Ngân hàng câu hỏi số phức: Phương trình với hệ số thực – Lê Bá Bảo Toán 12
Ngân hàng câu hỏi số phức: Phương trình với hệ số thực – Lê Bá Bảo Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Preview text:
LÊ BÁ BẢO
TRƯỜNG THPT ĐẶNG HUY TRỨ - ADMIN CLB GIÁO VIÊN TRẺ TP HUẾ SỐ PHỨC
PHƯƠNG TRÌNH VỚI HỆ SỐ THỰC
LUYỆN THI THPT QUỐC GIA
CẬP NHẬT TỪ ĐỀ THI MỚI NHẤT
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia
Ngân hàng câu hỏi:
PHƯƠNG TRÌNH VỚI HỆ SỐ THỰC NỘI DUNG ĐỀ BÀI Câu 1:
Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z 1 a z 1 a 6z ( a là tham số thực). Có 2 2
bao nhiêu giá trị của a để phương trình đó có hai nghiệm z , z thỏa mãn z z 42 ? 1 2 1 2 A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Câu 2:
Trên tập hợp số phức xét phương trình 2 2
z 2mz m 2m 1 0 . Có bao nhiêu giá trị thực
của m để phương trình đã cho có 2 nghiệm z ; z thoả mãn z 2 z ? 1 2 1 2 A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 . Câu 3: Biết phương trình 2
z 2z m 0 ( m là tham số thực) có một nghiệm là z 1
3i . Gọi z là 1 2
nghiệm còn lại. Phần ảo của số phức w mz 2z bằng 1 2 A. 36 . B. 24 . C. 36 . D. 8 . Câu 4: Cho phương trình 2
z 2mz 6m 8 0 . ( m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của
tham số m để phương trình có hai nghiệm phức phân biệt z , z 1 2 thỏa mãn z z z z ? 1 1 2 2 A. 4 . B. 1. C. 3 . D. 2 . Câu 5:
Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm phức z thỏa mãn 0 z 2 6 ? 0 A. 3. B. 4. C. 1. D. 2. Câu 6:
Trên tập hợp các số phức, xét phương trình 2
z 2mz 3m 10 0 ( m là tham số thực). Có bao
nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đó có hai nghiệm z , z không phải số thực thỏa 1 2
mãn z z 8 ? 1 2 A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Câu 7:
Trên tập số phức, xét phương trình 2
z m 2 2
4 z m 4m 1 0 , m là tham số thự C.
Có bao nhiêu giá trị m để phương trình đã cho có hai nghiệm phức phân biệt z , z thỏa điều 1 2
kiện z z 2z z z . 1 2 1 2 1 A. 3 . B. 2 . C. 0 . D. 3. Câu 8:
Trên tập hợp các số phức, xét phương trình 2
z m 2 2 2
1 z 4m 5m 0 ( m là tham số
thực). Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm z thoả mãn 0 2
z 1 4m 2
z 4m 5m 3 10 ? 0 0 A. 1. B. 2 . C. 4 . D. 3 . Câu 9:
Trên tập số phức, xét phương trình 2
z 2mz m 1 0
1 ( m là tham số thực); z , z là hai 1 2
nghiệm phức của phương trình 1 ; ,
A B lần lượt là điểm biểu diễn của hai nghiệm phức đó
trên mặt phẳng Oxy . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để OAB vuông tại O ? A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 4 . 1
Câu 10: Trên tập hợp số phức, xét phương trình 2 z m 1z 2
m 5m 6 0(m là tham số thực). 4
Có bao nhiêu số nguyên m [ 10
;10] đề phương trình trên có hai nghiệm phức z , z 1 2 thỏa
mãn z z z z ? 1 2 1 2
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia A. 11. B. 10. C. 8. D. 9.
Câu 11: Trên tập số phức, cho phương trình 2
z az b 0 (a, b ) . Có bao nhiêu số phức w sao cho
phương trình đã cho có hai nghiệm là z (6 i) w 2i và z (w 5 i) | w | ? 1 2 A. 4. B. 3. C. 6. D. 5.
Câu 12: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình 2
z 2mz 8m 12 0 . Có bao nhiêu giá trị
nguyên của m để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt z , z thỏa mãn z z ? 1 2 1 2 A. 5 B. 6 . C. 3 . D. 4 .
Câu 13: Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình 2
z 2mz 1 0 có hai nghiệm phức phân biệt
z , z thỏa mãn z 3 z 3 ? 1 2 1 2 A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Câu 14: Có bao nhiêu số nguyên a để phương trình 2
z a 2
3 z a a 0 có hai nghiệm phức
z , z thỏa mãn z z z z ? 1 2 1 2 1 2 A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Câu 15: Cho số phức w và hai số thực b , c . Biết rằng w 2 và 3w 4i là hai nghiệm của phương trình 2
2022z bz c 0 . Tính giá trị biểu thức P b c bằng A. P 4044 .
B. P 8088 .
C. P 4044 . D. P 8088 .
Câu 16: Trên tập các số phức, xét phương trình 2
z mz m 8 0 ( m là tham số thực). Có bao nhiêu
giá trị nguyên của tham số m để phương trình có hai nghiệm z , z 1 2 phân biệt thỏa mãn z 2
z mz 2
m m 8 z 1 1 2 2 ? A. 12. B. 6 . C. 5 . D. 11.
Câu 17: Biết phương trình 2
z az b 0 a ,b có một nghiệm là z 3i và nghiệm còn lại là z . 1 2
Mô đun của số phức a b z bằng 2 A. 10 . B. 9 . C. 18 . D. 27 .
Câu 18: Cho số phức w và hai số thực a , b . Biết z w 2i và z 2w 3 là hai nghiệm phức của 1 2 phương trình 2
z az b 0 . Tính giá trị của T z z . 1 2 2 97 2 85
A. T 2 13 .
B. T 4 13 . C. T . D. T . 3 3
Câu 19: Cho các số thực b , c sao cho phương trình 2
z bz c 0 có hai nghiệm phức z ; z với phần 1 2
thực là số nguyên và thỏa mãn z 3 2i 1 và z 2i z 2 là số thuần ảo. Khi đó, b c 1 2 1 bằng A. 1 . B. 12 . C. 4 . D. 12 .
Câu 20: Gọi z , z , z , z là 4 nghiệm phức của phương trình 4
z m 2 4
z 4m 0 . Tìm tất cả các 1 2 3 4
giá trị m để z z z z 6 . 1 2 3 4
A. m 1.
B. m 2 .
C. m 3 D. m 1.
Câu 21: Trên tập hợp các số phức, phương trình 2
z az b 0 , với a, b
có nghiệm z 2 3i . 0
Biết rằng phương trình 2
z bz a 0 cũng có hai nghiệm phức z , z . Tính S z z . 1 2 1 2 A. 4 . B. 13 . C. 25 . D. 185 .
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia
Câu 22: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình 2 2
z 4az b 2 0, ( a, b là các tham số thực). Có
bao nhiêu cặp số thực a;b sao cho phương trình đó có hai nghiệm z , z 1 2 thỏa mãn
z 2iz 3 3i ? 1 2 A. 4. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 23: Trên tập số phức, cho phương trình 2
z m 2 2
1 z m 2m 0 . Có bao nhiêu tham số m để
phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt z ; z thõa mãn 2 2 z z 5 1 2 1 2 A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 4 .
Câu 24: Trên tập hợp số phức, xét phương trình 2 2
z 2z m 0 ( m là tham số thực). Có bao nhiêu
giá trị của m để phương trình đó có nghiệm z z
0 thỏa mãn điểm biểu diễn của 0 thuộc đường 2 x E-lip có phương trình 2 y 1? 4 A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 1.
Câu 25: Biết phương trình 2 2
z mz m 2 0 ( m là tham số thực) có hai nghiệm phức z , z 1 2 . Gọi ,
A B,C lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z , z z i 1 2 và 0
. Có bao nhiêu giá trị của tham
số m để diện tích tam giác ABC bằng 1? A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 6
Câu 26: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình 2
z 2m
1 z 8m 4 0 ( m là tham số thực). Có
bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt z , z thỏa 1 2 mãn 2 2
z 2mz 8m z 2mz 8m ? 1 1 2 2 A. 4 . B. 3 . C. 5 . D. 6 .
Câu 27: Tìm tổng các giá trị của số thực a sao cho phương trình 2 2
z 3z a 2a 0 có nghiệm phức
z0 thỏa z 2 . 0 A. 0 . B. 2 . C. 4 . D. 6 .
Câu 28: Trên tập hợp các số phức, gọi S là tổng các giá trị thực của m để phương trình 2
mz 2m
1 z m 6 0 có nghiệm z0 thỏa mãn z 1. Tính S . 0 A. 3 . B. 4 . C. 1. D. 2 .
Câu 29: Cho phương trình 2 2
z az 2a 0 , với a là số thực dương. Gọi z , z là hai nghiệm phức của 1 2
phương trình, trong đó z có phần ảo dương. Biết rằng 2z z z 10 2 7i . Khẳng định 1 2 1 1 nào sau đây đúng?
A. 1 a 3.
B. a 1 .
C. 5 a 8.
D. 3 a 5.
Câu 30: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình 2
z m 2 2 2
1 z 4m 5m 0 ( m là tham số
thực). Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm z thoả mãn 0 z 3 10 ? 0 A. 1. B. 2 . C. 4 . D. 3 . 2 3 4 z
Câu 31: Cho số phức z, w khác 0 thỏa mãn z w 0 và . Khi đó, bằng z w z w w 6 2 A. 2 . B. . C. 3 . D. . 3 3
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia
Câu 32: Tìm tất cả các giá trị thực của a sao cho phương trình 2 2
z az 2a a 0 có hai nghiệm phức có môđun bằng 1. 1 5 A. a 1 . B. a 1. C. a 1 . D. a . 2
Câu 33: Trên tập số phức, xét phương trình 2 2
z 2mz n 5 0 (với m , n là tham số thực). Có bao nhiêu cặp số ( ;
m n) để phương trình đã cho có hai nghiệm phức z , z sao cho các điểm biểu 1 2
diễn của z , z , z 1, z 5 là bốn đỉnh của một hình vuông? 1 2 3 4 A. 3 . B. 2 . C. 4 . D. 1.
Câu 34: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình 2
z 2mz m 12 0 ( m là tham số thực). Có bao
nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt z z 1 , 2 thỏa mãn z z 2 z z ? 1 2 1 2 A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Câu 35: Cho phương trình 4 2
4z mz 4 0 trong tập số phức và m là tham số thực. Gọi z , z , z , z 1 2 3 4
là bốn nghiệm của phương trình đã cho. Tìm tất cả các giá trị của m để
2z 4 2z 4 2z 4 2z 4 324 . 1 2 3 4 m 2 m 2 m 1 m 1 A. . B. . C. . D. . m 15 m 15 m 35 m 35
Câu 36: Cho các số thực b, c sao cho phương trình 2
z bz c 0 có hai nghiệm phức z , z thỏa 1 2
mãn z 4 3i 1 và z 8 6i 4 . Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 2
A. 5b c 12.
B. 5b c 4.
C. 5b c 4.
D. 5b c 12.
Câu 37: Cho phương trình 2
z bz c 0 , có hai nghiệm z , z thỏa mãn z z 4 2i . Gọi , A B là các 1 2 2 1
điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình 2
z 2bz 4c 0 . Tính độ dài đoạn AB . A. 8 5. B. 2 5. C. 4 5. D. 5.
Câu 38: Trên tập hợp các số phức, phương trình 2
z a 2 z 2a 3 0 ( a là tham số thực) có 2
nghiệm z , z . Gọi M , N là điểm biểu diễn của z , z trên mặt phẳng tọa độ. Biết rằng có 2 1 2 1 2
giá trị của tham số a để tam giác OMN có một góc bằng 120 . Tổng các giá trị đó bằng bao nhiêu? A. 6 . B. 4 . C. 4 . D. 6 .
Câu 39: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình 2
z 2z m 2 0 ( m là tham số thực). Gọi T là
tập hợp các giá trị của m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt được biểu diễn hình học bởi hai điểm ,
A B trên mặt phẳng tọa độ sao cho diện tích tam giác ABC bằng 2 2 , với C 1;
1 . Tổng các phần tử trong T bằng A. 8 . B. 4 . C. 9 . D. 1 .
Câu 40: Biết rằng phương trình 2
z 2az b 0 (a,b là các số thực dương) có hai nghiệm phức liên
hợp z , z . Gọi ,
A B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của số phức w 2, z , z . Tính giá trị của 1 2 1 2
T b 4a biết rằng ba điểm ,
A B, C tạo thành một tam giác vuông có diện tích bằng 9 . A. 6 . B. 8 . C. 9 . D. 14 .
Câu 41: Trên tập hợp số phức, xét phương trình 2 2
z 2az b 20 0
1 với a,b là các tham số
nguyên dương. Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt z , z thỏa mãn: z 3iz 7 5i 1 2 1 2
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia
thì giá trị của biểu thức 7a 5b bằng A. 19 . B. 17 . C. 32 . D. 40 . c
Câu 42: Cho phương trình 2 x 4x
0 có hai nghiệm phức. Gọi A , B là hai điểm biểu diễn của d
hai nghiệm đó trên mặt phẳng Oxy . Biết tam giác OAB đều, tính P c 2d .
A. P 18 .
B. P 10 .
C. P 14 .
D. P 22 .
Câu 43: Cho phương trình 4 2
4z mz 4 0 trong tập số phức và m là tham số thực. Gọi z , z , z , z 1 2 3 4
là bốn nghiệm của phương trình đã cho. Tìm tất cả các giá trị của m để
2z 4 2z 4 2z 4 2z 4 324 . 1 2 3 4
A. m 1; m 35 .
B. m 1; m 35 .
C. m 1; m 35 .
D. m 1; m 35 .
Câu 44: Tìm m để các nghiệm của phương trình sau đều là số ảo: m 4 2
3 z 6z m 3 0 .
3 2 m 3
A. 3 m 3 2 .
B. 3 m 3 2 . C. .
D. 3 2 m 3 . 3 m 3 2
Câu 45: Gọi S là tổng các số thực m thỏa mãn 3 2
z 7z 16z 12 mz 3m 0 có nghiệm phức z 0
thỏa mãn | z | 2 . Khẳng định nào dưới đây đúng? 0 A. S 24 . B. S 25 . C. S 18 . D. S 16 .
Câu 46: Trên tập hợp số phức cho phương trình 2
z bz c 0 , với b, c
. Biết rằng hai nghiệm của
phương trình có dạng z w 3 và z 3w 8i 13 với w là một số phức. Tính b c . 1 2 A. 9 . B. 10 . C. 11. D. 12 .
Câu 47: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình: 2
z m 2 2
1 z m 3m 5 0 ( m là tham số
thực). Tính tổng các giá trị của m để phương trình trên có nghiệm z thỏa mãn 0 3 z 12 5 z . 0 0 A. 9 . B. 12 . C. 10 . D. 8 .
Câu 48: Cho phương trình 2
z bz c 0 có hai nghiệm z , z thỏa mãn z z 3 4i . Gọi , A B là các 1 2 2 1
điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình 2
z 2bz 4c 0 . Tính độ dài đoạn AB . A. 20. B. 2 5. C. 10. D. 5.
Câu 49: Cho m là số thực, biết phương trình 2
z 2mz 9 0 có hai nghiệm phức z , z . Có bao nhiêu 1 2
giá trị nguyên của m sao cho z z z z 16 ? 1 2 2 1 A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 6 .
Câu 50: Gọi S là tập hợp tất cả các số thực a sao cho phương trình 2
z (a 2)z 2a 3 0 có hai
nghiệm phức z , z và các điểm biểu diễn của z , z cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam 1 2 1 2
giác có diện tích bằng 2. Số phần tử của S là? A. 1. B. 4 . C. 2 . D. 3 .
____________________HẾT____________________
Huế, 15h15’ Ngày 19 tháng 3 năm 2023
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia
LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1:
Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z 1 a z 1 a 6z ( a là tham số thực). Có 2 2
bao nhiêu giá trị của a để phương trình đó có hai nghiệm z , z thỏa mãn z z 42 ? 1 2 1 2 A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải:
Ta có: z a z a 2
z z a 2 1 1 6 2
3 z a 1 0
1 có 6a 10 . 5
+ Trường hợp 1: 0 a . Khi đó phương trình
1 có hai nghiệm thực z , z . 3 1 2 a 6 38 2 2 2 Suy ra z z
42 2a 3 2 2 a 2
1 42 2a 24a 4 0 . 1 2 a 6 38 5
Kết hợp với điều kiện a , nhận a 6 38 . 3 5
+ Trường hợp 2: 0 a . Khi đó phương trình
1 có hai nghiệm phức z , z thỏa 3 1 2 mãn z z . 1 2 2 2 a 22 Suy ra 2 z z
42 z z z z 42 z z 21 a 22 0 . 1 2 1 1 2 2 1 2 a 22 5
Kết hợp với điều kiện a , nhận a 22 . 3
Vậy có 2 giá trị của a thỏa mãn. Câu 2:
Trên tập hợp số phức xét phương trình 2 2
z 2mz m 2m 1 0 . Có bao nhiêu giá trị thực
của m để phương trình đã cho có 2 nghiệm z ; z thoả mãn z 2 z ? 1 2 1 2 A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 . Lời giải: 1 TH1. 2
0 m 2 m 2m
1 0 2m 1 0 m
. Khi đó phương trình đã cho có 2 2
nghiệm thực.Theo định lý Vi-et ta có
z z 2m 1 z 2z 3 1 2 1 2
. Xét z 2 z . 2 1 2
z .z m 2m 1 2 z 2 4 1 2 1 2 2m z 6 2 z z 2m 3 Từ
1 và 3 ta có hệ phương trình 1 2 . z 2z 0 4m 1 2 z 7 1 3
Thế 6 và 7 vào phương trình 2 ta được m 9 6 2 2 4 TM m m 2 2 .
m 2m 1 m 18m 9 0 . 3 3 m 9 6 2 TM
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia
z z 2m z 2 m 10 1 2 2 Từ
1 và 4 ta có hệ phương trình
. Thế 9 và 10 vào z 2z 0 z 4m 9 1 2 1
phương trình 2 ta được m m 2 2 2 4
m 2m 1 9m 2m 1 0 VN . 1 TH2. 2
0 m 2 m 2m
1 0 2m 1 0 m
. Khi đó phương trình đã cho có 2 2
nghiệm phức phân biệt. Giả sử z a bi z a bi . Khi đó 1 2 a 0 2 2 2 2 2 2 z 2 z
a b 2 a b a b 0
. Suy ra z z 0 0i mẫu thuẫn 1 2 b 0 1 2
với điều kiện đề bài là phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Trên tập hợp các số phức, xét phương trình 2
z 2 m
1 z m 3 0 ( m là tham số thực). Câu 3: Biết phương trình 2
z 2z m 0 ( m là tham số thực) có một nghiệm là z 1
3i . Gọi z là 1 2
nghiệm còn lại. Phần ảo của số phức w mz 2z bằng 1 2 A. 36 . B. 24 . C. 36 . D. 8 . Lời giải:
Từ giả thiết z 1
3i z z 10 m 10. 2 1 2
Vậy phần ảo của số phức w 10z 2z 10 1 3i 2 1 3i 8 36i là 36 . 1 2 Câu 4: Cho phương trình 2
z 2mz 6m 8 0 . ( m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của
tham số m để phương trình có hai nghiệm phức phân biệt z , z 1 2 thỏa mãn z z z z ? 1 1 2 2 A. 4 . B. 1. C. 3 . D. 2 . Lời giải: Ta có 2
m 6m 8 m 4 Trường hợp 1: 0 m 2
Khi đó phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt z , z 1 2 và 2 2 z z z z z z 1 1 2 2 1 2 z z loai 1 2
z z 0 2m 0 m 0 tm 1 2 z z 1 2 Trường hợp 2:
0 2 m 4
Khi đó phương trình đã cho có hai nghiệm phức phân biệt z , z 1 2
z z z z z .z z .z ( luôn đúng) mà m m 3 1 1 2 2 1 2 1 1
Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn bài toán. Câu 5:
Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm phức z thỏa mãn 0 z 2 6 ? 0 A. 3. B. 4. C. 1. D. 2. Lời giải: Xét phương trình 2
z 2m
1 z m 3 0 1
Ta có m 2 2
1 m 3 m m 2. .
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia m 2 Nếu 2
0 m m 2 0 thì phương trình 1 có nghiệm thực: m 1 z 4 0 z 2 6 0 z 8 0 11
Với z 4 : thay vào 1 , được: m 0 7 83
Với z 8 : thay vào 1 , được: m 0 17 Nếu 2
0 m m 2 0 2
m 1 thì phương trình 1 có nghiệm phức 2
z m 1i m m 2 0 2
z m 1 i m m 2 0 2
Khi đó z 2 6 m 3 2 m m 2 2
36 2m 7m 29 0 : Phương trình có hai 0 nghiệm phân biệt.
Vậy có 4 giá trị của tham số m để bài toán thỏa mãn. Câu 6:
Trên tập hợp các số phức, xét phương trình 2
z 2mz 3m 10 0 ( m là tham số thực). Có bao
nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đó có hai nghiệm z , z không phải số thực thỏa 1 2
mãn z z 8 ? 1 2 A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải: Ta có 2
m 3m 10 .
Phương trình không có nghiệm thực khi 2
0 m 3m 10 0 2 m 5(1) .
Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt 2 2
z m m 3m 10.i, z m m 3m 10.i 1 2
Vậy z z 8 2 3m 10 8 3m 10 4 3m 10 16 m 2 . 1 2
Kết hợp với điều kiện ta có 2 m 2 . Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn. Câu 7:
Trên tập số phức, xét phương trình 2
z m 2 2
4 z m 4m 1 0 , m là tham số thự C.
Có bao nhiêu giá trị m để phương trình đã cho có hai nghiệm phức phân biệt z , z thỏa điều 1 2
kiện z z 2z z z . 1 2 1 2 1 A. 3 . B. 2 . C. 0 . D. 3. Lời giải:
Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phức phân biệt trong đó z là nghiệm có phần ảo 1 2 15
âm là: m 4 2 m 4m 1 0 4
m 15 0 m . 4
Khi đó: z z 2z z 2m 4 2 2 m 4m 2 1 2
m 10m 10 1 2 1 2 Và z b
i m 4 i 4 m 15 1 2 Ta có: 2
z z 2z z z 2
m 10m 10 m 4 4m 15 1 2 1 2 1 2 2 2
m 10m 10 m 4m 1 15 Vì m nên 2
m 4m 1 0 , do đó: 4
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia 2 2 2 11 2
m 10m 10 m 4m 1
3m 14m 11 0 m 1, m (*) 3 2 2 2 2
m 10m 10 m 4m 1
m 6m 9 0 m 3 15
Đối chiếu điều kiện m
suy ra không có giá trị nào của m thỏa điều kiện bài toán. 4 Câu 8:
Trên tập hợp các số phức, xét phương trình 2
z m 2 2 2
1 z 4m 5m 0 ( m là tham số
thực). Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm z thoả mãn 0 2
z 1 4m 2
z 4m 5m 3 10 ? 0 0 A. 1. B. 2 . C. 4 . D. 3 . Lời giải:
Cách 1: Ta có m 1.
Trường hợp 1: m 1 0 m 1. z 7
Khi đó theo bài ra, phương trình đã cho có nghiệm thực z thoả mãn 0 z 3 10 . 0 0 z 13 0 2 7 22m 2
1 7 4m 5m 0
Từ đó suy ra 132 22m 113 2
4m 5m 0
m 3 tm 2
4m 33m 63 0 . 2 21
4m 47m 143 0 m tm 4
Trường hợp 2: m 1 0 m 1.
Khi đó phương trình đã cho có hai nghiệm phức là z và z và thoả mãn z 3 10 0 0 0
z 3z 3 2
100 z 3z z 2
9 100 4m 5m 3.2 2m 1 91 0 0 0 0 0 0 7 1601 m tm 2 8
4m 7m 97 0 . 7 1601 m ktm 8
Vậy có 3 giá trị của tham số m thoả mãn yêu cầu bài toán. 2
Cách 2: Ta có 2
z m 2 2 2
1 z 4m 5m 0 z 2m 1 m 1 1 .
Trường hợp 1: m 1 0 m 1.
z m m Khi đó 2 1 1 1 .
z 2m 1 m 1
Theo bài ra, phương trình đã cho có nghiệm z thoả mãn z 3 10 . 0 0 m 3 2 2 1 10 tm m m Do đó 21 .
2m 2 m 1 10 m tm 4
Trường hợp 2: m 1 0 m 1
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia
z m i m Khi đó 2 1 1 1 .
z 2m 1 i m 1
Theo bài ra, phương trình đã cho có nghiệm z thoả mãn z 3 10 . 0 0 Do đó 2 2
2m 2 i m 1 10 4m 8m 4 m 1 100 4m 7m 97 0 7 1601 m tm 8 . 7 1601 m ktm 8
Vậy có 3 giá trị của tham số m thoả mãn yêu cầu bài toán. Câu 9:
Trên tập số phức, xét phương trình 2
z 2mz m 1 0
1 ( m là tham số thực); z , z là hai 1 2
nghiệm phức của phương trình 1 ; ,
A B lần lượt là điểm biểu diễn của hai nghiệm phức đó
trên mặt phẳng Oxy . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để OAB vuông tại O ? A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 4 . Lời giải: Xét phương trình 2
z 2mz m 1 0 1 1 5 1 5
Phương trình có hai nghiệm phức khi 2
0 m m 1 0 m * 2 2 Ta có các nghiệm 2 2
z m i m m 1; z m i m m 1 1 2 , A B lần lượt là điểm biểu diễn của hai nghiệm phức z , z 1 2 nên A 2
m ; m m 1 ; B 2
m ; m m 1 . m 1 OAB vuông tại O 2 O .
A OB 0 2m m 1 0 1 thõa mãn * . m 2
Vậy chỉ có 1 giá trị nguyên m 1 thõa mãn yêu cầu. 1
Câu 10: Trên tập hợp số phức, xét phương trình 2 z m 1z 2
m 5m 6 0(m là tham số thực). 4
Có bao nhiêu số nguyên m [ 10
;10] đề phương trình trên có hai nghiệm phức z , z 1 2 thỏa
mãn z z z z ? 1 2 1 2 A. 11. B. 10. C. 8. D. 9. Lời giải:
Điều kiện m 1 0 m 1. 2
m 4m 5 m 5 + Trường hợp 1: 2
0 m 4m 5 0
phương trình có 2 nghiệm thực z , z 1 2 m 1 1
Theo định lý Viet z .z 2
m 5m 6 . 1 2 4
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia 2 2
z z z z z z z z 4z .z 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 m 6 2
m 5m 6 2
0 m 5m 6 0 m 1
Do m và m [ 10
;10] nên số giá trị m thỏa mãn là 10 6 11 6 . + Trường hợp 2: 2
0 m 4m 5 0 1 m 5 .
phương trình có 2 nghiệm phức z , z 1 2 m 6 2 2 2 m 5m 6 0 2
z z z z z z
z z m 1 m 4m 5 m 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2
m 3m 4 0 1 m 4
Do m , 1 m 5 và m [ 10
;10] nên số giá trị m thỏa mãn là m 0, m 1, m 2, m 3 .
Vậy có 10 giá trị của m.
Câu 11: Trên tập số phức, cho phương trình 2
z az b 0 (a, b ) . Có bao nhiêu số phức w sao cho
phương trình đã cho có hai nghiệm là z (6 i) w 2i và z (w 5 i) | w | ? 1 2 A. 4. B. 3. C. 6. D. 5. Lời giải:
Trường hợp 1: z , z . 1 2
z (6 i)w 2i (6 i)(x yi) 2i là số thực nên x 6 y 2 0 . 1 2 2
z (w 5 i) | w |
x y [(x 5) (1 y)i] là số thực nên 2 2
(1 y) x y 0 . 2
x 6y 2 0 x 4
Ta có hệ phương trình
w 4 i . 2 2
(1 y) x y 0 y 1
Trường hợp 2: z , z
. Khi đó phương trình đã cho có hai nghiệm là liên hợp với nhau. 1 2
z z (6 i)w 2i (w 5 i) | w | t.w 5t t.i (t | w |) 1 2 [
w (t 6) i] 5t (t 2)i . (1) 2 2 2 2
t (t 6) 1 25t (t 2) t 1 4 3 2
t 12t 11t 4t 4 0 t 0,62079 . t 10,967
Thay mỗi giá trị của t vào (1), ta được một số phức w tương ứng.
Vậy có tất cả 4 số phức w thoả mãn.
Câu 12: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình 2
z 2mz 8m 12 0 . Có bao nhiêu giá trị
nguyên của m để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt z , z thỏa mãn z z ? 1 2 1 2 A. 5 B. 6 . C. 3 . D. 4 . Lời giải: Ta có: 2
z 2mz 8m 12 0 * thì 2
m 8m 12 .
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia m 6 TH1: 2
0 m 8m 12 0
. Khi đó phương trình * có 2 nghiệm thực phân m 2
z z KTM 1 2
biệt z , z và theo yêu cầu bài toán: z z 1 2 1 2
z z z z 0 m 0 TM 1 2 1 2
TH2: 0 2 m 6 . Phương trình * khi đó có 2 nghiệm z m i luôn thỏa 1,2
mãn z z . Nên: m 3; 4; 5 . 1 2
Vậy các giá trị m thỏa mãn là: m 0;3; 4; 5 .
Câu 13: Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình 2
z 2mz 1 0 có hai nghiệm phức phân biệt
z , z thỏa mãn z 3 z 3 ? 1 2 1 2 A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải: +) Với 2
m 1 0 , phương trình 2
z 2mz 1 0 có hai nghiệm phức liên hợp
z a bi, z a bi . 1 2
Khi đó, hiển nhiên z 3 a 32 2
b z 3 . 1 2 +) Với 2
m 1 0 , phương trình 2
z 2mz 1 0 có hai nghiệm thực phân biệt z , z . 1 2
Đẳng thức z 3 z 3 tương đương với z z 6 0 , điều này nghĩa là 2m 6 0 tức 1 2 1 2 m 3 .
Tóm lại các số nguyên m cần tìm là m 0, m 3 .
Câu 14: Có bao nhiêu số nguyên a để phương trình 2
z a 2
3 z a a 0 có hai nghiệm phức
z , z thỏa mãn z z z z ? 1 2 1 2 1 2 A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải: 2 Ta có a 2a a 2 3 4 3
a 10a 9 5 2 13 5 2 13 Trường hợp 1: 2 0 3
a 10a 9 0 a * 3 3
z z a 3 1 2
Khi đó phương trình đã cho có hai nghiệm thực z , z , thỏa mãn . 1 2 z z 1 2
Suy ra z z z z a
a 2 3 3 1 2 1 2 a 0 a 2 2 3 3
a 10a 9 2
4a 4a 0 đều thỏa mãn * . a 1 5 2 13 a 3 Trường hợp 2: 2
0 3a 10a 9 0 ** 5 2 13 a 3
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia
z z a 3 1 2
Khi đó phương trình có hai nghiệm phức z , z , thỏa mãn . 1 2
z z i 1 2
Suy ra z z z z a
i a 2 3 3 1 2 1 2 a 1 a 2 2 3
3a 10a 9 2
2a 16a 18 0
đều thỏa mãn ** . a 9
Vậy có 4 số nguyên a thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 15: Cho số phức w và hai số thực b , c . Biết rằng w 2 và 3w 4i là hai nghiệm của phương trình 2
2022z bz c 0 . Tính giá trị biểu thức P b c bằng A. P 4044 .
B. P 8088 .
C. P 4044 . D. P 8088 . Lời giải:
Nhận xét: Trong tập số phức, phương trình bậc hai 2
az bz c 0 có hai nghiệm phức z , z 1 2 thì z z . 1 2
Đặt w x yi x, y . Vì b, c và phương trình 2
2022z bz c 0 có hai nghiệm là
z w 2 , z 3w 4i nên 2 nghiệm z , z là 2 nghiệm phức có phần ảo khác 0. 1 2 1 2
Do đó z z w 2 3w 4i x yi 2 3 x yi 4i 1 2
x yi x y x 2 3x x 1 2 3 4 3 i .
y 4 3y y 1
z w 2 3 i 1
w 1 i .
z 3w 4i 3 i 2 b b z z 6 1 2 2022 b 6 .2022 2022 Theo định lý Viet: , từ đó suy ra
b c 8088 c c c 10.2022 z .z 10 2 2 2022 2022
Vậy P b c 8088 .
Câu 16: Trên tập các số phức, xét phương trình 2
z mz m 8 0 ( m là tham số thực). Có bao nhiêu
giá trị nguyên của tham số m để phương trình có hai nghiệm z , z 1 2 phân biệt thỏa mãn z 2
z mz 2
m m 8 z 1 1 2 2 ? A. 12. B. 6 . C. 5 . D. 11. Lời giải: Ta có 2
m 4m 32 là biệt thức của phương trình. m 8
Trường hợp 1: Xét 2
0 m 4m 32 0
khi đó phương trình có hai nghiệm m 4 thực phân biệt. Ta có 2
z mz m 8 suy ra 2
z mz m z z
m 8 m m 8 do đó 1 2 1 2 2 1 1 z 2
z mz 2
m m 8 z 2 2
m m 8 z m m 8 z 1 1 2 2 1 2 (*). 2
m m 8 0 Nếu z .z 0 1 2 thì m 8 0 m
8 không thỏa mãn. Khi đó (*) z z 1 2
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia 2
m m 8 0 2 m m 8 0 hệ vô nghiệm. z z m 0 1 2
Trường hợp 2: Xét 0 4
m 8 khi đó phương trình có hai nghiệm phức phân biệt và
z z , ta có z 2
z mz 2
m m 8 z 2 2
m m 8 z m m 8 z 1 1 2 1 1 2 2 2 1 33 m 2 2
m m 8 0
. Kết hợp điều kiện ta được m 3 ;4;5;6; 7 . 1 33 m 2
Vậy có tất cả là 5 số nguyên cần tìm.
Câu 17: Biết phương trình 2
z az b 0 a ,b có một nghiệm là z 3i và nghiệm còn lại là z . 1 2
Mô đun của số phức a b z bằng 2 A. 10 . B. 9 . C. 18 . D. 27 . Lời giải: Phương trình 2
z az b 0 a ,b có một nghiệm z 3i thì nghiệm còn lại z 3i . 1 2
z z a a 0 Theo Vi-et ta có. 1 2 .
z .z b b 9 1 2
Vậy a b z 9. 3 i 27 . 2
Câu 18: Cho số phức w và hai số thực a , b . Biết z w 2i và z 2w 3 là hai nghiệm phức của 1 2 phương trình 2
z az b 0 . Tính giá trị của T z z . 1 2 2 97 2 85
A. T 2 13 .
B. T 4 13 . C. T . D. T . 3 3 Lời giải: z z
Vì z , z là 2 nghiệm phức của phương trình đã cho nên 1 2 1 2 z z 2 1
w 2i 2w 3
2w 4i 4w 6 2 2 4 4 97
w 3 i 2
z 3 i z 3 . 1 1
2w 3 w 2i
2w 3 w 2i 3 3 3 3 97
Mà z , z là 2 nghiệm phức của phương trình trên nên z z . 1 2 1 2 3 2 97 Vậy T . 3
Câu 19: Cho các số thực b , c sao cho phương trình 2
z bz c 0 có hai nghiệm phức z ; z với phần 1 2
thực là số nguyên và thỏa mãn z 3 2i 1 và z 2i z 2 là số thuần ảo. Khi đó, b c 1 2 1 bằng A. 1 . B. 12 . C. 4 . D. 12 . Lời giải:
Trường hợp 1: Nếu các nghiệm của phương trình là các số thực x ; y thì
z 3 2i x 3 2i x 32 4 2 1 mâu thuẫn với giả thiết. 1
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia
Trường hợp 2: Các nghiệm phức của phương trình không là các số thự C.
Giả sử z x yi z z x yi . 1 2 1 2 2
Khi đó z 3 2i 1 x 3 y 2 1 1 . 1
Lại có z 2i z 2 x y 2 i. x 2 yi 1 2 .
x x 2 .
y y 2 x 2. y 2 xy.i
là một số thuần ảo.
Suy ra x x y y 2 2 . 2 .
2 0 x y 2x 2 y 0 2 .
x 32 y 22 1 x 2 Giải hệ gồm 1 và 2 : . 2 2 y 2 x y 2x 2 y 0
z 2 2i ; z 2 2i . 1 2
z z b
2 2i 2 2i 4 1 2
Vì vậy theo Viet ta có:
b c 4 8 12 .
z . z c 2 2i . 2 2i 8 1 2
Câu 20: Gọi z , z , z , z là 4 nghiệm phức của phương trình 4
z m 2 4
z 4m 0 . Tìm tất cả các 1 2 3 4
giá trị m để z z z z 6 . 1 2 3 4
A. m 1.
B. m 2 .
C. m 3 D. m 1. Lời giải: 2 z 4 1 Ta có: 4
z 4 m 2
z 4m 0 2 z 4 2 z m 0 2 z m 2 Ta có: n n z z .
z ; z là nghiệm của phương trình
1 . Ta có: z z 4 2 . 1 2 1 2
z ; z là nghiệm của phương trình 2 . Ta có: z z m . 3 4 3 4
Theo đề ra ta có: z z z z 6 2 m 4 6
m 1 m 1. 1 2 3 4
Kết luận m 1.
Câu 21: Trên tập hợp các số phức, phương trình 2
z az b 0 , với a, b
có nghiệm z 2 3i . 0
Biết rằng phương trình 2
z bz a 0 cũng có hai nghiệm phức z , z . Tính S z z . 1 2 1 2 A. 4 . B. 13 . C. 25 . D. 185 . Lời giải: Phương trình 2
z az b 0 , với a, b
có nghiệm z 2 3i khi và chỉ khi 0
i2 a i b a b a 2a b 5 a 4 2 3 2 3 0 2 5 3 4 i 0 a 4 0 b 13. Khi đó phương trình 2
z bz a 0 trở thành 2
z 13z 4 0 có hai nghiệm thực phân biệt 13 185 trái dấu z . 1,2 2 1 3 185 1 3 185 1 3 185 13 185
Suy ra S z z 185 . 1 2 2 2 2 2
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia
Câu 22: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình 2 2
z 4az b 2 0, ( a, b là các tham số thực). Có
bao nhiêu cặp số thực a;b sao cho phương trình đó có hai nghiệm z , z 1 2 thỏa mãn
z 2iz 3 3i ? 1 2 A. 4. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải: z z 4 a
Theo định lý Vi-ét, ta có: 1 2 . 2 z z b 2 1 2
Theo yêu cầu bài toán, phương trình đã cho có hai nghiệm z , z 1 2 thỏa mãn
z 2iz 3 3i z 2iz 3 3i 0 z 2iz 3 3i z 2iz 3 3i 0 1 2 2 1 1 2 1 2 3
z z 1 2i3 3iz z 18i 2i 2 2 z z 0 1 2 1 2 1 2 3
b 239i 4
a 18i 2i z z 2 2 2z z 0 1 2 1 2 2
b i a 2
i i a 2 3 2 3 9 4 18 2 16 2 b 2 0 3 2
b 2 12a 0 2 2 b 2 4 a b 2 4a 2 36
a 18 32a 4 2b 2 0 2 3
6a 18 32a 16a 0 2 3
2a 52a 18 0 2 b 2 4 a 1 1
a ;b 0 1 a ;b 0 a 2 2 . 2 9 5 9 10 2 9 a ;b a ;b a 8 2 8 2 8
Vậy có 3 cặp số thực a;b thỏa mãn bài toán.
Câu 23: Trên tập số phức, cho phương trình 2
z m 2 2
1 z m 2m 0 . Có bao nhiêu tham số m để
phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt z ; z thõa mãn 2 2 z z 5 1 2 1 2 A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 4 . Lời giải:
Ta có: m 2 2 1
m 2m 4 m 1 1 1 0 m m TH1: YCBT 4 4 2 2 z z 5 z z 2 2z z 5 4 m 2 1 2 2 1 2 m 2m 5 1 2 1 2 1 m 4 1 m 6 38 4 m (L) 2 2
2m 12m1 0 6 38 m (N ) 2 TH2: Khi 1 0 m 4
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia
Phương trình đã cho có hai nghiệm phức z ; z có dạng z a bi, z a bi với 1 2 1 2
a m 1;b 4m 1 Khi đó: 2 2 5 2 2 2 2 z
z 5 2a 2b 5 a b 1 2 2 2 14 m (N ) m2 5 2 1 4m 1 2 2 14 m (L) 2
Câu 24: Trên tập hợp số phức, xét phương trình 2 2
z 2z m 0 ( m là tham số thực). Có bao nhiêu
giá trị của m để phương trình đó có nghiệm z z
0 thỏa mãn điểm biểu diễn của 0 thuộc đường 2 x E-lip có phương trình 2 y 1? 4 A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 1. Lời giải: Xét phương trình 2 2
z 2z m 0 có 2 1 m . Trường hợp 1: 0 m 1 ; 1 .
Phương trình có các nghiệm là 2
z 1 1 m hoặc 2
z 1 1 m . 0 0 2 x Với 2
z 1 1 m điểm biểu diễn thuộc E-lip 2 y 1 0 4
Do đó m 2 2 1 1 4 2
1 m 3 m . 2 x Với 2
z 1 1 m điểm biểu diễn thuộc E-lip 2 y 1 0 4
Do đó m 2 2 1 1 4 2
1 m 1 m 0.
Trường hợp này giá trị m 0 thỏa mãn. Trường hợp 2:
0 m ; 1 1; .
Phương trình có các nghiệm là 2
z 1 i m 1 hoặc 2
z 1 i m 1 . 0 0 2 x
Điểm biểu diễn thuộc E-lip 2 y 1 4 2 2 1 Do đó 2 m 1 1 2 3 m 7 1 m (thỏa mãn). 4 4 4 7
Trường hợp này giá trị m thỏa mãn. 4
Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 25: Biết phương trình 2 2
z mz m 2 0 ( m là tham số thực) có hai nghiệm phức z , z 1 2 . Gọi ,
A B,C lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z , z z i 1 2 và 0
. Có bao nhiêu giá trị của tham
số m để diện tích tam giác ABC bằng 1?
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 6 Lời giải: Ta có: 2 m 2 m 2 4 2 3 m 8 Trường hợp 1: 2 2 6 2 6
0 3m 8 0 m . 3 3
Khi đó, phương trình có hai nghiệm thực phân biệt là z , z 1 2 . 2 2 Vì ,
A B Ox nên AB z z z z z z 2
4z z 3m 8 1 2 1 2 1 2 1 2 .
Mặt khác, ta có C0; 1 d ; C AB 1 . 2 1 m S AB d C AB m n . ABC 3 8 2 3 . ; 1 2 2 3 2 6 m 3 Trường hợp 2: 2
0 3m 8 0 . 2 6 m 3 m i
Khi đó, phương trình có hai nghiệm phức liên hợp là z . 1,2 2 Ta có: 2 2
AB z z i 3
m 8 3m 8 và C0; 1 . 1 2 m m
Phương trình đường thẳng AB là x
0 nên d C; AB . 2 2 2 2 m 4 1 m 3m 8 Do đó, S A . B d C AB m ABC ; 1 2 . 2 4 2 4 m (VN) 3
Vậy có 4 giá trị thực của tham số m thỏa mãn đề bài.
Câu 26: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình 2
z 2m
1 z 8m 4 0 ( m là tham số thực). Có
bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt z , z thỏa 1 2 mãn 2 2
z 2mz 8m z 2mz 8m ? 1 1 2 2 A. 4 . B. 3 . C. 5 . D. 6 . Lời giải: Ta có 2
m 6m 5 và 2 2
z 2mz 8m z 2mz 8m 1 1 2 2 2
z 2m 2
1 z 8m 4 2z 4 z 2 m 1 z 8m 4 2z 4 1 1 1 2 2 2
2z 4 2z 4 1 1 2 m 5 * Xét 0
. Khi đó PT có 2 nghiệm thực phân biệt m 1 Nên
1 2z 4 2z 4 z z 4
2 m 1 4 m 3 1 2 1 2
* Xét 0 1 m 5 . Khi đó PT có 2 nghiệm phức phân biệt z , z liên hợp của nhau 1 2
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia
Nên 2z 1, 2z 1cũng là hai số phức liên hợp của nhau. Suy ra 2z 1 2z 1 luôn thỏa 1 2 1 2
Vậy có 4 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn đề bài.
Câu 27: Tìm tổng các giá trị của số thực a sao cho phương trình 2 2
z 3z a 2a 0 có nghiệm phức
z0 thỏa z 2 . 0 A. 0 . B. 2 . C. 4 . D. 6 . Lời giải: z 2
Trường hợp 1: z 0 . Khi đó 0 z 2 . 0 z 2 0 Nếu z 2 a a 0 thì 2 2 10
0 không có nghiệm thực a . a 1 3 Nếu z 2
a 2a 2 0 0 thì 2 (1). a 1 3
Trường hợp 2: z
z z a a z 0 . Khi đó phương trình 2 2 3 2
0 có nghiệm phức 0 nên z 0
cũng là nghiệm phức của phương trình. 2
Vì z 2 nên z .z z 4 . 0 0 0 0 2 a 2a
Theo định lý Vi-ét, ta có: 2 z .z a 2a 0 0 . 1 a 1 5 2 2
a 2a 4 a 2a 4 0 (2). a 1 5
Từ (1) và (2), ta có tổng các giá trị của số thực a thỏa yêu cầu bài toán là:
1 3 1 3 1 5 1 5 4 .
Câu 28: Trên tập hợp các số phức, gọi S là tổng các giá trị thực của m để phương trình 2
mz 2m
1 z m 6 0 có nghiệm z0 thỏa mãn z 1. Tính S . 0 A. 3 . B. 4 . C. 1. D. 2 . Lời giải: Xét phương trình 2
mz 2m
1 z m 6 0 .
Trường hợp 1: m 0 Phương trình đã cho có dạng 2z 6 0 z 3 z 3 không thõa mãn.
Trường hợp 2: m 0 2 Ta có
m mm 2 1
6 2m 4m 1. 2 2 m 2 Nếu: 2
0 2m 4m 1 0
thì phương trình đã cho có hai nghiệm thực 2 2 m 2 z 1 z
0 là số thực. Theo bài ra, ta có 0 z 1 . 0 z 1 0 Với z 1 0
, ta có m 2m 2 m 6 0 m 4 (thỏa mãn ). Với z 1 0
, ta có m 2m 2 m 6 0 m 2 ( thỏa mãn ).
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia Nếu: 2 2 2 2 2
0 2m 4m 1 0 m
, thì phương trình đã cho có hai 2 2 nghiệm phức.
z0 là nghiệm của phương trình đã cho z cũng là nghiệm của phương trình đã cho. 0 m 6 2 m 6
Áp dụng hệ thức viét, ta có z .z
z .z z 1 1 m 3 0 0 mà 0 0 0 (không m m
thõa mãn). Vậy m 4
;m 2 S 2 .
Câu 29: Cho phương trình 2 2
z az 2a 0 , với a là số thực dương. Gọi z , z là hai nghiệm phức của 1 2
phương trình, trong đó z có phần ảo dương. Biết rằng 2z z z 10 2 7i . Khẳng định 1 2 1 1 nào sau đây đúng?
A. 1 a 3.
B. a 1 .
C. 5 a 8.
D. 3 a 5. Lời giải: Xét phương trình 2 2
z az 2a 0 , với a 0 . Ta có: 2 2 2
a 8a 7 a 0 , a 0
a a 7i
Suy ra phương trình có hai nghiệm phức z , z với và z . 1 2 z z 1 2 2 2
z z a 1 2
Theo định lí Viét ta có: 2
z .z 2a 1 2
Khi đó: 2z z z 10 2 7i 1 2 1 z a a a 7i 2 2
z 10 2 7i 2a az 10 2 7i 2a . a 10 2 7i 1 2 2 2 2 5a 10 2 2 5a a 7i 2 2 10 2 7i
a 4 a 2. 2 2 2 a 7 2 7 2
Câu 30: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình 2
z m 2 2 2
1 z 4m 5m 0 ( m là tham số
thực). Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm z thoả mãn 0 z 3 10 ? 0 A. 1. B. 2 . C. 4 . D. 3 . Lời giải:
Cách 1: Ta có m 1.
Trường hợp 1: m 1 0 m 1. z 7
Khi đó theo bài ra, phương trình đã cho có nghiệm thực z thoả mãn 0 z 3 10 . 0 0 z 13 0 2 7 22m 2
1 7 4m 5m 0 2
4m 33m 63 0 Từ đó suy ra
132 22m 1 13 2
4m 5m 0 2
4m 47m 143 0
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia
m 3 tm 21 . m tm 4
Trường hợp 2: m 1 0 m 1.
Khi đó phương trình đã cho có hai nghiệm phức là z và z và thoả mãn z 3 10 0 0 0
z 3z 3 2
100 z 3z z 2
9 100 4m 5m 3.2 2m 1 91 0 0 0 0 0 0 7 1601 m tm 2 8
4m 7m 97 0 . 7 1601 m ktm 8
Vậy có 3 giá trị của tham số m thoả mãn yêu cầu bài toán. 2
Cách 2: Ta có 2
z m 2 2 2
1 z 4m 5m 0 z 2m 1 m 1 1 .
Trường hợp 1: m 1 0 m 1.
z m m Khi đó 2 1 1 1 .
z 2m 1 m 1
Theo bài ra, phương trình đã cho có nghiệm z thoả mãn z 3 10 . 0 0 m 3 2 2 1 10 tm m m Do đó 21 .
2m 2 m 1 10 m tm 4
Trường hợp 2: m 1 0 m 1
z m i m Khi đó 2 1 1 1 .
z 2m 1 i m 1
Theo bài ra, phương trình đã cho có nghiệm z thoả mãn z 3 10 . 0 0 Do đó 2 2
2m 2 i m 1 10 4m 8m 4 m 1 100 4m 7m 97 0 7 1601 m tm 8 . 7 1601 m ktm 8
Vậy có 3 giá trị của tham số m thoả mãn yêu cầu bài toán. 2 3 4 z
Câu 31: Cho số phức z, w khác 0 thỏa mãn z w 0 và . Khi đó bằng: z w z w w 6 2 A. 2 . B. . C. 3 . D. . 3 3 Lời giải:
Với hai số phức z, w khác 0 thỏa mãn z w 0 , ta có: 2 3 4 2w 3z 4
2w 3zz w 2 2
4zw 3z zw 2w 0 z w z w zw z w
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia z 1 23 2 i z z w 6 6 3 2 0 w w z 1 23 i w 6 6 2 2 z 1 23 6 Suy ra . w 6 6 3
Câu 32: Tìm tất cả các giá trị thực của a sao cho phương trình 2 2
z az 2a a 0 có hai nghiệm phức có môđun bằng 1. 1 5 A. a 1 . B. a 1. C. a 1 . D. a . 2 Lời giải:
Gọi z , z
z az a a 1
2 là hai nghiệm của phương trình 2 2 2 0 . Ta có z z 1. 1 2
Theo định lí Viét, ta có 2
z z 2a a . 1 2 Lấy mô đun hai vế có 2 2 2
z z 2a a z . z 2a a 2a a 1 1 2 1 2 2 2
2a a 1
a 2a 1 0 a 1 . 2 2
2a a 1
a 2a 1 0 a 1 2 i
Với a 1 có phương trình thành 2 1 3
z z 1 0 z
z 1 a 1 thỏa mãn. 2 1 2 7 2 2
Với a 1 2 có phương trình thành 2
z 1 2 z 1 0 z . 2
a 1 2 không thỏa mãn. 1 2 7 2 2
Với a 1 2 có phương trình thành 2
z 1 2 z 1 0 z . 2
a 1 2 không thỏa mãn. Vậy a 1.
Câu 33: Trên tập số phức, xét phương trình 2 2
z 2mz n 5 0 (với m , n là tham số thực). Có bao nhiêu cặp số ( ;
m n) để phương trình đã cho có hai nghiệm phức z , z sao cho các điểm biểu 1 2
diễn của z , z , z 1, z 5 là bốn đỉnh của một hình vuông? 1 2 3 4 A. 3 . B. 2 . C. 4 . D. 1. Lời giải:
Để phương trình có hai nghiệm phức khi và chỉ khi 2 2
m n 5 0 .
Đặt z a bi; a,b
z a bi . 1 2
Ta có bốn điểm A ; a b, B ;
a b,C 1;0 , D 5;0 biểu diễn bốn số phức z , z , z 1, z 5 lập 1 2 3 4 3;0 AB a 3 a 3
thành hình vuông. Suy ra ACBD là hình vuông nên . AB CD 2b 4 b 2 a 3 z 3 2i
z z 6 2 m m 3 1 1 2 2 b 2 z 3 2i z z 13 n 5 n 2 2 2 1 2 .
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia a 3 z 3 2i
z z 6 2 m m 3 1 1 2 2 b 2 z 3 2i
z z 13 n 5 n 2 2 2 1 2 .
Vậy ta có hai cặp số ;
m n thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 34: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình 2
z 2mz m 12 0 ( m là tham số thực). Có bao
nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt z z 1 , 2 thỏa mãn z z 2 z z ? 1 2 1 2 A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải:
Phương trình đã cho có 2
m m 12 . m 4 Trường hợp 1: 2
0 m m 12 0 . m 3
Khi đó, phương trình đã cho có hai nghiệm thực z z 1 , 2 phân biệt.
Do đó, z z 2 z z 1 2 1 2
z z 2 z z 2 2 1 2 1 2 2 2
z z 2 z z 2 2 2
z z 2z z 1 2 1 2 1 2 1 2
z z 2 2z z 2 z z 2 z z 2 4z z 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
z z 2 6z z 2 z z 0 1 2 1 2 1 2 2
4m 6m 12 2 m 12 0 m 6
Nếu m 4 hoặc 3 m 12 thì 2
4m 8m 12 2
0 m 2m 24 0 . m 4
Nếu m 12 thì 2
m m 2 4 4
12 0 m m 12 0 . Trường hợp 2: 2
0 m m 12 0 4 m 3 .
Khi đó, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt z z 1 ,
2 là hai số phức liên hợp: 2
m i m m 12 và 2
m i m m 12 .
Do đó, z z 2 z z 1 2 1 2 2 m 2
m m 2 2
12 2 m m 12 2
m 12 m m 12 m 0 .
Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn đề bài.
Câu 35: Cho phương trình 4 2
4z mz 4 0 trong tập số phức và m là tham số thực. Gọi z , z , z , z 1 2 3 4
là bốn nghiệm của phương trình đã cho. Tìm tất cả các giá trị của m để
2z 4 2z 4 2z 4 2z 4 324 . 1 2 3 4 m 2 m 2 m 1 m 1 A. . B. . C. . D. . m 15 m 15 m 35 m 35 Lời giải: Đặt 2
t z , phương trình trở thành 2
4t mt 4 0 có hai nghiệm t , t . 1 2
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia m t t Ta có 1 2
4 . Do vai trò bình đẳng, giả sử ta có 2 2
z z t , 2 2
z z t . 1 2 1 3 4 2 t .t 1 1 2 2 2
Yêu cầu bài toán t 4 t 4
324 t t 4 t t 16 324 1 2 1 2 1 2 2 m m m 172 17 18 1 2 18 . m 17 1 8 m 35
Câu 36: Cho các số thực b, c sao cho phương trình 2
z bz c 0 có hai nghiệm phức z , z thỏa 1 2
mãn z 4 3i 1 và z 8 6i 4 . Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 2
A. 5b c 12.
B. 5b c 4.
C. 5b c 4.
D. 5b c 12. Lời giải:
Vì z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2
z bz c 0 nên z z 1 2 1 2
Khi đó ta có z 8 6i 4 z 8 6i 4 z 8 6i 4. 2 1 1
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z . 1
M vừa thuộc đường tròn C tâm I 4; 3
, bán kính R 1và đường tròn C tâm 2 1 1 1 I 8; 6
, bán kính R 4 m C C . 1 2 1 1 Ta có 2 2 I I
4 3 5 R R C và C tiếp xúc ngoài. 2 1 2 1 2 1
Do đó có duy nhất 1 điểm M thỏa mãn, tọa độ điểm M là nghiệm của hệ 24 2 2 x
x y 8x 6y 24 0 5 24 18 24 18 M ; z i là nghiệm của 1 2 2
x y 16x 12y 84 0 18 5 5 5 5 y 5 24 18 phương trình 2
z bz c 0 z
i cũng là nghiệm của phương trình 2 5 5 2
z bz c 0. 48 48
Áp dụng định lí Vi ét ta có z z b b
; z .z c 36 1 2 1 2 5 5
Vậy 5b c 48 36 12.
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia
Câu 37: Cho phương trình 2
z bz c 0 , có hai nghiệm z , z thỏa mãn z z 4 2i . Gọi , A B là các 1 2 2 1
điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình 2
z 2bz 4c 0 . Tính độ dài đoạn AB . A. 8 5. B. 2 5. C. 4 5. D. 5. Lời giải: 2
z bz c 0 có hai nghiệm z , z thỏa mãn z z 4 2i 1 2 2 1 2 2 2
Xét z z 4 2i z z 4z z 4 2i 2
b 4c 4 2i 2 1 2 1 1 2 Khi đó phương trình 2
z 2bz 4c 0
z b 4 2i A b 4;2 2 A có 2
b 4c 4 2i
b m ni,m,n
z b 4 2i B b B 4;2 2 2
Vậy AB b 4 b 4 2 2 4 5.
Câu 38: Trên tập hợp các số phức, phương trình 2
z a 2 z 2a 3 0 ( a là tham số thực) có 2
nghiệm z , z . Gọi M , N là điểm biểu diễn của z , z trên mặt phẳng tọa độ. Biết rằng có 2 1 2 1 2
giá trị của tham số a để tam giác OMN có một góc bằng 120 . Tổng các giá trị đó bằng bao nhiêu? A. 6 . B. 4 . C. 4 . D. 6 . Lời giải:
Vì O , M , N không thẳng hàng nên z , z không đồng thời là số thực, cũng không đồng 1 2
thời là số thuần ảo z , z là hai nghiệm phức, không phải số thực của phương trình 1 2 2
z a 2 z 2a 3 0 . Do đó, ta phải có 2
a 12a 16 0 a 6 2 5; 6 2 5 . 2 2 a
a 12a 16 z i 1 2 2 Khi đó, ta có . 2 2 a
a 12a 16 z i 1 2 2
OM ON z z 2a 3 và 2
MN z z a 12a 16 . 1 2 1 2 2 2 2
OM ON MN 2 a 8a 10 1
Tam giác OMN cân nên MON 120 cos120 2OM .ON 22a 3 2 2
a 6a 7 0 a 3 2 .
Suy ra tổng các giá trị cần tìm của a bằng 6 .
Câu 39: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình 2
z 2z m 2 0 ( m là tham số thực). Gọi T là
tập hợp các giá trị của m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt được biểu diễn hình học bởi hai điểm ,
A B trên mặt phẳng tọa độ sao cho diện tích tam giác ABC bằng 2 2 , với C 1;
1 . Tổng các phần tử trong T bằng A. 8 . B. 4 . C. 9 . D. 1 . Lời giải: 2 Ta có: 2
z 2z m 2 0 z 1 m 1 1
TH1. có hai nghiệm phức m 1 0 m 1 .
Khi đó, phương trình có hai nghiệm phức z 1 1 m i ; z 1 1 m i . 1 2
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia
Gọi A , B lần lượt là hai điểm biểu diễn của z ; z trên mặt phẳng Oxy 1 2 ta có:
A1; 1 m ; B1; 1 m .
Ta có: AB 2 1 m ; d C; AB d C; x 1 2 . 1 Khi đó S A . B d C AB m m ABC ; 2 1 2 2 1. 2
TH2. có hai nghiệm thực phân biệt m 1 0 m 1.
Khi đó, phương trình có hai nghiệm z 1 1 m ; z 1 1 m . 1 2
Gọi A , B lần lượt là hai điểm biểu diễn của z ; z trên mặt phẳng Oxy 1 2 ta có:
A1 1 m;0 ; B1 1 m;0 .
Ta có: AB 2 1 m ; d C; AB d C;Ox 1 . 1 Khi đó S A . B d C AB m
m Vậy T 1 ;
9 nên tổng các phần tử ABC ; 1 2 2 9. 2 trong T bằng 8 .
Câu 40: Biết rằng phương trình 2
z 2az b 0 (a, b là các số thực dương) có hai nghiệm phức liên
hợp z , z . Gọi ,
A B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của số phức w 2, z , z . Tính giá trị của 1 2 1 2
biểu thức T b 4a biết rằng ba điểm ,
A B, C tạo thành một tam giác vuông có diện tích bằng 9 . A. 6 . B. 8 . C. 9 . D. 14 . Lời giải: Do phương trình 2
z 2az b 0 (a, b là các số thực dương) có hai nghiệm phức liên hợp
z , z nên từ giả thiết ta gọi tọa độ các điểm biểu diễn cho các số phức w 2, z , z là 1 2 1 2 ( A 2; 0); B( ; x y);C( ;
x y) với x 2, y 0
AB (x 2; y); AC (x 2; y) . Do A thuộc Ox , B, C đồi xứng qua Ox
Nên theo giả thiết suy ra ABC là tam giác vuông cân tại A 2 2 A .
B AC 0 (x 2) y 0 (1) 1 Mặt khác S A . B AC ABC 2 1 2 2
9 (x 2) y 2
x 5 y 3 Từ và suy ra x 1 y 3
Với x 5, y 3 ta tìm được z 5 3i; z 5 3i . 1 2
Với x 1, y 3 ta tìm được z 1 3 ;i z 1
3i suy ra a 1;b 10 T 6 1 2
Câu 41: Trên tập hợp số phức, xét phương trình 2 2
z 2az b 20 0
1 với a,b là các tham số
nguyên dương. Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt z , z thỏa mãn: z 3iz 7 5i 1 2 1 2
thì giá trị của biểu thức 7a 5b bằng A. 19 . B. 17 . C. 32 . D. 40 . Lời giải: Nhận xét: Nếu 2 2
a b 20 0
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia z 7 1 5
Giả thiết z 3iz 7 5i . Suy ra 7
z z 2a 1 2 5 z 1 2 3 2 3 Suy ra: 2 2
a b 20 0 2 2 z a
a b 20 i Giải phương trình 1 ta có hai nghiệm 2 2 z a
a b 20 i 2 2 z a
a b 20 i 1 TH1: 2 2
z 3iz 7 5i a 3 a b 20 2 2 3a
a b 20 i 7 5i 1 2 2 2
z a a b 20 i 2 2 2
a 3 a b 20 7 a 1 VN 2 2 2 2
a b 20 2 3
a a b 20 5 2 2 z a
a b 20 i 1 TH2: 2 2
z 3iz 7 5i a 3 a b 20 2 2 3a
a b 20 i 7 5i 1 2 2 2
z a a b 20 i 2 a 1 2 2 a 1
a 3 a b 20 7 a 1 a 1 2
b 25 b 5 2 2 2 2
a b 20 4 b 5 3a a b 20 5 2 b 17(l) b 5 (l)
Suy ra 7a 5b 32
Cách 2 Nhận xét: Nếu 2 2
a b 20 0 z 7 1 5
Giả thiết z 3iz 7 5i . Suy ra 7
z z 2a 1 2 5 z 1 2 3 2 3 Suy ra: 2 2
a b 20 0
z 3iz 7 5i
z 3i 7 5i 3iz 7 5i z 1 2i 1 2 1 1 Giả thiết ta có: 1
z 3iz 7 5i
z 3iz 7 5i z 1 2i 2 1 2 1 2 a 1 Áp dụng viet suy ra
7a 5b 32. b 5 c
Câu 42: Cho phương trình 2 x 4x
0 có hai nghiệm phức. Gọi A , B là hai điểm biểu diễn của d
hai nghiệm đó trên mặt phẳng Oxy . Biết tam giác OAB đều, tính P c 2d .
A. P 18 .
B. P 10 .
C. P 14 .
D. P 22 . Lời giải: c c Ta có: 2 x 4x
0 có hai nghiệm phức 4 0. d d
Khi đó, phương trình có hai nghiệm phức x 2
i ; x 2 i . 1 2
Gọi A , B lần lượt là hai điểm biểu diễn của x ; x trên mặt phẳng Oxy 1 2 ta có:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia
A2; ; B2; .
Ta có: AB 2 ; OA OB 4 .
Tam giác OAB đều khi và chỉ khi AB OA OB 2 4 4 4 4 4 c 4 c 16
. Vì 0 nên hay 4 . 3 3 d 3 d 3
Từ đó ta có c 16 ; d 3 .
Vậy: P c 2d 22 .
Câu 43: Cho phương trình 4 2
4z mz 4 0 trong tập số phức và m là tham số thự C. Gọi z , z , z , z 1 2 3 4
là bốn nghiệm của phương trình đã cho. Tìm tất cả các giá trị của m để
2z 4 2z 4 2z 4 2z 4 324 . 1 2 3 4
A. m 1; m 35 .
B. m 1; m 35 .
C. m 1; m 35 .
D. m 1; m 35 . Lời giải:
Đặt f z 4 2
4z mz 4 .
Vì phương trình f z 0 có 4 nghiệm z , z , z , z nên 1 2 3 4 f z 4 2
4z mz 4 4z z z z z z z z 1 2 3 4 f 2i f 2 i Ta có: 2
z 4 z 2i
z 2i 2 z 4 2 z 4 2 z 4 2 z 4 . 1 2 3 4 1 1 1 4 4
f 2i 42i4 m2i2 4 68 4m Mà và 2 z 4 2 z 4 2 z 4 2 z 4 324 1 2 3 4 f 2 i 4 2
i4 m2i2 4 68 4m m2 68 4 m 1 Nên 324 . 16 m 35
Câu 44: Tìm m để các nghiệm của phương trình sau đều là số ảo: m 4 2
3 z 6z m 3 0 .
3 2 m 3
A. 3 m 3 2 .
B. 3 m 3 2 . C. .
D. 3 2 m 3 . 3 m 3 2 Lời giải:
* Nếu m 3 : Phương trình trở thành 2
6z 6 0 z i .
* Nếu m 3 : Đặt z xi x , phương trình m 4 2
3 z 6z m 3 0 1 trở thành m 4 2
3 x 6x m 3 0 2 . Đặt 2
t x t 0 , phương trình 2 trở thành m 2
3 t 6t m 3 0 3 . Phương trình
1 chỉ có nghiệm ảo phương trình 2 chỉ có nghiệm thự C.
phương trình 3 có 2 nghiệm thực thỏa mãn:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia 2 18 m 0 0 3 2 m 3 2 6
0 t t S 0 0 1 2 m 3 3 m 3 2 . m 3 P 0 m 3 m 3 0 m 3 m 3
Vậy 3 m 3 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 45: Gọi S là tổng các số thực m thỏa mãn 3 2
z 7z 16z 12 mz 3m 0 có nghiệm phức z 0
thỏa mãn | z | 2 . Khẳng định nào dưới đây đúng? 0 A. S 24 . B. S 25 . C. S 18 . D. S 16 . Lời giải: Ta có 3 2
z 7z 16z 12 mz 3m 0 z 2 3
z 4z 4 m 0 1 z 3
z 22 m
+ Với m 0 (1) z 2 m | 2 m | 2 m 0
Ta có: | z | 2 0 | 2 m | 2 m 16
+ Với m 0 (1) z 2 i m . Do đó | z | 4 m 0
Ta có: | z | 2 4 m 2 4 m 4 m 0 0
Vậy S 0 16 16 .
Câu 46: Trên tập hợp số phức cho phương trình 2
z bz c 0 , với b, c
. Biết rằng hai nghiệm của
phương trình có dạng z w 3 và z 3w 8i 13 với w là một số phức. Tính b c . 1 2 A. 9 . B. 10 . C. 11. D. 12 . Lời giải:
Gọi w x yi với x, y
z w 3 x yi 3 x 3 yi 1
z 3w 8i 13 3(x yi) 8i 13 3x 13 3y 8 i 2
x 3 3x 13 x 5
z , z là hai số phức liên hợp nên: 1 2 y 3y 8 y 2 Khi đó z 2
2i , z 2 2i 1 2 z z 4 Ta có 1 2 z .z 8 1 2
Suy ra z , z là nghiệm của phương trình: 2
z 4z 8 0 1 2
Vậy b c 4 8 12 .
Câu 47: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình: 2
z m 2 2
1 z m 3m 5 0 ( m là tham số
thực). Tính tổng các giá trị của m để phương trình trên có nghiệm z thỏa mãn 0 3 z 12 5 z . 0 0
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia A. 9 . B. 12 . C. 10 . D. 8 . Lời giải: 3 3 2 Ta có z
12 5 z z 5 z 12 0 z 3 z 3 z 4 0 z 3 0 0 0 0 0 0 0 0 Đặt phương trình 2
z m 2 2
1 z m 3m 5 0
1 có 5m 4 4 z 3
TH1: xét 0 5m 4 0 m
khi đó z . Ta có z 3 0 0 0 5 z 3 0 m 1
Với z 3 thay vào 1 2
m 9m 8 0 0 m 8
Với z 3 thay vào 1 2
m 3m 20 0 pt vô nghiệm. 0 4
TH2: xét 0 5m 4 0 m . 5
Khi đó phương trình
1 có hai nghiệm phức z z và z z thỏa mãn 1 0 2 0 2 m 1 2 2 z 3 z
9 z .z 9 z .z 9 m 3m 5 9 m 3m 4 0 . 0 0 0 0 1 2 m 4
Với m 1 thay vào 1 2
z 9 0 z 3i thỏa mãn
Với m 4 không thỏa mãn điều kiện ban đầu. m 1 m 8 Vậy có 3 giá trị m 1 m
Nên tổng các giá trị của tham số là 8.
Câu 48: Cho phương trình 2
z bz c 0 có hai nghiệm z , z thỏa mãn z z 3 4i . Gọi , A B là các 1 2 2 1
điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình 2
z 2bz 4c 0 . Tính độ dài đoạn AB . A. 20. B. 2 5. C. 10. D. 5. Lời giải: Phương trình 2
z bz c 0 có hai nghiệm z , z thỏa mãn z z 3 4i . 1 2 2 1
z z b Theo định lý Viet ta có: 1 2
z .z c 1 2 2 2 2
Xét z z 3 4i z z 4z z 3 4i 2
b 4c 3 4i 2 1 2 1 1 2 Khi đó phương trình 2
z 2bz 4c 0
z b 3 4i A b 3;4 2 A có 2
b 4c 3 4i
b m ni,m,n
z b 3 4i B b B 3; 4
Vậy AB b b 2 2 3 3 4 4 10.
Câu 49: Cho m là số thực, biết phương trình 2
z 2mz 9 0 có hai nghiệm phức z , z . Có bao nhiêu 1 2
giá trị nguyên của m sao cho z z z z 16 ? 1 2 2 1 A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 6 . Lời giải:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi THPT Quốc gia 2
z 2mz 9 0 (*) có 2 m 9 .
Phương trình (*) có hai nghiệm phức z , z thỏa mãn z z z z 16 nên 1 2 1 2 2 1
0 3 m 3 .
Áp dụng định lý Vi-ét ta có, z z 2 , m z z 9 . 1 2 1 2
Ta có z z z z
z z 9 3 và z z , z z . 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2
z z z z z .3 z .3 3 z z 6m . 1 2 2 1 1 2 1 2 8
Theo đề, z z z z 16 6m 16 m . 1 2 2 1 3 8
Kết hợp với điều kiện ta được 3
m . Mà m nguyên nên m 2 ; 1 ;0;1; 2 3
Vậy có 5 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 50: Gọi S là tập hợp tất cả các số thực a sao cho phương trình 2
z (a 2)z 2a 3 0 có hai
nghiệm phức z , z và các điểm biểu diễn của z , z cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam 1 2 1 2
giác có diện tích bằng 2. Số phần tử của S là? A. 1. B. 4 . C. 2 . D. 3 . Lời giải:
Nếu a 22 42a 3 0 z , z là các số thực khi đó M (z ), N (z ) Ox O, M , N 1 2 1 2 thẳng hàng. 2
Nếu a 2 42a 3 0 z z z z z z 2a 3 . 1 2 1 2 1 2
Với M (z ), N (z ) OM ON z z và 1 2 1 2 2 2 2
MN z z z z
(z z ) 4z z 4(2a 3) (2 a) . 1 2 1 2 1 2 1 2
Tam giác OMN cân tại O . Do đó 2 1 MN 1 2 2 2 S MN. OM
MN. 4OM MN . OMN 2 4 4 1 a 4 Mà S 2 2 2
4(2a 3) (2 a) (2 a) 2 . OMN 4 a 10,369
Vậy có 2 số thực a thỏa mãn yêu cầu bài toán.
____________________HẾT____________________
Huế, 15h15’ Ngày 19 tháng 3 năm 2023
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115