Ngân hàng câu hỏi số phức: Bài toán tìm số phức – Lê Bá Bảo Toán 12

Ngân hàng câu hỏi số phức: Bài toán tìm số phức – Lê Bá Bảo Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

S PHC
LÊ BÁ BO
TRƯỜNG THPT ĐẶNG HUY TR - ADMIN CLB GIÁO VIÊN TR TP HU
BÀI TOÁN TÌM S PHC
LUYN THI THPT QUC GIA
CP NHT T ĐỀ THI MI NHT
Chuyên đề S PHC Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Ngân hàng câu hi:
CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÌM S PHC
NỘI DUNG ĐỀ BÀI
Câu 1: Cho s phc
z
tha mãn
2 . 3z i z i
. Mô đun của
z
bng
A.
. B.
5
. C.
3
. D.
3
.
Câu 2: Cho s phc
z
tho mãn
2 2 2 1z i z i
. Môđun của
z
bng
A.
4
. B.
2
. C.
2
. D.
22
.
Câu 3: Cho s phc
0z
tha mãn
2
(4 7 ).z z i
Tính
.z
A.
65
. B.
56
. C.
65
. D.
56
.
Câu 4: Có bao nhiêu s phc
z
tha mãn
1 z z z
?
A.
0
. B.
1
. C.
4
. D.
3
.
Câu 5: Có bao nhiêu s phc
z
tha mãn
13
1?
z z i
z i z i



A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
4
.
Câu 6: Cho s phc
z
tha mãn
2z i z
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
13
22
z
. B.
35
22
z
. C.
1
2
z
. D.
57
22
z
.
Câu 7: Có bao nhiêu s phc
z
tha mãn
3 2 3 ?z z i z
A. 1. B. 0. C. 2. D. Vô s.
Câu 8: bao nhiêu s phc
z
thỏa mãn đồng thời hai điều kin sau:
10 2 2 14z i z i
1 10 5zi
?
A. 2. B. 0. C. 1. D. Vô s.
Câu 9: Có bao nhiêu s phc
z
tha mãn
1 2 4 3 2i z i
2
12z i zi
z
?
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Câu 10: Có bao nhiêu s phc z tha mãn
6 2 7z z i i i z
?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 11: Cho s phc
1
z
2
z
hai nghim của phương trình:
6 3 2 6 9i iz z i
, tha mãn:
12
2zz
. Giá tr ca biu thc:
12
P z z
tương ứng bng
A.
6
. B.
5
. C.
26
. D.
10
.
Câu 12: Cho s phc
1zi
. Biết rng tn ti các s phc
12
5,z a i z b
(trong đó
,ab
,
1b
)
tha mãn
1 2 1 2
33z z z z z z
. Tính
ba
.
A.
53ba
. B.
23ba
. C.
43ba
. D.
3 3.ba
Câu 13: bao nhiêu s phc
z
thỏa mãn đng thi các điu kin
2022 2023zi
2
z
s
thun o?
A.
1
. B.
0
. C.
4
. D.
2
.
Câu 14: Cho s phc
,z a bi a b
tha mãn
5z
2 1 2z i i
là mt s thc. Tính
P a b
.
Chuyên đề S PHC Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
A.
5P
. B.
7P
. C.
8P
. D.
4P
.
Câu 15: Có bao nhiêu s phc
z
tha mãn
23zi
4 5 3zi i i
là s thc?
A.
1
. B.
0
. C.
2
. D.
3
.
Câu 16: Có bao nhiêu s phc
z
tha mãn
13z
24z i z i
là s thun o?
A.
1
. B.
2
. C.
0
. D.
4
.
Câu 17: Có bao nhiêu s phc
z
tha mãn
2
( 2 )zi
là s thun o và
( ) 2z i z
là s thc?
A.
1
. B.
0
. C.
2
. D.
4
.
Câu 18: Gi
12
,zz
hai trong các s phc
z
tha mãn
3 5 5zi
12
6zz
. Tìm môđun của s
phc
12
6 10z z i
.
A.
10
. B.
32
. C.
16
. D.
8
.
Câu 19: Gi
S
tp hp các s thc
m
sao cho vi mi
mS
đúng mt s phc tha n
4zm
6
z
z
là s thun o. Tính tng ca các phn t ca tp
S
.
A. 0. B. 12. C. 6. D. 14.
Câu 20: Tp hợp các điểm biu din s phc
z
tha mãn
2 1 2 z z z
trên mt phng tọa độ
mt
A. đưng thng. B. đưng tròn. C. parabol. D. hypebol.
Câu 21: Cho s phc z tha mãn
3 1 3 z i z i
mt s thc. Biết rng tp hợp các điểm biu
din ca
z
là một đường thng. Khong cách t gc ta đ đến đường thẳng đó bằng
A.
42
. B.
0
. C.
22
. D.
32
.
Câu 22: Biết s phc
z
thỏa mãn điều kin
3 3 1 5zi
*
. Tp hợp các điểm biu din
z
to
thành 1 hình phng. Din tích ca hình phẳng đó bằng
A.
25 .
B.
9.
C.
4.
D.
16 .
Câu 23: Cho s phc
z
tha mãn
5z
. Biết rng tp hợp các điểm biu din s phc
23w i z i
là một đường tròn có bán kính bng
r
. Tìm bán kính
r
.
A.
5
. B.
5
. C.
10
. D.
25
.
Câu 24: Cho s phc
z
tha mãn
1zi
. Trên mt phng tọa độ
Oxy
, tp hợp các điểm biu din
ca s phc
w
tha mãn
23
1
zi
w
iz

là một đường tròn có bán kính bng
A. 1. B.
5
. C.
25
. D.
20
.
Câu 25: Cho số phức
z
. Gọi
A
,
B
lần lượt các điểm trong mặt phẳng
Oxy
biểu diễn các số phức
z
1 iz
. Tnh
z
biết diện tch tam giác
OAB
bằng
8
.
A.
4z
. B.
42z
. C.
2z
. D.
22z
.
Câu 26: Cho hai s phc
12
,zz
khác
0
, tha mãn
22
1 2 1 2
z z z z
.
,MN
lần lượt hai điểm biu din s
phc
12
,zz
trên mt phng
Oxy
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Tam giác
OMN
nhọn và không đều. B. Tam giác
OMN
đều.
C. Tam giác
OMN
tù. D. Tam giác
OMN
vuông.
Chuyên đề S PHC Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Câu 27: Cho s phc
12
,zz
tha mãn
12
25zz
. Gi
, MN
lần lượt là đim biu din hai s phc
12
,zz
trên mt phng tọa độ. Biết
22MN
. Gi
H
đỉnh th tư của hình bình hành
OMHN
K
là trung điểm ca
OM
. Tính
l KH
.
A.
32l
. B.
62l
. C.
41l
. D.
5l
.
Câu 28: Cho s phc
z
tha
1 2. 2 3z i z i
. Biết tp hợp các điểm biu din s phc
w 1 . 2 3i z i
là một đường tròn. Bán knh đường tròn đó thuộc khoảng nào sau đây?
A.
1;2
. B.
3;4
. C.
2;3
. D.
0;1
.
Câu 29: Cho s phc
z
tha
1 2. 2 3z i z i
. Biết tp hợp các điểm biu din s phc
w 1 . 2 3i z i
là một đường tròn. Bán knh đường tròn đó thuộc khoảng nào sau đây?
A.
1;2
. B.
3;4
. C.
2;3
. D.
0;1
.
Câu 30: Trong mt phng tọa độ
Oxy
, gi
H
tp hợp các điểm biu din hình hc ca s phc
z
tha mãn
12
4 3 2 2
zz
zi

. Din tích ca hình phng
H
A.
44
. B.
88
. C.
24
. D.
84
.
Câu 31: Xét các s phc
z
tha mãn
2
2
z
zi
là s thun o. Biết rng tp hợp các điểm biu din các s
phc
z
luôn thuc một đường tròn c định. Bán kính của đường tròn đó bằng
A.
1
. B.
2
. C.
22
. D.
2
.
Câu 32: Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, tập hợp điểm biểu diễn số phức
1
1
iz
w
z
một đường tròn
có bán knh bằng
2
. Môđun của
z
thuộc tập nào dưới đây?
A.
1
;2
2



. B.
1
;2
2



. C.
2;2
. D.
1
;2
2



.
Câu 33: Cho hai s phc
,zw
tha mãn
23zw
,
2 3 5zw
34zw
. Tính giá tr biu thc
..P z w z w
.
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Câu 34: Có bao nhiêu s phc
z
tho mãn
1 3 1z i z i
3
2
z
z
là mt s thun o?
A.
1
. B.
2
. C.
4
. D.
3
.
Câu 35: Có bao nhiêu s phc
z
tha mãn
2
3
20z i z
?
A.
4
. B.
3
. C.
2
. D.
6
.
Câu 36: Gi
S
là tp hp các s phc
z
thỏa mãn điều kin
4
zz
. S phn t ca
S
A.
7
. B.
6
. C.
5
. D.
4
.
Câu 37: Cho s phc
z
tha mãn
15z
,
1 1 5
17z
z
z
phn ảo ơng. Tìm tổng phn thc
và phn o ca
z
.
A.
2
. B.
4
. C.
6
. D.
8
.
Chuyên đề S PHC Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Câu 38: Cho
z
là s phcmô-đun bằng
2017
w
là s phc tha mãn
1 1 1
z w z w

. Mô đun ca
s phc
w
A.
2015
. B.
0
. C.
1
. D.
2017
.
Câu 39: Cho s phc
,zw
khác 0 tha mãn
0zw
1 3 6
z w z w

. Khi đó
z
w
bng
A. 3. B.
1
3
. C.
3
. D.
1
3
.
Câu 40: Gi
S
tp hp các s phc
z
tha mãn
10z
. Gi
12
,zz
hai s phc thuc
S
sao cho
1
2
z
z
s thun o. Gi
,AB
lần lượt các điểm biu din s phc
12
,zz
. Din tích
AOB
bng
A.
25 3
. B.
50
. C.
25
. D.
50 3.
Câu 41: bao nhiêu s nguyên
m
để tn ti 2 s phc
z
tho mãn
12z m i z mi
3
| | ?
2
z
A. 5. B. 3. C. 4. D. 6.
Câu 42: Cho s phc
z
thay đổi tha mãn
14z z i
. Gi
C
đường cong to bi tt c các
đim biu din s phc
2 2 1z i i
khi
z
thay đi. Tính din tích
S
hình phng gii hn
bởi đường cong
C
.
A.
57S
. B.
10 7S
. C.
5 14S
. D.
10 14S
.
Câu 43: Cho s phc
z
tha mãn
2
.z
1
2
z
z 
. Biết rng tp hợp điểm biu din s phc
1 2i 1z
là một đường tròn tâm I và bán kính R. Tìm I và R.
A.
I 0; 2 ,R 5
. B.
I 1; 4 ,R 10
.
C.
I 0;2 ,R 5
. D.
I 1; 4 ,R 10
.
Câu 44: Cho các s phc
1
z
,
2
z
thỏa mãn phương trình
2 3 5zi
12
6zz
. Biết rng tp hp
các điểm biu din s phc
12
w z z
là một đường tròn. Tính bán knh đường tròn đó.
A.
8R
. B.
4R
. C.
22R
. D.
2R
.
Câu 45: bao nhiêu s phc
z
phn thc phn ảo đều các s nguyên tha mãn
3 4 6z i z i z i z i
10z
?
A.
12
. B.
2
. C.
10
. D.
5
.
Câu 46: Gi
S
tp hp các s phc
z
tha mãn
1 34z 
12z mi z m i
, (trong đó
m
). Gi
1
z
,
2
z
hai s phc thuc
S
sao cho
12
zz
ln nht, khi đó giá trị ca
12
zz
bng
A.
2
. B.
10
. C.
2
. D.
130
.
Chuyên đề S PHC Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Câu 47: Cho s phc
2
3 ( 1) ,z m m i
vi m tham s thực thay đổi. Tp hợp các điểm biu din
s phc z thuộc đường cong. Tính din tích hình phng gii hn bi đường cong đó trc
hoành.
A.
8
.
3
B.
4
.
3
C.
1
.
3
D.
2
.
3
Câu 48: Cho các s phc
12
,zz
tha mãn
1
6z
2
2z
. Gi
,MN
lần lượt các đim biu din
ca các s phc
1
z
2
iz
. Biết
60MON 
. Tính
22
12
9T z z
.
A.
T
36 2
. B.
36 3T
. C.
24 3
. D. 18.
Câu 49: Gi
S
tp tt c các giá tr thc ca tham s
m
để tn ti 4 s phc
z
tha mãn
2z z z z
2z z z z m
là s thun o. Tng các phn t ca
S
A.
21
B.
21
2
. C.
3
2
. D.
1
2
.
Câu 50: Cho s phc
z a bi
,ab
. Biết tp hợp các điểm
A
biu din hình hc s phc
z
đưng tròn
C
tâm
4;3I
bán kính
3R
. Đặt
M
giá tr ln nht,
m
giá tr nh
nht ca
4 3 1F a b
. Tính giá tr
Mm
.
A.
63Mm
. B.
48Mm
. C.
50Mm
. D.
41Mm
.
____________________HT____________________
Huế, 15h15’ Ngày 19 tháng 3 năm 2023
Chuyên đề S PHC Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
LI GII CHI TIT
Câu 1: Cho s phc
z
tha mãn
2 . 3z i z i
. Mô đun của
z
bng:
A.
. B.
5
. C.
3
. D.
3
.
Li gii:
Đặt
z a bi
.
2 . 3 2 3 2 2 3z i z i a bi i a bi i a b i b a i
2 0 1
2 3 2
a b a
b a b




Suy ra:
22
5z a b
.
Câu 2: Cho s phc
z
tho mãn
2 2 2 1z i z i
. Môđun của
z
bng
A.
4
. B.
2
. C.
2
. D.
22
.
Li gii:
,z x yi x y
.
Ta có:
2 2 2 1x yi i x yi i
2 2 2 2
4 4 4 4 2 2 1 2 1x x y y x x y y
22
4xy
.
Suy ra
22
2z x y
.
Câu 3: Cho s phc
0z
tha mãn
2
(4 7 ).z z i
Tính
.z
A.
65
. B.
56
. C.
65
. D.
56
.
Li gii:
Ta có :
2
2 2 2 2
(4 7 ). (4 7 ) . . 4 7 4 7 65.z z i z z i z z i z
Câu 4: Có bao nhiêu s phc
z
tha mãn
1 z z z
?
A.
0
. B.
1
. C.
4
. D.
3
.
Li gii:
Gi s
z x yi
, xy
2 z x yi z z x
.
Bài ra ta có
22
22
1
1
1
1
1
21
2







xy
z
xy
zz
x
x
Vi
2
1 1 3
1
2 4 2
x y y
.
Do đó có 4 số phc tha mãn là
1
13
22
zi
,
2
13
22
zi
,
3
13
22
zi
,
4
13
22
zi
.
Câu 5: Có bao nhiêu s phc
z
tha mãn
13
1?
z z i
z i z i



A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
4
.
Li gii:
Gi s phc
z a bi
vi
,ab
.
Ta có
1
1
z
zi
1z z i
22
22
11a b a b
0ab
Chuyên đề S PHC Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
3
1
zi
zi
22
22
31a b a b
1b
Suy ra
1
1
a
b
. Vy
1zi
Vy có
1
s phc tha mãn yêu cu bài toán.
Câu 6: Cho s phc
z
tha mãn
2z i z
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
13
22
z
. B.
35
22
z
. C.
1
2
z
. D.
57
22
z
.
Li gii:
Gi
0zm
. Khi đó
2z i z
đưc viết li thành
2m i z
.
Ly module 2 vế ta có
2
2 2 2 4 2
2
11
. 2 1 2 1 2 2 0
2(VN)
mm
m i z m m m m m m
m

Do
0m
nên ta có
1m
, suy ra
1z
. Vy
13
22
z
.
Câu 7: Có bao nhiêu s phc
z
tha mãn
3 2 3 ?z z i z
A. 1. B. 0. C. 2. D. Vô s.
Li gii:
Gi
,z a bi a b
Theo bài ra ta có
22
3 2 3 4 2 2 3z z i z a bi i a b
22
2 2 2
22
22
2 2 2
0
0
0
42
0
4
23
3
43
a
a
b
a a b
b
a a b
b a b
ab
b a b




Vy có vô s s phc
z
thỏa mãn điều kiện đã cho.
Câu 8: bao nhiêu s phc
z
thỏa mãn đồng thời hai điều kin sau:
10 2 2 14z i z i
1 10 5zi
?
A. 2. B. 0. C. 1. D. Vô s.
Li gii:
Đặt
z a bi
vi
,ab
.
T gi thiết
2 2 2 2
10 2 2 14 10 2 2 14z i z i a b a b
.
4
24 32 96 0 4
3
a b a b
.
Ta có:
2
22
2
4
1 10 5 1 10 25 5 20 100 25
3
z i a b b b b



.
2
25 100
100 0 6
93
b b b
.
Chuyên đề S PHC Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Suy ra
4a
. Vy có mt s phc tha mãn.
Câu 9: Có bao nhiêu s phc
z
tha mãn
1 2 4 3 2i z i
2
12z i zi
z
?
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Li gii:
Ta có :
1 2 4 3 2 1 3 3i z i z i
.
Vy tp hợp các điểm biu din
z
thuộc đường tròn tâm
1
1; 3 ; 3IR
.
2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 1z i zi i z i i z i
z z z
2
22
44
5. 1 5 1 0zz
zz
1
1
4 / 5
z
z
zl


Vy tp hợp các điểm biu din
z
thuộc đường tròn tâm
2
0;0 ; 1OR
.
12
10; 4IO R R
nên
1 2 1 2
R R IO R R
2 đường tròn ct nhau tại 2 điểm phân bit.
Câu 10: Có bao nhiêu s phc z tha mãn
6 2 7z z i i i z
?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Li gii:
Ta có:
6 2 7 7 6 2z z i i i z z z i z z i
(1).
Lấy môđun hai vế ta được:
2 2 2
2
7 1 6 2z z z z
.
Đặt:
;0t z t
ta được:
2 2 2
2
7 1 6 2t t t t
.
2 2 2 4 3 2 3 2
14 50 37 4 4 14 13 4 4 0 1 13 4 0(*)t t t t t t t t t t t t
.
Bấm máy tnh phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt dương.
ng vi mt giá tr t dương thế vào (1) ta tìm ra mt s phc
62
7


z z i
z
zi
.
Vy có 3 s phc z tha mãn.
Câu 11: Cho s phc
1
z
2
z
hai nghim của phương trình:
6 3 2 6 9i iz z i
, tha mãn:
12
2zz
. Giá tr ca biu thc:
12
P z z
tương ng bng
A.
6
. B.
5
. C.
26
. D.
10
.
Li gii:
Trưc hết ta tìm qu tch điểm biu din s phc
z
tha mãn gi thiết:
6 3 2 6 9 . 3 6 2 6 9 3 6 2 6 9 1i iz z i i z i z i z i z i
.
Đặt
z x iy
thay vào (1) ta được:
2 2 2 2
3 6 2 6 9 3 6 2 6 2 9x iy i x iy i x y x y
.
22
3 4 1xy
.
Như vậy điểm biu din s phc
z
là đường tròn (C):
22
0
3 4 1x y z z R
.
Chuyên đề S PHC Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Trong đó:
0
34zi
1R
. Điểm I biu din s phc
0
34zi
.
Gọi A là điểm biu din s phc
1
z
và B là điểm biu din s phc
2
z
khi đó ta có:
12
1; 2 2IA IB R AB z z R
. Suy ra AB là một đường kính của đường tròn (C).
Khi đó ta có I là trung điểm ca AB tc là:
1 2 0
2 6 8z z z i
.
Suy ra:
12
10P z z
.
Câu 12: Cho s phc
1zi
. Biết rng tn ti các s phc
12
5,z a i z b
(trong đó
,ab
,
1b
)
tha mãn
1 2 1 2
33z z z z z z
. Tính
ba
.
A.
53ba
. B.
23ba
. C.
43ba
. D.
3 3.ba
Li gii:
Ta có:
1 2 1 2
33z z z z z z
.
22
2
22
1 4 1 1
25 3 1 16
ab
b a a


22
2 2 2 2 2
1 1 15
23
1 2 1 1 1 3 1 1 1
15
ba
b b a a a b a


22
22
1 1 15
8 1 30 1 1 7 1 0
ba
b b a a
22
1 1 15
23
1
1
3
11
33
4
73
1
7
11
3
2
ba
a
ba
ba
b
ba






.
Câu 13: bao nhiêu s phc
z
thỏa mãn đng thời các điều kin
2022 2023zi
2
z
s
thun o?
A.
1
. B.
0
. C.
4
. D.
2
.
Li gii:
Gi
,,z a bi a b
.
2
2 2 2
2z a bi a b abi
là s thun o nên
2 2 2 2
0a b a b
2022 2023zi
2
22
2022 2023 2022 2023a b i a b
2
2 4044 4045 0 1bb
Do
2. 4045 0
nên phương trình
1
luôn có hai nghim trái du hay
11
22
( 0)
1
( 0)
b b b
b b b


Vi
1
bb
thì
2 2 2
1 1,2 1
a b a b
.
Chuyên đề S PHC Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Vi
2
bb
thì
2 2 2
2 3,4 2
a b a b
Vy có 4 s phc
z
cn tìm.
Câu 14: Cho s phc
,z a bi a b
tha mãn
5z
2 1 2z i i
là mt s thc. Tính
P a b
.
A.
5P
. B.
7P
. C.
8P
. D.
4P
.
Li gii:
Ta có:
22
5 25 1z a b
.
Mt khác:
2 1 2 4 3 4 3 4 3z i i a bi i a b b a i
.
2 1 2z i i
là s thc nên
3
4 3 0
4
a
b a b
.
Thay vào
1
ta được
2
22
3
25 16 4 3 7
4
a
a a a b P



.
Câu 15: Có bao nhiêu s phc
z
tha mãn
23zi
4 5 3zi i i
là s thc?
A.
1
. B.
0
. C.
2
. D.
3
.
Li gii:
Ta có:
23zi
nên
z
biu din bi
M
nằm trên đường tròn
C
, tâm
0; 2I
,
3R
.
Ta có:
4 5 3 4 5 4 5w zi i i y xi i i x i y
là s thc nên
w
biu din
bởi điểm
A
nằm trên đường thng
50yd
.
2
25
;7
1
d I d R
nên đường thng
d
không cắt đường tròn
;IR
.
Vy không có s phc
z
nào tha mãn yêu cu bài toán.
Câu 16: Có bao nhiêu s phc
z
tha mãn
13z
24z i z i
là s thun o?
A.
1
. B.
2
. C.
0
. D.
4
.
Li gii:
Gi
z x yi
vi
,xy
.
Ta có
22
13 13 (1)z x y
.
22
2 4 2 4 2 8 ( 6 ).z i z i x yi i x yi i x y y x i
là s thun o khi
22
5
2 8 0 13 2 8 0
2
x y y y y
.
T
5
2
y 
thay vào (1) ta được
33
2
33
2
x
x

.
Vy có 2 s phc tho yêu cu bài toán.
Câu 17: Có bao nhiêu s phc
z
tha mãn
2
( 2 )zi
là s thun o và
( ) 2z i z
là s thc?
A.
1
. B.
0
. C.
2
. D.
4
.
Li gii:
Chuyên đề S PHC Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Đặt
z x yi
suy ra
2
2 2 2
2
2 2 2 2 2 2z i x yi i x y i x y x y i


Ta có
2
2zi
là s thun o suy ra:
22
22
2
2
2 0 2 1
2
2
xy
yx
x y x y
xy
yx


22
( ) 2 2 1 2
2 1 2 1 2 2 2
z i z x yi i x yi x y i x yi
x x y y xy x y i x x y y x y i


Ta có
( ) 2z i z
là s thc suy ra:
2 2 0 2xy
T (1) và (2) suy ra h phương trình:
2
2
0
2
2 2 0
1
2
2
2
3
2 2 0 2
2 2 0 4
3
x
yx
y
yx
xy
yx
x
yx
xy
xy
y




Vy có hai s phc
z
tha mãn yêu cu bài toán.
Câu 18: Gi
12
,zz
hai trong các s phc
z
tha mãn
3 5 5zi
12
6zz
. Tìm môđun của s
phc
12
6 10z z i
.
A.
10
. B.
32
. C.
16
. D.
8
.
Li gii:
Tp hợp điểm biu din s phc
z
tha mãn
3 5 5zi
là đường tròn
C
tâm
3; 5I
bán
kính
5R
.
Gi
,MN
lần lượt là điểm biu din ca s phc
12
,zz
suy ra
,MN
nằm trên đường tròn
C
.
Gi
H
là trung điểm ca
MN
suy ra
IH MN
.
Do
22
12
6 6 3 4z z MN MH NH IH IM MH
.
1 2 1 2
6 10 3 5 3 5
2 2 8.
z z i z i z i
IM IN IH IH
Câu 19: Gi
S
tp hp các s thc
m
sao cho vi mi
mS
đúng mt s phc tha n
4zm
6
z
z
là s thun o. Tính tng ca các phn t ca tp
S
.
A. 0. B. 12. C. 6. D. 14.
Li gii:
Chuyên đề S PHC Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Điu kin:
6z
.
Gi s
,z x yi x y
. Ta có
2
2
4 4 16z m x m yi x m y
(C).
Vy (C) có tâm
;0Im
, bán kính
4R
.
Mt khác:
2 2 2
2 2 2
6 6 6 6
6 6 6
1 1 1 1
6 6 6
6 6 6
x yi x
zy
i
z z x yi
x y x y x y
.
Khi đó
6
z
z
là s thun o khi phn thc bng 0 hay
2
2
66
10
6
x
xy


22
22
6 6 6 0 3 9x y x x y
C
.
Vy:
C
có tâm
3;0I
, bán kính
3R
.
Do đó:
3 ;0 3II m II m

.
Có mt s phc
z
tha mãn
C
C
tiếp xúc trong hoc tiếp xúc ngoài.
4
31
1
2
12
10
37
7
4
m
m
II R R
m
S
m
m
II R R
m




.
Câu 20: Tp hợp các điểm biu din s phc
z
tha mãn
2 1 2 z z z
trên mt phng tọa độ
mt
A. đưng thng. B. đưng tròn. C. parabol. D. hypebol.
Li gii:
Gi s
z x yi
, xy
z x yi
2 z z x
.
Bài ra ta có
2
2
2 1 2 2 2 1 2 2 x yi x x y x
22
2 2 2 2 2
1 1 2 1 2 1 4 x y x x x y x x y x
.
Do đó tập hợp các điểm biu din s phc
z
tha mãn
2 1 2 z z z
trên mt phng ta
độ là mt parabol.
Câu 21: Cho s phc z tha mãn
3 1 3 z i z i
mt s thc. Biết rng tp hợp các điểm biu
din ca
z
là một đường thng. Khong cách t gc ta đ đến đường thẳng đó bằng
A.
42
. B.
0
. C.
22
. D.
32
.
Li gii:
Đặt
,, z x yi x y
3 1 3 3 1 3
3 1 . 1 3
3 1 1 3 3 3 1 1


z i z i x yi i x yi i
x y i x y i
x x y y x y y x i
3 1 3 z i z i
là mt s thc nên
3 3 1 1 0 x y y x
3 3 9 1 0 4 0 xy x y xy y x x y
.
Chuyên đề S PHC Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Suy ra tập các điểm biu din ca z là đường thng
có phương trình
40xy
.
Khong cách t gc ta đ đến đường thng
:
4
; 2 2
2
dO
.
Câu 22: Biết s phc
z
thỏa mãn điều kin
3 3 1 5zi
*
. Tp hợp các điểm biu din
z
to
thành 1 hình phng. Din tích ca hình phẳng đó bằng
A.
25 .
B.
9.
C.
4.
D.
16 .
Li gii:
Gi
z x yi
vi
,xy
3 1 1 3z i x y i
22
3 1 1 3z i x y
22
* 3 1 3 5xy
22
9 1 3 25xy
.
Gi
1
C
là đường tròn
22
1 3 25xy
;
2
C
là đường tròn
22
1 3 9xy
Tp hợp các điểm biu din
z
hình vành khăn giới hn bi
1
C
2
C
din tích
25 9 16S
.
Câu 23: Cho s phc
z
tha mãn
5z
. Biết rng tp hợp các điểm biu din s phc
23w i z i
là một đường tròn có bán kính bng
r
. Tìm bán kính
r
.
A.
5
. B.
5
. C.
10
. D.
25
.
Li gii:
Đặt
w x yi
, vi
,xy
.
Ta có
23w i z i
23x yi i z i
3
2
x y i
z
i


.
Nên, t
5z
ta có:
3
5
2
x y i
i

3
5
2
x y i
i


2
2
22
3
5
21
xy

2
2
35xy
2
2
3 25xy
.
Vy, tp hợp điểm biu din s phc
w
là đường tròn tâm
0; 3I
và bán kính
5r
.
Cách khác:
3
5 5 3 5 5
2
wi
z w i MI
i
vi
M
I
là điểm biu din
w
3i
r=5
Câu 24: Cho s phc
z
tha mãn
1zi
. Trên mt phng tọa độ
Oxy
, tp hợp các điểm biu din
ca s phc
w
tha mãn
23
1
zi
w
iz

là một đường tròn có bán kính bng
A. 1. B.
5
. C.
25
. D.
20
.
Li gii:
Ta có
23
1
zi
w
iz

1 2 3z iw w i
23
1
wi
z
iw


.
Suy ra
1zi
23
1
1
wi
i
iw

24
1
1
i
iw


1 2 5iw
2 5 1wi
Gi s
w x yi
, vi
,xy
ta có
1
2
2
1 20xy
.
Chuyên đề S PHC Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Vy tp hp các điểm biu din ca s phc
w
là đường tròn có bán kính
25R
.
Câu 25: Cho số phức
z
. Gọi
A
,
B
lần lượt các điểm trong mặt phẳng
Oxy
biểu diễn các số phức
z
1 iz
. Tnh
z
biết diện tch tam giác
OAB
bằng
8
.
A.
4z
. B.
42z
. C.
2z
. D.
22z
.
Li gii:
Ta có:
A
,
B
lần lượt các điểm trong mặt phẳng
Oxy
biểu diễn các số phức
z
1 iz
z OA
;
1 i z OB
.
1AB i z z iz z
.
OAB
OA OB
2 2 2
OA AB OB
OAB
vuông cân tại
A
.
Khi đó:
2
11
. 8 4
22
OAB
S OA AB z z
.
Câu 26: Cho hai s phc
12
,zz
khác
0
, tha mãn
22
1 2 1 2
z z z z
.
,MN
lần lượt hai điểm biu din s
phc
12
,zz
trên mt phng
Oxy
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Tam giác
OMN
nhọn và không đều. B. Tam giác
OMN
đều.
C. Tam giác
OMN
tù. D. Tam giác
OMN
vuông.
Li gii:
Cách 1:
22
1 2 1 2
z z z z
2
1 2 1 2
z z z z
2
1 2 1 2
.z z z z
2
.MN OM ON
1
Li có:
22
1 2 1 2
z z z z
2
1 2 1 2
z z z z
2
1 2 1 2
.z z z z
2
.OM ON MN
2
Tương tự ta có:
2
.ON OM MN
3
T
2
3
ta có:
2
2
OM ON
OM ON
ON OM
.
4
T
1
4
ta có:
22
MN OM MN OM
.
T đó suy ra:
OM ON MN
.
Vy
OMN
đều.
Cách 2: Ta có
2
2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2
13
00
24
z z z z z z z z z z z



.
1 2 2 1 2 2
1 3 1 3
0
2 2 2 2
z z iz z z iz
12
12
13
22
13
22
z i z
z i z










1
1 2 2
1 2 2
13
22
13
22
z z i z
z z i z








12
zz
2
z
MN ON
.
2
Chuyên đề S PHC Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Cũng từ
1
ta suy ra
12
z z OM ON
.
3
T
2
3
suy ra
OMN
đều.
Câu 27: Cho s phc
12
,zz
tha mãn
12
25zz
. Gi
, MN
lần lượt là đim biu din hai s phc
12
,zz
trên mt phng tọa độ. Biết
22MN
. Gi
H
đỉnh th tư của hình bình hành
OMHN
K
là trung điểm ca
OM
. Tính
l KH
.
A.
32l
. B.
62l
. C.
41l
. D.
5l
.
Li gii:
Gi s
,z x yi x y
.
Ta có:
12
25zz
22
20xy
nên tp hợp điểm biu din s phc là một đường tròn
tâm
O
bán kính
25R
. Khi đó điểm M, N nằm trên đường tròn tâm O bán kính
25R
.
Xét tam giác OMN:
Ta có:
2 2 2
4
cos
2 . 5
OM ON MN
MON
OM ON


.
180MON OMH
nên
4
cos
5
OMH 
.
Xét tam giác HNK có:
2 2 2
2 . .cosHK MH MK MH MK OMH
22
2 . .cosHK MH MK MH MK OMH
2
2
11
2 . .cos
22
ON OM ON OM OMH



2
2
1 1 4
2 5 .2 5 2.2 5. 2 5.
2 2 5
41
Câu 28: Cho s phc
z
tha
1 2. 2 3z i z i
. Biết tp hợp các điểm biu din s phc
w 1 . 2 3i z i
là một đường tròn. Bán knh đường tròn đó thuộc khoảng nào sau đây?
A.
1;2
. B.
3;4
. C.
2;3
. D.
0;1
.
Li gii:
Đặt
w x yi
;xy
T
w 1 . 2 3i z i
w 2 3 1 1 5
w
1 2 2
i i i
z
i



1
Theo gi thiết:
1 2. 2 3z i z i
1 2. 2 3z i z i
2
Chuyên đề S PHC Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Thay
1
vào
2
ta có:
13
.w 1 1 .w 3 8 w 3 2 11. 5
22
i
i i i i w i
Vy din tích hình tròn
2
36SR


.
Câu 29: Cho s phc
z
tha
1 2. 2 3z i z i
. Biết tp hợp các điểm biu din s phc
w 1 . 2 3i z i
là một đường tròn. Bán knh đường tròn đó thuộc khoảng nào sau đây?
A.
1;2
. B.
3;4
. C.
2;3
. D.
0;1
.
Li gii:
Đặt
w x yi
;xy
T
w 1 . 2 3i z i
w 2 3 1 1 5
w
1 2 2
i i i
z
i



1
Theo gi thiết:
1 2. 2 3z i z i
1 2. 2 3z i z i
2
Thay
1
vào
2
ta có:
13
.w 1 1 .w 3 8 w 3 2 11. 5
22
i
i i i i w i
2 2 2
2
3 2 5 2 11x y x y
22
20 38 137
0
3 3 3
x y x y
Vy tp hợp các điểm biu din ca s phc w là đường tròn tâm
10 19
;
33
I



, bán kính
52
3
R
.
Câu 30: Trong mt phng tọa độ
Oxy
, gi
H
tp hợp các điểm biu din hình hc ca s phc
z
tha mãn
12
4 3 2 2
zz
zi

. Din tích ca hình phng
H
A.
44
. B.
88
. C.
24
. D.
84
.
Li gii:
x
y
D
6
O
A
B
I
3
4
M
Cách 1:
Trong mt phng ta đ
Oxy
, điểm biu din s phc
z x yi
là điểm
;M x y
.
Chuyên đề S PHC Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Ta có
12
4 3 2 2
zz
zi

22
2 12
4 3 8
x
xy
22
6
6
4 3 8
x
x
xy

.
Hình phng
H
là hình tô đậm trên hình v.
Ta có
22IA IB
,
2ID
22
2 2 4AB AD IA ID
, suy ra
2
AIB
.
Gi
1
S
là din tích hình qut
AIB
. Ta có
2
1
1
2
4
SR


.
Din tích tam giác
AIB
2
1
.4
2
S IA IB
.
Vy din tích hình phng
H
12
24
H
S S S
.
Cách 2:
Hình phng
H
đưc biu th là phn tô màu trên hình v (k c b), là hình gii hn bi
đưng tròn
C
có tâm
4;3I
, bán kính
22R
và đường thng
6x
.
Ta có
22
4 3 8xy
22
3 8 4yx
2
3 8 4yx
.
C
cắt đường thng
3y
tại 2 điểm có ta đ
4 2 2;3
Gi
0
S
là din tích ca hình phng gii hn bởi các đường
2
3 8 4yx
,
3y
,
6x
,
4 2 2x 
.
Ta có
4 2 2
2
0
6
2. 2. 8 4 d 2,2831
H
S S x x
.
Câu 31: Xét các s phc
z
tha mãn
2
2
z
zi
là s thun o. Biết rng tp hợp các điểm biu din các s
phc
z
luôn thuc một đường tròn c định. Bán kính của đường tròn đó bằng
A.
1
. B.
2
. C.
22
. D.
2
.
Li gii:
Đặt
,,z a bi a b
. Gi
;M a b
là điểm biu din cho s phc
z
.
Ta có:
22
w
22
z a bi
z i a b i

2
2
22
2
a bi a b i
ab



2
2
2 2 2 2
2
a a b b a b ab i
ab



w
là s thun o
2
2
2 2 0 1
20
a a b b
ab
Ta có
22
1 2 2 0a b a b
.
Suy ra
M
thuộc đường tròn tâm
1;1I
, bán kính
2R
.
Chuyên đề S PHC Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Câu 32: Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, tập hợp điểm biểu diễn số phức
1
1
iz
w
z
một đường tròn
có bán knh bằng
2
. Môđun của
z
thuộc tập nào dưới đây?
A.
1
;2
2



. B.
1
;2
2



. C.
2;2
. D.
1
;2
2



.
Li gii:
Điu kin
1z 
.
Đặt
,w x yi x y
, điểm
;M x y
là điểm biểu diễn số phức
w
trên mặt phẳng tọa độ
Oxy
. Đặt
2
.zt
Ta có
1
1 1 1 1
1
iz
w w z iz z w i w
z
.
1 1 1 1z w i w z x y i x yi
2 2 2 2
2 1 2 1t x y y x y x


22
1 2 2 1 0 2t x y x yt t
.
Do tập hợp điểm biểu diễn số phc
w
là một đường tròn có bán knh bằng
2
nên
1t
.
Khi đó
22
22
2 1 0
11
x y x yt
tt

.
Theo đề bài ta được
22
2
22
1
1 4 2 5 2 0
11
11
2
2
tz
t
tt
tt
tz

.
Câu 33: Cho hai s phc
,zw
tha mãn
23zw
,
2 3 5zw
34zw
. Tính giá tr biu thc
..P z w z w
.
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Li gii:
Đặt
22
;z a w b
vi
;0ab
. Ta có:
2 3 2 2 9 . 2 . . 4. . 9 2 4 9.z w z w z w z z z w z w w w a P b
2 3 5 2 3 2 3 25 4. . 6 . . 9. . 25
4 6 9 25.
z w z w z w z z z w z w w w
a P b
3 4 3 3 16 . 3 . . 9. . 16 3 9 16.z w z w z w z z z w z w w w a P b
.
Vy ta có h sau:
2 4 9 1
4 6 9 25 2.
3 9 16 1
a P b a
a P b P
a P b b





Do đó
2P
.
Câu 34: Có bao nhiêu s phc
z
tho mãn
1 3 1z i z i
3
2
z
z
là mt s thun o?
A.
1
. B.
2
. C.
4
. D.
3
.
Li gii:
Đặt
,z x yi x y
. Gi
;M x y
là điểm biu din ca
z
.
1 3 1z i z i
2 2 2 2
1 3 1 1x y x y
20xy
.
Chuyên đề S PHC Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
2
2
3 . 2
33
22
2
x yi x yi
z x yi
z x yi
xy


22
22
22
65
.
22
x y x y
i
x y x y

.
3
2
z
z
là mt s thun o
22
2
2
2
6
0
2
z
x y x
xy


22
2
60
z
x y x

M
thuộc đường tròn
C
có tâm
1
;0
2
I



, bán kính
5
2
R
MD
.
5
,
22
d I R
nên
ct
C
tại hai điểm phân biệt trong đó có điểm
D
.
Vy có mt s phc
z
tha yêu cu bài toán.
Câu 35: Có bao nhiêu s phc
z
tha mãn
2
3
20z i z
?
A.
4
. B.
3
. C.
2
. D.
6
.
Li gii:
Ta có
22
33
2 0 2z i z z i z
(*).
Ly mô-đun hai vế có:
3
2 3 2
(*)
3
3
0
0
0
2 2 2
2
80
3




Thay
z
z
z
z i z z z z i
z
zi
zi
.
Câu 36: Gi
S
là tp hp các s phc
z
thỏa mãn điều kin
4
zz
. S phn t ca
S
A.
7
. B.
6
. C.
5
. D.
4
.
Li gii:
Ta có:
4
(*)zz
4
zz
3
10zz
0
1
z
z
.
+)
0z
(*)
0
Thay
z
.
+)
1z
(*)
4
1
Thay
z
22
1 1 0zz
1
1
z
z
zi
zi


.
S
có 5 phn t.
Câu 37: Cho s phc
z
tha mãn
15z
,
1 1 5
17z
z
z
phn ảo ơng. Tìm tổng phn thc
và phn o ca
z
.
A.
2
. B.
4
. C.
6
. D.
8
.
Li gii:
Gi
z a bi
, , 0a b R b
.
Ta có
15z
2
2
1 25ab
22
2 24 1a b a
Chuyên đề S PHC Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
1 1 5
17z
z
1 1 5
17a bi a bi
22
25
17
a
ab
22
34
02
5
a b a
Tr vế - vế ca
1
cho
2
ta có
53ab
8ab
.
Câu 38: Cho
z
là s phcmô-đun bằng
2017
w
là s phc tha mãn
1 1 1
z w z w

. Mô đun ca
s phc
w
A.
2015
. B.
0
. C.
1
. D.
2017
.
Li gii:
Ta có
1 1 1
z w z w

2
z w zw
22
0w wz z
3
2
z z i
w


.
Vi
3
2
z z i
w

3
2
z z i
w


13
.
2
i
z

2017z
.
Vi
3
2
z z i
w

3
2
z z i
w


13
.
2
i
z

2017z
.
Câu 39: Cho s phc
,zw
khác 0 tha mãn
0zw
1 3 6
z w z w

. Khi đó
z
w
bng
A. 3. B.
1
3
. C.
3
. D.
1
3
.
Li gii:
Vi hai s phc
,zw
khác 0 tha mãn
w0z 
, ta có:
22
2
1 3 6 3 6
3 6 3 2 0
12
33
3 2. 1 0
12
33
wz
w z z w zw z zw w
z w z w zw z w
z
i
zz
w
ww
z
i
w



Suy ra
2
2
1 2 1
33
3
z
w







.
Câu 40: Gi
S
tp hp các s phc
z
tha mãn
10z
. Gi
12
,zz
hai s phc thuc
S
sao cho
1
2
z
z
s thun o. Gi
,AB
lần lượt các điểm biu din s phc
12
,zz
. Din tích
AOB
bng
A.
25 3
. B.
50
. C.
25
. D.
50 3.
Li gii:
Tp hợp các điểm biu din s phc
z
là đường tròn
( ):C
;10O
. Suy ra
, ( )A B C
.
T gi thiết, ta đặt
11
22
,( ) 1
zz
mi m m m
zz
Ta có
12
10OA OB z z
,
2
2 1 2 2 2
1 10. 1 10 2AB z z z miz z mi m
.
Chuyên đề S PHC Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Suy ra
AOB
vuông ti
O
. Vy
1
. 50
2
AOB
S OAOB

.
Câu 41: bao nhiêu s nguyên
m
để tn ti 2 s phc
z
tho mãn
12z m i z mi
3
| | ?
2
z
A. 5. B. 3. C. 4. D. 6.
Li gii:
Đặt
,z a bi a b
. Theo gi thiết ta có
1 1 2
3
2
a m b i a b m i
a bi

2 2 2 2
22
1 1 2
9
4
a m b a b m
ab

2
22
2 2 4 2 3 0 1
9
2
4
m a m b m
ab

Phương trình
1
là phương trình đường thẳng, phương trình
2
là phương trình đường
tròn tâm
O
bán kính
3
2
R
.
Để tn ti s phước
z
tho mãn đề bài thì đường thẳng có phương trình
1
phi cắt đường
tròn có phương trình
2
Nghĩa là
,1d O R
2
22
3
3
2
2 2 4 2
m
mm

22
2
1 2 1m m m
42
5 6 2m m m
2
2
1 2 2 0m m m
1 3 1 3m
m
nên
2; 1;0;1;2m
.
Câu 42: Cho s phc
z
thay đổi tha mãn
14z z i
. Gi
C
đường cong to bi tt c các
đim biu din s phc
2 2 1z i i
khi
z
thay đi. Tính din tích
S
hình phng gii hn
bởi đường cong
C
.
A.
57S
. B.
10 7S
. C.
5 14S
. D.
10 14S
.
Li gii:
Đặt
21
2
2 1 2 1
2 2 1
5
1 2 1
2 1 2 1
x y i
x yi
z i z i
ii
z i i x yi
x yi x yi
zi
ii


Ta có:
2 2 2
2
1 4 2 1 5 4 5z z i x y x y
(1)
Gi
;M x y
là điểm biu din s phc
2 2 1z i i
khi
z
thay đổi.
12
2; 1 , 5;0FF
.
T (1) ta có:
12
45MF MF
.
Do đó quỹ tch điểm
M
là elip nhn
12
,FF
là hai tiêu đim.
Chuyên đề S PHC Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
22
12
4 5 2 2 5
70
10
2
2 10
2
aa
b a c
F F c c
Vy din tích hình phng cn tìm là
5 14
C
S ab


.
Câu 43: Cho s phc
z
tha mãn
2
.z
1
2
z
z 
. Biết rng tp hợp điểm biu din s phc
1 2i 1z
là một đường tròn tâm I và bán kính R. Tìm I và R.
A.
I 0; 2 ,R 5
. B.
I 1; 4 ,R 10
.
C.
I 0;2 ,R 5
. D.
I 1; 4 ,R 10
.
Li gii:
Gi
i, ,x y x y
. Theo đề bài ta có
1 2i 1z
1i
1
1 2i 1 2i
xy
zz


T đó ta có:
2
.z
1
2
z
z 
2
1 i 1 i 1 i
1
1 . .
1 2i 2 1 2i 1 2i
x y x y x y
2
2
2
1 i 1
1
1.
1 2i 2 5
x y x y
22
22
21
1
.
5 2 5
x y x y

22
22
2 2 1x y x y


22
1 4 10xy
Vy tp hợp các điểm biu din s phc
là một đường tròn có tâm và bán kính là
I 1; 4 ;R 10
.
Câu 44: Cho các s phc
1
z
,
2
z
thỏa mãn phương trình
2 3 5zi
12
6zz
. Biết rng tp hp
các điểm biu din s phc
12
w z z
là một đường tròn. Tính bán knh đường tròn đó.
A.
8R
. B.
4R
. C.
22R
. D.
2R
.
Li gii:
Gi s
A
,
B
lần lượt các điểm biu din s phc
1
z
,
2
z
trên mt phng tọa độ
Oxy
. Theo
gi thiết ta có
A
,
B
thuộc đường tròn tâm
2;3I
, bán kính
5r
6AB
.
Gi
M
là trung điểm ca
AB
khi đó
M
cũng là điểm biu din s phc
12
22
zz
w
u
.
Li có
2
2 2 2 2
16 4
2
AB
IM IA AM r IM
.
Vy
M
thuộc đường tròn tâm
2;3I
bán kính
'4r
.
Suy ra các điểm biu din s phc
12
2w z z u
là một đường tròn bán kính
2 8.Rr
Câu 45: bao nhiêu s phc
z
phn thc phn ảo đều các s nguyên tha mãn
3 4 6z i z i z i z i
10z
?
A.
12
. B.
2
. C.
10
. D.
5
.
Chuyên đề S PHC Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Li gii:
Gi
M
là điểm biu din s phc
z
,
0; 1 , 0;3 , (0; 4), 0;6A B C D
.
Ta có
3 4 6z i z i z i z i MA MB MC MD
.
Theo bất đẳng thc tam giác ta có
10MC MD CD
.
Do đó
00
2 ( 5).MA MB MC MD a a
Vi vy
M
thuc hai elip
12
,EE
có cùng độ ln là
0
2a
và tâm ca hai elip này trùng nhau
ti
0;1I
là trung điểm ca
,AB CD
. Do đó
10
12
20
0;1
0;1
Ma
M E E
Ma
Trường hp 1:
0 0 0
0;1 10 1 10 5 9M a z a a
trường hp này có 5 s
phc tha mãn.
Trường hp 2:
0 0 0
0;1 10 1 10 5 12M a z a a
trường hp này có 12 s
phc tha mãn.
Vy có tng 12 s phc tha mãn.
Câu 46: Gi
S
tp hp các s phc
z
tha mãn
1 34z 
12z mi z m i
, (trong đó
m
). Gi
1
z
,
2
z
hai s phc thuc
S
sao cho
12
zz
ln nht, khi đó giá tr ca
12
zz
bng
A.
2
. B.
10
. C.
2
. D.
130
.
Li gii:
Đặt
z x yi
,
,xy
. Khi đó
1 34z 
2
2
1 34xy
;
12z mi z m i
2 1 2 2 3 0m x m y
.
Do đó tập hợp các điểm
M
biu din s phc
z
là giao điểm của đường tròn
2
2
: 1 34C x y
và đường thng
:2 1 2 2 3 0d m x m y
.
Gi
A
,
B
là hai đim biu din
1
z
2
z
. Suy ra
,C d A B
.
Mt khác
12
2 2 34z z AB R
do đó
12
max 2 34 2 1;0z z AB R I d
.
T đó ta có
1
2
m 
nên
:3 5 3 0d x y
1
2
63
43
zi
zi

.
Vy
12
2zz
.
Chuyên đề S PHC Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Câu 47: Cho s phc
2
3 ( 1) ,z m m i
vi m tham s thực thay đổi. Tp hợp các điểm biu din
s phc z thuộc đường cong. Tính din tích hình phng gii hn bi đường cong đó trc
hoành.
A.
8
.
3
B.
4
.
3
C.
1
.
3
D.
2
.
3
Li gii:
Đim
2
3; 1M m m
biu din s phc
2
31z m m i
nên ta có
2
3; 1x m y m
t đó
2
2
3 1 6 8y x x x
.
Vậy điểm
M
thuc đưng Parabol
2
68y x x
.
Hoành độ giao điểm ca và trc hoành là nghiệm phương trình
2
2
6 8 0
4
x
xx
x
Vy din tích hình phng gii hn bi và trc hoành
4
2
2
4
6 8dx
3
S x x
.
Câu 48: Cho các s phc
12
,zz
tha mãn
1
6z
2
2z
. Gi
,MN
ln lượt các đim biu din
ca các s phc
1
z
2
iz
. Biết
60MON 
. Tính
22
12
9T z z
.
A.
T
36 2
. B.
36 3T
. C.
24 3
. D. 18.
Li gii:
Trong mt phng ta đ
Oxy
, gi
,MN
lần lượt là điểm biu din các s phc
1
z
2
iz
, gi
,EF
lần lượt là các điểm biu din các s phc
2
3iz
2
3iz
.
Theo bài ra ta có:
1
6z
nên tp hợp các điểm
M
là đường tròn tâm
O
, bán kính
6R
, gọi là đường tròn
1
C
;
2 2 2
2 . 2z iz i z
do đó tập hp các đim
N
biu din s phc
2
iz
thuộc đường
tròn tâm
O
, bán kính
2r
, gọi là đường tròn
2
C
.
Li thy :
2
36iz
2
36iz
suy ra các điểm
E
,
F
thuộc đường tròn
1
C
.
Hơn nữa:
2
3iz
2
3iz
là các s phức đối nên
EF
là một đường kính ca
1
C
.
Chuyên đề S PHC Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Mt khác :
3OE ON
nên
N
nm gia
O
E
60MOE
, suy ra tam giác
MOE
là tam
giác đều cnh bng
6
và tam giác
MEF
vuông ti
M
.
- Khi đó :
2
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
9 3 3 . 3 .T z z z iz z iz z iz ME MF
.
- Nhn thy:
2
6 . 3
. 2. 4. 4. 36 3
4
MEF MOE
ME MF S S

. Vy
36 3T
.
Câu 49: Gi
S
tp tt c các giá tr thc ca tham s
m
để tn ti 4 s phc
z
tha mãn
2z z z z
2z z z z m
là s thun o. Tng các phn t ca
S
A.
21
B.
21
2
. C.
3
2
. D.
1
2
.
Li gii:
Đặt
,,z x yi x y
.
2 2 2 2 1z z z z x yi x y
. (1)
Đặt
2
2z z z z z m z z z m
.
z
là s thun o nên có phn thc bng 0. Tc là:
22
x y m
. (2)
Tp hợp các điểm
;M x y
tha mãn (1) là hình vuông tâm là gc ta
Để có 4 cp s
;xy
thỏa mãn đng thi (1) và (2) thì (2) phi là một đường tròn ni tiếp hoc
ngoi tiếp hình vuông nói trên. Tc là
0m
1m
hoc
2
2
m
1m
hoc
1
2
m
Vy tng các phn t ca
S
3
2
.
Câu 50: Cho s phc
z a bi
,ab
. Biết tp hợp các điểm
A
biu din hình hc s phc
z
đưng tròn
C
tâm
4;3I
bán kính
3R
. Đặt
M
giá tr ln nht,
m
giá tr nh
nht ca
4 3 1F a b
. Tính giá tr
Mm
.
A.
63Mm
. B.
48Mm
. C.
50Mm
. D.
41Mm
.
Li gii:
Chuyên đề S PHC Luyn thi THPT Quc gia
Lp Toán thy Lê Bá Bo TP Huế 0935785115
Cách 1. Ta có phương trình đường tròn
22
: 4 3 9C x y
.
Do điểm
A
nằm trên đường tròn
C
nên ta có
22
4 3 9ab
.
Mt khác
4 3 1 4 4 3 3 24F a b a b
24 4 4 3 3F a b
.
Ta có
2
22
22
4 4 3 3 4 3 4 3 25.9 255a b a b




.
15 4 4 3 3 15ab
15 24 15F
9 39F
.
Khi đó
39M
,
9m
.
Vy
48Mm
.
Cách 2. Ta có
13
4 3 1
4
Fb
F a b a

2
22
2
22
13
4 3 9 4 6 9 9
4
25 2 3 3 225 0
Fb
a b b b
b F b F




2
2
3 3 25 5625FF
2
0 16 18 5625 0 9 39.F F F
____________________HT____________________
Huế, 15h15’ Ngày 19 tháng 3 năm 2023
| 1/27

Preview text:

LÊ BÁ BẢO
TRƯỜNG THPT ĐẶNG HUY TRỨ - ADMIN CLB GIÁO VIÊN TRẺ TP HUẾ SỐ PHỨC BÀI TOÁN TÌM SỐ PHỨC
 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA
 CẬP NHẬT TỪ ĐỀ THI MỚI NHẤT
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia
Ngân hàng câu hỏi:
CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÌM SỐ PHỨC NỘI DUNG ĐỀ BÀI Câu 1:
Cho số phức z thỏa mãn 2z  .
i z  3i . Mô đun của z bằng A. 5 . B. 5 . C. 3 . D. 3 . Câu 2:
Cho số phức z thoả mãn z  2  2i  2 z 1 i . Môđun của z bằng A. 4 . B. 2 . C. 2 . D. 2 2 . Câu 3:
Cho số phức z  0 thỏa mãn 2
z z (4  7i). Tính z . A. 65 . B. 56 . C. 65 . D. 56 . Câu 4:
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z z z  1? A. 0 . B. 1. C. 4 . D. 3 . z 1 z  3i Câu 5:
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn  1? z i z i A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 4 . Câu 6:
Cho số phức z thỏa mãn  z iz  2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 3 3 5 1 5 7 A. z  . B.  z  . C. z  . D.  z  . 2 2 2 2 2 2 2 Câu 7:
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn 3z z  2  i 3 z ? A. 1. B. 0. C. 2. D. Vô số. Câu 8:
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: z 10  2i z  2 14i
z 110i  5 ? A. 2. B. 0. C. 1. D. Vô số. 2 Câu 9:
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn 1 iz  2  4i  3 2 và z
i  1 2zi ? z A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 .
Câu 10: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z z  6  i  2i  7  iz ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 11: Cho số phức z z là hai nghiệm của phương trình: 6 3i iz  2z  6  9i , thỏa mãn: 1 2
z z  2 . Giá trị của biểu thức: P z z tương ứng bằng 1 2 1 2 A. 6 . B. 5 . C. 26 . D. 10 .
Câu 12: Cho số phức z  1  i . Biết rằng tồn tại các số phức z a  5i, z b (trong đó a,b  , b  1 ) 1 2
thỏa mãn 3 z z  3 z z z z . Tính b a . 1 2 1 2
A. b a  5 3 .
B. b a  2 3 .
C. b a  4 3 .
D. b a  3 3.
Câu 13: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện z  2022i  2023 và 2 z là số thuần ảo? A. 1. B. 0 . C. 4 . D. 2 .
Câu 14: Cho số phức z a bia,b  thỏa mãn z  5 và z2  i1  2i là một số thực. Tính P a b .
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia A. P  5 . B. P  7 . C. P  8 . D. P  4 .
Câu 15: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  2i  3 và  zi  4i  53i là số thực? A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 3 .
Câu 16: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  13 và  z  2i z  4i là số thuần ảo? A. 1. B. 2 . C. 0 . D. 4 .
Câu 17: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn 2
(z  2i) là số thuần ảo và (z i)  z  2 là số thực? A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 4 .
Câu 18: Gọi z , z là hai trong các số phức z thỏa mãn z  3  5i  5 và z z  6 . Tìm môđun của số 1 2 1 2
phức   z z  6 10i . 1 2 A.   10 . B.   32 . C.   16 . D.   8 .
Câu 19: Gọi S là tập hợp các số thực m sao cho với mỗi m S có đúng một số phức thỏa mãn z
z m  4 và
là số thuần ảo. Tính tổng của các phần tử của tập S . z  6 A. 0. B. 12. C. 6. D. 14.
Câu 20: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 2 z 1  z z  2 trên mặt phẳng tọa độ là một
A.
đường thẳng.
B. đường tròn. C. parabol. D. hypebol.
Câu 21: Cho số phức z thỏa mãn  z  3  i z 1 3i là một số thực. Biết rằng tập hợp các điểm biểu
diễn của z là một đường thẳng. Khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng đó bằng A. 4 2 . B. 0 . C. 2 2 . D. 3 2 .
Câu 22: Biết số phức z thỏa mãn điều kiện 3  z  3i 1  5 * . Tập hợp các điểm biểu diễn z tạo
thành 1 hình phẳng. Diện tích của hình phẳng đó bằng A. 25 . B. 9 . C. 4 . D. 16 .
Câu 23: Cho số phức z thỏa mãn z  5 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức
w  2  iz  3i là một đường tròn có bán kính bằng r . Tìm bán kính r . A. 5 . B. 5 . C. 10 . D. 25 .
Câu 24: Cho số phức z thỏa mãn z i  1. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp các điểm biểu diễn z  2  3i
của số phức w thỏa mãn w  1
là một đường tròn có bán kính bằng iz A. 1. B. 5 . C. 2 5 . D. 20 .
Câu 25: Cho số phức z . Gọi A , B lần lượt là các điểm trong mặt phẳng Oxy biểu diễn các số phức
z và 1 iz . Tính z biết diện tích tam giác OAB bằng 8 . A. z  4 . B. z  4 2 . C. z  2 . D. z  2 2 .
Câu 26: Cho hai số phức z , z khác 0 , thỏa mãn 2 2
z z z z . M , N lần lượt là hai điểm biểu diễn số 1 2 1 2 1 2
phức z , z trên mặt phẳng Oxy . Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 2
A. Tam giác OMN nhọn và không đều.
B. Tam giác OMN đều.
C. Tam giác OMN tù.
D. Tam giác OMN vuông.
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia
Câu 27: Cho số phức z , z thỏa mãn z z  2 5 . Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn hai số phức 1 2 1 2
z , z trên mặt phẳng tọa độ. Biết MN  2 2 . Gọi H là đỉnh thứ tư của hình bình hành 1 2
OMHN K là trung điểm của OM . Tính l KH . A. l  3 2 . B. l  6 2 . C. l  41 . D. l  5 .
Câu 28: Cho số phức z thỏa z 1 i  2.z  2  3i . Biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức
w  1 i.z  2  3i là một đường tròn. Bán kính đường tròn đó thuộc khoảng nào sau đây? A. 1; 2 . B. 3; 4 . C. 2;3 . D. 0;  1 .
Câu 29: Cho số phức z thỏa z 1 i  2.z  2  3i . Biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức
w  1 i.z  2  3i là một đường tròn. Bán kính đường tròn đó thuộc khoảng nào sau đây? A. 1; 2 . B. 3; 4 . C. 2;3 . D. 0;  1 .
Câu 30: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi  H  là tập hợp các điểm biểu diễn hình học của số phức
z z 12  z thỏa mãn 
. Diện tích của hình phẳng  H  là
z  4  3i  2 2  A. 4  4 . B. 8  8 . C. 2  4 . D. 8  4 . z  2
Câu 31: Xét các số phức z thỏa mãn
là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số z  2i
phức z luôn thuộc một đường tròn cố định. Bán kính của đường tròn đó bằng A. 1. B. 2 . C. 2 2 . D. 2 . 1  iz
Câu 32: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn số phức w  1 là một đường tròn z
có bán kính bằng 2 . Môđun của z thuộc tập nào dưới đây? 1   1   1  A.  ;2. B.  ; 2 . C.  2;  2 . D.  ;2.  2   2   2 
Câu 33: Cho hai số phức z, w thỏa mãn z  2w  3, 2z  3w  5 và z  3w  4. Tính giá trị biểu thức P  . z w  . z w . A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . z  3
Câu 34: Có bao nhiêu số phức z thoả mãn z 1 3i z 1 i và là một số thuần ảo? z  2 A. 1. B. 2 . C. 4 . D. 3 . 2
Câu 35: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn 3 z  2i z  0 ? A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 6 .
Câu 36: Gọi S là tập hợp các số phức z thỏa mãn điều kiện 4
z z . Số phần tử của S A. 7 . B. 6 . C. 5 . D. 4 . 1 1 5
Câu 37: Cho số phức z thỏa mãn z 1 5 ,
z có phần ảo dương. Tìm tổng phần thực z z 17
và phần ảo của z . A. 2 . B. 4 . C. 6 . D. 8 .
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia 1 1 1
Câu 38: Cho z là số phức có mô-đun bằng 2017 và w là số phức thỏa mãn   . Mô đun của z w z w số phức w A. 2015 . B. 0 . C. 1. D. 2017 . 1 3 6 z
Câu 39: Cho số phức z, w khác 0 thỏa mãn z w  0 và   bằng z w z  . Khi đó w w 1 1 A. 3. B. . C. 3 . D. . 3 3
Câu 40: Gọi S là tập hợp các số phức z thỏa mãn z  10 . Gọi z , z 1
2 là hai số phức thuộc S sao cho
z1 là số thuần ảo. Gọi ,
A B lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z , z  1 2 . Diện tích AOB z2 bằng A. 25 3 . B. 50 . C. 25 . D. 50 3.
Câu 41: Có bao nhiêu số nguyên m để tồn tại 2 số phức z thoả mãn z m i z 1 2mi và 3 | z | ? 2 A. 5. B. 3. C. 4. D. 6.
Câu 42: Cho số phức z thay đổi thỏa mãn z 1  z i  4. Gọi C  là đường cong tạo bởi tất cả các
điểm biểu diễn số phức  z  2i2i  
1 khi z thay đổi. Tính diện tích S hình phẳng giới hạn
bởi đường cong C .
A. S  5 7 .
B. S  10 7 .
C. S  5 14 .
D. S  10 14 . 2 . z z
Câu 43: Cho số phức z thỏa mãn z 1 
. Biết rằng tập hợp điểm biểu diễn số phức 2
  1 2i z 1là một đường tròn tâm I và bán kính R. Tìm I và R. A. I 0; 2  ,R  5 . B. I 1; 4  ,R  10 .
C. I 0; 2, R  5 . D. I  1  ; 4  ,R  10 .
Câu 44: Cho các số phức z , z thỏa mãn phương trình z 2 3i 5 và z z 6 . Biết rằng tập hợp 1 2 1 2
các điểm biểu diễn số phức w z
z là một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó. 1 2 A. R 8 . B. R 4 . C. R 2 2 . D. R 2 .
Câu 45: Có bao nhiêu số phức z có phần thực và phần ảo đều là các số nguyên thỏa mãn
z i z  3i z  4i z  6i z  10 ? A. 12. B. 2 . C. 10. D. 5 .
Câu 46: Gọi S là tập hợp các số phức z thỏa mãn z 1  34 và z 1 mi z m  2i , (trong đó m
). Gọi z , z là hai số phức thuộc S sao cho z z lớn nhất, khi đó giá trị của 1 2 1 2 z z bằng 1 2 A. 2 . B. 10 . C. 2 . D. 130 .
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia
Câu 47: Cho số phức 2
z m  3  (m  1)i, với m là tham số thực thay đổi. Tập hợp các điểm biểu diễn
số phức z thuộc đường cong. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong đó và trục hoành. 8 4 1 2 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3
Câu 48: Cho các số phức z , z thỏa mãn z  6 và z  2 . Gọi M , N lần lượt là các điểm biểu diễn 1 2 1 2
của các số phức z iz . Biết MON  60 . Tính 2 2
T z  9z . 1 2 1 2 A. T  36 2 . B. T  36 3 . C. 24 3 . D. 18.
Câu 49: Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại 4 số phức z thỏa mãn
z z z z  2 và z z  2   z z  m là số thuần ảo. Tổng các phần tử của S là 2 1 3 1 A. 2 1 B. . C. . D. . 2 2 2
Câu 50: Cho số phức z a bi a,b   . Biết tập hợp các điểm A biểu diễn hình học số phức z
đường tròn C  có tâm I 4;3 và bán kính R  3 . Đặt M là giá trị lớn nhất, m là giá trị nhỏ
nhất của F  4a  3b 1. Tính giá trị M m .
A.
M m  63 .
B. M m  48 .
C. M m  50 .
D. M m  41.
____________________HẾT____________________
Huế, 15h15’ Ngày 19 tháng 3 năm 2023
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia
LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1:
Cho số phức z thỏa mãn 2z  .
i z  3i . Mô đun của z bằng: A. 5 . B. 5 . C. 3 . D. 3 . Lời giải:
Đặt z a bi .  a b  a  2z  .
i z  3i  2a bi  ia bi  3i  2a b i2b a  2 0 1 3i    
2b a  3 b   2 Suy ra: 2 2 z a b  5 . Câu 2:
Cho số phức z thoả mãn z  2  2i  2 z 1 i . Môđun của z bằng A. 4 . B. 2 . C. 2 . D. 2 2 .
Lời giải:
z x yi , x y   .
Ta có: x yi  2  2i  2 x yi 1 i  2 2 x x
y y    2 2 4 4 4 4
2 x  2x  1  y  2 y   1  2 2 x y  4. Suy ra 2 2 z x y  2 . Câu 3:
Cho số phức z  0 thỏa mãn 2
z z (4  7i). Tính z . A. 65 . B. 56 . C. 65 . D. 56 .
Lời giải: 2 Ta có : 2 2 2 2
z z (4  7i).  z
z (4  7i) .  z z . 4  7i z  4  7  65. Câu 4:
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z z z  1? A. 0 . B. 1. C. 4 . D. 3 . Lời giải:
Giả sử z x yi x, y    z x yi z z  2x . 2 2 x y  2 2 1  z 1    x y 1  Bài ra ta có      1  z z 1   2x 1 x     2 1 1 3 Với 2 x  
  y 1  y   . 2 4 2 1 3 1 3 1 3 1 3
Do đó có 4 số phức thỏa mãn là z   i , z  
i , z   
i , z    i . 1 2 2 2 2 2 3 2 2 4 2 2 z 1 z  3i Câu 5:
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn  1? z i z i A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 4 . Lời giải:
Gọi số phức z a bi với a, b  . z 1 2 2 Ta có
 1  z 1  z i  a   2 2
1  b a  b   1
a b  0 z i
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia z  3i  2 2 1 2
a  b   2 3
a  b   1  b  1 z ia 1 Suy ra 
. Vậy z  1 i b  1
Vậy có 1số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 6:
Cho số phức z thỏa mãn  z iz  2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 3 3 5 1 5 7 A. z  . B.  z  . C. z  . D.  z  . 2 2 2 2 2 2 2 Lời giải:
Gọi z m  0 . Khi đó  z iz  2 được viết lại thành m iz  2 . Lấy module 2 vế ta có
m   m  
m i . z
2  m m 1  2  m m   2 1 1 2 2 2 4 2
1  2  m m  2  0   2 m  2  (VN) 1 3
Do m  0 nên ta có m  1, suy ra z  1. Vậy  z  . 2 2 Câu 7:
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn 3z z  2  i 3 z ? A. 1. B. 0. C. 2. D. Vô số. Lời giải:
Gọi z a bi  , a b 
Theo bài ra ta có z z    i
z abi  i  2 2 3 2 3 4 2 2 3 a b a  0    2 2 a 0
4a  2 a b b  0                2 2 2 b 0 2 2 4   2 3 a a b b a b      a b 4b  3  a b  2 2 3 2 2 2
Vậy có vô số số phức z thỏa mãn điều kiện đã cho. Câu 8:
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: z 10  2i z  2 14i
z 110i  5 ? A. 2. B. 0. C. 1. D. Vô số. Lời giải:
Đặt z a bi với a,b  . 2 2 2 2
Từ giả thiết z 10  2i z  2 14i   a 10  b   2  a   2 b 1  4 . 4  2
 4a  32b  96  0  a b  4 . 3 2 2 2  4 
Ta có: z 110i  5  a   1  b 10 2  25  b  5
b  20b 100  25   .  3  25 100 2  b
b 100  0  b  6 . 9 3
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia
Suy ra a  4 . Vậy có một số phức thỏa mãn. 2 Câu 9:
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn 1 iz  2  4i  3 2 và z
i  1 2zi ? z A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Lời giải:
Ta có : 1 iz  2  4i  3 2  z 1 3i  3 .
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn z thuộc đường tròn tâm I  1  ;  3 ; R  3. 1 2 z
i   zi    i 2 z  
i    i 2 1 2 1 2 1 1 2 z  1 i z z z 4  z  1 2 4  5. z  1  5 z 1  0    z  1 2 2 z zz  4  / 5  l
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn z thuộc đường tròn tâm O0;0; R 1. 2
IO  10; R R  4 nên R R IO R R 1 2 1 2 1 2
 2 đường tròn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.
Câu 10: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z z  6  i  2i  7  iz ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải:
Ta có: z z  6  i  2i  7  iz z z  7  i  6 z   z  2i (1). 2 2 2
Lấy môđun hai vế ta được: zz   2 7
1  6 z    z  2 . 2 2 2
Đặt: t z ;t  0 ta được: t t   2 7
1  6t  t  2 . 2
t  2t t   2 4 3 2  t t
t t t t    t   3 2 14 50 37 4 4 14 13 4 4 0
1 t 13t  4  0(*) .
Bấm máy tính phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt dương.
6 z   z  2i
Ứng với một giá trị t dương thế vào (1) ta tìm ra một số phức z  . z  7  i
Vậy có 3 số phức z thỏa mãn.
Câu 11: Cho số phức z z là hai nghiệm của phương trình: 6 3i iz  2z  6  9i , thỏa mãn: 1 2
z z  2 . Giá trị của biểu thức: P z z tương ứng bằng 1 2 1 2 A. 6 . B. 5 . C. 26 . D. 10 . Lời giải:
Trước hết ta tìm quỹ tích điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn giả thiết:
6 3i iz  2z  6  9i i . z  3 6i  2z  6  9i z  3 6i  2z  6  9i   1 .
Đặt z x iy thay vào (1) ta được:
x iy   i
x iy  i  x  2  y  2   x  2  y  2 3 6 2 6 9 3 6 2 6 2 9 .
 x  2  y  2 3 4 1. 2 2
Như vậy điểm biểu diễn số phức z là đường tròn (C):  x  
3   y  4 1  z z R . 0
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia
Trong đó: z  3  4i R 1. Điểm I biểu diễn số phức z  3  4i . 0 0
Gọi A là điểm biểu diễn số phức z và B là điểm biểu diễn số phức z khi đó ta có: 1 2
IA IB R 1; AB z z  2  2R. Suy ra AB là một đường kính của đường tròn (C). 1 2
Khi đó ta có I là trung điểm của AB tức là: z z  2z  6  8i . 1 2 0
Suy ra: P z z 10. 1 2
Câu 12: Cho số phức z  1 i . Biết rằng tồn tại các số phức z a  5i, z b (trong đó a, b  , b  1) 1 2
thỏa mãn 3 z z  3 z z z z . Tính b a . 1 2 1 2
A. b a  5 3 .
B. b a  2 3 .
C. b a  4 3 .
D. b a  3 3. Lời giải:
Ta có: 3 z z  3 z z z z . 1 2 1 2 
 1 a2  4  b  2 2 1 1   
b a2  25  31 a2 16      b  2
1  1 a2  15   
b  2  b    a    a2    a2 23 1 2 1 1 1 3 1  b  2 1  1 a2  15      b   2
1  1 a2  15   8  b  2 1  30 b  
1 1 a  7 1 a2  0 
b  2   a2 1 1 15   2 3  a    b 1  1 a 1 1  3   
b a  3 3 4 .   7 3 7 b   b 1 1 a 1      3   2
Câu 13: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện z  2022i  2023 và 2 z là số thuần ảo? A. 1. B. 0 . C. 4 . D. 2 . Lời giải:
Gọi z a bi,  , a b  .
z  a bi2 2 2 2
a b  2abi là số thuần ảo nên 2 2 2 2
a b  0  a b
z  2022i  2023  a  b  i
a  b  2 2 2 2022 2023 2022  2023 2
 2b  4044b  4045  0   1 Do 2. 4
 045  0 nên phương trình  
1 luôn có hai nghiệm trái dấu hay
  b b (b  0) 1 1 1  
b b (b  0)  2 2 Với b b
a b a   b 1 thì 2 2 2 1 1,2 1 .
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia Với b b
a b a   b 2 thì 2 2 2 2 3,4 2
Vậy có 4 số phức z cần tìm.
Câu 14: Cho số phức z a bia,b  thỏa mãn z  5 và z2  i1  2i là một số thực. Tính P a b . A. P  5 . B. P  7 . C. P  8 . D. P  4 . Lời giải: Ta có: 2 2
z  5  a b  25  1 .
Mặt khác: z 2  i1 2i  a bi4  3i  4a  3b  4b  3ai . 3a
z 2  i1 2i là số thực nên 4b  3a  0  b  . 4 2  3a  Thay vào   1 ta được 2 2 a
 25  a 16  a  4  b  3  P  7   .  4 
Câu 15: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  2i  3 và  zi  4i  53i là số thực? A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 3 .
Lời giải:
Ta có: z  2i  3 nên z biểu diễn bởi M nằm trên đường tròn C , tâm I 0; 2 , R  3.
Ta có: w  zi  4i  53i  y xi  4i  5i  x  4  i y  5 là số thực nên w biễu diễn
bởi điểm A nằm trên đường thẳng y  5  0d  .  2   5
d I ; d    
 7  R nên đường thẳng d không cắt đường tròn I ;R. 2 1
Vậy không có số phức z nào thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 16: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  13 và  z  2i z  4i là số thuần ảo? A. 1. B. 2 . C. 0 . D. 4 . Lời giải:
Gọi z x yi với x, y  . Ta có 2 2
z  13  x y  13 (1) .
Mà  z i z i   x yi ix yi i   2 2 2 4 2 4
x y  2 y  8  ( 6
x).i là số thuần ảo khi 5 2 2
x y  2 y  8  0  13  2 y  8  0  y   . 2  3 3 x  5 2 Từ y   thay vào (1) ta được  . 2  3 3 x    2
Vậy có 2 số phức thoả yêu cầu bài toán.
Câu 17: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn 2
(z  2i) là số thuần ảo và (z i)  z  2 là số thực? A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 4 .
Lời giải:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia 2 2 2 2
Đặt z x yi suy ra  z i   x yi i  x    y   2 2 2 2 i  x  
y  2  2xy  2i
Ta có  z i2 2
là số thuần ảo suy ra:    x y   y x x y  2 2
2  0  x   y  22 2 2 2     x     y     1 2
y  x  2
(z i)  z  2   x yi i x yi  2  x   y  
1 i  x  2  yi    
xx  2  yy   1  xy  
x  2 y   1  i    2 2
x  2x y y    x  2y  2i
Ta có (z i)  z  2 là số thực suy ra: x  2y  2  0 2  x  2
y x  2         y  0 y x 2     1
x  2y  2  0        
Từ (1) và (2) suy ra hệ phương trình: 2 y x 2     x        x y      y x 2   3 2 2 0 2  
x  2y  2  0  4    y   3
Vậy có hai số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 18: Gọi z , z là hai trong các số phức z thỏa mãn z  3  5i  5 và z z  6 . Tìm môđun của số 1 2 1 2
phức   z z  6 10i . 1 2 A.   10 . B.   32 . C.   16 . D.   8 . Lời giải:
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z  3  5i  5 là đường tròn C  tâm I 3; 5 bán kính R  5 .
Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn của số phức z , z suy ra M , N nằm trên đường tròn C  . 1 2
Gọi H là trung điểm của MN suy ra IH MN . Do 2 2
z z  6  MN  6  MH NH  3  IH
IM MH  4 . 1 2
  z z  6 10i z  3 5i z  3 5i 1 2 1   2  
   IM IN  2IH  2IH  8.
Câu 19: Gọi S là tập hợp các số thực m sao cho với mỗi m S có đúng một số phức thỏa mãn z
z m  4 và
là số thuần ảo. Tính tổng của các phần tử của tập S . z  6 A. 0. B. 12. C. 6. D. 14.
Lời giải:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia
Điều kiện: z  6 .
Giả sử z x yi x, y   . Ta có z m   x m yi    x m2 2 4 4
y  16(C).
Vậy (C) có tâm I m;0 , bán kính R  4 . z 6 6
6 x  6  yi 6 x  6 6 y Mặt khác: 1 1 1    i . z  6 z  6 x  6  yix 6 1 2  y
x 62  y x 62 2 2 2  y z 6 x  6 Khi đó
là số thuần ảo khi phần thực bằng 0 hay 1  0 z  6 x 62 2  y
 x  2  y  x     x  2 2 2 6 6 6 0 3
y  9 C .
Vậy: C có tâm I 3;0 , bán kính R  3 .
Do đó: II   3  m;0  II  m  3 .
Có một số phức z thỏa mãn  C  và C tiếp xúc trong hoặc tiếp xúc ngoài. m  4 
II  R R  1  m  3  1 m  2        S  12 .
II  R R  7  m  3  7 m 10   m  4 
Câu 20: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 2 z 1  z z  2 trên mặt phẳng tọa độ là một
A.
đường thẳng.
B. đường tròn. C. parabol. D. hypebol. Lời giải:
Giả sử z x yi x, y    z x yi z z  2x . Bài ra ta có x   yi x   x  2 2 2 1 2 2 2
1  y  2x  2
 x  2  y  x  2 2 2 2 2 2 1 1
x  2x 1 y x  2x 1  y  4x .
Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 2 z 1  z z  2 trên mặt phẳng tọa độ là một parabol.
Câu 21: Cho số phức z thỏa mãn  z  3  i z 1 3i là một số thực. Biết rằng tập hợp các điểm biểu
diễn của z là một đường thẳng. Khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng đó bằng A. 4 2 . B. 0 . C. 2 2 . D. 3 2 . Lời giải:
Đặt z x yi,  x, y  
z 3iz 13i  x yi 3ix yi 13i
  x  3   y  
1 i.  x  
1   y  3i    
  x  3 x   1   y  
1  y  3   x  3 y  3   y 1 x 1   i
z 3iz 13i là một số thực nên
x 3y 3 y  1x  1  0  xy 3x 3y 9 xy y x 1 0  x y  4  0.
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia
Suy ra tập các điểm biểu diễn của z là đường thẳng  có phương trình x y  4  0 .
Khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng  : d O  4 ;   2 2 . 2
Câu 22: Biết số phức z thỏa mãn điều kiện 3  z  3i 1  5 * . Tập hợp các điểm biểu diễn z tạo
thành 1 hình phẳng. Diện tích của hình phẳng đó bằng A. 25 . B. 9 . C. 4 . D. 16 .
Lời giải: 2 2
Gọi z x yi với x, y
z  3i 1  x 1  y  3i z 3i 1  x   1   y  3     2 2
x  2   y  2 * 3 1 3
 5  9  x   1
  y  3  25 . 2 2 2 2
Gọi C là đường tròn  x   1
  y  3  25; C là đường tròn x  
1   y  3  9 2  1 
 Tập hợp các điểm biểu diễn z là hình vành khăn giới hạn bởi C và C và có diện tích 2  1 
S  25  9  16 .
Câu 23: Cho số phức z thỏa mãn z  5 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức
w  2  iz  3i là một đường tròn có bán kính bằng r . Tìm bán kính r . A. 5 . B. 5 . C. 10 . D. 25 . Lời giải:
Đặt w x yi , với x, y  .
x   y  3i
Ta có w  2  iz  3i x yi  2  iz  3i z  2  . i
x   y  3i
x   y  3i
Nên, từ z  5 ta có:  5   5 2  i 2  i
x   y  32 2 
 5  x   y  2 2 3
 5  x   y  2 2 3  25. 2 2 2 1
Vậy, tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I 0; 3
  và bán kính r  5 . w  3i
Cách khác: z  5 
 5  w  3i  5  MI  5 2 
với M I là điểm biểu diễn i
w và 3i  r=5
Câu 24: Cho số phức z thỏa mãn z i  1. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp các điểm biểu diễn z  2  3i
của số phức w thỏa mãn w  1
là một đường tròn có bán kính bằng iz A. 1. B. 5 . C. 2 5 . D. 20 .
Lời giải: z  2  3i w   i Ta có w
z 1iw  w  2  2 3 3i z  1 iz 1 . iw w   i 2   4i
Suy ra z i  2 3 1   i 1 
1  1 iw  2 5  w i  2 5   1 1 iw 1 iw
Giả sử w x yi , với x, y  ta có  
1  x   y  2 2 1  20 .
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w là đường tròn có bán kính R  2 5 .
Câu 25: Cho số phức z . Gọi A , B lần lượt là các điểm trong mặt phẳng Oxy biểu diễn các số phức
z và 1 iz . Tính z biết diện tích tam giác OAB bằng 8 . A. z  4 . B. z  4 2 . C. z  2 . D. z  2 2 . Lời giải:
Ta có: A , B lần lượt là các điểm trong mặt phẳng Oxy biểu diễn các số phức z
1iz z OA; 1iz OB .
AB  1 iz z iz z .
OAB OA OB và 2 2 2
OA AB OB OAB  vuông cân tại A . 1 1 2 Khi đó: SO . A AB
z  8  z  4 . OAB 2 2
Câu 26: Cho hai số phức z , z khác 0 , thỏa mãn 2 2
z z z z . M , N lần lượt là hai điểm biểu diễn số 1 2 1 2 1 2
phức z , z trên mặt phẳng Oxy . Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 2
A. Tam giác OMN nhọn và không đều.
B. Tam giác OMN đều.
C. Tam giác OMN tù.
D. Tam giác OMN vuông. Lời giải: Cách 1: 2 2
z z z z   z z  z z 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2  z z  2
z . z MN OM .ON   1 1 2 1 2 Lại có: 2 2
z z z z 2
z z z  2 z
z z . z  2
z OM ON.MN 2 1 2  1 2  1 2 1 2 1 2 1 2 Tương tự ta có: 2
ON OM .MN 3 2 OM ON
Từ 2 và 3 ta có: 
OM ON . 4 2 ON OM Từ   1 và 4 ta có: 2 2
MN OM MN OM .
Từ đó suy ra: OM ON MN . Vậy OMN đều. 2  1  3 Cách 2: Ta có 2 2 2 2 2
z z z z z z z z  0  z zz  0 . 1 2 1 2 1 1 2 2  1 2  2  2  4   1 3  z    i z  1 2   1 3  1 3  2 2   
  z z
iz  z z iz   0    1 1 2 2 1 2 2     2 2 2 2     1 3 
z    iz 1 2    2 2      1 3 
z z     i z 1 2 2   2 2     
z z z MN ON . 2  1 2 2 1 3 
z z    iz 1 2 2    2 2   
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia Cũng từ  
1 ta suy ra z z OM ON . 3 1 2
Từ 2 và 3 suy ra OMN đều.
Câu 27: Cho số phức z , z thỏa mãn z z  2 5 . Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn hai số phức 1 2 1 2
z , z trên mặt phẳng tọa độ. Biết MN  2 2 . Gọi H là đỉnh thứ tư của hình bình hành 1 2
OMHN K là trung điểm của OM . Tính l KH . A. l  3 2 . B. l  6 2 . C. l  41 . D. l  5 .
Lời giải:
Giả sử z x yi x, y   .
Ta có: z z  2 5 2 2
x y  20 nên tập hợp điểm biểu diễn số phức là một đường tròn 1 2
tâm O bán kính R  2 5 . Khi đó điểm M, N nằm trên đường tròn tâm O bán kính R  2 5 . Xét tam giác OMN: 2 2 2
OM ON MN 4 Ta có: cos MON   . 2OM .ON 5 4
MON OMH  180 nên cos OMH   . 5
Xét tam giác HNK có: 2 2 2
HK MH MK  2MH.MK.cos OMH 2   2 2
HK MH MK 2MH.MK.cosOMH 2 1 1  ON OM  
 2ON. OM.cosOMH  2  2   2 2  1  1  4   2 5  .2 5  2.2 5. 2 5.       41  2  2  5 
Câu 28: Cho số phức z thỏa z 1 i  2.z  2  3i . Biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức
w  1 i.z  2  3i là một đường tròn. Bán kính đường tròn đó thuộc khoảng nào sau đây? A. 1; 2 . B. 3; 4 . C. 2;3 . D. 0;  1 . Lời giải:
Đặt w  x yi  ; x y  
  i  i   i
Từ w  1 i.z  2  w 2 3 1 1 5 3i z   w     1 1 i  2  2
Theo giả thiết: z 1 i  2.z  2  3i z 1 i  2.z  2  3i 2
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia 1 i 3 Thay   1 vào 2 ta có: .w 
1i  1i.w 38i  w 3i  2w11.i 5 2 2
Vậy diện tích hình tròn là 2
S   R  36 .
Câu 29: Cho số phức z thỏa z 1 i  2.z  2  3i . Biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức
w  1 i.z  2  3i là một đường tròn. Bán kính đường tròn đó thuộc khoảng nào sau đây? A. 1; 2 . B. 3; 4 . C. 2;3 . D. 0;  1 . Lời giải:
Đặt w  x yi  ; x y  
  i  i   i
Từ w  1 i.z  2  w 2 3 1 1 5 3i z   w     1 1 i  2  2
Theo giả thiết: z 1 i  2.z  2  3i z 1 i  2.z  2  3i 2 1 i 3 Thay   1 vào 2 ta có: .w 
1i  1i.w 38i  w 3i  2w11.i 5 2 2  20 38 137
x   y  2   x  2   y  2 2 3 2 5 2 11 2 2  x y x y   0 3 3 3 10 1  9 
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w là đường tròn tâm I ;   , bán kính  3 3  5 2 R  . 3
Câu 30: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi  H  là tập hợp các điểm biểu diễn hình học của số phức
z z 12  z thỏa mãn 
. Diện tích của hình phẳng  H  là
z  4  3i  2 2  A. 4  4 . B. 8  8 . C. 2  4 . D. 8  4 .
Lời giải: y A I 3 M D B x 6 O 4 Cách 1:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , điểm biểu diễn số phức z x yi là điểm M  ; x y  .
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia    x 6 z z  12   2x  12   Ta có     x  6  .  2 2
z  4  3i  2 2    x  4 
  y 3  8   x4 
2  y 32  8
Hình phẳng  H  là hình tô đậm trên hình vẽ. 
Ta có IA IB  2 2 , ID  2 và 2 2
AB  2 AD  2 IA ID  4 , suy ra AIB  . 2 1
Gọi S là diện tích hình quạt AIB . Ta có 2 S   R  2 . 1 1 4 1
Diện tích tam giác AIB S I . A IB  4 . 2 2
Vậy diện tích hình phẳng  H  là S   S S  2  4 . H 1 2 Cách 2:
Hình phẳng  H  được biểu thị là phần tô màu trên hình vẽ (kể cả bờ), là hình giới hạn bởi
đường tròn C  có tâm I 4;3 , bán kính R  2 2 và đường thẳng x  6 . 2 2 2 2
Ta có  x  4   y  3  8   y  3  8   x  4  y    x  2 3 8 4 .
C cắt đường thẳng y  3tại 2 điểm có tọa độ 42 2;3
Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y    x  2 3 8 4
, y  3 , x  6 , 0 x  4  2 2 . 42 2 2 Ta có S  2.S  2. 8  x  4 dx  2, 2831  . H 0       6 z  2
Câu 31: Xét các số phức z thỏa mãn
là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số z  2i
phức z luôn thuộc một đường tròn cố định. Bán kính của đường tròn đó bằng A. 1. B. 2 . C. 2 2 . D. 2 . Lời giải:
Đặt z a bi, a,b
. Gọi M a;b là điểm biểu diễn cho số phức z . z  2 a  2  bi
a  2bia b  2i   Ta có: w    z  2i a  b  2i
a  b  22 2
a a  2  b b  2  
 a  2b  2  abi  
a  b  22 2 a
 a  2  bb  2  0   1
w là số thuần ảo   a   b  22 2  0 Ta có   2 2
1  a b  2a  2b  0 .
Suy ra M thuộc đường tròn tâm I 1; 
1 , bán kính R  2 .
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia 1  iz
Câu 32: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn số phức w  1 là một đường tròn z
có bán kính bằng 2 . Môđun của z thuộc tập nào dưới đây? 1   1   1  A.  ;2. B.  ; 2 . C.  2;  2 . D.  ;2.  2   2   2  Lời giải:
Điều kiện z  1  .
Đặt w x yi  ,
x y  , điểm M  ;
x y là điểm biểu diễn số phức w trên mặt phẳng tọa độ  2 1 iz Oxy . Đặt z
t. Ta có w
w1 z 1 iz zw i 1 w   1 1  . z  
1  z w i  1 w z x   y  
1 i  1 x yi 2 2 2 2
t x y  2y 1  x y  2x 1 2 2    t  
1 x y   2x  2yt t 1  0 2 .
Do tập hợp điểm biểu diễn số phức w là một đường tròn có bán kính bằng 2 nên t  1 . Khi đó   2 2 2 2
2  x y x yt  1  0 t 1 t  . 1     2 2 t 2 z 2  1   t   Theo đề bài ta được 2  
1  4  2t  5t  2  0       1 1 .  t 1  t 1 t   z   2 2
Câu 33: Cho hai số phức z, w thỏa mãn z  2w  3, 2z  3w  5 và z  3w  4. Tính giá trị biểu thức P  . z w  . z w . A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Lời giải: 2 2 Đặt z  ;
a w b với ; a b  0 . Ta có:
z  2w  3   z  2wz  2w  9  . z z  2 . z w  . z w  4. .
w w  9  a  2P  4b  9.
2z  3w  5  2z  3w2z  3w  25  4. . z z  6 . z w  . z w  9. . w w  25
 4a  6P  9b  25.
z  3w  4   z  3wz  3w 16  . z z  3 . z w  . z w  9. .
w w  16  a  3P  9b  16. .
a  2P  4b  9 a  1  
Vậy ta có hệ sau: 4a  6P  9b  25  P  2. Do đó P  2 .  
a  3P  9b  16 b  1   z  3
Câu 34: Có bao nhiêu số phức z thoả mãn z 1 3i z 1 i và là một số thuần ảo? z  2 A. 1. B. 2 . C. 4 . D. 3 . Lời giải:
Đặt z x yi x, y  . Gọi M x; y là điểm biểu diễn của z . 2 2 2 2
z 1 3i z 1 i   x  
1   y  3   x   1   y   1
x y  2  0 .
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia z  3 x yi  3
x 3 yi.x  2 yi 2 2      x y x 6 5y   .i . z  2 x yi  2  2 2 x  22 2  yx  2 2  yx  2 2  yz  2  z  3  z  2  là một số thuần ảo 2 2
  x y x  6   z  2   2 2
x y x  6  0   x  2 0 2 2  y   1  5
M thuộc đường tròn C  có tâm I ; 0 
, bán kính R  và M D.  2  2
d I  5 , 
R nên  cắt C tại hai điểm phân biệt trong đó có điểm D . 2 2
Vậy có một số phức z thỏa yêu cầu bài toán. 2
Câu 35: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn 3 z  2i z  0 ? A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 6 .
Lời giải: 2 2 Ta có 3 3 z  2i z  0  z  2  i z (*). Lấy mô-đun hai vế có: z  0 3  z  0 z   2 3 2 0 3 Thay (*) z  2
i z z  2 z      z  2  i . 3  z  2 
z  8i  0  z  3  i
Câu 36: Gọi S là tập hợp các số phức z thỏa mãn điều kiện 4
z z . Số phần tử của S A. 7 . B. 6 . C. 5 . D. 4 .
Lời giải: z  0 4 3 Ta có: 4
z z (*)  z z z z   1  0   .  z  1  +) z  0 Thay (*)  z  0 . z  1  z 1 +) z  1 Thay (*) 4
 z  1   2 z   2 1 z   1  0    . z i  z i
S có 5 phần tử. 1 1 5
Câu 37: Cho số phức z thỏa mãn z 1 5 ,
z có phần ảo dương. Tìm tổng phần thực z z 17
và phần ảo của z . A. 2 . B. 4 . C. 6 . D. 8 . Lời giải: Gọi z a bi a,b R,b 0 . Ta có z 1 5  a  2 2 1  b  25 2 2 a b 2a 24 1
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia 1 1 5 1 1 5 2a 5 34 2 2 a b a 0 2 z z 17 a bi a bi 17 2 2 a b 17 5
Trừ vế - vế của 1 cho 2 ta có a 5 b 3 a b 8 . 1 1 1
Câu 38: Cho z là số phức có mô-đun bằng 2017 và w là số phức thỏa mãn   . Mô đun của z w z w số phức w A. 2015 . B. 0 . C. 1. D. 2017 .
Lời giải: 1 1 1 z z i Ta có      2 z wzw 2 2
w wz z  3 0  w  . z w z w 2  
z z 3i 1 i 3  z z 3i Với w   w   z .  z  2017 . 2 2 2  
z z 3i 1 i 3  z z 3i Với w   w   z .  z  2017 . 2 2 2 1 3 6 z
Câu 39: Cho số phức z, w khác 0 thỏa mãn z w  0 và   bằng z w z  . Khi đó w w 1 1 A. 3. B. . C. 3 . D. . 3 3 Lời giải:
Với hai số phức z, w khác 0 thỏa mãn z  w  0 , ta có: 1 3 6 w  3z 6    
 w  3zz w 2 2
 6zw  3z  2zw w  0 z w z w zw z wz 1 2    2 iz   z w 3 3  3  2. 1  0        w   w   z 1 2    iw 3 3 2 2 z  1   2  1 Suy ra           . w  3  3   3
Câu 40: Gọi S là tập hợp các số phức z thỏa mãn z  10 . Gọi z , z 1
2 là hai số phức thuộc S sao cho
z1 là số thuần ảo. Gọi ,
A B lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z , z  1 2 . Diện tích AOB z2 bằng A. 25 3 . B. 50 . C. 25 . D. 50 3. Lời giải:
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn (C) :  ; O 10. Suy ra , A B  (C) . z z
Từ giả thiết, ta đặt 1 1
mi,(m ) 
m m  1 z z 2 2
Ta có OA OB z z 10 , 2
AB z z z miz z 1  mi  10. 1  m  10 2 . 1 2 2 1 2 2 2
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia 1 Suy ra A
OB vuông tại O . Vậy S O . A OB 50 A    . OB 2
Câu 41: Có bao nhiêu số nguyên m để tồn tại 2 số phức z thoả mãn z m i z 1 2mi và 3 | z | ? 2 A. 5. B. 3. C. 4. D. 6.
Lời giải:
 a m  b  
1 i  a  
1  b  2mi
Đặt z a bi  ,
a b  . Theo giả thiết ta có  3  a bi   2   2
a m2  b  2 1  a  2
1  b  2m2 
 2m  2a  4m  2b  3m  0    1     9  9 2 2 a b  2 2 a b  2  4  4 Phương trình  
1 là phương trình đường thẳng, phương trình 2 là phương trình đường 3
tròn tâm O bán kính R  . 2
Để tồn tại số phước z thoả mãn đề bài thì đường thẳng có phương trình   1 phải cắt đường
tròn có phương trình 2 2 3  m 3 2 2 Nghĩa là d  , O   1   R   2
m  m   1  2m   1
m 2  m 2 2 2 2 4 2 4 2
m  5m  6m  2  m  2  2 1
m  2m  2  0  1
  3  m  1 3
m nên m 2  ;1;0;1;  2 .
Câu 42: Cho số phức z thay đổi thỏa mãn z 1  z i  4. Gọi C  là đường cong tạo bởi tất cả các
điểm biểu diễn số phức  z  2i2i  
1 khi z thay đổi. Tính diện tích S hình phẳng giới hạn
bởi đường cong C .
A. S  5 7 .
B. S  10 7 .
C. S  5 14 .
D. S  10 14 .
Lời giải: x yi
x  2   y   1 i z  2i   z i    
Đặt  z i i   2i 1 2i 1 2 2
1  x yi   x yi x  5  yiz 1  2i 1   2i 1 2i 1 2 2 2
Ta có: z   z i    x     y     x   2 1 4 2 1 5  y  4 5 (1) Gọi M  ;
x y là điểm biểu diễn số phức  z  2i2i   1 khi z thay đổi. F 2; 1  , F 5;0 . 1   2  
Từ (1) ta có: MF MF  4 5 . 1 2
Do đó quỹ tích điểm M là elip nhận F , F là hai tiêu điểm. 1 2
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia
4 5  2a a  2 5  70 2 2       10 b a c 2
F F  2c  10  c  1 2  2
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là 
S   ab  5 14 . C 2 . z z
Câu 43: Cho số phức z thỏa mãn z 1 
. Biết rằng tập hợp điểm biểu diễn số phức 2
  1 2i z 1là một đường tròn tâm I và bán kính R. Tìm I và R. A. I 0; 2  ,R  5 . B. I 1; 4  ,R  10 .
C. I 0; 2, R  5 . D. I  1  ; 4  ,R  10 . Lời giải:
Gọi   x  i,
y x, y   . Theo đề bài ta có   1 2i z 1  1 x   1  i yz   z  1 2i 1 2i 2 . z z
Từ đó ta có: z 1  2  2 2 x   2 1  i y 1  x   1  i y x   1  i y
x  1 iy 1  x   2    1 y 1  . .  1  . 1 2i 2 1 2i 1 2i 1 2i 2 5
x   y  2 1  x  2 2 2 2 1  y   2 2 2 2 . 2
 x   y     x   2 2 2
1  y x 1  y  4 10 5 2 5      
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức  là một đường tròn có tâm và bán kính là I  1  ; 4  ;R  10 .
Câu 44: Cho các số phức z , z thỏa mãn phương trình z 2 3i 5 và z z 6 . Biết rằng tập hợp 1 2 1 2
các điểm biểu diễn số phức w z
z là một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó. 1 2 A. R 8 . B. R 4 . C. R 2 2 . D. R 2 . Lời giải:
Giả sử A , B lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z , z trên mặt phẳng tọa độ Oxy . Theo 1 2 giả thiết ta có
A , B thuộc đường tròn tâm I 2;3 , bán kính r 5 và AB 6 . z z w
Gọi M là trung điểm của AB khi đó M cũng là điểm biểu diễn số phức 1 2 u . 2 2 2 AB Lại có 2 2 2 2 IM IA AM r 16 IM 4 . 2
Vậy M thuộc đường tròn tâm I 2;3 bán kính r ' 4 .
Suy ra các điểm biểu diễn số phức w z z
2u là một đường tròn bán kính R 2r 8. 1 2
Câu 45: Có bao nhiêu số phức z có phần thực và phần ảo đều là các số nguyên thỏa mãn
z i z  3i z  4i z  6i z  10 ? A. 12. B. 2 . C. 10. D. 5 .
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia Lời giải:
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z , A0;  1 , B0;  3 , C(0; 4  ), D0;6.
Ta có z i z  3i z  4i z  6i MA MB MC MD.
Theo bất đẳng thức tam giác ta có MC MD CD 10 .
Do đó MA MB MC MD  2a (a  5). 0 0
Vi vậy M thuộc hai elip E , E có cùng độ lớn là 2a và tâm của hai elip này trùng nhau 1   2  0 M 0;1 a 1 0 tại I 0; 
1 là trung điểm của A ,
B CD . Do đó M   E E   1   2   M 0;1  a  2  0 
Trường hợp 1: M 0;1 a z 10  1 a 10  5  a  9 trường hợp này có 5 số 0  0 0 phức thỏa mãn.
Trường hợp 2: M 0;1 a z 10  1 a 10  5  a 12trường hợp này có 12 số 0  0 0 phức thỏa mãn.
Vậy có tổng 12 số phức thỏa mãn.
Câu 46: Gọi S là tập hợp các số phức z thỏa mãn z 1  34 và z 1 mi z m  2i , (trong đó m
). Gọi z , z là hai số phức thuộc S sao cho z z lớn nhất, khi đó giá trị của 1 2 1 2 z z bằng 1 2 A. 2 . B. 10 . C. 2 . D. 130 . Lời giải:
Đặt z x yi ,  x , y   . Khi đó z 1  34   x  2 2 1
y  34 ; z 1 mi z m  2i  2m  
1 x  2 2  my  3  0 .
Do đó tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là giao điểm của đường tròn
C x  2 2 : 1
y  34và đường thẳng d : 2m  
1 x  2 2  my  3  0 .
Gọi A , B là hai điểm biểu diễn z z . Suy ra C   d   , AB . 1 2
Mặt khác z z AB  2R  2 34 do đó max z z  2 34  AB  2R I 1;0  d . 1 2   1 2 1
z  6  3i
Từ đó ta có m   nên d : 3x  5y  3  0 1   . 2 z  4   3i  2
Vậy z z  2 . 1 2
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia
Câu 47: Cho số phức 2
z m  3  (m  1)i, với m là tham số thực thay đổi. Tập hợp các điểm biểu diễn
số phức z thuộc đường cong. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong đó và trục hoành. 8 4 1 2 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải:
Điểm M  2
m  3; m  
1 biểu diễn số phức z m    2 3 m   1 i nên ta có 2
x m  3; y m 1 từ đó y   x  2 2 3
1  x  6x  8 .
Vậy điểm M thuộc đường Parabol 2
y x  6x  8 .
Hoành độ giao điểm của và trục hoành là nghiệm phương trình x  2 2
x  6x  8  0   x  4 4 4
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi và trục hoành là 2 S
x  6x  8dx   . 3 2
Câu 48: Cho các số phức z , z thỏa mãn z  6 và z  2 . Gọi M , N lần lượt là các điểm biểu diễn 1 2 1 2
của các số phức z iz . Biết MON  60 . Tính 2 2
T z  9z . 1 2 1 2 A. T  36 2 . B. T  36 3 . C. 24 3 . D. 18.
Lời giải:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z iz , gọi 1 2
E, F lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức 3iz và 3iz . 2 2 Theo bài ra ta có:
z  6 nên tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O , bán kính R  6 , gọi là đường tròn 1
C ; z  2  iz i . z  2do đó tập hợp các điểm N biểu diễn số phức iz thuộc đường 1  2 2 2 2
tròn tâm O , bán kính r
2 , gọi là đường tròn C . 2  Lại thấy : 3iz 6 và 3iz
6 suy ra các điểm E , F thuộc đường tròn C . 1  2 2
Hơn nữa: 3iz và 3iz là các số phức đối nên EF là một đường kính của C . 1  2 2
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia
Mặt khác : OE  3ON nên N nằm giữa O E MOE  60 , suy ra tam giác MOE là tam
giác đều cạnh bằng 6 và tam giác MEF vuông tại M .
- Khi đó : T z  9z z  3iz 2 2 2 2
z  3iz . z  3iz ME.MF . 1 2 1 2 1 2 1 2 2 6 . 3
- Nhận thấy: ME.MF  2.S  4.S  4.
 36 3 . Vậy T  36 3 . MEF MOE 4
Câu 49: Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại 4 số phức z thỏa mãn
z z z z  2 và z z  2   z z  m là số thuần ảo. Tổng các phần tử của S là 2 1 3 1 A. 2 1 B. . C. . D. . 2 2 2 Lời giải:
Đặt z x yi, x, y   .
z z z z  2  2x  2 yi  2  x y  1. (1)
Đặt z  z z    z z 2 2
m z z z m.
z là số thuần ảo nên có phần thực bằng 0. Tức là: 2 2
x y m . (2)
Tập hợp các điểm M  ;
x y  thỏa mãn (1) là hình vuông tâm là gốc tọa Để có 4 cặp số  ;
x y  thỏa mãn đồng thời (1) và (2) thì (2) phải là một đường tròn nội tiếp hoặc 2 1
ngoại tiếp hình vuông nói trên. Tức là m  0 và m  1hoặc m
m  1hoặc m  2 2 3
Vậy tổng các phần tử của S là . 2
Câu 50: Cho số phức z a bi a,b   . Biết tập hợp các điểm A biểu diễn hình học số phức z
đường tròn C  có tâm I 4;3 và bán kính R  3 . Đặt M là giá trị lớn nhất, m là giá trị nhỏ
nhất của F  4a  3b 1. Tính giá trị M m .
A.
M m  63 .
B. M m  48 .
C. M m  50 .
D. M m  41.
Lời giải:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia 2 2
Cách 1. Ta có phương trình đường tròn C  :  x  4   y  3  9 . 2 2
Do điểm A nằm trên đường tròn C  nên ta có a  4  b  3  9 .
Mặt khác F  4a  3b 1  4a  4  3b  3  24  F  24  4a  4  3b  3 . 2 2 2
Ta có  a    b      2 2 4 4 3 3
4  3  a  4  b  3   25.9  255   .  15
  4a  4  3b  3 15  15  F  24 15  9  F  39 .
Khi đó M  39 , m  9 .
Vậy M m  48 . F 1 3b
Cách 2. Ta có F  4a  3b 1  a  4 2   F   b
a  42  b  32 1 3 2  9 
 4  b  6b  9  9    4  2
 25b  23F  3 2
b F  225  0
   F  2 2 3 3  25F  5625 2   0  16
F 18F  5625  0  9  F  39.
____________________HẾT____________________
Huế, 15h15’ Ngày 19 tháng 3 năm 2023
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115