Khai thác công thức tính khoảng cách từ chân đường vuông góc của hình chóp đến mặt bên

CHUYÊN ĐỀ: KHAI THÁC CÔNG THỨC TÍNH KHOẢNG CÁCH
TỪ CHÂN ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CỦA HÌNH CHÓP ĐẾN MẶT BÊN
Người viết: Trần Mạnh Tường
THPT Chu Văn An – Thanh Hoá
I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM:
Nếu hình chóp S.ABC có SA  ABC thì 1 1 1 S . Ad ; A BC hay d  ; A SBC    2 d  ; A SBC   2 2 SA d  ; A BC  2 SA  2 d  ; A BC  Chứng minh:
Trong tam giác ABC , dựng đường cao AK S
Trong tam giác SAK , dựng đường cao AH Khi đó H BC   SA 
 BC  SAK  BC  A C BC  AH  AK .
 AH  SBC  d ;ASBC  AH K B
Trong tam giác vuông SAK có 1  1  1  1 1 1 2 AH SA AK d  ;ASBC   2 2 2 2 2 SA d  ; A BC 
Đặc biệt: Nếu hình chóp S.ABC có SA  ABC và AB  AC (A là đỉnh của tam diện vuông) thì 1 1 1 1 2 d  ; A SBC    2 2 2 AS AB AC Bình luận:
+) Sử dụng công thức khoảng cách phía trên giúp chúng ta không phải suy nghĩ dựng
hình chiếu của điểm lên mặt phẳng.
+) Khi gặp một bài toán tính khoảng cách mà xuất hiện chân đường vuông góc thì ta sẽ xử
lí để đưa về bài toán tính khoảng cách từ chân đường vuông góc đó tới mặt phẳng cần tính. II. VÍ DỤ MINH HOẠ:
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông đỉnh B , AB  a , SA vuông góc với mặt
phẳng đáy và SA  2a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng A. 2 5a B. 5a C. 2 2a D. 5a 5 3 3 5 Lời giải Chọn A S Ta có 2a  SAd A BC d ; A SBC  .  ;   2 2 C A SA d  ; A BC  . a  S . AAB  a.2a  2a 5 2 SA  2 2 AB a  2 4a 5 B
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA  ABC 
D , đáy ABCDlà hình chữ nhật. Biết AD  2a ,
SA  a . Khoảng cách từ B đến SC  D bằng: A. 3a B. 3a 2 C. 2a 5 D. 2a 3 7 2 5 3 Lời giải Chọn C S
Nhận xét: Chân đường vuông góc trong bài toán là
điểm A , nên ta cần sử dụng tỉ lệ về khoảng cách để a
chuyển khoảng cách từ B đến SC  D thành khoảng A D cách từ A đến S D C  Ta thấy B 2a C  SCD S . Ad ; A CD d B;  d  ; A SCD    2 SA  2 d  ; A CD  S . AAD  a.2a  2a 5 2 SA  2 2 AD a  2 4a 5
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh 2a ,
SA  SB  SC  SD  a 5 . Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SCD. A. a 3 . B. a 3 . C. 2a 3 . D. a 5 . 2 2 Lời giải Chọn C S a 5 A D M O B 2a C Nhận xét:
Chân đường vuông góc trong bài toán là điểm O , nên ta cần sử dụng tỉ lệ về
khoảng cách để chuyển khoảng cách từ B đến SC 
D thành khoảng cách từ O đến SC  D Gọi O  AC  BD . Do SA  SB  SC  SD SO  AC
nên các tam giác SAC,SBD cân tại  S    SO  ABCD  SO   BD
Ta có d B;SCD  2dO;SCD SO.d O;CD Và       SO. ; OM d O SCD 2 SO  2 d O;CD  2 SO  2 OM 2 2 SA   AO .OM  a 3.a  a 3 2 SA  2 AO  2 2 OM 3a  2 a
 d B;SCD  2dO;SCD  2a 3
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có ABC đều cạnh a . Cạnh bên SA  a 3 và vuông góc với
ABC. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC bằng A. a 3 . B. a 15 . C. a 5 . D. a . 2 5 5 Lời giải Chọn B S Ta có a 3  SAd A BC d ; A SBC .  ;   2 SA  2 d  ; A BC  a C A a 3 a 3.  2  a 15 a a 2 3a 15 2 3a  4 B
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA  ABCD, SA  a . Gọi G là
trọng tâm tam giác ABD , khi đó khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng SBC bằng A. a 2 . B. a 2 . C. a 2 . D. a . 2 3 6 2 Lời giải Chọn B S
Nhận xét: Chân đường vuông góc trong bài toán là
điểm A , nên ta cần sử dụng tỉ lệ về khoảng cách để
chuyển khoảng cách từ G đến SBC thành khoảng a cách từ A đến SBC A D d G SBC  2 ; d  ;ASBC G 3 a O 2 S . Ad  ; A BC  Ta có  2 3 SA  2 d  ; A BC  B a C  2 a.a  a 2 . 2 3 a  2 a 3
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a ,  BAD  o
60 , SA  a và SA vuông góc
với mặt phẳng đáy. Khoảng cách tứ B đến SCD bằng? A. 21a . B. 15a . C. 21a . D. 15a . 3 3 7 7 Lời giải Chọn C S
Nhận xét: Chân đường vuông góc trong bài toán là
điểm A , nên ta cần sử dụng tỉ lệ về khoảng cách để
chuyển khoảng cách từ B đến SCD thành khoảng a cách từ A đến SCD A a D 60 S . Ad ; A CD
Ta có: d B;SCD  d ; A SCD    a O 2 SA  2 d  ; A CD B a C a S . Ad B;CD 3 a.  2 a 21 . 2 2 SA d B;CD    2 3a 7 2 a  4
Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , AB  BC  a,
AD  2a. Hình chiếu của S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của AD và
SH  a 6 . Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng SCD. 2 A.  6a d B. d  a C.  6a d D.  15a d 8 4 5 Lời giải. Chọn C S
Nhận xét: Chân đường vuông góc trong bài
toán là điểm H , nên ta cần sử dụng tỉ lệ về
khoảng cách để chuyển khoảng cách từ B đến a 6 2
SCD thành khoảng cách từ H đến SCD A H a a D
Ta có d B;SCD  dH;SCD a a M a a SH.d H;CD 6 2 . B  2 2 a 6 a C 2 2 SH d H;CD    2 2 6a 2a 4  4 4
Ví dụ 8: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a và   SBA  SCA  0
90 . Biết góc giữa đường thẳng SA và mặt đáy bằng 450. Tính khoảng cách
từ điểm B đến mặt phẳng SAC . A. 15 a . B. 2 15 a . C. 2 15 a . D. 2 51 a . 5 5 3 5 Lời giải Chọn B Nhận xét:
+) Trong bài toán chưa có chân đường vuông góc, nên ta cần tìm và chứng minh được
rằng chân đường vuông góc đó chính là trọng tâm H của tam giác đáy.
+) Chân đường vuông góc trong bài toán là điểm H , nên ta cần sử dụng tỉ lệ về khoảng
cách để chuyển khoảng cách từ B đến SAC thành khoảng cách từ H đến SAC
Gọi I là trung điểm của SA.
Tam giác SAB và SAC là các tam giác vuông tại S
B,C  IS  IA  IB  IC  I là tâm mặt cầu I
ngoại tiếp tứ diện S.ABC
Gọi H là trọng tâm tam giác ABC  IH  ABC M 45 A C Ta có H
        . ; 3. ; 3. HI HM d B SAC d H SAC 2 HI  2 HM B 2a 3 2a 3 .  H . AHM  6 3 3. 3.  2a 15 2 HA  2 HM  2  2 5 2a 3    2a 3          6      3 
Ví dụ 9: (Mã 102-2020 Lần 1) Cho lăng trụ đứng ABC. 
A BC  có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và A 
A  2a . Gọi M là trung điểm của CC  (tham khảo hình bên). Khoảng cách từ M đến mặt phẳng   A BC  bằng A. a 5 . B. 2 5a . C. 2 57a . D. 57a . 5 5 19 19 Lời giải Chọn D Nhận xét:
Nhận thấy điểm A cùng với A’, B, C tạo thành 1 hình chóp có A là chân đường vuông góc
nên ta cần sử dụng tỉ lệ về khoảng cách để chuyển khoảng cách từ M đến A'BC thành
khoảng cách từ A đến A'BC Ta có : d M A BC  1 ; '
d C ';A'BC  d ;AA'BC 2 a AA'.d  ; A BC  3 2a.  2 a 57 2 2 AA' d  ; A BC     2 3a 19 2 4a  4
Ví dụ 10: Cho hình hộp ABCD. 
A BC D ' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a ,  ABC  0 60 , A  A  2a
, hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng  
A BC Dlà trọng tâm tam giác 
A BC  . Gọi M là một điểm di động trên cạnh BB . Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng CDDClà A. 165a . B. 2 165a . C. 165a . D. 165a . 30 15 15 5 Lời giải Chọn C
Gọi G và G lần lượt là trọng tâm các tam giác ADC và  A BC  .
Từ giả thiết suy ra: AG '   
A BC Dvà CG  ABCD.
Do đáy ABCD là hình thoi cạnh a và  ABC  0 60 nên các tam giác  A BC  và ADC là các tam giác đều. Ta có ABB  A CDDC                 GC '. , , 3 , 3 GH d M CDD C d A CDD C d G CDD C * 2 2   GC ' GH  2
với GH  a 3 ; C G  AG  A 2 A   A G2 ' 2 2 a 3   a  .  a 11 4    . 2   3 2  3
Thay vào (*), ta có d M CDDC  a 165 , . 15
Ví dụ 11: (Đề tham Khảo 2020 Lần 2) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A ,
AB  2a , AC  4a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA  a (hình minh họa). Gọi
M là trung điểm của AB . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và BC bằng A. 2a . B. 6a . C. 3a . D. a . 3 3 3 2 Lời giải Chọn A Nhận xét:
Đây là dạng toán về tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau, ta vận dụng ý
tưởng đưa về tính khoảng cách từ một điểm trên một đường thẳng đến mặt phẳng chứa
đường thẳng đó và song song với đường thẳng còn lại.
Gọi N là trung điểm của AC , ta có: MN//BC nên ta được BC//SMN. Do đó
d BC,SM  dBC,SMN  dB,SMN  d ,ASMN . Tứ diện .
ASMN vuông tại A nên ta có:
1  1  1  1  1  1  1  9   2a h . 2 2 2 2 2 2 2 2 h AS AM AN a a 4a 4a 3 Vậy   2 , a d BC SM . 3
Ví dụ 12: (Đề Minh Hoạ 2020 Lần 1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, AB  2a ,
AD  DC  CB  a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA  3a (minh họa như hình
bên). Gọi M là trung điểm của AB . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và DM bằng A. 3a . B. 3a . C. 3 13a . D. 6 13a . 4 2 13 13 Lời giải Chọn A Nhận xét:
Đây là dạng toán về tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau, ta vận dụng ý
tưởng đưa về tính khoảng cách từ một điểm trên một đường thẳng đến mặt phẳng chứa
đường thẳng đó và song song với đường thẳng còn lại. S Ta có : 3a
d DM,SB  dDM,SBC a M a B A  d M SBC  1 , d  ,ASBC 2 a a a 1 S . Ad  ; A BC  1 S . A 2d M;BC D a C  2 2 2 SA d A BC   2 2 ; SA  2 4d M;BC a 3 3a.  2  3a 2 9a  2 3a 4
Ví dụ 13: Cho lăng trụ đứng ABC. 
A BC  có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AC  a 3 .
Biết BC  hợp với mặt phẳng A 
A C C  một góc 30o và hợp với mặt phẳng đáy góc  sao cho   6 sin
. Gọi M,N lần lượt là trung điểm cạnh BB và 
A C  . Khoảng cách giữa 4 MN và AC  là: A. a 6 B. a 3 C. a 5 D. a 4 6 4 3 Lời giải Chọn A A' N C'
Ta có MNP/ /ABC ' P 30
 d MN;AC '  dMN;ABC '  dM;ABC ' B'  1     1 CC '. ; ' . CA d C ABC * 2 2   2 2 CC ' CA +) Ta có: BC, A A      BC A  30o C C M A a 3 C α
+) Mặt khác BC,ABC   C BC   B +) Gọi AB  x  BC  2 a  2 3 x  2a  2 3 3 x   CC   BC.tan  5    .cot30o AC AB  3x +) Mặt khác ta có: 2
AC CC 2  AC 2  x  a 2  CC   a 3;AB  a 2
Thay vào (*), ta có: d MN ABC   1 a 3.a 3  a 6 ; ' . 2 2 3a  2 3a 4
Ví dụ 14: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và SA  SB  SC  a ,  SAB  30 ,  SBC  60 , 
SCA  45 . Tính khoảng cách d giữa 2 đường thẳng AB và SD ? A. 4a 11 . B. a 22 . C. a 22 . D. 2a 22 . 11 22 11 11 Lời giải Chọn C S a a a A D a 3 a 2 H B a C Do SB  SC  a và 
SBC  60nên SBC đều, do đóBC  a .
Lại có SA  SC  a và 
SCA  45 nên SAC vuông cân tại S , suy ra AC  a 2 . SA  SB  a và 
SAB  30 nên AB  2.S . A cos 30  a 3 . Do đó 2  2  2 AB BC
AC , suy ra ABC vuông tại C .
Gọi H là trung điểm củaAB . Khi đó, H là tâm đường tròn ngoại tiếpABC .
Vì SA  SB  SC nên SH  ABC. 2 Lại có CH  1 AB nên  2  2  2  3a  a SH SC CH a . 2 4 2 Ta có  B SD SH.d H;CD SH.d C;AB d A ,  d A ,
B SCD  dH,SCD       * 2 2 2 2   SH d H;CD SH d C;AB .
Trong đó d C AB  C . ACB  a 2.a  a 6 ; 2 CA  2 2 CB 2a  2 a 3 Vậy d AB SD  a 22 , . 11 BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , biết SA  ABC và AB  2a ,
AC  3a ,SA  4a . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC bằng A.  2a d . B. d  6a 29 . C. d  12a 61 . D. a 43 . 11 29 61 12
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng a 2 . Tính khoảng
cách d từ tâm O của đáy ABCD đến một mặt bên theo a . A. d  2a 5 . B. d  a 3 . C. d  a 5 . D. d  a 2 . 3 2 2 3
Bài 3: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng a 3 . Gọi H
là trọng tâm tam giác ABC , d khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC, d khoảng cách 1 2
từ H đến mặt phẳng SBC. Khi đó d d 1 2 có giá trị bằng A. 8 2a . B. 8 2a . C. 8 22a . D. 2 2a . 11 33 33 11
Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại ,
A AC  a,I là trung điểm SC . Hình
chiếu vuông góc của S lên ABC là trung điểm H của BC . Mặt phẳng SAB tạo với
ABC một góc 60. Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng SAB. A. 3a . B. 3a . C. 5a . D. 2a . 4 5 4 3
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông với AB  2a . Tam giác SAB vuông
tại S , mặt phẳng SAB vuông góc với ABCD. Biết góc tạo bởi đường thẳng SD và mặt
phẳng SBC bằng  , với   1 sin
. Tính khoảng cách từ C đến SBD theo a . 3 A. 2a . B. a . C. 2a . D. a . 3 3
Bài 6: Cho hình chớp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a , 
ABC  60 , mặt bên SAB là tam
giác đều. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABCDtrùng với trung điểm của
AO . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD . A. a 560 . B. a 560 . C. a 560 . D. a 560 . 112 10 5 28
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D , SA  ABCD; AB  2a ,
AD  CD  a . Gọi N là trung điểm SA. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SC và 3
DN , biết rằng thể tích khối chóp S.ABCD bằng a 6 . 2 A. a 6 . B. a 2 . C. a 6 . D. a 10 4 2 2 2
Bài 8: Cho hình hộp ABCD. 
A BC D có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O . Hình chiếu vuông góc của 
A lên mặt phẳng ABCD trùng với O . Biết tam giác A  A C vuông cân tại 
A . Tính khoảng cách h từ điểm D đến mặt phẳng ABB  A . A. h  a 6 . B. h  a 2 . C. h  a 2 . D. h  a 6 . 6 6 3 3
Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B , AB  a . Gọi M là trung điểm
của AC . Biết hình chiếu vuông góc của S lên mpABClà điểm N thỏa mãn  
BM  3MN và góc giữa hai mặt phẳng SABvà SBCbằng 0
60 . Tính khoảng cách giữa
hai đường thẳng AB và SM theo a. A. 17a . B. 17a . C. 17a . D. 2 17a . 68 51 34 17
Bài 10: Cho hình lăng trụ tam giác ABC. 
A BC có độ dài cạnh bên bằng a 7 , đáy ABC là tam
giác vuông tại A , AB  a,AC  a 3 . Biết hình chiếu vuông góc của  A trên mặt phẳng
ABClà trung điểm của BC . Khoảng cách giữa hai đường thẳng A Avà BCbằng: A. a 6 . B. 3a 2 . C. a 6 . D. a 3 . 2 2 3 2
Bài 1 Bài 2 Bài 3 Bài 4 Bài 5 Bài 6 Bài 7 Bài 8 Bài 9 Bài 10 C D C A A D A D D D