A B C A B C
//
P P
.
A B C D
A B C D
P P
A B C D
A B C D
P P
. 0 0.
P P P P
n n n n AA BB CC
M x y z
0 0 0
; ;
P Ax By Cz D
(
: 0
)
Ax By Cz D
d M P
A B C
0 0 0
2 2 2
( ,( ))
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 25
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Điểm là hình chiếu của điểm trên .
5.2. Điểm đối xứng của 1 điểm qua mặt phẳng
Điểm đối xứng với điểm qua
6. Góc giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng có phương trình:
Góc giữa bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT .
Chú ý:
0 0
0 , 90
;
7. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu. Phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu
Cho mặt phẳng và mặt cầu có tâm
I
và không có điểm chung
tiếp xúc với với là tiếp diện
Để tìm toạ độ tiếp điểm ta có thể thực hiện như sau:
Viết phương trình đường thẳng đi qua tâm của và vuông góc với .
Tìm toạ độ giao điểm của và . là tiếp điểm của với .
cắt theo một đường tròn
Để xác định tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến ta có thể thực hiện như sau:
Viết phương trình đường thẳng đi qua tâm của và vuông góc với .
Tìm toạ độ giao điểm của và . Với là tâm của đường tròn giao tuyến của với
.
Bán kính của đường tròn giao tuyến:
8. Viết phương trình mặt phẳng
Để lập phương trình mặt phẳng ta cần xác định một điểm thuộc và một VTPT của nó.
8.1. Dạng 1: đi qua điểm có VTPT thì:
8.2. Dạng 2: đi qua điểm có cặp VTCP thì là một VTPT của
8.3. Dạng 3: đi qua điểm và song song với
: 0
Ax By Cz
thì
H
M
MH n cung phuong
H P
P
,
( )
M
'
M
MM MH
P 2
 
,
Ax B y C z D
1 1 1 1
: 0
A x B y C z D
2 2 2 2
: 0
,
n n
1 2
,
n n AA B B C C
n n
A B C A B C
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 2
1 1 1 2 2 2
.
cos ( ),( )
.
.
AA B B C C
1 2 1 2 1 2
( ) ( ) 0
Ax By Cz D
: 0
S x a y b z c R
2 2 2 2
:( ) ( ) ( )
S
d I R
( ,( ))
S
d I R
( ,( ))
d
I
S
H
d
H
S
S
d I R
( ,( ))
H
r
d
I
S
H
d
H
S
r
r R IH
2 2
M x y z
0 0 0
; ;
n A B C
; ;
A x x B y y C z z
0 0 0
: 0
M x y z
0 0 0
; ;
a b
,
n a b
,
M x y z
0 0 0
; ;
A x x B y y C z z
0 0 0
: 0
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 26
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
8.4. Dạng 4: đi qua 3 điểm không thẳng hàng . Khi đó ta có thể xác định một VTPT của
là:
THAM KHẢO THÊM SAU KHI HỌC BÀI ĐƯỜNG THẲNG
8.5. Dạng 5: đi qua một điểm
M
và một đường thẳng không chứa
M
:
Trên lấy điểm và VTCP .
Một VTPT của là:
8.6. Dạng 6: đi qua một điểm
M
, vuông góc với đường thẳng thì VTCP của đường thẳng
là một VTPT của .
8.7. Dạng 7: chứa đường thẳng cắt nhau
Xác định các VTCP của các đường thẳng
Một VTPT của là: .
Lấy một điểm
M
thuộc d
1
hoặc
8.8. Dạng 8: chứa đường thẳng và song song với đường thẳng
2
d
(
1 2
,
d d
chéo nhau
Xác định các VTCP của các đường thẳng
Một VTPT của là: .
Lấy một điểm
M
thuộc
8.9. Dạng 9: đi qua điểm
M
và song song với hai đường thẳng chéo nhau
1 2
,
d d
:
Xác định các VTCP của các đường thẳng
Một VTPT của là: .
8.10. Dạng 10: chứa một đường thẳng
d
và vuông góc với một mặt phẳng
Xác định VTCP của
d
và VTPT của
Một VTPT của là: .
Lấy một điểm
M
thuộc
8.11. Dạng 11: đi qua điểm
M
và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau
Xác định các VTPT của và
Một VTPT của là: .
8.12. Dạng 12: chứa đường thẳng
d
cho trước và cách điểm
M
cho trước một khoảng cho trước:
Giả sử () có phương trình: .
Lấy 2 điểm ta được hai phương trình
1 , 2
)
Từ điều kiện khoảng cách , ta được phương trình
A B C
, ,
n AB AC
,

d
d
A
u
n AM u
,
d
u
d
d d
1 2
,
:
a b
,
d d
1 2
, .
n a b
,
d M
2
.
d
1
)
:
a b
,
d d
1 2
, .
n a b
,
d M
1
.
a b
,
d d
1 2
, .
n a b
,
:
u
n
.
n u n
,
d M
, :
n n
,
.
n u n
,
k
Ax By Cz+D
0
A B C
2 2 2
0
A B d A B
, , (
d M k
( ,( ))
3 .
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 27
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giải hệ phương trình
1 , 2 , 3
(bằng cách cho giá trị một ẩn, tìm các ẩn còn lại).
8.13. Dạng 13: là tiếp xúc với mặt cầu tại điểm
Giả sử mặt cầu có tâm và bán kính
Một VTPT của là:
B – BÀI TẬP
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ
,
Oxyz
cho mặt phẳng
:2 1 0.
P x y z
Vectơ nào dưới đây
là vectơ pháp tuyến của
?
P
A.
2; 1; 1 .
n
B.
2; 1; 1 .
n
C.
1; 1; 1 .
n
D.
2; 1; 1 .
n
Hướng dẫn giải
Chọn A
:2 1 0
P x y z
. Vec tơ pháp tuyến của
P
là
2; 1;1
n
.
Câu 2: Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, cho phương trình mặt phẳng
:2 3 4 5 0
P x y z
.
Vectơ nào sau đây là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng
P
.
A.
2;3; 4
n
. B.
2;3;4
n
. C.
2;3;5
n
. D.
4;3;2
n
.
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Từ phương trình
:2 3 4 5 0
P x y z
ta có VTPT là
2;3; 4
n
Câu 3: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
1
: 2 5 0
2
P x y z
. Vectơ nào dưới đây là vectơ
pháp tuyến của mặt phẳng
P
?
A.
2
1; 2;1
n
. B.
3
1; 4;2
n
. C.
1
2; 2;1
n
. D.
4
2;1;5
n
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Từ phương trình của
P
suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
P
là
1
; 2;1
2
n
.
Mặt khác
3
1
1; 4;2 2 ; 2;1 2
2
n n
nên
3
1; 4;2
n
cũng là một vectơ pháp tuyến của
mặt phẳng
P
.
Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, viết phương trình mặt phẳng qua điểm
2; 3;4
M
và nhận
2;4;1
n
làm vectơ pháp tuyến
A.
2 4 11 0
x y z
. B.
2 4 12 0
x y z
.
C.
2 4 12 0
x y z
. D.
2 4 10 0
x y z
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Mặt phẳng có phương trình là:
: 2 2 4 3 1. 4 0
P x y z
2 4 12 0
x y z
S
H
:
S
I
R
.
n IH
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 28
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 5: Trong không gian
Oxyz
, cho ba điểm
3;0;0
M
,
0; 2;0
N
và
0;0;1
P
. Mặt phẳng
MNP
có
phương trình là
A.
1
3 2 1
x y z
. B.
1
3 2 1
x y z
. C.
1
3 2 1
x y z
. D.
1
3 2 1
x y z
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng
MNP
:
1
3 2 1
x y z
.
Câu 6: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
2;3;4
M
. Gọi
A
,
B
,
C
lần lượt là hình chiếu vuông góc của
M
lên các trục
Ox
,
Oy
,
Oz
. Viết phương trình mặt phẳng
ABC
.
A.
1
4 4 3
x y z
B.
1
3 4 2
x y z
C.
1
3 2 4
x y z
D.
1
2 3 4
x y z
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có:
2;0;0
A
,
0;3;0
B
,
0;0;4
C
.
Vậy
: 1
2 3 4
x y z
ABC
.
Câu 7: Trong không gian
Oxyz
, gọi (P) là mặt phẳng cắt ba trục tọa độ tại ba điểm
(8,0,0); (0, 2,0);
A B
(0,0,4)
C
. Phương trình của mặt phẳng (P) là:
A.
1
4 1 2
x y z
. B.
0
8 2 4
x y z
.
C.
4 2 0
x y z
. D.
4 2 8 0
x y z
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ
,
Oxyz
cho điểm
12;8;6 .
M
Viết phương trình mặt phẳng
đi
qua các hình chiếu của
M
trên các trục tọa độ.
A.
2 3 4 24 0.
x y z
B.
1.
12 8 6
x y z
C.
1.
6 4 3
x y z
D.
26 0.
x y z
Hướng dẫn giải
Chọn A
Mặt phẳng
cắt các trục tại các điểm
12;0;0 , 0;8;0 , 0;0;6
A B C
nên phương trình
là
1 2 3 4 24 0
12 8 6
x y z
x y z
.
Câu 9: Trong không gian với hệ trục
Oxyz
, cho ba điểm
1;2;1
A
,
2; 1;0
B
,
1;1;3
C
. Viết phương
trình mặt phẳng đi qua ba điểm
A
,
B
,
C
.
A.
7 2 10 0
x y z
. B.
4 0
x y z
.
C.
4 7 0
x y z
. D.
7 2 12 0
x y z
.
Hướng dẫn giải
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 29
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Chọn D
Ta có
1; 3; 1
AB
,
0; 1;2
AC
suy ra
, 7; 2; 1 1 7;2;1
AB AC

.
Mặt phẳng
ABC
đi qua điểm
1;2;1
A
có véc tơ pháp tuyến
7;2;1
n
có phương trình là
7 2 12 0
x y z
.
Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
4;0;1
A và
2;2;3
B . Phương trình
nào dưới đây là phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
AB
?
A.
6 2 2 1 0
x y z
. B.
3 0
x y z
.
C.
3 6 0
x y z
. D.
3 1 0
x y z
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi
P
là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
AB
.
Véc tơ pháp tuyến của
P
là
6;2;2
P
n AB
P
đi qua trung điểm
M
của
AB
. Tọa độ trung điểm
1;1;2
M
Vậy phương trình trung trực của đoạn thẳng
AB
là:
:3 0
P x y z
.
Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho
1;2; 3
A
,
3;2;9
B
. Mặt phẳng trung trực của
đoạn thẳng
AB
có phương trình là:
A.
3 10 0
x z
. B.
4 12 10 0
x z
.
C.
3 1 0
x z
. D.
3 10 0
x z
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Trung điểm của đoạn thẳng
AB
là
1;2;3
I
.
Ngoài ra
4;0;12
AB
.
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
AB
đi qua
1;2;3
I
, nhận
1;0; 3
n
làm vecto pháp
tuyến nên có phương trình
1 1 3 3 0
x z
3 10 0
x z
.
Câu 12: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm
1;3;2
M
,
5;2;4
N
,
2; 6; 1
P
có dạng
0
Ax By Cz D
. Tính tổng
S A B C D
.
A.
3
S
. B.
1
S
. C.
6
S
. D.
5
S
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
4; 1;2
MN
;
1; 9; 3
MP
, 21;14; 35
MN MP
3;2; 5
n
là vectơ pháp tuyến của
MNP
Phương trình
:3 2 5 1 0
MNP x y z
1
A B C D
.
Câu 13: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
1;0;0 , 0; 2;0
A B
. Phương trình nào
dưới đây là phương trình của mặt phẳng
OAB
?
A.
0
z
. B.
1 2 0
x y
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 30
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
C.
1
1 2
x y
. D.
0
1 2
x y
z
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Nhận thấy các điểm
1;0;0 , 0; 2;0
A B
và
0;0;0
O
đều thuộc mặt phẳng
Oxy
, nên mặt
phẳng
OAB
trùng với mặt phẳng
: 0
Oxy z
.
Câu 14: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
3;2;1
A
và mặt phẳng
:P x y z
3 2 2 0
.Phương
trình mặt phẳng
Q
đi qua
A
và song song mặt phẳng
P
là:
A.
:3 2 9 0
Q x y z
. B.
: 3 2 1 0
Q x y z
.
C.
: 3 2 4 0
Q x y z
. D.
: 3 2 1 0
Q x y z
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Vì mặt phẳng
Q
song song
: 3 2 2 0
P x y z
nên phương trình
Q
có dạng
: 3 2 0 2
Q x y z m m
Q
đi qua
3;2;1
A
nên thay tọa độ vào ta có
1
m
.
Vậy phương trình
: 3 2 1 0
Q x y z
Câu 15: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
cho các điểm
0;1;2
A
,
2; 2;1
B
,
2;0;1
C
.
Phương trình mặt phẳng đi qua
A
và vuông góc với
BC
là
A.
2 3 0
y z
. B.
2 1 0
x y
. C.
2 5 0
y z
. D.
2 1 0
x y
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có:
2;1;0
n BC
.
Vậy phương trình mặt phẳng đi qua
A
và vuông góc với
BC
có dạng:
2 0 1 1 0
x y
2 1 0
x y
2 1 0
x y
.
Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
3; 1; 2
M
và mặt phẳng
:3 2 4 0
x y z
. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua
M
và
song song với
?
A.
3 2 6 0
x y z
. B.
3 2 14 0
x y z
.
C.
3 2 6 0
x y z
. D.
3 2 6 0
x y z
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Mặt phẳng qua
M
song song với
có phương trình là:
3 3 1 2 2 0
x y z
hay
3 2 6 0
x y z
.
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là:
3 2 6 0
x y z
.
Câu 17: Trong hệ tọa độ
Oxyz
, cho bốn điểm
(0;1;1)
A
,
(1;0;1)
B
,
(0;0;1)
C
, và
(1;1;1)
I
. Mặt phẳng qua
I
, song song với mặt phẳng
ABC
có phương trình là:
A.
1 0
z
B.
1 0
y
C.
3 0
x y z
D.
1 0
x
Hướng dẫn giải
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 31
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Chọn A
Ta có
1; 1;0
AB
và
0; 1;0
AC
nên mặt phẳng
ABC
có vectơ pháp tuyến là
, 0;0; 1
n AB AC

. Mặt phẳng cần tìm song song với mặt phẳng
ABC
nên có phương
trình là
1 0
z
.
Câu 18: Mặt phẳng có phương trình nào sau đây song song với trục
Ox
?
A.
2 1 0
x y
. B.
3 1 0
x
. C.
2 1 0
y z
. D.
2 0
y z
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Trục
Ox
có một véc tơ chỉ phương là
1;0;0
i
và đi qua điểm
0;0;0
O
.
Mặt phẳng
2 1 0
y z
có một vectơ pháp tuyến là
0;1; 2
n
.
Do
. 1.0 0.1 0 2 0
ni
và điểm
0;0;0
O
không thuộc mặt phẳng
2 1 0
y z
nên mặt
phẳng
2 1 0
y z
song song với trục
Ox
.
Câu 19: Trong không gian với hệ trục
Oxyz
, mặt phẳng chứa điểm
(1;0;1)
A
và
1;2;2
B
và song
song với trục
Ox
có phương trình là
A.
0
x y z
. B.
2 1 0
y z
. C.
2 2 0
y z
. D.
2 3 0
x z
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi
: 2 2 0
P y z
Mặt phẳng
P
có một VTPT
0;1; 2
n
.
Trục
Ox
có một VTCP
1;0;0
i
. Mà:
0;0;0 / /
0;0;0
n i
O Ox Ox P
O P
Lại có điểm
(1;0;1)
A
và
1;2;2
B
cùng thuộc mặt phẳng
P
.
Vậy mặt phẳng
: 2 2 0
P y z
chứa điểm
(1;0;1)
A
và
1;2;2
B
và song song với trục
Ox
.
Cách 2: Mặt phẳng cần tìm qua
(1;0;1)
A
nhận
, 0;1; 2
AB i
làm vectơ pháp tuyến, suy ra
mp cần tìm
: 2 2 0
P y z
.
Câu 20: Gọi
là mặt phẳng đi qua
1; 1;2
M
và chứa trục
Ox
. Điểm nào trong các điểm sau đây
thuộc mặt phẳng
?
A.
2;2;4
P
. B.
0;4;2
Q
. C.
0;4; 2
M
. D.
2;2; 4
N
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Gọi
n
là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng
khi đó ta có
,
n OM i

. Với
1; 1;2
OM
,
1;0;0
i
0;2;1
n
.
Phương trình mặt phẳng
đi qua điểm
0;0;0
O
và có một véc tơ pháp tuyến
0;2;1
n
là
2 0
y z
.
Do
2.2 4 0
nên điểm
2;2; 4
N
thuộc mặt phẳng
.
2
2
2
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 32
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 21: Phương trình của mặt phẳng
qua
2; 1;4
A ,
3;2; 1
B
và vuông góc với mặt phẳng
: 2 3 0
x y z
là
A.
11 7 2 21 0.
x y z
B.
11 7 2 21 0.
x y z
C.
11 7 2 21 0.
x y z
D.
11 7 2 21 0.
x y z
Hướng dẫn giải
Chọn A
Mặt phẳng
có một vectơ pháp tuyến là:
, 11; 7; 2
n AB n
Vậy
:11 7 2 21 0
x y z
Câu 22: Trong không gian hệ tọa độ
Oxyz
, cho
1;2; 1
A
;
1;0;1
B
và mặt phẳng
( ): 2 1 0
P x y z
. Viết phương trình mặt phẳng
( )
Q
qua
A
;
B
và vuông góc với
( )
P
A.
( ):2 3 0
Q x y
. B.
( ): 0
Q x z
.
C.
( ): 0
Q x y z
. D.
( ):3 0
Q x y z
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
2; 2;2

AB
( )
P
có VTPT
1;2; 1
n
Vì
( )
Q
qua
A
;
B
và vuông góc với
( )
P
nên
VTPT của
( )
Q
là
1
; 2;0; 2 2 1;0;1

n AB n .
Phương trình mặt phẳng
( )
Q
qua
1;0;1
B
và có VTPT
1
1;0;1
n
là:
1 1 1 1 0 0
x z x z
.
Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho hai điểm
2;4;1
A
,
1;1;3
B
và mặt phẳng
: 3 2 5 0
P x y z
. Một mặt phẳng
Q
đi qua hai điểm
A
,
B
và vuông góc với
P
có
dạng:
11 0
ax by cz
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
a b c
. B.
5
a b c
. C.
;
a b c
. D.
a b c
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có:
2;4;1
A
,
1;1;3
B
3; 3;2
AB

.
Véc tơ pháp tuyến của
P
là:
1; 3;2
n
.
Do mặt phẳng
Q
đi qua
AB
và vuông góc với
P
nên
Q
nhận véc tơ
, 0; 8; 12
AB n

làm một véc tơ pháp tuyến nên phương trình của
Q
sẽ là:
2 4 3 1 0
y z
2 3 11 0
y z
.
Suy ra
0
a
,
2
b
,
3
c
5
a b c
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 33
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 24: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
1;2;3
H . Mặt phẳng
P
đi qua điểm
,
H
cắt
, ,
Ox Oy Oz
tại
, ,
A B C
sao cho
H
là trực tâm của tam giác
ABC
. Phương trình của mặt phẳng
P
là
A.
( ) : 3 2 11 0.
P x y z
B.
( ):3 2 10 0.
P x y z
C.
( ): 3 2 13 0.
P x y z
D.
( ): 2 3 14 0.
P x y z
Hướng dẫn giải
Chọn D
Do tứ diện
OABC
có ba cạnh
, ,
OA OB OC
đôi một vuông góc nên nếu
H
là trực tâm của tam
giác
ABC
dễ dàng chứng minh được
OH ABC
hay
OH P
.
Vậy mặt phẳng
P
đi qua điểm
1;2;3
H và có VTPT
1;2;3
OH

nên phương trình
P
là
1 2 2 3 3 0 2 3 14 0.
x y z x y z
Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, phương trình tổng quát của mặt phẳng
P
đi qua điểm
0; –1; 4
M
và nhận
(3,2,1)
u
,
( 3,0,1)
v
làm vectơ chỉ phương là:
A.
– 3 0
x y z
B.
– – –12 0
x y z
C.
– 3 3 –15 0
x y z
D.
3 3 – 0
x y z
Hướng dẫn giải
Chọn C
P
có vectơ pháp tuyến
, 2 1; -3; 3
n u v
và đi qua
M
nên có phương trình
– 3 3 –15 0
x y z
.
Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
1;1;1
A
và hai mặt phẳng
:2 3 1 0
P x y z
,
: 0
Q y
. Viết phương trình mặt phẳng
R
chứa
A
, vuông góc với
cả hai mặt phẳng
P
và
Q
.
A.
3 2 1 0
x z
. B.
3 2 2 0
x y z
.
C.
3 2 0
x z
. D.
3 2 4 0
x y z
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
:2 3 1 0
P x y z
có véctơ pháp tuyến
2; 1;3
P
n
.
: 0
Q y
có véctơ pháp tuyến
0;1;0
Q
n
.
Do mặt phẳng
R
vuông góc với cả hai mặt phẳng
P
và
Q
nên có véctơ pháp tuyến
,
R P Q
n n n
.
3;0;2
R
n
.
Vậy phương trình mặt phẳng
R
là:
3 2 1 0
x z
3 2 1 0
x z
.
Câu 27: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho hai mặt phẳng
P
và
Q
lần lượt có phương
trình là
0
x y z
,
2 3 4
x y z
và điểm
1; 2;5
M
. Tìm phương trình mặt phẳng
đi
qua điểm
M
đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng
P
,
Q
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 34
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
4 3 6 0
x y z
. B.
5 2 4 0
x y z
.
C.
5 2 14 0
x y z
. D.
4 3 6 0
x y z
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Vectơ pháp tuyến của
P
là
1
1;1; 1
n
.
Vectơ pháp tuyến của
Q
là
2
1; 2;3
n
.
1 2
; 1; 4; 3
n n n
Vì
vuông góc với
P
và
Q
nên
có vectơ pháp tuyến là
n
.
Mặt phẳng
có phương trình là
1 1 4 2 3 5 0
x y z
hay
4 3 6 0
x y z
.
Câu 28: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
2 2 2
: 1 2 5 9
S x y z
. Mặt phẳng
P
tiếp
xúc với mặt cầu
S
tại điểm
2; 4;3
A
có phương trình là
A.
6 8 50 0
x y z
. B.
3 6 8 54 0
x y z
.
C.
2 2 4 0
x y z
. D.
2 2 4 0
x y z
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Mặt cầu
S
có tâm
1; 2;5
I
.
Mặt phẳng
P
có vectơ pháp tuyến là
1; 2; 2
IA
và đi qua điểm
2; 4;3
A
nên có
phương trinh:
1. 2 2 4 2 3 0
x y z
2 2 4 0
x y z
.
Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt cầu
2 2 2
: 2 4 4 0
S x y z x y z
. Mặt
phẳng tiếp xúc với
S
tại điểm
3;4;3
A
có phương trình.
A.
2 2 17 0
x y z
. B.
4 4 2 17 0
x y z
.
C.
17 0
x y z
. D.
2 4 17 0
x y z
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Mặt cầu
S
có tâm
1;2;2
I
, vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng
P
là
2;2;1
IA
nên phương
trình của
P
là
2 2 17 0.
x y z
.
Câu 30: Cho mặt cầu
2 2 2
( ): 2 4 6 2 0
S x y z x y z
và mặt phẳng
( ): 4 3 12 10 0
x y z
. Mặt
phẳng tiếp xúc với (S) và song song với
( )
có phương trình là:
A.
4 3 12 78 0
x y z
. B.
4 3 12 78 0
x y z
hoặc
4 3 12 26 0
x y z
.
C.
4 3 12 26 0
x y z
. D.
4 3 12 78 0
x y z
hoặc
4 3 12 26 0
x y z
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Gọi
là mặt phẳng thỏa đề phương trình có dạng
:4 3 12 0 10
x y z D D
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 35
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Mặt cầu
S
có tâm
1;2;3
I
và bán kính là :
1 4 9 2 4
r
tiếp xúc
S
khi
0 0 0
26
4 3 12 26
, 4 4
78
13
16 9 144
D
x y z D D
d I r
D
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là
4 3 12 78 0
x y z
hoặc
4 3 12 26 0
x y z
Câu 31: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
: 1 0
2 3
x y z
P a
a a a
cắt ba
trục
, ,
Ox Oy Oz
lần lượt tại ba điểm
, ,
A B C
. Tính thể tích
V
của khối tứ diện
OABC
.
A.
3
4
V a
. B.
3
V a
. C.
3
3
V a
. D.
3
3
V a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có:
;0;0 , 0;2 ;0 , 0;0;3
A a B a C a
, 2 , 3
OA a OB a OC a
.
Vậy
3
1 1 1
. .
3 3 2
OBC
V S OA OB OC OA a
.
Câu 32: Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, phương trình mặt phẳng
P
chứa trục
Oy
và đi qua điểm
(1; 1;1)
M
là:
A.
0
x y
. B.
0
x y
. C.
0
x z
. D.
0
x z
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
P
qua
O
và có VTPT là
; 1;0; 1
n j OM
.
Vậy phương trình
P
là
0
x z
.
Câu 33: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho hai mặt phẳng
: 1 0
x y z
và
: 2 2 2 0
x my z
. Tìm
m
để
song song với
.
A.
2
m
. B.
5
m
.
C. Không tồn tại
m
.
D.
2
m
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Mặt phẳng
có VTPT là
1
1;1; 1
n
và
0;0;1A
Mặt phẳng
có VTPT là
2
2; ;2
n m
.
Để
//
thì
1
n
,
2
n
cùng phương và
A
2 2 2
1 1 1 1
2 0
m
không tồn tại
m
.
Vậy không tồn tại
m
để
//
.
Câu 34: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt cầu
2 2 2
: 2 4 6 5 0.
S x y z x y z
Tiếp
diện của
S
tại điểm
1;2;0
M
có phương trình là
A.
0.
z
B.
0.
x
C.
2 0.
x y
D.
0.
y
Hướng dẫn giải
Chọn A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 36
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
1;2; 3 ; 3
S I R
Gọi
P
là mặt phẳng tiếp diện của
S
tại
M
Ta có
0;0;3 3 0,0,1
IM P IM
là VTPT của mặt phẳng
P
Phương trình mặt phẳng
P
:
0
z
Câu 35: Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
2 2
: 1
4
x t
d y t
z t
. Mặt phẳng đi qua
2; 1;1
A
và vuông
góc với đường thẳng
d
có phương trình là:
A.
3 2 5 0
x y z
. B.
2 2 0
x y z
.
C.
3 2 3 0
x y z
. D.
3 2 3 0
x y z
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi
P
là mặt phẳng đi qua
2; 1;1
A
và vuông góc với đường thẳng
d
;
P
n
là vectơ pháp tuyến
của
P
.
d
có véctơ chỉ phương là
2;1; 1
d
u
.
Vì
d
vuông góc với mặt phẳng
P
nên
d
P
n u
, suy ra
2;1; 1
P
n
.
Mặt phẳng
P
đi qua
A
nên
P
:
2 2 0
x y z
.
Câu 36: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
2;1;1
H . Viết phương trình mặt phẳng qua
H
và cắt các
trục
Ox
,
Oy
,
Oz
lần lượt tại
A
,
B
,
C
sao cho
H
là trực tâm tam giác
ABC
.
A.
0
x y z
B.
2 6 0
x y z
C.
2 6 0
x y z
D.
1
2 1 1
x y z
Hướng dẫn giải
Chọn B
Vì tứ diện
OABC
đôi một vuông góc tại
O
và
H
là trực tâm tam giác
ABC
nên
OH ABC
.
Do đó
2;1;1
OH
là một vectơ pháp tuyến của
ABC
và
H
thuộc
ABC
.
Vậy
:2 2 1 1 0
ABC x y z
2 6 0
x y z
.
Câu 37: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
:2 2 1 0
P x y z
và hai điểm
1; 2;3
A
,
3;2; 1
B
. Phương trình mặt phẳng
Q
qua
,
A B
và vuông góc với
P
là
A.
:2 2 3 7 0
Q x y z
. B.
:2 2 3 7 0
Q x y z
.
C.
:2 2 3 9 0
Q x y z
. D.
: 2 3 7 0
Q x y z
.
P
I
M
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 37
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Hướng dẫn giải
Chọn A
2;4; 4
AB
; VTPT của
P
là
2;1; 2
n
VTPT của
Q
là
; 2;2;3
Q
n AB n
.
Phương trình của mặt phẳng
Q
:
2 2 3 7 0
x y z
Câu 38: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, viết phương trình mặt phẳng
P
đi qua điểm
1;1;1
A
và
0;2;2
B
đồng thời cắt các tia
Ox
,
Oy
lần lượt tại
2
điểm
M
,
N
(không trùng với gốc tọa độ
O
) sao cho 2
OM ON
.
A.
:2 3 4 0
P x y z
. B.
:2 4 0
P x y z
.
C.
: 2 2 0
P x y z
. D.
:3 2 6 0
P x y z
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi
;0;0
M m
,
0; ;0
N n
,
0;0;
P p
lần lượt là giao điểm của
P
và trục
Ox
,
Oy
,
Oz
.
M
,
N
lần lượt thuộc tia
Ox
,
Oy
nên
0
m
,
0
n
.
Phương trình mặt phẳng
: 1
x y z
P
m n p
.
Ta có:
2 2
OM ON m n
1 1 1
1
A P
m n p
,
0 2 2
1
B P
m n p
Suy ra:
2
m
,
1
n
,
2
p
: 2 2 0
P x y z
.
Câu 39: Trong không gian với trục hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
1;2;3
H
là trực tâm của
ABC
với
, ,
A B C
là ba điểm lần lượt nằm trên các trục
, ,
Ox Oy Oz
(khác gốc tọa độ). Phương trình mặt
phẳng đi qua ba điểm
, ,
A B C
là
A.
3 2 9 0
x y z
B.
2 3 14 0
x y z
C.
3 2 10 0
x y z
D.
1
1 2 3
x y z
Hướng dẫn giải
Chọn B
Giả sử
;0;0 , 0; ;0 , 0;0;c
A a B b C
1 ;2;3 ; 1;2 ;3 ; 0; b;c ; a;0;c
AH a BH b BC AC
   
Do
H
là trực tâm nên ta có:
. 0 2 3 0
3 0
. 0
AH BC b c
a c
BH AC
 
 
Phương trình mặt phẳng
: 1
x y z
ABC
a b c
.
Vì
1 2 3
1.
H ABC
a b c
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 38
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Do đó ta có hệ phương trình:
2
2 3 0 14
2
3 0 7
3
1 2 3 14
1 2 9
1
1
3
2 2
a b
b c a
b
a c c b
c
a b c
b b b
.
Vậy phương trình mặt phẳng
3
: 1 2 3 14 0.
14 7 14
x y z
ABC x y z
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 39
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG CÓ SỬ DỤNG PTĐT
Câu 1: Trong không gian
Oxyz
cho đường thẳng
1 2 1
:
2 1 1
x y z
d
. Trong các mặt phẳng dưới đây,
tìm một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng
d
A.
2 2 2 4 0
x y z
. B.
4 2 2 4 0
x y z
.
C.
4 2 2 4 0
x y z
. D.
4 2 2 4 0
x y z
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đường thẳng
d
có vec tơ chỉ phương là
2; 1;1
u
.
Mặt phẳng
4 2 2 4 0
x y z
có vectơ pháp tuyến
4; 2;2
n
.
Ta có
2 1 1
4 2 2
nên
u
cùng phương với
n
do đó đường thẳng
d
vuông góc với mặt phẳng
4 2 2 4 0
x y z
.
Câu 2: Mặt phẳng
P
đi qua điểm
1;2;0
A và vuông góc với đường thẳng
1 1
:
2 1 1
x y z
d
có
phương trình là :
A.
2 4 0
x y z
. B.
2 4 0
x y z
.
C.
2 4 0
x y z
. D.
2 4 0
x y z
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đường thẳng
d
có một VTCP là
2;1; 1
u
.
Ta có
P
d
P
nhận
2;1; 1
u
là một VTPT.
Kết hợp với
P
qua
1;2;0
A
:2 1 1. 2 1. 0 0
P x y z
2 4 0
x y z
.
Câu 3: Trong không gian
Oxyz
cho đường thẳng
d
có phương trình
1 3
2 ;
3 2
x t
y t t
z t
. Mặt phẳng
P
đi
qua
( 1; 2;1)
A
và
P
vuông góc với đường thẳng
d
thì
P
có phương trình là:
A.
: 3 2 3 0
P x y z
. B.
: 2 3 2 0
P x y z
.
C.
: 3 2 3 0
P x y z
. D.
: 2 3 2 0
P x y z
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đường thẳng
d
có véc tơ chỉ phương là
( 3;1;2)
u
.
Vì
P
vuông góc với đường thẳng
d
nên
P
nhận véc tơ chỉ phương của
d
là
( 3;1;2)
u
làm véc tơ pháp tuyến.
P
đi qua
( 1; 2;1)
A
, véc tơ pháp tuyến là
( 3;1;2)
n u
nên
P
có phương trình
là
: 3( 1) 1( 2) 2( 1) 0
P x y z
: 3 2 3 0
P x y z
.
Câu 4: Trong không gian
Oxyz
, phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng
3 2 1
:
1 1 2
x y z
d
và
song song với đường thẳng
3 3
:
1 3 2
x y z
d
là
A.
2 2 0
x y z
B.
2 6 0
x z
C.
1
1 1 2
x y z
D.
2 7 0
x z
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 40
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đường thẳng
d
đi qua điểm
3;2;1
M
có VTCP
1; 1;2
d
u
Đường thẳng
d
có VTCP
1;3;2
d
u
.
Vì
mp
P
chứa
d
và song song với
d
nên VTPT của
P
là
, 4 2;0; 1
d d
u u
.
Khi đó mặt phẳng
P
đi qua điểm
3;2;1
M d
nhận
2;0; 1
n
là VTPT nên có phương
trình
2 7 0
x z
.
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, mặt phẳng
P
song song với hai đường thẳng
1
2 1
:
2 3 4
x y z
,
2
2
: 3 2
1
x t
y t
z t
. Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của
P
?
A.
5; 6;7
n
B.
5;6;7
n
C.
5;6; 7
n
D.
5; 6;7
n
Hướng dẫn giải
Chọn B
Vì
P
song song với hai đường thẳng
và
2
nên
1 2
2 3 4
, 5;6;7
1 2 1
P
n u u

.
Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng
( )
P
chứa đường thẳng
1 1 1
:
1 2 1
x y z
d
và đi qua điểm
'(0;2;2).
A .
A.
5x 2 2 0.
y z
. B.
5x 2 2 0.
y z
C.
5x 5z 2 0.
. D.
2 0.
x z
Hướng dẫn giải
Chọn D
(1;2; 1)
d
u
. Gọi
(1; 1;1) (1; 3; 1).
M d AM
.
Vì
( )
( )
d P
A P
nên
(P)
; ( 5;0; 5).
d
n u AM
.
( )
( 5;0; 5)
( ): ( ) : 5( 0) 5(z 2) 0 2 0.
(0;2;2) ( )
P
n
P P x x z
A P
.
Câu 7: Phương trình mặt phẳng
P
đi qua
1 ;2 ; 3
M
và chứa đường thẳng
2 1 4
1 3 4
x y z
là.
A.
11 8 1 0
x y z
. B.
–11 8 – 45 0
x y z
.
C.
11 8 45 0
x y z
. D.
–11 – 8 – 3 0
x y z
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Cách 1:
Lấy điểm
2;1; 4 3; 1; 1
N d MN
.
d
có vectơ chỉ phương
1;3;4
u
.
P
có vectơ pháp tuyến
, 1;11; 8 1; 11;8 .
n MN u
.
Khi đó,
:1 1 11 2 8 3 0 11 8 45 0
P x y z x y z
.
Cách 2:
VTCP của
d
vuông góc với VTPT của
P
loại C,
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 41
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
D.
M P
Chọn C
Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
1;2;3
A và đường thẳng
1
: 3
3 4
x y
d z
.
Phương trình mặt phẳng chứa điểm A và đường thẳng d là.
A.
23 17 60 0
x y z
. B.
23 17 14 0
x y z
.
C.
23 17 14 0
x y z
. D.
23 17 14 0
x y z
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đường thẳng qua điểm . Vec tơ pháp tuyến của là .
Phương trình của là .
Câu 9: Trong không gian
,
Oxyz
mặt phẳng
P
đi qua hai điểm
1; 2; 0
A
,
2; 3;1
B
và song song với
trục
Oz
có phương trình là.
A.
3 0
x y
. B.
1 0
x y
. C.
3 0
x y
. D.
3 0
x z
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
P
//
Oz
: 0
P ax by d
.
,
A B P
2 0
2 3 0
a b d
a b d
2 0
0
a b d
a b
.
Chọn
1
b
ta suy ra
1
a
,
1
d
.
Vậy
: 1 0
P x y
.
Cách 2
Thay tọa độ các điểm
A
,
B
vào các phương án đã cho. Chỉ có phương án A thỏa mãn.
Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, viết phương trình mặt phẳng
P
đi qua điểm
3; 4;7
M
và chứa trục
Oz
.
A.
:3 4 0
P x y
. B.
: 4 3 0
P y z
. C.
:3 4 0
P x z
. D.
: 4 3 0
P x y
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
3; 4;7
OM
, vecto chỉ phương của trục
Oz
là
0;0;1
k
Mặt phẳng
P
qua
3; 4;7
M
có vectơ pháp tuyến
, 4;3;0
n k OM
Phương trình mặt phẳng
: 4 3 0
P x y
Câu 11: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
: 2 5 0
P x y z
và các điểm
1;2;3
A
,
1;1; 2
B
,
3;3;2
C
. Gọi
0 0 0
; ;
M x y z
là điểm thuộc
P
sao cho
MA MB MC
.
Tính
0 0 0
x y z
.
A.
4
B.
7
C.
5
D.
6
Hướng dẫn giải
Chọn C
d
0;1; 3
I
P
; 23; 17; 1
d
n u IA
P
23 17 14 0.
x y z
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 42
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
M P
MA MB
MA MC
0 0 0
0 0 0
0 0 0
2 5 0
4 2 10 8 0
4 2 2 8 0
x y z
x y z
x y z
0
0
0
9
14
0
x
y
z
0 0 0
9 14 0 5
x y z
.
Câu 12: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
:2 2 7 0
P x y z
và mặt cầu
2 2 2
: 2 4 6 11 0
S x y z x y z
. Mặt phẳng song song với
P
và cắt
S
theo một
đường tròn có chu vi bằng
6
có phương trình là
A.
:2 2 19 0
P x y z
B.
:2 2 17 0
P x y z
C.
:2 2 17 0
P x y z
D.
:2 2 7 0
P x y z
Hướng dẫn giải
Chọn B
Mặt cầu
S
có tâm
1; 2;3
I
, bán kính
5
R
; bán kính đường tròn giao tuyến là
3
r
.
Mặt phẳng
Q
song song với mặt phẳng
:2 2 7 0
P x y z
có phương trình là
2 2 0 7
x y z m m
.
Ta có
2 2
;
d I Q R r
2 4 3
25 9
3
m
5 12
m
17
7
m
m
.
Do
7
m
nên
17
m
. Vậy phương trình mặt phẳng
:2 2 17 0
Q x y z
.
Câu 13: Trong không gian
Oxyz
, mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau
1 2 4
2 1 3
x y z
và
1 2
1 1 3
x y z
có phương trình là
A.
2 0
x y z
B.
6 9 8 0
x y z
C.
6 9 8 0
x y z
D.
2 9 36 0
x y z
Hướng dẫn giải
Chọn B
Đường thẳng
1
1 2 4
:
2 1 3
x y z
d
đi qua điểm
1; 2;4
M
, có một VTCP là
1
2;1;3
u
.
Đường thẳng
2
1 2
:
1 1 3
x y z
d
có một VTCP là
2
1; 1;3
u
.
Mặt phẳng
P
chứa hai đường thẳng cắt nhau
1 2
,
d d
P
qua điểm
1; 2;4 ,
M
có một
VTPT là
1 2
, 6;9;1
n u u
. Phương trình mặt phẳng
P
là :
:6 1 9 2 4 0 6 9 8 0
P x y z x y z
.
Câu 14: Viết phương trình mặt phẳng
P
chứa đường thẳng
1 1
:
2 1 3
x y z
d
và vuông góc với mặt
phẳng
: 2 0
Q x y z
.
A.
2 1 0
x y
. B.
2 0
x y z
. C.
2 1 0
x y
. D.
2 0
x y z
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
P d
P Q
n u
n n
và
; 4; 8;0
Q d
n u
. Nên chọn
1; 2;0
P
n
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 43
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Vì mặt phẳng
P
đi qua điểm
1;0; 1
M
nên phương trình mặt phẳng
P
là
2 1 0
x y
Câu 15: Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, cho đường thẳng
2 3
:
2 1 3
x y z
d
và điểm
B( 1;0;2)
. Viết phương trình mặt phẳng
P
đi qua
B
và vuông góc đường thẳng
d
.
A.
2 3 8 0
x y z
. B.
2 3 4 0
x y z
.
C.
2 3 8 0
x y z
. D.
2 3 4 0
x y z
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
d
có VTCP là
2; 1; 3
u
.
P
đi qua
B( 1;0;2)
và vuông góc đường thẳng
d
nên có VTPT là
2; 1; 3
u
.
Vậy phương trình
P
là:
2 1 1 0 3 2 0 2 3 8 0
x y z x y z
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 44
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
BÀI 5: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
A – LÝ THUYẾT CHUNG
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
1.1. Ðịnh nghĩa
Cho đường thẳng . Nếu vectơ và có giá song song hoặc trùng với đường phẳng thì được
gọi là vectơ chỉ phương của đường phẳng . Kí hiệu:
1.2. Chú ý
là VTCP của thì cũng là VTCP của
Nếu đi qua hai điểm thì là một VTCP của
Trục có vectơ chỉ phương
Trục có vectơ chỉ phương
Trục có vectơ chỉ phương
1.3. Phương trình tham số của đường thẳng
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm và nhận làm
VTCP là :
1.4. Phương trình chính tắc của đường thẳng
Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm và nhận làm
VTCP là
2. Vị trí tương đối
2.1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
2.1.1. Phương pháp hình học
Định lý
Trong không gian
Oxyz
cho đường thẳng có VTCP và
qua và mặt phẳng có VTPT
d
a
0
d
a
d
a a a a
1 2 3
( ; ; )
a
d
k a
.
k
( 0)
d
d
A B
,
AB
d
Ox
a i
(1;0;0)
Oy
a j
(0;1;0)
Oz
a k
(0;0;1)
( )
M x y z
0 0 0 0
( ; ; )
a a a a
1 2 3
( ; ; )
x x ta
y y ta t
z z ta
0 1
0 2
0 3
( ):
( )
M x y z
0 0 0 0
( ; ; )
a a a a
1 2 3
( ; ; )
x x y y z z
a a a
a a a
0 0 0
1 2 3
1 2 3
( ): , , 0
x x a t
y y a t
z z a t
0 1
0 2
0 3
(1)
( ): (2)
(3)
a a a a
1 2 3
( ; ; )
M x y z
0 0 0 0
( ; ; )
Ax By Cz D
( ): 0
n A B C
( ; ; )
O
z
y
x
)(
0
M
),,( zyxM
a
a
n
M
)(
a
a
n
M
)(
a
a
n
M
)(
a
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 45
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Khi đó :
1 2 3
. 0 0
a n Aa Ba Ca
1 2 3
0 0 0 0
. 0
0
/ /
0
a n
Aa Ba Ca
M P
Ax By Cz
1 2 3
0 0 0 0
. 0
0
0
a n
Aa Ba Ca
M P
Ax By Cz
Đặc biệt
và cùng phương
2.1.2. Phương pháp đại số
Muốn tìm giao điểm
M
của và ta giải hệ phương trình: tìm Suy ra: .
Thế vào phương trình và rút gọn dưa về dạng:
d
cắt
mp P
tại một điểm
*
pt
có một nghiệm
t
.
d
song song với
*
P pt
vô nghiệm.
nằm trong có vô số nghiệm .
vuông góc và cùng phương
2.2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
2.2.1. Phương pháp hình học
Cho hai đường thẳng: đi qua
M
và có một vectơ chỉ phương
đi qua
N
và có một vectơ chỉ phương
cắt
và chéo nhau
2.2.2. Phương pháp đại số
Muốn tìm giao điểm
M
của ta giải hệ phương trình : tìm Suy ra:
( ) (
)
a
n
1
a a a A B C
2 3
: : : :
pt
pt
( )
( )
x y z
, , .
M x y z
, ,
1 , 2 , 3
mp P
at b
0 (*)
d
P Pt
*
t
d
P
a
n
1
1
.
u
2
2
.
u
1 2
1 2 1
, , 0.
u u u MN

1 2
//
 
1 2
1
, 0
.
, 0
u u
u MN
1
2
1 2
1 2
, 0
.
, . 0
u u
u u MN
1
2
1 2
, . 0.
u u MN
2
va (
1
( ) )
pt
pt
1
2
( )
( )
x y z
, , .
M x y z
, ,
a
a
n
0
M
'
0
M
a
1
2
b
0
M
u
'u
1
2
'
0
M
0
M
'
0
M
u
'u
1
2
u
'u
0
M
'
0
M
1
2
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 46
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
2.3. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu
Cho đường thẳng
:
d
và mặt cầu có tâm
, bán kính
2.3.1. Phương pháp đại số
Thế vào phương trình và rút gọn đưa về phương trình bậc hai theo
Nếu phương trình
*
vô nghiệm thì không cắt
S
Nếu phương trình có một nghiệm thì tiếp xúc
Nếu phương trình có hai nghiệm thì cắt tại hai điểm phân biệt
Chú ý:
Ðể tìm tọa độ ta thay giá trị vào phương trình đường thẳng
3. Lập phương trình đường thẳng
Để lập phương trình đường thẳng ta cần xác định 1 điểm thuộc và một VTCP của nó.
3.1. Dạng 1
đi qua điểm và có VTCP là .
3.2. Dạng 2
đi qua hai điểm Một VTCP của là .
3.3. Dạng 3
đi qua điểm và song song với đường thẳng cho trước: Vì nên VTCP của
cũng là VTCP của .
3.4. Dạng 4
đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng cho trước: Vì nên VTPT của
cũng là VTCP của .
3.5. Dạng 5
là giao tuyến của hai mặt phẳng
,
P Q
:
Cách 1:
Tìm một điểm và một VTCP.
Tìm toạ độ một điểm bằng cách giải hệ phương trình (với việc chọn giá trị cho
một ẩn)
Tìm một VTCP của
Cách 2:
Tìm hai điểm thuộc , rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó.
3.6. Dạng 6
đi qua điểm và vuông góc với hai đường thẳng
Vì nên một VTCP của là:
x x at
y y a t
z z a t
0 1
0 2
0 3
(1)
(2)
(3)
x a y bS
z c R
2 2 2 2
( ) ) ( ): (
I a b c
( ; ; )
R
.
1 , 2 , 3
S
t
*
d
*
d
S
*
d
S
M N
,
M N
,
t
d
d
d
d
M x y z
0 0 0 0
( ; ; )
a a a a
1 2 3
( ; ; )
o
o
o
x x at
d y y at t R
z z a t
1
2
3
( ): ( )
d
A B
, :
d
AB
d
M x y z
0 0 0 0
( ; ; )
d
//
d
d
M x y z
0 0 0 0
( ; ; )
P
d P
P
d
d
A d
:
P
Q
( )
( )
P Q
a n n
d ,:
A B
,
d
d
M x y z
0 0 0 0
( ; ; )
d d
1 2
, :
d d d d
1 2
,
d
d d
a a a
1 2
,
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 47
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
3.7. Dạng 7
đi qua điểm , vuông góc và cắt đường thẳng .
Cách 1:
Gọi là hình chiếu vuông góc của trên đường thẳng . Thì . Khi đó đường
thẳng là đường thẳng đi qua
Cách 2:
Gọi là mặt phẳng đi qua và vuông góc với là mặt phẳng đi qua và chứa Khi
đó
3.8. Dạng 8
đi qua điểm và cắt hai đường thẳng
Cách 1:
Gọi Từ điều kiện thẳng hàng ta tìm được Từ đó suy ra
phương trình đường thẳng .
Cách 2:
Gọi , . Khi đó Do đó, một VTCP của có thể chọn
là .
3.9. Dạng 9
nằm trong mặt phẳng và cắt cả hai đường thẳng
Tìm các giao điểm
Khi đó chính là đường thẳng
3.10. Dạng 10
Viết phương trình mặt phẳng chứa và mặt phẳng chứa và
Khi đó
3.11. Dạng 11
là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau:
Cách 1:
Gọi Từ điều kiện , ta tìm được
Khi đó,
là đường
thẳng
Cách 2:
Vì và nên một VTCP của có thể là: .
Lập phương trình mặt phẳng chứa và bằng cách:
Lấy một điểm trên
Một VTPT của có thể là: .
Tương tự lập phương trình mặt phẳng chứa và Khi đó
3.12. Dạng 12
d
M x y z
0 0 0 0
( ; ; )
H
M
0
H
M H u
0
d
M H
0
, .
P
A
d
Q
;
A
d
d P Q
d
M x y z
0 0 0 0
( ; ; )
d d
1 2
, :
M d M d
1 1 2 2
, .
M M M
1 2
, ,
M M
1 2
, .
d
M d
P
0 1
( , )
M d
Q
0 2
( , )
d P Q
.
d
P Q
a n n
,
d
P
d d
1 2
, :
A d P B d P
1 2
, .
d
AB
P
d
1
,
Q
d
2
d P Q
.
d
d d
1 2
,
M d M d
1 1 2 2
, .
MN d
MN d
1
2
M N
, .
d
MN
.
d d
1
d d
2
d
d d
a a a
1 2
,
P
d
d
1
,
A
d
1
.
P
P d
n a a
1
,
Q
d
d
2
.
d P Q
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 48
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
là hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng
P
thì ta Lập phương trình mặt phẳng chứa
và vuông góc với mặt phẳng bằng cách:
Lấy .
Vì chứa và vuông góc với nên .
Khi đó
3.13. Dạng 13
đi qua điểm
M
, vuông góc với và cắt
Cách 1:
Gọi là giao điểm của và Từ điều kiện ta tìm được Khi đó, là đường
thẳng
Cách 2:
Viết phương trình mặt phẳng qua và vuông góc với
Viết phương trình mặt phẳng chứa và
Khi đó
B – BÀI TẬP
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho
1; 2; 3
A
,
1; 0; 2
B
. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A.
0; 2; 1
u
là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
.
AB
B.
0; 2;1
u
là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
.
AB
C.
0; 2; 1
u
là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
.
AB
D.
2; 2; 5
u
là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
.
AB
Hướng dẫn giải
Chọn A
Có:
0; 2; 1
AB
Vậy:
0;2;1
u AB

. Vậy
0;2;1
u
cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
.
AB
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
1;2;2
A
,
3; 2;0
B
. Một vectơ chỉ phương
của đường thẳng
AB
là:
A.
2;4; 2
u
B.
1;2; 1
u
C.
2; 4;2
u
D.
1;2;1
u
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có:
2; 4; 2
AB
2 1;2;1
.
Câu 3: Trong không gian
Oxyz
, phương trình nào dưới đây không phải là phương trình đường thẳng đi
qua hai điểm
4;2;0
A
,
2;3;1
B
.
A.
2 3 1
2 1 1
x y z
. B.
4 2
2 1 1
x y z
.
C.
1 2
4
2
x t
y t
z t
. D.
4 2
2
x t
y t
z t
.
d
Q
P
M
Q
P
Q P
n a n
,
d P Q
.
d
d
1
d
2
:
N
d
d
2
MN d
1
N
.
d
MN
.
P
M
d
1
.
Q
M
d
2
d P Q
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 49
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Hướng dẫn giải
Chọn C
Vectơ chỉ phương của
AB
là
2;1;1
AB
.
Phương trình của đường thẳng
AB
có dạng :
2 3 1
2 1 1
x y z
.
Xét đáp án
C
ta có:
1;4;2
M
không nằm trên đường thẳng
AB
.
Câu 4: Trong không gian
Oxyz
, tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng
d
:
4 5 7
7 4 5
x y z
.
A.
4;5; 7
u
. B.
7; 4; 5
u
. C.
7;4; 5
u
. D.
5; 4; 7
u
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
d
:
4 5 7
7 4 5
x y z
có một vectơ chỉ phương là
7;4; 5
u
.
Câu 5: Trong không gian
Oxyz
, phương trình đường thẳng đi qua điểm
1; 2;3
A
và có vectơ chỉ
phương
2; 1;6
u
là
A.
2 1 6
1 2 3
x y z
. B.
2 1 6
1 2 3
x y z
.
C.
1 2 3
2 1 6
x y z
. D.
1 2 3
2 1 6
x y z
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có phương trình chính tắc đường thẳng đi qua
1; 2;3
A
và có vectơ chỉ phương
2; 1;6
u
là:
1 2 3
2 1 6
x y z
.
Câu 6: Cho đường thẳng
d
có phương trình tham số
1 2
2 .
3
x t
y t
z t
Viết phương trình chính tắc của đường
thẳng
d
.
A.
: .
x y z
d
1 2 3
2 1 1
B.
: .
x y z
d
1 2 3
2 1 1
C.
: .
x y z
d
1 2 3
2 1 1
D.
: .
x y z
d
1 2 3
2 1 1
Hướng dẫn giải
Chọn D
Từ phương trình tham số ta thấy đường thẳng
d
đi qua điểm tọa độ
; ;
1 2 3
và có VTCP
; ;
u
2 1 1
.
Suy ra phương trình chính tắc của
d
là:
.
x y z
1 2 3
2 1 1
Câu 7: Trong không gian
Oxyz
cho đường thẳng
2 1 3
:
3 1
2
x y z
d
. Điểm nào sau đây không thuộc
đường thẳng
d
?
A.
2; 1; 3
N
B.
5; 2; 1
P
C.
1;0; 5
Q
D.
2;1;3
M
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 50
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Hướng dẫn giải
Chọn D
Nhận xét
, ,
N P Q
thuộc đường thẳng
d
.
Tọa độ điểm
M
không thuộc đường thẳng
d
.
Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
có phương trình
2 2
1 3
4 3
x t
y t
z t
. Một
trong bốn điểm được liệt kê ở bốn phương án
, , ,
A B C D
dưới đây nằm trên đường thẳng
. Đó
là điểm nào?
A.
2; 7;10
Q
.
B.
0; 4; 7
M
. C.
0; 4;7
N
. D.
4;2;1
P
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Câu 9: . Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
1 2
: 3
5 3
x t
d y
z t
. Trong các vecto sau, vecto nào là một
vecto chỉ phương của đường thẳng
d
.
A.
1
2;3;3
a
. B.
3
2;0;3
a
. C.
1
2;3;3
a
. D.
1
1;3;5
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta dễ thấy
3
2;0;3
d
u a
.
Câu 10: Trong không gian
Oxyz
, đường thẳng chứa trục
Oy
có phương trình tham số là
A.
0
1
x
y
z t
B.
0
0
x
y t
z
C.
0
0
x t
y
z
D.
0
0
x
y
z t
Hướng dẫn giải
Chọn B
Trục
Oy
qua
0;0;0
O
và có vectơ chỉ phương
0;1;0
j
nên có phương trình
0
0
x
y t
z
.
Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
d
:
1 2
1 3 2
x y z
, vectơ nào dưới
đây là vtcp của đường thẳng
d
?
A.
1;3; 2
u
. B.
1;3;2
u
. C.
1; 3; 2
u
. D.
1; 3;2
u
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
d
có vtcp
1; 3;2
u
.
Câu 12: Trong không gian
Oxyz
, đường thẳng đi qua điểm
1;4; 7
A
và vuông góc với mặt phẳng
2 2 3 0
x y z
có phương trình là
A.
1 4 7
1 4 7
x y z
. B.
1 4 7
1 2 2
x y z
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 51
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
C.
1 4 7
1 2 2
x y z
. D.
1 4 7
1 2 2
x y z
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đường thẳng đi qua điểm
1;4; 7
A
và vuông góc với mặt phẳng
2 2 3 0
x y z
nên có
một vectơ chỉ phương
1;2; 2
u
có phương trình là:
1 4 7
.
1 2 2
x y z
Câu 13: Trong không gian
Oxyz
, đường thẳng đi qua điểm
1;2;3
A
và vuông góc với mặt phẳng
4 3 3 1 0
x y z
có phương trình là.
A.
1 4
2 3
3
x t
y t
z t
. B.
1 4
2 3
3 3
x t
y t
z t
. C.
1 4
2 3
3 3
x t
y t
z t
. D.
1 4
2 3
3 3
x t
y t
z t
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi
d
là đường thẳng cần tìm. Ta có vectơ chỉ phương của
d
là
4;3; 3
u
.
Phương trình đường thẳng
d
là:
1 4
2 3
3 3
x t
y t
z t
.
Câu 14: Trong không gian
Oxyz
, đường thẳng đi qua điểm
3; 1;2
A
và vuông góc với mặt phẳng
: 3 5 0
P x y z
có phương trình là:
A.
3 1 2
:
1 1 3
x y z
d
. B.
3 1 2
:
1 1 3
x y z
d
.
C.
1 1 3
:
3 1 2
x y z
d
. D.
1 1 3
:
3 1 2
x y z
d
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Đường thẳng
d
đi qua điểm
3; 1;2
A
nhận vectơ pháp tuyến
1;1; 3
P
n
là vectơ chỉ
phương nên
3 1 2
:
1 1 3
x y z
d
.
Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
d
có phương trình
1 2 3
3 2 4
x y z
.
Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng
d
?
A.
7;2;1
P
. B.
2; 4;7
Q
. C.
4;0; 1
N
. D.
1; 2;3
M
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Thế tọa độ
M
vào phương trình đường thẳng
d
ta được
1 1 1
(đúng), loại A
Thế tọa độ
N
vào phương trình đường thẳng
d
ta được
0 0 0
(đúng), loại B
Thế tọa độ
P
vào phương trình đường thẳng
d
ta được
1
2 2 !
2
, nhận C
Thế tọa độ
Q
vào phương trình đường thẳng
d
ta được
1 1 1
(đúng), loại D
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 52
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 16: Trong không gian
Oxyz
, một vectơ chỉ phương của đường thẳng
2
: 1
1
x t
y t
z
là
A.
2; 1;0
v
. B.
2;1;1
u
. C.
2; 1;1
m
. D.
2; 1;0
n
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Dựa vào hệ số trước
t
trong phương trình tham số của đường thẳng
ta có một vectơ chỉ
phương là
2;1;0
a
nên ta chọn đáp án B vì vectơ
2; 1;0
n
cùng phương với
a
.
Câu 17: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
: 2 3 2 0
P x y z
. Đường thẳng
d
vuông góc với
mặt phẳng
P
có một vectơ chỉ phương là
A.
4
1;2;3
u
B.
3
1; 3; 2
u
C.
1
1; 2; 2
u
D.
2
1; 2; 3
u
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
: 2 3 2 0
P x y z
, suy ra một VTPT của
P
là
2
1; 2; 3
u
.
Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
3 2 1
:
2 1 4
x y z
d
. Điểm nào sau
đây không thuộc đường thẳng
d
?
A.
1; 1; 5
P
. B.
5; 3;3
Q
. C.
1; 1; 3
M
. D.
3; 2; 1
N
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Thay tọa độ điểm
M
vào phương trình đường thẳng
d
ta được
2 1 2
2 1 4
(vô lí). Vậy điểm
M
không thuộc đường thẳng
d
.
Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
0; 2; 0
M
và đường thẳng
4 3
: 2
1
x t
d y t
z t
.
Đường thẳng đi qua
M
, cắt và vuông góc với
d
có phương trình là
A.
2
1 1 2
x y z
B.
1
1 1 2
x y z
C.
1 1
1 1 2
x y z
D.
1
1 1 2
x y z
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có :
4;2; 1
:
3;1;1
d
qua N
d
vtcpu
Gọi
H
là hình chiếu vuông góc của
M
lên
d
MH d
H d
. 0
d
MH u
H d

4 3
2
1
3 2 0
x t
y t
z t
x y z
1;1; 2
H
.
Đường thẳng
đi qua
M
và vuông góc với
d
có véctơ chỉ phương là
1; 1; 2
MH
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 53
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Phương trình
2
:
1 1 2
x y z
.
Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, đường thẳng
2 2
:
1 2 3
x y z
d
đi qua những điểm nào
sau đây?
A.
2;2;0
B
B.
3;0;3
C
C.
3;0;3
D
D.
2;2;0
A
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
3 2 0 2 3
1
1 2 3
nên đường thẳng
d
đi qua điểm
D
.
Câu 21: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
:2 3 2z 2 0
P x y
và
: 3 2z 1 0
Q x y
.
Phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ
O
và song song với hai mặt phẳng
P
,
Q
là
A.
9 12 2
x y z
. B.
12 2 9
x y z
. C.
9 12 2
x y z
. D.
12 2 9
x y z
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
P
có VTPT
2;3;2
n
,
Q
có VTPT
1; 3;2
n
.
Do đường thẳng đi qua gốc tọa độ
O
và song song với hai mặt phẳng
P
,
Q
nên đường
thẳng có VTCP
, 12; 2; 9
u n n
.
Vậy phương trình đường thẳng là
12 2 9
x y z
.
Câu 22: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
3;1; 5
A , hai mặt phẳng
P
:
4 0
x y z và
Q
:
2 4 0
x y z . Viết phương trình đường thẳng
đi qua
A
đồng thời
song song với hai
mặt phẳng
P
và
Q
.
A.
:
3 1 5
2 1 3
x y z
. B.
:
3 1 5
2 1 3
x y z
.
C.
:
3 1 5
2 1 3
x y z
. D.
:
3 1 5
2 1 3
x y z
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
P
là
1
1; 1;1
n .
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Q
là
1
2;1;1
n .
1 1 1
2 1 1
1
n
và
2
n
không cùng phương.
P
và
Q
cắt nhau.
Mặt khác:
A P
,
A Q
.
Ta có:
1 2
,
n n
2;1;3
.
Đường thẳng
đi qua
3;1; 5
A và nhận vectơ
2; 1; 3
n làm vectơ chỉ phương.
Phương trình chính tắc của đường thẳng
là:
3 1 5
2 1 3
x y z
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 54
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 23: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
1; 2; 1
A
, đường thẳng
d
có phương trình
3 3
1 3 2
x y z
và mặt phẳng
α
có phương trình
3 0
x y z
. Đường thẳng
đi qua
điểm
A
, cắt
d
và song song với mặt phẳng
α
có phương trình là
A.
1 2 1
1 2 1
x y z
B.
1 2 1
1 2 1
x y z
C.
1 2 1
1 2 1
x y z
D.
1 2 1
1 2 1
x y z
Hướng dẫn giải
Chọn D
Gọi
3 ; 3 3 ; 2
B t t t
là giao điểm của
d
và
. Đường thẳng
nhận
2 ;1 3 ; 2t 1
AB t t
làm vec tơ chỉ phương.
Vì
α
€
nên
. 0
α
AB n

. Suy ra
2 1 3 2 1 0
t t t
2 2 0
t
1
t
. Suy ra
2; 0; 2
B
.
Vec tơ chỉ phương của đường thẳng
:
1; 2; 1
AB
Phương trình đường thẳng
:
1 2 1
1 2 1
x y z
.
Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
: 2 2 5 0
P x y z
và đường thẳng
1 1
:
2 2 1
x y z
d
. Đường thẳng
nằm trên mặt phẳng
P
, đồng thời vuông góc và cắt
đường thẳng
d
có phương trình là
A.
1 1 1
2 3 2
x y z
B.
1 1 1
2 3 2
x y z
.
C.
1 1 1
2 3 2
x y z
. D.
1 1 1
2 3 2
x y z
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Vectơ pháp tuyến của
P
là
3;2; 1
n
.
Vectơ chỉ phương của
d
là
2; 2; 1
u
.
, 2; 3; 2
u n
là vectơ chỉ phương của
.
Mặt khác, do
cắt
d
nên
đi qua giao điểm
M
của
d
và mặt phẳng
P
.
Tọa độ giao điểm
M
của
d
và
P
là nghiệm hệ phương trình sau:
1 2 1
1 2 1
1
2 2 5 0 1
x t t
y t x
z t y
x y z z
1; 1; 1
M
.
Vậy phương trình đường thẳng
là
1 1 1
2 3 2
x y z
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 55
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ
,
Oxyz
cho hai đường thẳng
1
1 2 1
:
3 1 2
x y z
và
2
1 1
:
1 2 3
x y z
. Phương trình đường thẳng song song với
3
: 1
4
x
d y t
z t
và cắt hai đường
thẳng
1 2
;
là
A.
2
3
3
x
y t
z t
. B.
2
3
3
x
y t
z t
. C.
2
3
3
x
y t
z t
. D.
2
3
3
x
y t
z t
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi
là đường thẳng cần tìm. Gọi
1 2
,A B
1
2
1 3 ;2 ;1 2
1 ;2 ; 1 3
3 2; 2 2; 2 3 2
A A a a a
B B b b b
AB a b a b a b
d
có vectơ chỉ phương
0;1;1
d
a
/ / ,
d
d AB a
cùng phương
có một số
k
thỏa
d
AB ka

3 2 0 3 2 1
2 2 2 2 1
2 3 2 2 3 2 1
a b a b a
a b k a b k b
a b k a b k k
Ta có
2;3;3 ; 2;2;2
A B
đi qua điểm
2;3;3
A
và có vectơ chỉ phương
0; 1; 1
AB
Vậy phương trình của
là
2
3
3
x
y t
z t
.
Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho điểm
1;0;2
A và đường thẳng
d
có phương trình:
1 1
1 1 2
x y z
. Viết phương trình đường thẳng
đi qua
A
, vuông góc và cắt
d
.
A.
1 2
:
1 1 1
x y z
. B.
1 2
:
2 1 1
x y z
.
C.
1 2
:
1 3 1
x y z
. D.
1 2
:
1 1 1
x y z
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Do
cắt
d
nên tồn tại giao điểm giữa chúng. Gọi
B
B d
B d
Phương trình tham số của
1
: ,
1
x t
d y t t
z t
. Do
B d
, suy ra
1; ; 1
B t t t
; ; 2 3
AB t t t
. Do
,A B
nên
AB
là vectơ chỉ phương của
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 56
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Theo đề bài,
vuông góc
d
nên
AB u
,
1;1;2
u
( là vector chỉ phương của
d
). Suy ra
. 0
AB u
. Giải được
1
t
1;1; 1
AB

. Vậy
1 2
:
1 1 1
x y z
(1;1;2)
u
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 57
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
BÀI 6: TOÁN TỔNG HỢP VỀ PP TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
:2 2 3 0
x y z
và điểm
1; 2;13
M
. Tính khoảng cách từ điểm
M
đến mặt phẳng
.
A.
5
,
3
d M
. B.
, 4
d M
. C.
4
,
3
d M
. D.
2
,
3
d M
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
2.1 2. 2 13 3
4
,
3
4 4 1
d M
.
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
: 2 2 5 0
P x y z
và điểm
1;3; 2 .
A
Khoảng cách
d
từ điểm
A
đến mặt phẳng
P
bằng
A.
1
d
. B.
2
3
d
. C.
3 14
14
d . D.
14
7
d .
Hướng dẫn giải
Chọn B
Khoảng cách từ điểm
A
đến mặt phẳng
P
là:
2 2
2
1 2.3 2. 2 5
2
d
3
1 2 2
.
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai mặt phẳng
: 2 2 3 0
P x y z
và
: 2 2 1 0
Q x y z
. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đã cho là
A.
4
3
. B.
2
3
. C.
4
. D.
4
9
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Lấy
1;1;3
A P
.Do
P
song song với
Q
nên Ta có
2
2 2
1 2.1 2.3 1
4
, ,
3
1 2 2
d P Q d A Q
Câu 4: Trong không gian
Ox
yz
, cho hai mặt phẳng
:2 3 4 0
P x y z
;
:5 3 2 7 0
Q x y z
Vị trí tương đối của
&
P Q
là
A. Vuông góc. B. Trùng nhau.
C. Song song. D. Cắt nhưng không vuông góc.
Hướng dẫn giải
Chọn D
2; 3;1 ; 5; 3; 2 . 0
P Q P Q
n n n k n k
.
. 0
P Q
n n
. Vậy vị trí tương đối của
&
P Q
là cắt nhưng không vuông góc.
Câu 5: Khoảng cách từ điểm
2; 4;3
M
đến mặt phẳng
P
có phương trình
2 2 3 0
x y z
là:
A.
3
. B.
1
. C.
2
. D. Đáp án khác.
Câu 6: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
1;2;3
M
. Hình chiếu vuông góc của
M
trên
Oxz
là điểm
nào sau đây.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 58
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
0;2;3
K
. B.
1;2;0
H
. C.
0;2;0
F
. D.
1;0;3
E
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Hình chiếu vuông góc của
1;2;3
M
trên
Oxz
là điểm
1;0;3
E
.
Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
2; 1;1
M
, tìm tọa độ
M
là hình chiếu vuông
góc của
M
trên mặt phẳng
Oxy
.
A.
2;1; 1
M
. B.
0;0;1
M
. C.
2; 1;0
M
. D.
2;1;0
M
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Câu 8: Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
:2 2 4 0
P x y z
và điểm
( 1;2; 2)
A
. Tính khoảng cách
d
từ
A
đến mặt phẳng
P
.
A.
4
3
d
. B.
8
9
d
. C.
2
3
d
. D.
5
9
d
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
2 2 4 4
4
,
3
4 1 4
d A P
.
Câu 9: Trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
:3 4 2 4 0
P x y z
và điểm
1;–2;3 .
A
Tính khoảng cách
d
từ điểm
A
đến mặt phẳng
.
P
A.
5
.
3
d B.
5
.
9
d
C.
5
.
29
d
D.
5
.
29
d
Hướng dẫn giải
Chọn D
2 2 2
3.1 4. 2 2.3 4
5
;
29
3 4 2
d A P
.
Câu 10: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
2; 3;5
A
. Tìm tọa độ
A
là điểm đối xứng với
A
qua trục
Oy
.
A.
2; 3;5
A
B.
2; 3; 5
A
C.
2;3;5
A
D.
2; 3; 5
A
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi
H
là hình chiếu vuông góc của
2; 3;5
A
lên
Oy
. Suy ra
0; 3;0
H
Khi đó
H
là trung điểm đoạn
AA
.
2 2
2 3
2 5
A H A
A H A
A H A
x x x
y y y
z z z
2; 3; 5
A
.
Câu 11: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
5;7; 13
M
. Gọi
H
là hình chiếu vuông góc của
M
trên
mặt phẳng
Oyz
. Tọa độ điểm
H
là?
A.
5;0; 13
H
B.
0;7; 13
H
C.
5;7;0
H
D.
0; 7;13
H
Hướng dẫn giải
Chọn B
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 59
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Do
H
là hình chiếu vuông góc của
M
trên mặt phẳng tọa độ
Oyz
nên
0;7; 13
H
.
Câu 12: Trong không gian
Oxyz
cho điểm
1;2;1
A
, hình chiếu vuông góc của điểm
A
lên mặt phẳng
tọa độ
Oxy
là
A.
0;2;1
P
B.
1;0;1
N
C.
0;2;0
Q
D.
1;2;0
M
Hướng dẫn giải
Chọn D
Gọi
d
là đường thẳng đi qua điểm
A
và vuông góc với mặt phẳng
Oxy
.
Phương trình tham số của đường thẳng
d
có dạng:
1
2
1
x
y
z t
.
Gọi
A
là hình chiếu vuông góc của
A
lên mặt phẳng
Oxy
. Ta có
A d Oxy
.
Vậy tọa độ của
A
là nghiệm của phương trình
1
2
1
0
x
y
z t
z
1
2
0
1
x
y
z
t
.
Vậy hình chiếu vuông góc của
1;2;1
A
lên mặt phẳng tọa độ
Oxy
là
1;2;0
M
.
Câu 13: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
:2 3 6 19 0
P x y z
và điểm
2;4;3
A
. Gọi
d
là
khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
P
. Khi đó
d
bằng
A.
3
. B.
2
. C.
1
. D.
4
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
2 2 2
4 12 18 19
21
3
7
2 3 6
d
.
Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
0, 1,2
A
và mặt phẳng
có phương trình
4 2 3 0
x y z
. Tính khoảng cách
d
từ
A
đến mặt phẳng
.
A.
8
21
d . B.
8
21
d
.
C.
7
21
d
.
D.
8
21
d .
Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, tính khoảng cách từ điểm
1; 2; 3
M
đến mặt phẳng
: 2 2 2 0
P x y z
.
A.
3
. B.
11
3
. C.
1
3
. D.
1
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
1 4 6 2
, 3
1 4 4
d M P
.
Câu 16: Trong không gian
Ox
yz
, góc giữa hai mặt phẳng
:8 4 8 11 0
P x y z
;
: 2 2 7 0
Q x y
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 60
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
6
. B.
3
. C.
4
. D.
2
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
8; 4; 8 ; 2; 2;0
P Q
n n
.
Gọi
là góc giữa hai mặt phẳng
&
P Q
ta có
.
12 2 2
cos
24 2
.
P Q
P Q
n n
n n
.
Vậy
4
.
Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, mặt phẳng
:2 3 4 12 0
P x y z
cắt trục
Oy
tại điểm
có tọa độ là
A.
0; 4;0
B.
0; 6; 0
C.
0;3;0
D.
0; 4; 0
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi
M Oy P
0; ; 0
M b
.
M P
3 12 0
b
4
b
. Vậy
0; 4; 0
M
.
Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, hình chiếu vuông góc
'
M
của điềm
)2;1;1(
M
trên
Oy
có
tọa độ là
A.
)2;0;0(
. B.
)0;1;0(
. C.
)0;1;0(
. D.
)0;0;1(
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, hình chiếu của điểm
1; 3; 5
M
trên mặt phẳng
Oyz
có tọa độ là
A.
0; 3;0
. B.
0; 3; 5
. C.
0; 3;5
. D.
1; 3;0
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ
,
Oxyz
cho hai đường thẳng
1
3 1 2
:
2 1 3
x y z
d
và
2
1 5 1
:
4 2 6
x y z
d
. Xét vị trí tương đối giữa
1
d
và
2
d
.
A.
1
d
chéo
2
d
. B.
1
d
cắt
2
d
.
C.
1
d
song song với
2
d
. D.
1
d
trùng
2
d
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
1
d
qua
1
3;1; 2
M
và có VTCP
1
2;1;3
u
2
d
qua
2
1; 5;1
M
và có VTCP
2
4;2;6
u
Dễ thấy
1
u
cùng phương với
2
u
và
1 2
M d
nên suy ra
1
d
song song với
2
d
.
Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho bốn điểm
1;2;1
A
,
4;2; 2
B
,
1; 1; 2
C
,
5; 5;2
D
. Tính khoảng cách từ điểm
D
đến mặt phẳng
ABC
A.
3 3
d . B.
4 3
d . C.
3
d . D.
2 3
d .
Hướng dẫn giải
Chọn B
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 61
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có
3;0; 3
AB
,
0; 3; 3
AC
; 9; 9;9
n AB AC
Phương trình mặt phẳng
ABC
là:
0
x y z
2
2 2
5 5 2
; 4 3
1 1 1
d D ABC
.
Câu 22: Trong không gian với hệ trục
Oxyz
, cho hai đường thẳng
1
1 1
:
1 1 2
x y z
d
và
2
1 3
:
1 1 1
x y z
d
. Góc giữa hai đường thẳng đó bằng
A.
45
. B.
60
. C.
30
. D.
90
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đường thẳng
1
d
có véctơ chỉ phương
1
1; 1;2
u
.
Đường thẳng
2
d
có véctơ chỉ phương
2
1;1;1
u
.
Gọi
là góc giữa hai đường thẳng trên,ta có:
Khi đó
1 2
2 2
2 2 2 2
1. 1 1 .1 2.1
cos cos ; 0
1 1 2 . 1 1 1
u u
1 2
; 90
d d
.
Câu 23: Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, cho mặt cầu
2 2 2
: 2 4 2 3 0
S x y z x y z
. Hỏi
trong các mặt phẳng sau, đâu là mặt phẳng không có điểm chung với mặt cầu
S
?
A.
3
: 2 2 3 0
x y z
. B.
4
:2 2 10 0
x y z
.
C.
1
: 2 2 1 0
x y z
. D.
2
:2 2 4 0
x y z
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
S
có tâm
1; 2;1
I
và bán kính
3
R
.
Lần lượt tính khoảng cách từ
I
đến
i
1,2,3,4
i
và so sánh với
R
.
Ta có
i
và
S
không có điểm chung khi và chỉ khi
,
i
d I R
.
Ta có
2
10
,
3
d I R
.
Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
:2 2 8 0
P x y z
và mặt cầu
2 2 2
: 6 4 2 2 0
S x y z x y z
. Gọi
, ,
I a b c
là tâm đường tròn giao tuyến của mặt cầu
S
với mặt phẳng
P
. Giá trị của tổng
S a b c
bằng
A.
1
. B.
2
. C.
1
. D.
2
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Mặt phẳng
P
có một véc tơ pháp tuyến là
2;2; 1
n
.
Mặt cầu
2 2 2
: 6 4 2 2 0
S x y z x y z
2 2 2
3 2 1 16
x y z
có tâm
3; 2;1
I
và bán kính
4
R
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 62
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có
2
2 2
2.3 2 2 1 8
, 3
2 2 1
d I P R
nên mặt phẳng
P
cắt mặt cầu
S
.
Gọi
là đường thẳng đi qua
3; 2;1
I
và vuông góc với mặt phẳng
P
khi đó
có một véc
tơ chỉ phương là
2;2; 1
u
, phương trình đường thẳng
3 2
: 2 2
1
x t
y t
z t
.
Gọi
I
là tâm đường tròn giao tuyến khi đó
I d P
. Thay phương trình đường thẳng
vào
phương trình mặt phẳng
P
ta được:
2 3 2 2 2 2 1 8 0
t t t
1
t
.
Với
1
t
thì
1; 4;2
I
1 4 2 1
S a b c
.
Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
: 2 3 6 0
x y z
và đường thẳng
1 1 3
:
1 1 1
x y z
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
cắt và không vuông góc với
. B.
.
C.
//
. D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Đường thẳng
qua
1; 1;3
A
và có vectơ chỉ phương
1; 1;1
u
.
Mặt phẳng
có một vectơ pháp tuyến là
1;2;3
n
.
Nhận thấy:
. 0
u n
và
A
nên
.
Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
1;0;1
A
,
1;2; 3
B
. Đường thẳng
AB
cắt
mặt phẳng tọa độ
Oyz
tại điểm
; ;
M M M
M x y z
. Giá trị của biểu thức
M M M
T x y z
là
A.
0
. B.
4
. C.
2
. D.
4
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đường thẳng
AB
có vectơ chỉ phương là
2;2; 4
AB
.
Phương trình
1 2
: 2
1 4
x t
AB y t
z t
.
Tọa độ giao điểm
; ;
M M M
M x y z
của đường thẳng
AB
và mặt phẳng tọa độ
Oyz
thỏa hệ
1 2
0
2
1
1 4
1
0
x t
x
y t
y
z t
z
x
.
Vậy
0;1; 1
M
, do đó giá trị của biểu thức
0
M M M
T x y z
.
Câu 27: Cho mặt phẳng
( ) : 2 3 1 0
P x y z
và đường thẳng
3
: 2 2
1
x t
d y t
z
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 63
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A.
d
cắt
P
. B.
//
d P
. C.
d P
. D.
d P
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Mp
P
có VTPT
2; 1; 3
n
, đường thẳng
d
đi qua điểm
3; 2;1
M
và có VTCP
1; 2;0
a
.
Ta xét:
. 0
n a
và điểm
M P
nên
(P)
d
.
Câu 28: Trong không gian
Oxyz
, cho
1;3; 2
A
,
3;5; 12
B
. Đường thẳng
AB
cắt mặt phẳng
Oyz
tại
N
. Tính tỉ số
BN
AN
.
A.
2
BN
AN
. B.
5
BN
AN
. C.
3
BN
AN
. D.
4
BN
AN
.
Hướng dẫn giải
Chọn
D
Đường thẳng
qua 1;3; 2
:
VTCP 2;2; 10 2 1;1; 5
A
AB
AB
1
: 3
2 5
x t
AB y t
z t
N AB Oyz
.
1 ;3 ; 2 5
N AB N t t t
,
1 0 1
N Oyz t t
0;2;3
N
3 3, 9 3 3
BN
AN BN
AN
.
Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai mặt phẳng
: 2 2 3 0
P x y z
và
: 2 2 1 0
Q x y z
. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng
P
và
Q
là:
A.
4
9
. B.
2
3
. C.
4
3
. D.
4
3
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có:
//
P Q
nên chọn điểm
3
0;0;
2
A P
.
Khi đó:
2
2 2
3
0 2.0 2. 1
4
2
; ;
3
1 2 2
d P Q d A Q
.
Câu 30: Trong không gian
Oxyz
cho mặt phẳng
: 2 5 0
P x y z
và đường thẳng
1 2
:
2 1 3
x y z
. Gọi
A
là giao điểm của
và
P
; và
M
là điểm thuộc đường thẳng
sao cho
84
AM . Tính khoảng cách từ
M
đến mặt phẳng
P
.
A.
3
B.
5
C.
6
D.
14
Hướng dẫn giải
Chọn A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 64
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có:
.
sin ,
.
P
P
u n
P
u n
3 21
14
6. 14
.
Gọi
H
là hình chiếu của điểm
M
lên mặt phẳng. Khi đó ta có tam giác
AMH
là tam giác
vuông tại
H
nên
sin , sin
MH
P MAH
MA
3
MH
.
Câu 31: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai đường thẳng
1 1 1
:
2 3 2
x y z
d
và
1 2 3
:
2 1 1
x y z
d
. Tính khoảng cách
h
giữa hai đường thẳng
d
và
d
.
A.
10 21
.
21
h B.
4 21
.
21
h C.
22 21
.
21
h D.
8 21
.
21
h
Hướng dẫn giải
Chọn D
d
có vectơ chỉ phương
2;3;2
u
, đi qua
1; 1;1
M
.
d
có vectơ chỉ phương
2;1;1
u
, đi qua
1; 2;3
M
.
Ta có:
, 1;2; 4
u u
,
2; 1;2
MM
, . 1.2 2. 1 4 .2 8 0
u u MM

,
d d
chéo nhau.
Khi đó: khoảng cách
h
giữa hai đường thẳng
d
và
d
là:
, .
8 8 21
.
21
21
,
u u MM
h
u u
Câu 32: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
3; 1;1
A
,
4;2; 3
B
. Gọi
A
là hình chiếu
vuông góc của
A
trên mặt phẳng
Oxy
và
B
là hình chiếu vuông góc của
B
trên mặt phẳng
Oyz
. Độ dài đoạn thẳng
A B
bằng
A.
2
. B.
3
. C.
2 3
. D.
3 3
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Do
A
là hình chiếu vuông góc của
3; 1;1
A
trên mặt phẳng
Oxy
nên
3; 1;0
A
.
Do
B
là hình chiếu vuông góc của
4;2; 3
B
trên mặt phẳng
Oyz
nên
0;2; 3
B
Ta có
3;3; 3
A B
2 2
2
3 3 3 3 3
A B
.
Câu 33: Trong không gian
Oxyz
, cho hai mặt phẳng
: 2 1 0
x y z
và
: 2 4 2 0
x y mz
.
Tìm
m
để
và
song song với nhau.
A.
1
m
. B.
2
m
.
C.
2
m
. D. Không tồn tại
m
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Mặt phẳng
có một VTPT là
1
1;2; 1
n
.
Mặt phẳng
có một VTPT là
2
2;4;
n m
.
Ta có
//
2 4 2
1 2 1 1
m
m
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 65
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 34: Trong không gian
Oxyz
, cho hai mặt phẳng
: 2 4 3 5 0
P x y z
và
: 6 2 0
Q mx ny z
. Giá trị của
m
,
n
sao cho
P
song song với
Q
là:
A.
4
m
;
8
n
B.
4
m n
C.
4
m
;
8
n
D.
4
m n
Hướng dẫn giải
Chọn C
P
song song với
Q
khi và chỉ khi:
6 2
2 4 3 5
m n
.
Do đó:
2
2
2
4
m
n
4
8
m
n
.
Câu 35: Trong không gian với hệ trục
Oxyz
, khoảng cách
h
từ điểm
4;3;2
A
đến trục
Ox
là
A.
13
h . B.
3
h
. C.
2 5
h . D.
4
h
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Điểm
4;0;0
H
là hình chiếu của
A
lên trục
Ox
nên
13
h AH .
Câu 36: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
1 3
; ;0
2 2
M
và mặt cầu
2 2 2
: 8
S x y z
. Đường
thẳng
d
thay đổi, đi qua điểm
M
, cắt mặt cầu
S
tại hai điểm
,
A B
phân biệt. Tính diện tích
lớn nhất
S
của tam giác
OAB
.
A.
2 7.
S
B.
2 2.
S
C.
7.
S
D.
4.
S
Hướng dẫn giải
Chọn C
Cách 1: Mặt cầu
S
có tâm
0;0;0
O
và bán kính
2 2
R
.
Có
2
2
1 3
1
2 2
OM
nên M nằm trong mặt cầu
Khi đó diện tích AOB lớn nhất khi OM ⊥ AB. Khi đó
2 2
2 2 7
AB R OM và
1
. 7
2
AOB
S OM AB
Cách 2: gọi H là hình chiếu của O xuống đường thẳng d, đặt
0 1
OH x x
Khi đó
2 2 2
2 2 8
AB R OH x
và
2
1
. 8
2
AOB
S OH AB x x
.
Khảo sát hàm số
2
8
f x x x
trên
0;1
thu được giá trị lớn nhất của hàm số là
7
Đạt
được tại
1
x
Câu 37: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho mặt cầu
2 2 2
: 2 2 2 0
S x y z x y z
và đường
thẳng
2
:
x mt
d y m t
z mt
với
m
là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để đường thẳng
d
tiếp xúc với mặt cầu
S
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 66
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
2
m
. B.
2
0
m
m
. C.
0
m
. D.
1
m
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
2 2 2
: 2 2 2 0
S x y z x y z
2 2 2
1 1 1 3
x y z
.
Dựa vào phương trình tham số của đường thẳng
d
ta thấy vectơ chỉ phương của
d
là
2
; ;
u m m m
và đi qua điểm
0;0;0
O
.
Đường thẳng
d
tiếp xúc với mặt cầu
S
;I d
d R
với
1;1;1
I
và
3
R là tâm và bán
kính mặt cầu
S
. Ta có
2 2
, ;0;
OI u m m m m
.
,OI u
R
u
2 2
2 2
2 4 2
3
m m m m
m m m
2
2
4 2
2
3
2
m m
m m
4 3 2 4 2
2 4 2 3 6
m m m m m
4 3 2
4 4 0
m m m
0
2
m
m
.
Loại đáp án
0
m
vì khi
0
m
thì
0;0;0
u
không thể là vectơ chỉ phương của
d
.
Vậy
2
m
.
Câu 38: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
,
0; 1;2
A
và
1;0; 2
B
lần lượt là hình chiếu vuông góc
của điểm
( ; ; )
I a b c
trên
1 2
:
4 1 1
x y z
và
: 2 2 6 0
P x y z
. Tính
S a b c
.
A. 0. B.
4 3
. C.
3 2
. D.
5 3
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
1 2
:
4 1 1
x y z
4;1; 1
a
: 2 2 6 0
P x y z
2; 1; 2
n
Gọi d là đường thẳng đi qua
1;0; 2
B
và vuông góc với mp(P), phương trình tham số của d là:
1 2
2 2
x t
y t
z t
Vì B là hình chiếu của I trên (P) nên
I d
1 2 ; ; 2 2
I t t t
1 2 ;1 ; 4 2
AI t t t
Vì A là hình chiếu của I trên
nên
AI a
. 0
AI a
4 1 2 1 4 2 0
t t t
1
t
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 67
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Do đó
1 2 ; ; 2 2 1;1;0
I t t t
1; 1; 0
a b c
Vậy
0
a b c
.
Câu 39: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
2 1
:
2 2 1
x y z
và điểm
2;1; 1
I
. Mặt cầu tâm
I
tiếp xúc với đường thẳng
cắt trục
Ox
tại hai điểm
A
,
B
. Tính độ
dài đoạn
AB
.
A.
6
AB . B.
24
AB
. C.
4
AB
. D.
2 6
AB .
Hướng dẫn giải
Chọn D
2 1
:
2 2 1
x y z
qua
2;1;0
A
và có một véctơ chỉ phương là
2;2; 1
n
.
Mặt cầu tâm
I
tiếp xúc với đường thẳng
nên bán kính của mặt cầu là
,
, 2 2
AI n
R d I
n
.
Phương trình mặt cầu
2 2 2
: 2 1 1 8
S x y z
.
Mặt cầu
S
cắt trục
Ox
tại
2 6;0;0
A
và
2 6;0;0
B
.
Suy ra độ dài đoạn
2 6
AB .
Câu 40: Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
: 2 2 9 0
P x y z
, mặt cầu
S
tâm
O
tiếp xúc với mặt phẳng
P
tại
; ;
H a b c
. Tổng
a b c
bằng
A.
1
. B.
1
. C.
2
. D.
2
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Tiếp điểm
; ;
H a b c
là hình chiếu vuông góc của
O
lên
mp P
.
Đường thẳng
qua
O
và
P
có phương trình
: 2
2
x t
y t
z t
H P
, giải hệ phương trình
2
2
2 2 9 0
x t
y t
z t
x y z
được
1
1; 2; 2
t
x y z
Vậy
1;2; 2
H
nên
1 2 2 1
a b c
.
| 1/106
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
BÀI 1: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ A – LÝ THUYẾT CHUNG
1.1. Khái niệm mở đầu
Trong không gian cho ba trục Ox, Oy, Oz phân biệt và vuông góc từng đôi một. Gốc tọa độ O, truc hoành
Ox, trục tung Oy, trục cao Oz, các mặt tọa độ Oxy,Oyz ,Ozx.
1.2. Khái niệm về hệ trục tọa độ
Khi không gian có hệ tọa độ thì gọi là không gian tọa độ Oxyz hay không gian Oxyz. 2  2 2
i j k  1 2  2 Chú ý: a a   
i j ik jk  0      
1.3. Tọa độ véc tơ u x
( ;y;z)  u x
( ;y;z)  u xi y j zk    
1.4. Tọa độ điểm M x
( ;y;z)  OM xi y j zk
1.5. Các công thức tọa độ cần nhớ   Cho u a ( ;b;c), v a ( ;b ;c )  a   a '    
u v b   b'  c   c'   
u v  a a ;b b ;c c   ku k
( a;kb;kc)       u v
.  u . v .cos u ( v
, )  aa  bb  cc   u v .
aa  bb  cc  cos u ( v , )       u . v u . v  2  u u a2 b2 c2        
u v u v .  0 
AB  x x ;y y ;z z B A B A B A   2 2 2
AB AB  x xy yz z B A   B A   B A 1.6. Chú ý  
Góc của 2 véc tơ u, v là góc hình học (nhỏ) giữa 2 tia mang véc tơ có, giá trị trong 0; là:         u v 2 sin , 
1  cos u,v  0
1.7. Chia tỉ lệ đoạn thẳng  
M chia AB theo tỉ số k nghĩa là MA kMB
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz x kx A B x   M 1  k   y ky
Công thức tọa độ của M là : A B y   M 1  kz kzA B z M  1  k
1.8. Công thức trung điểm x x A B x   M    2   y y
Nếu M là trung điểm AB thì MA MB  0 A By   M 2  z zA B z M  2 
1.9. Công thức trọng tâm tam giác
x x x A B C x   G
    3  
y y y
Nếu G là trọng tâm của ABC thì GA GB GC  0 A B Cy   G 3 
z z zA B C z G  3 
1.10. Công thức trọng tâm tứ diện
Nếu G là trọng tâm của tứ diện ABCD thì 
x x x x A B C D x   G
     4  
y y y y
GA GB GC GD  0 A B C Dy   G 4 
z z z zA B C D z G  4 
1.11. Tích có hướng 2 véc tơ  
Cho 2 véc tơ u a
( ;b;c) và v a ( ;b ;c )
 ta định nghĩa tích có hướng của 2 véc tơ đó là một véc tơ, kí     hiệu u
 ,v hay u v có toạ độ:      b c c a a b u  ,v   ; ;
  bc  b c;ca  ac ;ab  ba  
bccaab   
1.12. Tính chất tích có hướng 2 véc tơ    
 u, v  vuông góc với u và v      
 u, v   u . v sin u, v      
 u, v   0  u, v cùng phương
1.13. Ứng dụng tích có hướng 2 véc tơ  
 Diện tích hình bình hành ABCD : S AB,AD    
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz 1  
 Diện tích ABC : S . AB,AC   2        
 Ba véc tơ u,v,w đồng phẳng: u, v w .  0  
  
 Thể tích khối hộp có đáy hình bình hành ABCD và cạnh bên A ’
A : V A
B,ADA . A   1
  
 Thể tích khối tứ diện S.ABC : V . AB,AC   S . A 6  
2. Phương pháp giải 1 số bài toán thường gặp
2.1. Các phép toán về toạ độ của vectơ và của điểm Phương pháp giải
 Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian.
 Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.
2.2. Xác định điểm trong không gian. Chứng minh tính chất hình học. Diện tích – Thể tích Phương pháp giải
 Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian.
 Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.
 Công thức xác định toạ độ của các điểm đặc biệt.
 Tính chất hình học của các điểm đặc biệt:         ,
A B, C thẳng hàng  AB, AC cùng phương  AB k AC  AB, AC   0    
ABCD là hình bình hành  AB DC
 Cho ABC có các chân E, F của các đường phân giác trong và ngoài của góc A của 
AB   AB 
ABC trên BC . Ta có: EB   EC . , FB F . C AC AC
  
    ,
A B, C, D không đồng phẳng  AB, AC , AD không đồng phẳng AB,AC   A . D  0   B – BÀI TẬP     
Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho u  3i  2 j  2k . Tìm tọa độ của u .    
A. u  2;3; 2   .
B. u  3;2; 2   . C. u  3; 2  ;2 . D. u   2  ;3;2 .      
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho a 1;2;  
1 , b 3; 4;3 . Tìm tọa độ của x biết x b a .    
A. x 2;2; 4. B. x  2  ; 2  ; 4. C. x  2  ; 2  ; 4  .
D. x 1;1;2.   
Câu 3: Trong không gian Oxyz , cho các vectơ a  1;1; 2 , b  3;0;   1 và c   2  ;5;  1 . Toạ độ của    
vectơ u a b c là:    
A. u  6;  6;0
B. u  6;0; 6
C. u  0;6; 6 D. u   6  ;6;0  
Câu 4: Trong không gian Oxyz cho hai véctơ u  1;  2  ;1 và v   2  ;1 
;1 , góc giữa hai vectơ đã cho bằng 2 5 A. . B. . C. . D. . 6 3 3 6   
Câu 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba vectơ a   1
 ;1;0 , b  1;1;0 , c  1;1;  1 . Mệnh đề
nào dưới đây sai?
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz       A. b  . a
B. c  3. C. b  . c
D. a  2.  
Câu 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai véc tơ u 2;3;  1 và v 5; 4
 ;m. Tìm m để   u  . v
A. m  0 .
B. m  2 .
C. m  4 . D. m  2  .  
Câu 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho 2 vectơ a   1
 ;1;0 ; b  1;1;0 . Trong các kết luận :  
I . a  b ;  
II . b a ;  
III  . a b ;  
IV . a b , có bao nhiêu kết luận sai ? A. 2 . B. 4 . C. 1. D. 3 .         
Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ O;i ; j; k  , cho hai vectơ a  2; 1
 ; 4 và b i  3k . Tính . a b .         A. . a b  5 . B. . a b  1  0 .
C. a.b  11 .
D. a.b  13 .  
Câu 9: Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ a  2; 4;  2 và b  1;  2; 
3 . Tích vô hướng của hai  
vectơ a và b bằng A. 1  2 . B. 30 . C. 6 . D. 2  2 .  
Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vectơ u  1;1; 2 , v  1;0;m . Tìm m để góc giữa  
hai vectơ u, v bằng 45 .
A. m  2 .
B. m  2  6 .
C. m  2  6 .
D. m  2  6 .
Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A3; 2;  1 , B  1
 ; 0; 5 . Tìm tọa độ trung
điểm của đoạn AB .
A. I (2; 2; 6) .
B. I (1; 1; 1) .
C. I (2; 1; 3) .
D. I (1; 1; 3) .
Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A1;2;3 và B 5; 2;0 . Khi đó:    
A. AB  61 .
B. AB  3 .
C. AB  5 .
D. AB  2 3 .
Câu 13: Cho ba điểm A2; 1
;5 , B5; 5
;7 và M x; y;
1 . Với giá trị nào của x, y thì ba điểm
A,B,M thẳng hàng ?
A. x  4 và y  7 . B. x  4
 và y  7 . C. x  4
 và y  7 .
D. x  4 và x  7 .
Câu 14: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A1;2;3 và B 2;1;2 . Tìm tọa độ điểm M thỏa  
MB  2MA .  1 3 5  A. M 4;3;  1 .
B. M 4;3; 4 . C. M  1  ;3;5 . D. M  ; ;   .  2 2 2 
Câu 15: Tìm tọa độ điểm M trên trục Ox cách đều hai điểm A1;2; 
1 và điểm B 2;1; 2 .
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz  1   3   2   1  A. M ; 0; 0   . B. M ; 0; 0   . C. M ; 0; 0   . D. M ; 0; 0   .  2   2   3   3 
Câu 16: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , điểm thuộc trục Oy và cách đều hai điểm ( A 3; 4;1)
và B(1; 2;1) là
A. M (0;5;0).
B. M (0; 5;0).
C. M (0; 4; 0).
D. M (5;0;0).  
Câu 17: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai vec tơ a 1; 2;0 và b  2  ;3;  1 . Khẳng định
nào sau đây là sai?   
A. b  14 .
B. a.b  8  .   
C. 2a  2; 4;0 .
D. a b   1  ;1;  1 .
Câu 18: Trong không gian Oxyz , điểm nào sau đây thuộc trục Oy ?
A. M 1;0;0 .
B. M 0;0;  3 .
C. M 0; 2  ;0 . D. M  1
;0;2 .
Câu 19: Trong không gian Oxyz, cho điểm A1; 2
 ;3 . Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt
phẳng Oyz là điểm M. Tọa độ của điểm M là A. M 1; 2  ;0 . B. M 0; 2  ;  3 .
C. M 1;0;0 .
D. M 1;0;3 .  
Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho OM  1;5;2 , ON  3;7; 4
  . Gọi P là điểm đối
xứng với M qua N . Tìm tọa độ điểm P .
A. P2;6;  1 . B. P 5;9; 1  0 . C. P 7;9; 1  0.
D. P5;9;  3 .
Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm K 2;4;6 , gọi K là hình chiếu vuông góc của
K lên Oz , khi đó trung điểm của OK có tọa độ là: A. 0;0;  3 .
B. 1;0;0 . C. 1; 2;  3 .
D. 0;2;0 .
Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng Oxy ?
A. N 1; 0; 2 .
B. P 0;1; 2 .
C. Q 0;0; 2 .
D. M 1; 2; 0 .
Câu 23: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A1; 2; 4 và B  3
 ; 2; 2 . Toạ độ của  AB là
A. 2;4; 2 . B.  4  ; 0;6 . C. 4;0; 6   . D.  1  ; 2;   1 .     
Câu 24: Trong không gian Oxyz , cho vectơ a biểu diễn của các vectơ đơn vị là a  2i k 3 j . Tọa độ  của vectơ a là
A. 1;  3; 2 .
B. 1; 2;  3 . C. 2;  3;  1 . D. 2;1;  3 .
Câu 25: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A1;2;4 , B2;4; 
1 . Tìm tọa độ trọng tâm
G của tam giác OAB . A. G 1;2;  1 . B. G 2;1;  1 . C. G 2;1;  1 . D. G 6;3;  3 .
Câu 26: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A3;4;2, B 1  ; 2
 ;2 và G1;1;  3 là trọng tâm của tam
giác ABC . Tọa độ điểm C là
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
A. C 0;1; 2 .
B. C 0;0;2 .
C. C 1;1;5 .
D. C 1;3; 2 .
Câu 27: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A1; 2;  
1 , B 2; 1; 3 , C  3  ; 5;  1 .
Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. A. D  2  ; 8;  3 . B. D  2  ; 2; 5 . C. D  4  ; 8;  5 . D. D  4  ; 8;  3 .
Câu 28: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A1; 4; 2 , B 4; 2;  3 , C 3;1;5 . Tìm tọa độ đỉnh D
của hình bình hành ABCD . A. D 6  ;  5 10 .
B. D 0;7;0 .
C. D 6; 5;10 .
D. G 2; 1;3 .
Câu 29: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A4;1; 2 . Tọa độ điểm đối xứng với A
qua mặt phẳng Oxz là
A. A4;1;2 .
B. A4; 1; 2 .
C. A4; 1;  2 .
D. A4;1; 2 .
Câu 30: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 3; 4;5 , B 1; 0;1 . Tìm tọa độ điểm M   
thõa mãn MA MB  0 .
A. M  4; 4; 4 .
B. M 1; 2;3 .
C. M 4; 4; 4 .
D. M 2; 4; 6 .
Câu 31: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A1;2;3 và B 5; 2;0 . Khi đó:    
A. AB  3 .
B. AB  2 3 .
C. AB  61 .
D. AB  5 .
Câu 32: Trong không gian Oxyz , cho a   3  ; 2; 
1 và điểm A4;6; 
3 . Tìm tọa độ điểm B thỏa mãn  
AB a . A.  7  ; 4  ;4 . B.  1  ; 8  ;2 . C. 7; 4; 4   . D. 1;8; 2   .
Câu 33: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A2;0;0, B0;2;0 ,C 0;0;2 và
D2;2;2 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Tọa độ trung điểm I của MN là:  1 1  A. I 1; 1  ; 2 .
B. I 1;1;0 . C. I ; ;1   . D. I 1;1;  1 .  2 2 
Câu 34: Trong không gian Oxyz cho các điểm A3; 4
 ;0; B0;2;4;C 4;2; 
1 . Tọa độ diểm D trên
trục Ox sao cho AD BC là:
A. D 0;0;0  D 0;0; 6   . B. D 0;0; 3
   D0;0;3 .
C. D 0;0;0  D 6;0;0 .
D. D 0;0; 2  D 0;0;8 .
Câu 35: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm A0;  2;  
1 và A1; 1; 2 . Tọa độ
điểm M thuộc đoạn AB sao cho MA  2MB là  2 4   1 3 1 
A. M  ; ; 1 .
B. M  ; ;  .
C. M 2; 0; 5 . D. M  1  ; 3  ; 4   .  3 3   2 2 2 
Câu 36: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A1;2;  1 , B2;1;  3 , C  4  ;7;5 . Tọa độ
chân đường phân giác trong góc B của tam giác ABC là 11   2 11 1   2 11  A.  2  ;11;  1 . B. ;  2;1   . C. ; ;   . D.  ; ;1   .  3   3 3 3   3 3 
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz  
Câu 37: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai vectơ a  0;3; 
1 , b  3;0;  1 . Tính  
cos a,b .     A. a b 1 cos ,   . B. a b 1 cos ,  . 10 10     C. a b 1 cos ,   . D. a b 1 cos ,  . 100 100
Câu 38: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M 3; 2  ; 
3 , I 1;0;4. Tìm tọa độ điểm N
sao cho I là trung điểm của đoạn MN.  7  A. N 5; 4  ; 2 .
B. N 0;1;2 . C. N 2; 1;   D. N  1  ; 2;5 .  2 
Câu 39: Trong không gian Oxyz cho điểm A3; 4  ; 
3 . Tổng khoảng cách từ A đến ba trục tọa độ bằng 34 A. . B. 10  3 2 . C. 34 . D. 10 . 2     
Câu 40: Cho các vectơ u  1; 2;3 , v  1; 2;3 . Tính độ dài của vectơ w u  2v    
A. w  85 .
B. w  185 .
C. w  26 .
D. w  126 .
Câu 41: Trong không gian Oxyz , cho E  5
 ; 2;3 , F là điểm đối xứng với E qua trục Oy . Độ dài EF là. A. 2 34 . B. 2 13 . C. 2 29 . D. 14 .
Câu 42: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tứ diện ABCD với A0; 0; 3 , B 0; 0;   1 , C 1; 0;   1 , D 0; 1;  
1 . Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. AB BD .
B. AB BC .
C. AB AC .
D. AB CD .
Câu 43: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho A 1  ; 2; 4 , B  1
 ;1; 4 , C 0;0;4 . Tìm số đo của góc  ABC . A. O 60 . B. 135 . C. O 120 . D. O 45 .
Câu 44: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình hộp ABC . D A BCD
  . Biết A2;4;0 , B 4;0;0 , C  1
 ; 4;  7 và D6;8;10 . Tọa độ điểm B là
A. B8;4;10 .
B. B6;12;0 .
C. B10;8;6 .
D. B13;0;17 .
Câu 45: Trong không gian Oxyz , cho hình hộp ABC . D A BCD
  có A1;0; 
1 , B 2;1; 2 , D1; 1;  1 ,
C4;5; 5 . Tính tọa độ đỉnh A của hình hộp.
A. A3;4; 6 .
B. A4;6; 5 .
C. A2;0;2 .
D. A3;5; 6 .
Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABC . D A BCD
  có A0;0;0, B3;0;0,
D0;3;0 và D0;3; 3
  . Tọa độ trọng tâm của tam giác AB C  là. A. 1; 2;  1  . 2;1; 2   2;1;  1  1;1; 2   B. . C. . D. .
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz   
Câu 47: Trong không gian Oxyz , cho hai vector a  a , a ,a ,b b ,b ,b khác 0. Tích có hướng của 1 2 3   1 2 3    
a và b và c . Câu nào sau đây đúng?  
A. c  a b a b , a b a b , a b a b .
B. c  a b a b , a b a b , a b a b . 3 1 1 3 1 2 2 1 2 3 3 1  1 3 3 1 2 2 1 2 3 2 2 3   
C. c  a b a b , a b a b , a b a b .
D. c  a b a b , a b a b , a b a b . 1 3 2 1 2 3 3 2 3 1 1 3  2 3 3 2 3 1 1 b 1 2 2 1   
Câu 48: Cho a   2  ;0; 
1 ,b  1; 3;  2 . Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng ?      ,
a b   3
 ;  3;  6 .
B. a, b  3; 3;  6 . A.   .      
C. a, b  1; 1;  2 . D.  ,
a b   1  ; 1; 2 .        
Câu 49: Cho a  1;0;3 ; b  2;1;2 . Khi đó  ;
a b có giá trị là   A. 8 . B. 3 . C. 74 . D. 4 .
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU A – LÝ THUYẾT CHUNG
1. Phương trình mặt cầu
1.1. Phương trình chính tắc
Phương trình của mặt cầu S  tâm I a;b;c , bán kính R là: S
x a 2  y b 2  z c 2  R2 ( ) : ( ) ( ) ( ) 1
Phương trình 1 được gọi là phương trình chính tắc của mặt cầu 2 2 2 2
Đặc biệt: Khi I O thì C
( ) : x y z R
1.2. Phương trình tổng quát 2 2 2
Phương trình : x y z a 2 x b 2 y c
2 z d  0 với a2  b2  c2  d  0 là phương trình của mặt
cầu S  có tâm I a;b;c , bán kính R a2 b2 c2     d .
2. Một số bài toán liên quan
2.1. Dạng 1: S  có tâm I a;b;c  và bán kính R thì S x a 2  y b 2  z c 2  R2 : ( ) ( ) ( )
2.2. Dạng 2: S  có tâm I a;b;c và đi qua điểm A thì bán kính R IA.
2.3. Dạng 3: S  nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính:
 Tâm I là trung điểm của đoạn thẳng x x y y z z A B A B A B AB : x  ; y  ; z I I I 2 2 2 AB
 Bán kính R IA  . 2
2.4. Dạng 4: S  đi qua bốn điểm A,B,C,D ( mặt cầu ngoại tiếp tứ diện)
 Giả sử phương trình mặt cầu S  có dạng:
x 2  y2  z2  a 2 x b 2 y c
2 z d  0 *.
 Thay lần lượt toạ độ của các điểm A,B,C , D vào *, ta được 4 phương trình.
THAM KHẢO THÊM SAU KHI HỌC BÀI PT MẶT PHẲNG, PT ĐƯỜNG THẲNG
2.5. Dạng 5: S  đi qua ba điểm A,B,C và có tâm I nằm trên mặt phẳng P  cho trước thì giải tương tự dạng 4
6. Dạng 6: Viết phương trình mặt cầu S  có tâm I a;b;c  , tiếp xúc với mặt phẳng P  cho trước thì bán
kính mặt cầu R d I;P
2.7. Dạng 7: Viết phương trình mặt cầu S  có tâm I a;b;c  , cắt mặt phẳng P  cho trước theo giao tuyến
là một đường tròn thoả điều kiện .
 Đường tròn cho trước (bán kính hoặc diện tích hoặc chu vi) thì từ công thức diện tích đường tròn S r 2
hoặc chu vi đường tròn P  2r ta tìm được bán kính đường tròn giao tuyến r .
 Tính d d I,P  
 Tính bán kính mặt cầu R d2 r 2  
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 10
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
 Kết luận phương trình mặt cầu. B – BÀI TẬP Câu 1: 2 2
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , mặt cầu  S   x     y   2 : 2
1  z  4 có tâm I và
bán kính R lần lượt là A. I 2; 1
 ;0, R  4 . B. I 2; 1
 ;0, R  2 . C. I  2
 ;1;0, R  2 . D. I  2  ;1;0, R  4 .
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu
S   x  2  y   z  2 2 : 1 1  4 . A. I  1  ;0;  1 , R  2 .
B. I 1;0;  1 , R  4 .
C. I 1;0;  1 , R  2 . D. I  1  ;0;  1 , R  4 . Câu 3: 2 2 2
Trong không gian Oxyz , mặt cầu  x  
1   y  2   z  3  4 có tâm và bán kính lần lượt là
A. I 1; 2; 3 ; R  2 .
B. I 1; 2; 3 ; R  4 . C. I  1
 ; 2;3 ; R  4 . D. I  1
 ; 2;3 ; R  2 .
Câu 4: Phương trình mặt cầu tâm I 1;2; 
3 bán kính R  2 là: 2 2 2
A. x     y     z   2 1 2 3  2 . B. 2 2 2
x y z  2x  4 y  6z 10  0 . 2 2 2 C. x  
1   y  2   z  3  2 . D. 2 2 2
x y z  2x  4 y  6z 10  0 .
Câu 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt cầu  S  có phương trình:
x  2   y  2   z  2 1 2 3
 4 . Tìm toạ độ tâm I và bán kính R của  S  .
A. I (1; 2; 3) và R  4 .
B. I (1; 2; 3) và R  2 .
C. I (1; 2; 3) và R  2 .
D. I (1; 2; 3) và R  4 .
Câu 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm M 6;2; 5   , N  4  ;0;7 . Viết phương
trình mặt cầu đường kính MN ? 2 2 2 2 2 2 A. x   1   y   1   z   1  62 .
B. x  5   y   1
  z  6  62 . 2 2 2 2 2 2 C. x   1   y   1   z   1  62 .
D. x  5   y   1
  z  6  62 .
Câu 7: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S  2 2 2
: x y z x  2 y 1  0 . Tâm I và bán kính R của S  là  1  1  1  1 A. I ;1; 0   và R B. I ; 1; 0   và R  2  2  2  2  1  1  1  1 C. I ; 1; 0   và R D. I  ;1; 0   và R  2  2  2  4
Câu 8: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho mặt cầu  S  2 2 2
: x y z  2x  4y  2z  0 , toạ độ tâm
I và bán kính R của mặt cầu  S  là. A. I 1; 2   ;1 , R  6 . B. I 1; 2  ;  1 , R  6.
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 11
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz C. I  1  ; 2;   1 , R  6 . D. I  1  ; 2;  1 , R  6 .
Câu 9: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S  2 2 2
: x y z  4x  2y  6z  5  0 . Mặt cầu  S  có bán kính là A. 3 . B. 5 . C. 2 . D. 7 .
Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  có phương trình 2 2 2
x y z  2x  6 y 1  0 . Tính tọa độ tâm I , bán kính R của mặt cầu  S  .  I  1  ;3; 0  I 1; 3  ; 0  I  1  ;3; 0 I  1; 3  ; 0 A.  . B.  . C.  . D.  . R  3  R  3  R  9  R  10 
Câu 11: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt cầu  S  2 2 2
: x y z  4x  2y  6z  2  0 . Tìm
toạ độ tâm I và tính bán kính R của  S  . A. I  2
 ;1;3, R  4 .
B. I 2; 1; 3
  , R  4 .
C. I 2;1;3, R  2 3 .
D. I 2;1; 3
 , R  12 .
Câu 12: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , mặt cầu  S  2 2 2
: x y z 8x  4y  2z  4  0 có
bán kính R là
A. R  5 .
B. R  25 .
C. R  2 .
D. R  5 .
Câu 13: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm I  2  ;1; 
3 và mặt phẳng  P :
2x y  2z 10  0 . Tính bán kính r của mặt cầu  S  , biết rằng  S  có tâm I và nó cắt  P
theo một đường tròn T  có chu vi bằng 10. A. r  5
B. r  34
C. r  5 D. r  34
Câu 14: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho A(1;1; 3), B(1; 3; 2), C(1; 2; 3) . Mặt cầu tâm O và tiếp
xúc mặt phẳng (ABC) có bán kính R là 3 3 A. R  . B. R  3 . C. R  .
D. R  3 . 2 2
Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, A 3  ; 4; 2 , B 5  ; 6; 2 , C  1  0; 17; 7   . Viết phương
trình mặt cầu tâm C bán kính AB . 2 2 2 2 2 2
A. x 10   y 17   z  7  8 .
B. x 10   y 17   z  7  8 . 2 2 2 2 2 2
C. x 10   y 17   z  7  8 .
D. x 10   y 17   z  7  8 .
Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1;2;  3 và B  1  ;4;  1 . Phương trình mặt
cầu đường kính AB là: 2 2 2 2 2 A. 2
x   y  3   z  2  12 . B. x   1
  y  2   z  3  12 . 2 2 2 2 2 C. x   1
  y  4   z   1  12 . D. 2
x   y  3   z  2  3 .
Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm
I 1;2; 4 và thể tích của khối cầu tương ứng bằng 36.
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 12
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz 2 2 2 2 2 2 A. x  
1   y  2   z  4  3. B. x  
1   y  2   z  4  9.. 2 2 2 2 2 2 C. x  
1   y  2   z  4  9.. D. x   1
  y  2   z  4  9. .
Câu 18: Mặt cầu S  có tâm I 1;2; 
1 và tiếp xúc với mặt phẳng  P : x – 2 y – 2z – 8  0 có phương trình là 2 2 2 2 2 2 A. x  
1   y – 2   z   1  3 . B. x  
1   y – 2   z   1  9 . 2 2 2 2 2 2 C. x  
1   y – 2   z   1  9 . D. x  
1   y – 2   z   1  3 . Câu 19: 2 2
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu có phương trình  x     y   2 1 3  z  9 .
Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu đó. A. I  1
 ;3;0 ; R  3 . B. I 1; 3
 ;0 ; R  9 . C. I 1; 3
 ;0 ; R  3 . D. I  1
 ;3;0 ; R  9 .
Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu tâm I 2;1; 
3 tiếp xúc với mặt phẳng Oxy có phương trình là 2 2 2 2 2 2 A. x   2   y   1   z   3  3 . B. x   2   y   1   z   3  4 . 2 2 2 2 2 2 C. x   2   y   1   z   3  2 . D. x   2   y   1   z   3  9 .
Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A 1
 ;3; 2 và mặt phẳng
P : 3x  6y  2z  4  0. Phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với mặt phẳng P là 2 2 2 2 2 2 1 A. x  
1   y  3   z  2  49 . B. x  
1   y  3   z  2  . 49 2 2 2 2 2 2 C. x  
1   y  3   z  2  7 . D. x  
1   y  3   z  2  1.
Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P : 2x  2 y z  3  0 và điểm I 1;2 3
. Mặt cầu  S  tâm I và tiếp xúc mpP có phương trình: A. 2 2 2
(S) : (x 1)  ( y  2)  (z  3)  4 B. 2 2 2
(S) : (x 1)  ( y  2)  (z  3)  2 . C. 2 2 2
(S) : (x 1)  ( y  2)  (z  3)  4 D. 2 2 2
(S ) : ( x 1)  ( y  2)  ( z  3)  16 ;
Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  có tâm I  1
 ;4;2 và tiếp xúc mặt phẳng P : 2
x  2y z 15  0 . Khi đó phương trình của mặt cầu  S  là 2 2 2 2 2 2 A. x  
1   y  4   z  2  9 . B. x  
1   y  4   z  2  81. 2 2 2 2 2 2 C. x  
1   y  4   z  2  9 . D. x  
1   y  4   z  2  81 .
Câu 24: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S  có tâm I 2;1;  4 và mặt phẳng
P : x y  2z 1  0 . Biết rằng mặt phẳng P cắt mặt cầu S  theo giao tuyến là đường tròn
có bán kính bằng 1. Viết phương trình mặt cầu S  . 2 2 2 2 2 2
A. S  :  x  2   y  
1   z  4  25 .
B. S  :  x  2   y  
1   z  4  13 . 2 2 2 2 2 2
C. S  :  x  2   y  
1   z  4  25 .
D. S  :  x  2   y  
1   z  4 13.
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 13
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Chưa học PTĐT) A – LÝ THUYẾT CHUNG
1.1 Khái niệm về véc tơ pháp tuyến  
n khác 0 và có giá vuông góc mpP được gọi là véc tơ pháp tuyến của   P .
1.2. Tính chất của véc tơ pháp tuyến  
Nếu n là véc tơ pháp tuyến của P thì kn, (k  0) cũng là véc tơ pháp tuyến của   P .
2.1 Phương trình tổng quát của mpP 
Phương trình tổng quát của mpPqua M x
( ;y ;z ) và có véc tơ pháp tuyến n A ( ;B C ; ) là 0 0 0 A x
(  x )  B y
(  y )  C z (  z )  0 0 0 0
2.2. Khai triển của phương trình tổng quát
Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: Ax By Cz D  0 (trong đó ,
A B, C không đồng thời bằng 0)
2.3. Những trường hợp riêng của phương trình tổng quát
 P qua gốc tọa độ  D  0
 P song song hoặc trùng Oxy  A B  0
 P song song hoặc trùng Oyz  B C  0
 P song song hoặc trùng Ozx  A C  0
 P song song hoặc chứa Ox A  0
 P song song hoặc chứa Oy B  0
 P song song hoặc chứa Oz C  0
 P cắt Ox tại A ; a 0; 
0 , cắt Oy tại B0; ; b
0 và cắt Oz tại C 0;0;c  P có phương trình x y z  
 1a,b,c  0 a b c
3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng P : Ax By Cz D  0 và P : A x   B y   C z   D  0. Khi đó:
 P cắt P  A : B : C A : B : C . A B C D
 P  // P     . ABCDA B C D
 P  P     . ABCD    
 P  P  n nn .n
 0  AA  BB  CC  0. P P P P
4.1 Khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng
Ax By Cz D 0 0 0
Cho M x ;y ;z P
( ) : Ax By Cz D  0 d M ( , P ( ))  0 0 0  và ;
A2  B2  C 2
4.2. Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
5.1. Hình chiếu của 1 điểm lên mặt phẳng
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 14
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz   M
H, n cung phuong
Điểm H là hình chiếu của điểm M trên P    . H P ( )  
5.2. Điểm đối xứng của 1 điểm qua mặt phẳng  
Điểm M ' đối xứng với điểm M qua P   MM   2MH
6. Góc giữa hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng
,  có phương trình:
 : Ax B y C z D  0 1 1 1 1
 : A x B y C z D  0 2 2 2 2  
Góc giữa ,  bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT n ,n . 1 2   n n .
A A B B C C
cos(),( 1 2 1 2 1 2 1 2 )     n . n
A2  B2 C 2 . A2  B2 C 2 1 2 1 1 1 2 2 2 Chú ý:
0       0 0 ,
 90 ; ()  ()  A A B B C C  0 1 2 1 2 1 2
7. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu. Phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu Cho mặt phẳng  
: Ax By C
z D  0 và mặt cầu Sx a 2  y b 2  z c 2  R2 : ( ) ( ) ( ) có tâm I
  và S  không có điểm chung  d I
( ,())  R
  tiếp xúc với S   d I
( ,())  R với  là tiếp diện
Để tìm toạ độ tiếp điểm ta có thể thực hiện như sau:
 Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của S  và vuông góc với .
 Tìm toạ độ giao điểm H của d và . H là tiếp điểm của S  với .
  cắt S  theo một đường tròn  d I
( ,())  R
Để xác định tâm H và bán kính r của đường tròn giao tuyến ta có thể thực hiện như sau:
 Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của S  và vuông góc với .
 Tìm toạ độ giao điểm H của d và  . Với H là tâm của đường tròn giao tuyến của S  với  .
 Bán kính r của đường tròn giao tuyến: r R2 IH 2  
8. Viết phương trình mặt phẳng
Để lập phương trình mặt phẳng  ta cần xác định một điểm thuộc  và một VTPT của nó. 
8.1. Dạng 1: đi qua điểm M x ;y ;z
n A;B C ; 0 0 0  có VTPT thì:  
 : Ax x   B y y   C z z  0 0 0 0      
8.2. Dạng 2: đi qua điểm M x ;y ;z có cặp VTCP a,b thì n a  ,b  
 là một VTPT của   0 0 0 
8.3. Dạng 3:  đi qua điểm M x ;y ;z và song song với : Ax By Cz  0 thì  0 0 0
 : Ax x   B y y   C z z  0 0 0 0 
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 15
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
8.4. Dạng 4: đi qua 3 điểm không thẳng hàng A,B,C . Khi đó ta có thể xác định một VTPT của     là: nAB,AC    
THAM KHẢO THÊM SAU KHI HỌC BÀI ĐƯỜNG THẲNG
8.5. Dạng 5: đi qua một điểm M và một đường thẳng d  không chứa M :
 Trên d  lấy điểm A và VTCP u .   
 Một VTPT của là: nAM,u       
8.6. Dạng 6: đi qua một điểm M , vuông góc với đường thẳng d  thì VTCP u của đường thẳng d
là một VTPT của  .
8.7. Dạng 7: chứa đường thẳng cắt nhau d , d : 1 2  
 Xác định các VTCP a,b của các đường thẳng d , d . 1 2   
 Một VTPT của  là: n a  ,b  .  
 Lấy một điểm M thuộc d1 hoặc d M . 2  
8.8. Dạng 8: chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng d ( d , d chéo nhau) : 1 2 1 2  
 Xác định các VTCP a,b của các đường thẳng d , d . 1 2   
 Một VTPT của  là: n a  ,b  .  
 Lấy một điểm M thuộc d M . 1  
8.9. Dạng 9: đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau d , d : 1 2  
 Xác định các VTCP a,b của các đường thẳng d , d . 1 2   
 Một VTPT của  là: n a  ,b    .
8.10. Dạng 10:  chứa một đường thẳng d và vuông góc với một mặt phẳng  :  
 Xác định VTCP u của d và VTPT n của .   
 Một VTPT của  là: n u  ,n  .  
 Lấy một điểm M thuộc d M  .
8.11. Dạng 11: đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau  ,  :  
 Xác định các VTPT n ,n của  và .   
 Một VTPT của  là: n  u ,n  .  
8.12. Dạng 12: chứa đường thẳng d cho trước và cách điểm M cho trước một khoảng k cho trước:
 Giả sử () có phương trình: Ax By Cz+D  0 A2  B2  C 2  0 .  
 Lấy 2 điểm A, B  d   A, B   ( ta được hai phương trình   1 ,2)
 Từ điều kiện khoảng cách d M
( ,())  k , ta được phương trình 3.
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 16
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
 Giải hệ phương trình   1 ,  2 , 
3 (bằng cách cho giá trị một ẩn, tìm các ẩn còn lại).
8.13. Dạng 13: là tiếp xúc với mặt cầu S tại điểm H :
 Giả sử mặt cầu S có tâm I và bán kính R.  
 Một VTPT của là: n IH   B – BÀI TẬP
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : 2x y z 1  0. Vectơ nào dưới đây
là vectơ pháp tuyến của  P ?     A. n   2  ; 1;   1 .
B. n  2; 1;   1 . C. n   1  ; 1;   1 .
D. n  2;1;   1 .
Câu 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho phương trình mặt phẳng  P :2x  3y  4z  5  0 .
Vectơ nào sau đây là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng  P .    
A. n  2;3; 4   .
B. n  2;3; 4 .
C. n  2;3;5 .
D. n  4;3;2 . 1
Câu 3: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P : x  2 y z  5  0 . Vectơ nào dưới đây là vectơ 2
pháp tuyến của mặt phẳng  P ?     A. n  1; 2  ;1 . B. n  1; 4  ; 2 .
C. n  2; 2;1 . D. n  2  ;1;5 . 4   1   3   2  
Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng qua điểm M 2; 3  ;4 và nhận  n  2; 4; 
1 làm vectơ pháp tuyến
A. 2 x  4 y z  11  0 .
B. 2 x  4 y z  12  0 .
C. 2 x  4 y z  12  0 .
D. 2 x  4 y z  10  0 .
Câu 5: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm M 3;0;0 , N 0; 2
 ;0 và P0;0; 
1 . Mặt phẳng MNP có phương trình là x y z x y z x y z x y z A.    1. B.    1. C.    1. D.    1  3 2 1 3 2  1 3 2 1  3 2  1 .
Câu 6: Trong không gian Oxyz , cho điểm M 2;3;4 . Gọi A, B , C lần lượt là hình chiếu vuông góc của
M lên các trục Ox , Oy , Oz . Viết phương trình mặt phẳng  ABC . x y z x y z x y z x y z A.    1 B.    1 C.    1 D.    1 4 4 3 3 4 2 3 2 4 2 3 4
Câu 7: Trong không gian Oxyz , gọi (P) là mặt phẳng cắt ba trục tọa độ tại ba điểm A(8, 0, 0); B(0, 2, 0);
C (0, 0, 4) . Phương trình của mặt phẳng (P) là: x y z x y z A.    1. B.    0 . 4 1  2 8 2 4
C. x  4y  2z  0 .
D. x  4y  2z  8  0 .
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 17
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M 12;8;6. Viết phương trình mặt phẳng  đi
qua các hình chiếu của M trên các trục tọa độ. x y z
A. 2 x  3 y  4 z  24  0. B.    1. 1  2 8 6 x y z C.    1.
D. x y z  26  0. 6 4 3
Câu 9: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho ba điểm A1;2;  1 , B 2; 1
 ;0 , C 1;1;  3 . Viết phương
trình mặt phẳng đi qua ba điểm A , B , C .
A. 7x  2y z 10  0 .
B. x y z  4  0.
C. 4x y z  7  0 .
D. 7x  2y z 12  0 .
Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  4;0; 
1 và B  2; 2;3 . Phương trình
nào dưới đây là phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB ?
A. 6x  2y  2z 1  0 .
B. 3x y z  0 .
C. 3x y z  6  0 .
D. 3x y z 1  0 .
Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A1;2;  3 , B 3
 ;2;9 . Mặt phẳng trung trực của
đoạn thẳng AB có phương trình là:
A. x  3z 10  0 . B. 4
x 12z 10  0 .
C. x  3z 1  0 .
D. x  3z 10  0 .
Câu 12: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm M 1;3;  2 ,
N 5;2;4, P2; 6  ; 
1 có dạng Ax By Cz D  0 . Tính tổng S A B C D . A. S  3  .
B. S 1 .
C. S  6 . D. S  5  .
Câu 13: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A1;0;0, B0; 2
 ;0 . Phương trình nào
dưới đây là phương trình của mặt phẳng OAB ?
A. z  0 . B. x  
1   y  2  0. x y x y C.   1 . D.   z  0 . 1 2  1 2 
Câu 14: Trong không gian Oxyz , cho điểm A3;2; 
1 và mặt phẳng P: x3y 2z 2  0 .Phương
trình mặt phẳng Q đi qua A và song song mặt phẳng P là:
A. Q : 3x y  2z 9  0 .
B. Q : x 3y  2z 1  0.
C. Q : x 3y  2z  4  0 .
D. Q : x 3y  2z 1  0 .
Câu 15: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho các điểm A0;1;2 , B2; 2;  1 , C  2  ;0;  1 .
Phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC là
A. y  2z  3  0 .
B. 2x y 1  0 .
C. y  2z  5  0 .
D. 2x y 1  0 .
Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M 3; 1;  2 và mặt phẳng
 : 3x y  2z  4  0 . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua M và
song song với  ?
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 18
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
A. 3x y  2z  6  0 .
B. 3x y  2z 14  0 .
C. 3x y  2z  6  0 .
D. 3x y  2z  6  0 .
Câu 17: Trong hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A( 0;1;1) , B(1; 0;1) , C( 0; 0;1) , và I (1;1;1) . Mặt phẳng qua
I , song song với mặt phẳng  ABC có phương trình là:
A. z 1  0
B. y 1  0
C. x y z  3  0 D. x 1  0
Câu 18: Mặt phẳng có phương trình nào sau đây song song với trục Ox ?
A. 2x y 1  0 .
B. 3x 1  0 .
C. y  2z 1  0 .
D. 2y z  0 .
Câu 19: Trong không gian với hệ trục Oxyz , mặt phẳng chứa 2 điểm A(1; 0;1) và B 1  ; 2; 2 và song
song với trục Ox có phương trình là
A. x y z  0 .
B. 2 y z  1  0 .
C. y  2 z  2  0 .
D. x  2z  3  0 .
Câu 20: Gọi  là mặt phẳng đi qua M 1; 1
 ; 2 và chứa trục Ox . Điểm nào trong các điểm sau đây
thuộc mặt phẳng  ?
A. P 2; 2; 4 .
B. Q 0;4; 2 . C. M 0;4; 2   . D. N 2;2; 4   .
Câu 21: Phương trình của mặt phẳng  qua A2;1; 4 , B 3; 2;  
1 và vuông góc với mặt phẳng
 : x y  2z  3  0 là
A. 11x  7 y  2 z  21  0.
B. 11x  7 y  2 z  21  0.
C. 11x  7 y  2 z  21  0.
D. 11x  7 y  2 z  21  0.
Câu 22: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , cho A1; 2;  1 ; B 1  ;0;  1 và mặt phẳng ( )
P : x 2y z 1
  0. Viết phương trình mặt phẳng ( )
Q qua A ; B và vuông góc với (P) A. ( )
Q : 2xy 3  0 . B. ( )
Q : x z  0 . C. ( ) Q : x
  y z  0 . D. ( )
Q : 3x y z  0 .
Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A2;4;  1 , B 1  ;1;  3 và mặt phẳng
P: x3y 2z5  0 . Một mặt phẳng Q đi qua hai điểm A , B và vuông góc với P có
dạng: ax by cz 11  0 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. a b c .
B. a b c  5 . C. a   ; b c .
D. a b c .
Câu 24: Trong không gian Oxyz , cho điểm H 1; 2;3 . Mặt phẳng  P  đi qua điểm H , cắt Ox, Oy, Oz
tại A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC . Phương trình của mặt phẳng  P  là
A. (P) : 3x y  2 z 11  0.
B. (P) : 3x  2 y z  10  0.
C. (P) : x  3 y  2 z  13  0.
D. (P) : x  2 y  3z  14  0.
Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình tổng quát của mặt phẳng  P đi qua điểm  
M 0; –1; 4 và nhận u  (3,2,1) , v  ( 3
 ,0,1) làm vectơ chỉ phương là:
A. x y z – 3  0
B. x – y – z – 12  0
C. x – 3y  3z – 15  0
D. 3x  3y – z  0
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 19
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A1;1;  1 và hai mặt phẳng
P : 2x y  3z 1  0 , Q : y  0 . Viết phương trình mặt phẳng R chứa A , vuông góc với
cả hai mặt phẳng  P và Q .
A. 3x  2z 1  0 .
B. 3x y  2z  2  0 .
C. 3x  2z  0 .
D. 3x y  2z  4  0 .
Câu 27: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng  P và Q lần lượt có phương
trình là x y z  0 , x  2 y  3z  4 và điểm M 1; 2;5 . Tìm phương trình mặt phẳng  đi
qua điểm M đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng  P , Q .
A. x  4 y  3z  6  0 .
B. 5x  2 y z  4  0 .
C. 5x  2 y z 14  0 .
D. x  4 y  3z  6  0 . Câu 28: 2 2 2
Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  :  x  
1   y  2   z  5  9 . Mặt phẳng  P tiếp
xúc với mặt cầu  S  tại điểm A2; 4  ; 
3 có phương trình là
A. x  6y  8z  50  0 .
B. 3x  6y  8z  54  0 .
C. x  2y  2z  4  0 .
D. x  2y  2z  4  0 .
Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S  2 2 2
: x y z  2x  4y  4z  0 . Mặt
phẳng tiếp xúc với  S  tại điểm A3; 4;3 có phương trình.
A. 2x  2 y z 17  0 .
B. 4x  4 y  2z 17  0 .
C. x y z 17  0 .
D. 2x  4 y z 17  0 .
Câu 30: Cho mặt cầu 2 2 2
(S) : x y z  2x  4y  6z  2  0 và mặt phẳng () : 4x  3y  12z  10  0 . Mặt
phẳng tiếp xúc với (S) và song song với () có phương trình là:
A. 4x  3y  12z  78  0 . B.
4x  3y  12z  78  0 hoặc
4x  3y  12z  26  0 .
C. 4x  3y  12z  26  0 . D.
4x  3y  12z  78  0 hoặc
4x  3y  12z  26  0 . x y z
Câu 31: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P :  
 1 a  0 cắt ba a 2a 3a
trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại ba điểm A, B, C . Tính thể tích V của khối tứ diện OABC . A. 3
V  4a . B. 3
V a . C. 3
V  3a . D. 3
V  3a .
Câu 32: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , phương trình mặt phẳng  P chứa trục Oy và đi qua điểm M (1; 1;1) là:
A. x y  0 .
B. x y  0 .
C. x z  0 .
D. x z  0 .
Câu 33: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng : x y z  1  0 và  : 2
x my  2z  2  0. Tìm m để  song song với  .
A. m  2 .
B. m  5 .
C. Không tồn tại m . D. m  2  .
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 20
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
Câu 34: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  2 2 2
: x y z  2x  4y  6z  5  0. Tiếp
diện của  S  tại điểm M  1
 ;2;0 có phương trình là
A. z  0.
B. x  0.
C. 2 x y  0.
D. y  0.
x  2 2t 
Câu 35: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : y 1 t A 2; 1  ;1  . Mặt phẳng đi qua   và vuông
z  4t 
góc với đường thẳng d có phương trình là:
A. x  3y  2z  5  0 .
B. 2x y z  2  0 .
C. x  3y  2z  3  0 .
D. x  3y  2z  3  0 .
Câu 36: Trong không gian Oxyz , cho điểm H 2;1; 
1 . Viết phương trình mặt phẳng qua H và cắt các
trục Ox , Oy , Oz lần lượt tại A , B , C sao cho H là trực tâm tam giác ABC . x y z
A. x y z  0
B. 2x y z  6  0
C. 2x y z  6  0 D.    1 2 1 1
Câu 37: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P : 2x y  2z 1  0 và hai điểm A1; 2  ;  3 , B 3;2; 
1 . Phương trình mặt phẳng Q qua A, B và vuông góc với  P là
A. Q : 2x  2y  3z  7  0 .
B. Q : 2x  2y  3z  7  0 .
C. Q : 2x  2y  3z 9  0 .
D. Q : x  2y  3z  7  0 .
Câu 38: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng  P đi qua điểm A1;1;  1 và
B 0;2;2 đồng thời cắt các tia Ox , Oy lần lượt tại 2 điểm M , N (không trùng với gốc tọa độ
O ) sao cho OM  2ON .
A. P : 2x  3y z  4  0 .
B. P : 2x y z  4  0 .
C. P : x  2y z  2  0 .
D. P : 3x y  2z  6  0 .
Câu 39: Trong không gian với trục hệ tọa độ Oxyz , cho điểm H 1;2; 
3 là trực tâm của ABC với , A ,
B C là ba điểm lần lượt nằm trên các trục Ox,Oy,Oz (khác gốc tọa độ). Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm , A , B C là
A. 3x y  2z  9  0
B. x  2 y  3z 14  0 x y z
C. 3x  2y z 10  0 D.    1 1 2 3
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 21
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG CÓ SỬ DỤNG PTĐT x  1 y  2 z  1
Câu 1: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d :  
. Trong các mặt phẳng dưới đây, 2 1  1
tìm một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng d
A. 2x  2 y  2z  4  0 .
B. 4x  2 y  2z  4  0 .
C. 4x  2 y  2z  4  0 .
D. 4x  2 y  2z  4  0 . x 1 y z 1
Câu 2: Mặt phẳng  P đi qua điểm A1;2;0 và vuông góc với đường thẳng d :   có 2 1 1  phương trình là :
A. 2x y z  4  0 .
B. 2x y z  4  0 .
C. x  2 y z  4  0 .
D. 2x y z  4  0 .
x  1  3t
Câu 3: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d  có phương trình  y  2  t ;t   . Mặt phẳng  P đi
z  3  2t  qua ( A 1
 ; 2;1) và  P vuông góc với đường thẳng d  thì  P có phương trình là: A. P : 3
x y  2z  3  0 .
B. P : x  2y  3z  2  0 . C. P : 3
x y  2z  3  0 .
D. P : x  2y  3z  2  0 . x  3 y  2 z 1
Câu 4: Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d :   và 1 1  2 x  3 y  3 z
song song với đường thẳng d :   là 1 3 2 x y z
A. x y  2z  2  0
B. 2x z  6  0 C.    1
D. 2x z  7  0 1 1 2 
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng  P song song với hai đường thẳng x  2  t x  2 y  1 z   :  
,  :  y  3  2t . Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của  P ? 1 2 2 3  4 z 1 t      A. n  5; 6  ; 7
B. n  5;6;7 C. n   5  ; 6; 7 D. n   5  ; 6  ; 7
Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng x 1 y 1 z 1 d :  
và đi qua điểm A '(0; 2; 2). . 1 2 1
A. 5x  2 y z  2  0. .
B. 5x  2 y z  2  0.
C. 5x  5z  2  0. .
D. x z  2  0. x  2 y 1 z  4
Câu 7: Phương trình mặt phẳng  P đi qua M 1 ; 2 ; 3
  và chứa đường thẳng   là. 1 3 4
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 22
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
A. x  11y  8z  1  0 .
B. x – 11y  8z – 45  0 .
C. x 11y  8z  45  0 .
D. x – 11y – 8z – 3  0 . x y 1
Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A1;2;3 và đường thẳng d :   z  3 . 3 4
Phương trình mặt phẳng chứa điểm A và đường thẳng d là.
A. 23x 17 y z  60  0 .
B. 23x 17 y z 14  0 .
C. 23x 17 y z 14  0 .
D. 23x 17 y z  14  0 .
Câu 9: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng  P đi qua hai điểm A1; 2; 0 , B2; 3;  1 và song song với
trục Oz có phương trình là.
A. x y  3  0 .
B. x y 1  0 .
C. x y  3  0 .
D. x z  3  0 .
Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng  P  đi qua điểm M 3; 4; 7
và chứa trục Oz .
A. P : 3x  4 y  0 .
B. P : 4 y  3z  0 .
C. P : 3x  4z  0 . D.
P : 4x  3y  0 .
P : x y  2z 5  0 A1;2;  3
Câu 11: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng và các điểm , B 1
 ;1; 2 C3;3;2
M x ; y ; zP 0 0 0  , . Gọi là điểm thuộc
sao cho MA MB MC .
Tính x y z . 0 0 0 A. 4 B. 7 C. 5 D. 6
Câu 12: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P : 2x  2y z  7  0 và mặt cầu S  2 2 2
: x y z  2x  4y  6z 11  0 . Mặt phẳng song song với  P và cắt  S  theo một
đường tròn có chu vi bằng 6 có phương trình là
A. P : 2x  2y z 19  0
B. P : 2x  2y z 17  0
C. P : 2x  2y z 17  0
D. P : 2x  2y z  7  0 x 1 y  2 z  4
Câu 13: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau   và 2  1 3 x 1 y z  2  
có phương trình là 1 1  3
A. 2x y z  0
B. 6x  9y z  8  0
C. 6x  9 y z  8  0 D. 2
x y  9z  36  0 x 1 y z 1
Câu 14: Viết phương trình mặt phẳng  P  chứa đường thẳng d :   và vuông góc với mặt 2 1 3
phẳng Q  : 2x y z  0 .
A. x  2 y 1  0 .
B. x  2 y z  0 .
C. x  2 y  1  0 .
D. x  2 y z  0 .
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 23
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz x  2 y z  3
Câu 15: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng d  :   và điểm 2 1 3
B(1; 0; 2) . Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua B và vuông góc đường thẳng  d  .
A. 2 x y  3z  8  0 .
B. 2 x y  3z  4  0 .
C. 2 x y  3z  8  0 .
D. 2 x y  3z  4  0 .
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 24
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
BÀI 5: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
A – LÝ THUYẾT CHUNG
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng 1.1. Ðịnh nghĩa   
Cho đường thẳng d . Nếu vectơ a  0 và có giá song song hoặc trùng với đường phẳng d thì a được 
gọi là vectơ chỉ phương của đường phẳng d . Kí hiệu: a a ( ;a ;a ) 1 2 3 1.2. Chú ý  
a là VTCP của d thì k a . k
(  0) cũng là VTCP của d 
 Nếu d đi qua hai điểm A, B thì AB là một VTCP của d  
 Trục Ox có vectơ chỉ phương a i  (1; 0; 0)  
 Trục Oy có vectơ chỉ phương a j  (0;1; 0)  
 Trục Oz có vectơ chỉ phương a k  (0; 0;1)
1.3. Phương trình tham số của đường thẳng
Phương trình tham số của đường thẳng ( )  đi qua điểm M x
( ;y ;z ) và nhận a a
( ;a ;a ) làm VTCP 0 0 0 0 1 2 3 là :  z a x   x ta 0 1  (  ) () : y
  y ta 0 2 tM z  0  z ta
M (x, y, z) 0 3 y  O x
1.4. Phương trình chính tắc của đường thẳng
Phương trình chính tắc của đường thẳng ( )  đi qua điểm M x
( ;y ;z ) và nhận a a
( ;a ;a ) làm VTCP 0 0 0 0 1 2 3 x x y y z z là  0 ( ) :  0 
0 a ,a ,a  0 1 2 3  a a a 1 2 3
2. Vị trí tương đối
2.1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 25
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
2.1.1. Phương pháp hình học Định lý
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng có VTCP và qua và mặt phẳng có VTPT Khi đó :     
   a.n  0  Aa Ba Ca  0 1 2 3    a.n  0
Aa Ba Ca  0       / / 1 2 3      M  P
Ax By Cz  0  0   0 0 0   a  .n  0
Aa Ba Ca  0        1 2 3      M  P
Ax By Cz  0  0   0 0 0 Đặc biệt và cùng phương
2.1.2. Phương pháp đại số
Muốn tìm giao điểm M của và ta giải hệ phương trình: tìm Suy ra: .
Thế vào phương trình và rút gọn dưa về dạng:
d cắt mpP tại một điểm  pt  
* có một nghiệm t .
d song song với P  pt   * vô nghiệm.
 nằm trong có vô số nghiệm .
 vuông góc và cùng phương
2.2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
2.2.1. Phương pháp hình học
Cho hai đường thẳng: đi qua M và có một vectơ chỉ phương
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 26
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
đi qua N và có một vectơ chỉ phương    cắt  và chéo nhau
2.2.2. Phương pháp đại số
Muốn tìm giao điểm M của ta giải hệ phương trình : tìm Suy ra:
2.3. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu
Cho đường thẳng d : và mặt cầu có tâm , bán kính
2.3.1. Phương pháp đại số
Thế vào phương trình và rút gọn đưa về phương trình bậc hai theo
 Nếu phương trình  
* vô nghiệm thì không cắt S
 Nếu phương trình có một nghiệm thì tiếp xúc
 Nếu phương trình có hai nghiệm thì cắt tại hai điểm phân biệt Chú ý:
Ðể tìm tọa độ ta thay giá trị vào phương trình đường thẳng
3. Lập phương trình đường thẳng
Để lập phương trình đường thẳng ta cần xác định 1 điểm thuộc và một VTCP của nó. 3.1. Dạng 1
đi qua điểm và có VTCP là. 3.2. Dạng 2
đi qua hai điểm Một VTCP của là . 3.3. Dạng 3
đi qua điểm và song song với đường thẳng cho trước: Vì nên VTCP của cũng là VTCP của . 3.4. Dạng 4
đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng cho trước: Vì nên VTPT của cũng là VTCP của .
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 27
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz 3.5. Dạng 5
là giao tuyến của hai mặt phẳng P,Q:  Cách 1:
Tìm một điểm và một VTCP.
 Tìm toạ độ một điểm bằng cách giải hệ phương trình (với việc chọn giá trị cho một ẩn)
 Tìm một VTCP của  Cách 2:
Tìm hai điểm thuộc , rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó. 3.6. Dạng 6
đi qua điểm và vuông góc với hai đường thẳng
Vì nên một VTCP của là: 3.7. Dạng 7
đi qua điểm , vuông góc và cắt đường thẳng .  Cách 1:
Gọi là hình chiếu vuông góc của trên đường thẳng . Thì . Khi đó đường thẳng là đường thẳng đi qua  Cách 2:
Gọi là mặt phẳng đi qua và vuông góc với là mặt phẳng đi qua và chứa Khi đó 3.8. Dạng 8
đi qua điểm và cắt hai đường thẳng  Cách 1:
Gọi Từ điều kiện thẳng hàng ta tìm được Từ đó suy ra phương trình đường thẳng .  Cách 2:
Gọi , . Khi đó Do đó, một VTCP củacó thể chọn là . 3.9. Dạng 9
nằm trong mặt phẳng và cắt cả hai đường thẳng
Tìm các giao điểm
Khi đó chính là đường thẳng 3.10. Dạng 10
Viết phương trình mặt phẳng chứa và mặt phẳng chứa và Khi đó
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 28
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz 3.11. Dạng 11
là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau:  Cách 1:
Gọi Từ điều kiện , ta tìm được Khi đó, là đường thẳng  Cách 2:
 Vì và nên một VTCP của có thể là: .
 Lập phương trình mặt phẳng chứavà bằng cách:
 Lấy một điểm trên
 Một VTPT của có thể là: .
 Tương tự lập phương trình mặt phẳng chứavà Khi đó 3.12. Dạng 12
là hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng P thì ta Lập phương trình mặt phẳng chứa và vuông
góc với mặt phẳng bằng cách:  Lấy .
 Vì chứa và vuông góc với nên .  Khi đó 3.13. Dạng 13
đi qua điểm M , vuông góc với và cắt  Cách 1:
Gọi là giao điểm củavà Từ điều kiện ta tìm được Khi đó, là đường thẳng  Cách 2:
 Viết phương trình mặt phẳng qua và vuông góc với
 Viết phương trình mặt phẳng chứa và  Khi đó B – BÀI TẬP
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A1; 2; 
3 , B1; 0; 2 . Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. u  0; 2; 
1 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng A . B B. u  0; 2  ; 
1 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng A . B
C. u  0; 2;  
1 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng A . B
D. u  2; 2; 5 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng A . B
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 29
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A1;2;2 , B3; 2
 ;0 . Một vectơ chỉ phương
của đường thẳng AB là:    
A. u  2; 4; 2  
B. u  1; 2;   1 C. u  2; 4  ; 2 D. u   1  ;2;  1
Câu 3: Trong không gian Oxyz , phương trình nào dưới đây không phải là phương trình đường thẳng đi
qua hai điểm A 4; 2; 0 , B 2;3;  1 . x  2 y  3 z 1 x y  4 z  2 A.   . B.   . 2  1 1 2 1 1 x  1 2t
x  4  2t  
C. y  4  t .
D. y  2  t . z  2  t   z tx  4 y  5 z  7
Câu 4: Trong không gian Oxyz , tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng d :   . 7 4 5     
A. u  4;5; 7   . B. u  7; 4  ; 5   .
C. u  7;4; 5   . D. u  5; 4  ; 7   .
Câu 5: Trong không gian Oxyz , phương trình đường thẳng đi qua điểm A 1;2;3 và có vectơ chỉ  phương u  2; 1  ; 6 là x  2 y 1 z  6 x  2 y 1 z  6 A.   . B.   . 1 2  3 1 2 3 x 1 y  2 z  3 x 1 y  2 z  3 C.   . D.   . 2 1  6 2 1  6 x  1 2t
Câu 6: Cho đường thẳng d có phương trình tham số  y  2  t . Viết phương trình chính tắc của đường
z  3  t  thẳng d . x  1 y  2 z  3 x  1 y  2 z  3 A. d :   . B. d :   . 2 1 1 2 1 1 x  1 y  2 z  3 x  1 y  2 z  3 C. d :   . D. d :   . 2 1 1 2 1 1 x  2 y 1 z  3
Câu 7: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d :  
. Điểm nào sau đây không thuộc 3 1  2
đường thẳng d ? A. N 2; 1  ;   3 B. P 5; 2  ;   1 C. Q  1  ;0; 5   D. M  2  ;1;  3
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 30
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
x  2  2t
Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độOxyz , cho đường thẳng  có phương trình y  1  3t . Một
z  4  3t
trong bốn điểm được liệt kê ở bốn phương án , A ,
B C,D dưới đây nằm trên đường thẳng . Đó là điểm nào?
Q 2;7;10
B. M 0; 4; 7 .
C. N 0; 4;7 .
D. P 4;2;1 . A. . x  1 2t
Câu 9: . Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : y  3
. Trong các vecto sau, vecto nào là một
z  5  3t
vecto chỉ phương của đường thẳng d .    
A. a  2;3;3 . B. a  2  ;0;3 . C. a  2  ;3;3 .
D. a  1;3;5 . 1   1   3   1  
Câu 10: Trong không gian Oxyz , đường thẳng chứa trục Oy có phương trình tham số là x  0 x  0 x tx  0    
A. y  1
B. y t
C. y  0 D. y  0 z t     z  0  z  0  z tx 1 y  2 z
Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :   , vectơ nào dưới 1 3 2 
đây là vtcp của đường thẳng d ?     A. u   1  ;3; 2   .
B. u  1;3; 2 . C. u  1; 3  ; 2   . D. u   1  ; 3  ;2 . A 1; 4; 7  
Câu 12: Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm
và vuông góc với mặt phẳng
x  2 y  2z  3  0 có phương trình là x 1 y  4 z  7 x 1 y  4 z  7 A.   . B.   . 1 4 7 1 2 2 x 1 y  4 z  7 x 1 y  4 z  7 C.   . D.   . 1 2 2 1 2 2
Câu 13: Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm A1;2; 
3 và vuông góc với mặt phẳng
4x  3y  3z 1  0 có phương trình là. x  1 4tx  1 4tx  1 4tx  1   4t    
A. y  2  3t .
B. y  2  3t .
C. y  2  3t . D. y  2   3t . z  3 t     z  3  3tz  3  3tz  3   3t
Câu 14: Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm A3; 1
 ; 2 và vuông góc với mặt phẳng
P : x y 3z 5  0 có phương trình là:
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 31
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz x  3 y 1 z  2 x  3 y 1 z  2 A. d :   . B. d :   . 1 1 3  1 1 3 x 1 y 1 z  3 x 1 y 1 z  3 C. d :   . D. d :   . 3 1  2 3 1  2 x 1 y  2 z  3
Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d có phương trình   . 3 2 4
Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng d ? A. P7;2;  1 . B. Q 2  ; 4  ;7 .
C. N 4;0;  1 . D. M 1; 2  ;  3 . x  2t
Câu 16: Trong không gian Oxyz , một vectơ chỉ phương của đường thẳng  :  y  1   t là z  1      A. v  2; 1  ; 0 .
B. u  2;1  ;1 . C. m  2; 1   ;1 .
D. n  2;1;0 .
Câu 17: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P : x  2y  3z  2  0 . Đường thẳng d vuông góc với
mặt phẳng  P có một vectơ chỉ phương là    
A. u  1; 2;3 B. u  1; 3  ; 2 C. u  1; 2  ; 2 D. u  1; 2  ; 3  2   1   3   4   x  3 y  2 z 1
Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :   . Điểm nào sau 2 1  4
đây không thuộc đường thẳng d ? A. P1; 1  ;   5 . B. Q5; 3  ;  3 . C. M 1; 1  ; 3   . D. N 3; 2  ;   1 .
x  4  3t
Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M 0; 2; 0 và đường thẳng d : y  2  t . z  1   t
Đường thẳng đi qua M , cắt và vuông góc với d có phương trình là x y  2 z x 1 y z x 1 y 1 z x y z 1 A.   B.   C.   D.   1  1 2 1 1  2 1 1 2 1 1 2 x  2 y  2 z
Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , đường thẳng d :   đi qua những điểm nào 1 2 3 sau đây?
A. B 2; 2;0 B. C  3  ;0;  3 C. D 3;0;  3 D. A 2  ; 2;0
Câu 21: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P : 2x  3y  2z  2  0 và Q : x  3y  2z 1  0 .
Phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và song song với hai mặt phẳng  P , Q là x y z x y z x y z x y z A.   . B.   . C.   . D.   . 9 12 2  12 2 9 9 12 2  12 2 9 
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 32
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
Câu 22: Trong không gian Oxyz , cho điểm A3;1; 5
  , hai mặt phẳng  P : x y z  4  0 và Q :
2x y z  4  0 . Viết phương trình đường thẳng  đi qua A đồng thời  song song với hai
mặt phẳng  P và Q . x  3 y 1 z  5 x  3 y 1 z  5 A.  :   . B.  :   . 2 1  3  2 1  3  x  3 y 1 z  5 x  3 y 1 z  5 C.  :   . D.  :   . 2 1 3  2  1  3
Câu 23: Trong không gian Oxyz , cho điểm A1; 2;  
1 , đường thẳng d có phương trình x  3 y  3 z  
và mặt phẳng α có phương trình x y z  3  0 . Đường thẳng  đi qua 1 3 2
điểm A , cắt d và song song với mặt phẳng α có phương trình là x 1 y  2 z  1 x 1 y  2 z  1 A.   B.   1 2  1 1 2 1 x 1 y  2 z 1 x 1 y  2 z  1 C.   D.   1 2 1 1 2  1
Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P : x  2y  2z  5  0 và đường thẳng x 1 y 1 z d :  
. Đường thẳng  nằm trên mặt phẳng  P , đồng thời vuông góc và cắt 2 2 1
đường thẳng d có phương trình là x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 A.   B.   . 2 3  2 2 3 2  x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 C.   . D.   . 2 3 2 2 3 2 x 1 y  2 z 1
Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng  :   và 1 3 1 2 x  3 x 1 y z 1   :  
. Phương trình đường thẳng song song với d :  y  1 t và cắt hai đường 2 1 2 3 z  4  t  thẳng  ;  là 1 2 x  2  x  2 x  2 x  2     A. y  3   t . B. y  3   t .
C. y  3  t .
D. y  3  t . z  3   t     z  3  tz  3  tz  3   t
Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A1;0; 2 và đường thẳng d có phương trình: x 1 y z 1  
. Viết phương trình đường thẳng  đi qua A , vuông góc và cắt d . 1 1 2 x 1 y z  2 x 1 y z  2 A.  :   . B.  :   . 1 1 1  2 1 1
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 33
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz x 1 y z  2 x 1 y z  2 C.  :   . D.  :   . 1 3  1 1 1 1
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 34
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
BÀI 6: TOÁN TỔNG HỢP VỀ PP TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  : 2x  2y z  3  0 và điểm M 1; 2  ;1 
3 . Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  .
A. d M  5 ,  .
B. d M,  4.
C. d M  4 ,  .
D. d M  2 ,  . 3 3 3
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P : x  2y  2z  5  0 và điểm A 1  ;3; 2
 . Khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng P bằng 2 3 14 14
A. d  1. B. d  . C. d  . D. d  . 3 14 7
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng  P : x  2y  2z  3  0 và
Q : x  2y  2z 1  0 . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đã cho là 4 2 4 A. . B. . C. 4 . D. . 3 3 9
Câu 4: Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng  P : 2x 3y z  4  0 ; Q :5x  3y  2z  7  0
Vị trí tương đối của  P &Q là A. Vuông góc. B. Trùng nhau. C. Song song.
D. Cắt nhưng không vuông góc.
Câu 5: Khoảng cách từ điểm M  2  ; 4  ; 
3 đến mặt phẳng  P có phương trình 2x y  2z  3  0 là: A. 3. B. 1. C. 2 .
D. Đáp án khác.
Câu 6: Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1; 2;3 . Hình chiếu vuông góc của M trên Oxz là điểm nào sau đây.
A. K 0; 2;3 .
B. H 1; 2; 0 .
C. F 0; 2;0 .
D. E 1; 0;3 .
Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M 2; 1  ; 
1 , tìm tọa độ M  là hình chiếu vuông
góc của M trên mặt phẳng Oxy .
A. M 2;1;  1 .
B. M 0;0;  1 . C. M 2; 1  ;0 . D. M  2  ;1;0 .
Câu 8: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng  P : 2x y  2z  4  0 và điểm
A(1; 2; 2) . Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng  P . 4 8 2 5 A. d  . B. d  . C. d  . D. d  . 3 9 3 9
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 35
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
Câu 9: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng  P : 3x  4y  2z  4  0 và điểm
A1; –2;3. Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng  P. 5 5 5 5 A. d . B. d  . C. d  . D. d  . 3 9 29 29
Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho điểm A2; 3  ; 
5 . Tìm tọa độ A là điểm đối xứng với A qua trục Oy . A. A 2  ; 3  ;5 B. A 2  ; 3  ; 5  
C. A2;3;  5 D. A2; 3  ; 5  
Câu 11: Trong không gian Oxyz , cho điểm M 5;7; 13 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên
mặt phẳng Oyz . Tọa độ điểm H là? A. H 5; 0; 1  3
B. H 0; 7; 13
C. H 5; 7; 0 D. H 0; 7  ;13
Câu 12: Trong không gian Oxyz cho điểm A 1  ;2; 
1 , hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng
tọa độ Oxy là
A. P 0; 2;  1 B. N  1  ;0;  1
C. Q 0; 2;0 D. M  1  ;2;0
Câu 13: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P : 2x  3y  6z 19  0 và điểm A 2  ; 4;  3 . Gọi d là
khoảng cách từ A đến mặt phẳng  P . Khi đó d bằng A. 3. B. 2 . C. 1. D. 4.
Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A0, 1
 , 2 và mặt phẳng  có phương trình
4 x y  2 z  3  0 . Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng  . 8 8 7 8 A. d  . B. d  . d D. d  . 21 21 C. 21 . 21
Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tính khoảng cách từ điểm M 1; 2;  3 đến mặt phẳng
P : x  2y  2z  2  0 . 11 1 A. 3. B. . C. . D. 1. 3 3
Câu 16: Trong không gian Oxyz , góc giữa hai mặt phẳng  P :8x  4y 8z 11  0 ;
Q : 2x  2y  7  0 . A. . B. . C. . D. . 6 3 4 2
Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng  P : 2x  3y  4z 12  0 cắt trục Oy tại điểm có tọa độ là
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 36
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
A. 0; 4; 0
B. 0; 6; 0
C. 0; 3; 0
D. 0;  4; 0
Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , hình chiếu vuông góc M ' của điềm M ; 1 (  ; 1 2) trên Oy có tọa độ là A. (0;0;2) . B. (0 ; 1 ; 0) . C. ( ; 0  ; 1 0) . D. ; 1 ( ; 0 0) .
Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , hình chiếu của điểm M 1; 3  ; 5
  trên mặt phẳng Oyz có tọa độ là
A. 0; 3;0 . B. 0; 3  ; 5   . C. 0; 3  ;  5 . D. 1; 3  ;0 . x  3 y 1 z  2
Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d :   và 1 2 1 3 x 1 y  5 z 1 d :  
. Xét vị trí tương đối giữa d và d . 2 4 2 6 1 2
A. d chéo d .
B. d cắt d . 1 2 1 2
C. d song song với d .
D. d trùng d . 1 2 1 2
Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A 1  ;2;  1 , B 4  ; 2; 2   , C  1  ; 1  ; 2   , D 5  ; 5
 ; 2 . Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng  ABC
A. d  3 3 .
B. d  4 3 .
C. d  3 .
D. d  2 3 . x y 1 z 1
Câu 22: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho hai đường thẳng d :   và 1 1 1 2 x 1 y z  3 d :  
. Góc giữa hai đường thẳng đó bằng 2 1  1 1 A. 45 . B. 60 . C. 30 . D. 90 .
Câu 23: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt cầu  S  2 2 2
: x y z  2x  4y  2z  3  0 . Hỏi
trong các mặt phẳng sau, đâu là mặt phẳng không có điểm chung với mặt cầu  S  ?
A. : x  2y  2z 3  0 .
B. : 2x  2y z 10  0 . 4  3 
C. : x  2y  2z 1  0.
D. : 2x y  2z  4  0 . 2  1 
Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P : 2x  2y z 8  0 và mặt cầu S 2 2 2
: x y z  6x  4y  2z  2  0 . Gọi I  , a ,
b c là tâm đường tròn giao tuyến của mặt cầu
S  với mặt phẳng P . Giá trị của tổng S a b c bằng A. 1. B. 2 . C. 1  . D. 2  .
Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  : x  2y  3z  6  0 và đường thẳng x 1 y 1 z  3  :  
. Mệnh đề nào sau đây đúng? 1  1  1
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 37
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
A.  cắt và không vuông góc với  .
B.    .
C. //  .
D.    .
Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1  ;0;  1 , B1;2; 
3 . Đường thẳng AB cắt
mặt phẳng tọa độ Oyz tại điểm M x ; y ; z
. Giá trị của biểu thức T x y z là M M M M M M A. 0 . B. 4 . C. 2 . D. 4  .
x  3  t
Câu 27: Cho mặt phẳng (P) : 2x y  3z  1  0 và đường thẳng d : y  2  2t . z 1 
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. d cắt  P .
B. d //  P .
C. d   P .
D. d   P .
Câu 28: Trong không gian Oxyz , cho A1;3; 2 , B3;5;12 . Đường thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz tại BN N . Tính tỉ số . AN BN BN BN BN A.  2 . B.  5 . C.  3. D.  4 . AN AN AN AN
Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng  P : x  2y  2z  3  0 và
Q : x  2y  2z 1  0 . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng P và Q là: 4 2 4 4 A. . B. . C. . D.  . 9 3 3 3
Câu 30: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng  P : x y  2z  5  0 và đường thẳng x 1 y  2 z  :  
. Gọi A là giao điểm của  và  P ; và M là điểm thuộc đường thẳng  2 1 3
sao cho AM  84 . Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng  P . A. 3 B. 5 C. 6 D. 14 x 1 y 1 z 1
Câu 31: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d :   và 2 3 2 x 1 y  2 z  3 d :  
. Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng d và d  . 2 1 1 10 21 4 21 22 21 8 21 A. h  . B. h  . C. h  . D. h  . 21 21 21 21
Câu 32: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A3; 1  ;  1 , B4;2; 
3 . Gọi A là hình chiếu
vuông góc của A trên mặt phẳng Oxy và B là hình chiếu vuông góc của B trên mặt phẳng
Oyz . Độ dài đoạn thẳng A B   bằng
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 38
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz A. 2 . B. 3 . C. 2 3 . D. 3 3 .
Câu 33: Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng  : x  2 y z 1  0 và  : 2x  4y mz  2  0 .
Tìm m để  và   song song với nhau.
A. m  1. B. m  2 . C. m  2
 . D. Không tồn tại m .
Câu 34: Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng  P : 2x  4y  3z  5  0 và
Q : mx ny  6z  2  0 . Giá trị của m , n sao cho P song song với Q là:
A. m  4 ; n  8
B. m n  4 C. m  4  ; n  8
D. m n  4 
Câu 35: Trong không gian với hệ trục Oxyz , khoảng cách h từ điểm A 4
 ;3; 2 đến trục Ox là
A. h  13 .
B. h  3 .
C. h  2 5 .
D. h  4 .  1 3 
Câu 36: Trong không gian Oxyz , cho điểm M  ;
;0  và mặt cầu S  2 2 2
: x y z  8 . Đường 2 2  
thẳng d thay đổi, đi qua điểm M , cắt mặt cầu  S  tại hai điểm ,
A B phân biệt. Tính diện tích
lớn nhất S của tam giác OAB .
A. S  2 7.
B. S  2 2. C. S  7.
D. S  4.
Câu 37: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu S  2 2 2
: x y z  2x  2y  2z  0 và đường x mt  thẳng 2
d :  y m t với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d z mt
tiếp xúc với mặt cầu  S  . m  2 A. m  2  . B.  .
C. m  0 .
D. m  1. m  0 
Câu 38: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , A 0; 1
 ; 2 và B 1;0; 2 lần lượt là hình chiếu vuông góc x y 1 z  2 của điểm I ( ; a ; b c) trên  :  
và  P : 2x y  2z  6  0 . Tính S a b c . 4 1 1  A. 0. B. 4  3 . C. 3  2 . D. 5  3 . x  2 y 1 z
Câu 39: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  :   và điểm 2 2 1 I 2;1;  
1 . Mặt cầu tâm I tiếp xúc với đường thẳng  cắt trục Ox tại hai điểm A , B . Tính độ
dài đoạn AB . A. AB  6 .
B. AB  24 .
C. AB  4 .
D. AB  2 6 .
Câu 40: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng  P : x  2y  2z  9  0 , mặt cầu  S  tâm
O tiếp xúc với mặt phẳng  P tại H a; ;
b c . Tổng a b c bằng A. 1. B. 1  . C. 2 . D. 2 .
ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 39
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
BÀI 1: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ A – LÝ THUYẾT CHUNG
1.1. Khái niệm mở đầu
Trong không gian cho ba trục Ox, Oy, Oz phân biệt và vuông góc từng đôi một. Gốc tọa độ O, truc hoành
Ox, trục tung Oy, trục cao Oz, các mặt tọa độ Oxy,Oyz ,Ozx.
1.2. Khái niệm về hệ trục tọa độ
Khi không gian có hệ tọa độ thì gọi là không gian tọa độ Oxyz hay không gian Oxyz. 2  2 2
i j k  1 2  2 Chú ý: a a   
i j ik jk  0      
1.3. Tọa độ véc tơ u x
( ;y;z)  u x
( ;y;z)  u xi y j zk    
1.4. Tọa độ điểm M x
( ;y;z)  OM xi y j zk
1.5. Các công thức tọa độ cần nhớ   Cho u a ( ;b;c), v a ( ;b ;c )  a   a '    
u v b   b'  c   c'   
u v  a a ;b b ;c c   ku k
( a;kb;kc)       u v
.  u . v .cos u ( v
, )  aa  bb  cc   u v .
aa  bb  cc  cos u ( v , )       u . v u . v  2  u u a2 b2 c2        
u v u v .  0 
AB  x x ;y y ;z z B A B A B A   2 2 2
AB AB  x xy yz z B A   B A   B A 1.6. Chú ý  
Góc của 2 véc tơ u, v là góc hình học (nhỏ) giữa 2 tia mang véc tơ có, giá trị trong 0; là:         u v 2 sin , 
1  cos u,v  0
1.7. Chia tỉ lệ đoạn thẳng  
M chia AB theo tỉ số k nghĩa là MA kMB
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz x kx A B x   M 1  k   y ky
Công thức tọa độ của M là : A B y   M 1  kz kzA B z M  1  k
1.8. Công thức trung điểm x x A B x   M    2   y y
Nếu M là trung điểm AB thì MA MB  0 A By   M 2  z zA B z M  2 
1.9. Công thức trọng tâm tam giác
x x x A B C x   G
    3  
y y y
Nếu G là trọng tâm của ABC thì GA GB GC  0 A B Cy   G 3 
z z zA B C z G  3 
1.10. Công thức trọng tâm tứ diện
Nếu G là trọng tâm của tứ diện ABCD thì 
x x x x A B C D x   G
     4  
y y y y
GA GB GC GD  0 A B C Dy   G 4 
z z z zA B C D z G  4 
1.11. Tích có hướng 2 véc tơ  
Cho 2 véc tơ u a
( ;b;c) và v a ( ;b ;c )
 ta định nghĩa tích có hướng của 2 véc tơ đó là một véc tơ, kí     hiệu u
 ,v hay u v có toạ độ:      b c c a a b u  ,v   ; ;
  bc  b c;ca  ac ;ab  ba  
bccaab   
1.12. Tính chất tích có hướng 2 véc tơ    
 u, v  vuông góc với u và v      
 u, v   u . v sin u, v      
 u, v   0  u, v cùng phương
1.13. Ứng dụng tích có hướng 2 véc tơ  
 Diện tích hình bình hành ABCD : S AB,AD    
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz 1  
 Diện tích ABC : S . AB,AC   2        
 Ba véc tơ u,v,w đồng phẳng: u, v w .  0  
  
 Thể tích khối hộp có đáy hình bình hành ABCD và cạnh bên A ’
A : V A
B,ADA . A   1
  
 Thể tích khối tứ diện S.ABC : V . AB,AC   S . A 6  
2. Phương pháp giải 1 số bài toán thường gặp
2.1. Các phép toán về toạ độ của vectơ và của điểm Phương pháp giải
 Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian.
 Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.
2.2. Xác định điểm trong không gian. Chứng minh tính chất hình học. Diện tích – Thể tích Phương pháp giải
 Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian.
 Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.
 Công thức xác định toạ độ của các điểm đặc biệt.
 Tính chất hình học của các điểm đặc biệt:         ,
A B, C thẳng hàng  AB, AC cùng phương  AB k AC  AB, AC   0    
ABCD là hình bình hành  AB DC
 Cho ABC có các chân E, F của các đường phân giác trong và ngoài của góc A của 
AB   AB 
ABC trên BC . Ta có: EB   EC . , FB F . C AC AC
  
    ,
A B, C, D không đồng phẳng  AB, AC , AD không đồng phẳng AB,AC   A . D  0   B – BÀI TẬP     
Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho u  3i  2 j  2k . Tìm tọa độ của u .    
A. u  2;3; 2   .
B. u  3;2; 2   . C. u  3; 2  ;2 . D. u   2  ;3;2 . Hướng dẫn giải Chọn C     
Ta có: u  3i  2 j  2k u  3; 2  ;2 .      
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho a 1;2;  
1 , b 3; 4;3 . Tìm tọa độ của x biết x b a .    
A. x 2;2; 4. B. x  2  ; 2  ; 4. C. x  2  ; 2  ; 4  .
D. x 1;1;2. Hướng dẫn giải Chọn A   
Ta có x b a  31;4  2;3   1  2;2; 4.   
Câu 3: Trong không gian Oxyz , cho các vectơ a  1;1; 2 , b  3;0;   1 và c   2  ;5;  1 . Toạ độ của    
vectơ u a b c là:    
A. u  6;  6;0
B. u  6;0; 6
C. u  0;6; 6 D. u   6  ;6;0 Hướng dẫn giải
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz Chọn A    
u a b c  1 3  2;1 0  5; 2 1  1  6; 6;0 .  
Câu 4: Trong không gian Oxyz cho hai véctơ u  1;  2  ;1 và v   2  ;1 
;1 , góc giữa hai vectơ đã cho bằng 2 5 A. . B. . C. . D. . 6 3 3 6 Hướng dẫn giải Chọn B.         u vu.v 3 1        u v 2 cos ; ;  . u . v 6. 6 2 3   
Câu 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba vectơ a   1
 ;1;0 , b  1;1;0 , c  1;1;  1 . Mệnh đề
nào dưới đây sai?       A. b  . a
B. c  3. C. b  . c
D. a  2. Hướng dẫn giải Chọn C     Ta có .
b c  1.11.1  0.1  2  0  b không vuông góc với c .  
Câu 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai véc tơ u 2;3;  1 và v 5; 4
 ;m. Tìm m để   u  . v
A. m  0 .
B. m  2 .
C. m  4 . D. m  2  . Hướng dẫn giải Chọn D    
Ta có u v  .
u v  0  10 12  m  0  2
  m  0  m  2  .  
Câu 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho 2 vectơ a   1
 ;1;0 ; b  1;1;0 . Trong các kết luận :  
I . a  b ;  
II . b a ;  
III  . a b ;  
IV . a b , có bao nhiêu kết luận sai ? A. 2 . B. 4 . C. 1. D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn A   Ta có a   1  ;1;0  1; 1
 ;0  b . Do đó  I ; III  sai.  
Ta có a  2  b . Do đó  II  đúng.     Ta có . a b   
1 .11.1  0 . Do đó a b hay  IV  đúng.
Vậy có 2 kết luận sai.         
Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ O;i ; j; k  , cho hai vectơ a  2; 1
 ; 4 và b i  3k . Tính . a b .         A. . a b  5 . B. . a b  1  0 .
C. a.b  11 .
D. a.b  13 . Hướng dẫn giải
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz Chọn B    Ta có b  1;0; 3   nên . a b  2 12  1  0 .  
Câu 9: Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ a  2; 4;  2 và b  1;  2; 
3 . Tích vô hướng của hai  
vectơ a và b bằng A. 1  2 . B. 30 . C. 6 . D. 2  2 . Hướng dẫn giải Chọn A   Ta có: . a b  2.1 4. 2    2.3  1  2 .  
Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vectơ u  1;1; 2 , v  1;0;m . Tìm m để góc giữa  
hai vectơ u, v bằng 45 .
A. m  2 .
B. m  2  6 .
C. m  2  6 .
D. m  2  6 . Hướng dẫn giải Chọn B      u v 1 2m 1 2m 2 Ta có: u v . cos ,       u . v 2 1 1   2  2 2 2 2 2 . 1  m 2 6. 1 m 2
 1 2m  3 1 m 1 2 2
 4m  4m  1  3  3m (điều kiện m  ). 2 m  2  6 2
m  4m  2  0  
. Đối chiếu đk ta có m  2  6 . m  2  6 
Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A3; 2;  1 , B  1
 ; 0; 5 . Tìm tọa độ trung
điểm của đoạn AB .
A. I (2; 2; 6) .
B. I (1; 1; 1) .
C. I (2; 1; 3) .
D. I (1; 1; 3) . Hướng dẫn giải Chọn D
Dựa vào công thức trung điểm I ( x ; y ; z ) của đoạn AB . I I Ix x A B x I  2   y y A By   I (1;1; 3) . I 2   z z A B z I   2
Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A1;2;3 và B 5; 2;0 . Khi đó:    
A. AB  61 .
B. AB  3 .
C. AB  5 .
D. AB  2 3 . Hướng dẫn giải Chọn C  
Ta có: AB  4;0;3 . Suy ra: AB     2 2 2 4 0 3  5 .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
Câu 13: Cho ba điểm A2; 1
;5 , B5; 5
;7 và M x; y;
1 . Với giá trị nào của x, y thì ba điểm
A,B,M thẳng hàng ?
A. x  4 và y  7 . B. x  4
 và y  7 . C. x  4
 và y  7 .
D. x  4 và x  7 . Hướng dẫn giải Chọn C  
Ta có AB  3; 4
;2 , AM   x  2; y 1; 4   . x  2 y 1 4  x  4 
Để ba điểm A,B,M thẳng hàng thì     . 3 4  2 y  7 
Câu 14: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A1;2;3 và B 2;1;2 . Tìm tọa độ điểm M thỏa  
MB  2MA .  1 3 5  A. M 4;3;  1 .
B. M 4;3; 4 . C. M  1  ;3;5 . D. M  ; ;   .  2 2 2  Hướng dẫn giải Chọn B
2  x  2 1 x   x  4  
Gọi M x; y; z  , MB  2MA  1
  y  22  y    y  3  M  4;3; 4 .  
2  z  2 3  z z  4  
Câu 15: Tìm tọa độ điểm M trên trục Ox cách đều hai điểm A1;2; 
1 và điểm B 2;1; 2 .  1   3   2   1  A. M ; 0; 0   . B. M ; 0; 0   . C. M ; 0; 0   . D. M ; 0; 0   .  2   2   3   3  Hướng dẫn giải Chọn B Gọi M  ;
x 0; 0 Ox . 2 2 3  3  Ta có: 2 2
MA MB MA MB  1 x  4 1  2  x 1 4  x   M ;0; 0   . 2  2 
Câu 16: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , điểm thuộc trục Oy và cách đều hai điểm ( A 3; 4;1)
và B(1; 2;1) là
A. M (0;5;0).
B. M (0; 5;0).
C. M (0; 4; 0).
D. M (5;0;0). Hướng dẫn giải Chọn A Gọi M 0; ; b 0 Oy . 2 2
Theo đề: MA MB  10  4  b  2  2  b  4b  20  b  5.
Vậy M 0;5;0 .  
Câu 17: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai vec tơ a 1; 2;0 và b  2  ;3;  1 . Khẳng định
nào sau đây là sai?   
A. b  14 .
B. a.b  8  .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz   
C. 2a  2; 4;0 .
D. a b   1  ;1;  1 . Hướng dẫn giải Chọn D
a b   1  ;1;  1 .
Câu 18: Trong không gian Oxyz , điểm nào sau đây thuộc trục Oy ?
A. M 1;0;0 .
B. M 0;0;  3 .
C. M 0; 2  ;0 . D. M  1
;0;2 . Hướng dẫn giải Chọn C
Điểm M x ; y ; z  Oy x z  0 . M M M M M
Câu 19: Trong không gian Oxyz, cho điểm A1; 2
 ;3 . Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt
phẳng Oyz là điểm M. Tọa độ của điểm M là A. M 1; 2  ;0 . B. M 0; 2  ;  3 .
C. M 1;0;0 .
D. M 1;0;3 . Hướng dẫn giải Chọn B
Điểm M là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng Oyz , khi đó hoành độ điểm A: x  0 A
Do đó tọa độ điểm M 0; 2  ;  3 .  
Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho OM  1;5;2 , ON  3;7; 4
  . Gọi P là điểm đối
xứng với M qua N . Tìm tọa độ điểm P .
A. P2;6;  1 . B. P 5;9; 1  0 . C. P 7;9; 1  0.
D. P5;9;  3 . Hướng dẫn giải Chọn B  
Ta có: OM  1;5;2  M 1;5;2 , ON  3;7; 4    N 3;7; 4   .
Vì P là điểm đối xứng với M qua N nên N là trung điểm của MP nên ta suy ra được
x  2x x  5 P N M
y  2 y y  9  PP N M 5;9; 10
z  2z z  1  0  P N M
Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm K 2;4;6 , gọi K là hình chiếu vuông góc của
K lên Oz , khi đó trung điểm của OK có tọa độ là: A. 0;0;  3 .
B. 1;0;0 . C. 1; 2;  3 .
D. 0;2;0 . Hướng dẫn giải Chọn A
Gọi I là trung điểm của OK ' .
Ta có K '0;0;6 là hình chiếu vuông góc của K lên Oz I 0;0;  3 .
Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng Oxy ?
A. N 1; 0; 2 .
B. P 0;1; 2 .
C. Q 0;0; 2 .
D. M 1; 2; 0 . Hướng dẫn giải Chọn D
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
Phương trình mặt phẳng Oxy : z  0 . Kiểm tra tọa độ các điểm ta thấy D  Oxy  .
Câu 23: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A1; 2; 4 và B  3
 ; 2; 2 . Toạ độ của  AB là
A. 2;4; 2 . B.  4  ; 0;6 . C. 4;0; 6   . D.  1  ; 2;   1 . Hướng dẫn giải Chọn B  Ta có AB   4  ;0;6 .     
Câu 24: Trong không gian Oxyz , cho vectơ a biểu diễn của các vectơ đơn vị là a  2i k 3 j . Tọa độ  của vectơ a là
A. 1;  3; 2 .
B. 1; 2;  3 . C. 2;  3;  1 . D. 2;1;  3 . Hướng dẫn giải Chọn C        
a  2i k  3 j  2i  3 j k nên a  2;3  ;1 .
Câu 25: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A1;2;4 , B2;4; 
1 . Tìm tọa độ trọng tâm
G của tam giác OAB . A. G 1;2;  1 . B. G 2;1;  1 . C. G 2;1;  1 . D. G 6;3;  3 . Hướng dẫn giải Chọn A
x x x A B O x G  3  x  1 G
y y y
Gọi G là trọng tâm của tam giác theo công thức ta có A B Oy    y  2 . G 3 G  z  1 
z z zG A B O z G   3 Vậy G 1;2;  1 .
Câu 26: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A3;4;2, B 1  ; 2
 ;2 và G1;1;  3 là trọng tâm của tam
giác ABC . Tọa độ điểm C là
A. C 0;1; 2 .
B. C 0;0;2 .
C. C 1;1;5 .
D. C 1;3; 2 . Hướng dẫn giải Chọn C
Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có 
x x x A B C x G  3 
x  3x x x  1 C G A B
y y yA B Cy
  y  3y y y  1  C . G C G A B 1;1;5 3 
z  3z z z  5  C G A B
z z z A B C z G   3
Câu 27: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A1; 2;  
1 , B 2; 1; 3 , C  3  ; 5;  1 .
Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz A. D  2  ; 8;  3 . B. D  2  ; 2; 5 . C. D  4  ; 8;  5 . D. D  4  ; 8;  3 . Hướng dẫn giải Chọn D.   x 1  5  D
Ta có: AD BC   x 1; y  2; z   1   5  ; 6; 2 
  y  2  6  D4;8;3 . D D DDz 1  2  D
Câu 28: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A1; 4; 2 , B 4; 2;  3 , C 3;1;5 . Tìm tọa độ đỉnh D
của hình bình hành ABCD . A. D 6  ;  5 10 .
B. D 0;7;0 .
C. D 6; 5;10 .
D. G 2; 1;3 . Hướng dẫn giải Chọn C Gọi D  ; x y; z .   3  x  3 x  6  
ABCD là hình bình hành  AB DC  1   y  6
  y  5  D 6; 5;10 . 5  z  5    z  10 
Câu 29: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A4;1; 2 . Tọa độ điểm đối xứng với A
qua mặt phẳng Oxz là
A. A4;1;2 .
B. A4; 1; 2 .
C. A4; 1;  2 .
D. A4;1; 2 . Hướng dẫn giải Chọn C
Hình chiếu của A lên mặt phẳng Oxz là H 4;0; 2   .
 tọa độ điểm đối xứng là A 4; 1  ; 2   .
Câu 30: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 3; 4;5 , B 1; 0;1 . Tìm tọa độ điểm M   
thõa mãn MA MB  0 .
A. M  4; 4; 4 .
B. M 1; 2;3 .
C. M 4; 4; 4 .
D. M 2; 4; 6 . Hướng dẫn giải Chọn B
Gọi tọa độ điểm M là : M x; y; z   
Vậy  MA  3  ; x 4  ;
y 5  z  và MB   1   ; x 0  ; y 1 z  x  1    
Vậy MA MB  2  2 ;
x 4  2 y; 6  2z   0   y  2 . z  3 
Câu 31: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A1;2;3 và B 5; 2;0 . Khi đó:    
A. AB  3 .
B. AB  2 3 .
C. AB  61 .
D. AB  5 . Hướng dẫn giải Chọn D  
Ta có: AB  4;0;3 . Suy ra: AB     2 2 2 4 0 3  5 .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 10
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
Câu 32: Trong không gian Oxyz , cho a   3  ; 2; 
1 và điểm A4;6; 
3 . Tìm tọa độ điểm B thỏa mãn  
AB a . A.  7  ; 4  ;4 . B.  1  ; 8  ;2 . C. 7; 4; 4   . D. 1;8; 2   . Hướng dẫn giải Chọn D  Giả sử B  ; a ;
b c khi đó AB  a  4;b  6;c   3 .   a  4  3 a  1  
Khi đó AB a b   6  2  b
  8  B 1;8; 2   . c  3 1   c  2  
Câu 33: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A2;0;0, B0;2;0 ,C 0;0;2 và
D2;2;2 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Tọa độ trung điểm I của MN là:  1 1  A. I 1; 1  ; 2 .
B. I 1;1;0 . C. I ; ;1   . D. I 1;1;  1 .  2 2  Hướng dẫn giải Chọn D
Cách 1: Ta có M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD nên M 1;1;0, N 1;1;2 , từ đó
suy ra trung điểm của MN là I 1;1;  1 .
Cách 2: Từ giả thiết suy ra I là trọng tâm tứ diện.Vậy I 1;1;  1 .
Câu 34: Trong không gian Oxyz cho các điểm A3; 4
 ;0; B0;2;4;C 4;2; 
1 . Tọa độ diểm D trên
trục Ox sao cho AD BC là:
A. D 0;0;0  D 0;0; 6   . B. D 0;0; 3
   D0;0;3 .
C. D 0;0;0  D 6;0;0 .
D. D 0;0; 2  D 0;0;8 . Hướng dẫn giải Chọn C Gọi D  ; x 0; 0 .     AD   x   2
AD   x   2 2 3;4;0 3  4  0  x  0 Ta có:       . BC 4; 0; 3   x  6   BC  5  
Câu 35: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm A0;  2;  
1 và A1; 1; 2 . Tọa độ
điểm M thuộc đoạn AB sao cho MA  2MB là  2 4   1 3 1 
A. M  ; ; 1 .
B. M  ; ;  .
C. M 2; 0; 5 . D. M  1  ; 3  ; 4   .  3 3   2 2 2  Hướng dẫn giải Chọn A  
Ta có: AM  2MB
x x  2(x x ) M A B M
  y y  2( y y ) M A B M
z z  2(z z )  M A B M
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 11
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz  2 xM  3 3  x  2x x M B A    4  3  y
 2 y y y   . M B A M  3 3
z  2z z   M B A z  1  M
Câu 36: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A1;2;  1 , B2;1;  3 , C  4  ;7;5 . Tọa độ
chân đường phân giác trong góc B của tam giác ABC là 11   2 11 1   2 11  A.  2  ;11;  1 . B. ;  2;1   . C. ; ;   . D.  ; ;1   .  3   3 3 3   3 3  Hướng dẫn giải Chọn D    
Ta có: BA  1;  3;4  BA  26; BC   6
 ;8; 2  BC  2 26 .
Gọi D là chân đường phân giác trong kẻ từ B lên AC của tam giác ABC DA BA    2 11  Suy ra : 
DC  2DA D  ; ;1   . DC BC  3 3   
Câu 37: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai vectơ a  0;3; 
1 , b  3;0;  1 . Tính  
cos a,b .     A. a b 1 cos ,   . B. a b 1 cos ,  . 10 10     C. a b 1 cos ,   . D. a b 1 cos ,  . 100 100 Hướng dẫn giải Chọn A     . a b 0.3  3.0  1. 1   
Ta có cos a,b        a b 1 cos ,   . a . b
0  3  1 . 3  0   2 2 2 2 2 2 1 10
Câu 38: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M 3; 2  ; 
3 , I 1;0;4. Tìm tọa độ điểm N
sao cho I là trung điểm của đoạn MN.  7  A. N 5; 4  ; 2 .
B. N 0;1;2 . C. N 2; 1;   D. N  1  ; 2;5 .  2  Hướng dẫn giải Chọn D
Giả sử N ( x; y; z) . Do I là trung điểm của MN nên  x x M N x I  2 
x  2x xx  1  N I M Ny y   M Ny
  y  2 y y   y  2  M ( 1  ; 2;5) . I 2 N I M N  z 2z z    z  5  N I MNz z M N z I   2
Câu 39: Trong không gian Oxyz cho điểm A3; 4  ; 
3 . Tổng khoảng cách từ A đến ba trục tọa độ bằng
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 12
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz 34 A. . B. 10  3 2 . C. 34 . D. 10 . 2 Hướng dẫn giải Chọn B
Hình chiếu của A lên trục Ox là A 3;0;0 nên d  ,
A Ox  AA  5 . 1   1
Hình chiếu của A lên trục Oy là A 0; 4  ;0 nên d  ,
A Oy  AA  3 2 . 2   2
Hình chiếu của A lên trục Oz là A 0;0;3 nên d  ,
A Oz  AA  5 . 3   3
Tổng khoảng cách từ A đến ba trục tọa độ bằng 10  3 2 .     
Câu 40: Cho các vectơ u  1; 2;3 , v  1; 2;3 . Tính độ dài của vectơ w u  2v    
A. w  85 .
B. w  185 .
C. w  26 .
D. w  126 . Hướng dẫn giải Chọn D    
Ta có w u  2v  3; 6;9  w    2 2 2 3 6  9  126 .
Câu 41: Trong không gian Oxyz , cho E  5
 ; 2;3 , F là điểm đối xứng với E qua trục Oy . Độ dài EF là. A. 2 34 . B. 2 13 . C. 2 29 . D. 14 . Hướng dẫn giải Chọn A
Gọi H là hình chiếu vuông góc của E lên Oy H 0;2;0 .
F là điểm đối xứng với E qua trục Oy nên H là trung điểm EF .
Suy ra F 2x x ;2 y y ; 2z z   5; 2; 3  . H E H E H E   
Ta có : EF  10;0;6 . EF EF  2 34 .
Câu 42: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tứ diện ABCD với A0; 0; 3 , B 0; 0;   1 , C 1; 0;   1 , D 0; 1;  
1 . Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. AB BD .
B. AB BC .
C. AB AC .
D. AB CD . Hướng dẫn giải Chọn C    
Ta có AB  0; 0;  4 , AC  1; 0;  4  A .
B AC  16  0  AB và AC không vuông góc.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 13
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
Câu 43: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho A 1  ; 2; 4 , B  1
 ;1; 4 , C 0;0;4 . Tìm số đo của góc  ABC . A. O 60 . B. 135 . C. O 120 . D. O 45 . Hướng dẫn giải Chọn B      B . A BC 1
Ta có: BA  0;1;0 , BC  1; 1
 ; 0  cos ABC     O
ABC  135 . B . A BC 2
Câu 44: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình hộp ABC . D A BCD
  . Biết A2;4;0 , B 4;0;0 , C  1
 ; 4;  7 và D6;8;10 . Tọa độ điểm B là
A. B8;4;10 .
B. B6;12;0 .
C. B10;8;6 .
D. B13;0;17 . Hướng dẫn giải Chọn D A' B' C'
D'(6; 8; 10)
A(2; 4; 0)
B(4; 0; 0) O D
C(-1; 4;-7) Giả sử D  ; a ;
b c , Ba ;b ;c a  3  1 7   
Gọi O AC BD O ; 4;    b   8 .  2 2  c  7      
Vậy DD  9;0;17 , BB  a  4;b ;c . Do ABC . D A BCD
  là hình hộp nên DD  BB a  13 
 b  0 . Vậy B13;0;17 . c 17 
Câu 45: Trong không gian Oxyz , cho hình hộp ABC . D A BCD
  có A1;0; 
1 , B 2;1; 2 , D1; 1;  1 ,
C4;5; 5 . Tính tọa độ đỉnh A của hình hộp.
A. A3;4; 6 .
B. A4;6; 5 .
C. A2;0;2 .
D. A3;5; 6 . Hướng dẫn giải Chọn D
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 14
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
   
Theo quy tắc hình hộp ta có: AB AD AA  AC .
   
Suy ra AA  AC  AB AD .   
Lại có: AC  3;5; 6 , AB  1;1 
;1 , AD  0; 1;0 . 
Do đó: AA  2;5; 7 .
Suy ra A3;5; 6 .
Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABC . D AB CD
  có A0;0;0, B3;0;0,
D0;3;0 và D0;3; 3
  . Tọa độ trọng tâm của tam giác AB C  là. A. 1; 2;  1  . 2;1; 2   2;1;  1  1;1; 2   B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn B .
Gọi Aa ;a ; a
Bb ;b ;b
C c ;c ;c 1 2 3  1 2 3  1 2 3  , , .
Do tính chất hình hộp ta có: a  0 1   
AA  DD  a  0  A0;0;  3 . 2 a  3   3 b  3  0 b   3 1 1    
BB  DD  b  0  b
 0  B 3; 0;  3 2 2   . b 3 b     3   3  3 c  3 c  3 1 1    
DC AB  c  3  0  c  3  C 3;3;0 2 2   . c 0   c  0  3  3
Tọa độ trọng tâm G của tam giác AB C
 là: G 2;1;  2 .   
Câu 47: Trong không gian Oxyz , cho hai vector a  a , a ,a ,b b ,b ,b khác 0. Tích có hướng của 1 2 3   1 2 3    
a và b và c . Câu nào sau đây đúng?  
A. c  a b a b , a b a b , a b a b .
B. c  a b a b , a b a b , a b a b . 3 1 1 3 1 2 2 1 2 3 3 1  1 3 3 1 2 2 1 2 3 2 2 3   
C. c  a b a b , a b a b , a b a b .
D. c  a b a b , a b a b , a b a b . 1 3 2 1 2 3 3 2 3 1 1 3  2 3 3 2 3 1 1 b 1 2 2 1  Hướng dẫn giải Chọn C
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 15
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz    a a a a a a  Ta có: 2 3 3 1 1 2  ; a b   ; ;
  a b a b , a b a b , a b a b . 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1    b b b b b b 2 3 3 1 1 2    
Câu 48: Cho a   2  ;0; 
1 ,b  1; 3;  2 . Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng ?      ,
a b   3
 ;  3;  6 .
B. a, b  3; 3;  6 . A.   .      
C. a, b  1; 1;  2 . D.  ,
a b   1  ; 1; 2 .     Hướng dẫn giải Chọn A  
Với các vectơ a   2  ;0;  1 ,b  1;3; 2   .    0 1 1 2 2 0 
* a,b   ; ;    3  ; 3  ; 6   .   3 2  2  1 1 3    
Vậy a,b   3  ; 3; 6   .      
Câu 49: Cho a  1;0;3 ; b  2;1;2 . Khi đó  ;
a b có giá trị là   A. 8 . B. 3 . C. 74 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn C     Ta có  ; a b  3; 8  ;  1 nên a b    2 2 2 ; 3 8 1  74 .    
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 16
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU A – LÝ THUYẾT CHUNG
1. Phương trình mặt cầu
1.1. Phương trình chính tắc
Phương trình của mặt cầu S  tâm I a;b;c , bán kính R là: S
x a 2  y b 2  z c 2  R2 ( ) : ( ) ( ) ( ) 1
Phương trình 1 được gọi là phương trình chính tắc của mặt cầu 2 2 2 2
Đặc biệt: Khi I O thì C
( ) : x y z R
1.2. Phương trình tổng quát 2 2 2
Phương trình : x y z a 2 x b 2 y c
2 z d  0 với a2  b2  c2  d  0 là phương trình của mặt
cầu S  có tâm I a;b;c , bán kính R a2 b2 c2     d .
2. Một số bài toán liên quan
2.1. Dạng 1: S  có tâm I a;b;c  và bán kính R thì S x a 2  y b 2  z c 2  R2 : ( ) ( ) ( )
2.2. Dạng 2: S  có tâm I a;b;c và đi qua điểm A thì bán kính R IA.
2.3. Dạng 3: S  nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính:
 Tâm I là trung điểm của đoạn thẳng x x y y z z A B A B A B AB : x  ; y  ; z I I I 2 2 2 AB
 Bán kính R IA  . 2
2.4. Dạng 4: S  đi qua bốn điểm A,B,C,D ( mặt cầu ngoại tiếp tứ diện)
 Giả sử phương trình mặt cầu S  có dạng:
x 2  y2  z2  a 2 x b 2 y c
2 z d  0 *.
 Thay lần lượt toạ độ của các điểm A, B,C, D vào *, ta được 4 phương trình.
THAM KHẢO THÊM SAU KHI HỌC BÀI PT MẶT PHẲNG, PT ĐƯỜNG THẲNG
2.5. Dạng 5: S  đi qua ba điểm A,B,C và có tâm I nằm trên mặt phẳng P  cho trước thì giải tương tự dạng 4
6. Dạng 6: Viết phương trình mặt cầu S  có tâm I a;b;c  , tiếp xúc với mặt phẳng P  cho trước thì bán
kính mặt cầu R d I;P
2.7. Dạng 7: Viết phương trình mặt cầu S  có tâm I a;b;c  , cắt mặt phẳng P  cho trước theo giao tuyến
là một đường tròn thoả điều kiện .
 Đường tròn cho trước (bán kính hoặc diện tích hoặc chu vi) thì từ công thức diện tích đường tròn S r 2
hoặc chu vi đường tròn P  2r ta tìm được bán kính đường tròn giao tuyến r .
 Tính d d I,P  
 Tính bán kính mặt cầu R d2 r 2  
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 17
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
 Kết luận phương trình mặt cầu. B – BÀI TẬP Câu 1: 2 2
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , mặt cầu  S   x     y   2 : 2
1  z  4 có tâm I và
bán kính R lần lượt là A. I 2; 1
 ;0, R  4 . B. I 2; 1
 ;0, R  2 . C. I  2
 ;1;0, R  2 . D. I  2  ;1;0, R  4 . Hướng dẫn giải Chọn C
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu
S   x  2  y   z  2 2 : 1 1  4 . A. I  1  ;0;  1 , R  2 .
B. I 1;0;  1 , R  4 .
C. I 1;0;  1 , R  2 . D. I  1  ;0;  1 , R  4 . Hướng dẫn giải Chọn C
Tọa độ tâm I 1;0; 
1 và bán kính R  2 . Câu 3: 2 2 2
Trong không gian Oxyz , mặt cầu  x  
1   y  2   z  3  4 có tâm và bán kính lần lượt là
A. I 1; 2; 3 ; R  2 .
B. I 1; 2; 3 ; R  4 . C. I  1
 ; 2;3 ; R  4 . D. I  1
 ; 2;3 ; R  2 . Hướng dẫn giải Chọn A
Câu 4: Phương trình mặt cầu tâm I 1;2; 
3 bán kính R  2 là: 2 2 2
A. x     y     z   2 1 2 3  2 . B. 2 2 2
x y z  2x  4 y  6z 10  0 . 2 2 2 C. x  
1   y  2   z  3  2 . D. 2 2 2
x y z  2x  4 y  6z 10  0 . Hướng dẫn giải Chọn A 2 2 2
R a b c d  4; I 1;2; 2   .
Câu 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt cầu  S  có phương trình:
x  2   y  2   z  2 1 2 3
 4 . Tìm toạ độ tâm I và bán kính R của  S  .
A. I (1; 2; 3) và R  4 .
B. I (1; 2; 3) và R  2 .
C. I (1; 2; 3) và R  2 .
D. I (1; 2; 3) và R  4 . Hướng dẫn giải Chọn B
Câu 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm M 6;2; 5   , N  4  ;0;7 . Viết phương
trình mặt cầu đường kính MN ? 2 2 2 2 2 2 A. x   1   y   1   z   1  62 .
B. x  5   y   1
  z  6  62 . 2 2 2 2 2 2 C. x   1   y   1   z   1  62 .
D. x  5   y   1
  z  6  62 . Hướng dẫn giải
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 18
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz Chọn C
Tâm của mặt cầu là trung điểm của MN , ta có.
Bán kính mặt cầu: r IM  62 . 2 2 2
Phương trình mặt cầu là  x   1   y   1   z   1  62 .
Câu 7: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S  2 2 2
: x y z x  2 y 1  0 . Tâm I và bán kính R của S  là  1  1  1  1 A. I ;1; 0   và R B. I ; 1; 0   và R  2  2  2  2  1  1  1  1 C. I ; 1; 0   và R D. I  ;1; 0   và R  2  2  2  4 Hướng dẫn giải Chọn A
Phương trình mặt cầu  S  có dạng 2 2 2
x y z  2ax  2by  2cz d  0 với  1  2  a  1 a     2  2  b  2      b  1  . 2  c  0  c  0 d  1   d  1  2  1   1  1
Do đó  S  có tâm I ;1; 0 2   và bán kính 2 2 2
R a b c d   1 1    .  2   2  2
Câu 8: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho mặt cầu  S  2 2 2
: x y z  2x  4y  2z  0 , toạ độ tâm
I và bán kính R của mặt cầu  S  là. A. I 1; 2   ;1 , R  6 . B. I 1; 2  ;  1 , R  6. C. I  1  ; 2;   1 , R  6 . D. I  1  ; 2;  1 , R  6 . Hướng dẫn giải Chọn C 2 2 2 Ta có 2 2 2
x y z  2x  4 y  2z  0   x  
1   y  2   z   1  6
Do đó mặt cầu  S  có tâm I  1  ;2; 
1 và bán kính R  6 .
Câu 9: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S  2 2 2
: x y z  4x  2y  6z  5  0 . Mặt cầu  S  có bán kính là A. 3 . B. 5 . C. 2 . D. 7 . Hướng dẫn giải Chọn A 2 2
Mặt cầu  S  có tâm I  2  ;1; 
3 và bán kính R    2 2  1   3    5  3 .
Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  có phương trình 2 2 2
x y z  2x  6 y 1  0 . Tính tọa độ tâm I , bán kính R của mặt cầu  S  .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 19
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz  I  1  ;3; 0  I 1; 3  ; 0  I  1  ;3; 0 I  1; 3  ; 0 A.  . B.  . C.  . D.  . R  3  R  3  R  9  R  10  Hướng dẫn giải Chọn A
Từ phương trình mặt cầu  S  suy ra tâm I  1  ;3;0 và bán kính 2 2 2
R a b c d  3.
Câu 11: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt cầu  S  2 2 2
: x y z  4x  2 y  6z  2  0 . Tìm
toạ độ tâm I và tính bán kính R của  S  . A. I  2
 ;1;3, R  4 .
B. I 2; 1; 3
  , R  4 .
C. I 2;1;3, R  2 3 .
D. I 2;1; 3
 , R  12 . Hướng dẫn giải Chọn B Mặt cầu 2 2 2
(S) : x y z  2ax  2by  2cz d  0 (với a  2;b  1;c  3, d  2 )
có tâm I  (a;  ;
b c)  (2;1; 3) , bán kính 2 2 2
R a b c d  4 .
Câu 12: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , mặt cầu  S  2 2 2
: x y z 8x  4y  2z  4  0 có
bán kính R là
A. R  5 .
B. R  25 .
C. R  2 .
D. R  5 . Hướng dẫn giải Chọn D 2 2 Bán kính mặt cầu là 2 R  4   2     
1  4  5 .
Câu 13: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm I  2  ;1; 
3 và mặt phẳng  P :
2x y  2z 10  0 . Tính bán kính r của mặt cầu  S  , biết rằng  S  có tâm I và nó cắt  P
theo một đường tròn T  có chu vi bằng 10. A. r  5
B. r  34
C. r  5 D. r  34 Hướng dẫn giải Chọn D
Đường tròn T  có bán kính R  5 .
d I,P  3
Mặt cầu  S  cắt mặt phẳng  P theo một đường tròn T  nên có bán kính: r
R  d I P2 2 ,  34 .
Câu 14: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho A(1;1; 3), B(1; 3; 2), C(1; 2; 3) . Mặt cầu tâm O và tiếp
xúc mặt phẳng (ABC) có bán kính R là 3 3 A. R  . B. R  3 . C. R  .
D. R  3 . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D   Ta có: AB  2  ; 2;   1 , AC  2  ;1;0 .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 20
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz     
Mặt phẳng  ABC  qua A1;1;3 và có vecto pháp tuyến là n AB, AC  1;2;2 .    
Phương trình mặt phẳng  ABC  là:  x   1  2  y  
1  2  z  3  0  x  2 y  2z  9  0 . 9 
Vậy R d O, ABC    3   . 3
Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, A 3  ; 4; 2 , B 5  ; 6; 2 , C  1  0; 17; 7   . Viết phương
trình mặt cầu tâm C bán kính AB . 2 2 2 2 2 2
A. x 10   y 17   z  7  8 .
B. x 10   y 17   z  7  8 . 2 2 2 2 2 2
C. x 10   y 17   z  7  8 .
D. x 10   y 17   z  7  8 . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có AB  2 2 . Phương tr 2 2 2
ình mặt cầu tâm C bán kính AB :  x 10   y 17   z  7  8 .
Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1;2;  3 và B  1  ;4;  1 . Phương trình mặt
cầu đường kính AB là: 2 2 2 2 2 A. 2
x   y  3   z  2  12 . B. x   1
  y  2   z  3  12 . 2 2 2 2 2 C. x   1
  y  4   z   1  12 . D. 2
x   y  3   z  2  3 . Hướng dẫn giải Chọn D
Trung điểm của AB là: I 0;3;2 , mặt khác 2 2
R IA  1  1  1  3 2 2
Phương trình mặt cầu cần tìm là: 2
x   y  3   z  2  3 .
Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm
I 1;2; 4 và thể tích của khối cầu tương ứng bằng 36. 2 2 2 2 2 2 A. x  
1   y  2   z  4  3. B. x  
1   y  2   z  4  9.. 2 2 2 2 2 2 C. x  
1   y  2   z  4  9.. D. x   1
  y  2   z  4  9. . Hướng dẫn giải Chọn B 4 Ta có 3 V
 R  36R  3. 3 2 2 2
Phương trình mặt cầu tâm I 1; 2;  4 và bán kính R  3 là :  x  
1   y  2   z  4  9..
Câu 18: Mặt cầu S  có tâm I 1;2; 
1 và tiếp xúc với mặt phẳng  P : x – 2 y – 2z – 8  0 có phương trình là 2 2 2 2 2 2 A. x  
1   y – 2   z   1  3 . B. x  
1   y – 2   z   1  9 . 2 2 2 2 2 2 C. x  
1   y – 2   z   1  9 . D. x  
1   y – 2   z   1  3 . Hướng dẫn giải Chọn B
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 21
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz 1 4  2  8
Do mặt cầu S  tiếp xúc với mặt phẳng  P nên d I;P  R R   3 . 1 4  4 2 2 2
Phương trình mặt cầu S  :  x  
1   y – 2   z   1  9 . Câu 19: 2 2
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu có phương trình  x     y   2 1 3  z  9 .
Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu đó. A. I  1
 ;3;0 ; R  3 . B. I 1; 3
 ;0 ; R  9 . C. I 1; 3
 ;0 ; R  3 . D. I  1
 ;3;0 ; R  9 . Hướng dẫn giải Chọn C
Mặt cầu đã cho có tâm I 1; 3
 ;0 và bán kính R  3 .
Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu tâm I 2;1; 
3 tiếp xúc với mặt phẳng Oxy có phương trình là 2 2 2 2 2 2 A. x   2   y   1   z   3  3 . B. x   2   y   1   z   3  4 . 2 2 2 2 2 2 C. x   2   y   1   z   3  2 . D. x   2   y   1   z   3  9 . Hướng dẫn giải Chọn D
Ta có mặt phẳng Oxy có phương trình z  0 nên d I;Oxy  3 2 2 2
 phương trình mặt cầu là  x   2   y   1   z   3  9 .
Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A 1
 ;3; 2 và mặt phẳng
P : 3x  6y  2z  4  0. Phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với mặt phẳng P là 2 2 2 2 2 2 1 A. x  
1   y  3   z  2  49 . B. x  
1   y  3   z  2  . 49 2 2 2 2 2 2 C. x  
1   y  3   z  2  7 . D. x  
1   y  3   z  2  1. Hướng dẫn giải Chọn D 3  18  4  4
Bán kính mặt cầu cần tìm: d  ,
A P   1 3  6   2  2 2 2 2 2 2
Do đó,  S  :  x  
1   y  3   z  2  1.
Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P : 2x  2 y z  3  0 và điểm I 1;2 3
. Mặt cầu  S  tâm I và tiếp xúc mpP có phương trình: A. 2 2 2
(S) : (x 1)  ( y  2)  (z  3)  4 B. 2 2 2
(S) : (x 1)  ( y  2)  (z  3)  2 . C. 2 2 2
(S) : (x 1)  ( y  2)  (z  3)  4 D. 2 2 2
(S ) : ( x 1)  ( y  2)  ( z  3)  16 ; Hướng dẫn giải Chọn A
Ta có (S ) là mặt cầu có tâm I 1; 2; 3 và bán kính R .
Vì (S ) tiếp xúc với mặt phẳng  P : 2x  2 y z  3  0 nên ta có
R d I; P  2 .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 22
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: 2 2 2
(x 1)  ( y  2)  ( z  3)  4 .
Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  có tâm I  1
 ;4;2 và tiếp xúc mặt phẳng P : 2
x  2y z 15  0 . Khi đó phương trình của mặt cầu  S  là 2 2 2 2 2 2 A. x  
1   y  4   z  2  9 . B. x  
1   y  4   z  2  81. 2 2 2 2 2 2 C. x  
1   y  4   z  2  9 . D. x  
1   y  4   z  2  81 . Hướng dẫn giải Chọn D 2  .  1  2.4  2 15 27
Ta có r d I,P    9 . 2 2 2 3 2  2 1 2 2 2
Vậy phương trình mặt cầu  S  là  x  
1   y  4   z  2  81 .
Câu 24: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S  có tâm I 2;1;  4 và mặt phẳng
P : x y  2z 1  0 . Biết rằng mặt phẳng P cắt mặt cầu S  theo giao tuyến là đường tròn
có bán kính bằng 1. Viết phương trình mặt cầu S  . 2 2 2 2 2 2
A. S  :  x  2   y  
1   z  4  25 .
B. S  :  x  2   y  
1   z  4  13 . 2 2 2 2 2 2
C. S  :  x  2   y  
1   z  4  25 .
D. S  :  x  2   y  
1   z  4 13. Hướng dẫn giải Chọn C 2 1 2.4 1
h d I,  P 
 2 6 . Bán kính mặt cầu: 2 2 R
h r  5 . 2 2 2 1 1  2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 23
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Chưa học PTĐT) A – LÝ THUYẾT CHUNG
1.1 Khái niệm về véc tơ pháp tuyến  
n khác 0 và có giá vuông góc mpP được gọi là véc tơ pháp tuyến của   P .
1.2. Tính chất của véc tơ pháp tuyến  
Nếu n là véc tơ pháp tuyến của P thì kn, (k  0) cũng là véc tơ pháp tuyến của   P .
2.1 Phương trình tổng quát của mpP 
Phương trình tổng quát của mpPqua M x
( ;y ;z ) và có véc tơ pháp tuyến n A ( ;B C ; ) là 0 0 0 A x
(  x )  B y
(  y )  C z (  z )  0 0 0 0
2.2. Khai triển của phương trình tổng quát
Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: Ax By Cz D  0 (trong đó ,
A B, C không đồng thời bằng 0)
2.3. Những trường hợp riêng của phương trình tổng quát
 P qua gốc tọa độ  D  0
 P song song hoặc trùng Oxy  A B  0
 P song song hoặc trùng Oyz  B C  0
 P song song hoặc trùng Ozx  A C  0
 P song song hoặc chứa Ox A  0
 P song song hoặc chứa Oy B  0
 P song song hoặc chứa Oz C  0
 P cắt Ox tại A ; a 0; 
0 , cắt Oy tại B0; ; b
0 và cắt Oz tại C 0;0;c  P có phương trình x y z  
 1a,b,c  0 a b c
3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng P : Ax By Cz D  0 và P : A x   B y   C z   D  0. Khi đó:
 P cắt P  A : B : C A : B : C . A B C D
 P  // P     . ABCDA B C D
 P  P     . ABCD    
 P  P  n nn .n
 0  AA  BB  CC  0. P P P P
4.1 Khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng
Ax By Cz D 0 0 0
Cho M x ;y ;z P
( ) : Ax By Cz D  0 d M ( , P ( ))  0 0 0  và ;
A2  B2  C 2
4.2. Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
5.1. Hình chiếu của 1 điểm lên mặt phẳng
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 24
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz   M
H, n cung phuong
Điểm H là hình chiếu của điểm M trên P    . H P ( )  
5.2. Điểm đối xứng của 1 điểm qua mặt phẳng  
Điểm M ' đối xứng với điểm M qua P   MM   2MH
6. Góc giữa hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng
,  có phương trình:
 : Ax B y C z D  0 1 1 1 1
 : A x B y C z D  0 2 2 2 2  
Góc giữa ,  bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT n ,n . 1 2   n n .
A A B B C C
cos(),( 1 2 1 2 1 2 1 2 )     n . n
A2  B2 C 2 . A2  B2 C 2 1 2 1 1 1 2 2 2 Chú ý:
0       0 0 ,
 90 ; ()  ()  A A B B C C  0 1 2 1 2 1 2
7. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu. Phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu Cho mặt phẳng  
: Ax By C
z D  0 và mặt cầu Sx a 2  y b 2  z c 2  R2 : ( ) ( ) ( ) có tâm I
  và S  không có điểm chung  d I
( ,())  R
  tiếp xúc với S   d I
( ,())  R với  là tiếp diện
Để tìm toạ độ tiếp điểm ta có thể thực hiện như sau:
 Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của S  và vuông góc với .
 Tìm toạ độ giao điểm H của d và . H là tiếp điểm của S  với .
  cắt S  theo một đường tròn  d I
( ,())  R
Để xác định tâm H và bán kính r của đường tròn giao tuyến ta có thể thực hiện như sau:
 Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của S  và vuông góc với .
 Tìm toạ độ giao điểm H của d và  . Với H là tâm của đường tròn giao tuyến của S  với  .
 Bán kính r của đường tròn giao tuyến: r R2 IH 2  
8. Viết phương trình mặt phẳng
Để lập phương trình mặt phẳng  ta cần xác định một điểm thuộc  và một VTPT của nó. 
8.1. Dạng 1: đi qua điểm M x ;y ;z
n A;B C ; 0 0 0  có VTPT thì:  
 : Ax x   B y y   C z z  0 0 0 0      
8.2. Dạng 2: đi qua điểm M x ;y ;z có cặp VTCP a,b thì n a  ,b  
 là một VTPT của   0 0 0 
8.3. Dạng 3:  đi qua điểm M x ;y ;z và song song với : Ax By Cz  0 thì  0 0 0
 : Ax x   B y y   C z z  0 0 0 0 
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 25
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
8.4. Dạng 4: đi qua 3 điểm không thẳng hàng A,B,C . Khi đó ta có thể xác định một VTPT của     là: nAB,AC    
THAM KHẢO THÊM SAU KHI HỌC BÀI ĐƯỜNG THẲNG
8.5. Dạng 5: đi qua một điểm M và một đường thẳng d  không chứa M :
 Trên d  lấy điểm A và VTCP u .   
 Một VTPT của là: nAM,u       
8.6. Dạng 6: đi qua một điểm M , vuông góc với đường thẳng d  thì VTCP u của đường thẳng d
là một VTPT của  .
8.7. Dạng 7: chứa đường thẳng cắt nhau d , d : 1 2  
 Xác định các VTCP a,b của các đường thẳng d , d . 1 2   
 Một VTPT của  là: n a  ,b  .  
 Lấy một điểm M thuộc d1 hoặc d M . 2  
8.8. Dạng 8: chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng d ( d , d chéo nhau) : 1 2 1 2  
 Xác định các VTCP a,b của các đường thẳng d , d . 1 2   
 Một VTPT của  là: n a  ,b  .  
 Lấy một điểm M thuộc d M . 1  
8.9. Dạng 9: đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau d , d : 1 2  
 Xác định các VTCP a,b của các đường thẳng d , d . 1 2   
 Một VTPT của  là: n a  ,b    .
8.10. Dạng 10:  chứa một đường thẳng d và vuông góc với một mặt phẳng  :  
 Xác định VTCP u của d và VTPT n của .   
 Một VTPT của  là: n u  ,n  .  
 Lấy một điểm M thuộc d M  .
8.11. Dạng 11: đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau  ,  :  
 Xác định các VTPT n ,n của  và .   
 Một VTPT của  là: n  u ,n  .  
8.12. Dạng 12: chứa đường thẳng d cho trước và cách điểm M cho trước một khoảng k cho trước:
 Giả sử () có phương trình: Ax By Cz+D  0 A2  B2  C 2  0 .  
 Lấy 2 điểm A, B  d   A, B   ( ta được hai phương trình   1 ,2)
 Từ điều kiện khoảng cách d M
( ,())  k , ta được phương trình 3.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 26
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
 Giải hệ phương trình   1 ,  2 , 
3 (bằng cách cho giá trị một ẩn, tìm các ẩn còn lại).
8.13. Dạng 13: là tiếp xúc với mặt cầu S tại điểm H :
 Giả sử mặt cầu S có tâm I và bán kính R.  
 Một VTPT của là: n IH   B – BÀI TẬP
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : 2x y z 1  0. Vectơ nào dưới đây
là vectơ pháp tuyến của  P ?     A. n   2  ; 1;   1 .
B. n  2; 1;   1 . C. n   1  ; 1;   1 .
D. n  2;1;   1 . Hướng dẫn giải Chọn A
P : 2x y z 1 0. Vec tơ pháp tuyến của P là n  2; 1  ;  1 .
Câu 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho phương trình mặt phẳng  P :2x  3y  4z  5  0 .
Vectơ nào sau đây là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng  P .    
A. n  2;3; 4   .
B. n  2;3; 4 .
C. n  2;3;5 .
D. n  4;3;2 . Hướng dẫn giải: Chọn A
Từ phương trình  P :2x  3y  4z  5  0 ta có VTPT là n  2;3; 4   1
Câu 3: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P : x  2 y z  5  0 . Vectơ nào dưới đây là vectơ 2
pháp tuyến của mặt phẳng  P ?     A. n  1; 2  ;1 . B. n  1; 4  ; 2 .
C. n  2; 2;1 . D. n  2  ;1;5 . 4   1   3   2   Hướng dẫn giải Chọn B   1 
Từ phương trình của  P suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  P là n  ; 2  ;1   .  2     1  
Mặt khác n  1; 4  ; 2  2 ; 2
 ;1  2n nên n  1; 4
 ; 2 cũng là một vectơ pháp tuyến của 3   3      2 
mặt phẳng  P .
Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng qua điểm M 2; 3  ;4 và nhận  n  2; 4; 
1 làm vectơ pháp tuyến
A. 2 x  4 y z  11  0 .
B. 2 x  4 y z  12  0 .
C. 2 x  4 y z  12  0 .
D. 2 x  4 y z  10  0 . Hướng dẫn giải Chọn C
Mặt phẳng có phương trình là:  P : 2
  x  2  4 y  
3 1. z  4  0  2
x  4y z 12  0
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 27
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
Câu 5: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm M 3;0;0 , N 0; 2
 ;0 và P0;0; 
1 . Mặt phẳng MNP có phương trình là x y z x y z x y z x y z A.    1. B.    1. C.    1. D.    1  3 2 1 3 2  1 3 2 1  3 2  1 . Hướng dẫn giải Chọn B x y z
Phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng MNP :    1. 3 2  1
Câu 6: Trong không gian Oxyz , cho điểm M 2;3;4 . Gọi A, B , C lần lượt là hình chiếu vuông góc của
M lên các trục Ox , Oy , Oz . Viết phương trình mặt phẳng  ABC . x y z x y z x y z x y z A.    1 B.    1 C.    1 D.    1 4 4 3 3 4 2 3 2 4 2 3 4 Hướng dẫn giải Chọn D
Ta có: A2;0;0 , B0;3;0 , C 0;0;4 . x y z Vậy  ABC  :    1. 2 3 4
Câu 7: Trong không gian Oxyz , gọi (P) là mặt phẳng cắt ba trục tọa độ tại ba điểm A(8, 0, 0); B(0, 2, 0);
C (0, 0, 4) . Phương trình của mặt phẳng (P) là: x y z x y z A.    1. B.    0 . 4 1  2 8 2 4
C. x  4y  2z  0 .
D. x  4y  2z  8  0 . Hướng dẫn giải Chọn D
Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M 12;8;6. Viết phương trình mặt phẳng  đi
qua các hình chiếu của M trên các trục tọa độ. x y z
A. 2 x  3 y  4 z  24  0. B.    1. 1  2 8 6 x y z C.    1.
D. x y z  26  0. 6 4 3 Hướng dẫn giải Chọn A
Mặt phẳng  cắt các trục tại các điểm A12;0;0, B0;8;0,C 0;0;6 nên phương trình  là x y z  
 1  2x  3y  4z  24  0 . 12 8 6
Câu 9: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho ba điểm A1;2;  1 , B 2; 1
 ;0 , C 1;1;  3 . Viết phương
trình mặt phẳng đi qua ba điểm A , B , C .
A. 7x  2y z 10  0 .
B. x y z  4  0.
C. 4x y z  7  0 .
D. 7x  2y z 12  0 . Hướng dẫn giải
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 28
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz Chọn D     Ta có AB  1; 3  ;  
1 , AC  0;1;2 suy ra  AB, AC   7  ; 2  ;   1  1  7; 2;  1 .   
Mặt phẳng  ABC đi qua điểm A1; 2; 
1 có véc tơ pháp tuyến n  7;2  ;1 có phương trình là
7x  2y z 12  0.
Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  4;0; 
1 và B  2; 2;3 . Phương trình
nào dưới đây là phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB ?
A. 6x  2y  2z 1  0 .
B. 3x y z  0 .
C. 3x y z  6  0 .
D. 3x y z 1  0 . Hướng dẫn giải Chọn B
Gọi  P là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB .  
Véc tơ pháp tuyến của  P là n
AB  6; 2; 2 P   
P đi qua trung điểm M của AB . Tọa độ trung điểm M 1;1; 2
Vậy phương trình trung trực của đoạn thẳng AB là:  P : 3x y z  0 .
Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A1;2;  3 , B 3
 ;2;9 . Mặt phẳng trung trực của
đoạn thẳng AB có phương trình là:
A. x  3z 10  0 . B. 4
x 12z 10  0 .
C. x  3z 1  0 .
D. x  3z 10  0 . Hướng dẫn giải Chọn A
Trung điểm của đoạn thẳng AB là I  1  ;2;  3 .  Ngoài ra AB   4  ;0;12 . 
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua I  1  ;2; 
3 , nhận n1;0; 3 làm vecto pháp
tuyến nên có phương trình  1 x   1  3 z  
3  0  x  3z 10  0 .
Câu 12: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm M 1;3;  2 ,
N 5;2;4, P2; 6  ; 
1 có dạng Ax By Cz D  0 . Tính tổng S A B C D . A. S  3  .
B. S 1 .
C. S  6 . D. S  5  . Hướng dẫn giải Chọn B   MN  4; 1  ;  2 ; MP  1; 9  ;  3
  
MN , MP  21;14;35       n 3;2; 
5 là vectơ pháp tuyến của MNP
Phương trình MNP: 3x  2 y 5z 1 0
A B C D 1.
Câu 13: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A1;0;0, B0; 2
 ;0 . Phương trình nào
dưới đây là phương trình của mặt phẳng OAB ?
A. z  0 . B. x  
1   y  2  0.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 29
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz x y x y C.   1 . D.   z  0 . 1 2  1 2  Hướng dẫn giải Chọn A
Nhận thấy các điểm A1;0;0, B0; 2
 ;0 và O0;0;0 đều thuộc mặt phẳng Oxy , nên mặt
phẳng OAB trùng với mặt phẳng Oxy : z  0 .
Câu 14: Trong không gian Oxyz , cho điểm A3;2; 
1 và mặt phẳng P: x3y 2z 2  0 .Phương
trình mặt phẳng Q đi qua A và song song mặt phẳng P là:
A. Q : 3x y  2z 9  0 .
B. Q : x 3y  2z 1  0.
C. Q : x 3y  2z  4  0 .
D. Q : x 3y  2z 1  0 . Hướng dẫn giải Chọn B
Vì mặt phẳng Q song song  P : x 3y  2z  2  0 nên phương trình Q có dạng
Q : x 3y  2z m  0m  2  
Q đi qua A3;2; 
1 nên thay tọa độ vào ta có m  1.
Vậy phương trình Q : x  3y  2z 1  0
Câu 15: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho các điểm A0;1;2 , B2; 2;  1 , C  2  ;0;  1 .
Phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC là
A. y  2z  3  0 .
B. 2x y 1  0 .
C. y  2z  5  0 .
D. 2x y 1  0 . Hướng dẫn giải Chọn B  
Ta có: n BC   2  ;1;0 .
Vậy phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC có dạng: 2
  x  0   1 y   1  0  2
x y 1  0  2x y 1  0 .
Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M 3; 1;  2 và mặt phẳng
 : 3x y  2z  4  0 . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua M và
song song với  ?
A. 3x y  2z  6  0 .
B. 3x y  2z 14  0 .
C. 3x y  2z  6  0 .
D. 3x y  2z  6  0 . Hướng dẫn giải Chọn D
Mặt phẳng qua M song song với  có phương trình là:
3 x  3   y  
1  2  z  2  0 hay 3x y  2z  6  0 .
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: 3x y  2z  6  0 .
Câu 17: Trong hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A( 0;1;1) , B(1; 0;1) , C( 0; 0;1) , và I (1;1;1) . Mặt phẳng qua
I , song song với mặt phẳng  ABC có phương trình là:
A. z 1  0
B. y 1  0
C. x y z  3  0 D. x 1  0 Hướng dẫn giải
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 30
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz Chọn A  
Ta có AB  1;1;0 và AC  0;1;0 nên mặt phẳng  ABC có vectơ pháp tuyến là   
n   AB, AC   0; 0;  
1 . Mặt phẳng cần tìm song song với mặt phẳng  ABC nên có phương  
trình là z 1  0 .
Câu 18: Mặt phẳng có phương trình nào sau đây song song với trục Ox ?
A. 2x y 1  0 .
B. 3x 1  0 .
C. y  2z 1  0 .
D. 2y z  0 . Hướng dẫn giải Chọn C
Trục Ox có một véc tơ chỉ phương là i  1;0;0 và đi qua điểm O0;0;0 . 
Mặt phẳng y  2z 1  0 có một vectơ pháp tuyến là n  0;1; 2   .   Do .
n i 1.0  0.1 0 2
   0 và điểm O0;0;0 không thuộc mặt phẳng y  2z 1  0 nên mặt
phẳng y  2z 1  0 song song với trục Ox .
Câu 19: Trong không gian với hệ trục Oxyz , mặt phẳng chứa 2 điểm A(1; 0;1) và B 1  ; 2; 2 và song
song với trục Ox có phương trình là
A. x y z  0 .
B. 2 y z  1  0 .
C. y  2 z  2  0 .
D. x  2z  3  0 . Hướng dẫn giải Chọn C
Gọi  P : y  2z  2  0 Mặt phẳng  P có một VTPT n  0;1;2 .   n i  
Trục Ox có một VTCP i 1;0;0 . Mà: O
 0; 0; 0  Ox Ox / /  P
O0;0;0P 
Lại có 2 điểm A(1; 0;1) và B  1
 ; 2; 2 cùng thuộc mặt phẳng P .
Vậy mặt phẳng  P : y  2z  2  0 chứa 2 điểm A(1; 0;1) và B 1
 ; 2; 2 và song song với trục Ox .  
Cách 2: Mặt phẳng cần tìm qua A(1; 0;1) nhận  AB,i  0;1; 2
  làm vectơ pháp tuyến, suy ra  
mp cần tìm  P : y  2z  2  0 .
Câu 20: Gọi  là mặt phẳng đi qua M 1; 1
 ; 2 và chứa trục Ox . Điểm nào trong các điểm sau đây
thuộc mặt phẳng  ?
A. P 2; 2; 4 .
B. Q 0;4; 2 . C. M 0;4; 2   . D. N 2;2; 4   . Hướng dẫn giải Chọn D     
Gọi n là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng  khi đó ta có n  OM , i . Với OM  1; 1  ; 2    
, i  1;0;0  n  0; 2  ;1 . 
Phương trình mặt phẳng  đi qua điểm O0;0;0 và có một véc tơ pháp tuyến n  0; 2  ;1 là
2 y z  0 .
Do 2.2  4  0 nên điểm N 2;2; 4
  thuộc mặt phẳng  .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 31
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
Câu 21: Phương trình của mặt phẳng  qua A2;1; 4 , B 3; 2;  
1 và vuông góc với mặt phẳng
 : x y  2z  3  0 là
A. 11x  7 y  2 z  21  0.
B. 11x  7 y  2 z  21  0.
C. 11x  7 y  2 z  21  0.
D. 11x  7 y  2 z  21  0. Hướng dẫn giải Chọn A   
Mặt phẳng  có một vectơ pháp tuyến là: n   AB, n     11; 7; 2  
Vậy  :11x  7 y  2z  21  0
Câu 22: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , cho A1; 2;  1 ; B 1  ;0;  1 và mặt phẳng ( )
P : x 2y z 1
  0. Viết phương trình mặt phẳng ( )
Q qua A ; B và vuông góc với (P) A. ( )
Q : 2xy 3  0 . B. ( )
Q : x z  0 . C. ( ) Q : x
  y z  0 . D. ( )
Q : 3x y z  0 . Hướng dẫn giải Chọn B 
Ta có AB  2;2; 2 
(P) có VTPT n  1; 2;  1 Vì ( )
Q qua A ; B và vuông góc với (P) nên    VTPT của ( )
Q là n A ; B n   2  ;0; 2   2  1;0;  1 . 1     
Phương trình mặt phẳng ( ) Q qua B 1  ;0; 
1 và có VTPT n  1;0;  1 là: 1  1 x   1   1 z  
1  0  x z  0 .
Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A2;4;  1 , B 1  ;1;  3 và mặt phẳng
P: x3y 2z5  0 . Một mặt phẳng Q đi qua hai điểm A , B và vuông góc với P có
dạng: ax by cz 11  0 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. a b c .
B. a b c  5 . C. a   ; b c .
D. a b c . Hướng dẫn giải Chọn B  Ta có: A2;4;  1 , B 1  ;1; 
3  AB  3;3; 2 . 
Véc tơ pháp tuyến củaP là: n  1;3; 2.  
Do mặt phẳng Q đi qua AB và vuông góc với P nên Q nhận véc tơ A , B n  0; 8  ; 1  2    
làm một véc tơ pháp tuyến nên phương trình của Q sẽ là: 2 y   4  3z   1  0
 2 y  3z 11  0 .
Suy ra a  0 , b  2 , c  3  a b c  5 .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 32
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
Câu 24: Trong không gian Oxyz , cho điểm H 1; 2;3 . Mặt phẳng  P  đi qua điểm H , cắt Ox, Oy, Oz
tại A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC . Phương trình của mặt phẳng  P  là
A. (P) : 3x y  2 z 11  0.
B. (P) : 3x  2 y z  10  0.
C. (P) : x  3 y  2 z  13  0.
D. (P) : x  2 y  3z  14  0. Hướng dẫn giải Chọn D
Do tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc nên nếu H là trực tâm của tam
giác ABC dễ dàng chứng minh được OH   ABC  hay OH   P . 
Vậy mặt phẳng  P  đi qua điểm H 1; 2; 3 và có VTPT OH 1;2;3 nên phương trình  P  là  x  
1  2  y  2  3 z  3  0  x  2 y  3z 14  0.
Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình tổng quát của mặt phẳng  P đi qua điểm  
M 0; –1; 4 và nhận u  (3,2,1) , v  ( 3
 ,0,1) làm vectơ chỉ phương là:
A. x y z – 3  0
B. x – y – z – 12  0
C. x – 3y  3z – 15  0
D. 3x  3y – z  0 Hướng dẫn giải Chọn C   
P có vectơ pháp tuyến n  u,v  21; -3; 3  
và đi qua M nên có phương trình
x – 3y  3z – 15  0 .
Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A1;1;  1 và hai mặt phẳng
P : 2x y  3z 1  0 , Q : y  0 . Viết phương trình mặt phẳng R chứa A , vuông góc với
cả hai mặt phẳng  P và Q .
A. 3x  2z 1  0 .
B. 3x y  2z  2  0 .
C. 3x  2z  0 .
D. 3x y  2z  4  0 . Hướng dẫn giải Chọn A
P : 2x y  3z 1  0 có véctơ pháp tuyến n  2;1;3 . P    
Q : y  0 có véctơ pháp tuyến n  0;1;0 . Q   
Do mặt phẳng  R vuông góc với cả hai mặt phẳng  P và Q nên có véctơ pháp tuyến     n  n , n  .  n   3  ; 0; 2 . R  R P Q    
Vậy phương trình mặt phẳng  R là: 3
x  2z 1  0  3x  2z 1  0 .
Câu 27: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng  P và Q lần lượt có phương
trình là x y z  0 , x  2 y  3z  4 và điểm M 1; 2;5 . Tìm phương trình mặt phẳng  đi
qua điểm M đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng  P , Q .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 33
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
A. x  4 y  3z  6  0 .
B. 5x  2 y z  4  0 .
C. 5x  2 y z 14  0 .
D. x  4 y  3z  6  0 . Hướng dẫn giải Chọn D 
Vectơ pháp tuyến của  P là n  1;1;1 . 1   
Vectơ pháp tuyến của Q là n  1; 2;3 . 2     
n  n ; n   1;  4;  3 1 2     
Vì  vuông góc với  P và Q nên  có vectơ pháp tuyến là n .
Mặt phẳng  có phương trình là 1 x  
1  4 y  2  3 z  5  0 hay x  4 y  3z  6  0 . Câu 28: 2 2 2
Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  :  x  
1   y  2   z  5  9 . Mặt phẳng  P tiếp
xúc với mặt cầu  S  tại điểm A2; 4  ; 
3 có phương trình là
A. x  6y  8z  50  0 .
B. 3x  6y  8z  54  0 .
C. x  2y  2z  4  0 .
D. x  2y  2z  4  0 . Hướng dẫn giải Chọn C
Mặt cầu  S  có tâm I 1; 2  ;5 . 
Mặt phẳng  P có vectơ pháp tuyến là IA  1;2; 2
  và đi qua điểm A2; 4  ;  3 nên có
phương trinh: 1. x  2  2 y  4  2 z  
3  0  x  2y  2z  4  0 .
Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S  2 2 2
: x y z  2x  4y  4z  0 . Mặt
phẳng tiếp xúc với  S  tại điểm A3; 4;3 có phương trình.
A. 2x  2 y z 17  0 .
B. 4x  4 y  2z 17  0 .
C. x y z 17  0 .
D. 2x  4 y z 17  0 . Hướng dẫn giải Chọn A 
Mặt cầu  S  có tâm I 1; 2;2 , vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng  P là IA  2;2  ;1 nên phương
trình của  P là 2x  2 y z 17  0. .
Câu 30: Cho mặt cầu 2 2 2
(S) : x y z  2x  4y  6z  2  0 và mặt phẳng () : 4x  3y  12z  10  0 . Mặt
phẳng tiếp xúc với (S) và song song với () có phương trình là:
A. 4x  3y  12z  78  0 . B.
4x  3y  12z  78  0 hoặc
4x  3y  12z  26  0 .
C. 4x  3y  12z  26  0 . D.
4x  3y  12z  78  0 hoặc
4x  3y  12z  26  0 . Hướng dẫn giải Chọn D
Gọi   là mặt phẳng thỏa đề phương trình có dạng  : 4x  3y 12z D  0 D 10
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 34
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
Mặt cầu  S  có tâm I 1;2; 
3 và bán kính là : r  1 4  9  2  4
4x  3y 12z D 26   DD  26 
 tiếp xúc S  khi d I, 0 0 0  r   4   4   16  9 144 13 D  78 
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là 4x  3y  12z  78  0 hoặc 4x  3y  12z  26  0 x y z
Câu 31: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P :  
 1 a  0 cắt ba a 2a 3a
trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại ba điểm A, B, C . Tính thể tích V của khối tứ diện OABC . A. 3
V  4a . B. 3
V a . C. 3
V  3a . D. 3
V  3a . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: A ;
a 0;0, B0;2 ;
a 0,C 0;0;3a  OA a,OB  2a,OC  3a . 1 1 1 Vậy 3 V SOA   O .
B OC.OA a . 3 OBC 3 2
Câu 32: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , phương trình mặt phẳng  P chứa trục Oy và đi qua điểm M (1; 1;1) là:
A. x y  0 .
B. x y  0 .
C. x z  0 .
D. x z  0 . Hướng dẫn giải Chọn C    P  
qua O và có VTPT là n j;OM  1; 0;   1 .    
Vậy phương trình  P là x z  0 .
Câu 33: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng : x y z  1  0 và  : 2
x my  2z  2  0. Tìm m để  song song với  .
A. m  2 .
B. m  5 .
C. Không tồn tại m . D. m  2  . Hướng dẫn giải Chọn C
Mặt phẳng  có VTPT là n  1;1; 1  và A0;0;  1  1   
Mặt phẳng   có VTPT là n  2  ; ; m 2 . 2    2  m 2 2       
Để  //  thì n , n cùng phương và A   1 1 1 
1  không tồn tại m . 1 2  2   0 
Vậy không tồn tại m để  //  .
Câu 34: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  2 2 2
: x y z  2x  4y  6z  5  0. Tiếp
diện của  S  tại điểm M  1
 ;2;0 có phương trình là
A. z  0.
B. x  0.
C. 2 x y  0.
D. y  0. Hướng dẫn giải Chọn A
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 35
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz I M P
S   I  1  ;2;  3 ; R  3
Gọi  P là mặt phẳng tiếp diện của  S  tại M 
Ta có IM   P  IM 0;0;3  30, 0, 
1 là VTPT của mặt phẳng  P
Phương trình mặt phẳng  P : z  0
x  2 2t 
Câu 35: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : y 1 t A 2; 1  ;1  . Mặt phẳng đi qua   và vuông
z  4t 
góc với đường thẳng d có phương trình là:
A. x  3y  2z  5  0 .
B. 2x y z  2  0 .
C. x  3y  2z  3  0 .
D. x  3y  2z  3  0 . Hướng dẫn giải Chọn B
Gọi  P là mặt phẳng đi qua A2; 1  ; 
1 và vuông góc với đường thẳng d ; n là vectơ pháp tuyến P của  P . 
d có véctơ chỉ phương là ud  2;1;  1 .   
Vì d vuông góc với mặt phẳng  P nên n ud , suy ra n   . P 2;1;  1 P
Mặt phẳng  P đi qua A nên  P : 2x y z  2  0 .
Câu 36: Trong không gian Oxyz , cho điểm H 2;1; 
1 . Viết phương trình mặt phẳng qua H và cắt các
trục Ox , Oy , Oz lần lượt tại A , B , C sao cho H là trực tâm tam giác ABC . x y z
A. x y z  0
B. 2x y z  6  0
C. 2x y z  6  0 D.    1 2 1 1 Hướng dẫn giải Chọn B
Vì tứ diện OABC đôi một vuông góc tại O và H là trực tâm tam giác ABC nên OH   ABC  . 
Do đó OH  2;1 
;1 là một vectơ pháp tuyến của  ABC  và H thuộc  ABC  .
Vậy  ABC  : 2  x  2   y   1   z  
1  0  2x y z  6  0 .
Câu 37: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P : 2x y  2z 1  0 và hai điểm A1; 2  ;  3 , B 3;2; 
1 . Phương trình mặt phẳng Q qua A, B và vuông góc với  P là
A. Q : 2x  2y  3z  7  0 .
B. Q : 2x  2y  3z  7  0 .
C. Q : 2x  2y  3z 9  0 .
D. Q : x  2y  3z  7  0 .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 36
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz Hướng dẫn giải Chọn A   AB  2; 4; 4
  ; VTPT của  P là n2;1; 2     
VTPT của Q là n   A ; B n  2; 2;3 . Q   
Phương trình của mặt phẳng Q : 2x  2 y  3z  7  0
Câu 38: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng  P đi qua điểm A1;1;  1 và
B 0;2;2 đồng thời cắt các tia Ox , Oy lần lượt tại 2 điểm M , N (không trùng với gốc tọa độ
O ) sao cho OM  2ON .
A. P : 2x  3y z  4  0 .
B. P : 2x y z  4  0 .
C. P : x  2y z  2  0 .
D. P : 3x y  2z  6  0 . Hướng dẫn giải Chọn C Gọi M  ;
m 0;0 , N 0; ;
n 0 , P0;0; p lần lượt là giao điểm của  P và trục Ox , Oy , Oz .
M , N lần lượt thuộc tia Ox , Oy nên m  0 , n  0 . x y z
Phương trình mặt phẳng  P :    1 . m n p
Ta có: OM  2ON m  2n 1 1 1 0 2 2
A  P   
 1 , B  P     1 m n p m n p
Suy ra: m  2 , n  1 , p  2   P : x  2y z  2  0 .
Câu 39: Trong không gian với trục hệ tọa độ Oxyz , cho điểm H 1;2; 
3 là trực tâm của ABC với , A ,
B C là ba điểm lần lượt nằm trên các trục Ox,Oy,Oz (khác gốc tọa độ). Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm , A , B C là
A. 3x y  2z  9  0
B. x  2 y  3z 14  0 x y z
C. 3x  2y z 10  0 D.    1 1 2 3 Hướng dẫn giải Chọn B Giả sử A ;
a 0;0, B0; ;
b 0,C 0;0;c    
AH 1 a;2;3; BH 1;2  ;
b 3; BC 0;  b;c; AC  a;0;c     AH.BC  0
2b  3c  0
Do H là trực tâm nên ta có:    
a  3c  0 BH .AC  0   x y z
Phương trình mặt phẳng  ABC  :    1. a b c 1 2 3
Vì H   ABC      1. a b c
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 37
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz    a  2b  2
b  3c  0 a  14    2b
Do đó ta có hệ phương trình: a  3c  0  c   b   7 . 3  1 2 3   14     1  1 2 9 c     1  a b c   3  2b b 2b x y 3z
Vậy phương trình mặt phẳng  ABC  :  
 1  x  2 y  3z 14  0. 14 7 14
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 38
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG CÓ SỬ DỤNG PTĐT x  1 y  2 z  1
Câu 1: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d :  
. Trong các mặt phẳng dưới đây, 2 1  1
tìm một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng d
A. 2x  2 y  2z  4  0 .
B. 4x  2 y  2z  4  0 .
C. 4x  2 y  2z  4  0 .
D. 4x  2 y  2z  4  0 . Hướng dẫn giải Chọn C
Đường thẳng d có vec tơ chỉ phương là u  2;1;  1 . 
Mặt phẳng 4x  2 y  2z  4  0 có vectơ pháp tuyến n  4; 2;2 . 2 1  1   Ta có  
nên u cùng phương với n do đó đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng 4 2  2
4x  2 y  2z  4  0 . x 1 y z 1
Câu 2: Mặt phẳng  P đi qua điểm A1; 2;0 và vuông góc với đường thẳng d :   có 2 1 1  phương trình là :
A. 2x y z  4  0 .
B. 2x y z  4  0 .
C. x  2 y z  4  0 .
D. 2x y z  4  0 . Hướng dẫn giải Chọn A
Đường thẳng d có một VTCP là u  2;1;  1 . 
Ta có  P  d   P nhận u  2;1;  1 là một VTPT.
Kết hợp với  P qua A1; 2;0
  P : 2 x  
1 1. y  2 1. z  0  0  2x y z  4  0 . x  1 3t
Câu 3: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d  có phương trình  y  2  t ;t   . Mặt phẳng  P đi
z  3  2t  qua ( A 1  ; 2
 ;1) và  P vuông góc với đường thẳng d  thì  P có phương trình là: A. P : 3
x y  2z  3  0 .
B. P : x  2y  3z  2  0 . C. P : 3
x y  2z  3  0 .
D. P : x  2y  3z  2  0 . Hướng dẫn giải Chọn C
Đường thẳng d  có véc tơ chỉ phương là u  ( 3  ;1;2) . 
Vì  P vuông góc với đường thẳng d  nên  P nhận véc tơ chỉ phương của d  là u  ( 3  ;1;2) làm véc tơ pháp tuyến.    P đi qua ( A 1  ; 2
 ;1) , véc tơ pháp tuyến là n u  ( 3
 ;1;2) nên  P có phương trình là  P : 3
 (x 1) 1( y  2)  2(z 1)  0   P : 3
x y  2z  3  0 . x  3 y  2 z 1
Câu 4: Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d :   và 1 1  2 x  3 y  3 z
song song với đường thẳng d :   là 1 3 2 x y z
A. x y  2z  2  0
B. 2x z  6  0 C.    1
D. 2x z  7  0 1 1 2 
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 39
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz Hướng dẫn giải Chọn D 
Đường thẳng d đi qua điểm M 3; 2; 
1 có VTCP u  1; 1; 2 d  
Đường thẳng d  có VTCP u  .  1;3;2 d   
Vì mp  P  chứa d và song song với d nên VTPT của  P  là u ,u   4  .  2;0;  1 d d   
Khi đó mặt phẳng  P  đi qua điểm M 3; 2; 
1  d nhận n  2;0;   1 là VTPT nên có phương
trình 2x z  7  0 .
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng  P song song với hai đường thẳng x  2  t x  2 y  1 z   :  
,  : y  3  2t . Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của  P ? 1 2 3  4 2 z 1 t      A. n  5; 6  ; 7
B. n  5;6;7 C. n   5  ; 6; 7 D. n   5  ; 6  ; 7 Hướng dẫn giải Chọn B     2  3 4 
Vì  P song song với hai đường thẳng  và  nên n
 u ,u     . P      5;6;7 1 2   1 2   1 2 1  
Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng x 1 y 1 z 1 d :  
và đi qua điểm A '(0; 2; 2). . 1 2 1
A. 5x  2 y z  2  0. .
B. 5x  2 y z  2  0.
C. 5x  5z  2  0. .
D. x z  2  0. Hướng dẫn giải Chọn D  
u  (1; 2; 1) . Gọi M (1; 1
 ;1)  d AM  (1; 3  ;1). . dd  (P)    Vì  nên nu  ; AM   ( 5  ; 0; 5  ). . A (P) (P) d      n  (5; 0; 5  ) ( P) (P) : 
 (P) : 5(x  0)  5(z 2)  0  x z  2  0. .  (
A 0; 2; 2)  (P)  x  2 y 1 z  4
Câu 7: Phương trình mặt phẳng  P đi qua M 1 ; 2 ; 3 và chứa đường thẳng   là. 1 3 4
A. x  11y  8z  1  0 .
B. x – 11y  8z – 45  0 .
C. x 11y  8z  45  0 .
D. x – 11y – 8z – 3  0 . Hướng dẫn giải Chọn C Cách 1:  Lấy điểm N  2  ;1; 4
   d MN   3  ; 1  ;   1 . 
d có vectơ chỉ phương u  1;3; 4 .   
P có vectơ pháp tuyến n  MN,u   1  ;11; 8     1; 11  ;8. .  
Khi đó,  P  :1 x  
1 11 y  2  8 z  3  0  x 11y  8z  45  0 . Cách 2:
VTCP của d vuông góc với VTPT của  P  loại C,
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 40
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz D.
M   P   Chọn C x y 1
Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A1; 2;3 và đường thẳng d :   z  3 . 3 4
Phương trình mặt phẳng chứa điểm A và đường thẳng d là.
A. 23x 17 y z  60  0 .
B. 23x 17 y z 14  0 .
C. 23x 17 y z 14  0 .
D. 23x 17 y z 14  0 . Hướng dẫn giải Chọn C   
Đường thẳng d qua điểm I 0;1;3 . Vec tơ pháp tuyến của  P là n  u ; IA    d 23; 17;  1 .  
Phương trình của  P là 23x 17 y z 14  0..
Câu 9: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng  P đi qua hai điểm A1; 2; 0 , B 2; 3;  1 và song song với
trục Oz có phương trình là.
A. x y  3  0 .
B. x y 1  0 .
C. x y  3  0 .
D. x z  3  0 . Hướng dẫn giải Chọn B
P // Oz   P : ax by d  0 .
a  2b d  0
a  2b d  0 ,
A B   P     .
2a  3b d  0  a b  0 
Chọn b  1 ta suy ra a  1, d  1 .
Vậy  P : x y 1  0 . Cách 2
Thay tọa độ các điểm A, B vào các phương án đã cho. Chỉ có phương án A thỏa mãn.
Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng  P  đi qua điểm M 3; 4; 7
và chứa trục Oz .
A. P  : 3x  4 y  0 .
B. P  : 4 y  3z  0 .
C. P : 3x  4z  0 . D.
P : 4x  3y  0 . Hướng dẫn giải Chọn D   Ta có OM  3; 4
 ;7 , vecto chỉ phương của trục Oz là k  0;0;  1   
Mặt phẳng  P  qua M 3; 4; 7 có vectơ pháp tuyến n  k,OM   4;3;0  
Phương trình mặt phẳng  P  : 4x  3y  0
P : x y  2z  5  0 A1;2;  3
Câu 11: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng và các điểm , B 1
 ;1; 2 C 3;3;2
M x ; y ; zP 0 0 0  , . Gọi là điểm thuộc
sao cho MA MB MC .
Tính x y z . 0 0 0 A. 4 B. 7 C. 5 D. 6 Hướng dẫn giải Chọn C
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 41
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
M   P
x y  2z  5  0 x  9  0 0 0 0   
MA MB  4x  2 y 10z  8   0  y  
14  x y z  9 14  0  5 . 0 0 0 0 0 0 0 MA MC   
4x  2 y  2z  8  0  z  0 0 0 0  0
Câu 12: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P : 2x  2y z  7  0 và mặt cầu S  2 2 2
: x y z  2x  4y  6z 11  0 . Mặt phẳng song song với  P và cắt  S  theo một
đường tròn có chu vi bằng 6 có phương trình là
A. P : 2x  2y z 19  0
B. P : 2x  2y z 17  0
C. P : 2x  2y z 17  0
D. P : 2x  2y z  7  0 Hướng dẫn giải Chọn B
Mặt cầu  S  có tâm I 1; 2; 
3 , bán kính R  5; bán kính đường tròn giao tuyến là r  3.
Mặt phẳng Q song song với mặt phẳng  P : 2x  2y z  7  0 có phương trình là
2x  2y z m  0 m  7   . 2  4  3  mm  17
Ta có d I Q 2 2 ;  R r
 25  9  m  5  12   . 3 m  7  Do m  7
 nên m  17 . Vậy phương trình mặt phẳng Q : 2x  2y z 17  0. x 1 y  2 z  4
Câu 13: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau   và 2  1 3 x 1 y z  2  
có phương trình là 1 1 3
A. 2x y z  0
B. 6x  9 y z  8  0
C. 6x  9y z  8  0 D. 2
x y  9z  36  0 Hướng dẫn giải Chọn B x 1 y  2 z  4  Đường thẳng d :  
đi qua điểm M 1; 2
 ;4 , có một VTCP là u  2  ;1;3 . 1   1 2  1 3 x 1 y z  2  Đường thẳng d :  
có một VTCP là u  1; 1  ;3 . 2   2 1 1  3
Mặt phẳng  P chứa hai đường thẳng cắt nhau d , d   P qua điểm M 1; 2  ;4, có một 1 2   
VTPT là n  u ,u   6;9;1 . Phương trình mặt phẳng  P là : 1 2    
P : 6 x  
1  9 y  2   z  4  0  6x  9y z  8  0 . x 1 y z 1
Câu 14: Viết phương trình mặt phẳng  P  chứa đường thẳng d :   và vuông góc với mặt 2 1 3
phẳng Q  : 2x y z  0 .
A. x  2 y  1  0 .
B. x  2 y z  0 .
C. x  2 y  1  0 .
D. x  2 y z  0 . Hướng dẫn giải Chọn A   n     P  ud   Ta có   và n  Q ; u d
 4; 8; 0 . Nên chọn  n P  1; 2  ;0 .   n
 P  nQ 
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 42
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
Vì mặt phẳng  P  đi qua điểm M 1;0;  
1 nên phương trình mặt phẳng  P  là x  2 y  1  0 x  2 y z  3
Câu 15: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng d  :   và điểm 2 1  3 
B(1; 0; 2) . Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua B và vuông góc đường thẳng  d  .
A. 2 x y  3z  8  0 .
B. 2 x y  3z  4  0 .
C. 2 x y  3z  8  0 .
D. 2 x y  3z  4  0 . Hướng dẫn giải Chọn C
d có VTCP là u 2; 1  ; 3   . 
P đi qua B(1;0;2) và vuông góc đường thẳng d  nên có VTPT là u 2; 1  ; 3   .
Vậy phương trình  P là: 2 x   1  
1 y  0 3 z  2  0  2x y  3z  8  0 .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 43
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
BÀI 5: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
A – LÝ THUYẾT CHUNG
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng 1.1. Ðịnh nghĩa   
Cho đường thẳng d . Nếu vectơ a  0 và có giá song song hoặc trùng với đường phẳng d thì a được 
gọi là vectơ chỉ phương của đường phẳng d . Kí hiệu: a a ( ;a ;a ) 1 2 3 1.2. Chú ý  
a là VTCP của d thì k a . k
(  0) cũng là VTCP của d 
 Nếu d đi qua hai điểm A, B thì AB là một VTCP của d  
 Trục Ox có vectơ chỉ phương a i  (1; 0; 0)  
 Trục Oy có vectơ chỉ phương a j  (0;1; 0)  
 Trục Oz có vectơ chỉ phương a k  (0; 0;1)
1.3. Phương trình tham số của đường thẳng
Phương trình tham số của đường thẳng ( )  đi qua điểm M x
( ;y ;z ) và nhận a a ( ;a ;a ) làm 0 0 0 0 1 2 3 VTCP là :  z a x   x ta 0 1  (  ) () : y
  y ta 0 2 tM z  0  z ta
M (x, y, z) 0 3 y O x
1.4. Phương trình chính tắc của đường thẳng
Phương trình chính tắc của đường thẳng ( )  đi qua điểm M x
( ;y ;z ) và nhận a a ( ;a ;a ) làm 0 0 0 0 1 2 3 x x y y z z VTCP là  0 ( ) :  0 
0 a ,a ,a  0 1 2 3  a a a 1 2 3
2. Vị trí tương đối
2.1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng M a () ()   a n   n n M M  () a a a a
2.1.1. Phương pháp hình học Định lý x
  x a t (1) 0 1  
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng () : y
  y a t (2) có VTCP a a ( ;a ;a ) và 0 2 1 2 3 z
  z a t (3) 0 3   qua M x
( ;y ;z ) và mặt phẳng () : Ax By Cz D  0 có VTPT n A ( ;B C ; ) 0 0 0 0
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 44
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz Khi đó :     
   a.n  0  Aa Ba Ca  0 1 2 3     aa.n  0
Aa Ba Ca  0   n     / / 1 2 3      M P
Ax By Cz  0  0     0 0 0   a.n  0
Aa Ba Ca  0        1 2 3      a M P
Ax By Cz  0  0     0 0 0 Đặc biệt  
( ) ( )  a và n cùng phương  a : a : a A : B : C 1 2 3
2.1.2. Phương pháp đại số pt( )  
Muốn tìm giao điểm M của  và ta giải hệ phương trình: 
tìm x,y, z. Suy ra: M x, y, z .       pt()  
Thế 1 , 2 , 3 vào phương trình mp P và rút gọn dưa về dạng: at b  0 (*)        
d cắt mpP tại một điểm  pt  
* có một nghiệm t .
d song song với P  pt   * vô nghiệm.
d nằm trong P Pt * có vô số nghiệm t .      
d vuông góc P a và n cùng phương  
2.2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng     1 1 u ' M a MM 0 0 u 0  1   bM ' M u u'  u' 0  0 1    2 u' 2 2 ' M M ' M 0  0 0 2
2.2.1. Phương pháp hình học
Cho hai đường thẳng:  đi qua M và có một vectơ chỉ phương u . 1 1 
 đi qua N và có một vectơ chỉ phương u . 2 2          u ,uu , MN       0. 1 2  1 2  1       u  ,u   0  1 2    / /       . 1 2 u  , MN   0 1     
u ,u   0     cắt  1 2    .   1 2
u ,u  .MN  0  1 2    
  và  chéo nhau  u ,u  .MN  0. 1 2  1 2 
2.2.2. Phương pháp đại số pt( ) 
Muốn tìm giao điểm M của (
) va (  ) ta giải hệ phương trình : 1 
tìm x,y, z.Suy ra: 1 2 pt( )  2 
M x, y, z  
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 45
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
2.3. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu x
  x a t (1) 0 1 
Cho đường thẳng d : y 2 2 2 2
  y a t (2) và mặt cầu S : (  )  (  )  z
(  c)  R có tâm   x a y b 0 2 z
  z a t (3) 0 3  I a
( ;b;c) , bán kính R.
2.3.1. Phương pháp đại số
Thế 1 , 2 , 3 vào phương trình S và rút gọn đưa về phương trình bậc hai theo t *          
 Nếu phương trình  
* vô nghiệm thì d không cắt S
 Nếu phương trình * có một nghiệm thì d tiếp xúc S    
 Nếu phương trình * có hai nghiệm thì d cắt S tại hai điểm phân biệt M , N     Chú ý:
Ðể tìm tọa độ M , N ta thay giá trị t vào phương trình đường thẳng d
3. Lập phương trình đường thẳng
Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định 1 điểm thuộc d và một VTCP của nó. 3.1. Dạng 1 x   x a to 1 
d đi qua điểm M x
( ;y ;z ) và có VTCP a a
( ;a ;a ) là d ( ): y   y a t (t R). 0 0 0 0 1 2 3 o 2 z   z a t o 3  3.2. Dạng 2 
d đi qua hai điểm A, B : Một VTCP của d là AB . 3.3. Dạng 3
d đi qua điểm M x
( ;y ;z ) và song song với đường thẳng  cho trước: Vì d / / nên VTCP của  0 0 0 0
cũng là VTCP của d . 3.4. Dạng 4
d đi qua điểm M x
( ;y ;z ) và vuông góc với mặt phẳng P cho trước: Vì d  P nên VTPT của 0 0 0 0
P cũng là VTCP của d . 3.5. Dạng 5
d là giao tuyến của hai mặt phẳng P,Q:  Cách 1:
Tìm một điểm và một VTCP. P ( ) 
 Tìm toạ độ một điểm A d : bằng cách giải hệ phương trình 
(với việc chọn giá trị cho Q ( )   một ẩn)   
 Tìm một VTCP của d : a n  ,n P Q    Cách 2:
Tìm hai điểm A, B thuộc d , rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó. 3.6. Dạng 6
d đi qua điểm M x
( ;y ;z ) và vuông góc với hai đường thẳng d ,d : 0 0 0 0 1 2   
Vì d d , d d nên một VTCP của d là: a a  ,a  1 2 d d  1 2 
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 46
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz 3.7. Dạng 7
d đi qua điểm M x
( ;y ;z ), vuông góc và cắt đường thẳng  . 0 0 0 0  Cách 1: H    
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng  . Thì    . Khi đó đường 0 M H u  0  
thẳng d là đường thẳng đi qua M , H . 0  Cách 2:
Gọi P là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d ; Q là mặt phẳng đi qua A và chứa d. Khi
đó d   P   Q 3.8. Dạng 8
d đi qua điểm M x
( ;y ;z ) và cắt hai đường thẳng d ,d : 0 0 0 0 1 2  Cách 1:
Gọi M d , M d . Từ điều kiện M, M , M thẳng hàng ta tìm được M , M . Từ đó suy ra 1 1 2 2 1 2 1 2
phương trình đường thẳng d .  Cách 2:
Gọi P   M (
,d ), Q   M (
,d ). Khi đó d  P   Q . Do đó, một VTCP củad có thể chọn 0 1 0 2    là a n  ,n  . P Q   3.9. Dạng 9
d nằm trong mặt phẳng P và cắt cả hai đường thẳng d ,d : 1 2
Tìm các giao điểm A d  P , B d  P . 1 2 
Khi đó d chính là đường thẳng AB. 3.10. Dạng 10
Viết phương trình mặt phẳng P chứa  và d , mặt phẳng Q chứa  và d . 1 2
Khi đó d  P   Q . 3.11. Dạng 11
d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d , d chéo nhau: 1 2  Cách 1: MN d
Gọi M d , M d . Từ điều kiện 1 
, ta tìm được M, N . d 1 1 2 2 Khi đó, là đường MN d  2  thẳng MN.  Cách 2:   
 Vì d d và d d nên một VTCP của d có thể là: a a  ,a  . 1 2 d d  1 2 
 Lập phương trình mặt phẳng P chứad và d , bằng cách: 1
 Lấy một điểm A trên d . 1   
 Một VTPT của P có thể là: n a  ,a  . P d  1 
 Tương tự lập phương trình mặt phẳng Q  chứad và d . Khi đó d  P   Q . 2 3.12. Dạng 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 47
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
d là hình chiếu của đường thẳng  lên mặt phẳng P thì ta Lập phương trình mặt phẳng Q chứa 
và vuông góc với mặt phẳng P bằng cách:  Lấy M   .   
 Vì Q chứa  và vuông góc với P nên n a  ,n  . Q   P
 Khi đó d  P   Q . 3.13. Dạng 13
d đi qua điểm M , vuông góc với d và cắt d : 1 2  Cách 1:
Gọi N là giao điểm củad và d . Từ điều kiện MN d , ta tìm được N . Khi đó, d là đường 2 1 thẳng MN.  Cách 2:
 Viết phương trình mặt phẳng P qua M và vuông góc với d . 1
 Viết phương trình mặt phẳng Q chứa M và d . 2
 Khi đó d  P   Q . B – BÀI TẬP
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A1; 2; 
3 , B 1; 0; 2 . Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. u  0; 2; 
1 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng A . B B. u  0; 2  ; 
1 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng A . B
C. u  0; 2;  
1 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng A . B
D. u  2; 2; 5 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng A . B Hướng dẫn giải Chọn A  Có: AB  0; 2  ;   1   
Vậy: u  0; 2 
;1   AB . Vậy u  0;2 
;1 cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng A . B
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A1; 2; 2 , B3; 2
 ;0 . Một vectơ chỉ phương
của đường thẳng AB là:    
A. u  2; 4; 2  
B. u  1; 2;  1 C. u  2; 4  ; 2 D. u   1  ; 2;  1 Hướng dẫn giải Chọn D  Ta có: AB  2; 4  ; 2    2   1  ; 2;  1 .
Câu 3: Trong không gian Oxyz , phương trình nào dưới đây không phải là phương trình đường thẳng đi
qua hai điểm A 4; 2; 0 , B 2;3;  1 . x  2 y  3 z 1 x y  4 z  2 A.   . B.   . 2  1 1 2 1 1 x  1 2t
x  4  2t  
C. y  4  t .
D. y  2  t . z  2  t   z t
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 48
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz Hướng dẫn giải Chọn C 
Vectơ chỉ phương của AB là AB  2  ;1  ;1 . x  2 y  3 z 1
Phương trình của đường thẳng AB có dạng :   . 2  1 1
Xét đáp án C ta có: M 1; 4; 2 không nằm trên đường thẳng AB . x  4 y  5 z  7
Câu 4: Trong không gian Oxyz , tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng d :   . 7 4 5     
A. u  4;5; 7   . B. u  7; 4  ; 5   .
C. u  7;4; 5   . D. u  5; 4  ; 7   . Hướng dẫn giải Chọn C x  4 y  5 z  7  d :  
có một vectơ chỉ phương là u  7;4; 5   . 7 4 5 
Câu 5: Trong không gian Oxyz , phương trình đường thẳng đi qua điểm A1; 2;3 và có vectơ chỉ  phương u  2; 1  ; 6 là x  2 y 1 z  6 x  2 y 1 z  6 A.   . B.   . 1 2 3 1 2  3 x 1 y  2 z  3 x 1 y  2 z  3 C.   . D.   . 2 1  6 2 1  6 Hướng dẫn giải Chọn C
Ta có phương trình chính tắc đường thẳng đi qua A1; 2;3 và có vectơ chỉ phương  x 1 y  2 z  3 u  2; 1  ; 6 là:   . 2 1  6 x  1 2t
Câu 6: Cho đường thẳng d có phương trình tham số y  2  t . 
Viết phương trình chính tắc của đường
z  3  t  thẳng d . x  1 y  2 z  3 x  1 y  2 z  3 A. d :   . B. d :   . 2 1 1 2 1 1 x  1 y  2 z  3 x  1 y  2 z  3 C. d :   . D. d :   . 2 1 1 2 1 1 Hướng dẫn giải Chọn D
Từ phương trình tham số ta thấy đường thẳng d đi qua điểm tọa độ  ; 1 ; 2 3 và có VTCP
u   ;2 ;11. x  1 y  2 z  3
Suy ra phương trình chính tắc của d là:   . 2 1 1 x  2 y 1 z  3
Câu 7: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d :  
. Điểm nào sau đây không thuộc 3 1  2
đường thẳng d ? A. N 2; 1  ;   3 B. P 5; 2  ;   1 C. Q  1  ;0; 5   D. M  2  ;1;  3
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 49
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz Hướng dẫn giải Chọn D Nhận xét N, ,
P Q thuộc đường thẳng d .
Tọa độ điểm M không thuộc đường thẳng d .
x  2  2t
Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độOxyz , cho đường thẳng  có phương trình y  1  3t . Một
z  4  3t
trong bốn điểm được liệt kê ở bốn phương án , A ,
B C,D dưới đây nằm trên đường thẳng . Đó là điểm nào?
Q 2;7;10
B. M 0; 4; 7 .
C. N 0; 4;7 .
D. P 4;2;1 . A. . Hướng dẫn giải Chọn B x  1 2t
Câu 9: . Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : y  3
. Trong các vecto sau, vecto nào là một
z  5  3t
vecto chỉ phương của đường thẳng d .    
A. a  2; 3;3 . B. a  2  ;0;3 . C. a  2  ;3;3 .
D. a  1;3;5 . 1   1   3   1   Hướng dẫn giải Chọn B  
Ta dễ thấy u a  2  ;0;3 . d 3  
Câu 10: Trong không gian Oxyz , đường thẳng chứa trục Oy có phương trình tham số là x  0 x  0 x tx  0    
A. y  1
B. y t
C. y  0 D. y  0 z t     z  0  z  0  z tHướng dẫn giải Chọn B  x  0 
Trục Oy qua O 0; 0; 0 và có vectơ chỉ phương j  0;1;0 nên có phương trình  y t . z  0  x 1 y  2 z
Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :   , vectơ nào dưới 1 3 2 
đây là vtcp của đường thẳng d ?     A. u   1  ;3; 2   .
B. u  1;3; 2 . C. u  1; 3  ; 2   . D. u   1  ; 3  ;2 . Hướng dẫn giải Chọn D
d có vtcp u   1  ; 3  ;2 . A1; 4; 7
Câu 12: Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm
và vuông góc với mặt phẳng
x  2y  2z  3  0 có phương trình là x 1 y  4 z  7 x 1 y  4 z  7 A.   . B.   . 1 4 7 1 2 2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 50
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz x 1 y  4 z  7 x 1 y  4 z  7 C.   . D.   . 1 2 2 1 2 2 Hướng dẫn giải Chọn C A1; 4; 7
Đường thẳng đi qua điểm    
và vuông góc với mặt phẳng x
2y 2z 3 0 nên có  u  1;2; 2   x 1 y  4 z  7 một vectơ chỉ phương có phương trình là:   . 1 2 2
Câu 13: Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm A1;2;3 và vuông góc với mặt phẳng
4x  3y  3z 1  0 có phương trình là. x  1 4tx  1 4tx 1 4tx  1   4t    
A. y  2  3t .
B. y  2  3t .
C. y  2  3t . D. y  2   3t . z  3t     z  3  3tz  3  3tz  3   3tHướng dẫn giải Chọn C
Gọi d là đường thẳng cần tìm. Ta có vectơ chỉ phương của d là u  4;3;   3 . x 1 4t
Phương trình đường thẳng d là:  y  2  3t . z  33t
Câu 14: Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm A3; 1
 ; 2 và vuông góc với mặt phẳng
P : x y 3z 5  0 có phương trình là: x  3 y 1 z  2 x  3 y 1 z  2 A. d :   . B. d :   . 1 1 3  1 1 3  x 1 y 1 z  3 x 1 y 1 z  3 C. d :   . D. d :   . 3 1 2 3 1  2 Hướng dẫn giải Chọn B 
Đường thẳng d đi qua điểm A3; 1
 ; 2 nhận vectơ pháp tuyến n  1;1;   3 là vectơ chỉ P x  3 y 1 z  2 phương nên d :   . 1 1 3  x 1 y  2 z  3
Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d có phương trình   . 3 2 4
Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng d ? A. P 7;2;  1 . B. Q 2  ; 4  ;7 .
C. N 4;0;  1 . D. M 1; 2  ;  3 . Hướng dẫn giải Chọn A
Thế tọa độ M vào phương trình đường thẳng d ta được 1  1  1 (đúng), loại A
Thế tọa độ N vào phương trình đường thẳng d ta được 0  0  0 (đúng), loại B 1
Thế tọa độ P vào phương trình đường thẳng d ta được 2  2    ! , nhận C 2
Thế tọa độ Q vào phương trình đường thẳng d ta được 1   1   1  (đúng), loại D
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 51
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz x  2t
Câu 16: Trong không gian Oxyz , một vectơ chỉ phương của đường thẳng  :  y  1   t là z  1     
A. v  2;1;0 .
B. u  2;1;  1 . C. m  2; 1   ;1 .
D. n  2;1;0 . Hướng dẫn giải Chọn D
Dựa vào hệ số trước t trong phương trình tham số của đường thẳng  ta có một vectơ chỉ   
phương là a  2;1;0 nên ta chọn đáp án B vì vectơ n  2;1;0 cùng phương với a .
Câu 17: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P : x  2 y  3z  2  0 . Đường thẳng d vuông góc với
mặt phẳng  P  có một vectơ chỉ phương là    
A. u  1; 2;3 B. u  1; 3  ; 2 C. u  1; 2  ; 2 D. u  1; 2  ; 3  2   1   3   4   Hướng dẫn giải Chọn D 
Ta có  P  : x  2 y  3z  2  0 , suy ra một VTPT của  P  là u  1; 2  ; 3  . 2   x  3 y  2 z 1
Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :   . Điểm nào sau 2 1  4
đây không thuộc đường thẳng d ? A. P 1; 1  ; 5   . B. Q5; 3  ;  3 . C. M 1; 1  ;  3 . D. N 3; 2  ;   1 . Hướng dẫn giải Chọn C 2  1 2 
Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d ta được   (vô lí). Vậy điểm 2 1  4
M không thuộc đường thẳng d .
x  4  3t
Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M 0; 2; 0 và đường thẳng d : y  2  t . z  1   t
Đường thẳng đi qua M , cắt và vuông góc với d có phương trình là x y  2 z x 1 y z x 1 y 1 z x y z 1 A.   B.   C.   D.   1  1 2 1 1 2  1 1 2 1 1 2 Hướng dẫn giải Chọn A qua N 4;2;  1  Ta có : d :  vtcp u   3;1;  1  dMH d Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên d   H d
x  4  3t     MH .u  0
y  2  t d    
H 1;1; 2 . H dz  1 t  3
x y  2  z  0  
Đường thẳng  đi qua M và vuông góc với d có véctơ chỉ phương là MH  1;1; 2 .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 52
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz x y  2 z Phương trình  :   . 1 1 2 x  2 y  2 z
Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , đường thẳng d :   đi qua những điểm nào 1 2 3 sau đây?
A. B 2; 2;0 B. C  3  ;0;  3 C. D 3;0;  3 D. A 2  ;2;0 Hướng dẫn giải Chọn C 3  2 0  2 3 Ta có  
 1 nên đường thẳng d đi qua điểm D . 1 2 3
Câu 21: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P : 2x  3y  2z  2  0 và Q : x 3y  2z 1  0 .
Phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và song song với hai mặt phẳng  P , Q là x y z x y z x y z x y z A.   . B.   . C.   . D.   . 9 12 2  12 2  9 9 12 2  12 2 9  Hướng dẫn giải Chọn C  
P có VTPT n  2;3;2 , Q có VTPT n  1; 3  ;2 .
Do đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và song song với hai mặt phẳng  P , Q nên đường   
thẳng có VTCP u   , n n  12; 2  ; 9   . x y z
Vậy phương trình đường thẳng là   . 12 2  9
Câu 22: Trong không gian Oxyz , cho điểm A3;1; 5
  , hai mặt phẳng  P : x y z  4  0 và Q :
2x y z  4  0 . Viết phương trình đường thẳng  đi qua A đồng thời  song song với hai
mặt phẳng  P và Q . x  3 y 1 z  5 x  3 y  1 z  5 A.  :   . B.  :   . 2 1  3  2 1  3  x  3 y 1 z  5 x  3 y 1 z  5 C.  :   . D.  :   . 2 1 3  2  1  3 Hướng dẫn giải Chọn A 
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  P là n  1; 1  ;1 . 1   
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng Q là n  2;1;1 . 1   1 1  1     
n và n không cùng phương. 2 1 1 1 2
  P và Q cắt nhau.
Mặt khác: AP , AQ .  
Ta có: n , n    2  ;1;3 . 1 2   
Đường thẳng  đi qua A3;1; 5
  và nhận vectơ n  2; 1
 ; 3 làm vectơ chỉ phương. x  3 y 1 z  5
Phương trình chính tắc của đường thẳng  là:   . 2 1  3 
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 53
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
Câu 23: Trong không gian Oxyz , cho điểm A1; 2;  
1 , đường thẳng d có phương trình x  3 y  3 z  
và mặt phẳng α có phương trình x y z  3  0 . Đường thẳng  đi qua 1 3 2
điểm A , cắt d và song song với mặt phẳng α có phương trình là x 1 y  2 z  1 x 1 y  2 z  1 A.   B.   1 2  1 1 2 1 x 1 y  2 z 1 x 1 y  2 z  1 C.   D.   1 2 1 1 2  1 Hướng dẫn giải Chọn D 
Gọi B 3  t; 3  3t; 2t  là giao điểm của d và  . Đường thẳng  nhận AB2  t; 1 3t; 2 t  1 làm vec tơ chỉ phương.  
Vì € α nên A . B n  0 . Suy ra α
2  t   1 3t   2t  
1  0  2  2t  0  t  1. Suy ra B 2; 0;  2 . 
Vec tơ chỉ phương của đường thẳng  : AB  1;  2;   1 x 1 y  2 z  1
Phương trình đường thẳng  :   . 1 2  1
Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P : x  2y  2z  5  0 và đường thẳng x 1 y 1 z d :  
. Đường thẳng  nằm trên mặt phẳng  P , đồng thời vuông góc và cắt 2 2 1
đường thẳng d có phương trình là x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 A.   B.   . 2 3 2 2 3 2  x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 C.   . D.   . 2 3 2 2 3 2 Hướng dẫn giải Chọn A
Vectơ pháp tuyến của  P là n  3; 2;   1 . 
Vectơ chỉ phương của d là u  2; 2;  1 .  
u, n  2;  3; 2 là vectơ chỉ phương của .  
Mặt khác, do  cắt d nên  đi qua giao điểm M của d và mặt phẳng  P .
Tọa độ giao điểm M của d và  P là nghiệm hệ phương trình sau: x  1 2t t   1  
y  1 2tx  1     M  1  ; 1;   1 . z t y  1   
x  2y  2z  5  0 z  1    x 1 y 1 z 1
Vậy phương trình đường thẳng  là   . 2 3 2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 54
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz x 1 y  2 z 1
Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng  :   và 1 3 1 2 x  3 x 1 y z 1   :  
. Phương trình đường thẳng song song với d :  y  1 t và cắt hai đường 2 1 2 3 z  4  t  thẳng  ;  là 1 2 x  2  x  2 x  2 x  2      A. y  3   t . B. y  3   t .
C. y  3  t . D. y  3   t . z  3   t     z  3  tz  3  tz  3   tHướng dẫn giải Chọn C
Gọi  là đường thẳng cần tìm. Gọi A     , B     1 2 A    A 1   3 ; a 2  ;1 a  2a 1  
B    B 1 ; b 2 ; b 1   3b 2    AB   3
a b  2; a  2b  2; 2a  3b  2 
d có vectơ chỉ phương a  0;1  ;1 d  
 / / d AB, a cùng phương d  
3a b  2  0
3a b  2  a  1   
 có một số k thỏa AB k a  a  2b  2  k  a  2b k  2  b  1 d
 2a 3b 2 k  2a 3b k 2          k  1    
Ta có A2;3;3; B 2; 2; 2 
 đi qua điểm A 2;3;3 và có vectơ chỉ phương AB  0; 1  ;   1 x  2 
Vậy phương trình của  là  y  3  t . z  3  t
Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A1;0; 2 và đường thẳng d có phương trình: x 1 y z 1  
. Viết phương trình đường thẳng  đi qua A , vuông góc và cắt d . 1 1 2 x 1 y z  2 x 1 y z  2 A.  :   . B.  :   . 1 1 1  2 1 1 x 1 y z  2 x 1 y z  2 C.  :   . D.  :   . 1 3 1 1 1 1 Hướng dẫn giải Chọn A B  
Do  cắt d nên tồn tại giao điểm giữa chúng. Gọi B    d   B d  x t  1 
Phương trình tham số của d :  y t
, t   . Do B d , suy ra z t 1   
B t 1; t; t  
1  AB  t; t; 2t  3 . Do ,
A B   nên AB là vectơ chỉ phương của  .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 55
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz    
Theo đề bài,  vuông góc d nên AB u , u  1;1; 2 (u  (1; 1; 2) là vector chỉ phương của    x 1 y z  2 d ). Suy ra A .
B u  0 . Giải được t  1  AB  1;1;   1 . Vậy  :   1 1 1 
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 56
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
BÀI 6: TOÁN TỔNG HỢP VỀ PP TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  : 2x  2y z  3  0 và điểm M 1; 2  ;1 
3 . Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  .
A. d M  5 ,  .
B. d M ,  4.
C. d M  4 ,  .
D. d M  2 ,  . 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn C 2.1 2. 2   13  3 4
Ta có d M ,    . 4  4 1 3
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P : x  2y  2z  5  0 và điểm A 1  ;3; 2
 . Khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng  P bằng 2 3 14 14
A. d 1. B. d  . C. d  . D. d  . 3 14 7 Hướng dẫn giải Chọn B 1
  2.3  2.2  5 2
Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  P là: d   .
  2   2 2 3 1 2 2
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng  P : x  2y  2z  3  0 và
Q : x  2y  2z 1 0 . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đã cho là 4 2 4 A. . B. . C. 4 . D. . 3 3 9 Hướng dẫn giải Chọn A Lấy A1;1; 
3  P .Do  P song song với Q nên Ta có 1 2.1 2.3 1 d  4
P,Q  d  , A Q      2 2 2 3 1 2 2
Câu 4: Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng  P : 2x 3y z  4  0 ; Q : 5x 3y  2z  7  0
Vị trí tương đối của  P & Q là A. Vuông góc. B. Trùng nhau. C. Song song.
D. Cắt nhưng không vuông góc. Hướng dẫn giải Chọn D    
nP  2; 3  
;1 ; nQ  5; 3
 ; 2  nP  k.nQ k  0 .    n P. 
n Q  0 . Vậy vị trí tương đối của  P &Q là cắt nhưng không vuông góc.
Câu 5: Khoảng cách từ điểm M  2  ; 4  ; 
3 đến mặt phẳng  P có phương trình 2x y  2z  3  0 là: A. 3 . B. 1. C. 2 .
D. Đáp án khác.
Câu 6: Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1; 2;3 . Hình chiếu vuông góc của M trên Oxz  là điểm nào sau đây.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 57
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
A. K 0; 2;3 .
B. H 1; 2;0 .
C. F 0; 2;0 .
D. E 1; 0;3 . Hướng dẫn giải Chọn D
Hình chiếu vuông góc của M 1; 2;3 trên Oxz  là điểm E 1; 0;3 .
Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M 2; 1  ; 
1 , tìm tọa độ M  là hình chiếu vuông
góc của M trên mặt phẳng Oxy .
A. M 2;1;  1 .
B. M 0;0;  1 . C. M 2; 1  ;0 . D. M  2  ;1;0 .
Hướng dẫn giải Chọn C
Câu 8: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng  P : 2x y  2z  4  0 và điểm
A(1; 2; 2) . Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng  P . 4 8 2 5 A. d  . B. d  . C. d  . D. d  . 3 9 3 9 Hướng dẫn giải Chọn A 2  2  4  4 4 Ta có d  ,
A P   . 4 1 4 3
Câu 9: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng  P : 3x  4y  2z  4  0 và điểm
A1; –2;3. Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng  P . 5 5 5 5 A. d . B. d  . C. d  . D. d  . 3 9 29 29 Hướng dẫn giải Chọn D 3.1 4. 2    2.3  4 d  5 ;
A P   . 2 2 2 3  4  2 29
Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho điểm A2; 3
 ;5 . Tìm tọa độ A là điểm đối xứng với A qua trục Oy . A. A 2  ; 3  ;5 B. A 2  ; 3  ; 5  
C. A2;3;5 D. A2; 3  ; 5   Hướng dẫn giải Chọn B
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A2; 3
 ;5 lên Oy . Suy ra H 0; 3  ;0
Khi đó H là trung điểm đoạn AA .
x  2x x  2  AH A
y  2 y y  3   A 2  ; 3  ; 5   . AH A
z  2z z  5  AH A
Câu 11: Trong không gian Oxyz , cho điểm M 5; 7; 13 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên
mặt phẳng Oyz  . Tọa độ điểm H là?
A. H 5; 0; 13
B. H 0; 7; 13
C. H 5; 7; 0
D. H 0; 7;13 Hướng dẫn giải Chọn B
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 58
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
Do H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng tọa độ Oyz  nên H 0; 7; 13 .
Câu 12: Trong không gian Oxyz cho điểm A 1  ;2; 
1 , hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng
tọa độ Oxy là A. P 0;2;  1 B. N  1  ;0;  1
C. Q 0; 2;0 D. M  1  ;2;0 Hướng dẫn giải Chọn D
Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng Oxy . x  1  
Phương trình tham số của đường thẳng d có dạng:  y  2 . z  1 t
Gọi A là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng Oxy . Ta có A
  d Oxy . x  1  x  1    y  2  y  2
Vậy tọa độ của A là nghiệm của phương trình    . z  1 tz  0  z  0  t   1  
Vậy hình chiếu vuông góc của A 1  ;2; 
1 lên mặt phẳng tọa độ Oxy là M  1  ;2;0 .
Câu 13: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P : 2x  3y  6z 19  0 và điểm A 2  ;4;  3 . Gọi d là
khoảng cách từ A đến mặt phẳng  P . Khi đó d bằng A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn A 4  12 18 19 21 d    3. 2 2 2 7 2  3  6
Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A0, 1
 , 2 và mặt phẳng  có phương trình
4 x y  2 z  3  0 . Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng  . 8 8 7 8 A. d  . B. d  . d D. d  . 21 21 C. 21 . 21
Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tính khoảng cách từ điểm M 1; 2;  3 đến mặt phẳng
P : x  2y  2z  2  0 . 11 1 A. 3 . B. . C. . D. 1. 3 3 Hướng dẫn giải Chọn A 1 4  6  2
Ta có d M , P   3. 1 4  4
Câu 16: Trong không gian Oxyz , góc giữa hai mặt phẳng  P : 8x  4y 8z 11  0 ;
Q : 2x  2y  7  0 .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 59
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz A. . B. . C. . D. . 6 3 4 2 Hướng dẫn giải Chọn C  
nP  8; 4
 ; 8;nQ   2; 2;0 .  
nP.nQ 12 2 2
Gọi là góc giữa hai mặt phẳng  P & Q ta có cos     .
nP . nQ 24 2 Vậy  . 4
Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng  P : 2x  3y  4z 12  0 cắt trục Oy tại điểm có tọa độ là
A. 0; 4; 0
B. 0; 6; 0
C. 0; 3; 0
D. 0;  4; 0 Hướng dẫn giải Chọn A
Gọi M Oy   P  M 0; ;
b 0 . M  P  3b 12  0  b  4 . Vậy M 0; 4; 0 .
Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , hình chiếu vuông góc M ' của điềm M ; 1 (  ; 1 2) trên Oy có tọa độ là A. (0;0;2) . B. (0 ; 1 ; 0) . C. ( ; 0  ; 1 0) . D. ; 1 ( 0;0) . Hướng dẫn giải Chọn B
Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , hình chiếu của điểm M 1; 3  ; 5
  trên mặt phẳng Oyz có tọa độ là
A. 0; 3; 0 . B. 0; 3  ; 5   . C. 0; 3  ;5 . D. 1; 3  ;0 . Hướng dẫn giải Chọn B x  3 y 1 z  2
Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d :   và 1 2 1 3 x 1 y  5 z 1 d :  
. Xét vị trí tương đối giữa d và d . 2 4 2 6 1 2
A. d chéo d .
B. d cắt d . 1 2 1 2
C. d song song với d .
D. d trùng d . 1 2 1 2 Hướng dẫn giải Chọn C  d qua M 3;1; 2 
và có VTCP u  2;1;3 1   1   1  d qua M 1  ; 5
 ;1 và có VTCP u  4; 2; 6 2   2   2  
Dễ thấy u cùng phương với u và M d nên suy ra d song song với d . 1 2 1 2 1 2
Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A 1  ;2;  1 , B  4  ;2; 2   , C  1  ; 1  ; 2   , D 5  ; 5
 ; 2 . Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng  ABC
A. d  3 3 .
B. d  4 3 .
C. d  3 .
D. d  2 3 . Hướng dẫn giải Chọn B
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 60
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz      Ta có AB   3  ; 0; 3
  , AC  0; 3
 ; 3  n   A ; B AC    9  ; 9  ;9  
 Phương trình mặt phẳng  ABC là: x y z  0 5   5  2  d  ;
D ABC    4 3   . 1 1   2 2 2 1 x y 1 z 1
Câu 22: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho hai đường thẳng d :   và 1 1 1  2 x 1 y z  3 d :  
. Góc giữa hai đường thẳng đó bằng 2 1  1 1 A. 45 . B. 60 . C. 30 . D. 90 . Hướng dẫn giải Chọn D
Đường thẳng d có véctơ chỉ phương u  1; 1  ; 2 . 1   1 
Đường thẳng d có véctơ chỉ phương u  1  ;1;1 . 2   2
Gọi là góc giữa hai đường thẳng trên,ta có:   1.  1    1 .1 2.1
Khi đó cos cosu ;u   0  
d ;d  90 . 1 2  1 2  1   2 1  2 .  2 2 2 2 2 1 1 1
Câu 23: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt cầu  S  2 2 2
: x y z  2x  4y  2z  3  0 . Hỏi
trong các mặt phẳng sau, đâu là mặt phẳng không có điểm chung với mặt cầu  S  ?
A. : x  2y  2z  3  0 .
B. : 2x  2y z 10  0 . 4  3 
C. : x  2y  2z 1  0.
D. : 2x y  2z  4  0 . 2  1  Hướng dẫn giải Chọn D
S  có tâm I 1; 2  ; 
1 và bán kính R  3 .
Lần lượt tính khoảng cách từ I đến i  1,2,3,4 và so sánh với R . i
Ta có và  S  không có điểm chung khi và chỉ khi d I,R . i  i  10
Ta có d I,   R . 2   3
Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P : 2x  2y z 8  0 và mặt cầu S 2 2 2
: x y z  6x  4y  2z  2  0 . Gọi I  , a ,
b c là tâm đường tròn giao tuyến của mặt cầu
S  với mặt phẳng P . Giá trị của tổng S a b c bằng A. 1. B. 2 . C. 1  . D. 2  . Hướng dẫn giải Chọn C  Pn  2; 2;  1 Mặt phẳng
có một véc tơ pháp tuyến là .  2 2 2 S  2 2 2
: x y z  6x  4y  2z  2  0   x  3   y  2   z   1  16 Mặt cầu có tâm I3; 2  ; 
1 và bán kính R  4 .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 61
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz 2.3  2 2 1 8
Ta có d I , P 
 3  R nên mặt phẳng  P cắt mặt cầu  S  . 2  2   2 2 2 1 I3; 2  ;  1 P
Gọi  là đường thẳng đi qua
và vuông góc với mặt phẳng khi đó  có một véc 
x  3  2t
tơ chỉ phương là u  2; 2; 
1 , phương trình đường thẳng  :  y  2   2t .  z  1 t
Gọi I là tâm đường tròn giao tuyến khi đó I d   P . Thay phương trình đường thẳng  vào P phương trình mặt phẳng
ta được: 23 2t   2 2
  2t   1 t  8  0  t  1  .
Với t  1 thì I 1; 4
 ;2  S a b c  1 4  2  1  .
Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  : x  2y  3z  6  0 và đường thẳng x 1 y 1 z  3  :  
. Mệnh đề nào sau đây đúng? 1  1  1
A.  cắt và không vuông góc với  .
B.    .
C. //  .
D.    . Hướng dẫn giải Chọn B
Đường thẳng  qua A 1  ; 1
 ;3 và có vectơ chỉ phương u   1  ; 1  ;  1 . 
Mặt phẳng  có một vectơ pháp tuyến là n  1;2;3 .  
Nhận thấy: u.n  0 và A nên    .
Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1  ;0;  1 , B 1; 2; 3
  . Đường thẳng AB cắt
mặt phẳng tọa độ Oyz tại điểm M x ; y ; z
. Giá trị của biểu thức T x y z là M M M M M M A. 0 . B. 4 . C. 2 . D. 4  . Hướng dẫn giải Chọn A 
Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là AB  2; 2; 4   .
x  1  2t  Phương trình AB : y  2t  . z 1 4t
Tọa độ giao điểm M x ; y ; z
của đường thẳng AB và mặt phẳng tọa độ Oyz thỏa hệ M M M  x  1   2tx  0   y  2t     y  1 . z  1 4t  z  1  x  0  Vậy M 0;1; 
1 , do đó giá trị của biểu thức T x y z  0 . M M M
x  3  t
Câu 27: Cho mặt phẳng (P) : 2x y  3z  1  0 và đường thẳng d : y  2  2t  . z 1 
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 62
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. d cắt  P .
B. d //  P .
C. d   P .
D. d   P . Hướng dẫn giải Chọn C
Mp  P có VTPT n  2; 1; 3 , đường thẳng d đi qua điểm M  3  ; 2;  1 và có VTCP 
a  1; 2;0 .   Ta xét: .
n a  0 và điểm M  P nên d  (P) .
Câu 28: Trong không gian Oxyz , cho A1;3; 2 , B3;5;12 . Đường thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz tại BN N . Tính tỉ số . AN BN BN BN BN A.  2 . B.  5 . C.  3. D.  4 . AN AN AN AN Hướng dẫn giải Chọn D x  1  t qua A1;3; 2    
Đường thẳng AB :  
AB : y  3  t
VTCP AB  2; 2; 10  21;1; 5    
z  2  5t
N AB  Oyz . N  AB  N 1 t;3 t; 2 5t , N Oyz 1 t  0  t  1   N 0; 2;  3 BN
AN  3 3, BN  9 3   3. AN
Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng  P : x  2 y  2z  3  0 và
Q : x  2 y  2z 1  0 . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng P và Q là: 4 2 4 4 A. . B. . C. . D.  . 9 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn C  3 
Ta có:  P  // Q nên chọn điểm A 0;0;    P .  2  3 0  2.0  2. 1 2 4
Khi đó: d P;Q  d  ; A Q   .    2 2 2 3 1 2 2
Câu 30: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng  P : x y  2z  5  0 và đường thẳng x 1 y  2 z  :  
. Gọi A là giao điểm của  và  P ; và M là điểm thuộc đường thẳng  2 1 3
sao cho AM  84 . Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng  P . A. 3 B. 5 C. 6 D. 14 Hướng dẫn giải Chọn A
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 63
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz   u .nP 3 21
Ta có: sin , P      . u . n 6. 14 14  P
Gọi H là hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng. Khi đó ta có tam giác AMH là tam giác MH vuông tại H nên  P  sin ,  sin MAH   MH  3 . MA x 1 y 1 z 1
Câu 31: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d :   và 2 3 2 x 1 y  2 z  3 d :  
. Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng d và d  . 2 1 1 10 21 4 21 22 21 8 21 A. h  . B. h  . C. h  . D. h  . 21 21 21 21 Hướng dẫn giải Chọn D
d có vectơ chỉ phương u  2;3; 2 , đi qua M  1  ; 1  ;  1 . 
d  có vectơ chỉ phương u  2;1; 
1 , đi qua M 1; 2  ;  3 .      
Ta có: u, u  1;2; 4
  , MM   2;1; 2  u,u .MM   1.2  2.  1   4        .2 8 0  
d , d  chéo nhau.   
u,u .MM    8 8 21
Khi đó: khoảng cách h giữa hai đường thẳng d và d  là: h      . u,u 21 21  
Câu 32: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A3; 1  ;  1 , B 4;2;  
3 . Gọi A là hình chiếu
vuông góc của A trên mặt phẳng Oxy và B là hình chiếu vuông góc của B trên mặt phẳng
Oyz . Độ dài đoạn thẳng A B   bằng A. 2 . B. 3 . C. 2 3 . D. 3 3 . Hướng dẫn giải Chọn D
Do A là hình chiếu vuông góc của A3; 1  ; 
1 trên mặt phẳng Oxy nên A3; 1  ;0 . B 4;2;   3
Do B là hình chiếu vuông góc của
trên mặt phẳng Oyz nên B0;2;  3   2 2 Ta có A B     3  ;3; 3    A B      2 3  3   3    3 3 .
Câu 33: Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng  : x  2 y z 1  0 và  : 2x  4 y mz  2  0 .
Tìm m để  và   song song với nhau.
A. m  1.
B. m  2 . C. m  2  .
D. Không tồn tại m . Hướng dẫn giải Chọn D 
Mặt phẳng  có một VTPT là n  1; 2; 1  . 1   
Mặt phẳng   có một VTPT là n  2; 4; m . 2   2 4 m 2 
Ta có  //       m  . 1 2 1  1 
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 64
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
Câu 34: Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng  P : 2x  4y  3z  5  0 và
Q : mx ny  6z  2  0 . Giá trị của m , n sao cho P song song với Q là:
A. m  4 ; n  8
B. m n  4 C. m  4  ; n  8
D. m n  4  Hướng dẫn giải Chọn C mn 6  2
P song song với Q khi và chỉ khi:    . 2 4 3 5   m  2    2 m  4 Do đó:    . nn  8  2     4
Câu 35: Trong không gian với hệ trục Oxyz , khoảng cách h từ điểm A 4
 ;3; 2 đến trục Ox là
A. h  13 .
B. h  3 .
C. h  2 5 .
D. h  4 . Hướng dẫn giải Chọn A Điểm H  4
 ;0;0 là hình chiếu của A lên trục Ox nên h AH  13 .  1 3 
Câu 36: Trong không gian Oxyz , cho điểm M  ;
;0  và mặt cầu S  2 2 2
: x y z  8 . Đường 2 2  
thẳng d thay đổi, đi qua điểm M , cắt mặt cầu  S  tại hai điểm ,
A B phân biệt. Tính diện tích
lớn nhất S của tam giác OAB .
A. S  2 7.
B. S  2 2. C. S  7.
D. S  4. Hướng dẫn giải Chọn C
Cách 1: Mặt cầu  S  có tâm O0;0;0 và bán kính R  2 2 . 2 2 1  3    Có OM     
  1 nên M nằm trong mặt cầu  2  2  
Khi đó diện tích AOB lớn nhất khi OM ⊥ AB. Khi đó 2 2
AB  2 R OM  2 7 và 1 SOM .AB  7 AOB 2
Cách 2: gọi H là hình chiếu của O xuống đường thẳng d, đặt OH x 0  x   1 Khi đó 1 2 2 2
AB  2 R OH  2 8  x và 2 S
OH .AB x 8  x . AOB 2
Khảo sát hàm số f x 2
x 8  x trên 0; 
1 thu được giá trị lớn nhất của hàm số là 7 Đạt
được tại x  1
Câu 37: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu S  2 2 2
: x y z  2x  2 y  2z  0 và đường x mt  thẳng 2
d :  y m t với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d z mt
tiếp xúc với mặt cầu  S  .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 65
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz m  2 A. m  2  . B.  .
C. m  0 .
D. m  1. m  0  Hướng dẫn giải Chọn A  2 2 2 S  2 2 2
: x y z  2x  2 y  2z  0   x   1   y   1   z   1  3 .
Dựa vào phương trình tham số của đường thẳng d ta thấy vectơ chỉ phương của d là u   2 ;
m m ; m và đi qua điểm O0;0;0 .
Đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu  S   d
R với I 1;1; 
1 và R  3 là tâm và bán I ;d   
kính mặt cầu  S  . Ta có OI u    2 2 , m  ;
m 0; m m  .     2 2 OI ,u  2 2  
m m  m m  2 m m2 2    R   3   3 u 2 4 2 4 2
m m m m  2mm  0 4 3 2 4 2
 2m  4m  2m  3m  6m 4 3 2
m  4m  4m  0   . m  2   
Loại đáp án m  0 vì khi m  0 thì u  0;0;0 không thể là vectơ chỉ phương của d . Vậy m  2  .
Câu 38: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , A 0; 1; 2 và B 1; 0; 2 lần lượt là hình chiếu vuông góc x y 1 z  2 của điểm I ( ; a ; b c) trên  :  
và  P  : 2x y  2z  6  0 . Tính S a b c . 4 1 1  A. 0. B. 4  3 . C. 3  2 . D. 5  3 . Hướng dẫn giải Chọn A x y 1 z  2  Ta có  :  
a  4;1;  1 4 1 1  
P : 2x y  2z  6  0  n  2; 1  ; 2  
Gọi d là đường thẳng đi qua B 1; 0; 2 và vuông góc với mp(P), phương trình tham số của d là:
x  1  2ty  t
z  2  2t
Vì B là hình chiếu của I trên (P) nên I d I 1 2t; t; 2  2t  
AI  1 2t;1 t;4  2t
Vì A là hình chiếu của I trên  nên    
AI a AI.a  0  4 1 2t  1 t  4  2t   0  t  1 
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 66
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz
Do đó I 1 2t; t; 2  2t   1;1; 0  a  1
 ;b 1;c  0
Vậy a b c  0 . x  2 y 1 z
Câu 39: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  :   và điểm 2 2 1 I 2;1;  
1 . Mặt cầu tâm I tiếp xúc với đường thẳng  cắt trục Ox tại hai điểm A , B . Tính độ
dài đoạn AB . A. AB  6 .
B. AB  24 .
C. AB  4 .
D. AB  2 6 . Hướng dẫn giải Chọn D x  2 y 1 z   :  
qua A2;1;0 và có một véctơ chỉ phương là n  2;2;  1 . 2 2 1
Mặt cầu tâm I tiếp xúc với đường thẳng  nên bán kính của mặt cầu là    AI, n  
R d I,     2 2 . n 2 2 2
Phương trình mặt cầu S  :  x  2   y   1   z   1  8 .
Mặt cầu S  cắt trục Ox tại A2  6;0;0 và B2  6;0;0.
Suy ra độ dài đoạn AB  2 6 .
Câu 40: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng  P : x  2y  2z  9  0 , mặt cầu  S  tâm
O tiếp xúc với mặt phẳng  P tại H a; ;
b c . Tổng a b c bằng A. 1. B. 1  . C. 2 . D. 2 . Hướng dẫn giải Chọn B
Tiếp điểm H a;b;c là hình chiếu vuông góc của O lên mpP . x t
Đường thẳng  qua O và    P  có phương trình  :  y  2  t z  2t  x t   y  2  t t   1 
H     P  , giải hệ phương trình  được  z  2tx  1
 ; y  2; z  2  
x  2y  2z  9  0 
Vậy H 1; 2;  2 nên a b c  1 2  2  1.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 67
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Document Outline

  • BT HÌNH HỌC OXYZ_THEO BÀI (1)
  • HDG HÌNH HỌC OXYZ_THEO BÀI