Phân loại và phương pháp giải bài tập đạo hàm
Tài liệu gồm 76 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Trần Đình Cư, tóm tắt lý thuyết, phân loại và phương pháp giải bài tập đạo hàm, giúp học sinh lớp 11 tham khảo khi học chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 5 (Toán 11).
Tài liệu liên quan:
-
Top 7 chuyên đề đạo hàm
119 60
Preview text:
CHƯƠNG 5. ĐẠO HÀM
BÀI 1. ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA ĐẠO HÀM
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
I – ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng ( ; a b) và x Î ;
a b . Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) 0 ( )
f (x)- f (x0) lim xx0 x - x0
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f (x) tại x và kí hiệu là f '(x (hoặc y '(x ), 0 ) 0 ) 0 tức là
f (x)- f (x0) f '(x = lim . 0 ) xx0 x - x0 Chú ý: Đại lượng x
D = x - x gọi là số gia của đối số x tại x . 0 0 Đại lượng y
D = f (x)- f (x = f x + x
D - f x được gọi là số gia tương ứng của hàm số. Như vậy 0 ) ( 0 ) ( 0 ) y y '(x lim D = . 0 ) x D 0 x D
2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa
Bước 1. Giả sử x
D là số gia của đối số x tại x , tính y
D = f (x + x D - f x . 0 ) ( 0 ) 0
Bước 2. Lập tỉ số y D . Dx Bước 3. Tìm y D lim . x D 0 x D
3. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số Định lí 1
Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm tại x thì nó liên tục tại x . 0 0 Chú ý:
a) Nếu y = f (x) gián đoạn tại x thì nó không có đạo hàm tại x . 0 0
b) Nếu y = f (x) liên tục tại x thì có thể không có đạo hàm tại x . 0 0
4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm Định lí 2
Đạo hàm của hàm số y = f (x) tại điểm x là hệ số góc của tiếp tuyến M T của đồ thị hàm số tại 0 0
điểm M x ; f x . 0 ( 0 ( 0 )) Định lí 3
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) tại điểm M x ; f x là 0 ( 0 ( 0 ))
y – y = f ' x x – x 0 ( 0)( 0 )
trong đó y = f x . 0 ( 0 )
5. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm
Vận tốc tức thời: v(t = s' t . 0 ) ( 0 )
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 381
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Cường độ tức thời: I (t = Q' t . 0 ) ( 0 )
II – ĐẠO HÀM TRÊN MỘT KHOẢNG Định nghĩa
Hàm số y = f (x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng ( ;
a b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó.
Khi đó, ta gọi hàm số f ' : ( ; a b)
x f '(x)
là đạo hàm của hàm số y = f (x) trên khoảng ( ;
a b) , kí hiệu là y ' hay f '(x).
B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Dạng 1. Tính đạo hàm bằng định nghĩa 1. Phương pháp
Tính số gia của hàm số y f x0 x f x0 . y Lập tỉ . x y Tính giới hạn lim . x 0 x
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Cho f là hàm số liên tục tại x0. Đạo hàm của f tại x0 là: A. f x0 .
f x0 h fx0 B. . h
f x0 h fx0 C. lim
(nếu tồn tại giới hạn). h0 h
f x0 h fx0 h D. lim
(nếu tồn tại giới hạn). h0 h Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C
Theo định nghĩa đạo hàm tại x 0 : f x0 . 2 x 1 1
Ví dụ 2: Cho hàm f xác định bởi f x x 0 x
. Giá trị f0 bằng: 0 x 0 1 A. 0. B. 1. C. . D. Không tồn tại. 2 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C f x f 0 2 x 1 1 1 1 f 0 lim lim lim . 2 x0 x 0 x0 x0 2 x 2 x 1 1
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 382
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 3 2 x 4x 3x x 1
Ví dụ 3: Cho hàm f xác định trên \ 2 bởi f x 2 x 3x 2 . 0 x 1 Giá trị f 1 bằng: 3 A. . B. 1. C. 0. D. Không tồn tại. 2 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D f f x f 3 2 1 x 4x 3x xx 3 1 lim lim lim . x 1 x 1 x 1 x 1 2 x 3x 2 x 1 x 1 x 2
Ví dụ 4: Cho hàm số x khi x 0 y f x
và điểm có x 0.Khẳng định nào sau đây là 1 0 x khi x 0 đúng? f x f 0 A. lim 1 . x 0 x 0 f x f 0 B. lim 1 . x 0 x 0 C. f0 1.
D. Hàm số không có đạo hàm tại x0 0. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D f x f 0 x lim lim lim 1 1. x 0 x x 0 x x 0 f x f 0 1 x lim lim . x 0 x x 0 x
Do đó hàm số không có đạo hàm tại x 0. f x h fx
Ví dụ 5: Cho hàm số 2
f x 1 x 1 x 1 . Tính lim . h0 h 2x x 1 1 A. . B. . C. . D. . 2 1 x 2 1 x 2 1 x 2 2 1 x Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B 1 x h2 2 1 x 2x h x Ta có: lim lim . h0 h h0 1x h2 2 2 1 x 1 x f x h f x
Ví dụ 6: Cho hàm số f x sinx. Tính lim h0 h x x A. cos . B. 2sin . C. cosx. D. cosx. 2 2 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 383
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 h h 2cos x sin sin x h sin x 2 2 Ta có: lim lim h0 h h0 h h h sin sin 2 h lim cos 2
x 1.cosx cosx vì lim 1. h0 h 2 h0 h 2 2
Ví dụ 7: Tìm a để hàm số sau liên tục và có đạo hàm tại x0 . 2 x neáu x 1 f x ; x 1. 0 ax 1 neáu x 1 A. a 1 . B. a 2 . C. a 1 . D. a 2 . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A
Xét tính liên tục tại x0 1. Ta có: f 1 1.
lim f x lim ax 1 a 1; lim f x 2 lim x 1. x 1 x 1 x 1 x 1
Hàm số liên tục tại x0 1 a 11 a 2 .
Xét đạo hàm của hàm số tại x0 1. f 1 x f 1 2 1 x 1 1 2 x Ta có: lim lim lim 2 f1 . x 0 x x 0 x x 0 x f 1 x f 1 1 x 2 1 Lại có: lim lim 2 f1 . x 0 x x 0 x
Vậy a 2 , hàm số liên tục và có đạo hàm tại x0 1.
Ví dụ 8: Cho hàm số f x x và gx 1 x .
Tìm đạo hàm của hàm số f x và f x gx tại x0 0.
A. f x không có đạo hàm và f x gx không có đạo hàm tại x0 0.
B. f x không có đạo hàm tại x0 0 và f x gx có đạo hàm tại x0 0 và đạo hàm bằng 1 tại x0 0.
C. f x không có đạo hàm tại x0 0 và f x gx có đạo hàm tại x0 0 và đạo hàm bằng 0.
D. f x có đạo hàm tại x0 0 và bằng 0; f x gx có đạo hàm cũng bằng 0. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C x 0 Ta có: f x x neáu
tại x0 0; f 0 0. x neáu x 0 f x0 x f x0 x lim lim 1. x 0 x x 0 x f x0 x f x0 x lim lim 1 1. x 0 x x 0 x
Vậy hàm số không có đạo hàm tại x0 0.
Ta còn có: hx f x gx 1. Hiển nhiên hx 0, x
. Vậy h0 0.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 384
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Ví dụ 9: Cho f xác định trên 0; bởi 1
f x . Đạo hàm của f tại x 2 là: x 0 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B
Cách 1: Giải bằng tự luận 1 1
Dùng định nghĩa tính được fx 0 f 2 . 2 x 2 0
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính
Ví dụ 10: Cho hàm f xác định trên bởi 3
f x x . Giá trị f 8 bằng: 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 12 12 6 6 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A
Cách 1: Giải bằng tự luận f 8 h f 8 3 3 3 h 8 8 h 8 2 lim lim lim h0 h h0 h h0 h 3 h 8 2 lim h0 3 h h 82 3 2 h 8 4 1 1 lim h0 3 2 3 12 h 8 2 h 8 4 Vậy 1 f 8 . 12
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính Ấn tiếp
3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Nếu hàm số y = f (x) không liên tục tại x thì nó có đạo hàm tại điểm đó. 0
B. Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm tại x thì nó không liên tục tại điểm đó. 0
C. Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm tại x thì nó liên tục tại điểm đó. 0
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 385
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
D. Nếu hàm số y = f (x) liên tục tại x thì nó có đạo hàm tại điểm đó. 0 Lời giải Chọn C
Câu 2: Cho f là hàm số liên tục tại x . Đạo hàm của f tại x là: 0 0
A. f (x . 0 )
f (x + h - f x 0 ) ( 0 ) B. . h
f (x + h - f x 0 ) ( 0 ) C. lim
(nếu tồn tại giới hạn). h0 h
f (x + h - f x -h 0 ) ( 0 ) D. lim
(nếu tồn tại giới hạn). h0 h Lời giải Chọn C
Ta có Cho f là hàm số liên tục tại x . 0
f (x)- f (x
f (x)- f (x0 ) 0 )
Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) lim
thì f ¢(x = lim . 0 ) x x0 x - x x x x - x 0 0 0
f (x + h - f x 0 ) ( 0 )
Đặt h = x - x f ¢ x = lim . 0 ( 0 ) h0 h
Câu 3: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm tại x là f ¢(x . Mệnh đề nào sau đây sai? 0 ) 0
f (x)- f (x f (x + x D - f x 0 ) ( 0 ) 0 )
A. f ¢(x = lim . B. f ¢(x = lim . 0 ) 0 ) x x0 x - x x D 0 x D 0
f (x + h - f x
f (x + x - f x 0 ) ( 0 ) 0 ) ( 0 )
C. f ¢(x = lim .
D. f ¢(x = lim . 0 ) 0 ) h0 h x x0 x - x0 Lời giải Chọn D
f (x)- f (x0 )
Hàm số y = f (x) có đạo hàm tại x là f ¢(x f ¢(x = lim . 0 ) 0 ) 0 x x0 x - x0 f (x + x D - f x
f x + h - f x 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) Đặt h = x
D = x - x f ¢ x = lim = lim . 0 ( 0 ) x D 0 h0 x D h ìï3- 4- x ïï khi x ¹ 0 ï
Câu 4: Cho hàm số f (x) ï 4 = í . Tính f ¢(0). ïï1 ï khi x = 0 ïïî4 A. f ¢( ) 1 0 = . B. f ¢( ) 1 0 = . C. f ¢( ) 1 0 = . D. Không tồn tại. 4 16 32 Lời giải Chọn B 3- 4 - x 1
f (x) f (0) - - Xét 2 - 4 4 4 - x lim = lim = lim x 0 x 0 x 0 x -0 x 4x (2- 4-x)(2+ 4-x) x 1 1 = lim = lim = lim = . x 0 4x (2 + 4 - x )
x 0 4x (2 + 4 - x ) x0 4(2 + 4 - x ) 16 ì 2 ïï x +1-1 Câu 5: ï ¹
Cho hàm số f (x) ï khi x 0 = í . x
Tính f ¢(0). ï0ïï khi x = 0 ïî
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 386
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 A. f ¢(0)= 0. B. f ¢(0) =1. C. f ¢( ) 1 0 = . D. Không tồn 2 tại. Lời giải Chọn C 2 x +1 -1
f (x)- f (0) -0 2 Xét x +1 -1 lim = lim x = lim 2 x 0 x 0 x 0 x -0 x x
( 2x +1- )1( 2x +1+ )1 2 x 1 1 = lim = lim = lim = . x 0 2 x ( 2 x +1 + ) x 0 2 1 x ( 2 x +1 + ) x0 2 + + 2 1 x 1 1 3 2
ìïx -4x +3x ï Câu 6: ï khi x ¹ 1
Cho hàm số f (x) xác định trên \ {2} bởi f (x) ï 2 = í x -3x + 2 . Tính f ¢( ) 1 . ï0 ïï khi x = 1 ïî A. f ¢( ) 3 1 = . B. f ¢( ) 1 = 1. C. f ¢( ) 1 = 0. D. Không tồn tại. 2 Lời giải Chọn D 3 2
x - 4x + 3x x (x - ) 1 (x -3) x (x -3)
Xét lim f (x) = lim = lim = lim = 2. 2 x 1 x 1 x 1 x -3x + 2 (x - ) 1 (x -2) x 1 x -2
Ta thấy: lim f (x)¹ f ( )
1 . Do đó, hàm số không tiên tục tại điểm x = 1 . x 1
Vậy hàm số không tồn tại đạo hàm tại điểm x =1 . 2 ìï Câu 7: x 1 khi x 0
Cho hàm số f (x) ï - ³ = í
. Khẳng định nào sau đây sai? 2 - ï x khi x < 0 ïî
A. Hàm số không liên tục tại x = 0 .
B. Hàm số có đạo hàm tại x = 2 .
C. Hàm số liên tục tại x = 2 .
D. Hàm số có đạo hàm tại x = 0 . Lời giải Chọn D
ìï lim f (x)= lim - = - ï + + ( 2 x ) 1 1
Xét các giới hạn ïx0 x 0 í .
ïïlim f (x)= lim - = - - ( 2 x ) 0 ïîx0 x 0
Do lim f (x) ¹ lim f (x) nên hàm số không liên tục tại x = 0 . x 0+ x 0-
Do đó, hàm số không có đạo hàm tại x = 0 . 2 ìïx khi x £ 2 ï Câu 8: ï
Tìm tham số thực b để hàm số f (x) = 2 í x
có đạo hàm tại x = 2. - ïï
+ bx -6 khi x > 2 ïïî 2 A. b = 3. B. b = 6. C. b =1.
D. b = -6. Lời giải Chọn B
Để hàm số có đạo hàm tại x = 2 trước tiên hàm số phải liên tục tại x = 2 , tức là 2 æ x ö
lim f (x) = lim f (x) ç ÷ 2 lim - ç
+ bx -6÷ = lim x -2 + 2b-6 = 4 b = 6. ç ÷ x 2+ x 2- x 2+ ç ÷ x 2 è 2 - ø
Thử lại với b = 6 , ta có 2 2 x x
f (x)- f ( ) - +bx -10 - + 6x -10 2 · 2 2 lim = lim = lim x 2+ - x 2+ - x 2 x 2 x 2 + x -2
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 387
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 (x -2)(10- x) 10 - x = lim = lim = 4; x 2+ 2(x -2) x 2+ 2
f (x)- f (2) 2 x - 4 · lim = lim = 4. x 2- - x 2 x 2 - x -2
f (x)- f (2)
f (x)- f (2) Vì lim = lim
nên hàm số có đạo hàm tại x = 2. x 2+ - x 2 x 2 - x -2 2 ìï Câu 9:
mx + 2x + 2 khi x > 0
Cho hàm số f (x)= íï
. Tìm tất cả các giá trị của các tham số m, n nx ï +1 khi x £ 0 ïî
sao cho f (x) có đạo hàm tại điểm x = 0 .
A. Không tồn tại m, .
n B. m = 2, " . n
C. n = 2, "m.
D. m = n = 2. Lời giải Chọn C Ta có ìïïïf (0)=2
ïïïï f (x)- f (0) 2 2 ï mx + 2x + 2 -2 mx + 2x í lim = lim = lim = lim (mx + 2) = 2. ïx0+ - x 0+ x 0+ x 0 x 0 x x +
ïïïï f (x)- f (0) nx + 2 -2 nx ï lim = lim = lim = lim n = n ïïx0- î - x 0- x 0- x 0 x 0 x x -
f (x)- f (0)
Hàm số có đạo hàm tại x = 0 khi và chỉ khi tồn tại giới hạn lim x 0 x -0
f (x)- f (0)
f (x)- f (0) lim = lim n = 2 . x 0- - x 0 x 0 + x -0 2 ìïx ï Câu 10: ï khi x £1
Cho hàm số f (x) = ïí 2
. Tìm tất cả các giá trị của các tham số , a b sao cho ïax
ïï +b khi x >1 ïî
f (x) có đạo hàm tại điểm x = 1 . A. 1 a = 1, b = - . B. 1 1
a = , b = . C. 1 1 a = , b = - . D. 1
a = 1, b = . 2 2 2 2 2 2 Lời giải Chọn A
· Hàm số có đạo hàm tại x = 1 , do đó hàm số liên tục tại x = 1 . 1 a + b = . ( ) 1 2 ìï
f (x)- f ( ) 1 ax + b-( . a 1+ b) a(x - ) 1 ïïlim = lim = lim = lim a = a ïx 1+ ï - x 1+ - x 1+ - x 1 x 1 x 1 x 1 + ï · Ta có ï 2 í x 1 . ï
f (x) f ( ) 1 - ï - (x + ) 1 (x - ) 1 (x + ï ) 1 2 2 ïlim = lim = lim = lim = 1 ïïx 1- - x 1- - x 1 x 1 x 1 - 2(x - ) x 1 1 - 2 ïî
f (x)- f ( ) 1
f (x)- f ( ) 1
Hàm số có đạo hàm tại x = 1 lim = lim a = 1. (2) x 1+ - x 1 x 1 - x -1 Từ ( ) 1 và (2) , ta có 1
a = 1, b = - . 2
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 388
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Dạng 2. Số gia của hàm số 1. Phương pháp
Số gia của hàm số y f x tại điểm x0 là y f x0 x f x0 .
Chú ý rằng số gia y của hàm số là một hàm số của số gia biến số x.
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Số gia của hàm số 2
f x x 1 tại điểm x0 1 ứng với số gia x 1 bằng: A. 2. B. 1. C. 1. D. 3. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B
Số gia y f x0 x f x0 f 0 f 1 1 2 1.
Ví dụ 2: Số gia của hàm số 2
y 2x 2 tại điểm x0 0 ứng với số gia x 1 bằng: A. 2. B. 0. C. 2. D. 8. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A
Số gia y f x0 x f x0 f
1 f 0 4 2 2.
Ví dụ 3: Cho hàm số f x 2 x 3; x0 1 ; x
. Chọn số gia tương ứng y dưới đây cho thích hợp. A. 2 y x 10.
B. 2 y 1 x 2.
C. 2 y 1 x 10.
D. 2 y 1 x 1. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D y f 1 x f 1 1 x 2 3 2 1 3 1 x 2 3 2 1 x 2 1. 1
Ví dụ 4: Cho hàm số f x 1 3x; x0 ; x
. Chọn số gia tương ứng y dưới đây cho thích 2 hợp. 5 5 A. y 3 x . 2 2 1 5
B. y 1 3x 1 3. 1 3 x . 2 2 1 1 5 5
C. y 1 3. x 1 3. 3 x . 2 2 2 2 1 5
D. y 1 3x x 1 3. 1 3x x . 2 2 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 389
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 1 1 y f x f 2 2 1 1 1 3. x 1 3. 2 2 5 5 3. x . 2 2 y
Ví dụ 5: Cho hàm số f x sinx; x0 ; x. Chọn y và
dưới đây cho thích hợp. 2 x y x A. y sin x 1; 1. 2 x x sin x y 2 2 B. y sin x ; . 2 2 x x sin x 1 y 2 C. y sin x 1; . 2 x x sin x y 2 D. y sin x; . 2 x x Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C y f x f 2 2 sin x
sin sin x 1 2 2 2 sin x y 2 . x x y
Ví dụ 6: Cho hàm số f x x 2 ; x0 2; x. Chọn y và
dưới đây cho thích hợp. x y x y A. y x ; 1. B. y x ; 1. x x x y x 2 y x C. y x 2 ; . D. y x ; . x x x x Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D y f 2 x
f 2 2 x 2 0 x y x . x x
Ví dụ 7: Cho hàm số f x sin2x; x0 ; x
. Chọn số gia tương ứng y dưới đây cho thích hợp. 3 2 2 2 A. y sin x sin . B. y sin2x x sin . 3 3 3
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 390
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 2 2 C. y sin2 x sin . D. y sin x sin . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C y f x x f x 2 2 0 0 y sin x sin . 3 3
3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Tính số gia của hàm số 2
y = x + 2 tại điểm x = 2 ứng với số gia x D = 1. 0 A. y D = 13. B. y D = 9. C. y D = 5. D. y D = 2. Lời giải Chọn C
Ta có Dy = f (x + x
D - f x = f 2 +1 - f 2 = f 3 - f 2 0 ) ( 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( 2 + )-( 2 3 2 2 + 2) = 5.
Câu 2: Tính số gia của hàm số 3 2
y = x + x +1 tại điểm x ứng với số gia x D = 1. 0 A. 2 y
D = 3x + 5x + 3. B. 3 2 y
D = 2x + 3x + 5x + 2. 0 0 0 0 0 C. 2 y
D = 3x + 5x + 2. D. 2 y D = 3x -5x + 2. 0 0 0 0 Lời giải Chọn C Ta có y
D = f (x + x
D - f x = f x +1 - f x 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) = (éx + )3 1 +(x + )2 ù 3 2 2
1 +1 - éx + x +1ù = 3x + 5x + 2. ê 0 0 ú ê 0 0 ë û ë ú 0 0 û 2 Câu 3: x
Tính số gia của hàm số y = tại điểm x = 1
- ứng với số gia x D . 2 0 A. 1 1 1 y D = ( x D )2 - x D . B. y (é x)2 x ù D = D -D . C. y (é x)2 x ù D = D + D . D. 2 2 ê ú ë û 2 ê ú ë û 1 y D = ( x D )2 + x D . 2 Lời giải Chọn A
Ta có Dy = f (x +Dx - f x = f -1+Dx - f -1 0 ) ( 0 ) ( ) ( ) (-1+ x D )2 1 1-2 x D +( x D )2 1 1 - = - = ( x D )2 - x D . 2 2 2 2 2
Câu 4: Tính số gia của hàm số 2
y = x - 4x +1 tại điểm x ứng với số gia x D là: 0
A. Dy = Dx (Dx + 2x -4 . B. y D = 2x + x D .
C. Dy = Dx (2x -4Dx . D. 0 ) 0 ) 0 y D = 2x -4 x D . 0 Lời giải Chọn A Ta có y
D = f (x + x
D )- f (x ) = (éx + x D )2 -4(x + x D ) ù 2
+1 - éx - 4x +1ù 0 0 ê 0 0 ú ê 0 0 ë û ë úû = Dx ( x D + 2x - 4 . 0 )
Câu 5: Tính số gia của hàm số 1 y =
tại điểm x (bất kì khác 0 ) ứng với số gia x D . x
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 391
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 A. x D x D x D x D y D = . B. y D = - . C. y D = - . D. y D = . x (x x +D ) x (x + x D ) x x +D x + x D Lời giải Chọn B Ta có D = ( +D )- ( ) 1 1 x D y f x x f x = - = - . x + x D x x (x + x D ) Câu 6: D
Tính tỷ số y của hàm số y = 3x +1 theo x và x D . x D A. y D y D y D y D = 0. B. = 1. C. = 2. D. = 3. x D x D x D x D Lời giải Chọn D Ta có y D y
D = f (x + x
D )- f (x) = é3(x + x D )+1ù -[3x + ] 1 = 3 x D ë û = 3. x D Câu 7: D
Tính tỷ số y của hàm số 2
y = x -1 theo x và x D . x D A. y D y D y D y D = 0. B. = x D + 2x. C. = 2x + x D . D. = x D . x D x D x D x D Lời giải Chọn B Ta có y f (x x) f (x) (éx x)2 ù D = +D - = + D - - ê ú (x - ) = x x D +( x D )2 2 1 1 2 ë û y D = 2x +D . x x D Câu 8: D
Tính tỷ số y của hàm số 3
y = 2x theo x và x D . x D y D x - ( x D )3 3 2 2 A. y D = . B. = ( x D )2 2 . x D x D x D C. y D y D = x + x x D + ( x D )2 2 6 6 2 . D. = x + x x D +( x D )2 2 3 3 . x D x D Lời giải Chọn C Ta có y D = f (x x
+D )- f (x) = (x x +D )3 - x = x x D + x ( x D )2 + ( x D )3 3 2 2 2 6 6 2 y D = x + x x D + ( x D )2 2 6 6 2 . x D Câu 9: D
Tính tỷ số y của hàm số 1 y = theo x và x D . x D x A. y D 1 y D 1 y D y D = . B. = - . C. 1 = - . D. 1 = . x D x (x + x D ) x D x (x + x D ) x D x + x D x D x + x D Lời giải Chọn B Ta có D = ( +D )- ( ) 1 1 x D y f x x f x = - = - x + x D x x (x + x D ) y D 1 = - . x D x(x + x D )
Câu 10: Đạo hàm của hàm số ( ) 2
f x = x - x tại điểm x ứng với số gia x D là: 0
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 392
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 A. lim ( ( x D )2 + 2x x D - x D ). B. lim ( x D + 2x - ) 1 . x D 0 x D 0 C. lim ( x D + 2x + ) 1 . D. lim ( ( x D )2 + 2x x D + x D ). x D 0 x D 0 Lời giải Chọn B Ta có y f (x x) f (x ) (éx x)2 (x x)ù D = + D - = + D - +D - ê ú ( 2 x - x 0 0 0 0 0 0 ) ë û (D )2 y D = x + 2x x D - x D = x D + 2x -1. 0 0 x D Khi đó y D f '(x = lim = lim x D + 2x -1 . 0 ) ( 0 ) x D 0 x D 0 x D
Dạng 3. Ý nghĩa vật lý của đạo hàm 1. Phương pháp
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 11: Một chất điểm chuyển động theo phương trình ( ) 2
s t = t , trong đó t > 0, t tính bằng giây
và s(t) tính bằng mét. Tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm t = 2 giây. A. 2m/ s. B. 3m/ s. C. 4m/ s. D. 5m/ s. Lời giải Chọn C
Ta tính được s'(t) = 2t.
Vận tốc của chất điểm v(t)= s '(t)= 2t v(2) = 2.2 = 4m/s.
Câu 12: Một viên đạn được bắn lên cao theo phương trình s(t) 2
= 196t - 4, 9t trong đó t > 0, t tính
bằng giây kể từ thời điểm viên đạn được bắn lên cao và s(t) là khoảng cách của viên đạn
so với mặt đất được tính bằng mét. Tại thời điểm vận tốc của viên đạn bằng 0 thì viên
đạn cách mặt đất bao nhiêu mét? A. 1690m. B. 1069m. C. 1906m. D. 1960m. Lời giải Chọn D
Ta tính được s'(t)= 196-9,8t.
Vận tốc của viên đạn v(t)= s '(t)=196-9,8t v(t)= 0 196-9,8t = 0 t = 20.
Khi đó viên đạn cách mặt đất một khoảng h = s( ) 2
20 = 196.20 - 4, 9.20 = 1960m.
Câu 13: Một chất điểm chuyển động có phương trình s(t) 3 2
= t -3t + 9t + 2 , trong đó t > 0, t tính
bằng giây và s(t) tính bằng mét. Hỏi tại thời điểm nào thì bận tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất? A. t = 1s. B. t = 2s. C. t = 3s. D. t = 6s. Lời giải Chọn A
Ta tính được s (t) 2 ' = 3t -6t + 9.
Vận tốc của chất điểm v(t) = s (t)= t - t + = (t - )2 2 ' 3 6 9 3 1 + 6 ³ 6.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 393
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Dấu '' = '' xảy ra t = 1.
Câu 14: Vận tốc của một chất điểm chuyển động được biểu thị bởi công thức v(t) 2
= 8t + 3t , trong
đó t > 0, t tính bằng giây và v(t) tính bằng mét/giây. Tìm gia tốc của chất điểm tại thời
điểm mà vận tốc chuyển động là 11 mét/giây. A. 2 6m/ s . B. 2 11m/ s . C. 2 14m/ s . D. 2 20m/ s . Lời giải Chọn C
Ta tính được v '(t)= 8 +6t. Ta có v(t) 2
= 11 8t + 3t = 11 t = 1 ( 0 t > ).
Gia tốc của chất điểm a(t) = v (t)= + t a( )= v ( ) 2 ' 8 6 1 ' 1 = 8 + 6.1 = 14m/s . Câu 15: 1
Một vật rơi tự do theo phương trình 2 s = gt , trong đó 2
g = 9, 8 m/ s là gia tốc trọng 2
trường. Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t (t = 5s) đến t t +D với Dt = 0, 001s. A. v = 49m/ s.
B. v = 49, 49m/ s.
C. v = 49,0049m/ s. D. tb tb tb v = 49, 245m/ s. tb Lời giải Chọn C 1 1 ( +D )- ( ) g(t + t D )2 2 - gt s t t s t Ta có 1 2 2 v = = = gt + g t D = 49, 0049m/ s. tb t D t D 2
Dạng 4. Phương trình tiếp tuyến 1. Phương pháp
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm M0 x0;y0 là:
y fx0 x x0 f x0 .
Nếu tiếp tuyến có hệ số góc k thì ta giải phương trình fx0 k tìm hoành độ tiếp điểm.
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Cho hàm số y f x. Đồ thị (C) và điểm M0 x0;f x0 C.Phương trình của tiếp tuyến với (C) tại M0 là: A. y fx 0 x x0 .
B. y f xx x0 y0. C. y y 0 f x0 x.
D. y y0 f x0 x x0 . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D
Phương trình tiếp tuyến của đường cong tại Mx0;y0 C : y fx
0 x x0 y0 hoặc y
y0 f x0 x x0 .
Ví dụ 2: Cho hàm số 2
f x x 5 có fx 2x. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm
số tại điểm M có hoành độ x0 1 .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 394
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
A. y 2x 1 6 . B. y 2x 1 6.
C. y 2x 1 6.
D. y 2x 1 6. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D x 1
f x 2 0 0 1 5 6 f 1 2 .
Phương trình tiếp tuyến: y 2x 1 6 .
Ví dụ 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 4
y f x x tại điểm có hoành độ bằng 1 là: A. y 4 x 3. B. y 4 x 4. C. y 4 x 5. D. y 4 x 5. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A Ta có: 3
f 1 1; f x 4x , do đó f 1 4.
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y 4x 1 1 4x 3.
Ví dụ 4: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3
y f x x tại điểm mà tiếp điểm có tung độ bằng 1 có phương trình là: A. y 3x 4. B. y 3x. C. y 3x 2. D. y 3 x 4. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C
Ta có: Khi y 1 thì 3 x 1 , do đó x 1. 2 f 1
1; f x 3x , do đó f 1 3.
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y 3x 1 1 3x 2.
Ví dụ 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 4
y f x x có hệ số góc bằng 4. A. y 4x 3. B. y 4x. C. y 4x 5. D. y 4x 4. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A Ta có: 3 f x 4x .
Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 4 nên 3
4x 4 , do đó x 1; f 1 1.
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y 4x 1 1 4x 3.
3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 16: Tìm hệ số góc k của tiếp tuyến của parabol 2
y = x tại điểm có hoành độ 1 . 2 A. k = 0. B. k = 1. C. 1 k = . D. 1 k = - . 4 2 Lời giải Chọn B 2 2 æ1 ö æ1ö æ1 ö æ1ö f çç + x÷ D ÷- f ç ÷ ç ç ÷ ç + x÷ D ÷ -ç ÷ ç ÷ æ ö ç ÷ è ø ç ÷ è ø ç ÷ è ø ç ÷ Ta có 1 2 2 2 è2ø y 'ç ÷ ç ÷ = lim = lim = lim (1+ x D ) = 1. ç ÷ D è ø 0 D 0 D 0 2 x x x x D x D
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 395
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 æ ö Vậy 1 k = y 'ç ÷ ç ÷ = 1 ç . è2÷ø
Câu 17: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong 3
y = x tại điểm (-1;- ) 1 .
A. y = -3x -4. B. y = -1.
C. y = 3x -2.
D. y = 3x + 2. Lời giải Chọn D
Ta tính được k = y '(- ) 1 = 3. ìïx = -1 0 ï
Ta có ïïíy = -1 . Suy ra phương trình tiếp tuyến y +1 = 3(x + )
1 y = 3x + 2. 0 ïïïk =3 ïî
Câu 18: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong 1 y =
tại điểm có hoành độ bằng -1 . x
A. x + y +2 = 0.
B. y = x +2.
C. y = x -2. D. y = x - + 2. Lời giải Chọn A
Ta tính được k = y '(- ) 1 = -1.
Với x = -1 y = -1. 0 0 ìïx = -1 0 ï
Ta có ïïíy = -1. Suy ra phương trình tiếp tuyến y +1 = -1(x + )
1 y = -x -2. 0 ïïïk =-1 ïî
Câu 19: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong 3
y = x tại điểm có tung độ bằng 8. A. y = 8.
B. y = -12x +16.
C. y = 12x -24.
D. y =12x -16. Lời giải Chọn D
Với y = 8 x = 2. 0 0
Ta tính được k = y '(2) = 12. ìïx = 2 0 ï
Ta có ïïíy = 8 . Suy ra phương trình tiếp tuyến y -8 = 12(x -2) y = 12x -16. 0 ïïïk =12 ïî Câu 20: Cho hàm số 3 2
y = x -3x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm với trục tung.
A. y = 2x. B. y = 2. C. y = 0. D. y = -2. Lời giải Chọn B Ta có : 2
x = 0; y = 2; y ' = 3x - 6x k = y ' 0 = 0 0 0 ( ) ìïx = 0 0 ï
Ta có : ïïíy = 2 . Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 2. 0 ïïïk = 0 ïî Câu 21: Cho hàm số 3 2
y = x -3x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm
với đường thẳng y = -2.
A. y = -9x +7;
y = -2. B. y = -2.
C. y = 9x +7; y = -2. D.
y = 9x +7; y = 2. Lời giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 396
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Chọn C éx = -1
Phương trình hoành độ giao điểm : 3 2
y = x -3x + 2 = -2 ê . êx = 2 ë ìïy = -2 Với x 1 ï = - í
. Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 9x +7. ïk = y '(- ) 1 = 9 ïî ìïy = -2 Với x 2 ï = í
. suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -2. ïk = y '(-2)= 0 ïî Câu 22: Cho hàm số 3 2
y = x -3x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp
tuyến song song với đường thẳng y = 9x +7.
A. y = 9x +7; 9
y = x -25. B. y = 9x -25.
C. y = 9x -7; 9
y = x + 25. D. y = 9x + 25. Lời giải Chọn B
Gọi M (x ; y là tọa độ tiếp điểm. 0 0 )
Ta tính được k = y '(x ) 2
= 3x -6x . Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x +7 0 0 0 éx = -1 nên có 2 0
k = 9 3x -6x = 9 ê . 0 0 êx = 3 ë 0 ìïy = 2 - Với ï 0 x = -1
. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 9x +7(loaïi) (vì trùng với 0 íïk = 9 ïî đường thẳng đã cho). ìïy = 2 Với ï 0 x = 3 í
. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 9x -25. 0 ïk = 9 ïî Câu 23: Cho hàm số 3 2
y = x -3x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp
tuyến vuông góc với đường thẳng 1 y = - x. 45
A. y = 45x -173; 45 y = x + 83.
B. y = 45x -173.
C. y = 45x +173; 45 y = x -83.
D. y = 45x -83. Lời giải Chọn A
Gọi M (x ; y là tọa độ tiếp điểm. 0 0 )
Ta tính được k = y '(x ) 2
= 3x -6x . Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 y = - x 0 0 0 45 æ 1 ö éx = 5 nên có 2 0 k.ç ÷ - ç
÷ = -1 k = 45 3x -6x = 45 ê . 0 0 çè 45÷ø êx = -3 ë 0 ìïy = 52 Với ï 0 x = 5 í
. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 45x -173. 0 ïk = 45 ïî ìïy = -52 Với ï 0 x = 3 - í
. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 45x +83. 0 ïk = 45 ïî
Câu 24: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong 1 y =
biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng x 1 - . 4
A. x + 4 y -1 = 0 ; x + 4 y +1 = 0.
B. x + 4 y -4 = 0 ; x + 4 y + 4 = 0. C. 1 1 y = - x - 4 ; y = - x + 4. D. 1 y = - x . 4 4 4
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 397
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Lời giải Chọn B Gọi 1
M (x ; y là tọa độ tiếp điểm. Ta tính được k = y '(x = - . 0 ) 0 0 ) 2 x0 Theo giả thiết ta có 1 1 1 2 k = - -
= - x = 4 x = 2. 2 0 0 4 x 4 0 1 · Với x = 2 y =
. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 0 0 2 1 y = - (x - ) 1
2 + x + 4 y - 4 = 0. 4 2 1 · Với
x = -2 y = - . Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 0 0 2 1 y = - (x + ) 1
2 - x + 4 y + 4 = 0. 4 2 Câu 25: Cho hàm số 3 2
y = x -3x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết cosin
góc tạo bởi tiếp tuyến và đường thẳng D : 4x -3y = 0 bằng 3. 5 A. y = 2; 1 y = . B. y = 2; - 1 y = . C. y = -2; 1 y = - . D. y = 2; 2 y = - . Lời giải Chọn D
Gọi M (x ; y là tọa độ tiếp điểm k = y '(x = 3x -6x . 0 ) 2 0 0 ) 0 0
Phương trình tiếp tuyến d có dạng y + y = k x - x . 0 ( 0 ) Suy ra tiếp tuyến
d có một vectơ pháp tuyến là n = ( k - ) ;1 . d Đường thẳng
D có một vectơ pháp tuyến là n = - D (4; 3). ék = 0 -4k -3 ê Theo đề bài ta có: (d D) 3 cos , = = ê 24 . 2 k +1 16 + 9 5 êk = - êë 7 Với 24 24 2 k = - 3x -6x = - : vô nghiệm. 0 0 7 7 éx = 0 Với 2 0
k = 0 3x -6x = 0 ê . 0 0 êx = 2 ë 0
· x = 0 y = 2 Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y -2 = 0 y = 2. 0 0
· x = 2 y = -2 Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y + 2 = 0 y = 2 - . 0 0
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 398
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
BÀI 2. QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
I. ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
Định lý 1: Hàm số n y x n,n
1 có đạo hàm tại mọi x và 'n n 1 x nx . Nhận xét
c' 0 claø haèng soá. x' 1.
Định lý 2: Hàm số y x có đạo hàm tại mọi x dương và ' 1 x . 2 x
II. ĐẠO HÀM CỦA TỔNG, HIỆU, TÍCH, THƯƠNG 1. Định lý
Định lý 3: Giả sử u ux,v vx là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có u v' u' v' uv' u'v' uv' u'v v'u ' u u'v v'u v 0 v 2 v
Bằng quy nạp toán học, ta chứng minh được
u u ... u ' ' ' ' 1 2 n 1 u u2 ... un. 2. Hệ quả
Hệ quả 1: Nếu k là một hằng số thì ' ' ku ku . ' 1 u'
Hệ quả 2: , u 0. u 2 u
III. ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP 1. Hàm hợp
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 399
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Giả sử u gx là hàm số của x,xác định trên khoảng a,b và lấy giá trị trên khoảng c,d; fu
là hàm số của u, xác định trên c,d và lấy giá trị trên . Khi đó, ta lập một hàm số xác định trên
a,bvà lấy giá trị trên theo quy tắc sau: x fgx.
Ta gọi hàm số y f gx là hàm hợp của hàm số y f u với u gx.
2. Đạo hàm của hàm hợp
Định lý: Nếu hàm số u gx có đạo hàm tại x là 'ux và hàm số y f u có đại hàm tại u là 'yu
thì hàm hợp y f gx có đạo hàm tại x là ' ' ' yx yu.ux.
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TÂP
Dạng 1. Đạo hàm của hàm đa thức 1. Phương pháp
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 3 2
Ví dụ 1: Cho hàm số y 2x 3x 5 . Tìm x để y 0 Hướng dẫn giải 3 2 y 2x 3x 5 2 x 0 y 0 6x 6x 0 x x 1 0 . x 1 3 2
Ví dụ 2: Cho hàm số y 3x x 1. Giải bất phương trình y 0 . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A 3 2 2
y 3x x 1 y 9x 2x 2 2
y 0 9x 2x 0 x 0. 9 1 2 3 2
Ví dụ 3: Cho hai hàm số f x x 4x; gx 9x x . f x g x 2 2 Tìmx để Hướng dẫn giải
fx x 4; gx 9 3x. Do đó 5 f x g x 4x 5 x . 4 1
Ví dụ 4: Cho hàm số f x 3 mx x . f x 2 3 Tìm m đê ị x
1 là nghiệm của bất phương trình Hướng dẫn giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 400
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Ta có: 2
f x m x . Giá trị x 1
là nghiệm của bất phương trình fx 2 khi và chỉ khi: m 1 2 m 3.
3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: 1
Cho hàm số f (x) 3 2
= x -2 2x +8x -1 , có đạo hàm là f ¢(x) . Tập hợp những giá trị của 3
x để f ¢(x ) = 0 là: A. { 2 - 2}. B. {2; 2}. C. { 4 - 2}. D. {2 2}. Lời giải Chọn D Ta có: f ¢(x) 2
= x - 4 2x +8 .
Phương trình f ¢(x) 2
= 0 x -4 2x + 8 = 0 x = 2 2 . Câu 2: Cho hàm số 3 2
y = 3x + x +1 , có đạo hàm là y ¢ . Để y ¢ £ 0 thì x nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây? é ù é ù A. 2 ê- ;0ú. B. 9 ê- ;0ú. ê 9 ú ë û ê 2 ú ë û æ ù æ ù C. 9 ç 2 ç ; -¥ - ú È[0;+¥). ç ç D. ç ; -¥ - ú È[0;+¥). è 2 úû çè 9 úû Lời giải Chọn A Ta có: 2
y ¢ = 9x + 2x . é ù Do đó, 2 2 2
y ¢ £ 0 y ¢ = 9x + 2x £ 0 -
£ x £ 0x Î ê- ;0ú . 9 êë 9 ûú
Câu 3: Tính đạo hàm của hàm số f (x) 4 3 2
= -x + 4x -3x + 2x +1 tại điểm x = -1. A. f ¢(- ) 1 = 4. B. f ¢(- ) 1 = 14. C. f ¢(- ) 1 = 15. D. f ¢(- ) 1 = 24. Lời giải Chọn D Ta có: f ¢(x) 3 2
= -4x +12x -6x + 2 . Suy ra f ¢(- ) 1 = -4(- )3 1 + (- )2 12 1 -6(- ) 1 + 2 = 24 . Câu 4: 1 Cho hàm số 3 y = x -(2m + ) 2
1 x -mx - 4 , có đạo hàm là y¢ . Tìm tất cả các giá trị của m 3
để y¢ ³ 0 với "x Î . æ ö é ù A. 1 m Î çç 1; ÷ - - ÷. ç B. 1 m Î ê-1;- ú . è 4 ÷ø ê 4 ú ë û
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 401
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 é ö é ù C. m Î(-¥ - ] 1 ; 1 È - ; ÷ ê +¥÷. D. 1 m Î ê-1; ú . 4 ÷ ê ø ë ê 4 ú ë û Lời giải Chọn B Ta có: 2
y ¢ = x - 2(2m + )
1 x -m .
Khi đó, y ' ³ 0 với "x Î 2 x -2(2m + )
1 x -m ³ 0 với "x Î D¢ = (2m + )2 1 2
1 + m £ 0 4m + 5m +1 £ 0 -1 £ m £ - . 4 Câu 5: 1 Cho hàm số 3
y = - mx +(m - ) 2
1 x -mx + 3 , có đạo hàm là y¢ . Tìm tất cả các giá trị của m 3
để phương trình y¢ = 0 có hai nghiệm phân biệt là x , x + x = 6 . 1 x thỏa mãn 2 2 2 1 2 A. m = 1 - + 2 ; m = 1 - - 2. B. m = 1 - - 2.
C. m = 1- 2 ; m = 1+ 2. D. m = 1 - + 2. Lời giải Chọn A Ta có: 2 y ¢ = m - x + 2(m - )
1 x -m .
Phương trình y¢ = 0 có hai nghiệm phân biệt 2 mx - + 2(m - )
1 x -m = 0 có 2 nghiệm phân biệt m ìï ¹ 0 m ìï ¹ 0 ï ï ï í í . ïïD¢ =(m - )2 1 2 1 -m > 0 m ï î ï < îï 2 ìï 2(m - ) 1 ï Khi đó, gọi ïx + x = x , 1 2 í .
1 x là hai nghiệm phân biệt của phương trình 2 m ïïïx x =1 ïî 1 2 æ - ö 2 2(m ) 2 1 Ta có: 2 2 ç ÷
x + x = 6 x + x -2x x = 6 ç ÷ ç ÷ -2 = 6 1 2 ( 1 2 ) 1 2 ç m ÷ è ø 2
m + 2m -1 = 0 m = -1 2 .
So với điều kiện thì m = -1 2 thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 6: Biết hàm số f (x) 3 2 = x a
+ bx + cx + d (a > 0) có đạo hàm f ¢(x)> 0 với "x Î . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 2
b - 3ac > 0. B. 2
b - 3ac ³ 0. C. 2
b - 3ac < 0. D. 2
b - 3ac £ 0. Lời giải Chọn C
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 402
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Ta có f ¢(x) 2
= 3ax + 2bx + c . Vì a > 0 và f ¢(x)> 0 với "x Î nên D¢ < 0 tức là 2
b - 3ac < 0 .
Câu 7: Biết hàm số f (x) 3 2 = x a
+ bx + cx + d (a < 0) có đạo hàm f ¢(x)< 0 với "x Î . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 2
b - 3ac > 0. B. 2
b - 3ac ³ 0. C. 2
b - 3ac < 0. D. 2
b - 3ac £ 0. Lời giải Chọn C Ta có f ¢(x) 2
= 3ax + 2bx + c . Vì a < 0 và f ¢(x)< 0 với "x Î nên D¢ < 0 tức là 2
b - 3ac < 0 .
Câu 8: Tính đạo hàm của của hàm số y = (x - x )2 3 2 2 .
A. f ¢(x) 5 4 3
= 6x -20x +16x . B. f ¢(x ) 5 3 = 6x +16x .
C. f ¢(x) 5 4 3
= 6x -20x + 4x .
D. f ¢(x) 5 4 3
= 6x -20x -16x . Lời giải Chọn A Ta có: ¢ y ¢ = 2( 3 2 x - 2x ) ( 3 2 x - 2x ) = 2( 2 3x - x)( 3 2 x - 2x ) 5 4 3 4
= 6x -20x +16x .
Câu 9: Cho hàm số y = ( x + )3 2 2
1 , có đạo hàm là y¢ . Để y¢ ³ 0 thì x nhận các giá trị nào sau đây?
A. Không có giá trị nào của x. B. (-¥;0]. C. [0;+¥). D. . Lời giải Chọn C Ta có: ¢
y ¢ = ( x + ) ( x + )2 = x ( x + )2 = x ( x + )2 2 2 2 2 3 2 1 2 1 3.4 2 1 12 2 1 .
Do đó, y¢ ³ x ( x + )2 2 0 12 2 1 x ³ 0 .
Câu 10: Tính đạo hàm của hàm số y = ( - x )5 3 1 . A. 2 4
y ¢ = x ( - x )4 3 5 1 . B. 2 y ¢ = - x ( 3 15 1- x ) . C. 2 4 y ¢ = - x ( 3 - x )4 3 1 . D. 2 y ¢ = -5x ( 3 1- x ) . Lời giải Chọn B Ta có: ¢ y ¢ = ( 3 - x ) ( 3 - x )4 = ( 2 - x )( 3 - x )4 2 = - x ( 3 - x )4 5 1 1 5 3 1 15 1 .
Câu 11: Tính đạo hàm của hàm số y = (x - x )2016 3 2 2 .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 403
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 A. 2015 y ¢ = (x - x )2015 3 2 2016 2 . B. y¢ = ( 3 2 x - 2x ) ( 2 2016
3x - 4x). C. y¢ = ( 3 2 x - x )( 2 2016 2
3x - 4x). D. y ¢ = ( 3 2 x - x )( 2 2016 2
3x -2x). Lời giải Chọn B Ta có: ¢ y ¢ =
(x - x ) (x - x )2015 =
( x - x)(x - x )2015 3 2 3 2 2 3 2 2016 2 2 2016 3 4 2 .
Câu 12: Tính đạo hàm của hàm số y = ( 2 x - 2)(2x - ) 1 .
A. y¢ = 4x. B. 2
y ¢ = 3x - 6x + 2. C. 2
y ¢ = 2x - 2x + 4. D. 2
y ¢ = 6x - 2x - 4. Lời giải Chọn D Ta có: ¢ ¢ y ¢ = ( 2
x - 2) ( x - )+( 2
x - 2)( x - ) = 2x (2x - ) 1 + 2( 2 x - 2) 2 2 1 2 1 = 6x -2x - 4
Câu 13: Tính đạo hàm của hàm số f (x) = x (x - )
1 (x -2)...(x -2018) tại điểm x = 0 . A. f ¢(0)= 0.
B. f ¢(0)= -2018!.
C. f ¢(0)= 2018!.
D. f ¢(0)= 2018. Lời giải Chọn C
Xét hàm số f (x)= f x f x f x ... f x n ³1; Î . 0 ( ) 1 ( ) 2 ( ) ( ) ( n ) n
Bằng quy nạp, dễ dàng chứng minh được:
f ¢(x ) = f ¢ x f x ... f x + f
x f ¢ x ... f x +... + f x f x ... ¢ 0 ( ) 1 ( ) ( ) f x n 0 ( ) 1 ( ) ( ) n 0 ( ) 1 ( ) ( ) n
Áp dụng công thức trên cho hàm số f (x) = x (x - )
1 (x -2)...(x -2018) và thay x = 0 với chú
ý f 0 = 0 ta được: 0 ( ) f ¢(0) = (- )
1 .(-2)...(-2018)+ 0.(-2)....(-2018)+ 0.(- ) 1 ...(-2017) = 2018! .
Câu 14: Tính đạo hàm của hàm số f (x) = x (x + )
1 (x + 2)...(x + 2018) tại điểm x = 1004 - .
A. f ¢(-1004)= 0.
B. f ¢(-1004) =1004!. C. f ¢( 1004 - )= -1004!. D. f ¢(- )= ( )2 ' 1004 1004! . Lời giải Chọn D
Xét hàm số f (x)= f x f x f x ... f x n ³1; Î . 0 ( ) 1 ( ) 2 ( ) ( ) ( n ) n
Bằng quy nạp, dễ dàng chứng minh được:
f ¢(x ) = f ¢ x f x ... f x + f
x f ¢ x ... f x +... + f x f x ... ¢ . 0 ( ) 1 ( ) ( ) f x n 0 ( ) 1 ( ) ( ) n 0 ( ) 1 ( ) ( ) n
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 404
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Áp dụng công thức trên cho hàm số f (x) = x (x + )
1 (x + 2)...(x + 2018) và thay x = 1004 - với chú ý f 1004 - = 0 ta được 1004 ( ) f ¢( 1004 - )= (é 1004 - ).(-1004 + ) 1 ...( 1004 - +1003)ù. (é 1004 - +1005)...( 1004 - + 2018)ù ë û ë û = (- ) 1 .1.(-2).2.....( 1 - 004).1004 = (1004 )2 ! .
Dạng 2. Đạo hàm của hàm phân thức 1. Phương pháp
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng x13x Ví dụ 1: y x 1 Hướng dẫn giải x1 3x
16xx 1 2 1 x 3x 2 3x 6x 1 y y . x 1 x 2 1 x 2 1 2x 3
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số y 2x 1 Hướng dẫn giải ax b ad bc
Dùng công thức nhanh: y y . cx d cx d2 2x 3 8 Do đó, với y y . 2x thì 1 2x 2 1 1
Ví dụ 3: Tính đạo hàm của hàm số y 2 x 1 Hướng dẫn giải 2x 1 2x y . x 2 1 x 2 2 2 1 2 x 1
Ví dụ 4: Tính đạo hàm của hàm số y 2 ? x 1 Hướng dẫn giải 2 2 x 1 x 1 2 2 y 1 2 2 2 x 1 x 1 x 1 2 2 x 1 4x Do đó y . x 2 1 x 2 2 2 1 1
Ví dụ 5: Tính đạo hàm của hàm số y 2 x x 1 Hướng dẫn giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 405
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 2x x 1 2x 1 y . x x 2 1 x x 2 2 2 1 2 x x 3
Ví dụ 6: Tính đạo hàm của hàm số y 2 x x 1 Hướng dẫn giải 2 2
x x 3 x x 1 4 4 y 1 . 2 2 2 x x 1 x x 1 x x 1 4 2 x x 1 42x 1 Do đó: y . x x 2 1 x x 2 2 2 1
3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: x
Tính đạo hàm của hàm số f (x) 2 = tại điểm x = 1 - . x -1 A. f ¢(- ) 1 = 1. B. f ¢(- ) 1 1 = - . C. f ¢(- ) 1 = -2. D. f ¢(- ) 1 = 0. 2 Lời giải Chọn B TXĐ: D = \ { } 1 . Ta có - f ¢(x ) 2 = f ¢(- ) 1 1 = - (x - )2 1 2 2 Câu 2: x + 2x - 3
Tính đạo hàm của hàm số y = . x + 2 2 A. 3 x + 6x + 7 y ' = 1+ . B. y ' = . ( 2 x + 2)2 (x +2) 2 2 C. x + 4 x + 5 x + 8x +1 y ' = . D. y ' = . ( 2 x + 2)2 (x +2) Lời giải Chọn A Ta có 3 3 y = x - y¢ = 1+ . x + 2 (x +2)2 x (1-3x )
Câu 3: Tính đạo hàm của hàm số y = . x +1 2 2 2 A. -9x - 4x +1 -3x -6x +1 1-6x y ' = . B. y ' = . C. 2 y ' = 1- 6x . D. y ' = . 2 (x +1) 2 (x +1) (x + )2 1 Lời giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 406
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Chọn B x ( - x ) 2 1 3 Ta có: x -3x y = = x +1 x +1 ( 2 ¢ ¢
x - 3x ) (x + ) 1 -( 2
x - 3x )(x + ) 1 (1-6x)(x + ) 1 -( 2 x - 3x ) 2 -3x -6x +1 y¢ = = = . (x + )2 1 (x + )2 1 (x + )2 1 2 Câu 4: 1-3x + x
Cho hàm số f (x)=
. Giải bất phương trình f ¢(x)> 0. x -1
A. x Î \ { } 1 . B. x Î . Æ C. x Î(1;+¥). D. x Î . Lời giải Chọn A ( 2 1 3 ¢ ¢
- x + x ) (x - ) 1 -( 2
1-3x + x )(x - ) 1
Ta có: f ¢(x) = (x - )2 1 ( 3 - + 2x)(x - ) 1 -( 2 1-3x + x ) 2 x - 2x + 2 = = . (x - )2 1 (x - )2 1 2 2 ì - + ï Bất phương trình - + > ï f ¢(x ) x 2x 2 x 2x 2 0 > 0 > 0 í x Î \ { } 1 . (x - )2 1 ïx ¹1 ïî 3 Câu 5: x
Cho hàm số f (x) =
. Phương trình f ¢(x)= 0 có tập nghiệm S là: x -1 ìï ü ìï ü ìï ü ìï ü A. 2 ï ï ï ï ï ï ï ï S = 0; í ý. B. 2 S = - í ;0ý. C. 3 S = 0; í ý. D. 3 S = - í ;0ý. ïî 3ï ï ïþ ïî 3 ï ï ïþ ïî 2ï ï ïþ ïî 2 ï ï ïþ Lời giải Chọn C ( 3 ¢ ¢ x ) (x - ) 3 1 - x (x - ) 2 1 3x (x - ) 3 3 2 1 - Ta có ¢( ) x 2x -3x f x = = = . (x - )2 1 (x - )2 1 (x - )2 1 éx = 0 3 2 - ê
Phương trình f ¢(x) 2x 3x 3 2 = 0
= 0 2x -3x = 0 ê 3 . (x - )2 1 êx = êë 2 2 Câu 6: 2 - x + x -7
Tính đạo hàm của hàm số y = . 2 x + 3 2 2 A. 3 - x -13x -10 x - + x + 3 y ' = . B. y ' = . ( 2 x + 3)2 2 ( 2 x + 3) 2 2 C. x - + 2x + 3 7 - x -13x -10 y ' = . D. y ' = . ( 2 x + 3)2 2 ( 2 x + 3) Lời giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 407
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Chọn C ( 2 2 ¢ ¢ - x + x -7) ( 2 x + 3)-( 2 x + 3) ( 2 -2x + x -7) Ta có: y¢ = (x +3)2 2 (-4x + ) 2 1 (x + 3) -2x.( 2 2 - x + x -7) 2 - + + x 2x 3 y ¢ = = (x + )2 2 2 2 (x + 3) 3
Dạng 3. Đạo hàm của hàm chứa căn 1. Phương pháp
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Cho hàm số y 4x x . Tìm x để y 0 ? Hướng dẫn giải 1
y 4x x y 4 2 x 1 1 1 y 0 4 0 x x . 2 x 8 64 3
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số y x x 1 Hướng dẫn giải 2 1 y' 3x . 2 x 1
Ví dụ 3: Cho hàm số f x 3 2 x 3 2x 18x 7. f x 0 3 Tìm x để Hướng dẫn giải 2 2 f x x 6 2x 18 x 3 2 . 2 f x 0 x 3 2 0 x 3 2.
Ví dụ 4: Cho hàm số f x 1 x . Tính f 3 x 3.f3 ? Hướng dẫn giải 1 1 Ta có: fx f3 . 2 1 x 4
Lại có: f 3 2. Vậy 1 x 5 f 3 x 3 .f 3 2 x 3 . . 4 4 1
Ví dụ 5: Tính đạo hàm của hàm số: y ? 2 x 1 Hướng dẫn giải x 2 x 1 x Ta có: y . 2 x 1 x 3 2 1
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 408
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 2
Ví dụ 6: Tính đạo hàm của hàm số: y x x 1? Hướng dẫn giải 2 x 2x 1 Ta có: 2 y x 1 x. . 2 2 x 1 x 1 1 x
Ví dụ 7: Tính đạo hàm của hàm số: y ? 1 x Hướng dẫn giải 1 1 x 1 2 2x 1 x 3 x Ta có: y 1 x . . 1 x 2 1 x 1 x 2 1 x 2 1 x3
3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Cho hàm số y = 2 -
x + 3x. Tập nghiệm S của bất phương trình y ' > 0 là: æ ö æ ö A. S = (- ; ¥ +¥). B. 1 S = ç- ç ; ÷ ¥ ÷. = ç ÷ ç C. 1 S ç ;+¥÷. D. S = . Æ è 9÷ø çè9 ÷ø Lời giải Chọn C Ta có 1 -
y = -2 x + 3x y ' = +3. x Do đó 1 - 1 1 y ' > 0 + 3 > 0 3 > x > x x 9
Câu 2: Tính đạo hàm của hàm số f (x) = x -1 tại điểm x =1 . A. f ( ) 1 ' 1 = . B. f '( ) 1 = 1. C. f '( ) 1 = 0. D. Không tồn tại. 2 Lời giải Chọn D Ta có f (x) 1 ' = . 2 x -1
Tại x =1 thì f '(x) không xác định.
Câu 3: Tính đạo hàm của hàm số 2 y = 1- 2x . A. 1 -4x -2x 2x y ' = . B. y ' = . C. y ' = . D. y ' = . 2 2 1-2x 2 1-2x 2 1-2x 2 1-2x Lời giải Chọn C ( 2 1-2x )' Ta có -4x -2 ' x y = = = . 2 2 2 2 1-2x 2 1-2x 1-2x
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 409
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Câu 4: Tính đạo hàm của hàm số 2 3 y = x - 4 x . 2 A. x - 6 1 ' x y = . B. y ' = . 2 3 x - 4 x 2 3 2 x - 4x 2 2 C. x -12 x - 6 ' x x y = . D. y ' = . 2 3 2 x - 4x 2 3 2 x - 4x Lời giải Chọn A 2 2 Ta có 2x -12x x - 6x y ¢ = = . 2 3 2 3 2 x - 4x x - 4 x
Câu 5: Cho hàm số f (x) 2
= x -2x . Tập nghiệm S của bất phương trình f '(x)³ f (x) có bao nhiêu giá trị nguyên? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải Chọn C ( 2 x - 2x )' Ta có - - f (x ) 2x 2 x 1 ' = = = . 2 2 2 2 x -2x 2 x -2x x - 2x Khi đó, -
f '(x ) ³ f (x ) x 1 2 ³ x -2x 2 x - 2x 3- 5 3 + 5 2 2
x -1 ³ x -2x x -3x +1 £ 0 £ x £ 2 2
Vì x Î x = {1;2} tập S có 2 giá trị nguyên.
Câu 6: Tính đạo hàm của hàm số f (x) = x x. A. x f (x ) 1 ' = x .
B. f (x) 3 ' = x .
C. f (x) 1 ' = . D. 2 2 2 x '( ) x f x = x + . 2 Lời giải Chọn B
Ta có f (x) = x
x + x ( x ) 1 x 3 ' '. . ' = x + x. = x + = x . 2 x 2 2
Câu 7: Tính đạo hàm của hàm số 2
y = x x - 2x . 2 A. 2x -2 3x - 4x y ¢ = . B. y¢ = . 2 x - 2x 2 x - 2x
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 410
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 2 2 C. 2x -3x 2x -2x -1 y ¢ = . D. y¢ = . 2 x - 2x 2 x - 2x Lời giải Chọn C 2 2 2 Ta có 2x -2
x - 2x + x - x 2x -3 2 ¢ = -2 + . x y x x x = = . 2 2 2 2 x -2x x - 2x x - 2x
Câu 8: Tính đạo hàm của hàm số y = ( x - ) 2 2 1 x + x . 2 2 A. 4x -1 4x -1 2
y ¢ = 2 x + x - . B. 2
y ¢ = 2 x + x + . 2 2 x + x 2 x + x 2 2 C. 4x -1 4x +1 2
y ¢ = 2 x + x + . D. 2
y ¢ = 2 x + x + . 2 2 x + x 2 2 x + x Lời giải Chọn C Ta có ¢ y ¢ = ( x - )¢ 2
x + x +( x - ) ( 2 2 1 . 2 1 . x + x ) (2x - ) 1 (2x + ) 2 1 4x -1 2 2 = 2. x + x + = 2 x + x + . 2 2 2 x + x 2 x + x Câu 9: 1
Tính đạo hàm của hàm số y = . 2 x +1 A. ' x x y = . B. y¢ = - . 2 2 (x +1) x +1 2 2 (x +1) x +1 2 C. x x (x +1) y ¢ = . D. y¢ = - . 2 2 2(x +1) x +1 2 x +1 Lời giải Chọn B ¢ æ ¢ ö - + ¢ ç 1 ( 2x 1) -( 2 x + ÷ ) 1 Ta có y¢ = ç ÷ ç ÷ = = 2 2 ç ÷ 2 ÷ è + ø x +1 x 1 2 x +1( 2 x + ) 1 -x = . 2 x +1( 2 x + ) 1 Câu 10: x -1
Tính đạo hàm của hàm số y = . 2 x +1 A. 2 1+ ' x x y = . B. y ' = . 2 x +1 2 3 (x +1)
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 411
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 2 C. 2(x +1) x - x +1 y ' = . D. y ' = . 2 3 (x +1) 2 3 (x +1) Lời giải Chọn B 2 x ( ¢ ¢ + - - x - ) 2 x + -(x - )( 2 x + ) x 1 (x ) 1 1 . 1 1 1 2 Ta có x +1 y ¢ = = ( x +1)2 ( x +1)2 2 2 2 2
x +1- x + x 1+ x = = . ( x + )3 2 3 2 (x +1) 1 Câu 11: x -
Tính đạo hàm của hàm số 2 1 y = . x + 2 A. 5 x + 2 1 5 x + 2 y ' = . . B. y ' = . . . (2x - )2 1 2x -1 2 (2x - )2 1 2x -1 C. 1 x + 2 1 5 x + 2 y ' = . . D. y ' = . . . 2 2x -1 2 (x +2)2 2x -1 Lời giải Chọn D æ ¢ - ö Ta có 1 2x 1 1 5 x + 2 y ¢ = .ç ÷ ç ÷ = . . . 2 ç ÷ x -1 è x + 2 ø 2 (x + 2)2 2x -1 2 x +2 2 Câu 12: x +1
Tính đạo hàm của hàm số y = . x æ ö A. 1 x 1 1 x y ' = 1 çç - . ÷÷ B. y ' = . 2 2 2 ç ÷ x +1 è x ø 2 2 x +1 æ ö æ ö C. 1 x 1 1 x 1 y ' = 1 çç + . ÷÷ D. y ' = ççx - . ÷÷ 2 2 2 ç ÷ ç ÷ x +1 è x ø 2 2 2 x +1 è x ø Lời giải Chọn A 2 æ + ö æ ö Ta có 1 x 1 ç ÷ 1 x 1 y ' = ç ÷' = 1 ç ç ÷ ç - . ÷÷ 2 2 2 ç ÷ ç ÷ + è x ø 2 x +1 x 1 è x ø 2 x
Câu 13: Tính đạo hàm của hàm số 1 y = . x +1 - x -1 A. 1 y ¢ = - . B. 1 y ¢ = . ( x +1+ x -1)2 2 x +1 + 2 x -1
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 412
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 C. 1 1 y ¢ = + . D. 1 1 y ¢ = + . 4 x +1 4 x -1 2 x +1 2 x -1 Lời giải Chọn C Ta có 1 x +1 + x -1 y = = . x +1 - x -1 2 1 æ ö ¢ ç ÷
y¢ = ( x + + x- ) 1 1 1 1 1 1 1 = ç + ÷ = + . 2 2 ç ÷
çè2 x +1 2 x-1÷ø 4 x +1 4 x-1 2 Câu 14: 3x + 2x +1
Tính đạo hàm của hàm số f (x) = tại điểm x = 0. 3 2 2 3x + 2x +1 A. f '(0) = 0. B. f ( ) 1 ' 0 = . C. Không tồn tại. D. f '(0)=1. 2 Lời giải Chọn B ( ¢ ¢ 2 3x + 2x + ) 3 2
1 .2 3x + 2x +1 -( 2 3x + 2x + ) 1 .( 3 2 2 3x + 2x +1) Ta có f ¢(x)= (2 3x +2x +1)2 3 2 2 ( + ) + 3 2 + + -( 2 + + ) 9x 4 6 2 2 3 2 1 3 2 1 x x x x x x 3 2 4 3 2 3x + 2x +1
9x + 6x - 9x + 8x + 4 = = ( x + x + )2 4( 3 2 3x + 2x + ) 3 2 3 2 1 3x + 2x +1 2 3 2 1 f ¢( ) 4 1 0 = = . 8 2 3 Câu 15: a
Tính đạo hàm của hàm số y =
( a là hằng số). 2 2 a - x 3 3 A. a x a x y ¢ = . B. y¢ = . ( 2 2 2 2 a - x ) 2 2 a - x a - x 3 3 a ( 2 3a -2x ) C. a x y ¢ = . D. y¢ = . 2( 2 2 a - x ) 2 2 a - x 2( 2 2 a - x ) 2 2 a - x Lời giải Chọn A 3 a - ( 2 2 a - x )' 3 a - ( 2 - x) 3 Ta có ' a x y = = = . 2 2 2 2 a - x 2 a - x .( 2 2 a - x ) ( 2 2 a - x ) 2 2 a - x
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 413
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
BÀI 3. ĐẠO HÀM HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM sin x 1. Giới hạn của x Định lý 1 sin x lim =1. x0 x sin u(x)
Nếu lim u(x)= 0 thì lim = 1 . x x0 x x0 u(x)
2. Đạo hàm của hàm số y = sin x Định lý 2
Hàm số y = sin x có đạo hàm tại mọi x Î và (sin x)¢ = cos x .
Nếu y = sin u và u = u(x) thì (sin u)¢ = u .¢cosu .
3. Đạo hàm của hàm số y = cos x Định lý 3
Hàm số y = cos x có đạo hàm tại mọi x Î và (cos x)¢ = -sin x .
Nếu y = cosu và u = u(x) thì (cosu)¢ = u - ¢ sin u .
4. Đạo hàm của hàm số y = tan x Định lý 4 Hàm số p 1
y = tan x có đạo hàm tại mọi x ¹ + kp và (tan x)¢ = . 2 2 cos x ¢ Nếu u
y = tan u và u = u(x) thì (tan u)¢ = . 2 cos u
5. Đạo hàm của hàm số y = cot x Định lý 5 Hàm số 1
y = cot x có đạo hàm tại mọi x ¹ kp và (cot x)¢ = - . 2 sin x ¢ Nếu u
y = cot u và u = u(x) thì (cot u)¢ = - . 2 sin u
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 414
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Dạng 1. Tính Đạo Hàm của các hàm số lượng gics 1. Phương pháp
Áp dụng quy tắc tính đạo hàm.
Áp dụng các đạo hàm lượng giác cơ bản.
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số y tan 7x Hướng dẫn giải 7x 7 y . 2 2 cos 7x cos 7x
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số y cosx Hướng dẫn giải cosx sinx y . 2 cosx 2 cosx
Ví dụ 3: Tính đạo hàm của hàm số y cos2x Hướng dẫn giải cos2x 2s in2x sin2x y . 2 cos2x 2 cos2x cos2x
Ví dụ 4: Tính đạo hàm của hàm số y sin x Hướng dẫn giải sinx cosx y sinx y . 2 sinx 2 sinx
Ví dụ 5: Tính đạo hàm của hàm số y sin3x Hướng dẫn giải sin3x 3cos3x y . 2 sin3x 2 sin3x
Ví dụ 6: Tính đạo hàm của hàm số 2 y tan 5x Hướng dẫn giải 5x 10sin5x y 2tan5x. . 2 3 cos 5x cos 5x
Ví dụ 7: Tính đạo hàm của hàm số y cos 3x 3 Hướng dẫn giải
y cos 3x y 3x .sin 3x 3sin 3x. 3 3 3 3
Ví dụ 8: Tính đạo hàm của hàm số y sin 2x 2 Hướng dẫn giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 415
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
y sin 2x cos2x y 2sin2x. 2
Ví dụ 9: Tính đạo hàm của hàm số f x 2sin2x cos2x Hướng dẫn giải
y 2sin2x cos2x 4cos2x 2sin2x.
Ví dụ 10: Cho 2 2
f x cos x sin x. Tính f 4 Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận Ta có 2 2
f x cos x sin x cos2x. Do đó fx 2sin2x. Vậy f 2 sin 2 . 4 2
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính
Chuyển sang chế độ rad bằng cách ấn phím SHIFT MODE 4 d 2 2 Nhập vào màn hình cosX sinX
rồi ấn phím ta được kết quả dx x 4
Ví dụ 11: Tính đạo hàm của hàm số 3 y cos 4x Hướng dẫn giải 3 2 2 2 y cos 4x y 3cos 4x. cos4x 3cos 4x. 4sin 4x 1 2cos 4x.sin 4x. y 8
Ví dụ 12: Với y cos 2x thì
có giá trị bằng bao nhiêu? 4 y 3 Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận
y cos 2x y 2sin 2x 4 4 2
y 2sin 0; y 2sin 0 8 4 4 3 4 3 y 8 0. y 4
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính
Chuyển sang chế độ rad bằng cách ấn phím SHIFT MODE 4
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 416
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 d cos 2X dx 4 x Nhập vào màn hình
8 rồi ấn phím ta được kết quả d cos 2X dx 4 x 3
3. Bài tập trắc nghiệm æ ö
Câu 1: Tính đạo hàm của hàm số p y = ç ÷ sin ç -3x ÷ ç ÷ . è 6 ø æ ö æ ö A. p p
y¢ = 3 cosçç -3x÷÷. ¢ = - ç ÷ ç B. y 3 cosç -3x÷. è 6 ÷ø çè6 ÷ø æ ö æ ö C. p p
y¢ = cosçç -3x÷÷. ¢ = - ç ÷ ç D. y
3 sin ç -3x÷. è 6 ÷ø çè6 ÷ø Lời giải Chọn B ¢ æ ö æ ö æ ö Ta có p p p
y¢ = çç -3x÷÷ .cosçç -3x÷÷ = 3 - .cosçç -3x÷÷ ç . è 6 ÷ø çè6 ÷ø çè6 ÷ø æ ö Câu 2: 1 p
Tính đạo hàm của hàm số 2
y = - sin çç - x ÷÷ . 2 çè 3 ÷ø æ ö æ ö A. p 1 p 2
y¢ = x cosçç - x ÷÷. ¢ = ç ÷ ç B. 2 y x cosç - x÷. è 3 ÷ø 2 çè3 ÷ø æ ö æ ö C. 1 p 1 p
y¢ = x sin çç - x÷÷. D. 2
y¢ = x cosçç - x ÷÷. 2 çè3 ÷ø 2 çè3 ÷ø Lời giải Chọn A ¢ 1 æ ö æ ö 1 æ ö æ ö Ta có p 2 p y ¢ = - .ç ÷ ç - x . cosç 2 ÷ ÷ = - . -2x .cosç 2 ÷
ç - x ÷ = x .cosç 2 ÷ ç ÷ ç - x ÷ ( ) p p ç ÷ ç - x ÷ . 2 è 3 ø ç ÷ è 3 ø 2 è 3 ø ç ÷ è 3 ø
Câu 3: Tính đạo hàm của hàm số y = ( 2
sin x -3x + 2) . A. y¢ = ( 2
cos x -3x + 2).
B. y¢ = ( x - ) ( 2 2
3 . sin x -3x + 2).
C. y¢ = ( x - ) ( 2 2
3 .cos x -3x + 2). D. y¢ = -( x - ) ( 2 2
3 . cos x -3x + 2). Lời giải Chọn C Ta có y ( 2 x x )¢ ¢ = - + ( 2
x - x + ) = ( x - ) ( 2 3 2 . cos 3 2 2
3 . cos x -3x + 2) .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 417
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Câu 4: Tính đạo hàm của hàm số y = 2
x tan x + x . A. 1
y¢ = 2x tan x + . B. 1
y¢ = 2x tan x + . 2 x x 2 2 C. x 1 x 1
y¢ = 2x tan x + + .
D. y¢ = 2x tan x + + . 2 cos x 2 x 2 cos x x Lời giải Chọn C Ta có ¢ = ( )¢ ¢ ¢ x y x
tan x+ (tan x) .x +( x ) 2 1 2 2 = 2x tan x + + . 2 cos x 2 x
Câu 5: Tính đạo hàm của hàm số 2 y = 2 cos x . A. 2
y¢ = -2 sin x . B. 2
y¢ = -4x cos x . C. 2 y¢ = 2 - x sin x . D. 2 y¢ = 4
- x sin x . Lời giải Chọn D Ta có y¢ = - ( 2 x )¢ 2 2 2 2.
.sin x = -2.2x. sin x = 4 - x sin x . Câu 6: x +
Tính đạo hàm của hàm số 1 y = tan . 2 A. 1 1 y¢ = . B. y ¢ = . + + 2 x 1 x 1 2 cos 2 cos 2 2 C. 1 1 y¢ = - . D. y¢ = - . + + 2 x 1 x 1 2 cos 2 cos 2 2 Lời giải Chọn A æ x +1 ¢ö ç ÷ æ ¢ ç ÷ + ö ç ÷ Ta có x 1 è 2 ø 1 y¢ = ççtan ÷÷ = = ç . è 2 ÷ø + + 2 x 1 2 x 1 cos 2 cos 2 2
Câu 7: Tính đạo hàm của hàm số 2 y = sin 2 + x . A. 2x + 2 x 2 y¢ = cos 2 + x . B. 2 y¢ = - cos 2 + x . 2 2 + x 2 2 + x C. x x +1 2 y ¢ = cos 2 + x . D. 2 y¢ = cos 2 + x . 2 2 + x 2 2 + x Lời giải Chọn C
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 418
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 2 ¢ 2 x ¢ + Ta có y¢ = ( x 2 2 + x ) ( ) 2 2 2 cos 2 + x = cos 2 + x = cos 2 + x 2 2 2 2 + x 2 + x
Câu 8: Tính đạo hàm của hàm số y = cos 2x +1 . A. sin 2x +1 x + y¢ = - . B. sin 2 1 y ¢ = . 2x +1 2x +1 C. x +
y¢ = -sin 2x +1. D. sin 2 1 y ¢ = - . 2 2x +1 Lời giải Chọn A 2x 1 ¢ + Ta có ¢ + y¢ = -( x + ) ( ) sin 2x 1 2 1 sin 2x +1 = sin 2x +1 = - . 2 2x +1 2x +1
Câu 9: Tính đạo hàm của hàm số 2 y = cot x +1 . A. x x y¢ = - . B. y¢ = . 2 2 2 x +1.sin x +1 2 2 2 x +1.sin x +1 C. 1 1 y¢ = - . D. y¢ = . 2 2 sin x +1 2 2 sin x +1 Lời giải Chọn A ( x ¢ 2 x +1) 2 Ta có x +1 x y¢ = - = - = - . 2 2 2 2 2 2 2 sin x +1 sin x +1 x +1.sin x +1
Câu 10: Tính đạo hàm của hàm số y = sin (sin x).
A. y¢ = cos(sin x).
B. y¢ = cos(cos x).
C. y¢ = cos x.cos(sin x).
D. y¢ = cos x.cos(cos x). Lời giải Chọn C
Ta có: y¢ = ésin (sin x)ù¢ = (sin x)¢ .cos(sin x)= cos x.cos(sin x) ë û .
Câu 11: Tính đạo hàm của hàm số y = cos(tan x). A. 1 y¢ = ( x) 1 sin tan ⋅ ⋅
B. y¢ = -sin (tan x)⋅ ⋅ 2 cos x 2 cos x
C. y¢ = sin (tan x).
D. y¢ = – sin (tan x). Lời giải Chọn C
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 419
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Ta có y ( x )¢ ¢ = - ( x) 1 tan sin tan = - .sin (tan x) . 2 cos x
Câu 12: Tính đạo hàm của hàm số 2
y = 2 sin x -cos 2x + x .
A. y¢ = 4 sin x +sin 2x +1.
B. y¢ = 4 sin 2x +1.
C. y¢ = 4 cos x + 2 sin 2x +1.
D. y¢ = 4 sin x -2 sin 2x +1. Lời giải Chọn B Ta có y
2.2(sin x)¢ .sin x (2x)¢ ¢ = +
sin 2x +1 = 4 cos x sin x + 2 sin 2x +1
= 2 sin 2x + 2 sin 2x +1 = 4 sin 2x +1 æ ö Câu 13: p p p
Tính đạo hàm của hàm số 2
y = sin çç -2x÷÷+ x - ç . è 2 ÷ø 2 4 æ ö æ ö A. p p p p
y¢ = -2 sin (p -4x)+ ⋅
B. y¢ = 2 sin çç - x÷÷cosç ç ÷ ç - x÷÷+ . 2 è 2 ø çè2 ÷ø 2 æ ö æ ö C. p p p
y ¢ = 2 sin çç - x÷÷cosç ¢ ç ÷ ç - x÷÷+ x.
D. y = -2 sin (p -4x). è 2 ø çè2 ÷ø 2 Lời giải Chọn A æp ö p p 1-cos(p - 4x) Ta có p p 2
y = sin çç -2x÷÷+ x - = + x - ç è 2 ÷ø 2 4 2 2 4 1 æ ö = - ( p p p - x) 1 cos 4 + x +ç ÷ ç - ÷ 2 2 çè2 4÷ø ¢ æ æ ö ö Suy ra 1 p p y¢ ç = - ç (p - x) 1 cos 4 + x +ç ÷ ÷ ç - ÷ ÷ ç çè 2 2 çè2 4 ÷ ÷øø 1 ( p p p 4x)¢ = -
sin (p - 4x)+ = 2
- sin (p -4x)+ . 2 2 2
Câu 14: Tính đạo hàm của hàm số 3 y = cos (2x - ) 1 .
A. y¢ = -3sin (4x -2)cos(2x - ) 1 . B. 2
y¢ = 3 cos (2x - ) 1 sin (2x - ) 1 . C. 2
y ¢ = -3 cos (2x - ) 1 sin (2x - ) 1 . D. 2
y¢ = 6 cos (2x - ) 1 sin (2x - ) 1 . Lời giải Chọn A Ta có 3 y¢ = é ( x - )ù¢ 2 cos 2 1 = 3cos (2x - ) 1 écos(2x - êë ú ) 1 ù¢ û ë û = - ( x - ) 2 6 sin 2 1 cos (2x - ) 1 = -3 é2 sin (2x - ) 1 cos(2x - ) 1 ù cos(2x - )
1 = -3sin (4x -2)cos(2x - ) 1 . ë û
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 420
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Câu 15: Tính đạo hàm của hàm số 3
y = sin (1- x) . A. 3
y ¢ = cos (1- x). B. 3
y¢ = -cos (1- x). C. 2
y¢ = -3 sin (1- x).cos(1- x). D. 2
y¢ = 3 sin (1- x).cos(1- x). Lời giải Chọn C Ta có 3 y¢ = éê ( - x)ù¢ = é ë ú ( - x)ù¢ 2 ( - x) = - ( - x) 2 sin 1 3. sin 1 . sin 1 3.cos 1 .sin (1- x) û ë û .
Câu 16: Tính đạo hàm của hàm số 3
y = tan x + cot 2x . 2 A. 2 3 tan x 2
y¢ = 3 tan x. cot x + 2 tan 2x. B. y¢ = - + . 2 2 cos x sin 2x 2 C. 1 2 3 tan x 2 y¢ = 3 tan x - . D. y¢ = - . 2 sin 2x 2 2 cos x sin 2x Lời giải Chọn D 2 Ta có y¢ = ( ¢ 2 3 tan x 2 3 tan x + cot 2x) 2
= 3 tan x (tan x)¢ - = - 2 2 2 sin 2x cos x sin 2x Câu 17: x + x
Tính đạo hàm của hàm số sin cos y = . sin x -cos x 2 2 A. -sin 2x sin x -cos x y ¢ = . B. y¢ = . (sin x -cos x)2 (sin x -cos x)2 C. 2 -2 sin 2x -2 y ¢ = . D. y¢ = . (sin x -cos x)2 (sin x -cos x)2 Lời giải Chọn D æ pö 2 sin ççx ÷ + ÷ + ç ÷ è ø æ ö Ta có sin x cos x 4 p y = = = -tan ççx ÷ + ÷. sin x -cos x æ pö çè 4 ÷ø - 2 cosççx ÷ + ÷ çè 4 ÷ø 1 1 -2 Suy ra y¢ = - = - = . 2 æ p ö
æcos x - sin x ö (sin x -cos x)2 2 cos çx + ÷ ç ÷ ç ÷ ÷ è 4 ø ç ÷ ç ÷ è 2 ø Câu 18: 2
Tính đạo hàm của hàm số y = - . tan (1-2x) A. 4x 4 - y¢ = . B. y¢ = . 2 sin (1-2x) sin (1-2x)
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 421
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 C. -4x -4 y¢ = . D. y¢ = . 2 sin (1-2x) 2 sin (1-2x) Lời giải Chọn D 1 - -2(tan (1-2x)) 4. ¢ 2 cos (1-2x) Ta có -4 y¢ = - = = . 2 tan (1-2x) 2 tan (1-2x) 2 sin (1-2x) Câu 19: x
Tính đạo hàm của hàm số cos 2 y = . 3x +1 2 - (3x + )
1 sin 2x -3 cos 2x 2 - (3x + )
1 sin 2x -3 cos 2x A. y¢ = . B. y¢ = . (3x + )2 1 3x +1 ( - 3x + )
1 sin 2x -3cos 2x 2(3x + )
1 sin 2x + 3cos 2x C. y¢ = . D. y¢ = . (3x + )2 1 (3x + )2 1 Lời giải Chọn A (cos2x)¢ (3x ) 1 (3x ) 1 ¢ + - + . cos 2x -2(3x + )
1 sin 2x -3 cos 2x Ta có y¢ = = . (3x + )2 1 (3x + )2 1
Câu 20: Cho f (x) 2
= 2x - x + 2 và g(x) = f (sin x) . Tính đạo hàm của hàm số g(x) .
A. g¢(x) = 2 cos2x -sin x.
B. g¢(x) = 2 sin 2x +cos x.
C. g¢(x) = 2 sin 2x -cos x.
D. /g (x)= 2 cos2x + sin x. Lời giải Chọn C
Ta có g(x) = f ( x ) 2 sin
= 2 sin x -sin x + 2 g (x) = ( 2
2sin x -sin x + 2)¢ ¢ = 2.2sin .
x cos x -cos x = 2sin 2x -cos . x
Dạng 2. Tính đạo hàm tại một điểm 1. Phương pháp
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: p
Tính đạo hàm của hàm số f (x) = 5sin x -3cos x tại điểm x = . 2 æ ö æ ö æ ö æ ö A. p p p p f ¢ç ÷ ç ÷ = 3. ¢ç ÷ ¢ç ÷ ¢ç ÷ ç
B. f ç ÷ = -3.
C. f ç ÷ = -5. D. f ç ÷ = 5. è 2 ÷ø çè2÷ø çè2÷ø çè2÷ø
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 422
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Lời giải Chọn A
Ta có f ¢(x) = (5sin x -3cos x)¢ = 5(sin x)¢ -3(cos x)¢ = 5cos x +3sin x . æ ö Suy ra p p p f ¢ç ÷ ç ÷ = 5cos + 3sin = 3 ç è 2 ÷ø 2 2 æ ö Câu 2: p p
Tính đạo hàm của hàm số f (x) 3 = 2 sin çç -2x÷÷ ç tại điểm x = - . è 5 ÷ø 5 æ ö æ ö æ ö æ ö A. p p p p f ¢ç ÷ - ç ÷ = 4. ¢ç ÷ ¢ç ÷ ¢ç ÷ ç B. f - ç ÷ = -4. C. f - ç ÷ = 2. D. f - ç ÷ = -2. è 5 ÷ø çè 5÷ø çè 5÷ø çè 5÷ø Lời giải Chọn A ¢ é æ ù ¢ ö æ ö æ ö æ ö Ta có p p p p f ¢(x) 3 3 3 3 = ê2 sin çç -2x÷ú÷ = 2ç . ê ç ÷ ç -2x÷÷ cosç è úø ç ÷ ç -2x÷÷ = -4 cosç è ø ç ÷ ç -2x÷÷ 5 5 è 5 ø çè 5 ÷ø ë û æ ö æ ö Suy ra p 3p 2p f ¢ç ÷ - ç ÷ = 4 - cosç ÷ ç ÷ ç + ÷ = 4 - cos p = 4 . è 5 ø çè 5 5 ÷ø Câu 3: px Hàm số ( ) 4
f x = x có đạo hàm là f ¢(x) , hàm số g(x) = 2x + sin
có đạo hàm là g¢(x). 2 f ¢( ) 1
Tính giá trị biểu thức P = . g¢( ) 1 A. 4 P = . B. P = 2. C. P = 2. - D. 4 P = - . 3 3 Lời giải Chọn B æ ¢ ö Ta có px p px f ¢(x) 3
= 4x và g¢(x) = çç2x +sin ÷÷ = 2 + .cos . ç è 2 ÷ø 2 2 f ¢( ) 1 Suy ra 4 P = = = 2. g¢( ) 1 p p 2 + cos 2 2 Câu 4: px
Hàm số f (x) = 4x có đạo hàm là f ¢(x) , hàm số g(x) = 4x +sin
có đạo hàm là g¢(x). 4 f ¢(2)
Tính giá trị biểu thức P = . g¢(2) A. P =1. B. 16 P = . C. 16 P = . D. 1 P = . 16 + p 17 16 Lời giải Chọn A
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 423
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Ta có p px
f ¢(x) = 4 và g¢(x) = 4 + cos . 4 4 f ¢(2) Suy ra 4 P = = = 1 g¢(2) p .2 p 4 + cos 4 4 æ ö Câu 5: p
Hàm số f (x) = asin x +bcos x +1 có đạo hàm là f ¢(x) . Để f ¢( ) 1 0 = và f ç ÷ - ç ÷ = 1 thì giá 2 çè 4÷ø
trị của a và b bằng bao nhiêu? A. 2 a = b = . B. 2 2 a = ; b = - . 2 2 2 C. 1 1 a = ; b = - . D. 1 a = b = . 2 2 2 Lời giải Chọn D ìïï f ¢( ) 1 0 = ïï Ta có 2 /
f (x) = a cos x -bsin x. Khi đó ïí ï æ pö ïï f ç ÷ - ç ÷ = 1 ï çè 4 ÷ø ïî ìï 1 ìï 1 ìï 1 a ï cos0 -bsin 0 = a ï = ï ï b ï = 2 ï ï 2 ï ï ï ï 2 í í í . ï æ pö æ pö ï ï ç ÷ ï - ç ÷+ ç ÷ ï 2 2 ï 1 a sin bcos - ï ç ÷ ç ÷+1 = 1 ï- a + b = 0 a ïï = è ï 4 ø çè 4÷ø ï î ïî 2 2 ïïî 2
Câu 6: Cho hàm số y = f (x) 2
-cos x với f (x) là hàm số liên tục trên . Trong các biểu thức
dưới đây, biểu thức nào xác định hàm số f (x) thỏa mãn y¢(x) =1 với mọi x Î ? A. f (x) 1
= x + cos 2x. B. f (x) 1
= x - cos 2x. C. f (x) = x -sin 2x. D. 2 2
f (x) = x + sin 2x. Lời giải Chọn A
Ta có y¢(x)= f ¢(x)+2 sin x cos x = f ¢(x)+sin 2x .
Suy ra y¢(x)=1 f ¢(x)+sin 2x =1 f ¢(x) =1-sin 2x.
Đến đây ta lần lượt xét từng đáp án, ví dụ xét đáp án A ta có / æ ö f ¢(x) 1 1
= ççx + cos2x÷÷ = x + (cos2x)/ /
= 1 sin 2x (thỏa mãn) 2 ÷ - çè ø 2
Dạng 3: Giải phương trình f’x 0 1. Phương pháp
Tính đạo hàm f’x
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 424
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Để giải phương trình f’x 0, ta áp dụng cách giải các phương trình lượng giác cơ bản và
một số phương trình lượng giác thường gặp.
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 1
Ví dụ 1: Với y sin x thì phương trình y 0 có nghiệm là: 3 2 A. x k2 , k . B. x k2 , k . 3 3 C. x k2 , k . D. x k2 , k . 3 6 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C 1 1 1
y sin x y cos x 3 2 2 3 2 1 1 y 0 cos x 0 x k x
k2 , k . 3 2 3 2 2 3 2
Ví dụ 2: Với y cos
2x thì phương trình y 0 có nghiệm là: 3
A. x k . B. x k . C. x k . D. x k2 . 3 2 3 3 2 3 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A 2 2 y cos 2x y 2 sin 2x 3 3 2 2 y 0 sin 2x 0 2x k 3 3 2 k 2x k x ,k . 3 3 2 Ví dụ 3: Hàm số 2 x y cot
, nghiệm của phương trình y 0 là: 4 A. 2 k . B. k . C. 2 k4 .
D. Một kết quả khác. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C x cos 2 x x 1 1 1 4 y cot y 2cot . . 4 4 4 2 x 2 3 x sin sin 4 4 x
y 0 cos 0 x 2 k4 , k . 4
Ví dụ 4: Giải phương trình: fx 0, biết f x cosx sin x x. A. x k2 ; x k2 ; k . B. x k ; k . 2 2 C. x k ; x k ; k . D. x k ; k . 4 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 425
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Ta có: fx sin x cosx 1. Vậy: 1
f x 0 sin x cosx 1 sinx 4 2 x k2 x k2 4 4 . 3 x k2 x k2 2 4 4
Ví dụ 5: Giả sử sin2x 3 f x
cosx x. Khi đó tập nghiệm của bất phương trình fx 0 là: 4 2 A. 1;1. B. . C. ; . D. 0;. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C Ta có: sin2x 3 f x cosx x 4 2 1 3 f x cos2x sinx . 2 2 1 3
f x 0 cos2x sinx 0 2 2 2 2
1 2sinx 2sin x 3 0 sin x sin x 2 0 *
Đặt t sin x, 1 t 1, phương trình trở thành: 2 t t 2 0 1
t 2 (so điều kiện ta được nghiệm 1 t 1).
Do đó * 1 sin x 1 x;.
Ví dụ 6: Với sin3x cos3x f x cosx 3 sinx
thì tập nghiệm của fx 0 là: 3 3 k A. ; k , k . B. k , k . 8 2 2 2 C. k, k . D. . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A Ta có: sin3x cos3x f x cosx 3 sinx 3 3
fx cos3x sinx 3cosx sin3x
fx 0 cos3x sinx 3cosx sin3x 0
cos3x 3 sin3x sin x 3 cosx 1 3 1 3 cos3x sin3x sinx cosx 2 2 2 2
cos cos3x sin sin3x cos sinx sin cosx 3 3 3 3
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 426
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
cos3x sinx 3 3
cos3x cos x cos x 3 2 3 6 k 3x x k2 x 3 6 8 2 ; k . 3x x k2 x k 3 6 12
3. Bài tập Trắc nghiệm Câu 1: Cho hàm số 2
y cos x sin x. Phương trình y' 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (0;). A. 1 nghiệm. B. 2 nghiệm. C. 3 nghiệm. D. 4 nghiệm. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C y' 2
cosxsin x cosx cosx(1 2sinx) x k 2 cosx 0 y' 0
1 x k2 ;(k ) sinx 6 2 5 x k2 6 5 Vì x(0; ) x ; ;
. Vậy có 3 nghiệm thuộc khoảng (0; ) 6 2 6
Câu 2: Cho hàm số y (m 1)sin x m cosx (m 2)x 1. Tìm giá trị của m để y' 0 có nghiệm? m 1 A. . B. m 2. m 3 C. 1 m 3. D. m 2 . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A
y' (m 1)cosx msinx (m 2)
Phương trình y' 0 (m 1)cosx msin x (m 2)
Điều kiện phương trình có nghiệm là 2 2 2 a b c 2 2 2 2 m 1
(m 1) m (m 2) m 2m 3 0 m 3
Câu 3: Cho hàm số cosx f x
. Biểu diễn nghiệm của phương trình lượng giác fx 0 trên cos2x
đường tròn lượng giác ta được mấy điểm phân biệt? A. 1 điểm. B. 2 điểm. C. 3 điểm. D. 4 điểm. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B 1 sin x. cos2x cosx sin2x fx 2 cos2x sin x 3 cos2x cos2x
f 'x 0 x k,k .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 427
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Ta biểu diễn được 2 điểm phân biệt trên đường tròn lượng giác.
Câu 4: Cho hàm số f x cosx sinx cos2x. Phương trình fx 1 tương đương với phương trình nào sau đây? A. sinx 0. B. sin x 1 0.
C. sin x 1cosx 1 0. D. cosx 0. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C
f x sinx cosx 2sin2x
fx 1 sin x cosx 2sin2x 1 Đặt t 2 2 t sinx cosx sin2x t 1 t 1 Khi đó phương trình 2 2t t 3 0 3 t l 2 x k2 Với t 1 sinx cosx 1 2 sin x 1 kZ 4 x k2 2
Nghiệm trên cũng là nghiệm của phương trình sin x 1 cosx 1 0 . cos x
Câu 5: Cho hàm số f x 3 3 2
sin x 2cosx 3sin x . Biểu diễn nghiệm của phương trình 3
lượng giác fx trên đường tròn ta được mấy điểm phân biệt? A. 1 điểm. B. 2 điểm. C. 4 điểm. D. 6 điểm. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B 3 3 f x 2sin x 3cos x fx 3 3 3 3
0 tan x tan x . 2 2
Vậy có hai điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 428
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 BÀI 4. VI PHÂN
A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM 1. Định nghĩa
Cho hàm số y f x xác định trên a;b và có đạo hàm tại xa;b. Giả sử x là số gia của x.
Ta gọi tích f 'xx là vi phân của hàm số y f x tại x ứng với số gia x,
kí hiệu là df xhoặc
dy, tức là : dy df(x) f '(x) x. Chú ý:
Áp dụng định nghĩa trên vào hàm số y x ta có
dx d x x' x 1.x x.
Do đó, với hàm số y f x ta có ' dy df x f xdx.
2. Ứng dụng phép tính gần đúng f(x0 x ) f(x0) f'(x0) x
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM
Dạng 1: Tìm vi phân của hàm số y=f(x) 1. Phương pháp Tính đạo hàm y=f(x)
Vi phân của hàm số y=f(x) tại x là df(x) f '(x)dx
Vi phân của hàm số y=f(x) tại x 0 là df(x0) f '(x0)dx
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Vi phân của hàm số 2
f x 3x x tại điểm x 2 , ứng với x 0,1 là: A. 0 ,07. B. 10. C. 1,1. D. 0, 4. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C
Ta có: fx 6x 1 f2 11
df 2 f2x 11.0,1 1,1
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 429
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Ví dụ 2: Vi phân của hàm số 5 2
y 2x 5 bằng biểu thức nào sau đây? x 2 2 A. 4 dy 10x 5dx. B. 4 dy 10x dx. 2 x 2 x 2 2 C. 4 dy 10x dx. D. dy 10x dx. 2 x 2 x Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C 5 2 y 2 2x 5 2 thì 4 y 10x . Vậy 4 dy 10x dx. x 2 x 2 x
Vi dụ 3: Vi phân của hàm số 2
y x 5x bằng biểu thức nào sau đây? 1 2x 5 A. dy dx. B. dy dx. 2 2 x 5x 2 x 5x 2x 5 2x 5 C. dy dx. D. dy dx. 2 2 x 5x 2 2 x 5x Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D 2 2x 5 2x 5 y x 5x thì y . Vậy dy dx. 2 2 x 5x 2 2 x 5x 2x 3
Ví dụ 4: Vi phân của hàm số y
bằng biểu thức nào sau đây? 2x 1 7 8 A. dy dx. B. dy dx. 2x 2 1 2x 2 1 4 4 C. dy dx. D. dy dx. 2x 2 1 2x 2 1 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B 2x 3 y 8 8 thì y . Vậy dy dx . 2x 1 2x 2 1 2x 2 1
Ví dụ 5: Vi phân của hàm số y tan5x bằng biểu thức nào sau đây? 5 5x A. dy dx. B. dy dx. 2 cos 5x 2 cos 5x
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 430
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 5 5 C. dy dx. D. dy dx. 2 cos 5x 2 sin 5x Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A y 5 5 tan5x thì y . Vậy dy dx. 2 cos 5x 2 cos 5x
Ví dụ 6: Vi phân của hàm số y cosx bằng biểu thức nào sau đây? cosx sinx A. dy dx. B. dy dx. 2 cosx 2 cosx sinx sinx C. dy dx. D. dy dx. cosx 2 cosx Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D sinx sinx y cosx thì y . Vậy dy dx. 2 cosx 2 cosx
Ví dụ 7: Vi phân của hàm số y sin 2x bằng biểu thức nào sau đây? 3
A. dy cos 2xdx.
B. dy 2 cos 2xdx. 3 3
C. dy cos 2xdx.
D. dy 2 cos 2xdx. 3 3 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B
y sin 2x thì y 2cos 2x. Vậy dy 2cos 2xdx. 3 3 3
Ví dụ 8: Cho hàm số y 5sin2x.Vi phân của hàm số tại x là: 3 A. dy 5dx. B. dy 10cos2xdx. C. dy 1 0cos2xdx. D. dy 5 dx. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D
y 5sin2x y 10cos2x.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 431
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 dy y d x dx 10cos2xdx.
Vi phân của hàm tại x : dy 10 cos2. dx. 3 3 dy 5 dx. x 3
Ví dụ 9: Cho hàm số y
. Vi phân của hàm số tại x 3 là: 1 2x 1 1 A. dy dx. B. dy 7dx. C. dy dx. D. dy 7d x. 7 7 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A x 3 7 7 1 y y y 3 . 1 2x 2 49 7 1 2x 1
Vi phân của hàm số tại x 3 là: dy dx . 7
Ví dụ 10: Cho hàm số y sinsinx. Vi phân của hàm số tại x là:
A. dy cossin xdx.
B. dy sin xcosxdx.
C. dy cossin xcosxdx.
D. dy cossin xsinxdx. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C
Ví dụ 11: Cho hàm số y tan x. Vi phân của hàm số tại x là: 1 1 A. dy dx. B. dy dx. 2 x cos x 2 2 x cos x 1 1 C. dy dx. D. dy . 2 2 x cos x 2 2 x cos xdx Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C 1 y tan x y . 2 2 x cos x 1 dy dx. 2 2 x cos x
Ví dụ 12: Cho hàm số 2
y cos 2x. Vi phân của hàm số tại x là:
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 432
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
A. dy 4cos2xsin2xdx.
B. dy 2cos2xsin2xdx. C. dy 4 cos2xsin2dx. D. dy 2 cos2xsin2xdx. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C 2
y cos 2x y 2cos2x.2sin 2x 4cos2xsin2x. dy 4 cos2xsin2dx.
Ví dụ 13: Vi phân của hàm số 2 y x 3x 1 là: 1 2x 3 A. dy dx. B. dy dx. 2 x 3x 1 2 x 3x 1 1 2x 3 C. dy dx. D. dy dx. 2 2 x 3x 1 2 2 x 3x 1 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D Ta có: 2x 3x 1 2 2 2x 3
y x 3x 1 dy x 3x 1 dx dx dx . 2 2 2 x 3x 1 2 x 3x 1
Ví dụ 14: Vi phân của hàm số y 3x 1 x 1 là: 3 1 3 1 A. dy dx. B. dy dx. 2 3x 1 2 x 1 3x 1 x 1 1 1 1 1 C. dy dx. D. dy dx. 2 3x 1 2 x 1 3x 1 x 1 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A. Ta có: 3x 1 x 1 y 3x 1 x 1 dy 3x 1 x 1 dx dx 2 3x 1 2 x 1 3 1 dx 2 3x 1 2 x 1 2 x 2x 3
Ví dụ 15: Vi phân của hàm số y là: 2x 1
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 433
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 x 7 3x 7 A. dy dx. B. dy dx. 2x 2 2 1 x 2x 3 2x 2 2 1 x 2x 3 3x 7 3x 7 2x 2x 3 C. dy dx. D. dy dx. 2x 2 1 2x 2 1 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B 2 x 2x 3 3x 7 Ta có: y dy y d x dx . 2x 1 2x 2 2 1 x 2x 3 10
Ví dụ 16: Vi phân của hàm số 2 y x 1 x là: 5 10 2 5 x 1 x 2 5 x 1 x A. dy dx. B. dy dx. 2 x 1 2 x 1 9 10 2 10 x 1 x 2 10 x 1 x C. dy dx. D. dy dx. 2 x 1 2 x 1 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D 10 Ta có: 2 y x 1 x 10 2 9 10 x 1 x 2 x dy y d
x 10 x 1 x . 1dx dx. 2 2 x 1 x 1
3. Bài tập rèn luyện tốc độ 2 1 x
Câu 1: Cho hàm số y
. Vi phân của hàm số tại x là: 2 1 x 4 4x A. dy dx. B. dy dx. 1x 2 2 1x 2 2 dx 4 C. dy . D. dy dx. 2 1 x 2 2 1 x Hướng dẫn giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 434
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 ĐÁP ÁN B 2x 1
Câu 2: Vi phân của hàm số y là: 2 x x 2 2 2x 2x 5 2 x x 5 A. dy dx. dy dx. B. 2 x x 22 2 2x x2 2 2x x 1 2x 5 C. dy dx. dy dx. D. 2 x x 22 2 x x2 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A 2x 1
2x x22x 1 2x x2 2 2x 2x 5 Ta có: dy y d x dx . x x 22 x x22 2 2
Câu 3: Vi phân của hàm số 2 y 5x 3 9x 1 là: 2x 3 2 90x 27x 5 A. dy dx . B. dy dx . 2 2 9x 1 2 9x 1 5 2 x 2x 2 C. dy dx . D. dy dx . 2 9x 1 2 9x 1 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B Ta có: dy y d x 5x 3 2 9x 1 5x 3 2 9x 1 dx 2 9x 1 2 2 18x 5 9x 1 5x 3 5 9x 1 5x 3 . 2 2 2 9x 1 2 9x 1 2 9x 5 9x 1 5x 3 2 9x 1 5 2
9x 1 5x 39x 2 90x 27x 5 2 2 9x 1 9x 1
Câu 4: Vi phân của hàm số 2
y sin x cos2x x là:
A. dy 1 cos2xdx.
B. dy x sin2xdx.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 435
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
C. dy sin2x 1 dx.
D. dy sin2x 1 dx. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C Ta có: dy y dx 2sin x
sinx sin2x.2x 1 dx
2sin x cosx 2sin 2x 1 dx sin2x 1dx.
Câu 5: Vi phân của hàm số y 1 2 tan x là: tanx 2 1 tan x A. dy dx. B. dy dx. 1 2tanx 2 1 2tanx 2tanx 2 1 tan x C. dy dx. D. dy dx. 1 2tanx 1 2tanx Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D
Ta có: y 1 2tan x dy y dx 1 2tanx dx 2 1 2tan x 1 tan x dx dx . 2 1 2tan x 1 2tan x 2 2 2x x
Câu 6: Vi phân của hàm số y là: 2 x 1 2 2x 6x 2 6x 2 A. dy dx. B. dy dx. x 2 2 1 x 2 2 1 2x 3 2 2x x 1 C. dy dx. D. dy dx. 2 x 2 2 1 2x 1 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A 2 2 2 2 2x x 2 2x x 2 x 6x 2 Ta có: y dy y dx dx dx. 2 2 x 1 x 1 x 2 2 1
Câu 7: Cho hàm số 2 y f x
x 1 . Biểu thức nào sau đây chỉ vi phân của hàm số f?
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 436
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 A. dy 2x 1 dx. B. 2 dy x 1 dx. C. dy 2x 1 dx. D. dy x 1 dx. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A
Câu 8: Cho hàm số y f x được xác định bởi biểu thức siny cosx và 0 x, y . Chọn kết quả 2 đúng: A. y tan x. B. y tan x. C. y 1. D. y 1 . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D cosydy sinxdx. sinx sinx sinx sinx y 1 cosy 2 2 sinx 1 sin y 1 cos x
Câu 9: Xét hàm số 2
y f x 1 cos 2x. Chọn câu đúng: sin 4x sin 4x A. df x dx. B. df x dx. 2 2 1 cos 2x 2 1 cos 2x cos2x sin2x C. df x dx. D. df x dx. 2 1 cos 2x 2 1 cos 2x Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B 2 1 cos 2x sin4x df x dx. 2 2 2 1 cos 2x 1 cos 2x
Câu 10: Vi phân của hàm số 3
y 2x x 1 bằng biểu thức nào sau đây? A. 2 1 dy 6x 1dx. B. 2 1 dy 6x dx. 2 x 2 x C. 2 1 dy 6x dx. D. 2 2 dy 6x dx. 2 x x Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 437
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 3 2 1
y 2x x 1 y 6x . 2 x Do đó: 2 1 dy 6x dx. 2 x x 3
Câu 11: Cho hàm số y
. Vi phân của hàm số tại x 3 là: 1 2x 1 A. dy dx. B. dy 7dx. 7 1 C. dy dx. D. dy 7d x. 7 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A 7 1 1 Ta có y y 3
. Do đó dy dx. 2 7 1 2x 7
Câu 12: Vi phân của y tan5x là: 5x 5 A. dy dx. B. dy dx. 2 cos 5x 2 sin 5x 5 5 C. dy dx. D. dy dx. 2 cos 5x 2 cos 5x Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C 5 y 5 tan5x y . Do đó dy dx 2 cos 5x 2 cos 5x
Câu 13: Cho hàm số 2
y cos 2x . Vi phân của hàm số là:
A. dy 4cos2xsin2xdx.
B. dy 2cos2xsin2xdx. C. dy 2 cos2xsin2xdx. D. dy 2 sin 4xdx. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D Ta có: 2
dy d cos 2x 2cos2x.(cos2x)'dx 4 cos2x.sin2xdx 2 sin 4xdx.
Câu 14: Cho hàm số y tan x . Vi phân của hàm số là:
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 438
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 1 1 A. dy dx. B. dy dx. 2 2 x cos x 2 x cos x 1 1 C. dy dx. D. dy dx. 2 x cos x 2 2 x cos x Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D 1 1
Ta có : dy dtan x .( x)'dx dx. 2 2 cos x 2 x.cos x 2 1 x
Câu 15 : Cho hàm số y
. Vi phân của hàm số là: 2 1 x 4x 4 A. dy dx. B. dy dx. 1x 2 2 1x 2 2 4 dx C. dy dx. D. dy . 2 1 x 1x 2 2 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D 2 1 x 4 x Ta có : dy d dx. 2 2 2 1 x (1 x )
Dạng 2: Tính gần đúng giá trị của một biểu thức 1. Phương pháp
Lập hàm số y f x và chọn x0, x một cách thích hợp
1. Tính đạo hàm f’x,f’x0 và f x0
2. Giá trị gần đúng của biểu thức P f x0 x f(x0) f '(x0)x.
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Dùng vi phân tính gần đúng 3 26,7 có giá trị là: A. 2,999. B. 2,98. C. 2,97. D. 2,89. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A 1 Xét 3 f x x thì fx . Cho x 27 , x 0 ,3. 3 2 0 3. x
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 439
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Theo công thức gần đúng f x 0
x f x0 .x f x0 3 3 1 27,3 27 0 ,3 2,999. 27
Ví dụ 2: Dùng vi phân tính gần đúng sin29 có giá trị là: A. 0,4849. B. 0,5464. C. 0,4989. D. 0,4949. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A
Xét f x sinx với 29 rad. 6 180 Có fx cosx. Chọn x0 , 6 x sin
sin cos . 0,4849. 180 6 180 6 6 180
3. Bài tập rèn luyện tốc độ
Câu 1: Dùng vi phân tính gần đúng 1 có giá trị là: 9995 , 0 A. 1,0005. B. 1,005. C. 1,0015. D. 1,05. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A 1 1
Xét hàm số f x f 'x 2 x x 1 Ta có: f 1 ( 0,0005) f 1 f '
1 .0,0005 11.0,0005 1,0005. 0,9995
Câu 2: Dùng vi phân tính gần đúng o cos45 30' có giá trị là: A. 0,7. B. 0,7009. C. 0,7019. D. 0,8. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B
Xét hàm số f x cosx f 'x sinx. Khi đó o o o
o o 3,14 cos45 30' f 45 30 f 45 f ' 45 . 0,7009. 6
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 440
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Câu 3: Dùng vi phân tính gần đúng 1 có giá trị là: 3 , 20 A. 0,7. B. 0,7009. C. 0,7019. D. 0,8. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B 1 1 Xét hàm số f x f 'x x 2x x 1 Khi đó: f 20,25
0,05 f 20,25 f '20,25.0,05 0,222. 20,3
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 441
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
BÀI 5. ĐẠO HÀM CẤP HAI
A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM I. Định nghĩa
Giả sử hàm số y f x có đạo hàm tại mỗi điểm xa,b. Khi đó, hệ thức y' f 'x xác định một
hàm số mới trên khoảng a,b. Nếu hàm số y' f 'x lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm cấp
hai của hàm số y f x tại x và kí hiệu là y'' hoặc f ' x. Chú ý
Đạo hàm cấp 3 của hàm số y f x được định nghĩa tương tự và kí hiệu y''' hoặc f '''x 3 hoặc f x. n 1
Cho hàm số y f x có đạo hàm cấp n 1, kí hiệu f x n n ,n 4. 1 Nếu f
x có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của y f x n n , kí hiệu y hoặc f x.
' n n 1 f x f x .
II. Ý NGHĨA CƠ HỌC CỦA ĐẠO HÀM CẤP HAI
Đạo hàm cấp hai f ' t là gia tốc tức thời của chuyển động s f t tại thời điểm t.
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM
Dạng 1: Tính đạo hàm cấp cao của hàm số y f x 1. Phương pháp
Tính đạo hàm cấp 1: f’(x) '
Tính đạo hàm cấp 2: f ' (x) f '(x) ' (3)
Tính đạo hàm cấp 3: f (x) f ' (x) ' (4) (3)
Tính đạo hàm cấp 4: f (x) f (x)
Tính đạo hàm đến cấp được chỉ ra
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 4
Ví dụ 1: Đạo hàm cấp hai của hàm số f x 5 2 x 3x x 4 5
bằng biểu thức nào sau đây? 3 3 3 2 A. 16x 6. B. 16x 6x. C. 4x 6. D. 16x 6. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A f x 4 5 2 x 3x x 4 5 thì 4 f x 4x 6x 1, do đó: 3 f x 16x 6.
Ví dụ 2: Đạo hàm cấp hai của hàm số y cos2x bằng biểu thức nào sau đây? A. 2s in2x. B. 4c os2x. C. 4s in2x. D. 4cos2x. Hướng dẫn giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 442
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 ĐÁP ÁN B y cos2x thì y 2
sin2x. Do đó y 4 cos2x. 1 1
Ví dụ 3: Cho hàm số f x 3 2 x x 12x 1. f x 3 2
Tập hợp các giá trị x để đạo hàm cấp 2 của không âm là: 1 1 1 1 A. ; . ; . ; . ; . 2 B. C. D. 2 2 2 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D f x 1 3 1 2 x x 12x 1 2
f x x x 12; f x 2x 1. 3 2 thì Do đó 1 f x 0 x . 2 1
Ví dụ 4: Cho hàm số y . x Tính y ? 1 2 2 2 2 A. y . y . y . y . B. C. D. x 4 1 x 3 1 x 3 1 x 4 1 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B 1 2 Ta có: y y . x 2 1 x 3 1 x 3 2
Ví dụ 5: Cho hàm số y .
M 2 y 1 y .y . x Tính 4 1 2x A. M 0. B. M 1. C. M . M . x D. 4 x 42 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A 7 14 Ta có: y y x 42 x 43 x 3 7 Lại có 1 y 1 x 4 x 4 2 49 7 14
Vậy: M 2y 1 y.y 2. . 0. 4 x 4 x 4
x43 1 2 2
Ví dụ 6: Cho hàm số y x x 1. y 2y.y . 2 Tính A. 0. B. 2. C. 1. D. 1. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C
Ta có: y x 1 y 1.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 443
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 1
Vậy: y 2y.y x 2 2 2 2 2
1 2 x x 1.1 x 2x 1 x 2x 2 1 . 2
Ví dụ 7: Cho hàm số y xsin x. Tính xy 2 y sin x xy . A. 1. B. 0. C. 2. D. sin x. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B
Ta có: y sin x cos x y cos x cosx xsin x 2 cosx xsin x. Vậy: 2 2 xy 2 y sinx xy
x sinx 2 sinx xcosx sinx 2xcosx x sinx 0.Ví dụ 8: Cho hàm số y A sinx . 2
Tính M y .y. A. M 1. B. M 1 . 2 C. M cos x 4. D. M 0. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D 2 Ta có: y Acos x
y A sin x 2 2 2 y y A sin x A sin x 0.
Ví dụ 9: Cho hàm số y sin 2x cos2x . Giải phương trình y 0. A. x k2 , k . 4 B. x k , k . 8 2 C. x k2 , k . 8 D. x k , k . 2 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B
Ta có: y 2 cos2x 2sin2x y 4 sin2x 4cos2x.
Phương trình y 0 4sin 2x 4 cos2x 0 sin 2x 0 4
2x k x k ; k . 4 8 2
Ví dụ 10: Cho hàm số: 2 x y m 4 cosx. 2
Tìm m sao cho y 0 với mọi x . A. m 3. B. m 2. C. m 3. D. m 2. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A
Ta có: y m 4x sin x y m 4 cos x
y 0 m 4 cosx 0 cosx m 4 * Vì cosx 1 , x .
Vậy bất phương trình (*) luôn nghiệm đúng x 1 m 4 m 3.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 444
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 3x 2
Ví dụ 11: Cho hàm số y . 1
Giải bất phương trình y 0. x A. x 1. B. x 1. C. x 1. D. Vô nghiệm. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B 1 2 Ta có: y y . 1 x2 1x3 2 Vậy y 0
0 1 x 0 x 1. 1 x3 3 2 (3)
Ví dụ 12: Cho hàm số y 3
x 3x x 5; y 3 bằng: (3) (3) A. y 3 1 62 . B. y 3 0 . (3) (3) C. y 3 54. D. y 3 1 8 . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D 3 2 2 y 3
x 3x x 5 y 9x 6x 1 y 1 8x 6 (3) (3) y 1 8 y 3 18.
Ví dụ 13: Cho hàm số 2
y sin x . Đạo hàm cấp 4 của hàm số là: 2 A. cos 2x. B. 8cos2x. C. 8c os2x.
D. Một kết quả khác. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C 2 y sin x y 2sin xcosx sin2x y 2cos2x y 4sin2x (4) y 8cos2x.
Ví dụ 14: Cho hàm số y f x sin 2x. Hãy chọn câu đúng.
A. 4y y 0.
B. 4y y 0. C. y ytan2x. D. 2 2 y y 4. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B y 2cos2x 4y y 8sin2x . y 4sin2x 4y y 0 2
Ví dụ 15: Cho hàm số y x 1 . Xét hai quan hệ: (I) y.y 2x; 2 (II) y .y y . Quan hệ nào đúng?
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 445
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 A. Chỉ (I). B. Chỉ (II).
C. Cả hai đều đúng.
D. Cả hai đều sai. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D Ta có: x y 1 1 2 và y
, suy ra y.y x và y .y y . 2 x 1 2x 2 1 x 1 2 x 1
3. Bài tập rèn luyện tốc độ
Câu 1: Đạo hàm cấp hai của hàm số 5 4 f x 2x 1 x
bằng biểu thức nào sau đây? 3 4 3 4 3 8 3 8 A. 40x . 40x . 40x . 40x . 3 B. C. D. x 3 x 3 x 3 x Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C 5 4 f x 4 8 2x 1 f x 10x f x 40x . x thì 4 2 , do đó 3 x 3 x 2 (3)
Câu 2: Cho hàm số y ; y 1 1 bằng: x 3 3 A. . . 4 B. 4 4 C. . 3
D. Một kết quả khác. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A 2 (3) 1 2 y y 1 x 1 x4 (3) 12 3 y 1 . 16 4 2 (3)
Câu 3: Cho hàm số y cos x; ; y 3 bằng: A. 2 . B. 2 3 . C. 2 3 . D. 2 . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B 2 y cos x y 2 cosxsin x sin2x y 2 cos2x y 4sin2x (3) 2
y 4.sin 2 3. 3 3 (3)
Câu 4: Cho hàm số y sin x cos x; y 4 bằng: A. 2. B. 2.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 446
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 C. 0.
D. Một kết quả khác. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C
y sinx cosx y cosx sinx y sin x cosx
y cosx sin x (3) 2 2
y cos sin 0. 4 4 4 2 2 1 (3)
Câu 5: Với hàm số y , y 2 2 là: x 1 80 80 40 40 A. . . . . 27 B. 27 C. 27 D. 27 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B 1 y 2 x 1 (3) 1 1 1 y .3! 2 x 4 1 x 4 1 (3) 1 1 y 3 x 4 1 x 4 1 (3) 80 y 2 . 27 2
Câu 6: Cho hàm số y cos 2x và các đạo hàm y , y ,
y . Giá trị của biểu thức y 16y y 16y 8
là kết quả nào sau đây? A. 0. B. 8. C. 8. D. cos4x. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A 2 1 cos4x y cos 2x 2 y 2 sin 4x; y 8
cos4x; y 32sin 4x.
y 16y y 16y 8 32sin 4x 32sin 4x 8cos4x 8 8cos4x 8 0.
Câu 7: Đạo hàm cấp hai của hàm số y sin 2x bằng biểu thức nào sau đây? A. sin 2x. B. 4s inx. C. 4s in2x. D. 2s in2x. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C
y sin2x thì y 2cos2x . Do đó y 4sin2x . (4)
Câu 8: Xét hàm số y f x cos 2x f x 8 3 . Phương trình có nghiệm x 0; là: 2 A. x . 2 B. x 0; x . 6 C. x 0; x . 3 D. x 0; x . 2
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 447
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A Từ giả thiết ta có: x k 2 2 16cos2x 8
cos2x cos x 2
.Câu 7: Cho hàm số y cos x. 3 3 3 2 x k 6 Tính y?
A. y 2 cos2x. B. y 4 cos2x. C. y 2 cos2x. D. y 4 cos2x. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A
Ta có: y 2 cos x sin x sin 2x y 2 cos2x. 2 3
Câu 9: Cho hàm số y 2x x . Tính M y .y 1. 1 A. 2. B. 0. C. 1. D. . 2 2x x Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B 1 x 1 1x2 2 Ta có: y y . 1 . 2x x 2 2x x 2 2x x 2 2x x 1 3 3 y .y 1 y .y 1 0 . 2 2x x 2 2x x
Câu 10: Cho hàm số 4 f x x 1 . Tính f 2. A. 27. B. 81. C. 96. D. 108. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D 3 2
Ta có: fx 4x
1 f x 12x
1 . Vậy f2 108. Câu 11: Cho hàm số 3
y sin x. Tính M y 9y. A. sin x. B. 6sin x. C. 6 cos x. D. 6sin x. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B Ta có: 2 2 3
y 3sin x cosx y 6sin x cos x 3sin x. Vậy: 2 3 3 2 2
M y 9y 6sinxcos x 3sin x 9sin x 6sinx cos x sin x 6sinx. 2 2 2
Câu 12: Cho hàm số y x tan x. Tính M x y 2x y 1 y. 2 x 2 2 A. . x tan x. 2 B. 1. C. D. 0. cos x Hướng dẫn giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 448
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 ĐÁP ÁN D 2 x 1 cos x 2xsin x cosx Ta có: y tan x y 2 2 4 cos x cos x cos x x
Lại có x y x x tan x x 1 tan 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos x 1 y 1 xtanx . 2 2x Vậy 2 2 2 x y 1 y 1 xtanx 1 2 cos x 2 2 2 2 cos x cos x 2xsinxcosx x y x 4 cos x 2 2x 2 cos x xsinx cosx 2 2x 1 xtanx 2 4 2 cos x cos x 2 2 2
Từ (1) và (2) M x y 2x y 1 y 0.
Câu 13: Cho hàm số 5 4
y 3x 5x 3x 2. Giải bất phương trình y 0. A. x ; 1 \ 0 .
B. x 1;. C. x 1; 1 . D. x 2 ;2. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A 4 3 3 2
Ta có: y 15x 20x 3 y 60x 60x . 3 2 2 x 1 y 0 60x 60x 0 60x x 1 0 . x 0 1
Câu 14: Cho hàm số y . Giải bất phương trình y 0. x 3 1 A. x 1. B. x 1. C. x 1. D. Vô nghiệm. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A 3 12 Ta có: y y . x 4 1 x 5 1 12 Vậy y 0
0 x 1 0 x 1 . x 5 1
Câu 15: Cho hàm số y f x sin x. Hãy chọn câu sai.
A. y sin x .
B. y sinx . 2 3 (4)
C. y sin x . D. y sin2 x. 2 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 449
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 (4) 3
y cosx sinx. 2
Câu 16: Cho hàm số 2 2x 3x y f x . 1
Đạo hàm cấp 2 của f là: x 1 2 A. y 2 . y . B. 1 x2 1 x3 2 2 C. y . y . D. 1 x3 1x4 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B 1 1 21 x 1 2 y 2x 1 y 2 y . 1 x 1 x2 1 x2 1 x3
Câu 17: Cho hàm số 1 y f x . x Xét hai mệnh đề: 2
(I) y fx . 3 x 6
(II) y fx . 4 x Mệnh đề nào đúng? A. Chỉ (I). B. Chỉ (II).
C. Cả hai đều đúng.
D. Cả hai đều sai. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D 1 2x 2 y y 2 4 3 (do đó (I) sai). x x x 2 3x 6 y 2. 6 4 (do đó (II) sai). x x
Câu 18: Cho hàm số: 4 3 2 y
2 m x 2x 2mx 2m 1.
Tìm m để phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt. 1 3 3 1 A. m ; ; \ 2 . B. m ;
; \ 2 . 2 2 2 2 3 1 1 3 C. m ;
; \ 2 . D. m ;
; \ 2 . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D 3 2 2
Ta có: y 42 mx 6x 4mx y 122 mx 12x 4m.
Phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt hay phương trình: 2
3 2 m x 3x m 0 có hai nghiệm phân biệt.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 450
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 m 2 1 2 m 0 2 m 0 m . 2 2 0 4m 8m 3 0 3 m 2
Dạng 2: Tìm đạo hàm cấp n của hàm số y=f(x) 1. Phương pháp (3) Tính đạo hàm
f’ x,f’ ’x, f x.
Dự đoán công thức đạo hàm cấp n của hàm số.
Chứng minh công thức dự đoán bằng quy nạp toán học.
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng (n)
Ví dụ 1: Cho hàm số y sinx, dự đoán công thức y x bằng: (n) (n) A. y sinx n. B. y cosx n. (n) (n) C. y sinx n . D. y cosx n. . 2 2 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C
Ta chứng minh bằng quy nạp
Với n = 1, ta có y' cosx sin x 2 đúng. k
Giả sử công thức đúng với n = k, tức là ( ) y sinx k . 2
Ta chứng minh công thức đúng với n = k + 1, tức là chứng minh: (k 1) y sinx k 1 .Thật vậy: 2 ' (k 1) (k) y
y ' sin(x k ) cos
x k sin x k sin x k 1 . Vậy, ta được 2 2 2 2 2 (n) y sinx n . 2 1 (n)
Ví dụ 2: Cho hàm số y , y x
2x 1 dự đoán công thức bằng: (n) (n) A. y sinx n. B. y cosx n. (n) (n) C. y sinx n . D. y cosx n. . 2 2 Hướng dẫn giải 2 2 2 2 . 3 2 .2 3 . yʹ = ‐ ; yʹʹ = và yʹʹʹ = ‐ . 2 (2x ) 1 3 (2x ) 1 4 1 ( x) Dự đoán:
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 451
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 n n ( ) 1 2 . ! n . y(n) = . n 1 (2x ) 1
Ta đi chứng minh dự đoán trên bằng phương pháp quy nạp. Với n = 1, ta có: ( 2 ). 1 ! 1 . 2 yʹ = = ‐ đúng. 1 1 (2x ) 1 2 (2x ) 1 k k ( ) 1 2 . . ! k
Giả sử công thức đúng với n = k, tức là y(k) = . (*) k 1 (2x ) 1
Ta đi chứng minh (2) đúng với n = k + 1, tức là chứng minh: k 1 k 1 ( ) 1 2 . .(k )! 1 y(k + 1) = . k2 (2x ) 1 Thật vậy: k k ' ( ) 1 2 . ! k . 1 y(k + 1) = [y(k)]ʹ = [ ]ʹ = (‐1)k.2k.k! k 1 (2x ) 1 k 1 (2x ) 1 2(k ) 1 k 1 k 1 ( ) 1 2 . .(k )! 1 = (‐1)k.2k.k! = , đpcm. (2x k2 ) 1 k 2 (2x ) 1 n n ( ) 1 2 . ! n . Vậy, ta được: y(n) = . n 1 (2x ) 1
3. Bài tập rèn luyện tốc độ 2x 1
Câu 19: Tính đạo hàm cấp n của hàm số y . 2 x 5x 6 n n (n) (2) .7.n! (1) .5.n! A. y . n 1 n 1 (x 2) (x 3) n 1 n 1 (n) ( 1 ) .7.n! ( 1 ) .5.n! B. y . n 1 n 1 (x 2) (x 3) n n (n) ( 1 ) .7.n! ( 1 ) .5.n! C. y . n n (x 2) (x 3) n n (n) ( 1 ) .7.n! ( 1 ) .5.n! D. y . n 1 n 1 (x 2) (x 3) Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D
Ta có: 2x 1 7(x 2) 5(x 3) ; 2
x 5x 6 (x 2)(x 3) 7 5 Suy ra y . x 3 x 2 (n) (n) n n n n 1 ( 1) .1 .n! ( 1) .n! 1 ( 1 ) .n! Mà , n 1 n 1 n 1 x 2 (x 2) (x 2) x 2 (x 3) n n (n) ( 1 ) .7.n! ( 1 ) .5.n! Nên y . n 1 n 1 (x 2) (x 3)
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 452
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Câu 20: Tính đạo hàm cấp n của hàm số y cos2x. A. n (n) y 1 cos2x n . 2 (n) n B. y 2 cos2x . 2 (n) n 1 C. y 2 cos2x n . 2 (n) n D. y
2 cos2x n . 2 Hướng dẫn giải: ĐÁP ÁN D 2
Ta có y' 2 cos 2x ,y' 2 cos 2x 2 , 2 2 3 y'' 2 cos2x 3 . 2 (n) n
Bằng quy nạp ta chứng minh được y 2 cos2x n . 2
Câu 21: Tính đạo hàm cấp n của hàm số y 2x 1. n 1 (n) ( 1 ) .3.5...(3n 1) A. y . 2n 1 (2x 1) n 1 (n) ( 1 ) .3.5...(2n 1) B. y . 2n 1 (2x 1) n 1 (n) ( 1 ) .3.5...(2n 1) C. y . 2n 1 (2x 1) n 1 (n) ( 1 ) .3.5...(2n 1) D. y . 2n 1 (2x 1) Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D 1 1 3 Ta có y' ,y' ,y' ' 3 5 2x 1 (2x 1) (2x 1) n 1 (n) ( 1 ) .3.5...(2n 1)
Bằng quy nạp ta chứng minh được: y . 2n 1 (2x 1) 2x 1
Câu 22: Tính đạo hàm cấp n của hàm số y . 2 x 3x 2 n n (n) 5.( 1 ) .n! 3.( 1 ) .n! A. y . n 1 n 1 (x 2) (x 1)
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 453
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 n n (n) 5.( 1 ) .n! 3.( 1 ) .n! B. y . n 1 n 1 (x 2) (x 1) n n (n) 5.( 1 ) .n! 3.( 1 ) .n! C. y : . n 1 n 1 (x 2) (x 1) n n (n) 5.( 1 ) .n! 3.( 1 ) .n! D. y . n 1 n 1 (x 2) (x 1) Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D 5 3 Ta có: y x 2 x 1 n n (n) 5.( 1 ) .n! 3.( 1 ) .n!
Bằng quy nạp ta chứng minh được: y . n 1 n 1 (x 2) (x 1) x
Câu 23: Tính đạo hàm cấp n của hàm số y 2 x 5x 6 n n (n) ( 1 ) .3.n! ( 1 ) .2.n! A. y . n 1 n 1 (x 3) (x 2) n n (n) ( 1 ) .3.n! ( 1 ) .2.n! B. y . n n (x 3) (x 2) n n (n) ( 1 ) .3.n! ( 1 ) .2.n! C. y . n 1 n 1 (x 3) (x 2) n n (n) ( 1 ) .3.n! ( 1 ) .2.n! D. y . n 1 n 1 (x 3) (x 2) Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C
Ta có: x 3(x 2) 2(x 3) ; 2
x 5x 6 (x 2)(x 3) 3 2 Suy ra y . x 3 x 2 (n) (n) n n n n 1 (1) .1 .n! ( 1) .n! 1 ( 1 ) .n! Mà , n 1 n 1 n 1 x 2 (x 2) (x 2) x 3 (x) n n (n) ( 1 ) .3.n! ( 1 ) .2.n! Nên ta có: y . n 1 n 1 (x 3) (x 2)
Câu 24: Tính đạo hàm cấp n của hàm số y cos2x. (n) n A. y
2 cos2x n . 2 (n) n 1 B. y 2 cos2x n . 2 (n) n C. y
2 cos2x . 2
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 454
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 (n) n 1 D. y 2 cos2x n . 2 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A Ta có : 2
y' 2cos2x ,y' 2 cos2x 2 , 3 y'' 2 cos2x 3 . 2 2 2 (n) n
Bằng quy nạp ta chứng minh được y 2 cos2x n . 2
Dạng 3: Ý nghĩa vật lý của đạo hàm cấp hai 1. Phương pháp
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 3 2
Ví dụ 1: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S t 3t
(t: tính bằng giây, s: tính bằng mét).
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Vận tốc của chuyển động khi t 3s là v 12m / s.
B. Vận tốc của chuyển động khi t 3s là v 24m / s. 2
C. Gia tốc của chuyển động khi t 4s là a 18m / s . 2
D. Gia tốc của chuyển động khi t 4s là a 9m / s . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C 3 2 2
S t 3t vt S 3t 6t 2
v 3 3.3 18 9m / s. 3 2
S t 3t a S 6t 6 2 a 6.4 6 18 m / s . t4s 3 2
Ví dụ 2: Một chất điểm chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: S t 3t 5t 2 , trong đó
t tính bằng giây và S tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi t 3 là: 2 2 2 2 A. 24m / s . B. 17m / s . C. 14m / s . D. 12m / s . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D
Gia tốc của chuyển động khi t 3 bằng S 3. 2
S t 3t 6t 5; S t 6t 6 2
nên S3 18 6 12m / s .
3. bài tập rèn luyện tốc độ
Câu 25: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: 3 2
S t 3t 9t 2 (t: tính bằng giây, s tính bằng mét).
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Vận tốc của chuyển động bằng 0 khi t 0 hoặc t 3.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 455
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 2
B. Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t 1 là a 12m / s . 2
C. Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t 3 là a 12m / s .
D. Gia tốc của chuyển động bằng 0 khi t 0. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C 3 2 S t 3t 9t 2 vt 2 S3t 6t 9 2 2 t 1
v t 0 3t 6t 9 0 t 2t 3 0 t 3 3 2 S t 3t 9t 2 a S 6t 6 2 a 6.3 6 12 m / s . t3s 3 2
Câu 26: Một chất điểm chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: S t 2t 4t 1 , trong đó
t tính bằng giây và S tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi t 2 là: 2 2 2 2 A. 12m / s . B. 8m / s . C. 7m / s . D. 6m / s . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B
Gia tốc của chuyển động khi t 2 bằng S2. 2
S t 3t 4t 4; S t 6t 4 2
nên S2 12 4 8m / s .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 456
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133