Mở đầu tích phân bất định - Giải tích 1| Trường đại học Bách Khoa, Đại học Đà Nẵng

Mở đầu tích phân bất định - Giải tích 1| Trường đại học Bách Khoa, Đại học Đà Nẵng được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn sinh viên cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

29 15 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Giải tích 1(GT 1)

Trường: Trường Đại học Bách khoa, Đại học Đà Nẵng

Thông tin:

5 trang 6 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
Anh Long Fanpage: https://www.facebook.com/chinhphuctcc/
Trang 1
KHÓA H C: TOÁN CAO C - I TÍCH I Ọ ẤP GIẢ
BÀI 8 U V TÍCH PHÂN B L I GI: MỞ ĐẦ Ề ẤT ĐỊNH – Ờ ẢI
Bài 1:
1.
2 3
sinx.sin2x.sin3xdx 2sin x.(3sin x 4sin x)(cos xdx)= −
Đặt
t sin x dt cosxdx= =
.Tích phân tr thành: ở
2 3 4 6 4 6
3 4 3 4
2t (3t 4t )dt .t .t C .sin x .sin x C
2 3 2 3
− = − + = − +
.
Vậy
4 6
3 4
I .sin x .sin x C
2 3
= − +
.
2. Đặt
2
2
x
t 1 x dt dx
1 x
−
= − =
−
. Thay vào tích phân ban đầu ta có:
.
3. Đặt
x x 2 2
2
2t
t e 1 e t 1 x ln(t 1) dx dt
t 1
= − = + = + =
+
.
Tích phân tr thành: ở
2 2
1 2t 2
. dt dt 2arctant C
t
t 1 t 1
= = +
+ +
.
x
x
dx
2arc tan e 1 C
e 1
= − +
−
.
4. Đặt
2
t cos x dt 2cos x( sin x)dx sin 2xdx= = − = −
.
Tích phân tr thành: ở
2
t t cos x
e dt e C e C− = − + = − +
.
Vậy:
2 2
cos x cos x
e .sin 2xdx e C= − +
.
5.
1
x
x
2 2
e dx
dx e . I
x x
= − − =
.
Đặt
2
1 dx
t dt
x
x
−
= =
. Thay vào tích phân ban đầu ta có:
1
t t
x
x
I e .dt e C e C e C= − = − + = − + = − +
.
6.
1 ln x 1 ln x dx
I dx .
x ln x ln x x
+ +
= =
.
Anh Long Fanpage: https://www.facebook.com/chinhphuctcc/
Trang 2
Đặt
dx
t ln x dt
x
= =
. Thay vào tích phân ban đầu ta có:
1 ln x dx 1 t
. dt
ln x x t
+ +
=
.
Đặt
2
u 1 t t u 1 dt 2udu= + = − =
. Thay vào ta được:
2 2
u 2
.2udu 2 du
u 1 u 1
= +
− −
1 1 u 1
2 du 2u ln C
u 1 u 1 u 1
−
= + − = + +
− + +
.
Thay l i biạ ến cũ ta có:
u 1 1 ln x 1
I 2u ln C 2 1 ln x ln C
u 1
1 ln x 1
− + −
= + + = + + +
+
+ +
.
7.
2
2
ln(1 ln x)dx dx
ln(1 ln x). I
x x
+
= + =
.
Đặt
dx
t ln x dt
x
= =
. Thay vào tích phân ban đầu ta có:
2 2
2
2t
I ln(1 t )dt t ln(1 t ) t. dt
1 t
= + = + −
+
.
Mà:
2 2
2t 2
t. dt 2 dt 2t 2arc tant C
1 t 1 t
= − = − +
+ +
.
Vậy:
2 2
I t ln(1 t ) 2t 2arc tant C ln x.ln(1 ln x) 2ln x 2arctan(ln x) C= + − + + = + − + +
.
8.
cos(ln x)dx
Đặt
= = =
t t
lnx t x e dx e dt
.
Thay vào tích phân ban đầu:
=
t
cos(lnx)dx (cost)e dt
Tích phân t ng phừ ần, ta được:
= = − = +
t t t t t t
(cost)e dt (cost)d(e ) e .cost e d(cost) e .cost e .sintdt
Mà:
= = −
t t t t
e .sintdt sintd(e ) e .sint e .costdt
Vậy n t ếu đặ
= = + = + −
t t t t
I (cost)e dt I e .cost e .sintdt e (cos t sint) I
= + + = + +
t
e x
I (cost sint) C (sin(ln x) cos(ln x)) C
2 2
.
9.
2 2 2
2 2
dx dx
I
(x 4x 8)
(x 2) 2
= =
+ +
+ +
.
Đặt
2
2
2
x 2 2tant dx dt 2(1 tan t)dt
cos t
+ = = = +
.
Thay vào tích phân ban đầu:
2
2
2 2
2
2(1 tan t)dt 1 dt 1 1 1 cos2t
I cos tdt dt
8 8 8 21 tan t
4(1 tan t)
+ +
= = = =
+
+
Anh Long Fanpage: https://www.facebook.com/chinhphuctcc/
Trang 3
1 sin2t
(t ) C
16 2
= + +
.
2 2
dx 1 x 2 1 x 2
arc tan sin 2arc tan C
16 2 32 2
(x 4x 8)
+ +
= + +
+ +
.
Bài 2 :
1.
2
x
arctanxdx xarctanx .dx
x 1
= −
+
.
Mà:
2
2
2 2
x 1 d(x 1) 1
.dx . ln(x 1) C
2 2x 1 x 1
+
= = + +
+ +
.
Vậy:
2
1
arctan xdx xarctanx ln(x 1) C
2
= − + +
.
2.
2x 2x 2x 2x
2x 2x
e e cos3x e e cos3x 3
e cos3xdx cos3xd ( 3sin 3x)dx e sin 3xdx
2 2 2 2 2
− − − −
− −
= = − − = − −
− − −
.
Mặt khác:
2x 2x 2 x
2x
e e sin 3x e
e sin 3xdx sin3xd (3cos3x)dx
2 2 2
− − −
−
= = − −
− −
2x
2x
e sin 3x 3
e cos3xdx
2 2
−
−
= − +
.
Đặt
2x
I e cos3xdx
−
=
, ta được:
2x 2x
e cos3x 3 e sin 3x 3
I . I
2 2 2 2
− −
= − − − +
2x 2x 2x 2x
13 1 3 2 3
I e cos3x e sin 3x I e cos3x e sin 3x
4 2 4 13 13
− − − −
−
= − + = +
.
Vậy:
2x 2x 2x
2 3
e cos3xdx e cos3x e sin3x C
13 13
− − −
−
= + +
.
3.
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
xln xdx ln xd(x ) x ln x x .2lnx. dx x ln x x ln xdx
2 2 x 2
= = − = −
.
Mà:
2 2 2 2 2
x x ln x x 1 x ln x x
x ln xdx ln xd . dx C
2 2 2 x 2 4
= = − = − +
.
Vậy:
2 2
2 2 2
1 x lnx x
xln xdx x ln x C
2 2 4
= − + +
.
4.
2
(4x 1) ln(x 1)dx ln(x 1)d(2x x 3)− + = + − −
2 2
1
(2x x 3)ln(x 1) (2x x 3). dx
x 1
= − − + − − −
+
Anh Long Fanpage: https://www.facebook.com/chinhphuctcc/
Trang 4
2 2 2
(2x x 3)ln(x 1) (2x 3)dx (2x x 3)ln(x 1) x 3x C= − − + − − = − − + − + +
.
Nhận xét: Ở đây ta cần tinh tế 1 chút. Nếu chỉ có
2
(4x 1)dx d(2x x)− = −
thì lúc sau ta s ph i tính tích phân ẽ ả
hàm h u t ph c tữ ỉ ứ ạp hơn, nên ở đây để ý nhân tử
(x 1)+
có nghiệm
x 1= −
nên ta thêm h ng s ằ ố
3−
để đa
thức
2
(2x x 3)− −
có nghi t tiêu m u sệm đó, từ đó triệ ẫ ố.
5. Trước h n ph tích phân b t ph c t p. ết ta đặt ẩ ụ để ớ ứ ạ
Đặt
2
t x 2 dt 2xdx= + =
. Thay vào ta có:
( )
2
1 1 1 1
xln(x 2)dx lntdt t lnt t. dt t lnt t C
2 2 t 2
+ = = − = − +
.
Vậy:
2 2 2
1
xln(x 2)dx (x 2) ln(x 2) 1 C
2
+ = + + − +
.
6.
2
2 2
cos(1 3x) x cos(1 3x) cos(1 3x)
x sin(1 3x)dx x d .2xdx
3 3 3
− − −
− = = −
Mà:
cos(1 3x) 2 2 sin(1 3x)
.2xdx . x cos(1 3x)dx xd
3 3 3 3
− −
= − =
−
2 2
xd sin(1 3x) x sin(1 3x) sin(1 3x)dx
9 9
= − − = − − − −
2 cos(1 3x)
x sin(1 3x) C
9 3
−
= − − − +
.
Vậy:
2
2
x cos(1 3x) 2 2
x sin(1 3x)dx x sin(1 3x) cos(1 3x) C
3 9 27
−
− = + − − − +
.
7.
cos xdx
Đặt
2
t x x t dx 2tdt= = =
. Thay vào ta có:
cos xdx cos t.2tdt 2td(sint) 2t sint 2sintdt= = = −
2t sint 2cost C= + +
.
Vậy:
cos xdx 2 x sin x 2cos x C= + +
.
8.
2
arc sin xdx
Nếu tích phân từng ph n luôn thì s khá ph c t p. Ta ti n ph gi m b t s ph c t p c a bài ầ ẽ ứ ạ ến hành đặt ẩ ụ để ả ớ ự ứ ạ ủ
toán.
Đặt
t arc sin x x sint dx costdt= = =
.
Thay vào tích phân ban đầu:
2 2 2 2
I t .costdt t d(sint) t sint sint.2tdt t sint 2 td(cost)= = = − = +
( )
2 2
t sint 2 t cost costdt t sint 2t cost 2.sint C= + − = + − +
.
Thay l i biạ ến cũ, ta được:
2 2
arc sin xdx xarc sin x 2arc sinx.cos(arcsinx) 2x C= + − +
.
Anh Long Fanpage: https://www.facebook.com/chinhphuctcc/
Trang 5
9.
2
ln(sin x 2cos x)
dx ln(sinx 2cosx)d(tanx 2)
cos x
+
= + +
cos x 2sin x
(tan x 2).ln(sinx 2cosx) (tanx 2). dx
sinx 2cosx
−
= + + − +
+
.
Mà:
cos x 2sin x sinx 2cosx cos x 2sin x cos x 2sinx
(tan x 2). dx . dx dx
sinx 2cosx cosx sinx 2cos x cosx
− + − −
+ = =
+ +
sin x d(cos x)
1 2 dx x 2. x 2 ln cos x C
cos x cos x
− = + = + +
.
Vậy:
2
ln(sin x 2cos x)
dx (tanx 2).ln(sinx 2cosx) x 2ln cos x C
cos x
+
= + + − − +
.
Nhận xét: Ở đây ta lại thấy sự quan trọng của việc lấy tích phân 1 cách tinh tế.
| 1/5
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Anh Long Fanpage: https://www.facebook.com/chinhphuctcc/
KHÓA HỌC: TOÁN CAO CẤP - GIẢI TÍCH I
BÀI 8: MỞ ĐẦU VỀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH – LỜI GIẢI Bài 1: 1. 2 3
sin x.sin 2x.sin 3xdx = 2sin x.(3sinx − 4 sin x)(cos xdx)   3 4 3 4
Đặt t = sin x dt = cosxdx.Tích phân trở thành: 2 3 4 6 4 6
2t (3t − 4t )dt = .t − .t + C =
.sin x − .sin x + C  . 2 3 2 3 3 4 Vậy 4 6
I = .sin x − .sin x+ C . 2 3 − 2. x Đặt 2
t = 1− x dt =
dx . Thay vào tích phân ban đầu ta có: 2 1 − x xdx 2
= −dt = −t + C = − 1− x + C   . 2 1 − x 3. 2t Đặt x x 2 2
t = e − 1 e = t + 1 x = ln(t + 1) dx = dt . 2 t +1 1 2t 2 Tích phân trở thành: . dt =
dt = 2arc tant +C   . 2 2 t t +1 t +1 dx x
= 2arctan e −1 +C  . x e −1 4. Đặt 2
t = cos x dt = 2cos x(− sin x)dx = − sin 2xdx . 2 t t cos x
Tích phân trở thành: −e dt = −e + C = −e + C  . 2 2 cos x cos x Vậy: e .sin 2xdx = −e + C  . x 1 edx 5. x dx = −e . − = I   . 22 x x   − 1 Đặ 1 dx t t =  dt =
. Thay vào tích phân ban đầu ta có: t t x x
I = −e .dt = −e + C = −e + C = − e + C  . 2 x x 1+ ln x 1+ ln x dx 6. I = dx = .   . x ln x ln x x Trang 1
Anh Long Fanpage: https://www.facebook.com/chinhphuctcc/ dx 1 +ln x dx 1 +t
Đặt t = lnxdt =
. Thay vào tích phân ban đầu ta có: . = dt   . x ln x x t u2  Đặt 2
u = 1+ t t = u −1 dt = 2udu. Thay vào ta được: .2udu = 2 + du    2 2 u −1 u  −1   1 1 u − 1 = 2+ −
du = 2u + ln + C   . u  − 1 u+ 1 u  + 1 u −1
1 +ln x −1
Thay lại biến cũ ta có: I = 2u + ln
+ C = 2 1+ lnx + ln + C . u +1
1 +ln x +1 2 ln(1 +ln x)dx dx 7. 2 = ln(1+ ln x). = I   . x x dx 2t
Đặt t = lnxdt =
. Thay vào tích phân ban đầu ta có: 2 2
I = ln(1+ t )dt = t ln(1+ t )− t. dt   . x 2 1+ t 2t2  Mà: t. dt = 2−
dt = 2t − 2arc tant + C   . 22 1 t + 1 t  +  2 2
Vậy: I = t ln(1 + t ) − 2t + 2arc tant + C = ln x.ln(1 + ln x) − 2ln x + 2arctan(ln x) + C .
8.cos(lnx)dx Đặt =  = t  = t lnx t x e dx e dt .
Thay vào tích phân ban đầu: =   t cos(lnx)dx (cost)e dt Tích phân t ng ph ừ ần, ta được: t = t = t − t = t +     t (cost)e dt (cost)d(e ) e .cost e d(cost) e .cost e .sintdt Mà: t = t = t −    t e .sintdt sintd(e ) e .sint e .costdt Vậy nếu đặt = t  = t + t = t I (cost)e dt I e .cost e .sintdt
e (cost + sint) −   I t e x
I = (cost +sint) +C = (sin(ln x) +cos(ln x)) +C . 2 2 9. dx dx = = I   . 2 2 2 2 2
(x + 4x + 8) (
x + 2) + 2    2 Đặt 2
x + 2 = 2tant dx =
dt = 2(1+ tan t)dt . 2 cos t 2 2(1 +tan t)dt 1 dt 1 1 1 + cos2t
Thay vào tích phân ban đầ 2 u: I = = = cos tdt = dt     2 2 2 8 1+ tan t 8 8 2
4(1+ tan t)   Trang 2
Anh Long Fanpage: https://www.facebook.com/chinhphuctcc/ 1 sin 2t = (t + ) +C . 16 2 dx 1x + 2 1   x + 2   = arc tan + sin 2arc tan       + C . 2 2
(x + 4x + 8) 16 2 32 2      Bài 2: x
1. arc tan xdx = xarctanx − .dx   . 2 x + 1 2 x 1 d(x +1) 1 Mà: 2 .dx = .
= ln(x +1) +C   . 2 2 x + 1 2 x + 1 2 1 Vậy: 2
arc tan xdx = xarctan x − ln(x + 1) + C  . 2 2 − x 2 − x 2 − x 2 − x   2. e e cos3x e e cos3x 3 −2x −2x e cos3xdx = cos3xd     = − ( 3 − sin 3x)dx = − − e sin 3xdx   . 2 − 2 − 2 − 2 2   − 2x − 2x − 2xee sin 3x e Mặt khác: 2x e−
sin 3xdx = sin 3xd     = − − ( 3cos3x)dx2 − 2 2 −   −2x e sin 3x 3 2 − x = − + e cos3xdx  . 2 2 −2x −2x e cos3x 3 e sin 3x 3  Đặt 2 − x I = e cos3xdx  , ta được: I = − − . − + I   2 2 2 2   13 1 3 2 − 3 − 2x −2x − 2x − 2xI = − e cos3x + e sin 3x I = e cos3x + e sin 3x . 4 2 4 13 13 2 − 3 − − − Vậy: 2x 2x 2x e cos3xdx = e cos3x + e sin3x + C  . 13 13   3. 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 x ln xdx = ln xd(x ) =
x ln x − x .2lnx. dx = x ln x − xln xdx       . 2 2 x 2   2 2 2 2 2x x ln x x 1 x ln x x
Mà: x ln xdx = ln xd     = − . dx = − + C  . 2 2 2 x 2 4   2 2 1 x ln x x Vậy: 2 2 2 x ln xdx = x ln x − + + C  . 2 2 4 4. 2
(4x − 1)ln(x +1)dx = ln(x +1)d(2x − x − 3)   1 2 2
= (2x − x − 3)ln(x + 1)− (2x − x − 3). dxx + 1 Trang 3
Anh Long Fanpage: https://www.facebook.com/chinhphuctcc/ 2 2 2
= (2x − x − 3)ln(x +1) − (2x− 3)dx = (2x − x − 3)ln(x +1) − x + 3x +C  .
Nhận xét: Ở đây ta cần tinh tế 1 chút. Nếu chỉ có 2
(4x − 1)dx = d(2x − x) thì lúc sau ta sẽ phải tính tích phân hàm h u t
ữ ỉ phức tạp hơn, nên ở đây để ý nhân tử (x + 1) có nghiệm x = 1 − nên ta thêm hằng s ố −3 để đa thức 2
(2x − x − 3) có nghiệm đó, từ đó triệt tiêu mẫu số.
5. Trước hết ta đặt ẩn phụ để tích phân bớt ph c ứ tạp. Đặ 2
t t = x + 2 dt = 2xdx. Thay vào ta có: 1 1 11 2 x ln(x + 2)dx = lntdt =
t lnt − t. dt =     
(tlnt −t )+C . 2 2 t 2   1 Vậy: 2 2 2
x ln(x + 2)dx = (x + 2) l
n(x +2) −1 +C  . 2   2
cos(1− 3x)x cos(1− 3x) cos(1− 3x) 6. 2 2
x sin(1 − 3x)dx = x d = − .2xdx      3 3 3   cos(1 − 3x) 2 2
sin(1 − 3x)  Mà:
.2xdx = . x cos(1 − 3x)dx = xd      3 3 3 3 −   2 2 = − xd s
in(1− 3x) = − x sin(1− 3x) − sin(1− 3x)dx     9 9   2cos(1− 3x) = −
x sin(1− 3x) − + C   . 9 3   2 x cos(1− 3x) 2 2 Vậy: 2
x sin(1 −3x)dx =
+ x sin(1 −3x) − cos(1 −3x) C +  . 3 9 27 7. cos xdx Đặt 2
t = x x = t dx = 2tdt . Thay vào ta có: cos xdx = cost.2tdt = 2td(sint) = 2t sint − 2sintdt    
= 2t sint + 2cost + C .
Vậy: cos xdx = 2 x sin x + 2cos x + C  . 8. 2 arc sin xdx
Nếu tích phân từng phần luôn thì sẽ khá phức tạp. Ta tiến hành đặt ẩn phụ để giảm bớt sự ph c ứ tạp c a ủ bài toán.
Đặt t = arc sin x x = sint dx = costdt .
Thay vào tích phân ban đầu: 2 2 2 2
I = t .costdt = t d(sint) = t sint − sint.2tdt = t sint + 2 td(cost)     2 = + ( − ) 2 t sint 2 t cost
costdt = t sint + 2t cost − 2.sint + C .
Thay lại biến cũ, ta được: 2 2
arc sin xdx = xarc sin x + 2arc sinx.cos(arc sinx) − 2x + C  . Trang 4
Anh Long Fanpage: https://www.facebook.com/chinhphuctcc/ +
9. ln(sin x 2cos x) dx = ln(sinx +2cosx)d(tanx + 2)   2 cos x cos x − 2sinx
= (tanx + 2).ln(sinx + 2cosx) − (tanx + 2). dx  . sin x + 2cos x cos x − 2sinx
sinx + 2cos x cos x − 2sinx cos x − 2sinx Mà: (tanx + 2). dx = . dx = dx    sinx + 2cos x cosx sinx + 2cos x cos xsin x d(cos x) 1− 2
dx = x + 2.
= x + 2ln cos x + C    . cos x cos x  
ln(sin x +2cos x) Vậy:
dx =(tanx +2).ln(sinx +2cos x) −x −2ln cos x C +  . 2 cos x
Nhận xét: Ở đây ta lại thấy sự quan trọng của việc lấy tích phân 1 cách tinh tế. Trang 5