Ôn tập chương 3 : Giới hạn và liên tục của hàm số - Giải tích 1| Trường đại học Bách Khoa, Đại học Đà Nẵng

ọ ạ
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT: GIẢI TÍCH I
CHƯƠNG III: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ
I. Giới hạn hàm số 1. Định nghĩa
+) Số a Rđược gọi là giới hạn của f (x) tại x nếu: 0
ε  0, δ  0, x − x  δ  f x − a  ε 0 ( )
+) Chú ý: lim f ( x) = a khi và chỉ khi lim f ( ) x = lim f ( ) x = a x→x x→x − x→x + 0 0 0
2. Các phép toán giới hạn. Cho lim f (x)= a, lim g(x)= b x→x x→x 0 0 1. lim f
 (x )+ g (x ) = a +b  x→x0
2. lim  f (x ).g (x ) =a.b   x→x0 f ( x) 3. a lim = b  0
x→x g (x) ( ) 0 b
4. limu(t) = x  lim f u t = a 0 ( ( ) t→ t t→ t 0 0 3. Dạng vô định:
Tương tự như đối với dãy số khi tìm giới hạn của hàm số ta cũng gặp các dạng vô định 0  , , 0., .  , 1 =>
và còn gặp các dạng vô định khác Khử vô định 0 
II. Thay tương đương – Vô cùng lớn – Vô cùng bé
1. Thay tương đương a (x)
+) Đại lượng tương đương: lim 1
a x ~ b x khi x → x x x 0 0 b ( x ) =  ( ) ( ) →
2. Đại lượng vô cùng bé (VCB)
+) lim a (x) = 0 → a (x ) là VCB khi x → x x→x 0 0 +) Nếu ( ) m
a x ~ Kx khi x → 0 → m là bậc của VCB
Thầy Phạm Ngọc Lam Trường 1 ọ ạ a (x) +) Nếu lim = 0  a x là VCB bậc lớn hơn
x→x b (x) ( ) 0
+) Quy tắc ngắt bỏ VCB bậc cao Khi x → x : 0
Nếu a( x) là VCB bậc cao hơn b( x) : a(x) + b(x) ~ b(x)
3. Đại lượng vô cùng lớn (VCL)
+) lim a(x) = + thì a( x) là VCL khi x → x x→x 0 0
VD: a( x) = x VCL khi x → + ( ) 1 a x =
VCL khi x → 0 x a (x) +) lim
= 0 → a x là VCL bậc thấp hơn
x→x b (x) ( ) 0
+) Quy tắc ngắt bỏ VCL bậc thấp hơn
Khi x → x : a( x) là VCL bậc thấp hơn b(x) : a(x) + b(x) ~ b(x) 0
4. Quy tắc L'Hospitan f ( x)    +) Mục đích c : ần tìm 0 lim  ; 
x→x0 g( x)  0   f ( x) f '(x) +) Nếu lim = H  lim = H x→x x→x 0 g (x ) 0 g' (x)
+) Lưu ý: Có thể đạo hàm liên tục để ra kết quả III. Hàm liên tục: 1. Các khái niệm
+) f (x) xác định trên D, x D 0
Hàm số f ( x) gọi là hàm số liên tục tại x , nếu: lim f (x) = f (x 0 ) 0 x→x0 x TXÐ  0 
+) Điều kiện:  lim f ( ) x = a x→ x0 a = f  (x0 )
Thầy Phạm Ngọc Lam Trường 2 ọ ạ
Nếu 1 trong 3 ĐK không thỏa mãn →Hàm số gián đoạn tại x 0
+) f ( x) liên tục  x  a, b → Hàm số liên tục trên (a, b ) 0 ( )
+) lim f (x) = f (x → liên tục phải trên x + 0 ) 0 x→x0
lim f (x) = f (x → liên tục trái tại x − 0 ) 0 x→ 0 x
Hàm số liên tục tại x  LTP + LTP tại x 0 0
+) Hàm số liên tục trên a, b 
 : liên tục trên (a, b ), LTP tại a, LTT tại b
2. Phân loại điểm gián đoạn
+) x là điểm gián đoạn của f (x) 0  x TXÐ   (x ) x x → 0 lim f (x)  f (x0 ) x→ x  0
+) lim f (x) = f ( x ; lim f x = f x → Điểm gián đoạn loại 1 + 0 ) ( ) ( −0 ) x→ → x + x x− 0 0
Nếu f (x = f x
Điểm gián đoạn loại bỏ được _ → + 0 ) ( 0 )
+) Không phải điểm gián đoạn loại 1 →loại 2 ___HẾT___
Thầy Phạm Ngọc Lam Trường 3