Hướng dẫn sử dụng máy tính cầm tay giải nhanh bài toán số phức – Trần Bá Hưng Toán 12
Hướng dẫn sử dụng máy tính cầm tay giải nhanh bài toán số phức – Trần Bá Hưng Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Chủ đề: Chương 4: Số phức 121 tài liệu
Môn: Toán 12 3.9 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
ЎЇϮБЌȂ
GIẢI NHANH BÀI TOÁN SỐ PHỨC A2ІϪЁЏǤ I) KIӂN THӬC NӄN TҦNG
1. Các khái niӋm thѭӡng gһp
ҿŶǀҷңŽůăŵҾƚĜҢŝůӇӄŶŐĜӇӄĐŬşŚŝҵƵ i ǀăĐſƚşŶŚĐŚҤƚ 2 i = −1
^ҺƉŚӈĐůăŵҾƚďŝҳƵƚŚӈĐĐſĚҢŶŐ a + bi ƚƌŽŶŐĜſ a,b ůăĐĄĐƐҺƚŚӌĐ͘dƌŽŶŐĜſ a ĜӇӄĐŐҸŝůă
ƉŚҥŶƚŚӌĐǀă b ĜӇӄĐŐҸŝůăƐҺңŽ
^ҺƉŚӈĐůŝġŶŚӄƉĐӆĂƐҺƉŚӈĐ z = a + bi ůăƐҺƉŚӈĐ z = a − bi 1 1
^ҺƉŚӈĐŶŐŚҷĐŚĜңŽĐӆĂƐҺƉŚӈĐ z = a + bi ůăƐҺƉŚӈĐ 1 z− = = z a + bi
DƀĚƵůĐӆĂƐҺƉŚӈĐ z = a + bi ĜӇӄĐŬşŚŝҵƵůă z ǀăĐſĜҾůӀŶ 2 2 z = a + b 2. LӋnh Caso
ҳdžӊůljƐҺƉŚӈĐƚĂƐӊĚӅŶŐůҵŶŚƚşŶŚƐҺƉŚӈĐDKϮ
>ҵŶŚƚşŶŚDƀĜƵŶĐӆĂƐҺƉŚӈĐůă^,/&d,zW
>ҵŶŚƚşŶŚƐҺƉŚӈĐůŝġŶŚӄƉ z ůă^,/&dϮϮ
>ҵŶŚƚşŶŚĐŐƵŵĞŶƚĐӆĂƐҺƉŚӈĐůă^,/&dϮϭ II) VÍ DӨ MINH HӐA
VD1-[ĈӅ minh hӑa THPT Quӕc Gia lҫn 1 năm 2017]
Cho hai sӕ phӭc z = 1+ i và z = 2 − 3i .Tính Môÿun cӫa sӕ phӭc z + z 1 2 1 2
A. z + z = 13
B. z + z = 5
C. z + z = 1
D. z + z = 5 1 2 1 2 1 2 1 2 GIҦI ¾
ĉŶŐŶŚҨƉůҵŶŚƐҺƉŚӈĐZ
;<ŚŝŶăŽŵĄLJƚşŶŚŚŝҳŶƚŚҷĐŚӋDW>yƚŚŞďҩƚĜҥƵƚşŶŚƚŽĄŶƐҺƉŚӈĐĜӇӄĐͿ ¾
ҳƚşŶŚDƀĜƵŶĐӆĂƐҺƉŚӈĐƚĂŶŚҨƉďŝҳƵƚŚӈĐǀăŽŵĄLJƚşŶŚƌһŝƐӊĚӅŶŐůҵŶŚ^,/&d,zW ESE TF0
sҨLJ z + z = 13 ĄƉƐҺĐŚşŶŚdžĄĐůă 1 2
VD2-[Thi thӱ báo Toán hӑc tuәi trҿ lҫn 3 năm 2017] 2 2
Sӕ phӭc liên hӧp vӟi sӕ phӭc z = (1+ i) − 3(1+ 2i) là : A. 9 − −10i B. 9 +10i C. 9 −10i D. 9 − +10i GIҦI ¾
^ӊĚӅŶŐŵĄLJƚşŶŚĂƐŝŽƚşŶŚ z EGSEG TOANMATH.com
Tác giả: Trần Bá Hưng z = 9 −10i ¾
^ҺƉŚӈĐůŝġŶŚӄƉĐӆĂ z = a + bi ůă z = a − bi ͗
sҨLJ z = 9 +10i ĄƉĄŶůăĐŚşŶŚdžĄĐ
VD3-[Thi thӱ trung tâm DiӋu HiӅn – Cҫn thѫ lҫn 1 năm 2017]
Cho sӕ phӭc z = a + bi . Sӕ phӭc 2 z có phҫn ҧo là : A. 2 2 a b B. 2 2 2a b C. 2ab D. ab GIҦI ¾
sŞĜҲďăŝĐŚŽӂĚҢŶŐƚҼŶŐƋƵĄƚŶġŶƚĂƚŝұŶŚăŶŚ͞ĐĄďŝҵƚŚſĂ͟ďăŝƚŽĄŶďҪŶŐĐĄĐŚĐŚҸŶŐŝĄƚƌҷĐŚŽ
a, b ;ůӇƵljŶġŶĐŚҸŶĐĄĐŐŝĄƚƌҷůүĜҳƚƌĄŶŚdžңLJƌĂƚƌӇӁŶŐŚӄƉĜҭĐďŝҵƚͿ͘
ŚҸŶ a = 1.25 ǀă b = 2.1ƚĂĐſ z = 1.25 + 2.1i ¾
^ӊĚӅŶŐŵĄLJƚşŶŚĂƐŝŽƚşŶŚ 2 z EG 21 sҨLJƉŚҥŶңŽůă 4 21 ¾
yĞŵĜĄƉƐҺŶăŽĐſŐŝĄƚƌҷůă
ƚŚŞĜĄƉĄŶĜſĐŚşŶŚdžĄĐ͘dĂĐſ͗ 4 21 Vұy 2ab =
Ĉáp án C là chính xác 4
VD4-[Thi thӱ báo Toán hӑc tuәi trҿ lҫn 4 năm 2017]
ĈӇ sӕ phӭc z = a + (a − )
1 i ( a là sӕ thӵc) có z = 1 thì : 1 3 ªa = 0 A. a = B. a = C. « D. a = 1 ± 2 2 ¬a = 1 GIҦI ¾
ҳdžӊůljďăŝŶăLJƚĂƐӊĚӅŶŐƉŚĠƉƚŚӊ͕ƚƵLJŶŚŝġŶƚĂĐŚҸŶ a ƐĂŽĐŚŽŬŚĠŽůĠŽŶŚҤƚĜҳƉŚĠƉƚŚӊƚŞŵ
ĜĄƉƐҺŶŚĂŶŚŶŚҤƚ͘dĂĐŚҸŶ a = 1ƚƌӇӀĐ͕ŶұƵ a = 1ĜƷŶŐƚŚŞĜĄƉĄŶĜƷŶŐĐŚҶĐſƚŚҳů㌎ҭĐ͕
ŶұƵ a = 1ƐĂŝƚŚŞǀăĜҲƵƐĂŝ͘ ¾
sӀŝ a = 1^ӊĚӅŶŐŵĄLJƚşŶŚĂƐŝŽƚşŶŚ z SE TF0 TOANMATH.com
Tác giả: Trần Bá Hưng
sҨLJ z = 1 ĄƉĄŶĜƷŶŐĐŚҶĐſƚŚҳů㌎ҭĐ ¾
dŚӊǀӀŝ a = 0 ^ӊĚӅŶŐŵĄLJƚşŶŚĂƐŝŽƚşŶŚ z ͗ SE TF0
sҨLJ z = 1 ĄƉĄŶĐŚşŶŚdžĄĐůă
VD5-[Thi thӱ THPT Phҥm Văn Ĉӗng – Ĉҳc Nông lҫn 1 năm 2017] 2 20
Sӕ phӭc z = 1+ (1+ i) + (1+ i) + ...+ (1+ i) có giá trӏ bҵng : A. 20 −2 B. 10 − + ( 20 2 2 + ) 1 i C. 10 + ( 10 2 2 + ) 1 i D. 10 10 2 + 2 i GIҦI ¾ 2 20
EұƵƚĂŶŚҨƉĐңďŝҳƵƚŚӈĐ1+ (1+ i) + (1+ i) + ...+ (1+ i) ǀăŽŵĄLJƚşŶŚĂƐŝŽƚŚŞǀҧŶĜӇӄĐ͕
ŶŚӇŶŐŵҤƚŶŚŝҲƵƚŚĂŽƚĄĐƚĂLJ͘ҳƌƷƚŶŐҩŶĐƀŶŐĜŽҢŶŶăLJƚĂƚŝұŶŚăŶŚƌƷƚŐҸŶďŝҳƵƚŚӈĐ
dĂƚŚҤLJĐĄĐƐҺŚҢŶŐƚƌŽŶŐĐƶŶŐďŝҳƵƚŚӈĐĜҲƵĐſĐŚƵŶŐŵҾƚƋƵLJůƵҨƚ͞ƐҺŚҢŶŐƐĂƵďҪŶŐƐҺŚҢŶŐ
ƚƌӇӀĐŶŚąŶǀӀŝĜҢŝůӇӄŶŐ1+ i ͞ǀҨLJĜąLJůăĐҤƉƐҺŶŚąŶǀӀŝĐƀŶŐďҾŝ1+ i 21 n − q − − i
1+ (1+ i) + (1+ i)2 + ...+ (1+ i)20 1 1 (1 ) = U =1. 1 1−1 1− (1− i) − ( + i)21 1 1 ¾ sӀŝ z =
^ӊĚӅŶŐŵĄLJƚşŶŚĂƐŝŽƚşŶŚ z 1− (1+ i) DSEA5SE dĂƚŚҤLJ 10 z = − + i = − + ( 10 1024 1025 2 2 + ) 1 i ĄƉĄŶĐŚşŶŚdžĄĐůă
VD6-[Thi thӱ chuyên KHTN lҫn 1 năm 2017] 1
NӃu sӕ phӭc z thӓa mãn z = 1 thì phҫn thӵc cӫa bҵng : 1 − z 1 1 A. B. − C. 2 D.Mӝt giá trӏ khác 2 2 GIҦI ¾
ҭƚƐҺƉŚӈĐ z = a + bi ƚŚŞDƀĜƵŶĐӆĂƐҺƉŚӈĐnjůă 2 2
z = a + b = 1 ¾ ŚҸŶ a = 0.5 2 2
0.5 + b =1͘^ӊĚӅŶŐĐŚӈĐŶĉŶŐĚžŶŐŚŝҵŵ^,/&d^K>sĜҳƚŞŵb ZVG4GSTU TOANMATH.com
Tác giả: Trần Bá Hưng
>ӇƵŐŝĄƚƌҷŶăLJǀ㎠b T-[ 1 ¾
dƌӂůҢŝĐŚұĜҾDW>yĜҳƚşŶŚŐŝĄƚƌҷ ͗ 1 − z ZD5S4[E 1
sҨLJƉŚҥŶƚŚӌĐĐӆĂ z ůă ĄƉĄŶĐŚşŶŚdžĄĐůă 2
VD7-[Thi thӱ nhóm toán Ĉoàn Trí DNJng lҫn 3 năm 2017]
Tìm sӕ phӭc z biӃt rҵng : (1+ i) z − 2z = 5 − +11i
A. z = 5 − 7i B. z = 2 + 3i C. z = 1+ 3i
D. z = 2 − 4i GIҦI ¾
sӀŝ z = 5 − 7i ƚŚŞƐҺƉŚӈĐůŝġŶŚӄƉ z = 5 + 7i ͘EұƵĜĄƉĄŶĜƷŶŐƚŚŞƉŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚ͗
(1+i)(5−7i)−2(5+7i) = 5 − +11i ;ϭͿ ¾
^ӊĚӅŶŐŵĄLJƚşŶŚĂƐŝŽŶŚҨƉǀұƚƌĄŝĐӆĂ;ϭͿ ESESE sŞ 2 −16i ≠ 5
− +11i ŶġŶĜĄƉĄŶƐĂŝ ¾
dӇҿŶŐƚӌŶŚӇǀҨLJǀӀŝĜĄƉĄŶ EESSE
ҴƚŚҤLJǀұƚƌĄŝ;ϭͿсǀұƉŚңŝ;ϭͿс 5 − +11i ĄƉƐҺĐŚşŶŚdžĄĐůă
VD8-[ĈӅ minh hӑa cӫa bӝ GD-ĈT lҫn 2 năm 2017]
Cho sӕ phӭc z = a + bi thӓa mãn (1+ i) z + 2z = 3 + 2i . Tính P = a + b 1 1 A. P = B. P = 1 C. P = −1 D. P = − 2 2 GIҦI ¾
WŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚ ⇔ (1+ i) z + 2z − 3 − 2i = 0 ;ϭͿ͘<ŚŝŶŚҨƉƐҺƉŚӈĐůŝġŶŚӄƉƚĂŶŚҤŶůҵŶŚ T TOANMATH.com
Tác giả: Trần Bá Hưng ¾
^ӊĚӅŶŐŵĄLJƚşŶŚĂƐŝŽŶŚҨƉǀұƚƌĄŝĐӆĂ;ϭͿ E4T4SSE ¾
X ůăƐҺƉŚӈĐŶġŶĐſĚҢŶŐ X = a + bi ͘EŚҨƉ X = 1000 +100i ;ĐſƚŚҳƚŚĂLJ a;b ůăƐҺŬŚĄĐͿ UE
2897 = 3.1000 −100 − 3 = 3a − b − 3
sҨLJǀұƚƌĄŝĐӆĂ;ϭͿďҪŶŐ 2897 + 898i ͘dĂĐſ͗ ®898 ¯
=1000 −100 − 2 = a − b − 2 3
a − b − 3 = 0 1 −3
DҭƚŬŚĄĐĜĂŶŐŵƵҺŶǀұƚƌĄŝ = 0 ® ⇔ a = ;b = a ¯ − b − 2 = 0 2 2 sҨLJ a + b = 1 − ĄƉƐҺĐŚşŶŚdžĄĐůă 5 + 3i 3
VD9-Sӕ phӭc z = có mӝt Acgument là : 1− 2i 3 π π π 8π A. B. C. D. 6 4 2 3 GIҦI ¾
dŚƵŐҸŶ z ǀҲĚҢŶŐƚҺŝŐŝңŶ z = −1+ 3i DEV5SEV ¾
dŞŵĐŐƵŵĞŶƚĐӆĂ z ǀӀŝůҵŶŚ^,/&dϮϭ TSVE 2π 2π
sҨLJ z ĐſϭĐŐƵŵĞŶƚůă
͘dƵLJŶŚŝġŶŬŚŝƐŽƐĄŶŚŬұƚƋƵңƚĂůҢŝŬŚƀŶŐƚŚҤLJĐſŐŝĄƚƌҷŶăŽůă ͘ 3 3
<ŚŝĜſƚĂŶŚӀĜұŶƚşŶŚĐŚҤƚ͞EұƵŐſĐα ůăŵҾƚĐŐƵŵĞŶƚƚŚŞŐſĐα + 2π ĐƹŶŐůăŵҾƚĐŐƵŵĞŶƚ͟ 2π 8π
ĄƉƐҺĐŚşŶŚdžĄĐůăǀŞ + 2π = 2 3 III) BÀI TҰP TӴ LUYӊN
Bài 1-[Thi thӱ chuyên Lam Sѫn – Thanh Hóa lҫn 2 năm 2017]
Cho hai sӕ phӭc z = 1+ i, z = 2 + 3i . Tìm sӕ phӭc w = ( z .z 1 )2 1 2 2
A. w = 6 + 4i B. w = 6 − 4i C. w = −6 − 4i
D. w = −6 + 4i
Bài 2-[Thi thӱ THPT Phan Chu Trinh – Phú Yên lҫn 1 năm 2017] TOANMATH.com
Tác giả: Trần Bá Hưng
Cho sӕ phӭc z = a + bi . Sӕ phӭc 1
z− có phҫn thӵc là : a b − A. a + b B. C.
D. a − b 2 2 a + b 2 2 a + b
Bài 3-[Thi thӱ nhóm toán Ĉoàn Trí DNJng lҫn 1 năm 2017] § 1 ·
Tìm môÿun cӫa sӕ phӭc z = 2 − 3i ¨ + 3i ¸ là : © 2 ¹ 103 3 103 5 103 A. B. C. D. Ĉáp án khác 2 2 2
Bài 4-[Thi thӱ chuyên Khoa hӑc tӵ nhiên lҫn 3 năm 2017] 2 3 22
Cho sӕ phӭc z = (1+ i) + (1+ i) + ...+ (1+ i) . Phҫn thӵc cӫa sӕ phӭc z là : A. 11 2 − B. 11 2 − + 2 C. 11 2 − − 2 D. 11 2
Bài 5-[Thi thӱ chuyên Khoa hӑc tӵ nhiên lҫn 3 năm 2017]
Cho sӕ phӭc z = 2 − 3i . Phҫn ҧo cӫa sӕ phӭc w = (1+ i) z − (2 − i) z là : A. −9i B. −9 C. −5 D. −5i
Bài 6-[ĈӅ thi Ĉҥi hӑc –Cao ÿҷng khӕi A năm 2009]
Cho sӕ phӭc z = a + bi thӓa mãn ÿiӅu kiӋn ( − i) z + ( + i) z = −( + i)2 2 3 4 1 3
. Tìm P = 2a + b A. 3 B. −1 C.1 D. Ĉáp án khác
Bài 7-[Thi thӱ chuyên Lam Sѫn – Thanh Hóa lҫn 2]
Cho sӕ phӭc z = a + bi thӓa mãn ÿiӅu kiӋn ( − i) z + ( + i) z = −( + i)2 2 3 4 1 3
. Tìm P = 2a + b A. 3 B. −1 C.1 D. Ĉáp án khác
LӠI GIҦI BÀI TҰP TӴ LUYӊN
Bài 1-[Thi thӱ chuyên Lam Sѫn – Thanh Hóa lҫn 2 năm 2017]
Cho hai sӕ phӭc z = 1+ i, z = 2 + 3i . Tìm sӕ phӭc w = ( z .z 1 )2 1 2 2
A. w = 6 + 4i B. w = 6 − 4i C. w = −6 − 4i
D. w = −6 + 4i GIҦI
^ӊĚӅŶŐŵĄLJƚşŶŚĂƐŝŽǀӀŝĐŚӈĐŶĉŶŐDKϮ;DW>yͿ EG2E Vұy w = 6
− + 4i ta chӑn D là ÿáp án chính xác
Bài 2-[Thi thӱ THPT Phan Chu Trinh – Phú Yên lҫn 1 năm 2017]
Cho sӕ phӭc z = a + bi . Sӕ phӭc 1
z− có phҫn thӵc là : a b − A. a + b B. C.
D. a − b 2 2 a + b 2 2 a + b GIҦI
sŞĜҲďăŝŵĂŶŐƚşŶŚĐŚҤƚƚҼŶŐƋƵĄƚŶġŶƚĂƉŚңŝĐĄďŝҵƚŚſĂ͕ƚĂĐŚҸŶ a = 1;b = 1.25͘ 1 sӀŝ −1 z
= ^ӊĚӅŶŐŵĄLJƚşŶŚĂƐŝŽ z D5E TOANMATH.com
Tác giả: Trần Bá Hưng 16
Ta thҩy phҫn thӵc sӕ phӭc 1 z− là :
ÿây là 1 giá trӏ dѭѫng. Vì ta chӑn b > a > 0 nên ta thҩy ngay 41
ÿáp sӕ C và D sai. 9 16
Thӱ ÿáp sӕ A có a + b = 1+1.25 = ≠
vұy ÿáp sӕ A cNJng sai Ĉáp án chính xác là B 4 41
Bài 3-[Thi thӱ nhóm toán Ĉoàn Trí DNJng lҫn 1 năm 2017] § 1 ·
Tìm môÿun cӫa sӕ phӭc z = 2 − 3i ¨ + 3i ¸ là : © 2 ¹ 103 3 103 5 103 A. B. C. D. Ĉáp án khác 2 2 2 '/ѵ/ § 1 ·
dşŶŚƐҺƉŚӈĐ z = 2 − 3i ¨ + 3i ¸ © 2 ¹ SVED5VE 3 Vұy z = 5 − i 2
ƶŶŐůҵŶŚ^,/&d,zWƚşŶŚDƀĜƵŶĐӆĂƐҺƉŚӈĐ z ƚĂĜӇӄĐ TFSDV5E 103 sҨLJ z = ĄƉƐҺĐŚşŶŚdžĄĐůă 2
Bài 4-[Thi thӱ chuyên Khoa hӑc tӵ nhiên lҫn 3 năm 2017] 2 3 22
Cho sӕ phӭc z = (1+ i) + (1+ i) + ...+ (1+ i) . Phҫn thӵc cӫa sӕ phӭc z là : A. 11 2 − B. 11 2 − + 2 C. 11 2 − − 2 D. 11 2 '/ѵ/
ĆLJƐҺƚƌġŶůăŵҾƚĐҤƉƐҺŶŚąŶǀӀŝU = (1+ i)2 ͕ƐҺƐҺŚҢŶŐůă 21ǀăĐƀŶŐďҾŝůă1+ i ͘dŚƵŐҸŶ z ƚĂĜӇӄĐ 1 21 1 n − q − + 2 1 1 i ͗ z = U . = 1+ i . 1 ( ) ( ) 1− q 1− (1+ i)
^ӊĚӅŶŐŵĄLJƚşŶŚĂƐŝŽƚşŶŚ z EG2DSEA5S E Vұy z = 2050 − − 2048i
WŚҥŶңŽƐҺƉŚӈĐ z ůă 11
−2050 = −2 − 2 ĄƉƐҺĐŚşŶŚdžĄĐůă
Bài 5-[Thi thӱ chuyên Khoa hӑc tӵ nhiên lҫn 3 năm 2017]
Cho sӕ phӭc z = 2 − 3i . Phҫn ҧo cӫa sӕ phӭc w = (1+ i) z − (2 − i) z là : A. −9i B. −9 C. −5 D. −5i TOANMATH.com
Tác giả: Trần Bá Hưng '/ѵ/
ĆLJƐҺƚƌġŶůăŵҾƚĐҤƉƐҺŶŚąŶǀӀŝU = (1+ i)2 ͕ƐҺƐҺŚҢŶŐůă 21ǀăĐƀŶŐďҾŝůă1+ i ͘dŚƵŐҸŶ z ƚĂĜӇӄĐ 1 21 1 n − q − + 2 1 1 i ͗ z = U . = 1+ i . 1 ( ) ( ) 1− q 1− (1+ i)
^ӊĚӅŶŐŵĄLJƚşŶŚĂƐŝŽƚşŶŚ z EG2DSEA5S E Vұy z = 2050 − − 2048i
WŚҥŶңŽƐҺƉŚӈĐ z ůă 11
−2048 = −2 ĄƉƐҺĐŚşŶŚdžĄĐůă
Bài 6-[ĈӅ thi Ĉҥi hӑc –Cao ÿҷng khӕi A năm 2009]
Cho sӕ phӭc z = a + bi thӓa mãn ÿiӅu kiӋn ( − i) z + ( + i) z = −( + i)2 2 3 4 1 3
.Tìm P = 2a + b A. 3 B. −1 C.1 D. Ĉáp án khác '/ѵ/
WŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚ ⇔ ( − i) z + ( + i) z + ( + i)2 2 3 4 1 3 = 0
EŚҨƉǀұƚƌĄŝǀăŽŵĄLJƚşŶŚĂƐŝŽǀă>ǀӀŝ X = 1000 +100i SE4ET4 EGUE
6392 = 6.1000 + 4.100 − 8 = 6a + 4b − 8
Vұy vӃ trái = 6392 − 2194i vӟi ®¯2194 = 2.1000+ 2.100−6 = 2a +2b−6
6a + 4b −8 = 0 ҳǀұƚƌĄŝ = 0 ƚŚŞ ®
⇔ a = −2;b = 5
¯2a + 2b − 6 = 0
sҨLJ z = −2 + 5i P = 2a + b = 1 ĄƉƐҺĐŚşŶŚdžĄĐůă
Bài 7-[Thi thӱ chuyên Lam Sѫn – Thanh Hóa lҫn 2]
Cho sӕ phӭc z = a + bi thӓa mãn ÿiӅu kiӋn ( − i) z + ( + i) z = −( + i)2 2 3 4 1 3
. Tìm P = 2a + b A. 3 B. −1 C.1 D. Ĉáp án khác '/ѵ/
WŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚ ⇔ ( − i) z + ( + i) z + ( + i)2 2 3 4 1 3 = 0
EŚҨƉǀұƚƌĄŝǀăŽŵĄLJƚşŶŚĂƐŝŽǀă>ǀӀŝ X = 1000 +100i SE4ET4 EGUE
6392 = 6.1000 + 4.100 − 8 = 6a + 4b − 8
Vұy vӃ trái = 6392 − 2194i vӟi ®¯2194 = 2.1000+ 2.100−6 = 2a +2b−6 TOANMATH.com
Tác giả: Trần Bá Hưng ЎІȂ Ϻϻ@ϿЍЁЏ I) KIӂN THӬC NӄN TҦNG
1. Các khái niӋm thѭӡng gһp
,ҵƚƌӅĐƚŚӌĐңŽŐһŵĐſϮƚƌӅĐǀƵƀŶŐŐſĐǀӀŝŶŚĂƵ͗dƌӅĐŶҪŵŶŐĂŶŐůăƚƌӅĐƚŚӌĐ͕ƚƌӅĐĜӈŶŐĚҸĐůă ƚƌӅĐңŽ
^ҺƉŚӌĐ z = a + bi ŬŚŝďŝҳƵĚŝҴŶƚƌġŶŚҵƚƌӅĐƚŚӌĐңŽůăĜŝҳŵ M ( ; a b) JJJJG
DƀĜƵŶĐӆĂƐҺƉŚӈĐ z = a + bi ůăĜҾůӀŶĐӆĂǀĞĐƚŽ OM 2. LӋnh Caso
ҳdžӊůljƐҺƉŚӈĐƚĂƐӊĚӅŶŐůҵŶŚƚşŶŚƐҺƉŚӈĐDKϮ
>ҵŶŚŐŝңŝƉŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚďҨĐŚĂŝDKϱϯ
>ҵŶŚŐŝңŝƉŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚďҨĐďĂDKϱϰ II) VÍ DӨ MINH HӐA
VD1-[Câu 31 ĈӅ minh hӑa THPT Quӕc Gia lҫn 1 năm 2017]
Cho sӕ phӭc z thӓa mãn (1+ i) z = 3− i . Hӓi ÿiӇm biӇu diӉn sӕ
phӭc z là ÿiӇm nào trong các ÿiӇm M , N , P, Q A.ÿiӇm P B.ÿiӇm Q
C.ÿiӇm M D.ÿiӇm N GIҦI 3 −1 ¾ ƀůҨƉ z = 1+i
^ӊĚӅŶŐŵĄLJƚşŶŚĂƐŝŽƚƌŽŶŐŵƀŝƚƌӇӁŶŐDW>yĜҳƚŞŵ z ZDSE5E
z =1− 2i ǀăĜŝҳŵďŝҳƵĚŝҴŶ z ƚƌŽŶŐŚҵƚƌӅĐƚŚӌĐңŽĐſƚҸĂĜҾ(1; 2
− ) ͘ŝҳŵĐſƚŚӌĐĚӇҿŶŐǀă
ңŽąŵƐҰŶҪŵӂŐſĐƉŚҥŶƚӇƚŚӈ/s
ŝҳŵƉŚңŝƚŞŵůăQ ǀăĜĄƉĄŶĐŚşŶŚdžĄĐůă
VD2-[Thi thӱ trung tâm DiӋu HiӅn – Cҫn thѫ lҫn 1 năm 2017]
ĈiӇm biӇu diӉn sӕ phӭc z = 7 + bi vӟi b∈ R , nҵm trên ÿѭӡng thҷng có phѭѫng trình là : A. x = 7 B. y = x
C. y = x + 7 D. y = 7 GIҦI ¾
ŝҳŵďŝҳƵĚŝҴŶƐҺƉŚӈĐ z = 7 + bi ůăĜŝҳŵ M ĐſƚҸĂĜҾ M (7;b)
dĂďŝұƚĜŝҳŵ M ƚŚƵҾĐĜӇӁŶŐƚŚҫŶŐ d ŶұƵƚҸĂĜҾĜŝҳŵ M ƚŚҹĂŵĆŶƉŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚĜӇӁŶŐƚŚҫŶŐ d ¾
dŚӊĜĄƉĄŶƚĂĐſ x = 7 ⇔ 1.x + 0.y − 7 = 0 ͘dŚұƚҸĂĜҾĜŝҳŵ M ǀăŽƚĂĜӇӄĐ͗
1.7 + 0.b − 7 = 0 ;ĜƷŶŐͿ
Vұy ÿiӇm M thuӝc ÿѭӡng thҷng x = 7 Ĉáp án A là chính xác
VD3-[Thi thӱ Group Nhóm toán – Facebook lҫn 5 năm 2017]
Các ÿiӇm M , N , P lҫn lѭӧt là ÿiӇm biӇu diӉn cho các sӕ phӭc 4i z =
; z = 1− i 1+ 2i ; z = 1 − + 2i 2 ( )( ) 1 i −1 3 A. Tam giác vuông B.Tam giác cân
C.Tam giác vuông cân D.Tam giác ÿӅu TOANMATH.com
Tác giả: Trần Bá Hưng GIҦI ¾
ZƷƚŐҸŶ z ďҪŶŐĂƐŝŽ 1 DE5ES
dĂĜӇӄĐ z = 2 − 2i ǀҨLJĜŝҳŵ M (2; 2 − ) 1 ¾
ZƷƚŐҸŶ z ďҪŶŐĂƐŝŽ 2 SEE
dĂĜӇӄĐ z = 3 + i ǀҨLJĜŝҳŵ N (3; ) 1 2 dӇҿŶŐƚӌ z = 1
− + 2i ǀăĜŝҳŵ P( 1 − ;2) 2 ¾
ҳƉŚĄƚŚŝҵŶƚşŶŚĐŚҤƚĐӆĂƚĂŵŐŝĄĐ MNP ƚĂŶġŶďŝҳƵĚŝҴŶϯĜŝҳŵ M , N , P ƚƌġŶŚҵƚƌӅĐƚҸĂĜҾ
DӉ thҩy tam giác MNP vuông cân tҥi P ÿáp án C chính xác
VD4-[Thi thӱ báo Toán hӑc Tuәi trҿ lҫn 4 năm 2017]
Trong mһt phҷng Oxy , gӑi các ÿiӇm M , N lҫn lѭӧt là ÿiӇm biӇu diӉn sӕ phӭc z = 1− i, z = 3 + 2i . 1 2
Gӑi G là trӑng tâm tam giác OMN , vӟi O là gӕc tӑa ÿӝ. Hӓi G là ÿiӇm biӇu diӉn cӫa sӕ phӭc nào sau ÿây. 4 1 1 A. 5 − i B. 4 + i C. + i D. 2 + i 3 3 2 GIҦI ¾
ŝҳŵ M ďŝҳƵĚŝҴŶƐҺƉŚӈĐ z = 1− i ƚҸĂĜҾ M (1;− ) 1 1
ŝҳŵ N ďŝҳƵĚŝҴŶƐҺƉŚӈĐ z = 3 + 2i ƚҸĂĜҾ N (3;2) 2 'ҺĐƚҸĂĜҾ O (0;0) TOANMATH.com
Tác giả: Trần Bá Hưng
§ x + x + x y + y + y · § 4 1 · ¾ dҸĂĜҾĜŝҳŵ M N O G ; M N O ¨ ¸ = ; ¨ ¸ © 3 3 ¹ © 3 3 ¹ 4 1
sҨLJ G ůăĜŝҳŵďŝҳƵĚŝҴŶĐӆĂƐҺƉŚӈĐ
+ i ůăĜĄƉĄŶĐŚşŶŚdžĄĐ 3 3
VD5-[Thi thӱ THPT Hàm Rӗng – Thanh Hóa lҫn 1 năm 2017]
Trong mһt phҷng tӑa ÿӝ Oxy , gӑi M là ÿiӇm biӇu diӉn sӕ phӭc z = 3 − 4i , ÿiӇm M ' là ÿiӇm biӇu 1+ i diӉn sӕ phӭc z ' =
z . Tính diӋn tích OMM Δ ' 2 25 25 15 15 A. S = B. S = C. S = S = OM Δ M ' Δ Δ D. OM Δ M ' 4 OMM ' 2 OMM ' 4 2 GIҦI ¾
ŝҳŵ M ďŝҳƵĚŝҴŶƐҺƉŚӈĐ z = 3 − 4i ƚҸĂĜҾ M (3; 4 − ) 1 1+ i § 7 1 ·
ŝҳŵ M ' ďŝҳƵĚŝҴŶƐҺƉŚӈĐ z ' = z ƚҸĂĜҾ N ; ¨ − ¸ 2 © 2 2 ¹ DE52SE
'ҺĐƚҸĂĜҾ O (0;0) ¾
ҳƚşŶŚĚŝҵŶƚşĐŚƚĂŵŐŝĄĐ OMM ' ƚĂӈŶŐĚӅŶŐƚşĐŚĐſŚӇӀŶŐĐӆĂϮǀĞĐƚŽƚƌŽŶŐŬŚƀŶŐŐŝĂŶ͘dĂƚŚġŵ
ĐĂŽĜҾϬĐŚŽƚҸĂĜҾŵҽŝĜŝҳŵ O, M , M ' ůădžŽŶŐ JJJJG JJJJJG § 7 1 · 1 JJJJG JJJJJG
OM (3;−4;0) ͕OM ' ; ¨
− ;0¸ S = ªOM ;OM 'º © ¬ ¼ 2 2 ¹ 2 JJJJG JJJJJG
dşŶŚ ªOM ;OM 'º ¬ ¼ Z S T3 S 3 &TTT JJJJG JJJJJG 25 1 JJJJG JJJJJG 25
sҨLJ ªOM ;OM 'º = 12.5 = S = ªOM ;OM 'º = OMM ' ¬ ¼ ¬ ¼ 2 2 4
ůăĜĄƉĄŶĐŚşŶŚdžĄĐ
VD6-[ĈӅ thi minh hӑa bӝ GD-ĈT lҫn 2 năm 2017]
Kí hiӋu z là nghiӋm phӭc có phҫn ҧo dѭѫng cӫa phѭѫng trình 2
4z −16z +17 = 0 . Trên mһt phҷng 0
tӑa ÿӝ, ÿiӇm nào dѭӟi ÿây là ÿiӇm biӇu diӉn sӕ phӭc w = iz0 § 1 · § 1 · § 1 · § 1 · A. M ; 2 ¨
¸ B. M ¨ − ; 2¸ C. ¨ − ;1¸ D. M ;1 ¨ ¸ © 2 ¹ © 2 ¹ © 4 ¹ © 4 ¹ GIҦI ¾
^ӊĚӅŶŐůҵŶŚŐŝңŝƉŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚďҨĐŚĂŝDKϱϯĜҳŐŝңŝƉŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚ 2
4z −16z +17 = 0 Z S TOANMATH.com
Tác giả: Trần Bá Hưng 1 1 sҨLJƉŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚ 2
4z −16z +17 = 0 ĐſŚĂŝŶŐŚŝҵŵ z = 2 + i ǀă z = 2 − i 2 2 1 ¾
ҳ z ĐſƉŚҥŶңŽĚӇҿŶŐ z = 2 − i ͘dşŶŚ w = z i 0 2 0 ZD5EE 1 § 1 ·
sҨLJƉŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚ w = − + 2i ŝҳŵďŝҳƵĚŝҴŶƐҺƉŚӈĐ w ůă M ¨ − ;2¸ 2 © 2 ¹
ůăĜĄƉĄŶĐŚşŶŚdžĄĐ II) BÀI TҰP TӴ LUYӊN
Bài 1-[Thi thӱ chuyên Khoa hӑc tӵ nhiên lҫn 2 năm 2017]
Cho sӕ phӭc z = 2 + i . Hãy xác ÿӏnh ÿiӇm biӇu diӉn hình hӑc cӫa sӕ phӭc w = (1− i) z A.ĈiӇm M B.ĈiӇm N C.ĈiӇm P D. ĈiӇm Q
Bài 2-[Thi thӱ facebook nhóm toán lҫn 5 năm 2017]
Cho sӕ phӭc z thӓa mãn (2 − i) z = 4z + 5 . Hӓi ÿiӇm biӇu diӉn cӫa z là ÿiӇm nào trong các ÿiӇm
M , N , P, Q ӣ hình bên . A.ĈiӇm N B.ĈiӇm P
C.ĈiӇm M D. ĈiӇm Q TOANMATH.com
Tác giả: Trần Bá Hưng
Bài 3-[Thi thӱ báo Toán hӑc tuәi trҿ lҫn 4 năm 2017] 4
Trên mһt phҷng tӑa ÿӝ các ÿiӇm ,
A B, C lҫn lѭӧt là ÿiӇm biӇu diӉn cӫa sӕ phӭc , 2 4 − + i 5 5 (1−i)(1+ 2i), 3
−2i Khi ÿó tam giác ABC
A.Vuông tҥi C
B.Vuông tҥi A
C.Vuông cân tҥi B D. Tam giác ÿӅu Bài 4-Các ÿiӇm ,
A B, C , A ', B ', C ' trong mһt phҷng phӭc theo thӭ tӵ biӇu diӉn các sӕ :
1− i, 2 + 3i,3 + i và
3i, 3 − 2i,3 + 2i có G, G ' lҫn lѭӧt là trӑng tâm tam giác ABC và A' B 'C ' . Khҷng ÿӏnh nào sau ÿây ÿúng JJJJG
A. G trùng G '
B. Vecto GG ' = (1;− ) 1 JJJG JJJG
C. GA = 3GA'
D. Tӭ giác GAG ' B lұp thành mӝt hình bình hành
LӠI GIҦI BÀI TҰP TӴ LUYӊN
Bài 1-[Thi thӱ chuyên Khoa hӑc tӵ nhiên lҫn 2 năm 2017]
Cho sӕ phӭc z = 2 + i . Hãy xác ÿӏnh ÿiӇm biӇu diӉn hình hӑc cӫa sӕ phӭc w = (1− i) z A.ĈiӇm M B.ĈiӇm N C.ĈiӇm P D. ĈiӇm Q '/ѵ/
dşŶŚƐҺƉŚӈĐ w = (1−i) z ďҪŶŐŵĄLJƚşŶŚĂƐŝŽ SEE
Vұy tӑa ÿӝ cӫa ÿiӇm thӓa mãn sӕ phӭc w là (3; ) 1
− . Ĉây là tӑa ÿӝ ÿiӇm Q ĄƉƐҺĐŚşŶŚdžĄĐůă
Bài 2-[Thi thӱ facebook nhóm toán lҫn 5 năm 2017]
Cho sӕ phӭc z thӓa mãn (2 − i) z = 4z + 5 . Hӓi ÿiӇm biӇu diӉn cӫa z là ÿiӇm nào trong các ÿiӇm
M , N , P, Q ӣ hình bên . A.ĈiӇm N B.ĈiӇm P
C.ĈiӇm M D. ĈiӇm Q TOANMATH.com
Tác giả: Trần Bá Hưng '/ѵ/ −
ƀůҨƉ ( − i) z − = ⇔ −( + i) 5 2 4z 5 2
z = 5 ⇔ z = 2+i 5 −
dŞŵƐҺƉŚӈĐ z = 2+i DS5E
Vұy tӑa ÿӝ cӫa ÿiӇm thӓa mãn sӕ phӭc z là ( 2; − )
1 . Ĉây là tӑa ÿӝ ÿiӇm M ĄƉƐҺĐŚşŶŚdžĄĐůă
Bài 3-[Thi thӱ báo Toán hӑc tuәi trҿ lҫn 4 năm 2017] 4
Trên mһt phҷng tӑa ÿӝ các ÿiӇm ,
A B, C lҫn lѭӧt là ÿiӇm biӇu diӉn cӫa sӕ phӭc , 2 4 − + i 5 5 (1−i)(1+ 2i), 3
−2i Khi ÿó tam giác ABC
A.Vuông tҥi C B.Vuông tҥi A C.Vuông cân tҥi B D. Tam giác ÿӅu '/ѵ/ 4 ZƷƚŐҸŶ ĜӇӄĐ 2
− − 4i ǀҨLJƚҸĂĜҾĜŝҳŵ A( 2; − 4 − ) 2 4 − + i 5 5 D5SD5D5E
ZƷƚŐҸŶ (1−i)(1+ 2i) ĜӇӄĐ3+ i ǀҨLJƚҸĂĜҾĜŝҳŵ B(3; ) 1 SEE ZƷƚŐҸŶ 3 2
−2i = −2 .ii = 2i ǀҨLJƚҸĂĜҾĜŝҳŵC (0;2)
ҳƉŚĄƚŚŝҵŶƚşŶŚĐŚҤƚĐӆĂƚĂŵŐŝĄĐ ABC ƚĂĐŚҶĐҥŶďŝҳƵĚŝҴŶƚƌġŶŚҵƚƌӅĐƚҸĂĜҾůăƚŚҤLJŶŐĂLJ TOANMATH.com
Tác giả: Trần Bá Hưng
DӉ thҩy tam giác ABC vuông tҥi C ĄƉƐҺĐŚşŶŚdžĄĐůă Bài 4-Các ÿiӇm ,
A B, C , A ', B ', C ' trong mһt phҷng phӭc theo thӭ tӵ biӇu diӉn các sӕ :
1− i, 2 + 3i,3 + i và
3i, 3 − 2i,3 + 2i có G, G ' lҫn lѭӧt là trӑng tâm tam giác ABC và A' B 'C ' . Khҷng ÿӏnh nào sau ÿây ÿúng JJJJG
A. G trùng G '
B. Vecto GG ' = (1;− ) 1 JJJG JJJG
C. GA = 3GA'
D. Tӭ giác GAG ' B lұp thành mӝt hình bình hành '/ѵ/
dĂĐſƚҸĂĜҾĐĄĐĜҶŶŚ A(1;− )
1 , B (2;3), C (3; )
1 dҸĂĜҾƚƌҸŶŐƚąŵ G (2; ) 1 x + x + x A B C x = = 2 ° G ° 3 ® y ° + y + y A B C y = = 1 G °¯ 3
dĂĐſƚҸĂĜҾĐĄĐĜҶŶŚ A'(0;3), B'(3; 2
− ), C '(3;2) dҸĂĜҾƚƌҸŶŐƚąŵG(2; ) 1 x + x + x A' B ' C ' x = = 2 ° G' ° 3 ® y ° + y + y A' B ' C ' y = =1 G ' °¯ 3
Rõ ràng G ≡ G ' Ĉáp sӕ chính xác là A TOANMATH.com
Tác giả: Trần Bá Hưng ЎЇϮБЌȂ ЖA0ϺϺϻЍЁЏ I) KIӂN THӬC NӄN TҦNG 1. Mҽo giҧi nhanh
ăŝƚŽĄŶƋƵӎƚşĐŚůƵƀŶĜŝůġŶƚӉĜҷŶŚŶŐŚšĂ͘dĂůƵƀŶĜҭƚ z = x + yi ͕ďŝҳƵĚŝҴŶƐҺƉŚӈĐƚŚĞŽLJġƵĐҥƵ
ĜҲďăŝ͕ƚӉĜſŬŚӊ i ǀăƚŚƵǀҲŵҾƚŚҵƚŚӈĐŵӀŝ͗
EұƵŚҵƚŚӈĐĐſĚҢŶŐ Ax + By + C = 0 ƚŚŞƚҨƉŚӄƉĜŝҳŵůăĜӇӁŶŐƚŚҫŶŐ 2 2
EұƵŚҵƚŚӈĐĐſĚҢŶŐ ( − ) + ( − ) 2 x a y b
= R ƚŚŞƚҨƉŚӄƉĜŝҳŵůăĜӇӁŶŐƚƌžŶƚąŵ I ( ; a b) ďĄŶ ŬşŶŚ R 2 2 x y EұƵŚҵƚŚӈĐĐſĚҢŶŐ +
=1ƚŚŞƚҨƉŚӄƉĜŝҳŵĐſĚҢŶŐŵҾƚůŝƉ 2 2 a b 2 2 x y EұƵŚҵƚŚӈĐĐſĚҢŶŐ −
=1ƚŚŞƚҨƉŚӄƉĜŝҳŵůăŵҾƚ,LJƉĞƌďŽů 2 2 a b EұƵŚҵƚŚӈĐĐſĚҢŶŐ 2
y = Ax + Bx + C ƚŚŞƚҨƉŚӄƉĜŝҳŵůăŵҾƚWĂƌĂďŽů 2. Phѭѫng pháp Caso
dŞŵĜŝҳŵĜҢŝĚŝҵŶƚŚƵҾĐƋƵӎƚşĐŚĐŚŽӂĜĄƉĄŶƌһŝƚŚұŶŐӇӄĐǀăŽĜҲďăŝ͕ŶұƵƚŚҹĂŵĆŶƚŚŞůăĜƷŶŐ II) VÍ DӨ MINH HӐA
VD1-[Thi thӱ chuyên Khoa hӑc tӵ nhiên lҫn 3 năm 2017]
Tұp hӧp các ÿiӇm biӇu diӉn sӕ phӭc z thӓa mãn z − 2 − i = z + 2i
A. 4x − 2 y +1 = 0
B. 4x − 2y −1 = 0
C. 4x + 2y −1 = 0 D. 4x − 6 y −1 = 0 GIҦI ĄĐŚĂƐŝŽ ¾
'ҸŝƐҺƉŚӈĐ z ĐſĚҢŶŐ z = a + bi ͘dĂŚŝҳƵ͗Ĝŝҳŵ M ďŝҳƵĚŝҴŶƐҺƉŚӈĐ z ƚŚŞ M ĐſƚҸĂĜҾ M ( ; a b) ͘
'ŝңƐӊĜĄƉĄŶĜƷŶŐƚŚŞ M ƚŚƵҾĐĜӇӁŶŐƚŚҫŶŐ 4x − 2 y +1 = 0 ƚŚŞ 4a − 2b +1 = 0 5
ŚҸŶ a = 1ƚŚŞ b =
z =1+ 2.5i ͘^ҺƉŚӈĐ z ƚŚҹĂŵĆŶ z − 2 − i = z + 2i ƚŚŞ 2
z − 2 − i − z + 2i = 0 ¾
^ӊĚӅŶŐŵĄLJƚşŶŚĂƐŝŽĜҳŬŝҳŵƚƌĂ TFESSESTFS EE
dĂƚŚҤLJƌĂŵҾƚŬұƚƋƵңŬŚĄĐϬǀҨLJ z − 2 − i − z + 2i = 0 ůăƐĂŝǀăĜĄƉĄŶƐĂŝ ¾
dӇҿŶŐƚӌǀӀŝĜĄƉƐҺĐŚҸŶ a = 1ƚŚŞ b = 1.5 ǀă z = 1+1.5i TFESSESTFS EE TOANMATH.com
Tác giả: Trần Bá Hưng
dĂƚŚҤLJŬұƚƋƵңƌĂϬǀҨLJ z − 2 − i − z + 2i = 0 ůăĜƷŶŐǀăĜĄƉĄŶĐŚşŶŚdžĄĐůă ĄĐŚŵҮŽ ¾
ҭƚ z = x + yi ;ƚĂůƵƀŶĜŝůġŶƚӉĜҷŶŚŶŐŚšĂͿ͘ ¾
dŚұǀ㎠z − 2 − i = z + 2i ƚĂĜӇӄĐ
(x − )+( y − ) 2 2
1 i = x + (− y + 2)i
⇔ (x − )2 + ( y − )2 = x +(−y + )2 2 2 1 2
⇔ (x − )2 + ( y − )2 = x + (−y + )2 2 2 1 2 2 2 2 2
⇔ x − 4x + 4 + y − 2y +1 = x + y − 4y + 4
⇔ 4x − 2y −1 = 0
sҨLJƚҨƉŚӄƉĐĄĐĜŝҳŵďŝҳƵĚŝҴŶƐҺƉŚӈĐ z ůăĜӇӁŶŐƚŚҫŶŐ 4x − 2 y −1 = 0
ĜĄƉĄŶůăĐŚşŶŚdžĄĐ ŞŶŚůƵҨŶ ¾
dƌŽŶŐĚҢŶŐƚŽĄŶŶăLJƚĂŶġŶӇƵƚŝġŶĚƶŶŐŵҮŽǀŞƚşŶŚŶŚĂŶŚŐҸŶĐӆĂŶſ ¾
EŚҩĐůҢŝŵҾƚůҥŶŶӋĂ͕ůƵƀŶĜҭƚ z = x + yi ƌһŝďŝұŶĜҼŝƚŚĞŽĜҲďăŝ
VD2-[Thi thӱ sӣ GD-ĈT Hà Tƭnh lҫn 1 năm 2017]
Cho sӕ phӭc z thӓa mãn 2 + z = 1− i . Chӑn phát biӇu ÿúng
A.Tұp hӧp ÿiӇm biӇu diӉn sӕ phӭc z là mӝt ÿѭӡng thҷng
B.Tұp hӧp ÿiӇm biӇu diӉn sӕ phӭc z là mӝt ÿѭӡng Parabol
C.Tұp hӧp ÿiӇm biӇu diӉn sӕ phӭc z là mӝt ÿѭӡng tròn
D.Tұp hӧp ÿiӇm biӇu diӉn sӕ phӭc z là mӝt ÿѭӡng Elip GIҦI ĄĐŚŵҮŽ ¾
ҭƚ z = x + yi ͘ ¾
dŚұǀ㎠2 + z = 1− i ƚĂĜӇӄĐ
x + 2 + yi = 1− i
⇔ (x + )2 + y = + (− )2 2 2 2 1 1
⇔ (x + ) + y = ( )2 2 2 2 2
sҨLJƚҨƉŚӄƉĐĄĐĜŝҳŵďŝҳƵĚŝҴŶƐҺƉŚӈĐ z ůăĜӇӁŶŐƚƌžŶƚąŵ I ( 2;
− 0) ďĄŶŬşŶŚ R = 2
sҨLJĜĄƉĄŶůăĐŚşŶŚdžĄĐ
VD3-[ĈӅ thi minh hӑa cӫa bӝ GD-ĈT lҫn 1 năm 2017]
Cho các sӕ phӭc z thӓa mãn z = 4 . BiӃt rҵng tұp hӧp các ÿiӇm biӇu diӉn các sӕ phӭc
w = (3+ 4i) z + i là mӝt ÿѭӡng tròn. Tính bán kính r cӫa ÿѭӡng tròn ÿó. A. r = 4 B. r = 5
C. r = 20 D. r = 22 GIҦI ĄĐŚĂƐŝŽ ¾
ҳdžąLJĚӌŶŐϭĜӇӁŶŐƚƌžŶƚĂĐҥŶϯĜŝҳŵďŝҳƵĚŝҴŶĐӆĂ w ͕ǀŞ z ƐҰƐŝŶŚƌĂ w ŶġŶĜҥƵƚŝġŶƚĂƐҰ
ĐŚҸŶϯŐŝĄƚƌҷĜҢŝĚŝҵŶĐӆĂ z ƚŚҹĂŵĆŶ z = 4 ¾
ŚҸŶ z = 4 + 0i ;ƚŚҹĂŵĆŶ z = 4 Ϳ͘dşŶŚ w = 3 + 4i 4 + 0i + i 1 ( )( ) E2E TOANMATH.com
Tác giả: Trần Bá Hưng
dĂĐſĜŝҳŵďŝҳƵĚŝҴŶĐӆĂ z ůă M (12;17) 1 ¾
ŚҸŶ z = 4i ;ƚŚҹĂŵĆŶ z = 4 Ϳ͘dşŶŚ w = 3 + 4i 4i + i 2 ( )( ) E2EE
dĂĐſĜŝҳŵďŝҳƵĚŝҴŶĐӆĂ z ůă N ( 16 − ;13) 2 ¾ ŚҸŶ z = 4
− i ;ƚŚҹĂŵĆŶ z = 4Ϳ͘dşŶŚ w = 3+ 4i 4 − i + i 3 ( )( ) ESEE
dĂĐſĜŝҳŵďŝҳƵĚŝҴŶĐӆĂ z ůă P (16; 1 − ) 1 3
sҨLJƚĂĐſϯĜŝҳŵ M , N , P ƚŚƵҾĐĜӇӁŶŐƚƌžŶďŝҳƵĚŝҴŶƐҺƉŚӈĐ w ¾
ӇӁŶŐƚƌžŶŶăLJƐҰĐſĚҢŶŐƚҼŶŐƋƵĄƚ 2 2
x + y + ax + by + c = 0 ͘ҳƚŞŵ a,b, c ƚĂƐӊĚӅŶŐŵĄLJ
ƚşŶŚĂƐŝŽǀӀŝĐŚӈĐŶĉŶŐDKϱϯ ¾ Z SGSG S SGSG S SGSG
sҨLJƉŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚĜӇӁŶŐƚƌžŶĐſĚҢŶŐ x + y − y −
= ⇔ x + ( y − )2 2 2 2 2 2 399 0 1 = 20
ĄŶŬşŶŚĜӇӁŶŐƚƌžŶƚҨƉŚӄƉĜŝҳŵďŝҳƵĚŝҴŶƐҺƉŚӈĐ w ůăϮϬ ĄƉĄŶĐŚşŶŚdžĄĐůă ĄĐŚŵҮŽ ¾
ҲďăŝLJġƵĐҥƵƚŞŵƚҨƉŚӄƉĐĄĐĜŝҳŵďŝҳƵĚŝҴŶƐҺƉŚӈĐ w ǀҨLJƚĂĜҭƚ w = x + yi ͘ w − i
x + y − i ¾
dŚұǀ㎠w = ( + i) ( )1
3 4 z + i ⇔ z = =
͘dŝұƉƚӅĐƌƷƚŐҸŶƚĂĜӇӄĐ 3 + 4i 3 + 4i ªx ¬ + ( y − )
1 iº¼ (3 − 4i) 3x + 4y − 4 + (−4x + 3y − 3)i z = ( =
3 + 4i)(3 − 4i) 25 2 2 2
§ 3x + 4y − 4 ·
§ −4x + 3y − 3 ·
z = 4 ⇔ z = 16 ⇔ ¨ ¸ + ¨ ¸ = 16 © 25 ¹ © 25 ¹ 2 2
25x + 25y + 25 − 50 y ⇔ =16 2 25 2 2
⇔ x + y − 2y = 399
⇔ x + ( y − )2 2 2 1 = 20
sҨLJƚҨƉŚӄƉĐĄĐĜŝҳŵďŝҳƵĚŝҴŶƐҺƉŚӈĐ w ůăĜӇӁŶŐƚƌžŶďĄŶŬşŶŚ r = 20
ĜĄƉĄŶůăĐŚşŶŚdžĄĐ ŞŶŚůƵҨŶ TOANMATH.com
Tác giả: Trần Bá Hưng ¾
ŚӈĐŶĉŶŐDKϱϮĜҳƚŞŵƉŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚĜӇӁŶŐƚƌžŶĜӇӄĐŐŝңŝƚŚşĐŚŶŚӇƐĂƵ͗ ӇӁŶŐƚƌžŶĐſĚҢŶŐ 2 2
x + y + ax + by + c = 0
sӀŝ M ƚŚƵҾĐĜӇӁŶŐƚƌžŶƚŚŞ 2 2
12a +17b + c = −12 −17
sӀŝ N ƚŚƵҾĐĜӇӁŶŐƚƌžŶƚŚŞ 2 2
−16a +13b + c = −16 −13
sӀŝ P ƚŚƵҾĐĜӇӁŶŐƚƌžŶƚŚŞ 2 2
16a −11b + c = −16 −11 2 2 1
2a +17b + c = 12 − −17 °
sҨLJƚĂůҨƉĜӇӄĐŚҵƉŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚϯҦŶďҨĐŶŚҤƚ 2 2 ® 16
− a +13b + c = 16 − −13 ° 2 2
16a −11b + c = 16 − −11 ¯
săƚĂƐӊĚӅŶŐĐŚӈĐŶĉŶŐŐŝңŝŚҵƉŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚϯҦŶďҨĐŶŚҤƚDKϱϮĜҳdžӊůlj ¾
,ĂŝĐĄĐŚĜҲƵŚĂLJǀăĐſӇƵĜŝҳŵƌŝġŶŐ͕ƚӌůƵҨŶƐҰƚŝұƚŬŝҵŵƚŚӁŝŐŝĂŶŵҾƚĐŚƷƚŶŚӇŶŐǀŝҵĐƚşŶŚƚŽĄŶ
ƌƷƚŐҸŶĚҴŶŚҥŵůҧŶ͕ĐžŶĐĂƐŝŽĐſǀүďҤŵŵĄLJŶŚŝҲƵŚҿŶŶŚӇŶŐƚƵLJҵƚĜҺŝŬŚƀŶŐƐĂŝ͘
VD4-[Thi thӱ chuyên Khoa hӑc tӵ nhiên lҫn 3 năm 2017] z −1
Tұp hӧp các ÿiӇm biӇu diӉn các sӕ phӭc z thӓa mãn phҫn thӵc cӫa
bҵng 0 là ÿѭӡng tròn tâm z − i
I bán kính R (trӯ ÿi mӝt ÿiӇm) § 1 1 · 1 § 1 1 · 1
A. I ¨ − ;− ¸ , R = B. I ; ¨ ¸ , R = © 2 2 ¹ 2 © 2 2 ¹ 2 § 1 1 · 1 § 1 1 · 1 C. I ; ¨ ¸ , R =
D. I ¨ − ;− ¸ , R = © 2 2 ¹ 2 © 2 2 ¹ 2 GIҦI ĄĐŚŵҮŽ ¾
ҭƚ z = x + yi ͘ z −1 x 1 yi
(x−1+ yi)ªx −( y − )1iº − + ¬ ¼ ¾ dŚұǀ㎠ƚĂĜӇӄĐ = z − i x + ( y − ) 1 i ªx + ( y − )
1 iº ªx − ( y − ) 1 iº ¬ ¼ ¬ ¼ 2 2
x − x + y − y + xyi − ( x − ) 1 ( y − ) 1 i = x + ( y − )2 2 1 2 2 z −1 § 1 · § 1 · 1 ҳƉŚҥŶƚŚӌĐĐӆĂ ďҪŶŐϬƚŚŞ 2 2
x − x + y − y = 0 ⇔ x ¨ − ¸ + y ¨ − ¸ = z − i © 2 ¹ © 2 ¹ 2 § 1 1 · 1
sҨLJƚҨƉŚӄƉĜŝҳŵĐҥŶƚŞŵůăĜӇӁŶŐƚƌžŶƚąŵ I ; ¨ ¸ ďĄŶŬşŶŚ R =
ĜĄƉĄŶůăĐŚşŶŚdžĄĐ © 2 2 ¹ 2 III) BÀI TҰP TӴ LUYӊN
Bài 1-[Thi thӱ chuyên Khoa hӑc tӵ nhiên lҫn 2 năm 2017]
Cho các sӕ phӭc z thӓa mãn z +1− i = z −1+ 2i . Tұp hӧp các ÿiӇm biӇu diӉn sӕ phӭc z trên mһt
phҷng tӑa ÿӝ là mӝt ÿѭӡng thҷng. ViӃt phѭѫng trình ÿѭӡng thҷng ÿó.
A. 4x + 6 y − 3 = 0
B. 4x − 6 y − 3 = 0
C. 4x + 6 y + 3 = 0
D. 4x − 6 y + 3 = 0
Bài 2-[Thi thӱ THPT TriӋu Sѫn – Thanh Hóa lҫn 1 năm 2017]
Tұp hӧp các ÿiӇm M biӇu diӉn sӕ phӭc z : z = z − 3 + 4i là phѭѫng trình có dҥng
A. 6x + 8y − 25 = 0
B. 3x + 4 y − 3 = 0 C. 2 x + y = 25 2 2
D. ( x − 3) + ( y − 4) = 25
Bài 3-[Thi thӱ THPT NguyӉn Ĉình ChiӇu – Bình Ĉӏnh lҫn 1 năm 2017]
Cho các sӕ phӭc z thӓa mãn z = 2 . BiӃt rҵng tұp hӧp các ÿiӇm biӇu diӉn các sӕ phӭc
w = 3 − 2i + (2 − i) z là mӝt ÿѭӡng tròn. Tính bán kính r cӫa ÿѭӡng tròn ÿó. A. r = 20 B. r = 20 C. r = 7 D. r = 7 TOANMATH.com
Tác giả: Trần Bá Hưng
Bài 4-[Thi thӱ THPT Hàm Rӗng – Thanh Hóa lҫn 1 năm 2017]
Trong mһt phҷng Oxy , tìm tұp hӧp ÿiӇm biӇu diӉn sӕ phӭc z thӓa mãn z −1 = (1+ i) z
A.Tұp hӧp các ÿiӇm biӇu diӉn sӕ phӭc z là ÿѭӡng tròn tâm I (2;− ) 1 , bán kính R = 2
A.Tұp hӧp các ÿiӇm biӇu diӉn sӕ phӭc z là ÿѭӡng tròn tâm I (1;0) , bán kính R = 3
A.Tұp hӧp các ÿiӇm biӇu diӉn sӕ phӭc z là ÿѭӡng tròn tâm I (0;− ) 1 , bán kính R = 3
A.Tұp hӧp các ÿiӇm biӇu diӉn sӕ phӭc z là ÿѭӡng tròn tâm I (0;− ) 1 , bán kính R = 2
Bài 5-[Thi thӱ THPT Quҧng Xѭѫng I – Thanh Hóa lҫn 1 năm 2017] 2
Tұp hӧp ÿiӇm biӇu diӉn sӕ phӭc z thӓa mãn 2 z = z là : A.Cҧ mһt phҷng B.Ĉѭӡng thҷng
C.Mӝt ÿiӇm D.Hai ÿѭӡng thҷng
Bài 6-Tұp hӧp ÿiӇm biӇu diӉn sӕ phӭc z thӓa mãn 2 z −1 = z − z + 2i là mӝt Parabol có dҥng: 2 x 2 x 1 A. 2
y = 3x − 6x + 2 B. y = − x C. y = − 4 D. 2
y = x + 2x + 2 3 3
LӠI GIҦI BÀI TҰP TӴ LUYӊN
Bài 1-[Thi thӱ chuyên Khoa hӑc tӵ nhiên lҫn 2 năm 2017]
Cho các sӕ phӭc z thӓa mãn z +1− i = z −1+ 2i . Tұp hӧp các ÿiӇm biӇu diӉn sӕ phӭc z trên mһt
phҷng tӑa ÿӝ là mӝt ÿѭӡng thҷng. ViӃt phѭѫng trình ÿѭӡng thҷng ÿó.
A. 4x + 6 y − 3 = 0
B. 4x − 6 y − 3 = 0
C. 4x + 6 y + 3 = 0
D. 4x − 6 y + 3 = 0 '/ѵ/ ĄĐŚϭ͗ĂƐŝŽ
'ŝңƐӊĜĄƉĄŶĜƷŶŐ͕ĜŝҳŵďŝҳƵĚŝҴŶƐҺƉŚӈĐ z = x + yi ƚŚƵҾĐĜӇӁŶŐƚŚҫŶŐ 4x + 6 y − 3 = 0 1 1
Chӑn x = 1 thì y = − và sӕ phӭc z = 1− i . 6 6
yĠƚŚŝҵƵ z +1− i − z −1+ 2i ͘EұƵŚŝҵƵƚƌġŶ = 0 ƚŚŞĜĄƉĄŶĜƷŶŐ͘ҳůăŵǀŝҵĐŶăLJƚĂƐӊĚӅŶŐŵĄLJƚşŶŚ ĂƐŝŽ TFSD5ESESTFSD5 ESE
HiӋu trên khác 0 vұy ÿáp án A sai 1 1
dŚӊǀӀŝĜĄƉĄŶ͘ŚŽŶ x =1ƚŚŞ y = ǀăƐҺƉŚӈĐ x = 1+ i ͘yĠƚŚŝҵƵ͗ 6 6 TFD5ESESTFD5 ESE
Vұy hiӋu z +1− i − z −1+ 2i = 0 ⇔ z +1− i = z −1+ 2i Ĉáp án chính xác là B ĄĐŚϮ͗dӌůƵҨŶ
sŞĜҲďăŝLJġƵĐҥƵƚŞŵƚҨƉŚӄƉĜŝҳŵďŝҳƵĚŝҴŶƐҺƉŚӈĐ z ŶġŶƚĂĜҭƚ z = x + yi
dŚĞŽĜҲďăŝ z +1− i = z −1+ 2i x +1+ ( y − )
1 i = x −1+ ( y + 2)i
⇔ (x + )2 + ( y − )2 = (x − )2 + ( y + )2 1 1 1 2 TOANMATH.com
Tác giả: Trần Bá Hưng 2 2 2 2
⇔ x + 2x +1+ y − 2y +1 = x − 2x +1+ y + 4y + 4
⇔ 4x − 6y − 3 = 0 . Vұy ÿáp án chính xác là B
Bài 2-[Thi thӱ THPT TriӋu Sѫn – Thanh Hóa lҫn 1 năm 2017]
Tұp hӧp các ÿiӇm M biӇu diӉn sӕ phӭc z : z = z − 3 + 4i là phѭѫng trình có dҥng
A. 6x + 8y − 25 = 0
B. 3x + 4 y − 3 = 0 C. 2 x + y = 25 2 2
D. ( x − 3) + ( y − 4) = 25 '/ѵ/
ҭƚƐҺƉŚӈĐ z = x + yi ͘ 2 2
Ta có : z = z − 3 + 4i ⇔ x + yi = x − 3 + (4 − y)i 2 2
⇔ x + y = (x − 3) + (4 − y) 2 2 2 2
⇔ x + y = x − 6x + 9 + y −8y +16 ⇔ 6x + 8y − 25 = 0
Vұy tұp hӧp các ÿiӇm M biӇu diӉn sӕ phӭc z là ÿѭӡng thҷng 6x + 8 y − 25 = 0
Ĉáp án chính xác là A
Bài 3-[Thi thӱ THPT NguyӉn Ĉình ChiӇu – Bình Ĉӏnh lҫn 1 năm 2017]
Cho các sӕ phӭc z thӓa mãn z = 2 . BiӃt rҵng tұp hӧp các ÿiӇm biӇu diӉn các sӕ phӭc
w = 3 − 2i + (2 − i) z là mӝt ÿѭӡng tròn. Tính bán kính r cӫa ÿѭӡng tròn ÿó. A. r = 20 B. r = 20 C. r = 7 D. r = 7 '/ѵ/ ĄĐŚϭ͗ĂƐŝŽ
ŚҸŶƐҺƉŚӈĐ z = 2 ƚŚҹĂŵĆŶ z = 2ǀҨLJ w = 3− 2i + 2 − i .2 = 7 − 4i ͘dĂĐſĜŝҳŵďŝҳƵĚŝҴŶĐӆĂ w ůă 1 ( ) 1 M (7; 4 − )
ŚҸŶƐҺƉŚӈĐ z = −2 ƚŚҹĂŵĆŶ z = 2ǀҨLJ w = 3− 2i + 2 − i . 2 − = 1
− + 0i ͘dĂĐſĜŝҳŵďŝҳƵĚŝҴŶƐҺ 2 ( ) ( )
ƉŚӈĐ w ůă N ( 1 − ;0) 2
ŚҸŶƐҺƉŚӈĐ z = 2i ƚŚҹĂŵĆŶ z = 2ǀҨLJ w = 3− 2i + 2 − i . 2i = 5 + 2i ͘dĂĐſĜŝҳŵďŝҳƵĚŝҴŶƐҺ 3 ( ) ( )
ƉŚӈĐ w ůă P (5;2) 3 SESE2E
^ӊĚӅŶŐŵĄLJƚşŶŚƚŞŵƉŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚĜӇӁŶŐƚƌžŶĚŝƋƵĂϯĜŝҳŵ M , N , P Z S SGSG S SG SGSG
Vұy phѭѫng trình ÿѭӡng tròn cҫn tìm là x + y − x + y − = ⇔ ( x − ) + ( y + ) = ( )2 2 2 2 2 6 4 7 0 3 2 20 sӁ
có bán kính là r = 20
Ĉáp án chính xác là B ĄĐŚϮ͗dӌůƵҨŶ TOANMATH.com
Tác giả: Trần Bá Hưng
sŞĜҲďăŝLJġƵĐҥƵƚŞŵƚҨƉŚӄƉĜŝҳŵďŝҳƵĚŝҴŶƐҺƉŚӈĐ w ŶġŶƚĂĜҭƚ w = x + yi w − + i
dŚĞŽĜҲďăŝ w = 3 − 2i + (2 − 3 2 i) z z = 2 − i
x − 3 + ( y + 2)i ªx
¬ − 3 + ( y + 2)iº¼ (2 + i) ⇔ z = = 2 − i (2−i)(2+i)
2x − y − 8 + ( x + 2y + ) 1 ⇔ z = 3 2 2
§ 2x − y −8 · § x + 2y +1· dĂĐſ z = 2 ¨ ¸ + ¨ ¸ = 4 © 5 ¹ © 5 ¹
⇔ ( x − y − )2 + (x + y + )2 2 8 2 1 = 100 2 2
⇔ 5x + 5y − 30x + 20y + 65 =100 2 2
⇔ x + y − 6x + 4y = 7
⇔ (x − ) + ( y + ) = ( )2 2 2 3 2 20
Bài 4-[Thi thӱ THPT Hàm Rӗng – Thanh Hóa lҫn 1 năm 2017]
Trong mһt phҷng Oxy , tìm tұp hӧp ÿiӇm biӇu diӉn sӕ phӭc z thӓa mãn z −1 = (1+ i) z
A.Tұp hӧp các ÿiӇm biӇu diӉn sӕ phӭc z là ÿѭӡng tròn tâm I (2;− ) 1 , bán kính R = 2
A.Tұp hӧp các ÿiӇm biӇu diӉn sӕ phӭc z là ÿѭӡng tròn tâm I (1;0) , bán kính R = 3
A.Tұp hӧp các ÿiӇm biӇu diӉn sӕ phӭc z là ÿѭӡng tròn tâm I (0;− ) 1 , bán kính R = 3
A.Tұp hӧp các ÿiӇm biӇu diӉn sӕ phӭc z là ÿѭӡng tròn tâm I (0;− ) 1 , bán kính R = 2 '/ѵ/
ҭƚƐҺƉŚӈĐ z = x + yi ͘
dĂĐſ͗ z −1 = (1+ i) z ⇔ x + yi −1 = (x + yi)(1+ i) ⇔ x −1+ yi = x − y + (x + y)i
⇔ (x − )2 + y = (x − y)2 + (x + y)2 2 1 2 2 2 2 2 2
⇔ x − 2x +1+ y = x − 2xy + y + x + 2xy + y 2 2
⇔ x + y + 2x −1 = 0
⇔ (x + ) + y = ( )2 2 2 1 2
Vұy tұp hӧp các ÿiӇm M biӇu diӉn sӕ phӭc z là ÿѭӡng tròn tâm I ( 1
− ;0) , bán kính R = 2
Ĉáp án chính xác là D
Bài 5-[Thi thӱ THPT Quҧng Xѭѫng I – Thanh Hóa lҫn 1 năm 2017] 2
Tұp hӧp ÿiӇm biӇu diӉn sӕ phӭc z thӓa mãn 2 z = z là : A.Cҧ mһt phҷng B.Ĉѭӡng thҷng
C.Mӝt ÿiӇm D.Hai ÿѭӡng thҷng '/ѵ/
ҭƚƐҺƉŚӈĐ z = x + yi ͘ 2 2 2 dĂĐſ 2
z = z ⇔ x + yi = ( x + yi) ⇔ x + y = x + xyi + ( yi)2 2 2 2 2 ª y = 0 2
2 y − 2xyi = 0 ⇔ y ( y − xi) ⇔ « y ¬ − ix = 0
Vұy tұp hӧp các ÿiӇm M biӇu diӉn sӕ phӭc z là hai ÿѭӡng thҷng y = 0 và y − ix = 0
Ĉáp án chính xác là D
Bài 6-Tұp hӧp ÿiӇm biӇu diӉn sӕ phӭc z thӓa mãn 2 z −1 = z − z + 2i là mӝt Parabol có dҥng: TOANMATH.com
Tác giả: Trần Bá Hưng 2 x 2 x 1 A. 2
y = 3x − 6x + 2 B. y = − x C. y = − 4 D. 2
y = x + 2x + 2 3 3 '/ѵ/
ҭƚƐҺƉŚӈĐ z = x + yi ͘
EұƵĜĄƉƐҺĜƷŶŐƚŚŞĜƷŶŐǀӀŝŵҸŝ z = x + yi ƚŚҹĂŵĆŶ 2
y = 3x − 6x + 2 ͘ Chӑn mӝt cһp ( ; x y) bҩt kì thӓa 2
y = 3x − 6x + 2 ví dө A(0;2) z = 2i
Xét hiӋu 2 z −1 − z − z + 2i TFESSTFESSEE
Vұy 2 z −1 − z − z + 2i = 6 − + 2 5 ≠ 0
2 z −1 ≠ z − z + 2i Ĉáp sӕ A sai 1
dӇҿŶŐƚӌǀӀŝĜĄƉƐҺĐŚҸŶ z = 1− i ͘yĠƚŚŝҵƵ 2 z −1 − z − z + 2i 2 TFSDE5SSTFSDE5 SDE5E
Vұy 2 z −1 − z − z + 2i = 0 2 z −1 = z − z + 2i Ĉáp sӕ B chính xác TOANMATH.com
Tác giả: Trần Bá Hưng ЎІȂ ГϾЍЁЏ I) KIӂN THӬC NӄN TҦNG
1. Bҩt ÿҷng thӭc thѭӡng gһp
ҤƚĜҫŶŐƚŚӈĐƵŶŚŝĂĐŽƉdžŬŝ͗ŚŽĐĄĐƐҺƚŚӌĐ a, b, x, y ƚĂůƵƀŶĐſ ( + )2 ≤ ( a b 2 2 + )( 2 2 ax by a b
x + y )͘ҤƵсdžңLJƌĂ ⇔ = x y G G G G JJJJG
ҤƚĜҫŶŐƚŚӈĐsĞĐƚҿ͗ŚŽϮǀĞĐƚŽ u ( x; y) ǀă v ( x '; y ') ƚĂůƵƀŶĐſ u + v ≥ u + v
⇔ x + y + x + y ≥ (x − x )2 +( y − y )2 2 2 2 2 ' ' ' ' x y ҤƵсdžңLJƌĂ ⇔ = < 0 x ' y '
2. Phѭѫng pháp mҽo sӱ dөng sӱ tiӃp xúc
ҢŶŐϭ͗ŚŽƐҺƉŚӈĐ z ĐſƚҨƉŚӄƉĐĄĐĜŝҳŵďŝҳƵĚŝҴŶƐҺƉŚӈĐ z ůăĜӇӁŶŐƚƌžŶ (C) ďĄŶŬşŶŚZ͘
sӀŝŵҽŝĜŝҳŵ M ƚŚƵҾĐĜӇӁŶŐƚƌžŶ (C) ƚŚŞĐƹŶŐƚŚƵҾĐĜӇӁŶŐƚƌžŶ(C ') ƚąŵŐҺĐƚҸĂĜҾďĄŶŬşŶŚ 2 2
OM = a + b ͘
нͿҳ z ůӀŶŶŚҤƚƚŚŞ OM ůӀŶŶŚҤƚĜҢƚĜӇӄĐŬŚŝĜӇӁŶŐƚƌžŶ (C ') ƚŝұƉdžƷĐƚƌŽŶŐǀӀŝĜӇӁŶŐƚƌžŶ
(C)ǀăOM = OI + R
нͿҳ z ŶŚҹŶŚҤƚƚŚŞ OM ŶŚҹŶŚҤƚĜҢƚĜӇӄĐŬŚŝĜӇӁŶŐƚƌžŶ (C ') ƚŝұƉdžƷĐŶŐŽăŝǀӀŝĜӇӁŶŐƚƌžŶ
(C)ǀăOM = OI − R
ҢŶŐϮ͗ŚŽƐҺƉŚӈĐ z ĐſƚҨƉŚӄƉĐĄĐĜŝҳŵďŝҴƵĚŝҴŶƐҺƉŚӈĐ z ůăĜӇӁŶŐƚŚҫŶŐ (d ) ͘sӀŝŵҽŝ
Ĝŝҳŵ M ƚŚƵҾĐ (d ) ƚŚŞĐƹŶŐƚŚƵҾĐĜӇӁŶŐƚƌžŶ(C ')
нͿҳ z ŶŚҹŶŚҤƚƚŚŞ OM ŶŚҹŶŚҤƚŬŚŝĜſ OM ǀƵƀŶŐŐſĐǀӀŝ (d ) ǀăOM = d ( ; O (d )) TOANMATH.com
Tác giả: Trần Bá Hưng
ҢŶŐϯ͗ŚŽƐҺƉŚӈĐ z ĐſƚҨƉŚӄƉĐĄĐĜŝҳŵďŝҴƵĚŝҴŶƐҺƉŚӈĐ z ůăůŝƉĐſĜҶŶŚƚŚƵҾĐƚƌӅĐůӀŶ A( ;
a 0) ǀăĜҶŶŚƚŚƵҾĐƚƌӅĐŶŚҹ B(0;b) ͘sӀŝŵҽŝĜŝҳŵ M ƚŚƵҾĐ(d ) ƚŚŞĐƹŶŐƚŚƵҾĐĜӇӁŶŐƚƌžŶ (E)
нͿҳ z ůӀŶŶŚҤƚƚŚŞ OM ůӀŶŶŚҤƚŬŚŝĜſ M ƚƌƶŶŐǀӀŝĜҶŶŚƚŚƵҾĐƚƌӅĐůӀŶǀă
max z = OM = OA
нͿҳ z ŶŚҹŶŚҤƚƚŚŞ OM ŶŚҹŶŚҤƚŬŚŝĜſ M ƚƌƶŶŐǀӀŝĜҶŶŚƚŚƵҾĐƚƌӅĐŶŚҹǀă
max z = OM = OB 2 2 x y
ҢŶŐϰ͗ŚŽƐҺƉŚӈĐ z ĐſƚҨƉŚӄƉĐĄĐĜŝҳŵďŝҴƵĚŝҴŶƐҺƉŚӈĐ z ůă,LJƉĞƌďŽů ( H ) : − =1Đſ 2 2 a b
ŚĂŝĜҶŶŚƚŚƵҾĐƚƌӅĐƚŚӌĐ A'(− ; a 0), A( ;
a 0) ƚŚŞƐҺƉŚӈĐ z ĐſŵƀĜƵŶŶŚҹŶŚҤƚŶұƵĜŝҳŵďŝҳƵĚŝҴŶ
ƐҺƉŚӈĐ z ŶăLJƚƌƶŶŐǀӀŝĐĄĐĜҶŶŚƚƌġŶ͘;ŵƀĜƵŶůӀŶŶŚҤƚŬŚƀŶŐƚһŶƚҢŝͿ II) VÍ DӨ MINH HӐA
VD1-[Thi thӱ THPT Vƭnh Chân – Phú Thӑ lҫn 1 năm 2017]
Trong các sӕ phӭc z thӓa mãn ÿiӅu kiӋn z − 2 − 4i = z − 2i . Tìm sӕ phӭc z có môÿun nhӓ nhҩt. A. z = 1
− + i B. z = 2
− + 2i C. z = 2 + 2i
D. z = 3 + 2i GIҦI ĄĐŚĂƐŝŽ ¾
dƌŽŶŐĐĄĐƐҺƉŚӈĐӂĜĄƉĄŶ͕ƚĂƐҰƚŝұŶŚăŶŚdžҩƉdžұƉĐĄĐƐҺƉŚӈĐƚŚĞŽƚŚӈƚӌŵƀĜƵŶƚĉŶŐĚҥŶ͗ 1 − + i < 2
− + 2i = 2 + 2i < 3+ 2i TOANMATH.com
Tác giả: Trần Bá Hưng ¾
dŝұƉƚŚĞŽƐҰƚŝұŶŚăŶŚƚŚӊŶŐŚŝҵŵƚӉŶŐƐҺƉŚӈĐƚŚĞŽƚŚӈƚӌŵƀĜƵŶƚĉŶŐĚҥŶ͕ƐҺƉŚӈĐŶăŽƚŚҹĂ
ŵĆŶŚҵƚŚӈĐĜŝҲƵŬŝҵŶ z − 2 − 4i = z − 2i ĜҥƵƚŝġŶƚŚŞůăĜƷŶŐ sӀŝ z = 1
− + i yĠƚŚŝҵƵ͗ (−1+ i) − 2 − 4i − (−1+ i) − 2i TFSESSESTFSE SE
ZĂŵҾƚŐŝĄƚƌҷŬŚĄĐϬǀҨLJ z = 1
− + i ŬŚƀŶŐƚŚҹĂŵĆŶŚҵƚŚӈĐ͘ ĄƉĄŶƐĂŝ ¾
dӇҿŶŐƚӌŶŚӇǀҨLJǀӀŝ z = 2 + 2i TFESSESTFES E
sҨLJƐҺƉŚӈĐ z = 2 + 2i ƚŚҹĂŵĆŶŚҵƚŚӈĐ ĄƉƐҺůăĜĄƉƐҺĐŚşŶŚdžĄĐ ĄĐŚŵҮŽ
'ҸŝƐҺƉŚӈĐ z ĐſĚҢŶŐ z = a + bi ͘ z ƚŚҹĂŵĆŶ z − 2 − 4i = z − 2i
⇔ a − 2 + (b − 4)i = a + (b − 2)i
⇔ (a − )2 + (b − )2 = a + (b − )2 2 2 4 2 2 2 2 2
⇔ a − 4a + 4 + b − 8b +16 = a + b − 4b + 4 ⇔ 4a + 4b =16
⇔ a + b − 4 = 0
dƌŽŶŐĐĄĐĜĄƉĄŶĐŚҶĐſĜĄƉĄŶƚŚҹĂŵĆŶ a + b − 4 = 0 ĄƉĄŶĐŚşŶŚdžĄĐůă ĄĐŚƚӌůƵҨŶ
'ҸŝƐҺƉŚӈĐ z ĐſĚҢŶŐ z = a + bi ͘ z ƚŚҹĂŵĆŶ z − 2 − 4i = z − 2i
⇔ a − 2 + (b − 4)i = a + (b − 2)i
⇔ (a − )2 + (b − )2 = a + (b − )2 2 2 4 2 2 2 2 2
⇔ a − 4a + 4 + b − 8b +16 = a + b − 4b + 4 ⇔ 4a + 4b =16 ⇔ a + b = 4
dŚĞŽďҤƚĜҫŶŐƚŚӈĐƵŶŚŝĂĐŽƉdžŬŝ͗
= (a +b)2 ≤ ( 2 2 + )( 2 2 a + b ) 2 2 2 16 1 1
z = a + b ≥ 8 z ≥ 2 2 a b ° = ҤƵсdžңLJƌĂ ⇔ ®1 1
⇔ a = b = 2 z = 2 + 2i °¯a +b = 4
VD2-[Thi thӱ chuyên Khoa hӑc tӵ nhiên lҫn 2 năm 2017]
Vӟi các sӕ phӭc z thӓa mãn (1+ i) z +1− 7i = 2 . Tìm giá trӏ lӟn nhҩt cӫa z
A. max z = 4 B. max z = 3 C. max z = 7 D. max z = 6 GIҦI ĄĐŚŵҮŽ TOANMATH.com
Tác giả: Trần Bá Hưng ¾
'ҸŝƐҺƉŚӈĐ z ĐſĚҢŶŐ z = a + bi ͘ z ƚŚҹĂŵĆŶ (1+ i) z +1− 7i = 2
⇔ (a + bi)(1+ i) +1− 7i = 2
⇔ a − b +1+ (a + b − 7)i = 2
⇔ (a − b + )2 + (a + b − )2 1 7 = 2 2 2
⇔ 2a + 2b + 50 −12a −16b = 2 2 2
⇔ a + b − 6a − 8b + 25 = 1
⇔ (a − )2 + (b − )2 3 4 = 1
sҨLJƋƵӎƚşĐŚĜŝҳŵďŝҳƵĚŝҴŶƐҺƉŚӈĐ z ůăĜӇӁŶŐƚƌžŶƚąŵ I (3;4) ďĄŶŬşŶŚ R = 1͘dĂŐҸŝĜąLJůă ĜӇӁŶŐƚƌžŶ (C) ¾
sӀŝŵҽŝĜŝҳŵ M ďŝҳƵĚŝҴŶƐҺƉŚӈĐ z = a + bi ƚŚŞ M ĐƹŶŐƚŚƵҾĐĜӇӁŶŐƚƌžŶƚąŵ O (0;0) ďĄŶ ŬşŶŚ 2 2
a + b ͘dĂŐҸŝĜąLJůăĜӇӁŶŐƚƌžŶ (C ') ͕DƀĜƵŶĐӆĂ z ĐƹŶŐůăďĄŶŬşŶŚĜӇӁŶŐƚƌžŶ(C ') ¾
ҳďĄŶŬşŶŚ (C ') ůӀŶŶŚҤƚƚŚŞO, I, M ƚŚҫŶŐŚăŶŐ;ŶŚӇŚŞŶŚͿǀă(C ') ƚŝұƉdžƷĐƚƌŽŶŐǀӀŝ(C)
<ŚŝĜſ OM = OI + R = 5 +1 = 6 ĄƉƐҺĐŚşŶŚdžĄĐůă ĄĐŚƚӌůƵҨŶ ¾
'ҸŝƐҺƉŚӈĐ z ĐſĚҢŶŐ z = a + bi ͘ z ƚŚҹĂŵĆŶ (1+ i) z +1− 7i = 2
⇔ (a + bi)(1+ i) +1− 7i = 2
⇔ a − b +1+ (a + b − 7)i = 2
⇔ (a − b + )2 + (a + b − )2 1 7 = 2 2 2
⇔ 2a + 2b + 50 −12a −16b = 2 2 2
⇔ a + b − 6a − 8b + 25 = 1
⇔ (a − )2 + (b − )2 3 4 = 1 ¾ 2 dĂĐſ 2 2
z = a + b = 6a + 8b − 24 = 6(a − 3) + 8(b − 4) + 26
dŚĞŽďҤƚĜҫŶŐƚŚӈĐƵŶŚŝĂĐŽƉdžŬŝƚĂĐſ͗ 6 (a − 3) + 8(b − 4) ≤ 6(a − 3) + 8(b − 4) ( )ª¬(a )2 (b )2 2 2 6 8 3 4 º ≤ + − + − = 10 ¼ 2
sҨLJ z ≤ 36 ⇔ z ≤ 6
ĜĄƉĄŶůăĐŚşŶŚdžĄĐ ŞŶŚůƵҨŶ ¾
sŝҵĐƐӊĚӅŶŐďҤƚĜҫŶŐƚŚӈĐĜҳĜĄŶŚŐŝĄ z ůăƌҤƚŬŚſŬŚĉŶ͕ĜžŝŚҹŝŚҸĐƐŝŶŚƉŚңŝŶҩŵƌҤƚǀӋŶŐďҤƚ
ĜҫŶŐƚŚӈĐƵŶŚŝĂĐŽƉdžŬŝǀăĐĄĐďŝұŶĚҢŶŐĐӆĂŶſ ¾
dƌŽŶŐƚŞŶŚŚƵҺŶŐĐӆĂďăŝƚŽĄŶŶăLJ͕ŬŚŝƐŽƐĄŶŚϮĐĄĐŚŐŝңŝƚĂƚŚҤLJĚƶŶŐŵҮŽƚŝұƉdžƷĐƚҹƌĂĜҿŶŐŝңŶ
ĚҴŚŝҳƵǀăƚŝұƚŬŝҵŵƚŚӁŝŐŝĂŶŚҿŶ͘
VD3-[Thi thӱ báo Toán hӑc tuәi trҿ lҫn 5 năm 2017]
Cho sӕ phӭc z thӓa mãn z − 4 + z + 4 = 10 , giá trӏ lӟn nhҩt và giá trӏ nhӓ nhҩt cӫa z lҫn lѭӧt là : A.10 và 4 B. 5 và 4
C. 4 và 3D. 5 và 3 GIҦI ĄĐŚŵҮŽ ¾
'ҸŝƐҺƉŚӈĐ z ĐſĚҢŶŐ z = a + bi ͘ z ƚŚҹĂŵĆŶ z − 4 + z + 4 = 10
⇔ a − 4 + bi + a + 4 + bi = 10 TOANMATH.com
Tác giả: Trần Bá Hưng
⇔ (a − )2 + b + (a + )2 2 2 4 4 + b = 10
⇔ (a + )2 + b = − (a − )2 2 2 4 10 4 + b
⇔ a + a + + b =
+ a − a + + b − (a − )2 2 2 2 2 2 8 16 100 8 16 20 4 + b ⇔ (a − )2 2 20 4 + b = 100 −16a ⇔ (a − )2 2 5 4 + b = 25 − 4a ⇔ ( 2 2 a − a + + b ) 2 25 8 16
= 625 − 200a +16a 2 2
⇔ 9a + 25b = 225 2 2 a b ⇔ + = 1 25 9
sҨLJƋƵӎƚşĐŚĜŝҳŵďŝҳƵĚŝҴŶƐҺƉŚӈĐ z ůăĜӇӁŶŐůŝƉĜҶŶŚƚŚƵҾĐĜĄLJůӀŶůă A(5;0) ͕ĜҶŶŚƚŚƵҾĐ
ĜĄLJŶŚҹůă B (0;3) ¾
sӀŝŵҽŝĜŝҳŵ M ďŝҳƵĚŝҴŶƐҺƉŚӈĐ z = a + bi ƚŚŞ M ĐƹŶŐƚŚƵҾĐĜӇӁŶŐƚƌžŶƚąŵ O (0;0) ďĄŶ ŬşŶŚ 2 2
a + b ͘dĂŐҸŝĜąLJůăĜӇӁŶŐƚƌžŶ (C ') ͕DƀĜƵŶĐӆĂ z ĐƹŶŐůăďĄŶŬşŶŚĜӇӁŶŐƚƌžŶ(C ') ¾
ҳďĄŶŬşŶŚ (C ') ůӀŶŶŚҤƚƚŚŞ M ƚƌƶŶŐǀӀŝĜҶŶŚƚŚƵҾĐƚƌӅĐůӀŶǀă M ≡ A(5;0) OM = 5 max z = 5 ¾
ҳďĄŶŬşŶŚ (C ') ůӀŶŶŚҤƚƚŚŞ M ƚƌƶŶŐǀӀŝĜҶŶŚƚŚƵҾĐƚƌӅĐŶŚҹǀă M ≡ B (0;3) OM = 3 min z = 3 ĄƉƐҺĐŚşŶŚdžĄĐůă ĄĐŚƚӌůƵҨŶ ¾
'ҸŝƐҺƉŚӈĐ z ĐſĚҢŶŐ z = a + bi ͘ z ƚŚҹĂŵĆŶ z − 4 + z + 4 = 10
⇔ a − 4 + bi + a + 4 + bi = 10
⇔ (a − )2 + b + (a + )2 2 2 4 4 + b = 10
⇔ (a + )2 + b + (−a + )2 + (−b)2 2 4 4 = 10
dŚĞŽďҤƚĜҫŶŐƚŚӈĐǀĞĐƚŽƚĂĐſ͗ ⇔
= (a + )2 + b + (−a + )2 + (−b)2 2 10 4 4
≥ ª(a + 4) −(−a + 4) 2º + ªb −(−b) 2º ¬ ¼ ¬ ¼ 2 2 ⇔ 10 ≥ 4a + 4b
⇔ 10 ≥ 2 z z ≤ 5 ¾ 2 2 dĂĐſ ⇔ (a − ) 2 + b + (a + ) 2 4 4 + b = 10
dŚĞŽďҤƚĜҫŶŐƚŚӈĐƵŶŚŝĂĐŽƉdžŬŝƚĂĐſ͗ 2 (a )2 b (a ) ( 2 b ) (
)ª(a )2 b (a )2 2 2 2 2 2 2 100 4 4 1 1 4 4 b º = − + + + + ≤ + − + + + + ¬ ¼ ⇔ ≤ ( 2 2 100 2 2a + 2b + 32) 2 2
⇔ 2a + 2b + 32 ≥ 50 2 2 ⇔ a + b ≥ 9 2
sҨLJ z ≥ 9 ⇔ z ≤ 3
3 ≤ z ≤ 5 ĜĄƉĄŶůăĐŚşŶŚdžĄĐ TOANMATH.com
Tác giả: Trần Bá Hưng
VD4-Trong các sӕ phӭc z thӓa mãn z − 2 − z + 2 = 2 , tìm sӕ phӭc z có môÿun nhӓ nhҩt.
A. z = 1− 3i B. z = 1
− + 3i C. z = 1
D. z = 3 + i GIҦI ĄĐŚŵҮŽ ¾
'ҸŝƐҺƉŚӈĐ z ĐſĚҢŶŐ z = x + yi ͘ z ƚŚҹĂŵĆŶ z − 2 − z + 2 = 2
⇔ x − 2 + yi − x + 2 + yi = 2
⇔ (x − )2 + y − (x + )2 2 2 2 2 + y = 2
⇔ (x − )2 + y = + (x + )2 2 2 2 2 2 + y
⇔ (x − )2 + y = + (x + )2 + y +(x + )2 2 2 2 2 4 4 2 2 + y ⇔ − − § · x = ( x + )2 2 1 2 2 + 1
y ¨ −1− 2x ≥ 0 ⇔ x ≤ − ¸ © 2 ¹ 2 2 2
⇔ 1+ 4x + 4x = x + 4x + 4 + y 2 y 2 ⇔ x − =1 3 2 y
sҨLJƚҨƉŚӄƉĜŝҳŵďŝҳƵĚŝҴŶƐҺƉŚӈĐ z ůă,LJƉĞďŽů (H ) 2 : x −
=1ĐſϮĜҶŶŚƚŚƵҾĐƚŚӌĐůă 3 A'( 1 − ;0),B(1;0) ¾
^ҺƉŚӈĐ z = x + yi ĐſĜŝҳŵďŝҳƵĚŝҴŶ M ( ;
x y) ǀăĐſŵƀĜƵŶůă 2 2
OM = a + b ͘ҳ OM ĜҢƚŐŝĄ
ƚƌҷŶŚҹŶŚҤƚƚŚŞ M ƚƌƶŶŐǀӀŝŚĂŝĜҶŶŚĐӆĂ ( H )
M ≡ A M (1;0) z =1
Ĉáp án chính xác là C
II) BÀI TҰP TӴ LUYӊN
Bài 1-Cho các sӕ phӭc z thӓa mãn 2z − 2 + 2i = 1. Môÿun z nhӓ nhҩt có thӇ ÿҥt ÿѭӧc là bao nhiêu : 1 − + 2 2 1+ 2 2 A. B. C. 2 +1 D. 2 −1 2 2
Bài 2-Trong các sӕ phӭc z thӓa mãn z − 3i + iz + 3 = 10 . Hai sӕ phӭc z và z có môÿun nhӓ 1 2
nhҩt. Hӓi tích z z là bao nhiêu 1 2 A. 25 B. −25 C.16 D. −16
Bài 3-Trong các sӕ phӭc z thӓa mãn iz − 3 = z − 2 − i . Tính giá trӏ nhӓ nhҩt cӫa z . 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 2 5 5
LӠI GIҦI BÀI TҰP TӴ LUYӊN
Bài 1-Cho các sӕ phӭc z thӓa mãn 2z − 2 + 2i = 1. Môÿun z nhӓ nhҩt có thӇ ÿҥt ÿѭӧc là bao nhiêu : 1 − + 2 2 1+ 2 2 A. B. C. 2 +1 D. 2 −1 2 2 '/ѵ/ ĄĐŚŵҮŽ
'ҸŝƐҺƉŚӈĐ z = x + yi ƚŚҹĂŵĆŶ 2z − 2 + 2i =1 ⇔ 2x − 2 + 2yi + 2i = 1 TOANMATH.com
Tác giả: Trần Bá Hưng
⇔ ( x − )2 + ( y + )2 2 2 2 2 = 1
⇔ (x − )2 + ( y + )2 1 1 1 = 4 1
Vұy tұp hӧp các ÿiӇm biӇu diӉn sӕ phӭc z là ÿѭӡng tròn (C) có tâm I (1;− ) 1 bán kính R = 2
sӀŝŵҽŝĜŝҳŵ M ( ;
x y) ďŝҳƵĚŝҴŶƐҺƉŚӈĐ z = x + yi ƐҰƚŚƵҾĐĜӇӁŶŐƚƌžŶƚąŵO ďĄŶŬşŶŚ 2 2
R ' = z = x + y ͘sŞǀҨLJĜҳ R = z ŶŚҹŶŚҤƚƚŚŞĜӇӁŶŐƚƌžŶ (C ') ƉŚңŝƚŝұƉdžƷĐŶŐŽăŝǀӀŝĜӇӁŶŐ (C') −1+ 2 2
Khi ÿó ÿiӇm M sӁ là tiӃp ÿiӇm cӫa ÿѭӡng tròn (C) và (C ') và z = OM = OI − R = 2 VSGSSGSD5
Ĉáp sӕ chính xác là A
Bài 2-Trong các sӕ phӭc z thӓa mãn z − 3i + iz + 3 = 10 . Hai sӕ phӭc z và z có môÿun nhӓ 1 2
nhҩt. Hӓi tích z z là bao nhiêu 1 2 A. 25 B. −25 C.16 D. −16 '/ѵ/ ĄĐŚŵҮŽ
'ҸŝƐҺƉŚӈĐ z = x + yi ƚŚҹĂŵĆŶ z − 3i + iz + 3 = 10
⇔ x + ( y −3)i + y + 3+ xi =10
⇔ x + ( y − )2 + ( y + )2 2 2 3 3 + x = 10
⇔ ( y + )2 + x = − x + ( y − )2 2 2 3 10 3
⇔ ( y + )2 + x = −
x + ( y − )2 + x + ( y − )2 2 2 2 3 100 20 3 3 ⇔ x + ( y − )2 2 20 3 = 100 −12y 2 2
⇔ 25x +16y = 400 2 2 x y ⇔ + =1 16 25 2 2 x y
Vұy tұp hӧp các ÿiӇm biӇu diӉn sӕ phӭc z là ÿѭӡng Elip (E) : +
=1có 2 ÿӍnh thuӝc trөc nhӓ 16 25 là A( 4; − 0), A'(4;0)
sӀŝŵҽŝĜŝҳŵ M ( ;
x y) ďŝҳƵĚŝҴŶƐҺƉŚӈĐ z = x + yi ƐҰƚŚƵҾĐĜӇӁŶŐƚƌžŶƚąŵO ďĄŶŬşŶŚ 2 2
R ' = z = x + y ͘sŞĞůŝƉ (E) ǀăĜӇӁŶŐƚƌžŶ(C) ĐſĐƶŶŐƚąŵO ŶġŶĜҳOM ŶŚҹŶŚҤƚƚŚŞ M ůă
ĜҶŶŚƚŚƵҾĐƚƌӅĐŶŚҹ
M ≡ A' z = 4
− , M ≡ A z = 4 1 2
Tәng hӧp z .z = 4 − .4 = 1 − 6 1 2 ( )
Ĉáp sӕ chính xác là D DӂƌҾŶŐ TOANMATH.com
Tác giả: Trần Bá Hưng
EұƵĜҲďăŝŚҹŝƚşĐŚ z z ǀӀŝ z , z ĐſŐŝĄƚƌҷůӀŶŶŚҤƚƚŚŞŚĂŝĜŝҳŵ M ďŝҳƵĚŝҴŶŚĂŝƐҺƉŚӈĐƚƌġŶůăŚĂŝ 1 2 1 2
ĜҶŶŚƚŚƵҾĐƚƌӅĐůӀŶ B (0; 5 − ), B'(0;5)
M ≡ B ' z = 5
− i , M ≡ A z = 5i 1 2
Tәng hӧp z z = 5 .i( 5 − i) 2 = 2 − 5i = 25 1 2
Bài 3-Trong các sӕ phӭc z thӓa mãn iz − 3 = z − 2 − i . Tính giá trӏ nhӓ nhҩt cӫa z . 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 2 5 5 '/ѵ/ ĄĐŚŵҮŽ
'ҸŝƐҺƉŚӈĐ z = x + yi ƚŚҹĂŵĆŶ iz − 3 = z − 2 − i
⇔ − y − 3 + xi = x − 2 + ( y − ) 1 i
⇔ (−y − )2 + x = (x − )2 + ( y − )2 2 3 2 1 2 2 2 2
⇔ y + 6y + 9 + x = x − 4x + 4 + y − 2y +1
⇔ x + 2y +1 = 0 ⇔ x + ( y − )2 2 20 3 = 100 −12y
Vұy tұp hӧp các ÿiӇm biӇu diӉn sӕ phӭc z là ÿѭӡng thҷng (d ) : x + 2y +1 = 0
sӀŝŵҽŝĜŝҳŵ M ( ;
x y) ďŝҳƵĚŝҴŶƐҺƉŚӈĐ z = x + yi ƚŚŝ z = OM ≥ OH ǀӀŝ H ů㌪ŶŚĐŚŝұƵǀƵƀŶŐŐſĐ
ĐӆĂ O ůġŶĜӇӁŶŐƚŚҫŶŐ (d ) ǀăOH ůăŬŚŽңŶŐĐĄĐŚƚӉĜŝҳŵO ůġŶĜӇӁŶŐƚŚҫŶŐ (d ) 1.0 + 2.0 +1 1
Tính OH = d (O;(d )) = = 2 2 1 + 2 5 1 Vұy z ≥ 5
Ĉáp sӕ chính xác là D 2 2 3 2 2 3 2 1
x − y +1+ 2xyi
x − xy + x + x yi + y i − yi + 2xy x + yi + = = 2 2 x + yi x + yi x + y TOANMATH.com
Tác giả: Trần Bá Hưng ЎІȂ ЎІ@ЁЏ I) KIӂN THӬC NӄN TҦNG
1. ChuyӇn sӕ phӭc vӅ dҥng lѭӧng giác
ҢŶŐůӇӄŶŐŐŝĄĐĐӆĂƐҺƉŚӈĐ͗ŚŽƐҺƉŚӈĐ z ĐſĚҢŶŐ z = r (cosϕ + i sinϕ ) ƚŚŞƚĂůƵƀŶĐſ͗ n n
z = r (cos nϕ + isin nϕ )
>ҵŶŚĐŚƵLJҳŶƐҺƉŚӈĐ z = a + bi ǀҲĚҢŶŐůӇӄŶŐŐŝĄĐ͗>ҵŶŚ^,/&dϮϯ
ӇӀĐϭ͗EŚҨƉƐҺƉŚӈĐ z = a + bi ǀăŽŵăŶŚŞŶŚƌһŝĚƶŶŐůҵŶŚ^,/&dϮϯ;sşĚӅ z = 1+ 3i Ϳ VET π
ӇӀĐϮ͗dӉďңŶŐŬұƚƋƵңƚĂĜҸĐŚŝҳƵ r = 2 ǀăϕ = 3 II) VÍ DӨ MINH HӐA
VD1-[Thi thӱ chuyên Khoa hӑc tӵ nhiên lҫn 1 năm 2017]
Gӑi z , z là hai nghiӋm phӭc cӫa phѭѫng trình 2
z − z +1 = 0 . Giá trӏ cӫa z + z bҵng : 1 2 1 2 A. 0 B.1 C. 2 D. 4 GIҦI ĄĐŚĂƐŝŽ ¾
dşŶŚŶŐŚŝҵŵĐӆĂƉŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚďҨĐŚĂŝ 2
z − z +1 = 0 ďҪŶŐĐŚӈĐŶĉŶŐDKϱϯ Z S 1 3 1 3 ¾
sҨLJƚĂĜӇӄĐŚĂŝŶŐŚŝҵŵ z = + i ǀă z = −
i ͘dşŶŚƚҼŶŐDƀĜƵŶĐӆĂŚĂŝƐҺƉŚӈĐƚƌġŶƚĂ 1 2 2 2 2 2
ůҢŝĚƶŶŐĐŚӈĐŶĉŶŐ^,/&d,zW ZTFD5DV5ETF D5SDV5E
z + z = 2 ƚĂƚŚҤLJůăĜĄƉĄŶĐŚşŶŚdžĄĐ 1 2
VD2-[Thi thӱ chuyên Khoa hӑc tӵ nhiên lҫn 2 năm 2017]
Gӑi z , z là hai nghiӋm phӭc cӫa phѭѫng trình 2
z + 2z + 2 = 0 . Tính giá trӏ cӫa biӇu thӭc 1 2 2016 2016 P = z + z : 1 2 A. 1009 2 B. 0 C. 2017 2 D. 1008 2 GIҦI ĄĐŚĂƐŝŽϭ TOANMATH.com
Tác giả: Trần Bá Hưng ¾
dşŶŚŶŐŚŝҵŵĐӆĂƉŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚďҨĐŚĂŝ 2
z + 2z + 2 = 0 ďҪŶŐĐŚӈĐŶĉŶŐDKϱϯ Z ¾
dĂƚŚƵĜӇӄĐŚĂŝŶŐŚŝҵŵ z = −1+ i ǀă z = 1
− − i ͘sӀŝĐĄĐĐӅŵĜҭĐďŝҵƚ 1 − + i ͕ 1
− − i ƚĂĐſĜŝҲƵ 1 2
ĜҭĐďŝҵƚƐĂƵ͗ (− + i)4 1 = −4 ͕(− − i)4 1 = 4 − ZSEA 504 504 2016 2016 4 4 sҨLJ 2016 2016 P z z 1 i 1 i ª 1 i º ª 1 i º = + = − + + − − = − + + − − 1 2 ( ) ( ) ¬( ) ¼ ¬( ) ¼ = (− )504 + (− )504 504 504 1008 1008 1008 1009 4 4 = 4 + 4 = 2 + 2 = 2.2 = 2 2016 2016 1009 P = z + z = 2
ƚĂƚŚҤLJůăĜĄƉĄŶĐŚşŶŚdžĄĐ 1 2 ĄĐŚĂƐŝŽϮ ¾
EŐŽăŝĐĄĐŚƐӊĚӅŶŐƚşŶŚĐŚҤƚĜҭĐďŝҵƚĐӆĂĐӅŵ (− ± )4 1 i ƚĂĐſƚŚҳdžӊůlj 1
− ± i ďҪŶŐĐĄĐŚĜӇĂǀҲ
ĚҢŶŐůӇӄŶŐŐŝĄĐďҪŶŐůҵŶŚ^,/&dϮϯ sӀŝ z = 1
− + i = r cosϕ + isinϕ 1 ( ) SET 3π
dĂŶŚҨŶĜӇӄĐ r = 2 ǀăŐſĐϕ = 4 § 3π 3π · § π π · z = 2 cos ¨ + i sin z ¸ = ( 2)2016 3 3 2016 cos 2016. ¨ + i sin 2016. 1 1 ¸ © 4 4 ¹ © 4 4 ¹ § 3π · § 3π · ¾ dşŶŚ cos 2016. ¨ ¸ + .isin 2016. ¨ ¸ © 4 ¹ © 4 ¹ N2DT.5E2M 2DT.5R z = ( 2)2016 2016 1008 = 2 1 ¾ dӇҿŶŐƚӌ 2016 1008 1009 z = 2 T = 2 2
VD3-[ĈӅ minh hӑa bӝ GD-ĈT lҫn 1 năm 2017]
Kí hiӋu z , z , z và z là bӕn nghiӋm phӭc cӫa phѭѫng trình 4 2
z − z −12 = 0 . Tính tәng : 1 2 3 4
T = z + z + z + z 1 2 3 4 A. T = 4
B. T = 2 3 C. T = 4 + 2 3 D. T = 2 + 2 3 GIҦI TOANMATH.com
Tác giả: Trần Bá Hưng ĄĐŚĂƐŝŽ ¾
ҳƚşŶŚŶŐŚŝҵŵĐӆĂƉŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚƚĂĚƶŶŐĐŚӈĐŶĉŶŐDKϱ͘dƵLJŶŚŝġŶŵĄLJƚşŶŚĐŚҶƚşŶŚĜӇӄĐ
ƉŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚďҨĐϮǀăϯŶġŶĜҳƚşŶŚĜӇӄĐƉŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚďҨĐϰƚƌƶŶŐƉŚӇҿŶŐ 4 2
z − z −12 = 0 ƚŚŞƚĂ ĐŽŝ 2
z = t ŬŚŝĜſƉŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚƚƌӂƚŚăŶŚ 2
t − t −12 = 0 Z S S ªt = 4 2 ªz = 4 sҨLJ « ŚĂLJ « t ¬ = 3 − 2 z ¬ = −3 ¾ sӀŝ 2 z = 4 z = ±2 ¾ sӀŝ 2
z = −3 ƚĂĐſƚŚҳĜӇĂǀҲ 2 2
z = 3i ⇔ z = ± 3i ǀӀŝ 2 i = 1
− ͘,ŽҭĐƚĂĐſƚŚҳƚŝұƉƚӅĐƐӊĚӅŶŐ
ĐŚӈĐŶĉŶŐDKϱĐŚŽƉŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚ 2 2
z = −3 ⇔ z + 3 = 0 Z
Tóm lҥi ta sӁ có 4 nghiӋm z = 1, ± z = ± 3i ¾
dşŶŚ T ƚĂůҢŝƐӊĚӅŶŐĐŚӈĐŶĉŶŐƚşŶŚŵƀĜƵŶ^,/&d,zW ZTFTFSTFVE TFSVE
Ĉáp án chính xác là C
VD4-[Thi thӱ nhóm toán Ĉoàn Trí DNJng lҫn 3 năm 2017]
Giҧi phѭѫng trình sau trên tұp sӕ phӭc : 3 z + (i + ) 2 1 z + (i + ) 1 z + i = 0 1 3 1 3 A. z = i − B. z = − +
i C. z = − − i
D.Cҧ A, B, C ÿӅu ÿúng 2 2 2 2 GIҦI ĄĐŚĂƐŝŽ ¾
ҳŬŝҳŵƚƌĂŶŐŚŝҵŵĐӆĂϭƉŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚƚĂƐӊĚӅŶŐĐŚӈĐŶĉŶŐ> 4AE4GE4 EUSE
sҨLJ z = −i ůăŶŐŚŝҵŵ 1 3 ¾
dŝұƉƚӅĐŬŝҳŵƚƌĂ z = − +
i ŶұƵŐŝĄƚƌҷŶăLJůăŶŐŚŝҵŵƚŚŞĐңĜĄƉĄŶǀăĜҲƵĜƷŶŐĐſŶŐŚšĂůă 2 2
ĜĄƉĄŶĐŚşŶŚdžĄĐ͘EұƵŐŝĄƚƌҷŶăLJŬŚƀŶŐůăŶŐŚŝҵŵƚŚŞĐŚҶĐſĜĄƉĄŶĜƷŶŐĚƵLJŶŚҤƚ͘ US3V3E TOANMATH.com
Tác giả: Trần Bá Hưng 1 3 Vұy z = − +
i tiӃp tөc là nghiӋm có nghƭa là ÿáp án A và B ÿӅu ÿúng 2 2
Ĉáp án chính xác là D ĄĐŚƚӌůƵҨŶ ¾
ҳŐŝңŝƉŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚƐҺƉŚӈĐdžƵҤƚŚŝҵŶƐҺ i ƚƌŽŶŐĜſƚĂŬŚƀŶŐƚŚҳƐӊĚӅŶŐĐŚӈĐŶĉŶŐDKϱ
ĜӇӄĐŵăƉŚңŝƚŝұŶŚăŶŚŶŚſŵŶŚąŶƚӊĐŚƵŶŐ WŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚ 3 2
⇔ z + z + z + ( 2z + z + )1i = 0 ⇔ ( ª = − z + i)( z i 2 z + z + ) 1 = 0 ⇔ « 2 z ¬ + z +1 = 0 ¾ WŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚ 2
z + z +1 = 0 ŬŚƀŶŐĐŚӈĂƐҺ i ŶġŶƚĂĐſƚŚҳƐӊĚӅŶŐŵĄLJƚşŶŚĂƐŝŽǀӀŝĐŚӈĐŶĉŶŐ
ŐŝңŝƉŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚDKϱ Z 1 3 1 3
dſŵůҢŝƉŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚĐſϯŶŐŚŝҵŵ z = i − ; z = − + i ; z = − − i 2 2 2 2
ůăĜĄƉĄŶĐŚşŶŚdžĄĐ
VD5-[Thi thӱ báo Toán hӑc tuәi trҿ lҫn 3 năm 2017]
Trong các phѭѫng trình dѭӟi ÿây, phѭѫng trình nào có hai nghiӋm z = 1+ 3 ; z = 1− 3 1 2 A. 2
z + i 3z +1 = 0 B. 2
z + 2z + 4 = 0 C. 2
z − 2z + 4 = 0 D. 2 z − 2z − 4 = 0 GIҦI ¾
dĂŚŝҳƵƉŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚďҨĐŚĂŝ 2
ax + bx + c = 0 ŶұƵĐſŚĂŝŶŐŚŝҵŵƚŚŞƐҰƚƵąŶƚŚĞŽĜҷŶŚůljsŝͲĞƚ;Ŭҳ
ĐңƚƌġŶƚҨƉƐҺƚŚӌĐŚĂLJƚҨƉƐҺƉŚӈĐͿ b z + z = − ° 1 2 ° a ® c °z z = 1 2 °¯ a ¾
dşŶŚ z + z = 2 1 2 ZVESVE dşŶŚ z z = 4 1 2 VESVE b c
Rõ ràng chӍ có phѭѫng trình 2
z − 2z + 4 = 0 có − = 2 và = 4 a a
Ĉáp sӕ chính xác là C TOANMATH.com
Tác giả: Trần Bá Hưng
VD6-[Thi thӱ chuyên Khoa hӑc tӵ nhiên lҫn 1 năm 2017] Phѭѫng trình 2
z + iz +1 = 0 có bao nhiêu nghiӋm trong tұp sӕ phӭc : A. 2
B.1C. 0 D.Vô sӕ GIҦI ¾
dĂƉŚąŶďŝҵƚ͗dƌġŶƚҨƉƐҺƚŚӌĐƉŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚďҨĐŚĂŝ 2
ax + bx + c = 0 ƐҰĐſŚĂŝŶŐŚŝҵŵƉŚąŶďŝҵƚ
ŶұƵ Δ > 0 ͕ĐſŚĂŝŶŐŚŝҵŵŬĠƉŶұƵ Δ = 0 ͕ǀƀŶŐŚŝҵŵŶұƵ Δ < 0 ͘dƵLJŶŚŝġŶƚƌġŶƚҨƉƐҺƉŚӈĐ
ƉŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚďҨĐŚĂŝ 2
ax + bx + c = 0 ĐſϭŶŐŚŝҵŵĚƵLJŶŚҤƚŶұƵ Δ = 0 ͕ĐſŚĂŝŶŐŚŝҵŵƉŚąŶďŝҵƚ ªΔ > 0 ŶұƵ «¬Δ < 0 ¾
sҨLJƚĂĐŚҶĐҥŶƚşŶŚ Δ ůădžŽŶŐ͘sӀŝƉŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚ 2
z + iz +1 = 0 ƚŚŞ 2
Δ = i − 4 = −5 ůăŵҾƚĜҢŝ
ůӇӄŶŐ < 0 ǀҨLJƉŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚƚƌġŶĐſϮŶŐŚŝҵŵƉŚąŶďŝҵƚ
Ĉáp sӕ chính xác là A (1−i) ( 3 +i)5 10
VD7-Phҫn thӵc cӫa sӕ phӭc z là bao nhiêu biӃt z = ( 1−−i 3)10 A. 1 − + i B.1 C. 3 − 2i D. 5 2 i GIҦI ¾
ҳdžӊůljƐҺƉŚӈĐďҨĐĐĂŽ (> 3) ƚĂƐӊĜӇĂƐҺƉŚӈĐǀҲĚҢŶŐůӇӄŶŐŐŝĄĐǀăƐӊĚӅŶŐĐƀŶŐƚŚӈĐDŽĂͲ 10 5 z .z
ǀҿ͘săĜҳĚҴŶŚŞŶƚĂĜҭƚ 1 2 z = 10 z3 ¾
dşŶŚ z = 1− i = r cosϕ + i sinϕ ͘ҳƚşŶŚ r ǀăϕ ƚĂůҢŝƐӊĚӅŶŐĐŚӈĐŶĉŶŐ^,/&Ϯϯ 1 ( ) SET § π − π − · § π − π − · sҨLJ z = 2 cos ¨ + isin z = 2 cos10. ¨ + i sin10. 1 ( )10 10 1 ¸ ¸ © 4 4 ¹ © 4 4 ¹ π − π − dşŶŚ cos10. + isin10. 4 4 N2DST.5EM2DST .5 Vұy z = ( 2)10 10 5 .i = 2 .i 1 § π π · § 3 1 · ¾ dӇҿŶŐƚӌ 5 5 5 z = 2 cos 5. ¨ + i sin 5. ¸ = 2 ¨− + i ¸ 2 6 6 ¨ 2 2 ¸ © ¹ © ¹ § 2π 2π · § 1 3 · − − 10 10 10 z = 2 cos10. ¨ + i sin10. ¸ = 2 ¨ − − i ¸ 3 3 3 ¨ 2 2 ¸ © ¹ © ¹ TOANMATH.com
Tác giả: Trần Bá Hưng § · 5 5 3 1 2 . i 2 ¨ − + i ¸ 10 5 z .z 2 2 © ¹ dҼŶŐŚӄƉ 1 2 z = = 10 z § · 3 10 1 3 2 ¨ − − i ¸ 2 2 © ¹ DAE2ASDV5D 5E5ASD5SDV 5E
sҨLJ z = 1 ĄƉƐҺĐŚşŶŚdžĄĐůă III) BÀI TҰP TӴ LUYӊN
Bài 1-[Thi thӱ chuyên Lam Sѫn – Thanh Hóa lҫn 2 năm 2017] Cho phѭѫng trình 2
z − 2z +17 = 0 có hai nghiӋm phӭc z và z . Giá trӏ cӫa z + z là : 1 2 1 2 A. 2 17 B. 2 13 C. 2 10 D. 2 15
Bài 2-[ĈӅ thi toán Ĉҥi hӑc – Cao ÿҷng khӕi A năm 2009] 2 2
Gӑi z , z là hai nghiӋm cӫa phѭѫng trình 2
z + 2z +10 = 0 . Tính giá trӏ biӇu thӭc A = z + z 1 2 1 2 A. 2 10 B. 20 C. 5 2 D.10 3
Bài 3-[Thi thӱ Group Nhóm toán lҫn 5 năm 2017]
Kí hiӋu z , z , z là nghiӋm cӫa phѭѫng trình 3
z + 27 = 0 . Tính tәng T = z + z + z 1 2 3 1 2 3 A.T = 0 B.T = 3 3 C.T = 9 D.T = 3
Bài 4-[Thi thӱ THPT Bҧo Lâm – Lâm Ĉӗng lҫn 1 năm 2017]
Gӑi z , z , z , z là bӕn nghiӋm phӭc cӫa phѭѫng trình 4 2
2z − 3z − 2 = 0 . Tính tәng sau : 1 2 3 4
T = z + z + z + z 1 2 3 4 A. 5 B. 5 2 C. 3 2 D. 2
Bài 5-[Thi thӱ THPT Bҧo Lâm – Lâm Ĉӗng lҫn 1 năm 2017] Xét phѭѫng trình 3
z = 1 trên tұp sӕ phӭc . Tұp nghiӋm cӫa phѭѫng trình là : ° 1 3 ½ − ± ° ° 1 3 ½ ° ° 1 3 ½ ° A. S = { } 1 B. S = 1 ® ; ¾ C. S = 1 ® ; − ± i¾ D. S = ®− ± i¾ ° 2 ¯ °¿ ° 2 2 ¯ °¿ ° 2 2 ¯ °¿ 1 1
Bài 6-BiӃt z là nghiӋm cӫa phѭѫng trình z + = 1 . Tính giá trӏ biӇu thӭc 2009 P = z + z 2009 z 5 7 A. P = 1
B. P = 0 C. P = − D. P = 2 4
LӠI GIҦI BÀI TҰP TӴ LUYӊN
Bài 1-[Thi thӱ chuyên Lam Sѫn – Thanh Hóa lҫn 2 năm 2017] Cho phѭѫng trình 2
z − 2z +17 = 0 có hai nghiӋm phӭc z và z . Giá trӏ cӫa z + z là : 1 2 1 2 A. 2 17 B. 2 13 C. 2 10 D. 2 15 '/ѵ/ ĄĐŚĂƐŝŽ
dŞŵŚĂŝŶŐŚŝҵŵĐӆĂƉŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚ 2 z − 2z +17 = 0 Z S TOANMATH.com
Tác giả: Trần Bá Hưng
dşŶŚƚҼŶŐŚĂŝŵƀĜƵŶďҪŶŐůҵŶŚ^,/&d,zW ZTFETFSE
Vұy z + z = 2 17 Ĉáp sӕ chính xác là A 1 2
Bài 2-[ĈӅ thi toán Ĉҥi hӑc – Cao ÿҷng khӕi A năm 2009] 2 2
Gӑi z , z là hai nghiӋm cӫa phѭѫng trình 2
z + 2z +10 = 0 . Tính giá trӏ biӇu thӭc A = z + z 1 2 1 2 A. 2 10 B. 20 C. 5 2 D.10 3 '/ѵ/ ĄĐŚĂƐŝŽ
dŞŵŚĂŝŶŐŚŝҵŵĐӆĂƉŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚ 2 z + 2z +10 = 0 Z
dşŶŚƚҼŶŐďŞŶŚƉŚӇҿŶŐŚĂŝŵƀĜƵŶďҪŶŐůҵŶŚ^,/&d,zW ZTFSEGTFSSEG 2 2 Vұy A = z
+ z = 20 Ĉáp sӕ chính xác là B 1 2
Bài 3-[Thi thӱ Group Nhóm toán lҫn 5 năm 2017]
Kí hiӋu z , z , z là nghiӋm cӫa phѭѫng trình 3
z + 27 = 0 . Tính tәng T = z + z + z 1 2 3 1 2 3 A.T = 0 B.T = 3 3 C.T = 9 D.T = 3 '/ѵ/ ĄĐŚĂƐŝŽ
dşŶŚŶŐŚŝҵŵĐӆĂƉŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚ 3
z + 27 = 0 ďҪŶŐĐŚӈĐŶĉŶŐDKϱϰ Z 3 3 3 3 3 3
Vұy z = −3, z = + i, z = − i 1 2 3 2 2 2 2
dşŶŚƚҼŶŐŵƀĜƵŶT = z + z + z 1 2 3 Z ZZTFS TFD5DV5ETFD 5SDV5E TOANMATH.com
Tác giả: Trần Bá Hưng
Vұy T = 9 Ĉáp sӕ chính xác là C
Bài 4-[Thi thӱ THPT Bҧo Lâm – Lâm Ĉӗng lҫn 1 năm 2017]
Gӑi z , z , z , z là bӕn nghiӋm phӭc cӫa phѭѫng trình 4 2
2z − 3z − 2 = 0 . Tính tәng sau : 1 2 3 4
T = z + z + z + z 1 2 3 4 A. 5 B. 5 2 C. 3 2 D. 2 '/ѵ/ ĄĐŚĂƐŝŽ ҭƚ 2
t = z ͘dŞŵŶŐŚŝҵŵĐӆĂƉŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚ 2
2t − 3t − 2 = 0 Z S S 2 ªt = 2 ªz = 2 « « Vұy 1 1 2 «t « = − z = − ¬ 2 «¬ 2 sӀŝ 2 z = 2 z = ± 2 2 1 − i i Vӟi 2 2 z = z = z = ± 2 2 2
dşŶŚƚҼŶŐŵƀĜƵŶT = z + z + z + z 1 2 3 4 ZTFVTFSVTFDE5 VTFDSE5V
Vұy T = 3 2 Ĉáp sӕ chính xác là C
Bài 5-[Thi thӱ THPT Bҧo Lâm – Lâm Ĉӗng lҫn 1 năm 2017] Xét phѭѫng trình 3
z = 1 trên tұp sӕ phӭc . Tұp nghiӋm cӫa phѭѫng trình là : ° 1 3 ½ − ± ° ° 1 3 ½ ° ° 1 3 ½ ° A. S = { } 1 B. S = 1 ® ; ¾ C. S = 1 ® ; − ± i¾ D. S = ®− ± i¾ ° 2 ¯ °¿ ° 2 2 ¯ °¿ ° 2 2 ¯ °¿ '/ѵ/ ĄĐŚĂƐŝŽ
'ŝңŝƉŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚďҨĐďĂ 3
z −1 = 0 ǀӀŝĐŚӈĐŶĉŶŐDKϱϰ Z S 1 3 1 3
WŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚĐſϯŶŐŚŝҵŵ x = 1, x = − + i, x = − − i 1 2 3 2 2 2 2
Ĉáp sӕ chính xác là C TOANMATH.com
Tác giả: Trần Bá Hưng 1 1
Bài 6-BiӃt z là nghiӋm cӫa phѭѫng trình z + = 1 . Tính giá trӏ biӇu thӭc 2009 P = z + z 2009 z 5 7 A. P = 1
B. P = 0 C. P = − D. P = 2 4 '/ѵ/ ĄĐŚĂƐŝŽ 1
YƵLJĜһŶŐƉŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚ z + = 0 ƚĂĜӇӄĐƉŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚďҨĐŚĂŝ 2
z − z +1 = 0 ͘dşŶŚŶŐŚŝҵŵƉŚӇҿŶŐƚƌŞŶŚ z
ŶăLJǀӀŝĐŚӈĐŶĉŶŐDKϱϯ Z S
dĂƚŚƵĜӇӄĐŚĂŝŶŐŚŝҵŵ z ŶŚӇŶŐŚĂŝŶŐŚŝҵŵŶăLJĐſǀĂŝƚƌžŶŚӇŶŚĂƵŶġŶĐŚҶĐҥŶůҤLJŵҾƚŶŐŚŝҵŵ z ĜҢŝ ĚŝҵŶůăĜӇӄĐ 1 3 § π π · sӀŝ z = −
i ƚĂĐŚƵLJҳŶǀҲĚҢŶŐůӇӄŶŐŐŝĄĐ z = 1 cos ¨ + i sin ¸ 2 2 © 3 3 ¹ D5DV5ET § π π · § π π · sҨLJ 2009 2009 z =1 cos 2009. ¨
+ i sin 2009. ¸ = cos2009. ¨ + i sin 2009. ¸ © 3 3 ¹ © 3 3 ¹ dşŶŚ 2009 z
ǀăůӇƵǀăďŝұŶ A :N2DT.5EM2D T.5 T-] 1
Tәng kӃt P = A + = 1 A 4]D54]
Ĉáp sӕ chính xác là A TOANMATH.com
Tác giả: Trần Bá Hưng