Kiến thức cơ bản hình học 12 cả năm

Kiến thức cơ bản hình học 12 cả năm giúp các em học sinh nắm chắc các dạng Toán hình thường gặp trong đề thi, luyện giải đề thật nhuần nhuyễn để ôn thi lớp 12 năm 2023 - 2024 đạt kết quả cao. Đề thi được thiết kế dưới dạng PDF bao gồm 100 trang. Mời các em tham khảo.

 

Trang 51
PHN I. KHI ĐA DIN
1. KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHÓP
Khối lăng tr (chóp) phần không gian đưc gii hn bi một hình lăng tr (chóp)
k c hình lăng tr (chóp) y. Khi chóp ct phn không gian được gii hn bi
mt hình chóp ct k c hình chóp ct y.
Đim không thuc khối lăng tr (khi chóp, khi chóp cụt) được gọi điểm ngoài
ca khối lăng trụ (khi chóp, khi chóp cụt). Điểm thuc khi lăng trụ nhưng không
thuộc hình lăng trụ ng vi khi lăng trụ (khi chóp, khi chóp cụt) đó được gi
đim trong ca khối lăng trụ (khi chóp, khi chóp ct).
2. KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN
2.1.Khái niệm về hình đa diện
Hình đa diện (gi tắt đa diện) hình đưc to bi mt s hu hạn các đa giác
tha mãn hai tính cht:
Hai đa giác phân biệt ch th hoặc không điểm chung, hoc ch một đỉnh
chung, hoc ch có mt cnh chung.
Mi cnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.
Mỗi đa giác gi mt mt của hình đa diện. Các đỉnh, cnh của các đa giác y theo
th t đưc gọi là các đỉnh, cnh của hình đa diện.
2.2. Khái niệm về khối đa diện
Khối đa diện phần không gian được gii hn bi một hình đa diện, k c hình đa
diện đó.
A
B
C
D
E
F
F'
E'
D'
C'
B'
A'
C
A
B
S
M
Trang 52
Những điểm không thuc khối đa diện được gi điểm ngoài ca khối đa diện.
Những điểm thuc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện đó được gi
đim trong ca khi đa diện. Tp hợp các điểm trong được gi min trong, tp
hp những điểm ngoài được gi là min ngoài ca khối đa diện.
Mỗi hình đa diện chia các điểm còn li ca không gian thành hai min không giao
nhau min trong min ngoài của hình đa diện, trong đó chỉ min ngoài
cha hoàn toàn một đường thẳng nào đó.
3. HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU
3.1. Phép dời hình trong không gian
Trong không gian, quy tắc đặt tương ng mỗi điểm
M
với điểm
M '
xác đnh duy nht
đưc gi là mt phép biến hình trong không gian.
Phép biến hình trong không gian được gi phép di hình nếu bo toàn khong cách
giữa hai đim tùy ý.
* Mt s phép di hình trong không gian:
3.1.1. Phép tnh tiến theo vectơ
v
Ni dung
Hình v
phép biến hình biến mỗi điểm
M
thành
M '
sao cho
MM v'
.
3.1.2. Phép đối xng qua mt phng
P
Ni dung
Hình v
phép biến hình biến mỗi điểm thuc thành chính ,
biến mỗi điểm không thuc thành điểm sao cho
là mt phng trung trc ca .
Nếu phép đối xng qua mt phng biến hình thành
chính nó thì đưc gi là mt phẳng đối xng ca .
d
Ñieåm ngoaøi
Ñieåm trong
Mieàn ngoi
M
N
v
M'
M
P
M
P
M '
P
MM '
P
H
P
H
P
M'
M
I
Trang 53
3.1.3. Phép đối xng qua tâm
O
Ni dung
Hình v
phép biến hình biến điểm
O
thành chính nó, biến mi
đim
M
khác
O
thành điểm
M '
sao cho
O
trung đim
MM '
Nếu phép đi xng tâm
O
biến hình
H
thành chính thì
O
đưc gọi là tâm đối xng ca
H
3.1.4. Phép đối xứng qua đường thng
(phép đối xng trc
)
Ni dung
Hình v
phép biến hình biến mọi điểm thuộc đường thng
thành chính nó, biến mi điểm
M
không thuc
thành điểm
M '
sao cho
là đường trung trc ca
MM '
.
Nếu phép đối xng trc
biến hình
H
thành chính t
đưc gi là trục đối xng ca
H
* Nhn xét:
Thc hin liên tiếp các phép di hình s đưc mt phép di hình.
Phép di hình biến đa diện
H
thành đa diện
H '
, biến đỉnh, cnh, mt ca
H
thành đỉnh, cnh, mặt tương ứng ca
H '
.
3.2. Hai hình bằng nhau
Hai hình đa diện được gi bng nhau nếu mt phép di hình biến hình này thành
hình kia.
4. PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN
Ni dung
Hình v
Nếu khối đa diện hp ca hai khi đa diện ,
sao cho không chung điểm trong nào
thì ta nói th chia được khối đa diện thành hai khi
đa diện , hay th lp ghép hai khối đa diện
với nhau để đưc khối đa diện .
5. KHỐI ĐA DIỆN LỒI
5.1. Khối đa diện lồi
Mt khối đa diện được gi là khối đa diện li nếu vi bất kì hai điểm
A
B
nào ca nó
thì mọi điểm của đoạn
AB
cũng thuộc khối đó.
O
M'
M
I
M'
M
H
H
1
H
2
H
1
H
2
H
H
1
H
2
H
1
H
2
H
(
H
2
)
(
H
1
)
(H)
Trang 54
Khối đa diện li Khối đa diện không li
5.2. Khối đa diện đều
5.2.1. Định nghĩa
Khối đa diện đều là mt khối đa diện li có hai tính chất sau đây:
Các mt là những đa giác đều
n
cnh.
Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng
p
cnh.
Khối đa diện đều như vậy gi là khối đa diện đều loi .
5.2.2. Định lí
Ch có 5 loi khối đa diện đều. Đó là loại , loi , loi , loi , loi .
Tùy theo s mt ca chúng, 5 khối đa diện trên lần lượt tên gi là: Khi t diện đều; khi
lập phương; khi bát diện đều; khối mười hai mặt đều; khối hai mươi mặt đều.
5.2.3. Bng tóm tt của năm loại khối đa diện đều
Khối đa diện đều
S
đỉnh
S
cnh
S
mt
Loi
S MPĐX
T diện đều
4
6
4
6
Khi lập phương
8
12
6
9
Bát diện đều
6
12
8
9
i hai mặt đều
20
30
12
15
np,
3;3
4;3
3;4
5;3
3;5
3;3
4;3
3;4
5;3
Trang 55
Hai mươi mặt đều
12
30
20
15
Chú ý: Gi s khối đa diện đều loi
Đ
đỉnh,
C
cnh và
M
mt.
Khi đó:
5.3. Một số kết quả quan trọng về khối đa diện lồi
5.3.1. Kết qu 1
Cho mt khi t diện đều. Khi đó:
Các trng tâm ca các mt của nó là các đỉnh ca mt khi t diện đều;
Các trung điểm ca các cnh của các đnh ca mt khi bát diện đều (khi tám
mặt đều).
5.3.2. Kết qu 2
Tâm ca các mt ca mt khi lập phương là các đỉnh ca mt khi bát diện đều.
5.3.3. Kết qu 3
Tâm ca các mt ca mt khi bát diện đều là các đỉnh ca mt khi lp phương.
5.3.4. Kết qu 4
Hai đỉnh ca mt khi bát diện đều được gi hai đỉnh đối din nếu chúng không cùng
thuc mt cnh ca khối đó. Đon thng nối hai đỉnh đối din gi đưng chéo ca khi
bát diện đều. Khi đó:
Ba đường chéo ct nhau tại trung điểm ca mỗi đường
Ba đường chéo đôi một vuông góc vi nhau;
Ba đường chéo bng nhau.
6. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
6.1. Thể tích khối chóp
Ni dung
Hình v
: Diên tich măt đay.
: Độ dài chiêu cao khôi chop.
6.2. Thể tích khối lăng trụ
Ni dung
Hình v
3;5
np,
C nMp 2.Đ
áy
V S h
1
.
3
đ
áy
S
đ
h
S.ABCD ABCD
S, ABCD
V d .S
1
3
Trang 56
: Diên tich măt đay.
: Chiêu cao cua khôi chop.
Lưu y:
Lăng tru đưng co chiêu cao chính la canh bên.
6.3. Thể tích khối hộp chữ nhật
Ni dung
Hình v
6.4. Thể tích khối lập phương
Ni dung
Hình v
6.5. Tỉ số thể tích
Ni dung
Hình v
Th tích hinh chop cut
Vơi là diện tích hai đáy và chiều cao.
6.6. Một số chú ý về độ dài các đường đặc biệt
Đưng chéo ca hình vuông cnh
a
a 2
Đưng chéo ca hình lập phương cạnh
a
là :
a 3
Đưng chéo ca hình hp ch nhật có 3 kích thước
a b c,,
là :
a b c
2 2 2

Đưng cao của tam giác đều cnh là:
7. CÁC CÔNG THỨC HÌNH PHẲNG
7.1. Hệ thức lượng trong tam giác
7.1.1. Cho
ABCD
vuông ti
A
, đường cao
AH
áy
V S h.
đ
áy
S
đ
h
V a bc..
Va
3
S A B C
S ABC
V
SA SB SC
V SA SB SC
.
.
..
ABC A B C.
h
V B B BB
3

B B h,,
a
a 3
2
S
A’
B’
C’
A
B
C
Trang 57
7.1.2. Cho
ABCD
có độ dài ba cnh là:
,,abc
độ dài các trung tuyến là
,,
a b c
m m m
bán kính
đưng tròn ngoi tiếp
R
; bán kính đường tròn ni tiếp
r
na chu vi
.p
Định lí hàm s cosin:
Định lí hàm s sin:
Độ dài trung tuyến:
7.2. Các công thức tính diện tích
7.2.1. Tam giác
vuông ti
:A
đều, cnh
:a
,
7.2.2. Hình vuông
(
:a
cnh hình vuông)
7.2.3. Hình ch nht
(
,ab
: hai kích thước)
7.2.4. Hình bình hành
S = đáy cao
·
. .sinAB AD BAD=
AB AC BC
2 2 2

AB BH BC
2
.
AC CH BC
2
.
AH BC AB AC..
AH BH HC
2
.
AH AB AC
2 2 2
1 1 1

AB BC C BC B AC C AC B.sin .cos .tan .cot
a b c bc A b c a ca B c a b ab C
2 2 2 2 2 2 2 2 2
- 2 .cos ; 2 .cos ; 2 .cos
a b c
R
A B C
2
sin sin sin

a b c
b c a c a b a b c
mmm
2 2 2 2 2 2 2 2 2
222
;;
2 4 2 4 2 4
a b c
S a h bh c h
1 1 1
. . .
2 2 2
S bc A ca B ab C
1 1 1
sin .sin sin
2 2 2
abc
S
R4
S pr
S p p a p b p c
ABC
AB AC BC AH
S
..
22

ABC
a
AH
3
2
a
S
2
3
4
Sa
2
S ab
Trang 58
7.2.5. Hình thoi
·
1
. .sin .
2
S AB AD BAD AC BD==
7.2.6. Hình thang
(
,:ab
hai đáy,
h
: chiu cao)
7.2.7. T giác có hai đường chéo vuông góc
&AC BD
8. MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP THƯỜNG GẶP
Ni dung
Hình v
Cho hình chóp
SABC
vi các mt phng
vuông góc vi nhau từng đôi một,
din tích các tam giác lần lượt là .
Khi đó:
Cho hình chóp
.S ABC
vuông góc vi , hai
mt phng vuông góc vi nhau,
·
·
,BSC ASBab==
.
Khi đó:
Cho hình chóp đều
.S ABC
đáy
ABC
tam giác đều
cnh bng
,a
cnh bên bng .
Khi đó:
Cho hình chóp tam giác đu
.S ABC
cạnh đáy bằng
a
và mt bên to vi mt phẳng đáy góc .
Khi đó:
S a b h
1
2

S A C BD
1
.
2
SAB SBC SAC,,
SA B SBC SAC,,
S
1 2 3
,S ,S
S ABC
S
V
1 2 3
.
2 .S .S
3
SA
ABC
SAB
SBC
S ABC
SB
V
3
.
.sin2 .tan
12

b
S ABC
a b a
V
2 2 2
.
3
12
S ABC
a
V
3
.
tan
24
C
A
S
B
M
G
C
A
S
B
M
G
B
C
A
S
C
S
A
B
Trang 59
Cho hình chóp tam giác đều
.S ABC
các cnh bên
bng
b
và cnh bên to vi mt phẳng đáy góc .
Khi đó:
Cho hình chóp tam giác đều
.S ABC
các cạnh đáy
bng
,a
cnh bên to vi mt phẳng đáy góc .
Khi đó:
Cho hình chóp t giác đều
.S ABCD
đáy
ABCD
hình vuông cnh bng
,a
.
Khi đó:
Cho hình chóp t giác đều
.S ABCD
có cạnh đáy bằng
,a
góc to bi mt bên và mt phẳng đáy là .
Khi đó:
Cho hình chóp t giác đều
.S ABCD
có cạnh đáy bằng
,a
·
SAB a=
vi
Khi đó:
Cho hình chóp t giác đều
.S ABCD
các cnh bên
bng
,a
góc to bi mt bên mặt đáy vi
.
Khi đó:
S ABC
b
V
32
.
3 .sin cos
4

S ABC
a
V
3
.
.tan
12
SA SB SC SD b
S ABC
a b a
V
2 2 2
.
42
6
S ABCD
a
V
3
.
.tan
6
;
42




S ABCD
a
V
32
.
tan 1
6
0;
2



S ABCD
a
V
3
.
3
2
4 .tan
3 2 tan
O
C
S
A
D
B
M
O
C
A
D
S
B
M
O
C
S
A
D
B
M
O
B
S
D
A
C
M
B
S
A
C
M
G
B
S
A
C
M
G
Trang 60
Cho hình chóp tam giác đều
.S ABC
có cạnh đáy bằng
.a
Gi
mt phẳng đi qua
A
song song vi
BC
vuông góc vi , c gia vi mt phẳng đáy
.
Khi đó:
Khi tám mặt đều đỉnh tâm các mt ca hình lp
phương cạnh
.a
Khi đó:
Cho khi tám mặt đều cnh
.a
Ni tâm ca các mt bên
ta được khi lập phương.
Khi đó:
9. CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIT TH TÍCH T DIN
Công thc
Điu kin t din
Công thc tính khi biết 3 cnh, 3 góc đỉnh 1 t din
·
·
·
,,
,,
SA a SB b SC c
ASB BSC CSAa b j
ì
= = =
ï
ï
í
ï
= = =
ï
î
Công thc tính khi biết 2 cạnh đối, khong cách góc
2 cạnh đó
AB a CD b
d AB CD d AB CD
,
, , ,


Công thc tính khi biết mt cnh, din tích góc gia
2 mt k
Công thc tính khi biết 3 cnh, 2 góc đỉnh 1 góc
nh din
( ) ( )
·
( )
·
·
,,
,
,
SA a SB b SC c
SAB SAC
ASB ASC
a
bj
ì
ï
= = =
ï
ï
ï
ï
=
í
ï
ï
ï
ï
==
ï
î
P
SBC
P
S ABCD
a
V
3
.
cot
24
a
V
3
6
a
V
3
22
27
S ABC
abc
V
2 2 2
.
1 cos cos cos 2cos cos cos
6
ABCD
V abd
1
sin
6
SABC
SS
V
a
12
2 sin
3
SAB SAC
S S S S SA a
SAB SAC
12
,,
,

S ABC
abc
V
.
sin sin sin
6
B
D
A
S
C
S'
N
G
2
M
G1
O1
O3
O4
O2
O
O'
A
B
C
D
B'
C'
D'
A'
x
N
C
A
S
B
F
M
G
E
Trang 61
T diện đều
tt c các cnh bng
T din gần đều
PHN II. MT NÓN - MT TR - MT CU
1. MẶT NÓN TRÒN XOAY VÀ KHỐI NÓN
1.1. Măt non tron xoay
Ni dung
Hình v
Đường thăng , căt nhau tai và tạo thành góc
vi , cha ,
.D
quay quanh truc
vơi goc không đổi mặt nón tròn xoay đỉnh
gọi là trục.
đươc goi là đương sinh.
Góc gọi là góc ở đỉnh.
1.2. Khối nón
Ni dung
Hình v
phần không gian được gii hn bi mt hình n
tròn xoay k c hình nón đó. Những điểm không thuc
khi nón gi là những điểm ngoài ca khi nón.
Những điểm thuc khối nón nhưng không thuộc hình
nón tương ng gi những điểm trong ca khi nón.
Đỉnh, mặt đáy, đường sinh ca một hình nón cũng là đnh,
mặt đáy, đường sinh ca khối nón tương ứng.
Cho hình nón có chiu cao
,h
đưng sinh
l
và bán kính đáy .
Din tích xung quanh: ca hình nón:
Din tích đáy (hình tròn):
Din tích toàn phn: ca hình nón:
Th tích khi nón:
ABCD
a
V
3
2
12
a
ABCD
V a b c b c a a c b
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
12
AB CD a
AC BD b
AD BC c



d
O
00
0 90

mp P
d
P
O.
d
2
h
l
r
O
M
I
r
xq
S rl .
áy
Sr
2
.
đ
tp
S rl r
2
.


V r h
2
1
.
3
Trang 62
1.3. Thiết diện khi cắt bởi mặt phẳng
Điu kin
Kết qu
Căt măt non tron xoay bơi mp đi qua đinh của mt nón.
căt măt non theo 2 đương sinh.
tiêp xuc vơi măt nón theo một đường
sinh.
Thiêt diên la tam giac
cân.
mt phng tiếp
din ca hình nón.
Căt măt non tron xoay bơi mp không đi qua đinh của mt nón.
vuông goc vơi truc hinh non.
song song vơi 2 đương sinh hinh non.
song song vơi 1 đương sinh hinh non.
Giao tuyên la 1 đương
parabol.
Giao tuyên la 2 nhánh
của 1 hypebol.
Giao tuyên la môt
đương tron.
2. MẶT TRỤ TRÒN XOAY
2.1. Mặt trụ
Ni dung
Hình v
Trong mt phng cho hai đường thng
song song vi nhau, cách nhau mt khong bng . Khi
quay mt phng xung quanh thì đường thng
sinh ra mt mặt tròn xoay được gi là mt tr tròn xoay,
gi tt là mt tr.
Đưng thng gi là trc.
Đưng thng là đường sinh.
là bán kính ca mt tr đó.
2.2. Hình trụ tròn xoay và khối trụ tròn xoay
Ni dung
Hình v
Ta xét hình ch nht . Khi quay hình ch nht
xung quanh đường thng cha mt cạnh nào đó,
chng hn cạnh AB thì đường gp khúc s to
thành mt hình gi hình tr tròn xoay, hay gi tt
hình tr.
Khi quay quanh hai cnh s vch ra hai hình tròn bng nhau gi
hai đáy của hình tr, bán kính ca chúng gi là bán kính ca hình tr.
Độ dài đoạn gi là độ dài đường sinh ca hình tr.
Q()
mp Q()
mp Q()
Q()
Q()
mp Q()
mp Q()
mp Q()
P
l
r
P
l
l
r
l
r
r
ABCD
ABCD
ADCB
h
l
r
r
A
B
C
D
,AB
AD
BC
CD
Trang 63
Phn mặt tròn xoay được sinh ra bởi các điểm trên cnh khi quay xung quanh
gi là mt xung quanh ca hình tr.
Khong cách gia hai mt phng song song chứa hai đáy chiều cao ca hình
tr.
Khi tr tròn xoay hay khi tr phần không gian được gii hn bi mt hình tr tròn
xoay k c hình tr tròn xoay đó. Những điểm không thuc khi tr gi là những điểm ngoài
ca khi tr. Những điểm thuc khi tr nhưng không thuộc hình tr tương ng gi
những điểm trong ca khi tr. Mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính ca mt hình tr
cũng mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính ca khi tr ơng ng.Hình tr chiu
cao
,h
đưng sinh
l
và bán kính đáy
Din tích xung quanh:
Din tích toàn phn:
Th tích:
3. MẶT CẦU – KHỐI CẦU
3.1. Mặt cầu
Ni dung
Hình v
Cho điểm c định và mt s thực dương .
Tp hp tt c những điểm
M
trong không gian cách
I
mt khong
R
đưc gi là mt cu tâm
,I
bán kính
.R
Kí hiu: Khi đó:
3.2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
Cho mt cu mt phng . Gi
H
hình chiếu vuông góc ca
I
lên
là khong cách t
I
đến mt phng . Khi đó:
Mt cu mt phng
không có điểm chung.
Mt phng tiếp xúc mt cu:
là mt phng tiếp din ca
mt cu và
:H
tiếp điểm.
Mt phng ct mt cu theo
thiết diện là đường tròn có tâm
và bán kính
Lưu ý:
CD
AB
AB
r.
xq
S rl2.
tp
S rl r
2
2 2 .


V r h
2
.
I
R
S I R;.
S I R M IM R ; 
S I R;
P
P
d IH
P
dR
dR
dR
P
I
r R IH
22

Trang 64
Khi mt phng đi qua tâm
I
ca mt cu thì mt phng đưc gi mt phng
kính và thiết diện lúc đó được gi là đưng tròn ln.
3.3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
Cho mt cu và đường thng . Gi
H
là hình chiếu ca
I
lên . Khi đó:
không ct mt cu.
tiếp xúc vi mt cu.
: Tiếp tuyến ca
:H
tiếp điểm.
ct mt cu ti hai
đim phân bit.
Lưu ý:
Trong trường hp ct tại 2 điểm
,AB
thì bán kính
R
ca được tính như sau:
3.4. Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu
Ni dung
Hình v
Giao tuyến ca mt cu vi na mt phng b
trc ca mt cầu được gi là kinh tuyến.
Giao tuyến (nếu có) ca mt cu vi các mt phng
vuông góc vi trục được gi là vĩ tuyến ca mt cu.
Hai giao điểm ca mt cu vi trục được gi hai
cc ca mt cu
* Mt cu ni tiếp, ngoi tiếp hình đa diện:
Ni dung
Hình v
Mt cu ni tiếp hình đa diện nếu mt cầu đó tiếp
xúc vi tt c các mt của hình đa diện. Còn nói hình đa
din ngoi tiếp mt cu.
P
P
S I R;
IH R
IH R
IH R
S
S
S
d I IH
AB
R IH AH IH
2
2 2 2
;
.
2




kinh tuyn
tuyeán
B
A
O
Trang 65
Mt cu ngoi tiếp hình đa diện nếu tt c các đỉnh
của hình đa diện đều nm trên mt cu. Còn nói hình
đa diện ni tiếp mt cu.
Mt cu tâm bán kính ngoi tiếp hình chóp
khi và ch khi
Cho mt cu
Din tích mt cu: .
Th tích khi cu: .
4. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÔNG THỨC GIẢI
4.1. Bài toán mặt nón
4.1.1.Dng 1. Thiết din ca hình nón ct bi mt mt phng
Ni dung
Hình v
Thiết din qua trc ca hình nón là tam giác cân.
Thiết diện qua đỉnh ca hình nón nhng tam giác
cân có hai cạnh bên là hai đường sinh ca hình nón.
Thiết din vuông góc vi trc ca hình n nhng
đưng tròn có tâm nm trên trc ca
hình nón.
4.1.2. Dạng 2. Bài toán liên quan đến thiết diện qua đỉnh ca hình nón
Cho hình nón có chiu cao là
h
, bán kính đáy
r
và đường sinh
l
.
Mt thiết diện đi qua đỉnh ca hình nón khong cách t tâm của đáy đến mt phng
cha thiết din là
d.
Ni dung
Hình v
O
r
S ABCD.
OA OB OC OD OS r
S
D
C
B
A
O
S I R;
SR
2
4
VR
3
4
3
Trang 66
Gi
M
là trung điểm ca
.AC
Khi đó:
Góc gia là góc
·
SMI
.
Góc gia là góc
·
MSI
.
Din tích thiết din
4.1.3. Dng 3. Bài toán hình nón ngoi tiếp và ni tiếp hình chóp
Ni dung
Hình v
Hình nón ni tiếp hình chóp đều hình n
có đỉnh là , đáy là đường tròn ni tiếp hình vuông
.
Khi đó hình nón có:
Bán kính đáy ,
Đưng cao , đường sinh
Hình chóp t giác đều
Hình nón ngoi tiếp hình chóp đều là hình nón
đỉnh , đáy đường tròn ngoi tiếp hình vuông
.
Khi đó hình nón có:
Bán kính đáy:
Chiu cao:
Đưng sinh:
Hình chóp t giác đều
Hình nón ni tiếp hình chóp đều hình nón
đỉnh là , đáy là đường tròn ni tiếp tam giác
Khi đó hình nón có
Bán kính đáy:
Chiu cao:
Đưng sinh:
Hình chóp tam giác đều
Hình nón ngoi tiếp hình chóp đều hình nón
có đỉnh là , đáy là đường tròn ngoi tiếp tam giác
Khi đó hình nón có:
Hình chóp tam giác đều
AC SMI
SAC
ABC
SAC
SI
d I SAC IH d,.
td SAC
S S SM AC SI IM AI IM
h d h d
rh
h d h d
2 2 2 2
2 2 2 2
22
2 2 2 2
11
. .2
22
.

S ABCD.
S
ABCD
AB
r IM
2

h SI
l SM .
S ABCD.
C
D
M
I
S
A
B
S ABCD.
S
ABCD
AC AB
r IA
2
.
22
h SI .
l SA.
S ABCD.
D
S
I
A
B
C
S ABC.
S
ABC.
AM AB
r IM
3
.
36
h SI .
l SM .
S ABC.
I
S
M
C
B
A
S ABC.
S
ABC.
S ABC.
Trang 67
Bán kính đáy:
Chiu cao:
Đưng sinh:
4.1.4. Dng 4. Bài toán hình nón ct
Khi ct hình nón bi mt mt phng song song với đáy tphần mt phng nm trong
hình nónmt hình tròn. Phn hình nón nm gia hai mt phẳng nói trên được gi hình
nón ct.
Ni dung
Hình v
Khi ct hình nón ct bi mt mt phng song song vi
đáy thì được mt ct là mt hình tròn.
Khi ct hình nón ct bi mt mt phng song song vi
trục thì được mt ct là mt hình thang cân.
Cho hình nón ct lần lượt bán kính đáy
lớn, bán kính đáy nhỏ và chiu cao.
Din tích xung quanh ca hình nón ct:
Diện tích đáy (hình tròn):
Din tích toàn phn ca hình nón ct:
Th tích khi nón ct:
4.1.5. Dng 5. Bài toán hình nón to bi phn còn li ca hình tròn sau khi ct b đi hình
qut
Ni dung
Hình v
AM AB
r IA
23
.
33
h SI .
l SA.
S
I
C
B
M
A
R r h,,
xq
S l R r .

áy
áy
áy
Sr
S r R
SR
2
2
1
2
2
2
.
đ
đ
đ
tp
S l R r r R
22
.
V h R r Rr
22
1
.
3
h
R
r
Trang 68
T hình tròn ct b đi hình quạt
.AmB
Độ dài
cung
¼
AnB
bng
.x
Phn còn li ca hình tròn ghép li
đưc mt hình nón. Tìm bán kính, chiều cao đ dài
đưng sinh của hình nón đó.
Hình nón được to thành có
4.2. Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt trụ
4.2.1. Dng 1. Thiết din ca hình tr ct bi mt mt phng
Ni dung
Hình v
Thiết din vuông góc trc là một đường tròn bán kính
Thiết din cha trc mt hình ch nht trong
đó . Nếu thiết din qua trc mt
hình vuông thì .
Thiết din song song vi trc và không cha trc là hình
ch nht khong cách ti trc là:
4.2.2. Dng 2. Th tích khi t din có 2 cạnh là đường kính 2 đáy
Ni dung
Hình v
Nếu như và hai đường kính bt k trên hai
đáy của hình tr thì:
* Đặc bit:
Nếu vuông góc nhau thì:
.
4.2.3. Dạng 3. Xác định góc khong cách
Ni dung
Hình v
Góc gia và trc :
·
( )
·
, ' 'AB OO A AB=
OR;
lR
r x r
x
h l r
22
2
2.

R
ABCD
AB R2
AD h
hR2
BGHC
d OO BGHC OM';
M
O
A
D
B
C
G
H
AB
CD
ABCD
V AB CDOO AB CD
1
. . '.sin ,
6
AB
CD
ABCD
V AB CD OO
1
. . '
6
O'
O
A
B
D
C
AB
OO '
I
M
O
O'
O
O'
O
O'
D
B
A
B
A'
A
A'
B
A
C
Trang 69
Khong cách gia và trc :
.
Nếu mt hình vuông ni tiếp trong hình tr
thì đường chéo của hình vuông cũng bằng đường chéo ca
hình tr.
Nghĩa là cạnh hình vuông:
.
4.2.4. Dạng 4. Xác định mi liên h gia din tích xung quanh, toàn phn và th tích khi
tr trong bài toán tối ưu
Ni dung
Hình v
Mt khi tr có th tích
V
không đổi.
Tìm bán kính đáy chiều cao hình tr đ din tích
toàn phn nh nht:
Tìm bán kính đáy chiều cao hình tr đ din tích
xung quanh cng vi diện tích 1 đáy và nhỏ nht:
4.2.5. Dng 5. Hình tr ngoi tiếp, ni tiếp một hình lăng trụ đứng
Cho hình lăng trụ tam giác đêu nội tiếp trong mt hình tr. Th tích khối lăng trụ
V
thì
th tích khi tr
Cho hình ng trụ t giác đêu ngoi tiếp trong mt hình tr. Din tích
xung quanh hình tr
xq
S
thì din tích xung quanh của hình lăng trụ
5. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÔNG THỨC GIẢIBÀI TOÁN MẶT CẦU
5.1. Măt câu ngoai tiêp khôi đa diên
5.1.1. Các khái niệm cơ bản
Trục của đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy và
vuông goc vơi măt phăng chưa đa giac đay
Bât ki môt điêm nao năm trên truc cua đa giac
thì cách đều các đỉnh của đa giác đó.
AB
OO '
d AB OO OM;'
I
M
O
O'
O
O'
O
O'
D
B
A
B
A'
A
A'
B
A
C
ABCD
AB R h
22
24
I
M
O
O'
O
O'
O
O'
D
B
A
B
A'
A
A'
B
A
C
tp
V
R
S
V
h
3
3
4
min
2
4
V
R
S
V
h
3
3
min
l
r
r
V
V
(T)
4
9
ABCD A B C D. ' ' ' '
xq
S
S
2
Trang 70
Đường trung trực của đoạn thẳng : là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và
vuông goc vơi đoan thăng đo.
Bât ki môt điêm nào nằm trên đường trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.
Măt trung trưc cua đoan thăng: là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông
góc với đoạn thẳng đó.
Bât ki môt điêm nao năm trên măt trung trưc thi cach đêu hai đâu mut cua đoan thăng.
5.1.2. Tâm va ban kinh măt câu ngoai tiêp hinh chop
Tâm măt câu ngoai tiêp hinh chop : là điểm cách đều các đỉnh của hình chóp . Hay noi
cách khác, nó chính là giao điểm
I
của trục đường tròn ngoại tiếp mặt phẳng đáy và mặt
phăng trung trưc cua môt canh bên hinh chop.
Bán kính: là khoảng cách từ
I
đến các đỉnh của hình chóp.
5.1.3. Cách xác định tâm va ban kinh măt câu cua môt sô hinh đa diên
5.1.3.1. Hình hộp chữ nhật, hình lập phương
Ni dung
Hình v
Tâm: trng với tâm đối xứng của hình hộp chữ nhât
(hình lập phương) Tâm la , là trung điểm của .
Bán kính: băng nưa đô dai đương cheo hinh hôp chư
nhât (hình lập phương).
Bán kính: .
5.1.3.2. Hình lăng trụ đứng có đáy nội tiếp đường tròn
Ni dung
Hình v
Xét hình lăng trụ đứng , trong đo
2 đay nôi tiêp đương tron
. Lúc đó, măt câu nôi tiêp hinh lăng tru đưng co:
Tâm: vơi là trung điểm của .
Bán kính: .
5.1.3.3. Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối 2 đinh con lai dươi 1 góc vuông
Ni dung
Hình v
Hình chóp
· ·
0
90SAC SBC==
.
Tâm: là trung điểm của .
Bán kính: .
Hình chóp
· ·
·
0
90SAC SBC SDC= = =
.
Tâm: là trung điểm của .
Bán kính: .
5.1.3.4. Hình chóp đều
I
AC '
AC
R
'
2
nn
A A A A A A A A
' ' ' '
1 2 3 1 2 3
... . ...
n
A A A A
1 2 3
...
n
A A A A
' ' ' '
1 2 3
...
O
O '
I
I
OO '
n
R IA IA IA
'
12
...
S ABC.
I
SC
SC
R IA IB IC
2
S A BCD.
I
SC
SC
R IA IB IC ID
2
Trang 71
Ni dung
Hình v
Cho hinh chop đều
Gọi là tâm của đáy là trục của đáy.
Trong măt phăng xac đinh bơi và một cạnh
bên, chăng han như , ta ve đương trung
trưc cua canh căt tại và cắt
tại là tâm của mặt cầu.
Bán kính:
Ta co :
SM SI
SMI SOA
SO SA
Bán kín h:
5.1.3.5. Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy
Ni dung
Hình v
Cho hinh chop có cạnh bên
( )
...SA ABC^
đay nôi tiêp đươc trong đương tron tâm .
Tâm va ban kinh măt câu ngoai tiêp hinh chop
đươc xac đinh như sau:
Tư tâm ngoại tiếp của đường trònđáy , ta ve
đương thăng vuông goc vơi tại .
Trong , ta dưng đương trung trưc của
cạnh , căt tại , căt tại là tâm mặt
câu ngoai tiêp hinh chop va ban kinh
Tìm bán kính
Ta co: là hình chữ nhật.
Xét vuông tai :
.
5.1.3.6. Hình chóp khác
- Dưng truc
của đáy.
- Dưng măt phăng trung trưc
của một cạnh bên bất kì.
-
II
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
- Bán kính: khoảng cách từ
I
đến các đỉnh của hình chóp.
5.1.3.7. Đường tròn ngoại tiếp một số đa giác thường gặp
Khi xac đinh tâm măt câu , ta cân xac đin h truc cua măt phăng đay , đo chinh la đương
thăng vuông goc vơi măt phăng đay tai tâm O cua đương tron ngoai tiêp đay . Do đo, viêc
xác định tâm ngoại O là yếu tố rất quan trọng của bài toán.
S ABC. ...
O
SO
SO
mp SAO
SA
SA
M
SO
I
I
SM SA SA
R IS IA IB IC
SO SO
2
.
...
2
S ABC. ...
ABC ...
O
S ABC. ...
O
d
mp ABC...
O
mp d SA,
SA
SA
M
d
I
I
R IA IB IC IS ...
MIOB
MAI
M
SA
R AI MI MA AO
2
2 2 2
2



Trang 72
5.2. Kỹ thuật xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Ni dung
Hình v
Cho hình chóp (tho mãn điều kin tn ti
mt cu ngoi tiếp). Thông thường, để xác định mt cu
ngoi tiếp hình chóp ta thc hiện theo hai bước:
c 1:
Xác định tâm của đường tròn ngoi tiếp đa giác
đáy. Dựng : trục đường tròn ngoi tiếp đa giác
đáy.
c 2:
Lp mt phng trung trc ca mt cnh bên.
Lúc đó
Tâm
O
ca mt cu:
Bán kính: . Tu vào từng trường
hp.
5.3. Kỹ năng xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy
5.3.1. Trục đường tròn ngoi tiếp đa giác đáy
Ni dung
Hình v
n
S A A A
12
. ...
()
mp( O)
R SA SO
H
O
I
D
C
B
A
S
vuông: O là trung điểm
của cạnh huyền.
O
Hình vuông: O la giao
điêm 2 đương cheo.
O
Hình chữ nhật: O la giao
điêm cua hai đương cheo.
O
O
đều: O la giao điêm cua 2
đương trung tuyên (trọng tâm).
thương: O la giao điêm cua hai đương
trung trưc cua hai canh ∆.
O
Trang 73
Định nghĩa
Trục đường tròn ngoi tiếp đa giác đáy đưng
thẳng đi qua tâm đường tròn ngoi tiếp đáy và vuông
góc vi mt phẳng đáy.
Tính cht
Suy ra:
Các bước xác định trc
c 1:
Xác định tâm
H
của đường tròn ngoi tiếp đa giác
đáy.
c 2:
Qua
H
dng vuông góc vi mt phẳng đáy.
Mt s trường hợp đặc bit
Đáy là tam giác vuông
Đáy là tam giác đều
Đáy là tam giác thường
5.3.2. K năng tam giác đồng dng
Ni dung
Hình v
đồng dng vi .
5.3.3. Nhn xét quan trng
là trục đường tròn ngoi tiếp .
5.4. Kỹ thuật sử dụng hai trục xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện
Ni dung
Hình v
M MA MB MC :
MA MB MC M
H
M
C
B
A
H
A
B
C
C
B
A
H
B
A
C
H
SMO
SO SM
SIA
SA SI
A
M
I
O
S
MA MB MC
M S SM
SA SB SC
,:



ABC
Trang 74
Cho nh chóp (thõa mãn điu kin tn ti
mt cu ngoi tiếp). Thông thường, để xác định mt cu
ngoi tiếp hình chóp ta thc hiện theo hai bước:
c 1:
Xác định tâm của đường tròn ngoi tiếp đa giác
đáy. Dựng : trục đường tròn ngoi tiếp đa giác
đáy.
c 2:
Xác đnh trc
d
của đưng tròn ngoi tiếp mt
mt bên (d xác định) ca khi chóp.
Lúc đó:
Tâm
I
ca mt cu:
Bk: . Tu vào từng trường hp.
5.5. Tổng kết các dạng tìm tâm và bán kính mặt cầu
5.5.1. Dng 1
Ni dung
Hình v
Cnh bên vuông góc đáy
·
0
90ABC =
khi đó
và tâm là trung điểm .
5.5.2. Dng 2
Ni dung
Hình v
Cnh bên vuông góc đáy bất k đáy hình gì,
ch cần tìm được bán kính đường tròn ngoi tiếp của đáy
, khi đó :
( : na chu vi).
Nếu vuông ti thì:
( )
2 2 2
1
4
D
R AB AC AS= + +
.
Đáy là hình vuông cạnh thì
nếu đáy là tam giác đều cnh thì .
n
S A A A
12
. ...
dI
R IA IS
R
I
Δ
D
d
S
A
B
C
SA
SC
R
2
SC
SA
D
R
D
SA
RR
2
22
4

D
abc
R
p p a p b p c4
p
ABC
A
a
D
a
R
2
2
a
D
a
R
3
3
S
A
B
C
O
I
K
S
S
A
B
C
A
D
B
C
Trang 75
5.5.3. Dng 3
Ni dung
Hình v
Chóp có các cnh bên bng nhau: :
.
hình vuông, hình ch nhật, khi đó
giao hai đường chéo.
vuông, khi đó trung điểm cnh
huyn.
đều, khi đó là trng tâm, trc tâm.
5.5.4. Dng 4
Ni dung
Hình v
Hai mt phng và vuông góc vi nhau
giao tuyến . Khi đó ta gi lần t bán
kính đường tròn ngoi tiếp các tam giác và .
Bán kính mt cu ngoi tiếp:
5.5.5. Dng 5
Chóp đường cao , tâm đường tròn ngoi tiếp đáy . Khi đó ta giải
phương trình: . Vi giá tr tìm được ta có: .
5.5.6. Dng 6: Bán kính mt cu ni tiếp: .
6. TNG HP CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIT V KHI TRÒN XOAY
6.1. Chm cu
Ni dung
Hình v
6.2. Hình tr ct
Ni dung
Hình v
6.3. Hình nêm loi 1
SA SB SC SD
SA
R
SO
2
2
ABCD
O
ABC
O
ABC
O
S
A
D
B
C
SAB
ABC
AB
RR
12
,
SAB
ABC
AB
R R R
2
2 2 2
12
4
O
K
S
A
B
C
J
I
S.ABCD
SH
O
D
SH x OH x R
2
2 2 2
x
D
R x R
2 2 2

tp
V
r
S
3
xq
S Rh r h
h
V
h
h R h r
22
2 2 2
2
3
36




R
r
h
xq
S R h h
hh
VR
12
2
12
2





h
2
h
1
R
Trang 76
Ni dung
Hình v
6.4. Hình nêm loi 2
Ni dung
Hình v
6.5. Parabol bc hai-Paraboloid tròn xoay
Ni dung
Hình v
6.6. Din tích Elip và Th tích khi tròn xoay sinh bi Elip
Ni dung
Hình v
6.7. Diện tích hình vành khăn
Ni dung
Hình v
6.8. Th tích hình xuyến (phao)
Ni dung
Hình v
PHN 7. H TRC TA Ð TRONGKHÔNG GIAN OXYZ
VR
3
2
tan
3
VR
3
2
tan
23




parabol
tru
S x a
S Rh
S h R
V R h V
3
3
2
4'
;
3
11
22








R
h
R
q
elip
xoay
x
uanh a
quaoay nh b
S ab
V ab
V a b
2
2
2
2
4
3
4
3
b
a
b
a
S R r
22

R
r
R r R r
V
2
2
2
22

R
r
Trang 77
1. HỆ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN
1.1. Các khái niệm và tính chất
1.1.1. Khái nim m đầu
Trong không gian cho ba trc
,,Ox Oy Oz
phân bit vuông góc từng đôi một. Gc tọa độ
,O
truc hoành
,Ox
trc tung
,Oy
trc cao
,Oz
các mt tọa độ
, , .Oxy Oyz Ozx
1.1.2. Khái nim v h trc ta độ
Khi không gian có h tọa độ thì gi là không gian tọa độ
Oxyz
hay không gian
.Oxyz
Chú ý:
i j k
aa
i j ik jk
2 2 2
2
2
1
0


1.1.3. Tọa độ véc tơ
u x y z u x y z u xi y j zk( ; ; ) ( ; ; )
1.1.4. Tọa độ đim
M x y z OM xi y j zk( ; ; )
1.1.5. Các công thc tọa độ cn nh
Cho
u a b c v a b c( ; ; ), ( ; ; )


'
'
'
aa
u v b b
cc
ì
=
ï
ï
ï
ï
= Û =
í
ï
ï
=
ï
ï
î
rr
u v a a b b c c;;

1.1.6. Chú ý
Góc của 2 véc
uv,

góc hình hc (nh) giữa 2 tia mang véc tơ có, giá tr trong
0;


là:
u v u v
2
sin , 1 cos , 0
1.1.7. Chia t l đon thng
M chia AB theo t s k nghĩa là
MA kMB
ku ka kb kc( ; ; )
u v u v u v aa bb cc. . .cos( , )
u v aa bb cc
uv
u v u v
.
cos( , )
..


u u a b c
2
2 2 2

u v u v.0
B A B A B A
AB x x y y z z;;
B A B A B A
AB AB x x y y z z
2 2 2
Trang 78
Công thc tọa độ ca M là :
AB
M
AB
M
AB
M
x kx
x
k
y ky
y
k
z kz
z
k
1
1
1
1.1.8. Công thức trung điểm
Nếu
M
là trung điểm
AB
thì
MA MB 0
AB
M
AB
M
AB
M
xx
x
yy
y
zz
z
2
2
2

1.1.9. Công thc trng tâm tam giác
Nếu
G
là trng tâm ca
ABCD
thì
GA GB GC 0
A B C
G
A B C
G
A B C
G
x x x
x
y y y
y
z z z
z
3
3
3




1.1.10. Công thc trng tâm t din
Nếu
G
là trng tâm ca t din
ABCD
thì
GA GB GC GD 0
A B C D
G
A B C D
G
A B C D
G
x x x x
x
y y y y
y
z z z z
z
4
4
4

1.1.11. Tích có hướng 2 véc tơ
Cho 2 véc
u a b c( ; ; )
v a b c( ; ; )
ta định nghĩa tích hướng của 2 véc đó một
véc tơ, kí hiệu
uv,



hay
uv

có to độ:
b c c a a b
uv
b c c a a b
, ; ;







bc bc ca ac ab ba;;
1.1.12. Tính chất tích có hướng 2 véc tơ
[ ]
,uv
rr
vuông góc vi
u
r
v
r
[ ] ( )
, . sin ,u v u v u v=
r r r r r r
[ ]
, 0 ,u v u v
r
r r r r
cng phương
1.1.13. ng dụng tích có hướng 2 véc tơ
Din tích hình bình hành
ABCD
:
S AB AD,


Trang 79
Din tích
ABCD
:
S AB A C
1
.,
2


Ba véc tơ
u v w,,
đồng phng:
u v w, . 0


Th tích khi hộp có đáy hình bình hành
ABCD
và cnh bên
AA
:
V AB AD AA,.


Th tích khi t din
.S ABC
:
V AB AC SA
1
. , .
6


1.2. Phương pháp giải 1 số bài toán thường gặp
1.2.1. Các phép toán v to độ của vectơ và của điểm
Phương pháp giải
S dng các công thc v to độ của vectơ và của điểm trong không gian.
S dng các phép toán v vectơ trong không gian.
1.2.2. Xác định điểm trong không gian. Chng minh tính cht hình hc. Din tích Th
tích
Phương pháp giải
S dng các công thc v to độ của vectơ và của điểm trong không gian.
S dng các phép toán v vectơ trong không gian.
Công thức xác định to độ của các điểm đặc bit.
Tính cht hình hc ca các điểm đặc bit:
,,A B C
thng hàng cng phương
ABCD
là hình bình hành
Cho các chân của các đường phân giác trong ngoài ca góc
ca trên .
Ta có: ,
, , ,A B C D
không đồng phng không đồng phng
2. MẶT PHẲNG
2.1. Các khái niệm và tính chất
2.1.1. Khái nim v véc tơ pháp tuyến
n

khác
0
và có giá vuông góc
( )
mp P
đưc gọi là véc tơ pháp tuyến ca
( )
.P
2.1.2. Tính cht của véc tơ pháp tuyến
Nếu
n

là véc tơ pháp tuyến ca
( )
P
thì
, ( 0)kn k ¹
r
cũng là véc tơ pháp tuyến ca
( )
.P
2.1.3. Phương trình tổng quát ca
( )
mp P
AB AC,
AB k AC
AB AC,0


AB DC
ABC
E F,
A
ABC
BC
AB
EB EC
AC
.
AB
FB FC
AC
.
AB A C A D,,
AB AC AD, . 0



Trang 80
Phương trình tổng quát ca
( )
mp P
qua
M x y z
0 0 0
( ; ; )
véc pháp tuyến
n A B C( ; ; )

A x x B y y C z z
0 0 0
( ) ( ) ( ) 0
2.1.4. Khai trin của phương trình tổng quát
Dng khai trin của phương trình tổng quát là:
Ax By Cz D 0
(trong đó
,,A B C
không đồng thi bng 0)
2.1.5. Những trường hp riêng của phương trình tổng quát
( )
P
qua gc tọa độ
0DÛ=
( )
P
song song hoc trùng
( )
0Oxy A BÛ = =
( )
P
song song hoc trùng
( )
0Oyz B CÛ = =
( )
P
song song hoc trùng
( )
0Ozx A CÛ = =
( )
P
song song hoc cha
0Ox AÛ=
( )
P
song song hoc cha
0Oy BÛ=
( )
P
song song hoc cha
0Oz CÛ=
( )
P
ct
Ox
ti
( )
;0;0 ,Aa
ct
Oy
ti
( )
0; ;0Bb
ct
Oz
ti
( ) ( )
0;0;C c PÛ
phương
trình
2.1.6. Khong cách t 1 điểm đến mt phng
Cho
M x y z
0 0 0
;;
P Ax By Cz D( :0)
;
Ax By Cz D
d M P
A B C
0 0 0
222
( ,( ))

2.1.7. Chùm mt phng
Ni dung
Hình v
Tp hp tt c các mt phng qua giao tuyến ca hai
mt phng đưc gi là mt chùm mt phng
Gi là giao tuyến ca hai mt phng
.
Khi đó nếu là mt phng cha thì mt phng
có dng :
( ) ( )
1 1 1 1 2 2 2 2
0m A x B y C z D n A x B y C z D+ + + + + + + =
Vi
22
0mn
2.2. Viết phương trình mặt phẳng
Để lập phương trình mặt phng ta cần xác định một điểm thuc và mt VTPT ca
nó.
2.2.1. Dng 1
xyz
a b c
a b c
1 , , 0
()
d
A x B y C z D
1 1 1 1
:0
A x B y C z D
2 2 2 2
:0
P
d
P
Trang 81
đi qua điểm có VTPT thì:
2.2.2. Dng 2
đi qua điểm có cp VTCP thì là mt VTPT ca
2.2.3. Dng 3
đi qua điểm song song vi
( )
:0Ax By Czb ++=
thì
2.2.4. Dng 4
đi qua 3 điểm không thng hàng . Khi đó ta th xác đnh mt VTPT ca
là:
2.2.5. Dng 5
đi qua một điểm
M
và một đường thng không cha
M
:
Trên lấy điểm và VTCP .
Mt VTPT ca là:
2.2.6. Dng 6
đi qua một điểm
M
, vuông góc với đường thng thì VTCP của đường thng
là mt VTPT ca .
2.2.7. Dng 7
chứa đường thng ct nhau
Xác định các VTCP của các đường thng
Mt VTPT ca là: .
Ly một điểm
M
thuc d1 hoc
2.2.8. Dng 8
chứa đường thng và song song với đường thng
2
d
(
12
,dd
chéo nhau
Xác định các VTCP của các đường thng
Mt VTPT ca là: .
Ly một điểm
M
thuc
2.2.9. Dng 9
đi qua điểm
M
và song song với hai đường thng chéo nhau
12
,dd
:
Xác định các VTCP của các đường thng
Mt VTPT ca là: .
M x y z
0 0 0
;;
n A B C;;

A x x B y y C z z
0 0 0
:0
M x y z
0 0 0
;;
ab,
n a b,



M x y z
0 0 0
;;
A x x B y y C z z
0 0 0
:0
A B C,,
n AB AC,


d
d
A
u
n AM u,



d
u
d
d d
12
, :
ab,
d d
12
,.
n a b,



d M
2
.

d
1
) :
ab,
d d
12
,.
n a b,



d M
1
.

ab,
d d
12
,.
n a b,



Trang 82
2.2.10. Dng 10
cha một đường thng
d
và vuông góc vi mt mt phng
Xác định VTCP ca
d
và VTPT ca
Mt VTPT ca là: .
Ly một điểm
M
thuc
2.2.11. Dng 11
đi qua điểm
M
và vuông góc vi hai mt phng ct nhau
Xác định các VTPT ca
Mt VTPT ca là: .
2.2.12. Dng 12
chứa đường thng
d
cho trước và cách điểm
M
cho trước mt khong cho trước:
Gi s () có phương trình: .
Lấy 2 điểm ta được hai phương trình
( ) ( )
1 , 2
)
T điu kin khong cách , ta được phương trình
Gii h phương trình
( ) ( ) ( )
1 , 2 , 3
(bng cách cho giá tr mt n, tìm các n còn li).
2.2.13. Dng 13
là tiếp xúc vi mt cu tại điểm
Gi s mt cu có tâm và bán kính
Mt VTPT ca là:
2.3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho hai mt phng
Khi đó:
ct
2.4. Khoảng cách và hình chiếu
2.4.1. Khong cách t 1 điểm đến 1 mt phng
:
u
n
.
n u n,


d M .

, :

nn,


.
n u n,



k
Ax By Cz+D 0
A B C
222
0
A B d A B, , (
d M k( ,( ))
3.
S
H :
S
I
R.
n IH
:0P A B DxyCz
: 0.xA zP B Cy D


P
P
: : : .:A B C A B C

// PP
.
A B C D
A B C D

PP
.
A B C D
A B C D

PP
. 0 0.
P P P P
n n n n AA BB CC


Trang 83
Khong cách t đim đến mt phng
2.4.2. Khong cách gia 2 mt phng song song
Khong cách gia hai mt phng song song bng khong cách t một điểm bt kì trên mt
phẳng này đến mt phng kia.
2.4.3. Hình chiếu của 1 điểm lên mt phng
Đim là hình chiếu của điểm trên .
2.4.4. Điểm đối xng của 1 điểm qua mt phng
Đim đối xng với điểm qua
2.5. Góc giữa hai mặt phẳng
Cho hai mt phng phương trình:
Góc gia bng hoc bù vi góc gia hai VTPT .
Chú ý:
( ) ( )
·
( )
00
0 , 90ab££
;
2.6. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu. Phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu
Cho mt phng và mt cu có tâm
I
và không có điểm chung
tiếp xúc vi vi là tiếp din
Để tìm to độ tiếp điểm ta có th thc hiện như sau:
Viết phương trình đường thng đi qua tâm ca và vuông góc vi .
Tìm to độ giao điểm ca . là tiếp điểm ca vi .
ct theo một đường tròn
Để xác định tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến ta có th thc hiện như sau:
Viết phương trình đường thng đi qua tâm ca và vuông góc vi .
Tìm to độ giao điểm ca và . Vi tâm của đường tròn giao tuyến
ca vi .
Bán kính của đường tròn giao tuyến:
M x y z
0 0 0 0
;;
Ax By Cz D():0
Ax By Cz D
dM
A B C
0 0 0
0
222
,( )

H
M
MH n cung phuong
HP
P
,
()
M '
M
MM MHP 2

,

A x B y C z D
1 1 1 1
:0
A x B y C z D
2 2 2 2
:0
,

nn
12
,

n n A A B B C C
nn
A B C A B C
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
12
1 1 1 2 2 2
.
cos ( ),( )
.
.





A A B B C C
1 2 1 2 1 2
( ) ( ) 0

Ax By Cz D:0
S x a y b z c R
2 2 2 2
: ( ) ( ) ( )
S
d I R( ,( ))

S
d I R( ,( ))

d
I
S
H
d
H
S
S
d I R( ,( ))

H
r
d
I
S
H
d
H
S
r
r R IH
22

Trang 84
3. ĐƯỜNG THẲNG
3.1. Phương trình của đường thẳng
3.1.1. Vectơ ch phương của đường thng
3.1.1.1. Ðịnh nghĩa
Cho đường thng
d
. Nếu vectơ
a 0

giá song song hoc trùng với đường phng
d
thì đưc gọi là vectơ chỉ phương của đường phng
d
. Kí hiu:
a a a a
1 2 3
( ; ; )
3.1.1.2. Chú ý
a
là VTCP ca
d
thì
ka.
k( 0)
cũng là VTCP của
d
Nếu
d
đi qua hai điểm
A B,
thì
AB

là mt VTCP ca
d
Trc
Ox
có vectơ chỉ phương
ai(1;0;0)

Trc
Oy
có vectơ chỉ phương
aj(0;1;0)

Trc
Oz
có vectơ chỉ phương
ak(0;0;1)

3.1.2.Phương trình tham số của đường thng
Phương trình tham số của đường thng
()
đi qua điểm
M x y z
0 0 0 0
( ; ; )
nhn
a a a a
1 2 3
( ; ; )
làm VTCP là :
x x ta
y y ta t
z z ta
01
02
03
( ) :


R
3.1.3. Phương trình chính tắc của đường thng
Phương trình chính tc của đường thng
()
đi qua điểm
M x y z
0 0 0 0
( ; ; )
và nhn
a a a a
1 2 3
( ; ; )
làm VTCP là
3.2. Vị trí tương đối
3.2.1. V trí tương đối của đường thng và mt phng
3.2.1.1. Phương pháp hình học
Định lý
a
x x y y z z
a a a
a a a
0 0 0
1 2 3
1 2 3
( ) : , , 0
O
z
y
x
)(
0
M
),,( zyxM
a
a
n
M
)(
a
a
n
M
)(
a
a
n
M
)(
a
Trang 85
Trong không gian
( )
Oxyz
cho đưng thng
x x a t
y y a t
z z a t
01
02
03
(1)
( ) : (2)
(3)


VTCP
a a a a
1 2 3
( ; ; )
và qua
M x y z
0 0 0 0
( ; ; )
và mt phng
Ax By Cz D ( ) : 0
có VTPT
n A B C( ; ; )

Khi đó :
( ) ( )
1 2 3
. 0 0a n Aa Ba CaaD Ç Û ¹ Û + + ¹
rr
( ) ( )
( )
1 2 3
0
0 0 0
.0
0
//
0
an
Aa Ba Ca
MP
Ax By Cz
a
ì
ì
=
+ + =
ï
ï
ïï
D Û Û
íí
ïï
Ï
+ + ¹
ï
ï
î
î
rr
( ) ( )
( )
1 2 3
0
0 0 0
.0
0
0
an
Aa Ba Ca
MP
Ax By Cz
a
ì
ì
=
+ + =
ï
ï
ïï
D Ð Û Û
íí
ïï
Î
+ + =
ï
ï
î
î
rr
Đặc bit
( ) ( )

a
n

cng phương
3.2.1.1. Phương pháp đại s
Muốn tìm giao điểm
M
ca
ta gii h phương trình:
pt
pt
()
()
tìm
xyz, , .
Suy ra:
M x y z, ,
.
Thế
1 , 2 , 3
vào phương trình
mp P
và rút gọn dưa về dng:
at b 0 (*)
d
ct
( )
mp P
ti một điểm
( )
*ptÛ
có mt nghim
t
.
d
song song vi
( ) ( )
*P ptÛ
vô nghim.
d
nm trong
P Pt *
có vô s nghim
t
.
d
vuông góc
P
a
n

cng phương
3.2.2. V trí tương đối của hai đường thng
3.2.2.1. Phương pháp hình học
Cho hai đường thng: đi qua
M
và có một vectơ chỉ phương
đi qua
N
và có một vectơ chỉ phương
1
a a a A B C
23
: : : :
1
1
.u
2
2
.u
12
1 2 1
, , 0.u u u MN



12
// 
12
1
,0
.
,0
uu
u MN




a
a
n
0
M
'
0
M
a
1
2
b
0
M
u
'u
1
2
'
0
M
0
M
'
0
M
u
'u
1
2
u
'u
0
M
'
0
M
1
2
Trang 86
ct
chéo nhau
3.2.2.2. Phương pháp đại s
Muốn tìm giao điểm
M
ca
2
va (
1
( ) )
ta gii h phương trình :
pt
pt
1
2
()
()
tìm
xyz, , .
Suy ra:
M x y z, ,
3.2.3. V trí tương đối giữa đường thng và mt cu
Cho đường thng
:d
x x a t
y y a t
z z a t
01
02
03
(1)
(2)
(3)



mt cu
x a y bS z c R
2 2 2 2
( ) ) ( ): (
tâm
I a b c( ; ; )
, bán kính
R.
3.2.3.1. Phương pháp hình học
Bước 1:
Tính khong cách t tâm
I
ca mt cu
S
đến đường thng
d
IM a
h d I d
a
0
.
( , )



Bước 2:
So sánh
d I d( , )
vi bán kính
R
ca mt cu:
Nếu
d I d R( , )
thì
d
không ct
S
Nếu thì tiếp xúc
Nếu thì ct tại hai điểm phân bit vuông góc
vớiđường kính (bán kính) mt cu
3.2.2.2. Phương pháp đại s
Thế
1 , 2 , 3
vào phương trình
S
rút gn đưa về phương trình bậc hai theo
t *
Nếu phương trình
( )
*
vô nghim thì
d
không ct
( )
S
Nếu phương trình
*
có mt nghim thì
d
tiếp xúc
S
Nếu phương trình
*
có hai nghim thì
d
ct
S
tại hai đim phân bit
M N,
Chú ý:
Ð tìm tọa độ
M N,
ta thay giá tr
t
vào phương trình đường thng
d
3.3.Góc trong không gian
3.3.1. Góc gia hai mt phng
1
2
12
12
,0
.
, . 0
uu
u u MN




1
2
12
, . 0.u u MN


d I d R( , )
d
S
d I d R( , )
d
S
M N,
MN
Trang 87
Ni dung
Hình v
Định lý
Trong không gian
( )
Oxyz
cho hai mt phng xác
định bởi phương trình :
Gi là góc gia hai mt phng ta có công
thc:
3.3.2. Góc giữa đường thng và mt phng
Ni dung
Hình v
Cho đường thng
và mt phng
Gi góc gia hai mt phng ta công
thc:
3.3.3. Góc giữa hai đường thng
Ni dung
Hình v
Cho hai đường thng :
Gi là góc gia hai mt phng ta có công
thc:
3.4. Khoảng cách
3.4.1. Khong cách t một điểm đến mt mt phng
Ni dung
Hình v
Cho mt phng điểm
Khong cách t đim đến mt phng đưc tính
bi :
,

A x B y C z D
A x B y C z D
1 1 1 1
2 2 2 2
( ) : 0
( ) : 0
( ) & ( )

A A B B C C
A B C A B C
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
cos
.

x x y y z z
a b c
0 0 0
( ) :
Ax By Cz D ( ) : 0
( ) & ( )
Aa Bb Cc
A B C a b c
2 2 2 2 2 2
sin
.

x x y y z z
a b c
x x y y z z
a b c
0 0 0
1
0 0 0
2
' ' '
( ) :
( ) :
12
( ) &( )
aa bb cc
a b c a b c
' ' '
2 2 2 '2 '2 '2
cos
.

Ax By Cz D( ) : 0
M x y z
0 0 0 0
( ; ; )
M
0
()
Trang 88
3.4.2. Khong cách t một điểm đến một đường thng
Ni dung
Hình v
Cho đường thng đi qua điểm
VTCP . Khi đó khoảng cách t đim M1 đến
đưc tính bi công thc:
3.4.3. Khong cách giữa đường thng chéo nhau
Ni dung
Hình v
Định lý:
Trong không gian
Oxyz
cho hai đường thng chéo
nhau :
Khi đó khong cách gia đưc tính bi
công thc
3.5. Lập phương trình đường thẳng
Để lập phương trình đường thng ta cần xác định 1 đim thuc và mt VTCP ca nó.
3.5.1. Dng 1
đi qua điểm và có VTCP .
3.5.2. Dng 2
đi qua hai điểm Mt VTCP ca .
3.5.3. Dng 3
đi qua điểm song song với đường thng cho trước: nên
VTCP ca cũng là VTCP của .
3.5.4. Dng 4
đi qua điểm vuông c vi mt phng cho trước: nên
VTPT ca cũng là VTCP của .
3.5.5. Dng 5
Ax By Cz D
dM
A B C
0 0 0
0
222
( ; )


()
M x y z
0 0 0 0
( ; ; )
u a b c( ; ; )
()
M M u
dM
u
01
1
;
( , )



0
'
0
co VT CP u a b c va qua M x y z
co VT CP u a b c va qua M x y z
1 0 0 0
' ' ' ' ' ' '
2 0 0 0
( ) ( ; ; ) ( ; ; )
( ) ( ; ; ) ( ; ; )



2
va (
1
( ) )
u u M M
d
uu
'
00
12
, ' .
( , )
;'




d
d
d
M x y z
0 0 0 0
( ; ; )
a a a a
1 2 3
( ; ; )
o
o
o
x x a t
d y y a t t R
z z a t
1
2
3
( ) : ( )


d
A B,:
d
AB

d
M x y z
0 0 0 0
( ; ; )
d //
d
d
M x y z
0 0 0 0
( ; ; )
P
dP
P
d
Trang 89
là giao tuyến ca hai mt phng
( ) ( )
,PQ
:
Cách 1:
Tìm một điểm và mt VTCP.
Tìm to độ một điểm bng cách gii h phương trình (vi vic chn
giá tr cho mt n)
Tìm mt VTCP ca
Cách 2:
Tìm hai điểm thuc , ri viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó.
3.5.6. Dng 6
đi qua điểm và vuông góc với hai đường thng
nên mt VTCP ca là:
3.5.7. Dng 7
đi qua điểm , vuông góc và cắt đường thng .
Cách 1:
Gi hình chiếu vuông góc ca trên đường thng . Thì . Khi
đó đường thng là đường thẳng đi qua
Cách 2:
Gi mt phng đi qua vuông góc vi mt phẳng đi qua
cha Khi đó
3.5.8. Dng 8
đi qua điểm và cắt hai đường thng
Cách 1:
Gi T điu kin thẳng hàng ta tìm được T
đó suy ra phương trình đường thng .
Cách 2:
Gi , . Khi đó Do đó, mt VTCP ca
th chn là .
3.5.9. Dng 9
nm trong mt phng và ct c hai đường thng
Tìm các giao điểm
Khi đó chính là đường thng
3.5.10. Dng 10
Viết phương trình mặt phng cha mt phng cha
d
Ad:
P
Q
()
()
PQ
a n nd ,:


A B,
d
d
M x y z
0 0 0 0
( ; ; )
dd
12
,:
d d d d
12
,
d
dd
a a a
12
,


d
M x y z
0 0 0 0
( ; ; )
H
M
0
H
M H u
0

d
M H
0
,.
P
A
d
Q;
A
d.
d P Q
d
M x y z
0 0 0 0
( ; ; )
dd
12
,:
M d M d
1 1 2 2
,.
M M M
12
,,
M M
12
,.
d
MdP
01
( , )
MdQ
02
( , )
d P Q .
d
PQ
a n n,


d
P
dd
12
,:
A d P B d P
12
,.
d
AB.
P
d
1
,
Q
d
2
.
Trang 90
Khi đó
3.5.11. Dng 11
là đường vuông góc chung của hai đường thng chéo nhau:
Cách 1:
Gi T điu kin , ta tìm được Khi đó, đường
thng
Cách 2:
nên mt VTCP ca có th là: .
Lập phương trình mặt phng cha bng cách:
Ly một điểm trên
Mt VTPT ca có th là: .
Tương tự lập phương trình mặt phng cha Khi đó
3.5.12. Dng 12
là hình chiếu của đường thng lên mt phng
( )
P
thì ta Lập phương trình mặt phng
cha và vuông góc vi mt phng bng cách:
Ly .
cha và vuông góc vi nên .
Khi đó
3.5.13. Dng 13
đi qua điểm
M
, vuông góc vi và ct
Cách 1:
Gi giao điểm ca T điu kin ta tìm được Khi đó,
đưng thng
Cách 2:
Viết phương trình mặt phng qua và vuông góc vi
Viết phương trình mặt phng cha
Khi đó
3.6. Vị trí tương đối
3.6.1. V trí tương đối giữa hai đường thng
Để xét VTTĐ giữa hai đưng thng, ta có th s dng một trong các phương pháp sau:
Phương pháp hình học:
Da vào mi quan h giữa các VTCP và các điểm thuộc các đường thng.
Phương pháp đại s:
d P Q .
d
d d
12
,
M d M d
1 1 2 2
,.
MN d
MN d
1
2
M N,.
d
MN.
dd
1
dd
2
d
dd
a a a
12
,


P
d
d
1
,
A
d
1
.
P
Pd
n a a
1
,


Q
d
d
2
.
d P Q .
d
Q
P
M
Q
P
QP
n a n,


d P Q .
d
d
1
d
2
:
N
d
d
2
.
MN d
1
,
N .
d
MN.
P
M
d
1
.
Q
M
d
2
.
d P Q .
Trang 91
Da vào s nghim ca h phương trình các đường thng.
3.6.2. V trí tương đối giữa đường thng và mt phng
Để xét VTTĐ giữa đường thng mt phng, ta th s dng một trong các phương
pháp sau:
Phương pháp hình học:
Da vào mi quan h gia VTCP ca đường thng và VTPT ca mt phng.
Phương pháp đại s:
Da vào s nghim ca h phương trình đường thng và mt phng.
3.6.3. V trí tương đối giữa đường thng và mt cu
Để xét VTTĐ giữa đường thng và mt cu ta có th s dụng các phương pháp sau:
Phương pháp hình học:
Da vào khong cách t tâm mt cầu đến đường thng và bán kính.
Phương pháp đại s:
Da vào s nghim ca h phương trình đường thng và mt cu.
3.7. Khoảng cách
3.7.1. Khong cách t đim
M
đến đường thng
d
Cách 1:
Cho đường thng đi qua và có VTCP thì
Cách 2:
Tìm hình chiếu vuông góc ca trên đường thng
Cách 3:
Gi Tính theo tham s trong phương trình đưng thng
Tìm để nh nht.
Khi đó Do đó
3.7.2. Khong cách giữa hai đường thng chéo nhau
Cho hai đường thng chéo nhau Biết đi qua điểm M1 VTCP , đi
qua điểm và có VTCP t
Chú ý:
Khong cách giữa hai đường thng chéo nhau bng khong cách gia vi mt
phng cha và song song vi
3.7.3. Khong cách giữa hai đường thng song song
Khong cách giữa hai đường thng song song bng khong cách t mt điểm thuc
đưng thẳng này đến đường thng kia.
d
M
0
a
M M a
d M d
a
0
,
( , )


H
M
d.
d M d MH,.
N x y z d; ; .
MN
2
t t(
d).
t
MN
2
NH.
d M d MH,.
d
1
d
2
.
d
1
a
1
d
2
M
2
a
2
a a M M
d d d
aa
1 2 1 2
12
12
,.
( , )
,






d d
12
,
d
1
d
2
d
1
.
Trang 92
3.7.4. Khong cách gia một đường thng và mt mt phng song song
Khong cách giữa đường thng vi mt phng song song vi bng khong cách
t một điểm bt kì trên đến mt phng .
3.8. Góc
3.8.1. Góc giữa hai đường thng
Cho hai đường thng lần lượt có các VTCP .
Góc gia bng hoc bù vi góc gia là:
3.8.2. Góc gia một đường thng và mt mt phng
Cho đường thng có VTCP và mt phng có VTPT .
Góc giữa đường thng mt phng bng c giữa đường thng vi hình chiếu
ca nó trên là:
( )
·
( )
1 2 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3
sin ,
Aa Ba Ca
d
A B C a a a
a
++
=
+ + + +
4. MẶT CẦU
4.1. Phương trình mặt cầu
4.1.1. Phương trình chính tắc
Phương trình của mt cu
S
tâm
I a b c; ; ,
bán kính
R
là:
S x a y b z c R
2 2 2 2
( ) : ( ) ( ) ( ) 1
Phương trình
1
đưc gọi là phương trình chính tắc ca mt cu
Đặc bit: Khi
IO
thì
C x y z R
2 2 2 2
( ) :
4.1.2. Phương trình tổng quát
Phương trình :
x y z ax by cz d
2 2 2
2 2 2 0
vi
a b c d
2 2 2
0
là phương trình
ca mt cu
S
có tâm
I a b c; ; ,
bán kính
R a b c d
2 2 2
.
4.2. Giao của mặt cầu và mặt phẳng
Cho mt phng
()
và mt cu
S
có phương trình :
Ax By Cz D
S x a y b z c R
2 2 2 2
( ) : 0
( ) : ( ) ( ) ( )
Gi
dI( ; )
là khong cách t tâm mt cu
S
đến mt phng
Cho mt cu và mt phng .
Gi
H
là hình chiếu vuông góc ca
I
lên
d
M
d
d d
12
,
aa
12
,

d d
12
,
aa
12
,

aa
aa
aa
12
12
12
.
cos ,
.



d
a a a a
1 2 3
( ; ; )
n A B C( ; ; )
d
d
d '
;S I R
P
P
,.d IH d I P
dR
dR
dR
Trang 93
Mt cu mt phng
không có điểm chung.
Mt phng tiếp xúc mt cu:
mt phng tiếp din ca
mt cu và
H
: tiếp điểm.
Mt phng ct mt cu
theo thiết diện đường
tròn tâm và bán kính
4.3. Một số bài toán liên quan
4.3.1. Dng 1
có tâm và bán kính thì
4.3.2. Dng 2
có tâm và đi qua điểm thì bán kính .
4.3.3. Dng 3
nhận đoạn thng cho trước làm đường kính:
Tâm là trung điểm của đoạn thng
Bán kính .
4.3.4. Dng 4
đi qua bốn điểm mt cu ngoi tiếp t din)
Gi s phương trình mặt cu có dng:
Thay lần lượt to độ của các điểm vào ta được 4 phương trình.
Gii h phương trình đó, ta tìm được Phương trình mặt cu .
4.3.5. Dng 5
đi qua ba điểm có tâm nm trên mt phng cho trước thì giải tương
t dng 4
4.3.6. Dng 6
có tâm và tiếp xúc vi mt cu cho trước:
Xác định tâm
I
và bán kính
R '
ca mt cu
T
.
S dụng điều kin tiếp xúc ca hai mt cầu để tính bán kính ca mt cu .
(Xét hai trường hp tiếp xúc trong và ngoài)
P
I
r R IH
22

S
I a b c;;
R
S x a y b z c R
2 2 2 2
: ( ) ( ) ( )
S
I a b c;;
A
R IA
S
AB
I
A B A B A B
I I I
x x y
A yB
y z z
xz;;:
2 2 2
AB
R IA
2

S
A B C D, , , (
S
x y z ax by cz d
2 2 2
22 *20.
A B C D,,,
*,
a b c d, , ,
S
S
A B C,,
I
P
S
I
T
R
S
Trang 94
Chú ý:
Với phương trình mặt cu
S x y z ax by cz d
2 2 2
: 2 2 2 0
vi
a b c d
2 2 2
0
thì
S
có tâm
I a b c ; ;
và bán kính
R a b c d
2 2 2
.
Đặc bit:
Cho hai mt cu
S I R
1 1 1
,
S I R
2 2 2
,.
I I R R
1 2 1 2

S S
12
,
trong nhau
I I R R
1 2 1 2

S S
12
,
ngoài nhau
I I R R
1 2 1 2

S S
12
,
tiếp xúc trong
I I R R
1 2 1 2

S S
12
,
tiếp xúc ngoài
R R I I R R
1 2 1 2 1 2
S S
12
,
ct nhau theo mt đường tròn (đường tròn
giao tuyến).
4.3.7. Dng 7
Viết phương trình mt cu
S
tâm
I a b c;;
, tiếp xúc vi mt phng
P
cho trước t
bán kính mt cu
R d I P;
4.3.8. Dng 8
Viết phương trình mặt cu
S
tâm
I a b c;;
, ct mt phng
P
cho trước theo giao
tuyến là một đường tròn tho điu kin .
Đưng tròn cho trước (bán kính hoc din tích hoc chu vi) thì tng thc din tích
đưng tròn hoặc chu vi đường tròn ta tìm được bán kính đường
tròn giao tuyến .
Tính
Tính bán kính mt cu
Kết luận phương trình mặt cu.
4.3.9. Dng 9
Viết phương trình mt cu
S
tiếp xúc vi một đường thng
cho trước tâm
I a b c;;
cho trước thì đường thng
tiếp xúc vi mt cu
S
ta có
R d I,
.
4.3.10. Dng 10
Viết phương trình mặt cu
S
tiếp xúc vi một đường thng
ti tiếp điểm
o o o
M x y z,,
thuc
và có tâm
I
thuộc đường thng
d
cho trước thì ta làm như sau:
Viết phương trình mặt phng
P
đi qua điểm
M
và vuông góc với đường thng
.
To độ tâm
IP
là nghim của phương trình.
Bán kính mt cu
R IM d I,
.
Kết lun v phương trình mặt cu
S
Sr
2
Pr2
r
d d I P,
R d r
22

Trang 95
4.3.10. Dng 10
Viết phương trình mặt cu
S
tâm
I a b c;;
cắt đường thng
tại hai điểm
AB,
tho mãn điều kin:
Độ dài
AB
là mt hng s.
Tam giác
IAB
là tam giác vuông.
Tam giác
IAB
là tam giác đều.
Thì ta xác định
d I IH,
,
IA B
cân ti
I
nên
AB
HB
2
bán kính mt cu
R
được tính như sau:
R IH HB
22

o
IH
R
sin 45
4.3.11. Dng 11
Tp hợp điểm là mt cu. Gi s tìm tp hợp điểm tho tính cht nào đó.
Tìm h thc gia các to độ của điểm
hoc:
Tìm gii hạn quĩ tích (nếu có).
4.3.12. Dng 12
Tìm tp hp tâm mt cu
Tìm to độ ca tâm , chng hn:
Kh
t
trong ta có phương trình tập hợp điểm.
Tìm gii hạn quĩ tích (nếu có).
5. MỘT SỐ DẠNG GIẢI NHANH CỰC TRỊ KHÔNG GIAN
5.1. Dạng 1
Cho và hai điểm
,.AB
Tìm để ?
Phương pháp
Nếu
A
B
trái phía so vi thng hàng
Nếu
A
B
cùng phía so vi thì tìm là đối xng ca qua
5.2. Dạng 2
Cho và hai điểm
,.AB
Tìm để ?
Phương pháp
o
IH
R
sin 60
M
P
x y z,,
M.
x a y b z c R
2 2 2 2
( ) ( ) ( )
x y z ax by cz d
2 2 2
2 2 2 0
I
x f t
y g t
z h t
()
()
()
*
*
P
MP
MA MB
min
P
M A B,,
M AB P
P
B '
B
P
P
MP
MA MB
max
Trang 96
Nếu
A
B
cùng phía so vi thng hàng
Nếu
A
B
trái phía so vi thì tìm là đối xng ca qua
5.3. Dạng 3
Cho điểm không thuc các trc và mt phng tọa độ. Viết phương trình
qua và ct 3 tia lần lượt ti sao cho nh nht?
Phương pháp
5.4. Dạng 4
Viết phương trình mặt phng chứa đường thng , sao cho khong cách t đim
đến là ln nht?
Phương pháp
5.5. Dạng 5
Viết phương trình mặt phng qua và cách mt khng ln nht ?
Phương pháp
5.6. Dạng 6
Viết phương trình mặt phng chứa đường thng , sao cho to vi ( không
song song vi ) mt góc ln nht là ln nht ?
Phương pháp
5.7. Dạng 7
Cho . Viết phương trình đường thng nm trong (P) song song vi và cách
mt khong nh nht ?
Phương pháp
Ly , gi là hình chiếu vuông góc ca trên thì .
P
M A B,,
M AB P
P
B '
B
P
MA MB AB''
M M M
M x y z;;
P
M
Ox Oy Oz,,
A B C,,
O ABC
V
.
M M M
xyz
P
xyz
:1
3 3 3
P
d
Md
P
P d d
Qua A d
P
n u AM u
:
,,





P
A
M
P
Qua A
P
n AM
:
P
d
P
d
P d d
Qua A d
P
n u u u
:
,,





P//
d
A 
A
A
P
d
Qua A
d
uu
:

Trang 97
5.8. Dạng 8
Viết phương trình đường thng đi qua điểm cho trước nm trong mt phng
cho trước sao cho khong cách t đim cho trước đến ln nht ( không vuông
góc vi ) ?
Phương pháp
5.9. Dạng 9
Viết phương trình đường thng đi qua điểm cho trước nm trong mt phng
cho trưc sao cho khong cách t đim cho trước đến nh nht ( không vuông
góc vi ) ?
Phương pháp
5.10. Dạng 10
Viết phương trình đưng thng đi qua điểm cho trước, sao cho nm trong
và to với đường thng mt góc nh nht ( cắt nhưng không vuông góc với )?
Phương pháp
MC LC
PHN I. KHI ĐA DIN.................................................................................................. 51
1. KHỐI LĂNG TR VÀ KHI CHÓP .......................................................................... 51
2. KHÁI NIM V HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN ............................................ 51
2.1. Khái nim v hình đa diện ..................................................................................... 51
2.2. Khái nim v khối đa diện ..................................................................................... 51
3. HAI ĐA DIỆN BNG NHAU .................................................................................... 52
3.1. Phép di hình trong không gian ............................................................................ 52
3.2. Hai hình bng nhau ............................................................................................... 53
4. PHÂN CHIA VÀ LP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN ................................................. 53
d
A
P
M
d
AM
P
dP
QuaA d
d
u n AM
:
,


d
A
P
M
d
AM
P
d P P
QuaA d
d
u n AM n
:
,
,





d
AP
d
P
P
d P P
QuaA d
d
u n AM n
:
,
,





Trang 98
5. KHỐI ĐA DIỆN LI ................................................................................................... 53
5.1. Khối đa din li ...................................................................................................... 53
5.2. Khối đa diện đều .................................................................................................... 54
5.3. Mt s kết qu quan trng v khối đa diện li ....................................................... 55
6. TH TÍCH KHỐI ĐA DIỆN ........................................................................................ 55
6.1. Th tích khi chóp .................................................................................................. 55
6.2. Th tích khi lăng trụ ............................................................................................. 55
6.3. Th tích khi hp ch nht ..................................................................................... 56
6.4. Th tích khi lập phương ....................................................................................... 56
6.5. T s th tích ........................................................................................................... 56
6.6. Mt s chú ý v độ dài các đường đặc bit ............................................................. 56
7. CÁC CÔNG THC HÌNH PHNG ........................................................................... 56
7.1. H thức lượng trong tam giác ................................................................................ 56
7.2. Các công thc tính din tích ................................................................................... 57
8. MT S CÔNG THC TÍNH NHANH TH TÍCH KHỐI CHÓP THƯỜNG GP . 58
9. CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIT TH TÍCH T DIN ................................................ 60
PHN II. MT NÓN - MT TR - MT CU ................................................................. 61
1. MT NÓN TRÒN XOAY VÀ KHI NÓN ................................................................. 61
1.1. Măt non tron xoay .................................................................................................. 61
1.2. Khi nón ................................................................................................................ 61
1.3. Thiết din khi ct bi mt phng ............................................................................ 62
2. MT TR TRÒN XOAY ............................................................................................. 62
2.1. Mt tr ................................................................................................................... 62
2.2. Hình tr tròn xoay và khi tr tròn xoay ............................................................... 62
3. MT CU KHI CU ............................................................................................. 63
3.1. Mt cu .................................................................................................................. 63
3.2. V trí tương đối gia mt cu và mt phng ........................................................... 63
3.3. V trí tương đối gia mt cầu và đường thng ....................................................... 64
3.4. Đường kinh tuyến và vĩ tuyến ca mt cu ............................................................ 64
4. MT S DNG TOÁN VÀ CÔNG THC GII ...................................................... 65
4.1. Bài toán mt nón .................................................................................................... 65
4.2. Mt s dng toán và công thc gii bài toán mt tr .............................................. 68
5. MT S DNG TOÁN VÀ CÔNG THC GII BÀI TOÁN MT CU ................. 69
5.1. Măt câu ngoai tiêp khôi đa diên ............................................................................. 69
5.2. K thuật xác định mt cu ngoi tiếp hình chóp..................................................... 72
5.3. K năng xác định trục đường tròn ngoi tiếp đa giác đáy ...................................... 72
Trang 99
5.4. K thut s dng hai trục xác đnh tâm mt cu ngoi tiếp đa din ...................... 73
5.5. Tng kết các dng tìm tâm và bán kính mt cu .................................................... 74
6. TNG HP CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIT V KHI TRÒN XOAY ...................... 75
6.1. Chm cu .............................................................................................................. 75
6.2. Hình tr ct .......................................................................................................... 75
6.3. Hình nêm loi 1 .................................................................................................... 75
6.4. Hình nêm loi 2 .................................................................................................... 76
6.5. Parabol bc hai-Paraboloid tròn xoay .................................................................... 76
6.6. Din tích Elip và Th tích khi tròn xoay sinh bi Elip .......................................... 76
6.7. Diện tích hình vành khăn ...................................................................................... 76
6.8. Th tích hình xuyến (phao) .................................................................................... 76
PHN 3. H TRC TA Ð TRONG KHÔNG GIAN OXYZ ........................................ 76
1. H TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN ..................................................................................... 77
1.1. Các khái nim và tính cht ..................................................................................... 77
1.2. Phương pháp giải 1 s bài toán thường gp ........................................................... 79
2. MT PHNG ............................................................................................................. 79
2.1. Các khái nim và tính cht ..................................................................................... 79
2.2. Viết phương trình mặt phng ................................................................................ 80
2.3. V trí tương đối ca hai mt phng ........................................................................ 82
2.4. Khong cách và hình chiếu .................................................................................... 82
2.5. Góc gia hai mt phng ........................................................................................ 83
2.6. V trí tương đối gia mt phng và mt cầu. Phương trình mặt phng tiếp xúc vi mt cu
.................................................................................................................................... 83
3. ĐƯỜNG THNG ....................................................................................................... 84
3.1. Phương trình của đường thng .............................................................................. 84
3.2. V trí tương đối ...................................................................................................... 84
3.3. Góc trong không gian ............................................................................................ 86
3.4. Khong cách .......................................................................................................... 87
3.5. Lập phương trình đường thng ............................................................................. 88
3.6. V trí tương đối ...................................................................................................... 90
3.7. Khong cách .......................................................................................................... 91
3.8. Góc ........................................................................................................................ 92
4. MT CU ................................................................................................................... 92
4.1. Phương trình mặt cu ............................................................................................ 92
4.2. Giao ca mt cu và mt phng ............................................................................. 92
4.3. Mt s bài toán liên quan ....................................................................................... 93
Trang 100
5. MT S DNG GII NHANH CC TR KHÔNG GIAN ....................................... 95
5.1. Dng 1.................................................................................................................... 95
5.2. Dng 2.................................................................................................................... 95
5.3. Dng 3.................................................................................................................... 96
5.4. Dng 4.................................................................................................................... 96
5.5. Dng 5.................................................................................................................... 96
5.6. Dng 6.................................................................................................................... 96
5.7. Dng 7.................................................................................................................... 96
5.8. Dng 8.................................................................................................................... 97
5.9. Dng 9.................................................................................................................... 97
5.10. Dng 10 ................................................................................................................ 97
| 1/50

Preview text:

PHẦN I. KHỐI ĐA DIỆN
1. KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHÓP
 Khối lăng trụ (chóp) là phần không gian được giới hạn bởi một hình lăng trụ (chóp)
kể cả hình lăng trụ (chóp) ấy. Khối chóp cụt là phần không gian được giới hạn bởi
một hình chóp cụt kể cả hình chóp cụt ấy.
 Điểm không thuộc khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) được gọi là điểm ngoài
của khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt). Điểm thuộc khối lăng trụ nhưng không
thuộc hình lăng trụ ứng với khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) đó được gọi là
điểm trong của khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt). S B' C' D' A' F' E' N A B B C D M A D F E C
2. KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN
2.1.Khái niệm về hình đa diện
 Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất:
 Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh
chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.
 Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.
 Mỗi đa giác gọi là một mặt của hình đa diện. Các đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo
thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.
2.2. Khái niệm về khối đa diện
 Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó. Trang 51
 Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện.
Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện đó được gọi là
điểm trong của khối đa diện. Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong, tập
hợp những điểm ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa diện.
 Mỗi hình đa diện chia các điểm còn lại của không gian thành hai miền không giao
nhau là miền trong và miền ngoài của hình đa diện, trong đó chỉ có miền ngoài là
chứa hoàn toàn một đường thẳng nào đó. d Mieàn ngoaøi Ñieåm trong N Ñieåm ngoaøi M
3. HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU
3.1. Phép dời hình trong không gian
Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M ' xác định duy nhất
được gọi là một phép biến hình trong không gian.
Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tùy ý.
* Một số phép dời hình trong không gian: 
3.1.1. Phép tịnh tiến theo vectơ v Nội dung Hình vẽ
Là phép biến hình biến mỗi điểm M thành M ' sao cho M '   v MM '  v . M
3.1.2. Phép đối xứng qua mặt phẳng P Nội dung Hình vẽ M
Là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc P  thành chính nó,
biến mỗi điểm M không thuộc P  thành điểm M ' sao cho IP
P  là mặt phẳng trung trực của MM ' . M'
Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng P  biến hình H  thành
chính nó thì P  được gọi là mặt phẳng đối xứng của H  . Trang 52
3.1.3. Phép đối xứng qua tâm O Nội dung Hình vẽ
Là phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi
điểm M khác O thành điểm M ' sao cho O là trung điểm M ' O MM ' M
Nếu phép đối xứng tâm O biến hình H  thành chính nó thì
O được gọi là tâm đối xứng của H
3.1.4. Phép đối xứng qua đường thẳng (phép đối xứng trục ) Nội dung Hình vẽ
Là phép biến hình biến mọi điểm thuộc đường thẳng 
thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc  thành điểm
M ' sao cho  là đường trung trực của MM ' . I M '
Nếu phép đối xứng trục  biến hình H  thành chính nó thì M
 được gọi là trục đối xứng của H  * Nhận xét:
 Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình.
 Phép dời hình biến đa diện H  thành đa diện H ' , biến đỉnh, cạnh, mặt của H
thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của H ' .
3.2. Hai hình bằng nhau
Hai hình đa diện được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.
4. PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN Nội dung Hình vẽ
Nếu khối đa diện H  là hợp của hai khối đa diện H1, HHH2 1  2  sao cho và
không có chung điểm trong nào
thì ta nói có thể chia được khối đa diện H  thành hai khối (H ) 1 đa diện HH2 1  và
, hay có thể lắp ghép hai khối đa diện HHH  2  1  và
với nhau để được khối đa diện . (H) (H ) 2
5. KHỐI ĐA DIỆN LỒI
5.1. Khối đa diện lồi
Một khối đa diện được gọi là khối đa diện lồi nếu với bất kì hai điểm A B nào của nó
thì mọi điểm của đoạn AB cũng thuộc khối đó. Trang 53
Khối đa diện lồi
Khối đa diện không lồi
5.2. Khối đa diện đều 5.2.1. Định nghĩa
 Khối đa diện đều là một khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây:
 Các mặt là những đa giác đều n cạnh.
 Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng p cạnh.
 Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại n,  p . 5.2.2. Định lí
Chỉ có 5 loại khối đa diện đều. Đó là loại 3;  3 , loại 4;  3 , loại 3;  4 , loại 5;  3 , loại 3;  5 .
Tùy theo số mặt của chúng, 5 khối đa diện trên lần lượt có tên gọi là: Khối tứ diện đều; khối
lập phương; khối bát diện đều; khối mười hai mặt đều; khối hai mươi mặt đều.
5.2.3. Bảng tóm tắt của năm loại khối đa diện đều
Khối đa diện đều Số Số Số Loại Số MPĐX đỉnh cạnh mặt Tứ diện đều 4 6 4 3; 3 6 Khối lập phương 8 12 6 4; 3 9 Bát diện đều 6 12 8 3; 4 9 Mười hai mặt đều 20 30 12 5; 3 15 Trang 54 Hai mươi mặt đều 12 30 20 3; 5 15
Chú ý: Giả sử khối đa diện đều loại n, 
p Đ đỉnh, C cạnh và M mặt.
Khi đó: C 2  nM .
5.3. Một số kết quả quan trọng về khối đa diện lồi 5.3.1. Kết quả 1
Cho một khối tứ diện đều. Khi đó:
 Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một khối tứ diện đều;
 Các trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối bát diện đều (khối tám mặt đều). 5.3.2. Kết quả 2
Tâm của các mặt của một khối lập phương là các đỉnh của một khối bát diện đều. 5.3.3. Kết quả 3
Tâm của các mặt của một khối bát diện đều là các đỉnh của một khối lập phương. 5.3.4. Kết quả 4
Hai đỉnh của một khối bát diện đều được gọi là hai đỉnh đối diện nếu chúng không cùng
thuộc một cạnh của khối đó. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo của khối
bát diện đều. Khi đó:
 Ba đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
 Ba đường chéo đôi một vuông góc với nhau;
 Ba đường chéo bằng nhau.
6. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
6.1. Thể tích khối chóp Nội dung Hình vẽ 1 V S h . áy 3 đ
S : Diện tích mặt đáy. áy đ
h : Độ dài chiều cao khối chóp. 1 Vd .S S.A BCD
S,ABCDABCD 3
6.2. Thể tích khối lăng trụ Nội dung Hình vẽ Trang 55 V S h . áy đ
S : Diện tích mặt đáy. áy đ
h : Chiều cao cũa khối chóp. Lưu ý:
Lăng trụ đứng có chiều cao chính là cạnh bên.
6.3. Thể tích khối hộp chữ nhật Nội dung Hình vẽ V a b . c .
6.4. Thể tích khối lập phương Nội dung Hình vẽ V a 3 
6.5. Tỉ số thể tích Nội dung Hình vẽ V       SA SB SC S .A B C  . . S V SA SB SC S .A BC A’ B’
Thể tích hình chóp cụt A BC A . B C   C’ A B h V
B B BB 3 C
Với B , B , h là diện tích hai đáy và chiều cao.
6.6. Một số chú ý về độ dài các đường đặc biệt
 Đường chéo của hình vuông cạnh a a 2
 Đường chéo của hình lập phương cạnh a là : a 3
 Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a,b,c là : a2 b2 c2    a 3
Đường cao của tam giác đều cạnh a là: 2
7. CÁC CÔNG THỨC HÌNH PHẲNG
7.1. Hệ thức lượng trong tam giác
7.1.1. Cho DABC vuông tại A , đường cao AH Trang 56 A B 2 A C 2 B C 2  
A B 2  BH B . C  2 A C CH B . C A H B . C A B A . C
A H 2  BH H . C  1 1 1   A H 2 A B 2 A C 2
A B BC .sinC BC .cosB A C . tanC A C .cot B
7.1.2. Cho DABC có độ dài ba cạnh là: a,b, c độ dài các trung tuyến là m , m , m bán kính a b c
đường tròn ngoại tiếp R ; bán kính đường tròn nội tiếp r nửa chu vi . p
 Định lí hàm số cosin:
a2  b2  c2 bc
A b2  c2  a2  ca
B c2  a2  b2 - 2 . cos ; 2 . cos ;  a 2 b. cosC
 Định lí hàm số sin: a b c    R 2 sin A sin B sinC  Độ dài trung tuyến:    2 b2 c2 a2 2 c2 a2 b2 2 a2 b2 c2 m   ; m   ; m   a b c 2 4 2 4 2 4
7.2. Các công thức tính diện tích 7.2.1. Tam giác  1 1 1 S a h .  b h .  c h . a b c 2 2 2  1 1 1 S bc sin A ca. sin B ab sinC 2 2 2  abc S R 4
S pr
S p p ap bp c  . . AA B A C BC A H
B C vuông tại A: S   2 2 2  3 3 Aa
B C đều, cạnh a : A H a ,S  2 4 7.2.2. Hình vuông S a 2 
( a : cạnh hình vuông)
7.2.3. Hình chữ nhật S ab
( a,b : hai kích thước)
7.2.4. Hình bình hành  S = đáy  cao · = A . B A . D sin BAD Trang 57 7.2.5. Hình thoi  · 1 S = . AB . AD sin BAD = AC.BD 2 7.2.6. Hình thang  1 S
a bh (a,b: hai đáy,h: chiều cao) 2
7.2.7. Tứ giác có hai đường chéo vuông góc AC & BD  1 S A C B . D 2
8. MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP THƯỜNG GẶP Nội dung Hình vẽ Cho hình chóp SABC với các mặt phẳng A
SAB,SBC ,SAC vuông góc với nhau từng đôi một,
diện tích các tam giác SA B, SBC ,SA C lần lượt là S , S , S . 1 2 3 S C S 2 . S . S Khi đó: V 1 2 3  S .A B C 3 B
Cho hình chóp S.ABC SA vuông góc với ABC  , hai S
mặt phẳng SAB và SBC  vuông góc với nhau, · ·
BSC = a , ASB = b . A C
SB 3. sin 2. t an  Khi đó: VS .A BC 12 B
Cho hình chóp đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều S
cạnh bằng a, cạnh bên bằng b . a2 b2 3  a2 Khi đó: VC S .A BC A 12 G M B
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a S
và mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc  . a 3 t an  Khi đó: VS .A BC 24 C A G M B Trang 58
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh bên S
bằng b và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc  . b3 2 3 . sin  cos  Khi đó: VS .A BC 4 A C G M B
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh đáy S
bằng a, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc  . a 3. t an  Khi đó: VS .A BC 12 A C G M B
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD S
hình vuông cạnh bằng a, và SA SB SC SD b . a2 b2 4  a2 2 Khi đó: VD S .A BC A 6 O M B C
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, S
góc tạo bởi mặt bên và mặt phẳng đáy là  . a 3. t an  Khi đó: VS .A BCD A 6 D O M C B
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, S ·    
SAB = a với   ;  4 2   D A a3 2 t an   1 O M Khi đó: VC B S .A BCD 6
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên S
bằng a, góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy là  với      0;  . A 2   D O M a 3 4 . t an  C Khi đó: VB S .A BCD 3 3  2 2  t an   Trang 59
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. S
Gọi P  là mặt phẳng đi qua A song song với BC F N A E C
vuông góc với SBC  , góc giữa P  với mặt phẳng đáy là x GM . B a 3 cot  Khi đó: VS .A BCD 24
Khối tám mặt đều có đỉnh là tâm các mặt của hình lập A' B' O' phương cạnh a. D' a 3 O1 C' Khi đó: V  6 O4 O2
A O3 B O D C
Cho khối tám mặt đều cạnh a. Nối tâm của các mặt bên S
ta được khối lập phương. G 2 a 3 2 2 D
A G1 Khi đó: V N 27 M B C S'
9. CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT THỂ TÍCH TỨ DIỆN Công thức
Điều kiện tứ diện abc V 2 2 2 
1  cos   cos   cos   2 cos cos  cos
ìï SA = a, SB = , b SC = c S .A BC ï 6 íï · · ·
ï ASB = a , BSC = b ,CSA = j î
Công thức tính khi biết 3 cạnh, 3 góc ở đỉnh 1 tứ diện 1 Vabd sin  A BCD A
B a,CD b 6  
Công thức tính khi biết 2 cạnh đối, khoảng cách và góc d
 AB,CD   d,AB,CD    2 cạnh đó S 2 S sin  V 1 2  SA BC     a 3 S S , S S , SA aSAB 1 SAC 2 
Công thức tính khi biết một cạnh, diện tích và góc giữa
 SAB,SAC     2 mặt kề abc ìï V  sin  sin  sin 
SA = a, SB = b, SC = c ï S .A B C ï 6 ïïí (·
( SAB),(SAC))= a
Công thức tính khi biết 3 cạnh, 2 góc ở đỉnh và 1 góc ïïïï · · nhị diện
ï ASB = b , ASC = j î Trang 60 3 Tứ diện đều a 2 VA BCD 12
tất cả các cạnh bằng a
Tứ diện gần đều 2 V
a2  b2  c2 b2  c2  a2 a2  c2  b2 A BCD     12 A
B CD aA
C BD b
AD BC c
PHẦN II. MẶT NÓN - MẶT TRỤ - MẶT CẦU
1. MẶT NÓN TRÒN XOAY VÀ KHỐI NÓN
1.1. Mặt nón tròn xoay Nội dung Hình vẽ
Đường thẵng d ,  cắt nhau tại O và tạo thành góc  với 0 0
0    90 , mp P  chứa d ,D. P  quay quanh trục
 với góc  không đổi  mặt nón tròn xoay đỉnh O.   gọi là trục.
d được gọi là đường sinh.
 Góc 2 gọi là góc ở đỉnh. 1.2. Khối nón Nội dung Hình vẽ
Là phần không gian được giới hạn bởi một hình nón O
tròn xoay kể cả hình nón đó. Những điểm không thuộc
khối nón gọi là những điểm ngoài của khối nón.
Những điểm thuộc khối nón nhưng không thuộc hình h l
nón tương ứng gọi là những điểm trong của khối nón.
Đỉnh, mặt đáy, đường sinh của một hình nón cũng là đỉnh, I r
mặt đáy, đường sinh của khối nón tương ứng. M
Cho hình nón có chiều cao h, đường sinh l và bán kính đáy r .
Diện tích xung quanh: của hình nón: S  rl . xq
Diện tích đáy (hình tròn): S  r 2 . áy đ
Diện tích toàn phần: của hình nón: S  rl  r 2 . tp  1
Thể tích khối nón: V  r h 2 . 3 Trang 61
1.3. Thiết diện khi cắt bởi mặt phẳng Điều kiện Kết quả
Cắt mặt nón tròn xoay bởi mp Q
( ) đi qua đỉnh của mặt nón. mp Q
( ) cắt mặt nón theo 2 đường sinh.
 Thiết diện là tam giác  mp Q
( ) tiếp xúc với mặt nón theo một đường cân. sinh.  Q ( ) là mặt phẳng tiếp
diện của hình nón.
Cắt mặt nón tròn xoay bởi mp Q
( ) không đi qua đỉnh của mặt nón.mp Q
( ) vuông góc với trục hình nón.
 Giao tuyến là 1 đường parabol. mp Q
( ) song song với 2 đường sinh hình nón.
 Giao tuyến là 2 nhánh  mp Q ( ) của 1 hypebol.
song song với 1 đường sinh hình nón.  Giao tuyến là một đường tròn.
2. MẶT TRỤ TRÒN XOAY 2.1. Mặt trụ Nội dung Hình vẽ
Trong mặt phẳng P cho hai đường thẳng  và l
song song với nhau, cách nhau một khoảng bằng r . Khi r
quay mặt phẳng P xung quanh  thì đường thẳng l
sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay, l gọi tắt là mặt trụ.
 Đường thẳng  gọi là trục. r
 Đường thẳng l là đường sinh.  
r là bán kính của mặt trụ đó.
2.2. Hình trụ tròn xoay và khối trụ tròn xoay Nội dung Hình vẽ
Ta xét hình chữ nhật ABCD . Khi quay hình chữ nhật
ABCD xung quanh đường thẳng chứa một cạnh nào đó, A r D
chẳng hạn cạnh AB thì đường gấp khúc ADCB sẽ tạo h l
thành một hình gọi là hình trụ tròn xoay, hay gọi tắt là r B hình trụ. C   Khi quay quanh A ,
B hai cạnh AD BC sẽ vạch ra hai hình tròn bằng nhau gọi là
hai đáy của hình trụ, bán kính của chúng gọi là bán kính của hình trụ.
 Độ dài đoạn CD gọi là độ dài đường sinh của hình trụ. Trang 62
 Phần mặt tròn xoay được sinh ra bởi các điểm trên cạnh CD khi quay xung quanh
AB gọi là mặt xung quanh của hình trụ.
 Khoảng cách AB giữa hai mặt phẳng song song chứa hai đáy là chiều cao của hình trụ.
Khối trụ tròn xoay hay khối trụ là phần không gian được giới hạn bởi một hình trụ tròn
xoay kể cả hình trụ tròn xoay đó. Những điểm không thuộc khối trụ gọi là những điểm ngoài
của khối trụ. Những điểm thuộc khối trụ nhưng không thuộc hình trụ tương ứng gọi là
những điểm trong của khối trụ. Mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính của một hình trụ
cũng là mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính của khối trụ tương ứng.Hình trụ có chiều
cao h, đường sinh l và bán kính đáy r.
Diện tích xung quanh: S  2rl . xq
Diện tích toàn phần: S  rl  r 2 2 2 . tp
Thể tích: V  r h 2 .
3. MẶT CẦU – KHỐI CẦU 3.1. Mặt cầu Nội dung Hình vẽ
Cho điểm I cố định và một số thực dương R .
Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách I
một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm I , bán kính . R
Kí hiệu: S I ;R . Khi đó:
S I ;R   M IM R
3.2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt cầu S I ;R  và mặt phẳng P  . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên P
d IH là khoảng cách từ I đến mặt phẳng P  . Khi đó: d R d R d R Mặt cầu và mặt phẳng
Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu:
Mặt phẳng cắt mặt cầu theo không có điểm chung.
P  là mặt phẳng tiếp diện của thiết diện là đường tròn có tâm 2 2 mặt cầu và  
H : tiếp điểm.
I  và bán kính r R IH Lưu ý: Trang 63
Khi mặt phẳng P  đi qua tâm I của mặt cầu thì mặt phẳng P  được gọi là mặt phẳng
kính và thiết diện lúc đó được gọi là đường tròn lớn.
3.3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
Cho mặt cầu S I ;R  và đường thẳng  . Gọi H là hình chiếu của I lên  . Khi đó: IH R IH R IH R  không cắt mặt cầu.
 tiếp xúc với mặt cầu.
 cắt mặt cầu tại hai
 : Tiếp tuyến của S  điểm phân biệt.
H : tiếp điểm. Lưu ý:
Trong trường hợp  cắt S  tại 2 điểm ,
A B thì bán kính R của S  được tính như sau: d
 I;  IH  2  .   2 2 2 A B R
  IH A H IH    2   
3.4. Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu Nội dung Hình vẽ
Giao tuyến của mặt cầu với nửa mặt phẳng có bờ là vó tuyeá n A
trục của mặt cầu được gọi là kinh tuyến.
Giao tuyến (nếu có) của mặt cầu với các mặt phẳng O
vuông góc với trục được gọi là vĩ tuyến của mặt cầu.
Hai giao điểm của mặt cầu với trục được gọi là hai cực của mặt cầu kinh tuyeá n B
* Mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình đa diện: Nội dung Hình vẽ
Mặt cầu nội tiếp hình đa diện nếu mặt cầu đó tiếp
xúc với tất cả các mặt của hình đa diện. Còn nói hình đa
diện ngoại tiếp mặt cầu. Trang 64
Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu tất cả các đỉnh S
của hình đa diện đều nằm trên mặt cầu. Còn nói hình
đa diện nội tiếp mặt cầu. O
Mặt cầu tâm O bán kính r ngoại tiếp hình chóp S A
. B CD khi và chỉ khi A B
OA OB OC OD OS r D C
Cho mặt cầu S I ;R
Diện tích mặt cầu: S R 2 4 .  4
Thể tích khối cầu: V  R 3 . 3
4. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÔNG THỨC GIẢI
4.1. Bài toán mặt nón
4.1.1.Dạng 1. Thiết diện của hình nón cắt bởi một mặt phẳng Nội dung Hình vẽ
Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác cân.
Thiết diện qua đỉnh của hình nón là những tam giác
cân có hai cạnh bên là hai đường sinh của hình nón.
Thiết diện vuông góc với trục của hình nón là những
đường tròn có tâm nằm trên trục của hình nón.
4.1.2. Dạng 2. Bài toán liên quan đến thiết diện qua đỉnh của hình nón
Cho hình nón có chiều cao là h , bán kính đáy r và đường sinh l .
Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng
chứa thiết diện là d. Nội dung Hình vẽ Trang 65
Gọi M là trung điểm của . AC Khi đó:
AC  SMI
 Góc giữa SAC  và ABC  là góc ·SMI .
 Góc giữa SAC  và SI là góc ·MSI .
d I,SAC   IH d.
Diện tích thiết diện 1 1 SSSM A . C
SI 2  IM 2 .2 A I 2  IM 2 td SAC 2 2 h d 2 2 h d 2 2 2 2  r  . h h2  d 2 h2  d 2
4.1.3. Dạng 3. Bài toán hình nón ngoại tiếp và nội tiếp hình chóp Nội dung Hình vẽ
Hình nón nội tiếp hình chóp S A
. B CD đều là hình nón
Hình chóp tứ giác đều
có đỉnh là S , đáy là đường tròn nội tiếp hình vuông A BCD S A . B CD . S Khi đó hình nón có:  A B
Bán kính đáy r IM  , A D 2 I M
 Đường cao h SI , đường sinh l SM . B C
Hình nón ngoại tiếp hình chóp S A
. B CD đều là hình nón Hình chóp tứ giác đều
có đỉnh là S , đáy là đường tròn ngoại tiếp hình vuông S A . B CD A B CD . S Khi đó hình nón có: A DA C A B 2
Bán kính đáy: r IA   . 2 2 I B C
 Chiều cao: h SI .
 Đường sinh: l SA.
Hình nón nội tiếp hình chóp S A
. BC đều là hình nón có Hình chóp tam giác đều
đỉnh là S , đáy là đường tròn nội tiếp tam giác A BC . S A . BC Khi đó hình nón có SA M A B 3
Bán kính đáy: r IM   . 3 6
 Chiều cao: h SI .
 Đường sinh: l SM . A I C M B
Hình nón ngoại tiếp hình chóp S A
. BC đều là hình nón Hình chóp tam giác đều
có đỉnh là S , đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác A BC . S A . BC Khi đó hình nón có: Trang 66 SA 2 M A B 3
Bán kính đáy: r IA   . 3 3
 Chiều cao: h SI .
Đường sinh: l SA. C A I M B
4.1.4. Dạng 4. Bài toán hình nón cụt
Khi cắt hình nón bởi một mặt phẳng song song với đáy thì phần mặt phẳng nằm trong
hình nón là một hình tròn. Phần hình nón nằm giữa hai mặt phẳng nói trên được gọi là hình nón cụt. Nội dung Hình vẽ
Khi cắt hình nón cụt bởi một mặt phẳng song song với
đáy thì được mặt cắt là một hình tròn.
Khi cắt hình nón cụt bởi một mặt phẳng song song với
trục thì được mặt cắt là một hình thang cân.
Cho hình nón cụt có R, r, h lần lượt là bán kính đáy r
lớn, bán kính đáy nhỏ và chiều cao.
Diện tích xung quanh của hình nón cụt: h S
 l R r . R xq  
Diện tích đáy (hình tròn): S   r 2 áy đ 1 
 S   r2  R2 . 2 áy đ   S  Ráy đ 2 
Diện tích toàn phần của hình nón cụt: S
 l R r  r 2  R 2 . tp  
Thể tích khối nón cụt: 1 V
h R2  r2  Rr . 3
4.1.5. Dạng 5. Bài toán hình nón tạo bởi phần còn lại của hình tròn sau khi cắt bỏ đi hình quạt Nội dung Hình vẽ Trang 67
Từ hình tròn O;R  cắt bỏ đi hình quạt Am . B Độ dài cung ¼
AnB bằng x. Phần còn lại của hình tròn ghép lại
được một hình nón. Tìm bán kính, chiều cao và độ dài
đường sinh của hình nón đó.
Hình nón được tạo thành có l   R   2 2
 r x r  . xh
  l2  r 2 
4.2. Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt trụ
4.2.1. Dạng 1. Thiết diện của hình trụ cắt bởi một mặt phẳng Nội dung Hình vẽ
Thiết diện vuông góc trục là một đường tròn bán kính R O A M B
Thiết diện chứa trục là một hình chữ nhật A BCD trong G đó AB R
2 và A D h . Nếu thiết diện qua trục là một
hình vuông thì h R 2 .
Thiết diện song song với trục không chứa trục là hình D C chữ nhật
BGHC có khoảng cách tới trục là: H
d OO ';BGHC   OM
4.2.2. Dạng 2. Thể tích khối tứ diện có 2 cạnh là đường kính 2 đáy Nội dung Hình vẽ
Nếu như A B CD là hai đường kính bất kỳ trên hai O A B đáy của hình trụ thì: 1 VA B C . D O
. O '. sin A B ,CD A BCD   6 * Đặc biệt: C
Nếu A B CD vuông góc nhau thì: O ' 1 D VA B C . D O . O ' . A BCD 6
4.2.3. Dạng 3. Xác định góc khoảng cách Nội dung Hình vẽ
Góc giữa A B và trục OO ' : A O O O B · (AB OO ) · , ' = A ' AB A A I O ' O ' O ' B D B M A ' A ' C Trang 68
Khoảng cách giữa A B và trục OO ' : A O O O B A A d AB O
; O '  OM . I O ' O ' O ' B D B M A ' A ' C
Nếu A BCD là một hình vuông nội tiếp A
O trong hình trụ O O B A A
thì đường chéo của hình vuông cũng bằng đường chéo của hình trụ. I
Nghĩa là cạnh hình vuông: O ' O ' O ' B D B M A BR 2  h 2 2 4 A '. A ' C
4.2.4. Dạng 4. Xác định mối liên hệ giữa diện tích xung quanh, toàn phần và thể tích khối
trụ trong bài toán tối ưu Nội dung Hình vẽ
Một khối trụ có thể tích V không đổi.
 Tìm bán kính đáy và chiều cao hình trụ để diện tích r toàn phần nhỏ nhất:  V l R 3     S 4 min   tpV h 3  2  r  4  
Tìm bán kính đáy và chiều cao hình trụ để diện tích
xung quanh cộng với diện tích 1 đáy và nhỏ nhất:  V R 3     S min    V h 3   
4.2.5. Dạng 5. Hình trụ ngoại tiếp, nội tiếp một hình lăng trụ đứng
Cho hình lăng trụ tam giác đêu nội tiếp trong một hình trụ. Thể tích khối lăng trụ là V thì 4 V
thể tích khối trụ là V  (T ) 9
Cho hình lăng trụ tứ giác đêu A BCD A
. ' B 'C ' D ' ngoại tiếp trong một hình trụ. Diện tích S 2
xung quanh hình trụ là S thì diện tích xung quanh của hình lăng trụ là Sxq xq
5. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÔNG THỨC GIẢIBÀI TOÁN MẶT CẦU
5.1. Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện
5.1.1. Các khái niệm cơ bản
Trục của đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy và
vuông góc với mặt phẵng chứa đa giác đáy  Bất kì một điễm nào nằm trên trục cũa đa giác
thì cách đều các đỉnh của đa giác đó. Trang 69
Đường trung trực của đoạn thẳng : là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và
vuông góc với đoạn thẵng đó.
 Bất kì một điễm nào nằm trên đường trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.
Mặt trung trực của đoạn thẳng: là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông
góc với đoạn thẳng đó.
 Bất kì một điễm nào nằm trên mặt trung trực thì cách đều hai đầu mút cũa đoạn thẵng.
5.1.2. Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp : là điểm cách đều các đỉnh của hình chóp . Hay nói
cách khác , nó chính là giao điểm I của trục đường tròn ngoại tiếp mặt phẳng đáy và mặt
phẵng trung trực cũa một cạnh bên hình chóp.
Bán kính: là khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp.
5.1.3. Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu của một số hình đa diện
5.1.3.1. Hình hộp chữ nhật, hình lập phương Nội dung Hình vẽ
Tâm: trùng với tâm đối xứng của hình hộp chữ nhật
(hình lập phương)  Tâm là I , là trung điểm của A C ' .
Bán kính : bằng nữa độ dài đường chéo hình hộp chư̂
nhật (hình lập phương).  A C ' Bán kính: R  . 2
5.1.3.2. Hình lăng trụ đứng có đáy nội tiếp đường tròn Nội dung Hình vẽ
Xét hình lăng trụ đứng A A A .. A . A '
. A 'A ' .. A ' . , trong đó 1 2 3 n 1 2 3 n có 2 đáyA A A A ...
A 'A 'A ' A ' ...
nội tiếp đường tròn O  1 2 3 n 1 2 3 n
và O ' . Lúc đó, mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ đứng có:
Tâm: I với I là trung điểm của OO ' .
Bán kính: R IA IA  ...  IA' . 1 2 n
5.1.3.3. Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối 2 đỉnh còn lại dưới 1 góc vuông Nội dung Hình vẽ Hình chóp S A . BC có · · 0
SAC = SBC = 90 .
 Tâm: I là trung điểm củaSC .  SC Bán kính: R
IA IB IC . 2 Hình chóp S A . B CD có · · · 0
SAC = SBC = SDC = 90 .
 Tâm: I là trung điểm củaSC . SC  Bán kính: R
IA IB IC ID . 2
5.1.3.4. Hình chóp đều Trang 70 Nội dung Hình vẽ
Cho hình chóp đềuS A . BC ...
 Gọi O là tâm của đáy  SO là trục của đáy.
 Trong mặt phẵng xác định bỡi SO và một cạnh
bên, chẵng hạn như mp SAO  , ta vê đường trung
trực cũa cạnh SA là  cắt SA tại M và cắt SO
tại I I là tâm của mặt cầu. Bán kính: SM SI Ta có :
SMI ∽ SOA    Bán kín h: SO SA SM SA SA2 . R IS  
IA IB IC  ... SO S 2 O
5.1.3.5. Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy Nội dung Hình vẽ Cho hình chóp S A
. BC ... có cạnh bên SA ^ (ABC ) ... và
đáy A BC ... nội tiếp được trong đường tròn tâm O .
Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S A
. BC ... được xác định như sau:
 Từ tâm O ngoại tiếp của đường trònđáy , ta vê
đường thẵng d vuông góc với mp ABC... tại O .
 Trong mp d,SA, ta dựng đường trung trực  của
cạnhSA , cắtSA tại M , cắt d tại I I là tâm mặt
cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính
R IA IB IC IS  ...  Tìm bán kính
Ta có: MIOB là hình chữ nhật. Xét M
A I vuông tại M có: 2   2 2 2 SA R A I MI MA A O    . 2  
5.1.3.6. Hình chóp khác -
Dựng trục  của đáy. -
Dựng mặt phẵng trung trực   của một cạnh bên bất kì. -
    I I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. -
Bán kính: khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp.
5.1.3.7. Đường tròn ngoại tiếp một số đa giác thường gặp
Khi xác định tâm mặt cầu , ta cần xác địn h trục cũa mặt phẵng đáy , đó chính là đường
thẵng vuông góc với mặt phẵng đáy tại tâm O cũa đường tròn ngoại tiếp đáy . Do đó, việc
xác định tâm ngoại O là yếu tố rất quan trọng của bài toán. Trang 71 O O O Hình vuông: O là giao
Hình chữ nhật: O là giao
∆ đều: O là giao điễm cũa 2 điễm 2 đường chéo.
điễm cũa hai đường chéo.
đường trung tuyến (trọng tâm). O O
∆ vuông: O là trung điểm
∆ thường: O là giao điễm cũa hai đường của cạnh huyền.
trung trực cũa hai cạnh ∆.
5.2. Kỹ thuật xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Nội dung Hình vẽ Cho hình chóp S A . A .. A .
(thoả mãn điều kiện tồn tại S 1 2 n
mặt cầu ngoại tiếp). Thông thường, để xác định mặt cầu 
ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước: I  Bước 1: O
Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác D
đáy. Dựng  : trục đường tròn ngoại tiếp đa giác A H C đáy. B  Bước 2:
Lập mặt phẳng trung trực ( ) của một cạnh bên. Lúc đó
 Tâm O của mặt cầu:   mp( )  O
 Bán kính: R SA  SO . Tuỳ vào từng trường hợp.
5.3. Kỹ năng xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy
5.3.1. Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Nội dung Hình vẽ Trang 72 Định nghĩa
Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy là đường M
thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và vuông
góc với mặt phẳng đáy. A Tính chất C M
  : MA MB MC H
Suy ra: MA MB MC M   B
Các bước xác định trục  Bước 1:
Xác định tâm H của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.  Bước 2:
Qua H dựng  vuông góc với mặt phẳng đáy.
Một số trường hợp đặc biệt
 Đáy là tam giác vuông H B C A 
 Đáy là tam giác đều B C H A 
 Đáy là tam giác thường B C H A
5.3.2. Kỹ năng tam giác đồng dạng Nội dung Hình vẽ S SSO SM
MO đồng dạng với SIA   . SA SI M O I A
5.3.3. Nhận xét quan trọng M
 A MB MC M  ,S : 
SM là trục đường tròn ngoại tiếp ABC .
SA SB SC 
5.4. Kỹ thuật sử dụng hai trục xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện Nội dung Hình vẽ Trang 73 Cho hình chóp S A . A .. A .
(thõa mãn điều kiện tồn tại 1 2 n Δ
mặt cầu ngoại tiếp). Thông thường, để xác định mặt cầu S
ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước: R Bước 1: I d
Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác
đáy. Dựng  : trục đường tròn ngoại tiếp đa giác D đáy. C  Bước 2: A B
Xác định trục d của đường tròn ngoại tiếp một
mặt bên (dễ xác định) của khối chóp. Lúc đó:
 Tâm I của mặt cầu:  d  I
 Bk: R IA  IS  . Tuỳ vào từng trường hợp.
5.5. Tổng kết các dạng tìm tâm và bán kính mặt cầu 5.5.1. Dạng 1 Nội dung Hình vẽ
Cạnh bên SA vuông góc đáy và · 0 ABC = 90 khi đó S S SC R
và tâm là trung điểm SC . 2 A A C D B C B 5.5.2. Dạng 2 Nội dung Hình vẽ
Cạnh bên SA vuông góc đáy và bất kể đáy là hình gì, S
chỉ cần tìm được bán kính đường tròn ngoại tiếp của đáy 2 2 SA2
R , khi đó : R R K D D 4 Iabc A C R  ( p : nửa chu vi). D
4 p p a p bp c O  Nếu  ABC vuông tại A thì: 1 B R =
AB + AC + AS . D ( 2 2 2 ) 4  a 2
Đáy là hình vuông cạnh a thì R D 2  a 3
nếu đáy là tam giác đều cạnh a thì R  . D 3 Trang 74 5.5.3. Dạng 3 Nội dung Hình vẽ
Chóp có các cạnh bên bằng nhau: SA SB SC SD : S SA 2 R  . SO 2
A BCD là hình vuông, hình chữ nhật, khi đó O A D giao hai đường chéo.  A
BC vuông, khi đó O là trung điểm cạnh B C huyền.  A
BC đều, khi đó O là trọng tâm, trực tâm. 5.5.4. Dạng 4 Nội dung Hình vẽ
Hai mặt phẳng SAB  và ABC  vuông góc với nhau S
và có giao tuyến A B . Khi đó ta gọi R , R lần lượt là bán 1 2 O
kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác SA B A BC . I
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp: A C J 2 2 2 A B 2 K
R R R 1 2 4 B 5.5.5. Dạng 5
Chóp S.A BCD có đường cao SH , tâm đường tròn ngoại tiếp đáy là O . Khi đó ta giải 2
phương trình: SH x OH 2 x 2 R 2    
. Với giá trị x tìm được ta có: R 2 x 2 R 2   D . D V 3
5.5.6. Dạng 6: Bán kính mặt cầu nội tiếp: r  . Stp
6. TỔNG HỢP CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT VỀ KHỐI TRÒN XOAY 6.1. Chỏm cầu Nội dung Hình vẽ S
 2Rh   r 2  h2 xq    h r     2 h h V  h  R    h2  r2 3  3 6    R 6.2. Hình trụ cụt Nội dung Hình vẽ S   R h h xq  1 2  
h h h V   R 2 1 2    2h1 2     R
6.3. Hình nêm loại 1 Trang 75 Nội dung Hình vẽ 2 V R 3 t an  3
6.4. Hình nêm loại 2 Nội dung Hình vẽ   2  V  
 R 3 tan  2 3  
6.5. Parabol bậc hai-Paraboloid tròn xoay Nội dung Hình vẽ 3  3   4 S ' xa  SRh;       R Rparabol 3 Sh R      h 1 1 V   R h 2  Vtru  2 2 
6.6. Diện tích Elip và Thể tích khối tròn xoay sinh bởi Elip Nội dung Hình vẽ S   ab b elip  4 a a V   ab2 xoay q uanh a 2 3  b 4 V  a b 2 xoay q uanh b 2  3
6.7. Diện tích hình vành khăn Nội dung Hình vẽ S  R2 r2   R r
6.8. Thể tích hình xuyến (phao) Nội dung Hình vẽ 2      2 R r R r V  2    r 2 2    R
PHẦN 7. HỆ TRỤC TỌA ÐỘ TRONGKHÔNG GIAN OXYZ Trang 76
1. HỆ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN
1.1. Các khái niệm và tính chất
1.1.1. Khái niệm mở đầu
Trong không gian cho ba trục Ox,Oy,Oz phân biệt và vuông góc từng đôi một. Gốc tọa độ
O, truc hoành Ox, trục tung Oy, trục cao Oz, các mặt tọa độ Oxy,Oyz,Ozx.
1.1.2. Khái niệm về hệ trục tọa độ
Khi không gian có hệ tọa độ thì gọi là không gian tọa độ Oxyz hay không gian Oxyz.    2 2 2
i j k  1   2 2 Chú ý: a a   
i j ik jk  0      
1.1.3. Tọa độ véc tơ
u  (x;y;z )  u(x;y;z )  u xi y j zk    
1.1.4. Tọa độ điểm
M (x;y;z )  OM xi y j zk
1.1.5. Các công thức tọa độ cần nhớ   Cho u a ( ;b;c), v a ( ;
b ;c ) ìï a = a' ï  r r ï
u = v Û í b = b ' ï ïï c = c' ïî  
u v  a a ;b b ;c c   ku k
( a;kb;kc)       u v
.  u . v . co u s( v
, )  aa  bb  cc          u v . aa bb cc cos u ( v , )       u . v u . v  2  u u a 2 b2 c2        
u v u v .  0 
A B  x x ;y y ;z z B A B A B A   2 2 2
AB AB  x xy yz z B A
B A   B A 1.1.6. Chú ý  
Góc của 2 véc tơ u,v  là góc hình học (nhỏ) giữa 2 tia mang véc tơ có, giá trị trong 0;        là: u v 2 sin ,
 1  cos u,v  0
1.1.7. Chia tỉ lệ đoạn thẳng  
M chia AB theo tỉ số k nghĩa là MA kMB Trang 77 x kx A B x   M 1  k   y ky
Công thức tọa độ của M là : A B y   M 1  kz kzA B zM  1  k
1.1.8. Công thức trung điểm x x A B x   M 2      y y
Nếu M là trung điểm AB thìMA MB  0 A By   M 2  z zA B zM  2 
1.1.9. Công thức trọng tâm tam giác x xx A B C x   G 3      
y y y
Nếu G là trọng tâm của DABC thì GA GB GC  0 A B Cy   G 3 
z z zA B C zG  3 
1.1.10. Công thức trọng tâm tứ diện
Nếu G là trọng tâm của tứ diện ABCD thì 
x x x x A B C D x   G 4       
y y y y
GA GB GC GD  0 A B C Dy   G 4 
z z z zA B C D zG  4 
1.1.11. Tích có hướng 2 véc tơ  
Cho 2 véc tơ u a
( ;b;c) và v a ( ;
b ;c ) ta định nghĩa tích có hướng của 2 véc tơ đó là một     véc tơ, kí hiệu u  ,v    hay u
v có toạ độ:    b c c a a b u  ,v   ; ;
  bc bc;ca ac ;ab ba   
bccaab   
1.1.12. Tính chất tích có hướng 2 véc tơ  r r r r
[u, v ]vuông góc với u v  r r r r r r
[u,v ]= u . v sin(u, v) r  r r r r
[u,v ]= 0 Û u,v cùng phương
1.1.13. Ứng dụng tích có hướng 2 véc tơ  
 Diện tích hình bình hành  
ABCD : S A B, A D   Trang 78    1 Diện tích   DABC : S  . A B , A C 2        
 Ba véc tơ u,v,w đồng phẳng: u  ,vw .  0  
 Thể tích khối hộp có đáy hình bình hành ABCDvà cạnh bên ’ AA :
   V A
B,ADA . A  
    1
Thể tích khối tứ diện  
S.ABC :V  . A B , A C S . A 6  
1.2. Phương pháp giải 1 số bài toán thường gặp
1.2.1. Các phép toán về toạ độ của vectơ và của điểm Phương pháp giải
 Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian.
 Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.
1.2.2. Xác định điểm trong không gian. Chứng minh tính chất hình học. Diện tích – Thể tích Phương pháp giải
 Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian.
 Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.
 Công thức xác định toạ độ của các điểm đặc biệt.
 Tính chất hình học của các điểm đặc biệt:         ,
A B, C thẳng hàng   
A B, A C cùng phương  A B k A C A
B, A C   0  
ABCD là hình bình hành  AB DC  Cho A
BC có các chân E, F của các đường phân giác trong và ngoài của góc A của A
BC trên BC .     A B A B Ta có: EB   E . C , FB F . C A C A C
    ,
A B, C, D không đồng phẳng  A B , A C , A D không đồng phẳng
   A  B,AC    A . D  0 2. MẶT PHẲNG
2.1. Các khái niệm và tính chất
2.1.1. Khái niệm về véc tơ pháp tuyến  
n khác 0 và có giá vuông góc mp(P)được gọi là véc tơ pháp tuyến của (P).
2.1.2. Tính chất của véc tơ pháp tuyến  r
Nếu n là véc tơ pháp tuyến của (P)thì kn, (k ¹ 0) cũng là véc tơ pháp tuyến của (P).
2.1.3. Phương trình tổng quát của mp(P) Trang 79 
Phương trình tổng quát của mp(P)qua M x
( ;y ;z ) và có véc tơ pháp tuyến n  (A;B C ; ) 0 0 0
A(x x )  B y
(  y )  C (z z )  0 0 0 0
2.1.4. Khai triển của phương trình tổng quát
Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: A x By Cz D  0 (trong đó , A B, C
không đồng thời bằng 0)
2.1.5. Những trường hợp riêng của phương trình tổng quát
 (P) qua gốc tọa độ Û D = 0
 (P) song song hoặc trùng (OxyA = B = 0
 (P) song song hoặc trùng (OyzB = C = 0
 (P) song song hoặc trùng (OzxA = C = 0
 (P) song song hoặc chứa Ox Û A= 0
 (P) song song hoặc chứa Oy Û B = 0
 (P) song song hoặc chứa Oz Û C = 0
 (P) cắt Ox tại A( ;
a 0;0), cắt Oy tại B(0; ;
b 0) và cắt Oz tại C(0;0; c)Û (P)có phương x y z trình
   1a,b,c  0 a b c
2.1.6. Khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng
A x By Cz D Cho 0 0 0
M x ;y ;z và (P ) : A x By Cz D  0 ; d M ( , P ( ))  0 0 0 
A2  B 2  C 2
2.1.7. Chùm mặt phẳng Nội dung Hình vẽ
Tập hợp tất cả các mặt phẳng qua giao tuyến của hai
mặt phẳng   và ( ) được gọi là một chùm mặt phẳng
Gọi d  là giao tuyến của hai mặt phẳng
 : A x B y C z D  0và 1 1 1 1
 : A x B y C z D  0. 2 2 2 2
Khi đó nếu P  là mặt phẳng chứa d  thì mặt phẳng P  có dạng :
m(A x + B y + C z + D + n A x + B y + C z + D = 0 1 1 1 1 ) ( 2 2 2 2 ) Với 2 2
m + n ¹ 0
2.2. Viết phương trình mặt phẳng
Để lập phương trình mặt phẳng   ta cần xác định một điểm thuộc   và một VTPT của nó. 2.2.1. Dạng 1 Trang 80  
  đi qua điểm M x ;y ;z
n  A;B C ;  0 0 0  có VTPT thì:
 : A x x   B y y  C z z  0 0 0 0  2.2.2. Dạng 2        
đi qua điểm M x ;y ;z a,b n a  ,b   0 0 0  có cặp VTCP thì là một VTPT của 2.2.3. Dạng 3
đi qua điểm M x ;y ;z 0 0 0  và song song với
(b ): Ax + By + Cz = 0 thì
 : A x x   B y y  C z z  0 0 0 0  2.2.4. Dạng 4
đi qua 3 điểm không thẳng hàng A,B,C . Khi đó ta có thể xác định một VTPT của     là: n AB,AC     2.2.5. Dạng 5
đi qua một điểm M và một đường thẳng d không chứa M :  
Trên d  lấy điểm A và VTCP u .    
Một VTPT của   là: n AM,u     2.2.6. Dạng 6  
đi qua một điểm M , vuông góc với đường thẳng d  thì VTCP u của đường thẳng
d là một VTPT của . 2.2.7. Dạng 7
chứa đường thẳng cắt nhau d , d : 1 2   
Xác định các VTCP a,b của các đường thẳng d , d . 1 2    
Một VTPT của   là: n a  ,b  .
 Lấy một điểm M thuộc d
d M   . 2   1 hoặc 2.2.8. Dạng 8
chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng d (d ,d chéo nhau) : 1 2 1 2   
Xác định các VTCP a,b của các đường thẳng d , d . 1 2    
Một VTPT của   là: n a  ,b  .
 Lấy một điểm M thuộc d M   . 1   2.2.9. Dạng 9
đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau d ,d : 1 2   
Xác định các VTCP a,b của các đường thẳng d , d . 1 2    
Một VTPT của   là: n a  ,b  . Trang 81 2.2.10. Dạng 10
chứa một đường thẳng d và vuông góc với một mặt phẳng  :   
Xác định VTCP u của d và VTPT n của  .     
Một VTPT của   là: n u  ,n  .   
 Lấy một điểm M thuộc d M  . 2.2.11. Dạng 11
đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau  ,   :   
Xác định các VTPT n , n của   và  .      
Một VTPT của   là: n u  ,n  .     2.2.12. Dạng 12
chứa đường thẳng d cho trước và cách điểm M cho trước một khoảng k cho trước:
 Giả sử () có phương trình: A x By Cz+D  0 A2  B2 C 2  0.
 Lấy 2 điểm A, B  d   A, B    ( ta được hai phương trình ( ) 1 ,(2))
 Từ điều kiện khoảng cách d(M ,())  k , ta được phương trình 3.
 Giải hệ phương trình ( ) 1 ,(2),( )
3 (bằng cách cho giá trị một ẩn, tìm các ẩn còn lại). 2.2.13. Dạng 13
là tiếp xúc với mặt cầu Stại điểm H :
 Giả sử mặt cầu S có tâm I và bán kính R.  
 Một VTPT của  là: n IH
2.3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng P : Ax By Cz D  0 và P : A x   B y
 C z  D  0. Khi đó:
 P cắt P  A: B:C A: B:C .  A B C D
P // P     . ABCD  A B C D
P  P     . ABCD    
 P  P  n n n .n  0  AA BBCC  0.   P P  P P
2.4. Khoảng cách và hình chiếu
2.4.1. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng Trang 82
Khoảng cách từ điểm M x ; y ; z
() : A x By Cz D  0 0 0 0 0  đến mặt phẳng là     ,()  0  Ax By Cz D d M 0 0 0
A 2  B 2  C 2
2.4.2. Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt
phẳng này đến mặt phẳng kia.
2.4.3. Hình chiếu của 1 điểm lên mặt phẳng     ,
Điểm H là hình chiếu của điểm M trên P MH n cung phuong   . H  (P ) 
2.4.4. Điểm đối xứng của 1 điểm qua mặt phẳng  
Điểm M 'đối xứng với điểm M qua P   MM   M 2 H
2.5. Góc giữa hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng
, có phương trình: : A x B y C z D  0 1 1 1 1
 : A x B y C z D  0 2 2 2 2  
Góc giữa  ,   bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT n ,n . 1 2     cos (),() n n . A A B B C C 1 2 1 2 1 2 1 2     n . n
A2  B 2  C 2 . A2  B 2  C 2 1 2 1 1 1 2 2 2 0 · Chú ý: £ ( ( a ) (b)) 0 0 ,
£ 90 ; ()  ()  A A B B C C  0 1 2 1 2 1 2
2.6. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu. Phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu
Cho mặt phẳng  : Ax By Cz D
0 và mặt cầu S x a 2  y b 2  z c 2  R2 : ( ) ( ) ( ) có tâm I
  và S  không có điểm chung  d(I,())  R
  tiếp xúc với S   d(I,())  R với là tiếp diện
Để tìm toạ độ tiếp điểm ta có thể thực hiện như sau:
 Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của S  và vuông góc với  .
 Tìm toạ độ giao điểm H của d và  . H là tiếp điểm của S  với  .
  cắt S  theo một đường tròn  d(I,())  R
Để xác định tâm H và bán kính r của đường tròn giao tuyến ta có thể thực hiện như sau:
 Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của S và vuông góc với  .
 Tìm toạ độ giao điểm H của d và  . Với H là tâm của đường tròn giao tuyến
của S  với   .
 Bán kính r của đường tròn giao tuyến: r R 2 IH 2   Trang 83 3. ĐƯỜNG THẲNG
3.1. Phương trình của đường thẳng
3.1.1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
3.1.1.1. Ðịnh nghĩa  
Cho đường thẳng d . Nếu vectơ a  0 và có giá song song hoặc trùng với đường phẳng d  
thì a được gọi là vectơ chỉ phương của đường phẳng d . Kí hiệu: a a ( ;a ;a ) 1 2 3 3.1.1.2. Chú ý  
a là VTCP của d thì k a
. (k  0) cũng là VTCP của d 
 Nếu d đi qua hai điểm A, B thì A B là một VTCP của d  
 Trục Ox có vectơ chỉ phương a i  (1;0;0)  
 Trục Oy có vectơ chỉ phương a j  (0;1;0)  
 Trục Oz có vectơ chỉ phương a k  (0;0;1)
3.1.2.Phương trình tham số của đường thẳng
Phương trình tham số của đường thẳng () đi qua điểm M (x ;y ;z ) và nhận 0 0 0 0  a a
( ;a ;a ) làm VTCP là : 1 2 3  z a x   x ta 0 1  ( )  : y
  y ta R () 0 2 t  z z M 0ta 0 3 
M (x, y, z) y O x
3.1.3. Phương trình chính tắc của đường thẳng
Phương trình chính tắc của đường thẳng () đi qua điểm M (x ;y ;z ) và nhận 0 0 0 0  x x y y z z a a
( ;a ;a ) làm VTCP là ( 0 ) :  0 
0 a ,a ,a  0 1 2 3  1 2 3 a a a 1 2 3
3.2. Vị trí tương đối
3.2.1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng M a () ()   a n   n n M M  () a a a a
3.2.1.1. Phương pháp hình học Định lý Trang 84 x
  x a t (1) 0 1  
Trong không gian (Oxyz)cho đường thẳng ( )  : y
  y a t (2) có VTCP a a ( ;a ;a ) 0 2  1 2 3
z z a t (3) 0 3  
và qua M (x ;y ;z ) và mặt phẳng () : A x By Cz D  0 có VTPT n  (A;B C ; ) 0 0 0 0 Khi đó :  r r
(D)Ç(a a.n ¹ 0 Û Aa + Ba + Ca ¹ 0 1 2 3  ì r r a ï  a.n = 0
ìï Aa + Ba + Ca = 0  ï ï n (D )/ /(a ) 1 2 3 Û í Û í ï M Ï P
ï Ax + By + Cz ¹ 0 ï 0 ( ) î ïî 0 0 0 ì r r ï a.n = 0
ìï Aa + Ba + Ca = 0  ï ï a (D )Ð (a ) 1 2 3 Û í Û í ï M Î P
ï Ax + By + Cz = 0 ï 0 ( ) î ïî 0 0 0 Đặc biệt  
( ) (  )  a n cùng phương  a : a : a A : B : C 1 2 3
3.2.1.1. Phương pháp đại số pt()
Muốn tìm giao điểm M của  và   ta giải hệ phương trình: 
tìm x, y, z. Suy ra: pt() 
M x,y, z  . Thế  
1 , 2, 3 vào phương trình mp P và rút gọn dưa về dạng: at b  0 (*)
d cắt mp(P)tại một điểm Û pt( )
* có một nghiệm t .
d song song với (Ppt( ) * vô nghiệm.
d nằm trong P   Pt * có vô số nghiệm t .  
d vuông góc P   a n cùng phương
3.2.2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng     1 u 1 ' M a MM 0 0 u  0  1   bM ' M u u'    u'  0 0  1 2 u' 2 2 ' M M ' M 0  0 0 2
3.2.2.1. Phương pháp hình học
Cho hai đường thẳng:  đi qua M và có một vectơ chỉ phương u . 1 1  
đi qua N và có một vectơ chỉ phương u . 2 2         
 u ,u   u , MN  0.  1 2  1 1 2      u ,u   0     //  1 2     . 1 2  
u , MN  0 1   Trang 85    u ,u    0     cắt  1 2    .   1 2
u ,u .MN  0  1 2    
  và  chéo nhau  u ,u .MN  0.  1 2  1 2
3.2.2.2. Phương pháp đại số pt( )
Muốn tìm giao điểm M của ( ) va (  ) ta giải hệ phương trình : 1 
tìm x, y, z. Suy ra: 1 2 pt( )  2 
M x,y, z
3.2.3. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu x
  x a t (1) 0 1 
Cho đường thẳng d : y
  y a t (2) và mặt cầu S  : x a 2  y
(  b 2  z c 2  R 2 ( ) ) ( ) có tâm 0 2
z z a t (3) 0 3  I a
( ;b;c) , bán kính R .
3.2.3.1. Phương pháp hình học  Bước 1:
Tính khoảng cách từ tâm I của mặt cầu S  đến đường thẳng d là   IM a. 0  
h d(I ,d)   a  Bước 2:
So sánh d(I ,d) với bán kính R của mặt cầu:
 Nếu d(I ,d)  R thì d không cắt S
 Nếu d(I ,d)  R thì d tiếp xúc S
 Nếu d(I ,d)  R thì d cắt S  tại hai điểm phân biệt M , N MN vuông góc
vớiđường kính (bán kính) mặt cầu
3.2.2.2. Phương pháp đại số Thế  
1 , 2, 3 vào phương trình S  và rút gọn đưa về phương trình bậc hai theo t *  Nếu phương trình ( )
* vô nghiệm thì d không cắt (S )
 Nếu phương trình * có một nghiệm thì d tiếp xúc S
 Nếu phương trình * có hai nghiệm thì d cắt S  tại hai điểm phân biệt M, N Chú ý:
Ðể tìm tọa độ M , N ta thay giá trị t vào phương trình đường thẳng d
3.3.Góc trong không gian
3.3.1. Góc giữa hai mặt phẳng Trang 86 Nội dung Hình vẽ Định lý
Trong không gian (Oxyz) cho hai mặt phẳng ,  xác
định bởi phương trình :
() : A x B y C z D  0 1 1 1 1
( ) : A x B y C z D  0 2 2 2 2
Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng () & ( ) ta có công thức:
A A B B C C 1 2 1 2 1 2 cos  
A 2  B 2  C 2 . A 2  B 2  C 2 1 1 1 2 2 2
3.3.2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Nội dung Hình vẽ x x y y z z Cho đường thẳng 0 0 0 ( )  :   a b c
và mặt phẳng () : A x By Cz D  0
Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng () & () ta có công thức:
A a Bb Cc sin  
A2  B 2  C 2 . a2  b2  c2
3.3.3. Góc giữa hai đường thẳng Nội dung Hình vẽ
Cho hai đường thẳng : x x y y z  ( 0 ) :  0  z0 1 a b c x x y yz z  ( 0 ) :  0  0 2 a ' b' c'
Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng ( ) & ( ) ta có công 1 2
aa '  bb'  cc' thức: cos 
a2  b2  c2 . a '2  b'2  c'2 3.4. Khoảng cách
3.4.1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Nội dung Hình vẽ
Cho mặt phẳng () : A x By Cz D  0 và điểm
M (x ;y ;z ) 0 0 0 0
Khoảng cách từ điểm M ( ) 0 đến mặt phẳng được tính bởi : Trang 87
A x By Cz D d M 0 0 0 ( ; )   0
A2  B 2  C 2
3.4.2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Nội dung Hình vẽ
Cho đường thẳng () đi qua điểm M (x ;y ;z ) và có 0 0 0 0  VTCP u a
( ;b;c) . Khi đó khoảng cách từ điểm M  1 đến ( )
được tính bởi công thức:   MM ;u  0 1   d(M , )    1 u
3.4.3. Khoảng cách giữa đường thẳng chéo nhau Nội dung Hình vẽ Định lý:
Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng chéo nhau : 
( ) co V T CP u a
( ;b;c) va qua M x ( ;y ;z ) 1 0 0 0 0  ' ' ' ' ' ' ' '
( ) co V T CP u a
( ;b ;c ) va qua M x ( ;y ;z ) 2 0 0 0 0
Khi đó khoảng cách giữa ( ) va (  ) được tính bởi 1 2
   u  ,u ' M . M ' 0 0  
công thứcd( ,  )    1 2 u  ;u '  
3.5. Lập phương trình đường thẳng
Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định 1 điểm thuộc d và một VTCP của nó. 3.5.1. Dạng 1 x
  x a to 1 
d đi qua điểm M (x ;y ;z ) và có VTCP a a
( ;a ;a ) là d ( ) : y
  y a t ( t R ) . 0 0 0 0 1 2 3 o 2
z z a t o 3  3.5.2. Dạng 2 
d đi qua hai điểm A, B : Một VTCP của d A B . 3.5.3. Dạng 3
d đi qua điểm M (x ;y ;z ) và song song với đường thẳng  cho trước: Vì d / /  nên 0 0 0 0
VTCP của  cũng là VTCP của d . 3.5.4. Dạng 4
d đi qua điểm M (x ;y ;z ) và vuông góc với mặt phẳng P  cho trước: Vì d  P  nên 0 0 0 0
VTPT của P  cũng là VTCP của d . 3.5.5. Dạng 5 Trang 88
d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P),(Q):  Cách 1:
Tìm một điểm và một VTCP. (  )
 Tìm toạ độ một điểm A P
d : bằng cách giải hệ phương trình  (với việc chọn Q ( ) 
giá trị cho một ẩn)    
Tìm một VTCP của d : a n  ,n P Q   Cách 2:
Tìm hai điểm A, B thuộc d , rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó. 3.5.6. Dạng 6
d đi qua điểm M (x ;y ;z ) và vuông góc với hai đường thẳng d ,d : 0 0 0 0 1 2   
d d , d d nên một VTCP của d là: a a  ,a  1 2 d d   1 2 3.5.7. Dạng 7
d đi qua điểm M (x ;y ;z ) , vuông góc và cắt đường thẳng  . 0 0 0 0  Cách 1: H    
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng  . Thì   . Khi 0 M H u  0  
đó đường thẳng d là đường thẳng đi qua M , H . 0  Cách 2:
Gọi P  là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d ; Q  là mặt phẳng đi qua A
chứa d. Khi đó d  P   Q 3.5.8. Dạng 8
d đi qua điểm M (x ;y ;z ) và cắt hai đường thẳng d ,d : 0 0 0 0 1 2  Cách 1:
Gọi M d , M d . Từ điều kiện M , M , M thẳng hàng ta tìm được M , M . Từ 1 1 2 2 1 2 1 2
đó suy ra phương trình đường thẳng d .  Cách 2:
Gọi P   M (
,d ) , Q   M (
,d ) . Khi đó d  P   Q . Do đó, một VTCP củad có 0 1 0 2   
thể chọn là a n  ,n  . P Q 3.5.9. Dạng 9
d nằm trong mặt phẳng P  và cắt cả hai đường thẳng d ,d : 1 2
Tìm các giao điểm A d  P , B d  P . 1 2 
Khi đó d chính là đường thẳng A B . 3.5.10. Dạng 10
Viết phương trình mặt phẳng P  chứa  và d , mặt phẳng Q  chứa  và d . 1 2 Trang 89
Khi đó d  P   Q . 3.5.11. Dạng 11
d là đường vuông góc chung của hai đường thẳngd , d chéo nhau: 1 2  Cách 1:  
Gọi M d , M MN d
d . Từ điều kiện 1 
, ta tìm được M , N . Khi đó,d là đường 1 1 2 2 MN d  2  thẳngMN .  Cách 2:   
 Vì d d d d nên một VTCP của d có thể là: a a  ,a  . 1 2 d d   1 2
 Lập phương trình mặt phẳng P  chứad d , bằng cách: 1
 Lấy một điểm A trên d . 1   
 Một VTPT của P  có thể là: n a  ,a  . P d   1
 Tương tự lập phương trình mặt phẳng Q  chứad d . Khi đó d  P   Q . 2 3.5.12. Dạng 12
d là hình chiếu của đường thẳng  lên mặt phẳng (P) thì ta Lập phương trình mặt phẳng
Qchứa  và vuông góc với mặt phẳng P  bằng cách:  Lấy M   .    
Vì Q  chứa  và vuông góc với P  nên n a  ,n     . Q P
 Khi đó d  P   Q. 3.5.13. Dạng 13
d đi qua điểm M , vuông góc với d và cắt d : 1 2  Cách 1:
Gọi N là giao điểm củad d . Từ điều kiện MN d , ta tìm được N . Khi đó,d là 2 1
đường thẳng MN .  Cách 2:
 Viết phương trình mặt phẳng P  qua M và vuông góc với d . 1
 Viết phương trình mặt phẳng Q chứa M d . 2
 Khi đó d  P   Q .
3.6. Vị trí tương đối
3.6.1. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Để xét VTTĐ giữa hai đường thẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau:
 Phương pháp hình học:
Dựa vào mối quan hệ giữa các VTCP và các điểm thuộc các đường thẳng.
 Phương pháp đại số: Trang 90
Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình các đường thẳng.
3.6.2. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
Để xét VTTĐ giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau:
 Phương pháp hình học:
Dựa vào mối quan hệ giữa VTCP của đường thẳng và VTPT của mặt phẳng.
 Phương pháp đại số:
Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và mặt phẳng.
3.6.3. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu
Để xét VTTĐ giữa đường thẳng và mặt cầu ta có thể sử dụng các phương pháp sau:
 Phương pháp hình học:
Dựa vào khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng và bán kính.
 Phương pháp đại số:
Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và mặt cầu. 3.7. Khoảng cách
3.7.1. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d  Cách 1:     M M ,a  
Cho đường thẳng d đi qua M và có VTCP a thì d(M ,d 0 )   0 a  Cách 2:
 Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên đường thẳng d.
d M,d  MH.  Cách 3:
 Gọi N x; y; z  d. Tính MN 2 theo t t( tham số trong phương trình đường thẳng d ).
 Tìm t để MN 2 nhỏ nhất.
 Khi đó N H. Do đó d M,d   MH.
3.7.2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cho hai đường thẳng chéo nhau d d . Biết d đi qua điểm M1 và có VTCP a , d đi 1 2 1 1 2     a  ,a M . M  
qua điểm M và có VTCP a thì d d ( ,d 1 2 1 2 )  2 2 1 2   a  ,a   1 2  Chú ý:
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhaud , d d 1
2 bằng khoảng cách giữa với mặt 1
phẳng   chứa d và song song với d . 2 1
3.7.3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm thuộc
đường thẳng này đến đường thẳng kia. Trang 91
3.7.4. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa đường thẳngd với mặt phẳng   song song với nó bằng khoảng cách
từ một điểm M bất kì trênd đến mặt phẳng   . 3.8. Góc
3.8.1. Góc giữa hai đường thẳng  
Cho hai đường thẳngd , d lần lượt có các VTCP a ,a . 1 2 1 2       .
Góc giữad , d bằng hoặc bù với góc giữa a ,a là: cos  ,  1 2  a a a a 1 2   1 2 1 2 a . a 1 2
3.8.2. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng  
Cho đường thẳng d có VTCP a a
( ;a ;a ) và mặt phẳng   có VTPT n  (A;B C ; ) . 1 2 3
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng   bằng góc giữa đường thẳng d với hình chiếu ·
Aa + Ba + Ca
d ' của nó trên   là: sin(d,(a )) 1 2 3 = 2 2 2 2 2 2 A + B + C a + a + a 1 2 3 4. MẶT CẦU
4.1. Phương trình mặt cầu
4.1.1. Phương trình chính tắc
Phương trình của mặt cầu S  tâm I a;b;c, bán kính R là: S
x a 2  y b 2  z c 2  R 2 ( ) : ( ) ( ) ( )  1
Phương trình 1 được gọi là phương trình chính tắc của mặt cầu
Đặc biệt: Khi I O thì C x 2 y 2 z 2 R 2 ( ) :   
4.1.2. Phương trình tổng quát
Phương trình : x 2  y2  z2  a 2 x b 2 y c
2 z d  0 với a 2  b2  c2  d  0 là phương trình
của mặt cầu S  có tâm I a;b;c, bán kínhR a2 b2 c2     d .
4.2. Giao của mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt phẳng ( ) và mặt cầu S  có phương trình :
() : A x By Cz D  0 S ( ) : x (  a 2 )  y (  b 2 )  z (  c 2 )  R 2
Gọi d(I ;) là khoảng cách từ tâm mặt cầu S  đến mặt phẳng 
Cho mặt cầu SI; R và mặt phẳng P .
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên P  d IH dI,P . d R d R d R Trang 92 Mặt cầu và mặt phẳng
Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu:
Mặt phẳng cắt mặt cầu không có điểm chung.
P  là mặt phẳng tiếp diện của theo thiết diện là đường
tròn có tâm I  và bán kính
mặt cầu và H : tiếp điểm. r R 2 IH 2  
4.3. Một số bài toán liên quan 4.3.1. Dạng 1
S  có tâm I a;b;c và bán kính R thì S x a 2  y b 2  z c 2  R2 : ( ) ( ) ( ) 4.3.2. Dạng 2
S  có tâm I a;b;c và đi qua điểm A thì bán kính R IA. 4.3.3. Dạng 3
S  nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính:
 Tâm I là trung điểm của đoạn thẳng x x y y z z A B A B A B A B : x  ; y  ; z I I I 2 2 2  A B
Bán kính R IA  . 2 4.3.4. Dạng 4
S  đi qua bốn điểm A,B,C,D ( mặt cầu ngoại tiếp tứ diện)
 Giả sử phương trình mặt cầu S  có dạng:
x 2  y 2  z 2  a 2 x b 2 y c
2 z d  0 *.
 Thay lần lượt toạ độ của các điểm A,B,C ,D vào *, ta được 4 phương trình.
 Giải hệ phương trình đó, ta tìm được a,b,c,d  Phương trình mặt cầu S  . 4.3.5. Dạng 5
S  đi qua ba điểm A,B,C và có tâm I nằm trên mặt phẳng P  cho trước thì giải tương tự dạng 4 4.3.6. Dạng 6
S  có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu T  cho trước:
 Xác định tâm I và bán kính R ' của mặt cầu T .
 Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai mặt cầu để tính bán kính R của mặt cầu S  .
(Xét hai trường hợp tiếp xúc trong và ngoài) Trang 93 Chú ý:
Với phương trình mặt cầu S x2  y2  z2 :  a 2 x b 2 y c 2 z d  0
với a2  b2  c2  d  0 thì S  có tâm I a – ; b – ; c
–  và bán kính R a2 b2 c2     d . Đặc biệt:
Cho hai mặt cầu S I , R S I , R . 2 2 2  1 1 1 
I I R R  S , S trong nhau 1 2  1 2 1 2
I I R R  S , S ngoài nhau 1 2  1 2 1 2
I I R R  S , S tiếp xúc trong 1 2  1 2 1 2
I I R R  S , S tiếp xúc ngoài 1 2  1 2 1 2
R R I I R R  S , S cắt nhau theo một đường tròn (đường tròn 1 2  1 2 1 2 1 2 giao tuyến). 4.3.7. Dạng 7
Viết phương trình mặt cầu S  có tâm I a;b;c , tiếp xúc với mặt phẳng P  cho trước thì
bán kính mặt cầu R d I ;P 4.3.8. Dạng 8
Viết phương trình mặt cầu S  có tâm I a;b;c , cắt mặt phẳng P  cho trước theo giao
tuyến là một đường tròn thoả điều kiện .
 Đường tròn cho trước (bán kính hoặc diện tích hoặc chu vi) thì từ công thức diện tích
đường tròn S r 2
 hoặc chu vi đường tròn P  2r ta tìm được bán kính đường tròn giao tuyến r .
 Tính d d I,P
 Tính bán kính mặt cầu R d 2 r 2  
 Kết luận phương trình mặt cầu. 4.3.9. Dạng 9
Viết phương trình mặt cầu S  tiếp xúc với một đường thẳng  cho trước và có tâm
I a;b;c cho trước thì đường thẳng  tiếp xúc với mặt cầu S  ta có R d I,  . 4.3.10. Dạng 10
Viết phương trình mặt cầu S  tiếp xúc với một đường thẳng  tại tiếp điểm M x ,y ,z o o o
thuộc  và có tâm I thuộc đường thẳng d cho trước thì ta làm như sau:
 Viết phương trình mặt phẳng P  đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng  .
 Toạ độ tâm I  P    là nghiệm của phương trình.
 Bán kính mặt cầu R IM d I, .
 Kết luận về phương trình mặt cầu S Trang 94 4.3.10. Dạng 10
Viết phương trình mặt cầu S  có tâm I a;b;c và cắt đường thẳng  tại hai điểm A,B thoả mãn điều kiện:
 Độ dài A B là một hằng số.
 Tam giác IAB là tam giác vuông.
 Tam giác IAB là tam giác đều. A B
Thì ta xác định d I,   IH , vì IA B cân tại I nên HB
và bán kính mặt cầu R 2 được tính như sau:  R IH 2 HB 2    IH R o sin 45  IH R o sin 60 4.3.11. Dạng 11
Tập hợp điểm là mặt cầu. Giả sử tìm tập hợp điểm M thoả tính chất P  nào đó.
 Tìm hệ thức giữa các toạ độ x, y, z của điểm M .
x a 2  y b 2  z c 2  R 2 ( ) ( ) ( )
hoặc: x 2  y2  z2  a 2 x b 2 y c
2 z d  0
 Tìm giới hạn quĩ tích (nếu có). 4.3.12. Dạng 12
Tìm tập hợp tâm mặt cầu x   f t() 
 Tìm toạ độ của tâm I , chẳng hạn: y
  g t()  * z h t() 
 Khử t trong * ta có phương trình tập hợp điểm.
 Tìm giới hạn quĩ tích (nếu có).
5. MỘT SỐ DẠNG GIẢI NHANH CỰC TRỊ KHÔNG GIAN 5.1. Dạng 1
Cho P  và hai điểm , A .
B Tìm M  P để MA MB  ? min Phương pháp
 Nếu A B trái phía so với P   M,A,B thẳng hàng M AB  P
 Nếu A B cùng phía so với P  thì tìm B ' là đối xứng của B qua P 5.2. Dạng 2
Cho P  và hai điểm , A .
B Tìm M  P  để MA MB ? max Phương pháp Trang 95
 Nếu A B cùng phía so với P   M,A,B thẳng hàng M AB  P
 Nếu A B trái phía so với P  thì tìm B ' là đối xứng của B qua P
MA MB '  AB ' 5.3. Dạng 3
Cho điểm M x ;y ;z M M
M  không thuộc các trục và mặt phẳng tọa độ. Viết phương trình
P  qua M và cắt 3 tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C sao cho V nhỏ nhất? O .A BC x y z Phương pháp P  :    1 x 3 y 3 z 3 M M M 5.4. Dạng 4
Viết phương trình mặt phẳng P  chứa đường thẳng d , sao cho khoảng cách từ điểm
M d đến P  là lớn nhất? Qua AdPhương pháp P  :        n   P
ud , A M , ud       5.5. Dạng 5
Viết phương trình mặt phẳng P  quaA và cách M một khảng lớn nhất ? Qua APhương pháp P  :   n    P A M5.6. Dạng 6
Viết phương trình mặt phẳng P  chứa đường thẳng d , sao cho P  tạo với  (  không
song song với d ) một góc lớn nhất là lớn nhất ? Qua AdPhương pháp P  :        n   P
ud , u  , ud       5.7. Dạng 7
Cho  / / P  . Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) song song với  và cách
 một khoảng nhỏ nhất ? Phương pháp Qua A  
Lấy A   , gọi A  là hình chiếu vuông góc của A trên P  thì d :   . u d u   Trang 96 5.8. Dạng 8
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A cho trước và nằm trong mặt phẳng P
cho trước sao cho khoảng cách từ điểm M cho trước đến d là lớn nhất ( A M không vuông
góc với P  ) ? Qua AdPhương pháp d :    u    d
n P , A M    5.9. Dạng 9
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A cho trước và nằm trong mặt phẳng P
cho trước sao cho khoảng cách từ điểm M cho trước đến d là nhỏ nhất ( A M không vuông
góc với P  ) ? Qua AdPhương pháp d :        u d
n P , A M , n P        5.10. Dạng 10
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A  P  cho trước, sao cho d nằm trong
P và tạo với đường thẳng  một góc nhỏ nhất ( cắt nhưng không vuông góc với P )? Phương pháp Qua Add :        u d
n P , A M , n P        MỤC LỤC
PHẦN I. KHỐI ĐA DIỆN.................................................................................................. 51
1. KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHÓP .......................................................................... 51
2. KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN ............................................ 51
2.1. Khái niệm về hình đa diện ..................................................................................... 51
2.2. Khái niệm về khối đa diện ..................................................................................... 51
3. HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU .................................................................................... 52
3.1. Phép dời hình trong không gian ............................................................................ 52
3.2. Hai hình bằng nhau ............................................................................................... 53
4. PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN ................................................. 53 Trang 97
5. KHỐI ĐA DIỆN LỒI ................................................................................................... 53
5.1. Khối đa diện lồi ...................................................................................................... 53
5.2. Khối đa diện đều .................................................................................................... 54
5.3. Một số kết quả quan trọng về khối đa diện lồi ....................................................... 55
6. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN ........................................................................................ 55
6.1. Thể tích khối chóp .................................................................................................. 55
6.2. Thể tích khối lăng trụ ............................................................................................. 55
6.3. Thể tích khối hộp chữ nhật ..................................................................................... 56
6.4. Thể tích khối lập phương ....................................................................................... 56
6.5. Tỉ số thể tích ........................................................................................................... 56
6.6. Một số chú ý về độ dài các đường đặc biệt ............................................................. 56
7. CÁC CÔNG THỨC HÌNH PHẲNG ........................................................................... 56
7.1. Hệ thức lượng trong tam giác ................................................................................ 56
7.2. Các công thức tính diện tích ................................................................................... 57
8. MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP THƯỜNG GẶP . 58
9. CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT THỂ TÍCH TỨ DIỆN ................................................ 60
PHẦN II. MẶT NÓN - MẶT TRỤ - MẶT CẦU ................................................................. 61
1. MẶT NÓN TRÒN XOAY VÀ KHỐI NÓN ................................................................. 61
1.1. Mặt nón tròn xoay .................................................................................................. 61
1.2. Khối nón ................................................................................................................ 61
1.3. Thiết diện khi cắt bởi mặt phẳng ............................................................................ 62
2. MẶT TRỤ TRÒN XOAY ............................................................................................. 62
2.1. Mặt trụ ................................................................................................................... 62
2.2. Hình trụ tròn xoay và khối trụ tròn xoay ............................................................... 62
3. MẶT CẦU – KHỐI CẦU ............................................................................................. 63
3.1. Mặt cầu .................................................................................................................. 63
3.2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng ........................................................... 63
3.3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng ....................................................... 64
3.4. Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu ............................................................ 64
4. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÔNG THỨC GIẢI ...................................................... 65
4.1. Bài toán mặt nón .................................................................................................... 65
4.2. Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt trụ .............................................. 68
5. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÔNG THỨC GIẢI BÀI TOÁN MẶT CẦU ................. 69
5.1. Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ............................................................................. 69
5.2. Kỹ thuật xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp..................................................... 72
5.3. Kỹ năng xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy ...................................... 72 Trang 98
5.4. Kỹ thuật sử dụng hai trục xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện ...................... 73
5.5. Tổng kết các dạng tìm tâm và bán kính mặt cầu .................................................... 74
6. TỔNG HỢP CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT VỀ KHỐI TRÒN XOAY ...................... 75
6.1. Chỏm cầu .............................................................................................................. 75
6.2. Hình trụ cụt .......................................................................................................... 75
6.3. Hình nêm loại 1 .................................................................................................... 75
6.4. Hình nêm loại 2 .................................................................................................... 76
6.5. Parabol bậc hai-Paraboloid tròn xoay .................................................................... 76
6.6. Diện tích Elip và Thể tích khối tròn xoay sinh bởi Elip .......................................... 76
6.7. Diện tích hình vành khăn ...................................................................................... 76
6.8. Thể tích hình xuyến (phao) .................................................................................... 76
PHẦN 3. HỆ TRỤC TỌA ÐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ ........................................ 76
1. HỆ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN ..................................................................................... 77
1.1. Các khái niệm và tính chất ..................................................................................... 77
1.2. Phương pháp giải 1 số bài toán thường gặp ........................................................... 79
2. MẶT PHẲNG ............................................................................................................. 79
2.1. Các khái niệm và tính chất ..................................................................................... 79
2.2. Viết phương trình mặt phẳng ................................................................................ 80
2.3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng ........................................................................ 82
2.4. Khoảng cách và hình chiếu .................................................................................... 82
2.5. Góc giữa hai mặt phẳng ........................................................................................ 83
2.6. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu. Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
.................................................................................................................................... 83
3. ĐƯỜNG THẲNG ....................................................................................................... 84
3.1. Phương trình của đường thẳng .............................................................................. 84
3.2. Vị trí tương đối ...................................................................................................... 84
3.3. Góc trong không gian ............................................................................................ 86
3.4. Khoảng cách .......................................................................................................... 87
3.5. Lập phương trình đường thẳng ............................................................................. 88
3.6. Vị trí tương đối ...................................................................................................... 90
3.7. Khoảng cách .......................................................................................................... 91
3.8. Góc ........................................................................................................................ 92
4. MẶT CẦU ................................................................................................................... 92
4.1. Phương trình mặt cầu ............................................................................................ 92
4.2. Giao của mặt cầu và mặt phẳng ............................................................................. 92
4.3. Một số bài toán liên quan ....................................................................................... 93 Trang 99
5. MỘT SỐ DẠNG GIẢI NHANH CỰC TRỊ KHÔNG GIAN ....................................... 95
5.1. Dạng 1.................................................................................................................... 95
5.2. Dạng 2.................................................................................................................... 95
5.3. Dạng 3.................................................................................................................... 96
5.4. Dạng 4.................................................................................................................... 96
5.5. Dạng 5.................................................................................................................... 96
5.6. Dạng 6.................................................................................................................... 96
5.7. Dạng 7.................................................................................................................... 96
5.8. Dạng 8.................................................................................................................... 97
5.9. Dạng 9.................................................................................................................... 97
5.10. Dạng 10 ................................................................................................................ 97 Trang 100