Ngân hàng câu hỏi số phức: Bài toán tìm số phức – Lê Bá Bảo Toán 12
Ngân hàng câu hỏi số phức: Bài toán tìm số phức – Lê Bá Bảo Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Preview text:
LÊ BÁ BẢO
TRƯỜNG THPT ĐẶNG HUY TRỨ - ADMIN CLB GIÁO VIÊN TRẺ TP HUẾ SỐ PHỨC BÀI TOÁN TÌM SỐ PHỨC
LUYỆN THI THPT QUỐC GIA
CẬP NHẬT TỪ ĐỀ THI MỚI NHẤT
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia
Ngân hàng câu hỏi:
CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÌM SỐ PHỨC NỘI DUNG ĐỀ BÀI Câu 1:
Cho số phức z thỏa mãn 2z .
i z 3i . Mô đun của z bằng A. 5 . B. 5 . C. 3 . D. 3 . Câu 2:
Cho số phức z thoả mãn z 2 2i 2 z 1 i . Môđun của z bằng A. 4 . B. 2 . C. 2 . D. 2 2 . Câu 3:
Cho số phức z 0 thỏa mãn 2
z z (4 7i). Tính z . A. 65 . B. 56 . C. 65 . D. 56 . Câu 4:
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z z z 1? A. 0 . B. 1. C. 4 . D. 3 . z 1 z 3i Câu 5:
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn 1? z i z i A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 4 . Câu 6:
Cho số phức z thỏa mãn z i z 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 3 3 5 1 5 7 A. z . B. z . C. z . D. z . 2 2 2 2 2 2 2 Câu 7:
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn 3z z 2 i 3 z ? A. 1. B. 0. C. 2. D. Vô số. Câu 8:
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: z 10 2i z 2 14i và
z 110i 5 ? A. 2. B. 0. C. 1. D. Vô số. 2 Câu 9:
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn 1 i z 2 4i 3 2 và z
i 1 2zi ? z A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 .
Câu 10: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z z 6 i 2i 7 i z ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 11: Cho số phức z và z là hai nghiệm của phương trình: 6 3i iz 2z 6 9i , thỏa mãn: 1 2
z z 2 . Giá trị của biểu thức: P z z tương ứng bằng 1 2 1 2 A. 6 . B. 5 . C. 26 . D. 10 .
Câu 12: Cho số phức z 1 i . Biết rằng tồn tại các số phức z a 5i, z b (trong đó a,b , b 1 ) 1 2
thỏa mãn 3 z z 3 z z z z . Tính b a . 1 2 1 2
A. b a 5 3 .
B. b a 2 3 .
C. b a 4 3 .
D. b a 3 3.
Câu 13: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện z 2022i 2023 và 2 z là số thuần ảo? A. 1. B. 0 . C. 4 . D. 2 .
Câu 14: Cho số phức z a bia,b thỏa mãn z 5 và z2 i1 2i là một số thực. Tính P a b .
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia A. P 5 . B. P 7 . C. P 8 . D. P 4 .
Câu 15: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z 2i 3 và zi 4i 53i là số thực? A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 3 .
Câu 16: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z 13 và z 2i z 4i là số thuần ảo? A. 1. B. 2 . C. 0 . D. 4 .
Câu 17: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn 2
(z 2i) là số thuần ảo và (z i) z 2 là số thực? A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 4 .
Câu 18: Gọi z , z là hai trong các số phức z thỏa mãn z 3 5i 5 và z z 6 . Tìm môđun của số 1 2 1 2
phức z z 6 10i . 1 2 A. 10 . B. 32 . C. 16 . D. 8 .
Câu 19: Gọi S là tập hợp các số thực m sao cho với mỗi m S có đúng một số phức thỏa mãn z
z m 4 và
là số thuần ảo. Tính tổng của các phần tử của tập S . z 6 A. 0. B. 12. C. 6. D. 14.
Câu 20: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 2 z 1 z z 2 trên mặt phẳng tọa độ là một
A. đường thẳng.
B. đường tròn. C. parabol. D. hypebol.
Câu 21: Cho số phức z thỏa mãn z 3 i z 1 3i là một số thực. Biết rằng tập hợp các điểm biểu
diễn của z là một đường thẳng. Khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng đó bằng A. 4 2 . B. 0 . C. 2 2 . D. 3 2 .
Câu 22: Biết số phức z thỏa mãn điều kiện 3 z 3i 1 5 * . Tập hợp các điểm biểu diễn z tạo
thành 1 hình phẳng. Diện tích của hình phẳng đó bằng A. 25 . B. 9 . C. 4 . D. 16 .
Câu 23: Cho số phức z thỏa mãn z 5 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức
w 2 i z 3i là một đường tròn có bán kính bằng r . Tìm bán kính r . A. 5 . B. 5 . C. 10 . D. 25 .
Câu 24: Cho số phức z thỏa mãn z i 1. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp các điểm biểu diễn z 2 3i
của số phức w thỏa mãn w 1
là một đường tròn có bán kính bằng iz A. 1. B. 5 . C. 2 5 . D. 20 .
Câu 25: Cho số phức z . Gọi A , B lần lượt là các điểm trong mặt phẳng Oxy biểu diễn các số phức
z và 1 i z . Tính z biết diện tích tam giác OAB bằng 8 . A. z 4 . B. z 4 2 . C. z 2 . D. z 2 2 .
Câu 26: Cho hai số phức z , z khác 0 , thỏa mãn 2 2
z z z z . M , N lần lượt là hai điểm biểu diễn số 1 2 1 2 1 2
phức z , z trên mặt phẳng Oxy . Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 2
A. Tam giác OMN nhọn và không đều.
B. Tam giác OMN đều.
C. Tam giác OMN tù.
D. Tam giác OMN vuông.
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia
Câu 27: Cho số phức z , z thỏa mãn z z 2 5 . Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn hai số phức 1 2 1 2
z , z trên mặt phẳng tọa độ. Biết MN 2 2 . Gọi H là đỉnh thứ tư của hình bình hành 1 2
OMHN và K là trung điểm của OM . Tính l KH . A. l 3 2 . B. l 6 2 . C. l 41 . D. l 5 .
Câu 28: Cho số phức z thỏa z 1 i 2.z 2 3i . Biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức
w 1 i.z 2 3i là một đường tròn. Bán kính đường tròn đó thuộc khoảng nào sau đây? A. 1; 2 . B. 3; 4 . C. 2;3 . D. 0; 1 .
Câu 29: Cho số phức z thỏa z 1 i 2.z 2 3i . Biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức
w 1 i.z 2 3i là một đường tròn. Bán kính đường tròn đó thuộc khoảng nào sau đây? A. 1; 2 . B. 3; 4 . C. 2;3 . D. 0; 1 .
Câu 30: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi H là tập hợp các điểm biểu diễn hình học của số phức
z z 12 z thỏa mãn
. Diện tích của hình phẳng H là
z 4 3i 2 2 A. 4 4 . B. 8 8 . C. 2 4 . D. 8 4 . z 2
Câu 31: Xét các số phức z thỏa mãn
là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số z 2i
phức z luôn thuộc một đường tròn cố định. Bán kính của đường tròn đó bằng A. 1. B. 2 . C. 2 2 . D. 2 . 1 iz
Câu 32: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn số phức w 1 là một đường tròn z
có bán kính bằng 2 . Môđun của z thuộc tập nào dưới đây? 1 1 1 A. ;2. B. ; 2 . C. 2; 2 . D. ;2. 2 2 2
Câu 33: Cho hai số phức z, w thỏa mãn z 2w 3, 2z 3w 5 và z 3w 4. Tính giá trị biểu thức P . z w . z w . A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . z 3
Câu 34: Có bao nhiêu số phức z thoả mãn z 1 3i z 1 i và là một số thuần ảo? z 2 A. 1. B. 2 . C. 4 . D. 3 . 2
Câu 35: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn 3 z 2i z 0 ? A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 6 .
Câu 36: Gọi S là tập hợp các số phức z thỏa mãn điều kiện 4
z z . Số phần tử của S là A. 7 . B. 6 . C. 5 . D. 4 . 1 1 5
Câu 37: Cho số phức z thỏa mãn z 1 5 ,
và z có phần ảo dương. Tìm tổng phần thực z z 17
và phần ảo của z . A. 2 . B. 4 . C. 6 . D. 8 .
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia 1 1 1
Câu 38: Cho z là số phức có mô-đun bằng 2017 và w là số phức thỏa mãn . Mô đun của z w z w số phức w là A. 2015 . B. 0 . C. 1. D. 2017 . 1 3 6 z
Câu 39: Cho số phức z, w khác 0 thỏa mãn z w 0 và bằng z w z . Khi đó w w 1 1 A. 3. B. . C. 3 . D. . 3 3
Câu 40: Gọi S là tập hợp các số phức z thỏa mãn z 10 . Gọi z , z 1
2 là hai số phức thuộc S sao cho
z1 là số thuần ảo. Gọi ,
A B lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z , z 1 2 . Diện tích AOB z2 bằng A. 25 3 . B. 50 . C. 25 . D. 50 3.
Câu 41: Có bao nhiêu số nguyên m để tồn tại 2 số phức z thoả mãn z m i z 1 2mi và 3 | z | ? 2 A. 5. B. 3. C. 4. D. 6.
Câu 42: Cho số phức z thay đổi thỏa mãn z 1 z i 4. Gọi C là đường cong tạo bởi tất cả các
điểm biểu diễn số phức z 2i2i
1 khi z thay đổi. Tính diện tích S hình phẳng giới hạn
bởi đường cong C .
A. S 5 7 .
B. S 10 7 .
C. S 5 14 .
D. S 10 14 . 2 . z z
Câu 43: Cho số phức z thỏa mãn z 1
. Biết rằng tập hợp điểm biểu diễn số phức 2
1 2i z 1là một đường tròn tâm I và bán kính R. Tìm I và R. A. I 0; 2 ,R 5 . B. I 1; 4 ,R 10 .
C. I 0; 2, R 5 . D. I 1 ; 4 ,R 10 .
Câu 44: Cho các số phức z , z thỏa mãn phương trình z 2 3i 5 và z z 6 . Biết rằng tập hợp 1 2 1 2
các điểm biểu diễn số phức w z
z là một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó. 1 2 A. R 8 . B. R 4 . C. R 2 2 . D. R 2 .
Câu 45: Có bao nhiêu số phức z có phần thực và phần ảo đều là các số nguyên thỏa mãn
z i z 3i z 4i z 6i và z 10 ? A. 12. B. 2 . C. 10. D. 5 .
Câu 46: Gọi S là tập hợp các số phức z thỏa mãn z 1 34 và z 1 mi z m 2i , (trong đó m
). Gọi z , z là hai số phức thuộc S sao cho z z lớn nhất, khi đó giá trị của 1 2 1 2 z z bằng 1 2 A. 2 . B. 10 . C. 2 . D. 130 .
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia
Câu 47: Cho số phức 2
z m 3 (m 1)i, với m là tham số thực thay đổi. Tập hợp các điểm biểu diễn
số phức z thuộc đường cong. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong đó và trục hoành. 8 4 1 2 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3
Câu 48: Cho các số phức z , z thỏa mãn z 6 và z 2 . Gọi M , N lần lượt là các điểm biểu diễn 1 2 1 2
của các số phức z và iz . Biết MON 60 . Tính 2 2
T z 9z . 1 2 1 2 A. T 36 2 . B. T 36 3 . C. 24 3 . D. 18.
Câu 49: Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại 4 số phức z thỏa mãn
z z z z 2 và z z 2 z z m là số thuần ảo. Tổng các phần tử của S là 2 1 3 1 A. 2 1 B. . C. . D. . 2 2 2
Câu 50: Cho số phức z a bi a,b . Biết tập hợp các điểm A biểu diễn hình học số phức z là
đường tròn C có tâm I 4;3 và bán kính R 3 . Đặt M là giá trị lớn nhất, m là giá trị nhỏ
nhất của F 4a 3b 1. Tính giá trị M m .
A. M m 63 .
B. M m 48 .
C. M m 50 .
D. M m 41.
____________________HẾT____________________
Huế, 15h15’ Ngày 19 tháng 3 năm 2023
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia
LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1:
Cho số phức z thỏa mãn 2z .
i z 3i . Mô đun của z bằng: A. 5 . B. 5 . C. 3 . D. 3 . Lời giải:
Đặt z a bi . a b a 2z .
i z 3i 2a bi ia bi 3i 2a b i2b a 2 0 1 3i
2b a 3 b 2 Suy ra: 2 2 z a b 5 . Câu 2:
Cho số phức z thoả mãn z 2 2i 2 z 1 i . Môđun của z bằng A. 4 . B. 2 . C. 2 . D. 2 2 .
Lời giải:
z x yi , x y .
Ta có: x yi 2 2i 2 x yi 1 i 2 2 x x
y y 2 2 4 4 4 4
2 x 2x 1 y 2 y 1 2 2 x y 4. Suy ra 2 2 z x y 2 . Câu 3:
Cho số phức z 0 thỏa mãn 2
z z (4 7i). Tính z . A. 65 . B. 56 . C. 65 . D. 56 .
Lời giải: 2 Ta có : 2 2 2 2
z z (4 7i). z
z (4 7i) . z z . 4 7i z 4 7 65. Câu 4:
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z z z 1? A. 0 . B. 1. C. 4 . D. 3 . Lời giải:
Giả sử z x yi x, y z x yi z z 2x . 2 2 x y 2 2 1 z 1 x y 1 Bài ra ta có 1 z z 1 2x 1 x 2 1 1 3 Với 2 x
y 1 y . 2 4 2 1 3 1 3 1 3 1 3
Do đó có 4 số phức thỏa mãn là z i , z
i , z
i , z i . 1 2 2 2 2 2 3 2 2 4 2 2 z 1 z 3i Câu 5:
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn 1? z i z i A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 4 . Lời giải:
Gọi số phức z a bi với a, b . z 1 2 2 Ta có
1 z 1 z i a 2 2
1 b a b 1
a b 0 z i
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia z 3i 2 2 1 2
a b 2 3
a b 1 b 1 z i a 1 Suy ra
. Vậy z 1 i b 1
Vậy có 1số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 6:
Cho số phức z thỏa mãn z i z 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 3 3 5 1 5 7 A. z . B. z . C. z . D. z . 2 2 2 2 2 2 2 Lời giải:
Gọi z m 0 . Khi đó z i z 2 được viết lại thành m i z 2 . Lấy module 2 vế ta có
m m
m i . z
2 m m 1 2 m m 2 1 1 2 2 2 4 2
1 2 m m 2 0 2 m 2 (VN) 1 3
Do m 0 nên ta có m 1, suy ra z 1. Vậy z . 2 2 Câu 7:
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn 3z z 2 i 3 z ? A. 1. B. 0. C. 2. D. Vô số. Lời giải:
Gọi z a bi , a b
Theo bài ra ta có z z i
z a bi i 2 2 3 2 3 4 2 2 3 a b a 0 2 2 a 0
4a 2 a b b 0 2 2 2 b 0 2 2 4 2 3 a a b b a b a b 4b 3 a b 2 2 3 2 2 2
Vậy có vô số số phức z thỏa mãn điều kiện đã cho. Câu 8:
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: z 10 2i z 2 14i và
z 110i 5 ? A. 2. B. 0. C. 1. D. Vô số. Lời giải:
Đặt z a bi với a,b . 2 2 2 2
Từ giả thiết z 10 2i z 2 14i a 10 b 2 a 2 b 1 4 . 4 2
4a 32b 96 0 a b 4 . 3 2 2 2 4
Ta có: z 110i 5 a 1 b 10 2 25 b 5
b 20b 100 25 . 3 25 100 2 b
b 100 0 b 6 . 9 3
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia
Suy ra a 4 . Vậy có một số phức thỏa mãn. 2 Câu 9:
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn 1 i z 2 4i 3 2 và z
i 1 2zi ? z A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Lời giải:
Ta có : 1 i z 2 4i 3 2 z 1 3i 3 .
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn z thuộc đường tròn tâm I 1 ; 3 ; R 3. 1 2 z
i zi i 2 z
i i 2 1 2 1 2 1 1 2 z 1 i z z z 4 z 1 2 4 5. z 1 5 z 1 0 z 1 2 2 z z z 4 / 5 l
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn z thuộc đường tròn tâm O0;0; R 1. 2
Vì IO 10; R R 4 nên R R IO R R 1 2 1 2 1 2
2 đường tròn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.
Câu 10: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z z 6 i 2i 7 i z ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải:
Ta có: z z 6 i 2i 7 i z z z 7 i 6 z z 2i (1). 2 2 2
Lấy môđun hai vế ta được: z z 2 7
1 6 z z 2 . 2 2 2
Đặt: t z ;t 0 ta được: t t 2 7
1 6t t 2 . 2
t 2t t 2 4 3 2 t t
t t t t t 3 2 14 50 37 4 4 14 13 4 4 0
1 t 13t 4 0(*) .
Bấm máy tính phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt dương.
6 z z 2i
Ứng với một giá trị t dương thế vào (1) ta tìm ra một số phức z . z 7 i
Vậy có 3 số phức z thỏa mãn.
Câu 11: Cho số phức z và z là hai nghiệm của phương trình: 6 3i iz 2z 6 9i , thỏa mãn: 1 2
z z 2 . Giá trị của biểu thức: P z z tương ứng bằng 1 2 1 2 A. 6 . B. 5 . C. 26 . D. 10 . Lời giải:
Trước hết ta tìm quỹ tích điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn giả thiết:
6 3i iz 2z 6 9i i . z 3 6i 2z 6 9i z 3 6i 2z 6 9i 1 .
Đặt z x iy thay vào (1) ta được:
x iy i
x iy i x 2 y 2 x 2 y 2 3 6 2 6 9 3 6 2 6 2 9 .
x 2 y 2 3 4 1. 2 2
Như vậy điểm biểu diễn số phức z là đường tròn (C): x
3 y 4 1 z z R . 0
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia
Trong đó: z 3 4i và R 1. Điểm I biểu diễn số phức z 3 4i . 0 0
Gọi A là điểm biểu diễn số phức z và B là điểm biểu diễn số phức z khi đó ta có: 1 2
IA IB R 1; AB z z 2 2R. Suy ra AB là một đường kính của đường tròn (C). 1 2
Khi đó ta có I là trung điểm của AB tức là: z z 2z 6 8i . 1 2 0
Suy ra: P z z 10. 1 2
Câu 12: Cho số phức z 1 i . Biết rằng tồn tại các số phức z a 5i, z b (trong đó a, b , b 1) 1 2
thỏa mãn 3 z z 3 z z z z . Tính b a . 1 2 1 2
A. b a 5 3 .
B. b a 2 3 .
C. b a 4 3 .
D. b a 3 3. Lời giải:
Ta có: 3 z z 3 z z z z . 1 2 1 2
1 a2 4 b 2 2 1 1
b a2 25 31 a2 16 b 2
1 1 a2 15
b 2 b a a2 a2 23 1 2 1 1 1 3 1 b 2 1 1 a2 15 b 2
1 1 a2 15 8 b 2 1 30 b
1 1 a 7 1 a2 0
b 2 a2 1 1 15 2 3 a b 1 1 a 1 1 3
b a 3 3 4 . 7 3 7 b b 1 1 a 1 3 2
Câu 13: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện z 2022i 2023 và 2 z là số thuần ảo? A. 1. B. 0 . C. 4 . D. 2 . Lời giải:
Gọi z a bi, , a b .
z a bi2 2 2 2
a b 2abi là số thuần ảo nên 2 2 2 2
a b 0 a b
z 2022i 2023 a b i
a b 2 2 2 2022 2023 2022 2023 2
2b 4044b 4045 0 1 Do 2. 4
045 0 nên phương trình
1 luôn có hai nghiệm trái dấu hay
b b (b 0) 1 1 1
b b (b 0) 2 2 Với b b
a b a b 1 thì 2 2 2 1 1,2 1 .
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia Với b b
a b a b 2 thì 2 2 2 2 3,4 2
Vậy có 4 số phức z cần tìm.
Câu 14: Cho số phức z a bia,b thỏa mãn z 5 và z2 i1 2i là một số thực. Tính P a b . A. P 5 . B. P 7 . C. P 8 . D. P 4 . Lời giải: Ta có: 2 2
z 5 a b 25 1 .
Mặt khác: z 2 i1 2i a bi4 3i 4a 3b 4b 3ai . 3a
z 2 i1 2i là số thực nên 4b 3a 0 b . 4 2 3a Thay vào 1 ta được 2 2 a
25 a 16 a 4 b 3 P 7 . 4
Câu 15: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z 2i 3 và zi 4i 53i là số thực? A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 3 .
Lời giải:
Ta có: z 2i 3 nên z biểu diễn bởi M nằm trên đường tròn C , tâm I 0; 2 , R 3.
Ta có: w zi 4i 53i y xi 4i 5i x 4 i y 5 là số thực nên w biễu diễn
bởi điểm A nằm trên đường thẳng y 5 0d . 2 5
Vì d I ; d
7 R nên đường thẳng d không cắt đường tròn I ;R. 2 1
Vậy không có số phức z nào thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 16: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z 13 và z 2i z 4i là số thuần ảo? A. 1. B. 2 . C. 0 . D. 4 . Lời giải:
Gọi z x yi với x, y . Ta có 2 2
z 13 x y 13 (1) .
Mà z i z i x yi ix yi i 2 2 2 4 2 4
x y 2 y 8 ( 6
x).i là số thuần ảo khi 5 2 2
x y 2 y 8 0 13 2 y 8 0 y . 2 3 3 x 5 2 Từ y thay vào (1) ta được . 2 3 3 x 2
Vậy có 2 số phức thoả yêu cầu bài toán.
Câu 17: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn 2
(z 2i) là số thuần ảo và (z i) z 2 là số thực? A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 4 .
Lời giải:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia 2 2 2 2
Đặt z x yi suy ra z i x yi i x y 2 2 2 2 i x
y 2 2x y 2i
Ta có z i2 2
là số thuần ảo suy ra: x y y x x y 2 2
2 0 x y 22 2 2 2 x y 1 2
y x 2
(z i) z 2 x yi i x yi 2 x y
1 i x 2 yi
xx 2 y y 1 xy
x 2 y 1 i 2 2
x 2x y y x 2y 2i
Ta có (z i) z 2 là số thực suy ra: x 2y 2 0 2 x 2
y x 2 y 0 y x 2 1
x 2y 2 0
Từ (1) và (2) suy ra hệ phương trình: 2 y x 2 x x y y x 2 3 2 2 0 2
x 2y 2 0 4 y 3
Vậy có hai số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 18: Gọi z , z là hai trong các số phức z thỏa mãn z 3 5i 5 và z z 6 . Tìm môđun của số 1 2 1 2
phức z z 6 10i . 1 2 A. 10 . B. 32 . C. 16 . D. 8 . Lời giải:
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z 3 5i 5 là đường tròn C tâm I 3; 5 bán kính R 5 .
Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn của số phức z , z suy ra M , N nằm trên đường tròn C . 1 2
Gọi H là trung điểm của MN suy ra IH MN . Do 2 2
z z 6 MN 6 MH NH 3 IH
IM MH 4 . 1 2
z z 6 10i z 3 5i z 3 5i 1 2 1 2
IM IN 2IH 2IH 8.
Câu 19: Gọi S là tập hợp các số thực m sao cho với mỗi m S có đúng một số phức thỏa mãn z
z m 4 và
là số thuần ảo. Tính tổng của các phần tử của tập S . z 6 A. 0. B. 12. C. 6. D. 14.
Lời giải:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia
Điều kiện: z 6 .
Giả sử z x yi x, y . Ta có z m x m yi x m2 2 4 4
y 16(C).
Vậy (C) có tâm I m;0 , bán kính R 4 . z 6 6
6 x 6 yi 6 x 6 6 y Mặt khác: 1 1 1 i . z 6 z 6 x 6 yi x 6 1 2 y
x 62 y x 62 2 2 2 y z 6 x 6 Khi đó
là số thuần ảo khi phần thực bằng 0 hay 1 0 z 6 x 62 2 y
x 2 y x x 2 2 2 6 6 6 0 3
y 9 C .
Vậy: C có tâm I 3;0 , bán kính R 3 .
Do đó: II 3 m;0 II m 3 .
Có một số phức z thỏa mãn C và C tiếp xúc trong hoặc tiếp xúc ngoài. m 4
II R R 1 m 3 1 m 2 S 12 .
II R R 7 m 3 7 m 10 m 4
Câu 20: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 2 z 1 z z 2 trên mặt phẳng tọa độ là một
A. đường thẳng.
B. đường tròn. C. parabol. D. hypebol. Lời giải:
Giả sử z x yi x, y z x yi z z 2x . Bài ra ta có x yi x x 2 2 2 1 2 2 2
1 y 2x 2
x 2 y x 2 2 2 2 2 2 1 1
x 2x 1 y x 2x 1 y 4x .
Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 2 z 1 z z 2 trên mặt phẳng tọa độ là một parabol.
Câu 21: Cho số phức z thỏa mãn z 3 i z 1 3i là một số thực. Biết rằng tập hợp các điểm biểu
diễn của z là một đường thẳng. Khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng đó bằng A. 4 2 . B. 0 . C. 2 2 . D. 3 2 . Lời giải:
Đặt z x yi, x, y
z 3iz 13i x yi 3ix yi 13i
x 3 y
1 i. x
1 y 3i
x 3 x 1 y
1 y 3 x 3 y 3 y 1 x 1 i
z 3iz 13i là một số thực nên
x 3y 3 y 1x 1 0 xy 3x 3y 9 xy y x 1 0 x y 4 0.
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia
Suy ra tập các điểm biểu diễn của z là đường thẳng có phương trình x y 4 0 .
Khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng : d O 4 ; 2 2 . 2
Câu 22: Biết số phức z thỏa mãn điều kiện 3 z 3i 1 5 * . Tập hợp các điểm biểu diễn z tạo
thành 1 hình phẳng. Diện tích của hình phẳng đó bằng A. 25 . B. 9 . C. 4 . D. 16 .
Lời giải: 2 2
Gọi z x yi với x, y
z 3i 1 x 1 y 3i z 3i 1 x 1 y 3 2 2
x 2 y 2 * 3 1 3
5 9 x 1
y 3 25 . 2 2 2 2
Gọi C là đường tròn x 1
y 3 25; C là đường tròn x
1 y 3 9 2 1
Tập hợp các điểm biểu diễn z là hình vành khăn giới hạn bởi C và C và có diện tích 2 1
là S 25 9 16 .
Câu 23: Cho số phức z thỏa mãn z 5 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức
w 2 i z 3i là một đường tròn có bán kính bằng r . Tìm bán kính r . A. 5 . B. 5 . C. 10 . D. 25 . Lời giải:
Đặt w x yi , với x, y .
x y 3i
Ta có w 2 i z 3i x yi 2 i z 3i z 2 . i
x y 3i
x y 3i
Nên, từ z 5 ta có: 5 5 2 i 2 i
x y 32 2
5 x y 2 2 3
5 x y 2 2 3 25. 2 2 2 1
Vậy, tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I 0; 3
và bán kính r 5 . w 3i
Cách khác: z 5
5 w 3i 5 MI 5 2
với M và I là điểm biểu diễn i
w và 3i r=5
Câu 24: Cho số phức z thỏa mãn z i 1. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp các điểm biểu diễn z 2 3i
của số phức w thỏa mãn w 1
là một đường tròn có bán kính bằng iz A. 1. B. 5 . C. 2 5 . D. 20 .
Lời giải: z 2 3i w i Ta có w
z 1iw w 2 2 3 3i z 1 iz 1 . iw w i 2 4i
Suy ra z i 2 3 1 i 1
1 1 iw 2 5 w i 2 5 1 1 iw 1 iw
Giả sử w x yi , với x, y ta có
1 x y 2 2 1 20 .
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w là đường tròn có bán kính R 2 5 .
Câu 25: Cho số phức z . Gọi A , B lần lượt là các điểm trong mặt phẳng Oxy biểu diễn các số phức
z và 1 i z . Tính z biết diện tích tam giác OAB bằng 8 . A. z 4 . B. z 4 2 . C. z 2 . D. z 2 2 . Lời giải:
Ta có: A , B lần lượt là các điểm trong mặt phẳng Oxy biểu diễn các số phức z và
1i z z OA; 1i z OB .
AB 1 i z z iz z .
OAB có OA OB và 2 2 2
OA AB OB OAB vuông cân tại A . 1 1 2 Khi đó: S O . A AB
z 8 z 4 . O AB 2 2
Câu 26: Cho hai số phức z , z khác 0 , thỏa mãn 2 2
z z z z . M , N lần lượt là hai điểm biểu diễn số 1 2 1 2 1 2
phức z , z trên mặt phẳng Oxy . Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 2
A. Tam giác OMN nhọn và không đều.
B. Tam giác OMN đều.
C. Tam giác OMN tù.
D. Tam giác OMN vuông. Lời giải: Cách 1: 2 2
z z z z z z z z 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 z z 2
z . z MN OM .ON 1 1 2 1 2 Lại có: 2 2
z z z z 2
z z z 2 z
z z . z 2
z OM ON.MN 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Tương tự ta có: 2
ON OM .MN 3 2 OM ON
Từ 2 và 3 ta có:
OM ON . 4 2 ON OM Từ 1 và 4 ta có: 2 2
MN OM MN OM .
Từ đó suy ra: OM ON MN . Vậy OMN đều. 2 1 3 Cách 2: Ta có 2 2 2 2 2
z z z z z z z z 0 z z z 0 . 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 4 1 3 z i z 1 2 1 3 1 3 2 2
z z
iz z z iz 0 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 3
z i z 1 2 2 2 1 3
z z i z 1 2 2 2 2
z z z MN ON . 2 1 2 2 1 3
z z iz 1 2 2 2 2
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia Cũng từ
1 ta suy ra z z OM ON . 3 1 2
Từ 2 và 3 suy ra OMN đều.
Câu 27: Cho số phức z , z thỏa mãn z z 2 5 . Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn hai số phức 1 2 1 2
z , z trên mặt phẳng tọa độ. Biết MN 2 2 . Gọi H là đỉnh thứ tư của hình bình hành 1 2
OMHN và K là trung điểm của OM . Tính l KH . A. l 3 2 . B. l 6 2 . C. l 41 . D. l 5 .
Lời giải:
Giả sử z x yi x, y .
Ta có: z z 2 5 2 2
x y 20 nên tập hợp điểm biểu diễn số phức là một đường tròn 1 2
tâm O bán kính R 2 5 . Khi đó điểm M, N nằm trên đường tròn tâm O bán kính R 2 5 . Xét tam giác OMN: 2 2 2
OM ON MN 4 Ta có: cos MON . 2OM .ON 5 4
Vì MON OMH 180 nên cos OMH . 5
Xét tam giác HNK có: 2 2 2
HK MH MK 2MH.MK.cos OMH 2 2 2
HK MH MK 2MH.MK.cosOMH 2 1 1 ON OM
2ON. OM.cosOMH 2 2 2 2 1 1 4 2 5 .2 5 2.2 5. 2 5. 41 2 2 5
Câu 28: Cho số phức z thỏa z 1 i 2.z 2 3i . Biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức
w 1 i.z 2 3i là một đường tròn. Bán kính đường tròn đó thuộc khoảng nào sau đây? A. 1; 2 . B. 3; 4 . C. 2;3 . D. 0; 1 . Lời giải:
Đặt w x yi ; x y
i i i
Từ w 1 i.z 2 w 2 3 1 1 5 3i z w 1 1 i 2 2
Theo giả thiết: z 1 i 2.z 2 3i z 1 i 2.z 2 3i 2
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia 1 i 3 Thay 1 vào 2 ta có: .w
1i 1i.w 38i w 3i 2w11.i 5 2 2
Vậy diện tích hình tròn là 2
S R 36 .
Câu 29: Cho số phức z thỏa z 1 i 2.z 2 3i . Biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức
w 1 i.z 2 3i là một đường tròn. Bán kính đường tròn đó thuộc khoảng nào sau đây? A. 1; 2 . B. 3; 4 . C. 2;3 . D. 0; 1 . Lời giải:
Đặt w x yi ; x y
i i i
Từ w 1 i.z 2 w 2 3 1 1 5 3i z w 1 1 i 2 2
Theo giả thiết: z 1 i 2.z 2 3i z 1 i 2.z 2 3i 2 1 i 3 Thay 1 vào 2 ta có: .w
1i 1i.w 38i w 3i 2w11.i 5 2 2 20 38 137
x y 2 x 2 y 2 2 3 2 5 2 11 2 2 x y x y 0 3 3 3 10 1 9
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w là đường tròn tâm I ; , bán kính 3 3 5 2 R . 3
Câu 30: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi H là tập hợp các điểm biểu diễn hình học của số phức
z z 12 z thỏa mãn
. Diện tích của hình phẳng H là
z 4 3i 2 2 A. 4 4 . B. 8 8 . C. 2 4 . D. 8 4 .
Lời giải: y A I 3 M D B x 6 O 4 Cách 1:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , điểm biểu diễn số phức z x yi là điểm M ; x y .
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia x 6 z z 12 2x 12 Ta có x 6 . 2 2
z 4 3i 2 2 x 4
y 3 8 x4
2 y 32 8
Hình phẳng H là hình tô đậm trên hình vẽ.
Ta có IA IB 2 2 , ID 2 và 2 2
AB 2 AD 2 IA ID 4 , suy ra AIB . 2 1
Gọi S là diện tích hình quạt AIB . Ta có 2 S R 2 . 1 1 4 1
Diện tích tam giác AIB là S I . A IB 4 . 2 2
Vậy diện tích hình phẳng H là S S S 2 4 . H 1 2 Cách 2:
Hình phẳng H được biểu thị là phần tô màu trên hình vẽ (kể cả bờ), là hình giới hạn bởi
đường tròn C có tâm I 4;3 , bán kính R 2 2 và đường thẳng x 6 . 2 2 2 2
Ta có x 4 y 3 8 y 3 8 x 4 y x 2 3 8 4 .
C cắt đường thẳng y 3tại 2 điểm có tọa độ 42 2;3
Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y x 2 3 8 4
, y 3 , x 6 , 0 x 4 2 2 . 42 2 2 Ta có S 2.S 2. 8 x 4 dx 2, 2831 . H 0 6 z 2
Câu 31: Xét các số phức z thỏa mãn
là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số z 2i
phức z luôn thuộc một đường tròn cố định. Bán kính của đường tròn đó bằng A. 1. B. 2 . C. 2 2 . D. 2 . Lời giải:
Đặt z a bi, a,b
. Gọi M a;b là điểm biểu diễn cho số phức z . z 2 a 2 bi
a 2bia b 2i Ta có: w z 2i a b 2i
a b 22 2
a a 2 b b 2
a 2b 2 ab i
a b 22 2 a
a 2 bb 2 0 1
w là số thuần ảo a b 22 2 0 Ta có 2 2
1 a b 2a 2b 0 .
Suy ra M thuộc đường tròn tâm I 1;
1 , bán kính R 2 .
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia 1 iz
Câu 32: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn số phức w 1 là một đường tròn z
có bán kính bằng 2 . Môđun của z thuộc tập nào dưới đây? 1 1 1 A. ;2. B. ; 2 . C. 2; 2 . D. ;2. 2 2 2 Lời giải:
Điều kiện z 1 .
Đặt w x yi ,
x y , điểm M ;
x y là điểm biểu diễn số phức w trên mặt phẳng tọa độ 2 1 iz Oxy . Đặt z
t. Ta có w
w1 z 1 iz zw i 1 w 1 1 . z
1 z w i 1 w z x y
1 i 1 x yi 2 2 2 2
t x y 2y 1 x y 2x 1 2 2 t
1 x y 2x 2yt t 1 0 2 .
Do tập hợp điểm biểu diễn số phức w là một đường tròn có bán kính bằng 2 nên t 1 . Khi đó 2 2 2 2
2 x y x yt 1 0 t 1 t . 1 2 2 t 2 z 2 1 t Theo đề bài ta được 2
1 4 2t 5t 2 0 1 1 . t 1 t 1 t z 2 2
Câu 33: Cho hai số phức z, w thỏa mãn z 2w 3, 2z 3w 5 và z 3w 4. Tính giá trị biểu thức P . z w . z w . A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Lời giải: 2 2 Đặt z ;
a w b với ; a b 0 . Ta có:
z 2w 3 z 2wz 2w 9 . z z 2 . z w . z w 4. .
w w 9 a 2P 4b 9.
2z 3w 5 2z 3w2z 3w 25 4. . z z 6 . z w . z w 9. . w w 25
4a 6P 9b 25.
z 3w 4 z 3wz 3w 16 . z z 3 . z w . z w 9. .
w w 16 a 3P 9b 16. .
a 2P 4b 9 a 1
Vậy ta có hệ sau: 4a 6P 9b 25 P 2. Do đó P 2 .
a 3P 9b 16 b 1 z 3
Câu 34: Có bao nhiêu số phức z thoả mãn z 1 3i z 1 i và là một số thuần ảo? z 2 A. 1. B. 2 . C. 4 . D. 3 . Lời giải:
Đặt z x yi x, y . Gọi M x; y là điểm biểu diễn của z . 2 2 2 2
z 1 3i z 1 i x
1 y 3 x 1 y 1
x y 2 0 .
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia z 3 x yi 3
x 3 yi.x 2 yi 2 2 x y x 6 5y .i . z 2 x yi 2 2 2 x 22 2 y x 2 2 y x 2 2 y z 2 z 3 z 2 là một số thuần ảo 2 2
x y x 6 z 2 2 2
x y x 6 0 x 2 0 2 2 y 1 5
M thuộc đường tròn C có tâm I ; 0
, bán kính R và M D. 2 2
d I 5 ,
R nên cắt C tại hai điểm phân biệt trong đó có điểm D . 2 2
Vậy có một số phức z thỏa yêu cầu bài toán. 2
Câu 35: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn 3 z 2i z 0 ? A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 6 .
Lời giải: 2 2 Ta có 3 3 z 2i z 0 z 2 i z (*). Lấy mô-đun hai vế có: z 0 3 z 0 z 2 3 2 0 3 Thay (*) z 2
i z z 2 z z 2 i . 3 z 2
z 8i 0 z 3 i
Câu 36: Gọi S là tập hợp các số phức z thỏa mãn điều kiện 4
z z . Số phần tử của S là A. 7 . B. 6 . C. 5 . D. 4 .
Lời giải: z 0 4 3 Ta có: 4
z z (*) z z z z 1 0 . z 1 +) z 0 Thay (*) z 0 . z 1 z 1 +) z 1 Thay (*) 4
z 1 2 z 2 1 z 1 0 . z i z i
S có 5 phần tử. 1 1 5
Câu 37: Cho số phức z thỏa mãn z 1 5 ,
và z có phần ảo dương. Tìm tổng phần thực z z 17
và phần ảo của z . A. 2 . B. 4 . C. 6 . D. 8 . Lời giải: Gọi z a bi a,b R,b 0 . Ta có z 1 5 a 2 2 1 b 25 2 2 a b 2a 24 1
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia 1 1 5 1 1 5 2a 5 34 2 2 a b a 0 2 z z 17 a bi a bi 17 2 2 a b 17 5
Trừ vế - vế của 1 cho 2 ta có a 5 b 3 a b 8 . 1 1 1
Câu 38: Cho z là số phức có mô-đun bằng 2017 và w là số phức thỏa mãn . Mô đun của z w z w số phức w là A. 2015 . B. 0 . C. 1. D. 2017 .
Lời giải: 1 1 1 z z i Ta có 2 z w zw 2 2
w wz z 3 0 w . z w z w 2
z z 3i 1 i 3 z z 3i Với w w z . z 2017 . 2 2 2
z z 3i 1 i 3 z z 3i Với w w z . z 2017 . 2 2 2 1 3 6 z
Câu 39: Cho số phức z, w khác 0 thỏa mãn z w 0 và bằng z w z . Khi đó w w 1 1 A. 3. B. . C. 3 . D. . 3 3 Lời giải:
Với hai số phức z, w khác 0 thỏa mãn z w 0 , ta có: 1 3 6 w 3z 6
w 3zz w 2 2
6zw 3z 2zw w 0 z w z w zw z w z 1 2 2 i z z w 3 3 3 2. 1 0 w w z 1 2 i w 3 3 2 2 z 1 2 1 Suy ra . w 3 3 3
Câu 40: Gọi S là tập hợp các số phức z thỏa mãn z 10 . Gọi z , z 1
2 là hai số phức thuộc S sao cho
z1 là số thuần ảo. Gọi ,
A B lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z , z 1 2 . Diện tích AOB z2 bằng A. 25 3 . B. 50 . C. 25 . D. 50 3. Lời giải:
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn (C) : ; O 10. Suy ra , A B (C) . z z
Từ giả thiết, ta đặt 1 1
mi,(m )
m m 1 z z 2 2
Ta có OA OB z z 10 , 2
AB z z z miz z 1 mi 10. 1 m 10 2 . 1 2 2 1 2 2 2
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia 1 Suy ra A
OB vuông tại O . Vậy S O . A OB 50 A . OB 2
Câu 41: Có bao nhiêu số nguyên m để tồn tại 2 số phức z thoả mãn z m i z 1 2mi và 3 | z | ? 2 A. 5. B. 3. C. 4. D. 6.
Lời giải:
a m b
1 i a
1 b 2mi
Đặt z a bi ,
a b . Theo giả thiết ta có 3 a bi 2 2
a m2 b 2 1 a 2
1 b 2m2
2m 2a 4m 2b 3m 0 1 9 9 2 2 a b 2 2 a b 2 4 4 Phương trình
1 là phương trình đường thẳng, phương trình 2 là phương trình đường 3
tròn tâm O bán kính R . 2
Để tồn tại số phước z thoả mãn đề bài thì đường thẳng có phương trình 1 phải cắt đường
tròn có phương trình 2 2 3 m 3 2 2 Nghĩa là d , O 1 R 2
m m 1 2m 1
m 2 m 2 2 2 2 4 2 4 2
m 5m 6m 2 m 2 2 1
m 2m 2 0 1
3 m 1 3
Vì m nên m 2 ;1;0;1; 2 .
Câu 42: Cho số phức z thay đổi thỏa mãn z 1 z i 4. Gọi C là đường cong tạo bởi tất cả các
điểm biểu diễn số phức z 2i2i
1 khi z thay đổi. Tính diện tích S hình phẳng giới hạn
bởi đường cong C .
A. S 5 7 .
B. S 10 7 .
C. S 5 14 .
D. S 10 14 .
Lời giải: x yi
x 2 y 1 i z 2i z i
Đặt z i i 2i 1 2i 1 2 2
1 x yi x yi x 5 yi z 1 2i 1 2i 1 2i 1 2 2 2
Ta có: z z i x y x 2 1 4 2 1 5 y 4 5 (1) Gọi M ;
x y là điểm biểu diễn số phức z 2i2i 1 khi z thay đổi. F 2; 1 , F 5;0 . 1 2
Từ (1) ta có: MF MF 4 5 . 1 2
Do đó quỹ tích điểm M là elip nhận F , F là hai tiêu điểm. 1 2
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia
4 5 2a a 2 5 70 2 2 10 b a c 2
F F 2c 10 c 1 2 2
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là
S ab 5 14 . C 2 . z z
Câu 43: Cho số phức z thỏa mãn z 1
. Biết rằng tập hợp điểm biểu diễn số phức 2
1 2i z 1là một đường tròn tâm I và bán kính R. Tìm I và R. A. I 0; 2 ,R 5 . B. I 1; 4 ,R 10 .
C. I 0; 2, R 5 . D. I 1 ; 4 ,R 10 . Lời giải:
Gọi x i,
y x, y . Theo đề bài ta có 1 2i z 1 1 x 1 i y z z 1 2i 1 2i 2 . z z
Từ đó ta có: z 1 2 2 2 x 2 1 i y 1 x 1 i y x 1 i y
x 1 iy 1 x 2 1 y 1 . . 1 . 1 2i 2 1 2i 1 2i 1 2i 2 5
x y 2 1 x 2 2 2 2 1 y 2 2 2 2 . 2
x y x 2 2 2
1 y x 1 y 4 10 5 2 5
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức là một đường tròn có tâm và bán kính là I 1 ; 4 ;R 10 .
Câu 44: Cho các số phức z , z thỏa mãn phương trình z 2 3i 5 và z z 6 . Biết rằng tập hợp 1 2 1 2
các điểm biểu diễn số phức w z
z là một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó. 1 2 A. R 8 . B. R 4 . C. R 2 2 . D. R 2 . Lời giải:
Giả sử A , B lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z , z trên mặt phẳng tọa độ Oxy . Theo 1 2 giả thiết ta có
A , B thuộc đường tròn tâm I 2;3 , bán kính r 5 và AB 6 . z z w
Gọi M là trung điểm của AB khi đó M cũng là điểm biểu diễn số phức 1 2 u . 2 2 2 AB Lại có 2 2 2 2 IM IA AM r 16 IM 4 . 2
Vậy M thuộc đường tròn tâm I 2;3 bán kính r ' 4 .
Suy ra các điểm biểu diễn số phức w z z
2u là một đường tròn bán kính R 2r 8. 1 2
Câu 45: Có bao nhiêu số phức z có phần thực và phần ảo đều là các số nguyên thỏa mãn
z i z 3i z 4i z 6i và z 10 ? A. 12. B. 2 . C. 10. D. 5 .
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia Lời giải:
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z , A0; 1 , B0; 3 , C(0; 4 ), D0;6.
Ta có z i z 3i z 4i z 6i MA MB MC MD.
Theo bất đẳng thức tam giác ta có MC MD CD 10 .
Do đó MA MB MC MD 2a (a 5). 0 0
Vi vậy M thuộc hai elip E , E có cùng độ lớn là 2a và tâm của hai elip này trùng nhau 1 2 0 M 0;1 a 1 0 tại I 0;
1 là trung điểm của A ,
B CD . Do đó M E E 1 2 M 0;1 a 2 0
Trường hợp 1: M 0;1 a z 10 1 a 10 5 a 9 trường hợp này có 5 số 0 0 0 phức thỏa mãn.
Trường hợp 2: M 0;1 a z 10 1 a 10 5 a 12trường hợp này có 12 số 0 0 0 phức thỏa mãn.
Vậy có tổng 12 số phức thỏa mãn.
Câu 46: Gọi S là tập hợp các số phức z thỏa mãn z 1 34 và z 1 mi z m 2i , (trong đó m
). Gọi z , z là hai số phức thuộc S sao cho z z lớn nhất, khi đó giá trị của 1 2 1 2 z z bằng 1 2 A. 2 . B. 10 . C. 2 . D. 130 . Lời giải:
Đặt z x yi , x , y . Khi đó z 1 34 x 2 2 1
y 34 ; z 1 mi z m 2i 2m
1 x 2 2 m y 3 0 .
Do đó tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là giao điểm của đường tròn
C x 2 2 : 1
y 34và đường thẳng d : 2m
1 x 2 2 m y 3 0 .
Gọi A , B là hai điểm biểu diễn z và z . Suy ra C d , A B . 1 2
Mặt khác z z AB 2R 2 34 do đó max z z 2 34 AB 2R I 1;0 d . 1 2 1 2 1
z 6 3i
Từ đó ta có m nên d : 3x 5y 3 0 1 . 2 z 4 3i 2
Vậy z z 2 . 1 2
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia
Câu 47: Cho số phức 2
z m 3 (m 1)i, với m là tham số thực thay đổi. Tập hợp các điểm biểu diễn
số phức z thuộc đường cong. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong đó và trục hoành. 8 4 1 2 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải:
Điểm M 2
m 3; m
1 biểu diễn số phức z m 2 3 m 1 i nên ta có 2
x m 3; y m 1 từ đó y x 2 2 3
1 x 6x 8 .
Vậy điểm M thuộc đường Parabol 2
y x 6x 8 .
Hoành độ giao điểm của và trục hoành là nghiệm phương trình x 2 2
x 6x 8 0 x 4 4 4
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi và trục hoành là 2 S
x 6x 8dx . 3 2
Câu 48: Cho các số phức z , z thỏa mãn z 6 và z 2 . Gọi M , N lần lượt là các điểm biểu diễn 1 2 1 2
của các số phức z và iz . Biết MON 60 . Tính 2 2
T z 9z . 1 2 1 2 A. T 36 2 . B. T 36 3 . C. 24 3 . D. 18.
Lời giải:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z và iz , gọi 1 2
E, F lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức 3iz và 3iz . 2 2 Theo bài ra ta có:
z 6 nên tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O , bán kính R 6 , gọi là đường tròn 1
C ; z 2 iz i . z 2do đó tập hợp các điểm N biểu diễn số phức iz thuộc đường 1 2 2 2 2
tròn tâm O , bán kính r
2 , gọi là đường tròn C . 2 Lại thấy : 3iz 6 và 3iz
6 suy ra các điểm E , F thuộc đường tròn C . 1 2 2
Hơn nữa: 3iz và 3iz là các số phức đối nên EF là một đường kính của C . 1 2 2
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia
Mặt khác : OE 3ON nên N nằm giữa O và E MOE 60 , suy ra tam giác MOE là tam
giác đều cạnh bằng 6 và tam giác MEF vuông tại M .
- Khi đó : T z 9z z 3iz 2 2 2 2
z 3iz . z 3iz ME.MF . 1 2 1 2 1 2 1 2 2 6 . 3
- Nhận thấy: ME.MF 2.S 4.S 4.
36 3 . Vậy T 36 3 . M EF M OE 4
Câu 49: Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại 4 số phức z thỏa mãn
z z z z 2 và z z 2 z z m là số thuần ảo. Tổng các phần tử của S là 2 1 3 1 A. 2 1 B. . C. . D. . 2 2 2 Lời giải:
Đặt z x yi, x, y .
z z z z 2 2x 2 yi 2 x y 1. (1)
Đặt z z z z z 2 2
m z z z m.
z là số thuần ảo nên có phần thực bằng 0. Tức là: 2 2
x y m . (2)
Tập hợp các điểm M ;
x y thỏa mãn (1) là hình vuông tâm là gốc tọa Để có 4 cặp số ;
x y thỏa mãn đồng thời (1) và (2) thì (2) phải là một đường tròn nội tiếp hoặc 2 1
ngoại tiếp hình vuông nói trên. Tức là m 0 và m 1hoặc m
m 1hoặc m 2 2 3
Vậy tổng các phần tử của S là . 2
Câu 50: Cho số phức z a bi a,b . Biết tập hợp các điểm A biểu diễn hình học số phức z là
đường tròn C có tâm I 4;3 và bán kính R 3 . Đặt M là giá trị lớn nhất, m là giá trị nhỏ
nhất của F 4a 3b 1. Tính giá trị M m .
A. M m 63 .
B. M m 48 .
C. M m 50 .
D. M m 41.
Lời giải:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia 2 2
Cách 1. Ta có phương trình đường tròn C : x 4 y 3 9 . 2 2
Do điểm A nằm trên đường tròn C nên ta có a 4 b 3 9 .
Mặt khác F 4a 3b 1 4a 4 3b 3 24 F 24 4a 4 3b 3 . 2 2 2
Ta có a b 2 2 4 4 3 3
4 3 a 4 b 3 25.9 255 . 15
4a 4 3b 3 15 15 F 24 15 9 F 39 .
Khi đó M 39 , m 9 .
Vậy M m 48 . F 1 3b
Cách 2. Ta có F 4a 3b 1 a 4 2 F b
a 42 b 32 1 3 2 9
4 b 6b 9 9 4 2
25b 23F 3 2
b F 225 0
F 2 2 3 3 25F 5625 2 0 16
F 18F 5625 0 9 F 39.
____________________HẾT____________________
Huế, 15h15’ Ngày 19 tháng 3 năm 2023
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115