-
Thông tin
-
Quiz
Khối đa diện và thể tích của chúng – Huỳnh Đức Khánh Toán 12
Tài liệu gồm 68 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Huỳnh Đức Khánh (chủ biên), tổng hợp các kiến thức cần ghi nhớ, phân dạng và tuyển chọn các bài toán trắc nghiệm thuộc chủ đề khối đa diện và thể tích của chúng, giúp học sinh học tốt chương trình Hình học 12 chương 1 và ôn thi THPT Quốc gia môn Toán năm học 2020 – 2021.Mời bạn đọc đón xem.
Chủ đề: Chương 1: Khối đa diện 172 tài liệu
Môn: Toán 12 3.8 K tài liệu
Thông tin:
Tác giả:
Preview text:
TRAÉC NGHIEÄM 12
TUYEÅN CHOÏN 2020 - 2021
HUỲNH ĐỨC KHÁNH (chủ biên)
Đăng ký mua trọn bộ trắc nghiệm 12 FILE WORD
Liên hệ tác giả HUỲNH ĐỨC KHÁNH - 0975 120 189
https://www.facebook.com/duckhanh0205
Khi mua có sẵn file word đề riêng;
file word đáp án riêng thuận tiện cho việc dạy Ngoài ra còn có
TRAÉC NGHIEÄM 11 - TUYEÅN CHOÏN 2020 – 2021 (bản mới nhất)
TRAÉC NGHIEÄM 10 - TUYEÅN CHOÏN 2020 – 2021 (bản mới nhất) CHUÛ ÑEÀ KHOÁI ÑA DIEÄN 5.
KHAÙI NIEÄM VEÀ KHOÁI ÑA DIEÄN
I - KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHÓP
Khối lăng trụ là phần không gian được giới hạn bởi một hình lăng trụ kể cả hình lăng trụ.
Khối chóp là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp kể cả hình chóp.
Khối chóp cụt là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp cụt kể cả hình chóp cụt. 1
II - KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN
1. Khái niệm về hình đa diện
Hình đa diện là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất:
Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một
đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.
Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.
Mỗi đa giác như trên được gọi là một mặt của hình đa diện.
Các đỉnh, các cạnh của đa giác theo thứ tự gọi là các đỉnh, các cạnh của hình đa diện.
2. Khái niệm về khối đa diện
Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.
Những điểm không thuộc khối đa diện được
gọi là điểm ngoài của khối đa diện. Tập hợp
các điểm ngoài được gọi là miền ngoài của
khối đa diện. Những điểm thuộc khối đa diện
nhưng không thuộc hình đa diện ứng với đa
diện ấy được gọi là điểm trong của khối đa
diện. Tập hợp các điểm trong được gọi là miền
trong của khối đa diện.
Mỗi khối đa diện được xác định bởi một hình đa diện ứng với nó. Ta cũng gọi đỉnh,
cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài… của một khối đa diện theo thứ tự là đỉnh, cạnh,
mặt, điểm trong, điểm ngoài… của hình đa diện tương ứng. Ví dụ
- Các hình dưới đây là những khối đa diện:
- Các hình dưới đây không phải là những khối đa diện: Hình a Hình b Hình c
Giải thích: Hình a không phải là hình đa diện vì tồn tại cạnh không phải là cạnh
chung của hai mặt; Hình b không phải là hình đa diện vì có một điểm đặc biệt trong 2
hình, điểm đó không phải là đỉnh chung của hai đa giác; Hình c không phải là hình
đa diện vì tồn tại một cạnh là cạnh chung của bốn đa giác.
III - PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN
Nếu khối đa diện H là hợp của hai khối đa diện H và H sao cho H và H 2 1 2 1
không có chung điểm trong nào thì ta nói có thể phân chia được khối đa diện H
thành hai khối đa diện H và H . Khi đó ta cũng nói có thể ghép hai khối đa diện 2 1
H và H để được khối đa diện H . 2 1
Ví dụ 1. Với khối chóp tứ giác S.ABCD, xét hai khối
chóp tam giác S.ABC và S.ACD. Ta thấy rằng:
Hai khối chóp S.ABC và S.ACD không có điểm trong
chung (tức là không tồn tại điểm trong của khối chóp
này là điểm trong của khối chóp kia và ngược lại).
Hợp của hai khối chóp S.ABC và S.ACD chính là
khối chóp S.ABCD.
Vậy khối chóp S.ABCD được phân chia thành hai khối chóp S.ABC và S.ACD hay
hai khối chóp S.ABC và S.ACD được ghép lại thành khối chóp S.ABCD.
Ví dụ 2. Cắt khối lăng trụ ABC.AB C
bởi mặt phẳng ABC.
Khi đó, khối lăng trụ được phân chia thành hai khối đa diện
AABC và ABCC B .
Nếu ta cắt khối chóp ABCC B
bởi mặt phẳng A B C thì ta
chia khối chóp ABCC B
thành hai khối chóp ABCB và ACC B .
Vậy khối lăng trụ đã cho được chia thành ba khối tứ diện AABC, ABCB và ACC B .
Dạng 1. NHẬN BIẾT HÌNH ĐA DIỆN
Câu 1. Cho các hình sau: Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4
Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình đa diện là A. Hình 1. B. Hình 2. C. Hình 3. D. Hình 4. 3
Lời giải. Chọn A.
Câu 2. Cho các hình sau: Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4
Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình không phải đa diện là A. Hình 1. B. Hình 2. C. Hình 3. D. Hình 4.
Lời giải. Chọn D.
Câu 3. Cho các hình sau: Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4
Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số hình đa diện là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải. Các hình đa diện là: Hình 1; Hình 3; Hình 4. Chọn C.
Câu 4. Vật thể nào trong các vật thể sau không phải là khối đa diện? A. B. C. D.
Lời giải. Chọn C. Vì hình C vi phạm tính chất ' Mỗi cạnh của miền đa giác nào cũng
là cạnh chung của đúng hai miền đa giác ' .
Dạng 2. SỐ MẶT CỦA HÌNH ĐA DIỆN
Câu 5. Hình đa diện trong hình vẽ bên có bao nhiêu mặt? A. 8. B. 10. C. 11. D. 12. 4
Lời giải. Chọn B.
Câu 6. [ĐỀ THAM KHẢO 2016-2017] Hình đa
diện trong hình vẽ bên có bao nhiêu mặt? A. 6. B. 10. C. 11. D. 12.
Lời giải. Chọn C.
Câu 7. Hình đa diện trong hình vẽ bên có bao nhiêu mặt? A. 11. B. 12. C. 13. D. 14.
Lời giải. Chọn B.
Câu 8. Khối đa diện nào sau đây có số mặt nhỏ nhất?
A. Khối tứ diện đều.
B. Khối chóp tứ giác.
C. Khối lập phương.
D. Khối 12 mặt đều.
Lời giải. Chọn A.
Câu 9. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Cho hình bát diện đều cạnh .
a Gọi S là tổng
diện tích tất cả các mặt của hình bát diện đó. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 2 S 3 a . B. 2 S 2 3 a . C. 2 S 4 3 a . D. 2 S 8a .
Lời giải. Hình bát diện đều là hình có tám mặt bằng nhau và mỗi mặt là một tam 2 a 3
giác đều. Vậy diện tích cần tính 2 S 8
2 3 a . Chọn B. 4
Dạng 3. SỐ CẠNH CỦA HÌNH ĐA DIỆN
Câu 10. Tính tổng độ dài của tất cả các cạnh của một tứ diện đều cạnh . a A. 4. B. 4 . a C. 6. D. 6 . a
Lời giải. Tứ diện đều có tất cả 6 cạnh nên có tổng độ dài các cạnh là 6 . a Chọn D.
Câu 11. Số cạnh của hình bát diện đều là A. 12. B. 16. C. 20. D. 22.
Lời giải. Chọn A. 5
Câu 12. Hình đa diện trong hình vẽ bên có bao nhiêu cạnh? A. 8. B. 9. C. 12. D. 16.
Lời giải. Chọn D.
Câu 13. Tính tổng độ dài của tất cả các cạnh của
khối mười hai mặt đều cạnh bằng 2. A. 8. B. 24. C. 30. D. 60.
Lời giải. Khối mười hai mặt đều có 30 cạnh nên có tổng độ dài tất cả các cạnh bằng
30.2 60 . Chọn D.
Câu 14. Một hình chóp có 2018 cạnh. Hỏi hình chóp đó có bao nhiêu mặt? A. 1010. B. 1014. C. 2017. D. 2019.
Lời giải. Hình chóp có 2018 cạnh trong đó có: 1009 cạnh bên và 1009 cạnh đáy
Do đó hình chóp có 1009 mặt bên và 1 mặt đáy. Chọn A.
Câu 15. Hình lăng trụ có thể có số cạnh là số nào sau đây? A. 2017. B. 2018. C. 2019. D. 2020.
Lời giải. Giả sử đa giác đáy có n cạnh, khi đó hình lăng trụ có 3n cạnh nên số cạnh
hình lăng trụ phải chia hết cho 3. Chọn C.
Dạng 4. SỐ ĐỈNH CỦA HÌNH ĐA DIỆN
Câu 16. Cho hình đa diện. Trong các mệnh đề sau có bao nhiêu mệnh đề sai?
i) Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba cạnh.
ii) Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba mặt.
iii) Mỗi mặt có ít nhất ba cạnh.
iv) Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt. A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải. Chỉ có khẳng định iv) sai. Chọn A.
Câu 17. (Chuyên Lương Văn Chánh-Phú Yên lần 1, năm 2018-2019) Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Tồn tại hình đa diện có số đỉnh và số mặt bằng nhau.
B. Số đỉnh và số mặt của một hình đa diện luôn bằng nhau.
C. Tồn tại một hình đa diện có số cạnh và số mặt bằng nhau. 6
D. Tồn tại một hình đa diện có số cạnh bằng số đỉnh.
Lời giải. Hình tứ diện có số đỉnh bằng số mặt và bằng 4. Chọn A.
Câu 18. Một hình đa diện có các mặt là những tam giác. Gọi M là tổng số mặt và C
là tổng số cạnh của đa diện đó. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 3C 2M .
B. C M 2.
C. M C.
D. 3M 2C.
Lời giải. Vì mỗi mặt là những tam giác nên có tổng số cạnh là 3M . Mỗi cạnh là cạnh 3M
chung của đúng hai mặt nên ta có hệ thức C
3M 2C. Chọn D. 2
Câu 19. Cho một khối chóp có đáy là đa giác lồi n cạnh. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Số mặt và số đỉnh bằng nhau.
B. Số đỉnh của khối chóp bằng 2n 1.
C. Số mặt của khối chóp bằng 2 . n
D. Số cạnh của khối chóp bằng n 1.
Lời giải. Chọn A. Khối chóp có đáy là đa giác lồi n cạnh nên có:
Số mặt là n 1 (gồm 1 mặt đáy và n mặt bên).
Số đỉnh là n 1.
Số cạnh là 2n ( gồm n cạnh bên và n cạnh đáy).
Câu 20. Khối đa diện mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của ba mặt thì số đỉnh
Ñ và số cạnh C của các khối đa diện đó luôn thỏa mãn
A. Ñ C 2.
B. Ñ C.
C. 3Ñ 2C. D. 3C 2 . Ñ
Lời giải. Theo kết quả câu 18, ta có 3M 2C ; kết quả câu 19, ta có Ñ M.
Suy ra 3Ñ 2C. Chọn C.
Dạng 5. TÂM ĐỐI XỨNG CỦA HÌNH ĐA ĐIỆN
Câu 21. [ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016-2017] Hình đa diện nào dưới đây không có tâm đối xứng? A. Tứ diện đều. B. Bát diện đều.
C. Hình lập phương.
D. Lăng trụ lục giác đều.
Lời giải. Chọn A.
Dạng 6. TRỤC ĐỐI XỨNG CỦA HÌNH ĐA DIỆN
Câu 22. Hình lập phương có bao nhiêu trục đối xứng? A. 7. B. 9. C. 11. D. 13.
Lời giải. Đường thẳng đi qua hai tâm của hai mặt đối diện có 3. 7
Đường thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện có 6.
Vậy có tổng cộng: 3 6 9 trục đối xứng. Chọn B.
Câu 23. Gọi n , n , n lần lượt là số trục đối xứng của khối tứ diện đều, khối chóp tứ 1 2 3
giác đều và khối lập phương. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. n 4, n 1, n 9.
B. n 0, n 1, n 9. 1 2 3 1 2 3
C. n 3, n 1, n 9.
D. n 3, n 1, n 13. 1 2 3 1 2 3
Lời giải. Khối tứ diện đều có 3 trục đối xứng (đi qua trung điểm của các cặp cạnh đối
diện). Khối chóp tứ giác đều có 1 trục đối xứng (đi qua đỉnh và tâm của mặt tứ giác).
Khối lập phương có 9 trục đối xứng. Chọn C.
Câu 24. Hình hộp chữ nhật với kích thước 553 có bao nhiêu trục đối xứng? A. 3. B. 5. C. 6. D. 9.
Lời giải. Đường thẳng đi qua hai tâm của hai mặt đối diện có 3.
Đường thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện có kích thước là 3 có 2.
Vậy có tổng cộng: 3 2 5 trục đối xứng. Chọn B.
Dạng 7. MẶT ĐỐI XỨNG CỦA HÌNH ĐA DIỆN
Câu 25. Hình tứ diện đều có bao nhiêu mặt đối xứng? A. 3. B. 4. C. 6. D. 9.
Lời giải. Có 6 mặt (mặt phẳng chứa 1 cạnh và trung điểm cạnh đối diện). Chọn C.
Câu 26. Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 2. B. 4. C. 6. D. 8.
Lời giải. Chọn B. Hình chóp tứ giác đều có 4 mặt phẳng đối xứng bao gồm:
Loại 1: Mặt phẳng đi qua đỉnh hình chóp Loại 2: Mặt phẳng đi qua đỉnh hình chóp
và chứa đường trung bình của đáy (có 2 và chứa đường chéo của đáy (có 2 mặt mặt như vậy) như vậy)
Câu 27. Số mặt phẳng đối xứng của hình bát diện đều là A. 6. B. 8. C. 9. D. 12. 8
Lời giải. Chọn C.
Loại 1: Mặt phẳng đối xứng đi qua 2 Loại 2: Mặt phẳng đối xứng đi qua 4
đỉnh đối diện và trung điểm 2 cạnh đối đỉnh đồng phẳng (có 3 mặt).
diện không chứa 2 đỉnh đó (có 6 mặt).
Câu 28. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Hình lăng trụ tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 1. B. 3. C. 4. D. 6.
Lời giải. Hình lăng trụ tam giác đều có 3 mặt phẳng đối xứng là 3 mặt phẳng trung
trực của 3 cạnh đáy và 1 mặt phẳng đối xứng là mặt phẳng trung trực của cạnh bên.
Vậy hình lăng trụ tam giác đều có 4 mặt phẳng đối xứng. Chọn C.
Câu 29. Hình lập phương có tất cả bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 8. B. 9. C. 10. D. 12.
Lời giải. Chọn B.
Câu 30. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đôi một
khác nhau có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 3. B. 4. C. 6. D. 9.
Lời giải. Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đôi một khác nhau có các mặt phẳng đối
xứng là các mặt các mặt phẳng trung trực của các cặp cạnh đối. Chọn A. 9
Câu 31. Một hình hộp đứng có đáy là hình thoi (không phải là hình vuông) có bao
nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải. Chọn C. Hình hộp đứng có đáy là hình thoi (không phải là hình chữ nhật)
có 3 mặt phẳng đối xứng bao gồm:
Loại 1: Mặt phẳng đối xứng chứa đường Loại 2: Mặt phẳng đối xứng là mặt
chéo của đáy và vuông góc với mặt đáy (có phẳng trung trực của các cạnh bên. (có 1 2 mặt). mặt)
Câu 32. Có tất cả bao nhiêu mặt phẳng cách đều bốn đỉnh của một tứ diện? A. 1. B. 4. C. 7. D. Vô số.
Lời giải. Chọn C.
Loại 1: Mặt phẳng qua trung điểm của 3 Loại 2: Mặt phẳng qua trung điểm của 4
cạnh bên có chung đỉnh (có 4 mặt).
cạnh ( 4 cạnh này thuộc 2 cặp cạnh, mỗi
cặp cạnh là chéo nhau) (có 3 mặt).
Dạng 8. PHÂN CHIA – LẮP GHÉP KHỐI ĐA DIỆN
Câu 33. Người ta ghép 5 khối lập phương cạnh a để được khối hộp chữ thập (tham
khảo hình bên dưới). Tính diện tích toàn phần S của khối chữ thập đó. tp 10 A. 2
S 12a . B. 2 S 20a . C. 2
S 22a . D. 2 S 30a . tp tp tp tp
Lời giải. Diện tích mỗi mặt của một hình lập phương là 2 a .
Diện tích toàn phần của 5 khối lập phương là 2 2 5.6a 30a .
Khi ghép thành khối hộp chữ thập, đã có 4.2 8 mặt ghép vào phía trong, do đó diện
tích toàn phần cần tìm là: 2 2 2
30a 8a 22a . Chọn C.
Câu 34. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Mặt phẳng AB C
chia khối lăng trụ
ABC.AB C
thành các khối đa diện nào?
A. Một khối chóp tam giác và một khối chóp tứ giác.
B. Hai khối chóp tam giác.
C. Một khối chóp tam giác và một khối chóp ngũ giác.
D. Hai khối chóp tứ giác.
Lời giải. Chọn A. Dựa vào hình vẽ, ta thấy mặt phẳng AB C
chia khối lăng trụ ABC.AB C thành khối chóp tam giác . A AB C và khối chóp tứ giác . A BCC B .
Câu 35. Lắp ghép hai khối đa diện H , H để tạo thành khối đa diện H . Trong 2 1
đó H là khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng ,
a H là khối tứ diện đều 2 1
cạnh a sao cho một mặt của H trùng với một mặt của H như hình vẽ. Hỏi khối 2 1
da diện H có tất cả bao nhiêu mặt? A. 5. B. 7. C. 8. D. 9.
Lời giải. Khối đa diện H có đúng 5 mặt. Chọn A.
Sai lầm hay gặp: Khối chóp tứ giác đều có 5 mặt. Khối tứ diện đều có 4 mặt.
Ghép hai hình lại như hình vẽ ta được khối đa diện H có 8 mặt. 11
KHOÁI ÑA DIEÄN LOÀI VAØ KHOÁI ÑA DIEÄN ÑEÀU
I - KHỐI ĐA DIỆN LỒI
Khối đa diện H được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì
của H luôn thuộc H . Khi đó đa diện giới hạn H được gọi là đa diện lồi.
Khối đa diện lồi
Khối đa diện không lồi
Một khối đa diện là khối đa diện lồi khi và chỉ khi
miền trong của nó luôn nằm về một phía đối với mỗi
mặt phẳng đi qua một mặt của nó.
II - KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU Định nghĩa
Khối đa diện đều là một khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây:
Các mặt là những đa giác đều n cạnh.
Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng p cạnh.
Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại , n p.
Chỉ có năm khối đa diện đều. Đó là: Loại 3; 3 Loại 4; 3 Loại 3;4 Loại 5; 3 Loại 3; 5 Khối tứ diện đều Khối lập phương Bát diện đều Hình 12 mặt đều Hình 20 mặt đều 12
Khối đa diện đều Số đỉnh Số cạnh Số mặt Loại Tứ diện đều 4 6 4 3; 3 Khối lập phương 8 12 6 4; 3 Bát diện đều 6 12 8 3;4 Mười hai mặt đều 20 30 12 5; 3 Hai mươi mặt đều 12 30 20 3; 5
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho các hình khối sau: Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4
Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình
không phải đa diện lồi là A. Hình 1. B. Hình 2. C. Hình 3. D. Hình 4.
Lời giải. Áp dụng tính chất của khối đa diện lồi H : ' Đoạn thẳng nối hai điểm bất
kì của H luôn thuộc H '' . Chọn B.
Câu 2. Cho các hình khối sau: Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4
Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số đa diện lồi là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải. Có hai khối đa diện lồi là: Hình 1 & Hình 4. Chọn B. 13
Câu 3. Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của hình nào trong các hình sau đây?
A. Tứ diện đều. B. Ngũ giác đều. C. Lục giác đều. D. Bát diện đều.
Lời giải. Chọn D.
Câu 4. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Tâm các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của một hình lập phương.
B. Tâm các mặt của một hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều.
C. Tâm các mặt của một hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình lập phương.
D. Tâm các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của một hình tứ diện đều.
Lời giải. Chọn B.
Câu 5. Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành
A. các đỉnh của một hình tứ diện đều.
B. các đỉnh của một hình bát diện đều.
C. các đỉnh của một hình mười hai mặt đều.
D. các đỉnh của một hình hai mươi mặt đều.
Lời giải. Chọn B.
Câu 6. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Tồn tại khối tứ diện là khối đa diện đều.
B. Tồn tại khối lặng trụ đều là khối đa diện đều.
C. Tồn tại khối hộp là khối đa diện đều.
D. Tồn tại khối chóp tứ giác đều là khối đa diện đều.
Lời giải. Trong 5 loại khối đa diện đều không tồn tại khối chóp có đáy là tứ giác. 14 Chọn D.
Câu 7. Trong không gian chỉ có 5 loại khối đa diện đều như hình vẽ Khối tứ diện Khối lập Hình 12 mặt Hình 20 mặt Bát diện đều đều phương đều đều
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Mọi khối đa diện đều có số mặt là những số chia hết cho 4.
B. Khối lập phương và khối bát diện đều có cùng số cạnh.
C. Khối tứ diện đều và khối bát diện đều có 1 tâm đối xứng.
D. Khối mười hai mặt đều và khối hai mươi mặt đều có cùng số đỉnh.
Lời giải. Khối lập phương có 6 mặt. Do đó A sai.
Khối lập phương và khối bát diện đều có cùng số cạnh là 12. Chọn B.
Khối tứ diện đều không có tâm đối xứng. Do đó C sai.
Khối 12 mặt đều có 20 đỉnh. Khối 20 mặt đều có 12 đỉnh. Do đó D sai.
Câu 8. (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa lần 1, năm 2018-2019) Cho khối 20 mặt
đều. Biết rằng mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh, mỗi đỉnh của nó là đỉnh
chung của đúng q mặt. Ta có p;q nhận giá trị nào sau đây?
A. p 4;q 3.
B. p 3;q 5.
C. p 3;q 4.
D. p 5;q 3.
Lời giải. Chọn B.
Câu 9. (Chuyên Quốc Học-Huế lần 1, năm 2018-2019) Hình bát diện đều thuộc
khối đa diện đều nào sau đây? A. 3;4. B. 3; 3 . D. 4; 3 . C. 5; 3 .
Lời giải. Chọn A.
Câu 10. Khối đa diện đều loại 3;
3 có tên gọi nào dưới đây?
A. Khối bát diện đều.
B. Khối lập phương.
C. Khối 20 mặt đều.
D. Khối tứ diện đều.
Lời giải. Chọn D.
Câu 11. Khối đa diện đều loại 5;
3 có tên gọi nào dưới đây?
A. Khối 12 mặt đều.
B. Khối lập phương.
C. Khối 20 mặt đều.
D. Khối tứ diện đều. 15
Lời giải. Chọn A.
Câu 12. (Chuyên Lê Thánh Tông lần 2, năm 2018-2019) Số mặt phẳng đối xứng
của khối đa diện đều 4 ; 3 là A. 3. B. 6. C. 8. D. 9.
Lời giải. Khối đa diện đều 4 ;
3 là khối lập phương. Số mặt phẳng đối xứng của khối
lập phương là 9. Chọn D.
Câu 13. Tổng các góc ở đỉnh của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại 4; 3 là A. 4 . B. 8 . C. 10 . D. 12 .
Lời giải. Khối đa diện đều loại 4;
3 là khối lập phương, gồm 6 mặt là các hình
vuông nên tổng các góc bằng 6.2 12 . Chọn D.
Câu 14. Tổng các góc ở đỉnh của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại 3; 5 là A. 12 . B. 16 . C. 20 . D. 24 .
Lời giải. Khối đa diện đều loại 3;
5 là khối hai mươi mặt đều, gồm 20 mặt là các
tam giác đều nên tổng các góc bằng 20. 20 . Chọn C.
Câu 15. Cho hình đa diện đều loại 4; 3 cạnh .
a Gọi S là tổng diện tích tất cả các
mặt của hình đa diện đó. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 2 S 4 a . B. 2 S 6 a . C. 2 S 8 a . D. 2 S 10a .
Lời giải. Đa diện đều loại 4;
3 là khối lập phương nên có 6 mặt là các hình vuông cạnh .
a Vậy hình lập phương có tổng diện tích tất cả các mặt là 2
S 6a . Chọn B. 16 THEÅ TÍCH KHOÁI ÑA DIEÄN
I - THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
Nếu ta xem khối hộp chữ nhật ABCD.AB C D
như là khối lăng trụ có đáy là hình
chữ nhật AB C D
và đường cao AA thì suy ra thể tích của nó bằng diện tích đáy
nhân với chiều cao. Ta có thể chứng minh được rằng điều đó cũng đúng với một khối lăng trụ bất kì Định lí
Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là V B . h
II - THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
Đối với khối chóp người ta chứng minh được định lí sau: Định lí
Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là 1 V . Bh 3
Ta cũng gọi thể tích các khối đa diện, khối lăng trụ, khối chóp đã nói ở trên lần
lượt là thể tích các hình đa diện, hình lăng trụ, hình chóp xác định chúng.
Dạng 1. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP CƠ BẢN
Câu 1. [ĐỀ MINH HỌA 2016-2017] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh .
a Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a 2. Thể tích của khối chóp đã cho bằng 3 a 2 3 a 2 3 a 2 A. 3 a 2. B. . C. . D. . 3 4 6 17
Lời giải. Diện tích hình vuông: 2 S a . ABCD
Chiều cao khối chóp: SA a 2. 3 1 a 2
Vậy thể tích khối chóp: V S .SA . S .ABCD 3 ABCD 3 Chọn B.
Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB , a BC 2 . a Hai mặt
bên SAB và SAD cùng vuông góc với mặt đáy ABCD, cạnh SA a 15. Thể tích
của khối chóp đã cho bằng 3 a 15 3 2a 15 3 2a 15 A. 3 2a 15. B. . C. . D. . 3 3 6
Lời giải. Vì hai mặt bên SAB và SAD cùng vuông góc với
ABCD, suy ra giao tuyến SA vuông góc với ABCD.
Do đó chiều cao khối chóp là: SA a 15.
Diện tích hình chữ nhật: 2 S
AB.BC 2a . ABCD 3 1 2a 15
Vậy thể tích khối chóp: V S .SA . Chọn C. S .ABCD 3 ABCD 3
Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh .
a Cạnh bên SA vuông góc
với đáy mặt phẳng đáy và SC a 5. Thể tích của khối chóp đã cho bằng 3 a 3 3 a 15 3 a 3 A. 3 a 3. B. . C. . D. . 3 3 6
Lời giải. Đường chéo hình vuông: AC a 2.
Xét tam giác SAC, ta có 2 2
SA SC AC a 3.
Chiều cao khối chóp: SA a 3. Diện tích hình vuông: 2 S a . ABCD 3 1 a 3
Vậy thể tích khối chóp: V S .SA . Chọn B. S .ABCD 3 ABCD 3
Câu 4. (Đại học Vinh lần 1, năm 2018-2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình
chữ nhật với AB 3a, BC .
a Cạnh bên SD vuông góc với mặt phẳng đáy và SD 2 .
a Thể tích của khối chóp đã cho bằng A. 3 a . B. 3 2a . C. 3 3a . D. 3 6a .
Lời giải. Chiều cao khối chóp: SD 2 . a
Diện tích hình chữ nhật: 2 S
AB.BC 3a . ABCD 1
Vậy thể tích khối chóp: 3 V S
.SD 2a . Chọn B. S .ABCD 3 ABCD 18
Câu 5. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với
mặt đáy, SA 4, AB 6, BC 10 và CA 8 . Thể tích của khối chóp đã cho bằng A. 24. B. 32. C. 40. D. 192.
Lời giải. Tam giác ABC, có 2 2 2 2 2 2
AB AC 6 8 10 BC 1
tam giác ABC vuông tại A nên S A . B AC 24. ABC 2 1
Vậy thể tích khối chóp: V S
.SA 32. Chọn B. S .ABC 3 ABC
Câu 6. (KHTN Hà Nội lần 1, năm 2018-2019) Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam
giác vuông tại B, AB a, AC 2 .
a Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA .
a Thể tích của khối chóp đã cho bằng 3 a 3 3a 3 2a 3 3a A. . B. . C. . D. . 3 3 3 6
Lời giải. Chiều cao của khối chóp: SA . a Ta có 2 2 2 2 BC
AC AB 4a a a 3. 2 1 a 3
Diện tích mặt đáy: S AB.BC . ABC 2 2 3 1 a 3
Vậy thể tích khối chóp: V S .SA . Chọn D. 3 ABC 6
Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, AB BC 1,
AD 2. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA 2. Thể tích khối chóp đã cho bằng 1 A. . B. 1. C. 2. D. 3. 3
Lời giải. Chiều cao khối chóp: SA 2.
AD BC 3
Diện tích hình thang: S . AB . ABCD 2 2 1
Vậy thể tích khối chóp: V S
.SA 1. Chọn B. S .ABCD 3 ABCD
Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh .
a Cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy, góc 0
SBD 60 . Thể tích khối chóp đã cho bằng 3 a 3 3 a 3 2a A. 3 a . B. . C. . D. . 2 3 3 19 Lời giải. Ta có S AB S
AD, suy ra SB S . D Hơn nữa, theo giả thiết
SBD 60. Do đó tam giác SBD đều cạnh
bằng SB SD BD a 2. Chiều cao khối chóp: 2 2
SA SB AB . a Diện tích hình vuông: 2 S a . ABCD 3 1 a
Vậy thể tích khối chóp: V S .SA . Chọn C. S .ABCD 3 ABCD 3
Câu 9. [ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016-2017] Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác
đều cạnh 2a và thể tích khối chóp bằng 3
a . Chiều cao của hình chóp đã cho bằng a 3 a 3 a 3 A. a 3. B. . C. . D. . 2 3 6
Lời giải. Tam giác ABC đều cạnh 2a 2 S a 3. ABC 3 1 3.V 3a Ta có: S . V S . ABC h h
a 3. Chọn A. S .ABC ABC 2 3 S a ABC 3
Câu 10. Cho hình chóp S.ABC có tam giác SBC là tam giác vuông cân tại S, SB 2a
và khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng 3 .
a Thể tích khối chóp đã cho bằng A. 3 2a . B. 3 4a . C. 3 6a . D. 3 12a .
Lời giải. Chọn SBC làm mặt đáy
chiều cao khối chóp: h d ,
A SBC 3 . a 1
Tam giác SBC vuông cân tại S nên 2 2 S SB 2a . S BC 2 1
Vậy thể tích khối chóp: V S .d , A SBC 3 2a . Chọn A. 3 SBC
Câu 11. (KHTN Hà Nội lần 2, năm 2018-2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh .
a Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt
đáy. Thể tích của khối chóp đã cho bằng 3 a 3 a 3 3 a 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 2 2 6 6
Lời giải. Chọn D. Gọi I là trung điểm AB SI AB.
Từ giả thiết suy ra SI ABCD nên chiều cao khối chóp a 3 là: SI
(do tam giác SAB đều cạnh a ). 2 Diện tích hình vuông: 2 S a . ABCD 3 1 a 3
Vậy thể tích khối chóp: V S .SI . S .ABCD 3 ABCD 6 20
Câu 12. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh .
a Tam giác SAB cân tại
S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, cạnh bên SA 2 . a Thể tích của khối chóp đã cho bằng 3 2a 3 a 15 3 a 15 A. 3 2a . B. . C. . D. . 3 6 12
Lời giải. Chọn C. Gọi I là trung điểm AB SI AB.
Từ giả thiết suy ra SI ABCD nên chiều cao khối chóp 2 AB a 15 là: 2 2 2
SI SA IA SA . 2 2 Diện tích hình vuông: 2 S a . ABCD 3 1 a 15
Vậy thể tích khối chóp: V S .SI . S .ABCD 3 ABCD 6
Câu 13. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy
bằng a, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Thể tích của khối chóp đã cho bằng 3 11 a 3 11 a 3 11 a 3 13 a A. . B. . C. . D. . 4 6 12 12
Lời giải. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Vì S.ABC là khối chóp
đều nên suy ra SI ABC . 2 a 3
Gọi M là trung điểm của BC AI AM . 3 3
Tam giác SAI vuông tại I , có 2 a a SI SA SI 2a2 3 33 2 2 . 3 3 2 a 3
Diện tích tam giác: S . ABC 4 3 1 11 a
Vậy thể tích khối chóp: V S .SI . Chọn C. S .ABCD 3 ABC 12
Câu 14. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng ,
a cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Thể tích của khối chóp đã cho bằng 3 2a 3 14a 3 2a 3 14a A. . B. . C. . D. . 2 2 6 6 21
Lời giải. Chiều cao của khối chóp: 2 a a SO SA AO 2a2 2 14 2 2 . 2 2
Vậy thể tích khối chóp: 3 1 1 a 14 14a 2 V S .SO a . . Chọn D. 3 ABCD 3 2 6
Câu 15. (ĐHSP Hà Nội lần 2, năm 2018-2019) Cho hình chóp đều S.ABCD có tam
giác SAC đều cạnh .
a Thể tích của khối chóp đã cho bằng 3 a 3 3 a 3 3 a 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 3 4 6 12
Lời giải. Tam giác SAC đều cạnh a AC . a a 3 a Suy ra SO
và cạnh hình vuông AB . 2 2
Vậy thể tích khối chóp: 2 3 1 1 a a 3 a 3 V S .SO . . . Chọn D. 3 ABCD 3 2 2 12
Dạng 2. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP KHI BIẾT CHÂN ĐƯỜNG CAO
Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh .
a Tam giác SAB vuông
tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Hình chiếu vuông góc của S
trên AB là điểm H thỏa AH 2BH . Thể tích của khối chóp đã cho bằng 3 a 2 3 a 2 3 a 2 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 3 6 9 9
Lời giải. Trong tam giác vuông SAB, có 2 2 2 2
SA AH .AB AB.AB a ; 3 3 a 2 2 2
SH SA AH . 3 Diện tích hình vuông: 2 S a . ABCD 3 1 a 2
Vậy thể tích khối chóp: V S .SH . Chọn C. S .ABCD 3 ABCD 9
Câu 17. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AC 2a, AB SA .
a Tam giác SAC vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt
đáy. Thể tích của khối chóp đã cho bằng 3 2a 3 a 3 3a A. 3 a . B. . C. . D. . 3 4 4 22
Lời giải. Kẻ SH AC. Từ giả thiết suy ra SH ABC .
Trong tam giác vuông SAC, có a 2 AH SA AH.AC 2 . 2 2 SH SA AH a 3 SH 2
Tam giác vuông ABC, có 2 2 BC
AC AB a 3. 3 1 1 1 a
Vậy thể tích khối chóp: V S
.SH . AB.BC .
SH . Chọn C. S .ABC 3 ABC 3 2 4
Câu 18. (Đại học Vinh lần 2, năm 2018-2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là a 2 hình vuông cạnh .
a Cạnh bên SA
, tam giác SAC vuông tại S và nằm trong 2
mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Thể tích của khối chóp đã cho bằng 3 6a 3 6a 3 2a 3 6a A. . B. . C. . D. . 3 4 6 12
Lời giải. Kẻ SH AC. Từ giả thiết suy ra SH ABCD.
Trong tam giác vuông SAC, có AC a 2 và a AH 2 SA AH.AC 2 2 . 2 2 SH SA AH a 6 SH 4 3 1 a 6
Vậy thể tích khối chóp: V S .SH . Chọn D. S .ABCD 3 ABCD 12
Câu 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng 1, góc ABC 60.
Cạnh bên SD 2. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABCD là điểm H
thuộc đoạn BD thỏa HD 3HB. Thể tích của khối chóp đã cho bằng 15 15 5 15 A. . B. . C. . D. . 8 12 24 24 Lời giải. Vì
ABC 60 nên tam giác ABC đều. 3 3 3 3 Suy ra BO
; BD 2BO 3; HD BD . 2 4 4 5
Tam giác vuông SHD, có 2 2
SH SD HD . 4 3
Diện tích hình thoi: S 2S . ABCD ABC 2 1 15
Vậy thể tích khối chóp: V S .SH . Chọn D. S .ABCD 3 ABCD 24 23
Câu 20. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C, AB 3. Hình
chiếu vuông góc của S xuống mặt đáy trùng với trọng tâm của tam giác ABC và 14 SB
. Thể tích của khối chóp đã cho bằng 2 3 1 3 A. 1. B. . C. . D. . 2 4 4
Lời giải. Chọn D. Gọi M , N lần lượt là trung điểm AB, AC. Suy ra G CM BN
là trọng tâm tam giác ABC. Từ giả thiết suy ra SG ABC . AB 3
Tam giác ABC vuông cân tại C, suy ra CA CB và CM AB. 2 2 1 3 1 1 Ta có CM AB
, suy ra GM CM ; 2 2 3 2 10 2 2
BG BM GM ; 2 2
SG SB GB 1. 2 1 9
Diện tích tam giác: S . CA CB . ABC 2 4 1 3
Vậy thể tích khối chóp: V S .SG . S .ABC 3 ABC 4
Dạng 3. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
CÓ CẠNH BÊN TẠO VỚI ĐÁY MỘT GÓC CHO TRƯỚC
Câu 21. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh .
a Cạnh bên SA vuông
góc với mặt phẳng đáy, góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng 0 60 . Thể
tích của khối chóp đã cho bằng 3 a 3 a 3 3a A. 3 a . B. . C. . D. . 2 4 4
Lời giải. Xác định: 0
60 SB,ABC
SB, AB SB . A Chiều cao khối chóp:
SA AB. tan SBA a 3. 2 a 3
Diện tích tam giác: S . ABC 4 3 1 a
Vậy thể tích khối chóp: V S .SA . Chọn C. S .ABC 3 ABC 4
Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, góc 0 BAD 120 . Cạnh
bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh bên SD tạo với mặt phẳng đáy một góc 0
60 . Thể tích của khối chóp đã cho bằng 3 a 3 a 3 3a A. 3 a . B. . C. . D. . 2 4 4 24
Lời giải. Xác định: 0
60 SD,ABCD
SD, AD SD . A Chiều cao khối chóp:
SA AD. tan SDA a 3. Diện tích hình thoi 2 a 3 S 2S
AB.AD.sin BAD . ABCD BAD 2 3 1 a
Vậy thể tích khối chóp: V S .SA . Chọn B. S .ABCD 3 ABCD 2
Câu 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 1. Hình chiếu vuông
góc của S trên mặt phẳng ABCD là trung điểm H của cạnh AB, góc giữa SC và mặt đáy bằng 0
30 . Thể tích của khối chóp đã cho bằng 1 5 15 15 A. . B. . C. . D. . 3 6 6 18
Lời giải. Xác định: 0
30 SC,ABCD
SC,HC SCH. Chiều cao khối chóp: 15 2 2
SH HC.tan SCH
BC BH . tan SCH . 6 1 15
Vậy thể tích khối chóp: V S .SH . Chọn D. S .ABCD 3 ABCD 18
Câu 24. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 0
60 . Thể tích của khối chóp đã cho bằng 3 a 6 3 a 6 3 a 6 3 a 6 A. . B. . C. . D. . 2 3 6 12
Lời giải. Chọn C. Gọi O AC BD.
Do S.ABCD là hình chóp đều nên SO ABCD. Xác định: 0
60 = SB,ABCD
SB,OB SBO. a Chiều cao khối chóp: 6 SO . OB tan SBO . 2 3 1 a 6
Vậy thể tích khối chóp: V S .SO . S .ABCD 3 ABCD 6
Câu 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AC 2a, BC . a Đỉnh
S cách đều các điểm ,
A B, C. Biết góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng 0
60 . Thể tích của khối chóp đã cho bằng 3 a 3 a 3 3a A. 3 a . B. . C. . D. . 2 4 4 25
Lời giải. Gọi O là trung điểm AC, suy ra O là tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Theo giả thiết
đỉnh S cách đều các điểm ,
A B, C nên hình chiếu của
S xuống đáy là điểm O
SO ABCD. Xác định: 0
60 SB,ABCD
SB,OB SBO. Chiều cao khối chóp:
SO OB. tan SBO a 3. 1 1
Vậy thể tích khối chóp: V S .SO
AB BC SO a Chọn A. S ABCD ABCD . 3 . . . 3 3
Câu 26. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại ,
A AB AC . a Cạnh
bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi I là trung điểm của BC, SI tạo với mặt phẳng đáy góc 0
60 . Thể tích của khối chóp đã cho bằng 3 a 3 a 6 3 a 6 3 a 6 A. . B. . C. . D. . 2 4 6 12
Lời giải. Xác định:
SI ABC SI AI 60 , , SI . A BC a 2 a Ta có AI và 6
SA AI .tan SIA . 2 2 2 2 1 a
Diện tích tam giác: S AB.AC . ABC 2 2 3 1 a 6
Vậy thể tích khối chóp: V S .SA . Chọn D. S .ABC 3 ABC 12
Câu 27. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AC 2 , a BC . a
Đỉnh S cách đều các điểm ,
A B, C. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng 0
60 . Thể tích của khối chóp đã cho bằng 3 a 3 a 6 3 a 6 3 a 6 A. . B. . C. . D. . 2 4 6 12
Lời giải. Gọi H là trung điểm AC. Từ giả thiết suy ra SH ABC . Xác định: 0
60 SB,ABC
SB,BH SBH. AC Chiều cao khối chóp:
SH BH .tan SBH
. tan SBH a 3. 2
Tam giác vuông ABC, có 2 2 AB
AC BC a 3. 2 1 a 3
Diện tích tam giác: S B . A BC . ABC 2 2 3 1 a
Vậy thể tích khối chóp: V S .SH . Chọn A. S .ABC 3 ABC 2 26
Câu 28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, BD 1. Hình chiếu
vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy ABCD là trung điểm . OD Đường
thẳng SD tạo với mặt phẳng đáy một góc 0
60 . Thể tích của khối chóp đã cho bằng 1 3 3 3 A. . B. . C. . D. . 8 8 12 24
Lời giải. Chọn D. Xác định: 0
60 SD,ABCD
SD,HD SDH. BD Chiều cao khối chóp: 3
SH HD. tan SDH .tan SDH . 4 4 BD 1
Trong hình vuông ABCD, có AB . 2 2 1 Diện tích hình vuông: 2 S AB . ABCD 2 1 3
Vậy thể tích khối chóp: V S .SH . S .ABCD 3 ABCD 24
Câu 29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh ,
a tam giác ABC đều. Hình
chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng ABCD trùng với trọng tâm của tam
giác ABC. Đường thẳng SD tạo với mặt phẳng đáy góc 0
30 . Thể tích của khối chóp đã cho bằng 3 a 3 a 3 3 a 3 3 2a 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 9 9
Lời giải. Gọi O AC BD, M là trung điểm AB. Suy ra H BO CM . Xác định: 0
30 SD,ABCD
SD,HD SDH. 2 2a 3
Dễ thấy HD 2.BH 2. BO . 3 3 a Chiều cao khối chóp: 2 SH . HD tan SDH . 3 2 a 3
Diện tích hình thoi: S 2S . ABCD ABC 2 3 1 a 3
Vậy thể tích khối chóp: V S .SH . Chọn C. S .ABCD 3 ABCD 9
Câu 30. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang cân với cạnh đáy AD và BC;
AD 2a, AB BC CD .
a Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SD tạo
với mặt phẳng đáy góc 0
45 . Thể tích của khối chóp đã cho bằng 3 a 3 3 3a 3 3 a 3 A. 3 a 3. B. . C. . D. . 2 2 6 27
Lời giải. Xác định:
SD ABCD SD AD 45 , , S . DA Chiều cao khối chóp:
SA AD. tan SDA 2 . a
Ta thấy hình thang cân đã cho là nửa lục giác đều có cạnh 2 a 3
bằng a nên có diện tích: S 3 . ABCD 4 3 1 a 3
Vậy thể tích khối chóp: V S .SA . Chọn B. S .ABCD 3 ABCD 2
Câu 31. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác
vuông tại S. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là điểm H thuộc cạnh AD sao cho HA 3 .
HD Biết rằng SA 2a 3 và SC tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng 0
30 . Thể tích của khối chóp đã cho bằng 3 8 6a 3 8 6a A. 3 8 2a . B. 3 8 6a . C. . D. . 3 9
Lời giải. Xác định:
SC ABCD SC HC 30 , , SCH. 3
Tam giác vuông SAD, có 2 2
SA AH .AD 12a AD.AD. 4
Suy ra AD 4a, HA 3 ,
a HD a, SH . HA HD a 3,
HC SH .cot SCH 3 , a 2 2 CD
HC HD 2a 2.
Diện tích hình chữ nhật: 2 S
AD.CD 8 2a . ABCD 3 1 8 6a
Vậy thể tích khối chóp: V S .SH . Chọn C. S .ABCD 3 ABCD 3
Câu 32. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với
mặt phẳng đáy và SA AB .
a Gọi N là trung điểm SD, đường thẳng AN hợp với
mặt phẳng đáy một góc 0
30 . Thể tích của khối chóp đã cho bằng 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. 3 a 3. B. . C. . D. . 3 6 9
Lời giải. Gọi M là trung điểm AD. Xác định: 0
30 AN ,ABCD
AN, AM NAM . Ta có SA a 3
AM MN .cot NAM .cot NAM AD a 3. 2 2
Diện tích hình chữ nhật: 2 S A . B AD a 3. ABCD 3 1 a 3
Vậy thể tích khối chóp: V S .SA . Chọn B. S .ABCD 3 ABCD 3 28
Câu 33. (ĐHSP Hà Nội lần 3, năm 2018-2019) Cho hình chóp S.ABC có AB , a
BC a 3 và 0
ABC 60 . Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC trùng
với chân đường cao hạ từ A của tam giác ABC. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng đáy là 0
45 . Thể tích của khối chóp đã cho bằng 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 3 6 8 12
Lời giải. Xác định: 0 45 , SA ABC S , A HA SAH. a a Ta có 2 1 3 1 3 S
AB.BC.sin ABC
AH.BC AH . ABC 2 4 2 2 a Chiều cao khối chóp: 3
SH AH .tan SAH . 2 3 1 a 3
Vậy thể tích khối chóp: V S .SH . Chọn C. S .ABC 3 ABC 8
Câu 34. [ĐỀ THAM KHẢO 2016-2017] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh .
a Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh bên SD tạo với mặt phẳng
SAB một góc bằng 0
30 . Thể tích của khối chóp đã cho bằng 3 3a 3 6a 3 6a A. 3 3a . B. . C. . D. . 3 3 18
Lời giải. Xác định: 0
30 SD,SAB
SD,SA D . SA Chiều cao khối chóp:
SA AD.cot DSA a 3. 3 1 a 3
Vậy thể tích khối chóp: V S .SA . S .ABCD 3 ABCD 3 Chọn B.
Câu 35*. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 3, tam giác SBC
vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, đường thẳng SD tạo với
mặt phẳng SBC một góc 0
60 . Thể tích của khối chóp đã cho bằng 1 6 A. 3. B. 6. C. . D. . 6 3
Lời giải. Kẻ SH BC. Từ giả thiết suy ra SH ABCD.
Xác định được hình chiếu vuông góc của D lên SBC là điểm C. 29 Do đó: 0
60 SD,SBC
SD,SC DSC.
Tam giác vuông SCD, có
SC DC.cot DSC 1. 2 2 SB
BC SC 2
Tam giác vuông SBC, có . S . B SC 6 SH BC 3 1 1 6
Vậy thể tích khối chóp: 2 V S .SH AB .SH . Chọn D. S .ABCD 3 ABCD 3 3
Dạng 4. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
CÓ MẶT BÊN TẠO VỚI ĐÁY MỘT GÓC CHO TRƯỚC
Câu 36. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh .
a Đường thẳng SA
vuông góc đáy và mặt bên SCD hợp với đáy một góc bằng 0 60 . Thể tích của khối chóp đã cho bằng 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. 3 a 3. B. . C. . D. . 3 6 9
Lời giải. Xác định: 0
60 = SCD,ABCD
SD, AD SD . A Chiều cao khối chóp:
SA AD. tan SDA a 3. Diện tích hình vuông: 2 2 S AB a . ABCD 3 1 a 3
Vậy thể tích khối chóp: V S .SA . Chọn B. S .ABCD 3 ABCD 3
Câu 37. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017) Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ
nhật, AB a, AD a 3. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và mặt phẳng
SBC tạo với mặt phẳng đáy một góc 0
60 . Thể tích của khối chóp đã cho bằng 3 a 3 3 a A. 3 a . B. 3 3a . C. . D. . 3 3
Lời giải. Xác định: 0
60 = SBC ,ABCD
SB, AB SB . A Chiều cao khối chóp: SA .
AB tan SBA a 3.
Diện tích hình chữ nhật: 2 S A . B AD a 3. ABCD 1
Vậy thể tích khối chóp: 3 V S
.SA a . Chọn A. S .ABCD 3 ABCD
Câu 38. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh .
a Cạnh bên SA vuông
góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng SBD và mặt phẳng đáy bằng 0 60 . Thể
tích của khối chóp đã cho bằng 30 3 a 6 3 a 6 3 a 6 A. 3 a . B. . C. . D. . 2 6 12
Lời giải. Xác định: 0
60 SBD,ABCD
SO, AO SO . A a Chiều cao khối chóp: 6
SA AO. tan SOA . 2 Diện tích hình vuông: 2 S a . ABCD 3 1 a 6
Vậy thể tích khối chóp: V S .SA . Chọn C. S .ABCD 3 ABCD 6
Câu 39. Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng ,
a góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng 0
60 . Thể tích của khối chóp đã cho bằng 3 a 3 3 a 3 a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 8 8 12 24
Lời giải. Tham khảo hình vẽ. Xác định: 0
60 SBC ,ABC
SE,OE SEO. Chiều cao khối chóp: AE a 3 a 0
SO OE. tan SEO .tan 60 . 3 . 3 6 2 2 a 3
Diện tích tam giác đều ABC là S . ABC 4 3 1 a 3
Vậy thể tích khối chóp: V S .SO . Chọn D. S .ABC 3 ABC 24
Câu 40. (KHTN Hà Nội lần 1, năm 2018-2019) Cho khối chóp S.ABCD có đáy là
hình thoi tâm O, cạnh a và 0
BAD 60 . Đường thẳng SO vuông góc với đáy và mặt
phẳng SCD tạo với mặt đáy một góc bằng 0
60 . Thể tích của khối chóp đã cho bằng 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 8 12 24 48
Lời giải. Kẻ OK CD. Khi đó 0
60 SCD,ABCD
SK,OK SKO. a 3 1 1 1 OC a 3
Trong tam giác vuông COD, có 2 OK . 2 2 2 a OD OK OC OD 4 2 a Chiều cao khối chóp: 3
SO OK.tan SKO . 4 2 a 3
Diện tích hình thoi: S 2S . ABCD ABD 2 3 1 a 3
Vậy thể tích khối chóp: V S .SO . S .ABCD 3 ABCD 8 Chọn A. 31
Câu 41. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh ,
a đường chéo AC . a Tam
giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, góc giữa SCD và mặt đáy bằng 0
45 . Thể tích của khối chóp đã cho bằng 3 a 3 a 3 3a 3 a A. . B. . C. . D. . 2 4 4 12
Lời giải. Gọi H là trung điểm AB. Từ giả thiết suy ra SH ABCD. Xác định:
SCD ABCD SC HC 45 , , SCH. a Chiều cao khối chóp: 3
SH HC. tan SCH . 2 2 a 3
Diện tích hình thoi: S 2S . ABCD ABC 2 3 1 a
Vậy thể tích khối chóp: V S .SH . Chọn B. S .ABCD 3 ABCD 4
Câu 42. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D,
AD DC 1, AB 2. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, mặt phẳng SBC tạo với mặt đáy một góc 0
45 . Thể tích của khối chóp đã cho bằng 2 3 2 2 A. 2. B. . C. . D. . 2 2 6 1
Lời giải. Gọi I là trung điểm AB, suy ra ADCI là hình vuông nên CI AD AB. 2
Suy ra tam giác ABC vuông tại C.
Khi đó dễ dàng xác định: 0
45 SBC ,ABCD
SC, AC SC . A Chiều cao khối chóp:
SA AC.tan SCA 2. AB DC 3
Diện tích hình thang: S .AD . ABCD 2 2 1 2
Vậy thể tích khối chóp: V S .SA . Chọn B. S .ABCD 3 ABCD 2
Dạng 5. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP – MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
Câu 43. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông. Cạnh bên SA vuông góc với 2 a 2
mặt phẳng đáy và SA .
a Diện tích tam giác SBC bằng
. Thể tích khối chóp đã 2 cho bằng 3 a 3 3 a 3 2a A. 3 a . B. . C. . D. . 2 3 3 32
Lời giải. Đặt cạnh hình vuông là x 0. Suy ra 2 2 2 2
SB SA AB a x .
Dễ thấy BC SAB BC SB nên ta có 2 a 2 1 1 2 2 S S . B BC
a x .x x . a 2 ABC 2 2 3 1 a
Vậy thể tích khối chóp: V S .SA . Chọn C. S .ABCD 3 ABCD 3
Câu 44. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh .
a Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và khoảng cách từ A đến a 2
mặt phẳng SBC bằng
. Thể tích của khối chóp đã cho bằng 2 3 a 3 a 3 3 a A. 3 a . B. . C. . D. . 2 3 9
Lời giải. Gọi H là hình chiếu của A trên SB.
Dễ dang chứng minh được
AH SBC d A SBC a 2 , AH . 2 1 1 1 Ta có SA . a 2 2 2 AH SA AB 3 1 a
Vậy thể tích khối chóp: V S .SA . Chọn C. 3 ABCD 3
Câu 45. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có
đáy là hình vuông tâm O, cạnh bằng . a Cạnh
bên bằng a 3. Gọi M là trung điểm của CD, H
là điểm đối xứng của O qua SM (tham khảo
hình vẽ bên). Thể tích khối đa diện ABCDSH bằng 3 a 10 3 a 10 3 a 10 3 5a 10 A. . B. . C. . D. . 12 18 24 24
Lời giải. Khối đa diện ABCDSH được chia thành hai khối chóp S.ABCD và H .SCD. 3 • 1 1 a 10 2 2 V S .SO S . SB OB . S .ABCD 3 ABCD 3 ABCD 6
• Vì H đối xứng với O qua SM nên d O
,SCD d H,SCD. 3 1 a 10 Suy ra V V V . HSCD OSCD S. 4 ABCD 24 3 5a 10
Vậy thể tích khối đa diện cần tính: V V V . Chọn D. S .ABCD H .SCD 24 33
Câu 46*. Cho tứ diện ABCD có 2 S 4cm , 2 S
6cm , AB 3cm. Góc giữa hai AB C AB D
mặt phẳng ABC và ABD bằng 0
60 . Thể tích của khối tứ diện đã cho bằng 2 3 4 3 8 3 A. 3 2 3cm . B. 3 cm . C. 3 cm . D. 3 cm . 3 3 3 1 8
Lời giải. Kẻ CK AB. Ta có S AB.CK CK cm. AB C 2 3
Gọi H là chân đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh C.
Xét tam giác vuông CHK , ta có CH CK CKH CK
ABC ABD 4 3 .sin .sin , . 3 1 8 3 Vậy 3 V S .CH cm . Chọn D. 3 ABD 3
Câu 47*. Cho tứ diện ABCD có BD 3. Hai tam giác ABD và CBD có diện tích lần
lượt là 6 và 10. Biết thể tích của tứ diện ABCD bằng 11, số đo góc giữa hai mặt
phẳng ABD và CBD là 11 33 11 33 A. arcsin . B. arcsin . C. arccos . D. arccos . 40 40 40 40 1
Lời giải. Kẻ AH BD. Ta có S B . D AH AH 4. ABD 2
Gọi O là chân đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh . A 1 3V 33 Ta có V S . ABCD AO AO . ABCD 3 BCD S 10 BCD
Xét tam giác vuông AOH , ta có AO 33 33 sin AHO AHO arcsin . Chọn B. AH 40 40
Câu 48*. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh .
a Các mặt bên SAB,
SAC lần lượt tạo với mặt đáy các góc là 0 60 , 0
30 . Hình chiếu vuông góc của S trên
mặt phẳng đáy nằm trên cạnh BC. Thể tích của khối chóp đã cho bằng 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 4 12 32 64
Lời giải. Chọn C. Kẻ HE AB E AB, HF AC F AC (tham khảo hình vẽ). 34 SEH 60
HE SH.cot 60 Từ hình vẽ, suy ra .
HF SH.cot 30 SFH 30 2 1 1 a 3 Ta có S S S
AB.HE AC.HF ABH ACH ABC 2 2 4 2 1 a 3 3a . .
a SH .cot 60 cot 30 SH . 2 4 8 3 1 a 3
Vậy thể tích khối chóp: V S .SH . S .ABC 3 ABC 32
Câu 49*. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác với AB AC 5a, BC 6a và các
mặt bên cùng tạo với đáy các góc 60. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng
đáy nằm bên trong tam giác ABC. Thể tích của khối chóp đã cho bằng 3 2a A. . B. 3 3a . C. 3 6 3a . D. 3 8a . 3
Lời giải. Kẻ HE AB E AB, HF AC F AC , HI BC I BC . Từ hình vẽ, suy ra
SEH SFH SIH 60
HI HE HF SH.cot 60. Ta có S S S S AB H ACH BCH AB C 1 1 1 2
AB.HE AC.HF BC.HI 12a 2 2 2 1 3a 3 2 .16 .
a SH .cot 60 12a SH . 2 2 1
Vậy thể tích khối chóp: 3 V S
.SH 6 3a . Chọn C. S .ABC 3 ABC
Câu 50. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A và 0 ABC 30 . Đỉnh
S cách đều các điểm ,
A B, C. Biết khoảng cách từ S đến mặt phẳng đáy bằng a 3,
khoảng cách từ B đến mặt phẳng SAC bằng 2a 2. Thể tích khối chóp đã cho bằng A. 3 2 2a . B. 3 4a . C. 3 4 2a . D. 3 8a .
Lời giải. Gọi H là trung điểm BC. Từ giả thiết suy ra SH ABCD SH a 3.
Ta có d B,SAC 2d H ,SAC
d H ,SAC a 2.
Kẻ HE AC ( E là trung điểm AC ), kẻ HK SE. 1 AC HE Ta có
AC SHE AC HK . 2 AC SH Từ
1 và 2, suy ra HK SAC nên
HK d H ,SAC a 2. 0
Trong tam giác vuông SHE, tính được ABC 30
HE 6a AB 2 6a AC 2 2 . a 35 1 Diện tích tam giác: 2 S
AB.AC 4 3a . ABC 2 1
Vậy thể tích khối chóp: 3 V S
.SH 4a . Chọn B. S .ABC 3 ABC 36
Dạng 6. THỂ TÍCH LĂNG TRỤ ĐỨNG
Câu 51. [ĐỀ THAM KHẢO 2016-2017] Khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các
cạnh bằng a có thể tích bằng 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 2 4 6 12
Lời giải. Chọn B. Chiều cao của lăng trụ: AA . a 2 a 3
Diện tích tam giác đều: S . ABC 4 3 a 3
Vậy thể tích khối lăng trụ: V S .AA .
ABC .AB C ABC 4
Câu 52. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2018-2019] Cho khối lăng trụ đứng ABC.AB C có đáy
là tam giác đều cạnh a và AA 3 .
a Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng 3 a 3 3a 3 a 3 3a A. . B. . C. . D. . 2 2 4 4
Lời giải. Chiều cao của lăng trụ: AA 3 . a 2 a 3
Diện tích tam giác đều: S . ABC 4 3 3a
Vậy thể tích khối lăng trụ: V S .AA . Chọn D.
ABC .AB C ABC 4
Câu 53. [ĐỀ THAM KHẢO 2018-2019] Thể tích khối lập phương có cạnh 2a bằng A. 3 a . B. 3 2a . C. 3 6a . D. 3 8a .
Lời giải. Thể tích khối lập phương: 3 V 2 .2 a .2
a a 8a . Chọn D.
Câu 54. (ĐHSP Hà Nội lần 1, năm 2018-2019) Cho khối hộp chữ nhật
ABCD.AB C D
có AA a, AB 3a, AC 5 .
a Thể tích của khối hộp đã cho bằng A. 3 4a . B. 3 5a . C. 3 12a . D. 3 15a . Lời giải. Ta có 2 2 AD BC
AC AB 4 . a
Thể tích khối hộp chữ nhật: 3 V AA .
AB.AD 12a . Chọn C.
Câu 55. (ĐHSP Hà Nội lần 4, năm 2018-2019) Cho hình lăng trụ đứng
ABCD.AB C D
có AA 3a, AC 4a, BD 5 ,
a ABCD là hình thoi. Thể tích của
khối lăng trụ đã cho bằng A. 3 20a . B. 3 27a . C. 3 30a . D. 3 60a .
Lời giải. Chiều cao khối lăng trụ: AA 3 . a 1 Diện tích hình thoi: 2 S
AC.BD 10a . ABCD 2
Vậy thể tích khối lăng trụ: 3 V S
.AA 30a . Chọn C. ABCD.A B C D ABCD 37
Câu 56. Cho hình lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng 2a và có các mặt bên đều
là hình vuông. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng 3 2a 2 3 2a 2 A. 3 2a 3. B. 3 3a 2. C. . D. . 3 4
S 2a2 3 2 . a 3
Lời giải. Từ giả thiết, ta có 3 day V
S .h 2a 3. 4 Chọn A. day
h 2a
Câu 57. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Cho khối lăng trụ đứng ABC.A B C có
BB a, đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC a 2. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng 3 a 3 a 3 a A. 3 a . B. . C. . D. . 2 3 6
Lời giải. Từ giả thiết suy ra BA BC . a
Chiều cao khối lăng trụ: BB . a 2 1 a
Diện tích tam giác: S . BA BC . AB C 2 2 3 a
Vậy thể tích khối lăng trụ: V S .BB . Chọn B.
ABC .AB C ABC 2
Câu 58. Cho lăng trụ đứng ABC.AB C
có đáy ABC là tam giác với AB a, AC 2a, 0
BAC 120 và AA 2a 5. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng 3 a 15 3 4a 5 A. 3 a 15. B. 3 4a 5. C. . D. . 3 3
Lời giải. Chiều cao khối lăng trụ: AA 2a 5. a Diện tích tam giác: 2 1 3 S
AB.AC.sin BAC . ABC 2 2
Vậy thể tích khối lăng trụ: 3 V S .AA a 15. Chọn A.
ABC .AB C ABC
Câu 59. Cho khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và tổng diện tích các mặt bên bằng 2
3a . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng 3 a 2 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 3 4 6 12
Lời giải. Xét khối lăng trụ ABC.AB C
có đáy ABC là tam giác đều và AA ABC . 38
Diện tích xung quanh lăng trụ: 2 S 3.S
3a 3. AA .AB xq ABB A 2
3a 3.AA .a AA . a 2 a 3
Diện tích tam giác: S . ABC 4 3 a 3
Vậy thể tích khối lăng trụ: V S .AA . Chọn B.
ABC .AB C ABC 4
Câu 60. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.AB C D có BA ,
a BC a 2, BA a 5.
Thể tích của khối hộp đã cho bằng 3 2a 2 A. 3 a 2. B. 3 2a 2. C. 3 a 10. D. . 3
Lời giải. Trong tam giác vuông BB A , ta có 2 2
BB BA AB 2 . a
Khi đó thể tích hình hộp chữ nhật 3 V .
BA BC.BB 2 2a . Chọn B.
ABCD.AB C D
Câu 61. [ĐỀ MINH HỌA 2016-2017] Cho khối lập phương ABCD.AB C D có độ dài
đường chéo AC a 3. Thể tích của khối lập phương đã cho bằng 1 3 3 6a A. 3 a . B. 3 3 3a . C. 3 a . D. . 3 4
Lời giải. Đặt cạnh của khối lập phương là x x 0.
Suy ra AC x 2 và AA x.
Tam giác vuông AAC, có AC
AA AC a
x x2 2 2 2 3 2 x . a
Vậy thể tích khối lập phương: 3
V a . Chọn A.
Câu 62. (Đại học Vinh lần 2, năm 2018-2019) Cho hình hộp chữ nhật
ABCD.AB C D có AB ,
a AD 2a, AC 6 .
a Thể tích khối hộp bằng 3 3a 3 2a A. 3 2a . B. 3 2 3a . C. . D. . 3 3 2 2
Lời giải. Dễ dàng tính được 2 2
AC a 4a a 5, suy ra CC 6a 5a . a
Vậy thể tích khối hộp chữ nhật: 3
V AB.AD.CC .2 a .
a a 2a . Chọn A.
Câu 63. Cho lăng trụ đứng ABC.AB C
có đáy ABC là tam giác vuông tại B và
BA BC 1. Cạnh A B
tạo với mặt đáy ABC góc 0
60 . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng 39 1 3 3 A. 3. B. . C. . D. . 2 2 6
Lời giải. Xác định: 0
60 AB,ABC
AB, AB A B . A
Tam giác vuông AAB, ta có AA AB. tan ABA 3. 1 1
Diện tích tam giác: S B . A BC . ABC 2 2 3 Vậy V S .AA . Chọn C. ABC 2
Câu 64. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.AB C D
có AB AA ,
a đường chéo AC
tạo với mặt đáy ABCD một góc thỏa cot 5. Thể tích khối hộp đã cho bằng 3 2a 3 a A. 3 2a . B. 3 5a . C. . D. . 3 5
Lời giải. Xác định: AC ABCD
AC AC , , A . CA
AC AA .cot a 5 Ta có 2 2
BC AC AB 2 . a
AB AA a Vậy 3 V
AA .AB.BC 2a . Chọn A. ABCD.A B C D
Câu 65. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Cho khối lăng trụ đứng ABC.AB C có đáy
ABC là tam giác cân với AB AC a, 0
BAC 120 . Mặt phẳng AB C tạo với đáy một góc 0
60 . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng 3 3a 3 a 3 3a 3 9a A. . B. . C. . D. . 4 8 8 8
Lời giải. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng B C
. Dễ dàng xác định được 0 60 AB C
,AB C
AM, AM AMA .
Tam giác vuông AB M , có a 0
AM AB . cos MA B . a cos 60 . 2
Tam giác vuông AAM , có a a 3 0
AA AM . tan AMA .tan 60 . 2 2 a Diện tích tam giác: 2 1 3 S .
AB AC.sin BAC . ABC 2 4 3 3a
Vậy thể tích khối lăng trụ: V S .AA . Chọn C.
ABC .AB C ABC 8 40
Câu 66. (ĐHSP Hà Nội lần 2, năm 2018-2019) Cho lăng trụ đứng ABC.AB C có
AA 3. Tam giác ABC có diện tích bằng 6 và tạo với mặt đáy ABC góc 0 60 . Thể
tích của khối lăng trụ đã cho bằng A. 9. B. 12. C. 18. D. 36.
Lời giải. Chiều cao khối lăng trụ: AA 3.
Diện tích mặt đáy: S S .cos60 3. ABC A BC
Vậy thể tích khối lăng trụ: V S
.AA 3.3 9. Chọn A.
ABC .AB C ABC
Câu 67. Cho khối hộp chữ nhật ABCD.AB C D
có AA a 3. Biết rằng mặt phẳng
ABC hợp với mặt đáy ABCD một góc 0
60 , đường thẳng AC hợp với mặt đáy ABCD một góc 0
30 . Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng 3 2a 6 A. 3 a . B. 3 a 2. C. 3 2a 6. D. . 3 0 3
0 AC,ABCD
AC, AC ACA
Lời giải. Xác định: 0 6 0
ABC,ABCD
AB, AB A B . A
AB AA .cot ABA a Ta có 2 2
BC AC AB 2a 2.
AC AA .cot ACA 3a
Vậy thể tích khối hộp chữ nhật: 3 V
AA .AB.BC 2a 6. Chọn C.
ABCD.AB C D
Câu 68. Cho hình hộp chữ nhật có diện tích ba mặt cùng xuất phát từ cùng một đỉnh là 2 10cm , 2 20cm , 2
32cm . Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng A. 3 40cm . B. 3 64cm . C. 3 80cm . D. 3 160cm .
Lời giải. Xét hình hộp chữ nhật ABCD.AB C D có
đáy ABCD là hình chữ nhật. 2 S 10 cm AB AD ABCD . 10 Theo bài ra, ta có 2 S
20 cm AB.AA 20 . ABB A 2 S 30 cm
AA .AD 32 ADD A
Nhân vế theo vế, ta được AA AB AD2 . .
6400 AA .AB.AD 80.
Vậy thể tích khối hộp chữ nhật: 3 V
AA .AB.AD 80 cm . Chọn C.
ABCD.AB C D
Câu 69. Cho khối hộp đứng có đáy là một hình thoi có độ dài đường chéo nhỏ bằng 10
và góc nhọn bằng 60. Diện tích mỗi mặt bên của khối hộp bằng 10. Thể tích của khối hộp đã cho bằng A. 25 3. B. 50. C. 50 3. D. 100 3.
Lời giải. Giả sử khối hộp đã cho là ABCD.AB C D
với AB a và BAD 60 . 41 Suy ra BD ,
a AC a 3. Theo giả thiết, ta có BD 10 a 10. a Diện tích mặt đáy: 2 3
S AB.AD.sin BAD 50 3. 2
Diện tích mỗi mặt bên bằng 10 AB.BB 10 BB 1.
Vậy thể tích khối hộp: V S
.BB 50 3. Chọn C. ABCD
Câu 70. Cho hình hộp chữ nhật có đường chéo d 21. Độ dài ba kích thước của
hình hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhân có công bội q 2. Thể tích của khối hộp
chữ nhật đã cho bằng 4 8 A. 6. B. 8. C. . D. . 3 3
Lời giải. Xét hình hộp chữ nhật ABCD.AB C D
có độ dài kích thước ba cạnh lần lượt
là AA a, AB b, AD c và có đường chéo AC . b 2a
Ta có a, b, c lập thành cấp số nhân có công bội q 2. Suy ra . c 4a
Mặt khác, độ dài đường chéo 2 2 2 2 2 2
AC 21 AA AB AD 21 a b c 21. c
2b 4a Từ đó ta có hệ
a 1, b 2, c 4. 2 2 2 a
b c 21
Vậy thể tích khối hộp chữ nhật: V
abc 8. Chọn B.
ABCD.AB C D
Dạng 7. THỂ TÍCH LĂNG TRỤ XIÊN
Câu 71. Cho lăng trụ ABC.AB C
có đáy ABC là tam giác đều cạnh . a Hình chiếu
vuông góc của điểm A lên mặt phẳng ABC trùng với tâm O của đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC, biết AO .
a Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng 3 a 3 a 3 3 a 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 4 4 6 12 2 a 3
Lời giải. Chiều cao khối lăng trụ: AO .
a Diện tích tam giác đều: S . ABC 4 3 a 3
Vậy thể tích khối lăng trụ: V S .AO . Chọn B.
ABC .AB C ABC 4
Câu 72. Cho hình lăng trụ ABC.AB C
có đáy là tam giác đều cạnh 2a 2 và
AA a 3. Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng ABC trùng với
trọng tâm G của tam giác ABC. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng 3 a 3 2a 3 a A. 3 2a . B. . C. . D. . 2 3 6 42 2 2
Lời giải. Ta có AN a 6, suy ra AG AN a 6. 3 3 a 3
Chiều cao khối lăng trụ: 2 2 AG A A AG . 3 3
Diện tích tam giác đều: S a a ABC 2 22 2 . 2 3. 4
Vậy thể tích khối lăng trụ: 3 V S
.AG 2a .
ABC .AB C ABC Chọn A.
Câu 73. Cho hình trụ AB . CD AB C D
có tất cả các cạnh đều bằng 2a, đáy ABCD là
hình vuông. Hình chiếu vuông góc của đỉnh A trên mặt phẳng đáy trùng với tâm của
đáy. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng 3 4a 2 3 8a A. 3 4 2a . B. 3 8a . C. . D. . 3 3
Lời giải. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.
Từ giả thiết suy ra AO ABCD.
Chiều cao khối lăng trụ: 2 2 AO
AA AO a 2. Diện tích hình vuông: 2 S 4a . ABCD
Vậy thể tích khối lăng trụ: 3 V S .A O
4 2a . Chọn A.
ABCD.AB C D ABCD
Câu 74. Cho lăng trụ ABCD.AB C D
có đáy ABCD là hình vuông cạnh ,a cạnh bên AA .
a Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng ABCD trùng với trung điểm
H của AB. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng 3 a 3 3 a 3 a 3 A. 3 a . B. . C. . D. . 2 3 6
Lời giải. Diện tích hình vuông: 2 S a . ABCD a 3
Chiều cao khối lăng trụ: 2 2 AH AA AH . 2
Vậy thể tích khối lăng trụ: 3 a 3 V S .A H . Chọn B. ABCD.A B C D ABCD 2
Câu 75. Cho hình lăng trụ ABC.AB C
có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC 2 .
a Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng ABC là trung điểm H của
cạnh AB và AA a 2. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng 3 a 6 3 a 6 A. 3 a 3. B. 3 2a 2. C. . D. . 2 6 43
Lời giải. Từ giả thiết suy ra BA BC a 2. a 6
Chiều cao khối lăng trụ: 2 2 AH AA AH . 2 1
Diện tích tam giác vuông: 2 S . BA BC a . ABC 2 3 a 6 Vậy V S .AH . Chọn C.
ABC .AB C ABC 2
Câu 76. Cho khối lăng trụ ABC.AB C
có đáy ABC là tam giác vuông tại , A AB AC .
a Biết rằng AA A B A C .
a Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng 3 a 3 a 2 3 a 3 3 a 2 A. . B. . C. . D. . 2 4 4 12
Lời giải. Gọi I là trung điểm BC. Từ giả thiết suy ra AI ABC . Tam giác ABC, có 2 2 BC
AB AC a 2. a 2
Chiều cao khối lăng trụ: 2 2 AI A B BI . 2 2 1 a
Diện tích tam giác vuông: S AB.AC . ABC 2 2 3 a 2 Vậy V S .A I . Chọn B.
ABC .AB C ABC 4
Câu 77. Cho lăng trụ ABC.AB C
có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB 1,
AC 2. Cạnh bên AA 2. Hình chiếu vuông góc của A trên mặt ABC trùng với
chân đường cao hạ từ B của tam giác ABC. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng 7 21 3 21 21 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 12 2 AB 1
Lời giải. Tam giác vuông ABC, có 2 2 BC
AC AB 3 và AH . AC 2 7
Chiều cao khối lăng trụ: 2 2 AH AA AH . 2 1 3
Diện tích tam giác: S A . B BC . ABC 2 2 21 Vậy V S .AH . Chọn B.
ABC .AB C ABC 4
Câu 78. [ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016-2017] Cho hình lăng trụ ABC.AB C có đáy ABC
là tam giác vuông cân tại ,
A cạnh AC 2 2. Biết AC tạo với mặt phẳng ABC một góc 0
60 và AC 4. Thể tích của khối đa diện ABCB C bằng 44 8 16 8 3 16 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3
Lời giải. Chiều cao khối lăng trụ: 0 h AC . sin 60 2 3. 1
Thể tích khối lăng trụ: 2 V S .h AC .h 8 3.
ABC .AB C ABC 2 2 16 3
Suy ra thể tích cần tính: V V . ABCB C ABC . 3 A B C 3 Chọn D.
Câu 79. Cho khối lăng trụ biết đáy có diện tích 2
S 10 cm , cạnh bên 10cm và tạo
với mặt phẳng đáy một góc 0
60 . Thể tích khối lăng trụ bằng A. 3 50cm . B. 3 50 3cm . C. 3 100cm . D. 3 100 3cm .
Lời giải. Chiều cao khối lăng trụ: 0 h . sin 60 5 3.
Vậy thể tích khối lăng trụ: 3
V S.h 50 3cm . Chọn B.
Câu 80. Cho lăng trụ AB . CD AB C D
có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O và AB ,
a AD a 3. Đường thẳng AO vuông góc với đáy ABCD, cạnh bên AA hợp
với mặt đáy ABCD một góc 0
45 . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng 3 a 6 3 a 3 3 a 3 A. 3 a 3. B. . C. . D. . 2 3 6
Lời giải. Xác định: 0 45 AA , ABCD
AA , AO AAO.
Chiều cao khối lăng trụ: AO AO. tan A A O . a
Diện tích hình chữ nhật: 2 S A . B AD a 3. ABCD Vậy 3 V S .A O
a 3. Chọn A. ABCD.A B C D ABCD
Câu 81. Cho hình lăng trụ ABC.A B C
có đáy là tam giác đều cạnh bằng 2. Hình chiếu
vuông góc của A lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm H của BC. Góc tạo bởi
cạnh bên AA với mặt đáy là 0
45 . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng 6 6 A. 1. B. 3. C. . D. . 8 24
Lời giải. Ta có AH 3. Xác định: 0 45 AA , ABCD
AA , AH AAH.
Chiều cao khối lăng trụ: AH AH .tan A A H 3.
Diện tích tam giác đều: S 3. ABC Vậy V S
.AH 3. Chọn B.
ABC .AB C AB C 45
Câu 82. Cho lăng trụ ABCD.AB C D
có đáy ABCD là hình thoi cạnh , a tâm O và 0
ABC 120 . Góc giữa cạnh bên AA và mặt đáy bằng 0
60 . Đỉnh A cách đều các điểm ,
A B, D. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng 3 a 3 3 3a 3 a 3 A. 3 a 3. B. . C. . D. . 2 2 6
Lời giải. Chọn B. Từ giả thiết suy ra tam giác ABD đều cạnh .
a Gọi H là tâm tam giác ABD. Vì A cách đều các điểm ,
A B, D nên AH ABD. Xác định:
AA ABCD
AA HA 60 , , AAH. 2 2 a 3 a 3 Ta có AH AO . . 3 3 2 3
Chiều cao khối lăng trụ: AH AH . tan AAH . a 2 a 3 3 a 3
Diện tích hình thoi: S 2S . Vậy V S .A H . ABCD ABD 2 ABCD.A B C D ABCD 2
Câu 83. Cho khối lăng trụ ABC.AB C
, biết thể tích khối chóp . A BCB C bằng 3 2a .
Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng 5 A. 3 a . B. 3 3a . C. 3 4a . D. 3 6a . 2 1 V V
A.AB C ABC . 3 A B C
Lời giải. Dễ thấy 3 V 3a . ABC . 2 A B C 3 V V 2a A.BCB C ABC . 3 A B C Chọn B.
Câu 84. Cho hình hộp ABCD.AB C D
có thể tích bằng 3
12cm . Thể tích của khối tứ diện ACB D bằng A. 3 2cm . B. 3 3cm . C. 3 4cm . D. 3 5cm .
Lời giải. Dễ thấy V V V V V V . ACB D ABCD.A B C D B ABC D AD C AA B D CB C D V Mà ABCD.A B C D V V V V . B A BC D ADC AA B D CB C D 6 1 Suy ra 3 V .V 4 cm . Chọn C. ACB D ABCD. 3 A B C D
Câu 85*. Cho hình hộp ABCD.AB C D
có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh , a góc 0
ABC 60 . Biết rằng AO ABCD và cạnh bên AA hợp với đáy một góc bằng 0
60 . Thể tích của khối đa diện OABC D bằng 46 3 3a 3 a 3 a 3 a A. . B. . C. . D. . 4 6 8 12 3 3a
Lời giải. Dễ dàng tính được V S .AO . ABCD 4 Ta có V V V V V V O.ABC D AA D .BB C C .BOC D .AOD O.CDD C 1 1 1 1 V V V V V . O.ABC D 2 12 12 6 3 V a Suy ra V . Chọn C. O.ABC D 6 8 47
Dạng 8. TỈ SỐ THỂ TÍCH
Câu 86. [ĐỀ MINH HỌA 2016-2017] Cho tứ diện ABCD có AB, AC và AD đôi
một vuông góc. Các điểm M , N , P lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC, CD,
BD. Biết rằng AB 4a, AC 6a, AD 7 .
a Thể tích khối tứ diện AMNP bằng A. 3 7a . B. 3 14a . C. 3 21a . D. 3 28a .
Lời giải. Tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD 1 đôi một vuông góc nên 3 V
AB.AC.AD 28a . ABCD 6 1 1 Ta có 3 S S V V 7a . MNP BCD AMNP A. 4 4 BCD Chọn A.
Câu 87. [ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016-2017] Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 24 và
G là trọng tâm của tam giác BCD. Thể tích của khối chóp G.ABC bằng A. 4. B. 6. C. 8. D. 12.
Lời giải. Ta có V V . G.ABC A.GBC 1
Vì G là trọng tâm tam giác BCD nên S S . GBC 3 DBC 1 1 Suy ra V V
.24 8. Chọn C. A.GBC 3 ABCD 3
Câu 88. Cho tứ diện ABCD có thể tích V . Gọi V là thể tích của khối tứ diện có các V
đỉnh là trọng tâm của các mặt của khối tứ diện ABCD. Tỉ số bằng V 1 4 8 23 A. . B. . C. . D. . 27 27 27 27
Lời giải. Chọn A. Gọi M là trung điểm AC ; E, F lần
lượt là trọng tâm của tam giác ABC, ACD. 1
Trong tam giác MBD, có EF BD. 3
Tương tự ta có các cạnh còn lại của tứ diện mới sinh ra 3 1 V 1 1 bằng
cạnh của tứ diện ban đầu nên . 3 V 3 27
Câu 89. Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc và AB 6a,
AC 9a, AD 3 .
a Gọi M , N , P lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, AD .
B Thể tích của khối tứ diện AMNP bằng A. 3 2a . B. 3 4a . C. 3 6a . D. 3 8a . 48 1 Lời giải. Ta có 3 V
AB.AC.AD 27a . ABCD 6 1 1 27 Do 3 S S V V a . EF G 4 BCD AEFG 4 ABCD 4 V AM AN AP 2 2 2 8 Ta có A.MNP . . . . V AE AF AG 3 3 3 27 A.EFG 8 3 V V
2a . Chọn A. A.MNP A. 27 EFG
Câu 90. [ĐỀ THAM KHẢO 2016-2017] Cho tứ diện có thể tích bằng V . Gọi V là
thể tích của khối đa diện có các đỉnh là các trung điểm của các cạnh của khối tứ diện V đã cho. Tỉ số bằng V 1 2 1 5 A. . B. . C. . D. . 2 3 4 8
Lời giải. Kí hiệu tứ diện và các điểm như hình vẽ. V SA SB SC 1 V
Ta có S.A B C . . V . S . V SA SB SC 8 A B C 8 S.ABC V Tương tự V V V . A.A MP B.B MN C .C N P 8 V V 1 Suy ra V . Chọn A. 2 V 2
Câu 91. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích bằng 48. Gọi
M , N lần lượt là điểm thuộc các cạnh AB, CD sao cho MA MB, NC 2ND. Thể
tích của khối chóp S.MBCN bằng A. 8. B. 20. C. 28. D. 40.
Lời giải. Gọi d là khoảng cách từ đỉnh A đến cạnh C . D
Diện tích hình bình hành S AB.d. ABCD Ta có S S S S MBCN ABCD AMN ADN 1 1 1 1
AB.d AM .d DN.d AB.d AB.d AB.d 2 2 4 6 7 7 AB.d S . 12 12 ABCD 7 7 Vậy V V .48 28. Chọn C. S .MBCN . S . 12 ABCD 12
Câu 92. (KHTN lần 2, năm 2018-2019) Cho khối chóp tứ giác S.ABCD có thể tích
V , đáy là hình bình hành. Gọi M , N , P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh SB,
BC, CD, D .
A Thể tích khối chóp M .CNQP bằng 49 3V 3V V 3V A. . B. . C. . D. . 4 8 16 16 3
Lời giải. Từ giả thiết suy ra S .S . CNQP 8 ABCD
Vì M là trung điểm SB nên
d M ABCD 1 , d S ,ABCD. 2 3 Suy ra V V . Chọn D. M .CNQP 16
Câu 93. (Đại học Vinh lần 2, năm 2018-2019) Gọi V là thể tích của khối lập
phương ABCD.AB C D
, V là thể tích tứ diện AABD. Hệ thức nào sau đây đúng? 1
A. V 2V .
B. V 3V .
C. V 4V .
D. V 6V . 1 1 1 1 1
Lời giải. Ta có V S .AA và V S .AA . ABCD 1 3 ABD 1 V Mà S S 6. ABD 2 ABCD V1
Suy ra V 6V . Chọn D. 1
Câu 94. Cho lăng trụ ABC.AB C
. Đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC
và song song với BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M , N . Mặt phẳng AMN
chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích phần bé chia phần lớn bằng 2 4 4 4 A. . B. . C. . D. . 3 9 23 27 4
Lời giải. Dễ thấy S S . AM N 9 ABC 1 Ta có V S .AA và V S .AA .
ABC .AB C AB C A.AMN 3 AMN 4 23 Suy ra V V V V . A.AMN ABC . 27 A B C BMNC .A B C ABC . 27 A B C V 4 Vậy A .AMN . Chọn C. V 23
BMNC .AB C
Câu 95. Cho hình hộp ABCD.AB C D
có I là giao điểm của AC và BD. Gọi V và 1 V
V lần lượt là thể tích các khối ABCD.AB C D
và IAB C
. Tỉ số 1 bằng 2 V2 3 A. . B. 2. C. 3. D. 6. 2 50
Lời giải. Chọn D. Thật vậy: Khối chóp IA B C
so với khối hộp ABCD.AB C D 1 Diện tích đáy giảm . 2 1
Công thức tính khối chóp thì nhân thêm . 3
Câu 96. Cho hình chóp S.ABC có chiều cao bằng 9, diện tích đáy bằng 5. Gọi M là
trung điểm của cạnh SB và N thuộc cạnh SC sao cho NS 2NC. Thể tích của khối chóp . A BMNC bằng A. 5. B. 10. C. 15. D. 30. SN 2 SM 1
Lời giải. Từ giả thiết, ta có và . SC 3 SB 2 1
Thể tích khối chóp V .9.5 15. S .ABC 3 V SM SN 1 2 Ta có S.AMN . V V 10. Chọn B. ABMNC S . V SB SC 3 3 ABC S.ABC
Câu 97. Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2 . a Gọi M là
trung điểm SB, N là điểm trên đoạn SC sao cho NS 2NC. Thể tích của khối chóp . A BCNM bằng 3 a 11 3 a 11 3 a 11 3 a 11 A. . B. . C. . D. . 12 16 18 36
Lời giải. Gọi O là tâm của tam giác ABC. Từ giả thiết suy ra SO ABC . a 11 Chiều cao khối chóp: 2 2
SO SA AO . 3 2 3 1 a 3 a 11 a 11
Thể tích khối chóp: V . . . S .ABC 3 4 3 12 V SM SN 1 2 1 V 2 Ta có S.AMN .
. , suy ra ABCNM . V SB SC 2 3 3 V 3 S .ABC S .ABC 3 2 a 11 Vậy V V . Chọn C. ABCNM S. 3 ABC 18
Câu 98. Cho tứ diện ABCD có thể tích V và các điểm M , N , P thỏa mãn điều kiện
AM 2AB, AN 3AC và AP 4 AD. Mệnh đều nào dưới đây đúng? V V A. V
8V . B. V 24V . C. V . D. V . AMNP AMNP AMNP 8 AMNP 24 51
Lời giải. Từ giả thiết, suy ra AB 1 AC 1 AD 1 ; ; . AM 2 AN 3 AP 4 V AB AC AD 1 1 1 1 Ta có A.BCD . . . V AM AN AP 2 3 4 24 A.MNP Suy ra V 24.V
24V . Chọn B. A.MNP A.BCD
Câu 99. Cho hình chóp S.ABC có SA 3, SB 4, SC 5 và
ASB BSC CSA 60.
Thể tích của khối chóp đã cho bằng A. 5 2. B. 5 3. C. 10. D. 15.
Lời giải. Trên các đoạn SB, SC lần lượt lấy các điểm E, F sao cho SE SF 3.
Khi đó S.AEF là khối tứ diện đều có cạnh a 3. 3 a 2 9 2 Suy ra V . S .AEF 12 4 V SE SF 3 3 9 20 Ta có S.AEF . . V V 5 2. V SB SC 4 5 20 S .ABC S . 9 AEF S.ABC Chọn A.
Câu 100*. Cho hình chóp đều S.ABC có tất cả các cạnh bằng .
a Mặt phẳng P song
song với mặt đáy ABC và cắt các cạnh bên ,
SA SB, SC lần lượt tại M , N , P. Biết
mặt phẳng P chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích bằng nhau. Diện
tích tam giác MNP bằng 2 a 3 2 a 3 2 a 3 2 a 3 A. . B. . C. . D. . 3 4 2 3 4 4 8 16 SM SN SP
Lời giải. Theo định lí Talet: x. SA SB SC V SM SN SP Ta có S.MNP 3 . . x . V SA SB SC S.ABC V 1 1 1
Theo giả thiết S.MNP 3
x x . 3 V 2 2 S ABC 2 . 2 a 2 a 3 a 3 Suy ra tam giác MNP đều cạnh nên S . . Chọn B. 3 MNP 2 3 3 2 4 4 4 52
Câu 101. Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB .
a Trên đường thẳng qua C và
vuông góc với ABC lấy điểm D sao cho CD .
a Mặt phẳng qua C và vuông góc với
BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E. Thể tích của khối tứ diện CDEF bằng 3 a 3 a 3 a 3 a A. . B. . C. . D. . 6 12 24 36 2 2
BC AB AC a 2
Lời giải. Ta có 2 2
BD BC CD a 3.
Dễ dàng chứng minh được CE . AD 2 DF CD 1
Tam giác vuông DCB, có 2
CD DF.DB . 2 DB DB 3 2 DE CD 1 Tương tự, ta cũng có . 2 DA DA 2 3 V DE DF 1 1 1 1 1 a Suy ra D.EFC 2 . V .V
. . a .a . Chọn D. D.EFC D. V DA DB 6 6 ABC 6 3 2 36 D.ABC
Câu 102. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B,
BA BC 1, AD 2. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA 2. Gọi H
là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Thể tích của khối đa diện SAHCD bằng 2 2 4 2 2 2 4 2 A. . B. . C. . D. . 3 3 9 9 2
Lời giải. Dễ dàng tính được V . S .ABCD 2
Kẻ HK SA K AB. Ta có 2 HK BH AB 1 SA 2 HK . 2 SA BS BS 3 3 3 1 2 Khi đó V S .HK . H .ABC 3 ABC 18 2 2 4 2
Suy ra thể tích cần tính: V V . Chọn D. S .ABCD H .ABC 2 18 9 53
Câu 103. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A ,
B , C , D lần lượt là trung điểm của , SA
SB, SC, SD. Tỷ số của thể tích khối chóp S.AB C D
chia cho thể tích khối chóp S.ABCD bằng 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2 4 8 16
Lời giải. Chọn C. Ta có V V V . S .A B C D S.AB C S.AD C V SA SB SC 1 1 1 1 Mà S.A B C . . . . . V SA SB SC 2 2 2 8 S .ABC 1 Suy ra V .V . S.AB C . 8 S ABC 1
Tương tự ta cũng có V .V .
S . AD C . 8 S ADC 1 1 1 1 V 1 Vậy V V V V V V
. Suy ra S.A B C D .
S .AB C D S .ABC S .ADC S.ABC S. ADC S . 8 8 8 8 ABCD V 8 S.ABCD
Lưu ý: Tỉ số thể tích chỉ áp dụng cho khối chóp tam giác nên nếu đáy là tứ giác ta chia đáy thành hai tam giác.
Câu 104. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật. Mặt phẳng đi qua , A
B và trung điểm M của SC. Mặt phẳng chia khối chóp đã cho thành hai phần V
có thể tích lần lượt là V , V với V V . Tỉ số 1 bằng 1 2 1 2 V2 1 3 3 5 A. . B. . C. . D. . 4 5 8 8
Lời giải. Kẻ MN CD N CD, suy ra ABMN là thiết diện của khối chóp. Ta có V V V . S .ABMN S .ABM S.AMN V SM 1 1 1 S.ABM V V V . S.ABM S .ABC S . V SC 2 2 4 ABCD S .ABC V SM SN 1 1 S.AMN . V V . S.AMN S. V SC SD 4 8 ABCD S.ACD 1 1 3 Suy ra V V V V . S .ABMN S.ABCD S .ABCD S. 4 8 8 ABCD 5 V 3 Suy ra V V
. Vậy 1 . Chọn B. ABMNDC S . 8 ABCD V 5 2 54
Câu 105. [ĐỀ THAM KHẢO 2018-2019] Cho khối lăng trụ ABC.AB C có thể tích
bằng 1. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AA và BB . Đường
thẳng CM cắt đường thẳng C A
tại P, đường thẳng CN cắt đường thẳng C B tại
Q. Thể tích khối đa diện lồi A M PB N Q bằng 1 1 2 A. 1. B. . C. . D. . 2 3 3
Lời giải. Gọi h là chiều cao của lăng trụ ABC.AB C . 4 4 Do S 4S nên V V . 1 C PQ C A B C .C PQ ABC . 3 A B C 3 2 1 1 Ta có V V V V . C .ABB A
ABC .AB C C .ABNM ABC . 3 3 A B C 3 1 2 Suy ra V V V 1 . 2 CMN .C A B
ABC .AB C C .ABNM 3 3 2 Từ 1 và 2, suy ra V . Chọn D. A M PB NQ 3
Câu 106. Cho hình lăng trụ ABC.A B C
có thể tích bằng V. Các điểm M , N, P lần AM 1 BN CP 2
lượt thuộc các cạnh AA ,
BB , CC sao cho , . Thể tích của AA 2 BB CC 3
khối đa diện ABC.MNP bằng 2 9 11 20 A. V . B. V . C. V . D. V . 3 16 18 27
m n p
Lời giải. Công thức giải nhanh:V V ABC .MNP 3 AM BN CP với m , n , p . AA BB CC 1 2 2 11 Áp dụng: m , n , p , ta được V V . 2 3 3 ABC .MNP 18 Chọn C.
Câu 107. Người ta cần cắt một khối lập phương
thành hai khối đa diện bởi một mặt phẳng đi qua A
(như hình vẽ) sao cho phần thể tích của khối đa diện
chứa điểm B bằng một nửa thể tích của khối đa diện CN còn lại. Tỉ số bằng CC 1 1 2 3 A. . B. . C. . D. . 2 3 3 4 55 CN BM DP 0 V
Lời giải. Công thức giải nhanh: AMNPBCD CC BB DD . V 2 2
ABCD.AB C D CN 0 V 1 1 CN 2 Theo giả thiết, ta có AMNPBCD CC . Chọn C. V 3 2 3 CC 3 ABCD.A B C D
Câu 108*. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng .
a Gọi M , N lần lượt là trung điểm
các cạnh AB, BC và E là điểm đối xứng với B qua .
D Mặt phẳng MNE chia khối
tứ diện ABCD thành hai khối đa diện. Khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích bằng 3 2a 3 7 2a 3 11 2a 3 13 2a A. . B. . C. . D. . 18 216 216 216
Lời giải. Thể tích khối tứ diện đều ABCD cạnh 3 a 2 a là V . 12
P EN CD Gọi
P, Q lần lượt là trọng tâm Q
EM AD của BC E và ABE . V BM BN BE 1 1 1 1 Ta có B.MNE . . . .2 V V ; B. V BA BC BD 2 2 2 MNE 2 B.ACD VE DQP ED EQ EP 1 2 2 2 7 7 . . . . . V V V . BMNDQP E . V EB EM EN 2 3 3 9 9 BMN 18 E .BMN 3 3 11 11 a 2 11 2 a
Suy ra thể tích khối đa diện chứa đỉnh A bằng V . . Chọn C. 18 18 12 216
Câu 109*. Cho hình chóp đều S.ABCD. Gọi M là điểm đối xứng của C qua D, N là
trung điểm của SC. Mặt phẳng BMN chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có V
thể tích là V , V trong đó V là phần thể tích chứa đỉnh . A Tỉ số 2 bằng 1 2 1 V1 7 12 5 5 A. . B. . C. . D. . 5 5 7 12 ME 1
Lời giải. Dễ thấy DE là đường trung bình của tam giác MBC, suy ra ; F là MB 2 MF 2
trọng tâm của tam giác SMC, suy ra . Ta có MN 3 56 V MD ME MF 1 1 2 1 M .DEF . . . . . V MC MB MN 2 2 3 6 M .CBN 1 5 Suy ra V 1 V V . 1 2 M .CBN M . 6 6 CBN V CN CM 1 Mà C.BNM . .2 1 V CS CD 2 C .BSD 1 V V V . 2 C .BNM C .BSD S . 2 ABCD 5 1 5 V 5 Từ 1 và 2, suy ra 2 V . V V . Chọn C. 2 S .ABCD S . 6 2 12 ABCD V 7 1
Câu 110*. Cho hình hộp ABCD.AB C D
có M , N, P lần lượt là trung điểm ba cạnh AB ,
BB và D D
. Mặt phẳng MNP cắt đường thẳng AA tại I. Biết thể tích khối
tứ diện IANP là V . Thể tích khối hộp đã cho ABCD.AB C D bằng A. 2V . B. 4V . C. 6V .
D. 12V .
Lời giải. Gọi Q MNP A D
. Theo tính chất của
giao tuyến suy ra MQ NP nên Q là trung điểm của AD .
Suy ra M , Q lần lượt là trung điểm IN, IP. Ta có V I .A MQ IA IM IQ 1 1 1 1 V . . . . V . I . V IA IN IP 3 2 2 12 A MQ 12 IANP 1 Mặt khác V
d I, AB C D .S I .A M Q 3 A MQ 1 1
d A ABCD 1 1 . , . S V . Từ đó suy ra V
4V . Chọn B. A B C D ABCD. 3 2 8 48 A B C D ABCD.A B C D
Dạng 9. BÀI TOÁN CỰC TRỊ
Câu 111. Cho hình chóp S.ABC có SA ,
a SB a 2, SC a 3. Thể tích lớn nhất
của khối chóp đã cho bằng 3 a 6 3 a 6 3 a 6 A. 3 a 6. B. . C. . D. . 2 3 6
Lời giải. Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng SBC
AH SBC . Ta có AH AS .
Dấu ' '' xảy ra khi AS SBC . 1 1 S
SB.SC.sin BSC S . B SC . SBC 2 2
Dấu ' '' xảy ra khi SB SC . 57 1 1 1 1 Khi đó V S
.AH SB SC AS . SA SB.SC. 3 SBC 3 2 6
Dấu ' '' xảy ra khi S ,
A SB, SC đôi một vuông góc với nhau. 3 1 a 6
Vậy thể tích lớn nhất của khối chóp: V . SA SB.SC . Chọn D. max 6 6
Câu 112. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB 4. Cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và SC 6. Thể tích lớn nhất của khối chóp đã cho bằng 20 40 80 A. 24. B. . C. . D. . 3 3 3
Lời giải. Đặt BC x. Suy ra 2
AC 16 x và 2
SA 20 x . ĐK: 0 x 2 5. 1 4 Thể tích khối chóp: 2 V S .SA x 20 x S .ABCD 3 ABCD 3 x x 2 2 2 20 4 40 . . 3 2 3 Dấu " " xảy ra 2
x 20 x x 10. Chọn C. 4
Cách 2. Xét hàm số f x 2
x 20 x trên 0;2 5. 3
Câu 113. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều và có SA SB SC 1.
Thể tích lớn nhất của khối chóp đã cho bằng 1 1 2 3 A. . B. . C. . D. . 6 12 12 12
Lời giải. Gọi O là tâm tam giác đều ABC.
Từ giả thiết suy ra SO ABC . x 3 2 x
Đặt AB x, suy ra OA và SO 1 . 3 3
Điều kiện: 0 x 3. 1 1 Khi đó 2 2 V S .SO .x 3 x . S .ABC 3 ABC 12 1 1
Xét hàm f x 2 2 .x
3 x trên 0; 3, ta được max f x f 2 . Chọn A. 12 0; 3 6 3 2 2 2 1 1
x x 62x Cách 2. Ta có 2 2 2 2 x 3 x x .x . 2 6 2x 2. 2 2 3
Câu 114. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AD 4. Các cạnh bên
bằng nhau và bằng 6. Thể tích lớn nhất của khối chóp đã cho bằng 58 125 128 130 250 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3
Lời giải. Gọi O AC B .
D Từ giả thiết suy ra SO ABCD. 2 128 x
Đặt AB x, suy ra 2 AC
x 16 và SO
. Điều kiện: 0 x 8 2. 2 2 1 1 128 x Khi đó V S .SO .4x. S .ABCD 3 ABCD 3 2 1 . 1 128 2
2x 128 x . 2 2
x 128 x . 3 3 3 Dấu ' '' xảy ra 2
x 128 x x 8. 128 Suy ra V . Chọn B. S .ABCD 3
Câu 115. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, cạnh bằng 1; SO vuông
góc với mặt đáy ABCD và SC 1. Thể tích lớn nhất của khối chóp bằng 2 3 2 3 2 3 4 3 A. . B. . C. . D. . 3 9 27 27
Lời giải. Đặt OA OC x. Suy ra 2 OD 1 x , 2
SO 1 x . Điều kiện: 0 x 1. Thể tích khối chóp 1 1 2 2 2 V S
.SO .2x 1 x . 1 x x x S ABCD ABCD 2 1 . . 3 3 3
Xét hàm f x x 2
1 x trên 0 ;1 , ta được f x 1 2 max f . 0; 1 3 3 3 4 3
Vậy thể tích lớn nhất của khối chóp bằng . Chọn D. 27
Câu 116. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại C, AB 2. Cạnh bên
SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA 1. Thể tích lớn nhất của khối chóp bằng 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 3 4 6 12
Lời giải. Đặt AC x, suy ra 2
CB 4 x .
Điều kiện: 0 x 2. 1 1 Khi đó V S .SA x x S ABC AB C 2 4 . 3 6 2 2
1 x 4 x 1 . Chọn A. 6 2 3 59
Câu 117. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A và AB 1. Các cạnh
bên SA SB SC 2. Thể tích lớn nhất của khối chóp đã cho bằng 2 4 5 5 A. . B. . C. . D. . 3 3 4 8
Lời giải. Gọi I là trung điểm của BC. Từ giả thiết suy ra SI ABC . 2 15 x
Đặt AC x, suy ra 2 BC
x 1 và SI . 2
Điều kiện: 0 x 15. 2 1 1 x 15 x Khi đó V S .SI . . S .ABC 3 ABC 3 2 2 1 1 x 15 x 5 x 15x 2 2 2 . . Chọn D. 12 12 2 8
Câu 118. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB 4, SC 6. Tam
giác SAD cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích lớn nhất
của khối chóp đã cho bằng 40 80 A. 40. B. 80. C. . D. . 3 3
Lời giải. Chọn D. Gọi H là trung điểm của AD. Từ giả thiết suy ra SH ABCD. 2 x 2 x
Đặt AD x, suy ra HC 16 và SH 20 . 4 4
Điều kiện: 0 x 4 5. 2 1 1 x Khi đó V S
.SH .4x. 20 S .ABCD 3 ABCD 3 4 1 1 80 2
2x 80 x 2 2
x 80 x . 3 3 3
Câu 119. Cho hình chóp S.ABCD có SA x 0 x 3, tất cả các cạnh còn lại bằng
nhau và bằng 1. Với giá trị nào của x thì thể tích khối chóp đã cho lớn nhất? 2 3 6 3 A. x . B. x . C. x . D. x . 2 2 2 3
Lời giải. Gọi O là tâm của hình thoi ABCD OA OC . 1 Theo bài ra, ta có SB D C
BD OS OC. 2 1 Từ
1 và 2 , ta có OS OA OC AC S
AC vuông tại S 2
AC x 1 . 2 60 2 x 1 2 3 x Suy ra OA và 2 2 OB AB OA . 2 2
Ta có SB SC SD 1, suy ra hình chiếu vuông góc
H của đỉnh S trên mặt đáy là tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác BCD
H AC. Trong tam S . A SC x
giác vuông SAC , ta có SH . 2 2 2 SA SC x 1 Khi đó 2 x 1 2 3 1 1 x 2 2 x 1
1 x 3 x 1 2 V S .SH . .
x 3 x . . S .ABCD ABCD 2 3 3 2 6 6 2 4 x 1 6 Dấu ' '' xảy ra 2
x 3 x x . Chọn C. 2
Câu 120. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.AB C D
có AB x, AD 3, góc giữa đường
thẳng AC và mặt phẳng ABB A bằng 0
30 . Tìm x để thể tích khối hộp chữ nhật có thể tích lớn nhất. 3 3 3 6 3 5 3 15 A. x . B. x . C. x . D. x . 2 2 5 5
Lời giải. Xác định: 0
30 AC,ABB A CA . B
Đặt BB h h 0. Ta có BC 3 0 2 2 tan CAB tan 30
x h 27. 2 2 A B x h 2 2
x 27 x 81 Khi đó 2 V S
.BB 3x.h 3x 27 x 3 . ABCD 2 2 3 6 Dấu " " xảy ra 2 2
x 27 x x . Chọn B. 2
Câu 121. Cho hình chóp S.ABC có SA x 0 x 3, tất cả các cạnh còn lại đều
bằng 1. Thể tích lớn nhất của khối chóp đã cho bằng 2 1 1 2 A. . B. . C. . D. . 4 8 12 12
Lời giải. Ta có tam giác A BC và SBC là nhữn
g tam giác đều cạnh bằng 1 . 3
Gọi N là trung điểm BC SN . 2 61
Trong tam giác SAN , kẻ SH AN . 1 BC AN Ta có
BC SAN BC SH . 2 BC SN Từ
1 và 2 , suy ra SH ABC . 1 1 1 3 3 1 Khi đó V S .SH S .SN . . . S .ABC 3 ABC 3 ABC 3 4 2 8
Dấu ' '' xảy ra H N . Chọn B. NM SA
Cách 2. Gọi M là trung điểm SA d ,
SA BC MN. NM BC 3 2 3 x
Tam giác SNA cân tại N , có SN AN nên suy ra MN . 2 2 1 x 3 x 1 Khi đó V S . A BC.d SA BC SA BC S ABC , 2 .sin , . . 6 12 8 6 Dấu ' '' xảy ra 2
x 3 x x . 2
Câu 122. Cho tam giác OAB đều cạnh .
a Trên đường thẳng d qua O và vuông góc
với mặt phẳng OAB lấy điểm M sao cho OM x. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu
vuông góc của A trên MB và OB. Gọi N là giao điểm của EF và d. Tìm x để thể
tích tứ diện ABMN có giá trị nhỏ nhất. a 2 a 3 a 6
A. x a 2. B. x . C. x . D. x . 2 2 12
Lời giải. Đặt ON y 0. Khi đó 2 1 a V V V S OM ON x y ABMN ABOM ABON OAB 1 3 . . . 3 3 4 AF OB Ta có
AF MOB AF M . B AF MO
Lại có MB AE nên suy ra MB AEF MB EF . 2 OB ON . OB OF a Suy ra O
BM ∽ ONF nên ON . OM OF OM 2x 2 2 3 a 3 a a 6 2 a a 2 Suy ra V x
. Dấu ' '' xảy ra x x . Chọn B. ABMN 12 2x 12 2x 2
Câu 123. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại .
A Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, khoảng cách từ A đến
mặt phẳng SBC bằng 3. Gọi là góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC , tính
cos khi thể tích khối chóp S.ABC nhỏ nhất. 62 2 1 3 2 A. cos
. B. cos . C. cos .
D. cos . 2 3 3 3 1
Lời giải. Đặt AB AC x, SA . y Khi đó 2 V x y. S .ABC 6
Vì AB, AC, AS đôi một vuông góc nên 1 1 1 1 1 1 3 . 2 9 d , A SBC 3 2 2 2 4 2 x x y x y 1 27 3 Suy ra 2 2
x y 81 3 V x y . SABC 6 2
Dấu " " xảy ra x y 3 3. Khi đó 3
cos cos SMA . Chọn C. 3
Câu 124. Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều có d 3 là khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau gồm một đường thẳng chứa một đường chéo của đáy và đường
thẳng còn lại chứa một cạnh bên hình chóp. Thể tích nhỏ nhất của khối chóp bằng A. 3. B. 9. C. 9 3. D. 27.
Lời giải. Xét hình chóp tứ giác đều S.ABCD. 1 1 Đặt 2
AB x, SO h V
hx . Ta cần đánh giá 2 hx hằng số. S .ABCD 3 3 x
Ta tính được OA
nên theo giả thiết ta có 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 OH SO OA d h x 1 1 2 1 1 1 1 1 2 3 3 . hx 27. 2 2 2 2 2 2 4 3 h x h x x h x AM GM
Dấu ' '' xảy ra x h 3. Khi đó V 9. Chọn B. min
Câu 125. Cho hình hộp chữ nhật AB . CD AB C D
có độ dài đường chéo AC 18.
Gọi S là diện tích toàn phần của hình hộp đã cho. Tìm giá trị lớn nhất S của S. max A. S 18. B. S 18 3. C. S 36. D. S 36 3. max max max max Lời giải. Gọi , a ,
b c là ba kích thước của hình hộp chữ nhật.
Khi đó S 2 ab bc ca . tp Theo giả thiết ta có 2 2 2 2
a b c AC ' 18. Từ bất đẳng thức 2 2 2
a b c ab bc ca , suy ra S 2 ab bc ca 2.18 36. tp
Dấu ' '' xảy ra a b c 6. Chọn C.
Dạng 10. MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG 63
Câu 126. Từ một mảnh giấy hình vuông cạnh a , người ta gấp thành hình lăng trụ theo hai cách sau:
Cách 1. Gấp thành 4 phần đều nhau rồi dựng lên thành một hình lăng trụ tứ giác
đều có thể tích là V (Hình 1). 1
Cách 2. Gấp thành 3 phần đều nhau rồi dựng lên thành một hình lăng trụ tam
giác đều có thể tích là V (Hình 2). 2 Hình 1 Hình 2 V Tính tỉ số 1 k . V2 3 3 3 3 3 3 4 3 A. k . B. k . C. k . D. k . 2 4 8 9
Lời giải. Gọi cạnh hình vuông là . a a a
Suy ra cạnh đáy hình lăng trụ tứ giác là
, cạnh đáy hình lăng trụ tứ giác là . 4 3 2 a V S .h S 4 3 3 Khi đó 1 1 1 . Chọn B. 2 V S .h S a 3 4 2 2 2 3 4
Câu 127*. Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là 3
6 3 cm . Để ít hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của
khối lăng trụ tam giác đều này bằng bao nhiêu?
A. Cạnh đáy bằng 2 6cm và cạnh bên bằng 1cm.
B. Cạnh đáy bằng 2 3cm và cạnh bên bằng 2cm.
C. Cạnh đáy bằng 2 2cm và cạnh bên bằng 3cm. 1
D. Cạnh đáy bằng 4 3cm và cạnh bên bằng cm. 2
Lời giải. Giả sử hình lăng trụ tam giác đều cần làm là
ABC.AB C
có độ dài AB x, AA . h 3 3 Khi đó 2 S x và 2 V S .AA x . h ABC 4 ABC .A B C ABC 4 3 24 Theo giả thiết 2
x h 6 3 h . 2 4 x
Để ít tốn vật liệu nhất thì diện tích toàn phần của khối lăng trụ ABC.AB C là nhỏ nhất. 3 3 72 Ta có 2 2 S 2S 3S x 3hx x . tp ABC ABB A 2 2 x 64 3 72
Khảo sát f x 2 x
trên 0;, ta được f x nhỏ nhất khi x 2 3 . 2 x
Với x 2 3 cm h 2cm. Chọn B.
Câu 128*. Cho một tấm nhôm hình chữ nhật có kích thước
80cm50cm. Người ta cắt ở bốn góc của tâm nhôm đó bốn
hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x cm ,
rồi gập tấm nhôm lại thì được một cái thùng không nắp dạng
hình hộp. Thể tích lớn nhất của khối hộp bằng A. 3 8000cm . B. 3 18000cm . C. 3 28000cm . D. 3 38000cm .
Lời giải. Chọn B. Hình hộp được tạo thành có kích thước: chiều dài 80 2x cm,
chiều rộng 50 2x cm, chiều cao x cm. (Điều kiện: 0 x 25 ).
Suy ra thể tích của khối hộp: V x
x x 3 2 80 2 50 2
4x 260x 4000x.
Khảo sát f x 3 2
4x 260x 4000x trên 0;2
5 , được max f x f 10 3 18000cm . 0;2 5
Câu 129*. Cho một tấm bìa hình chữ nhật có kích thước
60cm40cm. Người ta cắt 6 hình vuông bằng nhau như
hình vẽ, mỗi hình vuông cạnh bằng xcm, rồi gập tấm bìa
lại để được một hộp có nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất. 10 20 A. x 4cm.
B. x 5cm. C. x cm. D. x cm. 3 3 60 3x
Lời giải. Chọn D. Các kích thước khối hộp lần lượt là:
; 40 2x; x. 2 603x Khi đó V 402x 3 2
x 3x 120x 1200x f x . hop 2 20
Khảo sát hàm f x với 0 x 20, ta được f x lớn nhất khi x . 3
Câu 130*. Một hộp không nắp được làm từ một mảnh cactong
theo hình vẽ. Hộp có đáy là một hình vuông cạnh x cm, chiều
cao là hcm và thể tích là 3
500cm . Tìm độ dài cạnh hình
vuông x sao cho chiếc hộp làm ra tốn ít bìa cactong nhất. A. x 2cm. B. x 3cm. C. x 5cm.
D. x 10cm. 500
Lời giải. Thể tích khối hộp : 2
V x.x.h x h 500 h . 2 x 65
Để chiếc hộp làm ra ít tốn bìa cactong nhất khi và chỉ khi diện tích toàn phần của hộp
là nhỏ nhất. Diện tích toàn phần của hộp (không nắp) 2 S S S
x.x 4.hx x 4hx tp day xung quanh Cosi 500 2000 1000 1000 2 2 2 3 2 x 4x. x x 3 1000 . 2 x x x x 1000 1000 Dấu ' '' xảy ra 2 3 x
x 1000 x 10. Chọn D. x x 2000
Cách 2. Xét hàm f x 2 x với x 0 . x
Câu 131*. Một người đã cắt tấm bìa cactong và đặt kích
thước như hình vẽ. Sau đó người ấy gấp theo đường nét
đứt thành cái hộp hình hộp chữ nhật. Hình hộp có đáy là
hình vuông cạnh a cm , chiều cao hcm và diện tích toàn phần bằng 2
6m . Tổng a h bằng bao nhiêu để thể tích hộp là lớn nhất? A. 2cm. B. 3cm. C. 4cm. D. 6cm. 2 6 2a
Lời giải. Diện tích toàn phần : 2
S 4ah 2a 6 h . tp 4a 2 3 6 2a 6a 2a
Thể tích khối hộp chữ nhật: 2 V . a . a h a . . 4a 4 3 6a 2a
Khảo sát hàm f a
trên 0; 3, ta được f a lớn nhất tại a 1. 4
Với a 1 h 1
a h 2cm. Chọn A.
Câu 132*. Từ hình vuông có cạnh bằng 6 người ta cắt
bỏ các tam giác vuông cân tạo thành hình tô đậm như
hình vẽ. Sau đó người ta gập thành hình hộp chữ nhật
không nắp. Thể tích lớn nhất của khối hộp bằng A. 8 2. B. 9 2. C. 10 2. D. 11 2.
Lời giải. Gọi độ dài các cạnh của hình hộp chữ nhật không nắp là ,
a b (như hình vẽ). Suy ra hình chữ nhật có đáy là
hình vuông cạnh b, chiều cao bằng a 2 V ab . hh
Ta tính được cạnh của hình vuông ban đầu là b 2 a 2.
Theo đề suy ra b 2 a 2 6 a 3 2 . b Khi đó: 2 V ab b 2 3 2 b . hh
Xét hàm f b 2 3
3 2b b trên 0;3 2, ta được max f x f 2 2 8 2. Chọn A. 0;3 2 66
Câu 133*. Để thiết kế một chiếc bể cá hình hộp chữ nhật không nắp có chiều cao là 60cm, thể tích 3
96000cm . Người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành 70.000 đồng 2
/m và loại kính để làm mặt đáy có giá thành 100.000 đồng 2 /m .
Tính chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá.
A. 32.000 đồng. B. 68.800 đồng. C. 83.200 đồng. D. 320.000 đồng.
Lời giải. Chọn C. Gọi x m, y m x, y 0 là chiều dài và chiều rộng của đáy bể. 0,16
Theo giả thiết, ta có: 0, 6xy 0, 096 y . x 0,16
Diện tích mặt đáy: S xy x. 0,16 day x giá tiền 0,16 1
00.000 16.000 đồng. 0,16
Diện tích xung quanh: S 2x.0,6 2 .0
y , 6 1,2x xq x 0,16 0,16
giá tiền 1, 2x .70 000 84000 x đồng. x x Cosi 0,16
Tổng chi phí f x 0,16 84000x 16000 84000.2 x. 16000 83.200 đồng. x x
Câu 134*. Người ta cắt một tờ giấy hình vuông cạnh
bằng 1 để gấp thành một hình chóp tứ giác đều sao
cho bốn đỉnh của hình vuông dán lại thành đỉnh của
hình chóp như hình vẽ. Để thể tích khối chóp lớn
nhất thì cạnh đáy x của hình chóp bằng 2 2 2 2 A. x 2 2. B. x .
C. x . D. x . 5 5 5 1 2 x
Lời giải. Ta có BM BO MO AB MO . 2 2 2
Chiều cao của hình chóp: 2 2 2 x x 1 x 2 2 2
h BM MO . 2 2 2 2 4 5 1 1 x 2 1 x x 2
Suy ra thể tích của khối chóp: 2 V x . 3 2 3 2 2 2 2
Khảo sát f x 4 5 x x 2 trên 0;
, được f x lớn nhất khi x . Chọn D. 2 5 67
Câu 135*. Một người xây nhà xưởng hình hộp chữ
nhật có diện tích mặt sàn là 2 1152m và chiều cao
cố định. Người đó xây các bức tường xung quanh
và bên trong để ngăn nhà xưởng thành ba phòng
hình chữ nhật có kích thước như nhau (không kể
trần nhà). Vậy cần phải xây các phòng theo kích
thước nào để tiết kiệm chi phí nhất (bỏ qua độ dày các bức tường)? A. 8m48m. B. 12m32m. C. 16m24m. D. 24m32m.
Lời giải. Đặt x, y, h lần lượt là chiều dài, chiều rộng và chiều cao mỗi phòng. 384
Theo giả thiết, ta có x.3y 1152 y . x
Để tiết kiệm chi phí nhất khi diện tích toàn phần nhỏ nhất. Ta có 384 576
S 4xh 6 yh 3xy 4xh 6.
h 1152 4hx 1152. tp x x
Vì h không đổi nên S nhỏ nhất khi 576 f x x
(với x 0 ) nhỏ nhất. tp x Khảo sát 576 f x x
với x 0, được f x nhỏ nhất khi x 24 y 16. Chọn C. x 576 576 576
Cách 2. BĐT Côsi x 2 x.
48. Dấu ' '' xảy ra x x 24. x x x 68