Hướng dẫn giải một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử – Lê Hồng Quốc Toán 12
Hướng dẫn giải một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử – Lê Hồng Quốc Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Preview text:
Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 1 Câu 1.
(Đề khảo sát của Bộ dành cho 50 trường) Xét số phức z thỏa z i 13 . Tìm giá trị nhỏ nhất
T của z 9 5i . A. T 2 13 . B. T 3 13 . C. T 13 . D. T 4 13 . Hướng dẫn giải. Chọn A.
Đặt z x yi (với x, y ). Khi đó z i 13 x y 2 2 1 13 . Cách 1. Đại số.
x 13 sin t Chọn .
y 13 cos t 1 2 2 2 2 2
Ta có P z 9 5i x 9 y 5 13 sint 9 13 cost 6 2 2
13 sin t cos t 18 13 sint 12 13 cost 117 130 6 13 3sint 2cost 3 sin 13
130 78 sint 52 P 208 , với . 2 cos 13 Vậy T 2 13 . Cách 2. Hình học. 2 2 2
Đặt w z 9 5i w z 9 5i w x 9 y 5 suy ra tập hợp các số phức w nằm trên
đường tròn C có tâm là A9; 5 , bán kính R . 1 1
Mà z i 13 x y 2 2
1 13 suy ra tập hợp các số phức w nằm trên đường tròn C có tâm 2 là B0; 1
, bán kính R 13 . 2
Gọi C là điểm thuộc đường tròn C , suy AC w , mà C thuộc C , suy ra 2 1
AB R AC AB R , ta có AB 9; 6
AB 117 3 13 suy ra 2 13 AC 4 13 . Vậy 2 2 T 2 13 . Câu 2.
Có bao nhiêu giá trị thực của m để phương trình 2
z m 2 4 4
1 z m 3m 0 có hai nghiệm
phức thỏa z z 2 . 1 2 A. 0 . B. 1 . C. 2 . D. 4 . Hướng dẫn giải. Chọn C. Cách 1: ' 4m 4 .
Trường hợp 1: ' 0 m 1
. Khi đó phương trình 2
z m 2 4 4
1 z m 3m 0 có hai nghiệm là
z a bi , z a bi với a,b . 1 2 Ta có 2 2
z z 2 a b 1 1 . 1 2 2 m 3m m 1
Theo định lí Vi-ét ta có z z
2 , từ 1 và 2 suy ra . 1 2 4 m 4
Sưu tầm và biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454
Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 2
Suy ra m 3 .
Trường hợp 2: ' 0 m 1
phương trình đã cho có hai nghiệm z z 1 , suy ra z z 2 . 1 2 1 2 Suy ra m 1 thỏa 4 .
Trường hợp 3: ' 0 m 1. Khi đó phương trình có hai nghiệm thực z , z thảo hệ thức Vi-ét 1 2
z z 1 m 1 2 2 m 3m . z z 1 2 4 2 2 Theo đề ta có
z z 2 z z
2 z z 4 z z
2z z 2 z z 4 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 m 12 2
4 khi m 3m 0 2 m 3m m 3m m 1 4 m 3 5 . 2 2 2 m 3
khi m 3m 0
Vậy từ 3 , 4 , 5 suy ra m 3 , m 1 thỏa. Cách 2: Phương trình 2
z m 2 4 4
1 z m 3m 0 luôn có hai nghiệm phức z , z , theo định lí Vi-ét ta có 1 2
z z 1 m 1 2 2 2 2
m 3m . Theo yêu cầu bài toán ta có z z 2 z z 2 z z 4 z z 1 2 1 2 1 2 1 2 4 2 2 z z z z 1 2 1 2 2 2
2 z z 4 z z z z
4z z 4 z z 8 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2
m 2 m 2 2 2 1
1 m 3m m 3m 8 m 2 2
1 m 1 m 3m 8
m 12 m 1 2
m 3m 8 khi m 1
m 12 m 1 2
m 3m 8 khi m 1 ; 0 3;
m 12 m 1 2
m 3m 8 khi 0 m 3 2
2m 6m 8 0 khi m 1 2
2m 4m 6 0 khi m 1 ; 0 3;
m 1 m 3 . 2m 6 0
khi 0 m 3
Vậy m 3 , m 1 thỏa. Câu 3.
(THPT chuyên Quang Trung – Bình Phước) Cho z thỏa mãn i 10 2 z 1 2i . Biết z
tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức w 3 4i z 1 2i là đường tròn tâm I , bán kính R . Khi đó I 1 ; 2 I 1; 2 I 1 ; 2 I 1; 2 A. . B. . C. . D. . R 5 R 5 R 5 R 5 Hướng dẫn giải Chọn
Nhận xét. Ở đây đề cho lỗi, vì chỉ có 1 số phức z thỏa i 10 2 z
1 2i , nên tập hợp điểm z
biểu diễn số phức w cũng chỉ có 1 điểm chứ không phải là 1 đường tròn.
Sưu tầm và biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454
Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 3
* Lời giải sai. 10 10
Ta có 2 i z
1 2i 2 z 1 z 2i z . 2 z z 2 2 10
Lấy môđun hai vế ta được z 2 2 z 1 (Do z z ). 2 z 2 10
z 2 z 2 10 2 2 1 5 z 5
z 1 w 1 2i (3 4i) . z 5 . 2 2 z z I 1 ; 2
Do đó tập hợp điểm biểu diễn w là đường tròn . R 5
* * Lời giải đúng. 10 10
Ta có 2 i z
1 2i 2 z 1 z 2i z . 2 z z 2 2 10
Lấy môđun hai vế ta được z 2 2 z 1 (Do z z ). 2 z 2 10
z 2 z 2 10 2 2 1 5 z 5
z 1 . Thay z 1 vào i 10 2 z
1 2i ta được 2 2 z z z 10 9 10 20 13 10 i 10 10 10 3 10 2
1 2i z i suy ra w i , suy ra điểm z 1 3i 10 10 10 10
biểu diễn của số phức w là 1 điểm. Câu 4.
(THPT chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai – L1) Cho số phức z thỏa mãn 2
z 2z 5 z 1 2iz 1 3i . Tìm giá trị nhỏ nhất của w , biết rằng w z 2 2i . 3 1 A. w . B. w 2 . C. w 1 . D. w . min 2 min min min 2 Hướng dẫn giải. Chọn C. Cách 1: Đại số. 2 2
z 2z 5 z 1 2iz 1 3i z 2
1 4i z 1 2iz 1 3i
z 1 2i 0 1
z 1 2iz 1 2i z 1 2iz 1 3i .
z 1 2i z 1 3i 2 +)
1 z 1 2i w 1
w 1 3 .
+) Đặt z a bi , với a, b . Khi đó ta có 2 a 1 b 2i a 1 b 3i 1 3
a 2 b 2 a 2 b 2 1 2 1 3
4b 4 6b 9 b , suy ra
w a 2 i 2 2
w a 2 9 3 2
4 . Từ 3 , 4 ta suy ra w 1 . 4 2 min Cách 2: Hình học.
Sưu tầm và biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454
Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 4 2 2
z 2z 5 z 1 2iz 1 3i z 2
1 4i z 1 2iz 1 3i
z 1 2i 0 1
z 1 2iz 1 2i z 1 2iz 1 3i .
z 1 2i z 1 3i 2 +)
1 z 1 2i w 1
w 1 3 .
+) Đặt z a bi , với a, b . Khi đó ta có 2 a 1 b 2i a 1 b 3i 1 3
a 2 b 2 a 2 b 2 1 2 1 3
4b 4 6b 9 b , suy ra w a 2 i , suy ra tập 2 2 3 3
hợp các số phức w nằm trên đường thẳng y
, suy ra w d . 2 O; 2 Câu 5.
(Chuyên ĐH Vinh – L3) Cho hai số phức z , w khác 0 và thỏa z w 2 z w . Phần thực z u là w 1 1 1 A. . B. . C. 1 . D. . 8 4 8 Hướng dẫn giải. Chọn D. z 1 z 1 1 w 2 w 2 u
Ta có z w 2 z w 2
, đặt u a bi , với a, b , khi đó z w z w 1 1 u 1 1 w w 2 2 1 a b 3 1
ta được hệ phương trình 4 2a 1 a . 4 8 a 12 2 b 1 Câu 6.
Biết rằng khi m a , với a và m là các số thực, thì phương trình i 2 1
x m i x 1 0 không
có nghiệm thựC. Chọn mệnh đề đúng. A. a 1 ; 1 . B. a1; 5 . C. a3;6 . D. a 3 ; 1 . Hướng dẫn giải. Chọn D.
Giả sử phương trình có nghiệm thực là x b , khi đó ta có i 2 1
b m ib 1 0 2
b mb 1 0 b 1 2
b mb 2 1
b bi 0
, suy ra m 2 thì phương trình 2 b b 0 m 2 i 2 1
x m i x 1 0 không có nghiệm thực. Câu 7.
(THPT chuyên Quang Trung – Bình Phước) Cho hai số phức z , z khác thỏa 0 , z z 0 và 1 2 1 2 1 1 2 z
. Tính giá trị biểu thức 1 . z z z z z 1 2 1 2 2 2 3 2 A. . B. . C. 2 3 . D. . 2 2 3 Hướng dẫn giải.
Sưu tầm và biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454
Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 5 Chọn A. 1 1 2 z 1 1 Theo đề, ta có
z z z z 2z z 2 2
2z 2z z z 0 1 i 1 2 1 2 1 2 z z z z 1 1 2 2 z 2 2 1 2 1 2 2 z 2 1 . z 2 2 Câu 8.
(THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp – L2) Gọi M là điểm biểu diễn số phức z z 1 w
, trong đó z là số phức thỏa mãn 1 iz 2i 2 i 3z . Gọi N là điểm trong mặt phẳng 2
z
sao cho Ox,ON 2 , trong đó Ox,OM là góc tạo thành khi quay tia Ox tứi vị trí của tia OM .
Điểm N nằm ở góc phầ tư nào?
A. Góc phần tư thứ nhất. B. Góc phần tư thứ tư. C. góc phần tư thứ ba. D. Góc phần tư thứ hai. Hướng dẫn giải. Chọn B. 3 6 11 56 56
Theo đề, ta có 1 iz 2i 2 i 3z z i w
i , suy ra tan , ta có 5 5 15 45 33 2 56 1089 3696
sin 2 2 sin.cos 2 tan.cos 2. . 33 4225 4225 . 2 2 1089 2047
cos2 2cos 1 .2. 1 2 tan 1 4225 4225 2 2 Câu 9.
(THPT Thanh Chương 1 – Nghệ An – L2) Cho số phức z thỏa z 2 z i 1 và số phức 1
z thỏa z 4 i 5 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z z ? 2 1 2 2 5 3 5 A. . B. 5 . C. 2 5 . D. . 5 5 Hướng dẫn giải. Chọn D.
Đặt z a bi , z c di ( a, b, c, d ). 1 2 2 2
Ta có số phức z thỏa
z 2 z i 1 suy ra 1 a 2 b a b 2 2 2 2 1
1 2a b 1 , suy ra tập hợp
điểm biểu diễn số phức z nằm trên đường thẳng 2x y 1 1 . Lại có số phức z thỏa
z 4 i 5 suy ra 2
c 2 b 2 4
1 5 , suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z nằm trên đường tròn C có tâm 2 I 4;
1 , bán kính r 5 . 3 5
Biểu diễn C và lên mặt phẳng tọa độ, ta suy ra z z d r . 1 2 min I; 5
Câu 10. (THPT chuyên Biên Hòa – Hà Nam) Cho ba số phức z , z , z thảo mãn điều kiện 1 2 3
z z z 1 và z z z 0 . Tính 2 2 2
A z z z . 1 2 3 1 2 3 1 2 3 A. 1 . B. 0 . C. 1 . D. 1 i .
Sưu tầm và biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454
Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 6 Hướng dẫn giải. Chọn B.
A z z z z z z 2 2 2 2
2 z z z z z z 2 z z z z z z 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 2 2 2 1 1 1 z z z 1 2 3 2z z z 2z z z 2
z z z z z z 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 z z z z z z 1 2 3 1 2 3
Mà z z z 0 z z z 0 . Vậy A 0 . 1 2 3 1 2 3
Câu 11. (THPT chuyên Lê Hồng Phong – TP.HCM) Cho z , z là hai số phức khác 0 thỏa 1 2 2 2
z 2z z 2z 0 . Biết z , z có điểm biểu diễn lần lượt là M , N . Tính góc OMN 1 1 2 2 1 2 A. o 30 . B. o 45 . C. o 60 . D. o 90 . Hướng dẫn giải. Chọn B.
z 1 i z 2 2 1 2
z 2z z 2z 0
. Vì hai trường hợp này là như nhau nên tối chỉ trình bày một 1 1 2 2
z 1 i z 1 2 trường hợp như sau.
Với z 1 i z , đặt z a bi , z c di (với a, b, c, d ) và z , z lần lượt có điểm biểu diễn là 1 2 1 2 1 2 z ac bd bc ad
M a; b , N c; d . Khi đó
z 1 i 1 z 1 i i 1 i 1 2 2 2 2 2 z c d c d 2 ac bd 2 z
1 ac bd z , mà
1 1 i z 2 z . Ta có OM a; b , NM a c; b d . 2 2 2 c d 1 2 z2 2 2
2 2 2
a b ac bd z z z 1
cosOMN cosOM,NM 1 2 2 2 2 2 2 2 2
a b . a b c d 2ac bd 2 2 2 z z 2 z z z 2 2 1 1 2 , suy ra o OMN 45 .
Câu 12. (Đề minh họa – L3) Xét các số phức z thỏa mãn z 2 i z 4 7i 6 2 . Gọi m , M lần lượt
là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của z 1 i . Tính P m M . 5 2 2 73 5 2 73 A. P 13 73 . B. P . C. P 5 2 73 . D. P . 2 2 Hướng dẫn giải. Chọn B. Cách 1. Đại số. Đặt
z a bi , với a, b . Khi đó ta có
z 2 i z 4 7i 6 2
a 2 b 2 a 2 b 2 2 1 4 7
6 2 , xét các điểm N ; a b , A 2;
1 , B4;7 , khi đó ta
được NA NB 6 2 AB , suy ra N , A , B thẳng hàng ( N nằm giữa A và B ). Phương trình
đường thẳng AB : x y 3 0 , suy ra N a; a 3 ( 2 a 4 ).
Sưu tầm và biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454
Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 7 2 2 2 2
Theo đề z 1 i a 1 b 1 a 1 a 4 2
2a 6a 17 f a . / 3 f a 2a 3 ; /
f a 0 a . Ta có bảng biến 2 a 6a 17 2 thiên như hình bên. 5 2
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra m , M 73 . 2 5 2 2 73 Vậy P . 2
Cách 2. Bất đẳng thức. Đặt
z a bi , với a, b . Khi đó ta có
z 2 i z 4 7i 6 2
a 2 b 2 a 2 b 2 2 1 4 7 6 2
1 , áp dụng bất đẳng thức Mincopxki ta có
VT a a2 b b2 1 2 4 1 7 6 2 , dấu " " xảy ra a 2
7 b 4 ab 1 b a 3 .
a 2; 4 , b 1 ; 7 a 2 ; 4 , b 1 ; 7 2 2 2 2
Theo đề z 1 i a 1 b 1 a 1 a 4 2
2a 6a 17 f a . / 3 f a 2a 3 ; /
f a 0 a . Ta có bảng biến 2 a 6a 17 2 thiên như hình bên. 5 2
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra m , M 73 . Vậy 2 5 2 2 73 P . 2 Cách 3. Hình học. Đặt
z a bi , với a, b . Khi đó ta có
z 2 i z 4 7i 6 2
a 2 b 2 a 2 b 2 2 1 4 7
6 2 , xét các điểm N ; a b , A 2;
1 , B4;7 , khi đó ta
được NA NB 6 2 AB , suy ra N , A , B thẳng hàng ( N nằm giữa A và B ). Phương trình
đường thẳng AB : x y 3 0 . 2 2
Theo đề z 1 i a 1 b
1 , xét điểm I 1; 1 suy ra
IN a 2 b 2 1 1 , khi đó minIA; IB;d
IN Max IA; I ; B d I ; AB I ; AB 5 2 m IN d min I;AB 2 . M IN IB 73 max 5 2 2 73
Vậy P m M . 2
Sưu tầm và biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454
Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 8
Câu 13. (THPT Thị xã Quảng Trị) Cho số phức z a bi ( a, b ) thỏa mãn z không là số thực và 2 z z 1 4 4 1 a b
là số thựC. Tính M . 2 z z 1 6 6 1 a b 1 2 4 1 A. . B. . C. . D. . 2 3 3 3 Hướng dẫn giải. Chọn B.
z a bi , với a, b . Vì z không là số thực nên b 0 . 2 2 2
a b a 1 2 1
ab bi z z Ta có w
, suy ra phần ảo của số phức w là 2 z z 1 2 2
a b a 1 2ab bi 2 3
2b 2a b 2b 2 z z 1 4 4 a b , mà là số thực suy ra 2 2 2 2 1
a b 1 a b , ta có 2
a b a 12 2ab b2 2 2 z z 1 2 4 4 4 4 4 4 1 a b 1 a b 1 a b 2 M . 6 6 1 a b 1 2 2 a b 4 4 2 2
a b a b 3 4 4
1 a b 3 2
Câu 14. (Thầy Trần Trọng Trị - THPT Gia Định – TP.HCM) Cho hai số phức z , z thỏa mãn điều kiện 1 2
2 z i z z 2i và z 10 i 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z z ? 1 1 1 2 1 2 A. 3 5 1 . B. 101 1 . C. 101 1 . D. 10 1 . Hướng dẫn giải. Chọn A. Cách 1. 2 x
Ta có 2 z i z z 2i suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z nằm trên parabol P : y . 1 1 1 1 4
Và z 10 i 1 suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z nằm trên đường tròn 2 2 2 2 C x 2 y 2 : 10
1 1. Xét đường tròn : x 10 y 1 k với k 0; tiếp xúc với
P. Giải điều kiện tiếp xúc và P x 10 y' y 1 k x 102
k x 102 2 2 Ta có x
10 y 1 k .
y 1 k x 102 x 10 y'
k x 102
và P tiếp xúc nhau khi hệ phương trình sau có nghiệm 2 x
1 k x 102 4 x x 10 TH1: x
0 x 4 k 45 10 x . 2 2 x 1
k x 102 2 4
Sưu tầm và biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454
Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 9 2 x
1 k x 102 4 x x 10 TH2: x
0 x 4 k 45 10 . 2 x 2 x 1
k x 102 2 4
Ta suy ra k 45 . Vậy Min 3 5 1 . 1 z z2 Cách 2. 2 x
Ta có 2 z i z z 2i suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z nằm trên parabol P : y . 1 1 1 1 4
Và z 10 i 1 suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z nằm trên đường tròn 2 2
C x 2 y 2 : 10
1 1 . Đường tròn C có tâm là I 10; 1 bán kính R 1 . 2 a 4 2 a a 3 a Xét điểm A 2 / a; P , khi đó
IA f a 20a 101 ; f a a 20 ; 4 16 2 4 /
f a 0 a 4 , lập BBT suy ra Minf a 45 suy ra MinIA 3 5 . Vậy Min 3 5 1 . z z 1 2 3
Câu 15. Cho số phức z thỏa z 2 z 2 6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 3 z A. 3 . B. 2 . C. 1 . D. 4 . Hướng dẫn giải. Chọn A. 2 2
Đặt z x yi , với a, b . Khi đó ta có z z x 2 2 2 2 6
2 y x y 2 6 . Xét điểm F 2;
0 , F 2; 0 và M x; y , suy ra ta có biểu thức 2 1
MF MF 6 2.3 , suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức 1 2 2 2 x y
z nằm trên đường elip có phương trình 1 (với 9 5
a 3,b 5, c 2 ). Tọa độ các đỉnh trên trục lớn là A 3
; 0 , A 3; 0 , các đỉnh nằm trên trục bé là 2 1
B 0; 5 , B 0; 5 . 2 1
Ta có z 3 x 32 2
y MA , z MO ( O là gốc tọa độ). Suy ra 3
P MA MO . 1 1
MinMA M A MinMA 0 Lại có 1 1 1 . Vậy P 3 . min
Max MO M A hay M A
MaxMO OA OA 3 1 2 1 2
Câu 16. (THPT chuyên Hưng Yên –L3) Cho số phức z thoả mãn z 3 4i 5 . Gọi M và m lần lượt là 2 2
gia trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 2 z i . Tính modun của số phức w M mi A. w 2 314 . B. w 2 309 . C. w 1258 . D. w 3 137 . Hướng dẫn giải Chọn C. 2 2
Đặt z x yi . Ta có P x 2 2 2 y x y 1
4x 2y 3
Sưu tầm và biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454
Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 10 2 2
Mặt khác z 3 4i 5 x 3 y 4 5 , đặt x 3 5 sint; y 4 5 cost .
Suy ra P 4 5 sint 2 5 cost 23 , ta có 10
4 5 sin t 2 5 cost 10 .
Do đó 13 P 33 w 1258 .
Câu 17. (THPT chuyên Hưng Yên –L3) Cho số phức w, biết rằng z w 2i và z 2w 4 là hai nghiệm 1 2 của phương trình 2
z az b 0 với a,b là các số thựC. Tính T z z . 1 2 8 10 2 3 2 37 A. T . B. T . C. T 5 . D. T . 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn A. 2
Đặt w x yi . Theo Viet ta có: z z a 3w 2i 4 3x 4 3y 2 i là số thực nên y . Lại 1 2 3 2 4
có z z b x i 2i
2x i 4 là số thực. 1 2 3 3 4 4 4 16 Suy ra x i
2x 4 i x2x 4 i x 4
là số thực suy ra x 4 3 3 3 9 2 4 4 8 10
Do đó z 4 i 2i 4 i , z 4 i T . 1 3 3 2 3 3
Câu 18. (THPT Thái Nguyên – L2) Tập hợp các số phức w 1 i z 1 với z là số phức thỏa mãn
z 1 1 là hình tròn. Tính diện tích hình tròn đó. A. 4 . B. 2 . C. 3 . D. . Hướng dẫn giải Chọn B
Đặt w x yi , với x, y thì
w 1 i z 1 w 1 iz
1 i 2 w i 2 z
1 iz 1 w i
z iz x 2 y 2 z 2 2 1 1 2 1 2
1 2 , suy ra tập hợp số phức cần tìm nằm
trên hình tròn bán kính R 2 có tính biên. 2
S R 2 .
Câu 19. (THPT Thái Nguyên – L2) Cho số phức z có môđun là 3 , biết tập hợp các điểm biểu diễn số
phức w 3 2i 2 i z là một đường tròn thì có bán kính là? A. 3 2 . B. 3 5 . C. 3 3 . D. 3 7 . Hướng dẫn giải Chọn B
x yi i
Đặt w x yi , với x, y thì x yi i i 3 2 3 2 2 z z 2 i
2x 2yi 6 4i xi y 3i 2
i x 2y 1 2x y 8 z z 5 5
z x y 2 x y 2 2 2 3 2 1 2 8
25.9 5x 5y 30x 20y 65 29.5
x y x y
x 2 y 2 2 2 6 4 13 45 3 2 45 R 3 5 .
Sưu tầm và biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454
Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 11
z 11 iz
Câu 20. (THPT Thái Nguyên – L2) Cho số phức z a bi , với a, b thỏa mãn i . Tính 1 z z 2 2 a b ? A. 3 2 2 . B. 2 2 2 . C. 3 2 2 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn A z 0 Điều kiện . z 1
z 11 iz 2 2 Khi đó
i z 1 iz z 1i z i z z 1i z z 1 z i 1 z z 2 2
z 1 z z 1 z 0 2
z 1 2 z 3 2 2 . 2 2
z 1 z z
z 2 z 1 0
Câu 21. (THPT chuyên KHTN – Hà Nội – L5) Cho z , z là 2 số phức bất kỳ, giá trị biểu thức: 1 2 2 2 z z 1 2 a bằng? 2 2 z z z z 1 2 1 2 1 3 A. a 2 . B. a . C. a 1 . D. a . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B Cách 1.
Đặt z a bi , z c di , với a, b, c, d . Khi đó 1 2 2 2 z z 2 2
a b 2 2 c d 1 2 1 a 2 2 z z z z
a c2 b d2 a c2 b d2 2 1 2 1 2 Cách 2. 2 2 z z 1 1 1 Ngoài ra ta có thể chọn 1 2
z z 1 . 1 2 2 2 z z z z 2 2 2 2 2 1 2 1 2 0
Câu 22. Cho số phức z thỏa z 2 2i 17 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của P 1999 z 2 i 2017 z 6 3i . Tính M m .
A. M m 8302 17 .
B. M m 4034 17 . C. M m 2 2 17 1999 2017 1999 . D. M m 2 2 2 17 1999 2017 1999 . Hướng dẫn giải Chọn D Cách 1.
z 2 2i 17 suy ra tập hợp số phức z nằm trên đường tròn tâm I 2; 2 bán kính 17 .
Sưu tầm và biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454
Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 12
Xét các điểm A 2;
1 , B6;3 , Cx; y . Khi đó P 1999CA 2017CB . Ta có AB là đường kính của
đường tròn tâm I nên 2
P 1999 68 CB 2017CB . Xét hàm số f x 2
1999 68 x 2017x với x 0; 2 17 suy ra P 1999.2 17 , min 2 2 P
2 17 1999 2017 . Vậy M m 2 2 2 17 1999 2017 1999 . max Cách 2. 2 2
z 2 2i 17 a b 4a 4b 9 2 2 2 2
P 1999 z 2 i 2017 z 6 3i 1999 a b 4a 2b 5 2017 a b 12a 6b 45 2 2
P 1999 8a 2b 14 2017 8
a 2b 54 2 17 1999 2017 Suy ra 2 2 P
2 17 1999 2017 . P
1999.2 17 (sử dụng xét hàm) max min
Vậy M m 2 2 2 17 1999 2017 1999 .
Chú ý: ở cách hai ta có có thể xét hàm số f t 1999 14 t 2017 t
54 (với t 8a 2b và 14 t 54 ).
Câu 23. (THPT Chu Văn An – Hà Nội – L2) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 2 . Tìm giá trị
lớn nhất của T z i z 2 i A. maxT 8 2 . B. maxT 4 . C. maxT 4 2 . D. maxT 8 . Hướng dẫn giải Chọn B
Đặt z x yi . Ta có: z x yi x 2 2 1 2 1 2 1 y 2 2 2 2 Khi đó: 2
T z 1 z 2 i x yi i x yi 2 i x y
1 x 2 y 1
x y 2 x 2 y 2 2 2 2 1 1 . 1 2 1
x x y x 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2.
1 y 4 2.4 4 4 Vậy maxT 4 . z
Câu 24. (THPT Quốc Học – Huế - L2) Cho số phức z 0 sao cho z không phải là số thực và w 2 1 z z là số thựC. Tính . 2 1 z 1 1 1 A. . B. . C. 2. D. . 5 2 3 Hướng dẫn giải Chọn B Cách 1. z
Theo giả thiết ta có w
là số thực nên ta có thể chọn w là số thực bất kỳ sao cho z không 2 1 z phải là số thực.
Sưu tầm và biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454
Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 13 z 1 i 3 z 1 Chọn 2 w
1 z 1 z z z 1 . 2 2 1 z 2 2 1 z Cách 2. z 2 1 z 1 1 1 Ta có w là số thực suy ra z là số thực suy ra
là số phức liên hợp của z 2 1 z w z z z 2 1 z 1 1 suy ra . z z z . z 1 z 1 . 2 z 1 1 2 1 z
Câu 25. (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – L3) Cho số phức z thay đổi, luôn có z 2 . Khi đó tập hợp
điểm biểu diễn số phức w 1 2i z 3i là:
A. Đường tròn x y 2 2 3 2 5 .
B. Đường tròn x y 2 2 3 20 .
C. Đường tròn x y 2 2 3 20 .
D. Đường tròn x 2 2 3 y 2 5 . Hướng dẫn giải Chọn B
Giả sử w a bi a,b a bi 1 2i z 3i
a b 3i
a b 3i1 2i a 2
b 3 2a b 3i z 1 2i 5 5 1 z z
a 2b 3 2
2a b 32 2 a 2b 62 2a b 32 100 5
a b2 a b2 2 2
12a 2b 62a b 55 a b b
a b b
a b 2 2 2 2 2 2 5 5 30 55 6 11 3 20 . 1
Câu 26. (THPT chuyên Vị Thanh – Hậu Giang) Biết số phức z thỏa mãn phương trình z 1. Tính z 2016 1 P z . 2016 z A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn C 3 1 1 1 1 1 Ta có z 1 3 z 1 z 3 z 1 3 3 z
2 0 z 2 3 1 0 z 1 z 3 3 z z z z
P z 672 3 1 1 1 2. z 672 3
Câu 27. (THPT Kim Liên – Hà Nội) Cho hai số thực b và c c 0. Ký hiệu A , B là hai điểm của mặt
phẳng phức biểu diễn hai nghiệm của phương trình 2
z 2bz c 0. Tìm điều kiện của b và c
sao cho OAB là tam giác vuông ( O là gốc tọa độ). A. 2 b 2 . c B. 2 c 2b . C. b c. D. 2 b c. Hướng dẫn giải Chọn B
Theo yêu cầu bài toán suy ra phương trình không có nghiệm thực.
Sưu tầm và biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454
Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 14 2 2
z b i c b Ta có: 2
z 2bz c 0 z b 2 1
b c 2
c b . Khi đó A 2 ; b c b , 2
z b i c b 2 B 2 ;
b c b , suy ra OA 2 ;
b c b , OB 2 ;
b c b . Ta có A, B là hai điểm đối xứng nhua
qua trục Oy . Suy ra tam giác OAB vuông tại O . Theo giả thiết ta có: 2 2 2
b b c 0 c 2b .
Câu 28. (Chuyên Ngữ – Hà Nội) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số
phức z thỏa mãn điều kiện số phức w z2 3i 5 i là số thuần ảo. A. Đường tròn 2 2 x y 5.
B. Đường thẳng 2x 3y 5 0. 2 2
C. Đường tròn x 3 y 2 5.
D. Đường thẳng 3x 2y 1 0. Hướng dẫn giải Chọn B
Đặt z x yi , với x, y w x yi2 3i 5 i 2x 3y 5 3x 2y 1 i .
2x 3y 5 0
W là số thuần ảo khi và chỉ khi
2x 3y 5 0 Tập hợp các điểm biểu diễn số
3x 2y 1 0
phức z là đường thẳng 2x 3y 5 0.
Câu 29. (Chuyên Ngữ – Hà Nội) Cho số phức z thỏa mãn z 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
T z 1 2 z 1 .
A. M axT 2 5.
B. M axT 2 10.
C. M axT 3 5.
D. M axT 3 2. Hướng dẫn giải Chọn A Cách 1.
T z z 2 2 z z 2 2 1 2 1 1 2 1 1 5.2 z
1 2 5 (BĐT Bunhiacopxki) 2 2 2 Chú ý: 2 2
z 1 z 1 2x 2y 2 2 z 1 với z x yi , x, y . Cách 2.
Đặt z x yi , với x, y ta có:
T x yi x yi x 2 y x 2 2 2 1 2 1 1 2 1 y Lại có 2 2
x y 1 T 2x 2 2 2x 2 f x 1 2 6
Ta có f 'x 0 x T 2 5 . max 2x 2 2 2x 10
Câu 30. (Sở GD – Đồng Tháp) Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện|z 1 2i| |
z i| , tìm số phức có mô-đun nhỏ nhất. 1 3 3 1 2 16 16 2 A. z i .
B. z i . C. z i . D. z i . 5 5 5 5 5 5 5 5 Hướng dẫn giải Chọn A
Gọi z a bi , a, b R . Ta có z 1 2i z i a 1 b 2i ab ii
Sưu tầm và biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454
Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 15
a 2 b 2 a b 2 2 2 2 2 2 1 2 1
a 2a 1 b 4b 4 a b 2b 1
2a 6b 4 a 3b 2 2 2 Do đó 2 2
z a b b 2 2 3 2 10 3 2
b 10b 12b 4 10 b . 5 5 5 3 1 1 3
Dấu " " xảy ra b a . Vậy z i. 5 5 5 5
Câu 31. (THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm) Cho số phức z thỏa mãn w z 1z 2i là một số thuần ảo.
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có diện tích bằng bao nhiêu? 5 5 A. 5 . B. . C. . D. 25 . 4 2 Hướng dẫn giải Chọn B
Đặt z a bi , với a, b w a bia bi i 2 2 1
2 a b a 2b 2a b 2i . 2 2 2
a b a 2b 0 1 2 5
w là số thuần ảo suy ra 2 2
a b a 2b 0 a b 1 . 2a b 2 0 2 4 5
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có diện tích bằng . 4
Câu 32. (THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm) Cho số phức z x yi x, y . Khi đó phần thực a và phần z i
ảo b của số phức là: iz 2 x2y 1 2 2
y y x 2
x2y 1 2 2
y y x 2 A. a , b . B. a , b . 2 2
y 22 x y 22 2 2 x y 2 2 x y 2 2 x x2y 1 2 2
y y x 2
x2y 1 2 2
y y x 2 C. a , b . D. a , b . 2 2
y 22 x y 22 2 2 x y 2 2 x y 2 2 x Hướng dẫn giải Chọn B
x yi i
x yi i
x yi ixi y 2 x 2xy i 2 2
y y x 2 Ta có:
i x yi 2 xi y 2
xi y 2xi y 2
x y 22 2
x2y 1 a
x2y 1 2 2
y y x 2 y 22 2 x i .
y 22 x
x y 22 2 2 2 2
y y x 2 b x y 22 2
Câu 31. (THPT Lam Sơn – Thanh Hóa) Cho số phức z , tìm giá trị lớn nhất của z biết z thỏa mãn điều 2 3i kiện z 1 1. 3 2i
Sưu tầm và biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454
Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 16 A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 2. Hướng dẫn giải Chọn B
Tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z a bi R tìm modun lớn nhất và nhỏ nhất của số phức z . 2 2
Điểm biểu diễn số phức z là đường tròn x a y b 2 R . Khi đó: 2 2 z
OI R a b R , 2 2 z
OI R a b R . max min 2 3i Áp dụng: Ta có:
z 1 1 iz 1 1
zx yi
y 12 2 x 1. 3 2i Khi đó: z
OI R 1 1 2. max
Câu 32. (THPT Thanh Chương –Nghệ An – L1) Cho z , z là hai số phức thỏa mãn phương trình 1 2
2z i 2 iz , biết z z 1. Tính giá trị của biểu thức P z z . 1 2 1 2 3 2 A. P . B. P 2. C. P . D. P 3. 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D Cách 1. 2 2
Ta có 2z i 2 iz 2z i 2 iz (2z i)(2.z i) (2 iz)(2 i.z) 2 2 2
4z.z 2iz 2iz i 4 2iz 2iz i z.z 5z.z 5 .
z z 1 z 1 z 1
z 1 và z 1. 1 2 2 Chú ý: 2 .
a a a 2z i (2z i).(2z i) (2z i)(2z i).
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z , z là đường tròn tâm O , R 1. 1 2
Gọi M z , M z OM OM 1. 1 1 2 2 1 2
Ta có z z OM OM M M 1 OM M đều. 1 2 1 2 2 1 1 2
Mà z z OM OM OM OM với M là điểm thỏa mãn OM MM là hình thoi cạnh 1 1 2 1 2 1 2
OM 3 P 3. Cách 2.
Đặt z x yi (x, y ), ta có 2z i 2x 2(y 1)i và 2 iz 2 y xi. z 1 Khi đó 2 2 2 2 2 2 1
2z i 2 iz 4x (2y 1) (y 2) x x y 1 z 1 . z 1 2 2 2 Sử dụng công thức 2 2 z z z z
2 z z 2 z z
3 z z 3. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
Câu 33. (Sở GD Phú Thọ) Cho hai số phức z và z thỏa mãn z 3 , z 4 , z z 37 . Xét số 1 2 1 2 1 2 z phức 1 z
a bi . Tìm b . z2 3 3 39 3 3 A. b . B. b . C. b . D. b . 8 8 8 8 Hướng dẫn giải
Sưu tầm và biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454
Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 17 Chọn A.
Đặt z x yi ,
z c di x, y,c,d . Ta có: 2 2
z 3 x y 9 ; 2 2
z 4 c d 16 ; 1 2 1 2
z z 37 x c2 y d2 2 2 2 2
37 x y c d 2xc 2yd 37 xc yd 6 . 1 2 z x yi
x yic di xc yd yc xdi xc yd yc xd 3 Lại có: 1
i a bi bi . 2 2 2 2 2 2 2 2 z c di c d c d c d c d 8 2 2 z z 3 9 9 3 27 3 3 Mà 1 1 2 2 2 2 2
a b a b b b . z z 4 16 16 8 64 8 2 2 3 3 Vậy b . 8
Câu 34. (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – L4) Cho số phức z thỏa mãn z không phải số thực và z w
là số thựC. Giá trị lớn nhất của biểu thức P z 1 i là 2 2 z A. 2 2 . B. 2 . C. 2 . D. 8 . Hướng dẫn giải Chọn A. Cách 1. z z z w
là số thực w w 2 2 2z .
z z 2z zz 2 2 z 2 2 2 z 2 z
2z z .
z z z z z z (loại do z không là số thực) hoặc 2 .
z z z 2 .
Suy ra: OM 2 với M là điểm biểu diễn của z , M thuộc đường tròn C tâm O , R 2 Ta có:
P z 1 i MA , với A 1 ;
1 . Ta có: A C nên MA lớn nhất bằng 2R 2 2 . Cách 2.
Vì z không là số thực nên z 0 . Suy ra w 0 . z 1 Ta có w w 2 2 z 2 z z z 2 0 * . 2 2 z w 1
* là phương trình bậc hai với hệ số thực
nên có nghiệm 2 phức z , z liên hợp của nhau. 1 2 w Theo Viet ta có:
z .z 2 z .z 2 z z 2 z z 2 z 2 . 1 2 1 2 1 2 1 1
Suy ra P z 1 i z 1 i 2 2 2 2 . Cách 3. z 1 2 1 2 Ta có w z , mà w suy ra , suy ra
là số phức liên hợp của z . 2 2 z w z w z Suy ra .
z z 2 z 2 . Ta có P z 1 i z 1 i 2 2 2 2 .
Câu 35. (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – L4) Cho hai số phức z và z thỏa mãn z z z z 1 . 1 2 1 2 1 2 Tính z z 1 2 3 A. 3 . B. 1 . C. 2 3. D. . 2
Sưu tầm và biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454
Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 18 Hướng dẫn giải Chọn A Cách 1. 2 2 2 2 2 Ta có z z z z 2 z z
. Khi đó z z
2 1 1 1 3 z z 3 . 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Cách 2. z 1
Chọn z 1 từ đó suy ra z từ hệ 2
. Thay vào z z ta cũng được kết quả z z 3 . 1 2 z 1 2 1 2 1 1 2
Câu 36. (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình) Gọi H là hình biểu diễn tập hợp các số
phức z trong mặt phẳng tọa đọ Oxy để 2z z 3 số phức z có phần thực không âm. Tính
diện tích hình H . 3 3 A. 3 . B. . C. . D. 6 . 2 4 Hướng dẫn giải Chọn B
Đặt z x yi x 0 , a,b 2 2
2z z 3 x 3yi 3 x 9y 9 . 2 2 x y 1 1 3
1 . Do hình H là nửa hình Elip có a 3,b 1. Khi đó S S . ab . elip 9 1 2 2 2
Câu 37. (THPT Hoằng Hóa 4 – Thanh Hóa) Cho số phức z thỏa điều kiện z 1 z i . Tìm số phức
w z 2i 3 có môđun nhỏ nhất. 1 3 1 1 1 1 1 3 A. i . B. i . C. i . D. i . 2 2 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B. Cách 1. Đại số
Đặt z a bi với a,b .
Ta có z 1 z i a bi 1 a bi i a 1 bi a b 1i
a 2 b a b 2 2 2 1
1 a b 0
Khi đó w a bi 2i 3 a 3 b 2i a 3 a 2i 2 2
w a 2 a 2 2 2 25 1 5 1 1 3 2
2a 10a 13 2 a 5a 2 a 4 2 2 2 2 2 5 5 5 5 1 1 w khi a b z
i w i . min 2 2 2 2 2 2 2 Cách 2. Hình học
Đặt z a bi với a,b .
Ta có z 1 z i a bi 1 a bi i a 1 bi a b 1i
a 2 b a b 2 2 2 1
1 a b 0 , suy ra tập hợp các số phức z nằm trên đường thẳng
: y x . Xét điểm I 3; 2
. Ta có w z 2i 3 w z 2i 3 IM .
Sưu tầm và biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454
Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 19 Ta có IM
khi M là hình chiếu vuông góc của I trên , M ;
m m suy ra IM m 2; 3 m , min 5 1 1
IM.u 0 m 2 m 3 0 m
. Vậy w i là số phức có môđun nhỏ nhất. 2 2 2
Câu 38. (THPT Đống Đa – Hà Nội) Cho số phức z thỏa mãn 2
z 2z 2 z 1 i . Biểu thức z có giá trị lớn nhất là A. 2 1 . B. 2 . C. 2 2 . D. 2 1. Hướng dẫn giải. Chọn A. Cách 1: Đại số.
z 1 i 0 1 2
z 2z 2 z 1 i z 2 2
1 i z 1 i z 1 i z 1 i z 1 i .
z 1 i 1 2 +) 1 z 1
i z 2 3 . 2 2
+) Đặt z a bi , với a, b . Khi đó ta có 2 a 1 b 1i 1 a 1 b 1 1 2 2
a b 2a 2b 1 , theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: a b 2 2 2 2 1
8 a b 1 2
z 2 2 z 1 0 2 1 z 2 1 4 .
Từ 3 , 4 suy ra z 2 1 . max Cách 2: Hình học. 2
z 2z 2 z 1 i z 2 2
1 i z 1 i
z 1 i 0 1
z 1 i z 1 i z 1 i .
z 1 i 1 2 +) 1 z 1
i z 2 3 . +) Đặt
z a bi , với a, b . Khi đó ta có 2 2
2 a 1 b 1i 1 a 1 b 1 1, suy ra tập hợp
các số phức cần tìm nằm trên đường tròn tâm I 1 ; 1 , bán kính
R 1 . Suy ra OI R z OI R 2 1 z 2 1 . Vậy z 2 1 . max
Câu 39. (Sở GD Bắc Giang – L1) Cho số phức z thay đổi và luôn thỏa mãn z 3 4i 4 . Tìm giá trị lớn nhất P
của biểu thức P z Max A. P 12 . B. P 5 . C. P 9 . D. P 3 . Max Max Max Max Hướng dẫn giải Chọn C
Cho số phức z thõa mãn z a bi R tìm modun lớn nhất và nhỏ nhất
của số phức z . Điểm biểu diễn số phức z là đường tròn: 2 2 2 x a y b R Khi đó 2 2 z
OI R a b R , 2 2 z
OI R a b R . max min
Sưu tầm và biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454
Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 20 Áp dụng: 2 2 P 3 4 4 9 . Max Câu 40
(Sở GD Quảng Ninh) Cho hai số phức z , z thỏa mãn z z z z 1 . Tính giá trị của 1 2 1 2 1 2 2 2 z z biểu thức 1 2 P z z 2 1
A. P 1 i .
B. P 1 i . C. P 1 .
D. P 1 i . Hướng dẫn giải Chọn C Cách 1. z z z z z Ta có 1 1 2 1 1 GT 1 1 1 . z z z z 2 2 2 2 3 z b 1 3 1
Đặt 1 a bi ta có: a b a 2 2 2 2 1 1 b 2 2 w P w 1 . z 2 1 2 2 w 2 a 2 Cách 2. 1 i 3 1 i 3 Chọn z ; z P 1 . 1 2 2 2 2 2
Cách 3. Dùng dạng lượng giác của số phức (đọc thêm).
Gọi Az ; B z ; AB z z OAB là tam giác đều cạnh 1 1 2 1 2 2 2 2 z r r Khi đó 1 1 1 1 1 2 2 1 1
20 cos120 i sin120 1 2 1 2 0 0 0 z r r 2 2 2 2 2 z Tương tự 1 cos 0 1 20 i sin 0 120 P 1 . z 2
Câu 41. (THPT chuyên Hà Giang – L1) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 2i 1 . Tìm giá trị lớn nhất của z
A. max z 2 2 1 . B. max z 2 2 .
C. max z 2 2 2 .
D. max z 2 2 1. Hướng dẫn giải Chọn A Cách 1. Đại số
Giả sử z a bi , với a,b . 2 2
Ta có: z 2 2i 1 a bi 2 2i 1 a 2 b 2i 1 a 2 b 2 1 .
a 2 sin t Đặt . b 2 cost 2 2 Khi đó: 2 2
z a b 2 sint 2
cost 9 4sint cost 9 4 2 2
sin t cos t 9 4 2 2 2 1 z
2 2 1 khi sin t cost . max
Sưu tầm và biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454
Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 21 Cách 2. Hình học
Cho số phức z thỏa mãn z a bi R tìm mô đun lớn nhất và nhỏ nhất
của số phức z . Điểm biểu diễn số phức z là đường tròn: 2 2 2 x a y b R Khi đó 2 2 z
OI R a b R , 2 2 z
OI R a b R . max min Áp dụng: 2 2 P
2 2 1 2 2 1 . max
Câu 42. (Chuyên KHTN – Hà Nội – L4) Gọi z , z là 2 nghiệm của phương trình 2
z z 1 0 . Tính giá 1 2 trị 2017 2017 P z z . 1 2 A. P 1 . B. P 1 . C. P 0 . D. P 2 . Hướng dẫn giải Chọn B
Vì z là nghiệm của phương trình 2
z z 1 0 nên ta có 1 2 3 3 2016 2017
z z 1 0 z 1 0 z 1 z 1 z z 1 1 1 1 1 1 1
Chứng minh tương tự: 2017 z
z . Vậy P z z 1 . 2 2 1 2
Câu 43. (Chuyên KHTN – Hà Nội – L4) Với hai số phức z và z thỏa mãn z z 8 6i và z z 2 1 2 1 2 1 2
. Tìm giá trị lớn nhất của P z z . 1 2 A. P 5 3 5 . B. P 2 26 . C. P 4 6 . D. P 34 3 2 . Hướng dẫn giải Chọn B
Đặt OA z ,OB z ( với O là gốc tọa độ, A,B là điểm biểu diễn của 1 2 z , z ). 1 2
Dựng hình bình hành OACB , khi đó ta có AB z z 2 , 1 2
OC z z 10 , OM 5 . 2 1 Theo định lý đường trung tuyến ta có 2 2 2 OA OB 2 AB 2 2 2 2 2 OM
OA OB 52 z z 52 1 2 4 2 2
Ta có z z 2 z z
2 26 (BĐT Bunhiacopxki). Vậy P 2 26 . 1 2 1 2 max
Câu 44. (Sở GD Hải Dương) Cho số phức z thỏa mãn .
z z 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3
P |z 3z z ||z z |. 15 3 13 A. . B. . C. . D. 3 . 4 4 4 Hướng dẫn giải Chọn B
Giả sử z a bi z a bi , với a,b . . z z 1 suy ra 2 2 b 1 a .
Sưu tầm và biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454
Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 22 2 2 3
P |z 3z z||z z| suy ra 2 P a 2 2 a b 2 b 2 2 a b 2 3 4 3 2 4a 3
P f x 2
x x 1 với x 0; 4
. Lập bảng biến thiên ta suy ra P . min 4
Trong quá trình biên soạn tôi cũng khó có thể tránh khỏi sai sót. Mong nhận được sự góp ý từ các bạn và
quí thầy cô. Mọi góp ý xin inbox trực tiếp cho tôi theo địa chỉ https://www.facebook.com/lehong.quoc.12
.Chân thành cảm ơn và chúc các bạn học tốt!
Sưu tầm và biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454