























































































































































































Preview text:
, , NGUY˜ ÊN H ˜ UU ÐIÊN , , PHUONG PH´ AP ÐIRICHLÊ , V` A ´ UNG D .UNG , NH` A XU´
ÂT BAN KHOA H .OC V`A K˜Y THU .ÂT H` A N .ÔI - 1999 , L ` OI N ´ OI Ð ` ÂU , , , , , Nguyên l´ y nh˜ ung c´ ai lô`ng v` a c´ ac ch´ u tho ¯ d˜ a ¯
du .oc biê´t ¯dê´n t`u râ´t , , , , ,,
lâu. Ngay trong chuong tr`ınh phô thông co so ch´ ung ta c˜ ung ¯ d˜ a l` am , , , , , quen v´ oi phuong ph´ ap giai to´ an n`
ay. Th .uc ra nguyên l´y n`ay mang , , , tên nh` a b´
ac h .oc ngu`oi дuc Pête Gutxtap Legien Dirichlet (1805- , , , , 1859). Nguyên l´ y ph´ at biêu râ´t ¯ don gian: Nê´u ch´ ung ta nhô´t tho v` ao , , , c´ ac lô`ng m`
a sô´lô`ng ´ıt hon sô´tho, th`ı thê n` ao c˜ ung c´
o m .ôt lô`ng nhô´t ´ıt , nhâ´t hai con tho. , , , , Chı b` ˘ ang nguyên l´ y ¯
don gian nhu v .ây h`ang lo.at c´ac b`ai to´an ¯d˜a , , , ¯ du .oc giai. , , , , Cuô´n s´ ach ¯
du .oc biên so.an l.ai theo t`ung chu ¯dê`c´o liên quan ¯dê´n , , , , , nguyên l´ y, m˜ ôi c´
ach giai trong v´ı d .u cua t`ung chuong l`a ´ap d .ung , , , , ¯ diên h`ınh nguyên l´ y Ðirichlê. B`
ai t .âp giai tru´oc c´o liên quan ¯dê´n b`ai , , , giai sau nên câ`n luu ´ y khia ¯
d .oc s´ach. V´oi mong muô´n c`ung b.an ¯d .oc , , , ,
thao lu .ân m .ôt phuong ph´ap ch´ung minh to´an h .oc v`a hy v .ong cung ,
câ´p m .ôt t`ai li.êu bô ´ıch cho c´ac thâ`y cô gi´ao v`a c´ac em h .oc sinh ham , mê t`ım t` oi trong to´
an h .oc, t´ac gia m.anh d.an biên so.an cuô´n s´ach , , n` ay. Do kha n˘ ang v` a th` oi gian c`
on h .an chê´, cuô´n s´ach ch´˘ac ch´˘an , , , , không tr´ anh khoi thiê´u s´ ot. Ch´ ung tôi mong ¯ du .oc s .u ¯d´ong g´op ´y , , , ,, , kiê´n cua ¯
d .oc gia. Thu g´op ´y xin gui vê`Nh`a xuâ´t ban Khoa h .oc v`a K˜y ,
thu .ât - 70 Trâ`n Hung Ð.ao, H`a N .ôi. 3 , 4 L` oi n´ oi ¯ dâ`u , , , T´ ac gia xin chân th` anh cam on PGS-TSKH И ô Hô`ng Tân ¯ d˜ a ¯ d .oc , , v` a ¯ d´ ong g´ op nhiê`u ´ y kiê´n qu´ı b´ au trong qu´ a tr`ınh ho` an chınh ban , thao. , T´ ac gia , , CHUONG 1 NGUYÊN L ´ Y ÐIRICHLÊ V ` A V´I D .U 1.1. Nguyên l´ y Ðirichlê , , , Nguyên l´ y Ðirichlê nhiê`u khi ngu`
oi ta g .oi l`a ¨Nguyên l´y nh˜ung , , ng˘ an k´ eo¨. Ðây l`
a m .ôt nguyên l´y râ´t ¯don gian, ¯d.˘ac bi.êt c´o nhiê`u , ´, ,
ung d .ung trong c´ac l˜ınh v .uc kh´ac nhau cua to´an h .oc. D`ung nguyên , , , , , , l´ y n` ay ngu` oi ta d˜ ê d` ang ch´
ung minh tô`n t .ai m .ôt ¯dô´i tu .ong v´oi t´ınh , , , , , châ´t x´ ac ¯
d.inh. D.ang ¯don gian nhâ´t c´o thê ph´at biêu nhu sau: Nê´u c´
o m v .ât ¯d .˘at v`ao n c´ai ng˘an k´eo v`a m > n th`ı c´o ´ıt nhâ´t m.ôt , ng˘ an k´eo ch´
ua ´ıt nhâ´t hai v .ât. , , , , , , , , Tuy r` ˘ ang v´ oi nguyên l´ y n` ay ngu`oi ta chı ch´ ung minh ¯ du .oc s .u tô`n , , , , , , , , ,
t .ai m`a không ¯dua ra ¯du .oc phuong ph´ap t`ım ¯du .oc v.ât c .u thê, nhung , , , , ,
trong th .uc tê´nhiê`u b`ai to´an ta chı câ`n chı ra s .u tô`n t.ai l`a ¯du rô`i. , , , Nguyên l´ y Ðirichlê l`
a m .ôt ¯d.inh l´y vê`t.âp h .op h˜uu h.an. Ph´at biêu , ch´ınh x´ ac nguyên l´ y n` ay nhu sau: , ,, , Cho A v` a B l`
a hai t .âp h .op không r˜ông c´o sô´ phâ`n tu h˜uu , , ,, , , , , , ,, ,
h .an, m`a sô´ lu .ong phâ`n tu cua A l´on hon sô´ lu .ong phâ`n tu cua , ,, , , , B. Nê´u v´
oi m .ôt qui t´˘ac n`ao ¯dâ´y, m˜ôi phâ`n tu cua A cho tuong , , , ´, , , , ung v´
oi m .ôt phâ`n tu B, th`ı tô`n t .ai hai phâ`n tu kh´ac nhau cua A , , , , ,, , m` a ch´ ung tuong ´ ung v´ oi c`
ung m .ôt phâ`n tu cua B. , , , ,, , , Ðê d˜ ê hiêu ta c´ u cho r` ˘ ang c´
ac phâ`n tu cua t .âp B l`a ¨Nh˜ung ng˘an , , 6 Chuong 1. Nguyên l´ y Ðirichlê v` a v´ı d .u ,, , , , , k´ eo¨ v` a c´ ac phâ`n tu cua A ¯
du .oc ¯d.˘at v`ao c´ac ng˘an k´eo cua n´o. Trong , , ,, , , , ph´ at biêu cua nguyên l´ y trên c´ ac phâ`n tu h˜
uu h .an ¯du .oc t´ınh b`˘ang , ,
sô´t .u nhiên, v`ı v.ây Nguyên l´y Ðirichlê c´o liên quan m.ât thiê´t t´oi t.âp , , , ,
h .op sô´t .u nhiên v`a c´ac t´ınh châ´t cua t.âp h .op sô´n`ay. 1.2. V´ı d .u , , ,
. 1.1. Ðê ky ni.êm 20 n˘am ng`ay giai ph´ong Miê`n Nam, t .ai m.ôt th`anh , , , , , , , , , phô´ ngu` oi ta tô ch´ uc buôi l˜
ê g .˘ap m .˘at nh˜ung ngu`oi 20 tuôi. Ng`ay 30 , , th´ ang 4 n˘ am ¯ d´
o trong buôi g .˘ap m .˘at c´o 400 thanh niên. Ch´ung minh , , , , , , r` ˘ ang c´
o ´ıt nhâ´t hai ngu` oi trong sô´ ngu` oi t´
oi d .u c`ung chung m.ôt ng`ay sinh. , , , L` oi giai. N˘ am 1995 c´ o 365 ng` ay. Ch´ ung ta coi m˜ ôi ng` ay nhu m .ôt , ng˘ an k´ eo v` a ¯ d´ anh sô´ t` u 1 ¯ dê´n 365 (ng˘ an k´ eo cuô´i c` ung l` a ng` ay 31 , th´ ang 12 n˘ am 1995). Ch´ ung ta ¯
d .˘at nh˜ung thanh niên c´o ng`ay sinh , , , , , , tuong ´ ung v` ao c´ ac ng˘ an k´ eo ¯ d´ o. Nhung sô´thanh niên ¯ dê´n d .u l˜ê l´on , , , , , hon sô´ ng˘ an k´ eo, theo nguyên l´ y Ðirichlê c´ o ´ıt nhâ´t hai ngu` oi ¯ du .oc ¯
d .˘at v`ao c`ung m .ôt ng˘an k´eo. Ðiê`u ¯d´o c´o ngh˜ıa l`a h .o sinh c`ung m .ôt ng` ay. J , , , , ,
. 1.2. Trong sinh h .oc ngu`oi ta biê´t r`˘ang sô´t´oc trên ¯dâ`u cua m˜ôi ngu`oi , , , , không qu´ a 200.000 c´ ai. Ch´ ung minh r` ˘ ang trong sô´ ngu` oi cua th` anh , , , , phô´H`
a n .ôi, v´oi sô´dân hon 2.000.000, c´o ´ıt nhâ´t 11 ngu`oi c´o c`ung sô´ t´ oc. , , , , , L` oi giai. Ch´ ung ta x´ et 200.000 ng˘ an k´ eo ¯
du .oc ¯d´anh sô´ t`u 0 ¯dê´n , , 199.999. Ch´ ung ta ¨¯
d .˘at¨ m˜ôi ngu`oi dân H`a n .ôi v`ao m .ôt ng˘an k´eo , , , , ,, , , m` a sô´ t´ oc b` ˘ ang sô´ th´
u t .u cua ng˘an k´eo. Gia su không c´o 11 ngu`oi , , , c´ o c` ung sô´t´
oc, nhu v .ây m˜ôi ng˘an c´o nhiê`u nhâ´t l`a 10 ngu`oi c´o c`ung sô´t´ oc, do ¯ d´ o sô´dân H`
a n .ôi nhiê`u nhâ´t l`a 200.000×10=2.000.000, 1.2. V´ı d .u 7 , , , , ¯ diê`u n` ay không ¯ d´ ung v´ oi gia thiê´t l` a sô´ dân H` a n .ôi l´on hon 2 tri.êu. J , , ,
. 1.3. Ba muoi h .oc sinh l`am b`ai viê´t ch´ınh ta. M.ôt trong sô´h.oc sinh , , ¯ d´
o b.i 14 l˜ôi, c`on c´ac h.oc sinh kh´ac m´˘ac l˜ôi ´ıt hon. Ch´ung minh r`˘ang , , c´ o ´ıt nhâ´t ba ngu` oi m´ ˘ ac sô´l˜ ôi b` ˘ ang nhau. , , , , , L` oi giai. Ch´ ung ta x´ et 15 ng˘ an k´ eo ¯
du .oc ¯d´anh sô´t`u 0 ¯dê´n 14. Ch´ung ta ¨¯
d .˘at¨ m˜ôi h .oc sinh v`ao m .ôt ng˘an k´eo mang sô´ ¯d´ung b`˘ang sô´ l˜ôi ,
cua h .oc sinh n`ay. Nê´u không c´o ba h .oc sinh n`ao c´o sô´l˜ôi b`˘ang nhau, , th`ı trong m˜ ôi ng˘ an mang sô´t` u 0,1,2,. . . ,13 s˜ e c´ o nhiê`u nhâ´t hai h .oc , , , , sinh. Khi ¯ d´
o sô´lu .ong cua nh˜ung h .oc sinh n`ay nhiê`u nhâ´t l`a 28. Nê´u thêm v` ao ¯ d´
o h .oc sinh m´˘ac 14 l˜ôi (trong ng˘an k´eo sô´14) ch´ung ta s˜e , , ,
nh .ân ¯du .oc nhiê`u nhâ´t 29 h .oc sinh viê´t ch´ınh ta, ¯diê`u n`ay d˜ân ¯dê´n , ,
s .u vô l´y v´oi ¯diê`u ki.ên ¯d˜a cho. J , , , . 1.4. Ch´ ung minh r` ˘ ang trong m˜ ôi nh´
om b .an 5 ngu`oi c´o ´ıt nhâ´t hai , , , , , , , , , , ngu` oi c´ o c`
ung sô´lu .ong ngu`oi quen gi˜ua nh˜ung ngu`oi trong nh´om ¯dos. , , , , , Ch´ ung minh r` ˘ ang c`
ung kê´t lu .ân nhu v .ây v´oi nh´om b .an c´o sô´ lu.ong th` anh viên bâ´t k` y. , , , , , L` oi giai. Ch´ ung ta x´ et n˘ am ng˘ an k´ eo, ¯ d´ anh sô´t` u 0 ¯ dê´n 4. M˜ ôi ngu` oi , , , , , ,
tham d .u ¯du .oc ¯d.˘at v`ao ng˘an k´eo mang sô´ tr`ung v´oi sô´ ngu`oi trong , , nh´ om m` a ngu` oi ¯ d´ o quen. , , , , , , a) Nê´u c´
o m .ôt ngu`oi không quen ai ca trong sô´ nh˜ung ngu`oi , , , c`
on l .ai, th`ı ng˘an sô´ 4 l`a trô´ng (v`ı ngu .oc l.ai th`ı ca hai ng˘an 0 v`a 4 , , , ¯ dê`u không trô´ng, d˜ ân ¯ dê´n vô l´
y). Nhu v .ây, m˜ôi ngu`oi trong sô´ 5 , , , , , , , ngu` oi ¯
du .oc ¯d.˘at v`ao c´ac ng˘an mang sô´ 0,1,2,3 v´oi sô´ lu .ong 4 ng˘an. , , , ,, T` u nguyên l´
y Ðirichlê suy ra ´ıt nhâ´t c´ o hai ngu` oi o trong m .ôt ng˘an, , , , , hay l`
a, h .o c´o chung sô´lu .ong ngu`oi quen. , , 8 Chuong 1. Nguyên l´ y Ðirichlê v` a v´ı d .u , , , , , , , ,
b) Nê´u m .oi ngu`oi c´o ´ıt nhâ´t m .ôt ngu`oi quen, m˜ôi ngu`oi s˜e ¯du .oc , , , ¯
d .˘at v`ao c´ac ng˘an mang sô´1,2,3,4, v´oi sô´lu .ong 4 ng˘an. Phâ`n c`on l.ai ´
ap d .ung nguyên l´y Ðirichlê. J , , ,
. 1.5. Trong m .ôt giai b´ong ¯d´a tham d .u 16 ¯d.ôi. M˜ôi c .˘ap hai ¯d.ôi phai , , , , , , ¯ dâ´u v´ oi nhau. Ch´ ung minh r` ˘
ang t .ai m˜ôi th`oi ¯diêm cua giai c´o ´ıt nhâ´t , 2 ¯
d .ôi c´o sô´tr .ân ¯d˜a ¯dâ´u nhu nhau. , , , L` oi giai. Ch´ ung ta x´ et 16 ng˘ an k´ eo ¯ d´ anh sô´t` u 0 ¯ dê´n 15. Ch´ u ´ y r` ˘ ang , , , , , 15 l`
a sô´lu .ong l´on nhâ´t c´ac tr.ân b´ong m`a m˜ôi ¯d .ôi c´o thê ¯dâ´u t.ai th`oi , ¯ diêm ¯ dang x´ et. H˜ ay ¯
d .˘at m˜ôi ¯d .ôi b´ong v`ao ng˘an k´eo mang sô´ b`˘ang , , sô´c´
ac tr .ân m`a ¯d .ôi ¯d˜a ¯dâ´u ¯dê´n th`oi ¯diêm ¯d´o. Ch´ung ta nh.ân ra r`˘ang , , , , , c´ ac ng˘ an 0 v` a 15 không thê ¯ dô`ng th` oi không trô´ng ¯ du .oc v`a nhu v.ây , c´ o thê ´
ap d .ung nguyên l´y Ðirichlê. J , , , ,
. 1.6. Trên tr´ ai ¯
dâ´t sô´ng hon 5 ty ngu` oi, biê´t r` ˘ ang không qu´ a 1% sô´ng , , , ,
trên m .ôt tr˘am tuôi. Ch´ung minh r`˘ang ´ıt nhâ´t c´o hai ngu`oi sinh c`ung
m .ôt giây ¯dô`ng hô`. , , , , , L`
oi giai. Theo duong l.ich hi.ên h`anh 100 n˘am c´o ´ıt hon 37000 ng`ay. , , , M˜ ôi ng` ay c´ o 24 gi` o, m˜ ôi gi` o c´ o 3600 giây. Khi ¯ d´ o 100 n˘ am c´ o ´ıt hon , , , , , , , 3,33 ty giây. T` u ¯
diê`u ki .ên ch´ung ta t`ım ¯du .oc nh˜ung ngu`oi trên tr´ai , , , , , ¯ dâ´t không qu´ a 100 tuôi ´ıt nhâ´t l` a 99% t` u 5 ty ngu` oi ngh˜ıa l` a ´ıt nhâ´t , , , , c´
o 4,9 ty. Vi .êc c`on l.ai ´ap d .ung nguyên l´y Ðirichlê: ¯d.˘at 4,9 ty ngu`oi , v` ao 3,33 ty ng˘ an k´ eo. J , , . 1.7. Trong th` oi gian k´eo d`
ai m .ôt n˘am h.oc m.ôt h.oc sinh giai ´ıt nhâ´t , , ,
m .ôt b`ai t .âp m˜ôi ng`ay. Ðê tr´anh c˘ang th˘ang h.oc sinh giai h`ang tuâ`n , , không qu´ a 12 b`
ai t .âp. Ch´ung minh r`˘ang trong th`oi gian k´eo d`ai liên , ,
t .uc m.ôt sô´ng`ay h.oc sinh n`ay phai giai ¯d´ung 20 b`ai t .âp m˜ôi ng`ay. 1.2. V´ı d .u 9 , , , , , L` oi giai. Ch´ ung ta k´
y hi .êu a1 l`a sô´ lu .ong b`ai t.âp h .oc sinh ¯d˜a giai , , , trong ng` ay ¯
dâ`u tiên, a2 l`a sô´ lu .ong b`ai t.âp ¯d˜a giai trong hai ng`ay , , , ¯
dâ`u, a3 l`a sô´ lu .ong b`ai t.âp ¯d˜a giai trong ba ng`ay ¯dâ`u, v`a v.v. a77 , , , , l`
a sô´ lu .ong b`ai t.âp ¯d˜a giai trong 77 ng`ay ¯dâ`u (11 tuâ`n). Theo gia , ,
thiê´t a77 ≤ 11.12 = 132. Ch´ung ta x´et t .âp h .op c´ac sô´ t .u nhiên
M = {a1, a2, a3, . . . , a77, a1 + 20, a2 + 20, a3 + 20, . . . , a77 + 20}. N´o , ,, , ch´ ua 154 phâ`n tu v` a sô´ l´ on nhâ´t trong ch´ ung l` a a77 + 20 ≤ 152. , Theo nguyên l´ y Ðirichlê trong M c´ o ´ıt nhâ´t hai sô´b` ˘ ang nhau. Nhung c´
ac sô´ a1, a2, a3, . . . , a77 l`a ho`an to`an kh´ac nhau. suy ra tô`n t .ai ak v`a ,
al m`a ak = al + 20, l < k ≤ 77. Nhu v .ây ak − al = 20, ¯diê`u n`ay , , , , , c´ o ngh˜ıa l` a t` u ng` ay th´ u l + 1 ¯ dê´n ng` ay th´ u k h .oc sinh n`ay phai giai ¯ d´ ung 20 b` ai. J , , , , , ,
. 1.8. Trong m .ôt khu t .âp thê sô´ng 123 ngu`oi. Tông sô´ tuôi cua h.o , , , , ,, , l` a 3813. Ch´ ung minh r` ˘ ang c´
o thê ch .on 100 ngu`oi sô´ng o khu t .âp thê , , , , , n` ay, m`
a tông sô´tuôi cua h .o không nho hon 3100. , , , , , , ,, L` oi giai. Ch´ ung ta h˜
ay ch .on 100 ngu`oi nhiê`u tuôi nhâ´t v`a gia su , , , , , , , ,
tông sô´ tuôi cua h .o nho hon 3100. Khi ¯d´o ngu`oi tre nhâ´t trong sô´ , , , , , , , ngu` oi ¯
du .oc ch .on l`a 3100:100=31 tuôi. M.˘at kh´ac ngu`oi n`ay không , , , , , , , tre hon 23 ngu`oi c`
on l .ai theo c´ach ch .on. Khi ¯d´o tông sô´tuôi cua 23 , , , , , , , , ngu` oi n` ay không l´
on hon 23.31=713. Suy ra tông sô´tuôi cua tâ´t ca , , , , ,
m .oi ngu`oi sô´ng trong t.âp thê nho hon 3100+713=3813 d˜ân ¯dê´n vô l´ y. J , , , , . 1.9. N˘
am c .˘ap v.o chô`ng tô ch´uc m.ôt buôi g .˘ap m .˘at. Khi g .˘ap nhau h.o , , , , b´ ˘
at tay nhau, nhung không ai t .u b´˘at tay ngu`oi trong gia ¯d`ınh m`ınh , , , v` a ngu` oi m`
a chô`ng m`ınh (ho .˘ac v.o m`ınh) ¯d˜a b´˘at tay rô`i. C˜ung không , , , ai b´ ˘ at tay c`
ung m .ôt ngu`oi hai lâ`n. Sau cu.ôc g .˘ap ch´uc m`ung ban ¯dâ`u, , , , , , , , , ,
m .ôt ngu`oi ¯d`an ông tên l`a H`ung hoi tâ´t ca nh˜ung ngu`oi c´o m .˘at, kê ca , , 10 Chuong 1. Nguyên l´ y Ðirichlê v` a v´ı d .u , , ,
v .o m`ınh, l`a h.o ¯d˜a b´˘at tay ¯du.oc bao nhiêu lâ`n. H.o nh .ân thâ´y r`˘ang ch´ın , , , , , , , , , , ngu` oi ¯
du .oc hoi ¯dê`u tra l`oi c´ac con sô´kh´ac nhau. Nhu v .ây v.o cua H`ung ¯ d˜ a b´ ˘
at tay bao nhiêu lâ`n? , , , , , , L` oi giai. M˜
ôi m .ôt ngu`oi kh´ach b´˘at tay không qu´a 8 lâ`n. V`ı câu tra l`oi , , , , cua 9 ngu`oi l` a c´ ac sô´kh´ ac nhau nên c´ ac sô´ ¯ d´ o phai l` a 0,1,2,3,4,5,6,7 , , , , , , , v` a 8. Ngu` oi b´ ˘ at tay 8 lâ`n phai l`
a v .o (ho.˘ac chô`ng) cua ngu`oi không , , , , b´ ˘ at tay lâ`n n`
ao (nê´u ngu .oc l.ai th`ı ngu`oi ¯d´o không b´˘at tay 8 lâ`n m`a , , , , , , , nhiê`u nhâ´t chı l`
a 7 lâ`n thôi). Tuong t .u nhu v.ây ngu`oi b´˘at tay 7 lâ`n , , , , , c´ o ngu`
oi v .o (ho.˘ac chô`ng) b´˘at tay m .ôt lâ`n, ngu`oi b´˘at tay 6 lâ`n c´o , , , , , , , , ngu`
oi v .o (ho.˘ac chô`ng) b´˘at tay 2 lâ`n, ngu`oi b´˘at tay 5 lâ`n c´o ngu`oi v .o , , ,
(ho .˘ac chô`ng) b´˘at tay 3 lâ`n. Chı c`on l.ai m .ôt ngu`oi duy nhâ´t b´˘at tay , , , , 4 lâ`n, ¯ d´ o ch´ınh l` a ngu` oi v .o cua H`ung. J , , , ,
. 1.10. M .ôt câu chuy.ên cô t´ıch kê l .ai r`˘ang: M.ôt lâ`n vua H`ung vuong , 18 c´ o m` oi c´
ac quan trong triê`u h .op ngô`i quanh m.ôt c´ai b`an tr`on. Theo , , , ,
l.ênh cua vua, m.ôt c .ân thâ`n ¯d˜a viê´t tên cua m˜ôi quan trên b`an tru´oc , , , chiê´c ghê´ m`
a ông ta phai ngô`i. C´
ac quan trong triê`u không ¯ du .oc b´ao , , tru´
oc nên h .o ¯d˜a ngô`i không theo s´˘ap xê´p ¯d˜a ¯d.inh m`a chiê´m ch˜ô m.ôt , , c´ ach bâ´t k` y. Ch´ ung minh r` ˘
ang ông c .ân thâ`n c´o thê quay chiê´c b`an sao , cho ´ıt nhâ´t c´
o hai ông quan ngô`i ¯ d´
ung v.i tr´ı tên cua m`ınh ? , , , , L`
oi giai. Ð .˘at sô´lu .ong c´ac quan l`a n. Khi ¯d´o m.˘at b`an c´o n tr.ang th´ai, , , , v´ oi c´
ac tr .ang th´ai n`ay ¯dô´i di.ên v´oi c´ac quan l`a biên ¯dê` tên n`ao ¯d´o. , , Ngo` ai ra v´ oi m˜
ôi m .ôt ông quan chı c´o m .ôt tr.ang th´ai, m`a khi ngô`i , , , ¯ d´ ung th`ı ông â´y ¯
dô´i di .ên v´oi ch´ınh tên cua m`ınh trên biên ¯dê` s˜˘an. , , , , Ngh˜ıa l` a, nê´u m˜
ôi tr .ang th´ai cua b`an (v`ı b`an c´o thê xoay ¯du .oc) ta , , , , , , cho tuong ´ ung v´
oi m .ôt sô´ b`˘ang sô´ lu .ong c´ac quan ngô`i ¯d´ung v.i tr´ı , , , , , ,
tên m`ınh, th`ı tông cua tâ´t ca nh˜
ung sô´ nh .ân ¯du .oc (m .oi tr.ang th´ai , , , , b` an) s˜
e không nho hon n. Nhung m .ôt tr.ang th´ai ¯dâ`u tiên cua s´˘ap 1.3. B` ai t .âp 11 , , , , , ,, xê´p b` an cho tuong ´ ung v´ oi 0 (không ai ngô`i ¯ d´ ung ch˜ ô ). Nê´u gia su , , , , , ,
trong n − 1 tr .ang th´ai m.˘at b`an c`on l.ai tuong ´ung v´oi sô´ nho hon 2 , , , , , , , , (t´ uc l` a chı c´
o sô´ 1 ho .˘ac 0), th`ı tông cua n sô´nh.ân ¯du .oc s˜e nho hon , , , , n, ¯ diê`u ¯ d´ o không thê ¯
du .oc. Suy ra t`u n − 1 tr.ang th´ai m.˘at b`an c`on , , ,
l .ai c´o ´ıt nhâ´t m .ôt tr.ang th´ai m`a hai ngu`oi s˜e ¯dô´i di.ên v´oi ch´ınh tên , cua m`ınh. J 1.3. B ` ai t .âp
. 1.11. Trong sân cung ¯
di .ên nh`a vua h .ôi h .op 2n(n ≥ 2) ông quan, , , m˜ ôi ông quan ¯ d˜
a quen biê´t không ´ıt hon n ông c´ o m .˘at t.ai ¯d´o. Ch´ung , , , , , , , minh r` ˘ ang ngu`oi xê´p b` an tr` on c´ o thê xê´p ¯
du .oc m˜ôi b`an 4 ngu`oi sao , , , , , , , cho m˜ ôi ngu` oi ¯ d´ ung gi˜ua hai ngu` oi quen cua m`ınh. ,
. 1.12. M .ôt khu r`ung thông c´o d.ang h`ınh vuông m˜ôi chiê`u 1km. , , , Trong r` ung c´
o 4500 cây thông, cây to nhâ´t c´ o ¯ du` ong k´ınh 0,5m. , , , Ch´ ung minh r` ˘ ang trong khu r` ung c´ o ´ıt nhâ´t 60 manh ¯ dâ´t, di .ên t´ıch , m˜ ôi manh 200m2, không c´ o m .ôt cây thông n`ao. ,
. 1.13. Trong m .ôt gi´a s´ach c´o 25 ng˘an. Ta thâ´y c´o m .ôt ng˘an ch´ua , , , 10 cuô´n, c` on c´ ac ng˘ an kh´ ac ch´ ua sô´ s´ ach ´ıt hon. Ch´ ung minh r` ˘ ang , , , , , c´ o ´ıt nhâ´t ba ng˘ an s´ ach ch´ ua c` ung sô´ s´ ach nhu nhau (kê ca nh˜ ung ng˘ an không c´ o s´ ach). , , , , ,
. 1.14. T .ai m .ôt th`anh phô´ biên xe ôtô ¯du .oc ¯d´anh sô´ b`˘ang tô h .op , , , , , ch˜ u c´ ai rô`i ¯ dê´n d˜ ay sô´. Ch´ ung minh r` ˘
ang trên m .ôt ¯do.an ¯du`ong c´u , , c´ o 11 chiê´c ôtô ¯ di qua th`ı bao gi` o c˜ ung c´ o hai chiê´c ôtô c´ o c` ung ch˜ u sô´t .ân c`ung. , , , ,, ,
. 1.15. M .ôt chiê´c hô` l´on ¯du .oc b .oc boi 4 tr.am chuyên tiê´p s´ong , , , , thông tin. Gi˜
ua hai tr .am ngu`oi ta xây d .ung c´ac trung tâm ph´at s´ong , , , , , , ,, v`
a nh .ân s´ong, ¯du`ong s´ong bao phu l´on nhâ´t l`a ¯du`ong tr`on c´o tâm o , , 12 Chuong 1. Nguyên l´ y Ðirichlê v` a v´ı d .u , , trung tâm v` a ¯
di qua hai tr .am. Ch´ung minh r`˘ang v´oi bô´n trung tâm ,, , , , , , , o c´ ac ¯
do .an gi˜ua cua t`ung c.˘ap tr.am th`ı to`an b .ô m.˘at hô` s˜e ¯du .oc phu s´ ong thông tin. , , CHUONG 2 S ´ Ô H .OC , 2.1. Ph ´ ep chia sô´ t .u nhiên , Trong c´ ac ph´
ep t´ınh trên sô´ nguyên: c .ông, tr`u, nhân, chia, th`ı, ph´ ep chia l` a râ´t ¯
d .˘ac bi.êt. Ph´ep chia c´o h`ang lo.at t´ınh châ´t m`a tâ´t ca , c´ ac ph´ ep t´ınh c`
on l .ai không c´o. V´ı d .u c´ac ph´ep to´an ¯dê`u th .uc hi.ên , , , , , , v´ oi sô´0 ¯
du .oc, nhung riêng ph´ep chia cho sô´0 th`ı không ¯du .oc. Ph´ep , , , chia không chı ¯
d .˘ac bi.êt v´oi ph´ep chia cho 0. V´oi c´ac ph´ep t´ınh c .ông, , , , tr`
u, nhân trên sô´nguyên cho ta sô´nguyên, nhung v´ oi ph´ ep chia th`ı , t´ınh châ´t ¯ d´ o không c` on ¯ d´ ung v`ı không phai l´ uc n` ao ta c˜ ung nh .ân , , , , , ¯
du .oc sô´nguyên sau ph´ep chia. Nh`o nh˜ung d.i bi.êt cua ph´ep chia m`a , , , trong to´
an h .oc xây d .ung h˘an m .ôt l´y thuyê´t vê` ph´ep chia nh˜ung sô´ , , , nguyên. Nh˜
ung v´ı d .u v`a b`ai t.âp chuong n`ay c´o liên quan m.ât thiê´t , gi˜ ua ph´ ep chia v` a nguyên l´ y Ðirichlê, nên ch´ ung ta nh´ ˘ ac l .ai ¯d.inh ngh˜ıa ph´ ep chia: , , Cho a v`a b l`a nh˜ ung sô´ nguyên, v´ oi b > 0. Ch´ ung ta n´ oi r` ˘ ang a
chia hê´t cho b, k´y hi .êu l`a b|a, khi tô`n t.ai m .ôt sô´ nguyên q sao cho , , ¯ d˘ ang th´ uc sau ¯ d´ ung a = bq. , , , , , , Ch´ ung ta thu`
ong g .oi sô´ a l`a b.ôi cua b, ho.˘ac b l`a u´oc cua a. Sô´q , , , ,
g .oi l`a thuong sô´ cua ph´ep chia a cho b. Trong ph´at biêu ¯d.inh ngh˜ıa ,
trên, nê´u không tô`n t .ai m .ôt sô´ q n`ao ca, th`ı ch´ung ta n´oi r`˘ang a , , 14 Chuong 2. Sô´h .oc
không chia hê´t cho b v`a k´y hi .êu l`a b 6 |a. , , , , T` u ¯
d.inh ngh˜ıa ch´ung ta d˜ê d`ang ch´ung minh ¯du .oc c´ac t´ınh châ´t sau , 1) V´
oi m .oi sô´ nguyên a > 0 ch´ung ta c´o a|a, Ph´ep chia hê´t c´o , t´ınh phan x .a.
2) Nê´u b|a v`a a|c th`ı b|c- ph´ep chia hê´t c´ o t´ı nh b´ ˘ ac câ`u.
3) Nê´u b|a v`a b|c, th`ı b|(ac). ,
4) Nê´u a, b, m, n l`a nh˜ung sô´ nguyên v`a nê´u c|a v`a c|b, th`ı c|(ma + nb). ,
Ð.inh l´y sau ¯dây gi˜u vai tr`o quan tr .ong cho ph´ep chia m .ôt sô´
nguyên cho m .ôt sô´nguyên. , V´
oi hai sô´ nguyên bâ´t k` y a v`
a b sao cho b > 0, tô`n t .ai duy , , nhâ´t nh˜
ung sô´ nguyên q v` a r thoa m˜ an a = bq + r v`
a 0 ≤ r < b. , , , C`
on râ´t nhiê`u t´ınh châ´t kh´ ac cua sô´ nguyên c˜ ung nhu sô´ th .uc , , , , nhung ch´ ung ta không ¯ di theo hu´ ong n` ay, m` a chı d` ung c´ ac t´ınh châ´t , , ,
cua sô´h .oc v`a Nguyên l´y Ðirichlê ¯dê giai c´ac b`ai to´an. 2.2. V´ıd .u , , ,
. 2.1. Cho k l`
a m .ôt sô´t .u nhiên, A l`a t .âp h.op gô`m k + 1 sô´t .u nhiên. , ,, Ch´ ung minh r` ˘ ang c´
o ´ıt nhâ´t m .ôt hi.êu hai phâ`n tu trong A chia hê´t cho k. , , ,, , L`
oi giai. G .oi a1, a2, . . . , ak+1 l`a c´ac phâ`n tu cua A, c`on b1, b2 , . . . , bk+1 , , , l` a nh˜ ung sô´ du cua ph´ ep chia c´ ac sô´ trên cho k. Khi ¯ d´ o a1 = ,
kc1 + b1, a2 = kc2 + b2, . . . , ak+1 = kck+1 + bk+1,v´oi c´ac sô´ nguyên
c1, c2, . . . , ck+1 sao cho 0 ≤ b1 ≤ k − 1, 0 ≤ b2 ≤ k − 1, . . . , 0 ≤ ,, , , , ,
bk+1 ≤ k − 1. M .ôt phâ`n tu bâ´t k`y as thu .ôc A cho tuong ´ung v´oi sô´ 2.2. V´ıd .u 15 , , , , , ,, ,
du bs cua n´o.G .oi t.âp h .op c´ac sô´du l`a B. Nhu v.ây, m˜ôi phâ`n tu cua A , , , , , , ,, , , , ¯
du .oc ¯d.˘at tuong ´ung v´oi m .ôt phâ`n tu cua t.âp h .op B, gô`m tâ´t ca c´ac , , , , ,, , , sô´ nguyên t` u 0 ¯
dê´n k − 1. Nhung sô´ lu .ong phâ`n tu cua A theo gia , , thiê´t l` a k + 1, c` on B c´
o sô´ lu .ong k. Theo nguyên l´y Ðirichlê suy ra ,, , ,
tô`n t .ai hai phâ`n tu kh´ac nhau cua A c´o c`ung sô´du. Ðiê`u ¯d´o ngh˜ıa l`a, , ,
tô`n t .ai hai chı sô´kh´ac nhau s v`a t v´oi as = kcs + bs v`a at = kct + bs , , , sau khi tr` u ¯ di cho nhau ta ¯
du .oc at − as = k(ct − cs). J , ,
. 2.2. Cho A m .ôt t .âp h.op bâ´t k`y gô`m 101 sô´t .u nhiên, m˜ôi sô´không , , , l´ on hon 200. Ch´ ung minh r` ˘ ang trong A c´
o ´ıt nhâ´t hai sô´ m` a m .ôt sô´ n`
ay chia hê´t cho sô´kia. , , , , , , , , L` oi giai. M˜ ôi sô´ a cua A c´ o thê biêu di˜ ên du´ oi d .ang a = 2kb v´oi k l`a , , sô´ nguyên không âm, c`
on b l`a m .ôt sô´ le. V´oi m˜ôi sô´ a thu .ôc A cho , , , , , , ,, tuong ´ ung v´
oi sô´ b trong s .u biêu di˜ên o trên. B`˘ang c´ach n`ay, m˜ôi ,, , , , , , , , ,, , , phâ`n tu a cua A ¯
du .oc ¯d.˘at tuong ´ung v´oi m .ôt phâ`n tu cua t.âp h .op B , , , , , ,, gô`m c´ ac sô´le gi˜ ua 1 v`
a 200. Nhung t .âp h .op B chı c´o 100 phâ`n tu v`ı ,, , , , ,, , ,
v .ây sô´ phâ`n tu cua A l´on hon sô´ phâ`n tu cua B. Ta c´o thê ´ap d .ung ,, nguyên l´
y Ðirichlê, suy ra tô`n t .ai hai phâ`n tu kh´ac nhau a1 v`a a2 , , , , , ,
thu .ôc A m`a ch´ung tuong ´ung v´oi c`ung m .ôt sô´cua t.âp h .op B. Ngh˜ıa l`
a, a1 = 2k1b, a2 = 2k2b v`a nê´u k1 < k2, th`ı sô´ a2 chia hê´t cho a1. J , ,
. 2.3. Cho M l`
a t .âp h.op bâ´t k`y gô`m 75 sô´t .u nhi.ên m`a m˜ôi sô´không , , , , , , , l´ on hon 100. Ch´ ung minh r` ˘ ang v´ oi m˜
ôi sô´ t .u nhiên l nho hon ho .˘ac ,, , b` ˘
ang 49 tô`n t .ai hai phâ`n tu cua M c´o hi.êu l`a l. , , ,, , L`
oi giai. G .oi c´ac phâ`n tu cua M l`a x1, x2, . . . , x75. K´y hi.êu A l`a t.âp , , , , , ,
h .op c´ac sô´t .u nhiên t`u 1 ¯dê´n 150. V´oi m˜ôi sô´1, 2, 3 . . . , 75 cho tuong ´, , , , ung v´ oi c´
ac sô´ x1, x2, . . . , x75, c`on c´ac sô´ 76, 77, 78, . . . 150 lâ`n lu .ot ´, , ung v´
oi x1 + l, x2 + l, . . . , x75 + l. V`ı xm ≤ 100(m = 1, 2, . . . , 75) v`a , , 16 Chuong 2. Sô´h .oc ,, , , , , ,
l ≤ 49 th`ı xm + l < 150. Suy ra m˜ôi phâ`n tu cua A tuong ´ ung v´ oi ,, , , , ,
m .ôt phâ`n tu cua B gô`m nh˜ung sô´t .u nhiên t`u 1 ¯dê´n 149. V`ı sô´phâ`n ,, , , , ,, , tu cua A l´
on hon sô´ phâ`n tu cua B, theo nguyên l´y Ðirichlê tô`n t .ai ,, , , , , , hai phâ`n tu kh´ ac nhau cua A, m`a ch´ ung tuong ´ ung v´ oi c` ung m .ôt ,, , , , , , phâ`n tu cua B. Nhung v´ oi c´ ac gi´
a tr.i kh´ac nhau cua m t`u 1 ¯dê´n 75 , , , , , , , ¯
du .oc cho tuong ´ung v´oi c´ac gi´a tr.i kh´ac nhau cua x1 ¯dê´n x75 trong , , , , ,, , , , , ,
B. Tuong t .u c´ac gi´a tr.i cua m o khoang 76 ¯dê´n 150 tuong ´ung v´oi , , c´ ac gi´
a tr.i kh´ac nhau trong khoang c`on l.ai. T`u ¯d´o suy ra tô`n t.ai xm v`
a xn m`a xm = xn + l, ngh˜ıa l`a xm − xn = l. J , , ,
. 2.4. Cho k ≥ 1 v` a n ≥ 1 l` a nh˜
ung sô´t .u nhiên v`a A l`a t .âp h.op gô`m , , , ,
(k − 1)n + 1 sô´nguyên duong, m˜ ôi sô´n` ay ¯
dê`u nho hon ho .˘ac b`˘ang kn. , ,, , , , , Ch´ ung minh r` ˘ ang ´ıt nhâ´t c´
o m .ôt phâ`n tu cua A c´o thê biêu di˜ên nhu , , ,,
tông cua k phâ`n tu trong A. , , , , , L` oi giai. V´
oi k = 1 b`ai to´an hiên nhiên l`a ¯ d´ ung, ch´ ung ta gia thiê´t ,
k ≥ 2. K´y hi .êu m l`a sô´ nho nhâ´t thu .ôc A. D˜ê thâ´y r`˘ang m ≤ n v`a , , ,
tô`n t .ai ¯d´ung n − m sô´ thu .ôc A m`a ch´ung l´on hon m nhung không , , vu .ot qu´a kn. , , Ðê ch´ ung minh b` ai to´ an ch´
ung ta t`ım hai sô´ x v`a y thu .ôc A sao ,
cho x = y + (k − 1)m; ngh˜ıa l`a biêu di˜ên m .ôt sô´ n`ao ¯d´o thu .ôc A , , th`
anh tông k sô´h .ang thu .ôc A trong ¯d´o c´o k − 1 sô´h.ang b`˘ang m. Chı
câ`n t`ım sô´ x thu .ôc A m`a x > (k − 1)m v`a x − (k − 1)m thu .ôc A. ,
Th .ât v.ây, trong khoang ∆ = ((k − 1)m, kn] c´o kn − (k − 1)m =
k(n − m) + m sô´ nguyên. V`ı k ≥ 2, nên (k − 1)m ≥ m, theo nh .ân x´ et ban ¯ dâ`u suy ra c´
o nhiê`u nhâ´t n − m sô´ trong ∆ không thu .ôc A. , Ðiê`u n` ay ngh˜ıa l` a A ch´
ua ´ıt nhâ´t s = k(n − m) + m − (n − m) = ,
(k − 1)(n − m) + m sô´. Nhung s ≥ n, v`ı (k − 2)(n − m) ≥ 0. G .oi ,
a1, a2, . . . , as thu .ôc A, v´oi (k − 1)m < ai ≤ kn, i = 1, 2, . . . , s. Khi ¯d´o 2.2. V´ıd .u 17 , , nh˜
ung hi .êu a1 − (k − 1)m, a2 − (k − 1)m, . . . , as − (k − 1)m l`a nh˜ung , sô´nguyên kh´
ac nhau trong khoang [1, kn]. Nê´u m .ôt sô´n`ao ¯d´o trong ch´
ung không thu .ôc A, th`ı theo nguyên l´y Ðirichlê ch´ung ta nh.ân , , , , ¯
du .oc s ≤ n − 1, v`ı ngo`ai A c´o ¯d´ung n − 1 sô´trong khoang n`ay. Nhu , , , ,
v .ây tr´ai v´oi bâ´t ¯d˘ang th´uc ¯d˜a ch´ung minh s ≥ n. Suy ra tô`n t.ai m .ôt
hi .êu ai − (k − 1)m thu .ôc A. J , , , , , , . 2.5. Ch´ ung minh r` ˘ ang t`
u n + 1 sô´duong kh´
ac nhau nho hon 2n, c´ o , , , , ,
thê ch .on ¯du.oc ba sô´sao cho tông hai sô´trong ch´ung b`˘ang sô´th´u ba. , , , L` oi giai. K´
y hi .êu 0 < a1 < a2 < . . . < an+1 l`a nh˜ung sô´ ¯d˜a cho. Ch´ ung ta x´ et c´
ac hi .êu sô´ a2 − a1, a3 − a1, . . . , an+1 − a1 v`a c´ac sô´ , , ,
a2, a3 . . . , an+1. V`ı tâ´t ca c´ac sô´ n`ay ¯
dê`u nho hon 2n nên c´ac sô´ trên , , , , , chı n` ˘
am trong khoang 1, 2, . . . , 2n − 1. Nhu v .ây ch´ung ta s˜e t`ım ¯du .oc ,, , ,, ,
m .ôt sô´o nh´om th´u nhâ´t b`˘ang m .ôt sô´o nh´om th´u hai: ak − a1 = al, suy ra ak = a1 + al. J , , . 2.6. Ch´ ung minh r` ˘ ang v´
oi m .ôt sô´ bâ´t k`y n tô`n t .ai m.ôt sô´ c´o d .ang 111 . . . 000 m`
a chia hê´t cho n. | {z } , n ch˜ u sô´ , , , , L` oi giai. Ch´ ung ta x´
et nh˜ung sô´ 1, 11, 111, . . . , 111 . . . 111 v`a nh˜ung | {z } , n ch˜ u sô´ , sô´ du khi chia d˜
ay sô´ trên cho n. V`ı d˜ay sô´ ¯ d˜ a cho gô`m n phâ`n ,, , , , , tu, nên nh˜ ung sô´ du duong kh´ ac nhau khi chia ch´ ung cho n c´ o sô´ , , , ,
lu .ong n − 1. C´o thê gia thiê´t không c´o m .ôt sô´ n`ao trong d˜ay trên , , , , ,
chia hê´t cho n v`ı nê´u ngu .oc l.ai th`ı b`ai to´an ¯d˜a ¯du .oc giai. Khi ¯d´o s˜ e c´ o hai sô´ trong ch´
ung, v´ı d .u 111 . . . 111 v`a 111 . . . 111, l > k, | {z } , | {z } , k ch˜ u sô´ l ch˜ u sô´ , m` a khi chia ch´ ung cho n s˜e cho c`
ung m .ôt sô´ du. Do ¯d´o l − k = , , 18 Chuong 2. Sô´h .oc 111 . . . 000 s˜ e chia hê´t cho n. J | {z } , , (l-k ch˜ u sô´1, k ch˜ u sô´0) , , ,
. 2.7. Cho p l` a sô´nguyên tô´l´ on hon 5. Ch´ ung minh r` ˘ ang tô`n t .ai m.ôt sô´c´
o d .ang 111 . . . 111 m`a chia hê´t cho p. , , L` oi giai. Ta x´ et d˜
ay sô´1, 11, 111, . . . , 111 . . . 1 . Nê´u trong d˜ay trên | {z } , (p ch˜ u sô´) , , , , không c´ o sô´ n`
ao chia hê´t cho p, th`ı ta cho tuong ´ ung m˜ ôi sô´ v´ oi sô´ , , , , , du cua ph´
ep chia. T .âp h .op c´ac sô´du chı c´o 1, 2, . . . , p − 1 gô`m p − 1 ,, , ,
phâ`n tu (v`ı 0 không thê c´
o trong t .âp n`ay). Nhung v`ı ch´ung ta c´o p ,,
sô´ o d .ang trên, nên theo nguyên l´y Ðirichlê tô`n t.ai hai sô´ c´o c`ung , , ,, , sô´du. Gia su c´ ac sô´ ¯ d´ o l` a 111 . . . 1 v` a 111 . . . 1 v´ oi m > n. Khi | {z } , | {z } , (m ch˜ u sô´) ( n ch˜ u sô´) ¯ d´ o 1 ≤ n < m ≤ p. V .ây 111 . . . 1 − 111 . . . 1 = 111 . . . 000 | {z } , | {z } , | {z } , , (m ch˜ u sô´) (n ch˜ u sô´) (m-n ch˜ u sô´1, n ch˜ u sô´0) = 111 . . . 1 .10n | {z } , (m-n ch˜ u sô´) T´ıch n`
ay chia hê´t cho p v`ı (p, 10) = 1, suy ra 111 . . . 1 | {z } , (m-n ch˜ u sô´1) ,, chia hê´t cho p v`a n´ o c˜ ung n` ˘ am trong d˜ ay o trên. M` a 1 ≤ m − n ≤ p , , mâu thu˜ ân v´ oi gia thiê´t không c´ o sô´ n` ao trong d˜ ay chia hê´t cho p. J , , ,
. 2.8. (Ðê` thi Olympic to´ an thê´gi´ oi lâ`n th´ u 14) Cho M l` a t .âp h.op bâ´t , , , , k`
y gô`m 10 sô´ t .u nhiên, m˜ôi sô´không l´on hon 100. Ch´ung minh r`˘ang , , , , ,,
tô`n t .ai hai t .âp h.op con cua M m`a tông cua c´ac phâ`n tu trong ch´ung b` ˘ ang nhau. 2.2. V´ıd .u 19 , , , , , L` oi giai. C´ o thê ch´
ung minh nê´u tô`n t .ai hai t.âp thoa m˜an kê´t lu.ân , , , , cua b` ai to´ an, th`ı ta c´
o thê ch .on ¯du .oc hai t.âp con c´o c`ung t´ınh châ´t , ,
â´y nhung không giao nhau. Th .ât v.ây, Cho X, Y l`a hai t.âp con cua M , ,, c´ o tông c´ ac phâ`n tu b` ˘ ang nhau. Ch´ ung ta k´
y hi .êu X1 gô`m c´ac phâ`n ,, , , , , ,
tu cua X m`a không thu .ôc Y. Tuong t .u nhu v.ây Y1 gô`m c´ac phâ`n ,, , ,
tu cua Y m`a không thu .ôc X. R˜o r`ang X1 v`a Y1 c´o tông c´ac phâ`n ,, , , tu b` ˘ ang nhau m`
a không giao nhau. G .oi A l`a t.âp h .op m .oi t.âp h .op , , , ,, , con không r˜
ông cua M. Sô´ lu .ong phâ`n tu cua A l`a 210 − 1 = 1023. , ,, , , , Ch´ ung ta x´
et tông S c´ac phâ`n tu cua m .ôt t.âp h .op con nhu v.ây, r˜o , r`
ang S ≤ 91 + 92 + · · · + 100 < 10.100 = 1000. Nhu v .ây tô`n t.ai , , , không qu´ a 1000 tông kh´ ac nhau. K´
y hi .êu B l`a t.âp h .op tâ´t ca c´ac , , , , ,, , ,, , ,
tông nhu v .ây. Do ¯d´o sô´ lu .ong phâ`n tu cua B nho hon 1000 v`a nho , , , ,, , , , , ,, , ,
hon sô´lu .ong phâ`n tu cua A. Ð.˘at tuong ´ung m˜ôi phâ`n tu cua t.âp h .op , , ,, , , A v´ oi tông c´ ac phâ`n tu cua n´ o. Ta thâ´y r` ˘ ang c´ o thê ´ ap d .ung nguyên ,, , l´ y Ðirichlê o ¯
dây. Suy ra tô`n t .ai ´ıt nhâ´t hai t.âp h .op con kh´ac nhau c´o , ,, c`
ung m .ôt tông c´ac phâ`n tu. J , ,
. 2.9. (Ðê` thi h .oc sinh gioi to´an Câ´p II to`an quô´c 1983) Ch´ung minh , r` ˘ ang trong c´
ac sô´t .u nhiên thê´n`ao c˜ung c´o sô´k sao cho 1983k − 1 chia hê´t cho 105. , , , , , L`
oi giai. Cho k lâ´y gi´a tr.i t`u 1 ¯dê´n 105 + 1 rô`i thay v`ao biêu th´uc , ,
1983k − 1 s˜e nh .ân ¯du .oc 105 + 1 gi´a tr.i kh´ac nhau. Chia 105 + 1 sô´ , ,, , , , v`
ua nh .ân o trên cho 105, s˜e ¯du .oc nhiê`u nhâ´t l`a 105 sô´ du. Do ¯d´o , , theo nguyên l´ y Ðirichlê phai c´
o ´ıt nhâ´t hai sô´ cho c` ung m .ôt sô´ du. , ,, Gia su ¯ d´ o l`
a sô´ 1983m − 1 v`a 1983n − 1(m > n). Thê´ th`ı (1983m −
1) − (1983n − 1) chia hê´t cho 105 m`
a (1983m − 1) − (1983n − 1) = ,
(1983m − 1983n) = 1983n(1983m−n − 1). Nhung 1983 v` a 105 nguyên , tô´ c`
ung nhau, do v .ây phai c´o (1983m−n − 1) chia hê´t cho 105. Sô´ , k = m − n thoa m˜ an ¯ diê`u ki .ên ¯dâ`u b`ai. J , , 20 Chuong 2. Sô´h .oc , , . 2.10. Ch´ ung minh r` ˘
ang tô`n t .ai nh˜ung sô´ nguyên a, b v`a c, không , , ¯ dô`ng th` oi b` ˘ ang 0 v` a gi´
a tr.i tuy.êt ¯dô´i cua m˜ôi sô´ không qu´a 1000000, , √ √ thoa m˜
an |a + b 2 + c 3| < 10−11. , , , , , √ √ , L`
oi giai. Ð .˘at S l`a t.âp h .op cua 1018 sô´ th .uc r + s 2 + t 3 v´oi m .oi √ √
r, s, t thu .ôc {0, 1, 2, . . . , 106 − 1} v`a ¯d.˘at d = (1 + 2 + 3d)106. , Khi ¯ d´ o m˜ ôi x trong S ¯ dê`u n` ˘
am trong khoang 0 ≤ x < d. Chia , ¯
do .an n`ay th`anh 1018 − 1 phâ`n b`˘ang nhau, m˜ôi ¯do.an nho c´o ¯d .ô d`ai d e = . Theo nguyên l´
y Ðirichlê tô`n t .ai hai sô´ trong 1018 sô´ 1018 − 1 , , , cua S n`˘am trong c`
ung m .ôt ¯do.an nho. Hi.êu cua hai sô´n`ay k´y hi.êu l`a √ √ 107 a + b 2 + c 3 ¯ d´ o ch´ınh l` a c´ ac sô´ a, b, c v`ı e < = 10−11. J 1018 2.3. B ` ai t .âp , , . 2.11. Cho A l`
a t .âp h .op bâ´t k`y gô`m 201 sô´t .u nhiên, m˜ôi sô´không , , , , , ,
vu .ot qu´a 300. Ch´ung minh r`˘ang A ch´ua ´ıt nhâ´t hai sô´, m`a ty sô´cua , ch´ ung l` a l˜ uy th` ua b .âc ba. , , . 2.12. Cho k l`
a sô´ t .u nhiên bâ´t k`y, c`on a v`a b l`a nh˜ung sô´nguyên , ,
sao cho a ≤ b v`a b − a < 2k − 2. Ch´ ung minh r` ˘ ang nê´u M l`a t .âp h .op , , , ,
k sô´ t .u nhiên n`˘am trong khoang [a, b], v`a l l`a sô´t .u nhiên thoa m˜an , ,, ,
1 ≤ l ≤ 2k + a − b − 2, th`ı c´
o ´ıt nhâ´t m .ôt hi.êu nh˜ung phâ`n tu cua , M tr` ung v´ oi l. ,, , , , . 2.13. Cho d˜
ây sô´ a1, a2, a3, . . . , a41, m`a m˜ôi phâ`n tu chı ¯ du .oc t.ao ,, , , , ,, boi sô´1 v` a, sô´2, trong ¯ d´ o c´
o ´ıt nhâ´t 21 sô´chı ¯ du .oc t.ao boi c´ac sô´1. , ,, , , Ch´ ung minh r` ˘
ang tô`n t .ai m .ôt sô´ phâ`n tu liên tiê´p cua d˜ay c´o tông b` ˘ ang ¯ d´ ung 20. , , . 2.14. Ch´ ung minh r` ˘
ang tô`n t .ai m .ôt sô´ t .u nhiên n, sao cho sô´ 2.3. B` ai t .âp 21 111 . . . 1 chia hê´t cho 139. (B` ai to´ an c` on ¯ d´ ung nê´u ta thay 139 | {z } , (n ch˜ u sô´) , b` ˘
ang m .ôt sô´nguyên tô´c`ung nhau v´oi 10). , ,, , . 2.15. Ch´ ung minh r` ˘
ang trong m .oi sô´t.ao boi 100 ch˜u sô´ N tô`n t.ai
m .ôt sô´chia hê´t cho 1967. , , , , . 2.16. Ch´ ung minh r` ˘ ang bao gi`o c˜ ung t`ım ¯ du .oc sô´
19971997. . . 19970. . . 0 chia hê´t cho 1998. , , . 2.17. Ch´ ung minh r` ˘ ang c´
o m .ôt sô´t .u nhiên chia hê´t cho 1997, m`a , , bô´n ch˜u sô´cuô´i c` ung cua n´ o l` a 1998. , . 2.18. Ch´ ung minh r` ˘ ang nê´u c´
ac sô´nguyên m v`a n nguyên tô´c` ung , , , nhau th`ı t`ım ¯
du .oc sô´t .u nhiên k sao cho mk − 1 chia hê´t cho n. , , 22 Chuong 2. Sô´h .oc , , CHUONG 3 D ˜ AY S ´ Ô 3.1. Nguyên l´ y Ðirichlê cho d˜ ay sô´ vô h .an , , Trong phâ`n n` ay ch´ ung ta x´ et nguyên l´ y Ðirichlê du´ oi d .ang: , , Nê´u c´ o h˜
uu h .an nh˜ung ng˘an k´eo m`a ch´ung ta ¯d .˘at vô h .an , , nh˜
ung v .ât v`ao ¯d´o, th`ı ´ıt nhâ´t c´o m .ôt ng˘an k´eo ch´ua vô h .an , nh˜
ung v .ât ¯d˜a c´o. , ,,, , Ch´ ung ta d˜ ê c´ o cam tuong r` ˘ ang nguyên l´ y n` ay l` a hiên nhiên nên , , , , ´ıt ch´ u ´ y ¯ dê´n n´ o. B` ˘ ang phan ch´ ung c´ o thê ch´ ung minh nguyên l´ y n` ay , ,, l` a ¯ d´
ung. Trong sô´ h .oc, t.âp h .op c´o liên quan ¯dê´n vô h.an phâ`n tu l`a , d˜ ây sô´. Ch´
ung ta biê´t râ´t nhiê`u d˜ ay sô´ ¯
d .ep nhu d˜ay câ´p sô´c .ông, d˜ay , , câ´p sô´ nhân, d˜ ay c´
ac sô´ nguyên tô´, ho .˘ac d˜ay Fibonaxi,. . . Chuong , , , , n` ay ch´ ung ta chı quan tâm ¯ dê´n ´
ap d .ung ¯diê`u ph´at biêu trên ¯dê giai , c´ ac b` ai to´ an liên quan ¯ dê´n d˜ ây sô´. Nh˜
ung t .âp vô h.an trong c´ac b`ai , , , to´ an du´ oi ¯ dây ta x´ et nhu c´ ac d˜ ay sô´. 3.2. V´ı d .u , . 3.1. X´et d˜
ay sô´ 6, 62, 63, 64, 65, . . . , 6n, . . . v` a viê´t 4 ch˜ u sô´ cuô´i c` ung , , cua c´ ac sô´ n`
ay 0006, 0036, 0216, 1296, 7776, . . .. Ch´ ung minh r` ˘ ang b´ ˘ at , , ¯ dâ`u t`
u m .ôt sô´n0 n`ao ¯d´o d˜ây v`ua l .âp l`a d˜ây tuâ`n ho`an. , , , , , L`
oi giai. V`ı tô`n t .ai h˜uu h.an sô´ lu .ong (104) c´ach ch .on kh´ac nhau , , 24 Chuong 3. D˜ ay sô´ , , , c´ ac sô´ c´ o 4 ch˜ u sô´, nên trong d˜ ay ¯ d˜ a cho ch´ ˘ ac ch´ ˘ an t`ım ¯ du .oc hai , , , c´
ach ch .on c´o c`ung 4 ch˜u sô´ cuô´i. C´o ngh˜ıa l`a t`ım ¯du .oc hai sô´ n0 , , v`
a n0 + t m`a v´oi ch´ung th`ı 6n0 v`a 6n0+t+1 c´o c`ung 4 ch˜u sô´ cuô´i , ,
(6n0+t+1 − 6n0 = 104.6k). N´ oi chung, ch˜ u sô´ 6n v`a 6n+t v´ oi bâ´t k` y ,
n > n0 s˜e c´o c`ung 4 ch˜u sô´cuô´i (6n+t − 6n = 104.6n−n0). J
. 3.2. (Ðê` thi To´
an Olympic quô´c tê´ lâ`n 17 n˘ am 1975) Cho , ,
a1, a2, . . . , an, . . . l`a d˜ay t˘ang ng .˘at c´ac sô´ t .u nhiên. Ch´ung minh r`˘ang ,, , , , , ,
vô h .an c´ac phâ`n tu an cua d˜ây trên c´o thê biêu di˜ên du´oi d .ang ,, , , ,
an = xap + yaq,o ¯dây x v`a y l`a nh˜ung sô´nguyên duong v`a p 6= q. , , , , L`
oi giai. Nê´u a1 = 1 kê´t lu .ân cua b`ai to´an l`a hiên nhiên. Th.ât v.ây, , , v´
oi m .oi n ≥ 3 sô´ h.ang an c´o biêu di˜ên d.ang an = an−1 + (an +
an−1) = 1.an−1 + (an − an−1).a1 c´o t´ınh châ´t mong muô´n. Ch´ung ta , , , , s˜ e ch´
ung minh tô`n t .ai chı sô´ p l´on hon 1 sao cho vô h.an c´ac sô´h.ang , , , , , cua d˜ ay ¯ d˜ a cho c´ o thê viê´t du´
oi d .ang xap + ya1 v´oi c´ac sô´ nguyên , , , , , , , ,
duong th´ıch h .op x v`a y. M˜ôi sô´ h.ang cua d˜ay ta ¯d.˘at tuong ´ung v´oi , , , , sô´ du cua n´ o khi chia ch´ınh n´
o cho a1. T .âp h .op tâ´t ca c´ac sô´ h.ang , , , , , cua d˜ ay l`
a vô h .an, c`on tâ´t ca c´ac kha n˘ang cua sô´du khi chia c´ac sô´ , , , ,,
h .ang cho a1 l`a h˜uu h.an. Ðiê`u ¯d´o ch´ung to r`˘ang vô h.an phâ`n tu ,
an , a , . . . , a , . . . , v´oi n 1 n2 nk
1 < n2 < . . . < nk < . . . , , cho c`
ung m .ôt sô´ du r khi chia cho a1. Không mâ´t t´ınh tông qu´at , , , , , ,
ta gia thiê´t n1 > 1, v`ı trong tru`ong h .op ngu .oc l.ai ta x´et c´ac sô´ , an , a , . . . , a , . . . c˜ ung l` a d˜ ay vô h r khi chia 2 n3 nk .an v` a cho c` ung sô´ du , , ,
cho a1. V´oi m .oi k = 1, 2, . . . tô`n t.ai sô´nguyên duong xk sao cho an = k xka1 + r. Khi ¯ d´ o an − a = (x k n1
k a1 + r) − (x1 a1 + r) = (xk − x1)a1 , , , suy ra v´
oi m .oi k ≥ 2 ta c´o ¯d˘ang th´uc an = a + (x k n1 k − x1)a1 = , , 1.an + (x
ng sô´ a , a , . . . , a , . . . ., c´ o biêu 1 k − x1)a1. Ngh˜ ıa l` a, nh˜ u n2 n3 nk , , , di˜ ên v` a c´ ac t´ınh châ´t nhu b` ai to´ an ¯ d`
oi hoi. Th .ât v.ây, chı sô´ 1 v`a n1 3.2. V´ı d .u 25 , , , , , , kh´ ac nhau v`ı theo c´
ach ch .on trên n1 th .uc s .u l´on hon 1. Chı c`on phai , , , , kh˘ ang ¯
d.inh r`˘ang sô´ xk − x1 l`a sô´ nguyên duong v´oi k ≥ 2, ¯diê`u ¯d´o , ¯ d´ ung v`ı t`
u n1 < nk suy ra x1 < xk. J , ,
. 3.3. Cho sô´t .u nhiên bâ´t k`y k. Ch´ung minh r`˘ang tô`n t .ai sô´nguyên tô´ , , p v`
a m .ôt d˜ay sô´t .u nhiên t˘ang ng .˘at a1, a2, . . . , an, . . . sao cho tâ´t ca c´ac ,, , , phâ`n tu cua d˜
ay p + ka1, p + ka2, . . . , p + kan, . . . l`a nh˜ung sô´nguyên tô´. , , , , , L` oi giai. K´
y hi .êu P l`a t.âp h .op tâ´t ca c´ac sô´ nguyên tô´. V´oi m .oi ,
i = 0, 1, . . . , k − 1 k´y hi .êu Pi l`a t.âp h .op c´ac sô´ nguyên tô´ m`a khi , chia cho k c´
o sô´du i. D˜ê thâ´y r`˘ang m .oi sô´nguyên tô´n`˘am trong m .ôt , ,, trong c´
ac t .âp h .op P0, P1, P2, . . . , Pk−1. Boi v`ı sô´nguyên tô´l`a vô h.an, , , ,
v .ây ´ıt nhâ´t phai c´o m .ôt trong sô´c´ac t.âp h .op P0, P1, P2, . . . , Pk−1 ch´ua , ,, ,
vô h .an sô´nguyên tô´. Gia su Pi ch´ua vô h.an sô´v`a k´y hi.êu p l`a phâ`n ,, , , , tu nho nhâ´t cua n´ o. Khi ¯ d´
o m .oi sô´x thu .ôc Pi c´o d.ang x = p + ka v´oi , ,, ,
m .ôt sô´ t .u nhiên a. Lâ´y x1, x2, x3, . . . l`a c´ac phâ`n tu cua Pi xê´p theo , , , , , x th´ u t n − p .u l´ on dâ`n. V´
oi m .oi sô´t .u nhiên n ¯d.˘at an = . D˜ ê thâ´y r` ˘ ang k
sô´nguyên tô´ p v`a d˜ay a1, a2, . . . , an, . . . c´o t´ınh châ´t mong muô´n. J , , . 3.4. Cho f l` a ¯ da th´ uc k ¯ dô´i sô´v´
oi h.ê sô´nguyên v`a a1, a2, . . . , an, . . . l`a , , , d˜ ay nh˜
ung sô´ nguyên thoa m˜
an h.ê th´uc an+1 = f (a,a2, . . . , an−k+1), , , , v´
oi m .oi sô´ nguyên n, k m`a n ≥ k. Ch´ung ta x´et sô´ duong bâ´t k`y m , , , , v` a v´
oi m .oi n = 1, 2, . . .. K´y hi.êu an l`a sô´ du không âm nho nhâ´t cua ,
an theo mô ¯dun m. Ch´ ung minh r` ˘ ang d˜
ay a1, a2, a3, . . . , an, . . . . l`a d˜ay tuâ`n ho` an. , , ,, , , L` oi giai. Ch´ ung ta s˜
e su d .ung kh˘ang ¯d.inh sau: Nê´u g l`a ¯da th´uc , k ¯ dô´i sô´ v´
oi h .ê sô´ nguyên v`a x1, x2, . . . , xk, y1, y2, . . . , yk l`a c´ac sô´
nguyên sao cho x1 ≡ y1 (mod m), x2 ≡ y2 (mod m), . . . , xk ≡ yk
(mod m), th`ı g(x1, x2, . . . , xk) ≡ g(y1, y2, . . . , yk) (mod m). , , 26 Chuong 3. D˜ ay sô´ ,
M .oi sô´ h.ang cua d˜ay b`˘ang m .ôt trong c´ac sô´ a1, a1, a3, . . . , an, . . . , , ,, 0, 1, . . . , m − 1. Ch´ ung ta x´ et c´
ac b .ô s´˘ap th´u t .u gô`m k phâ`n tu
(a1, a2, . . . , ak), (a2, a3, . . . , ak+1), . . . , (an, an+1 . . . , an+k−1).. , , , , , C´
o tâ´t ca vô h .an b .ô s´˘ap nhu v.ây, nhung sô´ lu .ong c´ac b .ô k sô´ , ,
(α1, α2, α3, . . . , αk), v´oi 0 ≤ αi ≤ m − 1, i = 1, 2 . . . , k l`a h˜uu h .an , , (b` ˘
ang mk theo l´y thuyê´t tô h .op). Theo nguyên l´y Ðirichlê tô`n t.ai hai ,
chı sô´ i v`a j, i < j sao cho
ai = aj, ai+1 = aj+1, . . . , ai+k−1 = aj+k−1 ho .˘ac l`a
x1 ≡ y1 (mod m), x2 ≡ y2 (mod m) , . . . , xk ≡ yk (mod m). , , T` u ¯ dây suy ra d˜
ay a1, a2, a3, . . . , an . . . l`a tuâ`n ho`an (chu k`y cua n´o , , , , , l` a u´
oc sô´ cua j − i). Th .ât v.ây, v`ı f l`a ¯da th´uc v´oi h.ê sô´ nguyên nên , theo c´ ach ch´ ung minh trên ch´ ung ta c´ o
f (ai+k−1, ai+k−2, . . . , ai) ≡ f (aj+k−1, aj+k−2, . . . , aj) (mod m) ,
=⇒ ai+k ≡ aj+k (mod m) ho .˘ac l`a ai+k ≡ aj+k. Biê´n ¯dôi m .ôt ch´ut d˜ê , , , thâ´y r` ˘ ang v´
oi m .oi n ≥ i ta c´o ¯d˘ang th´uc sau an+(i−j) ≡ an. J , , , . 3.5. Cho d˜
ay x1, x2, . . . , xn, . . . . ¯du .oc x´ac ¯d.inh theo công th´uc sau
x1 = 1, x2 = 0, x3 = 2, xn+1 = 2xn−1 + xn−2, n ≥ 3. , , , ,, Ch´ ung minh r` ˘ ang v´
oi m .oi sô´ t .u nhiên m tô`n t .ai hai phâ`n tu liên tiê´p , cua d˜ ay m` a ch´ ung ¯
dê`u chia hê´t cho m. , , , , L`
oi giai. Công th´ uc hô`i quy trên c´ o thê viê´t l .ai xn−2 = xn+1 − 2xn−1 (3.1) , , , , , T` u ¯ d´ o chı ra r` ˘ ang d˜ ay c´ o kha n˘ ang ph´ at triên vê` ph´ıa tr´ ai, t´ uc , , l` a x´ ac ¯
d.inh xn v´oi n ≤ 0. V´ı d .u v´oi n = 2, 1, 0 ch´ung ta nh.ân , , , , ¯
du .oc x0 = 0, x−1 = 0, x−2 = 1. Nhu m .uc 3.4 chı ra r`˘ang d˜ay 3.2. V´ı d .u 27 , , , , ,
x1, x2, . . . , xn, . . . gô`m nh˜ung sô´du tuong ´ung x1, x2, . . . , xn, . . . theo , ,
môdd un m, l`a d˜ay tuâ`n ho`an. T`u công th´ uc (3.1) suy ra m˜ ôi ,, , , , phâ`n tu cua d˜
ay {xn} v`a suy ra ca {xn} x´ac ¯ d.inh duy nhâ´t t`u 3 ,, , , , phâ`n tu tru´ oc n´ o. Khi ¯ d´
o nê´u (r1, r2, . . . , rk) l`a phâ`n chu k`y cua d˜ay ,
x1, x2, . . . , xn, . . . th`ı phâ`n n`ay s˜e chuyên ¯
d .ông tuâ`n ho`an vê`ph´ıa tr´ai , cua d˜
ay . . . , x−3, x−2, x−1, x0, x1, x2, . . . v`a s˜e c´o d .ang
. . . , r1, r2, . . . , rk, r1, r2, . . . , rk, r1, r2, . . . , rk . . . (3.2) , , Bây gi` o ta ch´ u ´ y r` ˘
ang x−1 = x0 = 0, suy ra x−1 = x0 = 0. T`u (3.2) , , ,, suy ra r` ˘ ang d˜ ay c´
ac sô´ du theo môdd un m ch´ ua vô sô´ c .˘ap phâ`n tu liên tiê´p b` ˘ ang không. N´ oi c´ ach kh´
ac tô`n t .ai vô sô´c´ac c.˘ap sô´liên tiê´p , ,, cua d˜
ay x1, x2, . . . , xn, . . . m`a m˜ôi phâ`n tu trong c .˘ap ¯dê`u chia hê´t cho m. J , , , , . 3.6. D˜ ay sô´ Fibonaxi ¯
du .oc ¯d.inh ngh˜ıa b`˘ang c´ac ¯d˘ang th´uc F1 = ,
F2 = 1, Fn+2 = Fn+1 + Fn, n ≥ 1. Ch´ ung minh r` ˘
ang ´ıt nhâ´t m .ôt trong ,, ,
1.000.000.000 phâ`n tu ¯ dâ`u tiên cua d˜
ay chia hê´t cho 10.000. , , , , , , , , L`
oi giai. Tuong t .u nhu 3.5 ch´ung ta x´et c´ac sô´ du cua c´ac sô´ , , ,, trong d˜ ay ¯ d˜ a cho khi chia cho 10.000. K´
y hi .êu sô´ du ¯d´ung o v.i , tr´ı th´
u k khi chia cho 10 000 l`a rk. Khi ¯ d´ o th`ı r1 = 1, r2 =
1, r3 = 2, r4 = 3, . . . . . . .rk = rk−1 + rk−2. R˜o r`ang c´o 10.000 sô´ , du kh´ ac nhau do ¯ d´ o c´
o 100002 = 100000000 (tr˘am tri .êu) c.˘ap sô´ , , du kh´ ac nhau. X´
et 100000001 c .˘ap sô´ du (r1, r2), (r2, r3), (r3, r4) . . .
. . . (r100000001, r100000002). Theo nguyên l´y Ðirichlê trong sô´ n`ay c´o ´ıt , , , ,
nhâ´t 2 c .˘ap sô´ tr`ung nhau, t´uc l`a t`ım ¯du .oc hai sô´ n v`a p v´oi n, p , , , , ¯
dê`u nho hon 100000002,n nho hon p sao cho rn = rp, rn+1 = rp+1. , , , , , ,
Nhung nê´u biê´t sô´ du cua tông hai sô´ v`
a sô´ du cua m .ôt sô´ th`ı sô´ , , , du kia c˜ ung t´ınh ¯
du .oc. V`ı v.ây ta c´o rn−1 = rp−1, rn−2 = rp−2, . . . . , cho ¯
dê´n khi r2 = 1 = rp−n+2, r1 = 1 = rp−n+1, Áp d .ung công th´uc , , 28 Chuong 3. D˜ ay sô´ , ,, ,
sô´ du hô`i qui o trên ta c´
o rp−n = 0 v´oi p − n ≤ 100000001 − 1 = , ,, , 100000000. Ngh˜ıa l` a sô´ ¯ d´
ung o v.i tr´ı p − n s˜e thoa m˜an ¯diê`u ki.ên b`ai ra, chia hê´t cho 10 000. J
. 3.7. (Ð.inh l´y Fecma) Nê´u m.ôt sô´ nguyên tô´ p không chia hê´t sô´ , ,
nguyên a, th`ı ¯ d˘ ang th´ uc sau ¯ d´
ung ap−1 ≡ 1( mod p). , , , , , L` oi giai. Ch´ ung ta ch´
ung minh m .ênh ¯dê` tông qu´at hon. Cho m > 1 , , l`
a sô´ t .u nhiên bâ´t k`y v`a a l`a sô´ nguyên tô´ c`ung nhau v´oi m. Ch´ung , , , ta x´ et d˜ ay nh˜ung l˜ uy th` ua liên tiê´p cua a a1, a2, a3, . . . (3.3) v` a k´ y hi .êu r1, r2, r3, . . . (3.4) , , , , , , l` a nh˜ ung sô´du tuong ´
ung cua (3.3) khi chia cho m, ngh˜ıa l`a
ak ≡ rk (mod m), 1 ≤ rk ≤ m − 1. , , , ,, Khi ¯ d´
o sô´ lu .ong c´ac sô´ trong (3.3) l`a vô h.an, c`on nh˜ung sô´ o (3.4) , , , , , chı c´
o thê nh .ân nh˜ung gi´a tr.i trong 1, 2, 3, . . . , m − 1 nên sô´lu .ong l`a , , , , h˜
uu h .an. Suy ra theo nguyên l´y Ðirichlê, gi˜ua nh˜ung sô´du rk s˜e c´o , , ´ıt nhâ´t hai sô´ tr` ung nhau; n´ oi c´ ach kh´
ac tô`n t .ai hai chı sô´ i v`a j v´oi, i 6= j sao cho ri = rj. Khi ¯ d´ o ch´ ung ta c´ o ai ≡ aj( mod m). Theo gia , , , thiê´t (a, m) = 1, v´ oi i 6= j ch´
ung ta nh .ân ¯du .oc ai−j ≡ 1( mod m). , , , Ch´ ung ta c´
o kê´t lu .ân tô`n t.ai sô´t .u nhiên l sao cho ¯d˘ang th´uc sau ¯ dây ¯ d´ ung: al ≡ 1 (mod m) (3.5)
- Sô´ l trong (3.5) không x´ac ¯
d.inh duy nhâ´t, th.âm ch´ı c`on tô`n t.ai , ,
vô sô´sô´t .u nhiên l thoa m˜an (3.5). , , , , - Trong tru`
ong h .op m = p l`a sô´nguyên tô´, Fecma t`ım ra l c´o thê ch .on l`a sô´ p − 1. 3.2. V´ı d .u 29 , , , , , , -Tru`
ong h .op m bâ´t k`y th`ı Ole ch´ung minh r`˘ang l c´o thê ch .on l`a , , ,, h` am chı sô´ cua m (ch´ ung ta không xem x´ et vâ´n ¯ dê` n` ay o ¯ dây, ¯ d .ôc , , , gia c´ o thê t`ım trong bâ´t c´ u cuô´n s´ ach sô´h .oc n`ao). J
. 3.8. Cho x1, x2, x3, . . . l`a d˜
ây vô h .an c´ac sô´ nguyên v`a k l`a m.ôt sô´ , , , ,,
t .u nhiên bâ´t k`y. Ch´ung minh r`˘ang tô`n t .ai d˜ây sô´gô`m nh˜ung phâ`n tu , , , liên tiê´p cua d˜ ây, m` a tông cua ch´
ung chia hê´t cho k. , , , , , ,, L` oi giai. Ch´ ung ta c´ o thê gi´
oi h .an l.ai, gi˜ua m .oi b .ô k phâ`n tu liên , , , , ,, tiê´p cua d˜ ây c´
o thê ch .on ¯du .oc m .ôt sô´ phâ`n tu c´o t´ınh châ´t mong , , , ,, muô´n. Ðê ¯ don gian ta xem x´ et k phâ`n tu ¯
dâ`u tiên x1, x2, x3, . . . , xk. , Ch´ ung ta x´ et tông
S1 = x1, S2 = x1 + x2, S3 = x1 + x2 + x3, . . . , Sk = x1 + x2 + · · · + xk , , ,
Nê´u m .ôt tông n`ao ¯d´o trong sô´trên chia hê´t cho k, th`ı b`ai to´an ¯du .oc , , , , ,
giai. Ngu .oc l.ai, c´ac sô´ S1, S2, . . . , Sk (c´o sô´ lu .ong k) khi chia cho k , , , , ¯
du .oc c´ac sô´du 1, 2, 3, . . . , k − 1. T`u nguyên l´y Ðirichlê suy ra c´o m .ôt , ,
c .˘ap chı sô´i v`a j, 1 ≤ i < j ≤ k, m`a c´ac tông Si v`a Sj cho c`ung m .ôt sô´ , , ,, du khi chia cho k. Khi ¯ d´ o tông c´
ac phâ`n tu liên tiê´p xi+1, xn+2, . . . , xj , cua d˜ ay ¯ d˜
a cho chia hê´t cho k, v`ı xi+1 + xn+2 + · · · + xj = Sj − Si. J , , , , . 3.9. Cho d˜
ay vô h .an c´ac ch˜u sô´. Ch´ung minh r`˘ang v´oi m.oi sô´ t .u ,
nhiên n, nguyên tô´ c` ung nhau v´ oi 10, trong d˜
ay vô h .an trên tô`n t .ai , ,, ,
m .ôt nh´om ch˜u sô´liên tiê´p, m`a sô´t .ao boi c´ac ch˜u sô´trong nh´om (viê´t , , , , , , , theo th´
u t .u chı sô´l´on ¯d´ung tru´oc) chia hê´t cho n. , , , L` oi giai. Cho d˜ ay c´ ac ch˜
u sô´ a1, a2, . . . , an, . . .. Ch´ung ta x´et c´ac sô´
A1 = a1, A2 = a2a1, . . . , An = anan−1 . . . a1, . . . , An+1 = an+1 . . . a1. , , , , , , , ,
V`ı sô´lu .ong nh˜ung sô´n`ay l`a n + 1, c`on sô´lu .ong kha n˘ang cua sô´du khi chia ch´
ung cho n l`a n, nên theo nguyên l´y Ðirichlê tô`n t .ai ´ıt nhâ´t , , 30 Chuong 3. D˜ ay sô´ , hai sô´cho c`
ung m .ôt sô´du ta k´y hi.êu ch´ung l`a Ai v`a Aj, (i < j). Khi ¯ d´
o hi .êu Aj − Ai chia hê´t cho n. Hay n´oi c´ach kh´ac
Aj − Ai = aj . . . a1 − ai . . . a1 = aj . . . ai−1.10j−i+1
v`ı (n, 10) = 1, nên aj . . . ai−1 chia hê´t cho n. J , , . 3.10. Cho k l`
a sô´nguyên duong bâ´t k` y v` a x1, x2, . . . , xn, . . . y1, y2, . . . , yn, . . . , , l` a nh˜ ung chu˜
ôi sô´ nguyên bâ´t k` y. Ch´ ung minh r` ˘
ang tô`n t .ai vô sô´ c .˘ap , , ,
chı sô´ (i, j), v´
oi i < j sao cho m˜ ôi tông
xi+1 + xn+2 + · · · + xj; yi+1 + yn+2 + · · · + yj ¯
dê`u chia hê´t cho k. , , , , ,, L`
oi giai. Chı câ`n ch´ ung minh r` ˘
ang trong b .ô sô´ k2 phâ`n tu liên tiê´p , , , , , , , cua 2 d˜ ây trên c´
o thê ch .on ¯du .oc tông v´oi t´ınh châ´t ¯d˜a chı ra. V`ı v.ây , ,, , ch´ ung ta chı quan tâm ¯ dê´n k2 phâ`n tu ¯ dâ`u tiên cua c´ ac chu˜ ôi ¯ d˜ a cho. , , , B` ˘ ang c´ ach tông qu´ at h´ oa c´ ach giai b` ai to´ an 3.8, lâ´y tông
S1 = x1, S2 = x1 + x2, S3 = x1 + x2 + x3, . . . , Sk2 = x1 + x2 + · · · + xk2
T1 = y1, T2 = y1 + y2, T3 = y1 + y2 + y3, . . . , Tk2 = y1 + y2 + · · · + yk2 , , , , , V´ oi m˜ ôi m = 1, 2, 3, . . . , k2 ¯
d .˘at tuong ´ung c.˘ap (Sm, Tm) v´oi c.˘ap , , ,
(RSm, RTm) cua nh˜ung sô´ du, khi chia Sm v`a Tm cho k. V`ı RSm , , , v`
a RTm l`a m .ôt trong c´ac sô´ 0, 1, 2, . . . , k − 1, nên tô h .op tâ´t ca c´
ac d .ang kh´ac nhau (RSm, RTm) l`a không qu´a k2. Nê´u tô`n t.ai , , ,
m .ôt chı sô´ m, sao cho (RSm, RTm) tr`ung v´oi (0, 0), th`ı m .oi tông
Sm = x1 + x2 + · · · + xm v`a Tm = y1 + y2 + · · · + ym ¯ dê`u chia hê´t cho ,
k. V`ı nê´u không nhu v .ây, th`ı c´ac c.˘ap sô´(RSm, RTm), m = 1, 2, . . . .., k2 , , , , c´ o nhiê`u nhâ´t l`
a k2 − 1 kha n˘ang kh´ac nhau. Nhung sô´ lu .ong 3.3. B` ai t .âp 31 , nh˜
ung c .˘ap sô´ n`ay l`a k2 suy ra c´o ´ıt nhâ´t hai trong ch´ung b`˘ang , nhau. N´ oi c´ ach kh´
ac, tô`n t .ai hai chı sô´ i v`a j, sao cho 1 ≤ i < , , , j ≤ k2 v`
a (RSi, RTi) = (RSj, RTj). Trong tru`ong h .op n`ay m˜ôi sô´
xi+1 + xn+2 + · · · + xj = Sj − Si; yi+1 + yn+2 + · · · + yj = Tj − Ti ¯ dê`u chia hê´t cho k. J , ,, Ch´ u ´ y: Ðây l` a b` ai to´ an tông qu´ at h´ oa b` ai to´ an 3.8. Mo r .ông kê´t , qua n` ay c´
ac b .an h˜ay xem v`a l`am b`ai tâp 3.15. 3.3. B ` ai t .âp , , , , . 3.11. C´
o tô`n t .ai lu˜y th`ua cua sô´3 m`a c´ac ch˜u sô´cuô´i c`ung cua n´o l` a 0001 không ? , , , , . 3.12. Cho F l`
a t .âp h˜uu h.an nh˜ung sô´nguyên duong v`a x1, x2, . . . , ,,
, xn, . . . v`a y1, y2, . . . , yn, . . . l`a hai d˜ây vô h .an nh˜ung phâ`n tu thu .ôc , , , F. Ch´ ung minh r` ˘
ang tô`n t .ai nh˜ung chı sô´ i v`a j, i < j sao cho t´ıch , ,
cua xi+1, xi+2, . . . , xj v`a yi+1, yi+2, . . . , yj l`a m .ôt sô´c´o l˜uy th`ua b.âc k. ,
. 3.13. Cho u1, u2, . . . , un, . . . l`a d˜ay nh˜ung sô´nguyên x´ac ¯ d.inh b`˘ang , , công th´ uc u1 = 39, u2 = 45, un+2 = u2 − u ng minh n+1 n(n ≥ 1). Ch´ u , ,, r` ˘
ang 1986 chia hê´t cho vô sô´nh˜ ung phâ`n tu trong d˜ ay n` ay. , , . 3.14. Cho k l`
a m .ôt sô´t .u nhiên. D˜ay x1, x2, . . . , xn, . . . thoa m˜an c´ac , , 1 , ¯ d˘ ang th´ uc x0 = 0, x1 = 1 v`a xn = (x i m .oi n ≥ 1. k n+1 − xn−1) v´ o , , , Ch´ ung minh r` ˘ ang gi˜ ua nh˜
ung sô´ x1, x2, . . . , x1986 tô`n t .ai hai sô´ m`a , t´ıch cua ch´
ung chia hê´t cho tich 19.86. , , . 3.15. Cho k l` a sô´nguyên duong v` a x11, x12, . . . , x1n, . . . x21, x22, . . . , x2n, . . . , , 32 Chuong 3. D˜ ay sô´ . . . . . . . . . . . . . . . xs1, xs2, . . . , xsn, . . . , , l`
a s d˜ay sô´ nguyên. Khi ¯ d´
o tô`n t .ai vô h.an c´ac c.˘ap chı sô´ (i, j), v´oi , i < j sao cho c´ ac tông sau ¯ dây x1 + + · · · + i+1 x1i+2 x1j x2 + + · · · + i+1 x2i+2 x2j
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xs + + · · · + i+1 xsi+2 xsj ¯ dê`u chia hê´t cho k. , , CHUONG 4 H`INH H .OC 4.1. V´ı d .u , , , Trong sô´c´ ac b` ai to´
an h`ınh h .oc trong to´an h .oc tô h .op c´o m .ôt l´op , , , b` ai to´ an giai b` ˘ ang phuong ph´
ap Ðirichlê râ´t thu .ân ti.ên v`a r˜o r`ang. , , , ,
B .an ¯d .oc c´o thê t`ım thâ´y nh˜ung c´ach giai kh´ac, nhung v`ı m .uc ¯d´ıch , , , , chuyên ¯ dê` phuong ph´ ap ch´ ung ta ¯ dang x´ et nên ch´ ung ta chı khao s´ at c´ ac v´ı d .u sau. , , , , , ,
. 4.1. Trong h`ınh vuông v´
oi c .anh 1 ¯don v.i ¯du.oc ch.on 101 ¯diêm. Ch´ung , , , , ,, , , minh r` ˘ ang c´ o n˘ am ¯ diêm trong c´ ac ¯ diêm ¯ d˜
a ch .on c´o thê phu boi ¯du`ong 1 tr` on b´ an k´ınh . 7 , , L`
oi giai. Chia h`ınh vuông ra ra 25 h`ınh vuông con c´ o c .anh 0,2. , , , , , Nh˜ ung h`ınh vuông n` ay c´
o sô´ lu .ong 25 v`a v`ı tâ´t ca sô´ ¯diêm ¯d˜a ch .on , , , l` a 101, th`ı ´ıt nhâ´t c´
o m .ôt h`ınh vuông nho ch´ua ´ıt nhâ´t 5 ¯diêm. M`a , , , 1 1 b´ an k´ınh ¯ du` ong tr`
on ngo .ai tiê´p h`ınh vuông nho b`˘ang √ < . J 5 5 7 , . 4.2. Ch´ ung minh r` ˘
ang trong m .oi khô´i ¯da di.ên lô`i tô`n t .ai ´ıt nhâ´t hai
m .˘at c´o c`ung sô´c .anh. , , , , L` oi giai. K´
y hi .êu F l`a m.˘at c´o sô´c.anh l´on nhâ´t cua khô´i ¯da di.ên. Nê´u ,
sô´c .anh cua F l`a k, th`ı khô´i ¯da di.ên c´o ´ıt nhâ´t k + 1 m.˘at (v`ı c´o k m.˘at , , 34 Chuong 4. H`ınh h .oc , , , , c´
o c .anh chung v´oi F), c`on sô´ lu .ong c´ac c.anh cua m˜ôi m.˘at l`a m .ôt trong c´
ac sô´ 3, 4, . . . , k. Theo nguyên l´y Ðirichlê c´ o ´ıt nhâ´t hai m .˘at c´ o c` ung sô´c .anh. J , , , , ,
. 4.3. Trong phâ`n trong cua m .ôt h`ınh tr`on v´oi ¯du`ong k´ınh 5 ¯don v.i, , , , , , ngu`
oi ta ch .on bâ´t k`y 10 ¯diêm. Ch´ung minh r`˘ang ´ıt nhâ´t c´o hai ¯diêm , , , , trong c´ ac ¯ diêm ¯ d˜
a ch .on c´o khoang c´ach nho hon 2. , , , , L` oi giai. Chia ¯ du` ong tr` on , th` anh 8 re qu .at b`˘ang nhau , C , 9 , , C C 2 v´ oi g´ oc o tâm m˜ ôi re qu .at l`a A1 , , , B 450 v`
a d .ung ¯du`ong tr`on ¯dô`ng C F 8 , A C tâm C i b´ an k´ınh 1. K´ y 3 1 v´ o E D ,
hi .êu C2, C3, . . . , C9 l`a nh˜ung O B1 , , , C h`ınh t` u t´ am re qu 7 ¯ di C1 .at tr` u , , phâ`n m` a ¯ du` ong tr` on C1 ¯ d˜ a C , 4 , chiê´m. C´ o thê ch´ ung minh C , 6 , , , C5 ¯
du .oc bâ´t c´u hai ¯diêm n`ao
thu .ôc m .ôt trong ch´ın h`ınh , , H`ınh 4.1: trên ¯ dê`u c´ o khoang c´ ach nho , , , , ,
hon 2. Th .ât v.ây, nê´u hai ¯diêm roi v`ao ¯du`ong tr`on ¯dô`ng tâm th`ı , , , , , ,, , , khoang c´ ach gi˜ ua ch´ ung nho hon 2. Gia su hai ¯ diêm A v`a B roi , v`
ao m .ôt CDEF trong sô´ t´am re qu.at. Trên b´an k´ınh OC v`a OD lâ´y , , , , tuong ´ ung hai ¯
diêm A1 v`a B1 sao cho OA1 = OA; OB1 = OB, ngh˜ıa ,, l` a AB ≤ A1B1 (theo ¯
d.inh l´y h`am cosin, boi v`ı [ AOB ≤ \ A1OB1). , , Ðê ´ y r` ˘
ang A1B1 ≤ max{A1D, A1E}. Th .ât v.ây ¯diêm B1 n`˘am trong , ,, , ¯
do .an th˘ang t.ao boi h`ınh chiê´u H cua A1 trên OD v`a ´ıt nhâ´t m .ôt , , , ,, trong hai ¯
diêm D, E, ch˘ang h .an ¯diêm D. Boi v.ây h`ınh chiê´u HD , , , , , cua ¯ du`
ong xiên A1D không b´e hon h`ınh chiê´u HB1 cua A1B1 trên , , OD. Ngh˜ıa l`
a A1B1 ≤ A1D. C˜ung ch´ung minh nhu trên ta c´o 4.1. V´ı d .u 35 , ,
DA1 ≤ max{DF, DC}, EA1 ≤ max{EF, EC}. T`u s .u ¯d´anh gi´a
EF2 < CD2 = OC2 + OD2 − 2.OC.OD. cos 450 √ 25 25 2 = 2 − < 3, 75 < 4 4 4 v` a
EC2 = FD2 = OF2 + OD2 − 2OF.OD. cos 450 √ 25 5 2 5.1, 4 = 1 + − < 7, 25 − = 3, 75 < 4, 4 2 2 , , ta ¯
du .oc AB ≤ A1B1 ≤ max{DF, DC, EF, EC} < 2. J , ,, , , , , ,
. 4.4. Gia su m˜ ôi ¯
diêm trong m .ôt m .˘at ph˘ang ¯du.oc son b`˘ang m.ôt trong , , , hai mâ`u ¯ do v` a xanh. Ch´ ung minh r` ˘ ang c´
o m .ôt h`ınh ch˜u nh .ât n`ao ¯d´o , , ,
trong m .˘at ph˘ang m`a bô´n ¯dınh cua n´o c`ung mâ`u. , , L` oi giai. D˜ ê thâ´y theo nguyên l´ y , P1 P2 P3 P4
Ðirichlê, m .ôt t.âp bâ´t k`y 7 ¯diêm , m`
a son m .ôt trong hai mâ`u th`ı´ıt , Q1 Q2 Q3 Q4 nhâ´t c´ o 4 ¯ diêm c` ung mâ`u. Trên , , , ,
m .ôt ¯du`ong th˘ang c´o 7 ¯diêm th`ı R R 1 2 R3 R4 , , , ch´ ung ta phai c´ o 4 ¯ diêm th˘ ang , ,, h` ang c` ung mâ`u, gia su ¯ d´ o l` a , H`ınh 4.2:
P1, P2, P3, P4 c´o c`ung mâ`u ¯ do. Ta , , , , , , , , chiê´u nh˜ ung ¯ diêm n` ay xuô´ng hai ¯ du` ong th˘ ang song song v´ oi ¯ du` ong , , , , , ch´ ua ch´
ung t .ao ra (Q1, Q2, Q3, Q4) v`a (R1, R2, R3, R4) tuong ´ung v´oi , , , (P1, P2, P3, P4). Nh˜ung ¯ diêm n`
ay t .ao ra m .ôt sô´h`ınh ch˜u nh.ât, ch´ung , , , ta ch´ u ´ y ¯ dê´n c´ ac h`ınh ch˜
u nh .ât c´o ¯dınh l`a Pi, i = 1, 2, 3, 4. Nhu v.ây , , , , nê´u 2 ¯ diêm bâ´t k` y cua Q l`a ¯ do th`ı ta c´
o kê´t qua m .ôt h`ınh vuông , , , , , PiPjQjQi c´o ¯ dınh c`
ung mâ`u. Tuong t .u cho c´ac ¯diêm R. Nê´u ¯dô`ng , , , , , , th` oi không c´ o ¯
diêm Q v`a R thoa m˜an tru`ong h .op trên th`ı c´o 3 (ho.˘ac , , 36 Chuong 4. H`ınh h .oc , , , , hon) ¯ diêm Q n`ao ¯ d´ o v` a 3 ¯ diêm R n`ao ¯ d´ o c´ o c` ung mâ`u xanh. Nhung , , , ,
trong b .ô ba nhu v.ây phai c´o c.˘ap ¯dôi t.ao ra h`ınh ch˜u nh.ât v´oi c´ac , , ¯
dınh mâ`u xanh trong sô´c´ ac ¯ diêm Q v`a R. J , ,, , , , , ,
. 4.5. Gia su m .ôt b`an c`o h`ınh ch˜u nh .ât c´o 4x7 ô vuông ¯du.oc son ¯den , , , ,
ho .˘ac tr´˘ang. Ch´ung minh r`˘ang v´oi c´ach son mâ`u bâ´t k`y, trong b`an c`o , ,,
luôn tô`n t .ai h`ınh ch˜u nh .ât gô`m c´ac ô vuông, m`a bô´n ô o g´oc l`a c´ac ô c` ung mâ`u. , , , L` oi giai. Ch´ ung ta ch´ ung, minh cho b` ai to´ an b` an c` o , 3 × 7. M˜ âu son mâ`u c´ o , , , , thê xây ra v´ oi b` an c` o n` ay , , c´ o d .ang t`u 1 ¯dê´n 8. Gia ,,
su m .ôt trong sô´ c´ac c .ôt
thu .ôc d.ang 1. B`ai to´an s˜e , , , ¯
du .oc ch´ung minh nê´u tâ´t , , ca nh˜ ung c .ôt c`on l.ai trong
6 c .ôt thu .ôc c´ac d.ang 1, 2, , , ,, ,
3, 4. Nhu v .ây gia su tâ´t ca H`ınh 4.3: c´
ac c .ôt c`on l.ai thu .ôc d.ang
5, 6, 7, ho .˘ac 8. Khi ¯d´o theo nguyên l´y Ðirichlê hai trong sô´ s´au c .ôt , , , , c´
o hai c .ôt c`ung m .ôt d.ang v`a nhu v.ây b`ai to´an c˜ung ¯du .oc ch´ung , , , , , minh. Ch´ ung minh ho` an to`
an tuong t .u nê´u m .ôt c .ôt c´o d.ang 8. Gia ,, , su không c´
o c .ôt n`ao trong 7 c .ôt c´o d.ang 1 ho.˘ac 8. Nhu v.ây ta c´o 7 ,
c .ôt v´oi 6 d.ang. Theo nguyên l´y Ðirichlê c´o hai c .ôt c`ung d.ang v`a b`ai , , , , to´ an ¯
du .oc ch´ung minh ¯dâ`y ¯du. J , , . 4.6. N˘ am ¯
diêm A, B, C, D, E n` ˘
am trong m .ôt m .˘at ph˘ang v`a t.oa ¯d.ô , , , cua ch´ ung l` a c´ ac sô´ nguyên. Ch´ ung minh r` ˘ ang trong sô´ nh˜ ung tam 4.1. V´ı d .u 37 , , , , gi´ ac m` a ¯ dınh cua n´ o l` a ba ¯ diêm n` ao ¯ d´ o trong c´ ac ¯ diêm n` ay, c´ o ´ıt nhâ´t , ba tam gi´ ac v´
oi di.ên t´ıch l`a c´ac sô´nguyên. , , , , , L` oi giai. Ta c´ o thê ch´ ung minh r` ˘
ang nê´u m .ôt trong c´ac t .oa ¯d .ô cua , , , c´ ac ¯ dınh tam gi´ ac ¯ d˜ a cho thay ¯
dôi m .ôt sô´ch˜˘an, th`ı di.ên t´ıch cua tam , , , , gi´ ac c˜ ung thay ¯
dôi m .ôt sô´nguyên. M .ôt c´ach tông qu´at hon ta c´o thê , , , , kh˘ ang ¯
d.inh nê´u c´ac t .oa ¯d .ô ¯dınh cua m .ôt tam gi´ac thay ¯dôi m .ôt sô´ , , ch˜ ˘
an, th`ı di .ên t´ıch cua n´o c˜ung thay ¯dôi m .ôt sô´nguyên. V`ı v.ây, nê´u , , , ,
di .ên t´ıch cua tam gi´ac m´oi nh.ân ¯du .oc l`a sô´ nguyên, th`ı di.ên t´ıch , tam gi´ ac ban ¯ dâ`u c˜ ung l` a sô´nguyên (h˜ ay v˜ e h`ınh v` a ch´ ung minh). , , , , V`ı nh˜
ung t .oa ¯d .ô cua c´ac ¯diêm ¯d˜a cho A, B, C, D, E l`a nh˜ung sô´ , , nguyên, sau khi thêm v` ao c´
ac t .oa ¯d .ô n`ay nh˜ung sô´ch˜˘an th´ıch h .op, , , th`ı m˜
ôi t .oa ¯d .ô s˜e chı nh.ân c´ac gi´a tr.i 0 v`a 1. Do ¯d´o m .oi 5 ¯diêm ¯d˜a cho ,, ,
t .ao nên boi c´ac ¯diêm (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1). Áp d .ung nguyên l´y , , ,
Ðirichlê suy ra ´ıt nhâ´t hai ¯ diêm trong c´ ac ¯ diêm A, B, C, D, E biê´n ¯ dôi , , ,, th` anh c`
ung m .ôt ¯diêm trong {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}. Gia su ¯d´o l`a , A, B. Ch´ ung ta s˜ e kh˘ ang ¯
d.inh di.ên t´ıch c´ac tam gi´ac ABC, ABD v`a , ABE l` a nh˜
ung sô´ nguyên. Th .ât v.ây, c´ac tam gi´ac n`ay b.i biê´n th`anh , , ¯
do .an th˘ang (do A v`a B biê´n th`anh c`ung m .ôt ¯diêm) nên di.ên t´ıch , , , , , , anh cua ch´ ung b` ˘
ang 0. V .ây tru´oc khi biê´n ¯dôi, di.ên t´ıch cua ch´ung , phai l` a sô´nguyên. J , , ,
. 4.7. Trong m .ôt m .˘at ph˘ang cho m.ôt t .âp h.op A c´o n ¯diêm (n ≥ 2), , , , , , ,
m .ôt sô´ c .˘ap ¯diêm ¯du.oc nô´i v´oi nhau b`˘ang ¯do .an th˘ang. Ch´ung minh , , , , , , , r` ˘ ang trong A c´ o ´ıt nhâ´t hai ¯ diêm ¯
du .oc nô´i v´oi c`ung sô´lu.ong c´ac ¯diêm kh´ ac thu .ôc A. , , , , L` oi giai. V´
oi m .oi ¯diêm bâ´t k`y a thu .ôc A ch´ung ta k´y hi.êu S(a) l`a , , , , , ,
sô´ lu .ong nh˜ung ¯diêm cua A m`a a nô´i th`anh ¯do.an th˘ang. B`ai to´an , , , muô´n kh˘ ang ¯
d.inh r`˘ang tô`n t.ai hai ¯diêm kh´ac nhau a1 v`a a2 cua A , , 38 Chuong 4. H`ınh h .oc , m`
a S(a1) = S(a2). Ch´ung ta thâ´y ngay r`˘ang 0 ≤ S(a) ≤ n − 1 v´oi ,, , ,
m .oi phâ`n tu a thu .ôc A. M.˘at kh´ac, c˜ung không tô`n t.ai nh˜ung ¯diêm ,,
x1 v`a x2 thu .ôc A, m`a S(x1) = n − 1 v`a S(x2) = 0. Boi v`ı ¯diê`u n`ay , , , , , c´ o ngh˜ıa l` a ¯
diêm x1 nô´i v´oi tâ´t ca c´ac ¯ diêm c` on l .ai cua A, c`on x2 , , , , không nô´i v´ oi ¯ diêm n` ao cua A, ¯ d˜ ân ¯ dê´n vô l´ y. C´ ac sô´ nguyên t` u 0 , , , ¯ dê´n n − 1 c´
o sô´ lu .ong l`a n. V`ı 0 v`a n − 1 không ¯dô`ng th`oi l`a gi´a tr.i , , , ,
vua S nên S nh .ân nhiê`u nhâ´t l`a n − 1 gi´a tr.i. B`ai to´an ¯du .oc giai suy , ra t` u nguyên l´ y Ðirichlê. J , , . 4.8. Cho ¯ da gi´ ac ¯
dê`u 100 c .anh n.ôi tiê´p trong ¯du`ong tr`on k. M˜ôi , , , , ¯ dınh ¯
du .oc g´an m.ôt trong c´ac sô´ 1, 2, . . . , 49. Ch´ung minh r`˘ang trên k ,
tô`n t .ai hai cung AB v`a CD v´oi c´ac t´ınh châ´t sau: , , , a) C´ ac ¯ diêm A, B, C v` a D l` a ¯ dınh cua ¯ da gi´ ac ¯ dê`u ¯ d˜ a cho. , b) C´
ac dây cung AB v`
a CD song song v´ oi nhau , , ,
c) Nê´u A, B, C v` a D c´ o nh˜ an tuong ´ ung l` a c´
ac sô´ a, b, c, d th`ı a + b = c + d. , , , , L`
oi giai. Trong ¯ du` ong tr` on k c´ o , , ¯ d´ ung 50 ¯ du` ong k´ınh kh´ ac nhau m` a D C , , , , ¯ diêm cuô´i cua ¯ du` ong k´ınh l` a m .ôt , , ¯ dınh cua ¯ da gi´ ac ¯ dê`u 100 c .anh ¯d˜a , ,
cho. Nê´u PQ l`a m .ôt trong sô´¯du`ong , , k´ınh ¯ d´ o v` a ¯ dir nh P ¯ du .oc g´an nh˜an , , , p, c` on Q v´ oi nh˜ an q th`ı ¯ du` ong , , , , k´ınh PQ tuong ´ ung v´ oi sô´ nguyên B A
|p − q|. R˜o r`ang, 0 ≤ |p − q| ≤ 48. , , B` ˘ ang c´ ach n` ay m˜ ôi ¯ du` ong k´ınh ¯ d˜ a H`ınh 4.4: , , , , x´ et (tông sô´ c´ o 50 tâ´t ca) ¯ du .oc cho , , , , tuong ´ ung v´
oi m .ôt trong c´ac sô´ 0, 1, 2, . . . , 48. Suy ra c´o ´ıt nhâ´t hai 4.1. V´ı d .u 39 , , , , , , , , ¯ du` ong k´ınh ¯
du .oc ¯d.˘at tuong ´ung v´oi c`ung m .ôt sô´. , , , , , , Ta k´
y hi .êu ¯d´o l`a AB v`a CD, c`on c´ac ¯dınh ¯du .oc g´an tuong ´ung , , , c´ ac nh˜
an a, b, c, d. Không mâ´t t´ınh tông qu´at ch´ ung ta c´ o thê gia
thiê´t c ≤ a v`a b ≤ d. Khi ¯ d´ o dây cung AC v`a BD c´ o c´ ac t´ınh châ´t , , , , ,
mong muô´n. Th .ât v.ây, v´oi ¯du`ong k´ınh AC ch´ung ta ¯d˜a ¯d.˘at tuong ´, , , , , ung v´ oi a − c, c` on BD ´ ung v´
oi d − b v`a nh˜ung sô´ n`ay b`˘ang nhau, , , ch´
ung ta nh .ân ¯du .oc a − c = d − b hay l`a a + b = c + d. Ngo`ai ra, , , t´ u gi´
ac ABCD l`a h`ınh vuông, nên AB song song v´ oi CD (th .âm ch´ı AB = CD). J , , , , , ,,
. 4.9. Tâ´t ca c´ ac ¯
diêm trong m .ôt m .˘at ph˘ang ¯du.oc bôi boi n mâ`u , , , , kh´ ac nhau. Cho tru´ oc 2n − 1 ¯ du` ong tr` on ¯ dô`ng tâm kh´ ac nhau , , , , , ,
k1, k2, . . . , k2n−1. Trong c´ac ¯du`ong tr`on d .ung b´an k´ınh tuong ´ung ,
OA1, OA2, . . . , OA2n−1 sao cho m˜
ôi c .˘ap b´an k´ınh không c´o ¯diêm , , , chung n` ao kh´ ac ngo` ai O. Ch´ ung minh r` ˘
ang tô`n t .ai m.ôt ¯du`ong tr`on ,
ki, i = 1, 2, . . . , 2n − 1 sao cho trên n´o v`a trên b´an k´ınh OAi cua n´o c´o , , , , , , , nh˜ ung ¯ diêm tuong ´
ung Xi v`a Yi, m`a ch´ung ¯du .oc bôi c`ung m.ôt mâ`u v`a ,
Yi không tr`ung v´oi O v`a Ai. , , L` oi giai. K´
y hi .êu c´ac mâ`u ¯d˜a cho l`a c1, c2, . . . , cn. Ch´ung ta s˜e t´ınh , , , , , , ,
sô´ lu .ong c´ac tô h .op kh´ac nhau cua c´ac mâ`u m`a v´oi ch´ung c´o thê , , bôi mâ`u c´ ac ¯
diêm trên m .ôt h`ınh ph˘ang. M .oi t.âp con kh´ac trô´ng , , , , ,
{i1, i2, . . . , ik}, 1 ≤ k ≤ n cua t.âp h .op N = {1, 2, . . . , n} tuong ´ung , , , , v´
oi tô h .op mâ`u {ci , c , . . . , c }. R˜o r`ang nh˜ung t 1 i2 ik .âp con kh´ ac trô´ng , , , , , , , , kh´
ac nhau cua N b`˘ang c´ach n`ay tuong ´ ung v´ oi nh˜ ung tô h .op mâ`u , , , kh´ ac nhau. Ngo`
ai ra, m .oi tô h .op mâ`u {ci , c , . . . , c } c´o thê nh 1 i2 ik .ân , , , , , , ¯
du .oc nh`o xây d .ung t.âp con kh´ac trô´ng {i1, i2, . . . , ik}. Suy ra, tô h .op , , , , nh˜
ung mâ`u c1, c2, . . . , cn m`a v´oi ch´ung c´o thê bôi c´ac ¯ diêm m .ôt h`ınh , , , , , , , ph˘ ang l` a tuong ´
ung m .ôt - m .ôt v´oi nh˜ung t.âp h .op con kh´ac trô´ng , , 40 Chuong 4. H`ınh h .oc , , , ,
cua N = {1, 2, . . . , n}. Ngh˜ıa l`a sô´ c´ac tô h .op kh´ac nhau cua mâ`u , , , , b` ˘ ang sô´ c´
ac t .âp h .op con kh´ac trô´ng cua N, c´o tâ´t ca 2n − 1 t.âp h .op , nhu v .ây. , , , , , Tru´ oc tiên ch´ ung ta gia thiê´t r` ˘
ang tô`n t .ai ¯du`ong tr`on ki, i = , , 1, 2, . . . , 2n − 1 m` a muô´n bôi k´ın n´ o phai d` ung tâ´t ca c´ ac mâ`u , , c1, c2, . . . , cn. Khi ¯ d´ o ch´
ung ta ch .on ¯diêm bâ´t k`y Yi l`a ¯diêm trong , , ,, , , , cua b´ an k´ınh OAi. Gia su Yi ¯
du .oc bôi b`˘ang mâ`u c1. Nhung trên ki c´o , , , ,
´ıt nhâ´t m .ôt ¯diêm Xi, ¯du .oc bôi c`ung mâ`u nhu v.ây, v`ı m .oi mâ`u ¯d˜a cho , , , , , , , ¯ dê`u b´ ˘
at g .˘ap trên ki; v.ây b`ai to´an ¯du .oc giai trong tru`ong h .op gia thiê´t , , , , ,, , , n` ay. Ta x´ et tru`
ong h .op c`on l.ai: Gia su không c´o ¯du`ong tr`on n`ao m`a , , , , , , , , nh˜ ung ¯ diêm cua n´ o ¯
du .oc bôi mâ`u v´oi to`an b .ô tô h .op c1, c2, . . . , cn. , , , , , , , , Khi ¯ d´ o c´
o tâ´t ca 2n − 2 kha n˘ang tô h .op mâ`u, v´oi n´o c´ac ¯diêm ¯du .oc , , ,, bôi cho c´ ac ¯ du` ong tr`
on k1, k2, . . . , k2n−1 . Boi v`ı 2n − 1 > 2n − 2 nên , , , , c´ o hai ¯ du` ong tr`
on ki v`a kj, i < j trên n´o s˜e c´o c`ung m .ôt tô h .op mâ`u. , ,, , , , ,
Gia su ki c´o b´an k´ınh l´on hon kj. K´y hi.êu Yi l`a ¯diêm c´˘at cua OAi v`a , , , , , ,
kj. Trong tru`ong h .op ¯d´o Yi n`˘am trên kj v`a v`ı nh˜ung ¯diêm cua ki v`a , , , , , , , , kj ¯
du .oc bôi v´oi c`ung m .ôt tô h .op mâ`u, trên ki c´o ¯diêm Xi ¯du .oc bôi , c` ung mâ`u v´ oi Yi. J , , , , ,
. 4.10. Tông cua ¯
d .ô d`ai m.ôt sô´ vecto trong m .˘at ph˘ang l`a 4. Ch´ung , , , , , , minh r` ˘ ang t` u nh˜ ung vecto n` ay c´
o thê ch .on m.ôt sô´ vecto m`a tông ¯d.ô , , , d` ai cua ch´ ung l´ on hon 1. , , , , , L` oi giai. Ch´ ung ta ¯ dua v`
ao h .ê t .oa ¯d .ô v`a x´et vecto ¯d.ai di.ên nh˜ung , , , , vecto ¯ d˜
a cho t .ai ¯diêm gô´c. Ch´ung ta chiê´u nh˜ung vecto n`ay xuô´ng , , , , ,
tr .uc t .oa ¯d .ô Ox v`a Oy. V`ı m˜ôi vecto c´o ¯d .ô d`ai nho hon tông cua c´ac , , , , ¯
d .ô d`ai h`ınh chiê´u cua n´o xuô´ng hai tr .uc;nên tông ¯d .ô d`ai cua tâ´t ca , , , , h`ınh chiê´u cua c´ ac vecto l´ on hon 4. Khi ¯ d´
o trên ´ıt nhâ´t m .ôt trong ,, , , , , ,
4 nua tr .uc cua h.ê t .oa ¯d .ô tông ¯d .ô d`ai cua h`ınh chiê´u s˜e l´on hon 1, 4.2. B` ai t .âp 41 , , , , , , , , ¯ diê`u ¯ d´ o c´ o ngh˜ıa l` a tông cua ¯
d .ô d`ai cua nh˜ung vecto tuong ´ung s˜e , , , , , l´ on hon 1. (¯
d .ô d`ai h`ınh chiê´u ¯d˜a l´on hon th`ı tâ´t nhiên ¯d .ô d`ai vecto , , c˜ ung l´ on hon.) J 4.2. B ` ai t .âp , , , ,
. 4.11. Trong h`ınh vuông v´
oi c .anh 1 ¯don v.i cho 112 ¯diêm. Ch´ung , , , 2 minh r` ˘
ang ´ıt nhâ´t hai trong sô´ ¯ d´ o c´ o khoang c´ ach nho hon . 15 , . 4.12. (Ðê` thi To´
an Olympic quô´c tê´ lâ`n th´ u 25 n˘ am 1984) Trong , , , ,
m .˘at ph˘ang cho hai ¯diêm kh´ac nhau O v`a A. V´oi m˜ôi ¯diêm X thu .ôc ,
m .˘at ph˘ang kh´ac O ch´ung ta k´y hi.êu a(X) l`a ¯d .ô ¯do b`˘ang radian , , , , cua g´ oc AOX, ¯
do theo chiê`u ngu .oc kim ¯dô`ng hô` t`u OA ¯dê´n OX , , (0 ≤ a(X) ≤ 2). C` on c(X) l`a ¯ du` ong tr`
on tâm O v`a b´an k´ınh c´ o ¯ d .ô a(X) , , , , d` ai OX + . Cho tru´
oc b .ô h˜uu h.an mâ`u v`a m˜ôi ¯diêm trong m.˘at OX , , , , , ph˘ ang ¯
du .oc bôi b`˘ang 1 trong sô´ ¯d´o. Ch´ung minh r`˘ang tô`n t.ai ¯diêm , , , , , ,
X1 v´oi a(X1) > 0 v`a trên ¯ du` ong tr`
on c(X1) c´o ´ıt nhâ´t 1 ¯ diêm ¯ du .oc , bôi c` ung mâ`u v´ oi X1. , , ,
. 4.13. Trong m .˘at ph˘ang cho n ¯diêm, n ≥ 7, sao cho khoang c´ach , , , , , , m˜
ôi c .˘ap ¯diêm gi˜ua ch´ung l`a kh´ac nhau. M˜ôi m .ôt ¯diêm ¯du .oc nô´i v´oi , , , , , ¯ diêm gâ`n n´ o nhâ´t. Ch´ ung minh r` ˘ ang không c´ o ¯ diêm n` ao ¯ du .oc nô´i , , , v´ oi nhiê`u hon 5 ¯ diêm kh´ ac. , . 4.14. Ch´ ung minh r` ˘
ang trong m .ôt h`ınh tr`on b´an k´ınh 1, không , , , , , , ,
thê ch .on ¯du .oc qu´a n˘am ¯diêm m`a khoang c´ach gi˜ua hai ¯diêm m .ôt , , l´ on hon 1. , , , , . 4.15. Ngu` oi ta qu˘ ang 120 h`ınh vuông c´ o k´ıch thu´ oc 1 × 1 v`ao m .ôt , , , , , h`ınh ch˜
u nh .ât k´ıch thu´oc20 × 25. Ch´ung minh r`˘ang v´oi m .oi c´ach s´˘ap , , 42 Chuong 4. H`ınh h .oc ,, , , xê´p c´
ac h`ınh vuông th`ı o trong h`ınh ch˜
u nh .ât v˜ân c`on ch˜ô trô´ng ¯dê , , ¯
d .˘at m .ôt h`ınh tr`on ¯du`ong k´ınh 1. , , CHUONG 5 ,,
MO R .ÔNG NGUYÊN L´Y ÐIRICHLÊ ,, 5.1. Nguyên l´ y Ðirichlê mo r .ông , , ,, , ,
Cho A l`a t .âp h˜uu h.an nh˜ung phâ`n tu, k´y hi.êu s(A) l`a sô´ lu .ong ,, , ,, , c´
ac phâ`n tu thu .ôc A. Nguyên l´y Ðirichlê c´o thê mo r .ông nhu sau: , , , ,, Nê´u A v` a B l` a nh˜
ung t .âp h .op h˜uu h .an v`a s(A) > k.s(B), o , ,, , ¯ dây k l`
a m .ôt sô´ t .u nhiên n`ao ¯d´o v`a nê´u m˜ôi phâ`n tu cua A cho , , , , ,, , tuong ´ ung v´
oi m .ôt phâ`n tu n`ao ¯d´o cua B, th`ı tô`n t .ai ´ıt nhâ´t k + 1 ,, , , , , , ,, ,
phâ`n tu cua A m` a ch´ ung tuong ´ ung v´ oi c`
ung m .ôt phâ`n tu cua B , , ,
Th .ât v.ây, tru`ong h .op k = 1 l`a nguyên l´y Ðirichlê m`a ta ¯d˜a x´et , , , , , trong c´ ac b`
ai t .âp t`u ¯dâ`u t´oi gi`o. Ðê ch´ung minh m.ênh ¯dê`trên ch´ung , ,, ,, , , , , , , ,, ta gia su m˜
ôi phâ`n tu cua B chı tuong ´ ung v´ oi nhiê`u nhâ´t k phâ`n tu , , , cua A. Khi ¯ d´ o s(A) ≤ k.s(B) tr´ai v´
oi gia thiê´t s(A) > k.s(B). , , , , , , ,, Ch´ u ´ y. Ngay t` u nh˜ ung chuong ¯ dâ`u nguyên l´ y n` ay ¯ d˜ a ¯ du .oc su , , , , , , , ,
d .ung v´oi c´ach ch´ung minh tuong t .u nhu trên. Ðê tiê´p t .uc hiêu sâu ,, , , thêm nguyên l´
y o d .ang m´oi ch´ung ta x´et m .ôt lo.at b`ai to´an ¯diên h`ınh. , , ,, 44
Chuong 5. Mo r .ông nguyên l´y Ðirichlê 5.2. V´ı d .u ,
. 5.1. Trong m .ôt h`ınh vuông c´o c .anh b`˘ang 1 ta ch.on bâ´t k`y 51 ¯diêm. , , Ch´ ung minh r` ˘ ang ´ıt nhâ´t c´ o ba ¯ diêm trong sô´ ¯ d´ o n` ˘ am trong m .ôt h`ınh vuông c´ o c .anh 0,2. , , L` oi giai. Ch´ ung ta chia h`ınh vuông th` anh 25 h`ınh vuông con c´ o , , , , ,
c .anh 0,2 b`˘ang c´ac ¯du`ong th˘ang song song v´oi c´ac c.anh cua h`ınh , , , , , , vuông.Nê´u gia su r` ˘ ang m˜ ôi h`ınh vuông v`
ua nh .ân ¯du .oc ch´ua không , , , , , qu´ a 2 ¯ diêm th`ı tâ´t ca c´ ac ¯ diêm trong h`ınh vuông l´ on s˜ e c´ o sô´ ¯ diêm nhiê`u nhâ´t l` a 2 × 25 = 50 d˜ân ¯ dê´n vô l´ y. J , , , ,
. 5.2. Tâ´t ca 9 c .anh v`a 27 ¯du`ong ch´eo cua m.ôt h`ınh ch´op ¯d´ay ¯da gi´ac , , , , , , , , 9 ¯ dınh ¯
du .oc bôi son: m.ôt sô´ bôi son ¯do, c`on l .ai bôi son xanh. Ch´ung , , , , minh r` ˘
ang tô`n t .ai ba ¯dınh cua h`ınh ch´op, m`a ch´ung l`a nh˜ung ¯dınh , , , , ,
cua m .ôt h`ınh tam gi´ac v´oi c´ac c .anh ¯du.oc son c`ung m.ôt mâ`u. , , , , , , L`
oi giai. 9 c .anh bên cua h`ınh ch´op ¯du .oc son b`˘ang hai mâ`u. V`ı 9 > , ,, , , 4.2, t` u nguyên l´
y mo r .ông trên suy ra ´ıt nhâ´t c´o 5 c.anh bên ¯du .oc bôi , ,, , , c`
ung m .ôt mâ`u. Gia su ¯d´o l`a SA1, SA2, SA3, SA4, SA5 ¯du .oc bôi c`ung , ,, , , ,,, , mâ`u ¯ do, o ¯ dây S l`a ¯ dınh h`ınh ch´ op. Không anh huong t´ oi kê´t lu .ân , ,, , , , b` ai to´ an ch´ ung ta gia su c´ ac ¯ diêm A1, A2, A3, A4, A5 ¯ du .oc s´˘ap xê´p , , ,
theo chiê`u ngu .oc kim ¯dô`ng hô`. Ít nhâ´t m .ôt trong c´ac c.anh cua ng˜u , , , , ,, gi´ ac l` a ¯ du` ong ch´ eo cua ¯ da gi´ ac ¯ d´ ay; gia su ¯ d´ o l` a A1A2. Ch´ung ta , , , , , x´ et tam gi´
ac A1A2A4. Nh˜ung c .anh cua n´o l`a c´ac ¯du`ong ch´eo cua ¯da , , , , gi´ ac ¯ d´ ay (do c´ ach xê´p trên) v` a suy ra ch´ ung ¯
du .oc bôi son.Nê´u tâ´t ca , c´
ac c .anh A1A2, A2A4, A4A1 l`a mâ`u xanh th`ı b`ai to´an ¯d˜a giai xong. , , , , , Tru`
ong h .op ngu .oc l.ai m .ôt trong c´ac c.anh A1A2, A2A4, A4A1 l`a mâ`u , , ,, , ¯ do, gia su ¯ d´ o l` a A1A2. Khi ¯ d´ o c´
ac c .anh cua tam gi´ac SA1A2 l`a mâ`u , ¯ do. J 5.2. V´ı d .u 45 , , . 5.3. Ch´ ung minh r` ˘
ang trong m .oi ¯da gi´ac lô`i v´oi sô´ c .anh ch˜˘an tô`n , , , ,
t .ai ¯du`ong ch´eo không song song v´oi m.ôt c .anh n`ao cua ¯da gi´ac. , , , d1 L` oi giai. B` ˘
ang qui n .ap ta c´o thê d˜ê , , , , d2 ch´ ung minh ¯
du .oc m .oi ¯da gi´ac v´oi n n(n − 3) , , c .anh c´o ¯ du` ong ch´ eo. 2 dk−1 , Bây gi` o ch´ ung ta x´ et ¯ da gi´ ac lô`i bâ´t , k` y P c´
o 2k c .anh v´oi k(≥ 2) l`a m .ôt sô´ a nguyên. H`ınh 5.1: , ,, , , , , Gia su m˜ ôi ¯ du`ong ch´ eo cua P song song v´ oi m .ôt c.anh n`ao ¯d´o , , , , , , , , cua P. Khi ¯ d´ o m˜ ôi ¯ du` ong ch´ eo d c´ o thê cho tuong ´ ung v´ oi c .anh song , , , song v´
oi d. K´y hi .êu s l`a sô´c´ac ¯du`ong ch´eo ch´ung ta c´o 2k(2k − 3) s = = k(2k − 3) 2
= 2k(k − 2) + k > (k − 2).2k. , ,,
Nhu v .ây theo nguyên l´y Ðirichlê mo r .ông suy ra tô`n t.ai k − 1 , , , , , , , ¯ du` ong ch´
eo d1, d2, . . . , dk−1 cua ¯da gi´ac P m`a ch´ung tuong ´ung v´oi , c`
ung m .ôt c.anh a cua ¯da gi´ac, ngh˜ıa l`a a, d1, d2, . . . , dk−1 song song , , , v´ oi nhau. Suy ra c´ ac ¯ du` ong ch´
eo d1, d2, . . . , dk−1 c`ung n`˘am trong ,, , ,,
m .ôt nua m.˘at ph˘ang x´ac ¯d.inh boi c.anh a v`ı P l`a ¯da gi´ac lô`i (h`ınh v˜e). , , ,, Ngo`
ai ra d1, d2, . . . , dk−1 v`a a l`a nh˜ung ¯do .an th˘ang kh´ac nhau v`a boi , , , , , , ,
v`ı sô´ lu .ong cua ch´ung l`a k, m˜ôi ¯dınh cua ¯da gi´ac P l`a ¯diêm ¯dâ`u cua , ,,, , ,
m .ôt ¯do.an n`ao ¯d´o trong ch´ung. Không anh huong ¯dê´n kê´t qua ch´ung , , , , minh ta gia thiê´t d1 l`a ¯
do .an xa nhâ´t ¯dô´i v´oi a trong c´ac ¯du`ong ch´eo , d1, d2, . . . , dk−1. Khi ¯ d´ o t` u l´
y lu .ân trên suy ra r`˘ang ¯da gi´ac P n`˘am ,, , ,, , to`
an b .ô trong m .ôt nua m.˘at ph˘ang x´ac ¯d.inh boi d1. Ðiê`u n`ay tr´ai v´oi , t´ınh lô`i cua ¯ da gi´ ac P. J , , , ,
. 5.4. Trong m .˘at ph˘ang cho 6 ¯diêm. M˜ôi ¯do .an th˘ang nô´i t`ung c .˘ap , , ,, 46
Chuong 5. Mo r .ông nguyên l´y Ðirichlê , , , , , , ¯ diêm ¯
du .oc bôi mâ`u ¯do ho .˘ac xanh. Ch´ung minh r`˘ang ba ¯diêm trong sô´ , , , , , , c´ ac ¯ diêm l` a ¯
dınh cua m .ôt tam gi´ac, m`a c´ac c .anh cua n´o ¯du.oc bôi c`ung m .ôt mâ`u. , , , L` oi giai. K´
y hi .êu A l`a m .ôt trong c´ac ¯diêm ¯d˜a cho v`a x´et n˘am ¯do.an , , , , , , , th˘ ang, c´ o ¯ dınh chung l` a A. Nh˜ung ¯
do .an th˘ang n`ay ¯du .oc son hai , ,, mâ`u v` a v`ı 5=2.2+1, suy ra t` u nguyên l´
y Ðirichlê mo r .ông ch´ung , ,, ta c´ o ´ıt nhâ´t ba ¯
do .an c`ung mâ`u. Gia su ¯d´o l`a AB1, AB2, AB3 mâ`u ,
xanh. Nê´u m .ôt v`ai ¯do.an th˘ang B1B2, B2B3, B3B1 l`a xanh th`ı tô`n t.ai , , ,
m .ôt tam gi´ac v´oi ba c.anh xanh v`a c´o ¯dınh l`a A. Nê´u ba ¯do.an th˘ang , , B1B2, B2B3, B3B1 l`a ¯
do, th`ı m .ôt tam gi´ac thoa m˜an ¯dê` to´an ¯d˜a ra l`a ,
B1B2B3 (c´ac c .anh ¯dê`u mâ`u ¯do). J , , , . 5.5. Cho d˜
ay vô h .an c´ac sô´t .u nhiên u1, u2, . . . , un, . . . ¯du.oc x´ac ¯d.inh , theo công th´
uc sau u1 = 3, un+1 = (n + 1)un − n + 1, n = 1, 2, . . .. , , ,
Cho n sô´ t .u nhiên bâ´t k`y v`a t .âp h.op M gô`m un ¯diêm sao cho không , , , , c´ o ba ¯ diêm n` ao th˘ ang h` ang. M˜ ôi ¯
do .an th˘ang nô´i hai ¯diêm kh´ac nhau , , , trong M ¯
du .oc bôi son b`˘ang m.ôt trong n mâ`u ¯d˜a cho. Khi ¯d´o tô`n t .ai 3 , , , ¯ diêm trong M l` a ¯
dınh cua m .ôt tam gi´ac ¯dô`ng mâ`u. , , , , L` oi giai. Ch´ ung minh b` ˘
ang qui n .ap theo n. V´oi n = 1 ch´ung ta c´o , , , , , ,
u1 = 3 v`a kê´t lu .ân l`a hiên nhiên. V´oi n = 2 t`u công th´uc t´ınh ¯du .oc , , , , ,, , ,, u2 = 6, ¯ dây l` a tru`
ong h .op ta ¯d˜a ch´ung minh o b`ai trên. Gia su b`ai , , , , , ,, to´ an v´ oi un ¯ diêm v` a c´ ac ¯
do .an th˘ang nô´i ¯du .oc bôi boi n mâ`u, c´o m .ôt , , , tam gi´ ac v´ oi c´
ac c .anh c`ung mâ`u. Bây gi`o ta x´et un+1 ¯diêm bâ´t k`y, m`a , , , , , ¯ du`ong nô´i gi˜ ua ch´ ung ¯
du .oc bôi b`˘ang n + 1 mâ`u: c1, c2, . . . , cn+1. Lâ´y , , , , , A l`
a m .ôt trong c´ac ¯diêm trên. Ðiêm n`ay c´o thê nô´i v´oi c´ac ¯diêm c`on , , , ,
l .ai ¯du .oc un+1 − 1 ¯do.an th˘ang bôi mâ`u. M.˘at kh´ac do công th´uc hô`i ,
qui un+1 − 1 = (n + 1)(un − 1) + 1, nhu v .ây theo nguyên l´y Ðirichlê ,, , , , ,
mo r .ông ´ıt nhâ´t un ¯do.an th˘ang c´o chung ¯dınh A ¯du .oc bôi c`ung mâ`u. 5.2. V´ı d .u 47 , ,, , , ,
Gia su AB1, AB2, . . . , ABu ¯ du c bôi c` ung mâ`u, ch˘ ang h n .o .an mâ`u c1. , , , , , Nh˜ ung kha n˘ ang c´ o thê xây ra nhu sau: , , ,
a) Nê´u m .ôt trong c´ac ¯do.an th˘ang nô´i gi˜ua c´ac ¯diêm B1, B2, . . . , , , , Bu theo t`ung c c bôi b` ˘ ang mâ`u c n .˘ ap ¯ du .o 1 th`
ı tô`n t .ai tam gi´ac ¯dô`ng , , , mâ`u c´ o ¯
dınh A. C´ac c .anh cua tam gi´ac n`ay son mâ`u c1. , , b) Không c´
o m .ôt ¯do.an n`ao trong c´ac ¯do.an th˘ang nô´i gi˜ua c´ac , , , , ¯ diêm B1, B2, . . . , Bu ¯ du c son mâ`u c n .o 1. Khi ¯ d´ o ´ ap d .ung qui n.ap to´an , , , , , ,
h .oc cho nh˜ung ¯diêm B1, B2, . . . , Bu . Ðiê`u n`ay c´o thê ¯du c v`ı tâ´t ca n .o , , , , c´ ac ¯
do .an th˘ang ¯d˜a nô´i ¯du .oc bôi son n mâ`u c2, c3, . . . cn+1. Trong , , , tru`
ong h .op n`ay ta c˜ung d˜ân ¯dê´n kê´t lu.ân tô`n t.ai m .ôt tam gi´ac ¯dô`ng mâ`u. J , , , , , ,
. 5.6. Cho sô´ h .ang cua d˜ay un ¯du.oc ¯d.inh ngh˜ıa nhu b`ai tru´oc. T .âp , , , , , , , ,
h .op nh˜ung sô´ t .u nhiên t`u 1 ¯dê´n un − 1 ¯du.oc phân chia b`˘ang phuong , , ,, ph´ ap bâ´t k` y v`
ao n t .âp h.op con, m`a t`ung ¯dôi m.ôt không c´o phâ`n tu , , , chung. Ch´ ung minh r` ˘
ang tô`n t .ai hai sô´cua c`ung m.ôt t .âp h.op con, m`a , , , tông cua ch´ ung c˜ ung n` ˘
am trong t .âp h.op con n`ay ; ho .˘ac l`a tô`n t .ai m.ôt ,
sô´ trong m .ôt t .âp h.op con n`ao ¯d´o, m`a sau khi nhân ¯dôi v˜ân thu.ôc t .âp , h .op con n`ay. , , , , L` oi giai. K´
y hi .êu nh˜ung t.âp h .op con ¯d˜a cho l`a l`a A1, A2, . . . , An. , , , , Ch´ ung ta x´
et t .âp h .op bâ´t k`y M gô`m un ¯diêm, m`a ch´ung ¯du .oc ¯d´anh , , sô´ b` ˘ ang phuong ph´ ap n` ao ¯ d´ o trong c´
ac sô´ 0, 1, 2, . . . , un − 1. Ch´ung , , , ta bôi mâ`u nh˜ ung ¯
do .an th˘ang nô´i c´ac ¯diêm trong M b`˘ang n mâ`u , , , ,
c1, c2, . . . , cn theo c´ach sau: Ðo .an th˘ang nô´i c´ac ¯diêm th´u i v`a j, v´oi , , , , , i > j ¯
du .oc son b`˘ang mâ`u ck khi v`a chı khi hi.êu i − j thu .ôc t.âp h .op , , , , , ,
Ak. Theo b`ai to´an tru´oc 5.5 ba ¯ diêm n` ao ¯ d´ o cua M l`a ¯ dınh cua m .ôt , ,, , tam gi´ ac c` ung mâ`u. Gia su c´ ac ¯ diêm n` ay l`
a i, j, k v`a i > j > k. Khi ¯ d´ o c´
ac sô´i − j, j − k v`a i − k = (i − j) + (j − k) n`˘am trong c` ung m .ôt , , ,, 48
Chuong 5. Mo r .ông nguyên l´y Ðirichlê ,
t .âp h .op As v`a ch´ung c´o c´ac t´ınh châ´t ta câ`n t`ım. J , ,
. 5.7. Trong m .˘at ph˘ang cô´¯d.inh h.ê t.oa ¯d.ô Oxy. Ch´ung ta x´et t .âp h.op , , , ,, , R gô`m nh˜ ung ¯ diêm v´
oi t .oa ¯d.ô (x, y), o ¯dây x, y l`a nh˜ung sô´ nguyên , , , , v`
a 1 ≤ x ≤ 12, 1 ≤ y ≤ 10. M˜ ôi ¯ diêm n` ay ¯
du .oc son b`˘ang m.ôt mâ`u , , , tr´ ˘
ang, xanh ho .˘ac ¯do. Ch´ung minh r`˘ang tô`n t .ai h`ınh ch˜u nh .ât c´o c´ac , , , , , ,
c .anh song song v´oi c´ac tr .uc t.oa ¯d.ô, m`a ¯dınh cua n´o l`a nh˜ung ¯diêm cua , , , R ¯
du .oc son c`ung m.ôt mâ`u. , , , , L`
oi giai. Trong ch´ ung minh ta d` ung hai kh˘ ang ¯ d.inh sau: , , ,, , , ,
a) Nê´u X l`a t .âp h˜uu h.an v´oi n phâ`n tu, th`ı sô´lu .ong t.âp h .op con , ,, , n(n − 1)
cua X gô`m c´ac c .˘ap phâ`n tu {x, y}, v´oi x ∈ X, y ∈ X l`a . 2 , , , ,
b) M .oi sô´ duong bâ´t k`y x1, x2, . . . , xn ¯dê`u thoa m˜an bâ´t ¯d˘ang , th´ uc x2 + x2 + · · · + x2 1 2 n x
≥ ( 1 + x2 + · · · + xn )2 2 2 , , Dâ´u b` ˘
ang chı xây ra khi x1 = x2 = . . . = xn. ,, , ,
Tro l .ai b`ai to´an ¯dang x´et, v`ı tông sô´c´ac ¯diêm ta x´et l`a 120, nên , , , , ,, , , ´ıt nhâ´t c´ o 40 ¯ diêm ¯
du .oc bôi c`ung mâ`u, gia su l`a mâ`u ¯do. V´oi m˜ôi , , , , i = 1, 2, . . . , 12 ch´ ung ta k´
y hi .êu li l`a ¯du`ong th˘ang ¯di qua ¯diêm (i, 0) , , , v` a song song v´
oi tr .uc Oy. Nê´u trên li c´o ni ¯diêm ¯do, i = 1, 2, . . . , 12, , , ,
n1 + n2 + · · · + n12 ≥ 40. Ngo`ai ra t`u ni ¯ diêm c´ o thê t .ao ra c´ac c.˘ap , , , , n , ¯ dôi ¯ du i (ni − 1) .oc s´ ˘ ap c´ o sô´lu .ong . Ngh˜ıa l` a v´ oi m˜ ôi i = 1, 2, . . . , 12 2 n , tô`n t i (ni − 1) .ai ¯ d´ ung c .˘ap sô´ nguyên {j oa m˜ an 1 ≤ j 2 1, j2} th 1 ≤ , , , ,
10, 1 ≤ j2 ≤ 10 v`a c´ac ¯
diêm {i, j1} v`a {i, j2} l`a ¯
do. M .˘at kh´ac sô´lu .ong , , , ,
cua tâ´t ca c .˘ap nh˜ung sô´nguyên {j1, j2} v´oi 1 ≤ j1 ≤ 10, 1 ≤ j2 ≤ 10 5.2. V´ı d .u 49 10(10 − 1) , , , b` ˘ ang = 45. Ch´ ung ta phai ch´ ung minh r` ˘ ang tông c´ ac sô´ 2 n1(n1 − 1) n n
, 2(n2 − 1) , . . . , 12(n12 − 1) 2 2 2 , , , , , , l´ on hon 45. T` u ¯ d´
o suy ra tô`n t .ai nh˜ung chı sô´kh´ac nhau i1 v`a i2 v´oi ,
1 ≤ i1 < i2 ≤ 12 v`a c .˘ap sô´nguyên {j1, j2} v´oi 1 ≤ j1 ≤ 10, 1 ≤ j2 ≤ , , ,, , 10 sao cho 4 ¯
diêm {i1, j1}, {i1, j2}, {i2, j1}, {i2, j2} l`a ¯ do. Boi nh˜ ung , , , , , , ¯ diêm n` ay l` a ¯ dınh cua h`ınh ch˜
u nh .ât v´oi c´ac c.anh song song v´oi tr .uc , , , ,
t .oa ¯d .ô, nhu v.ây b`ai to´an ¯du .oc ch´ung minh. , , , ,
Nhu v .ây, ta chı c`on phai ch´ung minh n n n
S = 1(n1 − 1) + 2(n2 − 1) + · · · + 12(n12 − 1) > 45 2 2 2 ,, , ,
Su d .ung bâ´t ¯d˘ang th´uc b) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S = ((n )2 − ) + ((n )2 − ) + · · · + ((n )2 − ) 2 1 − 2 4 2 2 − 2 4 2 12 − 2 4 1 1 1 1 1 = ((n )2 + (n )2 + · · · + (n )2) − 12 2 1 − 2 2 − 2 12 − 2 8 1 1 1 1
(n1 − ) + (n2 − ) + · · · + (n12 − ) 3 ≥ .12( 2 2 2 )2 − 2 12 2 1 1 3 = ((n )2 − 24
1 + n2 + · · · + n12) − 12 2 2 1 3 342 3 ≥ (40 − 6)2 − = − > 45 24 2 24 2
v`ı n1 + n2 + · · · + n12 ≥ 40. J , . 5.8. (B` ai thi Olympic to´
an quô´c tê´ lâ`n th´
u 20, 1978) M .ôt h.ôi to´an ,, , ,
h .oc bao gô`m c´ac th`anh viên o 6 nu´oc. Danh s´ach c´ac h.ôi viên gô`m , , , , , , 1978 ngu` oi ¯
du .oc ¯d´anh sô´b´ao danh t`u 1 ¯dê´n 1978. Ch´ung minh r`˘ang ,
tô`n t .ai ´ıt nhâ´t m.ôt h.ôi viên c´o sô´ b´ao danh gâ´p ¯dôi sô´ b´ao danh cua , , ,, 50
Chuong 5. Mo r .ông nguyên l´y Ðirichlê , , , ,
m .ôt h.ôi viên kh´ac c`ung nu´oc, ho .˘ac b`˘ang tông hai sô´b´ao danh cua hai , , ,
h .ôi viên c`ung m.ôt nu´oc v´oi m`ınh. , , , , , L` oi giai. T`
u 329.6 < 1978 suy ra m .ôt trong c´ac nu´oc (k´y hi.êu l`a , , , A) c´ o không ´ıt hon 330 ¯
d .ai biêu trong h .ôi v`a ch´ung ta c´o thê viê´t , sô´ b´
ao danh a1 < a2 < . . . < a330 < . . . Ch´ung ta x´et nh˜ung hi.êu ,
xi = a330 − ai, i = 1, 2, . . . 329. Nê´u c´o m .ôt sô´ xi n`ao ¯d´o tr`ung v´oi aj , , , (sô´b´
ao danh cua m .ôt ¯daj i biêu cua A) th`ı ch´ung ta c´o a330 = ai + aj, , , b` ai to´ an ¯ d˜ a ch´
ung minh xong. Nê´u xi 6= aj v´oi m .oi i, j, th`ı sô´ xi l`a , , , , , sô´ b´
ao danh cua m .ôt sô´ ¯d.a i biêu thu .ôc 5 nu´oc c`on l.ai. Bây gi`o, , ,
v`ı 65.5 < 329 , th`ı ´ıt nhâ´t c´
o m .ôt trong n˘am nu´oc n`ay (k´y hi.êu l`a , , B) s˜ e c´ o không ´ıt hon 66 th` anh viên, m` a sô´ b´ ao danh cua h .o l`a
m .ôt trong c´ac sô´ x1, x2, . . . , x329. Cho c´ac sô´ ¯d´o l`a b1 < b2 < b3 < ,
. . . < b66 < . . . v´oi bi = xn , i = 1, 2, . . . , 66. Ch´ung ta l i .ai x´ et hi .êu ,
yi = b66 − bi, i = 1, 2, . . . , 65 Nê´u m .ôt hi.êu n`ao ¯d´o tr`ung v´oi sô´b´ao , , , ,
danh bj cua m .ôt ¯d.ai biêu cua B th`ı b66 = bi + bj. Nê´u v´oi hai sô´ i v` a k n`ao ¯ d´ o ch´ ung ta c´
o yi = ak, th`ı ak = b66 − bi = xn − x = 66 ni a330 − an − (a ) = a − a ho = a + a 66 330 − ani ni n66 .˘ ac l` a ani n66 k. Nê´u hai , , , , , tru`
ong h .op trên không xây ra, th`ı nh˜ung sô´ n`ay s˜e l`a sô´ b´ao danh , , , , , , cua ¯
d .ai biêu 4 nu´oc c`on l.ai v`a suy ra ´ıt nhâ´t m .ôt trong c´ac nu´oc n`ay , c´
o sô´ h .ôi viên ´ıt nhâ´t l`a 17 v´oi sô´ b´ao danh yi. Tiê´p t .uc qu´a tr`ınh , ,
nhu v .ây v`a l.˘ap l.ai l´y lu.ân trên ch´ung ta c´o kê´t lu.ân cua b`ai to´an. J , , , ,
. 5.9. (Ðê` thi To´ an vô ¯
d.ich nu´oc Anh, 1978) M.ôt h`ınh l .âp phuong c´o , , ,
c .anh b`˘ang 15 ch´ua 11.000 ¯diêm. Ch´ung minh r`˘ang c´o m.ôt h`ınh câ`u , , , , b´ an k´ınh b` ˘ ang ¯
don v.i ch´ua ´ıt nhâ´t 6 ¯diêm trong sô´ 11.000 ¯diêm ¯d˜a cho. , , , , , L`
oi giai. Chia m˜
ôi c .anh cua h`ınh l.âp phuong th`anh 13 phâ`n b`˘ang , , , ,
nhau, thê´ th`ı h`ınh l .âp phuong ban ¯dâ`u ¯du .oc chia th`anh 133 = 2187 5.2. V´ı d .u 51 , , , , , ,
h`ınh l .âp phuong nho. V`ı h`ınh l.âp phuong ban ¯dâ`u ch´ua 11.000 , , , , , , ¯
diêm, nên tô`n t .ai m .ôt h`ınh l.âp phuong nho ch´ua ´ıt nhâ´t 6 ¯diêm. , , , , 15 D˜
ê thâ´y c .anh cua h`ınh l.âp phuong nho l`a , do ¯ d´ o b´ an k´ınh h`ınh 13r r , , , 1 15 1 675
câ`u ngo .ai tiê´p h`ınh l.âp phuong nho l`a r = 3( )2 = < 2 13 2 169 1 r 676 1 √ , =
4 = 1. V .ây: Tô`n t.ai m .ôt h`ınh câ`u b´an k´ınh 1 ch´ua ´ıt 2 169 2 , , nhâ´t 6 ¯ diêm trong 11.000 ¯ diêm ¯ d˜ a cho. J , , ,
. 5.10. Trong m .˘at ph˘ang cho m .ôt sô´ h˜uu h.an ¯diêm, m .ôt sô´ trong , , , ch´ ung ¯
du .oc nô´i l.ai b`˘ang ¯do.an th˘ang. Ch´ung ta n´oi r`˘ang m .ôt d˜ay , , , ,
e1, e2, . . . , em t`u c´ac ¯
d .oan th˘ang ¯du .oc nô´i l`a m .ôt dây chuyê`n, nê´u ,
m .oi c.˘ap ¯do.an th˘ang liê`n nhau ei v`a ei+1 c´o chung m .ôt ¯dâ`u m´ut, , , , ,
i = 1, 2, . . . , m − 1. Sô´lu .ong m nh˜ung ¯do.an th˘ang trong dây chuyê`n ,
g .oi l`a ¯d .ô d`ai cua n´o. Ch´ung ta x´et b`ai to´an: , , , , , , , , Cho n ¯ diêm, t` u c´ ac ¯ diêm n`
ay d .ung nh˜ung ¯do .an th˘ang, sô´ lu.ong ¯do .an , , , ,, , , , , th˘ ang ¯ d˜
a d .ung l`a q. Gia su nh˜ung ¯do .an th˘ang ¯du.oc ¯d´anh sô´m.ôt c´ach , bâ´t k` y b` ˘ ang c´
ac sô´ 1, 2, . . . , q. Khi ¯ d´ o trong c´
ach t .ao h`ınh nhu v .ây tô`n , , 2q
t .ai m.ôt dây chuyê`n v´oi ¯d.ô d`ai nho nhâ´t l`a
, trên dây chuyê`n n` ay n , , , , , c´ ac sô´ ´ ung v´ oi nh˜ ung ¯
do .an th˘ang th`anh phâ`n l .âp nên m.ôt d˜ay sô´giam ng .˘at. , , , , , , L`
oi giai. G .oi G l`a câ´u h`ınh bâ´t k`y cua nh˜ung ¯diêm v`a ¯do.an th˘ang, , , , , , m` a ch´ ung ¯
du .oc ¯d´anh sô´b`˘ang sô´t .u nhiên nhu ¯dê` b`ai ¯d˜a ra. V´oi m .oi ,
v thu .ôc G ch´ung ta k´y hi.êu LG(v) l`a ¯d .ô d`ai cua dây chuyê`n d`ai nhâ´t , , , , trong G, m`a n´ o b´ ˘ at ¯ dâ`u t`
u v v`a giam dâ`n. B`˘ang phuong ph´ap qui , , , , , ,
n .ap ch´ung ta s˜e ch´ung minh bâ´t ¯d˘ang th´uc sau ¯du .oc thoa m˜an
LG(v1) + LG(v2) + · · · + LG(vn) ≥ 2q (5.1) , , ,, 52
Chuong 5. Mo r .ông nguyên l´y Ðirichlê ,, , , , , o ¯
dây v1, v2, . . . , vn l`a tâ´t ca c´ac ¯
diêm thu .ôc G. Kê´t lu.ân phai ch´ung , ,, minh suy ra t` u (5.1) theo nguyên l´
y Ðirichlê mo r .ông: M .ôt trong , , 2q , c´
ac sô´ LG(v1), LG(v2), . . . , LG(vn) l´on hon ho .˘ac b`˘ang , nhu v .ây n , , , , ,
tô`n t .ai dây chuyê`n v´oi t´ınh châ´t ¯d˜a chı ra. Do ¯d´o chı c`on phai ch´ung , , , , , , , , , minh (5.1) ¯
du .oc thoa m˜an v´oi n ¯diêm cua G v`a q ¯do.an th˘ang ¯du .oc , , ,, , , ¯ d´ anh sô´ nhu mô ta o ¯ dâ`u b` ai. B` ˘
ang qui n .ap v´oi q = 1 bâ´t ¯dang , , , ,, , th´ uc (5.1) l`
a hiên nhiên. Gia su (5.1) thoa m˜ an cho m .oi câ´u h`ınh , , , , v´ oi q − 1 ¯
do .an th˘ang v`a ch´ung ta xem x´et câ´u h`ınh v´oi n ¯diêm v`a , , , , q ¯
do .an th˘ang. Nê´u ¯do.an th˘ang k´y hi.êu l`a q nô´i v´oi hai ¯diêm vi v`a , , , , , vj th`ı ch´ung ta bo ¯
do .an th˘ang n`ay v`a nh.ân ¯du .oc câ´u h`ınh G0 cua n , , , ¯ diêm v` a q − 1 ¯
do .an th˘ang. V´oi câ´u h`ınh n`ay theo qui n.ap ch´ung ta , c´
o LG0(v1) + LG0(v2) + · · · + LG0(vn) ≥ 2(q − 1). Bây gi`o ch´ung ta , , , x´ et ¯
diêm vj. Dây chuyê`n giam dâ`n xuâ´t ph´at t`u xj c´o ¯ d .ô d`ai LG0(vj), , , , , ,, , v` a nh˜ ung ¯
do .an th˘ang trong dây chuyê`n n`ay ¯du .oc k´y hi.êu boi nh˜ung sô´ n` ao ¯ d´ o trong d˜
ây 1, 2, . . . , q − 1. Nê´u nô´i thêm v`ao dây chuyê`n , , ,
m .ôt ¯do.an th˘ang c´o k´y hi.êu q ch´ung ta s˜e nh.ân ¯du .oc dây chuyê`n , , , , giam v´ oi ¯ diêm ¯ dâ`u vi v`a v´oi ¯
d .ô d`ai LG0(vj) + 1. Theo ¯d.inh ngh˜ıa , ,
cua LG(vi) ch´ung ta c´o LG(vi) ≥ LG0(vj) + 1. B`˘ang m .ôt c´ach ch´ung , , , , , , minh ho` an to`
an tuong t .u ch´ung ta c˜ung ch´ung minh ¯du .oc LG(vj) ≥ , , L0 (v i m m v G i ) + 1. M .˘ at kh´ ac, LG(vk) = LG0(vk) v´o .oi ¯ diê k thu . ôc G m` a n´ o kh´
ac vi v`a vj. Suy ra, LG(v1) + LG(v2) + · · · + LG(vn) ≥
LG0 (v1) + LG0 (v2) + · · · + LG0 (vn) + 2 ≥ 2(q − 1) + 2 = 2q. J 5.3. B ` ai t .âp ,
. 5.11. (Ðê` thi vô ¯
d.ich Áo - Balan, 1978) Cho 1978 t.âp h .op, m˜ôi , ,, ,
t .âp h .op c´o 40 phâ`n tu. Biê´t r`˘ang hai t.âp h .op bâ´t k`y c´o ¯d´ung m .ôt ,, , ,, , phâ`n tu chung. Ch´ ung minh r` ˘
ang, tô`n t .ai m .ôt phâ`n tu thu .ôc tâ´t ca , 1978 t .âp h .op trên. 5.3. B` ai t .âp 53 , , , , , , . 5.12. Ch´ ung minh r` ˘
ang m .oi t.âp h .op ch´ua 55 sô´ch .on ¯du .oc t`u t.âp , , ,
h .op sô´{1, 2, 3, . . . , 100} ch´ua hai sô´m`a hi.êu cua ch´ung b`˘ang 9. , , , . 5.13. Cho n l`
a sô´t .u nhiên. Cho n t.âp h .op con A1, A2, . . . , An cua , , ,
m .˘at ph˘ang v´oi t´ınh châ´t: v´oi m .oi i = 1, 2, . . . , n tô`n t.ai n + 1 ph´ep , , ,
t.inh tiê´n sao cho c´ac anh cua Ai qua c´ac ph´ep t.inh tiê´n t`ung ¯dôi m .ôt , , , không c´ o ¯ diêm chung. Ch´ ung minh r` ˘
ang tô`n t .ai m .ôt ¯diêm trên m.˘at , , , ph˘ ang, không n` ˘ am trong bâ´t c´
u t .âp h .op Ai n`ao, i = 1, 2, . . . , n. , , ,
. 5.14. Trong phâ`n trong cua m .ôt tam gi´ac ¯dê`u v´oi c.anh d`ai 15 ¯don , , , ,
v.i, ch´ung ta ch .on b`˘ang phuong ph´ap bâ´t k`y 111 ¯diêm. Ch´ung minh , , , √ , , r` ˘
ang tô`n t .ai h`ınh tr`on v´oi ¯du`ong k´ınh 3, m`a n´o phu ´ıt nhâ´t 3 ¯diêm , , ,, trong sô´nh˜ ung ¯ diêm ¯ d˜ a ch .on o trên.
. 5.15. (Ðê` thi vô ¯
d.ich Quô´c gia Bungari, 1977) Trong m .ôt nh´om , , , , , ngu` oi, hai ngu`
oi X v`a Y g .oi l`a quen nhau gi´an tiê´p, nê´u h .o tr .uc , , ,
tiê´p quen nhau, ho .˘ac l`a nê´u tô`n t.ai m .ôt dây truyê`n nh˜ung ngu`oi
Z1, Z2, . . . , Zp sao cho X v`a Z1 quen nhau, Z1 v`a Z2 quen nhau,... , , ,
, Zp v`a Y quen nhau. Cho biê´t nh´om ¯ d´ o gô`m 134 ngu`oi, c` on gi˜ ua , , , , , , m˜ ôi nh´ om nho 8 ngu`oi t`u nh´ om ¯ d˜ a biê´t ´ıt nhâ´t c´ o hai ngu` oi quen , , , , gi´ an tiê´p. Ch´ ung minh r` ˘ ang c´
o m .ôt nh´om nho 12 ngu`oi trong nh´om , , , , , ngu` oi ¯ d˜ a biê´t, m`
a m .oi c.˘ap hai ngu`oi trong nh´om nho n`ay ¯dê`u quen nhau gi´ an tiê´p. , , ,, 54
Chuong 5. Mo r .ông nguyên l´y Ðirichlê , , CHUONG 6 B ` AI T .ÂP S ´ Ô H .OC NÂNG CAO , , ,
6.1. Ð.inh l´y co ban cua sô´ h .oc , ,, , , Trong l´
y thuyê´t sô´h .oc co so c´o m .ôt ¯d.inh l´y co ban: , , , , ,
M .oi sô´t .u nhiên l´on hon m.ôt ¯dê`u c´o thê phân t´ıch ra t´ıch c´ac th`ua , , sô´ nguyên tô´ v` a phân t´ıch ¯ d´ o l`
a duy nhâ´t nê´u ta không ¯ dê ´ y ¯ dê´n th´ u , , ,
t .u cua c´ac th`ua sô´. ,
Cho p1, p2, . . . , pn l`a nh˜ung sô´ nguyên tô´ kh´ac nhau. Trong , , , , chuong n` ay ch´ ung ta x´
et m .ôt sô´ kê´t lu.ân vê` vê` t.âp h .op M cua , , , c´
ac sô´ t .u nhiên m`a n´o c´o thê phân t´ıch ra c´ac th`ua sô´ n`˘am trong , , , , ,
{p1, p2, . . . , pn}. M .oi sô´ x cua M c´o thê biêu di˜ên du´oi d.ang
x = pα1 pα2 . . . pαn 1 2 n
,,o ¯dây α1,α2,. . .,αn l`a c´ac sô´nguyên không âm. 6.2. V´ı d .u , , , . 6.1. T`
u t .âp h.op M ch.on m.ôt c´ach bâ´t k`y 2n + 1 sô´. Ch´ung minh , , r` ˘
ang tô`n t .ai hai sô´ trong t .âp v`ua ch.on m`a t´ıch cua ch´ung l`a m.ôt sô´ , , ch´ınh phuong. , , , L`
oi giai. Nh .ân x´et r`˘ang m .ôt sô´ t .u nhiên x = pα1 pα2 . . . pαn 1 2 n l` a sô´ , , , , ch´ınh phuong khi v` a chı khi tâ´t ca c´ ac sô´ m˜ u ¯ dê`u ch˜ ˘ an. Ch´ ung ta , , 56 Chuong 6. B` ai t .âp sô´h .oc nâng cao , , ,, , , , , biêu di˜
ên m .oi sô´ ¯d˜a ch .on v´oi d.ang o trên v`a cho tuong ´ung v´oi b .ô ,, , ,
n-sô´ (α1, α2, . . . , αn), o ¯
dây α1, α2, . . . , αn l`a c´ac sô´ du cua c´ac sô´ m˜u , , , tuong ´
ung α1, α2, . . . , αn khi chia cho 2. R˜o r`ang αi = 0 ho .˘ac αi = 1 , , , v´
oi m .oi i = 1, 2, . . . , n. V.ây (α1, α2, . . . , αn) l`a b .ô xê´p th´u t .u n sô´gô`m , , , , , , sô´ 0 v` a 1. Theo l´
y thuyê´t tô h .op, tâ´t ca n-b .ô nhu v.ây c´o sô´ lu .ong , , , l` a 2n, c` on c´ ac sô´ ta ¯ dang x´ et c´
o sô´ lu .ong l`a 2n + 1. Nhu v.ây ´ıt nhâ´t c´ o 2 sô´ trong ch´ ung c´ o c`
ung b .ô s´˘ap xê´p gô`m sô´ 0 v`a sô´ 1 giô´ng , ,, , nhau. Gia su c´ ac sô´ ¯ d´ o l`
a x = pα1 pα2 . . . pαn pβ2 . . . pβn i 1 2 n v` a y = pβ1 1 2 n v´ o , , ch´ ung c´
o (α1, α2, . . . , αn) = (β , , . . . , ). Ð˘ ang th´ uc sau c` ung c´ o 1 β2 βn ngh˜ıa l`
a αi = β , i = 1, 2, . . . , n . Do c´ o c` ung i ¯ d´ o c´ ac sô´ m˜ u αi v`a βi , , , t´ınh ch˜ ˘ an le nhu nhau v´ oi bâ´t k` y i = 1, 2, . . . , n. Khi ¯ d´ o α1 + β1,
α2 + β2, . . . , αn + βn, l` a c´ ac sô´ ch˜ ˘ an v`
a theo nh .ân x´et ban ¯dâ`u t´ıch
xy = (pα1 pα2 . . . pαn pβ2 . . . pβn
pα2+β2 . . . pαn+βn 1 2 n )( pβ1 1 2 n ) = pα1+β1 1 2 n ¯ d´ ung , , l` a sô´ch´ınh phuong. J , , , , . 6.2. Ch´ ung minh r` ˘ ang gi˜
ua n + 1 sô´ trong t .âp hop M c´o thê ch.on , , , , , ¯
du .oc m.ôt v`ai sô´m`a t´ıch cua ch´ung l`a m.ôt sô´ch´ınh phuong. , , , , , L`
oi giai. Cho x1, x2, . . . , xn l`a nh˜ung sô´ bâ´t k`y cua M. V´oi m˜ôi t .âp , , con kh´
ac trô´ng {i1, i2, . . . , ik} cua t .âp h .op {1, 2, . . . n + 1}, ch´ung ta , x´ et c´
ac xi , x , . . . , x (tâ´t nhiên sô´n`ay c˜ung thu u di˜ ên c´ ac 1 i2 ik .ôc M). Biê , , , , sô´n`
ay theo d .ang chuân v`a m˜ôi t.âp h .op con {i1, i2, . . . , ik} cho tuong , , ´, , , , ung v´
oi n-b .ô (α1, α2, . . . , αn) , o ¯dây α1, α2, . . . , αn l`a c´ac sô´ du cua , , , , , , c´ ac sô´ m˜ u tuong ´
ung α1, α2, . . . , αn khi chia cho 2. Nhung sô´ lu .ong , , nh˜
ung t .âp con kh´ac r˜ông cua {1, 2, . . . , n + 1} l`a 2n+1 − 1, c`on sô´ , , , ,
lu .ong c´ac n-b .ô s´˘ap gô`m nh˜ung sô´0 v`a 1 l`a 2n. Suy ra tô`n t.ai nh˜ung ,
t .âp h .op con kh´ac trô´ng kh´ac nhau {i1, i2, . . . , ik} v`a {j1, j2, . . . , jl} , , , , , ,
cua {1, 2, . . . , n + 1}, m`a ch´ ung tuong ´ ung v´ oi c` ung m .ôt n-b .ô s´˘ap cua , , nh˜ ung sô´ du. Ðiê`u n` ay c´ o ngh˜ıa l`
a nê´u xi x . . . x = pα1 pα2 . . . pαn 1 i2 ik 1 2 n v`
a xj x . . . x = pβ1 pβ2 . . . pβn 1 j2 jk 1 2 n th`ı c´ ac sô´ m˜
u αi v`a βi c´o c`ung t´ınh 6.2. V´ı d .u 57 , , , , ch˜ ˘ an le v´
oi i = 1, 2, . . . , k. Ðiê`u n`ay c´ o ngh˜ıa l` a t´ıch cua nh˜ ung , ,
sô´ xi , x , . . . , x , x , x , . . . , x l`a ch´ınh phuong. Nê´u {i 1 i2 ik j1 j2 jk 1, i2, . . . , ik} ,, , , , v`
a {j1, j2, . . . , jl} không c´o phâ`n tu chung, th`ı b`ai to´an ¯ d˜ a ¯ du .oc giai. , , , , , Tru`
ong h .op ngu .oc l.ai, trong P = xi x . . . x x x . . . x l 1 i2 ik j1 j2 jk .˘ ap l .ai ¯d´ung , nh˜
ung sô´ xs, m`a s thu .ôc {i1, i2, . . . , ik} v`a {j1, j2, . . . , jl}. Ch´ung ta , , , , , , ,
lo .ai tr`u trong P tâ´t ca c´ac nh˜ung xs nhu v.ây v`a nh.ân ¯du .oc t´ıch cua , , v`
ai sô´trong sô´ x1, x2, . . . , xn+1 m`a n´o ¯ d´ ung l` a ch´ınh phuong. J , , , , , . 6.3. Ch´ ung minh r` ˘ ang gi˜
ua m .oi 3.2n + 1 sô´ t`u t .âp h.op M c´o thê , , , , ,
ch .on ¯du.oc 4 sô´m`a t´ıch cua ch´ung l`a l˜uy th`ua b .âc bô´n cua m.ôt sô´. , , , , L`
oi giai. V`ı 3.2n + 1 > 2n + 1 gi˜ua nh˜ung sô´ ¯ d˜ a ch .on theo b`ai 6.1 , , , c´ o hai sô´ m` a t´ıch cua ch´ ung l`
a m .ôt sô´ ch´ınh phuong. T´ach hai sô´ , trên ra th`ı c`
on l .ai 3.2n − 1 sô´v`a ´ap d .ung tiê´p 6.1 cho hai sô´n˜ua m`a , , , , t´ıch cua ch´ ung l` a sô´ch´ınh phuong. Ch´ ung ta c´
o thê l .˘ap l.ai qu´a tr`ınh (3.2n − 1) − (2n + 1) , ,, n` ay ´ıt nhâ´t = 2n + 1 lâ`n. Gia su ch´ ung ta nh .ân 2 , , , , , ¯
du .oc 2n + 1 c.˘ap (x1, y1), (x2, y2), . . . , v´oi xiyi l`a c´ac sô´ch´ınh phuong, i = 1, 2, . . . , 2n + 1. Ch´ u ´ y r` ˘ ang theo c´
ach ch .on trên th`ı c´ac c.˘ap sô´ ,
(x1, y1), (x2, y2), . . . , (x2n+1, y2n+1) t`ung ¯
dôi m .ôt kh´ac nhau. Ðê´n ¯dây √ √ √ , suy ra c´ ac sô´
x1y1, x2y2, . . . , x2n+1y2n+1 l`a nh˜ung sô´nguyên v`a , , ,
thu .ôc M. Khi ¯d´o ´ap d .ung m .ôt lâ`n n˜ua 6.1 chı ra r`˘ang t´ıch cua hai sô´ , , , n` ao ¯ d´ o trong ch´ ung l`
a ch´ınh phuong. Nhu v .ây xiyixjyj = t4 ngh˜ıa l`a , , , t´ıch cua 4 sô´t` ung ¯
dôi m .ôt kh´ac nhau xi, yi, xj, yj l`a l˜uy th`ua b.âc bô´n , cua m .ôt sô´. J , , , . 6.4. Cho p l`
a m .ôt sô´nguyên tô´le v`a a1, a2, . . . , a p+1 l`a nh˜ung sô´t .u 2 , , , , , nhiên kh´ ac nhau nho hon p. Ch´ ung minh r` ˘ ang v´
oi m .oi sô´ t .u nhiên , , , ,
r nho hon p, tô`n t .ai hai sô´ (c´o thê b`˘ang nhau) ai v`a aj, m`a t´ıch cua , ch´ ung khi chia cho p c´ o sô´du ¯ d´ ung l` a r. , , 58 Chuong 6. B` ai t .âp sô´h .oc nâng cao , , , ,, L`
oi giai. Áp d .ung m .ôt ¯d.inh l´y trong l´y thuyê´t sô´ co so: Nê´u a v`a b l` a hai sô´ nguyên tô´ c`
ung nhau, th`ı tô`n t .ai m .ôt sô´nguyên x sao cho ax ≡ 1 (mod b). , p + 1 V´ oi m˜ ôi i = 1, 2, . . . , , c´ ac sô´ a 2 i v` a p l`a nguyên tô´ c` ung ,
nhau, v`ı 1 ≤ ai ≤ p − 1 v`a p l`a sô´ nguyên tô´. Áp d .ung ¯d.inh l´y v`ua , , ph´
at biêu trên, tô`n t .ai c´ac sô´nguyên b1, b2, . . . , b p+1 sao cho v´oi m .oi 2 , , , i = 1, 2, . . . , p+1 c´ ac ¯ d˘ ang th´ uc sau ¯ dê`u thoa m˜ an 2 aibi ≡ 1 (mod p) (6.1) Ch´ ung ta x´ et d˜
ay sô´ a1, a2, . . . , a p+1 , rb1, rb2, . . . , rb p+1 . Ch´ung ta c´o 2 2 ,
tâ´t ca p + 1 sô´ sao cho ´ıt nhâ´t hai sô´ trong ch´ ung khi chia cho p , , c´ o c`
ung m .ôt sô´ du. Theo gia thiê´t c´ac sô´ a1, a2, . . . , a p+1 kh´ac nhau 2 , , , , ho` an to` an v`
a nho hon p. Suy ra sô´ du cua ch´ ung theo môdd un p , l` a kh´
ac nhau. V`ı r l`a sô´ nguyên tô´ c` ung nhau v´ oi p, nên d˜ê d`ang , , , , ch´ ung minh ¯
du .oc r`˘ang c´ac sô´rb1, rb2, . . . , rb p+1 cho sô´du ho`an to`an 2 , , kh´
ac nhau khi chia cho p. Ngh˜ıa l`a chı tô`n t .ai hai chı sô´ i v`a j sao , , ,
cho ai ≡ rbj (mod p). T`u (6.1) ch´ung ta nh .ân ¯du .oc aiaj ≡ rbjaj ≡ r.1 ≡ r (mod p). J , , , , . 6.5. Bô ¯
dê` Tue: Cho n l`
a sô´ t .u nhiên l´on hon 1 v`a a l`a sô´ nguyên , tô´ c` ung nhau v´ oi n. Khi ¯ d´
o tô`n t .ai c´ac sô´ nguyên x v`a y, m`a ch´ung , , , , , thoa m˜
an phuong tr`ınh ax ≡ y (mod n) v` a c´
ac bâ´t phuong tr`ınh √ √
1 ≤ x ≤ [ n], 1 ≤ |y| ≤ [ n]. , , , ,, L` oi giai. Ch´ ung ta x´ et tâ´t ca c´ ac sô´c´
o d .ang au − v, o ¯dây u v`a v ch.ay √ , , , ¯
d .ôc l.âp nhau trong c´ac sô´0, 1, 2, . . . , [ n]. Sô´lu .ong tâ´t ca c´ac sô´ ¯d´o √ , , √ √ l`
a ([ n] + 1)2 . Suy ra sô´n`ay l´
on hon n v`ı ([ n] + 1)2 > ( n)2 = n. ,, , Boi c´ o ¯ d´
ung n sô´ du kh´ac nhau theo mô¯
dun n, nên tô`n t .ai hai c.˘ap , sô´ kh´
ac nhau (u1, v1), (u2, v2) t`u c´ac sô´ nguyên sao cho 1 ≤ ui ≤ 6.2. V´ı d .u 59 √ √
[ n], 1 ≤ vi ≤ [ n], i = 1, 2 v`a au1 − v1 ≡ au2 − v2 (mod n). , , , , , D˜ ê d` ang ch´ ung minh ¯
du .oc v1 kh´ac v2. Th.ât v.ây, nê´u ngu .oc l.ai th`ı
au1 ≡ au2 (mod n),suy ra u1 ≡ u2 (mod n), do a l`a sô´ nguyên tô´ , , , , , c` ung nhau v´
oi n. M .˘at kh´ac, u1, u2 l`a c´ac sô´t .u nhiên nho hon n. Nhu , , , ,
v .ây ¯d˘ang th´uc sau c`ung chı c´o m .ôt kha n˘ang duy nhâ´t u1 = u2. Do , , ¯ d´
o c .˘ap (u1, v1), (u2, v2) tr`ung nhau, tr´ai v´oi c´ach ch .on trên. Nhu v.ây , , ,
u1 v`a u2 c˜ung phai kh´ac nhau. C´o thê gia thiê´t u1 > u2 m`a không , ,,, , , , anh huong ¯ dê´n kê´t qua ch´ ung minh. Bây gi` o ta ¯ d .˘at x = u1 − u2, y = , √ √ v1 − v2. T`u ¯ d´
o suy ra 1 ≤ x ≤ [ n], 1 ≤ |y| ≤ [ n] v`a ax ≡ y (mod n). J , , ,
. 6.6. Áp d .ung bô ¯dê` Tue: M.oi sô´ nguyên tô´ d .ang 4k + 1 c´o thê biêu , , , , , , di˜ ên du´
oi d .ang tông b`ınh phuong cua hai sô´nguyên. , , , , L` oi giai. Ch´ ung ta ch´ ung minh kh˘ ang ¯
d.inh sau: Nê´u p = 4k + 1 l`a sô´ , ,
nguyên tô´, th`ı phuong tr`ınh x2 ≡ −1 (mod p) c´ o nghi .êm. Th.ât v.ây,
V`ı p l`a sô´ nguyên tô´, theo ¯
d.inh l´y Wilson, (p − 1)! ≡ −1 (mod p). Ngo`
ai ra p − 1 ≡ −1 (mod p), p − 2 ≡ −2 (mod p), . . . , p − p+1 ≡ 2 p+1 (mod p). Suy ra, 2 (p − 1) (p + 1)
−1 ≡ (p − 1)! = 1.2 . . . . 2 2 p − 1 ≡ (−11)(−21) . . . (−( )2) 2 p−1 p − 1 p − 1 = (−1) 2 (1.2 . . . )2 = (−1)2k(( )!)2 2 2 p − 1 = (( )!)2 (mod p). 2 , p − 1 , , , Nhu v .ây a = ( )! l`
a nghi .êm cua phuong tr`ınh trên. V`ı a 2 2 + 1 , ,
chia hê´t cho p nên a l`a nguyên tô´ c` ung nhau v´ oi p. Bây gi`o ta ´ap ,
d .ung bô ¯dê` Tue cho hai sô´ a v`a p. Tô`n t.ai c´ac sô´nguyên x v`a y m`a , , 60 Chuong 6. B` ai t .âp sô´h .oc nâng cao √ √
1 ≤ x ≤ [ p], 1 ≤ |y| ≤ [ p] v` a ax ≡ y (mod p). Khi ¯ d´ o a2x2 ≡ y2 , ,
(mod p), nhu v .ây x2 ≡ −y2 (mod p), v`ı a2 ≡ −1 (mod p). T`u ¯d´o
suy ra x2 + y2 chia hê´t cho p. M .˘at kh´ac 1 ≤ x2 ≤ p, 1 ≤ y2 ≤ p. Ta , , thâ´y r` ˘
ang x2 = p v`a y2 = p không thê xây ra v`ı p l`a sô´nguyên tô´, suy
ra 0 < x2 + y2 < 2p v`a v`ı x2 + y2 chia hê´t cho p, nên x2 + y2 = p. J , , , , , , Ch´ u ´
y: Tuong t .u, ch´ung minh r`˘ang m .oi sô´ p, sao cho phuong , , , ,
tr`ınh x2 ≡ −2 (mod p) c´
o nghi .êm, ¯dê`u c´o thê biêu di˜ên du´oi d.ang , p = x2 + 2y2 v´
oi x, y l`a c´ac sô´nguyên.
. 6.7. (Ðê` thi To´
an Olympic quô´c tê´ lâ`n 18 n˘ am 1976) Cho h.ê p , , , , phuong tr`ınh v´ oi q = 2p ân
a11x1 + a12x2 + · · · + a1qxq = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ap1x1 + ap2x2 + · · · + apqxq = 0 , , , Tâ´t ca c´
ac h.ê sô´aij thu.ôc t .âp hop {−1, 0, 1}. Ch´ung minh r`˘ang tô`n t .ai , ,
nghi.êm (x1, x2, . . . , xq) cua h.ê, m`a n´o thoa m˜an , ,
a) tâ´t ca xj(j = 1, 2, . . . , q) l`a nhung sô´nguyên; b) ´ıt nhâ´t c´
o m .ôt j(j = 1, 2, . . . , q) m`a xj ≤ 0; , c) v´
oi m .oi j(j = 1, 2, . . . , q) ta luôn c´o xj ≤ q; , , , L` oi giai. X´
et b .ô (x1, x2, . . . , xq) gô`m nh˜ung sô´ nguyên bâ´t k`y, m`a , ,, , ch´ ung thoa m˜
an |x1| ≤ p, |x2| ≤ p, . . . , |xq| ≤ p. Boi v`ı tâ´t ca c´ac , , , , , ,
h .ê sô´ cua h.ê phuong tr`ınh chı l`a -1,0 ho.˘ac 1, v´oi vi.êc thay c´ac ân , , , , ,
x1, x2, . . . , xq ch´ung ta nh .ân ¯du .oc gi´a tr.i cua m˜ôi phuong tr`ınh n`˘am , ,
trong khoang [−pq, pq]. Th .ât v.ây, v´oi m˜ôi i = 1, 2, . . . , p ch´ung ta c´
o |ai1x1 + ai2x2 + · · · + aiqxq| ≤ |x1| + |x2| + · · · + |xq| ≤ pq. Suy , , , , , , , , , ra, nê´u thay nh˜
ung ân trong tâ´t ca phuong tr`ınh cua h .ê tuong ´ung 6.2. V´ı d .u 61 , , , v´
oi x1, x2, . . . , xq s˜e nh .ân ¯du .oc b .ô p sô´ nguyên (y1, y2, . . . , yp). Tâ´t , , , , ca nh˜ ung sô´ n` ay ¯ dê`u n` ˘
am trong khoang [−pq, pq]. Trong khoang , , n` ay c´ o ¯ d´
ung 2pq + 1 sô´ nguyên. Suy ra gi˜ua nh˜ung b .ô s´˘ap xê´p ,, , ,, p phâ`n tu nhu o trên c´
o (2pq + 1)p b .ô xê´p kh´ac nhau. M.˘at kh´ac , , , ,,
sô´ lu .ong nh˜ung b .ô xê´p q-phâ`n tu (x1, x2, . . . , xq) m`a |xj| ≤ p , , v´
oi j = 1, 2, . . . q, l`a (2p + 1)q. D˜ê thâ´y r`˘ang t`u q = 2p suy ra
(2p + 1)q > (2pq + 1)p. Theo nguyên l´y Ðirichlê tô`n t .ai hai b .ô q- sô´ nguyên (x0 , x0 , x00 1 2, . . . , x0q) v`
a (x001 2 , . . . , x00q) kh´ac nhau m`a ch´ung , , thoa m˜ an |x0| ≤ p, |x00| ≤ p v´
oi j = 1, 2, . . . q v`a sau khi thê´ v`ao j j , ,
h .ê phuong tr`ınh cho c`ung m .ôt b .ô p sô´ nguyên (y1, y2, . . . , yp). Ð.˘at x1 = x0 − x00, x − x00 − x00 1 1 2 = x02 2 , . . . , xq = x0q q . R˜ o r` ang (x1, x2, . . . , xq) , , , , l`
a nghi .êm cua h.ê phuong tr`ınh v`a xj l`a c´ac sô´ nguyên v´oi m .oi
j = 1, 2, . . . , q. V`ı (x0 , x0 , x00 1 2, . . . , x0q) v`
a (x001 2 , . . . , x00q) l`a hai b .ô q sô´ ho` an to` an kh´
ac nhau, th`ı ´ıt nhâ´t m .ôt trong c´ac sô´ xj kh´ac không. , Cuô´i c` ung v´
oi m .oi j = 1, 2, . . . , q ch´ung ta c´o |xj| = |x0 − x00| ≤ j j , ,
|x0| + |x00| ≤ p + p = 2p = q. Nhu v ua j j .ây (x1, x2, . . . , xq) l` a nghi .êm c , ,
h .ê phuong tr`ınh c´o t´ınh châ´t mong muô´n. J
. 6.8. (Ðê` thi To´
an Olympic quô´c tê´ lâ`n 28 n˘ am 1987) Cho , , ,
x1, x2, . . . , xn l`a nh˜ung sô´th .uc v`a x2 + x2 + · · · + x2 ng minh 1 2 n = 1. Ch´ u , , r` ˘ ang v´ oi m˜
ôi sô´nguyên k, k ≥ 2, tô`n t .ai nh˜ung sô´nguyên a1, a2, . . . , an , không ¯ dô`ng th` oi b` ˘
ang không sao cho |ai| ≤ k − 1, i = 1, 2, . . . , n v`a , √ , , thoa m˜
an bâ´t phuong tr`ınh sau |a n
1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn| ≤ (k−1) kn−1 , , ,, , , L` oi giai. Ch´
ung ta su d .ung bâ´t ¯d˘ang th´uc Cosi-Buniakovski-Svars q q | 2 2
α1β1 + |α2β2 + · · · + |αn βn| ≤ α + · · · + + · · · + 1 α2n β1 β2n , , , , ¯ dus ng v´
oi m .oi sô´th .uc α1, α2, . . . αn, β1, β2, . . . , βn. Dâ´u b`˘ang xây ra , khi v`
a chı khi tô`n t .ai m .ôt sô´λ sao cho α1 = λβ1, α2 = λβ2 . . . , αn = λβn. , , 62 Chuong 6. B` ai t .âp sô´h .oc nâng cao , Bây gi` o ch´ ung ta x´ et c´ ac sô´ y0 = − k−1, y + 1, . . . , 2 1 = − k−1 2 , , , ,
yk−1 = − k−1 + (k − 1) = k−1 Sô´lu ng cua ch´ung l`a k v`a hi ng 2 2 .o .êu t` u , ,
c .˘ap trong ch´ung l`a nh˜ung sô´ nguyên, m`a gi´a tr.i tuy.êt ¯dô´i cua n´o không qu´ a k − 1. M˜
ôi b .ô s´˘ap xê´p n-th`anh phâ`n β = (b1, b2, . . . , bn), ,, , o ¯
dây bi l`a m .ôt sô´n`ao ¯d´o trong y1, y2, . . . , yn v´oi m .oi i = 1, 2, . . . , n, , , , , ch´ ung ta ¯
d .˘at tuong ´ung v´oi m .ôt sô´ S = b β
1 x1 + b2 x2 + · · · + bn xn. , , , T` u bâ´t ¯ d˘ ang th´ uc Cosi S = b β
1 x1 + b2 x2 + · · · + bn xn q q ≤ b2 + b2 + · · · + b2 x2 + x2 + · · · + x2 1 2 n 1 2 n q = b2 + b2 + · · · + b2 1 2 n , , Nhung |bi| ≤ k−1 v´oi m 2
.oi i = 1, 2, . . . , n sao cho q k − 1 √ |S | ≤ b2 + b2 + · · · + b2 ≤ n β 1 2 n 2 √ √ , ,
ho .˘ac l`a − k−1 n ≤ S ≤ k−1 n. Theo phuong ph´ap n`ay n-b 2 β 2 .ô β = ,, , (b1, b2, . . . , bn), o ¯
dây bi l`a m .ôt trong c´ac sô´ y0, y1, . . . , yk−1 v´oi m .oi , , , , , , i = 1, 2, . . . , n, ¯
du .oc ¯d.˘at tuong ´ung v´oi m .ôt sô´ S = b β 1 x1 + b2 x2 + √ √ , , , , · · · + bnxn trong ¯
do .an ∆ = [− k−1 n, k−1 n]. Sô´ lu ng n-b c 2 2 .o .ô ¯ du .o , , √ , s´ ˘ ap xê´p l` a kn. Chia ∆ ra kn − 1 ¯
do .an nho v´oi ¯d .ô d`ai k−1 n. T` u kn−1 nguyên l´
y Ðirichlê suy ra tô`n t .ai hai n-b .ô β = (b1, b2, . . . , bn) v`a ,
γ = (c1, c2, . . . , cn), m` a nh˜ung sô´ S = b β
1 x1 + b2 x2 + · · · + bn xn , , , , v` a S = c ong ´ ung v´ oi ch´ ung n` ˘ am trong γ
1 x1 + c2 x2 + · · · + cn xn tu , c`
ung m .ôt ¯do.an nho. Ð.˘at a1 = b1 − c1,a2 = b2 − c2, . . . , an = bn − , , , , cn. D˜ê kiêm tra ¯
du .oc a1, a2.., an thoa m˜an ¯diê`u ki.ên ¯d˜a cho. Th.ât , ,
v .ây, v´oi m .oi i = 1, 2, . . . , n sô´ ai = bi − ci l`a hi.êu cua hai sô´ n`ao , ,, ¯ d´
o trong y0, y1, . . . , yk−1 nhu ¯d˜a n´oi o trên v`a l`a sô´ nguyên không , ,
vu .ot qu´a k − 1. V`ı hai n-b .ô trên kh´ac nhau ho`an to`an th`ı ´ıt nhâ´t
m .ôt trong c´ac sô´ ai = bi − ci kh´ac không. Ngo`ai ra, |b1x1 + b2x2 + 6.2. V´ı d .u 63
· · · + bnxn| = |x1(b1 − c1) + x2(b2 − c2) + · · · + xn(bn − cn)| = |S − β √ S | ≤ k−1 n. J γ kn−1 , , . 6.9. Ch´ ung minh r` ˘ ang m˜
ôi b .ô gô`m 11 sô´ th .uc kh´ac nhau trong , , , , , khoang [1,1000] c´
o thê ch .on ¯du.oc hai sô´ x v`a y, m`a ch´ung thoa m˜an , , bâ´t ¯ d˘ ang th´ uc sau √ 0 < x − y < 3 3 xy (6.2) , , , L` oi giai. Ch´ ung ta x´ et c˘
an b .âc ba cua c´ac sô´ trong b .ô sô´ ¯d˜a cho , √ x1, x2, . . . , x11 T`u ¯
diê`u ki .ên ¯d˜a cho suy ra 1 ≤ 3 xi ≤ 10, i = , , , 1, 2, . . . , 11. Ch´
ung ta chia khoang [1,10] ra mu` oi phâ`n b` ˘ ang nhau. √ √ √ Khi ¯ d´ o, c´
o ´ıt nhâ´t m .ôt trong hai sô´ 3 x1, 3 x2, . . . , 3 x11 n`˘am trong , √ √ c`
ung m .ôt ¯do.an nho. Nê´u c´ac sô´ ¯d´o l`a 3 xi v`a 3 xj, i 6= j v`a xi > xj, ch´ ung ta c´ o √ 9 0 < 3 xi − 3 pxj ≤ < 1. (6.3) √ √ 10 , , ,
Nhu v .ây, 0 < ( 3 xi − 3 xj)3 < 1, kê´t h .op v´oi (6.3) ta c´o 0 < xi − √ √ √ √
xj < 1 + 3 3 xixj( 3 xi − 3 xj) < 1 + 3 3 xixj. J , , , Ch´ u ´ y: B` ai to´ an không c` on ¯ d´ ung v´
oi b .ô 10 sô´th .uc trong khoang ,
[1,1000]. Phan v´ı d .u: b .ô sô´13, 23, . . . , 103. nê´u i 6= j v`a i > j ch´ung , ta c´
o (i − j)3 ≥ 1, nhu v .ây i2 + ij + j2 ≥ 1 + 3ij. Ngh˜ıa l`a i − j = , , ,
(i − j)(i2 + ij + j2) ≥ 1 + 3ij. ¯ d˘ ang th´ uc xây ra khi i = j + 1. , , , ,
. 6.10. Cho 7 sô´ th .uc bâ´t k`y. Ch´ung minh r`˘ang gi˜ua ch´ung c´o thê , , ,
ch .on ¯du.oc hai sô´, ch˘ang h .an x v`a y, sao cho √ x − y 3 0 ≤ ≤ . 1 + xy 3 , , , L` oi giai. C´ ac sô´ ¯ d˜ a cho k´
y hi .êu l`a x1, x2, . . . , x7. M .uc ¯d´ıch cua ch´ung , , , ,, ta l` a biêu di˜
ên m .oi sô´ du´oi d.ang xi = tg αi, o ¯dây αi l`a m .ôt sô´ , π trong khoang (− π , ), i = 1, 2, . . . , 7. Ch´ ung ta chia ¯ do .an n`ay ra 2 2 , , 64 Chuong 6. B` ai t .âp sô´h .oc nâng cao π s´ au ¯
do .an con c´o ¯d .ô d`ai b`˘ang nhau, ngh˜ıa l`a b`˘ang . D˜ ê d` ang thâ´y 6 r` ˘ ang ´ıt nhâ´t c´
o hai sô´ trong α1, α2, . . . , α7 c`ung n`˘am trong m .ôt ¯do.an , coni ¯ d´ o. Nê´u ch´ ung ta k´
y hi .êu c´ac sô´ ¯d´o l`a αi v`a αj, αi ≥ αj, th`ı t`u ¯d´o ,
suy ra 0 ≤ αi − αj ≤ π . V`ı h`am sô´tg l`a t˘ang trong khoang (− π , π ), 6 2 2 suy ra √
tg αi − tg αj xi − xj π 3
0 ≤ tg(αi − αj) = = ≤ tg = .
1 + tg αi tg αj 1 + xixj 6 3 J , , , Ch´ u ´ y: B` ˘ ang c´ ach giai cua hai b`
ai t .âp n`ay ch´ung ta c´o thê s´ang , , , , , , ,
t .ao ra m .ôt lo.at b`ai to´an tuong t .u, m`a v´oi c´ach giai b`ınh thu`ong kh´o , , , m` a giai quyê´t ¯ du .oc. 6.3. B ` ai t .âp . 6.11. (Ðê` thi To´
an Olympic quô´c tê´ lâ`n 26 n˘ am 1985). Cho t .âp , , , , , ,
h .op M gô`m 1985 sô´ t .u nhiên, không c´o sô´ n`ao c´o u´oc sô´ l´on hon , , , ,, , , , , 26. Ch´ ung minh r` ˘ ang t` u nh˜ung phâ`n tu cua M c´ o thê ch .on ¯du .oc 4 , , , , sô´ t` ung ¯
dôi m .ôt kh´ac nhau m`a t´ıch cua ch´ung l`a l˜uy th`ua b.âc 4 cua , ,
m .ôt sô´nguyên. (kê´t lu.ân ¯d´ung v´oi t.âp h .op gô`m 3.29 + 1 = 1537 sô´ , , , , m` a nh˜ ung u´ oc sô´cua ch´ ung không qu´ a 23). , , ,
. 6.12. Cho bô´n sô´duong bâ´t k` y. Ch´ ung minh r` ˘ ang c´ o hai sô´trong , , , , bô´n sô´ ¯ d´ o, ch˘
ang h .an x v`a y, thoa m˜an bâ´t phuong tr`ınh sau x − y √ 0 ≤ ≤ 2 − 3. 1 + x + y + 2xy , , , , . 6.13. Ch´ ung minh r` ˘
ang m .ôt sô´ t .u nhiên c´o thê biêu di˜ên th`anh , , , , ,
tông b`ınh phuong cua hai sô´nguyên khi v`
a chı khi, trong phân t´ıch , ,
ra d .ang ch´ınh t´˘ac cua n´o, c´ac th`ua sô´nguyên tô´d.ang 4k + 3 ¯dê`u c´o sô´m˜ u ch˜ ˘ an. 6.3. B` ai t .âp 65 , , , , . 6.14. Ch´ ung minh r` ˘ ang t` u k + 1 sô´, m`a ch´ ung nho hon 2k, luôn , , , , , , luôn c´
o thê ch .on ¯du .oc hai sô´ m`a ty sô´ cua ch´ung l`a m .ôt l˜uy th`ua , cua 2. , , , . 6.15. Cho n l`
a m .ôt sô´ le. Ch´ung minh r`˘ang t`u (n − 1)2 + 1 sô´ , , , , , nguyên bâ´t k` y c´
o thê ch .on ¯du .oc n sô´ sao cho tông cua ch´ung chia hê´t cho n. , , 66 Chuong 6. B` ai t .âp sô´h .oc nâng cao , , CHUONG 7 B ` AI T .ÂP D ˜ ÂY S ´ Ô NÂNG CAO 7.1. V´ı d .u , . 7.1. Cho d˜
ay Fibonaxi u1 = u2 = 1, un = un−1 + un−2. V´oi m .oi sô´ , , , , , ,
nguyên duong m, th`ı gi˜ ua nh˜
ung sô´ h .ang t`u ¯dâ`u d˜ây ¯dê´n sô´h .ang th´u
m2 − 1 tô`n t .ai m.ôt sô´h .ang chia hê´t cho m. , , , , L` oi giai. Ch´ ung ta k´
y hi .êu k l`a phâ`n du cua sô´ k cho m. Ch´ung ta , , x´ et c´
ac c .˘ap phâ`n du cua d˜ay Fibonaxi khi chia cho m:
(u1, u2).(u2, u3), (u3, u4), . . . , (un, un+1), . . . (7.1) Nê´u ch´ ung ta qui ¯
d.inh hai c.˘ap (a1, b1) v`a (a2, b2) l`a b`˘ang nhau khi , , , ,
a1 = b1 v`a a2 = b2, th`ı sô´ tâ´t ca kha n˘ang cua c´ac c .˘ap phâ`n du khi chia cho m l` a m2. V`ı thê´ ch´
ung ta lâ´y m2 + 1 sô´ h .ang ¯dâ`u tiên , , cua d˜ ay (7.1) th`ı trong ch´ ung phai c´
o hai c .˘ap tr`ung nhau,( theo , , ,, nguyên l´ y Ðirichlê ) v` a t` u ¯ d´ o c´
ac c .˘ap sau l.˘ap l.ai. Gia su c.˘ap (uk, uk+1) , l`
a c .˘ap ¯dâ`u tiên l.˘ap l.ai trong (7.1). Ch´ung ta s˜e ch´ung minh r`˘ang , ,, , ,
c .˘ap n`ay b`˘ang c.˘ap (1, 1). Th.ât v.ây, gia su ngu .oc l.ai, ngh˜ıa l`a c.˘ap , ¯
dâ`u tiên l .˘ap l.ai l`a (uk, uk+1), v´oi k > 1. Khi ¯d´o ch´ung ta s˜e t`ım , , ¯
du .oc trong (7.1) m .ôt c.˘ap (ul, ul+1), (l > k), m`a n´o b`˘ang (uk, uk+1) ,
. Nhu v .ây ul−1 = ul+1 − ul v`a uk−1 = uk+1 − uk, do ul+1 = uk+1 v`a , ,
ul = uk, nên phâ`n du cua ul−1 v`a uk−1 khi chia cho m c˜ung b`˘ang , nhau, ngh˜ıa l`
a ul−1 = uk−1. T`u ¯d´o suy ra (uk−1, uk) = (ul−1, ul), v.ây , , 68 Chuong 7. B`
ai t .âp d˜ây sô´nâng cao , , ,
c .˘ap (uk−1, uk)n`˘am trong d˜ay (7.1) tru´oc ca (uk, uk+1). Ðiê`u ¯d´o n´oi , , , lên r` ˘
ang (uk, uk+1) không phai c .˘ap l.˘ap l.ai ¯dâ`u tiên, tr´ai v´oi gia thiê´t , , ¯
d .˘at ra. Ngh˜ıa l`a k > 1 không thê xay ra, v.ây k = 1. , , ,,
Nhu v .ây c.˘ap (1, 1) l`a c.˘ap ¯dâ`u tiên l.˘ap l.ai trong (7.1). Gia su n´o
l .˘ap l.ai t lâ`n (1 < t < m2 + 1). ho.˘ac l`a (ut, ut+1) = (1, 1). Ngh˜ıa l`a ut , , v`
a ut+1 khi chia cho m cho phâ`n du c`ung l`a 1, v .ây hi.êu cua ch´ung , , ,
chia hê´t cho m. Nhung ut+1 − ut = ut−1. Nhu v .ây sô´h.ang th´u t − 1 , cua d˜ ay Fibonaxi s˜ e chia hê´t cho m. J , ,, , , , , ,
. 7.2. Gia su a v` a x l` a c´
ac sô´t .u nhiên th .uc s .u l´on hon 1 v`a (x, a − 1) = , , , 1. D˜
ay sô´vô h .an {un} ¯du.oc x´ac ¯d.inh nhu sau
un = axn − a + 1, n = 1, 2, . . . , , Ch´ ung minh r` ˘ ang trong d˜ ay sô´n´ oi trên ch´
ua vô h .an sô´¯dôi m.ôt nguyên tô´c` ung nhau. , , , , , , , L`
oi giai. Gia thiê´t phan ch´ ung trong d˜ ay sô´ chı c´ o h˜ uu h .an sô´ ui , u , . . . , u ¯ dôi m 1 i2 ik .ôt nguyên tô´c` ung nhau.
Ð .˘at q = ui u . . . u . X´et (q + 1) sô´ sau a, ax, ax2, . . . , axq. Theo 1 i2 ik nguyên l´
y Ðirichlê tô`n t .ai hai sô´ nguyên r, s sao cho 0 ≤ r < s ≤ q v` a axr ≡ axs (mod q) =⇒ axr − axs ≡ 0 (mod q) hay axr(1 − xs−r) ≡ 0 (mod q) (7.2) , Theo gia thiê´t ta c´
o (x, a − 1) = 1, nên suy ra
(axr, ui ) = 1, ∀j = 1, 2, . . . , k. (7.3) j , T` u (7.3) suy ra (axr, q) = 1. (7.4) 7.1. V´ı d .u 69 , , T` u (7.2) v` a (7.4) c´
o xs−r ≡ 1 (mod q) =⇒ xs−r = lq + 1 v´ oi l ∈ N. X´ et sô´ ui = axs−r − a + 1. V k+j .ây ui
= a(lq + 1) − a + 1 = qal + 1. (7.5) k+j , T` u (7.5) ta c´ o (ui , u ) = 1, ∀j = 1, 2, . . . , k. (7.6) k+j ij , , , , ,
H .ê th´uc (7.6) ch´ung to r`˘ang luôn c´o thê bô sung thêm v`ao b .ô sô´ , ,
q = ui u . . . u c´ac sô´ m´oi, m`a b oa m˜ an ¯ diê`u ki 1 i2 ik .ô sô´ n` ay v˜ ân th .ên: bâ´t k` y hai sô´ n` ao c˜ ung nguyên tô´ c` ung nhau. Ðiê`u n` ay c´ o ngh˜ıa l` a trong d˜ ay {un} ¯ d˜ a cho c´
o vô h .an sô´ ¯dôi m .ôt nguyên tô´ c`ung nhau. J ,
. 7.3. Cho {un} l`a d˜ay c´ac sô´t .u nhiên t˘ang dâ`n: u1 < u2 < u3 < . . . , , , v` a thoa m˜ an ¯
diê`u ki.ên u1 = 1, un+1 ≤ 2n, v´oi m.oi n l`a sô´ t .u nhiên. , , , Ch´ ung minh r` ˘ ang v´
oi m .oi sô´ t .u nhiên n tô`n t .ai c´ac sô´ h .ang up v`a uq , cua d˜
ay sao cho up − uq = n. , , , ,, , , , , , L`
oi giai. Gia su n ∈ N l`a sô´ t .u nhiên cho tru´oc. T`u gia thiê´t suy ra , , , m˜
ôi sô´ h .ang u1, u2, . . . , un+1 không vu .ot qu´a 2n. X´et t.âp h .op 2n sô´ , ,
t .u nhiên sau {1, 2, . . . , 2n}. Ch´ung ta chia t.âp h .op n`ay ra l`am n c.˘ap , , ,
(1, n + 1), (2, n + 2), . . . , (n, 2n). Do t .âp h .op trên ch´ua không ´ıt hon ,, , (n + 1) phâ`n tu cua d˜ ay {un} ¯ d˜ a cho (v`ı n´
oi riêng u1, u2, . . . , un+1 ¯ d˜ a ,
thu .ôc t.âp h .op â´y), v.ây theo nguyên l´y Ðirichlê tô`n t.ai hai sô´ h.ang , , ,, kh´
ac nhau up v`a uq cua d˜ay thu .ôc v`ao m .ôt c.˘ap ( gia su up > uq). , ,
Nhung hi .êu sô´cua m˜ôi c.˘ap ¯dê`u b`˘ang n, nên ch´ung ta c´o up − uq = n. J ,
. 7.4. Cho {uk}, k = 1, 2, . . . , n l`a d˜ay sô´t .u nhiên sao cho
1 ≤ u1 ≤ u2 ≤ . . . ≤ un v`a u1 + u2 + · · · + un = 2n , , 70 Chuong 7. B`
ai t .âp d˜ây sô´nâng cao , , Ch´ ung minh r` ˘
ang nê´u n ch˜ ˘ an v`
a un 6= n + 1, th`ı t`u d˜ay trên luôn ch .on , , , , ra ¯
du .oc m.ôt d˜ay con m`a tông c´ac sô´h .ang cua d˜ay con ¯d´o b`˘ang n. , , L`
oi giai. Ð .˘at Sk = u1 + u2 + · · · + uk, k = 1, 2, 3, . . . , n. X´et n + 2 sô´
{0, u1 − un, S1, S2, . . . , Sn} Theo nguyên l´y Ðirichlê th`ı´ıt nhâ´t hai sô´ , , , khi chia cho n c´ o c`
ung phâ`n du. V .ây, chı c´o 4 kha n˘ang sau ¯dây:
1) (u1 − un) chia hê´t cho n.
Do u1 + u2 + · · · + un ≥ nu1 =⇒ 2n ≥ nu1 =⇒ u1 ≤ 2 ,
a) Nê´u u1 = 2 th`ı t`u 1 ≤ u1 ≤ u2 ≤ . . . ≤ un v`a u1 + u2 + · · · +
un = 2n suy ra u1 = u2 = . . . = un = 2. Do n ch˜˘an nên n = 2m v .ây
u1 + u2 + · · · + um = 2m = n ,
b) Nê´u u1 < 2 th`ı t`u u1 − un chia hê´t cho n, suy ra un = 1 ho .˘ac l`
a un = 1 + n ( do u1 nguyên nên u1 = 1 v`a 1 ≤ un ≤ 2n suy ra , , , ¯
du .oc kê´t lu.ân trên). Nhung un 6= n + 1 suy ra un = 1. M.˘at kh´ac
1 ≤ u1 ≤ u2 ≤ . . . ≤ un v .ây th`ı u2 = u3 = . . . = un−1 = 1. Suy ra
u1 + u2 + · · · + un = n, vô l´y. , , , , ,
Nhu v .ây trong tru`ong h .op n`ay, ta chı ra tô`n t.ai d˜ay con u1, u2 , n
, . . . , um sao cho u1 + u2 + · · · + um = n v´oi m = . 2
2) Sj − Si, (j > i) chia hê´t cho n. , , , Ta c´
o Sj − Si = ui+1 + ui+2 + · · · + uj. R˜o r`ang vê´phai cua ¯d˘ang , th´ uc trên c´
o ´ıt nhâ´t m .ôt sô´h.ang m`a uk ≥ 1, ∀k = 1, 2, . . . , n, suy ra , ,, ,
Sj − Si ≥ 1. M .˘at kh´ac c˜ung hi.êu trên nê´u không ¯du c´ac phâ`n tu cua , d˜ ay th`ı bao gi` o ta c˜ ung c´
o Sj − Si < u1 + u2 + · · · + un ≤ 2n − 1. Do ¯ d´ o cuô´i c` ung ta c´
o 1 ≤ Sj − Si < u1 + u2 + · · · + un ≤ 2n − 1 , , m`
a Sj − Si chia hê´t cho n. ¯ diê`u n`
ay chı xây ra khi Sj − Si = n ho .˘ac l`
a ui+1 + ui+2 + · · · + uj = n. 3) Si chia hê´t cho n. 7.1. V´ı d .u 71 Ta c´
o 1 ≤ Si ≤ Sn−1 = 2n − un < 2n m`a Si chia hê´t cho n, suy
ra Si = n ho .˘ac l`a u1 + u2 + · · · + ui chia hê´t cho n. , ,
4) Sk v`a u1 − un cho c`ung phâ`n du khi chia cho n, v´oi k n`ao ¯ d´
o, 1 ≤ k ≤ n − 1. Suy ra Sk − (u1 − un)|n =⇒ (u2 + u3 + · · · +
uk + un)|n. M`a u2 + u3 + · · · + uk + un ≤ 2n − u1 < 2n. Suy ra
u2 + u3 + · · · + uk + un = n. , , , , T´
om l .ai luôn luôn ch .on ¯du .oc d˜ay con m`a tông cua ch´ung b`˘ang n. J , , . 7.5. Cho d˜
ay sô´ nguyên u1, u2, . . . , un v´oi n ≥ 2. Ch´ ung minh r` ˘ ang
tô`n t .ai d˜ay con uk , u , . . . , u trong ¯d´o 1 ≤ k 1 k2 km
1 < k2 < . . . < km ≤ n
sao cho u2 + u2 + · · · + u2 chia hê´t cho n. k1 k2 km , , L` oi giai. X´ et (n + 1) sô´
0, u21, u21 + u22, u21 + u22 + u23, . . . , u21 + u22 + · · · + u2n , Chia c´ ac sô´ n` ay cho n, th`ı ch´
ung cho nhiê`u nhâ´t n sô´ du. Theo , , ,, nguyên l´
y Ðirichlê tô`n t .ai hai sô´ cho c`ung sô´ du, gia su ¯d´o l`a u2 + 1 u2 + · · · + u2 v` a u2 + u2 + · · · + u2( 2 0 ≤ j < k ≤ n). C´ o ngh˜ıa j 1 2 k l`
a sô´ (u2 + u2 + · · · + u2) − (u2 + u2 + · · · + u2) chia hê´t cho n. 1 2 j 1 2 k ,
Ho .˘ac l`a uj+1 + uj+2 + · · · + uk chia hê´t cho n. D˜ay con phai t`ım l`a uj+1, uj+2, . . . , uk. J . 7.6. Cho d˜
ay Fibonaxi 1, 2, 3, 5, 8,. . . .Ð .˘at f (n) = 19852 + , , 1956n2 + 1960 Ch´ ung minh r` ˘
ang tô`n t .ai vô h .an sô´ h .ang uk cua d˜ay
Fibonaxi, sao cho f (uk)|1989 , , L`
oi giai. Ð .˘at h(n) = 4n2 + 33n + 29 =⇒ h(n) = 1989(n2 + n + 1) − , f (n). T` u ¯ d´
o suy ra f (n)|1989 ⇐⇒ h(n)|1989. , , 72 Chuong 7. B`
ai t .âp d˜ây sô´nâng cao X´ et d˜ ay sô´ {vn} sau ¯ dây, trong ¯ d´ o v0 = −1, v1 = 1
vn+1 = vn + vn+1, n = 1, 2, . . . ,, N´ oi c´ ach kh´ ac d˜
ay {vn} l`a d˜ay sinh ra boi d˜ay Fibonaxi {un} : , , 1, 1, 2, 3, 5, . . . b` ˘ ang c´ ach thêm v` ao tru´ oc d˜ ay n` ay ba sô´h .ang -1, 1, 0. ,
G .oi ri l`a phâ`n du trong ph´ep chia vi cho 1989(i = 0, 1, 2, . . .). ,
Nhu v .ây ta c´o 0 ≤ r ≤ 1988. X´et d˜ay c´ac c.˘ap sô´sau ¯dây
(r0, r1), (r1, r2), (r2, r3), . . . . , V`ı m˜
ôi c .˘ap ri chı nh.ân m .ôt trong 1989 gi´a tr.i, v.ây sô´ c´ac c.˘ap kh´ac , nhau tô´i ¯ da l` a 19892. T`u ¯ d´ o theo nguyên l´
y Ðirichlê th`ı trong 19892 + , ,,
1 c .˘ap ¯dâ`u tiên ´ıt nhâ´t c´o hai c.˘ap tr`ung nhau. Gia su hai c.˘ap â´y l`a
(rp, rp+1), (rp+q, rp+q+1), p, q ∈ N Ðiê`u â´y c´ o ngh˜ıa l`
a rp = rp+1, rp+q = rp+q+1. Theo c´ach x´ac ¯ d.inh d˜ ay, ta c´ o
vp−1 = vp+1 − vp =⇒ rp−1 = rp+1 − rp , , , Tuongt .u, ta c´o
vp+q−1 = vp+q+1 − vp+q =⇒ rp+q−1 = rp+q+1 − rp+q , , , , T` u ¯ d´
o suy ra rp−1 = rp+q−1. Tuongt .u, ta c´o rp−2 = rp+q−2 . . . . . . . r2 = rq+2 r1 = rq+1 r0 = rq , T`
u r0 = rq, r1 = rq+1 v`a vn+1 = vn + vn+1 suy ra ri = ri+q, ∀i =
0, 1, 2, . . .. Do v .ây r0 = rq = r2q = r3q = . . . = rkq, ∀k ≥ 1, suy 7.1. V´ı d .u 73 ,
ra h(vkq) = 1989.A + h(−1) = 1989.A. Nhung ∀k = 1, 2, 3 . . . vkq , ¯ dê`u l` a sô´ Fibonaxi suy ra c´
o vô sô´ sô´ h .ang vkq cua d˜ay Fibonaxi m`a f (vkq)|1989. J , . 7.7. Cho d˜
ay sô´ {un} x´ac ¯d.inh nhu sau
u1 = 20, u2 = 100, v`a un+1 = 4un + 5un−1 − 1976, n = 1, 2, . . . , , Ch´ ung minh r` ˘
ang tô`n t .ai ´ıt nhâ´t m.ôt sô´cua d˜ay sô´chia hê´t cho 1996. , , L`
oi giai. Ð .˘at un = 1996pn + qn, ∀n = 1, 2, . . . trong ¯d´o pn, qn l`a c´ac sô´nguyên v`
a 0 ≤ qn ≤ 1995. X´et d˜ay sô´
(q1, q2), (q2, q3), . . . , (qn, qn+1), . . . , V`ı d˜ ay n`
ay vô h .an m`a sô´ c´ac sô´ qi l`a h˜uu h.an nên tô`n t.ai hai sô´ , , ,, ,
t .u nhiên l, m ( gia su m > l) sao cho (ql, ql+1) = (qm, qm+1) hiêu ,
theo ngh˜ıa ql = qm v`a ql+1 = qm+1. Ch´ung ta s˜e ch´ung minh r`˘ang
ql−1 = qm−1. Th .ât v.ây,
5(um−1 − ul−1) = (um+1 − 4um + 1976) − (ul+1 − 4ul + 1976)
= (um+1 − ul+1) − 4(um − ul) (7.7) ,
Do uk = 1996pk + qk, nên t`u (7.7) c´o
5(um−1 − ul−1) = 1996(pm+1 − pl+1) − (qm+1 − ql+1)−
− 4[1996(pm − pl) − (qm − ql)] (7.8) , Thay nh˜ ung gi´
a tr.i b`˘ang nhau v`ao ((7.8) ta ¯di ¯dê´n
5(um−1 − ul−1) = 1996[(pm+1 − pl+1) − 4(qm − ql)] (7.9) , T`
u (7.9) suy ra 5(um−1 − ul−1)|1996, m`a (5, 1996) = 1 =⇒ (um−1 −
ul−1)|1996 =⇒ 1996(pm−1 − pl−1) + (qm−1 − ql−1)|1996 =⇒ (qm−1 − ql−1)|1996. (7.10) , , 74 Chuong 7. B`
ai t .âp d˜ây sô´nâng cao
Do 0 ≤ qm−1 ≤ 1995, 0 ≤ ql−1 ≤ 1995
=⇒ −1995 ≤ qm−1 − ql−1 ≤ 1995 (7.11) , T` u (7.10) v`
a (7.11) suy ra (qm−1 − ql−1) = 0 hay qm−1 = ql−1. , , , , ,
Tuong t .u ch´ung ta c˜ung c´o thê ¯di ¯dê´n qm−2 = ql−2 v`a c´u tiê´p t .uc , nhu thê´ ¯ di ¯ dê´n
q2 = q2 + (m − 1) v`a q1 = q1 + (m − l) (7.12) , , Ta ch´ ung minh r` ˘
ang um−l ch´ınh l`a sô´h .ang cua d˜ay m`a chia hê´t cho
1996. Th .ât v.ây theo c´ach x´ac ¯d.inh d˜ay, ta c´o
5um−l = um−l+2 − 4um−l+1 + 1976
= 1996pm−l+2 + qm−l+2 − 4(1996pm−l+1 + qm−l+1) + 1996
= 1996(pm−l+2 + 4pm+l+1) + (qm−l+2 + 4qm−l+1) + 1996 , , Thay (7.12) v` ao ¯ d˘ ang th´ uc trên ta c´ o
5um−l = 1996(pm−l+2 − 4pm−l+1) + (q2 − 4q1) + 1996. (7.13) Do
u1 = 20 =⇒ u1 = 0.1996 + 20 =⇒ q1 = 20
u2 = 100 =⇒ u2 = 0.1996 + 100 =⇒ q2 = 100 , V .ây t`u (7.13) suy ra
5um−l = 1996(pm−l+2 − 4pm−l+1) + 1996. (7.14) ,
Do pm−l+2 v`a pm−l+1 l`a sô´nguyên, v.ây t`u (7.14) suy ra 5um−l|1996 m`
a (5, 1996) = 1 suy ra um−l|1996. J , . 7.8. Cho d˜
ay sô´ t .u nhiên u1, u2, . . . , un+1 sao cho 1 ≤ u1 < u2 < , ,
. . . < un+1 ≤ 2n . Ch´ ung minh r` ˘
ang tô`n t .ai hai sô´t .u nhiên i v`a j sao
cho uj chia hê´t cho ui, (j > i). , , , , , , , , , , L` oi giai. K´
y hi .êu vi l`a u´oc sô´le l´on nhâ´t cua ui tuong ´ung, ngh˜ıa l`a , , ,
ui = 2pi.vi , v´oi vi le v`a sô´ t .u nhiên pi n`ao ¯d´o (i = 1, 2, . . . , n + 1). 7.1. V´ı d .u 75 ,
Do 1 ≤ u1 < u2 < . . . < un+1 ≤ 2n suy ra v´oi m .oi i = 1, 2, . . . , n + 1 , , ta c´
o vi < 2n . X´et (n + 1) sô´ le v1, v2, . . . , vn+1. C´ac sô´ le n`ay ¯ dê`u , , , , , , , duong v`
a nho hon 2n. nên sô´ lu .ong cua ch´ung b`˘ang n. V.ây theo nguyên l´
y Ðirichlê tô`n t .ai hai sô´ i, j sao cho 1 ≤ i < j ≤ n + 1 m`a , vi = vj. Theo c´ach ¯
d .˘at trên th`ı ui = 2pivi v`a uj = 2pjvj. Nhung
ui < uj suy ra 2pi vi < 2pj vj, m`a vi = vj. Suy ra 2pi < 2pj. Do pi, pj l`a , , c´
ac sô´ nguyên duong nên 2pj chia hê´t cho 2pi. Ngh˜ıa l`a uj chia hê´t cho ui. J ,
. 7.9. (Ðê` thi To´
an Olympic Quô´c tê´ lâ`n th´ u 13) D˜ ay sô´ {un}, n = , , 2, 3, 4, . . . x´ ac ¯
d.inh nhu sau un = 2n − 3. Ch´ung minh r`˘ang d˜ay sô´n`ay , ,, , ch´
ua m .ôt t .âp vô h .an c´ac phâ`n tu, sao cho bâ´t k`y hai sô´ n`ao cua t .âp ,
h .op n`ay c˜ung nguyên tô´c`ung nhau. , , , , , , , L` oi giai. Ta ch´ ung minh b` ˘
ang quy n .ap. Gia thiê´t ¯d˜a xây d .ung ¯du .oc ,, , k phâ`n tu cua d˜ ay
u1 = 2n1 − 3, u2 = 2n2 − 3, . . . , uk = 2nk − 3 , , ,, m` a v´
oi m .oi i 6= j, th`ı (uj, ui) = 1, v´oi 1 ≤ i, j ≤ k, o ¯dây 2 = n1 < n2 < . . . < nk. , Ch´ ung ta s˜
e xây d .ung sô´ uk+1 = 2nk+1 − 3 nguyên tô´c`ung nhau , v´ oi c´
ac sô´ u1, u2, . . . , uk b`˘ang c´ach sau ¯
dây: Ð .˘at l = u1.u2 . . . uk. X´et , , ,
(l + 1) sô´20, 21, . . . 2l Khi chia c´ ac sô´ n` ay cho l ta ¯ du .oc m .ôt t.âp h .op ,
gô`m l sô´ du. V .ây theo nguyên l´y Ðirichlê c´o ´ıt nhâ´t hai sô´ cho ta , , ,, , c`
ung phâ`n du. Gia su hai sô´ ¯ d´ o l`
a 2r v`a 2s, (s > r). Bây gi`o ch .on sô´ p ,
sao cho pl = 2r − 2s = 2s(2r−s − 1). Do l l`a sô´le nên 2s không chia
hê´t cho l . M .˘at kh´ac (2r, 2r−s) = 1 suy ra (2r−s − 1) chia hê´t cho l. , Ðiê`u n` ay ngh˜ıa l`
a tô`n t .ai sô´t .u nhiên q sao cho 2r−s − 1 = ql, suy ra
2r−s+2 − 3 = 4.2r−s − 3 = 4(ql + 1) − 3 = 4ql + 1. , , 76 Chuong 7. B`
ai t .âp d˜ây sô´nâng cao
Ð .˘at uk+1 = 2r−s+2 − 3 = ql. Do uk+1 = 4ql + 1 v`a l =
u1.u2 . . . uk, suy ra uk+1 > uk. ,
Do uk+1 = 4ql + 1, suy ra (uk+1, 1) = 1. Do ¯d´o (uk+1, ui) = 1 v´oi m .oi i = 1, 2, . . . , k. , , , , ,
Nhu v .ây khi ¯d˜a xây d .ung ¯du .oc d˜ay con u1, u2, . . . , uk thoa m˜an , , , , , ¯
diê`u ki .ên ¯dâ`u b`ai, th`ı s˜e xây du .ong ¯du .oc d˜ay con m´oi u1, u2, . . . , uk, ,
uk+1 c˜ung c´o t´ınh châ´t â´y. Theo nguyên l´y qui n .ap ch´ung ta xây d .ung , , , ¯
du .oc d˜ay con vô h.an u1, u2, . . . , un, . . . . cua d˜ay ¯d˜a cho c´o t´ınh châ´t: , ,, , Bâ´t c´
u c .˘ap phâ`n tu n`ao cua d˜ay con â´y c˜ung nguyên tô´ c`ung nhau. J , ,
. 7.10. Cho u1 v`a u2 l`a hai sô´ nguyên duong nguyên tô´ c`ung nhau. , D˜
ay sô´ {un} x´ac ¯d.inh v´oi u1, u2 l`a hai sô´ h .ang ¯dâ`u tiên, c`on khi n = 2, 3, . . . ta x´ ac ¯ d.inh un+1 = unun−1 + 1 , , Ch´ ung minh r` ˘ ang v´
oi m .oi i > 1 tô`n t .ai j > i sao cho uj chia hê´t cho ui. , , , , , , L`
oi giai. Lâ´y i > 1 t` uy ´ y, v` a p l`a u´
oc sô´ nguyên tô´ cua ui. Xây d .ung , d˜ ay sô´ {vn} nhu sau 0 ≤ vn ≤ p − 1 vn ≡ un (mod p) Ta c˜ ung c´
o vn+1 = vnvn−1 + 1 (mod p), ∀n = 2, 3 . . . V`ı c´ac c .˘ap , ,
(vn, vn−1) l`a vô h .an, m`a vn chı nh.ân h˜uu h.an gi´a tr.i suy ra {vn} , , , phai l` a d˜ ay tuâ`n ho` an t`
u m .ôt l´uc n`ao ¯d´o. Ta câ`n ch´ung minh r`˘ang , ,
tô`n t .ai sô´nguyên duong kp > 0 sao cho vi+k = 0. (7.15) p , X´ et hai kha n˘ ang sau 7.1. V´ı d .u 77 , ,, , , 1) Gia su d˜
ay {vn} tuâ`n ho`an t`u vs v´oi chu k`y T, trong ¯ d´ o s > i. Ta c´ o
vs+1 = vsvs−1 + 1 = vs+T+1 = vs+Tvs+T−1 + 1 (mod p)
vsvs−1 = vs+Tvs+T−1 (mod p). (7.16)
a) Nê´u vs = vs+T ≡ 0 (mod p), th`ı vs = vs+T = 0, do 0 ≤ vn ≤ , p − 1, ∀n. Khi ¯ d´
o chı vi .êc ch .on kp = s − i, Suy ra vi+k = v p s = 0, v .ây (7.15) ¯d´ung. ,
b) Nê´u vs = vs+T 6= 0, th`ı t`u (7.16) c´o vs−1 = vs+T−1. Suy ra , , ,
{vn} tuâ`n ho`an không phai b´˘at ¯ dâ`u t` u vs ¯ diê`u n` ay mâu thu˜ ân v´ oi , , c´
ach ch .on s.Kha n˘ang n`ay không xây ra. , , , , T´
om l .ai h.ê th´uc (7.15) ¯d´ung trong tru`ong h .op 1). , ,
2) Nê´u s ≤ i th`ı h .ê th´uc (7.15) hiên nhiên ¯d´ung. Ta c´o vi+1 ≡ ,
ui+1 (mod p) ≡ uiui−1 + 1 (mod p) v .ây vi ≡ ui (mod p) nhung , , , , do p l`a u´
oc nguyên tô´cua ui suy ra vi ≡ 0 (mod p), nhu v .ây vi+1 ≡ 1 (mod p) hay l` a vi+1 = 1. , , , ,
Tuongt .u, do vi+k = 0 suy ra v v p i+kp+1 = 1. Nhu .ây suy ra {vn} , , , , , c˜ ung tuâ`n ho` an v´ oi chu k`
y kp t´uc l`a v´oi m .oi l nguyên duong, ta c´o vi+l.k = 0. (7.17) p Ngh˜ıa l` a ui+l.k chia hê´t cho p. p , , , , , , , ,
Nhu v .ây v´oi m .oi u´oc nguyên tô´ p cua ui ta xây d .ung ¯du .oc sô´kp sao cho (7.17) ¯ d´ ung. , , ,
G .oi m l`a b .ôi sô´ chung nho nhâ´t cua tâ´t ca c´ac sô´ kp, theo (7.3) , , ,
suy ra vi+lm = 0 v´oi m .oi l nguyên duong. Suy ra ui+lm chia hê´t cho , , , , , , tâ´t ca c´ ac u´
oc sô´ nguyên tô´ cua ui. T´uc l`a ui+lm chia hê´t cho ui v´oi , , , ,
m .oi sô´nguyên duong l. Lâ´y j = i + lm, ta c´o ¯diê`u phai ch´ung minh. J , , 78 Chuong 7. B`
ai t .âp d˜ây sô´nâng cao 7.2. B ` ai t .âp , , , ,
. 7.11. Nê´u ba sô´ nguyên tô´ th .uc s .u l´on hon 3 l.âp th`anh m .ôt câ´p ,
sô´c .ông th`ı công sai cua ch´ung chia hê´t cho 6. , , , . 7.12. cho f (n) l` a h` am x´ ac ¯
d.inh trên t.âp c´ac sô´nguyên duong nhu ,
sau: nê´u n = a1a2 . . . ak, th`ı f (n) = (a1 + a2 + · · · + ak)1998. V´oi m˜ôi , , ,
sô´nguyên duong n, l .âp d˜ay vô h.an ui(n), i = 1, 2, . . . nhu sau
ui(n) = f ( f (. . . f (n)i lâ`n f | {z } , , , , Ch´ ung minh r` ˘ ang v´
oi m .oi n nguyên duong, tô`n t.ai p sao cho d˜ay
ui(n), i = p, p + 1, . . . l`a d˜ay tuâ`n ho`an. ,
. 7.13. Cho u1, u2, . . . , un l`a d˜ay sô´ t`uy ´y gô`m n sô´ h .ang. Ch´ung , , minh r` ˘ ang luôn luôn tr´ıch ¯
du .oc m .ôt d˜ay con sao cho nê´u g .oi S l`a , ,, , , tông c´ ac phâ`n tu cua d˜
ay con â´y, th`ı S kh´ac v´ oi sô´ nguyên gâ`n nhâ´t , , , , 1
m .ôt lu .ong không vu .ot qu´a . n + 1 , , . 7.14. Ch´ ung minh r` ˘
ang nê´u nh˜ung sô´ nguyên a v`a m nguyên tô´ , c`
ung nhau, th`ı tô`n t .ai m .ôt sô´t .u nhiên n m`a t´ıch na chia cho m cho , sô´du 1. , , CHUONG 8 , , S ´ Ô TH .UC V ´ OI T .ÂP TR`U M .ÂT 8.1. T .âp tr`u m .ât , , , , , , , Trên ¯ du` ong th˘
ang th .uc ch´ung ta thu`ong quan tâm t´oi kh´ai ni.êm , , , , ,
m .ôt khoang (m .ôt ¯do.an th˘ang), ta c´o thê hiêu m .ôt khoang trên , , , , , , , , , ¯ du` ong th˘
ang th .uc l`a t.âp h .op tâ´t ca c´ac sô´ th .uc n`˘am gi˜ua hai ¯diêm , , , , , ¯ d˜
a cho. Nhu v .ây hai ¯diêm ¯dê x´ac ¯d.inh m .ôt khoang c´o thê n`˘am trong , ,
ho .˘ac n`˘am ngo`ai khoang ¯d´o ; ¯dây l`a xuâ´t ph´at cua kh´ai ni.êm ¯d´ong, ,, ,, , , , mo,.. o ng`
anh giai t´ıch, giai t´ıch h` am trong to´ an h .oc cao câ´p. Nhung ,, , , o ¯ dây ta không quan tâm ¯ diê`u ¯ d´ o, m` a chı quan tâm t´ oi c´ ac kh´ ai , , , , , ,
ni .êm sau ¯dây v´oi quan ¯diêm kiê´n th´uc so câ´p. V´oi a, b l`a sô´th .uc, k´y , , , , , ,
hi .êu [a,b] l`a khoang ¯du .oc t´ınh ca hai ¯diêm ¯dâ`u a, b v`a g .oi l`a khoang , ,, , , , ¯ d´ ong. Khoang mo ¯
du .oc k´y hi.êu l`a (a, b), không lâ´y hai ¯diêm ¯dâ`u , ,, ,, ,, , a, b. Ngo` ai ra ta c` on x´ et khoang nua ¯ d´
ong (nua mo ) do vi .êc ta chı , ,
lâ´y m .ôt trong hai ¯diêm ¯dâ`u a ho.˘ac b,v´ı d .u nhu [a, b) ho.˘ac (a, b]. M .ôt , , , ,
khoang trong t .âp sô´ th .uc g .oi l`a suy tho´ai nê´u n´o chı l`a m .ôt ¯diêm , , (t´ uc l` a khi hai ¯ diêm ¯ dâ`u tr` ung nhau). , , , ,
M .ôt t .âp h .op A cua sô´ th .uc g .oi l`a tr`u m .ât, nê´u m .oi khoang , ,, , không suy tho´ ai ¯ dê`u ch´
ua m .ôt sô´phâ`n tu cua A. , , , , ,
M .ôt v´ı d .u d˜ê thâ´y l`a t.âp h .op sô´ h˜uu ty gô`m c´ac sô´ c´o thê biêu , , , , , , di˜
ên nhu m .ôt thuong cua hai sô´ nguyên v`a t.âp h .op sô´ vô ty gô`m , , , , 80
Chuong 8. Sô´th .uc v´oi t.âp tr`u m.ât , , , , , nh´ ung sô´ không phai l` a sô´ h˜ uu ty ¯ dê`u l` a nh˜ ung t .âp tr`u m.ât trong , t .âp sô´th .uc. , , ,, , Ngu` oi ta c`
on mo r .ông kh´ai ni.êm tr`u m.ât cho m .ôt khoang trên , , , , , , , , ¯ du` ong th˘
ang th .uc. Cho ∆ l`a m .ôt khoang bâ´t k`y trên ¯du`ong th˘ang , , , ,
th .uc. Ch´ung ta g .oi t.âp h .op B gô`m nh˜ung sô´ th .uc l`a tr`u m.ât trong , , ∆ , , , , nê´u v´
oi m .oi khoang con không suy tho´ai cua ∆ ¯dê`u ch´ua nh˜ung ,, , , , , phâ`n tu cua B. R˜ o r`
ang t .âp h .op c´ac sô´ h˜uu ty tr`u m.ât trong m .oi , , , khoang; v`
a t .âp h .op c´ac sô´vô ty c˜ung c´o t´ınh châ´t â´y. , , , , , Nh˜ung k´
y hi .êu hay ¯du .oc d`ung: v´oi m .oi sô´th .uc x, k´y hi.êu [x] l`a , , , sô´ nguyên l´
on nhâ´t không vu .ot qu´a x, {x} l`a sô´ x − [x]; [x] v`a {x} , ,
g .oi l`a phâ`n nguyên v`a phâ`n th.âp phân cua sô´ x. T`u ¯d.inh ngh˜ıa c´o , , , ,
thê thâ´y ngay 0 ≤ x − [x] < 1. Ðê hiêu r˜ o hon kh´ ai ni .êm tr`u m.ât ,, trong phâ`n n` ay ta x´
et m .ôt lo.at b`ai to´an c´o liên quan v`a c´ach su d .ung , , , , nguyên l´ y Ðirichlê ¯ dê ch´ ung minh ¯ dinh l´ y co ban Kronecker. 8.2. V´ı d .u , , , ,
. 8.1. Nê´u m .ôt t .âp h.op A cua sô´th .uc l`a tr`u m .ât v`a r l`a sô´th .uc kh´ac , , ,
không, th`ı t .âp h.op gô`m tâ´t ca t´ıch sô´{ra} v´oi a ch .ay trong A c˜ung l`a t .âp tr`u m .ât. , , , , , , , L` oi giai. C´ o hai tru`
ong h .op xây ra: r > 0 v`a r < 0. V`ı c´ach ch´ung , , , , , , , minh ho` an to`
an tuong t .u nên ta chı x´et tru`ong h .op ¯dâ`u. Cho x v`a , x y , y l`
a hai sô´ th .uc v`a x < y. Khi ¯d´o < v`
a theo gia thiê´t A l`a t .âp r r ,, x y tr`
u m .ât, th`ı tô`n t.ai phâ`n tu a thu .ôc A sao cho < a < . Suy ra r r , , ,, , ,
x < ar < y. Nhu v .ây m .oi khoang mo (x, y) ch´ua sô´ d.ang ra v´oi a thu .ôc A. J , , , ,
. 8.2. (Ð.inh l´y Kronecker) V´oi m.oi sô´vô ty α, t .âp h.op tâ´t ca c´ac sô´c´o 8.2. V´ı d .u 81 ,, ,
d .ang mα + n l`a t .âp tr`u m .ât, o ¯dây m v`a n l`a nh˜ung sô´nguyên bâ´t k`y. , , , , , L`
oi giai. Câ`n phai ch´ ung minh r` ˘
ang m .oi khoang không suy tho´ai , , ∆ , , ch´ ua nh˜ ung ¯
diêm d .ang mα + n. Ch´ung ta chia khoang [0,1] ra , , , th`
anh m .ôt sô´h˜uu h.an khoang con ∆1, ∆2, . . . , ∆k m`a ¯d .ô d`ai cua m˜ôi , , , , , khoang con nho hon ¯
d .ô d`ai cua ∆. Ch´u ´y r`˘ang v´oi m .oi sô´ a tô`n t.ai ,
m .ôt sô´nguyên n, sao cho sô´ a + n n`˘am trong khoang [0,1]. Suy ra , , , , , , v´
oi m .oi sô´nguyên m c´o thê cho tuong ´ung v´oi m .ôt sô´d.ang mα + n, , , , , , m` a n´ o n` ˘
am trong khoang [0,1]. Nhung ¯
do .an th˘ang [0,1] ¯du .oc chia , , , , ra h˜
uu h .an khoang nho. Suy ra tô`n t.ai nh˜ung sô´nguyên m, m1, n, n1, , , v´
oi m 6= m1 v`a nh˜ung sô´ mα + n v`a m1α + n1 n`˘am trong c`ung m .ôt , , , , , , , khoang nho ∆i. Do ¯ d´ o khoang c´ ach gi˜ ua hai ¯ diêm n` ay nho hon ¯ d .ô , , , d`
ai cua ∆. Ch´ung ta c˜ung thâ´y không thê xây ra mα + n = m1α + n1, , , , n , , v`ı t` u ¯ d˘ ang th´ uc n` ay suy ra 1 − n α = m`
a l .ai l`a m .ôt sô´h˜uu ty, tr´ai m − m1 , , v´ oi gia thiê´t. , ,
Nhu v .ây ch´ung ta kh˘ang ¯d.inh r`˘ang sô´(m − m1)α + (n − n1) kh´ac , , , , , không v` a c´ o gi´
a tr.i tuy.êt ¯dô´i nho hon ∆. T`u ¯d´o suy ra m .ôt sô´u´oc sô´ , , cua n´ o, c˜ ung c´
o d .ang mα + n, s˜e n`˘am trong khoang ∆. J , , , , , . 8.3. Cho α l`
a m .ôt sô´vô ty duong. Khi ¯d´o t .âp h.op tâ´t ca sô´c´o d .ang , , , mα − n l`
a t .âp tr`u m .ât,v´oi m v`a n l`a nh˜ung sô´t .u nhiên bâ´t k`y. , , , , , L`
oi giai. Kê´t lu .ân cua b`ai n`ay m.anh hon ¯d.inh l´y trên v`ı n´o kh˘ang , , , , ¯
d.inh m .ôt t.âp sô´th .uc nho hon t.âp mô ta trong ¯dij nh l´y ¯d´o c˜ung tr`u m .ât. , ,, , Cho khoang không suy tho´
ai ∆ n`˘am o bên phai sô´ không v`a c´o , ,,, , , , , ¯
d .ô d`ai e > 0. Không anh huong ¯dê´n kê´t qua ch´ung minh c´o thê gia , , ,
thiê´t e < 1. Ngo`ai ra ta c´
o thê ch .on sô´t .u nhiên k sao cho k ≥ e . T`u α , 8.1 v`
a 8.2 suy ra t .âp c´ac sô´kpα + kq v´oi p v`a q l`a c´ac sô´nguyên bâ´t , , , , 82
Chuong 8. Sô´th .uc v´oi t.âp tr`u m.ât , k` y, l`
a t .âp tr`u m.ât. Ngh˜ıa l`a tô`n t.ai c´ac sô´nguyên p v`a q thoa m˜an
0 < kpα + kq < e. (8.1) , , , Ch´ ung ta s˜ e chı ra r` ˘ ang gi˜ ua nh˜
ung c .˘ap sô´nguyên (p, q) trong (8.1) , , , , , , c´ o nh˜
ung c .˘ap m`a p > 0. Th.ât v.ây, tru`ong h .op p = 0 không thê xây , , ra v`ı t`
u (8.1) suy ra 0 < kq < e, mâu thu˜ân v´ oi ¯ diê`u ta ¯ d˜ a biê´t l` a kq , , , , , l` a sô´ nguyên v`
a e < 1. Do v .ây chı c`on phai ch´ung minh cho tru`ong , , , , ,
h .op p < 0. Trong tru`ong h .op n`ay sô´ c´o d.ang kpsα + kqt v´oi s, t l`a , , nh˜ ung sô´ nguyên bâ´t k`
y, t .ao th`anh t.âp tr`u m.ât. T`u (8.1) suy ra tô`n
t .ai sô´nguyên s v`a t sao cho
0 < kpsα + kqt < kpα + kq. (8.2) , ,
Nê´u s < 0, th`ı kps > 0 v`a ch´
ung minh l .ai ¯d´ung. V`ı thê´ ta chı x´et , s ≥ 0. T`u (8.1) v` a (8.2) suy ra
0 < kp(1 − s)α + kq − kpt < e. (8.3) , , , , , , V`ı v´ oi s = 0 bâ´t ¯ d˘ ang th´
uc (8.2) không thê xây ra, nên s > 0. Nhung ,, ,
boi v`ı s l`a sô´ nguyên, th`ı t`u s > 0 suy ra s ≥ 1. T .ai v`ı ((8.3) không , , , , , , thê xây ra v´ oi s = 1, t`u bâ´t ¯ d˘ ang th´ uc cuô´i c` ung l .ai suy ra s > 1. ,
Nhu v .ây kp(1 − s) > 0. Ðiê`u ¯d´o c´o ngh˜ıa l`a tô`n t.ai c´ac sô´nguyên p , , v`
a q thoa m˜an (8.1) v`a p > 0. T`u (8.1) suy ra e
kq < e − kpα < e − p α = e(1 − p) ≤ 0 α , , ,
V .ây kq < 0. Theo c´ach n`ay (8.1) ¯du .oc ¯dua vê`d.ang 0 < mα − n < e, ,, , , ,, , , o ¯
dây m v`a n l`a nh˜ung sô´ t .u nhiên. Boi v`ı e l`a ¯d .ô d`ai cua∆, t`u bâ´t , , , , , ¯ d˘ ang th´ uc cuô´i c`
ung suy ra m .ôt u´oc sô´n`ao ¯d´o cua mα − n, c˜ung c´o , , , , , ,
d .ang n`ay, s˜e n`˘am trong ∆. Tuong t .u c˜ung ch´ung minh ¯du .oc khi ∆ ,, n` ˘ am o bên tr´ ai sô´không. J , , , . 8.4. Cho α l`
a sô´ vô ty bâ´t k` y. Khi ¯ d´
o t .âp h.op nh˜ung sô´d .ang {αn}, , , , v´ oi n l`
a sô´t .u nhiên bâ´t k`y, l`a t .âp tr`u m .ât trong khoang (0,1). 8.2. V´ı d .u 83 , , , , , L`
oi giai. Câ`n phai ch´ ung minh r` ˘
ang m .oi khoang con không suy , , , , biê´n (a, b) cua (0,1) ch´ ua sô´ c´
o d .ang {αn} v´oi m .ôt sô´ t .u nhiên , , , , n n` ao ¯ d´ o. Ch´ ung ta ch´ ung minh cho tru`
ong h .op khi α l`a m .ôt sô´ , , , , , duong. Theo b` ai 8.3 nh˜ ung sô´ c´
o d .ang nα − m v´oi n, m l`a c´ac sô´t .u , ,
nhiên, t .ao th`anh t.âp tr`u m.ât. Ngh˜ıa l`a tô`n t.ai nh˜ung sô´ t .u nhiên , , , m v`
a n thoa m˜an 0 ≤ a < nα − m < b < 1. Nhung t`u ¯ d.inh ngh˜ıa , ,
[αn] suy ra 0 ≤ nα − [nα] < 1. Ch´
ung ta nh .ân ¯du .oc hi.êu hai sô´ , ,
nguyên m v`a [nα] thoa m˜an −1 < m − [nαm] < 1, ¯ diê`u n` ay chı , , ,
xây ra khi m − [nαm] = 0, do ¯ d´
o m = [nα]. T`u (8.1) chı ra r`˘ang sô´ , ,
{nα} = nα − [nα] n`˘am trong khoang (a, b). V´oi α > 0, ch´ ung ta ¯ d˜ a , ch´ ung minh xong. , , , , Tru`
ong h .op α < 0. Khi ¯d´o −α > 0 v`a t`u b`ai 8.3 suy ra tô`n t.ai , , , nh˜
ung sô´ t .u nhiên m v`a n, thoa m˜an −1 ≤ −b < n(−α) − m < , , ,
−a ≤ 0. Nhân c´ac vê´v´oi -1 ch´
ung ta nh .ân ¯du .oc 0 ≤ a < nα − m < ,
b ≤ 1. Nhu v .ây d˜ê d`ang t´ınh ra m = −[nα] v`a {nα} n`˘am trong , khoang (a, b). J , , , ,
. 8.5. T .âp h.op tâ´t ca c´ac sô´d .ang {log n} v´oi n l`a sô´t .u nhiên bâ´t k`y l`
a t .âp tr`u m .ât trong (0,1). , , , , ,, , L` oi giai. Ch´ ung ta c´ o thê ch´
ung minh mo r .ông hon m .ôt ch´ut: t.âp , , ,
h .op c´ac sô´d.ang {n log 2} v´oi n l`a sô´t .u nhiên bâ´t k`y, l`a t.âp tr`u m.ât trong (0,1). , , Ðê ¯
d .at m .uc ¯d´ıch n`ay ch´ung ta ch´ung minh log 2 l`a m .ôt sô´ vô , , , , , , ,
ty. Th .ât v.ây, trong tru`ong h .op ngu .oc l.ai th`ı tô`n t.ai hai sô´ t .u nhiên p p , , , p v` a q, m`a log 2 = , ngh˜ıa l` a 2 = 10 q . L˜ uy th` ua ¯ d˘ ang th´ uc cuô´i q , , , c` ung v´ oi q ch´
ung ta nh .ân ¯du .oc 2q = 2p.5p. Ðiê`u n`ay tr´ai ¯d.inh l´y , , , , ,
co ban cua sô´ h .oc vê` vi.êc phân t´ıch ra th`ua sô´ nguyên tô´. Nhu v.ây , , , , 84
Chuong 8. Sô´th .uc v´oi t.âp tr`u m.ât , , ,
log 2 th .uc s .u l`a m .ôt sô´vô ty. Áp d .ung 8.4 suy ra t.âp c´ac sô´c´o d.ang {n log 2} l`a tr` u m .ât trong (0,1)., ,
M .˘at kh´ac, theo t´ınh châ´t cua logarit, log 2n = n log 2 v´oi m .oi n = 1, 2, . . . J , , . 8.6. Cho m l` a sô´ nguyên, n l`
a sô´ nguyên không âm. T .âp h.op tâ´t ca m c´ ac sô´c´ o d .ang l` a t .âp tr`u m .ât. 2n , , , , L` oi giai. Do c´ ac b` ai to´ an trên, ch´ ung ta chı câ`n ch´ ung minh r` ˘ ang , 3m , , , , t .âp h .op sô´d.ang v´
oi m, n l`a nh˜ung sô´ nguyên duong, l`a tr` u m .ât 2n , , , ,
trong khoang (0, +∞). Ðiê`u ¯ d´ o c´ o ngh˜ıa l` a v´ oi m .oi c.˘ap sô´ duong , , , 3m
a, b(a < b) tô`n t .ai nh˜ung sô´t .u nhiên m v`a n thoa m˜an a < < b. 2n , , , Sau khi logarit h´
oa c .˘ap bâ´t ¯d˘ang th´uc n`ay theo co sô´ 2, ch´ung ta , , , , , , , ,
nh .ân ¯du .oc c.˘ap bâ´t ¯d˘ang th´uc tuong ¯duong log a < m log 3 − n < 2 2 , , , , , , log b. C´ ach ch´
ung minh tuong t nhu 8.5 cho thâ´y log 3 l`a vô ty. 2 .u 2 , , Khi ¯ d´ o ¯
d.inh l´y Kronecker chı ra r`˘ang trong ¯do.an (log a, log b) ch´ua 2 2 sô´c´ o d .ang {m log 3 − n}. J 2 , , , ,
. 8.7. T .âp h.op tâ´t ca c´ac sô´ h .ang cua d˜ay x´ac ¯d.inh b`˘ang công th´uc n , 1 xn = , n = 1, 2, 3 . . ., l` a tr` u m .ât trong khoang ( , 1). 10[log n]+1 10 , , , 1 , L`
oi giai. Lâ´y hai sô´ th .uc a v`a b sao cho ≤ a < b ≤ 1. Câ`n phai 10 , , , n ch´ ung minh r` ˘
ang tô`n t .ai sô´ t .u nhiên n, thoa m˜an a < < 10[log n]+1 , , , , b. Sau khi logarit h´ oa bâ´t ¯ d˘ ang th´ uc trên v´ oi co sô´ 10 ch´ ung ta , , , , , , , ,
nh .ân ¯du .oc bâ´t ¯d˘ang th´uc tuong ¯duong 1 + log a < log n − [log n] = , , ,, ,
{log n} < 1 + log b. Nhung khoang mo v´oi c´ac ¯ dâ`u m´ ut 1 + log a , , v` a 1 + log b r˜ o r` ang n` ˘
am trong khoang (0, 1). Ðiê`u n`ay giai th´ıch t .ai , , , , ,,
sao tô`n t .ai m .ôt sô´t .u nhiên n thoa m˜an bâ´t ¯d˘ang th´uc sau c`ung, boi 8.2. V´ı d .u 85 ,
v`ı theo 8.5 t .âp h .op c´ac sô´ c´o d.ang {log n} l`a tr`u m.ât trong (0, 1). , ,
Nhu v .ây th`ı a < xn < b, ¯diê`u ta câ`n ch´ung minh. J , , , , . 8.8. Ch´ ung minh r` ˘
ang tô`n t .ai vô h .an nh˜ung sô´l˜uy th`ua cua 2, m`a ,
khi viê´t theo co sô´10 ch´ ung luôn luôn b´ ˘ at ¯ dâ`u b` ˘ ang 8975. , , , , L`
oi giai. M .ôt sô´ 2m b´˘at ¯dâ`u b`˘ang nh´om sô´ 8975 khi v`a chı khi v´oi , , , , , , ,
m .ôt sô´ t .u nhiên n n`ao ¯d´o, nh˜ung ¯d˘ang th´uc sau ¯du .oc thoa m˜an , , , ,
8975.10n ≤ 2m < 8976.10n. Nhu c´ ach giai c´ ac b` ai tru´ oc ch´ ung ta , , , , , , , , logarit h´ oa bâ´t ¯ d˘ ang th´ uc trên v`
a nh .ân ¯du .oc c´ac bâ´t ¯d˘ang th´uc tuong , , ¯
duong log 8975 ≤ m log 2 − n < log 8976. T .ai v`ı log 2 l`a m .ôt sô´ vô , , , , , ty, nên nh˜ ung sô´ c´
o d .ang m log 2 − n v´oi n, m l`a nh˜ung sô´t .u nhiên
t .ao th`anh m .ôt t.âp tr`u m.ât. Ðiê`u n`ay c´o ngh˜ıa l`a tô`n t.ai vô sô´c.˘ap sô´ , , , ,
t .u nhiên m v`a n thoa m˜an c´ac bâ´t ¯d˘ang th´uc sau c`ung, suy ra c˜ung , , , , , thoa m˜ an c´ ac bâ´t ¯ d˘ ang th´ uc tru´ oc ¯ d´ o. Ch´ u ´ y b` ai to´ an c` on ¯ d´ ung khi , , , , thay co sô´hai b` ˘ ang co sô´10 cua logarit v` a sô´8975 c´ o thê thay b` ˘ ang , , ,
m .ôt tô h .op sô´bâ´t k`y, ch´ung minh ¯diê`u n`ay d`anh cho b.an ¯d .oc. J , , , , . 8.9. V´
oi m .oi sô´ t .u nhiên n, k´y hi.êu xn l`a ch˜u sô´ ¯dâ`u tiên cua , , ,
sô´ 2n (trong c´ ach viê´t v´ oi co sô´ 10). Ch´ ung minh r` ˘ ang d˜ ay sô´ ,
x1, x2, . . . , xn, . . . không phai l`a d˜ ây tuâ`n ho` an. , , , ,, , , , , , L`
oi giai. Gia su ngu .oc l.ai l`a tô`n t.ai nh˜ung sô´ nguyên duong k v`a
d sao cho xk = xk+d = xk+2d = . . . = xk+nd = . . . N´oi c´ach kh´ac ,
2k, 2k+d, 2k+2d, . . . , 2k+nd, . . . c´ o c` ung ch˜ u sô´ ¯ daah u tiên trong c´ ach , , , , , viê´t v´ oi co sô´10. Bâ`y gi` o ch´ ung ta kh˘ ang ¯
d.inh r`˘ang m .oi sô´t .u nhiên , , , , N c´ o thê biêu di˜ ên du´
oi d .ang N = 10log N = 10[log N]+{log N} =
10[log N].10{log N}. V`ı 0 ≤ {log N} < 1, nên 1 ≤ 10{log N} < 10, suy , , , , , ra ch˜ u sô´ ¯ dâ`u tiên cua N tr` ung v´
oi phâ`n nguyên cua cua sô´10{log N}. , , , Ðê´n ¯
dây suy ra tô`n t .ai m .ôt ch˜u sô´ s, 1 ≤ s ≤ 9, thoa m˜an bâ´t ¯d˘ang , , , , 86
Chuong 8. Sô´th .uc v´oi t.âp tr`u m.ât , , th´
uc sau: s ≤ 10{log 2k+nd} < s + 1 v´
oi n = 0, 1, 2, . . .. Sau khi logarit , , h´ oa ¯ d˘ ang th´ uc trên ch´ ung ta c´
o log s ≤ {(k + nd) log 2} < log(s + , 1). Ðiê`u n` ay ngh˜ıa l` a tâ´t ca c´ ac sô´ c´ o d .ang {(k + nd) log 2}, n = , , 0, 1, 2, . . . n` ˘
am trong khoang [log s, log(s + 1)). D˜ê d`ang ch´ ung minh , , r` ˘
ang t .âp h .op nh˜ung sô´ n`ay tr`u m.ât trong ¯do.an (0,1). Ðiê`u ¯d´o tr´ai , ,, , , v´
oi kê´t lu .ân : tô`n t.ai t.âp con mo cua ¯do.an (0,1) không c´o ¯diêm , , , ,, , , chung v´
oi [log s, log(s + 1)). Nhu v .ây ¯diê`u gia su ngu .oc l.ai l`a sai. J , , , , . 8.10. H˜ ay t`ım trong ¯
do .an th˘ang [0, π], tâ´t ca sô´ th .uc t thoa m˜an , , , ,
bâ´t phuong tr`ınh cos nt ≥ cos t v´
oi m .oi sô´t .u nhiên n. , , , L` oi giai. - Ch´ ung ta s˜ e ch´ ung minh r` ˘ ang nê´u t c´ o t´ınh châ´t ¯ d˜ a nêu , t , , , ,, t trong b` ai to´ an th`ı ty sô´ l`
a m .ôt sô´ h˜uu ty. Th.ât v.ây gia su l` a π π , , , sô´ vô ty. Khi ¯ d´
o t 6= π ; Không mâ´t t´ınh tông qu´at ch´ ung ta c´ o thê , t , , , gia thiê´t r` ˘
ang 0 ≤ t < π. V`ı l` a sô´ vô ty duong, theo ¯ d.inh l´y 2π , , , , ,
Kronecker tô`n t .ai nh˜ung sô´ t .u nhiên m v`a n, thoa m˜an bâ´t phuong t t t , tr`ınh < m − n < 1 − , hay l`
a t < mt − 2nπ < 2π − t. T`u 2π 2π 2π , t´ınh châ´t cua h` am cos trong ¯
do .an [0, 2π] ch´ung ta suy ra cos mt = , ,
cos(mt − 2nπ) < cos t. Ðiê`u n` ay tr´ ai v´ oi c´
ach ch .on t, do v.ây ty sô´ t , , l` a sô´h˜ uu ty. π , , , , , p ,,
Nhu v .ây t c´o thê biêu di˜ên du´oi d.ang t = 2π, o ¯dây p v`a q l`a q , nh˜ ung sô´ nguyên tô´ c` ung nhau v`
a 0 ≤ p ≤ q (t .ai v`ı 0 ≤ t ≤ 2π ). q , ,
Nê´u q l`a sô´ch˜˘an, th`ı n = l`
a sô´t .u nhiên v`a ngo`ai ra p l`a sô´le, v`ı p 2 v` a q l`a nguyên tô´ c`
ung nhau. V`ı v .ây cos t ≤ cos nt = cos pπ = −1, , , , t` u ¯ d´
o suy ra cos t = −1 v`a t = π. R˜ o r`
ang π thoa m˜an tâ´t ca c´ac ¯ diê`u ki .ên ¯d˜a cho., , , , , , , , Ch´ ung ta chı c` on phai x´ et tru`
ong h .op q l`a sô´ le. C´o thê ch´ung 8.3. B` ai t .âp 87 , minh r` ˘ ang v´
oi m .oi n = 1, 2, . . . cos nt b`˘ang m .ôt sô´n`ao ¯d´o trong d˜ây sau ¯ dây 2π 2π 2π 2π 1 = cos 0. , cos 1. , cos 2. , . . . , cos((q − 1) ). (8.4) q q q q ,,
Th .ât v.ây, nê´u n = sq + r, o ¯dây 0 ≤ r ≤ q − 1, th`ı cos nt = cos(sqt + ,
rt) = cos(2psπ + rt) = cos rt. Nê´u q = 2k + 1 l` a m .ôt sô´ le, th`ı sô´ , k k + 1 nho nhâ´t trong (8.4) l` a c´ ac sô´ cos 2π v` a cos 2π. Lâ´y 2k + 1 2k + 1 p t =
2π, 0 ≤ t ≤ π, c´
o t´ınh châ´t mong muô´n, ch´ ung ta s˜ e 2k + 1 , , , , ch´ ung minh khi ¯ d´ o p = k. Ðê ¯
d .at m .uc ¯d´ıch n`ay chı câ`n chı ra r`˘ang , , k
tô`n t .ai m .ôt sô´nguyên duong n m`a cos nt = cos 2π. Th .ât v.ây: 2k + 1 , ,
v`ı 2k + 1 v`a p l`a nh˜ung sô´ nguyên tô´ c`
ung nhau tô`n t .ai nh˜ung sô´ , ,
nguyên m v`a n thoa m˜an 0 ≤ n ≤ 2k + 1 v`a (2k + 1)m + pn = k. T`u , , k ¯ d˘ ang th´ uc sau c` ung suy ra 2mπ + nt = 2π. Suy ra cos nt = 2k + 1 k , k cos 2π. D˜ê d` ang thâ´y r` ˘ ang nh˜ ung sô´ c´ o d .ang 2π v` a 2k + 1 2k + 1 k + 1 ,
2π, k = 0, 1, 2, . . . l`
a nghi .êm cua b`ai to´an. Kê´t lu.ân cuô´i c`ung 2k + 1 , , , k k + 1 , l` a nh˜ ung gi´
a tr.i cua t phai t`ım l`a t = π v`a 2π, 2π, v´ oi 2k + 1 2k + 1 k = 0, 1, 2 . . . . . . J 8.3. B ` ai t .âp , , , . 8.11. Cho a, b, c l` a nh˜
ung sô´ th .uc sao cho [an] + [bn] = [cn] v´oi , ,
m .oi sô´t .u nhiên n. Ch´ung minh r`˘ang ´ıt nhâ´t m .ôt trong c´ac sô´ a, b l`a nguyên. , , , ,
. 8.12. Cho α l`
a m .ôt sô´h˜uu ty. Ch´ung minh r`˘ang t.âp h .op c´ac sô´c´o ,
d .ang {αn}, n = 1, 2, . . . không tr`u m.ât trong khoang (0, 1). , , , , 88
Chuong 8. Sô´th .uc v´oi t.âp tr`u m.ât , , , , , . 8.13. Ch´ ung minh r` ˘ ang v´
oi m .ôt sô´vô ty bâ´t k`y α v`a m .ôt sô´h˜uu ty , bâ´t k`
y β, t .âp h .op sô´c´o d.ang {αn + β}, n = 1, 2, . . . l`a tr`u m.ât trong , khoang (0, 1). , , √ , , . 8.14. Ch´ ung minh r` ˘
ang t .âp h .op sô´d.ang { n} v´oi n l`a sô´t .u nhiên , l`
a t .âp tr`u m.ât trong khoang (0,1). , , CHUONG 9 , , , NH˜ UNG ´ UNG D .UNG KH ´AC CUA NGUYÊN L ´ Y ÐIRICHLE , ,
9.1. Xâ´p xı m .ôt sô´ th .uc , ,
. 9.1. Cho x l`
a m .ôt sô´th .uc, c`on n l`a m.ôt sô´t .u nhiên. Khi ¯d´o tô`n t .ai , , nh˜
ung sô´nguyên p v` a q thoa m˜
an 1 ≤ q ≤ n v` a p 1 x − ≤ . (9.1) q nq , , , L` oi giai. Ch´ ung ta x´ et nh˜
ung sô´ kx − [kx](k = 0, 1, 2, . . . , n). Ch´ ung , ,
gô`m n + 1 sô´v`a n`˘am trong khoang [0, 1]. Ch´ ung ta chia khoang [0, 1] , , ,
ra n khoang con b`˘ang nhau ∆1, ∆2, . . . , ∆n v`a ¯ d .ô d`ai cua m˜ôi khoang 1 n` ay b` ˘ ang . Theo nguyên l´
y Ðirichlê tô`n t .ai hai sô´kh´ac nhau k v`a l n , n` ˘
am trong 0, 1, 2, . . . , n, sao cho nh˜ung sô´kx − [kx] v`a lx − [lx] n`˘am , , , , trong c`
ung m .ôt khoang con th´u m. Do ¯d´o khoang c´ach gi˜ua ch´ung 1 , 1 không qu´ a , t´ uc l`
a |kx − [kx] − (lx − [lx])| ≤ , hay l` a n n 1
|(k − l)x − ([kx] − [lx])| ≤ . (9.2) n ,, , ,,, , , ,
Boi v`ı k 6= l, không anh huong ¯ dê´n kê´t qua ch´ ung minh ta c´ o thê , ,, gia thiê´t r` ˘
ang k > l. Boi v`ı ngo`ai ra c` on c´
o 0 ≤ k ≤ n, 0 ≤ l ≤ n,
nên 1 ≤ k − l ≤ n. Ta ¯
d .˘at q = k − l v`a p = [kx] − [lx]. Khi ¯d´o p v`a q , , , , , 90 Chuong 9. Nh˜ ung ´
ung d .ung kh´ac cua nguyên l´y Ðirichle , , , l` a nh˜ ung sô´ nguyên v` a thoa m˜ an 1 ≤ q ≤ n. V´ oi c´ ach d .˘at n`ay (9.2) , 1 , ¯
dua vê` d .ang |qx − p| ≤ , t`u ¯dây chia hai vê´cho q ta c´o (9.1). J n , , , , . 9.2. V´
oi m .oi sô´ th .uc x tô`n t .ai vô h .an sô´ t .u nhiên q, v´oi m˜ôi q tô`n , , ,
t .ai sô´nguyên p, sao cho ch´ung thoa m˜an bâ´t ¯d˘ang th´uc. p 1 x − ≤ . (9.3) q q2 , , , , , r , L`
oi giai. Nê´u x l`a sô´ h˜uu ty, t´ uc l` a x = v´
oi r l`a sô´ nguyên v`a s l`a s , , ,
sô´ t .u nhiên, th`ı kê´t lu.ân cua b`ai to´an l`a ¯d´ung, v`ı c´o thê ¯d.˘at p = mr , , , , , v` a q = ms v´
oi sô´t .u nhiên bâ´t k`y m. V´oi tâ´t ca c´ach ch .on p v`a q nhu , , , ,
v .ây (9.3) ¯du .oc thoa m˜an, v`ı vê´tr´ai luôn luôn b`˘ang không. Nhu v.ây , , , , , , , ,, , , chı c` on phai x´ et tru`
ong h .op x l`a sô´ vô ty. Gia su chı c´o h˜uu h.an sô´ , , ,
t .u nhiên q, m`a v´oi ch´ung tô`n t.ai sô´ nguyên p thoa m˜an (9.3), k´y ,
hi .êu ch´ung l`a q1, q2, . . . , ql. V´oi bâ´t k`y λ = 1, 2, . . . , l k´y hi.êu p l`a sô´ λ , nguyên thoa m˜ an p p λ x − ≤ x − q q λ λ , , ,, v´
oi m .oi sô´nguyên p. V`ı sô´x l`a vô ty, m .oi gi´a tr.i tuy.êt ¯dô´i o ph´ıa tr´ai , , , , , , bâ´t ¯ d˘ ang th´ uc trên l` a duong, sô´ nh˜ ung gi´
a tr.i tuy.êt ¯dô´i n`ay l`a h˜uu , 1 p h λ
.an. V`ı v .ây tô`n t .ai sô´ t .u nhiên n, sao cho < x − , (λ = n qλ 1, 2, . . . , l). , , , Theo b` ai tru´ oc s˜
e tô`n t .ai sô´ t .u nhiên q v`a sô´ nguyên p, sao cho , , p 1 1 (9.1) thoa m˜ an v` a 1 ≤ q ≤ n. Nhung khi ¯ d´ o x − ≤ ≤ = q qn qq 1 , , , , , , suy ra q = q v´
oi m .ôt sô´λ = 1, 2, . . . , l T`u nh˜ung bâ´t ¯d˘ang th´uc q2 λ 1 p p 1 , 1 1 trên suy ra < λ x − ≤ x − ≤ . Nhu v .ây < v`ı thê´ n q q nq n nq λ , ,
9.1. Xâ´p xı m .ôt sô´th .uc 91 , , , , , , q < 1, ¯ diê`u n` ay không thê ¯
du .oc v`ı q l`a sô´ t .u nhiên. Ta nh.ân ¯du .oc ¯ diê`u vô l´ y. J , , , . 9.3. V´
oi m .oi c > 2 bâ´t ¯d˘ang th´uc √ p 1 2 − ≤ . (9.4) q qc , , , , ¯ d´ ung chı v´ oi h˜
uu h .an c .˘ap sô´nguyên p v`a sô´t .u nhiên q. , , , , , L` oi giai. Ch´ ung ta ch´ ung minh bâ´t ¯ d˘ ang th´ uc sau l` a ¯ d´ ung √ p 1 √ 2 − ≤ . (9.5) q 3 2q2 , , , 1 , v´
oi m .oi sô´ nguyên p v`a v´oi m .oi sô´ t .u nhiên q. V`ı ≤ 1, bâ´t ¯ d˘ ang q2 , , √ p 1 , , th´
uc (9.5) tâ´t nhiên thoa m˜ an, khi √ 2 − > . Nhu v .ây chı q 3 2 , , , √ p 1 , √ 1 câ`n x´ et tru` ong h .op √ √ 2 − ≤ . Nhung khi ¯ d´ o 2 − ≤ q 3 2 3 2 p √ 1 ≤ 2 + √ suy ra q 3 2 p √ 0 < < 2 2. (9.6) q M .˘at kh´ac √ p √ p 2 − . 2 + √ p q q 2q2 − p2 2 − = = . (9.7) √ √ q p p 2 + q2 2 − q q , √ ,
Nhung sô´ 2q2 − p2 l`a sô´ kh´ac không, v`ı 2 l` a m .ôt sô´ vô ty. Ngo`ai , √ p ra n´ o l`
a sô´nguyên nên |2q2 − p2| ≥ 1 . T`u (9.7) suy ra 2 − ≥ q 1 , v` a c` ung v´ oi (9.6) cho ta (9.5). √ p q2 2 + q , , , , , 92 Chuong 9. Nh˜ ung ´
ung d .ung kh´ac cua nguyên l´y Ðirichle , ,, , , , , Gia su bâ´t ¯ d˘ ang th´ uc (9.4) ¯ d´ ung v´
oi m .ôt c.˘ap sô´(p, q) n`ao ¯d´o. T`u , , 1 1 , , (9.4) v` a (9.5) suy ra ¯ d˘ ang th´ uc √ ≤ . V`ı c > 2 bâ´t ¯ d˘ ang th´ uc 3 2 qc−2 , , , , , , n` ay chı ¯ d´ ung cho h˜
uu h .an sô´ t .u nhiên q. V´oi m˜ôi sô´ q nhu v.ây chı , , , , c´
o nhiê`u nhâ´t hai sô´ nguyên p, v´ oi ch´ ung thoa m˜ an bâ´t ¯ d˘ ang th´ uc , , , (9.4). Ngh˜ıa l` a (9.4) chı thoa m˜ an cho h˜ uu h .an c.˘ap sô´ p v`a q. J , , ,
. 9.4. Nê´u D l`
a sô´t .u nhiên bâ´t k`y, không l`a sô´ch´ınh phuong, th`ı tô`n , , , ,
t .ai vô h .an c´ac c .˘ap sô´t .u nhiên (x, y), l`a nghi.êm cua bâ´t phuong tr`ınh sau √ |x2 − Dy2| ≤ 1 + 2 D. (9.8) , , , L` oi giai. Theo b` ai 9.2 ta biê´t r` ˘
ang tô`n t .ai vô h.an c.˘ap sô´ (x, y) t .u nhiên, sao cho x √ 1 − D ≤ . (9.9) y y2 , ,
M .˘at kh´ac bâ´t ¯d˘ang th´uc sau l`a ¯d´ung x √ x √ √ x √ √ + D = ( − D) + 2 D ≤ − D + 2 D. y y y , Suy ra v´ oi m˜ ôi c .˘ap (x, y) ta c´o x √ 1 √ + D ≤ + 2 D. y y2 , , ,
Nhu v .ây, v´oi c´ach ch .on bâ´t k`y c.˘ap (x, y), sao cho thoa m˜an (9.9) , , ch´ ung ta nh .ân ¯du .oc √ √
|x2 − Dy2| = |x − y D|.|x + y D| 1 1 √ 1 √ √ ≤ ( + 2 Dy) ≤ + 2 D ≤ 1 + 2 D. y y y2 , , , Ðiê`u n` ay ¯ d˜ a ch´ ung minh r` ˘
ang bâ´t phuong tr`ınh (9.8) c´ o vô h .an , ,
nghi .êm trong t.âp h .op sô´t .u nhiên. J , ,
9.1. Xâ´p xı m .ôt sô´th .uc 93 , , ,
. 9.5. Nê´u D l`
a sô´ t .u nhiên bâ´t k`y, không l`a sô´ ch´ınh phuong, th`ı , , ,
phuong tr`ınh x2 − Dy2 = 1 c´
o ´ıt nhâ´t m .ôt nghi.êm nguyên (u, v) v´oi v 6= 0. , , , , , L` oi giai. Ch´ ung ta x´ et tâ´t ca c´
ac c .˘ap (x, y) sô´t .u nhiên, m`a n´o thoa √ √ m˜
an −1 − 2 D ≤ x2 − Dy2 ≤ 1 + 2 D. Theo b`ai 9.4 c´ o vô sô´ c .˘ap , , , , , , ,
sô´t .u nhiên thoa m˜an bâ´t ¯d˘ang th´uc trên, Nhung biêu th´uc x2 − Dy2 , , chı c´
o h˜uu h .an gi´a tr.i v`ı ch´ung l`a c´ac sô´ nguyên trong ¯do.an (−1 − √ √ , , 2 D, 1 + 2 D). Ngh˜ıa l`
a tô`n t .ai m .ôt sô´nguyên k, sao cho phuong , tr`ınh x2 − Dy2 = k c´
o vô h .an nghi.êm t .u nhiên (x, y). R˜o r`ang k 6= 0, , , √ , ,
v`ı nê´u ngu .oc l.ai th`ı d˜ân ¯dê´n mâu thu˜ân do sô´ D không thê biêu , , , , √ x , , , di˜ ên du´ oi d .ang h˜uu ty D = . Gi˜ ua nh˜
ung c .˘ap n`ay c´o thê ch .on ´ıt y ,
nhâ´t hai c .˘ap kh´ac nhau (x1, y1) v`a (x2, y2) m`a ch´ung thoa m˜an
x1 ≡ x2 (mod |k|), y1 ≡ y2 (mod |k|). (9.10) , , , , , ,
Th .ât v.ây,chı câ`n chı ra tâ´t ca c´ac kha n˘ang cua c´ac c.˘ap sô´ du theo , , , , mô¯ dun |k| c´
o sô´lu .ong h˜uu h.an. C´o ngh˜ıa l`a tô`n t.ai nh˜ung c.˘ap kh´ac , , nhau nh˜
ung sô´ t .u nhiên (x1, y1) v`a (x2, y2), m`a x2 − Dy2 = x2 − 1 1 2 , , , Dy2 = k v` a thoa m˜ an d˘ ang th´ uc (9.10). 2 , , Ch´ ung ta x´ et ¯ d˘ ang th´ uc √ √
(x1 − y1 D)(x2 + y2 D) = (x1x2 − y1y2D) + (x1y2 − x2y1). (9.11) , T` u (9.10) ch´ ung ta c´ o x1x2 − y1y2D ≡ x2 − ≡ 1 Dy21 k ≡ 0 (mod |k|),
x1y2 − x2y1 ≡ x1y1 − x1y1 ≡ 0 (mod |k|). Khi ¯ d´
o tô`n t .ai sô´nguyên u v`a v, sao cho x1x2 − y1y2D = ku, x1y2 − ,
x2y1 = kv. V`ı v .ây (9.11) c´o thê viê´t th`anh √ √ √
(x1 − y1 D)(x2 + y2 D) = k(u + v D). , , , , , 94 Chuong 9. Nh˜ ung ´
ung d .ung kh´ac cua nguyên l´y Ðirichle , , , , Nhân t`
ung sô´h .ang v´oi nhau trong c´ac ¯d˘ang th´uc sau c`ung ch´ung ta , , nh .ân ¯du .oc k2 = (x2 − − 1 Dy21)(x22 Dy22) = k2(u2 − Dv2), , , , , t` u ¯ d´
o suy ra u2 − Dv2 = 1, ngh˜ıa l`a c .˘ap (u, v) l`a nghi.êm cua phuong tr`ınh. , , , , , , Chı c` on phai ch´
ung minh v 6= 0. Nê´u gia thiê´t ngu .oc l.ai, ch´ung ta s˜ e c´
o x1x2 = y1y2D = |k| v`a x1y2 = x2y1. Khi ¯ d´ o |k|y2 = |(x1y2)x2 − y1y2 − − | 2 D| = |y1 x2 2 y1y22D| = y1|x22 Dy22 = |k|y1 , , , , t` u ¯ dây, v`ı k 6= 0 chı c´ o kha n˘
ang khi y1 = y2. Ðiê`u n`ay không thê , ,
xây ra v`ı (x1, y1) kh´ac (x2, y2) , c`on t`u y1 = y2 suy ra x1 = x2. J , , ,
. 9.6. Cho x1, x2, . . . , xn l`a nh˜ung sô´th .uc v`a N l`a sô´t .u nhiên. Khi ¯d´o ,
tô`n t .ai nh˜ung sô´nguyên p1, p2, . . . , pn, q sao cho 1 ≤ q ≤ Nn v`a p 1 i xi − ≤ , (9.12) q Nq , v´
oi m .oi i = 1, 2, . . . , n. , , , , , , , L` oi giai. Ch´ ung ta ch´ ung minh b` ai to´
an cho tru`ong h .op n = 2. V´oi , , , , , , , , ,
tru`ong h .op n l´on hon 2 ch´ung minh ho`an to`an tuong t .u v`a d`anh , , , ,
cho b .an ¯d .oc. Nhu v.ây cho x1 v`a x2 l`a nh˜ung sô´th .uc, c`on N l`a sô´t .u , , nhiên. Ch´ ung ta s˜ e ch´ ung minh r` ˘
ang tô`n t .ai nh˜ung sô´nguyên p1, p2 , , v` a q v´
oi 1 ≤ q ≤ N2 v`a thoa m˜an p 1 p 1 1 2 x1 − < , x2 − < . (9.13) q Nq q Nq , Ch´ ung ta cô´ ¯
d.inh h.ê t .oa ¯d .ô trong m.˘at ph˘ang v`a x´et h`ınh vuông Q , , , v´ oi c´ ac ¯
dınh (0, 0), (1, 0), (1, 1) v`a (0, 1) nhu h`ınh v˜e. Chia Q ra N2 , , 1 , , , h`ınh vuông nho b` ˘ ang nhau v´ oi c .anh l`a b` ˘ ang c´ ac ¯ du` ong th˘ ang N , , song song v´
oi tr .uc t .oa ¯d .ô (trong h`ınh v˜e ta chia v´oi N=7). , ,
9.1. Xâ´p xı m .ôt sô´th .uc 95 , Bây gi` o ch´ ung ta ch´ u ´ y ¯
dê´n c .˘ap sô´ c´o d.ang (qx1 − [qx1], qx2 − ,, , [qx2]), o ¯
dây q nh .ân nh˜ung gi´a tr.i nguyên 0, 1, 2, . . . , N2. V`ı 0 ≤ , , ,
qxi − [qxi] < 1, i = 1, 2, . . . , N2 m˜ôi c .˘ap nhu vây c´o thê coi nhu , ,
m .ôt c.˘ap t .oa ¯d .ô cua ¯diêm trong h`ınh vuông Q. B`˘ang c´ach ¯d´o m˜ôi sô´ , , , ,
0, 1, 2, . . . , N2 t .ao ra m .ôt ¯diêm tuong ´ung trong h`ınh vuông Q , sô´ , , , , ,
lu .ong c´ac sô´ ¯d´o l`a N2 + 1. Nhung Q ¯du .oc chia ra N2 h`ınh vuông ,
nho, suy ra tô`n t .ai hai sô´nguyên kh´ac nhau q1, q2 trong ¯do.an [0, N], , , , , , m` a ¯ diêm tuong ´ ung v´ oi ch´ ung c´ o c´
ac t .oa ¯d .ô (q1x1 − [q1x1], q1x2 −
[q1x2]), (q2x1 − [q2x1], q2x2 − [q2x2]) v`a c`ung n`˘am trong m .ôt h`ınh , , 1 vuông nho v´ oi c .anh . Ðiê`u ¯ d´ o c´ o ngh˜ıa l` a N 1
|(q1x1 − [q1x1]) − (q1x2 − [q1x2])| ≤ , N 1
|(q2x1 − [q2x1]) − (q2x2 − [q2x2])| ≤ . (9.14) , , , N
Không mâ´t t´ınh tông qu´ at c´
o thê gia thiê´t q1 > q2. Nê´u ¯ d .˘at q = , ,
q1 − q2, p1 = [q1x1] − [q2x1], p2 = [q1x2] − [q2x2] th`ı bâ´t ¯ d˘ ang th´ uc (9.14) c´ o d .ang 1 1 |qx1 − p1| ≤ , |qx . (9.15) N 2 − p2| ≤ N Ch´ ung ta thâ´y r` ˘
ang 1 ≤ q ≤ N2, v`ı 1 ≤ q2 < p1 ≤ N2. Chia hai vê´ , , , cua (9.15) cho q ch´
ung ta nh .ân ¯du .oc (9.13). J , , , , Hai b` ai to´ an du´ oi ¯ dây liên quan t´
oi m .ôt t´ınh châ´t m`a ta ¯d˜a ch´ung ,, , , , ,, ,
minh o chuong 2. Ðê mo r .ông t´ınh châ´t n`ay ch´ung ta ¯dua v`ao ¯d.inh ngh˜ıa. ,
Nê´u a1, a2, . . . , a2n+1 l`a 2n + 1 sô´th .uc (n ≥ 1). Ch´ung ta n´oi r`˘ang , d˜ ay n` ay c´
o t´ınh châ´t P, nê´u bâ´t k` y 2n sô´ trong ch´ ung c´ o thê chia , , l` am hai nh´ om, m˜ ôi nh´
om n sô´, sao cho tông cua c´ac sô´ trong hai nh´ om b` ˘ ang nhau. , , , , , 96 Chuong 9. Nh˜ ung ´
ung d .ung kh´ac cua nguyên l´y Ðirichle , , . 9.7. Ch´ ung minh r` ˘
ang m .oi b.ô 2n + 1 sô´ gô`m nh˜ung sô´ nguyên , , , duong c´
o t´ınh châ´t P, th`ı tâ´t ca c´ ac sô´ ¯ dê`u b` ˘ ang nhau. , , , , , L` oi giai. Ch´ ung minh b` ˘
ang qui n .ap theo sô´ l´on nhâ´t cua d˜ây sô´. , , Nê´u sô´ l´ on nhâ´t b` ˘ ang 1 th`ı tâ´t ca c´ ac sô´ c`
on l .ai c˜ung ¯dê`u l`a 1, nên , , , ,, , b` ai to´ an ¯ d˜ a giai. Bây gi`
o gia su kê´t lu .ân ¯d´ung v´oi m .oi b .ô 2n+1 sô´ , , , , nguyên duong m` a m˜
ôi sô´không vu .ot qu´a k, k ≥ 2 v`a c´o t´ınh châ´t P. , ,
Lâ´y p1, p2, . . . , p2n+1 l`a b .ô sô´nguyên duong c´o t´ınh châ´t P v`a m˜ôi sô´ , , ,
không vu .ot qu´a k + 1. T`u ¯diê`u ki.ên b`ai to´an suy ra p1, p2, . . . , p2n+1 , c´ o c` ung t´ınh ch˜ ˘ an le.
a) Nê´u p1, p2, . . . , p2n+1 l`a c´ac sô´ ch˜˘an, ch´ung ta x´et c´ac sô´ p1 p p , 2 , . . . ,
2n+1 . Ch´ung ta thâ´y ngay ch´ung c˜ung c´o t´ınh châ´t 2 2 2 , , , P. Ngo`
ai ra m .oi sô´ không vu .ot qu´a k v`ı pi ≤ k + 1 v´oi m .oi i = p p p 1, 2, . . . , 2n + 1. B` ˘ ang qui n 1 2 2n+1 .ap suy ra = = . . . = .Ngh˜ıa 2 2 2 l` a p1 = p2 = . . . = p2n+1. , ,
b) Nê´u p1, p2, . . . , p2n+1 l`a c´ac sô´ le, ch´ung ta ch´ung b`˘ang qui
n .ap cho d˜ay p1 − 1, p2 − 1, . . . , p2n+1 − 1. Ch´ung c˜ung c´o t´ınh châ´t , , , , P v`
a không vu .ot qu´a k, ch´ung ta nh.ân ¯du .oc p1 − 1 = p2 − 1 = . . . =
p2n+1 − 1. Ngh˜ıa l`a p1 = p2 = . . . = p2n+1. J , , , , , . 9.8. Ch´ ung minh r` ˘
ang m .oi b.ô 2n+1 sô´ gô`m nh˜ung sô´ th .uc duong , c´
o t´ınh châ´t P, th`ı tâ´t ca c´ ac sô´ ¯ dê`u b` ˘ ang nhau. , , , L`
oi giai. - Hiên nhiên r` ˘ ang nê´u c´
ac sô´ a1, a2, . . . , a2n+1 c´o t´ınh châ´t , P v`
a q l`a sô´ th .uc bâ´t k`y, th`ı c´ac sô´ qa1, qa2, . . . , qa2n+1 c˜ung c´o t´ınh châ´t P. , , , , , , Bây gi`
o cho x1, x2, . . . , x2n+1 l`a nh˜ung sô´ th .uc duong v´oi t´ınh , , , , ,
châ´t P. Nê´u tâ´t ca c´ ac sô´ l` a h˜ uu ty th`ı ¯ diê`u kh˘ ang ¯ d.inh cua b`ai to´an , , suy ra không kh´
o. Th .ât v.ây, k´y hi.êu q l`a b .ôi sô´chung nho nhâ´t cua , ,
9.1. Xâ´p xı m .ôt sô´th .uc 97 , m˜ âu sô´ c´ ac sô´ trên. Khi ¯ d´
o qx1, qx2, . . . , qx2n+1 l`a nh˜ung sô´ nguyên , , , , , duong c´ o t´ınh châ´t P, theo c´ ach ch´ ung minh b` ai tru´ oc ch´ ung ta c´ o ,
qx1 = qx2 = . . . = qx2n+1. V`ı v .ây x1 = x2 = . . . = x2n+1. Chı c`on , , , , , phai ch´ ung minh tru`
ong h .op c´o trong d˜ây x1, x2, . . . , x2n+1 m .ôt sô´ , , , , ,
vô ty. Nhung theo kê´t qua cua b`
ai 9.6 tô`n t .ai sô´ t .u nhiên q, v`a c´ac , , ,
sô´nguyên duong p1, p2, . . . , p2n+1 thoa m˜an p 1 |x i i − | < , i = 1, 2, . . . , n. (9.16) q 1 q1+ 2n+1 , , , , Tru`
ong h .op riêng, tô`n t.ai p1, p2, . . . , p2n+1, q v´oi q > (2n)2n+1 v`a , 1 ch´ ung thoa m˜ an |qxi − pi| ≤ , i = 1, 2, . . . , n. 1 q 2n+1 , ,
Ð .˘at αi = qxi − pi, i = 1, 2, . . . , 2n + 1. Nhu phâ`n ¯dâ`u kh˘ang ¯d.inh , r` ˘
ang qx1, qx2, . . . , qx2n+1 c´o t´ınh châ´t P. Ch´ung ta s˜e ch´ung minh r` ˘
ang p1, p2, . . . , p2n+1 c˜ung c´o t´ınh châ´t P. Ch .on 2n sô´ trong ¯d´o, v´ı ,
d .u nhu p1, p2, . . . , p2n . V`ı qx1, qx2, . . . , qx2n c´o t´ınh châ´t P, không , , , mâ´t t´ınh tông qu´ at ch´ ung ta lâ´y ¯ d˘ ang th´
uc qx1 + qx2 + · · · + qxn =
qxn+1 + qxn+2 + · · · + qx2n, khi ¯ d´
o (p1 + α1) + (p2 + α2) + · · · +
(pn + αn) = (pn+1 + αn+1) + (pn+2 + αn+2) + · · · + (p2n + α2n). Ch´ ung ta viê´t l .ai
p1 + p2 + · · · + pn − pn+1 − pn+2 − · · · − p2n =
= αn+1 + αn+2 + · · · + α2n − α1 − α2 − · · · − αn. (9.17) , , Vê´ bên tr´ ai ¯ d˘ ang th´ uc trên l`
a sô´ nguyên nên sô´ α = αn+1 + ,
αn+2 + · · · + α2n − α1 − α2 − · · · − αn c˜ ung l` a sô´ nguyên. Nhung 1 |αi| ≤ , i = 1, 2, . . . , n. Do ¯ d´ o | 1
α| ≤ |αn+1| + |αn+2| + · · · + q 2n+1 2n
|α2n| + |α1| + |α2| + · · · + |αn| <
< 1, v`ı q > (2n)2n+1. Khi 1 q 2n+1 , , , , , 98 Chuong 9. Nh˜ ung ´
ung d .ung kh´ac cua nguyên l´y Ðirichle , , , , , ¯ d´ o α = 0 v`a t`u ¯ d˘ ang th´ uc tru´ oc ¯ d´ o ta c´ o p1 + p2 + · · · + pn = , , , , ,
pn+1 + pn+2 + · · · + p2n Nhu v .ây ch´ung ta kh˘ang ¯d.inh ¯du .oc nh˜ung ,
sô´ nguyên p1, p2, . . . p2n+1 c´o t´ınh châ´t P. Ch´ung ta c´o thê kê´t lu .ân , , ¯ du .oc p1 = p2 = . . . = p2n+1 , , , ,
Th .uc châ´t ¯dê´n ¯dây ch´ung ta ¯d˜a ch´ung minh ¯du .oc : , ,
Nê´u p1, p2, . . . , p2n+1, q l`a nh˜ung sô´ nguyên thoa m˜an (9.16) v`a
q > (2n)2n+1 th`ı p = p1 = p2 = . . . = p2n+1. Suy ra (9.16) c´o d .ang p 1 |xi − | < , i = 1, 2, . . . , 2n + 1 q 1 q1+ 2n+1 , , Trong 9.6 ch´ ung ta kh˘ ang ¯
d.inh r`˘ang tô`n t.ai vô h.an sô´ t .u nhiên q , , , thoa m˜
an (9.16). Không mâ´t t´ınh tông qu´ at ch´ ung ta gia thiê´t r` ˘ ang , ,, nh˜ ung sô´ ¯ d´ o l`
a q1 < q2 < . . . < qk < . . ., o ¯ dây q1 > (2n)2n+1. Trong , , , , tru`
ong h .op n`ay v´oi m .oi k tô`n t.ai sô´nguyên pk sao cho p 1 |x k i − | < , i = 1, 2, . . . , 2n + 1. (9.18) q 1 k 1+ q 2n+1 k 1 , , p V`ı lim = 0 khi k tiê´n t´ oi vô c` ung, t` u (9.18) suy ra lim k = 1 1+ qk q 2n+1 k , , ,
xi khi k tiê´n t´oi vô c`ung, v´oi m .oi i = 1, 2, . . . , 2n + 1. Nhung m˜ôi d˜ay , , ,
sô´ th .uc không c´o nhiê`u hon m .ôt gi´oi h.an, suy ra x1 = x2 = . . . = x2n+1. J , , , . 9.9. Ch´ ung minh r` ˘ ang trong t´ am sô´, m˜ ôi sô´ c´ o ba ch˜ u sô´, bao gi` o , , , , , , c˜
ung ch .on ¯du.oc hai sô´ c´o ba ch˜u sô´ v`a ¯dê khi gh´ep l .ai ta ¯du.oc m.ôt sô´ chia hê´t cho 7. , , , L`
oi giai. Khi mang t´
am sô´ chia cho 7 th`ı thê n` ao c˜ ung c´ o hai sô´ c´ o , , ,, , c` ung sô´du (nguyên l´
y Ðirichlê ). Gia su hai sô´ ¯ d´ o l` a abc v`a αβγ. Hiên 9.2. B` ai t .âp 99 ,
nhiên abcαβγ = 1000abc + αβγ. T`u c´ach ch .on ta c´o abc = 7m + r , , v` a αβγ = 7n + r v´
oi 0 ≤ r < 7 v`a m, n, r l`a c´ac sô´ t .u nhiên. V`ı
v .ây abcαβγ = 1000(7m + r) + (7n + r) = 7(1000m + n) + 1001.r = 7(1000m + n + 143.r). J , ,
. 9.10. Cho a, b, c, d l` a c´ ac sô´ nguyên. Ch´ ung minh r` ˘ ang t´ıch cua c´ ac
hi.êu b − a, c − a, d − a, d − c, b − d v`a c − b chia hê´t cho 12. , , , L`
oi giai. Câ`n ch´
ung minh t´ıch: P = (b − a)(c − a)(d − a)(d − c)(d −
b)(c − b) chia hê´t cho 12=4.3. Ch´ ung ta biê´t r` ˘ ang m .ôt sô´ nguyên , , bâ´t k`
y khi chia cho 4 th`ı chı c´ o c´ ac sô´du 0, 1, 2, 3. , ,
Trong bô´n sô´ a, b, c, d cho tru´ oc nê´u c´ o hai sô´ khi chia cho 4 m` a , , c´ o c`
ung sô´ du th`ı hi .êu cua ch´ung s˜e chia hê´t cho 4. Nê´u không c´o , , hai sô´ n` ao khi chia cho 4 cho c`
ung sô´ du th`ı trong bô´n sô´ phai c´ o , , , , hai sô´ ch˜ ˘ an v`
a hai sô´ le. V`ı hi .êu cua hai sô´ch˜˘an c˜ung nhu hi.êu cua , hai sô´le ¯ dê`u l` a sô´ch˜ ˘ an nên P chia hê´t cho 4. , ,
M .˘at kh´ac trong bô´n sô´a, b, c, d luôn t`ım ¯du .oc hai sô´khi chia cho , , 3 th`ı c´ o c` ung sô´du (nguyên l´ y Ðirichlê ). Do ¯ d´ o hi .êu cua ch´ung chia
hê´t cho 3, suy ra P chia hê´t cho 3. T´
om l .ai P chia hê´t cho 12=4.3. J 9.2. B ` ai t .âp , , . 9.11. Cho x l`
a m .ôt sô´th .uc, c`on n l`a m .ôt sô´t .u nhiên. Khi ¯d´o tô`n t.ai , , p 1 nh˜
ung sô´nguyên p v`a q thoa m˜an 1 ≤ q ≤ n v`a x − ≤ . q (n + 1)q , , ,
. 9.12. Cho x1, x2, . . . , xm l`a nh˜ung sô´th .uc v`a n l`a sô´t .u nhiên. Khi , , ¯ d´
o tô`n t .ai nh˜ung sô´ nguyên p1, p2, . . . , pn, q không ¯dô`ng th`oi b`˘ang 0, sao cho ta c´ o q ≤ n( µ
µ = 1, 2, . . . , m) v` a 1
|q1x1 + q2x2 + · · · + qmxm − p| ≤ . (n + 1)m , , , , , 100 Chuong 9. Nh˜ ung ´
ung d .ung kh´ac cua nguyên l´y Ðirichle , , . 9.13. Ch´ ung minh r` ˘ ang v´
oi m .oi c.˘ap sô´nguyên p v`a q > 0 ta ¯dê`u √ √ , , √ p 3 − 2 c´ o bâ´t ¯ d˘ ang th´ uc sau 2 − ≥ . q q2 , , . 9.14. Ch´ ung minh r` ˘ ang v´
oi m .oi c.˘ap sô´nguyên p v`a q > 0 ta ¯dê`u , , √ p 1 c´ o bâ´t ¯ d˘ ang th´ uc sau √ 3 − ≥ . q 3 3q2 , , , , . 9.15. Cho m, n v`
a s l`a nh˜ung sô´nguyên v`a α l`a nghi .êm cua phuong ,
tr`ınh b .âc hai mx2 + nx + s = 0, (m 6= 0). Ch´ung minh r`˘ang nê´u α l`a , , , , p c , sô´ vô ty, th`ı tô`n t
.ai m .ôt sô´ duong c thoa m˜ an α − ≥ v´ oi m .ôi q q2
c .˘ap sô´nguyên p v`a q > 0. , , CHUONG 10 NGUYÊN L ´ Y ÐIRICHLÊ CHO DI .ÊN T´ICH , 10.1. Ph ´ at biêu nguyên l´
y Ðirichlê cho di .ên t´ıch , , , , , Trong chuong n` ay ch´ ung ta x´ et nh˜
ung t .âp h .op trên m.˘at ph˘ang, , , , nh˜ ung ph´ ep to´ an trên c´
ac t .âp h .op nê´u c´ac b.an chua quen biê´t c´o , ,, ,
thê xem o Ph .u ¯d´ınh cuô´i s´ach. Ch´ung ta quan tâm t´oi c´ac kh´ai ni.êm sau ¯ dây: , ,
M .ôt t.âp h .op trong m.˘at ph˘ang g .oi l`a b.i ch .˘an, khi tô`n t.ai m .ôt , , , , h`ınh tr` on ch´ ua to`
an b .ô c´ac ¯diêm cua t.âp h .op ¯d´o. Khi không tô`n t.ai , , ,
m .ôt h`ınh tr`on n`ao nhu trên th`ı t.âp h .op ¯d´o g .oi l`a t.âp h .op không b.i , ,, ,
ch .˘an. V´ı d .u nhu m .ôt ¯da gi´ac lô`i l`a t.âp b.i ch.˘an c`on nua m.˘at ph˘ang l`a , , , ,
t .âp h .op không b.i ch.˘an. D˜ê d`ang ch´ung minh ¯du .oc c´ac t´ınh châ´t sau , , , cua nh˜ ung t .âp h .op b.i ch.˘an , , , ,
1. H .op v`a giao cua h˜uu h.an nh˜ung t.âp b.i ch.˘an l`a m .ôt t.âp b.i ,
ch .˘an. Hi.êu cua hai t.âp b.i ch.˘an l`a m .ôt t.âp b.i ch.˘an. , ,
2. M .ôt t.âp h .op con cua m .ôt t.âp b.i ch.˘an l`a m .ôt t.âp b.i ch.˘an. M .ôt , , ,
t .âp h .op ch´ua m .ôt t.âp h .op con không b.i ch.˘an th`ı n´o c˜ung không b.i ch .˘an. , , , , ,
M .ôt ¯diêm P g .oi l`a ¯
diêm biên cua t .âp h .op A trong m.˘at ph˘ang, , , 102 Chuong 10. Nguyên l´
y Ðirichlê cho di .ên t´ıch , , , ,
nê´u m .oi h`ınh tr`on tâm t.ai P c´o ch´ua nh˜ung ¯diêm thu .ôc A v`a ca , , , , , , nh˜ ung ¯
diêm không thu .ôc A.T.âp h .op tâ´t ca c´ac ¯diêm biên cua A g .oi , , , , l`
a biên cua A v`a k´y hi .êu l`a K(A). V´ı d .u biên cua h`ınh tr`on l`a ¯du`ong , , tr` on v´ oi c` ung tâm v` a b´
an k´ınh. V´ı d .u ¯d.˘ac bi.êt v`a t´ınh châ´t biên cua , , t .âp h .op nhu sau: , , , , ,
3. Cho t .âp h .op A gô`m to`an b .ô nh˜ung ¯diêm c´o t .oa ¯d .ô h˜uu ty ,
trong m .ôt h`ınh vuông v´oi t .oa ¯d .ô c´ac ¯dir nh (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1). , D˜ ê d` ang thâ´y r` ˘
ang biên cua A l`a to`an b .ô h`ınh vuông n´oi trên. , , , , 4. V´
oi m .oi t.âp h .op A gô`m c´ac ¯diêm trong m.˘at ph˘ang ¯dê`u c´o , công th´ uc sau K(K(A)) ⊂ K(A). , , ,
5. M .oi c.˘ap t.âp h .op bâ´t k`y trong m.˘at ph˘ang ¯dê`u thoa m˜an c´ac , công th´ uc sau K(A ∪ B) ⊂ K(A) ∪ K(B) K(A ∩ B) ⊂ K(A) ∩ K(B) K(A\B) ⊂ K(A) ∪ K(B) , , , , , ,
M .ôt ¯diêm P g .oi l`a ¯
diêm trong cua t .âp h .op A nh˜ung ¯diêm trong ,
m .˘at ph˘ang, khi tô`n t.ai h`ınh tr`on tâm P m`a n´o n`˘am tr .on trong A. , , , , T` u ¯
d.inh ngh˜ıa n`ay thâ´y ngay l`a m .oi ¯diêm trong cua t.âp h .op A ¯dê`u , , ,, ,
thu .ôc A. Ðiê`u ngu .oc l.ai không ¯d´ung: trong v´ı d .u 3 o trên t.âp h .op A , không c´
o m .ôt ¯diêm trong n`ao. Ta thâ´y ngay , , ,
6. M .ôt ¯diêm thu .ôc A l`a ¯diêm trong cua A khi v`a chi khi n´o không , , , , , l` a ¯
diêm biên cua A. Ðiê`u n`ay giai th´ıch t .ai sao nh˜ung ¯diêm trong , , , cua h`ınh tr` on không n` ˘ am trên ¯ du` ong tr` on. , , , ,
Ðê lo .ai tr`u c´ac t.âp h .op ¯d.˘ac bi.êt, ch´ung ta ¯dua v`ao m .ôt kh´ai ni.êm , , , , ¯
d .˘ac chung cho l´op t.âp h .op không ¯d.˘ac bi.êt trong m.˘at ph˘ang : M .ôt , , ,
t .âp h .op b.i ch.˘an c´ac ¯diêm trong m.˘at ph˘ang g .oi l`a bê` m .˘at, khi biên , , , , cua n´ o không ch´ ua ¯ diêm trong (cua biên). ,
V´ı d .u c´ac h`ınh tr`on ho.˘ac ¯da gi´ac ¯dê`u l`a bê`m.˘at trong m.˘at ph˘ang. , 10.1. Ph´ at biêu nguyên l´
y Ðirichlê cho di .ên t´ıch 103 , ,
Nhung trong v´ı d .u 3 t.âp h .op A không l`a bê` m.˘at. B`˘ang c´ach d`ung , c´ ac ¯
d.inh ngh˜ıa vê` t.âp h .op v`a c´ac ¯d.inh ngh˜ıa trong phâ`n trên ch´ung , , , ta ch´ ung minh ¯ du .oc , ,
7. Nê´u A v`a B l`a hai bê` m .˘at, nh˜ung t.âp h .op A ∪ B, A ∩ B v`a , , A\B c˜ ung l` a nh˜
ung bê` m .˘at trong m.˘at ph˘ang. ,
8. Nê´u A, B v`a C l`a c´ac bê` m .˘at v`a A không c´o chung ¯diêm trong , , , , v´ oi B v`a v´ oi C, th`ı A không c´ o ¯ diêm trong chung v´ oi B ∪ C. , , , ,
M .ôt trong nh˜ung ¯d.inh l´y co ban trong h`ınh h .oc ph˘ang, nhiê`u khi ,, , , o phô thông ch´
ung ta công nh .ân nhu m .ôt tiên ¯dê`: , , , , , ,
9. M .oi bê` m.˘at A nh˜ung ¯diêm trong m.˘at ph˘ang c´o thê cho tuong ´, , , ung v´
oi m .ôt sô´th .uc không âm S(A) sao cho ,
a) S(∆) = 1, v´oi ∆ l`a m .ôt h`ınh vuông c´o c.anh l`a 1; ,
b) Nê´u A v`a B l`a hai bê` m .˘at không c´o ¯diêm trong chung, th`ı S(A ∪ B) = S(A) + S(B). , , , , , , Ph´ ep cho tuong ´ ung S v´ oi c´ ac t´ınh châ´t trên ¯ du .oc x´ac ¯d.inh m .ôt c´ ach duy nhâ´t. , ,
Cho bê`m .˘at A bâ´t k`y, sô´S(A) g .oi l`a di.ên t´ıch cua A. Nh˜ung m.˘at , , , , , , ¯ d˜ a ¯
du .oc x´et trong c´ac tru`ong phô thông l`a h`ınh ch˜u nh.ât, tam gi´ac, , h`ınh tr` on,. . . v` a sô´ S(A) theo ¯
d.inh ngh˜ıa trên tr`ung v´oi kh´ai ni.êm , , , , ,
di .ên t´ıch cua c´ac h`ınh n`ay. V´oi c´ach tr`uu tu .ong h´oa kh´ai ni.êm di.ên , , t´ıch ch´ ung ta d˜ ê d` ang khao s´
at t´ınh châ´t vê` di .ên t´ıch cua c´ac h`ınh. , , , , , T` u a) v` a b) ch´ ung ta c´ o thê d˜ ê d` ang ch´ ung minh ¯ du .oc: ,
10. Nê´u A v`a B l`a nh˜ung bê` m .˘at v`a A ⊂ B, th`ı S(A\B) = S(A) − S(B). ,
11. Nê´u A1, A2, . . . , An l`a c´ac bê` m .˘at t`ung ¯dôi m .ôt không c´o , ¯
diêm trong chung, th`ı S(A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An) = S(A1) + S(A2) + , , 104 Chuong 10. Nguyên l´
y Ðirichlê cho di .ên t´ıch · · · + S(An). Nguyên l´
y Ðirichlê cho di .ên t´ıch: Nê´u A l`a m.ôt bê` m.˘at, c`on
A1, A2, . . . , An l`a c´ac bê` m .˘at sao cho Ai ⊂ A(i = 1, 2, . . . , n) v`a
S(A) < S(A1) + S(A2) + · · · + S(An), th`ı ´ıt nhâ´t c´o hai bê` m .˘at , trong sô´c´
ac bê` m .˘at trên c´o m.ôt ¯diêm trong chung. , , C˜ ung nhu nguyên l´ y ¯ dâ`u tiên, ch´ ung ta c˜ ung c´ o thê thâ´y ¯ diê`u , , , , , ,, n` ay l` a hiên nhiên v` a ch´ ung minh ¯
du .oc. Th.ât v.ây, Gia su không c´o , ,
c .˘ap n`ao trong nh˜ung m.˘at ¯d˜a cho c´o ¯diêm trong chung. Khi ¯d´o theo , kh˘ ang ¯
d.inh 11. ta c´o S(A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An) = S(A1) + S(A2) + · · · +
S(An). M .˘at kh´ac Ai ⊂ A(i = 1, 2, . . . , n) suy ra A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An ⊂ , , A, t` u ¯ d´ o c´
o S(A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An) ⊂ S(A). Thô´ng nhâ´t c´ac bâ´t ¯ d˘ ang , , th´
uc l .ai ch´ung ta c´o S(A) < S(A), d˜ân t´oi vô l´y. , C´ o thê thâ´y r` ˘ ang nguyên l´ y trên bao tr` um nguyên l´ y Ðirichlê , , , cho nh˜
ung t .âp h˜uu h.an. Ngo`ai ra nguyên l´y Ðirichlê trên c´o thê c .u , , , , , , thê h´ oa cho nh˜ ung l´
op bê` m .˘at thông d .ung trong chuong tr`ınh phô , , thông v` a c´ ac kh´
ai ni .êm ¯d .ô d`ai, thê t´ıch c˜ung c´o c`ung t´ınh châ´t nhu ,, , , kh´
ai ni .êm di.ên t´ıch o trên. Do ¯d´o ch´ung ta c´o thê ph´at biêu nguyên , , l´ y Ðirichlê theo c´ ac phuong ´ an kh´ ac nhau. , , 12.Cho nh˜ ung ¯
do .an th˘ang ∆1, ∆2, . . . , ∆n n`˘am trong ¯do .an ∆ v`a , , , , , tông ¯
d .ô d`ai cua ∆1, ∆2, . . . , ∆n l´on hon ¯d.ô d`ai cua ∆. Khi ¯d´o ´ıt nhâ´t c´o , , , hai trong sô´nh˜ ung ¯
do .an th˘ang ∆1, ∆2, . . . , ∆n c´o ¯diêm chung. , , 13. Cho nh˜ ung ¯
da di.ên P1, P2, . . . , Pn n`˘am trong ¯da di.ên P v`a tông , , , , , ,
thê t´ıch cua P1, P2, . . . , Pn l´on hon thê t´ıch cua P. Khi ¯d´o ´ıt nhâ´t c´o hai , , trong sô´nh˜ ung ¯
da di.ên P1, P2, . . . Pn c´o ¯diêm chung. , , , , 14. Cho nh˜
ung cung c1, c2, . . . , cn n`˘ am trên ¯ du` ong tr` on c v` a tông , , , , , ¯
d .ô d`ai cua c1, c2, . . . , cn l´on hon ¯d.ô d`ai ¯du`ong tr`on c. Khi ¯d´o ´ıt nhâ´t c´o , , hai trong sô´nh˜
ung cung c1, c2, . . . cn c´o ¯diêm chung. 10.2. V´ı d .u 105 , , Tâ´t ca c´ ac ph´ at biêu 12, 13, 14 ch´ ung ta ¯ dê`u g .oi l`a nguyên l´y , , , , Ðirichlê v`
a b .an ¯d .oc c´o thê ch´ung minh ¯du .oc c´ac nguyên l´y n`ay. 10.2. V´ı d .u , ,
. 10.1. Cho M l`
a m .ôt ¯da gi´ac lô`i v´oi di.ên t´ıch S v`a chu vi P. Ch´ung minh r` ˘ ang , , , , , , , S a) M c´ o thê phu ¯
du .oc m.ôt h`ınh tr`on v´oi b´an k´ınh l´on hon ; P , S b) B´ an k´ınh cua c´ ac h`ınh tr` on n` ˘
am trong M không qu´ a . P , , , , L` oi giai. a) Ch´
ung ta d .ung trên m˜ôi c.anh ¯da gi´ac M m .ôt h`ınh ch˜u S ,
nh .ât chiê`u cao h = , nhu h`ınh 10.1. P M M O H C S h = P H`ınh 10.1: H`ınh 10.2: , , , , , Nh˜ ung h`ınh ch˜
u nh .ât n`ay c´o nh˜ung ¯diêm chung gi˜ua ch´ung; n´oi ,
chung m .ôt sô´h`ınh ch˜u nh.ât không n`˘am tr .on trong M. Ch´ung ta c´o , , , , , thê t´ınh to´
an tông di .ên t´ıch cua c´ac h`ınh ch˜u nh.ât n`ay l`a S. Nhu v.ây , , , , , ,
phâ`n cua M b.i c´ac h`ınh ch˜u nh.ât phu phai c´o di.ên t´ıch nho hon S. , , , Ðiê`u n` ay chı ra r` ˘
ang tô`n t .ai m .ôt ¯diêm O cua M không thu .ôc , , 106 Chuong 10. Nguyên l´
y Ðirichlê cho di .ên t´ıch , , , , , h`ınh ch˜
u nh .ât n`ao ca. Nhu v.ây c´o ngh˜ıa l`a khoang c´ach t`u O ¯dê´n , , , , S c´
ac c .anh cua M phai l´on hon h = . Ta lâ´y O l`a tâm h`ınh tr`on b´an P S k´ınh R > , h`ınh tr` on n` ay s˜ e n` ˘ am tr .on trong M. P b) Cho h`ınh tr`
on C tâm O b´an k´ınh R n`˘am trong M. Ch´ ung ta x´ et , , , , , c´ ac tam gi´ ac m` a hai ¯ dınh cua n´ o l` a hai ¯ dınh liên tiê´p cua t´ u gi´ ac, c` on , , , , , ¯ dınh th´ u ba l` a tâm h`ınh tr`
on O. Ðu`ong cao h .a t`u O xuô´ng c´ac c.anh , , , , , , cua tam gi´ ac n` ay l´ on hon R. T`u ¯ dây suy ra tông c´ ac di .ên t´ıch cua , , S ch´ ung b` ˘
ang S v`a không nho hon P.R. Suy ra R ≤ (H`ınh 10.2). P J , ,
. 10.2. Trong không gian cho 30 vecto kh´ ac không. Ch´ ung minh r` ˘ ang , , , , trong sô´ ¯ d´ o c´ o hai vecto m` a g´ oc gi˜ ua ch´ ung nho hon 450. , , , , , L` oi giai. C´ o thê gia thiê´t r` ˘ ang tâ´t ca , , v´ ecto c´ o chung ¯ diêm ¯ dâ`u O. Lâ´y OA , , , A v´ oi ¯
d .ôd`ai b`˘ang 1 trên vecto th´u nhâ´t. , , , Ch´
ung ta d .ung h`ınh n´on ¯dınh O v´oi ,, , 450 J
tr .uc OA, m`a g´oc o ¯dınh l`a 450. B`ai , , , O to´ an s˜ e ¯
du .oc ch´ung minh nê´u ch´ung , ta chı ra r` ˘
ang ´ıt nhâ´t hai trong sô´ 30 , , , , h`ınh n´ on (¯ du .oc xây duong theo c´ach , , , , trên ´ ung v´ oi 30 vecto ¯ d˜ a cho) c´ o ¯ diêm trong chung (h`ınh 10.3). , H`ınh 10.3: Ch´ ung ta x´ et h`ınh câ`u S v´ oi tâm , O v` a b´ an k´ınh 1. M˜
ôi lâ`n d .ung h`ınh n´on c´˘at m.˘at câ`u S m .ôt h`ınh , , , , v´
oi di .ên t´ıch δ1 m`a c´o thê t´ınh to´an ¯du .oc. Ta c˜ung thâ´y r`˘ang , , hai h`ınh n´ on c´ o ¯ diêm trong chung khi v` a chi khi nh˜ ung phâ`n , , ,
trên m .˘at câ`u c˜ung phai c´o ¯diêm trong chung. T`u ¯diê`u n`ay v`a 10.2. V´ı d .u 107 , , , nguyên l´ y Ðirichlê ch´
ung ta chı câ`n thiê´t kiêm tra tông di .ên t´ıch , , ,
cua 30 h`ınh trên m .˘at câ`u l´on hon di.ên t´ıch m.˘at câ`u (b`˘ang 4π). √ p ! π 2 + 2 Ch´ ung ta c´
o δ1 = 2π 1 − cos = 2π 1 − . V .ây 8 2 √ √ p ! p 2 + 2 , , , , , 2 + 2 14 30.2π 1 − > 4π tuong ¯ duong v´ oi < 2 2 15 1 167 2 ho .˘ac l`a < . J 2 225 , ,
. 10.3. Nê´u m .ôt bê` m .˘at A trong m .˘at ph˘ang thoa m˜an ¯diê`u ki.ên , ,
S(A) > 1. th`ı n´o luôn luôn ch´ ua ´ıt nhâ´t hai ¯ diêm trong (x1, y1), ,
(x2, y2) m`a hi.êu x2 − x1 v`a y2 − y1 l`a nh˜ung sô´nguyên. , , , , L` oi giai. Qua m˜ ôi ¯ diêm (m, n) v´ oi , y
t .oa ¯d .ô nguyên ch´ung ta ke c´ac , , , , , , , ¯ du` ong th˘ ang ¯ d´ ung v` a ¯ du`ong th˘ ang ngang (h`ınh 10.4). , , , , Ch´ ung ta s˜ e t .ao ¯du .oc lu´oi −3 −2 −1 0 1 2 3 x , , , nh˜ ung ¯ diêm v´ oi t .oa d .ô nguyên. , , , Lu´
oi nguyên chia m .˘at ph˘ang ra c´ac h`ınh vuông b` ˘ ang nhau, m˜ ôi h`ınh vuông c´
o di .ên t´ıch l`a 1. Ch´u ´y r`˘ang , H`ınh 10.4: m˜ ôi h`ınh vuông c´ o thê xê d.ich ¯dê´n , , , tr` ung v´
oi m .ôt h`ınh vuông kh´ac, chı c´o kh´ac l`a t .oa ¯d .ô cua h`ınh vuông , , m´ oi chuyên ¯ dê´n c˜ ung l` a c´ ac sô´nguyên. , , Ch´
ung ta ch .on m .ôt h`ınh vuông trong lu´oi nguyên l`am gô´c cô´ , , ¯
d.inh rô`i d.ich chuyên m .oi h`ınh vuông vê` h`ınh vuông gô´c. Nhu v.ây , , , nh˜
ung phâ`n cua A n`˘am trong c´ac h`ınh vuông kh´ac nhau ¯ dê`u chuyên , , ,
vê` h`ınh vuông gô´c (h`ınh v˜
e). Tông cua di .ên t´ıch cua c´ac phâ`n ¯d´o , , 108 Chuong 10. Nguyên l´
y Ðirichlê cho di .ên t´ıch , , , b` ˘
ang di .ên t´ıch cua A v`a suy ra l´on hon 1. Suy ra ´ıt nhâ´t hai trong , sô´c´ ac phâ`n n` ˘
am trong h`ınh vuông d.ich ¯dê´n s˜e c´o ¯diêm trong chung , , , , ,
(x0, y0). Trong t .âp A ban ¯dâ`u th`ı ¯diêm (x0, y0) tuong ´ung v´oi hai , ¯ diêm kh´
ac nhau (x1, y1) v`a (x2, y2) m`a x1 − x0, y1 − y0, x2 − x0, y2 − ,
y0 l`a c´ac sô´nguyên. Nhu v .ây th`ı x2 − x1 v`a y2 − y1 c˜ung l`a sô´nguyên. J , , ,
. 10.4. Cho A l`
a t .âp h.op lô`i v`a b.i ch .˘an nh˜ung ¯diêm trong m .˘at , , , ph˘ ang, c`
on P1, P2, P3, P4, P5 l`a nh˜ung ¯diêm thu .ôc A. G.oi Ai l`a t .âp , , , ,
h .op nh .ân t`u A sau m.ôt ph´ep t.inh tiê´n c´ac ¯diêm theo vecto P1Pi(i = , , 1, 2, 3, 4, 5). Ch´ ung minh r` ˘ ang ´ıt nhâ´t c´
o hai t .âp h.op trong sô´ c´ac ,
Ai(i = 1, 2, 3, 4, 5) c´o ¯diêm chung. , , L` oi giai. Ch´ ung ta chia ra hai , , , , Q Qi tru`
ong h .op A c´o thê c´o ho.˘ac , , c´ o thê không c´ o ¯ diêm trong. Q00 , , , , 1. Tru` ong h .op A c´o ¯diêm , trong. K´ y hi .êu A0 l`a t.âp h .op, , , , m` a n´ o nh c t` u A, sau P P .ân ¯ du .o 1 i , khi t´ ac ¯ d .ông ph´ep v.i t .u tâm H`ınh 10.5: ,
P1 v`a h.ê sô´ v.i t .u 2. Khi ¯d´o , công th´ uc sau ¯ d´ ung Ai ⊂ A0 (h`ınh 10.5). , ,
Th .ât v.ây, nê´u Q ∈ A v`a Qi l`a anh cua Q qua ph´ep t.inh tiê´n theo , −−→
vecto P1Pi (xem h`ınh v˜e), th`ı P1PiQiQ l`a h`ınh b`ınh h`anh. K´y hi.êu , , ,, Q00 l` a trung ¯
diêm cua P1Qi. R˜o r`ang Q00 ∈ A, v`ı Q v`a Pi l`a phâ`n tu , , ,
cua A v`a A lô`i. M .˘at kh´ac P1Qi = 2P1Q00 v`a v`ı A0 l`a anh cua A qua , , , ph´
ep v.i t .u tâm P1 v`a h.ê sô´ 2, nên ¯diêm Qi n`˘am trong t.âp h .op A0. , ,
Nhu v .ây m˜ôi tâp trong c´ac t.âp Ai n`˘am trong A0. Ðô`ng th`oi m˜ôi t.âp 10.2. V´ı d .u 109 , , cua Ai ¯
dô`ng d .ang v´oi A v`a suy ra S(Ai) = S(A). Do ¯d´o
S(A1) + S(A2) + S(A3) + S(A4) + S(A5) = 5S(A). (10.1) , , , ,
Nhung t .âp h .op A0 ¯dô`ng d.ang v´oi A v´oi h.ê sô´2. Suy ra S(A0) = 4S(A). (10.2) , ,
M .˘at kh´ac A c´o ¯diêm trong, v`ı thê´ S(A) > 0. Ngh˜ıa l`a t`u (10.1) v`a
(10.2) suy ra S(A1) + S(A2) + S(A3) + S(A4) + S(A5) > S(A0). , , , , , , ,
Nhu v .ây trong tru`ong h .op 1 b`ai to´an ¯du .oc suy ra t`u nguyên l´y
Ðirichlê cho di .ên t´ıch. , , , , , , 2. Tru`
ong h .op A không c´o ¯diêm trong, A s˜e n`˘am trên m .ôt ¯du`ong , , , , , th˘
ang. Th .ât v.ây, nê´u ´ıt nhâ´t ba ¯diêm n`˘am trên m .ôt ¯du`ong th˘ang, do , , , , t´ınh châ´t lô`i A ch´ ua to`
an b .ô h`ınh tam gi´ac v´oi ¯dınh l`a c´ac ¯diêm , , , , n` ay, suy ra A c´ o ¯
diêm trong. Nhung t .âp lô`i, b.i ch.˘an trên m .ôt ¯du`ong , , , , , th˘ ang ch´ınh l` a ¯
do .an th˘ang trên du`ong th˘ang n`ay. Phâ`n c`on l.ai l´y , , , , , , , , , ,
lu .ân tuong t .u nhu phâ`n trên. Nhung trong tru`ong h .op trên ¯du`ong , , , th˘ ang chı câ`n 3 ¯ diêm v` a nguyên l´ y Ðirichlê vê` ¯ d .ô d`ai. J , , ,
. 10.5. (Ð.inh l´y Minkovski) Cho A l`a t .âp h.op ¯diêm trong m .˘at ph˘ang , c´
o t´ınh châ´t lô`i, b.i ch .˘an v`a ¯dô´i x´ung qua gô´c t.oa ¯d.ô v`a S(A) > 4. Khi , , , , , ¯ d´ o A ch´ ua nh˜ ung ¯ diêm trong kh´ ac ¯ diêm gô´c v´
oi t .oa ¯d.ô nguyên. , , , L` oi giai. T´
ac d .ung lên A ph´ep v.i t .u tâm l`a gô´c t .oa ¯d .ô v`a h.ê sô´ 1. 2 , , , , , ,
Nhu v .ây ch´ung ta nh.ân ¯du .oc A0, ¯dô`ng d.ang v´oi A v`a c´o k´ıch thu´oc ,, , , , 1 b` ˘ ang nua k´ıch thu´ oc cua A. Suy ra S(A0) = S(A) > 1. Theo b` ai 4 , , 10.13 suy ra A0 ch´ ua ´ıt nhâ´t hai ¯ diêm kh´ ac nhau (x1, y1) v`a (x2, y2), , , m` a c´
ac hi .êu x2 − x1 v`a y2 − y1 l`a nguyên. V`ı t.âp h .op A ¯dô´i x´ung qua , , ,
gô´c t .oa ¯d .ô nên t.âp h .op A0 c˜ung v.ây. Ðiê`u ¯d´o giai th´ıch r`˘ang ¯diêm ,
(−x1, −y1) thu .ôc A0. V`ı A lô`i nên A0 c˜ung lô`i. Do ¯d´o trung ¯diêm , , 110 Chuong 10. Nguyên l´
y Ðirichlê cho di .ên t´ıch , , cua c´ ac ¯ diêm m´
ut (−x1, −y1) v`a (x2, y2) c˜ung thu .ôc A0 v`a c´o t .oa ¯d .ô x y , , , ,
( 2 − x1 , 2 − y1 ). Nhân t .oa ¯d .ô n`ay v´oi 2 th`ı ¯du .oc t .oa ¯d .ô cua m .ôt 2 2 , , , , , ¯
diêm thu .ôc A. Nhu v.ây (x2 − x1, y2 − y1) thu .ôc A. Ðiêm ta t`ım ¯du .oc , , kh´
ac gô´c t .oa ¯d .ô v`a c´o t .oa ¯d .ô nguyên v`a l`a ¯diêm trong cua t.âp A. J
. 10.6. Nê´u A l` a m .ôt bê` m .˘at, A1, A2, . . . , An. (10.3) , , , l` a nh˜
ung bê` m .˘at v`a thoa m˜an Ai ⊂ A(i = 1, 2, . . . , n), c`on k l`a sô´t .u nhiên m` a
k.S(A) < S(A1) + S(A2) + · · · + S(An). (10.4) , ,
th`ı´ıt nhâ´t k + 1 trong sô´nh˜
ung bê` m .˘at trên c´o m.ôt ¯diêm trong chung. , , , , , , L` oi giai. Ch´ ung ta ch´ ung minh b` ˘
ang qui n .ap,Tru`ong h .op k = 1 ¯d´o , ,, , , ,, l` a nguyên L´ y Ðirichlê ¯ d˜ a ch´ ung minh o trên. Bây gi` o gia su b` ai to´ an , , ¯ d˜ a ¯ d´ ung cho k, ch´ ung ta phai ch´ ung minh n´ o c˜ ung ¯ d´ ung cho k + 1. , , Ta cô´ ¯
d.inh m .ôt k v`a c´o bâ´t ¯d˘ang th´uc
(k + 1)S(A) < S(A1) + S(A2) + · · · + S(An). (10.5) , , , , , Ch´ ung ta s˜ e chı ra r` ˘ ang v´
oi (10.5) tô`n t .ai m .ôt ¯diêm l`a ¯diêm trong cua , ,
k + 2 t .âp h .op cua (10.3). Do A ⊂ A( ) ≤ µ
µ = 1, 2, . . . , n), nên S(Aµ , , S(A), t` u ¯ d´
o suy ra S(A1) + S(A2) + · · · + S(An) ≤ nS(A). T`u bâ´t , , ¯ d˘ ang th´ uc sau c` ung v` a (10.5) ch´ ung ta c´ o (k + 1)S(A) < nS(A) suy ra k + 1 < n. V`ı v .ây n ≥ k + 2. (10.6) , , , , ,
Tô`n t .ai ¯diêm chung cho ´ıt nhâ´t k + 2 t.âp h .op (10.3) ¯du .oc ch´ung , , minh b` ˘
ang qui n .ap theo n. T`u (10.4) suy ra (10.5), v.ây ta phai b´˘at , , ¯ dâ`u t`
u k + 2. Nhu v .ây viê´t l.ai
(k + 1)S(A) < S(A1) + S(A2) + · · · + S(Ak+2). (10.7) 10.2. V´ı d .u 111 , , , , , Câ`n phai ch´
ung minh tô`n t .ai ¯diêm m`a n´o l`a ¯diêm trong cua A1, A2, . . . , Ak+2. Lâ´y A0 = A \A µ µ
k+2(µ = 1, 2, . . . , k + 1) (10.8) A00 = A ∩ A µ µ
k+2(µ = 1, 2, . . . , k + 1) (10.9) v` a A0 = A\Ak+2 (10.10) A00 = Ak+2. (10.11) , R˜ o r` ang A0 ⊂ A0 v`a A0 ⊂ A00( a k + 1 µ µ
µ = 1, 2, . . . , k + 1) . V` ı c´ o tâ´t c , , ,
t .âp h .op A0 , t`u bao h`am th´uc trên suy ra µ
(k + 1)S(A0) ≥ S(A01) + S(A02) + · · · + S(A0 ) k+1 . (10.12) , , , Nê´u lâ´y (10.7) tr` u ¯ di (10.12) ch´ ung ta nh .ân ¯du .oc
(k + 1)S(A00) < S(Ak+2) + S(A001) + S(A002) + · · · + S(A00 ) k+1 . (10.13)
V`ı S(A) − S(A0) = S(A00) v`a S(A ) − S(A0 ) = S(A00) do (10.8)- µ µ µ , (10.11) nên t` u (10.13),(10.9) v` a (10.11) suy ra
kS(Ak+2) < S(A1 ∩ Ak+2) + S(A2 ∩ Ak+2) + · · · + S(Ak+1 ∩ Ak+2). (10.14) , , T` u (10.14) v` a gia thiê´t ¯ d´
ung cho k theo qui n .ap suy ra A1 ∩ ,
Ak+2, A2 ∩ Ak+2, . . . , Ak+1 ∩ Ak+2 c´o ¯ diêm trong chung, ¯ diê`u n` ay , , , c´ o ngh˜ıa l`
a t .âp h .op A1, A2, . . . , Ak+2 c´o ¯diêm trong chung. Nhu v.ây , , , , v´
oi n = k + 2 t`u (10.5) suy ra ´ıt nhâ´t k + 2 t .âp h .op t`u (10.3) c´o , ¯ diêm trong chung. , , , , Bây gi` o ch´ ung ta gia thiê´t v´
oi m .ôt n ≥ k + 2 t`u (10.5) suy ra , , , ,
´ıt nhâ´t k + 2 t .âp h .op t`u (10.3) c´o ¯diêm trong chung v`a s˜e phai kê´t , lu .ân r`˘ang t`u
(k + 1)S(A) < S(A1) + S(A2) + · · · + S(An) + S(An+1). (10.15) , , 112 Chuong 10. Nguyên l´
y Ðirichlê cho di .ên t´ıch , , suy ra c´
o ´ıt nhâ´t k + 2 t .âp h .op trong d˜ây A1, A2, . . . , An+1 c´o ¯diêm
trong chung. Th .ât v.ây, ch´ung ta ¯d.˘at A0 = A \A µ µ n+1, (µ = 1, 2, . . . , n). (10.16) A00 = A ∩ A µ µ n+1, (µ = 1, 2, . . . , n) (10.17) v` a A0 = A\An+1 (10.18) A00 = An+1. (10.19)
V`ı A0 ∪ A0 = A0 , A0 ∩ A00 = ∅( µ µ µ µ µ
µ = 1, 2, . . . , n) v` a A0 ∪ A00 = A, A0 ∩ A00 = ∅ nên S(A0 ) + S(A00) = S(A ), ( µ µ µ µ = 1, 2, . . . , n) (10.20) v` a S(A0) + S(A00) = S(A). (10.21) , , , Ch´ ung ta s˜ e ch´
ung minh m .ôt trong c´ac bâ´t ¯d˘ang th´uc sau l`a ¯d´ung
(k + 1)S(A0) < S(A01) + S(A02) + · · · + S(A0n) (10.22) ho .˘ac l`a
kS(A00) < S(A001) + S(A002) + · · · + S(A00n). (10.23) , , , , ,
Th .ât v.ây, trong tru`ong h .op ngu .oc l.ai ch´ung ta s˜e c´o (k + 1)S(A0) ≥
S(A0 ) + S(A0 ) + · · · + S(A0 ) + S(A00) + · · · + 1 2 n) v` a kS(A00) ≥ S(A001 2 , ,
S(A00n) C .ông hai vê´l.ai v`a do (10.20), (10.21) ch´ung ta nh.ân ¯du .oc
S(A0) + kS(A) ≥ S(A1) + S(A2) + · · · + S(An). (10.24) , ,
C .ông hai vê´(10.24) v´oi S(A00) v`a t`u (10.19), (10.21) ch´ung ta nh.ân , , ¯ du .oc
(k + 1)S(A) ≥ S(A1) + S(A2) + · · · + S(An) , , , , Nhung ¯ diê`u n` ay tr´ ai v´ oi (10.15). Do ¯ d´ o trong hai bâ´t ¯ d˘ ang th´ uc , (10.22) v` a (10.23) phai c´
o ´ıt nhâ´t m .ôt c´ai ¯d´ung. 10.2. V´ı d .u 113 , ,, , , , Gia su (10.22) ¯ d´
ung. Theo gia thiê´t qui n .ap ¯dô´i v´oi n t`u (10.22) , ,
suy ra ´ıt nhâ´t k + 2 t .âp h .op trong d˜ây A0 , A0 m trong 1 2, . . . , A0n c´ o ¯ diê , chung. T` u (10.16) suy ra r` ˘
ang kê´t lu .ân trên c˜ung ¯d´ung cho d˜ây (10.3). , ,, , , , Gia su (10.23) ¯ d´ ung. T`
u gia thiê´t qui n .ap ¯dô´i v´oi k suy ra k + 1 , , , , t .âp h .op trong A00, A00 m chung v` a c` ung v´ oi (10.17) chı 1 2 , . . . , A00 n c´ o ¯ diê , , , , , ra r` ˘
ang tô`n t .ai m .ôt ¯diêm m`a n´o l`a ¯diêm trong cua k + 1 t.âp h .op t`u , , (10.3) v` a ca cua An+1. , , ,
Nhu v .ây t`u (10.15) suy ra k + 2 t.âp h .op trong d˜ay A1, A2, , , , . . . , An+1 c´o ¯
diêm trong chung. Suy ra kê´t lu .ân ¯d´ung v´oi n + 1. T`u , , , , , phuong ph´
ap qui n .ap bây gi`o l.ai suy ra, v´oi m .oi n, v´oi (10.5) tô`n , , , ,
t .ai m .ôt ¯diêm m`a n´o l`a ¯diêm trong cua ´ıt nhâ´t k + 2 t.âp h .op trong (10.3). J , , , Ch´ u ´ y. Trong ch´ ung minh ¯
d.inh l´y d`ung phuong ph´ap qui n.ap , , , , , , theo k. Nhung ¯ di t` u bu´
oc k sang k + 1 ta l .ai d`ung phuong ph´ap qui , , , , ,
n .ap theo n. V´oi ch´ung minh qui n.ap theo n t`u bu´oc n sang n + 1 ta , , , ,
l .ai d`ung bu´oc k tru´oc ¯d´o v`a n.
. 10.7. Trong m .ôt h`ınh vuông c´o c .anh l`a , , , , , 1 ch´
ua m .ôt sô´ ¯du`ong tr`on, Tông ¯d.ô d`ai cua , ch´ ung l` a 10. Ch´ ung minh r` ˘ ang tô`n t .ai m.ôt , , , , ¯ du` ong th˘ ang, m` a n´ o c´ ˘
at ´ıt nhâ´t 4 trong nh˜ ung , , ¯ du` ong tr` on n` ay. , , L`
oi giai. (H`ınh 10.6) Ch´ ung ta ch .on m .ôt H`ınh 10.6:
c .anh h`ınh vuông rô`i chiê´u vuông g´oc c´ac , , ¯ du` ong tr` on xuô´ng c .anh ¯d´o. , , 114 Chuong 10. Nguyên l´
y Ðirichlê cho di .ên t´ıch , , , D˜ ê thâ´y r` ˘
ang h`ınh chiê´u cua m .ôt ¯du`ong tr`on b´an k´ınh R l`a m .ôt , ¯
do .an th˘ang c´o ¯d .ô d`ai 2R. V`ı v.ây trên c.anh h`ınh vuông ¯d˜a ch .on s˜e , , , , 10 c´ o nh˜ ung ¯
do .an th˘ang chiê´u xuô´ng v´oi tông ¯d .ôd`ai l`a . π , 10 Nhung
> 3 = 3.1, theo nguyên l´y Ðirichlê suy ra c´ o m .ôt π , , , , ¯ diêm M n`ao ¯ d´
o thu .ôc AB l`a ¯diêm trong chung cua 4 ¯do.an th˘ang ¯d˜a , , , , , chiê´u xuô´ng. Khi ¯ d´ o ¯ du` ong th˘ ang ¯ di qua ¯ diêm M vuông g´ oc v´ oi AB , , s˜ e c´ ˘ at 4 ¯ du` ong tr` on. J , , , , , ,
. 10.8. M .ôt sô´ cung n`˘am trên ¯du`ong tr`on v´oi b´an k´ınh 1 ¯du.oc son , , , , , xanh. Tông ¯
d .ô d`ai cua c´ac cung mâ`u xanh l´on hon π. Ch´ung minh , , , , , , r` ˘ ang v´ oi m˜ ôi ¯ du` ong k´ınh d cua ¯ du` ong tr`
on tô`n t .ai dây cung song song , , , , , v´ oi d, m` a hai ¯ dâ`u cua dây cung ¯ du .oc son xanh. , , L`
oi giai. (H`ınh 10.7) Không mâ´t C , , A t´ınh tông qu´ at ch´ ung ta gia thiê´t , , c´ ac cung bôi son không c´ o ¯ diêm , , d chung. Cho d l`a ¯ du` ong k´ınh bâ´t k` y , , cua ¯ du` ong tr` on k v`a c l`a m .ôt trong , , , , c´ ac cung c bôi mâ`u. Trên ` ong d0 ¯ du .o ¯ du tr`
on k ta t .ao ra cung c0 b`˘ang c´ach , , , lâ´y ¯ dô´i x´ ung c qua ¯ du` ong k´ınh d0 k A0 , vuông g´ oc v´ oi d. C0 H`ınh 10.7: D˜ ê thâ´y cung c0 cho c` ung ¯ d .ô d`ai , , , , , v´
oi cung c. Ta l`am nhu v .ây v´oi m .oi cung c`on l.ai th`ı trên k nh.ân ¯du .oc , , , , ,
m .ôt h.ê cung c´o tông ¯d .ô d`ai l´on hon 2π. Nhung ¯d .ô d`ai cua k l`a 2π, ,
nhu v .ây theo nguyên l´y Ðirichlê c´o ´ıt nhâ´t hai cung trong h.ê n`ay c´o , ¯ diêm chung. 10.2. V´ı d .u 115 , , ,, , , Nhung ch´ ung ta ¯ d˜
a gia thiê´t o trên nh˜ung cung d .ang c t`ung ¯dôi , không c´ o ¯ diêm chung, ¯ diê`u ¯ d´ o c˜ ung ¯ d´ ung cho c´ ac cung c0. Khi ¯ d´ o , , , ,
tô`n t .ai m .ôt cung bôi son c1 c´o ¯diêm chung A v´oi cung c0 , ng 2 ¯ dô´i x´ u , , v´
oi cung c2 qua d0. R˜o r`ang dây cung ¯ di qua A v`a song song v´ oi d c´ o ,, ,,
t´ınh châ´t mong muô´n v`ı m .ôt ¯dâ`u o c1, c`on ¯dâ`u kia o c2. J , , ,
. 10.9. Trong h`ınh tr` on b´ an k´ınh 1 ngu`
oi ta tô son m .ôt sô´dây cung. , , , Ch´ ung minh r` ˘
ang nê´u m .oi ¯du`ong k´ınh c´˘at nhiê`u nhâ´t k dây cung, th`ı , , , , , , tông ¯
d .ô d`ai cua tâ´t ca c´ac dây cung ¯d˜a tô son nho hon πk. , , L`
oi giai. Lâ´y c l`a m .ôt dây cung bâ´t k`y trong h`ınh tr`on C ¯d˜a cho v`a γ , , l`
a cung nho trong hai cung do c t 0 .ao ra. K´
y hi .êu γ l`a cung ¯dô´i x´ung , , , , , v´
oi γ qua tâm cua h`ınh tr` on. R˜ o r`
ang m .ôt ¯du`ong k´ınh cua C c´˘at dây , cung c khi v`a chı khi c´ o hai ¯ dâ`u m´ ut n` ˘ am trong 0 γ v` a γ . , ,, , , , , , Gia su r` ˘ ang tông ¯
d .ô d`ai nh˜ung dây cung ¯d˜a ke l´on hon ho.˘ac , , , , b` ˘ ang πk. Khi ¯ d´ o tông ¯
d .ô d`ai tâ´t ca c´ac cung d.ang γ l´on hon πk. , , , C˜ ung ¯ d´ ung nhu v 0 .ây cho tông ¯
d .ô d`ai c´ac cung d.ang γ . Suy ra tông , , , , ¯ d 0 .ô d` ai cua c´
ac cung d .ang γ ho.˘ac γ l`a l´on hon 2πk. V`ı ¯d .ô d`ai cua , , , ,, ¯ du` ong tr`
on C l`a 2π, t`u nguyên l´y Ðirichlê mo r .ông suy ra tô`n t.ai ´ıt ,
nhâ´t m .ôt ¯diêm thu .ôc C, m`a n´o n`˘am trên ´ıt nhâ´t k + 1 cung c´o d.ang , , , 0 , , , γ ho .˘ ac γ . Nê´u t`u ¯ diêm chung n` ay ta ke ¯ du` ong k´ınh cua C,th`ı n´ o c´ ˘ at ,
´ıt nhâ´t k + 1 dây cung ¯ d˜ a cho, ¯ diê`u n` ay tr´ ai v´ oi ¯ diê`u ki .ên trong ¯dâ`u , , b`
ai. V .ây ¯diê`u kh˘ang ¯d.inh cua b`ai to´an l`a ¯d´ung. J , , , ,
. 10.10. M .ôt t .âp h.op M l`a h.op cua m.ôt sô´ ¯do .an th˘ang n`˘am trong , , , , ,
khoang [0, 1]. Biê´t r` ˘ ang khoang c´ ach gi˜ ua hai ¯ diêm bâ´t k` y cua M , , , , không b` ˘ ang 0,1. Ch´ ung minh r` ˘ ang tông ¯
d .ô d`ai cua nh˜ung ¯do .an t .ao , ,
nên M không vu .ot qu´a a) 0, 55; b) 0, 5. , , 116 Chuong 10. Nguyên l´
y Ðirichlê cho di .ên t´ıch , , , , , , ,, , , L` oi giai. a) Ch´ ung minh b` ˘ ang phan ch´ ung. Gia su tông S cua ¯ d .ô , , , , d` ai nh˜ ung ¯
do .an th˘ang t.ao nên M l´on hon 0,55. Ch´ung ta x´et t.âp N , , , , , , ,
nh .ân ¯du .oc t`u M b`˘ang c´ach c .ông m˜ôi ¯do.an th˘ang cua M v´oi 0,1. T`u , , ¯
diê`u ki .ên cua b`ai to´an suy ra M v`a N không c´o ¯diêm chung. Ngo`ai , , , , , ra tông ¯
d .ô d`ai cua N b`˘ang S nên l´on hon 0,55. D˜ê thâ´y hai t.âp h .op , M v` a N n`˘am trong ¯
do .an [0;1,1]. V`ı 2.S > 2.0, 55 = 1, 1, t`u nguyên , , l´
y Ðirichlê suy ra M v`a N c´ o ¯ diêm chung, ¯ diê`u n` ay d˜ ân t´ oi vô l´ y. , ,, , , , , b) Gia su ¯
d .ô d`ai cua tâ´t ca c´ac ¯do.an trong M l´on hon 0,5. Ch´ung 1 1 2 9 ta chia ¯
do .an [0,1] th`anh 10 phâ`n 0, , , , . . . , , 1 . K´y 10 10 10 10 , i i + 1
hi .êu Mi l`a phâ`n cua M n`˘am trong ¯do.an , , i = 0, 1, . . . , 9 10 10 , , v` a Si l`a tông ¯
d .ô d`ai c´ac ¯do.an th˘ang tao ra Mi. B`˘ang c´ach t.inh , , 1 2 9
tiê´n th´ıch h .op ch´ung ta chuyên m .oi ¯do.an , , . . . , , 1 10 10 10 , 1 , , , t´ oi 0, . K´ y hi .êu M0 l`a anh cua M i i = 2, 3, 4 . . . , 9. V`ı 10 i i v´ o ,
S = S1 + S2 + · · · + S10 > 0, 5 = 5.0, 1, t`u nguyên l´y Ðirichlê ,, , ,
mo r .ông suy ra c´o ´ıt nhâ´t 6 t.âp h .op trong M0, M0 , . . . , M0 c´o m 1 9 ¯ diê 1 chung. Ðiê`u n` ay c´ o ngh˜ıa l`
a m .ôt sô´ n`ao ¯d´o trong 0, l` a kê´t 10 , , , , , , , , qua cua 6 ¯ diêm kh´
ac nhau x1, x2, . . . , x6 cua M tr`u ¯ di tuong ´ ung , k k k ,, nh˜ ung sô´ d 1 2 6 .ang , , . . . , , o ¯ dây k 10 10 10 i l`
a m .ôt sô´ n`ao ¯d´o trong
0, 1, 2, . . . , 9, i = 1, 2, . . . 6. D˜ê d` ang thâ´y r` ˘ ang ´ıt nhâ´t c´ o hai trong c´ ac,
sô´ k1, k2, . . . , k6 l`a liên tiê´p (´ap d .ung nguyên l´y Ðirichlê). V´ı d .u nhu k k 1 k 1 2 2 = k1 + 1. V` ı x1 − = x , nên x , 10 2 − 10 2 − x1 = (k2 − k1) = 10 ¯ diê`u n` ay ¯ d˜ ân ¯ dê´n vô l´ y. J 10.3. B` ai t .âp 117 10.3. B ` ai t .âp , . 10.11. Cho n l`
a m .ôt sô´ t .u nhiên bâ´t k`y, c`on A l`a m .ôt bê` m.˘at , ,
trong m .˘at ph˘ang, m`a s(A) > n. Khi ¯d´o tô`n t.ai n + 1 ¯diêm trong , kh´
ac nhau (xi, yi) (i = 1, 2, . . . , n + 1) cua A, m`a hi.êu xi − xj v`a ,
yi − yj(i, j = 1, 2, . . . , n + 1) l`a nh˜ung sô´nguyên. , , . 10.12. Nê´u v´
oi m .ôt bê`m.˘at A trong m.˘at ph˘ang v`a m .ôt sô´nguyên , , ,
duong k thoa m˜an S(A) < k, th`ı tô`n t .ai m .ôt ph´ep t.inh tiê´n sao cho , , , , ,
anh cua A qua ph´ep t.inh tiê´n n`ay ch´ua nhiê`u nhâ´t k − 1 ¯diêm v´oi t .oa ¯d .ô nguyên. , , . 10.13. Cho A l`
a t .âp h .op lô`i, ¯dô´i x´ung qua gô´c t .oa ¯d .ô trong m.˘at , , , ph˘
ang, n l`a sô´t .u nhiên v`a S(A) > 4n. Khi ¯d´o A ch´ua ´ıt nhâ´t 2n + 1 , , ¯ diêm trong kh´ ac nhau v´ oi t .oa ¯d .ô nguyên. , , . 10.14. Nê´u A l`
a t .âp h .op lô`i, b.i ch.˘an, ¯dô´i x´ung qua gô´c t .oa ¯d .ô v`a , , , c´
o di .ên t´ıch b`˘ang 615, th`ı A ch´ua ´ıt nhâ´t 307 ¯diêm m`a khoang c´ach , , , gi˜
ua m .oi c.˘ap trong ch´ung l´on hon ho.˘ac b`˘ang 1. , , , , , . 10.15. Cho F l`
a t .âp h .op lô`i, b.i ch.˘an nh˜ung ¯diêm cua m.˘at ph˘ang. , , , , , Ch´
ung ta g .oi ¯d .ô h˜uu hi.êu cua t.âp h .op F l`a khoang c´ach nho nhâ´t , , , , ,, , , , gi˜ ua hai ¯ du` ong th˘
ang song song o hai ph´ıa cua t .âp h .op F. Ch´ung , , , minh r` ˘
ang nê´u trong m .ôt t.âp h .op lô`i, b.i ch.˘an v´oi ¯d .ô h˜uu hi.êu d c´o , , , , , , , ch´
ua m .ôt sô´ t.âp h .op con m`a tông ¯d .ô h˜uu hi.êu cua ch´ung l´on hon , , , ,
kd, th`ı tô`n t .ai ¯du`ong th˘ang, m`a n´o c´˘at ´ıt nhâ´t k + 1 t.âp h .op con n´oi trên. , , 118 Chuong 10. Nguyên l´
y Ðirichlê cho di .ên t´ıch , , CHUONG 11 , , TO ´ AN H .OC TÔ H .OP 11.1. V´ı d .u ,
. 11.1. (Ðê` thi To´
an Olympic Quô´c tê´,1972) Cho t .âp h.op gô`m 10 sô´ , , , , c´ o hai ch˜ u sô´. Ch´ ung minh r` ˘
ang t .âp h.op ¯d´o c´o ´ıt nhâ´t hai t .âp h.op con , , ,, không giao nhau, m` a tông nh˜
ung phâ`n tu trong ch´ ung b` ˘ ang nhau. , , , , L`
oi giai. Nê´u c´
o hai t .âp h .op con giao nhau m`a tông trong ch´ung , , , ,, b` ˘ ang nhau th`ı ch´ ung ta c´ o thê bo nh˜ ung phâ`n tu chung ¯ di. Khi ¯ d´ o , ,, , c`
on l .ai hai t.âp không giao nhau v`a tông c´ac phâ`n tu cua ch´ung v˜ân b` ˘ ang nhau. , , Ch´ ung ta t´ınh c´
o bao nhiêu t .âp h .op con không r˜ông cua m .ôt t.âp , , , ,, , , , , , ,
h .op c´o mu`oi phâ`n tu. Sô´lu .ong nh˜ung t.âp h .op con chı ch´ua 1 phâ`n ,, , , , , , ,, tu c´
o 10 ho .˘ac l`a C1 . Sô´ lu ng nh˜ung t p con ch´ ua 2 phâ`n tu 10 .o .âp h .o , , , , , ,, l` a C2 . Sô´lu ng nh˜ung t p con ch´ ua 3 phâ`n tu l` a C3 ,. . . Suy ra 10 .o .âp h .o 10 , , , ,
tông sô´lu .ong c´ac t.âp h .op con l`a C110 + C210 + C3 + · · · + = ( 10 C10 10 1 + 1)10 = 1023 , , , ,
Ðiê`u ki .ên b`ai ra l`a 10 sô´ ¯d˜a cho không l´on hon 99. V.ây tông cua , , , , c´ ac sô´ trong m˜
ôi t .âp h .op con không vu .ot qu´a 99.10 = 990, nhu v.ây , , , ,
sô´ lu .ong nh˜ung tông kh´ac nhau nhiê`u nhâ´t l`a 990. Theo nguyên l´y , , ,
Ðirichlê trong sô´ 1023 t .âp h .op con cua t.âp h .op gô`m 10 sô´ s˜e c´o ´ıt , ,, ,
nhâ´t hai t .âp m`a tông c´ac phâ`n tu trong ch´ung phai b`˘ang nhau. J , , , , 120 Chuong 11. To´ an h .oc tô h .op ,
. 11.2. Cho 15 b` ai to´ an tr´ ˘
ac nghi.êm, ¯d´anh sô´ t`u 1 ¯dê´n 15, m˜ôi b`ai , , , , chı c´ o hai kha n˘ ang tra l` oi : ¯ d´
ung ho .˘ac sai. C´o 1600 th´ı sinh tham gia , , , , thi, nhung không c´ o ai tra l` oi ¯ d´ ung 2 b` ai liê`n nhau. Ch´ ung minh r` ˘ ang , , , c´
o ´ıt nhâ´t hai th´ı sinh tra l` oi to`
an b .ô 15 b`ai h.êt nhu nhau. , , , , , , , ,, L` oi giai. B` ai l` am cua m˜ ôi th´ı sinh tuong ´ ung v´ oi m .ôt d˜ay 15 phâ`n tu, ,, , m˜
ôi phâ`n tu ho .˘ac l`a Ð (¯d´ung) ho.˘ac l`a S (sai). Theo gia thiê´t không ,, ,, c´ o d˜ ay n` ao c´ o 2 phâ`n tu kê` nhau l` a Ð, Ð, nên sô´ tô´i ¯ da c´ ac phâ`n tu SS trong d˜ ay l` a 8. ,
Ta nh .ân thâ´y v´oi m˜ôi 0 ≤ k ≤ 8 th`ı sô´ c´ac d˜ay c´o ¯d´ung k phâ`n ,, ,, , , , , , tu Ð l`
a C15−k+1 = C16−k (boi v`ı m˜ ôi m thê´ tuong ¯ duong k k .ôt d˜ ay nhu , , , , v´ oi c´ ach ¯
d .˘at k tâ´m b`ıa gi˜ua 15 − k quyên s´ach: c´o tâ´t ca 16 − k v.i tr´ı , , , , ¯ dê ¯
d .˘at b`ıa, kê ca hai ¯dâ`u cua chô`ng s´ach ¯d´o).
V .ây l`a sô´c´ac d˜ay c´o t´ınh châ´t nêu trên l`a 8
∑ C16−k = 1 + 15 + 91 + 286 + 495 + 462 + 210 + 36 + 1 k k=0 = 1597 < 1600 , , , , , Ðiê`u n` ay ch´ ung to r` ˘ ang phai c´
o ´ıt nhâ´t 2 th´ı sinh c´ o c´ ac câu tra l` oi , h .êt nhu nhau. , , ,
. 11.3. Trong m .ôt h`ınh 9 c .anh ¯dê`u c´o m.ôt ¯dınh ¯du.oc tô mâ`u tr´˘ang , , , , c` on c´ ac ¯ dınh kh´ ac ¯
du .oc tô ¯den. Ch´ung minh r`˘ang tô`n t .ai hai tam gi´ac , , ,
phân bi.êt to`an ¯d˘ang (di.ên t´ıch b`˘ang nhau) m`a c´ac ¯dınh cua m˜ôi tam , , gi´ ac ¯
du .oc tô c`ung m.ôt mâ`u. , , , , , , , , , L` oi giai. T` u 9 ¯ dınh ¯
du .oc tô mâ`u th`ı´ıt nhâ´t c˜ung c´o 5 ¯dınh ¯du .oc tô , ,, c`
ung m .ôt mâ`u. Gia su ¯d´o l`a mâ`u tr´˘ang. N˘am mâ`u tr´˘ang t.ao th`anh 5.4.3 , C5 = = 10 tam gi´ ac phân bi ´ y r` ˘ ang 3 .êt c`
ung m .ôt mâ`u tr´˘ang. Ðê 2.3 11.1. V´ı d .u 121 2kπ , ph´ ep quay m .ôt g´oc
(k = 0, 1, . . . , 8) xung quanh tâm O cua 9 , ,,, , ,
h`ınh 9 c .anh ¯dê`u không anh huong ¯dê´n t.âp M c´ac ¯dınh cua h`ınh 9
c .anh n`ay. V`ı thê´ sau khi quay m˜ôi tam gi´ac trong 10 tam gi´ac trên 2kπ , , m .ôt g´oc
(0 ≤ k ≤ 8) xung quanh O ta ¯ du .oc 10.9 = 90 tam gi´ac 9 , , , , c´ o ¯
dınh trong t .âp h .op M. Tâ´t ca ch´ung không thê phân bi.êt v`ı sô´ , , 2.8.7 tam gi´ ac kh´ ac nhau c´ o ¯
dınh trong t .âp h .op M b`˘ang C5 = = 3 2.3 78 < 90. , , ,
Nhu v .ây ta t`ım ¯du .oc hai tam gi´ac tr´˘ang ∆1 v`a ∆2 sau m .ôt v`ai , , ph´ ep quay tr` ung v´ oi c`
ung m .ôt tam gi´ac ∆. Luu ´y l`a hai tam gi´ac ∆1 , , v`
a ∆2 l`a phân bi.êt. Th.ât thê´, hai tam gi´ac nhu nhau không thê c´o , , , ¯
du .oc sau khi quay t`u m .ôt tam gi´ac. , V`ı m˜ ôi tam gi´
ac ∆1 v`a ∆2 s˜e tr`ung v´oi tam gi´ac ∆ sau khi quay, , , , , nên t` u tam gi´
ac ∆1 b`˘ang m .ôt ph´ep quay ta c´o thê nh.ân ¯du .oc tam , gi´
ac ∆2 (ch˘ang h .an c´ac ph´ep quay ∆1 → ∆, ∆ → ∆2). V.ây ∆1 v`a ∆2 , l` a hai tam gi´ ac phai t`ım. J , , ,,
. 11.4. Trên m .˘at ph˘ang c´o n h`ınh. Gia su Si , l` a di 1 ...ik .ên t´ıch phâ`n , , , giao cua c´ ac h`ınh th´
u i1, . . . , ik, c`on S l`a di.ên t´ıch phâ`n m .˘at ph˘ang b.i , ,, , , , , phu boi c´ ac h`ınh ¯ d´ o. K´
y hi.êu Mk l`a tông tâ´t ca c´ac Si , t´ uc l` a tông 1 ...ik , , , , ,
di.ên t´ıch cua tâ´t ca c´ac h`ınh c´o thê c´o l`a giao cua k h`ınh ¯d˜a cho. Ch´ung minh r` ˘ ang
a) S = M1 − M2 + M3 − . . . − (−1)n+1Mn ,
b) S ≥ M1 − M2 + M3 − . . . − (−1)n+1Mn v´oi m ch˜˘ an v` a , ,
S ≤ M1 − M2 + M3 − . . . − (−1)n+1Mn v´oi m le. , , ,, , ,, L` oi giai. a) K´
y hi .êu Cn l`a sô´ c´ach ch u t` u n phâ`n tu, ta k .on k phâ`n t , , c´
o nh.i th´uc Niuton (x + y)n = ∑nk=0 Cnxkyn−k. K´y hi k .êu Dm l` a di .ên , , , , 122 Chuong 11. To´ an h .oc tô h .op , , ,, ,
t´ıch phâ`n m .˘at ph˘ang b.i phu boi ¯d´ung m h`ınh. Phâ`n m.˘at ph˘ang ¯d´o , , , , ,, gô`m nh˜ ung manh, m˜
ôi manh b.i phu boi m h`ınh x´ac ¯d.inh n`ao ¯d´o. , , , , ,,
Khi t´ınh Mk di.ên t´ıch m˜ôi manh nhu v.ây, s˜e ¯du .oc t´ınh Cm lâ`n, boi v`ı k , , , , , t` u m h`ınh c´
o thê t .ao ¯du .oc Cm giao cua k h`ınh. Do ¯d´o k Mk = CkkDk + Ck+1D k k+1 + · · · + Cn k Dn
Suy ra M1 − M2 + M3 − · · · + (−1)n+1 = C1D − C2)D 1 1 + (C2 1 2 2 +
· · · + (Cn − Cn + Cn − · · · )D 1 2 3 n = D1 + D2 + · · · + Dn ,, , ,
boi v`ı do nh.i th´uc Niuton Cm − Cm + 3m − · · · − (−1)mCm 1 2 m = (−1 +
Cm − Cm + Cm − · · · − (−1)mCm 1 2 3 m ) + 1 = (1 − 1)m + 1 = 1 , Cuô´i c` ung ch´ ung ta luu ´ y r` ˘
ang S = D1 + D2 + · · · + Dn. , b) T` u phâ`n a) ta c´ o
S − (M1 − M2 + · · · + (−1)m+1Mm) =
= (−1)m+2 Mm+1 + (−1)m+3Mm+2 + · · · + (−1)n+1Mn n
= ∑((−1)m+2Cim+ + · · · + (− 1 1)n+1Cin)Di i=1 , , , , , (Ta qui u´
oc nê´u k > i th`ı Ci = 0. Do ¯ d´ o ta chı câ`n phai ch´ ung minh k r` ˘ ang: , Ci − Ci + Ci
− . . . − (−1)m+n+1Ci ≥ 0 v´oi i ≤ n. m+1 m+2 m+3 n , , , , , T` u ¯ d˘ ang th´
uc (x + y)i = (x + y)i−1(x + y) suy ra ¯ d˘ ang th´ uc Ci = Ci−1 + Ci−1. j j−1 j Do ¯ d´ o Ci − − m+1 Cim+2 + Cim+3 . . . − (−1)m+n+1Cin = = Ci−1 − − m + Ci−1 Ci−1 + Ci−1 . . . m+1 m+2 m+3
+(−1)m+n+1Ci−1 + (−1)m+n+1Ci−1 ± Ci−1 n−1 n = Ci−1 m n , , , Cuô´i c` ung chı câ`n luu ´ y r` ˘ ang Ci−1 n = 0 v´ oi i ≤ n. J 11.1. V´ı d .u 123 ,
. 11.5. M .ôt c´ai ´ao di.ên t´ıch b`˘ang 1 c´o 5 miê´ng v´a, m`a di.ên t´ıch cua , , , , , m˜ ôi miê´ng v´
a không nho hon 0,5. Ch´ ung minh r` ˘ ang luôn t`ım ¯ du .oc hai , , , miê´ng v´ a c´
o di.ên t´ıch phâ`n chung cua ch´ung không nho hon 0,2. , , , ,, , L`
oi giai. Gia su di .ên t´ıch c´ai ´ao b`˘ang M, di.ên t´ıch phâ`n giao cua c´ac , , miê´ng v´ a th´ u i1, . . . , ik b`˘ang Si , c` on M . T` u b` ai trên suy 1 ...ik k = ∑ Si1...ik ,, ,
ra M − M1 + M2 − M3 + M4 − M5 ≥ 0, boi v`ı M ≥ S. C´ac bâ´t ¯ d˘ ang , , , , , , , , , th´
uc tuong t .u c´o thê ¯du .oc viê´t không chı cho ca c´ai ´ao, m`a c`on cho , , , t` ung miê´ng v´ a. Nê´u ta coi miê´ng v´
a S1 nhu m .ôt c´ai ´ao v´oi c´ac miê´ng , , v´
a S12, S13, S14, S15 th`ı ta ¯
du .oc S1 − ∑ S1i + ∑ S1ij − ∑ S1ijk + S12345 ≥ , , , , , ,
0. C .ông c´ac bâ´t ¯d˘ang th´uc nhu v.ây cho tâ´t ca 5 miê´ng v´a, ta ¯du .oc ,,
M1 − 2M2 + 3M3 − 4M4 + 5M5 ≥ 0 (h .ang tu Si c´ o trong c´ ac 1 ...ik , , , , bâ´t ¯ d˘ ang th´ uc cho c´ ac miê´ng v´
a i1 . . . ik, nên trong tông tâ´t ca c´ac , , , , bâ´t ¯ d˘ ang th´ uc n´ o c´
o h .ê sô´ k). C .ông c´ac bâ´t ¯d˘ang th´uc 3(M − M1 +
M2 − M3 + M4 − M5) ≥ 0 v`a M1 − 2M2 + 3M3 − 4M4 + 5M5 ≥ 0, , , , ta ¯
du .oc 3M − 2M1 + M2 − M4 + 2M5 ≥ 0. C .ông v`ao ¯d´o bâ´t ¯d˘ang , , , , , th´ uc M4 − 2M5 ≥ 0, (¯
du .oc suy ra t`u S12345 c´o trong tâ´t ca c´ac Si1i2i3i4 , , , , t´ uc l` a M4 ≥ 5M5 ≥ 2M5), ta ¯
du .oc 3M − 2M1 + M2 ≥ 0, t´uc l`a ,, , , , ,
M2 ≥ 2M1 − 3M ≥ 5 − 3 = 2. Boi v`ı t`u 5 miê´ng v´a c´o thê t .ao ¯du .oc , ,
10 c .˘ap, nên di.ên t´ıch giao cua m .ôt trong sô´ c´ac c.˘ap ¯d´o không nho , M hon 2 ≥ 0, 2. J 10 , , ,, , ,
. 11.6. (Ðê` thi To´ an vô ¯
d.ich CHLB дuc, 1979) Gia su m˜ôi ¯diêm cua , , , , , ,
m .˘at ph˘ang ¯du.oc tô b`˘ang 1 trong n mâ`u (n l`a sô´ t .u nhiên cho tru´oc). , , , , , , Ch´ ung minh r` ˘
ang tô`n t .ai m.ôt h`ınh ch˜u nh .ât v´oi c´ac ¯dınh ¯du.oc tô c`ung m .ôt mâ`u. , , , L`
oi giai. Ta thiê´t l .âp trong m.˘at ph˘ang m .ôt h.ê to.a ¯d .ô Ðê` c´ac vuông , , , g´ oc tu` y ´ y v` a ch´ u ´ y t´ oi ¯ diêm nguyên (i, j) v´ oi 1 ≤ i ≤ n + 1 v`a , , , , 124 Chuong 11. To´ an h .oc tô h .op , , , ,
1 ≤ j ≤ nn+1 + 1. Vi .êc tô mâ`u kê theo th´u t .u n + 1 ¯diêm trên m˜ôi , d` ong c´ o nn+1 c´ach kh´ac nhau (m˜ ôi ¯ diêm c´ o n c´ach tô). Do ¯ d´ o c´ o , , ´ıt nhâ´t l` a 2 d` ong trong sô´ nn+1 + 1 d` ong ¯ du .oc tô mâ`u giô´ng nhau ,, , , , (ngh˜ıa l` a hai d`
ong giô´ng nhau vê` mâ`u s´ ˘ ac tô o ¯ diêm th´ u nhâ´t, ¯ diêm , , , , , , , ,, th´ u hai,. . . ,¯ diêm th´
u n + 1 ch˘ang h .an t´ınh t`u tr´ai qua phai). Gia su , , , hai d` ong â´y l` a d` ong nh˜ ung ¯ diêm c´
o to .a ¯d .ô k v`a m; ngh˜ıa l`a v´oi m˜ôi , ,, i ∈ {1, 2, . . . , n} c´ ac ¯ diêm (i, k) v`a (i, m) c´ o c` ung m .ôt mâ`u. Boi v`ı , , , chı c´
o n mâ`u nên trong sô´ n + 1 ¯ diêm trên d` ong c´ ac ¯ diêm c´ o tung , , , ¯
d .ô k ´˘at c´o ´ıt nhâ´t hai ¯diêm c´o c`ung mâ`u, ch˘ang h.an, ¯d´o l`a 2 ¯diêm , , , (a, k) v` a (b, k). Khi ¯ d´ o h`ınh ch˜
u nh .ât v´oi c´ac ¯dınh (a, k), (b, k), (b, m) , v` a (a, m) c´ o 4 ¯ dınh c` ung mâ`u. J , , ,
. 11.7. Cho 1000 ¯
diêm trên m .˘at ph˘ang M1, M2, . . . , M1000. Ch´ung , , , , , minh r` ˘ ang trên bâ´t c´ u ¯ du` ong tr` on b´ an k´ınh 1 n` ao ta ¯ dê`u t`ım ¯ du .oc m.ôt , , , , , ¯
diêm S sao cho tông khoang c´ ach t` u S ¯ dê´n c´ ac ¯
diêm M1, M2, . . . , M1000 , , không nho hon 1000. , , , ,, , , , , L`
oi giai. Gia su S1 v`a S2 l`a hai ¯ diêm tu` y ´ y ¯ dô´i tâm cua ¯ du` ong tr` on T b´ an k´ınh 1. Ta c´
o S1S2 = 2, v .ây S1M1 + S2M2 ≥ S1S2 = 2;
S1M2 + S2M2 ≥ 2;. . . ; S1M1000 + S2M1000 ≥ 2. V`ı thê´ (S1M1 +
S2M1) + (S1M2 + S2M1) + · · · + (S1M1000 + S2M1000) = (S1M1 +
S1M2 + · · · + S1M1000) + (S2M1 + S2M2 + · · · + S2M1000) ≥ 2000. , , Do ¯ d´
o ´ıt nhâ´t m .ôt trong hai ¯diêm S1 v`a S2 ch´˘ac ch´˘an thoa m˜an , , , , b` ai ra l` a tông khoang c´ ach t` u n´ o ¯ dê´n c´ ac ¯ diêm M1, M2, . . . , M1000 , , không nho hon 1000. J , ,
. 11.8. Cho 37 ¯
diêm phân bi.êt trong không gian c´o to .a ¯d.o l`a nh˜ung , , ,
sô´ nguyên sao cho không c´ o ba ¯ diêm n` ao th˘ ang h` ang. Ch´ ung minh , , , , r` ˘ ang ta c´
o thê ch .on 3 ¯diêm m`a to .a ¯d.ô giao ¯diêm c´ac trung tuyê´n cua tam gi´
ac t .ao th`anh ¯dê`u l`a sô´nguyên. 11.1. V´ı d .u 125 , , , , , , L` oi giai. V´ oi m˜ ôi ¯ diêm x; y; z c´
o to .a ¯d .ô l`a nh˜ung sô´ nguyên (¯diêm , , , , , , nguyên) ta cho tuong ´ ung c´
ac sô´ ¯x; ¯y; ¯z l`a nh˜ung sô´ du cua ph´ep chia c´
ac sô´ x; y; z cho 3. V`ı ¯x nh .ân không qu´a 3 gi´a tr.i nên ´ıt nhâ´t , , 13 trong sô´37 ¯ diêm c´ o c` ung gi´
a tr.i (nê´u không, thê´th`ı sô´c´ac ¯diêm , , , , , , , không l´
on hon 12.3=36). Tuong t .u, c´o không´ıt hon 5 trong 13 ¯diêm , ¯ d´ o c´ o gi´ a tr.i ¯y nhu nhau. , , , Thê´ th`ı giao ¯ diêm c´ ac trung tuyê´n cua tam gi´ ac c´ o ¯ dınh (x1, y1, z1),
(x2, y2, z2) v`a (x3, y3, z3) c´o to .a ¯d .ô x y z x 1 + x2 + x3 1 + y2 + y3 1 + z2 + z3 0 = ; y ; z 3 0 = 3 0 = 3
Nê´u ¯x1 = ¯x2 = ¯x3 v`a ¯y1 = ¯y2 = ¯y3 th`ı c´ac sô´ x0 v`a y0 l`a nguyên c`on , ,
sô´ z0 chı nguyên khi v`a chı khi z1 + z2 + z3 ≡ 0( mod 3). Trong , , , , , tru`
ong h .op b`ai ra ta ch .on ra 5 ¯diêm m`a tâ´t ca sô´ ¯x b`˘ang nhau v`a tâ´t , , , , ,
ca sô´ ¯y b`˘ang nhau. Nê´u trong c´ac ¯ diêm n` ay ta t`ım ¯ du .oc ba ¯diêm m`a , , c´
ac sô´ ¯z nh .ân c´ac gi´a tr.i 0; 1; 2 th`ı v´oi c´ac ¯diêm ¯d´o ta c´o
z1 + z2 + z3 ≡ ¯z1 + ¯z2 + ¯z3 ≡ 0 + 1 + 2 ≡ 0( mod 3) , , , , Nê´u không c´ o nh˜ ung ¯ diêm n` ay th`ı sô´ ¯z v´ oi 5 ¯ diêm ¯ d˜ a ch .on s˜e nh.ân , , , không qu´ a 2 gi´
a tr.i, do ¯d´o ta t`ım ¯du .oc 3 ¯diêm m`a gi´a tr.i ¯z nh.ân c`ung , ,
m .ôt gi´a tr.i m`a sô´z0 ´ung v´oi n´o l`a sô´nguyên. J , , , ,
. 11.9. Trên m .˘at ph˘ang cho 7 ¯du`ong th˘ang trong ¯d´o không c´o hai , , , , , , ¯ du` ong th˘ ang n` ao song song. Ch´ ung minh r` ˘ ang ta t`ım ¯ du .oc hai trong , , , , , , 7 ¯ du` ong th˘ ang n´ oi trên m` a g´ oc gi˜ ua ch´ ung nho hon 260. , , , , , , L` oi giai. Ta h˜
ay t.inh tiê´n tâ´t ca 7 ¯du`ong th˘ang ¯d˜a cho sao cho ch´ung , , , , , , c` ung ¯
di qua m .ôt ¯diêm cô´ ¯d.inh O. Ta s˜e ¯du .oc 7 ¯du`ong th˘ang chia g´oc , , ¯ dâ`y ¯
dınh O th`anh 14 phâ`n. V`ı thê´ m .ôt trong c´ac g´oc t.ao th`anh nho , 3600 5 , hon = 250 < 260 (nê´u tâ´t ca c´ ac g´ oc ¯ dê`u b` ˘ ang nhau th`ı m˜ ôi 14 7 , , , , 126 Chuong 11. To´ an h .oc tô h .op , , , , , , , g´ oc không l´ on hon 260). Nhung g´ oc gi˜ ua hai ¯ du` ong th˘ ang c´ ˘ at nhau , , , , b` ˘ ang g´ oc gi˜ ua hai ¯ du` ong th˘ ang ban ¯ dâ`u. J . 11.10. Cho A l`
a m .ôt t.âp c´ac sô´nguyên v`a x l`a m .ôt sô´nguyên bâ´t , , k`
y. T .âp h .op x + A = {x + a|a ∈ A} g .oi l`a t.inh tiê´n cua A x´ac ¯d.inh ,, , ,, , bo i x. Hay n´ oi c´ ach kh´
ac t .âp h .op x + A gô`m c´ac phâ`n tu cua A c .ông , , , thêm v´ oi c`
ung m .ôt sô´ x. Ch´ung ta n´oi r`˘ang m .ôt t.âp h .op nh˜ung sô´ , , nguyên l`
a k-nho nhâ´t, nê´u tô`n t .ai k t.âp t.inh tiê´n cua A, m`a ch´ung , , , , t` ung ¯ dôi không c´ o ¯
diêm chung. V´ı d .u: m .oi t.âp sô´h˜uu h.an l`a k-nho , , , , nhâ´t v´
oi m .oi sô´nguyên duong k. C˜ung c´o t.âp vô h.an l`a k-nho nhâ´t , , , nhu d˜
ay k + 1, (k + 1)2, . . . , (k + 1)n, . . . Nhung ch´ ung ta ch´ ung minh kê´t lu .ân sau: , , , , , Cho n l`
a sô´t .u nhiên. Khi ¯d´o t .âp h.op nh˜ung sô´nguyên không thê biêu , , , , , di˜
ên nhu h .op cua n t .âp h.op (n + 1)-nho nhâ´t. , , , ,, , , , , L` oi giai. Ch´
ung ta gia su ngu .oc l.ai: tô`n t.ai nh˜ung t.âp h .op (n + 1)- ,
nho nhâ´t A1, A2, . . . , An sao cho m˜ôi sô´ nguyên thu .ôc m .ôt trong , , , , , nh˜
ung t .âp h .op n`ay. Theo ¯d.inh ngh˜ıa cua t.âp (n + 1)-nho nhâ´t v´oi
m .oi i = 1, 2, . . . , n tô`n t.ai n + 1 sô´nguyên ai,1, ai,2, . . . , ai,n+1 sao cho , , v´
oi 1 ≤ r ≤ n + 1, 1 ≤ s ≤ n + 1 v`a r 6= s nh˜ung ph´ep t.inh tiê´n , ,
air + Ai v`a ais + Ai không c´o ¯ diêm chung. K´ y hi .êu N l`a t.âp h .op , , , ,,
tâ´t ca n-b .ô s´˘ap th´u t .u (j1, j2, . . . , jn) o ¯dây j1, j2, . . . , jn ¯d .ôc l.âp nh.ân , , c´ ac gi´
a tr.i 1, 2, . . . , n, n + 1. V´oi m˜ôi n-b .ô a = (j1, j2, . . . , jn) t`u N , , , , ,, cho tuong ´ ung v´
oi m .ôt sô´ nguyên xa = a1j + a + · · · + a . Boi 1 2j2 njn , , , , , v`ı ch´ ung ta ¯ d˜
a gia thiê´t t .âp h .op nh˜ung sô´ nguyên l`a h .op cua c´ac ,
t .âp h .op A1, A2, . . . , An, m˜ôi sô´ xa thu .ôc m .ôt t.âp n`ao ¯d´o trong d˜ay , ,, , ,
t .âp h .op trên. Ngo`ai ra sô´phâ`n tu cua N l`a (n + 1)n (¯dây l`a t´ınh tô , , ,,
h .op).T`u nguyên l´y Ðirichle mo r .ông ch´ung ta c´o ´ıt nhâ´t m .ôt trong , , , (n + 1)n c´
ac t .âp A1, A2, . . . , An ch´ua nh˜ung sô´ d.ang xa v´oi ´ıt nhâ´t n 11.2. B` ai t .âp 127 , b .ô a t`u N. , ,
Không mâ´t t´ınh tông qu´ at ch´
ung ta gia thiê´t A1 c´o t´ınh châ´t , ,, , trên. Ch´ ung ta x´ et tâ´t ca c´
ac phâ`n tu α cua N m`a sô´ x thu α .ôc A1. (n + 1)n ,, Ch´ ung gô`m ´ıt nhâ´t
phâ`n tu. Nê´u α = (j n 1, j2, . . . , jn) l` a m .ôt ,, , , , , phâ`n tu trong ch´ ung, th`ı ch´ ung ta cho tuong ´ ung v´ oi (n − 1)-b .ô , s´ ˘ ap 0
α = (j2, j3, . . . , jn). V`ı 1 ≤ j ≤ n + 1 v´oi m µ
.oi µ = 2, 3, . . . , n, , , , , theo t´ınh châ´t tô h 0 .op v´ oi α c´
o nhiê`u nhâ´t (n + 1)n−1 kha n˘ang. , , , (n + 1)n T` u bâ´t ¯ d˘ ang th´ uc
> (n + 1)n−1 suy ra ´ıt nhâ´t c´ o hai n-b .ô n
α = (j1, j2, . . . , jn), β = (k1, k2, . . . , kn) ho` an to` an kh´ ac nhau, m` a , , , , x ∈ A ∈ A ong ´ ung v´ oi c` ung m α 1, xβ 1, tu .ôt (n − 1)-b .ô. , , Ch´ ung ta c´ o thê t´ om t´ ˘ at ng´ ˘
an g .on nhu sau: tô`n t.ai hai b .ô kh´ac
nhau α = (j1, j2, . . . , jn) v`a β = (k1, k2, . . . , kn) thu .ôc N, m`a x ∈ α , A1, x ∈ A ng, x = β 1, j1 6= k1 v`
a j2 = k2, j3 = k3, . . . , jn = kn. Nhu α , a1j + a + · · · + a x = a + a + · · · + a nhung v`ı j = k 1 2j2 njn β 1k1 2k2 nkn µ µ , v´ oi m˜
ôi µ = 2, 3, . . . n ch´ ung ta c´ o x − x = a − a ho α β 1j1 1k1 .˘ ac l` a a1k + x = a + x . Khi ¯ d´ o sô´ x = a + x = a + x thu 1 α 1j1 β 1k1 α 1j1 β .ôc v` ao , ,, t .âp h .op a1k + A + A oi 1 1 v` a a1j1
1. Suy ra t .âp t.inh tiê´n A1 x´ ac ¯ d.inh b , , , c´ ac sô´ a1k v`a a c´ o ¯ diêm chung, ¯ diê`u ¯ d´ o tr´ ai v´ oi gia thiê´t khi b´ ˘ at 1 1j1 , ¯ dâ`u ch´ ung minh. J 11.2. B ` ai t .âp
. 11.11. a) Trong h`ınh vuông di .ên t´ıch 6 ¯d.˘at ba ¯da gi´ac di.ên t´ıch , , , 3. Ch´ ung minh r` ˘ ang trong sô´ ¯ d´ o luôn t`ım ¯
du .oc hai ¯da gi´ac m`a di.ên , , , t´ıch phâ`n chung cua ch´ ung không nho hon 1. ,
b) Trong h`ınh vuông di .ên t´ıch 5 ¯d.˘at 9 ¯da gi´ac di.ên t´ıch 1. Ch´ung , , minh r` ˘ ang trong sô´ ¯ d´ o luôn t`ım ¯
du .oc hai ¯da gi´ac m`a di.ên t´ıch phâ`n , , , , 128 Chuong 11. To´ an h .oc tô h .op , , , 1 chung cua ch´ ung không nho hon . 9 , , , , , . 11.12. S´ au ¯ diêm ¯
du .oc s´˘ap xê´p trên m.˘at ph˘ang sao cho ba ¯diêm , , bâ´t k` y l` a ¯
dınh cua m .ôt tam gi´ac m`a c´ac c.anh c´o ¯d .ô d`ai kh´ac nhau. , , , Ch´ ung minh r` ˘
ang c .anh nho nhâ´t cua m .ôt trong c´ac tam gi´ac ¯dô`ng , , , th` oi l`
a c .anh l´on nhâ´t cua m .ôt tam gi´ac kh´ac. , ,
. 11.13. Cho P1, P2, . . . , P7 l`a bây ¯
diêm trong không gian, trong ¯ d´ o , , không c´ o bô´n ¯ diêm n` ao ¯ dô`ng ph˘ ang. Tô mâ`u m˜ ôi ¯ do .an PiPj (i < j) , , , v´
oi m .ôt trong hai mâ`u ¯do ho.˘ac ¯den. Ch´ung minh r`˘ang c´o hai tam , gi´ ac ¯ don s´ ˘ ac không c´ o chung c .anh. , , . 11.14. C´ o hai ¯ d˜ıa ¯ dê`u ¯
du .oc chia th`anh 1998 h`ınh qu.at b`˘ang nhau, v` a trên m˜ ôi ¯
d˜ıa tô m .ôt c´ach bâ´t k`y (b`˘ang m .ôt mâ`u) 200 h`ınh qu.at. , , , C´ ac ¯ d˜ıa ¯
du .oc ¯d.˘at chô`ng lên nhau v`a quay m .ôt ¯d˜ıa theo nh˜ung g´oc , 3600 , l` a b .ôi cua . Ch´ ung minh r` ˘
ang tô`n t .ai ´ıt nhâ´t 94 v.i tr´ı c´o không 1998 , , , qu´
a 20 h`ınh qu .at ¯du .oc son tr`ung nhau. , , , , ,
. 11.15. Trên m .˘at ph˘ang cho n ¯du`ong th˘ang t`ung ¯dôi không song , , , , , , song v´ oi nhau. Ch´ ung minh r` ˘ ang g´ oc gi˜ ua hai ¯ du` ong th˘ ang n` ao ¯ d´ o , , 1800 trong sô´ ¯ d´ o không l´ on hon . n , , CHUONG 12 M .ÔT S ´ Ô B ` AI T .ÂP H`INH H .OC KH ´AC 12.1. V´ı d .u , , ,
. 12.1. Trong h`ınh ch˜
u nh .ât 3x4 ¯d .˘at 6 ¯diêm. Ch´ung minh r`˘ang trong , , , , , , sô´ ¯ d´ o luôn t`ım ¯
du .oc hai ¯diêm c´o khoang c´ach gi˜ua ch´ung không l´on , √ hon 5. , , , L`
oi giai. Chia h`ınh ch˜u nh .ât ra l`am ,
5 h`ınh nhu h`ınh 12.1. Trong m .ôt trong sô´ c´ ac h`ınh ¯ d´ o s˜ e c´ o ´ıt nhâ´t , , , 2 ¯ diêm, v` a khoang c´ ach gi˜ ua hai , , , √ ¯ diêm ¯ d´ o s˜ e không l´ on hon 5. J H`ınh 12.1: , , ,
. 12.2. Trên m .˘at ph˘ang c´o 25 ¯diêm, biê´t r`˘ang trong 3 ¯diêm bâ´t k`y , , , , trong sô´ ¯ d´ o luôn c´ o 2 ¯ diêm c´
ach nhau nho hon 1. Ch´ ung minh r` ˘ ang , , ,
tô`n t .ai h`ınh tr`on b´an k´ınh 1 ch´ua không ´ıt hon 13 ¯diêm ¯d˜a cho. , , , ,, , , , L`
oi giai. Gia su A l`a m .ôt ¯diêm ¯d˜a cho. Nê´u tâ´t ca c´ac ¯diêm c`on l.ai , n` ˘ am trong h`ınh tr`
on S1 tâm A b´an kinh 1 th`ı ta không câ`n phai , , ,, , ch´
ung minh g`ı thêm. Gia su c´
o m .ôt ¯diêm B trong sô´ ¯d˜a cho n`˘am , , , ngo` ai ¯ du` ong tr`
on S1 t´uc l`a AB > 1. X´et h`ınh tr`on S2 tâm B b´an k´ınh , , 1. Trong sô´ c´ ac ¯ diêm A, B, C trong ¯ d´ o C l`a ¯ diêm ¯ d˜ a cho bâ´t k` y luôn , , , , , , , c´ o hai ¯ diêm c´ ach nhau nho hon 1, hon n˜ ua ¯ d´ o không thê l` a 2 ¯ diêm , , 130
Chuong 12. M .ôt sô´b`ai t.âp h`ınh h .oc kh´ac , , , A v` a B. Do ¯ d´ o c´ ac h`ınh tr`
on S1 v`a S2 ch´ua tâ´t ca c´ac ¯ diêm ¯ d˜ a cho, , , , , t´ uc l`
a m .ôt trong hai h`ınh tr`on ¯d´o ch´ua không ´ıt hon 13 ¯diêm ¯d˜a cho. J , , ,
. 12.3. Bên trong ¯ du` ong tr` on b´ an k´ınh n ¯
d .˘at 4n ¯do .an th˘ang c´o ¯d.ô d`ai , , , , , , 1. Ch´ ung minh r` ˘ ang c´
o thê ke m .ôt ¯du`ong th˘ang song song ho .˘ac vuông , , , , , , , g´ oc v´ oi ¯ du` ong th˘ ang l cho tru´ oc v` a c´ ˘ at ´ıt nhâ´t 2 ¯
do .an th˘ang ¯d˜a cho. , , , ,, , , , , L`
oi giai. Gia su l1 l`a ¯ du` ong th˘ ang bâ´t k` y vuông g´ oc v´ oi l. K´y hi .êu , , , , , , ¯
d .ô d`ai c´ac h`ınh chiê´u cua ¯do.an th˘ang th´u i lên c´ac ¯du`ong th˘ang l , , , ,, , , v`
a l1 l`a ai v`a bi tuong ´ung. Boi v`ı ¯
d .ô d`ai cua m˜ôi ¯do.an th˘ang b`˘ang 1, nên ai + bi ≥ 1. Do ¯ d´
o (a1 + · · · + a4n) + (b1 + · · · + b4n) ≥ 4n. , , ,,
Không mâ´t t´ınh tông qu´
at gia su (a1 + · · · + a4n) ≥ (b1 + · · · + b4n). , , , , Khi ¯ d´
o a1 + · · · + a4n ≥ 2n. Tâ´t ca c´ac ¯
do .an th˘ang ¯d˜a cho ¯dê`u ¯du .oc , ,, chiê´u xuô´ng ¯
do .an th˘ang c´o ¯d .ô d`ai 2n, boi v`ı ch´ung ¯dê`u n`˘am trong , , , , , ¯ du` ong tr` on b´
an k´ınh n. Nê´u nhu c´ac h`ınh chiê´u cua c´ac ¯ do .an th˘ang , , , , , ¯ d˜ a cho lên ¯ du` ong th˘ ang l không c´ o ¯ diêm chung, th`ı s˜ e c´ o bâ´t ¯ d˘ ang , , , , th´
uc a1 + · · · + a4n < 2n. Do ¯ d´ o trên l phai c´
o m .ôt ¯diêm b.i c´ac ¯diêm , , , ,
cua ´ıt nhâ´t hai trong sô´ c´ ac ¯
do .an th˘ang ¯d˜a cho chiê´u lên ¯d´o. Ðu`ong , , , vuông g´ oc v´
oi l t .ai ¯diêm ¯d´o s˜e c´˘at ´ıt nhâ´t hai ¯do.an th˘ang ¯d˜a cho. J , ,
. 12.4. Trên do .an th˘ang c´o ¯d.ô d`ai 1 ta tô m.ôt sô´ ¯do .an th˘ang sao , , , , , , cho khoang c´ ach gi˜ ua hai ¯ diêm ¯
du .oc tô bâ´t k`y không b`˘ang 0,1. Ch´ung , , , , , , minh r` ˘ ang tông ¯
d .ô d`ai c´ac do .an th˘ang ¯du.oc tô không l´on hon 0,5. , , , , L` oi giai. Chia ¯
do .an th˘ang ra l`am 10 ¯do.an th˘ang c´o ¯d .ô d`ai 0,1, ¯d.˘at , , ch´
ung theo m .ôt c .ôt v`a chiê´u ch´ung xuô´ng m .ôt ¯do.an th˘ang nhu v.ây. ,, , , , , , Boi v`ı khoang c´ ach gi˜ ua hai ¯ diêm ¯
du .oc tô bâ´t k`y không b`˘ang 0,1, , , , , , , nên c´ ac ¯ diêm ¯
du .oc tô cua c´ac ¯do.an th˘ang c.anh nhau không thê c`ung , , , chiê´u xuô´ng 1 ¯ diêm. Do ¯ d´ o không c´ o ¯ diêm n` ao c´ o thê l` a h`ınh chiê´u 12.1. V´ı d .u 131 , , , , , , , , cua c´ ac ¯ diêm ¯
du .oc tô cua nhiê`u hon 5 ¯do.an th˘ang. Suy ra tông , , , , , , ¯
d .ô d`ai c´ac h`ınh chiê´u cua c´ac ¯do.an th˘ang ¯du .oc tô không l´on hon 5.0, 1 = 0, 5. J , , , , . 12.5. Ch´ ung minh r` ˘
ang nê´u m .ôt ¯du`ong th˘ang l n`˘am trong m .˘at , , , , ph˘ ang cua tam gi´ ac ABC v` a không ¯ di qua ¯ dınh n` ao cua tam gi´ ac ¯ d´ o, , th`ı n´ o c´ ˘ at không qu´
a hai c .anh cua tam gi´ac ¯d˜a cho. , , ,, , , L` oi giai. K´
y hi .êu α v`a α l`a hai nua m.˘at ph˘ang do l chia m.˘at ph˘ang , , ,, cua tam gi´ ac ABC. M˜ ôi ¯
dınh A, B v`a C n`˘am trong m .ôt nua m.˘at , ,, ph˘ ang trên. Theo nguyên l´
y Ðirichlê ´ıt nhâ´t m .ôt trong hai nua m.˘at , , , , , , ph˘ ang trên, ch˘
ang h .an nhu α, ch´ua hai ¯dınh cua tam gi´ac ABC, , , , , , , ch˘
ang h .an nhu A v`a B. Khi ¯d´o ¯du`ong th˘ang l không c´˘at ¯do.an th˘ang , AB, ngh˜ıa l` a n´ o không c´ ˘
at m .ôt trong ba c.anh cua tam gi´ac ABC. J , , , , , , . 12.6. Nh˜ ung ¯
diêm trong m .˘at ph˘ang ¯du.oc son b`˘ang m.ôt trong ba , , , , mâ`u. Ch´ ung minh r` ˘ ang luôn t`ım ¯
du .oc hai ¯diêm c`ung mâ`u c´ach nhau ¯ d´ ung b` ˘ ang 1. , , , ,, , , , L`
oi giai. Gia su hai ¯ diêm bâ´t k` y c´ ach nhau 1 ¯ dê`u ¯ du .oc tô b`˘ang c´ac , mâ`u kh´ ac nhau. X´ et tam gi´ ac ¯ dê`u ABC c´
o c .anh b`˘ang 1. Tâ´t ca c´ac , , , , , ,, , ¯ dınh cua n´ o ¯
du .oc tô b`˘ang c´ac mâ`u kh´ac nhau. Gia su ¯diêm A1 ¯dô´i , , , , , ,, , x´ ung v´ oi A qua ¯ du` ong th˘
ang BC. Boi v`ı A1B = A1C = 1, nên ¯ diêm , , , , ,
A1 c´o mâ`u kh´ac v´oi mâ`u cua B v`a C, t´uc l`a n´o ¯ du .oc tô c`ung m .ôt mâ`u , , , , √ v´ oi ¯
diêm A. C´ac l .âp lu.ân ¯d´o th .uc châ´t ¯d˜a chı ra r`˘ang nê´u AA1 = 3, , , , th`ı c´ ac ¯
diêm A v`a A1 tô c`ung m .ôt mâ`u. Do ¯d´o tâ´t ca c´ac ¯diêm n`˘am , , √ trên ¯ du`ong tr` on tâm A b´an k´ınh 3 c´ o c`
ung m .ôt mâ`u. R˜o r`ang trên , , , , , , , ¯ du` ong tr` on ¯ d´ o luôn t`ım ¯
du .oc hai ¯diêm c´o khoang c´ach gi˜ua ch´ung , , , , , b` ˘ ang 1. Ta ¯
du .oc mâu thu˜ân, v.ây luôn t`ım ¯du .oc hai ¯diêm c`ung mâ`u , , c´ o khoang c´ ach gi˜ua ch´ ung b` ˘ ang 1. J , , 132
Chuong 12. M .ôt sô´b`ai t.âp h`ınh h .oc kh´ac , , ,
. 12.7. Cho 11 ¯ diêm kh´
ac nhau trong h`ınh câ`u thê t´ıch V. Ch´ ung , , , , minh r` ˘
ang qua tâm cua h`ınh câ`u c´
o thê d .ung hai m .˘at ph˘ang sao cho , , V ch´ ung c´ ˘ at h`ınh câ`u th`
anh m .ôt "miê´ng" v´oi thê t´ıch , m` a phâ`n trong 6 , , , , cua n´ o không ch´
ua trong phâ`n trong bâ´t c´
u m .ôt ¯diêm n`ao ¯d˜a cho. , , , L`
oi giai. Chia h`ınh câ`u ra hai b´ an câ`u b` ˘
ang m .ôt m.˘at ph˘ang ¯di qua , , , , tâm v` a hai ¯ diêm t` u c´ ac ¯ diêm ¯ d˜
a cho. M .ôt b´an câ`u ch´ua trong phâ`n , , , ,, trong nhiê`u nhâ´t l` a 4 ¯ diêm t` u c´ ac ¯ diêm c`
on l .ai. Chia nua h`ınh câ`u , , b` ˘
ang hai m .˘at ph˘ang, m`a m˜ôi m.˘at ph˘ang ¯di qua tâm h`ınh câ`u v`a , , , ,, hai ¯ diêm trong 4 ¯ diêm c`
on l .ai. Nhu v.ây nua h`ınh câ`u chia th`anh 3 , , , , "miê´ng" không ch´
ua m .ôt ¯diêm n`ao bên trong. ´ıt nhâ´t thê t´ıch cua , , 1 , , m .ôt miê´ng l´on hon thê t´ıch cua b´ an h`ınh câ`u. J 3 ,
. 12.8. Cho khô´i ¯
da di.ên lô`i P1 c´o 9 ¯dınh A1, A2, . . . , A9.K´y hi.êu , , , ,,
P2, P3, .., P9 l`a nh˜ung ¯da di.ên ¯du.oc t .ao th`anh boi c´ac ph´ep t.inh tiê´n , , , , −−−→ −−−→ , tuong ´ ung theo c´
ac vecto A1A2, . . . , A1A9. Ch´ ung minh r` ˘ ang ´ıt nhâ´t , 2 trong sô´9 ¯
da di.ên trên c´o ´ıt nhâ´t m.ôt ¯diêm chung. , , , , , L` oi giai. X´ et h`ınh ¯
da di .ên P l`a anh cua P1 qua ph´ep v.i t .u tâm A1 , v`
a h .ê sô´2. Ta s˜e ch´ung minh r`˘ang 9 ¯da di.ên ¯dê`u n`˘am trong P. Th.ât , , , v .ây, cho A1, A∗ l` a c´ ac ınh cua ng 2 , . . . , A∗ 9 ¯ d ¯
da di .ên P. Ch´ung ta s˜e ch´u , , , , minh, ch˘
ang h .an nhu P2 n`˘am trong P. Ðê ch´ung minh ¯diê`u ¯d´o ch´ung , −−−→ , , ta ch´ u ´ y t´ oi ph´
ep t.inh tiê´n A1A2 chuyên c´ac ¯diêm A1, A2, . . . , A9 , , ,, , , t´ oi c´ ac ¯ diêm A2, A∗ , o l` a trung m cua 2 , A03, . . . , A09 ¯ dây A0i ¯ diê ¯ do .an A∗ A∗). 2 i , , , Tông thê t´ıch cua c´ ac ¯
da di .ên P1, P2, . . . , P9 n`˘am trong P b`˘ang ,, , , , , 9V, o ¯ dây V l`a thê t´ıch cua ¯
da di .ên P1, c`on thê t´ıch cua ¯da di.ên P , b` ˘
ang 8V. Suy ra ´ıt nhâ´t c´ o hai ¯
da di .ên c´o ¯diêm chung (nguyên l´y , Ðirichlê cho thê t´ıch. J 12.1. V´ı d .u 133 , , ,
. 12.9. Trong h`ınh câ`u ¯ du` ong k´ınh 3 ¯
d .˘at m.ôt sô´ h`ınh câ`u m`a tông , , , , , ¯ du` ong k´ınh cua ch´ ung b` ˘ ang 25 (nh˜ ung h`ınh câ`u n` ay c´ o thê giao , , , , nhau). Ch´ ung minh r` ˘ ang v´
oi m .oi m .˘at ph˘ang tô`n t .ai m.ôt m .˘at ph˘ang , song song v´ oi n´ o v` a c´ ˘
at ´ıt nhâ´t 9 h`ınh câ`u con. , , , , , L` oi giai. Ch´ ung ta x´ et h`ınh chiê´u c´ ac h`ınh câ`u lên ¯ du` ong th˘ ang , , , vuông g´ oc v´
oi m .˘at ph˘ang ¯d˜a cho. H`ınh câ`u l´on chiê´u v`ao m .ôt ¯do.an , , th˘ ang c´ o ¯
d .ô d`ai 3, c`on c´ac h`ınh câ`u con chiê´u v`ao c´ac ¯do.an th˘ang , , , ,, , , nho c´ o tông 25. Gia su không c´
o m .ôt m.˘at ph˘ang n`ao nhu ¯dê` b`ai ra, , , , , ngh˜ıa l`
a m .oi m.˘at ph˘ang song song v´oi m.˘at ph˘ang ¯d˜a cho chı c´˘at 8 , , , , h`ınh câ`u nho. khi ¯ d´ o m˜ ôi ¯ diêm trong ¯
do .an th˘ang ¯d .ô d`ai 3 chı thu .ôc , , , , nhiê`u nhâ´t l` a 8 ¯
do .an th˘ang h`ınh chiê´u cua nh˜ung h`ınh câ`u nho. Suy , , , , , ra tông cua ch´ ung không qu´
a 24. Nh .ân ¯du .oc s .u vô l´y. J , , ,
. 12.10. Trong h`ınh vuông c .anh 1 ¯don v.i c´o m.ôt ¯du`ong gâ´p kh´uc L , , , , ,
không t .u c´˘a v´oi ¯d.ô d`ai l´on hon 1000. Ch´ung minh r`˘ang tô`n t .ai m.ôt , , , , , , , ¯ du` ong th˘
ang m song song v´
oi c .anh h`ınh vuông v`a c´˘at ¯du`ong L t .ai hon , 500 ¯ diêm. , , , ,, , , , , L`
oi giai. Gia su li l`a ¯
d .ô d`ai m´˘at th´u i cua ¯du`ong gâ´p kh´uc, ai v`a bi , , l` a ¯
d .ô d`ai h`ınh chiê´u cua n´o lên c´ac c.anh cua h`ınh vuông. Khi ¯d´o li ≤ ai + bi. Suy ra
1000 = l1 + · · · + ln ≤ (a1 + · · · + an) + (b1 + · · · + bn) , T´ uc l`
a ho .˘ac a1 + · · · + an ≥ 500 ho.˘ac l`a b1 + · · · + bn ≥ 500. Nê´u , , , tông ¯
d .ô d`ai h`ınh chiê´u cua c´ac m´˘at lên m .ôt c.anh ¯d .ô d`ai 1 không nho , , ,
hon 500, th`ı theo nguyên l´ y Ðirichlê cho ¯
d .ô d`ai ¯do.an th˘ang phai c´o , , , , ¯
diêm chung cho hon 500 h`ınh chiê´u cua c´ ac m´ ˘ at gâ´p kh´ uc, t´ uc l` a , , , , , , , ¯ du` ong vuông g´ oc ke t` u ¯ diêm chung ¯ d´ o s˜ e c´ ˘ at ¯ du` ong gâ´p kh´ uc t .ai ´ıt , nhâ´t 500 ¯ diêm. J , , 134
Chuong 12. M .ôt sô´b`ai t.âp h`ınh h .oc kh´ac 12.2. B ` ai t .âp , , , . 12.11. Cho A l`
a t .âp h .op nh˜ung ¯diêm trên m .ôt m.˘at câ`u v`a c´o di.ên , , ,, , , t´ıch l´
on hon nua di .ên t´ıch m.˘at câ`u. Ch´ung minh r`˘ang A ch´ua ´ıt nhâ´t , , , , ,
m .ôt c.˘ap ¯diêm m`a n´o l`a 2 ¯daah u ¯du`ong k´ınh cua qua câ`u. , ,, , , ,
. 12.12. Ta g .oi h`ınh ch˜u th.âp l`a h`ınh t.ao boi c´ac ¯du`ong ch´eo cua ,
h`ınh vuông c .anh 1. Ch´ung minh r`˘ang trong h`ınh tr`on b´an k´ınh 100 , , , , , , chı c´ o thê ¯
d .˘at ¯du .oc m .ôt sô´h˜uu h.an c´ac ch˜u th.âp không c´˘at nhau. , , , , ,
. 12.13. Trên m .˘at ph˘ang cho ¯diêm O. Hoi c´o thê ¯d.˘at trên m.˘at ph˘ang , , , 5 h`ınh tr` on không phu ¯
diêm O sao cho m .oi tia xuâ´t ph´at t`u O c´˘at , , , ,,
không ´ıt hon hai h`ınh tr` on ¯
du .oc hay không ? (c´˘at o ¯dây c´o ngh˜ıa l`a , c´ o ¯ diêm chung). , , , , , , . 12.14. Nh˜ ung ¯
diêm trong m .˘at ph˘ang ¯du .oc son b`˘ang m .ôt trong , , , , hai mâ`u. Ch´ ung minh r` ˘ ang luôn t`ım ¯
du .oc hai ¯diêm c`ung mâ`u c´ach nhau ¯ d´ ung b` ˘ ang 1. , , CHUONG 13 M .ÔT S ´ Ô Ð`Ê THI VÔ Ð.ICH , , , , Nh˜ ung b` ai to´ an thi vô ¯
d.ich c´ac nu´oc l`a c´ac b`ai to´an ¯diên h`ınh cho , , ,
vi .êc v.ân d .ung tr´ı thông minh, s´ang t.ao ¯dê giai. N´o ¯d`oi hoi h .oc sinh , , , , , , , , phai n´ ˘ am ¯
du .oc c´ac kiê´n th´uc co ban v˜ung ch´˘ac v`a hiêu thâ´u ¯d´ao. , , , Ðê giai c´ ac b` ai to´ an thi vô ¯
d.ich phai v.ân d .ung cao t´ınh phân t´ıch , , , v`
a tông h .op c´ac kiê´n th´uc to´an h .oc. Râ´t nhiê`u b`ai to´an thi vô ¯d.ich , , , ,, , , c´ ac nu´ oc c´
o m .ôt phâ`n giai su d .ung nguyên l´y Ðirichlê, c´ac chuong , , , tru´ oc ta ¯ d˜
a g .˘ap m .ôt sô´b`ai. Ðê thu.ân ti.ên cho b.an ¯doj c muô´n tham , , , khao ¯ dâ`y ¯ du vê` chu ¯ dê` n` ay tôi ch´
ep l .ai v`a thô´ng kê ra ¯dây c´ac ¯dê` , , , , thi vô ¯
d.ich c´ac nu´oc chu yê´u trong cuô´n s´ach [4] v`a m .ôt sô´ tuyên , , , ,
t .âp kh´ac. Nhung v`ı t`ai li.êu tham khao c´o h.an, phâ`n suu tâ`m cua tôi , , , ch´ ˘ ac ch´ ˘ an chua ¯ dâ`y ¯ du mong c´
ac b .an ¯d .oc bô sung v`a cho ´y kiê´n. , , , , M˜ ôi b` ai trong chuong n` ay k` em theo tên nu´ oc v` a n˘ am k` y thi vô ¯ d.ich , , nu´ oc ¯ d´ o. , ,
. 13.1. (Anh, 1966) Ch´ ung minh r` ˘ ang t`
u 52 sô´ nguyên bâ´t k` y luôn , , , , , c´
o thê ch .on ¯du.oc ra hai sô´m`a tông ho .˘ac hi.êu cua ch´ung chia hê´t cho 100. , , , , , , L`
oi giai. Tâ´t ca c´ ac sô´du trong ph´ ep chia cho 100, ¯ du .oc chia th`anh , , t` ung nh´
om nhu sau: {0}, {1; 99}, {2; 98}, . . . , {49, 51}, {50}. V`ı c´ o , , tâ´t ca 51 nh´ om, m`
a l .ai c´o 52 sô´, nên theo nguyên l´y Ðirichlê gi˜ua , , 136
Chuong 13. M .ôt sô´ ¯dê` thi vô ¯d.ich , , , ch´ ung phai c´ o hai sô´ m` a c´ ac sô´ du trong ph´ ep chia cho 100 roi v` ao , ,
m .ôt nh´om. Hai sô´n`ay l`a hai sô´câ`n t`ım v`ı nê´u sô´du cua ch´ung b`˘ang , , ,
nhau th`ı hi .êu cua ch´ung chia hê´t cho 100, c`on nê´u sô´du cua ch´ung , , kh´ ac nhau th`ı tông cua ch´ ung chia hê´t cho 100. J , , , ,
. 13.2. (Anh, 1970) Ch´ ung minh r` ˘ ang t`
u t .âp h.op tu`y ´y gô`m n sô´ t .u , , , , nhiên luôn t´ ach ra ¯
du .oc m.ôt t .âp h.op con (kh´ac r˜ông) ch´ua c´ac sô´m`a , , tông cua ch´
ung chia hê´t cho n. , , , ,, , , , L`
oi giai. Gia su v´
oi m .ôt t.âp h .op n`ao ¯d´o ch´ua c´ac sô´a1, a2, . . . , an m`a , , , không thoa m˜ an kh˘ ang ¯
d.inh cua b`ai to´an. Khi ¯d´o không c´o sô´ n`ao trong c´ ac sô´
S1 = a1, S2 = a1 + a2, . . . , Sn = a1 + a2 + · · · + an ,
chia hê´t cho n. V`ı sô´ c´ ac sô´ du kh´ ac không trong ph´ ep chia cho , , n l`
a n − 1, nên theo nguyên l´y Ðirichlê t`ım ¯ du .oc hai sô´ Si v`a Sj , (1 ≤ i < j ≤ n) c´ o c`
ung sô´du. Suy ra hi .êu Sj − Si = ai−1 + · · · + aj , , ,, , chia hê´t cho n, ¯ diê`u n` ay mâu thu˜ ân v´ oi gia su n´ oi trên v` a kh˘ ang , , , , ¯
d.inh cua b`ai to´an ¯du .oc ch´ung minh. J , ,, , ,
. 13.3. (Anh, 1976) Gia su trong t .âp h.op h˜uu h .an X ch.on ra 50 t .âp , , , , ,,
h .op con A1, . . . , A50 sao cho m˜ôi t .âp h.op con ch´ua hon m.ôt nua phâ`n ,, , , , , , ,
tu cua t .âp X. Ch´ung minh r`˘ang c´o thê t`ım ¯du.oc t .âp h.op con B ⊂ X , , ,, ,, ch´
ua không nhiê`u hon 5 phâ`n tu v` a c´
o ´ıt nhâ´t m .ôt phâ`n tu chung cho , c´
ac t .âp h.op A1, A2, . . . A50. , , , ,, ,, , , L`
oi giai. Gia su sô´ c´
ac phâ`n tu cua t .âp X b`˘ang n. M˜ôi t.âp h .op con , , , , n ,, ¯
du .oc ch .on A1, . . . , A50 ch´ua không ´ıt hon phâ`n tu, c´ o ngh˜ıa l` a 2 , ,, , , , , n tông sô´ c´ ac phâ`n tu cua tâ´t ca c´
ac t .âp n`ay vu .ot qu´a 50. = 25.n. 2 ,, , Theo nguyên l´
y Ðirichlê tô`n t .ai m .ôt phâ`n tu cua X thu .ôc không ´ıt 137 , , , , , ,
hon 26 t .âp con ¯d˜a ch .on. Tuong t .u ta ch´ung minh v´oi gi´a tr.i bâ´t k`y , , , k < 50 gi˜ua c´
ac t .âp Ai , A , . . . , A c´o thê ch n 1 i2 ik .on ra không ´ıt ho k , , ,, ,, ,
+ 1 t .âp h .op ch´ua c`ung m .ôt phâ`n tu. Ta lâ´y phâ`n tu cua m .ôt 2 , , ,,
t .âp h .op X m`a n´o thu .ôc không ´ıt hon 26 t.âp (phâ`n tu n`ay s˜e l`a m .ôt ,, , , , ,,
trong 5 phâ`n tu cua t .âp h .op B). Ta lo.ai ra 26 t.âp m`a ch´ua phâ`n tu , , ,, , ¯ d˜ a x´ et. Khi ¯ d´ o t`ım ¯
du .oc 1 phâ`n tu thu .ôc ´ıt nhâ´t 13 t`u 24 t.âp c`on l.ai. , , ,
Ta l .ai lo.ai 13 t.âp n`ay ra, khi ¯d´o gi˜ua 11 t.âp c`on l.ai t`ım ¯du .oc 1 phâ`n ,, , , , ,
tu thu .ôc không ´ıt hon 6 trong sô´c´ac t.âp h .op. Ðô´i v´oi 5 t.âp h .op c`on , , ,, ,
l .ai t`ım ¯du .oc 1 phâ`n tu thu .ôc không ´ıt hon 3 trong sô´ch´ung. V`a cuô´i ,, , c`
ung tô`n t .ai m .ôt phâ`n tu thu .ôc hai t.âp cuô´i c`ung. Nhu v.ây ta t`ım , , , ,, , , , ¯
du .oc không nhiê`u hon 5 phâ`n tu cua t.âp X (c´o thê ´ıt hon v`ı m .ôt v`ai ,, phâ`n tu s˜ e tr` ung nhau), ch´ ung s˜
e t .ao th`anh t.âp B. Ngo`ai ra m .ôt t.âp , , ,, bâ´t k` y t`
u A1, . . . , A50 ch´ua ´ıt nhâ´t m .ôt trong c´ac phâ`n tu ¯d´o. ,
. 13.4. (Ba Lan, 1979) Khi chia c´
ac sô´ t .u nhiên a1, a2, . . . , an cho sô´ , , , , , m
t .u nhiên m n`ao ¯d´o, nh .ân ¯du.oc c´ac sô´du kh´ac nhau, ¯dô`ng th`oi n > . 2 , , Ch´ ung minh r` ˘ ang v´
oi m .oi sô´ k ∈ Z tô`n t .ai c´ac sô´ i, j ∈ {1, 2, . . . , n}
(không nhâ´t thiê´t kh´
ac nhau) sao cho sô´ ai + aj − k chia hê´t cho m. , , L` oi giai. X´
et 2n sô´a1, a2, . . . , an, k − a1, k − a2, . . . , k − an. V`ı 2n > m, , nên c´ o 2 trong c´ ac sô´ ¯ d´ o c´ o c` ung sô´du trong ph´ ep chia cho m. Theo , ¯
diê`u ki .ên b`ai to´an, c´ac sô´ a1, a2, . . . , an, c´o sô´ du kh´ac nhau trong, ph´
ep chia cho m, nên c´ac sô´ k − a1, k − a2, . . . , k − an c˜ung c´o sô´du , , , kh´ ac nhau. Do ¯ d´
o c .˘ap sô´c´o sô´du b`˘ang nhau chı c´o thê l`a hai sô´c´o , ,
d .ang ai v`a k − aj v´oi i, j n`ao ¯d´o. Khi ¯d´o hi.êu cua ch´ung ai + aj − k chia hê´t cho m. J , ,
. 13.5. (Ba Lan, 1977) Ch´ ung minh r` ˘ ang v´
oi m .oi gi´a tr.i a, b ∈ R v`a , , ,
e > 0, tô`n t .ai c´
ac sô´ k, m ∈ Z v`
a n ∈ N thoa m˜ an c´ ac bâ´t ¯ d˘ ang th´ uc , , 138
Chuong 13. M .ôt sô´ ¯dê` thi vô ¯d.ich
|na − k| < e v`a |nb − m| < e. , , 1 , L`
oi giai. Cho sô´ nguyên N > v` a v´ oi m˜
ôi c .˘ap x, y ∈ [0; 1] ta thay e , , thê´ b` ˘
ang c .˘ap u, v thoa m˜an u = [Nx], v = [Ny], khi ¯d´o nê´u v´oi hai , , , ,
c .˘ap (x1, y1), (x2, y2) tuong ´ung v´oi m .ôt c.˘ap duy nhâ´t (u, v) th`ı 1 1 |x 1 − x2| = (u + {Nx1}) − (v + {Nx2}) = N N 1 1 = |{Nx < e N 1} − {N x2}| < N , , , v`
a tuong t .u ta c´o |y1 − y2| < e. V`ı u, v ∈ {0, . . . , N − 1}, nên c´o tâ´t , ,
ca N2 c .˘ap (u, v) kh´ac nhau. X´et t.âp h .op N2 + 1 c.˘ap gi´a tr.i , x = {la}, y = {lb} v´ oi l = 0, 1, . . . , N2 , ,, , Theo nguyên l´ y Ðirichlê c´
o ´ıt nhâ´t hai c .˘ap (gia su v´oi l = i v`a , , , , ,
l = j, i > j) t`u t .âp h .op n`ay tuong ´ung c`ung m .ôt c.˘ap (u, v). Do ¯d´o, , v´ oi k´ y hi .êu
n = i − j, k = [ia] − [ja], m = [ib] − [jb] , , , , ,
ta nh .ân ¯du .oc c´ac bâ´t ¯d˘ang th´uc câ`n ch´ung minh :
|na − k| = |(ia − [ia]) − (ja − [ja])| = |{ia} − {ja}| < e,
|nb − m| = |(ib − [ib]) − (jb − [jb])| = |{ib} − {jb}| < e. J ,
. 13.6. (Bı, 1977) Trong h`ınh tr` on c´ o b´
an k´ınh n ∈ N c´ o 4n ¯ do .an , , , , , th˘ ang ¯ dê`u c´ o ¯
d .ô d`ai b`˘ang 1. Ch´ung minh r`˘ang nê´u c´o m.ôt ¯du`ong th˘ang , , , , , , , cho tru´ oc th`ı t`ım ¯
du .oc m.ôt ¯du`ong th˘ang kh´ac, ho .˘ac song song, ho .˘ac , , , , , vuông g´ oc v´ oi ¯ du` ong th˘ ang n` ay v` a c´ ˘ at ´ıt nhâ´t hai ¯
do .an th˘ang n´oi trên. , , , , , L` oi giai. Ðê ´ y r` ˘ ang tông ¯
d .ô d`ai hai h`ınh chiê´u cua m˜ôi m .ôt ¯do.an , , , , , , , , th˘ ang lên ¯ du`ong th˘ ang l v`a ¯ du` ong th˘ ang l0, vuông g´ oc v´ oi n´ o, không 139 , , , b´
e hon 1. Th .ât v.ây, nê´u vecto a c´o ¯d .ô d`ai l`a 1 song song v´oi ¯do.an , , , , th˘ ang n` ao ¯ d´ o, c` on c´
ac vecto x v`a y l`a c´ac h`ınh chiê´u cua vecto a lên , , , , ¯ du` ong th˘
ang l v`a l0 th`ı a = x + y, suy ra |x| + |y| ≥ |a| = 1. Nhung , , , , ¯
d .ô d`ai c´ac h`ınh chiê´u cua ¯do.an th˘ang b`˘ang |x| v`a |y| do ¯d´o tông cua , , , ch´ ung c˜ ung không b´ e hon 1. D˜ ân ¯ dê´n tông ¯
d .ô d`ai h`ınh chiê´u cua tâ´t , , , , , , , , ca c´ ac ¯
do .an th˘ang không b´e hon 4n. B´oi v.ây t`u hai ¯du`ong th˘ang l , , , , , , , , v` a l0 c´
o thê ch .on ¯du .oc m .ôt ¯du`ong th˘ang, tông ¯d .ô d`ai cua h`ınh chiê´u , , c´ ac ¯
do .an th˘ang trên n´o không b´e hon 2n (nguyên l´y Ðirichlê). V`ı tâ´t , , , , , ca c´ ac ¯
do .an th˘ang ¯du .oc s´˘ap xê´p trong h`ınh tr`on b´an k´ınh n, nên h .op , , , , , c´ ac h`ınh chiê´u cua ch´ ung trên ¯ du` ong th˘ ang bâ´t k` y c´ o ¯ d .ô d`ai b´e hon , , , , , , , , 2n. Suy ra trên ¯ du` ong th˘ ang ¯
du .oc ch .on t`ım ¯du .oc 1 ¯diêm thu .ôc v`ao , ,
h`ınh chiê´u cua ´ıt nhâ´t hai ¯
do .an th˘ang (Nguyên l´y Ðirichlê cho ¯do.an , , , , , , , , , th˘ ang). Ðu` ong th˘ ang ¯ di qua ¯ diêm n` ay vuông g´ oc v´ oi ¯ du` ong th˘ ang , , , , , , ¯
du .oc ch .on, s˜e c´˘at ´ıt nhâ´t hai ¯do.an th˘ang n`ay. V`ı ¯du`ong th˘ang n`ay , , , , , ,
ho .˘ac vuông g´oc v´oi, ho.˘ac song song v´oi ¯du`ong th˘ang l, th`ı n´o thoa m˜ an ¯ diê`u ki .ên b`ai to´an. J ,
. 13.7. (Bungari (¯
dê` thi ch .on ¯d.ôi tuyên),1973) Cho a1, a2, . . . , an l`a , , , nh˜ ung sô´nguyên kh´
ac nhau trong khoang [100,200], m` a ch´ ung thoa , , , m˜
an a1 + a2 + · · · + an ≥ 11100. Ch´ ung minh r` ˘ ang gi˜ ua nh˜ ung sô´n` ay ,, , c´
o ´ıt nhâ´t m .ôt sô´, m`a viê´t n´o o d .ang th .âp phân c´o ´ıt nhâ´t hai ch˜u sô´ giô´ng nhau. , , , L` oi giai. Ch´
ung ta l .âp danh s´ach c´ac sô´trong khoang [100,200], m`a ,, , ch´
ung viê´t o h .ê th.âp phân ´ıt nhâ´t c´o hai ch˜u sô´ tr`ung nhau.: 100,
101, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 121, 122,
131, 133, 141, 144, 151, 155, 161, 166, 171, 177, 181, 188, 191, , , , , ,
199, 200. Tông cua tâ´t ca c´ ac sô´ trên l`
a 4050. M .˘at kh´ac tông tâ´t ca , , c´
ac sô´ nguyên trong khoang [100,200] l` a 15150. Nê´u trong nh˜ ung sô´ ¯ d˜
a cho a1, a2, . . . , an không c´o sô´ n`ao trong danh s´ach trên, th`ı , , 140
Chuong 13. M .ôt sô´ ¯dê` thi vô ¯d.ich
a1 + a2 + · · · + an < 15150 − 4050 = 11100, ¯ diê`u n` ay vô l´ y. Ngh˜ıa ,, , , , l` a trong c´
ac sô´ a1, a2, . . . , an c´o ´ıt nhâ´t m .ôt sô´viê´t o co sô´mu`oi c´o ´ıt , nhâ´t hai ch˜u sô´tr` ung nhau. J ,
. 13.8. (Bungari,1973) Trong m .ôt thu vi.ên c´o 20000 cuô´n s´ach, , , , ch´ ung ¯
du .oc xê´p v`ao nh˜ung gi´a s´ach sao cho m˜ôi gi´a s´ach c´o ´ıt nhâ´t , ,
m .ôt quyên ho .˘ac nhiê`u nhâ´t 199 cuô´n s´ach. Ch´ung minh r`˘ang ´ıt nhâ´t , , c´ o hai gi´ a s´ ach c´ o c`
ung sô´lu .ong s´ach. , , , ,, , , , L`
oi giai. Gia su ngu .oc l.ai. Nê´u trong thu vi.ên c´o n gi´a s´ach v`a ch´ung , , , ¯
du .oc ¯d´anh sô´t`u 1 ¯dê´n n, th`ı r˜o r`ang l`a n ≤ 199. Ch´ung ta k´y hi.êu ai , , , l` a sô´ cuô´n s´ ach ¯
du .oc ¯d.˘at lên gi´a s´ach th´u i, ch´ung ta s˜e c´o 1 ≤ ai ≤ ,, , , , 199. khi ¯ d´ o tu ¯
diê`u ki .ên ai 6= aj v´oi i 6= j, ch´ung ta nh.ân ¯du .oc
20000 = a1 + a2 + · · · + an ≤ 1 + 2 + · · · + 199 = 19900 < 20000 , ¯ diê`u n` ay vô l´ y. Suy ra c´ o ´ıt nhâ´t hai gi´ a s´ ach, trên ch´ ung ch´ ua c` ung sô´s´ ach. J , , ,
. 13.9. (Bungari, 1983) T`ım h`ınh vuông c´ o k´ıch thu´ oc b´e nhâ´t, ¯ dê , trong h`ınh vuông ¯ d´ o c´ o thê s´ ˘ ap xê´p 5 h`ınh tr` on b´ an k´ınh b` ˘ ang 1, sao , cho không c´ o 3 h`ınh tr` on n` ao trong ch´ ung c´ o ¯ diêm trong chung. , , , ,, A B L`
oi giai. Gia su h`ınh vuông ABCD A1 B1 , c´
o tâm O v`a c .anh a, ch´ua 5 h`ınh O tr` on không c´ ˘ at nhau v` a ¯ dê`u c´ o D1 C1 b´ an k´ınh b` ˘ ang 1, khi ¯ d´ o c´ ac tâm , D C cua ch´ ung n` ˘ am trong h`ınh vuông
A1B1C1D1 c´o tâm O v`a c .anh b`˘ang H`ınh 13.1: ,, a − 2 (o ¯ dây A1B1//AB ). , , , , , , , C´ ac ¯ du` ong th˘ ang nô´i t` u c´ ac trung ¯ diêm cua c´ ac c .anh ¯dô´i di.ên cua
h`ınh vuông A1B1C1D1 chia h`ınh vuông ¯ d´ o th` anh bô´n h`ınh vuông 141 , ,,
nho, o m .ôt trong ch´ung´ıt nhâ´t c˜ung c´o hai trong sô´c´ac tâm (Nguyên , , l´ y Ðirichlê). Khi ¯ d´ o khoang c´ ach gi˜ ua hai tâm n` ay m .ôt m.˘at không , , , , , l´ on hon ¯ du` ong ch´ eo h`ınh vuông b´
e, m .˘at kh´ac không b´e hon 2. Do v .ây c´o A √ a − 2 √ 2 ≤ OA 1 B1 1 = 2 = 2 √ 2 2 suy ra a ≥ 2 2 + 2. √ , Cuô´i c`
ung, nê´u a = 2 2 + 2 v`a tâm cua c´ac h`ınh tr` on l` a c´ ac , , , , , ¯
diêm O, A1, B1, C1, D1 th`ı tâ´t ca c´ac ¯
diê`u ki .ên nêu trên ¯du .oc thoa , , √ m˜
an. Nhu v .ây c.anh cua h`ınh vuông câ`n t`ım l`a 2 2 + 2. J , , , ,
. 13.10. (Nam Tu, 1977) Cho tru´
oc 20 sô´ t .u nhiên a1 < a2 < . . . < , , , ,
a20 không vu .ot qu´a 70. Ch´ung minh r`˘ang gi˜ua c´ac hi.êu aj − ak(j > k) , , luôn t`ım ¯
du .oc ´ıt nhâ´t 4 hi.êu b`˘ang nhau. , , , ,, , , , , L`
oi giai. Gia su kh˘ ang ¯
d.inh cua b`ai to´an l`a sai. Khi ¯d´o gi˜ua 19 sô´t .u
nhiên a20 − a19, a19 − a18, . . . , a2 − a1 không c´o 4 sô´n`ao b`˘ang nhau. , Do ¯ d´ o gi˜ ua ch´ ung m˜ ôi sô´ 1, 2, 3, 4, 5, 6 c´
o m .˘at không qu´a 3 lâ`n. , , , Suy ra c´
o m .ôt trong 19 sô´ ¯d´o phai l´on hon 6 (nê´u không th`ı sô´c´ac , , , , sô´ không l´ on hon 6 s˜ e nhiê`u hon 18), c´ o 3 trong 18 sô´ c` on l .ai phai , , , , , , , l´ on hon 5, 3 trong 15 sô´ c`
on l .ai phai l´on hon 4,. . . Do ¯d´o tông cua ch´
ung (a20 − a19) + (a19 − a18) + · · · + (a2 − a1) ≥ 7 + 3(6 + 5 + 4 + , 3 + 2 + 1) = 70 không thê b` ˘
ang a20 − a1 ≤ 70 − 1 = 69. Mâu thu˜ân , , , , ,
nh .ân ¯du .oc ¯d˜a ch´ung minh kh˘ang ¯d.inh cua b`ai to´an. J , , , ,
. 13.11. (Nam Tu, 1981) T .âp h.op c´ac sô´ {1, 2, . . . , 100} ¯du.oc chia , , ,, , l`
am 7 t .âp h.op con. Ch´ung minh r`˘ang ´ıt nhâ´t o m.ôt trong c´ac t .âp h.op , , con â´y t`ım ¯
du .oc ho .˘ac 4 sô´ a, b, c, d sao cho a + b = c + d, ho .˘ac ba sô´
e, f , g sao cho e + f = 2g. , , , , , L` oi giai. Ðê ´ y r` ˘ ang c´
o ´ıt nhâ´t m .ôt trong 7 t.âp h .op con ch´ua không , , , , , , , ,
´ıt hon 15 sô´ (trong tru`ong h .op ngu .oc l.ai, tâ´t ca c´ac t.âp h .op con , , 142
Chuong 13. M .ôt sô´ ¯dê` thi vô ¯d.ich , , , , ch´
ua không nhiê`u hon 7.14 = 98 sô´). M˜
ôi c .˘ap sô´ a > b cua t.âp h .op , , , , , , , , con n` ay ¯
du .oc ¯d.˘at tuong ´ung v´oi hi.êu a − b. Khi ¯d´o ta nh.ân ¯du .oc , 14 , không ´ıt hon C2 = 15 = 105 hi ai c´ o c´ ac hi 15 .êu, trong sô´ ¯ d´ o ph .êu 2 , , b` ˘ ang nhau (v`ı c´
ac hi .êu nh.ân ¯du .oc không qu´a 99 gi´a tr.i kh´ac nhau , ,, , , , 1, 2,. . . ,99). Gia su v´
oi hai c .˘ap sô´ a > b, c > d ta c´o ¯d˘ang th´uc
a − b = c − d(a 6= c, b 6= d). Khi ¯ d´ o a + d = b + c. Nê´u a = d , , , ,
(ho .˘ac b = c, ¯d˘ang th´uc kh´ac không thê xây ra), th`ı c + b = 2a (ho.˘ac a + d = 2b). J , , ,
. 13.12. (Nam tu,1977) Ch´ ung minh r` ˘
ang di.ên t´ıch cua h`ınh vuông , , ,, , bâ´t k` y n` ˘ am trong tam gi´ ac, không l´
on hon nua di.ên t´ıch cua tam gi´ac ¯ d´ o. , , , L`
oi giai. (H`ınh 13.2) Ta ch´ ung A , , , minh kh˘ ang ¯ d.inh tông qu´at hon : , M
di .ên t´ıch cua h`ınh b`ınh h`anh bâ´t , L , k`
y KLMN n`˘am o trong tam gi´ac E L M1 F 1 , , ,, N ABC không l´ on hon nua di .ên t´ıch K , C B cua tam gi´ ac ¯ d´ o. K N 1 1 , , , , Ðê ´ y r` ˘ ang m˜ ôi m .ôt ¯du`ong th˘ang , H`ınh 13.2: KL v`
a MN c´˘at hai c .anh cua tam , ,, , , gi´ ac ABC (c´ o thê o ¯ dınh tam gi´ ac), ngh˜ıa l` a c´ o 2 trong 4 giao ¯ diêm , , , , n` ˘
am trên 1 c .anh theo nguyên l´y Ðirichlê. Ch˘ang h.an, ¯du`ong th˘ang , , ,, KL v`
a MN c´˘at BC lâ`n lu .ot o K1 v`a N1. Trên c.anh AB, AC v`a BC , , , ,
ch .on c´ac ¯diêm D, E v`a F sao cho L1, M1 l`a giao ¯diêm cua DE v´oi KL , v` a MN thoa m˜an: , K1L1 = KL; L1M1//K1N1 ¯ dô`ng th` oi BF//BD , , Khi ¯ d´ o h`ınh b`ınh h` anh KLMN v`a K1L1M1N1 c´o ¯ du`ong cao b` ˘ ang nhau ¯ dê´n ¯ das y chung, c` on c´ ac h`ınh b`ınh h` anh BDEF v`a K1L1M1N1 143 , , , , c´ o ¯ d´ ay DE không b´e hon ¯ d´ ay L1M1 v`a hai ¯ du` ong cao h .a t`u D v`a L1 ,, ,
xuô´ng BF b`˘ang nhau. Boi v .ây c´o: SKLMN = SK ≤ S a 1 L1 M1 N1 BDEF. Gi ,, su AE = x.AC, khi ¯ d´
o EC = (1 − x)AC, c´ac tam gi´ac ABC, ADE , v` a EFC ¯
dô`ng d .ang v´oi nhau nên ta c´o: SBDEF = SABC − SADE − SEFC
= SABC − x2SABC − (1 − x)2SABC 1 = 2x(1 − x)SABC ≤ S 2 ABC. 1 , 1 V`ı x(1 − x) ≤ v´
oi x lâ´y gi´a tr.i bâ´t k`y, nên S S 4 KLMN ≤ 2 ABC. J , , ,
. 13.13. (Nam tu, 1972) Ðô´i v´ oi m˜ ôi gi´
a tr.i n ∈ N, h˜ay t`ım sô´k l´on , , ,,
nhâ´t (k ∈ N) thoa m˜
an t´ınh châ´t sau: Trong t .âp h.op gô`m n phâ`n tu , , , c´
o thê ch .on ra k t .âp h.op con kh´ac nhau, sao cho hai t .âp h.op con bâ´t k` y ¯ dê`u c´
o t .âp giao kh´ac r˜ông. , , ,, , , , L`
oi giai. Cô´ ¯
d.inh phâ`n tu ai cua t.âp h .op X = {a1, a2, . . . , an} v`a chı , , ,, , , x´ et c´
ac t .âp h .op con ch´ua phâ`n tu a1.Sô´c´ac t.âp h .op nhu v.ây b`˘ang sô´ , , , c´
ac t .âp h .op con cua t.âp h .op {a2, . . . , an}, ngh˜ıa l`a b`˘ang 2n−1. Suy ra , ,, , , , ,
k ≥ 2n−1. M .˘at kh´ac gia su ¯d˜a ch .on ¯du .oc hon 2n−1 t.âp con cua X. Ta , , , , ,, chia tâ´t ca c´
ac t .âp con cua X th`anh 2n−1 c.˘ap ¯du .oc t.ao boi 1 t.âp con , , cua X v`a phâ`n b` u cua n´ o. Theo nguyên l´ y Ðirichlê c´ o ´ıt nhâ´t 2 t .âp con ¯ d˜
a ch .on t.ao th`anh m .ôt c.˘ap, suy ra ch´ung không giao nhau. V.ây k = 2n−1. J , 1 . 13.14. (M˜
y, 1983) Trên tr .uc sô´ lâ´y m.ôt khoang c´o ¯d.ô d`ai (n ∈ n , , , , n + 1 N). Ch´ ung minh r` ˘ ang khoang n` ay c´ o ch´ ua nhiê`u hon phân sô´ 2 , p
tô´i gian d .ang , trong ¯d´o p, q ∈ Z, 1 ≤ q ≤ n. q , , 144
Chuong 13. M .ôt sô´ ¯dê` thi vô ¯d.ich , , , , 1 , L`
oi giai. Gia thiê´t r` ˘
ang trong m .ôt khoang n`ao ¯d´o c´o ¯d .ô d`ai , ch´ua n , n + 1 , p , nhiê`u hon phân sô´ tô´i gian , v´
oi q ∈ {1; 2; . . . ; n}. Ta s˜e 2 q , , , ch´ ung minh r` ˘ ang gi˜ ua c´ ac m˜ âu sô´ cua c´ ac phân sô´ n` ay luôn t`ım , , ¯
du .oc hai m˜âu sô´ m`a m˜âu sô´ n`ay chia hê´t cho m˜âu sô´ kia. Th.ât v.ây , , , , , ta biêu di˜ ên c´ ac m˜ âu sô´ du´
oi d .ang 2r.s v´oi s l`a sô´ le, r ∈ Z+. Sô´ , , n + 1 c´ ac sô´ le kh´ ac nhau gi˜ ua c´
ac sô´ 1, 2, 3, . . . , n b`˘ang ( ngh˜ıa 2 , , , l` a ´ıt hon sô´ c´ ac m˜ âu sô´ ¯ dang x´ et), suy ra luôn t`ım ¯ du .oc hai m˜âu sô´ q = 2r.s v`
a q1 = 2r1s1 m`a s = s1 v`a r = r1. Khi ¯ d´ o c´ o m .ôt m˜âu , , sô´ chia hê´t cho m˜
âu sô´ kia, hay q1 = kq. Nhu v .ây gi˜ua c´ac phân sô´ , , m l ,
ch .on ¯du .oc hai sô´kh´ac nhau d.ang v` a , v´ oi kq ≤ n. Khi ¯ d´ o q kq m l 1 − < , q kq n , , 1 v`ı ca hai n` ˘ am trong khoang c´ o ¯
d .ô d`ai . Do ¯d´o km − l = 0, v`ı trong n , , , , , tru` ong h .op ngu .oc l.ai th`ı m l |km − l| 1 1 − = ≥ ≥ , q kq kq kq n l km , , v` a do ¯ d´ o km = l v`a = , ngh˜ıa l` a hai phân sô´ ¯ du .oc ch .on tr`ung kq kq nhau. J ,
. 13.15. (Vi.êt nam, 1976) Ch´ung minh r`˘ang tô`n t .ai vô sô´ c´ac sô´ c´o , ,
d .ang 5n(n ∈ N), m`a trong c´ac biêu di˜ên th .âp phân cua m˜ôi sô´ ¯d´o c´o , , ,
không ´ıt hon 1976 ch˜ u sô´0 ¯ d´ ung liên tiê´p. , , , , L` oi giai. Ta ch´ ung minh r` ˘ ang v´
oi m .oi k ∈ N tô`n t.ai vô sô´ c´ac sô´ , m ∈ N thoa m˜ an ¯
diê`u ki .ên 5m = 1 (mod 2k). 145 , , ,
Th .ât v.ây, gi˜ua c´ac sô´ 50, 51, . . . , 52k luôn t`ım ¯du .oc hai sô´ 5p v`a , , 5q(p > q) c´ o c` ung sô´ du trong ph´ ep chia cho 2k. Khi ¯ d´ o hi .êu cua ch´
ung 5p − 5q = 5q(5p−q − 1) chia hê´t cho 2k nghi˜a l`a sô´ 5p−q − 1 , v` a tâ´t ca c´ ac sô´c´
o d .ang 5r(p−q) − 1 (r ∈ N) ¯dê`u chia hê´t cho 2k. , ,
Nhu v .ây v´oi m˜ôi gi´a tr.i m = r(p − q), r ∈ N, ta c´o 5m ≡ 1 , , (mod 2k), t`u ¯ d´
o 5m+k ≡ 5k (mod 10k) ngh˜ıa l`a k ch˜u sô´ t .ân c`ung , , , , , ,, , cua 5m+k tr` ung v´
oi k ch˜u sô´ t .ân c`ung cua 5k. Gia su sô´ k thoa m˜an , , , , 2k > 101976 ch´
ua không nhiê`u hon k − 1976 ch˜u sô´. Do ¯ d´ o gi˜ ua k , , , , ch˜
u sô´t .ân c`ung cua sô´5m+k chı c´o k − 1976 ch˜u sô´kh´ac không, c`on , 1976 ch˜u sô´c`
on l .ai (liên tiê´p nhau) b`˘ang 0. J , , ,
. 13.16. (Ti.êp kh´˘ac, 1979) Trên m.ôt ¯du`ong th˘ang c´o n2 + 1(n ∈ N) , , , , ¯
do .an th˘ang. Ch´ung minh r`˘ang, ho .˘ac l`a gi˜ua ch´ung c´o thê ch.on n + 1 , , , ¯
do .an ¯dôi m.ôt không c´˘at nhau, ho .˘ac l`a t`ım ¯du.oc n + 1 ¯do .an th˘ang n`ao , ¯ d´ o c´ o ¯ diêm chung. , , , , , , , L` oi giai. Ta ¯
d.inh hu´ong bên tr´ai cho ¯du`ong th˘ang khi n´oi r`˘ang m .ôt ,, , , ¯
do .an n`˘am o bên tr´ai ¯do.an th˘ang kh´ac, nê´u ¯dâ`u m´ut bên tr´ai cua , , ,, , ¯
do .an th˘ang th´u nhâ´t n`˘am o bên tr´ai ¯dâ`u m´ut bên tr´ai cua ¯do.an , , , , , , , th˘ ang th´ u hai. M˜ ôi ¯
do .an th˘ang ¯du .oc ¯d´anh sô´ b`˘ang m .ôt sô´ tuong , , ´, , , , , , ung t` u c´
ac sô´1, 2, . . . , n b`˘ang c´ach sau: o bu´ oc th´ u nhâ´t ¯ do .an th˘ang ,, , , , , ,
o t .ân c`ung bên tr´ai cho tuong ´ung sô´ 1. Sau ¯d´o m˜ôi bu´oc tiê´p theo , , ,
ta l .ai ch .on trong sô´nh˜ung ¯do.an th˘ang chua ¯d´anh sô´, ¯do.an t.ân c`ung , , , , , , bên tr´ ai v` a ¯
d .˘at cho n´o sô´tuong ´ung, kh´ac v´oi c´ac sô´cua nh˜ung ¯do.an , , , , , , th˘ ang giao v´ oi n´ o (¯ d˜ a ¯
du .oc ¯d´anh sô´). Nê´u ¯dê´n bu´oc n`ao ¯dâ´y, ta ch .on , , , , , , , , , ¯
du .oc ¯do.an th˘ang, nhung ¯dô´i v´oi n´o không ch .on ¯du .oc sô´ th´u t .u, th`ı , , ¯ diê`u n` ay c´ o ngh˜ıa l` a n´ o giao v´ oi n ¯
do .an th˘ang n`˘am bên tr´ai n´o v`a c´o , , , , , nh˜ ung sô´ kh´ ac nhau. Trong tru`
ong h .op n`ay ¯dâ`u m´ut tr´ai cua ¯do.an , , , , ,, , , th˘ ang ¯
du .oc ch .on thu .ôc v`ao n + 1 ¯do.an th˘ang. Nê´u o bu´oc â´y, ¯do.an , , 146
Chuong 13. M .ôt sô´ ¯dê` thi vô ¯d.ich , , , th˘ ang cuô´i c` ung ¯
du .oc ¯d´anh sô´ th`ı theo nguyên l´y Ðirichlê ´ıt nhâ´t , , , , ,
m .ôt trong n sô´´ung v´oi nhiê`u hon n ¯do.an th˘ang, m`a c´ac ¯do.an th˘ang , , , , ¯ d´ o v´ oi c´ ac sô´th´
u t .u th´ıch h .op, không giao nhau. J ,
. 13.17. (Rumani, 1978) C´ ac h`
am sô´ f , g, h : N → N thoa m˜ an ba ¯ diê`u ki.ên sau: , , a) H`
am h(n) không nh .ân gi´a tr.i n`ao t .ai nhiê`u hon m.ôt ¯diêm n ∈ N. ,
b) T .âp h.op gi´a tr.i h`am sô´ g(n) l`a N.
c) f (n) ≡ g(n) − h(n) + 1, n ∈ N. , , Ch´ ung minh r` ˘ ang ¯ dô`ng nhâ´t th´
uc f (n) ≡ 1, n ∈ N, l` a ¯ d´ ung. , , , , , L` oi giai. Ta ch´ ung minh ¯ dô`ng nhâ´t th´ uc g(n) ≡ h(n) (n ∈ N). T` u ¯ d´ o v` a ¯
diê`u ki .ên b) s˜e d˜ân ¯dê´n f (n) ≡ g(n) − h(n) + 1 ≡ 1, n ∈ N. , V´ oi bâ´t k` y n ∈ N c´ o
h(n) = g(n) + 1 − f (n) ≤ g(n) , ,, , , ,
v`ı f (n) ≥ 1. Gia su r`˘ang, ¯ dô´i v´ oi gi´
a tr.i n`ao ¯d´o n ∈ N ¯d˘ang th´uc g(n) = h(n) không ¯ d´ ung, khi ¯ d´ o h(n) < g(n) = k. Theo ¯ diê`u ki .ên , b) ta t`ım c´
ac sô´ n1, n2, . . . , nk−1 ∈ N, ¯dê sao cho g(ni) = i khi i = ,,
1, . . . , k − 1. Boi v .ây m˜ôi sô´trong k sô´h(n1), h(n2), . . . , h(nk−1), h(n) ,
thu .ôc v`ao t.â p h .op {1, 2, . . . , k − 1}, do ¯d´o theo nguyên l´y Ðirichlê , h`
am sô´ h(n) nh .ân gi´a tr.i n`ao ¯d´o nhiê`u hon m .ôt lâ`n, ¯diê`u n`ay tr´ai , , , , , v´ oi ¯
diê`u ki .ên a).Kh˘ang ¯d.inh ¯d˜a ¯du .oc ch´ung minh. J , , , , , , . 13.18. (M˜ y (N˜ uu U´ oc), 1979) Ch´ ung minh r` ˘ ang c´ ac ¯ dınh cua n-gi´ ac , , ¯ dê`u c´
o di.ên t´ıch b´e nhâ´t (n > 3) n.ôi tiê´p trong m.ôt n-gi´ac cho tru´oc, , , , , , tr` ung v´ oi trung ¯ diêm c´
ac c .anh cua n-gi´ac cho tru´oc. , , , ,, L`
oi giai. (H`ınh 13.3) Gia su n-gi´ac ¯
dê`u B1, . . . , Bn c´o di.ên t´ıch SB
n .ôi tiê´p trong n-gi´ac ¯dê`u A1, . . . , An di.ên t´ıch SA. 147 Khi ¯ d´ o nê´u ch´ ung không tr` ung nhau th`ı trên m˜ ôi m .ôt c.anh Ai Ai+1 , , , , v´
oi i = 1, 2, . . . , n (An+1 = A1) c´o m .ôt ¯dınh Bi ¯du .oc x´ac ¯d.inh , , , , ,
trên c .anh â´y. Th.ât v.ây, trong tru`ong h .op ngu .oc l.ai theo nguyên l´y , , , Ðirichlê ´ıt nhâ´t c´
o m .ôt c.anh, ch˘ang h.an A1A2, ch´ua hai ¯diêm B1 , , ,, , ,, v` a B2 ¯ d´ o (¯ dê x´ ac ¯
d.inh, gia su A1B2 > A1B1), khi ¯d´o ¯diêm Bn (o , ∆ , , ,
A1A2An) c´o thê n`˘am trên c .anh A2A3 v`a A1An tuong ´ung (v`ı n > , , , 3, ¯
do .an A1A3 v`a A2An l`a ¯du`ong ch´eo, m`a không l`a c.anh cua n-gi´ac ,
A1, . . . , An), ngh˜ıa l`a B1 = A1 v`a B2 = A2. Ta ch´ung minh r`˘ang A1B1 = A2B2 = . . . = AnBn
Th .ât v.ây tam gi´ac B1A2B2 v`a tam gi´ac B2A3B3 b`˘ang nhau, v`ı \ B1A2B2 = \ B2A3B3 = \ B1B2B3 = 1800 n − 2 n \ A2B1B2 = 1800 − \ B1A2B2 − \ A2B2B1 = 1800 − \ B1B2B3 − \ A2B2B1 = \ A2B2B3 ,, , , , v`
a B1B2 = B2B3. Boi v .ây A2B2 = A3B3. Ta c˜ung ch´ung minh tuong , , , , ,
t .u c´ac ¯d˘ang th´uc c`on l.ai. Ð.ai lu .ong SB = SA − SB − S − . . . − S = S 1 A2 B2 B2 A3B3 Bn A1B1 A − nSB1 A2B2 , , ,
nh .ân gi´a tr.i nho nhâ´t, khi di.ên t´ıch tam gi´ac B1A2B2 l´on nhâ´t. Gia ,, , , su A1A2 = a, A1B1 = x, khi ¯ d´ o ¯ d .ai lu .ong 1 1 SB = B (a − x)x. sin \ B 1 A2 B2 2 1 A2.A2B2 sin \ B1A2B2 = 2 1 A2 B2 1 a2 a = ( − (x − )2) sin \ B 2 4 2 1 AB2 , a
nh .ân gi´a tr.i l´on nhâ´t khi x = , ngh˜ıa l`a A 2 1 B1 = B1 A2. J , ,
. 13.19. (CHLB д
uc, 1978) M .ôt b.ô gô`m n2 con tem choi (n>2) mang , c´ ac nh˜
an hi.êu "1","2","3",. . . ,"n". M˜ôi lo .ai nh˜an hi.êu c´o n con tem. Hoi , , 148
Chuong 13. M .ôt sô´ ¯dê` thi vô ¯d.ich , , , c´
o thê xê´p tâ´t ca c´ ac con tem â´y th`
anh m .ôt d˜ay thoa m˜an c´ac ¯diê`u ki.ên , , sau không : v´
oi m .oi x ∈ {1, 2, . . . , n} gi˜ua m.ôt con tem mang nh˜an ,
hi.êu "x" v`a con tem mang nh˜an hi.êu "x" tiê´p theo luôn c´o v`ua ¯d´ung x con tem mang nh˜ an hi.êu kh´ac "x" ? , , , L`
oi giai. Trong m˜ ôi ¯ do .an n`˘am gi˜ua A3 , A B 2 2 hai con tem liên tiê´p v´ oi nh˜ an "n", B B 1 3 ¯ dê`u c´ o n con tem. C´ o n-1 ¯ do .an nhu , A A 1 4 , ,
v .ây do ¯d´o sô´ tem o gi˜ua con tem B4 ¯ dâ`u tiên mang nh˜ an hi .êu "n" v`a con , A5 tem cuô´i c` ung v´ oi c` ung nh˜ an hi .êu , , ¯ d´
o c .ông v´oi hai con tem v`ua n´oi l`a (n − 1)n + n, ngh˜ıa l` a n2 con tem. V H`ınh 13.3: .ây con tem ¯ dâ`u tiên v` a con tem , cuô´i c` ung trong d˜ ay ¯ dê`u phai c` ung mang nh˜ an hi .êu "n". , , Trong sô´ n con tem v´ oi nh˜ an "n-1" phai c´ o (theo nguyên l´ y
Ðirichlê) ´ıt nhâ´t hai con tem c` ung n` ˘
am trong ´ıt nhâ´t m .ôt ¯do.an , , ,, , trong sô´ n-1 ¯
do .an kê trên. Nhung khi ¯d´o o gi˜ua hai con tem n`ay , , chı c´ o nhiê`u nhâ´t l` a n-2 con tem; ¯ diê`u ¯ d´ o mâu thu˜ ân v´ oi t´ınh châ´t , cua d˜ ay. J , , ,
. 13.20. (CHLB Nga 1972) Ch´ın ¯ du` ong th˘ ang c` ung c´ o t´ınh châ´t l` a , , , , , m˜ ôi ¯ du` ong th˘
ang chia h`ınh vuông th` anh hai t´ u gi´ ac c´
o ty sô´ di.ên t´ıch 2 , , , , b` ˘ ang . Ch´ ung minh r` ˘ ang c´ o ´ıt nhâ´t ba ¯ du` ong th˘ ang trong sô´ ¯ d´ o c` ung 3 , ¯ di qua m .ôt ¯diêm. , , , , , , L`
oi giai. (H`ınh 13.4) C´ ac ¯ du` ong th˘ ang ¯ d˜ a cho không thê c´ ˘ at c´ ac , ,, ,
c .anh kê` nhau cua h`ınh vuông ABCD, boi v`ı nê´u thê´ không thê t.ao , , , , ,, , , ra ¯
du .oc hai t´u gi´ac, m`a l`a tam gi´ac v`a ng˜u gi´ac. Gia su m .ôt ¯du`ong 149 , , th˘ ang c´ ˘ at c´
ac c .anh BC v`a AD t.ai c´ac ¯diêm M v`a N. C´ac h`ınh thang , , , ABMN v` a CDNM c´ o c´ ac ¯ du` ong cao b` ˘ ang nhau do ¯ d´ o ty sô´ di .ên , , , , , t´ıch cua ch´ ung b` ˘ ang ty sô´ c´ ac ¯ du` ong trung b`ınh, t´ uc l` a MN chia , , , , ¯
do .an th˘ang nô´i trung ¯diêm cua c´ac c.anh AB v`a CD theo ty sô´ 2. 3 , , , , , , Tông sô´c´ ac ¯ diêm chia c´ ac ¯ du`
ong trung b`ınh cua h`ınh vuông theo ty ,, , , , , sô´ 2 l` a 4 (H`ınh v˜ e). Boi sô´ ¯ du` ong th˘ ang ¯ d˜ a cho l` a 9 v` a ¯ dê`u phai ¯ di 3 , ,
qua m .ôt trong sô´4 ¯diêm n´oi trên, nên c´o m .ôt ¯diêm thu .ôc ´ıt nhâ´t 3 , , , ¯ du` ong th˘ ang. M C B D A N H`ınh 13.4: , , 150
Chuong 13. M .ôt sô´ ¯dê` thi vô ¯d.ich , , CHUONG 14 , , B ` AI T .ÂP T .U GIAI , , , ,
. 14.1. M .ôt h`ınh l.âp phuong c´o c.anh b`˘ang 15 ch´ua 11.000 ¯diêm. , , Ch´ ung minh r` ˘ ang c´
o m .ôt h`ınh câ`u b´an k´ınh b`˘ang 1 ch´ua ´ıt nhâ´t 6 , , , ¯ diêm trong sô´nh˜ ung ¯ diêm ¯ d˜ a cho. , , ,
. 14.2. Cho F = {a1, a2, . . . , al} l`a t .âp h .op h˜uu h.an nh˜ung sô´ , , ,, , nguyên duong v`
a x1, x2, . . . , xn, . . . . . . l`a d˜ay vô h .an, m .oi phâ`n tu cua , n´ o n` ˘ am trong F, ngh˜ıa l`a tr` ung v´
oi m .ôt sô´n`ao ¯d´o trong a1, a2, . . . , al , , , , . Ch´ ung minh r` ˘ ang v´
oi m .oi sô´ nguyên duong bâ´t k`y tô`n t.ai m .ôt sô´ ,, , , , ,
phâ`n tu liên tiê´p cua d˜ ay, m` a t´ıch cua ch´ ung l` a l˜ uy th` ua cua m .ôt sô´ nguyên n` ao ¯ d´ o. , , . 14.3. Cho 5 ¯
diêm P1, P2, P3, P4, P5 trong phâ`n trong cua m .ôt h`ınh , , , , vuông c´
o c .anh 1 ¯don v.i. K´y hi.êu dij l`a khoang c´ach gi˜ua hai ¯diêm , ,
Pi v`a Pj. Ch´ung minh r`˘ang ´ıt nhâ´t c´o m .ôt trong sô´c´ac khoang c´ach √ , , , , 2 gi˜ ua c´ ac ¯ diêm nho hon . 2 , , , , , ,
. 14.4. Trong m .ôt h`ınh vuông c´o c.anh 50 ¯don v.i , ngu`oi ta ke ¯du`ong , , gâ´p kh´
uc sao cho m .oi ¯diêm trên c.anh h`ınh vuông c´o khoang c´ach , , , , , , , nho hon 1 ¯ dê´n ¯ du`ong gâ´p kh´ uc. Ch´ ung minh r` ˘ ang ¯ d .ô d`ai cua cua , , , , ¯ du` ong gâ´p kh´ uc l´ on hon 1248. , . 14.5. Cho A l`
a m .ôt ¯da gi´ac lô`i v´oi di.ên t´ıch S v`a chu vi P, c`on r , , , , 152 Chuong 14. B` ai t .âp t .u giai , , , , , , l`
a sô´ th .uc duong. K´y hi.êu M l`a t.âp h .op tâ´t ca c´ac ¯diêm trong m.˘at , , , , , ph˘ ang, sao cho v´ oi m˜ ôi ¯
diêm R cua M tô`n t .ai m .ôt ¯diêm Q thu .ôc A , , , , m` a khoang c´
ach gi˜ua R v`a Q nho hon ho .˘ac b`˘ang r. H˜ay t`ım di.ên , t´ıch cua h`ınh M. , ,
. 14.6. Trong h`ınh vuông c´
o c .anh b`˘ang 70, ngu`oi ta n´em ba h`ınh , , , , ch˜
u nh .ât v´oi k´ıch thu´oc 20x10, 25x15 v`a 30x30 v`a ba h`ınh tr`on b´an , , , k´ınh 5. Ch´ ung minh r` ˘ ang trong h`ınh vuông c´ o thê d.ich chuyên m .ôt , , h`ınh tr` on b´ an k´ınh 5 sao cho n´ o không c´ o nh˜ ung ¯ diêm trong chung , v´ oi 5 h`ınh ¯ d˜ a cho. , , ,
. 14.7. Trong m .˘at ph˘ang cho m .ôt ¯du`ong gâ´p kh´uc A1A2 . . . An v`a , , , h`ınh tr` on b´ an k´ınh r, tâm h`ınh tr` on chuyên ¯ d .ông trên ¯du`ong gâ´p , , , kh´ uc n` ay. Cho L l`a ¯
d .ô d`ai cua ¯du`ong gâ´p kh´uc, c`on F l`a h`ınh sinh ,, , , , , , ,
ra boi s .u chuyên ¯d .ông cua h`ınh tr`on trên ¯du`ong gâ´p kh´uc. Ch´ung , , minh bâ´t ¯ d˘ ang th´
uc S(F) ≤ 2Lr + πr2 . , , , , ,
. 14.8. T .âp h .op M l`a h .op m .ôt sô´h˜uu h.an nh˜ung ¯do.an th˘ang n`˘am , , , trong (0,1). Khoang c´ ach gi˜
ua m .ôt sô´ ¯diêm trong M không b`˘ang δ ,, , , , , , o ¯
dây 0 ≤ δ ≤ 1 . Ch´ ung minh r` ˘ ang tông ¯ d .ô d`ai cua nh˜ung ¯do.an , " # , , [ 1 ] + 1 , th˘ ang m` a ch´
ung t .ao nên M, không vu .ot qu´a δ δ v` a s .u ¯d´anh 2 gi´ a n` ay l` a ch´ınh x´ ac. , , , . 14.9. Trên ¯ du` ong tr` on b´ an k´ınh 1 cho n ¯
diêm P1, P2, . . . , Pn v`a t .âp , ,, , ,
h .op A t.ao boi m .ôt sô´h˜uu h.an cung không c´˘at nhau, m`a tông ¯d .ô d`ai , , cua ch´ ung l` a l(A). Ch´ ung minh r` ˘ ang 2kπ , a) Nê´u l(A) >
, (k = 1, 2, . . . , n − 1), th`ı c´ o thê quay t .âp n , , , , , , ,
h .op A trên ¯du`ong tr`on sao cho anh cua n´o ch´ua ´ıt nhâ´t k + 1 ¯diêm trong d˜ ây P1, P2, . . . , Pn . 153 2kπ , b) Nê´u l(A) <
, (k = 1, 2, . . . , n − 1), th`ı c´ o thê quay t .âp n , , , , , ,
h .op A trên ¯du`ong tr`on sao cho anh cua n´o ch´ua nhiê`u nhâ´t k − 1 , ¯ diêm trong d˜ ây P1, P2, . . . , Pn . , , , ,
. 14.10. Cho t .âp h .op A nh˜ung ¯diêm trên m .ôt m.˘at câ`u v´oi di.ên t´ıch , , ,, , , , l´
on hon nua di .ên t´ıch cua m.˘at câ`u. Ch´ung minh r`˘ang A ch´ua ´ıt nhâ´t , , , hai ¯
dâ`u m .ôt ¯du`ong k´ınh cua h`ınh câ`u. , , . 14.11. K´
y hi .êu N1, N2, . . . , Nn l`a nh˜ung t.âp h .op, m`a ch´ung c´o , , , , , , , , , ,, ¯
du .oc sau khi nh˜ung ¯dınh cua m .ôt lu´oi nguyên ¯du .oc t´ac ¯d .ông boi n , ph´
ep t.inh tiê´n, A l`a m .ôt bê` m.˘at v`a k l`a sô´t .u nhiên sao cho 1 ≤ k ≤ , n − 1. Ch´ ung minh r` ˘ ang k , , , , a) Nê´u S(A) > th`ı c´
o thê t.inh tiê´n t.âp h .op A sao cho anh cua r , , , , , n´ o ch´ ua ´ıt nhâ´t k + 1 ¯ diêm trong l` a nh˜ ung ¯ dınh cua N1, N2, . . . , Nn. k , , b) Nê´u S(A) < th`ı c´
o thê t.inh tiê´n t.âp h .op A sao cho r , , , , , , , anh cua n´ o ch´ ua nhiê`u nhâ´t k − 1 ¯ diêm trong l` a nh˜ ung ¯ dınh cua N1, N2, . . . , Nn . , , , , ,
. 14.12. Trong h`ınh vuông v´
oi c .anh 1 ¯don v.i d .ung ¯du`ong gâ´p kh´uc , , , , , ,
sao cho m .oi ¯du`ong th˘ang song song v´oi c.anh h`ınh vuông c´˘at ¯du`ong , , , , , gâ´p kh´ uc không qu´
a m .ôt ¯diêm. Ch´ung minh r`˘ang ¯d .ô d`ai cua ¯du`ong , , gâ´p kh´ uc nho hon 2. , , , ,
. 14.13. Trong m .ôt m.˘at ph˘ang cho 6 ¯diêm. Nh˜ung ¯do.an th˘ang nô´i , , , , , , , c´
ac c .˘ap ¯diêm ¯du .oc son mâ`u ¯do ho.˘ac xanh. Ch´ung minh r`˘ang v´oi , c´
ach t .ao h`ınh nhu v.ây tô`n t.ai ´ıt nhâ´t hai h`ınh tam gi´ac c´o c´ac c.anh , c` ung mâ`u. (c´ o thê hai tam gi´ ac kh´ ac mâ`u nhau). , , , , 154 Chuong 14. B` ai t .âp t .u giai , , CHUONG 15 , , , L ` OI GIAI V ` A G .OI ´Y , , , , , 15.1. L` oi giai v ` a g .oi ´y chuong 1 , , , . 1.11. L` oi giai: Nê´u tâ´t ca c´ ac ông quan ¯ dê`u quen nhau th`ı vi .êc , , , , xê´p b` an bô´n ngu` oi nhu ¯ dê` ra không c´ o g`ı kh´ o kh˘ an. Gia c´ o ông A , , v`
a ông B không quen nhau. T`u 2n − 2 ông quan c` on l .ai c˜ung nhu A , , v` a B c´
o ´ıt nhâ´t n ngu`oi quen. V`ı n + n = 2n = (2n − 2) + 2, th`ı tô`n , , ,
t .ai hai ông C v`a D, m`a h .o quen A c˜ung nhu B. Khi ¯d´o ngu`oi xê´p ¯d.˘at , , c´ o thê xê´p A ¯
dô´i di .ên B v`a gi˜ua h .o l`a C ¯dô´i di.ên D. ,
. 1.12. G .oi ´y: Chia m .ôt c.anh h`ınh vuông th`anh 48 ¯do.an m˜ôi ¯do.an , , ,, 20m, khoang c´ ach gi˜ ua 2 ¯
do .an l`a 0,6m, hai ¯do.an o hai ¯dâ`u d`ai,
5,9m. (V .ây 48.20m+47.0,6m+2.5,9m =1000m=1km). C.anh thu , hai chia ra l` am 95 ¯
do .an, khoa ng c´ach hai ¯do.an l`a 0,52m, hai ¯do.an ¯ dâ`u d`
ai 0,56m ( v .ây 95.10m+94.0,52m+20,56m= 1000m=1km). , , ,
Nhu v .ây c´o 48.95=4560 manh c´o di.ên t´ıch 200m2 m`a sô´cây chı c´o , 4500, nên c`
on ´ıt nhâ´t 60 ô nhu v .ây không c´o cây n`ao. , ,
. 1.13. G .oi ´y: Ta nh´om c´ac ng˘an c´o c`ung sô´ s´ach v`a ¯d´anh dâ´u t`u , , 0,1,. . . ,9 (c´ ac ng˘ an ch´ ua sô´s´ ach ´ıt hon 10) v`
a m .ôt ng˘an c´o 10 cuô´n. , ,, , Gia su không c´ o ba ng˘ an ch´ ua c` ung sô´ s´ ach, th`ı trong c´ ac nh´ om ta , ¯ d´ anh dâ´u c´ o ´ıt hon ba ng˘ an c´ o c` ung sô´ s´ ach (nhiê`u nhâ´t l` a 2), v .ây , , , , , 156 Chuong 15. L` oi giai v` a g .oi ´y , , th`ı v´ oi 10 nh´ om trên 10.2=20 ng˘ an s´
ach c .ông v´oi m .ôt ng˘an 10 cuô´n , n˜ ua không cho ta sô´ng˘ an s´ ach l` a 25, d˜ ân ¯ dê´n vô l´ y. , , , , ,
. 1.14. G .oi ´y: Ta lâ´y sô´cua ôtô chia cho 10 th`ı ¯du .oc sô´du 0, 1, 2, 3, , 4, 5, 6, 7, 8, 9. V`ı c´ o 11 sô´ m`
a 10 sô´ du th`ı theo nguyên l´ y Ðirichlê , , , c´ o hai sô´ c´ o c`
ung sô´ du. Nhu v .ây hi.êu cua hai sô´ chia hê´t cho 10 , ngh˜ıa l` a n´ o c´ o c`
ung m .ôt ch˜u sô´t.ân c`ung. , , , . 1.15. L`
oi giai: G .oi c´ac tr.am chuyên tiê´p l`a A, B, C, D, c´ac h`ınh , , , , , , , tr` on v´ oi ¯ du` ong k´ınh l` a c´ ac ¯ du` ong nô´i gi˜ ua c´ ac tr .am l`a v`ung bao phu , ,
cua m .ôt trung tâm ph´at s´ong. Ch´ung ta c´o 4 h`ınh tr`on nhu v.ây v`a , , , , , phai ch´ ung minh r` ˘
ang m .ôt ¯diêm M bâ´t k`y n`˘am trong t´u gi´ac cua 4 , , , ,, ,
tr .am ¯dê`u ¯du .oc phu boi ´ıt nhâ´t m .ôt h`ınh tr`on. Th.ât v.ây, nê´u ¯diêm M , , , n` ˘ am trong h`ınh tr` on ¯ du` ong k´ınh AB th`ı g´ oc AMB phai l`a t` u ho .˘ac , , b` ˘ ang 900. Ta nô´i M v´ oi c´
ac tr .am A, B, C, D, t.ao ra bô´n g´oc ¯dô´i v´oi , , , , c´
ac c .anh t´u gi´ac. Tông cua bô´n g´oc n`ay l`a 3600. Nhu v.ây ´ıt nhâ´t c´o
m .ôt g´oc t`u ho.˘ac c`ung l´˘am l`a b`˘ang 900. V.ây M thu .ôc m .ôt h`ınh tr`on , , , , m`
a t .ai M nh`ın c.anh cua t´u gi´ac du´oi m .ôt g´oc t`u. , , , , , 15.2. L` oi giai v ` a g .oi ´y chuong 2 , , ,
. 2.11. G .oi ´y: Áp d .ung Phuong ph´ap b`ai 2.2. , , ,
. 2.12. G .oi ´y: Áp d .ung phuong ph´ap b`ai 2.4 ,
. 2.13. G .oi ´y: Ð.˘at bk = a1 + a2 + · · · + ak, k = 1, 2, . . . , 41 v`a ´ap d .ung b`ai t.âp trên. , , ,
. 2.14. G .oi ´y: Nhu b`ai 2.8, nê´u M l`a sô´ nguyên tô´ c`ung nhau v´oi , , , 10, th`ı t`
u s .u chia hê´t cua l − k = 111 . . . 11.10k cho M, suy ra sô´ , , , , , 15.2. L` oi giai v` a g .oi ´y chuong 2 157 111 . . . 11 chia hê´t cho M. | {z } , (k-l ch˜ u sô´1) , , ,
. 2.15. G .oi ´y: D`ung phuong ph´ap b`ai 2.8. H˜ay x´et d˜ay
N, NN, NNN, . . . , NNN . . . N . | {z } , (1968 ch˜ u sô´) , , . 2.16. L` oi giai: Ta viê´t 1998 sô´ 1997, 19971997, . . . , , 1997 . . . 1997 . V` a x´ et c´ ac sô´ du trong ph´ ep chia m˜ ôi | {z }
sô´1997 l .˘ap 1998 lâ`n
m .ôt sô´ ¯d´o cho 1998. R˜o r`ang không m .ôt sô´n`ao trong c´ac sô´ ¯d˜a viê´t , ,
chia hê´t cho 1998 (v`ı 1998 l` a sô´ ch˜ ˘ an, m` a c´ ac sô´ ¯ d˜ a viê´t l` a le), nhu , , , ,
v .ây, c´ac sô´ du cua ph´ep chia ¯dê`u kh´ac không, v`ı sô´ c´ac sô´ l´on hon , , , , sô´ c´ ac sô´ du (c´ o 1998 sô´ m` a sô´ c´ ac sô´ du l` a 1997), nên t`ım ¯ du .oc , , , hai sô´ c´
o sô´ du nhu nhau, hi .êu cua hai sô´ ¯d´o c´o d.ang câ`n t`ım v`a chia hê´t cho 1998. , , . 2.17. L` oi giai: Ta x´
et 1997 sô´ d .ang 1998, 19981998,. . . . Sô´ cuô´i , , c` ung trong c´ ac sô´ n`
ay t .ao th`anh t`u 1997 nh´om trong bô´n ch˜u sô´1,
9, 9, 8. Ho .˘ac m .ôt trong c´ac sô´n`ay chia hê´t cho 1997 (v.ây, ¯d´o l`a sô´ , , , , ,
phai t`ım), ho .˘ac t`ım ¯du .oc hai sô´ du nhu nhau trong ph´ep chia cho , 1997. Khi ¯ d´
o hi .êu cua ch´ung c´o d.ang 19981998 . . . 1998.104m v`a chia ,, ,
hê´t cho1997. V`ı 104m v`a 1997 nguyên tô´c` ung nhau nên nhân tu th´ u nhâ´t, ngh˜ıa l`
a sô´19981998. . . 1998, chia hê´t cho 1997. , , , , . 2.18. L`
oi giai: Trong n + 1 sô´ m, m2, . . . , mn+1 t`ım ¯ du .oc hai sô´ , , , c´ o sô´ du nhu nhau trong ph´ ep chia cho n. Khi ¯ d´ o hi .êu cua ch´ung , ,,
chia hê´t cho n. Gia su ml − mt = a.n ho .˘ac mt(ml−t − 1) = a.n. V`ı
(m, n) = 1 nên (mt, n) = 1, ngh˜ıa l`
a, ml−t − 1 chia hê´t cho n. V .ây , ml−t − 1 l` a sô´phai t`ım. , , , , , 158 Chuong 15. L` oi giai v` a g .oi ´y , , , , , 15.3. L` oi giai v ` a g .oi ´y chuong 3 , , , , . 3.11. L` oi giai: Ta x´
et 104 c´ac lu˜y th`ua kh´ac nhau cua 3: 3, 32, 33 , , , , . . . , 3104 v` a c´ ac sô´ du cua ph´ ep chia m˜ ôi lu˜ y th` ua ¯ d´ o cho 104. M˜ ôi , ,
sô´ cho m .ôt sô´ du kh´ac không khi chia cho 104; sô´ c´ac sô´ du kh´ac , , , không l`
a 104 − 1; sô´c´ac sô´l`a 104. Do ¯ d´ o, t`ım ¯ du .oc hai lu˜y th`ua kh´ac , , nhau 3m v`a 3n c´ o sô´ du nhu nhau trong ph´ ep chia cho 104, ngh˜ıa l`a
3m − 3n = 104.l ho .˘ac 3n(3m−n − 1) = 104.l. V`ı 3n v`a 104 nguyên tô´, c`
ung nhau nên 3m−n − 1 chia hê´t cho 104 ho .˘ac 3m−n − 1 = 104.k. T`u , , , , ¯ d´
o suy ra 3m−n = 104.k + 1. Nhu v .ây, tra l`oi: c´o thê. , ,
. 3.12. G .oi ´y: L´y lu.ân nhu b`ai 3.10. , , ,
. 3.13. G .oi ´y: Ch´u ´y u3 = 1986, ´ap d .ung phuong ph´ap b`ai 3.4. , , , ,
. 3.14. G .oi ´y: L´y lu.ân nhu trong 3.4. Ch´ung minh r`˘ang v´oi m .oi sô´ ,
t .u nhiên m ´ıt nhâ´t m .ôt trong c´ac sô´ x1, x2, . . . , chia hê´t cho m. Sau ¯ d´ o d .˘at m = 38 v`a m = 43. , , , , , ,, ,
. 3.15. G .oi ´y: Tuong t .u nhu 3.8 ta x´et b .ô xê´p s-phâ`n tu nh˜ung sô´ , , , , , , du tuong ´ ung. D˜ ê thâ´y r` ˘ ang tô`n tai nh˜ ung chı sô´ i v`a j sao cho , 1 ≤ i < j ≤ ks v` a m˜ ôi tông trên ¯ dê`u chia hê´t cho k. , , , , , 15.4. L` oi giai v ` a g .oi ´y chuong 4 , , , , 1
. 4.11. G .oi ´y: Quanh m˜ôi ¯diêm ¯d˜a cho v˜e ¯du`ong tr`on b´an k´ınh . 15 , ,
. 4.12. G .oi ´y: B`ai to´an suy ra t`u b`ai 4.9. , , , ,, , , , . 4.13. L` oi giai: Gia su tô`n tai ¯ diêm X t`u c´ac ¯ diêm ¯ d˜ a cho m` a n´ o nô´i , , , , , ¯
du .oc v´oi 6 ¯diêm X1, X2, X3, X4, X5, X6. Khi ¯d´o c´ac ¯do.an th˘ang XX1 , , , , , 15.4. L` oi giai v` a g .oi ´y chuong 4 159 , , , , v` a XX2 ¯
du .oc d .ung theo m .ôt trong hai c´ach sau ¯dây (th .uc ra c´o c´ach , , , , , , th´ u ba nhung l`
a h .ê qua cua (b) khi ta ¯dôi chı sô´) , (a) Nê´u X l`a ¯ diêm gâ`n nhâ´t ¯
dê´n X1 v`a A2, th`ı XX1 < X1X2 v`a ,
XX2 < X1X2, ngh˜ıa l`a trong tam gi´ac XX1X2 c´o c .anh X1X2 l`a l´on nhâ´t. , , (b) Nê´u X1 gâ`n ¯ diêm X nhâ´t, c` on X gâ`n ¯ diêm X2 nhâ´t, th`ı ,
XX1 < XX2 < X1X2ch´ung ta c˜ung c´o c .anh X1X2 l`a l´on nhâ´t trong tam gi´ ac XX1X2 , , , , Suy ra \
X1XX2 > 600. Ch´ung minh ho`an to`an tuong t .u, ch´ung ta , , c˜ ung c´ o \ X2XX3, \ X3XX4, \ X4XX5, \ X5XX6, \ X6XX1 l´on hon 600, ¯ diê`u , , , , , , n` ay không thê ¯
du .oc v`ı tông c´ac g´oc n`ay phai b`˘ang 3600. Nhu v.ây, , , , , , , m˜ ôi ¯ diêm chı nô´i ¯
du .oc nhiê`u nhâ´t v´oi 5 ¯diêm thôi. , , . 4.14. L` oi giai: Ta chia h`ınh tr` on th`
anh 6 h`ınh qu .at b`˘ang nhau (c´o , ¯
dınh t .ai tâm h`ınh tr`on). Khi ¯d´o t.ai m˜ôi m .ôt h`ınh qu.at, không c´o qu´a , , ,, , , ,
m .ôt ¯diêm roi v`ao (boi v`ıkhoang c´ach gi˜ua hai ¯diêm bâ´t k`y trong m .ôt , , ,
h`ınh qu .at không l´on hon 1). Nê´u t.ai m˜ôi h`ınh qu.at c´o m .ôt ¯diêm th`ı , , , , , , , ta c´ o thê t`ım ¯
du .oc hai ¯diêm m`a g´oc gi˜ua c´ac b´an k´ınh vecto cua , , , , ch´ ung không l´ on hon 600 v`a do ¯ d´ o khoang c´ ach gi˜ ua ch´ ung không , , , , l´
on hon 1. Do v .ây, c´o thê ch .on không qu´a 5 ¯diêm. , , , , , . 4.15. L` oi giai: Ta thay m˜ ôi h`ınh vuông b` ˘
ang m .ôt h`ınh l´on hon gi´oi ,, , , , , 1 , ,
h .an boi m .ôt ¯du`ong c´ach biên cua h`ınh vuông m .ôt khoang (¯ du`ong 2 , , 1 n` ay gô`m bô´n ¯
do .an th˘ang ¯don v.i v`a bô´n cung tr`on c´o b´an k´ınh ). 2 , π , , M˜
ôi m .ôt h`ınh nhu thê´c´o di.ên t´ıch b`˘ang 3 + , c`on 120 h`ınh ¯d˜a ¯du .oc 4 , π "viê`n ra" s˜
e phu m .ôt di.ên t´ıch không qu´a 120.(3 + ) = 360 + 30π. 4 , , ,
Ta bao vây biên cua h`ınh ch˜u nh .ât ¯d˜a cho b`˘ang m .ôt dai c´o chiê`u , , , , , 160 Chuong 15. L` oi giai v` a g .oi ´y 1 , , , ,
r .ông . Di.ên t´ıch cua dai b`˘ang 44. Nhu v.ây, di.ên t´ıch tông c .ông 2 , , , , , cua dai v` a tâ´t ca c´ ac h`ınh ¯
du .oc viê`n ra b`˘ang 360 + 30π + 44 = , , ,
404 + 30π < 404 + 94, 5 < 500, t´ uc l` a b´
e hon di .ên t´ıch cua h`ınh , , , ch˜
u nh .ât (S = 20.25 = 500). Do ¯d´o, trong h`ınh ch˜u nh.ât c´o ¯diêm O , ,, , , ,
không b.i phu boi dai v`a c´ac h`ınh vuông ¯d˜a ¯du .oc viê`n ra. Ngh˜ıa l`a , , , ¯
diêm O c´ach bien cua h`ınh ch˜u nh .ât v`a c´ach m .oi h`ınh vuông m .ôt , , , 1 1 khoang l´ on hon . H`ınh tr` on b´ an k´ınh c´
o tâm t .ai O l`a h`ınh tr`on 2 2 câ`n t`ım. , , , , , 15.5. L` oi giai v ` a g .oi ´y chuong 5 , , , , . 5.11. L` oi giai: X´
et m .ôt t.âp A bâ´t k`y t`u 1978 t.âp. V`ı n´o giao v´oi ,, ,
1977 t .âp c`on l.ai, v`ı v.ây tô`n t.ai phâ`n tu a ∈ A, thu .ôc không ´ıt hon 50 , , ,, ,
t .âp h .op n`ay (th.ât v.ây nê´u m˜ôi m .ôt t`u 40 phâ`n tu cua t.âp A thu .ôc , , ,
không nhiê`u hon 49 t .âp, th`ı tâ´t ca c´o không nhiê`u hon 40.49 = 1960 ,,
t .âp kh´ac A, ¯diê`u n`ay không ¯d´ung). V.ây phâ`n tu a thu .ôc c´ac t.âp , , ,
h .op A, A1, . . . , A50. Ta s˜e ch´ung minh n´o s˜e thu .ôc t.âp bâ´t k`y B t`u ,
1978 t .âp. Th.ât v.ây không c´o hai t.âp n`ao t`u c´ac t.âp A, A1, . . . , A50 ,, , , l` a c´ o phâ`n tu chung kh´ ac v´
oi a (v`ı hai t .âp bâ´t k`y giao nhau chı c´o ,, , ,, ,
m .ôt phâ`n tu chung). Gia su a ∈ B. Khi ¯d´o t.âp B c´o v´oi m˜ôi t.âp ,, ,
A, A1, . . . , A50 m .ôt phâ`n tu chung kh´ac v´oi a, suy ra t.âp B c´o không , ,, , , , ,, ´ıt hon 51 phâ`n tu, ¯ diê`u n` ay không thê ¯
du .oc. Suy ra phâ`n tu a thu .ôc , , tâ´t ca c´ ac t .âp h .op. , , , . 5.12. L`
oi giai: M .ôt sô´chia cho 9 th`ıc´o c´ac phâ`n du {0, 1, 2, . . . , 8}. ,, Theo nguyên l´
y Dirichlê mo r .ông, trong 55 sô´ch .on ra th`ı´ıt nhâ´t c´o , , ,
m .ôt nh´om 7 sô´khi chia cho 9 cho c`ung phâ`n du (nê´u ngu .oc l.ai th`ı , ,, , c´ ac nh´ om chı c´
o 6 phâ`n tu v .ây 6.9=54 m`a ta lâ´y ra nh˜ung 55 sô´). Ch´ ung ta k´
y hi .êu c´ac sô´ ¯d´o l`a a1, a2, a3, . . . , a7. V`ı ai+1 ≡ ai (mod 9), , , , , , 15.6. L` oi giai v` a g .oi ´y chuong 6 161 , ,
nên ai+1 − ai ∈ {9, 18, . . .}. Ch´ung ta phai ch´ung minh r`˘ang ai+1 − , , ,, , , ,
ai = 9 v´oi m .ôt i n`ao ¯d´o. Gia su ngu .oc l.ai, v´oi m .oi i, ai+1 − ai ≥ 18, , , , ¯ diê`u n` ay ngh˜ıa l`
a a7 − a1 ≥ 6.8 = 108. Ðiê`u n`ay không thê ¯ du .oc v`ı , , ,, ,
a7 − a1 < 100. Nhu v .ây gi˜ua hai phâ`n tu cua a1, a2, a3, . . . , a7 c´o hai , , sô´m`
a hi .êu cua ch´ung phai b`˘ang 9. , , ,
. 5.13. G .oi ´y: C´ach ch´ung minh nhu b`ai 5.10. , , , , , , . 5.14. L`
oi giai: (B .an t .u v˜e lâ´y h`ınh ) Ch´ung ta xây d .ung lu´oi gô`m √ , 3 , , ,, nh˜
ung h`ınh l .uc gi´ac c´o c.anh . M˜
ôi h`ınh l .uc gi´ac c´o thê phu boi √ 2 , , , , , , , , ¯ du` ong tr` on v´ oi b´ an k´ınh 3. C´ o thê t´ınh to´ an ¯ du .oc sô´ lu .ong l .uc , , gi´ ac m` a ch´ ung c´ o ¯ diêm chung v´ oi tam gi´ ac ¯ dê`u ¯ d˜ a cho l` a 1 + 2 +
3 + · · · + 10 = 55. V`ı 111 = 55 × 2 + 1, nên c´ o m .ôt l .uc gi´ac trong , , , , , , lu´ oi trên ch´ ua ´ıt nhâ´t 3 ¯ diêm trong sô´ 111 ¯ diêm ¯ d˜ a ch .on. Nhu v.ây , , ¯ du` ong tr`
on bao l .uc gi´ac n`ay c´o t´ınh châ´t ¯d˜a nêu. , , , , , , , . 5.15. L` oi giai: K´
y hi .êu A1, A2, . . . , Ak l`a sô´ lu .ong ngu`oi l´on nhâ´t , , , , m` a bâ´t c´ u hai ngu` oi n` ao c˜ ung không quen nhau gi´ an tiê´p. T` u ¯ diê`u , ,
ki .ên b`ai ra k ≤ 7. M˜ôi ngu`oi c`on l.ai trong nh´om quen gi´an tiê´p ´ıt , , , , , , ,
nhâ´t m .ôt ngu`oi trong A1, A2, . . . , Ak (tru`ong h .op ngu .oc l.ai ch´ung , , , , , ta c´
o nhiê`u hon k ngu`oi, m`a hai ngu`oi không quen nhau gi´an tiê´p). , ,
M .ôt trong sô´ A1, A2, . . . , Ak c´o ´ıt nhâ´t 20 ngu`oi quen gi´an tiê´p, v`ı , , , , , , , , nê´u không ¯ d´
ung nhu v .ây, ch´ung ta s˜e nh.ân ¯du .oc tông sô´lu .ong ngu`oi , , nhiê`u nhâ´t l` a 7.19 = 133 < 134. C`
on l .ai kh˘ang ¯d.inh r`˘ang tâ´t ca , , , , , nh˜ ung ngu` oi quen gi´ an tiê´p qua c`
ung m .ôt ngu`oi l`a quen gi´an tiê´p. , , , , , 15.6. L` oi giai v ` a g .oi ´y chuong 6 , , , , ,
. 6.11. G .oi ´y: Ðây l`a tru`ong h .op riêng cua b`ai 6.1 v`a b`ai 6.2. , , , , , 162 Chuong 15. L` oi giai v` a g .oi ´y , 1
. 6.12. G .oi ´y: Sô´ ¯d˜a cho l`a x1, x2, x3, x4 v`a yi = 1 + , i = 1, 2, 3, 4. xi , , , Chı câ`n ch´ ung minh r` ˘ ang hai sô´n` ao ¯
dâ´y trong y1, y2, y3, y4 thoa m˜an y √ i − yj , , , , 0 ≤ ≤ 2 − 3. Phâ`n c` on l .ai tuong t .u nhu 2.6. 1 + 2yiyj , , , , , , . 6.13. L` oi giai: V´ oi ¯
d.inh l´y Fecma ch´ung minh ¯du .oc r`˘ang nê´u m .ôt , ,, sô´ nguyên tô´ p c´
o d .ang 4k + 3 chia hê´t cho tông a2 + b2, o ¯dây , , a, b l` a nh˜
ung sô´ nguyên, th`ı p chia hê´t cho t`ung sô´ a v`a b. H˜ay , , d` ung c´ ac ¯ d˘ ang th´
uc sau 2 = 12 + 12, k2(a2 + b2) = (ka)2 + (kb)2, (a2 + b2)(a2 + b2) = (a 1 1 2 2
1 a2 + b1b2)2 + (a1b2 − a2b1)2. , , , , , , , . 6.14. L` oi giai: Cho tuong ´ ung m˜ ôi sô´ v´ oi c˘ an b .âc hai cua ch´ınh , , , , , , n´
o. Nhu v .ây khi phân t´ıch ra m˜ôi sô´ tuong ´ung v´oi c˘an b.âc hai cua , , , , , sô´ le. M` a sô´ tâ´t ca c´
ac sô´ le nho hon 2k l`a k. V .ây theo nguyên l´y , , Ðirichlê c´
o hai sô´trong k + 1 sô´c´ o c` ung phâ`n c˘ an sô´le, do ¯ d´ o ty sô´ , , , cua n´ o s˜ e l` a l˜ uy th` ua cua 2. , , , . 6.15. L` oi giai: Nê´u gi˜ ua c´ ac sô´ ¯ d˜ a cho c´ o n sô´ m`a khi chia cho n , , , , ch´ ung cho nh˜ ung phâ`n du kh´ ac nhau. Tông cua ch´ ung s˜ e chia hê´t , , , , , ,
cho n, v`ı n l`a sô´ le. Trong tru`ong h .op ngu .oc l.ai, ´ap d .ung nguyên l´y Ðirichlê. , , , , , 15.7. L` oi giai v ` a g .oi ´y chuong 7 , , , , , . 7.11. L` oi giai: Ch´ ung ta thâ´y r` ˘
ang m .oi sô´ nguyên tô´ th .uc s .u l´on , , , hon 3 ¯ dê`u c´
o d .ang 6n + 1 ho.˘ac 6n + 5. V`ı ba sô´ nguyên tô´ l´on hon ,
3 l .âp th`anh m .ôt câ´p sô´c .ông, nên theo nguyên l´y Ðirichlê phai c´o ´ıt , nhâ´t hai sô´c`
ung d .ang, t´uc l`a hi.êu hai sô´ ¯d´o chia hê´t cho 6. G .oi d l`a , ,
công sai cua câ´p sô´ c .ông, th`ı hi.êu cua hai sô´ â´y ho.˘ac l`a d, ho.˘ac l`a , , , , , 15.7. L` oi giai v` a g .oi ´y chuong 7 163 , ,
2d. Nhu thê´ ho .˘ac l`a d|6 ho.˘ac 2d|6. Ch´u ´y công sai d l`a hi.êu cua hai , , , sô´nguyên tô´l´ on hon 3, nên n´ o l` a sô´ch˜ ˘
an. Nhu thê´v`ı d|3 v`a d|2 suy ra d|6. , , 10m . 7.12. L` oi giai: Ta luôn c´ o lim
= ∞. N´oi c´ach kh´ac tô`n t .ai m→+∞ 1998 , , 10m
sô´ nguyên duong m0 sao cho ∀m ≥ m0 th`ı > 91998. X´et m .ôt 1998 , , , , ,
sô´nguyên duong n bâ´t k`y v`a n c´
o k0 ch˜u sô´n = a1a2 . . . ak . Tru`ong 0 , , ,
h .op n`ay ta c˜ung ch .on ¯du .oc
10N > (9k0)1998 v`a N > m0 (15.1) , ,
(c .u thê c´o thê lâ´y N = max{[1998lg(9k0)] + 1, m0 + 1}) , - Ch´ ung ta s˜ e ch´ ung minh ,
ui(n) < 10N v´oi m .oi i = 1, 2, . . . (15.2) ,
Th .ât v.ây, ta s˜e ch´ung minh b`˘ang qui n.ap. , 1) V´ oi i = 1 ta c´
o u1(n) = (k1 + · · · + k0)1998 ≤ (9k0)1998 < 10N
(do (15.1)). V .ây (15.2) ¯d´ung khi i = 1. , ,, , 2. Gia su (15.2) ¯ d´ ung v´
oi i = k, ngh˜ıa l`a uk(n) < 10N. Ta c´o ,
uk+1(n) = f (uk(n)). Theo gia thiê´t qui n .ap th`ı uk(n) < 10N. do ¯d´o , ,
uk(n) c´o không qu´a N ch˜u sô´, t´uc l`a uk(n) c´o d .ang ,
uk(n) = a1a2 . . . ap v´oi p ≤ N Theo ¯ d.inh ngh˜ıa th`ı
uk+1(n) = (a1 + a2 + · · · + ap)1998 ≤ (9N)1998. (15.3) ,
Do N > m0 v .ây t`u (1) suy ra 10N > (9N)1998. (15.4) , T` u (15.3) v` a (15.4) suy ra uk+1(n) < 10N. , , , , , 164 Chuong 15. L` oi giai v` a g .oi ´y ,
V .ây (15.2) ¯d´ung v´oi i = k + 1. Theo nguyên l´y qui n.ap th`ı (15.2) , ¯ d´ ung v´ oi m .oi i = 1, 2, . . .. , , - D˜
ay vô h .an c´ac sô´ nguyên duong {ui(n)}, i = 1, 2, . . . b.i ch.˘an ,, , ,
boi 10N nên theo nguyên l´y Ðirichlê phai tô`n t .ai hai chı sô´ p < q sao cho
up(n) = uq(n) =⇒ up+k(n) = uq+k(n), ∀k , N´ oi c´ ach kh´ ac d˜
ay ui(n), i = p, p + 1, .. l`a d˜ay tuâ`n ho`an v´oi chu k`y
up(n), up+1(n), . . . , up+q+1(n). , , . 7.13. L`
oi giai: Cho a l`a m .ôt sô´tu`y ´y, th`ı {a} = a − [a] g .oi l`a phâ`n , , ,, , , le cua sô´ a, o ¯ dây k´
y hi .êu [a] l`a phâ`n nguyên cua sô´a. Xây d .ung d˜ay , , m´ oi nhu sau v1 = {u1} v2 = {u1 + u2} . . . . vn = {u1 + u2 + · · · + un} , R˜ o r` ang v´
oi m .oi k = 1, 2, . . . , n ta c´o 0 ≤ vk < 1. , ,
Chia [0, 1) ra l`am n + 1 t .âp h .op nhu sau ∆ 1 1 2 n 0 = [0, ); ∆ , ); . . . ; ∆ , 1) n + 1 1 = [ n + 1 n + 1 n = [ n + 1 , , , Chı c´ o c´ ac kha n˘ ang sau xây ra
1. Ho .˘ac tô`n t.ai k m`a vk ∈ ∆0 ∪ ∆n+1: , 1
- Nê´u vk ∈ ∆0, t´uc l`a 0 ≤ {u1 + u2 + · · · + uk} < . Ð .˘at n + 1 1
Sk = u1 + u2 + · · · + uk :⇒ 0 ≤ {S} < n + 1 1 ⇔ [S] ≤ S < [S] + . (15.5) n + 1 , , , , , 15.7. L` oi giai v` a g .oi ´y chuong 7 165 , ,
V .ây [S] l`a sô´ nguyên gâ`n S nhâ´t, nên t`u (15.5) suy ra ¯diê`u phai , ch´ ung minh. , n -Nê´u vk ∈ ∆n t´uc l`a ≤ {u n + 1
1 + u2 + · · · + uk} < 1 hay l` a n n ≤ {S} < 1 ⇔ ≤ S − [S] < 1 hay l`a n + 1 n + 1 n + [S] ≤ S < [S] + 1. (15.6) n + 1 , T`
u (15.6) suy ra [S] + 1 l`a sô´ nguyên gâ`n S nhâ´t v`a kh´ac n´ o m .ôt , , n 1 lu .ong ≤ [S] + 1 − ([S] + ) = . n + 1 n + 1
2. Ho .˘ac l`a c´ac sô´ v1, v2, . . . , vn 6∈ ∆0 ∪ ∆n, v.ây v1, v2, . . . , vn ∈ ∪n−1∆ i=1 i. Theo nguyên l´
y Ðirichlê tô`n t .ai vk, vl, k > l, thu .ôc c`ung m .ôt ,
t .âp h .op ∆j n`ao ¯d´o, 1 ≤ j ≤ n − 1. Ðiê`u ¯ d´ o c´ o ngh˜ıa l` a j j + 1 ≤ {u n + 1
1 + u2 + · · · + ul } < n + 1 j j + 1 ≤ {u n + 1
1 + u2 + · · · + uk} < n + 1
Ð .˘at Sk = u1 + u2 + · · · + uk v`a Sl = u1 + u2 + · · · + ul ta c´o j j + 1 j j + 1 ≤ S ⇒ [S ≤ S n + 1 k − [Sk] < n + 1 k] + n + 1 k < [Sk] + n + 1 j j + 1 j j + 1 ≤ S ⇒ [S ≤ S n + 1 l − [Sl ] < n + 1 l ] + n + 1 l < [Sl ] + n + 1 1 1 [Sk] − [Sl] − ≤ S n + 1
k − Sl ≤ [Sk] − [Sl ] + n + 1 1 1 [Sk] − [Sl] − ≤ u n + 1
l+1 + ul+2 + · · · + ul ≤ [Sk] − [Sl ] + n + 1 ,
Nhu v .ây d˜ay con ul+1 + ul+2 + · · · + ul c´o sô´ nguyên gâ`n nhâ´t l`a , 1 [Sk] − [Sl] v´oi ¯ d .ô l.êch không qu´a . n + 1 , , , , T´
om l .ai, trong m .oi tru`ong h .op ta ¯dê`u c´o tô`n t.ai d˜ay con thoa m˜ an yêu câ`u ¯ dê` ra. , , , , , 166 Chuong 15. L` oi giai v` a g .oi ´y , , . 7.14. L` oi giai: X´ et d˜
ây sô´ p1 = 1a = a, p2 = 2a, p3 = 3a,. . . , , , , ,
pm−1 = (m − 1)a. K´y hi.êu q1, q2, . . . , qm−1 l`a c´ac sô´ du tuong ´ung , cua d˜
ây trên chia cho m. V`ı theo ¯
diê`u ki .ên b`ai to´an a v`a m l`a nguyên , , tô´ c` ung nhau, th`ı tâ´t ca c´ ac sô´ du trên ¯ dê`u kh´ ac không. Nê´u m .ôt , , , , , trong c´ ac sô´ du b` ˘ ang 1 th`ı b`ai to´an ¯ d˜ a ¯
du .oc giai. Nê´u tâ´t ca c´ac sô´ , , du ¯ dê`u kh´ ac 1. Khi ¯ d´ o m˜
ôi sô´ trong m − 1 sô´ du q1, q2, . . . , qm − 1 b` ˘
ang m .ôt trong m − 2 sô´ 2, 3, . . . , m − 1. Theo nguyên l´y Ðirichlê , , c´
o ´ıt nhâ´t hai sô´ trong q1, q2, . . . , qm−1 b`˘ang nhau, ch˘ang h .an nhu , qi = qj, i < j. T` u ¯ d´
o suy ra sô´ (j − i)a = pj − pi chia hê´t cho m, , , , , ¯ diê`u n`
ay không thê xây ra. S .u vô l´y n`ay do gia thiê´t không m .ôt sô´ ,
du trong q1, q2, . . . , qm−1 b`˘ang 1, do ¯ d´
o suy ra ´ıt nhâ´t m .ôt trong c´ac , , sô´du phai b` ˘ ang 1. , , , , , 15.8. L` oi giai v ` a g .oi ´y chuong 8 , , , , , , . 8.11. L` oi giai: Tru´ oc tiên ch´ ung ta s˜ e ch´ ung minh a + b = c. T`u , , [an] 1 , bâ´t ¯ d˘ ang th´
uc 0 ≤ an − [an] < 1 suy ra | − a| < v´ oi m .oi n ≥ 1 n n [an] , , , , , sao cho limn→∞ = a. Ch´ ung ta c˜ ung c´ o bâ´t ¯ d˘ ang th´ uc tuong t .u n , , , , [an] [bn] [cn] cho b v`a c. Ch´ ung ta lâ´y gi´ oi h .an cua ¯d˘ang th´uc + = n n n , , v` a nh .ân ¯du .oc a + b = c. ,,
Ð .˘at a = [a] + α, b = [b] + β o ¯dây 0 ≤ α < 1, 0 ≤ β < 1. Khi ¯d´o
[an] + [bn] = [([a] + α)n] + [([b] + β)n] = [a]n + [b]n + [αn] + [βn],
[(a + b)n] = [([a] + [b] + α + β)n] = [a]n + [b]n + [(α + β)n]. , , , ,
Nhu v .ây b`ai to´an c´o thê ¯d.˘at l.ai nhu sau: Ch´ung minh r`˘ang nê´u a , , , , , v`
a b l`a nh˜ung sô´trong khoang [0, 1) m`a ch´ ung thoa m˜ an ¯ d˘ ang th´ uc [an] + [bn] = [(a + b)n] (15.7) , , v´
oi m .oi sô´t .u nhiên n, th`ı´ıt nhâ´t m .ôt trong hai sô´ ¯d´o b`˘ang 0. , , , , , 15.8. L` oi giai v` a g .oi ´y chuong 8 167 , ,, , , Gia su a 6= 0 v`a b 6= 0. Ch´ ung ta s˜ e ch´
ung minh tô`n t .ai sô´ t .u , , , nhiên n sao cho ¯ d˘ ang th´ uc (15.7) không ¯ d´
ung. Không mâ´t t´ınh tông , , , , qu´ at ch´ ung ta c´ o thê gia thiê´t r` ˘
ang a + b < 1, v`ı nê´u ngu .oc l.ai th`ı , (15.7) s˜ e không ¯ d´
ung th .âm ch´ı v´oi n = 1. , , , , , , a) Ch´ ung ta x´ et tru`
ong h .op a v`a b l`a nh˜ung sô´h˜uu ty. Khi ¯d´o c´o , , , , A B ,, , thê biêu di˜ ên ch´ ung du´ oi d .ang a = , , o ¯ dây A, B v`a N l`a nh˜ung N N , , sô´ nguyên v` a thoa m˜
an 0 < A < N, 0 < B < N. D˜ê d`ang kiêm tra , , r` ˘ ang (15.7) không thoa m˜ an v´ oi n = N − 1. Th .ât v.ây,
[a(N − 1)] = [aN − a] = [A − a] = A + [−a] = A − 1,
[b(N − 1)] = [bN − b] = [B − b] = B + [−b] = B − 1,
[(a + b)(N − 1)] = [A + B − (a + b)] = A + B − [a + b] = A + B − 1 ,
Nhu v .ây [a(N − 1)] + [b(N − 1)] 6= [(a + b)(N − 1)]. , , , , b) Ch´ ung ta x´ et tru`
ong h .op m .ôt trong c´ac sô´ a v`a b l`a sô´ vô ty. , , Ch´ ung ta s˜ e chı ra r` ˘ ang c´
o m .ôt sô´t .u nhiên n, m`a {an} + {bn} ≥ 1. (15.8) , , , Khi ¯ d´ o ¯ d˘ ang th´ uc (15.8) s˜ e suy ra không thê c´ o (15.7). , ,, , , ,
Gia su a l`a m .ôt sô´vô ty, theo b`ai 8.1 t.âp h .op nh˜ung sô´{an}, n = , , , 1, 2, . . . l` a tr`
u m .ât trong khoang (0, 1). K´y hi.êu k l`a sô´ t .u nhiên l´on , nhâ´t m` a a + kb < 1. Khi ¯ d´
o tô`n t .ai sô´t .u nhiên n m`a a + kb < {an} < 1. (15.9) , ,
Nê´u {bn} ≥ b, th`ı t`u ¯ d.inh ngh˜ıa cua k suy ra
{an} + {bn} > (a + kb) + b = a + (k + 1)b ≥ 1 , , , hay n´ oi c´ ach kh´
ac tô`n t .ai sô´t .u nhiên n m`a ¯d˘ang th´uc (15.8) ¯d´ung. , , , , , 168 Chuong 15. L` oi giai v` a g .oi ´y , , , Nê´u {bn} < b, th`ı v´
oi vi .êc thêm 1 − b v`ao c´ac vê´ cua bâ´t ¯d˘ang , , , th´ uc 0 ≤ {bn} < b, ch´ ung ta nh .ân ¯du .oc
1 − b ≤ b(n − 1) − [bn] + 1 < 1 Ðiê`u ¯ d´ o c´ o ngh˜ıa l`
a [b(n − 1)] = [bn] − 1 v`a {b(n − 1)} ≥ 1 − b. , , , , Ngo`
ai ra, tuong t .u t`u (15.9) suy ra
kb < a(n − 1) − [an] < 1 − a < 1 ,
v`ı thê´ [a(n − 1)] = [an] v`a {a(n − 1)} > kb. Nhung khi ¯ d´ o
{a(n − 1)} + {b(n − 1)} > kb + (1 − b) = 1 + (k − 1)b ≥ 1, , , , ,
v`ı k ≥ 1. Trong tru`ong h .op n`ay (15.8) ¯d´ung cho sô´ t .u nhiên n − 1. , ,
Nhu v .ây d˜ân ¯dê´n vô l´y khi m .ôt trong c´ac sô´ a v`a b l`a sô´vô ty. , , , ,
. 8.12. G .oi ´y: Ch´u ´y r`˘ang {n} chı c´o thê nh.ân h˜uu h.an gi´a tr.i. , , , , ,
. 8.13. G .oi ´y: L´y lu.ân tuong t .u nhu 8.4. ,
. 8.14. G .oi ´y: X´et c´ac sô´c´o d.ang n = 2k2 v`a ´ap d .ung 8.4. , , , , , 15.9. L` oi giai v ` a g .oi ´y chuong 9 ,
. 9.11. G .oi ´y: X´et c´ac sô´ kx − [kx](k = 0, 1, 2, . . . , n) v`a sô´ 1, chia , , ¯
do .an [0,1] ra n + 1 phâ`n, phâ`n c`on l.ai ´ap d .ung phuong ph´ap ¯do.an n` ay. , , ,
. 9.12. G .oi ´y: V´oi m˜ôi c´ach ch .on nh˜ung sô´ q1, q2, . . . qn tô`n t.ai sô´ , , nguyên p, v´ oi n´
o 0 ≤ q1x1 + q2x2 + · · · + qmxm − p < 1. Bây gi`oi chia ¯
do .an [0,1] ra (n + 1)m ¯do.an con b`˘ang nhau. , , , , , 15.10. L` oi giai v` a g .oi ´y chuong 10 169 , , , , √ p √ √ . 9.13. G .oi ´ y: H˜ ay x´ et hai tru` ong h .op 2 − > 3 − 2 v` a q √ p √ √ 2 − ≤ 3 − 2 q , , , ,
. 9.14. G .oi ´y: Tuong t .u b`ai trên. , , , ,
. 9.15. G .oi ´y: Gia thiê´t v´oi m .oi p v`a q thoa m˜an |mp2 + npq + sq2| ≥ 1. , , , , , 15.10. L` oi giai v ` a g .oi ´y chuong 10 , , , , , . 10.11. L` oi giai: Ðây l`
a s .u tông qu´at h´oa b`ai 10.3. C´ach ch´ung , , , , , , minh ho` an to`
an tuong t .u. Ch´ung ta c˜ung t.ao ra lu´oi v´oi c´ac h`ınh vuông c´
o di .ên t´ıch 1. Sau ¯d´o lâ´y m .ôt h`ınh vuông l`am gô´c rô`i t.inh , , , tiê´n c´ ac h`ınh vuông c´ o ch´ ua c´
ac manh cua A vê` h`ınh vuông gô´c. , , , , , ,
Nhu v .ây tông di.ên t´ıch nh˜ung phâ`n t.inh tiê´n cua A s˜e l´on hon n. ,, Theo nguyên l´
y Ðirichlê mo r .ông cho di.ên t´ıch suy ra c´o ´ıt nhâ´t , , ,
n + 1 trong sô´ nh˜ung phâ`n cua A ¯ d˜
a t.inh tiê´n t´oi h`ınh vuông gô´c , , , , , c´ o ¯
diêm chung (x0, y0). Nh˜ung ¯ diêm t` u c´ ac h`ınh vuông nho ban ¯ dâ`u ,
t.inh tiê´n ¯dê´n ¯diêm n`ay c´o to.a ¯d .ô l`a (xi, yi) (i = 1, 2, . . . , n + 1), m`a ,
xi − xj v`a yi − yj (i, j = 1, 2, . . . , n + 1) l`a nh˜ung sô´nguyên. , , , . 10.12. L` oi giai: Ch´ ung ta x´ et h`ınh vuông V, m`a n´ o ch´ ua bê`m .˘at A , v` a c´
o c .anh v´oi ¯d .ô d`ai n nguyên. Ð.˘at B = V\A. Ch´ung ta thâ´y ngay , S(V) = n2 v` a S(A) < k, do ¯ d´
o S(B) > n2 − k. Bây gi`o ´ap d .ung b`ai , , 10.11. V`ı thê´ B c´
o thê t.inh tiê´n sao cho n´o ch´ua ´ıt nhâ´t n2 − k + 1 , , , , ¯ diêm v´
oi to .a ¯d .ô nguyên. K´y hi.êu A1, V1, B1 l`a c´ac anh cua ph´ep t.inh , , , ,
tiê´n trên cua A, V, B tuong ´ ung. R˜ o r`
ang B1 = V1\A1. Ch´ung ta s˜e , , , , ch´ ung minh r` ˘
ang A1 ch´ua nhiê`u nhâ´t k − 1 ¯ diêm v´ oi to .a ¯d .ô nguyên. , , , , , 170 Chuong 15. L` oi giai v` a g .oi ´y , ,, , , , ,
Th .ât v.ây, Gia su ngu .oc l.ai ch´ung ta c´o k ¯diêm v´oi to.a ¯d .ô nguyên , , ,
trong A1. V`ı theo c´ach d .ung trên B1 ch´ua ´ıt nhâ´t n2 − k + 1 ¯diêm , trong v´
oi to .a ¯d .ô nguyên v`a B1 ⊂ V1, A1 ⊂ V1, A1 ∩ B1 = ∅, Khi ¯d´o , , ,
h`ınh vuông V1 ch´ua ´ıt nhâ´t n2 + 1 ¯ diêm v´
oi to .a ¯d .ô nguyên, ¯diê`u n`ay , , không thê xây ra, d˜ ân ¯ dê´n vô l´ y. , , , , , . 10.13. L` oi giai: C˜ ung nhu b` ai 10.5 t´
ac d .ung lên A ph´ep v.i t .u v´oi , , , ,
tâm t .ai gô´c t.a ¯d .ô v`a h.ê sô´ 1, ch´ung ta nh.ân ¯du .oc t.âp h .op m´oi A0. 2 ,,
V`ı S(A) > 4n nên S(A0) > n. Theo nguyên l´y Ðirichlê mo r .ông , ,
cho di .ên t´ıch A0 ch´ua ´ıt nhâ´t n + 1 ¯diêm kh´ac nhau (xi, yi) (i = , 1, 2, . . . , n + 1) m`
a xi − xj v`a yi − yj l`a nh˜ung sô´nguyên. , , , , Ch´ ung ta x´ et ¯ da gi´ ac lô`i nho nhâ´t ch´ ua tâ´t ca c´ ac ¯ diêm trên. D˜ ê , , , d` ang thâ´y r` ˘ ang m˜ ôi ¯ dınh cua ¯ da gi´ ac l`
a m .ôt trong c´ac ¯diêm (xi, yi). , , , Nh˜ ung ¯ dınh cua ¯ da gi´
ac không thu .ôc trong ¯do.an n`ao m`a hai ¯dâ`u l`a , , , , nh˜ ung ¯ diêm n` ˘ am trong ¯ da gi´ ac. V`ı thê´trong nh˜ ung ¯ diêm (xi, yi) tô`n , , ,
t .ai m .ôt ¯diêm m`a không n`˘am trong ¯do.an th˘ang nô´i hai ¯diêm trong , , , ,, ,
t .âp h .op ¯diêm ¯d˜a ch .on. Gia su ¯diêm ¯d´o l`a (x1, y1). C˜ung theo b`ai , , , 10.5 cho ta n ¯ diêm kh´ ac nhau v` a kh´ ac ¯
diêm gô´c to .a ¯d .ô, v´oi to.a ¯d .ô
nguyên (xi − x1, yi − y1), i = 2, 3, . . . , n + 1, ¯ dê`u n` ˘ am trong A. V`ı , , t´ınh ¯ dô´i x´ ung nên c´ ac ¯ diêm (x1 − xi, y1 − yi), i = 2, 3, . . . , n + 1, c˜ ung thu .ôc A. , , , Ch´ ung ta s˜ e ch´ ung minh nh˜ ung ¯ diêm x´ ac ¯ d.inh theo c´ach trên l`a , , ,, , , kh´ ac nhau t` ung ¯
dôi m .ô t. Th.ât v.ây, gia su ngu .oc l.ai ch´ung ta c´o
(xi − x1, yi − y1) = (x1 − xj, y1 − yj) , , 1 v´ oi hai chı sô´n` ao ¯ d´
o i, j m`a i, j = 2, 3, . . . , n + 1. V`ı v .ây x1 = (x 2 i + 1 xj) v`a y1 = (y 2 i + yj). Nê´u i = j th`
ı (x1, y1) = (xj, yj), vô l´y v`ı , , , , , 15.11. L` oi giai v` a g .oi ´y chuong 11 171 , , ,
1 6= j. Nê´u i 6= j, th`ı (x1, y1) l`a trung ¯ diêm cua ¯ do .an th˘ang nô´i hai , , , , ¯
diêm (xi, yi) v`a (xj, yj), ¯ diê`u n` ay không thê ¯ du .oc theo c´ach ch .on. , , , , Ch´ ung minh trên chı ra r` ˘ ang A ch´ ua ´ıt nhâ´t 2n ¯ diêm kh´ ac nhau , , v` a kh´
ac gô´c to .a ¯d .ô, c´o to.a ¯d .ô nguyên. Nhung ¯diêm gô´c to.a ¯d .ô c˜ung , n` ˘
am trong t .âp A v`a c´o to.a ¯d .ô nguyên, suy ra kê´t lu.ân cua b`ai to´an. ,
. 10.14. G .oi ´y: ´Ap d .ung b`ai t.âp 10.13. , , , , ,
. 10.15. G .oi ´y: C´ach ch´ung minh tuong t .u 10.9. , , , , , 15.11. L` oi giai v ` a g .oi ´y chuong 11 , , . 11.11. a) T` u b`
ai 11.3 suy ra 6 = 9 − (S12 + S23 + S13) + S123, t´uc l`
a S12 + S23 + S13 = 3 + S123 ≥ 3. Do ¯ d´
o m .ôt trong c´ac sô´S12, S23, S13 , , không nho hon 1. , , , , ,, b) L` oi giai: T` u b`
ai 11.3 suy ra 5 ≥ 9 − M2, t´uc l`a M2 ≥ 4. Boi v`ı , , , , 8 , t` u 9 ¯ da gi´ ac c´
o thê t .ao ¯du .oc 9. = 36 c.˘ap, di.ên t´ıch phâ`n chung cua 2 , , M 1 m 2 .ôt sô´c´
ac c .˘ap ¯d´o không nho hon ≥ . 36 9 , , , . 11.12. L`
oi giai: G .oi M1, M2, . . . , M6 l`a 6 ¯diêm ¯d˜a cho. Trong m˜ôi , , , tam gi´
ac Mi Mj Mk ta tô c .anh l´on nhâ´t b`˘ang mâ`u ¯do. Kê´t qua s˜e l`a , , , ,
m .ôt ¯do.an th˘ang Mr Ms l`a ¯do c`on c´ac c.anh kh´ac s˜e không ¯do. Chı câ`n , , , ch´ ung minh r` ˘
ang tô`n t .ai m .ôt tam gi´ac c´o ¯dınh l`a c´ac ¯diêm ¯d˜a cho v`a , , , , , ,
ba c .anh ¯du .oc tô mâ`u ¯do. Th.ât v.ây, c.anh l´on nhâ´t cua tam gi´ac nhu , , , , , thê´ ¯ dô`ng th` oi l`
a c .anh nho nhâ´t cua tam gi´ac kh´ac v`ı n´o ¯du .oc tô mâ`u , , , , , , ¯ do. T` u m˜ ôi ¯ diêm ¯ d˜ a cho xuâ´t ph´ at 5 ¯
do .an th˘ang nô´i n´o v´oi c´ac ¯diêm , , , , c`
on l .ai. V.ây ho.˘ac ´ıt nhâ´t c´o 3 trong nh˜ung ¯do.an th˘ang n`ay ¯du .oc tô , , , , mâ`u ¯
do, ho .˘ac ´ıt nhâ´t c´o 3 ¯do.an v˜ân không ¯du .oc tô mâ`u ¯do. , , , , , 172 Chuong 15. L` oi giai v` a g .oi ´y , , , , , , Nê´u t` u ¯ diêm M1 xuâ´t ph´at 3 ¯
do .an ¯du .oc tô mâ`u ¯do (ch˘ang h.an ,
M1M2, M1M3, M1M4) th`ı trong ∆M2M3M4 ´ıt nhâ´t c´o m .ôt c.anh (l´on , , , , ,, nhâ´t) ¯
du .oc tô mâ`u ¯do, gia su ¯d´o l`a ¯do.an M2M3. Thê´ th`ı trong , , ∆ , ,
M1M2M3 tâ´t ca c´ac c .anh ¯dê`u ¯du .oc tô mâ`u ¯do. , , , , Nê´u t` u ¯
diêm M1 xuâ´t ph´at ´ıt nhâ´t 3 ¯
do .an không ¯du .oc tô mâ`u , , ¯ do (ch˘
ang h .an 3 ¯do.an M1M2, M1M3, M1M4) th`ı ta x´et 3 tam gi´ac
M1M2M3, M1M2M4, M1M3M4. Trong m˜ôi tam gi´ac n`ay ´ıt nhâ´t c´o , , , , , ,
m .ôt c.anh ¯du .oc tô mâ`u ¯do, nhung c.anh không ch´ua ¯dınh M1. V.ây , , , , , 3 ¯
do .an M2M3, M2M4, M3M4 ¯du .oc tô mâ`u ¯do, t´uc l`a 3 c.anh cua , ∆M2M3M4 ¯dê`u mâ`u ¯do. , , , , , . 11.13. L` oi giai: Tru´
oc hê´t ta nh .ân x´et c´o ´ıt nhâ´t m .ôt tam gi´ac ¯don , ,, , , , , s´ ˘ ac (B`
ai 5.4). Gia su P1P2P3 l`a tam gi´ac ¯ don s´ ˘ ac, ch˘ ang h .an ¯do. Ðê , ,
riêng P1 ta c`on l .ai 6 ¯diêm v`a ta l.ai c´o m .ôt tam gi´ac ¯don s´˘ac không , , c´ o P1 l`a ¯ dınh (B` ai 5.4). Nê´u tam gi´ ac n` ay không ch´ ua c .anh P2P3 th`ı , , , , , , ta ¯
du .oc kê´t qua, thê´th`ı c´o m .ôt ¯diêm th´u tu P0 sao cho P0 P 1 1 2 P3 c˜ ung , , , , , , , l` a tam gi´ ac ¯
do. Tuong t .u ¯dê riê`n P2 v`a P3 ta ¯du .oc P0 v`a P0 sao cho 2 3 , P1P0 P l` a tam gi´ ac o. 2 3 v` a P1P2P03 ¯ d , , , , Tru´ oc hê´t ta x´ et kha n˘ angl` a 3 ¯
diêm P0, P0 v`a P0 không phân bi 1 2 3 .êt. , , , , Trong tru`
ong h .op n`ay m .ôt trong ch´ung t.ao th`anh v´oi P1P2P3 m .ôt , , , , h`ınh t´
u di .ên. C`on l.ai 3 ¯diêm. Nê´u c´ac c.anh gi˜ua m .ôt trong ba ¯diêm , , , , , , c`
on l .ai ¯d´o v`a 2 ¯dınh cua h`ınh t´u di.ên l`a ¯do ta s˜e ¯du .oc hai tam gi´ac , , , , , ¯ do v´
oi 2 c .anh r`oi nhau, m .ôt tam gi´ac c´o m .ôt ¯dınh m´oi v`a m .ôt c.anh , , , , cua t´
u di .ên v`a tam gi´ac kia trên t´u di.ên. Nê´u không, m˜ôi ¯diêm c´o ´ıt , , , , , ,
nhâ´t c .anh ¯do thu .ôc t´u di.ên. Nhu thê´c´o ´ıt nhâ´t m .ôt ¯dınh cua t´u di.ên , , , nô´i v´ oi ca 3 ¯ dınh c`
on l .ai b`˘ang c.anh mâ`u ¯den. Nê´u c.˘ap n`ao trong 3 , nô´i b` ˘
ang c .anh ¯den th`ı ta c´o m .ôt tam gi´ac ¯den v`a m .ôt ¯do. Nê´u không , , , , , ta ¯
du .oc hai tam gi´ac ¯do c´o ¯dınh r`oi nhau. , , , , , 15.12. L` oi giai v` a g .oi ´y chuong 12 173 , , ,, ,
V .ây ta c´o thê gia su r`˘ang ba ¯diêm P0, P0 v`a P0 l`a phân bi 1 2 3 .êt. Nê´u , , , , , , , 2 ¯ diêm, P0 v`a P0, c nô´i b` ˘ ang c o th`ı ta c hai tam gi´ ac o 1 2 ¯ du .o .anh ¯ d ¯ du .o ¯ d , , P1P2P3 v`a P0 P0 P P0 P0 cho theo th´ u t 1 2 3. Nê´u không th` ı P1P2P3 v`a P01 2 3 .u ,
m .ôt tam gi´ac ¯do v`a m .ôt tam gi´ac ¯den. , , , , , , , . 11.14. L` oi giai: Lâ´y 1998 ¯ d˜ıa ¯
du .oc tô giô´ng nhu ¯d˜ıa th´u hai cua , , ch´ ung ta v` a ¯
d .˘at chô`ng tâ´t ca ch´ung lên ¯d˜ıa th´u nhâ´t sao cho ch´ung , , , c´ o tâ´t ca c´
ac v.i tr´ı c´o thê (nhu khi quay). Khi ¯d´o trên m˜ôi h`ınh qu.at , , , , , , cua ¯ d˜ıa th´ u nhâ´t c´
o 200 h`ınh qu .at, ¯du .oc tô, t´uc l`a c´o tâ´t ca 2002 , , , ,, , ,
c .˘ap h`ınh qu.at ¯du .oc tô tr`ung nhau. Gia su c´o n v.i tr´ı cua ¯d˜ıa th´u , , , hai c´
o không ´ıt hon 21 c .˘ap h`ınh qu.at ¯du .oc tô tr`ung nhau. Khi ¯d´o , , , , sô´ c´
ac h`ınh qu .at ¯du .oc tô tr`ung nhau không nho hon 21n. Do ¯d´o , ,, 21n ≤ 2002, t´ uc l`
a n ≤ 1904, 8. Boi v`ı n l`a sô´nguyên, nên n ≤ 1904. Suy ra c´
o ´ıt nhâ´t 1998 − 1904 = 94 v.i tr´ı c´o không qu´a 20 c.˘ap h`ınh , ,
qu .at ¯du .oc tô tr`ung nhau. , , ,
. 11.15. G .oi ´y: Ch´ung minh ho`an to`an nhu b`ai 11.2. , , , , , 15.12. L` oi giai v ` a g .oi ´y chuong 12 , , , , , . 12.11. L`
oi giai: Lâ´y A∗ l`a nh˜ung ¯
diêm trên m .˘at câ`u ¯dô´i x´ung qua , , , , , , , , , tâm cua qua câ`u t` u nh˜ ung ¯
diêm cua t .âp h .op A. Theo gia thiê´t tông , , ,
di .ên t´ıch cua A v`a A∗ l´on hon di.ên t´ıch m.˘at câ`u. Theo nguyên l´y , ,
Ðirichlê cho di .ên t´ıch ch´ung c´o ¯diêm chung. V.ây ¯diêm chung ¯d´o v`a , , , , , , ¯ diêm ¯ dô´i x´ ung cua n´ o l`
a c .˘ap ¯diêm ¯dê`u thu .ôc A t.ao ra ¯du`ong k´ınh , qua câ`u. , , , , . 12.12. L` oi giai: V´ oi m˜
ôi h`ınh ch˜u th .âp ta x´et h`ınh tr`on c´o tâm t.ai , 1 , tâm ch˜
u th .âp v`a b´an k´ınh b`˘ang √ . Ta ch´ung minh r`˘ang nê´u hai 2 2 , , , , , 174 Chuong 15. L` oi giai v` a g .oi ´y , , h`ınh tr` on ¯ d´ o c´ ˘ at nhau th`ı hai ch˜
u th .âp c˜ung s˜e c´˘at nhau. Khoang , , , c´ ach gi˜ ua hai tâm cua h`ınh tr` on b` ˘ ang nhau v` a c´ ˘ at nhau không l´ on , , , , , hon hai lâ`n b´ an k´ınh cua ch´ ung, do ¯ d´ o khoang c´ ach gi˜ ua tâm cua , , , , , , , 1 , c´ ac ch˜
u th .âp tuong ´ung v´oi ch´ung không l´on hon √ . X´et h`ınh ch˜u 2 ,, , , , ,
nh .ât x´ac ¯d.inh boi c´ac c´anh cua h`ınh ch˜u th.âp th´u nhâ´t v`a tâm cua , , , , , ch˜
u th .âp th´u hai. S˜e c´o m .ôt c´anh cua ch˜u th.âp th´u hai ¯di qua h`ınh , , , ,, , ch˜
u nh .ât ¯d´o, do ¯d´o s˜e c´˘at ch˜u th.âp th´u nhâ´t, boi v`ı ¯d .ô d`ai cua c´anh 1 , , , , , 1 b` ˘ ang √ , c` on ¯
d .ô d`ai ¯du`ong ch´eo h`ınh ch˜u nh.ât không l´on hon √ . 2 2 , , , , R˜ o r` ang trong h`ınh tr` on b´ an k´ınh 100 chı c´ o thê ¯ d .˘at ¯du .oc m .ôt , 1 sô´h˜
uu h .an c´ac h`ınh tr`on b´an k´ınh √ không c´˘at nhau. 2 2 , , , , ,, , . 12.13. L` oi giai: C´
o thê. Gia su O l`a tâm cua ng˜ u gi´ ac ¯ dê`u ABCDE. Khi ¯ d´ o c´ ac h`ınh tr`
on n .ôi tiê´p trong c´ac g´oc AOC, BOD, COE, DOA, EOB c´ o t´ınh châ´t ¯ d˜ a nêu. , , , . 12.14. L` oi giai: X´
et m .ôt tam gi´ac ¯dê`u c´o c.anh b`˘ang 1. Tâ´t ca 3 , , , , , , ¯ dınh cua n´ o không thê ¯
du .oc tô b`˘ang c´ac mâ`u kh´ac nhau, do ¯d´o phai , , , c´ o hai ¯ diêm c` ung mâ`u, v` a khoang c´ ach gi˜ u ch´ ung b` ˘ ang 1. PH .U L .UC A , T .ÂP H .OP V `A ´ANH X .A , ,, ,
A.1. T .âp h .op v`a To´an tu trên t .âp h .op. , , ,, , Khi ch´
ung ta coi m .ôt ¯dô´i tu .ong a n`ao ¯d´o l`a m .ôt phâ`n tu cua t.âp , ,, ,
h .op A, th`ı k´y hi.êu l`a a ∈ A, c`on khi a không l`a phâ`n tu cua A th`ı k´y hi .êu l`a a 6∈ A. , , , ,
M .ôt t.âp h .op A g .oi l`a t .âp h .op con cua t.âp h .op B, khi m .oi phâ`n ,, , , ,, , ,
tu cua t .âp h .op A l`a phâ`n tu cua t.âp h .op B, K´y hi.êu l`a A ⊂ B ho.˘ac , , B ⊃ A. Ngh˜ıa l` a t`
u a ∈ A suy ra a ∈ B ho .˘ac l`a t`u a 6∈ B suy ra a 6∈ A. , ,,
T .âp h .op r˜ông không c´o m .ôt phâ`n tu n`ao, k´y hi.êu l`a ∅. M .oi ¯dô´i , , ,
tu .ong x ¯dê`u không n`˘am trong t.âp h .op r˜ông x 6∈ ∅ . T.âp h .op r˜ông , , ¯ dê`u n` ˘
am trong m .oi t.âp h .op, ngh˜ıa l`a ∅ ⊂ A, v´oi m .oi A. , ,,
Hai t .âp h .op A v`a B tr`ung nhau khi ch´ung c´o c`ung c´ac phâ`n tu , , , , , , , nhu nhau, k´
y hi .êu A = B. Tuong ¯duong , A = B khi v`a chı khi t`u , a ∈ A suy ra a ∈ B v` a t`
u a ∈ B suy ra a ∈ A ho .˘ac A ⊂ B v`a B ⊂ A. , , , , ,
Cho A1, A2, . . . , An l`a m .ôt sô´ h˜uu h.an nh˜ung t.âp h .op. H .op cua , , , , ,, nh˜
ung t .âp h .op trên l`a m .ôt t.âp h .op gô`m tâ´t ca c´ac phâ`n tu m`a n´o , , ,
thu .ôc v`ao m .ôt trong c´ac t.âp h .op A1, A2, . . . , An. H .op cua c´ac t.âp , ,
h .op A1, A2, . . . , An , k´y hi.êu l`a A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An. C .u thê, a ∈ A1 ∪ ,
A2 ∪ . . . ∪ An ngh˜ıa l`a tô`n t .ai m .ôt chı sô´i trong {1, 2, . . . , n} sao cho 175 , , , 176 Chuong A. T .âp h .op v`a ´ Anh x .a a ∈ Ai. , , ,
Cho A1, A2, . . . , An l`a m .ôt sô´ h˜uu h.an nh˜ung t.âp h .op. Giao , , , , ,, cua nh˜
ung t .âp h .op trên l`a m .ôt t.âp h .op gô`m c´ac phâ`n tu m`a , , , n´ o n` ˘
am trong m .oi t.âp h .op A1, A2, . . . , An. Giao cua c´ac t.âp h .op ,
A1, A2, . . . , An k´y hi.êu l`a A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An. C .u thê, a ∈ A1 ∩ A2 ∩ , ,
. . . ∩ An ngh˜ıa l`a v´oi m .oi chı sô´i trong {1, 2, . . . , n} ta c´o a ∈ Ai. , , ,
Hi .êu cua hai t.âp h .op A v`a B l`a m .ôt t.âp h .op, k´y hi.êu A\B, gô`m , ,, nh˜ ung phâ`n tu a c´
o t´ınh châ´t a ∈ A v`a a 6∈ B. , ,
A.2. Qui n .ap to´an h .oc v`a B`ai to´an tô h .op , , ,
Trong t .âp h .op sô´t .u nhiên, c`ung v´oi nguyên l´y Ðirichlê c`on m .ôt , , ,, , , nguyên l´
y qui n .ap to´an h .oc c˜ung hay ¯du .oc su d .ung. D.ang ¯don gian , , , , cua phuong ph´
ap qui n .ap to´an h .oc nhu sau: , ,
Cho m .ôt d˜ay nh˜ung ¯diê`u kh˘ang ¯d.inh K1, K2, . . . , Kn, . . . (A.1) c´ o t´ınh châ´t sau: ,
a)K1 l`a kh˘ang ¯d.inh ¯d´ung. , , , b) V´ oi m˜
ôi sô´ t .u nhiên n,nê´u Kn l`a kh˘ang ¯d.inh ¯dus ng th`ı suy ra ,
Kn+1 c˜ung l`a kh˘ang ¯d.inh ¯d´ung. , , Khi ¯ d´ o tâ´t ca c´ ac kh˘ ang ¯
d.inh trong d˜ay (A.1) ¯dê`u ¯d´ung. , , Ch´ u ´ y: ¯
diê`u ki .ên a) ¯dam bao cho K1 ¯d´ung, sau ¯d´o ´ap d .ung b) cho K2 c˜ung ¯ d´
ung, tiê´p t .uc ´ap d .ung b) cho K3 c˜ung ¯d´ung v`a tiê´p t .uc , , , qu´ a tr`ınh ¯ d´ o v´
oi m .oi n. Ðê minh h .oa ch´ung ta ch´ung minh m .ôt ¯d.inh , , l´
y vê` tô h .op m`a râ´t hay ´ap d .ung trong cuô´n s´ach n`ay: , , , ,, , ,,
M .oi t .âp h.op h˜uu h .an v´oi n phâ`n tu c´o ¯d´ung 2n t .âp h.op con t .ao boi ,, , c´ ac phâ`n tu kh´ ac nhau cua n´ o. , A.3. ´ Anh x .a trên t.âp h .op 177 , , V´
oi m .oi sô´ n ch´ung ta k´y hi.êu ¯diê`u kh˘ang ¯d.inh trên b`˘ang Kn. , , , , ,
Nhu v .ây ch´ung ta s˜e nh.ân ¯du .oc d˜ay (A.1). V´oi n = 1 kh˘ang ¯d.inh , ,, , ¯ d´
ung, v`ı m .oi t.âp h .op c´o m .ôt phâ`n tu c´o ¯d´ung hai t.âp h .op con, ¯d´o l`a ,,
t .âp r˜ông v`a ch´ınh t.âp ( m .ôt phâ`n tu ) ¯dos . V.ây (A.1) c´o t´ınh châ´t a). , , , Bây gi` o ch´ ung ta phai ch´ ung minh b) ¯ d´ ung. Ngh˜ıa l` a cho n l`a , , , ,
m .ôt sô´t .u nhiên bâ´t k`y v`a kh˘ang ¯d.inh Kn ¯d´ung t´uc l`a m .oi t.âp h .op c´o ,, , , , n phâ`n tu c´ o ¯ d´
ung 2n t .âp h .op con. Câ`n phai ch´ung minh r`˘ang Kn+1 , ,, l` a ¯ dus ng. Ch´ ung ta x´
et S l`a t .âp h .op c´o n + 1 phâ`n tu v`a s l`a m .ôt ,, , , , , , phâ`n tu cua n´ o. Ch´ ung ta chia nh˜
ung t .âp h .op con cua S l`am hai l´op: , , , , , , L´
op a1 gô`m tâ´t ca c´ac t .âp h .op con cua S không ch´ua s. L´op a2 gô`m , , , , , , , tâ´t ca c´
ac t .âp h .op con cua S ch´ua s. Nh˜ung t.âp h .op con thu .ôc l´op a1 , , , ,, , l`
a t .âp h .op con cua m .ôt t.âp h .op n phâ`n tu S1, m`a n´o nh.ân t`u S sau , ,, , , , , , khi bo ¯
di phâ`n tu s. Theo gia thiê´t qui n .ap sô´lu .ong t.âp h .op con cua , , , , , , n´ o ¯ d´ ung l`
a 2n. M .˘at kh´ac c´ac t.âp h .op con cua l´op a2 l`a tuong ´ung 1-1 , , , , , , v´ oi v´ oi c´
ac t .âp h .op con cua S1. Th.ât v.ây, m .oi t.âp h .op con Z ch´ua s , , , , , , , , cua S ta cho tuong ´ ung v´
oi t .âp h .op con Z1 cua S1 b`˘ang c´ach t`u Z , ,, , , , , , ta bo ¯
d.i phâ`n tu s. Ngh˜ıa l`a sô´lu .ong t.âp h .op con cua S trong l´op a2 , , , , , , tr` ung v´
oi sô´ lu .ong t.âp h .op con cua S1 v`a b`˘ang 2n. Do ¯d´o tâ´t ca t.âp , , , ,
h .op con cua S l`a 2n + 2n = 2n+1. Nhu v.ây ch´ung ta ¯d˜a ch´ung minh, , , , v´
oi m .oi n, t`u Kn ¯dus ng suy ra Kn+1 ¯dus ng. Ch´ung ta ch´ung minh , , , , ¯
du .oc (A.1) c´o t´ınh châ´t b). Suy ra tâ´t ca c´ac kh˘ang ¯d.inh ¯dê`u ¯d´ung. J , A.3. ´ Anh x .a trên t .âp h .op , , ,, , , , , T` u nh˜ ung kh´
ai ni .êm sô´phâ`n tu cua m .ôt t.âp h .op n`ay l´on hon sô´ ,, , , , , ,
phâ`n tu cua m .ôt t.âp h .op kia, ngu`oi ta xây d .ung kh´ai ni.êm ´anh x.a , , , ¯ dê giai th´ıch v` a ch´ınh x´ ac h´ oa trong khi ch´ ung minh. , , , 178 Chuong A. T .âp h .op v`a ´ Anh x .a , , Ch´ ung ta n´ oi r` ˘
ang cho m .ôt ´anh x .a f : A → B t`u t.âp h .op A v`ao , ,, , , , ,
t .âp h .op B, khi m .oi phâ`n tu a thu .ôc A cho tuong ´ung v´oi m .ôt phâ`n ,, ,, , ,
tu f (a) thu .ôc B. Phâ`n tu f (a) g .oi l`a gi´a tr.i cua ´anh x.a f v´oi phâ`n ,, , , , , , tu a cua A. C´
o thê chı ra nhiê`u v´ı d .u nhu ´anh x.a sô´t .u nhiên v`ao sô´ , , , , , ch˜ ˘ an, v´
oi m .oi n cho tuong ´ung v´oi 2n,. . . . , , , , Ngu` oi ta c` on ¯
dua ra m .ôt sô´ t´ınh châ´t cua ´anh x.a: M .ôt ´anh x.a , ,
f : A → B g .oi l`a ¯don ´anh, nê´u t`u f (a1) = f (a2)(a1, a2 ∈ A) suy ra , ,, ,
a1 = a2. N´oi c´ach kh´ac f l`a ¯ don ´
anh khi m .oi phâ`n tu kh´ac nhau cua , , , , , ,, , A cho tuong ´ ung v´ oi nh˜ ung phâ`n tu kh´ ac nhau cua B. , ,,
M .ôt ´anh x.a f : A → B g .oi l`a to`an ´anh, nê´u v´oi m .oi phâ`n tu , , ,,
cua b cua B tô`n t .ai phâ`n tu a thu .ôc A sao cho f (a) = b. C´o nhiê`u v´ı , , ,
d .u vê` ´anh x.a lo.ai n`ay, nhu ph´ep chiê´u lên tr .uc to.a ¯d .ô cua m .oi ¯diêm , trong m .˘at ph˘ang. , ,
M .ôt ´anh x.a f : A → B g .oi l`a song ´anh, khi n´o ¯dô`ng th`oi l`a ¯don , ,, ´ anh v` a to` an ´
anh. Nê´u f : A → B l`a song ´anh, th`ı v´ oi m .oi phâ`n tu b , ,,
cua B tô`n t .ai duy nhâ´t phâ`n tu a thu .ôc A sao cho f (a) = b. Cho song ´ anh f : A → B. Nê´u ch´ ung ta ¯ d .˘at g(b) = a khi ¯d˜a , , c´ o f (a) = b, ch´
ung ta nh .ân ¯du .oc ´anh x.a g : B → A g .oi l`a ´anh , , , ,
x .a ngu .oc cua f v`a k´y hi.êu l`a f −1 = g. Nhu v.ây f ( f −1(b)) = b v`a , f −1( f (a)) = a v´
oi m .oi a thu .ôc A v`a b thu .ôc B. , Cho hai ´
anh x .a f : A → B v`a g : B → C, c´o thê t.ao ra ´anh x.a , h : A → C b`˘ ang công th´
uc h(a) = f (g(a)). K´y hi .êu h = g ◦ f . , T ` AI LI .ÊU THAM KHAO , , ,
[1] Tuyên t .âp 30 n˘am t .ap ch´ı To´an h.oc v`a Tuôi tre, NXBGD, 1997. [2] 255 b` ai to´
an sô´ h .oc ch.on l.oc, V.D. Th .uy, T. C. Th`anh, N. N. ,, Ð .am, So GD H`a tây, 1993 , , , [3] 10000 B` ai to´ an so câ´p - D˜ ay sô´ v` a gi´
oi h .an, Phan Huy Khai, NXB H` a n .ôi, 1997. , , [4] C´ ac ¯ dê` thi vô ¯
d.ich to´an c´ac nu´oc, Xv. Cônhiagin, G.A.Tônôian, , If. Sarugin, NXB GD 1996. , , [5] C´ ac b` ai to´
an h`ınh h .oc ph˘ang, V.V. Praxolov, T.âp II, NXB Hai ph` ong 1997. , [6] Zadatri Vsesaiun´
uc matematitreskii olimpiada, N.B. Vasilev,
A.A. Egorov, Maskova- Nauka 1988.
[7] Matematichskii akvarium V. A. Uphnarovskii, Kishinev " shti- insa" 1987.(Tiê´ng Nga).
[8] Problem-Solving Through Problems, Loren C. Larson, Spring- Verlag, 1983.
[9] Princil na Dirichle, Ivan Prodanov, "Narodna Prosveta", Sophia 1988 (Tiê´ng Bungari). 179 180 M .uc l .uc ,
[10] Zadachi da idvunklasna Rabota po matematika,
R.Rusev, K.Bankov, Sv. Slavchev, "Narodna Prosveta", Sophia 1986 (Tiê´ng Bungari).
[11] Sbornhik ot Zadachi za Matematicheski Olympiadi,
St. Budurov, V. Phlorov, "Narodna Prosveta", Sophia 1966 (Tiê´ng Bungari). N .ÔI DUNG , L` oi n´ oi ¯
dâ`u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 , , Chuong 1. Nguyên l´ y Ðirichlê v`
a v´ı d .u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1. Nguyên l´
y Ðirichlê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. V´ı d .u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3. B`
ai t .âp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 , ,
Chuong 2. Sô´ h .oc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 , 2.1. Ph´
ep chia sô´t .u nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2. V´ıd .u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3. B`
ai t .âp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 , , Chuong 3. D˜
ay sô´. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.1. Nguyên l´ y Ðirichlê cho d˜
ay sô´vô h .an. . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2. V´ı d .u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.3. B`
ai t .âp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 , ,
Chuong 4. H`ınh h .oc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.1. V´ı d .u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.2. B`
ai t .âp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 , , ,,
Chuong 5. Mo r .ông nguyên l´y Ðirichlê. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ,, 5.1. Nguyên l´
y Ðirichlê mo r .ông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.2. V´ı d .u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 181 182 N .ÔI DUNG 5.3. B`
ai t .âp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 , , Chuong 6. B`
ai t .âp sô´h .oc nâng cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 , , ,
6.1. Ð.inh l´y co ban cua sô´h .oc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.2. V´ı d .u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 6.3. B`
ai t .âp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 , , Chuong 7. B`
ai t .âp d˜ây sô´nâng cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7.1. V´ı d .u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 7.2. B`
ai t .âp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 , , , ,
Chuong 8. Sô´ th .uc v´oi t .âp tr`u m .ât . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8.1. T .âp tr`u m.ât . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8.2. V´ı d .u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 8.3. B`
ai t .âp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 , , , , , Chuong 9. Nh˜ ung ´
ung d .ung kh´ac cua nguyên l´y Ðirichle . . 89 , ,
9.1. Xâ´p xı m .ôt sô´th .uc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 9.2. B`
ai t .âp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 , , Chuong 10. Nguyên l´
y Ðirichlê cho di .ên t´ıch . . . . . . . . . . . . . 101 , 10.1. Ph´ at biêu nguyên l´
y Ðirichlê cho di .ên t´ıch . . . . . . . . . . 101
10.2. V´ı d .u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 10.3. B`
ai t .âp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 , , , , Chuong 11. To´
an h .oc tô h .op. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
11.1. V´ı d .u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 11.2. B`
ai t .âp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 , ,
Chuong 12. M .ôt sô´b`ai t .âp h`ınh h .oc kh´ac . . . . . . . . . . . . . . . . 129
12.1. V´ı d .u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 M .uc l .uc 183 12.2. B`
ai t .âp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 , ,
Chuong 13. M .ôt sô´ ¯dê` thi vô ¯d.ich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 , , , , Chuong 14. B`
ai t .âp t .u giai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 , , , , , Chuong 15. L` oi giai v`
a g .oi ´y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 , , , , , 15.1. L`oi giai v`
a g .oi ´y chuong 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 , , , , , 15.2. L` oi giai v`
a g .oi ´y chuong 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 , , , , , 15.3. L` oi giai v`
a g .oi ´y chuong 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 , , , , , 15.4. L` oi giai v`
a g .oi ´y chuong 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 , , , , , 15.5. L` oi giai v`
a g .oi ´y chuong 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 , , , , , 15.6. L` oi giai v`
a g .oi ´y chuong 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 , , , , , 15.7. L` oi giai v`
a g .oi ´y chuong 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 , , , , , 15.8. L` oi giai v`
a g .oi ´y chuong 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 , , , , , 15.9. L` oi giai v`
a g .oi ´y chuong 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 , , , , , 15.10. L` oi giai v`
a g .oi ´y chuong 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 , , , , , 15.11. L` oi giai v`
a g .oi ´y chuong 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 , , , , , 15.12. L` oi giai v`
a g .oi ´y chuong 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 ,
Ph .u l .uc A. T .âp h .op v`a ´Anh x .a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 , ,, ,
A.1. T .âp h .op v`a To´an tu trên t.âp h .op. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 , ,
A.2. Qui n .ap to´an h .oc v`a B`ai to´an tô h .op . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 , A.3. ´
Anh x .a trên t.âp h .op . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
M .uc l .uc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 , , NGUY˜ ÊN H ˜ UU ÐIÊN , , , PHUONG PH´ AP ÐIRICHLÊ V` A ´ UNG D .UNG , , , c Ebook 1.0 cua cuô´n s´ ach nguyên gô´c t` u ban in, c´ ac b .an tham , , , khao, cho ´ y kiê´n sai s´ ot v` a l` oi khuyên t´ ai ban. M .oi liên h.ê , , , T´ ac gia: Nguy˜ ên H˜ uu Ðiên Ði .ên tho.ai: 0989061951 Email: huudien@vnu.edu.vn
Web: http://nhdien.wordpress.com , ,
Ch.iu tr´ach nhi.êm xuâ´t ban: TÔ Ð˘ANG HAI ,, , Biên t .âp v`a sua ban in: Ð ˜ Ô PH ´ U , , , Tr`ınh bâ`y v` a chê´ban: H˜ UU ÐIÊN, PH ` U LINH , , Tr`ınh bâ`y b`ıa: HUONG LAN , NH` A XU´
ÂT BAN KHOA H .OC V`A K˜Y THU .ÂT , 70 TR` ÂN HUNG Ð .AO - H`A N .ÔI 6.6T7.3 290 - 4-98 KHKT − 98 , ,
In 1000 ban khô 14, 5 × 20, 5 t .ai Công ty In Công Ðo`an Vi.êt Nam ,
191 Son Tây - Ðô´ng Ða - H`
a N .ôi. Giâ´y ph´ep XB sô´: 290-22/4/98. , , In xong v`
a n .ôp luu chiêu th´ang 1 n˘am 1999.
Document Outline
- Lời nói đầu
- Nguyên lý Đirichlê và ví dụ
- Nguyên lý Đirichlê
- Ví dụ
- Bài tập
- Số học
- Phép chia số tự nhiên
- Vídụ
- Bài tập
- Dãy số
- Nguyên lý Đirichlê cho dãy số vô hạn
- Ví dụ
- Bài tập
- Hình học
- Ví dụ
- Bài tập
- Mở rộng nguyên lý Đirichlê
- Nguyên lý Đirichlê mở rộng
- Ví dụ
- Bài tập
- Bài tập số học nâng cao
- Định lý cơ bản của số học
- Ví dụ
- Bài tập
- Bài tập dẫy số nâng cao
- Ví dụ
- Bài tập
- Số thực với tập trù mật
- Tập trù mật
- Ví dụ
- Bài tập
- Những ứng dụng khác của nguyên lý Đirichle
- Xấp xỉ một số thực
- Bài tập
- Nguyên lý Đirichlê cho diện tích
- Phát biểu nguyên lý Đirichlê cho diện tích
- Ví dụ
- Bài tập
- Toán học tổ hợp
- Ví dụ
- Bài tập
- Một số bài tập hình học khác
- Ví dụ
- Bài tập
- Một số đề thi vô địch
- Bài tập tự giải
- Lời giải và gợi ý
- Lời giải và gợi ý chương 1
- Lời giải và gợi ý chương 2
- Lời giải và gợi ý chương 3
- Lời giải và gợi ý chương 4
- Lời giải và gợi ý chương 5
- Lời giải và gợi ý chương 6
- Lời giải và gợi ý chương 7
- Lời giải và gợi ý chương 8
- Lời giải và gợi ý chương 9
- Lời giải và gợi ý chương 10
- Lời giải và gợi ý chương 11
- Lời giải và gợi ý chương 12
- Tập hợp và Ánh xạ
- Tập hợp và Toán tử trên tập hợp.
- Qui nạp toán học và Bài toán tổ hợp
- Ánh xạ trên tập hợp
- Mục lục