Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ trong chứng minh bất đẳng thức

Tài liệu gồm 18 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Phạm Văn Quý, hướng dẫn kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ trong chứng minh bất đẳng thức, đây là dạng toán khó thường gặp 

75 38 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu ôn thi vào 10 môn Toán

Môn: Môn Toán

Thông tin:

18 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Nguyễn Vân
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ TRONG
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
GIÁO VIÊN: TH.S PHẠM VĂN QUÝ – 0943.911.606
1. MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ THƯỜNG SỬ DỤNG
1)
2 2 2
a b c ab bc ca+ + + +
,
,,a b c R
.
2)
2
.
2
ab
ab
+



,
,0ab
3)
3
..
3
abc
abc
++



,
,0ab
4)
( )
11
4ab
ab

+ +


,
a, b > 0
5)
,
a, b > 0
6)
( )
1 1 1
9abc
abc

+ + + +


,
a, b, c > 0
7)
1 1 1 9
a b c a b c
+ +
++
,
a, b > 0
8)
2
22
, , .
22
a b a b
a b R
++



9)
3
33
22
a b a b++



,với
,0ab
.
10)
22
n
nn
a b a b++



,với
,0ab
,
*nN
.
11)
( )
2
2 2 2
,,
3
abc
a b c a b R
++
+ +
.
12)
( ) ( )
2
3 , ,a b c ab bc ca a b R+ + + +
13)
( )
33
, , 0a b ab a b a b+ +
14)
( )
4 4 2 2
, , 0a b ab a b a b+ +
15)
( )
5 5 2 2
, , 0a b a b a b a b+ +
16)
( )
2
22
3
,,
4
ab
a ab b a b R
+
+ +
17)
22
22
22
1
, , , 0
3
a ab b
a b R a b
a ab b
−+
+
++
18)
( )
2
(1 )(1 ) 1 , , 0a b ab a b+ + +
19)
( )
3
3
(1 )(1 )(1 ) 1 , , , 0a b c abc a b c+ + + +
20)
22
1 1 2
1 1 1a b ab
+
+ + +
, với
1.ab
2. CÁC BÀI TOÁN ÁP DỤNG
Bài 1. Cho
, , 0x y z
. Chứng minh rằng:
( )
2 2 2 2 2 2
3x xy y y yz z z xz x x y z+ + + + + + + + + +
Giải
Ta luôn có bất đẳng thức:
( )
2
22
3
, , (*).
4
ab
a ab b a b
+
+ +
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Thật vậy
( )
( )
2
2 2 2 2 2 2
(*) 4 4 4 3 2 2 0 0a ab b a ab b a ab b a b + + + + − + −
(luôn đúng).
Dấu “=” xảy ra
.ab=
Áp dụng (*) ta có:
( )
( )
2
22
3
3
42
xy
x xy y x y
+
+ + = +
Tương tự ta có:
( )
22
3
2
y yz z y z+ + +
và
( )
22
3
2
z zx x z x+ + +
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta có:
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
3
2 2 2 3 ,
2
x xy y y yz z z xz x x y z x y z+ + + + + + + + + + = + +
(đpcm)
Dấu “=” xảy ra
.
xy
y z x y z
zx
=
= = =
=
Bài 2. Cho
, , 0abc
thỏa
1 2 3
1
abc
++
. Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2
2 4 4 6 9 9 3
3
b ab a c bc b a ac c
ab bc ca
+ + + + + +
+ +
Giải
Ta có
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 4 4 6 9 9 3b ab a c bc b a ac c
VT
a b b c c a
+ + + + + +
= + +
2 2 2 2 2 2
1 2 4 4 6 9 9 3 1
a ab b b bc c c ac a
= + + + + + + + +
Đặt
1 2 3
; ; , , 0.x y z x y z
a b c
= = =
Ta có:
2 2 2 2 2 2
VT x xy y y yz z z xz x= + + + + + + + +
Theo bài 1 ta có:
( )
2 2 2 2 2 2
3x xy y y yz z z xz x x y z+ + + + + + + + + +
Mặt khác
( )
1 2 3
3 3 3.1 3.x y z
abc

+ + = + + =


Do đó
3,VT VP=
(đpcm).
Dấu “=” xảy ra
1 2 3
3
1 2 3 1
6.
1 2 3
1 2 3
3
1
1
9
a
x y z
abc
b
abc
c
abc
abc
=
==
==
= = = =
+ + =
+ + =
=
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Bài 3. Cho
, , 0x y z
và
xy yz zx xyz+ + =
. Chứng minh rằng:
2 2 2 2
22
22
2
3
y x z y
xz
xy yz zx
++
+
+ +
Giải
Ta luôn có bất đẳng thức:
( )
2
2 2 2
, , (*).
3
abc
a b c a b
++
+ +
Thật vậy
( )
2 2 2 2 2 2
(*) 3 3 3 2 2 2a b c a b c ab bc ca + + + + + + +
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 0 0a ab b b bc c c ca a a b b c c a − + + − + + − + − + − + −
(luôn đúng).
Dấu “=” xảy ra
.abc = =
Áp dụng (*) ta có:
( )
2
2 2 2 2 2
2
1 2 1 2
3
33
y x x
y x y x x
y x yz xz
xy xy xy xy xyz
++
+ + +
++
= = =
Tương tự ta có:
22
2
12
3
zy
zx yx
yz xyz
+
+
và
22
2 1 2
3
x z xy zy
zx xyz
++
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta có:
( )
2 2 2 2
22
3
22
2 1 2 2 2 1 3
.3
3 3 3.
xy yz zx
y x z y
x z yz xz zx yx xy zy xyz
xy yz zx xyz xyz xyz xyz
xyz
++
++

+ + + +
+ + + + = = =


(đpcm).
Dấu “=” xảy ra
3.
xy
yz
x y z
zx
xy yz zx xyz
=
=
= = =
=
++=
Bình luận: Nếu không có giả thiết
xy yz zx xyz+ + =
thì bất đẳng thức trở thành:
( )
2 2 2 2
22
3
22
2
xy yz zx
y x z y
xz
xy yz zx xyz
++
++
+
+ +
. Đến đây tùy theo sự sáng tạo của người ra đề ta có
nhiều bài toán mới rất thú vị.
1) Hướng 1: Rút gọn mẫu ở 2 vế được bất đẳng thức đơn giản.
2) Hướng 2: Biến đổi
( )
3
1 1 1
3.
xy yz zx
xyz x y z
++

= + +


3) Hướng 3: Sử dụng bất đẳng thức phụ
1 1 1 9
x y z x y z
+ +
++
4) Hướng 4: Cho thêm các điều kiện như
1; 3;...x y z xyz+ +
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Bài 4. (Chuyên toán tỉnh Gia Lai 2020) Cho các số dương
,,x y z
thỏa
1 1 1
2020
x y y z z x
+ +
+ + +
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2 2 2
22
22
2
y x z y
xz
P
xy yz zx
++
+
= + +
.
Giải
Ta luôn có bất đẳng thức:
( )
2
2 2 2
, , (*).
3
abc
a b c a b
++
+ +
Thật vậy
( )
2 2 2 2 2 2
(*) 3 3 3 2 2 2a b c a b c ab bc ca + + + + + + +
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 0 0a ab b b bc c c ca a a b b c c a − + + − + + − + − + − + −
(luôn đúng).
Dấu “=” xảy ra
.abc = =
Áp dụng (*) ta có:
( ) ( )
22
2 2 2 2 2
2
2
33
y x x y x
y x y x x
+ + +
+ = + + =
22
2
1 2 3 1 2
3
3
yx
yx
xy xy x y
+

+
= +


Chứng minh tương tự ta có:
22
2
3 1 2
3
zy
yz y z
+

+


và
22
2 3 1 2
3
xz
zx z x
+

+


3 1 2 1 2 1 2
3
P
x y y z z x

+ + + + +


3 3 3 3
3
P
x y z

+ +


1 1 1
3P
x y z

+ +


( )
1
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức
1 1 4
a b a b
+
+
. Hay
1 1 1 1
4a b a b

+

+

dấu “=” xảy ra khi
ab=
ta
được
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2020
4x y y z z x x y y z z x

+ + + + + + +

+ + +

1 1 1 1 1 1 1
2020
2x y y z z x x y z

+ + + +

+ + +

1 1 1
4040
x y z
+ +
( )
2
Từ
( )
1
và
( )
2
4040 3P
. Dấu
""=
xảy ra khi
4040
3
x y z= = =
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Vậy giá trị nhỏ nhất của
P
là
4040 3
, khi
4040
3
x y z= = =
.
Bài 5. Cho
, , 0.x y z
Chứng minh rằng:
( )
3 3 3
3 3 3
1 1 1 3
2
y z z x x y
x y z
x y z x y z
+ + +
+ + + + + +
.
Giải
+) Ta luôn có bất đẳng thức:
33
( ), , 0 (*).a b ab a b a b+ +
Thật vậy
( )
( ) ( )
2 2 2 2
(*) ( ) 0 ( ) 2 0a b a ab b ab a b a b a ab b + − + − + + − +
( )( )
2
0a b a b + −
(luôn đúng). Dấu “=” xảy ra
.ab=
+) Áp dụng (*) ta có:
33
()x y xy x y+ +
33
()y z yz y z+ +
33
()z x zx z x+ +
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta có:
( )
3 3 3
2 ( ) ( ) ( ),(**).x y z xy x y yz y z zx z x+ + + + + + +
+) Áp dụng bất đăng thức Cauchy ta có:
3
3 3 3 3 3 3 3 3 3
1 1 1 1 1 1 1 3
3
x y z x y z x y z xyz
+ + + +
, (***).
+) Nhân vế theo vế (**) và (***) ta có:
( )
3 3 3
3 3 3
1 1 1 3
2 ( ) ( ) ( )x y z xy x y yz y z zx z x
x y z xyz

+ + + + + + + + +


( )
3 3 3
3 3 3
1 1 1 3
,
2
y z z x x y
x y z
x y z x y z
+ + +
+ + + + + +
(đpcm).
+) Dấu “=” xảy ra
.x y z = =
Bài 6. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng:
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
x y xyz y z xyz z x xyz xyz
+ +
+ + + + + +
Giải
+) Ta luôn có bất đẳng thức:
33
( ), , 0 (*).a b ab a b a b+ +
Thật vậy
( )
( ) ( )
2 2 2 2
(*) ( ) 0 ( ) 2 0a b a ab b ab a b a b a ab b + − + − + + − +
( )( )
2
0a b a b + −
(luôn đúng). Dấu “=” xảy ra
.abc = =
+) Áp dụng (*) ta có:
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
33
33
11
( ) ( )
( ) ( )
z
x y xyz xy x y xyz xy x y z
x y xyz xy x y z xyz x y z
+ + + + = + + =
+ + + + + +
Tương tự ta có:
33
1
()
x
y z xyz xyz x y z
+ + + +
và
33
1
()
y
z x xyz xyz x y z
+ + + +
+) Khi đó
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
,
()
x y z
x y xyz y z xyz z x xyz xyz x y z xyz
++
+ + =
+ + + + + + + +
(đpcm).
+) Dấu “=” xảy ra
.x y z = =
Bài 7. Cho
,,x y z
là các số thực dương thỏa mãn điều kiện
=xyz 1
. Chứng minh rằng:
3 3 3 3
33
11
1
33
x y y z
zx
xy yz zx
+ + + +
++
+ +
Giải
+) Ta luôn có bất đẳng thức:
33
( ), , 0 (*).a b ab a b a b+ +
Thật vậy
( )
( ) ( )
2 2 2 2
(*) ( ) 0 ( ) 2 0a b a ab b ab a b a b a ab b + − + − + + − +
( )( )
2
0a b a b + −
(luôn đúng). Dấu “=” xảy ra
.abc = =
+) Áp dụng (*) ta có:
▪
( ) ( ) ( )
33
1
1
xy x y xy x y xyz xy x y z
x y x y z
xy xy xy xy
xy
+ + + + + +
+ + + +
= = =
▪ Tương tự ta có:
33
1y z x y z
yz
yz
+ + + +
và
33
1
x y z
zx
zx
zx
++
++
+) Cộng vế theo vế các kết quả trên ta có:
3 3 3 3
33
11
1 1 1 1
x y y z
zx
x y z
xy yz zx
xy yz zx

+ + + +
++
+ + + + + +



+) Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
3
3
1 1 1 1
3 . 3 3 3,x y z xyz
xyz
xy yz zx


+ + + + =





(đpcm).
+) Dấu “=” xảy ra
.x y z = =
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Bài 8. Cho
, , 0x y z
và thỏa mãn
1 1 1
4
x y z
+ + =
. Chứng minh rằng:
111
1
2 2 2x y z x y z x y z
+ +
+ + + + + +
.
Giải
+) Ta luôn có bất đẳng thức:
1 1 4
a b a b
+
+
, a, b > 0 (*).
Thật vậy (*)
2 2 2 2
4
( ) 4 2 0 ( ) 0,
ab
a b ab a ab b a b
ab a b
+
+ − + −
+
(luôn đúng).
Dấu “=” xảy ra
.ab=
+) Áp dụng (*) ta có:
1 1 1 4 1 1 1
.
2 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 4x y z x y x z x y x z x y x z

= = +

+ + + + + + + + + +

.
Tiếp tục áp dụng (*) ta có:
1 1 1 1 4 4 1 1 1 1 1 1 2 1 1
4 16 16 16x y x z x y x z x y x z x y z
+ = + + + + = + +
+ + + +
Do đó:
1 1 2 1 1
2 16x y z x y z

+ +

++

. Tương tự ta có:
1 1 1 2 1
2 16x y z x y z

+ +

++

và
1 1 1 1 2
2 16x y z x y z

+ +

++

+) Cộng vế theo vế các bất đẳng thức ta có:
1 1 1 1 4 4 4
2 2 2 16x y z x y z x y z x y z

+ + + +

+ + + + + +

1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 4x y z x y z x y z x y z

+ + + +

+ + + + + +

, mà theo giả thiết:
1 1 1
4
x y z
+ + =
. Do đó ta có bất
đẳng thức trở thành:
111
1,
2 2 2x y z x y z x y z
+ +
+ + + + + +
(đpcm).
Dấu “=” xảy ra
.x y z = =
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Bài 9. Cho
, , 0.x y z
Chứng minh bất đẳng thức:
4 5 3 3 2 1
4
x y z x y y z z x

+ + + +

+ + +

.
Giải
+) Ta luôn có bất đẳng thức:
1 1 4
a b a b
+
+
, a, b > 0 (*).
Thật vậy (*)
2 2 2 2
4
( ) 4 2 0 ( ) 0,
ab
a b ab a ab b a b
ab a b
+
+ − + −
+
(luôn đúng).
Dấu “=” xảy ra
.ab=
+) Áp dụng (*) ta có:
3 3 4 3 1 1
.
44x y x y x y

= +

++

2 2 4 2 1 1
.
44y z y z y z

= +

++

1 1 4 1 1 1
.
44z x z x z x

= +

++

Từ các kết quả trên ta có:
3 2 1 3 1 1 2 1 1 1 1 1
44
4 4 4x y y z z x x y y z z x


+ + + + + + +

+ + +


3 2 1 4 5 3
4,
x y y z z x x y z

+ + + +

+ + +

(đpcm).
Dấu “=” xảy ra
.x y z = =
Bài 10. (Chuyên toán tỉnh Bình Phước 2020)
a) Cho
, 0.ab
Chứng minh rằng:
( )
22
1
3 1 5 2
4
a ab b a b− + + + +
.
b) Cho các số thực dương
,,abc
thỏa mãn
1 1 1
3
abc
+ +
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2 2 2 2 2 2
1 1 1
3 1 3 1 3 1
P
a ab b b bc c c ca a
= + +
− + + − + + − + +
Giải
a) Cho
, 0.ab
Chứng minh rằng:
( )
22
1
3 1 5 2 ,(*).
4
a ab b a b− + + + +
Ta có (*)
( )
( )
2
22
16 3 1 5 2a ab b a b − + + + +
22
15 23 26 4 20 12 0a b ab a b + − − − +
.
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
( ) ( ) ( )
2 2 2
13 10 1 2 1 0a b b a − + − + −
(luôn đúng).
Dấu “=” xảy ra
1ab = =
.
b) Cho các số thực dương
,,abc
thỏa mãn
1 1 1
3
abc
+ +
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2 2 2 2 2 2
1 1 1
3 1 3 1 3 1
P
a ab b b bc c c ca a
= + +
− + + − + + − + +
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có:
4 4 4
5 2 5 2 5 2
P
a b b c c a
+ +
+ + + + + +
Ta luôn có bất đẳng thức:
1 1 4
x y x y
+
+
, x, y > 0 (**).
Thật vậy (**)
2 2 2 2
4
( ) 4 2 0 ( ) 0,
xy
x y xy x xy y x y
xy x y
+
+ − + −
+
(luôn đúng).
Dấu “=” xảy ra
.xy=
Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có:
4 1 1
5 2 2 4a b a b b
+
+ + + +
( )
1
4 1 1
5 2 2 4b c b c c
+
+ + + +
( )
2
4 1 1
5 2 2 4c a c a a
+
+ + + +
( )
3
Từ
( )
1
,
( )
2
,
( )
3
ta có:
1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 4
P
a b b c c a a b c
+ + + + +
+ + + + + +
( )
***
Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức (**) ta có:
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 4 2 4 4 2a b a b a b

+ + +

+ + +

( )
4
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 4 2 4 4 2b c b c b c

+ + +

+ + +

( )
5
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 4 2 4 4 2c a c a c a

+ + +

+ + +

( )
6
Từ
( )
***
,
( )
4
,
( )
5
,
( )
6
ta được:
3 1 1 1 3 3 3 3
.3
8 8 8 8 2
P
abc

+ + + + =


.
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Vậy giá trị lớn nhất của
P
là
3
2
đạt được khi
1abc= = =
.
Bài 11. (Olympic 19-5 tỉnh Bình Phước năm 2016)
Cho các số dương
,,abc
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3( ) 4 3 12( )
2 3 2 3
b c a c b c
P
a b a c
+ + −
= + +
+
.
Giải
Ta luôn có bất đẳng thức:
1 1 4
x y x y
+
+
, x, y > 0 (*).
Thật vậy (**)
2 2 2 2
4
( ) 4 2 0 ( ) 0,
xy
x y xy x xy y x y
xy x y
+
+ − + −
+
(luôn đúng).
Dấu “=” xảy ra
.xy=
Ta có:
3 3 4 3 12 12
11 2 1 8
2 3 2 3
b c a c b c
P
a b a c
+ + −
+ = + + + + +
+
1 1 4
4 3 3
2 3 2 4

= + + + +

+

()a b c
a b a c
Áp dụng (*) ta có:
4 4 16
11 (4 3 3 ) (4 3 3 ) 16
2 3 2 3 4 3 3
P a b c a b c
a b a c a b c

+ + + + + + =

+ + + +

Vậy
P
nhỏ nhất bằng
5
, dấu bằng xảy ra chẳng hạn
3
( , , ) ,1,1
2
abc

=


.
Bài 12. (Olympic 19-5 tỉnh Bình Phước năm 2017)
Cho các số dương
,,abc
thỏa mãn
1abc =
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2
a b b c c a
P
a ab b b bc c c ca a
+ + +
= + +
+ + + + + +
.
Giải
Ta luôn có bất đẳng thức:
22
22
1
, ; ; 0 (*).
3
x xy y
x y z
x xy y
−+
++
Thật vậy (*)
( )
22
2 2 2 2 2
22
1
3 2( ) 0,
3
x xy y
x xy y x xy y x y
x xy y
−+
− + + + −
++
(luôn đúng).
Dấu “=” xảy ra
.xy=
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Áp dụng (*) ta có:
3 3 2 2
2 2 2 2
1
( ) ( )
3
a b a ab b
a b a b
a ab b a ab b
+ − +
= + +
+ + + +
.
Tương tự ta có:
33
22
1
()
3
bc
bc
b bc c
+
+
++
và
33
22
1
()
3
ca
ca
c ca a
+
+
++
.
Từ các kết quả trên ta có:
3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2
2
( ).
3
a b b c c a
P a b c
a ab b b bc c c ca a
+ + +
= + + + +
+ + + + + +
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
3
3
2 2 2
( ) .3 .3 1 2 2.
3 3 3
a b c abc P+ + = =
Dấu “=” xảy ra
1.
1
abc
abc
abc
==
= = =
=
Vậy
min 2P =
khi
( , , ) (1,1,1)abc =
.
Bài 13. (Chuyên toán Hưng Yên 2020) Cho
a
,
b
là các số dương thỏa mãn điều kiện
1.ab
Chứng minh rằng:
11
2020 2021
11
ab
ab
+ +
++
.
Giải
Ta luôn có bất đẳng thức:
1 1 2
11
1
ab
ab
+
++
+
, (*).
Thật vậy (*)
( )( )
( )
( )
( )( )
22
2 1 2 1 1
11
1
ab
a b ab a b
ab
ab
++
+ + + + +
++
+
2 2 2 2 2 2ab a a ab b b ab a b ab + + + + + + + +
( ) ( ) ( )
2 2 0ab ab a ab a b ab b − + − + −
( ) ( )
2
10a b ab − −
(luôn đúng vì
a
,
0b
;
1ab
).
Áp dụng (*) ta có:
1 1 2
2020 2020
11
1
ab ab
ab
ab
+ + +
++
+
Đặt
ab t=
( )
01t
. Ta cần chứng minh
2
2
2020 2021
1
t
t
+
+
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
( )
( )
2
1 2020 4040 2019 0t t t − + +
(luôn đúng)
Dấu
""=
xảy ra khi
1t =
hay
1ab==
.
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 14. Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức sau:
1 1 1 1 1 1
3
2 2 2a b c a b b c c a

+ + + +

+ + +

Bài 15. Cho a ,b,c > 0 thỏa
1abc
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
2 2 2 2 2 2
bc ac ab
P
a b a c b a b c c a c b
= + +
+ + +
.
Bài 16. (Chuyên toán Ninh Bình 2020) Cho 3 số dương
,,abc
thỏa mãn:
2 2 2 2 2 2
2021a b b c c a+ + + + + =
. Chứng minh rằng:
2 2 2
1 2021
22
a b c
b c a c a b
+ +
+++
.
Bài 17. (Chuyên toán Hải Phòng 2020) Cho ba số dương
,,x y z
thỏa mãn:
5xy yz zx++=
.
Chứng minh
( )
22
2
3 2 6
3
55
65
x y z
xy
z
+ +
++
+
.
Bài 18. (Chuyên toán Phú Thọ 2020)
Cho
, , 0x y z
. Chứng minh bất đẳng thức
2
1
2
11
xy yz
yz xy yz xy
+ +
+ + +
.
Bài 19. (Chuyên toán Bà Rịa Vũng Tàu) Với các số thực dương
a
và
b
thay đổi, hãy tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức:
( )
2 2 2 2
11
.
22
S a b
a ab b b ab a

= + +

− + − +

Bài 20. (Chuyên toán Đồng Nai)
Cho
1
,,
3
abc−
. Chứng minh
2 2 2
2 2 2
1 1 1 6
1 3 1 3 1 3 5
a b c
b c c a a b
+ + +
+ +
+ + + + + +
.
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Bài 21. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
( )
1
2 2 2 4
ab bc ca
abc
a b c b c a c a b
+ + + +
+ + + + + +
Bài 22. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn:
1.abc
Chứng minh rằng:
3
2
a b c
b ac c ab a bc
+ +
+ + +
Bài 23. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn
1 1 1
3
abc
+ +
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2 2 2 2 2
1 1 1
3 1 3 1 3 1
P
a ab b b bc c c ca a
= + +
− + + − + + − + +
Bài 24. Cho ba số thực dương
,,abc
. Chứng minh rằng
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3( )a b b c c a a b c
a b b c c a a b c
+ + + + +
+ +
+ + + + +
Bài 25. Cho
,,x y z
là các số thực dương. Chứng minh rằng
2 2 2
2 2 2 2 2 2
5
8 3 14 8 3 14 8 3 14
x y z x y z
x y xy y z yz z x xz
++
+ +
+ + + + + +
Bài 26. Cho các số thực dương
,,abc
thỏa mãn
3abc+ +
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2 2
2 2 2
4 1 4 1 4 1a a b b c c
M
a a b b c c
+ + + + + +
= + +
+ + +
Bài 27. Cho các số thực
,,abc
. Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2
1 1 1a b b c c a
abc
ab a b bc b c ac c a
+ + +
+ + + +
+ + +
Bài 28. Cho
, , 0abc
thỏa mãn
1abc =
. Chứng minh rằng:
5 5 5 5 5 5
1
ab bc ca
a b ab b c bc c a ca
+ +
+ + + + + +
.
Bài 29. Cho
, , 0x y z
thỏa
3xy yz zx xyz++=
.
Chứng minh rằng:
3 3 3
2 2 2
1 1 1 1
.
2
x y z
z x x y y z x y z

+ + + +

+ + +

.
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Bài 30. Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: ab + bc + ca + abc = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức:
2 2 2
1 1 1
.
2 2 2 2 2 2
a b c
M
a a b b c x
+ + +
= + +
+ + + + + +
Bài 31. Cho x, y, z là 3 số dương thỏa mãn
2 2 2
3x y z xyz+ + =
. Chứng minh:
2 2 2
1
2 2 2
x y z
y z x
+ +
+ + +
.
Bài 32. Cho a, b, c dương và thỏa mãn
1xy yz zx++=
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2 2
1 1 1
4 2 4 2 4 2
P
x yz y zx z xy
= + +
− + − + − +
Hết
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ TRONG CHỨNG MINH
BẤT ĐẲNG THỨC
GIÁO VIÊN: TH.S PHẠM VĂN QUÝ – 0943.911.606
1. MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ THƯỜNG SỬ DỤNG
1)
2 2 2
a b c ab bc ca+ + + +
,
,,a b c R
.
2)
2
.
2
ab
ab
+



,
,0ab
3)
3
..
3
abc
abc
++



,
,0ab
4)
( )
11
4ab
ab

+ +


,
a, b > 0
5)
,
a, b > 0
6)
( )
1 1 1
9abc
abc

+ + + +


,
a, b, c > 0
7)
1 1 1 9
a b c a b c
+ +
++
,
a, b > 0
8)
2
22
, , .
22
a b a b
a b R
++



.
9)
3
33
22
a b a b++



,với
,0ab
.
10)
22
n
nn
a b a b++



,với
,0ab
,
*nN
.
11)
( )
2
2 2 2
,,
3
abc
a b c a b R
++
+ +
.
12)
( ) ( )
2
3 , ,a b c ab bc ca a b R+ + + +
13)
( )
33
, , 0a b ab a b a b+ +
14)
( )
4 4 2 2
, , 0a b ab a b a b+ +
15)
( )
5 5 2 2
, , 0a b a b a b a b+ +
16)
( )
2
22
3
,,
4
ab
a ab b a b R
+
+ +
17)
22
22
22
1
, , , 0
3
a ab b
a b R a b
a ab b
−+
+
++
18)
( )
2
(1 )(1 ) 1 , , 0a b ab a b+ + +
19)
( )
3
3
(1 )(1 )(1 ) 1 , , , 0a b c abc a b c+ + + +
20)
22
1 1 2
1 1 1a b ab
+
+ + +
, với
1.ab
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
2. CÁC BÀI TOÁN ÁP DỤNG
Bài 1. Cho
, , 0x y z
. Chứng minh rằng:
( )
2 2 2 2 2 2
3x xy y y yz z z xz x x y z+ + + + + + + + + +
Bài 2. Cho
, , 0abc
thỏa
1 2 3
1
abc
++
. Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2
2 4 4 6 9 9 3
3
b ab a c bc b a ac c
ab bc ca
+ + + + + +
+ +
Bài 3. Cho
, , 0x y z
và
xy yz zx xyz+ + =
. Chứng minh rằng:
2 2 2 2
22
22
2
3
y x z y
xz
xy yz zx
++
+
+ +
Bài 4. (Chuyên toán tỉnh Gia Lai 2020) Cho các số dương
,,x y z
thỏa
1 1 1
2020
x y y z z x
+ +
+ + +
. Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2 2 2
22
22
2
y x z y
xz
P
xy yz zx
++
+
= + +
.
Bài 5. Cho
, , 0.x y z
Chứng minh rằng:
( )
3 3 3
3 3 3
1 1 1 3
2
y z z x x y
x y z
x y z x y z
+ + +
+ + + + + +
.
Bài 6. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng:
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
x y xyz y z xyz z x xyz xyz
+ +
+ + + + + +
Bài 7. Cho
,,x y z
nlà các số thực dương thỏa mãn điều kiện
=xyz 1
. Chứng minh rằng:
3 3 3 3
33
11
1
33
x y y z
zx
xy yz zx
+ + + +
++
+ +
Bài 8. Cho
, , 0x y z
và thỏa mãn
1 1 1
4
x y z
+ + =
. Chứng minh rằng:
111
1
2 2 2x y z x y z x y z
+ +
+ + + + + +
.
Bài 9. Cho
, , 0.x y z
Chứng minh bất đẳng thức:
4 5 3 3 2 1
4
x y z x y y z z x

+ + + +

+ + +

.
Bài 10. (Chuyên toán tỉnh Bình Phước 2020)
a) Cho
, 0.ab
Chứng minh rằng:
( )
22
1
3 1 5 2
4
a ab b a b− + + + +
.
b) Cho các số thực dương
,,abc
thỏa mãn
1 1 1
3
abc
+ +
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
2 2 2 2 2 2
1 1 1
3 1 3 1 3 1
P
a ab b b bc c c ca a
= + +
− + + − + + − + +
Bài 11. (Olympic 19-5 tỉnh Bình Phước năm 2016) Cho các số dương
,,abc
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
3( ) 4 3 12( )
2 3 2 3
b c a c b c
P
a b a c
+ + −
= + +
+
.
Bài 12. (Olympic 19-5 tỉnh Bình Phước năm 2017) Cho các số dương
,,abc
thỏa mãn
1abc =
. Tìm giá
trị nhỏ nhất của
3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2
a b b c c a
P
a ab b b bc c c ca a
+ + +
= + +
+ + + + + +
.
Bài 13. (Chuyên toán Hưng Yên 2020) Cho
a
,
b
là các số dương thỏa mãn điều kiện
1.ab
Chứng minh rằng:
11
2020 2021
11
ab
ab
+ +
++
.
Bài 14. Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức sau:
1 1 1 1 1 1
3
2 2 2a b c a b b c c a

+ + + +

+ + +

Bài 15. Cho a ,b,c > 0 thỏa
1abc
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
2 2 2 2 2 2
bc ac ab
P
a b a c b a b c c a c b
= + +
+ + +
.
Bài 16. (Chuyên toán Ninh Bình 2020) Cho 3 số dương
,,abc
thỏa mãn:
2 2 2 2 2 2
2021a b b c c a+ + + + + =
. Chứng minh rằng:
2 2 2
1 2021
22
a b c
b c a c a b
+ +
+++
.
Bài 17. (Chuyên toán Hải Phòng 2020) Cho ba số dương
,,x y z
thỏa mãn:
5xy yz zx++=
.
Chứng minh
( )
22
2
3 2 6
3
55
65
x y z
xy
z
+ +
++
+
.
Bài 18. (Chuyên toán Phú Thọ 2020) Cho
, , 0x y z
. Chứng minh bất đẳng thức :
2
1
2
11
xy yz
yz xy yz xy
+ +
+ + +
.
Bài 19. (Chuyên toán Bà Rịa Vũng Tàu) Với các số thực dương
a
và
b
thay đổi, hãy tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức:
( )
2 2 2 2
11
.
22
S a b
a ab b b ab a

= + +

− + − +

Bài 20. (Chuyên toán Đồng Nai) Cho
1
,,
3
abc−
. Chứng minh:
2 2 2
2 2 2
1 1 1 6
1 3 1 3 1 3 5
a b c
b c c a a b
+ + +
+ +
+ + + + + +
Bài 21. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
( )
1
2 2 2 4
ab bc ca
abc
a b c b c a c a b
+ + + +
+ + + + + +
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Bài 22. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn:
1.abc
Chứng minh rằng:
3
2
a b c
b ac c ab a bc
+ +
+ + +
Bài 23. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn
1 1 1
3
abc
+ +
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2 2 2 2 2
1 1 1
3 1 3 1 3 1
P
a ab b b bc c c ca a
= + +
− + + − + + − + +
Bài 24. Cho ba số thực dương
,,abc
. Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3( )a b b c c a a b c
a b b c c a a b c
+ + + + +
+ +
+ + + + +
Bài 25. Cho
,,x y z
là các số thực dương. Chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2 2 2 2
5
8 3 14 8 3 14 8 3 14
x y z x y z
x y xy y z yz z x xz
++
+ +
+ + + + + +
Bài 26. Cho các số thực dương
,,abc
thỏa mãn
3abc+ +
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2 2
2 2 2
4 1 4 1 4 1a a b b c c
M
a a b b c c
+ + + + + +
= + +
+ + +
Bài 27. Cho các số thực
,,abc
. Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2
1 1 1a b b c c a
abc
ab a b bc b c ac c a
+ + +
+ + + +
+ + +
Bài 28. Cho
, , 0abc
thỏa mãn
1abc =
. Chứng minh rằng:
5 5 5 5 5 5
1
ab bc ca
a b ab b c bc c a ca
+ +
+ + + + + +
.
Bài 29. Cho
, , 0x y z
thỏa
3xy yz zx xyz++=
.
.
Chứng minh rằng:
3 3 3
2 2 2
1 1 1 1
.
2
x y z
z x x y y z x y z

+ + + +

+ + +

.
Bài 30. Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: ab + bc + ca + abc = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức:
2 2 2
1 1 1
.
2 2 2 2 2 2
a b c
M
a a b b c x
+ + +
= + +
+ + + + + +
Bài 31. Cho x, y, z là 3 số dương thỏa mãn
2 2 2
3x y z xyz+ + =
. Chứng minh:
2 2 2
1
2 2 2
x y z
y z x
+ +
+ + +
.
Bài 32. Cho a, b, c dương và thỏa mãn
1xy yz zx++=
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2 2
1 1 1
4 2 4 2 4 2
P
x yz y zx z xy
= + +
− + − + − +
Hết
| 1/18
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ TRONG
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
GIÁO VIÊN: TH.S PHẠM VĂN QUÝ – 0943.911.606
1. MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ THƯỜNG SỬ DỤNG 1) 2 2 2
a + b + c ab + bc + ca , a  , ,
b c R . n n n a + ba + b 10)    ,với a
 ,b  0 , nN *. 2  2  2  a + b 2) . a b    , a
 ,b  0  2  a + b + c 2 2 2 ( )2
11) a + b + c  , a
 ,b R . 3 3
a + b + c 3) . a . b c    , a
 ,b  0  3  2
12) (a + b + c)  3(ab + bc + ca), a
 ,b R   13) 3 3
a + b ab(a + b), ,
a b  0
4) (a + b) 1 1 +  4  
, a, b > 0 a b 14) 4 4
a + b ab ( 2 2
a + b ), a
 ,b  0 1 1 4 5) +  5 5 2 2 +  +   a b
a + , a, b > 0 b 15) a b a b (a b), , a b 0   3 a + b 2 2 ( )2
6) (a + b + c) 1 1 1 + +  9  
, a, b, c > 0
16) a + ab + b  , a
 ,b R a b c  4 2 2 1 1 1 9
a − ab + b 1 7) + +  17) 2 2  , , a b  , R a + b  0 2 2 a b c
a + b + , a, b > 0 c a + ab + b 3 2 2 2 a + ba + b 18) + a + b  ( + ab)2 (1 )(1 ) 1 , a
 ,b  0 8)  , a  ,b  . R   2  2  19) + a
+ b + c  ( + abc)3 3 (1 )(1 )(1 ) 1 , , a , b c  0 3 3 3 a + ba + b 9)    ,với a
 ,b  0 . 2  2  1 1 2 20) +  ab 2 2 1+ a 1+ b 1+ , với 1. ab
2. CÁC BÀI TOÁN ÁP DỤNG
Bài 1. Cho x, y , z  0 . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2
x + xy + y + y + yz + z + z + xz + x  3 ( x + y + z) Giải 3 a + b 2 2 ( )2
 Ta luôn có bất đẳng thức: a + ab + b  , a
 ,b (*). 4
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức Thật vậy
a + ab + b  (a + ab + b )  a − ab + b   (a − b)2 2 2 2 2 2 2 (*) 4 4 4 3 2 2 0
 0 (luôn đúng).
Dấu “=” xảy ra  a = . b 3 x + y 3 2 2 ( )2
 Áp dụng (*) ta có: x + xy + y  = (x + y) 4 2 3 3 Tương tự ta có: 2 2
y + yz + z  (y + z) và 2 2
z + zx + x  (z + x) 2 2
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta có: 3 2 2 2 2 2 2
x + xy + y +
y + yz + z + z + xz + x
(2x + 2y + 2z) = 3(x + y + z), (đpcm) 2 x = y
Dấu “=” xảy ra  y = z x = y = . z z = x  1 2 3
Bài 2. Cho a, b, c  0 thỏa + + 1. Chứng minh rằng: a b c 2 2 2 2 2 2
b + 2ab + 4a
4c + 6bc + 9b
9a + 3ac + c + +  3 ab bc ca Giải 2 2 2 2 2 2 + + + + + +  b 2ab 4a 4c 6bc 9b 9a 3ac c Ta có VT = + + 2 2 2 2 2 2 a b b c c a 1 2 4 4 6 9 9 3 1 = + + + + + + + + 2 2 2 2 2 2 a ab b b bc c c ac a  1 2 3
Đặt x = ; y = ; z =  x, y, z  0. Ta có: 2 2 2 2 2 2 VT =
x + xy + y +
y + yz + z + z + xz + x a b c Theo bài 1 ta có: 2 2 2 2 2 2
x + xy + y + y + yz + z + z + xz + x  3 ( x + y + z)   Mặt khác
(x + y + z) 1 2 3 3 = 3 + +  3.1 = 3.  
Do đó VT  3 =V , P (đpcm).  a b c  1 2 3
x = y = z = = a = 3   a b c 1 2 3 1 
Dấu “=” xảy ra  1 2 3    = = =  b  = 6. + + =1 1 2 3 a b c 3    + + =1  a b c c = 9  a b c
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức 2 2 2 2 2 2 + + +
Bài 3. Cho x , y , z  0 và xy + yz + zx = xyz . Chứng minh rằng: y 2x z 2y x 2z + +  3 xy yz zx Giải a + b + c 2 2 2 ( )2
 Ta luôn có bất đẳng thức: a + b + c  , a
 ,b (*). 3 Thật vậy 2 2 2
a + b + c  ( 2 2 2 (*) 3 3 3
a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca)
 (a − ab + b ) + (b − bc + c ) + (c − ca + a )   (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0
 0 (luôn đúng).
Dấu “=” xảy ra  a = b = . c
( y + x + x)2 2 2 2 2 2  + + + + +
Áp dụng (*) ta có: y 2x y x x 3 1 y 2x 1 yz 2xz =  = = xy xy xy 3 xy 3 xyz 2 2 + + 2 2 + + Tương tự ta có: z 2y 1 zx 2yx  và x 2z 1 xy 2zyyz 3 xyz zx 3 xyz
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta có: 2 2 2 2 2 2 y + 2x z + 2 y x + 2z 1  yz + 2xz zx + 2yx xy + 2zy
1 3( xy + yz + zx) 3xyz + +  + + = . = = 3   (đpcm). xy yz zx 3  xyz xyz xyz  3 xyz 3.xyzx = y  y = z Dấu “=” xảy ra  
x = y = z = 3. z = x
xy + yz + zx = xyz
Bình luận: Nếu không có giả thiết xy + yz + zx = xyz thì bất đẳng thức trở thành: 2 2 2 2 2 2 y + 2x z + 2y x + 2z
3 ( xy + yz + zx) + + 
. Đến đây tùy theo sự sáng tạo của người ra đề ta có xy yz zx xyz
nhiều bài toán mới rất thú vị.
1) Hướng 1: Rút gọn mẫu ở 2 vế được bất đẳng thức đơn giản.
3 ( xy + yz + zx)  1 1 1 
2) Hướng 2: Biến đổi = 3 + + .   xyzx y z  1 1 1 9
3) Hướng 3: Sử dụng bất đẳng thức phụ + +  x y z x + y + z
4) Hướng 4: Cho thêm các điều kiện như x + y + z  1; xyz  3;...
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức 1 1 1
Bài 4. (Chuyên toán tỉnh Gia Lai 2020) Cho các số dương , x , y z thỏa + +  2020. x + y y + z z + x 2 2 2 2 2 2 y + 2x z + 2 y x + 2z
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = + + . xy yz zx Giải a + b + c 2 2 2 ( )2
 Ta luôn có bất đẳng thức: a + b + c  , a
 ,b (*). 3 Thật vậy 2 2 2
a + b + c  ( 2 2 2 (*) 3 3 3
a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca)
 (a − ab + b ) + (b − bc + c ) + (c − ca + a )   (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0
 0 (luôn đúng).
Dấu “=” xảy ra  a = b = . c y + x + x y + 2x 2 2 y + 2x 1 y + 2x 3  1 2  2 2 2 2 2 ( )2 ( )2
 Áp dụng (*) ta có: y + 2x = y + x + x  =   = +   3 3 xy 3 xy 3  x y  2 2 z + 2 y 3  1 2  2 2 x + 2z 3  1 2 
Chứng minh tương tự ta có:  +   và  +   yz 3  y z zx 3  z x  3  1 2 1 2 1 2   P  + + + + +   3  x y y z z x  3  3 3 3   P  + +   3  x y z   1 1 1   P  3 + +   ( ) 1  x y z  1 1 4 1 1  1 1 
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức +   + 
 dấu “=” xảy ra khi a = b ta a b a + . Hay b a + b 4  a b  1 1 1 1  1 1 1 1 1 1  được 2020  + +  + + + + +   x + y y + z z + x 4  x y y z z x  1 1 1 1  1 1 1   1 1 1 2020  + +  + +    + +  4040 (2) x + y y + z z + x 2  x y z x y z 4040 Từ ( )
1 và (2)  P  4040 3 . Dấu " = " xảy ra khi x = y = z = 3
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức  4040
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4040 3 , khi x = y = z = . 3  1 1 1  3  y + z z + x x + y
Bài 5. Cho x, y, z  0. Chứng minh rằng: ( 3 3 3
x + y + z ) + +  + +     . 3 3 3  x y z  2  x y zGiải
+) Ta luôn có bất đẳng thức: 3 3
a + b a ( b a + ) b , ,
a b  0 (*). Thật vậy  (a + b)( 2 2
a − ab + b ) − ab a + b   a + b ( 2 2 (*) ( ) 0 (
) a − 2ab + b )  0
 (a + b)(a −b)2  0 (luôn đúng). Dấu “=” xảy ra  a = .b
+) Áp dụng (*) ta có:  3 3
x + y xy(x + y)  3 3
y + z yz(y + z)  3 3
z + x z ( x z + ) x
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta có: ( 3 3 3
2 x + y + z )  xy(x + y) + yz(y + z) + zx(z + x),(**). 1 1 1 1 1 1 1 3
+) Áp dụng bất đăng thức Cauchy ta có: + +  33  + +  , (***). 3 3 3 3 3 3 3 3 3 x y z x y z x y z xyz  1 1 1  3
+) Nhân vế theo vế (**) và (***) ta có: 2( 3 3 3
x + y + z ) + + 
xy(x + y) + yz( y + z) + zx(z + x)   3 3 3    x y z xyz  (  1 1 1  3  y + z z + x x + y  3 3 3
x + y + z ) + +  + + ,     (đpcm). 3 3 3  x y z  2  x y z
+) Dấu “=” xảy ra  x = y = . z
Bài 6. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 + +  3 3 3 3 3 3
x + y + xyz
y + z + xyz z + x + xyz xyz Giải
+) Ta luôn có bất đẳng thức: 3 3
a + b a ( b a + ) b , ,
a b  0 (*). Thật vậy  (a + b)( 2 2
a − ab + b ) − ab a + b   a + b ( 2 2 (*) ( ) 0 (
) a − 2ab + b )  0
 (a + b)(a −b)2  0 (luôn đúng). Dấu “=” xảy ra  a = b = .c +) Áp dụng (*) ta có:
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức 1 1 z  3 3
x + y + xyz xy(x + y) + xyz = xy(x + y + z)   = 3 3
x + y + xyz
xy(x + y + z)
xyz(x + y + z) 1 x 1 y
Tương tự ta có:   3 3
y + z + xyz
xyz(x + y + và z) 3 3
z + x + xyz
xyz(x + y + z) 1 1 1 x + y + z 1 +) Khi đó + +  = , 3 3 3 3 3 3
x + y + xyz
y + z + xyz
z + x + xyz
xyz(x + y + (đpcm). z) xyz
+) Dấu “=” xảy ra  x = y = . z Bài 7. Cho , x ,
y z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz = 1 . Chứng minh rằng: 3 3 3 3 3 3 x + y +1 y + z +1 z + x +1 + +  3 3 xy yz zx Giải
+) Ta luôn có bất đẳng thức: 3 3
a + b a ( b a + ) b , ,
a b  0 (*). Thật vậy  (a + b)( 2 2
a − ab + b ) − ab a + b   a + b ( 2 2 (*) ( ) 0 (
) a − 2ab + b )  0
 (a + b)(a −b)2  0 (luôn đúng). Dấu “=” xảy ra  a = b = .c +) Áp dụng (*) ta có: 3 3 x + y +1
xy ( x + y) +1
xy ( x + y) + xyz
xy ( x + y + z ) + + ▪ x y z  = = = xy xy xy xy xy 3 3 + + + + 3 3 + + + + ▪ y z 1 x y z z x 1 x y z Tương tự ta có:  và  yz yz zx zx
+) Cộng vế theo vế các kết quả trên ta có: 3 3 3 3 3 3 x + y +1 y + z +1 z + x +1  1 1 1  + +
x + y + z  + +  xy yz zx   xy yz zx  
+) Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:  1 1 1   1  3
x + y + z  + +   3 xyz .3  = 3 3 3,   (đpcm). xy yz zx xyz    
+) Dấu “=” xảy ra  x = y = . z
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức 1 1 1 1 1 1 Bài 8. Cho ,
x y, z  0 và thỏa mãn
+ + = 4 . Chứng minh rằng: + + 1. x y z
2x + y + z
x + 2y + z
x + y + 2z Giải 1 1 4
+) Ta luôn có bất đẳng thức: +  , a, b > 0 (*). a b a + b a + b 4 Thật vậy (*) 2 2 2 2    (a + ) b
 4ab a − 2ab + b  0  (a − ) b  0, ab a + (luôn đúng). b
Dấu “=” xảy ra  a = . b 1 1 1 4 1  1 1  +) Áp dụng (*) ta có: = = .  +   .
2x + y + z
(x + y) + (x + z)
4 (x + y) + (x + z)
4  x + y x + z  1  1 1  1  4 4  1  1 1 1 1  1  2 1 1 
Tiếp tục áp dụng (*) ta có: + = +  + + + = + +        
4  x + y x + z  16  x + y x + z  16  x y x z  16  x y z  1 1  2 1 1  1 1  1 2 1  1 1  1 1 2  Do đó:  + +   . Tương tự ta có:  + +   và  + +  
2x + y + z 16  x y z
x + 2 y + z 16  x y z
x + y + 2z 16  x y z  1 1 1 1  4 4 4 
+) Cộng vế theo vế các bất đẳng thức ta có: + +  + +  
2x + y + z
x + 2 y + z
x + y + 2z 16  x y z  1 1 1 1  1 1 1   + +  + + 1 1 1 
 , mà theo giả thiết: + + = 4 . Do đó ta có bất
2x + y + z
x + 2 y + z
x + y + 2z 4  x y z x y z 1 1 1
đẳng thức trở thành:  + + 1, (đpcm).
2x + y + z
x + 2y + z
x + y + 2z
Dấu “=” xảy ra  x = y = . z
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức 4 5 3  3 2 1 
Bài 9. Cho x, y, z  0. Chứng minh bất đẳng thức: + +  4 + +  . x y z
x + y y + z z + x Giải 1 1 4
+) Ta luôn có bất đẳng thức: +  a b
a + , a, b > 0 (*). b a + b 4 Thật vậy (*) 2 2 2 2    (a + ) b
 4ab a − 2ab + b  0  (a − ) b  0, ab a + (luôn đúng). b
Dấu “=” xảy ra  a = . b 3 3 4 3  1 1  +) Áp dụng (*) ta có:  = .  +   x + y 4 x + y 4  x y  2 2 4 2  1 1   = .  +   y + z 4 y + z 4  y z  1 1 4 1  1 1   = .  +   z + x 4 z + x 4  z x   3 2 1 
3  1 1  2  1 1  1  1 1 
Từ các kết quả trên ta có: 4 + +  4    + + + + +      
x + y y + z z + x  4
  x y  4  y z  4  z x   3 2 1  4 5 3  4 + +  + + ,   (đpcm).
x + y y + z z + x x y z
Dấu “=” xảy ra  x = y = . z
Bài 10. (Chuyên toán tỉnh Bình Phước 2020) 1
a) Cho a,b  0. Chứng minh rằng: 2 2
a − ab + 3b +1 
(a +5b + 2). 4 1 1 1
b) Cho các số thực dương a,b, c thỏa mãn + +  3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a b c 1 1 1 P = + + 2 2 2 2 2 2
a − ab + 3b +1
b − bc + 3c +1
c − ca + 3a +1 Giải 1
a) Cho a,b  0. Chứng minh rằng: 2 2
a − ab + 3b +1 
(a +5b+ 2),(*). 4 Ta có (*)
(a −ab+ b + )(a+ b+ )2 2 2 16 3 1 5 2 2 2
15a + 23b − 26ab − 4a − 20b +12  0 .
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
 (a −b)2 + (b − )2 + (a − )2 13 10 1 2 1  0 (luôn đúng).
Dấu “=” xảy ra  a = b =1. 1 1 1
b) Cho các số thực dương a,b, c thỏa mãn + +  3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a b c 1 1 1 P = + + 2 2 2 2 2 2
a − ab + 3b +1
b − bc + 3c +1
c − ca + 3a +1 4 4 4
 Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có: P  + + a + 5b + 2 b + 5c + 2 c + 5a + 2 1 1 4
 Ta luôn có bất đẳng thức: +  x y x + , x, y > 0 (**). y x + y 4 Thật vậy (**) 2 2 2 2  
 (x + y)  4xy x − 2xy + y  0  (x − y)  0, xy x + (luôn đúng). y
Dấu “=” xảy ra  x = . y
Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có: 4 1 1  + a + 5b + 2 a + b + ( )1 2 4b 4 1 1  + 2 b + 5c + 2 b + c + ( ) 2 4c 4 1 1  + c + 5a + 2 c + a + ( ) 3 2 4a  1 1 1  1  1 1 1  Từ ( ) 1 , (2) , ( ) 3 ta có: P  + + + + +     ( ) ***
a + b + 2 b + c + 2 c + a + 2  4  a b c
Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức (**) ta có: 1 1  1 1  1 1  1 1  1   +  + +       (4) a + b + 2 4  a + b 2  4 4  a b  2 1 1  1 1  1  1  1 1  1   +  + +       (5) b + c + 2 4  b + c 2 
4 4  b c  2  1 1  1 1  1  1  1 1  1   +  + +       (6) c + a + 2 4  c + a 2  4 4  c a  2 3  1 1 1  3 3 3 3 Từ ( )
*** , (4) , (5) , (6) ta được: P  + + +  .3+ =   . 8  a b c  8 8 8 2
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức 3
Vậy giá trị lớn nhất của P là đạt được khi a = b = c =1. 2
Bài 11. (Olympic 19-5 tỉnh Bình Phước năm 2016) 3(b + c) 4a + 3c 12(b − c)
Cho các số dương a,b, c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = + + 2a 3b 2a + . 3c Giải 1 1 4
 Ta luôn có bất đẳng thức: +  x y x + , x, y > 0 (*). y x + y 4 Thật vậy (**) 2 2 2 2  
 (x + y)  4xy x − 2xy + y  0  (x − y)  0, xy x + (luôn đúng). y
Dấu “=” xảy ra  x = . y  3b + 3c   4a + 3c
 12b −12c   Ta có: P +11 = + 2 + +1 + + 8        2a   3b   2a + 3c   1 1 4 
= (4a + 3b + 3c) + +  
 2a 3b 2a + 4c   4 4  16
 Áp dụng (*) ta có: P +11  (4a + 3b + 3c) +
 (4a + 3b + 3c) =16  
 2a + 3b 2a + 3c
4a + 3b + 3c  3 
Vậy P nhỏ nhất bằng 5 , dấu bằng xảy ra chẳng hạn (a, , b c) = ,1,1   .  2 
Bài 12. (Olympic 19-5 tỉnh Bình Phước năm 2017)
Cho các số dương a,b, c thỏa mãn abc =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 3 3 3 3 3 3 a + b b + c c + a P = + + . 2 2 2 2 2 2
a + ab + b
b + bc + c
c + ca + a Giải 2 2 − +  x xy y 1
Ta luôn có bất đẳng thức:  , ; x ; y z  0 (*). 2 2 x + xy + y 3 2 2
x − xy + y 1 Thật vậy (*)   3( 2 2
x − xy + y ) 2 2 2
x + xy + y  2(x − y)  0, 2 2 x + xy + (luôn đúng). y 3
Dấu “=” xảy ra  x = . y
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức 3 3 2 2 + − +  a b a ab b 1 Áp dụng (*) ta có: = (a + ) b  (a + ) b . 2 2 2 2
a + ab + b
a + ab + b 3 3 3 b + c 1 3 3 c + a 1 Tương tự ta có:  (b + c) và  (c + a) . 2 2
b + bc + c 3 2 2
c + ca + a 3 3 3 3 3 3 3 a + b b + c c + a 2
Từ các kết quả trên ta có: P = + +
 (a + b + c). 2 2 2 2 2 2
a + ab + b
b + bc + c
c + ca + a 3 2 2 2
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 3 3
(a + b + c)  .3 abc = .3 1 = 2  P  2. 3 3 3
a = b = c Dấu “=” xảy ra  
a = b = c =1. abc =1
Vậy min P = 2 khi (a, , b c) = (1,1,1) .
Bài 13. (Chuyên toán Hưng Yên 2020) Cho a , b là các số dương thỏa mãn điều kiện ab  1. 1 1 Chứng minh rằng: + + 2020ab  2021 1+ a 1+ . b Giải  1 1 2
Ta luôn có bất đẳng thức: +  , (*). 1+ a 1+ b 1+ ab 2 + a + b 2 Thật vậy (*)  (   + a + b + ab  + a + b 1+ a)(1+ b) (2 )(1 ) 2(1 )(1 ) 1+ ab
 2+ 2 ab + a + a ab +b+b ab  2+ 2a + 2b+ 2ab
 (2 ab − 2ab)+(a ab − a)+(b ab −b)  0
 ( a − b)2 ( ab − )
1  0 (luôn đúng vì a , b  0; ab 1).  1 1 2 Áp dụng (*) ta có:  + + 2020ab  + 2020ab 1+ a 1+ b 1+ ab 2
Đặt ab = t (0  t  ) 1 . Ta cần chứng minh 2 + 2020t  2021 1+ t
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức  (t − )( 2
1 2020t + 4040t + 2019)  0 (luôn đúng)
Dấu " = " xảy ra khi t = 1 hay a = b =1. BÀI TẬP ÁP DỤNG 1 1 1  1 1 1 
Bài 14. Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức sau: + +  3 + +   a b c
a + 2b b + 2c c + 2a bc ac ab
Bài 15. Cho a ,b,c > 0 thỏa abc  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = + + 2 2 2 2 2 2 a b + a c b a + b c c a + . c b
Bài 16. (Chuyên toán Ninh Bình 2020) Cho 3 số dương a,b, c thỏa mãn: 2 2 2 a b c 1 2021 2 2 2 2 2 2
a + b + b + c + c + a = 2021. Chứng minh rằng: + +  b + c a + c a + . b 2 2
Bài 17. (Chuyên toán Hải Phòng 2020) Cho ba số dương , x ,
y z thỏa mãn: xy + yz + zx = 5 . x y 3z 2 6 Chứng minh + +  . 2 2 x + y + ( 2z + ) 3 5 5 6 5
Bài 18. (Chuyên toán Phú Thọ 2020) xy 1 2 yz Cho ,
x y, z  0 . Chứng minh bất đẳng thức + +  2 . 1+ yz xy + yz 1+ xy
Bài 19. (Chuyên toán Bà Rịa Vũng Tàu) Với các số thực dương a và b thay đổi, hãy tìm giá trị lớn nhất  1 1 
của biểu thức: S = (a + b) + . 2 2 2 2
a − ab + 2b
b − ab + 2a
Bài 20. (Chuyên toán Đồng Nai) 1 2 2 2 1+ a 1+ b 1+ c 6 Cho −  a, , b c  . Chứng minh + +  . 3 2 2 2 1+ 3b + c 1+ 3c + a 1+ 3a + b 5
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức ab bc ca 1
Bài 21. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: + +
 (a + b + c)
a + b + 2c
b + c + 2a c + a + 2b 4
Bài 22. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn: abc 1. Chứng minh rằng: a b c 3 + +  + + + 2 b ac c ab a bc 1 1 1
Bài 23. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn + +  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a b c 1 1 1 P = + + 2 2 2 2 2 2
a − ab + 3b +1
b − bc + 3c +1
c − ca + 3a +1
Bài 24. Cho ba số thực dương , a ,
b c . Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a + b b + c c + a
3(a + b + c ) + +  a + b b + c c + a a + b + c Bài 25. Cho , x ,
y z là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 2 2 x y z x + y + z + +  2 2 2 2 2 2 + + + + + + 5 8x 3y 14xy 8y 3z 14 yz 8z 3x 14xz
Bài 26. Cho các số thực dương a,b, c thỏa mãn a + b + c  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2
a + 4a +1 b + 4b +1 c + 4c +1 M = + + 2 2 2 a + a b + b c + c 3 3 3 3 3 3 a + b b + c c + a 1 1 1
Bài 27. Cho các số thực a,b, c . Chứng minh rằng: + +  + + ab ( 2 2
a + b ) bc ( 2 2
b + c ) ac ( 2 2
c + a ) a b c ab bc ca
Bài 28. Cho a, ,
b c  0 thỏa mãn abc =1. Chứng minh rằng: + + 1 5 5 5 5 5 5
a + b + ab
b + c + bc c + a + . ca 3 3 3 x y z 1  1 1 1  Bài 29. Cho ,
x y, z  0 thỏa xy + yz + zx = 3xyz + +  + + .Chứng minh rằng: .  . 2 2 2 z + x x + y y + z 2  x y z
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
Bài 30. Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: ab + bc + ca + abc = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu a +1 b +1 c +1 thức: M = + + . 2 2 2 a + 2a + 2 b + 2b + 2 c + 2x + 2 2 2 2 x y z
Bài 31. Cho x, y, z là 3 số dương thỏa mãn 2 2 2
x + y + z = 3xyz . Chứng minh: + + 1 y + 2 z + 2 x + . 2
Bài 32. Cho a, b, c dương và thỏa mãn xy + yz + zx = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 1 P = + + 2 2 2 4x − yz + 2 4y − zx + 2 4z − xy + 2 Hết
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
GIÁO VIÊN: TH.S PHẠM VĂN QUÝ – 0943.911.606
1. MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ THƯỜNG SỬ DỤNG 1) 2 2 2
a + b + c ab + bc + ca , a  , ,
b c R . n n n a + ba + b 10)    ,với a
 ,b  0 , nN *. 2  2  2  a + b 2) . a b    , a
 ,b  0  2  a + b + c 2 2 2 ( )2
11) a + b + c  , a
 ,b R . 3 3
a + b + c 3) . a . b c    , a
 ,b  0  3  2
12) (a + b + c)  3(ab + bc + ca), a
 ,b R   3 3 +  +   4) ( 13) a b ab(a b), , a b 0 a + b) 1 1 +  4  
, a, b > 0 a b 14) 4 4
a + b ab ( 2 2
a + b ), a
 ,b  0 1 1 4 5) +  a b
a + , a, b > 0 b 15) 5 5 2 2
a + b a b (a + b), ,
a b  0  
6) (a + b + c) 1 1 1 + +  9  
, a, b, c > 0 a b c  3 a + b 2 2 ( )2
16) a + ab + b  , a
 ,b R 4 1 1 1 9 7) + + 
, a, b > 0 2 2 a b c a + b + c
a − ab + b 1 17) 2 2  , , a b  , R a + b  0 2 2 a + ab + b 3 2 2 2 a + ba + b 8)  , a  ,b  . R   . 2  2  18) + a + b  ( + ab)2 (1 )(1 ) 1 , a
 ,b  0 3 3 3 a + ba + b 9)    ,với a
 ,b  0 . 19) + a
+ b + c  ( + abc)3 3 (1 )(1 )(1 ) 1 , , a , b c  0 2  2  1 1 2 20) +  ab 2 2 1+ a 1+ b 1+ , với 1. ab
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
2. CÁC BÀI TOÁN ÁP DỤNG
Bài 1. Cho x , y , z  0 . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2
x + xy + y + y + yz + z + z + xz + x  3 ( x + y + z) 1 2 3
Bài 2. Cho a, b, c  0 thỏa + +  1. Chứng minh rằng: a b c 2 2 2 2 2 2
b + 2ab + 4a
4c + 6bc + 9b
9a + 3ac + c + +  3 ab bc ca 2 2 2 2 2 2 + + +
Bài 3. Cho x , y , z  0 và xy + yz + zx = xyz . Chứng minh rằng: y 2x z 2y x 2z + +  3 xy yz zx 1 1 1
Bài 4. (Chuyên toán tỉnh Gia Lai 2020) Cho các số dương , x , y z thỏa + +  2020. Tìm x + y y + z z + x 2 2 2 2 2 2 y + 2x z + 2 y x + 2z
giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = + + . xy yz zx  1 1 1  3  y + z z + x x + y
Bài 5. Cho x, y, z  0. Chứng minh rằng: ( 3 3 3
x + y + z ) + +  + +     . 3 3 3  x y z  2  x y z
Bài 6. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 + +  3 3 3 3 3 3
x + y + xyz
y + z + xyz z + x + xyz xyz Bài 7. Cho , x ,
y z nlà các số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz = 1 . Chứng minh rằng: 3 3 3 3 3 3 x + y +1 y + z +1 z + x +1 + +  3 3 xy yz zx 1 1 1 1 1 1 Bài 8. Cho ,
x y, z  0 và thỏa mãn
+ + = 4 . Chứng minh rằng: + + 1. x y z
2x + y + z
x + 2y + z
x + y + 2z 4 5 3  3 2 1 
Bài 9. Cho x, y, z  0. Chứng minh bất đẳng thức: + +  4 + +  . x y z
x + y y + z z + x
Bài 10. (Chuyên toán tỉnh Bình Phước 2020) 1
a) Cho a,b  0. Chứng minh rằng: 2 2
a − ab + 3b +1 
(a +5b + 2). 4 1 1 1
b) Cho các số thực dương a,b, c thỏa mãn + +  3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a b c
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức 1 1 1 P = + + 2 2 2 2 2 2
a − ab + 3b +1
b − bc + 3c +1
c − ca + 3a +1
Bài 11. (Olympic 19-5 tỉnh Bình Phước năm 2016) Cho các số dương a,b, c . Tìm giá trị nhỏ nhất của 3(b + c) 4a + 3c 12(b − c) biểu thức P = + + 2a 3b 2a + . 3c
Bài 12. (Olympic 19-5 tỉnh Bình Phước năm 2017) Cho các số dương a,b, c thỏa mãn abc =1. Tìm giá 3 3 3 3 3 3 a + b b + c c + a
trị nhỏ nhất của P = + + . 2 2 2 2 2 2
a + ab + b
b + bc + c
c + ca + a
Bài 13. (Chuyên toán Hưng Yên 2020) Cho a , b là các số dương thỏa mãn điều kiện ab  1. 1 1 Chứng minh rằng: + + 2020ab  2021 1+ a 1+ . b 1 1 1  1 1 1 
Bài 14. Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức sau: + +  3 + +   a b c
a + 2b b + 2c c + 2a bc ac ab
Bài 15. Cho a ,b,c > 0 thỏa abc  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = + + 2 2 2 2 2 2 a b + a c b a + b c c a + . c b
Bài 16. (Chuyên toán Ninh Bình 2020) Cho 3 số dương a,b, c thỏa mãn: 2 2 2 a b c 1 2021 2 2 2 2 2 2
a + b + b + c + c + a = 2021. Chứng minh rằng: + +  b + c a + c a + . b 2 2
Bài 17. (Chuyên toán Hải Phòng 2020) Cho ba số dương , x ,
y z thỏa mãn: xy + yz + zx = 5 . x y 3z 2 6 Chứng minh + +  . 2 2 x + y + ( 2z + ) 3 5 5 6 5
Bài 18. (Chuyên toán Phú Thọ 2020) Cho ,
x y, z  0 . Chứng minh bất đẳng thức : xy 1 2 yz + +  2 . 1+ yz xy + yz 1+ xy
Bài 19. (Chuyên toán Bà Rịa Vũng Tàu) Với các số thực dương a và b thay đổi, hãy tìm giá trị lớn nhất  1 1 
của biểu thức: S = (a + b) + . 2 2 2 2
a − ab + 2b
b − ab + 2a  1 2 2 2 1+ a 1+ b 1+ c 6
Bài 20. (Chuyên toán Đồng Nai) Cho −  a, , b c  . Chứng minh: + +  3 2 2 2 1+ 3b + c 1+ 3c + a 1+ 3a + b 5 ab bc ca 1
Bài 21. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: + +
 (a + b + c)
a + b + 2c
b + c + 2a c + a + 2b 4
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
Bài 22. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn: abc 1. Chứng minh rằng: a b c 3 + +  + + + 2 b ac c ab a bc 1 1 1
Bài 23. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn + +  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a b c 1 1 1 P = + + 2 2 2 2 2 2
a − ab + 3b +1
b − bc + 3c +1
c − ca + 3a +1
Bài 24. Cho ba số thực dương , a ,
b c . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a + b b + c c + a
3(a + b + c ) + +  a + b b + c c + a a + b + c Bài 25. Cho , x ,
y z là các số thực dương. Chứng minh rằng: 2 2 2 x y z x + y + z + +  2 2 2 2 2 2 + + + + + + 5 8x 3y 14xy 8y 3z 14 yz 8z 3x 14xz
Bài 26. Cho các số thực dương a,b, c thỏa mãn a + b + c  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2
a + 4a +1 b + 4b +1 c + 4c +1 M = + + 2 2 2 a + a b + b c + c 3 3 3 3 3 3 a + b b + c c + a 1 1 1
Bài 27. Cho các số thực a,b, c . Chứng minh rằng: + +  + + ab ( 2 2
a + b ) bc ( 2 2
b + c ) ac ( 2 2
c + a ) a b c ab bc ca
Bài 28. Cho a, ,
b c  0 thỏa mãn abc =1. Chứng minh rằng: + + 1 5 5 5 5 5 5
a + b + ab
b + c + bc c + a + . ca 3 3 3 x y z 1  1 1 1  Bài 29. Cho ,
x y, z  0 thỏa xy + yz + zx = 3xyz . + +  + + .Chứng minh rằng: .  . 2 2 2 z + x x + y y + z 2  x y z
Bài 30. Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: ab + bc + ca + abc = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu a +1 b +1 c +1 thức: M = + + . 2 2 2 a + 2a + 2 b + 2b + 2 c + 2x + 2 2 2 2 x y z
Bài 31. Cho x, y, z là 3 số dương thỏa mãn 2 2 2
x + y + z = 3xyz . Chứng minh: + + 1 y + 2 z + 2 x + . 2
Bài 32. Cho a, b, c dương và thỏa mãn xy + yz + zx = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 1 P = + + 2 2 2 4x − yz + 2 4y − zx + 2 4z − xy + 2 Hết
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606