Thông tin
Hỏi đáp

Lý thuyết, các dạng toán và bài tập phép nhân và phép chia đa thức

Tài liệu gồm 59 trang, tóm tắt lý thuyết, các dạng toán và bài tập phép nhân và phép chia đa thức, giúp học sinh lớp 8 tham khảo khi học chương trình Toán 8 (tập 1) phần Đại số chương 1.

Chủ đề:

Chương 1: Đa thức (KNTT) 40 tài liệu

Môn:

Toán 8 1.7 K tài liệu

Thông tin:

59 trang 10 tháng trước

Tác giả:

Mai Nguyệt

docx.com.vn

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Lý thuyết, các dạng toán và bài tập phép nhân và phép chia đa thức

74 37 lượt tải Tải xuống

CHƯƠNG I

PHÉP NHÂN VÀ CHIA

CÁC ĐA THỨC

§1. NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC

§2. NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC

A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1. Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa

thức rồi cộng các tích với nhau.

Nếu kí hiệu các đơn thức bởi các chữ A, B, C, D, … thì có thể viết gọn quy tắc trên như

( )

. ..+= +A B C AB AC

2. Phép nhân đơn thức với đa thức tương tự như phép nhân của một số với một tổng và

chú ý đến dấu của từng đơn thức tham gia phép toán để đặt dấu “+” hoặc “ – ” cho thích

hợp:

( )

. ...+− = + −A B C D AB AC AD

Ví dụ:

( )

22 4 3 2

3 . 4 1 12 3 3−+ = − +x xx x x x

3. Muốn nhân một đa thức với một đa thức ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng

hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau:

( )( )

+ += + + +A B C D AC AD BC BD

4. Phép nhân hai đa thức là tổng các kết quả nhân từng đơn thức của đa thức này với đa

thức kia.

( )( ) ( ) ( )

.+ +− = +− + +−

=+−++−

ABCDE ACDE BCDE

AC AD AE BC BD BE

Ví dụ:

( )

( ) ( ) ( )

3 33

42 3

43 2

21 212 211 21

242 21

2 4 41

+ −−= −−+ −−

= − −+−−

= +− −−

x xx xxx xx

xxxxx

xx x x

B. CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1. LÀM TÍNH NHÂN

Phương pháp giải

Áp dụng các quy tắc nhân đơn thức với đa thức và nhân đa thức với đa thức

( )

( )( )

. ..

+= +

+ += + ++

A B C AB AC

A B C D AC AD BC BD

Chú ý các phép tính về lũy thừa

( )

;

1 0.

= ≠

n m nm

n nm

aa a

Ví dụ 1. (Bài 1, trang 5 SGK)

Làm tính nhân :



−−





x xx

( )

−+xy x y x y

( )

4 5 2. .



−+ −





x xy x xy

Giải

Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức, ta có:

2 3 23 2 2 5 3 2

1 11

5 .5 . . 5 ;

2 22



−− = − − = − −





x xx xxxxx xx x

( )

2 2 2 2 2 2 32 4 22

2 2 2 2 22

3 3. . . 2 ;

3 3 3 3 33

−+ = − + = − +xy x y xy xy xy x xy y xy xy xy xy

( )

3 4 22 2

4 5 2. 2 .



−+ − =− + −





x xy x xy xy xy xy

Ví dụ 2. (Bài 7, trang 8 SGK)

Làm tính nhân :

( )

2 1 1;−+ −xx x

( )

2 15 .− +− −x xx x

Từ câu b) hãy suy ra kết quả của phép nhân

( )

2 15x xx x− ++ −

Giải:

a)Thực hiện phép nhân đa thức với đa thức ta có:

( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 1 1 1 2 1 1. 1x x x x x xx x− + −= −− −+ −

32 2 3 2

2 2 1 3 31x x x xx x x x= − − + + −= − + −

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

32 3 2

2 1 5 5 2 5 5 1. 5x xx xx x x xx x x− +− −= −− −+ −− −

34 2 3 2

5 10 2 5 5x x x x xx x= −− + +−−+

43 2

7 11 6 5xx xx=−+ − + −

Vì

( )

55xx−=− −

nên :

( )

32 32

215 215x xx x x xx x− +− − =− − +− −

( )

43 2

7 11 6 5xx xx=−− + − + −

43 2

7 11 6 5xx xx=− + −+

Ví dụ 3. ( Bài 8, trang 8 SGK)

Làm tính nhân :

2 ( 2)

x y xy y x y



−+ −





; b)

( )

()x xy y x y−+ +

Giải:

22 32 23 2 2 2

2 ( 2) 2 2 4

x y xy y x y x y x y x y xy xy y



− + −= − − ++−





( )

2 2 32 2 22 333

()x xy y x y x x y x y xy y x y x y−+ +=+−−++=+

Ví dụ 4. ( Bài 10, trang 8 SGK)

Thực hiện phép tính:

( )

23 5

xx x



−+ −





; b)

( )

2 ()x xy y x y−+ −

Giải:

a)Ta có

( )

2 3 22

11 3

2 3 5 5 10 15

22 2

x x x x xx x x



−+ −= − −+ + −





1 23

6 15

xx x= −+ −

( )

2 2 32 2 22 3

2 () 2 2x xy y x y x x y x y xy y x y− + −=− − + + −

3 2 23

33x x y xy y=−+−

Ví dụ 5. (Bài 15, trang 9 SGK)

Làm tính nhân :

xy xy







; b)

xyxy



−−





Giải:

2 22 2

1 1 111 1

2 2 422 4

x y x y x xy yx y x xy y



+ + = + + + = ++





2 22 2

1 1 111 1

2 2 224 4

x y x y x xy yx y x xy y



− − =− − + =−+





DẠNG 2. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC

Phương pháp giải

* Dựa vào quy tắc nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức ta rút gọn biểu thức.

* Thay các giá trị của biến vào biểu thức đá rút giọn.

Ví dụ 6. (Bài 2, trang 5 SGK)

Thực hiện phép nhân rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:

( ) ( ) tai 6 và 8xx y yx y x y−+ + =− =

( ) ( )

22 2

( ) tai và 100

xx y x x y yx x x y−− ++ − = =−

Giải:

a)Trước hết ta rút gọn biểu thức:

2 222

( )( ) .x x y y x y x xy yx y x y−+ +=−++ = +

Thay giá trị

6; 8xy=−=

vào biểu thức đã rút gọn ta được:

2 2 22

( 6) 8 36 64 100xy+=− +=+=

( ) ( )

2 2 2 3 32 2

() 2x y x x y y x x x xy x x y yx yx xy−− ++ − =−−− + − =−

Thay giá trị

, 100

xy= = −

vào biểu thức đã rút gọn ta được:

2 2 ( 100) 100

xy− =−⋅ ⋅− =

Ví dụ 7. (Bài

, trang

SGK )

Điền dấu

vào ô mà em cho là đáp số đúng.

Giá trị của biểu thức

()()ax x y y x y−+ +

tại

1x = −

và

1y =

(

là hằng số) là:

2a−+

2a−

Giải

Ta có:

3 2 34

()()ax x y y x y ax axy xy y−+ += − + +

Thay

1x = −

và

1y =

vào ta được:

2 34

( 1) ( 1)(1) ( 1) 1 1 1 1 2a a aa a− − − +−⋅+ =+−+=

2a−+

2a−

Ví dụ 8. (Bài

, trang

SGK )

Điền kết quả tính được vào bảng:

Giá trị của

và

Giá trị của biểu thức

( )

()x y x xy y− ++

10; 2xy=−=

1; 0xy=−=

2; 1xy= = −

0, 5; 1, 25xy=−=

(trường hợp này có

thể dùng máy tính bỏ

túi để tính

Lời giải

Rút gọn biểu thức ta được

( )

2 2 32 2 2 2333

()x y x xy y x x y xy yx xy y x y− ++ −+ + − − − =−

Ta có kết quả sau:

Giá trị của

và

Giá trị của biểu thức

xy−

10; 2xy=−=

1008−

1; 0xy=−=

1−

2; 1xy= = −

0, 5; 1, 25xy=−=

(trường hợp này có

thể dùng máy tính bỏ

túi để tính

2,078125−

Ví dụ 9. (Bài

, trang

SGK )

Tính giá trị của biểu thức

( ) ( )

5 ( 3) ( 4)x x x xx− +++ −

trong mỗi trường hợp sau:

0x =

15x =

15x = −

0,15x = −

Lời giải

Rút gọn biểu thức ta được:

( ) ( )

2 2 3 2 23 2

5 ( 3) ( 4) 3 5 15 44x x x xx x x x x x x x− +++ − =+ −−+−+ −

15 x=−−

Kết quả được tính theo bảng sau

Giá trị của

Giá trị của biểu thức

15x−−

0x =

15−

15x =

30−

15x = −

0,15x = −

15,15−

Dạng 3. RÚT GỌN BIỂU THỨC

Phương pháp giải

Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức rồi rút gọn

biểu thức.

Ví dụ 10. (Bài

, trang

SGK )

Rút gọn biểu thức:

( )

xxyyxy−+ −

( )

1 11n nn

x x y yx y

− −−

+− +

Giải

( ) ( )

2 222

?xxy yxy x xy x x y− + − = − +− = −

( )

1 11 1 1n n n nn n nnn

x x y y x y x x y yx y x y

− −− − −

+ − + = + −− − = −

Dạng 4. TÌM

THỎA MÃN ĐẲNG THỨC CHO TRƯỚC

Phương pháp giải

• Thực hiện phép nhân đa thức, biến đổi và rút gọn để đưa đẳng thức đã cho về dạng

ax b=

• Tìm được

( nếu

0a ≠

)

Ví dụ 11. ( Bài 3, trang 5 SGK)

Tìm

, biết

( ) ( )

3 12 4 9 4 3 30x x xx−− −=

( ) ( )

5 2 2 1 15x x xx− + −=

Giải

a) Rút gọn biểu thức ở vế trái ta có

( ) ( )

3 12 4 9 4 3 36 12 36 27 15x x xx x x x x x−− −= − − + =

Đẳng thức đã cho trở thành:

15 30x =

. Vậy

x = =

Ví dụ 12. (Bài 3, trang 9 SGK)

Tìm

, biết

( )( ) ( )( )

12 5 4 1 3 7 1 16 81xx x x− −+ − − =

Giải

Thực hiện phép tính ở vế trái, ta có

( )( ) ( )( )

12 5 4 1 3 7 1 16xx x x− −+ − −

48 12 20 5 3 48 7 112 83 2x xx xx xx− − ++ − −+ = −

Đẳng thức đã cho trở thành:

83 2 81x −=

, tức là

83 83x =

hay

1x =

Dạng 5. CHỨNG MINH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO GIÁ TRỊ

CỦA BIẾN

Phương pháp giải

• Ta biến đổi biểu thức đã cho thành một biểu thức không còn chứa biến

• Để kiểm tra kết quả tìm được ta thử thay một giá trị của biến (chẳng hạn

0x =

) vào

biểu thức rồi so sánh kết quả.

Ví dụ 13. (Bài 11, trang 8 SGK)

Chứng minh rằng giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến

( )( ) ( )

52 3 2 3 7x x xx x− + − − ++

Giải

Thực hiện phép nhân đa thức và rút gọn ta được

( )( ) ( )

52 3 2 3 7x x xx x− + − − ++

2 3 10 15 2 6 7 8x x x x xx= + − − − + ++=−

Giá trị biểu thức trên luôn bằng

8−

với mọi giá trị của biến

. Vậy giá trị biểu thức đã cho

không phụ thuộc vào giá trị của biến

Chú ý: Nếu thay

0x =

vào biểu thức đã cho ta được

5.3 7 8− +=−

Dạng 6. GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH ĐẶT ẨN x

Phương pháp giải

• Chọn ẩn

và xác định điều kiện cho ẩn.

• Dựa vào đề bài để tìm đẳng thức có chứa

• Giải tìm

và chọn kết quả thích hợp.

Ví dụ 14. (Bài 14, trang 9 SGK)

Tìm 3 số tự nhiên chẵn liên tiếp, biết tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số đầu là 192.

Giải

Gọi

,2,4xx x++

là ba số chẵn liên tiếp phải tìm (

là số tự nhiên chẵn)

Tích hai số đầu là:

( )

2xx+

Tích hai số sau là:

( )( )

24xx++

Theo đề bài ta có

( 2)( 4) ( 2) 192x x xx+ +− +=

Rút gọn vế trái của đẳng thức ta được:

( 2)( 4) ( 2) 4 2 8 2 4 8x x xx x x x x x x+ +− +=+++−−=+

Khi đó ta có:

4 8 192 4 184 46x xx+= ⇒ = ⇒=

Vậy ba số chẵn liên tiếp cần tìm là 46, 48, 50

Ví dụ 15. (Bài 4 trang 5 SGK)

Đố đoán tuổi. Bạn hãy lấy tuổi của mình:

- Cộng thêm 5

- Được bao nhiêu đem nhân với 2

- Lấy kết quả vừa tìm được cộng với 10

- Nhân kết quả vừa tìm được với 5

- Đọc kết quả cuối cùng sau khi đã trừ cho 100

Tôi sẽ đoán được tuổi của bạn. Giải thích tại sao ?

Giải

Giả sử tuổi của bạn là x.

Lấy tuổi đó cộng thêm 5 được: x + 5

Sau đó đem nhân với 2 được: 2(x + 5) = 2x +10

Lấy kết quả trên cộng với 10: (2x + 10) + 10 = 2x + 20

Nhân kết quả vừa tìm được với 5: (2x + 20).5 = 10x + 100

Đọc kết quả cuối cùng sau khi trừ đi 100 được. (l0x +100) – 100 = 10x.

Vậy tuổi của bạn bằng kết quả đọc cuối cùng chia cho 10

Dạng 7. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC

Phương pháp giải

Để chứng minh một đẳng thức ta có thể áp dụng một trong các cách sau :

• Biến đổi vế trái (VT) bằng vế phải (VP) hoặc biến đổi VP bằng VT.

• Biến đổi cả hai vế cùng bằng một biểu thức.

• Chứng minh hiệu của VT và VP bằng 0.

Ví dụ 16. Chứng minh rằng :

( )

2 2 33

()

x xy y x y x y

−+ +=+

++ −=−

Giải

a) Thực hiện phép nhân đa thức ở vế trái và rút gọn ta có :

( )

32 2 32 2 22 33

()x xy y x y x x y x y xy x y xyy−+ +=+ − =+ +−+

( )

2 2 32 32 2 233

()b) x xy y x y x x y x y xy y y xyx++ −=− + =− −−+

Ví dụ 17. Chứng minh rằng

( )

3 33 2 22

3( )x y z xyz x y z x y z xy yz zx+ + − = ++ + + − − −

Giải

Thực hiện phép nhân đa thức ở vế phải, ta có :

( )

2 22

3 2 22 2 23 2 22

2 23 2 2

3 33

()

x y z x y z xy yz zx

x xy xz x y xyz x z yx y yz xy y z xyz

zx zy z xyz yz xz

x y z xyz

++ + + − − −

=++−−−+++−−−+

+ + +− − −

=++−

Vậy:

( )

3 33 2 22

3( )x y z xyz x y z x y z xy yz zx+ + − = ++ + + − − −

Dạng 8. ÁP DỤNG VÀO SỐ HỌC

Phương pháp giải:

• Phép chia hết : Cho hai số nguyên

và

( )

0,bb≠

ta nói

chia hết cho

kí hiệu là

ab

nếu có số nguyên

sao cho

.,a bq=

ta còn nói

là ước của

• Nếu

chia hết cho

và

chia hết cho

thì

chia hết cho

Ví dụ 18. Chứng minh rằng :

a) 35

2003

– 35

2004

chia hết cho 17.

b) 43

2004

+ 43

2005

chia hết cho 11.

c) 27

+ 9

chia hết cho 4.

Giải

a) Ta có: 35

2003

– 35

2004

= 35

2004

(35 – 1) = 34.35

2004

. Vì 34 = 2.17 chia hết cho 17 nên 34.35

2004

chia hết cho 17.

b) 43

2004

+ 43

2005

= 43

2004

(1 + 43) = 44.43

2004

. Vì 44 = 4.11 chia hết cho 11 nên 44.43

2004

chia hết

cho 11 ).

c) 27

+ 9

= 3

+ 3

= 3

(1 + 3) = 4.3

chia hết cho 4.

Ví dụ 19: Chứng minh rằng

(2 3)(3 2) (3 2)(2 3)mn mn− −− − −

chia hết cho 5 với mọi số

nguyên

,m n

Giải

Ta có:

( )( ) ( )( )

2 332 3 223mn mn− −− − −=

( )

6 4 9 66 9 4 65 5 5mn m n mn m n m n m n= − −+− + +−= −= −

chia hết cho 5.

Dạng 9. ĐA THỨC ĐỒNG NHẤT BẰNG NHAU

Phương pháp giải

- Hai đa thức của cùng một biến số

gọi là đồng nhất bằng nhau nếu chúng luôn nhận

cùng một giá trị đối với mỗi giá trị của biến số

, kí hiệu là

( ) ( )

fx gx≡

Vậy

( ) ( )

fx gx≡

khi

( ) ( )

fx gx=

với mọi

- Hai đa thức đồng nhất đồng nhất bằng nhau nếu các hệ số tương ứng của chúng bằng

nhau và ngược lại.

Chẳng hạn cho

( )

1 11

f x ax bx c= ++

và

( )

2 22

g x ax bx c= ++

. Nếu

( ) ( )

fx gx≡

thì

1 21 21 2

,,a ab bc c= = =

- Một đa thức đồng nhất bằng

khi đa thức đó có các hệ số đều bằng

và ngược lại.

Ví dụ 20. Xác định

, , , abcd

thỏa một trong các đẳng thức sau với mọi giá trị của

( )

1 32ax b x cx x x+ ++= − +

( )( )

42 2 2

32x ax b x x x cx d+ += − + + +

Giải

a) Thực hiện phép nhân đa thức và rút gọn vế trái ta được:

( )

2 32 2

1ax b x cx ax acx ax bx bcx b+ ++= + + + + +

( ) ( )

ax ac b x a bc x b= + + ++ +

Vậy ta có hai đa thức đồng nhất sau:

( ) ( )

32 3

32ax ac b x a bc x b x x+ + + + += − +

Suy ra

ac b

a bc







⇒=



+=−



= −







b) Biến đổi vế phải ta được:

( )( )

( ) ( ) ( )

2 2 4323 2 2

43 2

32 3 3 3 2 2 2

3 2 3 2 3 2.

−+ ++=++−− −+++

= + − + +− + − +

x x x cx d x cx dx x cx dx x cx d

x c x d cx c dx d

Vậy ta có hai đa thức đồng nhất sau:

( ) ( ) ( )

42 4 3 2

º 3 2 3 2 3 2.+ + + − + +− + − +x ax b x c x d c x c d x d

Suy ra:

3 0 (1)

2 3 (2)

2 3 0 (3)

2 (4)

−=

+− =

−=











d ca

Từ (1) suy ra

3=c

, thay

3=c

vào (3) ta được

2=d

Từ (4) suy ra

4, thay

3=c

4, 2= =bd

vào (2) ta được

5.= −a

Vậy

5, 4, 3, 2.=−= = =a bcd

Ví dụ 21. Cho đa thức

( )

.= +f x ax bx

Xác định

,ab

để

( ) ( )

–1−=fx fx x

với mọi giá trị

của

. Từ đó suy ra công thức tính tổng

1 2 ...+++n

(với

là số nguyên dương).

Giải

Ta có

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

11 1111−= − + −= − −+ −f x ax bx ax x bx

( )

–2 1 – –2 –= ++ = + +a x x bx b ax b a x a b

Do đó:

( ) ( )

– –1 2 – .= +fx fx axba

Vậy ta có hai đa thức dồng nhất:

2 –.+≡ax b a x

Suy ra:



⇒==



−=



Vậy:

( )

= +fx x x

Trong đẳng thức

( ) ( )

– –1 =fx fx x

lần lượt thay

1,2,3,...,=xn

ta được:

( ) ( )

1 – 0 1;=ff

( ) ( )

2–12;=ff

( ) ( )

3 – 2 3;=ff

......

( ) ( )

– –1 .=fn fn n

Cộng các đẳng thức trên và rút gọn thì được:

( ) ( )

– 0 1 2 3 ...=+++ +fn f n

Mà

( )

00=f

và

( )

= +nfn n

nên:

( )

22 2

1 2 3 ...++

= +=++

nnn













 =

()



C. LUYỆN TẬP

1. (Dạng 1). Làm tính nhân:

( )

2 7 –5 –1xx x

( )

2 –3+−x xy xy

;

( )

2 2 –3 5−+x y x y yz

( )

3 – 2 .4 .

+nn

x xx

2. (Dạng 1). Làm tính

2 1 3 5 2 3 2 32 63

3 38

− − −−



−+−





m n mn m n

x y xy y x y

(

( )( )

2 2 1 1–2 2–2

2 3 –3

−

nn n n

xxx x

3. (Dạng 2). Tính giá trị của các biểu thức:

( ) ( )

5 4 –2 1 –2 10 –5 –2+xx x x x x

với

15=x

;

( ) ( )

5 44 5−− −xx y yy x

với

;

=−=−xy

( ) ( ) ( )

2 2 2 22

6 85−− −+ −xy xy y x x y y x xy

với

=−=xy

4. (Dạng 2). Cho các đa thức

2 35=− ++A xx

và

–3= +Bx x

a) Tính

,AB

;

b) Tính giá trị của các biểu thức

,AB

và

.AB

khi

3= −x

5. (Dạng 3). Rút gọn các biểu thức sau:

( )

22 2

2 –3 – 5 1++xx x x x

;

( ) ( )

( )

3 –2 –5 1– –8 –3xx x x x

6. (Dạng 4). Tìm

(hoặc

), biết:

( ) ( )

2 – 5 – 2 3 26+=xx x x

;

( )

( ) ( )

8 1 1 43

−+ ++ − =−yy y y y

( )( ) ( )

2 3 –1 1 5 1+ += +x x x xx

7. (Dạng 5). Chứng minh rằng các giá biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:

( )

1 1– 5++ − + +xx x x x x

;

( ) ( )

21 2 – 3+− + + +xx xx x x

;

( ) ( ) ( ) ( )

4 6– 2 3 – 5 –4 3 1– .++ +xx xxx x x

8. (Dạng 6). Có hai hình chữ nhật. Hình thứ nhất có chiều dài hơn chiều rộng

. Hình

thứ hai có chiều rộng hơn chiều rộng hình thứ nhất là

và có chiều dài hơn chiều dài

hình thứ nhất là

15m

. Biết diện tích hình thứ hai hơn diện tích hình thứ nhất là

640m

Tính kích thước của mỗi hình.

9. (Dạng 7). Chứng minh rằng:

( )

–1 1 –1++ =x xx x

;

( )

32 23 44

––+++ =x x y xy y x y x y

;

( )

2 22

222++=+++++x y z x y z xy yz zx

;

( ) ( )( )( )

3 33

3.++ = + + + + + +xyz x y z xyyzzx

10. (Dạng 7). Chứng minh rằng nếu

= =

xyz

abc

thì

( )( )

( )

2 22222

.++ ++ = ++x y z a b c ax by cz

11. (Dạng 8). Cho

và

là hai số tự nhiên. Biết

chia cho

dư

và

chia cho

dư

. Chứng minh rằng

chia cho

dư

12. (Dạng 8).

a) Chứng minh rằng biểu thức

( ) ( )

2 –3 –2 1+n n nn

luôn chia hết cho

với mọi

là

số nguyên.

b) Chứng minh rằng:

( )( ) ( )( )

–1 4 – –4 1++nn n n

luôn chia hết cho

với mọi số

nguyên

13. (Dạng 9). Xác định

,,,abcd

biết:

( )

2 32

3 –2 –3++ +=ax bx c x x x x

với mọi

;

( )( )

432 2 2

– –2+ + += + + +xxxaxbxx xcxd

với mọi

14. (Dạng 9). Cho đa thức:

( ) ( )( )( )

12 .=++ +f x x x x ax b

a) Xác định

,ab

để

( ) ( ) ( )( )

– –1 1 2 1=++fx fx xx x

với mọi

b) Tính tổng

( )( )

1.2.3 2.3.5 ... 1 2 1= + ++ + +S nn n

theo

(với

là số nguyên dương).

15. (Dạng 9). Xác định

,,abc

để

( )( )( )

– – –––+=x ax bx c x a x b x c

với mọi

§3. §4. §5. NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT

B. CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1. ÁP DỤNG CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ ĐỂ TÍNH

Phương pháp giải

Ví dụ 1: (Bài 19, trang 12 SGK)

Đố. Tính diện tích hình còn lại mà không cần đo.

1. Bình phương của một tổng: .

2. Bình phương của một hiệu: .

3. Hiệu hai bình phương: .

4. Lập phương của một tổng: .

5. Lập phương của một hiệu: .

6. Tổng hai lập phương: .

Đưa về một trong bảng hằng đẳng thức đáng nhớ ở phần A để tính.

Một miếng tôn hình vuông có cạnh bằng

+ab

, bác thợ cắt một miếng của hình

vuông có cạnh bằng

–ab

(cho

>ab

). Diện tích hình còn lại là bao nhiêu? Diện tích phần

còn lại có phụ thuộc vào vị trí cắt không?

Giải

Diện tích hình vuông có cạnh bằng

+ab

là:

( )

+ab

Diện tích hình vuông có cạnh bằng

−ab

là:

( )

−ab

Diện tích hình còn lại là:

( ) ( ) ( )( )

– – 2 .2 4 .+ − − = + + ++ = =ab ab abababab ba ab

Diện tích hình còn lại không phụ thuộc vào vị trí cắt.

Ví dụ 2: (Bài 25 trang 13 SGK)

( )

++abc

; b)

( )

–+abc

( )

–– .abc

Giải

a) Ta có:

( ) ( ) ( ) ( )

2.++ = + +





=++ + +abc ab c ab abcc

22 2

2 22=+ ++ + +a ab b ac bc c

222

222=+++ + +a b c ab bc ca

b) Tương tự:

( )

222

222+− = + + + − −a b c a b c ab bc ca

( )

222

– 2 –2 2− =++− +a b c a b c ab ac bc

Ví dụ 3. (Bài 26 trang 14 SGK)

Tính: a)

( )

23+xy

; b)



−





Giải

a) Ta có:

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

33 2

2 22 2

2 3 2 32 3 32 .3 3+= + + +xy x x y x y y

6 4 22 3

8 36 54 27=++ +x xy xy y

1 1 9 27

1 27

2 84 2



−= − + −





x xx x

Ví dụ 4. (Bài 33, trang 16 SGK). Tính

( )

2+ xy

; b)

( )

5–3x

;

( )( )

5– 5 ;+xx

( )

5 –1x

;

( )

2– 4 2++x y x xy y

; f)

( )

3 –3 9 ;++x xx

Giải

( )

2 44+ =++xy xy x y

;

( )

5–3 25–30 9= +x xx

;

( )( )

22 4

5– 5 25–+=xx x

;

( )

5 –1 125 – 75 15 –= +x xxx

( )

2 2 3 33

2– 4 2 2 – 8 –++= =x y x xy y x y x y

;

( )

2 33 3

3 –3 9 3 2) 7+ +=+=+ax x x x x

Dạng 2. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC

Phương pháp giải

Ví dụ 5. (Bài 17, trang 11 SGK).

Chứng minh:

( ) ( )

10 5 100 1 25+ = ++a aa

. Từ đó em hãy nêu cách tính nhẩm bình

phương cảu một số có tận cùng bằng chữ số

. Áp dụng để tính

2222

25 ,35 ,65 ,75

Giải

Biến đổi vế trái ta có:

( ) ( )

10 5 100 100 25 100 1 25.+ = + + = ++a a a aa

Bình phương của một số có tận cùng bằng chữ số

là một số có hai chữ số tận cùng bằng

và số trăm bằng tích số chục của số đem bình phương với số liền sau.

Áp dụng:

25 625=

;

35 1225=

;

65 4225=

;

75 5625=

;

Ví dụ 6. (Bài 20, trang 12 SGK)

Nhận xét sự đúng sai của kết quả sau:

( )

“ 2 2”+ +=+x xy y x y

Giải

Kết quả trên sai vì

( )

2 44+ =++x y x xy y

Ví dụ 7. (Bài 23, trang 12 SGK)

Chứng minh rằng:

( ) ( )

–4+= +ab ab ab

;

( ) ( )

4−=+−a b a b ab

;

Áp dụng: a) Tính

( )

−ab

biết

7; 12.+= =a b ab

b) Tính

( )

+ab

biết

– 20; 3.= =a b ab

Giải

Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để biến đổi vế trái bằng vế phải hoặc vế phải

bằng vế trái.

Biến đổi vế phải ta được:

( ) ( )

22 22

– 4 –2 4 2+= ++=++=+a b ab a ab b ab a ab b a b

; (1)

( ) ( )

22 22

–4 2 –4 –2+ =+ + = +=−a b ab a ab b ab a ab b a b

; (2)

Áp dụng:

a) Thay

7, 12+= =a b ab

vào (2) ta được:

( ) ( )

– 4 7 – 4.12 49 – 48 1.−=+ = = =a b a b ab

b) Thay

– 20, 3= =a b ab

vào (1) ta được:

( ) ( )

4 20 4.3 412.+=−+ = +=a b a b ab

Ví dụ 8. (Bài 31, trang 17 SGK)

Chứng minh rằng:

( ) ( )

–3 ;+=+ +a b ab abab

( ) ( )

3;−=− + −a b ab abab

Giải

a) Biến đổi vế phải ta được:

( ) ( )

3 2 23 2 2

–3 3 3 – 3 3+ +=+ + − −a b ab a b a a b ab b a b ab

= +ab

; (1)

( ) ( )

3 2 23 2 2

3 3 3– 3 3− + −=− + + −a b ab a b a a b ab b a b ab

= −ab

;

Áp dụng: Thay

5+=−ab

và

6=ab

vào (1) ta được:

( ) ( ) ( ) ( )

– 3 5 – 3.6 5 125 90 35+ = + + =− −=− + =−a b ab aab

Ví dụ 9. (Bài 38 trang 18 SGK)

Chứng minh:

( ) ( )

) –;−=−a ab ba

( ) ( )

–.−=+ab ab

Giải

a) Ta có:

( ) ( ) ( )

– –;)





−=− =−a ab ba ba

( ) ( ) ( )

–.) − =−+







a ab ab ab

Dạng 3. TÍNH NHANH

Phương pháp giải

Đưa số cần tính nhanh về dạng hoặc . Trong đó a là số nguyên chia hết

cho hoặc .

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU T

OÁN HỌC

Ví dụ 10. (Bài 22 trang 22 SGK)

Tính nhanh: a)

101

; b)

199

; c)

47.53

;

Giải

( )

2 22

101 100 1 100 2.100.1 1 10000 200 1 10201;= + = + + = + +=

( )

2 22

199 200 –1 200 2.200.1 1 40000 – 400 1 39601.= = + + = +=

( )( )

47.35 50 – 3 50 3 50 – 3 2500 – 9 2491.= += = =

Ví dụ 11 (Bài 35 trang 17 SK). Tính nhanh:

34 66 68.66++

; b)

74 24 – 48.74+

;

Giải

( )

22 2 2 2

34 66 68.66 34 2.34.66 66 34 66 100 10000;++ =+ +=+ = =

( )

22 2 2 2

74 24 – 48.74 74 2.74.24 24 74 – 24 50 2500.+ =− += ==

Dạng 4. RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC

Phương pháp giải

Ví dụ 12. (Bài 24 trang 13 SGK)

Tính giá trị của biểu thức

49 – 70 25+xx

với:

5=x

; b)

Giải

Ta có:

( ) ( )

49 – 70 25 7 2.7 .5 5 7 – 5 .+= = +=xx x x x

a) Với

5=x

ta có:

( ) ( )

7 5 7.5 – 5 3) 0 900.−= = =ax

ta có:

( ) ( )

7 – 5 7. 5 4 16



= − =−=





Ví dụ 13. (Bài 28, trang 14 SGK)

Tính giá trị các biểu thức sau:

12 48 64+ ++xxx

với

6=x

;

6 12 8−+−xx x

với

22=x

;

Giải

( )

3 2 3 2 23

12 48 64 3. .4 3. .4 4 4 .+++=+++=+x x x xx x x

• Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để khai triển và rút gọn.

• Thay giá trị của biến vào biểu thức đã rút gọn.

Với

6=x

ta có:

( ) ( )

4 6 4 10 1000.+=+==x

b) Ta có:

( )

3 2 3 2 23

– 6 12 – 8 – 3. .2 3. .2 – 2 – 2 .+= +xx x x x x x

Với

22=x

ta có:

( ) ( )

– 2 22 – 2 20 8000= = =x

Ví dụ 14. (Bài 30, trang 16 SGK)

Rút gọn các biểu thức sau:

( )

( ) ( )

3 – 3 9 – 54 ;+ ++x xx x

( )

22 22

2 4 –2 – 2 – 4 2 .+ + ++x y x xy y x y x xy y

Giải

( )

( ) ( )

2 33 3

3 – 3 9 – 54 27 – 54 – 27.+ + +=+ =−x xx xx x

( )

22 22

2 4 –2 – 2 – 4 2+ + ++x y x xy y x y x xy y

( ) ( )

3 3 33 33 3

2 – 2 – 8 –8 2 .=+ =++





=x y x y xy xy y

Ví dụ 15. (Bài 34, trang 17 SGK)

Rút gọn các biểu thức sau:

( ) ( )

––+ab ab

;

( ) ( )

– – –2+ab ab b

;

( ) ( )( ) ( )

–2++ ++ + + +xyz xyzxy xy

Giải

( ) ( )

( )

2222

– – 2 – –2 4+ =+ + +=a b a b a ab b a ab b ab

( ) ( )

( )

3 3 2 23 3 2 23 3

– – –2 3 3 – –3 3 – –2+ =+++ +a b a b b a a b ab b a a b ab b b

3 2 233 2 23 3

33–33–2=+++ +−+a a b ab b a a b ab b b

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

–2 –++ ++ + + + = +









=xyz xyzxy xy xyz xy z

Ví dụ 16. (Bài 36, trang 17 SGK)

Tính giá trị các biểu thức sau:

44++xx

với

98=x

;

3 31+ ++xxx

với

) 99=ax

Giải

( )

44 2+ += +xx x

với

98=x

thì:

( ) ( )

2 98 2 100 10000.+=+= =x

( )

3 31 1+ + += +xxx x

với

99=x

thì:

( )

1 100 1000000+= =x

Dạng 5. ĐIỀN VÀO Ô TRỐNG CÁC HẠNG TỪ THÍCH HỢP

Phương pháp giải

Ví dụ 17. (Bài 18, trang 11 SGK)

Hãy tìm cách giúp bạn A khôi phục lại những đẳng thức bị mực làm nhòe đi một số

chỗ:

( )

6 ... ..... 3+ += +x xy y

;

( )

.....–10 25 ...... ......+=−xy y

c) Hãy nêu một đề bài tương tự.

Giải

( )

69 3++=+x xy y x y

;

( )

–10 25 – 5+=x xy y x y

;

c) Đề bài tương tự:

( )

...... 4 ......... .......−+ = −xy

Đáp số:

( )

–4 4 –2 .+=x xy y x y

Ví dụ 18. (Bài 29, trang 15 SGK)

Đố vui. Đức tính đáng quý

Hãy điền chữ số tương ứng với kết quả tìm được rồi xếp chữ thêm dấu cho thích

hợp, em sẽ tìm ra một trong những đức tính quý báu của con người.

–3 3 –1+xxx

16 8 ++xx

3 31+ ++xx x

1–2 +yy

( )

–1x

( )

1+x

( )

–1y

( )

–1x

( )

1+ x

( )

–1y

( )

4+x

Giải

Ta có:

( )

–3 3 –1 –1+=xxx x

;

( )

16 8 4++ =+xx x

;

• Dựa vào một số hạng tử của đẳng thức có ô trống ta nhận dạng một trong bảy hằng

đẳng thức đáng nhớ.

• Thay vào ô trống các hạng tử thích hợp

( ) ( )

3 31 1 1+ ++ = + = +xx xx x

;

( )

1–2 –1+=yy y

( )

–1x

( )

1+x

( )

–1y

( )

–1x

( )

1+ x

( )

–1y

( )

4+x

N H Â N H Â U

Đức tính quý báu của con người là: NHÂN HẬU

Ví dụ 19. (Bài 32, trang 17 SGK)

Điền vào ô trống các hạng tử thích hợp:

( )

3 +xy

( - + )

27= +xy

;

b) (

- )( -

10x

+ )

8 –125= x

Giải

( )

2 2 33

3 9 – 3 27+ += +x y x xy y x y

;

( )

2 5 4 10 25 8 –125− −+=x xx x

Dạng 6. BIỂU DIỄN ĐA THỨC DƯỚI DẠNG BÌNH PHƯƠNG, LẬP PHƯƠNG CỦA

MỘT TỒNG ( MỘT HIỆU)

Phương pháp giải

Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ:

( )

2A AB B A B+ +=+

( )

2A AB B A B− +=−

( )

3 2 22

33A A B AB B A B+ + +=+

( )

3 2 23

33A A B AB B A B− + −=−

Ví dụ 20: ( Bài 16, trang

SGK)

Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu

2 1;xx++

96x y xy++

25 4 20a b ab+−

xx−+

Giải

( )

2 22

2 1 2. .1 1 1xx x x x+ += + + = +

( ) ( ) ( )

22 2

9 6 3 2. 3 . 3x y xy x x y y x y++ = + += +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

25 4 20 5 2. 5 . 2 2 5 2a b ab a a b b a b+− = − + = −

Ví dụ 21: ( Bài 21, trang

SGK)

Viết các đa thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:

( ) ( )

23 223 1xy xy+ + ++

96x y xy++

c) Hãy nêu một đề bài tương tự.

Giải

( ) ( ) ( )

23 2.23.11 231xy xy xy+ + + += + +

( )

9 6131xx x− += −

c) Chẳng hạn:

( )

4 12 9 2 3a ab b a b− +=−

Ví dụ 22( Bài 27, trang 14 SGK)

Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hoặc một hiểu:

3 31xxx−+ − +

82 6xxx−+ −

Giải

( ) ( ) ( ) ( )

3 2 23

3 3 1 3. .1 3 .1 1 1xxx x x x x− + − +=− + − + − + =−+

( )

233 2. 23

8 2 6 2 3.2 3.2. 2

xxx xx x−+ −=− + −=−

Ví dụ 23:( Bài 37, trang 17 SGK

Dùng bút chì nối các biểu thức sao cho chúng tạo thành các hằng đẳng thức.

Ví dụ 30: Biết số tự nhiên

chia 5 dư 1, số tự nhiên

chia 5 dư 2. Chứng minh rằng tổng

các bình phương của hai số

và

chia hết cho 5.

Giải

( )

x y x xy y− ++

( )( )

xyxy+−

2x xy y−+

( )

xy+

( )

x y x xy y+ −+

3 223

33y xy x y x+++

( )

xy−

Ta có:

( )

5 1; 5 2 ,a k b l kl=+=+ ∈

. Khi đó:

( ) ( )

( )

22 2 2 2 2

5 1 5 2 25 10 1 25 20 4 5 5 2 5 4 1ab k l k k l l k kl l+ = + + + = + ++ + + = + + + +

chia hết

cho 5.

Ví dụ 31: Chứng minh rằng tổng các lập phương của ba số nguyên liên tiếp thì chia hết

cho 9.

Giải

Gọi ba số nguyên liên tiếp là

1, , 1n nn−+

. Tổng lập phương của chúng là:

( ) ( )

3 3 2 33 2

1 1 331 331n nn nnn nnnn− +++ =− +−+++ ++

( )

3 6 3 19n n nn n= + = −+

Ta có

( )

( ) ( )

1 1.. 1nn n n n−= − +

chia hết cho 3 vì

1, , 1n nn−+

là ba số nguyên liên tiếp nên

có một số chia hết cho 3. Do đó

( )

31nn−

chia hết cho

9, 9n

cũng chia hết cho 9. Vậy

( ) ( )

11n nn− +++

chia hết cho 9 với mọi số nguyên

Dạng 13. MỘT SỐ HẰNG ĐẲNG THỨC TỔNG QUÁT

Phương pháp giải

Bằng phép nhân đa thức ta chứng minh được các hằng đẳng thức sau:

( )

12 21

. ... .

nn n n n n

a b a b a a b ab b

−− −−

−=− ++++

với mọi số nguyên dương

( )

12 21

. ... .

nn n n n n

a b a b a a b ab b

−− −−

+=+ −+−+

với mọi số nguyên dương lẻ

Chẳng hạn:

( )

5 5 4 3 22 3 4

;a b a b a a b a b ab b−=− + + + +

( )

5 5 4 3 22 3 4

a b a b a a b a b ab b+=+ − + − +

3. Nhị thức Niu-tơn (Newton)

( )

11 22 1 1

...

n n n nn n

nn n

a b a C a b C a b C ab b

− − −−

+ = + + ++ +

Với

( )( ) ( )

( )

1 2 ... 1

1,2,3,..., 1 (

1.2.3...

nn n n k

C k nC

− − −+

= = −

gọi là tổ hợp chập

của

phần

tử.

Chẳng hạn:

( )

4 3 2 2 3 4;

46 4a b a a b a b ab b+=+ + + +

( )

5 4 32 23 4 5

5 10 10 5 .a b a ab ab ab ab b−=− + − + −

Áp dụng các hằng đẳng thức trên vào tính chất chia hết ta có:

•

ab−

chia hết cho

ab−

(với

ab≠

và

nguyên dương);

•

21 21nn

chia hết cho

ab+

•

22nn

ab−

chia hết cho

ab+

Ví dụ 32: Chứng minh rằng:

11 1−

chia hết cho

100

Giải

Ta có:

( )

10 10 10 9 8

11 1 11 1 11 1 11 11 ... 11 1−= − = − + + + +

( )

10 11 11 ... 1= + ++

Vì

11 11 ... 11 1+ ++ +

có chữ số tận cùng ( hang đơn vị) bằng 0 nên

11 11 ... 11 1+ ++ +

chia

hết cho 10. Vậy

11 1−

chia hết cho

100

Ví dụ 33: Với

là số nguyên dương chẵn, chứng minh rằng:

20 16 3 1

n nn

+ −−

chia hết cho 323.

Giải

Ta có:

323 17.19=

. Áp dụng các hằng đẳng thức tổng quát ta có

n−

chia hết cho 19 và vì

chẵn nên

16 3

−

chia hết cho

( )

16 3 19+=

, do đó

( ) ( )

20 16 3 1 20 1 16 3

n nn n nn

+ − −= − + −

chia hết cho 19.

Mặt khác, vì

20 3

−

chia hết cho 17 và

16 1

−

chia hết cho

( )

16 1 17+=

nên

( ) ( )

20 16 3 1 20 3 16 1

n nn nn n

+ − −= − + −

chia hết cho 17. Vậy

20 16 3 1

n nn

+ −−

chia hết cho 323.

Ví dụ 34: Chứng minh rằng không có đa thức

( )

nào với hệ số nguyên mà

( )

75f =

và

( )

15 9f =

Giải

Giả sử có đa thức với hệ số nguyên:

( ) ( )

1 1 0 01

... , ,...,

nn n

f x ax a x ax a a a a

−

= + ++ + ∈

mà

( )

75f =

và

( )

15 9f =

. Khi đó:

1 10

7 7 ... .7 5;

a a aa

−

+ ++ + =

(1)

1 10

15 15 ... .15 9.

a a aa

−

+ ++ + =

(2)

Lấy (2) trừ (1) ta được:

( ) ( )

( )

15 7 15 7 ... 15 7 4

nn n n

aa a

−−

−

− + − ++ − =

Vế trái gồm các hạng tử chia hết cho

15 7 8−=

nên vế trái chia hết cho 8, còn vế phải bằng

4 không chia hết cho 8. Vậy không có đa thức

( )

nào với hệ số nguyên mà

( )

75f =

và

( )

15 9f =

C. LUYỆN TẬP

1. (Dạng 1) Tính:

( )

2xy+

( )

32xy−



−





  

−+

  

  







( )

2 24x xx− ++

2. (Dạng 2) Chứng minh các đẳng thức:

( ) ( )

2x y y xx y+ −= +

( )

( ) ( ) ( )

2 22

2x y xy x y x y+− =+ −

( ) ( ) ( )

322

33x y xx y yy x+= − + −

3. (Dạng 2) Chứng minh rằng:

( ) ( )

( )

23a b a b aa b+ +− = +

( ) ( )

( )

23a b a b bb a+ −− = +

4. (Dạng 1) Viết các đa thức sau thành tích:

8xy+

ab−

8 125y −

8 27z +

5. (Dạng 3) Tính nhanh:

1001 : 29,9.30,1

( ) ( )

31,8 2.31,8.21,8 21,8−+

6. (Dạng 4) Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức:

( ) ( )

10 80x xx− −+

với

0,98x =

( ) ( )

29 431x xx+− +

với

16,2x = −

4 28 49xx−+

với

4x =

9 27 27xx x−+−

với

5x =

7. (Dạng 5) Điền vào ô trống để các biểu thức sau trở thành bình phương của một tổng

hoặc một hiệu:

20xx++

16 24x xy++

49y −+

42 49xy y−+

8. (Dạng 5) Điền vào ô trống để được đẳng thức đúng:

( )

2 3 8 27ab a b+ −+ = +

( )( )

5 20 125 64x xy x y− + += −

9. (Dạng 6) Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng tổng hai bình phương:

10 26 2x x yy+ +++

221x xy y−++

6 13 4zz tt− +++

4 2 4 21x z xz z+ − −+

10. (Dạng 8) Tìm x, biết:

( )

3 40x − −=

2 24xx−=

( ) ( ) ( )( )

21 3 5 7 70x x xx− ++ − + −=

11. (Dạng 4) Rút gọn biểu thức:

( )( )( )( )

2 22 2

22 2 22 2xxx xxx−+−+++

( ) ( ) ( )( )

1 1 3 11x x x xx x+ +− +− + −

( ) ( ) ( )

2 22

2abc abc ab++ + +− + −

2222 22

100 99 98 97 ... 2 1−+−++−

( )( ) ( )

2 4 64

3 2 1 2 1 ... 2 1 1+ + ++

( ) ( ) ( )

2 22

2abc abc ab++ + +− − +

12. (Dạng 9) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

20 101xx−+

4 42aa++

4 5 10 22 28x xy y x y−++− +

13. (Dạng 9) TÌm giá trị lớn nhất của biểu thức:

43A xx= −+

Bxx= −

14. (Dạng 10) Chứng minh rằng nếu:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

222222

222xy yz zx yz x zx y xy z− +− +− = +− ++− ++−

thì

xyz= =

15. (Dạng 7) Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của

,xy

( )

2 2 2 23

2x y x xy y x y x xy y x+ −++− ++−

16. (Dạng 11) Chứng minh rằng các bất đẳng thức sau thỏa với mọi

,xy

10x xy y+ + +>

5 2 4 10 14 0x y x xy y++−−+>

5 10 6 4 2 3 0x y xy x y+ − − − +>

17. (Dạng 12) Cho số tự nhiên

chia cho 7 dư 4. Hỏi

chia cho 7 dư bao nhiêu?

chia

cho 7 dư bao nhiêu?

18. (Dạng 12) Cho

,ab

là các số nguyên. Chứng minh rằng

ab+

chia hết cho 3 khi và chỉ

khi

ab+

chia hết cho 3.

19. (Dạng 12) Cho

1ab+=

. Tính giá trị

( ) ( )

33 22

23M ab ab= +− +

20. (Dạng 13) Với

là số tự nhiên, chứng minh rằng:

2 21

11 12

nn++

chia hết cho 133.

2 21

5 26.5 8

n nn++

chia hết cho 59

7.5 12.6

chia hết cho 19.

21. (Dạng 13) Với

là số tự nhiên, ch

21 1

2 21

= ++

21 1

2 21

= −+

. Chứng minh

rằng với mỗi số tự nhiên

có một và chỉ một trong hai số

chia hết cho 5.

22. (Dạng 13) Cho số nguyên

1n >

. Chứng minh rằng

nnn− +−

chia hết cho

( )

1n −

23. (Dạng13) Cho đa thức với hệ số nguyên

( )

có

( )

và

( )

là hai số lẻ. CHứng

minh rằng

( )

không có nghiệm nguyên.

§6. §7. §8. §9. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Khi các hạng tử của một đa thức có chung một nhân tử, ta có thể đặt nhân tử

chung ra ngoài dấu ngoặc theo công thức:

A.B + A.C = A(B + C).

Nhân tử chung của một đa thức gồm:

a) Hệ số là ước chung lớn nhất của các hệ số trong mọi hạng tử.

b) Các lũy thừa bằng chữ số có mặt trong mọi hạng tử với số mũ nhỏ nhất của

nó.

Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử:

4 3 2 22 23

13 26 39 .xy xyz xyz−+ −

+ ƯCLN(13,26,39) = 13

+ Số mũ nhỏ nhất của x trong các hạng tử là 1;

+ Số mũ nhỏ nhất của y trong các hạng tử là 2;

Vậy:

( )

4 3 2 22 23 2 3 2 3

13 26 39 13 2 3 .x y x y z xy z xy x y xz z− + − =− −+

2. Nếu một đa thức chứa một trong các vế của bảy hằng đẳng thức đáng nhớ thì

ta có thể dùng hằng đẳng thức đó để viết đa thức các thành nhân tử.

Ví dụ:

( ) ( )( )

22 2

25 5 5 5 .xyxyxyxy−= −= − +

3. Nhóm nhiều hạng tử của đa thức một cách thích hợp để làm xuất hiện các

nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức, chẳng hạn:

AB + AC – DB – DC = A(B + C) – D(B + C) = (B + C)(A – D).

B. CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ.

Phương pháp giải

Áp dụng một trong các phương pháp:

• Đặt nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc:

AB + AC – AD = A(B + C – D)

• Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ.

• Phương pháp nhóm nhiều hạng tử

Ví dụ 1. (Bài 39, trang 19 SGK)

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

36xy−

2 32

x x xy++

2 2 22

14 21 28xy xy xy−+

( ) ( )

xy yy−− −

e) 10x(x – y) – 8y(y – x)

Giải

( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

2 32 2

2 2 22

) 3x 6y 3 2 ;

) 5 5;

) 14 21 28 7 2 3 4 ;

22 2

) 1 1 1;

55 5

) 10 8 10 8 2 5 4 .

a xy

b x x xy x x y

c x y xy x y xy x y xy

d xy yy y x y

e xxy yyx xxy yxy xy x y

−= −



+ + = ++





− + = −+

−− −= − −

−− −= −+ −= − −

Ví dụ 2. (Bài 43, trang 20 SGK)

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

3 22

) 6 9; )10 25 ;

) 8 ; ) 64

8 25

ax x b x x

cx d x y

++ −−

−−

Giải

( )

) 6 9 3;

)10 25 10 25 5 ;

1 11 1

)8 2 2 4 ;

8 22 4

1 1 11

) 64 8 8 8 .

25 5 5 5

ax x x

bx x x x x

cx x x x x

d x y x y xy xy

+ += +

−− =− − + =−−

    

−= − = − ++

    

    

    

−= − =− +

    

    

Ví dụ 3. (Bài 44, trang 20 SGK)

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

( ) ( ) ( ) ( )

33 33

3 2 23 2 2

); ) ; ) ;

)8 12 6 ; ) 9 27 27.

ax bab ab cab ab

d x x y xy y e x x x

+ +−− ++−

+ + + −+ − +

Giải

Áp dụng các hằng đẳng thức:

( )

33 2 2

;A B A B A AB B

A B A B A AB B

+=+ − +

−=− + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

33 2 2

2 222 22

1 1 11

);

27 3 3 9

22 2 23 ;

ax x x x

ab ab abab ab abab ab

ba b a b ba b

  

+=+ −+

  

  



+ −− =+−+ + ++ −+−



= + +− = +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

33 2 2

2 222 2 2

)

22 2 2 3 ;

cab ab abab ab abab ab

aa bab aa b



+ +− =++− + −+ −+−



= + −+ = +

d) Áp dụng

( )

3 2 23

33A A B AB B A B+ + +=+

ta có:

( ) ( )

( )

3 2 23 23

)8 12 6 2 3. 2 y 3.2 . y

) 9 27 27 3 .

d x x y xy y x x x y

ex x x x

+ + += + + +

= +

− + − + =−+

Ví dụ 4. (Bài 27, trang 22 SGK)

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

( )

) ; ) 5;

)3 3 5 5 .

a x xy x y b xz yz x y

c x xy x y

− +− + − +

− −+

Giải

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

) 1;

) 5 z 5 5;

)3 3 5 5 3 5 3 5.

ax xyxyxxy xy xyx

bxzyz xy xy xy xyz

c x xy x y xxy xy xy x

− +−= − + − = − +

+− += +− +=+ −

− −+ = −− −=− −

Ví dụ 5. (Bài 48, trang 22 SGK)

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

2 22

2 22 2

) 4 4;

)3 6 3 3 ;

)2 2 .

ax x y

b x xy y z

c x xy y z zt t

+−+

++−

− +−+ −

Giải

( )

( )( )

( )

( )( )

( ) ( )

( )( )

222 2 2

2 22 2 22 2

2 22 2

) 4 4 44y 2 y

2 2;

)3 6 3 3 3 2 3

)2 2

axxy xx x

x yx y

b x xy y z x xy y z x y z

xyzxyz

c x xy y z zt t x y z t

xyztxyzt

+−+= ++−=+ −

= ++ +−



++−= ++−= +−



= ++ +−

− + −+ −= − −−

= −−+ −+−

Ví dụ 6. (Bài 51, trang 24 SGK)

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

3 2 2 2 22

) 2 ; )2 4 2 2 ; )2 16.a x x x b x x y c xy x y− + + +− − − +

Giải

( )

( )( )

( )

( )( )

32 2

2 22 2 2

22 2 2 2

) 2 2 1 x 1;

)2 4 2 2 2 2 1 2 1

21 1;

)2 16 16 2 4

4 4.

ax x x xx x x

bxx y xx y x y

x yx y

c xy x y x xy y x y

xy xy

− += − + = −



++− = ++− = +−



= +− ++

−−+=− − + =−−

= +− −+

Ví dụ 7. (Bài 53, trang 24 SGK)

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

22 2

) 3 2; ) 6; ) 5 6.ax x bx x cx x− + +− + +

Giải

( ) ( ) ( )( )

) 3 2 x 2x 2 1 2 1 1 2 ;

) 6 3x 2x 6 x 3 2 3 3 2 ;

) 5 6 2x 3x 6 x 2 3 2 2 3 .

ax x x xx x x x

bx x x x x x x

cx x x x x x x

− += −− += −− − = − −

+−= + − −= + − + = + −

+ += + + += + + + = + +

Ví dụ 8. (Bài 54, trang 25 SGK)

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

( )

32 2 2 2

4 2 22

) 2 9 ; )2 2 2

) 2 2.

a x x y xy x b x y x xy y

cx x x x

+ + − − −+ −

−= −

Giải

( )

( )( )

( ) ( ) ( )( )

( )

32 2 2 2 2

4 2 22

)2 9 2 9 3

)2x 2y x 2 2 2

) 2 2.

a x x y xy x x x xy y x x y

xxy xy

b xyy xy xy xy xy

cx x x x



+ + − = + +−= + −



= ++ +−

− − + − = − − − = − −+

−= −

Ví dụ 9. (Bài 57, trang 25 SGK)

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

) 4 3; ) 5 4;

) 6; ) 4.

ax x bx x

c x x dx

−+ ++

−− +

Giải

( ) ( ) ( )( )

) 4 3 x 3x 3 x 1 3 1 1 3 ;

) 5 4 x4x4 x 1 4 1 1 4;

ax x x x x x x

bx x x x x x x

− += −− += − − − = − −

+ += ++ += ++ + = + +

( ) ( ) ( )( )

( )

( )( )

4 4 2 22 2 2

c) 6 3x 2 6 3 2 3 3 2 ;

) 4( 4x4)4 2 2 22 22.

xxx xxx x xx

dx x x x x x x x x

−−= − + −= − + − = − +

+= + + − = + − = − + + +

Dạng 2. TÍNH NHANH

Phương pháp giải

Phân tích biếu thức cần tính nhanh ra thừa số rồi tính

Ví dụ 10. (Bài 46, trang 21 SGK)

Tính nhanh:

2 2 2 2 22

)73 27 ; )37 13 ; ) 2002 2 .abc−− −

Giải

( )( )

)73 27 73 27 73 27 46.100 4600;

b)37 13 37 13 37 13 24.50 1200;

) 2002 2 2002 2 2002 2 2000.2004 4008000.

−=− += =

−= − += =

Ví dụ 11. (Bài 49, trang 22 SGK)

Tính nhanh:

2 22

) 37,5.6,5 7,5.3,4 6,6.7,5 3,5.37,5

)45 40 15 80.45.

−−+

+−+

Giải

( ) ( )

( )

( )( )

2 22 2 22

) 37,5.6,5 7,5.3,4 6,6.7,5 3,5.37,5

37,5.6,5 3,5.37,5 7,5.3,4 6,6.7,5

37,5 6,5 3,5 7,5 3,4 6,6

37,5.10 7,5.10 375 75 300

)45 40 15 80.45 45 2.40.45 40 15

45 40 15

85 15 85 15 85 15 70.100 7000.

−−+

= + −+

= +− +

= − = −=

+−+ =+ +−

=+−

=−=− += =

Ví dụ 12. (Bài 56, trang 25 SGK)

Tính nhanh:

)

2 16

ax x++

với x = 49,75;

) 21bx y y−−−

với x = 93, y = 6.

Giải

( )

1 1 11

) 2. . 0,25

2 16 4 4

ax x x x x



+ +=+ + =+





Với x = 49,75 thì

( ) ( )

0,25 49,75 0,25 50 2500.x +=+==

( )

22 2 2 2

) 21 21 1

1 ( 1).

bxy y xy y xy

xy xy

− − −= − + + = − +

= −− ++

Với x = 93, y = 6 ta có

( )( ) ( )( )

1 1 93 6 1 93 6 1 86.100 8600.xy xy−− ++= −− ++= =

Dạng 3. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC

Phương pháp giải

• Trước hết phân tích biểu thức thành nhân tử;

• Thay giá trị của biến vào biểu thức đã phân tích.

Ví dụ 13. (Bài 40, trang 19 SGK)

Tính giá trị các biểu thức sau:

) 15.91,5 150.0,85a +

( ) ( )

)5 2 5 2b xx z x zx−+ −

với x = 1999, y = 2000, z = -1.

Giải

( )

) 15.91,5 150.0,85 15.91,5 15.8,5 15 91,5 8,5 15.100 150a + = + = += =

( ) ( ) ( )

55 5 5

)5252 522 5.00b xx z x zx xx z zx x− + −= −+−= =

Với x = 1999, y = 2000, z = -1 thì biểu thức bằng 0.

Dạng 4. TÌM x THỎA MÃN ĐẲNG THỨC CHO TRƯỚC

Phương pháp giải

• Chuyển tât cả các số hạng về vế trái của đẳng thức, vế phải bnawgf 0.

• Phân tích về trái thành nhân tử để được A.B = 0

A.B = 0 suy ra A = 0 hoặc B = 0

• Lần lượt tìm x từ các đẳng thức A = 0, B = 0 ta được kết quả

Ví dụ 14. (Bài 41. Trang 19 SGK)

Tìm x, biết:

( )

) 5 2000 2000 0;

) 13 0.

a xx x

bx x

− −+ =

−=

Giải

a) Ta có

( ) ( ) ( )

5 2000 2000 5 2000 2000xx x xx x−−+=−−−

( )( )

2000 5 1 .xx=−−

Đẳng thức đã cho trở thành:

( )( )

2000 5 1 0.xx− −=

Suy ra x = 2000 hoặc

x =

( )

13 13 .x x xx−= −

Đẳng thức trở thành:

( )

13 0xx−=

suy ra x = 0 hoặc

13x =

. Vậy

0; x 13x = = ±

Ví dụ 15. (Bài 45, trang 20 SGK)

Tìm x, biết:

) 2 25 0; ) .

a x bx x− = −+

Giải

a) Ta có

( )( )

2 25 2 5 2 5 .x xx−=− +

Từ đẳng thức đã cho suy ra

xx= = −



−=





Suy ra

x =

Ví dụ 16. (Bài 50, trang 23 SGK)

Tìm x, biết:

( ) ( )

) 2 2 0; )5 3 3 0a xx x b xx x− +−= − −+=

Giải

a) Ta có

( ) ( )( )

2 2 2 1.xx x x x− +−= − +

Do đó

( )( )

2 10xx− +=

suy ra x = 2 hoặc x = - 1.

( ) ( ) ( ) ( )( )

53 353 3 351.xx x xx x x x− −+= − − − = − −

Từ đẳng thức:

( )( )

3 5 1 0.xx− −=

Suy

ra x = 3 hoặc x = 1/5.

Ví dụ 17. (Bài 55, trang 25 SGK)

Tìm x, biết:

( ) ( )

( )

) 0; ) 2 1 3 0;

) 3 12 4 0.

ax x b x x

cx x x

− = − −+ =

−+− =

Giải

a) Ta có

1 1 11

4 4 22

x x xx xx x

    

− = −= − +

    

    

Do đó:

xx x

  

− +=

  

  

Suy ra

0; ; .

xx x= = = −

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

21 3 21 321 3 432.x x xxxx xx− − + = −− − −+ + = − +

Do đó

( )( )

43 2 0xx− +=

suy ra x = 4 hoặc x = - 2/3

( ) ( ) ( ) ( )

( )

22 2

3 12 4 3 4 3 3 4 .xx xxx x x x−+− = −− −= − −

Do đó

( )

3 4 0.xx− −=

Suy ra x = 3 hoặc

2.x = ±

Dạng 5. ÁP DỤNG VÀO SỐ HỌC.

Phương pháp giải

• Số nguyên a chia hết cho số nguyên b nếu có số nguyên k sao cho a = b.k

• Phân tích biếu thức ra thừa số để xuất hiện số chia

Ví dụ 18. (Bài 42, trang 19 SGK)

Chứng minh rằng

55 55

nn+

−

chia hết cho 54 (với n là số tự nhiên).

Giải

Ta có

( )

55 55 55 55 1 54.55

n nn n+

− = −=

chia hết cho 54.

Ví dụ 19. (Bài 52, trang 24 SGK)

Chứng minh rằng

( )

52 4n +−

chia hết cho 5 với mọi

.n∈

Giải

Ta có

( ) ( )( ) ( )

52 4522522554n n n nn+ −= ++ +− = +

chia hết cho 5 với mọi

.n∈

Ví dụ 20. (Bài 58, trang 27 SGK)

Chứng minh rằng

nn−

chia hết cho 6 với mọi

.n∈

Giải

Ta có

( )

( )( )

1 1 1.n n nn nn n−= − = − +

Vì

1, , 1n nn−+

là 3 số nguyên liên tiếp nên có ít nhất

một số chia hết cho 2 và ít nhất một số chia hết cho 3 nên tích

( ) ( )

1.. 1n nn−+

chia hết cho

2.3 = 6 (vì 2 và 3 là hai số nguyên tố cũng nhau)

Ví dụ 21. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có:

13nn−

chia hết cho 6;

54nnn−+

chia hết cho 120;

33n nn− −+

chia hết cho 48 với n lẻ.

Giải

a) Ta có

13 ( ) 12n nnn n− = −−

theo ví dụ 20 ta được

nn−

chia hết 6 và 12n chia hết cho 6

nên

13nn−

chia hết cho 6 với mọi số nguyên n

b) Ta có:

( ) ( )

( )( )

( )( )( )( )

5353332 2

5 4 4 4 14 1

1 4 112 2

n n nn n n nnn nn

nn n nn n n n

− +=−− += −− −

= − −= − + − +

là tích của 5 số nguyên liên tiếp.

Trong 5 số nguyên liên tiếp có ít nhất hai số là bội của 2 (trong đó có một số là bội

của 4, một số bội của 3 và một số bội của 5). Do đó tích 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho

8.3.5 = 120 (vì 8, 3, 5 đôi một nguyên tố cùng nhau).

c) Ta có

( ) ( ) ( )

( )

( )( )( )

32 2 2

3 3 3 3 3 1 311nnnnn n nn nnn− −+= − − − = − − = − − +

Thay n = 2k + 1 vào thì được:

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 .2 . 2 2 8 1 . . 1k k k k kk− += − +

Chia hết cho 48. Vì

( ) ( )

11k kk−+

là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2.3 = 6.

Dạng 6. TÌM CÁC CẶP SỐ NGUYÊN (x, y) THỎA MÃN ĐẲNG THỨC CHO TRƯỚC

Phương pháp giải

• Phân tích một vế của đẳng thức thành tích của hai thừa số, vế còn lại là một số

nguyên n.

• Phân tích số nguyên n thành tích hai thừa số bằng tất cả các cách, từ đó tìm ra

các số nguyên x, y.

Ví dụ 22. Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn một trong các đẳng thức sau:

( )

) ; ) 2 1 13.a x y xy b xy x y+= −+ − =

Giải

a) Ta có x + y = xy được viết thành: xy – x – y =0. Do đó suy ra:

( ) ( )

1 11xy y−− −=

hay

( )( )

1 11yx− −=

Mà 1=1.1 =

( ) ( )

1. 1−−

nên:

−=





−=



hoặc

−=−





−=−



Do đó:







hoặc







Vậy ta có hai cặp số nguyên cầm tìm là (0,0) và (2,2).

b) Phân tích về trái ra thừa số ta có:

( ) ( ) ( ) ( )( )

21 121 1 2.xy x y x y y y x−+ −= −+ −= − +

Vế phải bằng 13 = 1.13 = 13.1 =

( )( ) ( )( )

1 13 13 1−− =− −

nên ta lần lượt có:

1 1 1 13 1 1 1 13

;; ;

2 13 2 1 2 13 2 1

yy y y

xx x x

−= −= −=− −=−

  

  

+= += +=− +=−

  

Hay :

11 1 15 3

;; ;

2 14 0 12

xx x x

yy y y

==−=− =−

  

  

= = = = −

  

Vậy ta có 4 cặp số nguyên cần tìm là:

( ) ( ) ( ) ( )

11,2 ; 1,14 ; 15,0 ; 3, 12− − −−

Dạng 7. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

Phương pháp giải

Khi gặp đa thức nhiều ẩn hoặc một ẩn nhưng phức tạp ta dùng cách đặt ẩn phụ rồi

phối hợp các phương pháp đặt nhân tử chung, hằng đẳng thức, tách và thêm bớt số

hạng để phân tích ra thừa số.

Ví dụ 23. Phân tích đa thức sau thành nhân tử

( ) ( )

( )( )( )

( )( )

22 2

) 3 2;

) 1 2 3 1;

) 1 31 .

axx xx

bxx x x

cx x x x x

+ + ++

++ + + +

Giải

a) Đặt

yx x= +

ta có:

22 2 2 2

()3()2 32()(22)xx xx y y yy y+ + + += + += + + +

( 1) 2( 1) ( 1)( 2)yy y y y= ++ += + +

Thay

yx x= +

vào ta được:

( 1)( 2) ( 1)( 2)y y xx xx+ + = ++ ++

b) Ta có:

( 1)( 2)( 3) 1 [ ( 3)][( 1)( 2)]+1

(3)(32)1

xx x x xx x x

xxxx

++ ++=+ ++

= + +++

Đặt

3x xy+=

, ta có:

( 3 )( 3 2) 1 ( 2) 1

2 1 ( 1)

( 3 1)

xxxx yy

yy y

+ +++= ++

= + += +

= ++

c) Đặt

1yx x= ++

ta có:

22 2 2

2 22

224

( 1)( 3 1) ( 2 )

2 ()

( 2 1) ( 1)

x x x x x yy x x

y yx x y x

xx x

++ + ++ = + +

=+ +=+

= ++=+

Dạng 8. PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH

Phương pháp giải

• Giả sử đa thức đã cho được phân tích thành tích của hai đa thức khác. Ta càn xác

định hệ số của hai đa thức nhân tử.

• Thực hiện phép nhân hai đa thức rồi cho đồng nhất các hệ số tương ứng.

Ví dụ 24. Phân tích thành nhân tử.

43 2

) 6 11 6 1;

)3 22 4 8 7 1.

axx xx

b x xy x y y

+ + ++

− −++ +

Giải

a) Giả sử đa thức được phân tích thành hai đa thức bậc hai dạng:

( +ax+1)(x 1)x bx++

Thực hiện phép nhân đa thức ta được:

22 4 3 2

(x +ax+1)(x 1) ( ) (2 )x ( ) 1bx x a b x ab a b x++=++ ++ ++ +

Đồng nhất với đa thức đã cho ta được:

6, 9a b ab+= =

. Ta tìm được a=b=3.

Vậy

43 2 2 2

6 11 6 1 ( 3 1)xx xx xx+ + + += + +

Cách khác:

43 2

42 2

6 11 6 1

2 (3 x 1) (9 6 1)

2 (3 1) (3 1)

( 3 1)

xx xx

x xx x

+ + ++

= + ++ + +

= + ++ +

= ++

b) Ta tìm a, b, c, d sao cho:

3 22 4 8 7 1

(3 )( )

3 (3 ) (3 ) ( )

x xy x y y

xaybxcyd

x c a xy d b x ad bc y acy bd

− −++ +

= ++ ++

= ++ + ++ + + +

Đồng nhất các hệ số tương ứng của hai vế ta được:

3 22;3 4; 8; 7; 1c a d b ad bc ac bd+=− +=− + = = =

Từ bd=1, chọn b=d=1 (vì 3d+b=-4).

Ta có a+c=-8, kết hợp với 3c+a=-22, ta được a=-1, c=-7.

Vậy:

3 22 4 8 7 1 (3 1)( 7 1).x xy x y y x y x y+ − + + += − − = −

Dạng 9: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC

Phương pháp giải

• Bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử của vế trái để đưa dẳng thức về dạng

tích bằng 0.

• Xét từng thừa số bằng 0 rồi chúng minh đẳng thức, nhiều trường hợp phải dùng

đến đặt ẩn phụ.

Ví dụ 25: Chứng minh rằng nếu

333

3a b c abc++=

thì a=b=c hoặc

0abc++=

Giải

Từ đẳng thức đã cho suy ra

333

30a b c abc++− =

. Ta phân tích đa thức

333

3a b c abc++−

thành nhân tử. Ta có:

33 22 2

333 3 3

22 2

()( )()[()3]

(b c) 3 ( );

()3()3

( )[ (b c) (b c) ] 3 ( )

(a b c)(a ).

b c bcb c bc bcbc bc

bc b c

a b c a b c bc b c abc

abca a bcabc

b c ab bc ca

+=+ +− =+ + −

=+− +

++= ++ − +−

= ++ − + + + − ++

= ++ + + − − −

Do đó, nếu

333

30a b c abc++− =

thì

0abc++=

, hoặc:

22 2

a0b c ab bc ca++−−−=

hay

222

( )( )( )0.ab bc ca− +− +− =

Suy ra a=b=c.

Ví dụ 26. Chứng minh rằng:

333

( ) ( ) ( ) 3( )( )( ).bc ca ab abbcca− +− +− = − − −

Giải

Đặt

,,xbcy caz ab=−=−=−

. Áp dụng Ví dụ 25:

333 2 22

3 ( )( ) 0x y z xyz x y z x y z xy yz zx++− =++ ++−−− =

(vì

0xyz++=

)

Suy ra

333

3x y z xyz++=

, tức là có điều phải chứng minh.

Ví dụ 27. Phân tích đa thức

33 33

()xyz x y z++ − − −

thành nhân tử.

Áp dụng chứng minh đẳng thức:

3333

( )( )( )( )24abc abc bca cab abc++ − +− − +− − +− =

Hướng dẫn

Sử dụng các hằng đẳng thức

AB−

và

AB+

nhân hai số hạng đầu và hai số

hạng cuối ta được:

3( )( )( )x yy zz x+ ++

Áp dụng:

Đặt

;;xabcybcaz cab=+− =+− =+−

thì

abc xyz++=++

Dạng 10. CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Phương pháp giải

Để chứng minh A>B a lập hiệu A-B và phân tích đa hức A-B thành nhân tử. Sau đó chứng

minh A-B>0.

Ví dụ 28: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác. Chứng minh rằng:

( ) ( ) ( )

32 2 22 2 22 2

)0aa a c b c a c a b−+ −+ −<

với

abc<<

2 2 2 333

b) ( ) (c a) ( ) .abc b cab abc− + − + + >++

Giải:

a) Ta phân tích vế trái của bất đẳng thức thành nhân tử:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )

( )

( )( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )( )

32 2 22 2 2 2 2

322 22 322 322

32 2 32 2 32 2 32 2

2233 2233

22 22

()

aa c bc a ca b

aba ac bca cab

ab a aa c bc a ca b

baca acab

abca aba acc acab aca abb

a b c a a b a ac c a c a ab b

abcac

−+ −+ −



= −+− + −+ −



= −+ −+ −+ −

=−−+−−

  

=−−++++−−+++

  



=− − + ++ −+ ++



=−−−

( )( )

.b ab bc ca++

Vì 0 < a < b < C nên a – b <0, c – a >0, c – b >0>0, b + bc + ca > 0

Do đó: (a – b)(c – a)(c – b)(ab + bc + ca) <0

Vậy:

( ) ( ) ( )

32 2 22 2 22 2

0aa c bc a ca b−+ −+ −<

với

abc<<

b) Xét hiệu:

( ) ( ) ( )

2 2 2 333

222

333

222

22 2

( ) (c a) ( )

( )( ) b(c b a)(c b a) c(a b c)(a b c)

( )( bc b ac ab )

(a b

abc b cab abc

ab c a bc a b ca b c

abc a bca b cab c

aabcbca

a b c ab ac a bc c

− + − + + >++

   

= −−+ −−+ +−

   



= −− + −−+ +−



= +− −− + +− −− + +− ++

=+− − −−−++++

= +−

( )

222

c)(2a )

(a b c)

(a b c)(c a b)(c )

ba b c

c ab

−−+



= +− − −



= +− +− − +

Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác nên: a + b – c > 0; c + a – b > 0, a + c – a > 0 do

đó (a + b – c)(c + a – b)(a + c – a) > 0

Vậy:

2 2 2 333

( ) (c a) ( ) .abc b cab abc− + − + + >++

C. LUYỆN TẬP:

1. (Dạng 1). Phân tích đa thức thành nhân tử:

)7x 7

)3x( 1) 7x ( 1)

cx x

−+ −

)2x 6x

)3x()5a()

byy

d xa ax

−

−+ −

2. (Dạng 1). Phân tích đa thức thành nhân tử:

22 2 2

)6x 9x

)9x 15x 21x

cy y y

−

+−

10 6

2 2 22 2 2

)5y 15

)

d x y z xy z x yz

3. (Dạng 1). Phân tích đa thức thành nhân tử:

) 6x 9

) 64

)0.125(a 1) 1

ax y y

−+

−

+−

32 23

) 6x 12x 8

)125x

bx y y y

++ +

4. (Dạng 1). Phân tích đa thức thành nhân tử:

( ) ( )

)2x( 1) 2( 1)

)4x x-2y +8y 2y-x

ax x

++ +

22 2

)( ) x

)49( 4) 9( 2)

b y x y z zy

dy y

+− −

−−+

5. (Dạng 1). Phân tích đa thức thành nhân tử:

)(2x 1) ( 1)

)25( ) 16( )

c xy xy

+ −−

−− +

)9(5)(7)

)49( 4) 9( 2)

bx x

dy y

+ −−

−−+

6. (Dạng 1). Phân tích đa thức thành nhân tử:

)

ax x x

c x y xy x y

ax ay bx by

+ ++

+ −−

+− −

) 77

) ( 1) ( 5) 5( 1)

bx x x

d ax a y x y

f xx xx x

− −+

+ −−

+ + −− +

7. (Dạng 1). Phân tích đa thức thành nhân tử:

32 3

)3 12

) 3 3 1 27

ax y

cx x x z

−

+ + +−

)bx y x y− −+

8. (Dạng 1). Phân tích đa thức thành nhân tử:

)

)3 ( ) 36 (a b ) 108 (a b c)

a x xy y xz yz

c a x ab b x

dxabc xy c y

− +−+

− +−

++ + ++ + ++

)bx y x y− −+

9. (Dạng 1). Phân tích đa thức thành nhân tử:

) 19x 30

ax x

−−

) 4x 5

dx x

+−

10. (Dạng 1). Phân tích đa thức thành nhân tử:

(

)

333

22 2 2 2

) ( ) (b c) ca(c a)

)

)4a (a b c )

a ab a b bc

babc a b c

−+ −+ −

++ − − −

− +−

11. (Dạng 1). Phân tích đa thức thành nhân tử:

22 2

)(1 x ) 4 (1 x )

)81 4

+−−

)(x 8) 36b −+

12. (Dạng 2). Tính giá trị biểu thức

( ) ( )

43 11

)

36,5 27,5

−

97 83

) 97,83

180

−

( ) ( )

) 2x 2xcA x y z y= −− −

với

1, 2; 1, 4; 1, 8xyz= = =

( ) ( ) ( )

) 1 4x 1 4 1dB x x x x= − − −+ −

với

3x =

13. (Dạng 4). Tìm x, biết:

( )

) 2x 1 25 0a −−=

)8x 50x 0b −=

( )

( ) ( )

( )

) 2 2x 7 2 4 5 2 0cx x x x− + ++ −− −=

14. (Dạng 4). Tìm x, biết:

( )

( )( )

)3x 1 1 0

)4x 25 2x 5 2x+7

ax x

− + −=

−− −

( )

( )( )

)2x 3 3x 0

) 27 3 9 0

bx x

dx x x

+−− =

+++ −=

15. (Dạng 5). Chứng minh rằng:

)2 1a −

chia hết cho 73

)5 10b −

chia hết cho 9

16. (Dạng 5). Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì:

( ) ( )

)3 1an n+ −−

chia hết cho 8

( ) ( )

)6 6bn n+ −−

chia hết cho 24

17. (Dạng 5). Chứng minh rằng với n lẻ thì:

) 4x 3an ++

chia hết cho 8

)3 3bn n n+ −−

chia hết cho 48

18. (Dạng 6). Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa một trong các đẳng thức sau:

( )

) y 2 3x 6 2

) 5 70

c xy x y

− + −=

−+ −=

) 3x 2 7 0b xy y+ − −=

19. (Dạng 7). Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

( )

( ) ( )

( )( )( )( )

2 22

) 4( ) 12

)( 1) 12 12

) 4x 8 3x 4x 8 2x

)123424

axx xx

bxx xx

cx x

dx x x x

+ + +−

++ ++ −

++ + +++

+ + + +−

20.(Dạng 8).Phân tích đa thức thành nhân tử

)2 5 8 3;

)3 14 4 3;

)12 5 12 12 10 3.

ax x x

bx x x

c x x y y xy

− +−

− ++

+− + − −

21.(Dạng 9).cho a +b +c =0 ,chứng minh các đẳng thức sau:

333

555 222

2222 444

) 3;

)2( ) 5 ( );

c)( ) 2( ).

a a b c abc

b a b c abc a b c

abc abc

++=

++ = ++

22.(Dạng 9).cho 3 số a ,b ,c thỏa a +b +c =1 và

333

1abc++=

chứng minh

2005 2005 2005

1.abc++=

23.(Dạng 10).a ,b ,c là 3 cạnh của tam giác .Chứng minh rằng :

333 2 2 2

) 2 ( ) ( ) ( );a a b c abc a b c b c a c a b+++ < ++ ++ +

b)( ) 9a b c abc++ ≤

với

;abc≤≤

22 22 2 2 4 4 4

c)2 2 2 0;ab bc ca a b c+ + −−−>

22 2 2 22

d)4 ( ) .ab a b c> +−

§ 10.CHIA ĐƠN THỨC CHO ĐƠN THỨC

§ 11.CHIA ĐA THỨC CHO ĐƠN THỨC

A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1.Quy tắc chia đơn thức A cho đơn thức B:

• Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B.

• Chia từng lũy thừa của biến trong A cho lũy thừa của cùng biến đó trong

• Nhân các kết quả tìm được với nhau.

Ví dụ:

43 2 22

20 :4 5 .xyz xy xyz=

2.Quy tắc chia đa thức A cho đơn thức B:

Muốn chia đa thức A cho đơn thức B ,ta chia mỗi hạng tử của cho B rồi

cộng các kết quả với nhau.

Ví dụ:

42 24 22 2

42 2 24 2 22 2 3 2

(16 20 8 ): 4

16 : 4 20 : 4 8 :4xy 4 5 2

xy xy xy xy

x y xy x y xy x y x xy x

−+ =

= − + =−+

B. CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1: LÀM TÍNH CHIA

Phương pháp giải

• Chia hai lũy thừa của một biến:

: ( 0).

m n mn

x x x mn

−

= ≥≥

• Quy tắc chia hai đơn thức A và B.

• Quy tắc chia đa thức cho đơn thức:

( ): : : : .A B C D AD BD CD+− = + −

Ví dụ 1: (Bài 59 .trang 26 SGK)

Làm tính chia:

)5 : ( 5) ;a −

):;







)( 12) :8 .c −

Giải

3 2 32

)5:(5) 5:5 5;a −= =

53 2

33 39

b) : ;

4 4 4 16

 

= =

 

 

12 3 27

c)( 12) :8 .

8 28

  

− =− =−=−

  

  

Ví dụ 1: (Bài 60 .trang 27 SGK)

Làm tính chia:

10 8

)x :( ) ;ax−

( ) ( )

):;bx x−−

)( ) : ( y) .cy−−

Giải

10 8 10 8 2

)x :( ) :x ;a xx x−= =

( ) ( ) ( )

53 2

b) : ;x x xx− −=−=

c)( ) : ( y) .yy− −=−

Ví dụ 3: (Bài 61 .trang 27 SGK)

Làm tính chia:

24 2

)5xy:10xy;a

33 22

): ;

b xy xy



−





10 5

)( ) : ( y) .c xy x−−

Giải

24 2 3 3

)5xy:10xy ;

10 2

a yy= =

33 22

3 1 32 3

b) : . ;

4 2 41 2

x y x y xy xy



− =−=−





10 5 5

c)():(y)().xy x xy− −=−

Ví dụ 4: (Bài 64 .trang 28 SGK)

Làm tính chia:

523 2

)( 2x 3x 4x ):2x ;a −+ −

32 2

)x 2 3 : ;

b x y xy x



−+ −





22 23

)(3 6 12 ) :(3 y).c xy xy xy x+−

Giải

523 2 3

)( 2x 3x 4x ):2x x 2x;

a − + − =−+−

32 2 2 2

)x 2 3 : 2x 4xy 6y ;

b x y xy x



− + − =−+ −





22 23 2

)(3 6 12 ):(3 y) xy 2xy 4.c xy xy xy x+ − =+−

Ví dụ 5: (Bài 65 .trang 29 SGK)

Làm tính chia:

4 3 22

3()2()5():().xy xy xy yx



−+−−− −



Giải

Ta có

()()yx xy−=−

nên :

4 3 22 2

3( ) 2( ) 5( ) : ( ) 3(x y) 2(x y) 5.xy xy xy yx



−+−−− −=−+−−



Dạng 2: TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC

Phương pháp giải

• Trước hết rút gọn biểu thức bằng cách chia đơn thức cho đơn cshoawcj đa thức cho

đơn thức.

• Thay giá trị của biến vào biểu thức đã rút gọn.

Ví dụ 6: (Bài 61 .trang 27 SGK)

Tính giá trị biểu thức sau:

432 22

15x y z :5xyz

với x = 2, y = -10, z = 2004.

Giải

Ta có :

432 22 3

15x y z :5x 3 .yz xy=

Với x = 2 , y = -10 thì :

3 3.2 ( 10) 240.xy= −=−

Dạng 3: KHÔNG LÀM TÍNH CHIA , XÉT XEM ĐA THỨC A CÓ CHIA HẾT CHO

ĐƠN THỨC B KHÔNG

Phương pháp giải

A muốn chia hết choB thì mội hạng tử của A đều phải chia hết cho B.

Ví dụ 7: (Bài 66. trang 29 SGK)

Khi giải bài tập :"Xét xem đa thức

432

546A x x xy=−−

có chia hết cho

đơn thức

2Bx=

hay không ?"

Hà trả lời :"A không chia hết cho B vì 5 không chia hết cho 2".

Quang trả lời:"A chia hết cho B vì mọi hạng tử của A đều chia hết cho

B".

Ý kiến của em?

Giải

Ý kiến của em:quang trả lời đúng.

Ví dụ 8: (Bài 63 .trang 28 SGK)

Không làm tính chia,hãy xét xem đa thức a có chia hết cho đơn thức B

không ?

2 32 2

15 17 18 ; 6A xy xy y B y=++ =

Giải

A chia hết cho B vì

2 32

15 ,17 ,18xy xy y

đều chia hết cho

C. LUYỆN TẬP

1.(Dạng 1). Làm tính chia

8 12

)25 :5 ;a

12 24

49 7

25 5

  

  

  

25 49

 

 

 

4 35 4 2

12 4

) :;

25 5

b xyz xyz



−





53 23

21xy z :7 x .yz−

2.(Dạng 1). Làm tính chia

)13():5();a ab ab−−

b) (x ) : (x ) .

yy−− −

c)(x 8) : (x 2).++

3.(Dạng 1). Làm tính chia

4 32 2

)(5 2 ) : 2x ;ax xx−+

2 23 3

) :5 ;

b xy x y x y xy







35 44 5 3 32

c)(15 20 25 y ) : 5x y ;xy xy x−− −

23 4 2

10 15 10

d) 5 : .

32 3

x yz xyz xyz xyz



− +−





4.(Dạng 2). Tính giá trị của biểu thức

354 2 44

( 15x y z ):(5x )yz−

với

, , 10000.

xyz=−=−=

§ 12.CHIA ĐA THỨC MỘT BIẾN ĐÃ SẮP XẾP

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

•Phép chia hai đa thức đã sắp xếp thực hiện tương tự như phép chia hai số tự

nhiên.

• Đối với hai đa thức một biến A,B tùy ý ,

0B ≠

tồn tại hai đa thức duy nhất Q và R

sao cho

.A BQ R= +

,Trong đó R=0 hoặc bậc của R thấp hơn bậc của B .Khi R=0 phép

chia A cho B là phép chia hết.

•Muốn tìm hạng tử cao nhất của đa thức thương Q ta chia hạng tử cao nhất của

đa thức bị chia A cho hạng tử cao nhất của đa thức chia B.

•Để tìm hạng tử thứ hai của đa thức thương ta chia hạng tử cao nhất của dư thứ

nhất cho hạng tử cao nhất của đa thức chia .

•Chia đến khi nào bậc của đa thức dư R bé hơn bậc của đa thức chia B.

B. CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1. THỰC HIỆN PHÉP CHIA ĐA THỨC

Phương pháp giải

- Sắp xếp đa thức một biến theo lũy thừa giảm dần.

- Các bước chia đa thức đã sắp xếp

+ Trình bày phép chia như phép chia số tự nhiên.

ABC

+ Chia hạng tử cao nhất của đa thức bị chia cho hạng tử cao nhất của đa thức chia ta được

hạng tử cao nhất của đa thức thương.

+ Chia hạng tử cao nhất của dư thứ nhất cho hạng tử cao nhất của đa thức chia ta được

hạng tử thứ hai của đa thức thương.

…

Chú ý. Nếu đa thức bị chia khuyết một bậc trung gian nào đó thì khi viết ta để trống một

khoảng ứng với bậc khuyết đó.

Ví dụ 1. (Bài 67, trang 31 SGK)

Sắp xếp các đa thức sau rồi làm phép chia :

( )

73 : 3xx xx− +− −

( ) ( )

432 2

23326: 2x x x xx− − −+ −

Giải

7 +3

2 7 +3

xx x

−−

−

Vậy

( )

32 2

73 : 3 21xx xx xx− +− − = + −

432

23362

xxxx

− − +−

−

2x −

2 31xx−+

3 62

xx x

− + +−

−

−+

−

Vậy :

432 2 2

(23362):(2)231xxxx x xx− − +− −= −+

Ví dụ 2. ( Bài 69, trang 31 SGK)

Cho hai đa thức

43 2

3 6 5, B=x 1Axx x= ++− +

. Hãy chia

cho

rồi viết

dưới dạng

.A BQ R= +

Giải

Thực hiện chia A cho B.

3 65

3x + 3x

xx x+ +−

−

1x +

33xx+−

3 65xxx

− +−

−

3 55

− +−

−

−−

52x−+

Vậy:

43 2 2

3 6 5 ( 1)(3 3) 5 2xx x x xx x+ + −= + +− + −

Ví dụ 3. ( Bài 70, trang 32 SGK)

Làm tính chia:

32 2 22 2

(15 6 3 ) : 6xy xy xy xy−−

54 22

(25 5 10 ):5xx xx−+

Giải

32 2 22 2

(15 6 3 ) : 6 1

xy xy xy xy xy y− − = −−

5 4 2 2 32

(25 5 10 ):5 5 2x x x x xx− + = −+

Ví dụ 4. ( Bài 72, trang 32 SGK)

Làm tính chia:

43 2 2

(2 3 5 2) : ( 1).xx x x xx+ − + − −+

Giải

43 2

432

2 3 52

222

xxxx

xxx

+ − +−

−

−+

1xx−+

2 32xx+−

3 5 52

333

xxx

− +−

−

−+

2 22

− +−

−

− +−

Dạng 2: TÍNH NHANH

Phương pháp giải

Sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ.

Ví dụ 5. ( Bài 68, trang 31 SGK). Tính nhanh:

( 2 ):( );x xy y x y++ +

3 22

(125 1):(5 1); c) (x 2 ): ( )x x xy y y x+ + −+ −

Giải

22 2

(2 ):()():()x xyy xy xy xy xy+ + +=+ +=+

(125 1):(5 1) 25 5 1x x xx+ += + +

22 2

(x 2 ):( ) (y x) :( )xyy yx yx yx− + −=− −=−

Ví dụ 6. ( Bài 71, trang 32 SGK)

Không thực hiện phép chia, hãy xét xem đa thức A có chia hết cho đa thức B

không.

4 32 2

15 8 ; B= .

A x xx x= −+

2 1; B=1-x.Ax x=−+

Giải

chia hết cho

vì

15 ,8xx

và

đều chia hết cho

chia hết cho

vì

( )

1= −Ax

Ví dụ 7. (Bài 73, trang 32). Tính nhanh:

( )

4 9 :2 3−−x y xy

( )

27 1 : 3 1−−xx

( ) ( )

8 1:4 2 1+ −+x xx

( )

3 3:−+− +x x xy y x y

Giải

( )

( ) ( )( ) ( )

4 9 :23 2323:23 23− −=− + −=+x y xy xyxy xy xy

( )

27 1 : 3 1 9 3 1− −= + +x x xx

( ) ( )

8 1:4 2121+ − += +x xx x

( ) ( ) ( )( )

33 3 3 3−+ − = −+ −= + −x x xy y x x y x x y x

Do đó:

( )

3 3: 3−+− +=−x x xy y x y x

Dạng 3. ÁP DỤNG ĐỊNH LÍ BÉZOUT ĐỂ PHÂN TÍCH ĐA THỨC RA THỪA SỐ

Phương pháp giải.

• Định lí Bézout.

Dư trong phép chia đa thức

( )

cho

−xa

là

( )

(

( )

là giá trị của đa thức

( )

tại

=xa

• Hệ quả.

- Nếu

( )

chia hết cho

−xa

thì

( )

0=fa

- Nếu

( )

0=fa

thì

( )

chia hết cho

−xa

Chứng minh: Lấy

( )

chia cho

−xa

được dư là

. Ta có:

( ) ( ) ( )

=−+f x x aqx

. (1)

Thay

=xa

vào (1) ta được:

( )

=fa

. Vậy

( )

là dư trong phép chia

( )

cho

−xa

Ví dụ 8. (Bài 74, trang 32 SGK)

Tìm số

để đa thức

( )

23= − ++fx x x xa

chia hết cho đa thức

2+x

Giải

( )

chia hết cho

2+x

khi

( )

20−=f

tức là khi:

( ) ( ) ( )

2. 2 3. 2 2 0 30− − − +− + = ⇒ =aa

Ví dụ 9. Cho đa thức

( )

3 7 44= − +−fxxxx

. Chứng minh rằng

( )

chia hết cho

2−x

Tìm thương trong phép chia

( )

cho

2−x

. Từ đó hãy phân tích đa thức

3 7 44− +−xxx

ra thừa số.

Giải

Thay

2=x

vào

( )

ta được:

( )

2 3.2 7.2 4.2 4 0.= − + −=f

Vậy

( )

chia hết cho

2−x

Thực hiện phép chia đa thức

( )

cho

2−x

ta được thương là

( )

3 2.= −+qx x x

Vậy :

( )

32 2

3 7 4 4 2 3 2.− + −= − −+x x x x xx

Dạng 4. TÌM SỐ NGUYÊN n ĐỂ BIỂU THỨC

( )

CHIA HẾT CHO BIỂU THỨC

( )

Phương pháp giải.

• Thực hiện phép chia đa thức

( )

cho

( )

.Bn

• Giả sử:

( )

.= +

An Rn

Bn Bn

Xác định

để

( )

là số nguyên.

Ví dụ 10. Tìm tất cả các giá trị nguyên của

để

2 33++nn

chia hết cho

2 1.−n

Giải

Thực hiện phép chia

2 33++nn

cho

21−n

ta được:

2 33 5

21 21

=++

−−

Để

2 33

−

là số nguyên thì

21−n

phải là số nguyên. Suy ra

21−n

là ước của 5. Ước của

5 bao gồm các số

1±

5±

Với

21 1−=−n

ta có

0=n

Với

2 11−=n

ta có

1=n

Với

21 5−=−n

ta có

2= −n

Với

21 1−=−n

ta có

0=n

Với

2 15n −=

ta có

3n =

Vậy với

0;1; -2; 3n =

thì

2 33nn++

chia hết cho

21n −

Tóm lại

( )

43 2

3 4 1 13 21xx x xx− += − + +

• Tìm các nghiệm của đa thức với một biến nào đó đã cho.

• Áp dụng Định lý Bézout (dạng 3).

Để tìm dư trong phép chia

( )

cho

−

và tìm đa thức thương

( )

ta dùng các

cách sau:

+ Thay một giá trị đặc biệt của

gọi là phương pháp xét giá trị riêng.

+ Thực hiện phép chia đa thức

( )

cho

( )

+ Dùng sơ đồ Horner để tính các hệ số của đa thức thương và dư như sau:

Giả sử:

( )

1 10

...

f x ax a x ax a

−

= + ++ +

;

( )

1 21

x ...

q x bx b bx b

−−

−

= + ++ +

Các hệ số của

được tính như sau :

−

...

−

1nn

−

= +

−

12nn

−−

= +

...

= +

Dư là

λα

= +

Chẳng hạn, phân tích

( )

341fx x x=−+

thành nhân tử. Ta có

1x =

là nghiệm của

đa thức

( )

vì

( )

10f =

nên

( )

chia cho

1x −

. Thực hiện phép chia đa thức

( )

cho

1x −

ta được thương

( )

31qx x x x= − −−

hoặc dùng sơ đồ Horner như

4−

1−

Vậy

( ) ( )

( )

13 1fx x x x x= − − −−

Ta lại có

( )

10q =

với

( )

31qx x x x= − −−

nên

( ) ( )

( )

13 2 1qx x x x=− ++

1−

Dạng 5. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP XÉT GIÁ

TRỊ RIÊNG

Phương pháp giải

Ví dụ 11. Phân tích thành nhân tử các đa thức sau bằng phương pháp xét giá trị riêng.

( ) ( ) ( )

)a P ab a b bc b c ca c a= −+ −+ −

;

( ) ( ) ( )

22 22 22

) Q=ab bc bca cab−+ −+ −

;

Giải

Nếu thay

bởi

thì

( ) ( ) ( )

0P b b b bc b c cb c b= −+ −+ −=

nên

chia hết cho

ab−

. Vì

vai trò của

,,abc

như nhau trong đa thức nên

chia hết cho

( )( )( )

abbcca−−−

. Trong

phép chia đó, đa thức bị chia

có bậc ba đối với các biến, đa thức chia

( )( )( )

abbcca−−−

cũng có bậc ba đối với các biến nên thương là hằng số

. Trong hằng đẳng thức :

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

abab bcbc caca kabbcca−+ −+ − = − − −

Ta cho các biến nhận các giá trị riêng

2, b=1, c=0a =

ta được:

( )

2.1.1 0 0 .1.1. 2 1kk++= − ⇒ =−

Vậy

( )( )( )

P abbcac=−−−

Tương tự

( )( )( )

Q abbcca=−−−

Ví dụ 12. Phân tích đa thức

333

3a b c abc++−

thành nhân tử.

Giải

Cách 1. Xem

( )

3 33

3f x a abc b c=− ++

là đa thức bậc ba đối với

. Ta có:

( ) ( ) ( )

30f bc bc bcbcb c−− =− + + + + + =

( )

chia hết cho

abc++

. Thực hiện phép chia đa thức

( )

cho

abc++

hoặc dùng sơ

đồ horner để tìm đa thức dương:

3bc−

bc+

bc−−

b c bc+−

Đa thức thương

( ) ( )

2 22

qx a bcab c bc= −+ ++−

Vậy:

( ) ( ) ( )

2 22

fa abca bcab c bc



= ++ − + + + −



Hay:

( )

333 222

3a b c abc a b c a b c ab bc ca+ + − = ++ + + − − −

Cách 2. Thay

bởi

bc−−

thì đa thức có giá trị là

nên

333

3P a b c abc=++−

chia hết cho

abc++

P có bậc ba đối với các biến,

abc++

và có bậc một nên thương là đa thức bậc hai đối với

các biến và

,b,ca

có vai trò như nhau nên thương có dạng

( )

222

k a b c l ab bc ca++ + ++

với

.kl

là hằng số. Ta có hẳng đẳng thức:

333 222

3 ( )[ ( ) ( )]a b c abc a b c k a b c l ab bc ca+ + − = ++ + + + + +

Thay

1, 0a bc= = =

ta được

1k =

Thay

1, 0ab b= = =

ta được :

2 2(2 )l= +

suy ra

1l = −

Vậy :

333 222

3 ( )( )a b c abc a b c a b c ab bc ca+ + − = ++ + + − − −

Dạng 6. TÌM CÁC HỆ SỐ ĐỂ ĐA THỨC f(x) CHIA HẾT CHO g(x)

Phương pháp giải

Ví dụ 13. Xác định các hệ số a và b để đa thức

()f x x ax b=++

chia hết cho

() 3 2gx x x=−+

Tìm đa thức thương.

Giải

Cách 1. Phân tích

()gx

thành nhân tử:

( ) 2 2 ( 1) 2( 1) ( 1)( 2)gx x x x xx x x x= −− += −− − = − −

Nếu

()fx

chia hết cho

()gx

thì

()fx

chia hết cho

1x −

và chia hết cho

2x −

. Theo

định lí Bezout ta có:

(1) 0f =

và

(2) 0f =

.Thay

1; 2xx= =

vào

()fx

ta được :

10ab++=

và

16 4 0ab+ +=

. Từ đó suy ra

5, 4ab=−=

• Đa thức f(x) gọi là chia hết cho đa thức g(x) nếu có đa thức q(x) sao cho .

Chẳng hạn : chia hết cho vì

• Để xác định các hệ số của đa thức sao cho f(x) chia hết cho g(x) ta sử dụng một trong các

phương pháp :

+ Định lí Bezout : ‘’ Nếu f(x) chia hết cho thì ‘’.

+ Thực hiện phép chia đa thức tìm đa thức dư :

, sau đó cho

+ Dùng đồng nhất .

Thực hiện phép chia đa thức

() 5 4fx x x=−+

cho đa thức

32xx−+

ta được

thương

() 3 2qx x x=++

Cách 2. Lấy đa thức

()fx

chia cho đa thức

()gx

được đa thức dư

( ) (3 15) 2 14rx a x b a= + +− −

và đa thức thương

() 3 7qx x x a= + ++

43 2

3 ( 2)

3 96

( 7) 6

( 7) 3( 7) 2( 7)

(3 15) 2 14

x ax b

x xa

xx x

x ax b

x xx

ax x b

ax ax a

a xb a

−+

+ ++

−+

+− +

−+

+− +

+ −+ ++

+ +− −

Để

()fx

chia hết cho

()gx

thì dư

( ) (3 15) 2 14rx a x b a= + +− −

phải đồng nhất bằng 0

tức là :

3 15 0a +=

và

2 14 0ba−−=

.Suy ra

5, 4ab=−=

. Khi đó đa thức thương

() 3 2qx x x=++

Cách 3. Giả sử đa thức thương

()q x x cx d=++

. Ta có đồng nhất hai đa thức:

42 2 2

( 3 2)( )x ax b x x x cx d+ +≡ − + + +

Thực hiện phép nhân đa thức ở vế phải ta được:

42 4 3 2

( 3) ( 2 3 ) (2 3 ) 2x ax b x c x d c x c d x d− += + − + +− + − +

Từ đó suy ra :

3 0, 2 3 ,2 3 0, 2c d cac d b d−= +− = − = =

.Hay

3, 2, 5, 4cda b= = =−=

Vậy với

5, 4ab=−=

thì

()fx

chia hết cho

()gx

và đa thức thương

() 3 2qx x x=++

Dạng 7. TÌM DƯ TRONG PHÉP CHIA ĐA THỨC

Phương pháp giải

Ví dụ 14. Tìm dư trong phép chia đa thức :

2 4 6 100

( ) 1 .....fx xxx x=++++ +

cho

1x +

;

5 32

( ) 2 70 4 1fx x x x x= − + −+

cho

6x −

;

Giải

• Dư trong phép chia đa thức cho là đa thức với bậc của nhỏ hơn bậc của

(bậc < bậc ).

• Dư trong phép chia cho là . Để tính ta dùng sơ đồ Horner (xem dạng 5).

Thật vậy, giả sử : Với ta có: .

a) Dư trong phép chia

( )

cho

1x +

là

( )

1 51f −=

b) Dư trong phép chia

( )

cho

6x −

là

( )

6 571f =

70−

1−

571

Ví dụ 15. Tìm dư trong phép chia đa thức

( )

1fx x x= ++

cho đa thức

( )

gx x x= −

Giải

Cách 1. Thực hiện phép chia đa thức

( )

cho

( )

ta được:

53 2

x x xx

xx x

++ −

−

−+

−

Do đó:

( )( )

5 32

1 121x x x xx x++= − + + +

. Vậy dư cần tìm là

21x +

Cách 2. Giả sử

( )

( ) ( )

f x x xqx rx=−+

. Vì bậc của

( )

là

nên bậc của

( )

không

quá

Đặt

( )

r x ax bx c= ++

, ta có:

( )( ) ( )

1 11x x x x x q x ax bx c++= − + + + +

(1)

Lần lượt thay

0, 1, 1x = −

vào (1) ta được:

1, 3, 1c abc abc=− −+= ++=−

Suy ra

0, 2, 1abc= = =

. Vậy dư cần tìm là

21x +

Ví dụ 16. Cho đa thức

( )

, các phần dư trong các phép chia

( )

cho

và cho

1x −

lần

lượt là

và

. Hãy tìm phần dư trong phép chia

( )

cho

( )

1xx−

Giải

Theo Định lí Bézout ta có

( )

01f =

và

( )

12f =

. Vì

( )

1xx−

có bậc hai nên dư trong phép

chia

( )

cho

( )

1xx−

có bậc không quá

. Giả sử dư là

( )

r x ax b= +

ta có:

( ) ( ) ( )

1f x x x q x ax b= − ++

(1)

Thay

0x =

vào (1) ta được :

( )

01fb= =

Thay

1x =

vào (1) ta được:

( )

12f ab=+=

Từ đó suy ra

1ab= =

. Vậy dư cần tìm là

1x +

C. LUYỆN TẬP

1. (Dạng 1). Sắp xếp các đa thức rồi làm phép chia:

( ) ( )

6 5 4 32 2

6 2 2 15 7 2 : 3 1 ;x x x xx x xx+ − − ++− + −

( ) ( )

243 2

17 6 5 23 7 : 7 3 2 ;xxx x xx−+−+ −−

2. (Dạng 2). Làm tính chia:

( ) ( )

34 24 3 2

15 10 5 : 5 ;x y x y xy xy−+ −

( )( )

( )

7 2 5 2 5 2 14 3 : 3 .xyxy x y y



− +− − −



3. (Dạng 2). Thực hiện phép chia đa thức sau đây bằng cách phân tích đa thức bị chia

thành nhân tử:

( ) ( )

532 3

1: 1;xxx x+++ +

( )

5 6: 3;xx x++ +

( )

12 : 2 .xx x+− −

4. (Dạng 3). Xác định

để đa thức

3x xa−+

chia hết cho

( )

1.x −

5. (Dạng 4). Tìm tất cả số nguyên

để

27nn+−

chia hết cho

2.n −

6. (Dạng 5). Dùng sơ đồ Horner hãy phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

7 6;xx−−

4 7 10;xxx+ −−

6 11 6;xx x−+−

19 30.xx−−

7. (Dạng 5). Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp xét giá trị riêng:

( )

333

;abc a b c++ − − −

( ) ( ) ( )

333

;abc bca cab−+ −+ −

( )

555

;abc a b c++ − − −

22 22 22 4 4 4

222 .ab bc ca a b c+ + −−−

8. (Dạng 6). Xác định

,ab

để đa thức

( )

4 32

3f x x x x ax b=− +++

chia hết cho đa thức

( )

3 2.gx x x=−+

9. (Dạng 6). Xác định

để đa thức

3 33

x y z mxyz+++

chia hết cho đa thức

xyz++

10. (Dạng 7). Xác định

,ab

để đa thức

10 3

()f x x ax b=++

chia hết cho

1x −

có dư là

21x +

11. (Dạng 7). Tìm dư trong phép chia:

( ) 2 3 ... ( 1)

f x x x x nx=− + − + +−

cho

1x +

;

100 50 25

() 2 4fx x x x= −+ −

cho

1x −

12. (Dạng 7). Xác định

,ab

để đa thức

2x ax b++

chia cho

1x +

dư

6−

, chia cho

2x −

dư

ÔN TẬP CHƯƠNG I

A. BÀI TẬP ÔN TRONG SGK

75. Làm tính nhân:

5 .(3 7 2)xx x−+

; b)

.(2 3 )

xy x y xy y−+

Giải

22 4 3 2

5 (3 7 2) 15 35 10xx x x x x−+= − +

;

2 232223

2 42

.(2 3 ) 2

3 33

xy x y xy y x y x y xy−+= − +

76. Làm tính nhân:

(2 3 )(5 2 1)x xx x− −+

( 2 )(3 5 )x y xy y x− ++

Giải

2 2 432 32

(2 3 )(5 2 1) 10 4 2 15 6 3xxxx xxx xxx− − += − + − + −

4 32

10 19 8 3x xxx= − +−

2 2 22 2 3 2 22 3

( 2 )(3 5 ) 3 5 6 10 2 3 10 2x y xy y x x y xy x xy y xy x y xy x y xy− + += + +− − − = − +− −

77. Tính nhanh giá trị các biểu thức sau:

44M x y xy=+−

tại

18x =

và

4y =

;

2 2 23

8 12 6N x x y xy y=− +−

tại

6x =

và

8y = −

Giải

a) Ta có

( 2)Mxy= −

. Với

18x =

và

4y =

thì:

(18 2.4) 10 100M =−==

(2 ) .N xy= −

Với

6x =

và

8y = −

thì:

(2.6 8) 8000N = +=

78. Rút gọn các biểu thức sau:

( 2)( 2) ( 3)( 1)xx xx+ −−− +

;

(2 1) (3 1) 2(2 1)(3 1)x x xx++ −+ + −

Giải

a) Ta có

( 2)( 2) ( 3)( 1) 4 ( 2 3 3)xx xx x x x+ − − − + = −− +− −

4 33x xxx= −− −+ +

21x= −

22 2

(2 1) (3 1) 2(2 1)(3 1) [(2 1) (3 1)]x x xx x x++−+ + −= ++−

(5 ) 25xx= =

79. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

4 ( 2)xx−+ −

32 2

2x x x xy− +−

4 12 27xx x−−+

Giải

22 2

4 ( 2) ( 2)( 2) ( 2)x x xx x−+− =− ++−

( 2)[( 2) ( 2)] 2 ( 2)x x x xx=− ++− = −

32 2 2 2

2 ( 2 1) )x x x xy x x x xy−+−= −+−

[( 1) ]xx y= −−

(1)(1)xx y x y= −− −+

32 3

4 12 27 ( 27) 4( 3)xx x x x−−+=+−+

( 3)( 3 9) 4( 3)x xx x=+ − +− +

( 3)( 3 5)x xx=+ −+

80. Làm tính chia:

(6 7 2) : (2 1)x xx x− −+ +

432 2

( 3 ) : ( 2 3)xxx xx x−++ −+

( 6 9) : ( 3)x y x xy− + + ++

Giải

Vậy

32 2

(6 7 2) : (2 1) 3 5 2x xx x x x− −+ + = − +

Vậy:

432 2 2

( 3 ) : ( 2 3)xxx xx x xx−++ − +=+

22 2 2 22

69( 69) (3)xy x x x y x y−++= ++−=+ −

(3)(3)x yx y= +− ++

Do đó:

( 69):( 3)(3)(3)x y x x y x yx y− + + + + = +− ++

81. Tìm

, biết:

( 4) 0

xx −=

( 2) ( 2)( 2) 0x xx+ −− +=

22 2 0x xx+ +=

67 2x xx− −+

21x +

63xx+

3 52xx−+

10 2xx− −+

10 5xx−−

42x +

432

3xxx x−++

23xx−+

432

23xxx−+

xx+

23xxx−+

Giải

a) Ta có:

( 4) ( 2)( 2)

xx xx x−= − +

. Do đó:

( 2)( 2) 0

xx x− +=

khi

0x =

2x =

hoặc

2x = −

( 2) ( 2)( 2) ( 2)( 2 2) 4( 2)x xx xx x x+ − − + = + +−+ = +

Vậy

4( 2) 0x +=

khi

2x = −

(1 2 2 2 ) 0x xx+ +=

hay

(1 2 2 ) 0xx+=

Vậy

0x =

x = −

82. Chứng minh rằng:

2 10x xy y− + +>

với mọi

;

10xx− −<

với mọi

Giải

a) Ta có

22 2

2 1( ) 1x xy y x y− + += − +

. Vì

( )0xy−≥

nên

( ) 10xy− +≥

với mọi

22 2

11 3

1 ( ) 1 2. .

24 4

xx x x x x





− −=− − −=− − + +













=− − −<









với mọi

83. Tìm

n∈

để

22nn−+

chia hết cho

21n +

Giải

Ta có:

2 2 (2 1)( 1) 3nn n n−+= + − +

22nn−+

chia hết cho khi

21n +

là ước của 3.

Ước của 3 bao gồm

1±

3±

Từ đó tìm được

{ 1; 0;1; 2}n∈− −

B. BÀI TẬP BỔ SUNG

1. Phân tích các đa thức sau đây thành nhân tử:

76aa−−

;

4 7 10aaa+ −−

;

222

( ) ( ) ( )4a b c b c a c a b abc+++++−

;

22 2

( ) 4( ) 12aa aa+ + +−

;

( 1)( 2) 12xx xx++ ++ −

;

1xx++

;

10 5

1xx++

;

3 2 3 23 2

( ) ( ) ( ) ( 1)x z y y x z z y x xyz xyz−+ −+ −+ −

;

3333

( )( )( )( )xyz xyz yzx zxy++ − +− − +− − +−

2. Cho

 ,,abc

thỏa điều kiện

1ab ac bc++=

. Chứng minh rằng

222

(1 )(1 )(1 )abc+++

là bình phương của một số hữu tỉ.

3. a) Phân tích thành nhân tử

3 33

3x y z xyz++−

;

b) Chứng minh rằng nếu

x yz z−=

y zx b−=

z xy c−=

(, , )xyz∈

thì

ax by cz++

chia hết cho

abc++

4. Tìm các cặp số

( ; ); ,xy xy∈

thỏa mãn đẳng thức:

x y xy+=

522 2xy y x−−=−

5. Xác định

sao cho

(10 7 )x xa−+

chia hết cho

(2 3)x −

6. Tính giá trị của biểu thức

3x xy y++

biết

1xy+=

Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/59

| | Tải xuống

Preview text:

CHƯƠNG I PHÉP NHÂN VÀ CHIA CÁC ĐA THỨC
§1. NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC
§2. NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa
thức rồi cộng các tích với nhau.
Nếu kí hiệu các đơn thức bởi các chữ A, B, C, D, … thì có thể viết gọn quy tắc trên như sau: .
A ( B + C ) = . A B + . A C
2. Phép nhân đơn thức với đa thức tương tự như phép nhân của một số với một tổng và
chú ý đến dấu của từng đơn thức tham gia phép toán để đặt dấu “+” hoặc “ – ” cho thích hợp: .
A ( B + C − D) = . A B + . A C − . A D Ví dụ: 2 x ( 2 x − x + ) 4 3 2 3 . 4
1 = 12x − 3x + 3x
3. Muốn nhân một đa thức với một đa thức ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng
hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau:
( A+ B)(C + D) = AC + AD + BC + BD
4. Phép nhân hai đa thức là tổng các kết quả nhân từng đơn thức của đa thức này với đa thức kia.
( A+ B)(C + D − E) = .A(C + D − E)+ B(C + D − E)
= AC + AD − AE + BC + BD − BE Ví dụ:
(2x + )1( 3x −2x − )1 = 2x( 3x −2x − )1+1( 3x −2x − )1 4 2 3
= 2x − 4x − 2x + x − 2x −1 4 3 2
= 2x + x − 4x − 4x −1 B. CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1. LÀM TÍNH NHÂN Phương pháp giải
Áp dụng các quy tắc nhân đơn thức với đa thức và nhân đa thức với đa thức .
A ( B + C ) = . A B + . A C
( A+ B)(C + D) = AC + AD + BC + B . D
Chú ý các phép tính về lũy thừa n a . m n+ a = m a ; (a )m n = nm a ; 0 a = 1(a ≠ 0).
Ví dụ 1. (Bài 1, trang 5 SGK) Làm tính nhân : a)  1  2  1  2 3 x 5x − x − ;   b) ( 2
3xy − x + y ) 2 x y; c) ( 3
4x − 5xy + 2x). − xy .    2  3  2  Giải
Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức, ta có: a)  1  1 1 2 3 2 3 2 2 5 3 2 x 5x − x −
= x .5x − x .x − x . = 5x − x − x ;    2  2 2 b) ( 2 2 2 2 2 2 2
3xy − x + y) 2 2 2 2 2 3 2 4 2 2 x y = 3x . y
x y − x . x y + . y x y = 2x y − x y + x y ; 3 3 3 3 3 3 c) (  1  5 3
4x − 5xy + 2x) 4 2 2 2 . − xy = 2
− x y + x y − x .   y  2  2
Ví dụ 2. (Bài 7, trang 8 SGK) Làm tính nhân : a) ( 2 x − 2x + ) 1 ( x − ) 1 ; b) ( 3 2
x − 2x + x − ) 1 (5 − x).
Từ câu b) hãy suy ra kết quả của phép nhân ( 3 2
x − 2x + x + ) 1 ( x − 5) . Giải:
a)Thực hiện phép nhân đa thức với đa thức ta có:
( 2x − x+ )(x− ) 2 2 1 1 = x ( x − )
1 − 2x ( x − ) 1 +1.( x − ) 1 3 2 2 3 2
= x − x − 2x + 2x + x −1 = x − 3x + 3x −1 b) ( 3 2
x − x + x − )( − x) 3 = x ( − x) 2 2 1 5 5
− 2x (5 − x) + x(5 − x) −1.(5 − x) 3 4 2 3 2
= 5x − x −10x + 2x + 5x − x − 5 + x 4 3 2
= −x + 7x −11x + 6x − 5 .
Vì x − 5 = −(5 − x) nên : ( 3 2
x − x + x − )( x − ) = −( 3 2 2 1 5
x − 2x + x − ) 1 (5 − x) = −( 4 3 2
−x + 7x −11x + 6x − 5) 4 3 2
= x − 7x +11x − 6x + 5.
Ví dụ 3. ( Bài 8, trang 8 SGK) Làm tính nhân : a) 2 2 1  x y −
xy + 2 y (x − 2 y)   ; b) ( 2 2
x − xy + y )(x + y) .  2  Giải: a) 2 2 1  3 2 2 3 1 2 2 2 x y −
xy + 2 y (x − 2 y) = x y − 2x y −
x y + xy + 2xy − 4 y   .  2  2 b)( 2 2
x − xy + y ) 3 2 2 2 2 3 3 3
(x + y) = x + x y − x y − xy + y x + y = x + y .
Ví dụ 4. ( Bài 10, trang 8 SGK) Thực hiện phép tính: a) ( 2   x − x + ) 1 2 3 x − 5   ; b)( 2 2
x − 2xy + y )(x − y) .  2  Giải: a)Ta có ( 2   x − x + ) 1 1 3 2 2 3 2 3 x − 5 =
x − 5x − x +10x + x −15    2  2 2 1 3 2 23 = x − 6x + x −15 . 2 2 b) ( 2 2
x − xy + y ) 3 2 2 2 2 3 2
(x − y) = x − x y − 2x y + 2xy + y x − y 3 2 2 3
= x − 3x y + 3xy − y .
Ví dụ 5. (Bài 15, trang 9 SGK) Làm tính nhân : a) 1  1     x + y x + y    ; b) 1 1 x − y x − y    .  2  2   2  2  Giải: a)  1  1  1 2 1 1 2 1 2 2 x + y x + y = x + xy + yx + y =
x + xy + y    .  2  2  4 2 2 4 b)  1  1  2 1 1 1 2 2 1 2 x − y x − y = x − xy − yx +
y = x − xy + y    .  2  2  2 2 4 4
DẠNG 2. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC Phương pháp giải
* Dựa vào quy tắc nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức ta rút gọn biểu thức.
* Thay các giá trị của biến vào biểu thức đá rút giọn.
Ví dụ 6. (Bài 2, trang 5 SGK)
Thực hiện phép nhân rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:
a) x(x − y) + y(x + y) tai x = 6 − và y = 8 . b) x( 2 x − y) 2
− x x + y + y ( 2 x − x) 1 ( ) tai x = và y = 1 − 00 . 2 Giải:
a)Trước hết ta rút gọn biểu thức: 2 2 2 2
x(x − y) + y(x + y) = x − xy + yx + y = x + y . . Thay giá trị x = 6;
− y = 8 vào biểu thức đã rút gọn ta được: 2 2 2 2 x + y = ( 6) − + 8 = 36 + 64 =100 . b) ( 2 x − y) 2
− x x + y + y ( 2 x − x) 3 3 2 2 ( )
= x − xy − x − x y + yx − yx = 2 − xy . Thay giá trị 1 x = , y = 100 −
vào biểu thức đã rút gọn ta được: 2 1 2 − xy = 2 − ⋅ ⋅( 100) − =100 . 2
Ví dụ 7. (Bài 6 , trang 6 SGK )
Điền dấu x vào ô mà em cho là đáp số đúng.
Giá trị của biểu thức 3
ax(x − y) + y (x + y) tại x = 1
− và y =1 ( a là hằng số) là: a −a + 2 2a − 2a Giải Ta có: 3 2 3 4
ax(x − y) + y (x + y) = ax − axy + xy + y . Thay x = 1
− và y =1 vào ta được: 2 3 4 a( 1) − − a( 1) − (1) + ( 1)
− ⋅1 +1 = a + a −1+1 = 2a . a −a + 2 2a − 2a x
Ví dụ 8. (Bài 9, trang 8 SGK )
Điền kết quả tính được vào bảng:
Giá trị của x và y
Giá trị của biểu thức x − y ( 2 2 (
) x + xy + y ) 5 x = 1 − 0; y = 2 x = 1 − ; y = 0 x = 2; y = 1 − x = 0 − ,5; y =1,25 (trường hợp này có thể dùng máy tính bỏ túi để tính Lời giải
Rút gọn biểu thức ta được x − y ( 2 2
x + xy + y ) 3 2 2 2 2 3 3 3 ( )
− x + x y + xy − yx − xy − y = x − y . Ta có kết quả sau:
Giá trị của x và y
Giá trị của biểu thức 3 3 x − y x = 1 − 0; y = 2 1008 − x = 1 − ; y = 0 1 − x = 2; y = 1 − 9 x = 0 − ,5; y =1,25 2 − ,078125 (trường hợp này có thể dùng máy tính bỏ túi để tính
Ví dụ 9. (Bài12 , trang 8 SGK )
Tính giá trị của biểu thức ( 2
x − ) x + + x + ( 2 5 ( 3) (
4) x − x ) trong mỗi trường hợp sau: a) x = 0 b) x =15 c) x = 15 − d) x = 0, − 15. Lời giải
Rút gọn biểu thức ta được:
( 2x −5)(x+3)+(x+4)( 2 x − x ) 3 2 2 3 2
= x + 3x − 5x −15 + x − x + 4x − 4x = −x −15
Kết quả được tính theo bảng sau Giá trị của x
Giá trị của biểu thức −x −15 x = 0 15 − x = 15 30 − x = 15 − 0 x = 0, − 15 15 − ,15
Dạng 3. RÚT GỌN BIỂU THỨC Phương pháp giải
Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức rồi rút gọn biểu thức. Ví dụ 10. (Bài 5, trang 6 SGK ) Rút gọn biểu thức:
a) x(x − y + y(x − y)) b) n 1
x − ( x y) y ( n 1− n 1 x y − + − + ) Giải
a) x(x − y) + y(x − y) 2 2 2 2
= x − xy + ? − x = x − y
b) n 1−( + ) − ( n 1− n 1 − + ) n n 1− n 1 − n n n x x y y x y
= x + x y − − yx − y = x − y .
Dạng 4. TÌM x THỎA MÃN ĐẲNG THỨC CHO TRƯỚC Phương pháp giải
• Thực hiện phép nhân đa thức, biến đổi và rút gọn để đưa đẳng thức đã cho về dạng ax = b . • Tìm được b x = ( nếu a ≠ 0 ) a
Ví dụ 11. ( Bài 3, trang 5 SGK) Tìm x , biết
a) 3x(12x − 4) −9x(4x −3) = 30
b) x(5− 2x) + 2x(x − ) 1 = 15 Giải
a) Rút gọn biểu thức ở vế trái ta có x (
x − ) − x( x − ) 2 2 3 12 4 9 4
3 = 36x −12x − 36x + 27x = 15x
Đẳng thức đã cho trở thành: 15x = 30 . Vậy 15 x = = 5. 3
Ví dụ 12. (Bài 3, trang 9 SGK)
Tìm x , biết (12x −5)(4x − )
1 + (3x − 7)(1−16x) = 81 Giải
Thực hiện phép tính ở vế trái, ta có
(12x −5)(4x − )
1 + (3x − 7)(1−16x) 2 2
48x −12x − 20x + 5 + 3x − 48x − 7 +112x = 83x − 2
Đẳng thức đã cho trở thành: 83x − 2 = 81, tức là 83x = 83 hay x =1.
Dạng 5. CHỨNG MINH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO GIÁ TRỊ CỦA BIẾN Phương pháp giải
• Ta biến đổi biểu thức đã cho thành một biểu thức không còn chứa biến x .
• Để kiểm tra kết quả tìm được ta thử thay một giá trị của biến (chẳng hạn x = 0 ) vào
biểu thức rồi so sánh kết quả.
Ví dụ 13. (Bài 11, trang 8 SGK)
Chứng minh rằng giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến
(x −5)(2x +3) − 2x(x −3) + x + 7 Giải
Thực hiện phép nhân đa thức và rút gọn ta được
(x −5)(2x +3) − 2x(x −3) + x + 7 2 2
= 2x + 3x −10x −15 − 2x + 6x + x + 7 = 8 −
Giá trị biểu thức trên luôn bằng 8
− với mọi giá trị của biến x . Vậy giá trị biểu thức đã cho
không phụ thuộc vào giá trị của biến x .
Chú ý: Nếu thay x = 0 vào biểu thức đã cho ta được 5.3 − + 7 = 8 −
Dạng 6. GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH ĐẶT ẨN x Phương pháp giải
• Chọn ẩn x và xác định điều kiện cho ẩn.
• Dựa vào đề bài để tìm đẳng thức có chứa x .
• Giải tìm x và chọn kết quả thích hợp.
Ví dụ 14. (Bài 14, trang 9 SGK)
Tìm 3 số tự nhiên chẵn liên tiếp, biết tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số đầu là 192. Giải
Gọi x, x + 2, x + 4 là ba số chẵn liên tiếp phải tìm ( x là số tự nhiên chẵn)
Tích hai số đầu là: x(x + 2)
Tích hai số sau là: (x + 2)(x + 4) .
Theo đề bài ta có (x + 2)(x + 4) − x(x + 2) = 192
Rút gọn vế trái của đẳng thức ta được: 2 2
(x + 2)(x + 4) − x(x + 2) = x + 4x + 2x + 8 − x − 2x = 4x + 8
Khi đó ta có: 4x + 8 = 192 ⇒ 4x = 184 ⇒ x = 46
Vậy ba số chẵn liên tiếp cần tìm là 46, 48, 50
Ví dụ 15. (Bài 4 trang 5 SGK)
Đố đoán tuổi. Bạn hãy lấy tuổi của mình: - Cộng thêm 5 -
Được bao nhiêu đem nhân với 2 -
Lấy kết quả vừa tìm được cộng với 10 -
Nhân kết quả vừa tìm được với 5 -
Đọc kết quả cuối cùng sau khi đã trừ cho 100
Tôi sẽ đoán được tuổi của bạn. Giải thích tại sao ? Giải
Giả sử tuổi của bạn là x.
Lấy tuổi đó cộng thêm 5 được: x + 5
Sau đó đem nhân với 2 được: 2(x + 5) = 2x +10
Lấy kết quả trên cộng với 10: (2x + 10) + 10 = 2x + 20
Nhân kết quả vừa tìm được với 5: (2x + 20).5 = 10x + 100
Đọc kết quả cuối cùng sau khi trừ đi 100 được. (l0x +100) – 100 = 10x.
Vậy tuổi của bạn bằng kết quả đọc cuối cùng chia cho 10
Dạng 7. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC Phương pháp giải
Để chứng minh một đẳng thức ta có thể áp dụng một trong các cách sau : •
Biến đổi vế trái (VT) bằng vế phải (VP) hoặc biến đổi VP bằng VT. •
Biến đổi cả hai vế cùng bằng một biểu thức. •
Chứng minh hiệu của VT và VP bằng 0.
Ví dụ 16. Chứng minh rằng : a) ( 2 2
x − xy + y ) 3 3
(x + y) = x + y b) ( 2 2
x + xy + y ) 3 3
(x − y) = x − y Giải
a) Thực hiện phép nhân đa thức ở vế trái và rút gọn ta có : ( 2 2
x − xy + y ) 3 2 2 2 2 3 3 3
(x + y) = x + x y − x y − xy + y x + y = x + y b) ( 2 2
x + xy + y ) 3 2 2 2 2 3 3 3
(x − y) = x − x y + x y − xy + y x
− y = x − y
Ví dụ 17. Chứng minh rằng 3 3 3
x + y + z − xyz = x + y + z ( 2 2 2 3 (
) x + y + z − xy − yz − zx) Giải
Thực hiện phép nhân đa thức ở vế phải, ta có :
(x + y + z)( 2 2 2
x + y + z − xy − yz − zx) 3 2 2 2 2 2 3 2 2 2
= x + xy + xz − x y − xyz − x z + yx + y + yz − xy − y z − xyz + 2 2 3 2 2
+ zx + zy + z − xyz − yz − xz 3 3 3
= x + y + z − 3xyz Vậy: 3 3 3
x + y + z − xyz = x + y + z ( 2 2 2 3 (
) x + y + z − xy − yz − zx)
Dạng 8. ÁP DỤNG VÀO SỐ HỌC Phương pháp giải:
• Phép chia hết : Cho hai số nguyên a và b (b ≠ 0), ta nói a chia hết cho b, kí hiệu là
ab nếu có số nguyên q sao cho a = .
b q, ta còn nói b là ước c ủ a . a
• Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho . c
Ví dụ 18. Chứng minh rằng :
a) 352003 – 352004 chia hết cho 17.
b) 432004 + 432005 chia hết cho 11. c) 273 + 95 chia hết cho 4. Giải
a) Ta có: 352003 – 352004 = 352004 (35 – 1) = 34.352004 . Vì 34 = 2.17 c h ia hết cho 17 nên 34.352004 chia hết cho 17.
b) 432004 + 432005= 432004 (1 + 43) = 44.432004 . Vì 44 = 4.11 chia hết cho 11 nên 44.432004 chia hết cho 11 ).
c) 273 + 95 = 39 + 310 = 39 (1 + 3) = 4.39 chia hết cho 4.
Ví dụ 19: Chứng minh rằng (2m − 3)(3n − 2) − (3m − 2)(2n − 3) chia hết cho 5 với mọi số nguyên , m n Giải
Ta có: (2m −3)(3n − 2) −(3m − 2)(2n −3) =
= 6mn − 4m − 9n + 6 − 6mn + 9m + 4n − 6 = 5m − 5n = 5(m − n) chia hết cho 5.
Dạng 9. ĐA THỨC ĐỒNG NHẤT BẰNG NHAU Phương pháp giải
- Hai đa thức của cùng một biến số x gọi là đồng nhất bằng nhau nếu chúng luôn nhận
cùng một giá trị đối với mỗi giá trị của biến số x , kí hiệu là f (x) ≡ g (x)
Vậy f (x) ≡ g (x) khi f (x) = g (x)với mọi x
- Hai đa thức đồng nhất đồng nhất bằng nhau nếu các hệ số tương ứng của chúng bằng nhau và ngược lại.
Chẳng hạn cho f (x) 2
= a x + b x + c và g (x) 2
= a x + b x + c . Nếu f (x) ≡ g (x) thì 1 1 1 2 2 2
a = a , b = b , c = c 1 2 1 2 1 2
- Một đa thức đồng nhất bằng 0 khi đa thức đó có các hệ số đều bằng 0 và ngược lại.
Ví dụ 20. Xác định a, b, c, d thỏa một trong các đẳng thức sau với mọi giá trị của x : a) (ax + b)( 2 x + cx + ) 3 1 = x − 3x + 2 b) 4 2
x + ax + b = ( 2 x − x + )( 2 3 2
x + cx + d ) Giải
a) Thực hiện phép nhân đa thức và rút gọn vế trái ta được:
(ax +b)( 2x +cx + ) 3 2 2
1 = ax + acx + ax + bx + bcx + b 3 = + ( + ) 2 ax
ac b x + (a + bc) x + b
Vậy ta có hai đa thức đồng nhất sau: 3
ax + (ac + b) 2
x + (a + bc) 3
x + b = x − 3x + 2 Suy ra a = 1  a = 1 ac + b = 0   ⇒ b  = 2 a + bc = 3 −  c = 2 −  b  = 2
b) Biến đổi vế phải ta được:
( 2x −3x+2)( 2x +cx+d) 4 3 2 3 2 2
= x + cx + dx − 3x − 3cx − 3dx + 2x + 2cx + 2d 4
= x + (c − 3) 3
x + (d + 2 − 3c) 2
x + (2c − 3d ) x + 2d.
Vậy ta có hai đa thức đồng nhất sau: c − 3 = 0 (1) 
d + 2 − 3c = a (2) 4 2 4
x + ax + b x + (c − ) 3
x + (d + − c) 2 º 3 2 3
x + (2c − 3d ) x + 2d. Suy ra: 2c − 3d = 0 (3)  2d = b (4)
Từ (1) suy ra c = 3 , thay c = 3 vào (3) ta được d = 2 .
Từ (4) suy ra b = 4, thayc = 3 , b = 4,d = 2 vào (2) ta được a = 5. − Vậy a = 5
− ,b = 4,c = 3, d = 2.
Ví dụ 21. Cho đa thức f (x) 2 = ax + .
bx Xác định a,b để f ( x) – f ( x − )
1 = x với mọi giá trị
của x . Từ đó suy ra công thức tính tổng 1+ 2 +...+ n (với n là số nguyên dương). Giải
Ta có f (x − ) = a(x − )2 1 1 + b ( x − ) 1 = a ( x − ) 1 ( x − ) 1 + b ( x − ) 1 = a ( 2 x x + ) 2 – 2
1 + bx – b = ax + (b – 2a) x + a – b
Do đó: f (x) – f (x – )
1 = 2ax + b – . a
Vậy ta có hai đa thức dồng nhất: 2ax + b – a ≡ . x Suy ra: 2a = 1 1  ⇒ a = b = b − a = 0 2 Vậy: f (x) 1 1 2 = x + x 2 2
Trong đẳng thức f (x) – f (x – )
1 = x lần lượt thay x = 1, 2,3,..., n ta được: f ( ) 1 – f (0) = 1; f (2) – f ( ) 1 = 2;
f (3) – f (2) = 3; ......
f (n) – f (n – ) 1 = . n
Cộng các đẳng thức trên và rút gọn thì được:
f (n) – f (0) = 1+ 2 + 3 + ... + n Mà 1 1
f (0) = 0 và f (n) 2 = n + n nên: 2 2 1 1 n n +1 2 ( ) 1+ 2 + 3 + ... + n = n + n =
= 1 𝑛2 + 1 𝑛 = 𝑛(𝑛+1) 2 2 2 2 2 2 C. LUYỆN TẬP
1. (Dạng 1). Làm tính nhân: a) x( 2 2 7x – 5x – ) 1 b)( 2
x + 2xy – 3)(−xy) ; c) 3 − x y ( 2 2
2x – 3y + 5 yz ) d) ( n 1+ n x x ) 2 3 – 2 .4x .
2. (Dạng 1). Làm tính a)  m− 3 n m n  2 1 3 −5 2 3 2 3−2m 6−3 3 − + − 3 8   n x y x y y x y (  7  b) ( 2n 2n 1 − + )( 1–2n 2– 2 2 3 – 3 n x x x x )
3. (Dạng 2). Tính giá trị của các biểu thức: a) x( 2 x x + ) x ( 2 5 4 – 2 1 – 2
10x – 5x – 2) với x = 15 ;
b) 5x(x − 4y) − 4y( y −5x)với 1 1
x = − ; y = − 5 2 c) xy ( 2 xy − y ) 2 − x ( 2 x − y ) 2 + y ( 2 6 8 5 x − xy ) với 1 x = − ; y = 2 2
4. (Dạng 2). Cho các đa thức 2 A = 2
− x + 3x + 5 và 2
B = x – x + 3 . a) Tính , A B ;
b) Tính giá trị của các biểu thức , A B và . A B khi x = 3 − .
5. (Dạng 3). Rút gọn các biểu thức sau: a) x( 2 x ) 2x ( x+ ) 2 2 – 3 – 5 1 + x ; b) x(x ) x( x) ( 2 3 – 2 – 5 1 – – 8 x – 3) .
6. (Dạng 4). Tìm x (hoặc y ), biết:
a) 2x(x – 5) – x(2x + 3) = 26 ; b) ( 5 2 8 y − y + ) 1 ( y + ) 2
1 + y (4 − 3y) = − 2 c) 2 2x + 3( x – ) 1 ( x + ) 1 = 5x ( x + ) 1 .
7. (Dạng 5). Chứng minh rằng các giá biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến: a) x( 2 x + x + ) 2 1 − x ( x + ) 1 – x + 5 ; b) x( x + ) 2 − x (x + ) 3 2 1
2 + x – x + 3 ; c) ( x) 2
+ x ( + x) x( x ) 2 4 6 – 2 3 –
5 – 4 + 3x (1 – x).
8. (Dạng 6). Có hai hình chữ nhật. Hình thứ nhất có chiều dài hơn chiều rộng9m . Hình
thứ hai có chiều rộng hơn chiều rộng hình thứ nhất là 5m và có chiều dài hơn chiều dài
hình thứ nhất là15m . Biết diện tích hình thứ hai hơn diện tích hình thứ nhất là 2 640m .
Tính kích thước của mỗi hình.
9. (Dạng 7). Chứng minh rằng: a)(x )( 2 x + x + ) 3 – 1 1 = x – 1 ; b)( 3 2 2 3
x + x y + xy + y )( x y) 4 4 – = x – y ;
c)(x + y + z)2 2 2 2
= x + y + z + 2xy + 2yz + 2zx ;
d) (x + y + z)3 3 3 3
= x + y + z + 3(x + y)( y + z)(z + x).
10. (Dạng 7). Chứng minh rằng nếu x = y = z thì a b c
(x + y + z )(a +b +c ) = (ax+by +cz)2 2 2 2 2 2 2 .
11. (Dạng 8). Cho a và b là hai số tự nhiên. Biết a chia cho 5 dư 2 và b chia cho 5 dư3
. Chứng minh rằng ab chia cho 5 dư1 . 13 12. (Dạng 8).
a) Chứng minh rằng biểu thức n(2n – 3) – 2n(n + )
1 luôn chia hết cho 5 với mọi n là số nguyên.
b) Chứng minh rằng: (n – )
1 (n + 4) – (n – 4)(n + )
1 luôn chia hết cho 6 với mọi số nguyên n .
13. (Dạng 9). Xác định a,b,c,d biết: a) ( 2
ax + bx + c)( x + ) 3 2
3 = x – 2x – 3x với mọi x ; b) 4 3 2 x + x
x + ax + b = ( 2 x + x )( 2 – – 2
x + cx + d ) với mọi x .
14. (Dạng 9). Cho đa thức: f (x) = x(x + )
1 ( x + 2)(ax + b).
a) Xác định a,b để f (x) – f (x – ) 1 = x ( x + ) 1 (2x + ) 1 với mọi x
b) Tính tổng S =1.2.3+ 2.3.5 +...+ n(n + ) 1 (2n + )
1 theo n (với n là số nguyên dương).
15. (Dạng 9). Xác định a,b,c để 3 2
x – ax + bx – c = ( x – a)( x – b)( x – c) với mọi x .
§3. §4. §5. NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. Bình phương của một tổng: .
2. Bình phương của một hiệu: . 3. Hiệu hai bình phương: .
4. Lập phương của một tổng: .
5. Lập phương của một hiệu: . 6. Tổng hai lập phương: B. CÁC DẠNG TOÁN .
Dạng 1. ÁP DỤNG CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ ĐỂ TÍNH Phương pháp giải
Đưa về một trong bảng hằng đẳng thức đáng nhớ ở phần A để tính.
Ví dụ 1: (Bài 19, trang 12 SGK)
Đố. Tính diện tích hình còn lại mà không cần đo.
Một miếng tôn hình vuông có cạnh bằng a + b , bác thợ cắt một miếng của hình
vuông có cạnh bằng a – b (cho a > b ). Diện tích hình còn lại là bao nhiêu? Diện tích phần
còn lại có phụ thuộc vào vị trí cắt không? Giải
Diện tích hình vuông có cạnh bằng a + b là:(a b)2 + .
Diện tích hình vuông có cạnh bằng a − b là:(a b)2 − .
Diện tích hình còn lại là:
(a +b)2 −(a −b)2 = (a +b – a +b)(a +b + a – b) = 2 .2 b a = 4a . b
Diện tích hình còn lại không phụ thuộc vào vị trí cắt.
Ví dụ 2: (Bài 25 trang 13 SGK)
a) (a + b + c) 2 ; b)(a + b c)2 – c) (a b c)2 – – . Giải
a) Ta có: (a + b + c)2 = (a + b) 2 + c 
 = (a + b)2 + (a + b) 2 2 .c + c 2 2 2
= a + 2ab + b + 2ac + 2bc + c 2 2 2
= a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca .
b) Tương tự:(a + b − c)2 2 2 2
= a + b + c + 2ab − 2bc − 2ca . c)(a −b c)2 2 2 2 –
= a + b + c − 2ab – 2ac + 2bc .
Ví dụ 3. (Bài 26 trang 14 SGK) 3 Tính: a)(  1  x + y )3 2 2 3 ; b) x −1    2  Giải
a) Ta có: ( x + y)3 = ( x )3 + ( x )2 ( y) + ( x ) ( y)2 +( y)3 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 3 2 . 3 3 6 4 2 2 3
= 8x + 36x y + 54x y + 27 y . 3 b)  1  1 9 27 3 2 x −1 = x − x + x − 27    2  8 4 2
Ví dụ 4. (Bài 33, trang 16 SGK). Tính a)( )2 2 + xy ; b)( )2 5 – 3x ; c)( 2 x )( 2 5 – 5 + x ); d)( x )3 5 – 1 ; e)( x y)( 2 2 2 –
4x + 2xy + y ) ; f) (x + )( 2 3 x – 3x + 9); Giải a) ( + xy)2 2 2 2
= 4 + 4xy + x y ; b) ( x)2 2 5 – 3
= 25 – 30x + 9x ; c) ( 2 x )( 2 + x ) 4 5 – 5 = 25 – x ; d) ( x )3 3 2 5 – 1
= 125x – 75x +15x – 1;
e) ( x y)( x + xy + y ) = ( x)3 2 2 3 3 3 2 – 4 2 2
– y = 8x – y ; a) ( x + )( 2 x x + ) 3 3 3 3 – 3
9 = x + 3 = x + 27
Dạng 2. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC Phương pháp giải
Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để biến đổi vế trái bằng vế phải hoặc vế phải bằng vế trái.
Ví dụ 5. (Bài 17, trang 11 SGK). Chứng minh: ( a + )2 10 5 = 100a (a + )
1 + 25 . Từ đó em hãy nêu cách tính nhẩm bình
phương cảu một số có tận cùng bằng chữ số5 . Áp dụng để tính 2 2 2 2 25 , 35 , 65 , 75 Giải
Biến đổi vế trái ta có: ( a + )2 2 10 5
= 100a +100a + 25 = 100a (a + ) 1 + 25.
Bình phương của một số có tận cùng bằng chữ số 5 là một số có hai chữ số tận cùng bằng
25 và số trăm bằng tích số chục của số đem bình phương với số liền sau. Áp dụng: 2 25 = 625 ; 2 35 = 1225 ; 2 65 = 4225 ; 2 75 = 5625 ;
Ví dụ 6. (Bài 20, trang 12 SGK)
Nhận xét sự đúng sai của kết quả sau:
x + xy + y = ( x + y)2 2 2 “ 2 2 ” Giải
Kết quả trên sai vì (x + y)2 2 2 2
= x + 4xy + 4y
Ví dụ 7. (Bài 23, trang 12 SGK)
Chứng minh rằng:(a + b)2 = (a b)2 – + 4ab ;
(a −b)2 = (a +b)2 − 4ab ;
Áp dụng: a) Tính (a b)2 −
biết a + b = 7;ab =12. b) Tính (a b)2 +
biết a – b = 20;ab = 3. Giải
Biến đổi vế phải ta được:
(a b)2 + ab = a
ab + b + ab = a + ab + b = (a + b)2 2 2 2 2 – 4 – 2 4 2 ; (1)
(a +b)2 ab = a + ab +b ab = a
ab + b = (a − b)2 2 2 2 2 – 4 2 – 4 – 2 ; (2) Áp dụng:
a) Thay a + b = 7,ab =12 vào (2) ta được:
(a −b)2 = (a +b)2 2
– 4ab = 7 – 4.12 = 49 – 48 = 1.
b) Thay a – b = 20,ab = 3 vào (1) ta được:
(a +b)2 = (a −b)2 2
+ 4ab = 20 + 4.3 = 412.
Ví dụ 8. (Bài 31, trang 17 SGK) Chứng minh rằng:
a) a + b = (a + b)3 3 3
– 3ab (a + b);
b) a − b = (a −b)3 3 3
+ 3ab(a − b); Giải
a) Biến đổi vế phải ta được:
(a +b)3 ab(a +b) 3 2 2 3 2 2 – 3
= a + 3a b + 3ab – b − 3a b − 3ab 3 3 = a + b ; (1)
b) (a −b)3 + ab(a −b) 3 2 2 3 2 2 3
= a − 3a b + 3ab – b + 3a b − 3ab 3 3 = a − b ;
Áp dụng: Thay a + b = 5
− và ab = 6 vào (1) ta được:
a + b = (a + b)3
a (a + b) = (− )2 3 3 – 3 5 – 3.6 ( 5 − ) = 125 − + 90 = 35 −
Ví dụ 9. (Bài 38 trang 18 SGK) Chứng minh:
a) a (a −b)3 = −(b – a)3 ) ;
b) (−a b)2 = (a + b)2 – . Giải
a) Ta có: a) (a −b)3 = −(b – a) 3  
 = −(b – a)3 ;
a) (−a – b)2 = − (a + b) 2  =  (a +  b)2 . Dạng 3. TÍNH NHANH Phương pháp giải b)
Đưa số cần tính nhanh về dạng hoặc
. Trong đó a là số nguyên chia hết Licêho n hệ tà ho i liệ ặ u wcord to .
án SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Ví dụ 10. (Bài 22 trang 22 SGK) Tính nhanh: a) 2 101 ; b) 2 199 ; c) 47.53 ; Giải a) = ( + )2 2 2 2 101 100 1
= 100 + 2.100.1+1 = 10000 + 200 +1 = 10201; b) = ( )2 2 2 2 199 200 – 1
= 200 + 2.200.1+1 = 40000 – 400 +1 = 39601. c) = ( )( + ) 2 2 47.35
50 – 3 50 3 = 50 – 3 = 2500 – 9 = 2491.
Ví dụ 11 (Bài 35 trang 17 SK). Tính nhanh: a) 2 2 34 + 66 + 68.66 ; b) 2 2 74 + 24 – 48.74 ; Giải a) + + = + + = ( + )2 2 2 2 2 2 34 66 68.66 34 2.34.66 66 34 66 = 100 = 10000; b) + = − + = ( )2 2 2 2 2 2 74 24 – 48.74 74 2.74.24 24 74 – 24 = 50 = 2500.
Dạng 4. RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC Phương pháp giải • a)
Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để khai triển và rút gọn.
• Thay giá trị của biến vào biểu thức đã rút gọn.
Ví dụ 12. (Bài 24 trang 13 SGK)
Tính giá trị của biểu thức 2
49x – 70x + 25 với: a) x = 5 ; b) 1 x = . 7 Giải Ta có: x x + = ( x)2 = x + = ( x )2 2 2 49 – 70 25 7 2.7 .5 5 7 – 5 . a) Với 2 2
x = 5 ta có: a) ( x − ) = ( ) 2 7 5 7.5 – 5 = 30 = 900. 2 b) 1 2  1  2 x =
ta có: (7x – 5) = 7. −5 =   ( 4 − ) =16 7  7 
Ví dụ 13. (Bài 28, trang 14 SGK)
Tính giá trị các biểu thức sau: a) 3 2
x +12x + 48x + 64 với x = 6 ; b) 3 2
x − 6x +12x − 8 với x = 22 ; Giải
a) x + x + x + = x + x + x + = (x + )3 3 2 3 2 2 3 12 48 64 3. .4 3. .4 4 4 . Với 3 3
x = 6 ta có: ( x + ) = ( + ) 3 4 6 4 = 10 = 1000. b) Ta có: x x + x = x x + x (x )3 3 2 3 2 2 3 – 6 12 – 8 – 3. .2 3. .2 – 2 – 2 . Với 3 3
x = 22 ta có: ( x ) = ( ) 3 – 2 22 – 2 = 20 = 8000
Ví dụ 14. (Bài 30, trang 16 SGK)
Rút gọn các biểu thức sau: a) (x + )( 2 x x + ) ( 3 3 – 3 9 – 54 + x ); b) ( x + y)( 2 2 x
xy + y ) ( x y)( 2 2 2 4 – 2 – 2 –
4x + 2xy + y ). Giải a) (x + )( 2 x x + ) ( 3 + x ) 3 3 3 – 3 9 – 54
= x + 27 – 54 – x = 27. − b) ( x + y)( 2 2 x
xy + y ) ( x y)( 2 2 2 4 – 2 – 2 –
4x + 2xy + y ) = ( x)3 +  y ( x)3 3 3 3 3 3 3 3 2 – 2 –  y
= 8x + y – 8x + y 2 y .   =
Ví dụ 15. (Bài 34, trang 17 SGK)
Rút gọn các biểu thức sau: a) 2 2
(a + b) – (a – b) ;
b) (a + b)3 (a b)3 3 – – – 2b ;
c) (x + y + z)2
(x + y + z)(x + y)+(x + y)2 – 2 . Giải
a) (a + b)2 (a b)2 2 2
= a + ab + b ( 2 2 – – 2
– a – 2ab + b ) = 4ab
b) (a + b)3 (a b)3 3 3 2 2 3
b = a + a b + ab + b ( 3 2 2 3 a a b + ab b ) 3 – – – 2 3 3 – – 3 3 – – 2b 3 2 2 3 3 2 2 3 3
= a + 3a b + 3ab + b – a + 3a b − 3ab + b – 2b
c) (x + y + z)2
(x + y + z)(x + y)+(x + y)2 = (x + 
y + z ) ( x + y) 2 2 – 2 –  = z
Ví dụ 16. (Bài 36, trang 17 SGK)
Tính giá trị các biểu thức sau: a) 2
x + 4x + 4 với x = 98 ; b) 3 2
x + 3x + 3x +1 với a ) x = 99 Giải
a) x + x + = (x + )2 2 4 4 2 với x = 98 thì: (x + )2 = ( + )2 2 2 98 2 = 100 = 10000.
b) x + x + x + = (x + )3 3 2 3 3 1 1 với x = 99 thì: (x + )3 3 1 = 100 = 1000000 .
Dạng 5. ĐIỀN VÀO Ô TRỐNG CÁC HẠNG TỪ THÍCH HỢP Phương pháp giải
• a) D ựa vào một số hạng tử của đẳng thức có ô trống ta nhận dạng một trong bảy hằng đẳng thức đáng nhớ.
• Thay vào ô trống các hạng tử thích hợp
Ví dụ 17. (Bài 18, trang 11 SGK)
Hãy tìm cách giúp bạn A khôi phục lại những đẳng thức bị mực làm nhòe đi một số chỗ:
a) x + xy + = ( + y)2 2 6 ... ..... 3 ; b) xy + y = ( − )2 2 ..... – 10 25 ...... ...... .
c) Hãy nêu một đề bài tương tự. Giải
a) x + xy + y = (x + y)2 2 2 6 9 3 ; b) x xy + y = ( x y )2 2 2 – 10 25 – 5 ;
c) Đề bài tương tự: x − + y = ( − )2 2 2 ...... 4 ......... ....... Đáp số: x
xy + y = ( x y )2 2 2 – 4 4 – 2 .
Ví dụ 18. (Bài 29, trang 15 SGK)
Đố vui. Đức tính đáng quý
Hãy điền chữ số tương ứng với kết quả tìm được rồi xếp chữ thêm dấu cho thích
hợp, em sẽ tìm ra một trong những đức tính quý báu của con người. 3 2
x – 3x + 3x – 1 N 2 16 + 8x + x U 2 3
3x + 3x +1+ x H 2 1 – 2 y + y Â (x )3 – 1 (x + )3 1 ( y )2 – 1 (x )3 – 1 (1+ x) 3 ( y )2 – 1 (x + )2 4 Giải Ta có: x x + x = (x )3 3 2 – 3 3 – 1 – 1 ;
+ x + x = (x + )2 2 16 8 4 ;
x + x + + x = ( x + )3 = ( + x)3 2 3 3 3 1 1 1 ;
y + y = ( y )2 2 1 – 2 – 1 (x )3 – 1 (x + )3 1 ( y )2 – 1 (x )3 – 1 ( )3 1+ x ( y )2 – 1 (x + )2 4 N H Â N H Â U
Đức tính quý báu của con người là: NHÂN HẬU
Ví dụ 19. (Bài 32, trang 17 SGK)
Điền vào ô trống các hạng tử thích hợp:
a) (3x + y) ( - + ) 3 3 = 27x + y ;
b) ( 2x - )( - 10x + ) 3 = 8x –125 . Giải a) ( x + y)( 2 2 x xy + y ) 3 3 3 9 – 3 = 27x + y ; b) ( x − )( 2 x − x + ) 3 2 5 4 10 25 = 8x – 125 .
Dạng 6. BIỂU DIỄN ĐA THỨC DƯỚI DẠNG BÌNH PHƯƠNG, LẬP PHƯƠNG CỦA MỘT TỒNG ( MỘT HIỆU) Phương pháp giải
Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ:
A + AB + B = ( A + B)2 2 2 2
A − AB + B = ( A − B)2 2 2 2
A + A B + AB + B = ( A + B)3 3 2 2 2 3 3
A − A B + AB − B = ( A − B)3 3 2 2 3 3 3
Ví dụ 20: ( Bài 16, trang12SGK)
Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu a) 2 x + 2x +1; b) 2 2
9x + y + 6xy c) 1 2
25a + 4b − 20ab d) 2 x − x + 4 Giải
a) x + x + = x + x + = (x + )2 2 2 2 2 1 2. .1 1 1
b) x + y + xy = ( x)2 + ( x) y + y = ( x + y)2 2 2 2 9 6 3 2. 3 . 3
c) a + b − ab = ( a)2 − ( a) ( b) + ( b)2 2 25 4 20 5 2. 5 . 2 2 = (5a − 2b)
Ví dụ 21: ( Bài 21, trang12SGK)
Viết các đa thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu: a)( x + y)2 2 3 + 2(2x + 3y) +1 b) 2 2
9x + y + 6xy
c) Hãy nêu một đề bài tương tự. Giải
a)( x + y)2 + ( x + y) + = ( x + y + )2 2 2 3 2. 2 3 .1 1 2 3 1
b) x − x + = ( x − )2 2 9 6 1 3 1
c) Chẳng hạn: a − ab + b = ( a − b)2 2 2 4 12 9 2 3
Ví dụ 22( Bài 27, trang 14 SGK)
Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hoặc một hiểu: a) 3 2
−x + 3x − 3x +1 b) 2 3
8 − 2x + 6x − x Giải
a) −x + x − x + = (−x)3 + (−x) + (−x) + = (−x + )3 3 2 2 3 3 3 1 3. .1 3 .1 1 1 b) x
− x + x − x = − +
x − x = ( − x)3 2 3 3 2. 2 3 8 2 6 2 3.2 3.2. 2
Ví dụ 23:( Bài 37, trang 17 SGK
Dùng bút chì nối các biểu thức sao cho chúng tạo thành các hằng đẳng thức.
Ví dụ 30: Biết số tự nhiên a chia 5 dư 1, số tự nhiên b chia 5 dư 2. Chứng minh rằng tổng
các bình phương của hai số a và b chia hết cho 5. Giải ( − )( 2 2 x y
x + xy + y )
(x + y)(x − y) 2 2
x − 2xy + y ( + )2 x y ( + )( 2 2 x y
x − xy + y ) 3 2 2 3
y + 3xy + 3x y + x ( − )3 x y
Ta có: a = 5k +1; b = 5l + 2 (k,l ∈) . Khi đó:
a + b = ( k + )2 + ( l + )2 2 2 2 2 = k + k + + l + l + = ( 2 2 5 1 5 2 25 10 1 25 20 4
5 5k + 2k + 5l + 4l + ) 1 chia hết cho 5.
Ví dụ 31: Chứng minh rằng tổng các lập phương của ba số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9. Giải
Gọi ba số nguyên liên tiếp là n −1, ,
n n +1 . Tổng lập phương của chúng là:
(n − )3 + n +(n + )3 3 3 2 3 3 2 1 1
= n − 3n + 3n −1+ n + n + 3n + 3n +1 3
= n + n = n( 2 3 6 3 n − ) 1 + 9n . Ta có n( 2 n − ) 1 = (n − ) 1 . . n (n + )
1 chia hết cho 3 vì n −1, ,
n n +1 là ba số nguyên liên tiếp nên
có một số chia hết cho 3. Do đó n( 2 3 n − )
1 chia hết cho 9, 9n cũng chia hết cho 9. Vậy
(n − )3 + n +(n + )3 3 1
1 chia hết cho 9 với mọi số nguyên n .
Dạng 13. MỘT SỐ HẰNG ĐẲNG THỨC TỔNG QUÁT Phương pháp giải
Bằng phép nhân đa thức ta chứng minh được các hằng đẳng thức sau: 1. n n a b
(a b)( n 1− n−2 n−2 n 1 a a .b ... . a b b − − = − + + + +
) với mọi số nguyên dương n. 2. n n a b
(a b)( n 1− n−2 n−2 n 1 a a .b ... . a b b − + = + − + − +
) với mọi số nguyên dương lẻ n. Chẳng hạn: 5 5
a − b = (a − b)( 4 3 2 2 3 4
a + a b + a b + ab + b ); 5 5 + = ( + )( 4 3 2 2 3 4 a b a b
a − a b + a b − ab + b ) .
3. Nhị thức Niu-tơn (Newton) (a +b)n n 1 n 1 − 2 n−2 n 1 − n 1
= a + C a b + C a b + ... − n + C ab + b . n n n n n − n − n − k + k ( )1( 2)...( ) Với 1 C =
(k =1,2,3,...,n − )1( k
C gọi là tổ hợp chập k của n phần n 1.2.3... n k tử. Chẳng hạn: (a +b)4 4 3 2 2 3 4;
= a + 4a b + 6a b + 4ab + b (a −b)5 5 4 3 2 2 3 4 5
= a − 5a b +10a b −10a b + 5ab − b .
Áp dụng các hằng đẳng thức trên vào tính chất chia hết ta có: • n n
a − b chia hết cho a − b (với a ≠ b và n nguyên dương); • 2n 1 + 2n 1 a b + +
chia hết cho a + b . • 2n 2n a
− b chia hết cho a + b .
Ví dụ 32: Chứng minh rằng: 10 11 −1 chia hết cho 100 . Giải Ta có: 10 10 10 − = − = ( − )( 9 8 11 1 11 1 11 1 11 +11 + ... +11+ ) 1 = ( 9 8 10 11 +11 + ... + ) 1 . Vì 9 8
11 +11 + ... +11+1 có chữ số tận cùng ( hang đơn vị) bằng 0 nên 9 8 11 +11 + ... +11+1 chia hết cho 10. Vậy 10 11 −1 chia hết cho 100 .
Ví dụ 33: Với n là số nguyên dương chẵn, chứng minh rằng: 20n 16n 3n + − −1 chia hết cho 323. Giải
Ta có: 323 =17.19 . Áp dụng các hằng đẳng thức tổng quát ta có 1
20n− chia hết cho 19 và vì
n chẵn nên 16n 3n
− chia hết cho (16 + 3) =19 , do đó 20n 16n 3n 1 (20n ) 1 (16n 3n + − − = − + − ) chia hết cho 19.
Mặt khác, vì 20n 3n
− chia hết cho 17 và 16n −1 chia hết cho (16 + ) 1 = 17 nên 20n 16n 3n 1
(20n 3n) (16n + − − = − + − )
1 chia hết cho 17. Vậy 20n 16n 3n + − −1 chia hết cho 323.
Ví dụ 34: Chứng minh rằng không có đa thức f (x) nào với hệ số nguyên mà f (7) = 5 và f (15) = 9 . Giải
Giả sử có đa thức với hệ số nguyên: f ( x) n n 1
= a x + a x − +...+ a x + a a , a ,..., a ∈ mà f (7) = 5 và f (15) = 9 . Khi đó: n n 1 − 1 0 ( 0 1 n ) n n 1 a 7 + a
7 − + ... + a .7 + a = 5; (1) n n 1 − 1 0 n n 1
a 15 + a 15 − + ... + a .15 + a = 9. (2) n n 1 − 1 0
Lấy (2) trừ (1) ta được: a − + a − − − + + a − = . n (15n 7n ) n− ( n 1 n 1 15 7 ... 15 7 4 1 ) 1 ( )
Vế trái gồm các hạng tử chia hết cho 15 − 7 = 8 nên vế trái chia hết cho 8, còn vế phải bằng
4 không chia hết cho 8. Vậy không có đa thức f (x) nào với hệ số nguyên mà f (7) = 5 và f (15) = 9 . C. LUYỆN TẬP 1. (Dạng 1) Tính: 2 a) (  1  x + y )2 2 b) ( x − y)2 3 2 c) 2x −    2  3 d)  x  x  −  1  y + y    e) x +   f) (x − )( 2 2 x + 2x + 4)  2  2   3 
2. (Dạng 2) Chứng minh các đẳng thức: a) (x + y)2 2
− y = x(x + 2y)
b) (x + y )2 −( xy)2 = (x + y)2 (x − y)2 2 2 2
c) (x + y)3 = x(x − y)2 + y( y − x)2 3 3
3. (Dạng 2) Chứng minh rằng:
a) (a + b)3 + (a −b)3 = a( 2 2 2 a + 3b )
b) (a + b)3 −(a −b)3 = b( 2 2 2 b + 3a )
4. (Dạng 1) Viết các đa thức sau thành tích: a) 3 3 x + 8 y b) 6 3 a − b c) 3 8 y −125 d) 3 8z + 27 5. (Dạng 3) Tính nhanh: a) 2 2 2 1001 : 29, 9.30,1
b) (31,8) − 2.31,8.21,8+ (21,8)
6. (Dạng 4) Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức: a) (x − )2 10
− x(x + 80) với x = 0,98 b) ( x + )2 2 9 − x(4x + 3 ) 1 với x = 1 − 6, 2 c) 2
4x − 28x + 49 với x = 4 d) 3 2
x − 9x + 27x − 27 với x = 5
7. (Dạng 5) Điền vào ô trống để các biểu thức sau trở thành bình phương của một tổng hoặc một hiệu: a) 2 x + 20x + b) 2 16x + 24xy + c) 2 y − + 49 d) 2 − 42xy + 49y
8. (Dạng 5) Điền vào ô trống để được đẳng thức đúng:
a) ( a + b)( − + ) 3 3 2 3 = 8a + 27b
b) ( x − )( + xy + ) 3 3 5 20 = 125x − 64y
9. (Dạng 6) Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng tổng hai bình phương: a) 2 2
x +10x + 26 + y + 2 y b) 2 2
x − 2xy + 2 y +1 c) 2 2
z − 6z +13 + t + 4t d) 2 2
4x + 2z − 4xz − 2z +1 10. (Dạng 8) Tìm x, biết: a) (x − )2 3 − 4 = 0 b) 2 x − 2x = 24
c) ( x − )2 + (x + )2 2 1 3
− 5(x + 7)(x − 7) = 0
11. (Dạng 4) Rút gọn biểu thức: a) ( 2 x − x + )( 2 x − )( 2 x + x + )( 2 2 2 2 2 2 x + 2)
b) (x + )3 + (x − )3 3 1
1 + x − 3x ( x + ) 1 ( x − ) 1
c) (a + b + c)2 + (a + b − c)2 + ( a −b)2 2 d) 2 2 2 2 2 2
100 − 99 + 98 − 97 + ... + 2 −1 e) ( 2 + )( 4 + ) ( 64 3 2 1 2 1 ... 2 + ) 1 +1
f) (a + b + c)2 + (a + b − c)2 − (a + b)2 2
12. (Dạng 9) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) 2 x − 20x +101 b) 2 4a + 4a + 2 c) 2
x − 4xy + 5 y +10x − 22 y + 28
13. (Dạng 9) TÌm giá trị lớn nhất của biểu thức: a) 2
A = 4x − x + 3 b) 2
B = x − x
14. (Dạng 10) Chứng minh rằng nếu:
(x − y)2 +( y − z)2 +(z − x)2 = ( y + z − x)2 +(z + x − y)2 +(x + y − z)2 2 2 2
thì x = y = z .
15. (Dạng 7) Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x, y : (x + y)( 2 2
x − xy + y ) + ( x − y)( 2 2
x + xy + y ) 3 − 2x
16. (Dạng 11) Chứng minh rằng các bất đẳng thức sau thỏa với mọi x, y : a) 2 2
x + xy + y +1 > 0 b) 2 2
x + 5 y + 2x − 4xy −10 y +14 > 0 c) 2 2
5x +10 y − 6xy − 4x − 2 y + 3 > 0
17. (Dạng 12) Cho số tự nhiên n chia cho 7 dư 4. Hỏi 2
n chia cho 7 dư bao nhiêu? 3 n chia cho 7 dư bao nhiêu?
18. (Dạng 12) Cho a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng 3 3
a + b chia hết cho 3 khi và chỉ
khi a + b chia hết cho 3.
19. (Dạng 12) Cho a + b =1. Tính giá trị M = ( 3 3 a + b ) − ( 2 2 2 3 a + b )
20. (Dạng 13) Với n là số tự nhiên, chứng minh rằng: a) n+2 2n 1 11 12 + + chia hết cho 133. b) n+2 n 2n 1 5 26.5 8 + + + chia hết cho 59 c) 2 7.5 n 12.6n + chia hết cho 19. 21. (Dạng 13) Với + + + +
n là số tự nhiên, ch 2n 1 n 1 a = 2 + 2 +1, 2n 1 n 1 b = 2 − 2 +1. Chứng minh n n
rằng với mỗi số tự nhiên n có một và chỉ một trong hai số a , b chia hết cho 5. n n
22. (Dạng 13) Cho số nguyên n >1. Chứng minh rằng n 2
n − n + n −1 chia hết cho (n − )2 1 .
23. (Dạng13) Cho đa thức với hệ số nguyên f (n) có f (0) và f ( ) 1 là hai số lẻ. CHứng
minh rằng f (x) không có nghiệm nguyên.
§6. §7. §8. §9. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Khi các hạng tử của một đa thức có chung một nhân tử, ta có thể đặt nhân tử
chung ra ngoài dấu ngoặc theo công thức: A.B + A.C = A(B + C).
Nhân tử chung của một đa thức gồm:
a) Hệ số là ước chung lớn nhất của các hệ số trong mọi hạng tử.
b) Các lũy thừa bằng chữ số có mặt trong mọi hạng tử với số mũ nhỏ nhất của nó.
Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử: 4 3 2 2 2 2 3 13
− x y + 26x y z − 39xy z . + ƯCLN(13,26,39) = 13
+ Số mũ nhỏ nhất của x trong các hạng tử là 1;
+ Số mũ nhỏ nhất của y trong các hạng tử là 2; Vậy: 4 3 2 2 2 2 3 2 − x y + x y z − xy z = − xy ( 3 2 3 13 26 39 13
x y − 2xz + 3z ).
2. Nếu một đa thức chứa một trong các vế của bảy hằng đẳng thức đáng nhớ thì
ta có thể dùng hằng đẳng thức đó để viết đa thức các thành nhân tử. Ví dụ:
x − y = ( x)2 2 2 2 25 5
− y = (5x − y)(5x + y).
3. Nhóm nhiều hạng tử của đa thức một cách thích hợp để làm xuất hiện các
nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức, chẳng hạn:
AB + AC – DB – DC = A(B + C) – D(B + C) = (B + C)(A – D). B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ. Phương pháp giải
Áp dụng một trong các phương pháp:
• Đặt nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc:
AB + AC – AD = A(B + C – D)
• Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ.
• Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
Ví dụ 1. (Bài 39, trang 19 SGK)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 3x − 6y b) 2 − + 2 3 2 x y xy x y x + 5x + c) 2 2 2 2 14 21 28 x y 5
d) 2 x( y − ) 2 1 − y ( y − ) 1
e) 10x(x – y) – 8y(y – x) 5 5 Giải
a) 3 x− 6 y = 3( x − 2 y); 2  2  2 3 2 2 b)
x + 5x + x y = x + 5x + y ;   5  5  2 2 2 2
c) 14x y − 21xy + 28x y = 7xy (2x − 3y + 4xy); 2 d x ( y − ) 2
− y ( y − ) 2 ) 1 1 =
( y − )1(x − y); 5 5 5
e) 10x ( x − y) − 8y ( y − x) = 10x ( x − y) + 8y ( x − y) = 2( x − y)(5x − 4 y).
Ví dụ 2. (Bài 43, trang 20 SGK)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 2 2
a) x + 6x + 9;
b)10x − 25 − x ; 1 1 3 2 2 c) 8x − ; d ) x − 64 y 8 25 Giải
a) x + 6x + 9 = ( x + 3)2 2 ;
b)10x − 25 − x = − ( x −10x + 25) = −( x − 5)2 2 2 ; 3 1      c) 8x − = (2x)3 1 1 1 3 2 − = 2x − 4x + x + ;      8  2   2  4  2 1  1     d ) x − 64 y = x −   (8y)2 1 1 2 2 = x − 8 y x + 8 y .    25  5   5  5 
Ví dụ 3. (Bài 44, trang 20 SGK)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 1 a)x + ;
b) (a + b)3 − (a − b)3 ;
c) (a + b)3 + (a − b)3 3 ; 27 Giải 3 2 2 3 2 2
d )8x +12x y + 6xy + y ;
e) − x + 9x − 27x + 27.
Áp dụng các hằng đẳng thức: 3 3
A + B = ( A + B)( 2 2
A − AB + B ); 3 3
A − B = ( A − B)( 2 2
A + AB + B ) 1  1   1 1  3 2 a)x + = x + x − x + ;    27  3  3 9 
b) (a + b)3 − (a − b)3 = (a + b − a + b) (a + b)2 + (a + b)(a − b) + (a − b)2    = 2b( 2 2 2 2
2a + 2b + a − b ) = 2b( 2 2 3a + b );
c) (a + b)3 + (a − b)3 = (a + b + a − b) (a + b)2 − (a + b)(a − b) + (a − b)2    = 2a ( 2 2 2 2
2a + 2b − a + b ) = 2a ( 2 2 a + 3b );
d) Áp dụng A + A B + AB + B = ( A+ B)3 3 2 2 3 3 3 ta có:
d )8x +12x y + 6xy + y = (2x)3 + 3.(2x)2 3 2 2 3 2 3 y+ 3.2 . x y + y =(2x + y)3 .
e) − x + 9x − 27x + 27 = (−x + 3)3 2 2 .
Ví dụ 4. (Bài 27, trang 22 SGK)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 2
a) x − xy + x − y;
b) xz + yz − 5( x + y); 2
c) 3x − 3xy − 5x + 5 . y Giải 2
a) x − xy + x − y = x ( x − y) + ( x − y) = ( x − y)( x + ) 1 ;
b) xz + yz − 5(x + y) = z(x + y) −5(x + y) = (x + y)(z −5); 2
c) 3x − 3xy − 5x + 5 y = 3x ( x − y) − 5( x − y) = ( x − y)(3x − 5).
Ví dụ 5. (Bài 48, trang 22 SGK)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 2 2
a) x + 4x − y + 4; 2 2 2
b) 3x + 6xy + 3y − 3z ; 2 2 2 2
c) x − 2xy + y − z + 2zt − t . Giải
a) x + 4x − y + 4 = ( x + 4x + 4) − y = ( x + 2)2 2 2 2 2 2 − y
=(x + 2 + y)(x + 2 − y);
b) 3x + 6xy + 3y − 3z = 3 (x + 2xy + y ) − z  = 3(x + y)2 2 2 2 2 2 2 2 − z    
= 3(x + y + z)(x + y − z);
c) x − 2xy + y − z + 2zt − t = ( x − y)2 − ( z − t )2 2 2 2 2
=(x − y − z + t)(x − y + z − t).
Ví dụ 6. (Bài 51, trang 24 SGK)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 3 2 2 2 2 2
a)x − 2x + ; x
b)2x + 4x + 2 − 2 y ;
c)2xy − x − y +16. Giải
a)x − 2x + x = x ( x − 2x + ) 1 = x ( x − )2 3 2 2 1 ;
b)2x + 4x + 2 − 2 y = 2 (x + 2x + )
1 − y  = 2 ( x + )2 2 2 2 2 2 1 − y    
= 2(x +1− y)(x +1+ y);
c)2xy − x − y +16 = 16 − ( x − 2xy + y ) = 4 − ( x − y)2 2 2 2 2 2
= (4 + x − y)(4 − x + y).
Ví dụ 7. (Bài 53, trang 24 SGK)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 2 2 2
a) x − 3x + 2;
b)x + x − 6;
c)x + 5x + 6. Giải 2 2
a) x − 3x + 2 = x − x− 2 x+ 2 = x ( x − ) 1 − 2 ( x − ) 1 = ( x − ) 1 ( x − 2); 2 2
b)x + x − 6 = x + 3 x− 2 x− 6 = x ( x + 3) − 2( x + 3) = ( x + 3)( x − 2); 2 2
c)x + 5x + 6 = x + 2 x+ 3 x+ 6 = x ( x + 2) + 3( x + 2) = ( x + 2)( x + 3).
Ví dụ 8. (Bài 54, trang 25 SGK)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 3 2 2 2 2
a) x + 2x y + xy − 9 ; x
b)2x − 2 y − x + 2xy − y 4 2 2
c)x − 2x = x ( 2 x − 2). Giải
a) x + 2x y + xy − 9x = x ( x + 2xy + y − 9) = x ( x + y)2 3 2 2 2 2 2 − 3   
= x(x + y + 3)(x + y − 3)
b)2 x− 2 y− x + 2xy − y = 2 ( x − y) − ( x − y)2 2 2
= (x − y)(2 − x + y) 4 2 2
c)x − 2x = x ( 2 x − 2).
Ví dụ 9. (Bài 57, trang 25 SGK)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 2 2
a) x − 4x + 3;
b) x + 5x + 4; 2 4
c) x − x − 6; d )x + 4. Giải 2 2
a) x − 4x + 3 = x − x− 3 x+ 3 = x ( x − ) 1 − 3( x − ) 1 = ( x − ) 1 ( x − 3); 2 2
b) x + 5x + 4 = x + x+ 4 x+ 4 = x ( x + ) 1 + 4 ( x + ) 1 = ( x + ) 1 ( x + 4); 2 2
c) x − x − 6 = x − 3 x+ 2x − 6 = x ( x − 3) + 2( x − 3) = ( x − 3)( x + 2);
d )x + 4 = (x + 4 x + 4) − 4x = ( x + 2)2 − (2x)2 4 4 2 2 2 = ( 2 x − 2x + 2)( 2 x + 2x + 2). Dạng 2. TÍNH NHANH Phương pháp giải
Phân tích biếu thức cần tính nhanh ra thừa số rồi tính
Ví dụ 10. (Bài 46, trang 21 SGK) Tính nhanh: 2 2 2 2 2 2 a) 73 − 27 ; b) 37 −13 ; c) 2002 − 2 . Giải 2 2
a) 73 − 27 = (73 − 27)(73 + 27) = 46.100 = 4600; 2 2
b) 37 −13 = (37 −13)(37 +13) = 24.50 = 1200; 2 2
c) 2002 − 2 = (2002 − 2)(2002 + 2) = 2000.2004 = 4008000.
Ví dụ 11. (Bài 49, trang 22 SGK) Tính nhanh:
a) 37, 5.6, 5 − 7, 5.3, 4 − 6, 6.7, 5 + 3, 5.37, 5 2 2 2
b)45 + 40 −15 + 80.45. Giải
a) 37, 5.6, 5 − 7, 5.3, 4 − 6, 6.7, 5 + 3, 5.37, 5
= (37,5.6,5 + 3,5.37,5) − (7,5.3,4 + 6,6.7,5)
= 37,5(6,5 + 3,5) − 7,5(3,4 + 6,6)
= 37,5.10 − 7,5.10 = 375 − 75 = 300 2 2 2 2 2 2
b)45 + 40 −15 + 80.45 = 45 + 2.40.45 + 40 −15 = (45 + 40)2 2 −15 2 2
= 85 −15 = (85 −15)(85 +15) = 70.100 = 7000.
Ví dụ 12. (Bài 56, trang 25 SGK) Tính nhanh: 1 1 2 a) x + x + với x = 49,75; 2 16 2 2
b) x − y − 2 y −1 với x = 93, y = 6. Giải 2 1 1 1  1  a) x + x + = x + 2. . x + =   (x + 0,25)2 2 2 2 16 4  4 
Với x = 49,75 thì (x + )2 = ( + )2 2 0, 25 49, 75 0, 25 = 50 = 2500.
b x − y − y − = x − ( y + y + ) = x − ( y + )2 2 2 2 2 2 ) 2 1 2 1 1 = (x − y − ) 1 (x + y +1). Với x = 93, y = 6 ta có
(x − y − )1(x + y + )1 = (93−6− )1(93+ 6+ )1 = 86.100 = 8600.
Dạng 3. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC Phương pháp giải
• Trước hết phân tích biểu thức thành nhân tử;
• Thay giá trị của biến vào biểu thức đã phân tích.
Ví dụ 13. (Bài 40, trang 19 SGK)
Tính giá trị các biểu thức sau: a) 15.91, 5 +150.0,85 5 b
x ( x − z) 5 ) 5 2
+ 5x (2z − x) với x = 1999, y = 2000, z = -1. Giải
a) 15.91, 5 +150.0,85 = 15.91, 5 +15.8, 5 = 15(91,5 + 8,5) = 15.100 = 150 5 b
x ( x − z) 5
+ x ( z − x) 5
= x (x − z + z − x) 5 ) 5 2 5 2 5 2 2 = 5x .0 = 0
Với x = 1999, y = 2000, z = -1 thì biểu thức bằng 0.
Dạng 4. TÌM x THỎA MÃN ĐẲNG THỨC CHO TRƯỚC Phương pháp giải
• Chuyển tât cả các số hạng về vế trái của đẳng thức, vế phải bnawgf 0.
• Phân tích về trái thành nhân tử để được A.B = 0
A.B = 0 suy ra A = 0 hoặc B = 0
• Lần lượt tìm x từ các đẳng thức A = 0, B = 0 ta được kết quả
Ví dụ 14. (Bài 41. Trang 19 SGK) Tìm x, biết:
a) 5x ( x − 2000) − x + 2000 = 0; 3
b) x −13x = 0. Giải
a) Ta có 5x(x − 2000) − x + 2000 = 5x(x − 2000) −(x − 2000)
= (x − 2000)(5x − ) 1 .
Đẳng thức đã cho trở thành: (x − 2000)(5x − ) 1 = 0.Suy ra x = 2000 hoặc 1 x = 5 b) 3 x − x = x ( 2 13
x −13). Đẳng thức trở thành: x ( 2
x −13) = 0 suy ra x = 0 hoặc 2 x = 13 . Vậy x = 0; x = ± 13
Ví dụ 15. (Bài 45, trang 20 SGK) Tìm x, biết: 1 2 2
a) 2 − 25x = 0;
b) x − x + . 4 Giải a) Ta có 2
2 − 25x = ( 2 − 5x)( 2 + 5x). Từ đẳng thức đã cho suy ra 1. 5 5 x = ; x = − . 2 2 2 b)  1  x − = 0.   Suy ra 1 x = .  2  2
Ví dụ 16. (Bài 50, trang 23 SGK) Tìm x, biết:
a) x ( x − 2) + x − 2 = 0;
b) 5x ( x − 3) − x + 3 = 0 Giải
a) Ta có x(x − 2) + x − 2 = (x − 2)(x + )
1 . Do đó ( x − 2)( x + )
1 = 0 suy ra x = 2 hoặc x = - 1.
b) 5x(x −3) − x + 3 = 5x(x −3) −(x −3) = (x −3)(5x − )
1 . Từ đẳng thức: ( x − 3)(5x − ) 1 = 0. Suy ra x = 3 hoặc x = 1/5.
Ví dụ 17. (Bài 55, trang 25 SGK) Tìm x, biết: 1 a) x − x = 0; b) (2x − )2 1 − ( x + 3)2 3 = 0; 4 2
c)x ( x − 3) +12 − 4x = 0. Giải a) Ta có 1  1   1   1  3 2 x − x = x x − = x x − x + .      Do đó: 4  4   2  2   1   1  x x − x + = 0.    Suy ra 1 1 x = 0; x = ; x = − .  2  2  2 2
b) ( x − )2 −(x + )2 2 1 3
= (2x −1− x − 3)(2x −1+ x + 3) = (x − 4)(3x + 2).
Do đó (x − 4)(3x + 2) = 0 suy ra x = 4 hoặc x = - 2/3 c) 2 x ( x − ) 2 +
− x = x (x − ) − (x − ) = (x − )( 2 3 12 4 3 4 3 3 x − 4). Do đó (x − )( 2 3
x − 4) = 0. Suy ra x = 3 hoặc x = 2. ±
Dạng 5. ÁP DỤNG VÀO SỐ HỌC. Phương pháp giải
• Số nguyên a chia hết cho số nguyên b nếu có số nguyên k sao cho a = b.k
• Phân tích biếu thức ra thừa số để xuất hiện số chia
Ví dụ 18. (Bài 42, trang 19 SGK)
Chứng minh rằng n 1
55 + − 55n chia hết cho 54 (với n là số tự nhiên). Giải Ta có n 1
55 + − 55n = 55n (55 − )
1 = 54.55n chia hết cho 54.
Ví dụ 19. (Bài 52, trang 24 SGK)
Chứng minh rằng ( n + )2 5 2
− 4 chia hết cho 5 với mọi n∈ .  Giải Ta có ( n + )2 5 2
− 4 = (5n + 2 + 2)(5n + 2 − 2) = 5n(5n + 4) chia hết cho 5 với mọi n∈ . 
Ví dụ 20. (Bài 58, trang 27 SGK) Chứng minh rằng 3
n − n chia hết cho 6 với mọi n ∈ .  Giải Ta có 3
n − n = n ( 2 n − ) 1 = n (n − ) 1 (n + ) 1 . Vì n −1, ,
n n +1 là 3 số nguyên liên tiếp nên có ít nhất
một số chia hết cho 2 và ít nhất một số chia hết cho 3 nên tích (n − ) 1 . . n (n + ) 1 chia hết cho
2.3 = 6 (vì 2 và 3 là hai số nguyên tố cũng nhau)
Ví dụ 21. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có: a) 3
n −13n chia hết cho 6; b) 5 3
n − 5n + 4n chia hết cho 120; c) 3 2
n − 3n − n + 3 chia hết cho 48 với n lẻ. Giải a) Ta có 3 3
n −13n = (n − n) −12n theo ví dụ 20 ta được 3
n − n chia hết 6 và 12n chia hết cho 6 nên 3
n −13n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n b) Ta có: 5 3 5 3 3 3
n − 5n + 4n = n − n − 4n + 4n = n ( 2 n − ) 1 − 4n ( 2 n − ) 1 = n( 2 n − ) 1 ( 2
n − 4) = n(n − ) 1 (n + )
1 (n − 2)(n + 2)
là tích của 5 số nguyên liên tiếp.
Trong 5 số nguyên liên tiếp có ít nhất hai số là bội của 2 (trong đó có một số là bội
của 4, một số bội của 3 và một số bội của 5). Do đó tích 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho
8.3.5 = 120 (vì 8, 3, 5 đôi một nguyên tố cùng nhau). c) Ta có 3 2 2
n − n − n + = n (n − ) − (n − ) = (n − )( 2 3 3 3 3 3 n − )
1 = (n − 3)(n − ) 1 (n + ) 1
Thay n = 2k + 1 vào thì được:
(2k − 2).2k.(2k + 2) = 8(k − )1.k.(k + )1
Chia hết cho 48. Vì (k − ) 1 k (k + )
1 là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2.3 = 6.
Dạng 6. TÌM CÁC CẶP SỐ NGUYÊN (x, y) THỎA MÃN ĐẲNG THỨC CHO TRƯỚC Phương pháp giải
• Phân tích một vế của đẳng thức thành tích của hai thừa số, vế còn lại là một số nguyên n.
• Phân tích số nguyên n thành tích hai thừa số bằng tất cả các cách, từ đó tìm ra các số nguyên x, y.
Ví dụ 22. Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn một trong các đẳng thức sau:
a) x + y = xy;
b) xy − x + 2 ( y − ) 1 = 13. Giải
a) Ta có x + y = xy được viết thành: xy – x – y =0. Do đó suy ra: x ( y − ) 1 − ( y − ) 1 = 1 hay ( y − ) 1 ( x − ) 1 = 1 Mà 1=1.1 = (− ) 1 .(− ) 1 nên: y −1 =1 y − = −  hoặc 1 1  x −1 =1 x −1 = 1 −  =  = Do đó: x 2 x  hoặc 0  y = 2 y = 0
Vậy ta có hai cặp số nguyên cầm tìm là (0,0) và (2,2).
b) Phân tích về trái ra thừa số ta có:
xy − x + 2 ( y − ) 1 = x ( y − ) 1 + 2 ( y − ) 1 = ( y − ) 1 ( x + 2).
Vế phải bằng 13 = 1.13 = 13.1 = (− ) 1 ( 13 − ) = ( 13 − )(− ) 1 nên ta lần lượt có: y −1 =1 y −1 =13 y −1 = 1 − y −1 = 13 −  ;  ;  ; 
x + 2 =13 x + 2 =1 x + 2 = 13 − x + 2 = 1 − Hay :
x =11 x = 1 − x = 15 − x = 3 −  ;  ;  ;  y = 2 y =14 y = 0 y = 12 −
Vậy ta có 4 cặp số nguyên cần tìm là: (11,2); ( 1 − ,14); ( 15 − ,0); ( 3 − , 12 − )
Dạng 7. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Phương pháp giải
Khi gặp đa thức nhiều ẩn hoặc một ẩn nhưng phức tạp ta dùng cách đặt ẩn phụ rồi
phối hợp các phương pháp đặt nhân tử chung, hằng đẳng thức, tách và thêm bớt số
hạng để phân tích ra thừa số.
Ví dụ 23. Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a) ( x + x)2 2 + 3( 2 x + x) + 2;
b) x(x + )
1 ( x + 2)( x + 3) +1; c) ( 2 x + x + ) 1 ( 2 x + 3x + ) 2 1 + x . Giải a) Đặt 2
y = x + x ta có: 2 2 2 2 2
(x + x) + 3(x + x) + 2 = y + 3y + 2 = ( y + y) + (2 y + 2) = y( y +1) + 2( y +1) = ( y +1)( y + 2) Thay 2
y = x + x vào ta được: 2 2
( y +1)( y + 2) = (x + x +1)(x + x + 2) b) Ta có:
x(x +1)(x + 2)(x + 3) +1 = [x(x + 3)][(x +1)(x + 2)]+1 2 2
= (x + 3x)(x + 3x + 2) +1 Đặt 2
x + 3x = y , ta có: 2 2
(x + 3x)(x + 3x + 2) +1 = y( y + 2) +1 2 2
= y + 2y +1 = (y +1) 2 = (x + 3x +1) c) Đặt 2
y = x + x +1 ta có: 2 2 2 2
(x + x +1)(x + 3x +1) + x = y( y + 2x) + x 2 2 2
= y + 2yx + x = (y + x) 2 2 4
= (x + 2x +1) = (x +1)
Dạng 8. PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH Phương pháp giải
• Giả sử đa thức đã cho được phân tích thành tích của hai đa thức khác. Ta càn xác
định hệ số của hai đa thức nhân tử.
• Thực hiện phép nhân hai đa thức rồi cho đồng nhất các hệ số tương ứng.
Ví dụ 24. Phân tích thành nhân tử. 4 3 2
a)x + 6x +11x + 6x +1; 2 2
b)3x − 22xy − 4x + 8 y + 7 y +1. Giải
a) Giả sử đa thức được phân tích thành hai đa thức bậc hai dạng: 2 2
(x +ax+1)(x + bx +1)
Thực hiện phép nhân đa thức ta được: 2 2 4 3 2
(x +ax+1)(x + bx +1) = x + (a + b)x + (2 + ab) x + (a + b)x +1
Đồng nhất với đa thức đã cho ta được: a + b = 6,ab = 9 . Ta tìm được a=b=3. Vậy 4 3 2 2 2
x + 6x +11x + 6x +1 = (x + 3x +1) Cách khác: 4 3 2
x + 6x +11x + 6x +1 4 2 2
= x + 2x (3x+1) + (9x + 6x +1) 4 2 2
= x + 2x (3x +1) + (3x +1) 2 2 = (x + 3x +1) b) Ta tìm a, b, c, d sao cho: 2 2
3x − 22xy − 4x + 8 y + 7 y +1
= (3x + ay + b)(x + cy + d) 2 2
= 3x + (3c + a)xy + (3d + b)x + (ad + bc)y + acy + bd
Đồng nhất các hệ số tương ứng của hai vế ta được: 3c + a = 2
− 2;3d + b = 4;
− ad + bc = 8;ac = 7;bd = 1
Từ bd=1, chọn b=d=1 (vì 3d+b=-4).
Ta có a+c=-8, kết hợp với 3c+a=-22, ta được a=-1, c=-7. Vậy: 2 2
3x + 22xy − 4x + 8 y + 7 y +1 = (3x − y −1)(x = 7 y −1).
Dạng 9: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC Phương pháp giải
• Bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử của vế trái để đưa dẳng thức về dạng tích bằng 0.
• Xét từng thừa số bằng 0 rồi chúng minh đẳng thức, nhiều trường hợp phải dùng
đến đặt ẩn phụ.
Ví dụ 25: Chứng minh rằng nếu 3 3 3
a + b + c = 3abc thì a=b=c hoặc a + b + c = 0 . Giải
Từ đẳng thức đã cho suy ra 3 3 3
a + b + c − 3abc = 0 . Ta phân tích đa thức 3 3 3
a + b + c − 3abc thành nhân tử. Ta có: 3 3 2 2 2
b + c = (b + c)(b + c − bc) = (b + c)[(b + c) − 3bc] 3
= (b+ c) − 3bc(b + c); 3 3 3 3 3
a + b + c = a + (b + c) − 3bc(b + c) − 3abc 2 2
= (a + b + c)[a − a(b+ c) + (b+ c) ]− 3bc(a + b + c) 2 2 2
= (a+ b+ c)(a + b + c − ab − bc − ca). Do đó, nếu 3 3 3
a + b + c − 3abc = 0 thì a + b + c = 0 , hoặc: 2 2 2
a + b + c − ab − bc − ca = 0 hay 2 2 2
(a − b) + (b − c) + (c − a) = 0. Suy ra a=b=c.
Ví dụ 26. Chứng minh rằng: 3 3 3
(b − c) + (c − a) + (a − b) = 3(a − b)(b − c)(c − a). Giải
Đặt x = b − c, y = c − a, z = a − b . Áp dụng Ví dụ 25: 3 3 3 2 2 2
x + y + z − 3xyz = (x + y + z)(x + y + z − xy − yz − zx) = 0
(vì x + y + z = 0 ) Suy ra 3 3 3
x + y + z = 3xyz , tức là có điều phải chứng minh.
Ví dụ 27. Phân tích đa thức 3 3 3 3
(x + y + z) − x − y − z thành nhân tử.
Áp dụng chứng minh đẳng thức: 3 3 3 3
(a + b + c) − (a + b − c) − (b + c − a) − (c + a − b) = 24abc Hướng dẫn
Sử dụng các hằng đẳng thức 3 3 A − B và 3 3
A + B nhân hai số hạng đầu và hai số
hạng cuối ta được: 3(x + y)(y + z)(z + x) . Áp dụng:
Đặt x = a + b − ;
c y = b + c − a; z = c + a − b thì a + b + c = x + y + z
Dạng 10. CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp giải
Để chứng minh A>B a lập hiệu A-B và phân tích đa hức A-B thành nhân tử. Sau đó chứng minh A-B>0.
Ví dụ 28: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác. Chứng minh rằng: 3 a a ( 2 2 a − c ) 2 + b ( 2 2 c − a ) 2 + c ( 2 2 )
a − b ) < 0 với a < b < c 2 2 2 3 3 3
b)a(b − c) + b(c− a) + c(a + b) > a + b + c . Giải:
a) Ta phân tích vế trái của bất đẳng thức thành nhân tử: 3 a ( 2 2 a − c ) 2 + b ( 2 2 c − a ) 2 + c ( 2 2 a − b ) 3 = a ( 2 2 b − a ) + ( 2 2 a − c ) 3  + b  ( 2 2 c − a ) 3 + c ( 2 2 a − b ) 3 = a ( 2 2 b − a ) 3 + a ( 2 2 a − c ) 3 + b ( 2 2 c − a ) 3 + c ( 2 2 a − b ) = ( 2 2 b − a )( 3 3 c − a ) + ( 2 2 a − c )( 3 3 a − b )
= (a − b)(c − a) (a + b)  ( 2 2
a + ac + c ) + (a − c)(a − b) (a + c)   ( 2 2
a + ab + b )
= a − b (c − a) (a + b)  ( 2 2
a + ac + c ) − (a + c)( 2 2 ( )
a + ab + b )
= (a − b)(c − a)(c − b)(ab + bc + ca).
Vì 0 < a < b < C nên a – b <0, c – a >0, c – b >0>0, b + bc + ca > 0
Do đó: (a – b)(c – a)(c – b)(ab + bc + ca) <0 Vậy: 3 a ( 2 2 a − c ) 2 + b ( 2 2 c − a ) 2 + c ( 2 2
a − b ) < 0 với a < b < c b) Xét hiệu: 2 2 2 3 3 3
a(b − c) + b(c− a) + c(a + b) > a + b + c
= a (b − c)2 − a  + b(c − a)2 − b  + c(a + b)2 3 3 3 − c       
= a (b − c)2 − a  + b (c − a)2 − b  + c (a + b)2 2 2 2 − c       
= a(a + b − c)(b − c − a) + b(c+ b− a)(c− b− a) + c(a+ b− c)(a+ b+ c) 2 2 2
= (a + b − c)(ab − ac − a − bc− b + ac+ ab+ bc + c ) = (a+ b− 2 2 2
c)(2ab − a − b + c )
= (a+ b− c) c − (a − b)2 2   
= (a+ b− c)(c+ a− b)(c− a + b)
Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác nên: a + b – c > 0; c + a – b > 0, a + c – a > 0 do
đó (a + b – c)(c + a – b)(a + c – a) > 0 Vậy: 2 2 2 3 3 3
a(b − c) + b(c− a) + c(a + b) > a + b + c . C. LUYỆN TẬP:
1. (Dạng 1). Phân tích đa thức thành nhân tử: a)7x + 7 y 2 2
b)2x y − 6xy 2
c)3x(x −1) + 7x (x −1)
d )3x(x − a) + 5a(a − x)
2. (Dạng 1). Phân tích đa thức thành nhân tử: 4 3 a)6x − 9x 10 6 b)5 y +15 y 2 2 2 2
c)9x y +15x y − 21xy 2 2 2 2 2 2
d )x y z + xy z + x yz
3. (Dạng 1). Phân tích đa thức thành nhân tử: 2 2
a)x − 6xy + 9 y 3 2 2 3
b)x + 6x y +12xy + 8 y 3 c)x − 64 3 6 d )125x + y 3 e)0.125(a+1) −1
4. (Dạng 1). Phân tích đa thức thành nhân tử:
a)2x(x +1) + 2(x +1) 2 2 2 + − − b) y (x y) zx zy c)4x (x-2y) +8y (2y-x) 2 2
d )49( y − 4) − 9( y + 2)
5. (Dạng 1). Phân tích đa thức thành nhân tử: 2 2
a)(2x +1) − (x −1) 2 2
b)9(x + 5) − (x − 7) 2 2
c)25(x − y) −16(x + y) 2 2
d )49( y − 4) − 9( y + 2)
6. (Dạng 1). Phân tích đa thức thành nhân tử: 4 3
a)x + x + x +1 4 3
b)x − x − x +1 2 2
c)x y + xy − x − y 2 2
d )ax + a y − 7x − 7 y 2 2
e)ax + ay − bx − by 2 2
f )x(x +1) + x(x − 5) − 5(x +1)
7. (Dạng 1). Phân tích đa thức thành nhân tử: 2 2
a)3x −12 y 2 2
b)x − y − x + y 3 2 3
c)x + 3x + 3x +1− 27z
8. (Dạng 1). Phân tích đa thức thành nhân tử: 2 2
a)x − 2xy + y − xz + yz 3
c)a x − ab + b − x 2 2
b)x − y − x + y 2 2
d )3x (a + b + c) + 36xy(a+ b+ c) +108 y (a+ b+ c)
9. (Dạng 1). Phân tích đa thức thành nhân tử: 2
a)x − x − 6 4 2 b)x + 4x − 5 3
c)x −19x − 30 4 2
d )x + x +1
10. (Dạng 1). Phân tích đa thức thành nhân tử:
a)ab(a − b) + bc(b− c) + ca(c− a)
b) (a + b + c)3 3 3 3
− a − b − c 2 2 2 2 2
c)4a b − (a + b − c )
11. (Dạng 1). Phân tích đa thức thành nhân tử: 2 2 2
a)(1+ x ) − 4x(1− x ) 2 2 b)(x − 8) + 36 4 c)81x + 4
12. (Dạng 2). Tính giá trị biểu thức 2 2 43 −11 3 3 97 + 83 a) − ( b) 97,83 36, 5)2 − (27,5)2 180
c) A = x (2x − y) − z ( y − 2x) với x = 1, 2; y = 1, 4; z = 1,8
d B = ( x − ) 2 )
1 x − 4x ( x − ) 1 + 4 ( x − ) 1 với x = 3
13. (Dạng 4). Tìm x, biết: a ( − )2 ) 2x 1 − 25 = 0 3 b)8x − 50x = 0 c ( x − )( 2 x + + ) + ( 2 ) 2 2x 7
2 x − 4) − 5( x − 2) = 0
14. (Dạng 4). Tìm x, biết: a)3x ( x − ) 1 + x −1 = 0 b)2x ( x + 3) 2 − x − 3x = 0 2
c)4x − 25 − (2x − 5)(2x+7) 3
d )x + 27 + ( x + 3)( x − 9) = 0
15. (Dạng 5). Chứng minh rằng: 9
a)2 −1 chia hết cho 73 6 4
b)5 −10 chia hết cho 9
16. (Dạng 5). Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì:
a (n + )2 − (n − )2 ) 3 1 chia hết cho 8
b (n + )2 − (n − )2 ) 6 6 chia hết cho 24
17. (Dạng 5). Chứng minh rằng với n lẻ thì: 2
a)n + 4x + 3 chia hết cho 8 3 2
b)n + 3n − n − 3 chia hết cho 48
18. (Dạng 6). Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa một trong các đẳng thức sau:
a) y ( x − 2) + 3x − 6 = 2
b)xy + 3x − 2 y − 7 = 0
c)xy − x + 5 y − 7 = 0
19. (Dạng 7). Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) ( x + x)2 2 2 + 4(x + x) −12 2
b)(x + x +1) ( 2 x + x +12) −12
c) ( x + 4x + 8)2 2 + 3x ( 2 x + 4x + 8) 2 + 2x d ) ( x + )
1 ( x + 2)( x + 3)( x + 4) − 24
20.(Dạng 8).Phân tích đa thức thành nhân tử 3 2
a)2x − 5x + 8x − 3; 3 2
b)3x −14x + 4x + 3; 2 2
c)12x + 5x −12 y +12 y −10xy − 3.
21.(Dạng 9).cho a +b +c =0 ,chứng minh các đẳng thức sau: 3 3 3
a)a + b + c = 3 ; abc 5 5 5 2 2 2
b)2(a + b + c ) = 5abc(a + b + c ); 2 2 2 2 4 4 4
c)(a + b + c ) = 2(a + b + c ).
22.(Dạng 9).cho 3 số a ,b ,c thỏa a +b +c =1 và 3 3 3
a + b + c = 1 chứng minh 2005 2005 2005 a + b + c =1.
23.(Dạng 10).a ,b ,c là 3 cạnh của tam giác .Chứng minh rằng : 3 3 3 2 2 2
a)a + b + c + 2abc < a (b + c) + b (c + a) + c (a + b); 2
b)(a + b + c) ≤ 9abc với a ≤ b ≤ ; c 2 2 2 2 2 2 4 4 4
c)2a b + 2b c + 2c a − a − b − c > 0; 2 2 2 2 2 2
d)4a b > (a + b − c ) .
§ 10.CHIA ĐƠN THỨC CHO ĐƠN THỨC
§ 11.CHIA ĐA THỨC CHO ĐƠN THỨC
A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Quy tắc chia đơn thức A cho đơn thức B:
• Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B.
• Chia từng lũy thừa của biến trong A cho lũy thừa của cùng biến đó trong B.
• Nhân các kết quả tìm được với nhau. Ví dụ: 4 3 2 2 2
20x y z : 4x y = 5x y z.
2.Quy tắc chia đa thức A cho đơn thức B:
Muốn chia đa thức A cho đơn thức B ,ta chia mỗi hạng tử của cho B rồi
cộng các kết quả với nhau. Ví dụ: 4 2 2 4 2 2 2
(16x y − 20x y + 8x y ) : 4xy = 4 2 2 2 4 2 2 2 2 3 2
= 16x y : 4xy − 20x y : 4xy + 8x y : 4 xy = 4x − 5xy + 2x B. CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: LÀM TÍNH CHIA Phương pháp giải
• Chia hai lũy thừa của một biến: m : n m−n x x = x
(m ≥ n ≥ 0).
• Quy tắc chia hai đơn thức A và B.
• Quy tắc chia đa thức cho đơn thức:
( A + B − C) : D = A : D + B : D − C : . D
Ví dụ 1: (Bài 59 .trang 26 SGK) Làm tính chia: 5 3     3 2 3 3 a)5 : ( 5) − ; b) : ;     3 3 c)( 12) − : 8 .  4   4  Giải 5 3 2       3 2 3 2 3 3 3 9 a)5 : ( 5 − ) = 5 : 5 = 5; b) : = = ;        4   4   4  16 3 3  12   3  27 3 3 c)( 12) − : 8 = − = − = − .      8   2  8
Ví dụ 1: (Bài 60 .trang 27 SGK) Làm tính chia: 10 8 5 3 a) x : (−x) ;
b) (−x) : (−x) ; 5 4
c)(− y) : (− y) . Giải 10 8 10 8 2 5 3 2
a) x : (−x) = x : x = x ;
(−x) (−x) = (−x) 2 b) : = x ; 5 4
c)(− y) : (− y) = − . y
Ví dụ 3: (Bài 61 .trang 27 SGK) Làm tính chia: 2 4 2 3  1  a)5 x y :10 x y; 3 3 2 2 b) x y : − x y ;   4  2  10 5
c)(−xy) : (−x y) . Giải 5 1 2 4 2 3 3 a)5 x y :10 x y = y = y ; 10 2 3  1  3 2 3 3 3 2 2 b) x y : − x y
= − . xy = − xy;   4  2  4 1 2 10 5 5
c)(−xy) : (−x y) = (−xy) .
Ví dụ 4: (Bài 64 .trang 28 SGK) Làm tính chia: 5 2 3 2 a)( 2 − x + 3x − 4x ) : 2x ;  1  3 2 2
b) x − 2x y + 3xy : − x ;    2  2 2 2 3
c)(3x y + 6x y −12xy) : (3x y). Giải 3 5 2 3 2 3 a)( 2
− x + 3x − 4 x ) : 2 x = − x + − 2 x; 2  1  3 2 2 2 2
b) x − 2x y + 3xy : − x = 2 − x + 4 xy− 6 y ;    2  2 2 2 3 2
c)(3x y + 6x y −12xy) : (3x y) = xy+ 2 xy − 4.
Ví dụ 5: (Bài 65 .trang 29 SGK) Làm tính chia: 4 3 2 2
3(x − y) + 2(x − y) − 5(x − y)  : (y − x) .   Giải Ta có 2 2
( y − x) = (x − y) nên : 4 3 2 2 2
3(x − y) + 2(x − y) − 5(x − y)  : (y − x) = 3(x− y) + 2(x− y) − 5.  
Dạng 2: TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC Phương pháp giải
• Trước hết rút gọn biểu thức bằng cách chia đơn thức cho đơn cshoawcj đa thức cho đơn thức.
• Thay giá trị của biến vào biểu thức đã rút gọn.
Ví dụ 6: (Bài 61 .trang 27 SGK)
Tính giá trị biểu thức sau: 4 3 2 2 2
15 x y z : 5 x y z với x = 2, y = -10, z = 2004. Giải Ta có : 4 3 2 2 2 3
15 x y z : 5 x y z = 3x .
y Với x = 2 , y = -10 thì : 3 3 3x y = 3.2 ( 10) − = 240. −
Dạng 3: KHÔNG LÀM TÍNH CHIA , XÉT XEM ĐA THỨC A CÓ CHIA HẾT CHO ĐƠN THỨC B KHÔNG Phương pháp giải
A muốn chia hết choB thì mội hạng tử của A đều phải chia hết cho B.
Ví dụ 7: (Bài 66. trang 29 SGK)
Khi giải bài tập :"Xét xem đa thức 4 3 2
A = 5x − 4x − 6x y có chia hết cho đơn thức 2
B = 2x hay không ?"
Hà trả lời :"A không chia hết cho B vì 5 không chia hết cho 2".
Quang trả lời:"A chia hết cho B vì mọi hạng tử của A đều chia hết cho B". Ý kiến của em? Giải
Ý kiến của em:quang trả lời đúng.
Ví dụ 8: (Bài 63 .trang 28 SGK)
Không làm tính chia,hãy xét xem đa thức a có chia hết cho đơn thức B không ? 2 3 2 2
A = 15xy +17xy +18y ; B = 6 y . Giải A chia hết cho B vì 2 3 2
15xy ,17xy ,18y đều chia hết cho 2 6 y C. LUYỆN TẬP
1.(Dạng 1). Làm tính chia 12 24 25 49 8 12 a)25 : 5 ;  49   7   1   1  : ;     : .      25   5   9   3   12  4 4 3 5 4 2 b) − x y z : x yz ;   5 3 2 3 21 − xy z :7 x y z .  25  5
2.(Dạng 1). Làm tính chia 8 3
a)13(a − b) : 5(a − b) ; 3 3 6 3 b) − (x− y) : (x− y) . 2 4 3 c)(x + 8) : (x+ 2).
3.(Dạng 1). Làm tính chia 4 3 2 2
a)(5x − 2x + x ) : 2 x ;  1 7  2 2 3 3 b) xy + x y + x y : 5xy;    3 2  3 5 4 4 5 3 3 2
c)(15x y − 20x y − 25x y ) : 5 − x y ;  10 15  10 2 3 4 2 d) − x yz + xyz − 5xyz : xyz.    3 2  3
4.(Dạng 2). Tính giá trị của biểu thức 3 5 4 2 4 4 ( 1 − 5x y z ) :(5x y z ) với 2 3 x = − , y = − , z = 10000. 3 2
§ 12.CHIA ĐA THỨC MỘT BIẾN ĐÃ SẮP XẾP
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
•Phép chia hai đa thức đã sắp xếp thực hiện tương tự như phép chia hai số tự nhiên.
• Đối với hai đa thức một biến A,B tùy ý , B ≠ 0 tồn tại hai đa thức duy nhất Q và R sao cho A = .
B Q + R ,Trong đó R=0 hoặc bậc của R thấp hơn bậc của B .Khi R=0 phép
chia A cho B là phép chia hết.
•Muốn tìm hạng tử cao nhất của đa thức thương Q ta chia hạng tử cao nhất của
đa thức bị chia A cho hạng tử cao nhất của đa thức chia B.
•Để tìm hạng tử thứ hai của đa thức thương ta chia hạng tử cao nhất của dư thứ
nhất cho hạng tử cao nhất của đa thức chia .
•Chia đến khi nào bậc của đa thức dư R bé hơn bậc của đa thức chia B. B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. THỰC HIỆN PHÉP CHIA ĐA THỨC Phương pháp giải
- Sắp xếp đa thức một biến theo lũy thừa giảm dần.
- Các bước chia đa thức đã sắp xếp
+ Trình bày phép chia như phép chia số tự nhiên.
A + B + C D + E
+ Chia hạng tử cao nhất của đa thức bị chia cho hạng tử cao nhất của đa thức chia ta được
hạng tử cao nhất của đa thức thương.
+ Chia hạng tử cao nhất của dư thứ nhất cho hạng tử cao nhất của đa thức chia ta được
hạng tử thứ hai của đa thức thương. …
Chú ý. Nếu đa thức bị chia khuyết một bậc trung gian nào đó thì khi viết ta để trống một
khoảng ứng với bậc khuyết đó.
Ví dụ 1. (Bài 67, trang 31 SGK)
Sắp xếp các đa thức sau rồi làm phép chia : a) ( 3 2
x − 7x + 3 − x ) : ( x − 3) b) ( 4 3 2
x − x − x − + x) ( 2 2 3 3 2 6 : x − 2) Giải a) 3 2 − − x − 3 x x 7x+3 − 2 3 2 − x +2 x 3 x −1 x 2 2x − 7x+3 − 2 2x − 6x − x+3 − − x+3 0 Vậy ( 3 2
x − x + − x ) ( x − ) 2 7 3 : 3 = x + 2x −1 b) 4 3 2
2x − 3x − 3x + 6x − 2 2 x − 2 − 4 2 2x − 4x 2 2x − 3x +1 3 2
− 3x + x + 6x − 2 − 2 − 3x + 6x 2 x − 2 − 2 x − 2 0 Vậy : 4 3 2 2 2
(2x − 3x − 3x + 6x − 2) : (x − 2) = 2x − 3x +1
Ví dụ 2. ( Bài 69, trang 31 SGK) Cho hai đa thức 4 3 2
A = 3x + x + 6x − 5, B=x +1 . Hãy chia A cho B rồi viết A dưới dạng A = . B Q + R Giải Thực hiện chia A cho B. 4 3 3x + x + 6x − 5 2 x +1 − 4 2 3x + 3x 2 3x + x − 3 3 2
x − 3x + 6x − 5 − 3 x + x 2
− 3x + 5x − 5 − 2 − 3x − 3 5 − x + 2 Vậy: 4 3 2 2
3x + x + 6x − 5 = (x +1)(3x + x − 3) + 5x − 2
Ví dụ 3. ( Bài 70, trang 32 SGK) Làm tính chia: a) 3 2 2 2 2 2
(15x y − 6x y − 3x y ) : 6x y . b) 5 4 2 2
(25x − 5x +10x ) : 5x . Giải a) 5 1 3 2 2 2 2 2
(15x y − 6x y − 3x y ) : 6x y = xy −1− y 2 2 b) 5 4 2 2 3 2
(25x − 5x +10x ) : 5x = 5x − x + 2
Ví dụ 4. ( Bài 72, trang 32 SGK) Làm tính chia: 4 3 2 2
(2x + x − 3x + 5x − 2) : (x − x +1). Giải 4 3 2
2x + x − 3x + 5x − 2 2 x − x +1 − 4 3 2
2x − 2x + 2x 2 2x + 3x − 2 3 2
3x − 5x + 5x − 2 − 3 2
3x − 3x + 3x 2
− 2x + 2x − 2 − 2
− 2x + 2x − 2 0 Dạng 2: TÍNH NHANH Phương pháp giải
Sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ.
Ví dụ 5. ( Bài 68, trang 31 SGK). Tính nhanh: a) 2 2
(x + 2xy + y ) : (x + y); b) 3 2 2
(125x +1) : (5x +1); c) (x − 2xy + y ) : ( y − x) Giải a) 2 2 2
(x + 2xy + y ) : (x + y) = (x + y) : (x + y) = x + y b) 3 2
(125x +1) : (5x +1) = 25x + 5x +1 c) 2 2 2
(x − 2xy + y ) : ( y − x) = (y− x) : ( y − x) = y − x
Ví dụ 6. ( Bài 71, trang 32 SGK)
Không thực hiện phép chia, hãy xét xem đa thức A có chia hết cho đa thức B không. a) 1 4 3 2 2
A = 15x − 8x + x ; B= x . 2 b) 2
A = x − 2x +1; B=1-x. Giải
a) A chia hết cho B vì 4 3 15x ,8x và 2 1
x đều chia hết cho 2 x . 2
b) A chia hết cho B vì A = ( − x)2 1 .
Ví dụ 7. (Bài 73, trang 32). Tính nhanh: a) ( 2 2
4x − 9 y ) : (2x − 3y) b) ( 3 27x − ) 1 : (3x − ) 1 c) ( 3x + ) ( 2 8
1 : 4x − 2x + ) 1
d) ( 2x −3x + xy −3y):(x + y) Giải a) ( 2 2
4x − 9 y ) : (2x − 3y) = (2x − 3y)(2x + 3y) : (2x − 3y) = 2x + 3y b) ( 3
x − ) ( x − ) 2 27 1 : 3 1 = 9x + 3x +1 c) ( 3x + ) ( 2 8
1 : 4x − 2x + ) 1 = 2x +1 d) 2
x − 3x + xy − 3y = x ( x − 3) + y ( x − 3) = ( x + y)( x − 3) Do đó: ( 2
x − 3x + xy − 3y ) : ( x + y) = x − 3
Dạng 3. ÁP DỤNG ĐỊNH LÍ BÉZOUT ĐỂ PHÂN TÍCH ĐA THỨC RA THỪA SỐ Phương pháp giải.
• Định lí Bézout.
Dư trong phép chia đa thức f (x) cho x − a là f (a) ( f (a) là giá trị của đa thức
f ( x) tại x = a ). • Hệ quả.
- Nếu f (x) chia hết cho x − a thì f (a) = 0 .
- Nếu f (a) = 0 thì f (x) chia hết cho x − a .
Chứng minh: Lấy f (x) chia cho x − a được dư là λ . Ta có:
f ( x) = ( x − a).q ( x) + λ . (1)
Thay x = a vào (1) ta được: f (a) = λ . Vậy f (a) là dư trong phép chia f (x) cho x − a .
Ví dụ 8. (Bài 74, trang 32 SGK)
Tìm số a để đa thức f (x) 3 2
= 2x − 3x + x + a chia hết cho đa thức x + 2 Giải
f ( x) chia hết cho x + 2 khi f ( 2 − ) = 0 tức là khi: (− )3 − (− )2 2. 2 3. 2 + ( 2
− ) + a = 0 ⇒ a = 30 .
Ví dụ 9. Cho đa thức f (x) 3 2
= 3x − 7x + 4x − 4 . Chứng minh rằng f (x) chia hết cho x − 2.
Tìm thương trong phép chia f (x) cho x − 2. Từ đó hãy phân tích đa thức 3 2
3x − 7x + 4x − 4 ra thừa số. Giải
Thay x = 2 vào f (x) ta được: f ( ) 3 2
2 = 3.2 − 7.2 + 4.2 − 4 = 0. Vậy f ( x) chia hết cho x − 2 .
Thực hiện phép chia đa thức f (x) cho x − 2 ta được thương là q(x) 2 = 3x − x + 2. Vậy : 3 2
x − x + x − = ( x − )( 2 3 7 4 4 2 3x − x + 2.)
Dạng 4. TÌM SỐ NGUYÊN n ĐỂ BIỂU THỨC A(n)
CHIA HẾT CHO BIỂU THỨC B(n) . Phương pháp giải.
• Thực hiện phép chia đa thức A(n) cho B(n). A(n) R (n) • Giả sử: R n Xác định n để là số nguyên.
B (n) = Q (n) ( ) + B(n). B (n)
Ví dụ 10. Tìm tất cả các giá trị nguyên của n để 2
2n + 3n + 3 chia hết cho 2n −1. Giải Thực hiện phép chia 2
2n + 3n + 3 cho 2n −1 ta được: 2 2n + 3n + 3 5 = n + 2 + . 2n −1 2n −1 2 n + n + Để 2 3
3 là số nguyên thì 5 phải là số nguyên. Suy ra 2n−1 là ước của 5. Ước của 2n −1 2n −1 5 bao gồm các số 1 ± , 5 ± . Với 2n −1 = 1 − ta có n = 0 .
Với 2n −1=1 ta có n = 1. Với 2n −1 = 5 − ta có n = 2 − . Với 2n −1 = 1 − ta có n = 0 .
Với 2n −1 = 5 ta có n = 3.
Vậy với n = 0;1; -2; 3thì 2
2n + 3n + 3 chia hết cho 2n −1.
Tóm lại x − x + = (x − )2 4 3 ( 2 3 4 1 1 3x + 2x + ) 1 .
• Tìm các nghiệm của đa thức với một biến nào đó đã cho.
• Áp dụng Định lý Bézout (dạng 3).
Để tìm dư trong phép chia f (x) cho x −α và tìm đa thức thương q(x) ta dùng các cách sau:
+ Thay một giá trị đặc biệt của x gọi là phương pháp xét giá trị riêng.
+ Thực hiện phép chia đa thức f (x) cho f (x) .
+ Dùng sơ đồ Horner để tính các hệ số của đa thức thương và dư như sau:
Giả sử: f (x) n n 1
= a x + a x − +...+ a x + a ; n n 1 − 1 0 q ( x) n 1 − n−2
= b x + b x +...+ b x + b . n n 1 − 2 1
Các hệ số của b được tính như sau : i a a a a n n 1 − n− ... 2 1 α b b b ... b n n 1 − n−2 1 = a = αb + a = αb + a = αb + a n n n 1 − n 1 − n−2 2 1
Dư là λ = αb + a . 1 0
Chẳng hạn, phân tích f (x) 4 3
= 3x − 4x +1thành nhân tử. Ta có x =1 là nghiệm của
đa thức f (x) vì f ( )
1 = 0 nên f ( x) chia cho x −1. Thực hiện phép chia đa thức
f ( x) cho x −1 ta được thương q ( x) 3 2
= 3x − x − x −1 hoặc dùng sơ đồ Horner như sau: 3 4 − 0 0 1 1 3 1 − 1 − 1 − 0
Vậy f (x) = (x − )( 3 2
1 3x − x − x − ) 1 . Ta lại có q( )
1 = 0 với q ( x) 3 2
= 3x − x − x −1 nên
q ( x) = ( x − )( 2 1 3x + 2x + ) 1 3 1 − 1 − 1 − 1 3 2 1
Dạng 5. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP XÉT GIÁ TRỊ RIÊNG Phương pháp giải
Ví dụ 11. Phân tích thành nhân tử các đa thức sau bằng phương pháp xét giá trị riêng.
a) P = ab (a − b) + bc (b − c) + ca (c − a) ; b ( 2 2
b − c ) + b( 2 2
c − a ) + c ( 2 2 ) Q=a a − b ); Giải
a) Nếu thay a bởi b thì 2
P = b (b − b) + bc (b − c) + cb (c − b) = 0 nên P chia hết cho a − b . Vì
vai trò của a,b,c như nhau trong đa thức nên P chia hết cho (a −b)(b − c)(c − a) . Trong
phép chia đó, đa thức bị chia P có bậc ba đối với các biến, đa thức chia(a −b)(b − c)(c − a)
cũng có bậc ba đối với các biến nên thương là hằng số k . Trong hằng đẳng thức :
ab (a − b) + bc (b − c) + ca (c − a) = k (a − b)(b − c)(c − a)
Ta cho các biến nhận các giá trị riêng a = 2, b=1, c=0ta được:
2.1.1+ 0 + 0 = k.1.1.( 2 − ) ⇒ k = 1 − .
Vậy P = (a −b)(b − c)(a − c) .
b) Tương tự Q = (a − b)(b − c)(c − a) .
Ví dụ 12. Phân tích đa thức 3 3 3
a + b + c − 3abc thành nhân tử. Giải
Cách 1. Xem f (x) 3 3 3
= a − 3abc + b + c là đa thức bậc ba đối với a . Ta có: f ( b
− − c) = −(b + c)3 + (b + c) 3 3 3
bc + b + c = 0 .
f (a) chia hết cho a + b + c . Thực hiện phép chia đa thức f (a) cho a + b + c hoặc dùng sơ
đồ horner để tìm đa thức dương: 1 0 3 − bc 3 3 b + c b − − c 1 b − − c 2 2
b + c − bc 0 Đa thức thương ( ) 2 = − ( + ) 2 2 q x a
b c a + b + c − bc . Vậy: ( ) = ( + + ) 2  − ( + ) 2 2 f a a b c a b
c a + b + c − bc   . Hay: 3 3 3
a + b + c − abc = (a + b + c)( 2 2 2 3
a + b + c − ab − bc − ca) .
Cách 2. Thay a bởi b
− − c thì đa thức có giá trị là 0 nên 3 3 3
P = a + b + c − 3abc chia hết cho
a + b + c .
P có bậc ba đối với các biến, a + b + c và có bậc một nên thương là đa thức bậc hai đối với
các biến và a,b,c có vai trò như nhau nên thương có dạng ( 2 2 2
k a + b + c ) + l (ab + bc + ca)
với k.l là hằng số. Ta có hẳng đẳng thức: 3 3 3 2 2 2
a + b + c − 3abc = (a + b + c)[k(a + b + c ) + l(ab + bc + ca)] .
Thay a =1,b = c = 0 ta được k =1 .
Thay a = b =1,b = 0 ta được : 2 = 2(2 + l) suy ra l = 1 − . Vậy : 3 3 3 2 2 2
a + b + c − 3abc = (a + b + c)(a + b + c − ab − bc − ca) .
Dạng 6. TÌM CÁC HỆ SỐ ĐỂ ĐA THỨC f(x) CHIA HẾT CHO g(x) Phương pháp giải
• Đa thức f(x) gọi là chia hết cho đa thức g(x) nếu có đa thức q(x) sao cho . Chẳng hạn : chia hết cho vì
• Để xác định các hệ số của đa thức sao cho f(x) chia hết cho g(x) ta sử dụng một trong các phương pháp :
+ Định lí Bezout : ‘’ Nếu f(x) chia hết cho thì ‘’.
+ Thực hiện phép chia đa thức tìm đa thức dư : , sau đó cho + Dùng đồng nhất .
Ví dụ 13. Xác định các hệ số a và b để đa thức 4 2
f (x) = x + ax + b chia hết cho 2
g(x) = x − 3x + 2 . Tìm đa thức thương. Giải
Cách 1. Phân tích g(x) thành nhân tử: 2
g(x) = x − x − 2x + 2 = x(x −1) − 2(x −1) = (x −1)(x − 2) .
Nếu f (x) chia hết cho g(x) thì f (x) chia hết cho x −1 và chia hết cho x − 2 . Theo
định lí Bezout ta có: f (1) = 0 và f (2) = 0 .Thay x =1; x = 2 vào f (x) ta được : 1+ a + b = 0 và
16 + 4a + b = 0 . Từ đó suy ra a = 5, − b = 4 .
Thực hiện phép chia đa thức 4 2
f (x) = x − 5x + 4 cho đa thức 2
x − 3x + 2 ta được thương 2
q(x) = x + 3x + 2 .
Cách 2. Lấy đa thức f (x) chia cho đa thức g(x) được đa thức dư
r(x) = (3a +15)x + b − 2a −14 và đa thức thương 2
q(x) = x + 3x + a + 7 . 2 4 2 x − 3x + 2 x + ax + b 2 4 3 2
x + 3x + a + 7 x − 3x + 2x 3 2 3x + (a − 2)x + b 3 2 3x − 9x + 6x 2 (a + 7)x − 6x + b 2 (a + 7)x
− 3(a + 7)x + 2(a + 7)
(3a +15)x + b − 2a −14
Để f (x) chia hết cho g(x) thì dư r(x) = (3a +15)x + b − 2a −14 phải đồng nhất bằng 0
tức là : 3a +15 = 0 và b − 2a −14 = 0 .Suy ra a = 5,
− b = 4 . Khi đó đa thức thương 2
q(x) = x + 3x + 2 .
Cách 3. Giả sử đa thức thương 2
q(x) = x + cx + d . Ta có đồng nhất hai đa thức: 4 2 2 2
x + ax + b ≡ (x − 3x + 2)(x + cx + d ) .
Thực hiện phép nhân đa thức ở vế phải ta được: 4 2 4 3 2
x − ax + b = x + (c − 3)x + (d + 2 − 3c)x + (2c − 3d )x + 2d .
Từ đó suy ra : c − 3 = 0,d + 2 − 3c = a,2c − 3d = 0,b = 2d .Hay c = 3,d = 2,a = 5 − ,b = 4 . Vậy với a = 5,
− b = 4 thì f (x) chia hết cho g(x) và đa thức thương 2
q(x) = x + 3x + 2 .
Dạng 7. TÌM DƯ TRONG PHÉP CHIA ĐA THỨC Phương pháp giải
• Dư trong phép chia đa thức cho là đa thức với bậc của nhỏ hơn bậc của (bậc < bậc ). • Dư trong phép chia cho là . Để tính
ta dùng sơ đồ Horner (xem dạng 5). Thật vậy, giả sử : Với ta có: .
Ví dụ 14. Tìm dư trong phép chia đa thức : a) 2 4 6 100
f (x) = 1+ x + x + x + ..... + x cho x +1 ; b) 5 3 2
f (x) = 2x − 70x + 4x − x +1 cho x − 6 ; Giải
a) Dư trong phép chia f (x) cho x +1 là f (− ) 1 = 51.
b) Dư trong phép chia f (x) cho x − 6 là f (6) = 571. 2 0 70 − 4 1 − 1 6 2 12 2 16 95 571 Ví dụ 15.
Tìm dư trong phép chia đa thức f (x) 5
= x + x +1 cho đa thức ( ) 3
g x = x − x . Giải
Cách 1. Thực hiện phép chia đa thức f (x) cho g (x) ta được: 5 3 x
+ x +1 x − x − 5 3 2 x − x x +1 3 x + x +1 − 3 x − x 2x +1 Do đó: 5 x + x + = ( 3 x − x)( 2 1 x + )
1 + 2x +1 . Vậy dư cần tìm là 2x +1 .
Cách 2. Giả sử ( ) = ( 3 f x
x − x)q( x) + r ( x) . Vì bậc của g ( x) là 3 nên bậc của r ( x) không quá 2 . Đặt ( ) 2
r x = ax + bx + c , ta có: 5
x + x + = x ( x − )( x + ) q ( x) 2 1 1 1
+ ax + bx + c (1)
Lần lượt thay x = 0, −1, 1 vào (1) ta được: c = 1
− , a − b + c = 3, a + b + c = 1 − .
Suy ra a = 0, b = 2, c =1. Vậy dư cần tìm là 2x +1.
Ví dụ 16. Cho đa thức f (x) , các phần dư trong các phép chia f (x) cho x và cho x −1 lần
lượt là 1 và 2 . Hãy tìm phần dư trong phép chia f (x) cho x(x − ) 1 . Giải
Theo Định lí Bézout ta có f (0) =1 và f ( )
1 = 2 . Vì x ( x − )
1 có bậc hai nên dư trong phép
chia f (x) cho x(x − )
1 có bậc không quá 1. Giả sử dư là r ( x) = ax + b ta có:
f ( x) = x( x − )
1 q ( x) + ax + b (1)
Thay x = 0 vào (1) ta được : f (0) = b =1.
Thay x =1 vào (1) ta được: f ( ) 1 = a + b = 2 .
Từ đó suy ra a = b =1. Vậy dư cần tìm là x +1. C. LUYỆN TẬP
1. (Dạng 1). Sắp xếp các đa thức rồi làm phép chia: a) ( 6 5 4 3 2
x + x − x −
x + x + x − ) ( 2 6 2 2 15 7 2 : x + 3x − ) 1 ; b) ( 2 4 3
x − x + x − x + ) ( 2 17 6 5 23
7 : 7 − 3x − 2x);
2. (Dạng 2). Làm tính chia: a) ( 3 4 2 4 3 x y − x y + xy ) ( 2 15 10 5 : 5 − xy );
b)  ( x − y)( x + y) −  ( 2 2 7 2 5 2 5
2 14x − 3y ) : ( 3 − y). 
3. (Dạng 2). Thực hiện phép chia đa thức sau đây bằng cách phân tích đa thức bị chia thành nhân tử: a) ( 5 3 2
x + x + x + ) ( 3 1 : x + ) 1 ; b) ( 2
x + 5x + 6) : ( x + 3); c) ( 3 2
x + x −12) : ( x − 2).
4. (Dạng 3). Xác định a để đa thức 3
x − 3x + a chia hết cho ( x − )2 1 .
5. (Dạng 4). Tìm tất cả số nguyên n để 2
2n + n − 7 chia hết cho n − 2.
6. (Dạng 5). Dùng sơ đồ Horner hãy phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 3 x − 7x − 6; b) 3 2
x + 4x − 7x −10; c) 3 2
x − 6x +11x − 6; d) 3 x −19x − 30.
7. (Dạng 5). Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp xét giá trị riêng:
a) (a + b + c)3 3 3 3
− a − b − c ; b) 3
a (b − c) 3
+ b (c − a) 3
+ c (a −b);
c) (a + b + c)5 5 5 5
− a − b − c ; d) 2 2 2 2 2 2 4 4 4
2a b + 2b c + 2c a − a − b − c .
8. (Dạng 6). Xác định a, b để đa thức f (x) 4 3 2
= x − 3x + x + ax + b chia hết cho đa thức g ( x) 2 = x − 3x + 2. 9.
(Dạng 6). Xác định m để đa thức 3 3 3
x + y + z + mxyz chia hết cho đa thức x + y + z . 10.
(Dạng 7). Xác định a, b để đa thức 10 3
f (x) = x + ax + b chia hết cho 2 x −1 có dư là 2x +1 11.
(Dạng 7). Tìm dư trong phép chia: a) 2 2 ( ) = − + 2 − 3 +...+ ( 1 − )n n f x x x x nx cho x +1; b) 100 50 25 f (x) = x
− x + 2x − 4 cho 2 x −1.
12. (Dạng 7). Xác định a,b để đa thức 3
2x + ax + b chia cho x +1 dư 6
− , chia cho x − 2 dư 21 . ÔN TẬP CHƯƠNG I A.
BÀI TẬP ÔN TRONG SGK 75. Làm tính nhân: a) 2 2 2
5x .(3x − 7x + 2) ; b) 2 2 x .(
y 2x y − 3xy + y ) 3 Giải a) 2 2 4 3 2
5x (3x − 7x + 2) = 15x − 35x +10x ; b) 2 4 2 2 2 3 2 2 2 3 x .(
y 2x y − 3xy + y ) = x y − 2x y + xy . 3 3 3 76. Làm tính nhân: a) 2 2
(2x − 3x)(5x − 2x +1) b) 2
(x − 2 y)(3xy + 5 y + x) Giải a) 2 2 4 3 2 3 2
(2x − 3x)(5x − 2x +1) = 10x − 4x + 2x −15x + 6x − 3x 4 3 2
= 10x −19x + 8x − 3x . b) 2 2 2 2 2 3 2 2 2 3
(x − 2 y)(3xy + 5 y + x) = 3x y + 5xy + x − 6xy −10 y − 2xy = 3x y − xy + x −10 y − 2xy 77.
Tính nhanh giá trị các biểu thức sau: a) 2 2
M = x + 4 y − 4xy tại x = 18 và y = 4 ; b) 2 2 2 3
N = 8x −12x y + 6xy − y tại x = 6 và y = 8 − . Giải a) Ta có 2
M = (x − 2 y) . Với x = 18 và y = 4 thì: 2 2
M = (18 − 2.4) = 10 = 100 . b) 3
N = (2x − y) . Với x = 6 và y = 8 − thì: 3 N = (2.6 + 8) = 8000 . 78.
Rút gọn các biểu thức sau:
a) (x + 2)(x − 2) − (x − 3)(x +1) ; b) 2 2
(2x +1) + (3x −1) + 2(2x +1)(3x −1) . Giải a) Ta có 2 2
(x + 2)(x − 2) − (x − 3)(x +1) = x − 4 − (x + 2 − 3x − 3) 2 2
= x − 4 − x − x + 3x + 3 = 2x −1 b) 2 2 2
(2x +1) + (3x −1) + 2(2x +1)(3x −1) = [(2x +1) + (3x −1)] 2 2 = (5x ) = 25x . 79.
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 2 2
x − 4 + (x − 2) b) 3 2 2
x − 2x + x − xy b) 3 2
x − 4x −12x + 27 Giải a) 2 2 2
x − 4 + (x − 2) = (x − 2)(x + 2) + (x − 2)
= (x − 2)[(x + 2) + (x − 2)] = 2x(x − 2) b) 3 2 2 2 2
x − 2x + x − xy = x(x − 2x +1) − xy ) 2 2 = [
x (x −1) − y ]
= x(x −1− y)(x −1+ y) c) 3 2 3
x − 4x −12x + 27 = (x + 27) − 4(x + 3) 2
= (x + 3)(x − 3x + 9) − 4(x + 3) 2
= (x + 3)(x − 3x + 5) . 80. Làm tính chia: a) 3 2
(6x − 7x − x + 2) : (2x +1) b) 4 3 2 2
(x − x + x + 3x) : (x − 2x + 3) c) 2 2
(x − y + 6x + 9) : (x + y + 3) . Giải a) 3 2
6x − 7x − x + 2 2x +1 ¯ 3 2 6x + 3x 2 3x − 5x + 2 2 − − + ¯ 10x x 2 2 10 − x − 5x ¯ 4x + 2 4x + 2 0 Vậy 3 2 2
(6x − 7x − x + 2) : (2x +1) = 3x − 5x + 2 b) 4 3 2
x − x + x + 3x 2 x − 2x + 3 ¯ 4 3 2
x − 2x + 3x 2 x + x 3 2 − + ¯ x 2x 3x 3 2
x − 2x + 3x 0 Vậy: 4 3 2 2 2
(x − x + x + 3x) : (x − 2x + 3) = x + x c) 2 2 2 2 2 2
x − y + 6x + 9 = (x + 6x + 9) − y = (x + 3) − y
= (x + 3− y)(x + 3+ y) Do đó: 2 2
(x − y + 6x + 9) : (x + y + 3) = (x + 3 − y)(x + 3 + y) 81. Tìm x , biết: a) 2 2 x(x − 4) = 0 b) 2
(x + 2) − (x − 2)(x + 2) = 0 3 c) 2 3
x + 2 2x + 2x = 0 . Giải a) Ta có: 2 2 2 x(x − 4) =
x(x − 2)(x + 2) . Do đó: 3 3
2 x(x − 2)(x + 2) = 0 khi x = 0 , x = 2 hoặc x = 2 − . 3 b) 2
(x + 2) − (x − 2)(x + 2) = (x + 2)(x + 2 − x + 2) = 4(x + 2) .
Vậy 4(x + 2) = 0 khi x = 2 − . c) 2
x(1+ 2 2x + 2x ) = 0 hay 2
x(1+ 2 2x) = 0 . Vậy x = 0 , 1 x = − . 2 82. Chứng minh rằng: a) 2 2
x − 2xy + y +1 > 0 với mọi x , y ; b) 2
x − x −1 < 0 với mọi x Giải a) Ta có 2 2 2
x − 2xy + y +1 = (x − y) +1. Vì 2
(x − y) ≥ 0 nên 2
(x − y) +1 ≥ 0 với mọi x , y b)  1 1  3 2 2 2
x − x −1 = −(x − x) −1 = − x − 2. . x + +    2 4  4 2  1  3 = − x − − < 0   với mọi x .  2  4 83.
Tìm n∈ để 2
2n − n + 2 chia hết cho 2n +1 Giải Ta có: 2
2n − n + 2 = (2n +1)(n −1) + 3 . 2
2n − n + 2 chia hết cho khi 2n +1 là ước của 3. Ước của 3 bao gồm 1 ± , 3 ± .
Từ đó tìm được n∈{−1;0;1; 2 − }. B. BÀI TẬP BỔ SUNG 1.
Phân tích các đa thức sau đây thành nhân tử: a) 3 a − 7a − 6 ; b) 3 2
a + 4a − 7a −10 ; c) 2 2 2
a(b + c) + b(c + a) + c(a + b) − 4abc ; d) 2 2 2
(a + a) + 4(a + a) −12 ; e) 2 2
(x + x +1)(x + x + 2) −12 ; f) 8 x + x +1; g) 10 5 x + x +1 ; h) 3 2 3 2 3 2
x (z − y ) + y (x − z ) + z ( y − x ) + xyz(xyz −1) ; i) 3 3 3 3
(x + y + z) − (x + y − z) − ( y + z − x) − (z + x − y) . 2. Cho , a ,
b c   thỏa điều kiện ab + ac + bc = 1. Chứng minh rằng 2 2 2
(1+ a )(1+ b )(1+ c )
là bình phương của một số hữu tỉ. 3.
a) Phân tích thành nhân tử 3 3 3
x + y + z − 3xyz ; b) Chứng minh rằng nếu 2
x − yz = z , 2
y − zx = b , 2
z − xy = c (x, y, z ∈ ) thì ax + by + cz
chia hết cho a + b + c . 4. Tìm các cặp số ( ;
x y); x, y ∈  thỏa mãn đẳng thức:
a) x + y = xy b) 2 2
5xy − 2 y − 2x = 2 − . 5.
Xác định a sao cho 2
(10x − 7x + a) chia hết cho (2x − 3) . 6.
Tính giá trị của biểu thức 3 3
x + 3xy + y biết x + y = 1.