Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao – Phạm Minh Tuấn Toán 12

Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao – Phạm Minh Tuấn Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

31 16 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 4: Số phức

Môn: Toán 12

Thông tin:

27 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn
1z
. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của biểu thức
2
11P z z z
. Tính giá trị của M.n
A.
13 3
4
B.
39
4
C.
33
D.
13
4
Cách 1:
Re( )z
là phần thực của số phức z, Im(z) là phần ảo của số phức z,
1 . 1 z z z
Đặt
, ta có:
0 1 1 1 2 0;2z z z t


2
2
2
1 1 1 . 2 2Re( ) Re( )
2
t
t z z z z z z z z
2 2 2
1 . 1 3z z z z z z z z z t
Xét hàm số:
2
3 , 0;2f t t t t

. Xét 2 TH:
13
4
Maxf t
;
3Minf t
13 3
.
4
Mn
Cách 2:
cos sinz r x i x a bi
Do
2
22
.1
1
1
z z z
z
r a b


2 2cos 2cos 1P x x
, đặt
cos 1;1tx
2 2 2 1f t t t
TH1:
1
1;
2
t




13
1
' 2 0
1
3
22
2
maxf t f
ft
minf t f
t




TH1:
1
;1
2



t
1 7 7 13
' 2 0
8 8 4
22
f t t maxf t f
t



13
4
Maxf t
;
3Minf t
13 3
.
4
Mn
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com
Bài 2: Cho số phức z thỏa mãn
3 4 5zi
. Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của biểu thức
22
2P z z i
. Tính module số phức
w M mi
.
A.
2 314w
B.
1258w
C.
3 137w
D.
2 309w
Cách 1:
43
4 2 3
2
Px
P x y y

2
2 2 2
43
3 4 5 3 4 5 3 4 5
2
Px
z i x y x f x




' 8 3 8 4 11 0 0,2 1,6 0,1 1,7f x x P x x P y P
Thay vào
fx
ta được:
22
33
0,2 1,6 3 0,1 1,7 4 5 0
13
P
PP
P
Cách 2:
22
3 4 5 3 4 5:z i x y C
( ):4 2 3 0x y P
Tìm P sao cho đường thẳng
và đường tròn
C
có điểm chung
; 23 10 13 33d I R P P
Vậy
33MaxP
;
13MinP
33 13 1258w i w
Bài 3: Cho số phức z thỏa mãn
1z
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1 2 1P z z
.
A.
max
25P
B.
max
2 10P
C.
max
35P
D.
max
32P
Giải: Theo BĐT Bunhiacopxki:
2 2 2
22
1 2 1 1 2 1 1 10 1 2 5P z z z z z
Bài 4: Cho số phức
z x yi
,x y R
thỏa mãn
2 4 2z i z i
và
m min z
. Tính
module số phức
w m x y i
.
A.
23w
B.
32w
C.
5w
D.
26w
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com
Cách 1:
2 4 2 4z i z i x y
2
2
22
4
22
22
xy
z x y
22min z
, Dấu “=” xảy ra khi
42
w 2 2 4 w 2 6
2
x y x
i
x y y




Chú ý: Với mọi x, y là số thực ta có:
2
22
2
xy
xy

Dấu “=” xảy ra khi
xy
Cách 2:
2 4 2 4z i z i y x
22
2 2 2
4 2 2 8 2 2z x y x x x
22min z
. Dấu “=” xảy ra khi
42
w 2 2 4 w 2 6
22
x y x
i
xy




Bài 5: Cho số phức
z x yi
,x y R
thỏa mãn
12z i z i
. Tìm môđun nhỏ nhất
của z.
A.
2min z
B.
1min z
C.
0min z
D.
1
2
min z
Cách 1:
1 2 1z i z i x y
2
22
1
22
xy
xy
22
11
2
2
z x y
Chú ý: Với mọi x, y là số thực ta có:
2
22
2
xy
xy

Cách 2:
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com
1 2 1z i z i y x
2
2
2 2 2
1 1 1 1
12
2 2 2
2
z x y x x x



Vậy
1
2
min z
Bài 6: Cho số phức
z
thỏa mãn
1z
. Gọi M và m là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
biểu thức
3
3P z z z z z
. Tính
Mm
A.
7
4
B.
13
4
C.
3
4
D.
15
4
Sáng tác: Phạm Minh Tuấn
Cách 1:
Ta có
2
1 . 1 z z z
Đặt
22
2 2 2
0;2 2 . 2 t z z t z z z z z z z z z z
2
3 2 2 2
3 3 1 1 z z z z z z t t
2
2
1 3 3
1
2 4 4



P t t t
Vậy
3
4
minP
;
3maxP
khi
2t
15
4
Mn
Cách 2: Cách này của bạn Trịnh Văn Thoại
3
2
2
32
3
3 3 1

z z z
P z z z z z z z z z z z z z z z
z
2
3
1
4
P z z z z
. Đến đây các bạn tự tìm max nhé
Bài 7: Cho các số phức
, , ,a b c z
thỏa
2
0az bz c
0a
. Gọi
1
z
và
2
z
lần lượt là hai
nghiệm của phương trình bậc hai đã cho. Tính giá trị của biểu thức
2
22
1 2 1 2 1 1
2P z z z z z z
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com
A.
2
c
P
a
C.
4
c
P
a
B.
c
P
a
D.
1
.
2
c
P
a
Giải:
Ta có :
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
22 z z z z z z z z z z z z z z
Khi đó
12
4P z z
Ta lại có:
1 2 1 2
44
cc
z z P z z
aa
Bài 8: Cho 3 số phức
1 2 3
,,z z z
thỏa mãn
1 2 3
0z z z
và
1 2 3
1z z z
. Mệnh đề nào
dưới đây đúng?
A.
2 2 2
1 2 2 3 3 1
z z z z z z
là số thuần ảo
B.
2 2 2
1 2 2 3 3 1
z z z z z z
là số nguyên tố
C.
2 2 2
1 2 2 3 3 1
z z z z z z
là số thực âm
D.
2 2 2
1 2 2 3 3 1
z z z z z z
là số 1
Chứng minh công thức:
2 2 2 2 2 2 2
1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 2 3
z z z z z z z z z z z z
Ta có:
2
.z z z
và
1 2 1 2
... ...
nn
z z z z z z
. Áp dụng tính chất này ta có
vế trái:
1 2 1 2 2 3 2 3 3 1 3 1
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 2 2 1 2 3 3 2 3 1 1 3
2 2 2
1 2 3 1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
z z z z z z z z z z z z
z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z
z z z z z z z z z z z z z z z
z z z z z z z z z
z z z z z z
Áp dụng công thức đã chứng minh suy ra:
2 2 2
1 2 2 3 3 1
3z z z z z z
là số
nguyến số
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com
Bài 9: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn hai điều kiện
1z
và
1
zz
z
z

?
A . 5 B. 6 C. 7 D. 8
Giải:
Ta có:
2
1.z z z
Đặt
2
cos sin , 0;2 cos2 sin2
z x i x x z x i x
2
2
1
cos2
2
1 1 2 cos2 1
1
.
cos2
2

x
z z z z
x
z
z z z
x
Giải 2 phương trình lượng giác trên với
0;2
x
nên ta chọn được các giá trị
5 7 11 2 4 5
; ; ; ; ; ; ;
6 6 6 6 3 3 3 3



x
Vậy có 8 số phức thỏa 2 điều kiện đề cho
Bài 10: Cho các số phức
1 2 3
,,z z z
thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
1 2 3
1999z z z
và
1 2 3
0z z z
. Tính
1 2 2 3 3 1
1 2 3
z z z z z z
P
z z z


.
A.
1999P
999,5P
B.
2
1999P
5997P
Giải
2
1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1
1 2 3
1 2 3
. . .z z z z z z z z z z z z
P
z z z
z z z









Mặc khác:
2
1
1
2
2
1 2 3 1 1 2 2 3 3 2
2
2
3
3
1999
1999
1999 1999
1999
z
z
z z z z z z z z z z
z
z
z
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com
Suy ra
2 2 2 2 2 2
22
1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1
222
1 2 3
1 2 3
1999 1999 1999 1999 1999 1999
...
1999
1999 1999 1999
z z z z z z z z z z z z
P
z z z
z z z














1999P
Tổng quát:
1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3
z z z k z z z z z z k z z z
Bài 11: Cho số phức
z
thỏa mãn
3 3 2
1 2 3
1 2 2
i
zi
i
. Gọi M và m lần lượt là giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
33P z i
. Tính
.Mm
A)
. 25Mn
B)
. 20Mn
C)
. 24Mn
D)
. 30Mn
Dạng tổng quát: Cho số phức
z
thỏa mãn
12
z z z r
. Tính Min, Max của
3
zz
. Ta có
22
33
11
11
;
zz
rr
Max z Min z
zz
zz
Áp dụng Công thức trên với
1 2 3
3 3 2
; 1 2 , 3 3 ; 3
1 2 2
i
z z i z i r
i
ta được
6; 4Max Min
Bài tập áp dụng:
1) Cho số phức
z
thỏa mãn
2 2 1zi
. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của
z
. Tính
.Mm
A)
.7Mn
B)
.5Mn
C)
.2Mn
D)
.4Mn
2) Cho số phức
z
thỏa mãn
12
21
1
i
z
i

. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của
zi
. Tính
.Mm
A)
1
.
5
Mn
B)
1
.
3
Mn
C)
1
.
10
Mn
D)
1
.
4
Mn
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com
3) Cho số phức
z
thỏa mãn
4 1 4
2
nn
z
ii
i

với
n
. Gọi M và m lần lượt là giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
3zi
. Tính
.Mm
A)
. 20Mn
B)
. 15Mn
C)
. 24Mn
D)
. 30Mn
Bài 12: Cho số phức z thỏa mãn
1 1 4zz
. Gọi
m min z
và
M max z
, khi
đó
.Mn
bằng:
A.
2
B.
23
C.
23
3
3
Giải:
Dạng Tổng quát:
1 2 1 2
z z z z z z k
với
12
;;z a bi z c di z x yi
Ta có:
2
2
2
1
4
2
kz
Min z
z
và
1
2
k
Max z
z
Chứng minh công thức:
Ta có:
1 2 1 2 1 2 1 2 1
1
2
2
k
k z z z z z z z z z z z z z z z
z
. Suy ra
1
2
k
Max z
z
Mặc khác:
2 2 2 2
1 2 1 2
z z z z z z k ax by c ay bx d ax by c ay bx d k
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
2 2 2 2
1. 1.k ax by c ay bx d ax by c ay bx d
2 2 2 2
22
2 2 2 2 2 2
11
44
ax by c ay bx d ax by c ay bx d
a b x y c d



-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com
Suy ra
2
2 2 2
2
2
22
22
1
4
4
2
4
k c d
kz
z x y
z
ab

ADCT trên ta có:
2
12
44
3
2
1; 1; 4
4
2
2
m
z z k
M


Bài 13: Cho số phức z thỏa mãn
22
4
11
iz iz
ii

. Gọi
m min z
và
M max z
, khi đó
.Mn
bằng:
A.
2
B.
22
C.
23
D. 1
ADCT Câu 12 ta có:
12
2
2
; ; 4
1
2
m
z i z k
i
M
Bài 14: Cho các số phức
1 2 3
,,z z z
thỏa mãn
1 2 3
13
22
z z z i
. Tính giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
2 2 2
1 2 3
P z z z
.
A.
min
1P
C.
min
3P
B.
min
1
3
P
D.
min
2P
Giải:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
2 2 2
3
1 2 3
3 . .P z z z
Mặc Khác:
1 2 3 1 2 3 1 2 3
13
11
22
z z z i z z z z z z
Suy ra
3P
. Dấu “=” xảy ra khi
1 2 3
1z z z
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com
Bài 15: Cho số phức
z x yi
với x, y là các số thực không âm thỏa mãn

3
1
12
z
zi
và biểu thức
22
22
11P z z i z z z i z i





. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của P lần lượt là:
A. 0 và
1
C. 3 và 0
B. 3 và
1
D. 2 và 0
Giải:
3
1 3 1 2 1
12
z
z z i x y
zi

22
16 8P x y xy
, Đặt
t xy
2
1
0
24
xy
t


2
1
16 8 , 0; 0; 1
4
P t t t MaxP MinP



Bài 16: Cho các số phức
z
thỏa mãn
1z
. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
23
1 1 1P z z z
.
A.
min
1P
C.
min
3P
B.
min
4P
D.
min
2P
Giải:
Ta có:
11zz
2 3 2 3 2 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2P z z z z z z z z z z z
Bài 17: Cho số phức z thỏa mãn
6
1
23
zi
iz
. Tìm giá trị lớn nhất của
z
.
A.
1
2
max z
C.
1
3
max z
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com
B.
3
4
max z
D.
1max z
Giải:
22
2
6
1 6 2 3 6 2 3
23
6 6 2 3 2 3 6 6 2 3 2 3
1 1 1
.
9 9 3
zi
z i iz z i iz
iz
z i z i iz iz z i z i iz iz
z z z z
Bài 18: Cho
,,z a bi a b
thỏa
2
42zz
và
22
8 12P b a
. Mệnh đề nào sau
đây đúng?
A.
2
2
2Pz
C.
2
2Pz
B.
2
2
4Pz
D.
2
4Pz
Giải:
2
2
2 2 2 2 2
4 2 4 2 4 0z z a b ab a b
Chuẩn hóa
42
0 4 16 0 1 3 1 3 4b a a a i z i P
Thử đáp án: - ĐÁP ÁN A:
2
2
1 3 2 4Pi



Nhận
Bài 19: Cho số phức z thỏa mãn
2 3 1zi
. Gọi
1M ma x z i
,
1m min z i
.
Tính giá trị của biểu thức
22
Mn
.
A.
22
28Mm
C.
22
26Mm
B.
22
24Mm
D.
22
20Mm
Giải:
22
2 3 1 2 3 1z i x y
(1)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com
Đặt
22
2
1 1 1P z i x y P
(2) với
0P
Lấy (1)-(2) ta được:
2
10 6
4
Px
y

. Thay vào (1) :
2
2
2
2 2 4 2
10 6
2 3 1 52 40 12 4 52 0
4
Px
x x P x P P




(*)
Để PT (*) có nghiệm thì:
2
2 4 2
40 12 4.52. 4 52 0 14 2 13 14 2 13P P P P
Vậy
22
14 2 13, 14 2 13 28M m M m
Bài 20: Cho số thức
*
z
thỏa mãn
3
3
1
2z
z

và
1
M max z
z

. Khẳng định nào sau
đây đúng?
A.
12M
C.
7
2
2
M
B.
5
1
2
M
D.
32
3M M M
Giải:
33
33
33
1 1 1 1 1 1
33z z z z z z
z z z z
zz
33
3
3
1 1 1 1 1
3 3 2z z z z z
z z z z
z
Mặt khác:
33
1 1 1 1
33z z z z
z z z z
Suy ra:
3
11
32zz
zz
, đặt
1
0tz
z
, ta được:
2
3
1
3 2 0 2 1 0 2 2 2t t t t t z M
z
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com
Bài 21: Cho số phức z thỏa mãn
2017
3 1 1z i i i
. Khi đó số thức
w1zi
có phần ảo bằng:
A.
1008
( ) 2 1z
C.
1008
( ) 2z
B.
1008
( ) 2 3z
D.
1008
( ) 2 2z
Giải:
2017 2018
3 1 1 3 1 1 1z i i i z i i i i
1009
2
1009
1008
1
2
3 3 2 3
2
11
i
i
z i i i i
ii




1008 1008 1008
2 3 1 4 2 2 ( ) 2 2w i i i i z
Bài 22: Cho số phức z thỏa mãn
2 42
1 5 3 15i z i
z
. Mệnh đề nào dưới đây
đúng:
A.
1
2
2
z
C.
5
4
2
z
B.
3
3
2
z
D.
35z
Giải:
2 2 2
2 42
1 5 3 15
2 42
1 5 3 1 5
2 42 2 42
1 5 3 1 5 3
2 42
6. 3 6 3 . 4.42 0 2
i z i
z
i z i i
z
i z i i z i
z
z
z z z z
z
Bài 23: Cho ba số phức
12
,,z z z
thỏa mãn
22z i iz
và
12
1zz
. Tính giá trị của
biểu thức
12
P z z
.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com
A.
3
2
P
C.
2P
B.
3P
D.
2
2
P
Giải:
Đặt
z x yi
,
22
2 2 1z i iz x y
Gọi A, B là hai điểm biểu diễn
12
,zz
.
Ta có
12
1z z OA OB AB
Suy ra
AB OA OB
hay tam giác OAB đều.
12
3
2 2. 3
2
P z z OA OB OM
Bài 24: Cho ba số phức
1 2 3
,,z z z
thỏa mãn
1 2 3
1z z z
và
1 2 3
0z z z
. Tính giá trị
của biểu thức
222
1 2 3
P z z z
.
A.
1P
C.
1P 
B.
0P
D.
1Pi
Giải: Chuẩn hóa
1 2 3
1 3 1 3
, , 1
2 2 2 2
z i z i z
Suy ra
0P
Bài 25: Cho hai số phức
12
,zz
thỏa mãn
12
86z z i
và
12
2zz
. Tính giá trị lớn nhất
của biểu thức
12
P z z
.
A.
max
5 3 5P 
C.
max
46P
B.
max
2 26P
D.
max
34 3 2P 
Giải:
Ta có:
1 2 1 2
8 6 10z z i z z
2
2 2 2 2 2 2
12
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2 52 2.52 2 26
2
zz
z z z z z z z z z z
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com
Bài 26. Cho
1 2 3
,,z z z
là các số phức thỏa mãn
1 2 3
1z z z
và
1 2 3
0z z z
. Khẳng
định nào dưới đây là sai.
A.
z z z z z z
3 3 3 3 3 3
1 2 3 1 2 3
B.
z z z z z z
3 3 3 3 3 3
1 2 3 1 2 3
C.
z z z z z z
3 3 3 3 3 3
1 2 3 1 2 3
D.
z z z z z z
3 3 3 3 3 3
1 2 3 1 2 3
Giải: Chuẩn hóa
1 2 3
1 3 1 3
, , 1
2 2 2 2
z i z i z
Suy ra đáp áp D
Bài 27: Cho
z ,z ,z
1 2 3
là các số phức thoả mãn
z z z
1 2 3
1
. Khẳng định nào sau đây
là đúng?
A.
z z z z z z z z z
1 2 3 1 2 2 3 3 1
B.
z z z z z z z z z
1 2 3 1 2 2 3 3 1
C.
z z z z z z z z z
1 2 3 1 2 2 3 3 1
D.
z z z z z z z z z
1 2 3 1 2 2 3 3 1
Giải: Chuẩn hóa
1 2 3
1 3 1 3
, , 1
2 2 2 2
z i z i z
Suy ra đáp áp A
Bài 28: Cho
z ,z ,z
1 2 3
là các số phức thoả mãn
1 2 3
1z z z
và
1 2 3
1z z z
. Biểu thức
2 1 2 1 2 1
1 2 3
nnn
P z z z

,
n
nhận giá trị nào sao đây?
A. 1 B. 2
C. 4 D. 3
Giải: Chuẩn hóa
1 2 3
1, 1, ,n z z i z i
Suy ra đáp áp A
Bài 29: Cho ba số phức
1 2 3
,,z z z
thỏa mãn
1 2 3
1z z z
. Tính giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2
1 1 1
P
z z z z z z z z z z z z
.
A.
min
3
4
P
C.
min
1
2
P
B.
min
1P
D.
min
5
2
P
Giải:
2 2 2
1 2 2 3 3 1 1 2 1 2 2 3 2 3 3 1 3 1
z z z z z z z z z z z z z z z z z z
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com
1 2 3 1 2 3
2
1 2 3
9
9
z z z z z z
z z z
Theo BĐT Cauchy- Schwarz:
2 2 2 2
1 2 1 3 2 1 2 3 2 1 2 3
1 2 2 3 3 1 1 2 3
9 9 9
9
P
z z z z z z z z z z z z
z z z z z z z z z
Do đó:
9
1
9
P 
(do
2
1 2 3
0z z z
)
Bài 30: Cho ba số phức z thỏa mãn
1z
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2
2
zi
P
iz
:
A.
1
max
P
C.
3
4
max
P
B.
1
2
max
P
D.
2
max
P
Giải: Chuẩn hóa
1
1
0
z
z
z

2
11
2
i
zP
i
do đó loại B, C
1
0
22
i
zP
do đó loại D, chọn đáp án A
Bài 31: Cho 3 số phức
1 2 3
,,z z z
thỏa mãn
1 2 3
0z z z
và
1 2 3
22
3
z z z
. Mệnh đề nào
dưới đây đúng?
A.
2 2 2
1 2 2 3 3 1
22
3
z z z z z z
B.
2 2 2
1 2 2 3 3 1
8
3
z z z z z z
C.
2 2 2
1 2 2 3 3 1
22 z z z z z z
D.
2 2 2
1 2 2 3 3 1
1 z z z z z z
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com
Giải:
2 2 2 2 2 2 2
1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 2 3
8
3
z z z z z z z z z z z z
Bài 32: Gọi S là tập hợp các số phức z thỏa mãn
3zi
và
2 2 5zi
. Kí hiệu
12
,zz
là
hai số phức thuộc S và là những số phức có môđun lần lượt nhỏ nhất và lớn nhất. Tính
giá trị của biểu thức
21
2P z z
.
A.
26P
C.
33P
B.
32P
D.
8P
Giải:
3 1 2z i z z
o Dấu “=” xảy ra khi:
2
2
1
22
19
2
4
xy
zi
xy

2 2 2 2 5 5 2 2z z i z
o Dấu “=” xảy ra khi:
22
2
22
2 2 25
4 5 2 4 5 2
22
33 20 2
xy
zi
xy





4 5 2 4 5 2
4 33
22
P i i





Bài 33: Gọi z là số phức có phần thực lớn hơn 1 và thỏa mãn
1 2 5 3z i z z i
sao
cho biểu thức
22P z i
đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm phần thực của số phức z đó.
A.
87
()
2
z
C.
46
()
2
z
B.
82
()
2
z
D.
12 2
()
2
z
Giải:
2
1 2 5 3 2z i z z i y x
2
2 2 2
3 7 7
2 2 2
2 4 4
P x y y y y



-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com
Dấu “=” xảy ra khi:
2
3
4 6 3
2
22
2
y
zi
yx

Bài 34: Cho số phức z thỏa mãn
1z
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
3
2P z z
.
A.
max
11
2
P
B.
max
23P
C.
max
13
2
P
D.
max
35P
Giải:
Câu 35: Cho phương trình:
32
0z az bz c
,
,,a b c
. Nếu
12
1 , 2z i z
là hai
nghiệm của phương trình thì
a b c
bằng:
A.
2
B.
1
C. 0 D. 1
Bài 36: Cho số phức z thỏa mãn
10 9
11 10 10 11 0z iz iz
.Tính
z
.
A.
1
2
z
B.
3
4
z
C.
max
1P
D.
max
2P
Bài 37: Cho phương trình:
4 3 2
0z az bz cz d
,
, , ,a b c d
có bốn nghiệm phức là
1 2 3 4
, , ,z z z z
. Biết rằng
1 2 3 4
13 , 3 4z z i z z i
, khẳng định nào sau đây đúng?
A.
53b
B.
50b
C.
55b
D.
51b
Bài 38: Cho số phức z thỏa mãn
1 2 3
1 z z z
và
1 2 3 2 3 1 3 1 2
;;z z z z z z z z z
là các số
thực. Tính
2017
1 2 3
z z z
.
A. 1 C.
1
B.
2017
2
D.
2017
2
Bài 39: Cho số phức z thỏa mãn đồng thời
2zz
và
3 2 3z z i z
. Khẳng định
nào sao đây đúng?
A.
1
2
2
z
C.
5
4
2
z
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com
B.
3
3
2
z
D.
35z
Bài 40: Cho
1 2 3 4
, , ,z z z z
là nghiệm phức của phương trình:
4
1
1
2
z
zi


. Tính giá trị của
biểu thức
2222
1 2 3 4
1111P z z z z
:
A.
1P
C.
18
5
P
B.
1P 
D.
17
9
P
Bài 41: Cho số phức
z
thỏa mãn
1z
. Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của biểu thức
32
11P z z z
. Tính
Mm
.
A. 2 B.7 C.6 D. 5
Bài 42: Cho hai số phức
12
,zz
thỏa mãn
12
12
1
2
zz
zz
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
12
12
zz
P
zz

.
A. 2 B.0,75 C.0,5 D. 1
Bài 43: Trong mặt phẳng phức với gốc tọa độ O, cho hai điểm A, B (khác O) biểu diễn
hai số phức
12
,zz
thỏa mãn
22
1 2 1 2
z z z z
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
OAB
vuông cân tại A
B.
OAB
đều
C.
OAB
cân, không đều
D.
OAB
cân tại A
Bài 44: Cho ba số phức
1 2 3
,,z z z
thỏa mãn
1 2 3
2
2
z z z
và
1 2 3
0z z z
. Tính giá
trị lớn nhất của biểu thức
1 2 2 3 3 1
22P z z z z z z
.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com
A.
max
72
3
P
C.
max
36
2
P
B.
max
45
5
P
D.
max
10 2
3
P
Giải:
2 2 2 2 2 2 2
1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 2 3
3
2
z z z z z z z z z z z z
Theo BĐT Bunhiacôpxki ta có:
2 2 2
22
1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1
36
2 2 1 2 2
2
P z z z z z z z z z z z z
Bài 45: Cho số phức z thỏa mãn
1z
. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của biểu thức
2
11P z z
. Tính
22
P M n
A. 12 C. 15
B. 20 D. 18
Bài 46: Cho bốn số phức
, , ,a b c z
thỏa mãn
2
0az bz c
và
0a b c
. Gọi
,M max z m mi n z
. Tính môđun của số phức
w M m i
.
A.
2w
C.
3w
B.
2w
D.
1w
Bài 47: Cho số phức z thỏa mãn
12z 
. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2P z i z i
. Tính môđun của số phức
w M m i
.
A.
26w
C.
35w
B.
42w
D.
4w
Giải:
2
2
1 2 1 2z x y
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com
2 2 2 2 2
2
1 2 1 2 1 1 2 2
vecto
P x y x y x x y y
2 2 2 2
22
1 2 1 2.2 1 2 4
bunhiacopxki
P x y x y x y



4 2 2 2 6wi
Bài 48: Cho hai số phức
12
,zz
thỏa mãn
12
34
55
z z i
,
12
3zz
và biểu thức
33
1 2 1 2
4 4 3 3 5P z z z z
đạt giá trị nhỏ nhất . Tính
12
zz
.
A.
1
C.
2
B.
3
4
D.
3
Giải:
Ta có:
1 2 1 2 1 2
1; 3z z z z z z
2
2 2 2 2 2 2
12
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 3 2
2
zz
z z z z z z z z z z
3
33
1 2 1 2 1 2 1 2
4 3 5 3 5P z z z z z z z z
Xét hàm số:
32
1
3 5, 3;2 ; ' 3 3 0
1
t
f t t t t f t t
t




Do đó
3minf t
3minP
Dấu “=” xảy ra khi
12
1zz
Bài 49: Cho số phức z thỏa mãn
3
32z
z

. Gọi
2
M max z
và
2
m min z
, tính
môđun của số phức
w M m i
.
A.
4 22w
C.
5 10w
B.
7 56w
D.
3 62w
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com
Giải:
2
42
2
22
2
2 2 2
42
2
2
33
3 6 9
3
3
3 2 18 18 18
69
18 12 3 15 12 3 15
zz
z z z z
z
z
z
z z z
zz
z
z


Do đó:
3 62w
Bài 50: Cho số phức z thỏa mãn
2
2 5 1 2 3 1z z z i z i
. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức
22P z i
.
A.
min
1
2
P
C.
min
2P
B.
min
1P
D.
min
3
2
P
Bài 51: Cho số phức z thỏa mãn
2z
. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của của biểu thức
zi
P
z
. Tính giá trị của biểu thức M.n :
A.
1
4
C. 1
B. 2 D.
3
4
Bài 52: Cho số phức z thỏa mãn
2
42zz
. Gọi
M m ax z
và
m min z
, tính môđun
của số phức
w M m i
.
A.
23w
C.
14w
B.
6
3
w
D.
2
3
w
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com
Bài 53: Cho số phức
z x yi
,
,xy
là số phức thỏa mãn hai điều kiện
22
2 2 26zz
và biểu thức
33
22
P z i
đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị của
biểu thức (x.y)
A.
9
4
xy
C.
9
2
xy
B.
16
9
xy
D.
17
2
xy
Bài 54: Cho ba số phức
1 2 3
,,z z z
thỏa mãn
1 2 3
1 15
44
z z z i
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
1 2 3 1 2 3
1 1 1 6
P
z z z z z z

.
A.
min
6P
C.
min
5P
B.
D.
min
3P
Bài 55: Cho hai số phức
12
,zz
thỏa mãn
12
1zz
. Gọi m là giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
1 2 1 2
1 1 1P z z z z
. Khẳng định nào sau đây sai?
A.
7
3
4
m
C.
7
3
2
m
B.
11
1
5
m
D.
15
42
m
Bài 56: Cho số phức
0z a bi
sao cho z không phải là số thực và
3
1
z
w
z
là số
thực. Tính
2
2
1
z
z
.
A.
1
31a
C.
1
32a
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com
B.
2
2a
D.
1
21a
Giải:
Theo đề:
2
2
33
0( )
0 1 0
1
1
1
2
b Loai
zz
z z z z z
z
z
z
a




2
2
1
1
2
21
21
1
2
z
a
a
a
z
a

Bài 57: Cho hai số phức
,zw
khác 0 và thỏa mãn
2z w z w
. Gọi a, b lần lượt là
phần thực và phần ảo của số phức
z
u
w
. Tính
22
?ab
A.
1
2
C.
1
8
B.
7
2
D.
1
4
Giải:
Chuẩn hóa:
1w
. Theo đề ta có:
2
2 2 2
22
2
2
14
12
1 15 1 15 1
8 8 8 8 4
11
11
x y x y
zz
z i u i a b
z
xy




Bài 58: Cho hai số phức
,zw
khác 0 và thỏa mãn
5z w z w
. Gọi a, b lần lượt là
phần thực và phần ảo của số phức
.u z w
. Tính
22
?ab
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com
A.
1
50
C.
1
100
C.
1
25
D.
1
10
Giải:
Chuẩn hóa:
1w
. Theo đề ta có:
2
2 2 2
22
2
2
1 25
15
1 3 11 1 3 11 1
50 50 50 50 25
11
11
x y x y
zz
z i u i a b
z
xy




Bài 59: Cho số phức
w
và hai số thực a, b. Biết rằng
wi
và
21w
là hai nghiệm của
phương trình
2
0z az b
. Tính
?ab
A.
5
9
C.
5
9
B.
1
9
D.
1
9
Giải:
Theo định lý Viet ta có:
31
21
w i a
w i w b
1 2 2 2
1
33
i a i a
ib
2
2
21
2
2 1 2 4 5
9 9 3
13
9 9 3 9 9 9
24
0
9
99
aa
a
b
aa
a i b a b
b
a










Bài 60: Cho hai số phức
12
,zz
thỏa mãn điều kiện
12
2017zz
. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức
22
1 2 1 2
22
1 2 1 2
2017 2017
z z z z
P
z z z z



A.
1
2017
C.
2
2
2017
B.
2
2017
D.
2
1
2017
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com
Đặt
1
2017 cos2 sin2z x i x
và
2
2017 cos2 sin2z y i y
Ta có:
12
2
12
cos
cos2 sin2 cos2 sin2
2017cos
2017
2017 1 cos(2 2 ) sin(2 2 )
xy
zz
x i x y i y
xy
zz
x y i x y



Tương tự:
12
2
12
sin
2017 sin
2017
yx
zz
yx
zz
Suy ra
22
2 2 2 2
cos sin
2017 cos 2017 sin
x y x y
P
x y y x



Vì
2
2
cos 1
sin 1
xy
xy


nên
22
22
11
cos sin
2017 2017
P x y x y


Bài 61: Cho ba số phức
1 2 3
,,z z z
thỏa mãn điều kiện
1 2 3
1z z z
và
2
22
3
12
2 3 3 1 1 2
10
z
zz
z z z z z z
. Khẳng đinh nào sau đây đúng? .
A.
1 2 3
3z z z
C.
1 2 3
2z z z
B.
1 2 3
1
3
z z z
D.
1 2 3
4z z z
Bài 62: Cho số phức
z
thỏa mãn điều kiện
1z
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2016 2017
1008 1 1 ... 1 1P z z z z
A.
2017
C.
2018
B.
1008
D.
2016
Bài 63: Cho ba số phức
1 2 3
,,z z z
thỏa mãn điều kiện
1 2 3
1z z z
,
1 2 3
0z z z
và
222
1 2 3
0zzz
. Khẳng đinh nào sau đây sai? .
A.
2017 2017 2017
1 2 1
0zzz
C.
2017 2017 2017
1 2 1
1zzz
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com
B.
2017 2017 2017
1 2 1
3zzz
D.
2017 2017 2017
1 2 1
4zzz
\z
Bài 64: Cho số phức và
2
2
1
1
zz
w
zz


là số thực. Khẳng đinh nào sau đây
đúng? .
A.
02z
C.
13z
B.
24z
D.
35z
Bài 65: Cho ba số phức
1 2 3
,,z z z
thỏa mãn điều kiện
1 2 3
0z z z
và
1 2 2 3 3 1
0z z z z z z
.
Tính giá trị của biểu thức
1 2 2 3 3 1
2
2
z z z z z z
P
z

A. 3 C. 2
B.
1
2
D.
1
3
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com
| 1/27
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của biểu thức 2
P z  1  z z  1 . Tính giá trị của M.n 13 3 39 13 A. B. C. 3 3 D. 4 4 4  Cách 1:
Re(z) là phần thực của số phức z, Im(z) là phần ảo của số phức z, z 1  . z z  1
 Đặt t z  1 , ta có: 0  z 1 z  1  z  1  2  t0;2   
t    z  z 2 2 t 2 1 1  1 .
z z z z  2  2Re(z)  Re(z)  2  2 2 2
z z  1  z z  .
z z z z  1  z t  3
 Xét hàm số: f t 2
t t  3 ,t 0; 2   . Xét 2 TH:
Maxf t 13 
; Minf t  13 3 3  M .n  4 4  Cách 2:
z r cos x isin x  a bi 2
 .zz z   1  Do z 1  2 2
r a b 1
P  2  2cos x  2cos x 1 , đặt t  cos x 1  ; 
1  f t   2  2t  2t 1   1  TH1: t  1  ;    2 
maxf t  f   1  3  f t  1 '   2  0     2  2t minf  t 1  f  3     2   1  TH1: t  ;1   2    f t  1 7 
   t    maxf t 7 13 ' 2 0  f     2  2t 8  8  4
Maxf t 13 
; Minf t  13 3 3  M .n  4 4
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài 2: Cho số phức z thỏa mãn z  3  4i  5 . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của biểu thức 2 2
P z  2  z i . Tính module số phức w  M mi . A. w  2 314 B. w  1258 C. w  3 137 D. w  2 309  Cách 1:    P 4x 3
P  4x  2 y  3  y  2 2      z   i
 x  2   y  2   x  2 P 4x 3 3 4 5 3 4 5 3   4  5  f   x  2 
f 'x  8x  
3  8P  4x 1 
1  0  x  0, 2P 1,6  y  0,1P 1,7    P Thay vào 2 2 33
f x ta được: 0,2P 1,6  3  0,1P 1,7  4  5  0  P 13  Cách 2:
z   i
 x  2   y  2 3 4 5 3 4  5:C  ( )
 : 4x  2y  3 P  0
 Tìm P sao cho đường thẳng  và đường tròn C có điểm chung
d I;  R  23 P 10 13 P  33
 Vậy MaxP  33 ; MinP 13
w  33 13i w  1258
Bài 3: Cho số phức z thỏa mãn z 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P z  1  2 z  1 . A. P  2 5 B. P  2 10 C. P  3 5 D. P  3 2 max max max max
Giải: Theo BĐT Bunhiacopxki:
P z   z      2 2 z   z     2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 10 z   1  2 5
Bài 4: Cho số phức z x yi  ,
x y R thỏa mãn z  2  4i z  2i và m min z . Tính
module số phức w  m   x yi . A. w  2 3 B. w  3 2 C. w  5 D. w  2 6
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  Cách 1:
z  2  4i z  2i x y  4 x y 4 2 2  2 2
z x y    2 2 2 2       x y 4 x 2
min z  2 2 , Dấu “=” xảy ra khi   
 w  2 2  4i  w  2 6 x yy  2 x y 2 2  2
Chú ý: Với mọi x, y là số thực ta có: x y  2
Dấu “=” xảy ra khi x yCách 2:
z  2  4i z  2i y  4  x
z x y x    x2  x  2 2 2 2 4 2 2  8  2 2       x y 4 x 2
min z  2 2 . Dấu “=” xảy ra khi   
 w  2 2  4i  w  2 6 x  2 y  2
Bài 5: Cho số phức z x yi  ,
x y R thỏa mãn z i 1  z  2i . Tìm môđun nhỏ nhất của z. 1 A. min z  2 B. min z 1 C. min z  0 D. min z  2  Cách 1:
z i 1  z  2i x y 1 x y 1 2 2  2  x y   2 2  1 1 2 2 z x y   2 2 x y 2 2  2
Chú ý: Với mọi x, y là số thực ta có: x y  2  Cách 2:
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
z i 1  z  2i y x 1 2    z x y
x   x  2 1 1 1 1 2 2 2 1  2 x        2  2 2 2  1 Vậy min z  2
Bài 6: Cho số phức z thỏa mãn z 1. Gọi M và m là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức 3
P z  3z z z z . Tính M m 7 3 15 A. B. 13 C. D. 4 4 4 4
Sáng tác: Phạm Minh Tuấn  Cách 1:  Ta có 2 z  1  . z z 1
 Đặt t z z 
t  z zz z 2 2 2 2 2 0;2  z  2 .
z z z  2  z z  2 3 2 2 2
z  3z z z z  3  z t 1  t 1 2   1  3 3 2
P t t 1  t       2  4 4  3
Vậy minP  ; maxP  3 khi t  2 4  15 M n  4
Cách 2: Cách này của bạn Trịnh Văn Thoại 3
z  3z z  2 3 2
P z  3z z z z
z z z  3 z z z  z z2 1  z z z  2 3
P z z 1 z z
. Đến đây các bạn tự tìm max nhé 4
Bài 7: Cho các số phức , a , b , c z thỏa 2
az bz c  0 a  0 . Gọi z và z lần lượt là hai 1 2
nghiệm của phương trình bậc hai đã cho. Tính giá trị của biểu thức 2 2
P z z
z z  2 z z 1 2 1 2  1 1 2
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- c c A. P  2 C. P  4 a a c 1 c B. P  D. P  . a 2 aGiải:  Ta có : 2 2 z zz z
 z z z z   z z z z  2 2  2 z  2 z 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
 Khi đó P  4 z z 1 2  c c
Ta lại có: z z   P  4 z z  4 1 2 1 2 a a
Bài 8: Cho 3 số phức z , z , z thỏa mãn z z z  0 và z z z 1. Mệnh đề nào 1 2 3 1 2 3 1 2 3 dưới đây đúng? A. 2 2 2 z z
z z z z là số thuần ảo 1 2 2 3 3 1 B. 2 2 2 z z
z z z z là số nguyên tố 1 2 2 3 3 1 C. 2 2 2 z z
z z z z là số thực âm 1 2 2 3 3 1 D. 2 2 2 z z
z z z z là số 1 1 2 2 3 3 1  Chứng minh công thức:  2 2 2 2 2 2 2 z z
z z z z z z z z z z 1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 2 3  2 Ta có: z  .
z z và z z  ...  z z z  ...  z . Áp dụng tính chất này ta có 1 2 n 1 2 n vế trái:
 z z z z z z z z z z z z 1 2   1 2 
 2 3 2 3  3 1 3 1
z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z 1 1 2 2 3 3
z z z z 1 1 2 2
z z z 3 3  z  1 2 2 1
z z z  2  z 3 3 2 3
z z z 1 1 3 2 2 2 1 2 3 1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3 2 2 2
z z z z z z
z z z 1 2 3  1 2 3 1 2 3 2 2 2 2
z z z z z z 1 2 3 1 2 3
 Áp dụng công thức đã chứng minh suy ra: 2 2 2 z z
z z z z  3 là số 1 2 2 3 3 1 nguyến số
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- z z
Bài 9: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn hai điều kiện z 1 và   1 ? z z A . 5 B. 6 C. 7 D. 8  Giải:  Ta có: 2 z  1  . z z  Đặt z x i x x   2 cos sin , 0;2
z  cos2x isin 2x  1 2 cos 2x  2  z z z   z 2  1 
1  2 cos2x 1   z z z.z  1 cos 2x    2
 Giải 2 phương trình lượng giác trên với x0;2  nên ta chọn được các giá trị
 5 7 11  2 4 5  x   ; ; ; ; ; ; ;   6 6 6 6 3 3 3 3 
 Vậy có 8 số phức thỏa 2 điều kiện đề cho
Bài 10: Cho các số phức z ,z ,z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z z z  1999 và 1 2 3 1 2 3
z z z z z z
z z z  0 . Tính 1 2 2 3 3 1 P  1 2 3 z z  . z 1 2 3 A. P  1999 P  999,5 B. P  2 1999 P  5997  Giải         z z z z z z z .z z .z z .z 2 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 P    
z z z       1 2 3 z z z  1 2 3  2  1999 z  1 z  1  2   1999 Mặc khác: 2
z z z  1999  z z z z z z  1999  z  1 2 3 1 1 2 2 3 3 2 z  2  2 1999 z  3  z  3
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 2 2  1999 1999 1999 1999 1999 1999   .  .  .       z z z z z z z z z z z z Suy ra 2 1 2 2 3 3 1  1 2 2 3 3 1  2 P     1999 2 2 2
z z z    1999 1999 1999  1 2 3     z z z  1 2 3   P 1999
Tổng quát: z z z k z z z z z z k z z z 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 3  3 2i
Bài 11: Cho số phức z thỏa mãn
z  1 2i  3 . Gọi M và m lần lượt là giá trị 1  2 2i
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z  3  3i . Tính . M m A) . M n  25 B) . M n  20 C) . M n  24 D) . M n  30
Dạng tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z z z r . Tính Min, Max của 1 2 z r r z
z z . Ta có 2 2 Max   z  ; Min    z 3 3 3 z z z z 1 1 1 1   3 3 2i
Áp dụng Công thức trên với z
; z  1 2i, z  3  3 ; i r  3 ta được 1 2 3 1 2 2i
Max  6; Min  4 Bài tập áp dụng:
1) Cho số phức z thỏa mãn z  2  2i  1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của z . Tính . M m A) . M n  7 B) . M n  5 C) . M n  2 D) . M n  4 1  2i
2) Cho số phức z thỏa mãn z  2  1 1 
. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất i
và giá trị nhỏ nhất của z i . Tính . M m A) 1 M.n  B) 1 M.n  C) 1 M.n  D) 1 M.n  5 3 10 4
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- z
3) Cho số phức z thỏa mãn 4n1 4nii i  với n
. Gọi M và m lần lượt là giá 2
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z  3  i . Tính . M m A) . M n  20 B) . M n  15 C) . M n  24 D) . M n  30
Bài 12: Cho số phức z thỏa mãn z  1  z  1  4 . Gọi m min z và M max z , khi đó . M n bằng: 2 3 A. 2 B. 2 3 C. 3 3  Giải:
Dạng Tổng quát: z z z z z z k với z a bi; z c di; z x yi 1 2 1 2 1 2 2 2 k  4 z k  Ta có: 2 Min z  và Max z  2 z 2 z 1 1
Chứng minh công thức: k
 Ta có: k z z z z z z z z z z z z  2z z z  . Suy ra 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 z1 k Max z  2 z1  Mặc khác: 2 2 2 2
z z z z z z k
ax by c ay bx d
ax by c ay bx d k 1 2 1 2        
 Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có: k
axbyc2 aybxd2  axbyc2 aybxd2 1. 1.
1 1 ax by c2 ay bx d2 ax by c2 ay bx d2 2 2                  4 2 2 a b  2 2
x y   4 2 2 c d
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
k  4 c d  2 2 2 2 2 k  4 z  Suy ra 2 2 2
z x y   4  2 2 a b  2 z1  2 4  4 m   3   ADCT trên ta có:     2 z 1; z 1; k 4  1 2  4 M   2  2 2 2
Bài 13: Cho số phức z thỏa mãn iz   iz   4  và 1  i 1  . Gọi m min z i
M max z , khi đó . M n bằng: A. 2 B. 2 2 C. 2 3 D. 1    2 m 2
ADCT Câu 12 ta có: z i; z  ; k  4   1 2 1 i M  2 1 3
Bài 14: Cho các số phức z , z , z thỏa mãn z z z  
i . Tính giá trị nhỏ nhất của 1 2 3 1 2 3 2 2 2 2 2
biểu thức P zz z . 1 2 3 A. P  1 C. P  3 min min 1 B. P  D. P  2 min 3 min  Giải:  2 2 2 Áp dụng BĐT AM-GM ta có: 3 P  3 z . z . z 1 2 3  1 3 Mặc Khác: z z z  
i z z z  1  z z z  1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2
 Suy ra P  3. Dấu “=” xảy ra khi z z z  1 1 2 3
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- z  3
Bài 15: Cho số phức z x yi với x, y là các số thực không âm thỏa mãn  z   1 1 2i 2 2   và biểu thức 2 2
P z z i z z
z1 i  z1 i   
 . Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của P lần lượt là: A. 0 và 1  C. 3 và 0 B. 3 và 1  D. 2 và 0  Giải: z  3 
 1  z  3  z 1 2i x y  1 z  1 2i 2  x y   2 2 1
P  16x y  8xy , Đặt t xy  0  t      2  4    2 1
P  16t  8t,t  0;
MaxP  0; MinP  1     4
Bài 16: Cho các số phức z thỏa mãn z  1. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 3
P  1 z  1 z  1 z . A. P  1 C. P  3 min min B. P  4 D. P  2 min min  Giải:
 Ta có: z  1  z  1  2 3 2 3
P   z   z   z   z  z z   z   z z  2  z  3 1 1 1 1 1 1 1 1  1 z  2 6z i
Bài 17: Cho số phức z thỏa mãn  1 2 
. Tìm giá trị lớn nhất của z . 3iz 1 1 A. max z  C. max z  2 3
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 B. max z  D. max z  1 4  Giải: 6z i 2 2
 1  6z i  2  3iz  6z i  2  3iz 2  3iz
6zi6zi23iz23iz  6zi6zi 23iz23iz 1 2 1 1  . z z
z   z  9 9 3
Bài 18: Cho z a bi,a,b  thỏa 2
z  4  2 z và P   2 2
8 b a  12 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. P   z  2 2 2
C. P   z  2 2
B. P   z  2 2 4
D. P   z  2 4  Giải:
z   z  a b  2  ab2 2 2 2   2 2 4 2 4 2
4 a b   0  Chuẩn hóa 4 2
b  0  a  4a  16  0  a  1
  i 3  z  1
  i 3  P  4 2 2  
 Thử đáp án: - ĐÁP ÁN A: P  1
  i 3  2  4    Nhận  
Bài 19: Cho số phức z thỏa mãn z  2  3i  1. Gọi M max z  1 i , m min z  1 i .
Tính giá trị của biểu thức  2 2 M n  . A. 2 2 M m  28 C. 2 2 M m  26 B. 2 2 M m  24 D. 2 2 M m  20  Giải:
z   i   x  2  y  2 2 3 1 2 3  1 (1)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  2 2
Đặt P z   i  x    y   2 1 1
1  P (2) với P  0 2    P 10 6x
Lấy (1)-(2) ta được: y  . Thay vào (1) : 4 2 2       P x x  22 10 6 2  
 3  1  52x  2
40  12P x   4 2
P  4P  52  0 (*)  4 
 Để PT (*) có nghiệm thì:     P 2 2   4 2 40 12
4.52. P  4P  52  0  14  2 13  P  14  2 13  Vậy 2 2
M  14  2 13 ,m  14  2 13  M m  28 1 1
Bài 20: Cho số thức * z  thỏa mãn 3 z
 2 và M max z  . Khẳng định nào sau 3 z z đây đúng? 7 A. 1   M  2 C. 2  M  2 5 B. 1  M  D. 3 2
M M M  3 2  Giải: 3 3          1 3 1 1 3 1 1 1 z   z   3 z   z   z   3 z          3 3  z zz zz   z  3 3         3 1 1 1 1 1  z   z   3 z   z   3 z           2 3 zz   z   z   z  3 3      1 1 1 1 Mặt khác: z   3 z   z   3 z       z   z z z 3 1  1 1 Suy ra: z
 3 z   2 , đặt t z   0 , ta được: z z z
t t    t  t  2 3 1 3 2 0 2
1  0  t  2  z   2  M  2 z
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài 21: Cho số phức z thỏa mãn z   i  i    i2017 3 1 1
. Khi đó số thức w  z  1 i có phần ảo bằng: A. 1008 (  z)  2 1 C. 1008 (  z)  2 B. 1008 (  z)  2  3 D. 1008 (  z)  2  2  Giải:
 z   i i    i2017  z   i i  i    i2018 3 1 1 3 1 1 1 1i 1009 2  1009   2i      z     i    i i   i
1 i1 i 1008 3 3 2 3 2  1008 w
i   i   i    1008   1008 2 3 1 4 2 2 i  (  z)  2  2
Bài 22: Cho số phức z thỏa mãn   i 2 42 1 5 z
 3i  15 . Mệnh đề nào dưới đây z đúng: 1 5 A.  z  2 C.  z  4 2 2 3 B.  z  3 D. 3  z  5 2  Giải:   i 2 42 1 5 z   3i  15 z
   iz i  i 2 42 1 5 3 1 5  z
   i z i 2 42 2 42 1 5 3 
 1 5i z  3i z z 2 2 42  6. z  3   6 2 z  3 2
. z  4.42  0  z  2 z
Bài 23: Cho ba số phức z, z , z thỏa mãn 2z i  2  iz và z z  1 . Tính giá trị của 1 2 1 2
biểu thức P z z . 1 2
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 A. P  C. P  2 2 2 B. P  3 D. P  2  Giải:
 Đặt z x yi , 2 2
2z i  2  iz x y  1
 Gọi A, B là hai điểm biểu diễn z ,z . 1 2
 Ta có z z OA OB AB  1 1 2
 Suy ra AB OA OB hay tam giác OAB đều.  3
P z z OA OB  2OM  2.  3 1 2 2
Bài 24: Cho ba số phức z ,z ,z thỏa mãn z z z  1 và z z z  0 . Tính giá trị 1 2 3 1 2 3 1 2 3 của biểu thức 2 2 2
P z z z . 1 2 3 A. P  1 C. P  1  B. P  0 D. P  1 i  1 3 1 3
Giải: Chuẩn hóa z   i, z   i, z  1  Suy ra P  0 1 2 3 2 2 2 2
Bài 25: Cho hai số phức z , z thỏa mãn z z  8  6i và z z  2 . Tính giá trị lớn nhất 1 2 1 2 1 2
của biểu thức P z z . 1 2 A. P  5  3 5 C. P  4 6 max max B. P  2 26 D. P  34  3 2 max max  Giải:
 Ta có: z z  8  6i z z  10 1 2 1 2 z z
z z z z
 2 z z   2 2 2 2 2 2 2 1 2
 52  z z
z z  2.52  2 26 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài 26. Cho z ,z ,z là các số phức thỏa mãn z z z  1 và z z z  0 . Khẳng 1 2 3 1 2 3 1 2 3
định nào dưới đây là sai.
A. z3  z3  z3  z3  z3  z3
B. z3  z3  z3  z3  z3  z3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
C. z3  z3  z3  z3  z3  z3
D. z3  z3  z3  z3  z3  z3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3  1 3 1 3
Giải: Chuẩn hóa z   i, z   i, z  1  Suy ra đáp áp D 1 2 3 2 2 2 2
Bài 27: Cho z ,z ,z là các số phức thoả mãn z z z  1. Khẳng định nào sau đây 1 2 3 1 2 3 là đúng?
A. z z z z z z z z z
B. z z z z z z z z z 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 2 2 3 3 1
C. z z z z z z z z z
D. z z z z z z z z z 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 2 2 3 3 1  1 3 1 3
Giải: Chuẩn hóa z   i, z   i, z  1  Suy ra đáp áp A 1 2 3 2 2 2 2
Bài 28: Cho z ,z ,z là các số phức thoả mãn z z z  1 và z z z  1. Biểu thức 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2n1 2n1 2n1 P zzz , n  
 nhận giá trị nào sao đây? 1 2 3 A. 1 B. 2 C. 4 D. 3
Giải: Chuẩn hóa n  1,z  1,z i,z i  Suy ra đáp áp A 1 2 3
Bài 29: Cho ba số phức z , z , z thỏa mãn z z z  1. Tính giá trị nhỏ nhất của 1 2 3 1 2 3 1 1 1 biểu thức P   
z z z z
z z z z z z z  . z 1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2 3 1 A. P  C. P  min 4 min 2 5 B. P  1 D. P  min min 2  Giải:  2 2 2 z z
z z z z z z
z z z z
z z z z z z 1 2 2 3 3 1
 1 2 1 2  2 3 2 3  3 1 3 1
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
 9  z z z z z z 1 2 3   1 2 3  2
 9  z z z 1 2 3  Theo BĐT Cauchy- Schwarz: 9 9 9 P    2 2 2 2
z z z z z z z z z z z z         1 2 1 3 2 1 2 3 2 1 2 3 z z z z z z 9 z z z 1 2 2 3 3 1 1 2 3  9 2 Do đó: P
 1 (do z z z  0 ) 9 1 2 3 2z i
Bài 30: Cho ba số phức z thỏa mãn z  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  : 2  iz 3 A. P  1 C. Pmax max 4 1 B. P  D. P  2 max 2 maxz  1
Giải: Chuẩn hóa z  1 z   0   2 i
z  1  P
 1 do đó loại B, C 2  i   i 1
z  0  P
do đó loại D, chọn đáp án A 2 2 2 2
Bài 31: Cho 3 số phức z , z , z thỏa mãn z z z  0 và z z z  . Mệnh đề nào 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 dưới đây đúng? 2 2 A. 2 2 2 z z
z z z z  1 2 2 3 3 1 3 8 B. 2 2 2 z z
z z z z  1 2 2 3 3 1 3 C. 2 2 2 z z
z z z z  2 2 1 2 2 3 3 1 D. 2 2 2 z z
z z z z 1 1 2 2 3 3 1
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  8 Giải: 2 2 2 2 2 2 2 z z
z z z z z z z z z z  1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 2 3 3
Bài 32: Gọi S là tập hợp các số phức z thỏa mãn z i  3 và z  2  2i  5 . Kí hiệu z ,z là 1 2
hai số phức thuộc S và là những số phức có môđun lần lượt nhỏ nhất và lớn nhất. Tính
giá trị của biểu thức P z  2z . 2 1 A. P  2 6 C. P  33 B. P  3 2 D. P  8  Giải:
 3  z i z  1 z  2
x  y  2 2  o 1 9
Dấu “=” xảy ra khi:   z  2  i 1 2 2
x y  4
z  2 2  z  2  2i  5  z  5  2 2
x 22 y 22  25     o 4 5 2 4 5 2
Dấu “=” xảy ra khi:   z    i 2   2 2 2 2
x y  33  20 2        4 5 2 4 5 2 P   
i  4i  33 2  2   
Bài 33: Gọi z là số phức có phần thực lớn hơn 1 và thỏa mãn z  1  i  2z z  5  3i sao
cho biểu thức P z  2  2i đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm phần thực của số phức z đó. 8  7 4  6 A. (  z)  C. (  z)  2 2 8  2 12  2 B. (  z)  D. (  z)  2 2  Giải:
z   i z z   i y  x  2 1 2 5 3 2 2  
P  x  2  y  2  y  y  2 3 7 7 2 2 2  y       2  4 4
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  3 y    4 6 3
Dấu “=” xảy ra khi:  2  z   i
y  x   2 2 2 2
Bài 34: Cho số phức z thỏa mãn z 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3
P z z  2 . 11 13 A. P  B. P  2 3 C. P  D. P  3 5 max 2 max max 2 max  Giải:
Câu 35: Cho phương trình: 3 2
z az bz c  0 , a,b,c   . Nếu z  1 i,z  2 là hai 1 2
nghiệm của phương trình thì a b c bằng: A. 2  B. 1  C. 0 D. 1
Bài 36: Cho số phức z thỏa mãn 10 9
11z  10iz  10iz 11  0 .Tính z . A. 1 z  B. 3 z  C. P 1 D. P  2 max max 2 4
Bài 37: Cho phương trình: 4 3 2
z az bz cz d  0 , a,b,c,d  có bốn nghiệm phức là
z , z , z , z . Biết rằng z z  13  i, z z  3  4i , khẳng định nào sau đây đúng? 1 2 3 4 1 2 3 4 A. b  53 B. b  50 C. b  55 D. b  51
Bài 38: Cho số phức z thỏa mãn z z z 1và z z z ; z z z ; z z z là các số 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2
thực. Tính z z z 2017 . 1 2 3 A. 1 C. 1  B. 2017 2  D. 2017 2
Bài 39: Cho số phức z thỏa mãn đồng thời z z  2 và z  3z  2  i 3 z . Khẳng định nào sao đây đúng? 1 5 A.  z  2 C.  z  4 2 2
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 B.  z  3 D. 3  z  5 2 4  z 1 
Bài 40: Cho z , z , z , z là nghiệm phức của phương trình:    1 . Tính giá trị của 1 2 3 4  2z i
biểu thức P   2 z   1  2 z   1  2 z   1  2 z  1 : 1 2 3 4  18 A. P  1 C. P  5 17 B. P  1  D. P  9
Bài 41: Cho số phức z thỏa mãn z 1. Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 2
P z  1  z z  1 . Tính M m . A. 2 B.7 C.6 D. 5 z z 1
Bài 42: Cho hai số phức z , z thỏa mãn 1 2
 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 2 z z 2 1 2 z z 1 2 P   . z z 1 2 A. 2 B.0,75 C.0,5 D. 1
Bài 43: Trong mặt phẳng phức với gốc tọa độ O, cho hai điểm A, B (khác O) biểu diễn
hai số phức z , z thỏa mãn 2 2
z z z z . Khẳng định nào sau đây đúng? 1 2 1 2 1 2 A. O
AB vuông cân tại A B. OAB đều C. O
AB cân, không đều D. OAB cân tại A 2
Bài 44: Cho ba số phức z , z , z thỏa mãn z z z
và z z z  0 . Tính giá 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3
trị lớn nhất của biểu thức P z z  2 z z  2 z z . 1 2 2 3 3 1
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 7 2 3 6 A. P  C. P  max 3 max 2 4 5 10 2 B. P  D. P  max 5 max 3  Giải:  2 2 2 2 2 2 2 3 z z
z z z z z z z z z z  1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 2 3 2
 Theo BĐT Bunhiacôpxki ta có:
P z z z z z z      2 2 2 2 2 3 6 2 2 1 2 2 z z
z z z z  1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1  2
Bài 45: Cho số phức z thỏa mãn z  1. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của biểu thức 2
P z  1  1 z . Tính 2 2
P M n A. 12 C. 15 B. 20 D. 18
Bài 46: Cho bốn số phức a,b,c, z thỏa mãn 2
az bz c  0 và a b c  0 . Gọi
M max z ,m min z . Tính môđun của số phức w M mi . A. w  2 C. w  3 B. w  2 D. w  1
Bài 47: Cho số phức z thỏa mãn z  1  2 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z i z  2  i . Tính môđun của số phức w M mi . A. w  2 6 C. w  3 5 B. w  4 2 D. w  4  Giải:  z    x  2 2 1 2 1  y  2
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- vecto
P x  y  2    x2    y2  x   x2  y    y2 2 1 2 1 2 1 1  2 2 bunhiacopxkiP x
y 2  x2  y2 x 2 2 2 1 2 1 2.2 1 y 2             4  
w  4  2 2i  2 6 3 4
Bài 48: Cho hai số phức z , z thỏa mãn z z
i , z z  3 và biểu thức 1 2 1 2 5 5 1 2 3 3 P  4 z
 4 z  3 z  3 z  5 đạt giá trị nhỏ nhất . Tính z z . 1 2 1 2 1 2 A. 1 C. 2 3 B. D. 3 4  Giải:
 Ta có: z z  1; 3  z z z z 1 2 1 2 1 2 z z
z z z z  2 z z   2 2 2 2 2 2 2 1 2
 2  z z
 3  z z  2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3 3 3
P  4 z z 3 z z  5  z z 3 z z  5 1 2
  1 2   1 2   1 2  t  1
 Xét hàm số: f t 3
t  3t  5,t   3; 2 ; f 't 2
 3t  3  0     t  1  
 Do đó minf t  3  minP  3
 Dấu “=” xảy ra khi z z  1 1 2 3 2 2
Bài 49: Cho số phức z thỏa mãn z
 3 2 . Gọi M max z và m min z , tính z
môđun của số phức w M mi . A. w  4 22 C. w  5 10 B. w  7 56 D. w  3 62
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  Giải: 2 z  3       3  2z 3 2 2 z 3 z 3z z2 4 2 6 z 9 z   3 2   18   18   18 2 2 2 z z z z 4 2 z  6 z  9 2 
 18  12  3 15  z  12  3 15 2 z Do đó: w  3 62
Bài 50: Cho số phức z thỏa mãn 2
z  2z  5  z 1 2iz  3i  
1 . Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức P z  2  2i . 1 A. P  C. P  2 min 2 min 3 B. P  1 D. P  min min 2
Bài 51: Cho số phức z thỏa mãn z  2 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị z i
nhỏ nhất của của biểu thức P
. Tính giá trị của biểu thức M.n : z 1 A. C. 1 4 3 B. 2 D. 4
Bài 52: Cho số phức z thỏa mãn 2
z  4  2 z . Gọi M max z và m min z , tính môđun
của số phức w M mi . A. w  2 3 C. w  14 6 2 B. w  D. w  3 3
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài 53: Cho số phức z x yi , x, y   là số phức thỏa mãn hai điều kiện 2 2 3 3
z  2  z  2  26 và biểu thức P z  
i đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị của 2 2 biểu thức (x.y) 9 9 A. xy  C. xy  4 2 16 17 B. xy  D. xy  9 2 1 15
Bài 54: Cho ba số phức z , z , z thỏa mãn z z z  
i . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 2 3 1 2 3 4 4 1 1 1 6 biểu thức P     z z z z z  . z 1 2 3 1 2 3 A. P  6 C. P  5 min min B. P  4 D. P  3 min min
Bài 55: Cho hai số phức z , z thỏa mãn z z  1. Gọi m là giá trị nhỏ nhất của biểu 1 2 1 2
thức P z  1  z  1  z z  1 . Khẳng định nào sau đây sai? 1 2 1 2 7 7 A.  m  3 C. 3  m  4 2 11 1 5 B. 1  m  D.  m  5 4 2 z
Bài 56: Cho số phức z a bi  0 sao cho z không phải là số thực và w  là số 3 1  z 2 z thực. Tính . 2 1  z 1 1 A. C. 3a  1 3a  2
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 1 B. D. a  2 2a  1  Giải:b  0(Loai)  z z 2 Theo đề: 0 z z 1 z  z z        0   2 3 3    1 1 z   1 z z    2a 1 2 z  1 2a   2 2a  1 2a   1 1 z 2a
Bài 57: Cho hai số phức z,w khác 0 và thỏa mãn z w  2 z w . Gọi a, b lần lượt là z
phần thực và phần ảo của số phức u  . Tính 2 2 a b  ? w 1 1 A. C. 2 8 7 1 B. D. 2 4  Giải:
 Chuẩn hóa: w  1 . Theo đề ta có:   z 1   2 zx  2 2 1  y  4 2 2 x y  1 15 1 15 2 2 1     z   i u  
i a b z  1   1  x  2 2 8 8 8 8 4 1  y  1
Bài 58: Cho hai số phức z,w khác 0 và thỏa mãn z w  5 z w . Gọi a, b lần lượt là
phần thực và phần ảo của số phức u  . z w . Tính 2 2 a b  ?
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 1 A. C. 50 100 1 1 C. D. 25 10  Giải:
 Chuẩn hóa: w  1 . Theo đề ta có:   z 1   5 zx  2 2 1  y  25 2 2 x y  1 3 11 1 3 11 2 2 1     z   i u  
i a b z  1   1  x  2 2 50 50 50 50 25 1  y  1
Bài 59: Cho số phức w và hai số thực a, b. Biết rằng w i và 2w 1 là hai nghiệm của phương trình 2
z az b  0 . Tính a b  ? 5 5 A. C.  9 9 1 1 B.  D. 9 9  Giải:
3w i 1    a  1 i a
 2  2i  2a
 Theo định lý Viet ta có:    i 1     b w i  2w 1   b  3  3  2 2a a 1       ba  2  2 2a a 1  2 4    5 9 9 3  
    a  i b    
13  a b    9 9 3   9 9  2 4 b  9 a   0  9 9 9
Bài 60: Cho hai số phức z , z thỏa mãn điều kiện z z  2017 . Tìm giá trị nhỏ nhất 1 2 1 2 2 2  z z   z z  của biểu thức 1 2 1 2 P        2   2 2017 z z   2017 z z     1 2 1 2  1 2 A. C. 2017 2 2017 2 1 B. D. 2017 2 2017
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Đặt z  2017 cos 2x i sin 2x và z  2017 cos 2y i sin 2y 2   1   z z
cos 2x i sin 2x  cos 2y i sin 2y cosx y Ta có: 1 2   2 2017  z z
2017  1 cos(2x  2y)  i sin(2x  2y)  2017 cos x y 1 2      z z
sin y x Tương tự: 1 2  2 2017  z z 2017 sin y x 1 2   2
cos x y 2
sin x y Suy ra P   2 2
2017 cos x y 2 2
2017 sin y x 2
cos x y   1 1 1 Vì  nên 2 P  cos  xy 2
 sin x y   2   2  sin 2  xy   1 2017 2017
Bài 61: Cho ba số phức z , z , z thỏa mãn điều kiện z z z  1 và 1 2 3 1 2 3 2 2 2 z z z 1 2 3  
 1  0 . Khẳng đinh nào sau đây đúng? . z z z z z z 2 3 3 1 1 2
A. z z z  3
C. z z z  2 1 2 3 1 2 3 1
B. z z z
D. z z z  4 1 2 3 3 1 2 3
Bài 62: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2016 2017
P  1008 1  z  1  z  ...  1  z  1 z A. 2017 C. 2018 B. 1008 D. 2016
Bài 63: Cho ba số phức z , z , z thỏa mãn điều kiện z z z  1, z z z  0 và 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 2
z z z  0 . Khẳng đinh nào sau đây sai? . 1 2 3 A. 2017 2017 2017 zzz  0 C. 2017 2017 2017 zzz  1 1 2 1 1 2 1
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- B. 2017 2017 2017 zzz  3 D. 2017 2017 2017 zzz  4 1 2 1 1 2 1 2 1  z z
Bài 64: Cho số phứ z  \ c và w
là số thực. Khẳng đinh nào sau đây 2 1  z z đúng? . A. 0  z  2 C. 1  z  3 B. 2  z  4 D. 3  z  5
Bài 65: Cho ba số phức z , z , z thỏa mãn điều kiện z z z  0 và z z z z z z  0 . 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1
z z z z z z
Tính giá trị của biểu thức 1 2 2 3 3 1 P  2 z2 A. 3 C. 2 1 1 B. D. 2 3
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com