Lời giải bài tập tích phân mặt | Giải tích 2 | Đại học Bách Khoa Hà Nội
Lời giải bài tập tích phân mặt | Giải tích 2 | Đại học Bách Khoa Hà Nội. Tài liệu được biên soạn giúp các bạn tham khảo, củng cố kiến thức, ôn tập và đạt kết quả cao kết thúc học phần. Mời các bạn đọc đón xem!
Preview text:
DO NGOC HIEU
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TÍCH PHÂN MẶT
I.Tích phân mặt loại 1
Câu 1: Tính ∬ 𝑥𝑦𝑧𝑑𝑆 𝑆
với S là mặt 𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 − 4 = 0 g ớ i i hạn trong mặt trụ 2𝑥2 + 3𝑦2 = 6. 𝑧 ′𝑥 = − 1 𝑧 = −𝑥+2𝑦+4 → { 3 3 𝑧′𝑦 = 23
Hình chiếu của S lên Oxy là 𝐷: { 𝑧 = 0 2𝑥2 + 3𝑦2 ≤ 6 𝐼 ′ 2 ′ 2
𝑆 = ∬ 𝑥𝑦 (−𝑥 + 2𝑦 + 4)√1 + 𝑧 + 𝑧 𝐷 𝑑𝑥𝑑𝑦 3 𝑥 𝑦
= √14 ∬ (−𝑥2𝑦 + 2𝑥𝑦2 + 4𝑥𝑦) 9 𝐷 𝑑𝑥𝑑𝑦
= 0 (𝐻à𝑚 𝑙ẻ 𝑣à 𝑚 ề
𝑖 𝑛 đố𝑖 𝑥ứ𝑛𝑔)
Câu 2: Tính ∬ 𝑥𝑦𝑑𝑆 𝑣ớ𝑖 𝑆 𝑙à 𝑏 ê
𝑖 𝑛 𝑐ủ𝑎 𝑣ậ𝑡 𝑡ℎể 𝑔𝑖ớ𝑖 ℎạ𝑛 𝑏ở𝑖 𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2 𝑆 , 𝑧 = 1, 𝑥 ≥ 0 𝑧 ′𝑥 = 𝑥 √𝑥2+𝑦2
𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2 → { 𝑧′ 𝑦 = 𝑦 √𝑥2+𝑦2
Hình chiếu của S lên Oxy là 𝐷: {𝑧 = 0, 𝑥 ≥ 0 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1 𝐼𝑆 = ∬ 𝑥𝑦 √ 𝐷
1 + 𝑧𝑥′2 + 𝑧𝑦′2𝑑𝑥𝑑𝑦
= √2 ∬ 𝑥𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷
= 0 (𝐻à𝑚 𝑙ẻ đố𝑖 𝑣ớ𝑖 𝑦 𝑣à 𝑚 ề
𝑖 𝑛 đố𝑖 𝑥ứ𝑛 𝑔 𝑞𝑢𝑎 𝑂𝑥)
Câu 3: Tính ∬ 𝑥𝑑𝑆 𝑣ớ𝑖 𝑆 𝑙à 𝑚ặ𝑡 𝑡 ụ
𝑟 𝑥2 + 𝑦2 = 4 𝑛ằ𝑚 𝑔𝑖ữ𝑎 ℎ𝑎𝑖 𝑚ặ𝑡 𝑧 = 𝑆 0 𝑣à 𝑧 = 6
Hình chiếu của S lên Oxy là 𝐷: { 𝑧 = 0 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4 DO NGOC HIEU DO NGOC HIEU 𝐼𝑆 = ∬ 𝑥 √ 𝐷
1 + 𝑧𝑥′2 + 𝑧𝑦′2𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬ 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷
= 0 (𝐻à𝑚 𝑙ẻ đố𝑖 𝑣ớ𝑖 𝑥 𝑣à 𝑚 ề
𝑖 𝑛 đố𝑖 𝑥ứ𝑛 𝑔 𝑞𝑢𝑎 𝑂𝑦)
Câu 4: Tính ∬ 𝑦𝑥2𝑑𝑆 𝑣ớ𝑖 𝑆 𝑙à 𝑝ℎầ𝑛 𝑚ặ𝑡 𝑛ó𝑛 𝑦 = √𝑥2 + 𝑧2 𝑆 , 1 ≤ 𝑦 ≤ 2 𝑦′𝑥 = 𝑥 𝑦 = √𝑥2 + 𝑧2 → { √𝑥2+𝑧2 𝑦′𝑧 = 𝑧 √𝑥2+𝑧2
Hình chiếu của S lên Oxz là 𝐷: { 𝑦 = 0 1 ≤ 𝑥2 + 𝑧2 ≤ 4 𝐼𝑆 = ∬ 𝑥2 𝐷
√𝑥2 + 𝑧2√1 + 𝑦𝑥′2 + 𝑦𝑧′2𝑑𝑥𝑑𝑧 = √2 ∬ 𝑥2 𝐷
√𝑥2 + 𝑧2𝑑𝑥𝑑𝑧 2𝜋 2 = √2 ∫ cos2 𝜑 0 𝑑𝜑 ∫ 𝑟4𝑑𝑟 1 (Đổ𝑖 𝑏 ế
𝑖 𝑛 𝑡ọ𝑎 độ 𝑐ự𝑐) = 31𝜋√2 5
Câu 5: Tính ∬ √1 + 𝑥2 + 𝑦2𝑑𝑆 𝑆
𝑣ớ𝑖 𝑆 𝑙à 𝑝ℎầ𝑛 𝑚ặ𝑡 2𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2, 0 ≤ 𝑥, 𝑦 ≤ 1 𝑧′𝑥 = 𝑥 𝑧 = 𝑥2+𝑦2 → { 2 𝑧′𝑦 = 𝑦
Hình chiếu của S lên Oxy là 𝐷: { 𝑧 = 0 0 ≤ 𝑥,𝑦 ≤ 1 𝐼 2 2 ′ 2
𝑆 = ∬ √1 + 𝑥 + 𝑦 √ + 𝑧 𝐷 1 + 𝑧𝑥 𝑦′ 2𝑑𝑥𝑑𝑦
= ∬ (1 + 𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷 1 1 = ∫ 𝑑𝑥 0
∫ (1 + 𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑦 0 1 = ∫ (1 + 𝑥2 + 1)𝑑𝑥 0 = 5 3 3 DO NGOC HIEU DO NGOC HIEU 3 3 Câu 6: Tính ∬ 𝑑𝑆 𝑆
𝑣ớ𝑖 𝑆 𝑙à 𝑚ặ𝑡 𝑧 = 2 (𝑥 2 + 𝑦2) 𝑣ớ𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 2, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1 3 3 3 𝑧 ′𝑥 = √𝑥 𝑧 = 2 (𝑥2 + 𝑦2) → { 3 𝑧′𝑦 = √𝑦
Hình chiếu của S lên Oxy là 𝐷: { 𝑧 = 0
0 ≤ 𝑥 ≤ 2, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1
𝐼𝑆 = ∬ √1 + 𝑧𝑥′2 + 𝑧𝑦′2𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷 = ∬ √1 + 𝑥 + 𝑦 𝐷 𝑑𝑥𝑑𝑦 2 1 = ∫ 𝑑𝑥 0
∫ √1 + 𝑥 + 𝑦 𝑑𝑦 0 2
= 2 ∫ [(𝑥 + 2)32 − (𝑥 + 1)32] 𝑑𝑥 3 0 = 4 (33 − 9√3 − 4√2) 15
Câu 7: Tính ∬ 𝑧𝑦2𝑑𝑆 𝑆
𝑣ớ𝑖 𝑆 𝑙à 𝑝ℎầ𝑛 𝑚ặ𝑡 𝑛ó𝑛 𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2 𝑛ằ𝑚 𝑔𝑖ữ𝑎 𝑧 = 1 𝑣à 𝑧 = 2 𝑧 ′𝑥 = 𝑥 √𝑥2+𝑦2
𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2 → { 𝑧′ 𝑦 = 𝑦 √𝑥2+𝑦2
Hình chiếu của S lên Oxy là 𝐷: { 𝑧 = 0 1 ≤ 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4
𝐼𝑆 = ∬ 𝑦2√𝑥2 + 𝑦2 √ 𝐷
1 + 𝑧𝑥′2 + 𝑧𝑦′2𝑑𝑥𝑑𝑦
= √2 ∬ 𝑦2√𝑥2 + 𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷 2𝜋 2 = √2 ∫ sin2 𝜑 (Đổ𝑖 𝑏 ế
𝑖 𝑛 𝑡ọ𝑎 độ 𝑐ự𝑐) 0 𝑑𝜑 ∫ 𝑟4𝑑𝑟 1 = 31𝜋√2 5
Câu 8: Tính diện tích mặt paraboloid 𝑧 = 4𝑥 − 𝑥2 − 𝑦2 nằm phía trên mặt Oxy DO NGOC HIEU DO NGOC HIEU ′ = 4 − 2𝑥
𝑧 = 4𝑥 − 𝑥2 − 𝑦2 → {𝑧𝑥𝑧 ′𝑦 = −2𝑦
Hình chiếu của S lên Oxy là 𝐷: { 𝑧 = 0 (𝑥 − 2)2 + 𝑦2 ≤ 4
𝐼𝑆 = ∬ √1 + 𝑧𝑥′2 + 𝑧𝑦′2𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷
= ∬ √1 + 4(𝑥 − 2)2 + 4𝑦2 𝐷 𝑑𝑥𝑑𝑦 2𝜋 2 = ∫ 𝑑𝜑 (Đổ𝑖 𝑏 ế
𝑖 𝑛 𝑡ọ𝑎 độ 𝑐ự𝑐) 0 ∫ 𝑟√1 + 4𝑟2𝑑𝑟 0 2
= 2𝜋 ∫ 1 √1 + 4𝑟2𝑑(1 + 4𝑟2)
(17√17 − 1) (đ𝑣𝑑𝑡) 0 = 𝜋 8 6
Câu 9: Tính diện tích mặt paraboloid 𝑥 = 𝑦2 + 𝑧2 𝑣ớ𝑖 𝑥 ≤ 1 𝑥 ′𝑦 = 2𝑦
𝑥 = 𝑦2 + 𝑧2 → { 𝑥′𝑧 = 2𝑧
Hình chiếu của S lên Oyz là 𝐷: { 𝑥 = 0 𝑧2 + 𝑦2 ≤ 1 𝐼 ′ 2
𝑆 = ∬ √1 + 𝑥𝑦′ 2 + 𝑥𝑧 𝑑𝑦𝑑𝑧 𝐷 = ∬ √1 + 4𝑦2 + 4𝑧2 𝐷 𝑑𝑦𝑑𝑧 2𝜋 1 = ∫ 𝑑𝜑 (Đổ𝑖 𝑏 ế
𝑖 𝑛 𝑡ọ𝑎 độ 𝑐ự𝑐) 0 ∫ 𝑟√1 + 4𝑟2𝑑𝑟 0 1
= 2𝜋 ∫ 1 √1 + 4𝑟2𝑑(1 + 4𝑟2) 0
= 𝜋 (5√5 − 1) (đ𝑣𝑑𝑡) 8 6
Câu 10: Tính diện tích mặt S: 𝑧 = 2 + √𝑥2 + 𝑦2, 𝑧 ≤ 3 𝑧 ′𝑥 = 𝑥 √𝑥2+𝑦2
𝑧 = 2 + √𝑥2 + 𝑦2 → { 𝑧′ 𝑦 = 𝑦 √𝑥2+𝑦2
Hình chiếu của S lên Oxy là 𝐷: { 𝑧 = 0
𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1 (ℎì𝑛ℎ 𝑡𝑟ò𝑛 𝑏á𝑛 𝑘í𝑛ℎ 1)
𝐼𝑆 = ∬ √1 + 𝑧𝑥′2 + 𝑧𝑦′2𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷 DO NGOC HIEU DO NGOC HIEU = √2 ∬ 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷 = √2 𝑆𝐷 = 𝜋√2
Câu 11: Tính ∬ 𝑥𝑦𝑧𝑑𝑆 𝑆
𝑣ớ𝑖 𝑆 𝑙à 𝑝ℎầ𝑛 𝑚ặ𝑡 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 nằm trong góc phần tám thứ nhất ′ = −1
𝑧 = 1 − 𝑥 − 𝑦 → {𝑧𝑥 𝑧′𝑦 = −1
Hình chiếu của S lên Oxy là 𝐷: { 𝑧 = 0
𝑥 + 𝑦 ≤ 1; 𝑥, 𝑦 ≥ 0 𝐼 ′ 2
𝑆 = ∬ 𝑥𝑦(1 − 𝑥 − 𝑦)√1 + 𝑧𝑥 + 𝑧𝑦′ 2𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷
= √3 ∬ (𝑥𝑦 − 𝑥2𝑦 − 𝑥𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷 1 1−𝑥 = √3 ∫ 𝑑𝑥 0
∫ (𝑥𝑦 − 𝑥2𝑦 − 𝑥𝑦2)𝑑𝑦 0 1
= √3 ∫ [(𝑥 − 𝑥2) (1−𝑥)2 − 𝑥 (1−𝑥)3 ] 𝑑𝑥 0 2 3 = √3 120
Câu 12: Tính∬ |𝑥𝑦𝑧|𝑑𝑆 𝑆
𝑣ớ𝑖 𝑆 𝑙à 𝑝ℎầ𝑛 𝑚ặ𝑡 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 𝑏ị 𝑐ắ𝑡 𝑏ở𝑖 𝑚ặ𝑡 𝑧 = 1 ′ = 2𝑥
𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 → {𝑧𝑥 𝑧′𝑦 = 2𝑦
Hình chiếu của S lên Oxy là 𝐷: { 𝑧 = 0 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1 𝐼 2 2 ′ 2
𝑆 = ∬ |𝑥𝑦(𝑥 + 𝑦 )|√1 + 𝑧𝑥 + 𝑧𝑦′ 2𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷
= ∬ |𝑥𝑦|(𝑥2 + 𝑦2) 𝐷
√1 + 4𝑥2 + 4𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦
= 4 ∬ |𝑟2𝑠𝑖𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠𝜑|𝑟2√1 + 4𝑟2 𝐷′
. 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜑 (𝐷′:{0 ≤ 𝜑 ≤ 𝜋2) 0 ≤ 𝑟 ≤ 1 𝜋 1 = 8 ∫ 𝑠𝑖𝑛2𝜑 2 𝑑𝜑 𝑟4√1 + 4𝑟2 0 2 ∫ 1 0 𝑑(1 + 4𝑟2) 8 1 2
= 1 ∫ (1+4𝑟2−1 ) √1 + 4𝑟2 𝑑(1 + 4𝑟2) 2 0 4 DO NGOC HIEU DO NGOC HIEU 5 = 1 ∫ (𝑡 − 1)2 1 √𝑡𝑑𝑡 32 5 3 1 5
= 1 ∫ [𝑡2 − 2𝑡2 + 𝑡2 32 1 ]𝑑𝑡 = 125√5−1 210
Câu 13: Tính ∬ 𝑥2𝑦𝑑𝑆 𝑣ớ𝑖 𝑆 𝑙à 𝑝ℎầ𝑛 𝑚ặ𝑡 𝑛ó𝑛 𝑦 = √𝑥2 + 𝑧2 𝑆
𝑛ằ𝑚 𝑔𝑖ữ𝑎 𝑦 = 1 𝑣à 𝑦 = 2 𝑦′𝑥 = 𝑥 √𝑥2+𝑧2 𝑦 = √𝑥2 + 𝑧2 → { 𝑦′𝑧 = 𝑧 √𝑥2+𝑧2
Hình chiếu của S lên Oxz là 𝐷: { 𝑦 = 0 1 ≤ 𝑥2 + 𝑧2 ≤ 4 𝐼𝑆 = ∬ 𝑥2 𝐷
√𝑥2 + 𝑧2√1 + 𝑦𝑥′2 + 𝑦𝑧′2𝑑𝑥𝑑𝑧
= √2 ∬ 𝑥2√𝑥2 + 𝑧2𝑑𝑥𝑑𝑧 𝐷 2𝜋 2 = √2 ∫ cos2 𝜑 0 𝑑𝜑 ∫ 𝑟4𝑑𝑟 1 (Đổ𝑖 𝑏 ế
𝑖 𝑛 𝑡ọ𝑎 độ 𝑐ự𝑐) = 31𝜋√2 5
Câu 14: Tính ∬ (𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥)𝑑𝑆 𝑣ớ𝑖 𝑆 𝑙à 𝑚ặ𝑡 𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2 𝑛ằ𝑚 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 𝑚ặ𝑡 𝑆 (𝑥 − 1)2 + 𝑦2 = 1 𝑧 ′𝑥 = 𝑥 √𝑥2+𝑦2 𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2 → { 𝑧′𝑦 = 𝑦 √𝑥2+𝑦2
Hình chiếu của S lên Oxy là 𝐷: { 𝑧 = 0 (𝑥 − 1)2 + 𝑦2 ≤ 1 𝐼 2
𝑆 = ∬ [𝑥𝑦 + (𝑥 + 𝑦)√𝑥2 + 𝑦 ]√1 + 𝑧𝑥′ 2 + 𝑧𝑦′ 2𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷 = √2 ∬ [𝑦(𝑥 + 𝐷
√𝑥2 + 𝑦2) + 𝑥√𝑥2 + 𝑦2]𝑑𝑥𝑑𝑦 DO NGOC HIEU DO NGOC HIEU
= √2 ∬ 𝑥√𝑥2 + 𝑦2 𝐷
𝑑𝑥𝑑𝑦 ( 𝐻à𝑚 𝑙ẻ 𝑣ớ𝑖 𝑦 𝑣à 𝑚 ề
𝑖 𝑛 đố𝑖 𝑥ứ𝑛 𝑔 𝑞𝑢𝑎 𝑂𝑥)
0 ≤ 𝑟 ≤ 2𝑐𝑜𝑠𝜑
= √2 ∬ 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑟2𝑑𝑟𝑑𝜑(Đ𝑏 𝑡ọ𝑎 độ 𝑐ự𝑐 𝐷′: { −𝜋 ≤ 𝜑 ≤ 𝜋 ) 𝐷′ 2 2 𝜋 2𝑐𝑜𝑠𝜑 = √2 ∫2 𝑑𝜑 ∫ 𝑟3𝑐𝑜𝑠𝜑𝑑𝑟 −𝜋 0 2 𝜋
= √2 ∫2 (2𝑐𝑜𝑠𝜑)4𝑐𝑜𝑠𝜑𝑑𝜑 4 −𝜋2 𝜋
= 8√2 ∫2 cos5 𝜑𝑑𝜑 0
= 8√2 4‼ (𝑇í𝑐ℎ 𝑝ℎâ𝑛 𝑊𝑎𝑙𝑙𝑖𝑠) 5‼ = 64√2 15
II. Tích phân mặt loại 2
Câu 15: Tính ∬ (𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)𝑑𝑥𝑑𝑦 2 2 𝑆
với S là nửa mặt cầu 𝑥2 + 𝑦 + 𝑧 = 1 nằm
trên Oxy, mặt S hướng lên trên.
(𝑛𝑆,𝑂𝑧) ≤ 𝜋 2
Hình chiếu của S lên Oxy là 𝐷: { 𝑧 = 0
𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1(𝐻ì𝑛ℎ 𝑡𝑟ò𝑛 𝑏á𝑛 𝑘í𝑛ℎ 1)
→ 𝐼𝑆 = + ∬ 1𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑆 𝐷 𝐷 = 𝜋
Câu 16: Tính ∬ 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧 + 𝑧2𝑑𝑥𝑑𝑦 2 2 𝑆
với S là phía ngoài mặt 𝑥2 + 𝑦 + 𝑧 = 1,
𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑧 ≥ 0
∗ 𝐼1 = ∬ 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧 𝑆
𝑦 = √1 − 𝑥2 − 𝑧2, (𝑛𝑆, 𝑂𝑦) ≤ 𝜋 2
Hình chiếu của S lên Oxz là 𝐷: { 𝑦 = 0
𝑥2 + 𝑧2 ≤ 1, 𝑥 ≥ 0, 𝑧 ≥ 0 𝜋 1 → 𝐼 2 2
1 = + ∬ √1 − 𝑥 − 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑧 2 𝐷
= ∫ 𝑑𝜑 ∫ 𝑟√1 − 𝑟2𝑑𝑟 0 0 = 𝜋 6 DO NGOC HIEU DO NGOC HIEU
∗ 𝐼2 = ∬ 𝑧2𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆
𝑧 = √1 − 𝑥2 − 𝑦2, (𝑛𝑆, 𝑂𝑧) ≤ 𝜋 2
Hình chiếu của S lên Oxy là 𝐷′: { 𝑧 = 0
𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 𝜋 1 → 𝐼 2 2
2 = + ∬ (1 − 𝑥 − 𝑦 )𝑑𝑥𝑑𝑦 2 𝐷′ = ∫ 𝑑𝜑 0 ∫ 𝑟(1 − 𝑟2)𝑑𝑟 0 = 𝜋 8
𝑉ậ𝑦 𝐼𝑆 = 𝐼1 + 𝐼2 = 𝜋 + 𝜋 = 7𝜋 6 8 24
Câu 17: Tính ∬ 𝑥𝑦𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 2 2 𝑆
với S là phần ngoài của mặt 𝑥2 + 𝑦 + 𝑧 = 1,
𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑧 ≥ 0
𝑧 = √1 − 𝑥2 − 𝑦2, (𝑛𝑆, 𝑂𝑧) ≤ 𝜋 2
Hình chiếu của S lên Oxy là 𝐷: { 𝑧 = 0 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1 𝐼 2 2
𝑆 = + ∬ 𝑥𝑦√1 − 𝑥 − 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷
= 0 (ℎà𝑚 𝑙ẻ đố𝑖 𝑣ớ𝑖 𝑥 𝑣à 𝑚 ề
𝑖 𝑛 đố𝑖 𝑥ứ𝑛 𝑔 𝑞𝑢𝑎 𝑂𝑦)
Câu 18: Tính ∬ 𝑥2𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑧 + 𝑧2𝑑𝑥𝑑𝑦 ớ ặ ủ 𝑆 v i S là m t ngoài c a
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑧 ≥ 0
𝐼𝑆 = 𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼3
𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑐ó 𝑣𝑎𝑖 𝑡 ò
𝑟 𝑛ℎư 𝑛ℎ𝑎𝑢 → 𝐼 = 3𝐼1
𝑥 = √1 − 𝑦2 − 𝑧2, (𝑛𝑆, 𝑂𝑥) ≤ 𝜋 2
Hình chiếu của S lên Oyz là 𝐷: { 𝑥 = 0
𝑧2 + 𝑦2 ≤ 1, 𝑦 ≥ 0, 𝑧 ≥ 0 𝜋 1 → 𝐼 2 2
𝑆 = 3. + ∬ (1 − 𝑦 − 𝑧 )𝑑𝑦𝑑𝑧 2 𝐷 = 3 ∫ 𝑑𝜑 0 ∫ 𝑟(1 − 𝑟2)𝑑𝑟 0 = 3𝜋 8
Câu 19: Tính ∬ 𝑧(𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦 ớ ặ ủ ử ầ 𝑆
v i S là m t ngoài c a n a c u
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1, 𝑧 ≥ 0 DO NGOC HIEU DO NGOC HIEU
𝑧 = √1 − 𝑥2 − 𝑦2, (𝑛𝑆, 𝑂𝑧) ≤ 𝜋 2
Hình chiếu của S lên Oxy là 𝐷: { 𝑧 = 0 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1
𝐼𝑆 = + ∬ (𝑥2 + 𝑦2)√1 − 𝑥2 − 𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷 2𝜋 1 = ∫ 𝑑𝜑 0 ∫ 𝑟2√1 − 𝑟2 0 . 𝑟𝑑𝑟 1
= −𝜋 ∫ (1 − 1 + 𝑟2)√1 − 𝑟2𝑑(1 − 𝑟2) 0 1 = 𝜋 ∫ (1 − 𝑡) 0 √𝑡 𝑑𝑡 = 4𝜋 15
Câu 20: Tính ∬ 𝑦2𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 2 𝑆
với S là phần mặt nón 𝑧 = √𝑥2 + 𝑦 nằm giữa 2 mặt
𝑧 = 1 𝑣à 𝑧 = 2 hướng xuống dưới .
𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2, (𝑛𝑆,𝑂𝑧) ≥ 𝜋 2
Hình chiếu của S lên Oxy là 𝐷: { 𝑧 = 0 1 ≤ 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4 𝐼𝑆 = − ∬ 𝑦2 𝐷
√𝑥2 + 𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦 2𝜋 2 = − ∫ sin2 𝜑 (Đổ𝑖 𝑏 ế
𝑖 𝑛 𝑡ọ𝑎 độ 𝑐ự𝑐) 0 𝑑𝜑 ∫ 𝑟4𝑑𝑟 1 = − 31𝜋 5
Câu 21: Tính ∬ 𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑆
với S là mặt 𝑥 = √𝑦2 + 𝑧2, 𝑥 ≤ 2 theo chiều dương Ox
𝑥 = √𝑦2 + 𝑧2, (𝑛𝑆, 𝑂𝑥) ≤ 𝜋 2
Hình chiếu của S lên Oyz là 𝐷: { 𝑥 = 0 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 4 2𝜋 2 𝐼 2
𝑆 = + ∬ √𝑦2 + 𝑧 𝑑𝑦𝑑𝑧 𝐷 = ∫ 𝑑𝜑 0 ∫ 𝑟2𝑑𝑟 0 = 16𝜋 3
Câu 22: Tính ∬ 𝑥𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑧2𝑑𝑥𝑑𝑦 2 2 𝑆
với S là phía ngoài mặt 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 , 0 ≤ 𝑧 ≤ 2, 𝑦 ≥ 0. DO NGOC HIEU DO NGOC HIEU 𝑦 = 0
𝐶ℎọ𝑛 𝑚ặ𝑡 𝐾: { 0 ≤ 𝑧 ≤ 2 , ℎướ𝑛𝑔 𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑐ℎ𝑖ề𝑢 â𝑚 𝑡 ụ 𝑟 𝑐 𝑂𝑦.
−√𝑧 ≤ 𝑥 ≤ √𝑧
Hình chiếu của K lên Oxz là 𝐾 2
→ 𝐼𝐾 = − ∬ 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑧 = − ∫ 𝑑𝑧 ∫√𝑧 𝑥𝑑𝑥 𝐾 0 − = 0 √𝑧
𝑆 𝑈 𝐾 𝑙à 𝑚ặ𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑔 𝑘í𝑛 𝑔𝑖ớ𝑖 ℎạ𝑛 𝑚 ề
𝑖 𝑛 𝑉: {𝑥2 + 𝑦2 ≤ 𝑧 ≤ 2 𝑦 ≥ 0
𝑃 = 0, 𝑄 = 𝑥,𝑅 = 𝑧2 𝑘ℎả 𝑣𝑖 𝑡𝑟ê𝑛 𝑉 S U K hướng ra ngoài → 𝐼 ′ ′ ′
𝑆𝑈𝐾 = + ∭ (𝑃𝑥 + 𝑄𝑦 + 𝑅𝑧 )𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉
= ∭ 2𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉 𝜋 √2 2 = ∫ 𝑑𝜑 0 ∫ 𝑑𝑟 0 ∫ 2𝑧𝑟𝑑𝑧 𝑟2 (Đổ𝑖 𝑏 ế
𝑖 𝑛 𝑡ọ𝑎 độ 𝑡𝑟ụ) √2
= 𝜋 ∫ 𝑟(4 − 𝑟4)𝑑𝑟 0 = 8𝜋 3
→ 𝐼𝑆 = 𝐼𝑆𝑈𝐾 − 𝐼𝐾 = 8𝜋 3
Câu 23: Tính ∬ 𝑥𝑧2𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑆
+ 4𝑦𝑥2𝑑𝑧𝑑𝑥 + 9𝑧𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦 với S là mặt e lipsoid
4𝑥2 + 9𝑦2 + 𝑧2 = 1, ℎướ𝑛𝑔 𝑟𝑎 𝑛𝑔𝑜à𝑖
S là mặt cong kín giới hạn miền 𝑉: 4𝑥2 + 9𝑦2 + 𝑧2 ≤ 1
𝑃 = 𝑥𝑧2,𝑄 = 4𝑦𝑥2, 𝑅 = 9𝑧𝑦2 𝑘ℎả 𝑣𝑖 𝑡 ê 𝑟 𝑛 𝑉 S hướng ra ngoài → 𝐼 ′ ′ ′
𝑆 = + ∭ (𝑃𝑥 + 𝑄𝑦 + 𝑅𝑧 )𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉
= ∭ (𝑧2 + 4𝑥2 + 9𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉 2𝜋 𝜋 1 = ∫ 𝑑𝜑 ) 0 ∫ 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃 (Đổ𝑖 𝑏 ế
𝑖 𝑛 𝑡ọ𝑎 độ 𝑐ầ𝑢 0 ∫ 𝑟4𝑑𝑟 0 = 4𝜋 5 DO NGOC HIEU DO NGOC HIEU
Câu 24: Tính ∬ 2𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 2 𝑆
+ 𝑦𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑧2𝑑𝑥𝑑𝑦 với S là phần 𝑧 = √𝑥2 + 𝑦 nằm
dưới mặt 𝑧 = 1, hướng xuống dưới Chọn mặt 𝐾: { 𝑧 = 1
𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1 ℎướ𝑛𝑔 𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑐ℎ𝑖ề𝑢 𝑑ươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ụ𝑐 𝑂𝑧
Hình chiếu của K lên Oxy là 𝐷: { 𝑧 = 0
𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1(ℎì𝑛ℎ 𝑡𝑟ò𝑛 𝑏á𝑛 𝑘í𝑛ℎ 1)
→ 𝐼𝐾 = + ∬ 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷 = 𝜋
𝑆 𝑈 𝐾 𝑙à 𝑚ặ𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑔 𝑘í𝑛 𝑔𝑖ớ𝑖 ℎạ𝑛 𝑚 ề
𝑖 𝑛 𝑉: {√𝑥2 + 𝑦2 ≤ 𝑧 ≤ 1
𝑃 = 2𝑥, 𝑄 = 𝑦, 𝑅 = 𝑧2 𝑘ℎả 𝑣𝑖 𝑡𝑟ê𝑛 𝑉
𝑆 𝑈 𝐾 ℎướ𝑛𝑔 𝑟𝑎 𝑛𝑔𝑜à𝑖 → 𝐼 ′ ′ ′
𝑆𝑈𝐾 = + ∭ (𝑃𝑥 + 𝑄𝑦 + 𝑅𝑧 )𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉
= ∭ (3 + 2𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉 2𝜋 1 1 = ∫ 𝑑𝜑 0
∫ 𝑑𝑟 ∫ 𝑟(3 + 2𝑧)𝑑𝑧 0 (Đổ𝑖 𝑏 ế
𝑖 𝑛 𝑡ọ𝑎 độ 𝑡𝑟ụ) 𝑟 1
= 2𝜋 ∫ (4𝑟 − 3𝑟2 − 𝑟3)𝑑𝑟 0 = 3𝜋 2
→ 𝐼𝑆 = 𝐼𝑆𝑈𝐾 − 𝐼𝐾 = 3𝜋 − 𝜋 = 𝜋 2 2
Câu 25: Tính ∬ 2𝑥𝑦𝑑𝑦𝑑𝑧 + (𝑥 + 𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑧 + ( 𝑆
4𝑥 + 𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦 với mặt kín S là
biên của miền V: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≤ 1, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑧 ≥ 0 hướng ra ngoài 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
𝑆 𝑙à 𝑚ặ𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑔 𝑘í𝑛 𝑔𝑖ớ𝑖 ℎạ𝑛 𝑚 ề
𝑖 𝑛 𝑉: { 0 ≤ 𝑦 ≤ 1 − 𝑥
0 ≤ 𝑧 ≤ 1 − 𝑥 − 𝑦
𝑃 = 2𝑥𝑦, 𝑄 = 𝑥 + 𝑦2, 𝑅 = 4𝑥 + 𝑦2 𝑘ℎả 𝑣𝑖 𝑡 ê 𝑟 𝑛 𝑉 S hướng ra ngoài → 𝐼 ′ ′ ′
𝑆 = + ∭ (𝑃𝑥 + 𝑄𝑦 + 𝑅𝑧 )𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉
= ∭ 4𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉 1 1−𝑥 1−𝑥−𝑦 = ∫ 𝑑𝑥 0 ∫ 𝑑𝑦 0 ∫ 4𝑦𝑑𝑧 0 DO NGOC HIEU DO NGOC HIEU 1 1−𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 ∫
4𝑦(1 − 𝑥 − 𝑦)𝑑𝑦 0 0 1 = ∫ 2 (1 − 𝑥)3𝑑𝑥 0 = 1 3 6
Câu 26: Tính ∬ 𝑦𝑑𝑧𝑑𝑥 𝑆
với S là mặt trên của mặt 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑧 ≥ 0 ′ = −1
𝑦 = 1 − 𝑥 − 𝑧 → {𝑦𝑥 𝑦′ , 𝑂𝑦) ≤ 𝜋 𝑧 = −1 , (𝑛𝑆 2
Hình chiếu của S lên Oxz là 𝐷: { 𝑦 = 0
𝑥 + 𝑧 ≤ 1; 𝑥 ≥ 0, 𝑧 ≥ 0
→ 𝐼𝑆 = + ∬ (1 − 𝑥 − 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑧 𝐷 1 1−𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 0
∫ (1 − 𝑥 − 𝑧)𝑑𝑧 0 1 = ∫ 1 (1 − 𝑥)2𝑑𝑥 0 = 1 2 6
Câu 27: Tính ∬ (𝑥𝑦2 + 2𝑧3)𝑑𝑦𝑑𝑧 + (𝑧3 + 2𝑦)𝑑𝑧𝑑𝑥 + (𝑥2𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦 ớ ử 𝑆 v i S là n a
mặt cầu 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1, 𝑧 ≥ 0 ℎướ𝑛𝑔 𝑟𝑎 𝑛𝑔𝑜à𝑖 𝑚ặ𝑡 𝑐ầ𝑢.
𝐶ℎọ𝑛 𝑚ặ𝑡 𝐾: { 𝑧 = 0
𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1 , ℎướ𝑛𝑔 𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑐ℎ𝑖ề𝑢 â𝑚 𝑡𝑟ụ𝑐 𝑂𝑧
Hình chiếu của K lên Oxy là K
→ 𝐼𝐾 = − ∬ 𝑥2. 0𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐾 = 0
𝑆 𝑈 𝐾 𝑙à 𝑚ặ𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑔 𝑘í𝑛 𝑔𝑖ớ𝑖 ℎạ𝑛 𝑚 ề
𝑖 𝑛 𝑉: {𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 1 𝑧 ≥ 0
𝑃 = 𝑥𝑦2 + 2𝑧3, 𝑄 = 𝑧3 + 2𝑦, 𝑅 = 𝑥2𝑧 𝑘ℎả 𝑣𝑖 𝑡𝑟ê𝑛 𝑉
𝑆 𝑈 𝐾 ℎướ𝑛𝑔 𝑟𝑎 𝑛𝑔𝑜à𝑖 → 𝐼 ′ ′ ′
𝑆𝑈𝐾 = + ∭ (𝑃𝑥 + 𝑄𝑦 + 𝑅𝑧 ) 𝑉 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
= ∭ (𝑦2 + 2 + 𝑥2)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉 2𝜋 1 √1−𝑟2 = ∫ 𝑑𝜑 0 ∫ 𝑑𝑟 0 ∫ (𝑟2 + 2)𝑟𝑑𝑧 0 (Đổ𝑖 𝑏 ế
𝑖 𝑛 𝑡ọ𝑎 độ 𝑡𝑟ụ) 1
= 2𝜋 ∫ (𝑟2 + 2)√1 − 𝑟2. 𝑟𝑑𝑟 0 DO NGOC HIEU DO NGOC HIEU 1
= −𝜋 ∫ (3 − 1 + 𝑟2)√1 − 𝑟2𝑑(1 − 𝑟2) 0 1 = 𝜋 ∫ (3 − 𝑡)√𝑡 0 𝑑𝑡 = 8𝜋 5
→ 𝐼𝑆 = 𝐼𝑆𝑈𝐾 − 𝐼𝐾 = 8𝜋 5
Câu 28: Tính ∬ 𝑥2𝑑𝑦𝑑𝑧 2 2 𝑆
+ 𝑦3𝑑𝑧𝑑𝑥 với S là mặt cầu 𝑥2 + 𝑦 + 𝑧 = 1 hướng ra ngoài. S là mặt c
ong kín giới hạn miền 𝑉: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 1
𝑃 = 𝑥2, 𝑄 = 𝑦3, 𝑅 = 0 𝑘ℎả 𝑣𝑖 𝑡𝑟ê𝑛 𝑉 S hướng ra ngoài → 𝐼 ′ ′ ′
𝑆 = + ∭ (𝑃𝑥 + 𝑄𝑦 + 𝑅𝑧 )𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉
= ∭ (2𝑥 + 3𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉
= 3 ∭ 𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉
(𝐻à𝑚 𝑙ẻ 𝑣à 𝑚 ề
𝑖 𝑛 đố𝑖 𝑥ứ𝑛 𝑔 ) 2𝜋 𝜋 1 = 3 ∫ 𝑑𝜑 2 0
∫ cos2 𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃 0 ∫ 𝑟4𝑑𝑟 0 (Đổ𝑖 𝑏 ế
𝑖 𝑛 𝑡ọ𝑎 độ 𝑐ầ𝑢) = 2𝜋 5
Câu 29: Tính ∬ 𝑦𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆
với S là mặt 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 2 hướng lên trên. ′ = 2𝑥
𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 → {𝑧𝑥 𝑧′ , 𝑂𝑧) ≤ 𝜋 𝑦 = 2𝑦 , (𝑛𝑆 2
Hình chiếu của S lên Oxy là 𝐷: { 𝑧 = 0
0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 2 → 𝐼 2
𝑆 = + ∬ 𝑦(𝑥2 + 𝑦 )𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷 1 2 = ∫ 𝑑𝑥 0
∫ 𝑦(𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑦 0 = 14 3 Câu 30
: Tính ∬ 𝑥𝑦𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑆
+ 2𝑦𝑧𝑑𝑧𝑑𝑥 với S là mặt 𝑥2 − 𝑦2 + 𝑧2 = 0, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1,
hướng theo chiều âm trục Oy. DO NGOC HIEU DO NGOC HIEU Chọn mặt 𝐾: { 𝑦 = 1
𝑥2 + 𝑧2 ≤ 1 , ℎướ𝑛𝑔 𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑐ℎ𝑖ề𝑢 𝑑ươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ụ𝑐 𝑂𝑦
Hình chiếu của K lên Oxz là 𝐷: { 𝑦 = 0 𝑥2 + 𝑧2 ≤ 1
→ 𝐼𝐾 = + ∬ 2𝑧𝑑𝑥𝑑𝑧 𝐷
= 0 (𝐻à𝑚 𝑙ẻ 𝑣ớ𝑖 𝑧 𝑣à 𝑚 ề
𝑖 𝑛 𝐷 đố𝑖 𝑥ứ𝑛𝑔 𝑞𝑢𝑎 𝑧 = 0)
𝑆 𝑈 𝐾 𝑙à 𝑚ặ𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑔 𝑘í𝑛 𝑔𝑖ớ𝑖 ℎạ𝑛 𝑚 ề
𝑖 𝑛 𝑉: {√𝑥2 + 𝑧2 ≤ 𝑦 ≤ 1
𝑃 = 𝑥𝑦, 𝑄 = 2𝑦𝑧, 𝑅 = 0 𝑘ℎả 𝑣𝑖 𝑡 ê 𝑟 𝑛 𝑉
𝑆 𝑈 𝐾 ℎướ𝑛𝑔 𝑟𝑎 𝑛𝑔𝑜à𝑖 → 𝐼 ′ ′ ′
𝑆𝑈𝐾 = + ∭ (𝑃𝑥 + 𝑄𝑦 + 𝑅𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉
= ∭ (𝑦 + 2𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉
= ∭ 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉
(𝐻à𝑚 𝑙ẻ 𝑣ớ𝑖 𝑧, 𝑚 ề
𝑖 𝑛 đố𝑖 𝑥ứ𝑛𝑔 𝑞𝑢𝑎 𝑧 = 0) 2𝜋 1 1 = ∫ 𝑑𝜑 0 ∫ 𝑑𝑟 0 ∫ 𝑦𝑟𝑑𝑦 𝑟 (Đổ𝑖 𝑏 ế
𝑖 𝑛 𝑡ọ𝑎 độ 𝑡𝑟ụ) 1
= 2𝜋 ∫ (𝑟 − 𝑟3 ) 𝑑𝑟 0 = 𝜋 2 2 4
→ 𝐼𝑆 = 𝐼𝑆𝑈𝐾 − 𝐼𝐾 = 𝜋 4
Câu 31: Tính ∬ (𝑥3 + 2𝑦𝑧)𝑑𝑦𝑑𝑧 + (3𝑥2𝑦 + 𝑦)𝑑𝑧𝑑𝑥 + (6𝑦2𝑧 + 𝑥 ) 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆 trong
đó S là mặt paraboloid 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 với 𝑧 ≤ 1 hướng xuống dưới. Chọn mặt 𝐾: { 𝑧 = 1
𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1 , ℎướ𝑛𝑔 𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑐ℎ𝑖ề𝑢 𝑑ươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ụ𝑐 𝑂𝑧
Hình chiếu của K lên Oxy là 𝐷: { 𝑧 = 0 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1 → 𝐼 2
𝐾 = + ∬ 𝑥𝑦 + 6𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷
= ∬ 6𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦 (𝐻à𝑚 𝑙ẻ 𝑣ớ𝑖 𝑦 𝑣à 𝑚 ề
𝑖 𝑛 đố𝑖 𝑥ứ𝑛 𝑔 𝑞𝑢𝑎 𝑦 = 0) 𝐷 2𝜋 1 = ∫ sin2 𝜑 𝑑𝜑 0 ∫ 6𝑟3𝑑𝑟 0 (Đổ𝑖 𝑏 ế
𝑖 𝑛 𝑡ọ𝑎 độ 𝑐ự𝑐) = 3𝜋 2 DO NGOC HIEU DO NGOC HIEU
𝑆 𝑈 𝐾 𝑙à 𝑚ặ𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑔 𝑘í𝑛 𝑔𝑖ớ𝑖 ℎạ𝑛 𝑚 ề
𝑖 𝑛 𝑉: 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 𝑧 ≤ 1
𝑃 = 𝑥3 + 2𝑦𝑧, 𝑄 = 3𝑥2𝑦 + 𝑦, 𝑅 = 6𝑦2𝑧 + 𝑥𝑦 𝑘ℎả 𝑣𝑖 𝑡 ê 𝑟 𝑛 𝑉
𝑆 𝑈 𝐾 ℎướ𝑛𝑔 𝑟𝑎 𝑛𝑔𝑜à𝑖 → 𝐼 ′ ′ ′
𝑆𝑈𝐾 = + ∭ (𝑃𝑥 + 𝑄𝑦 + 𝑅𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉
= ∭ (6𝑥2 + 6𝑦2 + 1)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉 (Đổ𝑖 𝑏 ế
𝑖 𝑛 𝑡ọ𝑎 độ 𝑡𝑟ụ) 2𝜋 1 1 = ∫ 𝑑𝜑 ) 0 ∫ 𝑑𝑟 0 ∫ (6𝑟2 + 1 . 𝑟𝑑𝑧 𝑟2 1
= 2𝜋 ∫ (1 − 𝑟2)(6𝑟2 + 1)𝑟𝑑𝑟 0 = 3𝜋 2
→ 𝐼𝑆 = 𝐼𝑆𝑈𝐾 − 𝐼𝐾 = 0
Câu 32: Tính ∬ (𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧)3(𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑑𝑥𝑑𝑦) ớ ặ 𝑆 v i S là m t :
𝑥2 + 4𝑦2 + 9𝑧2 = 1, hướng ra ngoài.
S là mặt cong kín giới hạn miền 𝑉: 𝑥2 + 4𝑦2 + 9𝑧2 ≤ 1
𝑃 = 𝑄 = 𝑅 = (𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧)3 𝑘ℎả 𝑣𝑖 𝑡 ê 𝑟 𝑛 𝑉 S hướng ra ngoài → 𝐼 ′ ′ ′
𝑆 = + ∭ (𝑃𝑥 + 𝑄𝑦 + 𝑅𝑧 )𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉
= 18∭ (𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧)2𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉
= 18∭ 𝑥2 + 4𝑦2 + 9𝑧2 + 2(2𝑥𝑦 + 6𝑦𝑧 + 3𝑥 ) 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉
= 18∭ (𝑥2 + 4𝑦2 + 9𝑧2)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉
(𝐻à𝑚 𝑙ẻ 𝑣à 𝑚 ề
𝑖 𝑛 đố𝑖 𝑥ứ𝑛𝑔) 2𝜋 𝜋 1 = 18∫ 𝑑𝜑 0 ∫ 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃 0 ∫ 𝑟4𝑑𝑟 0 (Đổ𝑖 𝑏 ế
𝑖 𝑛 𝑡ọ𝑎 độ 𝑐ầ𝑢) = 72𝜋 5
Câu 33: Tính ∬ 𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 2 𝑆
+ 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 với S là phần dưới của mặt nón 𝑧 = −√𝑥2 + 𝑦 ,
−1 ≤ 𝑧 ≤ 0 khi nhìn từ chiều dương trục Oz DO NGOC HIEU DO NGOC HIEU
𝐶ℎọ𝑛 𝑚ặ𝑡 𝐾: { 𝑧 = −1
𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1 , ℎướ𝑛𝑔 𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑐ℎ𝑖ề𝑢 â𝑚 𝑡𝑟ụ𝑐 𝑂𝑧
Hình chiếu của K lên Oxy là 𝐷: { 𝑧 = 0
𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1 (𝐻ì𝑛ℎ 𝑡𝑟ò𝑛 𝑏á𝑛 𝑘í𝑛ℎ 1)
→ 𝐼𝐾 = − ∬ −1𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷 = 𝜋
𝑆 𝑈 𝐾 𝑙à 𝑚ặ𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑔 𝑘í𝑛 𝑔𝑖ớ𝑖 ℎạ𝑛 𝑚 ề
𝑖 𝑛 𝑉: −1 ≤ 𝑧 ≤ −√𝑥2 + 𝑦2
𝑃 = 𝑥,𝑄 = 0, 𝑅 = 𝑧 𝑘ℎả 𝑣𝑖 𝑡 ê 𝑟 𝑛 𝑉
𝑆 𝑈 𝐾 ℎướ𝑛𝑔 𝑟𝑎 𝑛𝑔𝑜à𝑖 → 𝐼 ′ ′ ′
𝑆𝑈𝐾 = + ∭ (𝑃𝑥 + 𝑄𝑦 + 𝑅𝑧 ) 𝑉 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
= 2 ∭ 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉 2𝜋 1 −𝑟 = 2 ∫ 𝑑𝜑 0 ∫ 𝑑𝑟 0 ∫ 𝑟𝑑𝑧 −1 (Đổ𝑖 𝑏 ế
𝑖 𝑛 𝑡ọ𝑎 độ 𝑡𝑟ụ) 1
= 4𝜋 ∫ 𝑟(−𝑟 + 1)𝑑𝑟 0 = 2𝜋 3
→ 𝐼𝑆 = 𝐼𝑆𝑈𝐾 − 𝐼𝐾 = 2𝜋 − 𝜋 = − 𝜋 3 3
Câu 34: Tính ∬ 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝑥3𝑑𝑦𝑑𝑧 + (𝑦3 + 𝑥)𝑑𝑧𝑑𝑥 ớ ặt dướ ủ ặ 𝑆 v i S là m i c a m t
𝑧 = 𝑥2 + 2𝑦2,𝑧 ≤ 8 khi nhìn từ 1 điểm trên chiều dương Oz cách xa gốc tọa độ
𝐶ℎọ𝑛 𝑚ặ𝑡 𝐾: { 𝑧 = 8
𝑥2 + 2𝑦2 ≤ 8 , ℎướ𝑛𝑔 𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑐ℎ𝑖ề𝑢 â𝑚 𝑡𝑟ụ𝑐 𝑂𝑧
Hình chiếu của K lên Oxy là 𝐷: { 𝑧 = 0 𝑥2 + 2𝑦2 ≤ 8
→ 𝐼𝐾 = − ∬ 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷
= 0 ( 𝐻à𝑚 𝑙ẻ 𝑣ớ𝑖 𝑥 𝑣à 𝑚 ề
𝑖 𝑛 đố𝑖 𝑥ứ𝑛 𝑔 𝑞𝑢𝑎 𝑥 = 0)
𝑆 𝑈 𝐾 𝑙à 𝑚ặ𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑔 𝑘í𝑛 𝑔𝑖ớ𝑖 ℎạ𝑛 𝑚 ề
𝑖 𝑛 𝑉: 𝑥2 + 2𝑦2 ≤ 𝑧 ≤ 8
𝑃 = 𝑥3, 𝑄 = 𝑦3 + 𝑥, 𝑅 = 𝑥 𝑘ℎả 𝑣𝑖 𝑡 ê 𝑟 𝑛 𝑉
𝑆 𝑈 𝐾 ℎướ𝑛𝑔 𝑣à𝑜 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 → 𝐼 ′ ′ ′
𝑆𝑈𝐾 = − ∭ (𝑃𝑥 + 𝑄𝑦 + 𝑅𝑧 ) 𝑉 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = −3 ∭ (𝑥2 + 𝑦2) 𝑉 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 DO NGOC HIEU DO NGOC HIEU
𝑥 = 2√2𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋
Đổ𝑖 𝑏𝑖ế𝑛: { 𝑦 = 2𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 → |𝐽| = 4√2𝑟 → 𝑉′:{ 8𝑟2 ≤ 𝑧 ≤ 8 𝑧 = 𝑧 0 ≤ 𝑟 ≤ 1 → 𝐼 2 2 2 2
𝑆𝑈𝐾 = −3 ∭ (8𝑟 cos 𝜑 + 4𝑟 sin 𝜑). 4√2𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜑𝑑𝑧 𝑉′ = −12√2 ∭ (4𝑟2 𝑉
+ 4𝑟2 cos2 𝜑)𝑑𝑟𝑑𝜑𝑑𝑧 2𝜋 1 8 = −48√2 ∫ 𝑑𝜑 0 ∫ 𝑑𝑟 0
∫ (𝑟2 + 𝑟2 cos2 𝜑)𝑑𝑧 8𝑟2 2𝜋 1 = −48√2 ∫ 𝑑𝜑 0
∫ 𝑟2(1 + cos2 𝜑)(8 − 8𝑟2)𝑑𝑟 0 2𝜋 1
= −48√2 ∫ (1 + cos2 𝜑 )𝑑𝜑 0
∫ 𝑟2(8 − 8𝑟2)𝑑𝑟 0
= −48√2 .3𝜋 . 16 = − 768𝜋√2 15 5
→ 𝐼𝑆 = 𝐼𝑆𝑈𝐾 − 𝐼𝐾 = − 768𝜋√2 5
Câu 35: Cho O(0,0,0); A(1,0,0); B(0,1,0); C(0,0,1). Tính ∬ 𝑥𝑦𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑦𝑧𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑆
𝑧𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 với S là mặt ngoài của tứ diện OABC. 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
S là mặt cong kín giới hạn miền 𝑉: { 0 ≤ 𝑦 ≤ 1 − 𝑥
0 ≤ 𝑧 ≤ 1 − 𝑥 − 𝑦
𝑃 = 𝑥𝑦, 𝑄 = 𝑦𝑧, 𝑅 = 𝑧𝑥 𝑘ℎả 𝑣𝑖 𝑡 ê 𝑟 𝑛 𝑉 S hướng ra ngoài → 𝐼 ′ ′ ′
𝑆 = + ∭ (𝑃𝑥 + 𝑄𝑦 + 𝑅𝑧 )𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉
= ∭ (𝑦 + 𝑧 + 𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉 1 1−𝑥 1−𝑥−𝑦 = ∫ 𝑑𝑥 0 ∫ 𝑑𝑦 0 ∫ (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)𝑑𝑧 0 1 1−𝑥 1−𝑥−𝑦 2 = ∫ 𝑑𝑥 )( ) ]𝑑𝑦 0
∫ [(𝑥 + 𝑦 1 − 𝑥 − 𝑦 + ( ) 0 2 1 1−𝑥 1−𝑥−𝑦 2 = ∫ 𝑑𝑥 )( ) ]𝑑(𝑦 + 𝑥) 0
∫ [(𝑥 + 𝑦 1 − 𝑥 − 𝑦 + ( ) 0 2 1 1 = ∫ 𝑑𝑥 ( ) ]𝑑𝑡 0
∫ [𝑡 1 − 𝑡 + (1−𝑡)2 𝑥 2 DO NGOC HIEU DO NGOC HIEU 1
= ∫ [1 − 𝑥2 + 𝑥3 + 1 (1 − 𝑥)3]𝑑𝑥 0 6 2 3 6 = 1 8
Câu 36: Tính ∬ 𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 + 3𝑦𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑧2𝑑𝑥𝑑𝑦 ớ ặ ủ ầ 𝑆
v i S là m t ngoài c a nửa c u:
𝑧 = √9 − 𝑥2 − 𝑦2
𝐶ℎọ𝑛 𝑚ặ𝑡 𝐾: { 𝑧 = 0
𝑥2 + 𝑦2 ≤ 9 , ℎướ𝑛𝑔 𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑐ℎ𝑖ề𝑢 â𝑚 𝑡𝑟ụ𝑐 𝑂𝑧
Hình chiếu của K lên Oxy là 𝐾
→ 𝐼𝐾 = − ∬ 02𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐾 = 0
𝑆 𝑈 𝐾 𝑙à 𝑚ặ𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑔 𝑘í𝑛 𝑔𝑖ớ𝑖 ℎạ𝑛 𝑚 ề
𝑖 𝑛 𝑉: 0 ≤ 𝑧 ≤ √9 − 𝑥2 − 𝑦2
𝑃 = 𝑥,𝑄 = 3𝑦, 𝑅 = 𝑧2 𝑘ℎả 𝑣𝑖 𝑡 ê 𝑟 𝑛 𝑉
𝑆 𝑈 𝐾 ℎướ𝑛𝑔 𝑟𝑎 𝑛𝑔𝑜à𝑖 → 𝐼 ′ ′ ′
𝑆𝑈𝐾 = + ∭ (𝑃𝑥 + 𝑄𝑦 + 𝑅𝑧 ) 𝑉 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
= ∭ (4 + 2𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉 2𝜋 3 √9−𝑟2 = ∫ 𝑑𝜑 ) 0 ∫ 𝑑𝑟 𝑏𝑖 𝑡𝑟ụ) 0 ∫ (4 + 2𝑧 . 𝑟𝑑𝑧 0
(Đổ𝑖 ế𝑛 𝑡ọ𝑎 độ 3
= 2𝜋 ∫ [4𝑟√9 − 𝑟2 + 𝑟(9 − 𝑟2)]𝑑𝑟 0 = 225𝜋 2
→ 𝐼𝑆 = 𝐼𝑆𝑈𝐾 − 𝐼𝐾 = 225𝜋 5
Câu 37: Tính ∬ (2𝑥 + 𝑥𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑧 + (𝑦 + 2𝑥𝑧)𝑑𝑧𝑑𝑥 + (1 + 6𝑧 + 𝑧2)𝑑𝑥𝑑𝑦 ớ 𝑆 v i S là
mặt trong của nửa cầu 𝑧 = −√16 − (𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)
𝐶ℎọ𝑛 𝑚ặ𝑡 𝐾: { 𝑧 = 0
𝑥2 + 𝑦2 ≤ 16, ℎướ𝑛𝑔 𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑐ℎ𝑖ề𝑢 â𝑚 𝑡𝑟ụ𝑐 𝑂𝑧
Hình chiếu của K lên Oxy là 𝐾
→ 𝐼𝐾 = − ∬ 1𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐾 = −𝑆𝐾 = −16𝜋 DO NGOC HIEU DO NGOC HIEU 2 2
𝑆 𝑈 𝐾 𝑙à 𝑚ặ𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑔 𝑘í𝑛 𝑔𝑖ớ𝑖 ℎạ𝑛 𝑚 ề
𝑖 𝑛 𝑉: −√16−𝑥 −𝑦 ≤ 𝑧 ≤ 0 2
𝑃 = 2𝑥 + 𝑥𝑦, 𝑄 = 𝑦 + 2𝑥𝑧, 𝑅 = 1 + 6𝑧 + 𝑧2 𝑘ℎả 𝑣𝑖 𝑡 ê 𝑟 𝑛 𝑉
𝑆 𝑈 𝐾 ℎướ𝑛𝑔 𝑣à𝑜 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 → 𝐼 ′ ′ ′
𝑆𝑈𝐾 = − ∭ (𝑃𝑥 + 𝑄𝑦 + 𝑅𝑧 ) 𝑉 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
= − ∭ (2 + 𝑦 + 1 + 6 + 2𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉
= − ∭ (𝑦 + 9 + 2𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉
= − ∭ (9 + 2𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉
(𝐻à𝑚 𝑙ẻ 𝑣à 𝑚 ề
𝑖 𝑛 đố𝑖 𝑥ứ𝑛𝑔) 2𝜋 4 0 = − ∫ 𝑑𝜑 0 ∫ 𝑑𝑟 0 ∫
(9 + 2𝑧).𝑟𝑑𝑧(Đổ𝑖 𝑏 ế
𝑖 𝑛 𝑡ọ𝑎 độ 𝑡𝑟ụ) −√16−𝑟2 2 4
= −2𝜋 ∫ [9𝑟√16−𝑟2 − 𝑟 (16−𝑟2 )]𝑑𝑟 0 2 2 4 4 = 2𝜋 ∫ 9√16−𝑟2 0
𝑑 (16−𝑟2 ) + 2𝜋 ∫ 𝑟 (16−𝑟2 ) 𝑑𝑟 2 2 0 2 = −192𝜋√2 + 64𝜋
→ 𝐼𝑆 = 𝐼𝑆𝑈𝐾 − 𝐼𝐾 = (80 − 192√2 )𝜋
Câu 38: Tính ∬ 𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 + 3𝑦𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑧𝑥2𝑑𝑥𝑑𝑦 ớ ặ ủ 𝑆 v i S là m t ngoài c a
𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2,𝑧 ≤ 4
𝐶ℎọ𝑛 𝑚ặ𝑡 𝐾: { 𝑧 = 4
𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4 , ℎướ𝑛𝑔 𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑐ℎ𝑖ề𝑢 𝑑ươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ụ𝑐 𝑂𝑧
Hình chiếu của K lên Oxy là 𝐷: { 𝑧 = 0 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4 → 𝐼 2
𝐾 = + ∬ 4. 𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷 2𝜋 1 = ∫ cos2 𝜑 𝑑𝜑 0 ∫ 4𝑟3𝑑𝑟 0 (Đổ𝑖 𝑏 ế
𝑖 𝑛 𝑡ọ𝑎 độ 𝑐ự𝑐) = 𝜋 DO NGOC HIEU DO NGOC HIEU
𝑆 𝑈 𝐾 𝑙à 𝑚ặ𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑔 𝑘í𝑛 𝑔𝑖ớ𝑖 ℎạ𝑛 𝑚 ề
𝑖 𝑛 𝑉: 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 𝑧 ≤ 4
𝑃 = 𝑥,𝑄 = 3𝑦, 𝑅 = 𝑧𝑥2 𝑘ℎả 𝑣𝑖 𝑡 ê 𝑟 𝑛 𝑉
𝑆 𝑈 𝐾 ℎướ𝑛𝑔 𝑟𝑎 𝑛𝑔𝑜à𝑖 → 𝐼 ′ ′ ′
𝑆𝑈𝐾 = + ∭ (𝑃𝑥 + 𝑄𝑦 + 𝑅𝑧 ) 𝑉 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∭ (4 + 𝑥2) 𝑉 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 2𝜋 2 4 = ∫ 𝑑𝜑 0 ∫ 𝑑𝑟 𝑏𝑖 𝑡𝑟ụ) 0
∫ (4 + 𝑟2 cos2 𝜑).𝑟𝑑𝑧 (Đổ𝑖 ế𝑛 𝑡ọ𝑎 độ 𝑟2 2𝜋 2 = ∫ 𝑑𝜑 0
∫ (4 + 𝑟2 cos2 𝜑).𝑟(4 − 𝑟2)𝑑𝑟 0 2𝜋 2 2𝜋 2 = ∫ 𝑑𝜑 ( 2) 0
∫ 4𝑟 4 − 𝑟 𝑑𝑟 + 0 ∫ cos2 𝜑 𝑑𝜑 0
∫ 𝑟2.𝑟(4 − 𝑟2)𝑑𝑟 0 .16 = 2𝜋. 16 + 𝜋. = 112𝜋 3 3
→ 𝐼𝑆 = 𝐼𝑆𝑈𝐾 − 𝐼𝐾 = 112𝜋 − 𝜋 = 109𝜋 3 3
Câu 39: Tính ∬ 3𝑥𝑦2𝑑𝑦𝑑𝑧 − 𝑦3𝑑𝑥𝑑𝑧 + 𝑧𝑥2𝑑𝑥𝑑𝑦 ớ ủ ền đượ 𝑆 v i S là biên c a mi c
giới hạn bởi 𝑧 = 5 − 2𝑥2 − 2𝑦2, 𝑥2 + 𝑦2 = 1 𝑣à 𝑧 = 0, hướng ra ngoài
S là mặt cong kín giới hạn miền 𝑉: {0 ≤ 𝑧 ≤ 5 − 2𝑥2 − 2𝑦2 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1
𝑃 = 3𝑥𝑦2, 𝑄 = −𝑦3, 𝑅 = 𝑧𝑥2 𝑘ℎả 𝑣𝑖 𝑡𝑟ê𝑛 𝑉 S hướng ra ngoài. → 𝐼 ′ ′ ′
𝑆 = + ∭ (𝑃𝑥 + 𝑄𝑦 + 𝑅𝑧 ) 𝑉 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∭ 𝑥2 𝑉 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 2𝜋 1 5−2𝑟2 = ∫ 𝑑𝜑 0 ∫ 𝑑𝑟 0 ∫ 𝑟3 cos2 𝜑 𝑑𝑧 0 (Đổ𝑖 𝑏 ế
𝑖 𝑛 𝑡ọ𝑎 độ 𝑡𝑟ụ) 2𝜋 1 = ∫ cos2 𝜑 𝑑𝜑 0
∫ 𝑟3(5 − 2𝑟2)𝑑𝑟 0 = 11𝜋 12 Câu 40: Tính ∬ 1
(−2𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 − 2𝑦𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑑𝑥𝑑𝑦) ớ ặ 𝑆 v i S là m t √1+4𝑥2+4𝑦2 DO NGOC HIEU DO NGOC HIEU
𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2,𝑧 ≤ 4 theo chiều 𝑧 ≥ 0
𝐶ℎọ𝑛 𝑚ặ𝑡 𝐾: { 𝑧 = 4
𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4 , ℎướ𝑛𝑔 𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑐ℎ𝑖ề𝑢 â𝑚 𝑡𝑟ụ𝑐 𝑂𝑧
Hình chiếu của K lên Oxy là 𝐷: { 𝑧 = 0 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4 → 𝐼𝐾 = − ∬ 1 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷 √1+4𝑥2+4𝑦2 2𝜋 2 = − ∫ 𝑑𝜑 (Đổ𝑖 𝑏 ế
𝑖 𝑛 𝑡ọ𝑎 độ 𝑐ự𝑐) 0 ∫ 𝑟𝑑𝑟 0 √1+4𝑟2 2 = − 𝜋 ∫ 𝑑(1+4𝑟2) (√17 − 1) 4 0 = − 𝜋 √1+4𝑟2 2
𝑆 𝑈 𝐾 𝑙à 𝑚ặ𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑔 𝑘í𝑛 𝑔𝑖ớ𝑖 ℎạ𝑛 𝑚 ề
𝑖 𝑛 𝑉: 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 𝑧 ≤ 4 𝑃 = −2𝑥 , 𝑄 = −2𝑦 , 𝑅 = 1
𝑘ℎả 𝑣𝑖 𝑡𝑟ê𝑛 𝑉 √1+4𝑥2+4𝑦2 √1+4𝑥2+4𝑦2 √1+4𝑥2+4𝑦2
𝑆 𝑈 𝐾 ℎướ𝑛𝑔 𝑣à𝑜 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 → 𝐼 ′ ′ ′
𝑆𝑈𝐾 = − ∭ (𝑃𝑥 + 𝑄𝑦 + 𝑅𝑧 ) 𝑉 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
−4√1+4𝑥2+4𝑦2+ 8𝑥+8𝑦 √1+4𝑥2+4𝑦2 = − ∭ ( ) 𝑉 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 1+4𝑥2+4𝑦2 = 4 ∭ ( 1 ) 𝑉
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 (𝐻à𝑚 𝑙ẻ 𝑣à 𝑚 ề
𝑖 𝑛 đố𝑖 𝑥ứ𝑛𝑔) √1+4𝑥2+4𝑦2 2𝜋 2 4 = 4 ∫ 𝑑𝜑 𝑑𝑧 0 ∫ 𝑑𝑟 𝑏𝑖 𝑡𝑟ụ) 0 ∫ 𝑟 𝑟2
(Đổ𝑖 ế𝑛 𝑡ọ𝑎 độ √1+4𝑟2 2 = 8𝜋 ∫ 𝑟 (4 − 𝑟2)𝑑𝑟 0 √1+4𝑟2 17−(1+4𝑟2) 2 = 𝜋 ∫ 4 𝑑(1 + 4𝑟2) 0 √1+4𝑟2 17 = 𝜋 ∫ 17−𝑡 𝑑𝑡 4 1 √𝑡 √ −25 )𝜋 = (17 17 3 √ −25 )𝜋
→ 𝐼𝑆 = 𝐼𝑆𝑈𝐾 − 𝐼𝐾 = (17 17
+ 𝜋 (√17 − 1) = (37√17−53)𝜋 3 2 6 DO NGOC HIEU DO NGOC HIEU Câu 41: Tính ∬ 1
(−𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 − 𝑦𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑑𝑥𝑑𝑦) ớ ặ 𝑆 v i S là m t √1+𝑥2+𝑦2
2𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2, 𝑧 ≤ 2 theo chiều dương Oz
𝐶ℎọ𝑛 𝑚ặ𝑡 𝐾: { 𝑧 = 2
𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4 , ℎướ𝑛𝑔 𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑐ℎ𝑖ề𝑢 â𝑚 𝑡𝑟ụ𝑐 𝑂𝑧
Hình chiếu của K lên Oxy là 𝐷: { 𝑧 = 0 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4 → 𝐼𝐾 = − ∬ 1 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷 √1+𝑥2+𝑦2 2𝜋 2 = − ∫ 𝑑𝜑 ) 0
∫ 𝑟𝑑𝑟 (Đổ𝑖 𝑏 ế
𝑖 𝑛 𝑡ọ𝑎 độ 𝑐ự𝑐 0 √1+𝑟2 2
= −𝜋 ∫ 𝑑(1+𝑟2) = −2𝜋(√5 − 1) 0 √1+𝑟2 𝑥2+𝑦2
𝑆 𝑈 𝐾 𝑙à 𝑚ặ𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑔 𝑘í𝑛 𝑔𝑖ớ𝑖 ℎạ𝑛 𝑚 ề 𝑖 𝑛 𝑉: ≤ 𝑧 ≤ 2 2 𝑃 = −𝑥 , 𝑄 = −𝑦 , 𝑅 = 1
𝑘ℎả 𝑣𝑖 𝑡𝑟ê𝑛 𝑉 √1+𝑥2+𝑦2 √1+𝑥2+𝑦2 √1+𝑥2+𝑦2
𝑆 𝑈 𝐾 ℎướ𝑛𝑔 𝑣à𝑜 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 → 𝐼 ′ ′ ′
𝑆𝑈𝐾 = − ∭ (𝑃𝑥 + 𝑄𝑦 + 𝑅𝑧 ) 𝑉 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
−2√1+𝑥2+𝑦2+ 𝑥+𝑦 √1+𝑥2+𝑦2 = − ∭ ( ) 𝑉 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 1+𝑥2+𝑦2 = 2 ∭ 1
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 (𝐻à𝑚 𝑙ẻ 𝑣à 𝑚 ề
𝑖 𝑛 đố𝑖 𝑥ứ𝑛𝑔) 𝑉 √1+𝑥2+𝑦2 2𝜋 2 2 = 2 ∫ 𝑑𝜑 𝑟2 𝑑𝑧 ( Đổ𝑖 𝑏 ế
𝑖 𝑛 𝑡ọ𝑎 độ 𝑡𝑟ụ) 0 ∫ 𝑑𝑟 0 ∫ 𝑟 √1+𝑟2 2 2
= 4𝜋 ∫ 𝑟(2−𝑟22) 𝑑𝑟 0 √1+𝑟2 5−1−𝑟2 2 = 2𝜋 ∫ 2 𝑑(1 + 𝑟2) 0 √1+𝑟2 5 = 𝜋 ∫ 5−𝑡𝑑𝑡 1 √𝑡 DO NGOC HIEU DO NGOC HIEU 20√ −2 ) 8 𝜋 = ( 5 3 (26√5−3 ) 4 𝜋
→ 𝐼𝑆 = 𝐼𝑆𝑈𝐾 − 𝐼𝐾 = (20√5−28)𝜋 + 2𝜋(√5 − 1) = 3 3
Câu 42: Tính ∬ 𝑦2𝑧2𝑑𝑥𝑑𝑦 − 2𝑥𝑦2𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑦2𝑧𝑑𝑧𝑑𝑥 ớ ử ầ 𝑆 v i S là n a c u
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4, 𝑧 ≥ 0 hướng theo chiều dương Oz
𝐶ℎọ𝑛 𝑚ặ𝑡 𝐾: { 𝑧 = 0
𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4 , ℎướ𝑛𝑔 𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑐ℎ𝑖ề𝑢 â𝑚 𝑡𝑟ụ𝑐 𝑂𝑧
Hình chiếu của K lên Oxy là: 𝐾 → 𝐼 2
𝐾 = − ∬ 𝑦2. 0 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐾 = 0
𝑆 𝑈 𝐾 𝑙à 𝑚ặ𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑔 𝑘í𝑛 𝑔𝑖ớ𝑖 ℎạ𝑛 𝑚 ề
𝑖 𝑛 𝑉: {𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 4, 𝑧 ≥ 0
𝑃 = −2𝑥𝑦2, 𝑄 = 𝑦2𝑧, 𝑅 = 𝑦2𝑧2 𝑘ℎả 𝑣𝑖 𝑡𝑟ê𝑛 𝑉
𝑆 𝑈 𝐾 ℎướ𝑛𝑔 𝑟𝑎 𝑛𝑔𝑜à𝑖 → 𝐼 ′ ′ ′
𝑆𝑈𝐾 = + ∭ (𝑃𝑥 + 𝑄𝑦 + 𝑅𝑧 ) 𝑉 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
= ∭ (−2𝑦2 + 2𝑦𝑧 + 2𝑧𝑦2) 𝑉 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 2 ∭ (−𝑦2 + 𝑧𝑦2) 𝑉
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧(𝐻à𝑚 𝑙ẻ 𝑣ớ𝑖 𝑦, 𝑚 ề
𝑖 𝑛 đố𝑖 𝑥ứ𝑛 𝑔 𝑦 = 0) 2𝜋 2 √4−𝑟2 = 2 ∫ 𝑑𝜑 0 ∫ 𝑑𝑟 0 ∫
(−𝑟2 sin2 𝜑 + 𝑧𝑟2 sin2 𝜑)𝑟𝑑𝑧 0 2𝜋 2 = 2 ∫ 𝑑𝜑 0
∫ [−𝑟3 sin2 𝜑 √4 − 𝑟2 + 4−𝑟2 𝑟3 sin2 𝜑]𝑑𝑟 0 2 2𝜋 2 = 2 ∫ sin2 𝜑 𝑑𝜑 0
∫ (−𝑟3√4 − 𝑟2 + 4−𝑟2 . 𝑟3)𝑑𝑟 0 2 2 2
= 𝜋[∫ −𝑟3√4 − 𝑟2𝑑𝑟 + ∫ 4−𝑟2 . 𝑟3𝑑𝑟 0 0 ] 2 2
= 𝜋[∫ 1 (4 − 4 + 𝑟2)√4 − 𝑟2𝑑(4 − 𝑟2) + 8 0 ] 2 3 0 = 𝜋. ∫ 1(4 − 𝑡) 4 2 √𝑡𝑑𝑡 + 𝜋. 83 DO NGOC HIEU DO NGOC HIEU
= − 128𝜋 + 8𝜋 = − 8𝜋 30 3 5
→ 𝐼𝑆 = 𝐼𝑆𝑈𝐾 − 𝐼𝐾 = − 8𝜋 5
Câu 43: Tính ∬ 𝑦2𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝑥𝑧𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑥2𝑦𝑑𝑧𝑑𝑥 ớ ặ ề 𝑆
v i S là m t phía ngoài mi n
𝑥 ≤ 0, 𝑦 ≤ 0, 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1, 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑥2 + 𝑦2
S là mặt cong kín giới hạn miền 𝑉: { 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑥2 + 𝑦2
𝑥 ≤ 0, 𝑦 ≤ 0, 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1
𝑃 = 𝑥𝑧, 𝑄 = 𝑥2𝑦, 𝑅 = 𝑦2𝑧 𝑘ℎả 𝑣𝑖 𝑡𝑟ê𝑛 𝑚 ề 𝑖 𝑛 𝑉 S hướng ra ngoài → 𝐼 ′ ′ ′
𝑆 = + ∭ (𝑃𝑥 + 𝑄𝑦 + 𝑅𝑧 ) 𝑉 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∭ (𝑧 + 𝑥2 + 𝑦2) 𝑉 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 −𝜋 1 𝑟2 = ∫ 2 𝑑𝜑 −𝜋 ∫ 𝑑𝑟 0 ∫ (𝑧 + 𝑟2)𝑟𝑑𝑧 0 (Đổ𝑖 𝑏 ế
𝑖 𝑛 𝑡ọ𝑎 độ 𝑡𝑟ụ) 1 = 𝜋 ∫ 3𝑟5𝑑𝑟 2 0 = 𝜋 2 8
Câu 44: Tính ∬ 𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑦𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 ớ ề ề 𝑆
v i S là mi n phía ngoài mi n 1
(𝑧 − 1)2 ≥ 𝑥2 + 𝑦2; 2 ≤ 𝑧 ≤ 1
S là mặt cong kín giới hạn miền 𝑉: 1 ≤ 𝑧 ≤ 1 − √𝑥2 + 𝑦2 2
𝑃 = 𝑥,𝑄 = 𝑦, 𝑅 = 𝑧 𝑘ℎả 𝑣𝑖 𝑡𝑟ê𝑛 𝑚𝑖ề𝑛 𝑉 S hướng ra ngoài → 𝐼 ′ ′ ′
𝑆 = + ∭ (𝑃𝑥 + 𝑄𝑦 + 𝑅𝑧 ) 𝑉 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
= 3 ∭ 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉 2𝜋 1 1−𝑟 = 3 ∫ 𝑑𝜑 2 0 ∫ 𝑑𝑟 0
∫1 𝑟𝑑𝑧 (Đổ𝑖 𝑏 ế
𝑖 𝑛 𝑡ọ𝑎 độ 𝑡𝑟ụ) 2 DO NGOC HIEU DO NGOC HIEU 1 1
= 6𝜋 ∫2 𝑟 (1 − 𝑟 − ) 𝑑𝑟 0 = 𝜋 2 8 DO NGOC HIEU