Hình không gian thể tích từ cơ bản đến nâng cao – Nguyễn Tiến Đạt Toán 12

Tài liệu gồm 42 trang tóm tắt lý thuyết, công thức tính và hướng dẫn giải các dạng toán về thể tích của khối đa diện. Tài liệu phù hợp để các học sinh bị “mất gốc” ôn lại kỹ năng giải toán hình học không gian.Mời các bạn đón xem.

88 44 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 1: Khối đa diện

Môn: Toán 12

Thông tin:

42 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Lan Tường
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
BA
N KHÔNG THÊ
THAY
ĐÔ
I ĐI
CH ĐÊ
N NÊ
U
BA
N KHÔNG
ĐÔ
I THAY CON ĐƯƠ
NG
1
HINH KHÔNG GIAN THÊ TICH
TƯ CƠ BAN ĐÊN NÂNG CAO FULL
Giáo viên: Nguyễn Tiến Đạt
HÌNH KHÔNG GIAN THỂ TÍCH
ÔN TẬP 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 9 – 10
1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông: Cho
ABC
vuông ở
A
. Ta có:
a) Định lý Pitago :
222
BC AB AC
b)
22
.; .BA BH BC CA CH CB
c)
..AB AC BC AH
d)
222
111
AH AB AC

e)
2BC AM
f)
sin ,cos , tan ,cot
bcbc
BBBB
aacb

g)
.sin .cos , .sin .cos ,
sin cos
ba Ba Cca
bb
B
Ba
C
Ca 
.tan .cotbc Bc C
2. Hệ thức lượng trong tam giác thường
Định lý hàm số côsin:
222
2.cosabc bc A
Định lý hàm số sin:
2
sin sin sin
abc
R
ABC

3. Các công thức tính diện tích
a)
Công thức tính diện tích tam giác
.
11
.sin
22 4
a
abc
SabCprppaapbpc
R
h
với
2
abc
p

Đặc biệt:
ABC
vuông ở
A
:
1
.
2
SABAC
ABC
đều cạnh
ABC
:
2
3
4
a
S
b) Diện tích hình vuông:
S
cạnh x cạnh
c) Diện tích hình chữ nhật:
S
dài x rộng
d) Diện tích hình thoi:
1
2
S
(chéo dài x chéo ngắn)
a
c b
A
M
B
C
H
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
BA
N KHÔNG THÊ
THAY
ĐÔ
I ĐI
CH ĐÊ
N NÊ
U
BA
N KHÔNG
ĐÔ
I THAY CON ĐƯƠ
NG
2
e) Diện tích hình thang:
1
2
S
(đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao
f) Diện tích hình bình hành:
S
đáy x chiều cao
g) Diện tích hình tròn:
2
SR
ÔN TẬP 2: KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11
A. QUAN HỆ SONG SONG
§1.ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG
1. Định nghĩa
Đường thẳng và mặt phẳng gọi là
song song với nhau nếu chúng
không có điểm nào chung.
aP aP
&
2.Các định lý:
Định lý 1: Nếu đường thẳng
a
không nằm trên mặt phẳng
và
song song với một đường thẳng
nào đó nằm trên
thì
a
song
song với
.

a
ba a
b
&&
Định lý 2: Nếu đường thẳng
a
song song với mặt phẳng
P thì
mọi mặt phẳng
Q chứa
a
mà
cắt
P thì cắt theo giao tuyến
song song với
a
.

()
aP
aQ ba
PQb


&
&
Định lý 3: Nếu hai mặt phẳng cắt
nhau cùng song song với một
đường thẳng thì giao tuyến của
chúng cũng song song với đường
thẳng đó.

PQb
Pa ba
Qa

&&
&
§2.HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
1. Định nghĩa:
Hai mặt phẳng được gọi là song
song với nhau nếu chúng không có
điểm nào chung.
PQ PQ
a
(P)
α
b
a
Q
P
b
a
Q
P
b
a
Q
P
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
BA
N KHÔNG THÊ
THAY
ĐÔ
I ĐI
CH ĐÊ
N NÊ
U
BA
N KHÔNG
ĐÔ
I THAY CON ĐƯƠ
NG
3
2. Các định lý:
Định lý 1: Nếu mặt phẳng
P
chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau
và cùng song song với mặt phẳng
Q
thì
P
và
Q
song song
với nhau.

,
,
ab P
ab I P Q
aQbQ

&
&&
Định lý 2: Nếu một đường thẳng
nằm một trong hai mặt phẳng song
song thì song song với mặt phẳng
kia.
PQ
aQ
aP

&
&
Định lý 3: Nếu hai mặt phẳng
P
và
Q
song song thì mọi mặt
phẳng
R
đã cắt
P
thì phải cắt
Q
và các giao tuyến của chúng
song song.

PQ
RPa ab
RQb


&
&
B. QUAN HỆ VUÔNG GÓC
§1.ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
1. Định nghĩa:
Một đường thẳng được gọi là
vuông góc với một mặt phẳng nếu
nó vuông góc với mọi đường thẳng
nằm trên mặt phẳng đó.
,aP accP
2. Các định lý:
Định lý 1: Nếu đường thẳng
d
vuông góc với hai đường thẳng cắt
nhau
a
và b cùng nằm trong mặt
phẳng
P thì đường thẳng
d
vuông góc với mặt phẳng
P .
,
,
dadb
ab P d P
ab



Định lý 3: (Ba đường vuông góc)
Cho đường thẳng
a
không vuông
góc với mặt phẳng
P và đường
thẳng
b nằm trong
P . Khi đó,
 
,
'
aPbP
ba ba


I
b
a
Q
P
a
Q
P
b
a
R
Q
P
P
c
a
d
a
b
P
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
BA
N KHÔNG THÊ
THAY
ĐÔ
I ĐI
CH ĐÊ
N NÊ
U
BA
N KHÔNG
ĐÔ
I THAY CON ĐƯƠ
NG
4
điều kiện cần và đủ để b vuông góc
với
a
là b vuông góc với hình
chiếu
'a của
a
trên
P .
§2.HAI MẶT P
H
Ẳ
NG
VUÔNG GÓC
1. Định nghĩa:
Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90
0
.
2. Các
định
lý:
Định lý 1: Nếu một mặt phẳng
chứa một đường thẳng vuông góc
với một mặt phẳng khác thì hai mặt
phẳng đó vuông góc với nhau.
aP
QP
aQ


Định lý 2: Nếu hai mặt phẳng
P
và
Q vuông góc với nhau thì bất
cứ đường thẳng
a
nào nằm trong
P , vuông góc với giao tuyến của
P và
Q đều vuông góc với
mặt phẳng
Q .

,
PQ
PQd aQ
aPad


Định lý 3: Nếu hai mặt phẳng
P
và
Q vuông góc với nhau và
A
là
một
đ
iểm
trong
P thì đường
thẳng
a
đi qua điểm A và vuông
góc với
Q sẽ nằm trong
P
PQ
AP
aP
Aa
aQ

Định lý 4: Nếu hai mặt phẳng cắt
nhau và cùng vuông góc với mặt
phẳng thứ ba thì giao tuyến của
chúng vuông góc với mặt phẳng
thứ ba.

PQa
PR aR
QR


§3.K
HO
ẢNG
CÁCH
Q
P
a
d
Q
P
a
A
Q
P
a
a
R
Q
P
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
BA
N KHÔNG THÊ
THAY
ĐÔ
I ĐI
CH ĐÊ
N NÊ
U
BA
N KHÔNG
ĐÔ
I THAY CON ĐƯƠ
NG
5
1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng, đến 1
mặt phẳ
ng:
Khoảng
cách từ điểm
M đến đường thẳng
a
(hoặ
c
đến mặt phẳng
P ) là khoảng cách giữa hai điểm
M
và
H , trong đó H là hình chiếu của điểm M trên
đường thẳng
a
( hoặc trên mặt phẳng
P )
;;;dOa OHdO P OH
2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng
song
song:
Khoảng cách giữa đường thẳng
a
và mặt phẳng
P
song song
với
a
là khoảng cách từ một điểm nào đó
của
a
đến mặt phẳng
P .
;da P OH
3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:
là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng này
đến mặt phẳng kia.
;dP Q OH
4.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
là
độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng
đó.
;dab AB
§4.G
ÓC
1. Góc giữa hai
đường thẳng
a
và b
là
g
óc
g
iữa hai đường thẳng
'a và 'b cùng đi qua một
điểm và lần lượt cùng phương với
a
và b .
a
H
O
H
O
P
a
H
O
P
H
O
Q
P
B
A
b
a
b'
b
a'
a
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
BA
N KHÔNG THÊ
THAY
ĐÔ
I ĐI
CH ĐÊ
N NÊ
U
BA
N KHÔNG
ĐÔ
I THAY CON ĐƯƠ
NG
6
2. Góc giữa đường thẳng
a
không vuông góc với
mặt phẳng
P
là góc g
iữa
a
và hình chiếu 'a của nó trên mặt phẳng
P .
Đặc b
iệt: Nếu
a
vuông góc với mặt phẳng
P thì ta
nói rằng góc giữa đường thẳng
a
và mặt phẳng
P
là
90 .
3. Góc giữa hai mặt phẳng
là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai
mặt phẳng
đó.
Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm trong 2 mặt
phẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại 1 điểm
4. Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện tích của đa
giác
H trong mặt phẳng
P và
'S
là diện tích
hình chiếu
'H của
H trên mặt phẳng
'P thì:
'cosSS
trong đó
là góc giữa hai mặt phẳng
P và
'
P .
ÔN TẬP
3:
K
IẾN
THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12
A. CÁC CÔNG THỨC THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN:
1. Thể tích khối lăng trụ:
.VSh
Trong đó:
S
: Diện tích đa giác đáy.
h
: Đường cao của hình lăng trụ.
a) Thể tích khối hộp chữ nhật:
..V abc
với
,,abc
là ba kích thước
P
a'
a
b
a
Q
P
P
Q
a
b
M
C
B
A
S
B'
C'
D'
B
C
D
A
A'
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
BA
N KHÔNG THÊ
THAY
ĐÔ
I ĐI
CH ĐÊ
N NÊ
U
BA
N KHÔNG
ĐÔ
I THAY CON ĐƯƠ
NG
7
b) Thể tích khối lập phương:
3
Va
với
a
là độ dài cạnh
2. Thể tích khối chóp:
1
.
3
VSh
Trong đó:
S
: Diện tích đa giác đáy.
h
: Đường cao của hình chóp.
3. Tỉ số thể tích tứ diện:
Hai
khối chóp
.S ABC
và
.SMNP
có chung đỉnh
S
và các
g
óc
ở đỉn
h
S
. Khi đó:
.
.
..
SMNP
SABC
V
SM SN SP
VSASBSC
4. Thể tích khối chóp cụt:
''
3
h
VBBBB
Trong đó:
,'BB
: Diện tích hai đáy.
h
: Chiều cao.
Chú ý:
1/ Đường chéo của hình vuông cạnh
a
là
2da
,
Đường chéo của hình lập phương cạnh
a
là
3da
,
Đường chéo của hình hộp chữ nhật có ba kích thước
,,abc
là
222
abdc
,
2/ Đường cao của tam giác đều cạnh
a
là
3
2
h
a
3/ Hình chóp đều
là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng nhau ( hoặc có đáy là đa giác đều,
hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy).
4/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
B'
C'
D'
B
C
D
A
A'
A
C
B
S
M
P
N
B
A
C
A'
B'
C'
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
BA
N KHÔNG THÊ
THAY
ĐÔ
I ĐI
CH ĐÊ
N NÊ
U
BA
N KHÔNG
ĐÔ
I THAY CON ĐƯƠ
NG
8
PHÂN DẠNG BÀI TẬP
A. LOẠI 1: THỂ
TÍCH LĂNG TRỤ
1. Dạng 1: Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy
Ví dụ 1. Cho ()H là khối lăng trụ đứng tam giác đều có tất cả các cạnh bằng
a
. Thể tích của ()H bằng:
A.
3
2
a
. B.
3
3
2
a
. C.
3
3
4
a
. D.
3
2
3
a
.
Hướng dẫn giải:
3
3
.'
4
SBC
a
VS AA
Ví dụ 2. Cho lăng trụ đứng
.ABCABC

có
AA a
, tam giác
ABC
đều cạnh
a
. Tính theo
a
thể tích của
khối lăng trụ
.ABCABC

.
A.
3
.
3
12
ABC A B C
a
V

. B.
3
.
3
8
ABC A B C
a
V

. C.
3
.
3
4
ABC A B C
a
V

. D.
3
.
6
ABC ABC
a
V

.
Hướng dẫn giải:
23
33
,' .
44
ABC ABC
aa
ShAAaVSh
Ví dụ 3. Cho lăng trụ đứng
.ABCABC

có đáy
ABC
là tam giác vuông, BA BC a, 2AA a
. Tính theo
a
thể tích của khối lăng trụ
.ABCABC

.
A.
3
.
2.
3
ABC A B C
a
V

. B.
3
.
2.
2
ABC A B C
a
V

. C.
3
.
2.
4
ABC A B C
a
V

. D.
3
.
3
ABC ABC
a
V

.
Hướng dẫn giải:
B'
C'
A
B
C
A'
C
B
A'
B'
C'
A
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
BA
N KHÔNG THÊ
THAY
ĐÔ
I ĐI
CH ĐÊ
N NÊ
U
BA
N KHÔNG
ĐÔ
I THAY CON ĐƯƠ
NG
9
3
12
..'
22
a
VABBCAA
Ví dụ 4. Lăng trụ đứng
.' ' 'ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại ,A 2,BC a
AB a
. Mặt bên
’’BB C C
là hình vuông. Khi đó thê
tı
ch lăng trụ là:
A.
3
3
3
a
. B.
3
2a . C.
3
23a
. D.
3
3a
.
Hướng dẫn giải:
Ta có:
''BB C C
là hình vuông
.’’’
22
2
3
2
3
13
.
22
.3
ABC A B C
ABC
ABC
hBB a
AC BC AB a
a
SABAC
VBBSa




Ví dụ 5. Đáy của lăng trụ đứng tam giác .'' 'ABC A B C là tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh
2BC a
và biết '3AB a . Tính thể tích khối lăng trụ.
A.
3
a . B.
3
2a
. C.
3
3a
. D.
3
2a .
Hướng dẫn giải:
ABC
vuông cân tại A nên AB AC a
.'' 'ABC A B C là lăng trụ đứng
22
3
'
'' 22
2..'
ABC
VBh
AA AB
AA A B
A
Aa
A
B
Sa


A'
C'
B
C
A
B'
A'
C'
B
C
A
B'
B'
C'
A
C
B
A'
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
BA
N KHÔNG THÊ
THAY
ĐÔ
I ĐI
CH ĐÊ
N NÊ
U
BA
N KHÔNG
ĐÔ
I THAY CON ĐƯƠ
NG
10
Ví dụ 6. Đáy của lăng trụ đứng tam giác .'' 'ABC A B C là tam giác đều cạnh 4a và biết diện tích tam giác
'ABC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
A.
82
3
. B.
8
3
. C.
82
. D. 8 .
Hướng dẫn giải:
Gọi
I là trung điểm BC .Ta có:
ABC đều nên

'
'
22
.'''
3
23; '
2
2
1
.' ' 4
2
''
'' 2
.'83
ABC
ABC
ABC A B C ABC
AB
AI AI BC A I BC
S
SBCAIAI
BC
AA ABC AA AI
AA A I AI
VSAA





Ví dụ 7. Cho lăng trụ tứ giác đều .' ' ' 'ABCDABCD có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a . Tính thể tích
khối lăng trụ này.
A.
3
9a . B. 9 . C.
3
3a . D. 3 .
Hướng dẫn giải:
.'' ' 'ABCDABCD là lăng trụ đứng nên
22
''3
BD BD DD a

ABCD là hình vuông
3
2
a
AB
Suy ra
2
9
4
ABCD
a
BS
3
..'9
ABCD
V BhS AA a
Ví dụ 8. Cho hình hộp đứng
.ABCD A B C D

có đáy
ABCD
là hình vuông, tam giác
AAC
vuông cân và
AC a
. Tính theo
a
thể tích của khối hộp
.ABCD A B C D

.
A.
3
.
2
24
ABCD A B C D
a
V

. B.
3
.
2
48
ABCD A B C D
a
V

. C.
3
.
2
16
ABCD A B C D
a
V

. D.
3
.
2
8
ABCD A B C D
a
V

.
Hướng dẫn giải:
I
B'
C'
A
C
B
A'
B'
C'
D'
B
C
D
A
A'
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
BA
N KHÔNG THÊ
THAY
ĐÔ
I ĐI
CH ĐÊ
N NÊ
U
BA
N KHÔNG
ĐÔ
I THAY CON ĐƯƠ
NG
11
3
''
2
2
2
.'
8
ABCD
aa
AC a AC AA AB
a
VS AA


Ví dụ 9. Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng 60. Đường chéo lớn của đáy
bằng đường chéo nhỏ của hình hộp. Tính thể tích hình hộp .
A.
3
6
2
a
. B.
3
3
2
a
. C.
3
6
6
a
. D.
3
3
6
a
.
Hướng dẫn giải:
Ta có tam giác
ABD đều nên BD a và
2
3
2
2
ABCD ABD
S
a
S 
Theo đề bài
'3BD AC a
2
3
2
6
.'''
2
2
ABCD
a
VS DDDD BD BD a 
Ví dụ 10. Một tấm bìa hình vuông có cạnh 44cm , người ta cắt bỏ đi ở mỗi góc tấm bìa một hình vuông cạnh
12cm rồi gấp lại thành một cái hộp chữ nhật không có nắp. Tính thể tích cái hộp này.
A.
3
1200cm . B.
3
1600cm . C.
3
2400cm . D.
3
4800cm .
Hướng dẫn giải:
Theo đề bài, ta có:
''' '12
AA BB CC DD cm

nên
ABCD là hình vuông.
3
44 24 20 ; 12
. 4800
ABCD
AB cm cm cm h cm
VS h cm


2. Dạng 2: Lăng
tr
ụ
đứ
ng có góc giữa đường thẳng và mặt phẳ
ng
C
B
B'
D
A'
D'
C'
A
B'
C'
D'
B
C
D
A
A'
B'
C'
D'
B
C
D
A
A'
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
BA
N KHÔNG THÊ
THAY
ĐÔ
I ĐI
CH ĐÊ
N NÊ
U
BA
N KHÔNG
ĐÔ
I THAY CON ĐƯƠ
NG
12
Ví dụ 1. Cho lăng trụ đứng
.ABCABC

có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại B ,
BA BC a
, AB
hợp
với mặt đáy một góc
60
. Tính theo
a
thể tích của khối lăng trụ
.ABCABC

.
A.
3
.
3
2
ABC A B C
a
V

. B.
3
.
3
ABC A B C
Va

. C.
3
.ABC A B C
Va

. D.
3
.
52
ABC A B C
Va

.
Hướng dẫn giải:
n
3
'',','60
13
'.tan60 3 ...'
22
AA ABC AA ABC A B AB ABA
a
AA AB a V AB BC AA


Ví dụ 2. Cho lăng trụ đứng
.ABCABC

có đáy
ABC
là tam giác cân tại
C
, góc giữa
BC
và
ABB A

bằng
60
,
AB AA a

. Tính theo
a
thể tích của khối lăng trụ
.ABCABC

.
A.
3
.
15.
4
ABC A B C
a
V

. B.
3
.
18.
4
ABC A B C
a
V

. C.
3
.
15
4
ABC A B C
a
V

. D.
3
.
18
4
ABC A B C
a
V

.
Hướng dẫn giải:
Gọi
M
là trung điểm của
''
AB
.


n
22
23
''' '''
''
', ' ' ', ' 60
15
' ' ' .tan 60
2
15 15
.'
44
ABC ABC
C M ABB AC
BC ABB A BC BM MBC
a
MC BB MB
aa
SVSAA




Ví dụ 3. Cho lăng trụ đứng
.ABCABC

có đáy
ABC
là tam giác vuông tại A ,
n
,60AC a ACB
, góc giữa
BC
và mặt phẳng
AA C C

bằng
30
. Tính theo
a
thể tích của khối lăng trụ
.ABCABC

.
A.
3
.
6
ABC ABC
Va

. B.
3
.
3
ABC A B C
Va

. C.
3
.
22
ABC A B C
Va

. D.
3
.
5
ABC A B C
Va

.
Hướng dẫn giải:
B'
C'
A
C
B
A'
M
B'
C'
A
B
C
A'
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
BA
N KHÔNG THÊ
THAY
ĐÔ
I ĐI
CH ĐÊ
N NÊ
U
BA
N KHÔNG
ĐÔ
I THAY CON ĐƯƠ
NG
13

n
22
3
3, 2
''
', ' ' ', ' ' 30
'3 ' ' 2 2
1
..' 6
2
AC a AB a BC a
AB AA C C
BC AA C C BC AC AC B
AC a CC AC AC a
VABACCCa




Ví dụ 4. Cho lăng trụ đứng
.ABCD A B C D

có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
và đường chéo BD
của
lăng trụ hợp với đáy
ABCD
một góc
30
. Tính thể tích của khối lăng trụ
.ABCD A B C D

.
A.
3
.
3
3
ABCD A B C D
a
V

. B.
3
.
2
2
ABCD A B C D
a
V

. C.
3
.
6
3
ABCD A B C D
a
V

. D. Kết quả khác.
Hướng dẫn giải:
n
3
'
'; ', ' 30
6
' .tan 30
3
6
.'
3
ABCD
DD ABCD
BD ABCD BD BD DBD
a
DD BD
a
VS DD



Ví dụ 5. Cho hình hộp đứng
.ABCD A B C D

có đáy
ABCD
là hình thoi cạnh
a
và
n
60
o
BAD . Biết AB
hợp
với đáy
ABCD
một góc 30. Tính theo
a
thể tích của khối lăng trụ .ABCD A B C D

.
A.
3
.
2
ABCD A B C D
a
V

. B.
3
.
5
ABCD A B C D
Va

. C.
3
.ABCD A B C D
Va

. D.
3
.
3
2
ABCD A B C D
a
V

.
Hướng dẫn giải:
n
3
'
', ', ' 30
3
' .tan30
3
.'2 .'
2
ABCD ABD
BB ABCD
AB ABCD AB AB BAB
a
BB AB
a
V S BB S BB



A'
C'
B
A
C
B'
C
B
B'
D
A'
D'
C'
A
C
B
B'
D
A'
D'
C'
A
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
BA
N KHÔNG THÊ
THAY
ĐÔ
I ĐI
CH ĐÊ
N NÊ
U
BA
N KHÔNG
ĐÔ
I THAY CON ĐƯƠ
NG
14
Ví dụ 6. Cho lăng trụ tứ giác đều .ABCD A B C D

có cạnh đáy bằng
a
, góc giữa 'AC và mặt phẳng

BCC B

bằng 30. Tính theo
a
thể tích của khối lăng trụ .ABCD A B C D

.
A.
3
.
2
ABC A B C
Va

. B.
3
.
2
ABC A B C
Va

. C.
3
.
2
2
ABC A B C
a
V

. D.
3
.ABC A B C
Va

.
Hướng dẫn giải:
n
22
3
''
', ' ' ', ' ' 30
' .cot 30 3
''''2
.' 2
ABCD
AB BCC B
AC BCC B AC BC AC B
BC AB a
BB BC B C a
VS BBa




Ví dụ 7. Cho lăng trụ tứ giác đều .ABCD A B C D

có cạnh đáy bằng
a
, đường chéo 'AC tạo với mặt bên

BCC B

một góc
045
o


. Khi đó, thể tích khối lăng trụ bằng:
A.
32
cot 1a
. B.
3
cot 2a
. C.
32
cot 1a
. D.
32
tan 1a
.
Hướng dẫn giải:


n
2
32
''
', ' ' ', ' '
' .cot ' cot 1
.' cot 1
ABCD
AB BCC B
AC BCC B AC BC AC B
BC AB BB a
V S BB a




3. Dạng 3: Lăng
tr
ụ
đứ
ng có góc giữa hai mặt phẳng
Ví dụ 1. Cho lăng trụ đứng .ABC A B C

có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , BA BC a, AB
hợp
với mặt đáy một góc 60. Tính theo
a
thể tích của khối lăng trụ .ABC A B C

.
A.
3
.
3
2
ABC A B C
a
V

. B.
3
.
3
ABC A B C
Va

. C.
3
.ABC ABC
Va

. D.
3
.
52
ABC A B C
Va

.
Hướng dẫn giải:
C
B
B'
D
A'
D'
C'
A
C
B
B'
D
A'
D'
C'
A
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
BA
N KHÔNG THÊ
THAY
ĐÔ
I ĐI
CH ĐÊ
N NÊ
U
BA
N KHÔNG
ĐÔ
I THAY CON ĐƯƠ
NG
15
n
3
'',','60
13
'.tan60 3 ...'
22
AA ABC AA ABC A B AB ABA
a
AA AB a V AB BC AA


Ví dụ 2. Cho lăng trụ đứng .ABC A B C

có đáy ABC là tam giác cân tại A ,
2,AC a
n
120CAB , góc giữa

ABC
và mặt phẳng

ABC
bằng 45. Tính theo
a
thể tích của khối lăng trụ .ABC A B C

.
A.
3
.
3
ABC A B C
Va

. B.
3
.
33
ABC A B C
Va

. C.
3
.
3
ABC ABC
Va

. D.
3
.
23
ABC A B C
Va

.
Hướng dẫn giải:
Gọi
M là trung điểm của BC .
n
22
3
.cos60
2 . .cos120 2 3
',
', ', '45
1
'..'3
2
AM AC a
BC AC AB AB AC a
A M BC AM BC
A BC ABC A M AM AMA
AA AM a V BC AM AA a





Ví dụ 3. Cho lăng trụ đứng .' ' 'ABCABC có đáy là tam giác đều cạnh
a
. Mặt phẳng

''AB C
tạo với mặt đáy
góc
0
60
. Tính theo
a
thể tích lăng trụ .' ' 'ABCABC.
A.
3
3
2
a
V
. B.
3
33
4
a
V
. C.
3
3
8
a
V
. D.
3
33
8
a
V
.
Hướng dẫn giải:
Gọi
M là trung điểm ''BC
n
n
0
23
'''
'''
60 '', ''' ,' '
33
';''.tan'
22
333
.'
48
ABC ABC
AM BC
AB C A B C AM A M AMA
aa
A M AA A M AMA
aa
SVSAA





B'
C'
A
C
B
A'
M
B'
C'
A
B
C
A'
M
B
C
A
B'
C'
A'
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
BA
N KHÔNG THÊ
THAY
ĐÔ
I ĐI
CH ĐÊ
N NÊ
U
BA
N KHÔNG
ĐÔ
I THAY CON ĐƯƠ
NG
16
Ví dụ 4. Cho lăng trụ tam giác đều .ABC A B C

có cạnh đáy bằng
a
. Góc giữa hai mặt phẳng

ABC
và

ABC
bằng 30. Tính theo
a
thể tích của khối lăng trụ .ABC A B C

.
A.
3
.
3
8
ABC A B C
a
V

. B.
3
.
3
4
ABC A B C
a
V

. C.
3
.
2
ABC A B C
a
V

. D.
3
.
3
2
ABC A B C
a
V

.
Hướng dẫn giải:
Gọi
M là trung điểm của BC .
n
3
',
', ', ' 30
3
' .tan30 . '
28
ABC
A M BC AM BC
A BC ABC A M AM A MA
aa
AA AM V S AA



Ví dụ 5. Cho hình lăng trụ đứng .' ' 'ABCABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , BC a , mặt phẳng

'ABC
tạo với đáy một góc
30 và tam giác 'ABC có diện tích bằng
2
3a . Tính thể tích khối lăng
trụ .'' 'ABCABC.
A.
3
3
8
a
. B.
3
33
4
a
. C.
3
33
8
a
. D.
3
33
2
a
.
Hướng dẫn giải:
n
2
'
'
'
'
''
'
,' ,' '
2.
12.3
'. ' 2 3
2
ABC
ABC
BC AB
BC A B
BC AA
BC AB ABC
BC A B A BC
BC ABC A BC
ABC A BC AB A B ABA
S
a
SABBCAB a
BC a






n n
00
3
.'''
' .cos ' 2 3.cos30 3 ; ' ' .sin ' 2 3.sin30 3
1133
. .'...'.3..3
222
ABC A B C ABC
AB A B ABA a a AA A B ABA a a
a
V B h S AA AB BC AA a a a


M
B'
C'
A
B
C
A'
B'
C'
A
C
B
A'
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
BA
N KHÔNG THÊ
THAY
ĐÔ
I ĐI
CH ĐÊ
N NÊ
U
BA
N KHÔNG
ĐÔ
I THAY CON ĐƯƠ
NG
17
Ví dụ 6. Cho lăng trụ tứ giác đều .ABCD A B C D

có cạnh đáy bằng
a
, mặt phẳng
'BC D
hợp với đáy
ABCD
một góc
60
. Tính theo
a
thể tích của khối lăng trụ .ABCD A B C D

.
A.
3
.
6
6
ABCD A B C D
a
V

. B.
3
.
3
2
ABCD A B C D
a
V

. C.
3
.
6
2
ABCD A B C D
a
V

. D. Kết quả khác.
Hướng dẫn giải:
Gọi
I là trung điểm của BD .
n
3
,'
'
'; ,' '60
12 6
'.tan60
22 2
6
.'
2
ABCD
AC BD C I BD
BC D ABCD BD
BC D ABCD AC C I CIC
aa
CI AC CC CI
a
VS CC





Ví dụ 7. Cho hình hộp chữ nhật
.' ' ' 'ABCDABC D
. Mặt phẳng

'ABC
hợp với đáy

ABCD
một góc
0
60
,
'AC hợp với đáy

ABCD
một góc
0
30
và '3AA a . Tính theo
a
thể tích khối hộp.
A.
3
26Va . B.
3
26
3
a
V
. C.
3
22Va . D.
3
Va
.
Hướng dẫn giải:
n
n
n
n
0
0
22 2
3
.''' '
'
30 ', ', '
60 ' , ' , '
''
;3
tan ' tan '
22; . 2 2
.'2 6
ABCD
ABCD A B C D ABCD
AA ABCD
AC ABCD AC AC ACA
A BC ABCD A B AB A BA
AA AA
AB a AC a
ABA ACA
BC AC AB a S AB BC a
V S AA a





4. Dạng 4: Khối lăng trụ xiên
Ví dụ 1. Cho lăng trụ .ABC A B C

có đáy ABC là tam giác đều cạnh
a
. Biết cạnh bên bằng 3a và hợp với
đáy

ABC
một góc 60. Tính theo
a
thể tích của khối lăng trụ .ABC A B C

.
A.
3
.
3
8
ABC A B C
a
V

. B.
3
.
33
8
ABC A B C
a
V

. C.
3
.
53
8
ABC A B C
a
V

. D. Đáp án khác.
Hướng dẫn giải:
I
B'
C'
D'
B
C
D
A
A'
B'
C'
D'
B
A'
A
D
C
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
BA
N KHÔNG THÊ
THAY
ĐÔ
I ĐI
CH ĐÊ
N NÊ
U
BA
N KHÔNG
ĐÔ
I THAY CON ĐƯƠ
NG
18
Kẻ

'AH ABC
n
', ', ' 60AA ABC AA AH A AH
3
3
' '.sin 60 . '
2
33
8
ABC
a
AH AA V S A
a
H
Ví dụ 2. Cho lăng trụ .ABC A B C

có đáy ABC là tam giác đều cạnh
a
, điểm 'A cách đều ba điểm
,,ABC
.
Góc giữa 'AA và

ABC
bằng 60. Tính theo
a
thể tích của khối lăng trụ .ABC A B C

.
A.
3
.
34
4
ABC A B C
a
V

. B.
3
.
3
2
ABC A B C
a
V

. C.
3
.
3
4
ABC A B C
a
V

. D.
3
.
53
4
ABC A B C
a
V

.
Hướng dẫn giải:
Gọi
G là trọng tâm của

'ABC A G ABC
n
3
', ', ' 60
3
'.tan60 .'
4
ABC
AA ABC AA AG GAA
a
A G AG a V S A G


Ví dụ 3. Cho lăng trụ .ABC A B C

có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , 2AC a ; cạnh bên 2AA a
. Hình chiếu vuông góc của A
trên mặt phẳng
()ABC
là trung điểm cạnh AC . Tính thể tích V của
khối lăng trụ .ABC A B C

.
A.
3
1
2
Va
. B.
3
3
a
V
. C.
3
Va
. D.
3
2
3
a
V
.
Hướng dẫn giải:
A'
B'
B
A
C
C'
H
G
A'
B'
B
A
C
C'
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
BA
N KHÔNG THÊ
THAY
ĐÔ
I ĐI
CH ĐÊ
N NÊ
U
BA
N KHÔNG
ĐÔ
I THAY CON ĐƯƠ
NG
19
Vì ABC là tam giác vuông cân tại B nên trung tuyến
BH cũng là đường cao của nó và
1
2
HB HA HC AC a
.
22 22
3
.
'' 2
1
''
2
ABC A B C ABC
AH AA AH a a a
V A H S A H BH AC a



Ví dụ 4. Cho lăng trụ .ABC A B C

có đáy ABC là tam giác đều cạnh
a
, hình chiếu vuông góc của 'A lên mặt
phẳng

ABC
trùng với tâm O của tam giác ABC . Tính theo
a
thể tích của khối lăng trụ
.ABC A B C

, biết khoảng cách giữa 'AA và BC là
3
4
a
.
A.
3
.
3
12
ABC A B C
a
V

. B.
3
.
3
4
ABC A B C
a
V

. C.
3
.
43
5
ABC A B C
a
V

. D. Kết quả khác.
Hướng dẫn giải:
Gọi
M là trung điểm của
'
BC BC AA M

Gọi
H là hình chiếu của M lên 'AA
n
',
31
sin '
82
AA BC
aHM
HM d A AO
AM

nn
3
' 30 ' .tan '
3
3
.'
12
ABC
a
AAO AO AO AAO
a
VS AO


Ví dụ 5. Cho lăng trụ .ABC A B C

có đáy ABC là tam giác đều cạnh
a
. Hình chiếu vuông góc của 'A trên

ABC
là trung điểm của BC , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 30. Tính theo
a
thể tích của
khối lăng trụ
.ABCABC

.
A.
3
.
3
4
ABC A B C
a
V

. B.
3
.
3
3
ABC A B C
a
V

. C.
3
.
3
12
ABC A B C
a
V

. D.
3
.
3
8
ABC A B C
a
V

.
Hướng dẫn giải:
H
B'
C'
A
B
C
A'
M
O
A'
B'
B
A
C
C'
H
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
BA
N KHÔNG THÊ
THAY
ĐÔ
I ĐI
CH ĐÊ
N NÊ
U
BA
N KHÔNG
ĐÔ
I THAY CON ĐƯƠ
NG
20
Gọi M là trung điểm của
BC
n
3
'
', ', ' 30
3
' .tan30 . '
28
ABC
AM ABC
AA ABC AA AM A AM
aa
AM AM V S AM



Ví dụ 6. Cho lăng trụ
.ABCABC

có đáy
ABC
là tam giác đều cạnh
2a
. Hình chiếu vuông góc của 'A trên
ABC
là trung điểm của AB , góc giữa mặt phẳng
AA C C

và mặt đáy bằng
60
. Tính theo
a
thể tích của khối lăng trụ
.ABCABC

.
A.
3
.
23
ABC A B C
Va

. B.
3
.
33
ABC A B C
Va

. C.
3
.
33
2
ABC A B C
a
V

. D.
3
.
3
ABC A B C
Va

.
Hướng dẫn giải:
Gọi
M là trung điểm của AB , kẻ
MH AC


n
2
2
3
'
'', ', ' 60
11 3
3; .
222
33
' .tan 60
22
33
.'
2
ABC AMC ABC
ABC
A M ABC
ACC A ABC A H HM A HM
a
SaS ACMHS
aa
MH A M MH
a
VS AM





Ví dụ 7. Cho lăng trụ
.ABCABC

có
n
10
, 2,,135
4
o
a
AA AC a BC a ACB

. Hình chiếu vuông góc của
C
lên mặt phẳng
ABC
trùng với trung điểm M của AB . Tính theo
a
thể tích của khối lăng trụ
.ABCABC

.
A.
3
.ABC A B C
Va

. B.
3
.
6
8
ABC A B C
a
V

. C.
3
.
3
8
ABC ABC
a
V

. D.
3
.
33
ABC A B C
Va

.
Hướng dẫn giải:
M
A'
B'
B
A
C
C'
M
A'
B'
B
A
C
C'
H
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
BA
N KHÔNG THÊ
THAY
ĐÔ
I ĐI
CH ĐÊ
N NÊ
U
BA
N KHÔNG
ĐÔ
I THAY CON ĐƯƠ
NG
21
n
22
22 2
22
3
2..cos 5
2
42
6
''
4
16
. .sin135 . '
28
AB AC BC AC BC ACB a
AC BC AB
a
MC
a
MC CC MC
a
VACBC MC





Ví dụ 8. Cho lăng trụ
.ABCABC

có độ dài cạnh bên bằng
a
, đáy
ABC
là tam giác vuông tại
C
,
n
60
o
BAC
, góc giữa 'BB và
ABC
bằng
60
. Hình chiếu vuông góc của 'B lên
ABC
trùng với trọng tâm
của tam giác
ABC
. Tính theo
a
thể tích của khối lăng trụ
.ABCABC

.
A.
3
.
27
208
ABC A B C
a
V

. B.
3
.
27
280
ABC A B C
a
V

. C.
3
.
73
208
ABC A B C
a
V

. D.
3
.
27
802
ABC A B C
a
V

.
Hướng dẫn giải:
Gọi
G
là trọng tâm
ABC
, M là trung điểm AC
'
B G ABC



n
2
22 2
23
', ', ' 60
3
' '.sin 60 , '.cos60
22
3
.cos60 , .sin 60
22
3
8
2
3 3 13 3
24 4 4
13
93 27
.'
104 208
ABC
ABC ABC
BB ABC BB BG B BG
aa
B G BB BG BB
AB AB
AC AB BC AB
AB
S
AB BC AC
aABa
BM BG AB
aa
SVSBG







Ví dụ 9. Cho hình hộp
.ABCD A B C D

có đáy
ABCD
là hình chữ nhật với
3, 7AB AD
. Hai mặt bên
''ABB A và
''ADD A lần lượt tạo với đáy các góc 45 và 60. Tính theo thể tích của khối hộp
.ABCD A B C D

biết cạnh bên bằng 1.
A. 1. B. 3. C. 6. D. 9.
Hướng dẫn giải:
M
C'
B'
B
C
A
A'
G
M
C'
B'
B
C
A
A'
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
BA
N KHÔNG THÊ
THAY
ĐÔ
I ĐI
CH ĐÊ
N NÊ
U
BA
N KHÔNG
ĐÔ
I THAY CON ĐƯƠ
NG
22
Kẻ
',,A H ABCD HM AB HN AD
n
n
' , ' ' 45 , ' 60A M AB A N AD A MH A NH
Đặt
'AH x . Khi đó:
2
22
342
';''
sin 60
3
3
xx
A N AN AA A N HM
x


Mà .cot 45HM x x
2
.''' '
34 3
37
..3
ABCD A B C D
x
xx
VABADx
 

Ví dụ 10. Cho lăng trụ
.' ' ' 'ABCD A B C D
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật tâm
O
và
,3AB a AD a
;
'AO
vuông góc với đáy
ABCD
. Cạnh bên 'AA hợp với mặt đáy
ABCD
một góc
45
. Tính theo
a
thể tích khối lăng trụ đã cho.
A.
3
3
6
a
V
. B.
3
3
3
a
V
. C.
3
6
2
a
V
. D.
3
3Va
.
Hướng dẫn giải:


n
2
22
3
.''' '
.3
2
2
'
45 ', ', '
'.'3
ABCD
ABCD A B C D ABCD
SABADa
AC
AC AB AD a AO a
A O ABCD
AA ABCD AA AO A AO
AO AO a V S AO a




B. LO
ẠI 2:
TH
Ể T
ÍCH
KHỐI CHÓP
Một số hình chóp đặc biệt:
M
N
B'
C'
D'
B
A'
A
D
C
H
O
B'
C'
D'
B
C
D
A
A'
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
BA
N KHÔNG THÊ
THAY
ĐÔ
I ĐI
CH ĐÊ
N NÊ
U
BA
N KHÔNG
ĐÔ
I THAY CON ĐƯƠ
NG
23
Hình chóp tam giác đều:
Hình chóp tam giác đều:
‒ Đáy là tam giác đều.
‒ Các mặt bên là các tam giác cân.
Hình tứ diện đều:
‒ Đáy là tam giác đều.
‒ Các mặt bên là các tam giác đều.
Cách vẽ:
‒ Vẽ đáy
ABC .
‒ Vẽ trung tuyến
AI .
‒ Dựng trọng tâm
H .
‒ Vẽ
SH ABC .
Ta có:
‒
SH là chiều cao của hình chóp.
‒ Góc giữa cạnh bên và mặt đáy:
n
SAH
.
‒ Góc giữa mặt bên và mặt đáy:
n
SIH
.
Hình chóp tứ giác đều:
Hình chóp tứ giác đều:
‒ Đáy là hình vuông.
‒ Các mặt bên là các tam giác cân.
Cách vẽ:
‒ Vẽ đáy
ABCD .
‒ Dựng giao điểm
H của hai đường chéo AC và BD .
‒ Vẽ
SH ABCD .
Ta có:
‒
SH là chiều cao của hình chóp.
‒ Góc giữa cạnh bên và mặt đáy:
n
SAH
.
‒ Góc giữa mặt bên và mặt đáy:
n
SIH
.
Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy:
H
I
B
C
A
S
O
B
A
D
C
S
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
BA
N KHÔNG THÊ
THAY
ĐÔ
I ĐI
CH ĐÊ
N NÊ
U
BA
N KHÔNG
ĐÔ
I THAY CON ĐƯƠ
NG
24
‒
SA ABC .
‒ Góc giữa cạnh bên
SB và mặt đáy:
n
SBA
.
‒ Góc giữa cạnh bên
SC và mặt đáy:
n
SCA
.
‒
SA ABCD .
‒ Góc giữa cạnh bên
SB và mặt đáy:
n
SBA
.
‒ Góc giữa cạnh bên
SC và mặt đáy:
n
SCA
.
‒ Góc giữa cạnh bên
SD và mặt đáy:
n
SDA
.
Chú ý:
a) Đường chéo củ
a hình vuông cạnh
a
là
2da
.
Đường chéo của hình lập phương cạnh
a
là
3da
.
Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước
,,abc là
222
dabc.
b) Đường
cao của tam giác đều cạnh
a
là
3
2
a
h
.
c) Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng nhau ( hoặc có đáy là đa giác
đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy).
1. Dạng 1: Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy
Ví dụ 1. Cho hình chóp
.S ABC
SB SC BC CA a
. Hai mặt
ABC
và
ASC
cùng vuông góc với
SBC
. Thể tích khối chóp
.S ABC
bằng:
A.
3
.
3
12
SABC
a
V
. B.
3
.
3
2
SABC
a
V
. C.
3
.
3
6
SABC
a
V
. D.
3
.
3
3
SABC
a
V
.
Hướng dẫn giải:
A
C
B
S
B
S
A
D
C
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
BA
N KHÔNG THÊ
THAY
ĐÔ
I ĐI
CH ĐÊ
N NÊ
U
BA
N KHÔNG
ĐÔ
I THAY CON ĐƯƠ
NG
25
 
,ABC SBC ASC SBC AC SBC
SB SC BC SBC
đều
3
13
..
312
SBC
a
VSCA
Ví dụ 2. Cho hình chóp
.S ABC
có đáy là tam giác vuông tại B ,
,3AB a AC a
, cạnh bên
SA
vuông góc
với mặt phẳng đáy,
2SA a
. Tính theo
a
thể tích của khối chóp
.S ABC
.
A.
3
.
3
3
SABC
a
V
. B.
3
.
3
SABc
a
V
. C.
3
.
2
3
SABM
a
V
. D.
3
.
3
2
SABM
a
V
.
Hướng dẫn giải:
3
22
11
2....
32 3
a
BC AC AB a V AB BC SA 
Ví dụ 3. Cho hình chóp
.S ABC
có đáy là tam giác đều cạnh
a
, cạnh bên
SA
vuông góc với đáy và
2SB a
.
Tính theo
a
thể tích của khối chóp
.S ABC
.
A.
3
.
4
SABC
a
V
. B.
3
.
3
SABC
a
V
. C.
3
.
2
SABC
a
V
. D.
3
.
7
SABC
a
V
.
Hướng dẫn giải:
22
23
3
113
.. . .3
3344
ABC
SA SB AB a
aa
V S SA a


B
C
S
A
A
C
S
B
A
C
S
B
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
BA
N KHÔNG THÊ
THAY
ĐÔ
I ĐI
CH ĐÊ
N NÊ
U
BA
N KHÔNG
ĐÔ
I THAY CON ĐƯƠ
NG
26
Ví dụ 4. Cho hình chóp
.S ABC
có đáy là tam giác vuông cân tại B , AC a . Biết bên
SA
vuông góc với đáy
và SB hợp với đáy một góc 60. Tính thể tích của khối chóp
.S ABC
.
A.
3
6
8
a
. B.
3
3
8
a
. C.
3
6
24
a
. D.
3
3
24
a
.
Hướng dẫn giải:
n
2
3
,,60
21
;.
22 4
61 6
.tan 60 .
23 24
ABC
ABC
SA ABCD
SB ABCD SB AB SBA
aa
AB BC S AB BC
aa
SA AB V S SA



Ví dụ 5. Cho hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác đều cạnh
a
. Biết SA vuông góc với đáy
ABC và
SBC hợp với đáy
ABC một góc 60. Tính thể tích hình chóp.
A.
3
3
8
a
. B.
3
3
4
a
. C.
3
33
8
a
. D.
3
3
2
a
.
Hướng dẫn giải:
Gọi
M là trung điểm BC .Ta có:
ABC đều nên

n
3
,60
31 3
.tan 60 .
23 8
ABC
AM BC SA BC
SBC ABC SMA
aa
SA AM V S SA



Ví dụ 6. Cho hình chóp
.S ABC
có mặt bên
SBC
là tam giác đều cạnh
a
, cạnh bên
SA
vuông góc với mặt
phẳng đáy, góc
BAC
bằng
120
. Tính theo
a
thể tích của khối chóp
.S ABC
.
A.
3
.
2.
36
SABC
a
V
. B.
3
.
2.
12
SABC
a
V
. C.
3
.
2.
6
SABC
a
V
. D.
3
.
2.
3
SABC
a
V
.
A
C
B
S
M
A
C
B
S
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
BA
N KHÔNG THÊ
THAY
ĐÔ
I ĐI
CH ĐÊ
N NÊ
U
BA
N KHÔNG
ĐÔ
I THAY CON ĐƯƠ
NG
27
Hướng dẫn giải:
SB SC AB AC ABC
cân tại A .
Có
222
2. . .cos120BC AB AC AB AC
22
3
36
;
33
11 2
.. . .sin120.
32 36
aa
AB AC SA SB AB
a
VABAC SA


Ví dụ 7. Cho hình chóp
.SABCD
có đáy là hình chữ nhật,
n
2, , 60AB a BC a SCA
, cạnh bên
SA
vuông
góc với đáy. Tính theo
a
thể tích của khối chóp
.SABCD
.
A.
3
.
2
SABCD
Va
. B.
3
.
3
SABCD
Va
. C.
3
.
3
SABCD
Va
. D.
3
.
2
S ABCD
Va
.
Hướng dẫn giải:
n
22
3
;60
.tan 60 3
1
... 2
3
AC AB BC SCA
SA AC a
VABBCSAa



Ví dụ 8. Cho hình chóp
.SABCD
có
ABCD
là hình vuông cạnh
a
,
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy

ABCD
và mặt bên
SCD hợp với đáy một góc
60
. Tính thể tích hình chóp
.SABCD
.
A.
3
3a
. B.
3
3
2
a
. C.
3
3
3
a
. D.
3
3
4
a
.
Hướng dẫn giải:
M
B
S
C
A
B
C
A
D
S
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
BA
N KHÔNG THÊ
THAY
ĐÔ
I ĐI
CH ĐÊ
N NÊ
U
BA
N KHÔNG
ĐÔ
I THAY CON ĐƯƠ
NG
28
n
3
;
,60
.tan60 3
13
.
33
ABCD
SA ABCD CD AD CD SD
SCD ABCD SDA
SA AD a
a
VSSA




Ví dụ 9. Cho hình chóp
.SABCD
có
ABCD
là hình vuông cạnh
a
,
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy

ABCD
. Biết góc giữa
SC
và mặt phẳng

ABCD
bằng
60
. Tính thể tích khối chóp
.SABCD
.
A.
3
3
6
a
. B.
3
3a
. C.
3
2
3
a
. D.
3
6
3
a
.
Hướng dẫn giải:
n
22
3
2
2
,60
tan 60 tan 60 6
11 6
..6
33 3
ABCD
AC AB BC a
SA ABCD SA AC
SC ABCD SCA
SA
SA AC a
AC
a
VSSAaa





Ví dụ 10. Cho hình chóp
.SABCD
có đáy là hình thang vuông tại A và D , ,AD CD a
3AB a
, cạnh bên
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa
SC
với mặt đáy bằng
45
. Tính theo
a
thể tích của khối
chóp
.SABCD
.
A.
3
.
2
3
SABCD
a
V
. B.
3
.
2
3
SABCD
a
V
. C.
3
.
22
3
S ABCD
a
V
. D.
3
.
3
SABCD
a
V
.
Hướng dẫn giải:
B
S
A
D
C
D
C
B
A
S
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
BA
N KHÔNG THÊ
THAY
ĐÔ
I ĐI
CH ĐÊ
N NÊ
U
BA
N KHÔNG
ĐÔ
I THAY CON ĐƯƠ
NG
29
n
22
3
,,45
2
11 2 2
.. . .
32 3
SA ABCD SC ABCD SC AC SCA
SA AC AD CD a
a
VABCDADSA



2. Dạng 2: K
hối
ch
óp
có một mặt bên vuông góc
với đáy
Ví dụ 1. Cho hình chóp
.S ABC
có đáy là tam giác vuông tại
B
,
n
2, 30
o
AC a ACB
. Hình chiếu vuông góc
của
S
lên mặt đáy là trung điểm
H
của cạnh
AC
và
2SH a
. Tính theo
a
thể tích của khối chóp
.S ABC
.
A.
3
.
6
17
SABC
a
V
. B.
3
.
6
3
SABC
a
V
. C.
3
.
6
5
SABC
a
V
. D.
3
.
6
6
SABC
a
V
.
Hướng dẫn giải:
3
.sin30 3
11 6
.. . .
32 6
AB AC a BC a
a
VABACSH


Ví dụ 2. Cho tứ diện
ABCD
có ABC là tam giác đều, BCD là tam giác vuông cân tại D ,
ABC BCD
và AD hợp với
BCD một góc 60. Tính thể tích của khối tứ diện
ABCD
.
A.
3
3
9
ABCD
a
V
. B.
3
3
6
ABCD
a
V
. C.
3
3
3
ABCD
a
V
. D.
3
3
ABCD
aV .
Hướng dẫn giải:
A
B
D
C
S
H
B
A
C
S
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
BA
N KHÔNG THÊ
THAY
ĐÔ
I ĐI
CH ĐÊ
N NÊ
U
BA
N KHÔNG
ĐÔ
I THAY CON ĐƯƠ
NG
30
Gọi H là trung điểm của BC .
Ta có tam giác
ABC đều nên
AH BCD
3
,
.tan 60 3
323
.cot 60 ; 2
33
13
.
39
BCD
ABC BCD AH BCD
AH HD AH AD a
aa
HD AD BC HD
a
VSAH




Ví dụ 3. Cho hình chóp
.S ABC
có đáy là tam giác vuông cân tại A ,
25SC a
. Hình chiếu vuông góc của
S
lên
ABC
là trung điểm M của cạnh AB , góc giữa đường thẳng
SC
với mặt phẳng đáy bằng
60
o
. Tính theo
a
thể tích của khối chóp
.S ABC
.
A.
3
.
215
3
S ABC
a
V
. B.
3
.
15
3
SABC
a
V
. C.
3
.
2
3
SABC
a
V
. D.
3
.
315
2
SABC
a
V
.
Hướng dẫn giải:
 

n
,, 60
.cos60 5; 15
SM ABC SC ABC SC CM SCM
CM SC a SM a


Tam giác
MAC
vuông tại
3
11 2 15
2....
32 3
a
AACaV ABACSM
Ví dụ 4. Cho hình chóp
.S ABC
có đáy là tam giác vuông cân tại B , BC a . Mặt bên SAC vuông góc với
đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 45. Tính thể tích của khối chóp
.S ABC
.
A.
3
.
4
SABC
a
V
. B.
3
.
3
4
SABC
a
V
. C.
3
.
3
2
SABC
a
V
. D.
3
.
12
SABC
a
V
.
Hướng dẫn giải:
H
A
B
C
D
M
A
C
B
S
M
A
C
B
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
BA
N KHÔNG THÊ
THAY
ĐÔ
I ĐI
CH ĐÊ
N NÊ
U
BA
N KHÔNG
ĐÔ
I THAY CON ĐƯƠ
NG
31
Kẻ SH BC . Gọi ,IJ lần lượt là hình chiếu của
H
trên
AB và BC .


n
n
,
,45
SAC ABC SH ABC
SI AB SJ BC SIH SJH
SHI SHJ HI HJ



BH là đường phân giác của ABC
H
là trung điểm của AC .
3
.
1
.
2312
S ABC ABC
aa
HI HJ SH V S SH
Ví dụ 5. Cho hình chóp
.S ABC
có đáy là tam giác vuông cân tại A ,
,AB a SBC ABC
. Hai mặt bên còn
lại hợp với đáy một góc
60
o
. Tính theo
a
thể tích của khối chóp
.S ABC
.
A.
3
.
3
12
SABC
a
V
. B.
3
.
3
5
SABC
a
V
. C.
3
.
3
18
SABC
a
V
. D.
3
.
73
12
SABC
a
V
.
Hướng dẫn giải:
Kẻ
SH BC
. Do
SBC ABC SH ABC
Kẻ
n
n
,60HD AB HE AC SDH SEH
Do tam giá
c
ABC
vuông cân tại
A
nên
2
a
HD HE H
là trung điểm của
BC
3
311 3
.tan60 . . . .
232 12
aa
SH HD V AB AC SH
.
Ví dụ 6. Cho hình chóp
.SABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
, mặt bên
SAB
là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp
.SABCD
.
A.
3
3
6
a
. B.
3
3
4
a
. C.
3
3
2
a
. D.
3
3a
.
I
J
A
C
B
S
H
B
C
A
S
H
D
E
H
A
C
B
D
E
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
BA
N KHÔNG THÊ
THAY
ĐÔ
I ĐI
CH ĐÊ
N NÊ
U
BA
N KHÔNG
ĐÔ
I THAY CON ĐƯƠ
NG
32
Hướng dẫn giải:
Gọi
H là trung điểm của AB
SAB đều SH AB
3
33 1 3
.
22 3 6
ABCD
SAB ABCD SH ABCD
AB a a
SH V S SH


Ví dụ 7. Cho hình chóp
.SABCD
có mặt bên
SAB
vuông góc với mặt phẳng đáy và tam giác
SAB
cân tại
S
.
Tính theo
a
thể tích của khối chóp
.SABCD
, biết rằng: đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
, góc giữa
mặt
SBD
và mặt đáy bằng
60
.
A.
3
.
6
SABCD
Va
. B.
3
.
6
5
SABCD
a
V
. C.
3
.
12
SABCD
a
V
. D.
3
.
6
12
SABCD
a
V
.
Hướng dẫn giải:
Gọi
M
là trung điểm của
AB
.
SAB ABCD SM ABCD
Gọi
O
là giao điểm của
AC
và
BD
,
N
là trung điểm của
OB
.
n
3
2
,,60
61 6
.tan60 . .
43 12
MN BD
BD SMN BD SN
SM BD
SBD ABCD SN MN SNM
aa
SM MN V AB SM

 


Ví dụ 8. Cho hình chóp
.SABCD
có mặt bên
SAB
vuông góc với mặt phẳng đáy và tam giác
SAB
cân tại
S
.
Tính theo
a
thể tích của khối chóp
.SABCD
, biết rằng: đáy
ABCD
là hình chữ nhật,
,2AB a AD a
, góc giữa mặt
SAC
và mặt đáy bằng
60
.
H
B
C
D
A
S
M
N
O
D
A
N
O
M
B
D
A
C
S
C
B
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
BA
N KHÔNG THÊ
THAY
ĐÔ
I ĐI
CH ĐÊ
N NÊ
U
BA
N KHÔNG
ĐÔ
I THAY CON ĐƯƠ
NG
33
A.
3
.
3
SABCD
a
V
. B.
3
.
6
SABCD
a
V
. C.
3
.
2
SABCD
a
V
. D.
3
.
8
SABCD
a
V
.
Hướng dẫn giải:
Gọi
M
là trung điểm của
AB
.
SAB ABCD SM ABCD
Kẻ
BH
vuông góc với
AC
, gọi
N
là trung điểm của
AH MN AC
n
222
3
,,60
111 6 6
326
21
.tan 60 . . .
23 3
MN AC
AC SMN AC SN
SM AC
SAC ABCD SN MN SNM
aBHa
BH MN
BH AB BC
aa
SM MN V AB AD SM

 



Ví dụ 9. Cho hình chóp
.SABCD
có đáy là hình thoi,
AB BC BD a
, mặt bên
SAB
là tam giác đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích của khối chóp
.SABCD
A.
3
.
4
SABCD
a
V
. B.
3
.
5
6
SABCD
a
V
. C.
3
.
5
2
SABCD
a
V
. D.
3
.
11
8
SABCD
a
V
.
Hướng dẫn giải:
Gọi
M
là trung điểm của
AB
.
N
M
H
D
M
B
B
C
S
C
A
D
A
H
N
A
D
M
B
S
C
A
D
B
C
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
BA
N KHÔNG THÊ
THAY
ĐÔ
I ĐI
CH ĐÊ
N NÊ
U
BA
N KHÔNG
ĐÔ
I THAY CON ĐƯƠ
NG
34
SAB ABCD SM ABCD
23
331
,2 ..
2234
ABCD ABD ABCD
aa a
SM S S V S SM
Ví dụ 10. Cho hình chóp
.SABCD
có đáy
ABCD
là hình thang vuông tại A và D, 3, 2,AB a AD a CD a,
tam giác
SAD
cân tại
S
, mặt phẳng
SAD
vuông góc với đáy, góc giữa mặt phẳng
SBC
và mặt
đáy bằng
60
. Tính thể tích của khối chóp
.SABCD
.
A.
3
.
46
3
S ABCD
a
V
. B.
3
.
26
3
S ABCD
a
V
. C.
3
.
56
3
SABCD
a
V
. D.
3
.
6
3
SABCD
a
V
.
Hướng dẫn giải:
Gọi
M
là trung điểm của
AD
.
n
3
, , 60 .tan 60 6
11 4 6
.. . .
32 3
SAD ABCD SM ABCD SM BC
BC SMC BC SC
MC BC
SBC ABCD SC MC SCM SM MC a
a
VABCDADSM




3. Dạng 3: Khối chóp
đều
Ví dụ 1. Cho H là khối tứ diện đều cạnh
a
. Thể tích của H bằng bao nhiêu?
A.
3
2
6
a
. B.
3
3
12
a
. C.
3
2
12
a
. D.
3
3
4
a
.
Hướng dẫn giải:
M
M
B
C
D
A
S
D
C
A
B
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
BA
N KHÔNG THÊ
THAY
ĐÔ
I ĐI
CH ĐÊ
N NÊ
U
BA
N KHÔNG
ĐÔ
I THAY CON ĐƯƠ
NG
35
Gọi
G
là trọng tâm tam giác

SGCBAB A C
22
23
23 3 6
.
32 3 3
11362
.. . .
334312
ABC
aa a
AG SG SA AG
aa a
VSSG


Ví dụ 2. Cho hình chóp tam giác đều
.S ABC
có cạnh đáy bằng
a
, cạnh bên bằng
2a
. Tính thể tích của khối
chóp .S ABC .
A.
3
11
36
a
. B.
3
11
12
a
. C.
3
11
6
a
. D.
3
11
24
a
.
Hướng dẫn giải:
Gọi
G
là trọng tâm tam giác

SGCBAB A C
22
22 3
.
33
;2
33
33
3
33 1 11
.
44 3 12
ABC S ABC ABC
AB a
AG SA a
a
SG SA AG
AB a a
SVSSG



23
13 3
..
343 36
aaa
V
Ví dụ 3. Cho khối tứ diện đều ABCD có cạnh bằng
a
, M là trung điểm của CD . Tính thể tích hình chóp
.M ABC .
A.
3
.
3
24
MABC
a
V
. B.
3
.
3
16
MABC
a
V
. C.
3
.
3
12
MABC
a
V
. D.
3
.
3
8
MABC
a
V
.
Hướng dẫn giải:
G
A
C
B
S
G
A
C
B
S
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
BA
N KHÔNG THÊ
THAY
ĐÔ
I ĐI
CH ĐÊ
N NÊ
U
BA
N KHÔNG
ĐÔ
I THAY CON ĐƯƠ
NG
36
Gọi G là trọng tâm ABC . Kẻ MH DG
&
22
22 3
11 6
22 3
33 1 3
.
44 3 24
ABC ABC
DG ABC MH ABC
a
MH DG CD GC
AB a a
SVSMH



Ví dụ 4. Cho hình chóp tam giác đều
.S ABC
có cạnh đáy bằng
a
, cạnh bên bằng
2a
. Gọi I là trung điểm của
cạnh
BC
. Tính theo
a
thể tích của khối chóp
.S ABI
.
A.
3
.
41
24
SABC
a
V
. B.
3
.
11
24
SABC
a
V
. C.
3
.
31
24
SABC
a
V
. D.
3
.
21
24
SABC
a
V
.
Hướng dẫn giải:
Gọi
G
là trọng tâm tam giác

ABC SG ABC
2
22 2
3
..
333
33
111 11
.. .
223 24
S ABI S ABC ABC
AB a
SG SA AG SA
a
VV SSG






Ví dụ 5. Cho hình chóp tứ giác đều
.SABCD
tất cả các cạnh đều bằng
a
. Tính theo
a
thể tích của khối chóp
.SABCD
.
A.
3
2
2
a
V
. B.
3
2
3
a
V
. C.
3
2
4
a
V
. D.
3
2
6
a
V
.
Hướng dẫn giải:
M
G
B
C
A
D
H
G
I
B
S
C
A
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
BA
N KHÔNG THÊ
THAY
ĐÔ
I ĐI
CH ĐÊ
N NÊ
U
BA
N KHÔNG
ĐÔ
I THAY CON ĐƯƠ
NG
37
Gọi O là giao điểm của AC và BD
22
3
12 2
;
22 2
11 2
...
33 6
ABCD
SO ABCD
aa
AO AC SO SA AO
a
V S SO AB BC SO



Ví dụ 6. Cho hình chóp tứ giác đều
.SABCD
cạnh đáy bằng
a
, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60. Tính
theo
a
thể tích của khối chóp
.SABCD
.
A.
3
.
3
6
SABCD
a
V
. B.
2
.
6
6
SABCD
a
V
. C.
3
.
6
5
SABCD
a
V
. D.
2
.
6
5
SABCD
a
V
.
Hướng dẫn giải:
Gọi
O
là giao điểm của
AC
và
BD
,
M
là trung điểm của
CD
.
n
3
,
,,60
3
.tan 60
2
13
..
36
ABCD
OM CD SM CD
SCD ABCD OM SM SMO
a
SO OM
a
VSSO




Ví dụ 7. Cho một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng
a
và diện tích xung quanh gấp đôi diện tích đáy.
Khi đó thể tích của khối chóp là:
A.
3
3
3
a
. B.
3
3
12
a
. C.
3
3
6
a
. D.
3
2
3
a
.
Hướng dẫn giải:
O
B
A
D
C
S
O
M
B
S
C
A
D
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
BA
N KHÔNG THÊ
THAY
ĐÔ
I ĐI
CH ĐÊ
N NÊ
U
BA
N KHÔNG
ĐÔ
I THAY CON ĐƯƠ
NG
38
Gọi
O
là giao điểm của
AC
và
BD
,
M
là trung điểm của
CD
.
22
2
22
3
1
44...2.;
2
22.2
3
2
13
..
36
xq SCD d
xq d
ABCD
S S CD SM a SM S AB a
SS aSMaSMa
a
SO SM OM
a
VSSO

 


4. Dạng 4: Khối chóp
và phương pháp tỉ số thể tích
Ví dụ 1. Cho tứ diện
ABCD
. Gọi 'B và
'C
lần lượt là trung điểm của AB và
AC
. Khi đó tỉ số thể tích của
khối tứ diện
''AB C D
và khối tứ diện
ABCD
bằng:
A.
1
2
. B.
1
4
. C.
1
6
. D.
1
8
.
Hướng dẫn giải:
''
'' 1
..
4
AB C D
ABCD
V
AB AC AD
VABACAD

Ví dụ 2. Cho hình chóp tam giác
.S ABC
. Gọi
,AB

lần lượt là trung điểm của
SA
và
SB
. Mặt phẳng

ABC

chia hình chóp thành hai phần. Tỉ số thể tích của hai phần đó bằng:
A.
1
2
. B.
1
3
. C.
1
4
. D.
2
3
.
Hướng dẫn giải:
.'' .''
.''
'' 1 1
..
43
SABD SABD
S ABC ABCDA B
VV
SA SB SC
VSASBSCV

O
M
B
S
C
A
D
C'
B'
B
D
C
A
B'
A'
S
B
C
A
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
BA
N KHÔNG THÊ
THAY
ĐÔ
I ĐI
CH ĐÊ
N NÊ
U
BA
N KHÔNG
ĐÔ
I THAY CON ĐƯƠ
NG
39
Ví dụ 3. Cho hình chóp
.S ABC
có đáy là tam giác vuông cân tại B ,
2AC a
, cạnh bên
SA
vuông góc với
đáy,
SA a
. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Mặt phẳng
qua AG và song song với BC , cắt
,SC SB lần lượt tại ,MN. Tính thể tích của khối chóp
.SAMN
.
A.
3
.
9
SAMN
a
V
. B.
3
.
27
SAMN
a
V
. C.
3
.
2
27
SAMN
a
V
. D.
3
.
2
9
SAMN
a
V
.
Hướng dẫn giải:
Gọi
I là trung điểm của BC
.
.
3
..
2
2
3
4
.
9
4411 2
.. . .
9 932 27
SAMN
S ABC
SAMN SABC
AC a AB BC a
SM SN SG
BC MN BC
SB SC SI
V
SM SN
VSBSC
a
V V AB BC SA




&&
Ví dụ 4. Cho tam giác
ABC
vuông cân tại
A
, AB a . Trên đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng
ABC lấy điểm D sao cho
CD a
. Mặt phẳng qua C vuông góc với BD , cắt BD tại F và cắt
AD tại E . Tính theo
a
thể tích khối tứ diện
CDEF
.
A.
3
36
a
. B.
3
18
a
. C.
3
24
a
. D.
3
12
a
.
Hướng dẫn giải:
3
22
2
22 2
2
2
3
1
.
36
.1
.
2
1
:
3
11
.
6636
ABCD ABC
CDEF
CDEF ABCD
ABCD
a
VSCD
DE DA DC DE DC
DE DA DC
DA DA DA DA
DF DC
CMTT
DB DB
V
DE DF a
VV
VDADB




N
M
G
I
S
B
C
A
A
C
B
D
F
E
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
BA
N KHÔNG THÊ
THAY
ĐÔ
I ĐI
CH ĐÊ
N NÊ
U
BA
N KHÔNG
ĐÔ
I THAY CON ĐƯƠ
NG
40
Ví dụ 5. Cho hình chóp
.SABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
, cạnh bên
SA
vuông góc với mặt phẳng
đáy. Gọi M và
N
lần lượt là trung điểm của
SB
và
SD
. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp
.SAMN
và
.SABD
.
A.
1
4
. B.
3
4
. C.
1
2
. D.
1
5
.
Hướng dẫn giải:
.
.
1
..
4
SAMN
SABD
V
SA SM SN
VSASBSD

Ví dụ 6. Cho hình chóp
.SABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
. Gọi ', ', ', 'ABCD lần lượt là trung điểm
của ,,,SA SB SC SD . Khi đó tỉ số thể tích của hai khối chóp
.' ' ' 'SABC D
và
.SABCD
là:
A.
1
8
. B.
1
6
. C.
1
4
. D.
1
2
.
Hướng dẫn giải:
.''' .' ''
..
.''' .' '' .''' .' '' .''' '
.. .. .
' ' '1 ' ' '1
.. ; ..
88
1
8
SABC SADC
S ABC S ADC
SABC SADC SABC SADC SABCD
SABC SADC SABC SADC SABCD
VV
SA SB SC SA SD SC
V SA SB SC V SA SD SC
VVVVV
VV VV V


Ví dụ 7. Cho khối chóp tứ giác đều .S ABCD . Mặt phẳng
đi qua ,AB và trung điểm M của
SC
. Tỉ số
thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó là:
A.
1
4
. B.
3
8
. C.
5
8
. D.
3
5
.
Hướng dẫn giải:
N
M
B
S
C
D
A
C'
D'
B'
A'
B
A
D
C
S
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
BA
N KHÔNG THÊ
THAY
ĐÔ
I ĐI
CH ĐÊ
N NÊ
U
BA
N KHÔNG
ĐÔ
I THAY CON ĐƯƠ
NG
41
Kẻ
MN CD N CD
&
, suy ra hình thang
ABMN
là thiết diện của khối chóp.
.
...
.
...
.
..
.
....
.
.
1
;
2
11
24
11
.
48
11 3
48 8
53
85
SABM
S ABMN S ABM S AMN
SABC
SABM SABC SABCD
SAMN
SAMN SABCD
S ACD
S ABMN S ABCD S ABCD S ABCD
SABMN
ABMNDC S ABCD
ABMNDC
V
SM
VVV
VSC
VVV
V
SM SN
VV
VSCSD
VVVV
V
VV
V





Ví dụ 8. Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
a
, cạnh bên tạo với đáy góc
60
. Gọi M là trung điểm của SC . Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD cắt SB tại E và
cắt SD tại F . Tính theo
a
thể tích khối chóp .S AEMF .
A.
3
6
36
a
. B.
3
6
18
a
. C.
3
6
9
a
. D.
3
6
6
a
.
Hướng dẫn giải:
Gọi
ISOAM
3
.
.
...
.
3
... . .
61 6
.tan 60 .
236
111
.
336
16
2
318
S ABCD ABCD
S AMF
SAMF SACD SABCD
S ACD
S AEMF S AMF S AME S AMF S ABCD
AEMF BD EF BD
aa
SO OA V S SO
V
SM SF
VVV
VSCSD
a
VVV V V



&&
Ví dụ 9. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
a
, SA vuông góc với đáy, 2SA a .
Gọi ', 'BD lần lượt là hình chiếu của A lên ,SB SD . Mặt phẳng
''AB D cắt SC tại 'C . Tính theo
a
thể tích khối chóp .'''SABC D.
A.
3
22
9
a
. B.
3
2
9
a
. C.
3
22
27
a
. D.
3
2
18
a
.
Hướng dẫn giải:
N
M
O
B
C
D
A
S
F
E
I
M
O
A
D
C
B
S
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
BA
N KHÔNG THÊ
THAY
ĐÔ
I ĐI
CH ĐÊ
N NÊ
U
BA
N KHÔNG
ĐÔ
I THAY CON ĐƯƠ
NG
42
2
2
.''
.'' .
.
3
. ''' . '' . '' . '' .
'2'1
;
32
''1 1
.
33
222
2
39
SABC
SABC SABC
SABC
S AB C D S AB C S AC D S AB C S ABC
SB SA SC
SB SB SC
V
SB SC
VV
VSBSC
a
VVVV V



Ví dụ 10. Cho hình chóp tứ giác
.SABCD
có thể tích bằng
V
với đáy là hình bình hành. Gọi
'C
là trung điểm
cạnh
SC
. Mặt phẳng qua
'AC
và song song với BD cắt các cạnh ,SB SD lần lượt tại ', 'BD. Khi đó
thể tích của khối chóp
.' ' ' 'SABC D
bằng:
A.
3
V
. B.
2
3
V
. C.
4
V
. D.
2
V
.
Hướng dẫn giải:
Gọi
O
là giao điểm của
AC
và
BD
, gọi
I
là giao điểm của
SO
và
'
AC
.
Qua
I
kẻ
''BD
song song với
BD
. Khi đó mặt phẳng qua
'AC
và song song
với
BD
là mặt phẳng

'''AB C D
.
Ta dễ dàng nhận thấy rằng
I
là trọng tâm của tam giác
SAC
nên
2
3
SI
SO
Theo định lí Ta lét ta có
''2
3
SD SI SB
SD SO SB

''
''
''' '' ''
''211
.. 1..
32 3
''211
.. 1..
32 3
1
2
11
.2.
22 3
SAD C
SADC
SAB C
SABC
SADC SABC SABCD
SAD C B SAD C SAB C SABCD
V
SA SD SC
VSASDSC
V
SA SB SC
VSASBSC
VV V
V
VVV V




C'
B
S
A
D
C
B'
D'
D'
B'
I
O
C'
B
S
A
D
C
| 1/42
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
HÌNH KHÔNG GIAN THỂ TÍCH
TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO FULL
Giáo viên: Nguyễn Tiến Đạt HÌNH KHÔNG GIAN THỂ TÍCH
ÔN TẬP 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 9 – 10
1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông: Cho AB
C vuông ở A . Ta có: a) Định lý Pitago : 2 2 2
BC AB AC A b) 2 2
BA BH.BC;CA CH.CB c b c) .
AB AC BC.AH 1 1 1 d)   B C 2 2 2 AH AB AC H M a e) BC  2 AM b c b c f) sin B
,cos B  , tan B  ,cot B a a c b b b g) b  . a sin B  .
a cos C, c  . a sin C  .
a cos B, a   sin B cosC b  .t c an B  . c cot C
2. Hệ thức lượng trong tam giác thường
Định lý hàm số côsin: 2 2 2
a b c  2b . c cos A a b c Định lý hàm số sin:    2R sin A sin B sin C
3. Các công thức tính diện tích
a) Công thức tính diện tích tam giác 1 1 abc S a b c  . a h  . a bsin C   pr
p p a p b p c p   a     với  2 2 4R 2 1 Đặc biệt: AB
C vuông ở A : S A . B AC 2 2 a 3 AB
C đều cạnh ABC : S  4
b) Diện tích hình vuông: S  cạnh x cạnh
c) Diện tích hình chữ nhật: S  dài x rộng 1
d) Diện tích hình thoi: S  (chéo dài x chéo ngắn) 2
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 1 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan 1
e) Diện tích hình thang: S  (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao 2
f) Diện tích hình bình hành: S  đáy x chiều cao
g) Diện tích hình tròn: 2 S   R
ÔN TẬP 2: KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11 A. QUAN HỆ SONG SONG
§1.ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG 1. Định nghĩa
Đường thẳng và mặt phẳng gọi là a & PaP   a
song song với nhau nếu chúng
không có điểm nào chung. (P) 2.Các định lý:
Định lý 1: Nếu đường thẳng a a   a  
không nằm trên mặt phẳng  và b & a   a &  
song song với một đường thẳng b   bα
nào đó nằm trên  thì a song song với  .
Định lý 2: Nếu đường thẳng a
a & PQ
song song với mặt phẳng P thì  aa  (Q)  b & ab
mọi mặt phẳng Q chứa a mà   P
Q  b P cắt  
P thì cắt theo giao tuyến song song với a .
Định lý 3: Nếu hai mặt phẳng cắt 
PQ  b Q
nhau cùng song song với một  P & ab & a
đường thẳng thì giao tuyến của    b
chúng cũng song song với đường     Q & a P thẳng đó. a
§2.HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 1. Định nghĩa:
Hai mặt phẳng được gọi là song   P &   Q   P   Q  
song với nhau nếu chúng không có P điểm nào chung. Q
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 2 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan 2. Các định lý:
Định lý 1: Nếu mặt phẳng   P a,b    P   a
chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau a b I   
  P & Q P I b
và cùng song song với mặt phẳng 
a & Q,b & Q   Q thì   P và   Q song song Q với nhau.
Định lý 2: Nếu một đường thẳng P& Q a
nằm một trong hai mặt phẳng song
  a & Qa P  P
song thì song song với mặt phẳng    kia. Q
Định lý 3: Nếu hai mặt phẳng   P
P& Q  R  và  
Q song song thì mọi mặt RP  a  a & b  a phẳng   R đã cắt  
P thì phải cắt R  Q b P   
Q và các giao tuyến của chúng b Q song song. B. QUAN HỆ VUÔNG GÓC
§1.ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG 1. Định nghĩa:
Một đường thẳng được gọi là a   
P a c, c     P
vuông góc với một mặt phẳng nếu a
nó vuông góc với mọi đường thẳng
nằm trên mặt phẳng đó. P c 2. Các định lý:
Định lý 1: Nếu đường thẳng d d a , d b
vuông góc với hai đường thẳng cắt  d a ,b   P  
  d  P
nhau a và b cùng nằm trong mặt  ab  
phẳng P thì đường thẳng d  b
vuông góc với mặt phẳng P. P a
Định lý 3: (Ba đường vuông góc) a    P ,b    P
Cho đường thẳng a không vuông b ab a'
góc với mặt phẳng   P và đường
thẳng b nằm trong   P . Khi đó,
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 3 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
điều kiện cần và đủ để b vuông góc
với a là b vuông góc với hình
chiếu a ' của a trên   P .
§2.HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC 1. Định nghĩa:
Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900. 2. Các định lý:
Định lý 1: Nếu một mặt phẳng a  P Q
chứa một đường thẳng vuông góc
  Q  Pa Q  a
với một mặt phẳng khác thì hai mặt  
phẳng đó vuông góc với nhau. P
Định lý 2: Nếu hai mặt phẳng P   P    Q   P 
và Q vuông góc với nhau thì bất  
P Q  d   a   Q  a
cứ đường thẳng a nào nằm trong a  P,a d
P, vuông góc với giao tuyến của
P và Q đều vuông góc với d Q mặt phẳng Q.
Định lý 3: Nếu hai mặt phẳng P   P    Q  P
và Q vuông góc với nhau và A A P   
  a  P a
là một điểm trong P thì đường Aa  A 
thẳng a đi qua điểm A và vuông a  Q 
góc với Q sẽ nằm trong P Q
Định lý 4: Nếu hai mặt phẳng cắt PQ a
nhau và cùng vuông góc với mặt  Q P R  P    a R a
phẳng thứ ba thì giao tuyến của       
chúng vuông góc với mặt phẳng  
Q  R  thứ ba. R §3.KHOẢNG CÁCH
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 4 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng, đến 1 O mặt phẳng:
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng  
P ) là khoảng cách giữa hai điểm M O
và H , trong đó H là hình chiếu của điểm M trên H H
đường thẳng a ( hoặc trên mặt phẳng P) a P d  ;
O a  OH;d  ; O   P   OH
2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: a O
Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng   P
song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó
của a đến mặt phẳng   P . H P d a;  P   OH
3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:
là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng này O P đến mặt phẳng kia. d   
P ;Q  OH H Q
4.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: A
là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng a đó. d  ; a b AB b B §4.GÓC
1. Góc giữa hai đường thẳng a và b
là góc giữa hai đường thẳng a ' và b ' cùng đi qua một a a'
điểm và lần lượt cùng phương với a và b . b' b
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 5 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
2. Góc giữa đường thẳng a không vuông góc với a mặt phẳng P
là góc giữa a và hình chiếu a ' của nó trên mặt phẳng P.
Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng P thì ta a' P
nói rằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng   P là 90 .
3. Góc giữa hai mặt phẳng
là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm trong 2 mặt a b a b
phẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại 1 điểm P Q P Q
4. Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện tích của đa S
giác H trong mặt phẳng  
P và S ' là diện tích
hình chiếu H ' của H trên mặt phẳng P ' thì:
S '  S cos
trong đó  là góc giữa hai mặt phẳng P và P '. A M C B
ÔN TẬP 3: KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12
A. CÁC CÔNG THỨC THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN:
1. Thể tích khối lăng trụ:
V S.h Trong đó:
S : Diện tích đa giác đáy.
h : Đường cao của hình lăng trụ.
a) Thể tích khối hộp chữ nhật: A' D' V a. . b c
với a,b, c là ba kích thước B' C' A D B C
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 6 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
b) Thể tích khối lập phương: A' D' 3 V a B' C'
với a là độ dài cạnh A D B C 2. Thể tích khối chóp: 1 V S.h 3 Trong đó:
S : Diện tích đa giác đáy.
h : Đường cao của hình chóp.
3. Tỉ số thể tích tứ diện: S
Hai khối chóp S.ABC và S.MNP có chung đỉnh S
và các góc ở đỉnh S . Khi đó: M P V SM SN SP S.MNP  . . V SA SB SC S.ABC N A C B
4. Thể tích khối chóp cụt: A' B' h
V  B B' BB' C' 3  Trong đó:
B, B ' : Diện tích hai đáy. A B h : Chiều cao. C Chú ý:
1/ Đường chéo của hình vuông cạnh a là d a 2 ,
Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d a 3 ,
Đường chéo của hình hộp chữ nhật có ba kích thước a,b, c là 2 2 2
d a b c , a 3
2/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h  2
3/ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng nhau ( hoặc có đáy là đa giác đều,
hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy).
4/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 7 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan PHÂN DẠNG BÀI TẬP
A. LOẠI 1: THỂ TÍCH LĂNG TRỤ
1. Dạng 1: Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy
Ví dụ 1. Cho (H ) là khối lăng trụ đứng tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a . Thể tích của (H ) bằng: 3 a 3 a 3 3 a 3 3 a 2 A. . B. . C. . D. . 2 2 4 3 Hướng dẫn giải: 3 a 3 A' C' V S .AA' SBC  4 B' A C B
Ví dụ 2. Cho lăng trụ đứng ABC.A BC
  có AA  a , tam giác ABC đều cạnh a . Tính theo a thể tích của
khối lăng trụ ABC.A BC   . 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a A. V V V V ABC. A BC    . B. 12 ABC. A BC    . C. 8 ABC. A BC    . D. 4 ABC.A BC    . 6 Hướng dẫn giải: 2 3 a 3 a 3 A B S
, h AA'  a V S .h ABC  4 ABC 4 C A' B' C'
Ví dụ 3. Cho lăng trụ đứng ABC.A BC
  có đáy ABC là tam giác vuông, BA BC a , AA  a 2 . Tính theo
a thể tích của khối lăng trụ ABC.A BC   . 3 2.a 3 2.a 3 2.a 3 a A. V V V V ABC.A BC    . B. 3 ABC.A BC    . C. 2 ABC.A BC    . D. 4 ABC.A BC    . 3 Hướng dẫn giải:
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 8 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan 3 1 a 2 B' C' V A . B BC.AA'  2 2 A' B C A
Ví dụ 4. Lăng trụ đứng AB .
C A' B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại , A BC  2 ,
a AB a . Mặt bên  ’
BB C’C là hình vuông. Khi đó thể tı́ch lăng trụ là: 3 a 3 A. . B. 3 a 2 . C. 3 2a 3 . D. 3 a 3 . 3 Hướng dẫn giải:
Ta có: BB 'C 'C là hình vuông B' C'
h BB  2a  2 2
AC BC AB a 3 A' 2 1 a 3  SA . B AC ABC  2 2 B C 3 V BB .   Sa 3 ABC. ’ A B’C’ ABC A
Ví dụ 5. Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A' B 'C ' là tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh BC a 2
và biết A' B  3a . Tính thể tích khối lăng trụ. A. 3 a . B. 3 a 2 . C. 3 a 3 . D. 3 2a . Hướng dẫn giải:
ABC vuông cân tại A nên AB AC a A' C'
ABC.A' B 'C ' là lăng trụ đứng  AA'  AB B' 2 2  AA' 
A' B AB  2a 2 3  V  . B h S .AA'  a 2 ABC A C B
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 9 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
Ví dụ 6. Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A' B 'C ' là tam giác đều cạnh a  4 và biết diện tích tam giác
A' BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ. 8 2 8 A. . B. . C. 8 2 . D. 8 . 3 3 Hướng dẫn giải:
Gọi I là trung điểm BC .Ta có: A' C'ABC đều nên AB 3 AI
 2 3; AI BC A' I BC 2 B' 1 2SA' S
BC.A' I A' BC I   4 A' BC 2 BC
AA'  ABC AA'  AI 2 2 AA' A C
A' I AI  2 IVS .AA'  8 3
ABC.A' B 'C ' ABC B
Ví dụ 7. Cho lăng trụ tứ giác đều ABC .
D A' B 'C ' D ' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a . Tính thể tích khối lăng trụ này. A. 3 9a . B. 9 . C. 3 3a . D. 3 . Hướng dẫn giải: ABC .
D A' B 'C ' D ' là lăng trụ đứng nên 2 2
BD BD '  DD '  3a A' D' 3a
ABCD là hình vuông  AB  2 B' C' 2 9a
Suy ra B SABCD  4 A 3 DV . B h S .AA'  9a ABCD B C
Ví dụ 8. Cho hình hộp đứng AB . CD A BCD
  có đáy ABCD là hình vuông, tam giác A AC vuông cân và A C
  a . Tính theo a thể tích của khối hộp AB . CD A BCD  . 3 a 2 3 a 2 3 a 2 3 a 2 A. V V V V ABCD.A BCD    . B. 24 ABCD.A BCD    . C. 48 ABCD.A BCD    . D. 16 ABCD.A BCD    . 8 Hướng dẫn giải:
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 10 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan a a A A'C D
a AC AA'   AB  2 2 3 a 2 C BV S .AA' ABCD  8 A' D' B' C'
Ví dụ 9. Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng 60. Đường chéo lớn của đáy
bằng đường chéo nhỏ của hình hộp. Tính thể tích hình hộp . 3 a 6 3 a 3 3 a 6 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 2 2 6 6 Hướng dẫn giải: 2 a 3 A'
Ta có tam giác ABD đều nên BD D'a và S  2S ABCD ABD  2
Theo đề bài BD '  AC a 3 B' 3 a 6 C' 2 2
DD '  BD '  BD a 2  V S .DD ' ABCD  2 A D B C
Ví dụ 10. Một tấm bìa hình vuông có cạnh 44cm , người ta cắt bỏ đi ở mỗi góc tấm bìa một hình vuông cạnh
12cm rồi gấp lại thành một cái hộp chữ nhật không có nắp. Tính thể tích cái hộp này. A. 3 1200cm . B. 3 1600cm . C. 3 2400cm . D. 3 4800cm . Hướng dẫn giải:
Theo đề bài, ta có: AA'  BB '  CC '  DD '  12cm A' D'
nên ABCD là hình vuông.
AB  44 cm  24 cm  20 ; cm h  12 cm B' 3 C'V S .h  4800cm ABCD A D B C
2. Dạng 2: Lăng trụ đứng có góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 11 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
Ví dụ 1. Cho lăng trụ đứng AB . C A BC
  có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , BA BC a , A B  hợp
với mặt đáy một góc 60. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ AB . C A BC   . 3 a 3 A. V V . C. 3 V . D. 3 V .     5a 2     a     a 3 ABC. A BC    . B. 3 2 ABC.A B C ABC.A B C ABC.A B C Hướng dẫn giải:
AA'  ABC AA',ABC A'B, AB n  ABA '  60 A' C' 3 1 a 3  AA'  .
AB tan 60  a 3  V  . . AB BC.AA'  2 2 B' A C B
Ví dụ 2. Cho lăng trụ đứng ABC.A BC
  có đáy ABC là tam giác cân tại C , góc giữa BC và ABB A   bằng
60, AB AA  a . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A BC   . 3 15.a 3 18.a 3 15a 3 18a A. V V V V ABC.A BC    . B. 4 ABC.A BC    . C. 4 ABC.A BC    . D. 4 ABC.A BC    . 4 Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm của A' B ' . A' C'
C ' M  ABB ' ACM
 BC ',ABB' A '  BC ', BM n  MBC '  60 B' a 15 2 2
MC '  BB '  MB ' . tan 60  2 A C 2 3 a 15 a 15  S   V S .AA' A'B 'C ' A' B 'C '  4 4 B
Ví dụ 3. Cho lăng trụ đứng AB . C A BC
  có đáy ABC là tam giác vuông tại A , n
AC a, ACB  60 , góc giữa
BC và mặt phẳng AA CC
  bằng 30. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ AB . C A BC   . A. 3 V . B. 3 V . C. 3 V . D. 3 V .     a 5     2 2a     a 3     a 6 ABC.A B C ABC.A B C ABC.A B C ABC.A B C Hướng dẫn giải:
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 12 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
AC a AB a 3, BC  2a B' C'
AB  AA'C 'CA'
 BC ',AA'C 'C  BC ', AC  n
'  AC ' B  30 2 2
AC '  3a CC ' 
AC '  AC  2a 2 1 3  V A .
B AC.CC '  a 6 2 B C A
Ví dụ 4. Cho lăng trụ đứng AB . CD A BCD
  có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và đường chéo BD của
lăng trụ hợp với đáy ABCD một góc 30. Tính thể tích của khối lăng trụ AB . CD A BCD  . 3 a 3 3 a 2 3 a 6 A. V V V ABCD.A BCD    . B. 3 ABCD.A BCD    . C. 2 ABCD.A BCD    . D. Kết quả khác. 3 Hướng dẫn giải:
DD '  ABCDA D
 BD';ABCD  BD ', BD n  DBD '  30 C B a 6  DD '  . BD tan 30  3 3 a 6 A' D'V S .DD ' ABCD  3 B' C'
Ví dụ 5. Cho hình hộp đứng AB . CD A BCD
  có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và n 60o BAD  . Biết AB hợp
với đáy ABCD một góc 30. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ AB . CD A BCD  . 3 a 3 a 3 A. V V . C. 3 V . D. V      a      a 5 ABCD.A BCD    . B. 3 2 ABCD.A B C D ABCD.A B C D ABCD.A BCD    . 2 Hướng dẫn giải:
BB '  ABCDA D
 AB',ABCD  AB', AB n  BAB '  30 C B a 3  BB '  . AB tan 30  3 3 a A' D'V S .BB '  2S .BB ' ABCD ABD  2 B' C'
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 13 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
Ví dụ 6. Cho lăng trụ tứ giác đều AB . CD A BCD
  có cạnh đáy bằng a , góc giữa AC ' và mặt phẳng BCC B  
bằng 30. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ AB . CD A BCD  . 3 2a A. 3 V . B. 3 V . C. V V .     a     2a     2a ABC.A B C ABC.A B C ABC.A BC    . D. 3 2 ABC.A B C Hướng dẫn giải:
AB  BCC 'B ' A D
 AC ',BCC 'B '  AC ',BC  n
'  AC ' B  30 C BBC '  .
AB cot 30  a 3 2 2
BB '  BC '  B 'C '  a 2 A' D' 3  V S .BB '  a 2 ABCD B' C'
Ví dụ 7. Cho lăng trụ tứ giác đều AB . CD A BCD
  có cạnh đáy bằng a , đường chéo AC ' tạo với mặt bên BCC B
  một góc 0   45o  
. Khi đó, thể tích khối lăng trụ bằng: A. 3 2 a cot  1 . B. 3 a cot 2 . C. 3 2 a cot  1 . D. 3 2 a tan  1 . Hướng dẫn giải:
AB  BCC 'B ' A D
 AC ',BCC 'B '  AC ', BC  n
'  AC ' B   C B 2  BC '  A .
B cot  BB '  a cot  1 3 2 A' D'V S
.BB '  a cot  1 ABCD B' C'
3. Dạng 3: Lăng trụ đứng có góc giữa hai mặt phẳng
Ví dụ 1. Cho lăng trụ đứng . ABC A BC
  có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , BA BC a , A B  hợp
với mặt đáy một góc 60. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ . ABC A BC   . 3 a 3 A. V V . C. 3 V . D. 3 V .     5a 2     a     a 3 ABC.A BC    . B. 3 2 ABC.A B C ABC.A B C ABC.A B C Hướng dẫn giải:
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 14 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
AA'  ABC AA',ABC A'B, AB n  ABA '  60 A' C' 3 1 a 3  AA '  .
AB tan 60  a 3  V  . . AB BC.AA'  2 2 B' A C B
Ví dụ 2. Cho lăng trụ đứng ABC.A BC
  có đáy ABC là tam giác cân tại A , AC  2 , a n
CAB  120, góc giữa A B
C và mặt phẳng ABC bằng 45. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A BC   . A. 3 V . B. 3 V . C. 3 V . D. 3 V .     2a 3     3a     3a 3     a 3 ABC.A B C ABC.A B C ABC.A B C ABC.A B C Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm của BC . A' C'
AM AC.cos 60  a B' 2 2
BC AC AB  2A .
B AC.cos120  2a 3
A' M BC, AM BC  
A'BC,ABC  A'M, AM n  AMA'  45 A C 1 M 3
AA'  AM a V
BC.AM .AA'  a 3 2 B
Ví dụ 3. Cho lăng trụ đứng ABC.A' B 'C ' có đáy là tam giác đều cạnh a . Mặt phẳng AB 'C ' tạo với mặt đáy góc 0
60 . Tính theo a thể tích lăng trụ ABC.A' B 'C '. 3 3 3a 3 3 a 3 3 3a 3 A. a 3 V . B. V  . C. V  . D. V  . 2 4 8 8 Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm B 'C ' A C
A' M B 'C ' 0  60  
AB'C ',A'B'C ' AM, A'M n  AMA' B a 3 n 3a A' M
; AA'  A' M.tan AMA'  2 2 2 3 a 3 3a 3 S   V S .AA' 
A'B 'C ' 4 ABC 8 C' A' M B'
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 15 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
Ví dụ 4. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A BC
  có cạnh đáy bằng a . Góc giữa hai mặt phẳng A BC và
ABC bằng 30. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A BC   . 3 a 3 3 a 3 3 a 3 a 3 A. V V V V ABC.A BC    . B. 8 ABC.A BC    . C. 4 ABC.A BC    . D. 2 ABC.A BC    . 2 Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm của BC . A' C'
A' M BC, AM BC  
A'BC,ABC A'M, AM n
A' MA  30 B' 3 a a 3
AA'  AM .tan 30   V S .AA'  2 ABC 8 A C M B
Ví dụ 5. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A' B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B , BC a , mặt phẳng
A'BC tạo với đáy một góc 30 và tam giác A'BC có diện tích bằng 2 a
3 . Tính thể tích khối lăng
trụ ABC.A' B 'C ' . 3 a 3 3 3a 3 3 3a 3 3 3a 3 A. . B. . C. . D. . 8 4 8 2 Hướng dẫn giải: BC AB  A' C'
  BC A' B BC AA'
BC AB  ABC   B' BC
A' B A'BC     
BC  ABCA'BC  
ABC,A'BC AB, A'B n  ABA' A C 2 1 2.S 2.a 3 A' SA' . B BC A' BC B    2a 3 A'BC 2 BC a B n 0 n 0 AB A' .
B cos ABA'  2a 3.cos30  3 ; a AA'  A' .s
B in ABA'  2a 3.sin 30  a 3 3 1 1 3a 3 V  . B h S .AA'  .A .
B BC.AA'  .3 . a . a a 3
ABC.A'B'C ' ABC  2 2 2
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 16 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
Ví dụ 6. Cho lăng trụ tứ giác đều AB . CD A BCD
  có cạnh đáy bằng a , mặt phẳng BC '  D hợp với đáy AB
CD một góc 60. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ AB . CD A BCD  . 3 a 6 3 a 3 3 a 6 A. V V V ABCD.A BCD    . B. 6 ABCD.A BCD    . C. 2 ABCD.A BCD    . D. Kết quả khác. 2 Hướng dẫn giải:
Gọi I là trung điểm của BD . A' D'
AC BD,C ' I BD 
BC 'DABCD  BD B' C'  
BC 'D;ABCD AC,C 'I n  CIC '  60 1 a 2 a 6 A CI AC
CC '  CI.tan 60  D 2 2 2 3 I a 6  V S .CC ' B ABCDC 2
Ví dụ 7. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A' B 'C ' D ' . Mặt phẳng A'BC hợp với đáy ABCD một góc 0 60 ,
A'C hợp với đáy ABCD một góc 0
30 và AA'  a 3 . Tính theo a thể tích khối hộp. 3 2a 6 A. 3 V  2a 6 . B. V  . C. 3 V  2a 2 . D. 3 V a . 3 Hướng dẫn giải:
AA'  ABCDA' D' 0
 30  A'C,ABC
D   A'C, AC n  A'CA B' C' 0  60  
A'BC,ABCD A'B, A  n
B A' BA AA' AA' AB  n  a; AC  n  3a A tan A' BA tan A'CA D 2 2 2
BC AC AB  2a 2; S  . AB BC  2a 2 ABCD B C 3  VS .AA'  2a 6
ABCD.A' B 'C ' D' ABCD
4. Dạng 4: Khối lăng trụ xiên Ví dụ 1. Cho lăng trụ . ABC A BC
  có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Biết cạnh bên bằng a 3 và hợp với
đáy ABC một góc 60. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ . ABC A BC   . 3 a 3 3 3a 3 3 5a 3 A. V V V ABC.A BC    . B. 8 ABC.A BC    . C. 8 ABC.A BC    . D. Đáp án khác. 8 Hướng dẫn giải:
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 17 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
Kẻ A' H  ABCC' B'
 AA ABC  AA AH n ', ',
A ' AH  60 A' 3 3a 3a 3
A' H AA'.sin 60   V S .A' H  2 ABC 8 C B H A Ví dụ 2. Cho lăng trụ . ABC A BC
  có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , điểm A' cách đều ba điểm , A , B C .
Góc giữa AA' và ABC bằng 60. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ . ABC A BC   . 3 3a 4 3 a 3 3 a 3 3 5a 3 A. V V V V ABC.A BC    . B. 4 ABC.A BC    . C. 2 ABC.A BC    . D. 4 ABC.A BC    . 4 Hướng dẫn giải:
Gọi G là trọng tâm của ABC A 'G  ABCC' B'
 AA',ABC  AA', AG n  GAA '  60 3 a 3 A'
A'G AG. tan 60  a V S .A'G ABC  4 C G B A
Ví dụ 3. Cho lăng trụ ABC.A BC
  có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AC  2a ; cạnh bên AA  2a
. Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm cạnh AC . Tính thể tích V của
khối lăng trụ ABC.A BC   . 1 3 a 3 2a A. 3 V a . B. V  . C. 3 V a . D. V  . 2 3 3 Hướng dẫn giải:
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 18 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
Vì ABC là tam giác vuông cân tại B nên trung tuyến A' C' BH cũng là đường cao của nó và 1
HB HA HC AC a . 2 B' 2 2 2 2
A' H A' A AH  2a a a 1 A B 3 V
    A ' H S
A' H BH AC a ABC.A B C ABC 2 H C
Ví dụ 4. Cho lăng trụ ABC.A BC
  có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông góc của A' lên mặt
phẳng ABC trùng với tâm O của tam giác ABC . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ a 3 ABC.A BC
  , biết khoảng cách giữa AA' và BC là . 4 3 a 3 3 a 3 3 4a 3 A. V V V ABC.A BC    . B. 12 ABC.A BC    . C. 4 ABC.A BC    . D. Kết quả khác. 5 Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm của BC BC  AA'M C' B'
Gọi H là hình chiếu của M lên AA' a 3 n HM 1  HM d
 sin A' AO   A'AA',BC 8 AM 2 n n a
A' AO  30 A'O A .
O tan A' AO  3 M H C B 3 a 3  V S .A'O O ABC  12 A
Ví dụ 5. Cho lăng trụ ABC.A BC
  có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của A' trên
ABC là trung điểm của BC , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 30. Tính theo a thể tích của
khối lăng trụ ABC.A BC   . 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. V V V V ABC. A BC    . B. 4 ABC. A BC    . C. 3 ABC. A BC    . D. 12 ABC. A BC    . 8 Hướng dẫn giải:
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 19 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
Gọi M là trung điểm của BC C' B'
A' M  ABC
 AA',ABC  AA', AM n
A' AM  30 A' 3 a a 3
A' M AM . tan 30   V S .A' M  2 ABC 8 C M B A
Ví dụ 6. Cho lăng trụ ABC.A BC
  có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a . Hình chiếu vuông góc của A' trên
ABC là trung điểm của AB , góc giữa mặt phẳng AAC C
  và mặt đáy bằng 60. Tính theo a
thể tích của khối lăng trụ ABC.A BC   . 3 3a 3 A. 3 V . B. 3 V . C. V V .     a 3     3a 3     2a 3 ABC.A B C ABC.A B C ABC.A BC    . D. 3 2 ABC.A B C Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm của AB , kẻ MH AC C' B'
A' M  ABC  
ACC ' A ',ABC A'H,HM n
A' HM  60 A' 2 1 1 a 3 2 Sa 3; S
AC.MH S ABC AMC  2 2 ABC 2 a 3 3aMH
A' M MH. tan 60  C B 2 2 3 3a 3 H M V S .A' M ABC  2 A a 10
Ví dụ 7. Cho lăng trụ ABC.A BC   có  n AA
, AC a 2, BC a, ACB  135o . Hình chiếu vuông góc của 4
C lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm M của AB . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A BC   . 3 a 6 3 3a A. 3 V . B. V V V .     3a 3     a ABC.A B C ABC.A BC    . C. 8 ABC.A BC    . D. 3 8 ABC.A B C Hướng dẫn giải:
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 20 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan 2 2 n AB A' B'
AC BC  2AC.BC.cos ACB a 5 2 2 2 AC BC  2  AB aMC   C' 4 2 a 6 2 2
MC '  CC '  MC  4 A M B 3 1 a 6  V
AC.BC.sin135.MC '  2 8 C
Ví dụ 8. Cho lăng trụ ABC.A BC
  có độ dài cạnh bên bằng a , đáy ABC là tam giác vuông tại C , n 60o BAC
, góc giữa BB ' và ABC bằng 60. Hình chiếu vuông góc của B' lên ABC trùng với trọng tâm
của tam giác ABC . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A BC   . 3 27a 3 27a 3 73a 3 27a A. V V V V ABC.A BC    . B. 208 ABC.A BC    . C. 280 ABC.A BC    . D. 208 ABC.A BC    . 802 Hướng dẫn giải:
Gọi G là trọng tâm AB
C , M là trung điểm AC  B 'G  ABCA' B'
 BB',ABC  BB', BG n
B ' BG  60 a 3 a C'
B 'G BB '.sin 60 
, BG BB '.cos 60  2 2 AB AB 3 AC  . AB cos 60  , BC  . AB sin 60  2 2 A B 2 AB 3  S G ABC  8 M C 3 3a 2 2 2 AB BC  2  AC AB 13 3a BM BG     AB  2 4 4 4 13 2 3 9a 3 27aS   V S .B 'G ABC  104 ABC 208
Ví dụ 9. Cho hình hộp AB . CD A BCD
  có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  3, AD  7 . Hai mặt bên
ABB' A ' và ADD' A ' lần lượt tạo với đáy các góc 45 và 60. Tính theo thể tích của khối hộp AB . CD A BCD
  biết cạnh bên bằng 1. A. 1. B. 3. C. 6. D. 9. Hướng dẫn giải:
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 21 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
Kẻ A' H  ABCD, HM AB, HN AD A' D' n n
A' M AB, A' N AD A' MH  45 ,
A' NH  60
Đặt A' H x . Khi đó: B' 2 x 2x 3 C'  4x 2 2 A' N  
; AN AA'  A' N   HM sin 60 3 3 A N Mà HM  .
x cot 45  x M D 2 3  4x 3 Hx   x  3 7 B CVA . B A . D x  3
ABCD.A' B'C 'D '
Ví dụ 10. Cho lăng trụ ABC .
D A' B 'C ' D ' có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O và AB a, AD a 3 ; A'O
vuông góc với đáy ABCD. Cạnh bên AA' hợp với mặt đáy ABCD một góc 45. Tính theo a
thể tích khối lăng trụ đã cho. 3 a 3 3 a 3 3 a 6 A. V  . B. V  . C. V  . D. 3 V a 3 . 6 3 2 Hướng dẫn giải: 2 SA . B AD a 3 A' D' ABCD AC 2 2
AC AB AD  2a AO   a B' C' 2
A'O  ABCD
 45  AA', 
ABCD   AA',  n
AO A' AO A 3 D
A'O AO a VS
.A'O a 3
ABCD.A'B 'C 'D ' ABCD O B C
B. LOẠI 2: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
Một số hình chóp đặc biệt:
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 22 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
Hình chóp tam giác đều: S
Hình chóp tam giác đều:
‒ Đáy là tam giác đều.
‒ Các mặt bên là các tam giác cân.
Hình tứ diện đều:
‒ Đáy là tam giác đều.
‒ Các mặt bên là các tam giác đều. A C Cách vẽ: H
‒ Vẽ đáy ABC . I
‒ Vẽ trung tuyến AI . B
‒ Dựng trọng tâm H .
‒ Vẽ SH  ABC. Ta có:
‒ SH là chiều cao của hình chóp.
‒ Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: n SAH   .
‒ Góc giữa mặt bên và mặt đáy: n SIH   .
Hình chóp tứ giác đều: S
Hình chóp tứ giác đều: ‒ Đáy là hình vuông.
‒ Các mặt bên là các tam giác cân. Cách vẽ:
‒ Vẽ đáy ABCD .
‒ Dựng giao điểm H của hai đường chéo AC và BD .
‒ Vẽ SH  ABCD. A D Ta có:
‒ SH là chiều cao của hình chóp. O
‒ Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: n SAH B   . C
‒ Góc giữa mặt bên và mặt đáy: n SIH   .
Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy:
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 23 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
‒ SA  ABC. S
‒ Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy: n SBA   .
‒ Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy: n SCA   . A C B
‒ SA  ABCD. S
‒ Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy: n SBA   .
‒ Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy: n SCA   .
‒ Góc giữa cạnh bên SD và mặt đáy: n SDA   . A D B C Chú ý:
a) Đường chéo của hình vuông cạnh a là d a 2 .
Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d a 3 .
Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, , b c là 2 2 2
d a b c . a 3
b) Đường cao của tam giác đều cạnh a là h  . 2
c) Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng nhau ( hoặc có đáy là đa giác
đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy).
1. Dạng 1: Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC SB SC BC CA a . Hai mặt ABC và ASC cùng vuông góc với SB
C . Thể tích khối chóp S.ABC bằng: 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. V V V V S.ABC  . B.  . C.  . D.  . 12 S.ABC 2 S.ABC 6 S.ABC 3 Hướng dẫn giải:
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 24 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan AB C S BC ,AS C S
BC AC S BC A 3 1 a 3
SB SC BC SBC
đều V  .S .CA  3 SBC 12 B C S
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B , AB  ,
a AC a 3 , cạnh bên SA vuông góc
với mặt phẳng đáy, SA a 2 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC . 3 a 3 3 a 3 a 2 3 a 3 A. V VV V S.ABC  . B. . C.  . D.  . 3 S.ABc 3 S.ABM 3 S.ABM 2 Hướng dẫn giải: 3 1 1 a 2 2 S
BC AC AB a 2 V  . .A . B . BC SA  3 2 3 A C B
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy và SB  2a .
Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC . 3 a 3 a 3 a 3 a A. V V V V S.ABC  . B.  . C.  . D.  . 4 S.ABC 3 S.ABC 2 S.ABC 7 Hướng dẫn giải: 2 2 S
SA SB AB a 3 2 3 1 1 a 3 aV  .S .SA  . .a 3  3 ABC 3 4 4 A C B
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 25 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B , AC a . Biết bên SA vuông góc với đáy
và SB hợp với đáy một góc 60. Tính thể tích của khối chóp S.ABC . 3 a 6 3 a 3 3 a 6 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 8 8 24 24 Hướng dẫn giải:
SA  ABCDS
 SB,ABCD  SB, AB n  SBA  60 2 a 2 1 a AB BC  ; S  . AB BC  2 ABC 2 4 3 a 6 1 a 6 SA A . B tan 60   V S .SA  2 3 ABC 24 A C B
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Biết SA vuông góc với đáy ABC và
SBC hợp với đáy ABC một góc 60. Tính thể tích hình chóp. 3 a 3 3 a 3 3 3a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 8 4 8 2 Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm BC .Ta có: SABC đều nên
AM BC SA BC  
SBC,ABC n  SMA  60 3 3a 1 a 3
SA AM .tan 60  V S .SA  2 3 ABC 8 A C M B
Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy, góc BAC bằng 120. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC . 3 2.a 3 2.a 3 2.a 3 2.a A. V V V V S.ABC  . B.  . C.  . D.  . 36 S.ABC 12 S.ABC 6 S.ABC 3
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 26 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan Hướng dẫn giải:
SB SC AB AC A
BC cân tại A . S Có 2 2 2
BC AB AC  2.A . B . AC cos120 a 3 a 6 2 2
AB AC
; SA SB AB  3 3 3 1 1 a 2
V  . .AB.AC.sin120.SA  3 2 36 A C M B Ví dụ 7. Cho hình chóp .
S ABCD có đáy là hình chữ nhật, n
AB a 2, BC  ,
a SCA  60, cạnh bên SA vuông
góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp . S ABCD . A. 3 Va 2 . B. 3 Va 3 . C. 3 V  3a . D. 3 V  2a . S.ABCD S.ABCD S.ABCD S.ABCD Hướng dẫn giải: 2 2 n
AC AB BC ; SCA  60 S
SA AC. tan 60  3a 1 3  V  .A .
B BC.SA a 2 3 A D B C
Ví dụ 8. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABC D
và mặt bên SCD hợp với đáy một góc 60 . Tính thể tích hình chóp S.ABCD. 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. 3 a 3 . B. . C. . D. . 2 3 4 Hướng dẫn giải:
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 27 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
SA  ABCD;CD AD CD SD S  
SCD,ABCD n  SDA  60 SA A .t
D an 60  a 3 3 1 a 3  V S .SA  3 ABCD 3 A D B C Ví dụ 9. Cho hình chóp .
S ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy AB CD
. Biết góc giữa SC và mặt phẳng AB
CD bằng 60 . Tính thể tích khối chóp . S ABCD . 3 3a 3 2a 3 6a A. . B. 3 3a . C. . D. . 6 3 3 Hướng dẫn giải: 2 2
AC AB BC a 2 S
SA  ABCD SA AC
 SC,ABCD n  SCA  60
SA  tan60 SA AC tan60 a 6 A AC B 3 1 1 a 6 2  V S
.SA a .a 6  D C 3 ABCD 3 3 Ví dụ 10. Cho hình chóp .
S ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D , AD CD a, AB  3a , cạnh bên
SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa SC với mặt đáy bằng 45. Tính theo a thể tích của khối chóp . S ABCD . 3 a 2 3 2a 3 2a 2 3 a A. V VV VS.ABCD  . B. . C.  . D. . 3 S.ABCD 3 S.ABCD 3 S.ABCD 3 Hướng dẫn giải:
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 28 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan SA  AB
CD  SC,ABC
D   SC, AC n  SCA  45 S 2 2
SA AC AD CD a 2 3 1 1 2a 2
V  . .AB C D .A . D SA  3 2 3 A B D C
2. Dạng 2: Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B , n  2 ,  30o AC a ACB . Hình chiếu vuông góc
của S lên mặt đáy là trung điểm H của cạnh AC và SH a 2 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC . 3 a 6 3 a 6 3 a 6 3 a 6 A. V V V V S.ABC  . B.  . C.  . D.  . 17 S.ABC 3 S.ABC 5 S.ABC 6 Hướng dẫn giải: AB A .s
C in30 a BC a 3 S 3 1 1 a 6 V  . .A . B A . C SH  3 2 6 A H C B
Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều, BCD là tam giác vuông cân tại D , ABC  BCD
và AD hợp với BCD một góc 60. Tính thể tích của khối tứ diện ABCD. 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. V V V Va . ABCD  . B.  . C.  . D. 3 3 9 ABCD 6 ABCD 3 ABCD Hướng dẫn giải:
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 29 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
Gọi H là trung điểm của BC . A
Ta có tam giác ABC đều nên AH  BC D
ABC,BCD AH BCD
AH HD AH A .
D tan 60  a 3 a 3 2a 3 HD  . AD cot 60  ; BC  2HD  3 3 D C 3 1 a 3  V S .AH  3 BCD 9 H B
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A , SC  2a 5 . Hình chiếu vuông góc của
S lên AB
C là trung điểm M của cạnh AB , góc giữa đường thẳng SC với mặt phẳng đáy bằng
60 o . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC . 3 2a 15 3 a 15 3 2a 3 3a 15 A. V V VV S.ABC  . B.  . C. . D.  . 3 S.ABC 3 S.ABC 3 S.ABC 2 Hướng dẫn giải: S B M C A M B A C
SM  ABCSC ABC  SC CM n , ,  SCM  60
CM SC.cos 60  a 5; SM a 15 3 1 1 2a 15
Tam giác MAC vuông tại A AC  2a V  . .A . B A . C SM  3 2 3
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B , BC a . Mặt bên SAC vuông góc với
đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 45. Tính thể tích của khối chóp S.ABC . 3 a 3 a 3 3 a 3 3 a A. V V V V S .ABC  . B.  . C.  . D.  . 4 S.ABC 4 S.ABC 2 S .ABC 12 Hướng dẫn giải:
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 30 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
Kẻ SH BC . Gọi I, J lần lượt là hình chiếu của H S
trên AB và BC . 
SAC,ABC SH ABC n n
SI AB, SJ BC SIH SJH  45 SHI   SHJ   HI HJ
BH là đường phân giác của ABC H
H là trung điểm của AC . A C 3 a 1 a
HI HJ SH   VS .SH S .  2 ABC 3 ABC 12 I J B
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A , AB  , a SB
C ABC. Hai mặt bên còn
lại hợp với đáy một góc 60 o . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC . 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 7a 3 A. V V V V S.ABC  . B.  . C.  . D.  . 12 S.ABC 5 S.ABC 18 S.ABC 12 Hướng dẫn giải: S B H D B C H D E A A C E
Kẻ SH BC . Do S BC  
ABC SH AB C Kẻ n n HD  ,
AB HE AC SDH SEH  60
Do tam giác ABC vuông cân tại A nên a HD HE
H là trung điểm của BC 2 3 a 3 1 1 a 3  SH H .t D an60 V  . .A . B A . C SH  . 2 3 2 12
Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD . 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. 3 a 3 . 6 4 2
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 31 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan Hướng dẫn giải:
Gọi H là trung điểm của AB S
SAB đều  SH AB
SABABC
D SH  ABCD 3 AB 3 a 3 1 a 3 SH    V S .SH  2 2 3 ABCD 6 A D H B C Ví dụ 7. Cho hình chóp .
S ABCD có mặt bên SAB vuông góc với mặt phẳng đáy và tam giác SAB cân tại S .
Tính theo a thể tích của khối chóp .
S ABCD , biết rằng: đáy ABCD là hình vuông cạnh a , góc giữa mặt SB
D và mặt đáy bằng 60. 3 a 6 3 a 3 a 6 A. 3 Va 6 . B. V V  . D. V S.ABCD S.ABCD  . C.  . 5 S.ABCD 12 S.ABCD 12 Hướng dẫn giải: S A D M O A D N M N O B B C C
Gọi M là trung điểm của AB . SA B ABC
D SM ABC D
Gọi O là giao điểm của AC và BD , N là trung điểm của OB .
MN BD BD SMN BD SN SM BD    
SBD,ABCD  SN,MN n  SNM  60 3 a 6 1 a 6 2
SM MN.tan 60 
V  .AB .SM  4 3 12 Ví dụ 8. Cho hình chóp .
S ABCD có mặt bên SAB vuông góc với mặt phẳng đáy và tam giác SAB cân tại S .
Tính theo a thể tích của khối chóp .
S ABCD , biết rằng: đáy ABCD là hình chữ nhật, AB  ,
a AD a 2 , góc giữa mặt SAC và mặt đáy bằng 60.
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 32 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan 3 a 3 a 3 a 3 a A. V V V V S.ABCD  . B.  . C.  . D.  . 3 S.ABCD 6 S.ABCD 2 S.ABCD 8 Hướng dẫn giải: S A D N H M A D M H N B B C C
Gọi M là trung điểm của AB . SA B ABC
D SM ABC D
Kẻ BH vuông góc với AC , gọi N là trung điểm của AH MN AC
MN AC AC SMN AC SN SM AC    
SAC,ABCD SN,MN n  SNM  60 1 1 1 a 6 BH a 6    BH   MN   2 2 2 BH AB BC 3 2 6 3 a 2 1 a
SM MN.tan 60   V  .A . B . AD SM  2 3 3 Ví dụ 9. Cho hình chóp .
S ABCD có đáy là hình thoi, AB BC BD a , mặt bên SAB là tam giác đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích của khối chóp . S ABCD 3 a 3 5a 3 5a 3 11a A. V V V V S.ABCD  . B.  . C.  . D.  . 4 S.ABCD 6 S.ABCD 2 S.ABCD 8 Hướng dẫn giải: S A D A D M B C B C
Gọi M là trung điểm của AB .
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 33 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan SA B ABC
D SM ABC D 2 3 a 3 a 3 1 a SM  , S  2S  V  .S .SM  2 ABCD ABD 2 3 ABCD 4 Ví dụ 10. Cho hình chóp .
S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB  3 , a AD  2 , a CD a ,
tam giác SAD cân tại S , mặt phẳng SA
D vuông góc với đáy, góc giữa mặt phẳng SBC và mặt
đáy bằng 60. Tính thể tích của khối chóp . S ABCD . 3 4a 6 3 2a 6 3 5a 6 3 a 6 A. V V V V S.ABCD  . B.  . C.  . D.  . 3 S.ABCD 3 S.ABCD 3 S.ABCD 3 Hướng dẫn giải: S D C A B M M D C A B
Gọi M là trung điểm của AD .
SAD ABCD SM  ABCD SM BC  BC SMC BC SC MC BC    
SBC,ABCD  SC,MC n
SCM  60  SM MC. tan 60  a 6 3 1 1 4a 6
V  . .AB CD.AD.SM  3 2 3
3. Dạng 3: Khối chóp đều
Ví dụ 1. Cho H là khối tứ diện đều cạnh a . Thể tích của H bằng bao nhiêu? 3 a 2 3 a 3 3 a 2 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 6 12 12 4 Hướng dẫn giải:
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 34 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
Gọi G là trọng tâm tam giác C
AB SG  B AC S 2 a 3 a 3 a 6 2 2 AG  . 
SG SA AG  3 2 3 3 2 3 1 1 a 3 a 6 a 2  V  .S .SG  . .  3 ABC 3 4 3 12 A C G B
Ví dụ 2. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích của khối chóp S.ABC . 3 a 11 3 a 11 3 a 11 3 a 11 A. . B. . C. . D. . 36 12 6 24 Hướng dẫn giải:
Gọi G là trọng tâm tam giác C
AB SG  B AC S AB 3 a 3 AG   ; SA  2a 3 3 a 33 2 2
SG SA AG  3 2 2 3 AB 3 a 3 1 a 11 S    VS .SG A C ABC S.  4 4 ABC 3 ABC 12 2 3 1 a 3 a a 3 GV  . .  3 4 3 36 B
Ví dụ 3. Cho khối tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a , M là trung điểm của CD . Tính thể tích hình chóp M .ABC . 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. V V V V M .ABC  . B.  . C.  . D.  . 24 M .ABC 16 M .ABC 12 M .ABC 8 Hướng dẫn giải:
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 35 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
Gọi G là trọng tâm ABC . Kẻ MH & DG D
DG  ABC MH ABC 1 1 a 6 2 2 MH MDG CD GC  2 2 3 2 2 3 AB 3 a 3 1 a 3 S    V S .MH ABCA C 4 4 3 ABC 24 H G B
Ví dụ 4. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a. Gọi I là trung điểm của
cạnh BC . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABI . 3 a 41 3 a 11 3 a 31 3 a 21 A. V V V V S.ABC  . B.  . C.  . D.  . 24 S.ABC 24 S.ABC 24 S.ABC 24 Hướng dẫn giải:
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC SG   ABC S 2  AB 3  a 33 2 2 2 SG SA AG SA          3  3   3 1 1 1 a 11  VV  . .S .SG S.ABI S.  2 ABC 2 3 ABC 24 A C G I B
Ví dụ 5. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD tất cả các cạnh đều bằng a . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD . 3 a 2 3 a 2 3 a 2 3 a 2 A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 2 3 4 6 Hướng dẫn giải:
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 36 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
Gọi O là giao điểm của AC và BD S
SO  AB CD 1 a 2 a 2 2 2 AO AC
; SO SA AO  2 2 2 3 1 1 a 2 V S .SO  . AB BC.SO  3 ABCD 3 6 A D O B C
Ví dụ 6. Cho hình chóp tứ giác đều .
S ABCD cạnh đáy bằng a , góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60. Tính
theo a thể tích của khối chóp . S ABCD . 3 a 3 2 a 6 3 a 6 2 a 6 A. V V V V S.ABCD  . B.  . C.  . D.  . 6 S.ABCD 6 S.ABCD 5 S.ABCD 5 Hướng dẫn giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD , M là trung điểm của CD . S
OM CD, SM CD  
SCD,ABCD  OM,SM n  SMO  60 a 3
SO OM .tan 60  2 A 3 D 1 a 3  V  .S .SO  3 ABCD 6 O M B C
Ví dụ 7. Cho một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và diện tích xung quanh gấp đôi diện tích đáy.
Khi đó thể tích của khối chóp là: 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 2 A. . B. . C. . D. . 3 12 6 3 Hướng dẫn giải:
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 37 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
Gọi O là giao điểm của AC và BD , M là trung điểm của CD . S 1 2 2 S  4S  4. . . CD SM  2 .
a SM ; S AB a xq SCD 2 d 2 S  2S  2 .
a SM  2a SM a xq d A a 3 2 2
SO SM OM D 2 O M B 3 1 a 3 C V  .S .SO  3 ABCD 6
4. Dạng 4: Khối chóp và phương pháp tỉ số thể tích
Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD . Gọi B ' và C ' lần lượt là trung điểm của AB và AC . Khi đó tỉ số thể tích của
khối tứ diện AB 'C ' D và khối tứ diện ABCD bằng: A. 1 . B. 1 . C. 1 . D. 1 . 2 4 6 8 Hướng dẫn giải: V
AB' AC' AD 1 AB'C'D A  . .  V AB AC AD 4 ABCD B' C' B D C
Ví dụ 2. Cho hình chóp tam giác S.ABC . Gọi A , B lần lượt là trung điểm của SA và SB. Mặt phẳng A B    C
chia hình chóp thành hai phần. Tỉ số thể tích của hai phần đó bằng: A. 1 . B. 1 . C. 1 . D. 2 . 2 3 4 3 Hướng dẫn giải: V
SA' SB' SC 1 V 1
S.A'B'D S.A'B' S  . . D    V SA SB SC 4 V 3 S.ABC ABCDA'B' A' B' A C B
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 38 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B , AC a 2 , cạnh bên SA vuông góc với
đáy, SA a . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Mặt phẳng  qua AG và song song với BC , cắt
SC, SB lần lượt tại M , N . Tính thể tích của khối chóp S.AMN . 3 a 3 a 3 2a 3 2a A. V V V V S.AMN  . B.  . C.  . D.  . 9 S.AMN 27 S.AMN 27 S.AMN 9 Hướng dẫn giải:
Gọi I là trung điểm của BC S
AC a 2  AB BC a SM SN SG 2
& BC MN & BC     SB SC SI 3 N V SM SN 4 S. AMN   .  G V SB SC 9 S.ABC A C 3 4 4 1 1 2a MVV  . . A . B BC.SA S.AMN S.  9 ABC 9 3 2 27 I B
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC vuông cân tại A , AB a . Trên đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng
ABC lấy điểm D sao cho CD a. Mặt phẳng qua C vuông góc với BD , cắt BD tại F và cắt
AD tại E . Tính theo a thể tích khối tứ diện CDEF . 3 a 3 a 3 a 3 a A. . B. . C. . D. . 36 18 24 12 Hướng dẫn giải: 3 1 a V DS .CD ABCD  3 ABC 6 2 2 DE.DA DC DE DC 1 2
DE.DA DC      2 2 2 DA DA DA DA 2 E 2 DF DC 1 CMTT :   2 DB DB 3 F 3 V DE DF 1 1 a CDEF   .   VVA C V DA DB 6 CDEF 6 ABCD 36 ABCD B
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 39 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan Ví dụ 5. Cho hình chóp .
S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng
đáy. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SB và SD . Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.AMN và . S ABD . A. 1 . B. 3 . C. 1 . D. 1 . 4 4 2 5 Hướng dẫn giải: V SA SM SN 1 S S.AMN  . .  V SA SB SD 4 S.ABD N M A D B C Ví dụ 6. Cho hình chóp .
S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Gọi A', B',C', D' lần lượt là trung điểm của , SA , SB ,
SC SD. Khi đó tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A' B 'C ' D ' và . S ABCD là: A. 1 . B. 1 . C. 1 . D. 1 . 8 6 4 2 Hướng dẫn giải: S A' D' B' C' A D B C V
SA' SB' SC ' 1 V
SA' SD' SC ' 1
S.A'B'C '
S.A'D'C '  . .  ;  . .  V SA SB SC 8 V SA SD SC 8 S.ABC S.ADC V V VV V 1
S.A'B'C '
S.A'D'C '
S.A'B'C '
S.A'D'C '
S.A'B'C 'D'      V V VV V 8 S.ABC S.ADC S.ABC S.ADC S.ABCD
Ví dụ 7. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD . Mặt phẳng  đi qua ,
A B và trung điểm M của SC . Tỉ số
thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó là: 1 3 5 3 A. . B. . C. . D. . 4 8 8 5 Hướng dẫn giải:
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 40 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
Kẻ MN & CDN CD, suy ra hình thang ABMN S
là thiết diện của khối chóp. V SM 1 S. VVV ; ABM S.ABMN S.ABM S.AMN   V SC 2 S.ABC N 1 1  VVV S.ABM S .ABC S. 2 4 ABCD M V SM SN 1 1 A S.AMN  .   VV D S.AMN S. V SC SD 4 8 ABCD S.ACD 1 1 3 OVVVV S.ABMN S.ABCD S .ABCD S . 4 8 8 ABCD B C 5 V 3 S.ABMNVV ABMNDC S .   8 ABCD V 5 ABMNDC
Ví dụ 8. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên tạo với đáy góc
60. Gọi M là trung điểm của SC . Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD cắt SB tại E và
cắt SD tại F . Tính theo a thể tích khối chóp S.AEMF . 3 a 6 3 a 6 3 a 6 3 a 6 A. . B. . C. . D. . 36 18 9 6 Hướng dẫn giải:
Gọi I SO AM S
AEMF& BD EF & BD 3 a 6 1 a 6 SO O . A tan 60   VS .SO S.  M 2 ABCD 3 ABCD 6 E V SM SF 1 1 1 I S.AMF  .   VVV S.AMF S.ACD S. V SC SD 3 3 6 ABCD B S.ACD F C 3 1 a 6 VVV  2VV S.AEMF S.AMF S .AME S.AMF S.  3 ABCD 18 O A D
Ví dụ 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy, SA a 2 .
Gọi B ', D ' lần lượt là hình chiếu của A lên ,
SB SD . Mặt phẳng AB'D ' cắt SC tại C '. Tính theo
a thể tích khối chóp S.AB 'C ' D '. 3 2a 2 3 a 2 3 2a 2 3 a 2 A. . B. . C. . D. . 9 9 27 18 Hướng dẫn giải:
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 41 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG
http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan 2 SB ' SA 2 SC ' 1 S   ;  2 SB SB 3 SC 2 V SB ' SC ' 1 1
S.AB 'C '  .   VV S.AB 'C ' S. V SB SC 3 3 ABC S.ABC D' 3 C' 2 2a 2 VVV  2VV
S.AB 'C 'D ' S.AB 'C ' S.AC 'D' S.AB 'C ' S.  3 ABC 9 B' A D B C
Ví dụ 10. Cho hình chóp tứ giác .
S ABCD có thể tích bằng V với đáy là hình bình hành. Gọi C ' là trung điểm
cạnh SC . Mặt phẳng qua AC' và song song với BD cắt các cạnh ,
SB SD lần lượt tại B', D' . Khi đó
thể tích của khối chóp S.A' B 'C ' D ' bằng: A. V . B. 2V . C. V . D. V . 3 3 4 2 Hướng dẫn giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD , gọi I là giao điểm của SO và AC'. S
Qua I kẻ B' D' song song với BD . Khi đó mặt phẳng qua AC' và song song
với BD là mặt phẳng AB'C'D '. C' D'
Ta dễ dàng nhận thấy rằng I là trọng tâm của tam giác SAC nên SI 2  SO 3 B' I
Theo định lí Ta lét ta có SD ' SI SB ' 2    A D SD SO SB 3 O V SA SD' SC ' 2 1 1 B C SAD'C '  . .  1. .  V SA SD SC 3 2 3 SADC V SA SB' SC ' 2 1 1 SAB'C '  . .  1. .  V SA SB SC 3 2 3 SABC 1 VVV SADC SABC 2 SABCD 1 1 VVVV  .2. V SAD'C 'B' SAD'C ' SAB'C '  2 2 SABCD 3
BẠN KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠN KHÔNG 42 ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG