Một số bài toán trong tích phân có vận dụng phương trình hàm Toán 12
Một số bài toán trong tích phân có vận dụng phương trình hàm Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Chủ đề: Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Môn: Toán 12
Thông tin:
Tác giả:
Thông tin :
Chủ đề:
Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Môn:
Tác giả:
Tài liệu liên quan:
Preview text:
NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM
MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG TÍCH PHÂN
CÓ VẬN DỤNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM
Thầy Nguyễn Ngọc Chi
Trường THPT Kinh Môn – Hải Dương
Trong chương trình SGK giải tích lớp 12, các dạng tích phân được tính bằng các tính chất của tích
phân và tính chất của hàm số hay tích phân thông qua giả thiết là các dạng phương trình hàm xuất hiện rất
ít, chính vì vậy khả năng thực hành tính toán của học sinh còn nhiều hạn chế hay chưa nói đến là gặp rất
nhiều khó khăn. Trước đây, trong các kì thi từ thi tốt nghiệp THPT đến các kỳ thi Đại học, Cao đẳng hay
ngay trong quá trình dạy hầu như không xuất hiện các dạng tích phân cho dưới dạng phương trình hàm, vì
vậy sự quan tâm của giáo viên và học sinh về vấn đề này là không có. Từ khi Bộ GD&ĐT chuyển hình
thức thi môn Toán từ thi tự luận sang thi trắc nghiệm thì dạng tích phân này đã có trong đề thi đã xuất hiện
và khi dạy học vấn đề này cũng được các thầy cô và các em học sinh quan tâm hơn. Từ những lý do trên
tôi đã mạnh dạn viết bài nhở này để nói về một số bài toán tích phân có sử dụng phương trình hàm và cách
giải của chúng với mục tiêu dẫn dắt học sinh biết vận dụng những kiến thức cơ bản, kết hợp các phương
pháp được tiếp cận từ sách giáo khoa để tạo được một thói quen mới, một phương pháp mới cho dạng toán Tích phân. b
Nội dung chung của các bài toán dạng này là yêu cầu tính tích phân
f (x)dx nhưng chưa cho biết a
hàm số f (x) mà chỉ biết f (x) thỏa mãn một phương trình hàm cho trước. Phương pháp chung:
Cách 1: Sử dụng các kiến thức về phương trình hàm để tìm hàm số f (x). b
Cách 2: Biểu diễn hàm f (x) qua hàm g(x) mà ta có thể tính được g(x)dx . a
Dạng 1. Tích phân liên quan đến biểu thức (
u x).f (x)
u (x).f (x) g(x) Phương pháp: Ta có (
u x).f (x)
u (x).f (x) g(x) [ (
u x).f (x)] g(x) . Suy ra (
u x).f (x)
g(x)dx . Từ đó
tìm được f (x).
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc
NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM 1 Ví dụ 1. Cho và + =
f (x) có đạo hàm trên 0; 1 thỏa mãn f (1) = 2018 2018 f (x) .
x f (x) 2x với 2018 1 x 0;
1 .Tính tích phân I = f (x)dx 0 1 1 A. I B. I 2018.2019 2019 1 1 C. I D. I 1 2018 2019
Nhận xét : trước hết ta đi tìm biểu thức u(x) . Ta có 2018 2018 ln u(x) =
dx ln u(x) = 2018ln x + c ln u(x) = ln x + c x 2018
nên ta chọn u(x) = x
, khi đó ta có lời giải như sau: Lời giải Ta có 2018 2017 2018 2017 x f x = x f x + x
f x = x
f x + xf x 2017 2018 4035 . ( ) 2018 ( ) ( ) 2018 ( ) ( ) = x .2x = 2x 4036 x Khi đó 2018 4035 2018 x
f (x) = 2x dx x f (x) = + c 1 1 1 , do f (1) = = + c 2018 2018 2018 2018 4036 2018 x x 2018 c = 0 x f (x) = f (x) = 2018 2018 1 1 1 2018 2019 x x 1 khi đó I = f (x)dx = dx = = 2018 2019.2018 2018.2019 0 0 0 2
Ví dụ 2. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1]. Biết (x
1).f (x) f(x) 3x 2x và 1 f (1) 1. Tính tích phân I
f (x)dx . 0 4 3 A. I 4 ln 2. B. I 4 ln 2. 3 4 4 4 C. I 4 ln 2. D. I 4 ln2. 3 3 Lời giải 2 2 Ta có (x
1)f (x) f(x) 3x 2x
[(x 1)f(x)] 3x 2x
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc
NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM Suy ra 2 3 2 (x 1)f (x) (3x 2x)dx x x C. 3 2 Vì f (1) 1 nên (1 1)f(1) 1 1 C. Suy ra C 2. 3 2 x x 2 Do đó f (x) . x 1 1 1 3 2 x x 2 1 4 2 Vậy I f (x)dx dx x 2x 2 dx x 1 x 1 0 0 0 1 3 x 4 2 x 2x 4 ln x 1 4 ln 2. 3 3 0
Dạng 2. Tích phân liên quan đến biểu thức f (x) (
p x).f (x) g(x) ( ) p(x )dx
Phương pháp: Nhân hai vế của ( ) với e ta được p(x )dx p(x )dx p(x )dx p(x )dx p(x )dx f (x).e ( p x).e .f (x) e .g(x) f (x).e e .g(x). p(x )dx p(x )dx
Suy ra f (x).e e
.g(x)dx . Từ đó tìm được f(x). x
Ví dụ 1. Cho hàm số f (x) liên tục trên
và thỏa mãn f (x)
f(x) (2x 1)e , x và f (1) e . 1 Tính tích phân I f (x)dx. 0 A. I 1. B. I . e C. I 0. D. I 2. Lời giải x x x x x x x Ta có f (x)
f(x) (2x 1)e
e f(x) e f (x) e (2x 1)e 2 [e f(x)] (2x 1)e . x x 1 x 1 2 2 2x 2x
Suy ra e .f (x) (2x 1)e dx (2x 1)e e C x.e C . 2 2 1 2 Vì f (1) e nên e f (1) 1.e C. Suy ra C 0. Do đó ( ) x f x xe . 1 1 1 1 x x x Vậy I f (x)dx x.e dx x.e e dx 1. 0 0 0 0
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc
NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM 2
Ví dụ 2. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên . Biết (x
1)f (x) xf(x) x và f(0) 2 . 3 Tính tích phân I xf (x)dx. 0 5 3 3 1 A. I . B. I . C. I . D. I . 2 2 2 2 Lời giải x x 2 Ta có (x
1)f (x) xf (x) x f (x) .f (x) (1) 2 2 x 1 x 1 2 x 1 d(x 1) dx d ( )d x p x x 2 2
Nhân hai vế của (1) với x 1 2 x 1 2 e e e x 1 ta được: x x x 2 x 1.f (x) .f (x) 2 x 1.f (x) . 2 2 x 1 x 1 2 x 1 x Suy ra: 2 2 x 1.f (x) dx x 1 C . 2 x 1 Vì f (0) 2 nên 2 2 0 1.f (0) 0 1 C. Suy ra C 1. Do đó 1 f (x) 1 . 2 x 1 3 1 5 Vậy I x 1 dx . 2 2 0 x 1 2 Ví dụ 3. Cho + + = +
f (x) liên tục và có đạo hàm trên R \ 1 − ;
0 thỏa mãn x(x 1) f (x) f (x) x x với 2 x R \ 1 − ; 0 và f (1) = 2
− ln 2 , tính tích phân I = xf (x)dx . 1 31 9 31 9 A. I ln 3 2 ln 2 B. I ln 3 2 ln 2 12 2 12 2 31 9 31 9 C. I ln 3 2 ln 2 D. I ln 3 2 ln 2 12 2 12 2
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc
NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM
Nhận xét : Trước hết ta đi tìm biểu thức u(x) . Ta có 1 1 1 x ln u(x) =
dx ln u(x) = −
dx ln u(x) = + c x
, nên ta chọn u(x) = , khi x(x +1) x x +1 x +1 x +1
đó ta có lời giải như sau: Lời giải x 1 x 1 Ta có . f (x) = f (x) + . f ( x) = . f ( ) x + ( x x +1) f ( ) x 2 2 x +1 (x +1) x +1 (x +1) x 1 x x x x 2 . f (x) =
. x + x . f (x) = . f (x) = dx 2 x +1 (x +1) x +1 x +1 x +1 x +1 x 1 x . f (x) = 1− dx
. f (x) = x − ln x +1 + c . Do x +1 x +1 x +1 1 f (1) = 2 − ln 2 .( 2
− ln 2) =1− ln 2 + c c = 1 − 2 2 x
x −1− (x +1).ln x +1
. f (x) = x − ln x +1 −1 f (x) = . Khi đó x +1 x 2 2 2 x
I = xf (x)dx = ( 3 2 4 2
x −1− (x +1).ln ( x + ) 1 ).dx =
− x − (x +1).ln
(x + )1.dx = − I1 3 3 1 1 1 1 1 = 2 du dx u = ln(x +1) x +1
Với I = (x +1).ln x +1 .dx ; đặt 1 ( )
dv = (x +1)dx 2 x 1 1 1
v = + x + = (x + )2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 9 1 x 9 5 2 I = (x +1) .ln(x +1) − x +1 dx
I = ln 3− 2ln 2 − + x = ln3− 2ln 2− 1 ( ) 1 2 2 2 2 2 2 4 1 1 1 4 4 9 5 31 9
Khi đó I = − I = − ln 3 − 2 ln 2 − = − ln 3+ 2ln 2 1 3 3 2 4 12 2
Dạng 3. Phương trình hàm liên quan đến hàm hợp
Cho hàm số f (x) thỏa mãn f ( ( u x)) (
v x), trong đó u(x) là hàm đơn điệu trên . Tính tích phân b I
f (x)dx . a
Phương pháp: Đặt t u(x) dt
u (x)dx và f (t) ( v x). Đổi cận: t a x ; t b x
( vì u(x) là hàm đơn điệu trên ).
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc
NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM b b Do đó I f (x)dx f (t)dt
u (x).v(x)dx . a a 3
Ví dụ 1. Cho hàm số f (x) liên tục trên thỏa mãn f (x 2x 2) 3x 1. Tính tích phân 10 I f (x)dx. 1 135 87111 133 131 A. I . B. I . C. I . D. I . 4 4 4 4 Lời giải Đặ 3 2 t t x 2x 2 dt (3x
2)dx và f(t) 3x 1. Đổi cận: t 1 x 1; t 10 x 2. 10 10 2 135 Do đó 2 I f (x)dx f (t)dt (3x 1)(3x 2)dx . 4 1 1 1 x 1
Ví dụ 2. Cho hàm số f (x) liên tục trên \ {1} thỏa mãn f x 3, x 1. Tính tích phân x 1 3 I f (x)dx. 2 A. I 4 2 ln 2. B. I 4 2 ln2. C. I 4 2 ln 2. D. I 4 2 ln 3. Lời giải x 1 2 Đặt t dt
dx và f (t) x 3. 2 x 1 (x 1) Đổi cận t 2 x 3; t 3 x 2. 3 3 2 2 3 1 4 Do đó I f (x)dx f (t)dt (x 3) dx 2 dx 4 2 ln 2. 2 (x 1) 2 x 1 (x 1) 2 2 3 2
Cách khác: Ta tìm hàm số f (x). x 1 f x 3, x 1 (1). x 1
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc
NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM x 1 t 1 t 1 4t 2 Đặt t x
. Từ (1) suy ra f (t) 3 . x 1 t 1 t 1 t 1 4x 2 3 3 3 4x 2 2 Do đó f (x) . Vậy I f (x)dx dx 4 dx 4 2 ln 2 . x 1 x 1 x 1 2 2 2
Dạng 4: Đổi vai trò của biến x và y
Cho hàm số f (x) thỏa mãn x
G(f (x)), trong đó G(t) là hàm đơn điệu trên . b Tính tích phân I
f (x)dx . a
Phương pháp: Đặt y f (x) x G(y) dx
G (y)dy . Đổi cận: x a G(y) a y ; x b G(y) b y b Do đó I f (x)dx
yG (y)dy . a 2 3
Ví dụ 1. Cho hàm số f (x) liên tục trên
thỏa mãn f (x)
f(x) x. Tính I
f (x)dx . 0 5 3 A. I . B. I 14. C. I 0. D. I . 4 4 Lời giải Đặ 3 2 t y f(x) y y x và dx (3y 1)dy . Đổ 3 i cận: x 0 y y 0 y 0; 3 x 2 y y 2 y 1. 2 1 1 5 Do đó 2 3 I f (x)dx y(3y 1)dy (3y y)dy . 4 0 0 0
Ví dụ 2. Biết mỗi số thực t 0 phương trình 3
4x + tx − 4 = 0 có nghiệm dương duy nhất x = x(t) , với 7 2
x(t) là hàm số liên tục theo t trên 0; +) . Tính tích phân I = x(t) dt 0
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc
NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM 31 31 31 31 A. I . B. I C. I . D. I . 4 16 32 8 Lời giải 3 3 3 = − = = 4 − 4x 8x + 4 t 0 4x 4 0 x 1 Đặ t t = dt = − dx , đổi cận : 2 x x 1 3
t = 7 4x + 7x − 4 = 0 x = 2 1 2 3 1 1 8x + 4 31 2 3 4
Ta có I = − x . dx =
8x + 4 dx = 2x + 4x = 2 ( ) ( ) 1 x 8 1 1 2 2
Dạng 5: Cho hàm số f (x) liên tục trên
và thỏa mãn mf (x) nf (a b x) g(x), x . b
Tính tích phân I
f (x)dx . a
Phương pháp: Đặt t a b x dx dt. Đổi cận: x a t ; b x b t . a b a b b Do đó I f (x)dx f (a b t)( dt) f (a b t)dt f (a b x)dx. a b a a b b Suy ra 2I [f (x) f (a b x)]dx g(x)dx . a a 1 b Vậy I g(x)dx . 2 a
Ví dụ 1. (Trích đề minh họa của Bộ GD&ĐT năm 2017) Cho hàm số f (x) liên tục trên và thỏa mãn 3 2 f (x) f ( x) 2 2 cos2x, x . Tính tích phân I f (x)dx. 3 2 A. I 6. B. I 0. C. I 2. D. I 6. Lời giải Đặt x t dx dt. 3 3 3 3 Đổi cận x t ; x t . 2 2 2 2
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc
NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM 3 3 3 3 2 2 2 2 Do đó: I f (x)dx
f ( t)( dt) f ( t)dt
f ( x)dx . 3 3 3 3 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 Suy ra 2I (f (x) f ( x))dx 2 2 cos 2x dx 2 cos x dx 12 . 3 3 3 2 2 2 Vậy I 6.
Ví dụ 2. Cho hàm số f (x) liên tục trên
và thỏa mãn f (x) f x sin 2x, x . Tính tích phân 2 2 I
f (x)dx . 0 1 A. I . B. I 1. C. I 0. D. I 2. 2 Lời giải Đặt t x dx dt. 2 Đổi cận: x 0 t ; x t 0. 2 2 2 2 2 2 Do đó I f (x)dx I f t ( dt) f t dt I f x dx . 2 2 2 0 0 0 0 2 2 Suy ra 2I f (x) f x dx sin2xdx 1. 2 0 0 1 Vậy I . 2 1
Ví dụ 3. Cho hàm số y
f (x) liên tục trên đoạn [ 3; 3] và thỏa mãn 3f (x) 4f ( x) . Tính tích 2 9 x 3 phân I
f (x)dx . 3
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc
NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM A. I . B. I . C. I . D. I . 6 40 42 41 Lời giải 1
Từ giả thiết, thay x bằng
x ta được 3f ( x) 4f(x) . 2 9 x 1 3 3f (x) 4f ( x) 9f (x) 12f ( x) 1 Do đó ta có hệ 2 2 9 x 9 x f (x) . 1 4 2 7(9 x ) 3f ( x) 4f (x) 16f (x) 12f ( x) 2 9 x 2 9 x 3 3 1 1 Vậy I f (x)dx dx . 2 7 9 x 3 3 Đặt x tan , t t ; . Đổi cận: x 3 t ; x 3 t . 2 2 4 4 4 4 1 1 3 1 Do đó I . dt dt . 2 2 7 9 9 tan t cos t 21 42 4 4 1 1 1
Cách khác: Ta có 3f (x) 4f ( x) f (x) 4f ( x) . 2 9 x 2 3 9 x 3 3 1 1 Khi đó: I f (x)dx
4f ( x)dx . 2 3 9 x 3 3 3 Xét J
f ( x)dx . Đặt t x dx dt . 3 Đổi cận:x 3 t 3; x 3 t 3 . 3 3 3 Do đó J f (t)dt f (t)dt
f (x)dx I 3 3 3 3 3 1 dx 1 dx Vậy I 4I I . 2 2 3 9 x 7 9 x 42 3 3
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc
NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM
Ví dụ 4. Cho hàm số f (x) liên tục trên [0;1] và thỏa mãn 2 2f (x) 3f (1 x) 1 x . Tính tích phân 1 I
f (x)dx . 0 A. I . B. I . C. I . D. I . 20 16 6 4 Lời giải
Từ giả thiết, thay x bằng 1 x ta được 2 2f (1 x) 3f (x) 2x x . 2 2f (x) 3f (1 x) 1 x 2 4f (x) 6f (1 x) 2 1 x Do đó ta có hệ 2 2f (1 x) 3f (x) 2x x 2 9f (x) 6f (1 x) 3 2x x 2 2 3 2x x 2 1 x Suy ra f (x) . 5 1 1 2 2 Vậy I 3 2x x 2 1 x dx . 5 20 0 1 2 Cách khác: Từ 2 2f (x) 3f (1 x) 1
x , suy ra f (x) 1 x 3f (1 x) . 2 1 1 1 1 Khi đó 2 I f (x)dx 1 x dx
3 f (1 x)dx 2 0 0 0 1 Xét J
f (1 x)dx . Đặt t 1 x dt dx . 0 0 1 1 Đổi cận: x 0 t 1; x 1 t 0 . Khi đó: J f (t)dt f (t)dt f (x)dx I . 1 0 0 1 1 1 1 2 2 Vậy I 1 x dx 3I . Suy ra I 1 x dx . 2 5 20 0 0 1 1
Ví dụ 5. Cho hàm số f (x) liên tục trên
;2 và thỏa mãn f (x) 2f 3x . Tính tích phân 2 x 2 f (x) I dx . x 1 2
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc
NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM 1 3 5 7 A. I . B. I . C. I . D. I . 2 2 2 2 Lời giải 1 1 3
Từ giả thiết, thay x bởi ta được f 2f (x) . Do đó ta có hệ x x x 1 1 f (x) 2f 3x f (x) 2f 3x x x 2 . Suy ra f (x) x . 1 3 1 6 x f 2f (x) 4f (x) 2f x x x x 2 2 2 f (x) 2 2 3 Khi đó I dx 1 dx x . 2 x x x 2 1 1 1 2 2 2 1 1
Cách khác: Từ f (x) 2f
3x suy ra f (x) 3x 2f . x x 1 f 1 2 2 f f (x) x 2 2 x Khi đó I dx 3 2 dx 3 dx 2 dx . x x x 1 1 1 1 2 2 2 2 1 f 2 x 1 1 1 2 Xét J dx . Đặt t , suy ra dt dx t dx dx dt . x x 2 2 x t 1 2 1 1 1 2 2 2 1 f (t) f (x) Đổi cận : x t 2; x 2 t . Khi đó J tf (t) dt dt dx I . 2 2 2 t t x 2 1 1 2 2 2 2 3 Vậy I 3 dx 2I . Suy ra I dx . 2 1 1 2 2 1 x 1 1
Ví dụ 6. Cho hàm số f (x) liên tục trên \
thỏa mãn f (x 1) 3f 1 2x, x . 2 1 2x 2 2 Biết f (x)dx a
b ln 3 c ln 5 với , a ,
b c là các số hữu tỉ. Giá trị của 2a b c bằng 1
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc
NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM 1 5 11 A. . B. 1. C. . D. . 2 16 16 Lời giải x 1 y 1 y Đặt y 1 x x 1 . 1 2x 2y 1 2y 1 1 y 1 1 Suy ra f 3f (y 1) , y 2y 1 2y 1 2 x 1 1 1 Suy ra f 3f (x 1) , x 1 2x 2x 1 2 x 1 1 f (x 1) 3f 1 2x, x 1 2x 2 Do đó x 1 1 1 f 3f (x 1) , x 1 2x 2x 1 2 3 1 3 1 Suy ra 8f (x 1) 1 2x f (x 1) 1 2x , x 1 2x 8 2x 1 2 1 3 1 Suy ra f (x) 1 2x , x . 8 2x 1 2 2 2 1 3 2 1 3 1 3 3 Khi đó I f (x)dx 1 2x dx 2 x x ln 2x 1 ln 3 ln 5 . 8 2x 1 8 2 2 16 16 1 1 1 1 3 3 Suy ra a , b , c . 2 16 16 Vậy 2a b c 1 .
Dạng 6: Tích phân liên quan đến phương trình hàm có dạng (
u x).f (x) (
v x).f (x)
Chủ yếu biến đổi để sử dụng các công thức đạo hàm 1) u . v + . u v = (uv) u v
−uv u 2) = 2 v v u 3) = ( u) 2 u
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc
NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM
Việc còn lại là lấy tích phân hai vế để đi đến kết quả 2
Ví dụ 1. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên (0; ) , biết f (x) (2x 3)f (x) 0, 1 2 f (x) 0 với mọi x 0, f (1) và f (x)dx
a ln 2 b ln 3 với a,b là các số hữu tỉ. Giá trị của 6 1 a b bằng A. 1. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải f (x) Ta có: 2 f (x) (2x 3)f (x) 0 (2x 3) (do f (x) 0 ). 2 f (x) f (x) 1 Suy ra: dx (2x 3)dx 2 x 3x C . 2 f (x) f (x) 1 1 Suy ra f (x) . Vì f (1) nên C 2 . 2 x 3x C 6 1 1 1 Suy ra f (x) . 2 x 3x 2 x 1 x 2 2 2 1 1 Do đó I f (x)dx dx 3 ln 2 2 ln 3 . x 1 x 2 1 1 Suy ra a 3; b 2. Vậy a b 1 .
Ví dụ 2. Cho hàm số f (x) liên tục trên [0;6] thỏa mãn f (x) 1 với mọi x [0;6], f (0) 0 và 6 2 f (x) x 1 2x f (x) 1 . Khi đó
f (x)dx bằng 0 A. 9. B. 72. C. 78. D. 66. Lời giải f (x) 2x Từ giả thiết suy ra . 2 f (x) 1 x 1 f (x) 2x 2 Suy ra dx dx 2 f (x) 1 2 x 1 C . 2 f (x) 1 x 1
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc
NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM 2 Vì f (0) 0 nên C 0 . Suy ra f(x) x . 6 6 2 Vậy f (x)dx x dx 72 . 0 0
Ví dụ 3. Cho hàm số f (x) có đạo hàm và liên tục trên [1; 4], đồng biến trên [1; 4] , thỏa mãn 4 2 3 x
2xf(x) [f (x)] với mọi x [1;4]. Biết rằng f(1) , tính tích phân I
f (x)dx . 2 1 1186 1187 1188 9 A. I . B. I . C. I . D. I . 45 45 45 2 Lời giải
Nhận xét: Do f (x)đồng biến trên [1; 4] nên f (x) 0, x [1; 4]. 2
Từ giả thiết ta có x[1
2f(x)] [f (x)] . 2f (x) 2f (x) Suy ra f (x) x . 1 2f (x), x [1; 4]. Suy ra x dx xdx . 2 1 2f (x) 2 1 2f(x) 2 3 4 Do đó 1 2f (x) x x C . Vì f(1) nên C . 3 2 3 2 2 4 x x 1 3 3 2 8 7 3 Suy ra f (x ) x x x . 2 9 9 18 4 4 2 8 7 1186 3 Vậy I f (x)dx x x x dx . 9 9 18 45 1 1
f (3 x).f (x) 1
Ví dụ 4. Cho hàm số y
f (x) có đạo hàm trên [0;3], thỏa mãn f(x) 1 với mọi x [0;3] và 1 3 xf (x) f (0) . Tính tích phân I dx . 2 2 2 [1
f (3 x)] .f (x) 0 1 3 5 A. I . B. I 1. C. I . D. I . 2 2 2 Lời giải
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc
NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM 1 2 2 2 Từ giả thiết f (3 x).f (x) 1 và f (0) suy ra f (3) 2. Ta có:[1
f(3 x)] .f (x) [1 f(x)] 2 3 3 xf (x) 1 (vì f (3 x).f (x) 1). Do đó I dx xd 2 [1 f (x)] 1 f (x) 0 0 3 3 x 1 dx 1 J . 1 f (x) 1 f (x) 0 0 3 0 t 3 1 x 1 3 3 1 1 Tính J dx dt dt dx . 1 f (x) 1 f (3 t) 1 f (3 t) 1 f (3 x) 0 3 0 0 3 3 3 1 1 Suy ra 2J dx dx 1dx
3 (vì f(3 x).f(x) 1). 1 f (x) 1 f (3 x) 0 0 0 3 1 Suy ra J . Vậy I . 2 2 1
Ví dụ 5. Cho hàm số f ( x) 0 , liên tục trên đoạn 1;2 và thỏa mãn 2 2 2 f (1) = x . f (
x) = (1− 2x ). f (x) 3 2 với x 1;
2 . Tính tích phân I = f (x)dx 1 1 1 A. I ln 3 B. I ln 3 C. I ln 3 D. I ln 3 2 4 Lời giải f ( x) 1− 2x 1 1 Ta có x . f (
x) = (1− 2x ) 2 2 2 2 . f (x) = − = − 2 2 2 2 f (x) x f (x) x 1 1 1 1 − = − 2 .dx − = − − 2x + c 1 , do = = 2 f (1) c 0 f (x) x f (x) x 3 2 1 2x +1 x Nên ta có = f (x) = 2 f (x) x 2x +1 2 2 2 2 2 x 1 d (1+ 2x ) 1 1 1 Khi đó 2 I = f (x)dx = dx = = ln 1+ 2x = (2ln3− ln3) = ln3 2 2 1+ 2x 4 1+ 2x 4 4 4 1 1 1 1
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc
NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM
Ví dụ 6. Cho hàm số f (x) liên tục, không âm trên R và thỏa mãn 2
f (x). f ( x) − 2 . x
f (x) +1 = 0 với 1 x
R và f (0) = 0. Tính tích phân I = f (x)dx 0 1 1 A. I 3 3 2 2 B. I 3 3 2 2 3 3 C. I 3 3 2 2 D. I 3 3 2 2 Lời giải
f (x). f ( x) 2
f (x). f (
x) − 2 .x f (x) +1 = 0
= 2x ( 2f(x)+1 = 2x 2 ) Ta có f (x) +1 2 2 2
f (x) +1 = 2xdx f (x) +1 = x + c
. Do f (0) = 0 c =1 nên ta có f
x + = x + f x + = ( x + )2 2 2 2 2 2 2 f x = x ( 2 x + ) 2 ( ) 1 1 ( ) 1 1 ( )
2 f (x) = x x + 2 1 1 1
(vì f (x) không âm trên R ). Khi đó 2 2 I = f (x)dx = x
x + 2dx = x x + 2dx 0 0 0 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 =
x + 2d(x + 2) = .
(x +2) x +2 = (3 3−2 2) 2 2 3 3 0 0 b 2
Dạng 7. Một số bài toán liên quan đến hằng đẳng thức tích phân
[f (x) g x ] dx 0 và sử a
dụng công thức tích phân từng phần để tính toán. b b b
+ Công thức tích phân từng phần: u(x)v ( x)dx =
(u(x)v(x)) − v(x)u (x)dx
(trong đó u, v có đạo hàm a a a
liên tục trên K và a, b là hai số thuộc K ) b
+ Tính chất: Nếu f (x) 0 với x
;ab thì f (x)dx 0
, dấu "=" xảy ra f (x) = 0, x ; a b a b + Hệ quả: 2
f (x)dx = 0 f (x) = 0 với x
;ab. a
+ Bất đẳng thức Holder: Cho hai hàm số f (x) và g(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Khi đó
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc
NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM 2 b b b 2 2
f (x).g(x)dx
f (x)dx. g (x)dx. a a a
Đẳng thức xảy ra f (x) kg(x), k . 1 1
Ví dụ 1. Cho hàm số f (x) thỏa mãn (x 1)f (x)dx
10 và 2f(1) f(0) 2 . Tính I
f (x)dx . 0 0 A. I 12. B. I 8. C. I 12. D. I 8. Lời giải 1 Xét tích phân (x 1)f (x)dx 0 u x 1 du dx Đặt . Khi đó dv f (x)dx v f (x) 1 1 1 1 1 10 (x 1)f (x)dx (x 1)f (x) f (x)dx 2f (1) f (0) f (x)dx 2
f (x)dx . 0 0 0 0 0 1 Suy ra f (x)dx 8 . 0 2 4 e 2 f (ln x) 2
Ví dụ 2. Cho hàm số f (x) liên tục trên và thỏa mãn
tan x.f (cos x)dx 1, dx 1 . Tính x ln x 0 e 2 f(2x) tích phân I dx x 1 4 A. I 1. B. I 2. C. I 3. D. I 4. Lời giải 4 2 Xét A
tan x.f (cos x)dx 1 0 dt Đặt 2 t cos x. Suy ra dt 2 sinx cos d x x 2 2 cos x tan d x x 2t tan d x x tan xdx 2 1 Đổi cận: x 0 t 1; x t . Khi đó: 4 2
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc
NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM 1 2 1 1 1 f (t) 1 f (t) 1 f (x) 1 A dt dt dx . 2 t 2 t 2 x 1 1 1 2 2 1 2 f (x) e 2 f (ln x) Suy ra dx 2 . Xét B dx 1. x x ln x 1 e 2 2 2 ln x 2 ln x 2u dx du Đặt 2 u ln x . Suy ra du dx dx dx . x x ln x x ln x x ln x 2u Đổ 2 i cận: x e u 1; x e u 4 . 4 4 1 f (u) 1 f (x) Khi đó 1 B du dx 2 u 2 x 1 1 4 f(x) Suy ra dx 2 . x 1 2 f(2x)
Xét tích phân cần tính I dx x 1 4 1 v Đặt v 2x, suy ra dx d , v x 2 2 1 1 Đổi cận: x v ; x 2 v 4 . 4 2 4 4 f (v) f (x) 1 4 f (x) f (x) Khi đó I dv dx dx dx 2 2 4 . v x x x 1 1 1 1 2 2 2 1 −1 2
Ví dụ 3. Cho f (x) là hàm số chẵn liên tục, có đạo hàm trên R thỏa mãn f = 4 và
f (x)dx = 3 . 2 0 0 Tính tích phân I = sin 2xf ( sin x)dx − 6 A. I 2 B. I 2 C. I 1 D. I 1 Lời giải
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc
NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM 0 Ta có I = 2 sin x cos . x f ( sin x)dx
, đặt t = sinx dt = cos xdx − 6 − 1 − = = 0 0 Đổ x t i cận : 6
2 khi đó I = 2 tf (
t)dt I = 2 xf (x)dx
x = 0 t = 0 1 − 1 − 2 2 u = x du = dx 0 0 Đặt:
ta có I = 2 ( xf (x)) − 1 − f (x)dx 0
= 4 − 2 f (x)dx
dv = f (x)dx v = f (x) 2 1 − 1 − 2 2 1 1 0 2 2 Do =
f (x) là hàm số chẵn nên f (x)dx f (x)dx
. Khi đó I = 4 − 2 f (x)dx = 4 − 6 = 2 − 1 − 0 0 2
Ví dụ 4. ( Trích đề tham khảo của Bộ GD&ĐT năm 2018) Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên 1 1 1 1 đoạ 2 2
n [0;1] thỏa mãn f (1) 0 ,
[f (x)] dx
7 và x f (x)dx . Tích phân
f (x)dx bằng 3 0 0 0 7 7 A. . B. 1. C. . D. 4. 5 4 Lời giải 1 2 Xét tích phân x f (x)dx 0 du f (x)d ( ) x u f x 1 1 1 3 3 1 x f (x) x Đặ 2 t 3 2 x f (x)dx f (x)dx d d x v x x . Khi đó: v 3 3 3 3 0 0 0 1 1 1 1 3 x f (x)dx 3 3 2 ( do f (1) 0 ). Suy ra x f (x)dx
1 . Tìm k sao cho [f (x) kx ] dx 0 3 0 0 0 1 1 1 1 1 3 2 2 3 2 6 Ta có
[f (x) kx ] dx
[f (x)] dx
2k x f (x)dx k x dx 2 7 2k( 1) k . 0 k 7 . 7 0 0 0 0 1 Do đó 3 2 3 3
[f (x) 7x ] dx 0 f (x) 7x 0 f (x) 7x . 0 7 7 7 7 4 Suy ra f (x) x
C . Vì f(1) 0 nên C . Do đó 4 f (x) x . 4 4 4 4
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc
NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM 1 1 7 7 7 4 Vậy f (x)dx x dx . 4 4 5 0 0 1 3
Cách khác: Ta có x f (x)dx
1 . Áp dụng bất đẳng thức Holder ta có 0 2 1 1 1 1 1 1 2 3 3 2 2 2 2 7 7.( 1) 7 x f (x)dx
7 (x ) dx. (f (x)) dx.
7. . (f (x)) dx
(f (x)) dx . 7 0 0 0 0 0 Đẳ 3 ng thức xảy ra
f (x) kx với k . 1 1 1 k 3 3 3 6 Ta có 1 x f (x)dx x .kx dx k x dx . Suy ra k 7 . 7 0 0 0 7 7 7 7 Do đó 3 f (x) 7x 4 . Suy ra f (x) x
C . Vì f(1) 0 nên C . Do đó 4 f (x) x . 4 4 4 4 1 1 7 7 7 4 Vậy f (x)dx x dx . 4 4 5 0 0 2
Ví dụ 5. Cho hàm số f (x) liên tục, có đạo hàm trên đoạn 1;2. Biết f (0) =1, f ( x)dx = 2 và 1 2 2 3 f (
x)2 dx = 4. Tính tích phân I = f (x) dx 1 1 A. I 68 B. I 34 C. I 17 D. I 136
Nhận xét : Giả thiết chứa f x 2 ( ) và f (
x) nên ta tạo bình phương dạng f x − a2 ( ) 2 2 2 2
Ta chọn a sao cho f (x) − a dx = 0 ( f (x) 2
− 2af (x) + a )dx = 0 1 1 2
f (x) 2 2 2 2 dx − 2a f (
x)dx + a dx = 0 2
4 − 4a + a = 0 a = 2 .Từ đó ta có lời giải 1 1 1 Lời giải 2 2 2 2 2 2 2 2
Ta có f (x) − 2 dx = 0 ( f (x) − 4 f (x) + 4)dx = f (x) dx − 4 f (x)dx + 4 dx 1 1 1 1 1
= 4 −8 + 4 = 0 f ( )
x = 2 f (x) = 2x + c , mà f (0) = 1 c = 1 nên f (x) = 2x +1
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc
NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM 2 2 2
Khi đó I = f (x)3 dx = (2x + )3 1 dx = ( 3 2
8x +12x + 6x +
)1dx =(2x +4x +3x + x)2 4 3 2 = 68 1 1 1 1
BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1:
Cho hàm số f (x) đồng biến, có đạo hàm trên đoạn 1;4 và thoản mãn 4
x + x f x = f x 2 2 . ( ) ( ) với x 1; 4 . Biết 3 f (1) =
, tính I = f (x)dx 2 1 Câu 2:
Cho hàm số f (x) đồng biến, có đạo hàm cấp hai trên đoạn 0; 2 và thỏa mãn 6
f x 2 − f x f x + f x 2 2 ( ) ( ). ( ) ( ) = 0 với x
0;2. Biết f (0) =1, f (2) = e , tính tích 0 I =
(2x +1). f (x)dx 2− 3 2 − − x f x x 2 ( ) 1 Câu 3: Cho
f (x) có đạo hàm trên R và thỏa mãn 3 f (x).e − = 0 với x R . 2 f (x) 7
Biết f (0) =1, tính tích phân I = . x f (x)dx 0 Câu 4:
Cho f (x) có đạo hàm trên 0;
1 thỏa mãn f (x) + ( x + ) 1 . f (
x) =1 với x 0; 1 . 1 Biết 7 f (5) =
, tính tích phân I = f (x)dx 6 0 Câu 5: Cho + + =
f (x) có đạo hàm trên 1;2 thỏa mãn ( 1) ( ) . ( ) 2 x x f x x f x e với x 1; 2 . 2
Biết f (1) = e , tính tích phân I = . x f (x)dx 1 4 Câu 6: Cho hàm số + − =
f (x) liên tục trên R và thỏa mãn f (x) f ( x) os c x với x R . 2 Tính tích phân I = f (x)dx − 2
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc
NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM 2 Câu 7: Cho hàm số − − = − − +
f (x) liên tục trên đoạn 0; 2 và thỏa mãn 3 f (x) 4 f (2 x) x 12x 16 2 với x
0;2. Tính tích phân I = f (x)dx 0 2 Câu 8:
Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn ;1 và thỏa mãn 2 + = với
2 f (x) 3 f ( ) 5x 3 3x 2 1 x ;1 f (x) . Tính tích phân = I dx 3 x 2 3 2 Câu 9: Cho hàm số = + +
f (x) liên tục trên R và thỏa mãn f (x)
4xf (x ) 2x 1 với x R . 1
Tính tích phân I = f (x)dx 0
Câu 10: Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn 0; 1 và thỏa mãn 2 2
4xf (x ) + 3 f (1− x) = 1− x với 1 x 0;
1 . Tính tích phân I = f (x)dx 0 3 Câu 11: Cho hàm số + − = −
f (x) liên tục trên R và thỏa mãn f (x
2x 2) 3x 1 với x R . 10 Tính tích phân I = f (x)dx 1
Câu 12: Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn 1 − ;
5 và thỏa mãn f x 2019 ( )
+ f (x) + 2 = x với 4 x 1 − ;
5 . Tính tích phân I = f (x)dx 0 3 Câu 13: Cho hàm số f (x)dx
f (x) liên tục, có đạo hàm trên R thỏa mãn f ( 3) = 3 và 1 = . 2 + 0 1 x 3 Tính tích phân I = f ( x)ln ( 2
x + 1+ x )dx 0 Câu 14: Cho hàm số f (x) liên tục, có đạo hàm trên R và thỏa mãn 2 1
(1−2x) f (x)dx = 3f (2)+ f (0) = 2016. Tính tích phân I = f (2x)dx 0 0
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc
NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM
Câu 15: Cho hàm số f (x) liên tục, có đạo hàm trên đoạn 1;
3 thỏa mãn f (3) = f (1) = 3 và 3 xf ( x) 3 + dx = 0 . Tính tích phân f (x) ln x I = dx x +1 x +1 1 ( )2 1 Câu 16: Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn 0; 1 thỏa mãn 1 f (1) = và 2 1 1 ( xf (x) f ( x) + x) 2
.ln(1+ x )dx = 2 ln 2 −1 . Tính tích phân I = dx 2 1+ x 0 0 1
Câu 17: Cho hàm số f (x) liên tục, có đạo hàm trên đoạn 0;
1 . Biết xf (x)dx = 1 và 0 1 1 2018
f (x)2 dx = 3 . Tính tích phân I = f (x) dx 0 0 1 1 Câu 18: Cho hàm số 2
f (x) liên tục, có đạo hàm trên đoạn 0;
1 . Biết f (x) dx = và 5 0 1 2 1
x. f ( x )dx =
. Tính tích phân I = f (x)dx 5 0 0
Câu 19: Cho hàm số f (x) liên tục, có đạo hàm trên đoạn 0; 2 . Biết f (2) = 7 và 2 f x 2 4 ( )
= 21x −12x −12xf (x) với x
0;2. Tính tích phân I = f (x)dx 0 1 1 7
Câu 20: Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn 0; 1 thỏa mãn
f (x)dx = 2
, xf (x)dx = và 6 0 0 1 1 3 f x 2 13 ( ) dx =
. Tính tích phân I = f (x) dx 3 0 0
Tài liệu tham khảo.
[1] Tạp chí Toán học và tuổi tre – Số tháng 2/2021
[2] Tuyển tập các đề thi thử các trường trong cả nước năm 2017-2021.
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc