NGUY
˜
ÊN H
˜
U
,
U ÐIÊ
,
N
PHU
,
O
,
NG PH
´
AP ÐIRICHLÊ
V
`
A
´
U
,
NG D
.
UNG
NH
`
A XU
´
ÂT B
,
AN KHOA H
.
OC V
`
A K
˜
Y THU
.
ÂT
H
`
A N
.
ÔI - 1999
L
`
O
,
I N
´
OI Ð
`
ÂU
Nguyên l
´
y nh
˜
u
,
ng c
´
ai
`
ng v
`
a c
´
ac ch
´
u th
,
o
¯
d
˜
a
¯
du
,
.
o
,
c biê
´
t
¯
´
n t
`
u
,
´
t
lâu. Ngay trong chu
,
o
,
ng tr
`
ınh phô
,
thông co
,
s
,
o
,
ch
´
ung ta c
˜
ung
¯
d
˜
a l
`
am
quen v
´
o
,
i phu
,
o
,
ng ph
´
ap gi
,
ai to
´
an n
`
ay. Th
.
u
,
c ra nguyên l
´
y n
`
ay mang
tên nh
`
a b
´
ac h
.
oc ngu
,
`
o
,
i Ð
´
u
,
c Pête Gutxtap Legien Dirichlet (1805-
1859). Nguyên l
´
y ph
´
at biê
,
u
´
t
¯
do
,
n gi
,
an:
´
u ch
´
ung ta nhô
´
t th
,
o v
`
ao
c
´
ac
`
ng m
`
a
´
`
ng
´
ıt ho
,
n
´
th
,
o, th
`
ı thê
,
n
`
ao c
˜
ung c
´
o m
.
ôt
`
ng nhô
´
t
´
ıt
nhâ
´
t hai con th
,
o.
Ch
,
ı b
`
˘
ang nguyên l
´
y
¯
do
,
n gi
,
an nhu
,
v
.
ây h
`
ang lo
.
at c
´
ac b
`
ai to
´
an
¯
d
˜
a
¯
du
,
.
o
,
c gi
,
ai.
Cuô
´
n s
´
ach
¯
du
,
.
o
,
c biên so
.
an l
.
ai theo t
`
u
,
ng ch
,
u
¯
`
c
´
o liên quan
¯
´
n
nguyên l
´
y, m
˜
ôi c
´
ach gi
,
ai trong v
´
ı d
.
u c
,
ua t
`
u
,
ng chu
,
o
,
ng l
`
a
´
ap d
.
ung
¯
diê
,
n h
`
ınh nguyên l
´
y Ðirichlê. B
`
ai t
.
âp gi
,
ai tru
,
´
o
,
c c
´
o liên quan
¯
´
n b
`
ai
gi
,
ai sau nên
`
n lu
,
u
´
y khia
¯
d
.
oc s
´
ach. V
´
o
,
i mong muô
´
n c
`
ung b
.
an
¯
d
.
oc
th
,
ao lu
.
ân m
.
ôt phu
,
o
,
ng ph
´
ap ch
´
u
,
ng minh to
´
an h
.
oc v
`
a hy v
.
ong cung
´
p m
.
ôt t
`
ai li
.
êu
,
´
ıch cho c
´
ac thâ
`
y gi
´
ao v
`
a c
´
ac em h
.
oc sinh ham
t
`
ım t
`
oi trong to
´
an h
.
oc, t
´
ac gi
,
a m
.
anh d
.
an biên so
.
an cuô
´
n s
´
ach
n
`
ay. Do kh
,
a n
˘
ang v
`
a th
`
o
,
i gian c
`
on h
.
an chê
´
, cuô
´
n s
´
ach ch
´
˘
ac ch
´
˘
an
không tr
´
anh kh
,
oi thiê
´
u s
´
ot. Ch
´
ung tôi mong
¯
du
,
.
o
,
c s
.
u
,
¯
d
´
ong g
´
op
´
y
kiê
´
n c
,
ua
¯
d
.
oc gi
,
a. Thu
,
g
´
op
´
y xin g
,
u
,
i
`
Nh
`
a xuâ
´
t b
,
an Khoa h
.
oc v
`
a K
˜
y
thu
.
ât - 70 T
`
n Hu
,
ng Ð
.
ao, H
`
a N
.
ôi.
3
4 L
`
o
,
i n
´
oi
¯
`
u
T
´
ac gi
,
a xin chân th
`
anh c
,
am o
,
n PGS-TSKH Ð
˜
ô
`
ng Tân
¯
d
˜
a
¯
d
.
oc
v
`
a
¯
d
´
ong g
´
op nhiê
`
u
´
y kiê
´
n qu
´
ı b
´
au trong qu
´
a tr
`
ınh ho
`
an ch
,
ınh b
,
an
th
,
ao.
T
´
ac gi
,
a
CHU
,
O
,
NG 1
NGUYÊN L
´
Y ÐIRICHLÊ V
`
A V
´
I D
.
U
1.1. Nguyên l
´
y Ðirichlê
Nguyên l
´
y Ðirichlê nhiê
`
u khi ngu
,
`
o
,
i ta g
.
oi l
`
a ¨Nguyên l
´
y nh
˜
u
,
ng
ng
˘
an k
´
eo¨. Ðây l
`
a m
.
ôt nguyên l
´
y
´
t
¯
do
,
n gi
,
an,
¯
d
.
˘
ac bi
.
êt c
´
o nhiê
`
u
´
u
,
ng d
.
ung trong c
´
ac l
˜
ınh v
.
u
,
c kh
´
ac nhau c
,
ua to
´
an h
.
oc. D
`
ung nguyên
l
´
y n
`
ay ngu
,
`
o
,
i ta d
˜
ê d
`
ang ch
´
u
,
ng minh
`
n t
.
ai m
.
ôt
¯
´
i tu
,
.
o
,
ng v
´
o
,
i t
´
ınh
châ
´
t x
´
ac
¯
d
.
inh. D
.
ang
¯
do
,
n gi
,
an nhâ
´
t c
´
o thê
,
ph
´
at biê
,
u nhu
,
sau:
´
u c
´
o m v
.
ât
¯
d
.
˘at v
`
ao n c
´
ai ng˘an k
´
eo v
`
a m > n th
`
ı c
´
o
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt
ng˘an k
´
eo ch
´
u
,
a
´
ıt nhâ
´
t hai v
.
ât.
Tuy r
`
˘
ang v
´
o
,
i nguyên l
´
y n
`
ay ngu
,
`
o
,
i ta ch
,
ı ch
´
u
,
ng minh
¯
du
,
.
o
,
c s
.
u
,
`
n
t
.
ai m
`
a không
¯
du
,
a ra
¯
du
,
.
o
,
c phu
,
o
,
ng ph
´
ap t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c v
.
ât c
.
u thê
,
, nhu
,
ng
trong th
.
u
,
c
´
nhiê
`
u b
`
ai to
´
an ta ch
,
ı
`
n ch
,
ı ra s
.
u
,
`
n t
.
ai l
`
a
¯
d
,
u
`
i.
Nguyên l
´
y Ðirichlê l
`
a m
.
ôt
¯
d
.
inh l
´
y
`
t
.
âp h
.
o
,
p h
˜
u
,
u h
.
an. Ph
´
at biê
,
u
ch
´
ınh x
´
ac nguyên l
´
y n
`
ay nhu
,
sau:
Cho A v
`
a B l
`
a hai t
.
âp h
.
o
,
p không r
˜
ông c
´
o
´
phâ
`
n t
,
u
,
h
˜
u
,
u
h
.
an, m
`
a
´
lu
,
.
o
,
ng phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua A l
´
o
,
n ho
,
n
´
lu
,
.
o
,
ng phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua
B.
´
u v
´
o
,
i m
.
ôt qui t
´
˘
ac n
`
ao
¯
´
y, m
˜
ôi phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua A cho tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i m
.
ôt phâ
`
n t
,
u
,
B, th
`
ı
`
n t
.
ai hai phâ
`
n t
,
u
,
kh
´
ac nhau c
,
ua A
m
`
a ch
´
ung tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i c
`
ung m
.
ôt phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua B.
Ðê
,
d
˜
ê hiê
,
u ta c
´
u
,
cho r
`
˘
ang c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua t
.
âp B l
`
a ¨Nh
˜
u
,
ng ng
˘
an
6 Chu
,
o
,
ng 1. Nguyên l
´
y Ðirichlê v
`
a v
´
ı d
.
u
k
´
eo¨ v
`
a c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua A
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
.
˘
at v
`
ao c
´
ac ng
˘
an k
´
eo c
,
ua n
´
o. Trong
ph
´
at biê
,
u c
,
ua nguyên l
´
y trên c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
h
˜
u
,
u h
.
an
¯
du
,
.
o
,
c t
´
ınh b
`
˘
ang
´
t
.
u
,
nhiên, v
`
ı v
.
ây Nguyên l
´
y Ðirichlê c
´
o liên quan m
.
ât thiê
´
t t
´
o
,
i t
.
âp
h
.
o
,
p
´
t
.
u
,
nhiên v
`
a c
´
ac t
´
ınh châ
´
t c
,
ua t
.
âp h
.
o
,
p
´
n
`
ay.
1.2. V
´
ı d
.
u
.
.
. 1.1. Ðê
,
k
,
y ni
.
êm 20 am ng
`
ay gi
,
ai ph
´
ong Miê
`
n Nam, t
.
ai m
.
ôt th
`
anh
phô
´
ngu
,
`
o
,
i ta
,
ch
´
u
,
c buô
,
i l
˜
ê g
.
˘ap m
.
˘at nh
˜
u
,
ng ngu
,
`
o
,
i 20 tuô
,
i. Ng
`
ay 30
th
´
ang 4 am
¯
d
´
o trong buô
,
i g
.
˘ap m
.
˘at c
´
o 400 thanh niên. Ch
´
u
,
ng minh
r
`
˘ang c
´
o
´
ıt nhâ
´
t hai ngu
,
`
o
,
i trong
´
ngu
,
`
o
,
i t
´
o
,
i d
.
u
,
c
`
ung chung m
.
ôt ng
`
ay
sinh.
L
`
o
,
i gi
,
ai. N
˘
am 1995 c
´
o 365 ng
`
ay. Ch
´
ung ta coi m
˜
ôi ng
`
ay nhu
,
m
.
ôt
ng
˘
an k
´
eo v
`
a
¯
d
´
anh
´
t
`
u
,
1
¯
´
n 365 (ng
˘
an k
´
eo cuô
´
i c
`
ung l
`
a ng
`
ay 31
th
´
ang 12 n
˘
am 1995). Ch
´
ung ta
¯
d
.
˘
at nh
˜
u
,
ng thanh niên c
´
o ng
`
ay sinh
tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
`
ao c
´
ac ng
˘
an k
´
eo
¯
d
´
o. Nhu
,
ng
´
thanh niên
¯
´
n d
.
u
,
l
˜
ê l
´
o
,
n
ho
,
n
´
ng
˘
an k
´
eo, theo nguyên l
´
y Ðirichlê c
´
o
´
ıt nhâ
´
t hai ngu
,
`
o
,
i
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
.
˘
at v
`
ao c
`
ung m
.
ôt ng
˘
an k
´
eo. Ðiê
`
u
¯
d
´
o c
´
o ngh
˜
ıa l
`
a h
.
o sinh c
`
ung m
.
ôt
ng
`
ay.
J
.
.
. 1.2. Trong sinh h
.
oc ngu
,
`
o
,
i ta biê
´
t r
`
˘ang
´
t
´
oc trên
¯
`
u c
,
ua m
˜
ôi ngu
,
`
o
,
i
không qu
´
a 200.000 c
´
ai. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang trong
´
ngu
,
`
o
,
i c
,
ua th
`
anh
phô
´
H
`
a n
.
ôi, v
´
o
,
i
´
dân ho
,
n 2.000.000, c
´
o
´
ıt nhâ
´
t 11 ngu
,
`
o
,
i c
´
o c
`
ung
´
t
´
oc.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
ung ta x
´
et 200.000 ng
˘
an k
´
eo
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
´
anh
´
t
`
u
,
0
¯
´
n
199.999. Ch
´
ung ta ¨
¯
d
.
˘
at¨ m
˜
ôi ngu
,
`
o
,
i dân H
`
a n
.
ôi v
`
ao m
.
ôt ng
˘
an k
´
eo
m
`
a
´
t
´
oc b
`
˘
ang
´
th
´
u
,
t
.
u
,
c
,
ua ng
˘
an k
´
eo. Gi
,
a s
,
u
,
không c
´
o 11 ngu
,
`
o
,
i
c
´
o c
`
ung
´
t
´
oc, nhu
,
v
.
ây m
˜
ôi ng
˘
an c
´
o nhiê
`
u nhâ
´
t l
`
a 10 ngu
,
`
o
,
i c
´
o c
`
ung
´
t
´
oc, do
¯
d
´
o
´
dân H
`
a n
.
ôi nhiê
`
u nhâ
´
t l
`
a 200.000×10=2.000.000,
1.2. V
´
ı d
.
u 7
¯
diê
`
u n
`
ay không
¯
d
´
ung v
´
o
,
i gi
,
a thiê
´
t l
`
a
´
dân H
`
a n
.
ôi l
´
o
,
n ho
,
n 2 tri
.
êu.
J
.
.
. 1.3. Ba mu
,
o
,
i h
.
oc sinh l
`
am b
`
ai viê
´
t ch
´
ınh t
,
a. M
.
ôt trong
´
h
.
oc sinh
¯
d
´
o b
.
i 14 l
˜
ôi, c
`
on c
´
ac h
.
oc sinh kh
´
ac m
´
˘ac l
˜
ôi
´
ıt ho
,
n. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
c
´
o
´
ıt nhâ
´
t ba ngu
,
`
o
,
i m
´
˘ac
´
l
˜
ôi b
`
˘ang nhau.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
ung ta x
´
et 15 ng
˘
an k
´
eo
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
´
anh
´
t
`
u
,
0
¯
´
n 14. Ch
´
ung
ta ¨
¯
d
.
˘
at¨ m
˜
ôi h
.
oc sinh v
`
ao m
.
ôt ng
˘
an k
´
eo mang
´
¯
d
´
ung b
`
˘
ang
´
l
˜
ôi
c
,
ua h
.
oc sinh n
`
ay.
´
u không c
´
o ba h
.
oc sinh n
`
ao c
´
o
´
l
˜
ôi b
`
˘
ang nhau,
th
`
ı trong m
˜
ôi ng
˘
an mang
´
t
`
u
,
0,1,2,. . . ,13 s
˜
e c
´
o nhiê
`
u nhâ
´
t hai h
.
oc
sinh. Khi
¯
d
´
o
´
lu
,
.
o
,
ng c
,
ua nh
˜
u
,
ng h
.
oc sinh n
`
ay nhiê
`
u nhâ
´
t l
`
a 28.
´
u
thêm v
`
ao
¯
d
´
o h
.
oc sinh m
´
˘
ac 14 l
˜
ôi (trong ng
˘
an k
´
eo
´
14) ch
´
ung ta s
˜
e
nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c nhiê
`
u nhâ
´
t 29 h
.
oc sinh viê
´
t ch
´
ınh t
,
a,
¯
diê
`
u n
`
ay d
˜
ân
¯
´
n
s
.
u
,
l
´
y v
´
o
,
i
¯
diê
`
u ki
.
ên
¯
d
˜
a cho.
J
.
.
. 1.4. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang trong m
˜
ôi nh
´
om b
.
an 5 ngu
,
`
o
,
i c
´
o
´
ıt nhâ
´
t hai
ngu
,
`
o
,
i c
´
o c
`
ung
´
lu
,
.
o
,
ng ngu
,
`
o
,
i quen gi
˜
u
,
a nh
˜
u
,
ng ngu
,
`
o
,
i trong nh
´
om
¯
dos.
Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang c
`
ung
´
t lu
.
ân nhu
,
v
.
ây v
´
o
,
i nh
´
om b
.
an c
´
o
´
lu
,
.
o
,
ng
th
`
anh viên
´
t k
`
y.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
ung ta x
´
et n
˘
am ng
˘
an k
´
eo,
¯
d
´
anh
´
t
`
u
,
0
¯
´
n 4. M
˜
ôi ngu
,
`
o
,
i
tham d
.
u
,
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
.
˘
at v
`
ao ng
˘
an k
´
eo mang
´
tr
`
ung v
´
o
,
i
´
ngu
,
`
o
,
i trong
nh
´
om m
`
a ngu
,
`
o
,
i
¯
d
´
o quen.
a)
´
u c
´
o m
.
ôt ngu
,
`
o
,
i không quen ai c
,
a trong
´
nh
˜
u
,
ng ngu
,
`
o
,
i
c
`
on l
.
ai, th
`
ı ng
˘
an
´
4 l
`
a trô
´
ng (v
`
ı ngu
,
.
o
,
c l
.
ai th
`
ı c
,
a hai ng
˘
an 0 v
`
a 4
¯
`
u không trô
´
ng, d
˜
ân
¯
´
n l
´
y). Nhu
,
v
.
ây, m
˜
ôi ngu
,
`
o
,
i trong
´
5
ngu
,
`
o
,
i
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
.
˘
at v
`
ao c
´
ac ng
˘
an mang
´
0,1,2,3 v
´
o
,
i
´
lu
,
.
o
,
ng 4 ng
˘
an.
T
`
u
,
nguyên l
´
y Ðirichlê suy ra
´
ıt nhâ
´
t c
´
o hai ngu
,
`
o
,
i
,
o
,
trong m
.
ôt ng
˘
an,
hay l
`
a, h
.
o c
´
o chung
´
lu
,
.
o
,
ng ngu
,
`
o
,
i quen.
8 Chu
,
o
,
ng 1. Nguyên l
´
y Ðirichlê v
`
a v
´
ı d
.
u
b)
´
u m
.
oi ngu
,
`
o
,
i c
´
o
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt ngu
,
`
o
,
i quen, m
˜
ôi ngu
,
`
o
,
i s
˜
e
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
.
˘
at v
`
ao c
´
ac ng
˘
an mang
´
1,2,3,4, v
´
o
,
i
´
lu
,
.
o
,
ng 4 ng
˘
an. Phâ
`
n c
`
on l
.
ai
´
ap d
.
ung nguyên l
´
y Ðirichlê.
J
.
.
. 1.5. Trong m
.
ôt gi
,
ai b
´
ong
¯
d
´
a tham d
.
u
,
16
¯
d
.
ôi. M
˜
ôi c
.
˘ap hai
¯
d
.
ôi ph
,
ai
¯
´
u v
´
o
,
i nhau. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang t
.
ai m
˜
ôi th
`
o
,
i
¯
diê
,
m c
,
ua gi
,
ai c
´
o
´
ıt nhâ
´
t
2
¯
d
.
ôi c
´
o
´
tr
.
ân
¯
d
˜
a
¯
´
u nhu
,
nhau.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
ung ta x
´
et 16 ng
˘
an k
´
eo
¯
d
´
anh
´
t
`
u
,
0
¯
´
n 15. Ch
´
u
´
y r
`
˘
ang
15 l
`
a
´
lu
,
.
o
,
ng l
´
o
,
n nhâ
´
t c
´
ac tr
.
ân b
´
ong m
`
a m
˜
ôi
¯
d
.
ôi c
´
o thê
,
¯
´
u t
.
ai th
`
o
,
i
¯
diê
,
m
¯
dang x
´
et. H
˜
ay
¯
d
.
˘
at m
˜
ôi
¯
d
.
ôi b
´
ong v
`
ao ng
˘
an k
´
eo mang
´
b
`
˘
ang
´
c
´
ac tr
.
ân m
`
a
¯
d
.
ôi
¯
d
˜
a
¯
´
u
¯
´
n th
`
o
,
i
¯
diê
,
m
¯
d
´
o. Ch
´
ung ta nh
.
ân ra r
`
˘
ang
c
´
ac ng
˘
an 0 v
`
a 15 không thê
,
¯
`
ng th
`
o
,
i không trô
´
ng
¯
du
,
.
o
,
c v
`
a nhu
,
v
.
ây
c
´
o thê
,
´
ap d
.
ung nguyên l
´
y Ðirichlê.
J
.
.
. 1.6. Trên tr
´
ai
¯
´
t
´
ng ho
,
n 5 t
,
y ngu
,
`
o
,
i, biê
´
t r
`
˘ang không qu
´
a 1%
´
ng
trên m
.
ôt tr˘am tuô
,
i. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
´
ıt nhâ
´
t c
´
o hai ngu
,
`
o
,
i sinh c
`
ung
m
.
ôt giây
¯
`
ng
`
.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Theo du
,
o
,
ng l
.
ich hi
.
ên h
`
anh 100 n
˘
am c
´
o
´
ıt ho
,
n 37000 ng
`
ay.
M
˜
ôi ng
`
ay c
´
o 24 gi
`
o
,
, m
˜
ôi gi
`
o
,
c
´
o 3600 giây. Khi
¯
d
´
o 100 n
˘
am c
´
o
´
ıt ho
,
n
3,33 t
,
y giây. T
`
u
,
¯
diê
`
u ki
.
ên ch
´
ung ta t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c nh
˜
u
,
ng ngu
,
`
o
,
i trên tr
´
ai
¯
´
t không qu
´
a 100 tuô
,
i
´
ıt nhâ
´
t l
`
a 99% t
`
u
,
5 t
,
y ngu
,
`
o
,
i ngh
˜
ıa l
`
a
´
ıt nhâ
´
t
c
´
o 4,9 t
,
y. Vi
.
êc c
`
on l
.
ai
´
ap d
.
ung nguyên l
´
y Ðirichlê:
¯
d
.
˘
at 4,9 t
,
y ngu
,
`
o
,
i
v
`
ao 3,33 t
,
y ng
˘
an k
´
eo.
J
.
.
. 1.7. Trong th
`
o
,
i gian k
´
eo d
`
ai m
.
ôt am h
.
oc m
.
ôt h
.
oc sinh gi
,
ai
´
ıt nhâ
´
t
m
.
ôt b
`
ai t
.
âp m
˜
ôi ng
`
ay. Ðê
,
tr
´
anh ang th
,
˘ang h
.
oc sinh gi
,
ai h
`
ang tuâ
`
n
không qu
´
a 12 b
`
ai t
.
âp. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang trong th
`
o
,
i gian k
´
eo d
`
ai liên
t
.
uc m
.
ôt
´
ng
`
ay h
.
oc sinh n
`
ay ph
,
ai gi
,
ai
¯
d
´
ung 20 b
`
ai t
.
âp m
˜
ôi ng
`
ay.
1.2. V
´
ı d
.
u 9
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
ung ta k
´
y hi
.
êu a
1
l
`
a
´
lu
,
.
o
,
ng b
`
ai t
.
âp h
.
oc sinh
¯
d
˜
a gi
,
ai
trong ng
`
ay
¯
`
u tiên, a
2
l
`
a
´
lu
,
.
o
,
ng b
`
ai t
.
âp
¯
d
˜
a gi
,
ai trong hai ng
`
ay
¯
`
u, a
3
l
`
a
´
lu
,
.
o
,
ng b
`
ai t
.
âp
¯
d
˜
a gi
,
ai trong ba ng
`
ay
¯
`
u, v
`
a v.v. a
77
l
`
a
´
lu
,
.
o
,
ng b
`
ai t
.
âp
¯
d
˜
a gi
,
ai trong 77 ng
`
ay
¯
`
u (11 tuâ
`
n). Theo gi
,
a
thiê
´
t a
77
11.12 = 132. Ch
´
ung ta x
´
et t
.
âp h
.
o
,
p c
´
ac
´
t
.
u
,
nhiên
M = {a
1
, a
2
, a
3
, . . . , a
77
, a
1
+ 20, a
2
+ 20, a
3
+ 20, . . . , a
77
+ 20}. N
´
o
ch
´
u
,
a 154 phâ
`
n t
,
u
,
v
`
a
´
l
´
o
,
n nhâ
´
t trong ch
´
ung l
`
a a
77
+ 20 152.
Theo nguyên l
´
y Ðirichlê trong M c
´
o
´
ıt nhâ
´
t hai
´
b
`
˘
ang nhau. Nhu
,
ng
c
´
ac
´
a
1
, a
2
, a
3
, . . . , a
77
l
`
a ho
`
an to
`
an kh
´
ac nhau. suy ra
`
n t
.
ai a
k
v
`
a
a
l
m
`
a a
k
= a
l
+ 20, l < k 77. Nhu
,
v
.
ây a
k
a
l
= 20,
¯
diê
`
u n
`
ay
c
´
o ngh
˜
ıa l
`
a t
`
u
,
ng
`
ay th
´
u
,
l + 1
¯
´
n ng
`
ay th
´
u
,
k h
.
oc sinh n
`
ay ph
,
ai gi
,
ai
¯
d
´
ung 20 b
`
ai.
J
.
.
. 1.8. Trong m
.
ôt khu t
.
âp thê
,
´
ng 123 ngu
,
`
o
,
i.
,
ng
´
tuô
,
i c
,
ua h
.
o
l
`
a 3813. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang c
´
o thê
,
ch
.
on 100 ngu
,
`
o
,
i
´
ng
,
o
,
khu t
.
âp thê
,
n
`
ay, m
`
a
,
ng
´
tuô
,
i c
,
ua h
.
o không nh
,
o ho
,
n 3100.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
ung ta h
˜
ay ch
.
on 100 ngu
,
`
o
,
i nhiê
`
u tuô
,
i nhâ
´
t v
`
a gi
,
a s
,
u
,
,
ng
´
tuô
,
i c
,
ua h
.
o nh
,
o ho
,
n 3100. Khi
¯
d
´
o ngu
,
`
o
,
i tr
,
e nhâ
´
t trong
´
ngu
,
`
o
,
i
¯
du
,
.
o
,
c ch
.
on l
`
a 3100:100=31 tuô
,
i. M
.
˘
at kh
´
ac ngu
,
`
o
,
i n
`
ay không
tr
,
e ho
,
n 23 ngu
,
`
o
,
i c
`
on l
.
ai theo c
´
ach ch
.
on. Khi
¯
d
´
o
,
ng
´
tuô
,
i c
,
ua 23
ngu
,
`
o
,
i n
`
ay không l
´
o
,
n ho
,
n 23.31=713. Suy ra
,
ng
´
tuô
,
i c
,
ua
´
t c
,
a
m
.
oi ngu
,
`
o
,
i
´
ng trong t
.
âp thê
,
nh
,
o ho
,
n 3100+713=3813 d
˜
ân
¯
´
n
l
´
y.
J
.
.
. 1.9. am c
.
˘ap v
.
o
,
chô
`
ng
,
ch
´
u
,
c m
.
ôt buô
,
i g
.
˘ap m
.
˘at. Khi g
.
˘ap nhau h
.
o
b
´
˘at tay nhau, nhu
,
ng không ai t
.
u
,
b
´
˘at tay ngu
,
`
o
,
i trong gia
¯
d
`
ınh m
`
ınh
v
`
a ngu
,
`
o
,
i m
`
a chô
`
ng m
`
ınh (ho
.
˘ac v
.
o
,
m
`
ınh)
¯
d
˜
a b
´
˘at tay
`
i. C
˜
ung không
ai b
´
˘at tay c
`
ung m
.
ôt ngu
,
`
o
,
i hai
`
n. Sau cu
.
ôc g
.
˘ap ch
´
uc m
`
u
,
ng ban
¯
`
u,
m
.
ôt ngu
,
`
o
,
i
¯
d
`
an ông tên l
`
a H
`
ung h
,
oi
´
t c
,
a nh
˜
u
,
ng ngu
,
`
o
,
i c
´
o m
.
˘at,
,
c
,
a
10 Chu
,
o
,
ng 1. Nguyên l
´
y Ðirichlê v
`
a v
´
ı d
.
u
v
.
o
,
m
`
ınh, l
`
a h
.
o
¯
d
˜
a b
´
˘at tay
¯
du
,
.
o
,
c bao nhiêu
`
n. H
.
o nh
.
ân thâ
´
y r
`
˘ang ch
´
ın
ngu
,
`
o
,
i
¯
du
,
.
o
,
c h
,
oi
¯
`
u tr
,
a l
`
o
,
i c
´
ac con
´
kh
´
ac nhau. Nhu
,
v
.
ây v
.
o
,
c
,
ua H
`
ung
¯
d
˜
a b
´
˘at tay bao nhiêu
`
n?
L
`
o
,
i gi
,
ai. M
˜
ôi m
.
ôt ngu
,
`
o
,
i kh
´
ach b
´
˘
at tay không qu
´
a 8
`
n. V
`
ı câu tr
,
a l
`
o
,
i
c
,
ua 9 ngu
,
`
o
,
i l
`
a c
´
ac
´
kh
´
ac nhau nên c
´
ac
´
¯
d
´
o ph
,
ai l
`
a 0,1,2,3,4,5,6,7
v
`
a 8. Ngu
,
`
o
,
i b
´
˘
at tay 8
`
n ph
,
ai l
`
a v
.
o
,
(ho
.
˘
ac chô
`
ng) c
,
ua ngu
,
`
o
,
i không
b
´
˘
at tay
`
n n
`
ao (nê
´
u ngu
,
.
o
,
c l
.
ai th
`
ı ngu
,
`
o
,
i
¯
d
´
o không b
´
˘
at tay 8
`
n m
`
a
nhiê
`
u nhâ
´
t ch
,
ı l
`
a 7
`
n thôi). Tu
,
o
,
ng t
.
u
,
nhu
,
v
.
ây ngu
,
`
o
,
i b
´
˘
at tay 7
`
n
c
´
o ngu
,
`
o
,
i v
.
o
,
(ho
.
˘
ac chô
`
ng) b
´
˘
at tay m
.
ôt
`
n, ngu
,
`
o
,
i b
´
˘
at tay 6
`
n c
´
o
ngu
,
`
o
,
i v
.
o
,
(ho
.
˘
ac chô
`
ng) b
´
˘
at tay 2
`
n, ngu
,
`
o
,
i b
´
˘
at tay 5
`
n c
´
o ngu
,
`
o
,
i v
.
o
,
(ho
.
˘
ac chô
`
ng) b
´
˘
at tay 3
`
n. Ch
,
ı c
`
on l
.
ai m
.
ôt ngu
,
`
o
,
i duy nhâ
´
t b
´
˘
at tay
4
`
n,
¯
d
´
o ch
´
ınh l
`
a ngu
,
`
o
,
i v
.
o
,
c
,
ua H
`
ung.
J
.
.
. 1.10. M
.
ôt câu chuy
.
ên
,
t
´
ıch
,
l
.
ai r
`
˘ang: M
.
ôt
`
n vua H
`
ung vu
,
o
,
ng
18 c
´
o m
`
o
,
i c
´
ac quan trong triê
`
u h
.
op ngô
`
i quanh m
.
ôt c
´
ai b
`
an tr
`
on. Theo
l
.
ênh c
,
ua vua, m
.
ôt c
.
ân thâ
`
n
¯
d
˜
a viê
´
t tên c
,
ua m
˜
ôi quan trên b
`
an tru
,
´
o
,
c
chiê
´
c ghê
´
m
`
a ông ta ph
,
ai ngô
`
i. C
´
ac quan trong triê
`
u không
¯
du
,
.
o
,
c b
´
ao
tru
,
´
o
,
c nên h
.
o
¯
d
˜
a ngô
`
i không theo s
´
˘ap
´
p
¯
d
˜
a
¯
d
.
inh m
`
a chiê
´
m ch
˜
ô m
.
ôt
c
´
ach
´
t k
`
y. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang ông c
.
ân thâ
`
n c
´
o thê
,
quay chiê
´
c b
`
an sao
cho
´
ıt nhâ
´
t c
´
o hai ông quan ngô
`
i
¯
d
´
ung v
.
i tr
´
ı tên c
,
ua m
`
ınh ?
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ð
.
˘
at
´
lu
,
.
o
,
ng c
´
ac quan l
`
a n. Khi
¯
d
´
o m
.
˘
at b
`
an c
´
o n tr
.
ang th
´
ai,
v
´
o
,
i c
´
ac tr
.
ang th
´
ai n
`
ay
¯
´
i di
.
ên v
´
o
,
i c
´
ac quan l
`
a biê
,
n
¯
`
tên n
`
ao
¯
d
´
o.
Ngo
`
ai ra v
´
o
,
i m
˜
ôi m
.
ôt ông quan ch
,
ı c
´
o m
.
ôt tr
.
ang th
´
ai, m
`
a khi ngô
`
i
¯
d
´
ung th
`
ı ông â
´
y
¯
´
i di
.
ên v
´
o
,
i ch
´
ınh tên c
,
ua m
`
ınh trên biê
,
n
¯
`
s
˜
˘
an.
Ngh
˜
ıa l
`
a,
´
u m
˜
ôi tr
.
ang th
´
ai c
,
ua b
`
an (v
`
ı b
`
an c
´
o thê
,
xoay
¯
du
,
.
o
,
c) ta
cho tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i m
.
ôt
´
b
`
˘
ang
´
lu
,
.
o
,
ng c
´
ac quan ngô
`
i
¯
d
´
ung v
.
i tr
´
ı
tên m
`
ınh, th
`
ı
,
ng c
,
ua
´
t c
,
a nh
˜
u
,
ng
´
nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c (m
.
oi tr
.
ang th
´
ai
b
`
an) s
˜
e không nh
,
o ho
,
n n. Nhu
,
ng m
.
ôt tr
.
ang th
´
ai
¯
`
u tiên c
,
ua s
´
˘
ap
1.3. B
`
ai t
.
âp 11
´
p b
`
an cho tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i 0 (không ai ngô
`
i
¯
d
´
ung ch
˜
ô ).
´
u gi
,
a s
,
u
,
trong n 1 tr
.
ang th
´
ai m
.
˘
at b
`
an c
`
on l
.
ai tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i
´
nh
,
o ho
,
n 2
(t
´
u
,
c l
`
a ch
,
ı c
´
o
´
1 ho
.
˘
ac 0), th
`
ı
,
ng c
,
ua n
´
nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c s
˜
e nh
,
o ho
,
n
n,
¯
diê
`
u
¯
d
´
o không thê
,
¯
du
,
.
o
,
c. Suy ra t
`
u
,
n 1 tr
.
ang th
´
ai m
.
˘
at b
`
an c
`
on
l
.
ai c
´
o
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt tr
.
ang th
´
ai m
`
a hai ngu
,
`
o
,
i s
˜
e
¯
´
i di
.
ên v
´
o
,
i ch
´
ınh tên
c
,
ua m
`
ınh.
J
1.3. B
`
ai t
.
âp
.
.
. 1.11. Trong sân cung
¯
di
.
ên nh
`
a vua h
.
ôi h
.
op 2n(n 2) ông quan,
m
˜
ôi ông quan
¯
d
˜
a quen biê
´
t không
´
ıt ho
,
n n ông c
´
o m
.
˘
at t
.
ai
¯
d
´
o. Ch
´
u
,
ng
minh r
`
˘
ang ngu
,
`
o
,
i
´
p b
`
an tr
`
on c
´
o thê
,
´
p
¯
du
,
.
o
,
c m
˜
ôi b
`
an 4 ngu
,
`
o
,
i sao
cho m
˜
ôi ngu
,
`
o
,
i
¯
d
´
u
,
ng gi
˜
u
,
a hai ngu
,
`
o
,
i quen c
,
ua m
`
ınh.
.
.
. 1.12. M
.
ôt khu r
`
u
,
ng thông c
´
o d
.
ang h
`
ınh vuông m
˜
ôi chiê
`
u 1km.
Trong r
`
u
,
ng c
´
o 4500 cây thông, cây to nhâ
´
t c
´
o
¯
du
,
`
o
,
ng k
´
ınh 0,5m.
Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang trong khu r
`
u
,
ng c
´
o
´
ıt nhâ
´
t 60 m
,
anh
¯
´
t, di
.
ên t
´
ıch
m
˜
ôi m
,
anh 200m
2
, không c
´
o m
.
ôt cây thông n
`
ao.
.
.
. 1.13. Trong m
.
ôt gi
´
a s
´
ach c
´
o 25 ng
˘
an. Ta thâ
´
y c
´
o m
.
ôt ng
˘
an ch
´
u
,
a
10 cuô
´
n, c
`
on c
´
ac ng
˘
an kh
´
ac ch
´
u
,
a
´
s
´
ach
´
ıt ho
,
n. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang
c
´
o
´
ıt nhâ
´
t ba ng
˘
an s
´
ach ch
´
u
,
a c
`
ung
´
s
´
ach nhu
,
nhau (kê
,
c
,
a nh
˜
u
,
ng
ng
˘
an không c
´
o s
´
ach).
.
.
. 1.14. T
.
ai m
.
ôt th
`
anh phô
´
biê
,
n xe ôtô
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
´
anh
´
b
`
˘
ang
,
h
.
o
,
p
ch
˜
u
,
c
´
ai
`
i
¯
´
n d
˜
ay
´
. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang trên m
.
ôt
¯
do
.
an
¯
du
,
`
o
,
ng c
´
u
,
c
´
o 11 chiê
´
c ôtô
¯
di qua th
`
ı bao gi
`
o
,
c
˜
ung c
´
o hai chiê
´
c ôtô c
´
o c
`
ung ch
˜
u
,
´
t
.
ân c
`
ung.
.
.
. 1.15. M
.
ôt chiê
´
c
`
l
´
o
,
n
¯
du
,
.
o
,
c b
.
oc b
,
o
,
i 4 tr
.
am chuyê
,
n tiê
´
p s
´
ong
thông tin. Gi
˜
u
,
a hai tr
.
am ngu
,
`
o
,
i ta xây d
.
u
,
ng c
´
ac trung tâm ph
´
at s
´
ong
v
`
a nh
.
ân s
´
ong,
¯
du
,
`
o
,
ng s
´
ong bao ph
,
u l
´
o
,
n nhâ
´
t l
`
a
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on c
´
o tâm
,
o
,
12 Chu
,
o
,
ng 1. Nguyên l
´
y Ðirichlê v
`
a v
´
ı d
.
u
trung tâm v
`
a
¯
di qua hai tr
.
am. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang v
´
o
,
i
´
n trung tâm
,
o
,
c
´
ac
¯
do
.
an gi
˜
u
,
a c
,
ua t
`
u
,
ng c
.
˘
ap tr
.
am th
`
ı to
`
an b
.
ô m
.
˘
at
`
s
˜
e
¯
du
,
.
o
,
c ph
,
u
s
´
ong thông tin.
CHU
,
O
,
NG 2
S
´
Ô H
.
OC
2.1. Ph
´
ep chia
´
t
.
u
,
nhiên
Trong c
´
ac ph
´
ep t
´
ınh trên
´
nguyên: c
.
ông, tr
`
u
,
, nhân, chia, th
`
ı
ph
´
ep chia l
`
a
´
t
¯
d
.
˘
ac bi
.
êt. Ph
´
ep chia c
´
o h
`
ang lo
.
at t
´
ınh châ
´
t m
`
a
´
t c
,
a
c
´
ac ph
´
ep t
´
ınh c
`
on l
.
ai không c
´
o. V
´
ı d
.
u c
´
ac ph
´
ep to
´
an
¯
`
u th
.
u
,
c hi
.
ên
v
´
o
,
i
´
0
¯
du
,
.
o
,
c, nhu
,
ng riêng ph
´
ep chia cho
´
0 th
`
ı không
¯
du
,
.
o
,
c. Ph
´
ep
chia không ch
,
ı
¯
d
.
˘
ac bi
.
êt v
´
o
,
i ph
´
ep chia cho 0. V
´
o
,
i c
´
ac ph
´
ep t
´
ınh c
.
ông,
tr
`
u
,
, nhân trên
´
nguyên cho ta
´
nguyên, nhu
,
ng v
´
o
,
i ph
´
ep chia th
`
ı
t
´
ınh châ
´
t
¯
d
´
o không c
`
on
¯
d
´
ung v
`
ı không ph
,
ai l
´
uc n
`
ao ta c
˜
ung nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c
´
nguyên sau ph
´
ep chia. Nh
`
o
,
nh
˜
u
,
ng d
.
i bi
.
êt c
,
ua ph
´
ep chia m
`
a
trong to
´
an h
.
oc xây d
.
u
,
ng h
,
˘
an m
.
ôt l
´
y thuyê
´
t
`
ph
´
ep chia nh
˜
u
,
ng
´
nguyên. Nh
˜
u
,
ng v
´
ı d
.
u v
`
a b
`
ai t
.
âp chu
,
o
,
ng n
`
ay c
´
o liên quan m
.
ât thiê
´
t
gi
˜
u
,
a ph
´
ep chia v
`
a nguyên l
´
y Ðirichlê, nên ch
´
ung ta nh
´
˘
ac l
.
ai
¯
d
.
inh
ngh
˜
ıa ph
´
ep chia:
Cho a v
`
a b l
`
a nh
˜
u
,
ng
´
nguyên, v
´
o
,
i b > 0. Ch
´
ung ta n
´
oi r
`
˘
ang a
chia
´
t cho b, k
´
y hi
.
êu l
`
a b|a, khi
`
n t
.
ai m
.
ôt
´
nguyên q sao cho
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c sau
¯
d
´
ung a = b q.
Ch
´
ung ta thu
,
`
o
,
ng g
.
oi
´
a l
`
a b
.
ôi c
,
ua b, ho
.
˘
ac b l
`
a u
,
´
o
,
c c
,
ua a.
´
q
g
.
oi l
`
a thu
,
o
,
ng
´
c
,
ua ph
´
ep chia a cho b. Trong ph
´
at biê
,
u
¯
d
.
inh ngh
˜
ıa
trên,
´
u không
`
n t
.
ai m
.
ôt
´
q n
`
ao c
,
a, th
`
ı ch
´
ung ta n
´
oi r
`
˘
ang a
14 Chu
,
o
,
ng 2.
´
h
.
oc
không chia
´
t cho b v
`
a k
´
y hi
.
êu l
`
a b 6 |a.
T
`
u
,
¯
d
.
inh ngh
˜
ıa ch
´
ung ta d
˜
ê d
`
ang ch
´
u
,
ng minh
¯
du
,
.
o
,
c c
´
ac t
´
ınh châ
´
t
sau
1) V
´
o
,
i m
.
oi
´
nguyên a > 0 ch
´
ung ta c
´
o a|a, Ph
´
ep chia
´
t c
´
o
t
´
ınh ph
,
an x
.
a.
2)
´
u b|a v
`
a a|c th
`
ı b|c- ph
´
ep chia
´
t c
´
o t
´
ı nh b
´
˘
ac
`
u.
3)
´
u b|a v
`
a b|c, th
`
ı b|(ac).
4)
´
u a, b, m, n l
`
a nh
˜
u
,
ng
´
nguyên v
`
a
´
u c|a v
`
a c|b, th
`
ı
c|(ma + nb).
Ð
.
inh l
´
y sau
¯
dây gi
˜
u
,
vai tr
`
o quan tr
.
ong cho ph
´
ep chia m
.
ôt
´
nguyên cho m
.
ôt
´
nguyên.
V
´
o
,
i hai
´
nguyên
´
t k
`
y a v
`
a b sao cho b > 0,
`
n t
.
ai duy
nhâ
´
t nh
˜
u
,
ng
´
nguyên q v
`
a r th
,
oa m
˜
an a = bq + r v
`
a 0 r < b.
C
`
on
´
t nhiê
`
u t
´
ınh châ
´
t kh
´
ac c
,
ua
´
nguyên c
˜
ung nhu
,
´
th
.
u
,
c
nhu
,
ng ch
´
ung ta không
¯
di theo hu
,
´
o
,
ng n
`
ay, m
`
a ch
,
ı d
`
ung c
´
ac t
´
ınh châ
´
t
c
,
ua
´
h
.
oc v
`
a Nguyên l
´
y Ðirichlê
¯
,
gi
,
ai c
´
ac b
`
ai to
´
an.
2.2. V
´
ıd
.
u
.
.
. 2.1. Cho k l
`
a m
.
ôt
´
t
.
u
,
nhiên, A l
`
a t
.
âp h
.
o
,
p
`
m k + 1
´
t
.
u
,
nhiên.
Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang c
´
o
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt hi
.
êu hai phâ
`
n t
,
u
,
trong A chia
´
t
cho k.
L
`
o
,
i gi
,
ai. G
.
oi a
1
, a
2
, . . . , a
k+1
l
`
a c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua A, c
`
on b
1
, b
2
, . . . , b
k+1
l
`
a nh
˜
u
,
ng
´
du
,
c
,
ua ph
´
ep chia c
´
ac
´
trên cho k. Khi
¯
d
´
o a
1
=
kc
1
+ b
1
, a
2
= kc
2
+ b
2
, . . . , a
k+1
= kc
k+1
+ b
k+1
,v
´
o
,
i c
´
ac
´
nguyên
c
1
, c
2
, . . . , c
k+1
sao cho 0 b
1
k 1, 0 b
2
k 1, . . . , 0
b
k+1
k 1. M
.
ôt phâ
`
n t
,
u
,
´
t k
`
y a
s
thu
.
ôc A cho tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i
´
2.2. V
´
ıd
.
u 15
du
,
b
s
c
,
ua n
´
o.G
.
oi t
.
âp h
.
o
,
p c
´
ac
´
du
,
l
`
a B. Nhu
,
v
.
ây, m
˜
ôi phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua A
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
.
˘
at tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i m
.
ôt phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua t
.
âp h
.
o
,
p B,
`
m
´
t c
,
a c
´
ac
´
nguyên t
`
u
,
0
¯
´
n k 1. Nhu
,
ng
´
lu
,
.
o
,
ng phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua A theo gi
,
a
thiê
´
t l
`
a k + 1, c
`
on B c
´
o
´
lu
,
.
o
,
ng k. Theo nguyên l
´
y Ðirichlê suy ra
`
n t
.
ai hai phâ
`
n t
,
u
,
kh
´
ac nhau c
,
ua A c
´
o c
`
ung
´
du
,
. Ðiê
`
u
¯
d
´
o ngh
˜
ıa l
`
a,
`
n t
.
ai hai ch
,
ı
´
kh
´
ac nhau s v
`
a t v
´
o
,
i a
s
= kc
s
+ b
s
v
`
a a
t
= kc
t
+ b
s
sau khi tr
`
u
,
¯
di cho nhau ta
¯
du
,
.
o
,
c a
t
a
s
= k(c
t
c
s
).
J
.
.
. 2.2. Cho A m
.
ôt t
.
âp h
.
o
,
p
´
t k
`
y
`
m 101
´
t
.
u
,
nhiên, m
˜
ôi
´
không
l
´
o
,
n ho
,
n 200. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang trong A c
´
o
´
ıt nhâ
´
t hai
´
m
`
a m
.
ôt
´
n
`
ay chia
´
t cho
´
kia.
L
`
o
,
i gi
,
ai. M
˜
ôi
´
a c
,
ua A c
´
o thê
,
biê
,
u di
˜
ên du
,
´
o
,
i d
.
ang a = 2
k
b v
´
o
,
i k l
`
a
´
nguyên không âm, c
`
on b l
`
a m
.
ôt
´
l
,
e. V
´
o
,
i m
˜
ôi
´
a thu
.
ôc A cho
tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i
´
b trong s
.
u
,
biê
,
u di
˜
ên
,
o
,
trên. B
`
˘
ang c
´
ach n
`
ay, m
˜
ôi
phâ
`
n t
,
u
,
a c
,
ua A
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
.
˘
at tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i m
.
ôt phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua t
.
âp h
.
o
,
p B
`
m c
´
ac
´
l
,
e gi
˜
u
,
a 1 v
`
a 200. Nhu
,
ng t
.
âp h
.
o
,
p B ch
,
ı c
´
o 100 phâ
`
n t
,
u
,
v
`
ı
v
.
ây
´
phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua A l
´
o
,
n ho
,
n
´
phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua B. Ta c
´
o thê
,
´
ap d
.
ung
nguyên l
´
y Ðirichlê, suy ra
`
n t
.
ai hai phâ
`
n t
,
u
,
kh
´
ac nhau a
1
v
`
a a
2
thu
.
ôc A m
`
a ch
´
ung tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i c
`
ung m
.
ôt
´
c
,
ua t
.
âp h
.
o
,
p B. Ngh
˜
ıa
l
`
a, a
1
= 2
k
1
b, a
2
= 2
k
2
b v
`
a
´
u k
1
< k
2
, th
`
ı
´
a
2
chia
´
t cho a
1
.
J
.
.
. 2.3. Cho M l
`
a t
.
âp h
.
o
,
p
´
t k
`
y
`
m 75
´
t
.
u
,
nhi
.
ên m
`
a m
˜
ôi
´
không
l
´
o
,
n ho
,
n 100. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang v
´
o
,
i m
˜
ôi
´
t
.
u
,
nhiên l nh
,
o ho
,
n ho
.
˘ac
b
`
˘ang 49
`
n t
.
ai hai phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua M c
´
o hi
.
êu l
`
a l.
L
`
o
,
i gi
,
ai. G
.
oi c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua M l
`
a x
1
, x
2
, . . . , x
75
. K
´
y hi
.
êu A l
`
a t
.
âp
h
.
o
,
p c
´
ac
´
t
.
u
,
nhiên t
`
u
,
1
¯
´
n 150. V
´
o
,
i m
˜
ôi
´
1, 2, 3 . . . , 75 cho tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i c
´
ac
´
x
1
, x
2
, . . . , x
75
, c
`
on c
´
ac
´
76, 77, 78, . . . 150
`
n lu
,
.
o
,
t
´
u
,
ng v
´
o
,
i x
1
+ l, x
2
+ l, . . . , x
75
+ l. V
`
ı x
m
100(m = 1, 2, . . . , 75) v
`
a
16 Chu
,
o
,
ng 2.
´
h
.
oc
l 49 th
`
ı x
m
+ l < 150. Suy ra m
˜
ôi phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua A tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i
m
.
ôt phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua B
`
m nh
˜
u
,
ng
´
t
.
u
,
nhiên t
`
u
,
1
¯
´
n 149. V
`
ı
´
phâ
`
n
t
,
u
,
c
,
ua A l
´
o
,
n ho
,
n
´
phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua B, theo nguyên l
´
y Ðirichlê
`
n t
.
ai
hai phâ
`
n t
,
u
,
kh
´
ac nhau c
,
ua A, m
`
a ch
´
ung tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i c
`
ung m
.
ôt
phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua B . Nhu
,
ng v
´
o
,
i c
´
ac gi
´
a tr
.
i kh
´
ac nhau c
,
ua m t
`
u
,
1
¯
´
n 75
¯
du
,
.
o
,
c cho tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i c
´
ac gi
´
a tr
.
i kh
´
ac nhau c
,
ua x
1
¯
´
n x
75
trong
B. Tu
,
o
,
ng t
.
u
,
c
´
ac gi
´
a tr
.
i c
,
ua m
,
o
,
kho
,
ang 76
¯
´
n 150 tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i
c
´
ac gi
´
a tr
.
i kh
´
ac nhau trong kho
,
ang c
`
on l
.
ai. T
`
u
,
¯
d
´
o suy ra
`
n t
.
ai x
m
v
`
a x
n
m
`
a x
m
= x
n
+ l, ngh
˜
ıa l
`
a x
m
x
n
= l.
J
.
.
. 2.4. Cho k 1 v
`
a n 1 l
`
a nh
˜
u
,
ng
´
t
.
u
,
nhiên v
`
a A l
`
a t
.
âp h
.
o
,
p
`
m
( k 1 )n + 1
´
nguyên du
,
o
,
ng, m
˜
ôi
´
n
`
ay
¯
`
u nh
,
o ho
,
n ho
.
˘ac b
`
˘ang kn.
Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
´
ıt nhâ
´
t c
´
o m
.
ôt phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua A c
´
o thê
,
biê
,
u di
˜
ên nhu
,
,
ng c
,
ua k phâ
`
n t
,
u
,
trong A.
L
`
o
,
i gi
,
ai. V
´
o
,
i k = 1 b
`
ai to
´
an hiê
,
n nhiên l
`
a
¯
d
´
ung, ch
´
ung ta gi
,
a thiê
´
t
k 2. K
´
y hi
.
êu m l
`
a
´
nh
,
o nhâ
´
t thu
.
ôc A. D
˜
ê thâ
´
y r
`
˘
ang m n v
`
a
`
n t
.
ai
¯
d
´
ung n m
´
thu
.
ôc A m
`
a ch
´
ung l
´
o
,
n ho
,
n m nhu
,
ng không
vu
,
.
o
,
t qu
´
a kn.
Ðê
,
ch
´
u
,
ng minh b
`
ai to
´
an ch
´
ung ta t
`
ım hai
´
x v
`
a y thu
.
ôc A sao
cho x = y + (k 1)m; ngh
˜
ıa l
`
a biê
,
u di
˜
ên m
.
ôt
´
n
`
ao
¯
d
´
o thu
.
ôc A
th
`
anh
,
ng k
´
h
.
ang thu
.
ôc A trong
¯
d
´
o c
´
o k 1
´
h
.
ang b
`
˘
ang m. Ch
,
ı
`
n t
`
ım
´
x thu
.
ôc A m
`
a x > (k 1)m v
`
a x (k 1)m thu
.
ôc A.
Th
.
ât v
.
ây, trong kho
,
ang = ((k 1)m, kn] c
´
o kn (k 1)m =
k(n m) + m
´
nguyên. V
`
ı k 2, nên (k 1)m m, theo nh
.
ân
x
´
et ban
¯
`
u suy ra c
´
o nhiê
`
u nhâ
´
t n m
´
trong không thu
.
ôc A.
Ðiê
`
u n
`
ay ngh
˜
ıa l
`
a A ch
´
u
,
a
´
ıt nhâ
´
t s = k(n m) + m (n m) =
( k 1) (n m) + m
´
. Nhu
,
ng s n, v
`
ı (k 2)(n m) 0. G
.
oi
a
1
, a
2
, . . . , a
s
thu
.
ôc A, v
´
o
,
i (k 1)m < a
i
kn, i = 1, 2, . . . , s. Khi
¯
d
´
o
2.2. V
´
ıd
.
u 17
nh
˜
u
,
ng hi
.
êu a
1
(k 1)m, a
2
(k 1)m, . . . , a
s
(k 1)m l
`
a nh
˜
u
,
ng
´
nguyên kh
´
ac nhau trong kho
,
ang [1, kn].
´
u m
.
ôt
´
n
`
ao
¯
d
´
o trong
ch
´
ung không thu
.
ôc A, th
`
ı theo nguyên l
´
y Ðirichlê ch
´
ung ta nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c s n 1, v
`
ı ngo
`
ai A c
´
o
¯
d
´
ung n 1
´
trong kho
,
ang n
`
ay. Nhu
,
v
.
ây tr
´
ai v
´
o
,
i
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c
¯
d
˜
a ch
´
u
,
ng minh s n. Suy ra
`
n t
.
ai m
.
ôt
hi
.
êu a
i
( k 1)m thu
.
ôc A.
J
.
.
. 2.5. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang t
`
u
,
n + 1
´
du
,
o
,
ng kh
´
ac nhau nh
,
o ho
,
n 2n, c
´
o
thê
,
ch
.
on
¯
du
,
.
o
,
c ba
´
sao cho
,
ng hai
´
trong ch
´
ung b
`
˘ang
´
th
´
u
,
ba.
L
`
o
,
i gi
,
ai. K
´
y hi
.
êu 0 < a
1
< a
2
< . . . < a
n+1
l
`
a nh
˜
u
,
ng
´
¯
d
˜
a cho.
Ch
´
ung ta x
´
et c
´
ac hi
.
êu
´
a
2
a
1
, a
3
a
1
, . . . , a
n+1
a
1
v
`
a c
´
ac
´
a
2
, a
3
. . . , a
n+1
. V
`
ı
´
t c
,
a c
´
ac
´
n
`
ay
¯
`
u nh
,
o ho
,
n 2n nên c
´
ac
´
trên
ch
,
ı n
`
˘
am trong kho
,
ang 1, 2, . . . , 2n 1. Nhu
,
v
.
ây ch
´
ung ta s
˜
e t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c
m
.
ôt
´
,
o
,
nh
´
om th
´
u
,
nhâ
´
t b
`
˘
ang m
.
ôt
´
,
o
,
nh
´
om th
´
u
,
hai: a
k
a
1
= a
l
,
suy ra a
k
= a
1
+ a
l
.
J
.
.
. 2.6. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang v
´
o
,
i m
.
ôt
´
´
t k
`
y n
`
n t
.
ai m
.
ôt
´
c
´
o d
.
ang
111 . . . 000
| {z }
n ch
˜
u
,
´
m
`
a chia
´
t cho n.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
ung ta x
´
et nh
˜
u
,
ng
´
1, 11, 111, . . . , 111 . . . 111
| {z }
n ch
˜
u
,
´
v
`
a nh
˜
u
,
ng
´
du
,
khi chia d
˜
ay
´
trên cho n. V
`
ı d
˜
ay
´
¯
d
˜
a cho
`
m n phâ
`
n
t
,
u
,
, nên nh
˜
u
,
ng
´
du
,
du
,
o
,
ng kh
´
ac nhau khi chia ch
´
ung cho n c
´
o
´
lu
,
.
o
,
ng n 1. C
´
o thê
,
gi
,
a thiê
´
t không c
´
o m
.
ôt
´
n
`
ao trong d
˜
ay trên
chia
´
t cho n v
`
ı
´
u ngu
,
.
o
,
c l
.
ai th
`
ı b
`
ai to
´
an
¯
d
˜
a
¯
du
,
.
o
,
c gi
,
ai. Khi
¯
d
´
o
s
˜
e c
´
o hai
´
trong ch
´
ung, v
´
ı d
.
u 111 . . . 111
| {z }
k ch
˜
u
,
´
v
`
a 111 . . . 111
| {z }
l ch
˜
u
,
´
, l > k,
m
`
a khi chia ch
´
ung cho n s
˜
e cho c
`
ung m
.
ôt
´
du
,
. Do
¯
d
´
o l k =
18 Chu
,
o
,
ng 2.
´
h
.
oc
111 . . . 000
| {z }
(l-k ch
˜
u
,
´
1, k ch
˜
u
,
´
0)
s
˜
e chia
´
t cho n.
J
.
.
. 2.7. Cho p l
`
a
´
nguyên
´
l
´
o
,
n ho
,
n 5. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
`
n t
.
ai m
.
ôt
´
c
´
o d
.
ang 111 . . . 111 m
`
a chia
´
t cho p.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ta x
´
et d
˜
ay
´
1, 11, 111, . . . , 111 . . . 1
| {z }
(p ch
˜
u
,
´
)
.
´
u trong d
˜
ay trên
không c
´
o
´
n
`
ao chia
´
t cho p, th
`
ı ta cho tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng m
˜
ôi
´
v
´
o
,
i
´
du
,
c
,
ua ph
´
ep chia. T
.
âp h
.
o
,
p c
´
ac
´
du
,
ch
,
ı c
´
o 1, 2, . . . , p 1
`
m p 1
phâ
`
n t
,
u
,
(v
`
ı 0 không thê
,
c
´
o trong t
.
âp n
`
ay). Nhu
,
ng v
`
ı ch
´
ung ta c
´
o p
´
,
o
,
d
.
ang trên, nên theo nguyên l
´
y Ðirichlê
`
n t
.
ai hai
´
c
´
o c
`
ung
´
du
,
. Gi
,
a s
,
u
,
c
´
ac
´
¯
d
´
o l
`
a 111 . . . 1
| {z }
(m ch
˜
u
,
´
)
v
`
a 111 . . . 1
| {z }
( n ch
˜
u
,
´
)
v
´
o
,
i m > n. Khi
¯
d
´
o 1 n < m p. V
.
ây
111 . . . 1
| {z }
(m ch
˜
u
,
´
)
111 . . . 1
| {z }
(n ch
˜
u
,
´
)
= 111 . . . 000
| {z }
(m-n ch
˜
u
,
´
1, n ch
˜
u
,
´
0)
= 111 . . . 1
| {z }
(m-n ch
˜
u
,
´
)
.10
n
T
´
ıch n
`
ay chia
´
t cho p v
`
ı (p, 10) = 1, suy ra 111 . . . 1
| {z }
(m-n ch
˜
u
,
´
1)
chia
´
t cho p v
`
a n
´
o c
˜
ung n
`
˘
am trong d
˜
ay
,
o
,
trên. M
`
a 1 m n p
mâu thu
˜
ân v
´
o
,
i gi
,
a thiê
´
t không c
´
o
´
n
`
ao trong d
˜
ay chia
´
t cho p.
J
.
.
. 2.8. (Ðê
`
thi Olympic to
´
an thê
´
gi
´
o
,
i
`
n th
´
u
,
14) Cho M l
`
a t
.
âp h
.
o
,
p
´
t
k
`
y
`
m 10
´
t
.
u
,
nhiên, m
˜
ôi
´
không l
´
o
,
n ho
,
n 100. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
`
n t
.
ai hai t
.
âp h
.
o
,
p con c
,
ua M m
`
a
,
ng c
,
ua c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
trong ch
´
ung
b
`
˘ang nhau.
2.2. V
´
ıd
.
u 19
L
`
o
,
i gi
,
ai. C
´
o thê
,
ch
´
u
,
ng minh
´
u
`
n t
.
ai hai t
.
âp th
,
oa m
˜
an
´
t lu
.
ân
c
,
ua b
`
ai to
´
an, th
`
ı ta c
´
o thê
,
ch
.
on
¯
du
,
.
o
,
c hai t
.
âp con c
´
o c
`
ung t
´
ınh châ
´
t
â
´
y nhu
,
ng không giao nhau. Th
.
ât v
.
ây, Cho X, Y l
`
a hai t
.
âp con c
,
ua M
c
´
o
,
ng c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
b
`
˘
ang nhau. Ch
´
ung ta k
´
y hi
.
êu X
1
`
m c
´
ac phâ
`
n
t
,
u
,
c
,
ua X m
`
a không thu
.
ôc Y. Tu
,
o
,
ng t
.
u
,
nhu
,
v
.
ây Y
1
`
m c
´
ac phâ
`
n
t
,
u
,
c
,
ua Y m
`
a không thu
.
ôc X. R
˜
o r
`
ang X
1
v
`
a Y
1
c
´
o
,
ng c
´
ac phâ
`
n
t
,
u
,
b
`
˘
ang nhau m
`
a không giao nhau. G
.
oi A l
`
a t
.
âp h
.
o
,
p m
.
oi t
.
âp h
.
o
,
p
con không r
˜
ông c
,
ua M.
´
lu
,
.
o
,
ng phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua A l
`
a 2
10
1 = 1023.
Ch
´
ung ta x
´
et
,
ng S c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua m
.
ôt t
.
âp h
.
o
,
p con nhu
,
v
.
ây, r
˜
o
r
`
ang S 91 + 92 + ··· + 100 < 10.100 = 1000. Nhu
,
v
.
ây
`
n t
.
ai
không qu
´
a 1000
,
ng kh
´
ac nhau. K
´
y hi
.
êu B l
`
a t
.
âp h
.
o
,
p
´
t c
,
a c
´
ac
,
ng nhu
,
v
.
ây. Do
¯
d
´
o
´
lu
,
.
o
,
ng phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua B nh
,
o
,
ho
,
n 1000 v
`
a nh
,
o
ho
,
n
´
lu
,
.
o
,
ng phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua A. Ð
.
˘
at tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng m
˜
ôi phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua t
.
âp h
.
o
,
p
A v
´
o
,
i
,
ng c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua n
´
o. Ta thâ
´
y r
`
˘
ang c
´
o thê
,
´
ap d
.
ung nguyên
l
´
y Ðirichlê
,
o
,
¯
dây. Suy ra
`
n t
.
ai
´
ıt nhâ
´
t hai t
.
âp h
.
o
,
p con kh
´
ac nhau c
´
o
c
`
ung m
.
ôt
,
ng c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
.
J
.
.
. 2.9. (Ðê
`
thi h
.
oc sinh gi
,
oi to
´
an
´
p II to
`
an quô
´
c 1983) Ch
´
u
,
ng minh
r
`
˘ang trong c
´
ac
´
t
.
u
,
nhiên thê
´
n
`
ao c
˜
ung c
´
o
´
k sao cho 1983
k
1 chia
´
t cho 10
5
.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Cho k
´
y gi
´
a tr
.
i t
`
u
,
1
¯
´
n 10
5
+ 1
`
i thay v
`
ao biê
,
u th
´
u
,
c
1983
k
1 s
˜
e nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c 10
5
+ 1 gi
´
a tr
.
i kh
´
ac nhau. Chia 10
5
+ 1
´
v
`
u
,
a nh
.
ân
,
o
,
trên cho 10
5
, s
˜
e
¯
du
,
.
o
,
c nhiê
`
u nhâ
´
t l
`
a 10
5
´
du
,
. Do
¯
d
´
o
theo nguyên l
´
y Ðirichlê ph
,
ai c
´
o
´
ıt nhâ
´
t hai
´
cho c
`
ung m
.
ôt
´
du
,
.
Gi
,
a s
,
u
,
¯
d
´
o l
`
a
´
1983
m
1 v
`
a 1983
n
1(m > n). Thê
´
th
`
ı ( 1983
m
1) ( 1983
n
1) chia
´
t cho 10
5
m
`
a (1983
m
1) (1983
n
1) =
(1983
m
1983
n
) = 1983
n
(1983
mn
1). Nhu
,
ng 1983 v
`
a 10
5
nguyên
´
c
`
ung nhau, do v
.
ây ph
,
ai c
´
o (1983
mn
1) chia
´
t cho 10
5
.
´
k = m n th
,
oa m
˜
an
¯
diê
`
u ki
.
ên
¯
`
u b
`
ai.
J
20 Chu
,
o
,
ng 2.
´
h
.
oc
.
.
. 2.10. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
`
n t
.
ai nh
˜
u
,
ng
´
nguyên a, b v
`
a c, không
¯
`
ng th
`
o
,
i b
`
˘ang 0 v
`
a gi
´
a tr
.
i tuy
.
êt
¯
´
i c
,
ua m
˜
ôi
´
không qu
´
a 1000000,
th
,
oa m
˜
an |a + b
2 + c
3| < 10
11
.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ð
.
˘
at S l
`
a t
.
âp h
.
o
,
p c
,
ua 10
18
´
th
.
u
,
c r + s
2 + t
3 v
´
o
,
i m
.
oi
r, s, t thu
.
ôc {0, 1, 2, . . . , 10
6
1} v
`
a
¯
d
.
˘
at d = (1 +
2 +
3d)10
6
.
Khi
¯
d
´
o m
˜
ôi x trong S
¯
`
u n
`
˘
am trong kho
,
ang 0 x < d. Chia
¯
do
.
an n
`
ay th
`
anh 10
18
1 phâ
`
n b
`
˘
ang nhau, m
˜
ôi
¯
do
.
an nh
,
o c
´
o
¯
d
.
ô d
`
ai
e =
d
10
18
1
. Theo nguyên l
´
y Ðirichlê
`
n t
.
ai hai
´
trong 10
18
´
c
,
ua S n
`
˘
am trong c
`
ung m
.
ôt
¯
do
.
an nh
,
o. Hi
.
êu c
,
ua hai
´
n
`
ay k
´
y hi
.
êu l
`
a
a + b
2 + c
3
¯
d
´
o ch
´
ınh l
`
a c
´
ac
´
a, b, c v
`
ı e <
10
7
10
18
= 10
11
.
J
2.3. B
`
ai t
.
âp
.
.
. 2.11. Cho A l
`
a t
.
âp h
.
o
,
p
´
t k
`
y
`
m 201
´
t
.
u
,
nhiên, m
˜
ôi
´
không
vu
,
.
o
,
t qu
´
a 300. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang A ch
´
u
,
a
´
ıt nhâ
´
t hai
´
, m
`
a t
,
y
´
c
,
ua
ch
´
ung l
`
a l
˜
uy th
`
u
,
a b
.
âc ba.
.
.
. 2.12. Cho k l
`
a
´
t
.
u
,
nhiên
´
t k
`
y, c
`
on a v
`
a b l
`
a nh
˜
u
,
ng
´
nguyên
sao cho a b v
`
a b a < 2k 2. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang
´
u M l
`
a t
.
âp h
.
o
,
p
k
´
t
.
u
,
nhiên n
`
˘
am trong kho
,
ang [a, b], v
`
a l l
`
a
´
t
.
u
,
nhiên th
,
oa m
˜
an
1 l 2k + a b 2, th
`
ı c
´
o
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt hi
.
êu nh
˜
u
,
ng phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua
M tr
`
ung v
´
o
,
i l.
.
.
. 2.13. Cho d
˜
ây
´
a
1
, a
2
, a
3
, . . . , a
41
, m
`
a m
˜
ôi phâ
`
n t
,
u
,
ch
,
ı
¯
du
,
.
o
,
c t
.
ao
b
,
o
,
i
´
1 v
`
a,
´
2, trong
¯
d
´
o c
´
o
´
ıt nhâ
´
t 21
´
ch
,
ı
¯
du
,
.
o
,
c t
.
ao b
,
o
,
i c
´
ac
´
1.
Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang
`
n t
.
ai m
.
ôt
´
phâ
`
n t
,
u
,
liên tiê
´
p c
,
ua d
˜
ay c
´
o
,
ng
b
`
˘
ang
¯
d
´
ung 20.
.
.
. 2.14. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang
`
n t
.
ai m
.
ôt
´
t
.
u
,
nhiên n, sao cho
´
2.3. B
`
ai t
.
âp 21
111 . . . 1
| {z }
(n ch
˜
u
,
´
)
chia
´
t cho 139. (B
`
ai to
´
an c
`
on
¯
d
´
ung
´
u ta thay 139
b
`
˘
ang m
.
ôt
´
nguyên
´
c
`
ung nhau v
´
o
,
i 10).
.
.
. 2.15. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang trong m
.
oi
´
t
.
ao b
,
o
,
i 100 ch
˜
u
,
´
N
`
n t
.
ai
m
.
ôt
´
chia
´
t cho 1967.
.
.
. 2.16. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang bao gi
`
o
,
c
˜
ung t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c
´
19971997. . . 19970. . . 0 chia
´
t cho 1998.
.
.
. 2.17. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang c
´
o m
.
ôt
´
t
.
u
,
nhiên chia
´
t cho 1997, m
`
a
´
n ch
˜
u
,
´
cuô
´
i c
`
ung c
,
ua n
´
o l
`
a 1998.
.
.
. 2.18. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang
´
u c
´
ac
´
nguyên m v
`
a n nguyên
´
c
`
ung
nhau th
`
ı t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c
´
t
.
u
,
nhiên k sao cho m
k
1 chia
´
t cho n.
22 Chu
,
o
,
ng 2.
´
h
.
oc
CHU
,
O
,
NG 3
D
˜
AY S
´
Ô
3.1. Nguyên l
´
y Ðirichlê cho d
˜
ay
´
h
.
an
Trong phâ
`
n n
`
ay ch
´
ung ta x
´
et nguyên l
´
y Ðirichlê du
,
´
o
,
i d
.
ang:
´
u c
´
o h
˜
u
,
u h
.
an nh
˜
u
,
ng ng
˘
an k
´
eo m
`
a ch
´
ung ta
¯
d
.
˘
at h
.
an
nh
˜
u
,
ng v
.
ât v
`
ao
¯
d
´
o, th
`
ı
´
ıt nhâ
´
t c
´
o m
.
ôt ng
˘
an k
´
eo ch
´
u
,
a h
.
an
nh
˜
u
,
ng v
.
ât
¯
d
˜
a c
´
o.
Ch
´
ung ta d
˜
ê c
´
o c
,
am tu
,
,
o
,
ng r
`
˘
ang nguyên l
´
y n
`
ay l
`
a hiê
,
n nhiên nên
´
ıt ch
´
u
´
y
¯
´
n n
´
o. B
`
˘
ang ph
,
an ch
´
u
,
ng c
´
o thê
,
ch
´
u
,
ng minh nguyên l
´
y n
`
ay
l
`
a
¯
d
´
ung. Trong
´
h
.
oc, t
.
âp h
.
o
,
p c
´
o liên quan
¯
´
n h
.
an phâ
`
n t
,
u
,
l
`
a
d
˜
ây
´
. Ch
´
ung ta biê
´
t
´
t nhiê
`
u d
˜
ay
´
¯
d
.
ep nhu
,
d
˜
ay
´
p
´
c
.
ông, d
˜
ay
´
p
´
nhân, d
˜
ay c
´
ac
´
nguyên
´
, ho
.
˘
ac d
˜
ay Fibonaxi,. . . Chu
,
o
,
ng
n
`
ay ch
´
ung ta ch
,
ı quan tâm
¯
´
n
´
ap d
.
ung
¯
diê
`
u ph
´
at biê
,
u trên
¯
,
gi
,
ai
c
´
ac b
`
ai to
´
an liên quan
¯
´
n d
˜
ây
´
. Nh
˜
u
,
ng t
.
âp h
.
an trong c
´
ac b
`
ai
to
´
an du
,
´
o
,
i
¯
dây ta x
´
et nhu
,
c
´
ac d
˜
ay
´
.
3.2. V
´
ı d
.
u
.
.
. 3.1. X
´
et d
˜
ay
´
6, 6
2
, 6
3
, 6
4
, 6
5
, . . . , 6
n
, . . . v
`
a viê
´
t 4 ch
˜
u
,
´
cuô
´
i c
`
ung
c
,
ua c
´
ac
´
n
`
ay 0006, 0036, 0216, 1296, 7776, . . .. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang b
´
˘at
¯
`
u t
`
u
,
m
.
ôt
´
n
0
n
`
ao
¯
d
´
o d
˜
ây v
`
u
,
a l
.
âp l
`
a d
˜
ây tuâ
`
n ho
`
an.
L
`
o
,
i gi
,
ai. V
`
ı
`
n t
.
ai h
˜
u
,
u h
.
an
´
lu
,
.
o
,
ng (10
4
) c
´
ach ch
.
on kh
´
ac nhau
24 Chu
,
o
,
ng 3. D
˜
ay
´
c
´
ac
´
c
´
o 4 ch
˜
u
,
´
, nên trong d
˜
ay
¯
d
˜
a cho ch
´
˘
ac ch
´
˘
an t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c hai
c
´
ach ch
.
on c
´
o c
`
ung 4 ch
˜
u
,
´
cuô
´
i. C
´
o ngh
˜
ıa l
`
a t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c hai
´
n
0
v
`
a n
0
+ t m
`
a v
´
o
,
i ch
´
ung th
`
ı 6
n
0
v
`
a 6
n
0
+t+1
c
´
o c
`
ung 4 ch
˜
u
,
´
cuô
´
i
(6
n
0
+t+1
6
n
0
= 10
4
.6k). N
´
oi chung, ch
˜
u
,
´
6
n
v
`
a 6
n+t
v
´
o
,
i
´
t k
`
y
n > n
0
s
˜
e c
´
o c
`
ung 4 ch
˜
u
,
´
cuô
´
i ( 6
n+t
6
n
= 10
4
.6
nn
0
).
J
.
.
. 3.2. (Ðê
`
thi To
´
an Olympic quô
´
c
´
`
n 17 am 1975) Cho
a
1
, a
2
, . . . , a
n
, . . . l
`
a d
˜
ay ang ng
.
˘at c
´
ac
´
t
.
u
,
nhiên. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
h
.
an c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
a
n
c
,
ua d
˜
ây trên c
´
o thê
,
biê
,
u di
˜
ên du
,
´
o
,
i d
.
ang
a
n
= xa
p
+ ya
q
,
,
o
,
¯
dây x v
`
a y l
`
a nh
˜
u
,
ng
´
nguyên du
,
o
,
ng v
`
a p 6= q.
L
`
o
,
i gi
,
ai.
´
u a
1
= 1
´
t lu
.
ân c
,
ua b
`
ai to
´
an l
`
a hiê
,
n nhiên. Th
.
ât v
.
ây,
v
´
o
,
i m
.
oi n 3
´
h
.
ang a
n
c
´
o biê
,
u di
˜
ên d
.
ang a
n
= a
n1
+ (a
n
+
a
n1
) = 1.a
n1
+ (a
n
a
n1
).a
1
c
´
o t
´
ınh châ
´
t mong muô
´
n. Ch
´
ung ta
s
˜
e ch
´
u
,
ng minh
`
n t
.
ai ch
,
ı
´
p l
´
o
,
n ho
,
n 1 sao cho h
.
an c
´
ac
´
h
.
ang
c
,
ua d
˜
ay
¯
d
˜
a cho c
´
o thê
,
viê
´
t du
,
´
o
,
i d
.
ang xa
p
+ ya
1
v
´
o
,
i c
´
ac
´
nguyên
du
,
o
,
ng th
´
ıch h
.
o
,
p x v
`
a y. M
˜
ôi
´
h
.
ang c
,
ua d
˜
ay ta
¯
d
.
˘
at tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i
´
du
,
c
,
ua n
´
o khi chia ch
´
ınh n
´
o cho a
1
. T
.
âp h
.
o
,
p
´
t c
,
a c
´
ac
´
h
.
ang
c
,
ua d
˜
ay l
`
a h
.
an, c
`
on
´
t c
,
a c
´
ac kh
,
a n
˘
ang c
,
ua
´
du
,
khi chia c
´
ac
´
h
.
ang cho a
1
l
`
a h
˜
u
,
u h
.
an. Ðiê
`
u
¯
d
´
o ch
´
u
,
ng t
,
o r
`
˘
ang h
.
an phâ
`
n t
,
u
,
a
n
1
, a
n
2
, . . . , a
n
k
, . . . , v
´
o
,
i n
1
< n
2
< . . . < n
k
< . . .
cho c
`
ung m
.
ôt
´
du
,
r khi chia cho a
1
. Không
´
t t
´
ınh
,
ng qu
´
at
ta gi
,
a thiê
´
t n
1
> 1, v
`
ı trong tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p ngu
,
.
o
,
c l
.
ai ta x
´
et c
´
ac
´
a
n
2
, a
n
3
, . . . , a
n
k
, . . . c
˜
ung l
`
a d
˜
ay h
.
an v
`
a cho c
`
ung
´
du
,
r khi chia
cho a
1
. V
´
o
,
i m
.
oi k = 1, 2, . . .
`
n t
.
ai
´
nguyên du
,
o
,
ng x
k
sao cho a
n
k
=
x
k
a
1
+ r. Khi
¯
d
´
o a
n
k
a
n
1
= (x
k
a
1
+ r) (x
1
a
1
+ r) = (x
k
x
1
)a
1
suy ra v
´
o
,
i m
.
oi k 2 ta c
´
o
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c a
n
k
= a
n
1
+ (x
k
x
1
)a
1
=
1.a
n
1
+ (x
k
x
1
)a
1
. Ngh
˜
ıa l
`
a, nh
˜
u
,
ng
´
a
n
2
, a
n
3
, . . . , a
n
k
, . . . ., c
´
o biê
,
u
di
˜
ên v
`
a c
´
ac t
´
ınh châ
´
t nhu
,
b
`
ai to
´
an
¯
d
`
oi h
,
oi. Th
.
ât v
.
ây, ch
,
ı
´
1 v
`
a n
1
3.2. V
´
ı d
.
u 25
kh
´
ac nhau v
`
ı theo c
´
ach ch
.
on trên n
1
th
.
u
,
c s
.
u
,
l
´
o
,
n ho
,
n 1. Ch
,
ı c
`
on ph
,
ai
kh
,
˘
ang
¯
d
.
inh r
`
˘
ang
´
x
k
x
1
l
`
a
´
nguyên du
,
o
,
ng v
´
o
,
i k 2,
¯
diê
`
u
¯
d
´
o
¯
d
´
ung v
`
ı t
`
u
,
n
1
< n
k
suy ra x
1
< x
k
.
J
.
.
. 3.3. Cho
´
t
.
u
,
nhiên
´
t k
`
y k. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
`
n t
.
ai
´
nguyên
´
p v
`
a m
.
ôt d
˜
ay
´
t
.
u
,
nhiên t˘ang ng
.
˘at a
1
, a
2
, . . . , a
n
, . . . sao cho
´
t c
,
a c
´
ac
phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua d
˜
ay p + ka
1
, p + ka
2
, . . . , p + ka
n
, . . . l
`
a nh
˜
u
,
ng
´
nguyên
´
.
L
`
o
,
i gi
,
ai. K
´
y hi
.
êu P l
`
a t
.
âp h
.
o
,
p
´
t c
,
a c
´
ac
´
nguyên
´
. V
´
o
,
i m
.
oi
i = 0, 1, . . . , k 1 k
´
y hi
.
êu P
i
l
`
a t
.
âp h
.
o
,
p c
´
ac
´
nguyên
´
m
`
a khi
chia cho k c
´
o
´
du
,
i. D
˜
ê thâ
´
y r
`
˘
ang m
.
oi
´
nguyên
´
n
`
˘
am trong m
.
ôt
trong c
´
ac t
.
âp h
.
o
,
p P
0
, P
1
, P
2
, . . . , P
k1
. B
,
o
,
i v
`
ı
´
nguyên
´
l
`
a h
.
an,
v
.
ây
´
ıt nhâ
´
t ph
,
ai c
´
o m
.
ôt trong
´
c
´
ac t
.
âp h
.
o
,
p P
0
, P
1
, P
2
, . . . , P
k1
ch
´
u
,
a
h
.
an
´
nguyên
´
. Gi
,
a s
,
u
,
P
i
ch
´
u
,
a h
.
an
´
v
`
a k
´
y hi
.
êu p l
`
a phâ
`
n
t
,
u
,
nh
,
o nhâ
´
t c
,
ua n
´
o. Khi
¯
d
´
o m
.
oi
´
x thu
.
ôc P
i
c
´
o d
.
ang x = p + ka v
´
o
,
i
m
.
ôt
´
t
.
u
,
nhiên a.
´
y x
1
, x
2
, x
3
, . . . l
`
a c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua P
i
´
p theo
th
´
u
,
t
.
u
,
l
´
o
,
n
`
n. V
´
o
,
i m
.
oi
´
t
.
u
,
nhiên n
¯
d
.
˘
at a
n
=
x
n
p
k
. D
˜
ê thâ
´
y r
`
˘
ang
´
nguyên
´
p v
`
a d
˜
ay a
1
, a
2
, . . . , a
n
, . . . c
´
o t
´
ınh châ
´
t mong muô
´
n.
J
.
.
. 3.4. Cho f l
`
a
¯
da th
´
u
,
c k
¯
´
i
´
v
´
o
,
i h
.
ê
´
nguyên v
`
a a
1
, a
2
, . . . , a
n
, . . . l
`
a
d
˜
ay nh
˜
u
,
ng
´
nguyên th
,
oa m
˜
an h
.
ê th
´
u
,
c a
n+1
= f (a
,
a
2
, . . . , a
nk+1
),
v
´
o
,
i m
.
oi
´
nguyên n, k m
`
a n k. Ch
´
ung ta x
´
et
´
du
,
o
,
ng
´
t k
`
y m
v
`
a v
´
o
,
i m
.
oi n = 1, 2, . . .. K
´
y hi
.
êu
a
n
l
`
a
´
du
,
không âm nh
,
o nhâ
´
t c
,
ua
a
n
theo
¯
dun m. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang d
˜
ay a
1
, a
2
, a
3
, . . . , a
n
, . . . . l
`
a d
˜
ay
tuâ
`
n ho
`
an.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
ung ta s
˜
e s
,
u
,
d
.
ung kh
,
˘
ang
¯
d
.
inh sau:
´
u g l
`
a
¯
da th
´
u
,
c
k
¯
´
i
´
v
´
o
,
i h
.
ê
´
nguyên v
`
a x
1
, x
2
, . . . , x
k
, y
1
, y
2
, . . . , y
k
l
`
a c
´
ac
´
nguyên sao cho x
1
y
1
(mod m), x
2
y
2
(mod m), . . . , x
k
y
k
(mod m), th
`
ı g(x
1
, x
2
, . . . , x
k
) g(y
1
, y
2
, . . . , y
k
) (mod m) .
26 Chu
,
o
,
ng 3. D
˜
ay
´
M
.
oi
´
h
.
ang c
,
ua d
˜
ay b
`
˘
ang m
.
ôt trong c
´
ac
´
a
1
, a
1
, a
3
, . . . , a
n
, . . .
0, 1, . . . , m 1. Ch
´
ung ta x
´
et c
´
ac b
.
ô s
´
˘
ap th
´
u
,
t
.
u
,
`
m k phâ
`
n t
,
u
,
(a
1
, a
2
, . . . , a
k
), (a
2
, a
3
, . . . , a
k+1
), . . . , (a
n
, a
n+1
. . . , a
n+k1
)..
C
´
o
´
t c
,
a h
.
an b
.
ô s
´
˘
ap nhu
,
v
.
ây, nhu
,
ng
´
lu
,
.
o
,
ng c
´
ac b
.
ô k
´
( α
1
, α
2
, α
3
, . . . , α
k
), v
´
o
,
i 0 α
i
m 1, i = 1, 2 . . . , k l
`
a h
˜
u
,
u h
.
an
(b
`
˘
ang m
k
theo l
´
y thuyê
´
t
,
h
.
o
,
p). Theo nguyên l
´
y Ðirichlê
`
n t
.
ai hai
ch
,
ı
´
i v
`
a j, i < j sao cho
a
i
= a
j
, a
i +1
= a
j+1
, . . . , a
i +k1
= a
j+k1
ho
.
˘
ac l
`
a
x
1
y
1
(mod m), x
2
y
2
(mod m) , . . . , x
k
y
k
(mod m).
T
`
u
,
¯
dây suy ra d
˜
ay a
1
, a
2
, a
3
, . . . , a
n
. . . l
`
a tuâ
`
n ho
`
an (chu k
`
y c
,
ua n
´
o
l
`
a u
,
´
o
,
c
´
c
,
ua j i). Th
.
ât v
.
ây, v
`
ı f l
`
a
¯
da th
´
u
,
c v
´
o
,
i h
.
ê
´
nguyên nên
theo c
´
ach ch
´
u
,
ng minh trên ch
´
ung ta c
´
o
f (a
i +k1
, a
i +k2
, . . . , a
i
) f (a
j+k1
, a
j+k2
, . . . , a
j
) (mod m)
= a
i +k
a
j+k
(mod m) ho
.
˘
ac l
`
a
a
i +k
a
j+k
. Biê
´
n
¯
,
i m
.
ôt ch
´
ut d
˜
ê
thâ
´
y r
`
˘
ang v
´
o
,
i m
.
oi n i ta c
´
o
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c sau a
n+(ij)
a
n
.
J
.
.
. 3.5. Cho d
˜
ay x
1
, x
2
, . . . , x
n
, . . . .
¯
du
,
.
o
,
c x
´
ac
¯
d
.
inh theo công th
´
u
,
c sau
x
1
= 1, x
2
= 0, x
3
= 2, x
n+1
= 2x
n1
+ x
n2
, n 3.
Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang v
´
o
,
i m
.
oi
´
t
.
u
,
nhiên m
`
n t
.
ai hai phâ
`
n t
,
u
,
liên tiê
´
p
c
,
ua d
˜
ay m
`
a ch
´
ung
¯
`
u chia
´
t cho m.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Công th
´
u
,
c
`
i quy trên c
´
o thê
,
viê
´
t l
.
ai
x
n2
= x
n+1
2x
n1
(3.1)
T
`
u
,
¯
d
´
o ch
,
ı ra r
`
˘
ang d
˜
ay c
´
o kh
,
a n
˘
ang ph
´
at triê
,
n
`
ph
´
ıa tr
´
ai, t
´
u
,
c
l
`
a x
´
ac
¯
d
.
inh x
n
v
´
o
,
i n 0. V
´
ı d
.
u v
´
o
,
i n = 2, 1, 0 ch
´
ung ta nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c x
0
= 0, x
1
= 0, x
2
= 1. Nhu
,
m
.
uc 3.4 ch
,
ı ra r
`
˘
ang d
˜
ay
3.2. V
´
ı d
.
u 27
x
1
, x
2
, . . . , x
n
, . . .
`
m nh
˜
u
,
ng
´
du
,
tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng x
1
, x
2
, . . . , x
n
, . . . theo
môdd un m, l
`
a d
˜
ay tuâ
`
n ho
`
an. T
`
u
,
công th
´
u
,
c (3.1) suy ra m
˜
ôi
phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua d
˜
ay {x
n
} v
`
a suy ra c
,
a {
x
n
} x
´
ac
¯
d
.
inh duy nhâ
´
t t
`
u
,
3
phâ
`
n t
,
u
,
tru
,
´
o
,
c n
´
o. Khi
¯
d
´
o
´
u ( r
1
, r
2
, . . . , r
k
) l
`
a phâ
`
n chu k
`
y c
,
ua d
˜
ay
x
1
, x
2
, . . . , x
n
, . . . th
`
ı phâ
`
n n
`
ay s
˜
e chuyê
,
n
¯
d
.
ông tuâ
`
n ho
`
an
`
ph
´
ıa tr
´
ai
c
,
ua d
˜
ay . . . , x
3
, x
2
, x
1
, x
0
, x
1
, x
2
, . . . v
`
a s
˜
e c
´
o d
.
ang
. . . , r
1
, r
2
, . . . , r
k
, r
1
, r
2
, . . . , r
k
, r
1
, r
2
, . . . , r
k
. . . (3.2)
Bây gi
`
o
,
ta ch
´
u
´
y r
`
˘
ang x
1
= x
0
= 0, suy ra x
1
= x
0
= 0. T
`
u
,
(3.2)
suy ra r
`
˘
ang d
˜
ay c
´
ac
´
du
,
theo môdd un m ch
´
u
,
a
´
c
.
˘
ap phâ
`
n t
,
u
,
liên tiê
´
p b
`
˘
ang không. N
´
oi c
´
ach kh
´
ac
`
n t
.
ai
´
c
´
ac c
.
˘
ap
´
liên tiê
´
p
c
,
ua d
˜
ay x
1
, x
2
, . . . , x
n
, . . . m
`
a m
˜
ôi phâ
`
n t
,
u
,
trong c
.
˘
ap
¯
`
u chia
´
t cho
m.
J
.
.
. 3.6. D
˜
ay
´
Fibonaxi
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
.
inh ngh
˜
ıa b
`
˘ang c
´
ac
¯
d
,
˘ang th
´
u
,
c F
1
=
F
2
= 1, F
n+2
= F
n+1
+ F
n
, n 1. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt trong
1.000.000.000 phâ
`
n t
,
u
,
¯
`
u tiên c
,
ua d
˜
ay chia
´
t cho 10.000.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Tu
,
o
,
ng t
.
u
,
nhu
,
3.5 ch
´
ung ta x
´
et c
´
ac
´
du
,
c
,
ua c
´
ac
´
trong d
˜
ay
¯
d
˜
a cho khi chia cho 10.000. K
´
y hi
.
êu
´
du
,
¯
d
´
u
,
ng
,
o
,
v
.
i
tr
´
ı th
´
u
,
k khi chia cho 10 000 l
`
a r
k
. Khi
¯
d
´
o th
`
ı r
1
= 1, r
2
=
1, r
3
= 2, r
4
= 3, . . . . . . .r
k
= r
k1
+ r
k2
. R
˜
o r
`
ang c
´
o 10.000
´
du
,
kh
´
ac nhau do
¯
d
´
o c
´
o 10000
2
= 100000000 (tr
˘
am tri
.
êu) c
.
˘
ap
´
du
,
kh
´
ac nhau. X
´
et 100000001 c
.
˘
ap
´
du
,
(r
1
, r
2
), (r
2
, r
3
), (r
3
, r
4
) . . .
. . . (r
100000001
, r
100000002
). Theo nguyên l
´
y Ðirichlê trong
´
n
`
ay c
´
o
´
ıt
nhâ
´
t 2 c
.
˘
ap
´
tr
`
ung nhau, t
´
u
,
c l
`
a t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c hai
´
n v
`
a p v
´
o
,
i n, p
¯
`
u nh
,
o ho
,
n 100000002,n nh
,
o ho
,
n p sao cho r
n
= r
p
, r
n+1
= r
p+1
.
Nhu
,
ng
´
u biê
´
t
´
du
,
c
,
ua
,
ng hai
´
v
`
a
´
du
,
c
,
ua m
.
ôt
´
th
`
ı
´
du
,
kia c
˜
ung t
´
ınh
¯
du
,
.
o
,
c. V
`
ı v
.
ây ta c
´
o r
n1
= r
p1
, r
n2
= r
p2
, . . . .
cho
¯
´
n khi r
2
= 1 = r
pn+2
, r
1
= 1 = r
pn+1
, Áp d
.
ung công th
´
u
,
c
28 Chu
,
o
,
ng 3. D
˜
ay
´
´
du
,
`
i qui
,
o
,
trên ta c
´
o r
pn
= 0 v
´
o
,
i p n 100000001 1 =
100000000. Ngh
˜
ıa l
`
a
´
¯
d
´
u
,
ng
,
o
,
v
.
i tr
´
ı p n s
˜
e th
,
oa m
˜
an
¯
diê
`
u ki
.
ên b
`
ai
ra, chia
´
t cho 10 000.
J
.
.
. 3.7.
.
inh l
´
y Fecma)
´
u m
.
ôt
´
nguyên
´
p không chia
´
t
´
nguyên a, th
`
ı
¯
d
,
˘ang th
´
u
,
c sau
¯
d
´
ung a
p1
1( mod p).
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
ung ta ch
´
u
,
ng minh m
.
ênh
¯
`
,
ng qu
´
at ho
,
n. Cho m > 1
l
`
a
´
t
.
u
,
nhiên
´
t k
`
y v
`
a a l
`
a
´
nguyên
´
c
`
ung nhau v
´
o
,
i m. Ch
´
ung
ta x
´
et d
˜
ay nh
˜
u
,
ng l
˜
uy th
`
u
,
a liên tiê
´
p c
,
ua a
a
1
, a
2
, a
3
, . . . (3.3)
v
`
a k
´
y hi
.
êu
r
1
, r
2
, r
3
, . . . (3.4)
l
`
a nh
˜
u
,
ng
´
du
,
tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng c
,
ua (3.3) khi chia cho m, ngh
˜
ıa l
`
a
a
k
r
k
(mod m), 1 r
k
m 1.
Khi
¯
d
´
o
´
lu
,
.
o
,
ng c
´
ac
´
trong (3.3) l
`
a h
.
an, c
`
on nh
˜
u
,
ng
´
,
o
,
(3.4)
ch
,
ı c
´
o thê
,
nh
.
ân nh
˜
u
,
ng gi
´
a tr
.
i trong 1, 2, 3, . . . , m 1 nên
´
lu
,
.
o
,
ng l
`
a
h
˜
u
,
u h
.
an. Suy ra theo nguyên l
´
y Ðirichlê, gi
˜
u
,
a nh
˜
u
,
ng
´
du
,
r
k
s
˜
e c
´
o
´
ıt nhâ
´
t hai
´
tr
`
ung nhau; n
´
oi c
´
ach kh
´
ac
`
n t
.
ai hai ch
,
ı
´
i v
`
a j v
´
o
,
i
i 6= j sao cho r
i
= r
j
. Khi
¯
d
´
o ch
´
ung ta c
´
o a
i
a
j
( mod m). Theo gi
,
a
thiê
´
t (a, m) = 1, v
´
o
,
i i 6= j ch
´
ung ta nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c a
i j
1( mod m).
Ch
´
ung ta c
´
o
´
t lu
.
ân
`
n t
.
ai
´
t
.
u
,
nhiên l sao cho
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c sau
¯
dây
¯
d
´
ung:
a
l
1 (mod m) (3.5)
-
´
l trong (3.5) không x
´
ac
¯
d
.
inh duy nhâ
´
t, th
.
âm ch
´
ı c
`
on
`
n t
.
ai
´
´
t
.
u
,
nhiên l th
,
oa m
˜
an (3.5).
- Trong tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p m = p l
`
a
´
nguyên
´
, Fecma t
`
ım ra l c
´
o thê
,
ch
.
on l
`
a
´
p 1.
3.2. V
´
ı d
.
u 29
-Tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p m
´
t k
`
y th
`
ı O
,
le ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang l c
´
o thê
,
ch
.
on l
`
a
h
`
am ch
,
ı
´
c
,
ua m (ch
´
ung ta không xem x
´
et
´
n
¯
`
n
`
ay
,
o
,
¯
dây,
¯
d
.
ôc
gi
,
a c
´
o thê
,
t
`
ım trong
´
t c
´
u
,
cuô
´
n s
´
ach
´
h
.
oc n
`
ao).
J
.
.
. 3.8. Cho x
1
, x
2
, x
3
, . . . l
`
a d
˜
ây h
.
an c
´
ac
´
nguyên v
`
a k l
`
a m
.
ôt
´
t
.
u
,
nhiên
´
t k
`
y. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
`
n t
.
ai d
˜
ây
´
`
m nh
˜
u
,
ng phâ
`
n t
,
u
,
liên tiê
´
p c
,
ua d
˜
ây, m
`
a
,
ng c
,
ua ch
´
ung chia
´
t cho k.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
ung ta c
´
o thê
,
gi
´
o
,
i h
.
an l
.
ai, gi
˜
u
,
a m
.
oi b
.
ô k phâ
`
n t
,
u
,
liên
tiê
´
p c
,
ua d
˜
ây c
´
o thê
,
ch
.
on
¯
du
,
.
o
,
c m
.
ôt
´
phâ
`
n t
,
u
,
c
´
o t
´
ınh châ
´
t mong
muô
´
n. Ðê
,
¯
do
,
n gi
,
an ta xem x
´
et k phâ
`
n t
,
u
,
¯
`
u tiên x
1
, x
2
, x
3
, . . . , x
k
.
Ch
´
ung ta x
´
et
,
ng
S
1
= x
1
, S
2
= x
1
+ x
2
, S
3
= x
1
+ x
2
+ x
3
, . . . , S
k
= x
1
+ x
2
+ ···+ x
k
´
u m
.
ôt
,
ng n
`
ao
¯
d
´
o trong
´
trên chia
´
t cho k, th
`
ı b
`
ai to
´
an
¯
du
,
.
o
,
c
gi
,
ai. Ngu
,
.
o
,
c l
.
ai, c
´
ac
´
S
1
, S
2
, . . . , S
k
(c
´
o
´
lu
,
.
o
,
ng k) khi chia cho k
¯
du
,
.
o
,
c c
´
ac
´
du
,
1, 2, 3, . . . , k 1. T
`
u
,
nguyên l
´
y Ðirichlê suy ra c
´
o m
.
ôt
c
.
˘
ap ch
,
ı
´
i v
`
a j, 1 i < j k, m
`
a c
´
ac
,
ng S
i
v
`
a S
j
cho c
`
ung m
.
ôt
´
du
,
khi chia cho k. Khi
¯
d
´
o
,
ng c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
liên tiê
´
p x
i +1
, x
n+2
, . . . , x
j
c
,
ua d
˜
ay
¯
d
˜
a cho chia
´
t cho k, v
`
ı x
i +1
+ x
n+2
+ ··· + x
j
= S
j
S
i
.
J
.
.
. 3.9. Cho d
˜
ay h
.
an c
´
ac ch
˜
u
,
´
. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang v
´
o
,
i m
.
oi
´
t
.
u
,
nhiên n, nguyên
´
c
`
ung nhau v
´
o
,
i 10, trong d
˜
ay h
.
an trên
`
n t
.
ai
m
.
ôt nh
´
om ch
˜
u
,
´
liên tiê
´
p, m
`
a
´
t
.
ao b
,
o
,
i c
´
ac ch
˜
u
,
´
trong nh
´
om (viê
´
t
theo th
´
u
,
t
.
u
,
ch
,
ı
´
l
´
o
,
n
¯
d
´
u
,
ng tru
,
´
o
,
c) chia
´
t cho n.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Cho d
˜
ay c
´
ac ch
˜
u
,
´
a
1
, a
2
, . . . , a
n
, . . .. Ch
´
ung ta x
´
et c
´
ac
´
A
1
=
a
1
, A
2
= a
2
a
1
, . . . , A
n
= a
n
a
n1
. . . a
1
, . . . , A
n+1
= a
n+1
. . . a
1
.
V
`
ı
´
lu
,
.
o
,
ng nh
˜
u
,
ng
´
n
`
ay l
`
a n + 1, c
`
on
´
lu
,
.
o
,
ng kh
,
a n
˘
ang c
,
ua
´
du
,
khi chia ch
´
ung cho n l
`
a n, nên theo nguyên l
´
y Ðirichlê
`
n t
.
ai
´
ıt nhâ
´
t
30 Chu
,
o
,
ng 3. D
˜
ay
´
hai
´
cho c
`
ung m
.
ôt
´
du
,
ta k
´
y hi
.
êu ch
´
ung l
`
a A
i
v
`
a A
j
, ( i < j). Khi
¯
d
´
o hi
.
êu A
j
A
i
chia
´
t cho n. Hay n
´
oi c
´
ach kh
´
ac
A
j
A
i
= a
j
. . . a
1
a
i
. . . a
1
= a
j
. . . a
i 1
.10
ji+1
v
`
ı (n, 10) = 1, nên a
j
. . . a
i 1
chia
´
t cho n.
J
.
.
. 3.10. Cho k l
`
a
´
nguyên du
,
o
,
ng
´
t k
`
y v
`
a
x
1
, x
2
, . . . , x
n
, . . .
y
1
, y
2
, . . . , y
n
, . . .
l
`
a nh
˜
u
,
ng chu
˜
ôi
´
nguyên
´
t k
`
y. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
`
n t
.
ai
´
c
.
˘ap
ch
,
ı
´
(i, j), v
´
o
,
i i < j sao cho m
˜
ôi
,
ng
x
i +1
+ x
n+2
+ ··· + x
j
; y
i +1
+ y
n+2
+ ··· + y
j
¯
`
u chia
´
t cho k.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
,
ı
`
n ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang trong b
.
ô
´
k
2
phâ
`
n t
,
u
,
liên tiê
´
p
c
,
ua 2 d
˜
ây trên c
´
o thê
,
ch
.
on
¯
du
,
.
o
,
c
,
ng v
´
o
,
i t
´
ınh châ
´
t
¯
d
˜
a ch
,
ı ra. V
`
ı v
.
ây
ch
´
ung ta ch
,
ı quan tâm
¯
´
n k
2
phâ
`
n t
,
u
,
¯
`
u tiên c
,
ua c
´
ac chu
˜
ôi
¯
d
˜
a cho.
B
`
˘
ang c
´
ach
,
ng qu
´
at h
´
oa c
´
ach gi
,
ai b
`
ai to
´
an 3.8,
´
y
,
ng
S
1
= x
1
, S
2
= x
1
+ x
2
, S
3
= x
1
+ x
2
+ x
3
, . . . , S
k
2
= x
1
+ x
2
+ ···+ x
k
2
T
1
= y
1
, T
2
= y
1
+ y
2
, T
3
= y
1
+ y
2
+ y
3
, . . . , T
k
2
= y
1
+ y
2
+ ···+ y
k
2
V
´
o
,
i m
˜
ôi m = 1, 2, 3, . . . , k
2
¯
d
.
˘
at tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng c
.
˘
ap (S
m
, T
m
) v
´
o
,
i c
.
˘
ap
(RS
m
, RT
m
) c
,
ua nh
˜
u
,
ng
´
du
,
, khi chia S
m
v
`
a T
m
cho k. V
`
ı RS
m
v
`
a RT
m
l
`
a m
.
ôt trong c
´
ac
´
0, 1, 2, . . . , k 1, nên
,
h
.
o
,
p
´
t c
,
a
c
´
ac d
.
ang kh
´
ac nhau (RS
m
, RT
m
) l
`
a không qu
´
a k
2
.
´
u
`
n t
.
ai
m
.
ôt ch
,
ı
´
m, sao cho (RS
m
, RT
m
) tr
`
ung v
´
o
,
i (0, 0), th
`
ı m
.
oi
,
ng
S
m
= x
1
+ x
2
+ ···+ x
m
v
`
a T
m
= y
1
+ y
2
+ ···+ y
m
¯
`
u chia
´
t cho
k. V
`
ı
´
u không nhu
,
v
.
ây, th
`
ı c
´
ac c
.
˘
ap
´
(RS
m
, RT
m
), m = 1, 2, . . . .., k
2
c
´
o nhiê
`
u nhâ
´
t l
`
a k
2
1 kh
,
a n
˘
ang kh
´
ac nhau. Nhu
,
ng
´
lu
,
.
o
,
ng
3.3. B
`
ai t
.
âp 31
nh
˜
u
,
ng c
.
˘
ap
´
n
`
ay l
`
a k
2
suy ra c
´
o
´
ıt nhâ
´
t hai trong ch
´
ung b
`
˘
ang
nhau. N
´
oi c
´
ach kh
´
ac,
`
n t
.
ai hai ch
,
ı
´
i v
`
a j, sao cho 1 i <
j k
2
v
`
a (RS
i
, RT
i
) = (RS
j
, RT
j
). Trong tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p n
`
ay m
˜
ôi
´
x
i +1
+ x
n+2
+ ··· + x
j
= S
j
S
i
; y
i +1
+ y
n+2
+ ··· + y
j
= T
j
T
i
¯
`
u chia
´
t cho k.
J
Ch
´
u
´
y: Ðây l
`
a b
`
ai to
´
an
,
ng qu
´
at h
´
oa b
`
ai to
´
an 3.8. M
,
o
,
r
.
ông
´
t
qu
,
a n
`
ay c
´
ac b
.
an h
˜
ay xem v
`
a l
`
am b
`
ai tâp 3.15.
3.3. B
`
ai t
.
âp
.
.
. 3.11. C
´
o
`
n t
.
ai lu
˜
y th
`
u
,
a c
,
ua
´
3 m
`
a c
´
ac ch
˜
u
,
´
cuô
´
i c
`
ung c
,
ua n
´
o
l
`
a 0001 không ?
.
.
. 3.12. Cho F l
`
a t
.
âp h
˜
u
,
u h
.
an nh
˜
u
,
ng
´
nguyên du
,
o
,
ng v
`
a x
1
, x
2
, . . .
, x
n
, . . . v
`
a y
1
, y
2
, . . . , y
n
, . . . l
`
a hai d
˜
ây h
.
an nh
˜
u
,
ng phâ
`
n t
,
u
,
thu
.
ôc
F. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang
`
n t
.
ai nh
˜
u
,
ng ch
,
ı
´
i v
`
a j, i < j sao cho t
´
ıch
c
,
ua x
i +1
, x
i +2
, . . . , x
j
v
`
a y
i +1
, y
i +2
, . . . , y
j
l
`
a m
.
ôt
´
c
´
o l
˜
uy th
`
u
,
a b
.
âc k.
.
.
. 3.13. Cho u
1
, u
2
, . . . , u
n
, . . . l
`
a d
˜
ay nh
˜
u
,
ng
´
nguyên x
´
ac
¯
d
.
inh b
`
˘
ang
công th
´
u
,
c u
1
= 39, u
2
= 45, u
n+2
= u
2
n+1
u
n
( n 1). Ch
´
u
,
ng minh
r
`
˘
ang 1986 chia
´
t cho
´
nh
˜
u
,
ng phâ
`
n t
,
u
,
trong d
˜
ay n
`
ay.
.
.
. 3.14. Cho k l
`
a m
.
ôt
´
t
.
u
,
nhiên. D
˜
ay x
1
, x
2
, . . . , x
n
, . . . th
,
oa m
˜
an c
´
ac
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c x
0
= 0, x
1
= 1 v
`
a x
n
=
1
k
(x
n+1
x
n1
) v
´
o
,
i m
.
oi n 1.
Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang gi
˜
u
,
a nh
˜
u
,
ng
´
x
1
, x
2
, . . . , x
1986
`
n t
.
ai hai
´
m
`
a
t
´
ıch c
,
ua ch
´
ung chia
´
t cho tich 19.86.
.
.
. 3.15. Cho k l
`
a
´
nguyên du
,
o
,
ng v
`
a
x
1
1
, x
1
2
, . . . , x
1
n
, . . .
x
2
1
, x
2
2
, . . . , x
2
n
, . . .
32 Chu
,
o
,
ng 3. D
˜
ay
´
. . . . . . . . . . . . . . .
x
s
1
, x
s
2
, . . . , x
s
n
, . . .
l
`
a s d
˜
ay
´
nguyên. Khi
¯
d
´
o
`
n t
.
ai h
.
an c
´
ac c
.
˘
ap ch
,
ı
´
(i, j), v
´
o
,
i
i < j sao cho c
´
ac
,
ng sau
¯
dây
x
1
i +1
+ x
1
i +2
+ ··· + x
1
j
x
2
i +1
+ x
2
i +2
+ ··· + x
2
j
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
s
i +1
+ x
s
i +2
+ ··· + x
s
j
¯
`
u chia
´
t cho k.
CHU
,
O
,
NG 4
H
`
INH H
.
OC
4.1. V
´
ı d
.
u
Trong
´
c
´
ac b
`
ai to
´
an h
`
ınh h
.
oc trong to
´
an h
.
oc
,
h
.
o
,
p c
´
o m
.
ôt l
´
o
,
p
b
`
ai to
´
an gi
,
ai b
`
˘
ang phu
,
o
,
ng ph
´
ap Ðirichlê
´
t thu
.
ân ti
.
ên v
`
a r
˜
o r
`
ang.
B
.
an
¯
d
.
oc c
´
o thê
,
t
`
ım thâ
´
y nh
˜
u
,
ng c
´
ach gi
,
ai kh
´
ac, nhu
,
ng v
`
ı m
.
uc
¯
d
´
ıch
chuyên
¯
`
phu
,
o
,
ng ph
´
ap ch
´
ung ta
¯
dang x
´
et nên ch
´
ung ta ch
,
ı kh
,
ao
s
´
at c
´
ac v
´
ı d
.
u sau.
.
.
. 4.1. Trong h
`
ınh vuông v
´
o
,
i c
.
anh 1
¯
do
,
n v
.
i
¯
du
,
.
o
,
c ch
.
on 101
¯
diê
,
m. Ch
´
u
,
ng
minh r
`
˘ang c
´
o am
¯
diê
,
m trong c
´
ac
¯
diê
,
m
¯
d
˜
a ch
.
on c
´
o thê
,
ph
,
u b
,
o
,
i
¯
du
,
`
o
,
ng
tr
`
on b
´
an k
´
ınh
1
7
.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Chia h
`
ınh vuông ra ra 25 h
`
ınh vuông con c
´
o c
.
anh 0,2.
Nh
˜
u
,
ng h
`
ınh vuông n
`
ay c
´
o
´
lu
,
.
o
,
ng 25 v
`
a v
`
ı
´
t c
,
a
´
¯
diê
,
m
¯
d
˜
a ch
.
on
l
`
a 101, th
`
ı
´
ıt nhâ
´
t c
´
o m
.
ôt h
`
ınh vuông nh
,
o ch
´
u
,
a
´
ıt nhâ
´
t 5
¯
diê
,
m. M
`
a
b
´
an k
´
ınh
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on ngo
.
ai tiê
´
p h
`
ınh vuông nh
,
o b
`
˘
ang
1
5
5
<
1
7
.
J
.
.
. 4.2. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang trong m
.
oi khô
´
i
¯
da di
.
ên
`
i
`
n t
.
ai
´
ıt nhâ
´
t hai
m
.
˘at c
´
o c
`
ung
´
c
.
anh.
L
`
o
,
i gi
,
ai. K
´
y hi
.
êu F l
`
a m
.
˘
at c
´
o
´
c
.
anh l
´
o
,
n nhâ
´
t c
,
ua khô
´
i
¯
da di
.
ên.
´
u
´
c
.
anh c
,
ua F l
`
a k, th
`
ı khô
´
i
¯
da di
.
ên c
´
o
´
ıt nhâ
´
t k + 1 m
.
˘
at (v
`
ı c
´
o k m
.
˘
at
34 Chu
,
o
,
ng 4. H
`
ınh h
.
oc
c
´
o c
.
anh chung v
´
o
,
i F), c
`
on
´
lu
,
.
o
,
ng c
´
ac c
.
anh c
,
ua m
˜
ôi m
.
˘
at l
`
a m
.
ôt
trong c
´
ac
´
3, 4, . . . , k. Theo nguyên l
´
y Ðirichlê c
´
o
´
ıt nhâ
´
t hai m
.
˘
at
c
´
o c
`
ung
´
c
.
anh.
J
.
.
. 4.3. Trong phâ
`
n trong c
,
ua m
.
ôt h
`
ınh tr
`
on v
´
o
,
i
¯
du
,
`
o
,
ng k
´
ınh 5
¯
do
,
n v
.
i,
ngu
,
`
o
,
i ta ch
.
on
´
t k
`
y 10
¯
diê
,
m. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
´
ıt nhâ
´
t c
´
o hai
¯
diê
,
m
trong c
´
ac
¯
diê
,
m
¯
d
˜
a ch
.
on c
´
o kho
,
ang c
´
ach nh
,
o ho
,
n 2.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Chia
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on
C
2
C
3
C
4
C
5
C
6
C
7
C
8
C
9
C
1
O
E D
F
C
A
B
A
1
B
1
H
`
ınh 4.1:
th
`
anh 8 r
,
e qu
.
at b
`
˘
ang nhau
v
´
o
,
i g
´
oc
,
o
,
tâm m
˜
ôi r
,
e qu
.
at l
`
a
45
0
v
`
a d
.
u
,
ng
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on
¯
`
ng
tâm C
1
v
´
o
,
i b
´
an k
´
ınh 1. K
´
y
hi
.
êu C
2
, C
3
, . . . , C
9
l
`
a nh
˜
u
,
ng
h
`
ınh t
`
u
,
t
´
am r
,
e qu
.
at tr
`
u
,
¯
di
phâ
`
n m
`
a
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on C
1
¯
d
˜
a
chiê
´
m. C
´
o thê
,
ch
´
u
,
ng minh
¯
du
,
.
o
,
c
´
t c
´
u
,
hai
¯
diê
,
m n
`
ao
thu
.
ôc m
.
ôt trong ch
´
ın h
`
ınh
trên
¯
`
u c
´
o kho
,
ang c
´
ach nh
,
o
ho
,
n 2. Th
.
ât v
.
ây,
´
u hai
¯
diê
,
m ro
,
i v
`
ao
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on
¯
`
ng tâm th
`
ı
kho
,
ang c
´
ach gi
˜
u
,
a ch
´
ung nh
,
o ho
,
n 2. Gi
,
a s
,
u
,
hai
¯
diê
,
m A v
`
a B ro
,
i
v
`
ao m
.
ôt CDEF trong
´
t
´
am r
,
e qu
.
at. Trên b
´
an k
´
ınh OC v
`
a OD
´
y
tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng hai
¯
diê
,
m A
1
v
`
a B
1
sao cho OA
1
= OA; OB
1
= OB, ngh
˜
ıa
l
`
a AB A
1
B
1
(theo
¯
d
.
inh l
´
y h
`
am cosin, b
,
o
,
i v
`
ı
[
AOB
\
A
1
OB
1
).
Ðê
,
´
y r
`
˘
ang A
1
B
1
max{A
1
D, A
1
E}. Th
.
ât v
.
ây
¯
diê
,
m B
1
n
`
˘
am trong
¯
do
.
an th
,
˘
ang t
.
ao b
,
o
,
i h
`
ınh chiê
´
u H c
,
ua A
1
trên OD v
`
a
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt
trong hai
¯
diê
,
m D, E, ch
,
˘
ang h
.
an
¯
diê
,
m D. B
,
o
,
i v
.
ây h
`
ınh chiê
´
u HD
c
,
ua
¯
du
,
`
o
,
ng xiên A
1
D không b
´
e ho
,
n h
`
ınh chiê
´
u HB
1
c
,
ua A
1
B
1
trên
OD. Ngh
˜
ıa l
`
a A
1
B
1
A
1
D. C
˜
ung ch
´
u
,
ng minh nhu
,
trên ta c
´
o
4.1. V
´
ı d
.
u 35
DA
1
max{DF, DC}, EA
1
max{EF, EC}. T
`
u
,
s
.
u
,
¯
d
´
anh gi
´
a
EF
2
< CD
2
= OC
2
+ OD
2
2.OC.OD. cos 45
0
= 2
25
4
25
2
4
< 3, 75 < 4
v
`
a
EC
2
= FD
2
= OF
2
+ OD
2
2OF.OD. cos 45
0
= 1 +
25
4
5
2
2
< 7, 25
5.1, 4
2
= 3, 75 < 4,
ta
¯
du
,
.
o
,
c AB A
1
B
1
max{DF, DC, EF, EC} < 2.
J
.
.
. 4.4. Gi
,
a s
,
u
,
m
˜
ôi
¯
diê
,
m trong m
.
ôt m
.
˘at ph
,
˘ang
¯
du
,
.
o
,
c so
,
n b
`
˘ang m
.
ôt trong
hai
`
u
¯
d
,
o v
`
a xanh. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang c
´
o m
.
ôt h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât n
`
ao
¯
d
´
o
trong m
.
˘at ph
,
˘ang m
`
a
´
n
¯
d
,
ınh c
,
ua n
´
o c
`
ung
`
u.
L
`
o
,
i gi
,
ai. D
˜
ê thâ
´
y theo nguyên l
´
y
P
1
P
2
P
3
P
4
Q
1
Q
2
Q
3
Q
4
R
1
R
2
R
3
R
4
H
`
ınh 4.2:
Ðirichlê, m
.
ôt t
.
âp
´
t k
`
y 7
¯
diê
,
m
m
`
a so
,
n m
.
ôt trong hai
`
u th
`
ı
´
ıt
nhâ
´
t c
´
o 4
¯
diê
,
m c
`
ung
`
u. Trên
m
.
ôt
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang c
´
o 7
¯
diê
,
m th
`
ı
ch
´
ung ta ph
,
ai c
´
o 4
¯
diê
,
m th
,
˘
ang
h
`
ang c
`
ung
`
u, gi
,
a s
,
u
,
¯
d
´
o l
`
a
P
1
, P
2
, P
3
, P
4
c
´
o c
`
ung
`
u
¯
d
,
o. Ta
chiê
´
u nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m n
`
ay xuô
´
ng hai
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang song song v
´
o
,
i
¯
du
,
`
o
,
ng
ch
´
u
,
a ch
´
ung t
.
ao ra (Q
1
, Q
2
, Q
3
, Q
4
) v
`
a (R
1
, R
2
, R
3
, R
4
) tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i
(P
1
, P
2
, P
3
, P
4
). Nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m n
`
ay t
.
ao ra m
.
ôt
´
h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât, ch
´
ung
ta ch
´
u
´
y
¯
´
n c
´
ac h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât c
´
o
¯
d
,
ınh l
`
a P
i
, i = 1, 2, 3, 4. Nhu
,
v
.
ây
´
u 2
¯
diê
,
m
´
t k
`
y c
,
ua Q l
`
a
¯
d
,
o th
`
ı ta c
´
o
´
t qu
,
a m
.
ôt h
`
ınh vuông
P
i
P
j
Q
j
Q
i
c
´
o
¯
d
,
ınh c
`
ung
`
u. Tu
,
o
,
ng t
.
u
,
cho c
´
ac
¯
diê
,
m R.
´
u
¯
`
ng
th
`
o
,
i không c
´
o
¯
diê
,
m Q v
`
a R th
,
oa m
˜
an tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p trên th
`
ı c
´
o 3 (ho
.
˘
ac
36 Chu
,
o
,
ng 4. H
`
ınh h
.
oc
ho
,
n)
¯
diê
,
m Q n
`
ao
¯
d
´
o v
`
a 3
¯
diê
,
m R n
`
ao
¯
d
´
o c
´
o c
`
ung
`
u xanh. Nhu
,
ng
trong b
.
ô ba nhu
,
v
.
ây ph
,
ai c
´
o c
.
˘
ap
¯
dôi t
.
ao ra h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât v
´
o
,
i c
´
ac
¯
d
,
ınh
`
u xanh trong
´
c
´
ac
¯
diê
,
m Q v
`
a R.
J
.
.
. 4.5. Gi
,
a s
,
u
,
m
.
ôt b
`
an c
`
o
,
h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât c
´
o 4x7 ô vuông
¯
du
,
.
o
,
c so
,
n
¯
den
ho
.
˘ac tr
´
˘ang. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang v
´
o
,
i c
´
ach so
,
n
`
u
´
t k
`
y, trong b
`
an c
`
o
,
luôn
`
n t
.
ai h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât
`
m c
´
ac ô vuông, m
`
a
´
n ô
,
o
,
g
´
oc l
`
a c
´
ac ô
c
`
ung
`
u.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
ung ta ch
´
u
,
ng
H
`
ınh 4.3:
minh cho b
`
ai to
´
an b
`
an c
`
o
,
3 × 7. M
˜
âu so
,
n
`
u c
´
o
thê
,
,
y ra v
´
o
,
i b
`
an c
`
o
,
n
`
ay
c
´
o d
.
ang t
`
u
,
1
¯
´
n 8. Gi
,
a
s
,
u
,
m
.
ôt trong
´
c
´
ac c
.
ôt
thu
.
ôc d
.
ang 1. B
`
ai to
´
an s
˜
e
¯
du
,
.
o
,
c ch
´
u
,
ng minh
´
u
´
t
c
,
a nh
˜
u
,
ng c
.
ôt c
`
on l
.
ai trong
6 c
.
ôt thu
.
ôc c
´
ac d
.
ang 1, 2,
3, 4. Nhu
,
v
.
ây gi
,
a s
,
u
,
´
t c
,
a
c
´
ac c
.
ôt c
`
on l
.
ai thu
.
ôc d
.
ang
5, 6, 7, ho
.
˘
ac 8. Khi
¯
d
´
o theo nguyên l
´
y Ðirichlê hai trong
´
s
´
au c
.
ôt
c
´
o hai c
.
ôt c
`
ung m
.
ôt d
.
ang v
`
a nhu
,
v
.
ây b
`
ai to
´
an c
˜
ung
¯
du
,
.
o
,
c ch
´
u
,
ng
minh. Ch
´
u
,
ng minh ho
`
an to
`
an tu
,
o
,
ng t
.
u
,
´
u m
.
ôt c
.
ôt c
´
o d
.
ang 8. Gi
,
a
s
,
u
,
không c
´
o c
.
ôt n
`
ao trong 7 c
.
ôt c
´
o d
.
ang 1 ho
.
˘
ac 8. Nhu
,
v
.
ây ta c
´
o 7
c
.
ôt v
´
o
,
i 6 d
.
ang. Theo nguyên l
´
y Ðirichlê c
´
o hai c
.
ôt c
`
ung d
.
ang v
`
a b
`
ai
to
´
an
¯
du
,
.
o
,
c ch
´
u
,
ng minh
¯
`
y
¯
d
,
u.
J
.
.
. 4.6. N˘am
¯
diê
,
m A, B, C, D, E n
`
˘am trong m
.
ôt m
.
˘at ph
,
˘ang v
`
a t
.
oa
¯
d
.
ô
c
,
ua ch
´
ung l
`
a c
´
ac
´
nguyên. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang trong
´
nh
˜
u
,
ng tam
4.1. V
´
ı d
.
u 37
gi
´
ac m
`
a
¯
d
,
ınh c
,
ua n
´
o l
`
a ba
¯
diê
,
m n
`
ao
¯
d
´
o trong c
´
ac
¯
diê
,
m n
`
ay, c
´
o
´
ıt nhâ
´
t
ba tam gi
´
ac v
´
o
,
i di
.
ên t
´
ıch l
`
a c
´
ac
´
nguyên.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ta c
´
o thê
,
ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang
´
u m
.
ôt trong c
´
ac t
.
oa
¯
d
.
ô c
,
ua
c
´
ac
¯
d
,
ınh tam gi
´
ac
¯
d
˜
a cho thay
¯
,
i m
.
ôt
´
ch
˜
˘
an, th
`
ı di
.
ên t
´
ıch c
,
ua tam
gi
´
ac c
˜
ung thay
¯
,
i m
.
ôt
´
nguyên. M
.
ôt c
´
ach
,
ng qu
´
at ho
,
n ta c
´
o thê
,
kh
,
˘
ang
¯
d
.
inh
´
u c
´
ac t
.
oa
¯
d
.
ô
¯
d
,
ınh c
,
ua m
.
ôt tam gi
´
ac thay
¯
,
i m
.
ôt
´
ch
˜
˘
an, th
`
ı di
.
ên t
´
ıch c
,
ua n
´
o c
˜
ung thay
¯
,
i m
.
ôt
´
nguyên. V
`
ı v
.
ây,
´
u
di
.
ên t
´
ıch c
,
ua tam gi
´
ac m
´
o
,
i nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c l
`
a
´
nguyên, th
`
ı di
.
ên t
´
ıch
tam gi
´
ac ban
¯
`
u c
˜
ung l
`
a
´
nguyên (h
˜
ay v
˜
e h
`
ınh v
`
a ch
´
u
,
ng minh).
V
`
ı nh
˜
u
,
ng t
.
oa
¯
d
.
ô c
,
ua c
´
ac
¯
diê
,
m
¯
d
˜
a cho A, B, C , D, E l
`
a nh
˜
u
,
ng
´
nguyên, sau khi thêm v
`
ao c
´
ac t
.
oa
¯
d
.
ô n
`
ay nh
˜
u
,
ng
´
ch
˜
˘
an th
´
ıch h
.
o
,
p,
th
`
ı m
˜
ôi t
.
oa
¯
d
.
ô s
˜
e ch
,
ı nh
.
ân c
´
ac gi
´
a tr
.
i 0 v
`
a 1. Do
¯
d
´
o m
.
oi 5
¯
diê
,
m
¯
d
˜
a cho
t
.
ao nên b
,
o
,
i c
´
ac
¯
diê
,
m (0, 0), ( 0, 1), (1, 0), (1, 1). Áp d
.
ung nguyên l
´
y
Ðirichlê suy ra
´
ıt nhâ
´
t hai
¯
diê
,
m trong c
´
ac
¯
diê
,
m A, B, C, D, E biê
´
n
¯
,
i
th
`
anh c
`
ung m
.
ôt
¯
diê
,
m trong {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1 )}. Gi
,
a s
,
u
,
¯
d
´
o l
`
a
A, B. Ch
´
ung ta s
˜
e kh
,
˘
ang
¯
d
.
inh di
.
ên t
´
ıch c
´
ac tam gi
´
ac ABC, ABD v
`
a
ABE l
`
a nh
˜
u
,
ng
´
nguyên. Th
.
ât v
.
ây, c
´
ac tam gi
´
ac n
`
ay b
.
i biê
´
n th
`
anh
¯
do
.
an th
,
˘
ang (do A v
`
a B biê
´
n th
`
anh c
`
ung m
.
ôt
¯
diê
,
m) nên di
.
ên t
´
ıch
,
anh c
,
ua ch
´
ung b
`
˘
ang 0. V
.
ây tru
,
´
o
,
c khi biê
´
n
¯
,
i, di
.
ên t
´
ıch c
,
ua ch
´
ung
ph
,
ai l
`
a
´
nguyên.
J
.
.
. 4.7. Trong m
.
ôt m
.
˘at ph
,
˘ang cho m
.
ôt t
.
âp h
.
o
,
p A c
´
o n
¯
diê
,
m (n 2),
m
.
ôt
´
c
.
˘ap
¯
diê
,
m
¯
du
,
.
o
,
c
´
i v
´
o
,
i nhau b
`
˘ang
¯
do
.
an th
,
˘ang. Ch
´
u
,
ng minh
r
`
˘ang trong A c
´
o
´
ıt nhâ
´
t hai
¯
diê
,
m
¯
du
,
.
o
,
c
´
i v
´
o
,
i c
`
ung
´
lu
,
.
o
,
ng c
´
ac
¯
diê
,
m
kh
´
ac thu
.
ôc A.
L
`
o
,
i gi
,
ai. V
´
o
,
i m
.
oi
¯
diê
,
m
´
t k
`
y a thu
.
ôc A ch
´
ung ta k
´
y hi
.
êu S(a) l
`
a
´
lu
,
.
o
,
ng nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m c
,
ua A m
`
a a
´
i th
`
anh
¯
do
.
an th
,
˘
ang. B
`
ai to
´
an
muô
´
n kh
,
˘
ang
¯
d
.
inh r
`
˘
ang
`
n t
.
ai hai
¯
diê
,
m kh
´
ac nhau a
1
v
`
a a
2
c
,
ua A
38 Chu
,
o
,
ng 4. H
`
ınh h
.
oc
m
`
a S(a
1
) = S(a
2
). Ch
´
ung ta thâ
´
y ngay r
`
˘
ang 0 S(a) n 1 v
´
o
,
i
m
.
oi phâ
`
n t
,
u
,
a thu
.
ôc A. M
.
˘
at kh
´
ac, c
˜
ung không
`
n t
.
ai nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m
x
1
v
`
a x
2
thu
.
ôc A, m
`
a S (x
1
) = n 1 v
`
a S (x
2
) = 0. B
,
o
,
i v
`
ı
¯
diê
`
u n
`
ay
c
´
o ngh
˜
ıa l
`
a
¯
diê
,
m x
1
´
i v
´
o
,
i
´
t c
,
a c
´
ac
¯
diê
,
m c
`
on l
.
ai c
,
ua A, c
`
on x
2
không
´
i v
´
o
,
i
¯
diê
,
m n
`
ao c
,
ua A,
¯
d
˜
ân
¯
´
n l
´
y. C
´
ac
´
nguyên t
`
u
,
0
¯
´
n n 1 c
´
o
´
lu
,
.
o
,
ng l
`
a n. V
`
ı 0 v
`
a n 1 không
¯
`
ng th
`
o
,
i l
`
a gi
´
a tr
.
i
v
,
ua S nên S nh
.
ân nhiê
`
u nhâ
´
t l
`
a n 1 gi
´
a tr
.
i. B
`
ai to
´
an
¯
du
,
.
o
,
c gi
,
ai suy
ra t
`
u
,
nguyên l
´
y Ðirichlê.
J
.
.
. 4.8. Cho
¯
da gi
´
ac
¯
`
u 100 c
.
anh n
.
ôi tiê
´
p trong
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on k. M
˜
ôi
¯
d
,
ınh
¯
du
,
.
o
,
c g
´
an m
.
ôt trong c
´
ac
´
1, 2, . . . , 49. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang trên k
`
n t
.
ai hai cung AB v
`
a CD v
´
o
,
i c
´
ac t
´
ınh châ
´
t sau:
a) C
´
ac
¯
diê
,
m A, B, C v
`
a D l
`
a
¯
d
,
ınh c
,
ua
¯
da gi
´
ac
¯
`
u
¯
d
˜
a cho.
b) C
´
ac dây cung AB v
`
a CD song song v
´
o
,
i nhau
c)
´
u A, B, C v
`
a D c
´
o nh
˜
an tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng l
`
a c
´
ac
´
a, b, c, d th
`
ı a + b =
c + d.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Trong
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on k c
´
o
D
C
B
A
H
`
ınh 4.4:
¯
d
´
ung 50
¯
du
,
`
o
,
ng k
´
ınh kh
´
ac nhau m
`
a
¯
diê
,
m cuô
´
i c
,
ua
¯
du
,
`
o
,
ng k
´
ınh l
`
a m
.
ôt
¯
d
,
ınh c
,
ua
¯
da gi
´
ac
¯
`
u 100 c
.
anh
¯
d
˜
a
cho.
´
u PQ l
`
a m
.
ôt trong
´
¯
du
,
`
o
,
ng
k
´
ınh
¯
d
´
o v
`
a
¯
dir nh P
¯
du
,
.
o
,
c g
´
an nh
˜
an
p, c
`
on Q v
´
o
,
i nh
˜
an q th
`
ı
¯
du
,
`
o
,
ng
k
´
ınh PQ tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i
´
nguyên
|p q|. R
˜
o r
`
ang, 0 |p q| 48.
B
`
˘
ang c
´
ach n
`
ay m
˜
ôi
¯
du
,
`
o
,
ng k
´
ınh
¯
d
˜
a
x
´
et (tô
,
ng
´
c
´
o 50
´
t c
,
a)
¯
du
,
.
o
,
c cho
tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i m
.
ôt trong c
´
ac
´
0, 1, 2, . . . , 48. Suy ra c
´
o
´
ıt nhâ
´
t hai
4.1. V
´
ı d
.
u 39
¯
du
,
`
o
,
ng k
´
ınh
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
.
˘
at tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i c
`
ung m
.
ôt
´
.
Ta k
´
y hi
.
êu
¯
d
´
o l
`
a AB v
`
a CD , c
`
on c
´
ac
¯
d
,
ınh
¯
du
,
.
o
,
c g
´
an tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng
c
´
ac nh
˜
an a, b, c, d. Không
´
t t
´
ınh
,
ng qu
´
at ch
´
ung ta c
´
o thê
,
gi
,
a
thiê
´
t c a v
`
a b d. Khi
¯
d
´
o dây cung AC v
`
a BD c
´
o c
´
ac t
´
ınh châ
´
t
mong muô
´
n. Th
.
ât v
.
ây, v
´
o
,
i
¯
du
,
`
o
,
ng k
´
ınh AC ch
´
ung ta
¯
d
˜
a
¯
d
.
˘
at tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i a c, c
`
on BD
´
u
,
ng v
´
o
,
i d b v
`
a nh
˜
u
,
ng
´
n
`
ay b
`
˘
ang nhau,
ch
´
ung ta nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c a c = d b hay l
`
a a + b = c + d. Ngo
`
ai ra,
t
´
u
,
gi
´
ac ABCD l
`
a h
`
ınh vuông, nên AB song song v
´
o
,
i CD (th
.
âm ch
´
ı
AB = CD).
J
.
.
. 4.9.
´
t c
,
a c
´
ac
¯
diê
,
m trong m
.
ôt m
.
˘at ph
,
˘ang
¯
du
,
.
o
,
c bôi b
,
o
,
i n
`
u
kh
´
ac nhau. Cho tru
,
´
o
,
c 2
n
1
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on
¯
`
ng tâm kh
´
ac nhau
k
1
, k
2
, . . . , k
2
n
1
. Trong c
´
ac
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on d
.
u
,
ng b
´
an k
´
ınh tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng
OA
1
, OA
2
, . . . , OA
2
n
1
sao cho m
˜
ôi c
.
˘ap b
´
an k
´
ınh không c
´
o
¯
diê
,
m
chung n
`
ao kh
´
ac ngo
`
ai O. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
`
n t
.
ai m
.
ôt
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on
k
i
, i = 1, 2, . . . , 2
n
1 sao cho trên n
´
o v
`
a trên b
´
an k
´
ınh OA
i
c
,
ua n
´
o c
´
o
nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng X
i
v
`
a Y
i
, m
`
a ch
´
ung
¯
du
,
.
o
,
c bôi c
`
ung m
.
ôt
`
u v
`
a
Y
i
không tr
`
ung v
´
o
,
i O v
`
a A
i
.
L
`
o
,
i gi
,
ai. K
´
y hi
.
êu c
´
ac
`
u
¯
d
˜
a cho l
`
a c
1
, c
2
, . . . , c
n
. Ch
´
ung ta s
˜
e t
´
ınh
´
lu
,
.
o
,
ng c
´
ac
,
h
.
o
,
p kh
´
ac nhau c
,
ua c
´
ac
`
u m
`
a v
´
o
,
i ch
´
ung c
´
o thê
,
bôi
`
u c
´
ac
¯
diê
,
m trên m
.
ôt h
`
ınh ph
,
˘
ang. M
.
oi t
.
âp con kh
´
ac trô
´
ng
{i
1
, i
2
, . . . , i
k
}, 1 k n c
,
ua t
.
âp h
.
o
,
p N = {1, 2, . . . , n} tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng
v
´
o
,
i
,
h
.
o
,
p
`
u {c
i
1
, c
i
2
, . . . , c
i
k
}. R
˜
o r
`
ang nh
˜
u
,
ng t
.
âp con kh
´
ac trô
´
ng
kh
´
ac nhau c
,
ua N b
`
˘
ang c
´
ach n
`
ay tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i nh
˜
u
,
ng
,
h
.
o
,
p
`
u
kh
´
ac nhau. Ngo
`
ai ra, m
.
oi
,
h
.
o
,
p
`
u {c
i
1
, c
i
2
, . . . , c
i
k
} c
´
o thê
,
nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c nh
`
o
,
xây d
.
u
,
ng t
.
âp con kh
´
ac trô
´
ng {i
1
, i
2
, . . . , i
k
}. Suy ra,
,
h
.
o
,
p
nh
˜
u
,
ng
`
u c
1
, c
2
, . . . , c
n
m
`
a v
´
o
,
i ch
´
ung c
´
o thê
,
bôi c
´
ac
¯
diê
,
m m
.
ôt h
`
ınh
ph
,
˘
ang l
`
a tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng m
.
ôt - m
.
ôt v
´
o
,
i nh
˜
u
,
ng t
.
âp h
.
o
,
p con kh
´
ac trô
´
ng
40 Chu
,
o
,
ng 4. H
`
ınh h
.
oc
c
,
ua N = {1, 2, . . . , n}. Ngh
˜
ıa l
`
a
´
c
´
ac
,
h
.
o
,
p kh
´
ac nhau c
,
ua
`
u
b
`
˘
ang
´
c
´
ac t
.
âp h
.
o
,
p con kh
´
ac trô
´
ng c
,
ua N, c
´
o
´
t c
,
a 2
n
1 t
.
âp h
.
o
,
p
nhu
,
v
.
ây.
Tru
,
´
o
,
c tiên ch
´
ung ta gi
,
a thiê
´
t r
`
˘
ang
`
n t
.
ai
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on k
i
, i =
1, 2, . . . , 2
n
1 m
`
a muô
´
n bôi k
´
ın n
´
o ph
,
ai d
`
ung
´
t c
,
a c
´
ac
`
u
c
1
, c
2
, . . . , c
n
. Khi
¯
d
´
o ch
´
ung ta ch
.
on
¯
diê
,
m
´
t k
`
y Y
i
l
`
a
¯
diê
,
m trong
c
,
ua b
´
an k
´
ınh OA
i
. Gi
,
a s
,
u
,
Y
i
¯
du
,
.
o
,
c bôi b
`
˘
ang
`
u c
1
. Nhu
,
ng trên k
i
c
´
o
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt
¯
diê
,
m X
i
,
¯
du
,
.
o
,
c bôi c
`
ung
`
u nhu
,
v
.
ây, v
`
ı m
.
oi
`
u
¯
d
˜
a cho
¯
`
u b
´
˘
at g
.
˘
ap trên k
i
; v
.
ây b
`
ai to
´
an
¯
du
,
.
o
,
c gi
,
ai trong tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p gi
,
a thiê
´
t
n
`
ay. Ta x
´
et tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p c
`
on l
.
ai: Gi
,
a s
,
u
,
không c
´
o
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on n
`
ao m
`
a
nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m c
,
ua n
´
o
¯
du
,
.
o
,
c bôi
`
u v
´
o
,
i to
`
an b
.
ô
,
h
.
o
,
p c
1
, c
2
, . . . , c
n
.
Khi
¯
d
´
o c
´
o
´
t c
,
a 2
n
2 kh
,
a n
˘
ang
,
h
.
o
,
p
`
u, v
´
o
,
i n
´
o c
´
ac
¯
diê
,
m
¯
du
,
.
o
,
c
bôi cho c
´
ac
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on k
1
, k
2
, . . . , k
2
n
1
. B
,
o
,
i v
`
ı 2
n
1 > 2
n
2 nên
c
´
o hai
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on k
i
v
`
a k
j
, i < j trên n
´
o s
˜
e c
´
o c
`
ung m
.
ôt
,
h
.
o
,
p
`
u.
Gi
,
a s
,
u
,
k
i
c
´
o b
´
an k
´
ınh l
´
o
,
n ho
,
n k
j
. K
´
y hi
.
êu Y
i
l
`
a
¯
diê
,
m c
´
˘
at c
,
ua OA
i
v
`
a
k
j
. Trong tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p
¯
d
´
o Y
i
n
`
˘
am trên k
j
v
`
a v
`
ı nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m c
,
ua k
i
v
`
a
k
j
¯
du
,
.
o
,
c bôi v
´
o
,
i c
`
ung m
.
ôt
,
h
.
o
,
p
`
u, trên k
i
c
´
o
¯
diê
,
m X
i
¯
du
,
.
o
,
c bôi
c
`
ung
`
u v
´
o
,
i Y
i
.
J
.
.
. 4.10.
,
ng c
,
ua
¯
d
.
ô d
`
ai m
.
ôt
´
vecto
,
trong m
.
˘at ph
,
˘ang l
`
a 4. Ch
´
u
,
ng
minh r
`
˘ang t
`
u
,
nh
˜
u
,
ng vecto
,
n
`
ay c
´
o thê
,
ch
.
on m
.
ôt
´
vecto
,
m
`
a
,
ng
¯
d
.
ô
d
`
ai c
,
ua ch
´
ung l
´
o
,
n ho
,
n 1.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
ung ta
¯
du
,
a v
`
ao h
.
ê t
.
oa
¯
d
.
ô v
`
a x
´
et vecto
,
¯
d
.
ai di
.
ên nh
˜
u
,
ng
vecto
,
¯
d
˜
a cho t
.
ai
¯
diê
,
m
´
c. Ch
´
ung ta chiê
´
u nh
˜
u
,
ng vecto
,
n
`
ay xuô
´
ng
tr
.
uc t
.
oa
¯
d
.
ô Ox v
`
a Oy. V
`
ı m
˜
ôi vecto
,
c
´
o
¯
d
.
ô d
`
ai nh
,
o ho
,
n
,
ng c
,
ua c
´
ac
¯
d
.
ô d
`
ai h
`
ınh chiê
´
u c
,
ua n
´
o xuô
´
ng hai tr
.
uc;nên
,
ng
¯
d
.
ô d
`
ai c
,
ua
´
t c
,
a
h
`
ınh chiê
´
u c
,
ua c
´
ac vecto
,
l
´
o
,
n ho
,
n 4. Khi
¯
d
´
o trên
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt trong
4 n
,
u
,
a tr
.
uc c
,
ua h
.
ê t
.
oa
¯
d
.
ô
,
ng
¯
d
.
ô d
`
ai c
,
ua h
`
ınh chiê
´
u s
˜
e l
´
o
,
n ho
,
n 1,
4.2. B
`
ai t
.
âp 41
¯
diê
`
u
¯
d
´
o c
´
o ngh
˜
ıa l
`
a
,
ng c
,
ua
¯
d
.
ô d
`
ai c
,
ua nh
˜
u
,
ng vecto
,
tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng s
˜
e
l
´
o
,
n ho
,
n 1. (
¯
d
.
ô d
`
ai h
`
ınh chiê
´
u
¯
d
˜
a l
´
o
,
n ho
,
n th
`
ı
´
t nhiên
¯
d
.
ô d
`
ai vecto
,
c
˜
ung l
´
o
,
n ho
,
n.)
J
4.2. B
`
ai t
.
âp
.
.
. 4.11. Trong h
`
ınh vuông v
´
o
,
i c
.
anh 1
¯
do
,
n v
.
i cho 112
¯
diê
,
m. Ch
´
u
,
ng
minh r
`
˘
ang
´
ıt nhâ
´
t hai trong
´
¯
d
´
o c
´
o kho
,
ang c
´
ach nh
,
o ho
,
n
2
15
.
.
.
. 4.12. (Ðê
`
thi To
´
an Olympic quô
´
c
´
`
n th
´
u
,
25 n
˘
am 1984) Trong
m
.
˘
at ph
,
˘
ang cho hai
¯
diê
,
m kh
´
ac nhau O v
`
a A. V
´
o
,
i m
˜
ôi
¯
diê
,
m X thu
.
ôc
m
.
˘
at ph
,
˘
ang kh
´
ac O ch
´
ung ta k
´
y hi
.
êu a(X) l
`
a
¯
d
.
ô
¯
do b
`
˘
ang radian
c
,
ua g
´
oc AOX,
¯
do theo chiê
`
u ngu
,
.
o
,
c kim
¯
`
ng
`
t
`
u
,
OA
¯
´
n OX
(0 a(X) 2). C
`
on c(X) l
`
a
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on tâm O v
`
a b
´
an k
´
ınh c
´
o
¯
d
.
ô
d
`
ai OX +
a(X)
OX
. Cho tru
,
´
o
,
c b
.
ô h
˜
u
,
u h
.
an
`
u v
`
a m
˜
ôi
¯
diê
,
m trong m
.
˘
at
ph
,
˘
ang
¯
du
,
.
o
,
c bôi b
`
˘
ang 1 trong
´
¯
d
´
o. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang
`
n t
.
ai
¯
diê
,
m
X
1
v
´
o
,
i a(X
1
) > 0 v
`
a trên
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on c(X
1
) c
´
o
´
ıt nhâ
´
t 1
¯
diê
,
m
¯
du
,
.
o
,
c
bôi c
`
ung
`
u v
´
o
,
i X
1
.
.
.
. 4.13. Trong m
.
˘
at ph
,
˘
ang cho n
¯
diê
,
m, n 7, sao cho kho
,
ang c
´
ach
m
˜
ôi c
.
˘
ap
¯
diê
,
m gi
˜
u
,
a ch
´
ung l
`
a kh
´
ac nhau. M
˜
ôi m
.
ôt
¯
diê
,
m
¯
du
,
.
o
,
c
´
i v
´
o
,
i
¯
diê
,
m
`
n n
´
o nhâ
´
t. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang không c
´
o
¯
diê
,
m n
`
ao
¯
du
,
.
o
,
c
´
i
v
´
o
,
i nhiê
`
u ho
,
n 5
¯
diê
,
m kh
´
ac.
.
.
. 4.14. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang trong m
.
ôt h
`
ınh tr
`
on b
´
an k
´
ınh 1, không
thê
,
ch
.
on
¯
du
,
.
o
,
c qu
´
a n
˘
am
¯
diê
,
m m
`
a kho
,
ang c
´
ach gi
˜
u
,
a hai
¯
diê
,
m m
.
ôt
l
´
o
,
n ho
,
n 1.
.
.
. 4.15. Ngu
,
`
o
,
i ta qu
˘
ang 120 h
`
ınh vuông c
´
o k
´
ıch thu
,
´
o
,
c 1 ×1 v
`
ao m
.
ôt
h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât k
´
ıch thu
,
´
o
,
c20 ×25. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang v
´
o
,
i m
.
oi c
´
ach s
´
˘
ap
42 Chu
,
o
,
ng 4. H
`
ınh h
.
oc
´
p c
´
ac h
`
ınh vuông th
`
ı
,
o
,
trong h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât v
˜
ân c
`
on ch
˜
ô trô
´
ng
¯
,
¯
d
.
˘
at m
.
ôt h
`
ınh tr
`
on
¯
du
,
`
o
,
ng k
´
ınh 1.
CHU
,
O
,
NG 5
M
,
O
,
R
.
ÔNG NGUYÊN L
´
Y ÐIRICHLÊ
5.1. Nguyên l
´
y Ðirichlê m
,
o
,
r
.
ông
Cho A l
`
a t
.
âp h
˜
u
,
u h
.
an nh
˜
u
,
ng phâ
`
n t
,
u
,
, k
´
y hi
.
êu s(A) l
`
a
´
lu
,
.
o
,
ng
c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
thu
.
ôc A. Nguyên l
´
y Ðirichlê c
´
o thê
,
m
,
o
,
r
.
ông nhu
,
sau:
´
u A v
`
a B l
`
a nh
˜
u
,
ng t
.
âp h
.
o
,
p h
˜
u
,
u h
.
an v
`
a s(A) > k.s(B),
,
o
,
¯
dây k l
`
a m
.
ôt
´
t
.
u
,
nhiên n
`
ao
¯
d
´
o v
`
a
´
u m
˜
ôi phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua A cho
tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i m
.
ôt phâ
`
n t
,
u
,
n
`
ao
¯
d
´
o c
,
ua B, th
`
ı
`
n t
.
ai
´
ıt nhâ
´
t k + 1
phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua A m
`
a ch
´
ung tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i c
`
ung m
.
ôt phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua
B
Th
.
ât v
.
ây, tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p k = 1 l
`
a nguyên l
´
y Ðirichlê m
`
a ta
¯
d
˜
a x
´
et
trong c
´
ac b
`
ai t
.
âp t
`
u
,
¯
`
u t
´
o
,
i gi
`
o
,
. Ðê
,
ch
´
u
,
ng minh m
.
ênh
¯
`
trên ch
´
ung
ta gi
,
a s
,
u
,
m
˜
ôi phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua B ch
,
ı tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i nhiê
`
u nhâ
´
t k phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua A. Khi
¯
d
´
o s(A) k.s(B) tr
´
ai v
´
o
,
i gi
,
a thiê
´
t s(A) > k.s(B).
Ch
´
u
´
y. Ngay t
`
u
,
nh
˜
u
,
ng chu
,
o
,
ng
¯
`
u nguyên l
´
y n
`
ay
¯
d
˜
a
¯
du
,
.
o
,
c s
,
u
,
d
.
ung v
´
o
,
i c
´
ach ch
´
u
,
ng minh tu
,
o
,
ng t
.
u
,
nhu
,
trên. Ðê
,
tiê
´
p t
.
uc hiê
,
u sâu
thêm nguyên l
´
y
,
o
,
d
.
ang m
´
o
,
i ch
´
ung ta x
´
et m
.
ôt lo
.
at b
`
ai to
´
an
¯
diê
,
n
h
`
ınh.
44 Chu
,
o
,
ng 5. M
,
o
,
r
.
ông nguyên l
´
y Ðirichlê
5.2. V
´
ı d
.
u
.
.
. 5.1. Trong m
.
ôt h
`
ınh vuông c
´
o c
.
anh b
`
˘ang 1 ta ch
.
on
´
t k
`
y 51
¯
diê
,
m.
Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
´
ıt nhâ
´
t c
´
o ba
¯
diê
,
m trong
´
¯
d
´
o n
`
˘am trong m
.
ôt h
`
ınh
vuông c
´
o c
.
anh 0,2.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
ung ta chia h
`
ınh vuông th
`
anh 25 h
`
ınh vuông con c
´
o
c
.
anh 0,2 b
`
˘
ang c
´
ac
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang song song v
´
o
,
i c
´
ac c
.
anh c
,
ua h
`
ınh
vuông.Nê
´
u gi
,
a su
,
r
`
˘
ang m
˜
ôi h
`
ınh vuông v
`
u
,
a nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c ch
´
u
,
a không
qu
´
a 2
¯
diê
,
m th
`
ı
´
t c
,
a c
´
ac
¯
diê
,
m trong h
`
ınh vuông l
´
o
,
n s
˜
e c
´
o
´
¯
diê
,
m
nhiê
`
u nhâ
´
t l
`
a 2 ×25 = 50 d
˜
ân
¯
´
n l
´
y.
J
.
.
. 5.2.
´
t c
,
a 9 c
.
anh v
`
a 27
¯
du
,
`
o
,
ng ch
´
eo c
,
ua m
.
ôt h
`
ınh ch
´
op
¯
d
´
ay
¯
da gi
´
ac
9
¯
d
,
ınh
¯
du
,
.
o
,
c bôi so
,
n: m
.
ôt
´
bôi so
,
n
¯
d
,
o, c
`
on l
.
ai bôi so
,
n xanh. Ch
´
u
,
ng
minh r
`
˘ang
`
n t
.
ai ba
¯
d
,
ınh c
,
ua h
`
ınh ch
´
op, m
`
a ch
´
ung l
`
a nh
˜
u
,
ng
¯
d
,
ınh
c
,
ua m
.
ôt h
`
ınh tam gi
´
ac v
´
o
,
i c
´
ac c
.
anh
¯
du
,
.
o
,
c so
,
n c
`
ung m
.
ôt
`
u.
L
`
o
,
i gi
,
ai. 9 c
.
anh bên c
,
ua h
`
ınh ch
´
op
¯
du
,
.
o
,
c so
,
n b
`
˘
ang hai
`
u. V
`
ı 9 >
4.2, t
`
u
,
nguyên l
´
y m
,
o
,
r
.
ông trên suy ra
´
ıt nhâ
´
t c
´
o 5 c
.
anh bên
¯
du
,
.
o
,
c bôi
c
`
ung m
.
ôt
`
u. Gi
,
a s
,
u
,
¯
d
´
o l
`
a SA
1
, SA
2
, SA
3
, SA
4
, SA
5
¯
du
,
.
o
,
c bôi c
`
ung
`
u
¯
d
,
o,
,
o
,
¯
dây S l
`
a
¯
d
,
ınh h
`
ınh ch
´
op. Không
,
anh hu
,
,
o
,
ng t
´
o
,
i
´
t lu
.
ân
b
`
ai to
´
an ch
´
ung ta gi
,
a s
,
u
,
c
´
ac
¯
diê
,
m A
1
, A
2
, A
3
, A
4
, A
5
¯
du
,
.
o
,
c s
´
˘
ap
´
p
theo chiê
`
u ngu
,
.
o
,
c kim
¯
`
ng
`
. Ít nhâ
´
t m
.
ôt trong c
´
ac c
.
anh c
,
ua ng
˜
u
gi
´
ac l
`
a
¯
du
,
`
o
,
ng ch
´
eo c
,
ua
¯
da gi
´
ac
¯
d
´
ay; gi
,
a s
,
u
,
¯
d
´
o l
`
a A
1
A
2
. Ch
´
ung ta
x
´
et tam gi
´
ac A
1
A
2
A
4
. Nh
˜
u
,
ng c
.
anh c
,
ua n
´
o l
`
a c
´
ac
¯
du
,
`
o
,
ng ch
´
eo c
,
ua
¯
da
gi
´
ac
¯
d
´
ay (do c
´
ach
´
p trên) v
`
a suy ra ch
´
ung
¯
du
,
.
o
,
c bôi so
,
n.Nê
´
u
´
t c
,
a
c
´
ac c
.
anh A
1
A
2
, A
2
A
4
, A
4
A
1
l
`
a
`
u xanh th
`
ı b
`
ai to
´
an
¯
d
˜
a gi
,
ai xong.
Tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p ngu
,
.
o
,
c l
.
ai m
.
ôt trong c
´
ac c
.
anh A
1
A
2
, A
2
A
4
, A
4
A
1
l
`
a
`
u
¯
d
,
o, gi
,
a s
,
u
,
¯
d
´
o l
`
a A
1
A
2
. Khi
¯
d
´
o c
´
ac c
.
anh c
,
ua tam gi
´
ac SA
1
A
2
l
`
a
`
u
¯
d
,
o.
J
5.2. V
´
ı d
.
u 45
.
.
. 5.3. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang trong m
.
oi
¯
da gi
´
ac
`
i v
´
o
,
i
´
c
.
anh ch
˜
˘an
`
n
t
.
ai
¯
du
,
`
o
,
ng ch
´
eo không song song v
´
o
,
i m
.
ôt c
.
anh n
`
ao c
,
ua
¯
da gi
´
ac.
L
`
o
,
i gi
,
ai. B
`
˘
ang qui n
.
ap ta c
´
o thê
,
d
˜
ê
d
1
d
2
d
k1
a
H
`
ınh 5.1:
ch
´
u
,
ng minh
¯
du
,
.
o
,
c m
.
oi
¯
da gi
´
ac v
´
o
,
i n
c
.
anh c
´
o
n(n 3)
2
¯
du
,
`
o
,
ng ch
´
eo.
Bây gi
`
o
,
ch
´
ung ta x
´
et
¯
da gi
´
ac
`
i
´
t
k
`
y P c
´
o 2k c
.
anh v
´
o
,
i k( 2) l
`
a m
.
ôt
´
nguyên.
Gi
,
a s
,
u
,
m
˜
ôi
¯
du
,
`
o
,
ng ch
´
eo c
,
ua P song song v
´
o
,
i m
.
ôt c
.
anh n
`
ao
¯
d
´
o
c
,
ua P. Khi
¯
d
´
o m
˜
ôi
¯
du
,
`
o
,
ng ch
´
eo d c
´
o thê
,
cho tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i c
.
anh song
song v
´
o
,
i d. K
´
y hi
.
êu s l
`
a
´
c
´
ac
¯
du
,
`
o
,
ng ch
´
eo ch
´
ung ta c
´
o
s =
2k(2k 3)
2
= k(2k 3)
= 2k(k 2) + k > (k 2).2k.
Nhu
,
v
.
ây theo nguyên l
´
y Ðirichlê m
,
o
,
r
.
ông suy ra
`
n t
.
ai k 1
¯
du
,
`
o
,
ng ch
´
eo d
1
, d
2
, . . . , d
k1
c
,
ua
¯
da gi
´
ac P m
`
a ch
´
ung tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i
c
`
ung m
.
ôt c
.
anh a c
,
ua
¯
da gi
´
ac, ngh
˜
ıa l
`
a a, d
1
, d
2
, . . . , d
k1
song song
v
´
o
,
i nhau. Suy ra c
´
ac
¯
du
,
`
o
,
ng ch
´
eo d
1
, d
2
, . . . , d
k1
c
`
ung n
`
˘
am trong
m
.
ôt n
,
u
,
a m
.
˘
at ph
,
˘
ang x
´
ac
¯
d
.
inh b
,
o
,
i c
.
anh a v
`
ı P l
`
a
¯
da gi
´
ac
`
i (h
`
ınh v
˜
e).
Ngo
`
ai ra d
1
, d
2
, . . . , d
k1
v
`
a a l
`
a nh
˜
u
,
ng
¯
do
.
an th
,
˘
ang kh
´
ac nhau v
`
a b
,
o
,
i
v
`
ı
´
lu
,
.
o
,
ng c
,
ua ch
´
ung l
`
a k, m
˜
ôi
¯
d
,
ınh c
,
ua
¯
da gi
´
ac P l
`
a
¯
diê
,
m
¯
`
u c
,
ua
m
.
ôt
¯
do
.
an n
`
ao
¯
d
´
o trong ch
´
ung. Không
,
anh hu
,
,
o
,
ng
¯
´
n
´
t qu
,
a ch
´
u
,
ng
minh ta gi
,
a thiê
´
t d
1
l
`
a
¯
do
.
an xa nhâ
´
t
¯
´
i v
´
o
,
i a trong c
´
ac
¯
du
,
`
o
,
ng ch
´
eo
d
1
, d
2
, . . . , d
k1
. Khi
¯
d
´
o t
`
u
,
l
´
y lu
.
ân trên suy ra r
`
˘
ang
¯
da gi
´
ac P n
`
˘
am
to
`
an b
.
ô trong m
.
ôt n
,
u
,
a m
.
˘
at ph
,
˘
ang x
´
ac
¯
d
.
inh b
,
o
,
i d
1
. Ðiê
`
u n
`
ay tr
´
ai v
´
o
,
i
t
´
ınh
`
i c
,
ua
¯
da gi
´
ac P.
J
.
.
. 5.4. Trong m
.
˘at ph
,
˘ang cho 6
¯
diê
,
m. M
˜
ôi
¯
do
.
an th
,
˘ang
´
i t
`
u
,
ng c
.
˘ap
46 Chu
,
o
,
ng 5. M
,
o
,
r
.
ông nguyên l
´
y Ðirichlê
¯
diê
,
m
¯
du
,
.
o
,
c bôi
`
u
¯
d
,
o ho
.
˘ac xanh. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang ba
¯
diê
,
m trong
´
c
´
ac
¯
diê
,
m l
`
a
¯
d
,
ınh c
,
ua m
.
ôt tam gi
´
ac, m
`
a c
´
ac c
.
anh c
,
ua n
´
o
¯
du
,
.
o
,
c bôi c
`
ung
m
.
ôt
`
u.
L
`
o
,
i gi
,
ai. K
´
y hi
.
êu A l
`
a m
.
ôt trong c
´
ac
¯
diê
,
m
¯
d
˜
a cho v
`
a x
´
et n
˘
am
¯
do
.
an
th
,
˘
ang, c
´
o
¯
d
,
ınh chung l
`
a A. Nh
˜
u
,
ng
¯
do
.
an th
,
˘
ang n
`
ay
¯
du
,
.
o
,
c so
,
n hai
`
u v
`
a v
`
ı 5=2.2+1, suy ra t
`
u
,
nguyên l
´
y Ðirichlê m
,
o
,
r
.
ông ch
´
ung
ta c
´
o
´
ıt nhâ
´
t ba
¯
do
.
an c
`
ung
`
u. Gi
,
a s
,
u
,
¯
d
´
o l
`
a AB
1
, AB
2
, AB
3
`
u
xanh.
´
u m
.
ôt v
`
ai
¯
do
.
an th
,
˘
ang B
1
B
2
, B
2
B
3
, B
3
B
1
l
`
a xanh th
`
ı
`
n t
.
ai
m
.
ôt tam gi
´
ac v
´
o
,
i ba c
.
anh xanh v
`
a c
´
o
¯
d
,
ınh l
`
a A.
´
u ba
¯
do
.
an th
,
˘
ang
B
1
B
2
, B
2
B
3
, B
3
B
1
l
`
a
¯
d
,
o, th
`
ı m
.
ôt tam gi
´
ac th
,
oa m
˜
an
¯
`
to
´
an
¯
d
˜
a ra l
`
a
B
1
B
2
B
3
(c
´
ac c
.
anh
¯
`
u
`
u
¯
d
,
o).
J
.
.
. 5.5. Cho d
˜
ay h
.
an c
´
ac
´
t
.
u
,
nhiên u
1
, u
2
, . . . , u
n
, . . .
¯
du
,
.
o
,
c x
´
ac
¯
d
.
inh
theo công th
´
u
,
c sau u
1
= 3, u
n+1
= (n + 1)u
n
n + 1, n = 1, 2, . . ..
Cho n
´
t
.
u
,
nhiên
´
t k
`
y v
`
a t
.
âp h
.
o
,
p M
`
m u
n
¯
diê
,
m sao cho không
c
´
o ba
¯
diê
,
m n
`
ao th
,
˘ang h
`
ang. M
˜
ôi
¯
do
.
an th
,
˘ang
´
i hai
¯
diê
,
m kh
´
ac nhau
trong M
¯
du
,
.
o
,
c bôi so
,
n b
`
˘ang m
.
ôt trong n
`
u
¯
d
˜
a cho. Khi
¯
d
´
o
`
n t
.
ai 3
¯
diê
,
m trong M l
`
a
¯
d
,
ınh c
,
ua m
.
ôt tam gi
´
ac
¯
`
ng
`
u.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
u
,
ng minh b
`
˘
ang qui n
.
ap theo n. V
´
o
,
i n = 1 ch
´
ung ta c
´
o
u
1
= 3 v
`
a
´
t lu
.
ân l
`
a hiê
,
n nhiên. V
´
o
,
i n = 2 t
`
u
,
công th
´
u
,
c t
´
ınh
¯
du
,
.
o
,
c
u
2
= 6,
¯
dây l
`
a tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p ta
¯
d
˜
a ch
´
u
,
ng minh
,
o
,
b
`
ai trên. Gi
,
a s
,
u
,
b
`
ai
to
´
an v
´
o
,
i u
n
¯
diê
,
m v
`
a c
´
ac
¯
do
.
an th
,
˘
ang
´
i
¯
du
,
.
o
,
c bôi b
,
o
,
i n
`
u, c
´
o m
.
ôt
tam gi
´
ac v
´
o
,
i c
´
ac c
.
anh c
`
ung
`
u. Bây gi
`
o
,
ta x
´
et u
n+1
¯
diê
,
m
´
t k
`
y, m
`
a
¯
du
,
`
o
,
ng
´
i gi
˜
u
,
a ch
´
ung
¯
du
,
.
o
,
c bôi b
`
˘
ang n + 1
`
u: c
1
, c
2
, . . . , c
n+1
.
´
y
A l
`
a m
.
ôt trong c
´
ac
¯
diê
,
m trên. Ðiê
,
m n
`
ay c
´
o thê
,
´
i v
´
o
,
i c
´
ac
¯
diê
,
m c
`
on
l
.
ai
¯
du
,
.
o
,
c u
n+1
1
¯
do
.
an th
,
˘
ang bôi
`
u. M
.
˘
at kh
´
ac do công th
´
u
,
c
`
i
qui u
n+1
1 = (n + 1)(u
n
1) + 1, nhu
,
v
.
ây theo nguyên l
´
y Ðirichlê
m
,
o
,
r
.
ông
´
ıt nhâ
´
t u
n
¯
do
.
an th
,
˘
ang c
´
o chung
¯
d
,
ınh A
¯
du
,
.
o
,
c bôi c
`
ung
`
u.
5.2. V
´
ı d
.
u 47
Gi
,
a s
,
u
,
AB
1
, AB
2
, . . . , AB
u
n
¯
du
,
.
o
,
c bôi c
`
ung
`
u, ch
,
˘
ang h
.
an
`
u c
1
.
Nh
˜
u
,
ng kh
,
a n
˘
ang c
´
o thê
,
,
y ra nhu
,
sau:
a)
´
u m
.
ôt trong c
´
ac
¯
do
.
an th
,
˘
ang
´
i gi
˜
u
,
a c
´
ac
¯
diê
,
m B
1
, B
2
, . . .
, B
u
n
theo t
`
u
,
ng c
.
˘
ap
¯
du
,
.
o
,
c bôi b
`
˘
ang
`
u c
1
th
`
ı
`
n t
.
ai tam gi
´
ac
¯
`
ng
`
u c
´
o
¯
d
,
ınh A. C
´
ac c
.
anh c
,
ua tam gi
´
ac n
`
ay so
,
n
`
u c
1
.
b) Không c
´
o m
.
ôt
¯
do
.
an n
`
ao trong c
´
ac
¯
do
.
an th
,
˘
ang
´
i gi
˜
u
,
a c
´
ac
¯
diê
,
m B
1
, B
2
, . . . , B
u
n
¯
du
,
.
o
,
c so
,
n
`
u c
1
. Khi
¯
d
´
o
´
ap d
.
ung qui n
.
ap to
´
an
h
.
oc cho nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m B
1
, B
2
, . . . , B
u
n
. Ðiê
`
u n
`
ay c
´
o thê
,
¯
du
,
.
o
,
c v
`
ı
´
t c
,
a
c
´
ac
¯
do
.
an th
,
˘
ang
¯
d
˜
a
´
i
¯
du
,
.
o
,
c bôi so
,
n n
`
u c
2
, c
3
, . . . c
n+1
. Trong
tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p n
`
ay ta c
˜
ung d
˜
ân
¯
´
n
´
t lu
.
ân
`
n t
.
ai m
.
ôt tam gi
´
ac
¯
`
ng
`
u.
J
.
.
. 5.6. Cho
´
h
.
ang c
,
ua d
˜
ay u
n
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
.
inh ngh
˜
ıa nhu
,
b
`
ai tru
,
´
o
,
c. T
.
âp
h
.
o
,
p nh
˜
u
,
ng
´
t
.
u
,
nhiên t
`
u
,
1
¯
´
n u
n
1
¯
du
,
.
o
,
c phân chia b
`
˘ang phu
,
o
,
ng
ph
´
ap
´
t k
`
y v
`
ao n t
.
âp h
.
o
,
p con, m
`
a t
`
u
,
ng
¯
dôi m
.
ôt không c
´
o phâ
`
n t
,
u
,
chung. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
`
n t
.
ai hai
´
c
,
ua c
`
ung m
.
ôt t
.
âp h
.
o
,
p con, m
`
a
,
ng c
,
ua ch
´
ung c
˜
ung n
`
˘am trong t
.
âp h
.
o
,
p con n
`
ay ; ho
.
˘ac l
`
a
`
n t
.
ai m
.
ôt
´
trong m
.
ôt t
.
âp h
.
o
,
p con n
`
ao
¯
d
´
o, m
`
a sau khi nhân
¯
dôi v
˜
ân thu
.
ôc t
.
âp
h
.
o
,
p con n
`
ay.
L
`
o
,
i gi
,
ai. K
´
y hi
.
êu nh
˜
u
,
ng t
.
âp h
.
o
,
p con
¯
d
˜
a cho l
`
a l
`
a A
1
, A
2
, . . . , A
n
.
Ch
´
ung ta x
´
et t
.
âp h
.
o
,
p
´
t k
`
y M
`
m u
n
¯
diê
,
m, m
`
a ch
´
ung
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
´
anh
´
b
`
˘
ang phu
,
o
,
ng ph
´
ap n
`
ao
¯
d
´
o trong c
´
ac
´
0, 1, 2, . . . , u
n
1. Ch
´
ung
ta bôi
`
u nh
˜
u
,
ng
¯
do
.
an th
,
˘
ang
´
i c
´
ac
¯
diê
,
m trong M b
`
˘
ang n
`
u
c
1
, c
2
, . . . , c
n
theo c
´
ach sau: Ðo
.
an th
,
˘
ang
´
i c
´
ac
¯
diê
,
m th
´
u
,
i v
`
a j, v
´
o
,
i
i > j
¯
du
,
.
o
,
c so
,
n b
`
˘
ang
`
u c
k
khi v
`
a ch
,
ı khi hi
.
êu i j thu
.
ôc t
.
âp h
.
o
,
p
A
k
. Theo b
`
ai to
´
an tru
,
´
o
,
c 5.5 ba
¯
diê
,
m n
`
ao
¯
d
´
o c
,
ua M l
`
a
¯
d
,
ınh c
,
ua m
.
ôt
tam gi
´
ac c
`
ung
`
u. Gi
,
a s
,
u
,
c
´
ac
¯
diê
,
m n
`
ay l
`
a i, j , k v
`
a i > j > k. Khi
¯
d
´
o c
´
ac
´
i j, j k v
`
a i k = (i j) + (j k) n
`
˘
am trong c
`
ung m
.
ôt
48 Chu
,
o
,
ng 5. M
,
o
,
r
.
ông nguyên l
´
y Ðirichlê
t
.
âp h
.
o
,
p A
s
v
`
a ch
´
ung c
´
o c
´
ac t
´
ınh châ
´
t ta
`
n t
`
ım.
J
.
.
. 5.7. Trong m
.
˘at ph
,
˘ang
´
¯
d
.
inh h
.
ê t
.
oa
¯
d
.
ô O xy. Ch
´
ung ta x
´
et t
.
âp h
.
o
,
p
R
`
m nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m v
´
o
,
i t
.
oa
¯
d
.
ô (x, y),
,
o
,
¯
dây x, y l
`
a nh
˜
u
,
ng
´
nguyên
v
`
a 1 x 12, 1 y 10. M
˜
ôi
¯
diê
,
m n
`
ay
¯
du
,
.
o
,
c so
,
n b
`
˘ang m
.
ôt
`
u
tr
´
˘ang, xanh ho
.
˘ac
¯
d
,
o. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
`
n t
.
ai h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât c
´
o c
´
ac
c
.
anh song song v
´
o
,
i c
´
ac tr
.
uc t
.
oa
¯
d
.
ô, m
`
a
¯
d
,
ınh c
,
ua n
´
o l
`
a nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m c
,
ua
R
¯
du
,
.
o
,
c so
,
n c
`
ung m
.
ôt
`
u.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Trong ch
´
u
,
ng minh ta d
`
ung hai kh
,
˘
ang
¯
d
.
inh sau:
a)
´
u X l
`
a t
.
âp h
˜
u
,
u h
.
an v
´
o
,
i n phâ
`
n t
,
u
,
, th
`
ı
´
lu
,
.
o
,
ng t
.
âp h
.
o
,
p con
c
,
ua X
`
m c
´
ac c
.
˘
ap phâ
`
n t
,
u
,
{x, y}, v
´
o
,
i x X , y X l
`
a
n(n 1)
2
.
b) M
.
oi
´
du
,
o
,
ng
´
t k
`
y x
1
, x
2
, . . . , x
n
¯
`
u th
,
oa m
˜
an
´
t
¯
d
,
˘
ang
th
´
u
,
c
x
2
1
+ x
2
2
+ ··· + x
2
n
2
(
x
1
+ x
2
+ ··· + x
n
2
)
2
´
u b
`
˘
ang ch
,
ı
,
y ra khi x
1
= x
2
= . . . = x
n
.
Tr
,
o
,
l
.
ai b
`
ai to
´
an
¯
dang x
´
et, v
`
ı
,
ng
´
c
´
ac
¯
diê
,
m ta x
´
et l
`
a 120, nên
´
ıt nhâ
´
t c
´
o 40
¯
diê
,
m
¯
du
,
.
o
,
c bôi c
`
ung
`
u, gi
,
a s
,
u
,
l
`
a
`
u
¯
d
,
o. V
´
o
,
i m
˜
ôi
i = 1, 2, . . . , 12 ch
´
ung ta k
´
y hi
.
êu l
i
l
`
a
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang
¯
di qua
¯
diê
,
m (i , 0)
v
`
a song song v
´
o
,
i tr
.
uc Oy.
´
u trên l
i
c
´
o n
i
¯
diê
,
m
¯
d
,
o, i = 1, 2, . . . , 12,
n
1
+ n
2
+ ··· + n
12
40. Ngo
`
ai ra t
`
u
,
n
i
¯
diê
,
m c
´
o thê
,
t
.
ao ra c
´
ac c
.
˘
ap
¯
dôi
¯
du
,
.
o
,
c s
´
˘
ap c
´
o
´
lu
,
.
o
,
ng
n
i
( n
i
1)
2
. Ngh
˜
ıa l
`
a v
´
o
,
i m
˜
ôi i = 1, 2, . . . , 12
`
n t
.
ai
¯
d
´
ung
n
i
( n
i
1)
2
c
.
˘
ap
´
nguyên {j
1
, j
2
} th
,
oa m
˜
an 1 j
1
10, 1 j
2
10 v
`
a c
´
ac
¯
diê
,
m {i, j
1
} v
`
a {i, j
2
} l
`
a
¯
d
,
o. M
.
˘
at kh
´
ac
´
lu
,
.
o
,
ng
c
,
ua
´
t c
,
a c
.
˘
ap nh
˜
u
,
ng
´
nguyên {j
1
, j
2
} v
´
o
,
i 1 j
1
10, 1 j
2
10
5.2. V
´
ı d
.
u 49
b
`
˘
ang
10( 10 1)
2
= 45. Ch
´
ung ta ph
,
ai ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang
,
ng c
´
ac
´
n
1
( n
1
1)
2
,
n
2
( n
2
1)
2
, . . . ,
n
12
( n
12
1)
2
l
´
o
,
n ho
,
n 45. T
`
u
,
¯
d
´
o suy ra
`
n t
.
ai nh
˜
u
,
ng ch
,
ı
´
kh
´
ac nhau i
1
v
`
a i
2
v
´
o
,
i
1 i
1
< i
2
12 v
`
a c
.
˘
ap
´
nguyên {j
1
, j
2
} v
´
o
,
i 1 j
1
10, 1 j
2
10 sao cho 4
¯
diê
,
m {i
1
, j
1
}, {i
1
, j
2
}, {i
2
, j
1
}, {i
2
, j
2
} l
`
a
¯
d
,
o. B
,
o
,
i nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m n
`
ay l
`
a
¯
d
,
ınh c
,
ua h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât v
´
o
,
i c
´
ac c
.
anh song song v
´
o
,
i tr
.
uc
t
.
oa
¯
d
.
ô, nhu
,
v
.
ây b
`
ai to
´
an
¯
du
,
.
o
,
c ch
´
u
,
ng minh.
Nhu
,
v
.
ây, ta ch
,
ı c
`
on ph
,
ai ch
´
u
,
ng minh
S =
n
1
( n
1
1)
2
+
n
2
( n
2
1)
2
+ ··· +
n
12
( n
12
1)
2
> 45
S
,
u
,
d
.
ung
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c b)
S =
1
2
((n
1
1
2
)
2
1
4
) +
1
2
((n
2
1
2
)
2
1
4
) + ··· +
1
2
((n
12
1
2
)
2
1
4
)
=
1
2
((n
1
1
2
)
2
+ ( n
2
1
2
)
2
+ ··· + (n
12
1
2
)
2
) 12
1
8
1
2
.12(
( n
1
1
2
) + (n
2
1
2
) + ··· + (n
12
1
2
)
12
)
2
3
2
=
1
24
((n
1
+ n
2
+ ··· + n
12
) 12
1
2
)
2
3
2
1
24
(40 6)
2
3
2
=
34
2
24
3
2
> 45
v
`
ı n
1
+ n
2
+ ··· + n
12
40.
J
.
.
. 5.8. (B
`
ai thi Olympic to
´
an quô
´
c
´
`
n th
´
u
,
20, 1978) M
.
ôt h
.
ôi to
´
an
h
.
oc bao
`
m c
´
ac th
`
anh viên
,
o
,
6 nu
,
´
o
,
c. Danh s
´
ach c
´
ac h
.
ôi viên
`
m
1978 ngu
,
`
o
,
i
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
´
anh
´
b
´
ao danh t
`
u
,
1
¯
´
n 1978. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
`
n t
.
ai
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt h
.
ôi viên c
´
o
´
b
´
ao danh
´
p
¯
dôi
´
b
´
ao danh c
,
ua
50 Chu
,
o
,
ng 5. M
,
o
,
r
.
ông nguyên l
´
y Ðirichlê
m
.
ôt h
.
ôi viên kh
´
ac c
`
ung nu
,
´
o
,
c, ho
.
˘ac b
`
˘ang
,
ng hai
´
b
´
ao danh c
,
ua hai
h
.
ôi viên c
`
ung m
.
ôt nu
,
´
o
,
c v
´
o
,
i m
`
ınh.
L
`
o
,
i gi
,
ai. T
`
u
,
329.6 < 1978 suy ra m
.
ôt trong c
´
ac nu
,
´
o
,
c (k
´
y hi
.
êu l
`
a
A) c
´
o không
´
ıt ho
,
n 330
¯
d
.
ai biê
,
u trong h
.
ôi v
`
a ch
´
ung ta c
´
o thê
,
viê
´
t
´
b
´
ao danh a
1
< a
2
< . . . < a
330
< . . . Ch
´
ung ta x
´
et nh
˜
u
,
ng hi
.
êu
x
i
= a
330
a
i
, i = 1, 2, . . . 329.
´
u c
´
o m
.
ôt
´
x
i
n
`
ao
¯
d
´
o tr
`
ung v
´
o
,
i a
j
(sô
´
b
´
ao danh c
,
ua m
.
ôt
¯
daj i biê
,
u c
,
ua A) th
`
ı ch
´
ung ta c
´
o a
330
= a
i
+ a
j
,
b
`
ai to
´
an
¯
d
˜
a ch
´
u
,
ng minh xong.
´
u x
i
6= a
j
v
´
o
,
i m
.
oi i, j, th
`
ı
´
x
i
l
`
a
´
b
´
ao danh c
,
ua m
.
ôt
´
¯
d
.
a i biê
,
u thu
.
ôc 5 nu
,
´
o
,
c c
`
on l
.
ai. Bây gi
`
o
,
,
v
`
ı 65.5 < 329 , th
`
ı
´
ıt nhâ
´
t c
´
o m
.
ôt trong n
˘
am nu
,
´
o
,
c n
`
ay (k
´
y hi
.
êu l
`
a
B) s
˜
e c
´
o không
´
ıt ho
,
n 66 th
`
anh viên, m
`
a
´
b
´
ao danh c
,
ua h
.
o l
`
a
m
.
ôt trong c
´
ac
´
x
1
, x
2
, . . . , x
329
. Cho c
´
ac
´
¯
d
´
o l
`
a b
1
< b
2
< b
3
<
. . . < b
66
< . . . v
´
o
,
i b
i
= x
n
i
, i = 1, 2, . . . , 66. Ch
´
ung ta l
.
ai x
´
et hi
.
êu
y
i
= b
66
b
i
, i = 1, 2, . . . , 65
´
u m
.
ôt hi
.
êu n
`
ao
¯
d
´
o tr
`
ung v
´
o
,
i
´
b
´
ao
danh b
j
c
,
ua m
.
ôt
¯
d
.
ai biê
,
u c
,
ua B th
`
ı b
66
= b
i
+ b
j
.
´
u v
´
o
,
i hai
´
i
v
`
a k n
`
ao
¯
d
´
o ch
´
ung ta c
´
o y
i
= a
k
, th
`
ı a
k
= b
66
b
i
= x
n
66
x
n
i
=
a
330
a
n
66
(a
330
a
n
i
) = a
n
i
a
n
66
ho
.
˘
ac l
`
a a
n
i
= a
n
66
+ a
k
.
´
u hai
tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p trên không
,
y ra, th
`
ı nh
˜
u
,
ng
´
n
`
ay s
˜
e l
`
a
´
b
´
ao danh
c
,
ua
¯
d
.
ai biê
,
u 4 nu
,
´
o
,
c c
`
on l
.
ai v
`
a suy ra
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt trong c
´
ac nu
,
´
o
,
c n
`
ay
c
´
o
´
h
.
ôi viên
´
ıt nhâ
´
t l
`
a 17 v
´
o
,
i
´
b
´
ao danh y
i
. Tiê
´
p t
.
uc qu
´
a tr
`
ınh
nhu
,
v
.
ây v
`
a l
.
˘
ap l
.
ai l
´
y lu
.
ân trên ch
´
ung ta c
´
o
´
t lu
.
ân c
,
ua b
`
ai to
´
an.
J
.
.
. 5.9. (Ðê
`
thi To
´
an
¯
d
.
ich nu
,
´
o
,
c Anh, 1978) M
.
ôt h
`
ınh l
.
âp phu
,
o
,
ng c
´
o
c
.
anh b
`
˘ang 15 ch
´
u
,
a 11.000
¯
diê
,
m. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang c
´
o m
.
ôt h
`
ınh
`
u
b
´
an k
´
ınh b
`
˘ang
¯
do
,
n v
.
i ch
´
u
,
a
´
ıt nhâ
´
t 6
¯
diê
,
m trong
´
11.000
¯
diê
,
m
¯
d
˜
a
cho.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Chia m
˜
ôi c
.
anh c
,
ua h
`
ınh l
.
âp phu
,
o
,
ng th
`
anh 13 phâ
`
n b
`
˘
ang
nhau, thê
´
th
`
ı h
`
ınh l
.
âp phu
,
o
,
ng ban
¯
`
u
¯
du
,
.
o
,
c chia th
`
anh 13
3
= 2187
5.2. V
´
ı d
.
u 51
h
`
ınh l
.
âp phu
,
o
,
ng nh
,
o. V
`
ı h
`
ınh l
.
âp phu
,
o
,
ng ban
¯
`
u ch
´
u
,
a 11.000
¯
diê
,
m, nên
`
n t
.
ai m
.
ôt h
`
ınh l
.
âp phu
,
o
,
ng nh
,
o ch
´
u
,
a
´
ıt nhâ
´
t 6
¯
diê
,
m.
D
˜
ê thâ
´
y c
.
anh c
,
ua h
`
ınh l
.
âp phu
,
o
,
ng nh
,
o l
`
a
15
13
, do
¯
d
´
o b
´
an k
´
ınh h
`
ınh
`
u ngo
.
ai tiê
´
p h
`
ınh l
.
âp phu
,
o
,
ng nh
,
o l
`
a r =
1
2
r
3(
15
13
)
2
=
1
2
r
675
169
<
1
2
r
676
169
=
1
2
4 = 1. V
.
ây:
`
n t
.
ai m
.
ôt h
`
ınh
`
u b
´
an k
´
ınh 1 ch
´
u
,
a
´
ıt
nhâ
´
t 6
¯
diê
,
m trong 11.000
¯
diê
,
m
¯
d
˜
a cho.
J
.
.
. 5.10. Trong m
.
˘
at ph
,
˘
ang cho m
.
ôt
´
h
˜
u
,
u h
.
an
¯
diê
,
m, m
.
ôt
´
trong
ch
´
ung
¯
du
,
.
o
,
c
´
i l
.
ai b
`
˘
ang
¯
do
.
an th
,
˘
ang. Ch
´
ung ta n
´
oi r
`
˘
ang m
.
ôt d
˜
ay
e
1
, e
2
, . . . , e
m
t
`
u
,
c
´
ac
¯
d
.
oan th
,
˘
ang
¯
du
,
.
o
,
c
´
i l
`
a m
.
ôt dây chuyê
`
n,
´
u
m
.
oi c
.
˘
ap
¯
do
.
an th
,
˘
ang liê
`
n nhau e
i
v
`
a e
i +1
c
´
o chung m
.
ôt
¯
`
u m
´
ut,
i = 1, 2, . . . , m 1.
´
lu
,
.
o
,
ng m nh
˜
u
,
ng
¯
do
.
an th
,
˘
ang trong dây chuyê
`
n
g
.
oi l
`
a
¯
d
.
ô d
`
ai c
,
ua n
´
o. Ch
´
ung ta x
´
et b
`
ai to
´
an:
Cho n
¯
diê
,
m, t
`
u
,
c
´
ac
¯
diê
,
m n
`
ay d
.
u
,
ng nh
˜
u
,
ng
¯
do
.
an th
,
˘ang,
´
lu
,
.
o
,
ng
¯
do
.
an
th
,
˘ang
¯
d
˜
a d
.
u
,
ng l
`
a q. Gi
,
a s
,
u
,
nh
˜
u
,
ng
¯
do
.
an th
,
˘ang
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
´
anh
´
m
.
ôt c
´
ach
´
t k
`
y b
`
˘ang c
´
ac
´
1, 2, . . . , q. Khi
¯
d
´
o trong c
´
ach t
.
ao h
`
ınh nhu
,
v
.
ây
`
n
t
.
ai m
.
ôt dây chuyê
`
n v
´
o
,
i
¯
d
.
ô d
`
ai nh
,
o nhâ
´
t l
`
a
2q
n
, trên dây chuyê
`
n n
`
ay
c
´
ac
´
´
u
,
ng v
´
o
,
i nh
˜
u
,
ng
¯
do
.
an th
,
˘ang th
`
anh phâ
`
n l
.
âp nên m
.
ôt d
˜
ay
´
gi
,
am
ng
.
˘at.
L
`
o
,
i gi
,
ai. G
.
oi G l
`
a
´
u h
`
ınh
´
t k
`
y c
,
ua nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m v
`
a
¯
do
.
an th
,
˘
ang,
m
`
a ch
´
ung
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
´
anh
´
b
`
˘
ang
´
t
.
u
,
nhiên nhu
,
¯
`
b
`
ai
¯
d
˜
a ra. V
´
o
,
i m
.
oi
v thu
.
ôc G ch
´
ung ta k
´
y hi
.
êu L
G
( v) l
`
a
¯
d
.
ô d
`
ai c
,
ua dây chuyê
`
n d
`
ai nhâ
´
t
trong G, m
`
a n
´
o b
´
˘
at
¯
`
u t
`
u
,
v v
`
a gi
,
am
`
n. B
`
˘
ang phu
,
o
,
ng ph
´
ap qui
n
.
ap ch
´
ung ta s
˜
e ch
´
u
,
ng minh
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c sau
¯
du
,
.
o
,
c th
,
oa m
˜
an
L
G
( v
1
) + L
G
( v
2
) + ··· + L
G
( v
n
) 2q (5.1)
52 Chu
,
o
,
ng 5. M
,
o
,
r
.
ông nguyên l
´
y Ðirichlê
,
o
,
¯
dây v
1
, v
2
, . . . , v
n
l
`
a
´
t c
,
a c
´
ac
¯
diê
,
m thu
.
ôc G.
´
t lu
.
ân ph
,
ai ch
´
u
,
ng
minh suy ra t
`
u
,
(5.1) theo nguyên l
´
y Ðirichlê m
,
o
,
r
.
ông: M
.
ôt trong
c
´
ac
´
L
G
( v
1
), L
G
( v
2
), . . . , L
G
( v
n
) l
´
o
,
n ho
,
n ho
.
˘
ac b
`
˘
ang
2q
n
, nhu
,
v
.
ây
`
n t
.
ai dây chuyê
`
n v
´
o
,
i t
´
ınh châ
´
t
¯
d
˜
a ch
,
ı ra. Do
¯
d
´
o ch
,
ı c
`
on ph
,
ai ch
´
u
,
ng
minh (5.1)
¯
du
,
.
o
,
c th
,
oa m
˜
an v
´
o
,
i n
¯
diê
,
m c
,
ua G v
`
a q
¯
do
.
an th
,
˘
ang
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
´
anh
´
nhu
,
t
,
a
,
o
,
¯
`
u b
`
ai. B
`
˘
ang qui n
.
ap v
´
o
,
i q = 1
´
t
¯
d
,
ang
th
´
u
,
c (5.1) l
`
a hiê
,
n nhiên. Gi
,
a s
,
u
,
(5.1) th
,
oa m
˜
an cho m
.
oi
´
u h
`
ınh
v
´
o
,
i q 1
¯
do
.
an th
,
˘
ang v
`
a ch
´
ung ta xem x
´
et
´
u h
`
ınh v
´
o
,
i n
¯
diê
,
m v
`
a
q
¯
do
.
an th
,
˘
ang.
´
u
¯
do
.
an th
,
˘
ang k
´
y hi
.
êu l
`
a q
´
i v
´
o
,
i hai
¯
diê
,
m v
i
v
`
a
v
j
th
`
ı ch
´
ung ta b
,
o
¯
do
.
an th
,
˘
ang n
`
ay v
`
a nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c
´
u h
`
ınh G
0
c
,
ua n
¯
diê
,
m v
`
a q 1
¯
do
.
an th
,
˘
ang. V
´
o
,
i
´
u h
`
ınh n
`
ay theo qui n
.
ap ch
´
ung ta
c
´
o L
G
0
( v
1
) + L
G
0
( v
2
) + ··· + L
G
0
( v
n
) 2( q 1). Bây gi
`
o
,
ch
´
ung ta
x
´
et
¯
diê
,
m v
j
. Dây chuyê
`
n gi
,
am
`
n xuâ
´
t ph
´
at t
`
u
,
x
j
c
´
o
¯
d
.
ô d
`
ai L
G
0
( v
j
),
v
`
a nh
˜
u
,
ng
¯
do
.
an th
,
˘
ang trong dây chuyê
`
n n
`
ay
¯
du
,
.
o
,
c k
´
y hi
.
êu b
,
o
,
i nh
˜
u
,
ng
´
n
`
ao
¯
d
´
o trong d
˜
ây 1, 2, . . . , q 1.
´
u
´
i thêm v
`
ao dây chuyê
`
n
m
.
ôt
¯
do
.
an th
,
˘
ang c
´
o k
´
y hi
.
êu q ch
´
ung ta s
˜
e nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c dây chuyê
`
n
gi
,
am v
´
o
,
i
¯
diê
,
m
¯
`
u v
i
v
`
a v
´
o
,
i
¯
d
.
ô d
`
ai L
G
0
( v
j
) + 1. Theo
¯
d
.
inh ngh
˜
ıa
c
,
ua L
G
( v
i
) ch
´
ung ta c
´
o L
G
( v
i
) L
G
0
( v
j
) + 1. B
`
˘
ang m
.
ôt c
´
ach ch
´
u
,
ng
minh ho
`
an to
`
an tu
,
o
,
ng t
.
u
,
ch
´
ung ta c
˜
ung ch
´
u
,
ng minh
¯
du
,
.
o
,
c L
G
( v
j
)
L
0
G
( v
i
) + 1. M
.
˘
at kh
´
ac, L
G
( v
k
) = L
G
0
( v
k
) v
´
o
,
i m
.
oi
¯
diê
,
m v
k
thu
.
ôc G
m
`
a n
´
o kh
´
ac v
i
v
`
a v
j
. Suy ra, L
G
( v
1
) + L
G
( v
2
) + ··· + L
G
( v
n
)
L
G
0
( v
1
) + L
G
0
( v
2
) + ··· + L
G
0
( v
n
) + 2 2(q 1) + 2 = 2q.
J
5.3. B
`
ai t
.
âp
.
.
. 5.11. (Ðê
`
thi
¯
d
.
ich Áo - Balan, 1978) Cho 1978 t
.
âp h
.
o
,
p, m
˜
ôi
t
.
âp h
.
o
,
p c
´
o 40 phâ
`
n t
,
u
,
. Biê
´
t r
`
˘
ang hai t
.
âp h
.
o
,
p
´
t k
`
y c
´
o
¯
d
´
ung m
.
ôt
phâ
`
n t
,
u
,
chung. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang,
`
n t
.
ai m
.
ôt phâ
`
n t
,
u
,
thu
.
ôc
´
t c
,
a
1978 t
.
âp h
.
o
,
p trên.
5.3. B
`
ai t
.
âp 53
.
.
. 5.12. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang m
.
oi t
.
âp h
.
o
,
p ch
´
u
,
a 55
´
ch
.
on
¯
du
,
.
o
,
c t
`
u
,
t
.
âp
h
.
o
,
p
´
{1, 2, 3, . . . , 100} ch
´
u
,
a hai
´
m
`
a hi
.
êu c
,
ua ch
´
ung b
`
˘
ang 9.
.
.
. 5.13. Cho n l
`
a
´
t
.
u
,
nhiên. Cho n t
.
âp h
.
o
,
p con A
1
, A
2
, . . . , A
n
c
,
ua
m
.
˘
at ph
,
˘
ang v
´
o
,
i t
´
ınh châ
´
t: v
´
o
,
i m
.
oi i = 1, 2, . . . , n
`
n t
.
ai n + 1 ph
´
ep
t
.
inh tiê
´
n sao cho c
´
ac
,
anh c
,
ua A
i
qua c
´
ac ph
´
ep t
.
inh tiê
´
n t
`
u
,
ng
¯
dôi m
.
ôt
không c
´
o
¯
diê
,
m chung. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang
`
n t
.
ai m
.
ôt
¯
diê
,
m trên m
.
˘
at
ph
,
˘
ang, không n
`
˘
am trong
´
t c
´
u
,
t
.
âp h
.
o
,
p A
i
n
`
ao, i = 1, 2, . . . , n.
.
.
. 5.14. Trong phâ
`
n trong c
,
ua m
.
ôt tam gi
´
ac
¯
`
u v
´
o
,
i c
.
anh d
`
ai 15
¯
do
,
n
v
.
i, ch
´
ung ta ch
.
on b
`
˘
ang phu
,
o
,
ng ph
´
ap
´
t k
`
y 111
¯
diê
,
m. Ch
´
u
,
ng minh
r
`
˘
ang
`
n t
.
ai h
`
ınh tr
`
on v
´
o
,
i
¯
du
,
`
o
,
ng k
´
ınh
3, m
`
a n
´
o ph
,
u
´
ıt nhâ
´
t 3
¯
diê
,
m
trong
´
nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m
¯
d
˜
a ch
.
on
,
o
,
trên.
.
.
. 5.15. (Ðê
`
thi
¯
d
.
ich Quô
´
c gia Bungari, 1977) Trong m
.
ôt nh
´
om
ngu
,
`
o
,
i, hai ngu
,
`
o
,
i X v
`
a Y g
.
oi l
`
a quen nhau gi
´
an tiê
´
p,
´
u h
.
o tr
.
u
,
c
tiê
´
p quen nhau, ho
.
˘
ac l
`
a
´
u
`
n t
.
ai m
.
ôt dây truyê
`
n nh
˜
u
,
ng ngu
,
`
o
,
i
Z
1
, Z
2
, . . . , Z
p
sao cho X v
`
a Z
1
quen nhau, Z
1
v
`
a Z
2
quen nhau,...
, Z
p
v
`
a Y quen nhau. Cho biê
´
t nh
´
om
¯
d
´
o
`
m 134 ngu
,
`
o
,
i, c
`
on gi
˜
u
,
a
m
˜
ôi nh
´
om nh
,
o 8 ngu
,
`
o
,
i t
`
u
,
nh
´
om
¯
d
˜
a biê
´
t
´
ıt nhâ
´
t c
´
o hai ngu
,
`
o
,
i quen
gi
´
an tiê
´
p. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang c
´
o m
.
ôt nh
´
om nh
,
o 12 ngu
,
`
o
,
i trong nh
´
om
ngu
,
`
o
,
i
¯
d
˜
a biê
´
t, m
`
a m
.
oi c
.
˘
ap hai ngu
,
`
o
,
i trong nh
´
om nh
,
o n
`
ay
¯
`
u quen
nhau gi
´
an tiê
´
p.
54 Chu
,
o
,
ng 5. M
,
o
,
r
.
ông nguyên l
´
y Ðirichlê
CHU
,
O
,
NG 6
B
`
AI T
.
ÂP S
´
Ô H
.
OC NÂNG CAO
6.1. Ð
.
inh l
´
y co
,
b
,
an c
,
ua
´
h
.
oc
Trong l
´
y thuyê
´
t
´
h
.
oc co
,
s
,
o
,
c
´
o m
.
ôt
¯
d
.
inh l
´
y co
,
b
,
an:
M
.
oi
´
t
.
u
,
nhiên l
´
o
,
n ho
,
n m
.
ôt
¯
`
u c
´
o thê
,
phân t
´
ıch ra t
´
ıch c
´
ac th
`
u
,
a
´
nguyên
´
v
`
a phân t
´
ıch
¯
d
´
o l
`
a duy nhâ
´
t
´
u ta không
¯
,
´
y
¯
´
n th
´
u
,
t
.
u
,
c
,
ua c
´
ac th
`
u
,
a
´
.
Cho p
1
, p
2
, . . . , p
n
l
`
a nh
˜
u
,
ng
´
nguyên
´
kh
´
ac nhau. Trong
chu
,
o
,
ng n
`
ay ch
´
ung ta x
´
et m
.
ôt
´
´
t lu
.
ân
`
`
t
.
âp h
.
o
,
p M c
,
ua
c
´
ac
´
t
.
u
,
nhiên m
`
a n
´
o c
´
o thê
,
phân t
´
ıch ra c
´
ac th
`
u
,
a
´
n
`
˘
am trong
{p
1
, p
2
, . . . , p
n
}. M
.
oi
´
x c
,
ua M c
´
o thê
,
biê
,
u di
˜
ên du
,
´
o
,
i d
.
ang
x = p
α
1
1
p
α
2
2
. . . p
α
n
n
,
o
,
¯
dây α
1
, α
2
, . . . , α
n
l
`
a c
´
ac
´
nguyên không âm.
6.2. V
´
ı d
.
u
.
.
. 6.1. T
`
u
,
t
.
âp h
.
o
,
p M ch
.
on m
.
ôt c
´
ach
´
t k
`
y 2
n
+ 1
´
. Ch
´
u
,
ng minh
r
`
˘ang
`
n t
.
ai hai
´
trong t
.
âp v
`
u
,
a ch
.
on m
`
a t
´
ıch c
,
ua ch
´
ung l
`
a m
.
ôt
´
ch
´
ınh phu
,
o
,
ng.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Nh
.
ân x
´
et r
`
˘
ang m
.
ôt
´
t
.
u
,
nhiên x = p
α
1
1
p
α
2
2
. . . p
α
n
n
l
`
a
´
ch
´
ınh phu
,
o
,
ng khi v
`
a ch
,
ı khi
´
t c
,
a c
´
ac
´
m
˜
u
¯
`
u ch
˜
˘
an. Ch
´
ung ta
56 Chu
,
o
,
ng 6. B
`
ai t
.
âp
´
h
.
oc nâng cao
biê
,
u di
˜
ên m
.
oi
´
¯
d
˜
a ch
.
on v
´
o
,
i d
.
ang
,
o
,
trên v
`
a cho tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i b
.
ô
n-sô
´
( α
1
, α
2
, . . . , α
n
),
,
o
,
¯
dây α
1
, α
2
, . . . , α
n
l
`
a c
´
ac
´
du
,
c
,
ua c
´
ac
´
m
˜
u
tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng α
1
, α
2
, . . . , α
n
khi chia cho 2. R
˜
o r
`
ang α
i
= 0 ho
.
˘
ac α
i
= 1
v
´
o
,
i m
.
oi i = 1, 2, . . . , n. V
.
ây (α
1
, α
2
, . . . , α
n
) l
`
a b
.
ô
´
p th
´
u
,
t
.
u
,
n
´
`
m
´
0 v
`
a 1. Theo l
´
y thuyê
´
t
,
h
.
o
,
p,
´
t c
,
a n-b
.
ô nhu
,
v
.
ây c
´
o
´
lu
,
.
o
,
ng
l
`
a 2
n
, c
`
on c
´
ac
´
ta
¯
dang x
´
et c
´
o
´
lu
,
.
o
,
ng l
`
a 2
n
+ 1. Nhu
,
v
.
ây
´
ıt nhâ
´
t
c
´
o 2
´
trong ch
´
ung c
´
o c
`
ung b
.
ô s
´
˘
ap
´
p
`
m
´
0 v
`
a
´
1 giô
´
ng
nhau. Gi
,
a s
,
u
,
c
´
ac
´
¯
d
´
o l
`
a x = p
α
1
1
p
α
2
2
. . . p
α
n
n
v
`
a y = p
β
1
1
p
β
2
2
. . . p
β
n
n
v
´
o
,
i
ch
´
ung c
´
o (α
1
, α
2
, . . . , α
n
) = (β
1
, β
2
, . . . , β
n
). Ð
,
˘
ang th
´
u
,
c sau c
`
ung c
´
o
ngh
˜
ıa l
`
a α
i
= β
i
, i = 1, 2, . . . , n . Do
¯
d
´
o c
´
ac
´
m
˜
u α
i
v
`
a β
i
c
´
o c
`
ung
t
´
ınh ch
˜
˘
an l
,
e nhu
,
nhau v
´
o
,
i
´
t k
`
y i = 1, 2, . . . , n. Khi
¯
d
´
o α
1
+ β
1
,
α
2
+ β
2
, . . . , α
n
+ β
n
, l
`
a c
´
ac
´
ch
˜
˘
an v
`
a theo nh
.
ân x
´
et ban
¯
`
u t
´
ıch
xy = (p
α
1
1
p
α
2
2
. . . p
α
n
n
)(p
β
1
1
p
β
2
2
. . . p
β
n
n
) = p
α
1
+β
1
1
p
α
2
+β
2
2
. . . p
α
n
+β
n
n
¯
d
´
ung
l
`
a
´
ch
´
ınh phu
,
o
,
ng.
J
.
.
. 6.2. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang gi
˜
u
,
a n + 1
´
trong t
.
âp ho
,
p M c
´
o thê
,
ch
.
on
¯
du
,
.
o
,
c m
.
ôt v
`
ai
´
m
`
a t
´
ıch c
,
ua ch
´
ung l
`
a m
.
ôt
´
ch
´
ınh phu
,
o
,
ng.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Cho x
1
, x
2
, . . . , x
n
l
`
a nh
˜
u
,
ng
´
´
t k
`
y c
,
ua M. V
´
o
,
i m
˜
ôi t
.
âp
con kh
´
ac trô
´
ng {i
1
, i
2
, . . . , i
k
} c
,
ua t
.
âp h
.
o
,
p {1, 2, . . . n + 1}, ch
´
ung ta
x
´
et c
´
ac x
i
1
, x
i
2
, . . . , x
i
k
(tâ
´
t nhiên
´
n
`
ay c
˜
ung thu
.
ôc M). Biê
,
u di
˜
ên c
´
ac
´
n
`
ay theo d
.
ang chuâ
,
n v
`
a m
˜
ôi t
.
âp h
.
o
,
p con {i
1
, i
2
, . . . , i
k
} cho tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i n-b
.
ô (α
1
, α
2
, . . . , α
n
) ,
,
o
,
¯
dây α
1
, α
2
, . . . , α
n
l
`
a c
´
ac
´
du
,
c
,
ua
c
´
ac
´
m
˜
u tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng α
1
, α
2
, . . . , α
n
khi chia cho 2. Nhu
,
ng
´
lu
,
.
o
,
ng
nh
˜
u
,
ng t
.
âp con kh
´
ac r
˜
ông c
,
ua {1, 2, . . . , n + 1} l
`
a 2
n+1
1, c
`
on
´
lu
,
.
o
,
ng c
´
ac n-b
.
ô s
´
˘
ap
`
m nh
˜
u
,
ng
´
0 v
`
a 1 l
`
a 2
n
. Suy ra
`
n t
.
ai nh
˜
u
,
ng
t
.
âp h
.
o
,
p con kh
´
ac trô
´
ng kh
´
ac nhau {i
1
, i
2
, . . . , i
k
} v
`
a {j
1
, j
2
, . . . , j
l
}
c
,
ua {1, 2, . . . , n + 1}, m
`
a ch
´
ung tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i c
`
ung m
.
ôt n-b
.
ô s
´
˘
ap c
,
ua
nh
˜
u
,
ng
´
du
,
. Ðiê
`
u n
`
ay c
´
o ngh
˜
ıa l
`
a
´
u x
i
1
x
i
2
. . . x
i
k
= p
α
1
1
p
α
2
2
. . . p
α
n
n
v
`
a x
j
1
x
j
2
. . . x
j
k
= p
β
1
1
p
β
2
2
. . . p
β
n
n
th
`
ı c
´
ac
´
m
˜
u α
i
v
`
a β
i
c
´
o c
`
ung t
´
ınh
6.2. V
´
ı d
.
u 57
ch
˜
˘
an l
,
e v
´
o
,
i i = 1, 2, . . . , k. Ðiê
`
u n
`
ay c
´
o ngh
˜
ıa l
`
a t
´
ıch c
,
ua nh
˜
u
,
ng
´
x
i
1
, x
i
2
, . . . , x
i
k
, x
j
1
, x
j
2
, . . . , x
j
k
l
`
a ch
´
ınh phu
,
o
,
ng.
´
u {i
1
, i
2
, . . . , i
k
}
v
`
a {j
1
, j
2
, . . . , j
l
} không c
´
o phâ
`
n t
,
u
,
chung, th
`
ı b
`
ai to
´
an
¯
d
˜
a
¯
du
,
.
o
,
c gi
,
ai.
Tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p ngu
,
.
o
,
c l
.
ai, trong P = x
i
1
x
i
2
. . . x
i
k
x
j
1
x
j
2
. . . x
j
k
l
.
˘
ap l
.
ai
¯
d
´
ung
nh
˜
u
,
ng
´
x
s
, m
`
a s thu
.
ôc {i
1
, i
2
, . . . , i
k
} v
`
a {j
1
, j
2
, . . . , j
l
}. Ch
´
ung ta
lo
.
ai tr
`
u
,
trong P
´
t c
,
a c
´
ac nh
˜
u
,
ng x
s
nhu
,
v
.
ây v
`
a nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c t
´
ıch c
,
ua
v
`
ai
´
trong
´
x
1
, x
2
, . . . , x
n+1
m
`
a n
´
o
¯
d
´
ung l
`
a ch
´
ınh phu
,
o
,
ng.
J
.
.
. 6.3. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang gi
˜
u
,
a m
.
oi 3.2
n
+ 1
´
t
`
u
,
t
.
âp h
.
o
,
p M c
´
o thê
,
ch
.
on
¯
du
,
.
o
,
c 4
´
m
`
a t
´
ıch c
,
ua ch
´
ung l
`
a l
˜
uy th
`
u
,
a b
.
âc
´
n c
,
ua m
.
ôt
´
.
L
`
o
,
i gi
,
ai. V
`
ı 3.2
n
+ 1 > 2
n
+ 1 gi
˜
u
,
a nh
˜
u
,
ng
´
¯
d
˜
a ch
.
on theo b
`
ai 6.1
c
´
o hai
´
m
`
a t
´
ıch c
,
ua ch
´
ung l
`
a m
.
ôt
´
ch
´
ınh phu
,
o
,
ng. T
´
ach hai
´
trên ra th
`
ı c
`
on l
.
ai 3.2
n
1
´
v
`
a
´
ap d
.
ung tiê
´
p 6.1 cho hai
´
n
˜
u
,
a m
`
a
t
´
ıch c
,
ua ch
´
ung l
`
a
´
ch
´
ınh phu
,
o
,
ng. Ch
´
ung ta c
´
o thê
,
l
.
˘
ap l
.
ai qu
´
a tr
`
ınh
n
`
ay
´
ıt nhâ
´
t
(3.2
n
1) (2
n
+ 1)
2
= 2
n
+ 1
`
n. Gi
,
a s
,
u
,
ch
´
ung ta nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c 2
n
+ 1 c
.
˘
ap (x
1
, y
1
), (x
2
, y
2
), . . . , v
´
o
,
i x
i
y
i
l
`
a c
´
ac
´
ch
´
ınh phu
,
o
,
ng,
i = 1, 2, . . . , 2
n
+ 1. Ch
´
u
´
y r
`
˘
ang theo c
´
ach ch
.
on trên th
`
ı c
´
ac c
.
˘
ap
´
(x
1
, y
1
), (x
2
, y
2
), . . . , (x
2
n
+1
, y
2
n
+1
) t
`
u
,
ng
¯
dôi m
.
ôt kh
´
ac nhau. Ðê
´
n
¯
dây
suy ra c
´
ac
´
x
1
y
1
,
x
2
y
2
, . . . ,
x
2
n
+1
y
2
n
+1
l
`
a nh
˜
u
,
ng
´
nguyên v
`
a
thu
.
ôc M. Khi
¯
d
´
o
´
ap d
.
ung m
.
ôt
`
n n
˜
u
,
a 6.1 ch
,
ı ra r
`
˘
ang t
´
ıch c
,
ua hai
´
n
`
ao
¯
d
´
o trong ch
´
ung l
`
a ch
´
ınh phu
,
o
,
ng. Nhu
,
v
.
ây x
i
y
i
x
j
y
j
= t
4
ngh
˜
ıa l
`
a
t
´
ıch c
,
ua 4
´
t
`
u
,
ng
¯
dôi m
.
ôt kh
´
ac nhau x
i
, y
i
, x
j
, y
j
l
`
a l
˜
uy th
`
u
,
a b
.
âc
´
n
c
,
ua m
.
ôt
´
.
J
.
.
. 6.4. Cho p l
`
a m
.
ôt
´
nguyên
´
l
,
e v
`
a a
1
, a
2
, . . . , a
p+1
2
l
`
a nh
˜
u
,
ng
´
t
.
u
,
nhiên kh
´
ac nhau nh
,
o ho
,
n p. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang v
´
o
,
i m
.
oi
´
t
.
u
,
nhiên
r nh
,
o ho
,
n p,
`
n t
.
ai hai
´
(c
´
o thê
,
b
`
˘ang nhau) a
i
v
`
a a
j
, m
`
a t
´
ıch c
,
ua
ch
´
ung khi chia cho p c
´
o
´
du
,
¯
d
´
ung l
`
a r.
58 Chu
,
o
,
ng 6. B
`
ai t
.
âp
´
h
.
oc nâng cao
L
`
o
,
i gi
,
ai. Áp d
.
ung m
.
ôt
¯
d
.
inh l
´
y trong l
´
y thuyê
´
t
´
co
,
s
,
o
,
:
´
u a v
`
a b
l
`
a hai
´
nguyên
´
c
`
ung nhau, th
`
ı
`
n t
.
ai m
.
ôt
´
nguyên x sao cho
ax 1 (mod b).
V
´
o
,
i m
˜
ôi i = 1, 2, . . . ,
p + 1
2
, c
´
ac
´
a
i
v
`
a p l
`
a nguyên
´
c
`
ung
nhau, v
`
ı 1 a
i
p 1 v
`
a p l
`
a
´
nguyên
´
. Áp d
.
ung
¯
d
.
inh l
´
y v
`
u
,
a
ph
´
at biê
,
u trên,
`
n t
.
ai c
´
ac
´
nguyên b
1
, b
2
, . . . , b
p+1
2
sao cho v
´
o
,
i m
.
oi
i = 1, 2, . . . ,
p+1
2
c
´
ac
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c sau
¯
`
u th
,
oa m
˜
an
a
i
b
i
1 (mod p) (6.1)
Ch
´
ung ta x
´
et d
˜
ay
´
a
1
, a
2
, . . . , a
p+1
2
, rb
1
, rb
2
, . . . , rb
p+1
2
. Ch
´
ung ta c
´
o
´
t c
,
a p + 1
´
sao cho
´
ıt nhâ
´
t hai
´
trong ch
´
ung khi chia cho p
c
´
o c
`
ung m
.
ôt
´
du
,
. Theo gi
,
a thiê
´
t c
´
ac
´
a
1
, a
2
, . . . , a
p+1
2
kh
´
ac nhau
ho
`
an to
`
an v
`
a nh
,
o ho
,
n p. Suy ra
´
du
,
c
,
ua ch
´
ung theo môdd un p
l
`
a kh
´
ac nhau. V
`
ı r l
`
a
´
nguyên
´
c
`
ung nhau v
´
o
,
i p, nên d
˜
ê d
`
ang
ch
´
u
,
ng minh
¯
du
,
.
o
,
c r
`
˘
ang c
´
ac
´
rb
1
, rb
2
, . . . , rb
p+1
2
cho
´
du
,
ho
`
an to
`
an
kh
´
ac nhau khi chia cho p. Ngh
˜
ıa l
`
a ch
,
ı
`
n t
.
ai hai ch
,
ı
´
i v
`
a j sao
cho a
i
rb
j
(mod p). T
`
u
,
(6.1) ch
´
ung ta nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c a
i
a
j
rb
j
a
j
r.1 r (mod p).
J
.
.
. 6.5.
,
¯
`
Tue: Cho n l
`
a
´
t
.
u
,
nhiên l
´
o
,
n ho
,
n 1 v
`
a a l
`
a
´
nguyên
´
c
`
ung nhau v
´
o
,
i n. Khi
¯
d
´
o
`
n t
.
ai c
´
ac
´
nguyên x v
`
a y, m
`
a ch
´
ung
th
,
oa m
˜
an phu
,
o
,
ng tr
`
ınh ax y ( mod n) v
`
a c
´
ac
´
t phu
,
o
,
ng tr
`
ınh
1 x [
n], 1 |y| [
n].
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
ung ta x
´
et
´
t c
,
a c
´
ac
´
c
´
o d
.
ang au v,
,
o
,
¯
dây u v
`
a v ch
.
ay
¯
d
.
ôc l
.
âp nhau trong c
´
ac
´
0, 1, 2, . . . , [
n].
´
lu
,
.
o
,
ng
´
t c
,
a c
´
ac
´
¯
d
´
o
l
`
a ([
n] + 1)
2
. Suy ra
´
n
`
ay l
´
o
,
n ho
,
n n v
`
ı ([
n] + 1)
2
> (
n)
2
= n.
B
,
o
,
i c
´
o
¯
d
´
ung n
´
du
,
kh
´
ac nhau theo
¯
dun n, nên
`
n t
.
ai hai c
.
˘
ap
´
kh
´
ac nhau (u
1
, v
1
), (u
2
, v
2
) t
`
u
,
c
´
ac
´
nguyên sao cho 1 u
i
6.2. V
´
ı d
.
u 59
[
n], 1 v
i
[
n], i = 1, 2 v
`
a au
1
v
1
au
2
v
2
(mod n).
D
˜
ê d
`
ang ch
´
u
,
ng minh
¯
du
,
.
o
,
c v
1
kh
´
ac v
2
. Th
.
ât v
.
ây,
´
u ngu
,
.
o
,
c l
.
ai th
`
ı
au
1
au
2
(mod n),suy ra u
1
u
2
(mod n), do a l
`
a
´
nguyên
´
c
`
ung nhau v
´
o
,
i n. M
.
˘
at kh
´
ac, u
1
, u
2
l
`
a c
´
ac
´
t
.
u
,
nhiên nh
,
o ho
,
n n. Nhu
,
v
.
ây
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c sau c
`
ung ch
,
ı c
´
o m
.
ôt kh
,
a n
˘
ang duy nhâ
´
t u
1
= u
2
. Do
¯
d
´
o c
.
˘
ap (u
1
, v
1
), (u
2
, v
2
) tr
`
ung nhau, tr
´
ai v
´
o
,
i c
´
ach ch
.
on trên. Nhu
,
v
.
ây
u
1
v
`
a u
2
c
˜
ung ph
,
ai kh
´
ac nhau. C
´
o thê
,
gi
,
a thiê
´
t u
1
> u
2
m
`
a không
,
anh hu
,
,
o
,
ng
¯
´
n
´
t qu
,
a ch
´
u
,
ng minh. Bây gi
`
o
,
ta
¯
d
.
˘
at x = u
1
u
2
, y =
v
1
v
2
. T
`
u
,
¯
d
´
o suy ra 1 x [
n], 1 |y| [
n] v
`
a ax y
(mod n).
J
.
.
. 6.6. Áp d
.
ung
,
¯
`
Tue: M
.
oi
´
nguyên
´
d
.
ang 4k + 1 c
´
o thê
,
biê
,
u
di
˜
ên du
,
´
o
,
i d
.
ang
,
ng b
`
ınh phu
,
o
,
ng c
,
ua hai
´
nguyên.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
ung ta ch
´
u
,
ng minh kh
,
˘
ang
¯
d
.
inh sau:
´
u p = 4k + 1 l
`
a
´
nguyên
´
, th
`
ı phu
,
o
,
ng tr
`
ınh x
2
1 (mod p) c
´
o nghi
.
êm. Th
.
ât v
.
ây,
V
`
ı p l
`
a
´
nguyên
´
, theo
¯
d
.
inh l
´
y Wilson, (p 1)! 1 (mod p).
Ngo
`
ai ra p 1 1 (mod p), p 2 2 (mod p), . . . , p
p+1
2
p+1
2
(mod p). Suy ra,
1 (p 1)! = 1.2 . . . .
(p 1)
2
(p + 1)
2
(1
1
)(2
1
) . . . ((
p 1
2
)
2
)
= (1)
p1
2
(1.2 . . .
p 1
2
)
2
= (1)
2k
((
p 1
2
) !)
2
= ((
p 1
2
) !)
2
(mod p).
Nhu
,
v
.
ây a = (
p 1
2
) ! l
`
a nghi
.
êm c
,
ua phu
,
o
,
ng tr
`
ınh trên. V
`
ı a
2
+ 1
chia
´
t cho p nên a l
`
a nguyên
´
c
`
ung nhau v
´
o
,
i p . Bây gi
`
o
,
ta
´
ap
d
.
ung
,
¯
`
Tue cho hai
´
a v
`
a p.
`
n t
.
ai c
´
ac
´
nguyên x v
`
a y m
`
a
60 Chu
,
o
,
ng 6. B
`
ai t
.
âp
´
h
.
oc nâng cao
1 x [
p], 1 |y| [
p] v
`
a ax y (mod p). Khi
¯
d
´
o a
2
x
2
y
2
(mod p), nhu
,
v
.
ây x
2
y
2
(mod p), v
`
ı a
2
1 (mod p). T
`
u
,
¯
d
´
o
suy ra x
2
+ y
2
chia
´
t cho p. M
.
˘
at kh
´
ac 1 x
2
p, 1 y
2
p. Ta
thâ
´
y r
`
˘
ang x
2
= p v
`
a y
2
= p không thê
,
,
y ra v
`
ı p l
`
a
´
nguyên
´
, suy
ra 0 < x
2
+ y
2
< 2p v
`
a v
`
ı x
2
+ y
2
chia
´
t cho p, nên x
2
+ y
2
= p.
J
Ch
´
u
´
y: Tu
,
o
,
ng t
.
u
,
, ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang m
.
oi
´
p, sao cho phu
,
o
,
ng
tr
`
ınh x
2
2 (mod p) c
´
o nghi
.
êm,
¯
`
u c
´
o thê
,
biê
,
u di
˜
ên du
,
´
o
,
i d
.
ang
p = x
2
+ 2y
2
v
´
o
,
i x, y l
`
a c
´
ac
´
nguyên.
.
.
. 6.7. (Ðê
`
thi To
´
an Olympic quô
´
c
´
`
n 18 am 1976) Cho h
.
ê p
phu
,
o
,
ng tr
`
ınh v
´
o
,
i q = 2p â
,
n
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ ··· + a
1q
x
q
= 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
p1
x
1
+ a
p2
x
2
+ ··· + a
pq
x
q
= 0
´
t c
,
a c
´
ac h
.
ê
´
a
ij
thu
.
ôc t
.
âp ho
,
p {−1, 0, 1}. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
`
n t
.
ai
nghi
.
êm (x
1
, x
2
, . . . , x
q
) c
,
ua h
.
ê, m
`
a n
´
o th
,
oa m
˜
an
a)
´
t c
,
a x
j
(j = 1, 2, . . . , q) l
`
a nhu
,
ng
´
nguyên;
b)
´
ıt nhâ
´
t c
´
o m
.
ôt j(j = 1, 2, . . . , q) m
`
a x
j
0;
c) v
´
o
,
i m
.
oi j(j = 1, 2, . . . , q) ta luôn c
´
o x
j
q;
L
`
o
,
i gi
,
ai. X
´
et b
.
ô (x
1
, x
2
, . . . , x
q
)
`
m nh
˜
u
,
ng
´
nguyên
´
t k
`
y, m
`
a
ch
´
ung th
,
oa m
˜
an |x
1
| p, |x
2
| p, . . . , |x
q
| p. B
,
o
,
i v
`
ı
´
t c
,
a c
´
ac
h
.
ê
´
c
,
ua h
.
ê phu
,
o
,
ng tr
`
ınh ch
,
ı l
`
a -1,0 ho
.
˘
ac 1, v
´
o
,
i vi
.
êc thay c
´
ac â
,
n
x
1
, x
2
, . . . , x
q
ch
´
ung ta nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c gi
´
a tr
.
i c
,
ua m
˜
ôi phu
,
o
,
ng tr
`
ınh n
`
˘
am
trong kho
,
ang [pq, pq]. Th
.
ât v
.
ây, v
´
o
,
i m
˜
ôi i = 1, 2, . . . , p ch
´
ung ta
c
´
o |a
i1
x
1
+ a
i2
x
2
+ ··· + a
i q
x
q
| |x
1
| + |x
2
| + ··· + |x
q
| pq . Suy
ra,
´
u thay nh
˜
u
,
ng â
,
n trong
´
t c
,
a phu
,
o
,
ng tr
`
ınh c
,
ua h
.
ê tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng
6.2. V
´
ı d
.
u 61
v
´
o
,
i x
1
, x
2
, . . . , x
q
s
˜
e nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c b
.
ô p
´
nguyên ( y
1
, y
2
, . . . , y
p
).
´
t
c
,
a nh
˜
u
,
ng
´
n
`
ay
¯
`
u n
`
˘
am trong kho
,
ang [pq, pq]. Trong kho
,
ang
n
`
ay c
´
o
¯
d
´
ung 2pq + 1
´
nguyên. Suy ra gi
˜
u
,
a nh
˜
u
,
ng b
.
ô s
´
˘
ap
´
p
p phâ
`
n t
,
u
,
nhu
,
,
o
,
trên c
´
o (2pq + 1)
p
b
.
ô
´
p kh
´
ac nhau. M
.
˘
at kh
´
ac
´
lu
,
.
o
,
ng nh
˜
u
,
ng b
.
ô
´
p q-phâ
`
n t
,
u
,
(x
1
, x
2
, . . . , x
q
) m
`
a |x
j
| p
v
´
o
,
i j = 1, 2, . . . q, l
`
a (2p + 1)
q
. D
˜
ê thâ
´
y r
`
˘
ang t
`
u
,
q = 2p suy ra
(2p + 1)
q
> (2pq + 1)
p
. Theo nguyên l
´
y Ðirichlê
`
n t
.
ai hai b
.
ô q-
´
nguyên (x
0
1
, x
0
2
, . . . , x
0
q
) v
`
a (x
00
1
, x
00
2
, . . . , x
00
q
) kh
´
ac nhau m
`
a ch
´
ung
th
,
oa m
˜
an |x
0
j
| p, |x
00
j
| p v
´
o
,
i j = 1, 2, . . . q v
`
a sau khi thê
´
v
`
ao
h
.
ê phu
,
o
,
ng tr
`
ınh cho c
`
ung m
.
ôt b
.
ô p
´
nguyên (y
1
, y
2
, . . . , y
p
). Ð
.
˘
at
x
1
= x
0
1
x
00
1
, x
2
= x
0
2
x
00
2
, . . . , x
q
= x
0
q
x
00
q
. R
˜
o r
`
ang (x
1
, x
2
, . . . , x
q
)
l
`
a nghi
.
êm c
,
ua h
.
ê phu
,
o
,
ng tr
`
ınh v
`
a x
j
l
`
a c
´
ac
´
nguyên v
´
o
,
i m
.
oi
j = 1, 2, . . . , q. V
`
ı (x
0
1
, x
0
2
, . . . , x
0
q
) v
`
a (x
00
1
, x
00
2
, . . . , x
00
q
) l
`
a hai b
.
ô q
´
ho
`
an to
`
an kh
´
ac nhau, th
`
ı
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt trong c
´
ac
´
x
j
kh
´
ac không.
Cuô
´
i c
`
ung v
´
o
,
i m
.
oi j = 1, 2, . . . , q ch
´
ung ta c
´
o |x
j
| = |x
0
j
x
00
j
|
|x
0
j
|+ |x
00
j
| p + p = 2p = q. Nhu
,
v
.
ây ( x
1
, x
2
, . . . , x
q
) l
`
a nghi
.
êm c
,
ua
h
.
ê phu
,
o
,
ng tr
`
ınh c
´
o t
´
ınh châ
´
t mong muô
´
n.
J
.
.
. 6.8. (Ðê
`
thi To
´
an Olympic quô
´
c
´
`
n 28 am 1987) Cho
x
1
, x
2
, . . . , x
n
l
`
a nh
˜
u
,
ng
´
th
.
u
,
c v
`
a x
2
1
+ x
2
2
+ ···+ x
2
n
= 1. Ch
´
u
,
ng minh
r
`
˘ang v
´
o
,
i m
˜
ôi
´
nguyên k, k 2,
`
n t
.
ai nh
˜
u
,
ng
´
nguyên a
1
, a
2
, . . . , a
n
không
¯
`
ng th
`
o
,
i b
`
˘ang không sao cho |a
i
| k 1, i = 1, 2, . . . , n v
`
a
th
,
oa m
˜
an
´
t phu
,
o
,
ng tr
`
ınh sau |a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ ··· + a
n
x
n
|
(k1)
n
k
n
1
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
ung ta s
,
u
,
d
.
ung
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c Cosi-Buniakovski-Svars
|α
1
β
1
+ |α
2
β
2
+ ··· + |α
n
β
n
|
q
α
2
1
+ ··· + α
2
n
q
β
2
1
+ ··· + β
2
n
,
¯
dus ng v
´
o
,
i m
.
oi
´
th
.
u
,
c α
1
, α
2
, . . . α
n
, β
1
, β
2
, . . . , β
n
.
´
u b
`
˘
ang
,
y ra
khi v
`
a ch
,
ı khi
`
n t
.
ai m
.
ôt
´
λ sao cho α
1
= λβ
1
, α
2
= λβ
2
. . . , α
n
=
λβ
n
.
62 Chu
,
o
,
ng 6. B
`
ai t
.
âp
´
h
.
oc nâng cao
Bây gi
`
o
,
ch
´
ung ta x
´
et c
´
ac
´
y
0
=
k1
2
, y
1
=
k1
2
+ 1, . . . ,
y
k1
=
k1
2
+ (k 1) =
k1
2
´
lu
,
.
o
,
ng c
,
ua ch
´
ung l
`
a k v
`
a hi
.
êu t
`
u
,
ng
c
.
˘
ap trong ch
´
ung l
`
a nh
˜
u
,
ng
´
nguyên, m
`
a gi
´
a tr
.
i tuy
.
êt
¯
´
i c
,
ua n
´
o
không qu
´
a k 1. M
˜
ôi b
.
ô s
´
˘
ap
´
p n-th
`
anh phâ
`
n β = (b
1
, b
2
, . . . , b
n
),
,
o
,
¯
dây b
i
l
`
a m
.
ôt
´
n
`
ao
¯
d
´
o trong y
1
, y
2
, . . . , y
n
v
´
o
,
i m
.
oi i = 1, 2, . . . , n,
ch
´
ung ta
¯
d
.
˘
at tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i m
.
ôt
´
S
β
= b
1
x
1
+ b
2
x
2
+ ··· + b
n
x
n
.
T
`
u
,
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c Cosi
S
β
= b
1
x
1
+ b
2
x
2
+ ··· + b
n
x
n
q
b
2
1
+ b
2
2
+ ··· + b
2
n
q
x
2
1
+ x
2
2
+ ··· + x
2
n
=
q
b
2
1
+ b
2
2
+ ··· + b
2
n
Nhu
,
ng |b
i
|
k1
2
v
´
o
,
i m
.
oi i = 1, 2, . . . , n sao cho
|S
β
|
q
b
2
1
+ b
2
2
+ ··· + b
2
n
k 1
2
n
ho
.
˘
ac l
`
a
k1
2
n S
β
k1
2
n. Theo phu
,
o
,
ng ph
´
ap n
`
ay n-b
.
ô β =
( b
1
, b
2
, . . . , b
n
),
,
o
,
¯
dây b
i
l
`
a m
.
ôt trong c
´
ac
´
y
0
, y
1
, . . . , y
k1
v
´
o
,
i m
.
oi
i = 1, 2, . . . , n,
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
.
˘
at tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i m
.
ôt
´
S
β
= b
1
x
1
+ b
2
x
2
+
··· + b
n
x
n
trong
¯
do
.
an = [
k1
2
n,
k1
2
n].
´
lu
,
.
o
,
ng n-b
.
ô
¯
du
,
.
o
,
c
s
´
˘
ap
´
p l
`
a k
n
. Chia ra k
n
1
¯
do
.
an nh
,
o v
´
o
,
i
¯
d
.
ô d
`
ai
k1
k
n
1
n. T
`
u
,
nguyên l
´
y Ðirichlê suy ra
`
n t
.
ai hai n-b
.
ô β = (b
1
, b
2
, . . . , b
n
) v
`
a
γ = (c
1
, c
2
, . . . , c
n
), m
`
a nh
˜
u
,
ng
´
S
β
= b
1
x
1
+ b
2
x
2
+ ··· + b
n
x
n
v
`
a S
γ
= c
1
x
1
+ c
2
x
2
+ ··· + c
n
x
n
tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i ch
´
ung n
`
˘
am trong
c
`
ung m
.
ôt
¯
do
.
an nh
,
o. Ð
.
˘
at a
1
= b
1
c
1
,a
2
= b
2
c
2
, . . . , a
n
= b
n
c
n
. D
˜
ê kiê
,
m tra
¯
du
,
.
o
,
c a
1
, a
2
.., a
n
th
,
oa m
˜
an
¯
diê
`
u ki
.
ên
¯
d
˜
a cho. Th
.
ât
v
.
ây, v
´
o
,
i m
.
oi i = 1, 2, . . . , n
´
a
i
= b
i
c
i
l
`
a hi
.
êu c
,
ua hai
´
n
`
ao
¯
d
´
o trong y
0
, y
1
, . . . , y
k1
nhu
,
¯
d
˜
a n
´
oi
,
o
,
trên v
`
a l
`
a
´
nguyên không
vu
,
.
o
,
t qu
´
a k 1. V
`
ı hai n-b
.
ô trên kh
´
ac nhau ho
`
an to
`
an th
`
ı
´
ıt nhâ
´
t
m
.
ôt trong c
´
ac
´
a
i
= b
i
c
i
kh
´
ac không. Ngo
`
ai ra, |b
1
x
1
+ b
2
x
2
+
6.2. V
´
ı d
.
u 63
···+ b
n
x
n
| = |x
1
( b
1
c
1
) + x
2
( b
2
c
2
) + ···+ x
n
( b
n
c
n
) | = |S
β
S
γ
|
k1
k
n
1
n.
J
.
.
. 6.9. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang m
˜
ôi b
.
ô
`
m 11
´
th
.
u
,
c kh
´
ac nhau trong
kho
,
ang [1,1000] c
´
o thê
,
ch
.
on
¯
du
,
.
o
,
c hai
´
x v
`
a y, m
`
a ch
´
ung th
,
oa m
˜
an
´
t
¯
d
,
˘ang th
´
u
,
c sau
0 < x y < 3
3
xy (6.2)
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
ung ta x
´
et c
˘
an b
.
âc ba c
,
ua c
´
ac
´
trong b
.
ô
´
¯
d
˜
a cho
x
1
, x
2
, . . . , x
11
T
`
u
,
¯
diê
`
u ki
.
ên
¯
d
˜
a cho suy ra 1
3
x
i
10, i =
1, 2, . . . , 11. Ch
´
ung ta chia kho
,
ang [1,10] ra mu
,
`
o
,
i phâ
`
n b
`
˘
ang nhau.
Khi
¯
d
´
o, c
´
o
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt trong hai
´
3
x
1
,
3
x
2
, . . . ,
3
x
11
n
`
˘
am trong
c
`
ung m
.
ôt
¯
do
.
an nh
,
o.
´
u c
´
ac
´
¯
d
´
o l
`
a
3
x
i
v
`
a
3
x
j
, i 6= j v
`
a x
i
> x
j
,
ch
´
ung ta c
´
o
0 <
3
x
i
3
p
x
j
9
10
< 1. (6.3)
Nhu
,
v
.
ây, 0 < (
3
x
i
3
x
j
)
3
< 1,
´
t h
.
o
,
p v
´
o
,
i (6.3) ta c
´
o 0 < x
i
x
j
< 1 + 3
3
x
i
x
j
(
3
x
i
3
x
j
) < 1 + 3
3
x
i
x
j
.
J
Ch
´
u
´
y: B
`
ai to
´
an không c
`
on
¯
d
´
ung v
´
o
,
i b
.
ô 10
´
th
.
u
,
c trong kho
,
ang
[1,1000]. Ph
,
an v
´
ı d
.
u: b
.
ô
´
1
3
, 2
3
, . . . , 10
3
.
´
u i 6= j v
`
a i > j ch
´
ung
ta c
´
o (i j)
3
1, nhu
,
v
.
ây i
2
+ ij + j
2
1 + 3ij. Ngh
˜
ıa l
`
a i j =
(i j)(i
2
+ ij + j
2
) 1 + 3ij.
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c
,
y ra khi i = j + 1.
.
.
. 6.10. Cho 7
´
th
.
u
,
c
´
t k
`
y. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang gi
˜
u
,
a ch
´
ung c
´
o thê
,
ch
.
on
¯
du
,
.
o
,
c hai
´
, ch
,
˘ang h
.
an x v
`
a y, sao cho
0
x y
1 + xy
3
3
.
L
`
o
,
i gi
,
ai. C
´
ac
´
¯
d
˜
a cho k
´
y hi
.
êu l
`
a x
1
, x
2
, . . . , x
7
. M
.
uc
¯
d
´
ıch c
,
ua ch
´
ung
ta l
`
a biê
,
u di
˜
ên m
.
oi
´
du
,
´
o
,
i d
.
ang x
i
= tg α
i
,
,
o
,
¯
dây α
i
l
`
a m
.
ôt
´
trong kho
,
ang (
π
2
,
π
2
), i = 1, 2, . . . , 7. Ch
´
ung ta chia
¯
do
.
an n
`
ay ra
64 Chu
,
o
,
ng 6. B
`
ai t
.
âp
´
h
.
oc nâng cao
s
´
au
¯
do
.
an con c
´
o
¯
d
.
ô d
`
ai b
`
˘
ang nhau, ngh
˜
ıa l
`
a b
`
˘
ang
π
6
. D
˜
ê d
`
ang thâ
´
y
r
`
˘
ang
´
ıt nhâ
´
t c
´
o hai
´
trong α
1
, α
2
, . . . , α
7
c
`
ung n
`
˘
am trong m
.
ôt
¯
do
.
an
coni
¯
d
´
o.
´
u ch
´
ung ta k
´
y hi
.
êu c
´
ac
´
¯
d
´
o l
`
a α
i
v
`
a α
j
, α
i
α
j
, th
`
ı t
`
u
,
¯
d
´
o
suy ra 0 α
i
α
j
π
6
. V
`
ı h
`
am
´
tg l
`
a t
˘
ang trong kho
,
ang (
π
2
,
π
2
),
suy ra
0 tg(α
i
α
j
) =
tg α
i
tg α
j
1 + tg α
i
tg α
j
=
x
i
x
j
1 + x
i
x
j
tg
π
6
=
3
3
.
J
Ch
´
u
´
y: B
`
˘
ang c
´
ach gi
,
ai c
,
ua hai b
`
ai t
.
âp n
`
ay ch
´
ung ta c
´
o thê
,
s
´
ang
t
.
ao ra m
.
ôt lo
.
at b
`
ai to
´
an tu
,
o
,
ng t
.
u
,
, m
`
a v
´
o
,
i c
´
ach gi
,
ai b
`
ınh thu
,
`
o
,
ng kh
´
o
m
`
a gi
,
ai quyê
´
t
¯
du
,
.
o
,
c.
6.3. B
`
ai t
.
âp
.
.
. 6.11. (Ðê
`
thi To
´
an Olympic quô
´
c
´
`
n 26 n
˘
am 1985). Cho t
.
âp
h
.
o
,
p M
`
m 1985
´
t
.
u
,
nhiên, không c
´
o
´
n
`
ao c
´
o u
,
´
o
,
c
´
l
´
o
,
n ho
,
n
26. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang t
`
u
,
nh
˜
u
,
ng phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua M c
´
o thê
,
ch
.
on
¯
du
,
.
o
,
c 4
´
t
`
u
,
ng
¯
dôi m
.
ôt kh
´
ac nhau m
`
a t
´
ıch c
,
ua ch
´
ung l
`
a l
˜
uy th
`
u
,
a b
.
âc 4 c
,
ua
m
.
ôt
´
nguyên. (kê
´
t lu
.
ân
¯
d
´
ung v
´
o
,
i t
.
âp h
.
o
,
p
`
m 3.2
9
+ 1 = 1537
´
m
`
a nh
˜
u
,
ng u
,
´
o
,
c
´
c
,
ua ch
´
ung không qu
´
a 23).
.
.
. 6.12. Cho
´
n
´
du
,
o
,
ng
´
t k
`
y. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang c
´
o hai
´
trong
´
n
´
¯
d
´
o, ch
,
˘
ang h
.
an x v
`
a y, th
,
oa m
˜
an
´
t phu
,
o
,
ng tr
`
ınh sau
0
x y
1 + x + y + 2xy
2
3.
.
.
. 6.13. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang m
.
ôt
´
t
.
u
,
nhiên c
´
o thê
,
biê
,
u di
˜
ên th
`
anh
,
ng b
`
ınh phu
,
o
,
ng c
,
ua hai
´
nguyên khi v
`
a ch
,
ı khi, trong phân t
´
ıch
ra d
.
ang ch
´
ınh t
´
˘
ac c
,
ua n
´
o, c
´
ac th
`
u
,
a
´
nguyên
´
d
.
ang 4k + 3
¯
`
u c
´
o
´
m
˜
u ch
˜
˘
an.
6.3. B
`
ai t
.
âp 65
.
.
. 6.14. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang t
`
u
,
k + 1
´
, m
`
a ch
´
ung nh
,
o ho
,
n 2k, luôn
luôn c
´
o thê
,
ch
.
on
¯
du
,
.
o
,
c hai
´
m
`
a t
,
y
´
c
,
ua ch
´
ung l
`
a m
.
ôt l
˜
uy th
`
u
,
a
c
,
ua 2.
.
.
. 6.15. Cho n l
`
a m
.
ôt
´
l
,
e. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang t
`
u
,
( n 1)
2
+ 1
´
nguyên
´
t k
`
y c
´
o thê
,
ch
.
on
¯
du
,
.
o
,
c n
´
sao cho
,
ng c
,
ua ch
´
ung chia
´
t cho n.
66 Chu
,
o
,
ng 6. B
`
ai t
.
âp
´
h
.
oc nâng cao
CHU
,
O
,
NG 7
B
`
AI T
.
ÂP D
˜
ÂY S
´
Ô NÂNG CAO
7.1. V
´
ı d
.
u
.
.
. 7.1. Cho d
˜
ay Fibonaxi u
1
= u
2
= 1, u
n
= u
n1
+ u
n2
. V
´
o
,
i m
.
oi
´
nguyên du
,
o
,
ng m, th
`
ı gi
˜
u
,
a nh
˜
u
,
ng
´
h
.
ang t
`
u
,
¯
`
u d
˜
ây
¯
´
n
´
h
.
ang th
´
u
,
m
2
1
`
n t
.
ai m
.
ôt
´
h
.
ang chia
´
t cho m.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
ung ta k
´
y hi
.
êu k l
`
a phâ
`
n du
,
c
,
ua
´
k cho m. Ch
´
ung ta
x
´
et c
´
ac c
.
˘
ap phâ
`
n du
,
c
,
ua d
˜
ay Fibonaxi khi chia cho m:
( u
1
, u
2
). (u
2
, u
3
), (u
3
, u
4
), . . . , (u
n
, u
n+1
), . . . (7.1)
´
u ch
´
ung ta qui
¯
d
.
inh hai c
.
˘
ap (a
1
, b
1
) v
`
a (a
2
, b
2
) l
`
a b
`
˘
ang nhau khi
a
1
= b
1
v
`
a a
2
= b
2
, th
`
ı
´
´
t c
,
a kh
,
a n
˘
ang c
,
ua c
´
ac c
.
˘
ap phâ
`
n du
,
khi chia cho m l
`
a m
2
. V
`
ı thê
´
ch
´
ung ta
´
y m
2
+ 1
´
h
.
ang
¯
`
u tiên
c
,
ua d
˜
ay (7.1) th
`
ı trong ch
´
ung ph
,
ai c
´
o hai c
.
˘
ap tr
`
ung nhau,( theo
nguyên l
´
y Ðirichlê ) v
`
a t
`
u
,
¯
d
´
o c
´
ac c
.
˘
ap sau l
.
˘
ap l
.
ai. Gi
,
a s
,
u
,
c
.
˘
ap (u
k
, u
k+1
)
l
`
a c
.
˘
ap
¯
`
u tiên l
.
˘
ap l
.
ai trong (7.1). Ch
´
ung ta s
˜
e ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang
c
.
˘
ap n
`
ay b
`
˘
ang c
.
˘
ap (1, 1). Th
.
ât v
.
ây, gi
,
a s
,
u
,
ngu
,
.
o
,
c l
.
ai, ngh
˜
ıa l
`
a c
.
˘
ap
¯
`
u tiên l
.
˘
ap l
.
ai l
`
a (
u
k
, u
k+1
), v
´
o
,
i k > 1. Khi
¯
d
´
o ch
´
ung ta s
˜
e t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c trong (7.1) m
.
ôt c
.
˘
ap (u
l
, u
l+1
), (l > k), m
`
a n
´
o b
`
˘
ang (u
k
, u
k+1
)
. Nhu
,
v
.
ây u
l1
= u
l+1
u
l
v
`
a u
k1
= u
k+1
u
k
, do u
l+1
= u
k+1
v
`
a
u
l
= u
k
, nên phâ
`
n du
,
c
,
ua u
l1
v
`
a u
k1
khi chia cho m c
˜
ung b
`
˘
ang
nhau, ngh
˜
ıa l
`
a
u
l1
= u
k1
. T
`
u
,
¯
d
´
o suy ra (u
k1
, u
k
) = (u
l1
, u
l
), v
.
ây
68 Chu
,
o
,
ng 7. B
`
ai t
.
âp d
˜
ây
´
nâng cao
c
.
˘
ap (u
k1
, u
k
)n
`
˘
am trong d
˜
ay (7.1) tru
,
´
o
,
c c
,
a (u
k
, u
k+1
). Ðiê
`
u
¯
d
´
o n
´
oi
lên r
`
˘
ang (u
k
, u
k+1
) không ph
,
ai c
.
˘
ap l
.
˘
ap l
.
ai
¯
`
u tiên, tr
´
ai v
´
o
,
i gi
,
a thiê
´
t
¯
d
.
˘
at ra. Ngh
˜
ıa l
`
a k > 1 không thê
,
x
,
ay ra, v
.
ây k = 1.
Nhu
,
v
.
ây c
.
˘
ap (1, 1) l
`
a c
.
˘
ap
¯
`
u tiên l
.
˘
ap l
.
ai trong (7.1). Gi
,
a s
,
u
,
n
´
o
l
.
˘
ap l
.
ai t
`
n (1 < t < m
2
+ 1). ho
.
˘
ac l
`
a (u
t
, u
t+1
) = (1, 1). Ngh
˜
ıa l
`
a u
t
v
`
a u
t+1
khi chia cho m cho phâ
`
n du
,
c
`
ung l
`
a 1, v
.
ây hi
.
êu c
,
ua ch
´
ung
chia
´
t cho m. Nhu
,
ng u
t+1
u
t
= u
t1
. Nhu
,
v
.
ây
´
h
.
ang th
´
u
,
t 1
c
,
ua d
˜
ay Fibonaxi s
˜
e chia
´
t cho m.
J
.
.
. 7.2. Gi
,
a s
,
u
,
a v
`
a x l
`
a c
´
ac
´
t
.
u
,
nhiên th
.
u
,
c s
.
u
,
l
´
o
,
n ho
,
n 1 v
`
a (x, a 1) =
1. D
˜
ay
´
h
.
an {u
n
}
¯
du
,
.
o
,
c x
´
ac
¯
d
.
inh nhu
,
sau
u
n
= ax
n
a + 1, n = 1, 2, . . .
Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang trong d
˜
ay
´
n
´
oi trên ch
´
u
,
a h
.
an
´
¯
dôi m
.
ôt nguyên
´
c
`
ung nhau.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Gi
,
a thiê
´
t ph
,
an ch
´
u
,
ng trong d
˜
ay
´
ch
,
ı c
´
o h
˜
u
,
u h
.
an
´
u
i
1
, u
i
2
, . . . , u
i
k
¯
dôi m
.
ôt nguyên
´
c
`
ung nhau.
Ð
.
˘
at q = u
i
1
u
i
2
. . . u
i
k
. X
´
et (q + 1)
´
sau a, ax, ax
2
, . . . , ax
q
. Theo
nguyên l
´
y Ðirichlê
`
n t
.
ai hai
´
nguyên r, s sao cho 0 r < s q
v
`
a
ax
r
ax
s
(mod q) = ax
r
ax
s
0 (mod q) hay
ax
r
(1 x
sr
) 0 (mod q) (7.2)
Theo gi
,
a thiê
´
t ta c
´
o (x, a 1) = 1, nên suy ra
(ax
r
, u
i
j
) = 1, j = 1, 2, . . . , k. (7.3)
T
`
u
,
(7.3) suy ra
(ax
r
, q) = 1. (7.4)
7.1. V
´
ı d
.
u 69
T
`
u
,
(7.2) v
`
a (7.4) c
´
o x
sr
1 (mod q) = x
sr
= lq + 1 v
´
o
,
i l N.
X
´
et
´
u
i
k+j
= ax
sr
a + 1. V
.
ây
u
i
k+j
= a(lq + 1) a + 1 = qal + 1. (7.5)
T
`
u
,
(7.5) ta c
´
o
( u
i
k+j
, u
i
j
) = 1, j = 1, 2, . . . , k. (7.6)
H
.
ê th
´
u
,
c (7.6) ch
´
u
,
ng t
,
o r
`
˘
ang luôn c
´
o thê
,
,
sung thêm v
`
ao b
.
ô
´
q = u
i
1
u
i
2
. . . u
i
k
c
´
ac
´
m
´
o
,
i, m
`
a b
.
ô
´
n
`
ay v
˜
ân th
,
oa m
˜
an
¯
diê
`
u ki
.
ên:
´
t k
`
y hai
´
n
`
ao c
˜
ung nguyên
´
c
`
ung nhau. Ðiê
`
u n
`
ay c
´
o ngh
˜
ıa l
`
a
trong d
˜
ay {u
n
}
¯
d
˜
a cho c
´
o h
.
an
´
¯
dôi m
.
ôt nguyên
´
c
`
ung nhau.
J
.
.
. 7.3. Cho {u
n
} l
`
a d
˜
ay c
´
ac
´
t
.
u
,
nhiên ang
`
n: u
1
< u
2
< u
3
< . . .
v
`
a th
,
oa m
˜
an
¯
diê
`
u ki
.
ên u
1
= 1, u
n+1
2n, v
´
o
,
i m
.
oi n l
`
a
´
t
.
u
,
nhiên.
Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang v
´
o
,
i m
.
oi
´
t
.
u
,
nhiên n
`
n t
.
ai c
´
ac
´
h
.
ang u
p
v
`
a u
q
c
,
ua d
˜
ay sao cho u
p
u
q
= n.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Gi
,
a s
,
u
,
n N l
`
a
´
t
.
u
,
nhiên cho tru
,
´
o
,
c. T
`
u
,
gi
,
a thiê
´
t suy ra
m
˜
ôi
´
h
.
ang u
1
, u
2
, . . . , u
n+1
không vu
,
.
o
,
t qu
´
a 2n. X
´
et t
.
âp h
.
o
,
p 2n
´
t
.
u
,
nhiên sau {1, 2, . . . , 2n}. Ch
´
ung ta chia t
.
âp h
.
o
,
p n
`
ay ra l
`
am n c
.
˘
ap
(1, n + 1), (2, n + 2 ), . . . , (n, 2n). Do t
.
âp h
.
o
,
p trên ch
´
u
,
a không
´
ıt ho
,
n
( n + 1) phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua d
˜
ay {u
n
}
¯
d
˜
a cho (v
`
ı n
´
oi riêng u
1
, u
2
, . . . , u
n+1
¯
d
˜
a
thu
.
ôc t
.
âp h
.
o
,
p â
´
y), v
.
ây theo nguyên l
´
y Ðirichlê
`
n t
.
ai hai
´
h
.
ang
kh
´
ac nhau u
p
v
`
a u
q
c
,
ua d
˜
ay thu
.
ôc v
`
ao m
.
ôt c
.
˘
ap ( gi
,
a s
,
u
,
u
p
> u
q
).
Nhu
,
ng hi
.
êu
´
c
,
ua m
˜
ôi c
.
˘
ap
¯
`
u b
`
˘
ang n, nên ch
´
ung ta c
´
o u
p
u
q
= n.
J
.
.
. 7.4. Cho {u
k
}, k = 1, 2, . . . , n l
`
a d
˜
ay
´
t
.
u
,
nhiên sao cho
1 u
1
u
2
. . . u
n
v
`
a u
1
+ u
2
+ ··· + u
n
= 2n
70 Chu
,
o
,
ng 7. B
`
ai t
.
âp d
˜
ây
´
nâng cao
Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
´
u n ch
˜
˘an v
`
a u
n
6= n + 1, th
`
ı t
`
u
,
d
˜
ay trên luôn ch
.
on
ra
¯
du
,
.
o
,
c m
.
ôt d
˜
ay con m
`
a
,
ng c
´
ac
´
h
.
ang c
,
ua d
˜
ay con
¯
d
´
o b
`
˘ang n.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ð
.
˘
at S
k
= u
1
+ u
2
+ ···+ u
k
, k = 1, 2, 3, . . . , n. X
´
et n + 2
´
{0, u
1
u
n
, S
1
, S
2
, . . . , S
n
} Theo nguyên l
´
y Ðirichlê th
`
ı
´
ıt nhâ
´
t hai
´
khi chia cho n c
´
o c
`
ung phâ
`
n du
,
. V
.
ây, ch
,
ı c
´
o 4 kh
,
a n
˘
ang sau
¯
dây:
1) (u
1
u
n
) chia
´
t cho n.
Do u
1
+ u
2
+ ··· + u
n
n u
1
= 2n nu
1
= u
1
2
a)
´
u u
1
= 2 th
`
ı t
`
u
,
1 u
1
u
2
. . . u
n
v
`
a u
1
+ u
2
+ ···+
u
n
= 2n suy ra u
1
= u
2
= . . . = u
n
= 2. Do n ch
˜
˘
an nên n = 2m v
.
ây
u
1
+ u
2
+ ··· + u
m
= 2m = n
b)
´
u u
1
< 2 th
`
ı t
`
u
,
u
1
u
n
chia
´
t cho n, suy ra u
n
= 1 ho
.
˘
ac
l
`
a u
n
= 1 + n ( do u
1
nguyên nên u
1
= 1 v
`
a 1 u
n
2n suy ra
¯
du
,
.
o
,
c
´
t lu
.
ân trên). Nhu
,
ng u
n
6= n + 1 suy ra u
n
= 1. M
.
˘
at kh
´
ac
1 u
1
u
2
. . . u
n
v
.
ây th
`
ı u
2
= u
3
= . . . = u
n1
= 1. Suy ra
u
1
+ u
2
+ ··· + u
n
= n, l
´
y.
Nhu
,
v
.
ây trong tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p n
`
ay, ta ch
,
ı ra
`
n t
.
ai d
˜
ay con u
1
, u
2
, . . . , u
m
sao cho u
1
+ u
2
+ ··· + u
m
= n v
´
o
,
i m =
n
2
.
2) S
j
S
i
, (j > i) chia
´
t cho n.
Ta c
´
o S
j
S
i
= u
i +1
+ u
i +2
+ ···+ u
j
. R
˜
o r
`
ang
´
ph
,
ai c
,
ua
¯
d
,
˘
ang
th
´
u
,
c trên c
´
o
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt
´
h
.
ang m
`
a u
k
1, k = 1, 2, . . . , n, suy ra
S
j
S
i
1. M
.
˘
at kh
´
ac c
˜
ung hi
.
êu trên
´
u không
¯
d
,
u c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua
d
˜
ay th
`
ı bao gi
`
o
,
ta c
˜
ung c
´
o S
j
S
i
< u
1
+ u
2
+ ··· + u
n
2n 1.
Do
¯
d
´
o cuô
´
i c
`
ung ta c
´
o 1 S
j
S
i
< u
1
+ u
2
+ ··· + u
n
2n 1
m
`
a S
j
S
i
chia
´
t cho n.
¯
diê
`
u n
`
ay ch
,
ı
,
y ra khi S
j
S
i
= n ho
.
˘
ac
l
`
a u
i +1
+ u
i +2
+ ··· + u
j
= n.
3) S
i
chia
´
t cho n.
7.1. V
´
ı d
.
u 71
Ta c
´
o 1 S
i
S
n1
= 2n u
n
< 2n m
`
a S
i
chia
´
t cho n, suy
ra S
i
= n ho
.
˘
ac l
`
a u
1
+ u
2
+ ··· + u
i
chia
´
t cho n.
4) S
k
v
`
a u
1
u
n
cho c
`
ung phâ
`
n du
,
khi chia cho n, v
´
o
,
i k n
`
ao
¯
d
´
o, 1 k n 1. Suy ra S
k
(u
1
u
n
) |n = (u
2
+ u
3
+ ··· +
u
k
+ u
n
) |n. M
`
a u
2
+ u
3
+ ··· + u
k
+ u
n
2n u
1
< 2n. Suy ra
u
2
+ u
3
+ ··· + u
k
+ u
n
= n.
T
´
om l
.
ai luôn luôn ch
.
on
¯
du
,
.
o
,
c d
˜
ay con m
`
a
,
ng c
,
ua ch
´
ung b
`
˘
ang
n.
J
.
.
. 7.5. Cho d
˜
ay
´
nguyên u
1
, u
2
, . . . , u
n
v
´
o
,
i n 2. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
`
n t
.
ai d
˜
ay con u
k
1
, u
k
2
, . . . , u
k
m
trong
¯
d
´
o 1 k
1
< k
2
< . . . < k
m
n
sao cho u
2
k
1
+ u
2
k
2
+ ··· + u
2
k
m
chia
´
t cho n.
L
`
o
,
i gi
,
ai. X
´
et (n + 1)
´
0, u
2
1
, u
2
1
+ u
2
2
, u
2
1
+ u
2
2
+ u
2
3
, . . . , u
2
1
+ u
2
2
+ ··· + u
2
n
Chia c
´
ac
´
n
`
ay cho n, th
`
ı ch
´
ung cho nhiê
`
u nhâ
´
t n
´
du
,
. Theo
nguyên l
´
y Ðirichlê
`
n t
.
ai hai
´
cho c
`
ung
´
du
,
, gi
,
a s
,
u
,
¯
d
´
o l
`
a u
2
1
+
u
2
2
+ ··· + u
2
j
v
`
a u
2
1
+ u
2
2
+ ··· + u
2
k
(0 j < k n). C
´
o ngh
˜
ıa
l
`
a
´
( u
2
1
+ u
2
2
+ ··· + u
2
j
) (u
2
1
+ u
2
2
+ ··· + u
2
k
) chia
´
t cho n.
Ho
.
˘
ac l
`
a u
j+1
+ u
j+2
+ ··· + u
k
chia
´
t cho n. D
˜
ay con ph
,
ai t
`
ım l
`
a
u
j+1
, u
j+2
, . . . , u
k
.
J
.
.
. 7.6. Cho d
˜
ay Fibonaxi 1, 2, 3, 5, 8,. . .
.
˘at f (n) = 1985
2
+
1956n
2
+ 1960 Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
`
n t
.
ai h
.
an
´
h
.
ang u
k
c
,
ua d
˜
ay
Fibonaxi, sao cho f (u
k
) |1989
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ð
.
˘
at h(n) = 4n
2
+ 33 n + 29 = h(n) = 1989(n
2
+ n + 1)
f (n). T
`
u
,
¯
d
´
o suy ra f (n)|1989 h(n)|1989.
72 Chu
,
o
,
ng 7. B
`
ai t
.
âp d
˜
ây
´
nâng cao
X
´
et d
˜
ay
´
{v
n
} sau
¯
dây, trong
¯
d
´
o
v
0
= 1, v
1
= 1
v
n+1
= v
n
+ v
n+1
, n = 1, 2, . . .
N
´
oi c
´
ach kh
´
ac d
˜
ay {v
n
} l
`
a d
˜
ay sinh ra b
,
o
,
i d
˜
ay Fibonaxi {u
n
} :
1, 1, 2, 3, 5, . . . b
`
˘
ang c
´
ach thêm v
`
ao tru
,
´
o
,
c d
˜
ay n
`
ay ba
´
h
.
ang -1, 1, 0.
G
.
oi r
i
l
`
a phâ
`
n du
,
trong ph
´
ep chia v
i
cho 1989(i = 0, 1, 2, . . .).
Nhu
,
v
.
ây ta c
´
o 0 r 1988. X
´
et d
˜
ay c
´
ac c
.
˘
ap
´
sau
¯
dây
(r
0
, r
1
), (r
1
, r
2
), (r
2
, r
3
), . . . .
V
`
ı m
˜
ôi c
.
˘
ap r
i
ch
,
ı nh
.
ân m
.
ôt trong 1989 gi
´
a tr
.
i, v
.
ây
´
c
´
ac c
.
˘
ap kh
´
ac
nhau
´
i
¯
da l
`
a 1989
2
. T
`
u
,
¯
d
´
o theo nguyên l
´
y Ðirichlê th
`
ı trong 1989
2
+
1 c
.
˘
ap
¯
`
u tiên
´
ıt nhâ
´
t c
´
o hai c
.
˘
ap tr
`
ung nhau. Gi
,
a s
,
u
,
hai c
.
˘
ap â
´
y l
`
a
(r
p
, r
p+1
), (r
p+q
, r
p+q+1
), p, q N
Ðiê
`
u â
´
y c
´
o ngh
˜
ıa l
`
a r
p
= r
p+1
, r
p+q
= r
p+q+1
. Theo c
´
ach x
´
ac
¯
d
.
inh
d
˜
ay, ta c
´
o
v
p1
= v
p+1
v
p
= r
p1
= r
p+1
r
p
Tu
,
o
,
ngt
.
u
,
, ta c
´
o
v
p+q1
= v
p+q+1
v
p+q
= r
p+q1
= r
p+q+1
r
p+q
T
`
u
,
¯
d
´
o suy ra r
p1
= r
p+q1
. Tu
,
o
,
ngt
.
u
,
, ta c
´
o
r
p2
= r
p+q2
. . . . . . .
r
2
= r
q+2
r
1
= r
q+1
r
0
= r
q
T
`
u
,
r
0
= r
q
, r
1
= r
q+1
v
`
a v
n+1
= v
n
+ v
n+1
suy ra r
i
= r
i +q
, i =
0, 1, 2, . . .. Do v
.
ây r
0
= r
q
= r
2q
= r
3q
= . . . = r
kq
, k 1, suy
7.1. V
´
ı d
.
u 73
ra h(v
kq
) = 1989.A + h(1) = 1989.A. Nhu
,
ng k = 1, 2, 3 . . . v
kq
¯
`
u l
`
a
´
Fibonaxi suy ra c
´
o
´
´
h
.
ang v
kq
c
,
ua d
˜
ay Fibonaxi m
`
a
f (v
kq
) |1989.
J
.
.
. 7.7. Cho d
˜
ay
´
{u
n
} x
´
ac
¯
d
.
inh nhu
,
sau
u
1
= 20, u
2
= 100, v
`
a u
n+1
= 4u
n
+ 5u
n1
1976, n = 1, 2, . . .
Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
`
n t
.
ai
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt
´
c
,
ua d
˜
ay
´
chia
´
t cho 1996.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ð
.
˘
at u
n
= 1996p
n
+ q
n
, n = 1, 2, . . . trong
¯
d
´
o p
n
, q
n
l
`
a c
´
ac
´
nguyên v
`
a 0 q
n
1995. X
´
et d
˜
ay
´
( q
1
, q
2
), (q
2
, q
3
), . . . , (q
n
, q
n+1
), . . .
V
`
ı d
˜
ay n
`
ay h
.
an m
`
a
´
c
´
ac
´
q
i
l
`
a h
˜
u
,
u h
.
an nên
`
n t
.
ai hai
´
t
.
u
,
nhiên l, m ( gi
,
a s
,
u
,
m > l) sao cho (q
l
, q
l+1
) = (q
m
, q
m+1
) hiê
,
u
theo ngh
˜
ıa q
l
= q
m
v
`
a q
l+1
= q
m+1
. Ch
´
ung ta s
˜
e ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang
q
l1
= q
m1
. Th
.
ât v
.
ây,
5(u
m1
u
l1
) = (u
m+1
4u
m
+ 1976) (u
l+1
4u
l
+ 1976)
= (u
m+1
u
l+1
) 4 (u
m
u
l
) (7.7)
Do u
k
= 1996p
k
+ q
k
, nên t
`
u
,
(7.7) c
´
o
5(u
m1
u
l1
) = 1996(p
m+1
p
l+1
) (q
m+1
q
l+1
)
4[1996 (p
m
p
l
) ( q
m
q
l
)] (7.8)
Thay nh
˜
u
,
ng gi
´
a tr
.
i b
`
˘
ang nhau v
`
ao ((7.8) ta
¯
di
¯
´
n
5(u
m1
u
l1
) = 1996[(p
m+1
p
l+1
) 4(q
m
q
l
)] (7.9)
T
`
u
,
(7.9) suy ra 5(u
m1
u
l1
) |1996, m
`
a (5, 1996) = 1 = (u
m1
u
l1
) |1996 = 1996(p
m1
p
l1
) + (q
m1
q
l1
) |1996
= (q
m1
q
l1
) |1996. (7.10)
74 Chu
,
o
,
ng 7. B
`
ai t
.
âp d
˜
ây
´
nâng cao
Do 0 q
m1
1995, 0 q
l1
1995
= 1995 q
m1
q
l1
1995 (7.11)
T
`
u
,
(7.10) v
`
a (7.11) suy ra (q
m1
q
l1
) = 0 hay q
m1
= q
l1
.
Tu
,
o
,
ng t
.
u
,
ch
´
ung ta c
˜
ung c
´
o thê
,
¯
di
¯
´
n q
m2
= q
l2
v
`
a c
´
u
,
tiê
´
p t
.
uc
nhu
,
thê
´
¯
di
¯
´
n
q
2
= q
2
+ ( m 1) v
`
a q
1
= q
1
+ ( m l) (7.12)
Ta ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang u
ml
ch
´
ınh l
`
a
´
h
.
ang c
,
ua d
˜
ay m
`
a chia
´
t cho
1996. Th
.
ât v
.
ây theo c
´
ach x
´
ac
¯
d
.
inh d
˜
ay, ta c
´
o
5u
ml
= u
ml+2
4u
ml+1
+ 1976
= 1996p
ml+2
+ q
ml+2
4(1996p
ml+1
+ q
ml+1
) + 1996
= 1996(p
ml+2
+ 4p
m+l+1
) + (q
ml+2
+ 4q
ml+1
) + 1996
Thay (7.12) v
`
ao
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c trên ta c
´
o
5u
ml
= 1996(p
ml+2
4p
ml+1
) + (q
2
4q
1
) + 1996. (7.13)
Do
u
1
= 20 = u
1
= 0.1996 + 20 = q
1
= 20
u
2
= 100 = u
2
= 0.1996 + 100 = q
2
= 100
V
.
ây t
`
u
,
(7.13) suy ra
5u
ml
= 1996(p
ml+2
4p
ml+1
) + 1996. (7.14)
Do p
ml+2
v
`
a p
ml+1
l
`
a
´
nguyên, v
.
ây t
`
u
,
(7.14) suy ra 5u
ml
|1996
m
`
a ( 5, 1996) = 1 suy ra u
ml
|1996.
J
.
.
. 7.8. Cho d
˜
ay
´
t
.
u
,
nhiên u
1
, u
2
, . . . , u
n+1
sao cho 1 u
1
< u
2
<
. . . < u
n+1
2n . Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
`
n t
.
ai hai
´
t
.
u
,
nhiên i v
`
a j sao
cho u
j
chia
´
t cho u
i
, (j > i).
L
`
o
,
i gi
,
ai. K
´
y hi
.
êu v
i
l
`
a u
,
´
o
,
c
´
l
,
e l
´
o
,
n nhâ
´
t c
,
ua u
i
tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng, ngh
˜
ıa l
`
a
u
i
= 2
p
i
.v
i
, v
´
o
,
i v
i
l
,
e v
`
a
´
t
.
u
,
nhiên p
i
n
`
ao
¯
d
´
o (i = 1, 2, . . . , n + 1).
7.1. V
´
ı d
.
u 75
Do 1 u
1
< u
2
< . . . < u
n+1
2n suy ra v
´
o
,
i m
.
oi i = 1, 2, . . . , n + 1
ta c
´
o v
i
< 2n . X
´
et (n + 1)
´
l
,
e v
1
, v
2
, . . . , v
n+1
. C
´
ac
´
l
,
e n
`
ay
¯
`
u
du
,
o
,
ng v
`
a nh
,
o ho
,
n 2n. nên
´
lu
,
.
o
,
ng c
,
ua ch
´
ung b
`
˘
ang n. V
.
ây theo
nguyên l
´
y Ðirichlê
`
n t
.
ai hai
´
i, j sao cho 1 i < j n + 1 m
`
a
v
i
= v
j
. Theo c
´
ach
¯
d
.
˘
at trên th
`
ı u
i
= 2
p
i
v
i
v
`
a u
j
= 2
p
j
v
j
. Nhu
,
ng
u
i
< u
j
suy ra 2
p
i
v
i
< 2
p
j
v
j
, m
`
a v
i
= v
j
. Suy ra 2
p
i
< 2
p
j
. Do p
i
, p
j
l
`
a
c
´
ac
´
nguyên du
,
o
,
ng nên 2
p
j
chia
´
t cho 2
p
i
. Ngh
˜
ıa l
`
a u
j
chia
´
t
cho u
i
.
J
.
.
. 7.9. (Ðê
`
thi To
´
an Olympic Quô
´
c
´
`
n th
´
u
,
13) D
˜
ay
´
{u
n
}, n =
2, 3, 4, . . . x
´
ac
¯
d
.
inh nhu
,
sau u
n
= 2
n
3. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang d
˜
ay
´
n
`
ay
ch
´
u
,
a m
.
ôt t
.
âp h
.
an c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
, sao cho
´
t k
`
y hai
´
n
`
ao c
,
ua t
.
âp
h
.
o
,
p n
`
ay c
˜
ung nguyên
´
c
`
ung nhau.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ta ch
´
u
,
ng minh b
`
˘
ang quy n
.
ap. Gi
,
a thiê
´
t
¯
d
˜
a xây d
.
u
,
ng
¯
du
,
.
o
,
c
k phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua d
˜
ay
u
1
= 2
n
1
3, u
2
= 2
n
2
3, . . . , u
k
= 2
n
k
3
m
`
a v
´
o
,
i m
.
oi i 6= j, th
`
ı (u
j
, u
i
) = 1, v
´
o
,
i 1 i, j k,
,
o
,
¯
dây 2 = n
1
<
n
2
< . . . < n
k
.
Ch
´
ung ta s
˜
e xây d
.
u
,
ng
´
u
k+1
= 2
n
k+ 1
3 nguyên
´
c
`
ung nhau
v
´
o
,
i c
´
ac
´
u
1
, u
2
, . . . , u
k
b
`
˘
ang c
´
ach sau
¯
dây: Ð
.
˘
at l = u
1
.u
2
. . . u
k
. X
´
et
( l + 1 )
´
2
0
, 2
1
, . . . 2
l
Khi chia c
´
ac
´
n
`
ay cho l ta
¯
du
,
.
o
,
c m
.
ôt t
.
âp h
.
o
,
p
`
m l
´
du
,
. V
.
ây theo nguyên l
´
y Ðirichlê c
´
o
´
ıt nhâ
´
t hai
´
cho ta
c
`
ung phâ
`
n du
,
. Gi
,
a s
,
u
,
hai
´
¯
d
´
o l
`
a 2
r
v
`
a 2
s
, (s > r). Bây gi
`
o
,
ch
.
on
´
p
sao cho pl = 2
r
2
s
= 2
s
(2
rs
1). Do l l
`
a
´
l
,
e nên 2
s
không chia
´
t cho l . M
.
˘
at kh
´
ac (2
r
, 2
rs
) = 1 suy ra (2
rs
1) chia
´
t cho l.
Ðiê
`
u n
`
ay ngh
˜
ıa l
`
a
`
n t
.
ai
´
t
.
u
,
nhiên q sao cho 2
rs
1 = ql, suy ra
2
rs+2
3 = 4.2
rs
3 = 4 (ql + 1) 3 = 4ql + 1.
76 Chu
,
o
,
ng 7. B
`
ai t
.
âp d
˜
ây
´
nâng cao
Ð
.
˘
at u
k+1
= 2
rs+2
3 = ql. Do u
k+1
= 4ql + 1 v
`
a l =
u
1
.u
2
. . . u
k
, suy ra u
k+1
> u
k
.
Do u
k+1
= 4q l + 1, suy ra (u
k+1
, 1) = 1. Do
¯
d
´
o (u
k+1
, u
i
) = 1 v
´
o
,
i
m
.
oi i = 1, 2, . . . , k.
Nhu
,
v
.
ây khi
¯
d
˜
a xây d
.
u
,
ng
¯
du
,
.
o
,
c d
˜
ay con u
1
, u
2
, . . . , u
k
th
,
oa m
˜
an
¯
diê
`
u ki
.
ên
¯
`
u b
`
ai, th
`
ı s
˜
e xây du
,
.
o
,
ng
¯
du
,
.
o
,
c d
˜
ay con m
´
o
,
i u
1
, u
2
, . . . , u
k
,
u
k+1
c
˜
ung c
´
o t
´
ınh châ
´
t â
´
y. Theo nguyên l
´
y qui n
.
ap ch
´
ung ta xây d
.
u
,
ng
¯
du
,
.
o
,
c d
˜
ay con h
.
an u
1
, u
2
, . . . , u
n
, . . . . c
,
ua d
˜
ay
¯
d
˜
a cho c
´
o t
´
ınh châ
´
t:
´
t c
´
u
,
c
.
˘
ap phâ
`
n t
,
u
,
n
`
ao c
,
ua d
˜
ay con â
´
y c
˜
ung nguyên
´
c
`
ung nhau.
J
.
.
. 7.10. Cho u
1
v
`
a u
2
l
`
a hai
´
nguyên du
,
o
,
ng nguyên
´
c
`
ung nhau.
D
˜
ay
´
{u
n
} x
´
ac
¯
d
.
inh v
´
o
,
i u
1
, u
2
l
`
a hai
´
h
.
ang
¯
`
u tiên, c
`
on khi n =
2, 3, . . . ta x
´
ac
¯
d
.
inh
u
n+1
= u
n
u
n1
+ 1
Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang v
´
o
,
i m
.
oi i > 1
`
n t
.
ai j > i sao cho u
j
chia
´
t cho
u
i
.
L
`
o
,
i gi
,
ai.
´
y i > 1 t
`
uy
´
y, v
`
a p l
`
a u
,
´
o
,
c
´
nguyên
´
c
,
ua u
i
. Xây d
.
u
,
ng
d
˜
ay
´
{v
n
} nhu
,
sau
0 v
n
p 1
v
n
u
n
(mod p)
Ta c
˜
ung c
´
o v
n+1
= v
n
v
n1
+ 1 (mod p), n = 2, 3 . . . V
`
ı c
´
ac c
.
˘
ap
( v
n
, v
n1
) l
`
a h
.
an, m
`
a v
n
ch
,
ı nh
.
ân h
˜
u
,
u h
.
an gi
´
a tr
.
i suy ra {v
n
}
ph
,
ai l
`
a d
˜
ay tuâ
`
n ho
`
an t
`
u
,
m
.
ôt l
´
uc n
`
ao
¯
d
´
o. Ta
`
n ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang
`
n t
.
ai
´
nguyên du
,
o
,
ng k
p
> 0 sao cho
v
i +k
p
= 0. (7.15)
X
´
et hai kh
,
a n
˘
ang sau
7.1. V
´
ı d
.
u 77
1) Gi
,
a s
,
u
,
d
˜
ay {v
n
} tuâ
`
n ho
`
an t
`
u
,
v
s
v
´
o
,
i chu k
`
y T, trong
¯
d
´
o s > i.
Ta c
´
o
v
s+1
= v
s
v
s1
+ 1 = v
s+T+1
= v
s+T
v
s+T1
+ 1 (mod p)
v
s
v
s1
= v
s+T
v
s+T1
(mod p). (7.16)
a)
´
u v
s
= v
s+T
0 (mod p), th
`
ı v
s
= v
s+T
= 0, do 0 v
n
p 1, n. Khi
¯
d
´
o ch
,
ı vi
.
êc ch
.
on k
p
= s i, Suy ra v
i +k
p
= v
s
= 0,
v
.
ây (7.15)
¯
d
´
ung.
b)
´
u v
s
= v
s+T
6= 0, th
`
ı t
`
u
,
(7.16) c
´
o v
s1
= v
s+T1
. Suy ra
{v
n
} tuâ
`
n ho
`
an không ph
,
ai b
´
˘
at
¯
`
u t
`
u
,
v
s
¯
diê
`
u n
`
ay mâu thu
˜
ân v
´
o
,
i
c
´
ach ch
.
on s.Kh
,
a n
˘
ang n
`
ay không
,
y ra.
T
´
om l
.
ai h
.
ê th
´
u
,
c (7.15)
¯
d
´
ung trong tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p 1).
2)
´
u s i th
`
ı h
.
ê th
´
u
,
c (7.15) hiê
,
n nhiên
¯
d
´
ung. Ta c
´
o v
i +1
u
i +1
(mod p) u
i
u
i 1
+ 1 (mod p) v
.
ây v
i
u
i
(mod p) nhu
,
ng
do p l
`
a u
,
´
o
,
c nguyên
´
c
,
ua u
i
suy ra v
i
0 (mod p), nhu
,
v
.
ây v
i +1
1 (mod p) hay l
`
a v
i +1
= 1.
Tu
,
o
,
ngt
.
u
,
, do v
i +k
p
= 0 suy ra v
i +k
p
+1
= 1. Nhu
,
v
.
ây suy ra {v
n
}
c
˜
ung tuâ
`
n ho
`
an v
´
o
,
i chu k
`
y k
p
t
´
u
,
c l
`
a v
´
o
,
i m
.
oi l nguyên du
,
o
,
ng, ta c
´
o
v
i +l.k
p
= 0. (7.17)
Ngh
˜
ıa l
`
a u
i +l.k
p
chia
´
t cho p.
Nhu
,
v
.
ây v
´
o
,
i m
.
oi u
,
´
o
,
c nguyên
´
p c
,
ua u
i
ta xây d
.
u
,
ng
¯
du
,
.
o
,
c
´
k
p
sao cho (7.17)
¯
d
´
ung.
G
.
oi m l
`
a b
.
ôi
´
chung nh
,
o nhâ
´
t c
,
ua
´
t c
,
a c
´
ac
´
k
p
, theo (7.3)
suy ra v
i +lm
= 0 v
´
o
,
i m
.
oi l nguyên du
,
o
,
ng. Suy ra u
i +lm
chia
´
t cho
´
t c
,
a c
´
ac u
,
´
o
,
c
´
nguyên
´
c
,
ua u
i
. T
´
u
,
c l
`
a u
i +lm
chia
´
t cho u
i
v
´
o
,
i
m
.
oi
´
nguyên du
,
o
,
ng l.
´
y j = i + lm, ta c
´
o
¯
diê
`
u ph
,
ai ch
´
u
,
ng minh.
J
78 Chu
,
o
,
ng 7. B
`
ai t
.
âp d
˜
ây
´
nâng cao
7.2. B
`
ai t
.
âp
.
.
. 7.11.
´
u ba
´
nguyên
´
th
.
u
,
c s
.
u
,
l
´
o
,
n ho
,
n 3 l
.
âp th
`
anh m
.
ôt
´
p
´
c
.
ông th
`
ı công sai c
,
ua ch
´
ung chia
´
t cho 6.
.
.
. 7.12. cho f (n) l
`
a h
`
am x
´
ac
¯
d
.
inh trên t
.
âp c
´
ac
´
nguyên du
,
o
,
ng nhu
,
sau:
´
u n = a
1
a
2
. . . a
k
, th
`
ı f (n) = (a
1
+ a
2
+ ··· + a
k
)
1998
. V
´
o
,
i m
˜
ôi
´
nguyên du
,
o
,
ng n, l
.
âp d
˜
ay h
.
an u
i
( n), i = 1, 2, . . . nhu
,
sau
u
i
( n) = f ( f (. . . f (n)i
`
n f
| {z }
Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang v
´
o
,
i m
.
oi n nguyên du
,
o
,
ng,
`
n t
.
ai p sao cho d
˜
ay
u
i
( n), i = p, p + 1, . . . l
`
a d
˜
ay tuâ
`
n ho
`
an.
.
.
. 7.13. Cho u
1
, u
2
, . . . , u
n
l
`
a d
˜
ay
´
t
`
uy
´
y
`
m n
´
h
.
ang. Ch
´
u
,
ng
minh r
`
˘
ang luôn luôn tr
´
ıch
¯
du
,
.
o
,
c m
.
ôt d
˜
ay con sao cho
´
u g
.
oi S l
`
a
,
ng c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua d
˜
ay con â
´
y, th
`
ı S kh
´
ac v
´
o
,
i
´
nguyên
`
n nhâ
´
t
m
.
ôt lu
,
.
o
,
ng không vu
,
.
o
,
t qu
´
a
1
n + 1
.
.
.
. 7.14. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang
´
u nh
˜
u
,
ng
´
nguyên a v
`
a m nguyên
´
c
`
ung nhau, th
`
ı
`
n t
.
ai m
.
ôt
´
t
.
u
,
nhiên n m
`
a t
´
ıch na chia cho m cho
´
du
,
1.
CHU
,
O
,
NG 8
S
´
Ô TH
.
U
,
C V
´
O
,
I T
.
ÂP TR
`
U M
.
ÂT
8.1. T
.
âp tr
`
u m
.
ât
Trên
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang th
.
u
,
c ch
´
ung ta thu
,
`
o
,
ng quan tâm t
´
o
,
i kh
´
ai ni
.
êm
m
.
ôt kho
,
ang (m
.
ôt
¯
do
.
an th
,
˘
ang), ta c
´
o thê
,
hiê
,
u m
.
ôt kho
,
ang trên
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang th
.
u
,
c l
`
a t
.
âp h
.
o
,
p
´
t c
,
a c
´
ac
´
th
.
u
,
c n
`
˘
am gi
˜
u
,
a hai
¯
diê
,
m
¯
d
˜
a cho. Nhu
,
v
.
ây hai
¯
diê
,
m
¯
,
x
´
ac
¯
d
.
inh m
.
ôt kho
,
ang c
´
o thê
,
n
`
˘
am trong
ho
.
˘
ac n
`
˘
am ngo
`
ai kho
,
ang
¯
d
´
o ;
¯
dây l
`
a xuâ
´
t ph
´
at c
,
ua kh
´
ai ni
.
êm
¯
d
´
ong,
m
,
o
,
,..
,
o
,
ng
`
anh gi
,
ai t
´
ıch, gi
,
ai t
´
ıch h
`
am trong to
´
an h
.
oc cao
´
p. Nhu
,
ng
,
o
,
¯
dây ta không quan tâm
¯
diê
`
u
¯
d
´
o, m
`
a ch
,
ı quan tâm t
´
o
,
i c
´
ac kh
´
ai
ni
.
êm sau
¯
dây v
´
o
,
i quan
¯
diê
,
m kiê
´
n th
´
u
,
c so
,
´
p. V
´
o
,
i a, b l
`
a
´
th
.
u
,
c, k
´
y
hi
.
êu [a,b] l
`
a kho
,
ang
¯
du
,
.
o
,
c t
´
ınh c
,
a hai
¯
diê
,
m
¯
`
u a, b v
`
a g
.
oi l
`
a kho
,
ang
¯
d
´
ong. Kho
,
ang m
,
o
,
¯
du
,
.
o
,
c k
´
y hi
.
êu l
`
a (a, b), không
´
y hai
¯
diê
,
m
¯
`
u
a, b. Ngo
`
ai ra ta c
`
on x
´
et kho
,
ang n
,
u
,
a
¯
d
´
ong (n
,
u
,
a m
,
o
,
) do vi
.
êc ta ch
,
ı
´
y m
.
ôt trong hai
¯
diê
,
m
¯
`
u a ho
.
˘
ac b,v
´
ı d
.
u nhu
,
[a, b) ho
.
˘
ac (a, b]. M
.
ôt
kho
,
ang trong t
.
âp
´
th
.
u
,
c g
.
oi l
`
a suy tho
´
ai
´
u n
´
o ch
,
ı l
`
a m
.
ôt
¯
diê
,
m
(t
´
u
,
c l
`
a khi hai
¯
diê
,
m
¯
`
u tr
`
ung nhau).
M
.
ôt t
.
âp h
.
o
,
p A c
,
ua
´
th
.
u
,
c g
.
oi l
`
a tr
`
u m
.
ât,
´
u m
.
oi kho
,
ang
không suy tho
´
ai
¯
`
u ch
´
u
,
a m
.
ôt
´
phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua A.
M
.
ôt v
´
ı d
.
u d
˜
ê thâ
´
y l
`
a t
.
âp h
.
o
,
p
´
h
˜
u
,
u t
,
y
`
m c
´
ac
´
c
´
o thê
,
biê
,
u
di
˜
ên nhu
,
m
.
ôt thu
,
o
,
ng c
,
ua hai
´
nguyên v
`
a t
.
âp h
.
o
,
p
´
t
,
y
`
m
80 Chu
,
o
,
ng 8.
´
th
.
u
,
c v
´
o
,
i t
.
âp tr
`
u m
.
ât
nh
´
u
,
ng
´
không ph
,
ai l
`
a
´
h
˜
u
,
u t
,
y
¯
`
u l
`
a nh
˜
u
,
ng t
.
âp tr
`
u m
.
ât trong
t
.
âp
´
th
.
u
,
c.
Ngu
,
`
o
,
i ta c
`
on m
,
o
,
r
.
ông kh
´
ai ni
.
êm tr
`
u m
.
ât cho m
.
ôt kho
,
ang trên
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang th
.
u
,
c. Cho l
`
a m
.
ôt kho
,
ang
´
t k
`
y trên
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang
th
.
u
,
c. Ch
´
ung ta g
.
oi t
.
âp h
.
o
,
p B
`
m nh
˜
u
,
ng
´
th
.
u
,
c l
`
a tr
`
u m
.
ât trong
,
´
u v
´
o
,
i m
.
oi kho
,
ang con không suy tho
´
ai c
,
ua
¯
`
u ch
´
u
,
a nh
˜
u
,
ng
phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua B. R
˜
o r
`
ang t
.
âp h
.
o
,
p c
´
ac
´
h
˜
u
,
u t
,
y tr
`
u m
.
ât trong m
.
oi
kho
,
ang; v
`
a t
.
âp h
.
o
,
p c
´
ac
´
t
,
y c
˜
ung c
´
o t
´
ınh châ
´
t â
´
y.
Nh
˜
u
,
ng k
´
y hi
.
êu hay
¯
du
,
.
o
,
c d
`
ung: v
´
o
,
i m
.
oi
´
th
.
u
,
c x, k
´
y hi
.
êu [x] l
`
a
´
nguyên l
´
o
,
n nhâ
´
t không vu
,
.
o
,
t qu
´
a x, {x} l
`
a
´
x [x]; [x] v
`
a {x}
g
.
oi l
`
a phâ
`
n nguyên v
`
a phâ
`
n th
.
âp phân c
,
ua
´
x. T
`
u
,
¯
d
.
inh ngh
˜
ıa c
´
o
thê
,
thâ
´
y ngay 0 x [x] < 1. Ðê
,
hiê
,
u r
˜
o ho
,
n kh
´
ai ni
.
êm tr
`
u m
.
ât
trong phâ
`
n n
`
ay ta x
´
et m
.
ôt lo
.
at b
`
ai to
´
an c
´
o liên quan v
`
a c
´
ach s
,
u
,
d
.
ung
nguyên l
´
y Ðirichlê
¯
,
ch
´
u
,
ng minh
¯
dinh l
´
y co
,
b
,
an Kronecker.
8.2. V
´
ı d
.
u
.
.
. 8.1.
´
u m
.
ôt t
.
âp h
.
o
,
p A c
,
ua
´
th
.
u
,
c l
`
a tr
`
u m
.
ât v
`
a r l
`
a
´
th
.
u
,
c kh
´
ac
không, th
`
ı t
.
âp h
.
o
,
p
`
m
´
t c
,
a t
´
ıch
´
{ra} v
´
o
,
i a ch
.
ay trong A c
˜
ung l
`
a
t
.
âp tr
`
u m
.
ât.
L
`
o
,
i gi
,
ai. C
´
o hai tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p
,
y ra: r > 0 v
`
a r < 0. V
`
ı c
´
ach ch
´
u
,
ng
minh ho
`
an to
`
an tu
,
o
,
ng t
.
u
,
nên ta ch
,
ı x
´
et tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p
¯
`
u. Cho x v
`
a
y l
`
a hai
´
th
.
u
,
c v
`
a x < y. Khi
¯
d
´
o
x
r
<
y
r
v
`
a theo gi
,
a thiê
´
t A l
`
a t
.
âp
tr
`
u m
.
ât, th
`
ı
`
n t
.
ai phâ
`
n t
,
u
,
a thu
.
ôc A sao cho
x
r
< a <
y
r
. Suy ra
x < ar < y. Nhu
,
v
.
ây m
.
oi kho
,
ang m
,
o
,
(x, y) ch
´
u
,
a
´
d
.
ang ra v
´
o
,
i a
thu
.
ôc A.
J
.
.
. 8.2.
.
inh l
´
y Kronecker) V
´
o
,
i m
.
oi
´
t
,
y α, t
.
âp h
.
o
,
p
´
t c
,
a c
´
ac
´
c
´
o
8.2. V
´
ı d
.
u 81
d
.
ang mα + n l
`
a t
.
âp tr
`
u m
.
ât,
,
o
,
¯
dây m v
`
a n l
`
a nh
˜
u
,
ng
´
nguyên
´
t k
`
y.
L
`
o
,
i gi
,
ai.
`
n ph
,
ai ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang m
.
oi kho
,
ang không suy tho
´
ai
ch
´
u
,
a nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m d
.
ang mα + n. Ch
´
ung ta chia kho
,
ang [0,1] ra
th
`
anh m
.
ôt
´
h
˜
u
,
u h
.
an kho
,
ang con
1
,
2
, . . . ,
k
m
`
a
¯
d
.
ô d
`
ai c
,
ua m
˜
ôi
kho
,
ang con nh
,
o ho
,
n
¯
d
.
ô d
`
ai c
,
ua . Ch
´
u
´
y r
`
˘
ang v
´
o
,
i m
.
oi
´
a
`
n t
.
ai
m
.
ôt
´
nguyên n, sao cho
´
a + n n
`
˘
am trong kho
,
ang [0,1]. Suy ra
v
´
o
,
i m
.
oi
´
nguyên m c
´
o thê
,
cho tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i m
.
ôt
´
d
.
ang mα + n,
m
`
a n
´
o n
`
˘
am trong kho
,
ang [0,1]. Nhu
,
ng
¯
do
.
an th
,
˘
ang [0,1]
¯
du
,
.
o
,
c chia
ra h
˜
u
,
u h
.
an kho
,
ang nh
,
o. Suy ra
`
n t
.
ai nh
˜
u
,
ng
´
nguyên m, m
1
, n, n
1
,
v
´
o
,
i m 6= m
1
v
`
a nh
˜
u
,
ng
´
mα + n v
`
a m
1
α + n
1
n
`
˘
am trong c
`
ung m
.
ôt
kho
,
ang nh
,
o
i
. Do
¯
d
´
o kho
,
ang c
´
ach gi
˜
u
,
a hai
¯
diê
,
m n
`
ay nh
,
o ho
,
n
¯
d
.
ô
d
`
ai c
,
ua . Ch
´
ung ta c
˜
ung thâ
´
y không thê
,
,
y ra mα + n = m
1
α + n
1
,
v
`
ı t
`
u
,
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c n
`
ay suy ra α =
n
1
n
m m
1
m
`
a l
.
ai l
`
a m
.
ôt
´
h
˜
u
,
u t
,
y, tr
´
ai
v
´
o
,
i gi
,
a thiê
´
t.
Nhu
,
v
.
ây ch
´
ung ta kh
,
˘
ang
¯
d
.
inh r
`
˘
ang
´
( m m
1
) α + (n n
1
) kh
´
ac
không v
`
a c
´
o gi
´
a tr
.
i tuy
.
êt
¯
´
i nh
,
o ho
,
n . T
`
u
,
¯
d
´
o suy ra m
.
ôt
´
u
,
´
o
,
c
´
c
,
ua n
´
o, c
˜
ung c
´
o d
.
ang mα + n, s
˜
e n
`
˘
am trong kho
,
ang .
J
.
.
. 8.3. Cho α l
`
a m
.
ôt
´
t
,
y du
,
o
,
ng. Khi
¯
d
´
o t
.
âp h
.
o
,
p
´
t c
,
a
´
c
´
o d
.
ang
mα n l
`
a t
.
âp tr
`
u m
.
ât,v
´
o
,
i m v
`
a n l
`
a nh
˜
u
,
ng
´
t
.
u
,
nhiên
´
t k
`
y.
L
`
o
,
i gi
,
ai.
´
t lu
.
ân c
,
ua b
`
ai n
`
ay m
.
anh ho
,
n
¯
d
.
inh l
´
y trên v
`
ı n
´
o kh
,
˘
ang
¯
d
.
inh m
.
ôt t
.
âp
´
th
.
u
,
c nh
,
o ho
,
n t
.
âp t
,
a trong
¯
dij nh l
´
y
¯
d
´
o c
˜
ung tr
`
u
m
.
ât.
Cho kho
,
ang không suy tho
´
ai n
`
˘
am
,
o
,
bên ph
,
ai
´
không v
`
a c
´
o
¯
d
.
ô d
`
ai e > 0. Không
,
anh hu
,
,
o
,
ng
¯
´
n
´
t qu
,
a ch
´
u
,
ng minh c
´
o thê
,
gi
,
a
thiê
´
t e < 1. Ngo
`
ai ra ta c
´
o thê
,
ch
.
on
´
t
.
u
,
nhiên k sao cho k
e
α
. T
`
u
,
8.1 v
`
a 8.2 suy ra t
.
âp c
´
ac
´
kpα + kq v
´
o
,
i p v
`
a q l
`
a c
´
ac
´
nguyên
´
t
82 Chu
,
o
,
ng 8.
´
th
.
u
,
c v
´
o
,
i t
.
âp tr
`
u m
.
ât
k
`
y, l
`
a t
.
âp tr
`
u m
.
ât. Ngh
˜
ıa l
`
a
`
n t
.
ai c
´
ac
´
nguyên p v
`
a q th
,
oa m
˜
an
0 < kp α + kq < e. (8.1)
Ch
´
ung ta s
˜
e ch
,
ı ra r
`
˘
ang gi
˜
u
,
a nh
˜
u
,
ng c
.
˘
ap
´
nguyên (p, q) trong (8.1)
c
´
o nh
˜
u
,
ng c
.
˘
ap m
`
a p > 0. Th
.
ât v
.
ây, tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p p = 0 không thê
,
,
y
ra v
`
ı t
`
u
,
(8.1) suy ra 0 < kq < e, mâu thu
˜
ân v
´
o
,
i
¯
diê
`
u ta
¯
d
˜
a biê
´
t l
`
a kq
l
`
a
´
nguyên v
`
a e < 1. Do v
.
ây ch
,
ı c
`
on ph
,
ai ch
´
u
,
ng minh cho tru
,
`
o
,
ng
h
.
o
,
p p < 0. Trong tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p n
`
ay
´
c
´
o d
.
ang kpsα + kqt v
´
o
,
i s, t l
`
a
nh
˜
u
,
ng
´
nguyên
´
t k
`
y, t
.
ao th
`
anh t
.
âp tr
`
u m
.
ât. T
`
u
,
(8.1) suy ra
`
n
t
.
ai
´
nguyên s v
`
a t sao cho
0 < kp sα + kqt < kpα + kq. (8.2)
´
u s < 0, th
`
ı kps > 0 v
`
a ch
´
u
,
ng minh l
.
ai
¯
d
´
ung. V
`
ı thê
´
ta ch
,
ı x
´
et
s 0. T
`
u
,
(8.1) v
`
a (8.2) suy ra
0 < kp (1 s)α + kq kpt < e. (8.3)
V
`
ı v
´
o
,
i s = 0
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c (8.2) không thê
,
,
y ra, nên s > 0. Nhu
,
ng
b
,
o
,
i v
`
ı s l
`
a
´
nguyên, th
`
ı t
`
u
,
s > 0 suy ra s 1. T
.
ai v
`
ı ((8.3) không
thê
,
,
y ra v
´
o
,
i s = 1, t
`
u
,
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c cuô
´
i c
`
ung l
.
ai suy ra s > 1.
Nhu
,
v
.
ây kp(1 s) > 0. Ðiê
`
u
¯
d
´
o c
´
o ngh
˜
ıa l
`
a
`
n t
.
ai c
´
ac
´
nguyên p
v
`
a q th
,
oa m
˜
an (8.1) v
`
a p > 0. T
`
u
,
(8.1) suy ra
kq < e kpα < e p
e
α
α = e(1 p) 0
V
.
ây kq < 0. Theo c
´
ach n
`
ay (8.1)
¯
du
,
.
o
,
c
¯
du
,
a
`
d
.
ang 0 < mα n < e,
,
o
,
¯
dây m v
`
a n l
`
a nh
˜
u
,
ng
´
t
.
u
,
nhiên. B
,
o
,
i v
`
ı e l
`
a
¯
d
.
ô d
`
ai c
,
ua, t
`
u
,
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c cuô
´
i c
`
ung suy ra m
.
ôt u
,
´
o
,
c
´
n
`
ao
¯
d
´
o c
,
ua mα n, c
˜
ung c
´
o
d
.
ang n
`
ay, s
˜
e n
`
˘
am trong . Tu
,
o
,
ng t
.
u
,
c
˜
ung ch
´
u
,
ng minh
¯
du
,
.
o
,
c khi
n
`
˘
am
,
o
,
bên tr
´
ai
´
không.
J
.
.
. 8.4. Cho α l
`
a
´
t
,
y
´
t k
`
y. Khi
¯
d
´
o t
.
âp h
.
o
,
p nh
˜
u
,
ng
´
d
.
ang {αn},
v
´
o
,
i n l
`
a
´
t
.
u
,
nhiên
´
t k
`
y, l
`
a t
.
âp tr
`
u m
.
ât trong kho
,
ang (0,1).
8.2. V
´
ı d
.
u 83
L
`
o
,
i gi
,
ai.
`
n ph
,
ai ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang m
.
oi kho
,
ang con không suy
biê
´
n (a, b) c
,
ua (0,1) ch
´
u
,
a
´
c
´
o d
.
ang {αn} v
´
o
,
i m
.
ôt
´
t
.
u
,
nhiên
n n
`
ao
¯
d
´
o. Ch
´
ung ta ch
´
u
,
ng minh cho tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p khi α l
`
a m
.
ôt
´
du
,
o
,
ng. Theo b
`
ai 8.3 nh
˜
u
,
ng
´
c
´
o d
.
ang nα m v
´
o
,
i n, m l
`
a c
´
ac
´
t
.
u
,
nhiên, t
.
ao th
`
anh t
.
âp tr
`
u m
.
ât. Ngh
˜
ıa l
`
a
`
n t
.
ai nh
˜
u
,
ng
´
t
.
u
,
nhiên
m v
`
a n th
,
oa m
˜
an 0 a < nα m < b < 1. Nhu
,
ng t
`
u
,
¯
d
.
inh ngh
˜
ıa
[α n] suy ra 0 nα [nα] < 1. Ch
´
ung ta nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c hi
.
êu hai
´
nguyên m v
`
a [nα] th
,
oa m
˜
an 1 < m [nαm] < 1,
¯
diê
`
u n
`
ay ch
,
ı
,
y ra khi m [nαm] = 0, do
¯
d
´
o m = [nα]. T
`
u
,
(8.1) ch
,
ı ra r
`
˘
ang
´
{n α} = nα [nα] n
`
˘
am trong kho
,
ang (a, b). V
´
o
,
i α > 0, ch
´
ung ta
¯
d
˜
a
ch
´
u
,
ng minh xong.
Tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p α < 0. Khi
¯
d
´
o α > 0 v
`
a t
`
u
,
b
`
ai 8.3 suy ra
`
n t
.
ai
nh
˜
u
,
ng
´
t
.
u
,
nhiên m v
`
a n, th
,
oa m
˜
an 1 b < n(α) m <
a 0. Nhân c
´
ac
´
v
´
o
,
i -1 ch
´
ung ta nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c 0 a < nα m <
b 1. Nhu
,
v
.
ây d
˜
ê d
`
ang t
´
ınh ra m = [nα] v
`
a {nα} n
`
˘
am trong
kho
,
ang (a, b).
J
.
.
. 8.5. T
.
âp h
.
o
,
p
´
t c
,
a c
´
ac
´
d
.
ang {log n} v
´
o
,
i n l
`
a
´
t
.
u
,
nhiên
´
t k
`
y
l
`
a t
.
âp tr
`
u m
.
ât trong (0,1).
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
ung ta c
´
o thê
,
ch
´
u
,
ng minh m
,
o
,
r
.
ông ho
,
n m
.
ôt ch
´
ut: t
.
âp
h
.
o
,
p c
´
ac
´
d
.
ang {n log 2} v
´
o
,
i n l
`
a
´
t
.
u
,
nhiên
´
t k
`
y, l
`
a t
.
âp tr
`
u m
.
ât
trong (0,1).
Ðê
,
¯
d
.
at m
.
uc
¯
d
´
ıch n
`
ay ch
´
ung ta ch
´
u
,
ng minh log 2 l
`
a m
.
ôt
´
t
,
y. Th
.
ât v
.
ây, trong tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p ngu
,
.
o
,
c l
.
ai th
`
ı
`
n t
.
ai hai
´
t
.
u
,
nhiên
p v
`
a q, m
`
a log 2 =
p
q
, ngh
˜
ıa l
`
a 2 = 10
p
q
. L
˜
uy th
`
u
,
a
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c cuô
´
i
c
`
ung v
´
o
,
i q ch
´
ung ta nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c 2
q
= 2
p
.5
p
. Ðiê
`
u n
`
ay tr
´
ai
¯
d
.
inh l
´
y
co
,
b
,
an c
,
ua
´
h
.
oc
`
vi
.
êc phân t
´
ıch ra th
`
u
,
a
´
nguyên
´
. Nhu
,
v
.
ây
84 Chu
,
o
,
ng 8.
´
th
.
u
,
c v
´
o
,
i t
.
âp tr
`
u m
.
ât
log 2 th
.
u
,
c s
.
u
,
l
`
a m
.
ôt
´
t
,
y. Áp d
.
ung 8.4 suy ra t
.
âp c
´
ac
´
c
´
o d
.
ang
{n log 2 } l
`
a tr
`
u m
.
ât trong (0,1).
M
.
˘
at kh
´
ac, theo t
´
ınh châ
´
t c
,
ua logarit, log 2
n
= n log 2 v
´
o
,
i m
.
oi
n = 1, 2, . . .
J
.
.
. 8.6. Cho m l
`
a
´
nguyên, n l
`
a
´
nguyên không âm. T
.
âp h
.
o
,
p
´
t c
,
a
c
´
ac
´
c
´
o d
.
ang
m
2
n
l
`
a t
.
âp tr
`
u m
.
ât.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Do c
´
ac b
`
ai to
´
an trên, ch
´
ung ta ch
,
ı
`
n ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang
t
.
âp h
.
o
,
p
´
d
.
ang
3
m
2
n
v
´
o
,
i m, n l
`
a nh
˜
u
,
ng
´
nguyên du
,
o
,
ng, l
`
a tr
`
u m
.
ât
trong kho
,
ang (0, +). Ðiê
`
u
¯
d
´
o c
´
o ngh
˜
ıa l
`
a v
´
o
,
i m
.
oi c
.
˘
ap
´
du
,
o
,
ng
a, b(a < b)
`
n t
.
ai nh
˜
u
,
ng
´
t
.
u
,
nhiên m v
`
a n th
,
oa m
˜
an a <
3
m
2
n
< b.
Sau khi logarit h
´
oa c
.
˘
ap
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c n
`
ay theo co
,
´
2, ch
´
ung ta
nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c c
.
˘
ap
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c tu
,
o
,
ng
¯
du
,
o
,
ng log
2
a < m log
2
3 n <
log
2
b. C
´
ach ch
´
u
,
ng minh tu
,
o
,
ng t
.
u
,
nhu
,
8.5 cho thâ
´
y log
2
3 l
`
a t
,
y.
Khi
¯
d
´
o
¯
d
.
inh l
´
y Kronecker ch
,
ı ra r
`
˘
ang trong
¯
do
.
an (log
2
a, log
2
b) ch
´
u
,
a
´
c
´
o d
.
ang {m log
2
3 n}.
J
.
.
. 8.7. T
.
âp h
.
o
,
p
´
t c
,
a c
´
ac
´
h
.
ang c
,
ua d
˜
ay x
´
ac
¯
d
.
inh b
`
˘ang công th
´
u
,
c
x
n
=
n
10
[log n]+1
, n = 1, 2, 3 . . ., l
`
a tr
`
u m
.
ât trong kho
,
ang (
1
10
, 1) .
L
`
o
,
i gi
,
ai.
´
y hai
´
th
.
u
,
c a v
`
a b sao cho
1
10
a < b 1.
`
n ph
,
ai
ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang
`
n t
.
ai
´
t
.
u
,
nhiên n, th
,
oa m
˜
an a <
n
10
[log n]+1
<
b. Sau khi logarit h
´
oa
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c trên v
´
o
,
i co
,
´
10 ch
´
ung ta
nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c tu
,
o
,
ng
¯
du
,
o
,
ng 1 + log a < log n [log n] =
{log n} < 1 + log b. Nhu
,
ng kho
,
ang m
,
o
,
v
´
o
,
i c
´
ac
¯
`
u m
´
ut 1 + log a
v
`
a 1 + log b r
˜
o r
`
ang n
`
˘
am trong kho
,
ang (0, 1). Ðiê
`
u n
`
ay gi
,
ai th
´
ıch t
.
ai
sao
`
n t
.
ai m
.
ôt
´
t
.
u
,
nhiên n th
,
oa m
˜
an
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c sau c
`
ung, b
,
o
,
i
8.2. V
´
ı d
.
u 85
v
`
ı theo 8.5 t
.
âp h
.
o
,
p c
´
ac
´
c
´
o d
.
ang {log n} l
`
a tr
`
u m
.
ât trong (0, 1).
Nhu
,
v
.
ây th
`
ı a < x
n
< b,
¯
diê
`
u ta
`
n ch
´
u
,
ng minh.
J
.
.
. 8.8. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
`
n t
.
ai h
.
an nh
˜
u
,
ng
´
l
˜
uy th
`
u
,
a c
,
ua 2, m
`
a
khi viê
´
t theo co
,
´
10 ch
´
ung luôn luôn b
´
˘at
¯
`
u b
`
˘ang 8975.
L
`
o
,
i gi
,
ai. M
.
ôt
´
2
m
b
´
˘
at
¯
`
u b
`
˘
ang nh
´
om
´
8975 khi v
`
a ch
,
ı khi v
´
o
,
i
m
.
ôt
´
t
.
u
,
nhiên n n
`
ao
¯
d
´
o, nh
˜
u
,
ng
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c sau
¯
du
,
.
o
,
c th
,
oa m
˜
an
8975.10
n
2
m
< 8976.10
n
. Nhu
,
c
´
ach gi
,
ai c
´
ac b
`
ai tru
,
´
o
,
c ch
´
ung ta
logarit h
´
oa
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c trên v
`
a nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c c
´
ac
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c tu
,
o
,
ng
¯
du
,
o
,
ng log 8975 m log 2 n < log 8976. T
.
ai v
`
ı log 2 l
`
a m
.
ôt
´
t
,
y, nên nh
˜
u
,
ng
´
c
´
o d
.
ang m log 2 n v
´
o
,
i n, m l
`
a nh
˜
u
,
ng
´
t
.
u
,
nhiên
t
.
ao th
`
anh m
.
ôt t
.
âp tr
`
u m
.
ât. Ðiê
`
u n
`
ay c
´
o ngh
˜
ıa l
`
a
`
n t
.
ai
´
c
.
˘
ap
´
t
.
u
,
nhiên m v
`
a n th
,
oa m
˜
an c
´
ac
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c sau c
`
ung, suy ra c
˜
ung
th
,
oa m
˜
an c
´
ac
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c tru
,
´
o
,
c
¯
d
´
o. Ch
´
u
´
y b
`
ai to
´
an c
`
on
¯
d
´
ung khi
thay co
,
´
hai b
`
˘
ang co
,
´
10 c
,
ua logarit v
`
a
´
8975 c
´
o thê
,
thay b
`
˘
ang
m
.
ôt
,
h
.
o
,
p
´
´
t k
`
y, ch
´
u
,
ng minh
¯
diê
`
u n
`
ay d
`
anh cho b
.
an
¯
d
.
oc.
J
.
.
. 8.9. V
´
o
,
i m
.
oi
´
t
.
u
,
nhiên n, k
´
y hi
.
êu x
n
l
`
a ch
˜
u
,
´
¯
`
u tiên c
,
ua
´
2
n
(trong c
´
ach viê
´
t v
´
o
,
i co
,
´
10). Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang d
˜
ay
´
x
1
, x
2
, . . . , x
n
, . . . không ph
,
ai l
`
a d
˜
ây tuâ
`
n ho
`
an.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Gi
,
a s
,
u
,
ngu
,
.
o
,
c l
.
ai l
`
a
`
n t
.
ai nh
˜
u
,
ng
´
nguyên du
,
o
,
ng k v
`
a
d sao cho x
k
= x
k+d
= x
k+2d
= . . . = x
k+nd
= . . . N
´
oi c
´
ach kh
´
ac
2
k
, 2
k+d
, 2
k+2d
, . . . , 2
k+nd
, . . . c
´
o c
`
ung ch
˜
u
,
´
¯
daah u tiên trong c
´
ach
viê
´
t v
´
o
,
i co
,
´
10.
`
y gi
`
o
,
ch
´
ung ta kh
,
˘
ang
¯
d
.
inh r
`
˘
ang m
.
oi
´
t
.
u
,
nhiên
N c
´
o thê
,
biê
,
u di
˜
ên du
,
´
o
,
i d
.
ang N = 10
log N
= 10
[log N]+{log N}
=
10
[log N]
.10
{log N}
. V
`
ı 0 {log N} < 1, nên 1 10
{log N}
< 10, suy
ra ch
˜
u
,
´
¯
`
u tiên c
,
ua N tr
`
ung v
´
o
,
i phâ
`
n nguyên c
,
ua c
,
ua
´
10
{log N}
.
Ðê
´
n
¯
dây suy ra
`
n t
.
ai m
.
ôt ch
˜
u
,
´
s, 1 s 9, th
,
oa m
˜
an
´
t
¯
d
,
˘
ang
86 Chu
,
o
,
ng 8.
´
th
.
u
,
c v
´
o
,
i t
.
âp tr
`
u m
.
ât
th
´
u
,
c sau: s 10
{log 2
k+nd
}
< s + 1 v
´
o
,
i n = 0, 1, 2, . . .. Sau khi logarit
h
´
oa
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c trên ch
´
ung ta c
´
o log s {(k + nd) log 2} < log(s +
1) . Ðiê
`
u n
`
ay ngh
˜
ıa l
`
a
´
t c
,
a c
´
ac
´
c
´
o d
.
ang {(k + nd) log 2}, n =
0, 1, 2, . . . n
`
˘
am trong kho
,
ang [log s, log(s + 1)). D
˜
ê d
`
ang ch
´
u
,
ng minh
r
`
˘
ang t
.
âp h
.
o
,
p nh
˜
u
,
ng
´
n
`
ay tr
`
u m
.
ât trong
¯
do
.
an (0,1). Ðiê
`
u
¯
d
´
o tr
´
ai
v
´
o
,
i
´
t lu
.
ân :
`
n t
.
ai t
.
âp con m
,
o
,
c
,
ua
¯
do
.
an (0,1) không c
´
o
¯
diê
,
m
chung v
´
o
,
i [log s, log(s + 1)). Nhu
,
v
.
ây
¯
diê
`
u gi
,
a s
,
u
,
ngu
,
.
o
,
c l
.
ai l
`
a sai.
J
.
.
. 8.10. H
˜
ay t
`
ım trong
¯
do
.
an th
,
˘ang [0, π],
´
t c
,
a
´
th
.
u
,
c t th
,
oa m
˜
an
´
t phu
,
o
,
ng tr
`
ınh cos nt cos t v
´
o
,
i m
.
oi
´
t
.
u
,
nhiên n.
L
`
o
,
i gi
,
ai. - Ch
´
ung ta s
˜
e ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang
´
u t c
´
o t
´
ınh châ
´
t
¯
d
˜
a nêu
trong b
`
ai to
´
an th
`
ı t
,
y
´
t
π
l
`
a m
.
ôt
´
h
˜
u
,
u t
,
y. Th
.
ât v
.
ây gi
,
a s
,
u
,
t
π
l
`
a
´
t
,
y. Khi
¯
d
´
o t 6= π ; Không
´
t t
´
ınh
,
ng qu
´
at ch
´
ung ta c
´
o thê
,
gi
,
a thiê
´
t r
`
˘
ang 0 t < π. V
`
ı
t
2π
l
`
a
´
t
,
y du
,
o
,
ng, theo
¯
d
.
inh l
´
y
Kronecker
`
n t
.
ai nh
˜
u
,
ng
´
t
.
u
,
nhiên m v
`
a n, th
,
oa m
˜
an
´
t phu
,
o
,
ng
tr
`
ınh
t
2π
< m
t
2π
n < 1
t
2π
, hay l
`
a t < mt 2nπ < 2π t. T
`
u
,
t
´
ınh châ
´
t c
,
ua h
`
am cos trong
¯
do
.
an [0, 2π] ch
´
ung ta suy ra cos mt =
cos(mt 2nπ) < cos t. Ðiê
`
u n
`
ay tr
´
ai v
´
o
,
i c
´
ach ch
.
on t, do v
.
ây t
,
y
´
t
π
l
`
a
´
h
˜
u
,
u t
,
y.
Nhu
,
v
.
ây t c
´
o thê
,
biê
,
u di
˜
ên du
,
´
o
,
i d
.
ang t =
p
q
2π,
,
o
,
¯
dây p v
`
a q l
`
a
nh
˜
u
,
ng
´
nguyên
´
c
`
ung nhau v
`
a 0 p q (t
.
ai v
`
ı 0 t 2π ).
´
u q l
`
a
´
ch
˜
˘
an, th
`
ı n =
q
2
l
`
a
´
t
.
u
,
nhiên v
`
a ngo
`
ai ra p l
`
a
´
l
,
e, v
`
ı p
v
`
a q l
`
a nguyên
´
c
`
ung nhau. V
`
ı v
.
ây cos t cos nt = cos pπ = 1,
t
`
u
,
¯
d
´
o suy ra cos t = 1 v
`
a t = π. R
˜
o r
`
ang π th
,
oa m
˜
an
´
t c
,
a c
´
ac
¯
diê
`
u ki
.
ên
¯
d
˜
a cho.
Ch
´
ung ta ch
,
ı c
`
on ph
,
ai x
´
et tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p q l
`
a
´
l
,
e. C
´
o thê
,
ch
´
u
,
ng
8.3. B
`
ai t
.
âp 87
minh r
`
˘
ang v
´
o
,
i m
.
oi n = 1, 2, . . . cos nt b
`
˘
ang m
.
ôt
´
n
`
ao
¯
d
´
o trong d
˜
ây
sau
¯
dây
1 = cos 0.
2π
q
, cos 1.
2π
q
, cos 2.
2π
q
, . . . , cos((q 1)
2π
q
). (8.4)
Th
.
ât v
.
ây,
´
u n = sq + r,
,
o
,
¯
dây 0 r q 1, th
`
ı cos nt = cos(sqt +
rt) = cos(2psπ + rt) = cos rt.
´
u q = 2k + 1 l
`
a m
.
ôt
´
l
,
e, th
`
ı
´
nh
,
o nhâ
´
t trong (8.4) l
`
a c
´
ac
´
cos
k
2k + 1
2π v
`
a cos
k + 1
2k + 1
2π.
´
y
t =
p
2k + 1
2π, 0 t π, c
´
o t
´
ınh châ
´
t mong muô
´
n, ch
´
ung ta s
˜
e
ch
´
u
,
ng minh khi
¯
d
´
o p = k. Ðê
,
¯
d
.
at m
.
uc
¯
d
´
ıch n
`
ay ch
,
ı
`
n ch
,
ı ra r
`
˘
ang
`
n t
.
ai m
.
ôt
´
nguyên du
,
o
,
ng n m
`
a cos nt = cos
k
2k + 1
2π. Th
.
ât v
.
ây:
v
`
ı 2k + 1 v
`
a p l
`
a nh
˜
u
,
ng
´
nguyên
´
c
`
ung nhau
`
n t
.
ai nh
˜
u
,
ng
´
nguyên m v
`
a n th
,
oa m
˜
an 0 n 2k + 1 v
`
a (2k + 1) m + pn = k. T
`
u
,
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c sau c
`
ung suy ra 2mπ + nt =
k
2k + 1
2π. Suy ra cos nt =
cos
k
2k + 1
2π. D
˜
ê d
`
ang thâ
´
y r
`
˘
ang nh
˜
u
,
ng
´
c
´
o d
.
ang
k
2k + 1
2π v
`
a
k + 1
2k + 1
2π, k = 0, 1, 2, . . . l
`
a nghi
.
êm c
,
ua b
`
ai to
´
an.
´
t lu
.
ân cuô
´
i c
`
ung
l
`
a nh
˜
u
,
ng gi
´
a tr
.
i c
,
ua t ph
,
ai t
`
ım l
`
a t = π v
`
a
k
2k + 1
2π,
k + 1
2k + 1
2π, v
´
o
,
i
k = 0, 1, 2 . . . . . .
J
8.3. B
`
ai t
.
âp
.
.
. 8.11. Cho a, b, c l
`
a nh
˜
u
,
ng
´
th
.
u
,
c sao cho [an] + [bn] = [cn] v
´
o
,
i
m
.
oi
´
t
.
u
,
nhiên n. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt trong c
´
ac
´
a, b l
`
a
nguyên.
.
.
. 8.12. Cho α l
`
a m
.
ôt
´
h
˜
u
,
u t
,
y. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang t
.
âp h
.
o
,
p c
´
ac
´
c
´
o
d
.
ang {αn}, n = 1, 2, . . . không tr
`
u m
.
ât trong kho
,
ang ( 0, 1).
88 Chu
,
o
,
ng 8.
´
th
.
u
,
c v
´
o
,
i t
.
âp tr
`
u m
.
ât
.
.
. 8.13. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang v
´
o
,
i m
.
ôt
´
t
,
y
´
t k
`
y α v
`
a m
.
ôt
´
h
˜
u
,
u t
,
y
´
t k
`
y β, t
.
âp h
.
o
,
p
´
c
´
o d
.
ang {αn + β}, n = 1, 2, . . . l
`
a tr
`
u m
.
ât trong
kho
,
ang ( 0, 1).
.
.
. 8.14. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang t
.
âp h
.
o
,
p
´
d
.
ang {
n} v
´
o
,
i n l
`
a
´
t
.
u
,
nhiên
l
`
a t
.
âp tr
`
u m
.
ât trong kho
,
ang (0,1).
CHU
,
O
,
NG 9
NH
˜
U
,
NG
´
U
,
NG D
.
UNG KH
´
AC C
,
UA
NGUYÊN L
´
Y ÐIRICHLE
9.1.
´
p x
,
ı m
.
ôt
´
th
.
u
,
c
.
.
. 9.1. Cho x l
`
a m
.
ôt
´
th
.
u
,
c, c
`
on n l
`
a m
.
ôt
´
t
.
u
,
nhiên. Khi
¯
d
´
o
`
n t
.
ai
nh
˜
u
,
ng
´
nguyên p v
`
a q th
,
oa m
˜
an 1 q n v
`
a
x
p
q
1
nq
. (9.1)
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
ung ta x
´
et nh
˜
u
,
ng
´
kx [kx](k = 0, 1, 2, . . . , n ). Ch
´
ung
`
m n + 1
´
v
`
a n
`
˘
am trong kho
,
ang [0, 1]. Ch
´
ung ta chia kho
,
ang [0, 1]
ra n kho
,
ang con b
`
˘
ang nhau
1
,
2
, . . . ,
n
v
`
a
¯
d
.
ô d
`
ai c
,
ua m
˜
ôi kho
,
ang
n
`
ay b
`
˘
ang
1
n
. Theo nguyên l
´
y Ðirichlê
`
n t
.
ai hai
´
kh
´
ac nhau k v
`
a l
n
`
˘
am trong 0, 1, 2, . . . , n, sao cho nh
˜
u
,
ng
´
kx [kx] v
`
a lx [lx] n
`
˘
am
trong c
`
ung m
.
ôt kho
,
ang con th
´
u
,
m. Do
¯
d
´
o kho
,
ang c
´
ach gi
˜
u
,
a ch
´
ung
không qu
´
a
1
n
, t
´
u
,
c l
`
a
|
kx [kx] (lx [lx])
|
1
n
, hay l
`
a
|
( k l)x ([kx] [lx])
|
1
n
. (9.2)
B
,
o
,
i v
`
ı k 6= l, không
,
anh hu
,
,
o
,
ng
¯
´
n
´
t qu
,
a ch
´
u
,
ng minh ta c
´
o thê
,
gi
,
a thiê
´
t r
`
˘
ang k > l. B
,
o
,
i v
`
ı ngo
`
ai ra c
`
on c
´
o 0 k n, 0 l n,
nên 1 k l n. Ta
¯
d
.
˘
at q = k l v
`
a p = [kx] [lx]. Khi
¯
d
´
o p v
`
a q
90 Chu
,
o
,
ng 9. Nh
˜
u
,
ng
´
u
,
ng d
.
ung kh
´
ac c
,
ua nguyên l
´
y Ðirichle
l
`
a nh
˜
u
,
ng
´
nguyên v
`
a th
,
oa m
˜
an 1 q n. V
´
o
,
i c
´
ach d
.
˘
at n
`
ay (9.2)
¯
du
,
a
`
d
.
ang |qx p|
1
n
, t
`
u
,
¯
dây chia hai
´
cho q ta c
´
o (9.1).
J
.
.
. 9.2. V
´
o
,
i m
.
oi
´
th
.
u
,
c x
`
n t
.
ai h
.
an
´
t
.
u
,
nhiên q, v
´
o
,
i m
˜
ôi q
`
n
t
.
ai
´
nguyên p, sao cho ch
´
ung th
,
oa m
˜
an
´
t
¯
d
,
˘ang th
´
u
,
c.
x
p
q
1
q
2
. (9.3)
L
`
o
,
i gi
,
ai.
´
u x l
`
a
´
h
˜
u
,
u t
,
y, t
´
u
,
c l
`
a x =
r
s
v
´
o
,
i r l
`
a
´
nguyên v
`
a s l
`
a
´
t
.
u
,
nhiên, th
`
ı
´
t lu
.
ân c
,
ua b
`
ai to
´
an l
`
a
¯
d
´
ung, v
`
ı c
´
o thê
,
¯
d
.
˘
at p = mr
v
`
a q = ms v
´
o
,
i
´
t
.
u
,
nhiên
´
t k
`
y m. V
´
o
,
i
´
t c
,
a c
´
ach ch
.
on p v
`
a q nhu
,
v
.
ây (9.3)
¯
du
,
.
o
,
c th
,
oa m
˜
an, v
`
ı
´
tr
´
ai luôn luôn b
`
˘
ang không. Nhu
,
v
.
ây
ch
,
ı c
`
on ph
,
ai x
´
et tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p x l
`
a
´
t
,
y. Gi
,
a s
,
u
,
ch
,
ı c
´
o h
˜
u
,
u h
.
an
´
t
.
u
,
nhiên q, m
`
a v
´
o
,
i ch
´
ung
`
n t
.
ai
´
nguyên p th
,
oa m
˜
an (9.3), k
´
y
hi
.
êu ch
´
ung l
`
a q
1
, q
2
, . . . , q
l
. V
´
o
,
i
´
t k
`
y λ = 1, 2, . . . , l k
´
y hi
.
êu p
λ
l
`
a
´
nguyên th
,
oa m
˜
an
x
p
λ
q
λ
x
p
q
λ
v
´
o
,
i m
.
oi
´
nguyên p. V
`
ı
´
x l
`
a t
,
y, m
.
oi gi
´
a tr
.
i tuy
.
êt
¯
´
i
,
o
,
ph
´
ıa tr
´
ai
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c trên l
`
a du
,
o
,
ng,
´
nh
˜
u
,
ng gi
´
a tr
.
i tuy
.
êt
¯
´
i n
`
ay l
`
a h
˜
u
,
u
h
.
an. V
`
ı v
.
ây
`
n t
.
ai
´
t
.
u
,
nhiên n, sao cho
1
n
<
x
p
λ
q
λ
, (λ =
1, 2, . . . , l).
Theo b
`
ai tru
,
´
o
,
c s
˜
e
`
n t
.
ai
´
t
.
u
,
nhiên q v
`
a
´
nguyên p, sao cho
(9.1) th
,
oa m
˜
an v
`
a 1 q n. Nhu
,
ng khi
¯
d
´
o
x
p
q
1
qn
1
qq
=
1
q
2
, suy ra q = q
λ
v
´
o
,
i m
.
ôt
´
λ = 1, 2, . . . , l T
`
u
,
nh
˜
u
,
ng
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c
trên suy ra
1
n
<
x
p
λ
q
λ
x
p
q
1
nq
. Nhu
,
v
.
ây
1
n
<
1
nq
v
`
ı thê
´
9.1.
´
p x
,
ı m
.
ôt
´
th
.
u
,
c 91
q < 1,
¯
diê
`
u n
`
ay không thê
,
¯
du
,
.
o
,
c v
`
ı q l
`
a
´
t
.
u
,
nhiên. Ta nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c
¯
diê
`
u l
´
y.
J
.
.
. 9.3. V
´
o
,
i m
.
oi c > 2
´
t
¯
d
,
˘ang th
´
u
,
c
2
p
q
1
q
c
. (9.4)
¯
d
´
ung ch
,
ı v
´
o
,
i h
˜
u
,
u h
.
an c
.
˘ap
´
nguyên p v
`
a
´
t
.
u
,
nhiên q.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
ung ta ch
´
u
,
ng minh
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c sau l
`
a
¯
d
´
ung
2
p
q
1
3
2q
2
. (9.5)
v
´
o
,
i m
.
oi
´
nguyên p v
`
a v
´
o
,
i m
.
oi
´
t
.
u
,
nhiên q. V
`
ı
1
q
2
1,
´
t
¯
d
,
˘
ang
th
´
u
,
c (9.5)
´
t nhiên th
,
oa m
˜
an, khi
2
p
q
>
1
3
2
. Nhu
,
v
.
ây ch
,
ı
`
n x
´
et tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p
2
p
q
1
3
2
. Nhu
,
ng khi
¯
d
´
o
2
1
3
2
p
q
2 +
1
3
2
suy ra
0 <
p
q
< 2
2. (9.6)
M
.
˘
at kh
´
ac
2
p
q
=
2
p
q
.
2 +
p
q
2 +
p
q
=
2q
2
p
2
q
2
2
p
q
. (9.7)
Nhu
,
ng
´
2q
2
p
2
l
`
a
´
kh
´
ac không, v
`
ı
2 l
`
a m
.
ôt
´
t
,
y. Ngo
`
ai
ra n
´
o l
`
a
´
nguyên nên |2q
2
p
2
| 1 . T
`
u
,
(9.7) suy ra
2
p
q
1
q
2
2 +
p
q
v
`
a c
`
ung v
´
o
,
i (9.6) cho ta (9.5).
92 Chu
,
o
,
ng 9. Nh
˜
u
,
ng
´
u
,
ng d
.
ung kh
´
ac c
,
ua nguyên l
´
y Ðirichle
Gi
,
a s
,
u
,
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c (9.4)
¯
d
´
ung v
´
o
,
i m
.
ôt c
.
˘
ap
´
(p, q) n
`
ao
¯
d
´
o. T
`
u
,
(9.4) v
`
a (9.5) suy ra
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c
1
3
2
1
q
c2
. V
`
ı c > 2
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c
n
`
ay ch
,
ı
¯
d
´
ung cho h
˜
u
,
u h
.
an
´
t
.
u
,
nhiên q. V
´
o
,
i m
˜
ôi
´
q nhu
,
v
.
ây ch
,
ı
c
´
o nhiê
`
u nhâ
´
t hai
´
nguyên p, v
´
o
,
i ch
´
ung th
,
oa m
˜
an
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c
(9.4). Ngh
˜
ıa l
`
a (9.4) ch
,
ı th
,
oa m
˜
an cho h
˜
u
,
u h
.
an c
.
˘
ap
´
p v
`
a q.
J
.
.
. 9.4.
´
u D l
`
a
´
t
.
u
,
nhiên
´
t k
`
y, không l
`
a
´
ch
´
ınh phu
,
o
,
ng, th
`
ı
`
n
t
.
ai h
.
an c
´
ac c
.
˘ap
´
t
.
u
,
nhiên (x, y), l
`
a nghi
.
êm c
,
ua
´
t phu
,
o
,
ng tr
`
ınh
sau
|x
2
Dy
2
| 1 + 2
D. (9.8)
L
`
o
,
i gi
,
ai. Theo b
`
ai 9.2 ta biê
´
t r
`
˘
ang
`
n t
.
ai h
.
an c
.
˘
ap
´
(x, y) t
.
u
,
nhiên, sao cho
x
y
D
1
y
2
. (9.9)
M
.
˘
at kh
´
ac
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c sau l
`
a
¯
d
´
ung
x
y
+
D
=
(
x
y
D) + 2
D
x
y
D
+ 2
D.
Suy ra v
´
o
,
i m
˜
ôi c
.
˘
ap (x, y) ta c
´
o
x
y
+
D
1
y
2
+ 2
D.
Nhu
,
v
.
ây, v
´
o
,
i c
´
ach ch
.
on
´
t k
`
y c
.
˘
ap (x, y), sao cho th
,
oa m
˜
an (9.9)
ch
´
ung ta nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c
|x
2
Dy
2
| = |x y
D|.|x + y
D|
1
y
(
1
y
+ 2
Dy)
1
y
2
+ 2
D 1 + 2
D.
Ðiê
`
u n
`
ay
¯
d
˜
a ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang
´
t phu
,
o
,
ng tr
`
ınh (9.8) c
´
o h
.
an
nghi
.
êm trong t
.
âp h
.
o
,
p
´
t
.
u
,
nhiên.
J
9.1.
´
p x
,
ı m
.
ôt
´
th
.
u
,
c 93
.
.
. 9.5.
´
u D l
`
a
´
t
.
u
,
nhiên
´
t k
`
y, không l
`
a
´
ch
´
ınh phu
,
o
,
ng, th
`
ı
phu
,
o
,
ng tr
`
ınh x
2
Dy
2
= 1 c
´
o
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt nghi
.
êm nguyên (u, v) v
´
o
,
i
v 6= 0.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
ung ta x
´
et
´
t c
,
a c
´
ac c
.
˘
ap (x , y)
´
t
.
u
,
nhiên, m
`
a n
´
o th
,
oa
m
˜
an 1 2
D x
2
Dy
2
1 + 2
D. Theo b
`
ai 9.4 c
´
o
´
c
.
˘
ap
´
t
.
u
,
nhiên th
,
oa m
˜
an
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c trên, Nhu
,
ng biê
,
u th
´
u
,
c x
2
Dy
2
ch
,
ı c
´
o h
˜
u
,
u h
.
an gi
´
a tr
.
i v
`
ı ch
´
ung l
`
a c
´
ac
´
nguyên trong
¯
do
.
an (1
2
D, 1 + 2
D). Ngh
˜
ıa l
`
a
`
n t
.
ai m
.
ôt
´
nguyên k, sao cho phu
,
o
,
ng
tr
`
ınh x
2
Dy
2
= k c
´
o h
.
an nghi
.
êm t
.
u
,
nhiên (x, y). R
˜
o r
`
ang k 6= 0,
v
`
ı
´
u ngu
,
.
o
,
c l
.
ai th
`
ı d
˜
ân
¯
´
n mâu thu
˜
ân do
´
D không thê
,
biê
,
u
di
˜
ên du
,
´
o
,
i d
.
ang h
˜
u
,
u t
,
y
D =
x
y
. Gi
˜
u
,
a nh
˜
u
,
ng c
.
˘
ap n
`
ay c
´
o thê
,
ch
.
on
´
ıt
nhâ
´
t hai c
.
˘
ap kh
´
ac nhau (x
1
, y
1
) v
`
a (x
2
, y
2
) m
`
a ch
´
ung th
,
oa m
˜
an
x
1
x
2
(mod |k|), y
1
y
2
(mod |k|). (9.10)
Th
.
ât v
.
ây,ch
,
ı
`
n ch
,
ı ra
´
t c
,
a c
´
ac kh
,
a n
˘
ang c
,
ua c
´
ac c
.
˘
ap
´
du
,
theo
¯
dun |k| c
´
o
´
lu
,
.
o
,
ng h
˜
u
,
u h
.
an. C
´
o ngh
˜
ıa l
`
a
`
n t
.
ai nh
˜
u
,
ng c
.
˘
ap kh
´
ac
nhau nh
˜
u
,
ng
´
t
.
u
,
nhiên (x
1
, y
1
) v
`
a (x
2
, y
2
), m
`
a x
2
1
Dy
2
1
= x
2
2
Dy
2
2
= k v
`
a th
,
oa m
˜
an d
,
˘
ang th
´
u
,
c (9.10).
Ch
´
ung ta x
´
et
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c
(x
1
y
1
D)(x
2
+ y
2
D) = (x
1
x
2
y
1
y
2
D) + (x
1
y
2
x
2
y
1
).
(9.11)
T
`
u
,
(9.10) ch
´
ung ta c
´
o
x
1
x
2
y
1
y
2
D x
2
1
Dy
2
1
k 0 (mod |k|),
x
1
y
2
x
2
y
1
x
1
y
1
x
1
y
1
0 (mod |k|).
Khi
¯
d
´
o
`
n t
.
ai
´
nguyên u v
`
a v, sao cho x
1
x
2
y
1
y
2
D = ku, x
1
y
2
x
2
y
1
= kv. V
`
ı v
.
ây (9.11) c
´
o thê
,
viê
´
t th
`
anh
(x
1
y
1
D)(x
2
+ y
2
D) = k(u + v
D).
94 Chu
,
o
,
ng 9. Nh
˜
u
,
ng
´
u
,
ng d
.
ung kh
´
ac c
,
ua nguyên l
´
y Ðirichle
Nhân t
`
u
,
ng
´
h
.
ang v
´
o
,
i nhau trong c
´
ac
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c sau c
`
ung ch
´
ung ta
nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c
k
2
= (x
2
1
Dy
2
1
)(x
2
2
Dy
2
2
) = k
2
( u
2
Dv
2
),
t
`
u
,
¯
d
´
o suy ra u
2
Dv
2
= 1, ngh
˜
ıa l
`
a c
.
˘
ap (u, v) l
`
a nghi
.
êm c
,
ua phu
,
o
,
ng
tr
`
ınh.
Ch
,
ı c
`
on ph
,
ai ch
´
u
,
ng minh v 6= 0.
´
u gi
,
a thiê
´
t ngu
,
.
o
,
c l
.
ai, ch
´
ung
ta s
˜
e c
´
o x
1
x
2
= y
1
y
2
D = |k| v
`
a x
1
y
2
= x
2
y
1
. Khi
¯
d
´
o
|k|y
2
= |(x
1
y
2
)x
2
y
1
y
2
2
D| = |y
1
x
2
2
y
1
y
2
2
D| = y
1
|x
2
2
Dy
2
2
| = |k|y
1
t
`
u
,
¯
dây, v
`
ı k 6= 0 ch
,
ı c
´
o kh
,
a n
˘
ang khi y
1
= y
2
. Ðiê
`
u n
`
ay không thê
,
,
y ra v
`
ı (x
1
, y
1
) kh
´
ac (x
2
, y
2
) , c
`
on t
`
u
,
y
1
= y
2
suy ra x
1
= x
2
.
J
.
.
. 9.6. Cho x
1
, x
2
, . . . , x
n
l
`
a nh
˜
u
,
ng
´
th
.
u
,
c v
`
a N l
`
a
´
t
.
u
,
nhiên. Khi
¯
d
´
o
`
n t
.
ai nh
˜
u
,
ng
´
nguyên p
1
, p
2
, . . . , p
n
, q sao cho 1 q N
n
v
`
a
x
i
p
i
q
1
Nq
, (9.12)
v
´
o
,
i m
.
oi i = 1, 2, . . . , n.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
ung ta ch
´
u
,
ng minh b
`
ai to
´
an cho tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p n = 2. V
´
o
,
i
tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p n l
´
o
,
n ho
,
n 2 ch
´
u
,
ng minh ho
`
an to
`
an tu
,
o
,
ng t
.
u
,
v
`
a d
`
anh
cho b
.
an
¯
d
.
oc. Nhu
,
v
.
ây cho x
1
v
`
a x
2
l
`
a nh
˜
u
,
ng
´
th
.
u
,
c, c
`
on N l
`
a
´
t
.
u
,
nhiên. Ch
´
ung ta s
˜
e ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang
`
n t
.
ai nh
˜
u
,
ng
´
nguyên p
1
, p
2
v
`
a q v
´
o
,
i 1 q N
2
v
`
a th
,
oa m
˜
an
x
1
p
1
q
<
1
Nq
,
x
2
p
2
q
<
1
Nq
. (9.13)
Ch
´
ung ta
´
¯
d
.
inh h
.
ê t
.
oa
¯
d
.
ô trong m
.
˘
at ph
,
˘
ang v
`
a x
´
et h
`
ınh vuông Q
v
´
o
,
i c
´
ac
¯
d
,
ınh (0, 0), ( 1, 0), (1, 1) v
`
a (0, 1) nhu
,
h
`
ınh v
˜
e. Chia Q ra N
2
h
`
ınh vuông nh
,
o b
`
˘
ang nhau v
´
o
,
i c
.
anh l
`
a
1
N
b
`
˘
ang c
´
ac
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang
song song v
´
o
,
i tr
.
uc t
.
oa
¯
d
.
ô (trong h
`
ınh v
˜
e ta chia v
´
o
,
i N=7).
9.1.
´
p x
,
ı m
.
ôt
´
th
.
u
,
c 95
Bây gi
`
o
,
ch
´
ung ta ch
´
u
´
y
¯
´
n c
.
˘
ap
´
c
´
o d
.
ang (qx
1
[qx
1
], qx
2
[qx
2
]),
,
o
,
¯
dây q nh
.
ân nh
˜
u
,
ng gi
´
a tr
.
i nguyên 0, 1, 2, . . . , N
2
. V
`
ı 0
qx
i
[qx
i
] < 1, i = 1, 2, . . . , N
2
m
˜
ôi c
.
˘
ap nhu
,
vây c
´
o thê
,
coi nhu
,
m
.
ôt c
.
˘
ap t
.
oa
¯
d
.
ô c
,
ua
¯
diê
,
m trong h
`
ınh vuông Q. B
`
˘
ang c
´
ach
¯
d
´
o m
˜
ôi
´
0, 1, 2, . . . , N
2
t
.
ao ra m
.
ôt
¯
diê
,
m tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng trong h
`
ınh vuông Q ,
´
lu
,
.
o
,
ng c
´
ac
´
¯
d
´
o l
`
a N
2
+ 1. Nhu
,
ng Q
¯
du
,
.
o
,
c chia ra N
2
h
`
ınh vuông
nh
,
o, suy ra
`
n t
.
ai hai
´
nguyên kh
´
ac nhau q
1
, q
2
trong
¯
do
.
an [0, N],
m
`
a
¯
diê
,
m tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i ch
´
ung c
´
o c
´
ac t
.
oa
¯
d
.
ô (q
1
x
1
[q
1
x
1
], q
1
x
2
[q
1
x
2
]), (q
2
x
1
[q
2
x
1
], q
2
x
2
[q
2
x
2
]) v
`
a c
`
ung n
`
˘
am trong m
.
ôt h
`
ınh
vuông nh
,
o v
´
o
,
i c
.
anh
1
N
. Ðiê
`
u
¯
d
´
o c
´
o ngh
˜
ıa l
`
a
|(q
1
x
1
[q
1
x
1
]) (q
1
x
2
[q
1
x
2
])|
1
N
,
|(q
2
x
1
[q
2
x
1
]) (q
2
x
2
[q
2
x
2
])|
1
N
. (9.14)
Không
´
t t
´
ınh
,
ng qu
´
at c
´
o thê
,
gi
,
a thiê
´
t q
1
> q
2
.
´
u
¯
d
.
˘
at q =
q
1
q
2
, p
1
= [q
1
x
1
] [q
2
x
1
], p
2
= [q
1
x
2
] [q
2
x
2
] th
`
ı
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c
(9.14) c
´
o d
.
ang
|qx
1
p
1
|
1
N
, |qx
2
p
2
|
1
N
. (9.15)
Ch
´
ung ta thâ
´
y r
`
˘
ang 1 q N
2
, v
`
ı 1 q
2
< p
1
N
2
. Chia hai
´
c
,
ua (9.15) cho q ch
´
ung ta nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c (9.13).
J
Hai b
`
ai to
´
an du
,
´
o
,
i
¯
dây liên quan t
´
o
,
i m
.
ôt t
´
ınh châ
´
t m
`
a ta
¯
d
˜
a ch
´
u
,
ng
minh
,
o
,
chu
,
o
,
ng 2. Ðê
,
m
,
o
,
r
.
ông t
´
ınh châ
´
t n
`
ay ch
´
ung ta
¯
du
,
a v
`
ao
¯
d
.
inh
ngh
˜
ıa.
´
u a
1
, a
2
, . . . , a
2n+1
l
`
a 2n + 1
´
th
.
u
,
c (n 1). Ch
´
ung ta n
´
oi r
`
˘
ang
d
˜
ay n
`
ay c
´
o t
´
ınh châ
´
t P,
´
u
´
t k
`
y 2n
´
trong ch
´
ung c
´
o thê
,
chia
l
`
am hai nh
´
om, m
˜
ôi nh
´
om n
´
, sao cho
,
ng c
,
ua c
´
ac
´
trong hai
nh
´
om b
`
˘
ang nhau.
96 Chu
,
o
,
ng 9. Nh
˜
u
,
ng
´
u
,
ng d
.
ung kh
´
ac c
,
ua nguyên l
´
y Ðirichle
.
.
. 9.7. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang m
.
oi b
.
ô 2n + 1
´
`
m nh
˜
u
,
ng
´
nguyên
du
,
o
,
ng c
´
o t
´
ınh châ
´
t P, th
`
ı
´
t c
,
a c
´
ac
´
¯
`
u b
`
˘ang nhau.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
u
,
ng minh b
`
˘
ang qui n
.
ap theo
´
l
´
o
,
n nhâ
´
t c
,
ua d
˜
ây
´
.
´
u
´
l
´
o
,
n nhâ
´
t b
`
˘
ang 1 th
`
ı
´
t c
,
a c
´
ac
´
c
`
on l
.
ai c
˜
ung
¯
`
u l
`
a 1, nên
b
`
ai to
´
an
¯
d
˜
a gi
,
ai. Bây gi
`
o
,
gi
,
a s
,
u
,
´
t lu
.
ân
¯
d
´
ung v
´
o
,
i m
.
oi b
.
ô 2n+1
´
nguyên du
,
o
,
ng m
`
a m
˜
ôi
´
không vu
,
.
o
,
t qu
´
a k, k 2 v
`
a c
´
o t
´
ınh châ
´
t P.
´
y p
1
, p
2
, . . . , p
2n+1
l
`
a b
.
ô
´
nguyên du
,
o
,
ng c
´
o t
´
ınh châ
´
t P v
`
a m
˜
ôi
´
không vu
,
.
o
,
t qu
´
a k + 1. T
`
u
,
¯
diê
`
u ki
.
ên b
`
ai to
´
an suy ra p
1
, p
2
, . . . , p
2n+1
c
´
o c
`
ung t
´
ınh ch
˜
˘
an l
,
e.
a)
´
u p
1
, p
2
, . . . , p
2n+1
l
`
a c
´
ac
´
ch
˜
˘
an, ch
´
ung ta x
´
et c
´
ac
´
p
1
2
,
p
2
2
, . . . ,
p
2n+1
2
. Ch
´
ung ta thâ
´
y ngay ch
´
ung c
˜
ung c
´
o t
´
ınh châ
´
t
P. Ngo
`
ai ra m
.
oi
´
không vu
,
.
o
,
t qu
´
a k v
`
ı p
i
k + 1 v
´
o
,
i m
.
oi i =
1, 2, . . . , 2n + 1. B
`
˘
ang qui n
.
ap suy ra
p
1
2
=
p
2
2
= . . . =
p
2n+1
2
.Ngh
˜
ıa
l
`
a p
1
= p
2
= . . . = p
2n+1
.
b)
´
u p
1
, p
2
, . . . , p
2n+1
l
`
a c
´
ac
´
l
,
e, ch
´
ung ta ch
´
u
,
ng b
`
˘
ang qui
n
.
ap cho d
˜
ay p
1
1, p
2
1, . . . , p
2n+1
1. Ch
´
ung c
˜
ung c
´
o t
´
ınh châ
´
t
P v
`
a không vu
,
.
o
,
t qu
´
a k, ch
´
ung ta nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c p
1
1 = p
2
1 = . . . =
p
2n+1
1. Ngh
˜
ıa l
`
a p
1
= p
2
= . . . = p
2n+1
.
J
.
.
. 9.8. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang m
.
oi b
.
ô 2n+1
´
`
m nh
˜
u
,
ng
´
th
.
u
,
c du
,
o
,
ng
c
´
o t
´
ınh châ
´
t P, th
`
ı
´
t c
,
a c
´
ac
´
¯
`
u b
`
˘ang nhau.
L
`
o
,
i gi
,
ai. - Hiê
,
n nhiên r
`
˘
ang
´
u c
´
ac
´
a
1
, a
2
, . . . , a
2n+1
c
´
o t
´
ınh châ
´
t
P v
`
a q l
`
a
´
th
.
u
,
c
´
t k
`
y, th
`
ı c
´
ac
´
qa
1
, qa
2
, . . . , qa
2n+1
c
˜
ung c
´
o t
´
ınh
châ
´
t P.
Bây gi
`
o
,
cho x
1
, x
2
, . . . , x
2n+1
l
`
a nh
˜
u
,
ng
´
th
.
u
,
c du
,
o
,
ng v
´
o
,
i t
´
ınh
châ
´
t P.
´
u
´
t c
,
a c
´
ac
´
l
`
a h
˜
u
,
u t
,
y th
`
ı
¯
diê
`
u kh
,
˘
ang
¯
d
.
inh c
,
ua b
`
ai to
´
an
suy ra không kh
´
o. Th
.
ât v
.
ây, k
´
y hi
.
êu q l
`
a b
.
ôi
´
chung nh
,
o nhâ
´
t c
,
ua
9.1.
´
p x
,
ı m
.
ôt
´
th
.
u
,
c 97
m
˜
âu
´
c
´
ac
´
trên. Khi
¯
d
´
o qx
1
, qx
2
, . . . , qx
2n+1
l
`
a nh
˜
u
,
ng
´
nguyên
du
,
o
,
ng c
´
o t
´
ınh châ
´
t P, theo c
´
ach ch
´
u
,
ng minh b
`
ai tru
,
´
o
,
c ch
´
ung ta c
´
o
qx
1
= qx
2
= . . . = qx
2n+1
. V
`
ı v
.
ây x
1
= x
2
= . . . = x
2n+1
. Ch
,
ı c
`
on
ph
,
ai ch
´
u
,
ng minh tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p c
´
o trong d
˜
ây x
1
, x
2
, . . . , x
2n+1
m
.
ôt
´
t
,
y. Nhu
,
ng theo
´
t qu
,
a c
,
ua b
`
ai 9.6
`
n t
.
ai
´
t
.
u
,
nhiên q, v
`
a c
´
ac
´
nguyên du
,
o
,
ng p
1
, p
2
, . . . , p
2n+1
th
,
oa m
˜
an
|x
i
p
i
q
| <
1
q
1+
1
2n+1
, i = 1, 2, . . . , n. (9.16)
Tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p riêng,
`
n t
.
ai p
1
, p
2
, . . . , p
2n+1
, q v
´
o
,
i q > (2n)
2n+1
v
`
a
ch
´
ung th
,
oa m
˜
an |qx
i
p
i
|
1
q
1
2n+1
, i = 1, 2, . . . , n.
Ð
.
˘
at α
i
= qx
i
p
i
, i = 1, 2, . . . , 2n + 1. Nhu
,
phâ
`
n
¯
`
u kh
,
˘
ang
¯
d
.
inh
r
`
˘
ang qx
1
, qx
2
, . . . , qx
2n+1
c
´
o t
´
ınh châ
´
t P. Ch
´
ung ta s
˜
e ch
´
u
,
ng minh
r
`
˘
ang p
1
, p
2
, . . . , p
2n+1
c
˜
ung c
´
o t
´
ınh châ
´
t P. Ch
.
on 2n
´
trong
¯
d
´
o, v
´
ı
d
.
u nhu
,
p
1
, p
2
, . . . , p
2n
. V
`
ı qx
1
, qx
2
, . . . , qx
2n
c
´
o t
´
ınh châ
´
t P, không
´
t t
´
ınh
,
ng qu
´
at ch
´
ung ta
´
y
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c qx
1
+ qx
2
+ ··· + qx
n
=
qx
n+1
+ qx
n+2
+ ··· + qx
2n
, khi
¯
d
´
o (p
1
+ α
1
) + (p
2
+ α
2
) + ··· +
(p
n
+ α
n
) = (p
n+1
+ α
n+1
) + (p
n+2
+ α
n+2
) + ··· + (p
2n
+ α
2n
).
Ch
´
ung ta viê
´
t l
.
ai
p
1
+ p
2
+ ··· + p
n
p
n+1
p
n+2
··· p
2n
=
= α
n+1
+ α
n+2
+ ··· + α
2n
α
1
α
2
··· α
n
. (9.17)
´
bên tr
´
ai
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c trên l
`
a
´
nguyên nên
´
α = α
n+1
+
α
n+2
+ ··· + α
2n
α
1
α
2
··· α
n
c
˜
ung l
`
a
´
nguyên. Nhu
,
ng
|α
i
|
1
q
1
2n+1
, i = 1, 2, . . . , n. Do
¯
d
´
o |α| |α
n+1
| + |α
n+2
| + ··· +
|α
2n
| + |α
1
| + |α
2
| + ··· + |α
n
| <
2n
q
1
2n+1
< 1, v
`
ı q > (2n)
2n+1
. Khi
98 Chu
,
o
,
ng 9. Nh
˜
u
,
ng
´
u
,
ng d
.
ung kh
´
ac c
,
ua nguyên l
´
y Ðirichle
¯
d
´
o α = 0 v
`
a t
`
u
,
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c tru
,
´
o
,
c
¯
d
´
o ta c
´
o p
1
+ p
2
+ ··· + p
n
=
p
n+1
+ p
n+2
+ ··· + p
2n
Nhu
,
v
.
ây ch
´
ung ta kh
,
˘
ang
¯
d
.
inh
¯
du
,
.
o
,
c nh
˜
u
,
ng
´
nguyên p
1
, p
2
, . . . p
2n+1
c
´
o t
´
ınh châ
´
t P. Ch
´
ung ta c
´
o thê
,
´
t lu
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c p
1
= p
2
= . . . = p
2n+1
Th
.
u
,
c châ
´
t
¯
´
n
¯
dây ch
´
ung ta
¯
d
˜
a ch
´
u
,
ng minh
¯
du
,
.
o
,
c :
´
u p
1
, p
2
, . . . , p
2n+1
, q l
`
a nh
˜
u
,
ng
´
nguyên th
,
oa m
˜
an (9.16) v
`
a
q > (2n)
2n+1
th
`
ı p = p
1
= p
2
= . . . = p
2n+1
. Suy ra (9.16) c
´
o d
.
ang
|x
i
p
q
| <
1
q
1+
1
2n+1
, i = 1, 2, . . . , 2n + 1
Trong 9.6 ch
´
ung ta kh
,
˘
ang
¯
d
.
inh r
`
˘
ang
`
n t
.
ai h
.
an
´
t
.
u
,
nhiên q
th
,
oa m
˜
an (9.16). Không
´
t t
´
ınh
,
ng qu
´
at ch
´
ung ta gi
,
a thiê
´
t r
`
˘
ang
nh
˜
u
,
ng
´
¯
d
´
o l
`
a q
1
< q
2
< . . . < q
k
< . . .,
,
o
,
¯
dây q
1
> (2n)
2n+1
. Trong
tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p n
`
ay v
´
o
,
i m
.
oi k
`
n t
.
ai
´
nguyên p
k
sao cho
|x
i
p
k
q
k
| <
1
q
1+
1
2n+1
k
, i = 1, 2, . . . , 2n + 1. (9.18)
V
`
ı lim
1
q
1+
1
2n+1
k
= 0 khi k tiê
´
n t
´
o
,
i c
`
ung, t
`
u
,
(9.18) suy ra lim
p
k
q
k
=
x
i
khi k tiê
´
n t
´
o
,
i c
`
ung, v
´
o
,
i m
.
oi i = 1, 2, . . . , 2n + 1. Nhu
,
ng m
˜
ôi d
˜
ay
´
th
.
u
,
c không c
´
o nhiê
`
u ho
,
n m
.
ôt gi
´
o
,
i h
.
an, suy ra x
1
= x
2
= . . . =
x
2n+1
.
J
.
.
. 9.9. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang trong t
´
am
´
, m
˜
ôi
´
c
´
o ba ch
˜
u
,
´
, bao gi
`
o
,
c
˜
ung ch
.
on
¯
du
,
.
o
,
c hai
´
c
´
o ba ch
˜
u
,
´
v
`
a
¯
,
khi gh
´
ep l
.
ai ta
¯
du
,
.
o
,
c m
.
ôt
´
chia
´
t cho 7.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Khi mang t
´
am
´
chia cho 7 th
`
ı thê
,
n
`
ao c
˜
ung c
´
o hai
´
c
´
o
c
`
ung
´
du
,
(nguyên l
´
y Ðirichlê ). Gi
,
a s
,
u
,
hai
´
¯
d
´
o l
`
a
ab c v
`
a αβγ . Hiê
,
n
9.2. B
`
ai t
.
âp 99
nhiên abcαβγ = 1000abc + αβγ. T
`
u
,
c
´
ach ch
.
on ta c
´
o abc = 7m + r
v
`
a αβγ = 7n + r v
´
o
,
i 0 r < 7 v
`
a m, n, r l
`
a c
´
ac
´
t
.
u
,
nhiên. V
`
ı
v
.
ây abcαβγ = 1000(7m + r) + (7n + r) = 7(1000m + n) + 1001.r =
7( 1000m + n + 143.r).
J
.
.
. 9.10. Cho a, b, c, d l
`
a c
´
ac
´
nguyên. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang t
´
ıch c
,
ua c
´
ac
hi
.
êu b a, c a, d a, d c, b d v
`
a c b chia
´
t cho 12.
L
`
o
,
i gi
,
ai.
`
n ch
´
u
,
ng minh t
´
ıch: P = (b a)(c a)(d a) (d c)( d
b)(c b) chia
´
t cho 12=4.3. Ch
´
ung ta biê
´
t r
`
˘
ang m
.
ôt
´
nguyên
´
t k
`
y khi chia cho 4 th
`
ı ch
,
ı c
´
o c
´
ac
´
du
,
0, 1, 2, 3.
Trong
´
n
´
a, b, c, d cho tru
,
´
o
,
c
´
u c
´
o hai
´
khi chia cho 4 m
`
a
c
´
o c
`
ung
´
du
,
th
`
ı hi
.
êu c
,
ua ch
´
ung s
˜
e chia
´
t cho 4.
´
u không c
´
o
hai
´
n
`
ao khi chia cho 4 cho c
`
ung
´
du
,
th
`
ı trong
´
n
´
ph
,
ai c
´
o
hai
´
ch
˜
˘
an v
`
a hai
´
l
,
e. V
`
ı hi
.
êu c
,
ua hai
´
ch
˜
˘
an c
˜
ung nhu
,
hi
.
êu c
,
ua
hai
´
l
,
e
¯
`
u l
`
a
´
ch
˜
˘
an nên P chia
´
t cho 4.
M
.
˘
at kh
´
ac trong
´
n
´
a, b, c, d luôn t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c hai
´
khi chia cho
3 th
`
ı c
´
o c
`
ung
´
du
,
(nguyên l
´
y Ðirichlê ). Do
¯
d
´
o hi
.
êu c
,
ua ch
´
ung chia
´
t cho 3, suy ra P chia
´
t cho 3. T
´
om l
.
ai P chia
´
t cho 12=4.3.
J
9.2. B
`
ai t
.
âp
.
.
. 9.11. Cho x l
`
a m
.
ôt
´
th
.
u
,
c, c
`
on n l
`
a m
.
ôt
´
t
.
u
,
nhiên. Khi
¯
d
´
o
`
n t
.
ai
nh
˜
u
,
ng
´
nguyên p v
`
a q th
,
oa m
˜
an 1 q n v
`
a
x
p
q
1
( n + 1)q
.
.
.
. 9.12. Cho x
1
, x
2
, . . . , x
m
l
`
a nh
˜
u
,
ng
´
th
.
u
,
c v
`
a n l
`
a
´
t
.
u
,
nhiên. Khi
¯
d
´
o
`
n t
.
ai nh
˜
u
,
ng
´
nguyên p
1
, p
2
, . . . , p
n
, q không
¯
`
ng th
`
o
,
i b
`
˘
ang
0, sao cho ta c
´
o q
µ
n (µ = 1, 2, . . . , m) v
`
a
|q
1
x
1
+ q
2
x
2
+ ··· + q
m
x
m
p|
1
( n + 1)
m
.
100 Chu
,
o
,
ng 9. Nh
˜
u
,
ng
´
u
,
ng d
.
ung kh
´
ac c
,
ua nguyên l
´
y Ðirichle
.
.
. 9.13. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang v
´
o
,
i m
.
oi c
.
˘
ap
´
nguyên p v
`
a q > 0 ta
¯
`
u
c
´
o
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c sau
2
p
q
3
2
q
2
.
.
.
. 9.14. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang v
´
o
,
i m
.
oi c
.
˘
ap
´
nguyên p v
`
a q > 0 ta
¯
`
u
c
´
o
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c sau
3
p
q
1
3
3q
2
.
.
.
. 9.15. Cho m, n v
`
a s l
`
a nh
˜
u
,
ng
´
nguyên v
`
a α l
`
a nghi
.
êm c
,
ua phu
,
o
,
ng
tr
`
ınh b
.
âc hai mx
2
+ nx + s = 0, (m 6= 0). Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang
´
u α l
`
a
´
t
,
y, th
`
ı
`
n t
.
ai m
.
ôt
´
du
,
o
,
ng c th
,
oa m
˜
an
α
p
q
c
q
2
v
´
o
,
i m
.
ôi
c
.
˘
ap
´
nguyên p v
`
a q > 0.
CHU
,
O
,
NG 10
NGUYÊN L
´
Y ÐIRICHLÊ
CHO DI
.
ÊN T
´
ICH
10.1. Ph
´
at biê
,
u nguyên l
´
y Ðirichlê cho di
.
ên t
´
ıch
Trong chu
,
o
,
ng n
`
ay ch
´
ung ta x
´
et nh
˜
u
,
ng t
.
âp h
.
o
,
p trên m
.
˘
at ph
,
˘
ang,
nh
˜
u
,
ng ph
´
ep to
´
an trên c
´
ac t
.
âp h
.
o
,
p
´
u c
´
ac b
.
an chu
,
a quen biê
´
t c
´
o
thê
,
xem
,
o
,
Ph
.
u
¯
d
´
ınh cuô
´
i s
´
ach. Ch
´
ung ta quan tâm t
´
o
,
i c
´
ac kh
´
ai ni
.
êm
sau
¯
dây:
M
.
ôt t
.
âp h
.
o
,
p trong m
.
˘
at ph
,
˘
ang g
.
oi l
`
a b
.
i ch
.
˘
an, khi
`
n t
.
ai m
.
ôt
h
`
ınh tr
`
on ch
´
u
,
a to
`
an b
.
ô c
´
ac
¯
diê
,
m c
,
ua t
.
âp h
.
o
,
p
¯
d
´
o. Khi không
`
n t
.
ai
m
.
ôt h
`
ınh tr
`
on n
`
ao nhu
,
trên th
`
ı t
.
âp h
.
o
,
p
¯
d
´
o g
.
oi l
`
a t
.
âp h
.
o
,
p không b
.
i
ch
.
˘
an. V
´
ı d
.
u nhu
,
m
.
ôt
¯
da gi
´
ac
`
i l
`
a t
.
âp b
.
i ch
.
˘
an c
`
on n
,
u
,
a m
.
˘
at ph
,
˘
ang l
`
a
t
.
âp h
.
o
,
p không b
.
i ch
.
˘
an. D
˜
ê d
`
ang ch
´
u
,
ng minh
¯
du
,
.
o
,
c c
´
ac t
´
ınh châ
´
t sau
c
,
ua nh
˜
u
,
ng t
.
âp h
.
o
,
p b
.
i ch
.
˘
an
1. H
.
o
,
p v
`
a giao c
,
ua h
˜
u
,
u h
.
an nh
˜
u
,
ng t
.
âp b
.
i ch
.
˘
an l
`
a m
.
ôt t
.
âp b
.
i
ch
.
˘
an. Hi
.
êu c
,
ua hai t
.
âp b
.
i ch
.
˘
an l
`
a m
.
ôt t
.
âp b
.
i ch
.
˘
an.
2. M
.
ôt t
.
âp h
.
o
,
p con c
,
ua m
.
ôt t
.
âp b
.
i ch
.
˘
an l
`
a m
.
ôt t
.
âp b
.
i ch
.
˘
an. M
.
ôt
t
.
âp h
.
o
,
p ch
´
u
,
a m
.
ôt t
.
âp h
.
o
,
p con không b
.
i ch
.
˘
an th
`
ı n
´
o c
˜
ung không b
.
i
ch
.
˘
an.
M
.
ôt
¯
diê
,
m P g
.
oi l
`
a
¯
diê
,
m biên c
,
ua t
.
âp h
.
o
,
p A trong m
.
˘
at ph
,
˘
ang,
102 Chu
,
o
,
ng 10. Nguyên l
´
y Ðirichlê cho di
.
ên t
´
ıch
´
u m
.
oi h
`
ınh tr
`
on tâm t
.
ai P c
´
o ch
´
u
,
a nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m thu
.
ôc A v
`
a c
,
a
nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m không thu
.
ôc A.T
.
âp h
.
o
,
p
´
t c
,
a c
´
ac
¯
diê
,
m biên c
,
ua A g
.
oi
l
`
a biên c
,
ua A v
`
a k
´
y hi
.
êu l
`
a K(A). V
´
ı d
.
u biên c
,
ua h
`
ınh tr
`
on l
`
a
¯
du
,
`
o
,
ng
tr
`
on v
´
o
,
i c
`
ung tâm v
`
a b
´
an k
´
ınh. V
´
ı d
.
u
¯
d
.
˘
ac bi
.
êt v
`
a t
´
ınh châ
´
t biên c
,
ua
t
.
âp h
.
o
,
p nhu
,
sau:
3. Cho t
.
âp h
.
o
,
p A
`
m to
`
an b
.
ô nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m c
´
o t
.
oa
¯
d
.
ô h
˜
u
,
u t
,
y
trong m
.
ôt h
`
ınh vuông v
´
o
,
i t
.
oa
¯
d
.
ô c
´
ac
¯
dir nh (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1).
D
˜
ê d
`
ang thâ
´
y r
`
˘
ang biên c
,
ua A l
`
a to
`
an b
.
ô h
`
ınh vuông n
´
oi trên.
4. V
´
o
,
i m
.
oi t
.
âp h
.
o
,
p A
`
m c
´
ac
¯
diê
,
m trong m
.
˘
at ph
,
˘
ang
¯
`
u c
´
o
công th
´
u
,
c sau K(K(A)) K(A).
5. M
.
oi c
.
˘
ap t
.
âp h
.
o
,
p
´
t k
`
y trong m
.
˘
at ph
,
˘
ang
¯
`
u th
,
oa m
˜
an c
´
ac
công th
´
u
,
c sau
K(A B) K(A) K(B)
K(A B) K(A) K(B)
K(A\B) K(A) K(B)
M
.
ôt
¯
diê
,
m P g
.
oi l
`
a
¯
diê
,
m trong c
,
ua t
.
âp h
.
o
,
p A nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m trong
m
.
˘
at ph
,
˘
ang, khi
`
n t
.
ai h
`
ınh tr
`
on tâm P m
`
a n
´
o n
`
˘
am tr
.
on trong A.
T
`
u
,
¯
d
.
inh ngh
˜
ıa n
`
ay thâ
´
y ngay l
`
a m
.
oi
¯
diê
,
m trong c
,
ua t
.
âp h
.
o
,
p A
¯
`
u
thu
.
ôc A. Ðiê
`
u ngu
,
.
o
,
c l
.
ai không
¯
d
´
ung: trong v
´
ı d
.
u 3
,
o
,
trên t
.
âp h
.
o
,
p A
không c
´
o m
.
ôt
¯
diê
,
m trong n
`
ao. Ta thâ
´
y ngay
6. M
.
ôt
¯
diê
,
m thu
.
ôc A l
`
a
¯
diê
,
m trong c
,
ua A khi v
`
a chi khi n
´
o không
l
`
a
¯
diê
,
m biên c
,
ua A. Ðiê
`
u n
`
ay gi
,
ai th
´
ıch t
.
ai sao nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m trong
c
,
ua h
`
ınh tr
`
on không n
`
˘
am trên
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on.
Ðê
,
lo
.
ai tr
`
u
,
c
´
ac t
.
âp h
.
o
,
p
¯
d
.
˘
ac bi
.
êt, ch
´
ung ta
¯
du
,
a v
`
ao m
.
ôt kh
´
ai ni
.
êm
¯
d
.
˘
ac chu
,
ng cho l
´
o
,
p t
.
âp h
.
o
,
p không
¯
d
.
˘
ac bi
.
êt trong m
.
˘
at ph
,
˘
ang : M
.
ôt
t
.
âp h
.
o
,
p b
.
i ch
.
˘
an c
´
ac
¯
diê
,
m trong m
.
˘
at ph
,
˘
ang g
.
oi l
`
a
`
m
.
˘
at, khi biên
c
,
ua n
´
o không ch
´
u
,
a
¯
diê
,
m trong (c
,
ua biên).
V
´
ı d
.
u c
´
ac h
`
ınh tr
`
on ho
.
˘
ac
¯
da gi
´
ac
¯
`
u l
`
a
`
m
.
˘
at trong m
.
˘
at ph
,
˘
ang.
10.1. Ph
´
at biê
,
u nguyên l
´
y Ðirichlê cho di
.
ên t
´
ıch 103
Nhu
,
ng trong v
´
ı d
.
u 3 t
.
âp h
.
o
,
p A không l
`
a
`
m
.
˘
at. B
`
˘
ang c
´
ach d
`
ung
c
´
ac
¯
d
.
inh ngh
˜
ıa
`
t
.
âp h
.
o
,
p v
`
a c
´
ac
¯
d
.
inh ngh
˜
ıa trong phâ
`
n trên ch
´
ung
ta ch
´
u
,
ng minh
¯
du
,
.
o
,
c
7.
´
u A v
`
a B l
`
a hai
`
m
.
˘
at, nh
˜
u
,
ng t
.
âp h
.
o
,
p A B, A B v
`
a
A\B c
˜
ung l
`
a nh
˜
u
,
ng
`
m
.
˘
at trong m
.
˘
at ph
,
˘
ang.
8.
´
u A, B v
`
a C l
`
a c
´
ac
`
m
.
˘
at v
`
a A không c
´
o chung
¯
diê
,
m trong
v
´
o
,
i B v
`
a v
´
o
,
i C, th
`
ı A không c
´
o
¯
diê
,
m trong chung v
´
o
,
i B C.
M
.
ôt trong nh
˜
u
,
ng
¯
d
.
inh l
´
y co
,
b
,
an trong h
`
ınh h
.
oc ph
,
˘
ang, nhiê
`
u khi
,
o
,
phô
,
thông ch
´
ung ta công nh
.
ân nhu
,
m
.
ôt tiên
¯
`
:
9. M
.
oi
`
m
.
˘
at A nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m trong m
.
˘
at ph
,
˘
ang c
´
o thê
,
cho tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i m
.
ôt
´
th
.
u
,
c không âm S(A) sao cho
a) S() = 1, v
´
o
,
i l
`
a m
.
ôt h
`
ınh vuông c
´
o c
.
anh l
`
a 1;
b)
´
u A v
`
a B l
`
a hai
`
m
.
˘
at không c
´
o
¯
diê
,
m trong chung, th
`
ı
S(A B) = S(A) + S(B).
Ph
´
ep cho tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng S v
´
o
,
i c
´
ac t
´
ınh châ
´
t trên
¯
du
,
.
o
,
c x
´
ac
¯
d
.
inh m
.
ôt
c
´
ach duy nhâ
´
t.
Cho
`
m
.
˘
at A
´
t k
`
y,
´
S(A) g
.
oi l
`
a di
.
ên t
´
ıch c
,
ua A. Nh
˜
u
,
ng m
.
˘
at
¯
d
˜
a
¯
du
,
.
o
,
c x
´
et trong c
´
ac tru
,
`
o
,
ng phô
,
thông l
`
a h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât, tam gi
´
ac,
h
`
ınh tr
`
on,. . . v
`
a
´
S(A) theo
¯
d
.
inh ngh
˜
ıa trên tr
`
ung v
´
o
,
i kh
´
ai ni
.
êm
di
.
ên t
´
ıch c
,
ua c
´
ac h
`
ınh n
`
ay. V
´
o
,
i c
´
ach tr
`
u
,
u tu
,
.
o
,
ng h
´
oa kh
´
ai ni
.
êm di
.
ên
t
´
ıch ch
´
ung ta d
˜
ê d
`
ang kh
,
ao s
´
at t
´
ınh châ
´
t
`
di
.
ên t
´
ıch c
,
ua c
´
ac h
`
ınh.
T
`
u
,
a) v
`
a b) ch
´
ung ta c
´
o thê
,
d
˜
ê d
`
ang ch
´
u
,
ng minh
¯
du
,
.
o
,
c:
10.
´
u A v
`
a B l
`
a nh
˜
u
,
ng
`
m
.
˘
at v
`
a A B, th
`
ı S(A\B) =
S(A) S(B) .
11.
´
u A
1
, A
2
, . . . , A
n
l
`
a c
´
ac
`
m
.
˘
at t
`
u
,
ng
¯
dôi m
.
ôt không c
´
o
¯
diê
,
m trong chung, th
`
ı S(A
1
A
2
. . . A
n
) = S(A
1
) + S(A
2
) +
104 Chu
,
o
,
ng 10. Nguyên l
´
y Ðirichlê cho di
.
ên t
´
ıch
··· + S(A
n
).
Nguyên l
´
y Ðirichlê cho di
.
ên t
´
ıch:
´
u A l
`
a m
.
ôt
`
m
.
˘at, c
`
on
A
1
, A
2
, . . . , A
n
l
`
a c
´
ac
`
m
.
˘at sao cho A
i
A(i = 1, 2, . . . , n) v
`
a
S(A) < S(A
1
) + S(A
2
) + ··· + S(A
n
), th
`
ı
´
ıt nhâ
´
t c
´
o hai
`
m
.
˘at
trong
´
c
´
ac
`
m
.
˘at trên c
´
o m
.
ôt
¯
diê
,
m trong chung.
C
˜
ung nhu
,
nguyên l
´
y
¯
`
u tiên, ch
´
ung ta c
˜
ung c
´
o thê
,
thâ
´
y
¯
diê
`
u
n
`
ay l
`
a hiê
,
n nhiên v
`
a ch
´
u
,
ng minh
¯
du
,
.
o
,
c. Th
.
ât v
.
ây, Gi
,
a s
,
u
,
không c
´
o
c
.
˘
ap n
`
ao trong nh
˜
u
,
ng m
.
˘
at
¯
d
˜
a cho c
´
o
¯
diê
,
m trong chung. Khi
¯
d
´
o theo
kh
,
˘
ang
¯
d
.
inh 11. ta c
´
o S(A
1
A
2
. . . A
n
) = S(A
1
) + S(A
2
) + ···+
S(A
n
). M
.
˘
at kh
´
ac A
i
A(i = 1, 2, . . . , n) suy ra A
1
A
2
. . . A
n
A, t
`
u
,
¯
d
´
o c
´
o S(A
1
A
2
. . . A
n
) S(A). Thô
´
ng nhâ
´
t c
´
ac
´
t
¯
d
,
˘
ang
th
´
u
,
c l
.
ai ch
´
ung ta c
´
o S(A) < S(A), d
˜
ân t
´
o
,
i l
´
y.
C
´
o thê
,
thâ
´
y r
`
˘
ang nguyên l
´
y trên bao tr
`
um nguyên l
´
y Ðirichlê
cho nh
˜
u
,
ng t
.
âp h
˜
u
,
u h
.
an. Ngo
`
ai ra nguyên l
´
y Ðirichlê trên c
´
o thê
,
c
.
u
thê
,
h
´
oa cho nh
˜
u
,
ng l
´
o
,
p
`
m
.
˘
at thông d
.
ung trong chu
,
o
,
ng tr
`
ınh phô
,
thông v
`
a c
´
ac kh
´
ai ni
.
êm
¯
d
.
ô d
`
ai, thê
,
t
´
ıch c
˜
ung c
´
o c
`
ung t
´
ınh châ
´
t nhu
,
kh
´
ai ni
.
êm di
.
ên t
´
ıch
,
o
,
trên. Do
¯
d
´
o ch
´
ung ta c
´
o thê
,
ph
´
at biê
,
u nguyên
l
´
y Ðirichlê theo c
´
ac phu
,
o
,
ng
´
an kh
´
ac nhau.
12.Cho nh
˜
u
,
ng
¯
do
.
an th
,
˘ang
1
,
2
, . . . ,
n
n
`
˘am trong
¯
do
.
an v
`
a
,
ng
¯
d
.
ô d
`
ai c
,
ua
1
,
2
, . . . ,
n
l
´
o
,
n ho
,
n
¯
d
.
ô d
`
ai c
,
ua . Khi
¯
d
´
o
´
ıt nhâ
´
t c
´
o
hai trong
´
nh
˜
u
,
ng
¯
do
.
an th
,
˘ang
1
,
2
, . . . ,
n
c
´
o
¯
diê
,
m chung.
13. Cho nh
˜
u
,
ng
¯
da di
.
ên P
1
, P
2
, . . . , P
n
n
`
˘am trong
¯
da di
.
ên P v
`
a
,
ng
thê
,
t
´
ıch c
,
ua P
1
, P
2
, . . . , P
n
l
´
o
,
n ho
,
n thê
,
t
´
ıch c
,
ua P. Khi
¯
d
´
o
´
ıt nhâ
´
t c
´
o hai
trong
´
nh
˜
u
,
ng
¯
da di
.
ên P
1
, P
2
, . . . P
n
c
´
o
¯
diê
,
m chung.
14. Cho nh
˜
u
,
ng cung c
1
, c
2
, . . . , c
n
n
`
˘am trên
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on c v
`
a
,
ng
¯
d
.
ô d
`
ai c
,
ua c
1
, c
2
, . . . , c
n
l
´
o
,
n ho
,
n
¯
d
.
ô d
`
ai
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on c. Khi
¯
d
´
o
´
ıt nhâ
´
t c
´
o
hai trong
´
nh
˜
u
,
ng cung c
1
, c
2
, . . . c
n
c
´
o
¯
diê
,
m chung.
10.2. V
´
ı d
.
u 105
´
t c
,
a c
´
ac ph
´
at biê
,
u 12, 13, 14 ch
´
ung ta
¯
`
u g
.
oi l
`
a nguyên l
´
y
Ðirichlê v
`
a b
.
an
¯
d
.
oc c
´
o thê
,
ch
´
u
,
ng minh
¯
du
,
.
o
,
c c
´
ac nguyên l
´
y n
`
ay.
10.2. V
´
ı d
.
u
.
.
. 10.1. Cho M l
`
a m
.
ôt
¯
da gi
´
ac
`
i v
´
o
,
i di
.
ên t
´
ıch S v
`
a chu vi P. Ch
´
u
,
ng
minh r
`
˘ang
a) M c
´
o thê
,
ph
,
u
¯
du
,
.
o
,
c m
.
ôt h
`
ınh tr
`
on v
´
o
,
i b
´
an k
´
ınh l
´
o
,
n ho
,
n
S
P
;
b) B
´
an k
´
ınh c
,
ua c
´
ac h
`
ınh tr
`
on n
`
˘am trong M không qu
´
a
S
P
.
L
`
o
,
i gi
,
ai. a) Ch
´
ung ta d
.
u
,
ng trên m
˜
ôi c
.
anh
¯
da gi
´
ac M m
.
ôt h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât chiê
`
u cao h =
S
P
, nhu
,
h
`
ınh 10.1.
M
h =
S
P
H
H
`
ınh 10.1:
M
C
O
H
`
ınh 10.2:
Nh
˜
u
,
ng h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât n
`
ay c
´
o nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m chung gi
˜
u
,
a ch
´
ung; n
´
oi
chung m
.
ôt
´
h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât không n
`
˘
am tr
.
on trong M. Ch
´
ung ta c
´
o
thê
,
t
´
ınh to
´
an
,
ng di
.
ên t
´
ıch c
,
ua c
´
ac h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât n
`
ay l
`
a S. Nhu
,
v
.
ây
phâ
`
n c
,
ua M b
.
i c
´
ac h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât ph
,
u ph
,
ai c
´
o di
.
ên t
´
ıch nh
,
o ho
,
n S.
Ðiê
`
u n
`
ay ch
,
ı ra r
`
˘
ang
`
n t
.
ai m
.
ôt
¯
diê
,
m O c
,
ua M không thu
.
ôc
106 Chu
,
o
,
ng 10. Nguyên l
´
y Ðirichlê cho di
.
ên t
´
ıch
h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât n
`
ao c
,
a. Nhu
,
v
.
ây c
´
o ngh
˜
ıa l
`
a kho
,
ang c
´
ach t
`
u
,
O
¯
´
n
c
´
ac c
.
anh c
,
ua M ph
,
ai l
´
o
,
n ho
,
n h =
S
P
. Ta
´
y O l
`
a tâm h
`
ınh tr
`
on b
´
an
k
´
ınh R >
S
P
, h
`
ınh tr
`
on n
`
ay s
˜
e n
`
˘
am tr
.
on trong M.
b) Cho h
`
ınh tr
`
on C tâm O b
´
an k
´
ınh R n
`
˘
am trong M. Ch
´
ung ta x
´
et
c
´
ac tam gi
´
ac m
`
a hai
¯
d
,
ınh c
,
ua n
´
o l
`
a hai
¯
d
,
ınh liên tiê
´
p c
,
ua t
´
u
,
gi
´
ac, c
`
on
¯
d
,
ınh th
´
u
,
ba l
`
a tâm h
`
ınh tr
`
on O. Ðu
,
`
o
,
ng cao h
.
a t
`
u
,
O xuô
´
ng c
´
ac c
.
anh
c
,
ua tam gi
´
ac n
`
ay l
´
o
,
n ho
,
n R. T
`
u
,
¯
dây suy ra
,
ng c
´
ac di
.
ên t
´
ıch c
,
ua
ch
´
ung b
`
˘
ang S v
`
a không nh
,
o ho
,
n P.R. Suy ra R
S
P
(H
`
ınh 10.2).
J
.
.
. 10.2. Trong không gian cho 30 vecto
,
kh
´
ac không. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
trong
´
¯
d
´
o c
´
o hai vecto
,
m
`
a g
´
oc gi
˜
u
,
a ch
´
ung nh
,
o ho
,
n 45
0
.
L
`
o
,
i gi
,
ai. C
´
o thê
,
gi
,
a thiê
´
t r
`
˘
ang
´
t c
,
a
45
0
O
J
A
H
`
ınh 10.3:
v
´
ecto
,
c
´
o chung
¯
diê
,
m
¯
`
u O.
´
y OA
v
´
o
,
i
¯
d
.
ôd
`
ai b
`
˘
ang 1 trên vecto
,
th
´
u
,
nhâ
´
t.
Ch
´
ung ta d
.
u
,
ng h
`
ınh n
´
on
¯
d
,
ınh O v
´
o
,
i
tr
.
uc OA, m
`
a g
´
oc
,
o
,
¯
d
,
ınh l
`
a 45
0
. B
`
ai
to
´
an s
˜
e
¯
du
,
.
o
,
c ch
´
u
,
ng minh
´
u ch
´
ung
ta ch
,
ı ra r
`
˘
ang
´
ıt nhâ
´
t hai trong
´
30
h
`
ınh n
´
on (
¯
du
,
.
o
,
c xây du
,
o
,
ng theo c
´
ach
trên
´
u
,
ng v
´
o
,
i 30 vecto
,
¯
d
˜
a cho) c
´
o
¯
diê
,
m
trong chung (h
`
ınh 10.3).
Ch
´
ung ta x
´
et h
`
ınh
`
u S v
´
o
,
i tâm
O v
`
a b
´
an k
´
ınh 1. M
˜
ôi
`
n d
.
u
,
ng h
`
ınh n
´
on c
´
˘
at m
.
˘
at
`
u S m
.
ôt h
`
ınh
v
´
o
,
i di
.
ên t
´
ıch δ
1
m
`
a c
´
o thê
,
t
´
ınh to
´
an
¯
du
,
.
o
,
c. Ta c
˜
ung thâ
´
y r
`
˘
ang
hai h
`
ınh n
´
on c
´
o
¯
diê
,
m trong chung khi v
`
a chi khi nh
˜
u
,
ng phâ
`
n
trên m
.
˘
at
`
u c
˜
ung ph
,
ai c
´
o
¯
diê
,
m trong chung. T
`
u
,
¯
diê
`
u n
`
ay v
`
a
10.2. V
´
ı d
.
u 107
nguyên l
´
y Ðirichlê ch
´
ung ta ch
,
ı
`
n thiê
´
t kiê
,
m tra
,
ng di
.
ên t
´
ıch
c
,
ua 30 h
`
ınh trên m
.
˘
at
`
u l
´
o
,
n ho
,
n di
.
ên t
´
ıch m
.
˘
at
`
u (b
`
˘
ang 4π).
Ch
´
ung ta c
´
o δ
1
= 2π
1 cos
π
8
= 2π
1
p
2 +
2
2
!
. V
.
ây
30.2π
1
p
2 +
2
2
!
> 4π tu
,
o
,
ng
¯
du
,
o
,
ng v
´
o
,
i
p
2 +
2
2
<
14
15
ho
.
˘
ac l
`
a
1
2
<
167
225
2
.
J
.
.
. 10.3.
´
u m
.
ôt
`
m
.
˘at A trong m
.
˘at ph
,
˘ang th
,
oa m
˜
an
¯
diê
`
u ki
.
ên
S(A) > 1. th
`
ı n
´
o luôn luôn ch
´
u
,
a
´
ıt nhâ
´
t hai
¯
diê
,
m trong (x
1
, y
1
),
(x
2
, y
2
) m
`
a hi
.
êu x
2
x
1
v
`
a y
2
y
1
l
`
a nh
˜
u
,
ng
´
nguyên.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Qua m
˜
ôi
¯
diê
,
m (m, n) v
´
o
,
i
y
x
0
1
2 3
1
23
H
`
ınh 10.4:
t
.
oa
¯
d
.
ô nguyên ch
´
ung ta k
,
e c
´
ac
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang
¯
d
´
u
,
ng v
`
a
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang
ngang (h
`
ınh 10.4).
Ch
´
ung ta s
˜
e t
.
ao
¯
du
,
.
o
,
c lu
,
´
o
,
i
nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m v
´
o
,
i t
.
oa d
.
ô nguyên.
Lu
,
´
o
,
i nguyên chia m
.
˘
at ph
,
˘
ang ra c
´
ac
h
`
ınh vuông b
`
˘
ang nhau, m
˜
ôi h
`
ınh
vuông c
´
o di
.
ên t
´
ıch l
`
a 1. Ch
´
u
´
y r
`
˘
ang
m
˜
ôi h
`
ınh vuông c
´
o thê
,
d
.
ich
¯
´
n
tr
`
ung v
´
o
,
i m
.
ôt h
`
ınh vuông kh
´
ac, ch
,
ı c
´
o kh
´
ac l
`
a t
.
oa
¯
d
.
ô c
,
ua h
`
ınh vuông
m
´
o
,
i chuyê
,
n
¯
´
n c
˜
ung l
`
a c
´
ac
´
nguyên.
Ch
´
ung ta ch
.
on m
.
ôt h
`
ınh vuông trong lu
,
´
o
,
i nguyên l
`
am
´
c
´
¯
d
.
inh
`
i d
.
ich chuyê
,
n m
.
oi h
`
ınh vuông
`
h
`
ınh vuông
´
c. Nhu
,
v
.
ây
nh
˜
u
,
ng phâ
`
n c
,
ua A n
`
˘
am trong c
´
ac h
`
ınh vuông kh
´
ac nhau
¯
`
u chuyê
,
n
`
h
`
ınh vuông
´
c (h
`
ınh v
˜
e).
,
ng c
,
ua di
.
ên t
´
ıch c
,
ua c
´
ac phâ
`
n
¯
d
´
o
108 Chu
,
o
,
ng 10. Nguyên l
´
y Ðirichlê cho di
.
ên t
´
ıch
b
`
˘
ang di
.
ên t
´
ıch c
,
ua A v
`
a suy ra l
´
o
,
n ho
,
n 1. Suy ra
´
ıt nhâ
´
t hai trong
´
c
´
ac phâ
`
n n
`
˘
am trong h
`
ınh vuông d
.
ich
¯
´
n s
˜
e c
´
o
¯
diê
,
m trong chung
(x
0
, y
0
). Trong t
.
âp A ban
¯
`
u th
`
ı
¯
diê
,
m (x
0
, y
0
) tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i hai
¯
diê
,
m kh
´
ac nhau (x
1
, y
1
) v
`
a (x
2
, y
2
) m
`
a x
1
x
0
, y
1
y
0
, x
2
x
0
, y
2
y
0
l
`
a c
´
ac
´
nguyên. Nhu
,
v
.
ây th
`
ı x
2
x
1
v
`
a y
2
y
1
c
˜
ung l
`
a
´
nguyên.
J
.
.
. 10.4. Cho A l
`
a t
.
âp h
.
o
,
p
`
i v
`
a b
.
i ch
.
˘an nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m trong m
.
˘at
ph
,
˘ang, c
`
on P
1
, P
2
, P
3
, P
4
, P
5
l
`
a nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m thu
.
ôc A. G
.
oi A
i
l
`
a t
.
âp
h
.
o
,
p nh
.
ân t
`
u
,
A sau m
.
ôt ph
´
ep t
.
inh tiê
´
n c
´
ac
¯
diê
,
m theo vecto
,
P
1
P
i
(i =
1, 2, 3, 4, 5). Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
´
ıt nhâ
´
t c
´
o hai t
.
âp h
.
o
,
p trong
´
c
´
ac
A
i
(i = 1, 2, 3, 4, 5) c
´
o
¯
diê
,
m chung.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
ung ta chia ra hai
H
`
ınh 10.5:
tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p A c
´
o thê
,
c
´
o ho
.
˘
ac
c
´
o thê
,
không c
´
o
¯
diê
,
m trong.
1. Tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p A c
´
o
¯
diê
,
m
trong. K
´
y hi
.
êu A
0
l
`
a t
.
âp h
.
o
,
p,
m
`
a n
´
o nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c t
`
u
,
A, sau
khi t
´
ac
¯
d
.
ông ph
´
ep v
.
i t
.
u
,
tâm
P
1
v
`
a h
.
ê
´
v
.
i t
.
u
,
2. Khi
¯
d
´
o
công th
´
u
,
c sau
¯
d
´
ung A
i
A
0
(h
`
ınh 10.5).
Th
.
ât v
.
ây,
´
u Q A v
`
a Q
i
l
`
a
,
anh c
,
ua Q qua ph
´
ep t
.
inh tiê
´
n theo
vecto
,
P
1
P
i
(xem h
`
ınh v
˜
e), th
`
ı P
1
P
i
Q
i
Q l
`
a h
`
ınh b
`
ınh h
`
anh. K
´
y hi
.
êu
Q
00
l
`
a trung
¯
diê
,
m c
,
ua P
1
Q
i
. R
˜
o r
`
ang Q
00
A, v
`
ı Q v
`
a P
i
l
`
a phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua A v
`
a A
`
i. M
.
˘
at kh
´
ac P
1
Q
i
= 2P
1
Q
00
v
`
a v
`
ı A
0
l
`
a
,
anh c
,
ua A qua
ph
´
ep v
.
i t
.
u
,
tâm P
1
v
`
a h
.
ê
´
2, nên
¯
diê
,
m Q
i
n
`
˘
am trong t
.
âp h
.
o
,
p A
0
.
Nhu
,
v
.
ây m
˜
ôi tâp trong c
´
ac t
.
âp A
i
n
`
˘
am trong A
0
. Ðô
`
ng th
`
o
,
i m
˜
ôi t
.
âp
10.2. V
´
ı d
.
u 109
c
,
ua A
i
¯
`
ng d
.
ang v
´
o
,
i A v
`
a suy ra S(A
i
) = S(A). Do
¯
d
´
o
S(A
1
) + S(A
2
) + S(A
3
) + S(A
4
) + S(A
5
) = 5S(A). (10.1)
Nhu
,
ng t
.
âp h
.
o
,
p A
0
¯
`
ng d
.
ang v
´
o
,
i A v
´
o
,
i h
.
ê
´
2. Suy ra
S(A
0
) = 4S(A). (10.2)
M
.
˘
at kh
´
ac A c
´
o
¯
diê
,
m trong, v
`
ı thê
´
S(A) > 0. Ngh
˜
ıa l
`
a t
`
u
,
(10.1) v
`
a
(10.2) suy ra S(A
1
) + S (A
2
) + S (A
3
) + S (A
4
) + S (A
5
) > S(A
0
).
Nhu
,
v
.
ây trong tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p 1 b
`
ai to
´
an
¯
du
,
.
o
,
c suy ra t
`
u
,
nguyên l
´
y
Ðirichlê cho di
.
ên t
´
ıch.
2. Tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p A không c
´
o
¯
diê
,
m trong, A s
˜
e n
`
˘
am trên m
.
ôt
¯
du
,
`
o
,
ng
th
,
˘
ang. Th
.
ât v
.
ây,
´
u
´
ıt nhâ
´
t ba
¯
diê
,
m n
`
˘
am trên m
.
ôt
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang, do
t
´
ınh châ
´
t
`
i A ch
´
u
,
a to
`
an b
.
ô h
`
ınh tam gi
´
ac v
´
o
,
i
¯
d
,
ınh l
`
a c
´
ac
¯
diê
,
m
n
`
ay, suy ra A c
´
o
¯
diê
,
m trong. Nhu
,
ng t
.
âp
`
i, b
.
i ch
.
˘
an trên m
.
ôt
¯
du
,
`
o
,
ng
th
,
˘
ang ch
´
ınh l
`
a
¯
do
.
an th
,
˘
ang trên du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang n
`
ay. Phâ
`
n c
`
on l
.
ai l
´
y
lu
.
ân tu
,
o
,
ng t
.
u
,
nhu
,
phâ
`
n trên. Nhu
,
ng trong tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p trên
¯
du
,
`
o
,
ng
th
,
˘
ang ch
,
ı
`
n 3
¯
diê
,
m v
`
a nguyên l
´
y Ðirichlê
`
¯
d
.
ô d
`
ai.
J
.
.
. 10.5.
.
inh l
´
y Minkovski) Cho A l
`
a t
.
âp h
.
o
,
p
¯
diê
,
m trong m
.
˘at ph
,
˘ang
c
´
o t
´
ınh châ
´
t
`
i, b
.
i ch
.
˘an v
`
a
¯
´
i x
´
u
,
ng qua
´
c t
.
oa
¯
d
.
ô v
`
a S(A) > 4. Khi
¯
d
´
o A ch
´
u
,
a nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m trong kh
´
ac
¯
diê
,
m
´
c v
´
o
,
i t
.
oa
¯
d
.
ô nguyên.
L
`
o
,
i gi
,
ai. T
´
ac d
.
ung lên A ph
´
ep v
.
i t
.
u
,
tâm l
`
a
´
c t
.
oa
¯
d
.
ô v
`
a h
.
ê
´
1
2
.
Nhu
,
v
.
ây ch
´
ung ta nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c A
0
,
¯
`
ng d
.
ang v
´
o
,
i A v
`
a c
´
o k
´
ıch thu
,
´
o
,
c
b
`
˘
ang n
,
u
,
a k
´
ıch thu
,
´
o
,
c c
,
ua A. Suy ra S(A
0
) =
1
4
S(A) > 1. Theo b
`
ai
10.13 suy ra A
0
ch
´
u
,
a
´
ıt nhâ
´
t hai
¯
diê
,
m kh
´
ac nhau (x
1
, y
1
) v
`
a (x
2
, y
2
),
m
`
a c
´
ac hi
.
êu x
2
x
1
v
`
a y
2
y
1
l
`
a nguyên. V
`
ı t
.
âp h
.
o
,
p A
¯
´
i x
´
u
,
ng qua
´
c t
.
oa
¯
d
.
ô nên t
.
âp h
.
o
,
p A
0
c
˜
ung v
.
ây. Ðiê
`
u
¯
d
´
o gi
,
ai th
´
ıch r
`
˘
ang
¯
diê
,
m
( x
1
, y
1
) thu
.
ôc A
0
. V
`
ı A
`
i nên A
0
c
˜
ung
`
i. Do
¯
d
´
o trung
¯
diê
,
m
110 Chu
,
o
,
ng 10. Nguyên l
´
y Ðirichlê cho di
.
ên t
´
ıch
c
,
ua c
´
ac
¯
diê
,
m m
´
ut (x
1
, y
1
) v
`
a (x
2
, y
2
) c
˜
ung thu
.
ôc A
0
v
`
a c
´
o t
.
oa
¯
d
.
ô
(
x
2
x
1
2
,
y
2
y
1
2
). Nhân t
.
oa
¯
d
.
ô n
`
ay v
´
o
,
i 2 th
`
ı
¯
du
,
.
o
,
c t
.
oa
¯
d
.
ô c
,
ua m
.
ôt
¯
diê
,
m thu
.
ôc A. Nhu
,
v
.
ây (x
2
x
1
, y
2
y
1
) thu
.
ôc A. Ðiê
,
m ta t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c
kh
´
ac
´
c t
.
oa
¯
d
.
ô v
`
a c
´
o t
.
oa
¯
d
.
ô nguyên v
`
a l
`
a
¯
diê
,
m trong c
,
ua t
.
âp A.
J
.
.
. 10.6.
´
u A l
`
a m
.
ôt
`
m
.
˘at,
A
1
, A
2
, . . . , A
n
. (10.3)
l
`
a nh
˜
u
,
ng
`
m
.
˘at v
`
a th
,
oa m
˜
an A
i
A(i = 1, 2, . . . , n), c
`
on k l
`
a
´
t
.
u
,
nhiên m
`
a
k.S(A) < S (A
1
) + S(A
2
) + ··· + S(A
n
). (10.4)
th
`
ı
´
ıt nhâ
´
t k + 1 trong
´
nh
˜
u
,
ng
`
m
.
˘at trên c
´
o m
.
ôt
¯
diê
,
m trong chung.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
ung ta ch
´
u
,
ng minh b
`
˘
ang qui n
.
ap,Tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p k = 1
¯
d
´
o
l
`
a nguyên L
´
y Ðirichlê
¯
d
˜
a ch
´
u
,
ng minh
,
o
,
trên. Bây gi
`
o
,
gi
,
a s
,
u
,
b
`
ai to
´
an
¯
d
˜
a
¯
d
´
ung cho k, ch
´
ung ta ph
,
ai ch
´
u
,
ng minh n
´
o c
˜
ung
¯
d
´
ung cho k + 1.
Ta
´
¯
d
.
inh m
.
ôt k v
`
a c
´
o
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c
( k + 1)S(A) < S(A
1
) + S(A
2
) + ··· + S(A
n
). (10.5)
Ch
´
ung ta s
˜
e ch
,
ı ra r
`
˘
ang v
´
o
,
i (10.5)
`
n t
.
ai m
.
ôt
¯
diê
,
m l
`
a
¯
diê
,
m trong c
,
ua
k + 2 t
.
âp h
.
o
,
p c
,
ua (10.3). Do A
µ
A(µ = 1, 2, . . . , n), nên S(A
µ
)
S(A), t
`
u
,
¯
d
´
o suy ra S(A
1
) + S(A
2
) + ··· + S(A
n
) nS(A). T
`
u
,
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c sau c
`
ung v
`
a (10.5) ch
´
ung ta c
´
o (k + 1)S(A) < nS(A) suy
ra k + 1 < n. V
`
ı v
.
ây
n k + 2. (10.6)
`
n t
.
ai
¯
diê
,
m chung cho
´
ıt nhâ
´
t k + 2 t
.
âp h
.
o
,
p (10.3)
¯
du
,
.
o
,
c ch
´
u
,
ng
minh b
`
˘
ang qui n
.
ap theo n. T
`
u
,
(10.4) suy ra (10.5), v
.
ây ta ph
,
ai b
´
˘
at
¯
`
u t
`
u
,
k + 2. Nhu
,
v
.
ây viê
´
t l
.
ai
( k + 1)S(A) < S(A
1
) + S(A
2
) + ··· + S(A
k+2
). (10.7)
10.2. V
´
ı d
.
u 111
`
n ph
,
ai ch
´
u
,
ng minh
`
n t
.
ai
¯
diê
,
m m
`
a n
´
o l
`
a
¯
diê
,
m trong c
,
ua A
1
, A
2
,
. . . , A
k+2
.
´
y
A
0
µ
= A
µ
\A
k+2
( µ = 1, 2, . . . , k + 1) (10.8)
A
00
µ
= A
µ
A
k+2
( µ = 1, 2, . . . , k + 1) (10.9)
v
`
a
A
0
= A\A
k+2
(10.10)
A
00
= A
k+2
. (10.11)
R
˜
o r
`
ang A
0
µ
A
0
v
`
a A
0
µ
A
00
( µ = 1, 2, . . . , k + 1) . V
`
ı c
´
o
´
t c
,
a k + 1
t
.
âp h
.
o
,
p A
0
µ
, t
`
u
,
bao h
`
am th
´
u
,
c trên suy ra
( k + 1)S(A
0
) S(A
0
1
) + S(A
0
2
) + ··· + S(A
0
k+1
). (10.12)
´
u
´
y (10.7) tr
`
u
,
¯
di (10.12) ch
´
ung ta nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c
( k + 1)S(A
00
) < S(A
k+2
) + S(A
00
1
) + S(A
00
2
) + ··· + S(A
00
k+1
).
(10.13)
V
`
ı S(A) S(A
0
) = S(A
00
) v
`
a S(A
µ
) S(A
0
µ
) = S(A
00
µ
) do (10.8)-
(10.11) nên t
`
u
,
(10.13),(10.9) v
`
a (10.11) suy ra
kS(A
k+2
) < S(A
1
A
k+2
) + S(A
2
A
k+2
) + ··· + S(A
k+1
A
k+2
).
(10.14)
T
`
u
,
(10.14) v
`
a gi
,
a thiê
´
t
¯
d
´
ung cho k theo qui n
.
ap suy ra A
1
A
k+2
, A
2
A
k+2
, . . . , A
k+1
A
k+2
c
´
o
¯
diê
,
m trong chung,
¯
diê
`
u n
`
ay
c
´
o ngh
˜
ıa l
`
a t
.
âp h
.
o
,
p A
1
, A
2
, . . . , A
k+2
c
´
o
¯
diê
,
m trong chung. Nhu
,
v
.
ây
v
´
o
,
i n = k + 2 t
`
u
,
(10.5) suy ra
´
ıt nhâ
´
t k + 2 t
.
âp h
.
o
,
p t
`
u
,
(10.3) c
´
o
¯
diê
,
m trong chung.
Bây gi
`
o
,
ch
´
ung ta gi
,
a thiê
´
t v
´
o
,
i m
.
ôt n k + 2 t
`
u
,
(10.5) suy ra
´
ıt nhâ
´
t k + 2 t
.
âp h
.
o
,
p t
`
u
,
(10.3) c
´
o
¯
diê
,
m trong chung v
`
a s
˜
e ph
,
ai
´
t
lu
.
ân r
`
˘
ang t
`
u
,
( k + 1)S(A) < S(A
1
) + S(A
2
) + ··· + S(A
n
) + S(A
n+1
). (10.15)
112 Chu
,
o
,
ng 10. Nguyên l
´
y Ðirichlê cho di
.
ên t
´
ıch
suy ra c
´
o
´
ıt nhâ
´
t k + 2 t
.
âp h
.
o
,
p trong d
˜
ây A
1
, A
2
, . . . , A
n+1
c
´
o
¯
diê
,
m
trong chung. Th
.
ât v
.
ây, ch
´
ung ta
¯
d
.
˘
at
A
0
µ
= A
µ
\A
n+1
, (µ = 1, 2, . . . , n). (10.16)
A
00
µ
= A
µ
A
n+1
, (µ = 1, 2, . . . , n) (10.17)
v
`
a
A
0
= A\A
n+1
(10.18)
A
00
= A
n+1
. (10.19)
V
`
ı A
0
µ
A
0
µ
= A
0
µ
, A
0
µ
A
00
µ
= (µ = 1, 2, . . . , n) v
`
a A
0
A
00
=
A, A
0
A
00
= nên
S(A
0
µ
) + S(A
00
µ
) = S(A
µ
), (µ = 1, 2, . . . , n) (10.20)
v
`
a
S(A
0
) + S(A
00
) = S(A). (10.21)
Ch
´
ung ta s
˜
e ch
´
u
,
ng minh m
.
ôt trong c
´
ac
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c sau l
`
a
¯
d
´
ung
( k + 1)S(A
0
) < S(A
0
1
) + S(A
0
2
) + ··· + S(A
0
n
) (10.22)
ho
.
˘
ac l
`
a
kS(A
00
) < S(A
00
1
) + S(A
00
2
) + ··· + S(A
00
n
). (10.23)
Th
.
ât v
.
ây, trong tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p ngu
,
.
o
,
c l
.
ai ch
´
ung ta s
˜
e c
´
o (k + 1)S(A
0
)
S(A
0
1
) + S(A
0
2
) + ··· + S(A
0
n
) v
`
a kS(A
00
) S(A
00
1
) + S(A
00
2
) + ··· +
S(A
00
n
) C
.
ông hai
´
l
.
ai v
`
a do (10.20), (10.21) ch
´
ung ta nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c
S(A
0
) + kS(A) S(A
1
) + S(A
2
) + ··· + S(A
n
). (10.24)
C
.
ông hai
´
(10.24) v
´
o
,
i S(A
00
) v
`
a t
`
u
,
(10.19), (10.21) ch
´
ung ta nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c
( k + 1)S(A) S(A
1
) + S(A
2
) + ··· + S(A
n
)
Nhu
,
ng
¯
diê
`
u n
`
ay tr
´
ai v
´
o
,
i (10.15). Do
¯
d
´
o trong hai
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c
(10.22) v
`
a (10.23) ph
,
ai c
´
o
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt c
´
ai
¯
d
´
ung.
10.2. V
´
ı d
.
u 113
Gi
,
a s
,
u
,
(10.22)
¯
d
´
ung. Theo gi
,
a thiê
´
t qui n
.
ap
¯
´
i v
´
o
,
i n t
`
u
,
(10.22)
suy ra
´
ıt nhâ
´
t k + 2 t
.
âp h
.
o
,
p trong d
˜
ây A
0
1
, A
0
2
, . . . , A
0
n
c
´
o
¯
diê
,
m trong
chung. T
`
u
,
(10.16) suy ra r
`
˘
ang
´
t lu
.
ân trên c
˜
ung
¯
d
´
ung cho d
˜
ây
(10.3).
Gi
,
a s
,
u
,
(10.23)
¯
d
´
ung. T
`
u
,
gi
,
a thiê
´
t qui n
.
ap
¯
´
i v
´
o
,
i k suy ra k + 1
t
.
âp h
.
o
,
p trong A
00
1
, A
00
2
, . . . , A
00
n
c
´
o
¯
diê
,
m chung v
`
a c
`
ung v
´
o
,
i (10.17) ch
,
ı
ra r
`
˘
ang
`
n t
.
ai m
.
ôt
¯
diê
,
m m
`
a n
´
o l
`
a
¯
diê
,
m trong c
,
ua k + 1 t
.
âp h
.
o
,
p t
`
u
,
(10.3) v
`
a c
,
a c
,
ua A
n+1
.
Nhu
,
v
.
ây t
`
u
,
(10.15) suy ra k + 2 t
.
âp h
.
o
,
p trong d
˜
ay A
1
, A
2
,
. . . , A
n+1
c
´
o
¯
diê
,
m trong chung. Suy ra
´
t lu
.
ân
¯
d
´
ung v
´
o
,
i n + 1. T
`
u
,
phu
,
o
,
ng ph
´
ap qui n
.
ap bây gi
`
o
,
l
.
ai suy ra, v
´
o
,
i m
.
oi n, v
´
o
,
i (10.5)
`
n
t
.
ai m
.
ôt
¯
diê
,
m m
`
a n
´
o l
`
a
¯
diê
,
m trong c
,
ua
´
ıt nhâ
´
t k + 2 t
.
âp h
.
o
,
p trong
(10.3).
J
Ch
´
u
´
y. Trong ch
´
u
,
ng minh
¯
d
.
inh l
´
y d
`
ung phu
,
o
,
ng ph
´
ap qui n
.
ap
theo k. Nhu
,
ng
¯
di t
`
u
,
bu
,
´
o
,
c k sang k + 1 ta l
.
ai d
`
ung phu
,
o
,
ng ph
´
ap qui
n
.
ap theo n. V
´
o
,
i ch
´
u
,
ng minh qui n
.
ap theo n t
`
u
,
bu
,
´
o
,
c n sang n + 1 ta
l
.
ai d
`
ung bu
,
´
o
,
c k tru
,
´
o
,
c
¯
d
´
o v
`
a n.
.
.
. 10.7. Trong m
.
ôt h
`
ınh vuông c
´
o c
.
anh l
`
a
1 ch
´
u
,
a m
.
ôt
´
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on,
,
ng
¯
d
.
ô d
`
ai c
,
ua
ch
´
ung l
`
a 10. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
`
n t
.
ai m
.
ôt
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘ang, m
`
a n
´
o c
´
˘at
´
ıt nhâ
´
t 4 trong nh
˜
u
,
ng
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on n
`
ay.
L
`
o
,
i gi
,
ai. (H
`
ınh 10.6) Ch
´
ung ta ch
.
on m
.
ôt
c
.
anh h
`
ınh vuông
`
i chiê
´
u vuông g
´
oc c
´
ac
H
`
ınh 10.6:
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on xuô
´
ng c
.
anh
¯
d
´
o.
114 Chu
,
o
,
ng 10. Nguyên l
´
y Ðirichlê cho di
.
ên t
´
ıch
D
˜
ê thâ
´
y r
`
˘
ang h
`
ınh chiê
´
u c
,
ua m
.
ôt
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on b
´
an k
´
ınh R l
`
a m
.
ôt
¯
do
.
an th
,
˘
ang c
´
o
¯
d
.
ô d
`
ai 2R. V
`
ı v
.
ây trên c
.
anh h
`
ınh vuông
¯
d
˜
a ch
.
on s
˜
e
c
´
o nh
˜
u
,
ng
¯
do
.
an th
,
˘
ang chiê
´
u xuô
´
ng v
´
o
,
i
,
ng
¯
d
.
ôd
`
ai l
`
a
10
π
.
Nhu
,
ng
10
π
> 3 = 3.1, theo nguyên l
´
y Ðirichlê suy ra c
´
o m
.
ôt
¯
diê
,
m M n
`
ao
¯
d
´
o thu
.
ôc AB l
`
a
¯
diê
,
m trong chung c
,
ua 4
¯
do
.
an th
,
˘
ang
¯
d
˜
a
chiê
´
u xuô
´
ng. Khi
¯
d
´
o
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang
¯
di qua
¯
diê
,
m M vuông g
´
oc v
´
o
,
i AB
s
˜
e c
´
˘
at 4
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on.
J
.
.
. 10.8. M
.
ôt
´
cung n
`
˘am trên
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on v
´
o
,
i b
´
an k
´
ınh 1
¯
du
,
.
o
,
c so
,
n
xanh.
,
ng
¯
d
.
ô d
`
ai c
,
ua c
´
ac cung
`
u xanh l
´
o
,
n ho
,
n π. Ch
´
u
,
ng minh
r
`
˘ang v
´
o
,
i m
˜
ôi
¯
du
,
`
o
,
ng k
´
ınh d c
,
ua
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on
`
n t
.
ai dây cung song song
v
´
o
,
i d, m
`
a hai
¯
`
u c
,
ua dây cung
¯
du
,
.
o
,
c so
,
n xanh.
L
`
o
,
i gi
,
ai. (H
`
ınh 10.7) Không
´
t
d
d
0
k
C
C
0
A
A
0
H
`
ınh 10.7:
t
´
ınh
,
ng qu
´
at ch
´
ung ta gi
,
a thiê
´
t
c
´
ac cung bôi so
,
n không c
´
o
¯
diê
,
m
chung. Cho d l
`
a
¯
du
,
`
o
,
ng k
´
ınh
´
t k
`
y
c
,
ua
¯
du
`
o
,
ng tr
`
on k v
`
a c l
`
a m
.
ôt trong
c
´
ac cung
¯
du
,
.
o
,
c bôi
`
u. Trên
¯
du
,
`
o
,
ng
tr
`
on k ta t
.
ao ra cung c
0
b
`
˘
ang c
´
ach
´
y
¯
´
i x
´
u
,
ng c qua
¯
du
,
`
o
,
ng k
´
ınh d
0
vuông g
´
oc v
´
o
,
i d.
D
˜
ê thâ
´
y cung c
0
cho c
`
ung
¯
d
.
ô d
`
ai
v
´
o
,
i cung c. Ta l
`
am nhu
,
v
.
ây v
´
o
,
i m
.
oi cung c
`
on l
.
ai th
`
ı trên k nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c
m
.
ôt h
.
ê cung c
´
o
,
ng
¯
d
.
ô d
`
ai l
´
o
,
n ho
,
n 2π. Nhu
,
ng
¯
d
.
ô d
`
ai c
,
ua k l
`
a 2π,
nhu
,
v
.
ây theo nguyên l
´
y Ðirichlê c
´
o
´
ıt nhâ
´
t hai cung trong h
.
ê n
`
ay c
´
o
¯
diê
,
m chung.
10.2. V
´
ı d
.
u 115
Nhu
,
ng ch
´
ung ta
¯
d
˜
a gi
,
a thiê
´
t
,
o
,
trên nh
˜
u
,
ng cung d
.
ang c t
`
u
,
ng
¯
dôi
không c
´
o
¯
diê
,
m chung,
¯
diê
`
u
¯
d
´
o c
˜
ung
¯
d
´
ung cho c
´
ac cung c
0
. Khi
¯
d
´
o
`
n t
.
ai m
.
ôt cung bôi so
,
n c
1
c
´
o
¯
diê
,
m chung A v
´
o
,
i cung c
0
2
,
¯
´
i x
´
u
,
ng
v
´
o
,
i cung c
2
qua d
0
. R
˜
o r
`
ang dây cung
¯
di qua A v
`
a song song v
´
o
,
i d c
´
o
t
´
ınh châ
´
t mong muô
´
n v
`
ı m
.
ôt
¯
`
u
,
o
,
c
1
, c
`
on
¯
`
u kia
,
o
,
c
2
.
J
.
.
. 10.9. Trong h
`
ınh tr
`
on b
´
an k
´
ınh 1 ngu
,
`
o
,
i ta so
,
n m
.
ôt
´
dây cung.
Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
´
u m
.
oi
¯
du
,
`
o
,
ng k
´
ınh c
´
˘at nhiê
`
u nhâ
´
t k dây cung, th
`
ı
,
ng
¯
d
.
ô d
`
ai c
,
ua
´
t c
,
a c
´
ac dây cung
¯
d
˜
a so
,
n nh
,
o ho
,
n πk.
L
`
o
,
i gi
,
ai.
´
y c l
`
a m
.
ôt dây cung
´
t k
`
y trong h
`
ınh tr
`
on C
¯
d
˜
a cho v
`
a γ
l
`
a cung nh
,
o trong hai cung do c t
.
ao ra. K
´
y hi
.
êu γ
0
l
`
a cung
¯
´
i x
´
u
,
ng
v
´
o
,
i γ qua tâm c
,
ua h
`
ınh tr
`
on. R
˜
o r
`
ang m
.
ôt
¯
du
,
`
o
,
ng k
´
ınh c
,
ua C c
´
˘
at dây
cung c khi v
`
a ch
,
ı khi c
´
o hai
¯
`
u m
´
ut n
`
˘
am trong γ v
`
a γ
0
.
Gi
,
a s
,
u
,
r
`
˘
ang
,
ng
¯
d
.
ô d
`
ai nh
˜
u
,
ng dây cung
¯
d
˜
a k
,
e l
´
o
,
n ho
,
n ho
.
˘
ac
b
`
˘
ang πk. Khi
¯
d
´
o
,
ng
¯
d
.
ô d
`
ai
´
t c
,
a c
´
ac cung d
.
ang γ l
´
o
,
n ho
,
n πk.
C
˜
ung
¯
d
´
ung nhu
,
v
.
ây cho
,
ng
¯
d
.
ô d
`
ai c
´
ac cung d
.
ang γ
0
. Suy ra
,
ng
¯
d
.
ô d
`
ai c
,
ua c
´
ac cung d
.
ang γ
0
ho
.
˘
ac γ l
`
a l
´
o
,
n ho
,
n 2πk. V
`
ı
¯
d
.
ô d
`
ai c
,
ua
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on C l
`
a 2π, t
`
u
,
nguyên l
´
y Ðirichlê m
,
o
,
r
.
ông suy ra
`
n t
.
ai
´
ıt
nhâ
´
t m
.
ôt
¯
diê
,
m thu
.
ôc C, m
`
a n
´
o n
`
˘
am trên
´
ıt nhâ
´
t k + 1 cung c
´
o d
.
ang
γ ho
.
˘
ac γ
0
.
´
u t
`
u
,
¯
diê
,
m chung n
`
ay ta k
,
e
¯
du
,
`
o
,
ng k
´
ınh c
,
ua C,th
`
ı n
´
o c
´
˘
at
´
ıt nhâ
´
t k + 1 dây cung
¯
d
˜
a cho,
¯
diê
`
u n
`
ay tr
´
ai v
´
o
,
i
¯
diê
`
u ki
.
ên trong
¯
`
u
b
`
ai. V
.
ây
¯
diê
`
u kh
,
˘
ang
¯
d
.
inh c
,
ua b
`
ai to
´
an l
`
a
¯
d
´
ung.
J
.
.
. 10.10. M
.
ôt t
.
âp h
.
o
,
p M l
`
a h
.
o
,
p c
,
ua m
.
ôt
´
¯
do
.
an th
,
˘ang n
`
˘am trong
kho
,
ang [0, 1]. Biê
´
t r
`
˘ang kho
,
ang c
´
ach gi
˜
u
,
a hai
¯
diê
,
m
´
t k
`
y c
,
ua M
không b
`
˘ang 0,1. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
,
ng
¯
d
.
ô d
`
ai c
,
ua nh
˜
u
,
ng
¯
do
.
an t
.
ao
nên M không vu
,
.
o
,
t qu
´
a
a) 0, 55;
b) 0, 5.
116 Chu
,
o
,
ng 10. Nguyên l
´
y Ðirichlê cho di
.
ên t
´
ıch
L
`
o
,
i gi
,
ai. a) Ch
´
u
,
ng minh b
`
˘
ang ph
,
an ch
´
u
,
ng. Gi
,
a s
,
u
,
,
ng S c
,
ua
¯
d
.
ô
d
`
ai nh
˜
u
,
ng
¯
do
.
an th
,
˘
ang t
.
ao nên M l
´
o
,
n ho
,
n 0,55. Ch
´
ung ta x
´
et t
.
âp N
nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c t
`
u
,
M b
`
˘
ang c
´
ach c
.
ông m
˜
ôi
¯
do
.
an th
,
˘
ang c
,
ua M v
´
o
,
i 0,1. T
`
u
,
¯
diê
`
u ki
.
ên c
,
ua b
`
ai to
´
an suy ra M v
`
a N không c
´
o
¯
diê
,
m chung. Ngo
`
ai
ra
,
ng
¯
d
.
ô d
`
ai c
,
ua N b
`
˘
ang S nên l
´
o
,
n ho
,
n 0,55. D
˜
ê thâ
´
y hai t
.
âp h
.
o
,
p
M v
`
a N n
`
˘
am trong
¯
do
.
an [0;1,1]. V
`
ı 2.S > 2.0, 55 = 1, 1, t
`
u
,
nguyên
l
´
y Ðirichlê suy ra M v
`
a N c
´
o
¯
diê
,
m chung,
¯
diê
`
u n
`
ay d
˜
ân t
´
o
,
i l
´
y.
b) Gi
,
a s
,
u
,
¯
d
.
ô d
`
ai c
,
ua
´
t c
,
a c
´
ac
¯
do
.
an trong M l
´
o
,
n ho
,
n 0,5. Ch
´
ung
ta chia
¯
do
.
an [0,1] th
`
anh 10 phâ
`
n
0,
1
10
,
1
10
,
2
10
, . . . ,
9
10
, 1
. K
´
y
hi
.
êu M
i
l
`
a phâ
`
n c
,
ua M n
`
˘
am trong
¯
do
.
an
i
10
,
i + 1
10
, i = 0, 1, . . . , 9
v
`
a S
i
l
`
a
,
ng
¯
d
.
ô d
`
ai c
´
ac
¯
do
.
an th
,
˘
ang tao ra M
i
. B
`
˘
ang c
´
ach t
.
inh
tiê
´
n th
´
ıch h
.
o
,
p ch
´
ung ta chuyê
,
n m
.
oi
¯
do
.
an
1
10
,
2
10
, . . . ,
9
10
, 1
t
´
o
,
i
0,
1
10
. K
´
y hi
.
êu M
0
i
l
`
a
,
anh c
,
ua M
i
v
´
o
,
i i = 2, 3, 4 . . . , 9. V
`
ı
S = S
1
+ S
2
+ ··· + S
10
> 0, 5 = 5.0, 1, t
`
u
,
nguyên l
´
y Ðirichlê
m
,
o
,
r
.
ông suy ra c
´
o
´
ıt nhâ
´
t 6 t
.
âp h
.
o
,
p trong M
0
, M
0
1
, . . . , M
0
9
c
´
o
¯
diê
,
m
chung. Ðiê
`
u n
`
ay c
´
o ngh
˜
ıa l
`
a m
.
ôt
´
n
`
ao
¯
d
´
o trong
0,
1
10
l
`
a
´
t
qu
,
a c
,
ua 6
¯
diê
,
m kh
´
ac nhau x
1
, x
2
, . . . , x
6
c
,
ua M tr
`
u
,
¯
di tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng
nh
˜
u
,
ng
´
d
.
ang
k
1
10
,
k
2
10
, . . . ,
k
6
10
,
,
o
,
¯
dây k
i
l
`
a m
.
ôt
´
n
`
ao
¯
d
´
o trong
0, 1, 2, . . . , 9, i = 1, 2, . . . 6. D
˜
ê d
`
ang thâ
´
y r
`
˘
ang
´
ıt nhâ
´
t c
´
o hai trong c
´
ac
´
k
1
, k
2
, . . . , k
6
l
`
a liên tiê
´
p (
´
ap d
.
ung nguyên l
´
y Ðirichlê). V
´
ı d
.
u nhu
,
k
2
= k
1
+ 1. V
`
ı x
1
k
1
10
= x
2
k
2
10
, nên x
2
x
1
= (k
2
k
1
) =
1
10
,
¯
diê
`
u n
`
ay
¯
d
˜
ân
¯
´
n l
´
y.
J
10.3. B
`
ai t
.
âp 117
10.3. B
`
ai t
.
âp
.
.
. 10.11. Cho n l
`
a m
.
ôt
´
t
.
u
,
nhiên
´
t k
`
y, c
`
on A l
`
a m
.
ôt
`
m
.
˘
at
trong m
.
˘
at ph
,
˘
ang, m
`
a s(A) > n. Khi
¯
d
´
o
`
n t
.
ai n + 1
¯
diê
,
m trong
kh
´
ac nhau (x
i
, y
i
) (i = 1, 2, . . . , n + 1) c
,
ua A, m
`
a hi
.
êu x
i
x
j
v
`
a
y
i
y
j
(i, j = 1, 2, . . . , n + 1) l
`
a nh
˜
u
,
ng
´
nguyên.
.
.
. 10.12.
´
u v
´
o
,
i m
.
ôt
`
m
.
˘
at A trong m
.
˘
at ph
,
˘
ang v
`
a m
.
ôt
´
nguyên
du
,
o
,
ng k th
,
oa m
˜
an S(A) < k, th
`
ı
`
n t
.
ai m
.
ôt ph
´
ep t
.
inh tiê
´
n sao cho
,
anh c
,
ua A qua ph
´
ep t
.
inh tiê
´
n n
`
ay ch
´
u
,
a nhiê
`
u nhâ
´
t k 1
¯
diê
,
m v
´
o
,
i
t
.
oa
¯
d
.
ô nguyên.
.
.
. 10.13. Cho A l
`
a t
.
âp h
.
o
,
p
`
i,
¯
´
i x
´
u
,
ng qua
´
c t
.
oa
¯
d
.
ô trong m
.
˘
at
ph
,
˘
ang, n l
`
a
´
t
.
u
,
nhiên v
`
a S(A) > 4n. Khi
¯
d
´
o A ch
´
u
,
a
´
ıt nhâ
´
t 2n + 1
¯
diê
,
m trong kh
´
ac nhau v
´
o
,
i t
.
oa
¯
d
.
ô nguyên.
.
.
. 10.14.
´
u A l
`
a t
.
âp h
.
o
,
p
`
i, b
.
i ch
.
˘
an,
¯
´
i x
´
u
,
ng qua
´
c t
.
oa
¯
d
.
ô v
`
a
c
´
o di
.
ên t
´
ıch b
`
˘
ang 615, th
`
ı A ch
´
u
,
a
´
ıt nhâ
´
t 307
¯
diê
,
m m
`
a kho
,
ang c
´
ach
gi
˜
u
,
a m
.
oi c
.
˘
ap trong ch
´
ung l
´
o
,
n ho
,
n ho
.
˘
ac b
`
˘
ang 1.
.
.
. 10.15. Cho F l
`
a t
.
âp h
.
o
,
p
`
i, b
.
i ch
.
˘
an nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m c
,
ua m
.
˘
at ph
,
˘
ang.
Ch
´
ung ta g
.
oi
¯
d
.
ô h
˜
u
,
u hi
.
êu c
,
ua t
.
âp h
.
o
,
p F l
`
a kho
,
ang c
´
ach nh
,
o nhâ
´
t
gi
˜
u
,
a hai
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang song song
,
o
,
hai ph
´
ıa c
,
ua t
.
âp h
.
o
,
p F. Ch
´
u
,
ng
minh r
`
˘
ang
´
u trong m
.
ôt t
.
âp h
.
o
,
p
`
i, b
.
i ch
.
˘
an v
´
o
,
i
¯
d
.
ô h
˜
u
,
u hi
.
êu d c
´
o
ch
´
u
,
a m
.
ôt
´
t
.
âp h
.
o
,
p con m
`
a
,
ng
¯
d
.
ô h
˜
u
,
u hi
.
êu c
,
ua ch
´
ung l
´
o
,
n ho
,
n
kd, th
`
ı
`
n t
.
ai
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang, m
`
a n
´
o c
´
˘
at
´
ıt nhâ
´
t k + 1 t
.
âp h
.
o
,
p con n
´
oi
trên.
118 Chu
,
o
,
ng 10. Nguyên l
´
y Ðirichlê cho di
.
ên t
´
ıch
CHU
,
O
,
NG 11
TO
´
AN H
.
OC TÔ
,
H
.
O
,
P
11.1. V
´
ı d
.
u
.
.
. 11.1. (Ðê
`
thi To
´
an Olympic Quô
´
c
´
,1972) Cho t
.
âp h
.
o
,
p
`
m 10
´
c
´
o hai ch
˜
u
,
´
. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang t
.
âp h
.
o
,
p
¯
d
´
o c
´
o
´
ıt nhâ
´
t hai t
.
âp h
.
o
,
p con
không giao nhau, m
`
a
,
ng nh
˜
u
,
ng phâ
`
n t
,
u
,
trong ch
´
ung b
`
˘ang nhau.
L
`
o
,
i gi
,
ai.
´
u c
´
o hai t
.
âp h
.
o
,
p con giao nhau m
`
a
,
ng trong ch
´
ung
b
`
˘
ang nhau th
`
ı ch
´
ung ta c
´
o thê
,
b
,
o nh
˜
u
,
ng phâ
`
n t
,
u
,
chung
¯
di. Khi
¯
d
´
o
c
`
on l
.
ai hai t
.
âp không giao nhau v
`
a
,
ng c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua ch
´
ung v
˜
ân
b
`
˘
ang nhau.
Ch
´
ung ta t
´
ınh c
´
o bao nhiêu t
.
âp h
.
o
,
p con không r
˜
ông c
,
ua m
.
ôt t
.
âp
h
.
o
,
p c
´
o mu
,
`
o
,
i phâ
`
n t
,
u
,
.
´
lu
,
.
o
,
ng nh
˜
u
,
ng t
.
âp h
.
o
,
p con ch
,
ı ch
´
u
,
a 1 phâ
`
n
t
,
u
,
c
´
o 10 ho
.
˘
ac l
`
a C
1
10
.
´
lu
,
.
o
,
ng nh
˜
u
,
ng t
.
âp h
.
o
,
p con ch
´
u
,
a 2 phâ
`
n t
,
u
,
l
`
a C
2
10
.
´
lu
,
.
o
,
ng nh
˜
u
,
ng t
.
âp h
.
o
,
p con ch
´
u
,
a 3 phâ
`
n t
,
u
,
l
`
a C
3
10
,. . . Suy ra
,
ng
´
lu
,
.
o
,
ng c
´
ac t
.
âp h
.
o
,
p con l
`
a
C
1
10
+ C
2
10
+ C
3
10
+ ··· + C
10
10
= (1 + 1)
10
= 1023
Ðiê
`
u ki
.
ên b
`
ai ra l
`
a 10
´
¯
d
˜
a cho không l
´
o
,
n ho
,
n 99. V
.
ây
,
ng c
,
ua
c
´
ac
´
trong m
˜
ôi t
.
âp h
.
o
,
p con không vu
,
.
o
,
t qu
´
a 99.10 = 990, nhu
,
v
.
ây
´
lu
,
.
o
,
ng nh
˜
u
,
ng
,
ng kh
´
ac nhau nhiê
`
u nhâ
´
t l
`
a 990. Theo nguyên l
´
y
Ðirichlê trong
´
1023 t
.
âp h
.
o
,
p con c
,
ua t
.
âp h
.
o
,
p
`
m 10
´
s
˜
e c
´
o
´
ıt
nhâ
´
t hai t
.
âp m
`
a
,
ng c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
trong ch
´
ung ph
,
ai b
`
˘
ang nhau.
J
120 Chu
,
o
,
ng 11. To
´
an h
.
oc
,
h
.
o
,
p
.
.
. 11.2. Cho 15 b
`
ai to
´
an tr
´
˘ac nghi
.
êm,
¯
d
´
anh
´
t
`
u
,
1
¯
´
n 15, m
˜
ôi b
`
ai
ch
,
ı c
´
o hai kh
,
a ang tr
,
a l
`
o
,
i :
¯
d
´
ung ho
.
˘ac sai. C
´
o 1600 th
´
ı sinh tham gia
thi, nhu
,
ng không c
´
o ai tr
,
a l
`
o
,
i
¯
d
´
ung 2 b
`
ai liê
`
n nhau. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
c
´
o
´
ıt nhâ
´
t hai th
´
ı sinh tr
,
a l
`
o
,
i to
`
an b
.
ô 15 b
`
ai h
.
êt nhu
,
nhau.
L
`
o
,
i gi
,
ai. B
`
ai l
`
am c
,
ua m
˜
ôi th
´
ı sinh tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i m
.
ôt d
˜
ay 15 phâ
`
n t
,
u
,
,
m
˜
ôi phâ
`
n t
,
u
,
ho
.
˘
ac l
`
a Ð (
¯
d
´
ung) ho
.
˘
ac l
`
a S (sai). Theo gi
,
a thiê
´
t không
c
´
o d
˜
ay n
`
ao c
´
o 2 phâ
`
n t
,
u
,
`
nhau l
`
a Ð, Ð, nên
´
´
i
¯
da c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
SS trong d
˜
ay l
`
a 8.
Ta nh
.
ân thâ
´
y v
´
o
,
i m
˜
ôi 0 k 8 th
`
ı
´
c
´
ac d
˜
ay c
´
o
¯
d
´
ung k phâ
`
n
t
,
u
,
Ð l
`
a C
15k+1
k
= C
16k
k
(b
,
o
,
i v
`
ı m
˜
ôi m
.
ôt d
˜
ay nhu
,
thê
´
tu
,
o
,
ng
¯
du
,
o
,
ng
v
´
o
,
i c
´
ach
¯
d
.
˘
at k
´
m b
`
ıa gi
˜
u
,
a 15 k quyê
,
n s
´
ach: c
´
o
´
t c
,
a 16 k v
.
i tr
´
ı
¯
,
¯
d
.
˘
at b
`
ıa,
,
c
,
a hai
¯
`
u c
,
ua chô
`
ng s
´
ach
¯
d
´
o).
V
.
ây l
`
a
´
c
´
ac d
˜
ay c
´
o t
´
ınh châ
´
t nêu trên l
`
a
8
k=0
C
16k
k
= 1 + 15 + 91 + 286 + 495 + 462 + 210 + 36 + 1
= 1597 < 1600
Ðiê
`
u n
`
ay ch
´
u
,
ng t
,
o r
`
˘
ang ph
,
ai c
´
o
´
ıt nhâ
´
t 2 th
´
ı sinh c
´
o c
´
ac câu tr
,
a l
`
o
,
i
h
.
êt nhu
,
nhau.
.
.
. 11.3. Trong m
.
ôt h
`
ınh 9 c
.
anh
¯
`
u c
´
o m
.
ôt
¯
d
,
ınh
¯
du
,
.
o
,
c
`
u tr
´
˘ang
c
`
on c
´
ac
¯
d
,
ınh kh
´
ac
¯
du
,
.
o
,
c
¯
den. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
`
n t
.
ai hai tam gi
´
ac
phân bi
.
êt to
`
an
¯
d
,
˘ang (di
.
ên t
´
ıch b
`
˘ang nhau) m
`
a c
´
ac
¯
d
,
ınh c
,
ua m
˜
ôi tam
gi
´
ac
¯
du
,
.
o
,
c c
`
ung m
.
ôt
`
u.
L
`
o
,
i gi
,
ai. T
`
u
,
9
¯
d
,
ınh
¯
du
,
.
o
,
c
`
u th
`
ı
´
ıt nhâ
´
t c
˜
ung c
´
o 5
¯
d
,
ınh
¯
du
,
.
o
,
c
c
`
ung m
.
ôt
`
u. Gi
,
a s
,
u
,
¯
d
´
o l
`
a
`
u tr
´
˘
ang. N
˘
am
`
u tr
´
˘
ang t
.
ao th
`
anh
C
5
3
=
5.4.3
2.3
= 10 tam gi
´
ac phân bi
.
êt c
`
ung m
.
ôt
`
u tr
´
˘
ang. Ðê
,
´
y r
`
˘
ang
11.1. V
´
ı d
.
u 121
ph
´
ep quay m
.
ôt g
´
oc
2kπ
9
( k = 0, 1, . . . , 8) xung quanh tâm O c
,
ua
h
`
ınh 9 c
.
anh
¯
`
u không
,
anh hu
,
,
o
,
ng
¯
´
n t
.
âp M c
´
ac
¯
d
,
ınh c
,
ua h
`
ınh 9
c
.
anh n
`
ay. V
`
ı thê
´
sau khi quay m
˜
ôi tam gi
´
ac trong 10 tam gi
´
ac trên
m
.
ôt g
´
oc
2kπ
9
(0 k 8 ) xung quanh O ta
¯
du
,
.
o
,
c 10.9 = 90 tam gi
´
ac
c
´
o
¯
d
,
ınh trong t
.
âp h
.
o
,
p M.
´
t c
,
a ch
´
ung không thê
,
phân bi
.
êt v
`
ı
´
tam gi
´
ac kh
´
ac nhau c
´
o
¯
d
,
ınh trong t
.
âp h
.
o
,
p M b
`
˘
ang C
5
3
=
2.8.7
2.3
=
78 < 90.
Nhu
,
v
.
ây ta t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c hai tam gi
´
ac tr
´
˘
ang
1
v
`
a
2
sau m
.
ôt v
`
ai
ph
´
ep quay tr
`
ung v
´
o
,
i c
`
ung m
.
ôt tam gi
´
ac . Lu
,
u
´
y l
`
a hai tam gi
´
ac
1
v
`
a
2
l
`
a phân bi
.
êt. Th
.
ât thê
´
, hai tam gi
´
ac nhu
,
nhau không thê
,
c
´
o
¯
du
,
.
o
,
c sau khi quay t
`
u
,
m
.
ôt tam gi
´
ac.
V
`
ı m
˜
ôi tam gi
´
ac
1
v
`
a
2
s
˜
e tr
`
ung v
´
o
,
i tam gi
´
ac sau khi quay,
nên t
`
u
,
tam gi
´
ac
1
b
`
˘
ang m
.
ôt ph
´
ep quay ta c
´
o thê
,
nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c tam
gi
´
ac
2
(ch
,
˘
ang h
.
an c
´
ac ph
´
ep quay
1
,
2
). V
.
ây
1
v
`
a
2
l
`
a hai tam gi
´
ac ph
,
ai t
`
ım.
J
.
.
. 11.4. Trên m
.
˘at ph
,
˘ang c
´
o n h
`
ınh. Gi
,
a s
,
u
,
S
i
1
... i
k
, l
`
a di
.
ên t
´
ıch phâ
`
n
giao c
,
ua c
´
ac h
`
ınh th
´
u
,
i
1
, . . . , i
k
, c
`
on S l
`
a di
.
ên t
´
ıch phâ
`
n m
.
˘at ph
,
˘ang b
.
i
ph
,
u b
,
o
,
i c
´
ac h
`
ınh
¯
d
´
o. K
´
y hi
.
êu M
k
l
`
a
,
ng
´
t c
,
a c
´
ac S
i
1
... i
k
, t
´
u
,
c l
`
a
,
ng
di
.
ên t
´
ıch c
,
ua
´
t c
,
a c
´
ac h
`
ınh c
´
o thê
,
c
´
o l
`
a giao c
,
ua k h
`
ınh
¯
d
˜
a cho. Ch
´
u
,
ng
minh r
`
˘ang
a) S = M
1
M
2
+ M
3
. . . (1)
n+1
M
n
b) S M
1
M
2
+ M
3
. . . (1)
n+1
M
n
v
´
o
,
i m ch
˜
˘an v
`
a
S M
1
M
2
+ M
3
. . . (1)
n+1
M
n
v
´
o
,
i m l
,
e.
L
`
o
,
i gi
,
ai. a) K
´
y hi
.
êu C
n
k
l
`
a
´
c
´
ach ch
.
on k phâ
`
n t
,
u
,
t
`
u
,
n phâ
`
n t
,
u
,
, ta
c
´
o nh
.
i th
´
u
,
c Niuto
,
n (x + y)
n
=
n
k=0
C
n
k
x
k
y
nk
. K
´
y hi
.
êu D
m
l
`
a di
.
ên
122 Chu
,
o
,
ng 11. To
´
an h
.
oc
,
h
.
o
,
p
t
´
ıch phâ
`
n m
.
˘
at ph
,
˘
ang b
.
i ph
,
u b
,
o
,
i
¯
d
´
ung m h
`
ınh. Phâ
`
n m
.
˘
at ph
,
˘
ang
¯
d
´
o
`
m nh
˜
u
,
ng m
,
anh, m
˜
ôi m
,
anh b
.
i ph
,
u b
,
o
,
i m h
`
ınh x
´
ac
¯
d
.
inh n
`
ao
¯
d
´
o.
Khi t
´
ınh M
k
di
.
ên t
´
ıch m
˜
ôi m
,
anh nhu
,
v
.
ây, s
˜
e
¯
du
,
.
o
,
c t
´
ınh C
m
k
`
n, b
,
o
,
i v
`
ı
t
`
u
,
m h
`
ınh c
´
o thê
,
t
.
ao
¯
du
,
.
o
,
c C
m
k
giao c
,
ua k h
`
ınh. Do
¯
d
´
o
M
k
= C
k
k
D
k
+ C
k+1
k
D
k+1
+ ··· + C
n
k
D
n
Suy ra M
1
M
2
+ M
3
··· + (1)
n+1
= C
1
1
D
1
+ ( C
2
1
C
2
2
)D
2
+
··· + (C
n
1
C
n
2
+ C
n
3
···)D
n
= D
1
+ D
2
+ ··· + D
n
b
,
o
,
i v
`
ı do nh
.
i th
´
u
,
c Niuto
,
n C
m
1
C
m
2
+ 3m ···(1)
m
C
m
m
= (1 +
C
m
1
C
m
2
+ C
m
3
··· (1)
m
C
m
m
) + 1 = (1 1)
m
+ 1 = 1
Cuô
´
i c
`
ung ch
´
ung ta lu
,
u
´
y r
`
˘
ang S = D
1
+ D
2
+ ··· + D
n
.
b) T
`
u
,
phâ
`
n a) ta c
´
o
S (M
1
M
2
+ ··· + (1)
m+1
M
m
) =
= (1)
m+2
M
m+1
+ ( 1)
m+3
M
m+2
+ ··· + (1)
n+1
M
n
=
n
i =1
((1)
m+2
C
i
m+1
+ ··· + (1)
n+1
C
i
n
)D
i
(Ta qui u
,
´
o
,
c
´
u k > i th
`
ı C
i
k
= 0. Do
¯
d
´
o ta ch
,
ı
`
n ph
,
ai ch
´
u
,
ng minh
r
`
˘
ang:
C
i
m+1
C
i
m+2
+ C
i
m+3
. . . (1)
m+n+1
C
i
n
0 v
´
o
,
i i n.
T
`
u
,
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c (x + y)
i
= (x + y)
i 1
(x + y) suy ra
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c
C
i
j
= C
i 1
j1
+ C
i 1
j
.
Do
¯
d
´
o
C
i
m+1
C
i
m+2
+ C
i
m+3
. . . (1)
m+n+1
C
i
n
=
= C
i 1
m
+ C
i 1
m+1
C
i 1
m+2
+ C
i 1
m+3
. . .
+(1)
m+n+1
C
i 1
n1
+ ( 1)
m+n+1
C
i 1
n
= C
i 1
m
±C
i 1
n
Cuô
´
i c
`
ung ch
,
ı
`
n lu
,
u
´
y r
`
˘
ang C
i 1
n
= 0 v
´
o
,
i i n.
J
11.1. V
´
ı d
.
u 123
.
.
. 11.5. M
.
ôt c
´
ai
´
ao di
.
ên t
´
ıch b
`
˘ang 1 c
´
o 5 miê
´
ng v
´
a, m
`
a di
.
ên t
´
ıch c
,
ua
m
˜
ôi miê
´
ng v
´
a không nh
,
o ho
,
n 0,5. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang luôn t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c hai
miê
´
ng v
´
a c
´
o di
.
ên t
´
ıch phâ
`
n chung c
,
ua ch
´
ung không nh
,
o ho
,
n 0,2.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Gi
,
a s
,
u
,
di
.
ên t
´
ıch c
´
ai
´
ao b
`
˘
ang M, di
.
ên t
´
ıch phâ
`
n giao c
,
ua c
´
ac
miê
´
ng v
´
a th
´
u
,
i
1
, . . . , i
k
b
`
˘
ang S
i
1
... i
k
, c
`
on M
k
=
S
i
1
... i
k
. T
`
u
,
b
`
ai trên suy
ra M M
1
+ M
2
M
3
+ M
4
M
5
0, b
,
o
,
i v
`
ı M S. C
´
ac
´
t
¯
d
,
˘
ang
th
´
u
,
c tu
,
o
,
ng t
.
u
,
c
´
o thê
,
¯
du
,
.
o
,
c viê
´
t không ch
,
ı cho c
,
a c
´
ai
´
ao, m
`
a c
`
on cho
t
`
u
,
ng miê
´
ng v
´
a.
´
u ta coi miê
´
ng v
´
a S
1
nhu
,
m
.
ôt c
´
ai
´
ao v
´
o
,
i c
´
ac miê
´
ng
v
´
a S
12
, S
13
, S
14
, S
15
th
`
ı ta
¯
du
,
.
o
,
c S
1
S
1i
+
S
1ij
S
1ijk
+ S
12345
0. C
.
ông c
´
ac
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c nhu
,
v
.
ây cho
´
t c
,
a 5 miê
´
ng v
´
a, ta
¯
du
,
.
o
,
c
M
1
2M
2
+ 3M
3
4M
4
+ 5M
5
0 (h
.
ang t
,
u
,
S
i
1
... i
k
c
´
o trong c
´
ac
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c cho c
´
ac miê
´
ng v
´
a i
1
. . . i
k
, nên trong
,
ng
´
t c
,
a c
´
ac
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c n
´
o c
´
o h
.
ê
´
k). C
.
ông c
´
ac
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c 3(M M
1
+
M
2
M
3
+ M
4
M
5
) 0 v
`
a M
1
2M
2
+ 3M
3
4M
4
+ 5M
5
0,
ta
¯
du
,
.
o
,
c 3M 2M
1
+ M
2
M
4
+ 2M
5
0. C
.
ông v
`
ao
¯
d
´
o
´
t
¯
d
,
˘
ang
th
´
u
,
c M
4
2M
5
0, (
¯
du
,
.
o
,
c suy ra t
`
u
,
S
12345
c
´
o trong
´
t c
,
a c
´
ac S
i
1
i
2
i
3
i
4
t
´
u
,
c l
`
a M
4
5M
5
2M
5
), ta
¯
du
,
.
o
,
c 3M 2M
1
+ M
2
0, t
´
u
,
c l
`
a
M
2
2M
1
3M 5 3 = 2. B
,
o
,
i v
`
ı t
`
u
,
5 miê
´
ng v
´
a c
´
o thê
,
t
.
ao
¯
du
,
.
o
,
c
10 c
.
˘
ap, nên di
.
ên t
´
ıch giao c
,
ua m
.
ôt trong
´
c
´
ac c
.
˘
ap
¯
d
´
o không nh
,
o
ho
,
n
M
2
10
0, 2.
J
.
.
. 11.6. (Ðê
`
thi To
´
an
¯
d
.
ich CHLB Ð
´
u
,
c, 1979) Gi
,
a s
,
u
,
m
˜
ôi
¯
diê
,
m c
,
ua
m
.
˘at ph
,
˘ang
¯
du
,
.
o
,
c b
`
˘ang 1 trong n
`
u (n l
`
a
´
t
.
u
,
nhiên cho tru
,
´
o
,
c).
Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
`
n t
.
ai m
.
ôt h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât v
´
o
,
i c
´
ac
¯
d
,
ınh
¯
du
,
.
o
,
c c
`
ung
m
.
ôt
`
u.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ta thiê
´
t l
.
âp trong m
.
˘
at ph
,
˘
ang m
.
ôt h
.
ê to
.
a
¯
d
.
ô Ðê
`
c
´
ac vuông
g
´
oc tu
`
y
´
y v
`
a ch
´
u
´
y t
´
o
,
i
¯
diê
,
m nguyên (i, j) v
´
o
,
i 1 i n + 1 v
`
a
124 Chu
,
o
,
ng 11. To
´
an h
.
oc
,
h
.
o
,
p
1 j n
n+1
+ 1. Vi
.
êc
`
u
,
theo th
´
u
,
t
.
u
,
n + 1
¯
diê
,
m trên m
˜
ôi
d
`
ong c
´
o n
n+1
c
´
ach kh
´
ac nhau (m
˜
ôi
¯
diê
,
m c
´
o n c
´
ach tô). Do
¯
d
´
o c
´
o
´
ıt nhâ
´
t l
`
a 2 d
`
ong trong
´
n
n+1
+ 1 d
`
ong
¯
du
,
.
o
,
c
`
u giô
´
ng nhau
(ngh
˜
ıa l
`
a hai d
`
ong giô
´
ng nhau
`
`
u s
´
˘
ac
,
o
,
¯
diê
,
m th
´
u
,
nhâ
´
t,
¯
diê
,
m
th
´
u
,
hai,. . . ,
¯
diê
,
m th
´
u
,
n + 1 ch
,
˘
ang h
.
an t
´
ınh t
`
u
,
tr
´
ai qua ph
,
ai). Gi
,
a s
,
u
,
hai d
`
ong â
´
y l
`
a d
`
ong nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m c
´
o to
.
a
¯
d
.
ô k v
`
a m; ngh
˜
ıa l
`
a v
´
o
,
i m
˜
ôi
i {1, 2, . . . , n} c
´
ac
¯
diê
,
m (i, k) v
`
a (i, m) c
´
o c
`
ung m
.
ôt
`
u. B
,
o
,
i v
`
ı
ch
,
ı c
´
o n
`
u nên trong
´
n + 1
¯
diê
,
m trên d
`
ong c
´
ac
¯
diê
,
m c
´
o tung
¯
d
.
ô k
´
˘
at c
´
o
´
ıt nhâ
´
t hai
¯
diê
,
m c
´
o c
`
ung
`
u, ch
,
˘
ang h
.
an,
¯
d
´
o l
`
a 2
¯
diê
,
m
(a, k) v
`
a (b, k). Khi
¯
d
´
o h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât v
´
o
,
i c
´
ac
¯
d
,
ınh (a, k), (b, k), (b, m)
v
`
a (a, m) c
´
o 4
¯
d
,
ınh c
`
ung
`
u.
J
.
.
. 11.7. Cho 1000
¯
diê
,
m trên m
.
˘at ph
,
˘ang M
1
, M
2
, . . . , M
1000
. Ch
´
u
,
ng
minh r
`
˘ang trên
´
t c
´
u
,
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on b
´
an k
´
ınh 1 n
`
ao ta
¯
`
u t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c m
.
ôt
¯
diê
,
m S sao cho
,
ng kho
,
ang c
´
ach t
`
u
,
S
¯
´
n c
´
ac
¯
diê
,
m M
1
, M
2
, . . . , M
1000
không nh
,
o ho
,
n 1000.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Gi
,
a s
,
u
,
S
1
v
`
a S
2
l
`
a hai
¯
diê
,
m tu
`
y
´
y
¯
´
i tâm c
,
ua
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on
T b
´
an k
´
ınh 1. Ta c
´
o S
1
S
2
= 2, v
.
ây S
1
M
1
+ S
2
M
2
S
1
S
2
= 2;
S
1
M
2
+ S
2
M
2
2;. . . ; S
1
M
1000
+ S
2
M
1000
2. V
`
ı thê
´
( S
1
M
1
+
S
2
M
1
) + (S
1
M
2
+ S
2
M
1
) + ··· + (S
1
M
1000
+ S
2
M
1000
) = ( S
1
M
1
+
S
1
M
2
+ ··· + S
1
M
1000
) + (S
2
M
1
+ S
2
M
2
+ ··· + S
2
M
1000
) 2000.
Do
¯
d
´
o
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt trong hai
¯
diê
,
m S
1
v
`
a S
2
ch
´
˘
ac ch
´
˘
an tho
,
a m
˜
an
b
`
ai ra l
`
a
,
ng kho
,
ang c
´
ach t
`
u
,
n
´
o
¯
´
n c
´
ac
¯
diê
,
m M
1
, M
2
, . . . , M
1000
không nh
,
o ho
,
n 1000.
J
.
.
. 11.8. Cho 37
¯
diê
,
m phân bi
.
êt trong không gian c
´
o to
.
a
¯
d
.
o l
`
a nh
˜
u
,
ng
´
nguyên sao cho không c
´
o ba
¯
diê
,
m n
`
ao th
,
˘ang h
`
ang. Ch
´
u
,
ng minh
r
`
˘ang ta c
´
o thê
,
ch
.
on 3
¯
diê
,
m m
`
a to
.
a
¯
d
.
ô giao
¯
diê
,
m c
´
ac trung tuyê
´
n c
,
ua
tam gi
´
ac t
.
ao th
`
anh
¯
`
u l
`
a
´
nguyên.
11.1. V
´
ı d
.
u 125
L
`
o
,
i gi
,
ai. V
´
o
,
i m
˜
ôi
¯
diê
,
m x ; y; z c
´
o to
.
a
¯
d
.
ô l
`
a nh
˜
u
,
ng
´
nguyên (
¯
diê
,
m
nguyên) ta cho tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng c
´
ac
´
¯
x;
¯
y;
¯
z l
`
a nh
˜
u
,
ng
´
du
,
c
,
ua ph
´
ep
chia c
´
ac
´
x; y; z cho 3. V
`
ı
¯
x nh
.
ân không qu
´
a 3 gi
´
a tr
.
i nên
´
ıt nhâ
´
t
13 trong
´
37
¯
diê
,
m c
´
o c
`
ung gi
´
a tr
.
i (nê
´
u không, thê
´
th
`
ı
´
c
´
ac
¯
diê
,
m
không l
´
o
,
n ho
,
n 12.3=36). Tu
,
o
,
ng t
.
u
,
, c
´
o không
´
ıt ho
,
n 5 trong 13
¯
diê
,
m
¯
d
´
o c
´
o gi
´
a tr
.
i
¯
y nhu
,
nhau.
Thê
´
th
`
ı giao
¯
diê
,
m c
´
ac trung tuyê
´
n c
,
ua tam gi
´
ac c
´
o
¯
d
,
ınh (x
1
, y
1
, z
1
),
(x
2
, y
2
, z
2
) v
`
a (x
3
, y
3
, z
3
) c
´
o to
.
a
¯
d
.
ô
x
0
=
x
1
+ x
2
+ x
3
3
; y
0
=
y
1
+ y
2
+ y
3
3
; z
0
=
z
1
+ z
2
+ z
3
3
´
u
¯
x
1
=
¯
x
2
=
¯
x
3
v
`
a
¯
y
1
=
¯
y
2
=
¯
y
3
th
`
ı c
´
ac
´
x
0
v
`
a y
0
l
`
a nguyên c
`
on
´
z
0
ch
,
ı nguyên khi v
`
a ch
,
ı khi z
1
+ z
2
+ z
3
0 ( mod 3). Trong
tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p b
`
ai ra ta ch
.
on ra 5
¯
diê
,
m m
`
a
´
t c
,
a
´
¯
x b
`
˘
ang nhau v
`
a
´
t
c
,
a
´
¯
y b
`
˘
ang nhau.
´
u trong c
´
ac
¯
diê
,
m n
`
ay ta t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c ba
¯
diê
,
m m
`
a
c
´
ac
´
¯
z nh
.
ân c
´
ac gi
´
a tr
.
i 0; 1; 2 th
`
ı v
´
o
,
i c
´
ac
¯
diê
,
m
¯
d
´
o ta c
´
o
z
1
+ z
2
+ z
3
¯
z
1
+
¯
z
2
+
¯
z
3
0 + 1 + 2 0( mod 3)
´
u không c
´
o nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m n
`
ay th
`
ı
´
¯
z v
´
o
,
i 5
¯
diê
,
m
¯
d
˜
a ch
.
on s
˜
e nh
.
ân
không qu
´
a 2 gi
´
a tr
.
i, do
¯
d
´
o ta t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c 3
¯
diê
,
m m
`
a gi
´
a tr
.
i
¯
z nh
.
ân c
`
ung
m
.
ôt gi
´
a tr
.
i m
`
a
´
z
0
´
u
,
ng v
´
o
,
i n
´
o l
`
a
´
nguyên.
J
.
.
. 11.9. Trên m
.
˘at ph
,
˘ang cho 7
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘ang trong
¯
d
´
o không c
´
o hai
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘ang n
`
ao song song. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang ta t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c hai trong
7
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘ang n
´
oi trên m
`
a g
´
oc gi
˜
u
,
a ch
´
ung nh
,
o ho
,
n 26
0
.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ta h
˜
ay t
.
inh tiê
´
n
´
t c
,
a 7
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang
¯
d
˜
a cho sao cho ch
´
ung
c
`
ung
¯
di qua m
.
ôt
¯
diê
,
m
´
¯
d
.
inh O. Ta s
˜
e
¯
du
,
.
o
,
c 7
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang chia g
´
oc
¯
`
y
¯
d
,
ınh O th
`
anh 14 phâ
`
n. V
`
ı thê
´
m
.
ôt trong c
´
ac g
´
oc t
.
ao th
`
anh nh
,
o
ho
,
n
360
0
14
= 25
0
5
7
< 26
0
(nê
´
u
´
t c
,
a c
´
ac g
´
oc
¯
`
u b
`
˘
ang nhau th
`
ı m
˜
ôi
126 Chu
,
o
,
ng 11. To
´
an h
.
oc
,
h
.
o
,
p
g
´
oc không l
´
o
,
n ho
,
n 26
0
). Nhu
,
ng g
´
oc gi
˜
u
,
a hai
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang c
´
˘
at nhau
b
`
˘
ang g
´
oc gi
˜
u
,
a hai
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang ban
¯
`
u.
J
.
.
. 11.10. Cho A l
`
a m
.
ôt t
.
âp c
´
ac
´
nguyên v
`
a x l
`
a m
.
ôt
´
nguyên
´
t
k
`
y. T
.
âp h
.
o
,
p x + A = {x + a|a A} g
.
oi l
`
a t
.
inh tiê
´
n c
,
ua A x
´
ac
¯
d
.
inh
b
,
o
,
i x. Hay n
´
oi c
´
ach kh
´
ac t
.
âp h
.
o
,
p x + A
`
m c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua A c
.
ông
thêm v
´
o
,
i c
`
ung m
.
ôt
´
x. Ch
´
ung ta n
´
oi r
`
˘
ang m
.
ôt t
.
âp h
.
o
,
p nh
˜
u
,
ng
´
nguyên l
`
a k-nh
,
o nhâ
´
t,
´
u
`
n t
.
ai k t
.
âp t
.
inh tiê
´
n c
,
ua A, m
`
a ch
´
ung
t
`
u
,
ng
¯
dôi không c
´
o
¯
diê
,
m chung. V
´
ı d
.
u: m
.
oi t
.
âp
´
h
˜
u
,
u h
.
an l
`
a k-nh
,
o
nhâ
´
t v
´
o
,
i m
.
oi
´
nguyên du
,
o
,
ng k. C
˜
ung c
´
o t
.
âp h
.
an l
`
a k-nh
,
o nhâ
´
t
nhu
,
d
˜
ay k + 1, (k + 1)
2
, . . . , (k + 1)
n
, . . . Nhu
,
ng ch
´
ung ta ch
´
u
,
ng minh
´
t lu
.
ân sau:
Cho n l
`
a
´
t
.
u
,
nhiên. Khi
¯
d
´
o t
.
âp h
.
o
,
p nh
˜
u
,
ng
´
nguyên không thê
,
biê
,
u
di
˜
ên nhu
,
h
.
o
,
p c
,
ua n t
.
âp h
.
o
,
p (n + 1)-nh
,
o nhâ
´
t.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
ung ta gi
,
a s
,
u
,
ngu
,
.
o
,
c l
.
ai:
`
n t
.
ai nh
˜
u
,
ng t
.
âp h
.
o
,
p (n + 1)-
nh
,
o nhâ
´
t A
1
, A
2
, . . . , A
n
sao cho m
˜
ôi
´
nguyên thu
.
ôc m
.
ôt trong
nh
˜
u
,
ng t
.
âp h
.
o
,
p n
`
ay. Theo
¯
d
.
inh ngh
˜
ıa c
,
ua t
.
âp (n + 1)-nh
,
o nhâ
´
t v
´
o
,
i
m
.
oi i = 1, 2, . . . , n
`
n t
.
ai n + 1
´
nguyên a
i,1
, a
i,2
, . . . , a
i, n+ 1
sao cho
v
´
o
,
i 1 r n + 1, 1 s n + 1 v
`
a r 6= s nh
˜
u
,
ng ph
´
ep t
.
inh tiê
´
n
a
ir
+ A
i
v
`
a a
i s
+ A
i
không c
´
o
¯
diê
,
m chung. K
´
y hi
.
êu N l
`
a t
.
âp h
.
o
,
p
´
t c
,
a n-b
.
ô s
´
˘
ap th
´
u
,
t
.
u
,
(j
1
, j
2
, . . . , j
n
)
,
o
,
¯
dây j
1
, j
2
, . . . , j
n
¯
d
.
ôc l
.
âp nh
.
ân
c
´
ac gi
´
a tr
.
i 1, 2, . . . , n, n + 1. V
´
o
,
i m
˜
ôi n-b
.
ô a = (j
1
, j
2
, . . . , j
n
) t
`
u
,
N
cho tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i m
.
ôt
´
nguyên x
a
= a
1j
1
+ a
2j
2
+ ··· + a
nj
n
. B
,
o
,
i
v
`
ı ch
´
ung ta
¯
d
˜
a gi
,
a thiê
´
t t
.
âp h
.
o
,
p nh
˜
u
,
ng
´
nguyên l
`
a h
.
o
,
p c
,
ua c
´
ac
t
.
âp h
.
o
,
p A
1
, A
2
, . . . , A
n
, m
˜
ôi
´
x
a
thu
.
ôc m
.
ôt t
.
âp n
`
ao
¯
d
´
o trong d
˜
ay
t
.
âp h
.
o
,
p trên. Ngo
`
ai ra
´
phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua N l
`
a (n + 1)
n
(
¯
dây l
`
a t
´
ınh
,
h
.
o
,
p).T
`
u
,
nguyên l
´
y Ðirichle m
,
o
,
r
.
ông ch
´
ung ta c
´
o
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt trong
c
´
ac t
.
âp A
1
, A
2
, . . . , A
n
ch
´
u
,
a nh
˜
u
,
ng
´
d
.
ang x
a
v
´
o
,
i
´
ıt nhâ
´
t
( n + 1)
n
n
11.2. B
`
ai t
.
âp 127
b
.
ô a t
`
u
,
N.
Không
´
t t
´
ınh
,
ng qu
´
at ch
´
ung ta gi
,
a thiê
´
t A
1
c
´
o t
´
ınh châ
´
t
trên. Ch
´
ung ta x
´
et
´
t c
,
a c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
α c
,
ua N m
`
a
´
x
α
thu
.
ôc A
1
.
Ch
´
ung
`
m
´
ıt nhâ
´
t
( n + 1)
n
n
phâ
`
n t
,
u
,
.
´
u α = (j
1
, j
2
, . . . , j
n
) l
`
a m
.
ôt
phâ
`
n t
,
u
,
trong ch
´
ung, th
`
ı ch
´
ung ta cho tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i (n 1)-b
.
ô
s
´
˘
ap α
0
= (j
2
, j
3
, . . . , j
n
). V
`
ı 1 j
µ
n + 1 v
´
o
,
i m
.
oi µ = 2, 3, . . . , n,
theo t
´
ınh châ
´
t
,
h
.
o
,
p v
´
o
,
i α
0
c
´
o nhiê
`
u nhâ
´
t (n + 1)
n1
kh
,
a n
˘
ang.
T
`
u
,
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c
( n + 1)
n
n
> (n + 1)
n1
suy ra
´
ıt nhâ
´
t c
´
o hai n-b
.
ô
α = (j
1
, j
2
, . . . , j
n
), β = (k
1
, k
2
, . . . , k
n
) ho
`
an to
`
an kh
´
ac nhau, m
`
a
x
α
A
1
, x
β
A
1
, tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i c
`
ung m
.
ôt (n 1)-b
.
ô.
Ch
´
ung ta c
´
o thê
,
t
´
om t
´
˘
at ng
´
˘
an g
.
on nhu
,
sau:
`
n t
.
ai hai b
.
ô kh
´
ac
nhau α = (j
1
, j
2
, . . . , j
n
) v
`
a β = (k
1
, k
2
, . . . , k
n
) thu
.
ôc N, m
`
a x
α
A
1
, x
β
A
1
, j
1
6= k
1
v
`
a j
2
= k
2
, j
3
= k
3
, . . . , j
n
= k
n
. Nhu
,
ng, x
α
=
a
1j
1
+ a
2j
2
+ ··· + a
nj
n
x
β
= a
1k
1
+ a
2k
2
+ ··· + a
nk
n
nhu
,
ng v
`
ı j
µ
= k
µ
v
´
o
,
i m
˜
ôi µ = 2, 3, . . . n ch
´
ung ta c
´
o x
α
x
β
= a
1j
1
a
1k
1
ho
.
˘
ac l
`
a
a
1k
1
+ x
α
= a
1j
1
+ x
β
. Khi
¯
d
´
o
´
x = a
1k
1
+ x
α
= a
1j
1
+ x
β
thu
.
ôc v
`
ao
t
.
âp h
.
o
,
p a
1k
1
+ A
1
v
`
a a
1j
1
+ A
1
. Suy ra t
.
âp t
.
inh tiê
´
n A
1
x
´
ac
¯
d
.
inh b
,
o
,
i
c
´
ac
´
a
1k
1
v
`
a a
1j
1
c
´
o
¯
diê
,
m chung,
¯
diê
`
u
¯
d
´
o tr
´
ai v
´
o
,
i gi
,
a thiê
´
t khi b
´
˘
at
¯
`
u ch
´
u
,
ng minh.
J
11.2. B
`
ai t
.
âp
.
.
. 11.11. a) Trong h
`
ınh vuông di
.
ên t
´
ıch 6
¯
d
.
˘
at ba
¯
da gi
´
ac di
.
ên t
´
ıch
3. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang trong
´
¯
d
´
o luôn t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c hai
¯
da gi
´
ac m
`
a di
.
ên
t
´
ıch phâ
`
n chung c
,
ua ch
´
ung không nh
,
o ho
,
n 1.
b) Trong h
`
ınh vuông di
.
ên t
´
ıch 5
¯
d
.
˘
at 9
¯
da gi
´
ac di
.
ên t
´
ıch 1. Ch
´
u
,
ng
minh r
`
˘
ang trong
´
¯
d
´
o luôn t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c hai
¯
da gi
´
ac m
`
a di
.
ên t
´
ıch phâ
`
n
128 Chu
,
o
,
ng 11. To
´
an h
.
oc
,
h
.
o
,
p
chung c
,
ua ch
´
ung không nh
,
o ho
,
n
1
9
.
.
.
. 11.12. S
´
au
¯
diê
,
m
¯
du
,
.
o
,
c s
´
˘
ap
´
p trên m
.
˘
at ph
,
˘
ang sao cho ba
¯
diê
,
m
´
t k
`
y l
`
a
¯
d
,
ınh c
,
ua m
.
ôt tam gi
´
ac m
`
a c
´
ac c
.
anh c
´
o
¯
d
.
ô d
`
ai kh
´
ac nhau.
Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang c
.
anh nh
,
o nhâ
´
t c
,
ua m
.
ôt trong c
´
ac tam gi
´
ac
¯
`
ng
th
`
o
,
i l
`
a c
.
anh l
´
o
,
n nhâ
´
t c
,
ua m
.
ôt tam gi
´
ac kh
´
ac.
.
.
. 11.13. Cho P
1
, P
2
, . . . , P
7
l
`
a
,
y
¯
diê
,
m trong không gian, trong
¯
d
´
o
không c
´
o
´
n
¯
diê
,
m n
`
ao
¯
`
ng ph
,
˘
ang.
`
u m
˜
ôi
¯
do
.
an P
i
P
j
(i < j)
v
´
o
,
i m
.
ôt trong hai
`
u
¯
d
,
o ho
.
˘
ac
¯
den. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang c
´
o hai tam
gi
´
ac
¯
do
,
n s
´
˘
ac không c
´
o chung c
.
anh.
.
.
. 11.14. C
´
o hai
¯
d
˜
ıa
¯
`
u
¯
du
,
.
o
,
c chia th
`
anh 1998 h
`
ınh qu
.
at b
`
˘
ang nhau,
v
`
a trên m
˜
ôi
¯
d
˜
ıa m
.
ôt c
´
ach
´
t k
`
y (b
`
˘
ang m
.
ôt
`
u) 200 h
`
ınh qu
.
at.
C
´
ac
¯
d
˜
ıa
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
.
˘
at chô
`
ng lên nhau v
`
a quay m
.
ôt
¯
d
˜
ıa theo nh
˜
u
,
ng g
´
oc
l
`
a b
.
ôi c
,
ua
360
0
1998
. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang
`
n t
.
ai
´
ıt nhâ
´
t 94 v
.
i tr
´
ı c
´
o không
qu
´
a 20 h
`
ınh qu
.
at
¯
du
,
.
o
,
c so
,
n tr
`
ung nhau.
.
.
. 11.15. Trên m
.
˘
at ph
,
˘
ang cho n
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang t
`
u
,
ng
¯
dôi không song
song v
´
o
,
i nhau. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang g
´
oc gi
˜
u
,
a hai
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang n
`
ao
¯
d
´
o
trong
´
¯
d
´
o không l
´
o
,
n ho
,
n
180
0
n
.
CHU
,
O
,
NG 12
M
.
ÔT S
´
Ô B
`
AI T
.
ÂP H
`
INH H
.
OC KH
´
AC
12.1. V
´
ı d
.
u
.
.
. 12.1. Trong h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât 3x4
¯
d
.
˘at 6
¯
diê
,
m. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang trong
´
¯
d
´
o luôn t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c hai
¯
diê
,
m c
´
o kho
,
ang c
´
ach gi
˜
u
,
a ch
´
ung không l
´
o
,
n
ho
,
n
5.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Chia h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât ra l
`
am
H
`
ınh 12.1:
5 h
`
ınh nhu
,
h
`
ınh 12.1. Trong m
.
ôt
trong
´
c
´
ac h
`
ınh
¯
d
´
o s
˜
e c
´
o
´
ıt nhâ
´
t
2
¯
diê
,
m, v
`
a kho
,
ang c
´
ach gi
˜
u
,
a hai
¯
diê
,
m
¯
d
´
o s
˜
e không l
´
o
,
n ho
,
n
5.
J
.
.
. 12.2. Trên m
.
˘at ph
,
˘ang c
´
o 25
¯
diê
,
m, biê
´
t r
`
˘ang trong 3
¯
diê
,
m
´
t k
`
y
trong
´
¯
d
´
o luôn c
´
o 2
¯
diê
,
m c
´
ach nhau nh
,
o ho
,
n 1. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
`
n t
.
ai h
`
ınh tr
`
on b
´
an k
´
ınh 1 ch
´
u
,
a không
´
ıt ho
,
n 13
¯
diê
,
m
¯
d
˜
a cho.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Gi
,
a s
,
u
,
A l
`
a m
.
ôt
¯
diê
,
m
¯
d
˜
a cho.
´
u
´
t c
,
a c
´
ac
¯
diê
,
m c
`
on l
.
ai
n
`
˘
am trong h
`
ınh tr
`
on S
1
tâm A b
´
an kinh 1 th
`
ı ta không
`
n ph
,
ai
ch
´
u
,
ng minh g
`
ı thêm. Gi
,
a s
,
u
,
c
´
o m
.
ôt
¯
diê
,
m B trong
´
¯
d
˜
a cho n
`
˘
am
ngo
`
ai
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on S
1
t
´
u
,
c l
`
a AB > 1. X
´
et h
`
ınh tr
`
on S
2
tâm B b
´
an k
´
ınh
1. Trong
´
c
´
ac
¯
diê
,
m A, B, C trong
¯
d
´
o C l
`
a
¯
diê
,
m
¯
d
˜
a cho
´
t k
`
y luôn
c
´
o hai
¯
diê
,
m c
´
ach nhau nh
,
o ho
,
n 1, ho
,
n n
˜
u
,
a
¯
d
´
o không thê
,
l
`
a 2
¯
diê
,
m
130 Chu
,
o
,
ng 12. M
.
ôt
´
b
`
ai t
.
âp h
`
ınh h
.
oc kh
´
ac
A v
`
a B. Do
¯
d
´
o c
´
ac h
`
ınh tr
`
on S
1
v
`
a S
2
ch
´
u
,
a
´
t c
,
a c
´
ac
¯
diê
,
m
¯
d
˜
a cho,
t
´
u
,
c l
`
a m
.
ôt trong hai h
`
ınh tr
`
on
¯
d
´
o ch
´
u
,
a không
´
ıt ho
,
n 13
¯
diê
,
m
¯
d
˜
a cho.
J
.
.
. 12.3. Bên trong
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on b
´
an k
´
ınh n
¯
d
.
˘at 4n
¯
do
.
an th
,
˘ang c
´
o
¯
d
.
ô d
`
ai
1. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang c
´
o thê
,
k
,
e m
.
ôt
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘ang song song ho
.
˘ac vuông
g
´
oc v
´
o
,
i
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘ang l cho tru
,
´
o
,
c v
`
a c
´
˘at
´
ıt nhâ
´
t 2
¯
do
.
an th
,
˘ang
¯
d
˜
a cho.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Gi
,
a s
,
u
,
l
1
l
`
a
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang
´
t k
`
y vuông g
´
oc v
´
o
,
i l. K
´
y hi
.
êu
¯
d
.
ô d
`
ai c
´
ac h
`
ınh chiê
´
u c
,
ua
¯
do
.
an th
,
˘
ang th
´
u
,
i lên c
´
ac
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang l
v
`
a l
1
l
`
a a
i
v
`
a b
i
tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng. B
,
o
,
i v
`
ı
¯
d
.
ô d
`
ai c
,
ua m
˜
ôi
¯
do
.
an th
,
˘
ang b
`
˘
ang
1, nên a
i
+ b
i
1. Do
¯
d
´
o (a
1
+ ··· + a
4n
) + (b
1
+ ··· + b
4n
) 4n.
Không
´
t t
´
ınh
,
ng qu
´
at gi
,
a s
,
u
,
(a
1
+ ···+ a
4n
) (b
1
+ ···+ b
4n
).
Khi
¯
d
´
o a
1
+ ···+ a
4n
2n.
´
t c
,
a c
´
ac
¯
do
.
an th
,
˘
ang
¯
d
˜
a cho
¯
`
u
¯
du
,
.
o
,
c
chiê
´
u xuô
´
ng
¯
do
.
an th
,
˘
ang c
´
o
¯
d
.
ô d
`
ai 2n, b
,
o
,
i v
`
ı ch
´
ung
¯
`
u n
`
˘
am trong
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on b
´
an k
´
ınh n.
´
u nhu
,
c
´
ac h
`
ınh chiê
´
u c
,
ua c
´
ac
¯
do
.
an th
,
˘
ang
¯
d
˜
a cho lên
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang l không c
´
o
¯
diê
,
m chung, th
`
ı s
˜
e c
´
o
´
t
¯
d
,
˘
ang
th
´
u
,
c a
1
+ ···+ a
4n
< 2n. Do
¯
d
´
o trên l ph
,
ai c
´
o m
.
ôt
¯
diê
,
m b
.
i c
´
ac
¯
diê
,
m
c
,
ua
´
ıt nhâ
´
t hai trong
´
c
´
ac
¯
do
.
an th
,
˘
ang
¯
d
˜
a cho chiê
´
u lên
¯
d
´
o. Ðu
,
`
o
,
ng
vuông g
´
oc v
´
o
,
i l t
.
ai
¯
diê
,
m
¯
d
´
o s
˜
e c
´
˘
at
´
ıt nhâ
´
t hai
¯
do
.
an th
,
˘
ang
¯
d
˜
a cho.
J
.
.
. 12.4. Trên do
.
an th
,
˘ang c
´
o
¯
d
.
ô d
`
ai 1 ta m
.
ôt
´
¯
do
.
an th
,
˘ang sao
cho kho
,
ang c
´
ach gi
˜
u
,
a hai
¯
diê
,
m
¯
du
,
.
o
,
c
´
t k
`
y không b
`
˘ang 0,1. Ch
´
u
,
ng
minh r
`
˘ang
,
ng
¯
d
.
ô d
`
ai c
´
ac do
.
an th
,
˘ang
¯
du
,
.
o
,
c không l
´
o
,
n ho
,
n 0,5.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Chia
¯
do
.
an th
,
˘
ang ra l
`
am 10
¯
do
.
an th
,
˘
ang c
´
o
¯
d
.
ô d
`
ai 0,1,
¯
d
.
˘
at
ch
´
ung theo m
.
ôt c
.
ôt v
`
a chiê
´
u ch
´
ung xuô
´
ng m
.
ôt
¯
do
.
an th
,
˘
ang nhu
,
v
.
ây.
B
,
o
,
i v
`
ı kho
,
ang c
´
ach gi
˜
u
,
a hai
¯
diê
,
m
¯
du
,
.
o
,
c
´
t k
`
y không b
`
˘
ang 0,1,
nên c
´
ac
¯
diê
,
m
¯
du
,
.
o
,
c c
,
ua c
´
ac
¯
do
.
an th
,
˘
ang c
.
anh nhau không thê
,
c
`
ung
chiê
´
u xuô
´
ng 1
¯
diê
,
m. Do
¯
d
´
o không c
´
o
¯
diê
,
m n
`
ao c
´
o thê
,
l
`
a h
`
ınh chiê
´
u
12.1. V
´
ı d
.
u 131
c
,
ua c
´
ac
¯
diê
,
m
¯
du
,
.
o
,
c c
,
ua nhiê
`
u ho
,
n 5
¯
do
.
an th
,
˘
ang. Suy ra
,
ng
¯
d
.
ô d
`
ai c
´
ac h
`
ınh chiê
´
u c
,
ua c
´
ac
¯
do
.
an th
,
˘
ang
¯
du
,
.
o
,
c không l
´
o
,
n ho
,
n
5.0, 1 = 0, 5.
J
.
.
. 12.5. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
´
u m
.
ôt
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘ang l n
`
˘am trong m
.
˘at
ph
,
˘ang c
,
ua tam gi
´
ac ABC v
`
a không
¯
di qua
¯
d
,
ınh n
`
ao c
,
ua tam gi
´
ac
¯
d
´
o,
th
`
ı n
´
o c
´
˘at không qu
´
a hai c
.
anh c
,
ua tam gi
´
ac
¯
d
˜
a cho.
L
`
o
,
i gi
,
ai. K
´
y hi
.
êu α v
`
a α l
`
a hai n
,
u
,
a m
.
˘
at ph
,
˘
ang do l chia m
.
˘
at ph
,
˘
ang
c
,
ua tam gi
´
ac ABC. M
˜
ôi
¯
d
,
ınh A, B v
`
a C n
`
˘
am trong m
.
ôt n
,
u
,
a m
.
˘
at
ph
,
˘
ang trên. Theo nguyên l
´
y Ðirichlê
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt trong hai n
,
u
,
a m
.
˘
at
ph
,
˘
ang trên, ch
,
˘
ang h
.
an nhu
,
α, ch
´
u
,
a hai
¯
d
,
ınh c
,
ua tam gi
´
ac ABC,
ch
,
˘
ang h
.
an nhu
,
A v
`
a B. Khi
¯
d
´
o
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang l không c
´
˘
at
¯
do
.
an th
,
˘
ang
AB, ngh
˜
ıa l
`
a n
´
o không c
´
˘
at m
.
ôt trong ba c
.
anh c
,
ua tam gi
´
ac ABC .
J
.
.
. 12.6. Nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m trong m
.
˘at ph
,
˘ang
¯
du
,
.
o
,
c so
,
n b
`
˘ang m
.
ôt trong ba
`
u. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang luôn t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c hai
¯
diê
,
m c
`
ung
`
u c
´
ach nhau
¯
d
´
ung b
`
˘ang 1.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Gi
,
a s
,
u
,
hai
¯
diê
,
m
´
t k
`
y c
´
ach nhau 1
¯
`
u
¯
du
,
.
o
,
c b
`
˘
ang c
´
ac
`
u kh
´
ac nhau. X
´
et tam gi
´
ac
¯
`
u ABC c
´
o c
.
anh b
`
˘
ang 1.
´
t c
,
a c
´
ac
¯
d
,
ınh c
,
ua n
´
o
¯
du
,
.
o
,
c b
`
˘
ang c
´
ac
`
u kh
´
ac nhau. Gi
,
a s
,
u
,
¯
diê
,
m A
1
¯
´
i
x
´
u
,
ng v
´
o
,
i A qua
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang BC. B
,
o
,
i v
`
ı A
1
B = A
1
C = 1, nên
¯
diê
,
m
A
1
c
´
o
`
u kh
´
ac v
´
o
,
i
`
u c
,
ua B v
`
a C, t
´
u
,
c l
`
a n
´
o
¯
du
,
.
o
,
c c
`
ung m
.
ôt
`
u
v
´
o
,
i
¯
diê
,
m A. C
´
ac l
.
âp lu
.
ân
¯
d
´
o th
.
u
,
c châ
´
t
¯
d
˜
a ch
,
ı ra r
`
˘
ang
´
u AA
1
=
3,
th
`
ı c
´
ac
¯
diê
,
m A v
`
a A
1
c
`
ung m
.
ôt
`
u. Do
¯
d
´
o
´
t c
,
a c
´
ac
¯
diê
,
m n
`
˘
am
trên
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on tâm A b
´
an k
´
ınh
3 c
´
o c
`
ung m
.
ôt
`
u. R
˜
o r
`
ang trên
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on
¯
d
´
o luôn t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c hai
¯
diê
,
m c
´
o kho
,
ang c
´
ach gi
˜
u
,
a ch
´
ung
b
`
˘
ang 1. Ta
¯
du
,
.
o
,
c mâu thu
˜
ân, v
.
ây luôn t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c hai
¯
diê
,
m c
`
ung
`
u
c
´
o kho
,
ang c
´
ach gi
˜
u
,
a ch
´
ung b
`
˘
ang 1.
J
132 Chu
,
o
,
ng 12. M
.
ôt
´
b
`
ai t
.
âp h
`
ınh h
.
oc kh
´
ac
.
.
. 12.7. Cho 11
¯
diê
,
m kh
´
ac nhau trong h
`
ınh
`
u thê
,
t
´
ıch V. Ch
´
u
,
ng
minh r
`
˘ang qua tâm c
,
ua h
`
ınh
`
u c
´
o thê
,
d
.
u
,
ng hai m
.
˘at ph
,
˘ang sao cho
ch
´
ung c
´
˘at h
`
ınh
`
u th
`
anh m
.
ôt "miê
´
ng" v
´
o
,
i thê
,
t
´
ıch
V
6
, m
`
a phâ
`
n trong
c
,
ua n
´
o không ch
´
u
,
a trong phâ
`
n trong
´
t c
´
u
,
m
.
ôt
¯
diê
,
m n
`
ao
¯
d
˜
a cho.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Chia h
`
ınh
`
u ra hai b
´
an
`
u b
`
˘
ang m
.
ôt m
.
˘
at ph
,
˘
ang
¯
di qua
tâm v
`
a hai
¯
diê
,
m t
`
u
,
c
´
ac
¯
diê
,
m
¯
d
˜
a cho. M
.
ôt b
´
an
`
u ch
´
u
,
a trong phâ
`
n
trong nhiê
`
u nhâ
´
t l
`
a 4
¯
diê
,
m t
`
u
,
c
´
ac
¯
diê
,
m c
`
on l
.
ai. Chia n
,
u
,
a h
`
ınh
`
u
b
`
˘
ang hai m
.
˘
at ph
,
˘
ang, m
`
a m
˜
ôi m
.
˘
at ph
,
˘
ang
¯
di qua tâm h
`
ınh
`
u v
`
a
hai
¯
diê
,
m trong 4
¯
diê
,
m c
`
on l
.
ai. Nhu
,
v
.
ây n
,
u
,
a h
`
ınh
`
u chia th
`
anh 3
"miê
´
ng" không ch
´
u
,
a m
.
ôt
¯
diê
,
m n
`
ao bên trong.
´
ıt nhâ
´
t thê
,
t
´
ıch c
,
ua
m
.
ôt miê
´
ng l
´
o
,
n ho
,
n
1
3
thê
,
t
´
ıch c
,
ua b
´
an h
`
ınh
`
u.
J
.
.
. 12.8. Cho khô
´
i
¯
da di
.
ên
`
i P
1
c
´
o 9
¯
d
,
ınh A
1
, A
2
, . . . , A
9
.K
´
y hi
.
êu
P
2
, P
3
, .., P
9
l
`
a nh
˜
u
,
ng
¯
da di
.
ên
¯
du
,
.
o
,
c t
.
ao th
`
anh b
,
o
,
i c
´
ac ph
´
ep t
.
inh tiê
´
n
tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng theo c
´
ac vecto
,
A
1
A
2
, . . . ,
A
1
A
9
. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
´
ıt nhâ
´
t
2 trong
´
9
¯
da di
.
ên trên c
´
o
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt
¯
diê
,
m chung.
L
`
o
,
i gi
,
ai. X
´
et h
`
ınh
¯
da di
.
ên P l
`
a
,
anh c
,
ua P
1
qua ph
´
ep v
.
i t
.
u
,
tâm A
1
v
`
a h
.
ê
´
2. Ta s
˜
e ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang 9
¯
da di
.
ên
¯
`
u n
`
˘
am trong P. Th
.
ât
v
.
ây, cho A
1
, A
2
, . . . , A
9
l
`
a c
´
ac
¯
d
,
ınh c
,
ua
¯
da di
.
ên P. Ch
´
ung ta s
˜
e ch
´
u
,
ng
minh, ch
,
˘
ang h
.
an nhu
,
P
2
n
`
˘
am trong P. Ðê
,
ch
´
u
,
ng minh
¯
diê
`
u
¯
d
´
o ch
´
ung
ta ch
´
u
´
y t
´
o
,
i ph
´
ep t
.
inh tiê
´
n
A
1
A
2
chuyê
,
n c
´
ac
¯
diê
,
m A
1
, A
2
, . . . , A
9
t
´
o
,
i c
´
ac
¯
diê
,
m A
2
, A
2
, A
0
3
, . . . , A
0
9
,
,
o
,
¯
dây A
0
i
l
`
a trung
¯
diê
,
m c
,
ua
¯
do
.
an
A
2
A
i
).
,
ng thê
,
t
´
ıch c
,
ua c
´
ac
¯
da di
.
ên P
1
, P
2
, . . . , P
9
n
`
˘
am trong P b
`
˘
ang
9V,
,
o
,
¯
dây V l
`
a thê
,
t
´
ıch c
,
ua
¯
da di
.
ên P
1
, c
`
on thê
,
t
´
ıch c
,
ua
¯
da di
.
ên P
b
`
˘
ang 8V. Suy ra
´
ıt nhâ
´
t c
´
o hai
¯
da di
.
ên c
´
o
¯
diê
,
m chung (nguyên l
´
y
Ðirichlê cho thê
,
t
´
ıch.
J
12.1. V
´
ı d
.
u 133
.
.
. 12.9. Trong h
`
ınh
`
u
¯
du
,
`
o
,
ng k
´
ınh 3
¯
d
.
˘at m
.
ôt
´
h
`
ınh
`
u m
`
a
,
ng
¯
du
,
`
o
,
ng k
´
ınh c
,
ua ch
´
ung b
`
˘ang 25 (nh
˜
u
,
ng h
`
ınh
`
u n
`
ay c
´
o thê
,
giao
nhau). Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang v
´
o
,
i m
.
oi m
.
˘at ph
,
˘ang
`
n t
.
ai m
.
ôt m
.
˘at ph
,
˘ang
song song v
´
o
,
i n
´
o v
`
a c
´
˘at
´
ıt nhâ
´
t 9 h
`
ınh
`
u con.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
ung ta x
´
et h
`
ınh chiê
´
u c
´
ac h
`
ınh
`
u lên
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang
vuông g
´
oc v
´
o
,
i m
.
˘
at ph
,
˘
ang
¯
d
˜
a cho. H
`
ınh
`
u l
´
o
,
n chiê
´
u v
`
ao m
.
ôt
¯
do
.
an
th
,
˘
ang c
´
o
¯
d
.
ô d
`
ai 3, c
`
on c
´
ac h
`
ınh
`
u con chiê
´
u v
`
ao c
´
ac
¯
do
.
an th
,
˘
ang
nh
,
o c
´
o
,
ng 25. Gi
,
a s
,
u
,
không c
´
o m
.
ôt m
.
˘
at ph
,
˘
ang n
`
ao nhu
,
¯
`
b
`
ai ra,
ngh
˜
ıa l
`
a m
.
oi m
.
˘
at ph
,
˘
ang song song v
´
o
,
i m
.
˘
at ph
,
˘
ang
¯
d
˜
a cho ch
,
ı c
´
˘
at 8
h
`
ınh
`
u nh
,
o. khi
¯
d
´
o m
˜
ôi
¯
diê
,
m trong
¯
do
.
an th
,
˘
ang
¯
d
.
ô d
`
ai 3 ch
,
ı thu
.
ôc
nhiê
`
u nhâ
´
t l
`
a 8
¯
do
.
an th
,
˘
ang h
`
ınh chiê
´
u c
,
ua nh
˜
u
,
ng h
`
ınh
`
u nh
,
o. Suy
ra
,
ng c
,
ua ch
´
ung không qu
´
a 24. Nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c s
.
u
,
l
´
y.
J
.
.
. 12.10. Trong h
`
ınh vuông c
.
anh 1
¯
do
,
n v
.
i c
´
o m
.
ôt
¯
du
,
`
o
,
ng
´
p kh
´
uc L
không t
.
u
,
c
´
˘a v
´
o
,
i
¯
d
.
ô d
`
ai l
´
o
,
n ho
,
n 1000. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
`
n t
.
ai m
.
ôt
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘ang m song song v
´
o
,
i c
.
anh h
`
ınh vuông v
`
a c
´
˘at
¯
du
,
`
o
,
ng L t
.
ai ho
,
n
500
¯
diê
,
m.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Gi
,
a s
,
u
,
l
i
l
`
a
¯
d
.
ô d
`
ai m
´
˘
at th
´
u
,
i c
,
ua
¯
du
,
`
o
,
ng
´
p kh
´
uc, a
i
v
`
a b
i
l
`
a
¯
d
.
ô d
`
ai h
`
ınh chiê
´
u c
,
ua n
´
o lên c
´
ac c
.
anh c
,
ua h
`
ınh vuông. Khi
¯
d
´
o
l
i
a
i
+ b
i
. Suy ra
1000 = l
1
+ ··· + l
n
(a
1
+ ··· + a
n
) + (b
1
+ ··· + b
n
)
T
´
u
,
c l
`
a ho
.
˘
ac a
1
+ ··· + a
n
500 ho
.
˘
ac l
`
a b
1
+ ··· + b
n
500.
´
u
,
ng
¯
d
.
ô d
`
ai h
`
ınh chiê
´
u c
,
ua c
´
ac m
´
˘
at lên m
.
ôt c
.
anh
¯
d
.
ô d
`
ai 1 không nh
,
o
ho
,
n 500, th
`
ı theo nguyên l
´
y Ðirichlê cho
¯
d
.
ô d
`
ai
¯
do
.
an th
,
˘
ang ph
,
ai c
´
o
¯
diê
,
m chung cho ho
,
n 500 h
`
ınh chiê
´
u c
,
ua c
´
ac m
´
˘
at
´
p kh
´
uc, t
´
u
,
c l
`
a
¯
du
,
`
o
,
ng vuông g
´
oc k
,
e t
`
u
,
¯
diê
,
m chung
¯
d
´
o s
˜
e c
´
˘
at
¯
du
,
`
o
,
ng
´
p kh
´
uc t
.
ai
´
ıt
nhâ
´
t 500
¯
diê
,
m.
J
134 Chu
,
o
,
ng 12. M
.
ôt
´
b
`
ai t
.
âp h
`
ınh h
.
oc kh
´
ac
12.2. B
`
ai t
.
âp
.
.
. 12.11. Cho A l
`
a t
.
âp h
.
o
,
p nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m trên m
.
ôt m
.
˘
at
`
u v
`
a c
´
o di
.
ên
t
´
ıch l
´
o
,
n ho
,
n n
,
u
,
a di
.
ên t
´
ıch m
.
˘
at
`
u. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang A ch
´
u
,
a
´
ıt nhâ
´
t
m
.
ôt c
.
˘
ap
¯
diê
,
m m
`
a n
´
o l
`
a 2
¯
daah u
¯
du
,
`
o
,
ng k
´
ınh c
,
ua qu
,
a
`
u.
.
.
. 12.12. Ta g
.
oi h
`
ınh ch
˜
u
,
th
.
âp l
`
a h
`
ınh t
.
ao b
,
o
,
i c
´
ac
¯
du
,
`
o
,
ng ch
´
eo c
,
ua
h
`
ınh vuông c
.
anh 1. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang trong h
`
ınh tr
`
on b
´
an k
´
ınh 100
ch
,
ı c
´
o thê
,
¯
d
.
˘
at
¯
du
,
.
o
,
c m
.
ôt
´
h
˜
u
,
u h
.
an c
´
ac ch
˜
u
,
th
.
âp không c
´
˘
at nhau.
.
.
. 12.13. Trên m
.
˘
at ph
,
˘
ang cho
¯
diê
,
m O. H
,
oi c
´
o thê
,
¯
d
.
˘
at trên m
.
˘
at ph
,
˘
ang
5 h
`
ınh tr
`
on không ph
,
u
¯
diê
,
m O sao cho m
.
oi tia xuâ
´
t ph
´
at t
`
u
,
O c
´
˘
at
không
´
ıt ho
,
n hai h
`
ınh tr
`
on
¯
du
,
.
o
,
c hay không ? (c
´
˘
at
,
o
,
¯
dây c
´
o ngh
˜
ıa l
`
a
c
´
o
¯
diê
,
m chung).
.
.
. 12.14. Nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m trong m
.
˘
at ph
,
˘
ang
¯
du
,
.
o
,
c so
,
n b
`
˘
ang m
.
ôt trong
hai
`
u. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang luôn t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c hai
¯
diê
,
m c
`
ung
`
u c
´
ach
nhau
¯
d
´
ung b
`
˘
ang 1.
CHU
,
O
,
NG 13
M
.
ÔT S
´
Ô Ð
`
Ê THI VÔ Ð
.
ICH
Nh
˜
u
,
ng b
`
ai to
´
an thi
¯
d
.
ich c
´
ac nu
,
´
o
,
c l
`
a c
´
ac b
`
ai to
´
an
¯
diê
,
n h
`
ınh cho
vi
.
êc v
.
ân d
.
ung tr
´
ı thông minh, s
´
ang t
.
ao
¯
,
gi
,
ai. N
´
o
¯
d
`
oi h
,
oi h
.
oc sinh
ph
,
ai n
´
˘
am
¯
du
,
.
o
,
c c
´
ac kiê
´
n th
´
u
,
c co
,
b
,
an v
˜
u
,
ng ch
´
˘
ac v
`
a hiê
,
u thâ
´
u
¯
d
´
ao.
Ðê
,
gi
,
ai c
´
ac b
`
ai to
´
an thi
¯
d
.
ich ph
,
ai v
.
ân d
.
ung cao t
´
ınh phân t
´
ıch
v
`
a
,
ng h
.
o
,
p c
´
ac kiê
´
n th
´
u
,
c to
´
an h
.
oc.
´
t nhiê
`
u b
`
ai to
´
an thi
¯
d
.
ich
c
´
ac nu
,
´
o
,
c c
´
o m
.
ôt phâ
`
n gi
,
ai s
,
u
,
d
.
ung nguyên l
´
y Ðirichlê, c
´
ac chu
,
o
,
ng
tru
,
´
o
,
c ta
¯
d
˜
a g
.
˘
ap m
.
ôt
´
b
`
ai. Ðê
,
thu
.
ân ti
.
ên cho b
.
an
¯
doj c muô
´
n tham
kh
,
ao
¯
`
y
¯
d
,
u
`
ch
,
u
¯
`
n
`
ay tôi ch
´
ep l
.
ai v
`
a thô
´
ng ra
¯
dây c
´
ac
¯
`
thi
¯
d
.
ich c
´
ac nu
,
´
o
,
c ch
,
u
´
u trong cuô
´
n s
´
ach [4] v
`
a m
.
ôt
´
tuyê
,
n
t
.
âp kh
´
ac. Nhu
,
ng v
`
ı t
`
ai li
.
êu tham kh
,
ao c
´
o h
.
an, phâ
`
n su
,
u
`
m c
,
ua tôi
ch
´
˘
ac ch
´
˘
an chu
,
a
¯
`
y
¯
d
,
u mong c
´
ac b
.
an
¯
d
.
oc
,
sung v
`
a cho
´
y kiê
´
n.
M
˜
ôi b
`
ai trong chu
,
o
,
ng n
`
ay k
`
em theo tên nu
,
´
o
,
c v
`
a n
˘
am k
`
y thi
¯
d
.
ich
nu
,
´
o
,
c
¯
d
´
o.
.
.
. 13.1. (Anh, 1966) Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang t
`
u
,
52
´
nguyên
´
t k
`
y luôn
c
´
o thê
,
ch
.
on
¯
du
,
.
o
,
c ra hai
´
m
`
a
,
ng ho
.
˘ac hi
.
êu c
,
ua ch
´
ung chia
´
t cho
100.
L
`
o
,
i gi
,
ai.
´
t c
,
a c
´
ac
´
du
,
trong ph
´
ep chia cho 100,
¯
du
,
.
o
,
c chia th
`
anh
t
`
u
,
ng nh
´
om nhu
,
sau: {0}, {1; 99}, {2; 98}, . . . , {49, 51}, {50}. V
`
ı c
´
o
´
t c
,
a 51 nh
´
om, m
`
a l
.
ai c
´
o 52
´
, nên theo nguyên l
´
y Ðirichlê gi
˜
u
,
a
136 Chu
,
o
,
ng 13. M
.
ôt
´
¯
`
thi
¯
d
.
ich
ch
´
ung ph
,
ai c
´
o hai
´
m
`
a c
´
ac
´
du
,
trong ph
´
ep chia cho 100 ro
,
i v
`
ao
m
.
ôt nh
´
om. Hai
´
n
`
ay l
`
a hai
´
`
n t
`
ım v
`
ı
´
u
´
du
,
c
,
ua ch
´
ung b
`
˘
ang
nhau th
`
ı hi
.
êu c
,
ua ch
´
ung chia
´
t cho 100, c
`
on
´
u
´
du
,
c
,
ua ch
´
ung
kh
´
ac nhau th
`
ı
,
ng c
,
ua ch
´
ung chia
´
t cho 100.
J
.
.
. 13.2. (Anh, 1970) Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang t
`
u
,
t
.
âp h
.
o
,
p tu
`
y
´
y
`
m n
´
t
.
u
,
nhiên luôn t
´
ach ra
¯
du
,
.
o
,
c m
.
ôt t
.
âp h
.
o
,
p con (kh
´
ac r
˜
ông) ch
´
u
,
a c
´
ac
´
m
`
a
,
ng c
,
ua ch
´
ung chia
´
t cho n.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Gi
,
a s
,
u
,
v
´
o
,
i m
.
ôt t
.
âp h
.
o
,
p n
`
ao
¯
d
´
o ch
´
u
,
a c
´
ac
´
a
1
, a
2
, . . . , a
n
m
`
a
không tho
,
a m
˜
an kh
,
˘
ang
¯
d
.
inh c
,
ua b
`
ai to
´
an. Khi
¯
d
´
o không c
´
o
´
n
`
ao
trong c
´
ac
´
S
1
= a
1
, S
2
= a
1
+ a
2
, . . . , S
n
= a
1
+ a
2
+ ··· + a
n
chia
´
t cho n. V
`
ı
´
c
´
ac
´
du
,
kh
´
ac không trong ph
´
ep chia cho
n l
`
a n 1, nên theo nguyên l
´
y Ðirichlê t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c hai
´
S
i
v
`
a S
j
(1 i < j n) c
´
o c
`
ung
´
du
,
. Suy ra hi
.
êu S
j
S
i
= a
i 1
+ ··· + a
j
chia
´
t cho n,
¯
diê
`
u n
`
ay mâu thu
˜
ân v
´
o
,
i gi
,
a s
,
u
,
n
´
oi trên v
`
a kh
,
˘
ang
¯
d
.
inh c
,
ua b
`
ai to
´
an
¯
du
,
.
o
,
c ch
´
u
,
ng minh.
J
.
.
. 13.3. (Anh, 1976) Gi
,
a s
,
u
,
trong t
.
âp h
.
o
,
p h
˜
u
,
u h
.
an X ch
.
on ra 50 t
.
âp
h
.
o
,
p con A
1
, . . . , A
50
sao cho m
˜
ôi t
.
âp h
.
o
,
p con ch
´
u
,
a ho
,
n m
.
ôt n
,
u
,
a phâ
`
n
t
,
u
,
c
,
ua t
.
âp X. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang c
´
o thê
,
t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c t
.
âp h
.
o
,
p con B X
ch
´
u
,
a không nhiê
`
u ho
,
n 5 phâ
`
n t
,
u
,
v
`
a c
´
o
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt phâ
`
n t
,
u
,
chung cho
c
´
ac t
.
âp h
.
o
,
p A
1
, A
2
, . . . A
50
.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Gi
,
a s
,
u
,
´
c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua t
.
âp X b
`
˘
ang n. M
˜
ôi t
.
âp h
.
o
,
p con
¯
du
,
.
o
,
c ch
.
on A
1
, . . . , A
50
ch
´
u
,
a không
´
ıt ho
,
n
n
2
phâ
`
n t
,
u
,
, c
´
o ngh
˜
ıa l
`
a
,
ng
´
c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua
´
t c
,
a c
´
ac t
.
âp n
`
ay vu
,
.
o
,
t qu
´
a 50.
n
2
= 25.n.
Theo nguyên l
´
y Ðirichlê
`
n t
.
ai m
.
ôt phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua X thu
.
ôc không
´
ıt
137
ho
,
n 26 t
.
âp con
¯
d
˜
a ch
.
on. Tu
,
o
,
ng t
.
u
,
ta ch
´
u
,
ng minh v
´
o
,
i gi
´
a tr
.
i
´
t k
`
y
k < 50 gi
˜
u
,
a c
´
ac t
.
âp A
i
1
, A
i
2
, . . . , A
i
k
c
´
o thê
,
ch
.
on ra không
´
ıt ho
,
n
k
2
+ 1 t
.
âp h
.
o
,
p ch
´
u
,
a c
`
ung m
.
ôt phâ
`
n t
,
u
,
. Ta
´
y phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua m
.
ôt
t
.
âp h
.
o
,
p X m
`
a n
´
o thu
.
ôc không
´
ıt ho
,
n 26 t
.
âp (phâ
`
n t
,
u
,
n
`
ay s
˜
e l
`
a m
.
ôt
trong 5 phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua t
.
âp h
.
o
,
p B). Ta lo
.
ai ra 26 t
.
âp m
`
a ch
´
u
,
a phâ
`
n t
,
u
,
¯
d
˜
a x
´
et. Khi
¯
d
´
o t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c 1 phâ
`
n t
,
u
,
thu
.
ôc
´
ıt nhâ
´
t 13 t
`
u
,
24 t
.
âp c
`
on l
.
ai.
Ta l
.
ai lo
.
ai 13 t
.
âp n
`
ay ra, khi
¯
d
´
o gi
˜
u
,
a 11 t
.
âp c
`
on l
.
ai t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c 1 phâ
`
n
t
,
u
,
thu
.
ôc không
´
ıt ho
,
n 6 trong
´
c
´
ac t
.
âp h
.
o
,
p. Ðô
´
i v
´
o
,
i 5 t
.
âp h
.
o
,
p c
`
on
l
.
ai t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c 1 phâ
`
n t
,
u
,
thu
.
ôc không
´
ıt ho
,
n 3 trong
´
ch
´
ung. V
`
a cuô
´
i
c
`
ung
`
n t
.
ai m
.
ôt phâ
`
n t
,
u
,
thu
.
ôc hai t
.
âp cuô
´
i c
`
ung. Nhu
,
v
.
ây ta t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c không nhiê
`
u ho
,
n 5 phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua t
.
âp X (c
´
o thê
,
´
ıt ho
,
n v
`
ı m
.
ôt v
`
ai
phâ
`
n t
,
u
,
s
˜
e tr
`
ung nhau), ch
´
ung s
˜
e t
.
ao th
`
anh t
.
âp B. Ngo
`
ai ra m
.
ôt t
.
âp
´
t k
`
y t
`
u
,
A
1
, . . . , A
50
ch
´
u
,
a
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt trong c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
¯
d
´
o.
.
.
. 13.4. (Ba Lan, 1979) Khi chia c
´
ac
´
t
.
u
,
nhiên a
1
, a
2
, . . . , a
n
cho
´
t
.
u
,
nhiên m n
`
ao
¯
d
´
o, nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c c
´
ac
´
du
,
kh
´
ac nhau,
¯
`
ng th
`
o
,
i n >
m
2
.
Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang v
´
o
,
i m
.
oi
´
k Z
`
n t
.
ai c
´
ac
´
i, j {1, 2, . . . , n}
(không nhâ
´
t thiê
´
t kh
´
ac nhau) sao cho
´
a
i
+ a
j
k chia
´
t cho m.
L
`
o
,
i gi
,
ai. X
´
et 2n
´
a
1
, a
2
, . . . , a
n
, k a
1
, k a
2
, . . . , k a
n
. V
`
ı 2n > m,
nên c
´
o 2 trong c
´
ac
´
¯
d
´
o c
´
o c
`
ung
´
du
,
trong ph
´
ep chia cho m. Theo
¯
diê
`
u ki
.
ên b
`
ai to
´
an, c
´
ac
´
a
1
, a
2
, . . . , a
n
, c
´
o
´
du
,
kh
´
ac nhau trong
ph
´
ep chia cho m, nên c
´
ac
´
k a
1
, k a
2
, . . . , k a
n
c
˜
ung c
´
o
´
du
,
kh
´
ac nhau. Do
¯
d
´
o c
.
˘
ap
´
c
´
o
´
du
,
b
`
˘
ang nhau ch
,
ı c
´
o thê
,
l
`
a hai
´
c
´
o
d
.
ang a
i
v
`
a k a
j
v
´
o
,
i i, j n
`
ao
¯
d
´
o. Khi
¯
d
´
o hi
.
êu c
,
ua ch
´
ung a
i
+ a
j
k
chia
´
t cho m.
J
.
.
. 13.5. (Ba Lan, 1977) Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang v
´
o
,
i m
.
oi gi
´
a tr
.
i a, b R v
`
a
e > 0,
`
n t
.
ai c
´
ac
´
k, m Z v
`
a n N tho
,
a m
˜
an c
´
ac
´
t
¯
d
,
˘ang th
´
u
,
c
138 Chu
,
o
,
ng 13. M
.
ôt
´
¯
`
thi
¯
d
.
ich
|na k| < e v
`
a |nb m| < e.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Cho
´
nguyên N >
1
e
v
`
a v
´
o
,
i m
˜
ôi c
.
˘
ap x, y [0; 1] ta thay
thê
´
b
`
˘
ang c
.
˘
ap u, v tho
,
a m
˜
an u = [Nx], v = [Ny] , khi
¯
d
´
o
´
u v
´
o
,
i hai
c
.
˘
ap (x
1
, y
1
), (x
2
, y
2
) tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i m
.
ôt c
.
˘
ap duy nhâ
´
t (u, v) th
`
ı
|x
1
x
2
| =
1
N
( u + {Nx
1
})
1
N
( v + {Nx
2
})
=
=
1
N
|{Nx
1
}{Nx
2
}| <
1
N
< e
v
`
a tu
,
o
,
ng t
.
u
,
ta c
´
o |y
1
y
2
| < e. V
`
ı u, v {0, . . . , N 1}, nên c
´
o
´
t
c
,
a N
2
c
.
˘
ap (u, v) kh
´
ac nhau. X
´
et t
.
âp h
.
o
,
p N
2
+ 1 c
.
˘
ap gi
´
a tr
.
i
x = {la}, y = {lb} v
´
o
,
i l = 0, 1, . . . , N
2
Theo nguyên l
´
y Ðirichlê c
´
o
´
ıt nhâ
´
t hai c
.
˘
ap (gi
,
a s
,
u
,
v
´
o
,
i l = i v
`
a
l = j, i > j) t
`
u
,
t
.
âp h
.
o
,
p n
`
ay tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng c
`
ung m
.
ôt c
.
˘
ap (u, v). Do
¯
d
´
o,
v
´
o
,
i k
´
y hi
.
êu
n = i j, k = [ia] [ja], m = [ib] [jb]
ta nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c c
´
ac
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c
`
n ch
´
u
,
ng minh :
|na k| = |(ia [ia]) (ja [ja])| = |{ia} {ja}| < e,
|n b m| = |(ib [ib]) (jb [jb] )| = |{ib} {jb}| < e.
J
.
.
. 13.6. (B
,
ı, 1977) Trong h
`
ınh tr
`
on c
´
o b
´
an k
´
ınh n N c
´
o 4n
¯
do
.
an
th
,
˘ang
¯
`
u c
´
o
¯
d
.
ô d
`
ai b
`
˘ang 1. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
´
u c
´
o m
.
ôt
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘ang
cho tru
,
´
o
,
c th
`
ı t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c m
.
ôt
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘ang kh
´
ac, ho
.
˘ac song song, ho
.
˘ac
vuông g
´
oc v
´
o
,
i
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘ang n
`
ay v
`
a c
´
˘at
´
ıt nhâ
´
t hai
¯
do
.
an th
,
˘ang n
´
oi trên.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ðê
,
´
y r
`
˘
ang
,
ng
¯
d
.
ô d
`
ai hai h
`
ınh chiê
´
u c
,
ua m
˜
ôi m
.
ôt
¯
do
.
an
th
,
˘
ang lên
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang l v
`
a
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang l
0
, vuông g
´
oc v
´
o
,
i n
´
o, không
139
b
´
e ho
,
n 1. Th
.
ât v
.
ây,
´
u vecto
,
a c
´
o
¯
d
.
ô d
`
ai l
`
a 1 song song v
´
o
,
i
¯
do
.
an
th
,
˘
ang n
`
ao
¯
d
´
o, c
`
on c
´
ac vecto
,
x v
`
a y l
`
a c
´
ac h
`
ınh chiê
´
u c
,
ua vecto
,
a lên
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang l v
`
a l
0
th
`
ı a = x + y, suy ra |x| + |y| |a| = 1. Nhu
,
ng
¯
d
.
ô d
`
ai c
´
ac h
`
ınh chiê
´
u c
,
ua
¯
do
.
an th
,
˘
ang b
`
˘
ang |x| v
`
a |y| do
¯
d
´
o
,
ng c
,
ua
ch
´
ung c
˜
ung không b
´
e ho
,
n 1. D
˜
ân
¯
´
n
,
ng
¯
d
.
ô d
`
ai h
`
ınh chiê
´
u c
,
ua
´
t
c
,
a c
´
ac
¯
do
.
an th
,
˘
ang không b
´
e ho
,
n 4n. B
´
o
,
i v
.
ây t
`
u
,
hai
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang l
v
`
a l
0
c
´
o thê
,
ch
.
on
¯
du
,
.
o
,
c m
.
ôt
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang,
,
ng
¯
d
.
ô d
`
ai c
,
ua h
`
ınh chiê
´
u
c
´
ac
¯
do
.
an th
,
˘
ang trên n
´
o không b
´
e ho
,
n 2n (nguyên l
´
y Ðirichlê). V
`
ı
´
t
c
,
a c
´
ac
¯
do
.
an th
,
˘
ang
¯
du
,
.
o
,
c s
´
˘
ap
´
p trong h
`
ınh tr
`
on b
´
an k
´
ınh n, nên h
.
o
,
p
c
´
ac h
`
ınh chiê
´
u c
,
ua ch
´
ung trên
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang
´
t k
`
y c
´
o
¯
d
.
ô d
`
ai b
´
e ho
,
n
2n. Suy ra trên
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang
¯
du
,
.
o
,
c ch
.
on t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c 1
¯
diê
,
m thu
.
ôc v
`
ao
h
`
ınh chiê
´
u c
,
ua
´
ıt nhâ
´
t hai
¯
do
.
an th
,
˘
ang (Nguyên l
´
y Ðirichlê cho
¯
do
.
an
th
,
˘
ang). Ðu
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang
¯
di qua
¯
diê
,
m n
`
ay vuông g
´
oc v
´
o
,
i
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang
¯
du
,
.
o
,
c ch
.
on, s
˜
e c
´
˘
at
´
ıt nhâ
´
t hai
¯
do
.
an th
,
˘
ang n
`
ay. V
`
ı
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang n
`
ay
ho
.
˘
ac vuông g
´
oc v
´
o
,
i, ho
.
˘
ac song song v
´
o
,
i
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang l, th
`
ı n
´
o tho
,
a
m
˜
an
¯
diê
`
u ki
.
ên b
`
ai to
´
an.
J
.
.
. 13.7. (Bungari (
¯
`
thi ch
.
on
¯
d
.
ôi tuyê
,
n),1973) Cho a
1
, a
2
, . . . , a
n
l
`
a
nh
˜
u
,
ng
´
nguyên kh
´
ac nhau trong kho
,
ang [100,200], m
`
a ch
´
ung tho
,
a
m
˜
an a
1
+ a
2
+ ···+ a
n
11100. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang gi
˜
u
,
a nh
˜
u
,
ng
´
n
`
ay
c
´
o
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt
´
, m
`
a viê
´
t n
´
o
,
o
,
d
.
ang th
.
âp phân c
´
o
´
ıt nhâ
´
t hai ch
˜
u
,
´
giô
´
ng nhau.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
ung ta l
.
âp danh s
´
ach c
´
ac
´
trong kho
,
ang [100,200], m
`
a
ch
´
ung viê
´
t
,
o
,
h
.
ê th
.
âp phân
´
ıt nhâ
´
t c
´
o hai ch
˜
u
,
´
tr
`
ung nhau.: 100,
101, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 121, 122,
131, 133, 141, 144, 151, 155, 161, 166, 171, 177, 181, 188, 191,
199, 200.
,
ng c
,
ua
´
t c
,
a c
´
ac
´
trên l
`
a 4050. M
.
˘
at kh
´
ac
,
ng
´
t c
,
a
c
´
ac
´
nguyên trong kho
,
ang [100,200] l
`
a 15150.
´
u trong nh
˜
u
,
ng
´
¯
d
˜
a cho a
1
, a
2
, . . . , a
n
không c
´
o
´
n
`
ao trong danh s
´
ach trên, th
`
ı
140 Chu
,
o
,
ng 13. M
.
ôt
´
¯
`
thi
¯
d
.
ich
a
1
+ a
2
+ ··· + a
n
< 15150 4050 = 11100,
¯
diê
`
u n
`
ay l
´
y. Ngh
˜
ıa
l
`
a trong c
´
ac
´
a
1
, a
2
, . . . , a
n
c
´
o
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt
´
viê
´
t
,
o
,
co
,
´
mu
,
`
o
,
i c
´
o
´
ıt
nhâ
´
t hai ch
˜
u
,
´
tr
`
ung nhau.
J
.
.
. 13.8. (Bungari,1973) Trong m
.
ôt thu
,
vi
.
ên c
´
o 20000 cuô
´
n s
´
ach,
ch
´
ung
¯
du
,
.
o
,
c
´
p v
`
ao nh
˜
u
,
ng gi
´
a s
´
ach sao cho m
˜
ôi gi
´
a s
´
ach c
´
o
´
ıt nhâ
´
t
m
.
ôt quyê
,
n ho
.
˘ac nhiê
`
u nhâ
´
t 199 cuô
´
n s
´
ach. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
´
ıt nhâ
´
t
c
´
o hai gi
´
a s
´
ach c
´
o c
`
ung
´
lu
,
.
o
,
ng s
´
ach.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Gi
,
a s
,
u
,
ngu
,
.
o
,
c l
.
ai.
´
u trong thu
,
vi
.
ên c
´
o n gi
´
a s
´
ach v
`
a ch
´
ung
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
´
anh
´
t
`
u
,
1
¯
´
n n, th
`
ı r
˜
o r
`
ang l
`
a n 199. Ch
´
ung ta k
´
y hi
.
êu a
i
l
`
a
´
cuô
´
n s
´
ach
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
.
˘
at lên gi
´
a s
´
ach th
´
u
,
i, ch
´
ung ta s
˜
e c
´
o 1 a
i
199. khi
¯
d
´
o t
,
u
,
¯
diê
`
u ki
.
ên a
i
6= a
j
v
´
o
,
i i 6= j, ch
´
ung ta nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c
20000 = a
1
+ a
2
+ ··· + a
n
1 + 2 + ··· + 199 = 19900 < 20000
¯
diê
`
u n
`
ay l
´
y. Suy ra c
´
o
´
ıt nhâ
´
t hai gi
´
a s
´
ach, trên ch
´
ung ch
´
u
,
a c
`
ung
´
s
´
ach.
J
.
.
. 13.9. (Bungari, 1983) T
`
ım h
`
ınh vuông c
´
o k
´
ıch thu
,
´
o
,
c b
´
e nhâ
´
t,
¯
,
trong h
`
ınh vuông
¯
d
´
o c
´
o thê
,
s
´
˘ap
´
p 5 h
`
ınh tr
`
on b
´
an k
´
ınh b
`
˘ang 1, sao
cho không c
´
o 3 h
`
ınh tr
`
on n
`
ao trong ch
´
ung c
´
o
¯
diê
,
m trong chung.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Gi
,
a s
,
u
,
h
`
ınh vuông ABCD
B
1
O
C
1
D
1
A
1
B
C
D
A
H
`
ınh 13.1:
c
´
o tâm O v
`
a c
.
anh a, ch
´
u
,
a 5 h
`
ınh
tr
`
on không c
´
˘
at nhau v
`
a
¯
`
u c
´
o
b
´
an k
´
ınh b
`
˘
ang 1, khi
¯
d
´
o c
´
ac tâm
c
,
ua ch
´
ung n
`
˘
am trong h
`
ınh vuông
A
1
B
1
C
1
D
1
c
´
o tâm O v
`
a c
.
anh b
`
˘
ang
a 2 (
,
o
,
¯
dây A
1
B
1
//AB ).
C
´
ac
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang
´
i t
`
u
,
c
´
ac trung
¯
diê
,
m c
,
ua c
´
ac c
.
anh
¯
´
i di
.
ên c
,
ua
h
`
ınh vuông A
1
B
1
C
1
D
1
chia h
`
ınh vuông
¯
d
´
o th
`
anh
´
n h
`
ınh vuông
141
nh
,
o,
,
o
,
m
.
ôt trong ch
´
ung
´
ıt nhâ
´
t c
˜
ung c
´
o hai trong
´
c
´
ac tâm (Nguyên
l
´
y Ðirichlê). Khi
¯
d
´
o kho
,
ang c
´
ach gi
˜
u
,
a hai tâm n
`
ay m
.
ôt m
.
˘
at không
l
´
o
,
n ho
,
n
¯
du
,
`
o
,
ng ch
´
eo h
`
ınh vuông b
´
e, m
.
˘
at kh
´
ac không b
´
e ho
,
n 2. Do
v
.
ây c
´
o
2 OA
1
=
A
1
B
1
2
2 =
a 2
2
2
suy ra a 2
2 + 2.
Cuô
´
i c
`
ung,
´
u a = 2
2 + 2 v
`
a tâm c
,
ua c
´
ac h
`
ınh tr
`
on l
`
a c
´
ac
¯
diê
,
m O, A
1
, B
1
, C
1
, D
1
th
`
ı
´
t c
,
a c
´
ac
¯
diê
`
u ki
.
ên nêu trên
¯
du
,
.
o
,
c tho
,
a
m
˜
an. Nhu
,
v
.
ây c
.
anh c
,
ua h
`
ınh vuông
`
n t
`
ım l
`
a 2
2 + 2.
J
.
.
. 13.10. (Nam Tu
,
, 1977) Cho tru
,
´
o
,
c 20
´
t
.
u
,
nhiên a
1
< a
2
< . . . <
a
20
không vu
,
.
o
,
t qu
´
a 70. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang gi
˜
u
,
a c
´
ac hi
.
êu a
j
a
k
(j > k)
luôn t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c
´
ıt nhâ
´
t 4 hi
.
êu b
`
˘ang nhau.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Gi
,
a s
,
u
,
kh
,
˘
ang
¯
d
.
inh c
,
ua b
`
ai to
´
an l
`
a sai. Khi
¯
d
´
o gi
˜
u
,
a 19
´
t
.
u
,
nhiên a
20
a
19
, a
19
a
18
, . . . , a
2
a
1
không c
´
o 4
´
n
`
ao b
`
˘
ang nhau.
Do
¯
d
´
o gi
˜
u
,
a ch
´
ung m
˜
ôi
´
1, 2, 3, 4, 5, 6 c
´
o m
.
˘
at không qu
´
a 3
`
n.
Suy ra c
´
o m
.
ôt trong 19
´
¯
d
´
o ph
,
ai l
´
o
,
n ho
,
n 6 (nê
´
u không th
`
ı
´
c
´
ac
´
không l
´
o
,
n ho
,
n 6 s
˜
e nhiê
`
u ho
,
n 18), c
´
o 3 trong 18
´
c
`
on l
.
ai ph
,
ai
l
´
o
,
n ho
,
n 5, 3 trong 15
´
c
`
on l
.
ai ph
,
ai l
´
o
,
n ho
,
n 4,. . . Do
¯
d
´
o
,
ng c
,
ua
ch
´
ung (a
20
a
19
) + (a
19
a
18
) + ···+ (a
2
a
1
) 7 + 3( 6 + 5 + 4 +
3 + 2 + 1) = 70 không thê
,
b
`
˘
ang a
20
a
1
70 1 = 69. Mâu thu
˜
ân
nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
˜
a ch
´
u
,
ng minh kh
,
˘
ang
¯
d
.
inh c
,
ua b
`
ai to
´
an.
J
.
.
. 13.11. (Nam Tu
,
, 1981) T
.
âp h
.
o
,
p c
´
ac
´
{1, 2, . . . , 100}
¯
du
,
.
o
,
c chia
l
`
am 7 t
.
âp h
.
o
,
p con. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
´
ıt nhâ
´
t
,
o
,
m
.
ôt trong c
´
ac t
.
âp h
.
o
,
p
con â
´
y t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c ho
.
˘ac 4
´
a, b, c, d sao cho a + b = c + d, ho
.
˘ac ba
´
e, f , g sao cho e + f = 2g.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ðê
,
´
y r
`
˘
ang c
´
o
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt trong 7 t
.
âp h
.
o
,
p con ch
´
u
,
a không
´
ıt ho
,
n 15
´
(trong tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p ngu
,
.
o
,
c l
.
ai,
´
t c
,
a c
´
ac t
.
âp h
.
o
,
p con
142 Chu
,
o
,
ng 13. M
.
ôt
´
¯
`
thi
¯
d
.
ich
ch
´
u
,
a không nhiê
`
u ho
,
n 7.14 = 98
´
). M
˜
ôi c
.
˘
ap
´
a > b c
,
ua t
.
âp h
.
o
,
p
con n
`
ay
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
.
˘
at tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i hi
.
êu a b. Khi
¯
d
´
o ta nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c
không
´
ıt ho
,
n C
2
15
= 15
14
2
= 105 hi
.
êu, trong
´
¯
d
´
o ph
,
ai c
´
o c
´
ac hi
.
êu
b
`
˘
ang nhau (v
`
ı c
´
ac hi
.
êu nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c không qu
´
a 99 gi
´
a tr
.
i kh
´
ac nhau
1, 2,. . . ,99). Gi
,
a s
,
u
,
v
´
o
,
i hai c
.
˘
ap
´
a > b, c > d ta c
´
o
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c
a b = c d(a 6= c, b 6= d). Khi
¯
d
´
o a + d = b + c.
´
u a = d
(ho
.
˘
ac b = c,
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c kh
´
ac không thê
,
,
y ra), th
`
ı c + b = 2a (ho
.
˘
ac
a + d = 2b).
J
.
.
. 13.12. (Nam tu
,
,1977) Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang di
.
ên t
´
ıch c
,
ua h
`
ınh vuông
´
t k
`
y n
`
˘am trong tam gi
´
ac, không l
´
o
,
n ho
,
n n
,
u
,
a di
.
ên t
´
ıch c
,
ua tam gi
´
ac
¯
d
´
o.
L
`
o
,
i gi
,
ai. (H
`
ınh 13.2) Ta ch
´
u
,
ng
C
A
B
L
M
N
1
K
1
K
N
E
F
L
1
M
1
H
`
ınh 13.2:
minh kh
,
˘
ang
¯
d
.
inh
,
ng qu
´
at ho
,
n :
di
.
ên t
´
ıch c
,
ua h
`
ınh b
`
ınh h
`
anh
´
t
k
`
y KLMN n
`
˘
am
,
o
,
trong tam gi
´
ac
ABC không l
´
o
,
n ho
,
n n
,
u
,
a di
.
ên t
´
ıch
c
,
ua tam gi
´
ac
¯
d
´
o.
Ðê
,
´
y r
`
˘
ang m
˜
ôi m
.
ôt
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang
KL v
`
a MN c
´
˘
at hai c
.
anh c
,
ua tam
gi
´
ac ABC (c
´
o thê
,
,
o
,
¯
d
,
ınh tam gi
´
ac), ngh
˜
ıa l
`
a c
´
o 2 trong 4 giao
¯
diê
,
m
n
`
˘
am trên 1 c
.
anh theo nguyên l
´
y Ðirichlê. Ch
,
˘
ang h
.
an,
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang
KL v
`
a MN c
´
˘
at BC
`
n lu
,
.
o
,
t
,
o
,
K
1
v
`
a N
1
. Trên c
.
anh AB, AC v
`
a BC
ch
.
on c
´
ac
¯
diê
,
m D, E v
`
a F sao cho L
1
, M
1
l
`
a giao
¯
diê
,
m c
,
ua DE v
´
o
,
i KL
v
`
a MN tho
,
a m
˜
an:
K
1
L
1
= KL; L
1
M
1
//K
1
N
1
¯
`
ng th
`
o
,
i BF//BD
Khi
¯
d
´
o h
`
ınh b
`
ınh h
`
anh KLMN v
`
a K
1
L
1
M
1
N
1
c
´
o
¯
du
,
`
o
,
ng cao b
`
˘
ang
nhau
¯
´
n
¯
das y chung, c
`
on c
´
ac h
`
ınh b
`
ınh h
`
anh BDEF v
`
a K
1
L
1
M
1
N
1
143
c
´
o
¯
d
´
ay DE không b
´
e ho
,
n
¯
d
´
ay L
1
M
1
v
`
a hai
¯
du
,
`
o
,
ng cao h
.
a t
`
u
,
D v
`
a L
1
xuô
´
ng BF b
`
˘
ang nhau. B
,
o
,
i v
.
ây c
´
o: S
KLMN
= S
K
1
L
1
M
1
N
1
S
BDEF
. Gi
,
a
s
,
u
,
AE = x.AC, khi
¯
d
´
o EC = (1 x)AC, c
´
ac tam gi
´
ac ABC , ADE
v
`
a EFC
¯
`
ng d
.
ang v
´
o
,
i nhau nên ta c
´
o:
S
BDEF
= S
ABC
S
ADE
S
EFC
= S
ABC
x
2
S
ABC
(1 x)
2
S
ABC
= 2x(1 x)S
ABC
1
2
S
ABC
.
V
`
ı x( 1 x)
1
4
v
´
o
,
i x
´
y gi
´
a tr
.
i
´
t k
`
y, nên S
KLMN
1
2
S
ABC
.
J
.
.
. 13.13. (Nam tu
,
, 1972) Ðô
´
i v
´
o
,
i m
˜
ôi gi
´
a tr
.
i n N, h
˜
ay t
`
ım
´
k l
´
o
,
n
nhâ
´
t (k N) tho
,
a m
˜
an t
´
ınh châ
´
t sau: Trong t
.
âp h
.
o
,
p
`
m n phâ
`
n t
,
u
,
c
´
o thê
,
ch
.
on ra k t
.
âp h
.
o
,
p con kh
´
ac nhau, sao cho hai t
.
âp h
.
o
,
p con
´
t
k
`
y
¯
`
u c
´
o t
.
âp giao kh
´
ac r
˜
ông.
L
`
o
,
i gi
,
ai.
´
¯
d
.
inh phâ
`
n t
,
u
,
a
i
c
,
ua t
.
âp h
.
o
,
p X = {a
1
, a
2
, . . . , a
n
} v
`
a ch
,
ı
x
´
et c
´
ac t
.
âp h
.
o
,
p con ch
´
u
,
a phâ
`
n t
,
u
,
a
1
.Sô
´
c
´
ac t
.
âp h
.
o
,
p nhu
,
v
.
ây b
`
˘
ang
´
c
´
ac t
.
âp h
.
o
,
p con c
,
ua t
.
âp h
.
o
,
p {a
2
, . . . , a
n
}, ngh
˜
ıa l
`
a b
`
˘
ang 2
n1
. Suy ra
k 2
n1
. M
.
˘
at kh
´
ac gi
,
a s
,
u
,
¯
d
˜
a ch
.
on
¯
du
,
.
o
,
c ho
,
n 2
n1
t
.
âp con c
,
ua X. Ta
chia
´
t c
,
a c
´
ac t
.
âp con c
,
ua X th
`
anh 2
n1
c
.
˘
ap
¯
du
,
.
o
,
c t
.
ao b
,
o
,
i 1 t
.
âp con
c
,
ua X v
`
a phâ
`
n b
`
u c
,
ua n
´
o. Theo nguyên l
´
y Ðirichlê c
´
o
´
ıt nhâ
´
t 2 t
.
âp
con
¯
d
˜
a ch
.
on t
.
ao th
`
anh m
.
ôt c
.
˘
ap, suy ra ch
´
ung không giao nhau. V
.
ây
k = 2
n1
.
J
.
.
. 13.14. (M
˜
y, 1983) Trên tr
.
uc
´
´
y m
.
ôt kho
,
ang c
´
o
¯
d
.
ô d
`
ai
1
n
( n
N). Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang kho
,
ang n
`
ay c
´
o ch
´
u
,
a nhiê
`
u ho
,
n
n + 1
2
phân
´
´
i gi
,
an d
.
ang
p
q
, trong
¯
d
´
o p, q Z, 1 q n.
144 Chu
,
o
,
ng 13. M
.
ôt
´
¯
`
thi
¯
d
.
ich
L
`
o
,
i gi
,
ai. Gi
,
a thiê
´
t r
`
˘
ang trong m
.
ôt kho
,
ang n
`
ao
¯
d
´
o c
´
o
¯
d
.
ô d
`
ai
1
n
, ch
´
u
,
a
nhiê
`
u ho
,
n
n + 1
2
phân
´
´
i gi
,
an
p
q
, v
´
o
,
i q {1; 2; . . . ; n}. Ta s
˜
e
ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang gi
˜
u
,
a c
´
ac m
˜
âu
´
c
,
ua c
´
ac phân
´
n
`
ay luôn t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c hai m
˜
âu
´
m
`
a m
˜
âu
´
n
`
ay chia
´
t cho m
˜
âu
´
kia. Th
.
ât v
.
ây
ta biê
,
u di
˜
ên c
´
ac m
˜
âu
´
du
,
´
o
,
i d
.
ang 2
r
.s v
´
o
,
i s l
`
a
´
l
,
e, r Z
+
.
´
c
´
ac
´
l
,
e kh
´
ac nhau gi
˜
u
,
a c
´
ac
´
1, 2, 3, . . . , n b
`
˘
ang
n + 1
2
( ngh
˜
ıa
l
`
a
´
ıt ho
,
n
´
c
´
ac m
˜
âu
´
¯
dang x
´
et), suy ra luôn t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c hai m
˜
âu
´
q = 2
r
.s v
`
a q
1
= 2
r
1
s
1
m
`
a s = s
1
v
`
a r = r
1
. Khi
¯
d
´
o c
´
o m
.
ôt m
˜
âu
´
chia
´
t cho m
˜
âu
´
kia, hay q
1
= kq. Nhu
,
v
.
ây gi
˜
u
,
a c
´
ac phân
´
ch
.
on
¯
du
,
.
o
,
c hai
´
kh
´
ac nhau d
.
ang
m
q
v
`
a
l
kq
, v
´
o
,
i kq n. Khi
¯
d
´
o
m
q
l
kq
<
1
n
,
v
`
ı c
,
a hai n
`
˘
am trong kho
,
ang c
´
o
¯
d
.
ô d
`
ai
1
n
. Do
¯
d
´
o km l = 0, v
`
ı trong
tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p ngu
,
.
o
,
c l
.
ai th
`
ı
m
q
l
kq
=
|km l|
kq
1
kq
1
n
,
v
`
a do
¯
d
´
o km = l v
`
a
l
kq
=
km
kq
, ngh
˜
ıa l
`
a hai phân
´
¯
du
,
.
o
,
c ch
.
on tr
`
ung
nhau.
J
.
.
. 13.15. (Vi
.
êt nam, 1976) Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
`
n t
.
ai
´
c
´
ac
´
c
´
o
d
.
ang 5
n
( n N), m
`
a trong c
´
ac biê
,
u di
˜
ên th
.
âp phân c
,
ua m
˜
ôi
´
¯
d
´
o c
´
o
không
´
ıt ho
,
n 1976 ch
˜
u
,
´
0
¯
d
´
u
,
ng liên tiê
´
p.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ta ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang v
´
o
,
i m
.
oi k N
`
n t
.
ai
´
c
´
ac
´
m N tho
,
a m
˜
an
¯
diê
`
u ki
.
ên 5
m
= 1 (mod 2
k
).
145
Th
.
ât v
.
ây, gi
˜
u
,
a c
´
ac
´
5
0
, 5
1
, . . . , 5
2
k
luôn t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c hai
´
5
p
v
`
a
5
q
(p > q) c
´
o c
`
ung
´
du
,
trong ph
´
ep chia cho 2
k
. Khi
¯
d
´
o hi
.
êu c
,
ua
ch
´
ung 5
p
5
q
= 5
q
(5
pq
1) chia
´
t cho 2
k
nghi
˜
a l
`
a
´
5
pq
1
v
`
a
´
t c
,
a c
´
ac
´
c
´
o d
.
ang 5
r(pq)
1 (r N)
¯
`
u chia
´
t cho 2
k
.
Nhu
,
v
.
ây v
´
o
,
i m
˜
ôi gi
´
a tr
.
i m = r(p q), r N, ta c
´
o 5
m
1
(mod 2
k
), t
`
u
,
¯
d
´
o 5
m+k
5
k
(mod 10
k
) ngh
˜
ıa l
`
a k ch
˜
u
,
´
t
.
ân c
`
ung
c
,
ua 5
m+k
tr
`
ung v
´
o
,
i k ch
˜
u
,
´
t
.
ân c
`
ung c
,
ua 5
k
. Gi
,
a s
,
u
,
´
k tho
,
a m
˜
an
2
k
> 10
1976
ch
´
u
,
a không nhiê
`
u ho
,
n k 1976 ch
˜
u
,
´
. Do
¯
d
´
o gi
˜
u
,
a k
ch
˜
u
,
´
t
.
ân c
`
ung c
,
ua
´
5
m+k
ch
,
ı c
´
o k 1976 ch
˜
u
,
´
kh
´
ac không, c
`
on
1976 ch
˜
u
,
´
c
`
on l
.
ai (liên tiê
´
p nhau) b
`
˘
ang 0.
J
.
.
. 13.16. (Ti
.
êp kh
´
˘ac, 1979) Trên m
.
ôt
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘ang c
´
o n
2
+ 1(n N)
¯
do
.
an th
,
˘ang. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang, ho
.
˘ac l
`
a gi
˜
u
,
a ch
´
ung c
´
o thê
,
ch
.
on n + 1
¯
do
.
an
¯
dôi m
.
ôt không c
´
˘at nhau, ho
.
˘ac l
`
a t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c n + 1
¯
do
.
an th
,
˘ang n
`
ao
¯
d
´
o c
´
o
¯
diê
,
m chung.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ta
¯
d
.
inh hu
,
´
o
,
ng bên tr
´
ai cho
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang khi n
´
oi r
`
˘
ang m
.
ôt
¯
do
.
an n
`
˘
am
,
o
,
bên tr
´
ai
¯
do
.
an th
,
˘
ang kh
´
ac,
´
u
¯
`
u m
´
ut bên tr
´
ai c
,
ua
¯
do
.
an th
,
˘
ang th
´
u
,
nhâ
´
t n
`
˘
am
,
o
,
bên tr
´
ai
¯
`
u m
´
ut bên tr
´
ai c
,
ua
¯
do
.
an
th
,
˘
ang th
´
u
,
hai. M
˜
ôi
¯
do
.
an th
,
˘
ang
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
´
anh
´
b
`
˘
ang m
.
ôt
´
tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng t
`
u
,
c
´
ac
´
1, 2, . . . , n b
`
˘
ang c
´
ach sau:
,
o
,
bu
,
´
o
,
c th
´
u
,
nhâ
´
t
¯
do
.
an th
,
˘
ang
,
o
,
t
.
ân c
`
ung bên tr
´
ai cho tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng
´
1. Sau
¯
d
´
o m
˜
ôi bu
,
´
o
,
c tiê
´
p theo
ta l
.
ai ch
.
on trong
´
nh
˜
u
,
ng
¯
do
.
an th
,
˘
ang chu
,
a
¯
d
´
anh
´
,
¯
do
.
an t
.
ân c
`
ung
bên tr
´
ai v
`
a
¯
d
.
˘
at cho n
´
o
´
tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng, kh
´
ac v
´
o
,
i c
´
ac
´
c
,
ua nh
˜
u
,
ng
¯
do
.
an
th
,
˘
ang giao v
´
o
,
i n
´
o (
¯
d
˜
a
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
´
anh
´
).
´
u
¯
´
n bu
,
´
o
,
c n
`
ao
¯
´
y, ta ch
.
on
¯
du
,
.
o
,
c
¯
do
.
an th
,
˘
ang, nhu
,
ng
¯
´
i v
´
o
,
i n
´
o không ch
.
on
¯
du
,
.
o
,
c
´
th
´
u
,
t
.
u
,
, th
`
ı
¯
diê
`
u n
`
ay c
´
o ngh
˜
ıa l
`
a n
´
o giao v
´
o
,
i n
¯
do
.
an th
,
˘
ang n
`
˘
am bên tr
´
ai n
´
o v
`
a c
´
o
nh
˜
u
,
ng
´
kh
´
ac nhau. Trong tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p n
`
ay
¯
`
u m
´
ut tr
´
ai c
,
ua
¯
do
.
an
th
,
˘
ang
¯
du
,
.
o
,
c ch
.
on thu
.
ôc v
`
ao n + 1
¯
do
.
an th
,
˘
ang.
´
u
,
o
,
bu
,
´
o
,
c â
´
y,
¯
do
.
an
146 Chu
,
o
,
ng 13. M
.
ôt
´
¯
`
thi
¯
d
.
ich
th
,
˘
ang cuô
´
i c
`
ung
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
´
anh
´
th
`
ı theo nguyên l
´
y Ðirichlê
´
ıt nhâ
´
t
m
.
ôt trong n
´
´
u
,
ng v
´
o
,
i nhiê
`
u ho
,
n n
¯
do
.
an th
,
˘
ang, m
`
a c
´
ac
¯
do
.
an th
,
˘
ang
¯
d
´
o v
´
o
,
i c
´
ac
´
th
´
u
,
t
.
u
,
th
´
ıch h
.
o
,
p, không giao nhau.
J
.
.
. 13.17. (Rumani, 1978) C
´
ac h
`
am
´
f , g, h : N N tho
,
a m
˜
an ba
¯
diê
`
u ki
.
ên sau:
a) H
`
am h(n) không nh
.
ân gi
´
a tr
.
i n
`
ao t
.
ai nhiê
`
u ho
,
n m
.
ôt
¯
diê
,
m n N.
b) T
.
âp h
.
o
,
p gi
´
a tr
.
i h
`
am
´
g(n) l
`
a N.
c) f (n) g(n ) h(n) + 1, n N.
Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
¯
`
ng nhâ
´
t th
´
u
,
c f (n) 1, n N, l
`
a
¯
d
´
ung.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ta ch
´
u
,
ng minh
¯
`
ng nhâ
´
t th
´
u
,
c g(n) h(n) (n N) . T
`
u
,
¯
d
´
o v
`
a
¯
diê
`
u ki
.
ên b) s
˜
e d
˜
ân
¯
´
n f (n) g(n) h(n) + 1 1, n N.
V
´
o
,
i
´
t k
`
y n N c
´
o
h(n) = g(n) + 1 f (n) g (n)
v
`
ı f (n) 1. Gi
,
a s
,
u
,
r
`
˘
ang,
¯
´
i v
´
o
,
i gi
´
a tr
.
i n
`
ao
¯
d
´
o n N
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c
g(n) = h(n) không
¯
d
´
ung, khi
¯
d
´
o h(n) < g(n) = k. Theo
¯
diê
`
u ki
.
ên
b) ta t
`
ım c
´
ac
´
n
1
, n
2
, . . . , n
k1
N,
¯
,
sao cho g(n
i
) = i khi i =
1, . . . , k 1. B
,
o
,
i v
.
ây m
˜
ôi
´
trong k
´
h(n
1
), h( n
2
), . . . , h(n
k1
), h( n)
thu
.
ôc v
`
ao t
.
â p h
.
o
,
p {1, 2, . . . , k 1}, do
¯
d
´
o theo nguyên l
´
y Ðirichlê
h
`
am
´
h(n) nh
.
ân gi
´
a tr
.
i n
`
ao
¯
d
´
o nhiê
`
u ho
,
n m
.
ôt
`
n,
¯
diê
`
u n
`
ay tr
´
ai
v
´
o
,
i
¯
diê
`
u ki
.
ên a).Kh
,
˘
ang
¯
d
.
inh
¯
d
˜
a
¯
du
,
.
o
,
c ch
´
u
,
ng minh.
J
.
.
. 13.18. (M
˜
y (N
˜
u
,
u U
,
´
o
,
c), 1979) Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang c
´
ac
¯
d
,
ınh c
,
ua n-gi
´
ac
¯
`
u c
´
o di
.
ên t
´
ıch b
´
e nhâ
´
t (n > 3) n
.
ôi tiê
´
p trong m
.
ôt n-gi
´
ac cho tru
,
´
o
,
c,
tr
`
ung v
´
o
,
i trung
¯
diê
,
m c
´
ac c
.
anh c
,
ua n-gi
´
ac cho tru
,
´
o
,
c.
L
`
o
,
i gi
,
ai. (H
`
ınh 13.3) Gi
,
a s
,
u
,
n-gi
´
ac
¯
`
u B
1
, . . . , B
n
c
´
o di
.
ên t
´
ıch S
B
n
.
ôi tiê
´
p trong n-gi
´
ac
¯
`
u A
1
, . . . , A
n
di
.
ên t
´
ıch S
A
.
147
Khi
¯
d
´
o
´
u ch
´
ung không tr
`
ung nhau th
`
ı trên m
˜
ôi m
.
ôt c
.
anh A
i
A
i +1
v
´
o
,
i i = 1, 2, . . . , n (A
n+1
= A
1
) c
´
o m
.
ôt
¯
d
,
ınh B
i
¯
du
,
.
o
,
c x
´
ac
¯
d
.
inh
trên c
.
anh â
´
y. Th
.
ât v
.
ây, trong tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p ngu
,
.
o
,
c l
.
ai theo nguyên l
´
y
Ðirichlê
´
ıt nhâ
´
t c
´
o m
.
ôt c
.
anh, ch
,
˘
ang h
.
an A
1
A
2
, ch
´
u
,
a hai
¯
diê
,
m B
1
v
`
a B
2
¯
d
´
o (
¯
,
x
´
ac
¯
d
.
inh, gi
,
a s
,
u
,
A
1
B
2
> A
1
B
1
), khi
¯
d
´
o
¯
diê
,
m B
n
(
,
o
,
A
1
A
2
A
n
) c
´
o thê
,
n
`
˘
am trên c
.
anh A
2
A
3
v
`
a A
1
A
n
tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng (v
`
ı n >
3,
¯
do
.
an A
1
A
3
v
`
a A
2
A
n
l
`
a
¯
du
,
`
o
,
ng ch
´
eo, m
`
a không l
`
a c
.
anh c
,
ua n-gi
´
ac
A
1
, . . . , A
n
), ngh
˜
ıa l
`
a B
1
= A
1
v
`
a B
2
= A
2
. Ta ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang
A
1
B
1
= A
2
B
2
= . . . = A
n
B
n
Th
.
ât v
.
ây tam gi
´
ac B
1
A
2
B
2
v
`
a tam gi
´
ac B
2
A
3
B
3
b
`
˘
ang nhau, v
`
ı
\
B
1
A
2
B
2
=
\
B
2
A
3
B
3
=
\
B
1
B
2
B
3
= 180
0
n 2
n
\
A
2
B
1
B
2
= 180
0
\
B
1
A
2
B
2
\
A
2
B
2
B
1
= 180
0
\
B
1
B
2
B
3
\
A
2
B
2
B
1
=
\
A
2
B
2
B
3
v
`
a B
1
B
2
= B
2
B
3
. B
,
o
,
i v
.
ây A
2
B
2
= A
3
B
3
. Ta c
˜
ung ch
´
u
,
ng minh tu
,
o
,
ng
t
.
u
,
c
´
ac
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c c
`
on l
.
ai. Ð
.
ai lu
,
.
o
,
ng
S
B
= S
A
S
B
1
A
2
B
2
S
B
2
A
3
B
3
. . . S
B
n
A
1
B
1
= S
A
nS
B
1
A
2
B
2
nh
.
ân gi
´
a tr
.
i nh
,
o nhâ
´
t, khi di
.
ên t
´
ıch tam gi
´
ac B
1
A
2
B
2
l
´
o
,
n nhâ
´
t. Gi
,
a
s
,
u
,
A
1
A
2
= a, A
1
B
1
= x, khi
¯
d
´
o
¯
d
.
ai lu
,
.
o
,
ng
S
B
1
A
2
B
2
=
1
2
B
1
A
2
.A
2
B
2
sin
\
B
1
A
2
B
2
=
1
2
(a x)x. sin
\
B
1
A
2
B
2
=
1
2
(
a
2
4
(x
a
2
)
2
) sin
\
B
1
AB
2
nh
.
ân gi
´
a tr
.
i l
´
o
,
n nhâ
´
t khi x =
a
2
, ngh
˜
ıa l
`
a A
1
B
1
= B
1
A
2
.
J
.
.
. 13.19. (CHLB Ð
´
u
,
c, 1978) M
.
ôt b
.
ô
`
m n
2
con tem cho
,
i (n>2) mang
c
´
ac nh
˜
an hi
.
êu "1","2","3",. . . ,"n". M
˜
ôi lo
.
ai nh
˜
an hi
.
êu c
´
o n con tem. H
,
oi
148 Chu
,
o
,
ng 13. M
.
ôt
´
¯
`
thi
¯
d
.
ich
c
´
o thê
,
´
p
´
t c
,
a c
´
ac con tem â
´
y th
`
anh m
.
ôt d
˜
ay tho
,
a m
˜
an c
´
ac
¯
diê
`
u ki
.
ên
sau không : v
´
o
,
i m
.
oi x {1, 2, . . . , n} gi
˜
u
,
a m
.
ôt con tem mang nh
˜
an
hi
.
êu "x" v
`
a con tem mang nh
˜
an hi
.
êu "x" tiê
´
p theo luôn c
´
o v
`
u
,
a
¯
d
´
ung x
con tem mang nh
˜
an hi
.
êu kh
´
ac "x" ?
L
`
o
,
i gi
,
ai. Trong m
˜
ôi
¯
do
.
an n
`
˘
am gi
˜
u
,
a
A
1
A
2
A
3
A
4
A
5
B
1
B
2
B
3
B
4
H
`
ınh 13.3:
hai con tem liên tiê
´
p v
´
o
,
i nh
˜
an "n"
¯
`
u c
´
o n con tem. C
´
o n-1
¯
do
.
an nhu
,
v
.
ây do
¯
d
´
o
´
tem
,
o
,
gi
˜
u
,
a con tem
¯
`
u tiên mang nh
˜
an hi
.
êu "n" v
`
a con
tem cuô
´
i c
`
ung v
´
o
,
i c
`
ung nh
˜
an hi
.
êu
¯
d
´
o c
.
ông v
´
o
,
i hai con tem v
`
u
,
a n
´
oi l
`
a
( n 1)n + n, ngh
˜
ıa l
`
a n
2
con tem.
V
.
ây con tem
¯
`
u tiên v
`
a con tem
cuô
´
i c
`
ung trong d
˜
ay
¯
`
u ph
,
ai c
`
ung mang nh
˜
an hi
.
êu "n".
Trong
´
n con tem v
´
o
,
i nh
˜
an "n-1" ph
,
ai c
´
o (theo nguyên l
´
y
Ðirichlê)
´
ıt nhâ
´
t hai con tem c
`
ung n
`
˘
am trong
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt
¯
do
.
an
trong
´
n-1
¯
do
.
an
,
trên. Nhu
,
ng khi
¯
d
´
o
,
o
,
gi
˜
u
,
a hai con tem n
`
ay
ch
,
ı c
´
o nhiê
`
u nhâ
´
t l
`
a n-2 con tem;
¯
diê
`
u
¯
d
´
o mâu thu
˜
ân v
´
o
,
i t
´
ınh châ
´
t
c
,
ua d
˜
ay.
J
.
.
. 13.20. (CHLB Nga 1972) Ch
´
ın
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘ang c
`
ung c
´
o t
´
ınh châ
´
t l
`
a
m
˜
ôi
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘ang chia h
`
ınh vuông th
`
anh hai t
´
u
,
gi
´
ac c
´
o t
,
y
´
di
.
ên t
´
ıch
b
`
˘ang
2
3
. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang c
´
o
´
ıt nhâ
´
t ba
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘ang trong
´
¯
d
´
o c
`
ung
¯
di qua m
.
ôt
¯
diê
,
m.
L
`
o
,
i gi
,
ai. (H
`
ınh 13.4) C
´
ac
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang
¯
d
˜
a cho không thê
,
c
´
˘
at c
´
ac
c
.
anh
`
nhau c
,
ua h
`
ınh vuông ABCD, b
,
o
,
i v
`
ı
´
u thê
´
không thê
,
t
.
ao
ra
¯
du
,
.
o
,
c hai t
´
u
,
gi
´
ac, m
`
a l
`
a tam gi
´
ac v
`
a ng
˜
u gi
´
ac. Gi
,
a s
,
u
,
m
.
ôt
¯
du
,
`
o
,
ng
149
th
,
˘
ang c
´
˘
at c
´
ac c
.
anh BC v
`
a AD t
.
ai c
´
ac
¯
diê
,
m M v
`
a N. C
´
ac h
`
ınh thang
ABMN v
`
a CDNM c
´
o c
´
ac
¯
du
,
`
o
,
ng cao b
`
˘
ang nhau do
¯
d
´
o t
,
y
´
di
.
ên
t
´
ıch c
,
ua ch
´
ung b
`
˘
ang t
,
y
´
c
´
ac
¯
du
,
`
o
,
ng trung b
`
ınh, t
´
u
,
c l
`
a MN chia
¯
do
.
an th
,
˘
ang
´
i trung
¯
diê
,
m c
,
ua c
´
ac c
.
anh AB v
`
a CD theo t
,
y
´
2
3
.
,
ng
´
c
´
ac
¯
diê
,
m chia c
´
ac
¯
du
,
`
o
,
ng trung b
`
ınh c
,
ua h
`
ınh vuông theo t
,
y
´
2
3
l
`
a 4 (H
`
ınh v
˜
e). B
,
o
,
i
´
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang
¯
d
˜
a cho l
`
a 9 v
`
a
¯
`
u ph
,
ai
¯
di
qua m
.
ôt trong
´
4
¯
diê
,
m n
´
oi trên, nên c
´
o m
.
ôt
¯
diê
,
m thu
.
ôc
´
ıt nhâ
´
t 3
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang.
B
C
D
A
M
N
H
`
ınh 13.4:
150 Chu
,
o
,
ng 13. M
.
ôt
´
¯
`
thi
¯
d
.
ich
CHU
,
O
,
NG 14
B
`
AI T
.
ÂP T
.
U
,
GI
,
AI
.
.
. 14.1. M
.
ôt h
`
ınh l
.
âp phu
,
o
,
ng c
´
o c
.
anh b
`
˘
ang 15 ch
´
u
,
a 11.000
¯
diê
,
m.
Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang c
´
o m
.
ôt h
`
ınh
`
u b
´
an k
´
ınh b
`
˘
ang 1 ch
´
u
,
a
´
ıt nhâ
´
t 6
¯
diê
,
m trong
´
nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m
¯
d
˜
a cho.
.
.
. 14.2. Cho F = {a
1
, a
2
, . . . , a
l
} l
`
a t
.
âp h
.
o
,
p h
˜
u
,
u h
.
an nh
˜
u
,
ng
´
nguyên du
,
o
,
ng v
`
a x
1
, x
2
, . . . , x
n
, . . . . . . l
`
a d
˜
ay h
.
an, m
.
oi phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua
n
´
o n
`
˘
am trong F, ngh
˜
ıa l
`
a tr
`
ung v
´
o
,
i m
.
ôt
´
n
`
ao
¯
d
´
o trong a
1
, a
2
, . . . , a
l
. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang v
´
o
,
i m
.
oi
´
nguyên du
,
o
,
ng
´
t k
`
y
`
n t
.
ai m
.
ôt
´
phâ
`
n t
,
u
,
liên tiê
´
p c
,
ua d
˜
ay, m
`
a t
´
ıch c
,
ua ch
´
ung l
`
a l
˜
uy th
`
u
,
a c
,
ua m
.
ôt
´
nguyên n
`
ao
¯
d
´
o.
.
.
. 14.3. Cho 5
¯
diê
,
m P
1
, P
2
, P
3
, P
4
, P
5
trong phâ
`
n trong c
,
ua m
.
ôt h
`
ınh
vuông c
´
o c
.
anh 1
¯
do
,
n v
.
i. K
´
y hi
.
êu d
ij
l
`
a kho
,
ang c
´
ach gi
˜
u
,
a hai
¯
diê
,
m
P
i
v
`
a P
j
. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang
´
ıt nhâ
´
t c
´
o m
.
ôt trong
´
c
´
ac kho
,
ang c
´
ach
gi
˜
u
,
a c
´
ac
¯
diê
,
m nh
,
o ho
,
n
2
2
.
.
.
. 14.4. Trong m
.
ôt h
`
ınh vuông c
´
o c
.
anh 50
¯
do
,
n v
.
i , ngu
,
`
o
,
i ta k
,
e
¯
du
,
`
o
,
ng
´
p kh
´
uc sao cho m
.
oi
¯
diê
,
m trên c
.
anh h
`
ınh vuông c
´
o kho
,
ang c
´
ach
nh
,
o ho
,
n 1
¯
´
n
¯
du
,
`
o
,
ng
´
p kh
´
uc. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang
¯
d
.
ô d
`
ai c
,
ua c
,
ua
¯
du
,
`
o
,
ng
´
p kh
´
uc l
´
o
,
n ho
,
n 1248.
.
.
. 14.5. Cho A l
`
a m
.
ôt
¯
da gi
´
ac
`
i v
´
o
,
i di
.
ên t
´
ıch S v
`
a chu vi P, c
`
on r
152 Chu
,
o
,
ng 14. B
`
ai t
.
âp t
.
u
,
gi
,
ai
l
`
a
´
th
.
u
,
c du
,
o
,
ng. K
´
y hi
.
êu M l
`
a t
.
âp h
.
o
,
p
´
t c
,
a c
´
ac
¯
diê
,
m trong m
.
˘
at
ph
,
˘
ang, sao cho v
´
o
,
i m
˜
ôi
¯
diê
,
m R c
,
ua M
`
n t
.
ai m
.
ôt
¯
diê
,
m Q thu
.
ôc A
m
`
a kho
,
ang c
´
ach gi
˜
u
,
a R v
`
a Q nh
,
o ho
,
n ho
.
˘
ac b
`
˘
ang r. H
˜
ay t
`
ım di
.
ên
t
´
ıch c
,
ua h
`
ınh M.
.
.
. 14.6. Trong h
`
ınh vuông c
´
o c
.
anh b
`
˘
ang 70, ngu
,
`
o
,
i ta n
´
em ba h
`
ınh
ch
˜
u
,
nh
.
ât v
´
o
,
i k
´
ıch thu
,
´
o
,
c 20x10, 25x15 v
`
a 30x30 v
`
a ba h
`
ınh tr
`
on b
´
an
k
´
ınh 5. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang trong h
`
ınh vuông c
´
o thê
,
d
.
ich chuyê
,
n m
.
ôt
h
`
ınh tr
`
on b
´
an k
´
ınh 5 sao cho n
´
o không c
´
o nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m trong chung
v
´
o
,
i 5 h
`
ınh
¯
d
˜
a cho.
.
.
. 14.7. Trong m
.
˘
at ph
,
˘
ang cho m
.
ôt
¯
du
,
`
o
,
ng
´
p kh
´
uc A
1
A
2
. . . A
n
v
`
a
h
`
ınh tr
`
on b
´
an k
´
ınh r, tâm h
`
ınh tr
`
on chuyê
,
n
¯
d
.
ông trên
¯
du
,
`
o
,
ng
´
p
kh
´
uc n
`
ay. Cho L l
`
a
¯
d
.
ô d
`
ai c
,
ua
¯
du
,
`
o
,
ng
´
p kh
´
uc, c
`
on F l
`
a h
`
ınh sinh
ra b
,
o
,
i s
.
u
,
chuyê
,
n
¯
d
.
ông c
,
ua h
`
ınh tr
`
on trên
¯
du
,
`
o
,
ng
´
p kh
´
uc. Ch
´
u
,
ng
minh
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c S(F) 2Lr + πr
2
.
.
.
. 14.8. T
.
âp h
.
o
,
p M l
`
a h
.
o
,
p m
.
ôt
´
h
˜
u
,
u h
.
an nh
˜
u
,
ng
¯
do
.
an th
,
˘
ang n
`
˘
am
trong (0,1). Kho
,
ang c
´
ach gi
˜
u
,
a m
.
ôt
´
¯
diê
,
m trong M không b
`
˘
ang δ
,
,
o
,
¯
dây 0 δ 1 . Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang
,
ng
¯
d
.
ô d
`
ai c
,
ua nh
˜
u
,
ng
¯
do
.
an
th
,
˘
ang m
`
a ch
´
ung t
.
ao nên M, không vu
,
.
o
,
t qu
´
a
"
[
1
δ
] + 1
2
#
δ v
`
a s
.
u
,
¯
d
´
anh
gi
´
a n
`
ay l
`
a ch
´
ınh x
´
ac.
.
.
. 14.9. Trên
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on b
´
an k
´
ınh 1 cho n
¯
diê
,
m P
1
, P
2
, . . . , P
n
v
`
a t
.
âp
h
.
o
,
p A t
.
ao b
,
o
,
i m
.
ôt
´
h
˜
u
,
u h
.
an cung không c
´
˘
at nhau, m
`
a
,
ng
¯
d
.
ô d
`
ai
c
,
ua ch
´
ung l
`
a l(A). Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang
a)
´
u l(A) >
2kπ
n
, (k = 1, 2, . . . , n 1), th
`
ı c
´
o thê
,
quay t
.
âp
h
.
o
,
p A trên
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on sao cho
,
anh c
,
ua n
´
o ch
´
u
,
a
´
ıt nhâ
´
t k + 1
¯
diê
,
m
trong d
˜
ây P
1
, P
2
, . . . , P
n
.
153
b)
´
u l(A) <
2kπ
n
, (k = 1, 2, . . . , n 1), th
`
ı c
´
o thê
,
quay t
.
âp
h
.
o
,
p A trên
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on sao cho
,
anh c
,
ua n
´
o ch
´
u
,
a nhiê
`
u nhâ
´
t k 1
¯
diê
,
m trong d
˜
ây P
1
, P
2
, . . . , P
n
.
.
.
. 14.10. Cho t
.
âp h
.
o
,
p A nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m trên m
.
ôt m
.
˘
at
`
u v
´
o
,
i di
.
ên t
´
ıch
l
´
o
,
n ho
,
n n
,
u
,
a di
.
ên t
´
ıch c
,
ua m
.
˘
at
`
u. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang A ch
´
u
,
a
´
ıt nhâ
´
t
hai
¯
`
u m
.
ôt
¯
du
,
`
o
,
ng k
´
ınh c
,
ua h
`
ınh
`
u.
.
.
. 14.11. K
´
y hi
.
êu N
1
, N
2
, . . . , N
n
l
`
a nh
˜
u
,
ng t
.
âp h
.
o
,
p, m
`
a ch
´
ung c
´
o
¯
du
,
.
o
,
c sau khi nh
˜
u
,
ng
¯
d
,
ınh c
,
ua m
.
ôt lu
,
´
o
,
i nguyên
¯
du
,
.
o
,
c t
´
ac
¯
d
.
ông b
,
o
,
i n
ph
´
ep t
.
inh tiê
´
n, A l
`
a m
.
ôt
`
m
.
˘
at v
`
a k l
`
a
´
t
.
u
,
nhiên sao cho 1 k
n 1. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang
a)
´
u S(A) >
k
r
th
`
ı c
´
o thê
,
t
.
inh tiê
´
n t
.
âp h
.
o
,
p A sao cho
,
anh c
,
ua
n
´
o ch
´
u
,
a
´
ıt nhâ
´
t k + 1
¯
diê
,
m trong l
`
a nh
˜
u
,
ng
¯
d
,
ınh c
,
ua N
1
, N
2
, . . . , N
n
.
b)
´
u S(A) <
k
r
th
`
ı c
´
o thê
,
t
.
inh tiê
´
n t
.
âp h
.
o
,
p A sao cho
,
anh c
,
ua n
´
o ch
´
u
,
a nhiê
`
u nhâ
´
t k 1
¯
diê
,
m trong l
`
a nh
˜
u
,
ng
¯
d
,
ınh c
,
ua
N
1
, N
2
, . . . , N
n
.
.
.
. 14.12. Trong h
`
ınh vuông v
´
o
,
i c
.
anh 1
¯
do
,
n v
.
i d
.
u
,
ng
¯
du
,
`
o
,
ng
´
p kh
´
uc
sao cho m
.
oi
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang song song v
´
o
,
i c
.
anh h
`
ınh vuông c
´
˘
at
¯
du
,
`
o
,
ng
´
p kh
´
uc không qu
´
a m
.
ôt
¯
diê
,
m. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang
¯
d
.
ô d
`
ai c
,
ua
¯
du
,
`
o
,
ng
´
p kh
´
uc nh
,
o ho
,
n 2.
.
.
. 14.13. Trong m
.
ôt m
.
˘
at ph
,
˘
ang cho 6
¯
diê
,
m. Nh
˜
u
,
ng
¯
do
.
an th
,
˘
ang
´
i
c
´
ac c
.
˘
ap
¯
diê
,
m
¯
du
,
.
o
,
c so
,
n
`
u
¯
d
,
o ho
.
˘
ac xanh. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang v
´
o
,
i
c
´
ach t
.
ao h
`
ınh nhu
,
v
.
ây
`
n t
.
ai
´
ıt nhâ
´
t hai h
`
ınh tam gi
´
ac c
´
o c
´
ac c
.
anh
c
`
ung
`
u. (c
´
o thê
,
hai tam gi
´
ac kh
´
ac
`
u nhau).
154 Chu
,
o
,
ng 14. B
`
ai t
.
âp t
.
u
,
gi
,
ai
CHU
,
O
,
NG 15
L
`
O
,
I GI
,
AI V
`
A G
.
O
,
I
´
Y
15.1. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 1
.
.
. 1.11. L
`
o
,
i gi
,
ai:
´
u
´
t c
,
a c
´
ac ông quan
¯
`
u quen nhau th
`
ı vi
.
êc
´
p b
`
an
´
n ngu
,
`
o
,
i nhu
,
¯
`
ra không c
´
o g
`
ı kh
´
o kh
˘
an. Gi
,
a c
´
o ông A
v
`
a ông B không quen nhau. T
`
u
,
2n 2 ông quan c
`
on l
.
ai c
˜
ung nhu
,
A
v
`
a B c
´
o
´
ıt nhâ
´
t n ngu
,
`
o
,
i quen. V
`
ı n + n = 2n = (2n 2 ) + 2, th
`
ı
`
n
t
.
ai hai ông C v
`
a D, m
`
a h
.
o quen A c
˜
ung nhu
,
B. Khi
¯
d
´
o ngu
,
`
o
,
i
´
p
¯
d
.
˘
at
c
´
o thê
,
´
p A
¯
´
i di
.
ên B v
`
a gi
˜
u
,
a h
.
o l
`
a C
¯
´
i di
.
ên D.
.
.
. 1.12. G
.
o
,
i
´
y: Chia m
.
ôt c
.
anh h
`
ınh vuông th
`
anh 48
¯
do
.
an m
˜
ôi
¯
do
.
an
20m, kho
,
ang c
´
ach gi
˜
u
,
a 2
¯
do
.
an l
`
a 0,6m, hai
¯
do
.
an
,
o
,
hai
¯
`
u d
`
ai
5,9m. (V
.
ây 48.20m+47.0,6m+2.5,9m =1000m=1km). C
.
anh thu
,
hai chia ra l
`
am 95
¯
do
.
an, kho
,
a ng c
´
ach hai
¯
do
.
an l
`
a 0,52m, hai
¯
do
.
an
¯
`
u d
`
ai 0,56m ( v
.
ây 95.10m+94.0,52m+20,56m= 1000m=1km).
Nhu
,
v
.
ây c
´
o 48.95=4560 m
,
anh c
´
o di
.
ên t
´
ıch 200m
2
m
`
a
´
cây ch
,
ı c
´
o
4500, nên c
`
on
´
ıt nhâ
´
t 60 ô nhu
,
v
.
ây không c
´
o cây n
`
ao.
.
.
. 1.13. G
.
o
,
i
´
y: Ta nh
´
om c
´
ac ng
˘
an c
´
o c
`
ung
´
s
´
ach v
`
a
¯
d
´
anh
´
u t
`
u
,
0,1,. . . ,9 (c
´
ac ng
˘
an ch
´
u
,
a
´
s
´
ach
´
ıt ho
,
n 10) v
`
a m
.
ôt ng
˘
an c
´
o 10 cuô
´
n.
Gi
,
a s
,
u
,
không c
´
o ba ng
˘
an ch
´
u
,
a c
`
ung
´
s
´
ach, th
`
ı trong c
´
ac nh
´
om ta
¯
d
´
anh
´
u c
´
o
´
ıt ho
,
n ba ng
˘
an c
´
o c
`
ung
´
s
´
ach (nhiê
`
u nhâ
´
t l
`
a 2), v
.
ây
156 Chu
,
o
,
ng 15. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y
th
`
ı v
´
o
,
i 10 nh
´
om trên 10.2=20 ng
˘
an s
´
ach c
.
ông v
´
o
,
i m
.
ôt ng
˘
an 10 cuô
´
n
n
˜
u
,
a không cho ta
´
ng
˘
an s
´
ach l
`
a 25, d
˜
ân
¯
´
n l
´
y.
.
.
. 1.14. G
.
o
,
i
´
y: Ta
´
y
´
c
,
ua ôtô chia cho 10 th
`
ı
¯
du
,
.
o
,
c
´
du
,
0, 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9. V
`
ı c
´
o 11
´
m
`
a 10
´
du
,
th
`
ı theo nguyên l
´
y Ðirichlê
c
´
o hai
´
c
´
o c
`
ung
´
du
,
. Nhu
,
v
.
ây hi
.
êu c
,
ua hai
´
chia
´
t cho 10
ngh
˜
ıa l
`
a n
´
o c
´
o c
`
ung m
.
ôt ch
˜
u
,
´
t
.
ân c
`
ung.
.
.
. 1.15. L
`
o
,
i gi
,
ai: G
.
oi c
´
ac tr
.
am chuyê
,
n tiê
´
p l
`
a A, B, C, D, c
´
ac h
`
ınh
tr
`
on v
´
o
,
i
¯
du
,
`
o
,
ng k
´
ınh l
`
a c
´
ac
¯
du
,
`
o
,
ng
´
i gi
˜
u
,
a c
´
ac tr
.
am l
`
a v
`
ung bao ph
,
u
c
,
ua m
.
ôt trung tâm ph
´
at s
´
ong. Ch
´
ung ta c
´
o 4 h
`
ınh tr
`
on nhu
,
v
.
ây v
`
a
ph
,
ai ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang m
.
ôt
¯
diê
,
m M
´
t k
`
y n
`
˘
am trong t
´
u
,
gi
´
ac c
,
ua 4
tr
.
am
¯
`
u
¯
du
,
.
o
,
c ph
,
u b
,
o
,
i
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt h
`
ınh tr
`
on. Th
.
ât v
.
ây,
´
u
¯
diê
,
m M
n
`
˘
am trong h
`
ınh tr
`
on
¯
du
,
`
o
,
ng k
´
ınh AB th
`
ı g
´
oc AMB ph
,
ai l
`
a t
`
u ho
.
˘
ac
b
`
˘
ang 90
0
. Ta
´
i M v
´
o
,
i c
´
ac tr
.
am A, B, C, D, t
.
ao ra
´
n g
´
oc
¯
´
i v
´
o
,
i
c
´
ac c
.
anh t
´
u
,
gi
´
ac.
,
ng c
,
ua
´
n g
´
oc n
`
ay l
`
a 360
0
. Nhu
,
v
.
ây
´
ıt nhâ
´
t c
´
o
m
.
ôt g
´
oc t
`
u ho
.
˘
ac c
`
ung l
´
˘
am l
`
a b
`
˘
ang 90
0
. V
.
ây M thu
.
ôc m
.
ôt h
`
ınh tr
`
on
m
`
a t
.
ai M nh
`
ın c
.
anh c
,
ua t
´
u
,
gi
´
ac du
,
´
o
,
i m
.
ôt g
´
oc t
`
u.
15.2. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 2
.
.
. 2.11. G
.
o
,
i
´
y: Áp d
.
ung Phu
,
o
,
ng ph
´
ap b
`
ai 2.2.
.
.
. 2.12. G
.
o
,
i
´
y: Áp d
.
ung phu
,
o
,
ng ph
´
ap b
`
ai 2.4
.
.
. 2.13. G
.
o
,
i
´
y: Ð
.
˘
at b
k
= a
1
+ a
2
+ ··· + a
k
, k = 1, 2, . . . , 41 v
`
a
´
ap
d
.
ung b
`
ai t
.
âp trên.
.
.
. 2.14. G
.
o
,
i
´
y: Nhu
,
b
`
ai 2.8,
´
u M l
`
a
´
nguyên
´
c
`
ung nhau v
´
o
,
i
10, th
`
ı t
`
u
,
s
.
u
,
chia
´
t c
,
ua l k =
111 . . . 11.10k cho M, suy ra
´
15.2. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 2 157
111 . . . 11
| {z }
(k-l ch
˜
u
,
´
1)
chia
´
t cho M.
.
.
. 2.15. G
.
o
,
i
´
y: D
`
ung phu
,
o
,
ng ph
´
ap b
`
ai 2.8. H
˜
ay x
´
et d
˜
ay
N, NN, NNN, . . . , NNN . . . N
| {z }
(1968 ch
˜
u
,
´
)
.
.
.
. 2.16. L
`
o
,
i gi
,
ai: Ta viê
´
t 1998
´
1997, 19971997, . . .
, 1997 . . . 1997
| {z }
´
1997 l
.
˘ap 1998
`
n
. V
`
a x
´
et c
´
ac
´
du
,
trong ph
´
ep chia m
˜
ôi
m
.
ôt
´
¯
d
´
o cho 1998. R
˜
o r
`
ang không m
.
ôt
´
n
`
ao trong c
´
ac
´
¯
d
˜
a viê
´
t
chia
´
t cho 1998 (v
`
ı 1998 l
`
a
´
ch
˜
˘
an, m
`
a c
´
ac
´
¯
d
˜
a viê
´
t l
`
a l
,
e), nhu
,
v
.
ây, c
´
ac
´
du
,
c
,
ua ph
´
ep chia
¯
`
u kh
´
ac không, v
`
ı
´
c
´
ac
´
l
´
o
,
n ho
,
n
´
c
´
ac
´
du
,
(c
´
o 1998
´
m
`
a
´
c
´
ac
´
du
,
l
`
a 1997), nên t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c
hai
´
c
´
o
´
du
,
nhu
,
nhau, hi
.
êu c
,
ua hai
´
¯
d
´
o c
´
o d
.
ang
`
n t
`
ım v
`
a
chia
´
t cho 1998.
.
.
. 2.17. L
`
o
,
i gi
,
ai: Ta x
´
et 1997
´
d
.
ang 1998, 19981998,. . . .
´
cuô
´
i
c
`
ung trong c
´
ac
´
n
`
ay t
.
ao th
`
anh t
`
u
,
1997 nh
´
om trong
´
n ch
˜
u
,
´
1,
9, 9, 8. Ho
.
˘
ac m
.
ôt trong c
´
ac
´
n
`
ay chia
´
t cho 1997 (v
.
ây,
¯
d
´
o l
`
a
´
ph
,
ai t
`
ım), ho
.
˘
ac t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c hai
´
du
,
nhu
,
nhau trong ph
´
ep chia cho
1997. Khi
¯
d
´
o hi
.
êu c
,
ua ch
´
ung c
´
o d
.
ang 19981998 . . . 1998.10
4m
v
`
a chia
´
t cho1997. V
`
ı 10
4m
v
`
a 1997 nguyên
´
c
`
ung nhau nên nhân t
,
u
,
th
´
u
,
nhâ
´
t, ngh
˜
ıa l
`
a
´
19981998. . . 1998, chia
´
t cho 1997.
.
.
. 2.18. L
`
o
,
i gi
,
ai: Trong n + 1
´
m, m
2
, . . . , m
n+1
t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c hai
´
c
´
o
´
du
,
nhu
,
nhau trong ph
´
ep chia cho n. Khi
¯
d
´
o hi
.
êu c
,
ua ch
´
ung
chia
´
t cho n. Gi
,
a s
,
u
,
m
l
m
t
= a.n ho
.
˘
ac m
t
( m
lt
1) = a.n. V
`
ı
( m, n) = 1 nên (m
t
, n) = 1, ngh
˜
ıa l
`
a, m
lt
1 chia
´
t cho n. V
.
ây
m
lt
1 l
`
a
´
ph
,
ai t
`
ım.
158 Chu
,
o
,
ng 15. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y
15.3. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 3
.
.
. 3.11. L
`
o
,
i gi
,
ai: Ta x
´
et 10
4
c
´
ac lu
˜
y th
`
u
,
a kh
´
ac nhau c
,
ua 3: 3, 3
2
, 3
3
, . . . , 3
10
4
v
`
a c
´
ac
´
du
,
c
,
ua ph
´
ep chia m
˜
ôi lu
˜
y th
`
u
,
a
¯
d
´
o cho 10
4
. M
˜
ôi
´
cho m
.
ôt
´
du
,
kh
´
ac không khi chia cho 10
4
;
´
c
´
ac
´
du
,
kh
´
ac
không l
`
a 10
4
1;
´
c
´
ac
´
l
`
a 10
4
. Do
¯
d
´
o, t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c hai lu
˜
y th
`
u
,
a kh
´
ac
nhau 3
m
v
`
a 3
n
c
´
o
´
du
,
nhu
,
nhau trong ph
´
ep chia cho 10
4
, ngh
˜
ıa l
`
a
3
m
3
n
= 10
4
.l ho
.
˘
ac 3
n
(3
mn
1) = 10
4
.l. V
`
ı 3
n
v
`
a 10
4
nguyên
´
c
`
ung nhau nên 3
mn
1 chia
´
t cho 10
4
ho
.
˘
ac 3
mn
1 = 10
4
.k. T
`
u
,
¯
d
´
o suy ra 3
mn
= 10
4
.k + 1. Nhu
,
v
.
ây, tr
,
a l
`
o
,
i: c
´
o thê
,
.
.
.
. 3.12. G
.
o
,
i
´
y: L
´
y lu
.
ân nhu
,
b
`
ai 3.10.
.
.
. 3.13. G
.
o
,
i
´
y: Ch
´
u
´
y u
3
= 1986,
´
ap d
.
ung phu
,
o
,
ng ph
´
ap b
`
ai 3.4.
.
.
. 3.14. G
.
o
,
i
´
y: L
´
y lu
.
ân nhu
,
trong 3.4. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang v
´
o
,
i m
.
oi
´
t
.
u
,
nhiên m
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt trong c
´
ac
´
x
1
, x
2
, . . . , chia
´
t cho m. Sau
¯
d
´
o d
.
˘
at m = 38 v
`
a m = 43.
.
.
. 3.15. G
.
o
,
i
´
y: Tu
,
o
,
ng t
.
u
,
nhu
,
3.8 ta x
´
et b
.
ô
´
p s-phâ
`
n t
,
u
,
nh
˜
u
,
ng
´
du
,
tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng. D
˜
ê thâ
´
y r
`
˘
ang
`
n tai nh
˜
u
,
ng ch
,
ı
´
i v
`
a j sao cho
1 i < j k
s
v
`
a m
˜
ôi
,
ng trên
¯
`
u chia
´
t cho k.
15.4. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 4
.
.
. 4.11. G
.
o
,
i
´
y: Quanh m
˜
ôi
¯
diê
,
m
¯
d
˜
a cho v
˜
e
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on b
´
an k
´
ınh
1
15
.
.
.
. 4.12. G
.
o
,
i
´
y: B
`
ai to
´
an suy ra t
`
u
,
b
`
ai 4.9.
.
.
. 4.13. L
`
o
,
i gi
,
ai: Gi
,
a s
,
u
,
`
n tai
¯
diê
,
m X t
`
u
,
c
´
ac
¯
diê
,
m
¯
d
˜
a cho m
`
a n
´
o
´
i
¯
du
,
.
o
,
c v
´
o
,
i 6
¯
diê
,
m X
1
, X
2
, X
3
, X
4
, X
5
, X
6
. Khi
¯
d
´
o c
´
ac
¯
do
.
an th
,
˘
ang XX
1
15.4. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 4 159
v
`
a XX
2
¯
du
,
.
o
,
c d
.
u
,
ng theo m
.
ôt trong hai c
´
ach sau
¯
dây (th
.
u
,
c ra c
´
o c
´
ach
th
´
u
,
ba nhu
,
ng l
`
a h
.
ê qu
,
a c
,
ua (b) khi ta
¯
,
i ch
,
ı
´
)
(a)
´
u X l
`
a
¯
diê
,
m
`
n nhâ
´
t
¯
´
n X
1
v
`
a A
2
, th
`
ı XX
1
< X
1
X
2
v
`
a
XX
2
< X
1
X
2
, ngh
˜
ıa l
`
a trong tam gi
´
ac XX
1
X
2
c
´
o c
.
anh X
1
X
2
l
`
a l
´
o
,
n
nhâ
´
t.
(b)
´
u X
1
`
n
¯
diê
,
m X nhâ
´
t, c
`
on X
`
n
¯
diê
,
m X
2
nhâ
´
t, th
`
ı
XX
1
< XX
2
< X
1
X
2
ch
´
ung ta c
˜
ung c
´
o c
.
anh X
1
X
2
l
`
a l
´
o
,
n nhâ
´
t trong
tam gi
´
ac XX
1
X
2
Suy ra
\
X
1
XX
2
> 60
0
. Ch
´
u
,
ng minh ho
`
an to
`
an tu
,
o
,
ng t
.
u
,
, ch
´
ung ta
c
˜
ung c
´
o
\
X
2
XX
3
,
\
X
3
XX
4
,
\
X
4
XX
5
,
\
X
5
XX
6
,
\
X
6
XX
1
l
´
o
,
n ho
,
n 60
0
,
¯
diê
`
u
n
`
ay không thê
,
¯
du
,
.
o
,
c v
`
ı
,
ng c
´
ac g
´
oc n
`
ay ph
,
ai b
`
˘
ang 360
0
. Nhu
,
v
.
ây,
m
˜
ôi
¯
diê
,
m ch
,
ı
´
i
¯
du
,
.
o
,
c nhiê
`
u nhâ
´
t v
´
o
,
i 5
¯
diê
,
m thôi.
.
.
. 4.14. L
`
o
,
i gi
,
ai: Ta chia h
`
ınh tr
`
on th
`
anh 6 h
`
ınh qu
.
at b
`
˘
ang nhau (c
´
o
¯
d
,
ınh t
.
ai tâm h
`
ınh tr
`
on). Khi
¯
d
´
o t
.
ai m
˜
ôi m
.
ôt h
`
ınh qu
.
at, không c
´
o qu
´
a
m
.
ôt
¯
diê
,
m ro
,
i v
`
ao (b
,
o
,
i v
`
ı kho
,
ang c
´
ach gi
˜
u
,
a hai
¯
diê
,
m
´
t k
`
y trong m
.
ôt
h
`
ınh qu
.
at không l
´
o
,
n ho
,
n 1).
´
u t
.
ai m
˜
ôi h
`
ınh qu
.
at c
´
o m
.
ôt
¯
diê
,
m th
`
ı
ta c
´
o thê
,
t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c hai
¯
diê
,
m m
`
a g
´
oc gi
˜
u
,
a c
´
ac b
´
an k
´
ınh vecto
,
c
,
ua
ch
´
ung không l
´
o
,
n ho
,
n 60
0
v
`
a do
¯
d
´
o kho
,
ang c
´
ach gi
˜
u
,
a ch
´
ung không
l
´
o
,
n ho
,
n 1. Do v
.
ây, c
´
o thê
,
ch
.
on không qu
´
a 5
¯
diê
,
m.
.
.
. 4.15. L
`
o
,
i gi
,
ai: Ta thay m
˜
ôi h
`
ınh vuông b
`
˘
ang m
.
ôt h
`
ınh l
´
o
,
n ho
,
n gi
´
o
,
i
h
.
an b
,
o
,
i m
.
ôt
¯
du
,
`
o
,
ng c
´
ach biên c
,
ua h
`
ınh vuông m
.
ôt kho
,
ang
1
2
(
¯
du
,
`
o
,
ng
n
`
ay
`
m
´
n
¯
do
.
an th
,
˘
ang
¯
do
,
n v
.
i v
`
a
´
n cung tr
`
on c
´
o b
´
an k
´
ınh
1
2
).
M
˜
ôi m
.
ôt h
`
ınh nhu
,
thê
´
c
´
o di
.
ên t
´
ıch b
`
˘
ang 3 +
π
4
, c
`
on 120 h
`
ınh
¯
d
˜
a
¯
du
,
.
o
,
c
"viê
`
n ra" s
˜
e ph
,
u m
.
ôt di
.
ên t
´
ıch không qu
´
a 120.(3 +
π
4
) = 360 + 30π.
Ta bao vây biên c
,
ua h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât
¯
d
˜
a cho b
`
˘
ang m
.
ôt d
,
ai c
´
o chiê
`
u
160 Chu
,
o
,
ng 15. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y
r
.
ông
1
2
. Di
.
ên t
´
ıch c
,
ua d
,
ai b
`
˘
ang 44. Nhu
,
v
.
ây, di
.
ên t
´
ıch
,
ng c
.
ông
c
,
ua d
,
ai v
`
a
´
t c
,
a c
´
ac h
`
ınh
¯
du
,
.
o
,
c viê
`
n ra b
`
˘
ang 360 + 30π + 44 =
404 + 30π < 404 + 94, 5 < 500, t
´
u
,
c l
`
a b
´
e ho
,
n di
.
ên t
´
ıch c
,
ua h
`
ınh
ch
˜
u
,
nh
.
ât (S = 20.25 = 500). Do
¯
d
´
o, trong h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât c
´
o
¯
diê
,
m O
không b
.
i ph
,
u b
,
o
,
i d
,
ai v
`
a c
´
ac h
`
ınh vuông
¯
d
˜
a
¯
du
,
.
o
,
c viê
`
n ra. Ngh
˜
ıa l
`
a
¯
diê
,
m O c
´
ach bien c
,
ua h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât v
`
a c
´
ach m
.
oi h
`
ınh vuông m
.
ôt
kho
,
ang l
´
o
,
n ho
,
n
1
2
. H
`
ınh tr
`
on b
´
an k
´
ınh
1
2
c
´
o tâm t
.
ai O l
`
a h
`
ınh tr
`
on
`
n t
`
ım.
15.5. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 5
.
.
. 5.11. L
`
o
,
i gi
,
ai: X
´
et m
.
ôt t
.
âp A
´
t k
`
y t
`
u
,
1978 t
.
âp. V
`
ı n
´
o giao v
´
o
,
i
1977 t
.
âp c
`
on l
.
ai, v
`
ı v
.
ây
`
n t
.
ai phâ
`
n t
,
u
,
a A , thu
.
ôc không
´
ıt ho
,
n 50
t
.
âp h
.
o
,
p n
`
ay (th
.
ât v
.
ây
´
u m
˜
ôi m
.
ôt t
`
u
,
40 phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua t
.
âp A thu
.
ôc
không nhiê
`
u ho
,
n 49 t
.
âp, th
`
ı
´
t c
,
a c
´
o không nhiê
`
u ho
,
n 40.49 = 1960
t
.
âp kh
´
ac A,
¯
diê
`
u n
`
ay không
¯
d
´
ung). V
.
ây phâ
`
n t
,
u
,
a thu
.
ôc c
´
ac t
.
âp
h
.
o
,
p A, A
1
, . . . , A
50
. Ta s
˜
e ch
´
u
,
ng minh n
´
o s
˜
e thu
.
ôc t
.
âp
´
t k
`
y B t
`
u
,
1978 t
.
âp. Th
.
ât v
.
ây không c
´
o hai t
.
âp n
`
ao t
`
u
,
c
´
ac t
.
âp A, A
1
, . . . , A
50
l
`
a c
´
o phâ
`
n t
,
u
,
chung kh
´
ac v
´
o
,
i a (v
`
ı hai t
.
âp
´
t k
`
y giao nhau ch
,
ı c
´
o
m
.
ôt phâ
`
n t
,
u
,
chung). Gi
,
a s
,
u
,
a B. Khi
¯
d
´
o t
.
âp B c
´
o v
´
o
,
i m
˜
ôi t
.
âp
A, A
1
, . . . , A
50
m
.
ôt phâ
`
n t
,
u
,
chung kh
´
ac v
´
o
,
i a, suy ra t
.
âp B c
´
o không
´
ıt ho
,
n 51 phâ
`
n t
,
u
,
,
¯
diê
`
u n
`
ay không thê
,
¯
du
,
.
o
,
c. Suy ra phâ
`
n t
,
u
,
a thu
.
ôc
´
t c
,
a c
´
ac t
.
âp h
.
o
,
p.
.
.
. 5.12. L
`
o
,
i gi
,
ai: M
.
ôt
´
chia cho 9 th
`
ı c
´
o c
´
ac phâ
`
n du
,
{0, 1, 2, . . . , 8}.
Theo nguyên l
´
y Dirichlê m
,
o
,
r
.
ông, trong 55
´
ch
.
on ra th
`
ı
´
ıt nhâ
´
t c
´
o
m
.
ôt nh
´
om 7
´
khi chia cho 9 cho c
`
ung phâ
`
n du
,
(nê
´
u ngu
,
.
o
,
c l
.
ai th
`
ı
c
´
ac nh
´
om ch
,
ı c
´
o 6 phâ
`
n t
,
u
,
v
.
ây 6.9=54 m
`
a ta
´
y ra nh
˜
u
,
ng 55
´
).
Ch
´
ung ta k
´
y hi
.
êu c
´
ac
´
¯
d
´
o l
`
a a
1
, a
2
, a
3
, . . . , a
7
. V
`
ı a
i +1
a
i
(mod 9),
15.6. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 6 161
nên a
i +1
a
i
{9, 18, . . .}. Ch
´
ung ta ph
,
ai ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang a
i +1
a
i
= 9 v
´
o
,
i m
.
ôt i n
`
ao
¯
d
´
o. Gi
,
a s
,
u
,
ngu
,
.
o
,
c l
.
ai, v
´
o
,
i m
.
oi i, a
i +1
a
i
18,
¯
diê
`
u n
`
ay ngh
˜
ıa l
`
a a
7
a
1
6.8 = 108. Ðiê
`
u n
`
ay không thê
,
¯
du
,
.
o
,
c v
`
ı
a
7
a
1
< 100. Nhu
,
v
.
ây gi
˜
u
,
a hai phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua a
1
, a
2
, a
3
, . . . , a
7
c
´
o hai
´
m
`
a hi
.
êu c
,
ua ch
´
ung ph
,
ai b
`
˘
ang 9.
.
.
. 5.13. G
.
o
,
i
´
y: C
´
ach ch
´
u
,
ng minh nhu
,
b
`
ai 5.10.
.
.
. 5.14. L
`
o
,
i gi
,
ai: (B
.
an t
.
u
,
v
˜
e
´
y h
`
ınh ) Ch
´
ung ta xây d
.
u
,
ng lu
,
´
o
,
i
`
m
nh
˜
u
,
ng h
`
ınh l
.
uc gi
´
ac c
´
o c
.
anh
3
2
. M
˜
ôi h
`
ınh l
.
uc gi
´
ac c
´
o thê
,
ph
,
u b
,
o
,
i
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on v
´
o
,
i b
´
an k
´
ınh
3. C
´
o thê
,
t
´
ınh to
´
an
¯
du
,
.
o
,
c
´
lu
,
.
o
,
ng l
.
uc
gi
´
ac m
`
a ch
´
ung c
´
o
¯
diê
,
m chung v
´
o
,
i tam gi
´
ac
¯
`
u
¯
d
˜
a cho l
`
a 1 + 2 +
3 + ··· + 10 = 55. V
`
ı 111 = 55 × 2 + 1, nên c
´
o m
.
ôt l
.
uc gi
´
ac trong
lu
,
´
o
,
i trên ch
´
u
,
a
´
ıt nhâ
´
t 3
¯
diê
,
m trong
´
111
¯
diê
,
m
¯
d
˜
a ch
.
on. Nhu
,
v
.
ây
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on bao l
.
uc gi
´
ac n
`
ay c
´
o t
´
ınh châ
´
t
¯
d
˜
a nêu.
.
.
. 5.15. L
`
o
,
i gi
,
ai: K
´
y hi
.
êu A
1
, A
2
, . . . , A
k
l
`
a
´
lu
,
.
o
,
ng ngu
,
`
o
,
i l
´
o
,
n nhâ
´
t
m
`
a
´
t c
´
u
,
hai ngu
,
`
o
,
i n
`
ao c
˜
ung không quen nhau gi
´
an tiê
´
p. T
`
u
,
¯
diê
`
u
ki
.
ên b
`
ai ra k 7. M
˜
ôi ngu
,
`
o
,
i c
`
on l
.
ai trong nh
´
om quen gi
´
an tiê
´
p
´
ıt
nhâ
´
t m
.
ôt ngu
,
`
o
,
i trong A
1
, A
2
, . . . , A
k
(tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p ngu
,
.
o
,
c l
.
ai ch
´
ung
ta c
´
o nhiê
`
u ho
,
n k ngu
,
`
o
,
i, m
`
a hai ngu
,
`
o
,
i không quen nhau gi
´
an tiê
´
p).
M
.
ôt trong
´
A
1
, A
2
, . . . , A
k
c
´
o
´
ıt nhâ
´
t 20 ngu
,
`
o
,
i quen gi
´
an tiê
´
p, v
`
ı
´
u không
¯
d
´
ung nhu
,
v
.
ây, ch
´
ung ta s
˜
e nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c
,
ng
´
lu
,
.
o
,
ng ngu
,
`
o
,
i
nhiê
`
u nhâ
´
t l
`
a 7.19 = 133 < 134. C
`
on l
.
ai kh
,
˘
ang
¯
d
.
inh r
`
˘
ang
´
t c
,
a
nh
˜
u
,
ng ngu
,
`
o
,
i quen gi
´
an tiê
´
p qua c
`
ung m
.
ôt ngu
,
`
o
,
i l
`
a quen gi
´
an tiê
´
p.
15.6. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 6
.
.
. 6.11. G
.
o
,
i
´
y: Ðây l
`
a tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p riêng c
,
ua b
`
ai 6.1 v
`
a b
`
ai 6.2.
162 Chu
,
o
,
ng 15. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y
.
.
. 6.12. G
.
o
,
i
´
y:
´
¯
d
˜
a cho l
`
a x
1
, x
2
, x
3
, x
4
v
`
a y
i
= 1 +
1
x
i
, i = 1, 2, 3, 4.
Ch
,
ı
`
n ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang hai
´
n
`
ao
¯
´
y trong y
1
, y
2
, y
3
, y
4
th
,
oa m
˜
an
0
y
i
y
j
1 + 2y
i
y
j
2
3. Phâ
`
n c
`
on l
.
ai tu
,
o
,
ng t
.
u
,
nhu
,
2.6.
.
.
. 6.13. L
`
o
,
i gi
,
ai: V
´
o
,
i
¯
d
.
inh l
´
y Fecma ch
´
u
,
ng minh
¯
du
,
.
o
,
c r
`
˘
ang
´
u m
.
ôt
´
nguyên
´
p c
´
o d
.
ang 4k + 3 chia
´
t cho
,
ng a
2
+ b
2
,
,
o
,
¯
dây
a, b l
`
a nh
˜
u
,
ng
´
nguyên, th
`
ı p chia
´
t cho t
`
u
,
ng
´
a v
`
a b. H
˜
ay
d
`
ung c
´
ac
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c sau 2 = 1
2
+ 1
2
, k
2
(a
2
+ b
2
) = (ka)
2
+ (kb)
2
,
(a
2
1
+ b
2
1
)(a
2
2
+ b
2
2
) = (a
1
a
2
+ b
1
b
2
)
2
+ (a
1
b
2
a
2
b
1
)
2
.
.
.
. 6.14. L
`
o
,
i gi
,
ai: Cho tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng m
˜
ôi
´
v
´
o
,
i c
˘
an b
.
âc hai c
,
ua ch
´
ınh
n
´
o. Nhu
,
v
.
ây khi phân t
´
ıch ra m
˜
ôi
´
tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i c
˘
an b
.
âc hai c
,
ua
´
l
,
e. M
`
a
´
´
t c
,
a c
´
ac
´
l
,
e nh
,
o ho
,
n 2k l
`
a k. V
.
ây theo nguyên l
´
y
Ðirichlê c
´
o hai
´
trong k + 1
´
c
´
o c
`
ung phâ
`
n c
˘
an
´
l
,
e, do
¯
d
´
o t
,
y
´
c
,
ua n
´
o s
˜
e l
`
a l
˜
uy th
`
u
,
a c
,
ua 2.
.
.
. 6.15. L
`
o
,
i gi
,
ai:
´
u gi
˜
u
,
a c
´
ac
´
¯
d
˜
a cho c
´
o n
´
m
`
a khi chia cho n
ch
´
ung cho nh
˜
u
,
ng phâ
`
n du
,
kh
´
ac nhau.
,
ng c
,
ua ch
´
ung s
˜
e chia
´
t
cho n, v
`
ı n l
`
a
´
l
,
e. Trong tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p ngu
,
.
o
,
c l
.
ai,
´
ap d
.
ung nguyên l
´
y
Ðirichlê.
15.7. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 7
.
.
. 7.11. L
`
o
,
i gi
,
ai: Ch
´
ung ta thâ
´
y r
`
˘
ang m
.
oi
´
nguyên
´
th
.
u
,
c s
.
u
,
l
´
o
,
n
ho
,
n 3
¯
`
u c
´
o d
.
ang 6n + 1 ho
.
˘
ac 6n + 5. V
`
ı ba
´
nguyên
´
l
´
o
,
n ho
,
n
3 l
.
âp th
`
anh m
.
ôt
´
p
´
c
.
ông, nên theo nguyên l
´
y Ðirichlê ph
,
ai c
´
o
´
ıt
nhâ
´
t hai
´
c
`
ung d
.
ang, t
´
u
,
c l
`
a hi
.
êu hai
´
¯
d
´
o chia
´
t cho 6. G
.
oi d l
`
a
công sai c
,
ua
´
p
´
c
.
ông, th
`
ı hi
.
êu c
,
ua hai
´
â
´
y ho
.
˘
ac l
`
a d, ho
.
˘
ac l
`
a
15.7. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 7 163
2d. Nhu
,
thê
´
ho
.
˘
ac l
`
a d|6 ho
.
˘
ac 2d|6. Ch
´
u
´
y công sai d l
`
a hi
.
êu c
,
ua hai
´
nguyên
´
l
´
o
,
n ho
,
n 3, nên n
´
o l
`
a
´
ch
˜
˘
an. Nhu
,
thê
´
v
`
ı d|3 v
`
a d|2 suy
ra d|6.
.
.
. 7.12. L
`
o
,
i gi
,
ai: Ta luôn c
´
o lim
m+
10
m
1998
= . N
´
oi c
´
ach kh
´
ac
`
n t
.
ai
´
nguyên du
,
o
,
ng m
0
sao cho m m
0
th
`
ı
10
m
1998
> 9
1998
. X
´
et m
.
ôt
´
nguyên du
,
o
,
ng n
´
t k
`
y v
`
a n c
´
o k
0
ch
˜
u
,
´
n = a
1
a
2
. . . a
k
0
. Tru
,
`
o
,
ng
h
.
o
,
p n
`
ay ta c
˜
ung ch
.
on
¯
du
,
.
o
,
c
10
N
> (9k
0
)
1998
v
`
a N > m
0
(15.1)
(c
.
u thê
,
c
´
o thê
,
´
y N = max{[1998lg(9k
0
)] + 1, m
0
+ 1})
- Ch
´
ung ta s
˜
e ch
´
u
,
ng minh
u
i
( n) < 10
N
v
´
o
,
i m
.
oi i = 1, 2, . . . (15.2)
Th
.
ât v
.
ây, ta s
˜
e ch
´
u
,
ng minh b
`
˘
ang qui n
.
ap.
1) V
´
o
,
i i = 1 ta c
´
o u
1
( n) = (k
1
+ ··· + k
0
)
1998
(9k
0
)
1998
< 10
N
(do (15.1)). V
.
ây (15.2)
¯
d
´
ung khi i = 1.
2. Gi
,
a s
,
u
,
(15.2)
¯
d
´
ung v
´
o
,
i i = k, ngh
˜
ıa l
`
a u
k
( n) < 10
N
. Ta c
´
o
u
k+1
( n) = f (u
k
( n)). Theo gi
,
a thiê
´
t qui n
.
ap th
`
ı u
k
( n) < 10
N
. do
¯
d
´
o
u
k
( n) c
´
o không qu
´
a N ch
˜
u
,
´
, t
´
u
,
c l
`
a u
k
( n) c
´
o d
.
ang
u
k
( n) = a
1
a
2
. . . a
p
v
´
o
,
i p N
Theo
¯
d
.
inh ngh
˜
ıa th
`
ı
u
k+1
( n) = (a
1
+ a
2
+ ··· + a
p
)
1998
(9N)
1998
. (15.3)
Do N > m
0
v
.
ây t
`
u
,
(1) suy ra
10
N
> (9N)
1998
. (15.4)
T
`
u
,
(15.3) v
`
a (15.4) suy ra
u
k+1
( n) < 10
N
.
164 Chu
,
o
,
ng 15. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y
V
.
ây (15.2)
¯
d
´
ung v
´
o
,
i i = k + 1. Theo nguyên l
´
y qui n
.
ap th
`
ı (15.2)
¯
d
´
ung v
´
o
,
i m
.
oi i = 1, 2, . . ..
- D
˜
ay h
.
an c
´
ac
´
nguyên du
,
o
,
ng {u
i
( n)}, i = 1, 2, . . . b
.
i ch
.
˘
an
b
,
o
,
i 10
N
nên theo nguyên l
´
y Ðirichlê ph
,
ai
`
n t
.
ai hai ch
,
ı
´
p < q
sao cho
u
p
( n) = u
q
( n) = u
p+k
( n) = u
q+k
( n), k
N
´
oi c
´
ach kh
´
ac d
˜
ay u
i
( n), i = p, p + 1, .. l
`
a d
˜
ay tuâ
`
n ho
`
an v
´
o
,
i chu k
`
y
u
p
( n), u
p+1
( n), . . . , u
p+q+1
( n).
.
.
. 7.13. L
`
o
,
i gi
,
ai: Cho a l
`
a m
.
ôt
´
tu
`
y
´
y, th
`
ı {a} = a [a] g
.
oi l
`
a phâ
`
n
l
,
e c
,
ua
´
a,
,
o
,
¯
dây k
´
y hi
.
êu [a] l
`
a phâ
`
n nguyên c
,
ua
´
a. Xây d
.
u
,
ng d
˜
ay
m
´
o
,
i nhu
,
sau
v
1
= {u
1
}
v
2
= {u
1
+ u
2
}
. . . .
v
n
= {u
1
+ u
2
+ ··· + u
n
}
R
˜
o r
`
ang v
´
o
,
i m
.
oi k = 1, 2, . . . , n ta c
´
o 0 v
k
< 1.
Chia [0, 1) ra l
`
am n + 1 t
.
âp h
.
o
,
p nhu
,
sau
0
= [0,
1
n + 1
);
1
= [
1
n + 1
,
2
n + 1
); . . . ;
n
= [
n
n + 1
, 1)
Ch
,
ı c
´
o c
´
ac kh
,
a n
˘
ang sau
,
y ra
1. Ho
.
˘
ac
`
n t
.
ai k m
`
a v
k
0
n+1
:
-
´
u v
k
0
, t
´
u
,
c l
`
a 0 {u
1
+ u
2
+ ··· + u
k
} <
1
n + 1
. Ð
.
˘
at
S
k
= u
1
+ u
2
+ ··· + u
k
: 0 {S} <
1
n + 1
[ S] S < [S] +
1
n + 1
. (15.5)
15.7. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 7 165
V
.
ây [S] l
`
a
´
nguyên
`
n S nhâ
´
t, nên t
`
u
,
(15.5) suy ra
¯
diê
`
u ph
,
ai
ch
´
u
,
ng minh.
-Nê
´
u v
k
n
t
´
u
,
c l
`
a
n
n + 1
{u
1
+ u
2
+ ··· + u
k
} < 1 hay l
`
a
n
n + 1
{S} < 1
n
n + 1
S [ S] < 1 hay l
`
a
n
n + 1
+ [S ] S < [S] + 1. (15.6)
T
`
u
,
(15.6) suy ra [S] + 1 l
`
a
´
nguyên
`
n S nhâ
´
t v
`
a kh
´
ac n
´
o m
.
ôt
lu
,
.
o
,
ng [S] + 1 ([S] +
n
n + 1
) =
1
n + 1
.
2. Ho
.
˘
ac l
`
a c
´
ac
´
v
1
, v
2
, . . . , v
n
6
0
n
, v
.
ây v
1
, v
2
, . . . , v
n
n1
i =1
i
. Theo nguyên l
´
y Ðirichlê
`
n t
.
ai v
k
, v
l
, k > l, thu
.
ôc c
`
ung m
.
ôt
t
.
âp h
.
o
,
p
j
n
`
ao
¯
d
´
o, 1 j n 1.
Ðiê
`
u
¯
d
´
o c
´
o ngh
˜
ıa l
`
a
j
n + 1
{u
1
+ u
2
+ ··· + u
l
} <
j + 1
n + 1
j
n + 1
{u
1
+ u
2
+ ··· + u
k
} <
j + 1
n + 1
Ð
.
˘
at S
k
= u
1
+ u
2
+ ··· + u
k
v
`
a S
l
= u
1
+ u
2
+ ··· + u
l
ta c
´
o
j
n + 1
S
k
[S
k
] <
j + 1
n + 1
[ S
k
] +
j
n + 1
S
k
< [S
k
] +
j + 1
n + 1
j
n + 1
S
l
[S
l
] <
j + 1
n + 1
[ S
l
] +
j
n + 1
S
l
< [S
l
] +
j + 1
n + 1
[S
k
] [S
l
]
1
n + 1
S
k
S
l
[S
k
] [S
l
] +
1
n + 1
[S
k
] [S
l
]
1
n + 1
u
l+1
+ u
l+2
+ ··· + u
l
[S
k
] [S
l
] +
1
n + 1
Nhu
,
v
.
ây d
˜
ay con u
l+1
+ u
l+2
+ ··· + u
l
c
´
o
´
nguyên
`
n nhâ
´
t l
`
a
[S
k
] [S
l
] v
´
o
,
i
¯
d
.
ô l
.
êch không qu
´
a
1
n + 1
.
T
´
om l
.
ai, trong m
.
oi tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p ta
¯
`
u c
´
o
`
n t
.
ai d
˜
ay con tho
,
a
m
˜
an yêu
`
u
¯
`
ra.
166 Chu
,
o
,
ng 15. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y
.
.
. 7.14. L
`
o
,
i gi
,
ai: X
´
et d
˜
ây
´
p
1
= 1a = a, p
2
= 2a, p
3
= 3a,. . . ,
p
m1
= (m 1)a. K
´
y hi
.
êu q
1
, q
2
, . . . , q
m1
l
`
a c
´
ac
´
du
,
tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng
c
,
ua d
˜
ây trên chia cho m. V
`
ı theo
¯
diê
`
u ki
.
ên b
`
ai to
´
an a v
`
a m l
`
a nguyên
´
c
`
ung nhau, th
`
ı
´
t c
,
a c
´
ac
´
du
,
trên
¯
`
u kh
´
ac không.
´
u m
.
ôt
trong c
´
ac
´
du
,
b
`
˘
ang 1 th
`
ı b
`
ai to
´
an
¯
d
˜
a
¯
du
,
.
o
,
c gi
,
ai.
´
u
´
t c
,
a c
´
ac
´
du
,
¯
`
u kh
´
ac 1. Khi
¯
d
´
o m
˜
ôi
´
trong m 1
´
du
,
q
1
, q
2
, . . . , q
m
1
b
`
˘
ang m
.
ôt trong m 2
´
2, 3, . . . , m 1. Theo nguyên l
´
y Ðirichlê
c
´
o
´
ıt nhâ
´
t hai
´
trong q
1
, q
2
, . . . , q
m1
b
`
˘
ang nhau, ch
,
˘
ang h
.
an nhu
,
q
i
= q
j
, i < j. T
`
u
,
¯
d
´
o suy ra
´
(j i)a = p
j
p
i
chia
´
t cho m,
¯
diê
`
u n
`
ay không thê
,
,
y ra. S
.
u
,
l
´
y n
`
ay do gi
,
a thiê
´
t không m
.
ôt
´
du
,
trong q
1
, q
2
, . . . , q
m1
b
`
˘
ang 1, do
¯
d
´
o suy ra
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt trong c
´
ac
´
du
,
ph
,
ai b
`
˘
ang 1.
15.8. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 8
.
.
. 8.11. L
`
o
,
i gi
,
ai: Tru
,
´
o
,
c tiên ch
´
ung ta s
˜
e ch
´
u
,
ng minh a + b = c. T
`
u
,
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c 0 an [an] < 1 suy ra |
[an]
n
a| <
1
n
v
´
o
,
i m
.
oi n 1
sao cho lim
n
[an]
n
= a. Ch
´
ung ta c
˜
ung c
´
o
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c tu
,
o
,
ng t
.
u
,
cho b v
`
a c. Ch
´
ung ta
´
y gi
´
o
,
i h
.
an c
,
ua
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c
[an]
n
+
[b n]
n
=
[c n]
n
v
`
a nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c a + b = c.
Ð
.
˘
at a = [a] + α, b = [b] + β
,
o
,
¯
dây 0 α < 1, 0 β < 1. Khi
¯
d
´
o
[an] + [bn] = [([a] + α)n ] + [([b] + β)n] = [a]n + [b]n + [ αn] + [βn],
[(a + b)n] = [([a] + [b] + α + β)n] = [a]n + [b]n + [(α + β)n].
Nhu
,
v
.
ây b
`
ai to
´
an c
´
o thê
,
¯
d
.
˘
at l
.
ai nhu
,
sau: Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang
´
u a
v
`
a b l
`
a nh
˜
u
,
ng
´
trong kho
,
ang [0, 1) m
`
a ch
´
ung tho
,
a m
˜
an
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c
[an] + [bn] = [(a + b)n] (15.7)
v
´
o
,
i m
.
oi
´
t
.
u
,
nhiên n, th
`
ı
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt trong hai
´
¯
d
´
o b
`
˘
ang 0.
15.8. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 8 167
Gi
,
a s
,
u
,
a 6= 0 v
`
a b 6= 0. Ch
´
ung ta s
˜
e ch
´
u
,
ng minh
`
n t
.
ai
´
t
.
u
,
nhiên n sao cho
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c (15.7) không
¯
d
´
ung. Không
´
t t
´
ınh
,
ng
qu
´
at ch
´
ung ta c
´
o thê
,
gi
,
a thiê
´
t r
`
˘
ang a + b < 1, v
`
ı
´
u ngu
,
.
o
,
c l
.
ai th
`
ı
(15.7) s
˜
e không
¯
d
´
ung th
.
âm ch
´
ı v
´
o
,
i n = 1.
a) Ch
´
ung ta x
´
et tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p a v
`
a b l
`
a nh
˜
u
,
ng
´
h
˜
u
,
u t
,
y. Khi
¯
d
´
o c
´
o
thê
,
biê
,
u di
˜
ên ch
´
ung du
,
´
o
,
i d
.
ang a =
A
N
,
B
N
,
,
o
,
¯
dây A, B v
`
a N l
`
a nh
˜
u
,
ng
´
nguyên v
`
a tho
,
a m
˜
an 0 < A < N, 0 < B < N. D
˜
ê d
`
ang kiê
,
m tra
r
`
˘
ang (15.7) không tho
,
a m
˜
an v
´
o
,
i n = N 1. Th
.
ât v
.
ây,
[a(N 1)] = [aN a] = [A a] = A + [a] = A 1,
[b (N 1)] = [bN b] = [B b] = B + [b] = B 1,
[(a + b)(N 1)] = [A + B (a + b)] = A + B [a + b]
= A + B 1
Nhu
,
v
.
ây [a(N 1)] + [b(N 1)] 6= [(a + b) (N 1)].
b) Ch
´
ung ta x
´
et tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p m
.
ôt trong c
´
ac
´
a v
`
a b l
`
a
´
t
,
y.
Ch
´
ung ta s
˜
e ch
,
ı ra r
`
˘
ang c
´
o m
.
ôt
´
t
.
u
,
nhiên n, m
`
a
{an} + {bn} 1. (15.8)
Khi
¯
d
´
o
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c (15.8) s
˜
e suy ra không thê
,
c
´
o (15.7).
Gi
,
a s
,
u
,
a l
`
a m
.
ôt
´
t
,
y, theo b
`
ai 8.1 t
.
âp h
.
o
,
p nh
˜
u
,
ng
´
{an}, n =
1, 2, . . . l
`
a tr
`
u m
.
ât trong kho
,
ang (0, 1). K
´
y hi
.
êu k l
`
a
´
t
.
u
,
nhiên l
´
o
,
n
nhâ
´
t m
`
a a + kb < 1. Khi
¯
d
´
o
`
n t
.
ai
´
t
.
u
,
nhiên n m
`
a
a + kb < {an} < 1. (15.9)
´
u {bn} b, th
`
ı t
`
u
,
¯
d
.
inh ngh
˜
ıa c
,
ua k suy ra
{an} + {bn} > (a + kb) + b = a + (k + 1)b 1
hay n
´
oi c
´
ach kh
´
ac
`
n t
.
ai
´
t
.
u
,
nhiên n m
`
a
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c (15.8)
¯
d
´
ung.
168 Chu
,
o
,
ng 15. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y
´
u {bn} < b, th
`
ı v
´
o
,
i vi
.
êc thêm 1 b v
`
ao c
´
ac
´
c
,
ua
´
t
¯
d
,
˘
ang
th
´
u
,
c 0 {bn} < b, ch
´
ung ta nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c
1 b b(n 1) [bn] + 1 < 1
Ðiê
`
u
¯
d
´
o c
´
o ngh
˜
ıa l
`
a [b(n 1)] = [bn] 1 v
`
a {b( n 1)} 1 b.
Ngo
`
ai ra, tu
,
o
,
ng t
.
u
,
t
`
u
,
(15.9) suy ra
kb < a(n 1) [an] < 1 a < 1
v
`
ı thê
´
[a(n 1)] = [an] v
`
a {a(n 1)} > kb. Nhu
,
ng khi
¯
d
´
o
{a(n 1)} + {b(n 1)} > kb + (1 b) = 1 + (k 1)b 1,
v
`
ı k 1. Trong tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p n
`
ay (15.8)
¯
d
´
ung cho
´
t
.
u
,
nhiên n 1.
Nhu
,
v
.
ây d
˜
ân
¯
´
n l
´
y khi m
.
ôt trong c
´
ac
´
a v
`
a b l
`
a
´
t
,
y.
.
.
. 8.12. G
.
o
,
i
´
y: Ch
´
u
´
y r
`
˘
ang {n} ch
,
ı c
´
o thê
,
nh
.
ân h
˜
u
,
u h
.
an gi
´
a tr
.
i.
.
.
. 8.13. G
.
o
,
i
´
y: L
´
y lu
.
ân tu
,
o
,
ng t
.
u
,
nhu
,
8.4.
.
.
. 8.14. G
.
o
,
i
´
y: X
´
et c
´
ac
´
c
´
o d
.
ang n = 2k
2
v
`
a
´
ap d
.
ung 8.4.
15.9. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 9
.
.
. 9.11. G
.
o
,
i
´
y: X
´
et c
´
ac
´
kx [kx](k = 0, 1, 2, . . . , n) v
`
a
´
1, chia
¯
do
.
an [0,1] ra n + 1 phâ
`
n, phâ
`
n c
`
on l
.
ai
´
ap d
.
ung phu
,
o
,
ng ph
´
ap
¯
do
.
an
n
`
ay.
.
.
. 9.12. G
.
o
,
i
´
y: V
´
o
,
i m
˜
ôi c
´
ach ch
.
on nh
˜
u
,
ng
´
q
1
, q
2
, . . . q
n
`
n t
.
ai
´
nguyên p, v
´
o
,
i n
´
o 0 q
1
x
1
+ q
2
x
2
+ ··· + q
m
x
m
p < 1. Bây gi
`
o
,
i
chia
¯
do
.
an [0,1] ra (n + 1)
m
¯
do
.
an con b
`
˘
ang nhau.
15.10. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 10 169
.
.
. 9.13. G
.
o
,
i
´
y: H
˜
ay x
´
et hai tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p
2
p
q
>
3
2 v
`
a
2
p
q
3
2
.
.
. 9.14. G
.
o
,
i
´
y: Tu
,
o
,
ng t
.
u
,
b
`
ai trên.
.
.
. 9.15. G
.
o
,
i
´
y: Gi
,
a thiê
´
t v
´
o
,
i m
.
oi p v
`
a q th
,
oa m
˜
an
|mp
2
+ npq + sq
2
| 1.
15.10. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 10
.
.
. 10.11. L
`
o
,
i gi
,
ai: Ðây l
`
a s
.
u
,
,
ng qu
´
at h
´
oa b
`
ai 10.3. C
´
ach ch
´
u
,
ng
minh ho
`
an to
`
an tu
,
o
,
ng t
.
u
,
. Ch
´
ung ta c
˜
ung t
.
ao ra lu
,
´
o
,
i v
´
o
,
i c
´
ac h
`
ınh
vuông c
´
o di
.
ên t
´
ıch 1. Sau
¯
d
´
o
´
y m
.
ôt h
`
ınh vuông l
`
am
´
c
`
i t
.
inh
tiê
´
n c
´
ac h
`
ınh vuông c
´
o ch
´
u
,
a c
´
ac m
,
anh c
,
ua A
`
h
`
ınh vuông
´
c.
Nhu
,
v
.
ây
,
ng di
.
ên t
´
ıch nh
˜
u
,
ng phâ
`
n t
.
inh tiê
´
n c
,
ua A s
˜
e l
´
o
,
n ho
,
n n.
Theo nguyên l
´
y Ðirichlê m
,
o
,
r
.
ông cho di
.
ên t
´
ıch suy ra c
´
o
´
ıt nhâ
´
t
n + 1 trong
´
nh
˜
u
,
ng phâ
`
n c
,
ua A
¯
d
˜
a t
.
inh tiê
´
n t
´
o
,
i h
`
ınh vuông
´
c
c
´
o
¯
diê
,
m chung (x
0
, y
0
). Nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m t
`
u
,
c
´
ac h
`
ınh vuông nh
,
o ban
¯
`
u
t
.
inh tiê
´
n
¯
´
n
¯
diê
,
m n
`
ay c
´
o to
.
a
¯
d
.
ô l
`
a (x
i
, y
i
) (i = 1, 2, . . . , n + 1), m
`
a
x
i
x
j
v
`
a y
i
y
j
(i, j = 1, 2, . . . , n + 1) l
`
a nh
˜
u
,
ng
´
nguyên.
.
.
. 10.12. L
`
o
,
i gi
,
ai: Ch
´
ung ta x
´
et h
`
ınh vuông V, m
`
a n
´
o ch
´
u
,
a
`
m
.
˘
at A
v
`
a c
´
o c
.
anh v
´
o
,
i
¯
d
.
ô d
`
ai n nguyên. Ð
.
˘
at B = V\A. Ch
´
ung ta thâ
´
y ngay
S(V) = n
2
v
`
a S(A) < k, do
¯
d
´
o S(B) > n
2
k . Bây gi
`
o
,
´
ap d
.
ung b
`
ai
10.11. V
`
ı thê
´
B c
´
o thê
,
t
.
inh tiê
´
n sao cho n
´
o ch
´
u
,
a
´
ıt nhâ
´
t n
2
k + 1
¯
diê
,
m v
´
o
,
i to
.
a
¯
d
.
ô nguyên. K
´
y hi
.
êu A
1
, V
1
, B
1
l
`
a c
´
ac
,
anh c
,
ua ph
´
ep t
.
inh
tiê
´
n trên c
,
ua A, V, B tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng. R
˜
o r
`
ang B
1
= V
1
\A
1
. Ch
´
ung ta s
˜
e
ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang A
1
ch
´
u
,
a nhiê
`
u nhâ
´
t k 1
¯
diê
,
m v
´
o
,
i to
.
a
¯
d
.
ô nguyên.
170 Chu
,
o
,
ng 15. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y
Th
.
ât v
.
ây, Gi
,
a s
,
u
,
ngu
,
.
o
,
c l
.
ai ch
´
ung ta c
´
o k
¯
diê
,
m v
´
o
,
i to
.
a
¯
d
.
ô nguyên
trong A
1
. V
`
ı theo c
´
ach d
.
u
,
ng trên B
1
ch
´
u
,
a
´
ıt nhâ
´
t n
2
k + 1
¯
diê
,
m
trong v
´
o
,
i to
.
a
¯
d
.
ô nguyên v
`
a B
1
V
1
, A
1
V
1
, A
1
B
1
= , Khi
¯
d
´
o
h
`
ınh vuông V
1
ch
´
u
,
a
´
ıt nhâ
´
t n
2
+ 1
¯
diê
,
m v
´
o
,
i to
.
a
¯
d
.
ô nguyên,
¯
diê
`
u n
`
ay
không thê
,
,
y ra, d
˜
ân
¯
´
n l
´
y.
.
.
. 10.13. L
`
o
,
i gi
,
ai: C
˜
ung nhu
,
b
`
ai 10.5 t
´
ac d
.
ung lên A ph
´
ep v
.
i t
.
u
,
v
´
o
,
i
tâm t
.
ai
´
c t
.
a
¯
d
.
ô v
`
a h
.
ê
´
1
2
, ch
´
ung ta nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c t
.
âp h
.
o
,
p m
´
o
,
i A
0
.
V
`
ı S(A) > 4n nên S(A
0
) > n. Theo nguyên l
´
y Ðirichlê m
,
o
,
r
.
ông
cho di
.
ên t
´
ıch A
0
ch
´
u
,
a
´
ıt nhâ
´
t n + 1
¯
diê
,
m kh
´
ac nhau (x
i
, y
i
) (i =
1, 2, . . . , n + 1) m
`
a x
i
x
j
v
`
a y
i
y
j
l
`
a nh
˜
u
,
ng
´
nguyên.
Ch
´
ung ta x
´
et
¯
da gi
´
ac
`
i nh
,
o nhâ
´
t ch
´
u
,
a
´
t c
,
a c
´
ac
¯
diê
,
m trên. D
˜
ê
d
`
ang thâ
´
y r
`
˘
ang m
˜
ôi
¯
d
,
ınh c
,
ua
¯
da gi
´
ac l
`
a m
.
ôt trong c
´
ac
¯
diê
,
m (x
i
, y
i
).
Nh
˜
u
,
ng
¯
d
,
ınh c
,
ua
¯
da gi
´
ac không thu
.
ôc trong
¯
do
.
an n
`
ao m
`
a hai
¯
`
u l
`
a
nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m n
`
˘
am trong
¯
da gi
´
ac. V
`
ı thê
´
trong nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m (x
i
, y
i
)
`
n
t
.
ai m
.
ôt
¯
diê
,
m m
`
a không n
`
˘
am trong
¯
do
.
an th
,
˘
ang
´
i hai
¯
diê
,
m trong
t
.
âp h
.
o
,
p
¯
diê
,
m
¯
d
˜
a ch
.
on. Gi
,
a s
,
u
,
¯
diê
,
m
¯
d
´
o l
`
a (x
1
, y
1
). C
˜
ung theo b
`
ai
10.5 cho ta n
¯
diê
,
m kh
´
ac nhau v
`
a kh
´
ac
¯
diê
,
m
´
c to
.
a
¯
d
.
ô, v
´
o
,
i to
.
a
¯
d
.
ô
nguyên (x
i
x
1
, y
i
y
1
), i = 2, 3, . . . , n + 1,
¯
`
u n
`
˘
am trong A. V
`
ı
t
´
ınh
¯
´
i x
´
u
,
ng nên c
´
ac
¯
diê
,
m (x
1
x
i
, y
1
y
i
), i = 2, 3, . . . , n + 1,
c
˜
ung thu
.
ôc A.
Ch
´
ung ta s
˜
e ch
´
u
,
ng minh nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m x
´
ac
¯
d
.
inh theo c
´
ach trên l
`
a
kh
´
ac nhau t
`
u
,
ng
¯
dôi m
.
ô t. Th
.
ât v
.
ây, gi
,
a s
,
u
,
ngu
,
.
o
,
c l
.
ai ch
´
ung ta c
´
o
(x
i
x
1
, y
i
y
1
) = (x
1
x
j
, y
1
y
j
)
v
´
o
,
i hai ch
,
ı
´
n
`
ao
¯
d
´
o i, j m
`
a i, j = 2, 3, . . . , n + 1. V
`
ı v
.
ây x
1
=
1
2
(x
i
+
x
j
) v
`
a y
1
=
1
2
( y
i
+ y
j
).
´
u i = j th
`
ı (x
1
, y
1
) = (x
j
, y
j
), l
´
y v
`
ı
15.11. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 11 171
1 6= j.
´
u i 6= j, th
`
ı (x
1
, y
1
) l
`
a trung
¯
diê
,
m c
,
ua
¯
do
.
an th
,
˘
ang
´
i hai
¯
diê
,
m (x
i
, y
i
) v
`
a (x
j
, y
j
),
¯
diê
`
u n
`
ay không thê
,
¯
du
,
.
o
,
c theo c
´
ach ch
.
on.
Ch
´
u
,
ng minh trên ch
,
ı ra r
`
˘
ang A ch
´
u
,
a
´
ıt nhâ
´
t 2n
¯
diê
,
m kh
´
ac nhau
v
`
a kh
´
ac
´
c to
.
a
¯
d
.
ô, c
´
o to
.
a
¯
d
.
ô nguyên. Nhu
,
ng
¯
diê
,
m
´
c to
.
a
¯
d
.
ô c
˜
ung
n
`
˘
am trong t
.
âp A v
`
a c
´
o to
.
a
¯
d
.
ô nguyên, suy ra
´
t lu
.
ân c
,
ua b
`
ai to
´
an.
.
.
. 10.14. G
.
o
,
i
´
y:
´
Ap d
.
ung b
`
ai t
.
âp 10.13.
.
.
. 10.15. G
.
o
,
i
´
y: C
´
ach ch
´
u
,
ng minh tu
,
o
,
ng t
.
u
,
10.9.
15.11. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 11
.
.
. 11.11. a) T
`
u
,
b
`
ai 11.3 suy ra 6 = 9 (S
12
+ S
23
+ S
13
) + S
123
, t
´
u
,
c
l
`
a S
12
+ S
23
+ S
13
= 3 + S
123
3. Do
¯
d
´
o m
.
ôt trong c
´
ac
´
S
12
, S
23
, S
13
không nh
,
o ho
,
n 1.
b) L
`
o
,
i gi
,
ai: T
`
u
,
b
`
ai 11.3 suy ra 5 9 M
2
, t
´
u
,
c l
`
a M
2
4. B
,
o
,
i v
`
ı
t
`
u
,
9
¯
da gi
´
ac c
´
o thê
,
t
.
ao
¯
du
,
.
o
,
c 9.
8
2
= 36 c
.
˘
ap, di
.
ên t
´
ıch phâ
`
n chung c
,
ua
m
.
ôt
´
c
´
ac c
.
˘
ap
¯
d
´
o không nh
,
o ho
,
n
M
2
36
1
9
.
.
.
. 11.12. L
`
o
,
i gi
,
ai: G
.
oi M
1
, M
2
, . . . , M
6
l
`
a 6
¯
diê
,
m
¯
d
˜
a cho. Trong m
˜
ôi
tam gi
´
ac M
i
M
j
M
k
ta c
.
anh l
´
o
,
n nhâ
´
t b
`
˘
ang
`
u
¯
d
,
o.
´
t qu
,
a s
˜
e l
`
a
m
.
ôt
¯
do
.
an th
,
˘
ang M
r
M
s
l
`
a
¯
d
,
o c
`
on c
´
ac c
.
anh kh
´
ac s
˜
e không
¯
d
,
o. Ch
,
ı
`
n
ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang
`
n t
.
ai m
.
ôt tam gi
´
ac c
´
o
¯
d
,
ınh l
`
a c
´
ac
¯
diê
,
m
¯
d
˜
a cho v
`
a
ba c
.
anh
¯
du
,
.
o
,
c
`
u
¯
d
,
o. Th
.
ât v
.
ây, c
.
anh l
´
o
,
n nhâ
´
t c
,
ua tam gi
´
ac nhu
,
thê
´
¯
`
ng th
`
o
,
i l
`
a c
.
anh nh
,
o nhâ
´
t c
,
ua tam gi
´
ac kh
´
ac v
`
ı n
´
o
¯
du
,
.
o
,
c
`
u
¯
d
,
o. T
`
u
,
m
˜
ôi
¯
diê
,
m
¯
d
˜
a cho xuâ
´
t ph
´
at 5
¯
do
.
an th
,
˘
ang
´
i n
´
o v
´
o
,
i c
´
ac
¯
diê
,
m
c
`
on l
.
ai. V
.
ây ho
.
˘
ac
´
ıt nhâ
´
t c
´
o 3 trong nh
˜
u
,
ng
¯
do
.
an th
,
˘
ang n
`
ay
¯
du
,
.
o
,
c
`
u
¯
d
,
o, ho
.
˘
ac
´
ıt nhâ
´
t c
´
o 3
¯
do
.
an v
˜
ân không
¯
du
,
.
o
,
c
`
u
¯
d
,
o.
172 Chu
,
o
,
ng 15. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y
´
u t
`
u
,
¯
diê
,
m M
1
xuâ
´
t ph
´
at 3
¯
do
.
an
¯
du
,
.
o
,
c
`
u
¯
d
,
o (ch
,
˘
ang h
.
an
M
1
M
2
, M
1
M
3
, M
1
M
4
) th
`
ı trong M
2
M
3
M
4
´
ıt nhâ
´
t c
´
o m
.
ôt c
.
anh (l
´
o
,
n
nhâ
´
t)
¯
du
,
.
o
,
c
`
u
¯
d
,
o, gi
,
a s
,
u
,
¯
d
´
o l
`
a
¯
do
.
an M
2
M
3
. Thê
´
th
`
ı trong
M
1
M
2
M
3
´
t c
,
a c
´
ac c
.
anh
¯
`
u
¯
du
,
.
o
,
c
`
u
¯
d
,
o.
´
u t
`
u
,
¯
diê
,
m M
1
xuâ
´
t ph
´
at
´
ıt nhâ
´
t 3
¯
do
.
an không
¯
du
,
.
o
,
c
`
u
¯
d
,
o (ch
,
˘
ang h
.
an 3
¯
do
.
an M
1
M
2
, M
1
M
3
, M
1
M
4
) th
`
ı ta x
´
et 3 tam gi
´
ac
M
1
M
2
M
3
, M
1
M
2
M
4
, M
1
M
3
M
4
. Trong m
˜
ôi tam gi
´
ac n
`
ay
´
ıt nhâ
´
t c
´
o
m
.
ôt c
.
anh
¯
du
,
.
o
,
c
`
u
¯
d
,
o, nhu
,
ng c
.
anh không ch
´
u
,
a
¯
d
,
ınh M
1
. V
.
ây
3
¯
do
.
an M
2
M
3
, M
2
M
4
, M
3
M
4
¯
du
,
.
o
,
c
`
u
¯
d
,
o, t
´
u
,
c l
`
a 3 c
.
anh c
,
ua
M
2
M
3
M
4
¯
`
u
`
u
¯
d
,
o.
.
.
. 11.13. L
`
o
,
i gi
,
ai: Tru
,
´
o
,
c
´
t ta nh
.
ân x
´
et c
´
o
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt tam gi
´
ac
¯
do
,
n
s
´
˘
ac (B
`
ai 5.4). Gi
,
a s
,
u
,
P
1
P
2
P
3
l
`
a tam gi
´
ac
¯
do
,
n s
´
˘
ac, ch
,
˘
ang h
.
an
¯
d
,
o. Ðê
,
riêng P
1
ta c
`
on l
.
ai 6
¯
diê
,
m v
`
a ta l
.
ai c
´
o m
.
ôt tam gi
´
ac
¯
do
,
n s
´
˘
ac không
c
´
o P
1
l
`
a
¯
d
,
ınh (B
`
ai 5.4).
´
u tam gi
´
ac n
`
ay không ch
´
u
,
a c
.
anh P
2
P
3
th
`
ı
ta
¯
du
,
.
o
,
c
´
t qu
,
a, thê
´
th
`
ı c
´
o m
.
ôt
¯
diê
,
m th
´
u
,
tu
,
P
0
1
sao cho P
0
1
P
2
P
3
c
˜
ung
l
`
a tam gi
´
ac
¯
d
,
o. Tu
,
o
,
ng t
.
u
,
¯
,
riê
`
n P
2
v
`
a P
3
ta
¯
du
,
.
o
,
c P
0
2
v
`
a P
0
3
sao cho
P
1
P
0
2
P
3
v
`
a P
1
P
2
P
0
3
l
`
a tam gi
´
ac
¯
d
,
o.
Tru
,
´
o
,
c
´
t ta x
´
et kh
,
a n
˘
angl
`
a 3
¯
diê
,
m P
0
1
, P
0
2
v
`
a P
0
3
không phân bi
.
êt.
Trong tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p n
`
ay m
.
ôt trong ch
´
ung t
.
ao th
`
anh v
´
o
,
i P
1
P
2
P
3
m
.
ôt
h
`
ınh t
´
u
,
di
.
ên. C
`
on l
.
ai 3
¯
diê
,
m.
´
u c
´
ac c
.
anh gi
˜
u
,
a m
.
ôt trong ba
¯
diê
,
m
c
`
on l
.
ai
¯
d
´
o v
`
a 2
¯
d
,
ınh c
,
ua h
`
ınh t
´
u
,
di
.
ên l
`
a
¯
d
,
o ta s
˜
e
¯
du
,
.
o
,
c hai tam gi
´
ac
¯
d
,
o v
´
o
,
i 2 c
.
anh r
`
o
,
i nhau, m
.
ôt tam gi
´
ac c
´
o m
.
ôt
¯
d
,
ınh m
´
o
,
i v
`
a m
.
ôt c
.
anh
c
,
ua t
´
u
,
di
.
ên v
`
a tam gi
´
ac kia trên t
´
u
,
di
.
ên.
´
u không, m
˜
ôi
¯
diê
,
m c
´
o
´
ıt
nhâ
´
t c
.
anh
¯
d
,
o thu
.
ôc t
´
u
,
di
.
ên. Nhu
,
thê
´
c
´
o
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt
¯
d
,
ınh c
,
ua t
´
u
,
di
.
ên
´
i v
´
o
,
i c
,
a 3
¯
d
,
ınh c
`
on l
.
ai b
`
˘
ang c
.
anh
`
u
¯
den.
´
u c
.
˘
ap n
`
ao trong 3
´
i b
`
˘
ang c
.
anh
¯
den th
`
ı ta c
´
o m
.
ôt tam gi
´
ac
¯
den v
`
a m
.
ôt
¯
d
,
o.
´
u không
ta
¯
du
,
.
o
,
c hai tam gi
´
ac
¯
d
,
o c
´
o
¯
d
,
ınh r
`
o
,
i nhau.
15.12. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 12 173
V
.
ây ta c
´
o thê
,
gi
,
a s
,
u
,
r
`
˘
ang ba
¯
diê
,
m P
0
1
, P
0
2
v
`
a P
0
3
l
`
a phân bi
.
êt.
´
u
2
¯
diê
,
m, P
0
1
v
`
a P
0
2
,
¯
du
,
.
o
,
c
´
i b
`
˘
ang c
.
anh
¯
d
,
o th
`
ı ta
¯
du
,
.
o
,
c hai tam gi
´
ac
¯
d
,
o
P
1
P
2
P
3
v
`
a P
0
1
P
0
2
P
3
.
´
u không th
`
ı P
1
P
2
P
3
v
`
a P
0
1
P
0
2
P
0
3
cho theo th
´
u
,
t
.
u
,
m
.
ôt tam gi
´
ac
¯
d
,
o v
`
a m
.
ôt tam gi
´
ac
¯
den.
.
.
. 11.14. L
`
o
,
i gi
,
ai:
´
y 1998
¯
d
˜
ıa
¯
du
,
.
o
,
c giô
´
ng nhu
,
¯
d
˜
ıa th
´
u
,
hai c
,
ua
ch
´
ung ta v
`
a
¯
d
.
˘
at chô
`
ng
´
t c
,
a ch
´
ung lên
¯
d
˜
ıa th
´
u
,
nhâ
´
t sao cho ch
´
ung
c
´
o
´
t c
,
a c
´
ac v
.
i tr
´
ı c
´
o thê
,
(nhu
,
khi quay). Khi
¯
d
´
o trên m
˜
ôi h
`
ınh qu
.
at
c
,
ua
¯
d
˜
ıa th
´
u
,
nhâ
´
t c
´
o 200 h
`
ınh qu
.
at,
¯
du
,
.
o
,
c tô, t
´
u
,
c l
`
a c
´
o
´
t c
,
a 200
2
c
.
˘
ap h
`
ınh qu
.
at
¯
du
,
.
o
,
c tr
`
ung nhau. Gi
,
a s
,
u
,
c
´
o n v
.
i tr
´
ı c
,
ua
¯
d
˜
ıa th
´
u
,
hai c
´
o không
´
ıt ho
,
n 21 c
.
˘
ap h
`
ınh qu
.
at
¯
du
,
.
o
,
c tr
`
ung nhau. Khi
¯
d
´
o
´
c
´
ac h
`
ınh qu
.
at
¯
du
,
.
o
,
c tr
`
ung nhau không nh
,
o ho
,
n 21n. Do
¯
d
´
o
21n 200
2
, t
´
u
,
c l
`
a n 1904, 8. B
,
o
,
i v
`
ı n l
`
a
´
nguyên, nên n 1904.
Suy ra c
´
o
´
ıt nhâ
´
t 1998 1904 = 94 v
.
i tr
´
ı c
´
o không qu
´
a 20 c
.
˘
ap h
`
ınh
qu
.
at
¯
du
,
.
o
,
c tr
`
ung nhau.
.
.
. 11.15. G
.
o
,
i
´
y: Ch
´
u
,
ng minh ho
`
an to
`
an nhu
,
b
`
ai 11.2.
15.12. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 12
.
.
. 12.11. L
`
o
,
i gi
,
ai:
´
y A
l
`
a nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m trên m
.
˘
at
`
u
¯
´
i x
´
u
,
ng qua
tâm c
,
ua qu
,
a
`
u t
`
u
,
nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m c
,
ua t
.
âp h
.
o
,
p A . Theo gi
,
a thiê
´
t
,
ng
di
.
ên t
´
ıch c
,
ua A v
`
a A
l
´
o
,
n ho
,
n di
.
ên t
´
ıch m
.
˘
at
`
u. Theo nguyên l
´
y
Ðirichlê cho di
.
ên t
´
ıch ch
´
ung c
´
o
¯
diê
,
m chung. V
.
ây
¯
diê
,
m chung
¯
d
´
o v
`
a
¯
diê
,
m
¯
´
i x
´
u
,
ng c
,
ua n
´
o l
`
a c
.
˘
ap
¯
diê
,
m
¯
`
u thu
.
ôc A t
.
ao ra
¯
du
,
`
o
,
ng k
´
ınh
qu
,
a
`
u.
.
.
. 12.12. L
`
o
,
i gi
,
ai: V
´
o
,
i m
˜
ôi h
`
ınh ch
˜
u
,
th
.
âp ta x
´
et h
`
ınh tr
`
on c
´
o tâm t
.
ai
tâm ch
˜
u
,
th
.
âp v
`
a b
´
an k
´
ınh b
`
˘
ang
1
2
2
. Ta ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang
´
u hai
174 Chu
,
o
,
ng 15. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y
h
`
ınh tr
`
on
¯
d
´
o c
´
˘
at nhau th
`
ı hai ch
˜
u
,
th
.
âp c
˜
ung s
˜
e c
´
˘
at nhau. Kho
,
ang
c
´
ach gi
˜
u
,
a hai tâm c
,
ua h
`
ınh tr
`
on b
`
˘
ang nhau v
`
a c
´
˘
at nhau không l
´
o
,
n
ho
,
n hai
`
n b
´
an k
´
ınh c
,
ua ch
´
ung, do
¯
d
´
o kho
,
ang c
´
ach gi
˜
u
,
a tâm c
,
ua
c
´
ac ch
˜
u
,
th
.
âp tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i ch
´
ung không l
´
o
,
n ho
,
n
1
2
. X
´
et h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât x
´
ac
¯
d
.
inh b
,
o
,
i c
´
ac c
´
anh c
,
ua h
`
ınh ch
˜
u
,
th
.
âp th
´
u
,
nhâ
´
t v
`
a tâm c
,
ua
ch
˜
u
,
th
.
âp th
´
u
,
hai. S
˜
e c
´
o m
.
ôt c
´
anh c
,
ua ch
˜
u
,
th
.
âp th
´
u
,
hai
¯
di qua h
`
ınh
ch
˜
u
,
nh
.
ât
¯
d
´
o, do
¯
d
´
o s
˜
e c
´
˘
at ch
˜
u
,
th
.
âp th
´
u
,
nhâ
´
t, b
,
o
,
i v
`
ı
¯
d
.
ô d
`
ai c
,
ua c
´
anh
b
`
˘
ang
1
2
, c
`
on
¯
d
.
ô d
`
ai
¯
du
,
`
o
,
ng ch
´
eo h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât không l
´
o
,
n ho
,
n
1
2
.
R
˜
o r
`
ang trong h
`
ınh tr
`
on b
´
an k
´
ınh 100 ch
,
ı c
´
o thê
,
¯
d
.
˘
at
¯
du
,
.
o
,
c m
.
ôt
´
h
˜
u
,
u h
.
an c
´
ac h
`
ınh tr
`
on b
´
an k
´
ınh
1
2
2
không c
´
˘
at nhau.
.
.
. 12.13. L
`
o
,
i gi
,
ai: C
´
o thê
,
. Gi
,
a s
,
u
,
O l
`
a tâm c
,
ua ng
˜
u gi
´
ac
¯
`
u ABCDE.
Khi
¯
d
´
o c
´
ac h
`
ınh tr
`
on n
.
ôi tiê
´
p trong c
´
ac g
´
oc AOC, BOD, COE, DOA,
EOB c
´
o t
´
ınh châ
´
t
¯
d
˜
a nêu.
.
.
. 12.14. L
`
o
,
i gi
,
ai: X
´
et m
.
ôt tam gi
´
ac
¯
`
u c
´
o c
.
anh b
`
˘
ang 1.
´
t c
,
a 3
¯
d
,
ınh c
,
ua n
´
o không thê
,
¯
du
,
.
o
,
c b
`
˘
ang c
´
ac
`
u kh
´
ac nhau, do
¯
d
´
o ph
,
ai
c
´
o hai
¯
diê
,
m c
`
ung
`
u, v
`
a kho
,
ang c
´
ach gi
˜
u
,
ch
´
ung b
`
˘
ang 1.
PH
.
U L
.
UC A
T
.
ÂP H
.
O
,
P V
`
A
´
ANH X
.
A
A.1. T
.
âp h
.
o
,
p v
`
a To
´
an t
,
u
,
trên t
.
âp h
.
o
,
p.
Khi ch
´
ung ta coi m
.
ôt
¯
´
i tu
,
.
o
,
ng a n
`
ao
¯
d
´
o l
`
a m
.
ôt phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua t
.
âp
h
.
o
,
p A, th
`
ı k
´
y hi
.
êu l
`
a a A, c
`
on khi a không l
`
a phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua A th
`
ı k
´
y
hi
.
êu l
`
a a 6 A .
M
.
ôt t
.
âp h
.
o
,
p A g
.
oi l
`
a t
.
âp h
.
o
,
p con c
,
ua t
.
âp h
.
o
,
p B, khi m
.
oi phâ
`
n
t
,
u
,
c
,
ua t
.
âp h
.
o
,
p A l
`
a phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua t
.
âp h
.
o
,
p B, K
´
y hi
.
êu l
`
a A B ho
.
˘
ac
B A. Ngh
˜
ıa l
`
a t
`
u
,
a A suy ra a B ho
.
˘
ac l
`
a t
`
u
,
a 6 B suy ra
a 6 A.
T
.
âp h
.
o
,
p r
˜
ông không c
´
o m
.
ôt phâ
`
n t
,
u
,
n
`
ao, k
´
y hi
.
êu l
`
a . M
.
oi
¯
´
i
tu
.
o
,
ng x
¯
`
u không n
`
˘
am trong t
.
âp h
.
o
,
p r
˜
ông x 6∈ . T
.
âp h
.
o
,
p r
˜
ông
¯
`
u n
`
˘
am trong m
.
oi t
.
âp h
.
o
,
p, ngh
˜
ıa l
`
a A, v
´
o
,
i m
.
oi A.
Hai t
.
âp h
.
o
,
p A v
`
a B tr
`
ung nhau khi ch
´
ung c
´
o c
`
ung c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
nhu
,
nhau, k
´
y hi
.
êu A = B. Tu
,
o
,
ng
¯
du
,
o
,
ng , A = B khi v
`
a ch
,
ı khi t
`
u
,
a A suy ra a B v
`
a t
`
u
,
a B suy ra a A ho
.
˘
ac A B v
`
a B A.
Cho A
1
, A
2
, . . . , A
n
l
`
a m
.
ôt
´
h
˜
u
,
u h
.
an nh
˜
u
,
ng t
.
âp h
.
o
,
p. H
.
o
,
p c
,
ua
nh
˜
u
,
ng t
.
âp h
.
o
,
p trên l
`
a m
.
ôt t
.
âp h
.
o
,
p
`
m
´
t c
,
a c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
m
`
a n
´
o
thu
.
ôc v
`
ao m
.
ôt trong c
´
ac t
.
âp h
.
o
,
p A
1
, A
2
, . . . , A
n
. H
.
o
,
p c
,
ua c
´
ac t
.
âp
h
.
o
,
p A
1
, A
2
, . . . , A
n
, k
´
y hi
.
êu l
`
a A
1
A
2
. . . A
n
. C
.
u thê
,
, a A
1
A
2
. . . A
n
ngh
˜
ıa l
`
a
`
n t
.
ai m
.
ôt ch
,
ı
´
i trong {1, 2, . . . , n } sao cho
175
176 Chu
,
o
,
ng A. T
.
âp h
.
o
,
p v
`
a
´
Anh x
.
a
a A
i
.
Cho A
1
, A
2
, . . . , A
n
l
`
a m
.
ôt
´
h
˜
u
,
u h
.
an nh
˜
u
,
ng t
.
âp h
.
o
,
p. Giao
c
,
ua nh
˜
u
,
ng t
.
âp h
.
o
,
p trên l
`
a m
.
ôt t
.
âp h
.
o
,
p
`
m c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
m
`
a
n
´
o n
`
˘
am trong m
.
oi t
.
âp h
.
o
,
p A
1
, A
2
, . . . , A
n
. Giao c
,
ua c
´
ac t
.
âp h
.
o
,
p
A
1
, A
2
, . . . , A
n
k
´
y hi
.
êu l
`
a A
1
A
2
. . . A
n
. C
.
u thê
,
, a A
1
A
2
. . . A
n
ngh
˜
ıa l
`
a v
´
o
,
i m
.
oi ch
,
ı
´
i trong {1, 2, . . . , n} ta c
´
o a A
i
.
Hi
.
êu c
,
ua hai t
.
âp h
.
o
,
p A v
`
a B l
`
a m
.
ôt t
.
âp h
.
o
,
p, k
´
y hi
.
êu A\B,
`
m
nh
˜
u
,
ng phâ
`
n t
,
u
,
a c
´
o t
´
ınh châ
´
t a A v
`
a a 6 B.
A.2. Qui n
.
ap to
´
an h
.
oc v
`
a B
`
ai to
´
an
,
h
.
o
,
p
Trong t
.
âp h
.
o
,
p
´
t
.
u
,
nhiên, c
`
ung v
´
o
,
i nguyên l
´
y Ðirichlê c
`
on m
.
ôt
nguyên l
´
y qui n
.
ap to
´
an h
.
oc c
˜
ung hay
¯
du
,
.
o
,
c s
,
u
,
d
.
ung. D
.
ang
¯
do
,
n gi
,
an
c
,
ua phu
,
o
,
ng ph
´
ap qui n
.
ap to
´
an h
.
oc nhu
,
sau:
Cho m
.
ôt d
˜
ay nh
˜
u
,
ng
¯
diê
`
u kh
,
˘ang
¯
d
.
inh
K
1
, K
2
, . . . , K
n
, . . . (A.1)
c
´
o t
´
ınh châ
´
t sau:
a)K
1
l
`
a kh
,
˘ang
¯
d
.
inh
¯
d
´
ung.
b) V
´
o
,
i m
˜
ôi
´
t
.
u
,
nhiên n,nê
´
u K
n
l
`
a kh
,
˘ang
¯
d
.
inh
¯
dus ng th
`
ı suy ra
K
n+1
c
˜
ung l
`
a kh
,
˘ang
¯
d
.
inh
¯
d
´
ung.
Khi
¯
d
´
o
´
t c
,
a c
´
ac kh
,
˘ang
¯
d
.
inh trong d
˜
ay (A.1)
¯
`
u
¯
d
´
ung.
Ch
´
u
´
y:
¯
diê
`
u ki
.
ên a)
¯
d
,
am b
,
ao cho K
1
¯
d
´
ung, sau
¯
d
´
o
´
ap d
.
ung b)
cho K
2
c
˜
ung
¯
d
´
ung, tiê
´
p t
.
uc
´
ap d
.
ung b) cho K
3
c
˜
ung
¯
d
´
ung v
`
a tiê
´
p t
.
uc
qu
´
a tr
`
ınh
¯
d
´
o v
´
o
,
i m
.
oi n. Ðê
,
minh h
.
oa ch
´
ung ta ch
´
u
,
ng minh m
.
ôt
¯
d
.
inh
l
´
y
`
,
h
.
o
,
p m
`
a
´
t hay
´
ap d
.
ung trong cuô
´
n s
´
ach n
`
ay:
M
.
oi t
.
âp h
.
o
,
p h
˜
u
,
u h
.
an v
´
o
,
i n phâ
`
n t
,
u
,
c
´
o
¯
d
´
ung 2
n
t
.
âp h
.
o
,
p con t
.
ao b
,
o
,
i
c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
kh
´
ac nhau c
,
ua n
´
o.
A.3.
´
Anh x
.
a trên t
.
âp h
.
o
,
p 177
V
´
o
,
i m
.
oi
´
n ch
´
ung ta k
´
y hi
.
êu
¯
diê
`
u kh
,
˘
ang
¯
d
.
inh trên b
`
˘
ang K
n
.
Nhu
,
v
.
ây ch
´
ung ta s
˜
e nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c d
˜
ay (A.1). V
´
o
,
i n = 1 kh
,
˘
ang
¯
d
.
inh
¯
d
´
ung, v
`
ı m
.
oi t
.
âp h
.
o
,
p c
´
o m
.
ôt phâ
`
n t
,
u
,
c
´
o
¯
d
´
ung hai t
.
âp h
.
o
,
p con,
¯
d
´
o l
`
a
t
.
âp r
˜
ông v
`
a ch
´
ınh t
.
âp ( m
.
ôt phâ
`
n t
,
u
,
)
¯
dos . V
.
ây (A.1) c
´
o t
´
ınh châ
´
t
a).
Bây gi
`
o
,
ch
´
ung ta ph
,
ai ch
´
u
,
ng minh b)
¯
d
´
ung. Ngh
˜
ıa l
`
a cho n l
`
a
m
.
ôt
´
t
.
u
,
nhiên
´
t k
`
y v
`
a kh
,
˘
ang
¯
d
.
inh K
n
¯
d
´
ung t
´
u
,
c l
`
a m
.
oi t
.
âp h
.
o
,
p c
´
o
n phâ
`
n t
,
u
,
c
´
o
¯
d
´
ung 2
n
t
.
âp h
.
o
,
p con.
`
n ph
,
ai ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang K
n+1
l
`
a
¯
dus ng. Ch
´
ung ta x
´
et S l
`
a t
.
âp h
.
o
,
p c
´
o n + 1 phâ
`
n t
,
u
,
v
`
a s l
`
a m
.
ôt
phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua n
´
o. Ch
´
ung ta chia nh
˜
u
,
ng t
.
âp h
.
o
,
p con c
,
ua S l
`
am hai l
´
o
,
p:
L
´
o
,
p a
1
`
m
´
t c
,
a c
´
ac t
.
âp h
.
o
,
p con c
,
ua S không ch
´
u
,
a s. L
´
o
,
p a
2
`
m
´
t c
,
a c
´
ac t
.
âp h
.
o
,
p con c
,
ua S ch
´
u
,
a s. Nh
˜
u
,
ng t
.
âp h
.
o
,
p con thu
.
ôc l
´
o
,
p a
1
l
`
a t
.
âp h
.
o
,
p con c
,
ua m
.
ôt t
.
âp h
.
o
,
p n phâ
`
n t
,
u
,
S
1
, m
`
a n
´
o nh
.
ân t
`
u
,
S sau
khi b
,
o
¯
di phâ
`
n t
,
u
,
s. Theo gi
,
a thiê
´
t qui n
.
ap
´
lu
,
.
o
,
ng t
.
âp h
.
o
,
p con c
,
ua
n
´
o
¯
d
´
ung l
`
a 2
n
. M
.
˘
at kh
´
ac c
´
ac t
.
âp h
.
o
,
p con c
,
ua l
´
o
,
p a
2
l
`
a tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng 1-1
v
´
o
,
i v
´
o
,
i c
´
ac t
.
âp h
.
o
,
p con c
,
ua S
1
. Th
.
ât v
.
ây, m
.
oi t
.
âp h
.
o
,
p con Z ch
´
u
,
a s
c
,
ua S ta cho tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i t
.
âp h
.
o
,
p con Z
1
c
,
ua S
1
b
`
˘
ang c
´
ach t
`
u
,
Z
ta b
,
o
¯
d
.
i phâ
`
n t
,
u
,
s. Ngh
˜
ıa l
`
a
´
lu
,
.
o
,
ng t
.
âp h
.
o
,
p con c
,
ua S trong l
´
o
,
p a
2
tr
`
ung v
´
o
,
i
´
lu
,
.
o
,
ng t
.
âp h
.
o
,
p con c
,
ua S
1
v
`
a b
`
˘
ang 2
n
. Do
¯
d
´
o
´
t c
,
a t
.
âp
h
.
o
,
p con c
,
ua S l
`
a 2
n
+ 2
n
= 2
n+1
. Nhu
,
v
.
ây ch
´
ung ta
¯
d
˜
a ch
´
u
,
ng minh,
v
´
o
,
i m
.
oi n, t
`
u
,
K
n
¯
dus ng suy ra K
n+1
¯
dus ng. Ch
´
ung ta ch
´
u
,
ng minh
¯
du
,
.
o
,
c (A.1) c
´
o t
´
ınh châ
´
t b). Suy ra
´
t c
,
a c
´
ac kh
,
˘
ang
¯
d
.
inh
¯
`
u
¯
d
´
ung.
J
A.3.
´
Anh x
.
a trên t
.
âp h
.
o
,
p
T
`
u
,
nh
˜
u
,
ng kh
´
ai ni
.
êm
´
phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua m
.
ôt t
.
âp h
.
o
,
p n
`
ay l
´
o
,
n ho
,
n
´
phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua m
.
ôt t
.
âp h
.
o
,
p kia, ngu
,
`
o
,
i ta xây d
.
u
,
ng kh
´
ai ni
.
êm
´
anh x
.
a
¯
,
gi
,
ai th
´
ıch v
`
a ch
´
ınh x
´
ac h
´
oa trong khi ch
´
u
,
ng minh.
178 Chu
,
o
,
ng A. T
.
âp h
.
o
,
p v
`
a
´
Anh x
.
a
Ch
´
ung ta n
´
oi r
`
˘
ang cho m
.
ôt
´
anh x
.
a f : A B t
`
u
,
t
.
âp h
.
o
,
p A v
`
ao
t
.
âp h
.
o
,
p B, khi m
.
oi phâ
`
n t
,
u
,
a thu
.
ôc A cho tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i m
.
ôt phâ
`
n
t
,
u
,
f (a) thu
.
ôc B. Phâ
`
n t
,
u
,
f (a) g
.
oi l
`
a gi
´
a tr
.
i c
,
ua
´
anh x
.
a f v
´
o
,
i phâ
`
n
t
,
u
,
a c
,
ua A. C
´
o thê
,
ch
,
ı ra nhiê
`
u v
´
ı d
.
u nhu
,
´
anh x
.
a
´
t
.
u
,
nhiên v
`
ao
´
ch
˜
˘
an, v
´
o
,
i m
.
oi n cho tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i 2n,. . . .
Ngu
,
`
o
,
i ta c
`
on
¯
du
,
a ra m
.
ôt
´
t
´
ınh châ
´
t c
,
ua
´
anh x
.
a: M
.
ôt
´
anh x
.
a
f : A B g
.
oi l
`
a
¯
do
,
n
´
anh,
´
u t
`
u
,
f (a
1
) = f (a
2
)(a
1
, a
2
A) suy ra
a
1
= a
2
. N
´
oi c
´
ach kh
´
ac f l
`
a
¯
do
,
n
´
anh khi m
.
oi phâ
`
n t
,
u
,
kh
´
ac nhau c
,
ua
A cho tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i nh
˜
u
,
ng phâ
`
n t
,
u
,
kh
´
ac nhau c
,
ua B.
M
.
ôt
´
anh x
.
a f : A B g
.
oi l
`
a to
`
an
´
anh,
´
u v
´
o
,
i m
.
oi phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua b c
,
ua B
`
n t
.
ai phâ
`
n t
,
u
,
a thu
.
ôc A sao cho f (a) = b. C
´
o nhiê
`
u v
´
ı
d
.
u
`
´
anh x
.
a lo
.
ai n
`
ay, nhu
,
ph
´
ep chiê
´
u lên tr
.
uc to
.
a
¯
d
.
ô c
,
ua m
.
oi
¯
diê
,
m
trong m
.
˘
at ph
,
˘
ang.
M
.
ôt
´
anh x
.
a f : A B g
.
oi l
`
a song
´
anh, khi n
´
o
¯
`
ng th
`
o
,
i l
`
a
¯
do
,
n
´
anh v
`
a to
`
an
´
anh.
´
u f : A B l
`
a song
´
anh, th
`
ı v
´
o
,
i m
.
oi phâ
`
n t
,
u
,
b
c
,
ua B
`
n t
.
ai duy nhâ
´
t phâ
`
n t
,
u
,
a thu
.
ôc A sao cho f (a) = b.
Cho song
´
anh f : A B.
´
u ch
´
ung ta
¯
d
.
˘
at g(b) = a khi
¯
d
˜
a
c
´
o f (a) = b, ch
´
ung ta nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c
´
anh x
.
a g : B A g
.
oi l
`
a
´
anh
x
.
a ngu
,
.
o
,
c c
,
ua f v
`
a k
´
y hi
.
êu l
`
a f
1
= g. Nhu
,
v
.
ây f ( f
1
( b)) = b v
`
a
f
1
( f (a)) = a v
´
o
,
i m
.
oi a thu
.
ôc A v
`
a b thu
.
ôc B.
Cho hai
´
anh x
.
a f : A B v
`
a g : B C, c
´
o thê
,
t
.
ao ra
´
anh x
.
a
h : A C b
`
˘
ang công th
´
u
,
c h(a) = f (g(a)). K
´
y hi
.
êu h = g f .
T
`
AI LI
.
ÊU THAM KH
,
AO
[1] Tuyê
,
n t
.
âp 30 am t
.
ap ch
´
ı To
´
an h
.
oc v
`
a T
,
i tr
,
e, NXBGD, 1997.
[2] 255 b
`
ai to
´
an
´
h
.
oc ch
.
on l
.
oc, V.D. Th
.
uy, T. C. Th
`
anh, N. N.
Ð
.
am, S
,
o
,
GD H
`
a tây, 1993
[3] 10000 B
`
ai to
´
an so
,
´
p - D
˜
ay
´
v
`
a gi
´
o
,
i h
.
an, Phan Huy Kh
,
ai,
NXB H
`
a n
.
ôi, 1997.
[4] C
´
ac
¯
`
thi
¯
d
.
ich to
´
an c
´
ac nu
,
´
o
,
c, Xv. Cônhiagin, G.A.Tônôian,
If. Saru
,
gin, NXB GD 1996.
[5] C
´
ac b
`
ai to
´
an h
`
ınh h
.
oc ph
,
˘ang, V.V. Praxolov, T
.
âp II, NXB H
,
ai
ph
`
ong 1997.
[6] Zadatri Vsesaiun
´
u
,
c matematitreskii olimpiada, N.B. Vasilev,
A.A. Egorov, Maskova- Nauka 1988.
[7] Matematichskii akvarium V. A. Uphnarovskii, Kishinev " shti-
insa" 1987.(Tiê
´
ng Nga).
[8] Problem-Solving Through Problems, Loren C. Larson, Spring-
Verlag, 1983.
[9] Princil na Dirichle, Ivan Prodanov, "Narodna Prosveta", Sophia
1988 (Tiê
´
ng Bungari).
179
180 M
.
uc l
.
uc
[10] Zadachi da idvu
,
nklasna Rabota po matematika,
R.Rusev, K.Bankov, Sv. Slavchev, "Narodna Prosveta", Sophia
1986 (Tiê
´
ng Bungari).
[11] Sbornhik ot Zadachi za Matematicheski Olympiadi,
St. Budurov, V. Phlorov, "Narodna Prosveta", Sophia 1966
(Tiê
´
ng Bungari).
N
.
ÔI DUNG
L
`
o
,
i n
´
oi
¯
`
u.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Chu
,
o
,
ng 1. Nguyên l
´
y Ðirichlê v
`
a v
´
ı d
.
u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1. Nguyên l
´
y Ðirichlê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. V
´
ı d
.
u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3. B
`
ai t
.
âp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Chu
,
o
,
ng 2.
´
h
.
oc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1. Ph
´
ep chia
´
t
.
u
,
nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2. V
´
ıd
.
u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3. B
`
ai t
.
âp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Chu
,
o
,
ng 3. D
˜
ay
´
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1. Nguyên l
´
y Ðirichlê cho d
˜
ay
´
h
.
an. . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2. V
´
ı d
.
u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3. B
`
ai t
.
âp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Chu
,
o
,
ng 4. H
`
ınh h
.
oc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.1. V
´
ı d
.
u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2. B
`
ai t
.
âp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Chu
,
o
,
ng 5. M
,
o
,
r
.
ông nguyên l
´
y Ðirichlê. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.1. Nguyên l
´
y Ðirichlê m
,
o
,
r
.
ông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.2. V
´
ı d
.
u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
181
182 N
.
ÔI DUNG
5.3. B
`
ai t
.
âp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Chu
,
o
,
ng 6. B
`
ai t
.
âp
´
h
.
oc nâng cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.1. Ð
.
inh l
´
y co
,
b
,
an c
,
ua
´
h
.
oc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.2. V
´
ı d
.
u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.3. B
`
ai t
.
âp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Chu
,
o
,
ng 7. B
`
ai t
.
âp d
˜
ây
´
nâng cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7.1. V
´
ı d
.
u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7.2. B
`
ai t
.
âp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Chu
,
o
,
ng 8.
´
th
.
u
,
c v
´
o
,
i t
.
âp tr
`
u m
.
ât . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8.1. T
.
âp tr
`
u m
.
ât. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8.2. V
´
ı d
.
u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
8.3. B
`
ai t
.
âp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Chu
,
o
,
ng 9. Nh
˜
u
,
ng
´
u
,
ng d
.
ung kh
´
ac c
,
ua nguyên l
´
y Ðirichle. . 89
9.1.
´
p x
,
ı m
.
ôt
´
th
.
u
,
c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
9.2. B
`
ai t
.
âp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Chu
,
o
,
ng 10. Nguyên l
´
y Ðirichlê cho di
.
ên t
´
ıch . . . . . . . . . . . . . 101
10.1. Ph
´
at biê
,
u nguyên l
´
y Ðirichlê cho di
.
ên t
´
ıch . . . . . . . . . . 101
10.2. V
´
ı d
.
u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
10.3. B
`
ai t
.
âp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Chu
,
o
,
ng 11. To
´
an h
.
oc
,
h
.
o
,
p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
11.1. V
´
ı d
.
u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
11.2. B
`
ai t
.
âp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Chu
,
o
,
ng 12. M
.
ôt
´
b
`
ai t
.
âp h
`
ınh h
.
oc kh
´
ac . . . . . . . . . . . . . . . . 129
12.1. V
´
ı d
.
u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
M
.
uc l
.
uc 183
12.2. B
`
ai t
.
âp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Chu
,
o
,
ng 13. M
.
ôt
´
¯
`
thi
¯
d
.
ich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Chu
,
o
,
ng 14. B
`
ai t
.
âp t
.
u
,
gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Chu
,
o
,
ng 15. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
15.1. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
15.2. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
15.3. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
15.4. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
15.5. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
15.6. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
15.7. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
15.8. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
15.9. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
15.10. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
15.11. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
15.12. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Ph
.
u l
.
uc A. T
.
âp h
.
o
,
p v
`
a
´
Anh x
.
a .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
A.1. T
.
âp h
.
o
,
p v
`
a To
´
an t
,
u
,
trên t
.
âp h
.
o
,
p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
A.2. Qui n
.
ap to
´
an h
.
oc v
`
a B
`
ai to
´
an
,
h
.
o
,
p . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
A.3.
´
Anh x
.
a trên t
.
âp h
.
o
,
p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
M
.
uc l
.
uc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
NGUY
˜
ÊN H
˜
U
,
U ÐIÊ
,
N
PHU
,
O
,
NG PH
´
AP ÐIRICHLÊ V
`
A
´
U
,
NG D
.
UNG
c
Ebook 1.0 c
,
ua cuô
´
n s
´
ach nguyên
´
c t
`
u
,
b
,
an in, c
´
ac b
.
an tham
kh
,
ao, cho
´
y kiê
´
n sai s
´
ot v
`
a l
`
o
,
i khuyên t
´
ai b
,
an. M
.
oi liên h
.
ê
T
´
ac gi
,
a: Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n
Ði
.
ên tho
.
ai: 0989061951
Email: huudien@vnu.edu.vn
Web: http://nhdien.wordpress.com
Ch
.
iu tr
´
ach nhi
.
êm xuâ
´
t b
,
an: Ð
˘
ANG H
,
AI
Biên t
.
âp v
`
a s
,
u
,
a b
,
an in: Ð
˜
Ô PH
´
U
Tr
`
ınh
`
y v
`
a chê
´
b
,
an: H
˜
U
,
U ÐIÊ
,
N, PH
`
U LINH
Tr
`
ınh
`
y b
`
ıa: HU
,
O
,
NG LAN
NH
`
A XU
´
ÂT B
,
AN KHOA H
.
OC V
`
A K
˜
Y THU
.
ÂT
70 TR
`
ÂN HU
,
NG Ð
.
AO - H
`
A N
.
ÔI
6.6T7.3
KHKT 98
290 - 4-98
In 1000 b
,
an khô
,
14, 5 ×20, 5 t
.
ai Công ty In Công Ðo
`
an Vi
.
êt Nam
191 So
,
n Tây - Ðô
´
ng Ða - H
`
a N
.
ôi. Giâ
´
y ph
´
ep XB
´
: 290-22/4/98.
In xong v
`
a n
.
ôp lu
,
u chiê
,
u th
´
ang 1 n
˘
am 1999.

Preview text:

, , NGUY˜ ÊN H ˜ UU ÐIÊN , , PHUONG PH´ AP ÐIRICHLÊ , V` A ´ UNG D .UNG , NH` A XU´
ÂT BAN KHOA H .OC V`A K˜Y THU .ÂT H` A N .ÔI - 1999 , L ` OI N ´ OI Ð ` ÂU , , , , , Nguyên l´ y nh˜ ung c´ ai lô`ng v` a c´ ac ch´ u tho ¯ d˜ a ¯
du .oc biê´t ¯dê´n t`u râ´t , , , , ,,
lâu. Ngay trong chuong tr`ınh phô thông co so ch´ ung ta c˜ ung ¯ d˜ a l` am , , , , , quen v´ oi phuong ph´ ap giai to´ an n`
ay. Th .uc ra nguyên l´y n`ay mang , , , tên nh` a b´
ac h .oc ngu`oi дuc Pête Gutxtap Legien Dirichlet (1805- , , , , 1859). Nguyên l´ y ph´ at biêu râ´t ¯ don gian: Nê´u ch´ ung ta nhô´t tho v` ao , , , ac lô`ng m`
a sô´lô`ng ´ıt hon sô´tho, th`ı thê n` ao c˜ ung c´
o m .ôt lô`ng nhô´t ´ıt , nhâ´t hai con tho. , , , , Chı b` ˘ ang nguyên l´ y ¯
don gian nhu v .ây h`ang lo.at c´ac b`ai to´an ¯d˜a , , , ¯ du .oc giai. , , , , Cuô´n s´ ach ¯
du .oc biên so.an l.ai theo t`ung chu ¯dê`c´o liên quan ¯dê´n , , , , , nguyên l´ y, m˜ ôi c´
ach giai trong v´ı d .u cua t`ung chuong l`a ´ap d .ung , , , , ¯ diên h`ınh nguyên l´ y Ðirichlê. B`
ai t .âp giai tru´oc c´o liên quan ¯dê´n b`ai , , , giai sau nên câ`n luu ´ y khia ¯
d .oc s´ach. V´oi mong muô´n c`ung b.an ¯d .oc , , , ,
thao lu .ân m .ôt phuong ph´ap ch´ung minh to´an h .oc v`a hy v .ong cung ,
câ´p m .ôt t`ai li.êu bô ´ıch cho c´ac thâ`y cô gi´ao v`a c´ac em h .oc sinh ham , mê t`ım t` oi trong to´
an h .oc, t´ac gia m.anh d.an biên so.an cuô´n s´ach , , n` ay. Do kha n˘ ang v` a th` oi gian c`
on h .an chê´, cuô´n s´ach ch´˘ac ch´˘an , , , , không tr´ anh khoi thiê´u s´ ot. Ch´ ung tôi mong ¯ du .oc s .u ¯d´ong g´op ´y , , , ,, , kiê´n cua ¯
d .oc gia. Thu g´op ´y xin gui vê`Nh`a xuâ´t ban Khoa h .oc v`a K˜y ,
thu .ât - 70 Trâ`n Hung Ð.ao, H`a N .ôi. 3 , 4 L` oi n´ oi ¯ dâ`u , , , T´ ac gia xin chân th` anh cam on PGS-TSKH И ô Hô`ng Tân ¯ d˜ a ¯ d .oc , , v` a ¯ d´ ong g´ op nhiê`u ´ y kiê´n qu´ı b´ au trong qu´ a tr`ınh ho` an chınh ban , thao. , ac gia , , CHUONG 1 NGUYÊN L ´ Y ÐIRICHLÊ V ` A V´I D .U 1.1. Nguyên l´ y Ðirichlê , , , Nguyên l´ y Ðirichlê nhiê`u khi ngu`
oi ta g .oi l`a ¨Nguyên l´y nh˜ung , , ng˘ an k´ eo¨. Ðây l`
a m .ôt nguyên l´y râ´t ¯don gian, ¯d.˘ac bi.êt c´o nhiê`u , ´, ,
ung d .ung trong c´ac l˜ınh v .uc kh´ac nhau cua to´an h .oc. D`ung nguyên , , , , , , l´ y n` ay ngu` oi ta d˜ ê d` ang ch´
ung minh tô`n t .ai m .ôt ¯dô´i tu .ong v´oi t´ınh , , , , , châ´t x´ ac ¯
d.inh. D.ang ¯don gian nhâ´t c´o thê ph´at biêu nhu sau: Nê´u c´
o m v .ât ¯d .˘at v`ao n c´ai ng˘an k´eo v`a m > n th`ı c´o ´ıt nhâ´t m.ôt , ng˘ an k´eo ch´
ua ´ıt nhâ´t hai v .ât. , , , , , , , , Tuy r` ˘ ang v´ oi nguyên l´ y n` ay ngu`oi ta chı ch´ ung minh ¯ du .oc s .u tô`n , , , , , , , , ,
t .ai m`a không ¯dua ra ¯du .oc phuong ph´ap t`ım ¯du .oc v.ât c .u thê, nhung , , , , ,
trong th .uc tê´nhiê`u b`ai to´an ta chı câ`n chı ra s .u tô`n t.ai l`a ¯du rô`i. , , , Nguyên l´ y Ðirichlê l`
a m .ôt ¯d.inh l´y vê`t.âp h .op h˜uu h.an. Ph´at biêu , ch´ınh x´ ac nguyên l´ y n` ay nhu sau: , ,, , Cho A v` a B l`
a hai t .âp h .op không r˜ông c´o sô´ phâ`n tu h˜uu , , ,, , , , , , ,, ,
h .an, m`a sô´ lu .ong phâ`n tu cua A l´on hon sô´ lu .ong phâ`n tu cua , ,, , , , B. Nê´u v´
oi m .ôt qui t´˘ac n`ao ¯dâ´y, m˜ôi phâ`n tu cua A cho tuong , , , ´, , , , ung v´
oi m .ôt phâ`n tu B, th`ı tô`n t .ai hai phâ`n tu kh´ac nhau cua A , , , , ,, , m` a ch´ ung tuong ´ ung v´ oi c`
ung m .ôt phâ`n tu cua B. , , , ,, , , Ðê d˜ ê hiêu ta c´ u cho r` ˘ ang c´
ac phâ`n tu cua t .âp B l`a ¨Nh˜ung ng˘an , , 6 Chuong 1. Nguyên l´ y Ðirichlê v` a v´ı d .u ,, , , , , k´ eo¨ v` a c´ ac phâ`n tu cua A ¯
du .oc ¯d.˘at v`ao c´ac ng˘an k´eo cua n´o. Trong , , ,, , , , ph´ at biêu cua nguyên l´ y trên c´ ac phâ`n tu h˜
uu h .an ¯du .oc t´ınh b`˘ang , ,
sô´t .u nhiên, v`ı v.ây Nguyên l´y Ðirichlê c´o liên quan m.ât thiê´t t´oi t.âp , , , ,
h .op sô´t .u nhiên v`a c´ac t´ınh châ´t cua t.âp h .op sô´n`ay. 1.2. V´ı d .u , , ,
. 1.1. Ðê ky ni.êm 20 n˘am ng`ay giai ph´ong Miê`n Nam, t .ai m.ôt th`anh , , , , , , , , , phô´ ngu` oi ta tô ch´ uc buôi l˜
ê g .˘ap m .˘at nh˜ung ngu`oi 20 tuôi. Ng`ay 30 , , th´ ang 4 n˘ am ¯
o trong buôi g .˘ap m .˘at c´o 400 thanh niên. Ch´ung minh , , , , , , r` ˘ ang c´
o ´ıt nhâ´t hai ngu` oi trong sô´ ngu` oi t´
oi d .u c`ung chung m.ôt ng`ay sinh. , , , L` oi giai. N˘ am 1995 c´ o 365 ng` ay. Ch´ ung ta coi m˜ ôi ng` ay nhu m .ôt , ng˘ an k´ eo v` a ¯ d´ anh sô´ t` u 1 ¯ dê´n 365 (ng˘ an k´ eo cuô´i c` ung l` a ng` ay 31 , th´ ang 12 n˘ am 1995). Ch´ ung ta ¯
d .˘at nh˜ung thanh niên c´o ng`ay sinh , , , , , , tuong ´ ung v` ao c´ ac ng˘ an k´ eo ¯ d´ o. Nhung sô´thanh niên ¯ dê´n d .u l˜ê l´on , , , , , hon sô´ ng˘ an k´ eo, theo nguyên l´ y Ðirichlê c´ o ´ıt nhâ´t hai ngu` oi ¯ du .oc ¯
d .˘at v`ao c`ung m .ôt ng˘an k´eo. Ðiê`u ¯d´o c´o ngh˜ıa l`a h .o sinh c`ung m .ôt ng` ay. J , , , , ,
. 1.2. Trong sinh h .oc ngu`oi ta biê´t r`˘ang sô´t´oc trên ¯dâ`u cua m˜ôi ngu`oi , , , , không qu´ a 200.000 c´ ai. Ch´ ung minh r` ˘ ang trong sô´ ngu` oi cua th` anh , , , , phô´H`
a n .ôi, v´oi sô´dân hon 2.000.000, c´o ´ıt nhâ´t 11 ngu`oi c´o c`ung sô´ oc. , , , , , L` oi giai. Ch´ ung ta x´ et 200.000 ng˘ an k´ eo ¯
du .oc ¯d´anh sô´ t`u 0 ¯dê´n , , 199.999. Ch´ ung ta ¨¯
d .˘at¨ m˜ôi ngu`oi dân H`a n .ôi v`ao m .ôt ng˘an k´eo , , , , ,, , , m` a sô´ t´ oc b` ˘ ang sô´ th´
u t .u cua ng˘an k´eo. Gia su không c´o 11 ngu`oi , , , c´ o c` ung sô´t´
oc, nhu v .ây m˜ôi ng˘an c´o nhiê`u nhâ´t l`a 10 ngu`oi c´o c`ung sô´t´ oc, do ¯ d´ o sô´dân H`
a n .ôi nhiê`u nhâ´t l`a 200.000×10=2.000.000, 1.2. V´ı d .u 7 , , , , ¯ diê`u n` ay không ¯ d´ ung v´ oi gia thiê´t l` a sô´ dân H` a n .ôi l´on hon 2 tri.êu. J , , ,
. 1.3. Ba muoi h .oc sinh l`am b`ai viê´t ch´ınh ta. M.ôt trong sô´h.oc sinh , , ¯
o b.i 14 l˜ôi, c`on c´ac h.oc sinh kh´ac m´˘ac l˜ôi ´ıt hon. Ch´ung minh r`˘ang , , o ´ıt nhâ´t ba ngu` oi m´ ˘ ac sô´l˜ ôi b` ˘ ang nhau. , , , , , L` oi giai. Ch´ ung ta x´ et 15 ng˘ an k´ eo ¯
du .oc ¯d´anh sô´t`u 0 ¯dê´n 14. Ch´ung ta ¨¯
d .˘at¨ m˜ôi h .oc sinh v`ao m .ôt ng˘an k´eo mang sô´ ¯d´ung b`˘ang sô´ l˜ôi ,
cua h .oc sinh n`ay. Nê´u không c´o ba h .oc sinh n`ao c´o sô´l˜ôi b`˘ang nhau, , th`ı trong m˜ ôi ng˘ an mang sô´t` u 0,1,2,. . . ,13 s˜ e c´ o nhiê`u nhâ´t hai h .oc , , , , sinh. Khi ¯ d´
o sô´lu .ong cua nh˜ung h .oc sinh n`ay nhiê`u nhâ´t l`a 28. Nê´u thêm v` ao ¯ d´
o h .oc sinh m´˘ac 14 l˜ôi (trong ng˘an k´eo sô´14) ch´ung ta s˜e , , ,
nh .ân ¯du .oc nhiê`u nhâ´t 29 h .oc sinh viê´t ch´ınh ta, ¯diê`u n`ay d˜ân ¯dê´n , ,
s .u vô l´y v´oi ¯diê`u ki.ên ¯d˜a cho. J , , , . 1.4. Ch´ ung minh r` ˘ ang trong m˜ ôi nh´
om b .an 5 ngu`oi c´o ´ıt nhâ´t hai , , , , , , , , , , ngu` oi c´ o c`
ung sô´lu .ong ngu`oi quen gi˜ua nh˜ung ngu`oi trong nh´om ¯dos. , , , , , Ch´ ung minh r` ˘ ang c`
ung kê´t lu .ân nhu v .ây v´oi nh´om b .an c´o sô´ lu.ong th` anh viên bâ´t k` y. , , , , , L` oi giai. Ch´ ung ta x´ et n˘ am ng˘ an k´ eo, ¯ d´ anh sô´t` u 0 ¯ dê´n 4. M˜ ôi ngu` oi , , , , , ,
tham d .u ¯du .oc ¯d.˘at v`ao ng˘an k´eo mang sô´ tr`ung v´oi sô´ ngu`oi trong , , nh´ om m` a ngu` oi ¯ d´ o quen. , , , , , , a) Nê´u c´
o m .ôt ngu`oi không quen ai ca trong sô´ nh˜ung ngu`oi , , , c`
on l .ai, th`ı ng˘an sô´ 4 l`a trô´ng (v`ı ngu .oc l.ai th`ı ca hai ng˘an 0 v`a 4 , , , ¯ dê`u không trô´ng, d˜ ân ¯ dê´n vô l´
y). Nhu v .ây, m˜ôi ngu`oi trong sô´ 5 , , , , , , , ngu` oi ¯
du .oc ¯d.˘at v`ao c´ac ng˘an mang sô´ 0,1,2,3 v´oi sô´ lu .ong 4 ng˘an. , , , ,, T` u nguyên l´
y Ðirichlê suy ra ´ıt nhâ´t c´ o hai ngu` oi o trong m .ôt ng˘an, , , , , hay l`
a, h .o c´o chung sô´lu .ong ngu`oi quen. , , 8 Chuong 1. Nguyên l´ y Ðirichlê v` a v´ı d .u , , , , , , , ,
b) Nê´u m .oi ngu`oi c´o ´ıt nhâ´t m .ôt ngu`oi quen, m˜ôi ngu`oi s˜e ¯du .oc , , , ¯
d .˘at v`ao c´ac ng˘an mang sô´1,2,3,4, v´oi sô´lu .ong 4 ng˘an. Phâ`n c`on l.ai ´
ap d .ung nguyên l´y Ðirichlê. J , , ,
. 1.5. Trong m .ôt giai b´ong ¯d´a tham d .u 16 ¯d.ôi. M˜ôi c .˘ap hai ¯d.ôi phai , , , , , , ¯ dâ´u v´ oi nhau. Ch´ ung minh r` ˘
ang t .ai m˜ôi th`oi ¯diêm cua giai c´o ´ıt nhâ´t , 2 ¯
d .ôi c´o sô´tr .ân ¯d˜a ¯dâ´u nhu nhau. , , , L` oi giai. Ch´ ung ta x´ et 16 ng˘ an k´ eo ¯ d´ anh sô´t` u 0 ¯ dê´n 15. Ch´ u ´ y r` ˘ ang , , , , , 15 l`
a sô´lu .ong l´on nhâ´t c´ac tr.ân b´ong m`a m˜ôi ¯d .ôi c´o thê ¯dâ´u t.ai th`oi , ¯ diêm ¯ dang x´ et. H˜ ay ¯
d .˘at m˜ôi ¯d .ôi b´ong v`ao ng˘an k´eo mang sô´ b`˘ang , , sô´c´
ac tr .ân m`a ¯d .ôi ¯d˜a ¯dâ´u ¯dê´n th`oi ¯diêm ¯d´o. Ch´ung ta nh.ân ra r`˘ang , , , , , c´ ac ng˘ an 0 v` a 15 không thê ¯ dô`ng th` oi không trô´ng ¯ du .oc v`a nhu v.ây , c´ o thê ´
ap d .ung nguyên l´y Ðirichlê. J , , , ,
. 1.6. Trên tr´ ai ¯
dâ´t sô´ng hon 5 ty ngu` oi, biê´t r` ˘ ang không qu´ a 1% sô´ng , , , ,
trên m .ôt tr˘am tuôi. Ch´ung minh r`˘ang ´ıt nhâ´t c´o hai ngu`oi sinh c`ung
m .ôt giây ¯dô`ng hô`.
, , , , , L`
oi giai. Theo duong l.ich hi.ên h`anh 100 n˘am c´o ´ıt hon 37000 ng`ay. , , , M˜ ôi ng` ay c´ o 24 gi` o, m˜ ôi gi` o c´ o 3600 giây. Khi ¯ d´ o 100 n˘ am c´ o ´ıt hon , , , , , , , 3,33 ty giây. T` u ¯
diê`u ki .ên ch´ung ta t`ım ¯du .oc nh˜ung ngu`oi trên tr´ai , , , , , ¯ dâ´t không qu´ a 100 tuôi ´ıt nhâ´t l` a 99% t` u 5 ty ngu` oi ngh˜ıa l` a ´ıt nhâ´t , , , , c´
o 4,9 ty. Vi .êc c`on l.ai ´ap d .ung nguyên l´y Ðirichlê: ¯d.˘at 4,9 ty ngu`oi , v` ao 3,33 ty ng˘ an k´ eo. J , , . 1.7. Trong th` oi gian k´eo d`
ai m .ôt n˘am h.oc m.ôt h.oc sinh giai ´ıt nhâ´t , , ,
m .ôt b`ai t .âp m˜ôi ng`ay. Ðê tr´anh c˘ang th˘ang h.oc sinh giai h`ang tuâ`n , , không qu´ a 12 b`
ai t .âp. Ch´ung minh r`˘ang trong th`oi gian k´eo d`ai liên , ,
t .uc m.ôt sô´ng`ay h.oc sinh n`ay phai giai ¯d´ung 20 b`ai t .âp m˜ôi ng`ay. 1.2. V´ı d .u 9 , , , , , L` oi giai. Ch´ ung ta k´
y hi .êu a1 l`a sô´ lu .ong b`ai t.âp h .oc sinh ¯d˜a giai , , , trong ng` ay ¯
dâ`u tiên, a2 l`a sô´ lu .ong b`ai t.âp ¯d˜a giai trong hai ng`ay , , , ¯
dâ`u, a3 l`a sô´ lu .ong b`ai t.âp ¯d˜a giai trong ba ng`ay ¯dâ`u, v`a v.v. a77 , , , , l`
a sô´ lu .ong b`ai t.âp ¯d˜a giai trong 77 ng`ay ¯dâ`u (11 tuâ`n). Theo gia , ,
thiê´t a77 ≤ 11.12 = 132. Ch´ung ta x´et t .âp h .op c´ac sô´ t .u nhiên
M = {a1, a2, a3, . . . , a77, a1 + 20, a2 + 20, a3 + 20, . . . , a77 + 20}. N´o , ,, , ch´ ua 154 phâ`n tu v` a sô´ l´ on nhâ´t trong ch´ ung l` a a77 + 20 ≤ 152. , Theo nguyên l´ y Ðirichlê trong M c´ o ´ıt nhâ´t hai sô´b` ˘ ang nhau. Nhung c´
ac sô´ a1, a2, a3, . . . , a77 l`a ho`an to`an kh´ac nhau. suy ra tô`n t .ai ak v`a ,
al m`a ak = al + 20, l < k ≤ 77. Nhu v .ây ak − al = 20, ¯diê`u n`ay , , , , , c´ o ngh˜ıa l` a t` u ng` ay th´ u l + 1 ¯ dê´n ng` ay th´ u k h .oc sinh n`ay phai giai ¯ d´ ung 20 b` ai. J , , , , , ,
. 1.8. Trong m .ôt khu t .âp thê sô´ng 123 ngu`oi. Tông sô´ tuôi cua h.o , , , , ,, , l` a 3813. Ch´ ung minh r` ˘ ang c´
o thê ch .on 100 ngu`oi sô´ng o khu t .âp thê , , , , , n` ay, m`
a tông sô´tuôi cua h .o không nho hon 3100. , , , , , , ,, L` oi giai. Ch´ ung ta h˜
ay ch .on 100 ngu`oi nhiê`u tuôi nhâ´t v`a gia su , , , , , , , ,
tông sô´ tuôi cua h .o nho hon 3100. Khi ¯d´o ngu`oi tre nhâ´t trong sô´ , , , , , , , ngu` oi ¯
du .oc ch .on l`a 3100:100=31 tuôi. M.˘at kh´ac ngu`oi n`ay không , , , , , , , tre hon 23 ngu`oi c`
on l .ai theo c´ach ch .on. Khi ¯d´o tông sô´tuôi cua 23 , , , , , , , , ngu` oi n` ay không l´
on hon 23.31=713. Suy ra tông sô´tuôi cua tâ´t ca , , , , ,
m .oi ngu`oi sô´ng trong t.âp thê nho hon 3100+713=3813 d˜ân ¯dê´n vô l´ y. J , , , , . 1.9.
am c .˘ap v.o chô`ng tô ch´uc m.ôt buôi g .˘ap m .˘at. Khi g .˘ap nhau h.o , , , , ˘
at tay nhau, nhung không ai t .u b´˘at tay ngu`oi trong gia ¯d`ınh m`ınh , , , v` a ngu` oi m`
a chô`ng m`ınh (ho .˘ac v.o m`ınh) ¯d˜a b´˘at tay rô`i. C˜ung không , , , ai b´ ˘ at tay c`
ung m .ôt ngu`oi hai lâ`n. Sau cu.ôc g .˘ap ch´uc m`ung ban ¯dâ`u, , , , , , , , , ,
m .ôt ngu`oi ¯d`an ông tên l`a H`ung hoi tâ´t ca nh˜ung ngu`oi c´o m .˘at, kê ca , , 10 Chuong 1. Nguyên l´ y Ðirichlê v` a v´ı d .u , , ,
v .o m`ınh, l`a h.o ¯d˜a b´˘at tay ¯du.oc bao nhiêu lâ`n. H.o nh .ân thâ´y r`˘ang ch´ın , , , , , , , , , , ngu` oi ¯
du .oc hoi ¯dê`u tra l`oi c´ac con sô´kh´ac nhau. Nhu v .ây v.o cua H`ung ¯ a b´ ˘
at tay bao nhiêu lâ`n? , , , , , , L` oi giai.
ôi m .ôt ngu`oi kh´ach b´˘at tay không qu´a 8 lâ`n. V`ı câu tra l`oi , , , , cua 9 ngu`oi l` a c´ ac sô´kh´ ac nhau nên c´ ac sô´ ¯ d´ o phai l` a 0,1,2,3,4,5,6,7 , , , , , , , v` a 8. Ngu` oi b´ ˘ at tay 8 lâ`n phai l`
a v .o (ho.˘ac chô`ng) cua ngu`oi không , , , , b´ ˘ at tay lâ`n n`
ao (nê´u ngu .oc l.ai th`ı ngu`oi ¯d´o không b´˘at tay 8 lâ`n m`a , , , , , , , nhiê`u nhâ´t chı l`
a 7 lâ`n thôi). Tuong t .u nhu v.ây ngu`oi b´˘at tay 7 lâ`n , , , , , c´ o ngu`
oi v .o (ho.˘ac chô`ng) b´˘at tay m .ôt lâ`n, ngu`oi b´˘at tay 6 lâ`n c´o , , , , , , , , ngu`
oi v .o (ho.˘ac chô`ng) b´˘at tay 2 lâ`n, ngu`oi b´˘at tay 5 lâ`n c´o ngu`oi v .o , , ,
(ho .˘ac chô`ng) b´˘at tay 3 lâ`n. Chı c`on l.ai m .ôt ngu`oi duy nhâ´t b´˘at tay , , , , 4 lâ`n, ¯ d´ o ch´ınh l` a ngu` oi v .o cua H`ung. J , , , ,
. 1.10. M .ôt câu chuy.ên cô t´ıch kê l .ai r`˘ang: M.ôt lâ`n vua H`ung vuong , 18 c´ o m` oi c´
ac quan trong triê`u h .op ngô`i quanh m.ôt c´ai b`an tr`on. Theo , , , ,
l.ênh cua vua, m.ôt c .ân thâ`n ¯d˜a viê´t tên cua m˜ôi quan trên b`an tru´oc , , , chiê´c ghê´ m`
a ông ta phai ngô`i. C´
ac quan trong triê`u không ¯ du .oc b´ao , , tru´
oc nên h .o ¯d˜a ngô`i không theo s´˘ap xê´p ¯d˜a ¯d.inh m`a chiê´m ch˜ô m.ôt , , ach bâ´t k` y. Ch´ ung minh r` ˘
ang ông c .ân thâ`n c´o thê quay chiê´c b`an sao , cho ´ıt nhâ´t c´
o hai ông quan ngô`i ¯
ung v.i tr´ı tên cua m`ınh ? , , , , L`
oi giai. Ð .˘at sô´lu .ong c´ac quan l`a n. Khi ¯d´o m.˘at b`an c´o n tr.ang th´ai, , , , v´ oi c´
ac tr .ang th´ai n`ay ¯dô´i di.ên v´oi c´ac quan l`a biên ¯dê` tên n`ao ¯d´o. , , Ngo` ai ra v´ oi m˜
ôi m .ôt ông quan chı c´o m .ôt tr.ang th´ai, m`a khi ngô`i , , , ¯ d´ ung th`ı ông â´y ¯
dô´i di .ên v´oi ch´ınh tên cua m`ınh trên biên ¯dê` s˜˘an. , , , , Ngh˜ıa l` a, nê´u m˜
ôi tr .ang th´ai cua b`an (v`ı b`an c´o thê xoay ¯du .oc) ta , , , , , , cho tuong ´ ung v´
oi m .ôt sô´ b`˘ang sô´ lu .ong c´ac quan ngô`i ¯d´ung v.i tr´ı , , , , , ,
tên m`ınh, th`ı tông cua tâ´t ca nh˜
ung sô´ nh .ân ¯du .oc (m .oi tr.ang th´ai , , , , b` an) s˜
e không nho hon n. Nhung m .ôt tr.ang th´ai ¯dâ`u tiên cua s´˘ap 1.3. B` ai t .âp 11 , , , , , ,, xê´p b` an cho tuong ´ ung v´ oi 0 (không ai ngô`i ¯ d´ ung ch˜ ô ). Nê´u gia su , , , , , ,
trong n − 1 tr .ang th´ai m.˘at b`an c`on l.ai tuong ´ung v´oi sô´ nho hon 2 , , , , , , , , (t´ uc l` a chı c´
o sô´ 1 ho .˘ac 0), th`ı tông cua n sô´nh.ân ¯du .oc s˜e nho hon , , , , n, ¯ diê`u ¯ d´ o không thê ¯
du .oc. Suy ra t`u n − 1 tr.ang th´ai m.˘at b`an c`on , , ,
l .ai c´o ´ıt nhâ´t m .ôt tr.ang th´ai m`a hai ngu`oi s˜e ¯dô´i di.ên v´oi ch´ınh tên , cua m`ınh. J 1.3. B ` ai t .âp
. 1.11. Trong sân cung ¯
di .ên nh`a vua h .ôi h .op 2n(n ≥ 2) ông quan, , , m˜ ôi ông quan ¯ d˜
a quen biê´t không ´ıt hon n ông c´ o m .˘at t.ai ¯d´o. Ch´ung , , , , , , , minh r` ˘ ang ngu`oi xê´p b` an tr` on c´ o thê xê´p ¯
du .oc m˜ôi b`an 4 ngu`oi sao , , , , , , , cho m˜ ôi ngu` oi ¯ d´ ung gi˜ua hai ngu` oi quen cua m`ınh. ,
. 1.12. M .ôt khu r`ung thông c´o d.ang h`ınh vuông m˜ôi chiê`u 1km. , , , Trong r` ung c´
o 4500 cây thông, cây to nhâ´t c´ o ¯ du` ong k´ınh 0,5m. , , , Ch´ ung minh r` ˘ ang trong khu r` ung c´ o ´ıt nhâ´t 60 manh ¯ dâ´t, di .ên t´ıch , m˜ ôi manh 200m2, không c´ o m .ôt cây thông n`ao. ,
. 1.13. Trong m .ôt gi´a s´ach c´o 25 ng˘an. Ta thâ´y c´o m .ôt ng˘an ch´ua , , , 10 cuô´n, c` on c´ ac ng˘ an kh´ ac ch´ ua sô´ s´ ach ´ıt hon. Ch´ ung minh r` ˘ ang , , , , , c´ o ´ıt nhâ´t ba ng˘ an s´ ach ch´ ua c` ung sô´ s´ ach nhu nhau (kê ca nh˜ ung ng˘ an không c´ o s´ ach). , , , , ,
. 1.14. T .ai m .ôt th`anh phô´ biên xe ôtô ¯du .oc ¯d´anh sô´ b`˘ang tô h .op , , , , , ch˜ u c´ ai rô`i ¯ dê´n d˜ ay sô´. Ch´ ung minh r` ˘
ang trên m .ôt ¯do.an ¯du`ong c´u , , c´ o 11 chiê´c ôtô ¯ di qua th`ı bao gi` o c˜ ung c´ o hai chiê´c ôtô c´ o c` ung ch˜ u sô´t .ân c`ung. , , , ,, ,
. 1.15. M .ôt chiê´c hô` l´on ¯du .oc b .oc boi 4 tr.am chuyên tiê´p s´ong , , , , thông tin. Gi˜
ua hai tr .am ngu`oi ta xây d .ung c´ac trung tâm ph´at s´ong , , , , , , ,, v`
a nh .ân s´ong, ¯du`ong s´ong bao phu l´on nhâ´t l`a ¯du`ong tr`on c´o tâm o , , 12 Chuong 1. Nguyên l´ y Ðirichlê v` a v´ı d .u , , trung tâm v` a ¯
di qua hai tr .am. Ch´ung minh r`˘ang v´oi bô´n trung tâm ,, , , , , , , o c´ ac ¯
do .an gi˜ua cua t`ung c.˘ap tr.am th`ı to`an b .ô m.˘at hô` s˜e ¯du .oc phu s´ ong thông tin. , , CHUONG 2 S ´ Ô H .OC , 2.1. Ph ´ ep chia sô´ t .u nhiên , Trong c´ ac ph´
ep t´ınh trên sô´ nguyên: c .ông, tr`u, nhân, chia, th`ı, ph´ ep chia l` a râ´t ¯
d .˘ac bi.êt. Ph´ep chia c´o h`ang lo.at t´ınh châ´t m`a tâ´t ca , c´ ac ph´ ep t´ınh c`
on l .ai không c´o. V´ı d .u c´ac ph´ep to´an ¯dê`u th .uc hi.ên , , , , , , v´ oi sô´0 ¯
du .oc, nhung riêng ph´ep chia cho sô´0 th`ı không ¯du .oc. Ph´ep , , , chia không chı ¯
d .˘ac bi.êt v´oi ph´ep chia cho 0. V´oi c´ac ph´ep t´ınh c .ông, , , , tr`
u, nhân trên sô´nguyên cho ta sô´nguyên, nhung v´ oi ph´ ep chia th`ı , t´ınh châ´t ¯ d´ o không c` on ¯ d´ ung v`ı không phai l´ uc n` ao ta c˜ ung nh .ân , , , , , ¯
du .oc sô´nguyên sau ph´ep chia. Nh`o nh˜ung d.i bi.êt cua ph´ep chia m`a , , , trong to´
an h .oc xây d .ung h˘an m .ôt l´y thuyê´t vê` ph´ep chia nh˜ung sô´ , , , nguyên. Nh˜
ung v´ı d .u v`a b`ai t.âp chuong n`ay c´o liên quan m.ât thiê´t , gi˜ ua ph´ ep chia v` a nguyên l´ y Ðirichlê, nên ch´ ung ta nh´ ˘ ac l .ai ¯d.inh ngh˜ıa ph´ ep chia: , , Cho a v`a b l`a nh˜ ung sô´ nguyên, v´ oi b > 0. Ch´ ung ta n´ oi r` ˘ ang a
chia hê´t cho b, k´y hi .êu l`a b|a, khi tô`n t.ai m .ôt sô´ nguyên q sao cho , , ¯ d˘ ang th´ uc sau ¯ d´ ung a = bq. , , , , , , Ch´ ung ta thu`
ong g .oi sô´ a l`a b.ôi cua b, ho.˘ac b l`a u´oc cua a. Sô´q , , , ,
g .oi l`a thuong sô´ cua ph´ep chia a cho b. Trong ph´at biêu ¯d.inh ngh˜ıa ,
trên, nê´u không tô`n t .ai m .ôt sô´ q n`ao ca, th`ı ch´ung ta n´oi r`˘ang a , , 14 Chuong 2. Sô´h .oc
không chia hê´t cho b v`a k´y hi .êu l`a b 6 |a. , , , , T` u ¯
d.inh ngh˜ıa ch´ung ta d˜ê d`ang ch´ung minh ¯du .oc c´ac t´ınh châ´t sau , 1) V´
oi m .oi sô´ nguyên a > 0 ch´ung ta c´o a|a, Ph´ep chia hê´t c´o , t´ınh phan x .a.
2) Nê´u b|a v`a a|c th`ı b|c- ph´ep chia hê´t c´ o t´ı nh b´ ˘ ac câ`u.
3) Nê´u b|a v`a b|c, th`ı b|(ac). ,
4) Nê´u a, b, m, n l`a nh˜ung sô´ nguyên v`a nê´u c|a v`a c|b, th`ı c|(ma + nb). ,
Ð.inh l´y sau ¯dây gi˜u vai tr`o quan tr .ong cho ph´ep chia m .ôt sô´
nguyên cho m .ôt sô´nguyên. ,
oi hai sô´ nguyên bâ´t k` y a v`
a b sao cho b > 0, tô`n t .ai duy , , nhâ´t nh˜
ung sô´ nguyên q v` a r thoa m˜ an a = bq + r v`
a 0 ≤ r < b. , , , C`
on râ´t nhiê`u t´ınh châ´t kh´ ac cua sô´ nguyên c˜ ung nhu sô´ th .uc , , , , nhung ch´ ung ta không ¯ di theo hu´ ong n` ay, m` a chı d` ung c´ ac t´ınh châ´t , , ,
cua sô´h .oc v`a Nguyên l´y Ðirichlê ¯dê giai c´ac b`ai to´an. 2.2. V´ıd .u , , ,
. 2.1. Cho k l`
a m .ôt sô´t .u nhiên, A l`a t .âp h.op gô`m k + 1 sô´t .u nhiên. , ,, Ch´ ung minh r` ˘ ang c´
o ´ıt nhâ´t m .ôt hi.êu hai phâ`n tu trong A chia hê´t cho k. , , ,, , L`
oi giai. G .oi a1, a2, . . . , ak+1 l`a c´ac phâ`n tu cua A, c`on b1, b2 , . . . , bk+1 , , , l` a nh˜ ung sô´ du cua ph´ ep chia c´ ac sô´ trên cho k. Khi ¯ d´ o a1 = ,
kc1 + b1, a2 = kc2 + b2, . . . , ak+1 = kck+1 + bk+1,v´oi c´ac sô´ nguyên
c1, c2, . . . , ck+1 sao cho 0 ≤ b1 ≤ k − 1, 0 ≤ b2 ≤ k − 1, . . . , 0 ≤ ,, , , , ,
bk+1 ≤ k − 1. M .ôt phâ`n tu bâ´t k`y as thu .ôc A cho tuong ´ung v´oi sô´ 2.2. V´ıd .u 15 , , , , , ,, ,
du bs cua n´o.G .oi t.âp h .op c´ac sô´du l`a B. Nhu v.ây, m˜ôi phâ`n tu cua A , , , , , , ,, , , , ¯
du .oc ¯d.˘at tuong ´ung v´oi m .ôt phâ`n tu cua t.âp h .op B, gô`m tâ´t ca c´ac , , , , ,, , , sô´ nguyên t` u 0 ¯
dê´n k − 1. Nhung sô´ lu .ong phâ`n tu cua A theo gia , , thiê´t l` a k + 1, c` on B c´
o sô´ lu .ong k. Theo nguyên l´y Ðirichlê suy ra ,, , ,
tô`n t .ai hai phâ`n tu kh´ac nhau cua A c´o c`ung sô´du. Ðiê`u ¯d´o ngh˜ıa l`a, , ,
tô`n t .ai hai chı sô´kh´ac nhau s v`a t v´oi as = kcs + bs v`a at = kct + bs , , , sau khi tr` u ¯ di cho nhau ta ¯
du .oc at − as = k(ct − cs). J , ,
. 2.2. Cho A m .ôt t .âp h.op bâ´t k`y gô`m 101 sô´t .u nhiên, m˜ôi sô´không , , , on hon 200. Ch´ ung minh r` ˘ ang trong A
o ´ıt nhâ´t hai sô´ m` a m .ôt sô´ n`
ay chia hê´t cho sô´kia. , , , , , , , , L` oi giai. M˜ ôi sô´ a cua A c´ o thê biêu di˜ ên du´ oi d .ang a = 2kb v´oi k l`a , , sô´ nguyên không âm, c`
on b l`a m .ôt sô´ le. V´oi m˜ôi sô´ a thu .ôc A cho , , , , , , ,, tuong ´ ung v´
oi sô´ b trong s .u biêu di˜ên o trên. B`˘ang c´ach n`ay, m˜ôi ,, , , , , , , , ,, , , phâ`n tu a cua A ¯
du .oc ¯d.˘at tuong ´ung v´oi m .ôt phâ`n tu cua t.âp h .op B , , , , , ,, gô`m c´ ac sô´le gi˜ ua 1 v`
a 200. Nhung t .âp h .op B chı c´o 100 phâ`n tu v`ı ,, , , , ,, , ,
v .ây sô´ phâ`n tu cua A l´on hon sô´ phâ`n tu cua B. Ta c´o thê ´ap d .ung ,, nguyên l´
y Ðirichlê, suy ra tô`n t .ai hai phâ`n tu kh´ac nhau a1 v`a a2 , , , , , ,
thu .ôc A m`a ch´ung tuong ´ung v´oi c`ung m .ôt sô´cua t.âp h .op B. Ngh˜ıa l`
a, a1 = 2k1b, a2 = 2k2b v`a nê´u k1 < k2, th`ı sô´ a2 chia hê´t cho a1. J , ,
. 2.3. Cho M l`
a t .âp h.op bâ´t k`y gô`m 75 sô´t .u nhi.ên m`a m˜ôi sô´không , , , , , , , on hon 100. Ch´ ung minh r` ˘ ang v´ oi m˜
ôi sô´ t .u nhiên l nho hon ho .˘ac ,, , b` ˘
ang 49 tô`n t .ai hai phâ`n tu cua M c´o hi.êu l`a l. , , ,, , L`
oi giai. G .oi c´ac phâ`n tu cua M l`a x1, x2, . . . , x75. K´y hi.êu A l`a t.âp , , , , , ,
h .op c´ac sô´t .u nhiên t`u 1 ¯dê´n 150. V´oi m˜ôi sô´1, 2, 3 . . . , 75 cho tuong ´, , , , ung v´ oi c´
ac sô´ x1, x2, . . . , x75, c`on c´ac sô´ 76, 77, 78, . . . 150 lâ`n lu .ot ´, , ung v´
oi x1 + l, x2 + l, . . . , x75 + l. V`ı xm ≤ 100(m = 1, 2, . . . , 75) v`a , , 16 Chuong 2. Sô´h .oc ,, , , , , ,
l ≤ 49 th`ı xm + l < 150. Suy ra m˜ôi phâ`n tu cua A tuong ´ ung v´ oi ,, , , , ,
m .ôt phâ`n tu cua B gô`m nh˜ung sô´t .u nhiên t`u 1 ¯dê´n 149. V`ı sô´phâ`n ,, , , , ,, , tu cua A l´
on hon sô´ phâ`n tu cua B, theo nguyên l´y Ðirichlê tô`n t .ai ,, , , , , , hai phâ`n tu kh´ ac nhau cua A, m`a ch´ ung tuong ´ ung v´ oi c` ung m .ôt ,, , , , , , phâ`n tu cua B. Nhung v´ oi c´ ac gi´
a tr.i kh´ac nhau cua m t`u 1 ¯dê´n 75 , , , , , , , ¯
du .oc cho tuong ´ung v´oi c´ac gi´a tr.i kh´ac nhau cua x1 ¯dê´n x75 trong , , , , ,, , , , , ,
B. Tuong t .u c´ac gi´a tr.i cua m o khoang 76 ¯dê´n 150 tuong ´ung v´oi , , c´ ac gi´
a tr.i kh´ac nhau trong khoang c`on l.ai. T`u ¯d´o suy ra tô`n t.ai xm v`
a xn m`a xm = xn + l, ngh˜ıa l`a xm − xn = l. J , , ,
. 2.4. Cho k ≥ 1 v` a n ≥ 1 l` a nh˜
ung sô´t .u nhiên v`a A l`a t .âp h.op gô`m , , , ,
(k − 1)n + 1 sô´nguyên duong, m˜ ôi sô´n` ay ¯
dê`u nho hon ho .˘ac b`˘ang kn. , ,, , , , , Ch´ ung minh r` ˘ ang ´ıt nhâ´t c´
o m .ôt phâ`n tu cua A c´o thê biêu di˜ên nhu , , ,,
tông cua k phâ`n tu trong A. , , , , , L` oi giai.
oi k = 1 b`ai to´an hiên nhiên l`a ¯ d´ ung, ch´ ung ta gia thiê´t ,
k ≥ 2. K´y hi .êu m l`a sô´ nho nhâ´t thu .ôc A. D˜ê thâ´y r`˘ang m ≤ n v`a , , ,
tô`n t .ai ¯d´ung n − m sô´ thu .ôc A m`a ch´ung l´on hon m nhung không , , vu .ot qu´a kn. , , Ðê ch´ ung minh b` ai to´ an ch´
ung ta t`ım hai sô´ x v`a y thu .ôc A sao ,
cho x = y + (k − 1)m; ngh˜ıa l`a biêu di˜ên m .ôt sô´ n`ao ¯d´o thu .ôc A , , th`
anh tông k sô´h .ang thu .ôc A trong ¯d´o c´o k − 1 sô´h.ang b`˘ang m. Chı
câ`n t`ım sô´ x thu .ôc A m`a x > (k − 1)m v`a x − (k − 1)m thu .ôc A. ,
Th .ât v.ây, trong khoang ∆ = ((k − 1)m, kn] c´o kn − (k − 1)m =
k(n − m) + m sô´ nguyên. V`ı k ≥ 2, nên (k − 1)m ≥ m, theo nh .ân x´ et ban ¯ dâ`u suy ra c´
o nhiê`u nhâ´t n − m sô´ trong ∆ không thu .ôc A. , Ðiê`u n` ay ngh˜ıa l` a A ch´
ua ´ıt nhâ´t s = k(n − m) + m − (n − m) = ,
(k − 1)(n − m) + m sô´. Nhung s ≥ n, v`ı (k − 2)(n − m) ≥ 0. G .oi ,
a1, a2, . . . , as thu .ôc A, v´oi (k − 1)m < ai ≤ kn, i = 1, 2, . . . , s. Khi ¯d´o 2.2. V´ıd .u 17 , , nh˜
ung hi .êu a1 − (k − 1)m, a2 − (k − 1)m, . . . , as − (k − 1)m l`a nh˜ung , sô´nguyên kh´
ac nhau trong khoang [1, kn]. Nê´u m .ôt sô´n`ao ¯d´o trong ch´
ung không thu .ôc A, th`ı theo nguyên l´y Ðirichlê ch´ung ta nh.ân , , , , ¯
du .oc s ≤ n − 1, v`ı ngo`ai A c´o ¯d´ung n − 1 sô´trong khoang n`ay. Nhu , , , ,
v .ây tr´ai v´oi bâ´t ¯d˘ang th´uc ¯d˜a ch´ung minh s ≥ n. Suy ra tô`n t.ai m .ôt
hi .êu ai − (k − 1)m thu .ôc A. J , , , , , , . 2.5. Ch´ ung minh r` ˘ ang t`
u n + 1 sô´duong kh´
ac nhau nho hon 2n, c´ o , , , , ,
thê ch .on ¯du.oc ba sô´sao cho tông hai sô´trong ch´ung b`˘ang sô´th´u ba. , , , L` oi giai.
y hi .êu 0 < a1 < a2 < . . . < an+1 l`a nh˜ung sô´ ¯d˜a cho. Ch´ ung ta x´ et c´
ac hi .êu sô´ a2 − a1, a3 − a1, . . . , an+1 − a1 v`a c´ac sô´ , , ,
a2, a3 . . . , an+1. V`ı tâ´t ca c´ac sô´ n`ay ¯
dê`u nho hon 2n nên c´ac sô´ trên , , , , , chı n` ˘
am trong khoang 1, 2, . . . , 2n − 1. Nhu v .ây ch´ung ta s˜e t`ım ¯du .oc ,, , ,, ,
m .ôt sô´o nh´om th´u nhâ´t b`˘ang m .ôt sô´o nh´om th´u hai: ak − a1 = al, suy ra ak = a1 + al. J , , . 2.6. Ch´ ung minh r` ˘ ang v´
oi m .ôt sô´ bâ´t k`y n tô`n t .ai m.ôt sô´ c´o d .ang 111 . . . 000 m`
a chia hê´t cho n. | {z } , n ch˜ u sô´ , , , , L` oi giai. Ch´ ung ta x´
et nh˜ung sô´ 1, 11, 111, . . . , 111 . . . 111 v`a nh˜ung | {z } , n ch˜ u sô´ , sô´ du khi chia d˜
ay sô´ trên cho n. V`ı d˜ay sô´ ¯ d˜ a cho gô`m n phâ`n ,, , , , , tu, nên nh˜ ung sô´ du duong kh´ ac nhau khi chia ch´ ung cho n c´ o sô´ , , , ,
lu .ong n − 1. C´o thê gia thiê´t không c´o m .ôt sô´ n`ao trong d˜ay trên , , , , ,
chia hê´t cho n v`ı nê´u ngu .oc l.ai th`ı b`ai to´an ¯d˜a ¯du .oc giai. Khi ¯d´o s˜ e c´ o hai sô´ trong ch´
ung, v´ı d .u 111 . . . 111 v`a 111 . . . 111, l > k, | {z } , | {z } , k ch˜ u sô´ l ch˜ u sô´ , m` a khi chia ch´ ung cho n s˜e cho c`
ung m .ôt sô´ du. Do ¯d´o l − k = , , 18 Chuong 2. Sô´h .oc 111 . . . 000 s˜ e chia hê´t cho n. J | {z } , , (l-k ch˜ u sô´1, k ch˜ u sô´0) , , ,
. 2.7. Cho p l` a sô´nguyên tô´l´ on hon 5. Ch´ ung minh r` ˘ ang tô`n t .ai m.ôt sô´c´
o d .ang 111 . . . 111 m`a chia hê´t cho p. , , L` oi giai. Ta x´ et d˜
ay sô´1, 11, 111, . . . , 111 . . . 1 . Nê´u trong d˜ay trên | {z } , (p ch˜ u sô´) , , , , không c´ o sô´ n`
ao chia hê´t cho p, th`ı ta cho tuong ´ ung m˜ ôi sô´ v´ oi sô´ , , , , , du cua ph´
ep chia. T .âp h .op c´ac sô´du chı c´o 1, 2, . . . , p − 1 gô`m p − 1 ,, , ,
phâ`n tu (v`ı 0 không thê c´
o trong t .âp n`ay). Nhung v`ı ch´ung ta c´o p ,,
sô´ o d .ang trên, nên theo nguyên l´y Ðirichlê tô`n t.ai hai sô´ c´o c`ung , , ,, , sô´du. Gia su c´ ac sô´ ¯ d´ o l` a 111 . . . 1 v` a 111 . . . 1 v´ oi m > n. Khi | {z } , | {z } , (m ch˜ u sô´) ( n ch˜ u sô´) ¯ d´ o 1 ≤ n < m ≤ p. V .ây 111 . . . 1 − 111 . . . 1 = 111 . . . 000 | {z } , | {z } , | {z } , , (m ch˜ u sô´) (n ch˜ u sô´) (m-n ch˜ u sô´1, n ch˜ u sô´0) = 111 . . . 1 .10n | {z } , (m-n ch˜ u sô´) T´ıch n`
ay chia hê´t cho p v`ı (p, 10) = 1, suy ra 111 . . . 1 | {z } , (m-n ch˜ u sô´1) ,, chia hê´t cho p v`a n´ o c˜ ung n` ˘ am trong d˜ ay o trên. M` a 1 ≤ m − n ≤ p , , mâu thu˜ ân v´ oi gia thiê´t không c´ o sô´ n` ao trong d˜ ay chia hê´t cho p. J , , ,
. 2.8. (Ðê` thi Olympic to´ an thê´gi´ oi lâ`n th´ u 14) Cho M l` a t .âp h.op bâ´t , , , , k`
y gô`m 10 sô´ t .u nhiên, m˜ôi sô´không l´on hon 100. Ch´ung minh r`˘ang , , , , ,,
tô`n t .ai hai t .âp h.op con cua M m`a tông cua c´ac phâ`n tu trong ch´ung b` ˘ ang nhau. 2.2. V´ıd .u 19 , , , , , L` oi giai. C´ o thê ch´
ung minh nê´u tô`n t .ai hai t.âp thoa m˜an kê´t lu.ân , , , , cua b` ai to´ an, th`ı ta c´
o thê ch .on ¯du .oc hai t.âp con c´o c`ung t´ınh châ´t , ,
â´y nhung không giao nhau. Th .ât v.ây, Cho X, Y l`a hai t.âp con cua M , ,, c´ o tông c´ ac phâ`n tu b` ˘ ang nhau. Ch´ ung ta k´
y hi .êu X1 gô`m c´ac phâ`n ,, , , , , ,
tu cua X m`a không thu .ôc Y. Tuong t .u nhu v.ây Y1 gô`m c´ac phâ`n ,, , ,
tu cua Y m`a không thu .ôc X. R˜o r`ang X1 v`a Y1 c´o tông c´ac phâ`n ,, , , tu b` ˘ ang nhau m`
a không giao nhau. G .oi A l`a t.âp h .op m .oi t.âp h .op , , , ,, , con không r˜
ông cua M. Sô´ lu .ong phâ`n tu cua A l`a 210 − 1 = 1023. , ,, , , , Ch´ ung ta x´
et tông S c´ac phâ`n tu cua m .ôt t.âp h .op con nhu v.ây, r˜o , r`
ang S ≤ 91 + 92 + · · · + 100 < 10.100 = 1000. Nhu v .ây tô`n t.ai , , , không qu´ a 1000 tông kh´ ac nhau. K´
y hi .êu B l`a t.âp h .op tâ´t ca c´ac , , , , ,, , ,, , ,
tông nhu v .ây. Do ¯d´o sô´ lu .ong phâ`n tu cua B nho hon 1000 v`a nho , , , ,, , , , , ,, , ,
hon sô´lu .ong phâ`n tu cua A. Ð.˘at tuong ´ung m˜ôi phâ`n tu cua t.âp h .op , , ,, , , A v´ oi tông c´ ac phâ`n tu cua n´ o. Ta thâ´y r` ˘ ang c´ o thê ´ ap d .ung nguyên ,, , l´ y Ðirichlê o ¯
dây. Suy ra tô`n t .ai ´ıt nhâ´t hai t.âp h .op con kh´ac nhau c´o , ,, c`
ung m .ôt tông c´ac phâ`n tu. J , ,
. 2.9. (Ðê` thi h .oc sinh gioi to´an Câ´p II to`an quô´c 1983) Ch´ung minh , r` ˘ ang trong c´
ac sô´t .u nhiên thê´n`ao c˜ung c´o sô´k sao cho 1983k − 1 chia hê´t cho 105. , , , , , L`
oi giai. Cho k lâ´y gi´a tr.i t`u 1 ¯dê´n 105 + 1 rô`i thay v`ao biêu th´uc , ,
1983k − 1 s˜e nh .ân ¯du .oc 105 + 1 gi´a tr.i kh´ac nhau. Chia 105 + 1 sô´ , ,, , , , v`
ua nh .ân o trên cho 105, s˜e ¯du .oc nhiê`u nhâ´t l`a 105 sô´ du. Do ¯d´o , , theo nguyên l´ y Ðirichlê phai c´
o ´ıt nhâ´t hai sô´ cho c` ung m .ôt sô´ du. , ,, Gia su ¯ d´ o l`
a sô´ 1983m − 1 v`a 1983n − 1(m > n). Thê´ th`ı (1983m −
1) − (1983n − 1) chia hê´t cho 105 m`
a (1983m − 1) − (1983n − 1) = ,
(1983m − 1983n) = 1983n(1983m−n − 1). Nhung 1983 v` a 105 nguyên , tô´ c`
ung nhau, do v .ây phai c´o (1983m−n − 1) chia hê´t cho 105. Sô´ , k = m − n thoa m˜ an ¯ diê`u ki .ên ¯dâ`u b`ai. J , , 20 Chuong 2. Sô´h .oc , , . 2.10. Ch´ ung minh r` ˘
ang tô`n t .ai nh˜ung sô´ nguyên a, b v`a c, không , , ¯ dô`ng th` oi b` ˘ ang 0 v` a gi´
a tr.i tuy.êt ¯dô´i cua m˜ôi sô´ không qu´a 1000000, , √ √ thoa m˜
an |a + b 2 + c 3| < 10−11. , , , , , √ √ , L`
oi giai. Ð .˘at S l`a t.âp h .op cua 1018 sô´ th .uc r + s 2 + t 3 v´oi m .oi √ √
r, s, t thu .ôc {0, 1, 2, . . . , 106 − 1} v`a ¯d.˘at d = (1 + 2 + 3d)106. , Khi ¯ d´ o m˜ ôi x trong S ¯ dê`u n` ˘
am trong khoang 0 ≤ x < d. Chia , ¯
do .an n`ay th`anh 1018 − 1 phâ`n b`˘ang nhau, m˜ôi ¯do.an nho c´o ¯d .ô d`ai d e = . Theo nguyên l´
y Ðirichlê tô`n t .ai hai sô´ trong 1018 sô´ 1018 − 1 , , , cua S n`˘am trong c`
ung m .ôt ¯do.an nho. Hi.êu cua hai sô´n`ay k´y hi.êu l`a √ √ 107 a + b 2 + c 3 ¯ d´ o ch´ınh l` a c´ ac sô´ a, b, c v`ı e < = 10−11. J 1018 2.3. B ` ai t .âp , , . 2.11. Cho A l`
a t .âp h .op bâ´t k`y gô`m 201 sô´t .u nhiên, m˜ôi sô´không , , , , , ,
vu .ot qu´a 300. Ch´ung minh r`˘ang A ch´ua ´ıt nhâ´t hai sô´, m`a ty sô´cua , ch´ ung l` a l˜ uy th` ua b .âc ba. , , . 2.12. Cho k l`
a sô´ t .u nhiên bâ´t k`y, c`on a v`a b l`a nh˜ung sô´nguyên , ,
sao cho a ≤ b v`a b − a < 2k − 2. Ch´ ung minh r` ˘ ang nê´u M l`a t .âp h .op , , , ,
k sô´ t .u nhiên n`˘am trong khoang [a, b], v`a l l`a sô´t .u nhiên thoa m˜an , ,, ,
1 ≤ l ≤ 2k + a − b − 2, th`ı c´
o ´ıt nhâ´t m .ôt hi.êu nh˜ung phâ`n tu cua , M tr` ung v´ oi l. ,, , , , . 2.13. Cho d˜
ây sô´ a1, a2, a3, . . . , a41, m`a m˜ôi phâ`n tu chı ¯ du .oc t.ao ,, , , , ,, boi sô´1 v` a, sô´2, trong ¯ d´ o c´
o ´ıt nhâ´t 21 sô´chı ¯ du .oc t.ao boi c´ac sô´1. , ,, , , Ch´ ung minh r` ˘
ang tô`n t .ai m .ôt sô´ phâ`n tu liên tiê´p cua d˜ay c´o tông b` ˘ ang ¯ d´ ung 20. , , . 2.14. Ch´ ung minh r` ˘
ang tô`n t .ai m .ôt sô´ t .u nhiên n, sao cho sô´ 2.3. B` ai t .âp 21 111 . . . 1 chia hê´t cho 139. (B` ai to´ an c` on ¯ d´ ung nê´u ta thay 139 | {z } , (n ch˜ u sô´) , b` ˘
ang m .ôt sô´nguyên tô´c`ung nhau v´oi 10). , ,, , . 2.15. Ch´ ung minh r` ˘
ang trong m .oi sô´t.ao boi 100 ch˜u sô´ N tô`n t.ai
m .ôt sô´chia hê´t cho 1967. , , , , . 2.16. Ch´ ung minh r` ˘ ang bao gi`o c˜ ung t`ım ¯ du .oc sô´
19971997. . . 19970. . . 0 chia hê´t cho 1998. , , . 2.17. Ch´ ung minh r` ˘ ang c´
o m .ôt sô´t .u nhiên chia hê´t cho 1997, m`a , , bô´n ch˜u sô´cuô´i c` ung cua n´ o l` a 1998. , . 2.18. Ch´ ung minh r` ˘ ang nê´u c´
ac sô´nguyên m v`a n nguyên tô´c` ung , , , nhau th`ı t`ım ¯
du .oc sô´t .u nhiên k sao cho mk − 1 chia hê´t cho n. , , 22 Chuong 2. Sô´h .oc , , CHUONG 3 D ˜ AY S ´ Ô 3.1. Nguyên l´ y Ðirichlê cho d˜ ay sô´ vô h .an , , Trong phâ`n n` ay ch´ ung ta x´ et nguyên l´ y Ðirichlê du´ oi d .ang: , , Nê´u c´ o h˜
uu h .an nh˜ung ng˘an k´eo m`a ch´ung ta ¯d .˘at vô h .an , , nh˜
ung v .ât v`ao ¯d´o, th`ı ´ıt nhâ´t c´o m .ôt ng˘an k´eo ch´ua vô h .an , nh˜
ung v .ât ¯d˜a c´o. , ,,, , Ch´ ung ta d˜ ê c´ o cam tuong r` ˘ ang nguyên l´ y n` ay l` a hiên nhiên nên , , , , ´ıt ch´ u ´ y ¯ dê´n n´ o. B` ˘ ang phan ch´ ung c´ o thê ch´ ung minh nguyên l´ y n` ay , ,, l` a ¯ d´
ung. Trong sô´ h .oc, t.âp h .op c´o liên quan ¯dê´n vô h.an phâ`n tu l`a , ây sô´. Ch´
ung ta biê´t râ´t nhiê`u d˜ ay sô´ ¯
d .ep nhu d˜ay câ´p sô´c .ông, d˜ay , , câ´p sô´ nhân, d˜ ay c´
ac sô´ nguyên tô´, ho .˘ac d˜ay Fibonaxi,. . . Chuong , , , , n` ay ch´ ung ta chı quan tâm ¯ dê´n ´
ap d .ung ¯diê`u ph´at biêu trên ¯dê giai , c´ ac b` ai to´ an liên quan ¯ dê´n d˜ ây sô´. Nh˜
ung t .âp vô h.an trong c´ac b`ai , , , to´ an du´ oi ¯ dây ta x´ et nhu c´ ac d˜ ay sô´. 3.2. V´ı d .u , . 3.1. X´et d˜
ay sô´ 6, 62, 63, 64, 65, . . . , 6n, . . . v` a viê´t 4 ch˜ u sô´ cuô´i c` ung , , cua c´ ac sô´ n`
ay 0006, 0036, 0216, 1296, 7776, . . .. Ch´ ung minh r` ˘ ang b´ ˘ at , , ¯ dâ`u t`
u m .ôt sô´n0 n`ao ¯d´o d˜ây v`ua l .âp l`a d˜ây tuâ`n ho`an. , , , , , L`
oi giai. V`ı tô`n t .ai h˜uu h.an sô´ lu .ong (104) c´ach ch .on kh´ac nhau , , 24 Chuong 3. D˜ ay sô´ , , , c´ ac sô´ c´ o 4 ch˜ u sô´, nên trong d˜ ay ¯ d˜ a cho ch´ ˘ ac ch´ ˘ an t`ım ¯ du .oc hai , , , c´
ach ch .on c´o c`ung 4 ch˜u sô´ cuô´i. C´o ngh˜ıa l`a t`ım ¯du .oc hai sô´ n0 , , v`
a n0 + t m`a v´oi ch´ung th`ı 6n0 v`a 6n0+t+1 c´o c`ung 4 ch˜u sô´ cuô´i , ,
(6n0+t+1 − 6n0 = 104.6k). N´ oi chung, ch˜ u sô´ 6n v`a 6n+t v´ oi bâ´t k` y ,
n > n0 s˜e c´o c`ung 4 ch˜u sô´cuô´i (6n+t − 6n = 104.6n−n0). J
. 3.2. (Ðê` thi To´
an Olympic quô´c tê´ lâ`n 17 n˘ am 1975) Cho , ,
a1, a2, . . . , an, . . . l`a d˜ay t˘ang ng .˘at c´ac sô´ t .u nhiên. Ch´ung minh r`˘ang ,, , , , , ,
vô h .an c´ac phâ`n tu an cua d˜ây trên c´o thê biêu di˜ên du´oi d .ang ,, , , ,
an = xap + yaq,o ¯dây x v`a y l`a nh˜ung sô´nguyên duong v`a p 6= q. , , , , L`
oi giai. Nê´u a1 = 1 kê´t lu .ân cua b`ai to´an l`a hiên nhiên. Th.ât v.ây, , , v´
oi m .oi n ≥ 3 sô´ h.ang an c´o biêu di˜ên d.ang an = an−1 + (an +
an−1) = 1.an−1 + (an − an−1).a1 c´o t´ınh châ´t mong muô´n. Ch´ung ta , , , , s˜ e ch´
ung minh tô`n t .ai chı sô´ p l´on hon 1 sao cho vô h.an c´ac sô´h.ang , , , , , cua d˜ ay ¯ d˜ a cho c´ o thê viê´t du´
oi d .ang xap + ya1 v´oi c´ac sô´ nguyên , , , , , , , ,
duong th´ıch h .op x v`a y. M˜ôi sô´ h.ang cua d˜ay ta ¯d.˘at tuong ´ung v´oi , , , , sô´ du cua n´ o khi chia ch´ınh n´
o cho a1. T .âp h .op tâ´t ca c´ac sô´ h.ang , , , , , cua d˜ ay l`
a vô h .an, c`on tâ´t ca c´ac kha n˘ang cua sô´du khi chia c´ac sô´ , , , ,,
h .ang cho a1 l`a h˜uu h.an. Ðiê`u ¯d´o ch´ung to r`˘ang vô h.an phâ`n tu ,
an , a , . . . , a , . . . , v´oi n 1 n2 nk
1 < n2 < . . . < nk < . . . , , cho c`
ung m .ôt sô´ du r khi chia cho a1. Không mâ´t t´ınh tông qu´at , , , , , ,
ta gia thiê´t n1 > 1, v`ı trong tru`ong h .op ngu .oc l.ai ta x´et c´ac sô´ , an , a , . . . , a , . . . c˜ ung l` a d˜ ay vô h r khi chia 2 n3 nk .an v` a cho c` ung sô´ du , , ,
cho a1. V´oi m .oi k = 1, 2, . . . tô`n t.ai sô´nguyên duong xk sao cho an = k xka1 + r. Khi ¯ d´ o an − a = (x k n1
k a1 + r) − (x1 a1 + r) = (xk − x1)a1 , , , suy ra v´
oi m .oi k ≥ 2 ta c´o ¯d˘ang th´uc an = a + (x k n1 k − x1)a1 = , , 1.an + (x
ng sô´ a , a , . . . , a , . . . ., c´ o biêu 1 k − x1)a1. Ngh˜ ıa l` a, nh˜ u n2 n3 nk , , , di˜ ên v` a c´ ac t´ınh châ´t nhu b` ai to´ an ¯ d`
oi hoi. Th .ât v.ây, chı sô´ 1 v`a n1 3.2. V´ı d .u 25 , , , , , , kh´ ac nhau v`ı theo c´
ach ch .on trên n1 th .uc s .u l´on hon 1. Chı c`on phai , , , , kh˘ ang ¯
d.inh r`˘ang sô´ xk − x1 l`a sô´ nguyên duong v´oi k ≥ 2, ¯diê`u ¯d´o , ¯ d´ ung v`ı t`
u n1 < nk suy ra x1 < xk. J , ,
. 3.3. Cho sô´t .u nhiên bâ´t k`y k. Ch´ung minh r`˘ang tô`n t .ai sô´nguyên tô´ , , p v`
a m .ôt d˜ay sô´t .u nhiên t˘ang ng .˘at a1, a2, . . . , an, . . . sao cho tâ´t ca c´ac ,, , , phâ`n tu cua d˜
ay p + ka1, p + ka2, . . . , p + kan, . . . l`a nh˜ung sô´nguyên tô´. , , , , , L` oi giai.
y hi .êu P l`a t.âp h .op tâ´t ca c´ac sô´ nguyên tô´. V´oi m .oi ,
i = 0, 1, . . . , k − 1 k´y hi .êu Pi l`a t.âp h .op c´ac sô´ nguyên tô´ m`a khi , chia cho k c´
o sô´du i. D˜ê thâ´y r`˘ang m .oi sô´nguyên tô´n`˘am trong m .ôt , ,, trong c´
ac t .âp h .op P0, P1, P2, . . . , Pk−1. Boi v`ı sô´nguyên tô´l`a vô h.an, , , ,
v .ây ´ıt nhâ´t phai c´o m .ôt trong sô´c´ac t.âp h .op P0, P1, P2, . . . , Pk−1 ch´ua , ,, ,
vô h .an sô´nguyên tô´. Gia su Pi ch´ua vô h.an sô´v`a k´y hi.êu p l`a phâ`n ,, , , , tu nho nhâ´t cua n´ o. Khi ¯ d´
o m .oi sô´x thu .ôc Pi c´o d.ang x = p + ka v´oi , ,, ,
m .ôt sô´ t .u nhiên a. Lâ´y x1, x2, x3, . . . l`a c´ac phâ`n tu cua Pi xê´p theo , , , , , x th´ u t n − p .u l´ on dâ`n. V´
oi m .oi sô´t .u nhiên n ¯d.˘at an = . D˜ ê thâ´y r` ˘ ang k
sô´nguyên tô´ p v`a d˜ay a1, a2, . . . , an, . . . c´o t´ınh châ´t mong muô´n. J , , . 3.4. Cho f l` a ¯ da th´ uc k ¯ dô´i sô´v´
oi h.ê sô´nguyên v`a a1, a2, . . . , an, . . . l`a , , , ay nh˜
ung sô´ nguyên thoa m˜
an h.ê th´uc an+1 = f (a,a2, . . . , an−k+1), , , ,
oi m .oi sô´ nguyên n, k m`a n ≥ k. Ch´ung ta x´et sô´ duong bâ´t k`y m , , , , v` a v´
oi m .oi n = 1, 2, . . .. K´y hi.êu an l`a sô´ du không âm nho nhâ´t cua ,
an theo mô ¯dun m. Ch´ ung minh r` ˘ ang d˜
ay a1, a2, a3, . . . , an, . . . . l`a d˜ay tuâ`n ho` an. , , ,, , , L` oi giai. Ch´ ung ta s˜
e su d .ung kh˘ang ¯d.inh sau: Nê´u g l`a ¯da th´uc , k ¯ dô´i sô´ v´
oi h .ê sô´ nguyên v`a x1, x2, . . . , xk, y1, y2, . . . , yk l`a c´ac sô´
nguyên sao cho x1 ≡ y1 (mod m), x2 ≡ y2 (mod m), . . . , xk ≡ yk
(mod m), th`ı g(x1, x2, . . . , xk) ≡ g(y1, y2, . . . , yk) (mod m). , , 26 Chuong 3. D˜ ay sô´ ,
M .oi sô´ h.ang cua d˜ay b`˘ang m .ôt trong c´ac sô´ a1, a1, a3, . . . , an, . . . , , ,, 0, 1, . . . , m − 1. Ch´ ung ta x´ et c´
ac b .ô s´˘ap th´u t .u gô`m k phâ`n tu
(a1, a2, . . . , ak), (a2, a3, . . . , ak+1), . . . , (an, an+1 . . . , an+k−1).. , , , , , C´
o tâ´t ca vô h .an b .ô s´˘ap nhu v.ây, nhung sô´ lu .ong c´ac b .ô k sô´ , ,
(α1, α2, α3, . . . , αk), v´oi 0 ≤ αi ≤ m − 1, i = 1, 2 . . . , k l`a h˜uu h .an , , (b` ˘
ang mk theo l´y thuyê´t tô h .op). Theo nguyên l´y Ðirichlê tô`n t.ai hai ,
chı sô´ i v`a j, i < j sao cho
ai = aj, ai+1 = aj+1, . . . , ai+k−1 = aj+k−1 ho .˘ac l`a
x1 ≡ y1 (mod m), x2 ≡ y2 (mod m) , . . . , xk ≡ yk (mod m). , , T` u ¯ dây suy ra d˜
ay a1, a2, a3, . . . , an . . . l`a tuâ`n ho`an (chu k`y cua n´o , , , , , l` a u´
oc sô´ cua j − i). Th .ât v.ây, v`ı f l`a ¯da th´uc v´oi h.ê sô´ nguyên nên , theo c´ ach ch´ ung minh trên ch´ ung ta c´ o
f (ai+k−1, ai+k−2, . . . , ai) ≡ f (aj+k−1, aj+k−2, . . . , aj) (mod m) ,
=⇒ ai+k ≡ aj+k (mod m) ho .˘ac l`a ai+k ≡ aj+k. Biê´n ¯dôi m .ôt ch´ut d˜ê , , , thâ´y r` ˘ ang v´
oi m .oi n ≥ i ta c´o ¯d˘ang th´uc sau an+(i−j) ≡ an. J , , , . 3.5. Cho d˜
ay x1, x2, . . . , xn, . . . . ¯du .oc x´ac ¯d.inh theo công th´uc sau
x1 = 1, x2 = 0, x3 = 2, xn+1 = 2xn−1 + xn−2, n ≥ 3. , , , ,, Ch´ ung minh r` ˘ ang v´
oi m .oi sô´ t .u nhiên m tô`n t .ai hai phâ`n tu liên tiê´p , cua d˜ ay m` a ch´ ung ¯
dê`u chia hê´t cho m. , , , , L`
oi giai. Công th´ uc hô`i quy trên c´ o thê viê´t l .ai xn−2 = xn+1 − 2xn−1 (3.1) , , , , , T` u ¯ d´ o chı ra r` ˘ ang d˜ ay c´ o kha n˘ ang ph´ at triên vê` ph´ıa tr´ ai, t´ uc , , l` a x´ ac ¯
d.inh xn v´oi n ≤ 0. V´ı d .u v´oi n = 2, 1, 0 ch´ung ta nh.ân , , , , ¯
du .oc x0 = 0, x−1 = 0, x−2 = 1. Nhu m .uc 3.4 chı ra r`˘ang d˜ay 3.2. V´ı d .u 27 , , , , ,
x1, x2, . . . , xn, . . . gô`m nh˜ung sô´du tuong ´ung x1, x2, . . . , xn, . . . theo , ,
môdd un m, l`a d˜ay tuâ`n ho`an. T`u công th´ uc (3.1) suy ra m˜ ôi ,, , , , phâ`n tu cua d˜
ay {xn} v`a suy ra ca {xn} x´ac ¯ d.inh duy nhâ´t t`u 3 ,, , , , phâ`n tu tru´ oc n´ o. Khi ¯ d´
o nê´u (r1, r2, . . . , rk) l`a phâ`n chu k`y cua d˜ay ,
x1, x2, . . . , xn, . . . th`ı phâ`n n`ay s˜e chuyên ¯
d .ông tuâ`n ho`an vê`ph´ıa tr´ai , cua d˜
ay . . . , x−3, x−2, x−1, x0, x1, x2, . . . v`a s˜e c´o d .ang
. . . , r1, r2, . . . , rk, r1, r2, . . . , rk, r1, r2, . . . , rk . . . (3.2) , , Bây gi` o ta ch´ u ´ y r` ˘
ang x−1 = x0 = 0, suy ra x−1 = x0 = 0. T`u (3.2) , , ,, suy ra r` ˘ ang d˜ ay c´
ac sô´ du theo môdd un m ch´ ua vô sô´ c .˘ap phâ`n tu liên tiê´p b` ˘ ang không. N´ oi c´ ach kh´
ac tô`n t .ai vô sô´c´ac c.˘ap sô´liên tiê´p , ,, cua d˜
ay x1, x2, . . . , xn, . . . m`a m˜ôi phâ`n tu trong c .˘ap ¯dê`u chia hê´t cho m. J , , , , . 3.6. ay sô´ Fibonaxi ¯
du .oc ¯d.inh ngh˜ıa b`˘ang c´ac ¯d˘ang th´uc F1 = ,
F2 = 1, Fn+2 = Fn+1 + Fn, n ≥ 1. Ch´ ung minh r` ˘
ang ´ıt nhâ´t m .ôt trong ,, ,
1.000.000.000 phâ`n tu ¯ dâ`u tiên cua d˜
ay chia hê´t cho 10.000. , , , , , , , , L`
oi giai. Tuong t .u nhu 3.5 ch´ung ta x´et c´ac sô´ du cua c´ac sô´ , , ,, trong d˜ ay ¯ d˜ a cho khi chia cho 10.000. K´
y hi .êu sô´ du ¯d´ung o v.i , tr´ı th´
u k khi chia cho 10 000 l`a rk. Khi ¯ d´ o th`ı r1 = 1, r2 =
1, r3 = 2, r4 = 3, . . . . . . .rk = rk−1 + rk−2. R˜o r`ang c´o 10.000 sô´ , du kh´ ac nhau do ¯ d´ o c´
o 100002 = 100000000 (tr˘am tri .êu) c.˘ap sô´ , , du kh´ ac nhau. X´
et 100000001 c .˘ap sô´ du (r1, r2), (r2, r3), (r3, r4) . . .
. . . (r100000001, r100000002). Theo nguyên l´y Ðirichlê trong sô´ n`ay c´o ´ıt , , , ,
nhâ´t 2 c .˘ap sô´ tr`ung nhau, t´uc l`a t`ım ¯du .oc hai sô´ n v`a p v´oi n, p , , , , ¯
dê`u nho hon 100000002,n nho hon p sao cho rn = rp, rn+1 = rp+1. , , , , , ,
Nhung nê´u biê´t sô´ du cua tông hai sô´ v`
a sô´ du cua m .ôt sô´ th`ı sô´ , , , du kia c˜ ung t´ınh ¯
du .oc. V`ı v.ây ta c´o rn−1 = rp−1, rn−2 = rp−2, . . . . , cho ¯
dê´n khi r2 = 1 = rp−n+2, r1 = 1 = rp−n+1, Áp d .ung công th´uc , , 28 Chuong 3. D˜ ay sô´ , ,, ,
sô´ du hô`i qui o trên ta c´
o rp−n = 0 v´oi p − n ≤ 100000001 − 1 = , ,, , 100000000. Ngh˜ıa l` a sô´ ¯ d´
ung o v.i tr´ı p − n s˜e thoa m˜an ¯diê`u ki.ên b`ai ra, chia hê´t cho 10 000. J
. 3.7. (Ð.inh l´y Fecma) Nê´u m.ôt sô´ nguyên tô´ p không chia hê´t sô´ , ,
nguyên a, th`ı ¯ ang th´ uc sau ¯
ung ap−1 ≡ 1( mod p). , , , , , L` oi giai. Ch´ ung ta ch´
ung minh m .ênh ¯dê` tông qu´at hon. Cho m > 1 , , l`
a sô´ t .u nhiên bâ´t k`y v`a a l`a sô´ nguyên tô´ c`ung nhau v´oi m. Ch´ung , , , ta x´ et d˜ ay nh˜ung l˜ uy th` ua liên tiê´p cua a a1, a2, a3, . . . (3.3) v` a k´ y hi .êu r1, r2, r3, . . . (3.4) , , , , , , l` a nh˜ ung sô´du tuong ´
ung cua (3.3) khi chia cho m, ngh˜ıa l`a
ak ≡ rk (mod m), 1 ≤ rk ≤ m − 1. , , , ,, Khi ¯ d´
o sô´ lu .ong c´ac sô´ trong (3.3) l`a vô h.an, c`on nh˜ung sô´ o (3.4) , , , , , chı c´
o thê nh .ân nh˜ung gi´a tr.i trong 1, 2, 3, . . . , m − 1 nên sô´lu .ong l`a , , , , h˜
uu h .an. Suy ra theo nguyên l´y Ðirichlê, gi˜ua nh˜ung sô´du rk s˜e c´o , , ´ıt nhâ´t hai sô´ tr` ung nhau; n´ oi c´ ach kh´
ac tô`n t .ai hai chı sô´ i v`a j v´oi, i 6= j sao cho ri = rj. Khi ¯ d´ o ch´ ung ta c´ o ai ≡ aj( mod m). Theo gia , , , thiê´t (a, m) = 1, v´ oi i 6= j ch´
ung ta nh .ân ¯du .oc ai−j ≡ 1( mod m). , , , Ch´ ung ta c´
o kê´t lu .ân tô`n t.ai sô´t .u nhiên l sao cho ¯d˘ang th´uc sau ¯ dây ¯ d´ ung: al ≡ 1 (mod m) (3.5)
- Sô´ l trong (3.5) không x´ac ¯
d.inh duy nhâ´t, th.âm ch´ı c`on tô`n t.ai , ,
vô sô´sô´t .u nhiên l thoa m˜an (3.5). , , , , - Trong tru`
ong h .op m = p l`a sô´nguyên tô´, Fecma t`ım ra l c´o thê ch .on l`a sô´ p − 1. 3.2. V´ı d .u 29 , , , , , , -Tru`
ong h .op m bâ´t k`y th`ı Ole ch´ung minh r`˘ang l c´o thê ch .on l`a , , ,, h` am chı sô´ cua m (ch´ ung ta không xem x´ et vâ´n ¯ dê` n` ay o ¯ dây, ¯ d .ôc , , , gia c´ o thê t`ım trong bâ´t c´ u cuô´n s´ ach sô´h .oc n`ao). J
. 3.8. Cho x1, x2, x3, . . . l`a d˜
ây vô h .an c´ac sô´ nguyên v`a k l`a m.ôt sô´ , , , ,,
t .u nhiên bâ´t k`y. Ch´ung minh r`˘ang tô`n t .ai d˜ây sô´gô`m nh˜ung phâ`n tu , , , liên tiê´p cua d˜ ây, m` a tông cua ch´
ung chia hê´t cho k. , , , , , ,, L` oi giai. Ch´ ung ta c´ o thê gi´
oi h .an l.ai, gi˜ua m .oi b .ô k phâ`n tu liên , , , , ,, tiê´p cua d˜ ây c´
o thê ch .on ¯du .oc m .ôt sô´ phâ`n tu c´o t´ınh châ´t mong , , , ,, muô´n. Ðê ¯ don gian ta xem x´ et k phâ`n tu ¯
dâ`u tiên x1, x2, x3, . . . , xk. , Ch´ ung ta x´ et tông
S1 = x1, S2 = x1 + x2, S3 = x1 + x2 + x3, . . . , Sk = x1 + x2 + · · · + xk , , ,
Nê´u m .ôt tông n`ao ¯d´o trong sô´trên chia hê´t cho k, th`ı b`ai to´an ¯du .oc , , , , ,
giai. Ngu .oc l.ai, c´ac sô´ S1, S2, . . . , Sk (c´o sô´ lu .ong k) khi chia cho k , , , , ¯
du .oc c´ac sô´du 1, 2, 3, . . . , k − 1. T`u nguyên l´y Ðirichlê suy ra c´o m .ôt , ,
c .˘ap chı sô´i v`a j, 1 ≤ i < j ≤ k, m`a c´ac tông Si v`a Sj cho c`ung m .ôt sô´ , , ,, du khi chia cho k. Khi ¯ d´ o tông c´
ac phâ`n tu liên tiê´p xi+1, xn+2, . . . , xj , cua d˜ ay ¯ d˜
a cho chia hê´t cho k, v`ı xi+1 + xn+2 + · · · + xj = Sj − Si. J , , , , . 3.9. Cho d˜
ay vô h .an c´ac ch˜u sô´. Ch´ung minh r`˘ang v´oi m.oi sô´ t .u ,
nhiên n, nguyên tô´ c` ung nhau v´ oi 10, trong d˜
ay vô h .an trên tô`n t .ai , ,, ,
m .ôt nh´om ch˜u sô´liên tiê´p, m`a sô´t .ao boi c´ac ch˜u sô´trong nh´om (viê´t , , , , , , , theo th´
u t .u chı sô´l´on ¯d´ung tru´oc) chia hê´t cho n. , , , L` oi giai. Cho d˜ ay c´ ac ch˜
u sô´ a1, a2, . . . , an, . . .. Ch´ung ta x´et c´ac sô´
A1 = a1, A2 = a2a1, . . . , An = anan−1 . . . a1, . . . , An+1 = an+1 . . . a1. , , , , , , , ,
V`ı sô´lu .ong nh˜ung sô´n`ay l`a n + 1, c`on sô´lu .ong kha n˘ang cua sô´du khi chia ch´
ung cho n l`a n, nên theo nguyên l´y Ðirichlê tô`n t .ai ´ıt nhâ´t , , 30 Chuong 3. D˜ ay sô´ , hai sô´cho c`
ung m .ôt sô´du ta k´y hi.êu ch´ung l`a Ai v`a Aj, (i < j). Khi ¯ d´
o hi .êu Aj − Ai chia hê´t cho n. Hay n´oi c´ach kh´ac
Aj − Ai = aj . . . a1 − ai . . . a1 = aj . . . ai−1.10j−i+1
v`ı (n, 10) = 1, nên aj . . . ai−1 chia hê´t cho n. J , , . 3.10. Cho k l`
a sô´nguyên duong bâ´t k` y v` a x1, x2, . . . , xn, . . . y1, y2, . . . , yn, . . . , , l` a nh˜ ung chu˜
ôi sô´ nguyên bâ´t k` y. Ch´ ung minh r` ˘
ang tô`n t .ai vô sô´ c .˘ap , , ,
chı sô´ (i, j), v´
oi i < j sao cho m˜ ôi tông
xi+1 + xn+2 + · · · + xj; yi+1 + yn+2 + · · · + yj ¯
dê`u chia hê´t cho k. , , , , ,, L`
oi giai. Chı câ`n ch´ ung minh r` ˘
ang trong b .ô sô´ k2 phâ`n tu liên tiê´p , , , , , , , cua 2 d˜ ây trên c´
o thê ch .on ¯du .oc tông v´oi t´ınh châ´t ¯d˜a chı ra. V`ı v.ây , ,, , ch´ ung ta chı quan tâm ¯ dê´n k2 phâ`n tu ¯ dâ`u tiên cua c´ ac chu˜ ôi ¯ d˜ a cho. , , , B` ˘ ang c´ ach tông qu´ at h´ oa c´ ach giai b` ai to´ an 3.8, lâ´y tông
S1 = x1, S2 = x1 + x2, S3 = x1 + x2 + x3, . . . , Sk2 = x1 + x2 + · · · + xk2
T1 = y1, T2 = y1 + y2, T3 = y1 + y2 + y3, . . . , Tk2 = y1 + y2 + · · · + yk2 , , , , , V´ oi m˜ ôi m = 1, 2, 3, . . . , k2 ¯
d .˘at tuong ´ung c.˘ap (Sm, Tm) v´oi c.˘ap , , ,
(RSm, RTm) cua nh˜ung sô´ du, khi chia Sm v`a Tm cho k. V`ı RSm , , , v`
a RTm l`a m .ôt trong c´ac sô´ 0, 1, 2, . . . , k − 1, nên tô h .op tâ´t ca c´
ac d .ang kh´ac nhau (RSm, RTm) l`a không qu´a k2. Nê´u tô`n t.ai , , ,
m .ôt chı sô´ m, sao cho (RSm, RTm) tr`ung v´oi (0, 0), th`ı m .oi tông
Sm = x1 + x2 + · · · + xm v`a Tm = y1 + y2 + · · · + ym ¯ dê`u chia hê´t cho ,
k. V`ı nê´u không nhu v .ây, th`ı c´ac c.˘ap sô´(RSm, RTm), m = 1, 2, . . . .., k2 , , , , c´ o nhiê`u nhâ´t l`
a k2 − 1 kha n˘ang kh´ac nhau. Nhung sô´ lu .ong 3.3. B` ai t .âp 31 , nh˜
ung c .˘ap sô´ n`ay l`a k2 suy ra c´o ´ıt nhâ´t hai trong ch´ung b`˘ang , nhau. N´ oi c´ ach kh´
ac, tô`n t .ai hai chı sô´ i v`a j, sao cho 1 ≤ i < , , , j ≤ k2 v`
a (RSi, RTi) = (RSj, RTj). Trong tru`ong h .op n`ay m˜ôi sô´
xi+1 + xn+2 + · · · + xj = Sj − Si; yi+1 + yn+2 + · · · + yj = Tj − Ti ¯ dê`u chia hê´t cho k. J , ,, Ch´ u ´ y: Ðây l` a b` ai to´ an tông qu´ at h´ oa b` ai to´ an 3.8. Mo r .ông kê´t , qua n` ay c´
ac b .an h˜ay xem v`a l`am b`ai tâp 3.15. 3.3. B ` ai t .âp , , , , . 3.11.
o tô`n t .ai lu˜y th`ua cua sô´3 m`a c´ac ch˜u sô´cuô´i c`ung cua n´o l` a 0001 không ? , , , , . 3.12. Cho F l`
a t .âp h˜uu h.an nh˜ung sô´nguyên duong v`a x1, x2, . . . , ,,
, xn, . . . v`a y1, y2, . . . , yn, . . . l`a hai d˜ây vô h .an nh˜ung phâ`n tu thu .ôc , , , F. Ch´ ung minh r` ˘
ang tô`n t .ai nh˜ung chı sô´ i v`a j, i < j sao cho t´ıch , ,
cua xi+1, xi+2, . . . , xj v`a yi+1, yi+2, . . . , yj l`a m .ôt sô´c´o l˜uy th`ua b.âc k. ,
. 3.13. Cho u1, u2, . . . , un, . . . l`a d˜ay nh˜ung sô´nguyên x´ac ¯ d.inh b`˘ang , , công th´ uc u1 = 39, u2 = 45, un+2 = u2 − u ng minh n+1 n(n ≥ 1). Ch´ u , ,, r` ˘
ang 1986 chia hê´t cho vô sô´nh˜ ung phâ`n tu trong d˜ ay n` ay. , , . 3.14. Cho k l`
a m .ôt sô´t .u nhiên. D˜ay x1, x2, . . . , xn, . . . thoa m˜an c´ac , , 1 , ¯ d˘ ang th´ uc x0 = 0, x1 = 1 v`a xn = (x i m .oi n ≥ 1. k n+1 − xn−1) v´ o , , , Ch´ ung minh r` ˘ ang gi˜ ua nh˜
ung sô´ x1, x2, . . . , x1986 tô`n t .ai hai sô´ m`a , t´ıch cua ch´
ung chia hê´t cho tich 19.86. , , . 3.15. Cho k l` a sô´nguyên duong v` a x11, x12, . . . , x1n, . . . x21, x22, . . . , x2n, . . . , , 32 Chuong 3. D˜ ay sô´ . . . . . . . . . . . . . . . xs1, xs2, . . . , xsn, . . . , , l`
a s d˜ay sô´ nguyên. Khi ¯ d´
o tô`n t .ai vô h.an c´ac c.˘ap chı sô´ (i, j), v´oi , i < j sao cho c´ ac tông sau ¯ dây x1 + + · · · + i+1 x1i+2 x1j x2 + + · · · + i+1 x2i+2 x2j
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xs + + · · · + i+1 xsi+2 xsj ¯ dê`u chia hê´t cho k. , , CHUONG 4 H`INH H .OC 4.1. V´ı d .u , , , Trong sô´c´ ac b` ai to´
an h`ınh h .oc trong to´an h .oc tô h .op c´o m .ôt l´op , , , b` ai to´ an giai b` ˘ ang phuong ph´
ap Ðirichlê râ´t thu .ân ti.ên v`a r˜o r`ang. , , , ,
B .an ¯d .oc c´o thê t`ım thâ´y nh˜ung c´ach giai kh´ac, nhung v`ı m .uc ¯d´ıch , , , , chuyên ¯ dê` phuong ph´ ap ch´ ung ta ¯ dang x´ et nên ch´ ung ta chı khao s´ at c´ ac v´ı d .u sau. , , , , , ,
. 4.1. Trong h`ınh vuông v´
oi c .anh 1 ¯don v.i ¯du.oc ch.on 101 ¯diêm. Ch´ung , , , , ,, , , minh r` ˘ ang c´ o n˘ am ¯ diêm trong c´ ac ¯ diêm ¯
a ch .on c´o thê phu boi ¯du`ong 1 tr` on b´ an k´ınh . 7 , , L`
oi giai. Chia h`ınh vuông ra ra 25 h`ınh vuông con c´ o c .anh 0,2. , , , , , Nh˜ ung h`ınh vuông n` ay c´
o sô´ lu .ong 25 v`a v`ı tâ´t ca sô´ ¯diêm ¯d˜a ch .on , , , l` a 101, th`ı ´ıt nhâ´t c´
o m .ôt h`ınh vuông nho ch´ua ´ıt nhâ´t 5 ¯diêm. M`a , , , 1 1 b´ an k´ınh ¯ du` ong tr`
on ngo .ai tiê´p h`ınh vuông nho b`˘ang √ < . J 5 5 7 , . 4.2. Ch´ ung minh r` ˘
ang trong m .oi khô´i ¯da di.ên lô`i tô`n t .ai ´ıt nhâ´t hai
m .˘at c´o c`ung sô´c .anh. , , , , L` oi giai.
y hi .êu F l`a m.˘at c´o sô´c.anh l´on nhâ´t cua khô´i ¯da di.ên. Nê´u ,
sô´c .anh cua F l`a k, th`ı khô´i ¯da di.ên c´o ´ıt nhâ´t k + 1 m.˘at (v`ı c´o k m.˘at , , 34 Chuong 4. H`ınh h .oc , , , , c´
o c .anh chung v´oi F), c`on sô´ lu .ong c´ac c.anh cua m˜ôi m.˘at l`a m .ôt trong c´
ac sô´ 3, 4, . . . , k. Theo nguyên l´y Ðirichlê c´ o ´ıt nhâ´t hai m .˘at c´ o c` ung sô´c .anh. J , , , , ,
. 4.3. Trong phâ`n trong cua m .ôt h`ınh tr`on v´oi ¯du`ong k´ınh 5 ¯don v.i, , , , , , ngu`
oi ta ch .on bâ´t k`y 10 ¯diêm. Ch´ung minh r`˘ang ´ıt nhâ´t c´o hai ¯diêm , , , , trong c´ ac ¯ diêm ¯
a ch .on c´o khoang c´ach nho hon 2. , , , , L` oi giai. Chia ¯ du` ong tr` on , th` anh 8 re qu .at b`˘ang nhau , C , 9 , , C C 2 v´ oi g´ oc o tâm m˜ ôi re qu .at l`a A1 , , , B 450 v`
a d .ung ¯du`ong tr`on ¯dô`ng C F 8 , A C tâm C i b´ an k´ınh 1. K´ y 3 1 v´ o E D ,
hi .êu C2, C3, . . . , C9 l`a nh˜ung O B1 , , , C h`ınh t` u t´ am re qu 7 ¯ di C1 .at tr` u , , phâ`n m` a ¯ du` ong tr` on C1 ¯ d˜ a C , 4 , chiê´m. C´ o thê ch´ ung minh C , 6 , , , C5 ¯
du .oc bâ´t c´u hai ¯diêm n`ao
thu .ôc m .ôt trong ch´ın h`ınh , , H`ınh 4.1: trên ¯ dê`u c´ o khoang c´ ach nho , , , , ,
hon 2. Th .ât v.ây, nê´u hai ¯diêm roi v`ao ¯du`ong tr`on ¯dô`ng tâm th`ı , , , , , ,, , , khoang c´ ach gi˜ ua ch´ ung nho hon 2. Gia su hai ¯ diêm A v`a B roi , v`
ao m .ôt CDEF trong sô´ t´am re qu.at. Trên b´an k´ınh OC v`a OD lâ´y , , , , tuong ´ ung hai ¯
diêm A1 v`a B1 sao cho OA1 = OA; OB1 = OB, ngh˜ıa ,, l` a AB ≤ A1B1 (theo ¯
d.inh l´y h`am cosin, boi v`ı [ AOB ≤ \ A1OB1). , , Ðê ´ y r` ˘
ang A1B1 ≤ max{A1D, A1E}. Th .ât v.ây ¯diêm B1 n`˘am trong , ,, , ¯
do .an th˘ang t.ao boi h`ınh chiê´u H cua A1 trên OD v`a ´ıt nhâ´t m .ôt , , , ,, trong hai ¯
diêm D, E, ch˘ang h .an ¯diêm D. Boi v.ây h`ınh chiê´u HD , , , , , cua ¯ du`
ong xiên A1D không b´e hon h`ınh chiê´u HB1 cua A1B1 trên , , OD. Ngh˜ıa l`
a A1B1 ≤ A1D. C˜ung ch´ung minh nhu trên ta c´o 4.1. V´ı d .u 35 , ,
DA1 ≤ max{DF, DC}, EA1 ≤ max{EF, EC}. T`u s .u ¯d´anh gi´a
EF2 < CD2 = OC2 + OD2 − 2.OC.OD. cos 450 √ 25 25 2 = 2 − < 3, 75 < 4 4 4 v` a
EC2 = FD2 = OF2 + OD2 − 2OF.OD. cos 450 √ 25 5 2 5.1, 4 = 1 + − < 7, 25 − = 3, 75 < 4, 4 2 2 , , ta ¯
du .oc AB ≤ A1B1 ≤ max{DF, DC, EF, EC} < 2. J , ,, , , , , ,
. 4.4. Gia su m˜ ôi ¯
diêm trong m .ôt m .˘at ph˘ang ¯du.oc son b`˘ang m.ôt trong , , , hai mâ`u ¯ do v` a xanh. Ch´ ung minh r` ˘ ang c´
o m .ôt h`ınh ch˜u nh .ât n`ao ¯d´o , , ,
trong m .˘at ph˘ang m`a bô´n ¯dınh cua n´o c`ung mâ`u. , , L` oi giai. D˜ ê thâ´y theo nguyên l´ y , P1 P2 P3 P4
Ðirichlê, m .ôt t.âp bâ´t k`y 7 ¯diêm , m`
a son m .ôt trong hai mâ`u th`ı´ıt , Q1 Q2 Q3 Q4 nhâ´t c´ o 4 ¯ diêm c` ung mâ`u. Trên , , , ,
m .ôt ¯du`ong th˘ang c´o 7 ¯diêm th`ı R R 1 2 R3 R4 , , , ch´ ung ta phai c´ o 4 ¯ diêm th˘ ang , ,, h` ang c` ung mâ`u, gia su ¯ d´ o l` a , H`ınh 4.2:
P1, P2, P3, P4 c´o c`ung mâ`u ¯ do. Ta , , , , , , , , chiê´u nh˜ ung ¯ diêm n` ay xuô´ng hai ¯ du` ong th˘ ang song song v´ oi ¯ du` ong , , , , , ch´ ua ch´
ung t .ao ra (Q1, Q2, Q3, Q4) v`a (R1, R2, R3, R4) tuong ´ung v´oi , , , (P1, P2, P3, P4). Nh˜ung ¯ diêm n`
ay t .ao ra m .ôt sô´h`ınh ch˜u nh.ât, ch´ung , , , ta ch´ u ´ y ¯ dê´n c´ ac h`ınh ch˜
u nh .ât c´o ¯dınh l`a Pi, i = 1, 2, 3, 4. Nhu v.ây , , , , nê´u 2 ¯ diêm bâ´t k` y cua Q l`a ¯ do th`ı ta c´
o kê´t qua m .ôt h`ınh vuông , , , , , PiPjQjQi c´o ¯ dınh c`
ung mâ`u. Tuong t .u cho c´ac ¯diêm R. Nê´u ¯dô`ng , , , , , , th` oi không c´ o ¯
diêm Q v`a R thoa m˜an tru`ong h .op trên th`ı c´o 3 (ho.˘ac , , 36 Chuong 4. H`ınh h .oc , , , , hon) ¯ diêm Q n`ao ¯ d´ o v` a 3 ¯ diêm R n`ao ¯ d´ o c´ o c` ung mâ`u xanh. Nhung , , , ,
trong b .ô ba nhu v.ây phai c´o c.˘ap ¯dôi t.ao ra h`ınh ch˜u nh.ât v´oi c´ac , , ¯
dınh mâ`u xanh trong sô´c´ ac ¯ diêm Q v`a R. J , ,, , , , , ,
. 4.5. Gia su m .ôt b`an c`o h`ınh ch˜u nh .ât c´o 4x7 ô vuông ¯du.oc son ¯den , , , ,
ho .˘ac tr´˘ang. Ch´ung minh r`˘ang v´oi c´ach son mâ`u bâ´t k`y, trong b`an c`o , ,,
luôn tô`n t .ai h`ınh ch˜u nh .ât gô`m c´ac ô vuông, m`a bô´n ô o g´oc l`a c´ac ô c` ung mâ`u. , , , L` oi giai. Ch´ ung ta ch´ ung, minh cho b` ai to´ an b` an c` o , 3 × 7. M˜ âu son mâ`u c´ o , , , , thê xây ra v´ oi b` an c` o n` ay , , c´ o d .ang t`u 1 ¯dê´n 8. Gia ,,
su m .ôt trong sô´ c´ac c .ôt
thu .ôc d.ang 1. B`ai to´an s˜e , , , ¯
du .oc ch´ung minh nê´u tâ´t , , ca nh˜ ung c .ôt c`on l.ai trong
6 c .ôt thu .ôc c´ac d.ang 1, 2, , , ,, ,
3, 4. Nhu v .ây gia su tâ´t ca H`ınh 4.3: c´
ac c .ôt c`on l.ai thu .ôc d.ang
5, 6, 7, ho .˘ac 8. Khi ¯d´o theo nguyên l´y Ðirichlê hai trong sô´ s´au c .ôt , , , , c´
o hai c .ôt c`ung m .ôt d.ang v`a nhu v.ây b`ai to´an c˜ung ¯du .oc ch´ung , , , , , minh. Ch´ ung minh ho` an to`
an tuong t .u nê´u m .ôt c .ôt c´o d.ang 8. Gia ,, , su không c´
o c .ôt n`ao trong 7 c .ôt c´o d.ang 1 ho.˘ac 8. Nhu v.ây ta c´o 7 ,
c .ôt v´oi 6 d.ang. Theo nguyên l´y Ðirichlê c´o hai c .ôt c`ung d.ang v`a b`ai , , , , to´ an ¯
du .oc ch´ung minh ¯dâ`y ¯du. J , , . 4.6. am ¯
diêm A, B, C, D, E n` ˘
am trong m .ôt m .˘at ph˘ang v`a t.oa ¯d.ô , , , cua ch´ ung l` a c´ ac sô´ nguyên. Ch´ ung minh r` ˘ ang trong sô´ nh˜ ung tam 4.1. V´ı d .u 37 , , , , gi´ ac m` a ¯ dınh cua n´ o l` a ba ¯ diêm n` ao ¯ o trong c´ ac ¯ diêm n` ay, c´ o ´ıt nhâ´t , ba tam gi´ ac v´
oi di.ên t´ıch l`a c´ac sô´nguyên. , , , , , L` oi giai. Ta c´ o thê ch´ ung minh r` ˘
ang nê´u m .ôt trong c´ac t .oa ¯d .ô cua , , , c´ ac ¯ dınh tam gi´ ac ¯ d˜ a cho thay ¯
dôi m .ôt sô´ch˜˘an, th`ı di.ên t´ıch cua tam , , , , gi´ ac c˜ ung thay ¯
dôi m .ôt sô´nguyên. M .ôt c´ach tông qu´at hon ta c´o thê , , , , kh˘ ang ¯
d.inh nê´u c´ac t .oa ¯d .ô ¯dınh cua m .ôt tam gi´ac thay ¯dôi m .ôt sô´ , , ch˜ ˘
an, th`ı di .ên t´ıch cua n´o c˜ung thay ¯dôi m .ôt sô´nguyên. V`ı v.ây, nê´u , , , ,
di .ên t´ıch cua tam gi´ac m´oi nh.ân ¯du .oc l`a sô´ nguyên, th`ı di.ên t´ıch , tam gi´ ac ban ¯ dâ`u c˜ ung l` a sô´nguyên (h˜ ay v˜ e h`ınh v` a ch´ ung minh). , , , , V`ı nh˜
ung t .oa ¯d .ô cua c´ac ¯diêm ¯d˜a cho A, B, C, D, E l`a nh˜ung sô´ , , nguyên, sau khi thêm v` ao c´
ac t .oa ¯d .ô n`ay nh˜ung sô´ch˜˘an th´ıch h .op, , , th`ı m˜
ôi t .oa ¯d .ô s˜e chı nh.ân c´ac gi´a tr.i 0 v`a 1. Do ¯d´o m .oi 5 ¯diêm ¯d˜a cho ,, ,
t .ao nên boi c´ac ¯diêm (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1). Áp d .ung nguyên l´y , , ,
Ðirichlê suy ra ´ıt nhâ´t hai ¯ diêm trong c´ ac ¯ diêm A, B, C, D, E biê´n ¯ dôi , , ,, th` anh c`
ung m .ôt ¯diêm trong {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}. Gia su ¯d´o l`a , A, B. Ch´ ung ta s˜ e kh˘ ang ¯
d.inh di.ên t´ıch c´ac tam gi´ac ABC, ABD v`a , ABE l` a nh˜
ung sô´ nguyên. Th .ât v.ây, c´ac tam gi´ac n`ay b.i biê´n th`anh , , ¯
do .an th˘ang (do A v`a B biê´n th`anh c`ung m .ôt ¯diêm) nên di.ên t´ıch , , , , , , anh cua ch´ ung b` ˘
ang 0. V .ây tru´oc khi biê´n ¯dôi, di.ên t´ıch cua ch´ung , phai l` a sô´nguyên. J , , ,
. 4.7. Trong m .ôt m .˘at ph˘ang cho m.ôt t .âp h.op A c´o n ¯diêm (n ≥ 2), , , , , , ,
m .ôt sô´ c .˘ap ¯diêm ¯du.oc nô´i v´oi nhau b`˘ang ¯do .an th˘ang. Ch´ung minh , , , , , , , r` ˘ ang trong A o ´ıt nhâ´t hai ¯ diêm ¯
du .oc nô´i v´oi c`ung sô´lu.ong c´ac ¯diêm kh´ ac thu .ôc A. , , , , L` oi giai.
oi m .oi ¯diêm bâ´t k`y a thu .ôc A ch´ung ta k´y hi.êu S(a) l`a , , , , , ,
sô´ lu .ong nh˜ung ¯diêm cua A m`a a nô´i th`anh ¯do.an th˘ang. B`ai to´an , , , muô´n kh˘ ang ¯
d.inh r`˘ang tô`n t.ai hai ¯diêm kh´ac nhau a1 v`a a2 cua A , , 38 Chuong 4. H`ınh h .oc , m`
a S(a1) = S(a2). Ch´ung ta thâ´y ngay r`˘ang 0 ≤ S(a) ≤ n − 1 v´oi ,, , ,
m .oi phâ`n tu a thu .ôc A. M.˘at kh´ac, c˜ung không tô`n t.ai nh˜ung ¯diêm ,,
x1 v`a x2 thu .ôc A, m`a S(x1) = n − 1 v`a S(x2) = 0. Boi v`ı ¯diê`u n`ay , , , , , c´ o ngh˜ıa l` a ¯
diêm x1 nô´i v´oi tâ´t ca c´ac ¯ diêm c` on l .ai cua A, c`on x2 , , , , không nô´i v´ oi ¯ diêm n` ao cua A, ¯ d˜ ân ¯ dê´n vô l´ y. C´ ac sô´ nguyên t` u 0 , , , ¯ dê´n n − 1 c´
o sô´ lu .ong l`a n. V`ı 0 v`a n − 1 không ¯dô`ng th`oi l`a gi´a tr.i , , , ,
vua S nên S nh .ân nhiê`u nhâ´t l`a n − 1 gi´a tr.i. B`ai to´an ¯du .oc giai suy , ra t` u nguyên l´ y Ðirichlê. J , , . 4.8. Cho ¯ da gi´ ac ¯
dê`u 100 c .anh n.ôi tiê´p trong ¯du`ong tr`on k. M˜ôi , , , , ¯ dınh ¯
du .oc g´an m.ôt trong c´ac sô´ 1, 2, . . . , 49. Ch´ung minh r`˘ang trên k ,
tô`n t .ai hai cung AB v`a CD v´oi c´ac t´ınh châ´t sau: , , , a) C´ ac ¯ diêm A, B, C v` a D l` a ¯ dınh cua ¯ da gi´ ac ¯ dê`u ¯ a cho. , b) C´
ac dây cung AB v`
a CD song song v´ oi nhau , , ,
c) Nê´u A, B, C v` a D o nh˜ an tuong ´ ung l` a c´
ac sô´ a, b, c, d th`ı a + b = c + d. , , , , L`
oi giai. Trong ¯ du` ong tr` on k c´ o , , ¯ d´ ung 50 ¯ du` ong k´ınh kh´ ac nhau m` a D C , , , , ¯ diêm cuô´i cua ¯ du` ong k´ınh l` a m .ôt , , ¯ dınh cua ¯ da gi´ ac ¯ dê`u 100 c .anh ¯d˜a , ,
cho. Nê´u PQ l`a m .ôt trong sô´¯du`ong , , k´ınh ¯ d´ o v` a ¯ dir nh P ¯ du .oc g´an nh˜an , , , p, c` on Q v´ oi nh˜ an q th`ı ¯ du` ong , , , , k´ınh PQ tuong ´ ung v´ oi sô´ nguyên B A
|p − q|. R˜o r`ang, 0 ≤ |p − q| ≤ 48. , , B` ˘ ang c´ ach n` ay m˜ ôi ¯ du` ong k´ınh ¯ d˜ a H`ınh 4.4: , , , , x´ et (tông sô´ c´ o 50 tâ´t ca) ¯ du .oc cho , , , , tuong ´ ung v´
oi m .ôt trong c´ac sô´ 0, 1, 2, . . . , 48. Suy ra c´o ´ıt nhâ´t hai 4.1. V´ı d .u 39 , , , , , , , , ¯ du` ong k´ınh ¯
du .oc ¯d.˘at tuong ´ung v´oi c`ung m .ôt sô´. , , , , , , Ta k´
y hi .êu ¯d´o l`a AB v`a CD, c`on c´ac ¯dınh ¯du .oc g´an tuong ´ung , , , c´ ac nh˜
an a, b, c, d. Không mâ´t t´ınh tông qu´at ch´ ung ta c´ o thê gia
thiê´t c ≤ a v`a b ≤ d. Khi ¯ d´ o dây cung AC v`a BD c´ o c´ ac t´ınh châ´t , , , , ,
mong muô´n. Th .ât v.ây, v´oi ¯du`ong k´ınh AC ch´ung ta ¯d˜a ¯d.˘at tuong ´, , , , , ung v´ oi a − c, c` on BD ´ ung v´
oi d − b v`a nh˜ung sô´ n`ay b`˘ang nhau, , , ch´
ung ta nh .ân ¯du .oc a − c = d − b hay l`a a + b = c + d. Ngo`ai ra, , , t´ u gi´
ac ABCD l`a h`ınh vuông, nên AB song song v´ oi CD (th .âm ch´ı AB = CD). J , , , , , ,,
. 4.9. Tâ´t ca c´ ac ¯
diêm trong m .ôt m .˘at ph˘ang ¯du.oc bôi boi n mâ`u , , , , kh´ ac nhau. Cho tru´ oc 2n − 1 ¯ du` ong tr` on ¯ dô`ng tâm kh´ ac nhau , , , , , ,
k1, k2, . . . , k2n−1. Trong c´ac ¯du`ong tr`on d .ung b´an k´ınh tuong ´ung ,
OA1, OA2, . . . , OA2n−1 sao cho m˜
ôi c .˘ap b´an k´ınh không c´o ¯diêm , , , chung n` ao kh´ ac ngo` ai O. Ch´ ung minh r` ˘
ang tô`n t .ai m.ôt ¯du`ong tr`on ,
ki, i = 1, 2, . . . , 2n − 1 sao cho trên n´o v`a trên b´an k´ınh OAi cua n´o c´o , , , , , , , nh˜ ung ¯ diêm tuong ´
ung Xi v`a Yi, m`a ch´ung ¯du .oc bôi c`ung m.ôt mâ`u v`a ,
Yi không tr`ung v´oi O v`a Ai. , , L` oi giai.
y hi .êu c´ac mâ`u ¯d˜a cho l`a c1, c2, . . . , cn. Ch´ung ta s˜e t´ınh , , , , , , ,
sô´ lu .ong c´ac tô h .op kh´ac nhau cua c´ac mâ`u m`a v´oi ch´ung c´o thê , , bôi mâ`u c´ ac ¯
diêm trên m .ôt h`ınh ph˘ang. M .oi t.âp con kh´ac trô´ng , , , , ,
{i1, i2, . . . , ik}, 1 ≤ k ≤ n cua t.âp h .op N = {1, 2, . . . , n} tuong ´ung , , , , v´
oi tô h .op mâ`u {ci , c , . . . , c }. R˜o r`ang nh˜ung t 1 i2 ik .âp con kh´ ac trô´ng , , , , , , , , kh´
ac nhau cua N b`˘ang c´ach n`ay tuong ´ ung v´ oi nh˜ ung tô h .op mâ`u , , , kh´ ac nhau. Ngo`
ai ra, m .oi tô h .op mâ`u {ci , c , . . . , c } c´o thê nh 1 i2 ik .ân , , , , , , ¯
du .oc nh`o xây d .ung t.âp con kh´ac trô´ng {i1, i2, . . . , ik}. Suy ra, tô h .op , , , , nh˜
ung mâ`u c1, c2, . . . , cn m`a v´oi ch´ung c´o thê bôi c´ac ¯ diêm m .ôt h`ınh , , , , , , , ph˘ ang l` a tuong ´
ung m .ôt - m .ôt v´oi nh˜ung t.âp h .op con kh´ac trô´ng , , 40 Chuong 4. H`ınh h .oc , , , ,
cua N = {1, 2, . . . , n}. Ngh˜ıa l`a sô´ c´ac tô h .op kh´ac nhau cua mâ`u , , , , b` ˘ ang sô´ c´
ac t .âp h .op con kh´ac trô´ng cua N, c´o tâ´t ca 2n − 1 t.âp h .op , nhu v .ây. , , , , , Tru´ oc tiên ch´ ung ta gia thiê´t r` ˘
ang tô`n t .ai ¯du`ong tr`on ki, i = , , 1, 2, . . . , 2n − 1 m` a muô´n bôi k´ın n´ o phai d` ung tâ´t ca c´ ac mâ`u , , c1, c2, . . . , cn. Khi ¯ d´ o ch´
ung ta ch .on ¯diêm bâ´t k`y Yi l`a ¯diêm trong , , ,, , , , cua b´ an k´ınh OAi. Gia su Yi ¯
du .oc bôi b`˘ang mâ`u c1. Nhung trên ki c´o , , , ,
´ıt nhâ´t m .ôt ¯diêm Xi, ¯du .oc bôi c`ung mâ`u nhu v.ây, v`ı m .oi mâ`u ¯d˜a cho , , , , , , , ¯ dê`u b´ ˘
at g .˘ap trên ki; v.ây b`ai to´an ¯du .oc giai trong tru`ong h .op gia thiê´t , , , , ,, , , n` ay. Ta x´ et tru`
ong h .op c`on l.ai: Gia su không c´o ¯du`ong tr`on n`ao m`a , , , , , , , , nh˜ ung ¯ diêm cua n´ o ¯
du .oc bôi mâ`u v´oi to`an b .ô tô h .op c1, c2, . . . , cn. , , , , , , , , Khi ¯ d´ o c´
o tâ´t ca 2n − 2 kha n˘ang tô h .op mâ`u, v´oi n´o c´ac ¯diêm ¯du .oc , , ,, bôi cho c´ ac ¯ du` ong tr`
on k1, k2, . . . , k2n−1 . Boi v`ı 2n − 1 > 2n − 2 nên , , , , c´ o hai ¯ du` ong tr`
on ki v`a kj, i < j trên n´o s˜e c´o c`ung m .ôt tô h .op mâ`u. , ,, , , , ,
Gia su ki c´o b´an k´ınh l´on hon kj. K´y hi.êu Yi l`a ¯diêm c´˘at cua OAi v`a , , , , , ,
kj. Trong tru`ong h .op ¯d´o Yi n`˘am trên kj v`a v`ı nh˜ung ¯diêm cua ki v`a , , , , , , , , kj ¯
du .oc bôi v´oi c`ung m .ôt tô h .op mâ`u, trên ki c´o ¯diêm Xi ¯du .oc bôi , c` ung mâ`u v´ oi Yi. J , , , , ,
. 4.10. Tông cua ¯
d .ô d`ai m.ôt sô´ vecto trong m .˘at ph˘ang l`a 4. Ch´ung , , , , , , minh r` ˘ ang t` u nh˜ ung vecto n` ay c´
o thê ch .on m.ôt sô´ vecto m`a tông ¯d.ô , , , d` ai cua ch´ ung l´ on hon 1. , , , , , L` oi giai. Ch´ ung ta ¯ dua v`
ao h .ê t .oa ¯d .ô v`a x´et vecto ¯d.ai di.ên nh˜ung , , , , vecto ¯ d˜
a cho t .ai ¯diêm gô´c. Ch´ung ta chiê´u nh˜ung vecto n`ay xuô´ng , , , , ,
tr .uc t .oa ¯d .ô Ox v`a Oy. V`ı m˜ôi vecto c´o ¯d .ô d`ai nho hon tông cua c´ac , , , , ¯
d .ô d`ai h`ınh chiê´u cua n´o xuô´ng hai tr .uc;nên tông ¯d .ô d`ai cua tâ´t ca , , , , h`ınh chiê´u cua c´ ac vecto l´ on hon 4. Khi ¯ d´
o trên ´ıt nhâ´t m .ôt trong ,, , , , , ,
4 nua tr .uc cua h.ê t .oa ¯d .ô tông ¯d .ô d`ai cua h`ınh chiê´u s˜e l´on hon 1, 4.2. B` ai t .âp 41 , , , , , , , , ¯ diê`u ¯ d´ o c´ o ngh˜ıa l` a tông cua ¯
d .ô d`ai cua nh˜ung vecto tuong ´ung s˜e , , , , , l´ on hon 1. (¯
d .ô d`ai h`ınh chiê´u ¯d˜a l´on hon th`ı tâ´t nhiên ¯d .ô d`ai vecto , , c˜ ung l´ on hon.) J 4.2. B ` ai t .âp , , , ,
. 4.11. Trong h`ınh vuông v´
oi c .anh 1 ¯don v.i cho 112 ¯diêm. Ch´ung , , , 2 minh r` ˘
ang ´ıt nhâ´t hai trong sô´ ¯ d´ o c´ o khoang c´ ach nho hon . 15 , . 4.12. (Ðê` thi To´
an Olympic quô´c tê´ lâ`n th´ u 25 n˘ am 1984) Trong , , , ,
m .˘at ph˘ang cho hai ¯diêm kh´ac nhau O v`a A. V´oi m˜ôi ¯diêm X thu .ôc ,
m .˘at ph˘ang kh´ac O ch´ung ta k´y hi.êu a(X) l`a ¯d .ô ¯do b`˘ang radian , , , , cua g´ oc AOX, ¯
do theo chiê`u ngu .oc kim ¯dô`ng hô` t`u OA ¯dê´n OX , , (0 ≤ a(X) ≤ 2). C` on c(X) l`a ¯ du` ong tr`
on tâm O v`a b´an k´ınh c´ o ¯ d .ô a(X) , , , , d` ai OX + . Cho tru´
oc b .ô h˜uu h.an mâ`u v`a m˜ôi ¯diêm trong m.˘at OX , , , , , ph˘ ang ¯
du .oc bôi b`˘ang 1 trong sô´ ¯d´o. Ch´ung minh r`˘ang tô`n t.ai ¯diêm , , , , , ,
X1 v´oi a(X1) > 0 v`a trên ¯ du` ong tr`
on c(X1) c´o ´ıt nhâ´t 1 ¯ diêm ¯ du .oc , bôi c` ung mâ`u v´ oi X1. , , ,
. 4.13. Trong m .˘at ph˘ang cho n ¯diêm, n ≥ 7, sao cho khoang c´ach , , , , , , m˜
ôi c .˘ap ¯diêm gi˜ua ch´ung l`a kh´ac nhau. M˜ôi m .ôt ¯diêm ¯du .oc nô´i v´oi , , , , , ¯ diêm gâ`n n´ o nhâ´t. Ch´ ung minh r` ˘ ang không c´ o ¯ diêm n` ao ¯ du .oc nô´i , , , v´ oi nhiê`u hon 5 ¯ diêm kh´ ac. , . 4.14. Ch´ ung minh r` ˘
ang trong m .ôt h`ınh tr`on b´an k´ınh 1, không , , , , , , ,
thê ch .on ¯du .oc qu´a n˘am ¯diêm m`a khoang c´ach gi˜ua hai ¯diêm m .ôt , , l´ on hon 1. , , , , . 4.15. Ngu` oi ta qu˘ ang 120 h`ınh vuông c´ o k´ıch thu´ oc 1 × 1 v`ao m .ôt , , , , , h`ınh ch˜
u nh .ât k´ıch thu´oc20 × 25. Ch´ung minh r`˘ang v´oi m .oi c´ach s´˘ap , , 42 Chuong 4. H`ınh h .oc ,, , , xê´p c´
ac h`ınh vuông th`ı o trong h`ınh ch˜
u nh .ât v˜ân c`on ch˜ô trô´ng ¯dê , , ¯
d .˘at m .ôt h`ınh tr`on ¯du`ong k´ınh 1. , , CHUONG 5 ,,
MO R .ÔNG NGUYÊN L´Y ÐIRICHLÊ ,, 5.1. Nguyên l´ y Ðirichlê mo r .ông , , ,, , ,
Cho A l`a t .âp h˜uu h.an nh˜ung phâ`n tu, k´y hi.êu s(A) l`a sô´ lu .ong ,, , ,, , c´
ac phâ`n tu thu .ôc A. Nguyên l´y Ðirichlê c´o thê mo r .ông nhu sau: , , , ,, Nê´u A v` a B l` a nh˜
ung t .âp h .op h˜uu h .an v`a s(A) > k.s(B), o , ,, , ¯ dây k l`
a m .ôt sô´ t .u nhiên n`ao ¯d´o v`a nê´u m˜ôi phâ`n tu cua A cho , , , , ,, , tuong ´ ung v´
oi m .ôt phâ`n tu n`ao ¯d´o cua B, th`ı tô`n t .ai ´ıt nhâ´t k + 1 ,, , , , , , ,, ,
phâ`n tu cua A m` a ch´ ung tuong ´ ung v´ oi c`
ung m .ôt phâ`n tu cua B , , ,
Th .ât v.ây, tru`ong h .op k = 1 l`a nguyên l´y Ðirichlê m`a ta ¯d˜a x´et , , , , , trong c´ ac b`
ai t .âp t`u ¯dâ`u t´oi gi`o. Ðê ch´ung minh m.ênh ¯dê`trên ch´ung , ,, ,, , , , , , , ,, ta gia su m˜
ôi phâ`n tu cua B chı tuong ´ ung v´ oi nhiê`u nhâ´t k phâ`n tu , , , cua A. Khi ¯ d´ o s(A) ≤ k.s(B) tr´ai v´
oi gia thiê´t s(A) > k.s(B). , , , , , , ,, Ch´ u ´ y. Ngay t` u nh˜ ung chuong ¯ dâ`u nguyên l´ y n` ay ¯ d˜ a ¯ du .oc su , , , , , , , ,
d .ung v´oi c´ach ch´ung minh tuong t .u nhu trên. Ðê tiê´p t .uc hiêu sâu ,, , , thêm nguyên l´
y o d .ang m´oi ch´ung ta x´et m .ôt lo.at b`ai to´an ¯diên h`ınh. , , ,, 44
Chuong 5. Mo r .ông nguyên l´y Ðirichlê 5.2. V´ı d .u ,
. 5.1. Trong m .ôt h`ınh vuông c´o c .anh b`˘ang 1 ta ch.on bâ´t k`y 51 ¯diêm. , , Ch´ ung minh r` ˘ ang ´ıt nhâ´t c´ o ba ¯ diêm trong sô´ ¯ o n` ˘ am trong m .ôt h`ınh vuông c´ o c .anh 0,2. , , L` oi giai. Ch´ ung ta chia h`ınh vuông th` anh 25 h`ınh vuông con c´ o , , , , ,
c .anh 0,2 b`˘ang c´ac ¯du`ong th˘ang song song v´oi c´ac c.anh cua h`ınh , , , , , , vuông.Nê´u gia su r` ˘ ang m˜ ôi h`ınh vuông v`
ua nh .ân ¯du .oc ch´ua không , , , , , qu´ a 2 ¯ diêm th`ı tâ´t ca c´ ac ¯ diêm trong h`ınh vuông l´ on s˜ e c´ o sô´ ¯ diêm nhiê`u nhâ´t l` a 2 × 25 = 50 d˜ân ¯ dê´n vô l´ y. J , , , ,
. 5.2. Tâ´t ca 9 c .anh v`a 27 ¯du`ong ch´eo cua m.ôt h`ınh ch´op ¯d´ay ¯da gi´ac , , , , , , , , 9 ¯ dınh ¯
du .oc bôi son: m.ôt sô´ bôi son ¯do, c`on l .ai bôi son xanh. Ch´ung , , , , minh r` ˘
ang tô`n t .ai ba ¯dınh cua h`ınh ch´op, m`a ch´ung l`a nh˜ung ¯dınh , , , , ,
cua m .ôt h`ınh tam gi´ac v´oi c´ac c .anh ¯du.oc son c`ung m.ôt mâ`u. , , , , , , L`
oi giai. 9 c .anh bên cua h`ınh ch´op ¯du .oc son b`˘ang hai mâ`u. V`ı 9 > , ,, , , 4.2, t` u nguyên l´
y mo r .ông trên suy ra ´ıt nhâ´t c´o 5 c.anh bên ¯du .oc bôi , ,, , , c`
ung m .ôt mâ`u. Gia su ¯d´o l`a SA1, SA2, SA3, SA4, SA5 ¯du .oc bôi c`ung , ,, , , ,,, , mâ`u ¯ do, o ¯ dây S l`a ¯ dınh h`ınh ch´ op. Không anh huong t´ oi kê´t lu .ân , ,, , , , b` ai to´ an ch´ ung ta gia su c´ ac ¯ diêm A1, A2, A3, A4, A5 ¯ du .oc s´˘ap xê´p , , ,
theo chiê`u ngu .oc kim ¯dô`ng hô`. Ít nhâ´t m .ôt trong c´ac c.anh cua ng˜u , , , , ,, gi´ ac l` a ¯ du` ong ch´ eo cua ¯ da gi´ ac ¯ d´ ay; gia su ¯ d´ o l` a A1A2. Ch´ung ta , , , , , x´ et tam gi´
ac A1A2A4. Nh˜ung c .anh cua n´o l`a c´ac ¯du`ong ch´eo cua ¯da , , , , gi´ ac ¯ d´ ay (do c´ ach xê´p trên) v` a suy ra ch´ ung ¯
du .oc bôi son.Nê´u tâ´t ca , c´
ac c .anh A1A2, A2A4, A4A1 l`a mâ`u xanh th`ı b`ai to´an ¯d˜a giai xong. , , , , , Tru`
ong h .op ngu .oc l.ai m .ôt trong c´ac c.anh A1A2, A2A4, A4A1 l`a mâ`u , , ,, , ¯ do, gia su ¯ d´ o l` a A1A2. Khi ¯ d´ o c´
ac c .anh cua tam gi´ac SA1A2 l`a mâ`u , ¯ do. J 5.2. V´ı d .u 45 , , . 5.3. Ch´ ung minh r` ˘
ang trong m .oi ¯da gi´ac lô`i v´oi sô´ c .anh ch˜˘an tô`n , , , ,
t .ai ¯du`ong ch´eo không song song v´oi m.ôt c .anh n`ao cua ¯da gi´ac. , , , d1 L` oi giai. B` ˘
ang qui n .ap ta c´o thê d˜ê , , , , d2 ch´ ung minh ¯
du .oc m .oi ¯da gi´ac v´oi n n(n − 3) , , c .anh c´o ¯ du` ong ch´ eo. 2 dk−1 , Bây gi` o ch´ ung ta x´ et ¯ da gi´ ac lô`i bâ´t , k` y P c´
o 2k c .anh v´oi k(≥ 2) l`a m .ôt sô´ a nguyên. H`ınh 5.1: , ,, , , , , Gia su m˜ ôi ¯ du`ong ch´ eo cua P song song v´ oi m .ôt c.anh n`ao ¯d´o , , , , , , , , cua P. Khi ¯ d´ o m˜ ôi ¯ du` ong ch´ eo d c´ o thê cho tuong ´ ung v´ oi c .anh song , , , song v´
oi d. K´y hi .êu s l`a sô´c´ac ¯du`ong ch´eo ch´ung ta c´o 2k(2k − 3) s = = k(2k − 3) 2
= 2k(k − 2) + k > (k − 2).2k. , ,,
Nhu v .ây theo nguyên l´y Ðirichlê mo r .ông suy ra tô`n t.ai k − 1 , , , , , , , ¯ du` ong ch´
eo d1, d2, . . . , dk−1 cua ¯da gi´ac P m`a ch´ung tuong ´ung v´oi , c`
ung m .ôt c.anh a cua ¯da gi´ac, ngh˜ıa l`a a, d1, d2, . . . , dk−1 song song , , , v´ oi nhau. Suy ra c´ ac ¯ du` ong ch´
eo d1, d2, . . . , dk−1 c`ung n`˘am trong ,, , ,,
m .ôt nua m.˘at ph˘ang x´ac ¯d.inh boi c.anh a v`ı P l`a ¯da gi´ac lô`i (h`ınh v˜e). , , ,, Ngo`
ai ra d1, d2, . . . , dk−1 v`a a l`a nh˜ung ¯do .an th˘ang kh´ac nhau v`a boi , , , , , , ,
v`ı sô´ lu .ong cua ch´ung l`a k, m˜ôi ¯dınh cua ¯da gi´ac P l`a ¯diêm ¯dâ`u cua , ,,, , ,
m .ôt ¯do.an n`ao ¯d´o trong ch´ung. Không anh huong ¯dê´n kê´t qua ch´ung , , , , minh ta gia thiê´t d1 l`a ¯
do .an xa nhâ´t ¯dô´i v´oi a trong c´ac ¯du`ong ch´eo , d1, d2, . . . , dk−1. Khi ¯ d´ o t` u l´
y lu .ân trên suy ra r`˘ang ¯da gi´ac P n`˘am ,, , ,, , to`
an b .ô trong m .ôt nua m.˘at ph˘ang x´ac ¯d.inh boi d1. Ðiê`u n`ay tr´ai v´oi , t´ınh lô`i cua ¯ da gi´ ac P. J , , , ,
. 5.4. Trong m .˘at ph˘ang cho 6 ¯diêm. M˜ôi ¯do .an th˘ang nô´i t`ung c .˘ap , , ,, 46
Chuong 5. Mo r .ông nguyên l´y Ðirichlê , , , , , , ¯ diêm ¯
du .oc bôi mâ`u ¯do ho .˘ac xanh. Ch´ung minh r`˘ang ba ¯diêm trong sô´ , , , , , , ac ¯ diêm l` a ¯
dınh cua m .ôt tam gi´ac, m`a c´ac c .anh cua n´o ¯du.oc bôi c`ung m .ôt mâ`u. , , , L` oi giai.
y hi .êu A l`a m .ôt trong c´ac ¯diêm ¯d˜a cho v`a x´et n˘am ¯do.an , , , , , , , th˘ ang, c´ o ¯ dınh chung l` a A. Nh˜ung ¯
do .an th˘ang n`ay ¯du .oc son hai , ,, mâ`u v` a v`ı 5=2.2+1, suy ra t` u nguyên l´
y Ðirichlê mo r .ông ch´ung , ,, ta c´ o ´ıt nhâ´t ba ¯
do .an c`ung mâ`u. Gia su ¯d´o l`a AB1, AB2, AB3 mâ`u ,
xanh. Nê´u m .ôt v`ai ¯do.an th˘ang B1B2, B2B3, B3B1 l`a xanh th`ı tô`n t.ai , , ,
m .ôt tam gi´ac v´oi ba c.anh xanh v`a c´o ¯dınh l`a A. Nê´u ba ¯do.an th˘ang , , B1B2, B2B3, B3B1 l`a ¯
do, th`ı m .ôt tam gi´ac thoa m˜an ¯dê` to´an ¯d˜a ra l`a ,
B1B2B3 (c´ac c .anh ¯dê`u mâ`u ¯do). J , , , . 5.5. Cho d˜
ay vô h .an c´ac sô´t .u nhiên u1, u2, . . . , un, . . . ¯du.oc x´ac ¯d.inh , theo công th´
uc sau u1 = 3, un+1 = (n + 1)un − n + 1, n = 1, 2, . . .. , , ,
Cho n sô´ t .u nhiên bâ´t k`y v`a t .âp h.op M gô`m un ¯diêm sao cho không , , , , o ba ¯ diêm n` ao th˘ ang h` ang. M˜ ôi ¯
do .an th˘ang nô´i hai ¯diêm kh´ac nhau , , , trong M ¯
du .oc bôi son b`˘ang m.ôt trong n mâ`u ¯d˜a cho. Khi ¯d´o tô`n t .ai 3 , , , ¯ diêm trong M l` a ¯
dınh cua m .ôt tam gi´ac ¯dô`ng mâ`u. , , , , L` oi giai. Ch´ ung minh b` ˘
ang qui n .ap theo n. V´oi n = 1 ch´ung ta c´o , , , , , ,
u1 = 3 v`a kê´t lu .ân l`a hiên nhiên. V´oi n = 2 t`u công th´uc t´ınh ¯du .oc , , , , ,, , ,, u2 = 6, ¯ dây l` a tru`
ong h .op ta ¯d˜a ch´ung minh o b`ai trên. Gia su b`ai , , , , , ,, to´ an v´ oi un ¯ diêm v` a c´ ac ¯
do .an th˘ang nô´i ¯du .oc bôi boi n mâ`u, c´o m .ôt , , , tam gi´ ac v´ oi c´
ac c .anh c`ung mâ`u. Bây gi`o ta x´et un+1 ¯diêm bâ´t k`y, m`a , , , , , ¯ du`ong nô´i gi˜ ua ch´ ung ¯
du .oc bôi b`˘ang n + 1 mâ`u: c1, c2, . . . , cn+1. Lâ´y , , , , , A l`
a m .ôt trong c´ac ¯diêm trên. Ðiêm n`ay c´o thê nô´i v´oi c´ac ¯diêm c`on , , , ,
l .ai ¯du .oc un+1 − 1 ¯do.an th˘ang bôi mâ`u. M.˘at kh´ac do công th´uc hô`i ,
qui un+1 − 1 = (n + 1)(un − 1) + 1, nhu v .ây theo nguyên l´y Ðirichlê ,, , , , ,
mo r .ông ´ıt nhâ´t un ¯do.an th˘ang c´o chung ¯dınh A ¯du .oc bôi c`ung mâ`u. 5.2. V´ı d .u 47 , ,, , , ,
Gia su AB1, AB2, . . . , ABu ¯ du c bôi c` ung mâ`u, ch˘ ang h n .o .an mâ`u c1. , , , , , Nh˜ ung kha n˘ ang c´ o thê xây ra nhu sau: , , ,
a) Nê´u m .ôt trong c´ac ¯do.an th˘ang nô´i gi˜ua c´ac ¯diêm B1, B2, . . . , , , , Bu theo t`ung c c bôi b` ˘ ang mâ`u c n .˘ ap ¯ du .o 1 th`
ı tô`n t .ai tam gi´ac ¯dô`ng , , , mâ`u c´ o ¯
dınh A. C´ac c .anh cua tam gi´ac n`ay son mâ`u c1. , , b) Không c´
o m .ôt ¯do.an n`ao trong c´ac ¯do.an th˘ang nô´i gi˜ua c´ac , , , , ¯ diêm B1, B2, . . . , Bu ¯ du c son mâ`u c n .o 1. Khi ¯ d´ o ´ ap d .ung qui n.ap to´an , , , , , ,
h .oc cho nh˜ung ¯diêm B1, B2, . . . , Bu . Ðiê`u n`ay c´o thê ¯du c v`ı tâ´t ca n .o , , , , c´ ac ¯
do .an th˘ang ¯d˜a nô´i ¯du .oc bôi son n mâ`u c2, c3, . . . cn+1. Trong , , , tru`
ong h .op n`ay ta c˜ung d˜ân ¯dê´n kê´t lu.ân tô`n t.ai m .ôt tam gi´ac ¯dô`ng mâ`u. J , , , , , ,
. 5.6. Cho sô´ h .ang cua d˜ay un ¯du.oc ¯d.inh ngh˜ıa nhu b`ai tru´oc. T .âp , , , , , , , ,
h .op nh˜ung sô´ t .u nhiên t`u 1 ¯dê´n un − 1 ¯du.oc phân chia b`˘ang phuong , , ,, ph´ ap bâ´t k` y v`
ao n t .âp h.op con, m`a t`ung ¯dôi m.ôt không c´o phâ`n tu , , , chung. Ch´ ung minh r` ˘
ang tô`n t .ai hai sô´cua c`ung m.ôt t .âp h.op con, m`a , , , tông cua ch´ ung c˜ ung n` ˘
am trong t .âp h.op con n`ay ; ho .˘ac l`a tô`n t .ai m.ôt ,
sô´ trong m .ôt t .âp h.op con n`ao ¯d´o, m`a sau khi nhân ¯dôi v˜ân thu.ôc t .âp , h .op con n`ay. , , , , L` oi giai.
y hi .êu nh˜ung t.âp h .op con ¯d˜a cho l`a l`a A1, A2, . . . , An. , , , , Ch´ ung ta x´
et t .âp h .op bâ´t k`y M gô`m un ¯diêm, m`a ch´ung ¯du .oc ¯d´anh , , sô´ b` ˘ ang phuong ph´ ap n` ao ¯ d´ o trong c´
ac sô´ 0, 1, 2, . . . , un − 1. Ch´ung , , , ta bôi mâ`u nh˜ ung ¯
do .an th˘ang nô´i c´ac ¯diêm trong M b`˘ang n mâ`u , , , ,
c1, c2, . . . , cn theo c´ach sau: Ðo .an th˘ang nô´i c´ac ¯diêm th´u i v`a j, v´oi , , , , , i > j ¯
du .oc son b`˘ang mâ`u ck khi v`a chı khi hi.êu i − j thu .ôc t.âp h .op , , , , , ,
Ak. Theo b`ai to´an tru´oc 5.5 ba ¯ diêm n` ao ¯ d´ o cua M l`a ¯ dınh cua m .ôt , ,, , tam gi´ ac c` ung mâ`u. Gia su c´ ac ¯ diêm n` ay l`
a i, j, k v`a i > j > k. Khi ¯ d´ o c´
ac sô´i − j, j − k v`a i − k = (i − j) + (j − k) n`˘am trong c` ung m .ôt , , ,, 48
Chuong 5. Mo r .ông nguyên l´y Ðirichlê ,
t .âp h .op As v`a ch´ung c´o c´ac t´ınh châ´t ta câ`n t`ım. J , ,
. 5.7. Trong m .˘at ph˘ang cô´¯d.inh h.ê t.oa ¯d.ô Oxy. Ch´ung ta x´et t .âp h.op , , , ,, , R gô`m nh˜ ung ¯ diêm v´
oi t .oa ¯d.ô (x, y), o ¯dây x, y l`a nh˜ung sô´ nguyên , , , , v`
a 1 ≤ x ≤ 12, 1 ≤ y ≤ 10. M˜ ôi ¯ diêm n` ay ¯
du .oc son b`˘ang m.ôt mâ`u , , , tr´ ˘
ang, xanh ho .˘ac ¯do. Ch´ung minh r`˘ang tô`n t .ai h`ınh ch˜u nh .ât c´o c´ac , , , , , ,
c .anh song song v´oi c´ac tr .uc t.oa ¯d.ô, m`a ¯dınh cua n´o l`a nh˜ung ¯diêm cua , , , R ¯
du .oc son c`ung m.ôt mâ`u. , , , , L`
oi giai. Trong ch´ ung minh ta d` ung hai kh˘ ang ¯ d.inh sau: , , ,, , , ,
a) Nê´u X l`a t .âp h˜uu h.an v´oi n phâ`n tu, th`ı sô´lu .ong t.âp h .op con , ,, , n(n − 1)
cua X gô`m c´ac c .˘ap phâ`n tu {x, y}, v´oi x ∈ X, y ∈ X l`a . 2 , , , ,
b) M .oi sô´ duong bâ´t k`y x1, x2, . . . , xn ¯dê`u thoa m˜an bâ´t ¯d˘ang , th´ uc x2 + x2 + · · · + x2 1 2 n x
≥ ( 1 + x2 + · · · + xn )2 2 2 , , Dâ´u b` ˘
ang chı xây ra khi x1 = x2 = . . . = xn. ,, , ,
Tro l .ai b`ai to´an ¯dang x´et, v`ı tông sô´c´ac ¯diêm ta x´et l`a 120, nên , , , , ,, , , ´ıt nhâ´t c´ o 40 ¯ diêm ¯
du .oc bôi c`ung mâ`u, gia su l`a mâ`u ¯do. V´oi m˜ôi , , , , i = 1, 2, . . . , 12 ch´ ung ta k´
y hi .êu li l`a ¯du`ong th˘ang ¯di qua ¯diêm (i, 0) , , , v` a song song v´
oi tr .uc Oy. Nê´u trên li c´o ni ¯diêm ¯do, i = 1, 2, . . . , 12, , , ,
n1 + n2 + · · · + n12 ≥ 40. Ngo`ai ra t`u ni ¯ diêm c´ o thê t .ao ra c´ac c.˘ap , , , , n , ¯ dôi ¯ du i (ni − 1) .oc s´ ˘ ap c´ o sô´lu .ong . Ngh˜ıa l` a v´ oi m˜ ôi i = 1, 2, . . . , 12 2 n , tô`n t i (ni − 1) .ai ¯ d´ ung c .˘ap sô´ nguyên {j oa m˜ an 1 ≤ j 2 1, j2} th 1 ≤ , , , ,
10, 1 ≤ j2 ≤ 10 v`a c´ac ¯
diêm {i, j1} v`a {i, j2} l`a ¯
do. M .˘at kh´ac sô´lu .ong , , , ,
cua tâ´t ca c .˘ap nh˜ung sô´nguyên {j1, j2} v´oi 1 ≤ j1 ≤ 10, 1 ≤ j2 ≤ 10 5.2. V´ı d .u 49 10(10 − 1) , , , b` ˘ ang = 45. Ch´ ung ta phai ch´ ung minh r` ˘ ang tông c´ ac sô´ 2 n1(n1 − 1) n n
, 2(n2 − 1) , . . . , 12(n12 − 1) 2 2 2 , , , , , , l´ on hon 45. T` u ¯ d´
o suy ra tô`n t .ai nh˜ung chı sô´kh´ac nhau i1 v`a i2 v´oi ,
1 ≤ i1 < i2 ≤ 12 v`a c .˘ap sô´nguyên {j1, j2} v´oi 1 ≤ j1 ≤ 10, 1 ≤ j2 ≤ , , ,, , 10 sao cho 4 ¯
diêm {i1, j1}, {i1, j2}, {i2, j1}, {i2, j2} l`a ¯ do. Boi nh˜ ung , , , , , , ¯ diêm n` ay l` a ¯ dınh cua h`ınh ch˜
u nh .ât v´oi c´ac c.anh song song v´oi tr .uc , , , ,
t .oa ¯d .ô, nhu v.ây b`ai to´an ¯du .oc ch´ung minh. , , , ,
Nhu v .ây, ta chı c`on phai ch´ung minh n n n
S = 1(n1 − 1) + 2(n2 − 1) + · · · + 12(n12 − 1) > 45 2 2 2 ,, , ,
Su d .ung bâ´t ¯d˘ang th´uc b) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S = ((n )2 − ) + ((n )2 − ) + · · · + ((n )2 − ) 2 1 − 2 4 2 2 − 2 4 2 12 − 2 4 1 1 1 1 1 = ((n )2 + (n )2 + · · · + (n )2) − 12 2 1 − 2 2 − 2 12 − 2 8 1 1 1 1
(n1 − ) + (n2 − ) + · · · + (n12 − ) 3 ≥ .12( 2 2 2 )2 − 2 12 2 1 1 3 = ((n )2 − 24
1 + n2 + · · · + n12) − 12 2 2 1 3 342 3 ≥ (40 − 6)2 − = − > 45 24 2 24 2
v`ı n1 + n2 + · · · + n12 ≥ 40. J , . 5.8. (B` ai thi Olympic to´
an quô´c tê´ lâ`n th´
u 20, 1978) M .ôt h.ôi to´an ,, , ,
h .oc bao gô`m c´ac th`anh viên o 6 nu´oc. Danh s´ach c´ac h.ôi viên gô`m , , , , , , 1978 ngu` oi ¯
du .oc ¯d´anh sô´b´ao danh t`u 1 ¯dê´n 1978. Ch´ung minh r`˘ang ,
tô`n t .ai ´ıt nhâ´t m.ôt h.ôi viên c´o sô´ b´ao danh gâ´p ¯dôi sô´ b´ao danh cua , , ,, 50
Chuong 5. Mo r .ông nguyên l´y Ðirichlê , , , ,
m .ôt h.ôi viên kh´ac c`ung nu´oc, ho .˘ac b`˘ang tông hai sô´b´ao danh cua hai , , ,
h .ôi viên c`ung m.ôt nu´oc v´oi m`ınh. , , , , , L` oi giai. T`
u 329.6 < 1978 suy ra m .ôt trong c´ac nu´oc (k´y hi.êu l`a , , , A) c´ o không ´ıt hon 330 ¯
d .ai biêu trong h .ôi v`a ch´ung ta c´o thê viê´t , sô´ b´
ao danh a1 < a2 < . . . < a330 < . . . Ch´ung ta x´et nh˜ung hi.êu ,
xi = a330 − ai, i = 1, 2, . . . 329. Nê´u c´o m .ôt sô´ xi n`ao ¯d´o tr`ung v´oi aj , , , (sô´b´
ao danh cua m .ôt ¯daj i biêu cua A) th`ı ch´ung ta c´o a330 = ai + aj, , , b` ai to´ an ¯ d˜ a ch´
ung minh xong. Nê´u xi 6= aj v´oi m .oi i, j, th`ı sô´ xi l`a , , , , , sô´ b´
ao danh cua m .ôt sô´ ¯d.a i biêu thu .ôc 5 nu´oc c`on l.ai. Bây gi`o, , ,
v`ı 65.5 < 329 , th`ı ´ıt nhâ´t c´
o m .ôt trong n˘am nu´oc n`ay (k´y hi.êu l`a , , B) s˜ e c´ o không ´ıt hon 66 th` anh viên, m` a sô´ b´ ao danh cua h .o l`a
m .ôt trong c´ac sô´ x1, x2, . . . , x329. Cho c´ac sô´ ¯d´o l`a b1 < b2 < b3 < ,
. . . < b66 < . . . v´oi bi = xn , i = 1, 2, . . . , 66. Ch´ung ta l i .ai x´ et hi .êu ,
yi = b66 − bi, i = 1, 2, . . . , 65 Nê´u m .ôt hi.êu n`ao ¯d´o tr`ung v´oi sô´b´ao , , , ,
danh bj cua m .ôt ¯d.ai biêu cua B th`ı b66 = bi + bj. Nê´u v´oi hai sô´ i v` a k n`ao ¯ d´ o ch´ ung ta c´
o yi = ak, th`ı ak = b66 − bi = xn − x = 66 ni a330 − an − (a ) = a − a ho = a + a 66 330 − ani ni n66 .˘ ac l` a ani n66 k. Nê´u hai , , , , , tru`
ong h .op trên không xây ra, th`ı nh˜ung sô´ n`ay s˜e l`a sô´ b´ao danh , , , , , , cua ¯
d .ai biêu 4 nu´oc c`on l.ai v`a suy ra ´ıt nhâ´t m .ôt trong c´ac nu´oc n`ay , c´
o sô´ h .ôi viên ´ıt nhâ´t l`a 17 v´oi sô´ b´ao danh yi. Tiê´p t .uc qu´a tr`ınh , ,
nhu v .ây v`a l.˘ap l.ai l´y lu.ân trên ch´ung ta c´o kê´t lu.ân cua b`ai to´an. J , , , ,
. 5.9. (Ðê` thi To´ an vô ¯
d.ich nu´oc Anh, 1978) M.ôt h`ınh l .âp phuong c´o , , ,
c .anh b`˘ang 15 ch´ua 11.000 ¯diêm. Ch´ung minh r`˘ang c´o m.ôt h`ınh câ`u , , , , an k´ınh b` ˘ ang ¯
don v.i ch´ua ´ıt nhâ´t 6 ¯diêm trong sô´ 11.000 ¯diêm ¯d˜a cho. , , , , , L`
oi giai. Chia m˜
ôi c .anh cua h`ınh l.âp phuong th`anh 13 phâ`n b`˘ang , , , ,
nhau, thê´ th`ı h`ınh l .âp phuong ban ¯dâ`u ¯du .oc chia th`anh 133 = 2187 5.2. V´ı d .u 51 , , , , , ,
h`ınh l .âp phuong nho. V`ı h`ınh l.âp phuong ban ¯dâ`u ch´ua 11.000 , , , , , , ¯
diêm, nên tô`n t .ai m .ôt h`ınh l.âp phuong nho ch´ua ´ıt nhâ´t 6 ¯diêm. , , , , 15 D˜
ê thâ´y c .anh cua h`ınh l.âp phuong nho l`a , do ¯ d´ o b´ an k´ınh h`ınh 13r r , , , 1 15 1 675
câ`u ngo .ai tiê´p h`ınh l.âp phuong nho l`a r = 3( )2 = < 2 13 2 169 1 r 676 1 √ , =
4 = 1. V .ây: Tô`n t.ai m .ôt h`ınh câ`u b´an k´ınh 1 ch´ua ´ıt 2 169 2 , , nhâ´t 6 ¯ diêm trong 11.000 ¯ diêm ¯ d˜ a cho. J , , ,
. 5.10. Trong m .˘at ph˘ang cho m .ôt sô´ h˜uu h.an ¯diêm, m .ôt sô´ trong , , , ch´ ung ¯
du .oc nô´i l.ai b`˘ang ¯do.an th˘ang. Ch´ung ta n´oi r`˘ang m .ôt d˜ay , , , ,
e1, e2, . . . , em t`u c´ac ¯
d .oan th˘ang ¯du .oc nô´i l`a m .ôt dây chuyê`n, nê´u ,
m .oi c.˘ap ¯do.an th˘ang liê`n nhau ei v`a ei+1 c´o chung m .ôt ¯dâ`u m´ut, , , , ,
i = 1, 2, . . . , m − 1. Sô´lu .ong m nh˜ung ¯do.an th˘ang trong dây chuyê`n ,
g .oi l`a ¯d .ô d`ai cua n´o. Ch´ung ta x´et b`ai to´an: , , , , , , , , Cho n ¯ diêm, t` u c´ ac ¯ diêm n`
ay d .ung nh˜ung ¯do .an th˘ang, sô´ lu.ong ¯do .an , , , ,, , , , , th˘ ang ¯
a d .ung l`a q. Gia su nh˜ung ¯do .an th˘ang ¯du.oc ¯d´anh sô´m.ôt c´ach , bâ´t k` y b` ˘ ang c´
ac sô´ 1, 2, . . . , q. Khi ¯ o trong c´
ach t .ao h`ınh nhu v .ây tô`n , , 2q
t .ai m.ôt dây chuyê`n v´oi ¯d.ô d`ai nho nhâ´t l`a
, trên dây chuyê`n n` ay n , , , , , ac sô´ ´ ung v´ oi nh˜ ung ¯
do .an th˘ang th`anh phâ`n l .âp nên m.ôt d˜ay sô´giam ng .˘at. , , , , , , L`
oi giai. G .oi G l`a câ´u h`ınh bâ´t k`y cua nh˜ung ¯diêm v`a ¯do.an th˘ang, , , , , , m` a ch´ ung ¯
du .oc ¯d´anh sô´b`˘ang sô´t .u nhiên nhu ¯dê` b`ai ¯d˜a ra. V´oi m .oi ,
v thu .ôc G ch´ung ta k´y hi.êu LG(v) l`a ¯d .ô d`ai cua dây chuyê`n d`ai nhâ´t , , , , trong G, m`a n´ o b´ ˘ at ¯ dâ`u t`
u v v`a giam dâ`n. B`˘ang phuong ph´ap qui , , , , , ,
n .ap ch´ung ta s˜e ch´ung minh bâ´t ¯d˘ang th´uc sau ¯du .oc thoa m˜an
LG(v1) + LG(v2) + · · · + LG(vn) ≥ 2q (5.1) , , ,, 52
Chuong 5. Mo r .ông nguyên l´y Ðirichlê ,, , , , , o ¯
dây v1, v2, . . . , vn l`a tâ´t ca c´ac ¯
diêm thu .ôc G. Kê´t lu.ân phai ch´ung , ,, minh suy ra t` u (5.1) theo nguyên l´
y Ðirichlê mo r .ông: M .ôt trong , , 2q , c´
ac sô´ LG(v1), LG(v2), . . . , LG(vn) l´on hon ho .˘ac b`˘ang , nhu v .ây n , , , , ,
tô`n t .ai dây chuyê`n v´oi t´ınh châ´t ¯d˜a chı ra. Do ¯d´o chı c`on phai ch´ung , , , , , , , , , minh (5.1) ¯
du .oc thoa m˜an v´oi n ¯diêm cua G v`a q ¯do.an th˘ang ¯du .oc , , ,, , , ¯ d´ anh sô´ nhu mô ta o ¯ dâ`u b` ai. B` ˘
ang qui n .ap v´oi q = 1 bâ´t ¯dang , , , ,, , th´ uc (5.1) l`
a hiên nhiên. Gia su (5.1) thoa m˜ an cho m .oi câ´u h`ınh , , , , v´ oi q − 1 ¯
do .an th˘ang v`a ch´ung ta xem x´et câ´u h`ınh v´oi n ¯diêm v`a , , , , q ¯
do .an th˘ang. Nê´u ¯do.an th˘ang k´y hi.êu l`a q nô´i v´oi hai ¯diêm vi v`a , , , , , vj th`ı ch´ung ta bo ¯
do .an th˘ang n`ay v`a nh.ân ¯du .oc câ´u h`ınh G0 cua n , , , ¯ diêm v` a q − 1 ¯
do .an th˘ang. V´oi câ´u h`ınh n`ay theo qui n.ap ch´ung ta , c´
o LG0(v1) + LG0(v2) + · · · + LG0(vn) ≥ 2(q − 1). Bây gi`o ch´ung ta , , , x´ et ¯
diêm vj. Dây chuyê`n giam dâ`n xuâ´t ph´at t`u xj c´o ¯ d .ô d`ai LG0(vj), , , , , ,, , v` a nh˜ ung ¯
do .an th˘ang trong dây chuyê`n n`ay ¯du .oc k´y hi.êu boi nh˜ung sô´ n` ao ¯ d´ o trong d˜
ây 1, 2, . . . , q − 1. Nê´u nô´i thêm v`ao dây chuyê`n , , ,
m .ôt ¯do.an th˘ang c´o k´y hi.êu q ch´ung ta s˜e nh.ân ¯du .oc dây chuyê`n , , , , giam v´ oi ¯ diêm ¯ dâ`u vi v`a v´oi ¯
d .ô d`ai LG0(vj) + 1. Theo ¯d.inh ngh˜ıa , ,
cua LG(vi) ch´ung ta c´o LG(vi) ≥ LG0(vj) + 1. B`˘ang m .ôt c´ach ch´ung , , , , , , minh ho` an to`
an tuong t .u ch´ung ta c˜ung ch´ung minh ¯du .oc LG(vj) ≥ , , L0 (v i m m v G i ) + 1. M .˘ at kh´ ac, LG(vk) = LG0(vk) v´o .oi ¯ diê k thu . ôc G m` a n´ o kh´
ac vi v`a vj. Suy ra, LG(v1) + LG(v2) + · · · + LG(vn) ≥
LG0 (v1) + LG0 (v2) + · · · + LG0 (vn) + 2 ≥ 2(q − 1) + 2 = 2q. J 5.3. B ` ai t .âp ,
. 5.11. (Ðê` thi vô ¯
d.ich Áo - Balan, 1978) Cho 1978 t.âp h .op, m˜ôi , ,, ,
t .âp h .op c´o 40 phâ`n tu. Biê´t r`˘ang hai t.âp h .op bâ´t k`y c´o ¯d´ung m .ôt ,, , ,, , phâ`n tu chung. Ch´ ung minh r` ˘
ang, tô`n t .ai m .ôt phâ`n tu thu .ôc tâ´t ca , 1978 t .âp h .op trên. 5.3. B` ai t .âp 53 , , , , , , . 5.12. Ch´ ung minh r` ˘
ang m .oi t.âp h .op ch´ua 55 sô´ch .on ¯du .oc t`u t.âp , , ,
h .op sô´{1, 2, 3, . . . , 100} ch´ua hai sô´m`a hi.êu cua ch´ung b`˘ang 9. , , , . 5.13. Cho n l`
a sô´t .u nhiên. Cho n t.âp h .op con A1, A2, . . . , An cua , , ,
m .˘at ph˘ang v´oi t´ınh châ´t: v´oi m .oi i = 1, 2, . . . , n tô`n t.ai n + 1 ph´ep , , ,
t.inh tiê´n sao cho c´ac anh cua Ai qua c´ac ph´ep t.inh tiê´n t`ung ¯dôi m .ôt , , , không c´ o ¯ diêm chung. Ch´ ung minh r` ˘
ang tô`n t .ai m .ôt ¯diêm trên m.˘at , , , ph˘ ang, không n` ˘ am trong bâ´t c´
u t .âp h .op Ai n`ao, i = 1, 2, . . . , n. , , ,
. 5.14. Trong phâ`n trong cua m .ôt tam gi´ac ¯dê`u v´oi c.anh d`ai 15 ¯don , , , ,
v.i, ch´ung ta ch .on b`˘ang phuong ph´ap bâ´t k`y 111 ¯diêm. Ch´ung minh , , , √ , , r` ˘
ang tô`n t .ai h`ınh tr`on v´oi ¯du`ong k´ınh 3, m`a n´o phu ´ıt nhâ´t 3 ¯diêm , , ,, trong sô´nh˜ ung ¯ diêm ¯ d˜ a ch .on o trên.
. 5.15. (Ðê` thi vô ¯
d.ich Quô´c gia Bungari, 1977) Trong m .ôt nh´om , , , , , ngu` oi, hai ngu`
oi X v`a Y g .oi l`a quen nhau gi´an tiê´p, nê´u h .o tr .uc , , ,
tiê´p quen nhau, ho .˘ac l`a nê´u tô`n t.ai m .ôt dây truyê`n nh˜ung ngu`oi
Z1, Z2, . . . , Zp sao cho X v`a Z1 quen nhau, Z1 v`a Z2 quen nhau,... , , ,
, Zp v`a Y quen nhau. Cho biê´t nh´om ¯ d´ o gô`m 134 ngu`oi, c` on gi˜ ua , , , , , , m˜ ôi nh´ om nho 8 ngu`oi t`u nh´ om ¯ d˜ a biê´t ´ıt nhâ´t c´ o hai ngu` oi quen , , , , gi´ an tiê´p. Ch´ ung minh r` ˘ ang c´
o m .ôt nh´om nho 12 ngu`oi trong nh´om , , , , , ngu` oi ¯ d˜ a biê´t, m`
a m .oi c.˘ap hai ngu`oi trong nh´om nho n`ay ¯dê`u quen nhau gi´ an tiê´p. , , ,, 54
Chuong 5. Mo r .ông nguyên l´y Ðirichlê , , CHUONG 6 B ` AI T .ÂP S ´ Ô H .OC NÂNG CAO , , ,
6.1. Ð.inh l´y co ban cua sô´ h .oc , ,, , , Trong l´
y thuyê´t sô´h .oc co so c´o m .ôt ¯d.inh l´y co ban: , , , , ,
M .oi sô´t .u nhiên l´on hon m.ôt ¯dê`u c´o thê phân t´ıch ra t´ıch c´ac th`ua , , sô´ nguyên tô´ v` a phân t´ıch ¯ o l`
a duy nhâ´t nê´u ta không ¯ dê ´ y ¯ dê´n th´ u , , ,
t .u cua c´ac th`ua sô´. ,
Cho p1, p2, . . . , pn l`a nh˜ung sô´ nguyên tô´ kh´ac nhau. Trong , , , , chuong n` ay ch´ ung ta x´
et m .ôt sô´ kê´t lu.ân vê` vê` t.âp h .op M cua , , , c´
ac sô´ t .u nhiên m`a n´o c´o thê phân t´ıch ra c´ac th`ua sô´ n`˘am trong , , , , ,
{p1, p2, . . . , pn}. M .oi sô´ x cua M c´o thê biêu di˜ên du´oi d.ang
x = pα1 pα2 . . . pαn 1 2 n
,,o ¯dây α1,α2,. . .,αn l`a c´ac sô´nguyên không âm. 6.2. V´ı d .u , , , . 6.1. T`
u t .âp h.op M ch.on m.ôt c´ach bâ´t k`y 2n + 1 sô´. Ch´ung minh , , r` ˘
ang tô`n t .ai hai sô´ trong t .âp v`ua ch.on m`a t´ıch cua ch´ung l`a m.ôt sô´ , , ch´ınh phuong. , , , L`
oi giai. Nh .ân x´et r`˘ang m .ôt sô´ t .u nhiên x = pα1 pα2 . . . pαn 1 2 n l` a sô´ , , , , ch´ınh phuong khi v` a chı khi tâ´t ca c´ ac sô´ m˜ u ¯ dê`u ch˜ ˘ an. Ch´ ung ta , , 56 Chuong 6. B` ai t .âp sô´h .oc nâng cao , , ,, , , , , biêu di˜
ên m .oi sô´ ¯d˜a ch .on v´oi d.ang o trên v`a cho tuong ´ung v´oi b .ô ,, , ,
n-sô´ (α1, α2, . . . , αn), o ¯
dây α1, α2, . . . , αn l`a c´ac sô´ du cua c´ac sô´ m˜u , , , tuong ´
ung α1, α2, . . . , αn khi chia cho 2. R˜o r`ang αi = 0 ho .˘ac αi = 1 , , , v´
oi m .oi i = 1, 2, . . . , n. V.ây (α1, α2, . . . , αn) l`a b .ô xê´p th´u t .u n sô´gô`m , , , , , , sô´ 0 v` a 1. Theo l´
y thuyê´t tô h .op, tâ´t ca n-b .ô nhu v.ây c´o sô´ lu .ong , , , l` a 2n, c` on c´ ac sô´ ta ¯ dang x´ et c´
o sô´ lu .ong l`a 2n + 1. Nhu v.ây ´ıt nhâ´t c´ o 2 sô´ trong ch´ ung c´ o c`
ung b .ô s´˘ap xê´p gô`m sô´ 0 v`a sô´ 1 giô´ng , ,, , nhau. Gia su c´ ac sô´ ¯ d´ o l`
a x = pα1 pα2 . . . pαn pβ2 . . . pβn i 1 2 n v` a y = pβ1 1 2 n v´ o , , ch´ ung c´
o (α1, α2, . . . , αn) = (β , , . . . , ). Ð˘ ang th´ uc sau c` ung c´ o 1 β2 βn ngh˜ıa l`
a αi = β , i = 1, 2, . . . , n . Do c´ o c` ung i ¯ d´ o c´ ac sô´ m˜ u αi v`a βi , , , t´ınh ch˜ ˘ an le nhu nhau v´ oi bâ´t k` y i = 1, 2, . . . , n. Khi ¯ d´ o α1 + β1,
α2 + β2, . . . , αn + βn, l` a c´ ac sô´ ch˜ ˘ an v`
a theo nh .ân x´et ban ¯dâ`u t´ıch
xy = (pα1 pα2 . . . pαn pβ2 . . . pβn
pα2+β2 . . . pαn+βn 1 2 n )( pβ1 1 2 n ) = pα1+β1 1 2 n ¯ d´ ung , , l` a sô´ch´ınh phuong. J , , , , . 6.2. Ch´ ung minh r` ˘ ang gi˜
ua n + 1 sô´ trong t .âp hop M c´o thê ch.on , , , , , ¯
du .oc m.ôt v`ai sô´m`a t´ıch cua ch´ung l`a m.ôt sô´ch´ınh phuong. , , , , , L`
oi giai. Cho x1, x2, . . . , xn l`a nh˜ung sô´ bâ´t k`y cua M. V´oi m˜ôi t .âp , , con kh´
ac trô´ng {i1, i2, . . . , ik} cua t .âp h .op {1, 2, . . . n + 1}, ch´ung ta , x´ et c´
ac xi , x , . . . , x (tâ´t nhiên sô´n`ay c˜ung thu u di˜ ên c´ ac 1 i2 ik .ôc M). Biê , , , , sô´n`
ay theo d .ang chuân v`a m˜ôi t.âp h .op con {i1, i2, . . . , ik} cho tuong , , ´, , , , ung v´
oi n-b .ô (α1, α2, . . . , αn) , o ¯dây α1, α2, . . . , αn l`a c´ac sô´ du cua , , , , , , c´ ac sô´ m˜ u tuong ´
ung α1, α2, . . . , αn khi chia cho 2. Nhung sô´ lu .ong , , nh˜
ung t .âp con kh´ac r˜ông cua {1, 2, . . . , n + 1} l`a 2n+1 − 1, c`on sô´ , , , ,
lu .ong c´ac n-b .ô s´˘ap gô`m nh˜ung sô´0 v`a 1 l`a 2n. Suy ra tô`n t.ai nh˜ung ,
t .âp h .op con kh´ac trô´ng kh´ac nhau {i1, i2, . . . , ik} v`a {j1, j2, . . . , jl} , , , , , ,
cua {1, 2, . . . , n + 1}, m`a ch´ ung tuong ´ ung v´ oi c` ung m .ôt n-b .ô s´˘ap cua , , nh˜ ung sô´ du. Ðiê`u n` ay c´ o ngh˜ıa l`
a nê´u xi x . . . x = pα1 pα2 . . . pαn 1 i2 ik 1 2 n v`
a xj x . . . x = pβ1 pβ2 . . . pβn 1 j2 jk 1 2 n th`ı c´ ac sô´ m˜
u αi v`a βi c´o c`ung t´ınh 6.2. V´ı d .u 57 , , , , ch˜ ˘ an le v´
oi i = 1, 2, . . . , k. Ðiê`u n`ay c´ o ngh˜ıa l` a t´ıch cua nh˜ ung , ,
sô´ xi , x , . . . , x , x , x , . . . , x l`a ch´ınh phuong. Nê´u {i 1 i2 ik j1 j2 jk 1, i2, . . . , ik} ,, , , , v`
a {j1, j2, . . . , jl} không c´o phâ`n tu chung, th`ı b`ai to´an ¯ d˜ a ¯ du .oc giai. , , , , , Tru`
ong h .op ngu .oc l.ai, trong P = xi x . . . x x x . . . x l 1 i2 ik j1 j2 jk .˘ ap l .ai ¯d´ung , nh˜
ung sô´ xs, m`a s thu .ôc {i1, i2, . . . , ik} v`a {j1, j2, . . . , jl}. Ch´ung ta , , , , , , ,
lo .ai tr`u trong P tâ´t ca c´ac nh˜ung xs nhu v.ây v`a nh.ân ¯du .oc t´ıch cua , , v`
ai sô´trong sô´ x1, x2, . . . , xn+1 m`a n´o ¯ d´ ung l` a ch´ınh phuong. J , , , , , . 6.3. Ch´ ung minh r` ˘ ang gi˜
ua m .oi 3.2n + 1 sô´ t`u t .âp h.op M c´o thê , , , , ,
ch .on ¯du.oc 4 sô´m`a t´ıch cua ch´ung l`a l˜uy th`ua b .âc bô´n cua m.ôt sô´. , , , , L`
oi giai. V`ı 3.2n + 1 > 2n + 1 gi˜ua nh˜ung sô´ ¯ d˜ a ch .on theo b`ai 6.1 , , , c´ o hai sô´ m` a t´ıch cua ch´ ung l`
a m .ôt sô´ ch´ınh phuong. T´ach hai sô´ , trên ra th`ı c`
on l .ai 3.2n − 1 sô´v`a ´ap d .ung tiê´p 6.1 cho hai sô´n˜ua m`a , , , , t´ıch cua ch´ ung l` a sô´ch´ınh phuong. Ch´ ung ta c´
o thê l .˘ap l.ai qu´a tr`ınh (3.2n − 1) − (2n + 1) , ,, n` ay ´ıt nhâ´t = 2n + 1 lâ`n. Gia su ch´ ung ta nh .ân 2 , , , , , ¯
du .oc 2n + 1 c.˘ap (x1, y1), (x2, y2), . . . , v´oi xiyi l`a c´ac sô´ch´ınh phuong, i = 1, 2, . . . , 2n + 1. Ch´ u ´ y r` ˘ ang theo c´
ach ch .on trên th`ı c´ac c.˘ap sô´ ,
(x1, y1), (x2, y2), . . . , (x2n+1, y2n+1) t`ung ¯
dôi m .ôt kh´ac nhau. Ðê´n ¯dây √ √ √ , suy ra c´ ac sô´
x1y1, x2y2, . . . , x2n+1y2n+1 l`a nh˜ung sô´nguyên v`a , , ,
thu .ôc M. Khi ¯d´o ´ap d .ung m .ôt lâ`n n˜ua 6.1 chı ra r`˘ang t´ıch cua hai sô´ , , , n` ao ¯ d´ o trong ch´ ung l`
a ch´ınh phuong. Nhu v .ây xiyixjyj = t4 ngh˜ıa l`a , , , t´ıch cua 4 sô´t` ung ¯
dôi m .ôt kh´ac nhau xi, yi, xj, yj l`a l˜uy th`ua b.âc bô´n , cua m .ôt sô´. J , , , . 6.4. Cho p l`
a m .ôt sô´nguyên tô´le v`a a1, a2, . . . , a p+1 l`a nh˜ung sô´t .u 2 , , , , , nhiên kh´ ac nhau nho hon p. Ch´ ung minh r` ˘ ang v´
oi m .oi sô´ t .u nhiên , , , ,
r nho hon p, tô`n t .ai hai sô´ (c´o thê b`˘ang nhau) ai v`a aj, m`a t´ıch cua , ch´ ung khi chia cho p c´ o sô´du ¯ ung l` a r. , , 58 Chuong 6. B` ai t .âp sô´h .oc nâng cao , , , ,, L`
oi giai. Áp d .ung m .ôt ¯d.inh l´y trong l´y thuyê´t sô´ co so: Nê´u a v`a b l` a hai sô´ nguyên tô´ c`
ung nhau, th`ı tô`n t .ai m .ôt sô´nguyên x sao cho ax ≡ 1 (mod b). , p + 1 V´ oi m˜ ôi i = 1, 2, . . . , , c´ ac sô´ a 2 i v` a p l`a nguyên tô´ c` ung ,
nhau, v`ı 1 ≤ ai ≤ p − 1 v`a p l`a sô´ nguyên tô´. Áp d .ung ¯d.inh l´y v`ua , , ph´
at biêu trên, tô`n t .ai c´ac sô´nguyên b1, b2, . . . , b p+1 sao cho v´oi m .oi 2 , , , i = 1, 2, . . . , p+1 c´ ac ¯ d˘ ang th´ uc sau ¯ dê`u thoa m˜ an 2 aibi ≡ 1 (mod p) (6.1) Ch´ ung ta x´ et d˜
ay sô´ a1, a2, . . . , a p+1 , rb1, rb2, . . . , rb p+1 . Ch´ung ta c´o 2 2 ,
tâ´t ca p + 1 sô´ sao cho ´ıt nhâ´t hai sô´ trong ch´ ung khi chia cho p , , c´ o c`
ung m .ôt sô´ du. Theo gia thiê´t c´ac sô´ a1, a2, . . . , a p+1 kh´ac nhau 2 , , , , ho` an to` an v`
a nho hon p. Suy ra sô´ du cua ch´ ung theo môdd un p , l` a kh´
ac nhau. V`ı r l`a sô´ nguyên tô´ c` ung nhau v´ oi p, nên d˜ê d`ang , , , , ch´ ung minh ¯
du .oc r`˘ang c´ac sô´rb1, rb2, . . . , rb p+1 cho sô´du ho`an to`an 2 , , kh´
ac nhau khi chia cho p. Ngh˜ıa l`a chı tô`n t .ai hai chı sô´ i v`a j sao , , ,
cho ai ≡ rbj (mod p). T`u (6.1) ch´ung ta nh .ân ¯du .oc aiaj ≡ rbjaj ≡ r.1 ≡ r (mod p). J , , , , . 6.5. Bô ¯
dê` Tue: Cho n l`
a sô´ t .u nhiên l´on hon 1 v`a a l`a sô´ nguyên , tô´ c` ung nhau v´ oi n. Khi ¯
o tô`n t .ai c´ac sô´ nguyên x v`a y, m`a ch´ung , , , , , thoa m˜
an phuong tr`ınh ax ≡ y (mod n) v` a c´
ac bâ´t phuong tr`ınh √ √
1 ≤ x ≤ [ n], 1 ≤ |y| ≤ [ n]. , , , ,, L` oi giai. Ch´ ung ta x´ et tâ´t ca c´ ac sô´c´
o d .ang au − v, o ¯dây u v`a v ch.ay √ , , , ¯
d .ôc l.âp nhau trong c´ac sô´0, 1, 2, . . . , [ n]. Sô´lu .ong tâ´t ca c´ac sô´ ¯d´o √ , , √ √ l`
a ([ n] + 1)2 . Suy ra sô´n`ay l´
on hon n v`ı ([ n] + 1)2 > ( n)2 = n. ,, , Boi c´ o ¯ d´
ung n sô´ du kh´ac nhau theo mô¯
dun n, nên tô`n t .ai hai c.˘ap , sô´ kh´
ac nhau (u1, v1), (u2, v2) t`u c´ac sô´ nguyên sao cho 1 ≤ ui ≤ 6.2. V´ı d .u 59 √ √
[ n], 1 ≤ vi ≤ [ n], i = 1, 2 v`a au1 − v1 ≡ au2 − v2 (mod n). , , , , , D˜ ê d` ang ch´ ung minh ¯
du .oc v1 kh´ac v2. Th.ât v.ây, nê´u ngu .oc l.ai th`ı
au1 ≡ au2 (mod n),suy ra u1 ≡ u2 (mod n), do a l`a sô´ nguyên tô´ , , , , , c` ung nhau v´
oi n. M .˘at kh´ac, u1, u2 l`a c´ac sô´t .u nhiên nho hon n. Nhu , , , ,
v .ây ¯d˘ang th´uc sau c`ung chı c´o m .ôt kha n˘ang duy nhâ´t u1 = u2. Do , , ¯ d´
o c .˘ap (u1, v1), (u2, v2) tr`ung nhau, tr´ai v´oi c´ach ch .on trên. Nhu v.ây , , ,
u1 v`a u2 c˜ung phai kh´ac nhau. C´o thê gia thiê´t u1 > u2 m`a không , ,,, , , , anh huong ¯ dê´n kê´t qua ch´ ung minh. Bây gi` o ta ¯ d .˘at x = u1 − u2, y = , √ √ v1 − v2. T`u ¯ d´
o suy ra 1 ≤ x ≤ [ n], 1 ≤ |y| ≤ [ n] v`a ax ≡ y (mod n). J , , ,
. 6.6. Áp d .ung bô ¯dê` Tue: M.oi sô´ nguyên tô´ d .ang 4k + 1 c´o thê biêu , , , , , , di˜ ên du´
oi d .ang tông b`ınh phuong cua hai sô´nguyên. , , , , L` oi giai. Ch´ ung ta ch´ ung minh kh˘ ang ¯
d.inh sau: Nê´u p = 4k + 1 l`a sô´ , ,
nguyên tô´, th`ı phuong tr`ınh x2 ≡ −1 (mod p) c´ o nghi .êm. Th.ât v.ây,
V`ı p l`a sô´ nguyên tô´, theo ¯
d.inh l´y Wilson, (p − 1)! ≡ −1 (mod p). Ngo`
ai ra p − 1 ≡ −1 (mod p), p − 2 ≡ −2 (mod p), . . . , p − p+1 ≡ 2 p+1 (mod p). Suy ra, 2 (p − 1) (p + 1)
−1 ≡ (p − 1)! = 1.2 . . . . 2 2 p − 1 ≡ (−11)(−21) . . . (−( )2) 2 p−1 p − 1 p − 1 = (−1) 2 (1.2 . . . )2 = (−1)2k(( )!)2 2 2 p − 1 = (( )!)2 (mod p). 2 , p − 1 , , , Nhu v .ây a = ( )! l`
a nghi .êm cua phuong tr`ınh trên. V`ı a 2 2 + 1 , ,
chia hê´t cho p nên a l`a nguyên tô´ c` ung nhau v´ oi p. Bây gi`o ta ´ap ,
d .ung bô ¯dê` Tue cho hai sô´ a v`a p. Tô`n t.ai c´ac sô´nguyên x v`a y m`a , , 60 Chuong 6. B` ai t .âp sô´h .oc nâng cao √ √
1 ≤ x ≤ [ p], 1 ≤ |y| ≤ [ p] v` a ax ≡ y (mod p). Khi ¯ d´ o a2x2 ≡ y2 , ,
(mod p), nhu v .ây x2 ≡ −y2 (mod p), v`ı a2 ≡ −1 (mod p). T`u ¯d´o
suy ra x2 + y2 chia hê´t cho p. M .˘at kh´ac 1 ≤ x2 ≤ p, 1 ≤ y2 ≤ p. Ta , , thâ´y r` ˘
ang x2 = p v`a y2 = p không thê xây ra v`ı p l`a sô´nguyên tô´, suy
ra 0 < x2 + y2 < 2p v`a v`ı x2 + y2 chia hê´t cho p, nên x2 + y2 = p. J , , , , , , Ch´ u ´
y: Tuong t .u, ch´ung minh r`˘ang m .oi sô´ p, sao cho phuong , , , ,
tr`ınh x2 ≡ −2 (mod p) c´
o nghi .êm, ¯dê`u c´o thê biêu di˜ên du´oi d.ang , p = x2 + 2y2 v´
oi x, y l`a c´ac sô´nguyên.
. 6.7. (Ðê` thi To´
an Olympic quô´c tê´ lâ`n 18 n˘ am 1976) Cho h.ê p , , , , phuong tr`ınh v´ oi q = 2p ân
a11x1 + a12x2 + · · · + a1qxq = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ap1x1 + ap2x2 + · · · + apqxq = 0 , , , Tâ´t ca c´
ac h.ê sô´aij thu.ôc t .âp hop {−1, 0, 1}. Ch´ung minh r`˘ang tô`n t .ai , ,
nghi.êm (x1, x2, . . . , xq) cua h.ê, m`a n´o thoa m˜an , ,
a) tâ´t ca xj(j = 1, 2, . . . , q) l`a nhung sô´nguyên; b) ´ıt nhâ´t c´
o m .ôt j(j = 1, 2, . . . , q) m`a xj ≤ 0; , c) v´
oi m .oi j(j = 1, 2, . . . , q) ta luôn c´o xj ≤ q; , , , L` oi giai.
et b .ô (x1, x2, . . . , xq) gô`m nh˜ung sô´ nguyên bâ´t k`y, m`a , ,, , ch´ ung thoa m˜
an |x1| ≤ p, |x2| ≤ p, . . . , |xq| ≤ p. Boi v`ı tâ´t ca c´ac , , , , , ,
h .ê sô´ cua h.ê phuong tr`ınh chı l`a -1,0 ho.˘ac 1, v´oi vi.êc thay c´ac ân , , , , ,
x1, x2, . . . , xq ch´ung ta nh .ân ¯du .oc gi´a tr.i cua m˜ôi phuong tr`ınh n`˘am , ,
trong khoang [−pq, pq]. Th .ât v.ây, v´oi m˜ôi i = 1, 2, . . . , p ch´ung ta c´
o |ai1x1 + ai2x2 + · · · + aiqxq| ≤ |x1| + |x2| + · · · + |xq| ≤ pq. Suy , , , , , , , , , ra, nê´u thay nh˜
ung ân trong tâ´t ca phuong tr`ınh cua h .ê tuong ´ung 6.2. V´ı d .u 61 , , , v´
oi x1, x2, . . . , xq s˜e nh .ân ¯du .oc b .ô p sô´ nguyên (y1, y2, . . . , yp). Tâ´t , , , , ca nh˜ ung sô´ n` ay ¯ dê`u n` ˘
am trong khoang [−pq, pq]. Trong khoang , , n` ay c´ o ¯ d´
ung 2pq + 1 sô´ nguyên. Suy ra gi˜ua nh˜ung b .ô s´˘ap xê´p ,, , ,, p phâ`n tu nhu o trên c´
o (2pq + 1)p b .ô xê´p kh´ac nhau. M.˘at kh´ac , , , ,,
sô´ lu .ong nh˜ung b .ô xê´p q-phâ`n tu (x1, x2, . . . , xq) m`a |xj| ≤ p , , v´
oi j = 1, 2, . . . q, l`a (2p + 1)q. D˜ê thâ´y r`˘ang t`u q = 2p suy ra
(2p + 1)q > (2pq + 1)p. Theo nguyên l´y Ðirichlê tô`n t .ai hai b .ô q- sô´ nguyên (x0 , x0 , x00 1 2, . . . , x0q) v`
a (x001 2 , . . . , x00q) kh´ac nhau m`a ch´ung , , thoa m˜ an |x0| ≤ p, |x00| ≤ p v´
oi j = 1, 2, . . . q v`a sau khi thê´ v`ao j j , ,
h .ê phuong tr`ınh cho c`ung m .ôt b .ô p sô´ nguyên (y1, y2, . . . , yp). Ð.˘at x1 = x0 − x00, x − x00 − x00 1 1 2 = x02 2 , . . . , xq = x0q q . R˜ o r` ang (x1, x2, . . . , xq) , , , , l`
a nghi .êm cua h.ê phuong tr`ınh v`a xj l`a c´ac sô´ nguyên v´oi m .oi
j = 1, 2, . . . , q. V`ı (x0 , x0 , x00 1 2, . . . , x0q) v`
a (x001 2 , . . . , x00q) l`a hai b .ô q sô´ ho` an to` an kh´
ac nhau, th`ı ´ıt nhâ´t m .ôt trong c´ac sô´ xj kh´ac không. , Cuô´i c` ung v´
oi m .oi j = 1, 2, . . . , q ch´ung ta c´o |xj| = |x0 − x00| ≤ j j , ,
|x0| + |x00| ≤ p + p = 2p = q. Nhu v ua j j .ây (x1, x2, . . . , xq) l` a nghi .êm c , ,
h .ê phuong tr`ınh c´o t´ınh châ´t mong muô´n. J
. 6.8. (Ðê` thi To´
an Olympic quô´c tê´ lâ`n 28 n˘ am 1987) Cho , , ,
x1, x2, . . . , xn l`a nh˜ung sô´th .uc v`a x2 + x2 + · · · + x2 ng minh 1 2 n = 1. Ch´ u , , r` ˘ ang v´ oi m˜
ôi sô´nguyên k, k ≥ 2, tô`n t .ai nh˜ung sô´nguyên a1, a2, . . . , an , không ¯ dô`ng th` oi b` ˘
ang không sao cho |ai| ≤ k − 1, i = 1, 2, . . . , n v`a ,, , thoa m˜
an bâ´t phuong tr`ınh sau |a n
1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn| ≤ (k−1) kn−1 , , ,, , , L` oi giai. Ch´
ung ta su d .ung bâ´t ¯d˘ang th´uc Cosi-Buniakovski-Svars q q | 2 2
α1β1 + |α2β2 + · · · + |αn βn| ≤ α + · · · + + · · · + 1 α2n β1 β2n , , , , ¯ dus ng v´
oi m .oi sô´th .uc α1, α2, . . . αn, β1, β2, . . . , βn. Dâ´u b`˘ang xây ra , khi v`
a chı khi tô`n t .ai m .ôt sô´λ sao cho α1 = λβ1, α2 = λβ2 . . . , αn = λβn. , , 62 Chuong 6. B` ai t .âp sô´h .oc nâng cao , Bây gi` o ch´ ung ta x´ et c´ ac sô´ y0 = − k−1, y + 1, . . . , 2 1 = − k−1 2 , , , ,
yk−1 = − k−1 + (k − 1) = k−1 Sô´lu ng cua ch´ung l`a k v`a hi ng 2 2 .o .êu t` u , ,
c .˘ap trong ch´ung l`a nh˜ung sô´ nguyên, m`a gi´a tr.i tuy.êt ¯dô´i cua n´o không qu´ a k − 1. M˜
ôi b .ô s´˘ap xê´p n-th`anh phâ`n β = (b1, b2, . . . , bn), ,, , o ¯
dây bi l`a m .ôt sô´n`ao ¯d´o trong y1, y2, . . . , yn v´oi m .oi i = 1, 2, . . . , n, , , , , ch´ ung ta ¯
d .˘at tuong ´ung v´oi m .ôt sô´ S = b β
1 x1 + b2 x2 + · · · + bn xn. , , , T` u bâ´t ¯ d˘ ang th´ uc Cosi S = b β
1 x1 + b2 x2 + · · · + bn xn q q ≤ b2 + b2 + · · · + b2 x2 + x2 + · · · + x2 1 2 n 1 2 n q = b2 + b2 + · · · + b2 1 2 n , , Nhung |bi| ≤ k−1 v´oi m 2
.oi i = 1, 2, . . . , n sao cho q k − 1 √ |S | ≤ b2 + b2 + · · · + b2 ≤ n β 1 2 n 2 √ √ , ,
ho .˘ac l`a − k−1 n ≤ S ≤ k−1 n. Theo phuong ph´ap n`ay n-b 2 β 2 .ô β = ,, , (b1, b2, . . . , bn), o ¯
dây bi l`a m .ôt trong c´ac sô´ y0, y1, . . . , yk−1 v´oi m .oi , , , , , , i = 1, 2, . . . , n, ¯
du .oc ¯d.˘at tuong ´ung v´oi m .ôt sô´ S = b β 1 x1 + b2 x2 + √ √ , , , , · · · + bnxn trong ¯
do .an ∆ = [− k−1 n, k−1 n]. Sô´ lu ng n-b c 2 2 .o .ô ¯ du .o , , √ , s´ ˘ ap xê´p l` a kn. Chia ∆ ra kn − 1 ¯
do .an nho v´oi ¯d .ô d`ai k−1 n. T` u kn−1 nguyên l´
y Ðirichlê suy ra tô`n t .ai hai n-b .ô β = (b1, b2, . . . , bn) v`a ,
γ = (c1, c2, . . . , cn), m` a nh˜ung sô´ S = b β
1 x1 + b2 x2 + · · · + bn xn , , , , v` a S = c ong ´ ung v´ oi ch´ ung n` ˘ am trong γ
1 x1 + c2 x2 + · · · + cn xn tu , c`
ung m .ôt ¯do.an nho. Ð.˘at a1 = b1 − c1,a2 = b2 − c2, . . . , an = bn − , , , , cn. D˜ê kiêm tra ¯
du .oc a1, a2.., an thoa m˜an ¯diê`u ki.ên ¯d˜a cho. Th.ât , ,
v .ây, v´oi m .oi i = 1, 2, . . . , n sô´ ai = bi − ci l`a hi.êu cua hai sô´ n`ao , ,, ¯ d´
o trong y0, y1, . . . , yk−1 nhu ¯d˜a n´oi o trên v`a l`a sô´ nguyên không , ,
vu .ot qu´a k − 1. V`ı hai n-b .ô trên kh´ac nhau ho`an to`an th`ı ´ıt nhâ´t
m .ôt trong c´ac sô´ ai = bi − ci kh´ac không. Ngo`ai ra, |b1x1 + b2x2 + 6.2. V´ı d .u 63
· · · + bnxn| = |x1(b1 − c1) + x2(b2 − c2) + · · · + xn(bn − cn)| = |S − β √ S | ≤ k−1 n. J γ kn−1 , , . 6.9. Ch´ ung minh r` ˘ ang m˜
ôi b .ô gô`m 11 sô´ th .uc kh´ac nhau trong , , , , , khoang [1,1000] c´
o thê ch .on ¯du.oc hai sô´ x v`a y, m`a ch´ung thoa m˜an , , bâ´t ¯ ang th´ uc sau √ 0 < x − y < 3 3 xy (6.2) , , , L` oi giai. Ch´ ung ta x´ et c˘
an b .âc ba cua c´ac sô´ trong b .ô sô´ ¯d˜a cho , √ x1, x2, . . . , x11 T`u ¯
diê`u ki .ên ¯d˜a cho suy ra 1 ≤ 3 xi ≤ 10, i = , , , 1, 2, . . . , 11. Ch´
ung ta chia khoang [1,10] ra mu` oi phâ`n b` ˘ ang nhau. √ √ √ Khi ¯ d´ o, c´
o ´ıt nhâ´t m .ôt trong hai sô´ 3 x1, 3 x2, . . . , 3 x11 n`˘am trong , √ √ c`
ung m .ôt ¯do.an nho. Nê´u c´ac sô´ ¯d´o l`a 3 xi v`a 3 xj, i 6= j v`a xi > xj, ch´ ung ta c´ o √ 9 0 < 3 xi − 3 pxj ≤ < 1. (6.3) √ √ 10 , , ,
Nhu v .ây, 0 < ( 3 xi − 3 xj)3 < 1, kê´t h .op v´oi (6.3) ta c´o 0 < xi − √ √ √ √
xj < 1 + 3 3 xixj( 3 xi − 3 xj) < 1 + 3 3 xixj. J , , , Ch´ u ´ y: B` ai to´ an không c` on ¯ d´ ung v´
oi b .ô 10 sô´th .uc trong khoang ,
[1,1000]. Phan v´ı d .u: b .ô sô´13, 23, . . . , 103. nê´u i 6= j v`a i > j ch´ung , ta c´
o (i − j)3 ≥ 1, nhu v .ây i2 + ij + j2 ≥ 1 + 3ij. Ngh˜ıa l`a i − j = , , ,
(i − j)(i2 + ij + j2) ≥ 1 + 3ij. ¯ d˘ ang th´ uc xây ra khi i = j + 1. , , , ,
. 6.10. Cho 7 sô´ th .uc bâ´t k`y. Ch´ung minh r`˘ang gi˜ua ch´ung c´o thê , , ,
ch .on ¯du.oc hai sô´, ch˘ang h .an x v`a y, sao cho √ x − y 3 0 ≤ ≤ . 1 + xy 3 , , , L` oi giai. C´ ac sô´ ¯ d˜ a cho k´
y hi .êu l`a x1, x2, . . . , x7. M .uc ¯d´ıch cua ch´ung , , , ,, ta l` a biêu di˜
ên m .oi sô´ du´oi d.ang xi = tg αi, o ¯dây αi l`a m .ôt sô´ , π trong khoang (− π , ), i = 1, 2, . . . , 7. Ch´ ung ta chia ¯ do .an n`ay ra 2 2 , , 64 Chuong 6. B` ai t .âp sô´h .oc nâng cao π s´ au ¯
do .an con c´o ¯d .ô d`ai b`˘ang nhau, ngh˜ıa l`a b`˘ang . D˜ ê d` ang thâ´y 6 r` ˘ ang ´ıt nhâ´t c´
o hai sô´ trong α1, α2, . . . , α7 c`ung n`˘am trong m .ôt ¯do.an , coni ¯ d´ o. Nê´u ch´ ung ta k´
y hi .êu c´ac sô´ ¯d´o l`a αi v`a αj, αi ≥ αj, th`ı t`u ¯d´o ,
suy ra 0 ≤ αi − αj ≤ π . V`ı h`am sô´tg l`a t˘ang trong khoang (− π , π ), 6 2 2 suy ra √
tg αi − tg αj xi − xj π 3
0 ≤ tg(αi − αj) = = ≤ tg = .
1 + tg αi tg αj 1 + xixj 6 3 J , , , Ch´ u ´ y: B` ˘ ang c´ ach giai cua hai b`
ai t .âp n`ay ch´ung ta c´o thê s´ang , , , , , , ,
t .ao ra m .ôt lo.at b`ai to´an tuong t .u, m`a v´oi c´ach giai b`ınh thu`ong kh´o , , , m` a giai quyê´t ¯ du .oc. 6.3. B ` ai t .âp . 6.11. (Ðê` thi To´
an Olympic quô´c tê´ lâ`n 26 n˘ am 1985). Cho t .âp , , , , , ,
h .op M gô`m 1985 sô´ t .u nhiên, không c´o sô´ n`ao c´o u´oc sô´ l´on hon , , , ,, , , , , 26. Ch´ ung minh r` ˘ ang t` u nh˜ung phâ`n tu cua M c´ o thê ch .on ¯du .oc 4 , , , , sô´ t` ung ¯
dôi m .ôt kh´ac nhau m`a t´ıch cua ch´ung l`a l˜uy th`ua b.âc 4 cua , ,
m .ôt sô´nguyên. (kê´t lu.ân ¯d´ung v´oi t.âp h .op gô`m 3.29 + 1 = 1537 sô´ , , , , m` a nh˜ ung u´ oc sô´cua ch´ ung không qu´ a 23). , , ,
. 6.12. Cho bô´n sô´duong bâ´t k` y. Ch´ ung minh r` ˘ ang c´ o hai sô´trong , , , , bô´n sô´ ¯ d´ o, ch˘
ang h .an x v`a y, thoa m˜an bâ´t phuong tr`ınh sau x − y √ 0 ≤ ≤ 2 − 3. 1 + x + y + 2xy , , , , . 6.13. Ch´ ung minh r` ˘
ang m .ôt sô´ t .u nhiên c´o thê biêu di˜ên th`anh , , , , ,
tông b`ınh phuong cua hai sô´nguyên khi v`
a chı khi, trong phân t´ıch , ,
ra d .ang ch´ınh t´˘ac cua n´o, c´ac th`ua sô´nguyên tô´d.ang 4k + 3 ¯dê`u c´o sô´m˜ u ch˜ ˘ an. 6.3. B` ai t .âp 65 , , , , . 6.14. Ch´ ung minh r` ˘ ang t` u k + 1 sô´, m`a ch´ ung nho hon 2k, luôn , , , , , , luôn c´
o thê ch .on ¯du .oc hai sô´ m`a ty sô´ cua ch´ung l`a m .ôt l˜uy th`ua , cua 2. , , , . 6.15. Cho n l`
a m .ôt sô´ le. Ch´ung minh r`˘ang t`u (n − 1)2 + 1 sô´ , , , , , nguyên bâ´t k` y c´
o thê ch .on ¯du .oc n sô´ sao cho tông cua ch´ung chia hê´t cho n. , , 66 Chuong 6. B` ai t .âp sô´h .oc nâng cao , , CHUONG 7 B ` AI T .ÂP D ˜ ÂY S ´ Ô NÂNG CAO 7.1. V´ı d .u , . 7.1. Cho d˜
ay Fibonaxi u1 = u2 = 1, un = un−1 + un−2. V´oi m .oi sô´ , , , , , ,
nguyên duong m, th`ı gi˜ ua nh˜
ung sô´ h .ang t`u ¯dâ`u d˜ây ¯dê´n sô´h .ang th´u
m2 − 1 tô`n t .ai m.ôt sô´h .ang chia hê´t cho m. , , , , L` oi giai. Ch´ ung ta k´
y hi .êu k l`a phâ`n du cua sô´ k cho m. Ch´ung ta , , x´ et c´
ac c .˘ap phâ`n du cua d˜ay Fibonaxi khi chia cho m:
(u1, u2).(u2, u3), (u3, u4), . . . , (un, un+1), . . . (7.1) Nê´u ch´ ung ta qui ¯
d.inh hai c.˘ap (a1, b1) v`a (a2, b2) l`a b`˘ang nhau khi , , , ,
a1 = b1 v`a a2 = b2, th`ı sô´ tâ´t ca kha n˘ang cua c´ac c .˘ap phâ`n du khi chia cho m l` a m2. V`ı thê´ ch´
ung ta lâ´y m2 + 1 sô´ h .ang ¯dâ`u tiên , , cua d˜ ay (7.1) th`ı trong ch´ ung phai c´
o hai c .˘ap tr`ung nhau,( theo , , ,, nguyên l´ y Ðirichlê ) v` a t` u ¯ d´ o c´
ac c .˘ap sau l.˘ap l.ai. Gia su c.˘ap (uk, uk+1) , l`
a c .˘ap ¯dâ`u tiên l.˘ap l.ai trong (7.1). Ch´ung ta s˜e ch´ung minh r`˘ang , ,, , ,
c .˘ap n`ay b`˘ang c.˘ap (1, 1). Th.ât v.ây, gia su ngu .oc l.ai, ngh˜ıa l`a c.˘ap , ¯
dâ`u tiên l .˘ap l.ai l`a (uk, uk+1), v´oi k > 1. Khi ¯d´o ch´ung ta s˜e t`ım , , ¯
du .oc trong (7.1) m .ôt c.˘ap (ul, ul+1), (l > k), m`a n´o b`˘ang (uk, uk+1) ,
. Nhu v .ây ul−1 = ul+1 − ul v`a uk−1 = uk+1 − uk, do ul+1 = uk+1 v`a , ,
ul = uk, nên phâ`n du cua ul−1 v`a uk−1 khi chia cho m c˜ung b`˘ang , nhau, ngh˜ıa l`
a ul−1 = uk−1. T`u ¯d´o suy ra (uk−1, uk) = (ul−1, ul), v.ây , , 68 Chuong 7. B`
ai t .âp d˜ây sô´nâng cao , , ,
c .˘ap (uk−1, uk)n`˘am trong d˜ay (7.1) tru´oc ca (uk, uk+1). Ðiê`u ¯d´o n´oi , , , lên r` ˘
ang (uk, uk+1) không phai c .˘ap l.˘ap l.ai ¯dâ`u tiên, tr´ai v´oi gia thiê´t , , ¯
d .˘at ra. Ngh˜ıa l`a k > 1 không thê xay ra, v.ây k = 1. , , ,,
Nhu v .ây c.˘ap (1, 1) l`a c.˘ap ¯dâ`u tiên l.˘ap l.ai trong (7.1). Gia su n´o
l .˘ap l.ai t lâ`n (1 < t < m2 + 1). ho.˘ac l`a (ut, ut+1) = (1, 1). Ngh˜ıa l`a ut , , v`
a ut+1 khi chia cho m cho phâ`n du c`ung l`a 1, v .ây hi.êu cua ch´ung , , ,
chia hê´t cho m. Nhung ut+1 − ut = ut−1. Nhu v .ây sô´h.ang th´u t − 1 , cua d˜ ay Fibonaxi s˜ e chia hê´t cho m. J , ,, , , , , ,
. 7.2. Gia su a v` a x l` a c´
ac sô´t .u nhiên th .uc s .u l´on hon 1 v`a (x, a − 1) = , , , 1. D˜
ay sô´vô h .an {un} ¯du.oc x´ac ¯d.inh nhu sau
un = axn − a + 1, n = 1, 2, . . . , , Ch´ ung minh r` ˘ ang trong d˜ ay sô´n´ oi trên ch´
ua vô h .an sô´¯dôi m.ôt nguyên tô´c` ung nhau. , , , , , , , L`
oi giai. Gia thiê´t phan ch´ ung trong d˜ ay sô´ chı c´ o h˜ uu h .an sô´ ui , u , . . . , u ¯ dôi m 1 i2 ik .ôt nguyên tô´c` ung nhau.
Ð .˘at q = ui u . . . u . X´et (q + 1) sô´ sau a, ax, ax2, . . . , axq. Theo 1 i2 ik nguyên l´
y Ðirichlê tô`n t .ai hai sô´ nguyên r, s sao cho 0 ≤ r < s ≤ q v` a axr ≡ axs (mod q) =⇒ axr − axs ≡ 0 (mod q) hay axr(1 − xs−r) ≡ 0 (mod q) (7.2) , Theo gia thiê´t ta c´
o (x, a − 1) = 1, nên suy ra
(axr, ui ) = 1, ∀j = 1, 2, . . . , k. (7.3) j , T` u (7.3) suy ra (axr, q) = 1. (7.4) 7.1. V´ı d .u 69 , , T` u (7.2) v` a (7.4) c´
o xs−r ≡ 1 (mod q) =⇒ xs−r = lq + 1 v´ oi l ∈ N. X´ et sô´ ui = axs−r − a + 1. V k+j .ây ui
= a(lq + 1) − a + 1 = qal + 1. (7.5) k+j , T` u (7.5) ta c´ o (ui , u ) = 1, ∀j = 1, 2, . . . , k. (7.6) k+j ij , , , , ,
H .ê th´uc (7.6) ch´ung to r`˘ang luôn c´o thê bô sung thêm v`ao b .ô sô´ , ,
q = ui u . . . u c´ac sô´ m´oi, m`a b oa m˜ an ¯ diê`u ki 1 i2 ik .ô sô´ n` ay v˜ ân th .ên: bâ´t k` y hai sô´ n` ao c˜ ung nguyên tô´ c` ung nhau. Ðiê`u n` ay c´ o ngh˜ıa l` a trong d˜ ay {un} ¯ d˜ a cho c´
o vô h .an sô´ ¯dôi m .ôt nguyên tô´ c`ung nhau. J ,
. 7.3. Cho {un} l`a d˜ay c´ac sô´t .u nhiên t˘ang dâ`n: u1 < u2 < u3 < . . . , , , v` a thoa m˜ an ¯
diê`u ki.ên u1 = 1, un+1 ≤ 2n, v´oi m.oi n l`a sô´ t .u nhiên. , , , Ch´ ung minh r` ˘ ang v´
oi m .oi sô´ t .u nhiên n tô`n t .ai c´ac sô´ h .ang up v`a uq , cua d˜
ay sao cho up − uq = n. , , , ,, , , , , , L`
oi giai. Gia su n ∈ N l`a sô´ t .u nhiên cho tru´oc. T`u gia thiê´t suy ra , , , m˜
ôi sô´ h .ang u1, u2, . . . , un+1 không vu .ot qu´a 2n. X´et t.âp h .op 2n sô´ , ,
t .u nhiên sau {1, 2, . . . , 2n}. Ch´ung ta chia t.âp h .op n`ay ra l`am n c.˘ap , , ,
(1, n + 1), (2, n + 2), . . . , (n, 2n). Do t .âp h .op trên ch´ua không ´ıt hon ,, , (n + 1) phâ`n tu cua d˜ ay {un} ¯ d˜ a cho (v`ı n´
oi riêng u1, u2, . . . , un+1 ¯ d˜ a ,
thu .ôc t.âp h .op â´y), v.ây theo nguyên l´y Ðirichlê tô`n t.ai hai sô´ h.ang , , ,, kh´
ac nhau up v`a uq cua d˜ay thu .ôc v`ao m .ôt c.˘ap ( gia su up > uq). , ,
Nhung hi .êu sô´cua m˜ôi c.˘ap ¯dê`u b`˘ang n, nên ch´ung ta c´o up − uq = n. J ,
. 7.4. Cho {uk}, k = 1, 2, . . . , n l`a d˜ay sô´t .u nhiên sao cho
1 ≤ u1 ≤ u2 ≤ . . . ≤ un v`a u1 + u2 + · · · + un = 2n , , 70 Chuong 7. B`
ai t .âp d˜ây sô´nâng cao , , Ch´ ung minh r` ˘
ang nê´u n ch˜ ˘ an v`
a un 6= n + 1, th`ı t`u d˜ay trên luôn ch .on , , , , ra ¯
du .oc m.ôt d˜ay con m`a tông c´ac sô´h .ang cua d˜ay con ¯d´o b`˘ang n. , , L`
oi giai. Ð .˘at Sk = u1 + u2 + · · · + uk, k = 1, 2, 3, . . . , n. X´et n + 2 sô´
{0, u1 − un, S1, S2, . . . , Sn} Theo nguyên l´y Ðirichlê th`ı´ıt nhâ´t hai sô´ , , , khi chia cho n c´ o c`
ung phâ`n du. V .ây, chı c´o 4 kha n˘ang sau ¯dây:
1) (u1 − un) chia hê´t cho n.
Do u1 + u2 + · · · + un ≥ nu1 =⇒ 2n ≥ nu1 =⇒ u1 ≤ 2 ,
a) Nê´u u1 = 2 th`ı t`u 1 ≤ u1 ≤ u2 ≤ . . . ≤ un v`a u1 + u2 + · · · +
un = 2n suy ra u1 = u2 = . . . = un = 2. Do n ch˜˘an nên n = 2m v .ây
u1 + u2 + · · · + um = 2m = n ,
b) Nê´u u1 < 2 th`ı t`u u1 − un chia hê´t cho n, suy ra un = 1 ho .˘ac l`
a un = 1 + n ( do u1 nguyên nên u1 = 1 v`a 1 ≤ un ≤ 2n suy ra , , , ¯
du .oc kê´t lu.ân trên). Nhung un 6= n + 1 suy ra un = 1. M.˘at kh´ac
1 ≤ u1 ≤ u2 ≤ . . . ≤ un v .ây th`ı u2 = u3 = . . . = un−1 = 1. Suy ra
u1 + u2 + · · · + un = n, vô l´y. , , , , ,
Nhu v .ây trong tru`ong h .op n`ay, ta chı ra tô`n t.ai d˜ay con u1, u2 , n
, . . . , um sao cho u1 + u2 + · · · + um = n v´oi m = . 2
2) Sj − Si, (j > i) chia hê´t cho n. , , , Ta c´
o Sj − Si = ui+1 + ui+2 + · · · + uj. R˜o r`ang vê´phai cua ¯d˘ang , th´ uc trên c´
o ´ıt nhâ´t m .ôt sô´h.ang m`a uk ≥ 1, ∀k = 1, 2, . . . , n, suy ra , ,, ,
Sj − Si ≥ 1. M .˘at kh´ac c˜ung hi.êu trên nê´u không ¯du c´ac phâ`n tu cua , d˜ ay th`ı bao gi` o ta c˜ ung c´
o Sj − Si < u1 + u2 + · · · + un ≤ 2n − 1. Do ¯ d´ o cuô´i c` ung ta c´
o 1 ≤ Sj − Si < u1 + u2 + · · · + un ≤ 2n − 1 , , m`
a Sj − Si chia hê´t cho n. ¯ diê`u n`
ay chı xây ra khi Sj − Si = n ho .˘ac l`
a ui+1 + ui+2 + · · · + uj = n. 3) Si chia hê´t cho n. 7.1. V´ı d .u 71 Ta c´
o 1 ≤ Si ≤ Sn−1 = 2n − un < 2n m`a Si chia hê´t cho n, suy
ra Si = n ho .˘ac l`a u1 + u2 + · · · + ui chia hê´t cho n. , ,
4) Sk v`a u1 − un cho c`ung phâ`n du khi chia cho n, v´oi k n`ao ¯ d´
o, 1 ≤ k ≤ n − 1. Suy ra Sk − (u1 − un)|n =⇒ (u2 + u3 + · · · +
uk + un)|n. M`a u2 + u3 + · · · + uk + un ≤ 2n − u1 < 2n. Suy ra
u2 + u3 + · · · + uk + un = n. , , , , T´
om l .ai luôn luôn ch .on ¯du .oc d˜ay con m`a tông cua ch´ung b`˘ang n. J , , . 7.5. Cho d˜
ay sô´ nguyên u1, u2, . . . , un v´oi n ≥ 2. Ch´ ung minh r` ˘ ang
tô`n t .ai d˜ay con uk , u , . . . , u trong ¯d´o 1 ≤ k 1 k2 km
1 < k2 < . . . < km ≤ n
sao cho u2 + u2 + · · · + u2 chia hê´t cho n. k1 k2 km , , L` oi giai. X´ et (n + 1) sô´
0, u21, u21 + u22, u21 + u22 + u23, . . . , u21 + u22 + · · · + u2n , Chia c´ ac sô´ n` ay cho n, th`ı ch´
ung cho nhiê`u nhâ´t n sô´ du. Theo , , ,, nguyên l´
y Ðirichlê tô`n t .ai hai sô´ cho c`ung sô´ du, gia su ¯d´o l`a u2 + 1 u2 + · · · + u2 v` a u2 + u2 + · · · + u2( 2 0 ≤ j < k ≤ n). C´ o ngh˜ıa j 1 2 k l`
a sô´ (u2 + u2 + · · · + u2) − (u2 + u2 + · · · + u2) chia hê´t cho n. 1 2 j 1 2 k ,
Ho .˘ac l`a uj+1 + uj+2 + · · · + uk chia hê´t cho n. D˜ay con phai t`ım l`a uj+1, uj+2, . . . , uk. J . 7.6. Cho d˜
ay Fibonaxi 1, 2, 3, 5, 8,. . . .Ð .˘at f (n) = 19852 + , , 1956n2 + 1960 Ch´ ung minh r` ˘
ang tô`n t .ai vô h .an sô´ h .ang uk cua d˜ay
Fibonaxi, sao cho f (uk)|1989 , , L`
oi giai. Ð .˘at h(n) = 4n2 + 33n + 29 =⇒ h(n) = 1989(n2 + n + 1) − , f (n). T` u ¯ d´
o suy ra f (n)|1989 ⇐⇒ h(n)|1989. , , 72 Chuong 7. B`
ai t .âp d˜ây sô´nâng cao X´ et d˜ ay sô´ {vn} sau ¯ dây, trong ¯ d´ o v0 = −1, v1 = 1
vn+1 = vn + vn+1, n = 1, 2, . . . ,, N´ oi c´ ach kh´ ac d˜
ay {vn} l`a d˜ay sinh ra boi d˜ay Fibonaxi {un} : , , 1, 1, 2, 3, 5, . . . b` ˘ ang c´ ach thêm v` ao tru´ oc d˜ ay n` ay ba sô´h .ang -1, 1, 0. ,
G .oi ri l`a phâ`n du trong ph´ep chia vi cho 1989(i = 0, 1, 2, . . .). ,
Nhu v .ây ta c´o 0 ≤ r ≤ 1988. X´et d˜ay c´ac c.˘ap sô´sau ¯dây
(r0, r1), (r1, r2), (r2, r3), . . . . , V`ı m˜
ôi c .˘ap ri chı nh.ân m .ôt trong 1989 gi´a tr.i, v.ây sô´ c´ac c.˘ap kh´ac , nhau tô´i ¯ da l` a 19892. T`u ¯ d´ o theo nguyên l´
y Ðirichlê th`ı trong 19892 + , ,,
1 c .˘ap ¯dâ`u tiên ´ıt nhâ´t c´o hai c.˘ap tr`ung nhau. Gia su hai c.˘ap â´y l`a
(rp, rp+1), (rp+q, rp+q+1), p, q ∈ N Ðiê`u â´y c´ o ngh˜ıa l`
a rp = rp+1, rp+q = rp+q+1. Theo c´ach x´ac ¯ d.inh d˜ ay, ta c´ o
vp−1 = vp+1 − vp =⇒ rp−1 = rp+1 − rp , , , Tuongt .u, ta c´o
vp+q−1 = vp+q+1 − vp+q =⇒ rp+q−1 = rp+q+1 − rp+q , , , , T` u ¯ d´
o suy ra rp−1 = rp+q−1. Tuongt .u, ta c´o rp−2 = rp+q−2 . . . . . . . r2 = rq+2 r1 = rq+1 r0 = rq , T`
u r0 = rq, r1 = rq+1 v`a vn+1 = vn + vn+1 suy ra ri = ri+q, ∀i =
0, 1, 2, . . .. Do v .ây r0 = rq = r2q = r3q = . . . = rkq, ∀k ≥ 1, suy 7.1. V´ı d .u 73 ,
ra h(vkq) = 1989.A + h(−1) = 1989.A. Nhung ∀k = 1, 2, 3 . . . vkq , ¯ dê`u l` a sô´ Fibonaxi suy ra c´
o vô sô´ sô´ h .ang vkq cua d˜ay Fibonaxi m`a f (vkq)|1989. J , . 7.7. Cho d˜
ay sô´ {un} x´ac ¯d.inh nhu sau
u1 = 20, u2 = 100, v`a un+1 = 4un + 5un−1 − 1976, n = 1, 2, . . . , , Ch´ ung minh r` ˘
ang tô`n t .ai ´ıt nhâ´t m.ôt sô´cua d˜ay sô´chia hê´t cho 1996. , , L`
oi giai. Ð .˘at un = 1996pn + qn, ∀n = 1, 2, . . . trong ¯d´o pn, qn l`a c´ac sô´nguyên v`
a 0 ≤ qn ≤ 1995. X´et d˜ay sô´
(q1, q2), (q2, q3), . . . , (qn, qn+1), . . . , V`ı d˜ ay n`
ay vô h .an m`a sô´ c´ac sô´ qi l`a h˜uu h.an nên tô`n t.ai hai sô´ , , ,, ,
t .u nhiên l, m ( gia su m > l) sao cho (ql, ql+1) = (qm, qm+1) hiêu ,
theo ngh˜ıa ql = qm v`a ql+1 = qm+1. Ch´ung ta s˜e ch´ung minh r`˘ang
ql−1 = qm−1. Th .ât v.ây,
5(um−1 − ul−1) = (um+1 − 4um + 1976) − (ul+1 − 4ul + 1976)
= (um+1 − ul+1) − 4(um − ul) (7.7) ,
Do uk = 1996pk + qk, nên t`u (7.7) c´o
5(um−1 − ul−1) = 1996(pm+1 − pl+1) − (qm+1 − ql+1)−
− 4[1996(pm − pl) − (qm − ql)] (7.8) , Thay nh˜ ung gi´
a tr.i b`˘ang nhau v`ao ((7.8) ta ¯di ¯dê´n
5(um−1 − ul−1) = 1996[(pm+1 − pl+1) − 4(qm − ql)] (7.9) , T`
u (7.9) suy ra 5(um−1 − ul−1)|1996, m`a (5, 1996) = 1 =⇒ (um−1 −
ul−1)|1996 =⇒ 1996(pm−1 − pl−1) + (qm−1 − ql−1)|1996 =⇒ (qm−1 − ql−1)|1996. (7.10) , , 74 Chuong 7. B`
ai t .âp d˜ây sô´nâng cao
Do 0 ≤ qm−1 ≤ 1995, 0 ≤ ql−1 ≤ 1995
=⇒ −1995 ≤ qm−1 − ql−1 ≤ 1995 (7.11) , T` u (7.10) v`
a (7.11) suy ra (qm−1 − ql−1) = 0 hay qm−1 = ql−1. , , , , ,
Tuong t .u ch´ung ta c˜ung c´o thê ¯di ¯dê´n qm−2 = ql−2 v`a c´u tiê´p t .uc , nhu thê´ ¯ di ¯ dê´n
q2 = q2 + (m − 1) v`a q1 = q1 + (m − l) (7.12) , , Ta ch´ ung minh r` ˘
ang um−l ch´ınh l`a sô´h .ang cua d˜ay m`a chia hê´t cho
1996. Th .ât v.ây theo c´ach x´ac ¯d.inh d˜ay, ta c´o
5um−l = um−l+2 − 4um−l+1 + 1976
= 1996pm−l+2 + qm−l+2 − 4(1996pm−l+1 + qm−l+1) + 1996
= 1996(pm−l+2 + 4pm+l+1) + (qm−l+2 + 4qm−l+1) + 1996 , , Thay (7.12) v` ao ¯ d˘ ang th´ uc trên ta c´ o
5um−l = 1996(pm−l+2 − 4pm−l+1) + (q2 − 4q1) + 1996. (7.13) Do
u1 = 20 =⇒ u1 = 0.1996 + 20 =⇒ q1 = 20
u2 = 100 =⇒ u2 = 0.1996 + 100 =⇒ q2 = 100 , V .ây t`u (7.13) suy ra
5um−l = 1996(pm−l+2 − 4pm−l+1) + 1996. (7.14) ,
Do pm−l+2 v`a pm−l+1 l`a sô´nguyên, v.ây t`u (7.14) suy ra 5um−l|1996 m`
a (5, 1996) = 1 suy ra um−l|1996. J , . 7.8. Cho d˜
ay sô´ t .u nhiên u1, u2, . . . , un+1 sao cho 1 ≤ u1 < u2 < , ,
. . . < un+1 ≤ 2n . Ch´ ung minh r` ˘
ang tô`n t .ai hai sô´t .u nhiên i v`a j sao
cho uj chia hê´t cho ui, (j > i). , , , , , , , , , , L` oi giai.
y hi .êu vi l`a u´oc sô´le l´on nhâ´t cua ui tuong ´ung, ngh˜ıa l`a , , ,
ui = 2pi.vi , v´oi vi le v`a sô´ t .u nhiên pi n`ao ¯d´o (i = 1, 2, . . . , n + 1). 7.1. V´ı d .u 75 ,
Do 1 ≤ u1 < u2 < . . . < un+1 ≤ 2n suy ra v´oi m .oi i = 1, 2, . . . , n + 1 , , ta c´
o vi < 2n . X´et (n + 1) sô´ le v1, v2, . . . , vn+1. C´ac sô´ le n`ay ¯ dê`u , , , , , , , duong v`
a nho hon 2n. nên sô´ lu .ong cua ch´ung b`˘ang n. V.ây theo nguyên l´
y Ðirichlê tô`n t .ai hai sô´ i, j sao cho 1 ≤ i < j ≤ n + 1 m`a , vi = vj. Theo c´ach ¯
d .˘at trên th`ı ui = 2pivi v`a uj = 2pjvj. Nhung
ui < uj suy ra 2pi vi < 2pj vj, m`a vi = vj. Suy ra 2pi < 2pj. Do pi, pj l`a , , c´
ac sô´ nguyên duong nên 2pj chia hê´t cho 2pi. Ngh˜ıa l`a uj chia hê´t cho ui. J ,
. 7.9. (Ðê` thi To´
an Olympic Quô´c tê´ lâ`n th´ u 13) D˜ ay sô´ {un}, n = , , 2, 3, 4, . . . ac ¯
d.inh nhu sau un = 2n − 3. Ch´ung minh r`˘ang d˜ay sô´n`ay , ,, , ch´
ua m .ôt t .âp vô h .an c´ac phâ`n tu, sao cho bâ´t k`y hai sô´ n`ao cua t .âp ,
h .op n`ay c˜ung nguyên tô´c`ung nhau. , , , , , , , L` oi giai. Ta ch´ ung minh b` ˘
ang quy n .ap. Gia thiê´t ¯d˜a xây d .ung ¯du .oc ,, , k phâ`n tu cua d˜ ay
u1 = 2n1 − 3, u2 = 2n2 − 3, . . . , uk = 2nk − 3 , , ,, m` a v´
oi m .oi i 6= j, th`ı (uj, ui) = 1, v´oi 1 ≤ i, j ≤ k, o ¯dây 2 = n1 < n2 < . . . < nk. , Ch´ ung ta s˜
e xây d .ung sô´ uk+1 = 2nk+1 − 3 nguyên tô´c`ung nhau , v´ oi c´
ac sô´ u1, u2, . . . , uk b`˘ang c´ach sau ¯
dây: Ð .˘at l = u1.u2 . . . uk. X´et , , ,
(l + 1) sô´20, 21, . . . 2l Khi chia c´ ac sô´ n` ay cho l ta ¯ du .oc m .ôt t.âp h .op ,
gô`m l sô´ du. V .ây theo nguyên l´y Ðirichlê c´o ´ıt nhâ´t hai sô´ cho ta , , ,, , c`
ung phâ`n du. Gia su hai sô´ ¯ d´ o l`
a 2r v`a 2s, (s > r). Bây gi`o ch .on sô´ p ,
sao cho pl = 2r − 2s = 2s(2r−s − 1). Do l l`a sô´le nên 2s không chia
hê´t cho l . M .˘at kh´ac (2r, 2r−s) = 1 suy ra (2r−s − 1) chia hê´t cho l. , Ðiê`u n` ay ngh˜ıa l`
a tô`n t .ai sô´t .u nhiên q sao cho 2r−s − 1 = ql, suy ra
2r−s+2 − 3 = 4.2r−s − 3 = 4(ql + 1) − 3 = 4ql + 1. , , 76 Chuong 7. B`
ai t .âp d˜ây sô´nâng cao
Ð .˘at uk+1 = 2r−s+2 − 3 = ql. Do uk+1 = 4ql + 1 v`a l =
u1.u2 . . . uk, suy ra uk+1 > uk. ,
Do uk+1 = 4ql + 1, suy ra (uk+1, 1) = 1. Do ¯d´o (uk+1, ui) = 1 v´oi m .oi i = 1, 2, . . . , k. , , , , ,
Nhu v .ây khi ¯d˜a xây d .ung ¯du .oc d˜ay con u1, u2, . . . , uk thoa m˜an , , , , , ¯
diê`u ki .ên ¯dâ`u b`ai, th`ı s˜e xây du .ong ¯du .oc d˜ay con m´oi u1, u2, . . . , uk, ,
uk+1 c˜ung c´o t´ınh châ´t â´y. Theo nguyên l´y qui n .ap ch´ung ta xây d .ung , , , ¯
du .oc d˜ay con vô h.an u1, u2, . . . , un, . . . . cua d˜ay ¯d˜a cho c´o t´ınh châ´t: , ,, , Bâ´t c´
u c .˘ap phâ`n tu n`ao cua d˜ay con â´y c˜ung nguyên tô´ c`ung nhau. J , ,
. 7.10. Cho u1 v`a u2 l`a hai sô´ nguyên duong nguyên tô´ c`ung nhau. ,
ay sô´ {un} x´ac ¯d.inh v´oi u1, u2 l`a hai sô´ h .ang ¯dâ`u tiên, c`on khi n = 2, 3, . . . ta x´ ac ¯ d.inh un+1 = unun−1 + 1 , , Ch´ ung minh r` ˘ ang v´
oi m .oi i > 1 tô`n t .ai j > i sao cho uj chia hê´t cho ui. , , , , , , L`
oi giai. Lâ´y i > 1 t` uy ´ y, v` a p l`a u´
oc sô´ nguyên tô´ cua ui. Xây d .ung , d˜ ay sô´ {vn} nhu sau 0 ≤ vn ≤ p − 1 vn ≡ un (mod p) Ta c˜ ung c´
o vn+1 = vnvn−1 + 1 (mod p), ∀n = 2, 3 . . . V`ı c´ac c .˘ap , ,
(vn, vn−1) l`a vô h .an, m`a vn chı nh.ân h˜uu h.an gi´a tr.i suy ra {vn} , , , phai l` a d˜ ay tuâ`n ho` an t`
u m .ôt l´uc n`ao ¯d´o. Ta câ`n ch´ung minh r`˘ang , ,
tô`n t .ai sô´nguyên duong kp > 0 sao cho vi+k = 0. (7.15) p , X´ et hai kha n˘ ang sau 7.1. V´ı d .u 77 , ,, , , 1) Gia su d˜
ay {vn} tuâ`n ho`an t`u vs v´oi chu k`y T, trong ¯ d´ o s > i. Ta c´ o
vs+1 = vsvs−1 + 1 = vs+T+1 = vs+Tvs+T−1 + 1 (mod p)
vsvs−1 = vs+Tvs+T−1 (mod p). (7.16)
a) Nê´u vs = vs+T ≡ 0 (mod p), th`ı vs = vs+T = 0, do 0 ≤ vn ≤ , p − 1, ∀n. Khi ¯ d´
o chı vi .êc ch .on kp = s − i, Suy ra vi+k = v p s = 0, v .ây (7.15) ¯d´ung. ,
b) Nê´u vs = vs+T 6= 0, th`ı t`u (7.16) c´o vs−1 = vs+T−1. Suy ra , , ,
{vn} tuâ`n ho`an không phai b´˘at ¯ dâ`u t` u vs ¯ diê`u n` ay mâu thu˜ ân v´ oi , , c´
ach ch .on s.Kha n˘ang n`ay không xây ra. , , , , T´
om l .ai h.ê th´uc (7.15) ¯d´ung trong tru`ong h .op 1). , ,
2) Nê´u s ≤ i th`ı h .ê th´uc (7.15) hiên nhiên ¯d´ung. Ta c´o vi+1 ≡ ,
ui+1 (mod p) ≡ uiui−1 + 1 (mod p) v .ây vi ≡ ui (mod p) nhung , , , , do p l`a u´
oc nguyên tô´cua ui suy ra vi ≡ 0 (mod p), nhu v .ây vi+1 ≡ 1 (mod p) hay l` a vi+1 = 1. , , , ,
Tuongt .u, do vi+k = 0 suy ra v v p i+kp+1 = 1. Nhu .ây suy ra {vn} , , , , , c˜ ung tuâ`n ho` an v´ oi chu k`
y kp t´uc l`a v´oi m .oi l nguyên duong, ta c´o vi+l.k = 0. (7.17) p Ngh˜ıa l` a ui+l.k chia hê´t cho p. p , , , , , , , ,
Nhu v .ây v´oi m .oi u´oc nguyên tô´ p cua ui ta xây d .ung ¯du .oc sô´kp sao cho (7.17) ¯ d´ ung. , , ,
G .oi m l`a b .ôi sô´ chung nho nhâ´t cua tâ´t ca c´ac sô´ kp, theo (7.3) , , ,
suy ra vi+lm = 0 v´oi m .oi l nguyên duong. Suy ra ui+lm chia hê´t cho , , , , , , tâ´t ca c´ ac u´
oc sô´ nguyên tô´ cua ui. T´uc l`a ui+lm chia hê´t cho ui v´oi , , , ,
m .oi sô´nguyên duong l. Lâ´y j = i + lm, ta c´o ¯diê`u phai ch´ung minh. J , , 78 Chuong 7. B`
ai t .âp d˜ây sô´nâng cao 7.2. B ` ai t .âp , , , ,
. 7.11. Nê´u ba sô´ nguyên tô´ th .uc s .u l´on hon 3 l.âp th`anh m .ôt câ´p ,
sô´c .ông th`ı công sai cua ch´ung chia hê´t cho 6. , , , . 7.12. cho f (n) l` a h` am x´ ac ¯
d.inh trên t.âp c´ac sô´nguyên duong nhu ,
sau: nê´u n = a1a2 . . . ak, th`ı f (n) = (a1 + a2 + · · · + ak)1998. V´oi m˜ôi , , ,
sô´nguyên duong n, l .âp d˜ay vô h.an ui(n), i = 1, 2, . . . nhu sau
ui(n) = f ( f (. . . f (n)i lâ`n f | {z } , , , , Ch´ ung minh r` ˘ ang v´
oi m .oi n nguyên duong, tô`n t.ai p sao cho d˜ay
ui(n), i = p, p + 1, . . . l`a d˜ay tuâ`n ho`an. ,
. 7.13. Cho u1, u2, . . . , un l`a d˜ay sô´ t`uy ´y gô`m n sô´ h .ang. Ch´ung , , minh r` ˘ ang luôn luôn tr´ıch ¯
du .oc m .ôt d˜ay con sao cho nê´u g .oi S l`a , ,, , , tông c´ ac phâ`n tu cua d˜
ay con â´y, th`ı S kh´ac v´ oi sô´ nguyên gâ`n nhâ´t , , , , 1
m .ôt lu .ong không vu .ot qu´a . n + 1 , , . 7.14. Ch´ ung minh r` ˘
ang nê´u nh˜ung sô´ nguyên a v`a m nguyên tô´ , c`
ung nhau, th`ı tô`n t .ai m .ôt sô´t .u nhiên n m`a t´ıch na chia cho m cho , sô´du 1. , , CHUONG 8 , , S ´ Ô TH .UC V ´ OI T .ÂP TR`U M .ÂT 8.1. T .âp tr`u m .ât , , , , , , , Trên ¯ du` ong th˘
ang th .uc ch´ung ta thu`ong quan tâm t´oi kh´ai ni.êm , , , , ,
m .ôt khoang (m .ôt ¯do.an th˘ang), ta c´o thê hiêu m .ôt khoang trên , , , , , , , , , ¯ du` ong th˘
ang th .uc l`a t.âp h .op tâ´t ca c´ac sô´ th .uc n`˘am gi˜ua hai ¯diêm , , , , , ¯ d˜
a cho. Nhu v .ây hai ¯diêm ¯dê x´ac ¯d.inh m .ôt khoang c´o thê n`˘am trong , ,
ho .˘ac n`˘am ngo`ai khoang ¯d´o ; ¯dây l`a xuâ´t ph´at cua kh´ai ni.êm ¯d´ong, ,, ,, , , , mo,.. o ng`
anh giai t´ıch, giai t´ıch h` am trong to´ an h .oc cao câ´p. Nhung ,, , , o ¯ dây ta không quan tâm ¯ diê`u ¯ d´ o, m` a chı quan tâm t´ oi c´ ac kh´ ai , , , , , ,
ni .êm sau ¯dây v´oi quan ¯diêm kiê´n th´uc so câ´p. V´oi a, b l`a sô´th .uc, k´y , , , , , ,
hi .êu [a,b] l`a khoang ¯du .oc t´ınh ca hai ¯diêm ¯dâ`u a, b v`a g .oi l`a khoang , ,, , , , ¯ d´ ong. Khoang mo ¯
du .oc k´y hi.êu l`a (a, b), không lâ´y hai ¯diêm ¯dâ`u , ,, ,, ,, , a, b. Ngo` ai ra ta c` on x´ et khoang nua ¯ d´
ong (nua mo ) do vi .êc ta chı , ,
lâ´y m .ôt trong hai ¯diêm ¯dâ`u a ho.˘ac b,v´ı d .u nhu [a, b) ho.˘ac (a, b]. M .ôt , , , ,
khoang trong t .âp sô´ th .uc g .oi l`a suy tho´ai nê´u n´o chı l`a m .ôt ¯diêm , , (t´ uc l` a khi hai ¯ diêm ¯ dâ`u tr` ung nhau). , , , ,
M .ôt t .âp h .op A cua sô´ th .uc g .oi l`a tr`u m .ât, nê´u m .oi khoang , ,, , không suy tho´ ai ¯ dê`u ch´
ua m .ôt sô´phâ`n tu cua A. , , , , ,
M .ôt v´ı d .u d˜ê thâ´y l`a t.âp h .op sô´ h˜uu ty gô`m c´ac sô´ c´o thê biêu , , , , , , di˜
ên nhu m .ôt thuong cua hai sô´ nguyên v`a t.âp h .op sô´ vô ty gô`m , , , , 80
Chuong 8. Sô´th .uc v´oi t.âp tr`u m.ât , , , , , nh´ ung sô´ không phai l` a sô´ h˜ uu ty ¯ dê`u l` a nh˜ ung t .âp tr`u m.ât trong , t .âp sô´th .uc. , , ,, , Ngu` oi ta c`
on mo r .ông kh´ai ni.êm tr`u m.ât cho m .ôt khoang trên , , , , , , , , ¯ du` ong th˘
ang th .uc. Cho ∆ l`a m .ôt khoang bâ´t k`y trên ¯du`ong th˘ang , , , ,
th .uc. Ch´ung ta g .oi t.âp h .op B gô`m nh˜ung sô´ th .uc l`a tr`u m.ât trong , , ∆ , , , , nê´u v´
oi m .oi khoang con không suy tho´ai cua ∆ ¯dê`u ch´ua nh˜ung ,, , , , , phâ`n tu cua B. R˜ o r`
ang t .âp h .op c´ac sô´ h˜uu ty tr`u m.ât trong m .oi , , , khoang; v`
a t .âp h .op c´ac sô´vô ty c˜ung c´o t´ınh châ´t â´y. , , , , , Nh˜ung k´
y hi .êu hay ¯du .oc d`ung: v´oi m .oi sô´th .uc x, k´y hi.êu [x] l`a , , , sô´ nguyên l´
on nhâ´t không vu .ot qu´a x, {x} l`a sô´ x − [x]; [x] v`a {x} , ,
g .oi l`a phâ`n nguyên v`a phâ`n th.âp phân cua sô´ x. T`u ¯d.inh ngh˜ıa c´o , , , ,
thê thâ´y ngay 0 ≤ x − [x] < 1. Ðê hiêu r˜ o hon kh´ ai ni .êm tr`u m.ât ,, trong phâ`n n` ay ta x´
et m .ôt lo.at b`ai to´an c´o liên quan v`a c´ach su d .ung , , , , nguyên l´ y Ðirichlê ¯ dê ch´ ung minh ¯ dinh l´ y co ban Kronecker. 8.2. V´ı d .u , , , ,
. 8.1. Nê´u m .ôt t .âp h.op A cua sô´th .uc l`a tr`u m .ât v`a r l`a sô´th .uc kh´ac , , ,
không, th`ı t .âp h.op gô`m tâ´t ca t´ıch sô´{ra} v´oi a ch .ay trong A c˜ung l`a t .âp tr`u m .ât. , , , , , , , L` oi giai. C´ o hai tru`
ong h .op xây ra: r > 0 v`a r < 0. V`ı c´ach ch´ung , , , , , , , minh ho` an to`
an tuong t .u nên ta chı x´et tru`ong h .op ¯dâ`u. Cho x v`a , x y , y l`
a hai sô´ th .uc v`a x < y. Khi ¯d´o < v`
a theo gia thiê´t A l`a t .âp r r ,, x y tr`
u m .ât, th`ı tô`n t.ai phâ`n tu a thu .ôc A sao cho < a < . Suy ra r r , , ,, , ,
x < ar < y. Nhu v .ây m .oi khoang mo (x, y) ch´ua sô´ d.ang ra v´oi a thu .ôc A. J , , , ,
. 8.2. (Ð.inh l´y Kronecker) V´oi m.oi sô´vô ty α, t .âp h.op tâ´t ca c´ac sô´c´o 8.2. V´ı d .u 81 ,, ,
d .ang mα + n l`a t .âp tr`u m .ât, o ¯dây m v`a n l`a nh˜ung sô´nguyên bâ´t k`y. , , , , , L`
oi giai. Câ`n phai ch´ ung minh r` ˘
ang m .oi khoang không suy tho´ai , , ∆ , , ch´ ua nh˜ ung ¯
diêm d .ang mα + n. Ch´ung ta chia khoang [0,1] ra , , , th`
anh m .ôt sô´h˜uu h.an khoang con ∆1, ∆2, . . . , ∆k m`a ¯d .ô d`ai cua m˜ôi , , , , , khoang con nho hon ¯
d .ô d`ai cua ∆. Ch´u ´y r`˘ang v´oi m .oi sô´ a tô`n t.ai ,
m .ôt sô´nguyên n, sao cho sô´ a + n n`˘am trong khoang [0,1]. Suy ra , , , , , , v´
oi m .oi sô´nguyên m c´o thê cho tuong ´ung v´oi m .ôt sô´d.ang mα + n, , , , , , m` a n´ o n` ˘
am trong khoang [0,1]. Nhung ¯
do .an th˘ang [0,1] ¯du .oc chia , , , , ra h˜
uu h .an khoang nho. Suy ra tô`n t.ai nh˜ung sô´nguyên m, m1, n, n1, , , v´
oi m 6= m1 v`a nh˜ung sô´ mα + n v`a m1α + n1 n`˘am trong c`ung m .ôt , , , , , , , khoang nho ∆i. Do ¯ d´ o khoang c´ ach gi˜ ua hai ¯ diêm n` ay nho hon ¯ d .ô , , , d`
ai cua ∆. Ch´ung ta c˜ung thâ´y không thê xây ra mα + n = m1α + n1, , , , n , , v`ı t` u ¯ d˘ ang th´ uc n` ay suy ra 1 − n α = m`
a l .ai l`a m .ôt sô´h˜uu ty, tr´ai m − m1 , , v´ oi gia thiê´t. , ,
Nhu v .ây ch´ung ta kh˘ang ¯d.inh r`˘ang sô´(m − m1)α + (n − n1) kh´ac , , , , , không v` a c´ o gi´
a tr.i tuy.êt ¯dô´i nho hon ∆. T`u ¯d´o suy ra m .ôt sô´u´oc sô´ , , cua n´ o, c˜ ung c´
o d .ang mα + n, s˜e n`˘am trong khoang ∆. J , , , , , . 8.3. Cho α l`
a m .ôt sô´vô ty duong. Khi ¯d´o t .âp h.op tâ´t ca sô´c´o d .ang , , , mα − n l`
a t .âp tr`u m .ât,v´oi m v`a n l`a nh˜ung sô´t .u nhiên bâ´t k`y. , , , , , L`
oi giai. Kê´t lu .ân cua b`ai n`ay m.anh hon ¯d.inh l´y trên v`ı n´o kh˘ang , , , , ¯
d.inh m .ôt t.âp sô´th .uc nho hon t.âp mô ta trong ¯dij nh l´y ¯d´o c˜ung tr`u m .ât. , ,, , Cho khoang không suy tho´
ai ∆ n`˘am o bên phai sô´ không v`a c´o , ,,, , , , , ¯
d .ô d`ai e > 0. Không anh huong ¯dê´n kê´t qua ch´ung minh c´o thê gia , , ,
thiê´t e < 1. Ngo`ai ra ta c´
o thê ch .on sô´t .u nhiên k sao cho k ≥ e . T`u α , 8.1 v`
a 8.2 suy ra t .âp c´ac sô´kpα + kq v´oi p v`a q l`a c´ac sô´nguyên bâ´t , , , , 82
Chuong 8. Sô´th .uc v´oi t.âp tr`u m.ât , k` y, l`
a t .âp tr`u m.ât. Ngh˜ıa l`a tô`n t.ai c´ac sô´nguyên p v`a q thoa m˜an
0 < kpα + kq < e. (8.1) , , , Ch´ ung ta s˜ e chı ra r` ˘ ang gi˜ ua nh˜
ung c .˘ap sô´nguyên (p, q) trong (8.1) , , , , , , c´ o nh˜
ung c .˘ap m`a p > 0. Th.ât v.ây, tru`ong h .op p = 0 không thê xây , , ra v`ı t`
u (8.1) suy ra 0 < kq < e, mâu thu˜ân v´ oi ¯ diê`u ta ¯ d˜ a biê´t l` a kq , , , , , l` a sô´ nguyên v`
a e < 1. Do v .ây chı c`on phai ch´ung minh cho tru`ong , , , , ,
h .op p < 0. Trong tru`ong h .op n`ay sô´ c´o d.ang kpsα + kqt v´oi s, t l`a , , nh˜ ung sô´ nguyên bâ´t k`
y, t .ao th`anh t.âp tr`u m.ât. T`u (8.1) suy ra tô`n
t .ai sô´nguyên s v`a t sao cho
0 < kpsα + kqt < kpα + kq. (8.2) , ,
Nê´u s < 0, th`ı kps > 0 v`a ch´
ung minh l .ai ¯d´ung. V`ı thê´ ta chı x´et , s ≥ 0. T`u (8.1) v` a (8.2) suy ra
0 < kp(1 − s)α + kq − kpt < e. (8.3) , , , , , , V`ı v´ oi s = 0 bâ´t ¯ d˘ ang th´
uc (8.2) không thê xây ra, nên s > 0. Nhung ,, ,
boi v`ı s l`a sô´ nguyên, th`ı t`u s > 0 suy ra s ≥ 1. T .ai v`ı ((8.3) không , , , , , , thê xây ra v´ oi s = 1, t`u bâ´t ¯ d˘ ang th´ uc cuô´i c` ung l .ai suy ra s > 1. ,
Nhu v .ây kp(1 − s) > 0. Ðiê`u ¯d´o c´o ngh˜ıa l`a tô`n t.ai c´ac sô´nguyên p , , v`
a q thoa m˜an (8.1) v`a p > 0. T`u (8.1) suy ra e
kq < e − kpα < e − p α = e(1 − p) ≤ 0 α , , ,
V .ây kq < 0. Theo c´ach n`ay (8.1) ¯du .oc ¯dua vê`d.ang 0 < mα − n < e, ,, , , ,, , , o ¯
dây m v`a n l`a nh˜ung sô´ t .u nhiên. Boi v`ı e l`a ¯d .ô d`ai cua∆, t`u bâ´t , , , , , ¯ d˘ ang th´ uc cuô´i c`
ung suy ra m .ôt u´oc sô´n`ao ¯d´o cua mα − n, c˜ung c´o , , , , , ,
d .ang n`ay, s˜e n`˘am trong ∆. Tuong t .u c˜ung ch´ung minh ¯du .oc khi ∆ ,, n` ˘ am o bên tr´ ai sô´không. J , , , . 8.4. Cho α l`
a sô´ vô ty bâ´t k` y. Khi ¯
o t .âp h.op nh˜ung sô´d .ang {αn}, , , , oi n l`
a sô´t .u nhiên bâ´t k`y, l`a t .âp tr`u m .ât trong khoang (0,1). 8.2. V´ı d .u 83 , , , , , L`
oi giai. Câ`n phai ch´ ung minh r` ˘
ang m .oi khoang con không suy , , , , biê´n (a, b) cua (0,1) ch´ ua sô´ c´
o d .ang {αn} v´oi m .ôt sô´ t .u nhiên , , , , n n` ao ¯ d´ o. Ch´ ung ta ch´ ung minh cho tru`
ong h .op khi α l`a m .ôt sô´ , , , , , duong. Theo b` ai 8.3 nh˜ ung sô´ c´
o d .ang nα − m v´oi n, m l`a c´ac sô´t .u , ,
nhiên, t .ao th`anh t.âp tr`u m.ât. Ngh˜ıa l`a tô`n t.ai nh˜ung sô´ t .u nhiên , , , m v`
a n thoa m˜an 0 ≤ a < nα − m < b < 1. Nhung t`u ¯ d.inh ngh˜ıa , ,
[αn] suy ra 0 ≤ nα − [nα] < 1. Ch´
ung ta nh .ân ¯du .oc hi.êu hai sô´ , ,
nguyên m v`a [nα] thoa m˜an −1 < m − [nαm] < 1, ¯ diê`u n` ay chı , , ,
xây ra khi m − [nαm] = 0, do ¯ d´
o m = [nα]. T`u (8.1) chı ra r`˘ang sô´ , ,
{nα} = nα − [nα] n`˘am trong khoang (a, b). V´oi α > 0, ch´ ung ta ¯ d˜ a , ch´ ung minh xong. , , , , Tru`
ong h .op α < 0. Khi ¯d´o −α > 0 v`a t`u b`ai 8.3 suy ra tô`n t.ai , , , nh˜
ung sô´ t .u nhiên m v`a n, thoa m˜an −1 ≤ −b < n(−α) − m < , , ,
−a ≤ 0. Nhân c´ac vê´v´oi -1 ch´
ung ta nh .ân ¯du .oc 0 ≤ a < nα − m < ,
b ≤ 1. Nhu v .ây d˜ê d`ang t´ınh ra m = −[nα] v`a {nα} n`˘am trong , khoang (a, b). J , , , ,
. 8.5. T .âp h.op tâ´t ca c´ac sô´d .ang {log n} v´oi n l`a sô´t .u nhiên bâ´t k`y l`
a t .âp tr`u m .ât trong (0,1). , , , , ,, , L` oi giai. Ch´ ung ta c´ o thê ch´
ung minh mo r .ông hon m .ôt ch´ut: t.âp , , ,
h .op c´ac sô´d.ang {n log 2} v´oi n l`a sô´t .u nhiên bâ´t k`y, l`a t.âp tr`u m.ât trong (0,1). , , Ðê ¯
d .at m .uc ¯d´ıch n`ay ch´ung ta ch´ung minh log 2 l`a m .ôt sô´ vô , , , , , , ,
ty. Th .ât v.ây, trong tru`ong h .op ngu .oc l.ai th`ı tô`n t.ai hai sô´ t .u nhiên p p , , , p v` a q, m`a log 2 = , ngh˜ıa l` a 2 = 10 q . L˜ uy th` ua ¯ d˘ ang th´ uc cuô´i q , , , c` ung v´ oi q ch´
ung ta nh .ân ¯du .oc 2q = 2p.5p. Ðiê`u n`ay tr´ai ¯d.inh l´y , , , , ,
co ban cua sô´ h .oc vê` vi.êc phân t´ıch ra th`ua sô´ nguyên tô´. Nhu v.ây , , , , 84
Chuong 8. Sô´th .uc v´oi t.âp tr`u m.ât , , ,
log 2 th .uc s .u l`a m .ôt sô´vô ty. Áp d .ung 8.4 suy ra t.âp c´ac sô´c´o d.ang {n log 2} l`a tr` u m .ât trong (0,1)., ,
M .˘at kh´ac, theo t´ınh châ´t cua logarit, log 2n = n log 2 v´oi m .oi n = 1, 2, . . . J , , . 8.6. Cho m l` a sô´ nguyên, n l`
a sô´ nguyên không âm. T .âp h.op tâ´t ca m ac sô´c´ o d .ang l` a t .âp tr`u m .ât. 2n , , , , L` oi giai. Do c´ ac b` ai to´ an trên, ch´ ung ta chı câ`n ch´ ung minh r` ˘ ang , 3m , , , , t .âp h .op sô´d.ang v´
oi m, n l`a nh˜ung sô´ nguyên duong, l`a tr` u m .ât 2n , , , ,
trong khoang (0, +∞). Ðiê`u ¯ d´ o c´ o ngh˜ıa l` a v´ oi m .oi c.˘ap sô´ duong , , , 3m
a, b(a < b) tô`n t .ai nh˜ung sô´t .u nhiên m v`a n thoa m˜an a < < b. 2n , , , Sau khi logarit h´
oa c .˘ap bâ´t ¯d˘ang th´uc n`ay theo co sô´ 2, ch´ung ta , , , , , , , ,
nh .ân ¯du .oc c.˘ap bâ´t ¯d˘ang th´uc tuong ¯duong log a < m log 3 − n < 2 2 , , , , , , log b. C´ ach ch´
ung minh tuong t nhu 8.5 cho thâ´y log 3 l`a vô ty. 2 .u 2 , , Khi ¯ d´ o ¯
d.inh l´y Kronecker chı ra r`˘ang trong ¯do.an (log a, log b) ch´ua 2 2 sô´c´ o d .ang {m log 3 − n}. J 2 , , , ,
. 8.7. T .âp h.op tâ´t ca c´ac sô´ h .ang cua d˜ay x´ac ¯d.inh b`˘ang công th´uc n , 1 xn = , n = 1, 2, 3 . . ., l` a tr` u m .ât trong khoang ( , 1). 10[log n]+1 10 , , , 1 , L`
oi giai. Lâ´y hai sô´ th .uc a v`a b sao cho ≤ a < b ≤ 1. Câ`n phai 10 , , , n ch´ ung minh r` ˘
ang tô`n t .ai sô´ t .u nhiên n, thoa m˜an a < < 10[log n]+1 , , , , b. Sau khi logarit h´ oa bâ´t ¯ d˘ ang th´ uc trên v´ oi co sô´ 10 ch´ ung ta , , , , , , , ,
nh .ân ¯du .oc bâ´t ¯d˘ang th´uc tuong ¯duong 1 + log a < log n − [log n] = , , ,, ,
{log n} < 1 + log b. Nhung khoang mo v´oi c´ac ¯ dâ`u m´ ut 1 + log a , , v` a 1 + log b r˜ o r` ang n` ˘
am trong khoang (0, 1). Ðiê`u n`ay giai th´ıch t .ai , , , , ,,
sao tô`n t .ai m .ôt sô´t .u nhiên n thoa m˜an bâ´t ¯d˘ang th´uc sau c`ung, boi 8.2. V´ı d .u 85 ,
v`ı theo 8.5 t .âp h .op c´ac sô´ c´o d.ang {log n} l`a tr`u m.ât trong (0, 1). , ,
Nhu v .ây th`ı a < xn < b, ¯diê`u ta câ`n ch´ung minh. J , , , , . 8.8. Ch´ ung minh r` ˘
ang tô`n t .ai vô h .an nh˜ung sô´l˜uy th`ua cua 2, m`a ,
khi viê´t theo co sô´10 ch´ ung luôn luôn b´ ˘ at ¯ dâ`u b` ˘ ang 8975. , , , , L`
oi giai. M .ôt sô´ 2m b´˘at ¯dâ`u b`˘ang nh´om sô´ 8975 khi v`a chı khi v´oi , , , , , , ,
m .ôt sô´ t .u nhiên n n`ao ¯d´o, nh˜ung ¯d˘ang th´uc sau ¯du .oc thoa m˜an , , , ,
8975.10n ≤ 2m < 8976.10n. Nhu c´ ach giai c´ ac b` ai tru´ oc ch´ ung ta , , , , , , , , logarit h´ oa bâ´t ¯ d˘ ang th´ uc trên v`
a nh .ân ¯du .oc c´ac bâ´t ¯d˘ang th´uc tuong , , ¯
duong log 8975 ≤ m log 2 − n < log 8976. T .ai v`ı log 2 l`a m .ôt sô´ vô , , , , , ty, nên nh˜ ung sô´ c´
o d .ang m log 2 − n v´oi n, m l`a nh˜ung sô´t .u nhiên
t .ao th`anh m .ôt t.âp tr`u m.ât. Ðiê`u n`ay c´o ngh˜ıa l`a tô`n t.ai vô sô´c.˘ap sô´ , , , ,
t .u nhiên m v`a n thoa m˜an c´ac bâ´t ¯d˘ang th´uc sau c`ung, suy ra c˜ung , , , , , thoa m˜ an c´ ac bâ´t ¯ d˘ ang th´ uc tru´ oc ¯ d´ o. Ch´ u ´ y b` ai to´ an c` on ¯ d´ ung khi , , , , thay co sô´hai b` ˘ ang co sô´10 cua logarit v` a sô´8975 c´ o thê thay b` ˘ ang , , ,
m .ôt tô h .op sô´bâ´t k`y, ch´ung minh ¯diê`u n`ay d`anh cho b.an ¯d .oc. J , , , , . 8.9.
oi m .oi sô´ t .u nhiên n, k´y hi.êu xn l`a ch˜u sô´ ¯dâ`u tiên cua , , ,
sô´ 2n (trong c´ ach viê´t v´ oi co sô´ 10). Ch´ ung minh r` ˘ ang d˜ ay sô´ ,
x1, x2, . . . , xn, . . . không phai l`a d˜ ây tuâ`n ho` an. , , , ,, , , , , , L`
oi giai. Gia su ngu .oc l.ai l`a tô`n t.ai nh˜ung sô´ nguyên duong k v`a
d sao cho xk = xk+d = xk+2d = . . . = xk+nd = . . . N´oi c´ach kh´ac ,
2k, 2k+d, 2k+2d, . . . , 2k+nd, . . . c´ o c` ung ch˜ u sô´ ¯ daah u tiên trong c´ ach , , , , , viê´t v´ oi co sô´10. Bâ`y gi` o ch´ ung ta kh˘ ang ¯
d.inh r`˘ang m .oi sô´t .u nhiên , , , , N c´ o thê biêu di˜ ên du´
oi d .ang N = 10log N = 10[log N]+{log N} =
10[log N].10{log N}. V`ı 0 ≤ {log N} < 1, nên 1 ≤ 10{log N} < 10, suy , , , , , ra ch˜ u sô´ ¯ dâ`u tiên cua N tr` ung v´
oi phâ`n nguyên cua cua sô´10{log N}. , , , Ðê´n ¯
dây suy ra tô`n t .ai m .ôt ch˜u sô´ s, 1 ≤ s ≤ 9, thoa m˜an bâ´t ¯d˘ang , , , , 86
Chuong 8. Sô´th .uc v´oi t.âp tr`u m.ât , , th´
uc sau: s ≤ 10{log 2k+nd} < s + 1 v´
oi n = 0, 1, 2, . . .. Sau khi logarit , , h´ oa ¯ d˘ ang th´ uc trên ch´ ung ta c´
o log s ≤ {(k + nd) log 2} < log(s + , 1). Ðiê`u n` ay ngh˜ıa l` a tâ´t ca c´ ac sô´ c´ o d .ang {(k + nd) log 2}, n = , , 0, 1, 2, . . . n` ˘
am trong khoang [log s, log(s + 1)). D˜ê d`ang ch´ ung minh , , r` ˘
ang t .âp h .op nh˜ung sô´ n`ay tr`u m.ât trong ¯do.an (0,1). Ðiê`u ¯d´o tr´ai , ,, , , v´
oi kê´t lu .ân : tô`n t.ai t.âp con mo cua ¯do.an (0,1) không c´o ¯diêm , , , ,, , , chung v´
oi [log s, log(s + 1)). Nhu v .ây ¯diê`u gia su ngu .oc l.ai l`a sai. J , , , , . 8.10. ay t`ım trong ¯
do .an th˘ang [0, π], tâ´t ca sô´ th .uc t thoa m˜an , , , ,
bâ´t phuong tr`ınh cos nt ≥ cos t
oi m .oi sô´t .u nhiên n. , , , L` oi giai. - Ch´ ung ta s˜ e ch´ ung minh r` ˘ ang nê´u t c´ o t´ınh châ´t ¯ d˜ a nêu , t , , , ,, t trong b` ai to´ an th`ı ty sô´ l`
a m .ôt sô´ h˜uu ty. Th.ât v.ây gia su l` a π π , , , sô´ vô ty. Khi ¯ d´
o t 6= π ; Không mâ´t t´ınh tông qu´at ch´ ung ta c´ o thê , t , , , gia thiê´t r` ˘
ang 0 ≤ t < π. V`ı l` a sô´ vô ty duong, theo ¯ d.inh l´y 2π , , , , ,
Kronecker tô`n t .ai nh˜ung sô´ t .u nhiên m v`a n, thoa m˜an bâ´t phuong t t t , tr`ınh < m − n < 1 − , hay l`
a t < mt − 2nπ < 2π − t. T`u 2π 2π 2π , t´ınh châ´t cua h` am cos trong ¯
do .an [0, 2π] ch´ung ta suy ra cos mt = , ,
cos(mt − 2nπ) < cos t. Ðiê`u n` ay tr´ ai v´ oi c´
ach ch .on t, do v.ây ty sô´ t , , l` a sô´h˜ uu ty. π , , , , , p ,,
Nhu v .ây t c´o thê biêu di˜ên du´oi d.ang t = 2π, o ¯dây p v`a q l`a q , nh˜ ung sô´ nguyên tô´ c` ung nhau v`
a 0 ≤ p ≤ q (t .ai v`ı 0 ≤ t ≤ 2π ). q , ,
Nê´u q l`a sô´ch˜˘an, th`ı n = l`
a sô´t .u nhiên v`a ngo`ai ra p l`a sô´le, v`ı p 2 v` a q l`a nguyên tô´ c`
ung nhau. V`ı v .ây cos t ≤ cos nt = cos pπ = −1, , , , t` u ¯ d´
o suy ra cos t = −1 v`a t = π. R˜ o r`
ang π thoa m˜an tâ´t ca c´ac ¯ diê`u ki .ên ¯d˜a cho., , , , , , , , Ch´ ung ta chı c` on phai x´ et tru`
ong h .op q l`a sô´ le. C´o thê ch´ung 8.3. B` ai t .âp 87 , minh r` ˘ ang v´
oi m .oi n = 1, 2, . . . cos nt b`˘ang m .ôt sô´n`ao ¯d´o trong d˜ây sau ¯ dây 2π 2π 2π 2π 1 = cos 0. , cos 1. , cos 2. , . . . , cos((q − 1) ). (8.4) q q q q ,,
Th .ât v.ây, nê´u n = sq + r, o ¯dây 0 ≤ r ≤ q − 1, th`ı cos nt = cos(sqt + ,
rt) = cos(2psπ + rt) = cos rt. Nê´u q = 2k + 1 l` a m .ôt sô´ le, th`ı sô´ , k k + 1 nho nhâ´t trong (8.4) l` a c´ ac sô´ cos 2π v` a cos 2π. Lâ´y 2k + 1 2k + 1 p t =
2π, 0 ≤ t ≤ π, c´
o t´ınh châ´t mong muô´n, ch´ ung ta s˜ e 2k + 1 , , , , ch´ ung minh khi ¯ d´ o p = k. Ðê ¯
d .at m .uc ¯d´ıch n`ay chı câ`n chı ra r`˘ang , , k
tô`n t .ai m .ôt sô´nguyên duong n m`a cos nt = cos 2π. Th .ât v.ây: 2k + 1 , ,
v`ı 2k + 1 v`a p l`a nh˜ung sô´ nguyên tô´ c`
ung nhau tô`n t .ai nh˜ung sô´ , ,
nguyên m v`a n thoa m˜an 0 ≤ n ≤ 2k + 1 v`a (2k + 1)m + pn = k. T`u , , k ¯ d˘ ang th´ uc sau c` ung suy ra 2mπ + nt = 2π. Suy ra cos nt = 2k + 1 k , k cos 2π. D˜ê d` ang thâ´y r` ˘ ang nh˜ ung sô´ c´ o d .ang 2π v` a 2k + 1 2k + 1 k + 1 ,
2π, k = 0, 1, 2, . . . l`
a nghi .êm cua b`ai to´an. Kê´t lu.ân cuô´i c`ung 2k + 1 , , , k k + 1 , l` a nh˜ ung gi´
a tr.i cua t phai t`ım l`a t = π v`a 2π, 2π, v´ oi 2k + 1 2k + 1 k = 0, 1, 2 . . . . . . J 8.3. B ` ai t .âp , , , . 8.11. Cho a, b, c l` a nh˜
ung sô´ th .uc sao cho [an] + [bn] = [cn] v´oi , ,
m .oi sô´t .u nhiên n. Ch´ung minh r`˘ang ´ıt nhâ´t m .ôt trong c´ac sô´ a, b l`a nguyên. , , , ,
. 8.12. Cho α l`
a m .ôt sô´h˜uu ty. Ch´ung minh r`˘ang t.âp h .op c´ac sô´c´o ,
d .ang {αn}, n = 1, 2, . . . không tr`u m.ât trong khoang (0, 1). , , , , 88
Chuong 8. Sô´th .uc v´oi t.âp tr`u m.ât , , , , , . 8.13. Ch´ ung minh r` ˘ ang v´
oi m .ôt sô´vô ty bâ´t k`y α v`a m .ôt sô´h˜uu ty , bâ´t k`
y β, t .âp h .op sô´c´o d.ang {αn + β}, n = 1, 2, . . . l`a tr`u m.ât trong , khoang (0, 1). , , √ , , . 8.14. Ch´ ung minh r` ˘
ang t .âp h .op sô´d.ang { n} v´oi n l`a sô´t .u nhiên , l`
a t .âp tr`u m.ât trong khoang (0,1). , , CHUONG 9 , , , NH˜ UNG ´ UNG D .UNG KH ´AC CUA NGUYÊN L ´ Y ÐIRICHLE , ,
9.1. Xâ´p xı m .ôt sô´ th .uc , ,
. 9.1. Cho x l`
a m .ôt sô´th .uc, c`on n l`a m.ôt sô´t .u nhiên. Khi ¯d´o tô`n t .ai , , nh˜
ung sô´nguyên p v` a q thoa m˜
an 1 ≤ q ≤ n v` a p 1 x − ≤ . (9.1) q nq , , , L` oi giai. Ch´ ung ta x´ et nh˜
ung sô´ kx − [kx](k = 0, 1, 2, . . . , n). Ch´ ung , ,
gô`m n + 1 sô´v`a n`˘am trong khoang [0, 1]. Ch´ ung ta chia khoang [0, 1] , , ,
ra n khoang con b`˘ang nhau ∆1, ∆2, . . . , ∆n v`a ¯ d .ô d`ai cua m˜ôi khoang 1 n` ay b` ˘ ang . Theo nguyên l´
y Ðirichlê tô`n t .ai hai sô´kh´ac nhau k v`a l n , n` ˘
am trong 0, 1, 2, . . . , n, sao cho nh˜ung sô´kx − [kx] v`a lx − [lx] n`˘am , , , , trong c`
ung m .ôt khoang con th´u m. Do ¯d´o khoang c´ach gi˜ua ch´ung 1 , 1 không qu´ a , t´ uc l`
a |kx − [kx] − (lx − [lx])| ≤ , hay l` a n n 1
|(k − l)x − ([kx] − [lx])| ≤ . (9.2) n ,, , ,,, , , ,
Boi v`ı k 6= l, không anh huong ¯ dê´n kê´t qua ch´ ung minh ta c´ o thê , ,, gia thiê´t r` ˘
ang k > l. Boi v`ı ngo`ai ra c` on c´
o 0 ≤ k ≤ n, 0 ≤ l ≤ n,
nên 1 ≤ k − l ≤ n. Ta ¯
d .˘at q = k − l v`a p = [kx] − [lx]. Khi ¯d´o p v`a q , , , , , 90 Chuong 9. Nh˜ ung ´
ung d .ung kh´ac cua nguyên l´y Ðirichle , , , l` a nh˜ ung sô´ nguyên v` a thoa m˜ an 1 ≤ q ≤ n. V´ oi c´ ach d .˘at n`ay (9.2) , 1 , ¯
dua vê` d .ang |qx − p| ≤ , t`u ¯dây chia hai vê´cho q ta c´o (9.1). J n , , , , . 9.2.
oi m .oi sô´ th .uc x tô`n t .ai vô h .an sô´ t .u nhiên q, v´oi m˜ôi q tô`n , , ,
t .ai sô´nguyên p, sao cho ch´ung thoa m˜an bâ´t ¯d˘ang th´uc. p 1 x − ≤ . (9.3) q q2 , , , , , r , L`
oi giai. Nê´u x l`a sô´ h˜uu ty, t´ uc l` a x = v´
oi r l`a sô´ nguyên v`a s l`a s , , ,
sô´ t .u nhiên, th`ı kê´t lu.ân cua b`ai to´an l`a ¯d´ung, v`ı c´o thê ¯d.˘at p = mr , , , , , v` a q = ms v´
oi sô´t .u nhiên bâ´t k`y m. V´oi tâ´t ca c´ach ch .on p v`a q nhu , , , ,
v .ây (9.3) ¯du .oc thoa m˜an, v`ı vê´tr´ai luôn luôn b`˘ang không. Nhu v.ây , , , , , , , ,, , , chı c` on phai x´ et tru`
ong h .op x l`a sô´ vô ty. Gia su chı c´o h˜uu h.an sô´ , , ,
t .u nhiên q, m`a v´oi ch´ung tô`n t.ai sô´ nguyên p thoa m˜an (9.3), k´y ,
hi .êu ch´ung l`a q1, q2, . . . , ql. V´oi bâ´t k`y λ = 1, 2, . . . , l k´y hi.êu p l`a sô´ λ , nguyên thoa m˜ an p p λ x − ≤ x − q q λ λ , , ,, v´
oi m .oi sô´nguyên p. V`ı sô´x l`a vô ty, m .oi gi´a tr.i tuy.êt ¯dô´i o ph´ıa tr´ai , , , , , , bâ´t ¯ d˘ ang th´ uc trên l` a duong, sô´ nh˜ ung gi´
a tr.i tuy.êt ¯dô´i n`ay l`a h˜uu , 1 p h λ
.an. V`ı v .ây tô`n t .ai sô´ t .u nhiên n, sao cho < x − , (λ = n qλ 1, 2, . . . , l). , , , Theo b` ai tru´ oc s˜
e tô`n t .ai sô´ t .u nhiên q v`a sô´ nguyên p, sao cho , , p 1 1 (9.1) thoa m˜ an v` a 1 ≤ q ≤ n. Nhung khi ¯ d´ o x − ≤ ≤ = q qn qq 1 , , , , , , suy ra q = q v´
oi m .ôt sô´λ = 1, 2, . . . , l T`u nh˜ung bâ´t ¯d˘ang th´uc q2 λ 1 p p 1 , 1 1 trên suy ra < λ x − ≤ x − ≤ . Nhu v .ây < v`ı thê´ n q q nq n nq λ , ,
9.1. Xâ´p xı m .ôt sô´th .uc 91 , , , , , , q < 1, ¯ diê`u n` ay không thê ¯
du .oc v`ı q l`a sô´ t .u nhiên. Ta nh.ân ¯du .oc ¯ diê`u vô l´ y. J , , , . 9.3.
oi m .oi c > 2 bâ´t ¯d˘ang th´uc √ p 1 2 − ≤ . (9.4) q qc , , , , ¯ ung chı v´ oi h˜
uu h .an c .˘ap sô´nguyên p v`a sô´t .u nhiên q. , , , , , L` oi giai. Ch´ ung ta ch´ ung minh bâ´t ¯ d˘ ang th´ uc sau l` a ¯ d´ ung √ p 1 √ 2 − ≤ . (9.5) q 3 2q2 , , , 1 , v´
oi m .oi sô´ nguyên p v`a v´oi m .oi sô´ t .u nhiên q. V`ı ≤ 1, bâ´t ¯ d˘ ang q2 , , √ p 1 , , th´
uc (9.5) tâ´t nhiên thoa m˜ an, khi √ 2 − > . Nhu v .ây chı q 3 2 , , , √ p 1 , √ 1 câ`n x´ et tru` ong h .op √ √ 2 − ≤ . Nhung khi ¯ d´ o 2 − ≤ q 3 2 3 2 p √ 1 ≤ 2 + √ suy ra q 3 2 p √ 0 < < 2 2. (9.6) q M .˘at kh´ac √ p √ p 2 − . 2 + √ p q q 2q2 − p2 2 − = = . (9.7) √ √ q p p 2 + q2 2 − q q , √ ,
Nhung sô´ 2q2 − p2 l`a sô´ kh´ac không, v`ı 2 l` a m .ôt sô´ vô ty. Ngo`ai , √ p ra n´ o l`
a sô´nguyên nên |2q2 − p2| ≥ 1 . T`u (9.7) suy ra 2 − ≥ q 1 , v` a c` ung v´ oi (9.6) cho ta (9.5). √ p q2 2 + q , , , , , 92 Chuong 9. Nh˜ ung ´
ung d .ung kh´ac cua nguyên l´y Ðirichle , ,, , , , , Gia su bâ´t ¯ d˘ ang th´ uc (9.4) ¯ d´ ung v´
oi m .ôt c.˘ap sô´(p, q) n`ao ¯d´o. T`u , , 1 1 , , (9.4) v` a (9.5) suy ra ¯ d˘ ang th´ uc √ ≤ . V`ı c > 2 bâ´t ¯ d˘ ang th´ uc 3 2 qc−2 , , , , , , n` ay chı ¯ d´ ung cho h˜
uu h .an sô´ t .u nhiên q. V´oi m˜ôi sô´ q nhu v.ây chı , , , , c´
o nhiê`u nhâ´t hai sô´ nguyên p, v´ oi ch´ ung thoa m˜ an bâ´t ¯ d˘ ang th´ uc , , , (9.4). Ngh˜ıa l` a (9.4) chı thoa m˜ an cho h˜ uu h .an c.˘ap sô´ p v`a q. J , , ,
. 9.4. Nê´u D l`
a sô´t .u nhiên bâ´t k`y, không l`a sô´ch´ınh phuong, th`ı tô`n , , , ,
t .ai vô h .an c´ac c .˘ap sô´t .u nhiên (x, y), l`a nghi.êm cua bâ´t phuong tr`ınh sau √ |x2 − Dy2| ≤ 1 + 2 D. (9.8) , , , L` oi giai. Theo b` ai 9.2 ta biê´t r` ˘
ang tô`n t .ai vô h.an c.˘ap sô´ (x, y) t .u nhiên, sao cho x √ 1 − D ≤ . (9.9) y y2 , ,
M .˘at kh´ac bâ´t ¯d˘ang th´uc sau l`a ¯d´ung x √ x √ √ x √ √ + D = ( − D) + 2 D ≤ − D + 2 D. y y y , Suy ra v´ oi m˜ ôi c .˘ap (x, y) ta c´o x √ 1 √ + D ≤ + 2 D. y y2 , , ,
Nhu v .ây, v´oi c´ach ch .on bâ´t k`y c.˘ap (x, y), sao cho thoa m˜an (9.9) , , ch´ ung ta nh .ân ¯du .oc √ √
|x2 − Dy2| = |x − y D|.|x + y D| 1 1 √ 1 √ √ ≤ ( + 2 Dy) ≤ + 2 D ≤ 1 + 2 D. y y y2 , , , Ðiê`u n` ay ¯ d˜ a ch´ ung minh r` ˘
ang bâ´t phuong tr`ınh (9.8) c´ o vô h .an , ,
nghi .êm trong t.âp h .op sô´t .u nhiên. J , ,
9.1. Xâ´p xı m .ôt sô´th .uc 93 , , ,
. 9.5. Nê´u D l`
a sô´ t .u nhiên bâ´t k`y, không l`a sô´ ch´ınh phuong, th`ı , , ,
phuong tr`ınh x2 − Dy2 = 1
o ´ıt nhâ´t m .ôt nghi.êm nguyên (u, v) v´oi v 6= 0. , , , , , L` oi giai. Ch´ ung ta x´ et tâ´t ca c´
ac c .˘ap (x, y) sô´t .u nhiên, m`a n´o thoa √ √ m˜
an −1 − 2 D ≤ x2 − Dy2 ≤ 1 + 2 D. Theo b`ai 9.4 c´ o vô sô´ c .˘ap , , , , , , ,
sô´t .u nhiên thoa m˜an bâ´t ¯d˘ang th´uc trên, Nhung biêu th´uc x2 − Dy2 , , chı c´
o h˜uu h .an gi´a tr.i v`ı ch´ung l`a c´ac sô´ nguyên trong ¯do.an (−1 − √ √ , , 2 D, 1 + 2 D). Ngh˜ıa l`
a tô`n t .ai m .ôt sô´nguyên k, sao cho phuong , tr`ınh x2 − Dy2 = k c´
o vô h .an nghi.êm t .u nhiên (x, y). R˜o r`ang k 6= 0, , , √ , ,
v`ı nê´u ngu .oc l.ai th`ı d˜ân ¯dê´n mâu thu˜ân do sô´ D không thê biêu , , , , √ x , , , di˜ ên du´ oi d .ang h˜uu ty D = . Gi˜ ua nh˜
ung c .˘ap n`ay c´o thê ch .on ´ıt y ,
nhâ´t hai c .˘ap kh´ac nhau (x1, y1) v`a (x2, y2) m`a ch´ung thoa m˜an
x1 ≡ x2 (mod |k|), y1 ≡ y2 (mod |k|). (9.10) , , , , , ,
Th .ât v.ây,chı câ`n chı ra tâ´t ca c´ac kha n˘ang cua c´ac c.˘ap sô´ du theo , , , , mô¯ dun |k| c´
o sô´lu .ong h˜uu h.an. C´o ngh˜ıa l`a tô`n t.ai nh˜ung c.˘ap kh´ac , , nhau nh˜
ung sô´ t .u nhiên (x1, y1) v`a (x2, y2), m`a x2 − Dy2 = x2 − 1 1 2 , , , Dy2 = k v` a thoa m˜ an d˘ ang th´ uc (9.10). 2 , , Ch´ ung ta x´ et ¯ d˘ ang th´ uc √ √
(x1 − y1 D)(x2 + y2 D) = (x1x2 − y1y2D) + (x1y2 − x2y1). (9.11) , T` u (9.10) ch´ ung ta c´ o x1x2 − y1y2D ≡ x2 − ≡ 1 Dy21 k ≡ 0 (mod |k|),
x1y2 − x2y1 ≡ x1y1 − x1y1 ≡ 0 (mod |k|). Khi ¯ d´
o tô`n t .ai sô´nguyên u v`a v, sao cho x1x2 − y1y2D = ku, x1y2 − ,
x2y1 = kv. V`ı v .ây (9.11) c´o thê viê´t th`anh √ √ √
(x1 − y1 D)(x2 + y2 D) = k(u + v D). , , , , , 94 Chuong 9. Nh˜ ung ´
ung d .ung kh´ac cua nguyên l´y Ðirichle , , , , Nhân t`
ung sô´h .ang v´oi nhau trong c´ac ¯d˘ang th´uc sau c`ung ch´ung ta , , nh .ân ¯du .oc k2 = (x2 − − 1 Dy21)(x22 Dy22) = k2(u2 − Dv2), , , , , t` u ¯ d´
o suy ra u2 − Dv2 = 1, ngh˜ıa l`a c .˘ap (u, v) l`a nghi.êm cua phuong tr`ınh. , , , , , , Chı c` on phai ch´
ung minh v 6= 0. Nê´u gia thiê´t ngu .oc l.ai, ch´ung ta s˜ e c´
o x1x2 = y1y2D = |k| v`a x1y2 = x2y1. Khi ¯ d´ o |k|y2 = |(x1y2)x2 − y1y2 − − | 2 D| = |y1 x2 2 y1y22D| = y1|x22 Dy22 = |k|y1 , , , , t` u ¯ dây, v`ı k 6= 0 chı c´ o kha n˘
ang khi y1 = y2. Ðiê`u n`ay không thê , ,
xây ra v`ı (x1, y1) kh´ac (x2, y2) , c`on t`u y1 = y2 suy ra x1 = x2. J , , ,
. 9.6. Cho x1, x2, . . . , xn l`a nh˜ung sô´th .uc v`a N l`a sô´t .u nhiên. Khi ¯d´o ,
tô`n t .ai nh˜ung sô´nguyên p1, p2, . . . , pn, q sao cho 1 ≤ q ≤ Nn v`a p 1 i xi − ≤ , (9.12) q Nq ,
oi m .oi i = 1, 2, . . . , n. , , , , , , , L` oi giai. Ch´ ung ta ch´ ung minh b` ai to´
an cho tru`ong h .op n = 2. V´oi , , , , , , , , ,
tru`ong h .op n l´on hon 2 ch´ung minh ho`an to`an tuong t .u v`a d`anh , , , ,
cho b .an ¯d .oc. Nhu v.ây cho x1 v`a x2 l`a nh˜ung sô´th .uc, c`on N l`a sô´t .u , , nhiên. Ch´ ung ta s˜ e ch´ ung minh r` ˘
ang tô`n t .ai nh˜ung sô´nguyên p1, p2 , , v` a q v´
oi 1 ≤ q ≤ N2 v`a thoa m˜an p 1 p 1 1 2 x1 − < , x2 − < . (9.13) q Nq q Nq , Ch´ ung ta cô´ ¯
d.inh h.ê t .oa ¯d .ô trong m.˘at ph˘ang v`a x´et h`ınh vuông Q , , , v´ oi c´ ac ¯
dınh (0, 0), (1, 0), (1, 1) v`a (0, 1) nhu h`ınh v˜e. Chia Q ra N2 , , 1 , , , h`ınh vuông nho b` ˘ ang nhau v´ oi c .anh l`a b` ˘ ang c´ ac ¯ du` ong th˘ ang N , , song song v´
oi tr .uc t .oa ¯d .ô (trong h`ınh v˜e ta chia v´oi N=7). , ,
9.1. Xâ´p xı m .ôt sô´th .uc 95 , Bây gi` o ch´ ung ta ch´ u ´ y ¯
dê´n c .˘ap sô´ c´o d.ang (qx1 − [qx1], qx2 − ,, , [qx2]), o ¯
dây q nh .ân nh˜ung gi´a tr.i nguyên 0, 1, 2, . . . , N2. V`ı 0 ≤ , , ,
qxi − [qxi] < 1, i = 1, 2, . . . , N2 m˜ôi c .˘ap nhu vây c´o thê coi nhu , ,
m .ôt c.˘ap t .oa ¯d .ô cua ¯diêm trong h`ınh vuông Q. B`˘ang c´ach ¯d´o m˜ôi sô´ , , , ,
0, 1, 2, . . . , N2 t .ao ra m .ôt ¯diêm tuong ´ung trong h`ınh vuông Q , sô´ , , , , ,
lu .ong c´ac sô´ ¯d´o l`a N2 + 1. Nhung Q ¯du .oc chia ra N2 h`ınh vuông ,
nho, suy ra tô`n t .ai hai sô´nguyên kh´ac nhau q1, q2 trong ¯do.an [0, N], , , , , , m` a ¯ diêm tuong ´ ung v´ oi ch´ ung c´ o c´
ac t .oa ¯d .ô (q1x1 − [q1x1], q1x2 −
[q1x2]), (q2x1 − [q2x1], q2x2 − [q2x2]) v`a c`ung n`˘am trong m .ôt h`ınh , , 1 vuông nho v´ oi c .anh . Ðiê`u ¯ d´ o c´ o ngh˜ıa l` a N 1
|(q1x1 − [q1x1]) − (q1x2 − [q1x2])| ≤ , N 1
|(q2x1 − [q2x1]) − (q2x2 − [q2x2])| ≤ . (9.14) , , , N
Không mâ´t t´ınh tông qu´ at c´
o thê gia thiê´t q1 > q2. Nê´u ¯ d .˘at q = , ,
q1 − q2, p1 = [q1x1] − [q2x1], p2 = [q1x2] − [q2x2] th`ı bâ´t ¯ d˘ ang th´ uc (9.14) c´ o d .ang 1 1 |qx1 − p1| ≤ , |qx . (9.15) N 2 − p2| ≤ N Ch´ ung ta thâ´y r` ˘
ang 1 ≤ q ≤ N2, v`ı 1 ≤ q2 < p1 ≤ N2. Chia hai vê´ , , , cua (9.15) cho q ch´
ung ta nh .ân ¯du .oc (9.13). J , , , , Hai b` ai to´ an du´ oi ¯ dây liên quan t´
oi m .ôt t´ınh châ´t m`a ta ¯d˜a ch´ung ,, , , , ,, ,
minh o chuong 2. Ðê mo r .ông t´ınh châ´t n`ay ch´ung ta ¯dua v`ao ¯d.inh ngh˜ıa. ,
Nê´u a1, a2, . . . , a2n+1 l`a 2n + 1 sô´th .uc (n ≥ 1). Ch´ung ta n´oi r`˘ang , d˜ ay n` ay c´
o t´ınh châ´t P, nê´u bâ´t k` y 2n sô´ trong ch´ ung c´ o thê chia , , l` am hai nh´ om, m˜ ôi nh´
om n sô´, sao cho tông cua c´ac sô´ trong hai nh´ om b` ˘ ang nhau. , , , , , 96 Chuong 9. Nh˜ ung ´
ung d .ung kh´ac cua nguyên l´y Ðirichle , , . 9.7. Ch´ ung minh r` ˘
ang m .oi b.ô 2n + 1 sô´ gô`m nh˜ung sô´ nguyên , , , duong c´
o t´ınh châ´t P, th`ı tâ´t ca c´ ac sô´ ¯ dê`u b` ˘ ang nhau. , , , , , L` oi giai. Ch´ ung minh b` ˘
ang qui n .ap theo sô´ l´on nhâ´t cua d˜ây sô´. , , Nê´u sô´ l´ on nhâ´t b` ˘ ang 1 th`ı tâ´t ca c´ ac sô´ c`
on l .ai c˜ung ¯dê`u l`a 1, nên , , , ,, , b` ai to´ an ¯ d˜ a giai. Bây gi`
o gia su kê´t lu .ân ¯d´ung v´oi m .oi b .ô 2n+1 sô´ , , , , nguyên duong m` a m˜
ôi sô´không vu .ot qu´a k, k ≥ 2 v`a c´o t´ınh châ´t P. , ,
Lâ´y p1, p2, . . . , p2n+1 l`a b .ô sô´nguyên duong c´o t´ınh châ´t P v`a m˜ôi sô´ , , ,
không vu .ot qu´a k + 1. T`u ¯diê`u ki.ên b`ai to´an suy ra p1, p2, . . . , p2n+1 , c´ o c` ung t´ınh ch˜ ˘ an le.
a) Nê´u p1, p2, . . . , p2n+1 l`a c´ac sô´ ch˜˘an, ch´ung ta x´et c´ac sô´ p1 p p , 2 , . . . ,
2n+1 . Ch´ung ta thâ´y ngay ch´ung c˜ung c´o t´ınh châ´t 2 2 2 , , , P. Ngo`
ai ra m .oi sô´ không vu .ot qu´a k v`ı pi ≤ k + 1 v´oi m .oi i = p p p 1, 2, . . . , 2n + 1. B` ˘ ang qui n 1 2 2n+1 .ap suy ra = = . . . = .Ngh˜ıa 2 2 2 l` a p1 = p2 = . . . = p2n+1. , ,
b) Nê´u p1, p2, . . . , p2n+1 l`a c´ac sô´ le, ch´ung ta ch´ung b`˘ang qui
n .ap cho d˜ay p1 − 1, p2 − 1, . . . , p2n+1 − 1. Ch´ung c˜ung c´o t´ınh châ´t , , , , P v`
a không vu .ot qu´a k, ch´ung ta nh.ân ¯du .oc p1 − 1 = p2 − 1 = . . . =
p2n+1 − 1. Ngh˜ıa l`a p1 = p2 = . . . = p2n+1. J , , , , , . 9.8. Ch´ ung minh r` ˘
ang m .oi b.ô 2n+1 sô´ gô`m nh˜ung sô´ th .uc duong ,
o t´ınh châ´t P, th`ı tâ´t ca c´ ac sô´ ¯ dê`u b` ˘ ang nhau. , , , L`
oi giai. - Hiên nhiên r` ˘ ang nê´u c´
ac sô´ a1, a2, . . . , a2n+1 c´o t´ınh châ´t , P v`
a q l`a sô´ th .uc bâ´t k`y, th`ı c´ac sô´ qa1, qa2, . . . , qa2n+1 c˜ung c´o t´ınh châ´t P. , , , , , , Bây gi`
o cho x1, x2, . . . , x2n+1 l`a nh˜ung sô´ th .uc duong v´oi t´ınh , , , , ,
châ´t P. Nê´u tâ´t ca c´ ac sô´ l` a h˜ uu ty th`ı ¯ diê`u kh˘ ang ¯ d.inh cua b`ai to´an , , suy ra không kh´
o. Th .ât v.ây, k´y hi.êu q l`a b .ôi sô´chung nho nhâ´t cua , ,
9.1. Xâ´p xı m .ôt sô´th .uc 97 , m˜ âu sô´ c´ ac sô´ trên. Khi ¯ d´
o qx1, qx2, . . . , qx2n+1 l`a nh˜ung sô´ nguyên , , , , , duong c´ o t´ınh châ´t P, theo c´ ach ch´ ung minh b` ai tru´ oc ch´ ung ta c´ o ,
qx1 = qx2 = . . . = qx2n+1. V`ı v .ây x1 = x2 = . . . = x2n+1. Chı c`on , , , , , phai ch´ ung minh tru`
ong h .op c´o trong d˜ây x1, x2, . . . , x2n+1 m .ôt sô´ , , , , ,
vô ty. Nhung theo kê´t qua cua b`
ai 9.6 tô`n t .ai sô´ t .u nhiên q, v`a c´ac , , ,
sô´nguyên duong p1, p2, . . . , p2n+1 thoa m˜an p 1 |x i i − | < , i = 1, 2, . . . , n. (9.16) q 1 q1+ 2n+1 , , , , Tru`
ong h .op riêng, tô`n t.ai p1, p2, . . . , p2n+1, q v´oi q > (2n)2n+1 v`a , 1 ch´ ung thoa m˜ an |qxi − pi| ≤ , i = 1, 2, . . . , n. 1 q 2n+1 , ,
Ð .˘at αi = qxi − pi, i = 1, 2, . . . , 2n + 1. Nhu phâ`n ¯dâ`u kh˘ang ¯d.inh , r` ˘
ang qx1, qx2, . . . , qx2n+1 c´o t´ınh châ´t P. Ch´ung ta s˜e ch´ung minh r` ˘
ang p1, p2, . . . , p2n+1 c˜ung c´o t´ınh châ´t P. Ch .on 2n sô´ trong ¯d´o, v´ı ,
d .u nhu p1, p2, . . . , p2n . V`ı qx1, qx2, . . . , qx2n c´o t´ınh châ´t P, không , , , mâ´t t´ınh tông qu´ at ch´ ung ta lâ´y ¯ d˘ ang th´
uc qx1 + qx2 + · · · + qxn =
qxn+1 + qxn+2 + · · · + qx2n, khi ¯ d´
o (p1 + α1) + (p2 + α2) + · · · +
(pn + αn) = (pn+1 + αn+1) + (pn+2 + αn+2) + · · · + (p2n + α2n). Ch´ ung ta viê´t l .ai
p1 + p2 + · · · + pn − pn+1 − pn+2 − · · · − p2n =
= αn+1 + αn+2 + · · · + α2n − α1 − α2 − · · · − αn. (9.17) , , Vê´ bên tr´ ai ¯ d˘ ang th´ uc trên l`
a sô´ nguyên nên sô´ α = αn+1 + ,
αn+2 + · · · + α2n − α1 − α2 − · · · − αn c˜ ung l` a sô´ nguyên. Nhung 1 |αi| ≤ , i = 1, 2, . . . , n. Do ¯ d´ o | 1
α| ≤ |αn+1| + |αn+2| + · · · + q 2n+1 2n
|α2n| + |α1| + |α2| + · · · + |αn| <
< 1, v`ı q > (2n)2n+1. Khi 1 q 2n+1 , , , , , 98 Chuong 9. Nh˜ ung ´
ung d .ung kh´ac cua nguyên l´y Ðirichle , , , , , ¯ d´ o α = 0 v`a t`u ¯ d˘ ang th´ uc tru´ oc ¯ d´ o ta c´ o p1 + p2 + · · · + pn = , , , , ,
pn+1 + pn+2 + · · · + p2n Nhu v .ây ch´ung ta kh˘ang ¯d.inh ¯du .oc nh˜ung ,
sô´ nguyên p1, p2, . . . p2n+1 c´o t´ınh châ´t P. Ch´ung ta c´o thê kê´t lu .ân , , ¯ du .oc p1 = p2 = . . . = p2n+1 , , , ,
Th .uc châ´t ¯dê´n ¯dây ch´ung ta ¯d˜a ch´ung minh ¯du .oc : , ,
Nê´u p1, p2, . . . , p2n+1, q l`a nh˜ung sô´ nguyên thoa m˜an (9.16) v`a
q > (2n)2n+1 th`ı p = p1 = p2 = . . . = p2n+1. Suy ra (9.16) c´o d .ang p 1 |xi − | < , i = 1, 2, . . . , 2n + 1 q 1 q1+ 2n+1 , , Trong 9.6 ch´ ung ta kh˘ ang ¯
d.inh r`˘ang tô`n t.ai vô h.an sô´ t .u nhiên q , , , thoa m˜
an (9.16). Không mâ´t t´ınh tông qu´ at ch´ ung ta gia thiê´t r` ˘ ang , ,, nh˜ ung sô´ ¯ d´ o l`
a q1 < q2 < . . . < qk < . . ., o ¯ dây q1 > (2n)2n+1. Trong , , , , tru`
ong h .op n`ay v´oi m .oi k tô`n t.ai sô´nguyên pk sao cho p 1 |x k i − | < , i = 1, 2, . . . , 2n + 1. (9.18) q 1 k 1+ q 2n+1 k 1 , , p V`ı lim = 0 khi k tiê´n t´ oi vô c` ung, t` u (9.18) suy ra lim k = 1 1+ qk q 2n+1 k , , ,
xi khi k tiê´n t´oi vô c`ung, v´oi m .oi i = 1, 2, . . . , 2n + 1. Nhung m˜ôi d˜ay , , ,
sô´ th .uc không c´o nhiê`u hon m .ôt gi´oi h.an, suy ra x1 = x2 = . . . = x2n+1. J , , , . 9.9. Ch´ ung minh r` ˘ ang trong t´ am sô´, m˜ ôi sô´ c´ o ba ch˜ u sô´, bao gi` o , , , , , ,
ung ch .on ¯du.oc hai sô´ c´o ba ch˜u sô´ v`a ¯dê khi gh´ep l .ai ta ¯du.oc m.ôt sô´ chia hê´t cho 7. , , , L`
oi giai. Khi mang t´
am sô´ chia cho 7 th`ı thê n` ao c˜ ung c´ o hai sô´ c´ o , , ,, , c` ung sô´du (nguyên l´
y Ðirichlê ). Gia su hai sô´ ¯ d´ o l` a abc v`a αβγ. Hiên 9.2. B` ai t .âp 99 ,
nhiên abcαβγ = 1000abc + αβγ. T`u c´ach ch .on ta c´o abc = 7m + r , , v` a αβγ = 7n + r v´
oi 0 ≤ r < 7 v`a m, n, r l`a c´ac sô´ t .u nhiên. V`ı
v .ây abcαβγ = 1000(7m + r) + (7n + r) = 7(1000m + n) + 1001.r = 7(1000m + n + 143.r). J , ,
. 9.10. Cho a, b, c, d l` a c´ ac sô´ nguyên. Ch´ ung minh r` ˘ ang t´ıch cua c´ ac
hi.êu b − a, c − a, d − a, d − c, b − d v`a c − b chia hê´t cho 12. , , , L`
oi giai. Câ`n ch´
ung minh t´ıch: P = (b − a)(c − a)(d − a)(d − c)(d −
b)(c − b) chia hê´t cho 12=4.3. Ch´ ung ta biê´t r` ˘ ang m .ôt sô´ nguyên , , bâ´t k`
y khi chia cho 4 th`ı chı c´ o c´ ac sô´du 0, 1, 2, 3. , ,
Trong bô´n sô´ a, b, c, d cho tru´ oc nê´u c´ o hai sô´ khi chia cho 4 m` a , , c´ o c`
ung sô´ du th`ı hi .êu cua ch´ung s˜e chia hê´t cho 4. Nê´u không c´o , , hai sô´ n` ao khi chia cho 4 cho c`
ung sô´ du th`ı trong bô´n sô´ phai c´ o , , , , hai sô´ ch˜ ˘ an v`
a hai sô´ le. V`ı hi .êu cua hai sô´ch˜˘an c˜ung nhu hi.êu cua , hai sô´le ¯ dê`u l` a sô´ch˜ ˘ an nên P chia hê´t cho 4. , ,
M .˘at kh´ac trong bô´n sô´a, b, c, d luôn t`ım ¯du .oc hai sô´khi chia cho , , 3 th`ı c´ o c` ung sô´du (nguyên l´ y Ðirichlê ). Do ¯ d´ o hi .êu cua ch´ung chia
hê´t cho 3, suy ra P chia hê´t cho 3. T´
om l .ai P chia hê´t cho 12=4.3. J 9.2. B ` ai t .âp , , . 9.11. Cho x l`
a m .ôt sô´th .uc, c`on n l`a m .ôt sô´t .u nhiên. Khi ¯d´o tô`n t.ai , , p 1 nh˜
ung sô´nguyên p v`a q thoa m˜an 1 ≤ q ≤ n v`a x − ≤ . q (n + 1)q , , ,
. 9.12. Cho x1, x2, . . . , xm l`a nh˜ung sô´th .uc v`a n l`a sô´t .u nhiên. Khi , , ¯ d´
o tô`n t .ai nh˜ung sô´ nguyên p1, p2, . . . , pn, q không ¯dô`ng th`oi b`˘ang 0, sao cho ta c´ o q ≤ n( µ
µ = 1, 2, . . . , m) v` a 1
|q1x1 + q2x2 + · · · + qmxm − p| ≤ . (n + 1)m , , , , , 100 Chuong 9. Nh˜ ung ´
ung d .ung kh´ac cua nguyên l´y Ðirichle , , . 9.13. Ch´ ung minh r` ˘ ang v´
oi m .oi c.˘ap sô´nguyên p v`a q > 0 ta ¯dê`u √ √ , , √ p 3 − 2 c´ o bâ´t ¯ d˘ ang th´ uc sau 2 − ≥ . q q2 , , . 9.14. Ch´ ung minh r` ˘ ang v´
oi m .oi c.˘ap sô´nguyên p v`a q > 0 ta ¯dê`u , , √ p 1 c´ o bâ´t ¯ d˘ ang th´ uc sau √ 3 − ≥ . q 3 3q2 , , , , . 9.15. Cho m, n v`
a s l`a nh˜ung sô´nguyên v`a α l`a nghi .êm cua phuong ,
tr`ınh b .âc hai mx2 + nx + s = 0, (m 6= 0). Ch´ung minh r`˘ang nê´u α l`a , , , , p c , sô´ vô ty, th`ı tô`n t
.ai m .ôt sô´ duong c thoa m˜ an α − ≥ v´ oi m .ôi q q2
c .˘ap sô´nguyên p v`a q > 0. , , CHUONG 10 NGUYÊN L ´ Y ÐIRICHLÊ CHO DI .ÊN T´ICH , 10.1. Ph ´ at biêu nguyên l´
y Ðirichlê cho di .ên t´ıch , , , , , Trong chuong n` ay ch´ ung ta x´ et nh˜
ung t .âp h .op trên m.˘at ph˘ang, , , , nh˜ ung ph´ ep to´ an trên c´
ac t .âp h .op nê´u c´ac b.an chua quen biê´t c´o , ,, ,
thê xem o Ph .u ¯d´ınh cuô´i s´ach. Ch´ung ta quan tâm t´oi c´ac kh´ai ni.êm sau ¯ dây: , ,
M .ôt t.âp h .op trong m.˘at ph˘ang g .oi l`a b.i ch .˘an, khi tô`n t.ai m .ôt , , , , h`ınh tr` on ch´ ua to`
an b .ô c´ac ¯diêm cua t.âp h .op ¯d´o. Khi không tô`n t.ai , , ,
m .ôt h`ınh tr`on n`ao nhu trên th`ı t.âp h .op ¯d´o g .oi l`a t.âp h .op không b.i , ,, ,
ch .˘an. V´ı d .u nhu m .ôt ¯da gi´ac lô`i l`a t.âp b.i ch.˘an c`on nua m.˘at ph˘ang l`a , , , ,
t .âp h .op không b.i ch.˘an. D˜ê d`ang ch´ung minh ¯du .oc c´ac t´ınh châ´t sau , , , cua nh˜ ung t .âp h .op b.i ch.˘an , , , ,
1. H .op v`a giao cua h˜uu h.an nh˜ung t.âp b.i ch.˘an l`a m .ôt t.âp b.i ,
ch .˘an. Hi.êu cua hai t.âp b.i ch.˘an l`a m .ôt t.âp b.i ch.˘an. , ,
2. M .ôt t.âp h .op con cua m .ôt t.âp b.i ch.˘an l`a m .ôt t.âp b.i ch.˘an. M .ôt , , ,
t .âp h .op ch´ua m .ôt t.âp h .op con không b.i ch.˘an th`ı n´o c˜ung không b.i ch .˘an. , , , , ,
M .ôt ¯diêm P g .oi l`a ¯
diêm biên cua t .âp h .op A trong m.˘at ph˘ang, , , 102 Chuong 10. Nguyên l´
y Ðirichlê cho di .ên t´ıch , , , ,
nê´u m .oi h`ınh tr`on tâm t.ai P c´o ch´ua nh˜ung ¯diêm thu .ôc A v`a ca , , , , , , nh˜ ung ¯
diêm không thu .ôc A.T.âp h .op tâ´t ca c´ac ¯diêm biên cua A g .oi , , , , l`
a biên cua A v`a k´y hi .êu l`a K(A). V´ı d .u biên cua h`ınh tr`on l`a ¯du`ong , , tr` on v´ oi c` ung tâm v` a b´
an k´ınh. V´ı d .u ¯d.˘ac bi.êt v`a t´ınh châ´t biên cua , , t .âp h .op nhu sau: , , , , ,
3. Cho t .âp h .op A gô`m to`an b .ô nh˜ung ¯diêm c´o t .oa ¯d .ô h˜uu ty ,
trong m .ôt h`ınh vuông v´oi t .oa ¯d .ô c´ac ¯dir nh (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1). , D˜ ê d` ang thâ´y r` ˘
ang biên cua A l`a to`an b .ô h`ınh vuông n´oi trên. , , , , 4.
oi m .oi t.âp h .op A gô`m c´ac ¯diêm trong m.˘at ph˘ang ¯dê`u c´o , công th´ uc sau K(K(A)) ⊂ K(A). , , ,
5. M .oi c.˘ap t.âp h .op bâ´t k`y trong m.˘at ph˘ang ¯dê`u thoa m˜an c´ac , công th´ uc sau K(A ∪ B) ⊂ K(A) ∪ K(B) K(A ∩ B) ⊂ K(A) ∩ K(B) K(A\B) ⊂ K(A) ∪ K(B) , , , , , ,
M .ôt ¯diêm P g .oi l`a ¯
diêm trong cua t .âp h .op A nh˜ung ¯diêm trong ,
m .˘at ph˘ang, khi tô`n t.ai h`ınh tr`on tâm P m`a n´o n`˘am tr .on trong A. , , , , T` u ¯
d.inh ngh˜ıa n`ay thâ´y ngay l`a m .oi ¯diêm trong cua t.âp h .op A ¯dê`u , , ,, ,
thu .ôc A. Ðiê`u ngu .oc l.ai không ¯d´ung: trong v´ı d .u 3 o trên t.âp h .op A , không c´
o m .ôt ¯diêm trong n`ao. Ta thâ´y ngay , , ,
6. M .ôt ¯diêm thu .ôc A l`a ¯diêm trong cua A khi v`a chi khi n´o không , , , , , l` a ¯
diêm biên cua A. Ðiê`u n`ay giai th´ıch t .ai sao nh˜ung ¯diêm trong , , , cua h`ınh tr` on không n` ˘ am trên ¯ du` ong tr` on. , , , ,
Ðê lo .ai tr`u c´ac t.âp h .op ¯d.˘ac bi.êt, ch´ung ta ¯dua v`ao m .ôt kh´ai ni.êm , , , , ¯
d .˘ac chung cho l´op t.âp h .op không ¯d.˘ac bi.êt trong m.˘at ph˘ang : M .ôt , , ,
t .âp h .op b.i ch.˘an c´ac ¯diêm trong m.˘at ph˘ang g .oi l`a bê` m .˘at, khi biên , , , , cua n´ o không ch´ ua ¯ diêm trong (cua biên). ,
V´ı d .u c´ac h`ınh tr`on ho.˘ac ¯da gi´ac ¯dê`u l`a bê`m.˘at trong m.˘at ph˘ang. , 10.1. Ph´ at biêu nguyên l´
y Ðirichlê cho di .ên t´ıch 103 , ,
Nhung trong v´ı d .u 3 t.âp h .op A không l`a bê` m.˘at. B`˘ang c´ach d`ung , c´ ac ¯
d.inh ngh˜ıa vê` t.âp h .op v`a c´ac ¯d.inh ngh˜ıa trong phâ`n trên ch´ung , , , ta ch´ ung minh ¯ du .oc , ,
7. Nê´u A v`a B l`a hai bê` m .˘at, nh˜ung t.âp h .op A ∪ B, A ∩ B v`a , , A\B c˜ ung l` a nh˜
ung bê` m .˘at trong m.˘at ph˘ang. ,
8. Nê´u A, B v`a C l`a c´ac bê` m .˘at v`a A không c´o chung ¯diêm trong , , , , v´ oi B v`a v´ oi C, th`ı A không c´ o ¯ diêm trong chung v´ oi B ∪ C. , , , ,
M .ôt trong nh˜ung ¯d.inh l´y co ban trong h`ınh h .oc ph˘ang, nhiê`u khi ,, , , o phô thông ch´
ung ta công nh .ân nhu m .ôt tiên ¯dê`: , , , , , ,
9. M .oi bê` m.˘at A nh˜ung ¯diêm trong m.˘at ph˘ang c´o thê cho tuong ´, , , ung v´
oi m .ôt sô´th .uc không âm S(A) sao cho ,
a) S(∆) = 1, v´oi ∆ l`a m .ôt h`ınh vuông c´o c.anh l`a 1; ,
b) Nê´u A v`a B l`a hai bê` m .˘at không c´o ¯diêm trong chung, th`ı S(A ∪ B) = S(A) + S(B). , , , , , , Ph´ ep cho tuong ´ ung S v´ oi c´ ac t´ınh châ´t trên ¯ du .oc x´ac ¯d.inh m .ôt c´ ach duy nhâ´t. , ,
Cho bê`m .˘at A bâ´t k`y, sô´S(A) g .oi l`a di.ên t´ıch cua A. Nh˜ung m.˘at , , , , , , ¯ d˜ a ¯
du .oc x´et trong c´ac tru`ong phô thông l`a h`ınh ch˜u nh.ât, tam gi´ac, , h`ınh tr` on,. . . v` a sô´ S(A) theo ¯
d.inh ngh˜ıa trên tr`ung v´oi kh´ai ni.êm , , , , ,
di .ên t´ıch cua c´ac h`ınh n`ay. V´oi c´ach tr`uu tu .ong h´oa kh´ai ni.êm di.ên , , t´ıch ch´ ung ta d˜ ê d` ang khao s´
at t´ınh châ´t vê` di .ên t´ıch cua c´ac h`ınh. , , , , , T` u a) v` a b) ch´ ung ta c´ o thê d˜ ê d` ang ch´ ung minh ¯ du .oc: ,
10. Nê´u A v`a B l`a nh˜ung bê` m .˘at v`a A ⊂ B, th`ı S(A\B) = S(A) − S(B). ,
11. Nê´u A1, A2, . . . , An l`a c´ac bê` m .˘at t`ung ¯dôi m .ôt không c´o , ¯
diêm trong chung, th`ı S(A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An) = S(A1) + S(A2) + , , 104 Chuong 10. Nguyên l´
y Ðirichlê cho di .ên t´ıch · · · + S(An). Nguyên l´
y Ðirichlê cho di .ên t´ıch: Nê´u A l`a m.ôt bê` m.˘at, c`on
A1, A2, . . . , An l`a c´ac bê` m .˘at sao cho Ai ⊂ A(i = 1, 2, . . . , n) v`a
S(A) < S(A1) + S(A2) + · · · + S(An), th`ı ´ıt nhâ´t c´o hai bê` m .˘at , trong sô´c´
ac bê` m .˘at trên c´o m.ôt ¯diêm trong chung. , , C˜ ung nhu nguyên l´ y ¯ dâ`u tiên, ch´ ung ta c˜ ung c´ o thê thâ´y ¯ diê`u , , , , , ,, n` ay l` a hiên nhiên v` a ch´ ung minh ¯
du .oc. Th.ât v.ây, Gia su không c´o , ,
c .˘ap n`ao trong nh˜ung m.˘at ¯d˜a cho c´o ¯diêm trong chung. Khi ¯d´o theo , kh˘ ang ¯
d.inh 11. ta c´o S(A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An) = S(A1) + S(A2) + · · · +
S(An). M .˘at kh´ac Ai ⊂ A(i = 1, 2, . . . , n) suy ra A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An ⊂ , , A, t` u ¯ d´ o c´
o S(A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An) ⊂ S(A). Thô´ng nhâ´t c´ac bâ´t ¯ d˘ ang , , th´
uc l .ai ch´ung ta c´o S(A) < S(A), d˜ân t´oi vô l´y. , C´ o thê thâ´y r` ˘ ang nguyên l´ y trên bao tr` um nguyên l´ y Ðirichlê , , , cho nh˜
ung t .âp h˜uu h.an. Ngo`ai ra nguyên l´y Ðirichlê trên c´o thê c .u , , , , , , thê h´ oa cho nh˜ ung l´
op bê` m .˘at thông d .ung trong chuong tr`ınh phô , , thông v` a c´ ac kh´
ai ni .êm ¯d .ô d`ai, thê t´ıch c˜ung c´o c`ung t´ınh châ´t nhu ,, , , kh´
ai ni .êm di.ên t´ıch o trên. Do ¯d´o ch´ung ta c´o thê ph´at biêu nguyên , , l´ y Ðirichlê theo c´ ac phuong ´ an kh´ ac nhau. , , 12.Cho nh˜ ung ¯
do .an th˘ang ∆1, ∆2, . . . , ∆n n`˘am trong ¯do .an v`a , , , , , tông ¯
d .ô d`ai cua ∆1, ∆2, . . . , ∆n l´on hon ¯d.ô d`ai cua . Khi ¯d´o ´ıt nhâ´t c´o , , , hai trong sô´nh˜ ung ¯
do .an th˘ang ∆1, ∆2, . . . , ∆n c´o ¯diêm chung. , , 13. Cho nh˜ ung ¯
da di.ên P1, P2, . . . , Pn n`˘am trong ¯da di.ên P v`a tông , , , , , ,
thê t´ıch cua P1, P2, . . . , Pn l´on hon thê t´ıch cua P. Khi ¯d´o ´ıt nhâ´t c´o hai , , trong sô´nh˜ ung ¯
da di.ên P1, P2, . . . Pn c´o ¯diêm chung. , , , , 14. Cho nh˜
ung cung c1, c2, . . . , cn n`˘ am trên ¯ du` ong tr` on c v` a tông , , , , , ¯
d .ô d`ai cua c1, c2, . . . , cn l´on hon ¯d.ô d`ai ¯du`ong tr`on c. Khi ¯d´o ´ıt nhâ´t c´o , , hai trong sô´nh˜
ung cung c1, c2, . . . cn c´o ¯diêm chung. 10.2. V´ı d .u 105 , , Tâ´t ca c´ ac ph´ at biêu 12, 13, 14 ch´ ung ta ¯ dê`u g .oi l`a nguyên l´y , , , , Ðirichlê v`
a b .an ¯d .oc c´o thê ch´ung minh ¯du .oc c´ac nguyên l´y n`ay. 10.2. V´ı d .u , ,
. 10.1. Cho M l`
a m .ôt ¯da gi´ac lô`i v´oi di.ên t´ıch S v`a chu vi P. Ch´ung minh r` ˘ ang , , , , , , , S a) M o thê phu ¯
du .oc m.ôt h`ınh tr`on v´oi b´an k´ınh l´on hon ; P , S b) B´ an k´ınh cua c´ ac h`ınh tr` on n` ˘
am trong M không qu´ a . P , , , , L` oi giai. a) Ch´
ung ta d .ung trên m˜ôi c.anh ¯da gi´ac M m .ôt h`ınh ch˜u S ,
nh .ât chiê`u cao h = , nhu h`ınh 10.1. P M M O H C S h = P H`ınh 10.1: H`ınh 10.2: , , , , , Nh˜ ung h`ınh ch˜
u nh .ât n`ay c´o nh˜ung ¯diêm chung gi˜ua ch´ung; n´oi ,
chung m .ôt sô´h`ınh ch˜u nh.ât không n`˘am tr .on trong M. Ch´ung ta c´o , , , , , thê t´ınh to´
an tông di .ên t´ıch cua c´ac h`ınh ch˜u nh.ât n`ay l`a S. Nhu v.ây , , , , , ,
phâ`n cua M b.i c´ac h`ınh ch˜u nh.ât phu phai c´o di.ên t´ıch nho hon S. , , , Ðiê`u n` ay chı ra r` ˘
ang tô`n t .ai m .ôt ¯diêm O cua M không thu .ôc , , 106 Chuong 10. Nguyên l´
y Ðirichlê cho di .ên t´ıch , , , , , h`ınh ch˜
u nh .ât n`ao ca. Nhu v.ây c´o ngh˜ıa l`a khoang c´ach t`u O ¯dê´n , , , , S c´
ac c .anh cua M phai l´on hon h = . Ta lâ´y O l`a tâm h`ınh tr`on b´an P S k´ınh R > , h`ınh tr` on n` ay s˜ e n` ˘ am tr .on trong M. P b) Cho h`ınh tr`
on C tâm O b´an k´ınh R n`˘am trong M. Ch´ ung ta x´ et , , , , , c´ ac tam gi´ ac m` a hai ¯ dınh cua n´ o l` a hai ¯ dınh liên tiê´p cua t´ u gi´ ac, c` on , , , , , ¯ dınh th´ u ba l` a tâm h`ınh tr`
on O. Ðu`ong cao h .a t`u O xuô´ng c´ac c.anh , , , , , , cua tam gi´ ac n` ay l´ on hon R. T`u ¯ dây suy ra tông c´ ac di .ên t´ıch cua , , S ch´ ung b` ˘
ang S v`a không nho hon P.R. Suy ra R ≤ (H`ınh 10.2). P J , ,
. 10.2. Trong không gian cho 30 vecto kh´ ac không. Ch´ ung minh r` ˘ ang , , , , trong sô´ ¯ o c´ o hai vecto m` a g´ oc gi˜ ua ch´ ung nho hon 450. , , , , , L` oi giai. C´ o thê gia thiê´t r` ˘ ang tâ´t ca , , v´ ecto c´ o chung ¯ diêm ¯ dâ`u O. Lâ´y OA , , , A v´ oi ¯
d .ôd`ai b`˘ang 1 trên vecto th´u nhâ´t. , , , Ch´
ung ta d .ung h`ınh n´on ¯dınh O v´oi ,, , 450 J
tr .uc OA, m`a g´oc o ¯dınh l`a 450. B`ai , , , O to´ an s˜ e ¯
du .oc ch´ung minh nê´u ch´ung , ta chı ra r` ˘
ang ´ıt nhâ´t hai trong sô´ 30 , , , , h`ınh n´ on (¯ du .oc xây duong theo c´ach , , , , trên ´ ung v´ oi 30 vecto ¯ d˜ a cho) c´ o ¯ diêm trong chung (h`ınh 10.3). , H`ınh 10.3: Ch´ ung ta x´ et h`ınh câ`u S v´ oi tâm , O v` a b´ an k´ınh 1. M˜
ôi lâ`n d .ung h`ınh n´on c´˘at m.˘at câ`u S m .ôt h`ınh , , , , v´
oi di .ên t´ıch δ1 m`a c´o thê t´ınh to´an ¯du .oc. Ta c˜ung thâ´y r`˘ang , , hai h`ınh n´ on c´ o ¯ diêm trong chung khi v` a chi khi nh˜ ung phâ`n , , ,
trên m .˘at câ`u c˜ung phai c´o ¯diêm trong chung. T`u ¯diê`u n`ay v`a 10.2. V´ı d .u 107 , , , nguyên l´ y Ðirichlê ch´
ung ta chı câ`n thiê´t kiêm tra tông di .ên t´ıch , , ,
cua 30 h`ınh trên m .˘at câ`u l´on hon di.ên t´ıch m.˘at câ`u (b`˘ang 4π). √ p ! π 2 + 2 Ch´ ung ta c´
o δ1 = 2π 1 − cos = 2π 1 − . V .ây 8 2 √ √ p ! p 2 + 2 , , , , , 2 + 2 14 30.2π 1 − > 4π tuong ¯ duong v´ oi < 2 2 15 1 167 2 ho .˘ac l`a < . J 2 225 , ,
. 10.3. Nê´u m .ôt bê` m .˘at A trong m .˘at ph˘ang thoa m˜an ¯diê`u ki.ên , ,
S(A) > 1. th`ı n´o luôn luôn ch´ ua ´ıt nhâ´t hai ¯ diêm trong (x1, y1), ,
(x2, y2) m`a hi.êu x2 − x1 v`a y2 − y1 l`a nh˜ung sô´nguyên. , , , , L` oi giai. Qua m˜ ôi ¯ diêm (m, n) v´ oi , y
t .oa ¯d .ô nguyên ch´ung ta ke c´ac , , , , , , , ¯ du` ong th˘ ang ¯ d´ ung v` a ¯ du`ong th˘ ang ngang (h`ınh 10.4). , , , , Ch´ ung ta s˜ e t .ao ¯du .oc lu´oi −3 −2 −1 0 1 2 3 x , , , nh˜ ung ¯ diêm v´ oi t .oa d .ô nguyên. , , , Lu´
oi nguyên chia m .˘at ph˘ang ra c´ac h`ınh vuông b` ˘ ang nhau, m˜ ôi h`ınh vuông c´
o di .ên t´ıch l`a 1. Ch´u ´y r`˘ang , H`ınh 10.4: m˜ ôi h`ınh vuông c´ o thê xê d.ich ¯dê´n , , , tr` ung v´
oi m .ôt h`ınh vuông kh´ac, chı c´o kh´ac l`a t .oa ¯d .ô cua h`ınh vuông , , m´ oi chuyên ¯ dê´n c˜ ung l` a c´ ac sô´nguyên. , , Ch´
ung ta ch .on m .ôt h`ınh vuông trong lu´oi nguyên l`am gô´c cô´ , , ¯
d.inh rô`i d.ich chuyên m .oi h`ınh vuông vê` h`ınh vuông gô´c. Nhu v.ây , , , nh˜
ung phâ`n cua A n`˘am trong c´ac h`ınh vuông kh´ac nhau ¯ dê`u chuyên , , ,
vê` h`ınh vuông gô´c (h`ınh v˜
e). Tông cua di .ên t´ıch cua c´ac phâ`n ¯d´o , , 108 Chuong 10. Nguyên l´
y Ðirichlê cho di .ên t´ıch , , , b` ˘
ang di .ên t´ıch cua A v`a suy ra l´on hon 1. Suy ra ´ıt nhâ´t hai trong , sô´c´ ac phâ`n n` ˘
am trong h`ınh vuông d.ich ¯dê´n s˜e c´o ¯diêm trong chung , , , , ,
(x0, y0). Trong t .âp A ban ¯dâ`u th`ı ¯diêm (x0, y0) tuong ´ung v´oi hai , ¯ diêm kh´
ac nhau (x1, y1) v`a (x2, y2) m`a x1 − x0, y1 − y0, x2 − x0, y2 − ,
y0 l`a c´ac sô´nguyên. Nhu v .ây th`ı x2 − x1 v`a y2 − y1 c˜ung l`a sô´nguyên. J , , ,
. 10.4. Cho A l`
a t .âp h.op lô`i v`a b.i ch .˘an nh˜ung ¯diêm trong m .˘at , , , ph˘ ang, c`
on P1, P2, P3, P4, P5 l`a nh˜ung ¯diêm thu .ôc A. G.oi Ai l`a t .âp , , , ,
h .op nh .ân t`u A sau m.ôt ph´ep t.inh tiê´n c´ac ¯diêm theo vecto P1Pi(i = , , 1, 2, 3, 4, 5). Ch´ ung minh r` ˘ ang ´ıt nhâ´t c´
o hai t .âp h.op trong sô´ c´ac ,
Ai(i = 1, 2, 3, 4, 5) c´o ¯diêm chung. , , L` oi giai. Ch´ ung ta chia ra hai , , , , Q Qi tru`
ong h .op A c´o thê c´o ho.˘ac , , c´ o thê không c´ o ¯ diêm trong. Q00 , , , , 1. Tru` ong h .op A c´o ¯diêm , trong. K´ y hi .êu A0 l`a t.âp h .op, , , , m` a n´ o nh c t` u A, sau P P .ân ¯ du .o 1 i , khi t´ ac ¯ d .ông ph´ep v.i t .u tâm H`ınh 10.5: ,
P1 v`a h.ê sô´ v.i t .u 2. Khi ¯d´o , công th´ uc sau ¯ d´ ung Ai ⊂ A0 (h`ınh 10.5). , ,
Th .ât v.ây, nê´u Q ∈ A v`a Qi l`a anh cua Q qua ph´ep t.inh tiê´n theo , −−→
vecto P1Pi (xem h`ınh v˜e), th`ı P1PiQiQ l`a h`ınh b`ınh h`anh. K´y hi.êu , , ,, Q00 l` a trung ¯
diêm cua P1Qi. R˜o r`ang Q00 ∈ A, v`ı Q v`a Pi l`a phâ`n tu , , ,
cua A v`a A lô`i. M .˘at kh´ac P1Qi = 2P1Q00 v`a v`ı A0 l`a anh cua A qua , , , ph´
ep v.i t .u tâm P1 v`a h.ê sô´ 2, nên ¯diêm Qi n`˘am trong t.âp h .op A0. , ,
Nhu v .ây m˜ôi tâp trong c´ac t.âp Ai n`˘am trong A0. Ðô`ng th`oi m˜ôi t.âp 10.2. V´ı d .u 109 , , cua Ai ¯
dô`ng d .ang v´oi A v`a suy ra S(Ai) = S(A). Do ¯d´o
S(A1) + S(A2) + S(A3) + S(A4) + S(A5) = 5S(A). (10.1) , , , ,
Nhung t .âp h .op A0 ¯dô`ng d.ang v´oi A v´oi h.ê sô´2. Suy ra S(A0) = 4S(A). (10.2) , ,
M .˘at kh´ac A c´o ¯diêm trong, v`ı thê´ S(A) > 0. Ngh˜ıa l`a t`u (10.1) v`a
(10.2) suy ra S(A1) + S(A2) + S(A3) + S(A4) + S(A5) > S(A0). , , , , , , ,
Nhu v .ây trong tru`ong h .op 1 b`ai to´an ¯du .oc suy ra t`u nguyên l´y
Ðirichlê cho di .ên t´ıch. , , , , , , 2. Tru`
ong h .op A không c´o ¯diêm trong, A s˜e n`˘am trên m .ôt ¯du`ong , , , , , th˘
ang. Th .ât v.ây, nê´u ´ıt nhâ´t ba ¯diêm n`˘am trên m .ôt ¯du`ong th˘ang, do , , , , t´ınh châ´t lô`i A ch´ ua to`
an b .ô h`ınh tam gi´ac v´oi ¯dınh l`a c´ac ¯diêm , , , , n` ay, suy ra A c´ o ¯
diêm trong. Nhung t .âp lô`i, b.i ch.˘an trên m .ôt ¯du`ong , , , , , th˘ ang ch´ınh l` a ¯
do .an th˘ang trên du`ong th˘ang n`ay. Phâ`n c`on l.ai l´y , , , , , , , , , ,
lu .ân tuong t .u nhu phâ`n trên. Nhung trong tru`ong h .op trên ¯du`ong , , , th˘ ang chı câ`n 3 ¯ diêm v` a nguyên l´ y Ðirichlê vê` ¯ d .ô d`ai. J , , ,
. 10.5. (Ð.inh l´y Minkovski) Cho A l`a t .âp h.op ¯diêm trong m .˘at ph˘ang ,
o t´ınh châ´t lô`i, b.i ch .˘an v`a ¯dô´i x´ung qua gô´c t.oa ¯d.ô v`a S(A) > 4. Khi , , , , , ¯ o A ch´ ua nh˜ ung ¯ diêm trong kh´ ac ¯ diêm gô´c v´
oi t .oa ¯d.ô nguyên. , , , L` oi giai.
ac d .ung lên A ph´ep v.i t .u tâm l`a gô´c t .oa ¯d .ô v`a h.ê sô´ 1. 2 , , , , , ,
Nhu v .ây ch´ung ta nh.ân ¯du .oc A0, ¯dô`ng d.ang v´oi A v`a c´o k´ıch thu´oc ,, , , , 1 b` ˘ ang nua k´ıch thu´ oc cua A. Suy ra S(A0) = S(A) > 1. Theo b` ai 4 , , 10.13 suy ra A0 ch´ ua ´ıt nhâ´t hai ¯ diêm kh´ ac nhau (x1, y1) v`a (x2, y2), , , m` a c´
ac hi .êu x2 − x1 v`a y2 − y1 l`a nguyên. V`ı t.âp h .op A ¯dô´i x´ung qua , , ,
gô´c t .oa ¯d .ô nên t.âp h .op A0 c˜ung v.ây. Ðiê`u ¯d´o giai th´ıch r`˘ang ¯diêm ,
(−x1, −y1) thu .ôc A0. V`ı A lô`i nên A0 c˜ung lô`i. Do ¯d´o trung ¯diêm , , 110 Chuong 10. Nguyên l´
y Ðirichlê cho di .ên t´ıch , , cua c´ ac ¯ diêm m´
ut (−x1, −y1) v`a (x2, y2) c˜ung thu .ôc A0 v`a c´o t .oa ¯d .ô x y , , , ,
( 2 − x1 , 2 − y1 ). Nhân t .oa ¯d .ô n`ay v´oi 2 th`ı ¯du .oc t .oa ¯d .ô cua m .ôt 2 2 , , , , , ¯
diêm thu .ôc A. Nhu v.ây (x2 − x1, y2 − y1) thu .ôc A. Ðiêm ta t`ım ¯du .oc , , kh´
ac gô´c t .oa ¯d .ô v`a c´o t .oa ¯d .ô nguyên v`a l`a ¯diêm trong cua t.âp A. J
. 10.6. Nê´u A l` a m .ôt bê` m .˘at, A1, A2, . . . , An. (10.3) , , , l` a nh˜
ung bê` m .˘at v`a thoa m˜an Ai ⊂ A(i = 1, 2, . . . , n), c`on k l`a sô´t .u nhiên m` a
k.S(A) < S(A1) + S(A2) + · · · + S(An). (10.4) , ,
th`ı´ıt nhâ´t k + 1 trong sô´nh˜
ung bê` m .˘at trên c´o m.ôt ¯diêm trong chung. , , , , , , L` oi giai. Ch´ ung ta ch´ ung minh b` ˘
ang qui n .ap,Tru`ong h .op k = 1 ¯d´o , ,, , , ,, l` a nguyên L´ y Ðirichlê ¯ d˜ a ch´ ung minh o trên. Bây gi` o gia su b` ai to´ an , , ¯ d˜ a ¯ d´ ung cho k, ch´ ung ta phai ch´ ung minh n´ o c˜ ung ¯ d´ ung cho k + 1. , , Ta cô´ ¯
d.inh m .ôt k v`a c´o bâ´t ¯d˘ang th´uc
(k + 1)S(A) < S(A1) + S(A2) + · · · + S(An). (10.5) , , , , , Ch´ ung ta s˜ e chı ra r` ˘ ang v´
oi (10.5) tô`n t .ai m .ôt ¯diêm l`a ¯diêm trong cua , ,
k + 2 t .âp h .op cua (10.3). Do A ⊂ A( ) ≤ µ
µ = 1, 2, . . . , n), nên S(Aµ , , S(A), t` u ¯ d´
o suy ra S(A1) + S(A2) + · · · + S(An) ≤ nS(A). T`u bâ´t , , ¯ d˘ ang th´ uc sau c` ung v` a (10.5) ch´ ung ta c´ o (k + 1)S(A) < nS(A) suy ra k + 1 < n. V`ı v .ây n ≥ k + 2. (10.6) , , , , ,
Tô`n t .ai ¯diêm chung cho ´ıt nhâ´t k + 2 t.âp h .op (10.3) ¯du .oc ch´ung , , minh b` ˘
ang qui n .ap theo n. T`u (10.4) suy ra (10.5), v.ây ta phai b´˘at , , ¯ dâ`u t`
u k + 2. Nhu v .ây viê´t l.ai
(k + 1)S(A) < S(A1) + S(A2) + · · · + S(Ak+2). (10.7) 10.2. V´ı d .u 111 , , , , , Câ`n phai ch´
ung minh tô`n t .ai ¯diêm m`a n´o l`a ¯diêm trong cua A1, A2, . . . , Ak+2. Lâ´y A0 = A \A µ µ
k+2(µ = 1, 2, . . . , k + 1) (10.8) A00 = A ∩ A µ µ
k+2(µ = 1, 2, . . . , k + 1) (10.9) v` a A0 = A\Ak+2 (10.10) A00 = Ak+2. (10.11) , R˜ o r` ang A0 ⊂ A0 v`a A0 ⊂ A00( a k + 1 µ µ
µ = 1, 2, . . . , k + 1) . V` ı c´ o tâ´t c , , ,
t .âp h .op A0 , t`u bao h`am th´uc trên suy ra µ
(k + 1)S(A0) ≥ S(A01) + S(A02) + · · · + S(A0 ) k+1 . (10.12) , , , Nê´u lâ´y (10.7) tr` u ¯ di (10.12) ch´ ung ta nh .ân ¯du .oc
(k + 1)S(A00) < S(Ak+2) + S(A001) + S(A002) + · · · + S(A00 ) k+1 . (10.13)
V`ı S(A) − S(A0) = S(A00) v`a S(A ) − S(A0 ) = S(A00) do (10.8)- µ µ µ , (10.11) nên t` u (10.13),(10.9) v` a (10.11) suy ra
kS(Ak+2) < S(A1 ∩ Ak+2) + S(A2 ∩ Ak+2) + · · · + S(Ak+1 ∩ Ak+2). (10.14) , , T` u (10.14) v` a gia thiê´t ¯ d´
ung cho k theo qui n .ap suy ra A1 ∩ ,
Ak+2, A2 ∩ Ak+2, . . . , Ak+1 ∩ Ak+2 c´o ¯ diêm trong chung, ¯ diê`u n` ay , , , c´ o ngh˜ıa l`
a t .âp h .op A1, A2, . . . , Ak+2 c´o ¯diêm trong chung. Nhu v.ây , , , , v´
oi n = k + 2 t`u (10.5) suy ra ´ıt nhâ´t k + 2 t .âp h .op t`u (10.3) c´o , ¯ diêm trong chung. , , , , Bây gi` o ch´ ung ta gia thiê´t v´
oi m .ôt n ≥ k + 2 t`u (10.5) suy ra , , , ,
´ıt nhâ´t k + 2 t .âp h .op t`u (10.3) c´o ¯diêm trong chung v`a s˜e phai kê´t , lu .ân r`˘ang t`u
(k + 1)S(A) < S(A1) + S(A2) + · · · + S(An) + S(An+1). (10.15) , , 112 Chuong 10. Nguyên l´
y Ðirichlê cho di .ên t´ıch , , suy ra c´
o ´ıt nhâ´t k + 2 t .âp h .op trong d˜ây A1, A2, . . . , An+1 c´o ¯diêm
trong chung. Th .ât v.ây, ch´ung ta ¯d.˘at A0 = A \A µ µ n+1, (µ = 1, 2, . . . , n). (10.16) A00 = A ∩ A µ µ n+1, (µ = 1, 2, . . . , n) (10.17) v` a A0 = A\An+1 (10.18) A00 = An+1. (10.19)
V`ı A0 ∪ A0 = A0 , A0 ∩ A00 = ∅( µ µ µ µ µ
µ = 1, 2, . . . , n) v` a A0 ∪ A00 = A, A0 ∩ A00 = ∅ nên S(A0 ) + S(A00) = S(A ), ( µ µ µ µ = 1, 2, . . . , n) (10.20) v` a S(A0) + S(A00) = S(A). (10.21) , , , Ch´ ung ta s˜ e ch´
ung minh m .ôt trong c´ac bâ´t ¯d˘ang th´uc sau l`a ¯d´ung
(k + 1)S(A0) < S(A01) + S(A02) + · · · + S(A0n) (10.22) ho .˘ac l`a
kS(A00) < S(A001) + S(A002) + · · · + S(A00n). (10.23) , , , , ,
Th .ât v.ây, trong tru`ong h .op ngu .oc l.ai ch´ung ta s˜e c´o (k + 1)S(A0) ≥
S(A0 ) + S(A0 ) + · · · + S(A0 ) + S(A00) + · · · + 1 2 n) v` a kS(A00) ≥ S(A001 2 , ,
S(A00n) C .ông hai vê´l.ai v`a do (10.20), (10.21) ch´ung ta nh.ân ¯du .oc
S(A0) + kS(A) ≥ S(A1) + S(A2) + · · · + S(An). (10.24) , ,
C .ông hai vê´(10.24) v´oi S(A00) v`a t`u (10.19), (10.21) ch´ung ta nh.ân , , ¯ du .oc
(k + 1)S(A) ≥ S(A1) + S(A2) + · · · + S(An) , , , , Nhung ¯ diê`u n` ay tr´ ai v´ oi (10.15). Do ¯ d´ o trong hai bâ´t ¯ d˘ ang th´ uc , (10.22) v` a (10.23) phai c´
o ´ıt nhâ´t m .ôt c´ai ¯d´ung. 10.2. V´ı d .u 113 , ,, , , , Gia su (10.22) ¯ d´
ung. Theo gia thiê´t qui n .ap ¯dô´i v´oi n t`u (10.22) , ,
suy ra ´ıt nhâ´t k + 2 t .âp h .op trong d˜ây A0 , A0 m trong 1 2, . . . , A0n c´ o ¯ diê , chung. T` u (10.16) suy ra r` ˘
ang kê´t lu .ân trên c˜ung ¯d´ung cho d˜ây (10.3). , ,, , , , Gia su (10.23) ¯ d´ ung. T`
u gia thiê´t qui n .ap ¯dô´i v´oi k suy ra k + 1 , , , , t .âp h .op trong A00, A00 m chung v` a c` ung v´ oi (10.17) chı 1 2 , . . . , A00 n c´ o ¯ diê , , , , , ra r` ˘
ang tô`n t .ai m .ôt ¯diêm m`a n´o l`a ¯diêm trong cua k + 1 t.âp h .op t`u , , (10.3) v` a ca cua An+1. , , ,
Nhu v .ây t`u (10.15) suy ra k + 2 t.âp h .op trong d˜ay A1, A2, , , , . . . , An+1 c´o ¯
diêm trong chung. Suy ra kê´t lu .ân ¯d´ung v´oi n + 1. T`u , , , , , phuong ph´
ap qui n .ap bây gi`o l.ai suy ra, v´oi m .oi n, v´oi (10.5) tô`n , , , ,
t .ai m .ôt ¯diêm m`a n´o l`a ¯diêm trong cua ´ıt nhâ´t k + 2 t.âp h .op trong (10.3). J , , , Ch´ u ´ y. Trong ch´ ung minh ¯
d.inh l´y d`ung phuong ph´ap qui n.ap , , , , , , theo k. Nhung ¯ di t` u bu´
oc k sang k + 1 ta l .ai d`ung phuong ph´ap qui , , , , ,
n .ap theo n. V´oi ch´ung minh qui n.ap theo n t`u bu´oc n sang n + 1 ta , , , ,
l .ai d`ung bu´oc k tru´oc ¯d´o v`a n.
. 10.7. Trong m .ôt h`ınh vuông c´o c .anh l`a , , , , , 1 ch´
ua m .ôt sô´ ¯du`ong tr`on, Tông ¯d.ô d`ai cua , ch´ ung l` a 10. Ch´ ung minh r` ˘ ang tô`n t .ai m.ôt , , , , ¯ du` ong th˘ ang, m` a n´ o c´ ˘
at ´ıt nhâ´t 4 trong nh˜ ung , , ¯ du` ong tr` on n` ay. , , L`
oi giai. (H`ınh 10.6) Ch´ ung ta ch .on m .ôt H`ınh 10.6:
c .anh h`ınh vuông rô`i chiê´u vuông g´oc c´ac , , ¯ du` ong tr` on xuô´ng c .anh ¯d´o. , , 114 Chuong 10. Nguyên l´
y Ðirichlê cho di .ên t´ıch , , , D˜ ê thâ´y r` ˘
ang h`ınh chiê´u cua m .ôt ¯du`ong tr`on b´an k´ınh R l`a m .ôt , ¯
do .an th˘ang c´o ¯d .ô d`ai 2R. V`ı v.ây trên c.anh h`ınh vuông ¯d˜a ch .on s˜e , , , , 10 c´ o nh˜ ung ¯
do .an th˘ang chiê´u xuô´ng v´oi tông ¯d .ôd`ai l`a . π , 10 Nhung
> 3 = 3.1, theo nguyên l´y Ðirichlê suy ra c´ o m .ôt π , , , , ¯ diêm M n`ao ¯ d´
o thu .ôc AB l`a ¯diêm trong chung cua 4 ¯do.an th˘ang ¯d˜a , , , , , chiê´u xuô´ng. Khi ¯ d´ o ¯ du` ong th˘ ang ¯ di qua ¯ diêm M vuông g´ oc v´ oi AB , , s˜ e c´ ˘ at 4 ¯ du` ong tr` on. J , , , , , ,
. 10.8. M .ôt sô´ cung n`˘am trên ¯du`ong tr`on v´oi b´an k´ınh 1 ¯du.oc son , , , , , xanh. Tông ¯
d .ô d`ai cua c´ac cung mâ`u xanh l´on hon π. Ch´ung minh , , , , , , r` ˘ ang v´ oi m˜ ôi ¯ du` ong k´ınh d cua ¯ du` ong tr`
on tô`n t .ai dây cung song song , , , , , oi d, m` a hai ¯ dâ`u cua dây cung ¯ du .oc son xanh. , , L`
oi giai. (H`ınh 10.7) Không mâ´t C , , A t´ınh tông qu´ at ch´ ung ta gia thiê´t , , c´ ac cung bôi son không c´ o ¯ diêm , , d chung. Cho d l`a ¯ du` ong k´ınh bâ´t k` y , , cua ¯ du` ong tr` on k v`a c l`a m .ôt trong , , , , c´ ac cung c bôi mâ`u. Trên ` ong d0 ¯ du .o ¯ du tr`
on k ta t .ao ra cung c0 b`˘ang c´ach , , , lâ´y ¯ dô´i x´ ung c qua ¯ du` ong k´ınh d0 k A0 , vuông g´ oc v´ oi d. C0 H`ınh 10.7: D˜ ê thâ´y cung c0 cho c` ung ¯ d .ô d`ai , , , , , v´
oi cung c. Ta l`am nhu v .ây v´oi m .oi cung c`on l.ai th`ı trên k nh.ân ¯du .oc , , , , ,
m .ôt h.ê cung c´o tông ¯d .ô d`ai l´on hon 2π. Nhung ¯d .ô d`ai cua k l`a 2π, ,
nhu v .ây theo nguyên l´y Ðirichlê c´o ´ıt nhâ´t hai cung trong h.ê n`ay c´o , ¯ diêm chung. 10.2. V´ı d .u 115 , , ,, , , Nhung ch´ ung ta ¯ d˜
a gia thiê´t o trên nh˜ung cung d .ang c t`ung ¯dôi , không c´ o ¯ diêm chung, ¯ diê`u ¯ d´ o c˜ ung ¯ d´ ung cho c´ ac cung c0. Khi ¯ d´ o , , , ,
tô`n t .ai m .ôt cung bôi son c1 c´o ¯diêm chung A v´oi cung c0 , ng 2 ¯ dô´i x´ u , , v´
oi cung c2 qua d0. R˜o r`ang dây cung ¯ di qua A v`a song song v´ oi d c´ o ,, ,,
t´ınh châ´t mong muô´n v`ı m .ôt ¯dâ`u o c1, c`on ¯dâ`u kia o c2. J , , ,
. 10.9. Trong h`ınh tr` on b´ an k´ınh 1 ngu`
oi ta tô son m .ôt sô´dây cung. , , , Ch´ ung minh r` ˘
ang nê´u m .oi ¯du`ong k´ınh c´˘at nhiê`u nhâ´t k dây cung, th`ı , , , , , , tông ¯
d .ô d`ai cua tâ´t ca c´ac dây cung ¯d˜a tô son nho hon πk. , , L`
oi giai. Lâ´y c l`a m .ôt dây cung bâ´t k`y trong h`ınh tr`on C ¯d˜a cho v`a γ , , l`
a cung nho trong hai cung do c t 0 .ao ra. K´
y hi .êu γ l`a cung ¯dô´i x´ung , , , , , v´
oi γ qua tâm cua h`ınh tr` on. R˜ o r`
ang m .ôt ¯du`ong k´ınh cua C c´˘at dây , cung c khi v`a chı khi c´ o hai ¯ dâ`u m´ ut n` ˘ am trong 0 γ v` a γ . , ,, , , , , , Gia su r` ˘ ang tông ¯
d .ô d`ai nh˜ung dây cung ¯d˜a ke l´on hon ho.˘ac , , , , b` ˘ ang πk. Khi ¯ d´ o tông ¯
d .ô d`ai tâ´t ca c´ac cung d.ang γ l´on hon πk. , , , C˜ ung ¯ d´ ung nhu v 0 .ây cho tông ¯
d .ô d`ai c´ac cung d.ang γ . Suy ra tông , , , , ¯ d 0 .ô d` ai cua c´
ac cung d .ang γ ho.˘ac γ l`a l´on hon 2πk. V`ı ¯d .ô d`ai cua , , , ,, ¯ du` ong tr`
on C l`a 2π, t`u nguyên l´y Ðirichlê mo r .ông suy ra tô`n t.ai ´ıt ,
nhâ´t m .ôt ¯diêm thu .ôc C, m`a n´o n`˘am trên ´ıt nhâ´t k + 1 cung c´o d.ang , , , 0 , , , γ ho .˘ ac γ . Nê´u t`u ¯ diêm chung n` ay ta ke ¯ du` ong k´ınh cua C,th`ı n´ o c´ ˘ at ,
´ıt nhâ´t k + 1 dây cung ¯ d˜ a cho, ¯ diê`u n` ay tr´ ai v´ oi ¯ diê`u ki .ên trong ¯dâ`u , , b`
ai. V .ây ¯diê`u kh˘ang ¯d.inh cua b`ai to´an l`a ¯d´ung. J , , , ,
. 10.10. M .ôt t .âp h.op M l`a h.op cua m.ôt sô´ ¯do .an th˘ang n`˘am trong , , , , ,
khoang [0, 1]. Biê´t r` ˘ ang khoang c´ ach gi˜ ua hai ¯ diêm bâ´t k` y cua M , , , , không b` ˘ ang 0,1. Ch´ ung minh r` ˘ ang tông ¯
d .ô d`ai cua nh˜ung ¯do .an t .ao , ,
nên M không vu .ot qu´a a) 0, 55; b) 0, 5. , , 116 Chuong 10. Nguyên l´
y Ðirichlê cho di .ên t´ıch , , , , , , ,, , , L` oi giai. a) Ch´ ung minh b` ˘ ang phan ch´ ung. Gia su tông S cua ¯ d .ô , , , , d` ai nh˜ ung ¯
do .an th˘ang t.ao nên M l´on hon 0,55. Ch´ung ta x´et t.âp N , , , , , , ,
nh .ân ¯du .oc t`u M b`˘ang c´ach c .ông m˜ôi ¯do.an th˘ang cua M v´oi 0,1. T`u , , ¯
diê`u ki .ên cua b`ai to´an suy ra M v`a N không c´o ¯diêm chung. Ngo`ai , , , , , ra tông ¯
d .ô d`ai cua N b`˘ang S nên l´on hon 0,55. D˜ê thâ´y hai t.âp h .op , M v` a N n`˘am trong ¯
do .an [0;1,1]. V`ı 2.S > 2.0, 55 = 1, 1, t`u nguyên , , l´
y Ðirichlê suy ra M v`a N c´ o ¯ diêm chung, ¯ diê`u n` ay d˜ ân t´ oi vô l´ y. , ,, , , , , b) Gia su ¯
d .ô d`ai cua tâ´t ca c´ac ¯do.an trong M l´on hon 0,5. Ch´ung 1 1 2 9 ta chia ¯
do .an [0,1] th`anh 10 phâ`n 0, , , , . . . , , 1 . K´y 10 10 10 10 , i i + 1
hi .êu Mi l`a phâ`n cua M n`˘am trong ¯do.an , , i = 0, 1, . . . , 9 10 10 , , v` a Si l`a tông ¯
d .ô d`ai c´ac ¯do.an th˘ang tao ra Mi. B`˘ang c´ach t.inh , , 1 2 9
tiê´n th´ıch h .op ch´ung ta chuyên m .oi ¯do.an , , . . . , , 1 10 10 10 , 1 , , , t´ oi 0, . K´ y hi .êu M0 l`a anh cua M i i = 2, 3, 4 . . . , 9. V`ı 10 i i v´ o ,
S = S1 + S2 + · · · + S10 > 0, 5 = 5.0, 1, t`u nguyên l´y Ðirichlê ,, , ,
mo r .ông suy ra c´o ´ıt nhâ´t 6 t.âp h .op trong M0, M0 , . . . , M0 c´o m 1 9 ¯ diê 1 chung. Ðiê`u n` ay c´ o ngh˜ıa l`
a m .ôt sô´ n`ao ¯d´o trong 0, l` a kê´t 10 , , , , , , , , qua cua 6 ¯ diêm kh´
ac nhau x1, x2, . . . , x6 cua M tr`u ¯ di tuong ´ ung , k k k ,, nh˜ ung sô´ d 1 2 6 .ang , , . . . , , o ¯ dây k 10 10 10 i l`
a m .ôt sô´ n`ao ¯d´o trong
0, 1, 2, . . . , 9, i = 1, 2, . . . 6. D˜ê d` ang thâ´y r` ˘ ang ´ıt nhâ´t c´ o hai trong c´ ac,
sô´ k1, k2, . . . , k6 l`a liên tiê´p (´ap d .ung nguyên l´y Ðirichlê). V´ı d .u nhu k k 1 k 1 2 2 = k1 + 1. V` ı x1 − = x , nên x , 10 2 − 10 2 − x1 = (k2 − k1) = 10 ¯ diê`u n` ay ¯ d˜ ân ¯ dê´n vô l´ y. J 10.3. B` ai t .âp 117 10.3. B ` ai t .âp , . 10.11. Cho n l`
a m .ôt sô´ t .u nhiên bâ´t k`y, c`on A l`a m .ôt bê` m.˘at , ,
trong m .˘at ph˘ang, m`a s(A) > n. Khi ¯d´o tô`n t.ai n + 1 ¯diêm trong , kh´
ac nhau (xi, yi) (i = 1, 2, . . . , n + 1) cua A, m`a hi.êu xi − xj v`a ,
yi − yj(i, j = 1, 2, . . . , n + 1) l`a nh˜ung sô´nguyên. , , . 10.12. Nê´u v´
oi m .ôt bê`m.˘at A trong m.˘at ph˘ang v`a m .ôt sô´nguyên , , ,
duong k thoa m˜an S(A) < k, th`ı tô`n t .ai m .ôt ph´ep t.inh tiê´n sao cho , , , , ,
anh cua A qua ph´ep t.inh tiê´n n`ay ch´ua nhiê`u nhâ´t k − 1 ¯diêm v´oi t .oa ¯d .ô nguyên. , , . 10.13. Cho A l`
a t .âp h .op lô`i, ¯dô´i x´ung qua gô´c t .oa ¯d .ô trong m.˘at , , , ph˘
ang, n l`a sô´t .u nhiên v`a S(A) > 4n. Khi ¯d´o A ch´ua ´ıt nhâ´t 2n + 1 , , ¯ diêm trong kh´ ac nhau v´ oi t .oa ¯d .ô nguyên. , , . 10.14. Nê´u A l`
a t .âp h .op lô`i, b.i ch.˘an, ¯dô´i x´ung qua gô´c t .oa ¯d .ô v`a , , , c´
o di .ên t´ıch b`˘ang 615, th`ı A ch´ua ´ıt nhâ´t 307 ¯diêm m`a khoang c´ach , , , gi˜
ua m .oi c.˘ap trong ch´ung l´on hon ho.˘ac b`˘ang 1. , , , , , . 10.15. Cho F l`
a t .âp h .op lô`i, b.i ch.˘an nh˜ung ¯diêm cua m.˘at ph˘ang. , , , , , Ch´
ung ta g .oi ¯d .ô h˜uu hi.êu cua t.âp h .op F l`a khoang c´ach nho nhâ´t , , , , ,, , , , gi˜ ua hai ¯ du` ong th˘
ang song song o hai ph´ıa cua t .âp h .op F. Ch´ung , , , minh r` ˘
ang nê´u trong m .ôt t.âp h .op lô`i, b.i ch.˘an v´oi ¯d .ô h˜uu hi.êu d c´o , , , , , , , ch´
ua m .ôt sô´ t.âp h .op con m`a tông ¯d .ô h˜uu hi.êu cua ch´ung l´on hon , , , ,
kd, th`ı tô`n t .ai ¯du`ong th˘ang, m`a n´o c´˘at ´ıt nhâ´t k + 1 t.âp h .op con n´oi trên. , , 118 Chuong 10. Nguyên l´
y Ðirichlê cho di .ên t´ıch , , CHUONG 11 , , TO ´ AN H .OC TÔ H .OP 11.1. V´ı d .u ,
. 11.1. (Ðê` thi To´
an Olympic Quô´c tê´,1972) Cho t .âp h.op gô`m 10 sô´ , , , , o hai ch˜ u sô´. Ch´ ung minh r` ˘
ang t .âp h.op ¯d´o c´o ´ıt nhâ´t hai t .âp h.op con , , ,, không giao nhau, m` a tông nh˜
ung phâ`n tu trong ch´ ung b` ˘ ang nhau. , , , , L`
oi giai. Nê´u c´
o hai t .âp h .op con giao nhau m`a tông trong ch´ung , , , ,, b` ˘ ang nhau th`ı ch´ ung ta c´ o thê bo nh˜ ung phâ`n tu chung ¯ di. Khi ¯ d´ o , ,, , c`
on l .ai hai t.âp không giao nhau v`a tông c´ac phâ`n tu cua ch´ung v˜ân b` ˘ ang nhau. , , Ch´ ung ta t´ınh c´
o bao nhiêu t .âp h .op con không r˜ông cua m .ôt t.âp , , , ,, , , , , , ,
h .op c´o mu`oi phâ`n tu. Sô´lu .ong nh˜ung t.âp h .op con chı ch´ua 1 phâ`n ,, , , , , , ,, tu c´
o 10 ho .˘ac l`a C1 . Sô´ lu ng nh˜ung t p con ch´ ua 2 phâ`n tu 10 .o .âp h .o , , , , , ,, l` a C2 . Sô´lu ng nh˜ung t p con ch´ ua 3 phâ`n tu l` a C3 ,. . . Suy ra 10 .o .âp h .o 10 , , , ,
tông sô´lu .ong c´ac t.âp h .op con l`a C110 + C210 + C3 + · · · + = ( 10 C10 10 1 + 1)10 = 1023 , , , ,
Ðiê`u ki .ên b`ai ra l`a 10 sô´ ¯d˜a cho không l´on hon 99. V.ây tông cua , , , , c´ ac sô´ trong m˜
ôi t .âp h .op con không vu .ot qu´a 99.10 = 990, nhu v.ây , , , ,
sô´ lu .ong nh˜ung tông kh´ac nhau nhiê`u nhâ´t l`a 990. Theo nguyên l´y , , ,
Ðirichlê trong sô´ 1023 t .âp h .op con cua t.âp h .op gô`m 10 sô´ s˜e c´o ´ıt , ,, ,
nhâ´t hai t .âp m`a tông c´ac phâ`n tu trong ch´ung phai b`˘ang nhau. J , , , , 120 Chuong 11. To´ an h .oc tô h .op ,
. 11.2. Cho 15 b` ai to´ an tr´ ˘
ac nghi.êm, ¯d´anh sô´ t`u 1 ¯dê´n 15, m˜ôi b`ai , , , , chı c´ o hai kha n˘ ang tra l` oi : ¯
ung ho .˘ac sai. C´o 1600 th´ı sinh tham gia , , , , thi, nhung không c´ o ai tra l` oi ¯ ung 2 b` ai liê`n nhau. Ch´ ung minh r` ˘ ang , , ,
o ´ıt nhâ´t hai th´ı sinh tra l` oi to`
an b .ô 15 b`ai h.êt nhu nhau. , , , , , , , ,, L` oi giai. B` ai l` am cua m˜ ôi th´ı sinh tuong ´ ung v´ oi m .ôt d˜ay 15 phâ`n tu, ,, , m˜
ôi phâ`n tu ho .˘ac l`a Ð (¯d´ung) ho.˘ac l`a S (sai). Theo gia thiê´t không ,, ,, c´ o d˜ ay n` ao c´ o 2 phâ`n tu kê` nhau l` a Ð, Ð, nên sô´ tô´i ¯ da c´ ac phâ`n tu SS trong d˜ ay l` a 8. ,
Ta nh .ân thâ´y v´oi m˜ôi 0 ≤ k ≤ 8 th`ı sô´ c´ac d˜ay c´o ¯d´ung k phâ`n ,, ,, , , , , , tu Ð l`
a C15−k+1 = C16−k (boi v`ı m˜ ôi m thê´ tuong ¯ duong k k .ôt d˜ ay nhu , , , , v´ oi c´ ach ¯
d .˘at k tâ´m b`ıa gi˜ua 15 − k quyên s´ach: c´o tâ´t ca 16 − k v.i tr´ı , , , , ¯ dê ¯
d .˘at b`ıa, kê ca hai ¯dâ`u cua chô`ng s´ach ¯d´o).
V .ây l`a sô´c´ac d˜ay c´o t´ınh châ´t nêu trên l`a 8
∑ C16−k = 1 + 15 + 91 + 286 + 495 + 462 + 210 + 36 + 1 k k=0 = 1597 < 1600 , , , , , Ðiê`u n` ay ch´ ung to r` ˘ ang phai c´
o ´ıt nhâ´t 2 th´ı sinh c´ o c´ ac câu tra l` oi , h .êt nhu nhau. , , ,
. 11.3. Trong m .ôt h`ınh 9 c .anh ¯dê`u c´o m.ôt ¯dınh ¯du.oc tô mâ`u tr´˘ang , , , , c` on c´ ac ¯ dınh kh´ ac ¯
du .oc tô ¯den. Ch´ung minh r`˘ang tô`n t .ai hai tam gi´ac , , ,
phân bi.êt to`an ¯d˘ang (di.ên t´ıch b`˘ang nhau) m`a c´ac ¯dınh cua m˜ôi tam , , gi´ ac ¯
du .oc tô c`ung m.ôt mâ`u. , , , , , , , , , L` oi giai. T` u 9 ¯ dınh ¯
du .oc tô mâ`u th`ı´ıt nhâ´t c˜ung c´o 5 ¯dınh ¯du .oc tô , ,, c`
ung m .ôt mâ`u. Gia su ¯d´o l`a mâ`u tr´˘ang. N˘am mâ`u tr´˘ang t.ao th`anh 5.4.3 , C5 = = 10 tam gi´ ac phân bi ´ y r` ˘ ang 3 .êt c`
ung m .ôt mâ`u tr´˘ang. Ðê 2.3 11.1. V´ı d .u 121 2kπ , ph´ ep quay m .ôt g´oc
(k = 0, 1, . . . , 8) xung quanh tâm O cua 9 , ,,, , ,
h`ınh 9 c .anh ¯dê`u không anh huong ¯dê´n t.âp M c´ac ¯dınh cua h`ınh 9
c .anh n`ay. V`ı thê´ sau khi quay m˜ôi tam gi´ac trong 10 tam gi´ac trên 2kπ , , m .ôt g´oc
(0 ≤ k ≤ 8) xung quanh O ta ¯ du .oc 10.9 = 90 tam gi´ac 9 , , , , c´ o ¯
dınh trong t .âp h .op M. Tâ´t ca ch´ung không thê phân bi.êt v`ı sô´ , , 2.8.7 tam gi´ ac kh´ ac nhau c´ o ¯
dınh trong t .âp h .op M b`˘ang C5 = = 3 2.3 78 < 90. , , ,
Nhu v .ây ta t`ım ¯du .oc hai tam gi´ac tr´˘ang ∆1 v`a ∆2 sau m .ôt v`ai , , ph´ ep quay tr` ung v´ oi c`
ung m .ôt tam gi´ac ∆. Luu ´y l`a hai tam gi´ac ∆1 , , v`
a ∆2 l`a phân bi.êt. Th.ât thê´, hai tam gi´ac nhu nhau không thê c´o , , , ¯
du .oc sau khi quay t`u m .ôt tam gi´ac. , V`ı m˜ ôi tam gi´
ac ∆1 v`a ∆2 s˜e tr`ung v´oi tam gi´ac ∆ sau khi quay, , , , , nên t` u tam gi´
ac ∆1 b`˘ang m .ôt ph´ep quay ta c´o thê nh.ân ¯du .oc tam , gi´
ac ∆2 (ch˘ang h .an c´ac ph´ep quay ∆1 → ∆, ∆ → ∆2). V.ây ∆1 v`a ∆2 , l` a hai tam gi´ ac phai t`ım. J , , ,,
. 11.4. Trên m .˘at ph˘ang c´o n h`ınh. Gia su Si , l` a di 1 ...ik .ên t´ıch phâ`n , , , giao cua c´ ac h`ınh th´
u i1, . . . , ik, c`on S l`a di.ên t´ıch phâ`n m .˘at ph˘ang b.i , ,, , , , , phu boi c´ ac h`ınh ¯ o. K´
y hi.êu Mk l`a tông tâ´t ca c´ac Si , t´ uc l` a tông 1 ...ik , , , , ,
di.ên t´ıch cua tâ´t ca c´ac h`ınh c´o thê c´o l`a giao cua k h`ınh ¯d˜a cho. Ch´ung minh r` ˘ ang
a) S = M1 − M2 + M3 − . . . − (−1)n+1Mn ,
b) S ≥ M1 − M2 + M3 − . . . − (−1)n+1Mn v´oi m ch˜˘ an v` a , ,
S ≤ M1 − M2 + M3 − . . . − (−1)n+1Mn v´oi m le. , , ,, , ,, L` oi giai. a) K´
y hi .êu Cn l`a sô´ c´ach ch u t` u n phâ`n tu, ta k .on k phâ`n t , , c´
o nh.i th´uc Niuton (x + y)n = ∑nk=0 Cnxkyn−k. K´y hi k .êu Dm l` a di .ên , , , , 122 Chuong 11. To´ an h .oc tô h .op , , ,, ,
t´ıch phâ`n m .˘at ph˘ang b.i phu boi ¯d´ung m h`ınh. Phâ`n m.˘at ph˘ang ¯d´o , , , , ,, gô`m nh˜ ung manh, m˜
ôi manh b.i phu boi m h`ınh x´ac ¯d.inh n`ao ¯d´o. , , , , ,,
Khi t´ınh Mk di.ên t´ıch m˜ôi manh nhu v.ây, s˜e ¯du .oc t´ınh Cm lâ`n, boi v`ı k , , , , , t` u m h`ınh c´
o thê t .ao ¯du .oc Cm giao cua k h`ınh. Do ¯d´o k Mk = CkkDk + Ck+1D k k+1 + · · · + Cn k Dn
Suy ra M1 − M2 + M3 − · · · + (−1)n+1 = C1D − C2)D 1 1 + (C2 1 2 2 +
· · · + (Cn − Cn + Cn − · · · )D 1 2 3 n = D1 + D2 + · · · + Dn ,, , ,
boi v`ı do nh.i th´uc Niuton Cm − Cm + 3m − · · · − (−1)mCm 1 2 m = (−1 +
Cm − Cm + Cm − · · · − (−1)mCm 1 2 3 m ) + 1 = (1 − 1)m + 1 = 1 , Cuô´i c` ung ch´ ung ta luu ´ y r` ˘
ang S = D1 + D2 + · · · + Dn. , b) T` u phâ`n a) ta c´ o
S − (M1 − M2 + · · · + (−1)m+1Mm) =
= (−1)m+2 Mm+1 + (−1)m+3Mm+2 + · · · + (−1)n+1Mn n
= ∑((−1)m+2Cim+ + · · · + (− 1 1)n+1Cin)Di i=1 , , , , , (Ta qui u´
oc nê´u k > i th`ı Ci = 0. Do ¯ d´ o ta chı câ`n phai ch´ ung minh k r` ˘ ang: , Ci − Ci + Ci
− . . . − (−1)m+n+1Ci ≥ 0 v´oi i ≤ n. m+1 m+2 m+3 n , , , , , T` u ¯ d˘ ang th´
uc (x + y)i = (x + y)i−1(x + y) suy ra ¯ d˘ ang th´ uc Ci = Ci−1 + Ci−1. j j−1 j Do ¯ d´ o Ci − − m+1 Cim+2 + Cim+3 . . . − (−1)m+n+1Cin = = Ci−1 − − m + Ci−1 Ci−1 + Ci−1 . . . m+1 m+2 m+3
+(−1)m+n+1Ci−1 + (−1)m+n+1Ci−1 ± Ci−1 n−1 n = Ci−1 m n , , , Cuô´i c` ung chı câ`n luu ´ y r` ˘ ang Ci−1 n = 0 v´ oi i ≤ n. J 11.1. V´ı d .u 123 ,
. 11.5. M .ôt c´ai ´ao di.ên t´ıch b`˘ang 1 c´o 5 miê´ng v´a, m`a di.ên t´ıch cua , , , , , ôi miê´ng v´
a không nho hon 0,5. Ch´ ung minh r` ˘ ang luôn t`ım ¯ du .oc hai , , , miê´ng v´ a c´
o di.ên t´ıch phâ`n chung cua ch´ung không nho hon 0,2. , , , ,, , L`
oi giai. Gia su di .ên t´ıch c´ai ´ao b`˘ang M, di.ên t´ıch phâ`n giao cua c´ac , , miê´ng v´ a th´ u i1, . . . , ik b`˘ang Si , c` on M . T` u b` ai trên suy 1 ...ik k = ∑ Si1...ik ,, ,
ra M − M1 + M2 − M3 + M4 − M5 ≥ 0, boi v`ı M ≥ S. C´ac bâ´t ¯ d˘ ang , , , , , , , , , th´
uc tuong t .u c´o thê ¯du .oc viê´t không chı cho ca c´ai ´ao, m`a c`on cho , , , t` ung miê´ng v´ a. Nê´u ta coi miê´ng v´
a S1 nhu m .ôt c´ai ´ao v´oi c´ac miê´ng , , v´
a S12, S13, S14, S15 th`ı ta ¯
du .oc S1 − ∑ S1i + ∑ S1ij − ∑ S1ijk + S12345 ≥ , , , , , ,
0. C .ông c´ac bâ´t ¯d˘ang th´uc nhu v.ây cho tâ´t ca 5 miê´ng v´a, ta ¯du .oc ,,
M1 − 2M2 + 3M3 − 4M4 + 5M5 ≥ 0 (h .ang tu Si c´ o trong c´ ac 1 ...ik , , , , bâ´t ¯ d˘ ang th´ uc cho c´ ac miê´ng v´
a i1 . . . ik, nên trong tông tâ´t ca c´ac , , , , bâ´t ¯ d˘ ang th´ uc n´ o c´
o h .ê sô´ k). C .ông c´ac bâ´t ¯d˘ang th´uc 3(M − M1 +
M2 − M3 + M4 − M5) ≥ 0 v`a M1 − 2M2 + 3M3 − 4M4 + 5M5 ≥ 0, , , , ta ¯
du .oc 3M − 2M1 + M2 − M4 + 2M5 ≥ 0. C .ông v`ao ¯d´o bâ´t ¯d˘ang , , , , , th´ uc M4 − 2M5 ≥ 0, (¯
du .oc suy ra t`u S12345 c´o trong tâ´t ca c´ac Si1i2i3i4 , , , , t´ uc l` a M4 ≥ 5M5 ≥ 2M5), ta ¯
du .oc 3M − 2M1 + M2 ≥ 0, t´uc l`a ,, , , , ,
M2 ≥ 2M1 − 3M ≥ 5 − 3 = 2. Boi v`ı t`u 5 miê´ng v´a c´o thê t .ao ¯du .oc , ,
10 c .˘ap, nên di.ên t´ıch giao cua m .ôt trong sô´ c´ac c.˘ap ¯d´o không nho , M hon 2 ≥ 0, 2. J 10 , , ,, , ,
. 11.6. (Ðê` thi To´ an vô ¯
d.ich CHLB дuc, 1979) Gia su m˜ôi ¯diêm cua , , , , , ,
m .˘at ph˘ang ¯du.oc tô b`˘ang 1 trong n mâ`u (n l`a sô´ t .u nhiên cho tru´oc). , , , , , , Ch´ ung minh r` ˘
ang tô`n t .ai m.ôt h`ınh ch˜u nh .ât v´oi c´ac ¯dınh ¯du.oc tô c`ung m .ôt mâ`u. , , , L`
oi giai. Ta thiê´t l .âp trong m.˘at ph˘ang m .ôt h.ê to.a ¯d .ô Ðê` c´ac vuông , , , g´ oc tu` y ´ y v` a ch´ u ´ y t´ oi ¯ diêm nguyên (i, j) v´ oi 1 ≤ i ≤ n + 1 v`a , , , , 124 Chuong 11. To´ an h .oc tô h .op , , , ,
1 ≤ j ≤ nn+1 + 1. Vi .êc tô mâ`u kê theo th´u t .u n + 1 ¯diêm trên m˜ôi , d` ong c´ o nn+1 c´ach kh´ac nhau (m˜ ôi ¯ diêm c´ o n c´ach tô). Do ¯ d´ o c´ o , , ´ıt nhâ´t l` a 2 d` ong trong sô´ nn+1 + 1 d` ong ¯ du .oc tô mâ`u giô´ng nhau ,, , , , (ngh˜ıa l` a hai d`
ong giô´ng nhau vê` mâ`u s´ ˘ ac tô o ¯ diêm th´ u nhâ´t, ¯ diêm , , , , , , , ,, th´ u hai,. . . ,¯ diêm th´
u n + 1 ch˘ang h .an t´ınh t`u tr´ai qua phai). Gia su , , , hai d` ong â´y l` a d` ong nh˜ ung ¯ diêm c´
o to .a ¯d .ô k v`a m; ngh˜ıa l`a v´oi m˜ôi , ,, i ∈ {1, 2, . . . , n} c´ ac ¯ diêm (i, k) v`a (i, m) c´ o c` ung m .ôt mâ`u. Boi v`ı , , , chı c´
o n mâ`u nên trong sô´ n + 1 ¯ diêm trên d` ong c´ ac ¯ diêm c´ o tung , , , ¯
d .ô k ´˘at c´o ´ıt nhâ´t hai ¯diêm c´o c`ung mâ`u, ch˘ang h.an, ¯d´o l`a 2 ¯diêm , , , (a, k) v` a (b, k). Khi ¯ d´ o h`ınh ch˜
u nh .ât v´oi c´ac ¯dınh (a, k), (b, k), (b, m) , v` a (a, m) c´ o 4 ¯ dınh c` ung mâ`u. J , , ,
. 11.7. Cho 1000 ¯
diêm trên m .˘at ph˘ang M1, M2, . . . , M1000. Ch´ung , , , , , minh r` ˘ ang trên bâ´t c´ u ¯ du` ong tr` on b´ an k´ınh 1 n` ao ta ¯ dê`u t`ım ¯ du .oc m.ôt , , , , , ¯
diêm S sao cho tông khoang c´ ach t` u S ¯ dê´n c´ ac ¯
diêm M1, M2, . . . , M1000 , , không nho hon 1000. , , , ,, , , , , L`
oi giai. Gia su S1 v`a S2 l`a hai ¯ diêm tu` y ´ y ¯ dô´i tâm cua ¯ du` ong tr` on T b´ an k´ınh 1. Ta c´
o S1S2 = 2, v .ây S1M1 + S2M2 ≥ S1S2 = 2;
S1M2 + S2M2 ≥ 2;. . . ; S1M1000 + S2M1000 ≥ 2. V`ı thê´ (S1M1 +
S2M1) + (S1M2 + S2M1) + · · · + (S1M1000 + S2M1000) = (S1M1 +
S1M2 + · · · + S1M1000) + (S2M1 + S2M2 + · · · + S2M1000) ≥ 2000. , , Do ¯ d´
o ´ıt nhâ´t m .ôt trong hai ¯diêm S1 v`a S2 ch´˘ac ch´˘an thoa m˜an , , , , b` ai ra l` a tông khoang c´ ach t` u n´ o ¯ dê´n c´ ac ¯ diêm M1, M2, . . . , M1000 , , không nho hon 1000. J , ,
. 11.8. Cho 37 ¯
diêm phân bi.êt trong không gian c´o to .a ¯d.o l`a nh˜ung , , ,
sô´ nguyên sao cho không c´ o ba ¯ diêm n` ao th˘ ang h` ang. Ch´ ung minh , , , , r` ˘ ang ta c´
o thê ch .on 3 ¯diêm m`a to .a ¯d.ô giao ¯diêm c´ac trung tuyê´n cua tam gi´
ac t .ao th`anh ¯dê`u l`a sô´nguyên. 11.1. V´ı d .u 125 , , , , , , L` oi giai. V´ oi m˜ ôi ¯ diêm x; y; z c´
o to .a ¯d .ô l`a nh˜ung sô´ nguyên (¯diêm , , , , , , nguyên) ta cho tuong ´ ung c´
ac sô´ ¯x; ¯y; ¯z l`a nh˜ung sô´ du cua ph´ep chia c´
ac sô´ x; y; z cho 3. V`ı ¯x nh .ân không qu´a 3 gi´a tr.i nên ´ıt nhâ´t , , 13 trong sô´37 ¯ diêm c´ o c` ung gi´
a tr.i (nê´u không, thê´th`ı sô´c´ac ¯diêm , , , , , , , không l´
on hon 12.3=36). Tuong t .u, c´o không´ıt hon 5 trong 13 ¯diêm , ¯ d´ o c´ o gi´ a tr.i ¯y nhu nhau. , , , Thê´ th`ı giao ¯ diêm c´ ac trung tuyê´n cua tam gi´ ac c´ o ¯ dınh (x1, y1, z1),
(x2, y2, z2) v`a (x3, y3, z3) c´o to .a ¯d .ô x y z x 1 + x2 + x3 1 + y2 + y3 1 + z2 + z3 0 = ; y ; z 3 0 = 3 0 = 3
Nê´u ¯x1 = ¯x2 = ¯x3 v`a ¯y1 = ¯y2 = ¯y3 th`ı c´ac sô´ x0 v`a y0 l`a nguyên c`on , ,
sô´ z0 chı nguyên khi v`a chı khi z1 + z2 + z3 ≡ 0( mod 3). Trong , , , , , tru`
ong h .op b`ai ra ta ch .on ra 5 ¯diêm m`a tâ´t ca sô´ ¯x b`˘ang nhau v`a tâ´t , , , , ,
ca sô´ ¯y b`˘ang nhau. Nê´u trong c´ac ¯ diêm n` ay ta t`ım ¯ du .oc ba ¯diêm m`a , , c´
ac sô´ ¯z nh .ân c´ac gi´a tr.i 0; 1; 2 th`ı v´oi c´ac ¯diêm ¯d´o ta c´o
z1 + z2 + z3 ≡ ¯z1 + ¯z2 + ¯z3 ≡ 0 + 1 + 2 ≡ 0( mod 3) , , , , Nê´u không c´ o nh˜ ung ¯ diêm n` ay th`ı sô´ ¯z v´ oi 5 ¯ diêm ¯ d˜ a ch .on s˜e nh.ân , , , không qu´ a 2 gi´
a tr.i, do ¯d´o ta t`ım ¯du .oc 3 ¯diêm m`a gi´a tr.i ¯z nh.ân c`ung , ,
m .ôt gi´a tr.i m`a sô´z0 ´ung v´oi n´o l`a sô´nguyên. J , , , ,
. 11.9. Trên m .˘at ph˘ang cho 7 ¯du`ong th˘ang trong ¯d´o không c´o hai , , , , , , ¯ du` ong th˘ ang n` ao song song. Ch´ ung minh r` ˘ ang ta t`ım ¯ du .oc hai trong , , , , , , 7 ¯ du` ong th˘ ang n´ oi trên m` a g´ oc gi˜ ua ch´ ung nho hon 260. , , , , , , L` oi giai. Ta h˜
ay t.inh tiê´n tâ´t ca 7 ¯du`ong th˘ang ¯d˜a cho sao cho ch´ung , , , , , , c` ung ¯
di qua m .ôt ¯diêm cô´ ¯d.inh O. Ta s˜e ¯du .oc 7 ¯du`ong th˘ang chia g´oc , , ¯ dâ`y ¯
dınh O th`anh 14 phâ`n. V`ı thê´ m .ôt trong c´ac g´oc t.ao th`anh nho , 3600 5 , hon = 250 < 260 (nê´u tâ´t ca c´ ac g´ oc ¯ dê`u b` ˘ ang nhau th`ı m˜ ôi 14 7 , , , , 126 Chuong 11. To´ an h .oc tô h .op , , , , , , , g´ oc không l´ on hon 260). Nhung g´ oc gi˜ ua hai ¯ du` ong th˘ ang c´ ˘ at nhau , , , , b` ˘ ang g´ oc gi˜ ua hai ¯ du` ong th˘ ang ban ¯ dâ`u. J . 11.10. Cho A l`
a m .ôt t.âp c´ac sô´nguyên v`a x l`a m .ôt sô´nguyên bâ´t , , k`
y. T .âp h .op x + A = {x + a|a ∈ A} g .oi l`a t.inh tiê´n cua A x´ac ¯d.inh ,, , ,, , bo i x. Hay n´ oi c´ ach kh´
ac t .âp h .op x + A gô`m c´ac phâ`n tu cua A c .ông , , , thêm v´ oi c`
ung m .ôt sô´ x. Ch´ung ta n´oi r`˘ang m .ôt t.âp h .op nh˜ung sô´ , , nguyên l`
a k-nho nhâ´t, nê´u tô`n t .ai k t.âp t.inh tiê´n cua A, m`a ch´ung , , , , t` ung ¯ dôi không c´ o ¯
diêm chung. V´ı d .u: m .oi t.âp sô´h˜uu h.an l`a k-nho , , , , nhâ´t v´
oi m .oi sô´nguyên duong k. C˜ung c´o t.âp vô h.an l`a k-nho nhâ´t , , , nhu d˜
ay k + 1, (k + 1)2, . . . , (k + 1)n, . . . Nhung ch´ ung ta ch´ ung minh kê´t lu .ân sau: , , , , , Cho n l`
a sô´t .u nhiên. Khi ¯d´o t .âp h.op nh˜ung sô´nguyên không thê biêu , , , , , di˜
ên nhu h .op cua n t .âp h.op (n + 1)-nho nhâ´t. , , , ,, , , , , L` oi giai. Ch´
ung ta gia su ngu .oc l.ai: tô`n t.ai nh˜ung t.âp h .op (n + 1)- ,
nho nhâ´t A1, A2, . . . , An sao cho m˜ôi sô´ nguyên thu .ôc m .ôt trong , , , , , nh˜
ung t .âp h .op n`ay. Theo ¯d.inh ngh˜ıa cua t.âp (n + 1)-nho nhâ´t v´oi
m .oi i = 1, 2, . . . , n tô`n t.ai n + 1 sô´nguyên ai,1, ai,2, . . . , ai,n+1 sao cho , , v´
oi 1 ≤ r ≤ n + 1, 1 ≤ s ≤ n + 1 v`a r 6= s nh˜ung ph´ep t.inh tiê´n , ,
air + Ai v`a ais + Ai không c´o ¯ diêm chung. K´ y hi .êu N l`a t.âp h .op , , , ,,
tâ´t ca n-b .ô s´˘ap th´u t .u (j1, j2, . . . , jn) o ¯dây j1, j2, . . . , jn ¯d .ôc l.âp nh.ân , , c´ ac gi´
a tr.i 1, 2, . . . , n, n + 1. V´oi m˜ôi n-b .ô a = (j1, j2, . . . , jn) t`u N , , , , ,, cho tuong ´ ung v´
oi m .ôt sô´ nguyên xa = a1j + a + · · · + a . Boi 1 2j2 njn , , , , , v`ı ch´ ung ta ¯ d˜
a gia thiê´t t .âp h .op nh˜ung sô´ nguyên l`a h .op cua c´ac ,
t .âp h .op A1, A2, . . . , An, m˜ôi sô´ xa thu .ôc m .ôt t.âp n`ao ¯d´o trong d˜ay , ,, , ,
t .âp h .op trên. Ngo`ai ra sô´phâ`n tu cua N l`a (n + 1)n (¯dây l`a t´ınh tô , , ,,
h .op).T`u nguyên l´y Ðirichle mo r .ông ch´ung ta c´o ´ıt nhâ´t m .ôt trong , , , (n + 1)n c´
ac t .âp A1, A2, . . . , An ch´ua nh˜ung sô´ d.ang xa v´oi ´ıt nhâ´t n 11.2. B` ai t .âp 127 , b .ô a t`u N. , ,
Không mâ´t t´ınh tông qu´ at ch´
ung ta gia thiê´t A1 c´o t´ınh châ´t , ,, , trên. Ch´ ung ta x´ et tâ´t ca c´
ac phâ`n tu α cua N m`a sô´ x thu α .ôc A1. (n + 1)n ,, Ch´ ung gô`m ´ıt nhâ´t
phâ`n tu. Nê´u α = (j n 1, j2, . . . , jn) l` a m .ôt ,, , , , , phâ`n tu trong ch´ ung, th`ı ch´ ung ta cho tuong ´ ung v´ oi (n − 1)-b .ô , s´ ˘ ap 0
α = (j2, j3, . . . , jn). V`ı 1 ≤ j ≤ n + 1 v´oi m µ
.oi µ = 2, 3, . . . , n, , , , , theo t´ınh châ´t tô h 0 .op v´ oi α
o nhiê`u nhâ´t (n + 1)n−1 kha n˘ang. , , , (n + 1)n T` u bâ´t ¯ d˘ ang th´ uc
> (n + 1)n−1 suy ra ´ıt nhâ´t c´ o hai n-b .ô n
α = (j1, j2, . . . , jn), β = (k1, k2, . . . , kn) ho` an to` an kh´ ac nhau, m` a , , , , x ∈ A ∈ A ong ´ ung v´ oi c` ung m α 1, xβ 1, tu .ôt (n − 1)-b .ô. , , Ch´ ung ta c´ o thê t´ om t´ ˘ at ng´ ˘
an g .on nhu sau: tô`n t.ai hai b .ô kh´ac
nhau α = (j1, j2, . . . , jn) v`a β = (k1, k2, . . . , kn) thu .ôc N, m`a x ∈ α , A1, x ∈ A ng, x = β 1, j1 6= k1 v`
a j2 = k2, j3 = k3, . . . , jn = kn. Nhu α , a1j + a + · · · + a x = a + a + · · · + a nhung v`ı j = k 1 2j2 njn β 1k1 2k2 nkn µ µ , v´ oi m˜
ôi µ = 2, 3, . . . n ch´ ung ta c´ o x − x = a − a ho α β 1j1 1k1 .˘ ac l` a a1k + x = a + x . Khi ¯ d´ o sô´ x = a + x = a + x thu 1 α 1j1 β 1k1 α 1j1 β .ôc v` ao , ,, t .âp h .op a1k + A + A oi 1 1 v` a a1j1
1. Suy ra t .âp t.inh tiê´n A1 x´ ac ¯ d.inh b , , , c´ ac sô´ a1k v`a a c´ o ¯ diêm chung, ¯ diê`u ¯ d´ o tr´ ai v´ oi gia thiê´t khi b´ ˘ at 1 1j1 , ¯ dâ`u ch´ ung minh. J 11.2. B ` ai t .âp
. 11.11. a) Trong h`ınh vuông di .ên t´ıch 6 ¯d.˘at ba ¯da gi´ac di.ên t´ıch , , , 3. Ch´ ung minh r` ˘ ang trong sô´ ¯ d´ o luôn t`ım ¯
du .oc hai ¯da gi´ac m`a di.ên , , , t´ıch phâ`n chung cua ch´ ung không nho hon 1. ,
b) Trong h`ınh vuông di .ên t´ıch 5 ¯d.˘at 9 ¯da gi´ac di.ên t´ıch 1. Ch´ung , , minh r` ˘ ang trong sô´ ¯ d´ o luôn t`ım ¯
du .oc hai ¯da gi´ac m`a di.ên t´ıch phâ`n , , , , 128 Chuong 11. To´ an h .oc tô h .op , , , 1 chung cua ch´ ung không nho hon . 9 , , , , , . 11.12. S´ au ¯ diêm ¯
du .oc s´˘ap xê´p trên m.˘at ph˘ang sao cho ba ¯diêm , , bâ´t k` y l` a ¯
dınh cua m .ôt tam gi´ac m`a c´ac c.anh c´o ¯d .ô d`ai kh´ac nhau. , , , Ch´ ung minh r` ˘
ang c .anh nho nhâ´t cua m .ôt trong c´ac tam gi´ac ¯dô`ng , , , th` oi l`
a c .anh l´on nhâ´t cua m .ôt tam gi´ac kh´ac. , ,
. 11.13. Cho P1, P2, . . . , P7 l`a bây ¯
diêm trong không gian, trong ¯ d´ o , , không c´ o bô´n ¯ diêm n` ao ¯ dô`ng ph˘ ang. Tô mâ`u m˜ ôi ¯ do .an PiPj (i < j) , , , v´
oi m .ôt trong hai mâ`u ¯do ho.˘ac ¯den. Ch´ung minh r`˘ang c´o hai tam , gi´ ac ¯ don s´ ˘ ac không c´ o chung c .anh. , , . 11.14. C´ o hai ¯ d˜ıa ¯ dê`u ¯
du .oc chia th`anh 1998 h`ınh qu.at b`˘ang nhau, v` a trên m˜ ôi ¯
d˜ıa tô m .ôt c´ach bâ´t k`y (b`˘ang m .ôt mâ`u) 200 h`ınh qu.at. , , , C´ ac ¯ d˜ıa ¯
du .oc ¯d.˘at chô`ng lên nhau v`a quay m .ôt ¯d˜ıa theo nh˜ung g´oc , 3600 , l` a b .ôi cua . Ch´ ung minh r` ˘
ang tô`n t .ai ´ıt nhâ´t 94 v.i tr´ı c´o không 1998 , , , qu´
a 20 h`ınh qu .at ¯du .oc son tr`ung nhau. , , , , ,
. 11.15. Trên m .˘at ph˘ang cho n ¯du`ong th˘ang t`ung ¯dôi không song , , , , , , song v´ oi nhau. Ch´ ung minh r` ˘ ang g´ oc gi˜ ua hai ¯ du` ong th˘ ang n` ao ¯ d´ o , , 1800 trong sô´ ¯ d´ o không l´ on hon . n , , CHUONG 12 M .ÔT S ´ Ô B ` AI T .ÂP H`INH H .OC KH ´AC 12.1. V´ı d .u , , ,
. 12.1. Trong h`ınh ch˜
u nh .ât 3x4 ¯d .˘at 6 ¯diêm. Ch´ung minh r`˘ang trong , , , , , , sô´ ¯ o luôn t`ım ¯
du .oc hai ¯diêm c´o khoang c´ach gi˜ua ch´ung không l´on , hon 5. , , , L`
oi giai. Chia h`ınh ch˜u nh .ât ra l`am ,
5 h`ınh nhu h`ınh 12.1. Trong m .ôt trong sô´ c´ ac h`ınh ¯ d´ o s˜ e c´ o ´ıt nhâ´t , , , 2 ¯ diêm, v` a khoang c´ ach gi˜ ua hai , , , √ ¯ diêm ¯ d´ o s˜ e không l´ on hon 5. J H`ınh 12.1: , , ,
. 12.2. Trên m .˘at ph˘ang c´o 25 ¯diêm, biê´t r`˘ang trong 3 ¯diêm bâ´t k`y , , , , trong sô´ ¯ o luôn c´ o 2 ¯ diêm c´
ach nhau nho hon 1. Ch´ ung minh r` ˘ ang , , ,
tô`n t .ai h`ınh tr`on b´an k´ınh 1 ch´ua không ´ıt hon 13 ¯diêm ¯d˜a cho. , , , ,, , , , L`
oi giai. Gia su A l`a m .ôt ¯diêm ¯d˜a cho. Nê´u tâ´t ca c´ac ¯diêm c`on l.ai , n` ˘ am trong h`ınh tr`
on S1 tâm A b´an kinh 1 th`ı ta không câ`n phai , , ,, , ch´
ung minh g`ı thêm. Gia su c´
o m .ôt ¯diêm B trong sô´ ¯d˜a cho n`˘am , , , ngo` ai ¯ du` ong tr`
on S1 t´uc l`a AB > 1. X´et h`ınh tr`on S2 tâm B b´an k´ınh , , 1. Trong sô´ c´ ac ¯ diêm A, B, C trong ¯ d´ o C l`a ¯ diêm ¯ d˜ a cho bâ´t k` y luôn , , , , , , , c´ o hai ¯ diêm c´ ach nhau nho hon 1, hon n˜ ua ¯ d´ o không thê l` a 2 ¯ diêm , , 130
Chuong 12. M .ôt sô´b`ai t.âp h`ınh h .oc kh´ac , , , A v` a B. Do ¯ d´ o c´ ac h`ınh tr`
on S1 v`a S2 ch´ua tâ´t ca c´ac ¯ diêm ¯ d˜ a cho, , , , , t´ uc l`
a m .ôt trong hai h`ınh tr`on ¯d´o ch´ua không ´ıt hon 13 ¯diêm ¯d˜a cho. J , , ,
. 12.3. Bên trong ¯ du` ong tr` on b´ an k´ınh n ¯
d .˘at 4n ¯do .an th˘ang c´o ¯d.ô d`ai , , , , , , 1. Ch´ ung minh r` ˘ ang c´
o thê ke m .ôt ¯du`ong th˘ang song song ho .˘ac vuông , , , , , , , oc v´ oi ¯ du` ong th˘ ang l cho tru´ oc v` a c´ ˘ at ´ıt nhâ´t 2 ¯
do .an th˘ang ¯d˜a cho. , , , ,, , , , , L`
oi giai. Gia su l1 l`a ¯ du` ong th˘ ang bâ´t k` y vuông g´ oc v´ oi l. K´y hi .êu , , , , , , ¯
d .ô d`ai c´ac h`ınh chiê´u cua ¯do.an th˘ang th´u i lên c´ac ¯du`ong th˘ang l , , , ,, , , v`
a l1 l`a ai v`a bi tuong ´ung. Boi v`ı ¯
d .ô d`ai cua m˜ôi ¯do.an th˘ang b`˘ang 1, nên ai + bi ≥ 1. Do ¯ d´
o (a1 + · · · + a4n) + (b1 + · · · + b4n) ≥ 4n. , , ,,
Không mâ´t t´ınh tông qu´
at gia su (a1 + · · · + a4n) ≥ (b1 + · · · + b4n). , , , , Khi ¯ d´
o a1 + · · · + a4n ≥ 2n. Tâ´t ca c´ac ¯
do .an th˘ang ¯d˜a cho ¯dê`u ¯du .oc , ,, chiê´u xuô´ng ¯
do .an th˘ang c´o ¯d .ô d`ai 2n, boi v`ı ch´ung ¯dê`u n`˘am trong , , , , , ¯ du` ong tr` on b´
an k´ınh n. Nê´u nhu c´ac h`ınh chiê´u cua c´ac ¯ do .an th˘ang , , , , , ¯ d˜ a cho lên ¯ du` ong th˘ ang l không c´ o ¯ diêm chung, th`ı s˜ e c´ o bâ´t ¯ d˘ ang , , , , th´
uc a1 + · · · + a4n < 2n. Do ¯ d´ o trên l phai c´
o m .ôt ¯diêm b.i c´ac ¯diêm , , , ,
cua ´ıt nhâ´t hai trong sô´ c´ ac ¯
do .an th˘ang ¯d˜a cho chiê´u lên ¯d´o. Ðu`ong , , , vuông g´ oc v´
oi l t .ai ¯diêm ¯d´o s˜e c´˘at ´ıt nhâ´t hai ¯do.an th˘ang ¯d˜a cho. J , ,
. 12.4. Trên do .an th˘ang c´o ¯d.ô d`ai 1 ta tô m.ôt sô´ ¯do .an th˘ang sao , , , , , , cho khoang c´ ach gi˜ ua hai ¯ diêm ¯
du .oc tô bâ´t k`y không b`˘ang 0,1. Ch´ung , , , , , , minh r` ˘ ang tông ¯
d .ô d`ai c´ac do .an th˘ang ¯du.oc tô không l´on hon 0,5. , , , , L` oi giai. Chia ¯
do .an th˘ang ra l`am 10 ¯do.an th˘ang c´o ¯d .ô d`ai 0,1, ¯d.˘at , , ch´
ung theo m .ôt c .ôt v`a chiê´u ch´ung xuô´ng m .ôt ¯do.an th˘ang nhu v.ây. ,, , , , , , Boi v`ı khoang c´ ach gi˜ ua hai ¯ diêm ¯
du .oc tô bâ´t k`y không b`˘ang 0,1, , , , , , , nên c´ ac ¯ diêm ¯
du .oc tô cua c´ac ¯do.an th˘ang c.anh nhau không thê c`ung , , , chiê´u xuô´ng 1 ¯ diêm. Do ¯ d´ o không c´ o ¯ diêm n` ao c´ o thê l` a h`ınh chiê´u 12.1. V´ı d .u 131 , , , , , , , , cua c´ ac ¯ diêm ¯
du .oc tô cua nhiê`u hon 5 ¯do.an th˘ang. Suy ra tông , , , , , , ¯
d .ô d`ai c´ac h`ınh chiê´u cua c´ac ¯do.an th˘ang ¯du .oc tô không l´on hon 5.0, 1 = 0, 5. J , , , , . 12.5. Ch´ ung minh r` ˘
ang nê´u m .ôt ¯du`ong th˘ang l n`˘am trong m .˘at , , , , ph˘ ang cua tam gi´ ac ABC v` a không ¯ di qua ¯ dınh n` ao cua tam gi´ ac ¯ o, , th`ı n´ o c´ ˘ at không qu´
a hai c .anh cua tam gi´ac ¯d˜a cho. , , ,, , , L` oi giai.
y hi .êu α v`a α l`a hai nua m.˘at ph˘ang do l chia m.˘at ph˘ang , , ,, cua tam gi´ ac ABC. M˜ ôi ¯
dınh A, B v`a C n`˘am trong m .ôt nua m.˘at , ,, ph˘ ang trên. Theo nguyên l´
y Ðirichlê ´ıt nhâ´t m .ôt trong hai nua m.˘at , , , , , , ph˘ ang trên, ch˘
ang h .an nhu α, ch´ua hai ¯dınh cua tam gi´ac ABC, , , , , , , ch˘
ang h .an nhu A v`a B. Khi ¯d´o ¯du`ong th˘ang l không c´˘at ¯do.an th˘ang , AB, ngh˜ıa l` a n´ o không c´ ˘
at m .ôt trong ba c.anh cua tam gi´ac ABC. J , , , , , , . 12.6. Nh˜ ung ¯
diêm trong m .˘at ph˘ang ¯du.oc son b`˘ang m.ôt trong ba , , , , mâ`u. Ch´ ung minh r` ˘ ang luôn t`ım ¯
du .oc hai ¯diêm c`ung mâ`u c´ach nhau ¯ ung b` ˘ ang 1. , , , ,, , , , L`
oi giai. Gia su hai ¯ diêm bâ´t k` y c´ ach nhau 1 ¯ dê`u ¯ du .oc tô b`˘ang c´ac , mâ`u kh´ ac nhau. X´ et tam gi´ ac ¯ dê`u ABC c´
o c .anh b`˘ang 1. Tâ´t ca c´ac , , , , , ,, , ¯ dınh cua n´ o ¯
du .oc tô b`˘ang c´ac mâ`u kh´ac nhau. Gia su ¯diêm A1 ¯dô´i , , , , , ,, , x´ ung v´ oi A qua ¯ du` ong th˘
ang BC. Boi v`ı A1B = A1C = 1, nên ¯ diêm , , , , ,
A1 c´o mâ`u kh´ac v´oi mâ`u cua B v`a C, t´uc l`a n´o ¯ du .oc tô c`ung m .ôt mâ`u , , , , √ v´ oi ¯
diêm A. C´ac l .âp lu.ân ¯d´o th .uc châ´t ¯d˜a chı ra r`˘ang nê´u AA1 = 3, , , , th`ı c´ ac ¯
diêm A v`a A1 tô c`ung m .ôt mâ`u. Do ¯d´o tâ´t ca c´ac ¯diêm n`˘am , , √ trên ¯ du`ong tr` on tâm A b´an k´ınh 3 c´ o c`
ung m .ôt mâ`u. R˜o r`ang trên , , , , , , , ¯ du` ong tr` on ¯ d´ o luôn t`ım ¯
du .oc hai ¯diêm c´o khoang c´ach gi˜ua ch´ung , , , , , b` ˘ ang 1. Ta ¯
du .oc mâu thu˜ân, v.ây luôn t`ım ¯du .oc hai ¯diêm c`ung mâ`u , , c´ o khoang c´ ach gi˜ua ch´ ung b` ˘ ang 1. J , , 132
Chuong 12. M .ôt sô´b`ai t.âp h`ınh h .oc kh´ac , , ,
. 12.7. Cho 11 ¯ diêm kh´
ac nhau trong h`ınh câ`u thê t´ıch V. Ch´ ung , , , , minh r` ˘
ang qua tâm cua h`ınh câ`u c´
o thê d .ung hai m .˘at ph˘ang sao cho , , V ch´ ung c´ ˘ at h`ınh câ`u th`
anh m .ôt "miê´ng" v´oi thê t´ıch , m` a phâ`n trong 6 , , , , cua n´ o không ch´
ua trong phâ`n trong bâ´t c´
u m .ôt ¯diêm n`ao ¯d˜a cho. , , , L`
oi giai. Chia h`ınh câ`u ra hai b´ an câ`u b` ˘
ang m .ôt m.˘at ph˘ang ¯di qua , , , , tâm v` a hai ¯ diêm t` u c´ ac ¯ diêm ¯ d˜
a cho. M .ôt b´an câ`u ch´ua trong phâ`n , , , ,, trong nhiê`u nhâ´t l` a 4 ¯ diêm t` u c´ ac ¯ diêm c`
on l .ai. Chia nua h`ınh câ`u , , b` ˘
ang hai m .˘at ph˘ang, m`a m˜ôi m.˘at ph˘ang ¯di qua tâm h`ınh câ`u v`a , , , ,, hai ¯ diêm trong 4 ¯ diêm c`
on l .ai. Nhu v.ây nua h`ınh câ`u chia th`anh 3 , , , , "miê´ng" không ch´
ua m .ôt ¯diêm n`ao bên trong. ´ıt nhâ´t thê t´ıch cua , , 1 , , m .ôt miê´ng l´on hon thê t´ıch cua b´ an h`ınh câ`u. J 3 ,
. 12.8. Cho khô´i ¯
da di.ên lô`i P1 c´o 9 ¯dınh A1, A2, . . . , A9.K´y hi.êu , , , ,,
P2, P3, .., P9 l`a nh˜ung ¯da di.ên ¯du.oc t .ao th`anh boi c´ac ph´ep t.inh tiê´n , , , , −−−→ −−−→ , tuong ´ ung theo c´
ac vecto A1A2, . . . , A1A9. Ch´ ung minh r` ˘ ang ´ıt nhâ´t , 2 trong sô´9 ¯
da di.ên trên c´o ´ıt nhâ´t m.ôt ¯diêm chung. , , , , , L` oi giai. X´ et h`ınh ¯
da di .ên P l`a anh cua P1 qua ph´ep v.i t .u tâm A1 , v`
a h .ê sô´2. Ta s˜e ch´ung minh r`˘ang 9 ¯da di.ên ¯dê`u n`˘am trong P. Th.ât , , , v .ây, cho A1, A∗ l` a c´ ac ınh cua ng 2 , . . . , A∗ 9 ¯ d ¯
da di .ên P. Ch´ung ta s˜e ch´u , , , , minh, ch˘
ang h .an nhu P2 n`˘am trong P. Ðê ch´ung minh ¯diê`u ¯d´o ch´ung , −−−→ , , ta ch´ u ´ y t´ oi ph´
ep t.inh tiê´n A1A2 chuyên c´ac ¯diêm A1, A2, . . . , A9 , , ,, , , t´ oi c´ ac ¯ diêm A2, A∗ , o l` a trung m cua 2 , A03, . . . , A09 ¯ dây A0i ¯ diê ¯ do .an A∗ A∗). 2 i , , , Tông thê t´ıch cua c´ ac ¯
da di .ên P1, P2, . . . , P9 n`˘am trong P b`˘ang ,, , , , , 9V, o ¯ dây V l`a thê t´ıch cua ¯
da di .ên P1, c`on thê t´ıch cua ¯da di.ên P , b` ˘
ang 8V. Suy ra ´ıt nhâ´t c´ o hai ¯
da di .ên c´o ¯diêm chung (nguyên l´y , Ðirichlê cho thê t´ıch. J 12.1. V´ı d .u 133 , , ,
. 12.9. Trong h`ınh câ`u ¯ du` ong k´ınh 3 ¯
d .˘at m.ôt sô´ h`ınh câ`u m`a tông , , , , , ¯ du` ong k´ınh cua ch´ ung b` ˘ ang 25 (nh˜ ung h`ınh câ`u n` ay c´ o thê giao , , , , nhau). Ch´ ung minh r` ˘ ang v´
oi m .oi m .˘at ph˘ang tô`n t .ai m.ôt m .˘at ph˘ang , song song v´ oi n´ o v` a c´ ˘
at ´ıt nhâ´t 9 h`ınh câ`u con. , , , , , L` oi giai. Ch´ ung ta x´ et h`ınh chiê´u c´ ac h`ınh câ`u lên ¯ du` ong th˘ ang , , , vuông g´ oc v´
oi m .˘at ph˘ang ¯d˜a cho. H`ınh câ`u l´on chiê´u v`ao m .ôt ¯do.an , , th˘ ang c´ o ¯
d .ô d`ai 3, c`on c´ac h`ınh câ`u con chiê´u v`ao c´ac ¯do.an th˘ang , , , ,, , , nho c´ o tông 25. Gia su không c´
o m .ôt m.˘at ph˘ang n`ao nhu ¯dê` b`ai ra, , , , , ngh˜ıa l`
a m .oi m.˘at ph˘ang song song v´oi m.˘at ph˘ang ¯d˜a cho chı c´˘at 8 , , , , h`ınh câ`u nho. khi ¯ d´ o m˜ ôi ¯ diêm trong ¯
do .an th˘ang ¯d .ô d`ai 3 chı thu .ôc , , , , nhiê`u nhâ´t l` a 8 ¯
do .an th˘ang h`ınh chiê´u cua nh˜ung h`ınh câ`u nho. Suy , , , , , ra tông cua ch´ ung không qu´
a 24. Nh .ân ¯du .oc s .u vô l´y. J , , ,
. 12.10. Trong h`ınh vuông c .anh 1 ¯don v.i c´o m.ôt ¯du`ong gâ´p kh´uc L , , , , ,
không t .u c´˘a v´oi ¯d.ô d`ai l´on hon 1000. Ch´ung minh r`˘ang tô`n t .ai m.ôt , , , , , , , ¯ du` ong th˘
ang m song song v´
oi c .anh h`ınh vuông v`a c´˘at ¯du`ong L t .ai hon , 500 ¯ diêm. , , , ,, , , , , L`
oi giai. Gia su li l`a ¯
d .ô d`ai m´˘at th´u i cua ¯du`ong gâ´p kh´uc, ai v`a bi , , l` a ¯
d .ô d`ai h`ınh chiê´u cua n´o lên c´ac c.anh cua h`ınh vuông. Khi ¯d´o li ≤ ai + bi. Suy ra
1000 = l1 + · · · + ln ≤ (a1 + · · · + an) + (b1 + · · · + bn) , T´ uc l`
a ho .˘ac a1 + · · · + an ≥ 500 ho.˘ac l`a b1 + · · · + bn ≥ 500. Nê´u , , , tông ¯
d .ô d`ai h`ınh chiê´u cua c´ac m´˘at lên m .ôt c.anh ¯d .ô d`ai 1 không nho , , ,
hon 500, th`ı theo nguyên l´ y Ðirichlê cho ¯
d .ô d`ai ¯do.an th˘ang phai c´o , , , , ¯
diêm chung cho hon 500 h`ınh chiê´u cua c´ ac m´ ˘ at gâ´p kh´ uc, t´ uc l` a , , , , , , , ¯ du` ong vuông g´ oc ke t` u ¯ diêm chung ¯ d´ o s˜ e c´ ˘ at ¯ du` ong gâ´p kh´ uc t .ai ´ıt , nhâ´t 500 ¯ diêm. J , , 134
Chuong 12. M .ôt sô´b`ai t.âp h`ınh h .oc kh´ac 12.2. B ` ai t .âp , , , . 12.11. Cho A l`
a t .âp h .op nh˜ung ¯diêm trên m .ôt m.˘at câ`u v`a c´o di.ên , , ,, , , t´ıch l´
on hon nua di .ên t´ıch m.˘at câ`u. Ch´ung minh r`˘ang A ch´ua ´ıt nhâ´t , , , , ,
m .ôt c.˘ap ¯diêm m`a n´o l`a 2 ¯daah u ¯du`ong k´ınh cua qua câ`u. , ,, , , ,
. 12.12. Ta g .oi h`ınh ch˜u th.âp l`a h`ınh t.ao boi c´ac ¯du`ong ch´eo cua ,
h`ınh vuông c .anh 1. Ch´ung minh r`˘ang trong h`ınh tr`on b´an k´ınh 100 , , , , , , chı c´ o thê ¯
d .˘at ¯du .oc m .ôt sô´h˜uu h.an c´ac ch˜u th.âp không c´˘at nhau. , , , , ,
. 12.13. Trên m .˘at ph˘ang cho ¯diêm O. Hoi c´o thê ¯d.˘at trên m.˘at ph˘ang , , , 5 h`ınh tr` on không phu ¯
diêm O sao cho m .oi tia xuâ´t ph´at t`u O c´˘at , , , ,,
không ´ıt hon hai h`ınh tr` on ¯
du .oc hay không ? (c´˘at o ¯dây c´o ngh˜ıa l`a , c´ o ¯ diêm chung). , , , , , , . 12.14. Nh˜ ung ¯
diêm trong m .˘at ph˘ang ¯du .oc son b`˘ang m .ôt trong , , , , hai mâ`u. Ch´ ung minh r` ˘ ang luôn t`ım ¯
du .oc hai ¯diêm c`ung mâ`u c´ach nhau ¯ d´ ung b` ˘ ang 1. , , CHUONG 13 M .ÔT S ´ Ô Ð`Ê THI VÔ Ð.ICH , , , , Nh˜ ung b` ai to´ an thi vô ¯
d.ich c´ac nu´oc l`a c´ac b`ai to´an ¯diên h`ınh cho , , ,
vi .êc v.ân d .ung tr´ı thông minh, s´ang t.ao ¯dê giai. N´o ¯d`oi hoi h .oc sinh , , , , , , , , phai n´ ˘ am ¯
du .oc c´ac kiê´n th´uc co ban v˜ung ch´˘ac v`a hiêu thâ´u ¯d´ao. , , , Ðê giai c´ ac b` ai to´ an thi vô ¯
d.ich phai v.ân d .ung cao t´ınh phân t´ıch , , , v`
a tông h .op c´ac kiê´n th´uc to´an h .oc. Râ´t nhiê`u b`ai to´an thi vô ¯d.ich , , , ,, , , c´ ac nu´ oc c´
o m .ôt phâ`n giai su d .ung nguyên l´y Ðirichlê, c´ac chuong , , , tru´ oc ta ¯ d˜
a g .˘ap m .ôt sô´b`ai. Ðê thu.ân ti.ên cho b.an ¯doj c muô´n tham , , , khao ¯ dâ`y ¯ du vê` chu ¯ dê` n` ay tôi ch´
ep l .ai v`a thô´ng kê ra ¯dây c´ac ¯dê` , , , , thi vô ¯
d.ich c´ac nu´oc chu yê´u trong cuô´n s´ach [4] v`a m .ôt sô´ tuyên , , , ,
t .âp kh´ac. Nhung v`ı t`ai li.êu tham khao c´o h.an, phâ`n suu tâ`m cua tôi , , , ch´ ˘ ac ch´ ˘ an chua ¯ dâ`y ¯ du mong c´
ac b .an ¯d .oc bô sung v`a cho ´y kiê´n. , , , , M˜ ôi b` ai trong chuong n` ay k` em theo tên nu´ oc v` a n˘ am k` y thi vô ¯ d.ich , , nu´ oc ¯ d´ o. , ,
. 13.1. (Anh, 1966) Ch´ ung minh r` ˘ ang t`
u 52 sô´ nguyên bâ´t k` y luôn , , , , ,
o thê ch .on ¯du.oc ra hai sô´m`a tông ho .˘ac hi.êu cua ch´ung chia hê´t cho 100. , , , , , , L`
oi giai. Tâ´t ca c´ ac sô´du trong ph´ ep chia cho 100, ¯ du .oc chia th`anh , , t` ung nh´
om nhu sau: {0}, {1; 99}, {2; 98}, . . . , {49, 51}, {50}. V`ı c´ o , , tâ´t ca 51 nh´ om, m`
a l .ai c´o 52 sô´, nên theo nguyên l´y Ðirichlê gi˜ua , , 136
Chuong 13. M .ôt sô´ ¯dê` thi vô ¯d.ich , , , ch´ ung phai c´ o hai sô´ m` a c´ ac sô´ du trong ph´ ep chia cho 100 roi v` ao , ,
m .ôt nh´om. Hai sô´n`ay l`a hai sô´câ`n t`ım v`ı nê´u sô´du cua ch´ung b`˘ang , , ,
nhau th`ı hi .êu cua ch´ung chia hê´t cho 100, c`on nê´u sô´du cua ch´ung , , kh´ ac nhau th`ı tông cua ch´ ung chia hê´t cho 100. J , , , ,
. 13.2. (Anh, 1970) Ch´ ung minh r` ˘ ang t`
u t .âp h.op tu`y ´y gô`m n sô´ t .u , , , , nhiên luôn t´ ach ra ¯
du .oc m.ôt t .âp h.op con (kh´ac r˜ông) ch´ua c´ac sô´m`a , , tông cua ch´
ung chia hê´t cho n. , , , ,, , , , L`
oi giai. Gia su v´
oi m .ôt t.âp h .op n`ao ¯d´o ch´ua c´ac sô´a1, a2, . . . , an m`a , , , không thoa m˜ an kh˘ ang ¯
d.inh cua b`ai to´an. Khi ¯d´o không c´o sô´ n`ao trong c´ ac sô´
S1 = a1, S2 = a1 + a2, . . . , Sn = a1 + a2 + · · · + an ,
chia hê´t cho n. V`ı sô´ c´ ac sô´ du kh´ ac không trong ph´ ep chia cho , , n l`
a n − 1, nên theo nguyên l´y Ðirichlê t`ım ¯ du .oc hai sô´ Si v`a Sj , (1 ≤ i < j ≤ n) c´ o c`
ung sô´du. Suy ra hi .êu Sj − Si = ai−1 + · · · + aj , , ,, , chia hê´t cho n, ¯ diê`u n` ay mâu thu˜ ân v´ oi gia su n´ oi trên v` a kh˘ ang , , , , ¯
d.inh cua b`ai to´an ¯du .oc ch´ung minh. J , ,, , ,
. 13.3. (Anh, 1976) Gia su trong t .âp h.op h˜uu h .an X ch.on ra 50 t .âp , , , , ,,
h .op con A1, . . . , A50 sao cho m˜ôi t .âp h.op con ch´ua hon m.ôt nua phâ`n ,, , , , , , ,
tu cua t .âp X. Ch´ung minh r`˘ang c´o thê t`ım ¯du.oc t .âp h.op con B ⊂ X , , ,, ,, ch´
ua không nhiê`u hon 5 phâ`n tu v` a c´
o ´ıt nhâ´t m .ôt phâ`n tu chung cho ,
ac t .âp h.op A1, A2, . . . A50. , , , ,, ,, , , L`
oi giai. Gia su sô´ c´
ac phâ`n tu cua t .âp X b`˘ang n. M˜ôi t.âp h .op con , , , , n ,, ¯
du .oc ch .on A1, . . . , A50 ch´ua không ´ıt hon phâ`n tu, c´ o ngh˜ıa l` a 2 , ,, , , , , n tông sô´ c´ ac phâ`n tu cua tâ´t ca c´
ac t .âp n`ay vu .ot qu´a 50. = 25.n. 2 ,, , Theo nguyên l´
y Ðirichlê tô`n t .ai m .ôt phâ`n tu cua X thu .ôc không ´ıt 137 , , , , , ,
hon 26 t .âp con ¯d˜a ch .on. Tuong t .u ta ch´ung minh v´oi gi´a tr.i bâ´t k`y , , , k < 50 gi˜ua c´
ac t .âp Ai , A , . . . , A c´o thê ch n 1 i2 ik .on ra không ´ıt ho k , , ,, ,, ,
+ 1 t .âp h .op ch´ua c`ung m .ôt phâ`n tu. Ta lâ´y phâ`n tu cua m .ôt 2 , , ,,
t .âp h .op X m`a n´o thu .ôc không ´ıt hon 26 t.âp (phâ`n tu n`ay s˜e l`a m .ôt ,, , , , ,,
trong 5 phâ`n tu cua t .âp h .op B). Ta lo.ai ra 26 t.âp m`a ch´ua phâ`n tu , , ,, , ¯ d˜ a x´ et. Khi ¯ d´ o t`ım ¯
du .oc 1 phâ`n tu thu .ôc ´ıt nhâ´t 13 t`u 24 t.âp c`on l.ai. , , ,
Ta l .ai lo.ai 13 t.âp n`ay ra, khi ¯d´o gi˜ua 11 t.âp c`on l.ai t`ım ¯du .oc 1 phâ`n ,, , , , ,
tu thu .ôc không ´ıt hon 6 trong sô´c´ac t.âp h .op. Ðô´i v´oi 5 t.âp h .op c`on , , ,, ,
l .ai t`ım ¯du .oc 1 phâ`n tu thu .ôc không ´ıt hon 3 trong sô´ch´ung. V`a cuô´i ,, , c`
ung tô`n t .ai m .ôt phâ`n tu thu .ôc hai t.âp cuô´i c`ung. Nhu v.ây ta t`ım , , , ,, , , , ¯
du .oc không nhiê`u hon 5 phâ`n tu cua t.âp X (c´o thê ´ıt hon v`ı m .ôt v`ai ,, phâ`n tu s˜ e tr` ung nhau), ch´ ung s˜
e t .ao th`anh t.âp B. Ngo`ai ra m .ôt t.âp , , ,, bâ´t k` y t`
u A1, . . . , A50 ch´ua ´ıt nhâ´t m .ôt trong c´ac phâ`n tu ¯d´o. ,
. 13.4. (Ba Lan, 1979) Khi chia c´
ac sô´ t .u nhiên a1, a2, . . . , an cho sô´ , , , , , m
t .u nhiên m n`ao ¯d´o, nh .ân ¯du.oc c´ac sô´du kh´ac nhau, ¯dô`ng th`oi n > . 2 , , Ch´ ung minh r` ˘ ang v´
oi m .oi sô´ k ∈ Z tô`n t .ai c´ac sô´ i, j ∈ {1, 2, . . . , n}
(không nhâ´t thiê´t kh´
ac nhau) sao cho sô´ ai + aj − k chia hê´t cho m. , , L` oi giai.
et 2n sô´a1, a2, . . . , an, k − a1, k − a2, . . . , k − an. V`ı 2n > m, , nên c´ o 2 trong c´ ac sô´ ¯ d´ o c´ o c` ung sô´du trong ph´ ep chia cho m. Theo , ¯
diê`u ki .ên b`ai to´an, c´ac sô´ a1, a2, . . . , an, c´o sô´ du kh´ac nhau trong, ph´
ep chia cho m, nên c´ac sô´ k − a1, k − a2, . . . , k − an c˜ung c´o sô´du , , , kh´ ac nhau. Do ¯ d´
o c .˘ap sô´c´o sô´du b`˘ang nhau chı c´o thê l`a hai sô´c´o , ,
d .ang ai v`a k − aj v´oi i, j n`ao ¯d´o. Khi ¯d´o hi.êu cua ch´ung ai + aj − k chia hê´t cho m. J , ,
. 13.5. (Ba Lan, 1977) Ch´ ung minh r` ˘ ang v´
oi m .oi gi´a tr.i a, b ∈ R v`a , , ,
e > 0, tô`n t .ai c´
ac sô´ k, m ∈ Z v`
a n ∈ N thoa m˜ an c´ ac bâ´t ¯ ang th´ uc , , 138
Chuong 13. M .ôt sô´ ¯dê` thi vô ¯d.ich
|na − k| < e v`a |nb − m| < e. , , 1 , L`
oi giai. Cho sô´ nguyên N > v` a v´ oi m˜
ôi c .˘ap x, y ∈ [0; 1] ta thay e , , thê´ b` ˘
ang c .˘ap u, v thoa m˜an u = [Nx], v = [Ny], khi ¯d´o nê´u v´oi hai , , , ,
c .˘ap (x1, y1), (x2, y2) tuong ´ung v´oi m .ôt c.˘ap duy nhâ´t (u, v) th`ı 1 1 |x 1 − x2| = (u + {Nx1}) − (v + {Nx2}) = N N 1 1 = |{Nx < e N 1} − {N x2}| < N , , , v`
a tuong t .u ta c´o |y1 − y2| < e. V`ı u, v ∈ {0, . . . , N − 1}, nên c´o tâ´t , ,
ca N2 c .˘ap (u, v) kh´ac nhau. X´et t.âp h .op N2 + 1 c.˘ap gi´a tr.i , x = {la}, y = {lb} v´ oi l = 0, 1, . . . , N2 , ,, , Theo nguyên l´ y Ðirichlê c´
o ´ıt nhâ´t hai c .˘ap (gia su v´oi l = i v`a , , , , ,
l = j, i > j) t`u t .âp h .op n`ay tuong ´ung c`ung m .ôt c.˘ap (u, v). Do ¯d´o, , v´ oi k´ y hi .êu
n = i − j, k = [ia] − [ja], m = [ib] − [jb] , , , , ,
ta nh .ân ¯du .oc c´ac bâ´t ¯d˘ang th´uc câ`n ch´ung minh :
|na − k| = |(ia − [ia]) − (ja − [ja])| = |{ia} − {ja}| < e,
|nb − m| = |(ib − [ib]) − (jb − [jb])| = |{ib} − {jb}| < e. J ,
. 13.6. (Bı, 1977) Trong h`ınh tr` on c´ o b´
an k´ınh n ∈ N o 4n ¯ do .an , , , , , th˘ ang ¯ dê`u c´ o ¯
d .ô d`ai b`˘ang 1. Ch´ung minh r`˘ang nê´u c´o m.ôt ¯du`ong th˘ang , , , , , , , cho tru´ oc th`ı t`ım ¯
du .oc m.ôt ¯du`ong th˘ang kh´ac, ho .˘ac song song, ho .˘ac , , , , , vuông g´ oc v´ oi ¯ du` ong th˘ ang n` ay v` a c´ ˘ at ´ıt nhâ´t hai ¯
do .an th˘ang n´oi trên. , , , , , L` oi giai. Ðê ´ y r` ˘ ang tông ¯
d .ô d`ai hai h`ınh chiê´u cua m˜ôi m .ôt ¯do.an , , , , , , , , th˘ ang lên ¯ du`ong th˘ ang l v`a ¯ du` ong th˘ ang l0, vuông g´ oc v´ oi n´ o, không 139 , , , b´
e hon 1. Th .ât v.ây, nê´u vecto a c´o ¯d .ô d`ai l`a 1 song song v´oi ¯do.an , , , , th˘ ang n` ao ¯ d´ o, c` on c´
ac vecto x v`a y l`a c´ac h`ınh chiê´u cua vecto a lên , , , , ¯ du` ong th˘
ang l v`a l0 th`ı a = x + y, suy ra |x| + |y| ≥ |a| = 1. Nhung , , , , ¯
d .ô d`ai c´ac h`ınh chiê´u cua ¯do.an th˘ang b`˘ang |x| v`a |y| do ¯d´o tông cua , , , ch´ ung c˜ ung không b´ e hon 1. D˜ ân ¯ dê´n tông ¯
d .ô d`ai h`ınh chiê´u cua tâ´t , , , , , , , , ca c´ ac ¯
do .an th˘ang không b´e hon 4n. B´oi v.ây t`u hai ¯du`ong th˘ang l , , , , , , , , v` a l0 c´
o thê ch .on ¯du .oc m .ôt ¯du`ong th˘ang, tông ¯d .ô d`ai cua h`ınh chiê´u , , c´ ac ¯
do .an th˘ang trên n´o không b´e hon 2n (nguyên l´y Ðirichlê). V`ı tâ´t , , , , , ca c´ ac ¯
do .an th˘ang ¯du .oc s´˘ap xê´p trong h`ınh tr`on b´an k´ınh n, nên h .op , , , , , c´ ac h`ınh chiê´u cua ch´ ung trên ¯ du` ong th˘ ang bâ´t k` y c´ o ¯ d .ô d`ai b´e hon , , , , , , , , 2n. Suy ra trên ¯ du` ong th˘ ang ¯
du .oc ch .on t`ım ¯du .oc 1 ¯diêm thu .ôc v`ao , ,
h`ınh chiê´u cua ´ıt nhâ´t hai ¯
do .an th˘ang (Nguyên l´y Ðirichlê cho ¯do.an , , , , , , , , , th˘ ang). Ðu` ong th˘ ang ¯ di qua ¯ diêm n` ay vuông g´ oc v´ oi ¯ du` ong th˘ ang , , , , , , ¯
du .oc ch .on, s˜e c´˘at ´ıt nhâ´t hai ¯do.an th˘ang n`ay. V`ı ¯du`ong th˘ang n`ay , , , , , ,
ho .˘ac vuông g´oc v´oi, ho.˘ac song song v´oi ¯du`ong th˘ang l, th`ı n´o thoa m˜ an ¯ diê`u ki .ên b`ai to´an. J ,
. 13.7. (Bungari (¯
dê` thi ch .on ¯d.ôi tuyên),1973) Cho a1, a2, . . . , an l`a , , , nh˜ ung sô´nguyên kh´
ac nhau trong khoang [100,200], m` a ch´ ung thoa , , ,
an a1 + a2 + · · · + an ≥ 11100. Ch´ ung minh r` ˘ ang gi˜ ua nh˜ ung sô´n` ay ,, ,
o ´ıt nhâ´t m .ôt sô´, m`a viê´t n´o o d .ang th .âp phân c´o ´ıt nhâ´t hai ch˜u sô´ giô´ng nhau. , , , L` oi giai. Ch´
ung ta l .âp danh s´ach c´ac sô´trong khoang [100,200], m`a ,, , ch´
ung viê´t o h .ê th.âp phân ´ıt nhâ´t c´o hai ch˜u sô´ tr`ung nhau.: 100,
101, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 121, 122,
131, 133, 141, 144, 151, 155, 161, 166, 171, 177, 181, 188, 191, , , , , ,
199, 200. Tông cua tâ´t ca c´ ac sô´ trên l`
a 4050. M .˘at kh´ac tông tâ´t ca , , c´
ac sô´ nguyên trong khoang [100,200] l` a 15150. Nê´u trong nh˜ ung sô´ ¯ d˜
a cho a1, a2, . . . , an không c´o sô´ n`ao trong danh s´ach trên, th`ı , , 140
Chuong 13. M .ôt sô´ ¯dê` thi vô ¯d.ich
a1 + a2 + · · · + an < 15150 − 4050 = 11100, ¯ diê`u n` ay vô l´ y. Ngh˜ıa ,, , , , l` a trong c´
ac sô´ a1, a2, . . . , an c´o ´ıt nhâ´t m .ôt sô´viê´t o co sô´mu`oi c´o ´ıt , nhâ´t hai ch˜u sô´tr` ung nhau. J ,
. 13.8. (Bungari,1973) Trong m .ôt thu vi.ên c´o 20000 cuô´n s´ach, , , , ch´ ung ¯
du .oc xê´p v`ao nh˜ung gi´a s´ach sao cho m˜ôi gi´a s´ach c´o ´ıt nhâ´t , ,
m .ôt quyên ho .˘ac nhiê`u nhâ´t 199 cuô´n s´ach. Ch´ung minh r`˘ang ´ıt nhâ´t , , o hai gi´ a s´ ach c´ o c`
ung sô´lu .ong s´ach. , , , ,, , , , L`
oi giai. Gia su ngu .oc l.ai. Nê´u trong thu vi.ên c´o n gi´a s´ach v`a ch´ung , , , ¯
du .oc ¯d´anh sô´t`u 1 ¯dê´n n, th`ı r˜o r`ang l`a n ≤ 199. Ch´ung ta k´y hi.êu ai , , , l` a sô´ cuô´n s´ ach ¯
du .oc ¯d.˘at lên gi´a s´ach th´u i, ch´ung ta s˜e c´o 1 ≤ ai ≤ ,, , , , 199. khi ¯ d´ o tu ¯
diê`u ki .ên ai 6= aj v´oi i 6= j, ch´ung ta nh.ân ¯du .oc
20000 = a1 + a2 + · · · + an ≤ 1 + 2 + · · · + 199 = 19900 < 20000 , ¯ diê`u n` ay vô l´ y. Suy ra c´ o ´ıt nhâ´t hai gi´ a s´ ach, trên ch´ ung ch´ ua c` ung sô´s´ ach. J , , ,
. 13.9. (Bungari, 1983) T`ım h`ınh vuông c´ o k´ıch thu´ oc b´e nhâ´t, ¯ , trong h`ınh vuông ¯ o c´ o thê s´ ˘ ap xê´p 5 h`ınh tr` on b´ an k´ınh b` ˘ ang 1, sao , cho không c´ o 3 h`ınh tr` on n` ao trong ch´ ung c´ o ¯ diêm trong chung. , , , ,, A B L`
oi giai. Gia su h`ınh vuông ABCD A1 B1 , c´
o tâm O v`a c .anh a, ch´ua 5 h`ınh O tr` on không c´ ˘ at nhau v` a ¯ dê`u c´ o D1 C1 b´ an k´ınh b` ˘ ang 1, khi ¯ d´ o c´ ac tâm , D C cua ch´ ung n` ˘ am trong h`ınh vuông
A1B1C1D1 c´o tâm O v`a c .anh b`˘ang H`ınh 13.1: ,, a − 2 (o ¯ dây A1B1//AB ). , , , , , , , C´ ac ¯ du` ong th˘ ang nô´i t` u c´ ac trung ¯ diêm cua c´ ac c .anh ¯dô´i di.ên cua
h`ınh vuông A1B1C1D1 chia h`ınh vuông ¯ d´ o th` anh bô´n h`ınh vuông 141 , ,,
nho, o m .ôt trong ch´ung´ıt nhâ´t c˜ung c´o hai trong sô´c´ac tâm (Nguyên , , l´ y Ðirichlê). Khi ¯ d´ o khoang c´ ach gi˜ ua hai tâm n` ay m .ôt m.˘at không , , , , , l´ on hon ¯ du` ong ch´ eo h`ınh vuông b´
e, m .˘at kh´ac không b´e hon 2. Do v .ây c´o A √ a − 2 √ 2 ≤ OA 1 B1 1 = 2 = 2 √ 2 2 suy ra a ≥ 2 2 + 2. √ , Cuô´i c`
ung, nê´u a = 2 2 + 2 v`a tâm cua c´ac h`ınh tr` on l` a c´ ac , , , , , ¯
diêm O, A1, B1, C1, D1 th`ı tâ´t ca c´ac ¯
diê`u ki .ên nêu trên ¯du .oc thoa , , √ m˜
an. Nhu v .ây c.anh cua h`ınh vuông câ`n t`ım l`a 2 2 + 2. J , , , ,
. 13.10. (Nam Tu, 1977) Cho tru´
oc 20 sô´ t .u nhiên a1 < a2 < . . . < , , , ,
a20 không vu .ot qu´a 70. Ch´ung minh r`˘ang gi˜ua c´ac hi.êu aj − ak(j > k) , , luôn t`ım ¯
du .oc ´ıt nhâ´t 4 hi.êu b`˘ang nhau. , , , ,, , , , , L`
oi giai. Gia su kh˘ ang ¯
d.inh cua b`ai to´an l`a sai. Khi ¯d´o gi˜ua 19 sô´t .u
nhiên a20 − a19, a19 − a18, . . . , a2 − a1 không c´o 4 sô´n`ao b`˘ang nhau. , Do ¯ d´ o gi˜ ua ch´ ung m˜ ôi sô´ 1, 2, 3, 4, 5, 6 c´
o m .˘at không qu´a 3 lâ`n. , , , Suy ra c´
o m .ôt trong 19 sô´ ¯d´o phai l´on hon 6 (nê´u không th`ı sô´c´ac , , , , sô´ không l´ on hon 6 s˜ e nhiê`u hon 18), c´ o 3 trong 18 sô´ c` on l .ai phai , , , , , , , l´ on hon 5, 3 trong 15 sô´ c`
on l .ai phai l´on hon 4,. . . Do ¯d´o tông cua ch´
ung (a20 − a19) + (a19 − a18) + · · · + (a2 − a1) ≥ 7 + 3(6 + 5 + 4 + , 3 + 2 + 1) = 70 không thê b` ˘
ang a20 − a1 ≤ 70 − 1 = 69. Mâu thu˜ân , , , , ,
nh .ân ¯du .oc ¯d˜a ch´ung minh kh˘ang ¯d.inh cua b`ai to´an. J , , , ,
. 13.11. (Nam Tu, 1981) T .âp h.op c´ac sô´ {1, 2, . . . , 100} ¯du.oc chia , , ,, , l`
am 7 t .âp h.op con. Ch´ung minh r`˘ang ´ıt nhâ´t o m.ôt trong c´ac t .âp h.op , , con â´y t`ım ¯
du .oc ho .˘ac 4 sô´ a, b, c, d sao cho a + b = c + d, ho .˘ac ba sô´
e, f , g sao cho e + f = 2g. , , , , , L` oi giai. Ðê ´ y r` ˘ ang c´
o ´ıt nhâ´t m .ôt trong 7 t.âp h .op con ch´ua không , , , , , , , ,
´ıt hon 15 sô´ (trong tru`ong h .op ngu .oc l.ai, tâ´t ca c´ac t.âp h .op con , , 142
Chuong 13. M .ôt sô´ ¯dê` thi vô ¯d.ich , , , , ch´
ua không nhiê`u hon 7.14 = 98 sô´). M˜
ôi c .˘ap sô´ a > b cua t.âp h .op , , , , , , , , con n` ay ¯
du .oc ¯d.˘at tuong ´ung v´oi hi.êu a − b. Khi ¯d´o ta nh.ân ¯du .oc , 14 , không ´ıt hon C2 = 15 = 105 hi ai c´ o c´ ac hi 15 .êu, trong sô´ ¯ d´ o ph .êu 2 , , b` ˘ ang nhau (v`ı c´
ac hi .êu nh.ân ¯du .oc không qu´a 99 gi´a tr.i kh´ac nhau , ,, , , , 1, 2,. . . ,99). Gia su v´
oi hai c .˘ap sô´ a > b, c > d ta c´o ¯d˘ang th´uc
a − b = c − d(a 6= c, b 6= d). Khi ¯ d´ o a + d = b + c. Nê´u a = d , , , ,
(ho .˘ac b = c, ¯d˘ang th´uc kh´ac không thê xây ra), th`ı c + b = 2a (ho.˘ac a + d = 2b). J , , ,
. 13.12. (Nam tu,1977) Ch´ ung minh r` ˘
ang di.ên t´ıch cua h`ınh vuông , , ,, , bâ´t k` y n` ˘ am trong tam gi´ ac, không l´
on hon nua di.ên t´ıch cua tam gi´ac ¯ o. , , , L`
oi giai. (H`ınh 13.2) Ta ch´ ung A , , , minh kh˘ ang ¯ d.inh tông qu´at hon : , M
di .ên t´ıch cua h`ınh b`ınh h`anh bâ´t , L , k`
y KLMN n`˘am o trong tam gi´ac E L M1 F 1 , , ,, N ABC không l´ on hon nua di .ên t´ıch K , C B cua tam gi´ ac ¯ d´ o. K N 1 1 , , , , Ðê ´ y r` ˘ ang m˜ ôi m .ôt ¯du`ong th˘ang , H`ınh 13.2: KL v`
a MN c´˘at hai c .anh cua tam , ,, , , gi´ ac ABC (c´ o thê o ¯ dınh tam gi´ ac), ngh˜ıa l` a c´ o 2 trong 4 giao ¯ diêm , , , , n` ˘
am trên 1 c .anh theo nguyên l´y Ðirichlê. Ch˘ang h.an, ¯du`ong th˘ang , , ,, KL v`
a MN c´˘at BC lâ`n lu .ot o K1 v`a N1. Trên c.anh AB, AC v`a BC , , , ,
ch .on c´ac ¯diêm D, E v`a F sao cho L1, M1 l`a giao ¯diêm cua DE v´oi KL , v` a MN thoa m˜an: , K1L1 = KL; L1M1//K1N1 ¯ dô`ng th` oi BF//BD , , Khi ¯ d´ o h`ınh b`ınh h` anh KLMN v`a K1L1M1N1 c´o ¯ du`ong cao b` ˘ ang nhau ¯ dê´n ¯ das y chung, c` on c´ ac h`ınh b`ınh h` anh BDEF v`a K1L1M1N1 143 , , , , c´ o ¯ d´ ay DE không b´e hon ¯ d´ ay L1M1 v`a hai ¯ du` ong cao h .a t`u D v`a L1 ,, ,
xuô´ng BF b`˘ang nhau. Boi v .ây c´o: SKLMN = SK ≤ S a 1 L1 M1 N1 BDEF. Gi ,, su AE = x.AC, khi ¯ d´
o EC = (1 − x)AC, c´ac tam gi´ac ABC, ADE , v` a EFC ¯
dô`ng d .ang v´oi nhau nên ta c´o: SBDEF = SABC − SADE − SEFC
= SABC − x2SABC − (1 − x)2SABC 1 = 2x(1 − x)SABC ≤ S 2 ABC. 1 , 1 V`ı x(1 − x) ≤ v´
oi x lâ´y gi´a tr.i bâ´t k`y, nên S S 4 KLMN ≤ 2 ABC. J , , ,
. 13.13. (Nam tu, 1972) Ðô´i v´ oi m˜ ôi gi´
a tr.i n ∈ N, h˜ay t`ım sô´k l´on , , ,,
nhâ´t (k ∈ N) thoa m˜
an t´ınh châ´t sau: Trong t .âp h.op gô`m n phâ`n tu , , ,
o thê ch .on ra k t .âp h.op con kh´ac nhau, sao cho hai t .âp h.op con bâ´t k` y ¯ dê`u c´
o t .âp giao kh´ac r˜ông. , , ,, , , , L`
oi giai. Cô´ ¯
d.inh phâ`n tu ai cua t.âp h .op X = {a1, a2, . . . , an} v`a chı , , ,, , , x´ et c´
ac t .âp h .op con ch´ua phâ`n tu a1.Sô´c´ac t.âp h .op nhu v.ây b`˘ang sô´ , , , c´
ac t .âp h .op con cua t.âp h .op {a2, . . . , an}, ngh˜ıa l`a b`˘ang 2n−1. Suy ra , ,, , , , ,
k ≥ 2n−1. M .˘at kh´ac gia su ¯d˜a ch .on ¯du .oc hon 2n−1 t.âp con cua X. Ta , , , , ,, chia tâ´t ca c´
ac t .âp con cua X th`anh 2n−1 c.˘ap ¯du .oc t.ao boi 1 t.âp con , , cua X v`a phâ`n b` u cua n´ o. Theo nguyên l´ y Ðirichlê c´ o ´ıt nhâ´t 2 t .âp con ¯ d˜
a ch .on t.ao th`anh m .ôt c.˘ap, suy ra ch´ung không giao nhau. V.ây k = 2n−1. J , 1 . 13.14. (M˜
y, 1983) Trên tr .uc sô´ lâ´y m.ôt khoang c´o ¯d.ô d`ai (n ∈ n , , , , n + 1 N). Ch´ ung minh r` ˘ ang khoang n` ay c´ o ch´ ua nhiê`u hon phân sô´ 2 , p
tô´i gian d .ang , trong ¯d´o p, q ∈ Z, 1 ≤ q ≤ n. q , , 144
Chuong 13. M .ôt sô´ ¯dê` thi vô ¯d.ich , , , , 1 , L`
oi giai. Gia thiê´t r` ˘
ang trong m .ôt khoang n`ao ¯d´o c´o ¯d .ô d`ai , ch´ua n , n + 1 , p , nhiê`u hon phân sô´ tô´i gian , v´
oi q ∈ {1; 2; . . . ; n}. Ta s˜e 2 q , , , ch´ ung minh r` ˘ ang gi˜ ua c´ ac m˜ âu sô´ cua c´ ac phân sô´ n` ay luôn t`ım , , ¯
du .oc hai m˜âu sô´ m`a m˜âu sô´ n`ay chia hê´t cho m˜âu sô´ kia. Th.ât v.ây , , , , , ta biêu di˜ ên c´ ac m˜ âu sô´ du´
oi d .ang 2r.s v´oi s l`a sô´ le, r ∈ Z+. Sô´ , , n + 1 c´ ac sô´ le kh´ ac nhau gi˜ ua c´
ac sô´ 1, 2, 3, . . . , n b`˘ang ( ngh˜ıa 2 , , , l` a ´ıt hon sô´ c´ ac m˜ âu sô´ ¯ dang x´ et), suy ra luôn t`ım ¯ du .oc hai m˜âu sô´ q = 2r.s v`
a q1 = 2r1s1 m`a s = s1 v`a r = r1. Khi ¯ d´ o c´ o m .ôt m˜âu , , sô´ chia hê´t cho m˜
âu sô´ kia, hay q1 = kq. Nhu v .ây gi˜ua c´ac phân sô´ , , m l ,
ch .on ¯du .oc hai sô´kh´ac nhau d.ang v` a , v´ oi kq ≤ n. Khi ¯ d´ o q kq m l 1 − < , q kq n , , 1 v`ı ca hai n` ˘ am trong khoang c´ o ¯
d .ô d`ai . Do ¯d´o km − l = 0, v`ı trong n , , , , , tru` ong h .op ngu .oc l.ai th`ı m l |km − l| 1 1 − = ≥ ≥ , q kq kq kq n l km , , v` a do ¯ d´ o km = l v`a = , ngh˜ıa l` a hai phân sô´ ¯ du .oc ch .on tr`ung kq kq nhau. J ,
. 13.15. (Vi.êt nam, 1976) Ch´ung minh r`˘ang tô`n t .ai vô sô´ c´ac sô´ c´o , ,
d .ang 5n(n ∈ N), m`a trong c´ac biêu di˜ên th .âp phân cua m˜ôi sô´ ¯d´o c´o , , ,
không ´ıt hon 1976 ch˜ u sô´0 ¯ ung liên tiê´p. , , , , L` oi giai. Ta ch´ ung minh r` ˘ ang v´
oi m .oi k ∈ N tô`n t.ai vô sô´ c´ac sô´ , m ∈ N thoa m˜ an ¯
diê`u ki .ên 5m = 1 (mod 2k). 145 , , ,
Th .ât v.ây, gi˜ua c´ac sô´ 50, 51, . . . , 52k luôn t`ım ¯du .oc hai sô´ 5p v`a , , 5q(p > q) c´ o c` ung sô´ du trong ph´ ep chia cho 2k. Khi ¯ d´ o hi .êu cua ch´
ung 5p − 5q = 5q(5p−q − 1) chia hê´t cho 2k nghi˜a l`a sô´ 5p−q − 1 , v` a tâ´t ca c´ ac sô´c´
o d .ang 5r(p−q) − 1 (r ∈ N) ¯dê`u chia hê´t cho 2k. , ,
Nhu v .ây v´oi m˜ôi gi´a tr.i m = r(p − q), r ∈ N, ta c´o 5m ≡ 1 , , (mod 2k), t`u ¯ d´
o 5m+k ≡ 5k (mod 10k) ngh˜ıa l`a k ch˜u sô´ t .ân c`ung , , , , , ,, , cua 5m+k tr` ung v´
oi k ch˜u sô´ t .ân c`ung cua 5k. Gia su sô´ k thoa m˜an , , , , 2k > 101976 ch´
ua không nhiê`u hon k − 1976 ch˜u sô´. Do ¯ d´ o gi˜ ua k , , , , ch˜
u sô´t .ân c`ung cua sô´5m+k chı c´o k − 1976 ch˜u sô´kh´ac không, c`on , 1976 ch˜u sô´c`
on l .ai (liên tiê´p nhau) b`˘ang 0. J , , ,
. 13.16. (Ti.êp kh´˘ac, 1979) Trên m.ôt ¯du`ong th˘ang c´o n2 + 1(n ∈ N) , , , , ¯
do .an th˘ang. Ch´ung minh r`˘ang, ho .˘ac l`a gi˜ua ch´ung c´o thê ch.on n + 1 , , , ¯
do .an ¯dôi m.ôt không c´˘at nhau, ho .˘ac l`a t`ım ¯du.oc n + 1 ¯do .an th˘ang n`ao , ¯ o c´ o ¯ diêm chung. , , , , , , , L` oi giai. Ta ¯
d.inh hu´ong bên tr´ai cho ¯du`ong th˘ang khi n´oi r`˘ang m .ôt ,, , , ¯
do .an n`˘am o bên tr´ai ¯do.an th˘ang kh´ac, nê´u ¯dâ`u m´ut bên tr´ai cua , , ,, , ¯
do .an th˘ang th´u nhâ´t n`˘am o bên tr´ai ¯dâ`u m´ut bên tr´ai cua ¯do.an , , , , , , , th˘ ang th´ u hai. M˜ ôi ¯
do .an th˘ang ¯du .oc ¯d´anh sô´ b`˘ang m .ôt sô´ tuong , , ´, , , , , , ung t` u c´
ac sô´1, 2, . . . , n b`˘ang c´ach sau: o bu´ oc th´ u nhâ´t ¯ do .an th˘ang ,, , , , , ,
o t .ân c`ung bên tr´ai cho tuong ´ung sô´ 1. Sau ¯d´o m˜ôi bu´oc tiê´p theo , , ,
ta l .ai ch .on trong sô´nh˜ung ¯do.an th˘ang chua ¯d´anh sô´, ¯do.an t.ân c`ung , , , , , , bên tr´ ai v` a ¯
d .˘at cho n´o sô´tuong ´ung, kh´ac v´oi c´ac sô´cua nh˜ung ¯do.an , , , , , , th˘ ang giao v´ oi n´ o (¯ d˜ a ¯
du .oc ¯d´anh sô´). Nê´u ¯dê´n bu´oc n`ao ¯dâ´y, ta ch .on , , , , , , , , , ¯
du .oc ¯do.an th˘ang, nhung ¯dô´i v´oi n´o không ch .on ¯du .oc sô´ th´u t .u, th`ı , , ¯ diê`u n` ay c´ o ngh˜ıa l` a n´ o giao v´ oi n ¯
do .an th˘ang n`˘am bên tr´ai n´o v`a c´o , , , , , nh˜ ung sô´ kh´ ac nhau. Trong tru`
ong h .op n`ay ¯dâ`u m´ut tr´ai cua ¯do.an , , , , ,, , , th˘ ang ¯
du .oc ch .on thu .ôc v`ao n + 1 ¯do.an th˘ang. Nê´u o bu´oc â´y, ¯do.an , , 146
Chuong 13. M .ôt sô´ ¯dê` thi vô ¯d.ich , , , th˘ ang cuô´i c` ung ¯
du .oc ¯d´anh sô´ th`ı theo nguyên l´y Ðirichlê ´ıt nhâ´t , , , , ,
m .ôt trong n sô´´ung v´oi nhiê`u hon n ¯do.an th˘ang, m`a c´ac ¯do.an th˘ang , , , , ¯ d´ o v´ oi c´ ac sô´th´
u t .u th´ıch h .op, không giao nhau. J ,
. 13.17. (Rumani, 1978) C´ ac h`
am sô´ f , g, h : N → N thoa m˜ an ba ¯ diê`u ki.ên sau: , , a) H`
am h(n) không nh .ân gi´a tr.i n`ao t .ai nhiê`u hon m.ôt ¯diêm n ∈ N. ,
b) T .âp h.op gi´a tr.i h`am sô´ g(n) l`a N.
c)
f (n) ≡ g(n) − h(n) + 1, n ∈ N. , , Ch´ ung minh r` ˘ ang ¯ dô`ng nhâ´t th´
uc f (n) ≡ 1, n ∈ N, l` a ¯ ung. , , , , , L` oi giai. Ta ch´ ung minh ¯ dô`ng nhâ´t th´ uc g(n) ≡ h(n) (n ∈ N). T` u ¯ d´ o v` a ¯
diê`u ki .ên b) s˜e d˜ân ¯dê´n f (n) ≡ g(n) − h(n) + 1 ≡ 1, n ∈ N. , V´ oi bâ´t k` y n ∈ N c´ o
h(n) = g(n) + 1 − f (n) ≤ g(n) , ,, , , ,
v`ı f (n) ≥ 1. Gia su r`˘ang, ¯ dô´i v´ oi gi´
a tr.i n`ao ¯d´o n ∈ N ¯d˘ang th´uc g(n) = h(n) không ¯ d´ ung, khi ¯ d´ o h(n) < g(n) = k. Theo ¯ diê`u ki .ên , b) ta t`ım c´
ac sô´ n1, n2, . . . , nk−1 ∈ N, ¯dê sao cho g(ni) = i khi i = ,,
1, . . . , k − 1. Boi v .ây m˜ôi sô´trong k sô´h(n1), h(n2), . . . , h(nk−1), h(n) ,
thu .ôc v`ao t.â p h .op {1, 2, . . . , k − 1}, do ¯d´o theo nguyên l´y Ðirichlê , h`
am sô´ h(n) nh .ân gi´a tr.i n`ao ¯d´o nhiê`u hon m .ôt lâ`n, ¯diê`u n`ay tr´ai , , , , , v´ oi ¯
diê`u ki .ên a).Kh˘ang ¯d.inh ¯d˜a ¯du .oc ch´ung minh. J , , , , , , . 13.18. (M˜ y (N˜ uu U´ oc), 1979) Ch´ ung minh r` ˘ ang c´ ac ¯ dınh cua n-gi´ ac , , ¯ dê`u c´
o di.ên t´ıch b´e nhâ´t (n > 3) n.ôi tiê´p trong m.ôt n-gi´ac cho tru´oc, , , , , , tr` ung v´ oi trung ¯ diêm c´
ac c .anh cua n-gi´ac cho tru´oc. , , , ,, L`
oi giai. (H`ınh 13.3) Gia su n-gi´ac ¯
dê`u B1, . . . , Bn c´o di.ên t´ıch SB
n .ôi tiê´p trong n-gi´ac ¯dê`u A1, . . . , An di.ên t´ıch SA. 147 Khi ¯ d´ o nê´u ch´ ung không tr` ung nhau th`ı trên m˜ ôi m .ôt c.anh Ai Ai+1 , , , , v´
oi i = 1, 2, . . . , n (An+1 = A1) c´o m .ôt ¯dınh Bi ¯du .oc x´ac ¯d.inh , , , , ,
trên c .anh â´y. Th.ât v.ây, trong tru`ong h .op ngu .oc l.ai theo nguyên l´y , , , Ðirichlê ´ıt nhâ´t c´
o m .ôt c.anh, ch˘ang h.an A1A2, ch´ua hai ¯diêm B1 , , ,, , ,, v` a B2 ¯ d´ o (¯ dê x´ ac ¯
d.inh, gia su A1B2 > A1B1), khi ¯d´o ¯diêm Bn (o , ∆ , , ,
A1A2An) c´o thê n`˘am trên c .anh A2A3 v`a A1An tuong ´ung (v`ı n > , , , 3, ¯
do .an A1A3 v`a A2An l`a ¯du`ong ch´eo, m`a không l`a c.anh cua n-gi´ac ,
A1, . . . , An), ngh˜ıa l`a B1 = A1 v`a B2 = A2. Ta ch´ung minh r`˘ang A1B1 = A2B2 = . . . = AnBn
Th .ât v.ây tam gi´ac B1A2B2 v`a tam gi´ac B2A3B3 b`˘ang nhau, v`ı \ B1A2B2 = \ B2A3B3 = \ B1B2B3 = 1800 n − 2 n \ A2B1B2 = 1800 − \ B1A2B2 − \ A2B2B1 = 1800 − \ B1B2B3 − \ A2B2B1 = \ A2B2B3 ,, , , , v`
a B1B2 = B2B3. Boi v .ây A2B2 = A3B3. Ta c˜ung ch´ung minh tuong , , , , ,
t .u c´ac ¯d˘ang th´uc c`on l.ai. Ð.ai lu .ong SB = SA − SB − S − . . . − S = S 1 A2 B2 B2 A3B3 Bn A1B1 A − nSB1 A2B2 , , ,
nh .ân gi´a tr.i nho nhâ´t, khi di.ên t´ıch tam gi´ac B1A2B2 l´on nhâ´t. Gia ,, , , su A1A2 = a, A1B1 = x, khi ¯ d´ o ¯ d .ai lu .ong 1 1 SB = B (a − x)x. sin \ B 1 A2 B2 2 1 A2.A2B2 sin \ B1A2B2 = 2 1 A2 B2 1 a2 a = ( − (x − )2) sin \ B 2 4 2 1 AB2 , a
nh .ân gi´a tr.i l´on nhâ´t khi x = , ngh˜ıa l`a A 2 1 B1 = B1 A2. J , ,
. 13.19. (CHLB д
uc, 1978) M .ôt b.ô gô`m n2 con tem choi (n>2) mang , ac nh˜
an hi.êu "1","2","3",. . . ,"n". M˜ôi lo .ai nh˜an hi.êu c´o n con tem. Hoi , , 148
Chuong 13. M .ôt sô´ ¯dê` thi vô ¯d.ich , , ,
o thê xê´p tâ´t ca c´ ac con tem â´y th`
anh m .ôt d˜ay thoa m˜an c´ac ¯diê`u ki.ên , , sau không : v´
oi m .oi x ∈ {1, 2, . . . , n} gi˜ua m.ôt con tem mang nh˜an ,
hi.êu "x" v`a con tem mang nh˜an hi.êu "x" tiê´p theo luôn c´o v`ua ¯d´ung x con tem mang nh˜ an hi.êu kh´ac "x" ? , , , L`
oi giai. Trong m˜ ôi ¯ do .an n`˘am gi˜ua A3 , A B 2 2 hai con tem liên tiê´p v´ oi nh˜ an "n", B B 1 3 ¯ dê`u c´ o n con tem. C´ o n-1 ¯ do .an nhu , A A 1 4 , ,
v .ây do ¯d´o sô´ tem o gi˜ua con tem B4 ¯ dâ`u tiên mang nh˜ an hi .êu "n" v`a con , A5 tem cuô´i c` ung v´ oi c` ung nh˜ an hi .êu , , ¯ d´
o c .ông v´oi hai con tem v`ua n´oi l`a (n − 1)n + n, ngh˜ıa l` a n2 con tem. V H`ınh 13.3: .ây con tem ¯ dâ`u tiên v` a con tem , cuô´i c` ung trong d˜ ay ¯ dê`u phai c` ung mang nh˜ an hi .êu "n". , , Trong sô´ n con tem v´ oi nh˜ an "n-1" phai c´ o (theo nguyên l´ y
Ðirichlê) ´ıt nhâ´t hai con tem c` ung n` ˘
am trong ´ıt nhâ´t m .ôt ¯do.an , , ,, , trong sô´ n-1 ¯
do .an kê trên. Nhung khi ¯d´o o gi˜ua hai con tem n`ay , , chı c´ o nhiê`u nhâ´t l` a n-2 con tem; ¯ diê`u ¯ d´ o mâu thu˜ ân v´ oi t´ınh châ´t , cua d˜ ay. J , , ,
. 13.20. (CHLB Nga 1972) Ch´ın ¯ du` ong th˘ ang c` ung c´ o t´ınh châ´t l` a , , , , , ôi ¯ du` ong th˘
ang chia h`ınh vuông th` anh hai t´ u gi´ ac c´
o ty sô´ di.ên t´ıch 2 , , , , b` ˘ ang . Ch´ ung minh r` ˘ ang c´ o ´ıt nhâ´t ba ¯ du` ong th˘ ang trong sô´ ¯ o c` ung 3 , ¯ di qua m .ôt ¯diêm. , , , , , , L`
oi giai. (H`ınh 13.4) C´ ac ¯ du` ong th˘ ang ¯ d˜ a cho không thê c´ ˘ at c´ ac , ,, ,
c .anh kê` nhau cua h`ınh vuông ABCD, boi v`ı nê´u thê´ không thê t.ao , , , , ,, , , ra ¯
du .oc hai t´u gi´ac, m`a l`a tam gi´ac v`a ng˜u gi´ac. Gia su m .ôt ¯du`ong 149 , , th˘ ang c´ ˘ at c´
ac c .anh BC v`a AD t.ai c´ac ¯diêm M v`a N. C´ac h`ınh thang , , , ABMN v` a CDNM c´ o c´ ac ¯ du` ong cao b` ˘ ang nhau do ¯ d´ o ty sô´ di .ên , , , , , t´ıch cua ch´ ung b` ˘ ang ty sô´ c´ ac ¯ du` ong trung b`ınh, t´ uc l` a MN chia , , , , ¯
do .an th˘ang nô´i trung ¯diêm cua c´ac c.anh AB v`a CD theo ty sô´ 2. 3 , , , , , , Tông sô´c´ ac ¯ diêm chia c´ ac ¯ du`
ong trung b`ınh cua h`ınh vuông theo ty ,, , , , , sô´ 2 l` a 4 (H`ınh v˜ e). Boi sô´ ¯ du` ong th˘ ang ¯ d˜ a cho l` a 9 v` a ¯ dê`u phai ¯ di 3 , ,
qua m .ôt trong sô´4 ¯diêm n´oi trên, nên c´o m .ôt ¯diêm thu .ôc ´ıt nhâ´t 3 , , , ¯ du` ong th˘ ang. M C B D A N H`ınh 13.4: , , 150
Chuong 13. M .ôt sô´ ¯dê` thi vô ¯d.ich , , CHUONG 14 , , B ` AI T .ÂP T .U GIAI , , , ,
. 14.1. M .ôt h`ınh l.âp phuong c´o c.anh b`˘ang 15 ch´ua 11.000 ¯diêm. , , Ch´ ung minh r` ˘ ang c´
o m .ôt h`ınh câ`u b´an k´ınh b`˘ang 1 ch´ua ´ıt nhâ´t 6 , , , ¯ diêm trong sô´nh˜ ung ¯ diêm ¯ d˜ a cho. , , ,
. 14.2. Cho F = {a1, a2, . . . , al} l`a t .âp h .op h˜uu h.an nh˜ung sô´ , , ,, , nguyên duong v`
a x1, x2, . . . , xn, . . . . . . l`a d˜ay vô h .an, m .oi phâ`n tu cua , n´ o n` ˘ am trong F, ngh˜ıa l`a tr` ung v´
oi m .ôt sô´n`ao ¯d´o trong a1, a2, . . . , al , , , , . Ch´ ung minh r` ˘ ang v´
oi m .oi sô´ nguyên duong bâ´t k`y tô`n t.ai m .ôt sô´ ,, , , , ,
phâ`n tu liên tiê´p cua d˜ ay, m` a t´ıch cua ch´ ung l` a l˜ uy th` ua cua m .ôt sô´ nguyên n` ao ¯ d´ o. , , . 14.3. Cho 5 ¯
diêm P1, P2, P3, P4, P5 trong phâ`n trong cua m .ôt h`ınh , , , , vuông c´
o c .anh 1 ¯don v.i. K´y hi.êu dij l`a khoang c´ach gi˜ua hai ¯diêm , ,
Pi v`a Pj. Ch´ung minh r`˘ang ´ıt nhâ´t c´o m .ôt trong sô´c´ac khoang c´ach √ , , , , 2 gi˜ ua c´ ac ¯ diêm nho hon . 2 , , , , , ,
. 14.4. Trong m .ôt h`ınh vuông c´o c.anh 50 ¯don v.i , ngu`oi ta ke ¯du`ong , , gâ´p kh´
uc sao cho m .oi ¯diêm trên c.anh h`ınh vuông c´o khoang c´ach , , , , , , , nho hon 1 ¯ dê´n ¯ du`ong gâ´p kh´ uc. Ch´ ung minh r` ˘ ang ¯ d .ô d`ai cua cua , , , , ¯ du` ong gâ´p kh´ uc l´ on hon 1248. , . 14.5. Cho A l`
a m .ôt ¯da gi´ac lô`i v´oi di.ên t´ıch S v`a chu vi P, c`on r , , , , 152 Chuong 14. B` ai t .âp t .u giai , , , , , , l`
a sô´ th .uc duong. K´y hi.êu M l`a t.âp h .op tâ´t ca c´ac ¯diêm trong m.˘at , , , , , ph˘ ang, sao cho v´ oi m˜ ôi ¯
diêm R cua M tô`n t .ai m .ôt ¯diêm Q thu .ôc A , , , , m` a khoang c´
ach gi˜ua R v`a Q nho hon ho .˘ac b`˘ang r. H˜ay t`ım di.ên , t´ıch cua h`ınh M. , ,
. 14.6. Trong h`ınh vuông c´
o c .anh b`˘ang 70, ngu`oi ta n´em ba h`ınh , , , , ch˜
u nh .ât v´oi k´ıch thu´oc 20x10, 25x15 v`a 30x30 v`a ba h`ınh tr`on b´an , , , k´ınh 5. Ch´ ung minh r` ˘ ang trong h`ınh vuông c´ o thê d.ich chuyên m .ôt , , h`ınh tr` on b´ an k´ınh 5 sao cho n´ o không c´ o nh˜ ung ¯ diêm trong chung , v´ oi 5 h`ınh ¯ d˜ a cho. , , ,
. 14.7. Trong m .˘at ph˘ang cho m .ôt ¯du`ong gâ´p kh´uc A1A2 . . . An v`a , , , h`ınh tr` on b´ an k´ınh r, tâm h`ınh tr` on chuyên ¯ d .ông trên ¯du`ong gâ´p , , , kh´ uc n` ay. Cho L l`a ¯
d .ô d`ai cua ¯du`ong gâ´p kh´uc, c`on F l`a h`ınh sinh ,, , , , , , ,
ra boi s .u chuyên ¯d .ông cua h`ınh tr`on trên ¯du`ong gâ´p kh´uc. Ch´ung , , minh bâ´t ¯ d˘ ang th´
uc S(F) ≤ 2Lr + πr2 . , , , , ,
. 14.8. T .âp h .op M l`a h .op m .ôt sô´h˜uu h.an nh˜ung ¯do.an th˘ang n`˘am , , , trong (0,1). Khoang c´ ach gi˜
ua m .ôt sô´ ¯diêm trong M không b`˘ang δ ,, , , , , , o ¯
dây 0 ≤ δ ≤ 1 . Ch´ ung minh r` ˘ ang tông ¯ d .ô d`ai cua nh˜ung ¯do.an , " # , , [ 1 ] + 1 , th˘ ang m` a ch´
ung t .ao nên M, không vu .ot qu´a δ δ v` a s .u ¯d´anh 2 gi´ a n` ay l` a ch´ınh x´ ac. , , , . 14.9. Trên ¯ du` ong tr` on b´ an k´ınh 1 cho n ¯
diêm P1, P2, . . . , Pn v`a t .âp , ,, , ,
h .op A t.ao boi m .ôt sô´h˜uu h.an cung không c´˘at nhau, m`a tông ¯d .ô d`ai , , cua ch´ ung l` a l(A). Ch´ ung minh r` ˘ ang 2kπ , a) Nê´u l(A) >
, (k = 1, 2, . . . , n − 1), th`ı c´ o thê quay t .âp n , , , , , , ,
h .op A trên ¯du`ong tr`on sao cho anh cua n´o ch´ua ´ıt nhâ´t k + 1 ¯diêm trong d˜ ây P1, P2, . . . , Pn . 153 2kπ , b) Nê´u l(A) <
, (k = 1, 2, . . . , n − 1), th`ı c´ o thê quay t .âp n , , , , , ,
h .op A trên ¯du`ong tr`on sao cho anh cua n´o ch´ua nhiê`u nhâ´t k − 1 , ¯ diêm trong d˜ ây P1, P2, . . . , Pn . , , , ,
. 14.10. Cho t .âp h .op A nh˜ung ¯diêm trên m .ôt m.˘at câ`u v´oi di.ên t´ıch , , ,, , , , l´
on hon nua di .ên t´ıch cua m.˘at câ`u. Ch´ung minh r`˘ang A ch´ua ´ıt nhâ´t , , , hai ¯
dâ`u m .ôt ¯du`ong k´ınh cua h`ınh câ`u. , , . 14.11.
y hi .êu N1, N2, . . . , Nn l`a nh˜ung t.âp h .op, m`a ch´ung c´o , , , , , , , , , ,, ¯
du .oc sau khi nh˜ung ¯dınh cua m .ôt lu´oi nguyên ¯du .oc t´ac ¯d .ông boi n , ph´
ep t.inh tiê´n, A l`a m .ôt bê` m.˘at v`a k l`a sô´t .u nhiên sao cho 1 ≤ k ≤ , n − 1. Ch´ ung minh r` ˘ ang k , , , , a) Nê´u S(A) > th`ı c´
o thê t.inh tiê´n t.âp h .op A sao cho anh cua r , , , , , n´ o ch´ ua ´ıt nhâ´t k + 1 ¯ diêm trong l` a nh˜ ung ¯ dınh cua N1, N2, . . . , Nn. k , , b) Nê´u S(A) < th`ı c´
o thê t.inh tiê´n t.âp h .op A sao cho r , , , , , , , anh cua n´ o ch´ ua nhiê`u nhâ´t k − 1 ¯ diêm trong l` a nh˜ ung ¯ dınh cua N1, N2, . . . , Nn . , , , , ,
. 14.12. Trong h`ınh vuông v´
oi c .anh 1 ¯don v.i d .ung ¯du`ong gâ´p kh´uc , , , , , ,
sao cho m .oi ¯du`ong th˘ang song song v´oi c.anh h`ınh vuông c´˘at ¯du`ong , , , , , gâ´p kh´ uc không qu´
a m .ôt ¯diêm. Ch´ung minh r`˘ang ¯d .ô d`ai cua ¯du`ong , , gâ´p kh´ uc nho hon 2. , , , ,
. 14.13. Trong m .ôt m.˘at ph˘ang cho 6 ¯diêm. Nh˜ung ¯do.an th˘ang nô´i , , , , , , , c´
ac c .˘ap ¯diêm ¯du .oc son mâ`u ¯do ho.˘ac xanh. Ch´ung minh r`˘ang v´oi , c´
ach t .ao h`ınh nhu v.ây tô`n t.ai ´ıt nhâ´t hai h`ınh tam gi´ac c´o c´ac c.anh , c` ung mâ`u. (c´ o thê hai tam gi´ ac kh´ ac mâ`u nhau). , , , , 154 Chuong 14. B` ai t .âp t .u giai , , CHUONG 15 , , , L ` OI GIAI V ` A G .OI ´Y , , , , , 15.1. L` oi giai v ` a g .oi ´y chuong 1 , , , . 1.11. L` oi giai: Nê´u tâ´t ca c´ ac ông quan ¯ dê`u quen nhau th`ı vi .êc , , , , xê´p b` an bô´n ngu` oi nhu ¯ dê` ra không c´ o g`ı kh´ o kh˘ an. Gia c´ o ông A , , v`
a ông B không quen nhau. T`u 2n − 2 ông quan c` on l .ai c˜ung nhu A , , v` a B c´
o ´ıt nhâ´t n ngu`oi quen. V`ı n + n = 2n = (2n − 2) + 2, th`ı tô`n , , ,
t .ai hai ông C v`a D, m`a h .o quen A c˜ung nhu B. Khi ¯d´o ngu`oi xê´p ¯d.˘at , , c´ o thê xê´p A ¯
dô´i di .ên B v`a gi˜ua h .o l`a C ¯dô´i di.ên D. ,
. 1.12. G .oi ´y: Chia m .ôt c.anh h`ınh vuông th`anh 48 ¯do.an m˜ôi ¯do.an , , ,, 20m, khoang c´ ach gi˜ ua 2 ¯
do .an l`a 0,6m, hai ¯do.an o hai ¯dâ`u d`ai,
5,9m. (V .ây 48.20m+47.0,6m+2.5,9m =1000m=1km). C.anh thu , hai chia ra l` am 95 ¯
do .an, khoa ng c´ach hai ¯do.an l`a 0,52m, hai ¯do.an ¯ dâ`u d`
ai 0,56m ( v .ây 95.10m+94.0,52m+20,56m= 1000m=1km). , , ,
Nhu v .ây c´o 48.95=4560 manh c´o di.ên t´ıch 200m2 m`a sô´cây chı c´o , 4500, nên c`
on ´ıt nhâ´t 60 ô nhu v .ây không c´o cây n`ao. , ,
. 1.13. G .oi ´y: Ta nh´om c´ac ng˘an c´o c`ung sô´ s´ach v`a ¯d´anh dâ´u t`u , , 0,1,. . . ,9 (c´ ac ng˘ an ch´ ua sô´s´ ach ´ıt hon 10) v`
a m .ôt ng˘an c´o 10 cuô´n. , ,, , Gia su không c´ o ba ng˘ an ch´ ua c` ung sô´ s´ ach, th`ı trong c´ ac nh´ om ta , ¯ d´ anh dâ´u c´ o ´ıt hon ba ng˘ an c´ o c` ung sô´ s´ ach (nhiê`u nhâ´t l` a 2), v .ây , , , , , 156 Chuong 15. L` oi giai v` a g .oi ´y , , th`ı v´ oi 10 nh´ om trên 10.2=20 ng˘ an s´
ach c .ông v´oi m .ôt ng˘an 10 cuô´n , n˜ ua không cho ta sô´ng˘ an s´ ach l` a 25, d˜ ân ¯ dê´n vô l´ y. , , , , ,
. 1.14. G .oi ´y: Ta lâ´y sô´cua ôtô chia cho 10 th`ı ¯du .oc sô´du 0, 1, 2, 3, , 4, 5, 6, 7, 8, 9. V`ı c´ o 11 sô´ m`
a 10 sô´ du th`ı theo nguyên l´ y Ðirichlê , , , c´ o hai sô´ c´ o c`
ung sô´ du. Nhu v .ây hi.êu cua hai sô´ chia hê´t cho 10 , ngh˜ıa l` a n´ o c´ o c`
ung m .ôt ch˜u sô´t.ân c`ung. , , , . 1.15. L`
oi giai: G .oi c´ac tr.am chuyên tiê´p l`a A, B, C, D, c´ac h`ınh , , , , , , , tr` on v´ oi ¯ du` ong k´ınh l` a c´ ac ¯ du` ong nô´i gi˜ ua c´ ac tr .am l`a v`ung bao phu , ,
cua m .ôt trung tâm ph´at s´ong. Ch´ung ta c´o 4 h`ınh tr`on nhu v.ây v`a , , , , , phai ch´ ung minh r` ˘
ang m .ôt ¯diêm M bâ´t k`y n`˘am trong t´u gi´ac cua 4 , , , ,, ,
tr .am ¯dê`u ¯du .oc phu boi ´ıt nhâ´t m .ôt h`ınh tr`on. Th.ât v.ây, nê´u ¯diêm M , , , n` ˘ am trong h`ınh tr` on ¯ du` ong k´ınh AB th`ı g´ oc AMB phai l`a t` u ho .˘ac , , b` ˘ ang 900. Ta nô´i M v´ oi c´
ac tr .am A, B, C, D, t.ao ra bô´n g´oc ¯dô´i v´oi , , , , c´
ac c .anh t´u gi´ac. Tông cua bô´n g´oc n`ay l`a 3600. Nhu v.ây ´ıt nhâ´t c´o
m .ôt g´oc t`u ho.˘ac c`ung l´˘am l`a b`˘ang 900. V.ây M thu .ôc m .ôt h`ınh tr`on , , , , m`
a t .ai M nh`ın c.anh cua t´u gi´ac du´oi m .ôt g´oc t`u. , , , , , 15.2. L` oi giai v ` a g .oi ´y chuong 2 , , ,
. 2.11. G .oi ´y: Áp d .ung Phuong ph´ap b`ai 2.2. , , ,
. 2.12. G .oi ´y: Áp d .ung phuong ph´ap b`ai 2.4 ,
. 2.13. G .oi ´y: Ð.˘at bk = a1 + a2 + · · · + ak, k = 1, 2, . . . , 41 v`a ´ap d .ung b`ai t.âp trên. , , ,
. 2.14. G .oi ´y: Nhu b`ai 2.8, nê´u M l`a sô´ nguyên tô´ c`ung nhau v´oi , , , 10, th`ı t`
u s .u chia hê´t cua l − k = 111 . . . 11.10k cho M, suy ra sô´ , , , , , 15.2. L` oi giai v` a g .oi ´y chuong 2 157 111 . . . 11 chia hê´t cho M. | {z } , (k-l ch˜ u sô´1) , , ,
. 2.15. G .oi ´y: D`ung phuong ph´ap b`ai 2.8. H˜ay x´et d˜ay
N, NN, NNN, . . . , NNN . . . N . | {z } , (1968 ch˜ u sô´) , , . 2.16. L` oi giai: Ta viê´t 1998 sô´ 1997, 19971997, . . . , , 1997 . . . 1997 . V` a x´ et c´ ac sô´ du trong ph´ ep chia m˜ ôi | {z }
sô´1997 l .˘ap 1998 lâ`n
m .ôt sô´ ¯d´o cho 1998. R˜o r`ang không m .ôt sô´n`ao trong c´ac sô´ ¯d˜a viê´t , ,
chia hê´t cho 1998 (v`ı 1998 l` a sô´ ch˜ ˘ an, m` a c´ ac sô´ ¯ d˜ a viê´t l` a le), nhu , , , ,
v .ây, c´ac sô´ du cua ph´ep chia ¯dê`u kh´ac không, v`ı sô´ c´ac sô´ l´on hon , , , , sô´ c´ ac sô´ du (c´ o 1998 sô´ m` a sô´ c´ ac sô´ du l` a 1997), nên t`ım ¯ du .oc , , , hai sô´ c´
o sô´ du nhu nhau, hi .êu cua hai sô´ ¯d´o c´o d.ang câ`n t`ım v`a chia hê´t cho 1998. , , . 2.17. L` oi giai: Ta x´
et 1997 sô´ d .ang 1998, 19981998,. . . . Sô´ cuô´i , , c` ung trong c´ ac sô´ n`
ay t .ao th`anh t`u 1997 nh´om trong bô´n ch˜u sô´1,
9, 9, 8. Ho .˘ac m .ôt trong c´ac sô´n`ay chia hê´t cho 1997 (v.ây, ¯d´o l`a sô´ , , , , ,
phai t`ım), ho .˘ac t`ım ¯du .oc hai sô´ du nhu nhau trong ph´ep chia cho , 1997. Khi ¯ d´
o hi .êu cua ch´ung c´o d.ang 19981998 . . . 1998.104m v`a chia ,, ,
hê´t cho1997. V`ı 104m v`a 1997 nguyên tô´c` ung nhau nên nhân tu th´ u nhâ´t, ngh˜ıa l`
a sô´19981998. . . 1998, chia hê´t cho 1997. , , , , . 2.18. L`
oi giai: Trong n + 1 sô´ m, m2, . . . , mn+1 t`ım ¯ du .oc hai sô´ , , , c´ o sô´ du nhu nhau trong ph´ ep chia cho n. Khi ¯ d´ o hi .êu cua ch´ung , ,,
chia hê´t cho n. Gia su ml − mt = a.n ho .˘ac mt(ml−t − 1) = a.n. V`ı
(m, n) = 1 nên (mt, n) = 1, ngh˜ıa l`
a, ml−t − 1 chia hê´t cho n. V .ây , ml−t − 1 l` a sô´phai t`ım. , , , , , 158 Chuong 15. L` oi giai v` a g .oi ´y , , , , , 15.3. L` oi giai v ` a g .oi ´y chuong 3 , , , , . 3.11. L` oi giai: Ta x´
et 104 c´ac lu˜y th`ua kh´ac nhau cua 3: 3, 32, 33 , , , , . . . , 3104 v` a c´ ac sô´ du cua ph´ ep chia m˜ ôi lu˜ y th` ua ¯ d´ o cho 104. M˜ ôi , ,
sô´ cho m .ôt sô´ du kh´ac không khi chia cho 104; sô´ c´ac sô´ du kh´ac , , , không l`
a 104 − 1; sô´c´ac sô´l`a 104. Do ¯ d´ o, t`ım ¯ du .oc hai lu˜y th`ua kh´ac , , nhau 3m v`a 3n c´ o sô´ du nhu nhau trong ph´ ep chia cho 104, ngh˜ıa l`a
3m − 3n = 104.l ho .˘ac 3n(3m−n − 1) = 104.l. V`ı 3n v`a 104 nguyên tô´, c`
ung nhau nên 3m−n − 1 chia hê´t cho 104 ho .˘ac 3m−n − 1 = 104.k. T`u , , , , ¯ d´
o suy ra 3m−n = 104.k + 1. Nhu v .ây, tra l`oi: c´o thê. , ,
. 3.12. G .oi ´y: L´y lu.ân nhu b`ai 3.10. , , ,
. 3.13. G .oi ´y: Ch´u ´y u3 = 1986, ´ap d .ung phuong ph´ap b`ai 3.4. , , , ,
. 3.14. G .oi ´y: L´y lu.ân nhu trong 3.4. Ch´ung minh r`˘ang v´oi m .oi sô´ ,
t .u nhiên m ´ıt nhâ´t m .ôt trong c´ac sô´ x1, x2, . . . , chia hê´t cho m. Sau ¯ d´ o d .˘at m = 38 v`a m = 43. , , , , , ,, ,
. 3.15. G .oi ´y: Tuong t .u nhu 3.8 ta x´et b .ô xê´p s-phâ`n tu nh˜ung sô´ , , , , , , du tuong ´ ung. D˜ ê thâ´y r` ˘ ang tô`n tai nh˜ ung chı sô´ i v`a j sao cho , 1 ≤ i < j ≤ ks v` a m˜ ôi tông trên ¯ dê`u chia hê´t cho k. , , , , , 15.4. L` oi giai v ` a g .oi ´y chuong 4 , , , , 1
. 4.11. G .oi ´y: Quanh m˜ôi ¯diêm ¯d˜a cho v˜e ¯du`ong tr`on b´an k´ınh . 15 , ,
. 4.12. G .oi ´y: B`ai to´an suy ra t`u b`ai 4.9. , , , ,, , , , . 4.13. L` oi giai: Gia su tô`n tai ¯ diêm X t`u c´ac ¯ diêm ¯ d˜ a cho m` a n´ o nô´i , , , , , ¯
du .oc v´oi 6 ¯diêm X1, X2, X3, X4, X5, X6. Khi ¯d´o c´ac ¯do.an th˘ang XX1 , , , , , 15.4. L` oi giai v` a g .oi ´y chuong 4 159 , , , , v` a XX2 ¯
du .oc d .ung theo m .ôt trong hai c´ach sau ¯dây (th .uc ra c´o c´ach , , , , , , th´ u ba nhung l`
a h .ê qua cua (b) khi ta ¯dôi chı sô´) , (a) Nê´u X l`a ¯ diêm gâ`n nhâ´t ¯
dê´n X1 v`a A2, th`ı XX1 < X1X2 v`a ,
XX2 < X1X2, ngh˜ıa l`a trong tam gi´ac XX1X2 c´o c .anh X1X2 l`a l´on nhâ´t. , , (b) Nê´u X1 gâ`n ¯ diêm X nhâ´t, c` on X gâ`n ¯ diêm X2 nhâ´t, th`ı ,
XX1 < XX2 < X1X2ch´ung ta c˜ung c´o c .anh X1X2 l`a l´on nhâ´t trong tam gi´ ac XX1X2 , , , , Suy ra \
X1XX2 > 600. Ch´ung minh ho`an to`an tuong t .u, ch´ung ta , , c˜ ung c´ o \ X2XX3, \ X3XX4, \ X4XX5, \ X5XX6, \ X6XX1 l´on hon 600, ¯ diê`u , , , , , , n` ay không thê ¯
du .oc v`ı tông c´ac g´oc n`ay phai b`˘ang 3600. Nhu v.ây, , , , , , , m˜ ôi ¯ diêm chı nô´i ¯
du .oc nhiê`u nhâ´t v´oi 5 ¯diêm thôi. , , . 4.14. L` oi giai: Ta chia h`ınh tr` on th`
anh 6 h`ınh qu .at b`˘ang nhau (c´o , ¯
dınh t .ai tâm h`ınh tr`on). Khi ¯d´o t.ai m˜ôi m .ôt h`ınh qu.at, không c´o qu´a , , ,, , , ,
m .ôt ¯diêm roi v`ao (boi v`ıkhoang c´ach gi˜ua hai ¯diêm bâ´t k`y trong m .ôt , , ,
h`ınh qu .at không l´on hon 1). Nê´u t.ai m˜ôi h`ınh qu.at c´o m .ôt ¯diêm th`ı , , , , , , , ta c´ o thê t`ım ¯
du .oc hai ¯diêm m`a g´oc gi˜ua c´ac b´an k´ınh vecto cua , , , , ch´ ung không l´ on hon 600 v`a do ¯ d´ o khoang c´ ach gi˜ ua ch´ ung không , , , , l´
on hon 1. Do v .ây, c´o thê ch .on không qu´a 5 ¯diêm. , , , , , . 4.15. L` oi giai: Ta thay m˜ ôi h`ınh vuông b` ˘
ang m .ôt h`ınh l´on hon gi´oi ,, , , , , 1 , ,
h .an boi m .ôt ¯du`ong c´ach biên cua h`ınh vuông m .ôt khoang (¯ du`ong 2 , , 1 n` ay gô`m bô´n ¯
do .an th˘ang ¯don v.i v`a bô´n cung tr`on c´o b´an k´ınh ). 2 , π , , M˜
ôi m .ôt h`ınh nhu thê´c´o di.ên t´ıch b`˘ang 3 + , c`on 120 h`ınh ¯d˜a ¯du .oc 4 , π "viê`n ra" s˜
e phu m .ôt di.ên t´ıch không qu´a 120.(3 + ) = 360 + 30π. 4 , , ,
Ta bao vây biên cua h`ınh ch˜u nh .ât ¯d˜a cho b`˘ang m .ôt dai c´o chiê`u , , , , , 160 Chuong 15. L` oi giai v` a g .oi ´y 1 , , , ,
r .ông . Di.ên t´ıch cua dai b`˘ang 44. Nhu v.ây, di.ên t´ıch tông c .ông 2 , , , , , cua dai v` a tâ´t ca c´ ac h`ınh ¯
du .oc viê`n ra b`˘ang 360 + 30π + 44 = , , ,
404 + 30π < 404 + 94, 5 < 500, t´ uc l` a b´
e hon di .ên t´ıch cua h`ınh , , , ch˜
u nh .ât (S = 20.25 = 500). Do ¯d´o, trong h`ınh ch˜u nh.ât c´o ¯diêm O , ,, , , ,
không b.i phu boi dai v`a c´ac h`ınh vuông ¯d˜a ¯du .oc viê`n ra. Ngh˜ıa l`a , , , ¯
diêm O c´ach bien cua h`ınh ch˜u nh .ât v`a c´ach m .oi h`ınh vuông m .ôt , , , 1 1 khoang l´ on hon . H`ınh tr` on b´ an k´ınh c´
o tâm t .ai O l`a h`ınh tr`on 2 2 câ`n t`ım. , , , , , 15.5. L` oi giai v ` a g .oi ´y chuong 5 , , , , . 5.11. L` oi giai: X´
et m .ôt t.âp A bâ´t k`y t`u 1978 t.âp. V`ı n´o giao v´oi ,, ,
1977 t .âp c`on l.ai, v`ı v.ây tô`n t.ai phâ`n tu a ∈ A, thu .ôc không ´ıt hon 50 , , ,, ,
t .âp h .op n`ay (th.ât v.ây nê´u m˜ôi m .ôt t`u 40 phâ`n tu cua t.âp A thu .ôc , , ,
không nhiê`u hon 49 t .âp, th`ı tâ´t ca c´o không nhiê`u hon 40.49 = 1960 ,,
t .âp kh´ac A, ¯diê`u n`ay không ¯d´ung). V.ây phâ`n tu a thu .ôc c´ac t.âp , , ,
h .op A, A1, . . . , A50. Ta s˜e ch´ung minh n´o s˜e thu .ôc t.âp bâ´t k`y B t`u ,
1978 t .âp. Th.ât v.ây không c´o hai t.âp n`ao t`u c´ac t.âp A, A1, . . . , A50 ,, , , l` a c´ o phâ`n tu chung kh´ ac v´
oi a (v`ı hai t .âp bâ´t k`y giao nhau chı c´o ,, , ,, ,
m .ôt phâ`n tu chung). Gia su a ∈ B. Khi ¯d´o t.âp B c´o v´oi m˜ôi t.âp ,, ,
A, A1, . . . , A50 m .ôt phâ`n tu chung kh´ac v´oi a, suy ra t.âp B c´o không , ,, , , , ,, ´ıt hon 51 phâ`n tu, ¯ diê`u n` ay không thê ¯
du .oc. Suy ra phâ`n tu a thu .ôc , , tâ´t ca c´ ac t .âp h .op. , , , . 5.12. L`
oi giai: M .ôt sô´chia cho 9 th`ıc´o c´ac phâ`n du {0, 1, 2, . . . , 8}. ,, Theo nguyên l´
y Dirichlê mo r .ông, trong 55 sô´ch .on ra th`ı´ıt nhâ´t c´o , , ,
m .ôt nh´om 7 sô´khi chia cho 9 cho c`ung phâ`n du (nê´u ngu .oc l.ai th`ı , ,, , c´ ac nh´ om chı c´
o 6 phâ`n tu v .ây 6.9=54 m`a ta lâ´y ra nh˜ung 55 sô´). Ch´ ung ta k´
y hi .êu c´ac sô´ ¯d´o l`a a1, a2, a3, . . . , a7. V`ı ai+1 ≡ ai (mod 9), , , , , , 15.6. L` oi giai v` a g .oi ´y chuong 6 161 , ,
nên ai+1 − ai ∈ {9, 18, . . .}. Ch´ung ta phai ch´ung minh r`˘ang ai+1 − , , ,, , , ,
ai = 9 v´oi m .ôt i n`ao ¯d´o. Gia su ngu .oc l.ai, v´oi m .oi i, ai+1 − ai ≥ 18, , , , ¯ diê`u n` ay ngh˜ıa l`
a a7 − a1 ≥ 6.8 = 108. Ðiê`u n`ay không thê ¯ du .oc v`ı , , ,, ,
a7 − a1 < 100. Nhu v .ây gi˜ua hai phâ`n tu cua a1, a2, a3, . . . , a7 c´o hai , , sô´m`
a hi .êu cua ch´ung phai b`˘ang 9. , , ,
. 5.13. G .oi ´y: C´ach ch´ung minh nhu b`ai 5.10. , , , , , , . 5.14. L`
oi giai: (B .an t .u v˜e lâ´y h`ınh ) Ch´ung ta xây d .ung lu´oi gô`m √ , 3 , , ,, nh˜
ung h`ınh l .uc gi´ac c´o c.anh . M˜
ôi h`ınh l .uc gi´ac c´o thê phu boi √ 2 , , , , , , , , ¯ du` ong tr` on v´ oi b´ an k´ınh 3. C´ o thê t´ınh to´ an ¯ du .oc sô´ lu .ong l .uc , , gi´ ac m` a ch´ ung c´ o ¯ diêm chung v´ oi tam gi´ ac ¯ dê`u ¯ d˜ a cho l` a 1 + 2 +
3 + · · · + 10 = 55. V`ı 111 = 55 × 2 + 1, nên c´ o m .ôt l .uc gi´ac trong , , , , , , lu´ oi trên ch´ ua ´ıt nhâ´t 3 ¯ diêm trong sô´ 111 ¯ diêm ¯ d˜ a ch .on. Nhu v.ây , , ¯ du` ong tr`
on bao l .uc gi´ac n`ay c´o t´ınh châ´t ¯d˜a nêu. , , , , , , , . 5.15. L` oi giai: K´
y hi .êu A1, A2, . . . , Ak l`a sô´ lu .ong ngu`oi l´on nhâ´t , , , , m` a bâ´t c´ u hai ngu` oi n` ao c˜ ung không quen nhau gi´ an tiê´p. T` u ¯ diê`u , ,
ki .ên b`ai ra k ≤ 7. M˜ôi ngu`oi c`on l.ai trong nh´om quen gi´an tiê´p ´ıt , , , , , , ,
nhâ´t m .ôt ngu`oi trong A1, A2, . . . , Ak (tru`ong h .op ngu .oc l.ai ch´ung , , , , , ta c´
o nhiê`u hon k ngu`oi, m`a hai ngu`oi không quen nhau gi´an tiê´p). , ,
M .ôt trong sô´ A1, A2, . . . , Ak c´o ´ıt nhâ´t 20 ngu`oi quen gi´an tiê´p, v`ı , , , , , , , , nê´u không ¯ d´
ung nhu v .ây, ch´ung ta s˜e nh.ân ¯du .oc tông sô´lu .ong ngu`oi , , nhiê`u nhâ´t l` a 7.19 = 133 < 134. C`
on l .ai kh˘ang ¯d.inh r`˘ang tâ´t ca , , , , , nh˜ ung ngu` oi quen gi´ an tiê´p qua c`
ung m .ôt ngu`oi l`a quen gi´an tiê´p. , , , , , 15.6. L` oi giai v ` a g .oi ´y chuong 6 , , , , ,
. 6.11. G .oi ´y: Ðây l`a tru`ong h .op riêng cua b`ai 6.1 v`a b`ai 6.2. , , , , , 162 Chuong 15. L` oi giai v` a g .oi ´y , 1
. 6.12. G .oi ´y: Sô´ ¯d˜a cho l`a x1, x2, x3, x4 v`a yi = 1 + , i = 1, 2, 3, 4. xi , , , Chı câ`n ch´ ung minh r` ˘ ang hai sô´n` ao ¯
dâ´y trong y1, y2, y3, y4 thoa m˜an y √ i − yj , , , , 0 ≤ ≤ 2 − 3. Phâ`n c` on l .ai tuong t .u nhu 2.6. 1 + 2yiyj , , , , , , . 6.13. L` oi giai: V´ oi ¯
d.inh l´y Fecma ch´ung minh ¯du .oc r`˘ang nê´u m .ôt , ,, sô´ nguyên tô´ p c´
o d .ang 4k + 3 chia hê´t cho tông a2 + b2, o ¯dây , , a, b l` a nh˜
ung sô´ nguyên, th`ı p chia hê´t cho t`ung sô´ a v`a b. H˜ay , , d` ung c´ ac ¯ d˘ ang th´
uc sau 2 = 12 + 12, k2(a2 + b2) = (ka)2 + (kb)2, (a2 + b2)(a2 + b2) = (a 1 1 2 2
1 a2 + b1b2)2 + (a1b2 − a2b1)2. , , , , , , , . 6.14. L` oi giai: Cho tuong ´ ung m˜ ôi sô´ v´ oi c˘ an b .âc hai cua ch´ınh , , , , , , n´
o. Nhu v .ây khi phân t´ıch ra m˜ôi sô´ tuong ´ung v´oi c˘an b.âc hai cua , , , , , sô´ le. M` a sô´ tâ´t ca c´
ac sô´ le nho hon 2k l`a k. V .ây theo nguyên l´y , , Ðirichlê c´
o hai sô´trong k + 1 sô´c´ o c` ung phâ`n c˘ an sô´le, do ¯ d´ o ty sô´ , , , cua n´ o s˜ e l` a l˜ uy th` ua cua 2. , , , . 6.15. L` oi giai: Nê´u gi˜ ua c´ ac sô´ ¯ d˜ a cho c´ o n sô´ m`a khi chia cho n , , , , ch´ ung cho nh˜ ung phâ`n du kh´ ac nhau. Tông cua ch´ ung s˜ e chia hê´t , , , , , ,
cho n, v`ı n l`a sô´ le. Trong tru`ong h .op ngu .oc l.ai, ´ap d .ung nguyên l´y Ðirichlê. , , , , , 15.7. L` oi giai v ` a g .oi ´y chuong 7 , , , , , . 7.11. L` oi giai: Ch´ ung ta thâ´y r` ˘
ang m .oi sô´ nguyên tô´ th .uc s .u l´on , , , hon 3 ¯ dê`u c´
o d .ang 6n + 1 ho.˘ac 6n + 5. V`ı ba sô´ nguyên tô´ l´on hon ,
3 l .âp th`anh m .ôt câ´p sô´c .ông, nên theo nguyên l´y Ðirichlê phai c´o ´ıt , nhâ´t hai sô´c`
ung d .ang, t´uc l`a hi.êu hai sô´ ¯d´o chia hê´t cho 6. G .oi d l`a , ,
công sai cua câ´p sô´ c .ông, th`ı hi.êu cua hai sô´ â´y ho.˘ac l`a d, ho.˘ac l`a , , , , , 15.7. L` oi giai v` a g .oi ´y chuong 7 163 , ,
2d. Nhu thê´ ho .˘ac l`a d|6 ho.˘ac 2d|6. Ch´u ´y công sai d l`a hi.êu cua hai , , , sô´nguyên tô´l´ on hon 3, nên n´ o l` a sô´ch˜ ˘
an. Nhu thê´v`ı d|3 v`a d|2 suy ra d|6. , , 10m . 7.12. L` oi giai: Ta luôn c´ o lim
= ∞. N´oi c´ach kh´ac tô`n t .ai m→+∞ 1998 , , 10m
sô´ nguyên duong m0 sao cho ∀m ≥ m0 th`ı > 91998. X´et m .ôt 1998 , , , , ,
sô´nguyên duong n bâ´t k`y v`a n c´
o k0 ch˜u sô´n = a1a2 . . . ak . Tru`ong 0 , , ,
h .op n`ay ta c˜ung ch .on ¯du .oc
10N > (9k0)1998 v`a N > m0 (15.1) , ,
(c .u thê c´o thê lâ´y N = max{[1998lg(9k0)] + 1, m0 + 1}) , - Ch´ ung ta s˜ e ch´ ung minh ,
ui(n) < 10N v´oi m .oi i = 1, 2, . . . (15.2) ,
Th .ât v.ây, ta s˜e ch´ung minh b`˘ang qui n.ap. , 1) V´ oi i = 1 ta c´
o u1(n) = (k1 + · · · + k0)1998 ≤ (9k0)1998 < 10N
(do (15.1)). V .ây (15.2) ¯d´ung khi i = 1. , ,, , 2. Gia su (15.2) ¯ d´ ung v´
oi i = k, ngh˜ıa l`a uk(n) < 10N. Ta c´o ,
uk+1(n) = f (uk(n)). Theo gia thiê´t qui n .ap th`ı uk(n) < 10N. do ¯d´o , ,
uk(n) c´o không qu´a N ch˜u sô´, t´uc l`a uk(n) c´o d .ang ,
uk(n) = a1a2 . . . ap v´oi p ≤ N Theo ¯ d.inh ngh˜ıa th`ı
uk+1(n) = (a1 + a2 + · · · + ap)1998 ≤ (9N)1998. (15.3) ,
Do N > m0 v .ây t`u (1) suy ra 10N > (9N)1998. (15.4) , T` u (15.3) v` a (15.4) suy ra uk+1(n) < 10N. , , , , , 164 Chuong 15. L` oi giai v` a g .oi ´y ,
V .ây (15.2) ¯d´ung v´oi i = k + 1. Theo nguyên l´y qui n.ap th`ı (15.2) , ¯ d´ ung v´ oi m .oi i = 1, 2, . . .. , , - D˜
ay vô h .an c´ac sô´ nguyên duong {ui(n)}, i = 1, 2, . . . b.i ch.˘an ,, , ,
boi 10N nên theo nguyên l´y Ðirichlê phai tô`n t .ai hai chı sô´ p < q sao cho
up(n) = uq(n) =⇒ up+k(n) = uq+k(n), ∀k , N´ oi c´ ach kh´ ac d˜
ay ui(n), i = p, p + 1, .. l`a d˜ay tuâ`n ho`an v´oi chu k`y
up(n), up+1(n), . . . , up+q+1(n). , , . 7.13. L`
oi giai: Cho a l`a m .ôt sô´tu`y ´y, th`ı {a} = a − [a] g .oi l`a phâ`n , , ,, , , le cua sô´ a, o ¯ dây k´
y hi .êu [a] l`a phâ`n nguyên cua sô´a. Xây d .ung d˜ay , , m´ oi nhu sau v1 = {u1} v2 = {u1 + u2} . . . . vn = {u1 + u2 + · · · + un} , R˜ o r` ang v´
oi m .oi k = 1, 2, . . . , n ta c´o 0 ≤ vk < 1. , ,
Chia [0, 1) ra l`am n + 1 t .âp h .op nhu sau ∆ 1 1 2 n 0 = [0, ); ∆ , ); . . . ; ∆ , 1) n + 1 1 = [ n + 1 n + 1 n = [ n + 1 , , , Chı c´ o c´ ac kha n˘ ang sau xây ra
1. Ho .˘ac tô`n t.ai k m`a vk ∈ ∆0 ∪ ∆n+1: , 1
- Nê´u vk ∈ ∆0, t´uc l`a 0 ≤ {u1 + u2 + · · · + uk} < . Ð .˘at n + 1 1
Sk = u1 + u2 + · · · + uk :⇒ 0 ≤ {S} < n + 1 1 ⇔ [S] ≤ S < [S] + . (15.5) n + 1 , , , , , 15.7. L` oi giai v` a g .oi ´y chuong 7 165 , ,
V .ây [S] l`a sô´ nguyên gâ`n S nhâ´t, nên t`u (15.5) suy ra ¯diê`u phai , ch´ ung minh. , n -Nê´u vk ∈ ∆n t´uc l`a ≤ {u n + 1
1 + u2 + · · · + uk} < 1 hay l` a n n ≤ {S} < 1 ⇔ ≤ S − [S] < 1 hay l`a n + 1 n + 1 n + [S] ≤ S < [S] + 1. (15.6) n + 1 , T`
u (15.6) suy ra [S] + 1 l`a sô´ nguyên gâ`n S nhâ´t v`a kh´ac n´ o m .ôt , , n 1 lu .ong ≤ [S] + 1 − ([S] + ) = . n + 1 n + 1
2. Ho .˘ac l`a c´ac sô´ v1, v2, . . . , vn 6∈ ∆0 ∪ ∆n, v.ây v1, v2, . . . , vn ∈ ∪n−1∆ i=1 i. Theo nguyên l´
y Ðirichlê tô`n t .ai vk, vl, k > l, thu .ôc c`ung m .ôt ,
t .âp h .op ∆j n`ao ¯d´o, 1 ≤ j ≤ n − 1. Ðiê`u ¯ d´ o c´ o ngh˜ıa l` a j j + 1 ≤ {u n + 1
1 + u2 + · · · + ul } < n + 1 j j + 1 ≤ {u n + 1
1 + u2 + · · · + uk} < n + 1
Ð .˘at Sk = u1 + u2 + · · · + uk v`a Sl = u1 + u2 + · · · + ul ta c´o j j + 1 j j + 1 ≤ S ⇒ [S ≤ S n + 1 k − [Sk] < n + 1 k] + n + 1 k < [Sk] + n + 1 j j + 1 j j + 1 ≤ S ⇒ [S ≤ S n + 1 l − [Sl ] < n + 1 l ] + n + 1 l < [Sl ] + n + 1 1 1 [Sk] − [Sl] − ≤ S n + 1
k − Sl ≤ [Sk] − [Sl ] + n + 1 1 1 [Sk] − [Sl] − ≤ u n + 1
l+1 + ul+2 + · · · + ul ≤ [Sk] − [Sl ] + n + 1 ,
Nhu v .ây d˜ay con ul+1 + ul+2 + · · · + ul c´o sô´ nguyên gâ`n nhâ´t l`a , 1 [Sk] − [Sl] v´oi ¯ d .ô l.êch không qu´a . n + 1 , , , , T´
om l .ai, trong m .oi tru`ong h .op ta ¯dê`u c´o tô`n t.ai d˜ay con thoa m˜ an yêu câ`u ¯ dê` ra. , , , , , 166 Chuong 15. L` oi giai v` a g .oi ´y , , . 7.14. L` oi giai: X´ et d˜
ây sô´ p1 = 1a = a, p2 = 2a, p3 = 3a,. . . , , , , ,
pm−1 = (m − 1)a. K´y hi.êu q1, q2, . . . , qm−1 l`a c´ac sô´ du tuong ´ung , cua d˜
ây trên chia cho m. V`ı theo ¯
diê`u ki .ên b`ai to´an a v`a m l`a nguyên , , tô´ c` ung nhau, th`ı tâ´t ca c´ ac sô´ du trên ¯ dê`u kh´ ac không. Nê´u m .ôt , , , , , trong c´ ac sô´ du b` ˘ ang 1 th`ı b`ai to´an ¯ d˜ a ¯
du .oc giai. Nê´u tâ´t ca c´ac sô´ , , du ¯ dê`u kh´ ac 1. Khi ¯ d´ o m˜
ôi sô´ trong m − 1 sô´ du q1, q2, . . . , qm − 1 b` ˘
ang m .ôt trong m − 2 sô´ 2, 3, . . . , m − 1. Theo nguyên l´y Ðirichlê , , c´
o ´ıt nhâ´t hai sô´ trong q1, q2, . . . , qm−1 b`˘ang nhau, ch˘ang h .an nhu , qi = qj, i < j. T` u ¯ d´
o suy ra sô´ (j − i)a = pj − pi chia hê´t cho m, , , , , ¯ diê`u n`
ay không thê xây ra. S .u vô l´y n`ay do gia thiê´t không m .ôt sô´ ,
du trong q1, q2, . . . , qm−1 b`˘ang 1, do ¯ d´
o suy ra ´ıt nhâ´t m .ôt trong c´ac , , sô´du phai b` ˘ ang 1. , , , , , 15.8. L` oi giai v ` a g .oi ´y chuong 8 , , , , , , . 8.11. L` oi giai: Tru´ oc tiên ch´ ung ta s˜ e ch´ ung minh a + b = c. T`u , , [an] 1 , bâ´t ¯ d˘ ang th´
uc 0 ≤ an − [an] < 1 suy ra | − a| < v´ oi m .oi n ≥ 1 n n [an] , , , , , sao cho limn→∞ = a. Ch´ ung ta c˜ ung c´ o bâ´t ¯ d˘ ang th´ uc tuong t .u n , , , , [an] [bn] [cn] cho b v`a c. Ch´ ung ta lâ´y gi´ oi h .an cua ¯d˘ang th´uc + = n n n , , v` a nh .ân ¯du .oc a + b = c. ,,
Ð .˘at a = [a] + α, b = [b] + β o ¯dây 0 ≤ α < 1, 0 ≤ β < 1. Khi ¯d´o
[an] + [bn] = [([a] + α)n] + [([b] + β)n] = [a]n + [b]n + [αn] + [βn],
[(a + b)n] = [([a] + [b] + α + β)n] = [a]n + [b]n + [(α + β)n]. , , , ,
Nhu v .ây b`ai to´an c´o thê ¯d.˘at l.ai nhu sau: Ch´ung minh r`˘ang nê´u a , , , , , v`
a b l`a nh˜ung sô´trong khoang [0, 1) m`a ch´ ung thoa m˜ an ¯ d˘ ang th´ uc [an] + [bn] = [(a + b)n] (15.7) , , v´
oi m .oi sô´t .u nhiên n, th`ı´ıt nhâ´t m .ôt trong hai sô´ ¯d´o b`˘ang 0. , , , , , 15.8. L` oi giai v` a g .oi ´y chuong 8 167 , ,, , , Gia su a 6= 0 v`a b 6= 0. Ch´ ung ta s˜ e ch´
ung minh tô`n t .ai sô´ t .u , , , nhiên n sao cho ¯ d˘ ang th´ uc (15.7) không ¯ d´
ung. Không mâ´t t´ınh tông , , , , qu´ at ch´ ung ta c´ o thê gia thiê´t r` ˘
ang a + b < 1, v`ı nê´u ngu .oc l.ai th`ı , (15.7) s˜ e không ¯ d´
ung th .âm ch´ı v´oi n = 1. , , , , , , a) Ch´ ung ta x´ et tru`
ong h .op a v`a b l`a nh˜ung sô´h˜uu ty. Khi ¯d´o c´o , , , , A B ,, , thê biêu di˜ ên ch´ ung du´ oi d .ang a = , , o ¯ dây A, B v`a N l`a nh˜ung N N , , sô´ nguyên v` a thoa m˜
an 0 < A < N, 0 < B < N. D˜ê d`ang kiêm tra , , r` ˘ ang (15.7) không thoa m˜ an v´ oi n = N − 1. Th .ât v.ây,
[a(N − 1)] = [aN − a] = [A − a] = A + [−a] = A − 1,
[b(N − 1)] = [bN − b] = [B − b] = B + [−b] = B − 1,
[(a + b)(N − 1)] = [A + B − (a + b)] = A + B − [a + b] = A + B − 1 ,
Nhu v .ây [a(N − 1)] + [b(N − 1)] 6= [(a + b)(N − 1)]. , , , , b) Ch´ ung ta x´ et tru`
ong h .op m .ôt trong c´ac sô´ a v`a b l`a sô´ vô ty. , , Ch´ ung ta s˜ e chı ra r` ˘ ang c´
o m .ôt sô´t .u nhiên n, m`a {an} + {bn} ≥ 1. (15.8) , , , Khi ¯ d´ o ¯ d˘ ang th´ uc (15.8) s˜ e suy ra không thê c´ o (15.7). , ,, , , ,
Gia su a l`a m .ôt sô´vô ty, theo b`ai 8.1 t.âp h .op nh˜ung sô´{an}, n = , , , 1, 2, . . . l` a tr`
u m .ât trong khoang (0, 1). K´y hi.êu k l`a sô´ t .u nhiên l´on , nhâ´t m` a a + kb < 1. Khi ¯ d´
o tô`n t .ai sô´t .u nhiên n m`a a + kb < {an} < 1. (15.9) , ,
Nê´u {bn} ≥ b, th`ı t`u ¯ d.inh ngh˜ıa cua k suy ra
{an} + {bn} > (a + kb) + b = a + (k + 1)b ≥ 1 , , , hay n´ oi c´ ach kh´
ac tô`n t .ai sô´t .u nhiên n m`a ¯d˘ang th´uc (15.8) ¯d´ung. , , , , , 168 Chuong 15. L` oi giai v` a g .oi ´y , , , Nê´u {bn} < b, th`ı v´
oi vi .êc thêm 1 − b v`ao c´ac vê´ cua bâ´t ¯d˘ang , , , th´ uc 0 ≤ {bn} < b, ch´ ung ta nh .ân ¯du .oc
1 − b ≤ b(n − 1) − [bn] + 1 < 1 Ðiê`u ¯ d´ o c´ o ngh˜ıa l`
a [b(n − 1)] = [bn] − 1 v`a {b(n − 1)} ≥ 1 − b. , , , , Ngo`
ai ra, tuong t .u t`u (15.9) suy ra
kb < a(n − 1) − [an] < 1 − a < 1 ,
v`ı thê´ [a(n − 1)] = [an] v`a {a(n − 1)} > kb. Nhung khi ¯ d´ o
{a(n − 1)} + {b(n − 1)} > kb + (1 − b) = 1 + (k − 1)b ≥ 1, , , , ,
v`ı k ≥ 1. Trong tru`ong h .op n`ay (15.8) ¯d´ung cho sô´ t .u nhiên n − 1. , ,
Nhu v .ây d˜ân ¯dê´n vô l´y khi m .ôt trong c´ac sô´ a v`a b l`a sô´vô ty. , , , ,
. 8.12. G .oi ´y: Ch´u ´y r`˘ang {n} chı c´o thê nh.ân h˜uu h.an gi´a tr.i. , , , , ,
. 8.13. G .oi ´y: L´y lu.ân tuong t .u nhu 8.4. ,
. 8.14. G .oi ´y: X´et c´ac sô´c´o d.ang n = 2k2 v`a ´ap d .ung 8.4. , , , , , 15.9. L` oi giai v ` a g .oi ´y chuong 9 ,
. 9.11. G .oi ´y: X´et c´ac sô´ kx − [kx](k = 0, 1, 2, . . . , n) v`a sô´ 1, chia , , ¯
do .an [0,1] ra n + 1 phâ`n, phâ`n c`on l.ai ´ap d .ung phuong ph´ap ¯do.an n` ay. , , ,
. 9.12. G .oi ´y: V´oi m˜ôi c´ach ch .on nh˜ung sô´ q1, q2, . . . qn tô`n t.ai sô´ , , nguyên p, v´ oi n´
o 0 ≤ q1x1 + q2x2 + · · · + qmxm − p < 1. Bây gi`oi chia ¯
do .an [0,1] ra (n + 1)m ¯do.an con b`˘ang nhau. , , , , , 15.10. L` oi giai v` a g .oi ´y chuong 10 169 , , , , √ p √ √ . 9.13. G .oi ´ y: H˜ ay x´ et hai tru` ong h .op 2 − > 3 − 2 v` a q √ p √ √ 2 − ≤ 3 − 2 q , , , ,
. 9.14. G .oi ´y: Tuong t .u b`ai trên. , , , ,
. 9.15. G .oi ´y: Gia thiê´t v´oi m .oi p v`a q thoa m˜an |mp2 + npq + sq2| ≥ 1. , , , , , 15.10. L` oi giai v ` a g .oi ´y chuong 10 , , , , , . 10.11. L` oi giai: Ðây l`
a s .u tông qu´at h´oa b`ai 10.3. C´ach ch´ung , , , , , , minh ho` an to`
an tuong t .u. Ch´ung ta c˜ung t.ao ra lu´oi v´oi c´ac h`ınh vuông c´
o di .ên t´ıch 1. Sau ¯d´o lâ´y m .ôt h`ınh vuông l`am gô´c rô`i t.inh , , , tiê´n c´ ac h`ınh vuông c´ o ch´ ua c´
ac manh cua A vê` h`ınh vuông gô´c. , , , , , ,
Nhu v .ây tông di.ên t´ıch nh˜ung phâ`n t.inh tiê´n cua A s˜e l´on hon n. ,, Theo nguyên l´
y Ðirichlê mo r .ông cho di.ên t´ıch suy ra c´o ´ıt nhâ´t , , ,
n + 1 trong sô´ nh˜ung phâ`n cua A ¯ d˜
a t.inh tiê´n t´oi h`ınh vuông gô´c , , , , , c´ o ¯
diêm chung (x0, y0). Nh˜ung ¯ diêm t` u c´ ac h`ınh vuông nho ban ¯ dâ`u ,
t.inh tiê´n ¯dê´n ¯diêm n`ay c´o to.a ¯d .ô l`a (xi, yi) (i = 1, 2, . . . , n + 1), m`a ,
xi − xj v`a yi − yj (i, j = 1, 2, . . . , n + 1) l`a nh˜ung sô´nguyên. , , , . 10.12. L` oi giai: Ch´ ung ta x´ et h`ınh vuông V, m`a n´ o ch´ ua bê`m .˘at A , v` a c´
o c .anh v´oi ¯d .ô d`ai n nguyên. Ð.˘at B = V\A. Ch´ung ta thâ´y ngay , S(V) = n2 v` a S(A) < k, do ¯ d´
o S(B) > n2 − k. Bây gi`o ´ap d .ung b`ai , , 10.11. V`ı thê´ B c´
o thê t.inh tiê´n sao cho n´o ch´ua ´ıt nhâ´t n2 − k + 1 , , , , ¯ diêm v´
oi to .a ¯d .ô nguyên. K´y hi.êu A1, V1, B1 l`a c´ac anh cua ph´ep t.inh , , , ,
tiê´n trên cua A, V, B tuong ´ ung. R˜ o r`
ang B1 = V1\A1. Ch´ung ta s˜e , , , , ch´ ung minh r` ˘
ang A1 ch´ua nhiê`u nhâ´t k − 1 ¯ diêm v´ oi to .a ¯d .ô nguyên. , , , , , 170 Chuong 15. L` oi giai v` a g .oi ´y , ,, , , , ,
Th .ât v.ây, Gia su ngu .oc l.ai ch´ung ta c´o k ¯diêm v´oi to.a ¯d .ô nguyên , , ,
trong A1. V`ı theo c´ach d .ung trên B1 ch´ua ´ıt nhâ´t n2 − k + 1 ¯diêm , trong v´
oi to .a ¯d .ô nguyên v`a B1 ⊂ V1, A1 ⊂ V1, A1 ∩ B1 = ∅, Khi ¯d´o , , ,
h`ınh vuông V1 ch´ua ´ıt nhâ´t n2 + 1 ¯ diêm v´
oi to .a ¯d .ô nguyên, ¯diê`u n`ay , , không thê xây ra, d˜ ân ¯ dê´n vô l´ y. , , , , , . 10.13. L` oi giai: C˜ ung nhu b` ai 10.5 t´
ac d .ung lên A ph´ep v.i t .u v´oi , , , ,
tâm t .ai gô´c t.a ¯d .ô v`a h.ê sô´ 1, ch´ung ta nh.ân ¯du .oc t.âp h .op m´oi A0. 2 ,,
V`ı S(A) > 4n nên S(A0) > n. Theo nguyên l´y Ðirichlê mo r .ông , ,
cho di .ên t´ıch A0 ch´ua ´ıt nhâ´t n + 1 ¯diêm kh´ac nhau (xi, yi) (i = , 1, 2, . . . , n + 1) m`
a xi − xj v`a yi − yj l`a nh˜ung sô´nguyên. , , , , Ch´ ung ta x´ et ¯ da gi´ ac lô`i nho nhâ´t ch´ ua tâ´t ca c´ ac ¯ diêm trên. D˜ ê , , , d` ang thâ´y r` ˘ ang m˜ ôi ¯ dınh cua ¯ da gi´ ac l`
a m .ôt trong c´ac ¯diêm (xi, yi). , , , Nh˜ ung ¯ dınh cua ¯ da gi´
ac không thu .ôc trong ¯do.an n`ao m`a hai ¯dâ`u l`a , , , , nh˜ ung ¯ diêm n` ˘ am trong ¯ da gi´ ac. V`ı thê´trong nh˜ ung ¯ diêm (xi, yi) tô`n , , ,
t .ai m .ôt ¯diêm m`a không n`˘am trong ¯do.an th˘ang nô´i hai ¯diêm trong , , , ,, ,
t .âp h .op ¯diêm ¯d˜a ch .on. Gia su ¯diêm ¯d´o l`a (x1, y1). C˜ung theo b`ai , , , 10.5 cho ta n ¯ diêm kh´ ac nhau v` a kh´ ac ¯
diêm gô´c to .a ¯d .ô, v´oi to.a ¯d .ô
nguyên (xi − x1, yi − y1), i = 2, 3, . . . , n + 1, ¯ dê`u n` ˘ am trong A. V`ı , , t´ınh ¯ dô´i x´ ung nên c´ ac ¯ diêm (x1 − xi, y1 − yi), i = 2, 3, . . . , n + 1, c˜ ung thu .ôc A. , , , Ch´ ung ta s˜ e ch´ ung minh nh˜ ung ¯ diêm x´ ac ¯ d.inh theo c´ach trên l`a , , ,, , , kh´ ac nhau t` ung ¯
dôi m .ô t. Th.ât v.ây, gia su ngu .oc l.ai ch´ung ta c´o
(xi − x1, yi − y1) = (x1 − xj, y1 − yj) , , 1 v´ oi hai chı sô´n` ao ¯ d´
o i, j m`a i, j = 2, 3, . . . , n + 1. V`ı v .ây x1 = (x 2 i + 1 xj) v`a y1 = (y 2 i + yj). Nê´u i = j th`
ı (x1, y1) = (xj, yj), vô l´y v`ı , , , , , 15.11. L` oi giai v` a g .oi ´y chuong 11 171 , , ,
1 6= j. Nê´u i 6= j, th`ı (x1, y1) l`a trung ¯ diêm cua ¯ do .an th˘ang nô´i hai , , , , ¯
diêm (xi, yi) v`a (xj, yj), ¯ diê`u n` ay không thê ¯ du .oc theo c´ach ch .on. , , , , Ch´ ung minh trên chı ra r` ˘ ang A ch´ ua ´ıt nhâ´t 2n ¯ diêm kh´ ac nhau , , v` a kh´
ac gô´c to .a ¯d .ô, c´o to.a ¯d .ô nguyên. Nhung ¯diêm gô´c to.a ¯d .ô c˜ung , n` ˘
am trong t .âp A v`a c´o to.a ¯d .ô nguyên, suy ra kê´t lu.ân cua b`ai to´an. ,
. 10.14. G .oi ´y: ´Ap d .ung b`ai t.âp 10.13. , , , , ,
. 10.15. G .oi ´y: C´ach ch´ung minh tuong t .u 10.9. , , , , , 15.11. L` oi giai v ` a g .oi ´y chuong 11 , , . 11.11. a) T` u b`
ai 11.3 suy ra 6 = 9 − (S12 + S23 + S13) + S123, t´uc l`
a S12 + S23 + S13 = 3 + S123 ≥ 3. Do ¯ d´
o m .ôt trong c´ac sô´S12, S23, S13 , , không nho hon 1. , , , , ,, b) L` oi giai: T` u b`
ai 11.3 suy ra 5 ≥ 9 − M2, t´uc l`a M2 ≥ 4. Boi v`ı , , , , 8 , t` u 9 ¯ da gi´ ac c´
o thê t .ao ¯du .oc 9. = 36 c.˘ap, di.ên t´ıch phâ`n chung cua 2 , , M 1 m 2 .ôt sô´c´
ac c .˘ap ¯d´o không nho hon ≥ . 36 9 , , , . 11.12. L`
oi giai: G .oi M1, M2, . . . , M6 l`a 6 ¯diêm ¯d˜a cho. Trong m˜ôi , , , tam gi´
ac Mi Mj Mk ta tô c .anh l´on nhâ´t b`˘ang mâ`u ¯do. Kê´t qua s˜e l`a , , , ,
m .ôt ¯do.an th˘ang Mr Ms l`a ¯do c`on c´ac c.anh kh´ac s˜e không ¯do. Chı câ`n , , , ch´ ung minh r` ˘
ang tô`n t .ai m .ôt tam gi´ac c´o ¯dınh l`a c´ac ¯diêm ¯d˜a cho v`a , , , , , ,
ba c .anh ¯du .oc tô mâ`u ¯do. Th.ât v.ây, c.anh l´on nhâ´t cua tam gi´ac nhu , , , , , thê´ ¯ dô`ng th` oi l`
a c .anh nho nhâ´t cua tam gi´ac kh´ac v`ı n´o ¯du .oc tô mâ`u , , , , , , ¯ do. T` u m˜ ôi ¯ diêm ¯ d˜ a cho xuâ´t ph´ at 5 ¯
do .an th˘ang nô´i n´o v´oi c´ac ¯diêm , , , , c`
on l .ai. V.ây ho.˘ac ´ıt nhâ´t c´o 3 trong nh˜ung ¯do.an th˘ang n`ay ¯du .oc tô , , , , mâ`u ¯
do, ho .˘ac ´ıt nhâ´t c´o 3 ¯do.an v˜ân không ¯du .oc tô mâ`u ¯do. , , , , , 172 Chuong 15. L` oi giai v` a g .oi ´y , , , , , , Nê´u t` u ¯ diêm M1 xuâ´t ph´at 3 ¯
do .an ¯du .oc tô mâ`u ¯do (ch˘ang h.an ,
M1M2, M1M3, M1M4) th`ı trong ∆M2M3M4 ´ıt nhâ´t c´o m .ôt c.anh (l´on , , , , ,, nhâ´t) ¯
du .oc tô mâ`u ¯do, gia su ¯d´o l`a ¯do.an M2M3. Thê´ th`ı trong , , ∆ , ,
M1M2M3 tâ´t ca c´ac c .anh ¯dê`u ¯du .oc tô mâ`u ¯do. , , , , Nê´u t` u ¯
diêm M1 xuâ´t ph´at ´ıt nhâ´t 3 ¯
do .an không ¯du .oc tô mâ`u , , ¯ do (ch˘
ang h .an 3 ¯do.an M1M2, M1M3, M1M4) th`ı ta x´et 3 tam gi´ac
M1M2M3, M1M2M4, M1M3M4. Trong m˜ôi tam gi´ac n`ay ´ıt nhâ´t c´o , , , , , ,
m .ôt c.anh ¯du .oc tô mâ`u ¯do, nhung c.anh không ch´ua ¯dınh M1. V.ây , , , , , 3 ¯
do .an M2M3, M2M4, M3M4 ¯du .oc tô mâ`u ¯do, t´uc l`a 3 c.anh cua , ∆M2M3M4 ¯dê`u mâ`u ¯do. , , , , , . 11.13. L` oi giai: Tru´
oc hê´t ta nh .ân x´et c´o ´ıt nhâ´t m .ôt tam gi´ac ¯don , ,, , , , , s´ ˘ ac (B`
ai 5.4). Gia su P1P2P3 l`a tam gi´ac ¯ don s´ ˘ ac, ch˘ ang h .an ¯do. Ðê , ,
riêng P1 ta c`on l .ai 6 ¯diêm v`a ta l.ai c´o m .ôt tam gi´ac ¯don s´˘ac không , , c´ o P1 l`a ¯ dınh (B` ai 5.4). Nê´u tam gi´ ac n` ay không ch´ ua c .anh P2P3 th`ı , , , , , , ta ¯
du .oc kê´t qua, thê´th`ı c´o m .ôt ¯diêm th´u tu P0 sao cho P0 P 1 1 2 P3 c˜ ung , , , , , , , l` a tam gi´ ac ¯
do. Tuong t .u ¯dê riê`n P2 v`a P3 ta ¯du .oc P0 v`a P0 sao cho 2 3 , P1P0 P l` a tam gi´ ac o. 2 3 v` a P1P2P03 ¯ d , , , , Tru´ oc hê´t ta x´ et kha n˘ angl` a 3 ¯
diêm P0, P0 v`a P0 không phân bi 1 2 3 .êt. , , , , Trong tru`
ong h .op n`ay m .ôt trong ch´ung t.ao th`anh v´oi P1P2P3 m .ôt , , , , h`ınh t´
u di .ên. C`on l.ai 3 ¯diêm. Nê´u c´ac c.anh gi˜ua m .ôt trong ba ¯diêm , , , , , , c`
on l .ai ¯d´o v`a 2 ¯dınh cua h`ınh t´u di.ên l`a ¯do ta s˜e ¯du .oc hai tam gi´ac , , , , , ¯ do v´
oi 2 c .anh r`oi nhau, m .ôt tam gi´ac c´o m .ôt ¯dınh m´oi v`a m .ôt c.anh , , , , cua t´
u di .ên v`a tam gi´ac kia trên t´u di.ên. Nê´u không, m˜ôi ¯diêm c´o ´ıt , , , , , ,
nhâ´t c .anh ¯do thu .ôc t´u di.ên. Nhu thê´c´o ´ıt nhâ´t m .ôt ¯dınh cua t´u di.ên , , , nô´i v´ oi ca 3 ¯ dınh c`
on l .ai b`˘ang c.anh mâ`u ¯den. Nê´u c.˘ap n`ao trong 3 , nô´i b` ˘
ang c .anh ¯den th`ı ta c´o m .ôt tam gi´ac ¯den v`a m .ôt ¯do. Nê´u không , , , , , ta ¯
du .oc hai tam gi´ac ¯do c´o ¯dınh r`oi nhau. , , , , , 15.12. L` oi giai v` a g .oi ´y chuong 12 173 , , ,, ,
V .ây ta c´o thê gia su r`˘ang ba ¯diêm P0, P0 v`a P0 l`a phân bi 1 2 3 .êt. Nê´u , , , , , , , 2 ¯ diêm, P0 v`a P0, c nô´i b` ˘ ang c o th`ı ta c hai tam gi´ ac o 1 2 ¯ du .o .anh ¯ d ¯ du .o ¯ d , , P1P2P3 v`a P0 P0 P P0 P0 cho theo th´ u t 1 2 3. Nê´u không th` ı P1P2P3 v`a P01 2 3 .u ,
m .ôt tam gi´ac ¯do v`a m .ôt tam gi´ac ¯den. , , , , , , , . 11.14. L` oi giai: Lâ´y 1998 ¯ d˜ıa ¯
du .oc tô giô´ng nhu ¯d˜ıa th´u hai cua , , ch´ ung ta v` a ¯
d .˘at chô`ng tâ´t ca ch´ung lên ¯d˜ıa th´u nhâ´t sao cho ch´ung , , , c´ o tâ´t ca c´
ac v.i tr´ı c´o thê (nhu khi quay). Khi ¯d´o trên m˜ôi h`ınh qu.at , , , , , , cua ¯ d˜ıa th´ u nhâ´t c´
o 200 h`ınh qu .at, ¯du .oc tô, t´uc l`a c´o tâ´t ca 2002 , , , ,, , ,
c .˘ap h`ınh qu.at ¯du .oc tô tr`ung nhau. Gia su c´o n v.i tr´ı cua ¯d˜ıa th´u , , , hai c´
o không ´ıt hon 21 c .˘ap h`ınh qu.at ¯du .oc tô tr`ung nhau. Khi ¯d´o , , , , sô´ c´
ac h`ınh qu .at ¯du .oc tô tr`ung nhau không nho hon 21n. Do ¯d´o , ,, 21n ≤ 2002, t´ uc l`
a n ≤ 1904, 8. Boi v`ı n l`a sô´nguyên, nên n ≤ 1904. Suy ra c´
o ´ıt nhâ´t 1998 − 1904 = 94 v.i tr´ı c´o không qu´a 20 c.˘ap h`ınh , ,
qu .at ¯du .oc tô tr`ung nhau. , , ,
. 11.15. G .oi ´y: Ch´ung minh ho`an to`an nhu b`ai 11.2. , , , , , 15.12. L` oi giai v ` a g .oi ´y chuong 12 , , , , , . 12.11. L`
oi giai: Lâ´y A∗ l`a nh˜ung ¯
diêm trên m .˘at câ`u ¯dô´i x´ung qua , , , , , , , , , tâm cua qua câ`u t` u nh˜ ung ¯
diêm cua t .âp h .op A. Theo gia thiê´t tông , , ,
di .ên t´ıch cua A v`a A∗ l´on hon di.ên t´ıch m.˘at câ`u. Theo nguyên l´y , ,
Ðirichlê cho di .ên t´ıch ch´ung c´o ¯diêm chung. V.ây ¯diêm chung ¯d´o v`a , , , , , , ¯ diêm ¯ dô´i x´ ung cua n´ o l`
a c .˘ap ¯diêm ¯dê`u thu .ôc A t.ao ra ¯du`ong k´ınh , qua câ`u. , , , , . 12.12. L` oi giai: V´ oi m˜
ôi h`ınh ch˜u th .âp ta x´et h`ınh tr`on c´o tâm t.ai , 1 , tâm ch˜
u th .âp v`a b´an k´ınh b`˘ang √ . Ta ch´ung minh r`˘ang nê´u hai 2 2 , , , , , 174 Chuong 15. L` oi giai v` a g .oi ´y , , h`ınh tr` on ¯ d´ o c´ ˘ at nhau th`ı hai ch˜
u th .âp c˜ung s˜e c´˘at nhau. Khoang , , , c´ ach gi˜ ua hai tâm cua h`ınh tr` on b` ˘ ang nhau v` a c´ ˘ at nhau không l´ on , , , , , hon hai lâ`n b´ an k´ınh cua ch´ ung, do ¯ d´ o khoang c´ ach gi˜ ua tâm cua , , , , , , , 1 , c´ ac ch˜
u th .âp tuong ´ung v´oi ch´ung không l´on hon √ . X´et h`ınh ch˜u 2 ,, , , , ,
nh .ât x´ac ¯d.inh boi c´ac c´anh cua h`ınh ch˜u th.âp th´u nhâ´t v`a tâm cua , , , , , ch˜
u th .âp th´u hai. S˜e c´o m .ôt c´anh cua ch˜u th.âp th´u hai ¯di qua h`ınh , , , ,, , ch˜
u nh .ât ¯d´o, do ¯d´o s˜e c´˘at ch˜u th.âp th´u nhâ´t, boi v`ı ¯d .ô d`ai cua c´anh 1 , , , , , 1 b` ˘ ang √ , c` on ¯
d .ô d`ai ¯du`ong ch´eo h`ınh ch˜u nh.ât không l´on hon √ . 2 2 , , , , R˜ o r` ang trong h`ınh tr` on b´ an k´ınh 100 chı c´ o thê ¯ d .˘at ¯du .oc m .ôt , 1 sô´h˜
uu h .an c´ac h`ınh tr`on b´an k´ınh √ không c´˘at nhau. 2 2 , , , , ,, , . 12.13. L` oi giai: C´
o thê. Gia su O l`a tâm cua ng˜ u gi´ ac ¯ dê`u ABCDE. Khi ¯ d´ o c´ ac h`ınh tr`
on n .ôi tiê´p trong c´ac g´oc AOC, BOD, COE, DOA, EOB c´ o t´ınh châ´t ¯ d˜ a nêu. , , , . 12.14. L` oi giai: X´
et m .ôt tam gi´ac ¯dê`u c´o c.anh b`˘ang 1. Tâ´t ca 3 , , , , , , ¯ dınh cua n´ o không thê ¯
du .oc tô b`˘ang c´ac mâ`u kh´ac nhau, do ¯d´o phai , , , c´ o hai ¯ diêm c` ung mâ`u, v` a khoang c´ ach gi˜ u ch´ ung b` ˘ ang 1. PH .U L .UC A , T .ÂP H .OP V `A ´ANH X .A , ,, ,
A.1. T .âp h .op v`a To´an tu trên t .âp h .op. , , ,, , Khi ch´
ung ta coi m .ôt ¯dô´i tu .ong a n`ao ¯d´o l`a m .ôt phâ`n tu cua t.âp , ,, ,
h .op A, th`ı k´y hi.êu l`a a ∈ A, c`on khi a không l`a phâ`n tu cua A th`ı k´y hi .êu l`a a 6∈ A. , , , ,
M .ôt t.âp h .op A g .oi l`a t .âp h .op con cua t.âp h .op B, khi m .oi phâ`n ,, , , ,, , ,
tu cua t .âp h .op A l`a phâ`n tu cua t.âp h .op B, K´y hi.êu l`a A ⊂ B ho.˘ac , , B ⊃ A. Ngh˜ıa l` a t`
u a ∈ A suy ra a ∈ B ho .˘ac l`a t`u a 6∈ B suy ra a 6∈ A. , ,,
T .âp h .op r˜ông không c´o m .ôt phâ`n tu n`ao, k´y hi.êu l`a ∅. M .oi ¯dô´i , , ,
tu .ong x ¯dê`u không n`˘am trong t.âp h .op r˜ông x 6∈ ∅ . T.âp h .op r˜ông , , ¯ dê`u n` ˘
am trong m .oi t.âp h .op, ngh˜ıa l`a ∅ ⊂ A, v´oi m .oi A. , ,,
Hai t .âp h .op A v`a B tr`ung nhau khi ch´ung c´o c`ung c´ac phâ`n tu , , , , , , , nhu nhau, k´
y hi .êu A = B. Tuong ¯duong , A = B khi v`a chı khi t`u , a ∈ A suy ra a ∈ B v` a t`
u a ∈ B suy ra a ∈ A ho .˘ac A ⊂ B v`a B ⊂ A. , , , , ,
Cho A1, A2, . . . , An l`a m .ôt sô´ h˜uu h.an nh˜ung t.âp h .op. H .op cua , , , , ,, nh˜
ung t .âp h .op trên l`a m .ôt t.âp h .op gô`m tâ´t ca c´ac phâ`n tu m`a n´o , , ,
thu .ôc v`ao m .ôt trong c´ac t.âp h .op A1, A2, . . . , An. H .op cua c´ac t.âp , ,
h .op A1, A2, . . . , An , k´y hi.êu l`a A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An. C .u thê, a ∈ A1 ∪ ,
A2 ∪ . . . ∪ An ngh˜ıa l`a tô`n t .ai m .ôt chı sô´i trong {1, 2, . . . , n} sao cho 175 , , , 176 Chuong A. T .âp h .op v`a ´ Anh x .a a ∈ Ai. , , ,
Cho A1, A2, . . . , An l`a m .ôt sô´ h˜uu h.an nh˜ung t.âp h .op. Giao , , , , ,, cua nh˜
ung t .âp h .op trên l`a m .ôt t.âp h .op gô`m c´ac phâ`n tu m`a , , , n´ o n` ˘
am trong m .oi t.âp h .op A1, A2, . . . , An. Giao cua c´ac t.âp h .op ,
A1, A2, . . . , An k´y hi.êu l`a A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An. C .u thê, a ∈ A1 ∩ A2 ∩ , ,
. . . ∩ An ngh˜ıa l`a v´oi m .oi chı sô´i trong {1, 2, . . . , n} ta c´o a ∈ Ai. , , ,
Hi .êu cua hai t.âp h .op A v`a B l`a m .ôt t.âp h .op, k´y hi.êu A\B, gô`m , ,, nh˜ ung phâ`n tu a c´
o t´ınh châ´t a ∈ A v`a a 6∈ B. , ,
A.2. Qui n .ap to´an h .oc v`a B`ai to´an tô h .op , , ,
Trong t .âp h .op sô´t .u nhiên, c`ung v´oi nguyên l´y Ðirichlê c`on m .ôt , , ,, , , nguyên l´
y qui n .ap to´an h .oc c˜ung hay ¯du .oc su d .ung. D.ang ¯don gian , , , , cua phuong ph´
ap qui n .ap to´an h .oc nhu sau: , ,
Cho m .ôt d˜ay nh˜ung ¯diê`u kh˘ang ¯d.inh K1, K2, . . . , Kn, . . . (A.1) o t´ınh châ´t sau: ,
a)K1 l`a kh˘ang ¯d.inh ¯d´ung. , , , b) V´ oi m˜
ôi sô´ t .u nhiên n,nê´u Kn l`a kh˘ang ¯d.inh ¯dus ng th`ı suy ra ,
Kn+1 c˜ung l`a kh˘ang ¯d.inh ¯d´ung. , , Khi ¯ o tâ´t ca c´ ac kh˘ ang ¯
d.inh trong d˜ay (A.1) ¯dê`u ¯d´ung. , , Ch´ u ´ y: ¯
diê`u ki .ên a) ¯dam bao cho K1 ¯d´ung, sau ¯d´o ´ap d .ung b) cho K2 c˜ung ¯ d´
ung, tiê´p t .uc ´ap d .ung b) cho K3 c˜ung ¯d´ung v`a tiê´p t .uc , , , qu´ a tr`ınh ¯ d´ o v´
oi m .oi n. Ðê minh h .oa ch´ung ta ch´ung minh m .ôt ¯d.inh , , l´
y vê` tô h .op m`a râ´t hay ´ap d .ung trong cuô´n s´ach n`ay: , , , ,, , ,,
M .oi t .âp h.op h˜uu h .an v´oi n phâ`n tu c´o ¯d´ung 2n t .âp h.op con t .ao boi ,, , ac phâ`n tu kh´ ac nhau cua n´ o. , A.3. ´ Anh x .a trên t.âp h .op 177 , , V´
oi m .oi sô´ n ch´ung ta k´y hi.êu ¯diê`u kh˘ang ¯d.inh trên b`˘ang Kn. , , , , ,
Nhu v .ây ch´ung ta s˜e nh.ân ¯du .oc d˜ay (A.1). V´oi n = 1 kh˘ang ¯d.inh , ,, , ¯ d´
ung, v`ı m .oi t.âp h .op c´o m .ôt phâ`n tu c´o ¯d´ung hai t.âp h .op con, ¯d´o l`a ,,
t .âp r˜ông v`a ch´ınh t.âp ( m .ôt phâ`n tu ) ¯dos . V.ây (A.1) c´o t´ınh châ´t a). , , , Bây gi` o ch´ ung ta phai ch´ ung minh b) ¯ d´ ung. Ngh˜ıa l` a cho n l`a , , , ,
m .ôt sô´t .u nhiên bâ´t k`y v`a kh˘ang ¯d.inh Kn ¯d´ung t´uc l`a m .oi t.âp h .op c´o ,, , , , n phâ`n tu c´ o ¯ d´
ung 2n t .âp h .op con. Câ`n phai ch´ung minh r`˘ang Kn+1 , ,, l` a ¯ dus ng. Ch´ ung ta x´
et S l`a t .âp h .op c´o n + 1 phâ`n tu v`a s l`a m .ôt ,, , , , , , phâ`n tu cua n´ o. Ch´ ung ta chia nh˜
ung t .âp h .op con cua S l`am hai l´op: , , , , , , L´
op a1 gô`m tâ´t ca c´ac t .âp h .op con cua S không ch´ua s. L´op a2 gô`m , , , , , , , tâ´t ca c´
ac t .âp h .op con cua S ch´ua s. Nh˜ung t.âp h .op con thu .ôc l´op a1 , , , ,, , l`
a t .âp h .op con cua m .ôt t.âp h .op n phâ`n tu S1, m`a n´o nh.ân t`u S sau , ,, , , , , , khi bo ¯
di phâ`n tu s. Theo gia thiê´t qui n .ap sô´lu .ong t.âp h .op con cua , , , , , , n´ o ¯ d´ ung l`
a 2n. M .˘at kh´ac c´ac t.âp h .op con cua l´op a2 l`a tuong ´ung 1-1 , , , , , , v´ oi v´ oi c´
ac t .âp h .op con cua S1. Th.ât v.ây, m .oi t.âp h .op con Z ch´ua s , , , , , , , , cua S ta cho tuong ´ ung v´
oi t .âp h .op con Z1 cua S1 b`˘ang c´ach t`u Z , ,, , , , , , ta bo ¯
d.i phâ`n tu s. Ngh˜ıa l`a sô´lu .ong t.âp h .op con cua S trong l´op a2 , , , , , , tr` ung v´
oi sô´ lu .ong t.âp h .op con cua S1 v`a b`˘ang 2n. Do ¯d´o tâ´t ca t.âp , , , ,
h .op con cua S l`a 2n + 2n = 2n+1. Nhu v.ây ch´ung ta ¯d˜a ch´ung minh, , , , v´
oi m .oi n, t`u Kn ¯dus ng suy ra Kn+1 ¯dus ng. Ch´ung ta ch´ung minh , , , , ¯
du .oc (A.1) c´o t´ınh châ´t b). Suy ra tâ´t ca c´ac kh˘ang ¯d.inh ¯dê`u ¯d´ung. J , A.3. ´ Anh x .a trên t .âp h .op , , ,, , , , , T` u nh˜ ung kh´
ai ni .êm sô´phâ`n tu cua m .ôt t.âp h .op n`ay l´on hon sô´ ,, , , , , ,
phâ`n tu cua m .ôt t.âp h .op kia, ngu`oi ta xây d .ung kh´ai ni.êm ´anh x.a , , , ¯ dê giai th´ıch v` a ch´ınh x´ ac h´ oa trong khi ch´ ung minh. , , , 178 Chuong A. T .âp h .op v`a ´ Anh x .a , , Ch´ ung ta n´ oi r` ˘
ang cho m .ôt ´anh x .a f : A → B t`u t.âp h .op A v`ao , ,, , , , ,
t .âp h .op B, khi m .oi phâ`n tu a thu .ôc A cho tuong ´ung v´oi m .ôt phâ`n ,, ,, , ,
tu f (a) thu .ôc B. Phâ`n tu f (a) g .oi l`a gi´a tr.i cua ´anh x.a f v´oi phâ`n ,, , , , , , tu a cua A. C´
o thê chı ra nhiê`u v´ı d .u nhu ´anh x.a sô´t .u nhiên v`ao sô´ , , , , , ch˜ ˘ an, v´
oi m .oi n cho tuong ´ung v´oi 2n,. . . . , , , , Ngu` oi ta c` on ¯
dua ra m .ôt sô´ t´ınh châ´t cua ´anh x.a: M .ôt ´anh x.a , ,
f : A → B g .oi l`a ¯don ´anh, nê´u t`u f (a1) = f (a2)(a1, a2 ∈ A) suy ra , ,, ,
a1 = a2. N´oi c´ach kh´ac f l`a ¯ don ´
anh khi m .oi phâ`n tu kh´ac nhau cua , , , , , ,, , A cho tuong ´ ung v´ oi nh˜ ung phâ`n tu kh´ ac nhau cua B. , ,,
M .ôt ´anh x.a f : A → B g .oi l`a to`an ´anh, nê´u v´oi m .oi phâ`n tu , , ,,
cua b cua B tô`n t .ai phâ`n tu a thu .ôc A sao cho f (a) = b. C´o nhiê`u v´ı , , ,
d .u vê` ´anh x.a lo.ai n`ay, nhu ph´ep chiê´u lên tr .uc to.a ¯d .ô cua m .oi ¯diêm , trong m .˘at ph˘ang. , ,
M .ôt ´anh x.a f : A → B g .oi l`a song ´anh, khi n´o ¯dô`ng th`oi l`a ¯don , ,, ´ anh v` a to` an ´
anh. Nê´u f : A → B l`a song ´anh, th`ı v´ oi m .oi phâ`n tu b , ,,
cua B tô`n t .ai duy nhâ´t phâ`n tu a thu .ôc A sao cho f (a) = b. Cho song ´ anh f : A → B. Nê´u ch´ ung ta ¯ d .˘at g(b) = a khi ¯d˜a , , c´ o f (a) = b, ch´
ung ta nh .ân ¯du .oc ´anh x.a g : B → A g .oi l`a ´anh , , , ,
x .a ngu .oc cua f v`a k´y hi.êu l`a f −1 = g. Nhu v.ây f ( f −1(b)) = b v`a , f −1( f (a)) = a v´
oi m .oi a thu .ôc A v`a b thu .ôc B. , Cho hai ´
anh x .a f : A → B v`a g : B → C, c´o thê t.ao ra ´anh x.a , h : A → C b`˘ ang công th´
uc h(a) = f (g(a)). K´y hi .êu h = g ◦ f . , T ` AI LI .ÊU THAM KHAO , , ,
[1] Tuyên t .âp 30 n˘am t .ap ch´ı To´an h.oc v`a Tuôi tre, NXBGD, 1997. [2] 255 b` ai to´
an sô´ h .oc ch.on l.oc, V.D. Th .uy, T. C. Th`anh, N. N. ,, Ð .am, So GD H`a tây, 1993 , , , [3] 10000 B` ai to´ an so câ´p - D˜ ay sô´ v` a gi´
oi h .an, Phan Huy Khai, NXB H` a n .ôi, 1997. , , [4] ac ¯ dê` thi vô ¯
d.ich to´an c´ac nu´oc, Xv. Cônhiagin, G.A.Tônôian, , If. Sarugin, NXB GD 1996. , , [5] ac b` ai to´
an h`ınh h .oc ph˘ang, V.V. Praxolov, T.âp II, NXB Hai ph` ong 1997. , [6] Zadatri Vsesaiun´
uc matematitreskii olimpiada, N.B. Vasilev,
A.A. Egorov, Maskova- Nauka 1988.
[7] Matematichskii akvarium V. A. Uphnarovskii, Kishinev " shti- insa" 1987.(Tiê´ng Nga).
[8] Problem-Solving Through Problems, Loren C. Larson, Spring- Verlag, 1983.
[9] Princil na Dirichle, Ivan Prodanov, "Narodna Prosveta", Sophia 1988 (Tiê´ng Bungari). 179 180 M .uc l .uc ,
[10] Zadachi da idvunklasna Rabota po matematika,
R.Rusev, K.Bankov, Sv. Slavchev, "Narodna Prosveta", Sophia 1986 (Tiê´ng Bungari).
[11] Sbornhik ot Zadachi za Matematicheski Olympiadi,
St. Budurov, V. Phlorov, "Narodna Prosveta", Sophia 1966 (Tiê´ng Bungari). N .ÔI DUNG , L` oi n´ oi ¯
dâ`u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 , , Chuong 1. Nguyên l´ y Ðirichlê v`
a v´ı d .u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1. Nguyên l´
y Ðirichlê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. V´ı d .u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3. B`
ai t .âp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 , ,
Chuong 2. Sô´ h .oc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 , 2.1. Ph´
ep chia sô´t .u nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2. V´ıd .u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3. B`
ai t .âp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 , , Chuong 3. D˜
ay sô´. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.1. Nguyên l´ y Ðirichlê cho d˜
ay sô´vô h .an. . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2. V´ı d .u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.3. B`
ai t .âp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 , ,
Chuong 4. H`ınh h .oc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.1. V´ı d .u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.2. B`
ai t .âp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 , , ,,
Chuong 5. Mo r .ông nguyên l´y Ðirichlê. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ,, 5.1. Nguyên l´
y Ðirichlê mo r .ông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.2. V´ı d .u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 181 182 N .ÔI DUNG 5.3. B`
ai t .âp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 , , Chuong 6. B`
ai t .âp sô´h .oc nâng cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 , , ,
6.1. Ð.inh l´y co ban cua sô´h .oc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.2. V´ı d .u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 6.3. B`
ai t .âp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 , , Chuong 7. B`
ai t .âp d˜ây sô´nâng cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7.1. V´ı d .u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 7.2. B`
ai t .âp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 , , , ,
Chuong 8. Sô´ th .uc v´oi t .âp tr`u m .ât . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8.1. T .âp tr`u m.ât . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8.2. V´ı d .u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 8.3. B`
ai t .âp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 , , , , , Chuong 9. Nh˜ ung ´
ung d .ung kh´ac cua nguyên l´y Ðirichle . . 89 , ,
9.1. Xâ´p xı m .ôt sô´th .uc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 9.2. B`
ai t .âp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 , , Chuong 10. Nguyên l´
y Ðirichlê cho di .ên t´ıch . . . . . . . . . . . . . 101 , 10.1. Ph´ at biêu nguyên l´
y Ðirichlê cho di .ên t´ıch . . . . . . . . . . 101
10.2. V´ı d .u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 10.3. B`
ai t .âp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 , , , , Chuong 11. To´
an h .oc tô h .op. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
11.1. V´ı d .u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 11.2. B`
ai t .âp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 , ,
Chuong 12. M .ôt sô´b`ai t .âp h`ınh h .oc kh´ac . . . . . . . . . . . . . . . . 129
12.1. V´ı d .u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 M .uc l .uc 183 12.2. B`
ai t .âp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 , ,
Chuong 13. M .ôt sô´ ¯dê` thi vô ¯d.ich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 , , , , Chuong 14. B`
ai t .âp t .u giai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 , , , , , Chuong 15. L` oi giai v`
a g .oi ´y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 , , , , , 15.1. L`oi giai v`
a g .oi ´y chuong 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 , , , , , 15.2. L` oi giai v`
a g .oi ´y chuong 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 , , , , , 15.3. L` oi giai v`
a g .oi ´y chuong 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 , , , , , 15.4. L` oi giai v`
a g .oi ´y chuong 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 , , , , , 15.5. L` oi giai v`
a g .oi ´y chuong 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 , , , , , 15.6. L` oi giai v`
a g .oi ´y chuong 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 , , , , , 15.7. L` oi giai v`
a g .oi ´y chuong 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 , , , , , 15.8. L` oi giai v`
a g .oi ´y chuong 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 , , , , , 15.9. L` oi giai v`
a g .oi ´y chuong 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 , , , , , 15.10. L` oi giai v`
a g .oi ´y chuong 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 , , , , , 15.11. L` oi giai v`
a g .oi ´y chuong 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 , , , , , 15.12. L` oi giai v`
a g .oi ´y chuong 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 ,
Ph .u l .uc A. T .âp h .op v`a ´Anh x .a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 , ,, ,
A.1. T .âp h .op v`a To´an tu trên t.âp h .op. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 , ,
A.2. Qui n .ap to´an h .oc v`a B`ai to´an tô h .op . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 , A.3. ´
Anh x .a trên t.âp h .op . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
M .uc l .uc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 , , NGUY˜ ÊN H ˜ UU ÐIÊN , , , PHUONG PH´ AP ÐIRICHLÊ V` A ´ UNG D .UNG , , , c Ebook 1.0 cua cuô´n s´ ach nguyên gô´c t` u ban in, c´ ac b .an tham , , , khao, cho ´ y kiê´n sai s´ ot v` a l` oi khuyên t´ ai ban. M .oi liên h.ê , , , T´ ac gia: Nguy˜ ên H˜ uu Ðiên Ði .ên tho.ai: 0989061951 Email: huudien@vnu.edu.vn
Web: http://nhdien.wordpress.com , ,
Ch.iu tr´ach nhi.êm xuâ´t ban: TÔ Ð˘ANG HAI ,, , Biên t .âp v`a sua ban in: Ð ˜ Ô PH ´ U , , , Tr`ınh bâ`y v` a chê´ban: H˜ UU ÐIÊN, PH ` U LINH , , Tr`ınh bâ`y b`ıa: HUONG LAN , NH` A XU´
ÂT BAN KHOA H .OC V`A K˜Y THU .ÂT , 70 TR` ÂN HUNG Ð .AO - H`A N .ÔI 6.6T7.3 290 - 4-98 KHKT − 98 , ,
In 1000 ban khô 14, 5 × 20, 5 t .ai Công ty In Công Ðo`an Vi.êt Nam ,
191 Son Tây - Ðô´ng Ða - H`
a N .ôi. Giâ´y ph´ep XB sô´: 290-22/4/98. , , In xong v`
a n .ôp luu chiêu th´ang 1 n˘am 1999.
Document Outline

  • Lời nói đầu
  • Nguyên lý Đirichlê và ví dụ
    • Nguyên lý Đirichlê
    • Ví dụ
    • Bài tập
  • Số học
    • Phép chia số tự nhiên
    • Vídụ
    • Bài tập
  • Dãy số
    • Nguyên lý Đirichlê cho dãy số vô hạn
    • Ví dụ
    • Bài tập
  • Hình học
    • Ví dụ
    • Bài tập
  • Mở rộng nguyên lý Đirichlê
    • Nguyên lý Đirichlê mở rộng
    • Ví dụ
    • Bài tập
  • Bài tập số học nâng cao
    • Định lý cơ bản của số học
    • Ví dụ
    • Bài tập
  • Bài tập dẫy số nâng cao
    • Ví dụ
    • Bài tập
  • Số thực với tập trù mật
    • Tập trù mật
    • Ví dụ
    • Bài tập
  • Những ứng dụng khác của nguyên lý Đirichle
    • Xấp xỉ một số thực
    • Bài tập
  • Nguyên lý Đirichlê cho diện tích
    • Phát biểu nguyên lý Đirichlê cho diện tích
    • Ví dụ
    • Bài tập
  • Toán học tổ hợp
    • Ví dụ
    • Bài tập
  • Một số bài tập hình học khác
    • Ví dụ
    • Bài tập
  • Một số đề thi vô địch
  • Bài tập tự giải
  • Lời giải và gợi ý
    • Lời giải và gợi ý chương 1
    • Lời giải và gợi ý chương 2
    • Lời giải và gợi ý chương 3
    • Lời giải và gợi ý chương 4
    • Lời giải và gợi ý chương 5
    • Lời giải và gợi ý chương 6
    • Lời giải và gợi ý chương 7
    • Lời giải và gợi ý chương 8
    • Lời giải và gợi ý chương 9
    • Lời giải và gợi ý chương 10
    • Lời giải và gợi ý chương 11
    • Lời giải và gợi ý chương 12
  • Tập hợp và Ánh xạ
    • Tập hợp và Toán tử trên tập hợp.
    • Qui nạp toán học và Bài toán tổ hợp
    • Ánh xạ trên tập hợp
    • Mục lục