Hình không gian thể tích từ cơ bản đến nâng cao – Nguyễn Tiến Đạt Toán 12
Tài liệu gồm 42 trang tóm tắt lý thuyết, công thức tính và hướng dẫn giải các dạng toán về thể tích của khối đa diện. Tài liệu phù hợp để các học sinh bị “mất gốc” ôn lại kỹ năng giải toán hình học không gian.Mời các bạn đón xem.
Preview text:
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
HÌNH KHÔNG GIAN THỂ TÍCH
TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO FULL
Giáo viên: Nguyễn Tiến Đạt HÌNH KHÔNG GIAN THỂ TÍCH
ÔN TẬP 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 9 – 10
1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông: Cho AB
C vuông ở A . Ta có: a) Định lý Pitago : 2 2 2
BC AB AC A b) 2 2
BA BH.BC;CA CH.CB c b c) .
AB AC BC.AH 1 1 1 d) B C 2 2 2 AH AB AC H M a e) BC 2 AM b c b c f) sin B
,cos B , tan B ,cot B a a c b b b g) b . a sin B .
a cos C, c . a sin C .
a cos B, a sin B cosC b .t c an B . c cot C
2. Hệ thức lượng trong tam giác thường
Định lý hàm số côsin: 2 2 2
a b c 2b . c cos A a b c Định lý hàm số sin: 2R sin A sin B sin C
3. Các công thức tính diện tích
a) Công thức tính diện tích tam giác 1 1 abc S a b c . a h . a bsin C pr
p p a p b p c p a với 2 2 4R 2 1 Đặc biệt: AB
C vuông ở A : S A . B AC 2 2 a 3 AB
C đều cạnh AB C : S 4
b) Diện tích hình vuông: S cạnh x cạnh
c) Diện tích hình chữ nhật: S dài x rộng 1
d) Diện tích hình thoi: S (chéo dài x chéo ngắn) 2
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 1 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan 1
e) Diện tích hình thang: S (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao 2
f) Diện tích hình bình hành: S đáy x chiều cao
g) Diện tích hình tròn: 2 S R
ÔN TẬP 2: KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11 A. QUAN HỆ SONG SONG
§1.ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG 1. Định nghĩa
Đường thẳng và mặt phẳng gọi là a & PaP a
song song với nhau nếu chúng
không có điểm nào chung. (P) 2.Các định lý:
Định lý 1: Nếu đường thẳng a a a
không nằm trên mặt phẳng và b & a a &
song song với một đường thẳng b b α
nào đó nằm trên thì a song song với .
Định lý 2: Nếu đường thẳng a
a & P Q
song song với mặt phẳng P thì a a (Q) b & a b
mọi mặt phẳng Q chứa a mà P
Q b P cắt
P thì cắt theo giao tuyến song song với a .
Định lý 3: Nếu hai mặt phẳng cắt
PQ b Q
nhau cùng song song với một P & a b & a
đường thẳng thì giao tuyến của b
chúng cũng song song với đường Q & a P thẳng đó. a
§2.HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 1. Định nghĩa:
Hai mặt phẳng được gọi là song P & Q P Q
song với nhau nếu chúng không có P điểm nào chung. Q
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 2 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan 2. Các định lý:
Định lý 1: Nếu mặt phẳng P a,b P a
chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau a b I
P & Q P I b
và cùng song song với mặt phẳng
a & Q,b & Q Q thì P và Q song song Q với nhau.
Định lý 2: Nếu một đường thẳng P& Q a
nằm một trong hai mặt phẳng song
a & Q a P P
song thì song song với mặt phẳng kia. Q
Định lý 3: Nếu hai mặt phẳng P
P& Q R và
Q song song thì mọi mặt RP a a & b a phẳng R đã cắt
P thì phải cắt R Q b P
Q và các giao tuyến của chúng b Q song song. B. QUAN HỆ VUÔNG GÓC
§1.ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG 1. Định nghĩa:
Một đường thẳng được gọi là a
P a c, c P
vuông góc với một mặt phẳng nếu a
nó vuông góc với mọi đường thẳng
nằm trên mặt phẳng đó. P c 2. Các định lý:
Định lý 1: Nếu đường thẳng d d a , d b
vuông góc với hai đường thẳng cắt d a ,b P
d P
nhau a và b cùng nằm trong mặt ab
phẳng P thì đường thẳng d b
vuông góc với mặt phẳng P. P a
Định lý 3: (Ba đường vuông góc) a P ,b P
Cho đường thẳng a không vuông b ab a'
góc với mặt phẳng P và đường
thẳng b nằm trong P . Khi đó,
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 3 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
điều kiện cần và đủ để b vuông góc
với a là b vuông góc với hình
chiếu a ' của a trên P .
§2.HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC 1. Định nghĩa:
Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900. 2. Các định lý:
Định lý 1: Nếu một mặt phẳng a P Q
chứa một đường thẳng vuông góc
Q P a Q a
với một mặt phẳng khác thì hai mặt
phẳng đó vuông góc với nhau. P
Định lý 2: Nếu hai mặt phẳng P P Q P
và Q vuông góc với nhau thì bất
P Q d a Q a
cứ đường thẳng a nào nằm trong a P,a d
P, vuông góc với giao tuyến của
P và Q đều vuông góc với d Q mặt phẳng Q.
Định lý 3: Nếu hai mặt phẳng P P Q P
và Q vuông góc với nhau và A A P
a P a
là một điểm trong P thì đường Aa A
thẳng a đi qua điểm A và vuông a Q
góc với Q sẽ nằm trong P Q
Định lý 4: Nếu hai mặt phẳng cắt PQ a
nhau và cùng vuông góc với mặt Q P R P a R a
phẳng thứ ba thì giao tuyến của
chúng vuông góc với mặt phẳng
Q R thứ ba. R §3.KHOẢNG CÁCH
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 4 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng, đến 1 O mặt phẳng:
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng
P ) là khoảng cách giữa hai điểm M O
và H , trong đó H là hình chiếu của điểm M trên H H
đường thẳng a ( hoặc trên mặt phẳng P) a P d ;
O a OH;d ; O P OH
2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: a O
Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng P
song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó
của a đến mặt phẳng P . H P d a; P OH
3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:
là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng này O P đến mặt phẳng kia. d
P ;Q OH H Q
4.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: A
là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng a đó. d ; a b AB b B §4.GÓC
1. Góc giữa hai đường thẳng a và b
là góc giữa hai đường thẳng a ' và b ' cùng đi qua một a a'
điểm và lần lượt cùng phương với a và b . b' b
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 5 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
2. Góc giữa đường thẳng a không vuông góc với a mặt phẳng P
là góc giữa a và hình chiếu a ' của nó trên mặt phẳng P.
Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng P thì ta a' P
nói rằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng P là 90 .
3. Góc giữa hai mặt phẳng
là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm trong 2 mặt a b a b
phẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại 1 điểm P Q P Q
4. Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện tích của đa S
giác H trong mặt phẳng
P và S ' là diện tích
hình chiếu H ' của H trên mặt phẳng P ' thì:
S ' S cos
trong đó là góc giữa hai mặt phẳng P và P '. A M C B
ÔN TẬP 3: KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12
A. CÁC CÔNG THỨC THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN:
1. Thể tích khối lăng trụ:
V S.h Trong đó:
S : Diện tích đa giác đáy.
h : Đường cao của hình lăng trụ.
a) Thể tích khối hộp chữ nhật: A' D' V a. . b c
với a,b, c là ba kích thước B' C' A D B C
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 6 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
b) Thể tích khối lập phương: A' D' 3 V a B' C'
với a là độ dài cạnh A D B C 2. Thể tích khối chóp: 1 V S.h 3 Trong đó:
S : Diện tích đa giác đáy.
h : Đường cao của hình chóp.
3. Tỉ số thể tích tứ diện: S
Hai khối chóp S.ABC và S.MNP có chung đỉnh S
và các góc ở đỉnh S . Khi đó: M P V SM SN SP S.MNP . . V SA SB SC S.ABC N A C B
4. Thể tích khối chóp cụt: A' B' h
V B B' BB' C' 3 Trong đó:
B, B ' : Diện tích hai đáy. A B h : Chiều cao. C Chú ý:
1/ Đường chéo của hình vuông cạnh a là d a 2 ,
Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d a 3 ,
Đường chéo của hình hộp chữ nhật có ba kích thước a,b, c là 2 2 2
d a b c , a 3
2/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h 2
3/ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng nhau ( hoặc có đáy là đa giác đều,
hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy).
4/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 7 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan PHÂN DẠNG BÀI TẬP
A. LOẠI 1: THỂ TÍCH LĂNG TRỤ
1. Dạng 1: Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy
Ví dụ 1. Cho (H ) là khối lăng trụ đứng tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a . Thể tích của (H ) bằng: 3 a 3 a 3 3 a 3 3 a 2 A. . B. . C. . D. . 2 2 4 3 Hướng dẫn giải: 3 a 3 A' C' V S .AA' SBC 4 B' A C B
Ví dụ 2. Cho lăng trụ đứng ABC.A B C
có AA a , tam giác ABC đều cạnh a . Tính theo a thể tích của
khối lăng trụ ABC.A B C . 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a A. V V V V ABC. A B C . B. 12 ABC. A B C . C. 8 ABC. A B C . D. 4 ABC.A B C . 6 Hướng dẫn giải: 2 3 a 3 a 3 A B S
, h AA' a V S .h ABC 4 ABC 4 C A' B' C'
Ví dụ 3. Cho lăng trụ đứng ABC.A B C
có đáy ABC là tam giác vuông, BA BC a , AA a 2 . Tính theo
a thể tích của khối lăng trụ ABC.A B C . 3 2.a 3 2.a 3 2.a 3 a A. V V V V ABC.A B C . B. 3 ABC.A B C . C. 2 ABC.A B C . D. 4 ABC.A B C . 3 Hướng dẫn giải:
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 8 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan 3 1 a 2 B' C' V A . B BC.AA' 2 2 A' B C A
Ví dụ 4. Lăng trụ đứng AB .
C A' B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại , A BC 2 ,
a AB a . Mặt bên ’
BB C’C là hình vuông. Khi đó thể tı́ch lăng trụ là: 3 a 3 A. . B. 3 a 2 . C. 3 2a 3 . D. 3 a 3 . 3 Hướng dẫn giải:
Ta có: BB 'C 'C là hình vuông B' C'
h BB 2a 2 2
AC BC AB a 3 A' 2 1 a 3 S A . B AC ABC 2 2 B C 3 V BB . S a 3 ABC. ’ A B’C’ ABC A
Ví dụ 5. Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A' B 'C ' là tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh BC a 2
và biết A' B 3a . Tính thể tích khối lăng trụ. A. 3 a . B. 3 a 2 . C. 3 a 3 . D. 3 2a . Hướng dẫn giải:
ABC vuông cân tại A nên AB AC a A' C'
ABC.A' B 'C ' là lăng trụ đứng AA' AB B' 2 2 AA'
A' B AB 2a 2 3 V . B h S .AA' a 2 ABC A C B
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 9 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
Ví dụ 6. Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A' B 'C ' là tam giác đều cạnh a 4 và biết diện tích tam giác
A' BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ. 8 2 8 A. . B. . C. 8 2 . D. 8 . 3 3 Hướng dẫn giải:
Gọi I là trung điểm BC .Ta có: A' C' ABC đều nên AB 3 AI
2 3; AI BC A' I BC 2 B' 1 2SA' S
BC.A' I A' BC I 4 A' BC 2 BC
AA' ABC AA' AI 2 2 AA' A C
A' I AI 2 I V S .AA' 8 3
ABC.A' B 'C ' ABC B
Ví dụ 7. Cho lăng trụ tứ giác đều ABC .
D A' B 'C ' D ' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a . Tính thể tích khối lăng trụ này. A. 3 9a . B. 9 . C. 3 3a . D. 3 . Hướng dẫn giải: ABC .
D A' B 'C ' D ' là lăng trụ đứng nên 2 2
BD BD ' DD ' 3a A' D' 3a
ABCD là hình vuông AB 2 B' C' 2 9a
Suy ra B SABCD 4 A 3 D V . B h S .AA' 9a ABCD B C
Ví dụ 8. Cho hình hộp đứng AB . CD A B C D
có đáy ABCD là hình vuông, tam giác A A C vuông cân và A C
a . Tính theo a thể tích của khối hộp AB . CD A B C D . 3 a 2 3 a 2 3 a 2 3 a 2 A. V V V V ABCD.A B C D . B. 24 ABCD.A B C D . C. 48 ABCD.A B C D . D. 16 ABCD.A B C D . 8 Hướng dẫn giải:
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 10 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan a a A A'C D
a AC AA' AB 2 2 3 a 2 C B V S .AA' ABCD 8 A' D' B' C'
Ví dụ 9. Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng 60. Đường chéo lớn của đáy
bằng đường chéo nhỏ của hình hộp. Tính thể tích hình hộp . 3 a 6 3 a 3 3 a 6 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 2 2 6 6 Hướng dẫn giải: 2 a 3 A'
Ta có tam giác ABD đều nên BD D' a và S 2S ABCD ABD 2
Theo đề bài BD ' AC a 3 B' 3 a 6 C' 2 2
DD ' BD ' BD a 2 V S .DD ' ABCD 2 A D B C
Ví dụ 10. Một tấm bìa hình vuông có cạnh 44cm , người ta cắt bỏ đi ở mỗi góc tấm bìa một hình vuông cạnh
12cm rồi gấp lại thành một cái hộp chữ nhật không có nắp. Tính thể tích cái hộp này. A. 3 1200cm . B. 3 1600cm . C. 3 2400cm . D. 3 4800cm . Hướng dẫn giải:
Theo đề bài, ta có: AA' BB ' CC ' DD ' 12cm A' D'
nên ABCD là hình vuông.
AB 44 cm 24 cm 20 ; cm h 12 cm B' 3 C' V S .h 4800cm ABCD A D B C
2. Dạng 2: Lăng trụ đứng có góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 11 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
Ví dụ 1. Cho lăng trụ đứng AB . C A B C
có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , BA BC a , A B hợp
với mặt đáy một góc 60. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ AB . C A B C . 3 a 3 A. V V . C. 3 V . D. 3 V . 5a 2 a a 3 ABC. A B C . B. 3 2 ABC.A B C ABC.A B C ABC.A B C Hướng dẫn giải:
AA' ABC AA',ABC A'B, AB n ABA ' 60 A' C' 3 1 a 3 AA' .
AB tan 60 a 3 V . . AB BC.AA' 2 2 B' A C B
Ví dụ 2. Cho lăng trụ đứng ABC.A B C
có đáy ABC là tam giác cân tại C , góc giữa BC và ABB A bằng
60, AB AA a . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A B C . 3 15.a 3 18.a 3 15a 3 18a A. V V V V ABC.A B C . B. 4 ABC.A B C . C. 4 ABC.A B C . D. 4 ABC.A B C . 4 Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm của A' B ' . A' C'
C ' M ABB ' AC M
BC ',ABB' A ' BC ', BM n MBC ' 60 B' a 15 2 2
MC ' BB ' MB ' . tan 60 2 A C 2 3 a 15 a 15 S V S .AA' A'B 'C ' A' B 'C ' 4 4 B
Ví dụ 3. Cho lăng trụ đứng AB . C A B C
có đáy ABC là tam giác vuông tại A , n
AC a, ACB 60 , góc giữa
BC và mặt phẳng AA C C
bằng 30. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ AB . C A B C . A. 3 V . B. 3 V . C. 3 V . D. 3 V . a 5 2 2a a 3 a 6 ABC.A B C ABC.A B C ABC.A B C ABC.A B C Hướng dẫn giải:
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 12 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
AC a AB a 3, BC 2a B' C'
AB AA'C 'C A'
BC ',AA'C 'C BC ', AC n
' AC ' B 30 2 2
AC ' 3a CC '
AC ' AC 2a 2 1 3 V A .
B AC.CC ' a 6 2 B C A
Ví dụ 4. Cho lăng trụ đứng AB . CD A B C D
có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và đường chéo BD của
lăng trụ hợp với đáy ABCD một góc 30. Tính thể tích của khối lăng trụ AB . CD A B C D . 3 a 3 3 a 2 3 a 6 A. V V V ABCD.A B C D . B. 3 ABCD.A B C D . C. 2 ABCD.A B C D . D. Kết quả khác. 3 Hướng dẫn giải:
DD ' ABCD A D
BD';ABCD BD ', BD n DBD ' 30 C B a 6 DD ' . BD tan 30 3 3 a 6 A' D' V S .DD ' ABCD 3 B' C'
Ví dụ 5. Cho hình hộp đứng AB . CD A B C D
có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và n 60o BAD . Biết AB hợp
với đáy ABCD một góc 30. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ AB . CD A B C D . 3 a 3 a 3 A. V V . C. 3 V . D. V a a 5 ABCD.A B C D . B. 3 2 ABCD.A B C D ABCD.A B C D ABCD.A B C D . 2 Hướng dẫn giải:
BB ' ABCD A D
AB',ABCD AB', AB n BAB ' 30 C B a 3 BB ' . AB tan 30 3 3 a A' D' V S .BB ' 2S .BB ' ABCD ABD 2 B' C'
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 13 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
Ví dụ 6. Cho lăng trụ tứ giác đều AB . CD A B C D
có cạnh đáy bằng a , góc giữa AC ' và mặt phẳng BCC B
bằng 30. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ AB . CD A B C D . 3 2a A. 3 V . B. 3 V . C. V V . a 2a 2a ABC.A B C ABC.A B C ABC.A B C . D. 3 2 ABC.A B C Hướng dẫn giải:
AB BCC 'B ' A D
AC ',BCC 'B ' AC ',BC n
' AC ' B 30 C B BC ' .
AB cot 30 a 3 2 2
BB ' BC ' B 'C ' a 2 A' D' 3 V S .BB ' a 2 ABCD B' C'
Ví dụ 7. Cho lăng trụ tứ giác đều AB . CD A B C D
có cạnh đáy bằng a , đường chéo AC ' tạo với mặt bên BCC B
một góc 0 45o
. Khi đó, thể tích khối lăng trụ bằng: A. 3 2 a cot 1 . B. 3 a cot 2 . C. 3 2 a cot 1 . D. 3 2 a tan 1 . Hướng dẫn giải:
AB BCC 'B ' A D
AC ',BCC 'B ' AC ', BC n
' AC ' B C B 2 BC ' A .
B cot BB ' a cot 1 3 2 A' D' V S
.BB ' a cot 1 ABCD B' C'
3. Dạng 3: Lăng trụ đứng có góc giữa hai mặt phẳng
Ví dụ 1. Cho lăng trụ đứng . ABC A B C
có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , BA BC a , A B hợp
với mặt đáy một góc 60. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ . ABC A B C . 3 a 3 A. V V . C. 3 V . D. 3 V . 5a 2 a a 3 ABC.A B C . B. 3 2 ABC.A B C ABC.A B C ABC.A B C Hướng dẫn giải:
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 14 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
AA' ABC AA',ABC A'B, AB n ABA ' 60 A' C' 3 1 a 3 AA ' .
AB tan 60 a 3 V . . AB BC.AA' 2 2 B' A C B
Ví dụ 2. Cho lăng trụ đứng ABC.A B C
có đáy ABC là tam giác cân tại A , AC 2 , a n
CAB 120, góc giữa A B
C và mặt phẳng ABC bằng 45. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A B C . A. 3 V . B. 3 V . C. 3 V . D. 3 V . 2a 3 3a 3a 3 a 3 ABC.A B C ABC.A B C ABC.A B C ABC.A B C Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm của BC . A' C'
AM AC.cos 60 a B' 2 2
BC AC AB 2A .
B AC.cos120 2a 3
A' M BC, AM BC
A'BC,ABC A'M, AM n AMA' 45 A C 1 M 3
AA' AM a V
BC.AM .AA' a 3 2 B
Ví dụ 3. Cho lăng trụ đứng ABC.A' B 'C ' có đáy là tam giác đều cạnh a . Mặt phẳng AB 'C ' tạo với mặt đáy góc 0
60 . Tính theo a thể tích lăng trụ ABC.A' B 'C '. 3 3 3a 3 3 a 3 3 3a 3 A. a 3 V . B. V . C. V . D. V . 2 4 8 8 Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm B 'C ' A C
A' M B 'C ' 0 60
AB'C ',A'B'C ' AM, A'M n AMA' B a 3 n 3a A' M
; AA' A' M.tan AMA' 2 2 2 3 a 3 3a 3 S V S .AA'
A'B 'C ' 4 ABC 8 C' A' M B'
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 15 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
Ví dụ 4. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A B C
có cạnh đáy bằng a . Góc giữa hai mặt phẳng A B C và
ABC bằng 30. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A B C . 3 a 3 3 a 3 3 a 3 a 3 A. V V V V ABC.A B C . B. 8 ABC.A B C . C. 4 ABC.A B C . D. 2 ABC.A B C . 2 Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm của BC . A' C'
A' M BC, AM BC
A'BC,ABC A'M, AM n
A' MA 30 B' 3 a a 3
AA' AM .tan 30 V S .AA' 2 ABC 8 A C M B
Ví dụ 5. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A' B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B , BC a , mặt phẳng
A'BC tạo với đáy một góc 30 và tam giác A'BC có diện tích bằng 2 a
3 . Tính thể tích khối lăng
trụ ABC.A' B 'C ' . 3 a 3 3 3a 3 3 3a 3 3 3a 3 A. . B. . C. . D. . 8 4 8 2 Hướng dẫn giải: BC AB A' C'
BC A' B BC AA'
BC AB ABC B' BC
A' B A'BC
BC ABCA'BC
ABC,A'BC AB, A'B n ABA' A C 2 1 2.S 2.a 3 A' S A' . B BC A' BC B 2a 3 A'BC 2 BC a B n 0 n 0 AB A' .
B cos ABA' 2a 3.cos30 3 ; a AA' A' .s
B in ABA' 2a 3.sin 30 a 3 3 1 1 3a 3 V . B h S .AA' .A .
B BC.AA' .3 . a . a a 3
ABC.A'B'C ' ABC 2 2 2
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 16 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
Ví dụ 6. Cho lăng trụ tứ giác đều AB . CD A B C D
có cạnh đáy bằng a , mặt phẳng BC ' D hợp với đáy AB
CD một góc 60. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ AB . CD A B C D . 3 a 6 3 a 3 3 a 6 A. V V V ABCD.A B C D . B. 6 ABCD.A B C D . C. 2 ABCD.A B C D . D. Kết quả khác. 2 Hướng dẫn giải:
Gọi I là trung điểm của BD . A' D'
AC BD,C ' I BD
BC 'DABCD BD B' C'
BC 'D;ABCD AC,C 'I n CIC ' 60 1 a 2 a 6 A CI AC
CC ' CI.tan 60 D 2 2 2 3 I a 6 V S .CC ' B ABCD C 2
Ví dụ 7. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A' B 'C ' D ' . Mặt phẳng A'BC hợp với đáy ABCD một góc 0 60 ,
A'C hợp với đáy ABCD một góc 0
30 và AA' a 3 . Tính theo a thể tích khối hộp. 3 2a 6 A. 3 V 2a 6 . B. V . C. 3 V 2a 2 . D. 3 V a . 3 Hướng dẫn giải:
AA' ABCD A' D' 0
30 A'C,ABC
D A'C, AC n A'CA B' C' 0 60
A'BC,ABCD A'B, A n
B A' BA AA' AA' AB n a; AC n 3a A tan A' BA tan A'CA D 2 2 2
BC AC AB 2a 2; S . AB BC 2a 2 ABCD B C 3 V S .AA' 2a 6
ABCD.A' B 'C ' D' ABCD
4. Dạng 4: Khối lăng trụ xiên Ví dụ 1. Cho lăng trụ . ABC A B C
có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Biết cạnh bên bằng a 3 và hợp với
đáy ABC một góc 60. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ . ABC A B C . 3 a 3 3 3a 3 3 5a 3 A. V V V ABC.A B C . B. 8 ABC.A B C . C. 8 ABC.A B C . D. Đáp án khác. 8 Hướng dẫn giải:
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 17 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
Kẻ A' H ABC C' B'
AA ABC AA AH n ', ',
A ' AH 60 A' 3 3a 3a 3
A' H AA'.sin 60 V S .A' H 2 ABC 8 C B H A Ví dụ 2. Cho lăng trụ . ABC A B C
có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , điểm A' cách đều ba điểm , A , B C .
Góc giữa AA' và ABC bằng 60. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ . ABC A B C . 3 3a 4 3 a 3 3 a 3 3 5a 3 A. V V V V ABC.A B C . B. 4 ABC.A B C . C. 2 ABC.A B C . D. 4 ABC.A B C . 4 Hướng dẫn giải:
Gọi G là trọng tâm của ABC A 'G ABC C' B'
AA',ABC AA', AG n GAA ' 60 3 a 3 A'
A'G AG. tan 60 a V S .A'G ABC 4 C G B A
Ví dụ 3. Cho lăng trụ ABC.A B C
có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AC 2a ; cạnh bên AA 2a
. Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm cạnh AC . Tính thể tích V của
khối lăng trụ ABC.A B C . 1 3 a 3 2a A. 3 V a . B. V . C. 3 V a . D. V . 2 3 3 Hướng dẫn giải:
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 18 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
Vì ABC là tam giác vuông cân tại B nên trung tuyến A' C' BH cũng là đường cao của nó và 1
HB HA HC AC a . 2 B' 2 2 2 2
A' H A' A AH 2a a a 1 A B 3 V
A ' H S
A' H BH AC a ABC.A B C ABC 2 H C
Ví dụ 4. Cho lăng trụ ABC.A B C
có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông góc của A' lên mặt
phẳng ABC trùng với tâm O của tam giác ABC . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ a 3 ABC.A B C
, biết khoảng cách giữa AA' và BC là . 4 3 a 3 3 a 3 3 4a 3 A. V V V ABC.A B C . B. 12 ABC.A B C . C. 4 ABC.A B C . D. Kết quả khác. 5 Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm của BC BC AA'M C' B'
Gọi H là hình chiếu của M lên AA' a 3 n HM 1 HM d
sin A' AO A' AA',BC 8 AM 2 n n a
A' AO 30 A'O A .
O tan A' AO 3 M H C B 3 a 3 V S .A'O O ABC 12 A
Ví dụ 5. Cho lăng trụ ABC.A B C
có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của A' trên
ABC là trung điểm của BC , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 30. Tính theo a thể tích của
khối lăng trụ ABC.A B C . 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. V V V V ABC. A B C . B. 4 ABC. A B C . C. 3 ABC. A B C . D. 12 ABC. A B C . 8 Hướng dẫn giải:
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 19 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
Gọi M là trung điểm của BC C' B'
A' M ABC
AA',ABC AA', AM n
A' AM 30 A' 3 a a 3
A' M AM . tan 30 V S .A' M 2 ABC 8 C M B A
Ví dụ 6. Cho lăng trụ ABC.A B C
có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a . Hình chiếu vuông góc của A' trên
ABC là trung điểm của AB , góc giữa mặt phẳng AAC C
và mặt đáy bằng 60. Tính theo a
thể tích của khối lăng trụ ABC.A B C . 3 3a 3 A. 3 V . B. 3 V . C. V V . a 3 3a 3 2a 3 ABC.A B C ABC.A B C ABC.A B C . D. 3 2 ABC.A B C Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm của AB , kẻ MH AC C' B'
A' M ABC
ACC ' A ',ABC A'H,HM n
A' HM 60 A' 2 1 1 a 3 2 S a 3; S
AC.MH S ABC AMC 2 2 ABC 2 a 3 3a MH
A' M MH. tan 60 C B 2 2 3 3a 3 H M V S .A' M ABC 2 A a 10
Ví dụ 7. Cho lăng trụ ABC.A B C có n AA
, AC a 2, BC a, ACB 135o . Hình chiếu vuông góc của 4
C lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm M của AB . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A B C . 3 a 6 3 3a A. 3 V . B. V V V . 3a 3 a ABC.A B C ABC.A B C . C. 8 ABC.A B C . D. 3 8 ABC.A B C Hướng dẫn giải:
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 20 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan 2 2 n AB A' B'
AC BC 2AC.BC.cos ACB a 5 2 2 2 AC BC 2 AB a MC C' 4 2 a 6 2 2
MC ' CC ' MC 4 A M B 3 1 a 6 V
AC.BC.sin135.MC ' 2 8 C
Ví dụ 8. Cho lăng trụ ABC.A B C
có độ dài cạnh bên bằng a , đáy ABC là tam giác vuông tại C , n 60o BAC
, góc giữa BB ' và ABC bằng 60. Hình chiếu vuông góc của B' lên ABC trùng với trọng tâm
của tam giác ABC . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A B C . 3 27a 3 27a 3 73a 3 27a A. V V V V ABC.A B C . B. 208 ABC.A B C . C. 280 ABC.A B C . D. 208 ABC.A B C . 802 Hướng dẫn giải:
Gọi G là trọng tâm AB
C , M là trung điểm AC B 'G ABC A' B'
BB',ABC BB', BG n
B ' BG 60 a 3 a C'
B 'G BB '.sin 60
, BG BB '.cos 60 2 2 AB AB 3 AC . AB cos 60 , BC . AB sin 60 2 2 A B 2 AB 3 S G ABC 8 M C 3 3a 2 2 2 AB BC 2 AC AB 13 3a BM BG AB 2 4 4 4 13 2 3 9a 3 27a S V S .B 'G ABC 104 ABC 208
Ví dụ 9. Cho hình hộp AB . CD A B C D
có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB 3, AD 7 . Hai mặt bên
ABB' A ' và ADD' A ' lần lượt tạo với đáy các góc 45 và 60. Tính theo thể tích của khối hộp AB . CD A B C D
biết cạnh bên bằng 1. A. 1. B. 3. C. 6. D. 9. Hướng dẫn giải:
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 21 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
Kẻ A' H ABCD, HM AB, HN AD A' D' n n
A' M AB, A' N AD A' MH 45 ,
A' NH 60
Đặt A' H x . Khi đó: B' 2 x 2x 3 C' 4x 2 2 A' N
; AN AA' A' N HM sin 60 3 3 A N Mà HM .
x cot 45 x M D 2 3 4x 3 H x x 3 7 B C V A . B A . D x 3
ABCD.A' B'C 'D '
Ví dụ 10. Cho lăng trụ ABC .
D A' B 'C ' D ' có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O và AB a, AD a 3 ; A'O
vuông góc với đáy ABCD. Cạnh bên AA' hợp với mặt đáy ABCD một góc 45. Tính theo a
thể tích khối lăng trụ đã cho. 3 a 3 3 a 3 3 a 6 A. V . B. V . C. V . D. 3 V a 3 . 6 3 2 Hướng dẫn giải: 2 S A . B AD a 3 A' D' ABCD AC 2 2
AC AB AD 2a AO a B' C' 2
A'O ABCD
45 AA',
ABCD AA', n
AO A' AO A 3 D
A'O AO a V S
.A'O a 3
ABCD.A'B 'C 'D ' ABCD O B C
B. LOẠI 2: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
Một số hình chóp đặc biệt:
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 22 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
Hình chóp tam giác đều: S
Hình chóp tam giác đều:
‒ Đáy là tam giác đều.
‒ Các mặt bên là các tam giác cân.
Hình tứ diện đều:
‒ Đáy là tam giác đều.
‒ Các mặt bên là các tam giác đều. A C Cách vẽ: H
‒ Vẽ đáy ABC . I
‒ Vẽ trung tuyến AI . B
‒ Dựng trọng tâm H .
‒ Vẽ SH ABC. Ta có:
‒ SH là chiều cao của hình chóp.
‒ Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: n SAH .
‒ Góc giữa mặt bên và mặt đáy: n SIH .
Hình chóp tứ giác đều: S
Hình chóp tứ giác đều: ‒ Đáy là hình vuông.
‒ Các mặt bên là các tam giác cân. Cách vẽ:
‒ Vẽ đáy ABCD .
‒ Dựng giao điểm H của hai đường chéo AC và BD .
‒ Vẽ SH ABCD. A D Ta có:
‒ SH là chiều cao của hình chóp. O
‒ Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: n SAH B . C
‒ Góc giữa mặt bên và mặt đáy: n SIH .
Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy:
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 23 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
‒ SA ABC. S
‒ Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy: n SBA .
‒ Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy: n SCA . A C B
‒ SA ABCD. S
‒ Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy: n SBA .
‒ Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy: n SCA .
‒ Góc giữa cạnh bên SD và mặt đáy: n SDA . A D B C Chú ý:
a) Đường chéo của hình vuông cạnh a là d a 2 .
Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d a 3 .
Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, , b c là 2 2 2
d a b c . a 3
b) Đường cao của tam giác đều cạnh a là h . 2
c) Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng nhau ( hoặc có đáy là đa giác
đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy).
1. Dạng 1: Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC SB SC BC CA a . Hai mặt ABC và ASC cùng vuông góc với SB
C . Thể tích khối chóp S.ABC bằng: 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. V V V V S.ABC . B. . C. . D. . 12 S.ABC 2 S.ABC 6 S.ABC 3 Hướng dẫn giải:
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 24 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan AB C S BC ,AS C S
BC AC S BC A 3 1 a 3
SB SC BC SBC
đều V .S .CA 3 SBC 12 B C S
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B , AB ,
a AC a 3 , cạnh bên SA vuông góc
với mặt phẳng đáy, SA a 2 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC . 3 a 3 3 a 3 a 2 3 a 3 A. V V V V S.ABC . B. . C. . D. . 3 S.ABc 3 S.ABM 3 S.ABM 2 Hướng dẫn giải: 3 1 1 a 2 2 S
BC AC AB a 2 V . .A . B . BC SA 3 2 3 A C B
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy và SB 2a .
Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC . 3 a 3 a 3 a 3 a A. V V V V S.ABC . B. . C. . D. . 4 S.ABC 3 S.ABC 2 S.ABC 7 Hướng dẫn giải: 2 2 S
SA SB AB a 3 2 3 1 1 a 3 a V .S .SA . .a 3 3 ABC 3 4 4 A C B
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 25 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B , AC a . Biết bên SA vuông góc với đáy
và SB hợp với đáy một góc 60. Tính thể tích của khối chóp S.ABC . 3 a 6 3 a 3 3 a 6 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 8 8 24 24 Hướng dẫn giải:
SA ABCD S
SB,ABCD SB, AB n SBA 60 2 a 2 1 a AB BC ; S . AB BC 2 ABC 2 4 3 a 6 1 a 6 SA A . B tan 60 V S .SA 2 3 ABC 24 A C B
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Biết SA vuông góc với đáy ABC và
SBC hợp với đáy ABC một góc 60. Tính thể tích hình chóp. 3 a 3 3 a 3 3 3a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 8 4 8 2 Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm BC .Ta có: S ABC đều nên
AM BC SA BC
SBC,ABC n SMA 60 3 3a 1 a 3
SA AM .tan 60 V S .SA 2 3 ABC 8 A C M B
Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy, góc BAC bằng 120. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC . 3 2.a 3 2.a 3 2.a 3 2.a A. V V V V S.ABC . B. . C. . D. . 36 S.ABC 12 S.ABC 6 S.ABC 3
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 26 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan Hướng dẫn giải:
SB SC AB AC A
BC cân tại A . S Có 2 2 2
BC AB AC 2.A . B . AC cos120 a 3 a 6 2 2
AB AC
; SA SB AB 3 3 3 1 1 a 2
V . .AB.AC.sin120.SA 3 2 36 A C M B Ví dụ 7. Cho hình chóp .
S ABCD có đáy là hình chữ nhật, n
AB a 2, BC ,
a SCA 60, cạnh bên SA vuông
góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp . S ABCD . A. 3 V a 2 . B. 3 V a 3 . C. 3 V 3a . D. 3 V 2a . S.ABCD S.ABCD S.ABCD S.ABCD Hướng dẫn giải: 2 2 n
AC AB BC ; SCA 60 S
SA AC. tan 60 3a 1 3 V .A .
B BC.SA a 2 3 A D B C
Ví dụ 8. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABC D
và mặt bên SCD hợp với đáy một góc 60 . Tính thể tích hình chóp S.ABCD. 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. 3 a 3 . B. . C. . D. . 2 3 4 Hướng dẫn giải:
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 27 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
SA ABCD;CD AD CD SD S
SCD,ABCD n SDA 60 SA A .t
D an 60 a 3 3 1 a 3 V S .SA 3 ABCD 3 A D B C Ví dụ 9. Cho hình chóp .
S ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy AB CD
. Biết góc giữa SC và mặt phẳng AB
CD bằng 60 . Tính thể tích khối chóp . S ABCD . 3 3a 3 2a 3 6a A. . B. 3 3a . C. . D. . 6 3 3 Hướng dẫn giải: 2 2
AC AB BC a 2 S
SA ABCD SA AC
SC,ABCD n SCA 60
SA tan60 SA AC tan60 a 6 A AC B 3 1 1 a 6 2 V S
.SA a .a 6 D C 3 ABCD 3 3 Ví dụ 10. Cho hình chóp .
S ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D , AD CD a, AB 3a , cạnh bên
SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa SC với mặt đáy bằng 45. Tính theo a thể tích của khối chóp . S ABCD . 3 a 2 3 2a 3 2a 2 3 a A. V V V V S.ABCD . B. . C. . D. . 3 S.ABCD 3 S.ABCD 3 S.ABCD 3 Hướng dẫn giải:
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 28 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan SA AB
CD SC,ABC
D SC, AC n SCA 45 S 2 2
SA AC AD CD a 2 3 1 1 2a 2
V . .AB C D .A . D SA 3 2 3 A B D C
2. Dạng 2: Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B , n 2 , 30o AC a ACB . Hình chiếu vuông góc
của S lên mặt đáy là trung điểm H của cạnh AC và SH a 2 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC . 3 a 6 3 a 6 3 a 6 3 a 6 A. V V V V S.ABC . B. . C. . D. . 17 S.ABC 3 S.ABC 5 S.ABC 6 Hướng dẫn giải: AB A .s
C in30 a BC a 3 S 3 1 1 a 6 V . .A . B A . C SH 3 2 6 A H C B
Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều, BCD là tam giác vuông cân tại D , ABC BCD
và AD hợp với BCD một góc 60. Tính thể tích của khối tứ diện ABCD. 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. V V V V a . ABCD . B. . C. . D. 3 3 9 ABCD 6 ABCD 3 ABCD Hướng dẫn giải:
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 29 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
Gọi H là trung điểm của BC . A
Ta có tam giác ABC đều nên AH BC D
ABC,BCD AH BCD
AH HD AH A .
D tan 60 a 3 a 3 2a 3 HD . AD cot 60 ; BC 2HD 3 3 D C 3 1 a 3 V S .AH 3 BCD 9 H B
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A , SC 2a 5 . Hình chiếu vuông góc của
S lên AB
C là trung điểm M của cạnh AB , góc giữa đường thẳng SC với mặt phẳng đáy bằng
60 o . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC . 3 2a 15 3 a 15 3 2a 3 3a 15 A. V V V V S.ABC . B. . C. . D. . 3 S.ABC 3 S.ABC 3 S.ABC 2 Hướng dẫn giải: S B M C A M B A C
SM ABCSC ABC SC CM n , , SCM 60
CM SC.cos 60 a 5; SM a 15 3 1 1 2a 15
Tam giác MAC vuông tại A AC 2a V . .A . B A . C SM 3 2 3
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B , BC a . Mặt bên SAC vuông góc với
đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 45. Tính thể tích của khối chóp S.ABC . 3 a 3 a 3 3 a 3 3 a A. V V V V S .ABC . B. . C. . D. . 4 S.ABC 4 S.ABC 2 S .ABC 12 Hướng dẫn giải:
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 30 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
Kẻ SH BC . Gọi I, J lần lượt là hình chiếu của H S
trên AB và BC .
SAC,ABC SH ABC n n
SI AB, SJ BC SIH SJH 45 SHI SHJ HI HJ
BH là đường phân giác của ABC H
H là trung điểm của AC . A C 3 a 1 a
HI HJ SH V S .SH S . 2 ABC 3 ABC 12 I J B
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A , AB , a SB
C ABC. Hai mặt bên còn
lại hợp với đáy một góc 60 o . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC . 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 7a 3 A. V V V V S.ABC . B. . C. . D. . 12 S.ABC 5 S.ABC 18 S.ABC 12 Hướng dẫn giải: S B H D B C H D E A A C E
Kẻ SH BC . Do S BC
ABC SH AB C Kẻ n n HD ,
AB HE AC SDH SEH 60
Do tam giác ABC vuông cân tại A nên a HD HE
H là trung điểm của BC 2 3 a 3 1 1 a 3 SH H .t D an60 V . .A . B A . C SH . 2 3 2 12
Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD . 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. 3 a 3 . 6 4 2
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 31 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan Hướng dẫn giải:
Gọi H là trung điểm của AB S
SAB đều SH AB
SABABC
D SH ABCD 3 AB 3 a 3 1 a 3 SH V S .SH 2 2 3 ABCD 6 A D H B C Ví dụ 7. Cho hình chóp .
S ABCD có mặt bên SAB vuông góc với mặt phẳng đáy và tam giác SAB cân tại S .
Tính theo a thể tích của khối chóp .
S ABCD , biết rằng: đáy ABCD là hình vuông cạnh a , góc giữa mặt SB
D và mặt đáy bằng 60. 3 a 6 3 a 3 a 6 A. 3 V a 6 . B. V V . D. V S.ABCD S.ABCD . C. . 5 S.ABCD 12 S.ABCD 12 Hướng dẫn giải: S A D M O A D N M N O B B C C
Gọi M là trung điểm của AB . SA B ABC
D SM ABC D
Gọi O là giao điểm của AC và BD , N là trung điểm của OB .
MN BD BD SMN BD SN SM BD
SBD,ABCD SN,MN n SNM 60 3 a 6 1 a 6 2
SM MN.tan 60
V .AB .SM 4 3 12 Ví dụ 8. Cho hình chóp .
S ABCD có mặt bên SAB vuông góc với mặt phẳng đáy và tam giác SAB cân tại S .
Tính theo a thể tích của khối chóp .
S ABCD , biết rằng: đáy ABCD là hình chữ nhật, AB ,
a AD a 2 , góc giữa mặt SAC và mặt đáy bằng 60.
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 32 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan 3 a 3 a 3 a 3 a A. V V V V S.ABCD . B. . C. . D. . 3 S.ABCD 6 S.ABCD 2 S.ABCD 8 Hướng dẫn giải: S A D N H M A D M H N B B C C
Gọi M là trung điểm của AB . SA B ABC
D SM ABC D
Kẻ BH vuông góc với AC , gọi N là trung điểm của AH MN AC
MN AC AC SMN AC SN SM AC
SAC,ABCD SN,MN n SNM 60 1 1 1 a 6 BH a 6 BH MN 2 2 2 BH AB BC 3 2 6 3 a 2 1 a
SM MN.tan 60 V .A . B . AD SM 2 3 3 Ví dụ 9. Cho hình chóp .
S ABCD có đáy là hình thoi, AB BC BD a , mặt bên SAB là tam giác đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích của khối chóp . S ABCD 3 a 3 5a 3 5a 3 11a A. V V V V S.ABCD . B. . C. . D. . 4 S.ABCD 6 S.ABCD 2 S.ABCD 8 Hướng dẫn giải: S A D A D M B C B C
Gọi M là trung điểm của AB .
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 33 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan SA B ABC
D SM ABC D 2 3 a 3 a 3 1 a SM , S 2S V .S .SM 2 ABCD ABD 2 3 ABCD 4 Ví dụ 10. Cho hình chóp .
S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB 3 , a AD 2 , a CD a ,
tam giác SAD cân tại S , mặt phẳng SA
D vuông góc với đáy, góc giữa mặt phẳng SBC và mặt
đáy bằng 60. Tính thể tích của khối chóp . S ABCD . 3 4a 6 3 2a 6 3 5a 6 3 a 6 A. V V V V S.ABCD . B. . C. . D. . 3 S.ABCD 3 S.ABCD 3 S.ABCD 3 Hướng dẫn giải: S D C A B M M D C A B
Gọi M là trung điểm của AD .
SAD ABCD SM ABCD SM BC BC SMC BC SC MC BC
SBC,ABCD SC,MC n
SCM 60 SM MC. tan 60 a 6 3 1 1 4a 6
V . .AB CD.AD.SM 3 2 3
3. Dạng 3: Khối chóp đều
Ví dụ 1. Cho H là khối tứ diện đều cạnh a . Thể tích của H bằng bao nhiêu? 3 a 2 3 a 3 3 a 2 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 6 12 12 4 Hướng dẫn giải:
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 34 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
Gọi G là trọng tâm tam giác C
AB SG B A C S 2 a 3 a 3 a 6 2 2 AG .
SG SA AG 3 2 3 3 2 3 1 1 a 3 a 6 a 2 V .S .SG . . 3 ABC 3 4 3 12 A C G B
Ví dụ 2. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích của khối chóp S.ABC . 3 a 11 3 a 11 3 a 11 3 a 11 A. . B. . C. . D. . 36 12 6 24 Hướng dẫn giải:
Gọi G là trọng tâm tam giác C
AB SG B A C S AB 3 a 3 AG ; SA 2a 3 3 a 33 2 2
SG SA AG 3 2 2 3 AB 3 a 3 1 a 11 S V S .SG A C ABC S. 4 4 ABC 3 ABC 12 2 3 1 a 3 a a 3 G V . . 3 4 3 36 B
Ví dụ 3. Cho khối tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a , M là trung điểm của CD . Tính thể tích hình chóp M .ABC . 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. V V V V M .ABC . B. . C. . D. . 24 M .ABC 16 M .ABC 12 M .ABC 8 Hướng dẫn giải:
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 35 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
Gọi G là trọng tâm ABC . Kẻ MH & DG D
DG ABC MH ABC 1 1 a 6 2 2 MH M DG CD GC 2 2 3 2 2 3 AB 3 a 3 1 a 3 S V S .MH ABC A C 4 4 3 ABC 24 H G B
Ví dụ 4. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a. Gọi I là trung điểm của
cạnh BC . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABI . 3 a 41 3 a 11 3 a 31 3 a 21 A. V V V V S.ABC . B. . C. . D. . 24 S.ABC 24 S.ABC 24 S.ABC 24 Hướng dẫn giải:
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC SG ABC S 2 AB 3 a 33 2 2 2 SG SA AG SA 3 3 3 1 1 1 a 11 V V . .S .SG S.ABI S. 2 ABC 2 3 ABC 24 A C G I B
Ví dụ 5. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD tất cả các cạnh đều bằng a . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD . 3 a 2 3 a 2 3 a 2 3 a 2 A. V . B. V . C. V . D. V . 2 3 4 6 Hướng dẫn giải:
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 36 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
Gọi O là giao điểm của AC và BD S
SO AB CD 1 a 2 a 2 2 2 AO AC
; SO SA AO 2 2 2 3 1 1 a 2 V S .SO . AB BC.SO 3 ABCD 3 6 A D O B C
Ví dụ 6. Cho hình chóp tứ giác đều .
S ABCD cạnh đáy bằng a , góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60. Tính
theo a thể tích của khối chóp . S ABCD . 3 a 3 2 a 6 3 a 6 2 a 6 A. V V V V S.ABCD . B. . C. . D. . 6 S.ABCD 6 S.ABCD 5 S.ABCD 5 Hướng dẫn giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD , M là trung điểm của CD . S
OM CD, SM CD
SCD,ABCD OM,SM n SMO 60 a 3
SO OM .tan 60 2 A 3 D 1 a 3 V .S .SO 3 ABCD 6 O M B C
Ví dụ 7. Cho một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và diện tích xung quanh gấp đôi diện tích đáy.
Khi đó thể tích của khối chóp là: 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 2 A. . B. . C. . D. . 3 12 6 3 Hướng dẫn giải:
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 37 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
Gọi O là giao điểm của AC và BD , M là trung điểm của CD . S 1 2 2 S 4S 4. . . CD SM 2 .
a SM ; S AB a xq SCD 2 d 2 S 2S 2 .
a SM 2a SM a xq d A a 3 2 2
SO SM OM D 2 O M B 3 1 a 3 C V .S .SO 3 ABCD 6
4. Dạng 4: Khối chóp và phương pháp tỉ số thể tích
Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD . Gọi B ' và C ' lần lượt là trung điểm của AB và AC . Khi đó tỉ số thể tích của
khối tứ diện AB 'C ' D và khối tứ diện ABCD bằng: A. 1 . B. 1 . C. 1 . D. 1 . 2 4 6 8 Hướng dẫn giải: V
AB' AC' AD 1 AB'C'D A . . V AB AC AD 4 ABCD B' C' B D C
Ví dụ 2. Cho hình chóp tam giác S.ABC . Gọi A , B lần lượt là trung điểm của SA và SB. Mặt phẳng A B C
chia hình chóp thành hai phần. Tỉ số thể tích của hai phần đó bằng: A. 1 . B. 1 . C. 1 . D. 2 . 2 3 4 3 Hướng dẫn giải: V
SA' SB' SC 1 V 1
S.A'B'D S.A'B' S . . D V SA SB SC 4 V 3 S.ABC ABCDA'B' A' B' A C B
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 38 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B , AC a 2 , cạnh bên SA vuông góc với
đáy, SA a . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Mặt phẳng qua AG và song song với BC , cắt
SC, SB lần lượt tại M , N . Tính thể tích của khối chóp S.AMN . 3 a 3 a 3 2a 3 2a A. V V V V S.AMN . B. . C. . D. . 9 S.AMN 27 S.AMN 27 S.AMN 9 Hướng dẫn giải:
Gọi I là trung điểm của BC S
AC a 2 AB BC a SM SN SG 2
& BC MN & BC SB SC SI 3 N V SM SN 4 S. AMN . G V SB SC 9 S.ABC A C 3 4 4 1 1 2a M V V . . A . B BC.SA S.AMN S. 9 ABC 9 3 2 27 I B
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC vuông cân tại A , AB a . Trên đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng
ABC lấy điểm D sao cho CD a. Mặt phẳng qua C vuông góc với BD , cắt BD tại F và cắt
AD tại E . Tính theo a thể tích khối tứ diện CDEF . 3 a 3 a 3 a 3 a A. . B. . C. . D. . 36 18 24 12 Hướng dẫn giải: 3 1 a V D S .CD ABCD 3 ABC 6 2 2 DE.DA DC DE DC 1 2
DE.DA DC 2 2 2 DA DA DA DA 2 E 2 DF DC 1 CMTT : 2 DB DB 3 F 3 V DE DF 1 1 a CDEF . V V A C V DA DB 6 CDEF 6 ABCD 36 ABCD B
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 39 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan Ví dụ 5. Cho hình chóp .
S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng
đáy. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SB và SD . Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.AMN và . S ABD . A. 1 . B. 3 . C. 1 . D. 1 . 4 4 2 5 Hướng dẫn giải: V SA SM SN 1 S S.AMN . . V SA SB SD 4 S.ABD N M A D B C Ví dụ 6. Cho hình chóp .
S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Gọi A', B',C', D' lần lượt là trung điểm của , SA , SB ,
SC SD. Khi đó tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A' B 'C ' D ' và . S ABCD là: A. 1 . B. 1 . C. 1 . D. 1 . 8 6 4 2 Hướng dẫn giải: S A' D' B' C' A D B C V
SA' SB' SC ' 1 V
SA' SD' SC ' 1
S.A'B'C '
S.A'D'C ' . . ; . . V SA SB SC 8 V SA SD SC 8 S.ABC S.ADC V V V V V 1
S.A'B'C '
S.A'D'C '
S.A'B'C '
S.A'D'C '
S.A'B'C 'D' V V V V V 8 S.ABC S.ADC S.ABC S.ADC S.ABCD
Ví dụ 7. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD . Mặt phẳng đi qua ,
A B và trung điểm M của SC . Tỉ số
thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó là: 1 3 5 3 A. . B. . C. . D. . 4 8 8 5 Hướng dẫn giải:
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 40 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
Kẻ MN & CDN CD, suy ra hình thang ABMN S
là thiết diện của khối chóp. V SM 1 S. V V V ; ABM S.ABMN S.ABM S.AMN V SC 2 S.ABC N 1 1 V V V S.ABM S .ABC S. 2 4 ABCD M V SM SN 1 1 A S.AMN . V V D S.AMN S. V SC SD 4 8 ABCD S.ACD 1 1 3 O V V V V S.ABMN S.ABCD S .ABCD S . 4 8 8 ABCD B C 5 V 3 S.ABMN V V ABMNDC S . 8 ABCD V 5 ABMNDC
Ví dụ 8. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên tạo với đáy góc
60. Gọi M là trung điểm của SC . Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD cắt SB tại E và
cắt SD tại F . Tính theo a thể tích khối chóp S.AEMF . 3 a 6 3 a 6 3 a 6 3 a 6 A. . B. . C. . D. . 36 18 9 6 Hướng dẫn giải:
Gọi I SO AM S
AEMF& BD EF & BD 3 a 6 1 a 6 SO O . A tan 60 V S .SO S. M 2 ABCD 3 ABCD 6 E V SM SF 1 1 1 I S.AMF . V V V S.AMF S.ACD S. V SC SD 3 3 6 ABCD B S.ACD F C 3 1 a 6 V V V 2V V S.AEMF S.AMF S .AME S.AMF S. 3 ABCD 18 O A D
Ví dụ 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy, SA a 2 .
Gọi B ', D ' lần lượt là hình chiếu của A lên ,
SB SD . Mặt phẳng AB'D ' cắt SC tại C '. Tính theo
a thể tích khối chóp S.AB 'C ' D '. 3 2a 2 3 a 2 3 2a 2 3 a 2 A. . B. . C. . D. . 9 9 27 18 Hướng dẫn giải:
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 41 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan 2 SB ' SA 2 SC ' 1 S ; 2 SB SB 3 SC 2 V SB ' SC ' 1 1
S.AB 'C ' . V V S.AB 'C ' S. V SB SC 3 3 ABC S.ABC D' 3 C' 2 2a 2 V V V 2V V
S.AB 'C 'D ' S.AB 'C ' S.AC 'D' S.AB 'C ' S. 3 ABC 9 B' A D B C
Ví dụ 10. Cho hình chóp tứ giác .
S ABCD có thể tích bằng V với đáy là hình bình hành. Gọi C ' là trung điểm
cạnh SC . Mặt phẳng qua AC' và song song với BD cắt các cạnh ,
SB SD lần lượt tại B', D' . Khi đó
thể tích của khối chóp S.A' B 'C ' D ' bằng: A. V . B. 2V . C. V . D. V . 3 3 4 2 Hướng dẫn giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD , gọi I là giao điểm của SO và AC'. S
Qua I kẻ B' D' song song với BD . Khi đó mặt phẳng qua AC' và song song
với BD là mặt phẳng AB'C'D '. C' D'
Ta dễ dàng nhận thấy rằng I là trọng tâm của tam giác SAC nên SI 2 SO 3 B' I
Theo định lí Ta lét ta có SD ' SI SB ' 2 A D SD SO SB 3 O V SA SD' SC ' 2 1 1 B C SAD'C ' . . 1. . V SA SD SC 3 2 3 SADC V SA SB' SC ' 2 1 1 SAB'C ' . . 1. . V SA SB SC 3 2 3 SABC 1 V V V SADC SABC 2 SABCD 1 1 V V V V .2. V SAD'C 'B' SAD'C ' SAB'C ' 2 2 SABCD 3
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 42 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG