IUH TCC1 - Cuối kỳ 1 năm học 2024 -2025 ngày 19 12 2024

Môn thi: Toán cao cấp 1 Bộ đề số: 451
SBD/Mã SV: ………. Họ Tên: …………………….
Kỳ thi: HK1 (2024-2025) QN CK – TCC 1 – 19.12.2024_4 Môn thi: Toán cao cấp 1 Ngày thi: 19/12/2024 Thời gian: 60 phút Bộ đề số: 451 Câu 1: Cho hàm số   2
f x  1 x  x . Khai triển Taylor cấp 2 của f(x) tại điểm x = 1 là
A.           2    2 f x 3 3 x 1 x 1 o x 1 
B.           2    2 f x 3 4 x 1 x 1 o x 1 
C.           2    2 f x 3 3 x 1 x 1 o x 1 
D.           2    2 f x 3 4 x 1 x 1 o x 1  Hướng dẫn
Tự luận: Cách 1:     
        2 2 f x 1 x x a b x 1 c x 1 a   b  c  1 a   3 2  
 1 x  x  a  b  c  b  2c 2
x  cx  b  2c  1  b  3 c 1   c  1  
 f x  3  3x   1  x  2 1  o x  2 1   C. Cách 2:   2
f x  1 x  x  f  
1  3; fx  1 2x  f 
1  3; f x  2  f   1  2.
      f  1     f x 
  2    2 3      2 f x f 1 x 1 x 1 o x 1 3 x 1  x  2 1  o  x  2 1  1! 2! 1! 2!
f x  3  3x  
1  x 12  ox  2 1   C. 1
https://www.facebook.com/groups/tcciuh Môn thi: Toán cao cấp 1 Bộ đề số: 451
Casio: Gán x = 1 + 10-3, bấm máy 2 1 x  x  3,003001. A. 2,997001 B. 3,004001 C. 3,003001 D. 2,996001 Câu 2: Cho 3 2       4 f (x) x
arctan 3x ln 1 2x  sin x . Khi x  0 thì 3 2 x A. x f (x)  B. f (x)  2x C. f (x)  D. f (x)  2x 3 3 Hướng dẫn Tự luận: Khi      2 2 2 x 0 : arctan3x 3x arctan 3x
3x  9x ; ln 1 2x  2x; 4 4 3 2 4
sinx  x  sin x  x  f(x)  x  9x  2x  x  2  x  . B
Casio: Thay x = 10-3, ta bấm máy được kết quả: f(x) ≈ −2×10-3. A. 3,33×10-10 B. −2×10-3 C. 3,33×10-7 D. 2×10-3 
Câu 3: Dùng đa thức Taylor bậc 3 của  
f (x)  sin(x) tại điểm x  0 , tính xấp xỉ sin   . 16  3    3     1  A.       sin       B. sin       16  16 16  16  16 6 16  3     1  3    C.       sin       D. sin       16  16 6 16  16  16 16  Hướng dẫn
Tự luận: f x  sinx  f 0  0; fx  cosx  f0  1;
f x  sinx  f 0  0; fx  cosx  f0  1.
Khai triển Taylor của hàm số f(x) = sin(x) tại điểm x = 0 là:   
f x  f 0 f 0 f 0 f 0 2   3  x  x  x  o  3 x  1! 2! 3! 3            f x 1 0 1 1 1 2 3  0  x  x  x  o 3 x  3  x  x  o 3 x   sin  f    C.       1! 2! 3! 6  12   12  12 6  12  2
https://www.facebook.com/groups/tcciuh Môn thi: Toán cao cấp 1 Bộ đề số: 451  Casio:   sin  0,195090322.   16  A. 0,2039194326 B. 0,1976111895 C. 0,1950878922 D. 0,1887796491
Câu 4: Cho hàm số f(x), có hàm ngược f-1(x). Biết f(2) = −3 và   3 f 2  ,tính đạo hàm 4 của  1 f x tại x = −3.   3   4   4   3 A.  1 f   3     B.  1 f   3     C.  1 f   3    D.  1 f   3    4 3 3 4 Hướng dẫn   1 4 Ta có:  1 f   3       . f 2 3
Câu 5: Nghiệm riêng của phương trình vi phân (x2 + 2)dx + 2ydy = 0 thỏa điều kiện đầu y(0) = 1 là 3 x 3 x A. 2  2x  y  1 B. 2  2  y  3 3 3 C. 3 2 x  y  1 D. 2 x  2  2y  4 Hướng dẫn
Tự luận: Đây là phương trình vi phân tách biến. x
Tích phân cả 2 vế PTVP ta được: x  2 3 2 2 dx  2ydx  C   2x  y  C.  3 3 0
y(0) = 1 tức khi x = 0 thì y = 1. Thay vào PT trên ta được: 2
 2.0 1  C  C  1. 3 3 x
Vậy nghiệm riêng của PTVP đã cho là 2  2x  y  1 . A 3 1 1 7 m 7 Casio: m   2
x  2dx  ; n  2xdx 1    . 3 n 3 0 0 3
https://www.facebook.com/groups/tcciuh Môn thi: Toán cao cấp 1 Bộ đề số: 451  3 x  1 7 1 p 7 m A. p    2x   ; q  2 y  1     A.  3  0 3 0 q 3 n 3 3 3 x x x 1 1 1 p 1 m B. 2 2 2  2  y  3   y  1 p   ; q  y  1    Loại. 3 3 3 0 3 0 q 3 n 1 1 p m C. 3 2 p  x 1; q  y 1 1   Loại. 0 0 q n 1 1 p m D. 2 2 2
x  2  2y  4  x  2y  2  p  x
 1; q  2y  1 1   Loại. 0 0 q n  dx
Câu 6: Tính tích phân I   bằng x ln x  5 1 1   2 1 2   A. I  lim      B. 2 1 2 I  lim  1      1 3 ln a 3 a 1   3      3 lna 3 a 1 3       2 1 2 1 2 C. I  lim      D. I  lim    3     3 2 3 ln a 3 a 1    3  ln a 1   3      3 a   Hướng dẫn  a Tự luận: dx dx I   lim .   x ln x  5 a 1 1 1 x ln x  5 1 x  1 u  1
Đặt u  ln x 1  du  dx. Đổi cận:    . x  a u  ln a 1 lna 1  lna 1 a  5 dx du    1   ln a 3 1 1 2  ln a 1 5/2   2 2    u du  u   u    x ln x  5 5 5 1 u 1 3 1 1 1 1  1 2     2    ln a  3 2 1 2 1 2 2 1 1                      1 I lim 1 . A 3 3   3   3   a 3 a      3 ln a 1 ln 1     2 dx
CASIO: Thay +∞ bằng 2 khi đó a = 2 và I   0,364.  x ln x  5 1 1 4
https://www.facebook.com/groups/tcciuh Môn thi: Toán cao cấp 1 Bộ đề số: 451
Cho a = 2. Bấm casio các biểu thức trong lim của A,B,C,D ta được: A. 0,364 B. −0,364 C. −1,697 D. 1,697
Câu 7: Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi đường: y = −x2, y = 2x. 5 4 2 1 A. B. C. D. 3 3 3 3 Hướng dẫn
Hoành độ giao điểm của 2 đường y = −x2 và y = 2x là nghiệm của phương trình: x  0 2
x  2x  xx  2  0   x  2  0 4 Diện tích cần tìm: 2 S  x  2x dx  .  3 2  x  2 1 1  31 x
Câu 8: Theo tiêu chuẩn so sánh số 2, tích phân dx  cùng tính chất hội tụ 5   0 x 21 x
với tích phân nào sau đây? x  2 1 1 1 1 x x  2 1 1 1 1 x A. dx  B. dx  C. dx  D. dx  5  5 1 x 5 1 x 5 x  2 0 x 2 0 0 0 Hướng dẫn Tự luận: Khi 
         5       5 x 0 : x 2 1 x 3 1 x x 2 1 x  31 x. x  2
1  31 x x  2 1  31 x 31 x 3 1 x     . . x  21x 31 x 31 x 5 5 5 5 5 3 1 x 1 1 x
Suy ra tích phân đã cho cùng tính chất hội tụ với tích phân dx  . B  5 1 x 0 5
https://www.facebook.com/groups/tcciuh Môn thi: Toán cao cấp 1 Bộ đề số: 451
Casio: Hệ số trước x nếu số dương đổi thành 1 và số âm đổi thành −1. Các số tự nhiên cũng x  2 1  1 x
tương tự vậy ta được biểu thức trong tích phân có dạng: . 5 x   1 1 x
Thay x = 1 – 10-10 ta bấm máy được kết quả: ≈ 8,7×10-9. A. 8,7×10-21 B. 10-8 C. 10-18 D. 8,7×10-11
Nội dung câu hỏi nhóm (Từ câu 9 đến câu 11)
Cho hàm hai biến số f(x;y) = x3 – y2 – 3x + 4y – 1.
Câu 9: Khẳng định đúng là A.     2 df x;y x   1 dx  y  2dy B.     2 df x;y
3x  3dx  2y  4dy C.     2 df x;y x   1 dx  y  2dy D.     2 df x;y
3x  3dx  2y  4dy Hướng dẫn
Tự luận: Ta có: 'f x,y 2 '
 3x  3; f x,y  2y  4. x y    df x,y '  f x,y ' dx  f x,ydy   2
3x  3 dx  2y  4 dy  . B x y    d
Casio: Gán x = y = 3, bấm casio:  3 2 x  y  3x  4y   1  24  f 3;3  24. x   dx x  3 d
Thay x = y và y = x, bấm casio:  3 2 y  x  3y  4x   1
 2  f 3;3  2. y   dx x  3
 df 3;3  24dx  2dy.
A. df 3;3  8dx  dy
B. df 3;3  24dx  2dy.
C. df 3;3  8dx  dy. D. df 3;3  2  4dx  2dy.
Câu 10: Hàm số đã cho có các điểm dừng là A. M1(2;1), M2(2;−1) B. M1(1;2), M2(−1;2) C. M1(1; −2), M2(−1;−2) D. M1( −2;1), M2(−2;−1) 6
https://www.facebook.com/groups/tcciuh Môn thi: Toán cao cấp 1 Bộ đề số: 451 Hướng dẫn x  1 ' 2 f  0         x 3x 3 0 x 1,y 2     x  1   .
Tự luận: Xét hệ phương trình: '  f  0   2  y  4  0  x  1  ,y  2 y y  2
Vậy hàm số đã cho có 2 điểm dừng M1(1;2), M2(−1;2).
Casio: Làm tương tự câu trước với (x,y) là các điểm trong đáp án nếu không biết giải hệ phương trình. d
Gán x = 2, y = 1, bấm casio:  3 2 x  y  3x  4y   1
 9  f 2;1  9  0. Suy ra loại A. x   dx x  2 d
Gán x = 1, y = 2, bấm casio:  3 2 x  y  3x  4y   1  0  f 1;2  0. x   dx x  1 d
Thay x = y và y = x, gán x = 2, y = 1, bấm casio:  3 2 y  x  3y  4x   1  0  f 1;2  0. y   dx x  2
Suy ra M1(1;2) là một điểm dừng. Suy ra loại C, D. Chọn B.
Câu 11: Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm (−1;2)
B. Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm (1;2)
C. Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm (2;−1)
D. Hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm (2;1) Hướng dẫn Tự luận: Đặt ' ' ' 2
A  f  6x; B  f  0; C  f  2  ;   AC  B . 2 2 xy x y Điểm dừng A B C ∆ Kết luận M1(1; 2) 6 0
−2 −12 < 0 Không là cực trị M2(−1;2) −6 0 −2 < 0 12 > 0 Cực đại 7
https://www.facebook.com/groups/tcciuh Môn thi: Toán cao cấp 1 Bộ đề số: 451 ' 2 f  3x  3  Casio: Từ câu 10, ta có: x  ' f   2y  4  y
A,B dùng hàm f x;y , C dùng f x;y . y   x  
Xét điểm M1(1;2) gán x = 1 và y = 2, sau đó tính: d A: Bấm  2 3x  3  6. dx x  1
Thay x = y và y = x. Khi đó gán lại x = 2 và y = 1. d d B: Bấm  2 3y  3  0. C: Bấm  2  x  4  2  . dx x  2 dx x  2
Tương tự các điểm khác.
Lưu ý: ∆ = AC – B2 và hàm số đạt cực tiểu khi ∆ > 0, A > 0; đạt cực đại khi ∆ > 0, A < 0;
không đạt cực trị khi ∆ < 0; chưa kết luận được khi ∆ = 0.
Nội dung câu hỏi nhóm (Từ câu 12 đến câu 14) Cho hàm hai biến số 2
z  x y  y với điều kiện xy 1  0 và hàm Lagrange là   2 L(x, y)
x y  y  xy   1 .
Câu 12: L(x;y) có các điểm dừng, thỏa điều kiện đã cho là: A. M1(1;1), M2(1;−1)
B. M1(1; −1), M2(−1; −1) C. M1(1; −1), M2(−1;1) D. M1( 1;1), M2(−1;−1) Hướng dẫn
Tự luận: Xét hệ phương trình: 8
https://www.facebook.com/groups/tcciuh Môn thi: Toán cao cấp 1 Bộ đề số: 451 y  0 '  L x,y  0   2xy  y  0 y 2x    0   2  x x         ' L x,y 2 2 2
 0  x 1 x  0  x 1 x  0  x 1 x  0 y     xy 1 0 xy 1 0      xy 1  0 x,y  0         2  x   2  x   x  y  1,  2  2 2
 x 1 2x.x  0  x  1     x  y  1,  2 xy 1  0 xy 1  0  
Vậy hàm số đã cho có 2 điểm dừng M1( 1;1), M2(−1;−1) ⇒D.
Mẹo: Xem điểm nào không thỏa mãn xy – 2 = 0 thì loại trừ. Tức loại A, B, C. Suy ra đáp án D.
Câu 13: Vi phân cấp 2 của hàm L(x, y) là A. 2 2
d L(x, y)  2ydx  22x  dxdy B. 2 2
d L(x, y)  2ydx  2x  dxdy C. 2 2      2 d L(x, y) 2ydx 2 2x dy D. 2 2      2 d L(x, y) 2ydx 2x dy Hướng dẫn Tự luận: Ta có: ' L x,y '  2xy  y; L x,y 2  x 1 x. x y ' ' '  L x,y  2y; L x,y  2x  ; L x,y  0. 2   xy   2   x y 2  d Lx,y ' 2 ' ' 2 2  L x,y dx  2L x,y dxdy  L
x,y dy  2ydx  2 2x   dxdy  . A 2   xy   2     x y
Mẹo: Thấy trong biểu thức L(x;y) chứa bậc cao nhất của x là bậc 2 và của y là bậc 1 cho
nên khi đạo hàm cấp 2 của y sẽ ra kết quả 0, tức bỏ dy2 trong vi phân cấp 2. Suy ra loại đi
C, D. Hệ số trước dxdy của A gấp đôi B nên chọn A.
Chú ý: Đối với đạo hàm hàm đa thức muốn tồn tại '
L thì phải chứa biểu thức xmyn với m,n ≥ 1. xy
Câu 14: Với điều kiện đã cho, khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đã cho đạt cực đại tại (1;1) và đạt cực tiểu tại (−1;−1)
B. Hàm số đã cho đạt cực đại tại (−1;1) và đạt cực tiểu tại (1;1) 9
https://www.facebook.com/groups/tcciuh Môn thi: Toán cao cấp 1 Bộ đề số: 451
C. Hàm số đã cho đạt cực đại tại (−1; −1) và đạt cực tiểu tại (1;1)
D. Hàm số đã cho đạt cực đại tại (1; −1) và đạt cực tiểu tại (−1;1) Hướng dẫn Tự luận: Điểm dừng 2 2 λ
d L(x,y)  2ydx  22x  dxdy Kết luận M1(1; 1) −2 d2L(1;1) = 2dx2 > 0 Cực tiểu M2(−1; −1) 2 d2L(1;1) = −2dx2 < 0 Cực đại ⇒C. 1 x
Câu 15: Thay đổi thứ tự tích phân của I  dx f
  x,ydy,ta được 0 0 1 y x 1 A. I  dy f   x,ydx B. I  dy f   x,ydx 0 0 0 0 1 1 1 1 C. I  dx f   x,ydy
D. I  dyf x,ydx 0 y 0 y Hướng dẫn 1 1 I  dy f x,ydx    D. 0 y 10
https://www.facebook.com/groups/tcciuh Môn thi: Toán cao cấp 1 Bộ đề số: 451 Câu 16: Cho I  f
 x,ydxdy,với D là miền được giới hạn bởi các đường y = 0, y = 2x – 1, D
x = 1, x = 4. Chuyển I thành tích phân lặp, ta được: 2x 1  4 4 2x 1  A. I  dy f   x,ydx B. I  dy f   x,ydx 0 1 1 0 4 2x 1  7 4 C. I  dx f   x,ydy D. I  dy f   x,ydx 1 0 0 1 Hướng dẫn 4 2x 1  I  dx f   x,ydy  C. 1 0
Câu 17: Tính tích phân đường 2 I  xydx  x dy, 
trong đó L là cung được xác định bởi: L x  3t 1 5 
, t thay đổi từ đến 1. 2 y  3t  2t 3 A. I = −38 B. I = −48 C. I = −68 D. I = −58 Hướng dẫn x  3t 1 dx  3dt  Ta có:    2 y  3t  2t dy   6t 2dt 1 1  I  3t  
1 3t  2t.3dt  3t  2 2 1 .6t  2dt   3 81t  2
81t  24t  2dt  58    D. 5/3 5/3 b Công thức: I  P
 x,ydx Qx,ydy  I  Pxt,yt.xt Qxt,yt.ytdt. a 11
https://www.facebook.com/groups/tcciuh Môn thi: Toán cao cấp 1 Bộ đề số: 451 Câu 18: Cho I  f
 x,ydxdy,với D là hình chữ nhật có 4 đỉnh (−2; −1), (−2;2), (1;2) D
và (1; −1). Chuyển I thành tích phân lặp ta được 2 1 1 2 A. I  dx f   x,ydy B. I  dx f   x,ydy 1  2  2  1  1 2 1 2 C. I  dy f   x,ydx D. I  f  x,ydy dx  2  1 2  1  Hướng dẫn
Hình chữ nhật bao bởi 4 đường thẳng: x = −2, x = 1, y = −1 và y = 2. 1 2 2 1  D  
 x,y: 2  x 1,1 y  2 I  dx f
  x,ydyhoặc I  dy f   x,ydx. 2  1  1  2  3x  4y
Câu 19: Tính tích phân đường loại 1, I  dl, 
với L là cung có phương trình 9 L 2 8x  x 4 2 x  2t  , 0  t  2. 3 y  t A. 32 B. −32 C. 25 D. −25 Hướng dẫn 2 x  2t x  t  4t 2 2 Ta có:     dl  x  t  y   t dt 3  y  t y  t 2  3t      2 2 2 2 4 dl 4t 3t dt  16t  9t dt. 2 2 3 2 2 3 2 3.2t  4.t 6t  4t 2 4 2 4  I  . 16t  9t dt  . 16t  9t dt     2 3 6t  4t dt  32  . A 9 0  8.2t  2t  2 4 2 2 2 0 16t 9t 0 4 12
https://www.facebook.com/groups/tcciuh Môn thi: Toán cao cấp 1 Bộ đề số: 451 3 2 Câu 20: Tích phân dy
 2x 3ydxcó giá trị là 1 0 A. 31 B. 34 C. 33 D. 32 Hướng dẫn 3 2 3 3  dy
 2x 3ydx   x 2 2 x  3xy
dy  4  6ydy  32  . D x  0 1 0 1 1
Câu 21: Tính I   2x 2e  ydx   2 3x  ydy, với D  
 x,y: 0  x  2,0  y  5. D A. I = −10 B. I = −50 C. I = 50 D. I = 10 Hướng dẫn
Đây là tích phân đường loại 2 của miền khép kín nên áp dụng công thức Green: 2 x
P  2e  y P 1  Ta có: y   
 Q  P  6x 1. x y 2 Q  3x  y Q  6x  x
 I  Q  P 2 5 2 5 dxdy 
6x 1 dxdy  dx 6x 1 dy  6x 1 dx. dy  50  C. x y          D D 0 0 0 0  1
Câu 22: Xét tính hội tụ của chuỗi số S  
bằng tiêu chuẩn tích phân, ta có: 3 n2 n ln n  1  1 A. Do dx    nên S phân kỳ B. Do dx    nên S hội tụ 3 x ln x 3 x ln x 2 2  1  1 C. Do dx    nên S phân kỳ D. Do dx    nên S hội tụ 3 x ln x 3 x ln x 2 2 Hướng dẫn  a a 1 1 1  1 a  Tự luận: dx  lim dx  lim d ln x  lim       3 3 3   2 a a a x ln x x ln x ln x  2 ln x 2 2 2 2   13
https://www.facebook.com/groups/tcciuh Môn thi: Toán cao cấp 1 Bộ đề số: 451  1 1  1  lim     .  
Suy ra chuỗi S hội tụ theo tiêu chuẩn tích phân. 2 2  2 a  2 ln 2 2 ln a  2 ln 2
Mẹo + CASIO: Nếu tích phân tiến tới +∞ thì phân kỳ, còn < +∞ thì hội tụ. Suy ra loại A, D.  1 dx 
này muốn xác định hội tụ thì bỏ x đi và thay lnx bằng x, đồng thời cận tích phân 3 x ln x 2  1
sẽ ln đi ta được tích phân mới dx. 
Rõ ràng ∝ = 3 > 1 hội tụ. Nếu là biểu thức lên quan x 3 x ln 2
thì sử dụng các phương pháp về tích phân suy rộng để giải tiếp!  
Câu 23: Cho hai chuỗi số dương u 1 và v 2 thỏa u n   n  
n ≤ vn với mọi n. Mệnh đề n 1  n 1  nào sau đây đúng?
A. Chuỗi (1) phân kỳ khi và chỉ khi chuỗi (2) phân kỳ.
B. Nếu chuỗi (1) phân kỳ thì chuỗi (2) cũng phân kỳ.
C. Chuỗi (1) hội tụ khi và chỉ khi chuỗi (2) hội tụ.
D. Nếu chuỗi (1) hội tụ thì chuỗi (2) cũng hội tụ. Hướng dẫn
Nếu chuỗi (1) phân kỳ thì chuỗi (2) cũng phân kỳ.
Nếu chuỗi (2) hội tụ thì chuỗi (1) cũng hội tụ ⇒B.  1
Câu 24: Xét tính hội tụ của chuỗi số S  
bằng tiêu chuẩn tích phân, ta có: 4 3 n2 n ln n  1  1 A. Do dx    nên S hội tụ B. Do dx    nên S phân kỳ 4 3 4 3 2 x ln x 2 x ln x  1  1 C. Do dx    nên S phân kỳ D. Do dx    nên S hội tụ 4 3 4 3 2 x ln x 2 x ln x Hướng dẫn 14
https://www.facebook.com/groups/tcciuh Môn thi: Toán cao cấp 1 Bộ đề số: 451  a a 1 1 1  a  Tự luận: dx  lim dx  lim d    lnx 4  lim 4 lnx  4 3 a 4 3 a 4 3 a x ln x x ln x x ln x  2 2 2 2    a  4 lim  4 ln x   lim 
  Suy ra chuỗi S phân kỳ theo tiêu chuẩn    4 4 4 lna 4 ln 2 a a  2   tích phân.
Mẹo + CASIO: Nếu tích phân tiến tới +∞ thì phân kỳ, còn < +∞ thì hội tụ. Suy ra loại A, D.  1 dx 
này muốn xác định hội tụ thì bỏ x đi và thay lnx bằng x, đồng thời cận tích 4 3 2 x ln x  1  1
phân sẽ ln đi ta được tích phân mới dx  dx  
Rõ ràng ∝ = 3/4 < 1 phân kỳ. 3/4 4 3 x x ln 2 ln 2
Nếu là biểu thức lên quan x thì sử dụng các phương pháp về tích phân suy rộng để giải tiếp!
Nội dung câu hỏi nhóm (Từ câu 25 đến câu 25) n 2 n   4  4  4   4  Cho chuỗi số     ...   ...       n 1   3  3  3   3  2 n 4  4   4 
Tổng riêng thứ n của chuỗi số: S    ...  . n     3  3   3 
Câu 25: Chọn khẳng định đúng: n  4    n  4    A. S  4 1      B. S  4  1    n   3  n    3    n 1  4    n 1  4    C. S   1    D. S   1    n 3  3  n   4  3    Hướng dẫn 4 u 4
Tự luận: Chuỗi trên là chuỗi cấp số nhân với số hạng đầu u  và công bội 2 q   . 1 3 u 3 1 15
https://www.facebook.com/groups/tcciuh Môn thi: Toán cao cấp 1 Bộ đề số: 451 n  4  1 n n 1 q 4    3    4  
Tổng riêng thứ n của chuỗi số trên: S  u .  .  4  1   . n 1 1 q 3 4   3 1    3 4 Casio: Cho n = 1 thì S  . 1 3 4 4 1 1 A. S   B. S  C. S  D. S  1 3 1 3 1 9 1 12 16
https://www.facebook.com/groups/tcciuh