Lý thuyết và bài tập chuyên đề tứ giác – Nguyễn Tất Thu

Tài liệu gồm 32 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Nguyễn Tất Thu, tổng hợp lý thuyết và bài tập chuyên đề tứ giác, giúp học sinh học tốt chương trình Hình học 8 chương 1.

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Chủ đề: Chương 3: Tứ giác (KNTT)

Môn: Toán 8

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32 trang 7 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
Nguyễn Tất Thu
CHƯƠNG 1
TỨ GIÁC
Bài 1. TỨ GIÁC
A. ĐỊNH NGHĨA
1. Tứ giác
Định nghĩa 1.
Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, D A, trong đó
bất kì đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng.
A
B
C
D
2. Tứ giác lồi
Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng mà bờ là đường thẳng chứa bất
kì cạnh nào của tứ giác.
B. TÍNH CHẤT
Tính chất 1. Tổng các góc của một tứ giác bằng 360
◦
.
VÍ DỤ 1. T ìm x trong các hình bên dưới
1
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A
B
D
C
110
◦
120
◦
80
◦
x
2
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A
B
C
D
x
3
3
Nguyễn Tất Thu
4 CHƯƠNG 1. TỨ GIÁC
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A
B
C
D
x
65
◦
4
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A
B
C
D
4x
2x
3x
x
5
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A
D
B
C
x
40
◦
50
◦
80
◦
VÍ DỤ 2. Cho tứ giác ABCD có AB = AD, CB = CD.
1 Chứng minh rằng AC là đường trung trực của đoạn BD.
2 Biết góc
b
C = 100
◦
,
b
A = 60
◦
. T ính góc
b
B và
b
D.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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VÍ DỤ 3. Cho tứ giác ABCD có B+D = 180
◦
và CB = CD. Chứng minh rằng AC là phân
giác của góc A.
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Nguyễn Tất Thu
1. TỨ GIÁC 5
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VÍ DỤ 4. Trong mặt phẳng cho 4 điểm bất kì sao cho không có ba điểm nào thẳng
hàng. Chứng minh rằng ta luôn tìm được một tam giác có đỉnh là ba điểm trong bốn
điểm đã cho và có ít nhất một góc có số đo không lớn hơn 45
◦
.
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C. BÀI TẬP
BÀI 1. Cho tứ giác ABCD có
b
B +
b
C = 200
◦
,
b
B +
b
D = 180
◦
,
b
D +
b
C = 120
◦
.
1 T ính các góc của tứ giác.
2 Các tia phân giác của góc
b
A và
b
B cắt nhau tại I. Chứng minh rằng
AIB =
b
C +
b
D
2
.
BÀI 2. Cho tứ giác ABCD biết
b
A :
b
B :
b
C :
b
D = 1 : 2 : 3 : 4.
1 T ính các góc của tứ giác;
Nguyễn Tất Thu
6 CHƯƠNG 1. TỨ GIÁC
2 Chứng minh AB ∥ CD;
3 Gọi giao điểm của AD và BC là E. Tính các góc của 4CDE.
BÀI 3. Tứ giác ABCD có AB = BC, AD = DC = AC và
b
A = 105
◦
. Tính các góc còn lại của tứ
giác.
BÀI 4. Cho tứ giác ABCD, biết hai đường thẳng AD và BC cắt nhau ở E, hai đường thẳng
AB và CD cắt nhau tại F. Các tia phân giác của góc E và góc F cắt nhau ở I. Tính góc
EIF
theo góc A và góc C của tứ giác ABCD.
BÀI 5. Tứ giác ABCD có
b
A −
b
B = 50
◦
. Các tia phân giác của góc C và D cắt nhau tại I và
CD I = 115
◦
. T ính các góc A và B.
BÀI 6. Cho tứ giác ABCD, E là giao điểm của các đường thẳng AB và CD, F là giao điểm
của các đường thẳng BC và AD. Các tia phân giác của các góc E và F cắt nhau ở I. Chứng
minh rằng
1 Nếu
BAD = 130
◦
,
BCD = 50
◦
thì IE vuông góc với IF.
2 Góc E IF bằng nửa tổng của một trong hai cặp góc đối đỉnh của tứ giác ABCD.
BÀI 7. Chứng minh rằng nếu M là giao điểm các đường chéo của tứ giác AB CD thì M A +
MB + MC + MD nhỏ hơn chu vi nhưng lớn hơn nửa chu vi tứ giác.
BÀI 8. So sánh độ dài cạnh AB và đường chéo AC của tứ giác ABCD biết rằng chu vi tam
giác ABD nhỏ hơn hoặc bằng chu vi tam giác ACD.
BÀI 9. Tứ giác ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo, AB = 6, O A = 8, OB = 4, OD = 6.
T ính độ dài AD.
BÀI 10. Cho năm điểm trên mặt phẳng trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng
minh rằng bao giờ cũng có thể chọn ra được bốn điểm là đỉnh của một tứ giác lồi.
Nguyễn Tất Thu
2. HÌNH THANG 7
Bài 2. HÌNH THANG
A. LÝ THUYẾT
1. Hình thang
Định nghĩa 1.
Là tứ giác có hai cạnh đối song song.
Trong trường hợp hai đáy có độ lớn khác nhau thì ta còn
phân biệt đáy lớn, đáy bé.
A
D
B
C
Tính chất 1. Trong một hình thang:
Nếu hai cạnh bên song song với nhau thì hai đáy bằng nhau.
Nếu hai đáy bằng nhau thì hai cạnh bên song song và bằng nhau.
Tổng hai góc kề với cạnh bên bằng 180
◦
.
Hình thang có một góc vuông được gọi là hình thang vuông.
2. Hình thang cân
Là hình thang có hai góc ở đáy bằng nhau.
Trong một hình thang cân ta có:
Hai cạnh bên bằng nhau.
Hai đường chéo bằng nhau.
A
D
B
C
Tính chất 2. Một tứ giác là hình thang cân khi và chỉ khi tứ giác đó là hình thang và có hai
đường chéo bằng nhau hoặc có hai góc ở đáy bằng nhau.
3. Đường trung bình của tam giác
Định nghĩa 2. Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối tr ung điểm hai cạnh của
tam giác.
Tính chất 3.
Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng
nửa cạnh ấy.
Trong tam giác ABC có D, E là trung điểm các cạnh AB và AC. Khi
đó DE ∥ BC và DE =
1
2
BC.
A
D E
B
C
Nguyễn Tất Thu
8 CHƯƠNG 1. TỨ GIÁC
4. Đường trung bình của hình thang
Định nghĩa 3. Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh
bên của hình thang.
Tính chất 4.
Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và
song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.
Cho hình thang ABCD (AD ∥ B C) và M là trung điểm AB. Khi đó,
nếu MN ∥ BC thì N là trung điểm CD.
A
M
D
N
B
C
Tính chất 5.
Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng
nửa tổng hai đáy.
Cho hình thang ABCD (AD ∥ BC) và M, N lần lượt là trung điểm
AB và CD. Khi đó MN ∥ BC ∥ AD và MN =
AD + BC
2
.
A
M
D
N
B
C
B. VÍ DỤ
VÍ DỤ 1. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD.
Biết M N =
AD + BC
2
. Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang.
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Nhận xét. Ta có thể tổng quát bài toán trên như sau:
Cho tứ giác ABCD có M, N là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng M N ≤
AD + BC
2
.
VÍ DỤ 2. Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ các đường phân giác BD và CE. Chứng
minh rằng BEDC là hình thang cân.
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2. HÌNH THANG 9
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VÍ DỤ 3. Hình thang ABCD (AB ∥ CD) có A − D = 20
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, B = 2C. Tính các góc của hình
thang.
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VÍ DỤ 4. Cho hình thang ABCD (BC ∥ AD), biết BC + AD = AB. Chứng minh rằng các
tia phân giác của góc A và góc B cắt nhau tại trung điểm của cạnh CD.
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10 CHƯƠNG 1. TỨ GIÁC
VÍ DỤ 5. Cho hình thang ABCD (AB ∥ CD). Các tia phân giác của góc A và D cắt nhau
ở I, của góc B và góc C cắt nhau ở J. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC.
Chứng minh bốn điểm M, N, I, J thẳng hàng.
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VÍ DỤ 6. Cho hình thang cân, đáy nhỏ AB, đáy lớn CD và O là giao điểm của hai
đường chéo. Biết
AOB = 60
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. Gọi M, N là hình chiếu của B và C lên AC và BD, P là
trung điểm cạnh B C. Chứng minh tam giác MNP là tam giác đều.
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VÍ DỤ 7. Cho tam giác ABC có BC = a, các đường trung tuyến BD, CE. Lấy các điểm
M, N trên cạnh BC sao cho BM = MN = NC. Gọi I là giao điểm của AM và BD, K là
giao điểm của AN và CE. T ính độ dài IK.
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2. HÌNH THANG 11
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VÍ DỤ 8. Một hình thang cân có đường cao bằng nửa tổng hai đáy. Chứng minh rằng
hai đường chéo của hình thang vuông góc với nhau.
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C. BÀI TẬP
BÀI 1. Cho hình thang ABCD (AB ∥ CD) có
b
A−
b
D = 20
◦
,
b
B = 2
b
C. Tính các góc của hình thang.
BÀI 2. Cho hình thang ABCD (AB ∥ CD). Biết
b
A = 3
b
D và
b
B −
b
C = 30
◦
. Tính các góc của hình
thang.
BÀI 3. Tứ giác ABCD có BC = CD và BD là tia phân giác của góc
b
D. Chứng minh rằng
ABCD là hình thang.
BÀI 4. Hình thang vuông ABCD có A = D = 90
◦
, C = 45
◦
. Biết đường cao bằng 4 cm và
AB + CD = 10 cm. Tính hai đáy của hình thang.
BÀI 5. Hình thang ABCD (AB ∥ CD) có E là trung điểm của BC,
AED = 90
◦
. Chứng minh
rằng DE là tia phân giác của góc D.
Nguyễn Tất Thu
12 CHƯƠNG 1. TỨ GIÁC
BÀI 6. Hình thang cân ABCD (AB ∥ CD) có đường chéo BD chia hình thang thành hai tam
giác cân ABD cân tại A và tam giác BCD cân tại D. Tính các góc của hình thang cân đó.
BÀI 7. Trên đoạn thẳng AB lấy một điểm M (M A > MB ). Trên cùng một nửa mặt phẳng có
bờ AB, vẽ tam giác đều AMC, BMD. Gọi E, F, I, K theo thứ tự là trung điểm của CM, CB,
DM, D A. Chứng minh rằng EF IK là hình thang cân và K F =
1
2
CD.
BÀI 8. Cho điểm M nằm bên trong tam giác đều ABC. Chứng minh rằng trong ba đoạn
thẳng M A, MB, MC đoạn lớn nhất nhỏ hơn tổng hai đoạn kia.
BÀI 9. Cho tam giác ABC, trọng tâm G.
1 Vẽ đường thẳng d đi qua G, cắt các đoạn thẳng AB, AC. Gọi A
0
, B
0
, C
0
là hình chiếu
của A, B, C trên d. Tìm mối liên hệ giữa các độ dài A A
0
, BB
0
, CC
0
.
2 Nếu đường thẳng d nằm ngoài tam giác ABC và G
0
là hình chiếu của G trên d thì các
độ dài A A
0
, BB
0
, CC
0
, GG
0
có liên hệ gì?
BÀI 10. Trên đoạn thẳng AB lấy các điểm M và N (M nằm giữa A và N). Vẽ về một phía
của AB các tam giác đều AMD, M NE, BNF. Gọi G là trọng tâm của tam giác DEF. Chứng
minh rằng khoảng cách từ G đến AB không phụ thuộc vào vị trí của điểm M, N trên đoạn
AB.
BÀI 11. Tứ giác ABCD có E, F theo thứ tự là trung điểm của AD, BC.
1 Chứng minh rằng EF ≤
AB + CD
2
.
2 Tứ giác ABCD có điều kiện gì thì EF =
AB + CD
2
.
BÀI 12. Tứ giác ABCD có AB = CD. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua trung điểm của
hai đường chéo tạo với AB và CD các góc bằng nhau.
BÀI 13. Trong tứ giác ABCD, gọi A
0
, B
0
, C
0
, D
0
thứ tự là trọng tâm của các tam giác BCD,
ACD, ABD, ABC. Chứng minh rằng bốn đường thẳng AA
0
, BB
0
, CC
0
, DD
0
đồng quy.
BÀI 14. Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H, M là trung điểm B C. Qua H kẻ đường thẳng
vuông góc với HM cắt AB và AC theo thứ tự ở E và F.
1 Trên tia đối của tia HC lấy điểm D sao cho HD = HC. Chứng minh rằng E là tr ực tâm
của tam giác DBH.
2 Chứng minh rằng HE = HF.
Nguyễn Tất Thu
3. HÌNH BÌNH HÀNH 13
Bài 3. HÌNH BÌNH HÀNH
A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa
Định nghĩa 1. Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song.
Nhận xét: Từ định nghĩa ta thấy:Hình bình hành là hình thang
có hai cạnh bên song song với nhau.
2. Tính chất
Định lí 1. Trong hình bình hành ta có
Các cạnh đối bằng nhau (AB = CD, AD = BC)
Các góc đối bằng nhau (
b
A =
b
C,
b
B =
b
D).
Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
3. Dấu hiệu nhận biết
Đề chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành ta có các cách sau
Cách 1(Về cạnh): Chứng minh tứ giác có các cạnh đối song song.
AB ∥ CD
AD ∥ BC
⇒ ABCD là hình bình hành.
Cách 2 (về cạnh): Chứng minh tứ giác có các cạnh đối bằng nhau
AB = CD
AD = BC
⇒ ABCD là hình bình hành.
Cách 3 (về cạnh): Chứng minh tứ giác có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng
nhau
AB ∥ CD
AB = CD
hoặc
AD ∥ BC
AD = BC
⇒ ABCD là hình bình hành.
Cách 4 (về góc): Chứng minh tứ giác có hai cặp góc đối bằng nhau
b
A =
b
C
b
B =
b
D
⇒ ABCD là hình bình hành.
Nguyễn Tất Thu
14 CHƯƠNG 1. TỨ GIÁC
Cách 5 (về đường chéo): Chứng minh tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung
điểm mỗi đường.
AC cắt BD tại O
O là trung điểm của AC
O là trung điểm của BD
⇒ ABCD là hình bình hành.
B. VÍ DỤ
VÍ DỤ 1. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P,Q lần lượt là trung điểm các cạnh
AB, BC, CD, D A. Chứng minh rằng MNPQ là hình bình hành.
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VÍ DỤ 2. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm
D, E sao cho AD = CE. Gọi I là trung điểm DE, K là giao điểm của AI và BC. Chứng
minh rằng ADK E là hình bình hành.
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Nguyễn Tất Thu
3. HÌNH BÌNH HÀNH 15
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VÍ DỤ 3. Cho tam giác ABC nhọn, trực tâm H và O là giao điểm của ba đường trung
trực, M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AH = 2OM.
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VÍ DỤ 4. Cho hình bình ABCD. T rên các cạnh AB, CD lấy các điểm E, F sao cho
AE = CF; trên các cạnh AD, B C lấy các điểm H, G sao cho BG = DH. Chứng minh
rằng AC, EF, GH đồng quy.
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VÍ DỤ 5. Cho tam giác ABC. Ở phía ngoài tam giác vẽ các tam giác ABD, ACE vuông
cân tại A. Vẽ hình bình hành ADIE. Chứng minh rằng
1 I A = BC 2 I A ⊥ BC.
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Nguyễn Tất Thu
16 CHƯƠNG 1. TỨ GIÁC
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VÍ DỤ 6. Cho hình bình hành ABCD. Biết rằng phân giác góc A và B cắt nhau tại E
nằm trên CD. Chứng minh rằng AB = 2AD.
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VÍ DỤ 7. Cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và D có CD = 2AB. Gọi H là hình
chiếu của D lên AC, M là trung điểm HC. Chứng minh rằng
BMD = 90
◦
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3. HÌNH BÌNH HÀNH 17
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C. BÀI TẬP
BÀI 1. Cho tứ giác ABCD, E là trung điểm của AB , F là trung điểm CD. Gọi M, N, P, Q
theo thứ tự là trung điểm của AF, CE, BF, DE. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình
hành.
BÀI 2. Cho tam giác ABC và điểm O nằm trong tam giác. M, N, P theo thứ tự là trung
điểm của các cạnh BC, C A, AB. Gọi A
0
, B
0
, C
0
lần lượt là các điểm đối xứng của điểm O qua
M, N, P. Chứng minh rằng tứ giác AB
0
A
0
B là hình bình hành.
BÀI 3. Cho tứ giác ABCD. Gọi O
1
, O
2
, O
3
, O
4
lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, AD.
O là một điểm nằm trong tứ giác. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là điểm đối xứng với điểm O
qua các điểm O
1
, O
2
, O
3
, O
4
. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.
BÀI 4. Chứng minh rằng: Nếu một tứ giác có các đường chéo và các đoạn thẳng nối trung
điểm của các cặp cạnh đối đồng quy thì tứ giác đó là một hình bình hành.
BÀI 5. Cho tam giác ABC, các trung tuyến BM và CN cắt nhau ở G. P là điểm đối xứng
của điểm M qua G. Gọi Q là điểm đối xứng của điểm N qua G. Chứng minh rằng tứ giác
MNPQ là hình bình hành.
BÀI 6. Cho hình bình hành ABCD. Trên đoạn AC lấy các điểm E, F sao cho AE = EF = FC.
Gọi M là giao điểm của DE với AB, N là giao điểm của BF với CD. Chứng minh rằng EMF N
là hình bình hành.
BÀI 7. Cho hình thang cân ABCD (AB//CD), DC là đáy lớn AH là đường cao, M, N là trung
điểm hai cạnh bên AD và BC.
1 Chứng minh MNCH là hình bình hành
2 Nếu AH = 5cm . Tính đường trung bình của hình thang ABCD trên.
BÀI 8. Cho hình bình hành ABCD có E, F theo thứ tự là trung điểm của AB và CD.
1 Tứ giác DEBF là hình gì ? Vì Sao ?
2 Chứng minh rằng các đường thẳng AC, BD, EF cùng cắt nhau tại một điểm.
3 Gọi giao điểm của AC với DE và BF theo thứ tự là M và N. Chứng minh rằng tứ giác
EMFN là hình bình hành .
BÀI 9. Cho hình bình hành ABCD (AB > CD). Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O.
Một đường thẳng tùy ý qua O cắt AB, CD theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng
Nguyễn Tất Thu
18 CHƯƠNG 1. TỨ GIÁC
1 OM = ON. 2 D MBN là hình bình hành.
BÀI 10. Cho hình bình hành ABCD có
b
A = 120
◦
và AB = 2AD.
1 Chứng minh rằng tia phân giác của góc D cắt cạnh AB tại điểm E là trung điểm của
AB.
2 Chứng minh AD vuông góc với AC.
BÀI 11. Cho hình bình hành ABCD. Vẽ các tam giác đều ABE và ADF nằm ngoài hình
bình hành.
1 Chứng minh rằng tam giác EFC là tam giác đều.
2 Gọi M, I, K theo thứ tự là trung điểm của BD, AF, AE. Tính
IMK.
BÀI 12. Cho tứ giác ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi E là điểm đối xứng
với A qua B, F là giao điểm của DE với BC, G là giao điểm của OE với BC, H là giao điểm
của OF với CE. Chứng minh rằng A, G, H thẳng hàng.
BÀI 13. Cho hình bình hành ABCD và đường thẳng d nằm ngoài hình bình hành đó. Gọi
A
0
, B
0
, C
0
, D
0
lần lượt là hình chiếu của các điểm A, B, C, D lên đường thẳng d. Chứng
minh rằng A A
0
+ CC
0
= BB
0
+ DD
0
.
BÀI 14. Cho hình bình hành ABCD trong đó có AD = 2AB. Kẻ CE vuông góc với AB. Gọi M
là trung điểm của AD. Chứng minh rằng
BAD = 2
AEM.
BÀI 15. Cho tam giác ABCD đều, điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D là điểm đối xứng với M
qua AB, E là điểm đối xứng với M qua AC. Vẽ hình bình hành MD NE. Chứng minh rằng
AN ∥ BC.
BÀI 16. Cho tam giác ABC. Lấy các điểm D, E theo thứ tự thuộc tia đối của các tia BA, C A
sao cho BD = CE = BC. Gọi O là giao điểm của BE và CD. Qua O kẻ đường thẳng song song
với tia phân giác góc A, đường thẳng này cắt AC tại K . Chứng minh rằng AB = CK.
Nguyễn Tất Thu
4. HÌNH CHỮ NHẬT 19
Bài 4. HÌNH CHỮ NHẬT
A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa
Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông
2. Tính chất
Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình bình hành và hình thang cân.
Ngoài ra hình chữ nhật còn có tính chất sau:
Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của
mỗi đường.
B. DẤU HIỆU NHẬT BIẾT
Một tứ giác là hình chữ nhật nếu:
Tứ giác có ba góc vuông
Hình thang cân có một góc vuông
Hình bình hành có một góc vuông
Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau
1. Áp dụng vào tam giác
Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền
Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam
giác đó là tam giác vuông.
C. CÁC VÍ DỤ
VÍ DỤ 1. Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AC, E là điểm
đối xứng với H qua I. Chứng minh rằng tứ giác AHCE là hình chữ nhật.
Nguyễn Tất Thu
20 CHƯƠNG 1. TỨ GIÁC
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VÍ DỤ 2. Cho hình bình hành ABCD. Các tia phân giác của các góc A, B, C, D cắt
nhau như trên hình bên. Chứng minh rằng EFGH là hình chữ nhật.
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VÍ DỤ 3. Cho tam giác nhọn ABC, O là trực tâm của tam giác. Gọi M, N, P lần lượt là
trung điểm của các cạnh AB, BC, C A còn R, S, T lần lượt là trung điểm của các đoạn
OA, OB, OC.
1 Chứng minh tứ giác MPTS là hình chữ nhật.
2 Chứng minh rằng 3 đoạn RN, MT, SP bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm
của mỗi đường.
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4. HÌNH CHỮ NHẬT 21
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VÍ DỤ 4. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M là điểm đối xứng với B qua C. Gọi H là
hình chiếu vuông góc của B lên DM. Chứng minh rằng AH ⊥ CH.
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VÍ DỤ 5. Cho tam giác ABC cân tại A. Từ một điểm D trên đáy BC, ta vẽ đường
thẳng vuông góc với BC, cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E, F. Vẽ các hình chữ nhật
BDEH, CDF K. Chứng minh rằng A là trung điểm của HK.
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VÍ DỤ 6. Cho hình chữ nhật ABCD (AB < BC). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A
lên BD; M, N lần lượt là trung điểm của BH và CD. Chứng minh rằng AM ⊥ MN.
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Nguyễn Tất Thu
22 CHƯƠNG 1. TỨ GIÁC
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D. BÀI TẬP
BÀI 1. Cho hình bình hành ABCD. Biết AD =
1
2
AC và
BAC =
1
2
D AC.
Chứng minh rằng hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.
BÀI 2. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo, H là hình chiếu
vuông góc của A lên OD. Biết
D AH =
H AO =
OAB , chứng minh rằng ABCD là hình chữ
nhật.
BÀI 3. Cho hình chữ nhật ABCD có AD = 2AB. Gọi M là điểm thuộc cạnh BC. Biết rằng
AMB =
AMD. Tính số đo
AMB.
BÀI 4. Cho hình chữ nhật ABCD. Trên tia đối của các tia CB và D A lấy tương ứng hai điểm
E và F sao cho CE = DF = CD. Từ F kẻ đường thẳng vuông góc với AE cắt CD tại H. Chứng
minh tam giác CHB là tam giác vuông cân.
BÀI 5. Cho hình chữ nhật ABCD và điểm E thuộc đường chéo AC. Qua E kẻ đường thẳng
song song với BD cắt AD, CD lần lượt tại M và N. Vẽ hình chữ nhật MDNF. Chứng minh:
1 DF song song với AC. 2 E là trung điểm của BF.
BÀI 6. Cho tam giác ABC cân tại A có AH là đường cao. Dựng hình chữ nhật AHCK. Gọi I
là hình chiếu của H trên AC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của IC và AK. Chứng minh
rằng MN vuông góc với BI.
BÀI 7. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu của B trên AC. Gọi E, F, M lần lượt
là trung điểm của AB, DH, BH. Chứng minh rằng AM ⊥ EF.
BÀI 8. Từ đỉnh B của hình bình hành ABCD (
b
B > 90
◦
) vẽ hai đường cao BK ⊥ AD và BH ⊥
CD. Biết rằng K H = 12 cm; BD = 13 cm. Tính khoảng cách từ B đến trực tâm của tam giác
BK H.
BÀI 9. Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi O là một điểm bất kì nằm trong tam giác. Vẽ
OD ⊥ AC, OE ⊥ BC và OF ⊥ B A. T ìm giá trị nhỏ nhất của tổng S = OD
2
+ OE
2
+ OF
2
.
Nguyễn Tất Thu
4. HÌNH CHỮ NHẬT 23
BÀI 10. Cho hình chữ nhật ABCD và điểm M nằm trong hình chữ nhật đó. Chứng minh
rằng M A + MB + MC + MD ≤ AB + AC + AD.
Nguyễn Tất Thu
24 CHƯƠNG 1. TỨ GIÁC
Bài 5. HÌNH THOI
A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa
Là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau (h.1).
A
C
B
D
Hình 1 Hình 2
2. Tính chất
Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành.
Trong hình thoi (h.2)
a) Hai đường chéo vuông góc với nhau
b) Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi
3. Dấu hiệu nhận biết
Một tứ giác là hình thoi khi
1 T ứ giác có bốn cạnh bằng nhau
2 Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau
3 Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau
4 Hình bình hành có một đường chéo là phân giác của một góc.
B. CÁC VÍ DỤ
VÍ DỤ 1. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh
AB, BC, CD, D A. Chứng minh rằng MNPQ là hình thoi.
Nguyễn Tất Thu
5. HÌNH THOI 25
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VÍ DỤ 2. Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm D, cạnh AC lấy điểm E sao cho
BD = CE. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của BC, CD, DE, EB. Chứng minh
rằng tứ giác MNPQ là hình thoi.
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VÍ DỤ 3. Cho tam giác ABC cân tại A có
b
A = 36
◦
. Phân giác BD và đường cao AH cắt
nhau tại I. Tia phân giác góc
ADB cắt AH tại O. Gọi E là giao điểm của BO và AC; F
là giao điểm của C I và DO. Chứng minh các tứ giác BCEF và BD AF là các hình thoi.
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Nguyễn Tất Thu
26 CHƯƠNG 1. TỨ GIÁC
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VÍ DỤ 4. Cho hình thoi ABCD có
b
A = 60
◦
. Trên các cạnh AB, BC lấy các điểm M, N
sao cho BM = CN. Chứng minh rằng tam giác DMN đều.
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VÍ DỤ 5. Cho tam giác ABC có AB < AC; AK là đường phân giác. Trên cạnh AC của
tam giác lấy điểm D sao cho CD = AB. Gọi Q là trung điểm của AC, N là trung điểm
của BD. Chứng minh rằng AK ⊥ NQ.
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Nguyễn Tất Thu
5. HÌNH THOI 27
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C. BÀI TẬP
BÀI 1. Cho tam giác đều ABC, đường cao AD. M là điểm nằm giữa B và D. Gọi N là trung
điểm đoạn thẳng AM. Vẽ ME ⊥ AB tại E, MF ⊥ AC tại F. Chứng minh rằng DENF là hình
thoi.
BÀI 2. Cho hình bình hành ABCD, hai đường chéo cắt nhau ở O. Hai đường thẳng d
1
và
d
2
cùng đi qua O và vuông góc với nhau. Đường thẳng d
1
cắt các cạnh AB và CD ở M và
P. Đường thẳng d
2
cắt các cạnh BC và AD ở N và Q. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình
thoi.
BÀI 3. Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm hai đường chéo. Gọi M, N, P, Q theo thứ
tự là giao điểm các đường phân giác của tam giác OAB, OBC, OCD, OD A.
1 Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi.
2 Nếu tứ giác ABCD là hình thoi thì tứ giác MNPQ là hình gì ? Vì sao ?
BÀI 4. Cho tứ giác ABCD có
b
A +
b
C = 180
◦
và các cặp cạnh đối không song song. Gọi M là
giao điểm đường thẳng AB và CD; N là giao điểm của đường thẳng BC và AD. Đường phân
giác của
AMD cắt cạnh AD và BC lần lượt tại E và F; đường phân giác của góc
ANB cắt
cạnh AB và CD lần lượt tại G và H. Chứng minh rằng tứ giác EHFG là hình thoi.
BÀI 5. Cho hình thoi ABCD có AB = AC. Kẻ AE ⊥ BC, AF ⊥ CD.
1 Chứng minh tam giác AEF là tam giác đều.
2 Biết AB = 4cm. Tính độ dài các đường chéo của hình thoi.
BÀI 6. Cho hình thoi ABCD, O là giao điểm hai đường chéo. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là
chân đường vuông góc kẻ từ O đến AB, BC, CD, D A. Chứng minh rằng EFGH là hình chữ
nhật.
BÀI 7. Cho P là một điểm chuyển động trong tam giác ABC sao cho
PBA =
PC A. Hạ P M ⊥
AB; P N ⊥ AC (M ∈ AB; N ∈ AC). Gọi K, S là hai đỉnh khác của hình thoi K MSN. Chứng
minh K S đi qua một điểm cố định.
BÀI 8. Trên cạnh AB và CD của hình thoi ABCD lấy các điểm P và Q sao cho AP =
1
3
AB
và CQ =
1
3
CD. Gọi I là giao điểm của PQ và AD; K là giao điểm của DP và BI. Chứng minh
rằng
4BID vuông.1 BK = IK .2
Nguyễn Tất Thu
28 CHƯƠNG 1. TỨ GIÁC
BÀI 9. Cho hình thoi ABCD cạnh là 2 cm;
b
A =
1
2
b
B. Trên cạnh AD, DC lần lượt lấy H; K sao
cho
HBK = 60
◦
.
1 Chứng minh DH + DK không đổi.
2 Xác định vị trí điểm H, K để độ dài HK ngắn nhất.
Nguyễn Tất Thu
6. HÌNH VUÔNG 29
Bài 6. HÌNH VUÔNG
A. ĐỊNH NGHĨA
Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau
B. TÍNH CHẤT
Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.
C. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT
Một tứ giác là hình vuông khi tứ giác đó là
1 hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau
2 hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau
3 hình chữ nhật có một đường chéo là phân giác của một góc
4 hình thoi có một góc vuông
5 hình thoi có hai đường chéo bằng nhau
D. CÁC VÍ DỤ
VÍ DỤ 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác trong AD. Gọi E, F lần lượt là
hình chiếu vuông góc của D lên AB, AC. Chứng minh rằng AEDF là hình vuông.
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VÍ DỤ 2. Trên các cạnh AB, BC, CD, D A của hình vuông ABCD lấy các điểm
M, N, P, Q sao cho AM = BN = CP = DQ. Chứng minh rằng M NPQ là hình vuông.
Nguyễn Tất Thu
30 CHƯƠNG 1. TỨ GIÁC
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VÍ DỤ 3. Cho hình bình hành ABCD. Vẽ ra phía ngoài của hình bình hành các hình
vuông ABEF, BCPQ, CDM N, ADHK. Gọi O
1
, O
2
, O
3
, O
4
lần lượt là tâm của các hình
vuông đó. Chứng minh tứ giác O
1
O
2
O
3
O
4
là hình vuông.
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Nguyễn Tất Thu
6. HÌNH VUÔNG 31
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VÍ DỤ 4. Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, D A lấy các điểm
M, P, N, Q sao cho MN ⊥ PQ. Chứng minh rằng M N = PQ.
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VÍ DỤ 5. Trên các cạnh BC, CD của hình vuông ABCD với AB = 1, ta lấy các điểm M,
N tương ứng sao cho chu vi tam giác MCN bằng 2. Tính góc
à
M AN.
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VÍ DỤ 6. Gọi M là điểm bất kì trên đoạn thẳng AB. Vẽ về một phía của AB các hình
vuông AMCD, BMEF.
1 Chứng minh rằng AE ⊥ BC.
2 Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh rằng ba điểm D, H, F thẳng
hàng.
3 Chứng minh rằng đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M
chuyển động trên đoạn thẳng AB cố định.
Nguyễn Tất Thu
32 CHƯƠNG 1. TỨ GIÁC
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VÍ DỤ 7. Cho tam giác nhọn ABC. Dựng ra phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE
và ACGF. Gọi M là trung điểm của BC. Gọi O
1
;O
2
lần lượt là tâm hai hình vuông nói
trên. Chứng minh rằng ∆MO
1
O
2
là tam giác vuông.
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Nguyễn Tất Thu
6. HÌNH VUÔNG 33
E. BÀI TẬP
BÀI 1. Cho tứ giác ABCD có
ADC +
BCD = 90
◦
và AD = BC. Gọi I, N, J, M lần lượt là trung
điểm của AB, AC, CD, BD. Chứng minh tứ giác I N JM là hình vuông.
BÀI 2. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Gọi E, F theo thứ tự là trung diểm của AB,
CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE. Chứng minh rằng tứ
giác EMF N là hình vuông.
BÀI 3. Cho tam giác ABC. Dựng ra phía ngoài tam giác các hình vuông ABCD và ACEF.
Gọi Q, N lần lượt là giao điểm các đường chéo của ABCD và ACEF; M, P lần lượt là trung
điểm BC và DF. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình vuông.
BÀI 4. Cho tứ giác ABCD có
ADC+
BCD = 90
◦
và AD = BC. Gọi I, N, J, M lần lượt là trung
điểm của AB, AC, CD, BD. Chứng minh tứ giác IN JM là hình vuông.
BÀI 5. Cho hình vuông A
0
B
0
C
0
D
0
nằm trong hình vuông ABCD sao cho thứ tự các đỉnh theo
cùng một chiều như nhau (tức là nếu vẽ hai đường tròn, mỗi đường tròn đi qua các đỉnh
của một hình vuông, thì chiều đi trên đường tròn từ A lần lượt B, C, D và từ A
0
lần lượt qua
B
0
, C
0
, D
0
là như nhau). Chứng minh rằng trung điểm các đoạn thẳng A A
0
, BB
0
, CC
0
, DD
0
là
đỉnh của một hình vuông.
BÀI 6. Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh các AD, DC lần lượt lấy các điểm E, F sao cho
AE = DF. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của EF, BF. Chứng minh rằng MN ⊥ AF.
BÀI 7. Cho tam giác ABC. Vẽ ra phía ngoài của tam giác các hình vuông BCDE, ACFG, ABK H
và các hình bình hành BEQK, CDPF. Chứng minh tam giácAPQ là tam giác vuông cân.
BÀI 8. Cho tam giác ABC. Về phía ngoài của tam giác vẽ hai hình vuông ABEF và ACGH.
Chứng minh rằng các đường thẳng BG và CE cắt nhau tại một điểm trên đường cao AD
của tam giác ABC.
BÀI 9. Cho hình bình hành ABCD, dựng ra phía ngoài các hình vuông ABMN và BCEF.
Chứng minh rằng MF = BD và BD ⊥ MF.
BÀI 10. Cho hình vuông ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi M và
N lần lượt là trung điểm của BO và CD. Chứng minh rằng AM vuông góc với MN.
BÀI 11. Cho K và L tương ứng là các điểm nằm trên các cạnh AB và BC của hình vuông
ABCD sao cho KB = LC. Gọi P là giao điểm của AL và CK. Chứng minh rằng DP vuông góc
với K L.
BÀI 12. Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB; AD lần lượt lấy điểm I và E sao cho AE = AI.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên đoạn DI. Chứng minh HC vuông góc với HE.
Nguyễn Tất Thu
34 CHƯƠNG 1. TỨ GIÁC
BÀI 13. Cho tứ giác ABCD. Dựng ra phía ngoài tứ giác các hình vuông ABEF; BCGH; ADRS.
Gọi O
1
;O
2
;O
3
;O
4
lần lượt là tâm các hình vuông trên.
Chứng minh rằng: O
1
O
3
= O
2
O
4
;O
1
O
3
⊥ O
2
O
4
.
BÀI 14. Cho hình vuông ABCD. Các điểm E, F lần lượt thuộc cạnh AB, BC sao cho EF =
AE + CF. Dựng hình chữ nhật EBFG. Gọi AC cắt EG tại M và DE cắt FG tại N. Dựng
MP ⊥ AD(P ∈ AD). Chứng minh rằng NP ∥ AC.
BÀI 15.
Trong hình vẽ bên, các điểm K, L, M, N chia cạnh BC của
hình vuông ABCD thành 5 đoạn bằng nhau (BK = K L = LM =
MN = NC). Lấy E trên cạnh AD sao cho AE = BK. Tính tổng
AK E +
ALE +
AME +
ANE +
ACE.
A
D
E
B
C
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CHƯƠNG 1 TỨ GIÁC Bài 1. TỨ GIÁC A. ĐỊNH NGHĨA 1. Tứ giác Định nghĩa 1.
Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, D A, trong đó C B
bất kì đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng. A D 2. Tứ giác lồi
Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng mà bờ là đường thẳng chứa bất
Thu kì cạnh nào của tứ giác. ất TB. TÍNH CHẤT
ễn Tính chất 1. Tổng các góc của một tứ giác bằng 360◦. Nguy
VÍ DỤ 1. Tìm x trong các hình bên dưới 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B120◦ C
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80◦ A
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110◦
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x D 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B C
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x A D
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 4 CHƯƠNG 1. TỨ GIÁC
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65◦ A D 4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B C 3x 4x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2x x A D 5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B C 50◦
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40◦ 80◦ Nguy A D
VÍ DỤ 2. Cho tứ giác ABCD có AB = AD, CB = CD. ễn
1 Chứng minh rằng AC là đường trung trực của đoạn BD. T ất 2 Biết góc b C = 100◦, b A = 60◦. Tính góc B và D. b b Thu
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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VÍ DỤ 3. Cho tứ giác ABCD có B+D = 180◦ và CB = CD. Chứng minh rằng AC là phân giác của góc A.
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VÍ DỤ 4. Trong mặt phẳng cho 4 điểm bất kì sao cho không có ba điểm nào thẳng
hàng. Chứng minh rằng ta luôn tìm được một tam giác có đỉnh là ba điểm trong bốn
điểm đã cho và có ít nhất một góc có số đo không lớn hơn 45◦.
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BÀI 1. Cho tứ giác ABCD có B B D D b + b
C = 200◦, b + b = 180◦, b + b C = 120◦.
1 Tính các góc của tứ giác. b C + D b
2 Các tia phân giác của góc b
A và B cắt nhau tại I. Chứng minh rằng . b A IB = 2
BÀI 2. Cho tứ giác ABCD biết b A : B : D b b C : b = 1 : 2 : 3 : 4.
1 Tính các góc của tứ giác; 6 CHƯƠNG 1. TỨ GIÁC
2 Chứng minh AB ∥ CD;
3 Gọi giao điểm của AD và BC là E. Tính các góc của 4CDE.
BÀI 3. Tứ giác ABCD có AB = BC, AD = DC = AC và b
A = 105◦. Tính các góc còn lại của tứ giác.
BÀI 4. Cho tứ giác ABCD, biết hai đường thẳng AD và BC cắt nhau ở E, hai đường thẳng
AB và CD cắt nhau tại F. Các tia phân giác của góc E và góc F cắt nhau ở I. Tính góc EIF
theo góc A và góc C của tứ giác ABCD. BÀI 5. Tứ giác ABCD có b
A − Bb = 50◦. Các tia phân giác của góc C và D cắt nhau tại I và
CD I = 115◦. Tính các góc A và B.
BÀI 6. Cho tứ giác ABCD, E là giao điểm của các đường thẳng AB và CD, F là giao điểm
của các đường thẳng BC và AD. Các tia phân giác của các góc E và F cắt nhau ở I. Chứng minh rằng 1 Nếu B AD Nguy = 130◦,
BCD = 50◦ thì IE vuông góc với IF.
2 Góc E I F bằng nửa tổng của một trong hai cặp góc đối đỉnh của tứ giác ABCD. ễn
BÀI 7. Chứng minh rằng nếu M là giao điểm các đường chéo của tứ giác ABCD thì M A + MB T
+ MC + MD nhỏ hơn chu vi nhưng lớn hơn nửa chu vi tứ giác. ất
BÀI 8. So sánh độ dài cạnh AB và đường chéo AC của tứ giác ABCD biết rằng chu vi tam Thu
giác ABD nhỏ hơn hoặc bằng chu vi tam giác ACD.
BÀI 9. Tứ giác ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo, AB = 6, OA = 8, OB = 4, OD = 6. Tính độ dài AD.
BÀI 10. Cho năm điểm trên mặt phẳng trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng
minh rằng bao giờ cũng có thể chọn ra được bốn điểm là đỉnh của một tứ giác lồi. 2. HÌNH THANG 7 Bài 2. HÌNH THANG A. LÝ THUYẾT 1. Hình thang Định nghĩa 1.
Là tứ giác có hai cạnh đối song song. B C
Trong trường hợp hai đáy có độ lớn khác nhau thì ta còn
phân biệt đáy lớn, đáy bé. A D
Tính chất 1. Trong một hình thang:
Nếu hai cạnh bên song song với nhau thì hai đáy bằng nhau.
Nếu hai đáy bằng nhau thì hai cạnh bên song song và bằng nhau.
Tổng hai góc kề với cạnh bên bằng 180◦.
Thu Hình thang có một góc vuông được gọi là hình thang vuông. ất T 2. Hình thang cân ễn
Là hình thang có hai góc ở đáy bằng nhau. B C
Nguy Trong một hình thang cân ta có: Hai cạnh bên bằng nhau. A D
Hai đường chéo bằng nhau.
Tính chất 2. Một tứ giác là hình thang cân khi và chỉ khi tứ giác đó là hình thang và có hai
đường chéo bằng nhau hoặc có hai góc ở đáy bằng nhau.
3. Đường trung bình của tam giác
Định nghĩa 2. Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác. Tính chất 3.
Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng A nửa cạnh ấy.
Trong tam giác ABC có D, E là trung điểm các cạnh AB và AC. Khi D E 1 đó DE ∥ BC và DE = BC. 2 B C 8 CHƯƠNG 1. TỨ GIÁC
4. Đường trung bình của hình thang
Định nghĩa 3. Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang. Tính chất 4.
Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và B C
song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai. M N
Cho hình thang ABCD (AD ∥ BC) và M là trung điểm AB. Khi đó, nếu MN D
∥ BC thì N là trung điểm CD. A Tính chất 5.
Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng B C nửa tổng hai đáy. M N
Cho hình thang ABCD (AD ∥ BC) và M, N lần lượt là trung điểm AD + BC AB và CD. Khi đó M N D ∥ BC ∥ AD và MN = . A 2 Nguy B. VÍ DỤ ễn
VÍ DỤ 1. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. AD + BC Biết MN =
. Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang. T 2 ất
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Nhận xét. Ta có thể tổng quát bài toán trên như sau: AD + BC
Cho tứ giác ABCD có M, N là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng MN ≤ . 2
VÍ DỤ 2. Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ các đường phân giác BD và CE. Chứng
minh rằng BEDC là hình thang cân.
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VÍ DỤ 3. Hình thang ABCD (AB ∥ CD) có A − D = 20◦, B = 2C. Tính các góc của hình thang.
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VÍ DỤ 4. Cho hình thang ABCD (BC ∥ AD), biết BC + AD = AB. Chứng minh rằng các
tia phân giác của góc A và góc B cắt nhau tại trung điểm của cạnh CD.
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VÍ DỤ 5. Cho hình thang ABCD (AB ∥ CD). Các tia phân giác của góc A và D cắt nhau
ở I, của góc B và góc C cắt nhau ở J. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC.
Chứng minh bốn điểm M, N, I, J thẳng hàng.
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VÍ DỤ 6. Cho hình thang cân, đáy nhỏ AB, đáy lớn CD và O là giao điểm của hai ễn đường chéo. Biết
AOB = 60◦. Gọi M, N là hình chiếu của B và C lên AC và BD, P là
trung điểm cạnh BC. Chứng minh tam giác MNP là tam giác đều. T ất
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VÍ DỤ 7. Cho tam giác ABC có BC = a, các đường trung tuyến BD, CE. Lấy các điểm
M, N trên cạnh BC sao cho BM = MN = NC. Gọi I là giao điểm của AM và BD, K là
giao điểm của AN và CE. Tính độ dài IK.
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VÍ DỤ 8. Một hình thang cân có đường cao bằng nửa tổng hai đáy. Chứng minh rằng
hai đường chéo của hình thang vuông góc với nhau.
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BÀI 1. Cho hình thang ABCD (AB ∥ CD) có b A−D B b = 20◦, b = 2 b
C. Tính các góc của hình thang.
BÀI 2. Cho hình thang ABCD (AB ∥ CD). Biết b A = 3D và B b b − b
C = 30◦. Tính các góc của hình thang.
BÀI 3. Tứ giác ABCD có BC = CD và BD là tia phân giác của góc D. Chứng minh rằng b ABCD là hình thang.
BÀI 4. Hình thang vuông ABCD có A = D = 90◦, C = 45◦. Biết đường cao bằng 4 cm và
AB + CD = 10 cm. Tính hai đáy của hình thang.
BÀI 5. Hình thang ABCD (AB ∥ CD) có E là trung điểm của BC, AED = 90◦. Chứng minh
rằng DE là tia phân giác của góc D. 12 CHƯƠNG 1. TỨ GIÁC
BÀI 6. Hình thang cân ABCD (AB ∥ CD) có đường chéo BD chia hình thang thành hai tam
giác cân ABD cân tại A và tam giác BCD cân tại D. Tính các góc của hình thang cân đó.
BÀI 7. Trên đoạn thẳng AB lấy một điểm M (M A > MB). Trên cùng một nửa mặt phẳng có
bờ AB, vẽ tam giác đều AMC, BMD. Gọi E, F, I, K theo thứ tự là trung điểm của CM, CB, 1
D M, D A. Chứng minh rằng EF IK là hình thang cân và K F = CD. 2
BÀI 8. Cho điểm M nằm bên trong tam giác đều ABC. Chứng minh rằng trong ba đoạn
thẳng M A, MB, MC đoạn lớn nhất nhỏ hơn tổng hai đoạn kia.
BÀI 9. Cho tam giác ABC, trọng tâm G.
1 Vẽ đường thẳng d đi qua G, cắt các đoạn thẳng AB, AC. Gọi A0, B0, C0 là hình chiếu
của A, B, C trên d. Tìm mối liên hệ giữa các độ dài A A0, BB0, CC0.
2 Nếu đường thẳng d nằm ngoài tam giác ABC và G0 là hình chiếu của G trên d thì các
độ dài A A0, BB0, CC0, GG0 có liên hệ gì?
BÀI 10. Trên đoạn thẳng AB lấy các điểm M và N (M nằm giữa A và N). Vẽ về một phía Nguy
của AB các tam giác đều AMD, MNE, BNF. Gọi G là trọng tâm của tam giác DEF. Chứng
minh rằng khoảng cách từ G đến AB không phụ thuộc vào vị trí của điểm M, N trên đoạn ễn AB. T
BÀI 11. Tứ giác ABCD có E, F theo thứ tự là trung điểm của AD, BC. ất AB + CD
1 Chứng minh rằng EF ≤ . Thu 2 AB + CD
2 Tứ giác ABCD có điều kiện gì thì EF = . 2
BÀI 12. Tứ giác ABCD có AB = CD. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua trung điểm của
hai đường chéo tạo với AB và CD các góc bằng nhau.
BÀI 13. Trong tứ giác ABCD, gọi A0, B0, C0, D0 thứ tự là trọng tâm của các tam giác BCD,
ACD, ABD, ABC. Chứng minh rằng bốn đường thẳng A A0, BB0, CC0, DD0 đồng quy.
BÀI 14. Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H, M là trung điểm BC. Qua H kẻ đường thẳng
vuông góc với HM cắt AB và AC theo thứ tự ở E và F.
1 Trên tia đối của tia HC lấy điểm D sao cho HD = HC. Chứng minh rằng E là trực tâm của tam giác DBH.
2 Chứng minh rằng HE = HF. 3. HÌNH BÌNH HÀNH 13
Bài 3. HÌNH BÌNH HÀNH A. LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa A B
Định nghĩa 1. Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song.
Nhận xét: Từ định nghĩa ta thấy:Hình bình hành là hình thang
có hai cạnh bên song song với nhau. D C 2. Tính chất
Định lí 1. Trong hình bình hành ta có
Các cạnh đối bằng nhau (AB = CD, AD = BC) Thu
Các góc đối bằng nhau ( b A = b C, B D). b = b ất
Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. T
ễn 3. Dấu hiệu nhận biết
Đề chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành ta có các cách sau Nguy
Cách 1(Về cạnh): Chứng minh tứ giác có các cạnh đối song song. 
AB ∥ CD ⇒ ABCD là hình bình hành. AD ∥ BC
Cách 2 (về cạnh): Chứng minh tứ giác có các cạnh đối bằng nhau 
AB = CD ⇒ ABCD là hình bình hành. AD = BC
Cách 3 (về cạnh): Chứng minh tứ giác có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau   AB ∥ CD  AD ∥ BC  hoặc
⇒ ABCD là hình bình hành. AB = CD AD = BC
Cách 4 (về góc): Chứng minh tứ giác có hai cặp góc đối bằng nhau  b A = b
C ⇒ ABCD là hình bình hành. B D b = b  14 CHƯƠNG 1. TỨ GIÁC
Cách 5 (về đường chéo): Chứng minh tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.  AC cắt BD tại O     O là trung điểm của AC
⇒ ABCD là hình bình hành.  
O là trung điểm của BD  B. VÍ DỤ
VÍ DỤ 1. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P,Q lần lượt là trung điểm các cạnh
AB, BC, CD, D A. Chứng minh rằng M NPQ là hình bình hành.
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VÍ DỤ 2. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm
D, E sao cho AD = CE. Gọi I là trung điểm DE, K là giao điểm của AI và BC. Chứng
minh rằng ADK E là hình bình hành.
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VÍ DỤ 3. Cho tam giác ABC nhọn, trực tâm H và O là giao điểm của ba đường trung
trực, M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AH = 2OM.
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VÍ DỤ 4. Cho hình bình ABCD. Trên các cạnh AB, CD lấy các điểm E, F sao cho ất AE T
= CF; trên các cạnh AD, BC lấy các điểm H, G sao cho BG = DH. Chứng minh rằng AC, EF, GH đồng quy. ễn
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VÍ DỤ 5. Cho tam giác ABC. Ở phía ngoài tam giác vẽ các tam giác ABD, ACE vuông
cân tại A. Vẽ hình bình hành AD IE. Chứng minh rằng 1 I A = BC 2 I A ⊥ BC.
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VÍ DỤ 6. Cho hình bình hành ABCD. Biết rằng phân giác góc A và B cắt nhau tại E
nằm trên CD. Chứng minh rằng AB = 2AD.
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VÍ DỤ 7. Cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và D có CD = 2AB. Gọi H là hình
chiếu của D lên AC, M là trung điểm HC. Chứng minh rằng BMD = 90◦.
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BÀI 1. Cho tứ giác ABCD, E là trung điểm của AB, F là trung điểm CD. Gọi M, N, P, Q
theo thứ tự là trung điểm của AF, CE, BF, DE. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.
BÀI 2. Cho tam giác ABC và điểm O nằm trong tam giác. M, N, P theo thứ tự là trung
điểm của các cạnh BC, C A, AB. Gọi A0, B0, C0 lần lượt là các điểm đối xứng của điểm O qua
M, N, P. Chứng minh rằng tứ giác AB0 A0B là hình bình hành.
BÀI 3. Cho tứ giác ABCD. Gọi O1, O2, O3, O4 lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, AD.
O là một điểm nằm trong tứ giác. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là điểm đối xứng với điểm O
qua các điểm O1, O2, O3, O4. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.
BÀI 4. Chứng minh rằng: Nếu một tứ giác có các đường chéo và các đoạn thẳng nối trung
Thu điểm của các cặp cạnh đối đồng quy thì tứ giác đó là một hình bình hành. ất
T BÀI 5. Cho tam giác ABC, các trung tuyến BM và CN cắt nhau ở G. P là điểm đối xứng
của điểm M qua G. Gọi Q là điểm đối xứng của điểm N qua G. Chứng minh rằng tứ giác
ễn MNPQ là hình bình hành.
BÀI 6. Cho hình bình hành ABCD. Trên đoạn AC lấy các điểm E, F sao cho AE = EF = FC.
Nguy Gọi M là giao điểm của DE với AB, N là giao điểm của BF với CD. Chứng minh rằng EMFN là hình bình hành.
BÀI 7. Cho hình thang cân ABCD (AB//CD), DC là đáy lớn AH là đường cao, M, N là trung
điểm hai cạnh bên AD và BC.
1 Chứng minh M NCH là hình bình hành
2 Nếu AH = 5cm . Tính đường trung bình của hình thang ABCD trên.
BÀI 8. Cho hình bình hành ABCD có E, F theo thứ tự là trung điểm của AB và CD.
1 Tứ giác DEBF là hình gì ? Vì Sao ?
2 Chứng minh rằng các đường thẳng AC, BD, EF cùng cắt nhau tại một điểm.
3 Gọi giao điểm của AC với DE và BF theo thứ tự là M và N. Chứng minh rằng tứ giác EMF N là hình bình hành .
BÀI 9. Cho hình bình hành ABCD (AB > CD). Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O.
Một đường thẳng tùy ý qua O cắt AB, CD theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng 18 CHƯƠNG 1. TỨ GIÁC 1 OM = ON.
2 D MBN là hình bình hành.
BÀI 10. Cho hình bình hành ABCD có b A = 120◦ và AB = 2AD.
1 Chứng minh rằng tia phân giác của góc D cắt cạnh AB tại điểm E là trung điểm của AB.
2 Chứng minh AD vuông góc với AC.
BÀI 11. Cho hình bình hành ABCD. Vẽ các tam giác đều ABE và ADF nằm ngoài hình bình hành.
1 Chứng minh rằng tam giác EFC là tam giác đều.
2 Gọi M, I, K theo thứ tự là trung điểm của BD, AF, AE. Tính I MK .
BÀI 12. Cho tứ giác ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi E là điểm đối xứng
với A qua B, F là giao điểm của DE với BC, G là giao điểm của OE với BC, H là giao điểm Nguy
của OF với CE. Chứng minh rằng A, G, H thẳng hàng.
BÀI 13. Cho hình bình hành ABCD và đường thẳng d nằm ngoài hình bình hành đó. Gọi
A0, B0, C0, D0 lần lượt là hình chiếu của các điểm A, B, C, D lên đường thẳng d. Chứng ễn
minh rằng A A0 + CC0 = BB0 + DD0. T ất
BÀI 14. Cho hình bình hành ABCD trong đó có AD = 2AB. Kẻ CE vuông góc với AB. Gọi M
là trung điểm của AD. Chứng minh rằng B AD = 2 AEM. Thu
BÀI 15. Cho tam giác ABCD đều, điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D là điểm đối xứng với M
qua AB, E là điểm đối xứng với M qua AC. Vẽ hình bình hành MDNE. Chứng minh rằng AN ∥ BC.
BÀI 16. Cho tam giác ABC. Lấy các điểm D, E theo thứ tự thuộc tia đối của các tia B A, C A
sao cho BD = CE = BC. Gọi O là giao điểm của BE và CD. Qua O kẻ đường thẳng song song
với tia phân giác góc A, đường thẳng này cắt AC tại K. Chứng minh rằng AB = CK. 4. HÌNH CHỮ NHẬT 19
Bài 4. HÌNH CHỮ NHẬT A. LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa
Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông 2. Tính chất
Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình bình hành và hình thang cân.
Ngoài ra hình chữ nhật còn có tính chất sau:
Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Thu
ấtB. DẤU HIỆU NHẬT BIẾT
T Một tứ giác là hình chữ nhật nếu: ễn Tứ giác có ba góc vuông Nguy
Hình thang cân có một góc vuông
Hình bình hành có một góc vuông
Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau 1. Áp dụng vào tam giác
Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền
Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam
giác đó là tam giác vuông. C. CÁC VÍ DỤ
VÍ DỤ 1. Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AC, E là điểm
đối xứng với H qua I. Chứng minh rằng tứ giác AHCE là hình chữ nhật. 20 CHƯƠNG 1. TỨ GIÁC
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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VÍ DỤ 2. Cho hình bình hành ABCD. Các tia phân giác của các góc A, B, C, D cắt
nhau như trên hình bên. Chứng minh rằng EFGH là hình chữ nhật.
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VÍ DỤ 3. Cho tam giác nhọn ABC, O là trực tâm của tam giác. Gọi M, N, P lần lượt là
trung điểm của các cạnh AB, BC, C A còn R, S, T lần lượt là trung điểm của các đoạn Thu O A, OB, OC.
1 Chứng minh tứ giác MP T S là hình chữ nhật.
2 Chứng minh rằng 3 đoạn R N, MT, SP bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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VÍ DỤ 4. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M là điểm đối xứng với B qua C. Gọi H là
hình chiếu vuông góc của B lên DM. Chứng minh rằng AH ⊥ CH.
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VÍ DỤ 5. Cho tam giác ABC cân tại A. Từ một điểm D trên đáy BC, ta vẽ đường
thẳng vuông góc với BC, cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E, F. Vẽ các hình chữ nhật
BDEH, CDF K . Chứng minh rằng A là trung điểm của HK. Thu
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VÍ DỤ 6. Cho hình chữ nhật ABCD (AB < BC). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A
lên BD; M, N lần lượt là trung điểm của BH và CD. Chứng minh rằng AM ⊥ MN.
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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BÀI 1. Cho hình bình hành ABCD. Biết AD = AC và B AC = D AC. 2 2
Chứng minh rằng hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.
BÀI 2. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo, H là hình chiếu Nguy
vuông góc của A lên OD. Biết D AH = H AO =
O AB, chứng minh rằng ABCD là hình chữ nhật. ễn
BÀI 3. Cho hình chữ nhật ABCD có AD = 2AB. Gọi M là điểm thuộc cạnh BC. Biết rằng AMB = AMD. Tính số đo AMB. T ất
BÀI 4. Cho hình chữ nhật ABCD. Trên tia đối của các tia CB và D A lấy tương ứng hai điểm Thu
E và F sao cho CE = DF = CD. Từ F kẻ đường thẳng vuông góc với AE cắt CD tại H. Chứng
minh tam giác CHB là tam giác vuông cân.
BÀI 5. Cho hình chữ nhật ABCD và điểm E thuộc đường chéo AC. Qua E kẻ đường thẳng
song song với BD cắt AD, CD lần lượt tại M và N. Vẽ hình chữ nhật MDNF. Chứng minh:
1 DF song song với AC.
2 E là trung điểm của BF.
BÀI 6. Cho tam giác ABC cân tại A có AH là đường cao. Dựng hình chữ nhật AHCK . Gọi I
là hình chiếu của H trên AC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của IC và AK. Chứng minh
rằng MN vuông góc với BI.
BÀI 7. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu của B trên AC. Gọi E, F, M lần lượt
là trung điểm của AB, DH, BH. Chứng minh rằng AM ⊥ EF.
BÀI 8. Từ đỉnh B của hình bình hành ABCD (B
b > 90◦) vẽ hai đường cao BK ⊥ A D và BH ⊥
CD. Biết rằng K H = 12 cm; BD = 13 cm. Tính khoảng cách từ B đến trực tâm của tam giác BK H.
BÀI 9. Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi O là một điểm bất kì nằm trong tam giác. Vẽ
OD ⊥ AC, OE ⊥ BC và OF ⊥ BA. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng S = OD2 + OE2 + OF2. 4. HÌNH CHỮ NHẬT 23
BÀI 10. Cho hình chữ nhật ABCD và điểm M nằm trong hình chữ nhật đó. Chứng minh
rằng M A + MB + MC + MD ≤ AB + AC + AD. Thu ất T ễn Nguy 24 CHƯƠNG 1. TỨ GIÁC Bài 5. HÌNH THOI A. LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa
Là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau (h.1). B A C D Hình 1 Hình 2 Nguy 2. Tính chất
Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành. ễn Trong hình thoi (h.2) T ất
a) Hai đường chéo vuông góc với nhau Thu
b) Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi 3. Dấu hiệu nhận biết
Một tứ giác là hình thoi khi
1 Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau
2 Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau
3 Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau
4 Hình bình hành có một đường chéo là phân giác của một góc. B. CÁC VÍ DỤ
VÍ DỤ 1. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh
AB, BC, CD, D A. Chứng minh rằng M NPQ là hình thoi. 5. HÌNH THOI 25
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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VÍ DỤ 2. Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm D, cạnh AC lấy điểm E sao cho
BD = CE. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của BC, CD, DE, EB. Chứng minh
rằng tứ giác MNPQ là hình thoi.
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VÍ DỤ 3. Cho tam giác ABC cân tại A có b
A = 36◦. Phân giác BD và đường cao AH cắt
nhau tại I. Tia phân giác góc
ADB cắt AH tại O. Gọi E là giao điểm của BO và AC; F
là giao điểm của CI và DO. Chứng minh các tứ giác BCEF và BD AF là các hình thoi.
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VÍ DỤ 4. Cho hình thoi ABCD có b
A = 60◦. Trên các cạnh AB, BC lấy các điểm M, N
sao cho BM = CN. Chứng minh rằng tam giác DMN đều.
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VÍ DỤ 5. Cho tam giác ABC có AB < AC; AK là đường phân giác. Trên cạnh AC của
tam giác lấy điểm D sao cho CD = AB. Gọi Q là trung điểm của AC, N là trung điểm
của BD. Chứng minh rằng AK ⊥ NQ.
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C. BÀI TẬP
BÀI 1. Cho tam giác đều ABC, đường cao AD. M là điểm nằm giữa B và D. Gọi N là trung
điểm đoạn thẳng AM. Vẽ ME ⊥ AB tại E, MF ⊥ AC tại F. Chứng minh rằng DENF là hình thoi.
BÀI 2. Cho hình bình hành ABCD, hai đường chéo cắt nhau ở O. Hai đường thẳng d1 và
d2 cùng đi qua O và vuông góc với nhau. Đường thẳng d1 cắt các cạnh AB và CD ở M và
P. Đường thẳng d2 cắt các cạnh BC và AD ở N và Q. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi.
BÀI 3. Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm hai đường chéo. Gọi M, N, P, Q theo thứ
tự là giao điểm các đường phân giác của tam giác O AB, OBC, OCD, OD A.
1 Chứng minh tứ giác M N PQ là hình thoi. Thu
2 Nếu tứ giác ABCD là hình thoi thì tứ giác M N PQ là hình gì ? Vì sao ?
ất BÀI 4. Cho tứ giác ABCD có bA+ bC = 180◦ và các cặp cạnh đối không song song. Gọi M là
T giao điểm đường thẳng AB và CD; N là giao điểm của đường thẳng BC và AD. Đường phân ễn giác của
AMD cắt cạnh AD và BC lần lượt tại E và F; đường phân giác của góc ANB cắt
cạnh AB và CD lần lượt tại G và H. Chứng minh rằng tứ giác EHFG là hình thoi.
Nguy BÀI 5. Cho hình thoi ABCD có AB = AC. Kẻ AE ⊥BC, AF ⊥CD.
1 Chứng minh tam giác AEF là tam giác đều.
2 Biết AB = 4cm. Tính độ dài các đường chéo của hình thoi.
BÀI 6. Cho hình thoi ABCD, O là giao điểm hai đường chéo. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là
chân đường vuông góc kẻ từ O đến AB, BC, CD, D A. Chứng minh rằng EFGH là hình chữ nhật.
BÀI 7. Cho P là một điểm chuyển động trong tam giác ABC sao cho PB A = PC A. Hạ P M ⊥
AB; P N ⊥ AC (M ∈ AB; N ∈ AC). Gọi K, S là hai đỉnh khác của hình thoi K MSN. Chứng
minh K S đi qua một điểm cố định. 1
BÀI 8. Trên cạnh AB và CD của hình thoi ABCD lấy các điểm P và Q sao cho AP = AB 3 1
và CQ = CD. Gọi I là giao điểm của PQ và AD; K là giao điểm của DP và BI. Chứng minh 3 rằng 1 4BID vuông. 2 BK = IK. 28 CHƯƠNG 1. TỨ GIÁC 1
BÀI 9. Cho hình thoi ABCD cạnh là 2 cm; b
A = B. Trên cạnh AD, DC lần lượt lấy H; K sao b 2 cho HBK = 60◦.
1 Chứng minh DH + DK không đổi.
2 Xác định vị trí điểm H, K để độ dài HK ngắn nhất. Nguy ễn T ất Thu 6. HÌNH VUÔNG 29 Bài 6. HÌNH VUÔNG A. ĐỊNH NGHĨA
Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau B. TÍNH CHẤT
Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.
C. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT
Một tứ giác là hình vuông khi tứ giác đó là Thu
1 hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau ất
2 hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau T
3 hình chữ nhật có một đường chéo là phân giác của một góc ễn
4 hình thoi có một góc vuông Nguy
5 hình thoi có hai đường chéo bằng nhau D. CÁC VÍ DỤ
VÍ DỤ 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác trong AD. Gọi E, F lần lượt là
hình chiếu vuông góc của D lên AB, AC. Chứng minh rằng AEDF là hình vuông.
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VÍ DỤ 2. Trên các cạnh AB, BC, CD, D A của hình vuông ABCD lấy các điểm
M, N, P, Q sao cho AM = BN = CP = DQ. Chứng minh rằng MNPQ là hình vuông. 30 CHƯƠNG 1. TỨ GIÁC
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VÍ DỤ 3. Cho hình bình hành ABCD. Vẽ ra phía ngoài của hình bình hành các hình
vuông ABEF, BCPQ, CDMN, ADHK. Gọi O1, O2, O3, O4 lần lượt là tâm của các hình
vuông đó. Chứng minh tứ giác O1O2O3O4 là hình vuông.
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VÍ DỤ 4. Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, D A lấy các điểm
M, P, N, Q sao cho M N ⊥ PQ. Chứng minh rằng MN = PQ.
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VÍ DỤ 5. Trên các cạnh BC, CD của hình vuông ABCD với AB = 1, ta lấy các điểm M,
N tương ứng sao cho chu vi tam giác MCN bằng 2. Tính góc à M AN.
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VÍ DỤ 6. Gọi M là điểm bất kì trên đoạn thẳng AB. Vẽ về một phía của AB các hình vuông AMCD, BMEF.
1 Chứng minh rằng AE ⊥ BC.
2 Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh rằng ba điểm D, H, F thẳng hàng.
3 Chứng minh rằng đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M
chuyển động trên đoạn thẳng AB cố định. 32 CHƯƠNG 1. TỨ GIÁC
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VÍ DỤ 7. Cho tam giác nhọn ABC. Dựng ra phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE
và ACGF. Gọi M là trung điểm của BC. Gọi O1;O2 lần lượt là tâm hai hình vuông nói ễn
trên. Chứng minh rằng ∆MO1O2 là tam giác vuông. T ất
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BÀI 1. Cho tứ giác ABCD có ADC +
BCD = 90◦ và AD = BC. Gọi I, N, J, M lần lượt là trung
điểm của AB, AC, CD, BD. Chứng minh tứ giác I N J M là hình vuông.
BÀI 2. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Gọi E, F theo thứ tự là trung diểm của AB,
CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE. Chứng minh rằng tứ giác EMF N là hình vuông.
BÀI 3. Cho tam giác ABC. Dựng ra phía ngoài tam giác các hình vuông ABCD và ACEF.
Gọi Q, N lần lượt là giao điểm các đường chéo của ABCD và ACEF; M, P lần lượt là trung
điểm BC và DF. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình vuông.
BÀI 4. Cho tứ giác ABCD có ADC +
BCD = 90◦ và AD = BC. Gọi I, N, J, M lần lượt là trung
điểm của AB, AC, CD, BD. Chứng minh tứ giác I N J M là hình vuông.
BÀI 5. Cho hình vuông A0B0C0D0 nằm trong hình vuông ABCD sao cho thứ tự các đỉnh theo
cùng một chiều như nhau (tức là nếu vẽ hai đường tròn, mỗi đường tròn đi qua các đỉnh
của một hình vuông, thì chiều đi trên đường tròn từ A lần lượt B, C, D và từ A0 lần lượt qua
Thu B0, C0, D0 là như nhau). Chứng minh rằng trung điểm các đoạn thẳng AA0, BB0, CC0, DD0 là
ất đỉnh của một hình vuông. T
BÀI 6. Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh các AD, DC lần lượt lấy các điểm E, F sao cho
ễn AE =DF. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của EF, BF. Chứng minh rằng MN ⊥ AF.
BÀI 7. Cho tam giác ABC. Vẽ ra phía ngoài của tam giác các hình vuông BCDE, ACFG, ABK H
Nguy và các hình bình hành BEQK, CDPF. Chứng minh tam giácAPQ là tam giác vuông cân.
BÀI 8. Cho tam giác ABC. Về phía ngoài của tam giác vẽ hai hình vuông ABEF và ACGH.
Chứng minh rằng các đường thẳng BG và CE cắt nhau tại một điểm trên đường cao AD của tam giác ABC.
BÀI 9. Cho hình bình hành ABCD, dựng ra phía ngoài các hình vuông ABM N và BCEF.
Chứng minh rằng MF = BD và BD ⊥ MF.
BÀI 10. Cho hình vuông ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi M và
N lần lượt là trung điểm của BO và CD. Chứng minh rằng AM vuông góc với M N.
BÀI 11. Cho K và L tương ứng là các điểm nằm trên các cạnh AB và BC của hình vuông
ABCD sao cho K B = LC. Gọi P là giao điểm của AL và CK. Chứng minh rằng DP vuông góc với K L.
BÀI 12. Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB; AD lần lượt lấy điểm I và E sao cho AE = AI.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên đoạn D I. Chứng minh HC vuông góc với HE. 34 CHƯƠNG 1. TỨ GIÁC
BÀI 13. Cho tứ giác ABCD. Dựng ra phía ngoài tứ giác các hình vuông ABEF; BCGH; ADRS.
Gọi O1;O2;O3;O4 lần lượt là tâm các hình vuông trên.
Chứng minh rằng: O1O3 = O2O4;O1O3 ⊥ O2O4.
BÀI 14. Cho hình vuông ABCD. Các điểm E, F lần lượt thuộc cạnh AB, BC sao cho EF =
AE + CF. Dựng hình chữ nhật EBFG. Gọi AC cắt EG tại M và DE cắt FG tại N. Dựng
MP ⊥ AD(P ∈ AD). Chứng minh rằng NP ∥ AC. BÀI 15.
Trong hình vẽ bên, các điểm K, L, M, N chia cạnh BC của A B
hình vuông ABCD thành 5 đoạn bằng nhau (BK = K L = LM = E
M N = NC). Lấy E trên cạnh AD sao cho AE = BK. Tính tổng AK E + ALE + AME + AN E + ACE. D C Nguy ễn T ất Thu
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