Mở đầu tích phân bất định - Giải tích 1| Trường đại học Bách Khoa, Đại học Đà Nẵng

Anh Long Fanpage: https://www.facebook.com/chinhphuctcc/
KHÓA HỌC: TOÁN CAO CẤP - GIẢI TÍCH I
BÀI 8: MỞ ĐẦU VỀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH – LỜI GIẢI Bài 1: 1. 2 3
sin x.sin 2x.sin 3xdx = 2sin x.(3sinx − 4 sin x)(cos xdx)   3 4 3 4
Đặt t = sin x  dt = cosxdx.Tích phân trở thành: 2 3 4 6 4 6
2t (3t − 4t )dt = .t − .t + C =
.sin x − .sin x + C  . 2 3 2 3 3 4 Vậy 4 6
I = .sin x − .sin x+ C . 2 3 − 2. x Đặt 2
t = 1− x  dt =
dx . Thay vào tích phân ban đầu ta có: 2 1 − x xdx 2
= −dt = −t + C = − 1− x + C   . 2 1 − x 3. 2t Đặt x x 2 2
t = e − 1  e = t + 1  x = ln(t + 1)  dx = dt . 2 t +1 1 2t 2 Tích phân trở thành: . dt =
dt = 2arc tant +C   . 2 2 t t +1 t +1 dx x 
= 2arctan e −1 +C  . x e −1 4. Đặt 2
t = cos x  dt = 2cos x(− sin x)dx = − sin 2xdx . 2 t t cos x
Tích phân trở thành: −e dt = −e + C = −e + C  . 2 2 cos x cos x Vậy: e .sin 2xdx = −e + C  . x 1 e  dx  5. x dx = −e . − = I   . 2  2  x x   − 1 Đặ 1 dx t t =  dt =
. Thay vào tích phân ban đầu ta có: t t x x
I = −e .dt = −e + C = −e + C = − e + C  . 2 x x 1+ ln x 1+ ln x dx 6. I = dx = .   . x ln x ln x x Trang 1
Anh Long Fanpage: https://www.facebook.com/chinhphuctcc/ dx 1 +ln x dx 1 +t
Đặt t = lnx dt =
. Thay vào tích phân ban đầu ta có: . = dt   . x ln x x t u  2  Đặt 2
u = 1+ t  t = u −1  dt = 2udu. Thay vào ta được: .2udu = 2 + du    2 2 u −1 u  −1   1 1  u − 1 = 2+ −
du = 2u + ln + C   . u  − 1 u+ 1 u  + 1 u −1
1 +ln x −1
Thay lại biến cũ ta có: I = 2u + ln
+ C = 2 1+ lnx + ln + C . u +1
1 +ln x +1 2 ln(1 +ln x)dx dx 7. 2 = ln(1+ ln x). = I   . x x dx 2t
Đặt t = lnx dt =
. Thay vào tích phân ban đầu ta có: 2 2
I = ln(1+ t )dt = t ln(1+ t )− t. dt   . x 2 1+ t 2t  2  Mà: t. dt = 2−
dt = 2t − 2arc tant + C   . 2  2  1 t + 1 t  +  2 2
Vậy: I = t ln(1 + t ) − 2t + 2arc tant + C = ln x.ln(1 + ln x) − 2ln x + 2arctan(ln x) + C .
8. cos(lnx)dx Đặt =  = t  = t lnx t x e dx e dt .
Thay vào tích phân ban đầu: =   t cos(lnx)dx (cost)e dt Tích phân t ng ph ừ ần, ta được: t = t = t − t = t +     t (cost)e dt (cost)d(e ) e .cost e d(cost) e .cost e .sintdt Mà: t = t = t −    t e .sintdt sintd(e ) e .sint e .costdt Vậy nếu đặt = t  = t + t = t I (cost)e dt I e .cost e .sintdt
e (cost + sint) −   I t e x
 I = (cost +sint) +C = (sin(ln x) +cos(ln x)) +C . 2 2 9. dx dx = = I   . 2 2 2 2 2
(x + 4x + 8) (
 x + 2) + 2    2 Đặt 2
x + 2 = 2tant  dx =
dt = 2(1+ tan t)dt . 2 cos t 2 2(1 +tan t)dt 1 dt 1 1 1 + cos2t
Thay vào tích phân ban đầ 2 u: I = = = cos tdt = dt     2 2 2 8 1+ tan t 8 8 2
4(1+ tan t)   Trang 2
Anh Long Fanpage: https://www.facebook.com/chinhphuctcc/ 1 sin 2t = (t + ) +C . 16 2 dx 1  x + 2  1   x + 2   = arc tan + sin 2arc tan       + C . 2 2
(x + 4x + 8) 16 2 32 2      Bài 2: x
1. arc tan xdx = xarctanx − .dx   . 2 x + 1 2 x 1 d(x +1) 1 Mà: 2 .dx = .
= ln(x +1) +C   . 2 2 x + 1 2 x + 1 2 1 Vậy: 2
arc tan xdx = xarctan x − ln(x + 1) + C  . 2 2 − x 2 − x 2 − x 2 − x   2. e e cos3x e e cos3x 3 −2x −2x e cos3xdx = cos3xd     = − ( 3 − sin 3x)dx = − − e sin 3xdx   . 2 − 2 − 2 − 2 2   − 2x − 2x − 2x  e  e sin 3x e Mặt khác: 2x e−
sin 3xdx = sin 3xd     = − − ( 3cos3x)dx  2 − 2 2 −   −2x e sin 3x 3 2 − x = − + e cos3xdx  . 2 2 −2x −2x e cos3x 3  e sin 3x 3  Đặt 2 − x I = e cos3xdx  , ta được: I = − − . − + I   2 2 2 2   13 1 3 2 − 3 − 2x −2x − 2x − 2x  I = − e cos3x + e sin 3x  I = e cos3x + e sin 3x . 4 2 4 13 13 2 − 3 − − − Vậy: 2x 2x 2x e cos3xdx = e cos3x + e sin3x + C  . 13 13   3. 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 x ln xdx = ln xd(x ) =
x ln x − x .2lnx. dx = x ln x − xln xdx       . 2 2 x 2   2 2 2 2 2  x  x ln x x 1 x ln x x
Mà: x ln xdx = ln xd     = − . dx = − + C  . 2 2 2 x 2 4   2 2 1 x ln x x Vậy: 2 2 2 x ln xdx = x ln x − + + C  . 2 2 4 4. 2
(4x − 1)ln(x +1)dx = ln(x +1)d(2x − x − 3)   1 2 2
= (2x − x − 3)ln(x + 1)− (2x − x − 3). dx  x + 1 Trang 3
Anh Long Fanpage: https://www.facebook.com/chinhphuctcc/ 2 2 2
= (2x − x − 3)ln(x +1) − (2x− 3)dx = (2x − x − 3)ln(x +1) − x + 3x +C  .
Nhận xét: Ở đây ta cần tinh tế 1 chút. Nếu chỉ có 2
(4x − 1)dx = d(2x − x) thì lúc sau ta sẽ phải tính tích phân hàm h u t
ữ ỉ phức tạp hơn, nên ở đây để ý nhân tử (x + 1) có nghiệm x = 1 − nên ta thêm hằng s ố −3 để đa thức 2
(2x − x − 3) có nghiệm đó, từ đó triệt tiêu mẫu số.
5. Trước hết ta đặt ẩn phụ để tích phân bớt ph c ứ tạp. Đặ 2
t t = x + 2  dt = 2xdx. Thay vào ta có: 1 1  1  1 2 x ln(x + 2)dx = lntdt =
t lnt − t. dt =     
(tlnt −t )+C . 2 2 t 2   1 Vậy: 2 2 2
x ln(x + 2)dx = (x + 2) l
 n(x +2) −1 +C  . 2   2
 cos(1− 3x) x cos(1− 3x) cos(1− 3x) 6. 2 2
x sin(1 − 3x)dx = x d = − .2xdx      3 3 3   cos(1 − 3x) 2 2
sin(1 − 3x)  Mà:
.2xdx = . x cos(1 − 3x)dx = xd      3 3 3 3 −   2 2 = − xd s
 in(1− 3x) = − x sin(1− 3x) − sin(1− 3x)dx     9 9   2 cos(1− 3x) = −
x sin(1− 3x) − + C   . 9 3   2 x cos(1− 3x) 2 2 Vậy: 2
x sin(1 −3x)dx =
+ x sin(1 −3x) − cos(1 −3x) C +  . 3 9 27 7. cos xdx  Đặt 2
t = x  x = t  dx = 2tdt . Thay vào ta có: cos xdx = cost.2tdt = 2td(sint) = 2t sint − 2sintdt    
= 2t sint + 2cost + C .
Vậy: cos xdx = 2 x sin x + 2cos x + C  . 8. 2 arc sin xdx 
Nếu tích phân từng phần luôn thì sẽ khá phức tạp. Ta tiến hành đặt ẩn phụ để giảm bớt sự ph c ứ tạp c a ủ bài toán.
Đặt t = arc sin x  x = sint  dx = costdt .
Thay vào tích phân ban đầu: 2 2 2 2
I = t .costdt = t d(sint) = t sint − sint.2tdt = t sint + 2 td(cost)     2 = + ( − ) 2 t sint 2 t cost
costdt = t sint + 2t cost − 2.sint + C .
Thay lại biến cũ, ta được: 2 2
arc sin xdx = xarc sin x + 2arc sinx.cos(arc sinx) − 2x + C  . Trang 4
Anh Long Fanpage: https://www.facebook.com/chinhphuctcc/ +
9. ln(sin x 2cos x) dx = ln(sinx +2cosx)d(tanx + 2)   2 cos x cos x − 2sinx
= (tanx + 2).ln(sinx + 2cosx) − (tanx + 2). dx  . sin x + 2cos x cos x − 2sinx
sinx + 2cos x cos x − 2sinx cos x − 2sinx Mà: (tanx + 2). dx = . dx = dx    sinx + 2cos x cosx sinx + 2cos x cos x  sin x  d(cos x) 1− 2
dx = x + 2.
= x + 2ln cos x + C    . cos x cos x  
ln(sin x +2cos x) Vậy:
dx =(tanx +2).ln(sinx +2cos x) −x −2ln cos x C +  . 2 cos x
Nhận xét: Ở đây ta lại thấy sự quan trọng của việc lấy tích phân 1 cách tinh tế. Trang 5