Một số dạng toán về số phức ôn thi tốt nghiệp thpt có lời giải và đáp án

Một số dạng toán về số phức ôn thi tốt nghiệp THPT có lời giải và đáp án được soạn dưới dạng file PDF gồm 22 trang. Chuyên đề được phân dạng có phần tự luận và trắc nghiệm được biên soạn bởi thầy giáo Hà Trọng Đạt-Như Thụy–Sông Lô–Vĩnh Phúc. Các bạn xem và tải về ở dưới.

Trang1
MT S DNG TOÁN V S PHC ÔN THI TT NGHIP THPTQG
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Mt s phc mt biu thc dng a + bi, trong đó a, b các s thc s i tho
mãn i
2
= -1. Ký hiu s phc đó là z và viết z = a + bi .
i được gi là đơn vị o
a đưc gi là phn thc. Ký hiu Re(z) = a
b được gi là phn o ca s phc z = a + bi , ký hiu Im(z) = b
Tp hp các s phc ký hiu là C.
*) Mt s lưu ý:
- Mi s thực a dương đều được xem như là số phc vi phn o b = 0.
- S phc z = a + bi a = 0 được gi là s thun o hay là s o.
- S 0 va là s thc va là s o.
2. Hai s phc bng nhau.
Cho z = a + bi và z’ = a’ + b’i.
z = z’
'
'
aa
bb
3. Biu din hình hc ca s phc.
Mi s phức đưc biu din bi mt đim M(a;b) trên mt phng to độ Oxy.
Ngưc li, mi đim M(a;b) biu din mt s phc là z = a + bi .
4. Phép cng và phép tr các s phc.
Cho hai s phc z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:
' ( ') ( ')
' ( ') ( ')
z z a a b b i
z z a a b b i
5. Phép nhân s phc.
Cho hai s phc z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:
' ' ' ( ' ' ) zz aa bb ab a b i
6. S phc liên hp.
Cho s phc z = a + bi. S phc
z
= a bi gi là s phc liên hp vi s phc trên.
Vy
z
=
a bi
= a - bi
Chú ý: 1
0
)
z
= z z và
z
gi là hai s phc liên hp vi nhau.
2
0
) z.
z
= a
2
+ b
2
*) Tính cht ca s phc liên hp:
(1):
zz
(2):
'' z z z z
(3):
(4): z.
z
=
22
ab
(z = a + bi )
Trang2
7. Môđun của s phc.
Cho s phc z = a + bi . Ta hiu
z
môđun của s phư z, đó s thc không
âm được xác định như sau:
- Nếu M(a;b) biu din s phc z = a + bi, t
z
=

OM
=
22
ab
- Nếu z = a + bi, thì
z
=
.zz
=
22
ab
8. Phép chia s phc khác 0.
Cho s phc z = a + bi ≠ 0 (tức là a
2
+b
2
> 0 )
Ta định nghĩa số nghịch đảo z
-1
ca s phức z ≠ 0 là số
z
-1
=
2
22
11
zz
ab
z
Thương
'z
z
ca phép chia s phc z’ cho s phc z ≠ 0 được xác định như sau:
1
2
' '.
.

z z z
zz
z
z
Vi các phép tính cng, tr, nhân chia s phức nói trên cũng đy đủ tính cht
giao hoán, phân phi, kết hợp như các phép cộng, tr, nhân, chia s thc thông thưng.
9. Phƣơng trình bc hai vi h s thc.
* Cho phương trình bc hai :
2
0 ax bx c
, có
2
4a bc
.
+ Nếu
> 0, PT có 2 nghim thc phân bit
1,2
2
b
x
a
+ Nếu
= 0, PT có nghim kép x
1
= x
2
=
2
b
a
+ Nếu
< 0, PT có 2 nghim phc
1,2
||
2
bi
x
a
* Cho phương trình bc hai :
2
0 ax bx c
.
Khi b chẵn có b’ = b/2 ;
'
=b’
2
ac.
+ Nếu
'
> 0, PT có 2 nghim thc phân bit
1,2
''
b
x
a
+ Nếu
'
= 0, PT có nghim kép x
1
= x
2
=
'b
a
+ Nếu
'
< 0, PT có 2 nghim phc
1,2
' | '|
bi
x
a
10. Mt s kết qu cn nh
1) i
0
= 1
i
4n
= 1 2) i
1
= i
i
4n + 1
= i
3) i
2
= - 1
i
4n + 2
= - 1 4) i
3
= - i
i
4n + 3
= - i
5) (1 i)
2
= - 2i 6) (1 + i)
2
= 2i
Trang3
B. MT S DNG TOÁN THƢỜNG GP
DNGI. TÍNH TOÁN CÁC YU T CA S PHC
I. PHƢƠNG PHÁP: S dụng định nghĩa, các phép toán để tính toán các yếu t liên
quan.
II. CÁC VÍ D
Ví d 1. (Mã đề 101 - QG 2017) Cho hai s phc
1
57zi
2
23zi
. Tìm s phc
12
z z z
.
A.
74zi
B.
25zi
C.
25 zi
D.
3 10zi
ng dn gii
Ta có
12
5 7 2 3 7 4 z z z i i i
Đáp án: A
Ví d 2. (Mã đề 102 - QG 2017) Cho s phc
3
1 z i i
. Tìm phn thc
a
và phn o
b
ca
z
.
A.
0, 1ab
B.
2, 1 ab
C.
1, 0ab
D.
1, 2 ab
ng dn gii
Ta có
3
1 1 1 2 1, 2 z i i i i i a b
.
Đáp án: D
Ví d 3. (Mã đề 104 - QG 2017) Tìm s phc z tha mãn
2 3 3 2 z i i
A.
15zi
B.
1zi
C.
55zi
D.
1zi
ng dn gii
Ta có
2 3 3 2 3 2 2 3 1 z i i z i i i
Đáp án: B
Ví d 4. (Mã đề 104 - QG 2017) Cho s phc
2zi
. Tính
z
.
A.
3z
B.
5z
C.
2z
D.
5z
ng dn gii
Ta có
22
2 1 5 z
Đáp án: D
Ví d 5. (QG-2019) S phc liên hp ca s phc
A. . B. . C. . D. .
ng dn gii
Đáp án: C
III. BÀI TP
Câu 1. (Mã đ 101 - QG 2017) S phức nào dưới đây là số thun o?
A.
23 zi
. B.
3zi
. C.
2z
. D.
3zi
.
Câu 2. (Mã đ 102 - QG 2017) Cho hai s phc
1
43zi
2
73zi
. Tìm s phc
12
z z z
A.
11z
. B.
36zi
C.
1 10 zi
D.
36 zi
Câu 3. (Mã đ 103 - QG 2017) Cho hai s phc
1
13zi
2
25 zi
. Tìm phn o b
ca s phc
12
z z z
.
A.
2b
B.
2b
C.
3b
D.
3b
Câu 4. (Mã đ 103 - QG 2017) Cho s phc
23zi
. Tìm phn thc a ca z.
34i
34i
34i
34i
43i
Trang4
A.
2a
B.
3a
C.
3a
D.
2a
Câu 5. (QG 2018) S phc
37i
có phn o bng
A.
3
. B.
7
. C.
3
. D.
7
.
Câu 6. (QG 2018) S phc có phn thc bng
3
và phn o bng
4
A.
34 i
. B.
43 i
. C.
34 i
. D.
43 i
.
Câu 7.(QG 2018) S phc
56 i
có phn thc bng
A. 5. B. 5. C. 6. D. 6.
Câu 8. (QG 2018) S phc có phn thc bng
1
và phn o bng
3
A.
13i
. B.
13 i
. C.
13i
. D.
13 i
.
Câu 9. (QG-2019) S phc liên hp ca s phc
A. . B. . C. . D. .
Câu 10. (QG-2019) S phc liên hp ca s phc
A. . B. . C. . D. .
Câu 11. (QG-2019)S phc liên hp ca s phc
A. . B. . C. . D. .
Câu 12. Cho s phc
63 zi
. Tìm phn thc và phn o ca s phc
z
.
A. Phn thc bng
6
và phn o bng
3 i
B. Phn thc bng
6
và phn o bng
3
C. Phn thc bng
6
và phn o bng
3
D. Phn thc bng
6
và phn o bng
3i
Câu 13. Cho 2 s phc z z’. Các phát biểu nào sau đây sai ?
A.
'' z z z z
B.
2
. z z z
C.
zz
D.
.
' '.
z z z
z z z
Câu 14. Cho s phc z = 3- 4i. Phn thc và phn o s phc z là
A. Phn thc bng 3 và phn o bng - 4i;
B. Phn thc bng 3 và phn o bng 4;
C. Phn thc bng 3 và phn o bng 4i;
D. Phn thc bng 3 và phn o bng -4.
Câu 15. Tìm phn thc và phn o ca s phc z = i
2020
.
A. 0 và 2020 B. 0 và 1 C. 1 và 0 D. 2020 và 0
Câu 16. Tìm phn thc, phn o ca
4 2 3 5 z i i i
A. phn thc là 1, phn o là 1 B.phn thc là 11, phn o là 1
C. phn thc là 1, phn o là 3 D. phn thc là 11, phn o là 3
Câu 17. Cho s phc
11
11



ii
z
ii
. Trong các kết lun sau kết luận nào đúng?
A.
z
có phn thc và phn o
0
.
B.
z
là s thun o.
C. Mô đun của
z
bng 1
D.
z
có phn thc và phn ảo đều bng 0.
Câu 18. Tính
zz
.zz
biết
23zi
A. 4 và 13 B. 4 và 5 C. 4 và 0 D. 13 và 5
Câu 19. Cho s phc
23zi
. Tìm s phc
w = 2iz - z
.
A.
87 wi
B.
8 wi
C.
47wi
D.
87 wi
Câu 20. Cho s phc
1
13zi
2
34zi
. Môđunsố phc
12
zz
A.
17
; B.
15
; C. 4; D. 8.
53 i
53i
35i
53i
53 i
32i
32i
32i
32i
23i
12i
12i
12i
2 i
12i
Trang5
Câu 21. S phc nghch đo ca s phc z = 1 -
3i
là:
A.
1
z
=
13
44
i
B.
1
z
=
13
22
i
C.
1
z
= 1 +
3i
D.
1
z
= -1 +
3i
Câu 22. Mô đun của s phc
3
5 2 1 z i i
A.
7
B.
3
C.
5
D.
2
Câu 23. Cho s phc z = a + bi (vi a, b là các s thc). Xét các phát biu sau
(1) z²
z
² là s thc (2) z² +
z
² là s o
(3) z
z
là s thc (4) |z| z là bng 0
S câu phát biểu đúng là
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 24. Giá tr ca A = (1 + i)
20
bng
A. 1024 B. 2
20
C. 1024 D. 1024 1024i
Câu 25. Cho
s
phc z tha n:
(1 2 ) 7 4 z i i
.Tìm mô đun
s
phc
2
zi
.
A
. 5
B.
17
C.
24
D.
4
Câu 26. Cho s phc z biết
2
1
i
zi
i
. Phn o ca s phc z
2
A.
5
2
i
. B. -
5
2
i
. C.
5
2
. D.
5
2
.
Câu 27. Cho s phc z tha mãn:
3
13
1
i
z
i
. Tìm môđun của
z iz
.
A.
82
B.
42
C. 8 D. 4
Câu 28. Phn thc ca s phc
z
tha mãn
2
1 2 8 1 2 i i z i i z
A.
6
B.
3
C.
2
D.
1
DẠNG II. PHƢƠNG TRÌNH TRÊN TẬP S PHC
I. PHƢƠNG PHÁP : S dng các phương pháp giải phương trình mẫu mực như phương
trình bc nhất, phương trình bậc hai….với n là s phc z.
II. CÁC VÍ D
Ví d 1. (Mã đề 101 - QG 2017) Phương trình nào dưới đây nhận hai s phc
12 i
12 i
là nghim ?
A.
2
2 3 0 zz
B.
2
2 3 0 zz
C.
2
2 3 0 zz
D.
2
2 3 0 zz
ng dn gii
Cách 1: Ta
1 2 1 2 2 ii
;
1 2 1 2 2 ii
. Suy ra
12 i
12 i
nghim của phương trình
2
2 3 0 zz
.
Đáp án: C
Cách 2: Th đáp án bằng MTBT
Ví d 2. (Mã đề 102 - QG 2017) Kí hiu
12
,zz
là hai nghim phc của phương trình
2
3 1 0 zz
. Tính
12
P z z
A.
3
3
P
. B.
23
3
P
C.
2
3
P
. D.
14
3
P
.
ng dn gii
Phương trình
2
3 1 0 zz
có hai nghim
1,2
1 11
6
i
z
.
Trang6
Khi đó
12
23
3
P z z
Đáp án: B
Ví d 3. Tìm s phc sau:
a) (1 + z)(2 + 3i) = 1 + i
b)
Gii
a) Ta có (1 + z)(2 + 3i) = 1 + i
1
1
23
5
1
13
81
13 13
i
z
i
i
z
zi
b) Ta có
2
2 1 3 ( 1 3 )(1 )
1 2 (2 )
2 4 (2 4 )(3 4 )
3 4 25
22 4
25 25
i i i i
zz
i i i
i i i
zz
i
zi
Ví d 4. Giải các phương trình sau trên trường s phc:
a)z
4
+ 2z
2
-3 = 0
b) z
4
4z
3
+7z
2
16z + 12 = 0 (1)
Gii
a) Ta có z
4
+ 2z
2
-3 = 0
2
2
1
1
3
3
z
z
zi
z




Vậy phương trình có 4 nghiệm
1
3
z
zi


b) Do tng tt c các h s của phương trình (1) bằng 0 nên (1) có nghim z = 1.
(1) (z 1)(z
3
3z
2
+ 4z 12) = 0
(z 1) (z 3) (z
2
+ 4) = 0
2
1
1
3
3
2
40
2
z
z
z
z
zi
z
zi



Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm:
z = 2i; z = 2i; z = 1; z = 3
III. BÀI TP
i
i
z
i
i
2
31
1
2
Trang7
Câu 1. (Mã đề 103 - QG 2017) Kí hiu
12
,zz
là hai nghim phc của phương trình
2
60 zz
. Tính
12
11
P
zz
A.
1
6
P
. B.
1
12
P
C.
1
6
P
. D.
6P
.
Câu 2. (QG-2019)Gi là hai nghim phức phương trình . Giá tr
bng
A.16. B. 56. C. 20. D. 26.
Câu 3. (QG-2019)Gi là hai nghim phc của phương trình . Giá tr
ca bng
A. . B. . C. . D. .
Câu 4. (QG-2019)Gi là hai nghim phc của phương trình . Gái tr ca
bng
A. . B. . C. . D. .
Câu 5. (QG-2019)Gi là hai nghim phc của phương trình . Giá tr ca
bng
A. 10. B. 8. C. 16. D. 2.
Câu 6. Tìm mô đun của s phc z tho
3 (3 i)(1 i) 2 iz
.
A.
22
3
z
B.
32
2
z
C.
33
2
z
D.
23
3
z
Câu 7. Cho s phc z tha mãn (1 + 2i)z 5 5i = 0. Tìm s phc w =
10
z
z
A. 6 + 2i B. 2 + 6i C. 2 + 6i D. 6 + 2i
Câu 8.Giải phương trình
2 3 1. i z z
A.
13
.
10 10
zi
B.
13
.
10 10
zi
C.
13
.
10 10
zi
D.
13
.
10 10
zi
Câu 9.Giải phương trình
2 4 0 iz
.
A.
13
.
55
zi
B.
84
.
55
zi
C.
53
.
10 10
zi
D.
13
.
13 13
zi
Câu 10.Giải phương trình
2 1 3
.
12

ii
z
ii
A.
13
.
55
zi
B.
84
.
55
zi
C.
22 4
.
25 25
zi
D.
13
.
13 13
zi
Câu 11. Tìm nghim của phương trình
21
1

z
i
zi
A.
13
.
55
zi
B.
14
.
55
zi
C.
11
.
22
zi
D.
11
22
zi
Câu 12.Tìm nghim ca phương trình
2
2 5 0 zz
.
A.
12
-1 2 ; -1-2 . z i z i
B.
12
-1 2 ; -1-2 . z i z i
12
,zz
2
6 10 0zz
22
12
zz
12
,zz
2
6 14 0zz
22
12
zz
36
8
28
18
12
,zz
2
4 5 0zz
22
12
zz
6
8
16
26
12
,zz
2
4 7 0zz
22
12
zz
Trang8
C.
12
1 2 ; -1 2 . z i z i
D.
12
-1 2 ; -1 2 . z i z i
Câu 13. Tìm các s thực b,c để phương trình (vi n z):
2
0 z bz c
nhn
1zi
làm mt
nghim.
A.
2, 2. bc
B.
2, 3. bc
C.
1, 2. bc
D.
2, 2. bc
Câu 14. Gi z
1
z
2
lần t nghim của phương trình:
2
2 10 0 zz
. Tính giá tr ca
biu thc
22
12
A z z
A.
15
B.
17
C.
20
D.
10
Câu 15. Gọi A, B hai điểm biu din cho các s phc nghim của phương trình
2
2 3 0 zz
. Tính độ dài đoạn thng
AB
.
A.
22
B.
32
C.
23
D.
3
Câu 16. Cho s phc z có phn thực dương thỏa mãn
2
6 13 0 zz
. Tính
6
z
zi
.
A.
13
B.
17
C.
7
D.
73
DNG III. TÌM S PHC THỎA MÃN ĐIỀU KIN
I. PHƢƠNG PHÁP: Để gii bài toán m s phc thỏa mãn điều kiện cho trưc, ta thc
hiện theo các bước sau:
B1: Đt
, z a bi a b
B2: Thay vào đk được h phương trình hai n a,b.
B3: Gii tìm a,b
Chú ý:
Tìm s phc
, z a bi a b
tht ra là tìm phn thc a và phn o b ca nó.
0
0
0
a
z a bi
b
,
1 1 1 2 2 2
; z a b i z a b i
. Khi đó:
12
12
12

aa
zz
bb
, z a bi a b
. Khi đó
z
là s o (thun o) khi
0a
,
z
là s thc khi
0b
.
Ví d 1. (Mã đề 101 - QG 2017) Có bao nhiêu s phc z tha mãn
35zi
4
z
z
s thun o ?
A.
0
B. Vô s C.
1
D.
2
ng dn gii
Đặt
, z a bi a b
. Điều kin
4z
.
Ta có
3 5 3 5 z i a b i
2
2
3 25 ab
22
6 16 0 1 a b b
Li có
2
22
22
4
4
44
44

a a b
z a bi b
i
z a bi
a b a b
.
Trang9
4
z
z
là s thun o nên
2
22
2
2
4
0 4 0 2
4


a a b
a b a
ab
.
T (1) + (2) suy ra
3
4 6 16 4
2
a b a b
. Thay vào (1), ta được:
2
2
0
3
6 16 0
24
2
13




b
a b b b
b
.
Vi
0 4 4b a z loaïi
.
Vi
24 16 16 24
13 13 13 13
b a z i thoûamaõn
.
Đáp án: C
d 2. (Mã đề 101 - QG 2017) Cho s phc
z a bi
( , ) ab
tha mãn
1 3 0 z i z i
. Tính
3S a b
A.
7
3
S
B.
5S
C.
5S
D.
7
3
S
ng dn gii
Theo gi thiết, ta có:
2
1 3 0 1 3 1 3 z i z i z z i z z
2
2
5
13
3
44
1 1; 3 5
33
z z z
z i a b S a b
Đáp án: B
Ví d 3. (Mã đề 103 - QG 2017) Tìm tt c các s thc x, y sao cho
2
1 1 2 x yi i
A.
2, 2 xy
B.
2, 2xy
C.
0, 2xy
D.
2, 2 xy
ng dn gii
Ta có
2
2
0
12
1 1 2
2
2

x
x
x yi i
y
y
Đáp án: C
Ví d 4. (Mã đề 103 - QG 2017) Có bao nhiêu s phc z tha mãn
3 13zi
2
z
z
là s thun o ?
A. Vô s B.
2
C.
0
D.
1
ng dn gii
Đặt
, z a bi a b
, ta có:
2
2 2 2
3 13 3 13 3 13 6 4 0 1 z i a b i a b a b b
.
Li có
2
22
22
2
2
22
22

a a b
z a bi b
i
z a bi
a b a b
.
2
z
z
là s thun o nên
2
2 2 2
2
2
2
0 2 0 2 0 2
2


a a b
a a b a b a
ab
.
Trang10
T (1)+(2) suy ra
2 6 4 3 2 a b a b
. Thay vào (1), ta được:
2
2
0
3 2 6 4 0
3
5
b
b b b
b
.
Vi
0 2 2b a z loaïi
.
Vi
3 1 1 3
5 5 5 5
b x z i thoûamaõn
.
Đáp án: D
Ví d 5. (Mã đề 104 - QG 2017) Cho s phc z tha mãn
5z
3 3 10 z z i
.
Tìm s phc
43 w z i
.
A.
38 wi
B.
13wi
C.
17 wi
D.
48 zi
ng dn gii
Đặt
, z a bi a b
, ta có:
2
2
3 5 3 5 3 25 z a bi a b
Li có
3 3 10 3 3 10 z z i a bi a b i
2 2 2 2
22
3 3 10 2 a b a b b b
5 0 5 4 8 b a z i w i
.
Đáp án: D
III. BÀI TP
Câu 1. (Mã đề 102 - QG 2017) Cho s phc
( , ) z a bi a b
tho mãn
2 z i z
.
Tính
4S a b
.
A.
4S
B.
2S
C.
2S
D.
4S
Câu 2. (QG 2018) Có bao nhiêu s phc
z
tha mãn
3 2 4 z z i i i z
?
A.
1
. B.
3
. C.
2
. D.
4
.
Câu 3.(QG 2018) bao nhiêu s phc
z
tha mãn
( 6 ) 2 (7 ) z z i i i z
?
A. 2. B. 3. C. 1. D. 4.
Câu 4. (QG 2018) Có bao nhiêu s phc
z
tha mãn
5 2 6 z z i i i z
?
A.
1
. B.
3
. C.
4
. D.
2
.
Câu 5. (Mã đề 103 - QG 2017) Cho s phc z tha mãn
35z
2 2 2 z i z i
.
Tìm s phc
z
.
A.
17.z
B.
17.z
C.
10.z
D.
10.z
Câu 6. (QG 2018) m hai s thc
x
y
tha mãn
2 3 1 3 6 x yi i x i
vi
i
đơn vị o.
A.
1x
;
3y
. B.
1x
;
1y
. C.
1x
;
1y
. D.
1x
;
3y
.
Câu 7. (QG 2018) Có bao nhiêu s phc
z
tha mãn
4 2 5 z z i i i z
?
A.
2
. B.
3
. C.
1
. D.
4
.
Câu 8. (QG 2018)m hai s thc
x
y
tha mãn
3 2 2 2 3 x yi i x i
vi
i
đơn vị o.
Trang11
A.
2; 2 xy
. B.
2; 1 xy
. C.
2; 2 xy
. D.
2; 1 xy
Câu 9. (QG 2018) m hai s thc xy tha mãn
(3 ) (4 2 ) 5 2 x yi i x i
vi i là đơn
v o.
A.
2; 4 xy
. B.
2; 4xy
. C.
2; 0 xy
. D.
2; 0xy
.
Câu 10. (QG 2018) Tìm hai s
x
y
tha mãn
2 3 3 5 4 x yi i x i
vi
i
là đơn
v o.
A.
1x
;
1y
. B.
1x
;
1y
. C.
1x
;
1y
. D.
1x
;
1y
.
Câu 11. (QG-2019)Cho s phc tha mãn . Mô đun của bng
A. . B. . C. . D. .
Câu 12. (QG-2019)Cho s phc tha mãn . Môđun của bng
A. . B. . C. . D. .
Câu 13. (QG-2019)Cho s phc tha . Môđun của bng
A. . B. . C. . D. .
Câu 14. (QG-2019)Cho s phc tha . Môđun của bng
A. . B. . C. . D. .
Câu 15. Tìm s phc z, biết
A.
7
4
6
zi
B.
3z
C.
7
4
6
zi
D.
34 zi
Câu 16. S phc z tha mãn:
(1 ) (2 ) 13 2 i z i z i
A. 3 + 2i ; B. 3-2i; C. -3 + 2i ; D. -3 -2i.
Câu 17. Cho s phc z thỏa mãn điều kin 2z + 3(1 i)
z
= 1 9i. Tìm modun ca z.
A. |z| =
3
B. |z| = 3 C. |z| =
13
D. |z| = 13
Câu 18. Tìm phn thc và phn o ca s phc z tha mãn (1 i)z (2 i)
z
= 2 + 9i
A. 4 và 3 B. 4 và 3 C. 4 và 3 D. 4 và 3
Câu 19. S s phc z thỏa mãn đẳng thc:
2
11
1
22
z z z z z i
.
A. 1
B.2
C.3
D.4
Câu 20. Ss phc z tha mãn
2
2
1 1 10 3 z z i z
.
A. 1
B.2
C.3
D.4
Câu 21. Tìm mô đun s phc z tha mãn
22
2
2 1 2



iz z i
z
ii
.
A.
1
B.
2
C.
2
D.
22
Câu 22. Biết
z
là s phc tha điu kin
2
0z i z
. Tìm s phc
z
có phn o âm
A.
1
1
2
zi
B.
11
22
zi
C.
11
22
zi
D.
1
1
2
zi
DNG IV. BIU DIN HÌNH HC CA S PHC
I. PHƢƠNG PHÁP: Gi s z = x + yi (x, y R). Khi đó số phc z biu din trên mt
phng phc bi đim M(x;y).
z
3 2 3 10z i i z i
z
3
5
5
3
z
3 2 3 7 16z i i z i
z
5
5
3
3
z
(2 ) 4( ) 8 19i z z i i
z
13
5
13
5
z
(2 ) 3 16 2( )i z i z i
z
5
13
13
5
34z z i
Trang12
S dng d kin ca đ bài để tìm mi liên h gia x và y t đó suy ra tập hợp điểm M.
Mt s qu tích thưng gp:
Vi z = x+yi (x, y là các s thực) khi đó nếu:
* x= a : Qu tích z là đưng thng x = a (song song vi Oy).
* y= b: Qu tích z là đường thng y = b (song song vi Ox).
* (x-a)
2
+(y-b)
2
= R
2
Qu tích z là đưng tròn tâm I(a.b) bán kính R.
* (x-a)
2
+(y-b)
2
R
2
Qu tích z là hình tròn tâm I(a.b) bán kính R ( k c biên).
* (x-a)
2
+(y-b)
2
> R
2
Qu tích z là các đim nm ngoài đường tròn tâm I(a.b) bán kính R.
II. CÁC VÍ D
Ví d 1. (Mã đề 101- QG 2017) Cho s phc
12zi
. Điểm nào dưới đây là điểm biu
din ca s phc
w iz
trên mt phng ta đ ?
A.
(1;2)Q
B.
(2;1)N
C.
(1; 2)M
D.
( 2;1)P
ng dn gii
Ta có
1 2 2 w iz i i i
. Suy ra điểm biu din ca s phc
w
(2;1)N
.
Đáp án: B
Ví d 2. (Mã đề 102 - QG 2017) S phức nào sau đây có điểm biu din trên mt phng
ta đ điểm M như hình bên ?
A.
4
2zi
B.
2
12zi
C.
3
2 zi
D.
1
12zi
ng dn gii
Đáp án: C
Ví d 3. (Mã đề 102 - QG 2017) Có bao nhiêu s phc
z
tha mãn
| 2 | 2 2 zi
2
( 1)z
là s thun o.
A.
0
B.
4
C.
3
D.
2
ng dn gii
Đặt
, z x yi x y
.
Theo gi thiết, ta có
| 2 | 2 2 2 1 2 2 z i x y i
22
2 1 8 x y C
.
Mt khác,
2
22
2
1 1 1 2 1 z x yi x y x yi
.
Theo gi thiết
2
( 1)z
là s thun o nên
22
22
10
1
1 0 1
1
10

x y d
yx
x y y x
yx
xy
.
Đưng tròn (C) có tâm
2;1I
, bán kính
22R
.
Ta có
, 2 2d I d R
, suy ra d tiếp xúc (C).
Ta có
,2d I d R
, suy ra
ct (C) ti hai đim phân bit.
Tp hợp các điểm biu din cho s phức chính là các giao điểm ca (C) với hai đường thng
d
. S giao điểm là 3.
x
y
O
2
1
Trang13
Đáp án: C
Ví d 4. (Mã đề 104 - QG 2017) Cho s phc
12
1 2 , 3 z i z i
. Tìm điểm biu din
ca s phc
12
z z z
trên mt phng ta đ.
A.
(4; 3)N
B.
(2; 5)M
C.
( 2; 1)P
D.
( 1;7)Q
ng dn gii
Ta có
12
2 z z z i
.
Vậy điểm biu din ca s phc
z
( 2; 1)P
.
Đáp án: C
Ví d 5. (Mã đề 104 - QG 2017) Kí hiu
12
,zz
là hai nghim phc của phương trình
2
40z
. Gi M, N lần lượt là các điểm biu din ca
12
,zz
trên mt phng tọa độ. Tính
T OM ON
vi O là gc ta đ.
A.
22T
. B.
2T
C.
8T
. D.
4T
.
ng dn gii
Ta có
1
2
2
2
40
2

zi
z
zi
.
Suy ra
0;2 , 0; 2 2 4. M N OM ON T OM ON
Đáp án: D
Ví d 6. (Mã đề 104 - QG 2017) Gi S là tp hp tt c các giá tr thc ca tham s m để
tn ti duy nht s phc z tha mãn
.1zz
3 z i m
. Tìm s phn t ca S.
A.
2
B.
4
C. 1 D. 3.
ng dn gii
Điu kin:
0m
.
Đặt
, z x yi x y
.
Theo gi thiết
2
22
1
. 1 1 1 z z z x y C
.
1
C
là đưng tròn tâm
0;0O
, bán kính
1
1R
.
Mt khác
2
2
2
2
3 3 1 3 1 z i m x y m x y m C
2
C
là đưng tròn tâm
3; 1I
, bán kính
2
Rm
.
Để tn ti duy nht s phc zthì
1
C
2
C
tiếp xúc ngoài hoc trong.
TH1:
1
C
2
C
tiếp xúc ngoài khi và ch khi
12
1 2 1 R R OI m m thoûamaõn
.
TH2
1
C
2
C
tiếp xúc trong khi và ch khi
12
21
1 2 3
2 1 1
R OI R m m thoûamaõn
OI R R m m loaïi
.
Vy
1,3S
.
Đáp án: A
Ví d 7. (QG 2018) Xét các s phc
z
tha mãn
2z i z
là s thun o. Trên mt
phng ta đ, tp hp tt c các đim biu din s phc
z
là mt đưng tròn có bán kính
bng
Trang14
A.
1
. B.
5
4
. C.
5
2
. D.
3
2
.
ng dn gii
Đặt
, z x yi x y
.
Ta có
22
2 2 2 2 2 z i z x yi i x yi x x y y x y i
2z i z
là s thun o nên
2
2
22
15
2 0 1
24



x x y y x y
.
Trên mt phng tọa độ, tp hp tt c các điểm biu din s phc
z
một đường tròn
bán kính bng
5
2
.
Đáp án: C
III. BÀI TP
Câu 1. (QG 2018) Xét các s phc
z
tha mãn
33z i z
là s thun o. Trên mt
phng ta đ, tp hp tt c các đim biu din các s phc
z
là một đường tròn có bán kính
bng
A.
9
2
. B.
32
. C.
3
. D.
32
2
.
Câu 2.(QG 2018) Xét các s phc z tha mãn
22z i z
s thun o. Trên mt
phng tọa đ, tp hp tt c các điểm biu din các s phc z một đường tròn có bán kính
bng
A. 2. B.
22
. C. 4. D.
2
.
Câu 3. (QG 2018) Xét các s phc
z
tha mãn
22z i z
là s thun o. Trên mt
phng ta đ, tp hp tt c các đim biu din các s phc
z
là một đường tròn có bán kính
bng
A.
22
. B.
2
. C.
2
. D.
4
.
Câu 4. (QG-2019)Cho hai s phc . Trên mt phng to độ , điểm
biu din s phc có to độ
A. . B. . C. . D. .
Câu 5. (QG-2019)Xét các s phc tha mãn . Trên mt phng tọa độ , tp
hợp điểm biu din ca các s phc là mt đưng tròn có bán kính bng
A. B. C. D.
Câu 6. (QG-2019)Xét các s phc tha mãn . Trên mt phng tọa độ , tp
hợp điểm biu din các s phc là mt đưng tròn có bán kính bng
A. B. C. D.
Câu 7. (QG-2019)Cho hai s phc . Trên mt phng tọa độ đim
biu din s phc có ta đ
1
1zi
2
12zi
Oxy
12
3zz
41;
14;
41;
14;
z
2z
Oxy
4
w
1
iz
z
34.
26.
34.
26.
z
2z
Oxy
3
1
iz
w
z
23
12
20
25
1
2zi
2
1zi
Oxy
12
2zz
Trang15
A. . B. . C. . D. .
Câu 8. (QG-2019)Cho hai s phc . Trên mt phng , điểm biu
din s phc có ta đ
A. . B. . C. . D. .
Câu 9. (QG-2019)Cho s phc tha mãn . Trên mt phng tọa độ , tp hp
các đim biu din ca s phc tha mãn là mt đưng tròn có bán kính bng
A. . B. . C. . D. .
Câu 10. (QG-2019)Cho hai s phc . Trên mt phng tọa độ Oxy, đim
biu din s phc có ta đ là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 11. (QG-2019)Cho s phc tha mãn . Trên mt phng ta đ , tp hp
các đim biu din ca s phc tha mãn là mt đưng tròn có bán kính bng
A. . B. . C. . D. .
Câu 12. Gi s M(z) là điểm trên mt phng tọa độ biu din s phc z. Tp hp nhng
điểm M(z) thỏa mãn điều
2 z i z
A. Đưng thng
4 2 3 0 xy
B. Đưng thng
4 2 3 0 xy
A. Đưng thng
2 3 0 xy
D. Đưng thng
9 3 0 xy
Câu 13. Tp hp các điểm trên mt phng tọa độ biu din các s phc z thỏa mãn điều
kin
21 z i z i
A. Đưng thng
30 xy
B. Đưng thng
2 3 0 xy
A. Đưng thng
2 3 0 xy
D. Đưng thng
10 xy
Câu 15.Tp hợp các đim trên mt phng tọa đ biu din các s phc z thỏa mãn điều kin
12 zi
A. Đung thng
20 xy
B. Đưng tròn
22
1 1 4 xy
C. Đưng thng
20 xy
D. Đưng tròn tâm
1; 1I
bán kính
2.R
Câu 16. Tp hợp các điểm trên mt phng tọa độ biu din các s phc z thỏa mãn điều
kin
4 4 10 z i z i
A. Đung elip
22
1
9 16

xy
B. Đung elip
22
1
16 9

xy
C. Đung elip
22
1
43

xy
D. Đung elip
22
1
94

xy
3; 3
2; 3
3;3
3;2
1
1zi
2
2zi
Oxy
12
2zz
2;5
3;5
5;2
5;3
z
2z
Oxy
w
2
1
iz
w
z
10
2
2
10
12
2 , 1z i z i
12
2zz
5; 1
1;5
5;0
0;5
z
2z
Oxy
w
5
1
iz
w
z
52
2 13
2 11
44
Trang16
Câu 17. Tp hợp các điểm trên mt phng tọa độ biu din các s phc z thỏa mãn điều
kin
22 zz
A. Tp hp các đim là na mt phng bên phi trc tung
B. Tp hp các đim là na mt phng bên trái trc tung
C. Tp hp các đim là na mt phng phía trên trc hoành
D. Tp hp các đim là na mt phng phía i trc hoành
Câu 18. Tp hợp các điểm trên mt phng tọa độ biu din các s phc z thỏa mãn điều
kin
1 1 2 zi
A. Tp hp các đim là hình tròn có tâm
1; 1I
, bán kính 2
B. Tp hp các điểm hình vành khăn tâm ti
1;1A
các bán kính ln nh ln
t là
2; 1
C. Tp hp các đim là hình tròn có tâm
1; 1I
, bán kính 1
D. Tp hp các điểm hình vành khăn tâm ti
1; 1I
các bán kính ln nh ln
t là
2; 1
Câu 19.Tìm tp hợp các điểm biu din s phc z sao cho
23
zi
u
zi
là mt s thun o.
A. Đưng tròn tâm
1; 1I
bán kính
5R
B. Đưng tròn tâm
1; 1I
bán kính
5R
tr đi hai điểm
0;1 ; 2; 3AB
.
C. Đưng tròn tâm
1;1I
bán kính
5R
D. Đưng tròn tâm
1;1I
bán kính
5R
tr đi hai điểm
0;1 ; 2; 3AB
.
Câu 20. Tìm tp hợp các điểm biu din s phc
z x yi
thỏa mãn điều kin
1xy
A. Ba cnh ca tam giác
B. Bn cnh ca hình vuông
C. Bn cnh ca hình ch nht
D. Bn cnh ca hình thoi
DNG V. CC TR CAS PHC
I. PHƢƠNG PHÁP: S dng các kiến thức bản như: Bất đẳng thc liên h gia trung
bình cng trung bình nhân, bt đẳng thc Bunhia- Cpxki, bất đẳng thc hình hc
mt s bài toán công c sau:
BÀI TOÁN CÔNG C 1:
Cho đường tròn
()T
c định tâm I bán kính R đim A c định. Điểm M di
động trên đưng tròn
()T
. Hãy xác đnh v trí điểm M sao cho AM ln nht, nh
nht.
ng dn gii:
TH1: A thuc đưng tròn (T)
Ta có: AM đt giá tr nh nht bng 0 khi M trùng vi A
Trang17
AM đạt giá tr ln nht bằng 2R khi M là điểm đối xng vi A qua I
TH2: A không thuc đưng tròn (T)
Gi B, C là giao đim ca đưng thẳng qua A,I và đường tròn (T);
Gi s AB < AC.
+) Nếu A nằm ngoài đường tròn (T) thì với điểm M bt kì trên (T), ta có:
AM AI IM AI IB AB
.
Đẳng thc xy ra khi
MB
AM AI IM AI IC AC
.
Đẳng thc xy ra khi
MC
+) Nếu A nằm trong đường tròn (T) thì vi đim M bt kì trên (T), ta có:
AM IM IA IB IA AB
.
Đẳng thc xy ra khi
MB
AM AI IM AI IC AC
.
Đẳng thc xy ra khi
MC
Vy khi M trùng với B thì AM đạt gía tr nh nht.
Vy khi M trùng với C thì AM đạt gía tr ln nht.
BÀI TOÁN CÔNG C 2:
Cho hai đường tròn
1
()T
tâm I, bán kính R
1
;
đường tròn
2
()T
tâm J, bán kính R
2
. Tìm v trí
của điểm M trên
1
()T
, đim N trên
2
()T
sao cho
MN đt giá tr ln nht, nh nht.
ng dn gii:
Gi d là đưng thẳng đi qua I, J;
d cắt đường tròn
1
()T
tại hai điểm phân bit A, B (gi s JA > JB) ; d ct
2
()T
tại hai điểm
phân bit C, D ( gi s ID > IC).
Vi đim M bt khì trên
1
()T
và điểm N bt kì trên
2
()T
.
Ta có:
12
MN IM IN IM IJ JN R R IJ AD
.
Đẳng thc xy ra khi M trùng vi A N trùng vi D
12
MN IM IN IJ IM JN IJ R R BC
.
Đẳng thc xy ra khi M trùng vi B N
trùng vi C.
Vy khi M trùng vi A N trùng vi D thì
MN đt giá tr ln nht.
khi M trùng vi B N trùng vi C thì
MN đt giá tr nh nht.
BÀI TOÁN CÔNG C 3:
Cho hai đưng tròn
()T
có tâm I, bán kính R; đường thng
không có điểm chung
vi
()T
. Tìm v trí của điểm M trên
()T
, điểm N trên
sao cho MN đt giá tr nh
nht.
ng dn gii:
Trang18
Gi H là hình chiếu vuông góc ca I trên d
Đon IH cắt đường tròn
()T
ti J
Vi M thuộc đưng thng
, N thuộc đưng tròn
()T
, ta có:
MN IN IM IH IJ JH const
.
Đẳng thc xy ra khi
;M H N I
Vy khi M trùng vi H; N trùng với J thì MN đạt giá tr nh nht.
II. CÁC VÍ D
d 1. Trong các s phc
z
tho mãn
3 4 4 zi
. Tìm gtr ln nht, giá tr nh
nht ca
z
.
ng dn gii
Cách 1
Gi
; Rz x yi x y
( ; )M x y
biu din cho s phc
z
trong h to độ Oxy
2 2 2 2
3 4 4 ( 3) ( 4) 4 ( 3) ( 4) 16 z i x y x y
Vậy điểm M biu din cho s phc z thuc đưng tròn (T) có tâm
(3; 4)I
, bán kính R = 4.
22
z x y OM
;
5OI R
nên O nm ngoài đưng tròn (T)
z
ln nht khi OM ln nht, nh nht khi OM nh nht.
(Bài toán qui v Bài toán công c 1- Trưng hp 2)
Đưng thng OI cắt đường tròn (T) tại hai điểm phân bit
3 4 27 36
; ; ; 1; 9
5 5 5 5
A B OA OB
Với M di động trên (T), ta có:
19 OA OM OB OM
19 z
OM nh nht khi M trùng vi A; OM ln nht khi M trùng vi B
Vy
z
nh nht bng 1 khi
34
55
zi
;
z
ln nht bng 9 khi
27 36
55
zi
Cách 2
Gi
; Rz x yi x y
( ; )M x y
biu din cho s phc z trong h to độ Oxy
34
i
(3; 4)A
biu din cho s phc
; 5

z OM OA z AM
;
Theo gi thiết
3 4 4 4 4
z i z AM
.
Ta có:
4 4 4 4 1 9 OM OA AM OM OA OA OM OA OM
19 z
;
1z
khi
34
55
zi
;
9z
khi
27 36
55
zi
Vy
z
nh nht bng 1 khi
34
55
zi
;
z
ln nht bng 9 khi
27 36
55
zi
Nhn xét: Ngoài ra bài toán trên có th ng dn gii bằng phương pháp s dng bt
đẳng thc Bunhia-Cpxki hoặc phương pháp lượng giác hoá.
d 2. Trong các s phc
z
tho mãn điều kin
( 2 4 )z z i
mt s o, m s
Trang19
phc
z
sao cho
1
zi
có môđun lớn nht.
ng dn gii
Gi
; Rz x yi x y
( ; )M x y
biu din cho s phc z trong h to độ Oxy
( 2 4 ) ( ) ( 2) ( 4) ( 2) ( 4) ( 4) ( 2) z z i x yi x y i x x y y x y y x i
( 2 4 )z z i
mt s o
2 2 2 2
( 2) ( 4) 0 2 4 0 ( 1) ( 2) 5 x x y y x y x y x y
M biu din cho
z
thuc đưng tròn (T) có tâm
( 1;2)I
, bán kính
5R
22
1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
z i x y i x y AM
vi
(1;1)A
5 ( ) IA A T
(Bài toán được qui v Bài toán công c 1 - trường hp 1)
Vì M là đim di đng trên (T) nên AM ln nht
AM là đưng kính ca (T)
M đi xng vi A qua I
I là trung dim ca AM
( 3;3) 3 3 4 2
M z i i
Vy
ln nht bng
25
khi
33 zi
.
Ví d 3. Trong các s phc
z
môđun bằng
22
. Tìm s phc
z
sao cho biu thc
1 P z z i
đạt giá tr ln nht.
ng dn gii
Gi
; Rz x yi x y
2 2 2 2
2 2 2 2 8 z x y x y
2 2 2 2
1 ( 1) ( 1) P z z i x y x y
Áp dng bt đng thc Bunhia-côpxki cho hai b s
1;1 và
2 2 2 2
( 1) ; ( 1) x y x y
, ta có:
2 2 2 2 2
2 ( 1) ( 1) 4(9 )


P x y x y x y
Áp dng bt đng thc Bunhia-cpxki cho hai b s 1;1 và
;xy
, ta có:
22
24 x y x y
2
52 2 13 PP
. Đẳng thc xy ra khi
2xy
Vậy P đạt giá tr ln nht bng
2 13 khi 2 2zi
.
d 4. Trong các s phc
z
môđun bằng
2
. Tìm s phc
z
sao cho biu thc
1 1 7 P z z i
đạt giá tr ln nht.
ng dn gii
Gi
; Rz x yi x y
2 2 2 2
2 2 4 z x y x y
Trang20
2 2 2 2
1 1 7 ( 1) ( 1) ( 7) P z z i x y x y
Xét
1; , 1 ; 7 0; 7
u x y v x y u v
. Khi đó:
7
P u v u v
. Đẳng thc xy ra khi
,
uv
cùng hưng
( 1)( 7 ) (1 ) 1 x y y x x
13 xy
Vi
1; 3xy
thì
,
uv
ngược hưng (không tho mãn)
Vi
1; 3 xy
thì
,
uv
cùng hưng (tho mãn)
Vy
13zi
thì P đt giá tr nh nht bng 7.
Ví d 5. Trong các s phc z
1
, z
2
tho mãn:
12
1 1 ; 6 6 6 z i z i
, tìm s phc
z
1
, z
2
sao cho
12
zz
đạt giá tr ln nht.
ng dn gii
Gi
12
. ; . ; ( , , , z a bi z c d i a b c d
nhng s thc);
1
z
được biu din bởi điểm M(a; b);
2
z
được biu din bởi đim N(c; d) trong mt phng to độ Oxy
2
22
11
1 1 1 1 ( 1) ( 1) 1 z i z i a b
suy ra M thuộc đường tròn m I(1; 1),
bán kính R = 1.
2
22
22
6 6 6 6 6 36 ( 6) ( 6) 36 z i z i c d
suy ra M thuộc đường tròn m
J(6; 6), bán kính R' = 6.
22
12
( ) ( ) z z c a d b MN
.
(Bài toán được qui v Bài toán công c 2)
Đưng thng IJ phương trình y = x. Đường thng IJ cắt đường tròn tâm I tại hai điểm
12
2 2 2 2 2 2 2 2
; ; ;
2 2 2 2
MM
Đưng thng IJ ct đưng tròn tâm J tại hai điểm
12
6 3 2;6 3 2 ; 6 3 2;6 3 2 NN
.
2 1 1 2
M N MN M N
12
5 2 7 5 2 7 zz
1 2 1 2
max 5 2 7 , z z khi M M N N
.
Vy
12
2 2 2 2
; 6 3 2 6 3 2
22

z i z i
thì
12
zz
đạt giá tr ln nht.
Ví d 6. Cho các s phc
12
;zz
tho mãn:
1 2 2
1; (1 ) 6 2 z z z i i
mt s thc.
Tìm s phc
12
;zz
sao cho
2
2 1 2 1 2
P z z z z z
đạt giá tr nh nht.
ng dn gii
Gi
12
; ; , , , Rz a bi z c di a b c d
( ; ), ( ; ) M a b N c d
lần lượt biu din cho
12
;zz
trong h to độ Oxy
2 2 2 2
1
1 1 1 z a b a b
M thuc đưng tròn
()T
có tâm O, bán kính R = 1
Trang21
2
;
1 6 2 ( 1) ( 1) 2 6
( 1) ( 1) 2 ( 1) ( 1) 6



z c di
z z i i c di c d i i
c c d d c d d c i
là s thc
( 1) ( 1) 6 0 6 0 c d d c c d
N thuc đưng thng
: 6 0 xy
Ta có
( ; ) 1dO
nên
()T
không có điểm chung
12
1 2 1 2 1 2
( ) ;
( ) 2( )
z z ac bd bc ad i
z z ac bd bc ad i z z z z ac bd
2 2 2 2 2
2( ) ( ) ( ) 1 1 P c d ac bd c a b d MN
(vì
22
1ab
)
(Bài toán được qui v Bài toán công c 3)
Gi H là hình chiếu vuông góc ca O trên
: 6 0 (3;3) x y H
Đon OH ct đưng tròn
()T
ti
22
;
22




I
Vi N thuc đưng thng
, M thuc đưng tròn
()T
, ta có:
3 2 1 MN ON OM OH OI IH
.
Đẳng thc xy ra khi
;M I N H
2
3 2 1 1 18 6 2 P
.
Đẳng thc xy ra khi
12
22
; 3 3
22
z i z i
Vậy P đạt giá tr nh nht bng
18 3 2
khi
12
22
; 3 3
22
z i z i
.
Ví d 7. Trong các s phc
z
tho mãn điều kin
3 3 10 zz
. Tìm s phc z
môđun lớn nht.
ng dn gii
Gi
; Rz x yi x y
( ; )M x y
biu din cho s phc z trong h to độ Oxy
2 2 2 2
12
3 3 10 ( 3) ( 3) 10
10
z z x y x y
MF MF
;
(vi
12
( 3;0); (3;0)FF
).
()ME
có tâm O, trc ln bng 10; tiêu c bng 6
22
( ): 1
25 9
xy
ME
;z OM OM
ln nht
5 (5;0) ( 5;0) OM a M M
Vy
z
ln nht bng 5 khi
55 zz
III. BÀI TP
Câu 1.Trong các s phc z thỏa mãn điều kin
. 3 5 12 z z z z i
.S phc nào
đun lớn nht?
Trang22
A.1+2i B.1-2i C.2+4i D.1/2-i
Câu 2. Trong các s phc z thỏa mãn điều kin
22 zi
.S phức nào đun nhỏ
nht?
A.2+i B.4-i C.
1 3 1i
D.
3 2 2i
Câu 3. Xét các s phc
z
tha mãn
2 4 7 6 2. z i z i
Gi
, mM
lần lượt giá tr
nh nht và giá tr ln nht ca
1zi
. Tính
.P m M
A.
13 73P
. B.
5 2 2 73
2
P
.
C.
5 2 2 73P
. D.
5 2 73
2
P
.
Câu 4. Xét s phc
z
tha mãn
3 2 3 3 5. z i z i
Gi
, Mm
lần lượt giá tr ln
nht và giá tr nh nht ca biu thc
2 1 3 P z z i
.
A.
17 5, 3 2. Mm
B.
26 2 5, 3 2. Mm
C.
26 2 5, 2. Mm
D.
17 5, 2. Mm
Câu 5. Xét s phc
z
tha mãn
2 3 6 2 17. z i z i
Gi
, Mm
lần lượt giá tr ln
nht và giá tr nh nht ca biu thc
1 2 2 P z i z i
.
A.
3 2, 0.Mm
B.
3 2, 2.Mm
C.
3 2, 5 2 2 5. Mm
D.
2, 5 2 2 5. Mm
Câu 6. Xét s phc
z
tha mãn
2 2 1 3 34. z i z i
Tìm giá tr nh nht ca bin
thc
1. P z i
A.
min
9
.
34
P
B.
min
3.P
C.
min
13.P
D.
min
4.P
Câu 7.Trong các s phc z thỏa mãn điều kin
1 2 2 zi
, tìm s phc z
môđun nhỏ nht.
A.
24
12
55
zi
B.
24
12
55
zi
C.
24
12
55
zi
D.
24
12
55
zi
Câu 8. Cho s phc z tha mãn
2
2
1


zi
zi
. Tìm giá tr nh nht giá tr ln
nht ca
z
.
A.
min max
10 3; 10 3 zz
B.
min max
10 3; 10 3 zz
C.
min max
10 3; 10 3 zz
D.
min max
10 3; 10 3 zz
| 1/22

Preview text:


MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC ÔN THI TỐT NGHIỆP THPTQG
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Một số phức là một biểu thức có dạng a + bi, trong đó a, b là các số thực và số i thoả
mãn i2 = -1. Ký hiệu số phức đó là z và viết z = a + bi .
i được gọi là đơn vị ảo
a được gọi là phần thực. Ký hiệu Re(z) = a
b được gọi là phần ảo của số phức z = a + bi , ký hiệu Im(z) = b
Tập hợp các số phức ký hiệu là C. *) Một số lưu ý:
- Mỗi số thực a dương đều được xem như là số phức với phần ảo b = 0.
- Số phức z = a + bi có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo.
- Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
2. Hai số phức bằng nhau.
Cho z = a + bi và z’ = a’ + b’i. a a z = z’  '  b b'
3. Biểu diễn hình học của số phức.
Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm M(a;b) trên mặt phẳng toạ độ Oxy.
Ngược lại, mỗi điểm M(a;b) biểu diễn một số phức là z = a + bi .
4. Phép cộng và phép trừ các số phức.
Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:
z z '  (a a ')  (b b')i
z z '  (a a')  (b b')i
5. Phép nhân số phức.
Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:
zz '  aa ' bb ' (ab ' a 'b)i
6. Số phức liên hợp.
Cho số phức z = a + bi. Số phức z = a – bi gọi là số phức liên hợp với số phức trên.
Vậy z = a bi = a - bi
Chú ý: 10) z = z  z và z gọi là hai số phức liên hợp với nhau. 20) z. z = a2 + b2
*) Tính chất của số phức liên hợp: (1): z z
(2): z z '  z z ' (3): . z z '  . z z ' (4): z. z = 2 2
a b (z = a + bi ) Trang1
7. Môđun của số phức.
Cho số phức z = a + bi . Ta ký hiệu z là môđun của số phư z, đó là số thực không
âm được xác định như sau: 
- Nếu M(a;b) biểu diễn số phc z = a + bi, thì z = OM = 2 2 a b
- Nếu z = a + bi, thì z = z.z = 2 2 a b
8. Phép chia số phức khác 0.
Cho số phức z = a + bi ≠ 0 (tức là a2+b2 > 0 )
Ta định nghĩa số nghịch đảo z-1 của số phức z ≠ 0 là số 1 1 z-1= z z 2 2 2 a b z
Thương z ' của phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ 0 được xác định như sau: z z ' z '.z 1 .   z z 2 z z
Với các phép tính cộng, trừ, nhân chia số phức nói trên nó cũng có đầy đủ tính chất
giao hoán, phân phối, kết hợp như các phép cộng, trừ, nhân, chia số thực thông thường.
9. Phƣơng trình bậc hai với hệ số thực.
* Cho phương trình bậc hai : 2
ax bx c  0 , có 2
  b  4ac .   
+ Nếu  > 0, PT có 2 nghiệm thực phân biệt  b x 1,2 2ab
+ Nếu  = 0, PT có nghiệm kép x1 = x2 = 2a   |  |
+ Nếu  < 0, PT có 2 nghiệm phức  b i x 1,2 2a
* Cho phương trình bậc hai : 2
ax bx c  0 .
Khi b chẵn có b’ = b/2 ;  ' =b’2 – ac.  ' '
+ Nếu  ' > 0, PT có 2 nghiệm thực phân biệt  b x 1,2 ab '
+ Nếu  ' = 0, PT có nghiệm kép x1 = x2 = a  ' |  ' |
+ Nếu  ' < 0, PT có 2 nghiệm phức  b i x 1,2 a
10. Một số kết quả cần nhớ
1) i0 = 1  i4n = 1 2) i1 = i  i4n + 1 = i
3) i2 = - 1  i4n + 2 = - 1
4) i3 = - i  i4n + 3 = - i
5) (1 – i)2 = - 2i 6) (1 + i)2 = 2i Trang2
B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƢỜNG GẶP
DẠNGI. TÍNH TOÁN CÁC YẾU TỐ CỦA SỐ PHỨC
I. PHƢƠNG PHÁP: Sử dụng định nghĩa, các phép toán để tính toán các yếu tố có liên quan. II. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. (Mã đề 101 - QG – 2017) Cho hai số phức z  5  7i z  2  3i . Tìm số phức 1 2
z z z . 1 2
A. z  7  4i
B. z  2  5i C. z  2  5i
D. z  310i Hƣớng dẫn giải
Ta có z z z  5  7i  2  3i  7  4i 1 2     Đáp án: A
Ví dụ 2. (Mã đề 102 - QG – 2017)
Cho số phức 3
z  1 i i . Tìm phần thực a và phần ảo b của z .
A. a  0,b  1 B. a  2  ,b  1
C. a  1,b  0
D. a  1,b  2  Hƣớng dẫn giải Ta có 3
z  1 i i  1 i i  1 2i a  1,b  2  . Đáp án: D
Ví dụ 3. (Mã đề 104 - QG – 2017)
Tìm số phức z thỏa mãn z  2 3i  3 2i
A. z 15i
B. z 1 i
C. z  55i
D. z 1 i Hƣớng dẫn giải
Ta có z  2 3i  3 2i z  3 2i  2  3i 1 i Đáp án: B
Ví dụ 4. (Mã đề 104 - QG – 2017)
Cho số phức z  2  i . Tính z . A. z  3 B. z  5 C. z  2
D. z  5 Hƣớng dẫn giải Ta có 2 2 z  2 1  5 Đáp án: D
Ví dụ 5. (QG-2019)
Số phức liên hợp của số phức 3  4i A. 3   4i . B. 3   4i . C. 3  4i . D. 4   3i . Hƣớng dẫn giải Đáp án: C III. BÀI TẬP
Câu 1. (Mã đề 101 - QG – 2017)
Số phức nào dưới đây là số thuần ảo? A. z  2  3i .
B. z  3i .
C. z  2 .
D. z  3  i .
Câu 2. (Mã đề 102 - QG – 2017) Cho hai số phức z  4  3i z  7  3i . Tìm số phức 1 2
z z z 1 2 A. z  11.
B. z  3 6i C. z  1  10i D. z  3  6i
Câu 3. (Mã đề 103 - QG – 2017) Cho hai số phức z 1 3i z  2
  5i . Tìm phần ảo b 1 2
của số phức z z z . 1 2 A. b  2 
B. b  2
C. b  3 D. b  3 
Câu 4. (Mã đề 103 - QG – 2017) Cho số phức z  2 3i . Tìm phần thực a của z. Trang3
A. a  2
B. a  3 C. a  3  D. a  2 
Câu 5. (QG – 2018) Số phức 3
 7i có phần ảo bằng A. 3 . B. 7  . C. 3  . D. 7 .
Câu 6. (QG – 2018) Số phức có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 là A. 3  4i . B. 4  3i . C. 3  4i . D. 4  3i .
Câu 7.(QG – 2018) Số phức 5  6i có phần thực bằng A. – 5. B. 5. C. – 6. D. 6.
Câu 8. (QG – 2018) Số phức có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 3 là A. 1  3i . B.1 3i . C. 1  3i . D.1 3i .
Câu 9. (QG-2019) Số phức liên hợp của số phức 5  3i A. 5   3i . B. 3   5i . C. 5   3i . D. 5  3i .
Câu 10. (QG-2019) Số phức liên hợp của số phức 3  2i A. 3   2i . B. 3  2i . C. 3   2i . D. 2   3i .
Câu 11. (QG-2019)Số phức liên hợp của số phức 1  2i A. 1   2i . B. 1  2i . C. 2   i . D. 1   2i .
Câu 12. Cho số phức z  6
 3i . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z .
A. Phần thực bằng 6  và phần ảo bằng 3  i
B. Phần thực bằng 6  và phần ảo bằng 3
C. Phần thực bằng 6 và phần ảo bằng 3
D. Phần thực bằng 6 và phần ảo bằng 3i
Câu 13. Cho 2 số phức z z’. Các phát biểu nào sau đây sai ? A. z z z
z z '  z z ' B. 2 .
z z z C. z z D. .  z ' z '.z
Câu 14. Cho số phức z = 3- 4i. Phần thực và phần ảo số phức z là
A. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng - 4i;
B. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4;
C. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4i;
D. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng -4.
Câu 15. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = i2020. A. 0 và 2020 B. 0 và 1 C. 1 và 0 D. 2020 và 0
Câu 16. Tìm phần thực, phần ảo của z  4  i  2  3i  5  i
A. phần thực là 1, phần ảo là 1 B.phần thực là 11, phần ảo là 1
C. phần thực là 1, phần ảo là 3 D. phần thực là 11, phần ảo là 3  i
Câu 17. Cho số phức 1 1   i z
. Trong các kết luận sau kết luận nào đúng? 1  i 1  i A.
z có phần thực và phần ảo 0 .
B. z là số thuần ảo.
C. Mô đun của z bằng 1
D. z có phần thực và phần ảo đều bằng 0.
Câu 18.
Tính z z z.z biết z  2  3i
A. 4 và 13 B. 4 và 5 C. 4 và 0 D. 13 và 5
Câu 19. Cho số phức z  2  3i . Tìm số phức w = 2iz - z . A. w  8
 7i B. w  8  i
C. w  4  7i D. w  8  7i
Câu 20. Cho số phức z  1 3i z  3  4i z z 1 và 2 . Môđunsố phức 1 2 là
A. 17 ; B. 15 ; C. 4; D. 8. Trang4
Câu 21. Số phức nghịch đảo của số phức z = 1 - 3i là: 1 3 1 3 A. 1 z =  i 1 z =  i 1 z = 1 + 3i 1
D. z = -1 + 3i 4 4 B. 2 2 C.
Câu 22. Mô đun của số phức z   i  i  3 5 2 1 là
A.7 B. 3C.5D. 2
Câu 23. Cho số phức z = a + bi (với a, b là các số thực). Xét các phát biểu sau
(1) z² – z ² là số thực
(2) z² + z ² là số ảo
(3) z z là số thực (4) |z| – z là bằng 0
Số câu phát biểu đúng là A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 24. Giá trị của A = (1 + i)20 bằng A. 1024 B. 220 C. –1024 D. 1024 – 1024i
Câu 25. Cho số phức z thỏa mãn: z (1 2i)  7  4i .Tìm mô đun số phức   z  2i .
A. 5 B. 17 C. 24 D. 4
Câu 26. Cho số phức z biết  i z 2  i
. Phần ảo của số phức z2 là 1 i A. 5 i . B. - 5 i . C. 5 . D. 5  . 2 2 2 2  i 3 1 3
Câu 27. Cho số phức z thỏa mãn: z
. Tìm môđun của z iz . 1 i
A.8 2 B. 4 2 C. 8 D. 4
Câu 28. Phần thực của số phức 2
z thỏa mãn 1 i  2  i z  8  i  1 2i z A. 6  B. 3  C.2D. 1
DẠNG II. PHƢƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ PHỨC
I. PHƢƠNG PHÁP :
Sử dụng các phương pháp giải phương trình mẫu mực như phương
trình bậc nhất, phương trình bậc hai….với ẩn là số phức z. II. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. (Mã đề 101 - QG – 2017)
Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức 1 2i và 1 2i là nghiệm ? A. 2
z  2z  3  0 B. 2
z  2z  3  0 C. 2
z  2z  3  0 D. 2
z  2z  3  0 Hƣớng dẫn giải
Cách 1: Ta có 1 2i 1 2i  2 ; 1 2i 1 2i  2 . Suy ra 1 2i và 1 2i
nghiệm của phương trình 2
z  2z  3  0 . Đáp án: C
Cách 2: Thử đáp án bằng MTBT
Ví dụ 2. (Mã đề 102 - QG – 2017) Kí hiệu z , z 1
2 là hai nghiệm phức của phương trình 2
3z z  1  0 . Tính P z z 1 2 3 2 3 14 A. P  . B. P C. 2 P  . D. P  . 3 3 3 3 Hƣớng dẫn giải  Phương trình 1 i 11 2
3z z  1  0 có hai nghiệm z  . 1,2 6 Trang5 2 3
Khi đó P z z  1 2 3 Đáp án: B
Ví dụ 3.
Tìm số phức sau: a) (1 + z)(2 + 3i) = 1 + i 2  1 b) i i 3 z  1  i 2  i Giải
a) Ta có (1 + z)(2 + 3i) = 1 + i 1 i
 1 z  23i 5  i  1 z  13 8 1  z    i 13 13 b) Ta có 2  i 1   3i ( 1
  3i)(1 i) z   z  2 1 i 2  i (2  i) 2  4i
(2  4i)(3  4i)  z   z 3  4i 25 22 4  z   i 25 25
Ví dụ 4. Giải các phương trình sau trên trường số phức: a)z4 + 2z2 -3 = 0
b) z4 – 4z3 +7z2 – 16z + 12 = 0 (1) Giải 2 z 1 z  1 
a) Ta có z4 + 2z2 -3 = 0     2 z  3  z  i 3 z  1 
Vậy phương trình có 4 nghiệm  z  i 3
b) Do tổng tất cả các hệ số của phương trình (1) bằng 0 nên (1) có nghiệm z = 1.
(1)  (z – 1)(z3 – 3z2 + 4z – 12) = 0
 (z – 1) (z – 3) (z2 + 4) = 0 z  1 z 1   z  3  z  3     z  2i 2
z  4  0 z  2i
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm:
z = 2i; z = −2i; z = 1; z = 3 III. BÀI TẬP Trang6
Câu 1. (Mã đề 103 - QG – 2017) Kí hiệu z , z là hai nghiệm phức của phương trình 1 2 1 1 2
z z  6  0 . Tính P   z z 1 2 A. 1 P  . B. 1 P C. 1 P   . D. P  6 . 6 12 6
Câu 2. (QG-2019)Gọi z , z là hai nghiệm phức phương trình 2
z  6z  10  0 . Giá trị 1 2 2 2 z z bằng 1 2 A.16. B. 56. C. 20. D. 26.
Câu 3. (QG-2019)Gọi z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2
z  6z 14  0 . Giá trị 1 2 của 2 2
z z bằng 1 2 A. 36 . B. 8 . C. 28 . D. 18 . Câu 4. (QG-2019)Gọi 2
z , z là hai nghiệm phức của phương trình z  4z  5  0 . Gái trị của 1 2 2 2 z z bằng 1 2 A. 6 . B. 8 . C. 16 . D. 26 .
Câu 5. (QG-2019)Gọi z , z 2 1
2 là hai nghiệm phức của phương trình z  4z  7  0 . Giá trị của 2 2
z z bằng 1 2 A. 10. B. 8. C. 16. D. 2.
Câu 6. Tìm mô đun của số phức z thoả 3iz  (3  i)(1 i)  2 . 2 2 3 2 3 3 2 3 A. z B. z C. z D. z 3 2 2 3
Câu 7. Cho số phức z thỏa mãn (1 + 2i)z – 5 – 5i = 0. Tìm số phức w = 10 z z A. 6 + 2i B. 2 + 6i C. –2 + 6i D. –6 + 2i
Câu 8.Giải phương trình 2  3iz z 1. A. 1 3 z    . i B. 1 3 z    . i C. 1 3 z   . i D. 1 3 z   . i 10 10 10 10 10 10 10 10
Câu 9.Giải phương trình 2  iz  4  0 . A. 1 3 z    . i B. 8 4 z   . i C. 5 3 z   . i D. 1 3 z   . i 5 5 5 5 10 10 13 13  i  
Câu 10.Giải phương trình 2 1 3  i z . 1 i 2  i A. 1 3 z    . i B. 8 4 z   . i C. 22 4 z   . i D. 1 3 z   . i 5 5 5 5 25 25 13 13 z
Câu 11. Tìm nghiệm của phương trình 2 1 1 i z i A. 1 3 z   . i B. 1 4 z   . i C. 1 1 z   . i D. 1 1 z    i 5 5 5 5 2 2 2 2
Câu 12.Tìm nghiệm của phương trình 2
z  2z  5  0 .
A. z  -1 2 ; i z  -1- 2 . i z  -1 2 ; i z  -1- 2 . i 1 2 B. 1 2 Trang7
C. z  1 2 ; i
z  -1 2 .i
D. z  -1 2 ; i
z  -1 2 .i 1 2 1 2
Câu 13. Tìm các số thực b,c để phương trình (với ẩn z): 2
z bz c  0 nhận z 1 i làm một nghiệm. A. b  2  ,c  2. 
B. b  2, c  3. C. b  1  , c  2.
D. b  2, c  2. Câu 14. Gọi z z z  
1 và z2 lần lượt là nghiệm của phương trình: 2 2 10 0 . Tính giá trị của biểu thức 2 2 A zz 1 2 A. 15 B. 17 C. 20 D. 10
Câu 15. Gọi A, B là hai điểm biểu diễn cho các số phức là nghiệm của phương trình 2
z  2z  3  0 . Tính độ dài đoạn thẳng AB . A. 2 2 B. 3 2 C. 2 3 D. 3 6
Câu 16. Cho số phức z có phần thực dương thỏa mãn 2
z  6z 13  0 . Tính z  . z i A. 13 B. 17 C. 7 D. 7 3
DẠNG III. TÌM SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN
I. PHƢƠNG PHÁP:
Để giải bài toán tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước, ta thực hiện theo các bước sau:
B1: Đặt z a bia,b 
B2: Thay vào đk được hệ phương trình hai ẩn a,b. B3: Giải tìm a,b Chú ý:
 Tìm số phức z a bi ,
a b    thật ra là tìm phần thực a và phần ảo b của nó. a   0
z a bi  0   , b  0 a   a
z a b i; z a b i z z  1 1 1 2 2 2 . Khi đó: 1 2  1 2 b   b 1 2
z a bia,b  . Khi đó a b
z là số ảo (thuần ảo) khi
0 , z là số thực khi 0 .
Ví dụ 1. (Mã đề 101 - QG – 2017) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  3i  5 và zz  4 số thuần ảo ? A.0 B. Vô số C.1 D. 2 Hƣớng dẫn giải
Đặt z a bia,b  . Điều kiện z  4 .
Ta có z  3i  5  a  b  3i  5
a  b  2 2 3  25 2 2
a b  6b 16  0  1 z a bi a a  4 2  b 4b Lại có    i . z  4
a 4bi a42 b a42 2 2  b Trang8 a a  4 2  bz là số thuần ảo nên 2 2
 0  a b  4a  0 2 . 2   z  4 a 4 2  b Từ (1) + (2) suy ra 3
4a  6b  16  a  4 
b . Thay vào (1), ta được: 2 b  2 0  3  2  a b
b  6b 16  0    24 .  2  b    13
Với b  0  a  4  z  4loaïi  . Với 24 16 16 24 b    a   z  
i thoûamaõn. 13 13 13 13 Đáp án: C
Ví dụ 2. (Mã đề 101 - QG – 2017)
Cho số phức z a bi (a, b   ) thỏa mãn
z 1 3i z i  0 . Tính S a 3b A. 7 S B. S  5  C. S  5 D. 7 S   3 3 Hƣớng dẫn giải Theo giả thiết, ta có:
z   i z i   z     z  i z    z  2 1 3 0 1 3 1 3 2
z    z  2 5 1 3  z  3 4 4  z  1
  i a  1
 ;b    S a  3b  5  3 3 Đáp án: B 2
Ví dụ 3. (Mã đề 103 - QG – 2017) Tìm tất cả các số thực x, y sao cho x 1 yi  1   2i
A. x   2, y  2
B. x  2, y  2
C. x  0, y  2 x y   D. 2, 2 Hƣớng dẫn giải 2 x 1  2  x  0 Ta có 2
x 1 yi  1   2i      y  2  y  2 Đáp án: C
Ví dụ 4. (Mã đề 103 - QG – 2017) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z
z  3i  13 và z  2 là số thuần ảo ? A. Vô số B. 2 C. 0 D. 1 Hƣớng dẫn giải
Đặt z a bia,b  , ta có: z i
a  b  i
a  b  2 2 2 2 3 13 3 13 3
 13  a b  6b  4  0  1 . z a bi a a  2 2  b 2b Lại có    i . z  2
a  2bi a22 b a22 2 2  b a a  2 2  bz là số thuần ảo nên
 0  aa  2 2 2 2
b  0  a b  2a  0 2 . 2   z  2 a  2 2  b Trang9
Từ (1)+(2) suy ra 2a  6b  4
  a  3b2. Thay vào (1), ta được: b  0   3b  22 2
b  6b  4  0  3 . b   5
Với b  0  a  2   z 2  loaïi . Với 3 1 1 3 b
x    z    i thoûamaõn . 5 5 5 5 Đáp án: D
Ví dụ 5. (Mã đề 104 - QG – 2017)
Cho số phức z thỏa mãn z  5 và z  3  z  3 10i .
Tìm số phức w z  4  3i . A. w  3  8i
B. w 1 3i C. w  1  7i D. z  4  8i Hƣớng dẫn giải
Đặt z a bia,b  , ta có: z
  a    bi   a  2 2 3 5 3 5 3  b  25
Lại có z  3  z  3 10i  a  3  bi  a  3  b 10i
 a  2 b  a  2  b  2  b  b  2 2 2 3 3 10 2
b  5 a  0  z  5i w  4  8i . Đáp án: D III. BÀI TẬP
Câu 1. (Mã đề 102 - QG – 2017) Cho số phức z a bi ( ,
a b   ) thoả mãn z  2  i z .
Tính S  4a b . A. S  4 B. S  2 C. S  2  D. S  4 
Câu 2. (QG – 2018) Có bao nhiêu số phức
z z   i i   z thỏa mãn
 3  2 4 iz ? A. 1. B.3 . C. 2 . D. 4 .
Câu 3.(QG – 2018) Có bao nhiêu số phức
z z   i i   z thỏa mãn ( 6 ) 2 (7 i)z ? A. 2. B. 3. C. 1. D. 4.
Câu 4. (QG – 2018) Có bao nhiêu số phức
z z   i i   z thỏa mãn
 5  2 6 iz ? A.1. B.3 . C. 4 . D. 2 .
Câu 5. (Mã đề 103 - QG – 2017) Cho số phức z thỏa mãn z  3  5 và z  2i z  2  2i . Tìm số phức z .
A. z  17.
B. z  17.
C. z  10.
D. z  10.
Câu 6. (QG – 2018) Tìm hai số thực x y thỏa mãn 2x  3yi  1 3i  x  6i với i là đơn vị ảo. A. x  1  ; y  3 . B. x  1
 ; y  1. C. x 1; y  1. D. x 1 ; y  3 .
Câu 7. (QG – 2018) Có bao nhiêu số phức
z z   i i   z thỏa mãn
 4  2 5 iz ? A. 2 . B.3 . C.1. D. 4 .
Câu 8. (QG – 2018) Tìm hai số thực x y thỏa mãn 3x  2yi  2  i  2x  3i với i là đơn vị ảo. Trang10
A. x  2; y  2 .
B. x  2; y  1.
C. x  2; y  2 .
D. x  2; y  1 
Câu 9. (QG – 2018) Tìm hai số thực xy thỏa mãn (3x yi)  (4  2i)  5x  2i với i là đơn vị ảo.
A. x  2; y  4 .
B. x  2; y  4 .
C. x  2; y  0 .
D. x  2; y  0 .
Câu 10. (QG – 2018) Tìm hai số x y thỏa mãn 2x  3yi  3  i  5x  4i với i là đơn vị ảo. A. x  1
 ; y  1 . B. x  1  ; y 1 .
C. x 1; y  1 .
D. x 1 ; y  1 .
Câu 11. (QG-2019)Cho số phức 3 z iz thỏa mãn
 2  iz  310i . Mô đun của z bằng A. 3 . B. 5. C. 5 . D. 3 .
Câu 12. (QG-2019)Cho số phức z thỏa mãn 3 z i  2  3iz  7 16i . Môđun của z bằng A. 5 . B. 5 . C. 3 . D. 3 .
Câu 13. (QG-2019)Cho số phức       z thỏa (2
i)z 4(z i)
8 19i . Môđun của z bằng A. 13 . B. 5. C. 13 . D. 5 .
Câu 14. (QG-2019)Cho số phức      z thỏa (2
i)z 3 16i 2(z i) . Môđun của z bằng A. 5 . B. 13 . C. 13 . D. 5.
Câu 15. Tìm số phức z, biết z z  3  4i A. 7 z   4i B. z  3 C. 7 z    4i D. z  3   4i 6 6
Câu 16. Số phức z thỏa mãn: (1 i)z  (2  i)z 13 2i A. 3 + 2i ; B. 3-2i;
C. -3 + 2i ; D. -3 -2i.
Câu 17. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2z + 3(1 – i) z = 1 – 9i. Tìm modun của z. A. |z| = 3 B. |z| = 3 C. |z| = 13 D. |z| = 13
Câu 18. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thỏa mãn (1 – i)z – (2 – i) z = 2 + 9i A. 4 và –3 B. –4 và 3 C. 4 và 3 D. –4 và –3
Câu 19. Số số phức z thỏa mãn đẳng thức: 2 1 z  z z 1
 1 z zi . 2 2 A. 1 B.2 C.3 D.4
Câu 20. Sốsố phức z thỏa mãn  z  2 2
1  z 1 10i z  3 . A. 1 B.2 C.3 D.4 iz z
Câu 21. Tìm mô đun số phức z thỏa mãn 2 2  i  2z . 2  i 1 2i A. 1 B. 2 C. 2 D. 2 2 2 Câu 22. Biết z i z
z là số phức thỏa điều kiện
0 . Tìm số phức z có phần ảo âm 1 1 1 1 1 1 A. z  1   i B. z    i C. z   i D. z  1 i 2 2 2 2 2 2
DẠNG IV. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC
I. PHƢƠNG PHÁP: Giả sử z = x + yi (x, y  R). Khi đó số phức z biểu diễn trên mặt
phẳng phức bởi điểm M(x;y). Trang11
Sử dụng dữ kiện của đề bài để tìm mối liên hệ giữa x và y từ đó suy ra tập hợp điểm M.
Một số quỹ tích thường gặp:
Với z = x+yi (x, y là các số thực) khi đó nếu:
* x= a : Quỹ tích z là đường thẳng x = a (song song với Oy).
* y= b: Quỹ tích z là đường thẳng y = b (song song với Ox).
* (x-a)2 +(y-b)2= R2 Quỹ tích z là đường tròn tâm I(a.b) bán kính R.
* (x-a)2 +(y-b)2 R2 Quỹ tích z là hình tròn tâm I(a.b) bán kính R ( kể cả biên).
* (x-a)2 +(y-b)2> R2 Quỹ tích z là các điểm nằm ngoài đường tròn tâm I(a.b) bán kính R. II. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. (Mã đề 101- QG – 2017) Cho số phức z 1 2i . Điểm nào dưới đây là điểm biểu
diễn của số phức w iz trên mặt phẳng tọa độ ?
A. Q(1; 2)
B. N (2;1)
C. M (1; 2) D. P( 2  ;1) Hƣớng dẫn giải
Ta có w iz i 1 2i  2  i . Suy ra điểm biểu diễn của số phức w N (2;1) . Đáp án: B
Ví dụ 2. (Mã đề 102 - QG – 2017)
Số phức nào sau đây có điểm biểu diễn trên mặt phẳng y
tọa độ là điểm M như hình bên ? 1
A. z  2  i z  1 2i 4 B. 2 2  O x C. z  2   i z  1 2i 3 D. 1 Hƣớng dẫn giải Đáp án: C
Ví dụ 3. (Mã đề 102 - QG – 2017) Có bao nhiêu số phức z   i z thỏa mãn | 2 | 2 2 và 2
(z 1) là số thuần ảo. A. 0 B. 4 C. 3 D. 2 Hƣớng dẫn giải
Đặt z x yi x, y  .
Theo giả thiết, ta có | z  2  i | 2 2   x  2   y   1 i  2 2
 x  2   y  2 2 1  8C . 2 2
Mặt khác,  z     x    yi   x  2 2 1 1 1
y  2x   1 yi . 2
Theo giả thiết (z 1) là số thuần ảo nên  y x 1
x y 1  0 d 2 2   x   2 2
1  y  0  y   x   1     .
y  x 1
x y 1  0  
Đường tròn (C) có tâm I  2  ; 
1 , bán kính R  2 2 .
Ta có d I , d   2 2  R , suy ra d tiếp xúc (C).
Ta có d I, d   2  R , suy ra  cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức chính là các giao điểm của (C) với hai đường thẳng
d và  . Số giao điểm là 3. Trang12 Đáp án: C
Ví dụ 4. (Mã đề 104 - QG – 2017)
Cho số phức z  1 2i, z  3
  i . Tìm điểm biểu diễn 1 2
của số phức z z z trên mặt phẳng tọa độ. 1 2 A. N (4; 3) B. M (2; 5)
C. P(2; 1) D. Q( 1  ;7) Hƣớng dẫn giải
Ta có z z z  2  i . 1 2
Vậy điểm biểu diễn của số phức z P(2; 1) . Đáp án: C
Ví dụ 5. (Mã đề 104 - QG – 2017) Kí hiệu z , z là hai nghiệm phức của phương trình 1 2 2
z  4  0 . Gọi M, N lần lượt là các điểm biểu diễn của z , z trên mặt phẳng tọa độ. Tính 1 2
T OM ON với O là gốc tọa độ. A. T  2 2 . B. T  2 C. T  8. D. T  4 . Hƣớng dẫn giải z  2i Ta có 2 1 z  4  0   . z  2   i 2
Suy ra M 0;2, N 0; 2
   OM ON  2 T OM ON  4. Đáp án: D
Ví dụ 6. (Mã đề 104 - QG – 2017)
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để
tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn .
z z  1 và z  3  i m . Tìm số phần tử của S. A. 2 B. 4 C. 1 D. 3. Hƣớng dẫn giải
Điều kiện: m  0.
Đặt z x yi x, y  . Theo giả thiết 2 2 2 .
z z  1  z  1  x y   1 C . 1 
C là đường tròn tâm O0;0, bán kính R 1. 1  1 2
Mặt khác z  3  i m  x  3  y  
1  m  x  3   y  2 2 1  m C 2 
C là đường tròn tâm R I  3; , bán kính m . 2  1  2
Để tồn tại duy nhất số phức zthì C và C tiếp xúc ngoài hoặc trong. 2  1 
TH1: C và C tiếp xúc ngoài khi và chỉ khi R R OI  1 m  2  m  1 thoûa maõn 1 2   2  1  .
R OI R 1 2  m m  3 thoûa maõn 1 2  
TH2 C và C tiếp xúc trong khi và chỉ khi  2  1 
OI R R m  2 1  m  1   loaïi 2 1   . Vậy S  1,  3 . Đáp án: A
Ví dụ 7. (QG – 2018) Xét các số phức z i z z thỏa mãn 
 2 là số thuần ảo. Trên mặt
phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có bán kính bằng Trang13 5 3 A.1. B. 5 . C. . D. . 4 2 2 Hƣớng dẫn giải
Đặt z x yi x, y  .
Ta có  z i z     x yi ix yi     2 2 2 2
x  2x y y   x  2y  2i 2  1  5
Vì  z i z  2 là số thuần ảo nên x  2x y y  0   x  2 2 2 1  y     .  2  4
Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có 5 bán kính bằng . 2 Đáp án: C III. BÀI TẬP
Câu 1. (QG – 2018)
Xét các số phức z thỏa mãn z 3iz 3 là số thuần ảo. Trên mặt
phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng 3 2 A. 9 . B. 3 2 . C.3 . D. . 2 2
Câu 2.(QG – 2018) Xét các số phức z thỏa mãn z  2iz  2 là số thuần ảo. Trên mặt
phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng A. 2. B. 2 2 . C. 4. D. 2 .
Câu 3. (QG – 2018) Xét các số phức z i z z thỏa mãn  2 
2 là số thuần ảo. Trên mặt
phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng A. 2 2 . B. 2 . C. 2 . D. 4 .
Câu 4. (QG-2019)Cho hai số phức z  1 i z  1 2i 1 và 2
. Trên mặt phẳng toạ độ Oxy , điểm
biểu diễn số phức 3z z 1 2 có toạ độ là 1;4 A. 4;  1 . B.  1  ;4 . C. 4  1 ; . D. .
Câu 5. (QG-2019)Xét các số phức z thỏa mãn z
2 . Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập 
hợp điểm biểu diễn của các số phức 4 iz w 
là một đường tròn có bán kính bằng 1 z A. 34. B. 26. C. 34. D. 26.
Câu 6. (QG-2019)Xét các số phức z thỏa mãn z  2 . Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập 3  iz
hợp điểm biểu diễn các số phức w
là một đường tròn có bán kính bằng 1 z A. 2 3 B. 12 C. 20 D. 2 5
Câu 7. (QG-2019)Cho hai số phức z  2
  i z 1 i . Trên mặt phẳng tọa độ Oxy điểm 1 2
biểu diễn số phức 2z z có tọa độ là 1 2 Trang14 A. 3; 3 . B. 2;  3 . C.  3  ;3 . D.  3  ;2.
Câu 8. (QG-2019)Cho hai số phức z  1 i z  2  i . Trên mặt phẳng Oxy , điểm biểu 1 2
diễn số phức z  2z có tọa độ là 1 2 A. 2;5 . B. 3;5 . C. 5;2 . D. 5;  3 .
Câu 9. (QG-2019)Cho số phức z thỏa mãn z
2 . Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp các điể 
m biểu diễn của số phức 2 iz
w thỏa mãn w
là một đường tròn có bán kính bằng 1 z A. 10 . B. 2 . C. 2 . D. 10 .
Câu 10. (QG-2019)Cho hai số phức z  2  i, z  1 i 1 2
. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm
biểu diễn số phức 2z z 1 2 có tọa độ là: A. 5; 1  . B.  1  ;5. C. 5;0 . D. 0;5 .
Câu 11. (QG-2019)Cho số phức z thỏa mãn z
2 . Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp các điể 
m biểu diễn của số phức w thỏa mãn 5 iz w
là một đường tròn có bán kính bằng 1 z A. 52 . B. 2 13 . C. 2 11 . D. 44 .
Câu 12. Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z. Tập hợp những
điểm M(z) thỏa mãn điều 2  z i z
A. Đường thẳng 4x  2 y  3  0
B. Đường thẳng 4x  2 y  3  0
A. Đường thẳng x  2 y  3  0
D. Đường thẳng x  9 y  3  0
Câu 13. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
kiện z  2i z 1 i
A. Đường thẳng x y  3  0
B. Đường thẳng x  2 y  3  0
A. Đường thẳng x  2 y  3  0
D. Đường thẳng x y 1  0
Câu 15.Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện
z 1 i  2 là
A. Đuờng thẳng x y  2  0
B. Đường tròn  x  2   y  2 1 1  4
C. Đường thẳng x y  2  0
D. Đường tròn tâm I 1; 1  và bán kính R  2.
Câu 16. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
kiện z  4i z  4i  10 là 2 2 x y 2 2 x y A. Đuờng elip  1 B. Đuờng elip  1 9 16 16 9 2 2 x y 2 2 x y C. Đuờng elip  1 D. Đuờng elip  1 4 3 9 4 Trang15
Câu 17. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
kiện 2  z z  2 là
A. Tập hợp các điểm là nửa mặt phẳng ở bên phải trục tung
B. Tập hợp các điểm là nửa mặt phẳng ở bên trái trục tung
C. Tập hợp các điểm là nửa mặt phẳng phía trên trục hoành
D. Tập hợp các điểm là nửa mặt phẳng phía dưới trục hoành
Câu 18. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
kiện 1  z 1 i  2 là
A. Tập hợp các điểm là hình tròn có tâm I 1; 1  , bán kính 2
B. Tập hợp các điểm là hình vành khăn có tâm tại A 1  
;1 và các bán kính lớn và nhỏ lần lượt là 2; 1
C. Tập hợp các điểm là hình tròn có tâm I 1; 1  , bán kính 1
D. Tập hợp các điểm là hình vành khăn có tâm tại I 1; 1
 và các bán kính lớn và nhỏ lần lượt là 2; 1 z  
Câu 19.Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho 2 3  i u là một số thuần ảo. z i
A. Đường tròn tâm I  1  ;  1 bán kính R  5
B. Đường tròn tâm I  1  ; 
1 bán kính R  5 trừ đi hai điểm A0;  1 ; B  2  ; 3  .
C. Đường tròn tâm I 1  ;1 bán kính R  5
D. Đường tròn tâm I 1 
;1 bán kính R  5 trừ đi hai điểm A0;  1 ; B  2  ; 3  .
Câu 20. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z x yi thỏa mãn điều kiện x y  1 là
A. Ba cạnh của tam giác
B. Bốn cạnh của hình vuông
C. Bốn cạnh của hình chữ nhật
D. Bốn cạnh của hình thoi
DẠNG V. CỰC TRỊ CỦASỐ PHỨC
I. PHƢƠNG PHÁP:
Sử dụng các kiến thức cơ bản như: Bất đẳng thức liên hệ giữa trung
bình cộng và trung bình nhân, bất đẳng thức Bunhia- Cốpxki, bất đẳng thức hình học và
một số bài toán công cụ sau:
BÀI TOÁN CÔNG CỤ 1:
Cho đường tròn (T ) cố định có tâm I bán kính R và điểm A cố định. Điểm M di
động trên đường tròn (T ) . Hãy xác định vị trí điểm M sao cho AM lớn nhất, nhỏ nhất. Hướng dẫn giải:
TH1: A thuộc đường tròn (T)
Ta có: AM đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi M trùng với A Trang16
AM đạt giá trị lớn nhất bằng 2R khi M là điểm đối xứng với A qua I
TH2: A không thuộc đường tròn (T)
Gọi B, C là giao điểm của đường thẳng qua A,I và đường tròn (T);
Giả sử AB < AC.
+) Nếu A nằm ngoài đường tròn (T) thì với điểm M bất kì trên (T), ta có:
AM AI IM AI IB AB .
Đẳng thức xảy ra khi M B
AM AI IM AI IC AC .
Đẳng thức xảy ra khi M C
+) Nếu A nằm trong đường tròn (T) thì với điểm M bất kì trên (T), ta có:
AM IM IA IB IA AB .
Đẳng thức xảy ra khi M B
AM AI IM AI IC AC .
Đẳng thức xảy ra khi M C
Vậy khi M trùng với B thì AM đạt gía trị nhỏ nhất.
Vậy khi M trùng với C thì AM đạt gía trị lớn nhất. BÀI TOÁN CÔNG CỤ 2:
Cho hai đường tròn (T ) 1 có tâm I, bán kính R1; đường tròn (T )
2 có tâm J, bán kính R2. Tìm vị trí
của điểm M trên (T ) , điể (T ) 1 m N trên 2 sao cho
MN đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Hướng dẫn giải:
Gọi d là đường thẳng đi qua I, J;
d cắt đường tròn (T ) (T )
1 tại hai điểm phân biệt A, B (giả sử JA > JB) ; d cắt 2 tại hai điểm
phân biệt C, D ( giả sử ID > IC).
Với điểm M bất khì trên (T ) (T )
1 và điểm N bất kì trên 2 .
Ta có: MN IM IN IM IJ JN R R IJ AD 1 2 . Đẳng thức xảy ra khi M trùng với A và N trùng với D
MN IM IN IJ IM JN IJ R R BC . 1 2
Đẳng thức xảy ra khi M trùng với B và N trùng với C.
Vậy khi M trùng với A và N trùng với D thì
MN đạt giá trị lớn nhất.
khi M trùng với B và N trùng với C thì
MN đạt giá trị nhỏ nhất. BÀI TOÁN CÔNG CỤ 3:
Cho hai đường tròn (T ) có tâm I, bán kính R; đường thẳng  không có điểm chung
với (T ) . Tìm vị trí của điểm M trên (T ) , điểm N trên  sao cho MN đạt giá trị nhỏ nhất. Hướng dẫn giải: Trang17
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên d
Đoạn IH cắt đường tròn (T ) tại J Với M thuộc đường thẳng
 , N thuộc đường tròn (T ) , ta có:
MN IN IM IH IJ JH const .
Đẳng thức xảy ra khi M H; N I
Vậy khi M trùng với H; N trùng với J thì MN đạt giá trị nhỏ nhất. II. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Trong các số phức z   i z thoả mãn 3 4
4 . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của z . Hƣớng dẫn giải Cách 1
Gọi z x yi  ;
x y  R   M (x; y) biểu diễn cho số phức z trong hệ toạ độ Oxy 2 2 2 2
z  3  4i  4 
(x  3)  ( y  4)  4  (x  3)  ( y  4)  16
Vậy điểm M biểu diễn cho số phức z thuộc đường tròn (T) có tâm I (3; 4) , bán kính R = 4. 2 2 z
x y OM ; OI  5  R nên O nằm ngoài đường tròn (T)
z lớn nhất khi OM lớn nhất, nhỏ nhất khi OM nhỏ nhất.
(Bài toán qui về Bài toán công cụ 1- Trường hợp 2) Đường thẳng OI cắt đường tròn (T) tại hai điểm phân biệt  3 4   27 36  A ;  ; B ; 
OA 1;OB  9      5 5   5 5 
Với M di động trên (T), ta có: OA OM OB 1 OM  9 1  z  9
 OM nhỏ nhất khi M trùng với A; OM lớn nhất khi M trùng với B
Vậy z nhỏ nhất bằng 1 khi 3 4 z
i ; z lớn nhất bằng 9 khi 27 36 z   i 5 5 5 5 Cách 2
Gọi z x yi  ; x y  R 
M (x; y) biểu diễn cho số phức z trong hệ toạ độ Oxy   34i  (3
A ; 4) biểu diễn cho số phức 
z OM ;   OA  5  z   AM ;
Theo giả thiết z  3  4i  4  z   4  AM  4 .
Ta có: OM OA AM  4
  OM OA  4  4
 OA OM  4OA 1 OM  9
1 z  9 ; z 1 khi 3 4 z
i ; z  9 khi 27 36 z   i 5 5 5 5
Vậy z nhỏ nhất bằng 1 khi 3 4 z
i ; z lớn nhất bằng 9 khi 27 36 z   i 5 5 5 5
Nhận xét: Ngoài ra bài toán trên có thể Hướng dẫn giải bằng phương pháp sử dụng bất
đẳng thức Bunhia-Cốpxki hoặc phương pháp lượng giác hoá.
Ví dụ 2.
Trong các số phức z thoả mãn điều kiện z (z  2  4i) là một số ảo, tìm số Trang18 phức   z   z sao cho
1 i có môđun lớn nhất. Hƣớng dẫn giải
Gọi z x yi  ; x y  R 
M (x; y) biểu diễn cho số phức z trong hệ toạ độ Oxy
z (z  2  4i)  (x yi)(x  2)  (y  4)i  x(x  2)  y(y  4)  (
x y  4)  y(x  2)i z (z  2  4i) là một số ảo 2 2 2 2
x(x  2)  y(y  4)  0  x y  2x  4y  0  (x 1)  (y  2)  5  M biểu diễn cho R
z thuộc đường tròn (T) có tâm I (1; 2) , bán kính 5 2 2
  z 1 i  (x 1)  (y 1)i  (x 1)  (y 1)  AM với ( A 1;1)
IA  5  A(T) (Bài toán được qui về Bài toán công cụ 1 - trường hợp 1)
Vì M là điểm di động trên (T) nên AM lớn nhất
 AM là đường kính của (T)
 M đối xứng với A qua I
 I là trung diểm của AM M ( 3  ;3)  z  3
  3i    4  2i
Vậy  lớn nhất bằng 2 5 khi z  3  3i .
Ví dụ 3.
Trong các số phức z có môđun bằng 2 2 . Tìm số phức z sao cho biểu thức
P z 1  z i đạt giá trị lớn nhất. Hƣớng dẫn giải
Gọi z x yi  ; x y  R  2 2 2 2 z  2 2 
x y  2 2  x y  8 2 2 2 2
P z 1  z i
(x 1)  y
x  ( y 1)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-côpxki cho hai bộ số 1;1 và 2 2 2 2
(x 1)  y ; x  ( y 1) , ta có: 2 2 2 2 2
P  2 (x 1)  y x  ( y 1)   4(9  x y)  
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-cốpxki cho hai bộ số 1;1 và ; x y , ta có: x y   2 2
2 x y   4 2
P  52  P  2 13 . Đẳng thức xảy ra khi x y  2
Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng 2 13 khi z  2  2i .
Ví dụ 4.
Trong các số phức z có môđun bằng 2 . Tìm số phức z sao cho biểu thức
P z 1  z 1 7i đạt giá trị lớn nhất. Hƣớng dẫn giải
Gọi z x yi  ; x y  R  2 2 2 2 z  2 
x y  2  x y  4 Trang19 2 2 2 2
P z 1  z 1 7i
(x 1)  y  (x 1)  ( y  7)    
Xét u x 1; y,v 1 ; x 7
  y  u v  0; 7  . Khi đó:      
P u v u v  7 . Đẳng thức xảy ra khi u , v cùng hướng  (x 1)( 7
  y)  y(1 x)  x  1
x 1 y   3  
Với x 1; y  3 thì u ,v ngược hướng (không thoả mãn)  
Với x 1; y   3 thì u ,v cùng hướng (thoả mãn)
Vậy z  1 i 3 thì P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 7.
Ví dụ 5. Trong các số phức z
z 1 i 1 ; z  6  6i  6 1, z2 thoả mãn: , tìm số phức 1 2 z z z 1, z2 sao cho
đạt giá trị lớn nhất. 1 2 Hƣớng dẫn giải
Gọi z a  .
b i ; z c d.i ; (a, ,
b c, d là những số thực); z được biểu diễn bởi điểm M(a; b); 1 2 1 z đượ 2
c biểu diễn bởi điểm N(c; d) trong mặt phẳng toạ độ Oxy 2 2 2
z 1 i  1  z 1 i
1  (a 1)  (b 1) 1 suy ra M thuộc đường tròn tâm I(1; 1), 1 1 bán kính R = 1. 2 2 2
z  6  6i  6  z  6  6i
 36  (c  6)  (d  6)  36 suy ra M thuộc đường tròn tâm 2 2
J(6; 6), bán kính R' = 6. 2 2 z z
(c a)  (d b)  MN . 1 2
(Bài toán được qui về Bài toán công cụ 2)
Đường thẳng IJ có phương trình y = x. Đường thẳng IJ cắt đường tròn tâm I tại hai điểm  2  2 2  2   2  2 2  2  M  ; ;M  ;  1 2     2 2 2 2    
Đường thẳng IJ cắt đường tròn tâm J tại hai điểm N 6 3 2;6 3 2 ; N 6 3 2;6 3 2 . 1   2 
M N MN M N
  z z   2 1 1 2 5 2 7 5 2 7 1 2 max z z
 5 2  7 khi M M , N N . 1 2 1 2 2  2 2  2 Vậy z  
i ; z  6  3 2  6  3 2 i thì z z đạt giá trị lớn nhất. 1 2   2 2 1 2
Ví dụ 6. Cho các số phức z ; z
z 1 ; z z  (1 i)  6  2i 1 2 thoả mãn: là một số thực. 1 2  2 
Tìm số phức z ; z 2 P zz z  1 2 sao cho z z
đạt giá trị nhỏ nhất. 2  1 2 1 2  Hƣớng dẫn giải
Gọi z a bi ; z c di ; a, ,
b c, d  R 1 2  
M (a;b), N ( ;
c d ) lần lượt biểu diễn cho z ; z 1
2 trong hệ toạ độ Oxy 2 2 2 2 z  1 
a b  1  a b  1 1
 M thuộc đường tròn (T ) có tâm O, bán kính R = 1 Trang20
z c di; 2
  z z  
1i 6  2i  
c di(c 1)  (d 1)i 26i
c(c 1)  d(d 1)  2  c(d 1)  d(c 1)  6i
 là số thực  c(d 1)d(c 1)6  0  c d 6  0
 N thuộc đường thẳng  : x y  6  0 Ta có d ( ;
O )  1 nên  và (T ) không có điểm chung
z z ac bd  (bc ad )i; 1 2
z z ac bd  (bc ad )i z z z z  2(ac bd ) 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2
P c d  2(ac bd)  (c a)  (b d) 1  MN 1 (vì 2 2
a b  1 )
(Bài toán được qui về Bài toán công cụ 3)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên  : x y  6  0  H (3;3)  2 2 
Đoạn OH cắt đường tròn (T ) tại I  ;    2 2  
Với N thuộc đường thẳng  , M thuộc đường tròn (T ) , ta có:
MN ON OM OH OI IH  3 2 1.
Đẳng thức xảy ra khi M I; N H P    2
3 2 1 1  18  6 2 . 2 2
Đẳng thức xảy ra khi z   ;
i z  3  3i 1 2 2 2 2 2
Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 18  3 2 khi z   ;
i z  3  3i . 1 2 2 2
Ví dụ 7. Trong các số phức
z   z  
z thoả mãn điều kiện 3 3 10 . Tìm số phức z có môđun lớn nhất. Hƣớng dẫn giải
Gọi z x yi  ; x y  R 
M (x; y) biểu diễn cho số phức z trong hệ toạ độ Oxy 2 2 2 2
z  3  z  3  10  (x  3)  y  (x  3)  y  10 ;
MF MF  10 1 2 (với F ( 3  ;0); F (3;0) 1 2 ). 2 2 x y
M  (E) có tâm O, trục lớn bằng 10; tiêu cự bằng 6  M (E) :  1 25 9
z OM ;OM lớn nhất  OM a  5  M (5;0)  M ( 5  ;0)
Vậy z lớn nhất bằng 5 khi z  5 z  5  III. BÀI TẬP
Câu 1.Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện .
z z  3z z  512i .Số phức nào có mô đun lớn nhất? Trang21 A.1+2i B.1-2i C.2+4i D.1/2-i
Câu 2. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  i  2 .Số phức nào có mô đun nhỏ nhất? A.2+i B.4-i C.1  3   1 i
D.  3  2  2i
Câu 3. Xét các số phức z thỏa mãn z  2  i z  4  7i  6 2. Gọi m, M lần lượt là giá trị
nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của z 1 i . Tính P m M. 5 2  2 73
A. P  13  73 . B. P  . 2 5 2  73
C. P  5 2  2 73 . D. P  . 2
Câu 4. Xét số phức z thỏa mãn z  3  2i z  3  i  3 5. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z  2  z 1 3i .
A. M  17  5, m  3 2.
B. M  26  2 5, m  3 2.
C. M  26  2 5, m  2.
D. M  17  5, m  2.
Câu 5. Xét số phức z thỏa mãn z  2  3i z  6  i  2 17. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 1 2i z  2  i .
A. M  3 2, m  0.
B. M  3 2, m  2.
C. M  3 2, m  5 2  2 5.
D. M  2, m  5 2  2 5.
Câu 6. Xét số phức z thỏa mãn z  2  2i z 1 3i  34. Tìm giá trị nhỏ nhất của biển
thức P z 1 i . 9 A. P  . B. P
 3. C. P  13. D. P  4. min min min min 34
Câu 7.Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 2i  2 , tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.  2   4   2   4  A. z  1  2     i B. z  1  2     i  5   5   5   5   2   4   2   4  C. z  1  2     i
D. z   1  2     i  5   5   5   5  z  2  i
Câu 8. Cho số phức z thỏa mãn
 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn z 1 i nhất của z . z  10  3; z  10  3 z   10  3; z  10  3 A. min max B. min max C. z   10  3; z  10  3 z   10  3; z  10  3 min max D. min max Trang22