184 trang 78 lượt tải

Phương pháp Đirichlê và ứng dụng – Nguyễn Hữu Điển

156

Nguyên lý những cái lồng và các chú thỏ đã được biết đến từ rất lâu. Ngay trong chương trình phổ thông cơ sở chúng ta cũng đã làm quen với phương pháp giải toán này. Thực ra nguyên lý này mang tên nhà bác học người Đức Pête Gutxtap Legien Dirichlet (1805 – 1859).

Chủ đề: Tài liệu ôn thi vào 10 môn Toán 124 tài liệu

Môn: Môn Toán 1.4 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Nguyễn Vân

1 năm trước
Danh sách Quiz
/184
NGUY
˜
ÊN H
˜
U
,
U ÐIÊ
,
N
PHU
,
O
,
NG PH
´
AP ÐIRICHLÊ
V
`
A
´
U
,
NG D
.
UNG
NH
`
A XU
´
ÂT B
,
AN KHOA H
.
OC V
`
A K
˜
Y THU
.
ÂT
H
`
A N
.
ÔI - 1999
L
`
O
,
I N
´
OI Ð
`
ÂU
Nguyên l
´
y nh
˜
u
,
ng c
´
ai lô
`
ng v
`
a c
´
ac ch
´
u th
,
o
¯
d
˜
a
¯
du
,
.
o
,
c biê
´
t
¯
dê
´
n t
`
u
,
râ
´
t
lâu. Ngay trong chu
,
o
,
ng tr
`
ınh phô
,
thông co
,
s
,
o
,
ch
´
ung ta c
˜
ung
¯
d
˜
a l
`
am
quen v
´
o
,
i phu
,
o
,
ng ph
´
ap gi
,
ai to
´
an n
`
ay. Th
.
u
,
c ra nguyên l
´
y n
`
ay mang
tên nh
`
a b
´
ac h
.
oc ngu
,
`
o
,
i Ð
´
u
,
c Pête Gutxtap Legien Dirichlet (1805-
1859). Nguyên l
´
y ph
´
at biê
,
u râ
´
t
¯
do
,
n gi
,
an: Nê
´
u ch
´
ung ta nhô
´
t th
,
o v
`
ao
c
´
ac lô
`
ng m
`
a sô
´
lô
`
ng
´
ıt ho
,
n sô
´
th
,
o, th
`
ı thê
,
n
`
ao c
˜
ung c
´
o m
.
ôt lô
`
ng nhô
´
t
´
ıt
nhâ
´
t hai con th
,
o.
Ch
,
ı b
`
˘
ang nguyên l
´
y
¯
do
,
n gi
,
an nhu
,
v
.
ây h
`
ang lo
.
at c
´
ac b
`
ai to
´
an
¯
d
˜
a
¯
du
,
.
o
,
c gi
,
ai.
Cuô
´
n s
´
ach
¯
du
,
.
o
,
c biên so
.
an l
.
ai theo t
`
u
,
ng ch
,
u
¯
dê
`
c
´
o liên quan
¯
dê
´
n
nguyên l
´
y, m
˜
ôi c
´
ach gi
,
ai trong v
´
ı d
.
u c
,
ua t
`
u
,
ng chu
,
o
,
ng l
`
a
´
ap d
.
ung
¯
diê
,
n h
`
ınh nguyên l
´
y Ðirichlê. B
`
ai t
.
âp gi
,
ai tru
,
´
o
,
c c
´
o liên quan
¯
dê
´
n b
`
ai
gi
,
ai sau nên câ
`
n lu
,
u
´
y khia
¯
d
.
oc s
´
ach. V
´
o
,
i mong muô
´
n c
`
ung b
.
an
¯
d
.
oc
th
,
ao lu
.
ân m
.
ôt phu
,
o
,
ng ph
´
ap ch
´
u
,
ng minh to
´
an h
.
oc v
`
a hy v
.
ong cung
câ
´
p m
.
ôt t
`
ai li
.
êu bô
,
´
ıch cho c
´
ac thâ
`
y cô gi
´
ao v
`
a c
´
ac em h
.
oc sinh ham
mê t
`
ım t
`
oi trong to
´
an h
.
oc, t
´
ac gi
,
a m
.
anh d
.
an biên so
.
an cuô
´
n s
´
ach
n
`
ay. Do kh
,
a n
˘
ang v
`
a th
`
o
,
i gian c
`
on h
.
an chê
´
, cuô
´
n s
´
ach ch
´
˘
ac ch
´
˘
an
không tr
´
anh kh
,
oi thiê
´
u s
´
ot. Ch
´
ung tôi mong
¯
du
,
.
o
,
c s
.
u
,
¯
d
´
ong g
´
op
´
y
kiê
´
n c
,
ua
¯
d
.
oc gi
,
a. Thu
,
g
´
op
´
y xin g
,
u
,
i vê
`
Nh
`
a xuâ
´
t b
,
an Khoa h
.
oc v
`
a K
˜
y
thu
.
ât - 70 Trâ
`
n Hu
,
ng Ð
.
ao, H
`
a N
.
ôi.
3
4 L
`
o
,
i n
´
oi
¯
dâ
`
u
T
´
ac gi
,
a xin chân th
`
anh c
,
am o
,
n PGS-TSKH Ð
˜
ô Hô
`
ng Tân
¯
d
˜
a
¯
d
.
oc
v
`
a
¯
d
´
ong g
´
op nhiê
`
u
´
y kiê
´
n qu
´
ı b
´
au trong qu
´
a tr
`
ınh ho
`
an ch
,
ınh b
,
an
th
,
ao.
T
´
ac gi
,
a
CHU
,
O
,
NG 1
NGUYÊN L
´
Y ÐIRICHLÊ V
`
A V
´
I D
.
U
1.1. Nguyên l
´
y Ðirichlê
Nguyên l
´
y Ðirichlê nhiê
`
u khi ngu
,
`
o
,
i ta g
.
oi l
`
a ¨Nguyên l
´
y nh
˜
u
,
ng
ng
˘
an k
´
eo¨. Ðây l
`
a m
.
ôt nguyên l
´
y râ
´
t
¯
do
,
n gi
,
an,
¯
d
.
˘
ac bi
.
êt c
´
o nhiê
`
u
´
u
,
ng d
.
ung trong c
´
ac l
˜
ınh v
.
u
,
c kh
´
ac nhau c
,
ua to
´
an h
.
oc. D
`
ung nguyên
l
´
y n
`
ay ngu
,
`
o
,
i ta d
˜
ê d
`
ang ch
´
u
,
ng minh tô
`
n t
.
ai m
.
ôt
¯
dô
´
i tu
,
.
o
,
ng v
´
o
,
i t
´
ınh
châ
´
t x
´
ac
¯
d
.
inh. D
.
ang
¯
do
,
n gi
,
an nhâ
´
t c
´
o thê
,
ph
´
at biê
,
u nhu
,
sau:
Nê
´
u c
´
o m v
.
ât
¯
d
.
˘at v
`
ao n c
´
ai ng˘an k
´
eo v
`
a m > n th
`
ı c
´
o
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt
ng˘an k
´
eo ch
´
u
,
a
´
ıt nhâ
´
t hai v
.
ât.
Tuy r
`
˘
ang v
´
o
,
i nguyên l
´
y n
`
ay ngu
,
`
o
,
i ta ch
,
ı ch
´
u
,
ng minh
¯
du
,
.
o
,
c s
.
u
,
tô
`
n
t
.
ai m
`
a không
¯
du
,
a ra
¯
du
,
.
o
,
c phu
,
o
,
ng ph
´
ap t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c v
.
ât c
.
u thê
,
, nhu
,
ng
trong th
.
u
,
c tê
´
nhiê
`
u b
`
ai to
´
an ta ch
,
ı câ
`
n ch
,
ı ra s
.
u
,
tô
`
n t
.
ai l
`
a
¯
d
,
u rô
`
i.
Nguyên l
´
y Ðirichlê l
`
a m
.
ôt
¯
d
.
inh l
´
y vê
`
t
.
âp h
.
o
,
p h
˜
u
,
u h
.
an. Ph
´
at biê
,
u
ch
´
ınh x
´
ac nguyên l
´
y n
`
ay nhu
,
sau:
Cho A v
`
a B l
`
a hai t
.
âp h
.
o
,
p không r
˜
ông c
´
o sô
´
phâ
`
n t
,
u
,
h
˜
u
,
u
h
.
an, m
`
a sô
´
lu
,
.
o
,
ng phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua A l
´
o
,
n ho
,
n sô
´
lu
,
.
o
,
ng phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua
B. Nê
´
u v
´
o
,
i m
.
ôt qui t
´
˘
ac n
`
ao
¯
dâ
´
y, m
˜
ôi phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua A cho tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i m
.
ôt phâ
`
n t
,
u
,
B, th
`
ı tô
`
n t
.
ai hai phâ
`
n t
,
u
,
kh
´
ac nhau c
,
ua A
m
`
a ch
´
ung tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i c
`
ung m
.
ôt phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua B.
Ðê
,
d
˜
ê hiê
,
u ta c
´
u
,
cho r
`
˘
ang c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua t
.
âp B l
`
a ¨Nh
˜
u
,
ng ng
˘
an
6 Chu
,
o
,
ng 1. Nguyên l
´
y Ðirichlê v
`
a v
´
ı d
.
u
k
´
eo¨ v
`
a c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua A
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
.
˘
at v
`
ao c
´
ac ng
˘
an k
´
eo c
,
ua n
´
o. Trong
ph
´
at biê
,
u c
,
ua nguyên l
´
y trên c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
h
˜
u
,
u h
.
an
¯
du
,
.
o
,
c t
´
ınh b
`
˘
ang
sô
´
t
.
u
,
nhiên, v
`
ı v
.
ây Nguyên l
´
y Ðirichlê c
´
o liên quan m
.
ât thiê
´
t t
´
o
,
i t
.
âp
h
.
o
,
p sô
´
t
.
u
,
nhiên v
`
a c
´
ac t
´
ınh châ
´
t c
,
ua t
.
âp h
.
o
,
p sô
´
n
`
ay.
1.2. V
´
ı d
.
u
.
.
. 1.1. Ðê
,
k
,
y ni
.
êm 20 n˘am ng
`
ay gi
,
ai ph
´
ong Miê
`
n Nam, t
.
ai m
.
ôt th
`
anh
phô
´
ngu
,
`
o
,
i ta tô
,
ch
´
u
,
c buô
,
i l
˜
ê g
.
˘ap m
.
˘at nh
˜
u
,
ng ngu
,
`
o
,
i 20 tuô
,
i. Ng
`
ay 30
th
´
ang 4 n˘am
¯
d
´
o trong buô
,
i g
.
˘ap m
.
˘at c
´
o 400 thanh niên. Ch
´
u
,
ng minh
r
`
˘ang c
´
o
´
ıt nhâ
´
t hai ngu
,
`
o
,
i trong sô
´
ngu
,
`
o
,
i t
´
o
,
i d
.
u
,
c
`
ung chung m
.
ôt ng
`
ay
sinh.
L
`
o
,
i gi
,
ai. N
˘
am 1995 c
´
o 365 ng
`
ay. Ch
´
ung ta coi m
˜
ôi ng
`
ay nhu
,
m
.
ôt
ng
˘
an k
´
eo v
`
a
¯
d
´
anh sô
´
t
`
u
,
1
¯
dê
´
n 365 (ng
˘
an k
´
eo cuô
´
i c
`
ung l
`
a ng
`
ay 31
th
´
ang 12 n
˘
am 1995). Ch
´
ung ta
¯
d
.
˘
at nh
˜
u
,
ng thanh niên c
´
o ng
`
ay sinh
tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
`
ao c
´
ac ng
˘
an k
´
eo
¯
d
´
o. Nhu
,
ng sô
´
thanh niên
¯
dê
´
n d
.
u
,
l
˜
ê l
´
o
,
n
ho
,
n sô
´
ng
˘
an k
´
eo, theo nguyên l
´
y Ðirichlê c
´
o
´
ıt nhâ
´
t hai ngu
,
`
o
,
i
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
.
˘
at v
`
ao c
`
ung m
.
ôt ng
˘
an k
´
eo. Ðiê
`
u
¯
d
´
o c
´
o ngh
˜
ıa l
`
a h
.
o sinh c
`
ung m
.
ôt
ng
`
ay.
J
.
.
. 1.2. Trong sinh h
.
oc ngu
,
`
o
,
i ta biê
´
t r
`
˘ang sô
´
t
´
oc trên
¯
dâ
`
u c
,
ua m
˜
ôi ngu
,
`
o
,
i
không qu
´
a 200.000 c
´
ai. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang trong sô
´
ngu
,
`
o
,
i c
,
ua th
`
anh
phô
´
H
`
a n
.
ôi, v
´
o
,
i sô
´
dân ho
,
n 2.000.000, c
´
o
´
ıt nhâ
´
t 11 ngu
,
`
o
,
i c
´
o c
`
ung sô
´
t
´
oc.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
ung ta x
´
et 200.000 ng
˘
an k
´
eo
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
´
anh sô
´
t
`
u
,
0
¯
dê
´
n
199.999. Ch
´
ung ta ¨
¯
d
.
˘
at¨ m
˜
ôi ngu
,
`
o
,
i dân H
`
a n
.
ôi v
`
ao m
.
ôt ng
˘
an k
´
eo
m
`
a sô
´
t
´
oc b
`
˘
ang sô
´
th
´
u
,
t
.
u
,
c
,
ua ng
˘
an k
´
eo. Gi
,
a s
,
u
,
không c
´
o 11 ngu
,
`
o
,
i
c
´
o c
`
ung sô
´
t
´
oc, nhu
,
v
.
ây m
˜
ôi ng
˘
an c
´
o nhiê
`
u nhâ
´
t l
`
a 10 ngu
,
`
o
,
i c
´
o c
`
ung
sô
´
t
´
oc, do
¯
d
´
o sô
´
dân H
`
a n
.
ôi nhiê
`
u nhâ
´
t l
`
a 200.000×10=2.000.000,
1.2. V
´
ı d
.
u 7
¯
diê
`
u n
`
ay không
¯
d
´
ung v
´
o
,
i gi
,
a thiê
´
t l
`
a sô
´
dân H
`
a n
.
ôi l
´
o
,
n ho
,
n 2 tri
.
êu.
J
.
.
. 1.3. Ba mu
,
o
,
i h
.
oc sinh l
`
am b
`
ai viê
´
t ch
´
ınh t
,
a. M
.
ôt trong sô
´
h
.
oc sinh
¯
d
´
o b
.
i 14 l
˜
ôi, c
`
on c
´
ac h
.
oc sinh kh
´
ac m
´
˘ac l
˜
ôi
´
ıt ho
,
n. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
c
´
o
´
ıt nhâ
´
t ba ngu
,
`
o
,
i m
´
˘ac sô
´
l
˜
ôi b
`
˘ang nhau.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
ung ta x
´
et 15 ng
˘
an k
´
eo
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
´
anh sô
´
t
`
u
,
0
¯
dê
´
n 14. Ch
´
ung
ta ¨
¯
d
.
˘
at¨ m
˜
ôi h
.
oc sinh v
`
ao m
.
ôt ng
˘
an k
´
eo mang sô
´
¯
d
´
ung b
`
˘
ang sô
´
l
˜
ôi
c
,
ua h
.
oc sinh n
`
ay. Nê
´
u không c
´
o ba h
.
oc sinh n
`
ao c
´
o sô
´
l
˜
ôi b
`
˘
ang nhau,
th
`
ı trong m
˜
ôi ng
˘
an mang sô
´
t
`
u
,
0,1,2,. . . ,13 s
˜
e c
´
o nhiê
`
u nhâ
´
t hai h
.
oc
sinh. Khi
¯
d
´
o sô
´
lu
,
.
o
,
ng c
,
ua nh
˜
u
,
ng h
.
oc sinh n
`
ay nhiê
`
u nhâ
´
t l
`
a 28. Nê
´
u
thêm v
`
ao
¯
d
´
o h
.
oc sinh m
´
˘
ac 14 l
˜
ôi (trong ng
˘
an k
´
eo sô
´
14) ch
´
ung ta s
˜
e
nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c nhiê
`
u nhâ
´
t 29 h
.
oc sinh viê
´
t ch
´
ınh t
,
a,
¯
diê
`
u n
`
ay d
˜
ân
¯
dê
´
n
s
.
u
,
vô l
´
y v
´
o
,
i
¯
diê
`
u ki
.
ên
¯
d
˜
a cho.
J
.
.
. 1.4. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang trong m
˜
ôi nh
´
om b
.
an 5 ngu
,
`
o
,
i c
´
o
´
ıt nhâ
´
t hai
ngu
,
`
o
,
i c
´
o c
`
ung sô
´
lu
,
.
o
,
ng ngu
,
`
o
,
i quen gi
˜
u
,
a nh
˜
u
,
ng ngu
,
`
o
,
i trong nh
´
om
¯
dos.
Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang c
`
ung kê
´
t lu
.
ân nhu
,
v
.
ây v
´
o
,
i nh
´
om b
.
an c
´
o sô
´
lu
,
.
o
,
ng
th
`
anh viên bâ
´
t k
`
y.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
ung ta x
´
et n
˘
am ng
˘
an k
´
eo,
¯
d
´
anh sô
´
t
`
u
,
0
¯
dê
´
n 4. M
˜
ôi ngu
,
`
o
,
i
tham d
.
u
,
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
.
˘
at v
`
ao ng
˘
an k
´
eo mang sô
´
tr
`
ung v
´
o
,
i sô
´
ngu
,
`
o
,
i trong
nh
´
om m
`
a ngu
,
`
o
,
i
¯
d
´
o quen.
a) Nê
´
u c
´
o m
.
ôt ngu
,
`
o
,
i không quen ai c
,
a trong sô
´
nh
˜
u
,
ng ngu
,
`
o
,
i
c
`
on l
.
ai, th
`
ı ng
˘
an sô
´
4 l
`
a trô
´
ng (v
`
ı ngu
,
.
o
,
c l
.
ai th
`
ı c
,
a hai ng
˘
an 0 v
`
a 4
¯
dê
`
u không trô
´
ng, d
˜
ân
¯
dê
´
n vô l
´
y). Nhu
,
v
.
ây, m
˜
ôi ngu
,
`
o
,
i trong sô
´
5
ngu
,
`
o
,
i
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
.
˘
at v
`
ao c
´
ac ng
˘
an mang sô
´
0,1,2,3 v
´
o
,
i sô
´
lu
,
.
o
,
ng 4 ng
˘
an.
T
`
u
,
nguyên l
´
y Ðirichlê suy ra
´
ıt nhâ
´
t c
´
o hai ngu
,
`
o
,
i
,
o
,
trong m
.
ôt ng
˘
an,
hay l
`
a, h
.
o c
´
o chung sô
´
lu
,
.
o
,
ng ngu
,
`
o
,
i quen.
8 Chu
,
o
,
ng 1. Nguyên l
´
y Ðirichlê v
`
a v
´
ı d
.
u
b) Nê
´
u m
.
oi ngu
,
`
o
,
i c
´
o
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt ngu
,
`
o
,
i quen, m
˜
ôi ngu
,
`
o
,
i s
˜
e
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
.
˘
at v
`
ao c
´
ac ng
˘
an mang sô
´
1,2,3,4, v
´
o
,
i sô
´
lu
,
.
o
,
ng 4 ng
˘
an. Phâ
`
n c
`
on l
.
ai
´
ap d
.
ung nguyên l
´
y Ðirichlê.
J
.
.
. 1.5. Trong m
.
ôt gi
,
ai b
´
ong
¯
d
´
a tham d
.
u
,
16
¯
d
.
ôi. M
˜
ôi c
.
˘ap hai
¯
d
.
ôi ph
,
ai
¯
dâ
´
u v
´
o
,
i nhau. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang t
.
ai m
˜
ôi th
`
o
,
i
¯
diê
,
m c
,
ua gi
,
ai c
´
o
´
ıt nhâ
´
t
2
¯
d
.
ôi c
´
o sô
´
tr
.
ân
¯
d
˜
a
¯
dâ
´
u nhu
,
nhau.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
ung ta x
´
et 16 ng
˘
an k
´
eo
¯
d
´
anh sô
´
t
`
u
,
0
¯
dê
´
n 15. Ch
´
u
´
y r
`
˘
ang
15 l
`
a sô
´
lu
,
.
o
,
ng l
´
o
,
n nhâ
´
t c
´
ac tr
.
ân b
´
ong m
`
a m
˜
ôi
¯
d
.
ôi c
´
o thê
,
¯
dâ
´
u t
.
ai th
`
o
,
i
¯
diê
,
m
¯
dang x
´
et. H
˜
ay
¯
d
.
˘
at m
˜
ôi
¯
d
.
ôi b
´
ong v
`
ao ng
˘
an k
´
eo mang sô
´
b
`
˘
ang
sô
´
c
´
ac tr
.
ân m
`
a
¯
d
.
ôi
¯
d
˜
a
¯
dâ
´
u
¯
dê
´
n th
`
o
,
i
¯
diê
,
m
¯
d
´
o. Ch
´
ung ta nh
.
ân ra r
`
˘
ang
c
´
ac ng
˘
an 0 v
`
a 15 không thê
,
¯
dô
`
ng th
`
o
,
i không trô
´
ng
¯
du
,
.
o
,
c v
`
a nhu
,
v
.
ây
c
´
o thê
,
´
ap d
.
ung nguyên l
´
y Ðirichlê.
J
.
.
. 1.6. Trên tr
´
ai
¯
dâ
´
t sô
´
ng ho
,
n 5 t
,
y ngu
,
`
o
,
i, biê
´
t r
`
˘ang không qu
´
a 1% sô
´
ng
trên m
.
ôt tr˘am tuô
,
i. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
´
ıt nhâ
´
t c
´
o hai ngu
,
`
o
,
i sinh c
`
ung
m
.
ôt giây
¯
dô
`
ng hô
`
.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Theo du
,
o
,
ng l
.
ich hi
.
ên h
`
anh 100 n
˘
am c
´
o
´
ıt ho
,
n 37000 ng
`
ay.
M
˜
ôi ng
`
ay c
´
o 24 gi
`
o
,
, m
˜
ôi gi
`
o
,
c
´
o 3600 giây. Khi
¯
d
´
o 100 n
˘
am c
´
o
´
ıt ho
,
n
3,33 t
,
y giây. T
`
u
,
¯
diê
`
u ki
.
ên ch
´
ung ta t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c nh
˜
u
,
ng ngu
,
`
o
,
i trên tr
´
ai
¯
dâ
´
t không qu
´
a 100 tuô
,
i
´
ıt nhâ
´
t l
`
a 99% t
`
u
,
5 t
,
y ngu
,
`
o
,
i ngh
˜
ıa l
`
a
´
ıt nhâ
´
t
c
´
o 4,9 t
,
y. Vi
.
êc c
`
on l
.
ai
´
ap d
.
ung nguyên l
´
y Ðirichlê:
¯
d
.
˘
at 4,9 t
,
y ngu
,
`
o
,
i
v
`
ao 3,33 t
,
y ng
˘
an k
´
eo.
J
.
.
. 1.7. Trong th
`
o
,
i gian k
´
eo d
`
ai m
.
ôt n˘am h
.
oc m
.
ôt h
.
oc sinh gi
,
ai
´
ıt nhâ
´
t
m
.
ôt b
`
ai t
.
âp m
˜
ôi ng
`
ay. Ðê
,
tr
´
anh c˘ang th
,
˘ang h
.
oc sinh gi
,
ai h
`
ang tuâ
`
n
không qu
´
a 12 b
`
ai t
.
âp. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang trong th
`
o
,
i gian k
´
eo d
`
ai liên
t
.
uc m
.
ôt sô
´
ng
`
ay h
.
oc sinh n
`
ay ph
,
ai gi
,
ai
¯
d
´
ung 20 b
`
ai t
.
âp m
˜
ôi ng
`
ay.
1.2. V
´
ı d
.
u 9
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
ung ta k
´
y hi
.
êu a
1
l
`
a sô
´
lu
,
.
o
,
ng b
`
ai t
.
âp h
.
oc sinh
¯
d
˜
a gi
,
ai
trong ng
`
ay
¯
dâ
`
u tiên, a
2
l
`
a sô
´
lu
,
.
o
,
ng b
`
ai t
.
âp
¯
d
˜
a gi
,
ai trong hai ng
`
ay
¯
dâ
`
u, a
3
l
`
a sô
´
lu
,
.
o
,
ng b
`
ai t
.
âp
¯
d
˜
a gi
,
ai trong ba ng
`
ay
¯
dâ
`
u, v
`
a v.v. a
77
l
`
a sô
´
lu
,
.
o
,
ng b
`
ai t
.
âp
¯
d
˜
a gi
,
ai trong 77 ng
`
ay
¯
dâ
`
u (11 tuâ
`
n). Theo gi
,
a
thiê
´
t a
77
≤ 11.12 = 132. Ch
´
ung ta x
´
et t
.
âp h
.
o
,
p c
´
ac sô
´
t
.
u
,
nhiên
M = {a
1
, a
2
, a
3
, . . . , a
77
, a
1
+ 20, a
2
+ 20, a
3
+ 20, . . . , a
77
+ 20}. N
´
o
ch
´
u
,
a 154 phâ
`
n t
,
u
,
v
`
a sô
´
l
´
o
,
n nhâ
´
t trong ch
´
ung l
`
a a
77
+ 20 ≤ 152.
Theo nguyên l
´
y Ðirichlê trong M c
´
o
´
ıt nhâ
´
t hai sô
´
b
`
˘
ang nhau. Nhu
,
ng
c
´
ac sô
´
a
1
, a
2
, a
3
, . . . , a
77
l
`
a ho
`
an to
`
an kh
´
ac nhau. suy ra tô
`
n t
.
ai a
k
v
`
a
a
l
m
`
a a
k
= a
l
+ 20, l < k ≤ 77. Nhu
,
v
.
ây a
k
− a
l
= 20,
¯
diê
`
u n
`
ay
c
´
o ngh
˜
ıa l
`
a t
`
u
,
ng
`
ay th
´
u
,
l + 1
¯
dê
´
n ng
`
ay th
´
u
,
k h
.
oc sinh n
`
ay ph
,
ai gi
,
ai
¯
d
´
ung 20 b
`
ai.
J
.
.
. 1.8. Trong m
.
ôt khu t
.
âp thê
,
sô
´
ng 123 ngu
,
`
o
,
i. Tô
,
ng sô
´
tuô
,
i c
,
ua h
.
o
l
`
a 3813. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang c
´
o thê
,
ch
.
on 100 ngu
,
`
o
,
i sô
´
ng
,
o
,
khu t
.
âp thê
,
n
`
ay, m
`
a tô
,
ng sô
´
tuô
,
i c
,
ua h
.
o không nh
,
o ho
,
n 3100.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
ung ta h
˜
ay ch
.
on 100 ngu
,
`
o
,
i nhiê
`
u tuô
,
i nhâ
´
t v
`
a gi
,
a s
,
u
,
tô
,
ng sô
´
tuô
,
i c
,
ua h
.
o nh
,
o ho
,
n 3100. Khi
¯
d
´
o ngu
,
`
o
,
i tr
,
e nhâ
´
t trong sô
´
ngu
,
`
o
,
i
¯
du
,
.
o
,
c ch
.
on l
`
a 3100:100=31 tuô
,
i. M
.
˘
at kh
´
ac ngu
,
`
o
,
i n
`
ay không
tr
,
e ho
,
n 23 ngu
,
`
o
,
i c
`
on l
.
ai theo c
´
ach ch
.
on. Khi
¯
d
´
o tô
,
ng sô
´
tuô
,
i c
,
ua 23
ngu
,
`
o
,
i n
`
ay không l
´
o
,
n ho
,
n 23.31=713. Suy ra tô
,
ng sô
´
tuô
,
i c
,
ua tâ
´
t c
,
a
m
.
oi ngu
,
`
o
,
i sô
´
ng trong t
.
âp thê
,
nh
,
o ho
,
n 3100+713=3813 d
˜
ân
¯
dê
´
n
vô l
´
y.
J
.
.
. 1.9. N˘am c
.
˘ap v
.
o
,
chô
`
ng tô
,
ch
´
u
,
c m
.
ôt buô
,
i g
.
˘ap m
.
˘at. Khi g
.
˘ap nhau h
.
o
b
´
˘at tay nhau, nhu
,
ng không ai t
.
u
,
b
´
˘at tay ngu
,
`
o
,
i trong gia
¯
d
`
ınh m
`
ınh
v
`
a ngu
,
`
o
,
i m
`
a chô
`
ng m
`
ınh (ho
.
˘ac v
.
o
,
m
`
ınh)
¯
d
˜
a b
´
˘at tay rô
`
i. C
˜
ung không
ai b
´
˘at tay c
`
ung m
.
ôt ngu
,
`
o
,
i hai lâ
`
n. Sau cu
.
ôc g
.
˘ap ch
´
uc m
`
u
,
ng ban
¯
dâ
`
u,
m
.
ôt ngu
,
`
o
,
i
¯
d
`
an ông tên l
`
a H
`
ung h
,
oi tâ
´
t c
,
a nh
˜
u
,
ng ngu
,
`
o
,
i c
´
o m
.
˘at, kê
,
c
,
a
10 Chu
,
o
,
ng 1. Nguyên l
´
y Ðirichlê v
`
a v
´
ı d
.
u
v
.
o
,
m
`
ınh, l
`
a h
.
o
¯
d
˜
a b
´
˘at tay
¯
du
,
.
o
,
c bao nhiêu lâ
`
n. H
.
o nh
.
ân thâ
´
y r
`
˘ang ch
´
ın
ngu
,
`
o
,
i
¯
du
,
.
o
,
c h
,
oi
¯
dê
`
u tr
,
a l
`
o
,
i c
´
ac con sô
´
kh
´
ac nhau. Nhu
,
v
.
ây v
.
o
,
c
,
ua H
`
ung
¯
d
˜
a b
´
˘at tay bao nhiêu lâ
`
n?
L
`
o
,
i gi
,
ai. M
˜
ôi m
.
ôt ngu
,
`
o
,
i kh
´
ach b
´
˘
at tay không qu
´
a 8 lâ
`
n. V
`
ı câu tr
,
a l
`
o
,
i
c
,
ua 9 ngu
,
`
o
,
i l
`
a c
´
ac sô
´
kh
´
ac nhau nên c
´
ac sô
´
¯
d
´
o ph
,
ai l
`
a 0,1,2,3,4,5,6,7
v
`
a 8. Ngu
,
`
o
,
i b
´
˘
at tay 8 lâ
`
n ph
,
ai l
`
a v
.
o
,
(ho
.
˘
ac chô
`
ng) c
,
ua ngu
,
`
o
,
i không
b
´
˘
at tay lâ
`
n n
`
ao (nê
´
u ngu
,
.
o
,
c l
.
ai th
`
ı ngu
,
`
o
,
i
¯
d
´
o không b
´
˘
at tay 8 lâ
`
n m
`
a
nhiê
`
u nhâ
´
t ch
,
ı l
`
a 7 lâ
`
n thôi). Tu
,
o
,
ng t
.
u
,
nhu
,
v
.
ây ngu
,
`
o
,
i b
´
˘
at tay 7 lâ
`
n
c
´
o ngu
,
`
o
,
i v
.
o
,
(ho
.
˘
ac chô
`
ng) b
´
˘
at tay m
.
ôt lâ
`
n, ngu
,
`
o
,
i b
´
˘
at tay 6 lâ
`
n c
´
o
ngu
,
`
o
,
i v
.
o
,
(ho
.
˘
ac chô
`
ng) b
´
˘
at tay 2 lâ
`
n, ngu
,
`
o
,
i b
´
˘
at tay 5 lâ
`
n c
´
o ngu
,
`
o
,
i v
.
o
,
(ho
.
˘
ac chô
`
ng) b
´
˘
at tay 3 lâ
`
n. Ch
,
ı c
`
on l
.
ai m
.
ôt ngu
,
`
o
,
i duy nhâ
´
t b
´
˘
at tay
4 lâ
`
n,
¯
d
´
o ch
´
ınh l
`
a ngu
,
`
o
,
i v
.
o
,
c
,
ua H
`
ung.
J
.
.
. 1.10. M
.
ôt câu chuy
.
ên cô
,
t
´
ıch kê
,
l
.
ai r
`
˘ang: M
.
ôt lâ
`
n vua H
`
ung vu
,
o
,
ng
18 c
´
o m
`
o
,
i c
´
ac quan trong triê
`
u h
.
op ngô
`
i quanh m
.
ôt c
´
ai b
`
an tr
`
on. Theo
l
.
ênh c
,
ua vua, m
.
ôt c
.
ân thâ
`
n
¯
d
˜
a viê
´
t tên c
,
ua m
˜
ôi quan trên b
`
an tru
,
´
o
,
c
chiê
´
c ghê
´
m
`
a ông ta ph
,
ai ngô
`
i. C
´
ac quan trong triê
`
u không
¯
du
,
.
o
,
c b
´
ao
tru
,
´
o
,
c nên h
.
o
¯
d
˜
a ngô
`
i không theo s
´
˘ap xê
´
p
¯
d
˜
a
¯
d
.
inh m
`
a chiê
´
m ch
˜
ô m
.
ôt
c
´
ach bâ
´
t k
`
y. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang ông c
.
ân thâ
`
n c
´
o thê
,
quay chiê
´
c b
`
an sao
cho
´
ıt nhâ
´
t c
´
o hai ông quan ngô
`
i
¯
d
´
ung v
.
i tr
´
ı tên c
,
ua m
`
ınh ?
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ð
.
˘
at sô
´
lu
,
.
o
,
ng c
´
ac quan l
`
a n. Khi
¯
d
´
o m
.
˘
at b
`
an c
´
o n tr
.
ang th
´
ai,
v
´
o
,
i c
´
ac tr
.
ang th
´
ai n
`
ay
¯
dô
´
i di
.
ên v
´
o
,
i c
´
ac quan l
`
a biê
,
n
¯
dê
`
tên n
`
ao
¯
d
´
o.
Ngo
`
ai ra v
´
o
,
i m
˜
ôi m
.
ôt ông quan ch
,
ı c
´
o m
.
ôt tr
.
ang th
´
ai, m
`
a khi ngô
`
i
¯
d
´
ung th
`
ı ông â
´
y
¯
dô
´
i di
.
ên v
´
o
,
i ch
´
ınh tên c
,
ua m
`
ınh trên biê
,
n
¯
dê
`
s
˜
˘
an.
Ngh
˜
ıa l
`
a, nê
´
u m
˜
ôi tr
.
ang th
´
ai c
,
ua b
`
an (v
`
ı b
`
an c
´
o thê
,
xoay
¯
du
,
.
o
,
c) ta
cho tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i m
.
ôt sô
´
b
`
˘
ang sô
´
lu
,
.
o
,
ng c
´
ac quan ngô
`
i
¯
d
´
ung v
.
i tr
´
ı
tên m
`
ınh, th
`
ı tô
,
ng c
,
ua tâ
´
t c
,
a nh
˜
u
,
ng sô
´
nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c (m
.
oi tr
.
ang th
´
ai
b
`
an) s
˜
e không nh
,
o ho
,
n n. Nhu
,
ng m
.
ôt tr
.
ang th
´
ai
¯
dâ
`
u tiên c
,
ua s
´
˘
ap
1.3. B
`
ai t
.
âp 11
xê
´
p b
`
an cho tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i 0 (không ai ngô
`
i
¯
d
´
ung ch
˜
ô ). Nê
´
u gi
,
a s
,
u
,
trong n −1 tr
.
ang th
´
ai m
.
˘
at b
`
an c
`
on l
.
ai tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i sô
´
nh
,
o ho
,
n 2
(t
´
u
,
c l
`
a ch
,
ı c
´
o sô
´
1 ho
.
˘
ac 0), th
`
ı tô
,
ng c
,
ua n sô
´
nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c s
˜
e nh
,
o ho
,
n
n,
¯
diê
`
u
¯
d
´
o không thê
,
¯
du
,
.
o
,
c. Suy ra t
`
u
,
n − 1 tr
.
ang th
´
ai m
.
˘
at b
`
an c
`
on
l
.
ai c
´
o
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt tr
.
ang th
´
ai m
`
a hai ngu
,
`
o
,
i s
˜
e
¯
dô
´
i di
.
ên v
´
o
,
i ch
´
ınh tên
c
,
ua m
`
ınh.
J
1.3. B
`
ai t
.
âp
.
.
. 1.11. Trong sân cung
¯
di
.
ên nh
`
a vua h
.
ôi h
.
op 2n(n ≥ 2) ông quan,
m
˜
ôi ông quan
¯
d
˜
a quen biê
´
t không
´
ıt ho
,
n n ông c
´
o m
.
˘
at t
.
ai
¯
d
´
o. Ch
´
u
,
ng
minh r
`
˘
ang ngu
,
`
o
,
i xê
´
p b
`
an tr
`
on c
´
o thê
,
xê
´
p
¯
du
,
.
o
,
c m
˜
ôi b
`
an 4 ngu
,
`
o
,
i sao
cho m
˜
ôi ngu
,
`
o
,
i
¯
d
´
u
,
ng gi
˜
u
,
a hai ngu
,
`
o
,
i quen c
,
ua m
`
ınh.
.
.
. 1.12. M
.
ôt khu r
`
u
,
ng thông c
´
o d
.
ang h
`
ınh vuông m
˜
ôi chiê
`
u 1km.
Trong r
`
u
,
ng c
´
o 4500 cây thông, cây to nhâ
´
t c
´
o
¯
du
,
`
o
,
ng k
´
ınh 0,5m.
Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang trong khu r
`
u
,
ng c
´
o
´
ıt nhâ
´
t 60 m
,
anh
¯
dâ
´
t, di
.
ên t
´
ıch
m
˜
ôi m
,
anh 200m
2
, không c
´
o m
.
ôt cây thông n
`
ao.
.
.
. 1.13. Trong m
.
ôt gi
´
a s
´
ach c
´
o 25 ng
˘
an. Ta thâ
´
y c
´
o m
.
ôt ng
˘
an ch
´
u
,
a
10 cuô
´
n, c
`
on c
´
ac ng
˘
an kh
´
ac ch
´
u
,
a sô
´
s
´
ach
´
ıt ho
,
n. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang
c
´
o
´
ıt nhâ
´
t ba ng
˘
an s
´
ach ch
´
u
,
a c
`
ung sô
´
s
´
ach nhu
,
nhau (kê
,
c
,
a nh
˜
u
,
ng
ng
˘
an không c
´
o s
´
ach).
.
.
. 1.14. T
.
ai m
.
ôt th
`
anh phô
´
biê
,
n xe ôtô
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
´
anh sô
´
b
`
˘
ang tô
,
h
.
o
,
p
ch
˜
u
,
c
´
ai rô
`
i
¯
dê
´
n d
˜
ay sô
´
. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang trên m
.
ôt
¯
do
.
an
¯
du
,
`
o
,
ng c
´
u
,
c
´
o 11 chiê
´
c ôtô
¯
di qua th
`
ı bao gi
`
o
,
c
˜
ung c
´
o hai chiê
´
c ôtô c
´
o c
`
ung ch
˜
u
,
sô
´
t
.
ân c
`
ung.
.
.
. 1.15. M
.
ôt chiê
´
c hô
`
l
´
o
,
n
¯
du
,
.
o
,
c b
.
oc b
,
o
,
i 4 tr
.
am chuyê
,
n tiê
´
p s
´
ong
thông tin. Gi
˜
u
,
a hai tr
.
am ngu
,
`
o
,
i ta xây d
.
u
,
ng c
´
ac trung tâm ph
´
at s
´
ong
v
`
a nh
.
ân s
´
ong,
¯
du
,
`
o
,
ng s
´
ong bao ph
,
u l
´
o
,
n nhâ
´
t l
`
a
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on c
´
o tâm
,
o
,
12 Chu
,
o
,
ng 1. Nguyên l
´
y Ðirichlê v
`
a v
´
ı d
.
u
trung tâm v
`
a
¯
di qua hai tr
.
am. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang v
´
o
,
i bô
´
n trung tâm
,
o
,
c
´
ac
¯
do
.
an gi
˜
u
,
a c
,
ua t
`
u
,
ng c
.
˘
ap tr
.
am th
`
ı to
`
an b
.
ô m
.
˘
at hô
`
s
˜
e
¯
du
,
.
o
,
c ph
,
u
s
´
ong thông tin.
CHU
,
O
,
NG 2
S
´
Ô H
.
OC
2.1. Ph
´
ep chia sô
´
t
.
u
,
nhiên
Trong c
´
ac ph
´
ep t
´
ınh trên sô
´
nguyên: c
.
ông, tr
`
u
,
, nhân, chia, th
`
ı
ph
´
ep chia l
`
a râ
´
t
¯
d
.
˘
ac bi
.
êt. Ph
´
ep chia c
´
o h
`
ang lo
.
at t
´
ınh châ
´
t m
`
a tâ
´
t c
,
a
c
´
ac ph
´
ep t
´
ınh c
`
on l
.
ai không c
´
o. V
´
ı d
.
u c
´
ac ph
´
ep to
´
an
¯
dê
`
u th
.
u
,
c hi
.
ên
v
´
o
,
i sô
´
0
¯
du
,
.
o
,
c, nhu
,
ng riêng ph
´
ep chia cho sô
´
0 th
`
ı không
¯
du
,
.
o
,
c. Ph
´
ep
chia không ch
,
ı
¯
d
.
˘
ac bi
.
êt v
´
o
,
i ph
´
ep chia cho 0. V
´
o
,
i c
´
ac ph
´
ep t
´
ınh c
.
ông,
tr
`
u
,
, nhân trên sô
´
nguyên cho ta sô
´
nguyên, nhu
,
ng v
´
o
,
i ph
´
ep chia th
`
ı
t
´
ınh châ
´
t
¯
d
´
o không c
`
on
¯
d
´
ung v
`
ı không ph
,
ai l
´
uc n
`
ao ta c
˜
ung nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c sô
´
nguyên sau ph
´
ep chia. Nh
`
o
,
nh
˜
u
,
ng d
.
i bi
.
êt c
,
ua ph
´
ep chia m
`
a
trong to
´
an h
.
oc xây d
.
u
,
ng h
,
˘
an m
.
ôt l
´
y thuyê
´
t vê
`
ph
´
ep chia nh
˜
u
,
ng sô
´
nguyên. Nh
˜
u
,
ng v
´
ı d
.
u v
`
a b
`
ai t
.
âp chu
,
o
,
ng n
`
ay c
´
o liên quan m
.
ât thiê
´
t
gi
˜
u
,
a ph
´
ep chia v
`
a nguyên l
´
y Ðirichlê, nên ch
´
ung ta nh
´
˘
ac l
.
ai
¯
d
.
inh
ngh
˜
ıa ph
´
ep chia:
Cho a v
`
a b l
`
a nh
˜
u
,
ng sô
´
nguyên, v
´
o
,
i b > 0. Ch
´
ung ta n
´
oi r
`
˘
ang a
chia hê
´
t cho b, k
´
y hi
.
êu l
`
a b|a, khi tô
`
n t
.
ai m
.
ôt sô
´
nguyên q sao cho
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c sau
¯
d
´
ung a = b q.
Ch
´
ung ta thu
,
`
o
,
ng g
.
oi sô
´
a l
`
a b
.
ôi c
,
ua b, ho
.
˘
ac b l
`
a u
,
´
o
,
c c
,
ua a. Sô
´
q
g
.
oi l
`
a thu
,
o
,
ng sô
´
c
,
ua ph
´
ep chia a cho b. Trong ph
´
at biê
,
u
¯
d
.
inh ngh
˜
ıa
trên, nê
´
u không tô
`
n t
.
ai m
.
ôt sô
´
q n
`
ao c
,
a, th
`
ı ch
´
ung ta n
´
oi r
`
˘
ang a
14 Chu
,
o
,
ng 2. Sô
´
h
.
oc
không chia hê
´
t cho b v
`
a k
´
y hi
.
êu l
`
a b 6 |a.
T
`
u
,
¯
d
.
inh ngh
˜
ıa ch
´
ung ta d
˜
ê d
`
ang ch
´
u
,
ng minh
¯
du
,
.
o
,
c c
´
ac t
´
ınh châ
´
t
sau
1) V
´
o
,
i m
.
oi sô
´
nguyên a > 0 ch
´
ung ta c
´
o a|a, Ph
´
ep chia hê
´
t c
´
o
t
´
ınh ph
,
an x
.
a.
2) Nê
´
u b|a v
`
a a|c th
`
ı b|c- ph
´
ep chia hê
´
t c
´
o t
´
ı nh b
´
˘
ac câ
`
u.
3) Nê
´
u b|a v
`
a b|c, th
`
ı b|(ac).
4) Nê
´
u a, b, m, n l
`
a nh
˜
u
,
ng sô
´
nguyên v
`
a nê
´
u c|a v
`
a c|b, th
`
ı
c|(ma + nb).
Ð
.
inh l
´
y sau
¯
dây gi
˜
u
,
vai tr
`
o quan tr
.
ong cho ph
´
ep chia m
.
ôt sô
´
nguyên cho m
.
ôt sô
´
nguyên.
V
´
o
,
i hai sô
´
nguyên bâ
´
t k
`
y a v
`
a b sao cho b > 0, tô
`
n t
.
ai duy
nhâ
´
t nh
˜
u
,
ng sô
´
nguyên q v
`
a r th
,
oa m
˜
an a = bq + r v
`
a 0 ≤ r < b.
C
`
on râ
´
t nhiê
`
u t
´
ınh châ
´
t kh
´
ac c
,
ua sô
´
nguyên c
˜
ung nhu
,
sô
´
th
.
u
,
c
nhu
,
ng ch
´
ung ta không
¯
di theo hu
,
´
o
,
ng n
`
ay, m
`
a ch
,
ı d
`
ung c
´
ac t
´
ınh châ
´
t
c
,
ua sô
´
h
.
oc v
`
a Nguyên l
´
y Ðirichlê
¯
dê
,
gi
,
ai c
´
ac b
`
ai to
´
an.
2.2. V
´
ıd
.
u
.
.
. 2.1. Cho k l
`
a m
.
ôt sô
´
t
.
u
,
nhiên, A l
`
a t
.
âp h
.
o
,
p gô
`
m k + 1 sô
´
t
.
u
,
nhiên.
Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang c
´
o
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt hi
.
êu hai phâ
`
n t
,
u
,
trong A chia hê
´
t
cho k.
L
`
o
,
i gi
,
ai. G
.
oi a
1
, a
2
, . . . , a
k+1
l
`
a c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua A, c
`
on b
1
, b
2
, . . . , b
k+1
l
`
a nh
˜
u
,
ng sô
´
du
,
c
,
ua ph
´
ep chia c
´
ac sô
´
trên cho k. Khi
¯
d
´
o a
1
=
kc
1
+ b
1
, a
2
= kc
2
+ b
2
, . . . , a
k+1
= kc
k+1
+ b
k+1
,v
´
o
,
i c
´
ac sô
´
nguyên
c
1
, c
2
, . . . , c
k+1
sao cho 0 ≤ b
1
≤ k − 1, 0 ≤ b
2
≤ k − 1, . . . , 0 ≤
b
k+1
≤ k −1. M
.
ôt phâ
`
n t
,
u
,
bâ
´
t k
`
y a
s
thu
.
ôc A cho tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i sô
´
2.2. V
´
ıd
.
u 15
du
,
b
s
c
,
ua n
´
o.G
.
oi t
.
âp h
.
o
,
p c
´
ac sô
´
du
,
l
`
a B. Nhu
,
v
.
ây, m
˜
ôi phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua A
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
.
˘
at tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i m
.
ôt phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua t
.
âp h
.
o
,
p B, gô
`
m tâ
´
t c
,
a c
´
ac
sô
´
nguyên t
`
u
,
0
¯
dê
´
n k − 1. Nhu
,
ng sô
´
lu
,
.
o
,
ng phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua A theo gi
,
a
thiê
´
t l
`
a k + 1, c
`
on B c
´
o sô
´
lu
,
.
o
,
ng k. Theo nguyên l
´
y Ðirichlê suy ra
tô
`
n t
.
ai hai phâ
`
n t
,
u
,
kh
´
ac nhau c
,
ua A c
´
o c
`
ung sô
´
du
,
. Ðiê
`
u
¯
d
´
o ngh
˜
ıa l
`
a,
tô
`
n t
.
ai hai ch
,
ı sô
´
kh
´
ac nhau s v
`
a t v
´
o
,
i a
s
= kc
s
+ b
s
v
`
a a
t
= kc
t
+ b
s
sau khi tr
`
u
,
¯
di cho nhau ta
¯
du
,
.
o
,
c a
t
− a
s
= k(c
t
−c
s
).
J
.
.
. 2.2. Cho A m
.
ôt t
.
âp h
.
o
,
p bâ
´
t k
`
y gô
`
m 101 sô
´
t
.
u
,
nhiên, m
˜
ôi sô
´
không
l
´
o
,
n ho
,
n 200. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang trong A c
´
o
´
ıt nhâ
´
t hai sô
´
m
`
a m
.
ôt sô
´
n
`
ay chia hê
´
t cho sô
´
kia.
L
`
o
,
i gi
,
ai. M
˜
ôi sô
´
a c
,
ua A c
´
o thê
,
biê
,
u di
˜
ên du
,
´
o
,
i d
.
ang a = 2
k
b v
´
o
,
i k l
`
a
sô
´
nguyên không âm, c
`
on b l
`
a m
.
ôt sô
´
l
,
e. V
´
o
,
i m
˜
ôi sô
´
a thu
.
ôc A cho
tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i sô
´
b trong s
.
u
,
biê
,
u di
˜
ên
,
o
,
trên. B
`
˘
ang c
´
ach n
`
ay, m
˜
ôi
phâ
`
n t
,
u
,
a c
,
ua A
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
.
˘
at tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i m
.
ôt phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua t
.
âp h
.
o
,
p B
gô
`
m c
´
ac sô
´
l
,
e gi
˜
u
,
a 1 v
`
a 200. Nhu
,
ng t
.
âp h
.
o
,
p B ch
,
ı c
´
o 100 phâ
`
n t
,
u
,
v
`
ı
v
.
ây sô
´
phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua A l
´
o
,
n ho
,
n sô
´
phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua B. Ta c
´
o thê
,
´
ap d
.
ung
nguyên l
´
y Ðirichlê, suy ra tô
`
n t
.
ai hai phâ
`
n t
,
u
,
kh
´
ac nhau a
1
v
`
a a
2
thu
.
ôc A m
`
a ch
´
ung tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i c
`
ung m
.
ôt sô
´
c
,
ua t
.
âp h
.
o
,
p B. Ngh
˜
ıa
l
`
a, a
1
= 2
k
1
b, a
2
= 2
k
2
b v
`
a nê
´
u k
1
< k
2
, th
`
ı sô
´
a
2
chia hê
´
t cho a
1
.
J
.
.
. 2.3. Cho M l
`
a t
.
âp h
.
o
,
p bâ
´
t k
`
y gô
`
m 75 sô
´
t
.
u
,
nhi
.
ên m
`
a m
˜
ôi sô
´
không
l
´
o
,
n ho
,
n 100. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang v
´
o
,
i m
˜
ôi sô
´
t
.
u
,
nhiên l nh
,
o ho
,
n ho
.
˘ac
b
`
˘ang 49 tô
`
n t
.
ai hai phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua M c
´
o hi
.
êu l
`
a l.
L
`
o
,
i gi
,
ai. G
.
oi c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua M l
`
a x
1
, x
2
, . . . , x
75
. K
´
y hi
.
êu A l
`
a t
.
âp
h
.
o
,
p c
´
ac sô
´
t
.
u
,
nhiên t
`
u
,
1
¯
dê
´
n 150. V
´
o
,
i m
˜
ôi sô
´
1, 2, 3 . . . , 75 cho tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i c
´
ac sô
´
x
1
, x
2
, . . . , x
75
, c
`
on c
´
ac sô
´
76, 77, 78, . . . 150 lâ
`
n lu
,
.
o
,
t
´
u
,
ng v
´
o
,
i x
1
+ l, x
2
+ l, . . . , x
75
+ l. V
`
ı x
m
≤ 100(m = 1, 2, . . . , 75) v
`
a
16 Chu
,
o
,
ng 2. Sô
´
h
.
oc
l ≤ 49 th
`
ı x
m
+ l < 150. Suy ra m
˜
ôi phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua A tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i
m
.
ôt phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua B gô
`
m nh
˜
u
,
ng sô
´
t
.
u
,
nhiên t
`
u
,
1
¯
dê
´
n 149. V
`
ı sô
´
phâ
`
n
t
,
u
,
c
,
ua A l
´
o
,
n ho
,
n sô
´
phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua B, theo nguyên l
´
y Ðirichlê tô
`
n t
.
ai
hai phâ
`
n t
,
u
,
kh
´
ac nhau c
,
ua A, m
`
a ch
´
ung tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i c
`
ung m
.
ôt
phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua B . Nhu
,
ng v
´
o
,
i c
´
ac gi
´
a tr
.
i kh
´
ac nhau c
,
ua m t
`
u
,
1
¯
dê
´
n 75
¯
du
,
.
o
,
c cho tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i c
´
ac gi
´
a tr
.
i kh
´
ac nhau c
,
ua x
1
¯
dê
´
n x
75
trong
B. Tu
,
o
,
ng t
.
u
,
c
´
ac gi
´
a tr
.
i c
,
ua m
,
o
,
kho
,
ang 76
¯
dê
´
n 150 tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i
c
´
ac gi
´
a tr
.
i kh
´
ac nhau trong kho
,
ang c
`
on l
.
ai. T
`
u
,
¯
d
´
o suy ra tô
`
n t
.
ai x
m
v
`
a x
n
m
`
a x
m
= x
n
+ l, ngh
˜
ıa l
`
a x
m
− x
n
= l.
J
.
.
. 2.4. Cho k ≥ 1 v
`
a n ≥ 1 l
`
a nh
˜
u
,
ng sô
´
t
.
u
,
nhiên v
`
a A l
`
a t
.
âp h
.
o
,
p gô
`
m
( k −1 )n + 1 sô
´
nguyên du
,
o
,
ng, m
˜
ôi sô
´
n
`
ay
¯
dê
`
u nh
,
o ho
,
n ho
.
˘ac b
`
˘ang kn.
Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
´
ıt nhâ
´
t c
´
o m
.
ôt phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua A c
´
o thê
,
biê
,
u di
˜
ên nhu
,
tô
,
ng c
,
ua k phâ
`
n t
,
u
,
trong A.
L
`
o
,
i gi
,
ai. V
´
o
,
i k = 1 b
`
ai to
´
an hiê
,
n nhiên l
`
a
¯
d
´
ung, ch
´
ung ta gi
,
a thiê
´
t
k ≥ 2. K
´
y hi
.
êu m l
`
a sô
´
nh
,
o nhâ
´
t thu
.
ôc A. D
˜
ê thâ
´
y r
`
˘
ang m ≤ n v
`
a
tô
`
n t
.
ai
¯
d
´
ung n − m sô
´
thu
.
ôc A m
`
a ch
´
ung l
´
o
,
n ho
,
n m nhu
,
ng không
vu
,
.
o
,
t qu
´
a kn.
Ðê
,
ch
´
u
,
ng minh b
`
ai to
´
an ch
´
ung ta t
`
ım hai sô
´
x v
`
a y thu
.
ôc A sao
cho x = y + (k − 1)m; ngh
˜
ıa l
`
a biê
,
u di
˜
ên m
.
ôt sô
´
n
`
ao
¯
d
´
o thu
.
ôc A
th
`
anh tô
,
ng k sô
´
h
.
ang thu
.
ôc A trong
¯
d
´
o c
´
o k −1 sô
´
h
.
ang b
`
˘
ang m. Ch
,
ı
câ
`
n t
`
ım sô
´
x thu
.
ôc A m
`
a x > (k −1)m v
`
a x − (k − 1)m thu
.
ôc A.
Th
.
ât v
.
ây, trong kho
,
ang ∆ = ((k − 1)m, kn] c
´
o kn − (k − 1)m =
k(n − m) + m sô
´
nguyên. V
`
ı k ≥ 2, nên (k −1)m ≥ m, theo nh
.
ân
x
´
et ban
¯
dâ
`
u suy ra c
´
o nhiê
`
u nhâ
´
t n − m sô
´
trong ∆ không thu
.
ôc A.
Ðiê
`
u n
`
ay ngh
˜
ıa l
`
a A ch
´
u
,
a
´
ıt nhâ
´
t s = k(n − m) + m − (n − m) =
( k − 1) (n − m) + m sô
´
. Nhu
,
ng s ≥ n, v
`
ı (k − 2)(n − m) ≥ 0. G
.
oi
a
1
, a
2
, . . . , a
s
thu
.
ôc A, v
´
o
,
i (k − 1)m < a
i
≤ kn, i = 1, 2, . . . , s. Khi
¯
d
´
o
2.2. V
´
ıd
.
u 17
nh
˜
u
,
ng hi
.
êu a
1
−(k −1)m, a
2
−(k −1)m, . . . , a
s
−(k −1)m l
`
a nh
˜
u
,
ng
sô
´
nguyên kh
´
ac nhau trong kho
,
ang [1, kn]. Nê
´
u m
.
ôt sô
´
n
`
ao
¯
d
´
o trong
ch
´
ung không thu
.
ôc A, th
`
ı theo nguyên l
´
y Ðirichlê ch
´
ung ta nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c s ≤ n −1, v
`
ı ngo
`
ai A c
´
o
¯
d
´
ung n −1 sô
´
trong kho
,
ang n
`
ay. Nhu
,
v
.
ây tr
´
ai v
´
o
,
i bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c
¯
d
˜
a ch
´
u
,
ng minh s ≥ n. Suy ra tô
`
n t
.
ai m
.
ôt
hi
.
êu a
i
−( k −1)m thu
.
ôc A.
J
.
.
. 2.5. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang t
`
u
,
n + 1 sô
´
du
,
o
,
ng kh
´
ac nhau nh
,
o ho
,
n 2n, c
´
o
thê
,
ch
.
on
¯
du
,
.
o
,
c ba sô
´
sao cho tô
,
ng hai sô
´
trong ch
´
ung b
`
˘ang sô
´
th
´
u
,
ba.
L
`
o
,
i gi
,
ai. K
´
y hi
.
êu 0 < a
1
< a
2
< . . . < a
n+1
l
`
a nh
˜
u
,
ng sô
´
¯
d
˜
a cho.
Ch
´
ung ta x
´
et c
´
ac hi
.
êu sô
´
a
2
− a
1
, a
3
− a
1
, . . . , a
n+1
− a
1
v
`
a c
´
ac sô
´
a
2
, a
3
. . . , a
n+1
. V
`
ı tâ
´
t c
,
a c
´
ac sô
´
n
`
ay
¯
dê
`
u nh
,
o ho
,
n 2n nên c
´
ac sô
´
trên
ch
,
ı n
`
˘
am trong kho
,
ang 1, 2, . . . , 2n −1. Nhu
,
v
.
ây ch
´
ung ta s
˜
e t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c
m
.
ôt sô
´
,
o
,
nh
´
om th
´
u
,
nhâ
´
t b
`
˘
ang m
.
ôt sô
´
,
o
,
nh
´
om th
´
u
,
hai: a
k
− a
1
= a
l
,
suy ra a
k
= a
1
+ a
l
.
J
.
.
. 2.6. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang v
´
o
,
i m
.
ôt sô
´
bâ
´
t k
`
y n tô
`
n t
.
ai m
.
ôt sô
´
c
´
o d
.
ang
111 . . . 000
| {z }
n ch
˜
u
,
sô
´
m
`
a chia hê
´
t cho n.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
ung ta x
´
et nh
˜
u
,
ng sô
´
1, 11, 111, . . . , 111 . . . 111
| {z }
n ch
˜
u
,
sô
´
v
`
a nh
˜
u
,
ng
sô
´
du
,
khi chia d
˜
ay sô
´
trên cho n. V
`
ı d
˜
ay sô
´
¯
d
˜
a cho gô
`
m n phâ
`
n
t
,
u
,
, nên nh
˜
u
,
ng sô
´
du
,
du
,
o
,
ng kh
´
ac nhau khi chia ch
´
ung cho n c
´
o sô
´
lu
,
.
o
,
ng n − 1. C
´
o thê
,
gi
,
a thiê
´
t không c
´
o m
.
ôt sô
´
n
`
ao trong d
˜
ay trên
chia hê
´
t cho n v
`
ı nê
´
u ngu
,
.
o
,
c l
.
ai th
`
ı b
`
ai to
´
an
¯
d
˜
a
¯
du
,
.
o
,
c gi
,
ai. Khi
¯
d
´
o
s
˜
e c
´
o hai sô
´
trong ch
´
ung, v
´
ı d
.
u 111 . . . 111
| {z }
k ch
˜
u
,
sô
´
v
`
a 111 . . . 111
| {z }
l ch
˜
u
,
sô
´
, l > k,
m
`
a khi chia ch
´
ung cho n s
˜
e cho c
`
ung m
.
ôt sô
´
du
,
. Do
¯
d
´
o l − k =
18 Chu
,
o
,
ng 2. Sô
´
h
.
oc
111 . . . 000
| {z }
(l-k ch
˜
u
,
sô
´
1, k ch
˜
u
,
sô
´
0)
s
˜
e chia hê
´
t cho n.
J
.
.
. 2.7. Cho p l
`
a sô
´
nguyên tô
´
l
´
o
,
n ho
,
n 5. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang tô
`
n t
.
ai m
.
ôt
sô
´
c
´
o d
.
ang 111 . . . 111 m
`
a chia hê
´
t cho p.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ta x
´
et d
˜
ay sô
´
1, 11, 111, . . . , 111 . . . 1
| {z }
(p ch
˜
u
,
sô
´
)
. Nê
´
u trong d
˜
ay trên
không c
´
o sô
´
n
`
ao chia hê
´
t cho p, th
`
ı ta cho tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng m
˜
ôi sô
´
v
´
o
,
i sô
´
du
,
c
,
ua ph
´
ep chia. T
.
âp h
.
o
,
p c
´
ac sô
´
du
,
ch
,
ı c
´
o 1, 2, . . . , p −1 gô
`
m p −1
phâ
`
n t
,
u
,
(v
`
ı 0 không thê
,
c
´
o trong t
.
âp n
`
ay). Nhu
,
ng v
`
ı ch
´
ung ta c
´
o p
sô
´
,
o
,
d
.
ang trên, nên theo nguyên l
´
y Ðirichlê tô
`
n t
.
ai hai sô
´
c
´
o c
`
ung
sô
´
du
,
. Gi
,
a s
,
u
,
c
´
ac sô
´
¯
d
´
o l
`
a 111 . . . 1
| {z }
(m ch
˜
u
,
sô
´
)
v
`
a 111 . . . 1
| {z }
( n ch
˜
u
,
sô
´
)
v
´
o
,
i m > n. Khi
¯
d
´
o 1 ≤ n < m ≤ p. V
.
ây
111 . . . 1
| {z }
(m ch
˜
u
,
sô
´
)
− 111 . . . 1
| {z }
(n ch
˜
u
,
sô
´
)
= 111 . . . 000
| {z }
(m-n ch
˜
u
,
sô
´
1, n ch
˜
u
,
sô
´
0)
= 111 . . . 1
| {z }
(m-n ch
˜
u
,
sô
´
)
.10
n
T
´
ıch n
`
ay chia hê
´
t cho p v
`
ı (p, 10) = 1, suy ra 111 . . . 1
| {z }
(m-n ch
˜
u
,
sô
´
1)
chia hê
´
t cho p v
`
a n
´
o c
˜
ung n
`
˘
am trong d
˜
ay
,
o
,
trên. M
`
a 1 ≤ m −n ≤ p
mâu thu
˜
ân v
´
o
,
i gi
,
a thiê
´
t không c
´
o sô
´
n
`
ao trong d
˜
ay chia hê
´
t cho p.
J
.
.
. 2.8. (Ðê
`
thi Olympic to
´
an thê
´
gi
´
o
,
i lâ
`
n th
´
u
,
14) Cho M l
`
a t
.
âp h
.
o
,
p bâ
´
t
k
`
y gô
`
m 10 sô
´
t
.
u
,
nhiên, m
˜
ôi sô
´
không l
´
o
,
n ho
,
n 100. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
tô
`
n t
.
ai hai t
.
âp h
.
o
,
p con c
,
ua M m
`
a tô
,
ng c
,
ua c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
trong ch
´
ung
b
`
˘ang nhau.
2.2. V
´
ıd
.
u 19
L
`
o
,
i gi
,
ai. C
´
o thê
,
ch
´
u
,
ng minh nê
´
u tô
`
n t
.
ai hai t
.
âp th
,
oa m
˜
an kê
´
t lu
.
ân
c
,
ua b
`
ai to
´
an, th
`
ı ta c
´
o thê
,
ch
.
on
¯
du
,
.
o
,
c hai t
.
âp con c
´
o c
`
ung t
´
ınh châ
´
t
â
´
y nhu
,
ng không giao nhau. Th
.
ât v
.
ây, Cho X, Y l
`
a hai t
.
âp con c
,
ua M
c
´
o tô
,
ng c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
b
`
˘
ang nhau. Ch
´
ung ta k
´
y hi
.
êu X
1
gô
`
m c
´
ac phâ
`
n
t
,
u
,
c
,
ua X m
`
a không thu
.
ôc Y. Tu
,
o
,
ng t
.
u
,
nhu
,
v
.
ây Y
1
gô
`
m c
´
ac phâ
`
n
t
,
u
,
c
,
ua Y m
`
a không thu
.
ôc X. R
˜
o r
`
ang X
1
v
`
a Y
1
c
´
o tô
,
ng c
´
ac phâ
`
n
t
,
u
,
b
`
˘
ang nhau m
`
a không giao nhau. G
.
oi A l
`
a t
.
âp h
.
o
,
p m
.
oi t
.
âp h
.
o
,
p
con không r
˜
ông c
,
ua M. Sô
´
lu
,
.
o
,
ng phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua A l
`
a 2
10
−1 = 1023.
Ch
´
ung ta x
´
et tô
,
ng S c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua m
.
ôt t
.
âp h
.
o
,
p con nhu
,
v
.
ây, r
˜
o
r
`
ang S ≤ 91 + 92 + ··· + 100 < 10.100 = 1000. Nhu
,
v
.
ây tô
`
n t
.
ai
không qu
´
a 1000 tô
,
ng kh
´
ac nhau. K
´
y hi
.
êu B l
`
a t
.
âp h
.
o
,
p tâ
´
t c
,
a c
´
ac
tô
,
ng nhu
,
v
.
ây. Do
¯
d
´
o sô
´
lu
,
.
o
,
ng phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua B nh
,
o
,
ho
,
n 1000 v
`
a nh
,
o
ho
,
n sô
´
lu
,
.
o
,
ng phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua A. Ð
.
˘
at tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng m
˜
ôi phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua t
.
âp h
.
o
,
p
A v
´
o
,
i tô
,
ng c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua n
´
o. Ta thâ
´
y r
`
˘
ang c
´
o thê
,
´
ap d
.
ung nguyên
l
´
y Ðirichlê
,
o
,
¯
dây. Suy ra tô
`
n t
.
ai
´
ıt nhâ
´
t hai t
.
âp h
.
o
,
p con kh
´
ac nhau c
´
o
c
`
ung m
.
ôt tô
,
ng c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
.
J
.
.
. 2.9. (Ðê
`
thi h
.
oc sinh gi
,
oi to
´
an Câ
´
p II to
`
an quô
´
c 1983) Ch
´
u
,
ng minh
r
`
˘ang trong c
´
ac sô
´
t
.
u
,
nhiên thê
´
n
`
ao c
˜
ung c
´
o sô
´
k sao cho 1983
k
−1 chia
hê
´
t cho 10
5
.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Cho k lâ
´
y gi
´
a tr
.
i t
`
u
,
1
¯
dê
´
n 10
5
+ 1 rô
`
i thay v
`
ao biê
,
u th
´
u
,
c
1983
k
− 1 s
˜
e nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c 10
5
+ 1 gi
´
a tr
.
i kh
´
ac nhau. Chia 10
5
+ 1 sô
´
v
`
u
,
a nh
.
ân
,
o
,
trên cho 10
5
, s
˜
e
¯
du
,
.
o
,
c nhiê
`
u nhâ
´
t l
`
a 10
5
sô
´
du
,
. Do
¯
d
´
o
theo nguyên l
´
y Ðirichlê ph
,
ai c
´
o
´
ıt nhâ
´
t hai sô
´
cho c
`
ung m
.
ôt sô
´
du
,
.
Gi
,
a s
,
u
,
¯
d
´
o l
`
a sô
´
1983
m
− 1 v
`
a 1983
n
− 1(m > n). Thê
´
th
`
ı ( 1983
m
−
1) − ( 1983
n
−1) chia hê
´
t cho 10
5
m
`
a (1983
m
−1) − (1983
n
−1) =
(1983
m
−1983
n
) = 1983
n
(1983
m−n
−1). Nhu
,
ng 1983 v
`
a 10
5
nguyên
tô
´
c
`
ung nhau, do v
.
ây ph
,
ai c
´
o (1983
m−n
− 1) chia hê
´
t cho 10
5
. Sô
´
k = m −n th
,
oa m
˜
an
¯
diê
`
u ki
.
ên
¯
dâ
`
u b
`
ai.
J
20 Chu
,
o
,
ng 2. Sô
´
h
.
oc
.
.
. 2.10. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang tô
`
n t
.
ai nh
˜
u
,
ng sô
´
nguyên a, b v
`
a c, không
¯
dô
`
ng th
`
o
,
i b
`
˘ang 0 v
`
a gi
´
a tr
.
i tuy
.
êt
¯
dô
´
i c
,
ua m
˜
ôi sô
´
không qu
´
a 1000000,
th
,
oa m
˜
an |a + b
√
2 + c
√
3| < 10
−11
.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ð
.
˘
at S l
`
a t
.
âp h
.
o
,
p c
,
ua 10
18
sô
´
th
.
u
,
c r + s
√
2 + t
√
3 v
´
o
,
i m
.
oi
r, s, t thu
.
ôc {0, 1, 2, . . . , 10
6
− 1} v
`
a
¯
d
.
˘
at d = (1 +
√
2 +
√
3d)10
6
.
Khi
¯
d
´
o m
˜
ôi x trong S
¯
dê
`
u n
`
˘
am trong kho
,
ang 0 ≤ x < d. Chia
¯
do
.
an n
`
ay th
`
anh 10
18
−1 phâ
`
n b
`
˘
ang nhau, m
˜
ôi
¯
do
.
an nh
,
o c
´
o
¯
d
.
ô d
`
ai
e =
d
10
18
−1
. Theo nguyên l
´
y Ðirichlê tô
`
n t
.
ai hai sô
´
trong 10
18
sô
´
c
,
ua S n
`
˘
am trong c
`
ung m
.
ôt
¯
do
.
an nh
,
o. Hi
.
êu c
,
ua hai sô
´
n
`
ay k
´
y hi
.
êu l
`
a
a + b
√
2 + c
√
3
¯
d
´
o ch
´
ınh l
`
a c
´
ac sô
´
a, b, c v
`
ı e <
10
7
10
18
= 10
−11
.
J
2.3. B
`
ai t
.
âp
.
.
. 2.11. Cho A l
`
a t
.
âp h
.
o
,
p bâ
´
t k
`
y gô
`
m 201 sô
´
t
.
u
,
nhiên, m
˜
ôi sô
´
không
vu
,
.
o
,
t qu
´
a 300. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang A ch
´
u
,
a
´
ıt nhâ
´
t hai sô
´
, m
`
a t
,
y sô
´
c
,
ua
ch
´
ung l
`
a l
˜
uy th
`
u
,
a b
.
âc ba.
.
.
. 2.12. Cho k l
`
a sô
´
t
.
u
,
nhiên bâ
´
t k
`
y, c
`
on a v
`
a b l
`
a nh
˜
u
,
ng sô
´
nguyên
sao cho a ≤ b v
`
a b −a < 2k −2. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang nê
´
u M l
`
a t
.
âp h
.
o
,
p
k sô
´
t
.
u
,
nhiên n
`
˘
am trong kho
,
ang [a, b], v
`
a l l
`
a sô
´
t
.
u
,
nhiên th
,
oa m
˜
an
1 ≤ l ≤ 2k + a − b − 2, th
`
ı c
´
o
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt hi
.
êu nh
˜
u
,
ng phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua
M tr
`
ung v
´
o
,
i l.
.
.
. 2.13. Cho d
˜
ây sô
´
a
1
, a
2
, a
3
, . . . , a
41
, m
`
a m
˜
ôi phâ
`
n t
,
u
,
ch
,
ı
¯
du
,
.
o
,
c t
.
ao
b
,
o
,
i sô
´
1 v
`
a, sô
´
2, trong
¯
d
´
o c
´
o
´
ıt nhâ
´
t 21 sô
´
ch
,
ı
¯
du
,
.
o
,
c t
.
ao b
,
o
,
i c
´
ac sô
´
1.
Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang tô
`
n t
.
ai m
.
ôt sô
´
phâ
`
n t
,
u
,
liên tiê
´
p c
,
ua d
˜
ay c
´
o tô
,
ng
b
`
˘
ang
¯
d
´
ung 20.
.
.
. 2.14. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang tô
`
n t
.
ai m
.
ôt sô
´
t
.
u
,
nhiên n, sao cho sô
´
2.3. B
`
ai t
.
âp 21
111 . . . 1
| {z }
(n ch
˜
u
,
sô
´
)
chia hê
´
t cho 139. (B
`
ai to
´
an c
`
on
¯
d
´
ung nê
´
u ta thay 139
b
`
˘
ang m
.
ôt sô
´
nguyên tô
´
c
`
ung nhau v
´
o
,
i 10).
.
.
. 2.15. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang trong m
.
oi sô
´
t
.
ao b
,
o
,
i 100 ch
˜
u
,
sô
´
N tô
`
n t
.
ai
m
.
ôt sô
´
chia hê
´
t cho 1967.
.
.
. 2.16. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang bao gi
`
o
,
c
˜
ung t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c sô
´
19971997. . . 19970. . . 0 chia hê
´
t cho 1998.
.
.
. 2.17. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang c
´
o m
.
ôt sô
´
t
.
u
,
nhiên chia hê
´
t cho 1997, m
`
a
bô
´
n ch
˜
u
,
sô
´
cuô
´
i c
`
ung c
,
ua n
´
o l
`
a 1998.
.
.
. 2.18. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang nê
´
u c
´
ac sô
´
nguyên m v
`
a n nguyên tô
´
c
`
ung
nhau th
`
ı t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c sô
´
t
.
u
,
nhiên k sao cho m
k
−1 chia hê
´
t cho n.
22 Chu
,
o
,
ng 2. Sô
´
h
.
oc
CHU
,
O
,
NG 3
D
˜
AY S
´
Ô
3.1. Nguyên l
´
y Ðirichlê cho d
˜
ay sô
´
vô h
.
an
Trong phâ
`
n n
`
ay ch
´
ung ta x
´
et nguyên l
´
y Ðirichlê du
,
´
o
,
i d
.
ang:
Nê
´
u c
´
o h
˜
u
,
u h
.
an nh
˜
u
,
ng ng
˘
an k
´
eo m
`
a ch
´
ung ta
¯
d
.
˘
at vô h
.
an
nh
˜
u
,
ng v
.
ât v
`
ao
¯
d
´
o, th
`
ı
´
ıt nhâ
´
t c
´
o m
.
ôt ng
˘
an k
´
eo ch
´
u
,
a vô h
.
an
nh
˜
u
,
ng v
.
ât
¯
d
˜
a c
´
o.
Ch
´
ung ta d
˜
ê c
´
o c
,
am tu
,
,
o
,
ng r
`
˘
ang nguyên l
´
y n
`
ay l
`
a hiê
,
n nhiên nên
´
ıt ch
´
u
´
y
¯
dê
´
n n
´
o. B
`
˘
ang ph
,
an ch
´
u
,
ng c
´
o thê
,
ch
´
u
,
ng minh nguyên l
´
y n
`
ay
l
`
a
¯
d
´
ung. Trong sô
´
h
.
oc, t
.
âp h
.
o
,
p c
´
o liên quan
¯
dê
´
n vô h
.
an phâ
`
n t
,
u
,
l
`
a
d
˜
ây sô
´
. Ch
´
ung ta biê
´
t râ
´
t nhiê
`
u d
˜
ay sô
´
¯
d
.
ep nhu
,
d
˜
ay câ
´
p sô
´
c
.
ông, d
˜
ay
câ
´
p sô
´
nhân, d
˜
ay c
´
ac sô
´
nguyên tô
´
, ho
.
˘
ac d
˜
ay Fibonaxi,. . . Chu
,
o
,
ng
n
`
ay ch
´
ung ta ch
,
ı quan tâm
¯
dê
´
n
´
ap d
.
ung
¯
diê
`
u ph
´
at biê
,
u trên
¯
dê
,
gi
,
ai
c
´
ac b
`
ai to
´
an liên quan
¯
dê
´
n d
˜
ây sô
´
. Nh
˜
u
,
ng t
.
âp vô h
.
an trong c
´
ac b
`
ai
to
´
an du
,
´
o
,
i
¯
dây ta x
´
et nhu
,
c
´
ac d
˜
ay sô
´
.
3.2. V
´
ı d
.
u
.
.
. 3.1. X
´
et d
˜
ay sô
´
6, 6
2
, 6
3
, 6
4
, 6
5
, . . . , 6
n
, . . . v
`
a viê
´
t 4 ch
˜
u
,
sô
´
cuô
´
i c
`
ung
c
,
ua c
´
ac sô
´
n
`
ay 0006, 0036, 0216, 1296, 7776, . . .. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang b
´
˘at
¯
dâ
`
u t
`
u
,
m
.
ôt sô
´
n
0
n
`
ao
¯
d
´
o d
˜
ây v
`
u
,
a l
.
âp l
`
a d
˜
ây tuâ
`
n ho
`
an.
L
`
o
,
i gi
,
ai. V
`
ı tô
`
n t
.
ai h
˜
u
,
u h
.
an sô
´
lu
,
.
o
,
ng (10
4
) c
´
ach ch
.
on kh
´
ac nhau
24 Chu
,
o
,
ng 3. D
˜
ay sô
´
c
´
ac sô
´
c
´
o 4 ch
˜
u
,
sô
´
, nên trong d
˜
ay
¯
d
˜
a cho ch
´
˘
ac ch
´
˘
an t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c hai
c
´
ach ch
.
on c
´
o c
`
ung 4 ch
˜
u
,
sô
´
cuô
´
i. C
´
o ngh
˜
ıa l
`
a t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c hai sô
´
n
0
v
`
a n
0
+ t m
`
a v
´
o
,
i ch
´
ung th
`
ı 6
n
0
v
`
a 6
n
0
+t+1
c
´
o c
`
ung 4 ch
˜
u
,
sô
´
cuô
´
i
(6
n
0
+t+1
− 6
n
0
= 10
4
.6k). N
´
oi chung, ch
˜
u
,
sô
´
6
n
v
`
a 6
n+t
v
´
o
,
i bâ
´
t k
`
y
n > n
0
s
˜
e c
´
o c
`
ung 4 ch
˜
u
,
sô
´
cuô
´
i ( 6
n+t
−6
n
= 10
4
.6
n−n
0
).
J
.
.
. 3.2. (Ðê
`
thi To
´
an Olympic quô
´
c tê
´
lâ
`
n 17 n˘am 1975) Cho
a
1
, a
2
, . . . , a
n
, . . . l
`
a d
˜
ay t˘ang ng
.
˘at c
´
ac sô
´
t
.
u
,
nhiên. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
vô h
.
an c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
a
n
c
,
ua d
˜
ây trên c
´
o thê
,
biê
,
u di
˜
ên du
,
´
o
,
i d
.
ang
a
n
= xa
p
+ ya
q
,
,
o
,
¯
dây x v
`
a y l
`
a nh
˜
u
,
ng sô
´
nguyên du
,
o
,
ng v
`
a p 6= q.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Nê
´
u a
1
= 1 kê
´
t lu
.
ân c
,
ua b
`
ai to
´
an l
`
a hiê
,
n nhiên. Th
.
ât v
.
ây,
v
´
o
,
i m
.
oi n ≥ 3 sô
´
h
.
ang a
n
c
´
o biê
,
u di
˜
ên d
.
ang a
n
= a
n−1
+ (a
n
+
a
n−1
) = 1.a
n−1
+ (a
n
− a
n−1
).a
1
c
´
o t
´
ınh châ
´
t mong muô
´
n. Ch
´
ung ta
s
˜
e ch
´
u
,
ng minh tô
`
n t
.
ai ch
,
ı sô
´
p l
´
o
,
n ho
,
n 1 sao cho vô h
.
an c
´
ac sô
´
h
.
ang
c
,
ua d
˜
ay
¯
d
˜
a cho c
´
o thê
,
viê
´
t du
,
´
o
,
i d
.
ang xa
p
+ ya
1
v
´
o
,
i c
´
ac sô
´
nguyên
du
,
o
,
ng th
´
ıch h
.
o
,
p x v
`
a y. M
˜
ôi sô
´
h
.
ang c
,
ua d
˜
ay ta
¯
d
.
˘
at tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i
sô
´
du
,
c
,
ua n
´
o khi chia ch
´
ınh n
´
o cho a
1
. T
.
âp h
.
o
,
p tâ
´
t c
,
a c
´
ac sô
´
h
.
ang
c
,
ua d
˜
ay l
`
a vô h
.
an, c
`
on tâ
´
t c
,
a c
´
ac kh
,
a n
˘
ang c
,
ua sô
´
du
,
khi chia c
´
ac sô
´
h
.
ang cho a
1
l
`
a h
˜
u
,
u h
.
an. Ðiê
`
u
¯
d
´
o ch
´
u
,
ng t
,
o r
`
˘
ang vô h
.
an phâ
`
n t
,
u
,
a
n
1
, a
n
2
, . . . , a
n
k
, . . . , v
´
o
,
i n
1
< n
2
< . . . < n
k
< . . .
cho c
`
ung m
.
ôt sô
´
du
,
r khi chia cho a
1
. Không mâ
´
t t
´
ınh tô
,
ng qu
´
at
ta gi
,
a thiê
´
t n
1
> 1, v
`
ı trong tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p ngu
,
.
o
,
c l
.
ai ta x
´
et c
´
ac sô
´
a
n
2
, a
n
3
, . . . , a
n
k
, . . . c
˜
ung l
`
a d
˜
ay vô h
.
an v
`
a cho c
`
ung sô
´
du
,
r khi chia
cho a
1
. V
´
o
,
i m
.
oi k = 1, 2, . . . tô
`
n t
.
ai sô
´
nguyên du
,
o
,
ng x
k
sao cho a
n
k
=
x
k
a
1
+ r. Khi
¯
d
´
o a
n
k
− a
n
1
= (x
k
a
1
+ r) − (x
1
a
1
+ r) = (x
k
− x
1
)a
1
suy ra v
´
o
,
i m
.
oi k ≥ 2 ta c
´
o
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c a
n
k
= a
n
1
+ (x
k
− x
1
)a
1
=
1.a
n
1
+ (x
k
− x
1
)a
1
. Ngh
˜
ıa l
`
a, nh
˜
u
,
ng sô
´
a
n
2
, a
n
3
, . . . , a
n
k
, . . . ., c
´
o biê
,
u
di
˜
ên v
`
a c
´
ac t
´
ınh châ
´
t nhu
,
b
`
ai to
´
an
¯
d
`
oi h
,
oi. Th
.
ât v
.
ây, ch
,
ı sô
´
1 v
`
a n
1
3.2. V
´
ı d
.
u 25
kh
´
ac nhau v
`
ı theo c
´
ach ch
.
on trên n
1
th
.
u
,
c s
.
u
,
l
´
o
,
n ho
,
n 1. Ch
,
ı c
`
on ph
,
ai
kh
,
˘
ang
¯
d
.
inh r
`
˘
ang sô
´
x
k
− x
1
l
`
a sô
´
nguyên du
,
o
,
ng v
´
o
,
i k ≥ 2,
¯
diê
`
u
¯
d
´
o
¯
d
´
ung v
`
ı t
`
u
,
n
1
< n
k
suy ra x
1
< x
k
.
J
.
.
. 3.3. Cho sô
´
t
.
u
,
nhiên bâ
´
t k
`
y k. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang tô
`
n t
.
ai sô
´
nguyên tô
´
p v
`
a m
.
ôt d
˜
ay sô
´
t
.
u
,
nhiên t˘ang ng
.
˘at a
1
, a
2
, . . . , a
n
, . . . sao cho tâ
´
t c
,
a c
´
ac
phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua d
˜
ay p + ka
1
, p + ka
2
, . . . , p + ka
n
, . . . l
`
a nh
˜
u
,
ng sô
´
nguyên
tô
´
.
L
`
o
,
i gi
,
ai. K
´
y hi
.
êu P l
`
a t
.
âp h
.
o
,
p tâ
´
t c
,
a c
´
ac sô
´
nguyên tô
´
. V
´
o
,
i m
.
oi
i = 0, 1, . . . , k − 1 k
´
y hi
.
êu P
i
l
`
a t
.
âp h
.
o
,
p c
´
ac sô
´
nguyên tô
´
m
`
a khi
chia cho k c
´
o sô
´
du
,
i. D
˜
ê thâ
´
y r
`
˘
ang m
.
oi sô
´
nguyên tô
´
n
`
˘
am trong m
.
ôt
trong c
´
ac t
.
âp h
.
o
,
p P
0
, P
1
, P
2
, . . . , P
k−1
. B
,
o
,
i v
`
ı sô
´
nguyên tô
´
l
`
a vô h
.
an,
v
.
ây
´
ıt nhâ
´
t ph
,
ai c
´
o m
.
ôt trong sô
´
c
´
ac t
.
âp h
.
o
,
p P
0
, P
1
, P
2
, . . . , P
k−1
ch
´
u
,
a
vô h
.
an sô
´
nguyên tô
´
. Gi
,
a s
,
u
,
P
i
ch
´
u
,
a vô h
.
an sô
´
v
`
a k
´
y hi
.
êu p l
`
a phâ
`
n
t
,
u
,
nh
,
o nhâ
´
t c
,
ua n
´
o. Khi
¯
d
´
o m
.
oi sô
´
x thu
.
ôc P
i
c
´
o d
.
ang x = p + ka v
´
o
,
i
m
.
ôt sô
´
t
.
u
,
nhiên a. Lâ
´
y x
1
, x
2
, x
3
, . . . l
`
a c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua P
i
xê
´
p theo
th
´
u
,
t
.
u
,
l
´
o
,
n dâ
`
n. V
´
o
,
i m
.
oi sô
´
t
.
u
,
nhiên n
¯
d
.
˘
at a
n
=
x
n
− p
k
. D
˜
ê thâ
´
y r
`
˘
ang
sô
´
nguyên tô
´
p v
`
a d
˜
ay a
1
, a
2
, . . . , a
n
, . . . c
´
o t
´
ınh châ
´
t mong muô
´
n.
J
.
.
. 3.4. Cho f l
`
a
¯
da th
´
u
,
c k
¯
dô
´
i sô
´
v
´
o
,
i h
.
ê sô
´
nguyên v
`
a a
1
, a
2
, . . . , a
n
, . . . l
`
a
d
˜
ay nh
˜
u
,
ng sô
´
nguyên th
,
oa m
˜
an h
.
ê th
´
u
,
c a
n+1
= f (a
,
a
2
, . . . , a
n−k+1
),
v
´
o
,
i m
.
oi sô
´
nguyên n, k m
`
a n ≥ k. Ch
´
ung ta x
´
et sô
´
du
,
o
,
ng bâ
´
t k
`
y m
v
`
a v
´
o
,
i m
.
oi n = 1, 2, . . .. K
´
y hi
.
êu
a
n
l
`
a sô
´
du
,
không âm nh
,
o nhâ
´
t c
,
ua
a
n
theo mô
¯
dun m. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang d
˜
ay a
1
, a
2
, a
3
, . . . , a
n
, . . . . l
`
a d
˜
ay
tuâ
`
n ho
`
an.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
ung ta s
˜
e s
,
u
,
d
.
ung kh
,
˘
ang
¯
d
.
inh sau: Nê
´
u g l
`
a
¯
da th
´
u
,
c
k
¯
dô
´
i sô
´
v
´
o
,
i h
.
ê sô
´
nguyên v
`
a x
1
, x
2
, . . . , x
k
, y
1
, y
2
, . . . , y
k
l
`
a c
´
ac sô
´
nguyên sao cho x
1
≡ y
1
(mod m), x
2
≡ y
2
(mod m), . . . , x
k
≡ y
k
(mod m), th
`
ı g(x
1
, x
2
, . . . , x
k
) ≡ g(y
1
, y
2
, . . . , y
k
) (mod m) .
26 Chu
,
o
,
ng 3. D
˜
ay sô
´
M
.
oi sô
´
h
.
ang c
,
ua d
˜
ay b
`
˘
ang m
.
ôt trong c
´
ac sô
´
a
1
, a
1
, a
3
, . . . , a
n
, . . .
0, 1, . . . , m −1. Ch
´
ung ta x
´
et c
´
ac b
.
ô s
´
˘
ap th
´
u
,
t
.
u
,
gô
`
m k phâ
`
n t
,
u
,
(a
1
, a
2
, . . . , a
k
), (a
2
, a
3
, . . . , a
k+1
), . . . , (a
n
, a
n+1
. . . , a
n+k−1
)..
C
´
o tâ
´
t c
,
a vô h
.
an b
.
ô s
´
˘
ap nhu
,
v
.
ây, nhu
,
ng sô
´
lu
,
.
o
,
ng c
´
ac b
.
ô k sô
´
( α
1
, α
2
, α
3
, . . . , α
k
), v
´
o
,
i 0 ≤ α
i
≤ m − 1, i = 1, 2 . . . , k l
`
a h
˜
u
,
u h
.
an
(b
`
˘
ang m
k
theo l
´
y thuyê
´
t tô
,
h
.
o
,
p). Theo nguyên l
´
y Ðirichlê tô
`
n t
.
ai hai
ch
,
ı sô
´
i v
`
a j, i < j sao cho
a
i
= a
j
, a
i +1
= a
j+1
, . . . , a
i +k−1
= a
j+k−1
ho
.
˘
ac l
`
a
x
1
≡ y
1
(mod m), x
2
≡ y
2
(mod m) , . . . , x
k
≡ y
k
(mod m).
T
`
u
,
¯
dây suy ra d
˜
ay a
1
, a
2
, a
3
, . . . , a
n
. . . l
`
a tuâ
`
n ho
`
an (chu k
`
y c
,
ua n
´
o
l
`
a u
,
´
o
,
c sô
´
c
,
ua j − i). Th
.
ât v
.
ây, v
`
ı f l
`
a
¯
da th
´
u
,
c v
´
o
,
i h
.
ê sô
´
nguyên nên
theo c
´
ach ch
´
u
,
ng minh trên ch
´
ung ta c
´
o
f (a
i +k−1
, a
i +k−2
, . . . , a
i
) ≡ f (a
j+k−1
, a
j+k−2
, . . . , a
j
) (mod m)
=⇒ a
i +k
≡ a
j+k
(mod m) ho
.
˘
ac l
`
a
a
i +k
≡ a
j+k
. Biê
´
n
¯
dô
,
i m
.
ôt ch
´
ut d
˜
ê
thâ
´
y r
`
˘
ang v
´
o
,
i m
.
oi n ≥ i ta c
´
o
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c sau a
n+(i−j)
≡ a
n
.
J
.
.
. 3.5. Cho d
˜
ay x
1
, x
2
, . . . , x
n
, . . . .
¯
du
,
.
o
,
c x
´
ac
¯
d
.
inh theo công th
´
u
,
c sau
x
1
= 1, x
2
= 0, x
3
= 2, x
n+1
= 2x
n−1
+ x
n−2
, n ≥ 3.
Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang v
´
o
,
i m
.
oi sô
´
t
.
u
,
nhiên m tô
`
n t
.
ai hai phâ
`
n t
,
u
,
liên tiê
´
p
c
,
ua d
˜
ay m
`
a ch
´
ung
¯
dê
`
u chia hê
´
t cho m.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Công th
´
u
,
c hô
`
i quy trên c
´
o thê
,
viê
´
t l
.
ai
x
n−2
= x
n+1
−2x
n−1
(3.1)
T
`
u
,
¯
d
´
o ch
,
ı ra r
`
˘
ang d
˜
ay c
´
o kh
,
a n
˘
ang ph
´
at triê
,
n vê
`
ph
´
ıa tr
´
ai, t
´
u
,
c
l
`
a x
´
ac
¯
d
.
inh x
n
v
´
o
,
i n ≤ 0. V
´
ı d
.
u v
´
o
,
i n = 2, 1, 0 ch
´
ung ta nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c x
0
= 0, x
−1
= 0, x
−2
= 1. Nhu
,
m
.
uc 3.4 ch
,
ı ra r
`
˘
ang d
˜
ay
3.2. V
´
ı d
.
u 27
x
1
, x
2
, . . . , x
n
, . . . gô
`
m nh
˜
u
,
ng sô
´
du
,
tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng x
1
, x
2
, . . . , x
n
, . . . theo
môdd un m, l
`
a d
˜
ay tuâ
`
n ho
`
an. T
`
u
,
công th
´
u
,
c (3.1) suy ra m
˜
ôi
phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua d
˜
ay {x
n
} v
`
a suy ra c
,
a {
x
n
} x
´
ac
¯
d
.
inh duy nhâ
´
t t
`
u
,
3
phâ
`
n t
,
u
,
tru
,
´
o
,
c n
´
o. Khi
¯
d
´
o nê
´
u ( r
1
, r
2
, . . . , r
k
) l
`
a phâ
`
n chu k
`
y c
,
ua d
˜
ay
x
1
, x
2
, . . . , x
n
, . . . th
`
ı phâ
`
n n
`
ay s
˜
e chuyê
,
n
¯
d
.
ông tuâ
`
n ho
`
an vê
`
ph
´
ıa tr
´
ai
c
,
ua d
˜
ay . . . , x
−3
, x
−2
, x
−1
, x
0
, x
1
, x
2
, . . . v
`
a s
˜
e c
´
o d
.
ang
. . . , r
1
, r
2
, . . . , r
k
, r
1
, r
2
, . . . , r
k
, r
1
, r
2
, . . . , r
k
. . . (3.2)
Bây gi
`
o
,
ta ch
´
u
´
y r
`
˘
ang x
−1
= x
0
= 0, suy ra x
−1
= x
0
= 0. T
`
u
,
(3.2)
suy ra r
`
˘
ang d
˜
ay c
´
ac sô
´
du
,
theo môdd un m ch
´
u
,
a vô sô
´
c
.
˘
ap phâ
`
n t
,
u
,
liên tiê
´
p b
`
˘
ang không. N
´
oi c
´
ach kh
´
ac tô
`
n t
.
ai vô sô
´
c
´
ac c
.
˘
ap sô
´
liên tiê
´
p
c
,
ua d
˜
ay x
1
, x
2
, . . . , x
n
, . . . m
`
a m
˜
ôi phâ
`
n t
,
u
,
trong c
.
˘
ap
¯
dê
`
u chia hê
´
t cho
m.
J
.
.
. 3.6. D
˜
ay sô
´
Fibonaxi
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
.
inh ngh
˜
ıa b
`
˘ang c
´
ac
¯
d
,
˘ang th
´
u
,
c F
1
=
F
2
= 1, F
n+2
= F
n+1
+ F
n
, n ≥ 1. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt trong
1.000.000.000 phâ
`
n t
,
u
,
¯
dâ
`
u tiên c
,
ua d
˜
ay chia hê
´
t cho 10.000.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Tu
,
o
,
ng t
.
u
,
nhu
,
3.5 ch
´
ung ta x
´
et c
´
ac sô
´
du
,
c
,
ua c
´
ac sô
´
trong d
˜
ay
¯
d
˜
a cho khi chia cho 10.000. K
´
y hi
.
êu sô
´
du
,
¯
d
´
u
,
ng
,
o
,
v
.
i
tr
´
ı th
´
u
,
k khi chia cho 10 000 l
`
a r
k
. Khi
¯
d
´
o th
`
ı r
1
= 1, r
2
=
1, r
3
= 2, r
4
= 3, . . . . . . .r
k
= r
k−1
+ r
k−2
. R
˜
o r
`
ang c
´
o 10.000 sô
´
du
,
kh
´
ac nhau do
¯
d
´
o c
´
o 10000
2
= 100000000 (tr
˘
am tri
.
êu) c
.
˘
ap sô
´
du
,
kh
´
ac nhau. X
´
et 100000001 c
.
˘
ap sô
´
du
,
(r
1
, r
2
), (r
2
, r
3
), (r
3
, r
4
) . . .
. . . (r
100000001
, r
100000002
). Theo nguyên l
´
y Ðirichlê trong sô
´
n
`
ay c
´
o
´
ıt
nhâ
´
t 2 c
.
˘
ap sô
´
tr
`
ung nhau, t
´
u
,
c l
`
a t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c hai sô
´
n v
`
a p v
´
o
,
i n, p
¯
dê
`
u nh
,
o ho
,
n 100000002,n nh
,
o ho
,
n p sao cho r
n
= r
p
, r
n+1
= r
p+1
.
Nhu
,
ng nê
´
u biê
´
t sô
´
du
,
c
,
ua tô
,
ng hai sô
´
v
`
a sô
´
du
,
c
,
ua m
.
ôt sô
´
th
`
ı sô
´
du
,
kia c
˜
ung t
´
ınh
¯
du
,
.
o
,
c. V
`
ı v
.
ây ta c
´
o r
n−1
= r
p−1
, r
n−2
= r
p−2
, . . . .
cho
¯
dê
´
n khi r
2
= 1 = r
p−n+2
, r
1
= 1 = r
p−n+1
, Áp d
.
ung công th
´
u
,
c
28 Chu
,
o
,
ng 3. D
˜
ay sô
´
sô
´
du
,
hô
`
i qui
,
o
,
trên ta c
´
o r
p−n
= 0 v
´
o
,
i p − n ≤ 100000001 − 1 =
100000000. Ngh
˜
ıa l
`
a sô
´
¯
d
´
u
,
ng
,
o
,
v
.
i tr
´
ı p −n s
˜
e th
,
oa m
˜
an
¯
diê
`
u ki
.
ên b
`
ai
ra, chia hê
´
t cho 10 000.
J
.
.
. 3.7. (Ð
.
inh l
´
y Fecma) Nê
´
u m
.
ôt sô
´
nguyên tô
´
p không chia hê
´
t sô
´
nguyên a, th
`
ı
¯
d
,
˘ang th
´
u
,
c sau
¯
d
´
ung a
p−1
≡ 1( mod p).
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
ung ta ch
´
u
,
ng minh m
.
ênh
¯
dê
`
tô
,
ng qu
´
at ho
,
n. Cho m > 1
l
`
a sô
´
t
.
u
,
nhiên bâ
´
t k
`
y v
`
a a l
`
a sô
´
nguyên tô
´
c
`
ung nhau v
´
o
,
i m. Ch
´
ung
ta x
´
et d
˜
ay nh
˜
u
,
ng l
˜
uy th
`
u
,
a liên tiê
´
p c
,
ua a
a
1
, a
2
, a
3
, . . . (3.3)
v
`
a k
´
y hi
.
êu
r
1
, r
2
, r
3
, . . . (3.4)
l
`
a nh
˜
u
,
ng sô
´
du
,
tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng c
,
ua (3.3) khi chia cho m, ngh
˜
ıa l
`
a
a
k
≡ r
k
(mod m), 1 ≤ r
k
≤ m −1.
Khi
¯
d
´
o sô
´
lu
,
.
o
,
ng c
´
ac sô
´
trong (3.3) l
`
a vô h
.
an, c
`
on nh
˜
u
,
ng sô
´
,
o
,
(3.4)
ch
,
ı c
´
o thê
,
nh
.
ân nh
˜
u
,
ng gi
´
a tr
.
i trong 1, 2, 3, . . . , m −1 nên sô
´
lu
,
.
o
,
ng l
`
a
h
˜
u
,
u h
.
an. Suy ra theo nguyên l
´
y Ðirichlê, gi
˜
u
,
a nh
˜
u
,
ng sô
´
du
,
r
k
s
˜
e c
´
o
´
ıt nhâ
´
t hai sô
´
tr
`
ung nhau; n
´
oi c
´
ach kh
´
ac tô
`
n t
.
ai hai ch
,
ı sô
´
i v
`
a j v
´
o
,
i
i 6= j sao cho r
i
= r
j
. Khi
¯
d
´
o ch
´
ung ta c
´
o a
i
≡ a
j
( mod m). Theo gi
,
a
thiê
´
t (a, m) = 1, v
´
o
,
i i 6= j ch
´
ung ta nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c a
i −j
≡ 1( mod m).
Ch
´
ung ta c
´
o kê
´
t lu
.
ân tô
`
n t
.
ai sô
´
t
.
u
,
nhiên l sao cho
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c sau
¯
dây
¯
d
´
ung:
a
l
≡ 1 (mod m) (3.5)
- Sô
´
l trong (3.5) không x
´
ac
¯
d
.
inh duy nhâ
´
t, th
.
âm ch
´
ı c
`
on tô
`
n t
.
ai
vô sô
´
sô
´
t
.
u
,
nhiên l th
,
oa m
˜
an (3.5).
- Trong tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p m = p l
`
a sô
´
nguyên tô
´
, Fecma t
`
ım ra l c
´
o thê
,
ch
.
on l
`
a sô
´
p −1.
3.2. V
´
ı d
.
u 29
-Tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p m bâ
´
t k
`
y th
`
ı O
,
le ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang l c
´
o thê
,
ch
.
on l
`
a
h
`
am ch
,
ı sô
´
c
,
ua m (ch
´
ung ta không xem x
´
et vâ
´
n
¯
dê
`
n
`
ay
,
o
,
¯
dây,
¯
d
.
ôc
gi
,
a c
´
o thê
,
t
`
ım trong bâ
´
t c
´
u
,
cuô
´
n s
´
ach sô
´
h
.
oc n
`
ao).
J
.
.
. 3.8. Cho x
1
, x
2
, x
3
, . . . l
`
a d
˜
ây vô h
.
an c
´
ac sô
´
nguyên v
`
a k l
`
a m
.
ôt sô
´
t
.
u
,
nhiên bâ
´
t k
`
y. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang tô
`
n t
.
ai d
˜
ây sô
´
gô
`
m nh
˜
u
,
ng phâ
`
n t
,
u
,
liên tiê
´
p c
,
ua d
˜
ây, m
`
a tô
,
ng c
,
ua ch
´
ung chia hê
´
t cho k.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
ung ta c
´
o thê
,
gi
´
o
,
i h
.
an l
.
ai, gi
˜
u
,
a m
.
oi b
.
ô k phâ
`
n t
,
u
,
liên
tiê
´
p c
,
ua d
˜
ây c
´
o thê
,
ch
.
on
¯
du
,
.
o
,
c m
.
ôt sô
´
phâ
`
n t
,
u
,
c
´
o t
´
ınh châ
´
t mong
muô
´
n. Ðê
,
¯
do
,
n gi
,
an ta xem x
´
et k phâ
`
n t
,
u
,
¯
dâ
`
u tiên x
1
, x
2
, x
3
, . . . , x
k
.
Ch
´
ung ta x
´
et tô
,
ng
S
1
= x
1
, S
2
= x
1
+ x
2
, S
3
= x
1
+ x
2
+ x
3
, . . . , S
k
= x
1
+ x
2
+ ···+ x
k
Nê
´
u m
.
ôt tô
,
ng n
`
ao
¯
d
´
o trong sô
´
trên chia hê
´
t cho k, th
`
ı b
`
ai to
´
an
¯
du
,
.
o
,
c
gi
,
ai. Ngu
,
.
o
,
c l
.
ai, c
´
ac sô
´
S
1
, S
2
, . . . , S
k
(c
´
o sô
´
lu
,
.
o
,
ng k) khi chia cho k
¯
du
,
.
o
,
c c
´
ac sô
´
du
,
1, 2, 3, . . . , k −1. T
`
u
,
nguyên l
´
y Ðirichlê suy ra c
´
o m
.
ôt
c
.
˘
ap ch
,
ı sô
´
i v
`
a j, 1 ≤ i < j ≤ k, m
`
a c
´
ac tô
,
ng S
i
v
`
a S
j
cho c
`
ung m
.
ôt sô
´
du
,
khi chia cho k. Khi
¯
d
´
o tô
,
ng c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
liên tiê
´
p x
i +1
, x
n+2
, . . . , x
j
c
,
ua d
˜
ay
¯
d
˜
a cho chia hê
´
t cho k, v
`
ı x
i +1
+ x
n+2
+ ··· + x
j
= S
j
− S
i
.
J
.
.
. 3.9. Cho d
˜
ay vô h
.
an c
´
ac ch
˜
u
,
sô
´
. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang v
´
o
,
i m
.
oi sô
´
t
.
u
,
nhiên n, nguyên tô
´
c
`
ung nhau v
´
o
,
i 10, trong d
˜
ay vô h
.
an trên tô
`
n t
.
ai
m
.
ôt nh
´
om ch
˜
u
,
sô
´
liên tiê
´
p, m
`
a sô
´
t
.
ao b
,
o
,
i c
´
ac ch
˜
u
,
sô
´
trong nh
´
om (viê
´
t
theo th
´
u
,
t
.
u
,
ch
,
ı sô
´
l
´
o
,
n
¯
d
´
u
,
ng tru
,
´
o
,
c) chia hê
´
t cho n.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Cho d
˜
ay c
´
ac ch
˜
u
,
sô
´
a
1
, a
2
, . . . , a
n
, . . .. Ch
´
ung ta x
´
et c
´
ac sô
´
A
1
=
a
1
, A
2
= a
2
a
1
, . . . , A
n
= a
n
a
n−1
. . . a
1
, . . . , A
n+1
= a
n+1
. . . a
1
.
V
`
ı sô
´
lu
,
.
o
,
ng nh
˜
u
,
ng sô
´
n
`
ay l
`
a n + 1, c
`
on sô
´
lu
,
.
o
,
ng kh
,
a n
˘
ang c
,
ua sô
´
du
,
khi chia ch
´
ung cho n l
`
a n, nên theo nguyên l
´
y Ðirichlê tô
`
n t
.
ai
´
ıt nhâ
´
t
30 Chu
,
o
,
ng 3. D
˜
ay sô
´
hai sô
´
cho c
`
ung m
.
ôt sô
´
du
,
ta k
´
y hi
.
êu ch
´
ung l
`
a A
i
v
`
a A
j
, ( i < j). Khi
¯
d
´
o hi
.
êu A
j
− A
i
chia hê
´
t cho n. Hay n
´
oi c
´
ach kh
´
ac
A
j
− A
i
= a
j
. . . a
1
− a
i
. . . a
1
= a
j
. . . a
i −1
.10
j−i+1
v
`
ı (n, 10) = 1, nên a
j
. . . a
i −1
chia hê
´
t cho n.
J
.
.
. 3.10. Cho k l
`
a sô
´
nguyên du
,
o
,
ng bâ
´
t k
`
y v
`
a
x
1
, x
2
, . . . , x
n
, . . .
y
1
, y
2
, . . . , y
n
, . . .
l
`
a nh
˜
u
,
ng chu
˜
ôi sô
´
nguyên bâ
´
t k
`
y. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang tô
`
n t
.
ai vô sô
´
c
.
˘ap
ch
,
ı sô
´
(i, j), v
´
o
,
i i < j sao cho m
˜
ôi tô
,
ng
x
i +1
+ x
n+2
+ ··· + x
j
; y
i +1
+ y
n+2
+ ··· + y
j
¯
dê
`
u chia hê
´
t cho k.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
,
ı câ
`
n ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang trong b
.
ô sô
´
k
2
phâ
`
n t
,
u
,
liên tiê
´
p
c
,
ua 2 d
˜
ây trên c
´
o thê
,
ch
.
on
¯
du
,
.
o
,
c tô
,
ng v
´
o
,
i t
´
ınh châ
´
t
¯
d
˜
a ch
,
ı ra. V
`
ı v
.
ây
ch
´
ung ta ch
,
ı quan tâm
¯
dê
´
n k
2
phâ
`
n t
,
u
,
¯
dâ
`
u tiên c
,
ua c
´
ac chu
˜
ôi
¯
d
˜
a cho.
B
`
˘
ang c
´
ach tô
,
ng qu
´
at h
´
oa c
´
ach gi
,
ai b
`
ai to
´
an 3.8, lâ
´
y tô
,
ng
S
1
= x
1
, S
2
= x
1
+ x
2
, S
3
= x
1
+ x
2
+ x
3
, . . . , S
k
2
= x
1
+ x
2
+ ···+ x
k
2
T
1
= y
1
, T
2
= y
1
+ y
2
, T
3
= y
1
+ y
2
+ y
3
, . . . , T
k
2
= y
1
+ y
2
+ ···+ y
k
2
V
´
o
,
i m
˜
ôi m = 1, 2, 3, . . . , k
2
¯
d
.
˘
at tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng c
.
˘
ap (S
m
, T
m
) v
´
o
,
i c
.
˘
ap
(RS
m
, RT
m
) c
,
ua nh
˜
u
,
ng sô
´
du
,
, khi chia S
m
v
`
a T
m
cho k. V
`
ı RS
m
v
`
a RT
m
l
`
a m
.
ôt trong c
´
ac sô
´
0, 1, 2, . . . , k − 1, nên tô
,
h
.
o
,
p tâ
´
t c
,
a
c
´
ac d
.
ang kh
´
ac nhau (RS
m
, RT
m
) l
`
a không qu
´
a k
2
. Nê
´
u tô
`
n t
.
ai
m
.
ôt ch
,
ı sô
´
m, sao cho (RS
m
, RT
m
) tr
`
ung v
´
o
,
i (0, 0), th
`
ı m
.
oi tô
,
ng
S
m
= x
1
+ x
2
+ ···+ x
m
v
`
a T
m
= y
1
+ y
2
+ ···+ y
m
¯
dê
`
u chia hê
´
t cho
k. V
`
ı nê
´
u không nhu
,
v
.
ây, th
`
ı c
´
ac c
.
˘
ap sô
´
(RS
m
, RT
m
), m = 1, 2, . . . .., k
2
c
´
o nhiê
`
u nhâ
´
t l
`
a k
2
− 1 kh
,
a n
˘
ang kh
´
ac nhau. Nhu
,
ng sô
´
lu
,
.
o
,
ng
3.3. B
`
ai t
.
âp 31
nh
˜
u
,
ng c
.
˘
ap sô
´
n
`
ay l
`
a k
2
suy ra c
´
o
´
ıt nhâ
´
t hai trong ch
´
ung b
`
˘
ang
nhau. N
´
oi c
´
ach kh
´
ac, tô
`
n t
.
ai hai ch
,
ı sô
´
i v
`
a j, sao cho 1 ≤ i <
j ≤ k
2
v
`
a (RS
i
, RT
i
) = (RS
j
, RT
j
). Trong tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p n
`
ay m
˜
ôi sô
´
x
i +1
+ x
n+2
+ ··· + x
j
= S
j
− S
i
; y
i +1
+ y
n+2
+ ··· + y
j
= T
j
− T
i
¯
dê
`
u chia hê
´
t cho k.
J
Ch
´
u
´
y: Ðây l
`
a b
`
ai to
´
an tô
,
ng qu
´
at h
´
oa b
`
ai to
´
an 3.8. M
,
o
,
r
.
ông kê
´
t
qu
,
a n
`
ay c
´
ac b
.
an h
˜
ay xem v
`
a l
`
am b
`
ai tâp 3.15.
3.3. B
`
ai t
.
âp
.
.
. 3.11. C
´
o tô
`
n t
.
ai lu
˜
y th
`
u
,
a c
,
ua sô
´
3 m
`
a c
´
ac ch
˜
u
,
sô
´
cuô
´
i c
`
ung c
,
ua n
´
o
l
`
a 0001 không ?
.
.
. 3.12. Cho F l
`
a t
.
âp h
˜
u
,
u h
.
an nh
˜
u
,
ng sô
´
nguyên du
,
o
,
ng v
`
a x
1
, x
2
, . . .
, x
n
, . . . v
`
a y
1
, y
2
, . . . , y
n
, . . . l
`
a hai d
˜
ây vô h
.
an nh
˜
u
,
ng phâ
`
n t
,
u
,
thu
.
ôc
F. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang tô
`
n t
.
ai nh
˜
u
,
ng ch
,
ı sô
´
i v
`
a j, i < j sao cho t
´
ıch
c
,
ua x
i +1
, x
i +2
, . . . , x
j
v
`
a y
i +1
, y
i +2
, . . . , y
j
l
`
a m
.
ôt sô
´
c
´
o l
˜
uy th
`
u
,
a b
.
âc k.
.
.
. 3.13. Cho u
1
, u
2
, . . . , u
n
, . . . l
`
a d
˜
ay nh
˜
u
,
ng sô
´
nguyên x
´
ac
¯
d
.
inh b
`
˘
ang
công th
´
u
,
c u
1
= 39, u
2
= 45, u
n+2
= u
2
n+1
− u
n
( n ≥ 1). Ch
´
u
,
ng minh
r
`
˘
ang 1986 chia hê
´
t cho vô sô
´
nh
˜
u
,
ng phâ
`
n t
,
u
,
trong d
˜
ay n
`
ay.
.
.
. 3.14. Cho k l
`
a m
.
ôt sô
´
t
.
u
,
nhiên. D
˜
ay x
1
, x
2
, . . . , x
n
, . . . th
,
oa m
˜
an c
´
ac
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c x
0
= 0, x
1
= 1 v
`
a x
n
=
1
k
(x
n+1
− x
n−1
) v
´
o
,
i m
.
oi n ≥ 1.
Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang gi
˜
u
,
a nh
˜
u
,
ng sô
´
x
1
, x
2
, . . . , x
1986
tô
`
n t
.
ai hai sô
´
m
`
a
t
´
ıch c
,
ua ch
´
ung chia hê
´
t cho tich 19.86.
.
.
. 3.15. Cho k l
`
a sô
´
nguyên du
,
o
,
ng v
`
a
x
1
1
, x
1
2
, . . . , x
1
n
, . . .
x
2
1
, x
2
2
, . . . , x
2
n
, . . .
32 Chu
,
o
,
ng 3. D
˜
ay sô
´
. . . . . . . . . . . . . . .
x
s
1
, x
s
2
, . . . , x
s
n
, . . .
l
`
a s d
˜
ay sô
´
nguyên. Khi
¯
d
´
o tô
`
n t
.
ai vô h
.
an c
´
ac c
.
˘
ap ch
,
ı sô
´
(i, j), v
´
o
,
i
i < j sao cho c
´
ac tô
,
ng sau
¯
dây
x
1
i +1
+ x
1
i +2
+ ··· + x
1
j
x
2
i +1
+ x
2
i +2
+ ··· + x
2
j
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
s
i +1
+ x
s
i +2
+ ··· + x
s
j
¯
dê
`
u chia hê
´
t cho k.
CHU
,
O
,
NG 4
H
`
INH H
.
OC
4.1. V
´
ı d
.
u
Trong sô
´
c
´
ac b
`
ai to
´
an h
`
ınh h
.
oc trong to
´
an h
.
oc tô
,
h
.
o
,
p c
´
o m
.
ôt l
´
o
,
p
b
`
ai to
´
an gi
,
ai b
`
˘
ang phu
,
o
,
ng ph
´
ap Ðirichlê râ
´
t thu
.
ân ti
.
ên v
`
a r
˜
o r
`
ang.
B
.
an
¯
d
.
oc c
´
o thê
,
t
`
ım thâ
´
y nh
˜
u
,
ng c
´
ach gi
,
ai kh
´
ac, nhu
,
ng v
`
ı m
.
uc
¯
d
´
ıch
chuyên
¯
dê
`
phu
,
o
,
ng ph
´
ap ch
´
ung ta
¯
dang x
´
et nên ch
´
ung ta ch
,
ı kh
,
ao
s
´
at c
´
ac v
´
ı d
.
u sau.
.
.
. 4.1. Trong h
`
ınh vuông v
´
o
,
i c
.
anh 1
¯
do
,
n v
.
i
¯
du
,
.
o
,
c ch
.
on 101
¯
diê
,
m. Ch
´
u
,
ng
minh r
`
˘ang c
´
o n˘am
¯
diê
,
m trong c
´
ac
¯
diê
,
m
¯
d
˜
a ch
.
on c
´
o thê
,
ph
,
u b
,
o
,
i
¯
du
,
`
o
,
ng
tr
`
on b
´
an k
´
ınh
1
7
.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Chia h
`
ınh vuông ra ra 25 h
`
ınh vuông con c
´
o c
.
anh 0,2.
Nh
˜
u
,
ng h
`
ınh vuông n
`
ay c
´
o sô
´
lu
,
.
o
,
ng 25 v
`
a v
`
ı tâ
´
t c
,
a sô
´
¯
diê
,
m
¯
d
˜
a ch
.
on
l
`
a 101, th
`
ı
´
ıt nhâ
´
t c
´
o m
.
ôt h
`
ınh vuông nh
,
o ch
´
u
,
a
´
ıt nhâ
´
t 5
¯
diê
,
m. M
`
a
b
´
an k
´
ınh
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on ngo
.
ai tiê
´
p h
`
ınh vuông nh
,
o b
`
˘
ang
1
5
√
5
<
1
7
.
J
.
.
. 4.2. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang trong m
.
oi khô
´
i
¯
da di
.
ên lô
`
i tô
`
n t
.
ai
´
ıt nhâ
´
t hai
m
.
˘at c
´
o c
`
ung sô
´
c
.
anh.
L
`
o
,
i gi
,
ai. K
´
y hi
.
êu F l
`
a m
.
˘
at c
´
o sô
´
c
.
anh l
´
o
,
n nhâ
´
t c
,
ua khô
´
i
¯
da di
.
ên. Nê
´
u
sô
´
c
.
anh c
,
ua F l
`
a k, th
`
ı khô
´
i
¯
da di
.
ên c
´
o
´
ıt nhâ
´
t k + 1 m
.
˘
at (v
`
ı c
´
o k m
.
˘
at
34 Chu
,
o
,
ng 4. H
`
ınh h
.
oc
c
´
o c
.
anh chung v
´
o
,
i F), c
`
on sô
´
lu
,
.
o
,
ng c
´
ac c
.
anh c
,
ua m
˜
ôi m
.
˘
at l
`
a m
.
ôt
trong c
´
ac sô
´
3, 4, . . . , k. Theo nguyên l
´
y Ðirichlê c
´
o
´
ıt nhâ
´
t hai m
.
˘
at
c
´
o c
`
ung sô
´
c
.
anh.
J
.
.
. 4.3. Trong phâ
`
n trong c
,
ua m
.
ôt h
`
ınh tr
`
on v
´
o
,
i
¯
du
,
`
o
,
ng k
´
ınh 5
¯
do
,
n v
.
i,
ngu
,
`
o
,
i ta ch
.
on bâ
´
t k
`
y 10
¯
diê
,
m. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
´
ıt nhâ
´
t c
´
o hai
¯
diê
,
m
trong c
´
ac
¯
diê
,
m
¯
d
˜
a ch
.
on c
´
o kho
,
ang c
´
ach nh
,
o ho
,
n 2.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Chia
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on
C
2
C
3
C
4
C
5
C
6
C
7
C
8
C
9
C
1
O
E D
F
C
A
B
A
1
B
1
H
`
ınh 4.1:
th
`
anh 8 r
,
e qu
.
at b
`
˘
ang nhau
v
´
o
,
i g
´
oc
,
o
,
tâm m
˜
ôi r
,
e qu
.
at l
`
a
45
0
v
`
a d
.
u
,
ng
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on
¯
dô
`
ng
tâm C
1
v
´
o
,
i b
´
an k
´
ınh 1. K
´
y
hi
.
êu C
2
, C
3
, . . . , C
9
l
`
a nh
˜
u
,
ng
h
`
ınh t
`
u
,
t
´
am r
,
e qu
.
at tr
`
u
,
¯
di
phâ
`
n m
`
a
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on C
1
¯
d
˜
a
chiê
´
m. C
´
o thê
,
ch
´
u
,
ng minh
¯
du
,
.
o
,
c bâ
´
t c
´
u
,
hai
¯
diê
,
m n
`
ao
thu
.
ôc m
.
ôt trong ch
´
ın h
`
ınh
trên
¯
dê
`
u c
´
o kho
,
ang c
´
ach nh
,
o
ho
,
n 2. Th
.
ât v
.
ây, nê
´
u hai
¯
diê
,
m ro
,
i v
`
ao
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on
¯
dô
`
ng tâm th
`
ı
kho
,
ang c
´
ach gi
˜
u
,
a ch
´
ung nh
,
o ho
,
n 2. Gi
,
a s
,
u
,
hai
¯
diê
,
m A v
`
a B ro
,
i
v
`
ao m
.
ôt CDEF trong sô
´
t
´
am r
,
e qu
.
at. Trên b
´
an k
´
ınh OC v
`
a OD lâ
´
y
tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng hai
¯
diê
,
m A
1
v
`
a B
1
sao cho OA
1
= OA; OB
1
= OB, ngh
˜
ıa
l
`
a AB ≤ A
1
B
1
(theo
¯
d
.
inh l
´
y h
`
am cosin, b
,
o
,
i v
`
ı
[
AOB ≤
\
A
1
OB
1
).
Ðê
,
´
y r
`
˘
ang A
1
B
1
≤ max{A
1
D, A
1
E}. Th
.
ât v
.
ây
¯
diê
,
m B
1
n
`
˘
am trong
¯
do
.
an th
,
˘
ang t
.
ao b
,
o
,
i h
`
ınh chiê
´
u H c
,
ua A
1
trên OD v
`
a
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt
trong hai
¯
diê
,
m D, E, ch
,
˘
ang h
.
an
¯
diê
,
m D. B
,
o
,
i v
.
ây h
`
ınh chiê
´
u HD
c
,
ua
¯
du
,
`
o
,
ng xiên A
1
D không b
´
e ho
,
n h
`
ınh chiê
´
u HB
1
c
,
ua A
1
B
1
trên
OD. Ngh
˜
ıa l
`
a A
1
B
1
≤ A
1
D. C
˜
ung ch
´
u
,
ng minh nhu
,
trên ta c
´
o
4.1. V
´
ı d
.
u 35
DA
1
≤ max{DF, DC}, EA
1
≤ max{EF, EC}. T
`
u
,
s
.
u
,
¯
d
´
anh gi
´
a
EF
2
< CD
2
= OC
2
+ OD
2
−2.OC.OD. cos 45
0
= 2
25
4
−
25
√
2
4
< 3, 75 < 4
v
`
a
EC
2
= FD
2
= OF
2
+ OD
2
−2OF.OD. cos 45
0
= 1 +
25
4
−
5
√
2
2
< 7, 25 −
5.1, 4
2
= 3, 75 < 4,
ta
¯
du
,
.
o
,
c AB ≤ A
1
B
1
≤ max{DF, DC, EF, EC} < 2.
J
.
.
. 4.4. Gi
,
a s
,
u
,
m
˜
ôi
¯
diê
,
m trong m
.
ôt m
.
˘at ph
,
˘ang
¯
du
,
.
o
,
c so
,
n b
`
˘ang m
.
ôt trong
hai mâ
`
u
¯
d
,
o v
`
a xanh. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang c
´
o m
.
ôt h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât n
`
ao
¯
d
´
o
trong m
.
˘at ph
,
˘ang m
`
a bô
´
n
¯
d
,
ınh c
,
ua n
´
o c
`
ung mâ
`
u.
L
`
o
,
i gi
,
ai. D
˜
ê thâ
´
y theo nguyên l
´
y
P
1
P
2
P
3
P
4
Q
1
Q
2
Q
3
Q
4
R
1
R
2
R
3
R
4
H
`
ınh 4.2:
Ðirichlê, m
.
ôt t
.
âp bâ
´
t k
`
y 7
¯
diê
,
m
m
`
a so
,
n m
.
ôt trong hai mâ
`
u th
`
ı
´
ıt
nhâ
´
t c
´
o 4
¯
diê
,
m c
`
ung mâ
`
u. Trên
m
.
ôt
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang c
´
o 7
¯
diê
,
m th
`
ı
ch
´
ung ta ph
,
ai c
´
o 4
¯
diê
,
m th
,
˘
ang
h
`
ang c
`
ung mâ
`
u, gi
,
a s
,
u
,
¯
d
´
o l
`
a
P
1
, P
2
, P
3
, P
4
c
´
o c
`
ung mâ
`
u
¯
d
,
o. Ta
chiê
´
u nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m n
`
ay xuô
´
ng hai
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang song song v
´
o
,
i
¯
du
,
`
o
,
ng
ch
´
u
,
a ch
´
ung t
.
ao ra (Q
1
, Q
2
, Q
3
, Q
4
) v
`
a (R
1
, R
2
, R
3
, R
4
) tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i
(P
1
, P
2
, P
3
, P
4
). Nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m n
`
ay t
.
ao ra m
.
ôt sô
´
h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât, ch
´
ung
ta ch
´
u
´
y
¯
dê
´
n c
´
ac h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât c
´
o
¯
d
,
ınh l
`
a P
i
, i = 1, 2, 3, 4. Nhu
,
v
.
ây
nê
´
u 2
¯
diê
,
m bâ
´
t k
`
y c
,
ua Q l
`
a
¯
d
,
o th
`
ı ta c
´
o kê
´
t qu
,
a m
.
ôt h
`
ınh vuông
P
i
P
j
Q
j
Q
i
c
´
o
¯
d
,
ınh c
`
ung mâ
`
u. Tu
,
o
,
ng t
.
u
,
cho c
´
ac
¯
diê
,
m R. Nê
´
u
¯
dô
`
ng
th
`
o
,
i không c
´
o
¯
diê
,
m Q v
`
a R th
,
oa m
˜
an tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p trên th
`
ı c
´
o 3 (ho
.
˘
ac
36 Chu
,
o
,
ng 4. H
`
ınh h
.
oc
ho
,
n)
¯
diê
,
m Q n
`
ao
¯
d
´
o v
`
a 3
¯
diê
,
m R n
`
ao
¯
d
´
o c
´
o c
`
ung mâ
`
u xanh. Nhu
,
ng
trong b
.
ô ba nhu
,
v
.
ây ph
,
ai c
´
o c
.
˘
ap
¯
dôi t
.
ao ra h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât v
´
o
,
i c
´
ac
¯
d
,
ınh mâ
`
u xanh trong sô
´
c
´
ac
¯
diê
,
m Q v
`
a R.
J
.
.
. 4.5. Gi
,
a s
,
u
,
m
.
ôt b
`
an c
`
o
,
h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât c
´
o 4x7 ô vuông
¯
du
,
.
o
,
c so
,
n
¯
den
ho
.
˘ac tr
´
˘ang. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang v
´
o
,
i c
´
ach so
,
n mâ
`
u bâ
´
t k
`
y, trong b
`
an c
`
o
,
luôn tô
`
n t
.
ai h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât gô
`
m c
´
ac ô vuông, m
`
a bô
´
n ô
,
o
,
g
´
oc l
`
a c
´
ac ô
c
`
ung mâ
`
u.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
ung ta ch
´
u
,
ng
H
`
ınh 4.3:
minh cho b
`
ai to
´
an b
`
an c
`
o
,
3 × 7. M
˜
âu so
,
n mâ
`
u c
´
o
thê
,
xâ
,
y ra v
´
o
,
i b
`
an c
`
o
,
n
`
ay
c
´
o d
.
ang t
`
u
,
1
¯
dê
´
n 8. Gi
,
a
s
,
u
,
m
.
ôt trong sô
´
c
´
ac c
.
ôt
thu
.
ôc d
.
ang 1. B
`
ai to
´
an s
˜
e
¯
du
,
.
o
,
c ch
´
u
,
ng minh nê
´
u tâ
´
t
c
,
a nh
˜
u
,
ng c
.
ôt c
`
on l
.
ai trong
6 c
.
ôt thu
.
ôc c
´
ac d
.
ang 1, 2,
3, 4. Nhu
,
v
.
ây gi
,
a s
,
u
,
tâ
´
t c
,
a
c
´
ac c
.
ôt c
`
on l
.
ai thu
.
ôc d
.
ang
5, 6, 7, ho
.
˘
ac 8. Khi
¯
d
´
o theo nguyên l
´
y Ðirichlê hai trong sô
´
s
´
au c
.
ôt
c
´
o hai c
.
ôt c
`
ung m
.
ôt d
.
ang v
`
a nhu
,
v
.
ây b
`
ai to
´
an c
˜
ung
¯
du
,
.
o
,
c ch
´
u
,
ng
minh. Ch
´
u
,
ng minh ho
`
an to
`
an tu
,
o
,
ng t
.
u
,
nê
´
u m
.
ôt c
.
ôt c
´
o d
.
ang 8. Gi
,
a
s
,
u
,
không c
´
o c
.
ôt n
`
ao trong 7 c
.
ôt c
´
o d
.
ang 1 ho
.
˘
ac 8. Nhu
,
v
.
ây ta c
´
o 7
c
.
ôt v
´
o
,
i 6 d
.
ang. Theo nguyên l
´
y Ðirichlê c
´
o hai c
.
ôt c
`
ung d
.
ang v
`
a b
`
ai
to
´
an
¯
du
,
.
o
,
c ch
´
u
,
ng minh
¯
dâ
`
y
¯
d
,
u.
J
.
.
. 4.6. N˘am
¯
diê
,
m A, B, C, D, E n
`
˘am trong m
.
ôt m
.
˘at ph
,
˘ang v
`
a t
.
oa
¯
d
.
ô
c
,
ua ch
´
ung l
`
a c
´
ac sô
´
nguyên. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang trong sô
´
nh
˜
u
,
ng tam
4.1. V
´
ı d
.
u 37
gi
´
ac m
`
a
¯
d
,
ınh c
,
ua n
´
o l
`
a ba
¯
diê
,
m n
`
ao
¯
d
´
o trong c
´
ac
¯
diê
,
m n
`
ay, c
´
o
´
ıt nhâ
´
t
ba tam gi
´
ac v
´
o
,
i di
.
ên t
´
ıch l
`
a c
´
ac sô
´
nguyên.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ta c
´
o thê
,
ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang nê
´
u m
.
ôt trong c
´
ac t
.
oa
¯
d
.
ô c
,
ua
c
´
ac
¯
d
,
ınh tam gi
´
ac
¯
d
˜
a cho thay
¯
dô
,
i m
.
ôt sô
´
ch
˜
˘
an, th
`
ı di
.
ên t
´
ıch c
,
ua tam
gi
´
ac c
˜
ung thay
¯
dô
,
i m
.
ôt sô
´
nguyên. M
.
ôt c
´
ach tô
,
ng qu
´
at ho
,
n ta c
´
o thê
,
kh
,
˘
ang
¯
d
.
inh nê
´
u c
´
ac t
.
oa
¯
d
.
ô
¯
d
,
ınh c
,
ua m
.
ôt tam gi
´
ac thay
¯
dô
,
i m
.
ôt sô
´
ch
˜
˘
an, th
`
ı di
.
ên t
´
ıch c
,
ua n
´
o c
˜
ung thay
¯
dô
,
i m
.
ôt sô
´
nguyên. V
`
ı v
.
ây, nê
´
u
di
.
ên t
´
ıch c
,
ua tam gi
´
ac m
´
o
,
i nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c l
`
a sô
´
nguyên, th
`
ı di
.
ên t
´
ıch
tam gi
´
ac ban
¯
dâ
`
u c
˜
ung l
`
a sô
´
nguyên (h
˜
ay v
˜
e h
`
ınh v
`
a ch
´
u
,
ng minh).
V
`
ı nh
˜
u
,
ng t
.
oa
¯
d
.
ô c
,
ua c
´
ac
¯
diê
,
m
¯
d
˜
a cho A, B, C , D, E l
`
a nh
˜
u
,
ng sô
´
nguyên, sau khi thêm v
`
ao c
´
ac t
.
oa
¯
d
.
ô n
`
ay nh
˜
u
,
ng sô
´
ch
˜
˘
an th
´
ıch h
.
o
,
p,
th
`
ı m
˜
ôi t
.
oa
¯
d
.
ô s
˜
e ch
,
ı nh
.
ân c
´
ac gi
´
a tr
.
i 0 v
`
a 1. Do
¯
d
´
o m
.
oi 5
¯
diê
,
m
¯
d
˜
a cho
t
.
ao nên b
,
o
,
i c
´
ac
¯
diê
,
m (0, 0), ( 0, 1), (1, 0), (1, 1). Áp d
.
ung nguyên l
´
y
Ðirichlê suy ra
´
ıt nhâ
´
t hai
¯
diê
,
m trong c
´
ac
¯
diê
,
m A, B, C, D, E biê
´
n
¯
dô
,
i
th
`
anh c
`
ung m
.
ôt
¯
diê
,
m trong {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1 )}. Gi
,
a s
,
u
,
¯
d
´
o l
`
a
A, B. Ch
´
ung ta s
˜
e kh
,
˘
ang
¯
d
.
inh di
.
ên t
´
ıch c
´
ac tam gi
´
ac ABC, ABD v
`
a
ABE l
`
a nh
˜
u
,
ng sô
´
nguyên. Th
.
ât v
.
ây, c
´
ac tam gi
´
ac n
`
ay b
.
i biê
´
n th
`
anh
¯
do
.
an th
,
˘
ang (do A v
`
a B biê
´
n th
`
anh c
`
ung m
.
ôt
¯
diê
,
m) nên di
.
ên t
´
ıch
,
anh c
,
ua ch
´
ung b
`
˘
ang 0. V
.
ây tru
,
´
o
,
c khi biê
´
n
¯
dô
,
i, di
.
ên t
´
ıch c
,
ua ch
´
ung
ph
,
ai l
`
a sô
´
nguyên.
J
.
.
. 4.7. Trong m
.
ôt m
.
˘at ph
,
˘ang cho m
.
ôt t
.
âp h
.
o
,
p A c
´
o n
¯
diê
,
m (n ≥ 2),
m
.
ôt sô
´
c
.
˘ap
¯
diê
,
m
¯
du
,
.
o
,
c nô
´
i v
´
o
,
i nhau b
`
˘ang
¯
do
.
an th
,
˘ang. Ch
´
u
,
ng minh
r
`
˘ang trong A c
´
o
´
ıt nhâ
´
t hai
¯
diê
,
m
¯
du
,
.
o
,
c nô
´
i v
´
o
,
i c
`
ung sô
´
lu
,
.
o
,
ng c
´
ac
¯
diê
,
m
kh
´
ac thu
.
ôc A.
L
`
o
,
i gi
,
ai. V
´
o
,
i m
.
oi
¯
diê
,
m bâ
´
t k
`
y a thu
.
ôc A ch
´
ung ta k
´
y hi
.
êu S(a) l
`
a
sô
´
lu
,
.
o
,
ng nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m c
,
ua A m
`
a a nô
´
i th
`
anh
¯
do
.
an th
,
˘
ang. B
`
ai to
´
an
muô
´
n kh
,
˘
ang
¯
d
.
inh r
`
˘
ang tô
`
n t
.
ai hai
¯
diê
,
m kh
´
ac nhau a
1
v
`
a a
2
c
,
ua A
38 Chu
,
o
,
ng 4. H
`
ınh h
.
oc
m
`
a S(a
1
) = S(a
2
). Ch
´
ung ta thâ
´
y ngay r
`
˘
ang 0 ≤ S(a) ≤ n − 1 v
´
o
,
i
m
.
oi phâ
`
n t
,
u
,
a thu
.
ôc A. M
.
˘
at kh
´
ac, c
˜
ung không tô
`
n t
.
ai nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m
x
1
v
`
a x
2
thu
.
ôc A, m
`
a S (x
1
) = n − 1 v
`
a S (x
2
) = 0. B
,
o
,
i v
`
ı
¯
diê
`
u n
`
ay
c
´
o ngh
˜
ıa l
`
a
¯
diê
,
m x
1
nô
´
i v
´
o
,
i tâ
´
t c
,
a c
´
ac
¯
diê
,
m c
`
on l
.
ai c
,
ua A, c
`
on x
2
không nô
´
i v
´
o
,
i
¯
diê
,
m n
`
ao c
,
ua A,
¯
d
˜
ân
¯
dê
´
n vô l
´
y. C
´
ac sô
´
nguyên t
`
u
,
0
¯
dê
´
n n −1 c
´
o sô
´
lu
,
.
o
,
ng l
`
a n. V
`
ı 0 v
`
a n −1 không
¯
dô
`
ng th
`
o
,
i l
`
a gi
´
a tr
.
i
v
,
ua S nên S nh
.
ân nhiê
`
u nhâ
´
t l
`
a n −1 gi
´
a tr
.
i. B
`
ai to
´
an
¯
du
,
.
o
,
c gi
,
ai suy
ra t
`
u
,
nguyên l
´
y Ðirichlê.
J
.
.
. 4.8. Cho
¯
da gi
´
ac
¯
dê
`
u 100 c
.
anh n
.
ôi tiê
´
p trong
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on k. M
˜
ôi
¯
d
,
ınh
¯
du
,
.
o
,
c g
´
an m
.
ôt trong c
´
ac sô
´
1, 2, . . . , 49. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang trên k
tô
`
n t
.
ai hai cung AB v
`
a CD v
´
o
,
i c
´
ac t
´
ınh châ
´
t sau:
a) C
´
ac
¯
diê
,
m A, B, C v
`
a D l
`
a
¯
d
,
ınh c
,
ua
¯
da gi
´
ac
¯
dê
`
u
¯
d
˜
a cho.
b) C
´
ac dây cung AB v
`
a CD song song v
´
o
,
i nhau
c) Nê
´
u A, B, C v
`
a D c
´
o nh
˜
an tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng l
`
a c
´
ac sô
´
a, b, c, d th
`
ı a + b =
c + d.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Trong
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on k c
´
o
D
C
B
A
H
`
ınh 4.4:
¯
d
´
ung 50
¯
du
,
`
o
,
ng k
´
ınh kh
´
ac nhau m
`
a
¯
diê
,
m cuô
´
i c
,
ua
¯
du
,
`
o
,
ng k
´
ınh l
`
a m
.
ôt
¯
d
,
ınh c
,
ua
¯
da gi
´
ac
¯
dê
`
u 100 c
.
anh
¯
d
˜
a
cho. Nê
´
u PQ l
`
a m
.
ôt trong sô
´
¯
du
,
`
o
,
ng
k
´
ınh
¯
d
´
o v
`
a
¯
dir nh P
¯
du
,
.
o
,
c g
´
an nh
˜
an
p, c
`
on Q v
´
o
,
i nh
˜
an q th
`
ı
¯
du
,
`
o
,
ng
k
´
ınh PQ tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i sô
´
nguyên
|p − q|. R
˜
o r
`
ang, 0 ≤ |p − q| ≤ 48.
B
`
˘
ang c
´
ach n
`
ay m
˜
ôi
¯
du
,
`
o
,
ng k
´
ınh
¯
d
˜
a
x
´
et (tô
,
ng sô
´
c
´
o 50 tâ
´
t c
,
a)
¯
du
,
.
o
,
c cho
tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i m
.
ôt trong c
´
ac sô
´
0, 1, 2, . . . , 48. Suy ra c
´
o
´
ıt nhâ
´
t hai
4.1. V
´
ı d
.
u 39
¯
du
,
`
o
,
ng k
´
ınh
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
.
˘
at tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i c
`
ung m
.
ôt sô
´
.
Ta k
´
y hi
.
êu
¯
d
´
o l
`
a AB v
`
a CD , c
`
on c
´
ac
¯
d
,
ınh
¯
du
,
.
o
,
c g
´
an tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng
c
´
ac nh
˜
an a, b, c, d. Không mâ
´
t t
´
ınh tô
,
ng qu
´
at ch
´
ung ta c
´
o thê
,
gi
,
a
thiê
´
t c ≤ a v
`
a b ≤ d. Khi
¯
d
´
o dây cung AC v
`
a BD c
´
o c
´
ac t
´
ınh châ
´
t
mong muô
´
n. Th
.
ât v
.
ây, v
´
o
,
i
¯
du
,
`
o
,
ng k
´
ınh AC ch
´
ung ta
¯
d
˜
a
¯
d
.
˘
at tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i a − c, c
`
on BD
´
u
,
ng v
´
o
,
i d − b v
`
a nh
˜
u
,
ng sô
´
n
`
ay b
`
˘
ang nhau,
ch
´
ung ta nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c a − c = d − b hay l
`
a a + b = c + d. Ngo
`
ai ra,
t
´
u
,
gi
´
ac ABCD l
`
a h
`
ınh vuông, nên AB song song v
´
o
,
i CD (th
.
âm ch
´
ı
AB = CD).
J
.
.
. 4.9. Tâ
´
t c
,
a c
´
ac
¯
diê
,
m trong m
.
ôt m
.
˘at ph
,
˘ang
¯
du
,
.
o
,
c bôi b
,
o
,
i n mâ
`
u
kh
´
ac nhau. Cho tru
,
´
o
,
c 2
n
− 1
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on
¯
dô
`
ng tâm kh
´
ac nhau
k
1
, k
2
, . . . , k
2
n
−1
. Trong c
´
ac
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on d
.
u
,
ng b
´
an k
´
ınh tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng
OA
1
, OA
2
, . . . , OA
2
n
−1
sao cho m
˜
ôi c
.
˘ap b
´
an k
´
ınh không c
´
o
¯
diê
,
m
chung n
`
ao kh
´
ac ngo
`
ai O. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang tô
`
n t
.
ai m
.
ôt
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on
k
i
, i = 1, 2, . . . , 2
n
−1 sao cho trên n
´
o v
`
a trên b
´
an k
´
ınh OA
i
c
,
ua n
´
o c
´
o
nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng X
i
v
`
a Y
i
, m
`
a ch
´
ung
¯
du
,
.
o
,
c bôi c
`
ung m
.
ôt mâ
`
u v
`
a
Y
i
không tr
`
ung v
´
o
,
i O v
`
a A
i
.
L
`
o
,
i gi
,
ai. K
´
y hi
.
êu c
´
ac mâ
`
u
¯
d
˜
a cho l
`
a c
1
, c
2
, . . . , c
n
. Ch
´
ung ta s
˜
e t
´
ınh
sô
´
lu
,
.
o
,
ng c
´
ac tô
,
h
.
o
,
p kh
´
ac nhau c
,
ua c
´
ac mâ
`
u m
`
a v
´
o
,
i ch
´
ung c
´
o thê
,
bôi mâ
`
u c
´
ac
¯
diê
,
m trên m
.
ôt h
`
ınh ph
,
˘
ang. M
.
oi t
.
âp con kh
´
ac trô
´
ng
{i
1
, i
2
, . . . , i
k
}, 1 ≤ k ≤ n c
,
ua t
.
âp h
.
o
,
p N = {1, 2, . . . , n} tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng
v
´
o
,
i tô
,
h
.
o
,
p mâ
`
u {c
i
1
, c
i
2
, . . . , c
i
k
}. R
˜
o r
`
ang nh
˜
u
,
ng t
.
âp con kh
´
ac trô
´
ng
kh
´
ac nhau c
,
ua N b
`
˘
ang c
´
ach n
`
ay tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i nh
˜
u
,
ng tô
,
h
.
o
,
p mâ
`
u
kh
´
ac nhau. Ngo
`
ai ra, m
.
oi tô
,
h
.
o
,
p mâ
`
u {c
i
1
, c
i
2
, . . . , c
i
k
} c
´
o thê
,
nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c nh
`
o
,
xây d
.
u
,
ng t
.
âp con kh
´
ac trô
´
ng {i
1
, i
2
, . . . , i
k
}. Suy ra, tô
,
h
.
o
,
p
nh
˜
u
,
ng mâ
`
u c
1
, c
2
, . . . , c
n
m
`
a v
´
o
,
i ch
´
ung c
´
o thê
,
bôi c
´
ac
¯
diê
,
m m
.
ôt h
`
ınh
ph
,
˘
ang l
`
a tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng m
.
ôt - m
.
ôt v
´
o
,
i nh
˜
u
,
ng t
.
âp h
.
o
,
p con kh
´
ac trô
´
ng
40 Chu
,
o
,
ng 4. H
`
ınh h
.
oc
c
,
ua N = {1, 2, . . . , n}. Ngh
˜
ıa l
`
a sô
´
c
´
ac tô
,
h
.
o
,
p kh
´
ac nhau c
,
ua mâ
`
u
b
`
˘
ang sô
´
c
´
ac t
.
âp h
.
o
,
p con kh
´
ac trô
´
ng c
,
ua N, c
´
o tâ
´
t c
,
a 2
n
−1 t
.
âp h
.
o
,
p
nhu
,
v
.
ây.
Tru
,
´
o
,
c tiên ch
´
ung ta gi
,
a thiê
´
t r
`
˘
ang tô
`
n t
.
ai
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on k
i
, i =
1, 2, . . . , 2
n
− 1 m
`
a muô
´
n bôi k
´
ın n
´
o ph
,
ai d
`
ung tâ
´
t c
,
a c
´
ac mâ
`
u
c
1
, c
2
, . . . , c
n
. Khi
¯
d
´
o ch
´
ung ta ch
.
on
¯
diê
,
m bâ
´
t k
`
y Y
i
l
`
a
¯
diê
,
m trong
c
,
ua b
´
an k
´
ınh OA
i
. Gi
,
a s
,
u
,
Y
i
¯
du
,
.
o
,
c bôi b
`
˘
ang mâ
`
u c
1
. Nhu
,
ng trên k
i
c
´
o
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt
¯
diê
,
m X
i
,
¯
du
,
.
o
,
c bôi c
`
ung mâ
`
u nhu
,
v
.
ây, v
`
ı m
.
oi mâ
`
u
¯
d
˜
a cho
¯
dê
`
u b
´
˘
at g
.
˘
ap trên k
i
; v
.
ây b
`
ai to
´
an
¯
du
,
.
o
,
c gi
,
ai trong tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p gi
,
a thiê
´
t
n
`
ay. Ta x
´
et tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p c
`
on l
.
ai: Gi
,
a s
,
u
,
không c
´
o
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on n
`
ao m
`
a
nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m c
,
ua n
´
o
¯
du
,
.
o
,
c bôi mâ
`
u v
´
o
,
i to
`
an b
.
ô tô
,
h
.
o
,
p c
1
, c
2
, . . . , c
n
.
Khi
¯
d
´
o c
´
o tâ
´
t c
,
a 2
n
−2 kh
,
a n
˘
ang tô
,
h
.
o
,
p mâ
`
u, v
´
o
,
i n
´
o c
´
ac
¯
diê
,
m
¯
du
,
.
o
,
c
bôi cho c
´
ac
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on k
1
, k
2
, . . . , k
2
n
−1
. B
,
o
,
i v
`
ı 2
n
−1 > 2
n
−2 nên
c
´
o hai
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on k
i
v
`
a k
j
, i < j trên n
´
o s
˜
e c
´
o c
`
ung m
.
ôt tô
,
h
.
o
,
p mâ
`
u.
Gi
,
a s
,
u
,
k
i
c
´
o b
´
an k
´
ınh l
´
o
,
n ho
,
n k
j
. K
´
y hi
.
êu Y
i
l
`
a
¯
diê
,
m c
´
˘
at c
,
ua OA
i
v
`
a
k
j
. Trong tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p
¯
d
´
o Y
i
n
`
˘
am trên k
j
v
`
a v
`
ı nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m c
,
ua k
i
v
`
a
k
j
¯
du
,
.
o
,
c bôi v
´
o
,
i c
`
ung m
.
ôt tô
,
h
.
o
,
p mâ
`
u, trên k
i
c
´
o
¯
diê
,
m X
i
¯
du
,
.
o
,
c bôi
c
`
ung mâ
`
u v
´
o
,
i Y
i
.
J
.
.
. 4.10. Tô
,
ng c
,
ua
¯
d
.
ô d
`
ai m
.
ôt sô
´
vecto
,
trong m
.
˘at ph
,
˘ang l
`
a 4. Ch
´
u
,
ng
minh r
`
˘ang t
`
u
,
nh
˜
u
,
ng vecto
,
n
`
ay c
´
o thê
,
ch
.
on m
.
ôt sô
´
vecto
,
m
`
a tô
,
ng
¯
d
.
ô
d
`
ai c
,
ua ch
´
ung l
´
o
,
n ho
,
n 1.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
ung ta
¯
du
,
a v
`
ao h
.
ê t
.
oa
¯
d
.
ô v
`
a x
´
et vecto
,
¯
d
.
ai di
.
ên nh
˜
u
,
ng
vecto
,
¯
d
˜
a cho t
.
ai
¯
diê
,
m gô
´
c. Ch
´
ung ta chiê
´
u nh
˜
u
,
ng vecto
,
n
`
ay xuô
´
ng
tr
.
uc t
.
oa
¯
d
.
ô Ox v
`
a Oy. V
`
ı m
˜
ôi vecto
,
c
´
o
¯
d
.
ô d
`
ai nh
,
o ho
,
n tô
,
ng c
,
ua c
´
ac
¯
d
.
ô d
`
ai h
`
ınh chiê
´
u c
,
ua n
´
o xuô
´
ng hai tr
.
uc;nên tô
,
ng
¯
d
.
ô d
`
ai c
,
ua tâ
´
t c
,
a
h
`
ınh chiê
´
u c
,
ua c
´
ac vecto
,
l
´
o
,
n ho
,
n 4. Khi
¯
d
´
o trên
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt trong
4 n
,
u
,
a tr
.
uc c
,
ua h
.
ê t
.
oa
¯
d
.
ô tô
,
ng
¯
d
.
ô d
`
ai c
,
ua h
`
ınh chiê
´
u s
˜
e l
´
o
,
n ho
,
n 1,
4.2. B
`
ai t
.
âp 41
¯
diê
`
u
¯
d
´
o c
´
o ngh
˜
ıa l
`
a tô
,
ng c
,
ua
¯
d
.
ô d
`
ai c
,
ua nh
˜
u
,
ng vecto
,
tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng s
˜
e
l
´
o
,
n ho
,
n 1. (
¯
d
.
ô d
`
ai h
`
ınh chiê
´
u
¯
d
˜
a l
´
o
,
n ho
,
n th
`
ı tâ
´
t nhiên
¯
d
.
ô d
`
ai vecto
,
c
˜
ung l
´
o
,
n ho
,
n.)
J
4.2. B
`
ai t
.
âp
.
.
. 4.11. Trong h
`
ınh vuông v
´
o
,
i c
.
anh 1
¯
do
,
n v
.
i cho 112
¯
diê
,
m. Ch
´
u
,
ng
minh r
`
˘
ang
´
ıt nhâ
´
t hai trong sô
´
¯
d
´
o c
´
o kho
,
ang c
´
ach nh
,
o ho
,
n
2
15
.
.
.
. 4.12. (Ðê
`
thi To
´
an Olympic quô
´
c tê
´
lâ
`
n th
´
u
,
25 n
˘
am 1984) Trong
m
.
˘
at ph
,
˘
ang cho hai
¯
diê
,
m kh
´
ac nhau O v
`
a A. V
´
o
,
i m
˜
ôi
¯
diê
,
m X thu
.
ôc
m
.
˘
at ph
,
˘
ang kh
´
ac O ch
´
ung ta k
´
y hi
.
êu a(X) l
`
a
¯
d
.
ô
¯
do b
`
˘
ang radian
c
,
ua g
´
oc AOX,
¯
do theo chiê
`
u ngu
,
.
o
,
c kim
¯
dô
`
ng hô
`
t
`
u
,
OA
¯
dê
´
n OX
(0 ≤ a(X) ≤ 2). C
`
on c(X) l
`
a
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on tâm O v
`
a b
´
an k
´
ınh c
´
o
¯
d
.
ô
d
`
ai OX +
a(X)
OX
. Cho tru
,
´
o
,
c b
.
ô h
˜
u
,
u h
.
an mâ
`
u v
`
a m
˜
ôi
¯
diê
,
m trong m
.
˘
at
ph
,
˘
ang
¯
du
,
.
o
,
c bôi b
`
˘
ang 1 trong sô
´
¯
d
´
o. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang tô
`
n t
.
ai
¯
diê
,
m
X
1
v
´
o
,
i a(X
1
) > 0 v
`
a trên
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on c(X
1
) c
´
o
´
ıt nhâ
´
t 1
¯
diê
,
m
¯
du
,
.
o
,
c
bôi c
`
ung mâ
`
u v
´
o
,
i X
1
.
.
.
. 4.13. Trong m
.
˘
at ph
,
˘
ang cho n
¯
diê
,
m, n ≥ 7, sao cho kho
,
ang c
´
ach
m
˜
ôi c
.
˘
ap
¯
diê
,
m gi
˜
u
,
a ch
´
ung l
`
a kh
´
ac nhau. M
˜
ôi m
.
ôt
¯
diê
,
m
¯
du
,
.
o
,
c nô
´
i v
´
o
,
i
¯
diê
,
m gâ
`
n n
´
o nhâ
´
t. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang không c
´
o
¯
diê
,
m n
`
ao
¯
du
,
.
o
,
c nô
´
i
v
´
o
,
i nhiê
`
u ho
,
n 5
¯
diê
,
m kh
´
ac.
.
.
. 4.14. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang trong m
.
ôt h
`
ınh tr
`
on b
´
an k
´
ınh 1, không
thê
,
ch
.
on
¯
du
,
.
o
,
c qu
´
a n
˘
am
¯
diê
,
m m
`
a kho
,
ang c
´
ach gi
˜
u
,
a hai
¯
diê
,
m m
.
ôt
l
´
o
,
n ho
,
n 1.
.
.
. 4.15. Ngu
,
`
o
,
i ta qu
˘
ang 120 h
`
ınh vuông c
´
o k
´
ıch thu
,
´
o
,
c 1 ×1 v
`
ao m
.
ôt
h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât k
´
ıch thu
,
´
o
,
c20 ×25. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang v
´
o
,
i m
.
oi c
´
ach s
´
˘
ap
42 Chu
,
o
,
ng 4. H
`
ınh h
.
oc
xê
´
p c
´
ac h
`
ınh vuông th
`
ı
,
o
,
trong h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât v
˜
ân c
`
on ch
˜
ô trô
´
ng
¯
dê
,
¯
d
.
˘
at m
.
ôt h
`
ınh tr
`
on
¯
du
,
`
o
,
ng k
´
ınh 1.
CHU
,
O
,
NG 5
M
,
O
,
R
.
ÔNG NGUYÊN L
´
Y ÐIRICHLÊ
5.1. Nguyên l
´
y Ðirichlê m
,
o
,
r
.
ông
Cho A l
`
a t
.
âp h
˜
u
,
u h
.
an nh
˜
u
,
ng phâ
`
n t
,
u
,
, k
´
y hi
.
êu s(A) l
`
a sô
´
lu
,
.
o
,
ng
c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
thu
.
ôc A. Nguyên l
´
y Ðirichlê c
´
o thê
,
m
,
o
,
r
.
ông nhu
,
sau:
Nê
´
u A v
`
a B l
`
a nh
˜
u
,
ng t
.
âp h
.
o
,
p h
˜
u
,
u h
.
an v
`
a s(A) > k.s(B),
,
o
,
¯
dây k l
`
a m
.
ôt sô
´
t
.
u
,
nhiên n
`
ao
¯
d
´
o v
`
a nê
´
u m
˜
ôi phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua A cho
tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i m
.
ôt phâ
`
n t
,
u
,
n
`
ao
¯
d
´
o c
,
ua B, th
`
ı tô
`
n t
.
ai
´
ıt nhâ
´
t k + 1
phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua A m
`
a ch
´
ung tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i c
`
ung m
.
ôt phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua
B
Th
.
ât v
.
ây, tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p k = 1 l
`
a nguyên l
´
y Ðirichlê m
`
a ta
¯
d
˜
a x
´
et
trong c
´
ac b
`
ai t
.
âp t
`
u
,
¯
dâ
`
u t
´
o
,
i gi
`
o
,
. Ðê
,
ch
´
u
,
ng minh m
.
ênh
¯
dê
`
trên ch
´
ung
ta gi
,
a s
,
u
,
m
˜
ôi phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua B ch
,
ı tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i nhiê
`
u nhâ
´
t k phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua A. Khi
¯
d
´
o s(A) ≤ k.s(B) tr
´
ai v
´
o
,
i gi
,
a thiê
´
t s(A) > k.s(B).
Ch
´
u
´
y. Ngay t
`
u
,
nh
˜
u
,
ng chu
,
o
,
ng
¯
dâ
`
u nguyên l
´
y n
`
ay
¯
d
˜
a
¯
du
,
.
o
,
c s
,
u
,
d
.
ung v
´
o
,
i c
´
ach ch
´
u
,
ng minh tu
,
o
,
ng t
.
u
,
nhu
,
trên. Ðê
,
tiê
´
p t
.
uc hiê
,
u sâu
thêm nguyên l
´
y
,
o
,
d
.
ang m
´
o
,
i ch
´
ung ta x
´
et m
.
ôt lo
.
at b
`
ai to
´
an
¯
diê
,
n
h
`
ınh.
44 Chu
,
o
,
ng 5. M
,
o
,
r
.
ông nguyên l
´
y Ðirichlê
5.2. V
´
ı d
.
u
.
.
. 5.1. Trong m
.
ôt h
`
ınh vuông c
´
o c
.
anh b
`
˘ang 1 ta ch
.
on bâ
´
t k
`
y 51
¯
diê
,
m.
Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
´
ıt nhâ
´
t c
´
o ba
¯
diê
,
m trong sô
´
¯
d
´
o n
`
˘am trong m
.
ôt h
`
ınh
vuông c
´
o c
.
anh 0,2.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
ung ta chia h
`
ınh vuông th
`
anh 25 h
`
ınh vuông con c
´
o
c
.
anh 0,2 b
`
˘
ang c
´
ac
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang song song v
´
o
,
i c
´
ac c
.
anh c
,
ua h
`
ınh
vuông.Nê
´
u gi
,
a su
,
r
`
˘
ang m
˜
ôi h
`
ınh vuông v
`
u
,
a nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c ch
´
u
,
a không
qu
´
a 2
¯
diê
,
m th
`
ı tâ
´
t c
,
a c
´
ac
¯
diê
,
m trong h
`
ınh vuông l
´
o
,
n s
˜
e c
´
o sô
´
¯
diê
,
m
nhiê
`
u nhâ
´
t l
`
a 2 ×25 = 50 d
˜
ân
¯
dê
´
n vô l
´
y.
J
.
.
. 5.2. Tâ
´
t c
,
a 9 c
.
anh v
`
a 27
¯
du
,
`
o
,
ng ch
´
eo c
,
ua m
.
ôt h
`
ınh ch
´
op
¯
d
´
ay
¯
da gi
´
ac
9
¯
d
,
ınh
¯
du
,
.
o
,
c bôi so
,
n: m
.
ôt sô
´
bôi so
,
n
¯
d
,
o, c
`
on l
.
ai bôi so
,
n xanh. Ch
´
u
,
ng
minh r
`
˘ang tô
`
n t
.
ai ba
¯
d
,
ınh c
,
ua h
`
ınh ch
´
op, m
`
a ch
´
ung l
`
a nh
˜
u
,
ng
¯
d
,
ınh
c
,
ua m
.
ôt h
`
ınh tam gi
´
ac v
´
o
,
i c
´
ac c
.
anh
¯
du
,
.
o
,
c so
,
n c
`
ung m
.
ôt mâ
`
u.
L
`
o
,
i gi
,
ai. 9 c
.
anh bên c
,
ua h
`
ınh ch
´
op
¯
du
,
.
o
,
c so
,
n b
`
˘
ang hai mâ
`
u. V
`
ı 9 >
4.2, t
`
u
,
nguyên l
´
y m
,
o
,
r
.
ông trên suy ra
´
ıt nhâ
´
t c
´
o 5 c
.
anh bên
¯
du
,
.
o
,
c bôi
c
`
ung m
.
ôt mâ
`
u. Gi
,
a s
,
u
,
¯
d
´
o l
`
a SA
1
, SA
2
, SA
3
, SA
4
, SA
5
¯
du
,
.
o
,
c bôi c
`
ung
mâ
`
u
¯
d
,
o,
,
o
,
¯
dây S l
`
a
¯
d
,
ınh h
`
ınh ch
´
op. Không
,
anh hu
,
,
o
,
ng t
´
o
,
i kê
´
t lu
.
ân
b
`
ai to
´
an ch
´
ung ta gi
,
a s
,
u
,
c
´
ac
¯
diê
,
m A
1
, A
2
, A
3
, A
4
, A
5
¯
du
,
.
o
,
c s
´
˘
ap xê
´
p
theo chiê
`
u ngu
,
.
o
,
c kim
¯
dô
`
ng hô
`
. Ít nhâ
´
t m
.
ôt trong c
´
ac c
.
anh c
,
ua ng
˜
u
gi
´
ac l
`
a
¯
du
,
`
o
,
ng ch
´
eo c
,
ua
¯
da gi
´
ac
¯
d
´
ay; gi
,
a s
,
u
,
¯
d
´
o l
`
a A
1
A
2
. Ch
´
ung ta
x
´
et tam gi
´
ac A
1
A
2
A
4
. Nh
˜
u
,
ng c
.
anh c
,
ua n
´
o l
`
a c
´
ac
¯
du
,
`
o
,
ng ch
´
eo c
,
ua
¯
da
gi
´
ac
¯
d
´
ay (do c
´
ach xê
´
p trên) v
`
a suy ra ch
´
ung
¯
du
,
.
o
,
c bôi so
,
n.Nê
´
u tâ
´
t c
,
a
c
´
ac c
.
anh A
1
A
2
, A
2
A
4
, A
4
A
1
l
`
a mâ
`
u xanh th
`
ı b
`
ai to
´
an
¯
d
˜
a gi
,
ai xong.
Tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p ngu
,
.
o
,
c l
.
ai m
.
ôt trong c
´
ac c
.
anh A
1
A
2
, A
2
A
4
, A
4
A
1
l
`
a mâ
`
u
¯
d
,
o, gi
,
a s
,
u
,
¯
d
´
o l
`
a A
1
A
2
. Khi
¯
d
´
o c
´
ac c
.
anh c
,
ua tam gi
´
ac SA
1
A
2
l
`
a mâ
`
u
¯
d
,
o.
J
5.2. V
´
ı d
.
u 45
.
.
. 5.3. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang trong m
.
oi
¯
da gi
´
ac lô
`
i v
´
o
,
i sô
´
c
.
anh ch
˜
˘an tô
`
n
t
.
ai
¯
du
,
`
o
,
ng ch
´
eo không song song v
´
o
,
i m
.
ôt c
.
anh n
`
ao c
,
ua
¯
da gi
´
ac.
L
`
o
,
i gi
,
ai. B
`
˘
ang qui n
.
ap ta c
´
o thê
,
d
˜
ê
d
1
d
2
d
k−1
a
H
`
ınh 5.1:
ch
´
u
,
ng minh
¯
du
,
.
o
,
c m
.
oi
¯
da gi
´
ac v
´
o
,
i n
c
.
anh c
´
o
n(n −3)
2
¯
du
,
`
o
,
ng ch
´
eo.
Bây gi
`
o
,
ch
´
ung ta x
´
et
¯
da gi
´
ac lô
`
i bâ
´
t
k
`
y P c
´
o 2k c
.
anh v
´
o
,
i k(≥ 2) l
`
a m
.
ôt sô
´
nguyên.
Gi
,
a s
,
u
,
m
˜
ôi
¯
du
,
`
o
,
ng ch
´
eo c
,
ua P song song v
´
o
,
i m
.
ôt c
.
anh n
`
ao
¯
d
´
o
c
,
ua P. Khi
¯
d
´
o m
˜
ôi
¯
du
,
`
o
,
ng ch
´
eo d c
´
o thê
,
cho tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i c
.
anh song
song v
´
o
,
i d. K
´
y hi
.
êu s l
`
a sô
´
c
´
ac
¯
du
,
`
o
,
ng ch
´
eo ch
´
ung ta c
´
o
s =
2k(2k − 3)
2
= k(2k −3)
= 2k(k −2) + k > (k −2).2k.
Nhu
,
v
.
ây theo nguyên l
´
y Ðirichlê m
,
o
,
r
.
ông suy ra tô
`
n t
.
ai k − 1
¯
du
,
`
o
,
ng ch
´
eo d
1
, d
2
, . . . , d
k−1
c
,
ua
¯
da gi
´
ac P m
`
a ch
´
ung tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i
c
`
ung m
.
ôt c
.
anh a c
,
ua
¯
da gi
´
ac, ngh
˜
ıa l
`
a a, d
1
, d
2
, . . . , d
k−1
song song
v
´
o
,
i nhau. Suy ra c
´
ac
¯
du
,
`
o
,
ng ch
´
eo d
1
, d
2
, . . . , d
k−1
c
`
ung n
`
˘
am trong
m
.
ôt n
,
u
,
a m
.
˘
at ph
,
˘
ang x
´
ac
¯
d
.
inh b
,
o
,
i c
.
anh a v
`
ı P l
`
a
¯
da gi
´
ac lô
`
i (h
`
ınh v
˜
e).
Ngo
`
ai ra d
1
, d
2
, . . . , d
k−1
v
`
a a l
`
a nh
˜
u
,
ng
¯
do
.
an th
,
˘
ang kh
´
ac nhau v
`
a b
,
o
,
i
v
`
ı sô
´
lu
,
.
o
,
ng c
,
ua ch
´
ung l
`
a k, m
˜
ôi
¯
d
,
ınh c
,
ua
¯
da gi
´
ac P l
`
a
¯
diê
,
m
¯
dâ
`
u c
,
ua
m
.
ôt
¯
do
.
an n
`
ao
¯
d
´
o trong ch
´
ung. Không
,
anh hu
,
,
o
,
ng
¯
dê
´
n kê
´
t qu
,
a ch
´
u
,
ng
minh ta gi
,
a thiê
´
t d
1
l
`
a
¯
do
.
an xa nhâ
´
t
¯
dô
´
i v
´
o
,
i a trong c
´
ac
¯
du
,
`
o
,
ng ch
´
eo
d
1
, d
2
, . . . , d
k−1
. Khi
¯
d
´
o t
`
u
,
l
´
y lu
.
ân trên suy ra r
`
˘
ang
¯
da gi
´
ac P n
`
˘
am
to
`
an b
.
ô trong m
.
ôt n
,
u
,
a m
.
˘
at ph
,
˘
ang x
´
ac
¯
d
.
inh b
,
o
,
i d
1
. Ðiê
`
u n
`
ay tr
´
ai v
´
o
,
i
t
´
ınh lô
`
i c
,
ua
¯
da gi
´
ac P.
J
.
.
. 5.4. Trong m
.
˘at ph
,
˘ang cho 6
¯
diê
,
m. M
˜
ôi
¯
do
.
an th
,
˘ang nô
´
i t
`
u
,
ng c
.
˘ap
46 Chu
,
o
,
ng 5. M
,
o
,
r
.
ông nguyên l
´
y Ðirichlê
¯
diê
,
m
¯
du
,
.
o
,
c bôi mâ
`
u
¯
d
,
o ho
.
˘ac xanh. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang ba
¯
diê
,
m trong sô
´
c
´
ac
¯
diê
,
m l
`
a
¯
d
,
ınh c
,
ua m
.
ôt tam gi
´
ac, m
`
a c
´
ac c
.
anh c
,
ua n
´
o
¯
du
,
.
o
,
c bôi c
`
ung
m
.
ôt mâ
`
u.
L
`
o
,
i gi
,
ai. K
´
y hi
.
êu A l
`
a m
.
ôt trong c
´
ac
¯
diê
,
m
¯
d
˜
a cho v
`
a x
´
et n
˘
am
¯
do
.
an
th
,
˘
ang, c
´
o
¯
d
,
ınh chung l
`
a A. Nh
˜
u
,
ng
¯
do
.
an th
,
˘
ang n
`
ay
¯
du
,
.
o
,
c so
,
n hai
mâ
`
u v
`
a v
`
ı 5=2.2+1, suy ra t
`
u
,
nguyên l
´
y Ðirichlê m
,
o
,
r
.
ông ch
´
ung
ta c
´
o
´
ıt nhâ
´
t ba
¯
do
.
an c
`
ung mâ
`
u. Gi
,
a s
,
u
,
¯
d
´
o l
`
a AB
1
, AB
2
, AB
3
mâ
`
u
xanh. Nê
´
u m
.
ôt v
`
ai
¯
do
.
an th
,
˘
ang B
1
B
2
, B
2
B
3
, B
3
B
1
l
`
a xanh th
`
ı tô
`
n t
.
ai
m
.
ôt tam gi
´
ac v
´
o
,
i ba c
.
anh xanh v
`
a c
´
o
¯
d
,
ınh l
`
a A. Nê
´
u ba
¯
do
.
an th
,
˘
ang
B
1
B
2
, B
2
B
3
, B
3
B
1
l
`
a
¯
d
,
o, th
`
ı m
.
ôt tam gi
´
ac th
,
oa m
˜
an
¯
dê
`
to
´
an
¯
d
˜
a ra l
`
a
B
1
B
2
B
3
(c
´
ac c
.
anh
¯
dê
`
u mâ
`
u
¯
d
,
o).
J
.
.
. 5.5. Cho d
˜
ay vô h
.
an c
´
ac sô
´
t
.
u
,
nhiên u
1
, u
2
, . . . , u
n
, . . .
¯
du
,
.
o
,
c x
´
ac
¯
d
.
inh
theo công th
´
u
,
c sau u
1
= 3, u
n+1
= (n + 1)u
n
− n + 1, n = 1, 2, . . ..
Cho n sô
´
t
.
u
,
nhiên bâ
´
t k
`
y v
`
a t
.
âp h
.
o
,
p M gô
`
m u
n
¯
diê
,
m sao cho không
c
´
o ba
¯
diê
,
m n
`
ao th
,
˘ang h
`
ang. M
˜
ôi
¯
do
.
an th
,
˘ang nô
´
i hai
¯
diê
,
m kh
´
ac nhau
trong M
¯
du
,
.
o
,
c bôi so
,
n b
`
˘ang m
.
ôt trong n mâ
`
u
¯
d
˜
a cho. Khi
¯
d
´
o tô
`
n t
.
ai 3
¯
diê
,
m trong M l
`
a
¯
d
,
ınh c
,
ua m
.
ôt tam gi
´
ac
¯
dô
`
ng mâ
`
u.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
u
,
ng minh b
`
˘
ang qui n
.
ap theo n. V
´
o
,
i n = 1 ch
´
ung ta c
´
o
u
1
= 3 v
`
a kê
´
t lu
.
ân l
`
a hiê
,
n nhiên. V
´
o
,
i n = 2 t
`
u
,
công th
´
u
,
c t
´
ınh
¯
du
,
.
o
,
c
u
2
= 6,
¯
dây l
`
a tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p ta
¯
d
˜
a ch
´
u
,
ng minh
,
o
,
b
`
ai trên. Gi
,
a s
,
u
,
b
`
ai
to
´
an v
´
o
,
i u
n
¯
diê
,
m v
`
a c
´
ac
¯
do
.
an th
,
˘
ang nô
´
i
¯
du
,
.
o
,
c bôi b
,
o
,
i n mâ
`
u, c
´
o m
.
ôt
tam gi
´
ac v
´
o
,
i c
´
ac c
.
anh c
`
ung mâ
`
u. Bây gi
`
o
,
ta x
´
et u
n+1
¯
diê
,
m bâ
´
t k
`
y, m
`
a
¯
du
,
`
o
,
ng nô
´
i gi
˜
u
,
a ch
´
ung
¯
du
,
.
o
,
c bôi b
`
˘
ang n + 1 mâ
`
u: c
1
, c
2
, . . . , c
n+1
. Lâ
´
y
A l
`
a m
.
ôt trong c
´
ac
¯
diê
,
m trên. Ðiê
,
m n
`
ay c
´
o thê
,
nô
´
i v
´
o
,
i c
´
ac
¯
diê
,
m c
`
on
l
.
ai
¯
du
,
.
o
,
c u
n+1
− 1
¯
do
.
an th
,
˘
ang bôi mâ
`
u. M
.
˘
at kh
´
ac do công th
´
u
,
c hô
`
i
qui u
n+1
−1 = (n + 1)(u
n
−1) + 1, nhu
,
v
.
ây theo nguyên l
´
y Ðirichlê
m
,
o
,
r
.
ông
´
ıt nhâ
´
t u
n
¯
do
.
an th
,
˘
ang c
´
o chung
¯
d
,
ınh A
¯
du
,
.
o
,
c bôi c
`
ung mâ
`
u.
5.2. V
´
ı d
.
u 47
Gi
,
a s
,
u
,
AB
1
, AB
2
, . . . , AB
u
n
¯
du
,
.
o
,
c bôi c
`
ung mâ
`
u, ch
,
˘
ang h
.
an mâ
`
u c
1
.
Nh
˜
u
,
ng kh
,
a n
˘
ang c
´
o thê
,
xâ
,
y ra nhu
,
sau:
a) Nê
´
u m
.
ôt trong c
´
ac
¯
do
.
an th
,
˘
ang nô
´
i gi
˜
u
,
a c
´
ac
¯
diê
,
m B
1
, B
2
, . . .
, B
u
n
theo t
`
u
,
ng c
.
˘
ap
¯
du
,
.
o
,
c bôi b
`
˘
ang mâ
`
u c
1
th
`
ı tô
`
n t
.
ai tam gi
´
ac
¯
dô
`
ng
mâ
`
u c
´
o
¯
d
,
ınh A. C
´
ac c
.
anh c
,
ua tam gi
´
ac n
`
ay so
,
n mâ
`
u c
1
.
b) Không c
´
o m
.
ôt
¯
do
.
an n
`
ao trong c
´
ac
¯
do
.
an th
,
˘
ang nô
´
i gi
˜
u
,
a c
´
ac
¯
diê
,
m B
1
, B
2
, . . . , B
u
n
¯
du
,
.
o
,
c so
,
n mâ
`
u c
1
. Khi
¯
d
´
o
´
ap d
.
ung qui n
.
ap to
´
an
h
.
oc cho nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m B
1
, B
2
, . . . , B
u
n
. Ðiê
`
u n
`
ay c
´
o thê
,
¯
du
,
.
o
,
c v
`
ı tâ
´
t c
,
a
c
´
ac
¯
do
.
an th
,
˘
ang
¯
d
˜
a nô
´
i
¯
du
,
.
o
,
c bôi so
,
n n mâ
`
u c
2
, c
3
, . . . c
n+1
. Trong
tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p n
`
ay ta c
˜
ung d
˜
ân
¯
dê
´
n kê
´
t lu
.
ân tô
`
n t
.
ai m
.
ôt tam gi
´
ac
¯
dô
`
ng
mâ
`
u.
J
.
.
. 5.6. Cho sô
´
h
.
ang c
,
ua d
˜
ay u
n
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
.
inh ngh
˜
ıa nhu
,
b
`
ai tru
,
´
o
,
c. T
.
âp
h
.
o
,
p nh
˜
u
,
ng sô
´
t
.
u
,
nhiên t
`
u
,
1
¯
dê
´
n u
n
−1
¯
du
,
.
o
,
c phân chia b
`
˘ang phu
,
o
,
ng
ph
´
ap bâ
´
t k
`
y v
`
ao n t
.
âp h
.
o
,
p con, m
`
a t
`
u
,
ng
¯
dôi m
.
ôt không c
´
o phâ
`
n t
,
u
,
chung. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang tô
`
n t
.
ai hai sô
´
c
,
ua c
`
ung m
.
ôt t
.
âp h
.
o
,
p con, m
`
a
tô
,
ng c
,
ua ch
´
ung c
˜
ung n
`
˘am trong t
.
âp h
.
o
,
p con n
`
ay ; ho
.
˘ac l
`
a tô
`
n t
.
ai m
.
ôt
sô
´
trong m
.
ôt t
.
âp h
.
o
,
p con n
`
ao
¯
d
´
o, m
`
a sau khi nhân
¯
dôi v
˜
ân thu
.
ôc t
.
âp
h
.
o
,
p con n
`
ay.
L
`
o
,
i gi
,
ai. K
´
y hi
.
êu nh
˜
u
,
ng t
.
âp h
.
o
,
p con
¯
d
˜
a cho l
`
a l
`
a A
1
, A
2
, . . . , A
n
.
Ch
´
ung ta x
´
et t
.
âp h
.
o
,
p bâ
´
t k
`
y M gô
`
m u
n
¯
diê
,
m, m
`
a ch
´
ung
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
´
anh
sô
´
b
`
˘
ang phu
,
o
,
ng ph
´
ap n
`
ao
¯
d
´
o trong c
´
ac sô
´
0, 1, 2, . . . , u
n
−1. Ch
´
ung
ta bôi mâ
`
u nh
˜
u
,
ng
¯
do
.
an th
,
˘
ang nô
´
i c
´
ac
¯
diê
,
m trong M b
`
˘
ang n mâ
`
u
c
1
, c
2
, . . . , c
n
theo c
´
ach sau: Ðo
.
an th
,
˘
ang nô
´
i c
´
ac
¯
diê
,
m th
´
u
,
i v
`
a j, v
´
o
,
i
i > j
¯
du
,
.
o
,
c so
,
n b
`
˘
ang mâ
`
u c
k
khi v
`
a ch
,
ı khi hi
.
êu i − j thu
.
ôc t
.
âp h
.
o
,
p
A
k
. Theo b
`
ai to
´
an tru
,
´
o
,
c 5.5 ba
¯
diê
,
m n
`
ao
¯
d
´
o c
,
ua M l
`
a
¯
d
,
ınh c
,
ua m
.
ôt
tam gi
´
ac c
`
ung mâ
`
u. Gi
,
a s
,
u
,
c
´
ac
¯
diê
,
m n
`
ay l
`
a i, j , k v
`
a i > j > k. Khi
¯
d
´
o c
´
ac sô
´
i − j, j −k v
`
a i − k = (i − j) + (j − k) n
`
˘
am trong c
`
ung m
.
ôt
48 Chu
,
o
,
ng 5. M
,
o
,
r
.
ông nguyên l
´
y Ðirichlê
t
.
âp h
.
o
,
p A
s
v
`
a ch
´
ung c
´
o c
´
ac t
´
ınh châ
´
t ta câ
`
n t
`
ım.
J
.
.
. 5.7. Trong m
.
˘at ph
,
˘ang cô
´
¯
d
.
inh h
.
ê t
.
oa
¯
d
.
ô O xy. Ch
´
ung ta x
´
et t
.
âp h
.
o
,
p
R gô
`
m nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m v
´
o
,
i t
.
oa
¯
d
.
ô (x, y),
,
o
,
¯
dây x, y l
`
a nh
˜
u
,
ng sô
´
nguyên
v
`
a 1 ≤ x ≤ 12, 1 ≤ y ≤ 10. M
˜
ôi
¯
diê
,
m n
`
ay
¯
du
,
.
o
,
c so
,
n b
`
˘ang m
.
ôt mâ
`
u
tr
´
˘ang, xanh ho
.
˘ac
¯
d
,
o. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang tô
`
n t
.
ai h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât c
´
o c
´
ac
c
.
anh song song v
´
o
,
i c
´
ac tr
.
uc t
.
oa
¯
d
.
ô, m
`
a
¯
d
,
ınh c
,
ua n
´
o l
`
a nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m c
,
ua
R
¯
du
,
.
o
,
c so
,
n c
`
ung m
.
ôt mâ
`
u.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Trong ch
´
u
,
ng minh ta d
`
ung hai kh
,
˘
ang
¯
d
.
inh sau:
a) Nê
´
u X l
`
a t
.
âp h
˜
u
,
u h
.
an v
´
o
,
i n phâ
`
n t
,
u
,
, th
`
ı sô
´
lu
,
.
o
,
ng t
.
âp h
.
o
,
p con
c
,
ua X gô
`
m c
´
ac c
.
˘
ap phâ
`
n t
,
u
,
{x, y}, v
´
o
,
i x ∈ X , y ∈ X l
`
a
n(n −1)
2
.
b) M
.
oi sô
´
du
,
o
,
ng bâ
´
t k
`
y x
1
, x
2
, . . . , x
n
¯
dê
`
u th
,
oa m
˜
an bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang
th
´
u
,
c
x
2
1
+ x
2
2
+ ··· + x
2
n
2
≥ (
x
1
+ x
2
+ ··· + x
n
2
)
2
Dâ
´
u b
`
˘
ang ch
,
ı xâ
,
y ra khi x
1
= x
2
= . . . = x
n
.
Tr
,
o
,
l
.
ai b
`
ai to
´
an
¯
dang x
´
et, v
`
ı tô
,
ng sô
´
c
´
ac
¯
diê
,
m ta x
´
et l
`
a 120, nên
´
ıt nhâ
´
t c
´
o 40
¯
diê
,
m
¯
du
,
.
o
,
c bôi c
`
ung mâ
`
u, gi
,
a s
,
u
,
l
`
a mâ
`
u
¯
d
,
o. V
´
o
,
i m
˜
ôi
i = 1, 2, . . . , 12 ch
´
ung ta k
´
y hi
.
êu l
i
l
`
a
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang
¯
di qua
¯
diê
,
m (i , 0)
v
`
a song song v
´
o
,
i tr
.
uc Oy. Nê
´
u trên l
i
c
´
o n
i
¯
diê
,
m
¯
d
,
o, i = 1, 2, . . . , 12,
n
1
+ n
2
+ ··· + n
12
≥ 40. Ngo
`
ai ra t
`
u
,
n
i
¯
diê
,
m c
´
o thê
,
t
.
ao ra c
´
ac c
.
˘
ap
¯
dôi
¯
du
,
.
o
,
c s
´
˘
ap c
´
o sô
´
lu
,
.
o
,
ng
n
i
( n
i
−1)
2
. Ngh
˜
ıa l
`
a v
´
o
,
i m
˜
ôi i = 1, 2, . . . , 12
tô
`
n t
.
ai
¯
d
´
ung
n
i
( n
i
−1)
2
c
.
˘
ap sô
´
nguyên {j
1
, j
2
} th
,
oa m
˜
an 1 ≤ j
1
≤
10, 1 ≤ j
2
≤ 10 v
`
a c
´
ac
¯
diê
,
m {i, j
1
} v
`
a {i, j
2
} l
`
a
¯
d
,
o. M
.
˘
at kh
´
ac sô
´
lu
,
.
o
,
ng
c
,
ua tâ
´
t c
,
a c
.
˘
ap nh
˜
u
,
ng sô
´
nguyên {j
1
, j
2
} v
´
o
,
i 1 ≤ j
1
≤ 10, 1 ≤ j
2
≤ 10
5.2. V
´
ı d
.
u 49
b
`
˘
ang
10( 10 −1)
2
= 45. Ch
´
ung ta ph
,
ai ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang tô
,
ng c
´
ac sô
´
n
1
( n
1
−1)
2
,
n
2
( n
2
−1)
2
, . . . ,
n
12
( n
12
−1)
2
l
´
o
,
n ho
,
n 45. T
`
u
,
¯
d
´
o suy ra tô
`
n t
.
ai nh
˜
u
,
ng ch
,
ı sô
´
kh
´
ac nhau i
1
v
`
a i
2
v
´
o
,
i
1 ≤ i
1
< i
2
≤ 12 v
`
a c
.
˘
ap sô
´
nguyên {j
1
, j
2
} v
´
o
,
i 1 ≤ j
1
≤ 10, 1 ≤ j
2
≤
10 sao cho 4
¯
diê
,
m {i
1
, j
1
}, {i
1
, j
2
}, {i
2
, j
1
}, {i
2
, j
2
} l
`
a
¯
d
,
o. B
,
o
,
i nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m n
`
ay l
`
a
¯
d
,
ınh c
,
ua h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât v
´
o
,
i c
´
ac c
.
anh song song v
´
o
,
i tr
.
uc
t
.
oa
¯
d
.
ô, nhu
,
v
.
ây b
`
ai to
´
an
¯
du
,
.
o
,
c ch
´
u
,
ng minh.
Nhu
,
v
.
ây, ta ch
,
ı c
`
on ph
,
ai ch
´
u
,
ng minh
S =
n
1
( n
1
−1)
2
+
n
2
( n
2
−1)
2
+ ··· +
n
12
( n
12
−1)
2
> 45
S
,
u
,
d
.
ung bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c b)
S =
1
2
((n
1
−
1
2
)
2
−
1
4
) +
1
2
((n
2
−
1
2
)
2
−
1
4
) + ··· +
1
2
((n
12
−
1
2
)
2
−
1
4
)
=
1
2
((n
1
−
1
2
)
2
+ ( n
2
−
1
2
)
2
+ ··· + (n
12
−
1
2
)
2
) −12
1
8
≥
1
2
.12(
( n
1
−
1
2
) + (n
2
−
1
2
) + ··· + (n
12
−
1
2
)
12
)
2
−
3
2
=
1
24
((n
1
+ n
2
+ ··· + n
12
) −12
1
2
)
2
−
3
2
≥
1
24
(40 −6)
2
−
3
2
=
34
2
24
−
3
2
> 45
v
`
ı n
1
+ n
2
+ ··· + n
12
≥ 40.
J
.
.
. 5.8. (B
`
ai thi Olympic to
´
an quô
´
c tê
´
lâ
`
n th
´
u
,
20, 1978) M
.
ôt h
.
ôi to
´
an
h
.
oc bao gô
`
m c
´
ac th
`
anh viên
,
o
,
6 nu
,
´
o
,
c. Danh s
´
ach c
´
ac h
.
ôi viên gô
`
m
1978 ngu
,
`
o
,
i
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
´
anh sô
´
b
´
ao danh t
`
u
,
1
¯
dê
´
n 1978. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
tô
`
n t
.
ai
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt h
.
ôi viên c
´
o sô
´
b
´
ao danh gâ
´
p
¯
dôi sô
´
b
´
ao danh c
,
ua
50 Chu
,
o
,
ng 5. M
,
o
,
r
.
ông nguyên l
´
y Ðirichlê
m
.
ôt h
.
ôi viên kh
´
ac c
`
ung nu
,
´
o
,
c, ho
.
˘ac b
`
˘ang tô
,
ng hai sô
´
b
´
ao danh c
,
ua hai
h
.
ôi viên c
`
ung m
.
ôt nu
,
´
o
,
c v
´
o
,
i m
`
ınh.
L
`
o
,
i gi
,
ai. T
`
u
,
329.6 < 1978 suy ra m
.
ôt trong c
´
ac nu
,
´
o
,
c (k
´
y hi
.
êu l
`
a
A) c
´
o không
´
ıt ho
,
n 330
¯
d
.
ai biê
,
u trong h
.
ôi v
`
a ch
´
ung ta c
´
o thê
,
viê
´
t
sô
´
b
´
ao danh a
1
< a
2
< . . . < a
330
< . . . Ch
´
ung ta x
´
et nh
˜
u
,
ng hi
.
êu
x
i
= a
330
− a
i
, i = 1, 2, . . . 329. Nê
´
u c
´
o m
.
ôt sô
´
x
i
n
`
ao
¯
d
´
o tr
`
ung v
´
o
,
i a
j
(sô
´
b
´
ao danh c
,
ua m
.
ôt
¯
daj i biê
,
u c
,
ua A) th
`
ı ch
´
ung ta c
´
o a
330
= a
i
+ a
j
,
b
`
ai to
´
an
¯
d
˜
a ch
´
u
,
ng minh xong. Nê
´
u x
i
6= a
j
v
´
o
,
i m
.
oi i, j, th
`
ı sô
´
x
i
l
`
a
sô
´
b
´
ao danh c
,
ua m
.
ôt sô
´
¯
d
.
a i biê
,
u thu
.
ôc 5 nu
,
´
o
,
c c
`
on l
.
ai. Bây gi
`
o
,
,
v
`
ı 65.5 < 329 , th
`
ı
´
ıt nhâ
´
t c
´
o m
.
ôt trong n
˘
am nu
,
´
o
,
c n
`
ay (k
´
y hi
.
êu l
`
a
B) s
˜
e c
´
o không
´
ıt ho
,
n 66 th
`
anh viên, m
`
a sô
´
b
´
ao danh c
,
ua h
.
o l
`
a
m
.
ôt trong c
´
ac sô
´
x
1
, x
2
, . . . , x
329
. Cho c
´
ac sô
´
¯
d
´
o l
`
a b
1
< b
2
< b
3
<
. . . < b
66
< . . . v
´
o
,
i b
i
= x
n
i
, i = 1, 2, . . . , 66. Ch
´
ung ta l
.
ai x
´
et hi
.
êu
y
i
= b
66
− b
i
, i = 1, 2, . . . , 65 Nê
´
u m
.
ôt hi
.
êu n
`
ao
¯
d
´
o tr
`
ung v
´
o
,
i sô
´
b
´
ao
danh b
j
c
,
ua m
.
ôt
¯
d
.
ai biê
,
u c
,
ua B th
`
ı b
66
= b
i
+ b
j
. Nê
´
u v
´
o
,
i hai sô
´
i
v
`
a k n
`
ao
¯
d
´
o ch
´
ung ta c
´
o y
i
= a
k
, th
`
ı a
k
= b
66
− b
i
= x
n
66
− x
n
i
=
a
330
−a
n
66
−(a
330
−a
n
i
) = a
n
i
−a
n
66
ho
.
˘
ac l
`
a a
n
i
= a
n
66
+ a
k
. Nê
´
u hai
tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p trên không xâ
,
y ra, th
`
ı nh
˜
u
,
ng sô
´
n
`
ay s
˜
e l
`
a sô
´
b
´
ao danh
c
,
ua
¯
d
.
ai biê
,
u 4 nu
,
´
o
,
c c
`
on l
.
ai v
`
a suy ra
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt trong c
´
ac nu
,
´
o
,
c n
`
ay
c
´
o sô
´
h
.
ôi viên
´
ıt nhâ
´
t l
`
a 17 v
´
o
,
i sô
´
b
´
ao danh y
i
. Tiê
´
p t
.
uc qu
´
a tr
`
ınh
nhu
,
v
.
ây v
`
a l
.
˘
ap l
.
ai l
´
y lu
.
ân trên ch
´
ung ta c
´
o kê
´
t lu
.
ân c
,
ua b
`
ai to
´
an.
J
.
.
. 5.9. (Ðê
`
thi To
´
an vô
¯
d
.
ich nu
,
´
o
,
c Anh, 1978) M
.
ôt h
`
ınh l
.
âp phu
,
o
,
ng c
´
o
c
.
anh b
`
˘ang 15 ch
´
u
,
a 11.000
¯
diê
,
m. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang c
´
o m
.
ôt h
`
ınh câ
`
u
b
´
an k
´
ınh b
`
˘ang
¯
do
,
n v
.
i ch
´
u
,
a
´
ıt nhâ
´
t 6
¯
diê
,
m trong sô
´
11.000
¯
diê
,
m
¯
d
˜
a
cho.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Chia m
˜
ôi c
.
anh c
,
ua h
`
ınh l
.
âp phu
,
o
,
ng th
`
anh 13 phâ
`
n b
`
˘
ang
nhau, thê
´
th
`
ı h
`
ınh l
.
âp phu
,
o
,
ng ban
¯
dâ
`
u
¯
du
,
.
o
,
c chia th
`
anh 13
3
= 2187
5.2. V
´
ı d
.
u 51
h
`
ınh l
.
âp phu
,
o
,
ng nh
,
o. V
`
ı h
`
ınh l
.
âp phu
,
o
,
ng ban
¯
dâ
`
u ch
´
u
,
a 11.000
¯
diê
,
m, nên tô
`
n t
.
ai m
.
ôt h
`
ınh l
.
âp phu
,
o
,
ng nh
,
o ch
´
u
,
a
´
ıt nhâ
´
t 6
¯
diê
,
m.
D
˜
ê thâ
´
y c
.
anh c
,
ua h
`
ınh l
.
âp phu
,
o
,
ng nh
,
o l
`
a
15
13
, do
¯
d
´
o b
´
an k
´
ınh h
`
ınh
câ
`
u ngo
.
ai tiê
´
p h
`
ınh l
.
âp phu
,
o
,
ng nh
,
o l
`
a r =
1
2
r
3(
15
13
)
2
=
1
2
r
675
169
<
1
2
r
676
169
=
1
2
√
4 = 1. V
.
ây: Tô
`
n t
.
ai m
.
ôt h
`
ınh câ
`
u b
´
an k
´
ınh 1 ch
´
u
,
a
´
ıt
nhâ
´
t 6
¯
diê
,
m trong 11.000
¯
diê
,
m
¯
d
˜
a cho.
J
.
.
. 5.10. Trong m
.
˘
at ph
,
˘
ang cho m
.
ôt sô
´
h
˜
u
,
u h
.
an
¯
diê
,
m, m
.
ôt sô
´
trong
ch
´
ung
¯
du
,
.
o
,
c nô
´
i l
.
ai b
`
˘
ang
¯
do
.
an th
,
˘
ang. Ch
´
ung ta n
´
oi r
`
˘
ang m
.
ôt d
˜
ay
e
1
, e
2
, . . . , e
m
t
`
u
,
c
´
ac
¯
d
.
oan th
,
˘
ang
¯
du
,
.
o
,
c nô
´
i l
`
a m
.
ôt dây chuyê
`
n, nê
´
u
m
.
oi c
.
˘
ap
¯
do
.
an th
,
˘
ang liê
`
n nhau e
i
v
`
a e
i +1
c
´
o chung m
.
ôt
¯
dâ
`
u m
´
ut,
i = 1, 2, . . . , m −1. Sô
´
lu
,
.
o
,
ng m nh
˜
u
,
ng
¯
do
.
an th
,
˘
ang trong dây chuyê
`
n
g
.
oi l
`
a
¯
d
.
ô d
`
ai c
,
ua n
´
o. Ch
´
ung ta x
´
et b
`
ai to
´
an:
Cho n
¯
diê
,
m, t
`
u
,
c
´
ac
¯
diê
,
m n
`
ay d
.
u
,
ng nh
˜
u
,
ng
¯
do
.
an th
,
˘ang, sô
´
lu
,
.
o
,
ng
¯
do
.
an
th
,
˘ang
¯
d
˜
a d
.
u
,
ng l
`
a q. Gi
,
a s
,
u
,
nh
˜
u
,
ng
¯
do
.
an th
,
˘ang
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
´
anh sô
´
m
.
ôt c
´
ach
bâ
´
t k
`
y b
`
˘ang c
´
ac sô
´
1, 2, . . . , q. Khi
¯
d
´
o trong c
´
ach t
.
ao h
`
ınh nhu
,
v
.
ây tô
`
n
t
.
ai m
.
ôt dây chuyê
`
n v
´
o
,
i
¯
d
.
ô d
`
ai nh
,
o nhâ
´
t l
`
a
2q
n
, trên dây chuyê
`
n n
`
ay
c
´
ac sô
´
´
u
,
ng v
´
o
,
i nh
˜
u
,
ng
¯
do
.
an th
,
˘ang th
`
anh phâ
`
n l
.
âp nên m
.
ôt d
˜
ay sô
´
gi
,
am
ng
.
˘at.
L
`
o
,
i gi
,
ai. G
.
oi G l
`
a câ
´
u h
`
ınh bâ
´
t k
`
y c
,
ua nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m v
`
a
¯
do
.
an th
,
˘
ang,
m
`
a ch
´
ung
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
´
anh sô
´
b
`
˘
ang sô
´
t
.
u
,
nhiên nhu
,
¯
dê
`
b
`
ai
¯
d
˜
a ra. V
´
o
,
i m
.
oi
v thu
.
ôc G ch
´
ung ta k
´
y hi
.
êu L
G
( v) l
`
a
¯
d
.
ô d
`
ai c
,
ua dây chuyê
`
n d
`
ai nhâ
´
t
trong G, m
`
a n
´
o b
´
˘
at
¯
dâ
`
u t
`
u
,
v v
`
a gi
,
am dâ
`
n. B
`
˘
ang phu
,
o
,
ng ph
´
ap qui
n
.
ap ch
´
ung ta s
˜
e ch
´
u
,
ng minh bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c sau
¯
du
,
.
o
,
c th
,
oa m
˜
an
L
G
( v
1
) + L
G
( v
2
) + ··· + L
G
( v
n
) ≥ 2q (5.1)
52 Chu
,
o
,
ng 5. M
,
o
,
r
.
ông nguyên l
´
y Ðirichlê
,
o
,
¯
dây v
1
, v
2
, . . . , v
n
l
`
a tâ
´
t c
,
a c
´
ac
¯
diê
,
m thu
.
ôc G. Kê
´
t lu
.
ân ph
,
ai ch
´
u
,
ng
minh suy ra t
`
u
,
(5.1) theo nguyên l
´
y Ðirichlê m
,
o
,
r
.
ông: M
.
ôt trong
c
´
ac sô
´
L
G
( v
1
), L
G
( v
2
), . . . , L
G
( v
n
) l
´
o
,
n ho
,
n ho
.
˘
ac b
`
˘
ang
2q
n
, nhu
,
v
.
ây
tô
`
n t
.
ai dây chuyê
`
n v
´
o
,
i t
´
ınh châ
´
t
¯
d
˜
a ch
,
ı ra. Do
¯
d
´
o ch
,
ı c
`
on ph
,
ai ch
´
u
,
ng
minh (5.1)
¯
du
,
.
o
,
c th
,
oa m
˜
an v
´
o
,
i n
¯
diê
,
m c
,
ua G v
`
a q
¯
do
.
an th
,
˘
ang
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
´
anh sô
´
nhu
,
mô t
,
a
,
o
,
¯
dâ
`
u b
`
ai. B
`
˘
ang qui n
.
ap v
´
o
,
i q = 1 bâ
´
t
¯
d
,
ang
th
´
u
,
c (5.1) l
`
a hiê
,
n nhiên. Gi
,
a s
,
u
,
(5.1) th
,
oa m
˜
an cho m
.
oi câ
´
u h
`
ınh
v
´
o
,
i q − 1
¯
do
.
an th
,
˘
ang v
`
a ch
´
ung ta xem x
´
et câ
´
u h
`
ınh v
´
o
,
i n
¯
diê
,
m v
`
a
q
¯
do
.
an th
,
˘
ang. Nê
´
u
¯
do
.
an th
,
˘
ang k
´
y hi
.
êu l
`
a q nô
´
i v
´
o
,
i hai
¯
diê
,
m v
i
v
`
a
v
j
th
`
ı ch
´
ung ta b
,
o
¯
do
.
an th
,
˘
ang n
`
ay v
`
a nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c câ
´
u h
`
ınh G
0
c
,
ua n
¯
diê
,
m v
`
a q − 1
¯
do
.
an th
,
˘
ang. V
´
o
,
i câ
´
u h
`
ınh n
`
ay theo qui n
.
ap ch
´
ung ta
c
´
o L
G
0
( v
1
) + L
G
0
( v
2
) + ··· + L
G
0
( v
n
) ≥ 2( q − 1). Bây gi
`
o
,
ch
´
ung ta
x
´
et
¯
diê
,
m v
j
. Dây chuyê
`
n gi
,
am dâ
`
n xuâ
´
t ph
´
at t
`
u
,
x
j
c
´
o
¯
d
.
ô d
`
ai L
G
0
( v
j
),
v
`
a nh
˜
u
,
ng
¯
do
.
an th
,
˘
ang trong dây chuyê
`
n n
`
ay
¯
du
,
.
o
,
c k
´
y hi
.
êu b
,
o
,
i nh
˜
u
,
ng
sô
´
n
`
ao
¯
d
´
o trong d
˜
ây 1, 2, . . . , q − 1. Nê
´
u nô
´
i thêm v
`
ao dây chuyê
`
n
m
.
ôt
¯
do
.
an th
,
˘
ang c
´
o k
´
y hi
.
êu q ch
´
ung ta s
˜
e nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c dây chuyê
`
n
gi
,
am v
´
o
,
i
¯
diê
,
m
¯
dâ
`
u v
i
v
`
a v
´
o
,
i
¯
d
.
ô d
`
ai L
G
0
( v
j
) + 1. Theo
¯
d
.
inh ngh
˜
ıa
c
,
ua L
G
( v
i
) ch
´
ung ta c
´
o L
G
( v
i
) ≥ L
G
0
( v
j
) + 1. B
`
˘
ang m
.
ôt c
´
ach ch
´
u
,
ng
minh ho
`
an to
`
an tu
,
o
,
ng t
.
u
,
ch
´
ung ta c
˜
ung ch
´
u
,
ng minh
¯
du
,
.
o
,
c L
G
( v
j
) ≥
L
0
G
( v
i
) + 1. M
.
˘
at kh
´
ac, L
G
( v
k
) = L
G
0
( v
k
) v
´
o
,
i m
.
oi
¯
diê
,
m v
k
thu
.
ôc G
m
`
a n
´
o kh
´
ac v
i
v
`
a v
j
. Suy ra, L
G
( v
1
) + L
G
( v
2
) + ··· + L
G
( v
n
) ≥
L
G
0
( v
1
) + L
G
0
( v
2
) + ··· + L
G
0
( v
n
) + 2 ≥ 2(q − 1) + 2 = 2q.
J
5.3. B
`
ai t
.
âp
.
.
. 5.11. (Ðê
`
thi vô
¯
d
.
ich Áo - Balan, 1978) Cho 1978 t
.
âp h
.
o
,
p, m
˜
ôi
t
.
âp h
.
o
,
p c
´
o 40 phâ
`
n t
,
u
,
. Biê
´
t r
`
˘
ang hai t
.
âp h
.
o
,
p bâ
´
t k
`
y c
´
o
¯
d
´
ung m
.
ôt
phâ
`
n t
,
u
,
chung. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang, tô
`
n t
.
ai m
.
ôt phâ
`
n t
,
u
,
thu
.
ôc tâ
´
t c
,
a
1978 t
.
âp h
.
o
,
p trên.
5.3. B
`
ai t
.
âp 53
.
.
. 5.12. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang m
.
oi t
.
âp h
.
o
,
p ch
´
u
,
a 55 sô
´
ch
.
on
¯
du
,
.
o
,
c t
`
u
,
t
.
âp
h
.
o
,
p sô
´
{1, 2, 3, . . . , 100} ch
´
u
,
a hai sô
´
m
`
a hi
.
êu c
,
ua ch
´
ung b
`
˘
ang 9.
.
.
. 5.13. Cho n l
`
a sô
´
t
.
u
,
nhiên. Cho n t
.
âp h
.
o
,
p con A
1
, A
2
, . . . , A
n
c
,
ua
m
.
˘
at ph
,
˘
ang v
´
o
,
i t
´
ınh châ
´
t: v
´
o
,
i m
.
oi i = 1, 2, . . . , n tô
`
n t
.
ai n + 1 ph
´
ep
t
.
inh tiê
´
n sao cho c
´
ac
,
anh c
,
ua A
i
qua c
´
ac ph
´
ep t
.
inh tiê
´
n t
`
u
,
ng
¯
dôi m
.
ôt
không c
´
o
¯
diê
,
m chung. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang tô
`
n t
.
ai m
.
ôt
¯
diê
,
m trên m
.
˘
at
ph
,
˘
ang, không n
`
˘
am trong bâ
´
t c
´
u
,
t
.
âp h
.
o
,
p A
i
n
`
ao, i = 1, 2, . . . , n.
.
.
. 5.14. Trong phâ
`
n trong c
,
ua m
.
ôt tam gi
´
ac
¯
dê
`
u v
´
o
,
i c
.
anh d
`
ai 15
¯
do
,
n
v
.
i, ch
´
ung ta ch
.
on b
`
˘
ang phu
,
o
,
ng ph
´
ap bâ
´
t k
`
y 111
¯
diê
,
m. Ch
´
u
,
ng minh
r
`
˘
ang tô
`
n t
.
ai h
`
ınh tr
`
on v
´
o
,
i
¯
du
,
`
o
,
ng k
´
ınh
√
3, m
`
a n
´
o ph
,
u
´
ıt nhâ
´
t 3
¯
diê
,
m
trong sô
´
nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m
¯
d
˜
a ch
.
on
,
o
,
trên.
.
.
. 5.15. (Ðê
`
thi vô
¯
d
.
ich Quô
´
c gia Bungari, 1977) Trong m
.
ôt nh
´
om
ngu
,
`
o
,
i, hai ngu
,
`
o
,
i X v
`
a Y g
.
oi l
`
a quen nhau gi
´
an tiê
´
p, nê
´
u h
.
o tr
.
u
,
c
tiê
´
p quen nhau, ho
.
˘
ac l
`
a nê
´
u tô
`
n t
.
ai m
.
ôt dây truyê
`
n nh
˜
u
,
ng ngu
,
`
o
,
i
Z
1
, Z
2
, . . . , Z
p
sao cho X v
`
a Z
1
quen nhau, Z
1
v
`
a Z
2
quen nhau,...
, Z
p
v
`
a Y quen nhau. Cho biê
´
t nh
´
om
¯
d
´
o gô
`
m 134 ngu
,
`
o
,
i, c
`
on gi
˜
u
,
a
m
˜
ôi nh
´
om nh
,
o 8 ngu
,
`
o
,
i t
`
u
,
nh
´
om
¯
d
˜
a biê
´
t
´
ıt nhâ
´
t c
´
o hai ngu
,
`
o
,
i quen
gi
´
an tiê
´
p. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang c
´
o m
.
ôt nh
´
om nh
,
o 12 ngu
,
`
o
,
i trong nh
´
om
ngu
,
`
o
,
i
¯
d
˜
a biê
´
t, m
`
a m
.
oi c
.
˘
ap hai ngu
,
`
o
,
i trong nh
´
om nh
,
o n
`
ay
¯
dê
`
u quen
nhau gi
´
an tiê
´
p.
54 Chu
,
o
,
ng 5. M
,
o
,
r
.
ông nguyên l
´
y Ðirichlê
CHU
,
O
,
NG 6
B
`
AI T
.
ÂP S
´
Ô H
.
OC NÂNG CAO
6.1. Ð
.
inh l
´
y co
,
b
,
an c
,
ua sô
´
h
.
oc
Trong l
´
y thuyê
´
t sô
´
h
.
oc co
,
s
,
o
,
c
´
o m
.
ôt
¯
d
.
inh l
´
y co
,
b
,
an:
M
.
oi sô
´
t
.
u
,
nhiên l
´
o
,
n ho
,
n m
.
ôt
¯
dê
`
u c
´
o thê
,
phân t
´
ıch ra t
´
ıch c
´
ac th
`
u
,
a
sô
´
nguyên tô
´
v
`
a phân t
´
ıch
¯
d
´
o l
`
a duy nhâ
´
t nê
´
u ta không
¯
dê
,
´
y
¯
dê
´
n th
´
u
,
t
.
u
,
c
,
ua c
´
ac th
`
u
,
a sô
´
.
Cho p
1
, p
2
, . . . , p
n
l
`
a nh
˜
u
,
ng sô
´
nguyên tô
´
kh
´
ac nhau. Trong
chu
,
o
,
ng n
`
ay ch
´
ung ta x
´
et m
.
ôt sô
´
kê
´
t lu
.
ân vê
`
vê
`
t
.
âp h
.
o
,
p M c
,
ua
c
´
ac sô
´
t
.
u
,
nhiên m
`
a n
´
o c
´
o thê
,
phân t
´
ıch ra c
´
ac th
`
u
,
a sô
´
n
`
˘
am trong
{p
1
, p
2
, . . . , p
n
}. M
.
oi sô
´
x c
,
ua M c
´
o thê
,
biê
,
u di
˜
ên du
,
´
o
,
i d
.
ang
x = p
α
1
1
p
α
2
2
. . . p
α
n
n
,
o
,
¯
dây α
1
, α
2
, . . . , α
n
l
`
a c
´
ac sô
´
nguyên không âm.
6.2. V
´
ı d
.
u
.
.
. 6.1. T
`
u
,
t
.
âp h
.
o
,
p M ch
.
on m
.
ôt c
´
ach bâ
´
t k
`
y 2
n
+ 1 sô
´
. Ch
´
u
,
ng minh
r
`
˘ang tô
`
n t
.
ai hai sô
´
trong t
.
âp v
`
u
,
a ch
.
on m
`
a t
´
ıch c
,
ua ch
´
ung l
`
a m
.
ôt sô
´
ch
´
ınh phu
,
o
,
ng.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Nh
.
ân x
´
et r
`
˘
ang m
.
ôt sô
´
t
.
u
,
nhiên x = p
α
1
1
p
α
2
2
. . . p
α
n
n
l
`
a sô
´
ch
´
ınh phu
,
o
,
ng khi v
`
a ch
,
ı khi tâ
´
t c
,
a c
´
ac sô
´
m
˜
u
¯
dê
`
u ch
˜
˘
an. Ch
´
ung ta
56 Chu
,
o
,
ng 6. B
`
ai t
.
âp sô
´
h
.
oc nâng cao
biê
,
u di
˜
ên m
.
oi sô
´
¯
d
˜
a ch
.
on v
´
o
,
i d
.
ang
,
o
,
trên v
`
a cho tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i b
.
ô
n-sô
´
( α
1
, α
2
, . . . , α
n
),
,
o
,
¯
dây α
1
, α
2
, . . . , α
n
l
`
a c
´
ac sô
´
du
,
c
,
ua c
´
ac sô
´
m
˜
u
tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng α
1
, α
2
, . . . , α
n
khi chia cho 2. R
˜
o r
`
ang α
i
= 0 ho
.
˘
ac α
i
= 1
v
´
o
,
i m
.
oi i = 1, 2, . . . , n. V
.
ây (α
1
, α
2
, . . . , α
n
) l
`
a b
.
ô xê
´
p th
´
u
,
t
.
u
,
n sô
´
gô
`
m
sô
´
0 v
`
a 1. Theo l
´
y thuyê
´
t tô
,
h
.
o
,
p, tâ
´
t c
,
a n-b
.
ô nhu
,
v
.
ây c
´
o sô
´
lu
,
.
o
,
ng
l
`
a 2
n
, c
`
on c
´
ac sô
´
ta
¯
dang x
´
et c
´
o sô
´
lu
,
.
o
,
ng l
`
a 2
n
+ 1. Nhu
,
v
.
ây
´
ıt nhâ
´
t
c
´
o 2 sô
´
trong ch
´
ung c
´
o c
`
ung b
.
ô s
´
˘
ap xê
´
p gô
`
m sô
´
0 v
`
a sô
´
1 giô
´
ng
nhau. Gi
,
a s
,
u
,
c
´
ac sô
´
¯
d
´
o l
`
a x = p
α
1
1
p
α
2
2
. . . p
α
n
n
v
`
a y = p
β
1
1
p
β
2
2
. . . p
β
n
n
v
´
o
,
i
ch
´
ung c
´
o (α
1
, α
2
, . . . , α
n
) = (β
1
, β
2
, . . . , β
n
). Ð
,
˘
ang th
´
u
,
c sau c
`
ung c
´
o
ngh
˜
ıa l
`
a α
i
= β
i
, i = 1, 2, . . . , n . Do
¯
d
´
o c
´
ac sô
´
m
˜
u α
i
v
`
a β
i
c
´
o c
`
ung
t
´
ınh ch
˜
˘
an l
,
e nhu
,
nhau v
´
o
,
i bâ
´
t k
`
y i = 1, 2, . . . , n. Khi
¯
d
´
o α
1
+ β
1
,
α
2
+ β
2
, . . . , α
n
+ β
n
, l
`
a c
´
ac sô
´
ch
˜
˘
an v
`
a theo nh
.
ân x
´
et ban
¯
dâ
`
u t
´
ıch
xy = (p
α
1
1
p
α
2
2
. . . p
α
n
n
)(p
β
1
1
p
β
2
2
. . . p
β
n
n
) = p
α
1
+β
1
1
p
α
2
+β
2
2
. . . p
α
n
+β
n
n
¯
d
´
ung
l
`
a sô
´
ch
´
ınh phu
,
o
,
ng.
J
.
.
. 6.2. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang gi
˜
u
,
a n + 1 sô
´
trong t
.
âp ho
,
p M c
´
o thê
,
ch
.
on
¯
du
,
.
o
,
c m
.
ôt v
`
ai sô
´
m
`
a t
´
ıch c
,
ua ch
´
ung l
`
a m
.
ôt sô
´
ch
´
ınh phu
,
o
,
ng.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Cho x
1
, x
2
, . . . , x
n
l
`
a nh
˜
u
,
ng sô
´
bâ
´
t k
`
y c
,
ua M. V
´
o
,
i m
˜
ôi t
.
âp
con kh
´
ac trô
´
ng {i
1
, i
2
, . . . , i
k
} c
,
ua t
.
âp h
.
o
,
p {1, 2, . . . n + 1}, ch
´
ung ta
x
´
et c
´
ac x
i
1
, x
i
2
, . . . , x
i
k
(tâ
´
t nhiên sô
´
n
`
ay c
˜
ung thu
.
ôc M). Biê
,
u di
˜
ên c
´
ac
sô
´
n
`
ay theo d
.
ang chuâ
,
n v
`
a m
˜
ôi t
.
âp h
.
o
,
p con {i
1
, i
2
, . . . , i
k
} cho tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i n-b
.
ô (α
1
, α
2
, . . . , α
n
) ,
,
o
,
¯
dây α
1
, α
2
, . . . , α
n
l
`
a c
´
ac sô
´
du
,
c
,
ua
c
´
ac sô
´
m
˜
u tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng α
1
, α
2
, . . . , α
n
khi chia cho 2. Nhu
,
ng sô
´
lu
,
.
o
,
ng
nh
˜
u
,
ng t
.
âp con kh
´
ac r
˜
ông c
,
ua {1, 2, . . . , n + 1} l
`
a 2
n+1
− 1, c
`
on sô
´
lu
,
.
o
,
ng c
´
ac n-b
.
ô s
´
˘
ap gô
`
m nh
˜
u
,
ng sô
´
0 v
`
a 1 l
`
a 2
n
. Suy ra tô
`
n t
.
ai nh
˜
u
,
ng
t
.
âp h
.
o
,
p con kh
´
ac trô
´
ng kh
´
ac nhau {i
1
, i
2
, . . . , i
k
} v
`
a {j
1
, j
2
, . . . , j
l
}
c
,
ua {1, 2, . . . , n + 1}, m
`
a ch
´
ung tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i c
`
ung m
.
ôt n-b
.
ô s
´
˘
ap c
,
ua
nh
˜
u
,
ng sô
´
du
,
. Ðiê
`
u n
`
ay c
´
o ngh
˜
ıa l
`
a nê
´
u x
i
1
x
i
2
. . . x
i
k
= p
α
1
1
p
α
2
2
. . . p
α
n
n
v
`
a x
j
1
x
j
2
. . . x
j
k
= p
β
1
1
p
β
2
2
. . . p
β
n
n
th
`
ı c
´
ac sô
´
m
˜
u α
i
v
`
a β
i
c
´
o c
`
ung t
´
ınh
6.2. V
´
ı d
.
u 57
ch
˜
˘
an l
,
e v
´
o
,
i i = 1, 2, . . . , k. Ðiê
`
u n
`
ay c
´
o ngh
˜
ıa l
`
a t
´
ıch c
,
ua nh
˜
u
,
ng
sô
´
x
i
1
, x
i
2
, . . . , x
i
k
, x
j
1
, x
j
2
, . . . , x
j
k
l
`
a ch
´
ınh phu
,
o
,
ng. Nê
´
u {i
1
, i
2
, . . . , i
k
}
v
`
a {j
1
, j
2
, . . . , j
l
} không c
´
o phâ
`
n t
,
u
,
chung, th
`
ı b
`
ai to
´
an
¯
d
˜
a
¯
du
,
.
o
,
c gi
,
ai.
Tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p ngu
,
.
o
,
c l
.
ai, trong P = x
i
1
x
i
2
. . . x
i
k
x
j
1
x
j
2
. . . x
j
k
l
.
˘
ap l
.
ai
¯
d
´
ung
nh
˜
u
,
ng sô
´
x
s
, m
`
a s thu
.
ôc {i
1
, i
2
, . . . , i
k
} v
`
a {j
1
, j
2
, . . . , j
l
}. Ch
´
ung ta
lo
.
ai tr
`
u
,
trong P tâ
´
t c
,
a c
´
ac nh
˜
u
,
ng x
s
nhu
,
v
.
ây v
`
a nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c t
´
ıch c
,
ua
v
`
ai sô
´
trong sô
´
x
1
, x
2
, . . . , x
n+1
m
`
a n
´
o
¯
d
´
ung l
`
a ch
´
ınh phu
,
o
,
ng.
J
.
.
. 6.3. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang gi
˜
u
,
a m
.
oi 3.2
n
+ 1 sô
´
t
`
u
,
t
.
âp h
.
o
,
p M c
´
o thê
,
ch
.
on
¯
du
,
.
o
,
c 4 sô
´
m
`
a t
´
ıch c
,
ua ch
´
ung l
`
a l
˜
uy th
`
u
,
a b
.
âc bô
´
n c
,
ua m
.
ôt sô
´
.
L
`
o
,
i gi
,
ai. V
`
ı 3.2
n
+ 1 > 2
n
+ 1 gi
˜
u
,
a nh
˜
u
,
ng sô
´
¯
d
˜
a ch
.
on theo b
`
ai 6.1
c
´
o hai sô
´
m
`
a t
´
ıch c
,
ua ch
´
ung l
`
a m
.
ôt sô
´
ch
´
ınh phu
,
o
,
ng. T
´
ach hai sô
´
trên ra th
`
ı c
`
on l
.
ai 3.2
n
−1 sô
´
v
`
a
´
ap d
.
ung tiê
´
p 6.1 cho hai sô
´
n
˜
u
,
a m
`
a
t
´
ıch c
,
ua ch
´
ung l
`
a sô
´
ch
´
ınh phu
,
o
,
ng. Ch
´
ung ta c
´
o thê
,
l
.
˘
ap l
.
ai qu
´
a tr
`
ınh
n
`
ay
´
ıt nhâ
´
t
(3.2
n
−1) − (2
n
+ 1)
2
= 2
n
+ 1 lâ
`
n. Gi
,
a s
,
u
,
ch
´
ung ta nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c 2
n
+ 1 c
.
˘
ap (x
1
, y
1
), (x
2
, y
2
), . . . , v
´
o
,
i x
i
y
i
l
`
a c
´
ac sô
´
ch
´
ınh phu
,
o
,
ng,
i = 1, 2, . . . , 2
n
+ 1. Ch
´
u
´
y r
`
˘
ang theo c
´
ach ch
.
on trên th
`
ı c
´
ac c
.
˘
ap sô
´
(x
1
, y
1
), (x
2
, y
2
), . . . , (x
2
n
+1
, y
2
n
+1
) t
`
u
,
ng
¯
dôi m
.
ôt kh
´
ac nhau. Ðê
´
n
¯
dây
suy ra c
´
ac sô
´
√
x
1
y
1
,
√
x
2
y
2
, . . . ,
√
x
2
n
+1
y
2
n
+1
l
`
a nh
˜
u
,
ng sô
´
nguyên v
`
a
thu
.
ôc M. Khi
¯
d
´
o
´
ap d
.
ung m
.
ôt lâ
`
n n
˜
u
,
a 6.1 ch
,
ı ra r
`
˘
ang t
´
ıch c
,
ua hai sô
´
n
`
ao
¯
d
´
o trong ch
´
ung l
`
a ch
´
ınh phu
,
o
,
ng. Nhu
,
v
.
ây x
i
y
i
x
j
y
j
= t
4
ngh
˜
ıa l
`
a
t
´
ıch c
,
ua 4 sô
´
t
`
u
,
ng
¯
dôi m
.
ôt kh
´
ac nhau x
i
, y
i
, x
j
, y
j
l
`
a l
˜
uy th
`
u
,
a b
.
âc bô
´
n
c
,
ua m
.
ôt sô
´
.
J
.
.
. 6.4. Cho p l
`
a m
.
ôt sô
´
nguyên tô
´
l
,
e v
`
a a
1
, a
2
, . . . , a
p+1
2
l
`
a nh
˜
u
,
ng sô
´
t
.
u
,
nhiên kh
´
ac nhau nh
,
o ho
,
n p. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang v
´
o
,
i m
.
oi sô
´
t
.
u
,
nhiên
r nh
,
o ho
,
n p, tô
`
n t
.
ai hai sô
´
(c
´
o thê
,
b
`
˘ang nhau) a
i
v
`
a a
j
, m
`
a t
´
ıch c
,
ua
ch
´
ung khi chia cho p c
´
o sô
´
du
,
¯
d
´
ung l
`
a r.
58 Chu
,
o
,
ng 6. B
`
ai t
.
âp sô
´
h
.
oc nâng cao
L
`
o
,
i gi
,
ai. Áp d
.
ung m
.
ôt
¯
d
.
inh l
´
y trong l
´
y thuyê
´
t sô
´
co
,
s
,
o
,
: Nê
´
u a v
`
a b
l
`
a hai sô
´
nguyên tô
´
c
`
ung nhau, th
`
ı tô
`
n t
.
ai m
.
ôt sô
´
nguyên x sao cho
ax ≡ 1 (mod b).
V
´
o
,
i m
˜
ôi i = 1, 2, . . . ,
p + 1
2
, c
´
ac sô
´
a
i
v
`
a p l
`
a nguyên tô
´
c
`
ung
nhau, v
`
ı 1 ≤ a
i
≤ p − 1 v
`
a p l
`
a sô
´
nguyên tô
´
. Áp d
.
ung
¯
d
.
inh l
´
y v
`
u
,
a
ph
´
at biê
,
u trên, tô
`
n t
.
ai c
´
ac sô
´
nguyên b
1
, b
2
, . . . , b
p+1
2
sao cho v
´
o
,
i m
.
oi
i = 1, 2, . . . ,
p+1
2
c
´
ac
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c sau
¯
dê
`
u th
,
oa m
˜
an
a
i
b
i
≡ 1 (mod p) (6.1)
Ch
´
ung ta x
´
et d
˜
ay sô
´
a
1
, a
2
, . . . , a
p+1
2
, rb
1
, rb
2
, . . . , rb
p+1
2
. Ch
´
ung ta c
´
o
tâ
´
t c
,
a p + 1 sô
´
sao cho
´
ıt nhâ
´
t hai sô
´
trong ch
´
ung khi chia cho p
c
´
o c
`
ung m
.
ôt sô
´
du
,
. Theo gi
,
a thiê
´
t c
´
ac sô
´
a
1
, a
2
, . . . , a
p+1
2
kh
´
ac nhau
ho
`
an to
`
an v
`
a nh
,
o ho
,
n p. Suy ra sô
´
du
,
c
,
ua ch
´
ung theo môdd un p
l
`
a kh
´
ac nhau. V
`
ı r l
`
a sô
´
nguyên tô
´
c
`
ung nhau v
´
o
,
i p, nên d
˜
ê d
`
ang
ch
´
u
,
ng minh
¯
du
,
.
o
,
c r
`
˘
ang c
´
ac sô
´
rb
1
, rb
2
, . . . , rb
p+1
2
cho sô
´
du
,
ho
`
an to
`
an
kh
´
ac nhau khi chia cho p. Ngh
˜
ıa l
`
a ch
,
ı tô
`
n t
.
ai hai ch
,
ı sô
´
i v
`
a j sao
cho a
i
≡ rb
j
(mod p). T
`
u
,
(6.1) ch
´
ung ta nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c a
i
a
j
≡ rb
j
a
j
≡
r.1 ≡ r (mod p).
J
.
.
. 6.5. Bô
,
¯
dê
`
Tue: Cho n l
`
a sô
´
t
.
u
,
nhiên l
´
o
,
n ho
,
n 1 v
`
a a l
`
a sô
´
nguyên
tô
´
c
`
ung nhau v
´
o
,
i n. Khi
¯
d
´
o tô
`
n t
.
ai c
´
ac sô
´
nguyên x v
`
a y, m
`
a ch
´
ung
th
,
oa m
˜
an phu
,
o
,
ng tr
`
ınh ax ≡ y ( mod n) v
`
a c
´
ac bâ
´
t phu
,
o
,
ng tr
`
ınh
1 ≤ x ≤ [
√
n], 1 ≤ |y| ≤ [
√
n].
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
ung ta x
´
et tâ
´
t c
,
a c
´
ac sô
´
c
´
o d
.
ang au −v,
,
o
,
¯
dây u v
`
a v ch
.
ay
¯
d
.
ôc l
.
âp nhau trong c
´
ac sô
´
0, 1, 2, . . . , [
√
n]. Sô
´
lu
,
.
o
,
ng tâ
´
t c
,
a c
´
ac sô
´
¯
d
´
o
l
`
a ([
√
n] + 1)
2
. Suy ra sô
´
n
`
ay l
´
o
,
n ho
,
n n v
`
ı ([
√
n] + 1)
2
> (
√
n)
2
= n.
B
,
o
,
i c
´
o
¯
d
´
ung n sô
´
du
,
kh
´
ac nhau theo mô
¯
dun n, nên tô
`
n t
.
ai hai c
.
˘
ap
sô
´
kh
´
ac nhau (u
1
, v
1
), (u
2
, v
2
) t
`
u
,
c
´
ac sô
´
nguyên sao cho 1 ≤ u
i
≤
6.2. V
´
ı d
.
u 59
[
√
n], 1 ≤ v
i
≤ [
√
n], i = 1, 2 v
`
a au
1
− v
1
≡ au
2
− v
2
(mod n).
D
˜
ê d
`
ang ch
´
u
,
ng minh
¯
du
,
.
o
,
c v
1
kh
´
ac v
2
. Th
.
ât v
.
ây, nê
´
u ngu
,
.
o
,
c l
.
ai th
`
ı
au
1
≡ au
2
(mod n),suy ra u
1
≡ u
2
(mod n), do a l
`
a sô
´
nguyên tô
´
c
`
ung nhau v
´
o
,
i n. M
.
˘
at kh
´
ac, u
1
, u
2
l
`
a c
´
ac sô
´
t
.
u
,
nhiên nh
,
o ho
,
n n. Nhu
,
v
.
ây
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c sau c
`
ung ch
,
ı c
´
o m
.
ôt kh
,
a n
˘
ang duy nhâ
´
t u
1
= u
2
. Do
¯
d
´
o c
.
˘
ap (u
1
, v
1
), (u
2
, v
2
) tr
`
ung nhau, tr
´
ai v
´
o
,
i c
´
ach ch
.
on trên. Nhu
,
v
.
ây
u
1
v
`
a u
2
c
˜
ung ph
,
ai kh
´
ac nhau. C
´
o thê
,
gi
,
a thiê
´
t u
1
> u
2
m
`
a không
,
anh hu
,
,
o
,
ng
¯
dê
´
n kê
´
t qu
,
a ch
´
u
,
ng minh. Bây gi
`
o
,
ta
¯
d
.
˘
at x = u
1
−u
2
, y =
v
1
− v
2
. T
`
u
,
¯
d
´
o suy ra 1 ≤ x ≤ [
√
n], 1 ≤ |y| ≤ [
√
n] v
`
a ax ≡ y
(mod n).
J
.
.
. 6.6. Áp d
.
ung bô
,
¯
dê
`
Tue: M
.
oi sô
´
nguyên tô
´
d
.
ang 4k + 1 c
´
o thê
,
biê
,
u
di
˜
ên du
,
´
o
,
i d
.
ang tô
,
ng b
`
ınh phu
,
o
,
ng c
,
ua hai sô
´
nguyên.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
ung ta ch
´
u
,
ng minh kh
,
˘
ang
¯
d
.
inh sau: Nê
´
u p = 4k + 1 l
`
a sô
´
nguyên tô
´
, th
`
ı phu
,
o
,
ng tr
`
ınh x
2
≡ −1 (mod p) c
´
o nghi
.
êm. Th
.
ât v
.
ây,
V
`
ı p l
`
a sô
´
nguyên tô
´
, theo
¯
d
.
inh l
´
y Wilson, (p −1)! ≡ −1 (mod p).
Ngo
`
ai ra p −1 ≡ −1 (mod p), p −2 ≡ −2 (mod p), . . . , p −
p+1
2
≡
p+1
2
(mod p). Suy ra,
−1 ≡ (p −1)! = 1.2 . . . .
(p −1)
2
(p + 1)
2
≡ (−1
1
)(−2
1
) . . . (−(
p −1
2
)
2
)
= (−1)
p−1
2
(1.2 . . .
p −1
2
)
2
= (−1)
2k
((
p −1
2
) !)
2
= ((
p −1
2
) !)
2
(mod p).
Nhu
,
v
.
ây a = (
p −1
2
) ! l
`
a nghi
.
êm c
,
ua phu
,
o
,
ng tr
`
ınh trên. V
`
ı a
2
+ 1
chia hê
´
t cho p nên a l
`
a nguyên tô
´
c
`
ung nhau v
´
o
,
i p . Bây gi
`
o
,
ta
´
ap
d
.
ung bô
,
¯
dê
`
Tue cho hai sô
´
a v
`
a p. Tô
`
n t
.
ai c
´
ac sô
´
nguyên x v
`
a y m
`
a
60 Chu
,
o
,
ng 6. B
`
ai t
.
âp sô
´
h
.
oc nâng cao
1 ≤ x ≤ [
√
p], 1 ≤ |y| ≤ [
√
p] v
`
a ax ≡ y (mod p). Khi
¯
d
´
o a
2
x
2
≡ y
2
(mod p), nhu
,
v
.
ây x
2
≡ −y
2
(mod p), v
`
ı a
2
≡ −1 (mod p). T
`
u
,
¯
d
´
o
suy ra x
2
+ y
2
chia hê
´
t cho p. M
.
˘
at kh
´
ac 1 ≤ x
2
≤ p, 1 ≤ y
2
≤ p. Ta
thâ
´
y r
`
˘
ang x
2
= p v
`
a y
2
= p không thê
,
xâ
,
y ra v
`
ı p l
`
a sô
´
nguyên tô
´
, suy
ra 0 < x
2
+ y
2
< 2p v
`
a v
`
ı x
2
+ y
2
chia hê
´
t cho p, nên x
2
+ y
2
= p.
J
Ch
´
u
´
y: Tu
,
o
,
ng t
.
u
,
, ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang m
.
oi sô
´
p, sao cho phu
,
o
,
ng
tr
`
ınh x
2
≡ −2 (mod p) c
´
o nghi
.
êm,
¯
dê
`
u c
´
o thê
,
biê
,
u di
˜
ên du
,
´
o
,
i d
.
ang
p = x
2
+ 2y
2
v
´
o
,
i x, y l
`
a c
´
ac sô
´
nguyên.
.
.
. 6.7. (Ðê
`
thi To
´
an Olympic quô
´
c tê
´
lâ
`
n 18 n˘am 1976) Cho h
.
ê p
phu
,
o
,
ng tr
`
ınh v
´
o
,
i q = 2p â
,
n
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ ··· + a
1q
x
q
= 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
p1
x
1
+ a
p2
x
2
+ ··· + a
pq
x
q
= 0
Tâ
´
t c
,
a c
´
ac h
.
ê sô
´
a
ij
thu
.
ôc t
.
âp ho
,
p {−1, 0, 1}. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang tô
`
n t
.
ai
nghi
.
êm (x
1
, x
2
, . . . , x
q
) c
,
ua h
.
ê, m
`
a n
´
o th
,
oa m
˜
an
a) tâ
´
t c
,
a x
j
(j = 1, 2, . . . , q) l
`
a nhu
,
ng sô
´
nguyên;
b)
´
ıt nhâ
´
t c
´
o m
.
ôt j(j = 1, 2, . . . , q) m
`
a x
j
≤ 0;
c) v
´
o
,
i m
.
oi j(j = 1, 2, . . . , q) ta luôn c
´
o x
j
≤ q;
L
`
o
,
i gi
,
ai. X
´
et b
.
ô (x
1
, x
2
, . . . , x
q
) gô
`
m nh
˜
u
,
ng sô
´
nguyên bâ
´
t k
`
y, m
`
a
ch
´
ung th
,
oa m
˜
an |x
1
| ≤ p, |x
2
| ≤ p, . . . , |x
q
| ≤ p. B
,
o
,
i v
`
ı tâ
´
t c
,
a c
´
ac
h
.
ê sô
´
c
,
ua h
.
ê phu
,
o
,
ng tr
`
ınh ch
,
ı l
`
a -1,0 ho
.
˘
ac 1, v
´
o
,
i vi
.
êc thay c
´
ac â
,
n
x
1
, x
2
, . . . , x
q
ch
´
ung ta nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c gi
´
a tr
.
i c
,
ua m
˜
ôi phu
,
o
,
ng tr
`
ınh n
`
˘
am
trong kho
,
ang [−pq, pq]. Th
.
ât v
.
ây, v
´
o
,
i m
˜
ôi i = 1, 2, . . . , p ch
´
ung ta
c
´
o |a
i1
x
1
+ a
i2
x
2
+ ··· + a
i q
x
q
| ≤ |x
1
| + |x
2
| + ··· + |x
q
| ≤ pq . Suy
ra, nê
´
u thay nh
˜
u
,
ng â
,
n trong tâ
´
t c
,
a phu
,
o
,
ng tr
`
ınh c
,
ua h
.
ê tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng
6.2. V
´
ı d
.
u 61
v
´
o
,
i x
1
, x
2
, . . . , x
q
s
˜
e nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c b
.
ô p sô
´
nguyên ( y
1
, y
2
, . . . , y
p
). Tâ
´
t
c
,
a nh
˜
u
,
ng sô
´
n
`
ay
¯
dê
`
u n
`
˘
am trong kho
,
ang [−pq, pq]. Trong kho
,
ang
n
`
ay c
´
o
¯
d
´
ung 2pq + 1 sô
´
nguyên. Suy ra gi
˜
u
,
a nh
˜
u
,
ng b
.
ô s
´
˘
ap xê
´
p
p phâ
`
n t
,
u
,
nhu
,
,
o
,
trên c
´
o (2pq + 1)
p
b
.
ô xê
´
p kh
´
ac nhau. M
.
˘
at kh
´
ac
sô
´
lu
,
.
o
,
ng nh
˜
u
,
ng b
.
ô xê
´
p q-phâ
`
n t
,
u
,
(x
1
, x
2
, . . . , x
q
) m
`
a |x
j
| ≤ p
v
´
o
,
i j = 1, 2, . . . q, l
`
a (2p + 1)
q
. D
˜
ê thâ
´
y r
`
˘
ang t
`
u
,
q = 2p suy ra
(2p + 1)
q
> (2pq + 1)
p
. Theo nguyên l
´
y Ðirichlê tô
`
n t
.
ai hai b
.
ô q-
sô
´
nguyên (x
0
1
, x
0
2
, . . . , x
0
q
) v
`
a (x
00
1
, x
00
2
, . . . , x
00
q
) kh
´
ac nhau m
`
a ch
´
ung
th
,
oa m
˜
an |x
0
j
| ≤ p, |x
00
j
| ≤ p v
´
o
,
i j = 1, 2, . . . q v
`
a sau khi thê
´
v
`
ao
h
.
ê phu
,
o
,
ng tr
`
ınh cho c
`
ung m
.
ôt b
.
ô p sô
´
nguyên (y
1
, y
2
, . . . , y
p
). Ð
.
˘
at
x
1
= x
0
1
−x
00
1
, x
2
= x
0
2
−x
00
2
, . . . , x
q
= x
0
q
−x
00
q
. R
˜
o r
`
ang (x
1
, x
2
, . . . , x
q
)
l
`
a nghi
.
êm c
,
ua h
.
ê phu
,
o
,
ng tr
`
ınh v
`
a x
j
l
`
a c
´
ac sô
´
nguyên v
´
o
,
i m
.
oi
j = 1, 2, . . . , q. V
`
ı (x
0
1
, x
0
2
, . . . , x
0
q
) v
`
a (x
00
1
, x
00
2
, . . . , x
00
q
) l
`
a hai b
.
ô q sô
´
ho
`
an to
`
an kh
´
ac nhau, th
`
ı
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt trong c
´
ac sô
´
x
j
kh
´
ac không.
Cuô
´
i c
`
ung v
´
o
,
i m
.
oi j = 1, 2, . . . , q ch
´
ung ta c
´
o |x
j
| = |x
0
j
− x
00
j
| ≤
|x
0
j
|+ |x
00
j
| ≤ p + p = 2p = q. Nhu
,
v
.
ây ( x
1
, x
2
, . . . , x
q
) l
`
a nghi
.
êm c
,
ua
h
.
ê phu
,
o
,
ng tr
`
ınh c
´
o t
´
ınh châ
´
t mong muô
´
n.
J
.
.
. 6.8. (Ðê
`
thi To
´
an Olympic quô
´
c tê
´
lâ
`
n 28 n˘am 1987) Cho
x
1
, x
2
, . . . , x
n
l
`
a nh
˜
u
,
ng sô
´
th
.
u
,
c v
`
a x
2
1
+ x
2
2
+ ···+ x
2
n
= 1. Ch
´
u
,
ng minh
r
`
˘ang v
´
o
,
i m
˜
ôi sô
´
nguyên k, k ≥ 2, tô
`
n t
.
ai nh
˜
u
,
ng sô
´
nguyên a
1
, a
2
, . . . , a
n
không
¯
dô
`
ng th
`
o
,
i b
`
˘ang không sao cho |a
i
| ≤ k − 1, i = 1, 2, . . . , n v
`
a
th
,
oa m
˜
an bâ
´
t phu
,
o
,
ng tr
`
ınh sau |a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ ··· + a
n
x
n
| ≤
(k−1)
√
n
k
n
−1
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
ung ta s
,
u
,
d
.
ung bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c Cosi-Buniakovski-Svars
|α
1
β
1
+ |α
2
β
2
+ ··· + |α
n
β
n
| ≤
q
α
2
1
+ ··· + α
2
n
q
β
2
1
+ ··· + β
2
n
,
¯
dus ng v
´
o
,
i m
.
oi sô
´
th
.
u
,
c α
1
, α
2
, . . . α
n
, β
1
, β
2
, . . . , β
n
. Dâ
´
u b
`
˘
ang xâ
,
y ra
khi v
`
a ch
,
ı khi tô
`
n t
.
ai m
.
ôt sô
´
λ sao cho α
1
= λβ
1
, α
2
= λβ
2
. . . , α
n
=
λβ
n
.
62 Chu
,
o
,
ng 6. B
`
ai t
.
âp sô
´
h
.
oc nâng cao
Bây gi
`
o
,
ch
´
ung ta x
´
et c
´
ac sô
´
y
0
= −
k−1
2
, y
1
= −
k−1
2
+ 1, . . . ,
y
k−1
= −
k−1
2
+ (k −1) =
k−1
2
Sô
´
lu
,
.
o
,
ng c
,
ua ch
´
ung l
`
a k v
`
a hi
.
êu t
`
u
,
ng
c
.
˘
ap trong ch
´
ung l
`
a nh
˜
u
,
ng sô
´
nguyên, m
`
a gi
´
a tr
.
i tuy
.
êt
¯
dô
´
i c
,
ua n
´
o
không qu
´
a k − 1. M
˜
ôi b
.
ô s
´
˘
ap xê
´
p n-th
`
anh phâ
`
n β = (b
1
, b
2
, . . . , b
n
),
,
o
,
¯
dây b
i
l
`
a m
.
ôt sô
´
n
`
ao
¯
d
´
o trong y
1
, y
2
, . . . , y
n
v
´
o
,
i m
.
oi i = 1, 2, . . . , n,
ch
´
ung ta
¯
d
.
˘
at tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i m
.
ôt sô
´
S
β
= b
1
x
1
+ b
2
x
2
+ ··· + b
n
x
n
.
T
`
u
,
bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c Cosi
S
β
= b
1
x
1
+ b
2
x
2
+ ··· + b
n
x
n
≤
q
b
2
1
+ b
2
2
+ ··· + b
2
n
q
x
2
1
+ x
2
2
+ ··· + x
2
n
=
q
b
2
1
+ b
2
2
+ ··· + b
2
n
Nhu
,
ng |b
i
| ≤
k−1
2
v
´
o
,
i m
.
oi i = 1, 2, . . . , n sao cho
|S
β
| ≤
q
b
2
1
+ b
2
2
+ ··· + b
2
n
≤
k −1
2
√
n
ho
.
˘
ac l
`
a −
k−1
2
√
n ≤ S
β
≤
k−1
2
√
n. Theo phu
,
o
,
ng ph
´
ap n
`
ay n-b
.
ô β =
( b
1
, b
2
, . . . , b
n
),
,
o
,
¯
dây b
i
l
`
a m
.
ôt trong c
´
ac sô
´
y
0
, y
1
, . . . , y
k−1
v
´
o
,
i m
.
oi
i = 1, 2, . . . , n,
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
.
˘
at tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i m
.
ôt sô
´
S
β
= b
1
x
1
+ b
2
x
2
+
··· + b
n
x
n
trong
¯
do
.
an ∆ = [−
k−1
2
√
n,
k−1
2
√
n]. Sô
´
lu
,
.
o
,
ng n-b
.
ô
¯
du
,
.
o
,
c
s
´
˘
ap xê
´
p l
`
a k
n
. Chia ∆ ra k
n
− 1
¯
do
.
an nh
,
o v
´
o
,
i
¯
d
.
ô d
`
ai
k−1
k
n
−1
√
n. T
`
u
,
nguyên l
´
y Ðirichlê suy ra tô
`
n t
.
ai hai n-b
.
ô β = (b
1
, b
2
, . . . , b
n
) v
`
a
γ = (c
1
, c
2
, . . . , c
n
), m
`
a nh
˜
u
,
ng sô
´
S
β
= b
1
x
1
+ b
2
x
2
+ ··· + b
n
x
n
v
`
a S
γ
= c
1
x
1
+ c
2
x
2
+ ··· + c
n
x
n
tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i ch
´
ung n
`
˘
am trong
c
`
ung m
.
ôt
¯
do
.
an nh
,
o. Ð
.
˘
at a
1
= b
1
− c
1
,a
2
= b
2
− c
2
, . . . , a
n
= b
n
−
c
n
. D
˜
ê kiê
,
m tra
¯
du
,
.
o
,
c a
1
, a
2
.., a
n
th
,
oa m
˜
an
¯
diê
`
u ki
.
ên
¯
d
˜
a cho. Th
.
ât
v
.
ây, v
´
o
,
i m
.
oi i = 1, 2, . . . , n sô
´
a
i
= b
i
− c
i
l
`
a hi
.
êu c
,
ua hai sô
´
n
`
ao
¯
d
´
o trong y
0
, y
1
, . . . , y
k−1
nhu
,
¯
d
˜
a n
´
oi
,
o
,
trên v
`
a l
`
a sô
´
nguyên không
vu
,
.
o
,
t qu
´
a k − 1. V
`
ı hai n-b
.
ô trên kh
´
ac nhau ho
`
an to
`
an th
`
ı
´
ıt nhâ
´
t
m
.
ôt trong c
´
ac sô
´
a
i
= b
i
− c
i
kh
´
ac không. Ngo
`
ai ra, |b
1
x
1
+ b
2
x
2
+
6.2. V
´
ı d
.
u 63
···+ b
n
x
n
| = |x
1
( b
1
−c
1
) + x
2
( b
2
−c
2
) + ···+ x
n
( b
n
−c
n
) | = |S
β
−
S
γ
| ≤
k−1
k
n
−1
√
n.
J
.
.
. 6.9. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang m
˜
ôi b
.
ô gô
`
m 11 sô
´
th
.
u
,
c kh
´
ac nhau trong
kho
,
ang [1,1000] c
´
o thê
,
ch
.
on
¯
du
,
.
o
,
c hai sô
´
x v
`
a y, m
`
a ch
´
ung th
,
oa m
˜
an
bâ
´
t
¯
d
,
˘ang th
´
u
,
c sau
0 < x −y < 3
3
√
xy (6.2)
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
ung ta x
´
et c
˘
an b
.
âc ba c
,
ua c
´
ac sô
´
trong b
.
ô sô
´
¯
d
˜
a cho
x
1
, x
2
, . . . , x
11
T
`
u
,
¯
diê
`
u ki
.
ên
¯
d
˜
a cho suy ra 1 ≤
3
√
x
i
≤ 10, i =
1, 2, . . . , 11. Ch
´
ung ta chia kho
,
ang [1,10] ra mu
,
`
o
,
i phâ
`
n b
`
˘
ang nhau.
Khi
¯
d
´
o, c
´
o
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt trong hai sô
´
3
√
x
1
,
3
√
x
2
, . . . ,
3
√
x
11
n
`
˘
am trong
c
`
ung m
.
ôt
¯
do
.
an nh
,
o. Nê
´
u c
´
ac sô
´
¯
d
´
o l
`
a
3
√
x
i
v
`
a
3
√
x
j
, i 6= j v
`
a x
i
> x
j
,
ch
´
ung ta c
´
o
0 <
3
√
x
i
−
3
p
x
j
≤
9
10
< 1. (6.3)
Nhu
,
v
.
ây, 0 < (
3
√
x
i
−
3
√
x
j
)
3
< 1, kê
´
t h
.
o
,
p v
´
o
,
i (6.3) ta c
´
o 0 < x
i
−
x
j
< 1 + 3
3
√
x
i
x
j
(
3
√
x
i
−
3
√
x
j
) < 1 + 3
3
√
x
i
x
j
.
J
Ch
´
u
´
y: B
`
ai to
´
an không c
`
on
¯
d
´
ung v
´
o
,
i b
.
ô 10 sô
´
th
.
u
,
c trong kho
,
ang
[1,1000]. Ph
,
an v
´
ı d
.
u: b
.
ô sô
´
1
3
, 2
3
, . . . , 10
3
. nê
´
u i 6= j v
`
a i > j ch
´
ung
ta c
´
o (i − j)
3
≥ 1, nhu
,
v
.
ây i
2
+ ij + j
2
≥ 1 + 3ij. Ngh
˜
ıa l
`
a i − j =
(i − j)(i
2
+ ij + j
2
) ≥ 1 + 3ij.
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c xâ
,
y ra khi i = j + 1.
.
.
. 6.10. Cho 7 sô
´
th
.
u
,
c bâ
´
t k
`
y. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang gi
˜
u
,
a ch
´
ung c
´
o thê
,
ch
.
on
¯
du
,
.
o
,
c hai sô
´
, ch
,
˘ang h
.
an x v
`
a y, sao cho
0 ≤
x − y
1 + xy
≤
√
3
3
.
L
`
o
,
i gi
,
ai. C
´
ac sô
´
¯
d
˜
a cho k
´
y hi
.
êu l
`
a x
1
, x
2
, . . . , x
7
. M
.
uc
¯
d
´
ıch c
,
ua ch
´
ung
ta l
`
a biê
,
u di
˜
ên m
.
oi sô
´
du
,
´
o
,
i d
.
ang x
i
= tg α
i
,
,
o
,
¯
dây α
i
l
`
a m
.
ôt sô
´
trong kho
,
ang (−
π
2
,
π
2
), i = 1, 2, . . . , 7. Ch
´
ung ta chia
¯
do
.
an n
`
ay ra
64 Chu
,
o
,
ng 6. B
`
ai t
.
âp sô
´
h
.
oc nâng cao
s
´
au
¯
do
.
an con c
´
o
¯
d
.
ô d
`
ai b
`
˘
ang nhau, ngh
˜
ıa l
`
a b
`
˘
ang
π
6
. D
˜
ê d
`
ang thâ
´
y
r
`
˘
ang
´
ıt nhâ
´
t c
´
o hai sô
´
trong α
1
, α
2
, . . . , α
7
c
`
ung n
`
˘
am trong m
.
ôt
¯
do
.
an
coni
¯
d
´
o. Nê
´
u ch
´
ung ta k
´
y hi
.
êu c
´
ac sô
´
¯
d
´
o l
`
a α
i
v
`
a α
j
, α
i
≥ α
j
, th
`
ı t
`
u
,
¯
d
´
o
suy ra 0 ≤ α
i
−α
j
≤
π
6
. V
`
ı h
`
am sô
´
tg l
`
a t
˘
ang trong kho
,
ang (−
π
2
,
π
2
),
suy ra
0 ≤ tg(α
i
−α
j
) =
tg α
i
−tg α
j
1 + tg α
i
tg α
j
=
x
i
− x
j
1 + x
i
x
j
≤ tg
π
6
=
√
3
3
.
J
Ch
´
u
´
y: B
`
˘
ang c
´
ach gi
,
ai c
,
ua hai b
`
ai t
.
âp n
`
ay ch
´
ung ta c
´
o thê
,
s
´
ang
t
.
ao ra m
.
ôt lo
.
at b
`
ai to
´
an tu
,
o
,
ng t
.
u
,
, m
`
a v
´
o
,
i c
´
ach gi
,
ai b
`
ınh thu
,
`
o
,
ng kh
´
o
m
`
a gi
,
ai quyê
´
t
¯
du
,
.
o
,
c.
6.3. B
`
ai t
.
âp
.
.
. 6.11. (Ðê
`
thi To
´
an Olympic quô
´
c tê
´
lâ
`
n 26 n
˘
am 1985). Cho t
.
âp
h
.
o
,
p M gô
`
m 1985 sô
´
t
.
u
,
nhiên, không c
´
o sô
´
n
`
ao c
´
o u
,
´
o
,
c sô
´
l
´
o
,
n ho
,
n
26. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang t
`
u
,
nh
˜
u
,
ng phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua M c
´
o thê
,
ch
.
on
¯
du
,
.
o
,
c 4
sô
´
t
`
u
,
ng
¯
dôi m
.
ôt kh
´
ac nhau m
`
a t
´
ıch c
,
ua ch
´
ung l
`
a l
˜
uy th
`
u
,
a b
.
âc 4 c
,
ua
m
.
ôt sô
´
nguyên. (kê
´
t lu
.
ân
¯
d
´
ung v
´
o
,
i t
.
âp h
.
o
,
p gô
`
m 3.2
9
+ 1 = 1537 sô
´
m
`
a nh
˜
u
,
ng u
,
´
o
,
c sô
´
c
,
ua ch
´
ung không qu
´
a 23).
.
.
. 6.12. Cho bô
´
n sô
´
du
,
o
,
ng bâ
´
t k
`
y. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang c
´
o hai sô
´
trong
bô
´
n sô
´
¯
d
´
o, ch
,
˘
ang h
.
an x v
`
a y, th
,
oa m
˜
an bâ
´
t phu
,
o
,
ng tr
`
ınh sau
0 ≤
x − y
1 + x + y + 2xy
≤ 2 −
√
3.
.
.
. 6.13. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang m
.
ôt sô
´
t
.
u
,
nhiên c
´
o thê
,
biê
,
u di
˜
ên th
`
anh
tô
,
ng b
`
ınh phu
,
o
,
ng c
,
ua hai sô
´
nguyên khi v
`
a ch
,
ı khi, trong phân t
´
ıch
ra d
.
ang ch
´
ınh t
´
˘
ac c
,
ua n
´
o, c
´
ac th
`
u
,
a sô
´
nguyên tô
´
d
.
ang 4k + 3
¯
dê
`
u c
´
o
sô
´
m
˜
u ch
˜
˘
an.
6.3. B
`
ai t
.
âp 65
.
.
. 6.14. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang t
`
u
,
k + 1 sô
´
, m
`
a ch
´
ung nh
,
o ho
,
n 2k, luôn
luôn c
´
o thê
,
ch
.
on
¯
du
,
.
o
,
c hai sô
´
m
`
a t
,
y sô
´
c
,
ua ch
´
ung l
`
a m
.
ôt l
˜
uy th
`
u
,
a
c
,
ua 2.
.
.
. 6.15. Cho n l
`
a m
.
ôt sô
´
l
,
e. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang t
`
u
,
( n − 1)
2
+ 1 sô
´
nguyên bâ
´
t k
`
y c
´
o thê
,
ch
.
on
¯
du
,
.
o
,
c n sô
´
sao cho tô
,
ng c
,
ua ch
´
ung chia
hê
´
t cho n.
66 Chu
,
o
,
ng 6. B
`
ai t
.
âp sô
´
h
.
oc nâng cao
CHU
,
O
,
NG 7
B
`
AI T
.
ÂP D
˜
ÂY S
´
Ô NÂNG CAO
7.1. V
´
ı d
.
u
.
.
. 7.1. Cho d
˜
ay Fibonaxi u
1
= u
2
= 1, u
n
= u
n−1
+ u
n−2
. V
´
o
,
i m
.
oi sô
´
nguyên du
,
o
,
ng m, th
`
ı gi
˜
u
,
a nh
˜
u
,
ng sô
´
h
.
ang t
`
u
,
¯
dâ
`
u d
˜
ây
¯
dê
´
n sô
´
h
.
ang th
´
u
,
m
2
−1 tô
`
n t
.
ai m
.
ôt sô
´
h
.
ang chia hê
´
t cho m.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
ung ta k
´
y hi
.
êu k l
`
a phâ
`
n du
,
c
,
ua sô
´
k cho m. Ch
´
ung ta
x
´
et c
´
ac c
.
˘
ap phâ
`
n du
,
c
,
ua d
˜
ay Fibonaxi khi chia cho m:
( u
1
, u
2
). (u
2
, u
3
), (u
3
, u
4
), . . . , (u
n
, u
n+1
), . . . (7.1)
Nê
´
u ch
´
ung ta qui
¯
d
.
inh hai c
.
˘
ap (a
1
, b
1
) v
`
a (a
2
, b
2
) l
`
a b
`
˘
ang nhau khi
a
1
= b
1
v
`
a a
2
= b
2
, th
`
ı sô
´
tâ
´
t c
,
a kh
,
a n
˘
ang c
,
ua c
´
ac c
.
˘
ap phâ
`
n du
,
khi chia cho m l
`
a m
2
. V
`
ı thê
´
ch
´
ung ta lâ
´
y m
2
+ 1 sô
´
h
.
ang
¯
dâ
`
u tiên
c
,
ua d
˜
ay (7.1) th
`
ı trong ch
´
ung ph
,
ai c
´
o hai c
.
˘
ap tr
`
ung nhau,( theo
nguyên l
´
y Ðirichlê ) v
`
a t
`
u
,
¯
d
´
o c
´
ac c
.
˘
ap sau l
.
˘
ap l
.
ai. Gi
,
a s
,
u
,
c
.
˘
ap (u
k
, u
k+1
)
l
`
a c
.
˘
ap
¯
dâ
`
u tiên l
.
˘
ap l
.
ai trong (7.1). Ch
´
ung ta s
˜
e ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang
c
.
˘
ap n
`
ay b
`
˘
ang c
.
˘
ap (1, 1). Th
.
ât v
.
ây, gi
,
a s
,
u
,
ngu
,
.
o
,
c l
.
ai, ngh
˜
ıa l
`
a c
.
˘
ap
¯
dâ
`
u tiên l
.
˘
ap l
.
ai l
`
a (
u
k
, u
k+1
), v
´
o
,
i k > 1. Khi
¯
d
´
o ch
´
ung ta s
˜
e t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c trong (7.1) m
.
ôt c
.
˘
ap (u
l
, u
l+1
), (l > k), m
`
a n
´
o b
`
˘
ang (u
k
, u
k+1
)
. Nhu
,
v
.
ây u
l−1
= u
l+1
− u
l
v
`
a u
k−1
= u
k+1
− u
k
, do u
l+1
= u
k+1
v
`
a
u
l
= u
k
, nên phâ
`
n du
,
c
,
ua u
l−1
v
`
a u
k−1
khi chia cho m c
˜
ung b
`
˘
ang
nhau, ngh
˜
ıa l
`
a
u
l−1
= u
k−1
. T
`
u
,
¯
d
´
o suy ra (u
k−1
, u
k
) = (u
l−1
, u
l
), v
.
ây
68 Chu
,
o
,
ng 7. B
`
ai t
.
âp d
˜
ây sô
´
nâng cao
c
.
˘
ap (u
k−1
, u
k
)n
`
˘
am trong d
˜
ay (7.1) tru
,
´
o
,
c c
,
a (u
k
, u
k+1
). Ðiê
`
u
¯
d
´
o n
´
oi
lên r
`
˘
ang (u
k
, u
k+1
) không ph
,
ai c
.
˘
ap l
.
˘
ap l
.
ai
¯
dâ
`
u tiên, tr
´
ai v
´
o
,
i gi
,
a thiê
´
t
¯
d
.
˘
at ra. Ngh
˜
ıa l
`
a k > 1 không thê
,
x
,
ay ra, v
.
ây k = 1.
Nhu
,
v
.
ây c
.
˘
ap (1, 1) l
`
a c
.
˘
ap
¯
dâ
`
u tiên l
.
˘
ap l
.
ai trong (7.1). Gi
,
a s
,
u
,
n
´
o
l
.
˘
ap l
.
ai t lâ
`
n (1 < t < m
2
+ 1). ho
.
˘
ac l
`
a (u
t
, u
t+1
) = (1, 1). Ngh
˜
ıa l
`
a u
t
v
`
a u
t+1
khi chia cho m cho phâ
`
n du
,
c
`
ung l
`
a 1, v
.
ây hi
.
êu c
,
ua ch
´
ung
chia hê
´
t cho m. Nhu
,
ng u
t+1
−u
t
= u
t−1
. Nhu
,
v
.
ây sô
´
h
.
ang th
´
u
,
t −1
c
,
ua d
˜
ay Fibonaxi s
˜
e chia hê
´
t cho m.
J
.
.
. 7.2. Gi
,
a s
,
u
,
a v
`
a x l
`
a c
´
ac sô
´
t
.
u
,
nhiên th
.
u
,
c s
.
u
,
l
´
o
,
n ho
,
n 1 v
`
a (x, a −1) =
1. D
˜
ay sô
´
vô h
.
an {u
n
}
¯
du
,
.
o
,
c x
´
ac
¯
d
.
inh nhu
,
sau
u
n
= ax
n
− a + 1, n = 1, 2, . . .
Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang trong d
˜
ay sô
´
n
´
oi trên ch
´
u
,
a vô h
.
an sô
´
¯
dôi m
.
ôt nguyên
tô
´
c
`
ung nhau.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Gi
,
a thiê
´
t ph
,
an ch
´
u
,
ng trong d
˜
ay sô
´
ch
,
ı c
´
o h
˜
u
,
u h
.
an sô
´
u
i
1
, u
i
2
, . . . , u
i
k
¯
dôi m
.
ôt nguyên tô
´
c
`
ung nhau.
Ð
.
˘
at q = u
i
1
u
i
2
. . . u
i
k
. X
´
et (q + 1) sô
´
sau a, ax, ax
2
, . . . , ax
q
. Theo
nguyên l
´
y Ðirichlê tô
`
n t
.
ai hai sô
´
nguyên r, s sao cho 0 ≤ r < s ≤ q
v
`
a
ax
r
≡ ax
s
(mod q) =⇒ ax
r
− ax
s
≡ 0 (mod q) hay
ax
r
(1 − x
s−r
) ≡ 0 (mod q) (7.2)
Theo gi
,
a thiê
´
t ta c
´
o (x, a −1) = 1, nên suy ra
(ax
r
, u
i
j
) = 1, ∀j = 1, 2, . . . , k. (7.3)
T
`
u
,
(7.3) suy ra
(ax
r
, q) = 1. (7.4)
7.1. V
´
ı d
.
u 69
T
`
u
,
(7.2) v
`
a (7.4) c
´
o x
s−r
≡ 1 (mod q) =⇒ x
s−r
= lq + 1 v
´
o
,
i l ∈ N.
X
´
et sô
´
u
i
k+j
= ax
s−r
− a + 1. V
.
ây
u
i
k+j
= a(lq + 1) − a + 1 = qal + 1. (7.5)
T
`
u
,
(7.5) ta c
´
o
( u
i
k+j
, u
i
j
) = 1, ∀j = 1, 2, . . . , k. (7.6)
H
.
ê th
´
u
,
c (7.6) ch
´
u
,
ng t
,
o r
`
˘
ang luôn c
´
o thê
,
bô
,
sung thêm v
`
ao b
.
ô sô
´
q = u
i
1
u
i
2
. . . u
i
k
c
´
ac sô
´
m
´
o
,
i, m
`
a b
.
ô sô
´
n
`
ay v
˜
ân th
,
oa m
˜
an
¯
diê
`
u ki
.
ên:
bâ
´
t k
`
y hai sô
´
n
`
ao c
˜
ung nguyên tô
´
c
`
ung nhau. Ðiê
`
u n
`
ay c
´
o ngh
˜
ıa l
`
a
trong d
˜
ay {u
n
}
¯
d
˜
a cho c
´
o vô h
.
an sô
´
¯
dôi m
.
ôt nguyên tô
´
c
`
ung nhau.
J
.
.
. 7.3. Cho {u
n
} l
`
a d
˜
ay c
´
ac sô
´
t
.
u
,
nhiên t˘ang dâ
`
n: u
1
< u
2
< u
3
< . . .
v
`
a th
,
oa m
˜
an
¯
diê
`
u ki
.
ên u
1
= 1, u
n+1
≤ 2n, v
´
o
,
i m
.
oi n l
`
a sô
´
t
.
u
,
nhiên.
Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang v
´
o
,
i m
.
oi sô
´
t
.
u
,
nhiên n tô
`
n t
.
ai c
´
ac sô
´
h
.
ang u
p
v
`
a u
q
c
,
ua d
˜
ay sao cho u
p
−u
q
= n.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Gi
,
a s
,
u
,
n ∈ N l
`
a sô
´
t
.
u
,
nhiên cho tru
,
´
o
,
c. T
`
u
,
gi
,
a thiê
´
t suy ra
m
˜
ôi sô
´
h
.
ang u
1
, u
2
, . . . , u
n+1
không vu
,
.
o
,
t qu
´
a 2n. X
´
et t
.
âp h
.
o
,
p 2n sô
´
t
.
u
,
nhiên sau {1, 2, . . . , 2n}. Ch
´
ung ta chia t
.
âp h
.
o
,
p n
`
ay ra l
`
am n c
.
˘
ap
(1, n + 1), (2, n + 2 ), . . . , (n, 2n). Do t
.
âp h
.
o
,
p trên ch
´
u
,
a không
´
ıt ho
,
n
( n + 1) phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua d
˜
ay {u
n
}
¯
d
˜
a cho (v
`
ı n
´
oi riêng u
1
, u
2
, . . . , u
n+1
¯
d
˜
a
thu
.
ôc t
.
âp h
.
o
,
p â
´
y), v
.
ây theo nguyên l
´
y Ðirichlê tô
`
n t
.
ai hai sô
´
h
.
ang
kh
´
ac nhau u
p
v
`
a u
q
c
,
ua d
˜
ay thu
.
ôc v
`
ao m
.
ôt c
.
˘
ap ( gi
,
a s
,
u
,
u
p
> u
q
).
Nhu
,
ng hi
.
êu sô
´
c
,
ua m
˜
ôi c
.
˘
ap
¯
dê
`
u b
`
˘
ang n, nên ch
´
ung ta c
´
o u
p
−u
q
= n.
J
.
.
. 7.4. Cho {u
k
}, k = 1, 2, . . . , n l
`
a d
˜
ay sô
´
t
.
u
,
nhiên sao cho
1 ≤ u
1
≤ u
2
≤ . . . ≤ u
n
v
`
a u
1
+ u
2
+ ··· + u
n
= 2n
70 Chu
,
o
,
ng 7. B
`
ai t
.
âp d
˜
ây sô
´
nâng cao
Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang nê
´
u n ch
˜
˘an v
`
a u
n
6= n + 1, th
`
ı t
`
u
,
d
˜
ay trên luôn ch
.
on
ra
¯
du
,
.
o
,
c m
.
ôt d
˜
ay con m
`
a tô
,
ng c
´
ac sô
´
h
.
ang c
,
ua d
˜
ay con
¯
d
´
o b
`
˘ang n.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ð
.
˘
at S
k
= u
1
+ u
2
+ ···+ u
k
, k = 1, 2, 3, . . . , n. X
´
et n + 2 sô
´
{0, u
1
−u
n
, S
1
, S
2
, . . . , S
n
} Theo nguyên l
´
y Ðirichlê th
`
ı
´
ıt nhâ
´
t hai sô
´
khi chia cho n c
´
o c
`
ung phâ
`
n du
,
. V
.
ây, ch
,
ı c
´
o 4 kh
,
a n
˘
ang sau
¯
dây:
1) (u
1
−u
n
) chia hê
´
t cho n.
Do u
1
+ u
2
+ ··· + u
n
≥ n u
1
=⇒ 2n ≥ nu
1
=⇒ u
1
≤ 2
a) Nê
´
u u
1
= 2 th
`
ı t
`
u
,
1 ≤ u
1
≤ u
2
≤ . . . ≤ u
n
v
`
a u
1
+ u
2
+ ···+
u
n
= 2n suy ra u
1
= u
2
= . . . = u
n
= 2. Do n ch
˜
˘
an nên n = 2m v
.
ây
u
1
+ u
2
+ ··· + u
m
= 2m = n
b) Nê
´
u u
1
< 2 th
`
ı t
`
u
,
u
1
− u
n
chia hê
´
t cho n, suy ra u
n
= 1 ho
.
˘
ac
l
`
a u
n
= 1 + n ( do u
1
nguyên nên u
1
= 1 v
`
a 1 ≤ u
n
≤ 2n suy ra
¯
du
,
.
o
,
c kê
´
t lu
.
ân trên). Nhu
,
ng u
n
6= n + 1 suy ra u
n
= 1. M
.
˘
at kh
´
ac
1 ≤ u
1
≤ u
2
≤ . . . ≤ u
n
v
.
ây th
`
ı u
2
= u
3
= . . . = u
n−1
= 1. Suy ra
u
1
+ u
2
+ ··· + u
n
= n, vô l
´
y.
Nhu
,
v
.
ây trong tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p n
`
ay, ta ch
,
ı ra tô
`
n t
.
ai d
˜
ay con u
1
, u
2
, . . . , u
m
sao cho u
1
+ u
2
+ ··· + u
m
= n v
´
o
,
i m =
n
2
.
2) S
j
−S
i
, (j > i) chia hê
´
t cho n.
Ta c
´
o S
j
−S
i
= u
i +1
+ u
i +2
+ ···+ u
j
. R
˜
o r
`
ang vê
´
ph
,
ai c
,
ua
¯
d
,
˘
ang
th
´
u
,
c trên c
´
o
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt sô
´
h
.
ang m
`
a u
k
≥ 1, ∀k = 1, 2, . . . , n, suy ra
S
j
−S
i
≥ 1. M
.
˘
at kh
´
ac c
˜
ung hi
.
êu trên nê
´
u không
¯
d
,
u c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua
d
˜
ay th
`
ı bao gi
`
o
,
ta c
˜
ung c
´
o S
j
− S
i
< u
1
+ u
2
+ ··· + u
n
≤ 2n − 1.
Do
¯
d
´
o cuô
´
i c
`
ung ta c
´
o 1 ≤ S
j
− S
i
< u
1
+ u
2
+ ··· + u
n
≤ 2n − 1
m
`
a S
j
− S
i
chia hê
´
t cho n.
¯
diê
`
u n
`
ay ch
,
ı xâ
,
y ra khi S
j
− S
i
= n ho
.
˘
ac
l
`
a u
i +1
+ u
i +2
+ ··· + u
j
= n.
3) S
i
chia hê
´
t cho n.
7.1. V
´
ı d
.
u 71
Ta c
´
o 1 ≤ S
i
≤ S
n−1
= 2n − u
n
< 2n m
`
a S
i
chia hê
´
t cho n, suy
ra S
i
= n ho
.
˘
ac l
`
a u
1
+ u
2
+ ··· + u
i
chia hê
´
t cho n.
4) S
k
v
`
a u
1
− u
n
cho c
`
ung phâ
`
n du
,
khi chia cho n, v
´
o
,
i k n
`
ao
¯
d
´
o, 1 ≤ k ≤ n − 1. Suy ra S
k
− (u
1
− u
n
) |n =⇒ (u
2
+ u
3
+ ··· +
u
k
+ u
n
) |n. M
`
a u
2
+ u
3
+ ··· + u
k
+ u
n
≤ 2n − u
1
< 2n. Suy ra
u
2
+ u
3
+ ··· + u
k
+ u
n
= n.
T
´
om l
.
ai luôn luôn ch
.
on
¯
du
,
.
o
,
c d
˜
ay con m
`
a tô
,
ng c
,
ua ch
´
ung b
`
˘
ang
n.
J
.
.
. 7.5. Cho d
˜
ay sô
´
nguyên u
1
, u
2
, . . . , u
n
v
´
o
,
i n ≥ 2. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
tô
`
n t
.
ai d
˜
ay con u
k
1
, u
k
2
, . . . , u
k
m
trong
¯
d
´
o 1 ≤ k
1
< k
2
< . . . < k
m
≤ n
sao cho u
2
k
1
+ u
2
k
2
+ ··· + u
2
k
m
chia hê
´
t cho n.
L
`
o
,
i gi
,
ai. X
´
et (n + 1) sô
´
0, u
2
1
, u
2
1
+ u
2
2
, u
2
1
+ u
2
2
+ u
2
3
, . . . , u
2
1
+ u
2
2
+ ··· + u
2
n
Chia c
´
ac sô
´
n
`
ay cho n, th
`
ı ch
´
ung cho nhiê
`
u nhâ
´
t n sô
´
du
,
. Theo
nguyên l
´
y Ðirichlê tô
`
n t
.
ai hai sô
´
cho c
`
ung sô
´
du
,
, gi
,
a s
,
u
,
¯
d
´
o l
`
a u
2
1
+
u
2
2
+ ··· + u
2
j
v
`
a u
2
1
+ u
2
2
+ ··· + u
2
k
(0 ≤ j < k ≤ n). C
´
o ngh
˜
ıa
l
`
a sô
´
( u
2
1
+ u
2
2
+ ··· + u
2
j
) − (u
2
1
+ u
2
2
+ ··· + u
2
k
) chia hê
´
t cho n.
Ho
.
˘
ac l
`
a u
j+1
+ u
j+2
+ ··· + u
k
chia hê
´
t cho n. D
˜
ay con ph
,
ai t
`
ım l
`
a
u
j+1
, u
j+2
, . . . , u
k
.
J
.
.
. 7.6. Cho d
˜
ay Fibonaxi 1, 2, 3, 5, 8,. . . .Ð
.
˘at f (n) = 1985
2
+
1956n
2
+ 1960 Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang tô
`
n t
.
ai vô h
.
an sô
´
h
.
ang u
k
c
,
ua d
˜
ay
Fibonaxi, sao cho f (u
k
) |1989
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ð
.
˘
at h(n) = 4n
2
+ 33 n + 29 =⇒ h(n) = 1989(n
2
+ n + 1) −
f (n). T
`
u
,
¯
d
´
o suy ra f (n)|1989 ⇐⇒ h(n)|1989.
72 Chu
,
o
,
ng 7. B
`
ai t
.
âp d
˜
ây sô
´
nâng cao
X
´
et d
˜
ay sô
´
{v
n
} sau
¯
dây, trong
¯
d
´
o
v
0
= −1, v
1
= 1
v
n+1
= v
n
+ v
n+1
, n = 1, 2, . . .
N
´
oi c
´
ach kh
´
ac d
˜
ay {v
n
} l
`
a d
˜
ay sinh ra b
,
o
,
i d
˜
ay Fibonaxi {u
n
} :
1, 1, 2, 3, 5, . . . b
`
˘
ang c
´
ach thêm v
`
ao tru
,
´
o
,
c d
˜
ay n
`
ay ba sô
´
h
.
ang -1, 1, 0.
G
.
oi r
i
l
`
a phâ
`
n du
,
trong ph
´
ep chia v
i
cho 1989(i = 0, 1, 2, . . .).
Nhu
,
v
.
ây ta c
´
o 0 ≤ r ≤ 1988. X
´
et d
˜
ay c
´
ac c
.
˘
ap sô
´
sau
¯
dây
(r
0
, r
1
), (r
1
, r
2
), (r
2
, r
3
), . . . .
V
`
ı m
˜
ôi c
.
˘
ap r
i
ch
,
ı nh
.
ân m
.
ôt trong 1989 gi
´
a tr
.
i, v
.
ây sô
´
c
´
ac c
.
˘
ap kh
´
ac
nhau tô
´
i
¯
da l
`
a 1989
2
. T
`
u
,
¯
d
´
o theo nguyên l
´
y Ðirichlê th
`
ı trong 1989
2
+
1 c
.
˘
ap
¯
dâ
`
u tiên
´
ıt nhâ
´
t c
´
o hai c
.
˘
ap tr
`
ung nhau. Gi
,
a s
,
u
,
hai c
.
˘
ap â
´
y l
`
a
(r
p
, r
p+1
), (r
p+q
, r
p+q+1
), p, q ∈ N
Ðiê
`
u â
´
y c
´
o ngh
˜
ıa l
`
a r
p
= r
p+1
, r
p+q
= r
p+q+1
. Theo c
´
ach x
´
ac
¯
d
.
inh
d
˜
ay, ta c
´
o
v
p−1
= v
p+1
−v
p
=⇒ r
p−1
= r
p+1
−r
p
Tu
,
o
,
ngt
.
u
,
, ta c
´
o
v
p+q−1
= v
p+q+1
−v
p+q
=⇒ r
p+q−1
= r
p+q+1
−r
p+q
T
`
u
,
¯
d
´
o suy ra r
p−1
= r
p+q−1
. Tu
,
o
,
ngt
.
u
,
, ta c
´
o
r
p−2
= r
p+q−2
. . . . . . .
r
2
= r
q+2
r
1
= r
q+1
r
0
= r
q
T
`
u
,
r
0
= r
q
, r
1
= r
q+1
v
`
a v
n+1
= v
n
+ v
n+1
suy ra r
i
= r
i +q
, ∀i =
0, 1, 2, . . .. Do v
.
ây r
0
= r
q
= r
2q
= r
3q
= . . . = r
kq
, ∀k ≥ 1, suy
7.1. V
´
ı d
.
u 73
ra h(v
kq
) = 1989.A + h(−1) = 1989.A. Nhu
,
ng ∀k = 1, 2, 3 . . . v
kq
¯
dê
`
u l
`
a sô
´
Fibonaxi suy ra c
´
o vô sô
´
sô
´
h
.
ang v
kq
c
,
ua d
˜
ay Fibonaxi m
`
a
f (v
kq
) |1989.
J
.
.
. 7.7. Cho d
˜
ay sô
´
{u
n
} x
´
ac
¯
d
.
inh nhu
,
sau
u
1
= 20, u
2
= 100, v
`
a u
n+1
= 4u
n
+ 5u
n−1
−1976, n = 1, 2, . . .
Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang tô
`
n t
.
ai
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt sô
´
c
,
ua d
˜
ay sô
´
chia hê
´
t cho 1996.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ð
.
˘
at u
n
= 1996p
n
+ q
n
, ∀n = 1, 2, . . . trong
¯
d
´
o p
n
, q
n
l
`
a c
´
ac
sô
´
nguyên v
`
a 0 ≤ q
n
≤ 1995. X
´
et d
˜
ay sô
´
( q
1
, q
2
), (q
2
, q
3
), . . . , (q
n
, q
n+1
), . . .
V
`
ı d
˜
ay n
`
ay vô h
.
an m
`
a sô
´
c
´
ac sô
´
q
i
l
`
a h
˜
u
,
u h
.
an nên tô
`
n t
.
ai hai sô
´
t
.
u
,
nhiên l, m ( gi
,
a s
,
u
,
m > l) sao cho (q
l
, q
l+1
) = (q
m
, q
m+1
) hiê
,
u
theo ngh
˜
ıa q
l
= q
m
v
`
a q
l+1
= q
m+1
. Ch
´
ung ta s
˜
e ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang
q
l−1
= q
m−1
. Th
.
ât v
.
ây,
5(u
m−1
−u
l−1
) = (u
m+1
−4u
m
+ 1976) − (u
l+1
−4u
l
+ 1976)
= (u
m+1
−u
l+1
) −4 (u
m
−u
l
) (7.7)
Do u
k
= 1996p
k
+ q
k
, nên t
`
u
,
(7.7) c
´
o
5(u
m−1
−u
l−1
) = 1996(p
m+1
− p
l+1
) −(q
m+1
−q
l+1
) −
−4[1996 (p
m
− p
l
) −( q
m
−q
l
)] (7.8)
Thay nh
˜
u
,
ng gi
´
a tr
.
i b
`
˘
ang nhau v
`
ao ((7.8) ta
¯
di
¯
dê
´
n
5(u
m−1
−u
l−1
) = 1996[(p
m+1
− p
l+1
) −4(q
m
−q
l
)] (7.9)
T
`
u
,
(7.9) suy ra 5(u
m−1
−u
l−1
) |1996, m
`
a (5, 1996) = 1 =⇒ (u
m−1
−
u
l−1
) |1996 =⇒ 1996(p
m−1
− p
l−1
) + (q
m−1
−q
l−1
) |1996
=⇒ (q
m−1
−q
l−1
) |1996. (7.10)
74 Chu
,
o
,
ng 7. B
`
ai t
.
âp d
˜
ây sô
´
nâng cao
Do 0 ≤ q
m−1
≤ 1995, 0 ≤ q
l−1
≤ 1995
=⇒ −1995 ≤ q
m−1
−q
l−1
≤ 1995 (7.11)
T
`
u
,
(7.10) v
`
a (7.11) suy ra (q
m−1
− q
l−1
) = 0 hay q
m−1
= q
l−1
.
Tu
,
o
,
ng t
.
u
,
ch
´
ung ta c
˜
ung c
´
o thê
,
¯
di
¯
dê
´
n q
m−2
= q
l−2
v
`
a c
´
u
,
tiê
´
p t
.
uc
nhu
,
thê
´
¯
di
¯
dê
´
n
q
2
= q
2
+ ( m −1) v
`
a q
1
= q
1
+ ( m −l) (7.12)
Ta ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang u
m−l
ch
´
ınh l
`
a sô
´
h
.
ang c
,
ua d
˜
ay m
`
a chia hê
´
t cho
1996. Th
.
ât v
.
ây theo c
´
ach x
´
ac
¯
d
.
inh d
˜
ay, ta c
´
o
5u
m−l
= u
m−l+2
−4u
m−l+1
+ 1976
= 1996p
m−l+2
+ q
m−l+2
−4(1996p
m−l+1
+ q
m−l+1
) + 1996
= 1996(p
m−l+2
+ 4p
m+l+1
) + (q
m−l+2
+ 4q
m−l+1
) + 1996
Thay (7.12) v
`
ao
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c trên ta c
´
o
5u
m−l
= 1996(p
m−l+2
−4p
m−l+1
) + (q
2
−4q
1
) + 1996. (7.13)
Do
u
1
= 20 =⇒ u
1
= 0.1996 + 20 =⇒ q
1
= 20
u
2
= 100 =⇒ u
2
= 0.1996 + 100 =⇒ q
2
= 100
V
.
ây t
`
u
,
(7.13) suy ra
5u
m−l
= 1996(p
m−l+2
−4p
m−l+1
) + 1996. (7.14)
Do p
m−l+2
v
`
a p
m−l+1
l
`
a sô
´
nguyên, v
.
ây t
`
u
,
(7.14) suy ra 5u
m−l
|1996
m
`
a ( 5, 1996) = 1 suy ra u
m−l
|1996.
J
.
.
. 7.8. Cho d
˜
ay sô
´
t
.
u
,
nhiên u
1
, u
2
, . . . , u
n+1
sao cho 1 ≤ u
1
< u
2
<
. . . < u
n+1
≤ 2n . Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang tô
`
n t
.
ai hai sô
´
t
.
u
,
nhiên i v
`
a j sao
cho u
j
chia hê
´
t cho u
i
, (j > i).
L
`
o
,
i gi
,
ai. K
´
y hi
.
êu v
i
l
`
a u
,
´
o
,
c sô
´
l
,
e l
´
o
,
n nhâ
´
t c
,
ua u
i
tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng, ngh
˜
ıa l
`
a
u
i
= 2
p
i
.v
i
, v
´
o
,
i v
i
l
,
e v
`
a sô
´
t
.
u
,
nhiên p
i
n
`
ao
¯
d
´
o (i = 1, 2, . . . , n + 1).
7.1. V
´
ı d
.
u 75
Do 1 ≤ u
1
< u
2
< . . . < u
n+1
≤ 2n suy ra v
´
o
,
i m
.
oi i = 1, 2, . . . , n + 1
ta c
´
o v
i
< 2n . X
´
et (n + 1) sô
´
l
,
e v
1
, v
2
, . . . , v
n+1
. C
´
ac sô
´
l
,
e n
`
ay
¯
dê
`
u
du
,
o
,
ng v
`
a nh
,
o ho
,
n 2n. nên sô
´
lu
,
.
o
,
ng c
,
ua ch
´
ung b
`
˘
ang n. V
.
ây theo
nguyên l
´
y Ðirichlê tô
`
n t
.
ai hai sô
´
i, j sao cho 1 ≤ i < j ≤ n + 1 m
`
a
v
i
= v
j
. Theo c
´
ach
¯
d
.
˘
at trên th
`
ı u
i
= 2
p
i
v
i
v
`
a u
j
= 2
p
j
v
j
. Nhu
,
ng
u
i
< u
j
suy ra 2
p
i
v
i
< 2
p
j
v
j
, m
`
a v
i
= v
j
. Suy ra 2
p
i
< 2
p
j
. Do p
i
, p
j
l
`
a
c
´
ac sô
´
nguyên du
,
o
,
ng nên 2
p
j
chia hê
´
t cho 2
p
i
. Ngh
˜
ıa l
`
a u
j
chia hê
´
t
cho u
i
.
J
.
.
. 7.9. (Ðê
`
thi To
´
an Olympic Quô
´
c tê
´
lâ
`
n th
´
u
,
13) D
˜
ay sô
´
{u
n
}, n =
2, 3, 4, . . . x
´
ac
¯
d
.
inh nhu
,
sau u
n
= 2
n
−3. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang d
˜
ay sô
´
n
`
ay
ch
´
u
,
a m
.
ôt t
.
âp vô h
.
an c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
, sao cho bâ
´
t k
`
y hai sô
´
n
`
ao c
,
ua t
.
âp
h
.
o
,
p n
`
ay c
˜
ung nguyên tô
´
c
`
ung nhau.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ta ch
´
u
,
ng minh b
`
˘
ang quy n
.
ap. Gi
,
a thiê
´
t
¯
d
˜
a xây d
.
u
,
ng
¯
du
,
.
o
,
c
k phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua d
˜
ay
u
1
= 2
n
1
−3, u
2
= 2
n
2
−3, . . . , u
k
= 2
n
k
−3
m
`
a v
´
o
,
i m
.
oi i 6= j, th
`
ı (u
j
, u
i
) = 1, v
´
o
,
i 1 ≤ i, j ≤ k,
,
o
,
¯
dây 2 = n
1
<
n
2
< . . . < n
k
.
Ch
´
ung ta s
˜
e xây d
.
u
,
ng sô
´
u
k+1
= 2
n
k+ 1
−3 nguyên tô
´
c
`
ung nhau
v
´
o
,
i c
´
ac sô
´
u
1
, u
2
, . . . , u
k
b
`
˘
ang c
´
ach sau
¯
dây: Ð
.
˘
at l = u
1
.u
2
. . . u
k
. X
´
et
( l + 1 ) sô
´
2
0
, 2
1
, . . . 2
l
Khi chia c
´
ac sô
´
n
`
ay cho l ta
¯
du
,
.
o
,
c m
.
ôt t
.
âp h
.
o
,
p
gô
`
m l sô
´
du
,
. V
.
ây theo nguyên l
´
y Ðirichlê c
´
o
´
ıt nhâ
´
t hai sô
´
cho ta
c
`
ung phâ
`
n du
,
. Gi
,
a s
,
u
,
hai sô
´
¯
d
´
o l
`
a 2
r
v
`
a 2
s
, (s > r). Bây gi
`
o
,
ch
.
on sô
´
p
sao cho pl = 2
r
−2
s
= 2
s
(2
r−s
−1). Do l l
`
a sô
´
l
,
e nên 2
s
không chia
hê
´
t cho l . M
.
˘
at kh
´
ac (2
r
, 2
r−s
) = 1 suy ra (2
r−s
−1) chia hê
´
t cho l.
Ðiê
`
u n
`
ay ngh
˜
ıa l
`
a tô
`
n t
.
ai sô
´
t
.
u
,
nhiên q sao cho 2
r−s
−1 = ql, suy ra
2
r−s+2
−3 = 4.2
r−s
−3 = 4 (ql + 1) −3 = 4ql + 1.
76 Chu
,
o
,
ng 7. B
`
ai t
.
âp d
˜
ây sô
´
nâng cao
Ð
.
˘
at u
k+1
= 2
r−s+2
− 3 = ql. Do u
k+1
= 4ql + 1 v
`
a l =
u
1
.u
2
. . . u
k
, suy ra u
k+1
> u
k
.
Do u
k+1
= 4q l + 1, suy ra (u
k+1
, 1) = 1. Do
¯
d
´
o (u
k+1
, u
i
) = 1 v
´
o
,
i
m
.
oi i = 1, 2, . . . , k.
Nhu
,
v
.
ây khi
¯
d
˜
a xây d
.
u
,
ng
¯
du
,
.
o
,
c d
˜
ay con u
1
, u
2
, . . . , u
k
th
,
oa m
˜
an
¯
diê
`
u ki
.
ên
¯
dâ
`
u b
`
ai, th
`
ı s
˜
e xây du
,
.
o
,
ng
¯
du
,
.
o
,
c d
˜
ay con m
´
o
,
i u
1
, u
2
, . . . , u
k
,
u
k+1
c
˜
ung c
´
o t
´
ınh châ
´
t â
´
y. Theo nguyên l
´
y qui n
.
ap ch
´
ung ta xây d
.
u
,
ng
¯
du
,
.
o
,
c d
˜
ay con vô h
.
an u
1
, u
2
, . . . , u
n
, . . . . c
,
ua d
˜
ay
¯
d
˜
a cho c
´
o t
´
ınh châ
´
t:
Bâ
´
t c
´
u
,
c
.
˘
ap phâ
`
n t
,
u
,
n
`
ao c
,
ua d
˜
ay con â
´
y c
˜
ung nguyên tô
´
c
`
ung nhau.
J
.
.
. 7.10. Cho u
1
v
`
a u
2
l
`
a hai sô
´
nguyên du
,
o
,
ng nguyên tô
´
c
`
ung nhau.
D
˜
ay sô
´
{u
n
} x
´
ac
¯
d
.
inh v
´
o
,
i u
1
, u
2
l
`
a hai sô
´
h
.
ang
¯
dâ
`
u tiên, c
`
on khi n =
2, 3, . . . ta x
´
ac
¯
d
.
inh
u
n+1
= u
n
u
n−1
+ 1
Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang v
´
o
,
i m
.
oi i > 1 tô
`
n t
.
ai j > i sao cho u
j
chia hê
´
t cho
u
i
.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Lâ
´
y i > 1 t
`
uy
´
y, v
`
a p l
`
a u
,
´
o
,
c sô
´
nguyên tô
´
c
,
ua u
i
. Xây d
.
u
,
ng
d
˜
ay sô
´
{v
n
} nhu
,
sau
0 ≤ v
n
≤ p − 1
v
n
≡ u
n
(mod p)
Ta c
˜
ung c
´
o v
n+1
= v
n
v
n−1
+ 1 (mod p), ∀n = 2, 3 . . . V
`
ı c
´
ac c
.
˘
ap
( v
n
, v
n−1
) l
`
a vô h
.
an, m
`
a v
n
ch
,
ı nh
.
ân h
˜
u
,
u h
.
an gi
´
a tr
.
i suy ra {v
n
}
ph
,
ai l
`
a d
˜
ay tuâ
`
n ho
`
an t
`
u
,
m
.
ôt l
´
uc n
`
ao
¯
d
´
o. Ta câ
`
n ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang
tô
`
n t
.
ai sô
´
nguyên du
,
o
,
ng k
p
> 0 sao cho
v
i +k
p
= 0. (7.15)
X
´
et hai kh
,
a n
˘
ang sau
7.1. V
´
ı d
.
u 77
1) Gi
,
a s
,
u
,
d
˜
ay {v
n
} tuâ
`
n ho
`
an t
`
u
,
v
s
v
´
o
,
i chu k
`
y T, trong
¯
d
´
o s > i.
Ta c
´
o
v
s+1
= v
s
v
s−1
+ 1 = v
s+T+1
= v
s+T
v
s+T−1
+ 1 (mod p)
v
s
v
s−1
= v
s+T
v
s+T−1
(mod p). (7.16)
a) Nê
´
u v
s
= v
s+T
≡ 0 (mod p), th
`
ı v
s
= v
s+T
= 0, do 0 ≤ v
n
≤
p − 1, ∀n. Khi
¯
d
´
o ch
,
ı vi
.
êc ch
.
on k
p
= s − i, Suy ra v
i +k
p
= v
s
= 0,
v
.
ây (7.15)
¯
d
´
ung.
b) Nê
´
u v
s
= v
s+T
6= 0, th
`
ı t
`
u
,
(7.16) c
´
o v
s−1
= v
s+T−1
. Suy ra
{v
n
} tuâ
`
n ho
`
an không ph
,
ai b
´
˘
at
¯
dâ
`
u t
`
u
,
v
s
¯
diê
`
u n
`
ay mâu thu
˜
ân v
´
o
,
i
c
´
ach ch
.
on s.Kh
,
a n
˘
ang n
`
ay không xâ
,
y ra.
T
´
om l
.
ai h
.
ê th
´
u
,
c (7.15)
¯
d
´
ung trong tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p 1).
2) Nê
´
u s ≤ i th
`
ı h
.
ê th
´
u
,
c (7.15) hiê
,
n nhiên
¯
d
´
ung. Ta c
´
o v
i +1
≡
u
i +1
(mod p) ≡ u
i
u
i −1
+ 1 (mod p) v
.
ây v
i
≡ u
i
(mod p) nhu
,
ng
do p l
`
a u
,
´
o
,
c nguyên tô
´
c
,
ua u
i
suy ra v
i
≡ 0 (mod p), nhu
,
v
.
ây v
i +1
≡
1 (mod p) hay l
`
a v
i +1
= 1.
Tu
,
o
,
ngt
.
u
,
, do v
i +k
p
= 0 suy ra v
i +k
p
+1
= 1. Nhu
,
v
.
ây suy ra {v
n
}
c
˜
ung tuâ
`
n ho
`
an v
´
o
,
i chu k
`
y k
p
t
´
u
,
c l
`
a v
´
o
,
i m
.
oi l nguyên du
,
o
,
ng, ta c
´
o
v
i +l.k
p
= 0. (7.17)
Ngh
˜
ıa l
`
a u
i +l.k
p
chia hê
´
t cho p.
Nhu
,
v
.
ây v
´
o
,
i m
.
oi u
,
´
o
,
c nguyên tô
´
p c
,
ua u
i
ta xây d
.
u
,
ng
¯
du
,
.
o
,
c sô
´
k
p
sao cho (7.17)
¯
d
´
ung.
G
.
oi m l
`
a b
.
ôi sô
´
chung nh
,
o nhâ
´
t c
,
ua tâ
´
t c
,
a c
´
ac sô
´
k
p
, theo (7.3)
suy ra v
i +lm
= 0 v
´
o
,
i m
.
oi l nguyên du
,
o
,
ng. Suy ra u
i +lm
chia hê
´
t cho
tâ
´
t c
,
a c
´
ac u
,
´
o
,
c sô
´
nguyên tô
´
c
,
ua u
i
. T
´
u
,
c l
`
a u
i +lm
chia hê
´
t cho u
i
v
´
o
,
i
m
.
oi sô
´
nguyên du
,
o
,
ng l. Lâ
´
y j = i + lm, ta c
´
o
¯
diê
`
u ph
,
ai ch
´
u
,
ng minh.
J
78 Chu
,
o
,
ng 7. B
`
ai t
.
âp d
˜
ây sô
´
nâng cao
7.2. B
`
ai t
.
âp
.
.
. 7.11. Nê
´
u ba sô
´
nguyên tô
´
th
.
u
,
c s
.
u
,
l
´
o
,
n ho
,
n 3 l
.
âp th
`
anh m
.
ôt câ
´
p
sô
´
c
.
ông th
`
ı công sai c
,
ua ch
´
ung chia hê
´
t cho 6.
.
.
. 7.12. cho f (n) l
`
a h
`
am x
´
ac
¯
d
.
inh trên t
.
âp c
´
ac sô
´
nguyên du
,
o
,
ng nhu
,
sau: nê
´
u n = a
1
a
2
. . . a
k
, th
`
ı f (n) = (a
1
+ a
2
+ ··· + a
k
)
1998
. V
´
o
,
i m
˜
ôi
sô
´
nguyên du
,
o
,
ng n, l
.
âp d
˜
ay vô h
.
an u
i
( n), i = 1, 2, . . . nhu
,
sau
u
i
( n) = f ( f (. . . f (n)i lâ
`
n f
| {z }
Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang v
´
o
,
i m
.
oi n nguyên du
,
o
,
ng, tô
`
n t
.
ai p sao cho d
˜
ay
u
i
( n), i = p, p + 1, . . . l
`
a d
˜
ay tuâ
`
n ho
`
an.
.
.
. 7.13. Cho u
1
, u
2
, . . . , u
n
l
`
a d
˜
ay sô
´
t
`
uy
´
y gô
`
m n sô
´
h
.
ang. Ch
´
u
,
ng
minh r
`
˘
ang luôn luôn tr
´
ıch
¯
du
,
.
o
,
c m
.
ôt d
˜
ay con sao cho nê
´
u g
.
oi S l
`
a
tô
,
ng c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua d
˜
ay con â
´
y, th
`
ı S kh
´
ac v
´
o
,
i sô
´
nguyên gâ
`
n nhâ
´
t
m
.
ôt lu
,
.
o
,
ng không vu
,
.
o
,
t qu
´
a
1
n + 1
.
.
.
. 7.14. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang nê
´
u nh
˜
u
,
ng sô
´
nguyên a v
`
a m nguyên tô
´
c
`
ung nhau, th
`
ı tô
`
n t
.
ai m
.
ôt sô
´
t
.
u
,
nhiên n m
`
a t
´
ıch na chia cho m cho
sô
´
du
,
1.
CHU
,
O
,
NG 8
S
´
Ô TH
.
U
,
C V
´
O
,
I T
.
ÂP TR
`
U M
.
ÂT
8.1. T
.
âp tr
`
u m
.
ât
Trên
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang th
.
u
,
c ch
´
ung ta thu
,
`
o
,
ng quan tâm t
´
o
,
i kh
´
ai ni
.
êm
m
.
ôt kho
,
ang (m
.
ôt
¯
do
.
an th
,
˘
ang), ta c
´
o thê
,
hiê
,
u m
.
ôt kho
,
ang trên
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang th
.
u
,
c l
`
a t
.
âp h
.
o
,
p tâ
´
t c
,
a c
´
ac sô
´
th
.
u
,
c n
`
˘
am gi
˜
u
,
a hai
¯
diê
,
m
¯
d
˜
a cho. Nhu
,
v
.
ây hai
¯
diê
,
m
¯
dê
,
x
´
ac
¯
d
.
inh m
.
ôt kho
,
ang c
´
o thê
,
n
`
˘
am trong
ho
.
˘
ac n
`
˘
am ngo
`
ai kho
,
ang
¯
d
´
o ;
¯
dây l
`
a xuâ
´
t ph
´
at c
,
ua kh
´
ai ni
.
êm
¯
d
´
ong,
m
,
o
,
,..
,
o
,
ng
`
anh gi
,
ai t
´
ıch, gi
,
ai t
´
ıch h
`
am trong to
´
an h
.
oc cao câ
´
p. Nhu
,
ng
,
o
,
¯
dây ta không quan tâm
¯
diê
`
u
¯
d
´
o, m
`
a ch
,
ı quan tâm t
´
o
,
i c
´
ac kh
´
ai
ni
.
êm sau
¯
dây v
´
o
,
i quan
¯
diê
,
m kiê
´
n th
´
u
,
c so
,
câ
´
p. V
´
o
,
i a, b l
`
a sô
´
th
.
u
,
c, k
´
y
hi
.
êu [a,b] l
`
a kho
,
ang
¯
du
,
.
o
,
c t
´
ınh c
,
a hai
¯
diê
,
m
¯
dâ
`
u a, b v
`
a g
.
oi l
`
a kho
,
ang
¯
d
´
ong. Kho
,
ang m
,
o
,
¯
du
,
.
o
,
c k
´
y hi
.
êu l
`
a (a, b), không lâ
´
y hai
¯
diê
,
m
¯
dâ
`
u
a, b. Ngo
`
ai ra ta c
`
on x
´
et kho
,
ang n
,
u
,
a
¯
d
´
ong (n
,
u
,
a m
,
o
,
) do vi
.
êc ta ch
,
ı
lâ
´
y m
.
ôt trong hai
¯
diê
,
m
¯
dâ
`
u a ho
.
˘
ac b,v
´
ı d
.
u nhu
,
[a, b) ho
.
˘
ac (a, b]. M
.
ôt
kho
,
ang trong t
.
âp sô
´
th
.
u
,
c g
.
oi l
`
a suy tho
´
ai nê
´
u n
´
o ch
,
ı l
`
a m
.
ôt
¯
diê
,
m
(t
´
u
,
c l
`
a khi hai
¯
diê
,
m
¯
dâ
`
u tr
`
ung nhau).
M
.
ôt t
.
âp h
.
o
,
p A c
,
ua sô
´
th
.
u
,
c g
.
oi l
`
a tr
`
u m
.
ât, nê
´
u m
.
oi kho
,
ang
không suy tho
´
ai
¯
dê
`
u ch
´
u
,
a m
.
ôt sô
´
phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua A.
M
.
ôt v
´
ı d
.
u d
˜
ê thâ
´
y l
`
a t
.
âp h
.
o
,
p sô
´
h
˜
u
,
u t
,
y gô
`
m c
´
ac sô
´
c
´
o thê
,
biê
,
u
di
˜
ên nhu
,
m
.
ôt thu
,
o
,
ng c
,
ua hai sô
´
nguyên v
`
a t
.
âp h
.
o
,
p sô
´
vô t
,
y gô
`
m
80 Chu
,
o
,
ng 8. Sô
´
th
.
u
,
c v
´
o
,
i t
.
âp tr
`
u m
.
ât
nh
´
u
,
ng sô
´
không ph
,
ai l
`
a sô
´
h
˜
u
,
u t
,
y
¯
dê
`
u l
`
a nh
˜
u
,
ng t
.
âp tr
`
u m
.
ât trong
t
.
âp sô
´
th
.
u
,
c.
Ngu
,
`
o
,
i ta c
`
on m
,
o
,
r
.
ông kh
´
ai ni
.
êm tr
`
u m
.
ât cho m
.
ôt kho
,
ang trên
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang th
.
u
,
c. Cho ∆ l
`
a m
.
ôt kho
,
ang bâ
´
t k
`
y trên
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang
th
.
u
,
c. Ch
´
ung ta g
.
oi t
.
âp h
.
o
,
p B gô
`
m nh
˜
u
,
ng sô
´
th
.
u
,
c l
`
a tr
`
u m
.
ât trong
∆, nê
´
u v
´
o
,
i m
.
oi kho
,
ang con không suy tho
´
ai c
,
ua ∆
¯
dê
`
u ch
´
u
,
a nh
˜
u
,
ng
phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua B. R
˜
o r
`
ang t
.
âp h
.
o
,
p c
´
ac sô
´
h
˜
u
,
u t
,
y tr
`
u m
.
ât trong m
.
oi
kho
,
ang; v
`
a t
.
âp h
.
o
,
p c
´
ac sô
´
vô t
,
y c
˜
ung c
´
o t
´
ınh châ
´
t â
´
y.
Nh
˜
u
,
ng k
´
y hi
.
êu hay
¯
du
,
.
o
,
c d
`
ung: v
´
o
,
i m
.
oi sô
´
th
.
u
,
c x, k
´
y hi
.
êu [x] l
`
a
sô
´
nguyên l
´
o
,
n nhâ
´
t không vu
,
.
o
,
t qu
´
a x, {x} l
`
a sô
´
x − [x]; [x] v
`
a {x}
g
.
oi l
`
a phâ
`
n nguyên v
`
a phâ
`
n th
.
âp phân c
,
ua sô
´
x. T
`
u
,
¯
d
.
inh ngh
˜
ıa c
´
o
thê
,
thâ
´
y ngay 0 ≤ x − [x] < 1. Ðê
,
hiê
,
u r
˜
o ho
,
n kh
´
ai ni
.
êm tr
`
u m
.
ât
trong phâ
`
n n
`
ay ta x
´
et m
.
ôt lo
.
at b
`
ai to
´
an c
´
o liên quan v
`
a c
´
ach s
,
u
,
d
.
ung
nguyên l
´
y Ðirichlê
¯
dê
,
ch
´
u
,
ng minh
¯
dinh l
´
y co
,
b
,
an Kronecker.
8.2. V
´
ı d
.
u
.
.
. 8.1. Nê
´
u m
.
ôt t
.
âp h
.
o
,
p A c
,
ua sô
´
th
.
u
,
c l
`
a tr
`
u m
.
ât v
`
a r l
`
a sô
´
th
.
u
,
c kh
´
ac
không, th
`
ı t
.
âp h
.
o
,
p gô
`
m tâ
´
t c
,
a t
´
ıch sô
´
{ra} v
´
o
,
i a ch
.
ay trong A c
˜
ung l
`
a
t
.
âp tr
`
u m
.
ât.
L
`
o
,
i gi
,
ai. C
´
o hai tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p xâ
,
y ra: r > 0 v
`
a r < 0. V
`
ı c
´
ach ch
´
u
,
ng
minh ho
`
an to
`
an tu
,
o
,
ng t
.
u
,
nên ta ch
,
ı x
´
et tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p
¯
dâ
`
u. Cho x v
`
a
y l
`
a hai sô
´
th
.
u
,
c v
`
a x < y. Khi
¯
d
´
o
x
r
<
y
r
v
`
a theo gi
,
a thiê
´
t A l
`
a t
.
âp
tr
`
u m
.
ât, th
`
ı tô
`
n t
.
ai phâ
`
n t
,
u
,
a thu
.
ôc A sao cho
x
r
< a <
y
r
. Suy ra
x < ar < y. Nhu
,
v
.
ây m
.
oi kho
,
ang m
,
o
,
(x, y) ch
´
u
,
a sô
´
d
.
ang ra v
´
o
,
i a
thu
.
ôc A.
J
.
.
. 8.2. (Ð
.
inh l
´
y Kronecker) V
´
o
,
i m
.
oi sô
´
vô t
,
y α, t
.
âp h
.
o
,
p tâ
´
t c
,
a c
´
ac sô
´
c
´
o
8.2. V
´
ı d
.
u 81
d
.
ang mα + n l
`
a t
.
âp tr
`
u m
.
ât,
,
o
,
¯
dây m v
`
a n l
`
a nh
˜
u
,
ng sô
´
nguyên bâ
´
t k
`
y.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Câ
`
n ph
,
ai ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang m
.
oi kho
,
ang không suy tho
´
ai
∆ ch
´
u
,
a nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m d
.
ang mα + n. Ch
´
ung ta chia kho
,
ang [0,1] ra
th
`
anh m
.
ôt sô
´
h
˜
u
,
u h
.
an kho
,
ang con ∆
1
, ∆
2
, . . . , ∆
k
m
`
a
¯
d
.
ô d
`
ai c
,
ua m
˜
ôi
kho
,
ang con nh
,
o ho
,
n
¯
d
.
ô d
`
ai c
,
ua ∆. Ch
´
u
´
y r
`
˘
ang v
´
o
,
i m
.
oi sô
´
a tô
`
n t
.
ai
m
.
ôt sô
´
nguyên n, sao cho sô
´
a + n n
`
˘
am trong kho
,
ang [0,1]. Suy ra
v
´
o
,
i m
.
oi sô
´
nguyên m c
´
o thê
,
cho tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i m
.
ôt sô
´
d
.
ang mα + n,
m
`
a n
´
o n
`
˘
am trong kho
,
ang [0,1]. Nhu
,
ng
¯
do
.
an th
,
˘
ang [0,1]
¯
du
,
.
o
,
c chia
ra h
˜
u
,
u h
.
an kho
,
ang nh
,
o. Suy ra tô
`
n t
.
ai nh
˜
u
,
ng sô
´
nguyên m, m
1
, n, n
1
,
v
´
o
,
i m 6= m
1
v
`
a nh
˜
u
,
ng sô
´
mα + n v
`
a m
1
α + n
1
n
`
˘
am trong c
`
ung m
.
ôt
kho
,
ang nh
,
o ∆
i
. Do
¯
d
´
o kho
,
ang c
´
ach gi
˜
u
,
a hai
¯
diê
,
m n
`
ay nh
,
o ho
,
n
¯
d
.
ô
d
`
ai c
,
ua ∆. Ch
´
ung ta c
˜
ung thâ
´
y không thê
,
xâ
,
y ra mα + n = m
1
α + n
1
,
v
`
ı t
`
u
,
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c n
`
ay suy ra α =
n
1
−n
m −m
1
m
`
a l
.
ai l
`
a m
.
ôt sô
´
h
˜
u
,
u t
,
y, tr
´
ai
v
´
o
,
i gi
,
a thiê
´
t.
Nhu
,
v
.
ây ch
´
ung ta kh
,
˘
ang
¯
d
.
inh r
`
˘
ang sô
´
( m −m
1
) α + (n −n
1
) kh
´
ac
không v
`
a c
´
o gi
´
a tr
.
i tuy
.
êt
¯
dô
´
i nh
,
o ho
,
n ∆. T
`
u
,
¯
d
´
o suy ra m
.
ôt sô
´
u
,
´
o
,
c sô
´
c
,
ua n
´
o, c
˜
ung c
´
o d
.
ang mα + n, s
˜
e n
`
˘
am trong kho
,
ang ∆.
J
.
.
. 8.3. Cho α l
`
a m
.
ôt sô
´
vô t
,
y du
,
o
,
ng. Khi
¯
d
´
o t
.
âp h
.
o
,
p tâ
´
t c
,
a sô
´
c
´
o d
.
ang
mα −n l
`
a t
.
âp tr
`
u m
.
ât,v
´
o
,
i m v
`
a n l
`
a nh
˜
u
,
ng sô
´
t
.
u
,
nhiên bâ
´
t k
`
y.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Kê
´
t lu
.
ân c
,
ua b
`
ai n
`
ay m
.
anh ho
,
n
¯
d
.
inh l
´
y trên v
`
ı n
´
o kh
,
˘
ang
¯
d
.
inh m
.
ôt t
.
âp sô
´
th
.
u
,
c nh
,
o ho
,
n t
.
âp mô t
,
a trong
¯
dij nh l
´
y
¯
d
´
o c
˜
ung tr
`
u
m
.
ât.
Cho kho
,
ang không suy tho
´
ai ∆ n
`
˘
am
,
o
,
bên ph
,
ai sô
´
không v
`
a c
´
o
¯
d
.
ô d
`
ai e > 0. Không
,
anh hu
,
,
o
,
ng
¯
dê
´
n kê
´
t qu
,
a ch
´
u
,
ng minh c
´
o thê
,
gi
,
a
thiê
´
t e < 1. Ngo
`
ai ra ta c
´
o thê
,
ch
.
on sô
´
t
.
u
,
nhiên k sao cho k ≥
e
α
. T
`
u
,
8.1 v
`
a 8.2 suy ra t
.
âp c
´
ac sô
´
kpα + kq v
´
o
,
i p v
`
a q l
`
a c
´
ac sô
´
nguyên bâ
´
t
82 Chu
,
o
,
ng 8. Sô
´
th
.
u
,
c v
´
o
,
i t
.
âp tr
`
u m
.
ât
k
`
y, l
`
a t
.
âp tr
`
u m
.
ât. Ngh
˜
ıa l
`
a tô
`
n t
.
ai c
´
ac sô
´
nguyên p v
`
a q th
,
oa m
˜
an
0 < kp α + kq < e. (8.1)
Ch
´
ung ta s
˜
e ch
,
ı ra r
`
˘
ang gi
˜
u
,
a nh
˜
u
,
ng c
.
˘
ap sô
´
nguyên (p, q) trong (8.1)
c
´
o nh
˜
u
,
ng c
.
˘
ap m
`
a p > 0. Th
.
ât v
.
ây, tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p p = 0 không thê
,
xâ
,
y
ra v
`
ı t
`
u
,
(8.1) suy ra 0 < kq < e, mâu thu
˜
ân v
´
o
,
i
¯
diê
`
u ta
¯
d
˜
a biê
´
t l
`
a kq
l
`
a sô
´
nguyên v
`
a e < 1. Do v
.
ây ch
,
ı c
`
on ph
,
ai ch
´
u
,
ng minh cho tru
,
`
o
,
ng
h
.
o
,
p p < 0. Trong tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p n
`
ay sô
´
c
´
o d
.
ang kpsα + kqt v
´
o
,
i s, t l
`
a
nh
˜
u
,
ng sô
´
nguyên bâ
´
t k
`
y, t
.
ao th
`
anh t
.
âp tr
`
u m
.
ât. T
`
u
,
(8.1) suy ra tô
`
n
t
.
ai sô
´
nguyên s v
`
a t sao cho
0 < kp sα + kqt < kpα + kq. (8.2)
Nê
´
u s < 0, th
`
ı kps > 0 v
`
a ch
´
u
,
ng minh l
.
ai
¯
d
´
ung. V
`
ı thê
´
ta ch
,
ı x
´
et
s ≥ 0. T
`
u
,
(8.1) v
`
a (8.2) suy ra
0 < kp (1 − s)α + kq − kpt < e. (8.3)
V
`
ı v
´
o
,
i s = 0 bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c (8.2) không thê
,
xâ
,
y ra, nên s > 0. Nhu
,
ng
b
,
o
,
i v
`
ı s l
`
a sô
´
nguyên, th
`
ı t
`
u
,
s > 0 suy ra s ≥ 1. T
.
ai v
`
ı ((8.3) không
thê
,
xâ
,
y ra v
´
o
,
i s = 1, t
`
u
,
bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c cuô
´
i c
`
ung l
.
ai suy ra s > 1.
Nhu
,
v
.
ây kp(1 − s) > 0. Ðiê
`
u
¯
d
´
o c
´
o ngh
˜
ıa l
`
a tô
`
n t
.
ai c
´
ac sô
´
nguyên p
v
`
a q th
,
oa m
˜
an (8.1) v
`
a p > 0. T
`
u
,
(8.1) suy ra
kq < e −kpα < e − p
e
α
α = e(1 − p) ≤ 0
V
.
ây kq < 0. Theo c
´
ach n
`
ay (8.1)
¯
du
,
.
o
,
c
¯
du
,
a vê
`
d
.
ang 0 < mα −n < e,
,
o
,
¯
dây m v
`
a n l
`
a nh
˜
u
,
ng sô
´
t
.
u
,
nhiên. B
,
o
,
i v
`
ı e l
`
a
¯
d
.
ô d
`
ai c
,
ua∆, t
`
u
,
bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c cuô
´
i c
`
ung suy ra m
.
ôt u
,
´
o
,
c sô
´
n
`
ao
¯
d
´
o c
,
ua mα − n, c
˜
ung c
´
o
d
.
ang n
`
ay, s
˜
e n
`
˘
am trong ∆. Tu
,
o
,
ng t
.
u
,
c
˜
ung ch
´
u
,
ng minh
¯
du
,
.
o
,
c khi ∆
n
`
˘
am
,
o
,
bên tr
´
ai sô
´
không.
J
.
.
. 8.4. Cho α l
`
a sô
´
vô t
,
y bâ
´
t k
`
y. Khi
¯
d
´
o t
.
âp h
.
o
,
p nh
˜
u
,
ng sô
´
d
.
ang {αn},
v
´
o
,
i n l
`
a sô
´
t
.
u
,
nhiên bâ
´
t k
`
y, l
`
a t
.
âp tr
`
u m
.
ât trong kho
,
ang (0,1).
8.2. V
´
ı d
.
u 83
L
`
o
,
i gi
,
ai. Câ
`
n ph
,
ai ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang m
.
oi kho
,
ang con không suy
biê
´
n (a, b) c
,
ua (0,1) ch
´
u
,
a sô
´
c
´
o d
.
ang {αn} v
´
o
,
i m
.
ôt sô
´
t
.
u
,
nhiên
n n
`
ao
¯
d
´
o. Ch
´
ung ta ch
´
u
,
ng minh cho tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p khi α l
`
a m
.
ôt sô
´
du
,
o
,
ng. Theo b
`
ai 8.3 nh
˜
u
,
ng sô
´
c
´
o d
.
ang nα − m v
´
o
,
i n, m l
`
a c
´
ac sô
´
t
.
u
,
nhiên, t
.
ao th
`
anh t
.
âp tr
`
u m
.
ât. Ngh
˜
ıa l
`
a tô
`
n t
.
ai nh
˜
u
,
ng sô
´
t
.
u
,
nhiên
m v
`
a n th
,
oa m
˜
an 0 ≤ a < nα − m < b < 1. Nhu
,
ng t
`
u
,
¯
d
.
inh ngh
˜
ıa
[α n] suy ra 0 ≤ nα − [nα] < 1. Ch
´
ung ta nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c hi
.
êu hai sô
´
nguyên m v
`
a [nα] th
,
oa m
˜
an −1 < m − [nαm] < 1,
¯
diê
`
u n
`
ay ch
,
ı
xâ
,
y ra khi m − [nαm] = 0, do
¯
d
´
o m = [nα]. T
`
u
,
(8.1) ch
,
ı ra r
`
˘
ang sô
´
{n α} = nα − [nα] n
`
˘
am trong kho
,
ang (a, b). V
´
o
,
i α > 0, ch
´
ung ta
¯
d
˜
a
ch
´
u
,
ng minh xong.
Tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p α < 0. Khi
¯
d
´
o −α > 0 v
`
a t
`
u
,
b
`
ai 8.3 suy ra tô
`
n t
.
ai
nh
˜
u
,
ng sô
´
t
.
u
,
nhiên m v
`
a n, th
,
oa m
˜
an −1 ≤ −b < n(−α) − m <
−a ≤ 0. Nhân c
´
ac vê
´
v
´
o
,
i -1 ch
´
ung ta nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c 0 ≤ a < nα − m <
b ≤ 1. Nhu
,
v
.
ây d
˜
ê d
`
ang t
´
ınh ra m = −[nα] v
`
a {nα} n
`
˘
am trong
kho
,
ang (a, b).
J
.
.
. 8.5. T
.
âp h
.
o
,
p tâ
´
t c
,
a c
´
ac sô
´
d
.
ang {log n} v
´
o
,
i n l
`
a sô
´
t
.
u
,
nhiên bâ
´
t k
`
y
l
`
a t
.
âp tr
`
u m
.
ât trong (0,1).
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
ung ta c
´
o thê
,
ch
´
u
,
ng minh m
,
o
,
r
.
ông ho
,
n m
.
ôt ch
´
ut: t
.
âp
h
.
o
,
p c
´
ac sô
´
d
.
ang {n log 2} v
´
o
,
i n l
`
a sô
´
t
.
u
,
nhiên bâ
´
t k
`
y, l
`
a t
.
âp tr
`
u m
.
ât
trong (0,1).
Ðê
,
¯
d
.
at m
.
uc
¯
d
´
ıch n
`
ay ch
´
ung ta ch
´
u
,
ng minh log 2 l
`
a m
.
ôt sô
´
vô
t
,
y. Th
.
ât v
.
ây, trong tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p ngu
,
.
o
,
c l
.
ai th
`
ı tô
`
n t
.
ai hai sô
´
t
.
u
,
nhiên
p v
`
a q, m
`
a log 2 =
p
q
, ngh
˜
ıa l
`
a 2 = 10
p
q
. L
˜
uy th
`
u
,
a
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c cuô
´
i
c
`
ung v
´
o
,
i q ch
´
ung ta nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c 2
q
= 2
p
.5
p
. Ðiê
`
u n
`
ay tr
´
ai
¯
d
.
inh l
´
y
co
,
b
,
an c
,
ua sô
´
h
.
oc vê
`
vi
.
êc phân t
´
ıch ra th
`
u
,
a sô
´
nguyên tô
´
. Nhu
,
v
.
ây
84 Chu
,
o
,
ng 8. Sô
´
th
.
u
,
c v
´
o
,
i t
.
âp tr
`
u m
.
ât
log 2 th
.
u
,
c s
.
u
,
l
`
a m
.
ôt sô
´
vô t
,
y. Áp d
.
ung 8.4 suy ra t
.
âp c
´
ac sô
´
c
´
o d
.
ang
{n log 2 } l
`
a tr
`
u m
.
ât trong (0,1).
M
.
˘
at kh
´
ac, theo t
´
ınh châ
´
t c
,
ua logarit, log 2
n
= n log 2 v
´
o
,
i m
.
oi
n = 1, 2, . . .
J
.
.
. 8.6. Cho m l
`
a sô
´
nguyên, n l
`
a sô
´
nguyên không âm. T
.
âp h
.
o
,
p tâ
´
t c
,
a
c
´
ac sô
´
c
´
o d
.
ang
m
2
n
l
`
a t
.
âp tr
`
u m
.
ât.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Do c
´
ac b
`
ai to
´
an trên, ch
´
ung ta ch
,
ı câ
`
n ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang
t
.
âp h
.
o
,
p sô
´
d
.
ang
3
m
2
n
v
´
o
,
i m, n l
`
a nh
˜
u
,
ng sô
´
nguyên du
,
o
,
ng, l
`
a tr
`
u m
.
ât
trong kho
,
ang (0, +∞). Ðiê
`
u
¯
d
´
o c
´
o ngh
˜
ıa l
`
a v
´
o
,
i m
.
oi c
.
˘
ap sô
´
du
,
o
,
ng
a, b(a < b) tô
`
n t
.
ai nh
˜
u
,
ng sô
´
t
.
u
,
nhiên m v
`
a n th
,
oa m
˜
an a <
3
m
2
n
< b.
Sau khi logarit h
´
oa c
.
˘
ap bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c n
`
ay theo co
,
sô
´
2, ch
´
ung ta
nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c c
.
˘
ap bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c tu
,
o
,
ng
¯
du
,
o
,
ng log
2
a < m log
2
3 − n <
log
2
b. C
´
ach ch
´
u
,
ng minh tu
,
o
,
ng t
.
u
,
nhu
,
8.5 cho thâ
´
y log
2
3 l
`
a vô t
,
y.
Khi
¯
d
´
o
¯
d
.
inh l
´
y Kronecker ch
,
ı ra r
`
˘
ang trong
¯
do
.
an (log
2
a, log
2
b) ch
´
u
,
a
sô
´
c
´
o d
.
ang {m log
2
3 − n}.
J
.
.
. 8.7. T
.
âp h
.
o
,
p tâ
´
t c
,
a c
´
ac sô
´
h
.
ang c
,
ua d
˜
ay x
´
ac
¯
d
.
inh b
`
˘ang công th
´
u
,
c
x
n
=
n
10
[log n]+1
, n = 1, 2, 3 . . ., l
`
a tr
`
u m
.
ât trong kho
,
ang (
1
10
, 1) .
L
`
o
,
i gi
,
ai. Lâ
´
y hai sô
´
th
.
u
,
c a v
`
a b sao cho
1
10
≤ a < b ≤ 1. Câ
`
n ph
,
ai
ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang tô
`
n t
.
ai sô
´
t
.
u
,
nhiên n, th
,
oa m
˜
an a <
n
10
[log n]+1
<
b. Sau khi logarit h
´
oa bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c trên v
´
o
,
i co
,
sô
´
10 ch
´
ung ta
nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c tu
,
o
,
ng
¯
du
,
o
,
ng 1 + log a < log n −[log n] =
{log n} < 1 + log b. Nhu
,
ng kho
,
ang m
,
o
,
v
´
o
,
i c
´
ac
¯
dâ
`
u m
´
ut 1 + log a
v
`
a 1 + log b r
˜
o r
`
ang n
`
˘
am trong kho
,
ang (0, 1). Ðiê
`
u n
`
ay gi
,
ai th
´
ıch t
.
ai
sao tô
`
n t
.
ai m
.
ôt sô
´
t
.
u
,
nhiên n th
,
oa m
˜
an bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c sau c
`
ung, b
,
o
,
i
8.2. V
´
ı d
.
u 85
v
`
ı theo 8.5 t
.
âp h
.
o
,
p c
´
ac sô
´
c
´
o d
.
ang {log n} l
`
a tr
`
u m
.
ât trong (0, 1).
Nhu
,
v
.
ây th
`
ı a < x
n
< b,
¯
diê
`
u ta câ
`
n ch
´
u
,
ng minh.
J
.
.
. 8.8. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang tô
`
n t
.
ai vô h
.
an nh
˜
u
,
ng sô
´
l
˜
uy th
`
u
,
a c
,
ua 2, m
`
a
khi viê
´
t theo co
,
sô
´
10 ch
´
ung luôn luôn b
´
˘at
¯
dâ
`
u b
`
˘ang 8975.
L
`
o
,
i gi
,
ai. M
.
ôt sô
´
2
m
b
´
˘
at
¯
dâ
`
u b
`
˘
ang nh
´
om sô
´
8975 khi v
`
a ch
,
ı khi v
´
o
,
i
m
.
ôt sô
´
t
.
u
,
nhiên n n
`
ao
¯
d
´
o, nh
˜
u
,
ng
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c sau
¯
du
,
.
o
,
c th
,
oa m
˜
an
8975.10
n
≤ 2
m
< 8976.10
n
. Nhu
,
c
´
ach gi
,
ai c
´
ac b
`
ai tru
,
´
o
,
c ch
´
ung ta
logarit h
´
oa bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c trên v
`
a nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c c
´
ac bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c tu
,
o
,
ng
¯
du
,
o
,
ng log 8975 ≤ m log 2 − n < log 8976. T
.
ai v
`
ı log 2 l
`
a m
.
ôt sô
´
vô
t
,
y, nên nh
˜
u
,
ng sô
´
c
´
o d
.
ang m log 2 − n v
´
o
,
i n, m l
`
a nh
˜
u
,
ng sô
´
t
.
u
,
nhiên
t
.
ao th
`
anh m
.
ôt t
.
âp tr
`
u m
.
ât. Ðiê
`
u n
`
ay c
´
o ngh
˜
ıa l
`
a tô
`
n t
.
ai vô sô
´
c
.
˘
ap sô
´
t
.
u
,
nhiên m v
`
a n th
,
oa m
˜
an c
´
ac bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c sau c
`
ung, suy ra c
˜
ung
th
,
oa m
˜
an c
´
ac bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c tru
,
´
o
,
c
¯
d
´
o. Ch
´
u
´
y b
`
ai to
´
an c
`
on
¯
d
´
ung khi
thay co
,
sô
´
hai b
`
˘
ang co
,
sô
´
10 c
,
ua logarit v
`
a sô
´
8975 c
´
o thê
,
thay b
`
˘
ang
m
.
ôt tô
,
h
.
o
,
p sô
´
bâ
´
t k
`
y, ch
´
u
,
ng minh
¯
diê
`
u n
`
ay d
`
anh cho b
.
an
¯
d
.
oc.
J
.
.
. 8.9. V
´
o
,
i m
.
oi sô
´
t
.
u
,
nhiên n, k
´
y hi
.
êu x
n
l
`
a ch
˜
u
,
sô
´
¯
dâ
`
u tiên c
,
ua
sô
´
2
n
(trong c
´
ach viê
´
t v
´
o
,
i co
,
sô
´
10). Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang d
˜
ay sô
´
x
1
, x
2
, . . . , x
n
, . . . không ph
,
ai l
`
a d
˜
ây tuâ
`
n ho
`
an.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Gi
,
a s
,
u
,
ngu
,
.
o
,
c l
.
ai l
`
a tô
`
n t
.
ai nh
˜
u
,
ng sô
´
nguyên du
,
o
,
ng k v
`
a
d sao cho x
k
= x
k+d
= x
k+2d
= . . . = x
k+nd
= . . . N
´
oi c
´
ach kh
´
ac
2
k
, 2
k+d
, 2
k+2d
, . . . , 2
k+nd
, . . . c
´
o c
`
ung ch
˜
u
,
sô
´
¯
daah u tiên trong c
´
ach
viê
´
t v
´
o
,
i co
,
sô
´
10. Bâ
`
y gi
`
o
,
ch
´
ung ta kh
,
˘
ang
¯
d
.
inh r
`
˘
ang m
.
oi sô
´
t
.
u
,
nhiên
N c
´
o thê
,
biê
,
u di
˜
ên du
,
´
o
,
i d
.
ang N = 10
log N
= 10
[log N]+{log N}
=
10
[log N]
.10
{log N}
. V
`
ı 0 ≤ {log N} < 1, nên 1 ≤ 10
{log N}
< 10, suy
ra ch
˜
u
,
sô
´
¯
dâ
`
u tiên c
,
ua N tr
`
ung v
´
o
,
i phâ
`
n nguyên c
,
ua c
,
ua sô
´
10
{log N}
.
Ðê
´
n
¯
dây suy ra tô
`
n t
.
ai m
.
ôt ch
˜
u
,
sô
´
s, 1 ≤ s ≤ 9, th
,
oa m
˜
an bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang
86 Chu
,
o
,
ng 8. Sô
´
th
.
u
,
c v
´
o
,
i t
.
âp tr
`
u m
.
ât
th
´
u
,
c sau: s ≤ 10
{log 2
k+nd
}
< s + 1 v
´
o
,
i n = 0, 1, 2, . . .. Sau khi logarit
h
´
oa
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c trên ch
´
ung ta c
´
o log s ≤ {(k + nd) log 2} < log(s +
1) . Ðiê
`
u n
`
ay ngh
˜
ıa l
`
a tâ
´
t c
,
a c
´
ac sô
´
c
´
o d
.
ang {(k + nd) log 2}, n =
0, 1, 2, . . . n
`
˘
am trong kho
,
ang [log s, log(s + 1)). D
˜
ê d
`
ang ch
´
u
,
ng minh
r
`
˘
ang t
.
âp h
.
o
,
p nh
˜
u
,
ng sô
´
n
`
ay tr
`
u m
.
ât trong
¯
do
.
an (0,1). Ðiê
`
u
¯
d
´
o tr
´
ai
v
´
o
,
i kê
´
t lu
.
ân : tô
`
n t
.
ai t
.
âp con m
,
o
,
c
,
ua
¯
do
.
an (0,1) không c
´
o
¯
diê
,
m
chung v
´
o
,
i [log s, log(s + 1)). Nhu
,
v
.
ây
¯
diê
`
u gi
,
a s
,
u
,
ngu
,
.
o
,
c l
.
ai l
`
a sai.
J
.
.
. 8.10. H
˜
ay t
`
ım trong
¯
do
.
an th
,
˘ang [0, π], tâ
´
t c
,
a sô
´
th
.
u
,
c t th
,
oa m
˜
an
bâ
´
t phu
,
o
,
ng tr
`
ınh cos nt ≥ cos t v
´
o
,
i m
.
oi sô
´
t
.
u
,
nhiên n.
L
`
o
,
i gi
,
ai. - Ch
´
ung ta s
˜
e ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang nê
´
u t c
´
o t
´
ınh châ
´
t
¯
d
˜
a nêu
trong b
`
ai to
´
an th
`
ı t
,
y sô
´
t
π
l
`
a m
.
ôt sô
´
h
˜
u
,
u t
,
y. Th
.
ât v
.
ây gi
,
a s
,
u
,
t
π
l
`
a
sô
´
vô t
,
y. Khi
¯
d
´
o t 6= π ; Không mâ
´
t t
´
ınh tô
,
ng qu
´
at ch
´
ung ta c
´
o thê
,
gi
,
a thiê
´
t r
`
˘
ang 0 ≤ t < π. V
`
ı
t
2π
l
`
a sô
´
vô t
,
y du
,
o
,
ng, theo
¯
d
.
inh l
´
y
Kronecker tô
`
n t
.
ai nh
˜
u
,
ng sô
´
t
.
u
,
nhiên m v
`
a n, th
,
oa m
˜
an bâ
´
t phu
,
o
,
ng
tr
`
ınh
t
2π
< m
t
2π
−n < 1 −
t
2π
, hay l
`
a t < mt −2nπ < 2π − t. T
`
u
,
t
´
ınh châ
´
t c
,
ua h
`
am cos trong
¯
do
.
an [0, 2π] ch
´
ung ta suy ra cos mt =
cos(mt − 2nπ) < cos t. Ðiê
`
u n
`
ay tr
´
ai v
´
o
,
i c
´
ach ch
.
on t, do v
.
ây t
,
y sô
´
t
π
l
`
a sô
´
h
˜
u
,
u t
,
y.
Nhu
,
v
.
ây t c
´
o thê
,
biê
,
u di
˜
ên du
,
´
o
,
i d
.
ang t =
p
q
2π,
,
o
,
¯
dây p v
`
a q l
`
a
nh
˜
u
,
ng sô
´
nguyên tô
´
c
`
ung nhau v
`
a 0 ≤ p ≤ q (t
.
ai v
`
ı 0 ≤ t ≤ 2π ).
Nê
´
u q l
`
a sô
´
ch
˜
˘
an, th
`
ı n =
q
2
l
`
a sô
´
t
.
u
,
nhiên v
`
a ngo
`
ai ra p l
`
a sô
´
l
,
e, v
`
ı p
v
`
a q l
`
a nguyên tô
´
c
`
ung nhau. V
`
ı v
.
ây cos t ≤ cos nt = cos pπ = −1,
t
`
u
,
¯
d
´
o suy ra cos t = −1 v
`
a t = π. R
˜
o r
`
ang π th
,
oa m
˜
an tâ
´
t c
,
a c
´
ac
¯
diê
`
u ki
.
ên
¯
d
˜
a cho.
Ch
´
ung ta ch
,
ı c
`
on ph
,
ai x
´
et tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p q l
`
a sô
´
l
,
e. C
´
o thê
,
ch
´
u
,
ng
8.3. B
`
ai t
.
âp 87
minh r
`
˘
ang v
´
o
,
i m
.
oi n = 1, 2, . . . cos nt b
`
˘
ang m
.
ôt sô
´
n
`
ao
¯
d
´
o trong d
˜
ây
sau
¯
dây
1 = cos 0.
2π
q
, cos 1.
2π
q
, cos 2.
2π
q
, . . . , cos((q −1)
2π
q
). (8.4)
Th
.
ât v
.
ây, nê
´
u n = sq + r,
,
o
,
¯
dây 0 ≤ r ≤ q −1, th
`
ı cos nt = cos(sqt +
rt) = cos(2psπ + rt) = cos rt. Nê
´
u q = 2k + 1 l
`
a m
.
ôt sô
´
l
,
e, th
`
ı sô
´
nh
,
o nhâ
´
t trong (8.4) l
`
a c
´
ac sô
´
cos
k
2k + 1
2π v
`
a cos
k + 1
2k + 1
2π. Lâ
´
y
t =
p
2k + 1
2π, 0 ≤ t ≤ π, c
´
o t
´
ınh châ
´
t mong muô
´
n, ch
´
ung ta s
˜
e
ch
´
u
,
ng minh khi
¯
d
´
o p = k. Ðê
,
¯
d
.
at m
.
uc
¯
d
´
ıch n
`
ay ch
,
ı câ
`
n ch
,
ı ra r
`
˘
ang
tô
`
n t
.
ai m
.
ôt sô
´
nguyên du
,
o
,
ng n m
`
a cos nt = cos
k
2k + 1
2π. Th
.
ât v
.
ây:
v
`
ı 2k + 1 v
`
a p l
`
a nh
˜
u
,
ng sô
´
nguyên tô
´
c
`
ung nhau tô
`
n t
.
ai nh
˜
u
,
ng sô
´
nguyên m v
`
a n th
,
oa m
˜
an 0 ≤ n ≤ 2k + 1 v
`
a (2k + 1) m + pn = k. T
`
u
,
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c sau c
`
ung suy ra 2mπ + nt =
k
2k + 1
2π. Suy ra cos nt =
cos
k
2k + 1
2π. D
˜
ê d
`
ang thâ
´
y r
`
˘
ang nh
˜
u
,
ng sô
´
c
´
o d
.
ang
k
2k + 1
2π v
`
a
k + 1
2k + 1
2π, k = 0, 1, 2, . . . l
`
a nghi
.
êm c
,
ua b
`
ai to
´
an. Kê
´
t lu
.
ân cuô
´
i c
`
ung
l
`
a nh
˜
u
,
ng gi
´
a tr
.
i c
,
ua t ph
,
ai t
`
ım l
`
a t = π v
`
a
k
2k + 1
2π,
k + 1
2k + 1
2π, v
´
o
,
i
k = 0, 1, 2 . . . . . .
J
8.3. B
`
ai t
.
âp
.
.
. 8.11. Cho a, b, c l
`
a nh
˜
u
,
ng sô
´
th
.
u
,
c sao cho [an] + [bn] = [cn] v
´
o
,
i
m
.
oi sô
´
t
.
u
,
nhiên n. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt trong c
´
ac sô
´
a, b l
`
a
nguyên.
.
.
. 8.12. Cho α l
`
a m
.
ôt sô
´
h
˜
u
,
u t
,
y. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang t
.
âp h
.
o
,
p c
´
ac sô
´
c
´
o
d
.
ang {αn}, n = 1, 2, . . . không tr
`
u m
.
ât trong kho
,
ang ( 0, 1).
88 Chu
,
o
,
ng 8. Sô
´
th
.
u
,
c v
´
o
,
i t
.
âp tr
`
u m
.
ât
.
.
. 8.13. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang v
´
o
,
i m
.
ôt sô
´
vô t
,
y bâ
´
t k
`
y α v
`
a m
.
ôt sô
´
h
˜
u
,
u t
,
y
bâ
´
t k
`
y β, t
.
âp h
.
o
,
p sô
´
c
´
o d
.
ang {αn + β}, n = 1, 2, . . . l
`
a tr
`
u m
.
ât trong
kho
,
ang ( 0, 1).
.
.
. 8.14. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang t
.
âp h
.
o
,
p sô
´
d
.
ang {
√
n} v
´
o
,
i n l
`
a sô
´
t
.
u
,
nhiên
l
`
a t
.
âp tr
`
u m
.
ât trong kho
,
ang (0,1).
CHU
,
O
,
NG 9
NH
˜
U
,
NG
´
U
,
NG D
.
UNG KH
´
AC C
,
UA
NGUYÊN L
´
Y ÐIRICHLE
9.1. Xâ
´
p x
,
ı m
.
ôt sô
´
th
.
u
,
c
.
.
. 9.1. Cho x l
`
a m
.
ôt sô
´
th
.
u
,
c, c
`
on n l
`
a m
.
ôt sô
´
t
.
u
,
nhiên. Khi
¯
d
´
o tô
`
n t
.
ai
nh
˜
u
,
ng sô
´
nguyên p v
`
a q th
,
oa m
˜
an 1 ≤ q ≤ n v
`
a
x −
p
q
≤
1
nq
. (9.1)
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
ung ta x
´
et nh
˜
u
,
ng sô
´
kx − [kx](k = 0, 1, 2, . . . , n ). Ch
´
ung
gô
`
m n + 1 sô
´
v
`
a n
`
˘
am trong kho
,
ang [0, 1]. Ch
´
ung ta chia kho
,
ang [0, 1]
ra n kho
,
ang con b
`
˘
ang nhau ∆
1
, ∆
2
, . . . , ∆
n
v
`
a
¯
d
.
ô d
`
ai c
,
ua m
˜
ôi kho
,
ang
n
`
ay b
`
˘
ang
1
n
. Theo nguyên l
´
y Ðirichlê tô
`
n t
.
ai hai sô
´
kh
´
ac nhau k v
`
a l
n
`
˘
am trong 0, 1, 2, . . . , n, sao cho nh
˜
u
,
ng sô
´
kx − [kx] v
`
a lx − [lx] n
`
˘
am
trong c
`
ung m
.
ôt kho
,
ang con th
´
u
,
m. Do
¯
d
´
o kho
,
ang c
´
ach gi
˜
u
,
a ch
´
ung
không qu
´
a
1
n
, t
´
u
,
c l
`
a
|
kx − [kx] − (lx − [lx])
|
≤
1
n
, hay l
`
a
|
( k − l)x − ([kx] − [lx])
|
≤
1
n
. (9.2)
B
,
o
,
i v
`
ı k 6= l, không
,
anh hu
,
,
o
,
ng
¯
dê
´
n kê
´
t qu
,
a ch
´
u
,
ng minh ta c
´
o thê
,
gi
,
a thiê
´
t r
`
˘
ang k > l. B
,
o
,
i v
`
ı ngo
`
ai ra c
`
on c
´
o 0 ≤ k ≤ n, 0 ≤ l ≤ n,
nên 1 ≤ k −l ≤ n. Ta
¯
d
.
˘
at q = k −l v
`
a p = [kx] −[lx]. Khi
¯
d
´
o p v
`
a q
90 Chu
,
o
,
ng 9. Nh
˜
u
,
ng
´
u
,
ng d
.
ung kh
´
ac c
,
ua nguyên l
´
y Ðirichle
l
`
a nh
˜
u
,
ng sô
´
nguyên v
`
a th
,
oa m
˜
an 1 ≤ q ≤ n. V
´
o
,
i c
´
ach d
.
˘
at n
`
ay (9.2)
¯
du
,
a vê
`
d
.
ang |qx − p| ≤
1
n
, t
`
u
,
¯
dây chia hai vê
´
cho q ta c
´
o (9.1).
J
.
.
. 9.2. V
´
o
,
i m
.
oi sô
´
th
.
u
,
c x tô
`
n t
.
ai vô h
.
an sô
´
t
.
u
,
nhiên q, v
´
o
,
i m
˜
ôi q tô
`
n
t
.
ai sô
´
nguyên p, sao cho ch
´
ung th
,
oa m
˜
an bâ
´
t
¯
d
,
˘ang th
´
u
,
c.
x −
p
q
≤
1
q
2
. (9.3)
L
`
o
,
i gi
,
ai. Nê
´
u x l
`
a sô
´
h
˜
u
,
u t
,
y, t
´
u
,
c l
`
a x =
r
s
v
´
o
,
i r l
`
a sô
´
nguyên v
`
a s l
`
a
sô
´
t
.
u
,
nhiên, th
`
ı kê
´
t lu
.
ân c
,
ua b
`
ai to
´
an l
`
a
¯
d
´
ung, v
`
ı c
´
o thê
,
¯
d
.
˘
at p = mr
v
`
a q = ms v
´
o
,
i sô
´
t
.
u
,
nhiên bâ
´
t k
`
y m. V
´
o
,
i tâ
´
t c
,
a c
´
ach ch
.
on p v
`
a q nhu
,
v
.
ây (9.3)
¯
du
,
.
o
,
c th
,
oa m
˜
an, v
`
ı vê
´
tr
´
ai luôn luôn b
`
˘
ang không. Nhu
,
v
.
ây
ch
,
ı c
`
on ph
,
ai x
´
et tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p x l
`
a sô
´
vô t
,
y. Gi
,
a s
,
u
,
ch
,
ı c
´
o h
˜
u
,
u h
.
an sô
´
t
.
u
,
nhiên q, m
`
a v
´
o
,
i ch
´
ung tô
`
n t
.
ai sô
´
nguyên p th
,
oa m
˜
an (9.3), k
´
y
hi
.
êu ch
´
ung l
`
a q
1
, q
2
, . . . , q
l
. V
´
o
,
i bâ
´
t k
`
y λ = 1, 2, . . . , l k
´
y hi
.
êu p
λ
l
`
a sô
´
nguyên th
,
oa m
˜
an
x −
p
λ
q
λ
≤
x −
p
q
λ
v
´
o
,
i m
.
oi sô
´
nguyên p. V
`
ı sô
´
x l
`
a vô t
,
y, m
.
oi gi
´
a tr
.
i tuy
.
êt
¯
dô
´
i
,
o
,
ph
´
ıa tr
´
ai
bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c trên l
`
a du
,
o
,
ng, sô
´
nh
˜
u
,
ng gi
´
a tr
.
i tuy
.
êt
¯
dô
´
i n
`
ay l
`
a h
˜
u
,
u
h
.
an. V
`
ı v
.
ây tô
`
n t
.
ai sô
´
t
.
u
,
nhiên n, sao cho
1
n
<
x −
p
λ
q
λ
, (λ =
1, 2, . . . , l).
Theo b
`
ai tru
,
´
o
,
c s
˜
e tô
`
n t
.
ai sô
´
t
.
u
,
nhiên q v
`
a sô
´
nguyên p, sao cho
(9.1) th
,
oa m
˜
an v
`
a 1 ≤ q ≤ n. Nhu
,
ng khi
¯
d
´
o
x −
p
q
≤
1
qn
≤
1
qq
=
1
q
2
, suy ra q = q
λ
v
´
o
,
i m
.
ôt sô
´
λ = 1, 2, . . . , l T
`
u
,
nh
˜
u
,
ng bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c
trên suy ra
1
n
<
x −
p
λ
q
λ
≤
x −
p
q
≤
1
nq
. Nhu
,
v
.
ây
1
n
<
1
nq
v
`
ı thê
´
9.1. Xâ
´
p x
,
ı m
.
ôt sô
´
th
.
u
,
c 91
q < 1,
¯
diê
`
u n
`
ay không thê
,
¯
du
,
.
o
,
c v
`
ı q l
`
a sô
´
t
.
u
,
nhiên. Ta nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c
¯
diê
`
u vô l
´
y.
J
.
.
. 9.3. V
´
o
,
i m
.
oi c > 2 bâ
´
t
¯
d
,
˘ang th
´
u
,
c
√
2 −
p
q
≤
1
q
c
. (9.4)
¯
d
´
ung ch
,
ı v
´
o
,
i h
˜
u
,
u h
.
an c
.
˘ap sô
´
nguyên p v
`
a sô
´
t
.
u
,
nhiên q.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
ung ta ch
´
u
,
ng minh bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c sau l
`
a
¯
d
´
ung
√
2 −
p
q
≤
1
3
√
2q
2
. (9.5)
v
´
o
,
i m
.
oi sô
´
nguyên p v
`
a v
´
o
,
i m
.
oi sô
´
t
.
u
,
nhiên q. V
`
ı
1
q
2
≤ 1, bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang
th
´
u
,
c (9.5) tâ
´
t nhiên th
,
oa m
˜
an, khi
√
2 −
p
q
>
1
3
√
2
. Nhu
,
v
.
ây ch
,
ı
câ
`
n x
´
et tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p
√
2 −
p
q
≤
1
3
√
2
. Nhu
,
ng khi
¯
d
´
o
√
2 −
1
3
√
2
≤
p
q
≤
√
2 +
1
3
√
2
suy ra
0 <
p
q
< 2
√
2. (9.6)
M
.
˘
at kh
´
ac
√
2 −
p
q
=
√
2 −
p
q
.
√
2 +
p
q
√
2 +
p
q
=
2q
2
− p
2
q
2
√
2 −
p
q
. (9.7)
Nhu
,
ng sô
´
2q
2
− p
2
l
`
a sô
´
kh
´
ac không, v
`
ı
√
2 l
`
a m
.
ôt sô
´
vô t
,
y. Ngo
`
ai
ra n
´
o l
`
a sô
´
nguyên nên |2q
2
− p
2
| ≥ 1 . T
`
u
,
(9.7) suy ra
√
2 −
p
q
≥
1
q
2
√
2 +
p
q
v
`
a c
`
ung v
´
o
,
i (9.6) cho ta (9.5).
92 Chu
,
o
,
ng 9. Nh
˜
u
,
ng
´
u
,
ng d
.
ung kh
´
ac c
,
ua nguyên l
´
y Ðirichle
Gi
,
a s
,
u
,
bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c (9.4)
¯
d
´
ung v
´
o
,
i m
.
ôt c
.
˘
ap sô
´
(p, q) n
`
ao
¯
d
´
o. T
`
u
,
(9.4) v
`
a (9.5) suy ra
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c
1
3
√
2
≤
1
q
c−2
. V
`
ı c > 2 bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c
n
`
ay ch
,
ı
¯
d
´
ung cho h
˜
u
,
u h
.
an sô
´
t
.
u
,
nhiên q. V
´
o
,
i m
˜
ôi sô
´
q nhu
,
v
.
ây ch
,
ı
c
´
o nhiê
`
u nhâ
´
t hai sô
´
nguyên p, v
´
o
,
i ch
´
ung th
,
oa m
˜
an bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c
(9.4). Ngh
˜
ıa l
`
a (9.4) ch
,
ı th
,
oa m
˜
an cho h
˜
u
,
u h
.
an c
.
˘
ap sô
´
p v
`
a q.
J
.
.
. 9.4. Nê
´
u D l
`
a sô
´
t
.
u
,
nhiên bâ
´
t k
`
y, không l
`
a sô
´
ch
´
ınh phu
,
o
,
ng, th
`
ı tô
`
n
t
.
ai vô h
.
an c
´
ac c
.
˘ap sô
´
t
.
u
,
nhiên (x, y), l
`
a nghi
.
êm c
,
ua bâ
´
t phu
,
o
,
ng tr
`
ınh
sau
|x
2
− Dy
2
| ≤ 1 + 2
√
D. (9.8)
L
`
o
,
i gi
,
ai. Theo b
`
ai 9.2 ta biê
´
t r
`
˘
ang tô
`
n t
.
ai vô h
.
an c
.
˘
ap sô
´
(x, y) t
.
u
,
nhiên, sao cho
x
y
−
√
D
≤
1
y
2
. (9.9)
M
.
˘
at kh
´
ac bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c sau l
`
a
¯
d
´
ung
x
y
+
√
D
=
(
x
y
−
√
D) + 2
√
D
≤
x
y
−
√
D
+ 2
√
D.
Suy ra v
´
o
,
i m
˜
ôi c
.
˘
ap (x, y) ta c
´
o
x
y
+
√
D
≤
1
y
2
+ 2
√
D.
Nhu
,
v
.
ây, v
´
o
,
i c
´
ach ch
.
on bâ
´
t k
`
y c
.
˘
ap (x, y), sao cho th
,
oa m
˜
an (9.9)
ch
´
ung ta nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c
|x
2
− Dy
2
| = |x − y
√
D|.|x + y
√
D|
≤
1
y
(
1
y
+ 2
√
Dy) ≤
1
y
2
+ 2
√
D ≤ 1 + 2
√
D.
Ðiê
`
u n
`
ay
¯
d
˜
a ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang bâ
´
t phu
,
o
,
ng tr
`
ınh (9.8) c
´
o vô h
.
an
nghi
.
êm trong t
.
âp h
.
o
,
p sô
´
t
.
u
,
nhiên.
J
9.1. Xâ
´
p x
,
ı m
.
ôt sô
´
th
.
u
,
c 93
.
.
. 9.5. Nê
´
u D l
`
a sô
´
t
.
u
,
nhiên bâ
´
t k
`
y, không l
`
a sô
´
ch
´
ınh phu
,
o
,
ng, th
`
ı
phu
,
o
,
ng tr
`
ınh x
2
− Dy
2
= 1 c
´
o
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt nghi
.
êm nguyên (u, v) v
´
o
,
i
v 6= 0.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
ung ta x
´
et tâ
´
t c
,
a c
´
ac c
.
˘
ap (x , y) sô
´
t
.
u
,
nhiên, m
`
a n
´
o th
,
oa
m
˜
an −1 − 2
√
D ≤ x
2
− Dy
2
≤ 1 + 2
√
D. Theo b
`
ai 9.4 c
´
o vô sô
´
c
.
˘
ap
sô
´
t
.
u
,
nhiên th
,
oa m
˜
an bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c trên, Nhu
,
ng biê
,
u th
´
u
,
c x
2
−Dy
2
ch
,
ı c
´
o h
˜
u
,
u h
.
an gi
´
a tr
.
i v
`
ı ch
´
ung l
`
a c
´
ac sô
´
nguyên trong
¯
do
.
an (−1 −
2
√
D, 1 + 2
√
D). Ngh
˜
ıa l
`
a tô
`
n t
.
ai m
.
ôt sô
´
nguyên k, sao cho phu
,
o
,
ng
tr
`
ınh x
2
−Dy
2
= k c
´
o vô h
.
an nghi
.
êm t
.
u
,
nhiên (x, y). R
˜
o r
`
ang k 6= 0,
v
`
ı nê
´
u ngu
,
.
o
,
c l
.
ai th
`
ı d
˜
ân
¯
dê
´
n mâu thu
˜
ân do sô
´
√
D không thê
,
biê
,
u
di
˜
ên du
,
´
o
,
i d
.
ang h
˜
u
,
u t
,
y
√
D =
x
y
. Gi
˜
u
,
a nh
˜
u
,
ng c
.
˘
ap n
`
ay c
´
o thê
,
ch
.
on
´
ıt
nhâ
´
t hai c
.
˘
ap kh
´
ac nhau (x
1
, y
1
) v
`
a (x
2
, y
2
) m
`
a ch
´
ung th
,
oa m
˜
an
x
1
≡ x
2
(mod |k|), y
1
≡ y
2
(mod |k|). (9.10)
Th
.
ât v
.
ây,ch
,
ı câ
`
n ch
,
ı ra tâ
´
t c
,
a c
´
ac kh
,
a n
˘
ang c
,
ua c
´
ac c
.
˘
ap sô
´
du
,
theo
mô
¯
dun |k| c
´
o sô
´
lu
,
.
o
,
ng h
˜
u
,
u h
.
an. C
´
o ngh
˜
ıa l
`
a tô
`
n t
.
ai nh
˜
u
,
ng c
.
˘
ap kh
´
ac
nhau nh
˜
u
,
ng sô
´
t
.
u
,
nhiên (x
1
, y
1
) v
`
a (x
2
, y
2
), m
`
a x
2
1
− Dy
2
1
= x
2
2
−
Dy
2
2
= k v
`
a th
,
oa m
˜
an d
,
˘
ang th
´
u
,
c (9.10).
Ch
´
ung ta x
´
et
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c
(x
1
−y
1
√
D)(x
2
+ y
2
√
D) = (x
1
x
2
−y
1
y
2
D) + (x
1
y
2
− x
2
y
1
).
(9.11)
T
`
u
,
(9.10) ch
´
ung ta c
´
o
x
1
x
2
−y
1
y
2
D ≡ x
2
1
− Dy
2
1
≡ k ≡ 0 (mod |k|),
x
1
y
2
− x
2
y
1
≡ x
1
y
1
− x
1
y
1
≡ 0 (mod |k|).
Khi
¯
d
´
o tô
`
n t
.
ai sô
´
nguyên u v
`
a v, sao cho x
1
x
2
−y
1
y
2
D = ku, x
1
y
2
−
x
2
y
1
= kv. V
`
ı v
.
ây (9.11) c
´
o thê
,
viê
´
t th
`
anh
(x
1
−y
1
√
D)(x
2
+ y
2
√
D) = k(u + v
√
D).
94 Chu
,
o
,
ng 9. Nh
˜
u
,
ng
´
u
,
ng d
.
ung kh
´
ac c
,
ua nguyên l
´
y Ðirichle
Nhân t
`
u
,
ng sô
´
h
.
ang v
´
o
,
i nhau trong c
´
ac
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c sau c
`
ung ch
´
ung ta
nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c
k
2
= (x
2
1
− Dy
2
1
)(x
2
2
− Dy
2
2
) = k
2
( u
2
− Dv
2
),
t
`
u
,
¯
d
´
o suy ra u
2
−Dv
2
= 1, ngh
˜
ıa l
`
a c
.
˘
ap (u, v) l
`
a nghi
.
êm c
,
ua phu
,
o
,
ng
tr
`
ınh.
Ch
,
ı c
`
on ph
,
ai ch
´
u
,
ng minh v 6= 0. Nê
´
u gi
,
a thiê
´
t ngu
,
.
o
,
c l
.
ai, ch
´
ung
ta s
˜
e c
´
o x
1
x
2
= y
1
y
2
D = |k| v
`
a x
1
y
2
= x
2
y
1
. Khi
¯
d
´
o
|k|y
2
= |(x
1
y
2
)x
2
−y
1
y
2
2
D| = |y
1
x
2
2
−y
1
y
2
2
D| = y
1
|x
2
2
−Dy
2
2
| = |k|y
1
t
`
u
,
¯
dây, v
`
ı k 6= 0 ch
,
ı c
´
o kh
,
a n
˘
ang khi y
1
= y
2
. Ðiê
`
u n
`
ay không thê
,
xâ
,
y ra v
`
ı (x
1
, y
1
) kh
´
ac (x
2
, y
2
) , c
`
on t
`
u
,
y
1
= y
2
suy ra x
1
= x
2
.
J
.
.
. 9.6. Cho x
1
, x
2
, . . . , x
n
l
`
a nh
˜
u
,
ng sô
´
th
.
u
,
c v
`
a N l
`
a sô
´
t
.
u
,
nhiên. Khi
¯
d
´
o
tô
`
n t
.
ai nh
˜
u
,
ng sô
´
nguyên p
1
, p
2
, . . . , p
n
, q sao cho 1 ≤ q ≤ N
n
v
`
a
x
i
−
p
i
q
≤
1
Nq
, (9.12)
v
´
o
,
i m
.
oi i = 1, 2, . . . , n.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
ung ta ch
´
u
,
ng minh b
`
ai to
´
an cho tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p n = 2. V
´
o
,
i
tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p n l
´
o
,
n ho
,
n 2 ch
´
u
,
ng minh ho
`
an to
`
an tu
,
o
,
ng t
.
u
,
v
`
a d
`
anh
cho b
.
an
¯
d
.
oc. Nhu
,
v
.
ây cho x
1
v
`
a x
2
l
`
a nh
˜
u
,
ng sô
´
th
.
u
,
c, c
`
on N l
`
a sô
´
t
.
u
,
nhiên. Ch
´
ung ta s
˜
e ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang tô
`
n t
.
ai nh
˜
u
,
ng sô
´
nguyên p
1
, p
2
v
`
a q v
´
o
,
i 1 ≤ q ≤ N
2
v
`
a th
,
oa m
˜
an
x
1
−
p
1
q
<
1
Nq
,
x
2
−
p
2
q
<
1
Nq
. (9.13)
Ch
´
ung ta cô
´
¯
d
.
inh h
.
ê t
.
oa
¯
d
.
ô trong m
.
˘
at ph
,
˘
ang v
`
a x
´
et h
`
ınh vuông Q
v
´
o
,
i c
´
ac
¯
d
,
ınh (0, 0), ( 1, 0), (1, 1) v
`
a (0, 1) nhu
,
h
`
ınh v
˜
e. Chia Q ra N
2
h
`
ınh vuông nh
,
o b
`
˘
ang nhau v
´
o
,
i c
.
anh l
`
a
1
N
b
`
˘
ang c
´
ac
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang
song song v
´
o
,
i tr
.
uc t
.
oa
¯
d
.
ô (trong h
`
ınh v
˜
e ta chia v
´
o
,
i N=7).
9.1. Xâ
´
p x
,
ı m
.
ôt sô
´
th
.
u
,
c 95
Bây gi
`
o
,
ch
´
ung ta ch
´
u
´
y
¯
dê
´
n c
.
˘
ap sô
´
c
´
o d
.
ang (qx
1
− [qx
1
], qx
2
−
[qx
2
]),
,
o
,
¯
dây q nh
.
ân nh
˜
u
,
ng gi
´
a tr
.
i nguyên 0, 1, 2, . . . , N
2
. V
`
ı 0 ≤
qx
i
− [qx
i
] < 1, i = 1, 2, . . . , N
2
m
˜
ôi c
.
˘
ap nhu
,
vây c
´
o thê
,
coi nhu
,
m
.
ôt c
.
˘
ap t
.
oa
¯
d
.
ô c
,
ua
¯
diê
,
m trong h
`
ınh vuông Q. B
`
˘
ang c
´
ach
¯
d
´
o m
˜
ôi sô
´
0, 1, 2, . . . , N
2
t
.
ao ra m
.
ôt
¯
diê
,
m tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng trong h
`
ınh vuông Q , sô
´
lu
,
.
o
,
ng c
´
ac sô
´
¯
d
´
o l
`
a N
2
+ 1. Nhu
,
ng Q
¯
du
,
.
o
,
c chia ra N
2
h
`
ınh vuông
nh
,
o, suy ra tô
`
n t
.
ai hai sô
´
nguyên kh
´
ac nhau q
1
, q
2
trong
¯
do
.
an [0, N],
m
`
a
¯
diê
,
m tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i ch
´
ung c
´
o c
´
ac t
.
oa
¯
d
.
ô (q
1
x
1
− [q
1
x
1
], q
1
x
2
−
[q
1
x
2
]), (q
2
x
1
− [q
2
x
1
], q
2
x
2
− [q
2
x
2
]) v
`
a c
`
ung n
`
˘
am trong m
.
ôt h
`
ınh
vuông nh
,
o v
´
o
,
i c
.
anh
1
N
. Ðiê
`
u
¯
d
´
o c
´
o ngh
˜
ıa l
`
a
|(q
1
x
1
−[q
1
x
1
]) − (q
1
x
2
−[q
1
x
2
])| ≤
1
N
,
|(q
2
x
1
−[q
2
x
1
]) − (q
2
x
2
−[q
2
x
2
])| ≤
1
N
. (9.14)
Không mâ
´
t t
´
ınh tô
,
ng qu
´
at c
´
o thê
,
gi
,
a thiê
´
t q
1
> q
2
. Nê
´
u
¯
d
.
˘
at q =
q
1
− q
2
, p
1
= [q
1
x
1
] − [q
2
x
1
], p
2
= [q
1
x
2
] − [q
2
x
2
] th
`
ı bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c
(9.14) c
´
o d
.
ang
|qx
1
− p
1
| ≤
1
N
, |qx
2
− p
2
| ≤
1
N
. (9.15)
Ch
´
ung ta thâ
´
y r
`
˘
ang 1 ≤ q ≤ N
2
, v
`
ı 1 ≤ q
2
< p
1
≤ N
2
. Chia hai vê
´
c
,
ua (9.15) cho q ch
´
ung ta nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c (9.13).
J
Hai b
`
ai to
´
an du
,
´
o
,
i
¯
dây liên quan t
´
o
,
i m
.
ôt t
´
ınh châ
´
t m
`
a ta
¯
d
˜
a ch
´
u
,
ng
minh
,
o
,
chu
,
o
,
ng 2. Ðê
,
m
,
o
,
r
.
ông t
´
ınh châ
´
t n
`
ay ch
´
ung ta
¯
du
,
a v
`
ao
¯
d
.
inh
ngh
˜
ıa.
Nê
´
u a
1
, a
2
, . . . , a
2n+1
l
`
a 2n + 1 sô
´
th
.
u
,
c (n ≥ 1). Ch
´
ung ta n
´
oi r
`
˘
ang
d
˜
ay n
`
ay c
´
o t
´
ınh châ
´
t P, nê
´
u bâ
´
t k
`
y 2n sô
´
trong ch
´
ung c
´
o thê
,
chia
l
`
am hai nh
´
om, m
˜
ôi nh
´
om n sô
´
, sao cho tô
,
ng c
,
ua c
´
ac sô
´
trong hai
nh
´
om b
`
˘
ang nhau.
96 Chu
,
o
,
ng 9. Nh
˜
u
,
ng
´
u
,
ng d
.
ung kh
´
ac c
,
ua nguyên l
´
y Ðirichle
.
.
. 9.7. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang m
.
oi b
.
ô 2n + 1 sô
´
gô
`
m nh
˜
u
,
ng sô
´
nguyên
du
,
o
,
ng c
´
o t
´
ınh châ
´
t P, th
`
ı tâ
´
t c
,
a c
´
ac sô
´
¯
dê
`
u b
`
˘ang nhau.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
u
,
ng minh b
`
˘
ang qui n
.
ap theo sô
´
l
´
o
,
n nhâ
´
t c
,
ua d
˜
ây sô
´
.
Nê
´
u sô
´
l
´
o
,
n nhâ
´
t b
`
˘
ang 1 th
`
ı tâ
´
t c
,
a c
´
ac sô
´
c
`
on l
.
ai c
˜
ung
¯
dê
`
u l
`
a 1, nên
b
`
ai to
´
an
¯
d
˜
a gi
,
ai. Bây gi
`
o
,
gi
,
a s
,
u
,
kê
´
t lu
.
ân
¯
d
´
ung v
´
o
,
i m
.
oi b
.
ô 2n+1 sô
´
nguyên du
,
o
,
ng m
`
a m
˜
ôi sô
´
không vu
,
.
o
,
t qu
´
a k, k ≥ 2 v
`
a c
´
o t
´
ınh châ
´
t P.
Lâ
´
y p
1
, p
2
, . . . , p
2n+1
l
`
a b
.
ô sô
´
nguyên du
,
o
,
ng c
´
o t
´
ınh châ
´
t P v
`
a m
˜
ôi sô
´
không vu
,
.
o
,
t qu
´
a k + 1. T
`
u
,
¯
diê
`
u ki
.
ên b
`
ai to
´
an suy ra p
1
, p
2
, . . . , p
2n+1
c
´
o c
`
ung t
´
ınh ch
˜
˘
an l
,
e.
a) Nê
´
u p
1
, p
2
, . . . , p
2n+1
l
`
a c
´
ac sô
´
ch
˜
˘
an, ch
´
ung ta x
´
et c
´
ac sô
´
p
1
2
,
p
2
2
, . . . ,
p
2n+1
2
. Ch
´
ung ta thâ
´
y ngay ch
´
ung c
˜
ung c
´
o t
´
ınh châ
´
t
P. Ngo
`
ai ra m
.
oi sô
´
không vu
,
.
o
,
t qu
´
a k v
`
ı p
i
≤ k + 1 v
´
o
,
i m
.
oi i =
1, 2, . . . , 2n + 1. B
`
˘
ang qui n
.
ap suy ra
p
1
2
=
p
2
2
= . . . =
p
2n+1
2
.Ngh
˜
ıa
l
`
a p
1
= p
2
= . . . = p
2n+1
.
b) Nê
´
u p
1
, p
2
, . . . , p
2n+1
l
`
a c
´
ac sô
´
l
,
e, ch
´
ung ta ch
´
u
,
ng b
`
˘
ang qui
n
.
ap cho d
˜
ay p
1
−1, p
2
−1, . . . , p
2n+1
−1. Ch
´
ung c
˜
ung c
´
o t
´
ınh châ
´
t
P v
`
a không vu
,
.
o
,
t qu
´
a k, ch
´
ung ta nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c p
1
−1 = p
2
−1 = . . . =
p
2n+1
−1. Ngh
˜
ıa l
`
a p
1
= p
2
= . . . = p
2n+1
.
J
.
.
. 9.8. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang m
.
oi b
.
ô 2n+1 sô
´
gô
`
m nh
˜
u
,
ng sô
´
th
.
u
,
c du
,
o
,
ng
c
´
o t
´
ınh châ
´
t P, th
`
ı tâ
´
t c
,
a c
´
ac sô
´
¯
dê
`
u b
`
˘ang nhau.
L
`
o
,
i gi
,
ai. - Hiê
,
n nhiên r
`
˘
ang nê
´
u c
´
ac sô
´
a
1
, a
2
, . . . , a
2n+1
c
´
o t
´
ınh châ
´
t
P v
`
a q l
`
a sô
´
th
.
u
,
c bâ
´
t k
`
y, th
`
ı c
´
ac sô
´
qa
1
, qa
2
, . . . , qa
2n+1
c
˜
ung c
´
o t
´
ınh
châ
´
t P.
Bây gi
`
o
,
cho x
1
, x
2
, . . . , x
2n+1
l
`
a nh
˜
u
,
ng sô
´
th
.
u
,
c du
,
o
,
ng v
´
o
,
i t
´
ınh
châ
´
t P. Nê
´
u tâ
´
t c
,
a c
´
ac sô
´
l
`
a h
˜
u
,
u t
,
y th
`
ı
¯
diê
`
u kh
,
˘
ang
¯
d
.
inh c
,
ua b
`
ai to
´
an
suy ra không kh
´
o. Th
.
ât v
.
ây, k
´
y hi
.
êu q l
`
a b
.
ôi sô
´
chung nh
,
o nhâ
´
t c
,
ua
9.1. Xâ
´
p x
,
ı m
.
ôt sô
´
th
.
u
,
c 97
m
˜
âu sô
´
c
´
ac sô
´
trên. Khi
¯
d
´
o qx
1
, qx
2
, . . . , qx
2n+1
l
`
a nh
˜
u
,
ng sô
´
nguyên
du
,
o
,
ng c
´
o t
´
ınh châ
´
t P, theo c
´
ach ch
´
u
,
ng minh b
`
ai tru
,
´
o
,
c ch
´
ung ta c
´
o
qx
1
= qx
2
= . . . = qx
2n+1
. V
`
ı v
.
ây x
1
= x
2
= . . . = x
2n+1
. Ch
,
ı c
`
on
ph
,
ai ch
´
u
,
ng minh tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p c
´
o trong d
˜
ây x
1
, x
2
, . . . , x
2n+1
m
.
ôt sô
´
vô t
,
y. Nhu
,
ng theo kê
´
t qu
,
a c
,
ua b
`
ai 9.6 tô
`
n t
.
ai sô
´
t
.
u
,
nhiên q, v
`
a c
´
ac
sô
´
nguyên du
,
o
,
ng p
1
, p
2
, . . . , p
2n+1
th
,
oa m
˜
an
|x
i
−
p
i
q
| <
1
q
1+
1
2n+1
, i = 1, 2, . . . , n. (9.16)
Tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p riêng, tô
`
n t
.
ai p
1
, p
2
, . . . , p
2n+1
, q v
´
o
,
i q > (2n)
2n+1
v
`
a
ch
´
ung th
,
oa m
˜
an |qx
i
− p
i
| ≤
1
q
1
2n+1
, i = 1, 2, . . . , n.
Ð
.
˘
at α
i
= qx
i
− p
i
, i = 1, 2, . . . , 2n + 1. Nhu
,
phâ
`
n
¯
dâ
`
u kh
,
˘
ang
¯
d
.
inh
r
`
˘
ang qx
1
, qx
2
, . . . , qx
2n+1
c
´
o t
´
ınh châ
´
t P. Ch
´
ung ta s
˜
e ch
´
u
,
ng minh
r
`
˘
ang p
1
, p
2
, . . . , p
2n+1
c
˜
ung c
´
o t
´
ınh châ
´
t P. Ch
.
on 2n sô
´
trong
¯
d
´
o, v
´
ı
d
.
u nhu
,
p
1
, p
2
, . . . , p
2n
. V
`
ı qx
1
, qx
2
, . . . , qx
2n
c
´
o t
´
ınh châ
´
t P, không
mâ
´
t t
´
ınh tô
,
ng qu
´
at ch
´
ung ta lâ
´
y
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c qx
1
+ qx
2
+ ··· + qx
n
=
qx
n+1
+ qx
n+2
+ ··· + qx
2n
, khi
¯
d
´
o (p
1
+ α
1
) + (p
2
+ α
2
) + ··· +
(p
n
+ α
n
) = (p
n+1
+ α
n+1
) + (p
n+2
+ α
n+2
) + ··· + (p
2n
+ α
2n
).
Ch
´
ung ta viê
´
t l
.
ai
p
1
+ p
2
+ ··· + p
n
− p
n+1
− p
n+2
−··· − p
2n
=
= α
n+1
+ α
n+2
+ ··· + α
2n
−α
1
−α
2
−··· − α
n
. (9.17)
Vê
´
bên tr
´
ai
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c trên l
`
a sô
´
nguyên nên sô
´
α = α
n+1
+
α
n+2
+ ··· + α
2n
− α
1
− α
2
− ··· − α
n
c
˜
ung l
`
a sô
´
nguyên. Nhu
,
ng
|α
i
| ≤
1
q
1
2n+1
, i = 1, 2, . . . , n. Do
¯
d
´
o |α| ≤ |α
n+1
| + |α
n+2
| + ··· +
|α
2n
| + |α
1
| + |α
2
| + ··· + |α
n
| <
2n
q
1
2n+1
< 1, v
`
ı q > (2n)
2n+1
. Khi
98 Chu
,
o
,
ng 9. Nh
˜
u
,
ng
´
u
,
ng d
.
ung kh
´
ac c
,
ua nguyên l
´
y Ðirichle
¯
d
´
o α = 0 v
`
a t
`
u
,
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c tru
,
´
o
,
c
¯
d
´
o ta c
´
o p
1
+ p
2
+ ··· + p
n
=
p
n+1
+ p
n+2
+ ··· + p
2n
Nhu
,
v
.
ây ch
´
ung ta kh
,
˘
ang
¯
d
.
inh
¯
du
,
.
o
,
c nh
˜
u
,
ng
sô
´
nguyên p
1
, p
2
, . . . p
2n+1
c
´
o t
´
ınh châ
´
t P. Ch
´
ung ta c
´
o thê
,
kê
´
t lu
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c p
1
= p
2
= . . . = p
2n+1
Th
.
u
,
c châ
´
t
¯
dê
´
n
¯
dây ch
´
ung ta
¯
d
˜
a ch
´
u
,
ng minh
¯
du
,
.
o
,
c :
Nê
´
u p
1
, p
2
, . . . , p
2n+1
, q l
`
a nh
˜
u
,
ng sô
´
nguyên th
,
oa m
˜
an (9.16) v
`
a
q > (2n)
2n+1
th
`
ı p = p
1
= p
2
= . . . = p
2n+1
. Suy ra (9.16) c
´
o d
.
ang
|x
i
−
p
q
| <
1
q
1+
1
2n+1
, i = 1, 2, . . . , 2n + 1
Trong 9.6 ch
´
ung ta kh
,
˘
ang
¯
d
.
inh r
`
˘
ang tô
`
n t
.
ai vô h
.
an sô
´
t
.
u
,
nhiên q
th
,
oa m
˜
an (9.16). Không mâ
´
t t
´
ınh tô
,
ng qu
´
at ch
´
ung ta gi
,
a thiê
´
t r
`
˘
ang
nh
˜
u
,
ng sô
´
¯
d
´
o l
`
a q
1
< q
2
< . . . < q
k
< . . .,
,
o
,
¯
dây q
1
> (2n)
2n+1
. Trong
tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p n
`
ay v
´
o
,
i m
.
oi k tô
`
n t
.
ai sô
´
nguyên p
k
sao cho
|x
i
−
p
k
q
k
| <
1
q
1+
1
2n+1
k
, i = 1, 2, . . . , 2n + 1. (9.18)
V
`
ı lim
1
q
1+
1
2n+1
k
= 0 khi k tiê
´
n t
´
o
,
i vô c
`
ung, t
`
u
,
(9.18) suy ra lim
p
k
q
k
=
x
i
khi k tiê
´
n t
´
o
,
i vô c
`
ung, v
´
o
,
i m
.
oi i = 1, 2, . . . , 2n + 1. Nhu
,
ng m
˜
ôi d
˜
ay
sô
´
th
.
u
,
c không c
´
o nhiê
`
u ho
,
n m
.
ôt gi
´
o
,
i h
.
an, suy ra x
1
= x
2
= . . . =
x
2n+1
.
J
.
.
. 9.9. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang trong t
´
am sô
´
, m
˜
ôi sô
´
c
´
o ba ch
˜
u
,
sô
´
, bao gi
`
o
,
c
˜
ung ch
.
on
¯
du
,
.
o
,
c hai sô
´
c
´
o ba ch
˜
u
,
sô
´
v
`
a
¯
dê
,
khi gh
´
ep l
.
ai ta
¯
du
,
.
o
,
c m
.
ôt sô
´
chia hê
´
t cho 7.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Khi mang t
´
am sô
´
chia cho 7 th
`
ı thê
,
n
`
ao c
˜
ung c
´
o hai sô
´
c
´
o
c
`
ung sô
´
du
,
(nguyên l
´
y Ðirichlê ). Gi
,
a s
,
u
,
hai sô
´
¯
d
´
o l
`
a
ab c v
`
a αβγ . Hiê
,
n
9.2. B
`
ai t
.
âp 99
nhiên abcαβγ = 1000abc + αβγ. T
`
u
,
c
´
ach ch
.
on ta c
´
o abc = 7m + r
v
`
a αβγ = 7n + r v
´
o
,
i 0 ≤ r < 7 v
`
a m, n, r l
`
a c
´
ac sô
´
t
.
u
,
nhiên. V
`
ı
v
.
ây abcαβγ = 1000(7m + r) + (7n + r) = 7(1000m + n) + 1001.r =
7( 1000m + n + 143.r).
J
.
.
. 9.10. Cho a, b, c, d l
`
a c
´
ac sô
´
nguyên. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang t
´
ıch c
,
ua c
´
ac
hi
.
êu b − a, c − a, d − a, d − c, b − d v
`
a c − b chia hê
´
t cho 12.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Câ
`
n ch
´
u
,
ng minh t
´
ıch: P = (b −a)(c −a)(d −a) (d −c)( d −
b)(c − b) chia hê
´
t cho 12=4.3. Ch
´
ung ta biê
´
t r
`
˘
ang m
.
ôt sô
´
nguyên
bâ
´
t k
`
y khi chia cho 4 th
`
ı ch
,
ı c
´
o c
´
ac sô
´
du
,
0, 1, 2, 3.
Trong bô
´
n sô
´
a, b, c, d cho tru
,
´
o
,
c nê
´
u c
´
o hai sô
´
khi chia cho 4 m
`
a
c
´
o c
`
ung sô
´
du
,
th
`
ı hi
.
êu c
,
ua ch
´
ung s
˜
e chia hê
´
t cho 4. Nê
´
u không c
´
o
hai sô
´
n
`
ao khi chia cho 4 cho c
`
ung sô
´
du
,
th
`
ı trong bô
´
n sô
´
ph
,
ai c
´
o
hai sô
´
ch
˜
˘
an v
`
a hai sô
´
l
,
e. V
`
ı hi
.
êu c
,
ua hai sô
´
ch
˜
˘
an c
˜
ung nhu
,
hi
.
êu c
,
ua
hai sô
´
l
,
e
¯
dê
`
u l
`
a sô
´
ch
˜
˘
an nên P chia hê
´
t cho 4.
M
.
˘
at kh
´
ac trong bô
´
n sô
´
a, b, c, d luôn t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c hai sô
´
khi chia cho
3 th
`
ı c
´
o c
`
ung sô
´
du
,
(nguyên l
´
y Ðirichlê ). Do
¯
d
´
o hi
.
êu c
,
ua ch
´
ung chia
hê
´
t cho 3, suy ra P chia hê
´
t cho 3. T
´
om l
.
ai P chia hê
´
t cho 12=4.3.
J
9.2. B
`
ai t
.
âp
.
.
. 9.11. Cho x l
`
a m
.
ôt sô
´
th
.
u
,
c, c
`
on n l
`
a m
.
ôt sô
´
t
.
u
,
nhiên. Khi
¯
d
´
o tô
`
n t
.
ai
nh
˜
u
,
ng sô
´
nguyên p v
`
a q th
,
oa m
˜
an 1 ≤ q ≤ n v
`
a
x −
p
q
≤
1
( n + 1)q
.
.
.
. 9.12. Cho x
1
, x
2
, . . . , x
m
l
`
a nh
˜
u
,
ng sô
´
th
.
u
,
c v
`
a n l
`
a sô
´
t
.
u
,
nhiên. Khi
¯
d
´
o tô
`
n t
.
ai nh
˜
u
,
ng sô
´
nguyên p
1
, p
2
, . . . , p
n
, q không
¯
dô
`
ng th
`
o
,
i b
`
˘
ang
0, sao cho ta c
´
o q
µ
≤ n (µ = 1, 2, . . . , m) v
`
a
|q
1
x
1
+ q
2
x
2
+ ··· + q
m
x
m
− p| ≤
1
( n + 1)
m
.
100 Chu
,
o
,
ng 9. Nh
˜
u
,
ng
´
u
,
ng d
.
ung kh
´
ac c
,
ua nguyên l
´
y Ðirichle
.
.
. 9.13. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang v
´
o
,
i m
.
oi c
.
˘
ap sô
´
nguyên p v
`
a q > 0 ta
¯
dê
`
u
c
´
o bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c sau
√
2 −
p
q
≥
√
3 −
√
2
q
2
.
.
.
. 9.14. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang v
´
o
,
i m
.
oi c
.
˘
ap sô
´
nguyên p v
`
a q > 0 ta
¯
dê
`
u
c
´
o bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c sau
√
3 −
p
q
≥
1
3
√
3q
2
.
.
.
. 9.15. Cho m, n v
`
a s l
`
a nh
˜
u
,
ng sô
´
nguyên v
`
a α l
`
a nghi
.
êm c
,
ua phu
,
o
,
ng
tr
`
ınh b
.
âc hai mx
2
+ nx + s = 0, (m 6= 0). Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang nê
´
u α l
`
a
sô
´
vô t
,
y, th
`
ı tô
`
n t
.
ai m
.
ôt sô
´
du
,
o
,
ng c th
,
oa m
˜
an
α −
p
q
≥
c
q
2
v
´
o
,
i m
.
ôi
c
.
˘
ap sô
´
nguyên p v
`
a q > 0.
CHU
,
O
,
NG 10
NGUYÊN L
´
Y ÐIRICHLÊ
CHO DI
.
ÊN T
´
ICH
10.1. Ph
´
at biê
,
u nguyên l
´
y Ðirichlê cho di
.
ên t
´
ıch
Trong chu
,
o
,
ng n
`
ay ch
´
ung ta x
´
et nh
˜
u
,
ng t
.
âp h
.
o
,
p trên m
.
˘
at ph
,
˘
ang,
nh
˜
u
,
ng ph
´
ep to
´
an trên c
´
ac t
.
âp h
.
o
,
p nê
´
u c
´
ac b
.
an chu
,
a quen biê
´
t c
´
o
thê
,
xem
,
o
,
Ph
.
u
¯
d
´
ınh cuô
´
i s
´
ach. Ch
´
ung ta quan tâm t
´
o
,
i c
´
ac kh
´
ai ni
.
êm
sau
¯
dây:
M
.
ôt t
.
âp h
.
o
,
p trong m
.
˘
at ph
,
˘
ang g
.
oi l
`
a b
.
i ch
.
˘
an, khi tô
`
n t
.
ai m
.
ôt
h
`
ınh tr
`
on ch
´
u
,
a to
`
an b
.
ô c
´
ac
¯
diê
,
m c
,
ua t
.
âp h
.
o
,
p
¯
d
´
o. Khi không tô
`
n t
.
ai
m
.
ôt h
`
ınh tr
`
on n
`
ao nhu
,
trên th
`
ı t
.
âp h
.
o
,
p
¯
d
´
o g
.
oi l
`
a t
.
âp h
.
o
,
p không b
.
i
ch
.
˘
an. V
´
ı d
.
u nhu
,
m
.
ôt
¯
da gi
´
ac lô
`
i l
`
a t
.
âp b
.
i ch
.
˘
an c
`
on n
,
u
,
a m
.
˘
at ph
,
˘
ang l
`
a
t
.
âp h
.
o
,
p không b
.
i ch
.
˘
an. D
˜
ê d
`
ang ch
´
u
,
ng minh
¯
du
,
.
o
,
c c
´
ac t
´
ınh châ
´
t sau
c
,
ua nh
˜
u
,
ng t
.
âp h
.
o
,
p b
.
i ch
.
˘
an
1. H
.
o
,
p v
`
a giao c
,
ua h
˜
u
,
u h
.
an nh
˜
u
,
ng t
.
âp b
.
i ch
.
˘
an l
`
a m
.
ôt t
.
âp b
.
i
ch
.
˘
an. Hi
.
êu c
,
ua hai t
.
âp b
.
i ch
.
˘
an l
`
a m
.
ôt t
.
âp b
.
i ch
.
˘
an.
2. M
.
ôt t
.
âp h
.
o
,
p con c
,
ua m
.
ôt t
.
âp b
.
i ch
.
˘
an l
`
a m
.
ôt t
.
âp b
.
i ch
.
˘
an. M
.
ôt
t
.
âp h
.
o
,
p ch
´
u
,
a m
.
ôt t
.
âp h
.
o
,
p con không b
.
i ch
.
˘
an th
`
ı n
´
o c
˜
ung không b
.
i
ch
.
˘
an.
M
.
ôt
¯
diê
,
m P g
.
oi l
`
a
¯
diê
,
m biên c
,
ua t
.
âp h
.
o
,
p A trong m
.
˘
at ph
,
˘
ang,
102 Chu
,
o
,
ng 10. Nguyên l
´
y Ðirichlê cho di
.
ên t
´
ıch
nê
´
u m
.
oi h
`
ınh tr
`
on tâm t
.
ai P c
´
o ch
´
u
,
a nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m thu
.
ôc A v
`
a c
,
a
nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m không thu
.
ôc A.T
.
âp h
.
o
,
p tâ
´
t c
,
a c
´
ac
¯
diê
,
m biên c
,
ua A g
.
oi
l
`
a biên c
,
ua A v
`
a k
´
y hi
.
êu l
`
a K(A). V
´
ı d
.
u biên c
,
ua h
`
ınh tr
`
on l
`
a
¯
du
,
`
o
,
ng
tr
`
on v
´
o
,
i c
`
ung tâm v
`
a b
´
an k
´
ınh. V
´
ı d
.
u
¯
d
.
˘
ac bi
.
êt v
`
a t
´
ınh châ
´
t biên c
,
ua
t
.
âp h
.
o
,
p nhu
,
sau:
3. Cho t
.
âp h
.
o
,
p A gô
`
m to
`
an b
.
ô nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m c
´
o t
.
oa
¯
d
.
ô h
˜
u
,
u t
,
y
trong m
.
ôt h
`
ınh vuông v
´
o
,
i t
.
oa
¯
d
.
ô c
´
ac
¯
dir nh (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1).
D
˜
ê d
`
ang thâ
´
y r
`
˘
ang biên c
,
ua A l
`
a to
`
an b
.
ô h
`
ınh vuông n
´
oi trên.
4. V
´
o
,
i m
.
oi t
.
âp h
.
o
,
p A gô
`
m c
´
ac
¯
diê
,
m trong m
.
˘
at ph
,
˘
ang
¯
dê
`
u c
´
o
công th
´
u
,
c sau K(K(A)) ⊂ K(A).
5. M
.
oi c
.
˘
ap t
.
âp h
.
o
,
p bâ
´
t k
`
y trong m
.
˘
at ph
,
˘
ang
¯
dê
`
u th
,
oa m
˜
an c
´
ac
công th
´
u
,
c sau
K(A ∪ B) ⊂ K(A) ∪K(B)
K(A ∩ B) ⊂ K(A) ∩K(B)
K(A\B) ⊂ K(A) ∪ K(B)
M
.
ôt
¯
diê
,
m P g
.
oi l
`
a
¯
diê
,
m trong c
,
ua t
.
âp h
.
o
,
p A nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m trong
m
.
˘
at ph
,
˘
ang, khi tô
`
n t
.
ai h
`
ınh tr
`
on tâm P m
`
a n
´
o n
`
˘
am tr
.
on trong A.
T
`
u
,
¯
d
.
inh ngh
˜
ıa n
`
ay thâ
´
y ngay l
`
a m
.
oi
¯
diê
,
m trong c
,
ua t
.
âp h
.
o
,
p A
¯
dê
`
u
thu
.
ôc A. Ðiê
`
u ngu
,
.
o
,
c l
.
ai không
¯
d
´
ung: trong v
´
ı d
.
u 3
,
o
,
trên t
.
âp h
.
o
,
p A
không c
´
o m
.
ôt
¯
diê
,
m trong n
`
ao. Ta thâ
´
y ngay
6. M
.
ôt
¯
diê
,
m thu
.
ôc A l
`
a
¯
diê
,
m trong c
,
ua A khi v
`
a chi khi n
´
o không
l
`
a
¯
diê
,
m biên c
,
ua A. Ðiê
`
u n
`
ay gi
,
ai th
´
ıch t
.
ai sao nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m trong
c
,
ua h
`
ınh tr
`
on không n
`
˘
am trên
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on.
Ðê
,
lo
.
ai tr
`
u
,
c
´
ac t
.
âp h
.
o
,
p
¯
d
.
˘
ac bi
.
êt, ch
´
ung ta
¯
du
,
a v
`
ao m
.
ôt kh
´
ai ni
.
êm
¯
d
.
˘
ac chu
,
ng cho l
´
o
,
p t
.
âp h
.
o
,
p không
¯
d
.
˘
ac bi
.
êt trong m
.
˘
at ph
,
˘
ang : M
.
ôt
t
.
âp h
.
o
,
p b
.
i ch
.
˘
an c
´
ac
¯
diê
,
m trong m
.
˘
at ph
,
˘
ang g
.
oi l
`
a bê
`
m
.
˘
at, khi biên
c
,
ua n
´
o không ch
´
u
,
a
¯
diê
,
m trong (c
,
ua biên).
V
´
ı d
.
u c
´
ac h
`
ınh tr
`
on ho
.
˘
ac
¯
da gi
´
ac
¯
dê
`
u l
`
a bê
`
m
.
˘
at trong m
.
˘
at ph
,
˘
ang.
10.1. Ph
´
at biê
,
u nguyên l
´
y Ðirichlê cho di
.
ên t
´
ıch 103
Nhu
,
ng trong v
´
ı d
.
u 3 t
.
âp h
.
o
,
p A không l
`
a bê
`
m
.
˘
at. B
`
˘
ang c
´
ach d
`
ung
c
´
ac
¯
d
.
inh ngh
˜
ıa vê
`
t
.
âp h
.
o
,
p v
`
a c
´
ac
¯
d
.
inh ngh
˜
ıa trong phâ
`
n trên ch
´
ung
ta ch
´
u
,
ng minh
¯
du
,
.
o
,
c
7. Nê
´
u A v
`
a B l
`
a hai bê
`
m
.
˘
at, nh
˜
u
,
ng t
.
âp h
.
o
,
p A ∪ B, A ∩ B v
`
a
A\B c
˜
ung l
`
a nh
˜
u
,
ng bê
`
m
.
˘
at trong m
.
˘
at ph
,
˘
ang.
8. Nê
´
u A, B v
`
a C l
`
a c
´
ac bê
`
m
.
˘
at v
`
a A không c
´
o chung
¯
diê
,
m trong
v
´
o
,
i B v
`
a v
´
o
,
i C, th
`
ı A không c
´
o
¯
diê
,
m trong chung v
´
o
,
i B ∪C.
M
.
ôt trong nh
˜
u
,
ng
¯
d
.
inh l
´
y co
,
b
,
an trong h
`
ınh h
.
oc ph
,
˘
ang, nhiê
`
u khi
,
o
,
phô
,
thông ch
´
ung ta công nh
.
ân nhu
,
m
.
ôt tiên
¯
dê
`
:
9. M
.
oi bê
`
m
.
˘
at A nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m trong m
.
˘
at ph
,
˘
ang c
´
o thê
,
cho tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i m
.
ôt sô
´
th
.
u
,
c không âm S(A) sao cho
a) S(∆) = 1, v
´
o
,
i ∆ l
`
a m
.
ôt h
`
ınh vuông c
´
o c
.
anh l
`
a 1;
b) Nê
´
u A v
`
a B l
`
a hai bê
`
m
.
˘
at không c
´
o
¯
diê
,
m trong chung, th
`
ı
S(A ∪ B) = S(A) + S(B).
Ph
´
ep cho tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng S v
´
o
,
i c
´
ac t
´
ınh châ
´
t trên
¯
du
,
.
o
,
c x
´
ac
¯
d
.
inh m
.
ôt
c
´
ach duy nhâ
´
t.
Cho bê
`
m
.
˘
at A bâ
´
t k
`
y, sô
´
S(A) g
.
oi l
`
a di
.
ên t
´
ıch c
,
ua A. Nh
˜
u
,
ng m
.
˘
at
¯
d
˜
a
¯
du
,
.
o
,
c x
´
et trong c
´
ac tru
,
`
o
,
ng phô
,
thông l
`
a h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât, tam gi
´
ac,
h
`
ınh tr
`
on,. . . v
`
a sô
´
S(A) theo
¯
d
.
inh ngh
˜
ıa trên tr
`
ung v
´
o
,
i kh
´
ai ni
.
êm
di
.
ên t
´
ıch c
,
ua c
´
ac h
`
ınh n
`
ay. V
´
o
,
i c
´
ach tr
`
u
,
u tu
,
.
o
,
ng h
´
oa kh
´
ai ni
.
êm di
.
ên
t
´
ıch ch
´
ung ta d
˜
ê d
`
ang kh
,
ao s
´
at t
´
ınh châ
´
t vê
`
di
.
ên t
´
ıch c
,
ua c
´
ac h
`
ınh.
T
`
u
,
a) v
`
a b) ch
´
ung ta c
´
o thê
,
d
˜
ê d
`
ang ch
´
u
,
ng minh
¯
du
,
.
o
,
c:
10. Nê
´
u A v
`
a B l
`
a nh
˜
u
,
ng bê
`
m
.
˘
at v
`
a A ⊂ B, th
`
ı S(A\B) =
S(A) − S(B) .
11. Nê
´
u A
1
, A
2
, . . . , A
n
l
`
a c
´
ac bê
`
m
.
˘
at t
`
u
,
ng
¯
dôi m
.
ôt không c
´
o
¯
diê
,
m trong chung, th
`
ı S(A
1
∪ A
2
∪ . . . ∪ A
n
) = S(A
1
) + S(A
2
) +
104 Chu
,
o
,
ng 10. Nguyên l
´
y Ðirichlê cho di
.
ên t
´
ıch
··· + S(A
n
).
Nguyên l
´
y Ðirichlê cho di
.
ên t
´
ıch: Nê
´
u A l
`
a m
.
ôt bê
`
m
.
˘at, c
`
on
A
1
, A
2
, . . . , A
n
l
`
a c
´
ac bê
`
m
.
˘at sao cho A
i
⊂ A(i = 1, 2, . . . , n) v
`
a
S(A) < S(A
1
) + S(A
2
) + ··· + S(A
n
), th
`
ı
´
ıt nhâ
´
t c
´
o hai bê
`
m
.
˘at
trong sô
´
c
´
ac bê
`
m
.
˘at trên c
´
o m
.
ôt
¯
diê
,
m trong chung.
C
˜
ung nhu
,
nguyên l
´
y
¯
dâ
`
u tiên, ch
´
ung ta c
˜
ung c
´
o thê
,
thâ
´
y
¯
diê
`
u
n
`
ay l
`
a hiê
,
n nhiên v
`
a ch
´
u
,
ng minh
¯
du
,
.
o
,
c. Th
.
ât v
.
ây, Gi
,
a s
,
u
,
không c
´
o
c
.
˘
ap n
`
ao trong nh
˜
u
,
ng m
.
˘
at
¯
d
˜
a cho c
´
o
¯
diê
,
m trong chung. Khi
¯
d
´
o theo
kh
,
˘
ang
¯
d
.
inh 11. ta c
´
o S(A
1
∪A
2
∪. . . ∪ A
n
) = S(A
1
) + S(A
2
) + ···+
S(A
n
). M
.
˘
at kh
´
ac A
i
⊂ A(i = 1, 2, . . . , n) suy ra A
1
∪A
2
∪. . . ∪ A
n
⊂
A, t
`
u
,
¯
d
´
o c
´
o S(A
1
∪ A
2
∪. . . ∪ A
n
) ⊂ S(A). Thô
´
ng nhâ
´
t c
´
ac bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang
th
´
u
,
c l
.
ai ch
´
ung ta c
´
o S(A) < S(A), d
˜
ân t
´
o
,
i vô l
´
y.
C
´
o thê
,
thâ
´
y r
`
˘
ang nguyên l
´
y trên bao tr
`
um nguyên l
´
y Ðirichlê
cho nh
˜
u
,
ng t
.
âp h
˜
u
,
u h
.
an. Ngo
`
ai ra nguyên l
´
y Ðirichlê trên c
´
o thê
,
c
.
u
thê
,
h
´
oa cho nh
˜
u
,
ng l
´
o
,
p bê
`
m
.
˘
at thông d
.
ung trong chu
,
o
,
ng tr
`
ınh phô
,
thông v
`
a c
´
ac kh
´
ai ni
.
êm
¯
d
.
ô d
`
ai, thê
,
t
´
ıch c
˜
ung c
´
o c
`
ung t
´
ınh châ
´
t nhu
,
kh
´
ai ni
.
êm di
.
ên t
´
ıch
,
o
,
trên. Do
¯
d
´
o ch
´
ung ta c
´
o thê
,
ph
´
at biê
,
u nguyên
l
´
y Ðirichlê theo c
´
ac phu
,
o
,
ng
´
an kh
´
ac nhau.
12.Cho nh
˜
u
,
ng
¯
do
.
an th
,
˘ang ∆
1
, ∆
2
, . . . , ∆
n
n
`
˘am trong
¯
do
.
an ∆ v
`
a
tô
,
ng
¯
d
.
ô d
`
ai c
,
ua ∆
1
, ∆
2
, . . . , ∆
n
l
´
o
,
n ho
,
n
¯
d
.
ô d
`
ai c
,
ua ∆. Khi
¯
d
´
o
´
ıt nhâ
´
t c
´
o
hai trong sô
´
nh
˜
u
,
ng
¯
do
.
an th
,
˘ang ∆
1
, ∆
2
, . . . , ∆
n
c
´
o
¯
diê
,
m chung.
13. Cho nh
˜
u
,
ng
¯
da di
.
ên P
1
, P
2
, . . . , P
n
n
`
˘am trong
¯
da di
.
ên P v
`
a tô
,
ng
thê
,
t
´
ıch c
,
ua P
1
, P
2
, . . . , P
n
l
´
o
,
n ho
,
n thê
,
t
´
ıch c
,
ua P. Khi
¯
d
´
o
´
ıt nhâ
´
t c
´
o hai
trong sô
´
nh
˜
u
,
ng
¯
da di
.
ên P
1
, P
2
, . . . P
n
c
´
o
¯
diê
,
m chung.
14. Cho nh
˜
u
,
ng cung c
1
, c
2
, . . . , c
n
n
`
˘am trên
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on c v
`
a tô
,
ng
¯
d
.
ô d
`
ai c
,
ua c
1
, c
2
, . . . , c
n
l
´
o
,
n ho
,
n
¯
d
.
ô d
`
ai
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on c. Khi
¯
d
´
o
´
ıt nhâ
´
t c
´
o
hai trong sô
´
nh
˜
u
,
ng cung c
1
, c
2
, . . . c
n
c
´
o
¯
diê
,
m chung.
10.2. V
´
ı d
.
u 105
Tâ
´
t c
,
a c
´
ac ph
´
at biê
,
u 12, 13, 14 ch
´
ung ta
¯
dê
`
u g
.
oi l
`
a nguyên l
´
y
Ðirichlê v
`
a b
.
an
¯
d
.
oc c
´
o thê
,
ch
´
u
,
ng minh
¯
du
,
.
o
,
c c
´
ac nguyên l
´
y n
`
ay.
10.2. V
´
ı d
.
u
.
.
. 10.1. Cho M l
`
a m
.
ôt
¯
da gi
´
ac lô
`
i v
´
o
,
i di
.
ên t
´
ıch S v
`
a chu vi P. Ch
´
u
,
ng
minh r
`
˘ang
a) M c
´
o thê
,
ph
,
u
¯
du
,
.
o
,
c m
.
ôt h
`
ınh tr
`
on v
´
o
,
i b
´
an k
´
ınh l
´
o
,
n ho
,
n
S
P
;
b) B
´
an k
´
ınh c
,
ua c
´
ac h
`
ınh tr
`
on n
`
˘am trong M không qu
´
a
S
P
.
L
`
o
,
i gi
,
ai. a) Ch
´
ung ta d
.
u
,
ng trên m
˜
ôi c
.
anh
¯
da gi
´
ac M m
.
ôt h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât chiê
`
u cao h =
S
P
, nhu
,
h
`
ınh 10.1.
M
h =
S
P
H
H
`
ınh 10.1:
M
C
O
H
`
ınh 10.2:
Nh
˜
u
,
ng h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât n
`
ay c
´
o nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m chung gi
˜
u
,
a ch
´
ung; n
´
oi
chung m
.
ôt sô
´
h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât không n
`
˘
am tr
.
on trong M. Ch
´
ung ta c
´
o
thê
,
t
´
ınh to
´
an tô
,
ng di
.
ên t
´
ıch c
,
ua c
´
ac h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât n
`
ay l
`
a S. Nhu
,
v
.
ây
phâ
`
n c
,
ua M b
.
i c
´
ac h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât ph
,
u ph
,
ai c
´
o di
.
ên t
´
ıch nh
,
o ho
,
n S.
Ðiê
`
u n
`
ay ch
,
ı ra r
`
˘
ang tô
`
n t
.
ai m
.
ôt
¯
diê
,
m O c
,
ua M không thu
.
ôc
106 Chu
,
o
,
ng 10. Nguyên l
´
y Ðirichlê cho di
.
ên t
´
ıch
h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât n
`
ao c
,
a. Nhu
,
v
.
ây c
´
o ngh
˜
ıa l
`
a kho
,
ang c
´
ach t
`
u
,
O
¯
dê
´
n
c
´
ac c
.
anh c
,
ua M ph
,
ai l
´
o
,
n ho
,
n h =
S
P
. Ta lâ
´
y O l
`
a tâm h
`
ınh tr
`
on b
´
an
k
´
ınh R >
S
P
, h
`
ınh tr
`
on n
`
ay s
˜
e n
`
˘
am tr
.
on trong M.
b) Cho h
`
ınh tr
`
on C tâm O b
´
an k
´
ınh R n
`
˘
am trong M. Ch
´
ung ta x
´
et
c
´
ac tam gi
´
ac m
`
a hai
¯
d
,
ınh c
,
ua n
´
o l
`
a hai
¯
d
,
ınh liên tiê
´
p c
,
ua t
´
u
,
gi
´
ac, c
`
on
¯
d
,
ınh th
´
u
,
ba l
`
a tâm h
`
ınh tr
`
on O. Ðu
,
`
o
,
ng cao h
.
a t
`
u
,
O xuô
´
ng c
´
ac c
.
anh
c
,
ua tam gi
´
ac n
`
ay l
´
o
,
n ho
,
n R. T
`
u
,
¯
dây suy ra tô
,
ng c
´
ac di
.
ên t
´
ıch c
,
ua
ch
´
ung b
`
˘
ang S v
`
a không nh
,
o ho
,
n P.R. Suy ra R ≤
S
P
(H
`
ınh 10.2).
J
.
.
. 10.2. Trong không gian cho 30 vecto
,
kh
´
ac không. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
trong sô
´
¯
d
´
o c
´
o hai vecto
,
m
`
a g
´
oc gi
˜
u
,
a ch
´
ung nh
,
o ho
,
n 45
0
.
L
`
o
,
i gi
,
ai. C
´
o thê
,
gi
,
a thiê
´
t r
`
˘
ang tâ
´
t c
,
a
45
0
O
J
A
H
`
ınh 10.3:
v
´
ecto
,
c
´
o chung
¯
diê
,
m
¯
dâ
`
u O. Lâ
´
y OA
v
´
o
,
i
¯
d
.
ôd
`
ai b
`
˘
ang 1 trên vecto
,
th
´
u
,
nhâ
´
t.
Ch
´
ung ta d
.
u
,
ng h
`
ınh n
´
on
¯
d
,
ınh O v
´
o
,
i
tr
.
uc OA, m
`
a g
´
oc
,
o
,
¯
d
,
ınh l
`
a 45
0
. B
`
ai
to
´
an s
˜
e
¯
du
,
.
o
,
c ch
´
u
,
ng minh nê
´
u ch
´
ung
ta ch
,
ı ra r
`
˘
ang
´
ıt nhâ
´
t hai trong sô
´
30
h
`
ınh n
´
on (
¯
du
,
.
o
,
c xây du
,
o
,
ng theo c
´
ach
trên
´
u
,
ng v
´
o
,
i 30 vecto
,
¯
d
˜
a cho) c
´
o
¯
diê
,
m
trong chung (h
`
ınh 10.3).
Ch
´
ung ta x
´
et h
`
ınh câ
`
u S v
´
o
,
i tâm
O v
`
a b
´
an k
´
ınh 1. M
˜
ôi lâ
`
n d
.
u
,
ng h
`
ınh n
´
on c
´
˘
at m
.
˘
at câ
`
u S m
.
ôt h
`
ınh
v
´
o
,
i di
.
ên t
´
ıch δ
1
m
`
a c
´
o thê
,
t
´
ınh to
´
an
¯
du
,
.
o
,
c. Ta c
˜
ung thâ
´
y r
`
˘
ang
hai h
`
ınh n
´
on c
´
o
¯
diê
,
m trong chung khi v
`
a chi khi nh
˜
u
,
ng phâ
`
n
trên m
.
˘
at câ
`
u c
˜
ung ph
,
ai c
´
o
¯
diê
,
m trong chung. T
`
u
,
¯
diê
`
u n
`
ay v
`
a
10.2. V
´
ı d
.
u 107
nguyên l
´
y Ðirichlê ch
´
ung ta ch
,
ı câ
`
n thiê
´
t kiê
,
m tra tô
,
ng di
.
ên t
´
ıch
c
,
ua 30 h
`
ınh trên m
.
˘
at câ
`
u l
´
o
,
n ho
,
n di
.
ên t
´
ıch m
.
˘
at câ
`
u (b
`
˘
ang 4π).
Ch
´
ung ta c
´
o δ
1
= 2π
1 −cos
π
8
= 2π
1 −
p
2 +
√
2
2
!
. V
.
ây
30.2π
1 −
p
2 +
√
2
2
!
> 4π tu
,
o
,
ng
¯
du
,
o
,
ng v
´
o
,
i
p
2 +
√
2
2
<
14
15
ho
.
˘
ac l
`
a
1
2
<
167
225
2
.
J
.
.
. 10.3. Nê
´
u m
.
ôt bê
`
m
.
˘at A trong m
.
˘at ph
,
˘ang th
,
oa m
˜
an
¯
diê
`
u ki
.
ên
S(A) > 1. th
`
ı n
´
o luôn luôn ch
´
u
,
a
´
ıt nhâ
´
t hai
¯
diê
,
m trong (x
1
, y
1
),
(x
2
, y
2
) m
`
a hi
.
êu x
2
− x
1
v
`
a y
2
−y
1
l
`
a nh
˜
u
,
ng sô
´
nguyên.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Qua m
˜
ôi
¯
diê
,
m (m, n) v
´
o
,
i
y
x
0
1
2 3
−1
−2−3
H
`
ınh 10.4:
t
.
oa
¯
d
.
ô nguyên ch
´
ung ta k
,
e c
´
ac
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang
¯
d
´
u
,
ng v
`
a
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang
ngang (h
`
ınh 10.4).
Ch
´
ung ta s
˜
e t
.
ao
¯
du
,
.
o
,
c lu
,
´
o
,
i
nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m v
´
o
,
i t
.
oa d
.
ô nguyên.
Lu
,
´
o
,
i nguyên chia m
.
˘
at ph
,
˘
ang ra c
´
ac
h
`
ınh vuông b
`
˘
ang nhau, m
˜
ôi h
`
ınh
vuông c
´
o di
.
ên t
´
ıch l
`
a 1. Ch
´
u
´
y r
`
˘
ang
m
˜
ôi h
`
ınh vuông c
´
o thê
,
xê d
.
ich
¯
dê
´
n
tr
`
ung v
´
o
,
i m
.
ôt h
`
ınh vuông kh
´
ac, ch
,
ı c
´
o kh
´
ac l
`
a t
.
oa
¯
d
.
ô c
,
ua h
`
ınh vuông
m
´
o
,
i chuyê
,
n
¯
dê
´
n c
˜
ung l
`
a c
´
ac sô
´
nguyên.
Ch
´
ung ta ch
.
on m
.
ôt h
`
ınh vuông trong lu
,
´
o
,
i nguyên l
`
am gô
´
c cô
´
¯
d
.
inh rô
`
i d
.
ich chuyê
,
n m
.
oi h
`
ınh vuông vê
`
h
`
ınh vuông gô
´
c. Nhu
,
v
.
ây
nh
˜
u
,
ng phâ
`
n c
,
ua A n
`
˘
am trong c
´
ac h
`
ınh vuông kh
´
ac nhau
¯
dê
`
u chuyê
,
n
vê
`
h
`
ınh vuông gô
´
c (h
`
ınh v
˜
e). Tô
,
ng c
,
ua di
.
ên t
´
ıch c
,
ua c
´
ac phâ
`
n
¯
d
´
o
108 Chu
,
o
,
ng 10. Nguyên l
´
y Ðirichlê cho di
.
ên t
´
ıch
b
`
˘
ang di
.
ên t
´
ıch c
,
ua A v
`
a suy ra l
´
o
,
n ho
,
n 1. Suy ra
´
ıt nhâ
´
t hai trong
sô
´
c
´
ac phâ
`
n n
`
˘
am trong h
`
ınh vuông d
.
ich
¯
dê
´
n s
˜
e c
´
o
¯
diê
,
m trong chung
(x
0
, y
0
). Trong t
.
âp A ban
¯
dâ
`
u th
`
ı
¯
diê
,
m (x
0
, y
0
) tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i hai
¯
diê
,
m kh
´
ac nhau (x
1
, y
1
) v
`
a (x
2
, y
2
) m
`
a x
1
−x
0
, y
1
−y
0
, x
2
−x
0
, y
2
−
y
0
l
`
a c
´
ac sô
´
nguyên. Nhu
,
v
.
ây th
`
ı x
2
−x
1
v
`
a y
2
−y
1
c
˜
ung l
`
a sô
´
nguyên.
J
.
.
. 10.4. Cho A l
`
a t
.
âp h
.
o
,
p lô
`
i v
`
a b
.
i ch
.
˘an nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m trong m
.
˘at
ph
,
˘ang, c
`
on P
1
, P
2
, P
3
, P
4
, P
5
l
`
a nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m thu
.
ôc A. G
.
oi A
i
l
`
a t
.
âp
h
.
o
,
p nh
.
ân t
`
u
,
A sau m
.
ôt ph
´
ep t
.
inh tiê
´
n c
´
ac
¯
diê
,
m theo vecto
,
P
1
P
i
(i =
1, 2, 3, 4, 5). Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
´
ıt nhâ
´
t c
´
o hai t
.
âp h
.
o
,
p trong sô
´
c
´
ac
A
i
(i = 1, 2, 3, 4, 5) c
´
o
¯
diê
,
m chung.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
ung ta chia ra hai
H
`
ınh 10.5:
tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p A c
´
o thê
,
c
´
o ho
.
˘
ac
c
´
o thê
,
không c
´
o
¯
diê
,
m trong.
1. Tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p A c
´
o
¯
diê
,
m
trong. K
´
y hi
.
êu A
0
l
`
a t
.
âp h
.
o
,
p,
m
`
a n
´
o nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c t
`
u
,
A, sau
khi t
´
ac
¯
d
.
ông ph
´
ep v
.
i t
.
u
,
tâm
P
1
v
`
a h
.
ê sô
´
v
.
i t
.
u
,
2. Khi
¯
d
´
o
công th
´
u
,
c sau
¯
d
´
ung A
i
⊂ A
0
(h
`
ınh 10.5).
Th
.
ât v
.
ây, nê
´
u Q ∈ A v
`
a Q
i
l
`
a
,
anh c
,
ua Q qua ph
´
ep t
.
inh tiê
´
n theo
vecto
,
−−→
P
1
P
i
(xem h
`
ınh v
˜
e), th
`
ı P
1
P
i
Q
i
Q l
`
a h
`
ınh b
`
ınh h
`
anh. K
´
y hi
.
êu
Q
00
l
`
a trung
¯
diê
,
m c
,
ua P
1
Q
i
. R
˜
o r
`
ang Q
00
∈ A, v
`
ı Q v
`
a P
i
l
`
a phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua A v
`
a A lô
`
i. M
.
˘
at kh
´
ac P
1
Q
i
= 2P
1
Q
00
v
`
a v
`
ı A
0
l
`
a
,
anh c
,
ua A qua
ph
´
ep v
.
i t
.
u
,
tâm P
1
v
`
a h
.
ê sô
´
2, nên
¯
diê
,
m Q
i
n
`
˘
am trong t
.
âp h
.
o
,
p A
0
.
Nhu
,
v
.
ây m
˜
ôi tâp trong c
´
ac t
.
âp A
i
n
`
˘
am trong A
0
. Ðô
`
ng th
`
o
,
i m
˜
ôi t
.
âp
10.2. V
´
ı d
.
u 109
c
,
ua A
i
¯
dô
`
ng d
.
ang v
´
o
,
i A v
`
a suy ra S(A
i
) = S(A). Do
¯
d
´
o
S(A
1
) + S(A
2
) + S(A
3
) + S(A
4
) + S(A
5
) = 5S(A). (10.1)
Nhu
,
ng t
.
âp h
.
o
,
p A
0
¯
dô
`
ng d
.
ang v
´
o
,
i A v
´
o
,
i h
.
ê sô
´
2. Suy ra
S(A
0
) = 4S(A). (10.2)
M
.
˘
at kh
´
ac A c
´
o
¯
diê
,
m trong, v
`
ı thê
´
S(A) > 0. Ngh
˜
ıa l
`
a t
`
u
,
(10.1) v
`
a
(10.2) suy ra S(A
1
) + S (A
2
) + S (A
3
) + S (A
4
) + S (A
5
) > S(A
0
).
Nhu
,
v
.
ây trong tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p 1 b
`
ai to
´
an
¯
du
,
.
o
,
c suy ra t
`
u
,
nguyên l
´
y
Ðirichlê cho di
.
ên t
´
ıch.
2. Tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p A không c
´
o
¯
diê
,
m trong, A s
˜
e n
`
˘
am trên m
.
ôt
¯
du
,
`
o
,
ng
th
,
˘
ang. Th
.
ât v
.
ây, nê
´
u
´
ıt nhâ
´
t ba
¯
diê
,
m n
`
˘
am trên m
.
ôt
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang, do
t
´
ınh châ
´
t lô
`
i A ch
´
u
,
a to
`
an b
.
ô h
`
ınh tam gi
´
ac v
´
o
,
i
¯
d
,
ınh l
`
a c
´
ac
¯
diê
,
m
n
`
ay, suy ra A c
´
o
¯
diê
,
m trong. Nhu
,
ng t
.
âp lô
`
i, b
.
i ch
.
˘
an trên m
.
ôt
¯
du
,
`
o
,
ng
th
,
˘
ang ch
´
ınh l
`
a
¯
do
.
an th
,
˘
ang trên du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang n
`
ay. Phâ
`
n c
`
on l
.
ai l
´
y
lu
.
ân tu
,
o
,
ng t
.
u
,
nhu
,
phâ
`
n trên. Nhu
,
ng trong tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p trên
¯
du
,
`
o
,
ng
th
,
˘
ang ch
,
ı câ
`
n 3
¯
diê
,
m v
`
a nguyên l
´
y Ðirichlê vê
`
¯
d
.
ô d
`
ai.
J
.
.
. 10.5. (Ð
.
inh l
´
y Minkovski) Cho A l
`
a t
.
âp h
.
o
,
p
¯
diê
,
m trong m
.
˘at ph
,
˘ang
c
´
o t
´
ınh châ
´
t lô
`
i, b
.
i ch
.
˘an v
`
a
¯
dô
´
i x
´
u
,
ng qua gô
´
c t
.
oa
¯
d
.
ô v
`
a S(A) > 4. Khi
¯
d
´
o A ch
´
u
,
a nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m trong kh
´
ac
¯
diê
,
m gô
´
c v
´
o
,
i t
.
oa
¯
d
.
ô nguyên.
L
`
o
,
i gi
,
ai. T
´
ac d
.
ung lên A ph
´
ep v
.
i t
.
u
,
tâm l
`
a gô
´
c t
.
oa
¯
d
.
ô v
`
a h
.
ê sô
´
1
2
.
Nhu
,
v
.
ây ch
´
ung ta nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c A
0
,
¯
dô
`
ng d
.
ang v
´
o
,
i A v
`
a c
´
o k
´
ıch thu
,
´
o
,
c
b
`
˘
ang n
,
u
,
a k
´
ıch thu
,
´
o
,
c c
,
ua A. Suy ra S(A
0
) =
1
4
S(A) > 1. Theo b
`
ai
10.13 suy ra A
0
ch
´
u
,
a
´
ıt nhâ
´
t hai
¯
diê
,
m kh
´
ac nhau (x
1
, y
1
) v
`
a (x
2
, y
2
),
m
`
a c
´
ac hi
.
êu x
2
−x
1
v
`
a y
2
−y
1
l
`
a nguyên. V
`
ı t
.
âp h
.
o
,
p A
¯
dô
´
i x
´
u
,
ng qua
gô
´
c t
.
oa
¯
d
.
ô nên t
.
âp h
.
o
,
p A
0
c
˜
ung v
.
ây. Ðiê
`
u
¯
d
´
o gi
,
ai th
´
ıch r
`
˘
ang
¯
diê
,
m
( −x
1
, −y
1
) thu
.
ôc A
0
. V
`
ı A lô
`
i nên A
0
c
˜
ung lô
`
i. Do
¯
d
´
o trung
¯
diê
,
m
110 Chu
,
o
,
ng 10. Nguyên l
´
y Ðirichlê cho di
.
ên t
´
ıch
c
,
ua c
´
ac
¯
diê
,
m m
´
ut (−x
1
, −y
1
) v
`
a (x
2
, y
2
) c
˜
ung thu
.
ôc A
0
v
`
a c
´
o t
.
oa
¯
d
.
ô
(
x
2
− x
1
2
,
y
2
−y
1
2
). Nhân t
.
oa
¯
d
.
ô n
`
ay v
´
o
,
i 2 th
`
ı
¯
du
,
.
o
,
c t
.
oa
¯
d
.
ô c
,
ua m
.
ôt
¯
diê
,
m thu
.
ôc A. Nhu
,
v
.
ây (x
2
−x
1
, y
2
−y
1
) thu
.
ôc A. Ðiê
,
m ta t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c
kh
´
ac gô
´
c t
.
oa
¯
d
.
ô v
`
a c
´
o t
.
oa
¯
d
.
ô nguyên v
`
a l
`
a
¯
diê
,
m trong c
,
ua t
.
âp A.
J
.
.
. 10.6. Nê
´
u A l
`
a m
.
ôt bê
`
m
.
˘at,
A
1
, A
2
, . . . , A
n
. (10.3)
l
`
a nh
˜
u
,
ng bê
`
m
.
˘at v
`
a th
,
oa m
˜
an A
i
⊂ A(i = 1, 2, . . . , n), c
`
on k l
`
a sô
´
t
.
u
,
nhiên m
`
a
k.S(A) < S (A
1
) + S(A
2
) + ··· + S(A
n
). (10.4)
th
`
ı
´
ıt nhâ
´
t k + 1 trong sô
´
nh
˜
u
,
ng bê
`
m
.
˘at trên c
´
o m
.
ôt
¯
diê
,
m trong chung.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
ung ta ch
´
u
,
ng minh b
`
˘
ang qui n
.
ap,Tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p k = 1
¯
d
´
o
l
`
a nguyên L
´
y Ðirichlê
¯
d
˜
a ch
´
u
,
ng minh
,
o
,
trên. Bây gi
`
o
,
gi
,
a s
,
u
,
b
`
ai to
´
an
¯
d
˜
a
¯
d
´
ung cho k, ch
´
ung ta ph
,
ai ch
´
u
,
ng minh n
´
o c
˜
ung
¯
d
´
ung cho k + 1.
Ta cô
´
¯
d
.
inh m
.
ôt k v
`
a c
´
o bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c
( k + 1)S(A) < S(A
1
) + S(A
2
) + ··· + S(A
n
). (10.5)
Ch
´
ung ta s
˜
e ch
,
ı ra r
`
˘
ang v
´
o
,
i (10.5) tô
`
n t
.
ai m
.
ôt
¯
diê
,
m l
`
a
¯
diê
,
m trong c
,
ua
k + 2 t
.
âp h
.
o
,
p c
,
ua (10.3). Do A
µ
⊂ A(µ = 1, 2, . . . , n), nên S(A
µ
) ≤
S(A), t
`
u
,
¯
d
´
o suy ra S(A
1
) + S(A
2
) + ··· + S(A
n
) ≤ nS(A). T
`
u
,
bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c sau c
`
ung v
`
a (10.5) ch
´
ung ta c
´
o (k + 1)S(A) < nS(A) suy
ra k + 1 < n. V
`
ı v
.
ây
n ≥ k + 2. (10.6)
Tô
`
n t
.
ai
¯
diê
,
m chung cho
´
ıt nhâ
´
t k + 2 t
.
âp h
.
o
,
p (10.3)
¯
du
,
.
o
,
c ch
´
u
,
ng
minh b
`
˘
ang qui n
.
ap theo n. T
`
u
,
(10.4) suy ra (10.5), v
.
ây ta ph
,
ai b
´
˘
at
¯
dâ
`
u t
`
u
,
k + 2. Nhu
,
v
.
ây viê
´
t l
.
ai
( k + 1)S(A) < S(A
1
) + S(A
2
) + ··· + S(A
k+2
). (10.7)
10.2. V
´
ı d
.
u 111
Câ
`
n ph
,
ai ch
´
u
,
ng minh tô
`
n t
.
ai
¯
diê
,
m m
`
a n
´
o l
`
a
¯
diê
,
m trong c
,
ua A
1
, A
2
,
. . . , A
k+2
. Lâ
´
y
A
0
µ
= A
µ
\A
k+2
( µ = 1, 2, . . . , k + 1) (10.8)
A
00
µ
= A
µ
∩ A
k+2
( µ = 1, 2, . . . , k + 1) (10.9)
v
`
a
A
0
= A\A
k+2
(10.10)
A
00
= A
k+2
. (10.11)
R
˜
o r
`
ang A
0
µ
⊂ A
0
v
`
a A
0
µ
⊂ A
00
( µ = 1, 2, . . . , k + 1) . V
`
ı c
´
o tâ
´
t c
,
a k + 1
t
.
âp h
.
o
,
p A
0
µ
, t
`
u
,
bao h
`
am th
´
u
,
c trên suy ra
( k + 1)S(A
0
) ≥ S(A
0
1
) + S(A
0
2
) + ··· + S(A
0
k+1
). (10.12)
Nê
´
u lâ
´
y (10.7) tr
`
u
,
¯
di (10.12) ch
´
ung ta nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c
( k + 1)S(A
00
) < S(A
k+2
) + S(A
00
1
) + S(A
00
2
) + ··· + S(A
00
k+1
).
(10.13)
V
`
ı S(A) − S(A
0
) = S(A
00
) v
`
a S(A
µ
) − S(A
0
µ
) = S(A
00
µ
) do (10.8)-
(10.11) nên t
`
u
,
(10.13),(10.9) v
`
a (10.11) suy ra
kS(A
k+2
) < S(A
1
∩ A
k+2
) + S(A
2
∩ A
k+2
) + ··· + S(A
k+1
∩ A
k+2
).
(10.14)
T
`
u
,
(10.14) v
`
a gi
,
a thiê
´
t
¯
d
´
ung cho k theo qui n
.
ap suy ra A
1
∩
A
k+2
, A
2
∩ A
k+2
, . . . , A
k+1
∩ A
k+2
c
´
o
¯
diê
,
m trong chung,
¯
diê
`
u n
`
ay
c
´
o ngh
˜
ıa l
`
a t
.
âp h
.
o
,
p A
1
, A
2
, . . . , A
k+2
c
´
o
¯
diê
,
m trong chung. Nhu
,
v
.
ây
v
´
o
,
i n = k + 2 t
`
u
,
(10.5) suy ra
´
ıt nhâ
´
t k + 2 t
.
âp h
.
o
,
p t
`
u
,
(10.3) c
´
o
¯
diê
,
m trong chung.
Bây gi
`
o
,
ch
´
ung ta gi
,
a thiê
´
t v
´
o
,
i m
.
ôt n ≥ k + 2 t
`
u
,
(10.5) suy ra
´
ıt nhâ
´
t k + 2 t
.
âp h
.
o
,
p t
`
u
,
(10.3) c
´
o
¯
diê
,
m trong chung v
`
a s
˜
e ph
,
ai kê
´
t
lu
.
ân r
`
˘
ang t
`
u
,
( k + 1)S(A) < S(A
1
) + S(A
2
) + ··· + S(A
n
) + S(A
n+1
). (10.15)
112 Chu
,
o
,
ng 10. Nguyên l
´
y Ðirichlê cho di
.
ên t
´
ıch
suy ra c
´
o
´
ıt nhâ
´
t k + 2 t
.
âp h
.
o
,
p trong d
˜
ây A
1
, A
2
, . . . , A
n+1
c
´
o
¯
diê
,
m
trong chung. Th
.
ât v
.
ây, ch
´
ung ta
¯
d
.
˘
at
A
0
µ
= A
µ
\A
n+1
, (µ = 1, 2, . . . , n). (10.16)
A
00
µ
= A
µ
∩ A
n+1
, (µ = 1, 2, . . . , n) (10.17)
v
`
a
A
0
= A\A
n+1
(10.18)
A
00
= A
n+1
. (10.19)
V
`
ı A
0
µ
∪ A
0
µ
= A
0
µ
, A
0
µ
∩ A
00
µ
= ∅(µ = 1, 2, . . . , n) v
`
a A
0
∪ A
00
=
A, A
0
∩ A
00
= ∅ nên
S(A
0
µ
) + S(A
00
µ
) = S(A
µ
), (µ = 1, 2, . . . , n) (10.20)
v
`
a
S(A
0
) + S(A
00
) = S(A). (10.21)
Ch
´
ung ta s
˜
e ch
´
u
,
ng minh m
.
ôt trong c
´
ac bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c sau l
`
a
¯
d
´
ung
( k + 1)S(A
0
) < S(A
0
1
) + S(A
0
2
) + ··· + S(A
0
n
) (10.22)
ho
.
˘
ac l
`
a
kS(A
00
) < S(A
00
1
) + S(A
00
2
) + ··· + S(A
00
n
). (10.23)
Th
.
ât v
.
ây, trong tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p ngu
,
.
o
,
c l
.
ai ch
´
ung ta s
˜
e c
´
o (k + 1)S(A
0
) ≥
S(A
0
1
) + S(A
0
2
) + ··· + S(A
0
n
) v
`
a kS(A
00
) ≥ S(A
00
1
) + S(A
00
2
) + ··· +
S(A
00
n
) C
.
ông hai vê
´
l
.
ai v
`
a do (10.20), (10.21) ch
´
ung ta nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c
S(A
0
) + kS(A) ≥ S(A
1
) + S(A
2
) + ··· + S(A
n
). (10.24)
C
.
ông hai vê
´
(10.24) v
´
o
,
i S(A
00
) v
`
a t
`
u
,
(10.19), (10.21) ch
´
ung ta nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c
( k + 1)S(A) ≥ S(A
1
) + S(A
2
) + ··· + S(A
n
)
Nhu
,
ng
¯
diê
`
u n
`
ay tr
´
ai v
´
o
,
i (10.15). Do
¯
d
´
o trong hai bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c
(10.22) v
`
a (10.23) ph
,
ai c
´
o
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt c
´
ai
¯
d
´
ung.
10.2. V
´
ı d
.
u 113
Gi
,
a s
,
u
,
(10.22)
¯
d
´
ung. Theo gi
,
a thiê
´
t qui n
.
ap
¯
dô
´
i v
´
o
,
i n t
`
u
,
(10.22)
suy ra
´
ıt nhâ
´
t k + 2 t
.
âp h
.
o
,
p trong d
˜
ây A
0
1
, A
0
2
, . . . , A
0
n
c
´
o
¯
diê
,
m trong
chung. T
`
u
,
(10.16) suy ra r
`
˘
ang kê
´
t lu
.
ân trên c
˜
ung
¯
d
´
ung cho d
˜
ây
(10.3).
Gi
,
a s
,
u
,
(10.23)
¯
d
´
ung. T
`
u
,
gi
,
a thiê
´
t qui n
.
ap
¯
dô
´
i v
´
o
,
i k suy ra k + 1
t
.
âp h
.
o
,
p trong A
00
1
, A
00
2
, . . . , A
00
n
c
´
o
¯
diê
,
m chung v
`
a c
`
ung v
´
o
,
i (10.17) ch
,
ı
ra r
`
˘
ang tô
`
n t
.
ai m
.
ôt
¯
diê
,
m m
`
a n
´
o l
`
a
¯
diê
,
m trong c
,
ua k + 1 t
.
âp h
.
o
,
p t
`
u
,
(10.3) v
`
a c
,
a c
,
ua A
n+1
.
Nhu
,
v
.
ây t
`
u
,
(10.15) suy ra k + 2 t
.
âp h
.
o
,
p trong d
˜
ay A
1
, A
2
,
. . . , A
n+1
c
´
o
¯
diê
,
m trong chung. Suy ra kê
´
t lu
.
ân
¯
d
´
ung v
´
o
,
i n + 1. T
`
u
,
phu
,
o
,
ng ph
´
ap qui n
.
ap bây gi
`
o
,
l
.
ai suy ra, v
´
o
,
i m
.
oi n, v
´
o
,
i (10.5) tô
`
n
t
.
ai m
.
ôt
¯
diê
,
m m
`
a n
´
o l
`
a
¯
diê
,
m trong c
,
ua
´
ıt nhâ
´
t k + 2 t
.
âp h
.
o
,
p trong
(10.3).
J
Ch
´
u
´
y. Trong ch
´
u
,
ng minh
¯
d
.
inh l
´
y d
`
ung phu
,
o
,
ng ph
´
ap qui n
.
ap
theo k. Nhu
,
ng
¯
di t
`
u
,
bu
,
´
o
,
c k sang k + 1 ta l
.
ai d
`
ung phu
,
o
,
ng ph
´
ap qui
n
.
ap theo n. V
´
o
,
i ch
´
u
,
ng minh qui n
.
ap theo n t
`
u
,
bu
,
´
o
,
c n sang n + 1 ta
l
.
ai d
`
ung bu
,
´
o
,
c k tru
,
´
o
,
c
¯
d
´
o v
`
a n.
.
.
. 10.7. Trong m
.
ôt h
`
ınh vuông c
´
o c
.
anh l
`
a
1 ch
´
u
,
a m
.
ôt sô
´
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on, Tô
,
ng
¯
d
.
ô d
`
ai c
,
ua
ch
´
ung l
`
a 10. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang tô
`
n t
.
ai m
.
ôt
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘ang, m
`
a n
´
o c
´
˘at
´
ıt nhâ
´
t 4 trong nh
˜
u
,
ng
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on n
`
ay.
L
`
o
,
i gi
,
ai. (H
`
ınh 10.6) Ch
´
ung ta ch
.
on m
.
ôt
c
.
anh h
`
ınh vuông rô
`
i chiê
´
u vuông g
´
oc c
´
ac
H
`
ınh 10.6:
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on xuô
´
ng c
.
anh
¯
d
´
o.
114 Chu
,
o
,
ng 10. Nguyên l
´
y Ðirichlê cho di
.
ên t
´
ıch
D
˜
ê thâ
´
y r
`
˘
ang h
`
ınh chiê
´
u c
,
ua m
.
ôt
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on b
´
an k
´
ınh R l
`
a m
.
ôt
¯
do
.
an th
,
˘
ang c
´
o
¯
d
.
ô d
`
ai 2R. V
`
ı v
.
ây trên c
.
anh h
`
ınh vuông
¯
d
˜
a ch
.
on s
˜
e
c
´
o nh
˜
u
,
ng
¯
do
.
an th
,
˘
ang chiê
´
u xuô
´
ng v
´
o
,
i tô
,
ng
¯
d
.
ôd
`
ai l
`
a
10
π
.
Nhu
,
ng
10
π
> 3 = 3.1, theo nguyên l
´
y Ðirichlê suy ra c
´
o m
.
ôt
¯
diê
,
m M n
`
ao
¯
d
´
o thu
.
ôc AB l
`
a
¯
diê
,
m trong chung c
,
ua 4
¯
do
.
an th
,
˘
ang
¯
d
˜
a
chiê
´
u xuô
´
ng. Khi
¯
d
´
o
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang
¯
di qua
¯
diê
,
m M vuông g
´
oc v
´
o
,
i AB
s
˜
e c
´
˘
at 4
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on.
J
.
.
. 10.8. M
.
ôt sô
´
cung n
`
˘am trên
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on v
´
o
,
i b
´
an k
´
ınh 1
¯
du
,
.
o
,
c so
,
n
xanh. Tô
,
ng
¯
d
.
ô d
`
ai c
,
ua c
´
ac cung mâ
`
u xanh l
´
o
,
n ho
,
n π. Ch
´
u
,
ng minh
r
`
˘ang v
´
o
,
i m
˜
ôi
¯
du
,
`
o
,
ng k
´
ınh d c
,
ua
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on tô
`
n t
.
ai dây cung song song
v
´
o
,
i d, m
`
a hai
¯
dâ
`
u c
,
ua dây cung
¯
du
,
.
o
,
c so
,
n xanh.
L
`
o
,
i gi
,
ai. (H
`
ınh 10.7) Không mâ
´
t
d
d
0
k
C
C
0
A
A
0
H
`
ınh 10.7:
t
´
ınh tô
,
ng qu
´
at ch
´
ung ta gi
,
a thiê
´
t
c
´
ac cung bôi so
,
n không c
´
o
¯
diê
,
m
chung. Cho d l
`
a
¯
du
,
`
o
,
ng k
´
ınh bâ
´
t k
`
y
c
,
ua
¯
du
`
o
,
ng tr
`
on k v
`
a c l
`
a m
.
ôt trong
c
´
ac cung
¯
du
,
.
o
,
c bôi mâ
`
u. Trên
¯
du
,
`
o
,
ng
tr
`
on k ta t
.
ao ra cung c
0
b
`
˘
ang c
´
ach
lâ
´
y
¯
dô
´
i x
´
u
,
ng c qua
¯
du
,
`
o
,
ng k
´
ınh d
0
vuông g
´
oc v
´
o
,
i d.
D
˜
ê thâ
´
y cung c
0
cho c
`
ung
¯
d
.
ô d
`
ai
v
´
o
,
i cung c. Ta l
`
am nhu
,
v
.
ây v
´
o
,
i m
.
oi cung c
`
on l
.
ai th
`
ı trên k nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c
m
.
ôt h
.
ê cung c
´
o tô
,
ng
¯
d
.
ô d
`
ai l
´
o
,
n ho
,
n 2π. Nhu
,
ng
¯
d
.
ô d
`
ai c
,
ua k l
`
a 2π,
nhu
,
v
.
ây theo nguyên l
´
y Ðirichlê c
´
o
´
ıt nhâ
´
t hai cung trong h
.
ê n
`
ay c
´
o
¯
diê
,
m chung.
10.2. V
´
ı d
.
u 115
Nhu
,
ng ch
´
ung ta
¯
d
˜
a gi
,
a thiê
´
t
,
o
,
trên nh
˜
u
,
ng cung d
.
ang c t
`
u
,
ng
¯
dôi
không c
´
o
¯
diê
,
m chung,
¯
diê
`
u
¯
d
´
o c
˜
ung
¯
d
´
ung cho c
´
ac cung c
0
. Khi
¯
d
´
o
tô
`
n t
.
ai m
.
ôt cung bôi so
,
n c
1
c
´
o
¯
diê
,
m chung A v
´
o
,
i cung c
0
2
,
¯
dô
´
i x
´
u
,
ng
v
´
o
,
i cung c
2
qua d
0
. R
˜
o r
`
ang dây cung
¯
di qua A v
`
a song song v
´
o
,
i d c
´
o
t
´
ınh châ
´
t mong muô
´
n v
`
ı m
.
ôt
¯
dâ
`
u
,
o
,
c
1
, c
`
on
¯
dâ
`
u kia
,
o
,
c
2
.
J
.
.
. 10.9. Trong h
`
ınh tr
`
on b
´
an k
´
ınh 1 ngu
,
`
o
,
i ta tô so
,
n m
.
ôt sô
´
dây cung.
Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang nê
´
u m
.
oi
¯
du
,
`
o
,
ng k
´
ınh c
´
˘at nhiê
`
u nhâ
´
t k dây cung, th
`
ı
tô
,
ng
¯
d
.
ô d
`
ai c
,
ua tâ
´
t c
,
a c
´
ac dây cung
¯
d
˜
a tô so
,
n nh
,
o ho
,
n πk.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Lâ
´
y c l
`
a m
.
ôt dây cung bâ
´
t k
`
y trong h
`
ınh tr
`
on C
¯
d
˜
a cho v
`
a γ
l
`
a cung nh
,
o trong hai cung do c t
.
ao ra. K
´
y hi
.
êu γ
0
l
`
a cung
¯
dô
´
i x
´
u
,
ng
v
´
o
,
i γ qua tâm c
,
ua h
`
ınh tr
`
on. R
˜
o r
`
ang m
.
ôt
¯
du
,
`
o
,
ng k
´
ınh c
,
ua C c
´
˘
at dây
cung c khi v
`
a ch
,
ı khi c
´
o hai
¯
dâ
`
u m
´
ut n
`
˘
am trong γ v
`
a γ
0
.
Gi
,
a s
,
u
,
r
`
˘
ang tô
,
ng
¯
d
.
ô d
`
ai nh
˜
u
,
ng dây cung
¯
d
˜
a k
,
e l
´
o
,
n ho
,
n ho
.
˘
ac
b
`
˘
ang πk. Khi
¯
d
´
o tô
,
ng
¯
d
.
ô d
`
ai tâ
´
t c
,
a c
´
ac cung d
.
ang γ l
´
o
,
n ho
,
n πk.
C
˜
ung
¯
d
´
ung nhu
,
v
.
ây cho tô
,
ng
¯
d
.
ô d
`
ai c
´
ac cung d
.
ang γ
0
. Suy ra tô
,
ng
¯
d
.
ô d
`
ai c
,
ua c
´
ac cung d
.
ang γ
0
ho
.
˘
ac γ l
`
a l
´
o
,
n ho
,
n 2πk. V
`
ı
¯
d
.
ô d
`
ai c
,
ua
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on C l
`
a 2π, t
`
u
,
nguyên l
´
y Ðirichlê m
,
o
,
r
.
ông suy ra tô
`
n t
.
ai
´
ıt
nhâ
´
t m
.
ôt
¯
diê
,
m thu
.
ôc C, m
`
a n
´
o n
`
˘
am trên
´
ıt nhâ
´
t k + 1 cung c
´
o d
.
ang
γ ho
.
˘
ac γ
0
. Nê
´
u t
`
u
,
¯
diê
,
m chung n
`
ay ta k
,
e
¯
du
,
`
o
,
ng k
´
ınh c
,
ua C,th
`
ı n
´
o c
´
˘
at
´
ıt nhâ
´
t k + 1 dây cung
¯
d
˜
a cho,
¯
diê
`
u n
`
ay tr
´
ai v
´
o
,
i
¯
diê
`
u ki
.
ên trong
¯
dâ
`
u
b
`
ai. V
.
ây
¯
diê
`
u kh
,
˘
ang
¯
d
.
inh c
,
ua b
`
ai to
´
an l
`
a
¯
d
´
ung.
J
.
.
. 10.10. M
.
ôt t
.
âp h
.
o
,
p M l
`
a h
.
o
,
p c
,
ua m
.
ôt sô
´
¯
do
.
an th
,
˘ang n
`
˘am trong
kho
,
ang [0, 1]. Biê
´
t r
`
˘ang kho
,
ang c
´
ach gi
˜
u
,
a hai
¯
diê
,
m bâ
´
t k
`
y c
,
ua M
không b
`
˘ang 0,1. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang tô
,
ng
¯
d
.
ô d
`
ai c
,
ua nh
˜
u
,
ng
¯
do
.
an t
.
ao
nên M không vu
,
.
o
,
t qu
´
a
a) 0, 55;
b) 0, 5.
116 Chu
,
o
,
ng 10. Nguyên l
´
y Ðirichlê cho di
.
ên t
´
ıch
L
`
o
,
i gi
,
ai. a) Ch
´
u
,
ng minh b
`
˘
ang ph
,
an ch
´
u
,
ng. Gi
,
a s
,
u
,
tô
,
ng S c
,
ua
¯
d
.
ô
d
`
ai nh
˜
u
,
ng
¯
do
.
an th
,
˘
ang t
.
ao nên M l
´
o
,
n ho
,
n 0,55. Ch
´
ung ta x
´
et t
.
âp N
nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c t
`
u
,
M b
`
˘
ang c
´
ach c
.
ông m
˜
ôi
¯
do
.
an th
,
˘
ang c
,
ua M v
´
o
,
i 0,1. T
`
u
,
¯
diê
`
u ki
.
ên c
,
ua b
`
ai to
´
an suy ra M v
`
a N không c
´
o
¯
diê
,
m chung. Ngo
`
ai
ra tô
,
ng
¯
d
.
ô d
`
ai c
,
ua N b
`
˘
ang S nên l
´
o
,
n ho
,
n 0,55. D
˜
ê thâ
´
y hai t
.
âp h
.
o
,
p
M v
`
a N n
`
˘
am trong
¯
do
.
an [0;1,1]. V
`
ı 2.S > 2.0, 55 = 1, 1, t
`
u
,
nguyên
l
´
y Ðirichlê suy ra M v
`
a N c
´
o
¯
diê
,
m chung,
¯
diê
`
u n
`
ay d
˜
ân t
´
o
,
i vô l
´
y.
b) Gi
,
a s
,
u
,
¯
d
.
ô d
`
ai c
,
ua tâ
´
t c
,
a c
´
ac
¯
do
.
an trong M l
´
o
,
n ho
,
n 0,5. Ch
´
ung
ta chia
¯
do
.
an [0,1] th
`
anh 10 phâ
`
n
0,
1
10
,
1
10
,
2
10
, . . . ,
9
10
, 1
. K
´
y
hi
.
êu M
i
l
`
a phâ
`
n c
,
ua M n
`
˘
am trong
¯
do
.
an
i
10
,
i + 1
10
, i = 0, 1, . . . , 9
v
`
a S
i
l
`
a tô
,
ng
¯
d
.
ô d
`
ai c
´
ac
¯
do
.
an th
,
˘
ang tao ra M
i
. B
`
˘
ang c
´
ach t
.
inh
tiê
´
n th
´
ıch h
.
o
,
p ch
´
ung ta chuyê
,
n m
.
oi
¯
do
.
an
1
10
,
2
10
, . . . ,
9
10
, 1
t
´
o
,
i
0,
1
10
. K
´
y hi
.
êu M
0
i
l
`
a
,
anh c
,
ua M
i
v
´
o
,
i i = 2, 3, 4 . . . , 9. V
`
ı
S = S
1
+ S
2
+ ··· + S
10
> 0, 5 = 5.0, 1, t
`
u
,
nguyên l
´
y Ðirichlê
m
,
o
,
r
.
ông suy ra c
´
o
´
ıt nhâ
´
t 6 t
.
âp h
.
o
,
p trong M
0
, M
0
1
, . . . , M
0
9
c
´
o
¯
diê
,
m
chung. Ðiê
`
u n
`
ay c
´
o ngh
˜
ıa l
`
a m
.
ôt sô
´
n
`
ao
¯
d
´
o trong
0,
1
10
l
`
a kê
´
t
qu
,
a c
,
ua 6
¯
diê
,
m kh
´
ac nhau x
1
, x
2
, . . . , x
6
c
,
ua M tr
`
u
,
¯
di tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng
nh
˜
u
,
ng sô
´
d
.
ang
k
1
10
,
k
2
10
, . . . ,
k
6
10
,
,
o
,
¯
dây k
i
l
`
a m
.
ôt sô
´
n
`
ao
¯
d
´
o trong
0, 1, 2, . . . , 9, i = 1, 2, . . . 6. D
˜
ê d
`
ang thâ
´
y r
`
˘
ang
´
ıt nhâ
´
t c
´
o hai trong c
´
ac
sô
´
k
1
, k
2
, . . . , k
6
l
`
a liên tiê
´
p (
´
ap d
.
ung nguyên l
´
y Ðirichlê). V
´
ı d
.
u nhu
,
k
2
= k
1
+ 1. V
`
ı x
1
−
k
1
10
= x
2
−
k
2
10
, nên x
2
− x
1
= (k
2
− k
1
) =
1
10
,
¯
diê
`
u n
`
ay
¯
d
˜
ân
¯
dê
´
n vô l
´
y.
J
10.3. B
`
ai t
.
âp 117
10.3. B
`
ai t
.
âp
.
.
. 10.11. Cho n l
`
a m
.
ôt sô
´
t
.
u
,
nhiên bâ
´
t k
`
y, c
`
on A l
`
a m
.
ôt bê
`
m
.
˘
at
trong m
.
˘
at ph
,
˘
ang, m
`
a s(A) > n. Khi
¯
d
´
o tô
`
n t
.
ai n + 1
¯
diê
,
m trong
kh
´
ac nhau (x
i
, y
i
) (i = 1, 2, . . . , n + 1) c
,
ua A, m
`
a hi
.
êu x
i
− x
j
v
`
a
y
i
−y
j
(i, j = 1, 2, . . . , n + 1) l
`
a nh
˜
u
,
ng sô
´
nguyên.
.
.
. 10.12. Nê
´
u v
´
o
,
i m
.
ôt bê
`
m
.
˘
at A trong m
.
˘
at ph
,
˘
ang v
`
a m
.
ôt sô
´
nguyên
du
,
o
,
ng k th
,
oa m
˜
an S(A) < k, th
`
ı tô
`
n t
.
ai m
.
ôt ph
´
ep t
.
inh tiê
´
n sao cho
,
anh c
,
ua A qua ph
´
ep t
.
inh tiê
´
n n
`
ay ch
´
u
,
a nhiê
`
u nhâ
´
t k − 1
¯
diê
,
m v
´
o
,
i
t
.
oa
¯
d
.
ô nguyên.
.
.
. 10.13. Cho A l
`
a t
.
âp h
.
o
,
p lô
`
i,
¯
dô
´
i x
´
u
,
ng qua gô
´
c t
.
oa
¯
d
.
ô trong m
.
˘
at
ph
,
˘
ang, n l
`
a sô
´
t
.
u
,
nhiên v
`
a S(A) > 4n. Khi
¯
d
´
o A ch
´
u
,
a
´
ıt nhâ
´
t 2n + 1
¯
diê
,
m trong kh
´
ac nhau v
´
o
,
i t
.
oa
¯
d
.
ô nguyên.
.
.
. 10.14. Nê
´
u A l
`
a t
.
âp h
.
o
,
p lô
`
i, b
.
i ch
.
˘
an,
¯
dô
´
i x
´
u
,
ng qua gô
´
c t
.
oa
¯
d
.
ô v
`
a
c
´
o di
.
ên t
´
ıch b
`
˘
ang 615, th
`
ı A ch
´
u
,
a
´
ıt nhâ
´
t 307
¯
diê
,
m m
`
a kho
,
ang c
´
ach
gi
˜
u
,
a m
.
oi c
.
˘
ap trong ch
´
ung l
´
o
,
n ho
,
n ho
.
˘
ac b
`
˘
ang 1.
.
.
. 10.15. Cho F l
`
a t
.
âp h
.
o
,
p lô
`
i, b
.
i ch
.
˘
an nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m c
,
ua m
.
˘
at ph
,
˘
ang.
Ch
´
ung ta g
.
oi
¯
d
.
ô h
˜
u
,
u hi
.
êu c
,
ua t
.
âp h
.
o
,
p F l
`
a kho
,
ang c
´
ach nh
,
o nhâ
´
t
gi
˜
u
,
a hai
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang song song
,
o
,
hai ph
´
ıa c
,
ua t
.
âp h
.
o
,
p F. Ch
´
u
,
ng
minh r
`
˘
ang nê
´
u trong m
.
ôt t
.
âp h
.
o
,
p lô
`
i, b
.
i ch
.
˘
an v
´
o
,
i
¯
d
.
ô h
˜
u
,
u hi
.
êu d c
´
o
ch
´
u
,
a m
.
ôt sô
´
t
.
âp h
.
o
,
p con m
`
a tô
,
ng
¯
d
.
ô h
˜
u
,
u hi
.
êu c
,
ua ch
´
ung l
´
o
,
n ho
,
n
kd, th
`
ı tô
`
n t
.
ai
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang, m
`
a n
´
o c
´
˘
at
´
ıt nhâ
´
t k + 1 t
.
âp h
.
o
,
p con n
´
oi
trên.
118 Chu
,
o
,
ng 10. Nguyên l
´
y Ðirichlê cho di
.
ên t
´
ıch
CHU
,
O
,
NG 11
TO
´
AN H
.
OC TÔ
,
H
.
O
,
P
11.1. V
´
ı d
.
u
.
.
. 11.1. (Ðê
`
thi To
´
an Olympic Quô
´
c tê
´
,1972) Cho t
.
âp h
.
o
,
p gô
`
m 10 sô
´
c
´
o hai ch
˜
u
,
sô
´
. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang t
.
âp h
.
o
,
p
¯
d
´
o c
´
o
´
ıt nhâ
´
t hai t
.
âp h
.
o
,
p con
không giao nhau, m
`
a tô
,
ng nh
˜
u
,
ng phâ
`
n t
,
u
,
trong ch
´
ung b
`
˘ang nhau.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Nê
´
u c
´
o hai t
.
âp h
.
o
,
p con giao nhau m
`
a tô
,
ng trong ch
´
ung
b
`
˘
ang nhau th
`
ı ch
´
ung ta c
´
o thê
,
b
,
o nh
˜
u
,
ng phâ
`
n t
,
u
,
chung
¯
di. Khi
¯
d
´
o
c
`
on l
.
ai hai t
.
âp không giao nhau v
`
a tô
,
ng c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua ch
´
ung v
˜
ân
b
`
˘
ang nhau.
Ch
´
ung ta t
´
ınh c
´
o bao nhiêu t
.
âp h
.
o
,
p con không r
˜
ông c
,
ua m
.
ôt t
.
âp
h
.
o
,
p c
´
o mu
,
`
o
,
i phâ
`
n t
,
u
,
. Sô
´
lu
,
.
o
,
ng nh
˜
u
,
ng t
.
âp h
.
o
,
p con ch
,
ı ch
´
u
,
a 1 phâ
`
n
t
,
u
,
c
´
o 10 ho
.
˘
ac l
`
a C
1
10
. Sô
´
lu
,
.
o
,
ng nh
˜
u
,
ng t
.
âp h
.
o
,
p con ch
´
u
,
a 2 phâ
`
n t
,
u
,
l
`
a C
2
10
. Sô
´
lu
,
.
o
,
ng nh
˜
u
,
ng t
.
âp h
.
o
,
p con ch
´
u
,
a 3 phâ
`
n t
,
u
,
l
`
a C
3
10
,. . . Suy ra
tô
,
ng sô
´
lu
,
.
o
,
ng c
´
ac t
.
âp h
.
o
,
p con l
`
a
C
1
10
+ C
2
10
+ C
3
10
+ ··· + C
10
10
= (1 + 1)
10
= 1023
Ðiê
`
u ki
.
ên b
`
ai ra l
`
a 10 sô
´
¯
d
˜
a cho không l
´
o
,
n ho
,
n 99. V
.
ây tô
,
ng c
,
ua
c
´
ac sô
´
trong m
˜
ôi t
.
âp h
.
o
,
p con không vu
,
.
o
,
t qu
´
a 99.10 = 990, nhu
,
v
.
ây
sô
´
lu
,
.
o
,
ng nh
˜
u
,
ng tô
,
ng kh
´
ac nhau nhiê
`
u nhâ
´
t l
`
a 990. Theo nguyên l
´
y
Ðirichlê trong sô
´
1023 t
.
âp h
.
o
,
p con c
,
ua t
.
âp h
.
o
,
p gô
`
m 10 sô
´
s
˜
e c
´
o
´
ıt
nhâ
´
t hai t
.
âp m
`
a tô
,
ng c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
trong ch
´
ung ph
,
ai b
`
˘
ang nhau.
J
120 Chu
,
o
,
ng 11. To
´
an h
.
oc tô
,
h
.
o
,
p
.
.
. 11.2. Cho 15 b
`
ai to
´
an tr
´
˘ac nghi
.
êm,
¯
d
´
anh sô
´
t
`
u
,
1
¯
dê
´
n 15, m
˜
ôi b
`
ai
ch
,
ı c
´
o hai kh
,
a n˘ang tr
,
a l
`
o
,
i :
¯
d
´
ung ho
.
˘ac sai. C
´
o 1600 th
´
ı sinh tham gia
thi, nhu
,
ng không c
´
o ai tr
,
a l
`
o
,
i
¯
d
´
ung 2 b
`
ai liê
`
n nhau. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
c
´
o
´
ıt nhâ
´
t hai th
´
ı sinh tr
,
a l
`
o
,
i to
`
an b
.
ô 15 b
`
ai h
.
êt nhu
,
nhau.
L
`
o
,
i gi
,
ai. B
`
ai l
`
am c
,
ua m
˜
ôi th
´
ı sinh tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i m
.
ôt d
˜
ay 15 phâ
`
n t
,
u
,
,
m
˜
ôi phâ
`
n t
,
u
,
ho
.
˘
ac l
`
a Ð (
¯
d
´
ung) ho
.
˘
ac l
`
a S (sai). Theo gi
,
a thiê
´
t không
c
´
o d
˜
ay n
`
ao c
´
o 2 phâ
`
n t
,
u
,
kê
`
nhau l
`
a Ð, Ð, nên sô
´
tô
´
i
¯
da c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
SS trong d
˜
ay l
`
a 8.
Ta nh
.
ân thâ
´
y v
´
o
,
i m
˜
ôi 0 ≤ k ≤ 8 th
`
ı sô
´
c
´
ac d
˜
ay c
´
o
¯
d
´
ung k phâ
`
n
t
,
u
,
Ð l
`
a C
15−k+1
k
= C
16−k
k
(b
,
o
,
i v
`
ı m
˜
ôi m
.
ôt d
˜
ay nhu
,
thê
´
tu
,
o
,
ng
¯
du
,
o
,
ng
v
´
o
,
i c
´
ach
¯
d
.
˘
at k tâ
´
m b
`
ıa gi
˜
u
,
a 15 − k quyê
,
n s
´
ach: c
´
o tâ
´
t c
,
a 16 − k v
.
i tr
´
ı
¯
dê
,
¯
d
.
˘
at b
`
ıa, kê
,
c
,
a hai
¯
dâ
`
u c
,
ua chô
`
ng s
´
ach
¯
d
´
o).
V
.
ây l
`
a sô
´
c
´
ac d
˜
ay c
´
o t
´
ınh châ
´
t nêu trên l
`
a
8
∑
k=0
C
16−k
k
= 1 + 15 + 91 + 286 + 495 + 462 + 210 + 36 + 1
= 1597 < 1600
Ðiê
`
u n
`
ay ch
´
u
,
ng t
,
o r
`
˘
ang ph
,
ai c
´
o
´
ıt nhâ
´
t 2 th
´
ı sinh c
´
o c
´
ac câu tr
,
a l
`
o
,
i
h
.
êt nhu
,
nhau.
.
.
. 11.3. Trong m
.
ôt h
`
ınh 9 c
.
anh
¯
dê
`
u c
´
o m
.
ôt
¯
d
,
ınh
¯
du
,
.
o
,
c tô mâ
`
u tr
´
˘ang
c
`
on c
´
ac
¯
d
,
ınh kh
´
ac
¯
du
,
.
o
,
c tô
¯
den. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang tô
`
n t
.
ai hai tam gi
´
ac
phân bi
.
êt to
`
an
¯
d
,
˘ang (di
.
ên t
´
ıch b
`
˘ang nhau) m
`
a c
´
ac
¯
d
,
ınh c
,
ua m
˜
ôi tam
gi
´
ac
¯
du
,
.
o
,
c tô c
`
ung m
.
ôt mâ
`
u.
L
`
o
,
i gi
,
ai. T
`
u
,
9
¯
d
,
ınh
¯
du
,
.
o
,
c tô mâ
`
u th
`
ı
´
ıt nhâ
´
t c
˜
ung c
´
o 5
¯
d
,
ınh
¯
du
,
.
o
,
c tô
c
`
ung m
.
ôt mâ
`
u. Gi
,
a s
,
u
,
¯
d
´
o l
`
a mâ
`
u tr
´
˘
ang. N
˘
am mâ
`
u tr
´
˘
ang t
.
ao th
`
anh
C
5
3
=
5.4.3
2.3
= 10 tam gi
´
ac phân bi
.
êt c
`
ung m
.
ôt mâ
`
u tr
´
˘
ang. Ðê
,
´
y r
`
˘
ang
11.1. V
´
ı d
.
u 121
ph
´
ep quay m
.
ôt g
´
oc
2kπ
9
( k = 0, 1, . . . , 8) xung quanh tâm O c
,
ua
h
`
ınh 9 c
.
anh
¯
dê
`
u không
,
anh hu
,
,
o
,
ng
¯
dê
´
n t
.
âp M c
´
ac
¯
d
,
ınh c
,
ua h
`
ınh 9
c
.
anh n
`
ay. V
`
ı thê
´
sau khi quay m
˜
ôi tam gi
´
ac trong 10 tam gi
´
ac trên
m
.
ôt g
´
oc
2kπ
9
(0 ≤ k ≤ 8 ) xung quanh O ta
¯
du
,
.
o
,
c 10.9 = 90 tam gi
´
ac
c
´
o
¯
d
,
ınh trong t
.
âp h
.
o
,
p M. Tâ
´
t c
,
a ch
´
ung không thê
,
phân bi
.
êt v
`
ı sô
´
tam gi
´
ac kh
´
ac nhau c
´
o
¯
d
,
ınh trong t
.
âp h
.
o
,
p M b
`
˘
ang C
5
3
=
2.8.7
2.3
=
78 < 90.
Nhu
,
v
.
ây ta t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c hai tam gi
´
ac tr
´
˘
ang ∆
1
v
`
a ∆
2
sau m
.
ôt v
`
ai
ph
´
ep quay tr
`
ung v
´
o
,
i c
`
ung m
.
ôt tam gi
´
ac ∆. Lu
,
u
´
y l
`
a hai tam gi
´
ac ∆
1
v
`
a ∆
2
l
`
a phân bi
.
êt. Th
.
ât thê
´
, hai tam gi
´
ac nhu
,
nhau không thê
,
c
´
o
¯
du
,
.
o
,
c sau khi quay t
`
u
,
m
.
ôt tam gi
´
ac.
V
`
ı m
˜
ôi tam gi
´
ac ∆
1
v
`
a ∆
2
s
˜
e tr
`
ung v
´
o
,
i tam gi
´
ac ∆ sau khi quay,
nên t
`
u
,
tam gi
´
ac ∆
1
b
`
˘
ang m
.
ôt ph
´
ep quay ta c
´
o thê
,
nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c tam
gi
´
ac ∆
2
(ch
,
˘
ang h
.
an c
´
ac ph
´
ep quay ∆
1
→ ∆, ∆ → ∆
2
). V
.
ây ∆
1
v
`
a ∆
2
l
`
a hai tam gi
´
ac ph
,
ai t
`
ım.
J
.
.
. 11.4. Trên m
.
˘at ph
,
˘ang c
´
o n h
`
ınh. Gi
,
a s
,
u
,
S
i
1
... i
k
, l
`
a di
.
ên t
´
ıch phâ
`
n
giao c
,
ua c
´
ac h
`
ınh th
´
u
,
i
1
, . . . , i
k
, c
`
on S l
`
a di
.
ên t
´
ıch phâ
`
n m
.
˘at ph
,
˘ang b
.
i
ph
,
u b
,
o
,
i c
´
ac h
`
ınh
¯
d
´
o. K
´
y hi
.
êu M
k
l
`
a tô
,
ng tâ
´
t c
,
a c
´
ac S
i
1
... i
k
, t
´
u
,
c l
`
a tô
,
ng
di
.
ên t
´
ıch c
,
ua tâ
´
t c
,
a c
´
ac h
`
ınh c
´
o thê
,
c
´
o l
`
a giao c
,
ua k h
`
ınh
¯
d
˜
a cho. Ch
´
u
,
ng
minh r
`
˘ang
a) S = M
1
− M
2
+ M
3
−. . . − (−1)
n+1
M
n
b) S ≥ M
1
− M
2
+ M
3
−. . . − (−1)
n+1
M
n
v
´
o
,
i m ch
˜
˘an v
`
a
S ≤ M
1
− M
2
+ M
3
−. . . − (−1)
n+1
M
n
v
´
o
,
i m l
,
e.
L
`
o
,
i gi
,
ai. a) K
´
y hi
.
êu C
n
k
l
`
a sô
´
c
´
ach ch
.
on k phâ
`
n t
,
u
,
t
`
u
,
n phâ
`
n t
,
u
,
, ta
c
´
o nh
.
i th
´
u
,
c Niuto
,
n (x + y)
n
=
∑
n
k=0
C
n
k
x
k
y
n−k
. K
´
y hi
.
êu D
m
l
`
a di
.
ên
122 Chu
,
o
,
ng 11. To
´
an h
.
oc tô
,
h
.
o
,
p
t
´
ıch phâ
`
n m
.
˘
at ph
,
˘
ang b
.
i ph
,
u b
,
o
,
i
¯
d
´
ung m h
`
ınh. Phâ
`
n m
.
˘
at ph
,
˘
ang
¯
d
´
o
gô
`
m nh
˜
u
,
ng m
,
anh, m
˜
ôi m
,
anh b
.
i ph
,
u b
,
o
,
i m h
`
ınh x
´
ac
¯
d
.
inh n
`
ao
¯
d
´
o.
Khi t
´
ınh M
k
di
.
ên t
´
ıch m
˜
ôi m
,
anh nhu
,
v
.
ây, s
˜
e
¯
du
,
.
o
,
c t
´
ınh C
m
k
lâ
`
n, b
,
o
,
i v
`
ı
t
`
u
,
m h
`
ınh c
´
o thê
,
t
.
ao
¯
du
,
.
o
,
c C
m
k
giao c
,
ua k h
`
ınh. Do
¯
d
´
o
M
k
= C
k
k
D
k
+ C
k+1
k
D
k+1
+ ··· + C
n
k
D
n
Suy ra M
1
− M
2
+ M
3
− ··· + (−1)
n+1
= C
1
1
D
1
+ ( C
2
1
− C
2
2
)D
2
+
··· + (C
n
1
−C
n
2
+ C
n
3
−···)D
n
= D
1
+ D
2
+ ··· + D
n
b
,
o
,
i v
`
ı do nh
.
i th
´
u
,
c Niuto
,
n C
m
1
−C
m
2
+ 3m −···−(−1)
m
C
m
m
= (−1 +
C
m
1
−C
m
2
+ C
m
3
−··· − (−1)
m
C
m
m
) + 1 = (1 − 1)
m
+ 1 = 1
Cuô
´
i c
`
ung ch
´
ung ta lu
,
u
´
y r
`
˘
ang S = D
1
+ D
2
+ ··· + D
n
.
b) T
`
u
,
phâ
`
n a) ta c
´
o
S −(M
1
− M
2
+ ··· + (−1)
m+1
M
m
) =
= (−1)
m+2
M
m+1
+ ( −1)
m+3
M
m+2
+ ··· + (−1)
n+1
M
n
=
n
∑
i =1
((−1)
m+2
C
i
m+1
+ ··· + (−1)
n+1
C
i
n
)D
i
(Ta qui u
,
´
o
,
c nê
´
u k > i th
`
ı C
i
k
= 0. Do
¯
d
´
o ta ch
,
ı câ
`
n ph
,
ai ch
´
u
,
ng minh
r
`
˘
ang:
C
i
m+1
−C
i
m+2
+ C
i
m+3
−. . . − (−1)
m+n+1
C
i
n
≥ 0 v
´
o
,
i i ≤ n.
T
`
u
,
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c (x + y)
i
= (x + y)
i −1
(x + y) suy ra
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c
C
i
j
= C
i −1
j−1
+ C
i −1
j
.
Do
¯
d
´
o
C
i
m+1
−C
i
m+2
+ C
i
m+3
−. . . − (−1)
m+n+1
C
i
n
=
= C
i −1
m
+ C
i −1
m+1
−C
i −1
m+2
+ C
i −1
m+3
−. . .
+(−1)
m+n+1
C
i −1
n−1
+ ( −1)
m+n+1
C
i −1
n
= C
i −1
m
±C
i −1
n
Cuô
´
i c
`
ung ch
,
ı câ
`
n lu
,
u
´
y r
`
˘
ang C
i −1
n
= 0 v
´
o
,
i i ≤ n.
J
11.1. V
´
ı d
.
u 123
.
.
. 11.5. M
.
ôt c
´
ai
´
ao di
.
ên t
´
ıch b
`
˘ang 1 c
´
o 5 miê
´
ng v
´
a, m
`
a di
.
ên t
´
ıch c
,
ua
m
˜
ôi miê
´
ng v
´
a không nh
,
o ho
,
n 0,5. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang luôn t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c hai
miê
´
ng v
´
a c
´
o di
.
ên t
´
ıch phâ
`
n chung c
,
ua ch
´
ung không nh
,
o ho
,
n 0,2.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Gi
,
a s
,
u
,
di
.
ên t
´
ıch c
´
ai
´
ao b
`
˘
ang M, di
.
ên t
´
ıch phâ
`
n giao c
,
ua c
´
ac
miê
´
ng v
´
a th
´
u
,
i
1
, . . . , i
k
b
`
˘
ang S
i
1
... i
k
, c
`
on M
k
=
∑
S
i
1
... i
k
. T
`
u
,
b
`
ai trên suy
ra M − M
1
+ M
2
− M
3
+ M
4
− M
5
≥ 0, b
,
o
,
i v
`
ı M ≥ S. C
´
ac bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang
th
´
u
,
c tu
,
o
,
ng t
.
u
,
c
´
o thê
,
¯
du
,
.
o
,
c viê
´
t không ch
,
ı cho c
,
a c
´
ai
´
ao, m
`
a c
`
on cho
t
`
u
,
ng miê
´
ng v
´
a. Nê
´
u ta coi miê
´
ng v
´
a S
1
nhu
,
m
.
ôt c
´
ai
´
ao v
´
o
,
i c
´
ac miê
´
ng
v
´
a S
12
, S
13
, S
14
, S
15
th
`
ı ta
¯
du
,
.
o
,
c S
1
−
∑
S
1i
+
∑
S
1ij
−
∑
S
1ijk
+ S
12345
≥
0. C
.
ông c
´
ac bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c nhu
,
v
.
ây cho tâ
´
t c
,
a 5 miê
´
ng v
´
a, ta
¯
du
,
.
o
,
c
M
1
− 2M
2
+ 3M
3
− 4M
4
+ 5M
5
≥ 0 (h
.
ang t
,
u
,
S
i
1
... i
k
c
´
o trong c
´
ac
bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c cho c
´
ac miê
´
ng v
´
a i
1
. . . i
k
, nên trong tô
,
ng tâ
´
t c
,
a c
´
ac
bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c n
´
o c
´
o h
.
ê sô
´
k). C
.
ông c
´
ac bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c 3(M − M
1
+
M
2
− M
3
+ M
4
− M
5
) ≥ 0 v
`
a M
1
−2M
2
+ 3M
3
−4M
4
+ 5M
5
≥ 0,
ta
¯
du
,
.
o
,
c 3M − 2M
1
+ M
2
− M
4
+ 2M
5
≥ 0. C
.
ông v
`
ao
¯
d
´
o bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang
th
´
u
,
c M
4
−2M
5
≥ 0, (
¯
du
,
.
o
,
c suy ra t
`
u
,
S
12345
c
´
o trong tâ
´
t c
,
a c
´
ac S
i
1
i
2
i
3
i
4
t
´
u
,
c l
`
a M
4
≥ 5M
5
≥ 2M
5
), ta
¯
du
,
.
o
,
c 3M − 2M
1
+ M
2
≥ 0, t
´
u
,
c l
`
a
M
2
≥ 2M
1
−3M ≥ 5 −3 = 2. B
,
o
,
i v
`
ı t
`
u
,
5 miê
´
ng v
´
a c
´
o thê
,
t
.
ao
¯
du
,
.
o
,
c
10 c
.
˘
ap, nên di
.
ên t
´
ıch giao c
,
ua m
.
ôt trong sô
´
c
´
ac c
.
˘
ap
¯
d
´
o không nh
,
o
ho
,
n
M
2
10
≥ 0, 2.
J
.
.
. 11.6. (Ðê
`
thi To
´
an vô
¯
d
.
ich CHLB Ð
´
u
,
c, 1979) Gi
,
a s
,
u
,
m
˜
ôi
¯
diê
,
m c
,
ua
m
.
˘at ph
,
˘ang
¯
du
,
.
o
,
c tô b
`
˘ang 1 trong n mâ
`
u (n l
`
a sô
´
t
.
u
,
nhiên cho tru
,
´
o
,
c).
Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang tô
`
n t
.
ai m
.
ôt h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât v
´
o
,
i c
´
ac
¯
d
,
ınh
¯
du
,
.
o
,
c tô c
`
ung
m
.
ôt mâ
`
u.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ta thiê
´
t l
.
âp trong m
.
˘
at ph
,
˘
ang m
.
ôt h
.
ê to
.
a
¯
d
.
ô Ðê
`
c
´
ac vuông
g
´
oc tu
`
y
´
y v
`
a ch
´
u
´
y t
´
o
,
i
¯
diê
,
m nguyên (i, j) v
´
o
,
i 1 ≤ i ≤ n + 1 v
`
a
124 Chu
,
o
,
ng 11. To
´
an h
.
oc tô
,
h
.
o
,
p
1 ≤ j ≤ n
n+1
+ 1. Vi
.
êc tô mâ
`
u kê
,
theo th
´
u
,
t
.
u
,
n + 1
¯
diê
,
m trên m
˜
ôi
d
`
ong c
´
o n
n+1
c
´
ach kh
´
ac nhau (m
˜
ôi
¯
diê
,
m c
´
o n c
´
ach tô). Do
¯
d
´
o c
´
o
´
ıt nhâ
´
t l
`
a 2 d
`
ong trong sô
´
n
n+1
+ 1 d
`
ong
¯
du
,
.
o
,
c tô mâ
`
u giô
´
ng nhau
(ngh
˜
ıa l
`
a hai d
`
ong giô
´
ng nhau vê
`
mâ
`
u s
´
˘
ac tô
,
o
,
¯
diê
,
m th
´
u
,
nhâ
´
t,
¯
diê
,
m
th
´
u
,
hai,. . . ,
¯
diê
,
m th
´
u
,
n + 1 ch
,
˘
ang h
.
an t
´
ınh t
`
u
,
tr
´
ai qua ph
,
ai). Gi
,
a s
,
u
,
hai d
`
ong â
´
y l
`
a d
`
ong nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m c
´
o to
.
a
¯
d
.
ô k v
`
a m; ngh
˜
ıa l
`
a v
´
o
,
i m
˜
ôi
i ∈ {1, 2, . . . , n} c
´
ac
¯
diê
,
m (i, k) v
`
a (i, m) c
´
o c
`
ung m
.
ôt mâ
`
u. B
,
o
,
i v
`
ı
ch
,
ı c
´
o n mâ
`
u nên trong sô
´
n + 1
¯
diê
,
m trên d
`
ong c
´
ac
¯
diê
,
m c
´
o tung
¯
d
.
ô k
´
˘
at c
´
o
´
ıt nhâ
´
t hai
¯
diê
,
m c
´
o c
`
ung mâ
`
u, ch
,
˘
ang h
.
an,
¯
d
´
o l
`
a 2
¯
diê
,
m
(a, k) v
`
a (b, k). Khi
¯
d
´
o h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât v
´
o
,
i c
´
ac
¯
d
,
ınh (a, k), (b, k), (b, m)
v
`
a (a, m) c
´
o 4
¯
d
,
ınh c
`
ung mâ
`
u.
J
.
.
. 11.7. Cho 1000
¯
diê
,
m trên m
.
˘at ph
,
˘ang M
1
, M
2
, . . . , M
1000
. Ch
´
u
,
ng
minh r
`
˘ang trên bâ
´
t c
´
u
,
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on b
´
an k
´
ınh 1 n
`
ao ta
¯
dê
`
u t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c m
.
ôt
¯
diê
,
m S sao cho tô
,
ng kho
,
ang c
´
ach t
`
u
,
S
¯
dê
´
n c
´
ac
¯
diê
,
m M
1
, M
2
, . . . , M
1000
không nh
,
o ho
,
n 1000.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Gi
,
a s
,
u
,
S
1
v
`
a S
2
l
`
a hai
¯
diê
,
m tu
`
y
´
y
¯
dô
´
i tâm c
,
ua
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on
T b
´
an k
´
ınh 1. Ta c
´
o S
1
S
2
= 2, v
.
ây S
1
M
1
+ S
2
M
2
≥ S
1
S
2
= 2;
S
1
M
2
+ S
2
M
2
≥ 2;. . . ; S
1
M
1000
+ S
2
M
1000
≥ 2. V
`
ı thê
´
( S
1
M
1
+
S
2
M
1
) + (S
1
M
2
+ S
2
M
1
) + ··· + (S
1
M
1000
+ S
2
M
1000
) = ( S
1
M
1
+
S
1
M
2
+ ··· + S
1
M
1000
) + (S
2
M
1
+ S
2
M
2
+ ··· + S
2
M
1000
) ≥ 2000.
Do
¯
d
´
o
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt trong hai
¯
diê
,
m S
1
v
`
a S
2
ch
´
˘
ac ch
´
˘
an tho
,
a m
˜
an
b
`
ai ra l
`
a tô
,
ng kho
,
ang c
´
ach t
`
u
,
n
´
o
¯
dê
´
n c
´
ac
¯
diê
,
m M
1
, M
2
, . . . , M
1000
không nh
,
o ho
,
n 1000.
J
.
.
. 11.8. Cho 37
¯
diê
,
m phân bi
.
êt trong không gian c
´
o to
.
a
¯
d
.
o l
`
a nh
˜
u
,
ng
sô
´
nguyên sao cho không c
´
o ba
¯
diê
,
m n
`
ao th
,
˘ang h
`
ang. Ch
´
u
,
ng minh
r
`
˘ang ta c
´
o thê
,
ch
.
on 3
¯
diê
,
m m
`
a to
.
a
¯
d
.
ô giao
¯
diê
,
m c
´
ac trung tuyê
´
n c
,
ua
tam gi
´
ac t
.
ao th
`
anh
¯
dê
`
u l
`
a sô
´
nguyên.
11.1. V
´
ı d
.
u 125
L
`
o
,
i gi
,
ai. V
´
o
,
i m
˜
ôi
¯
diê
,
m x ; y; z c
´
o to
.
a
¯
d
.
ô l
`
a nh
˜
u
,
ng sô
´
nguyên (
¯
diê
,
m
nguyên) ta cho tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng c
´
ac sô
´
¯
x;
¯
y;
¯
z l
`
a nh
˜
u
,
ng sô
´
du
,
c
,
ua ph
´
ep
chia c
´
ac sô
´
x; y; z cho 3. V
`
ı
¯
x nh
.
ân không qu
´
a 3 gi
´
a tr
.
i nên
´
ıt nhâ
´
t
13 trong sô
´
37
¯
diê
,
m c
´
o c
`
ung gi
´
a tr
.
i (nê
´
u không, thê
´
th
`
ı sô
´
c
´
ac
¯
diê
,
m
không l
´
o
,
n ho
,
n 12.3=36). Tu
,
o
,
ng t
.
u
,
, c
´
o không
´
ıt ho
,
n 5 trong 13
¯
diê
,
m
¯
d
´
o c
´
o gi
´
a tr
.
i
¯
y nhu
,
nhau.
Thê
´
th
`
ı giao
¯
diê
,
m c
´
ac trung tuyê
´
n c
,
ua tam gi
´
ac c
´
o
¯
d
,
ınh (x
1
, y
1
, z
1
),
(x
2
, y
2
, z
2
) v
`
a (x
3
, y
3
, z
3
) c
´
o to
.
a
¯
d
.
ô
x
0
=
x
1
+ x
2
+ x
3
3
; y
0
=
y
1
+ y
2
+ y
3
3
; z
0
=
z
1
+ z
2
+ z
3
3
Nê
´
u
¯
x
1
=
¯
x
2
=
¯
x
3
v
`
a
¯
y
1
=
¯
y
2
=
¯
y
3
th
`
ı c
´
ac sô
´
x
0
v
`
a y
0
l
`
a nguyên c
`
on
sô
´
z
0
ch
,
ı nguyên khi v
`
a ch
,
ı khi z
1
+ z
2
+ z
3
≡ 0 ( mod 3). Trong
tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p b
`
ai ra ta ch
.
on ra 5
¯
diê
,
m m
`
a tâ
´
t c
,
a sô
´
¯
x b
`
˘
ang nhau v
`
a tâ
´
t
c
,
a sô
´
¯
y b
`
˘
ang nhau. Nê
´
u trong c
´
ac
¯
diê
,
m n
`
ay ta t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c ba
¯
diê
,
m m
`
a
c
´
ac sô
´
¯
z nh
.
ân c
´
ac gi
´
a tr
.
i 0; 1; 2 th
`
ı v
´
o
,
i c
´
ac
¯
diê
,
m
¯
d
´
o ta c
´
o
z
1
+ z
2
+ z
3
≡
¯
z
1
+
¯
z
2
+
¯
z
3
≡ 0 + 1 + 2 ≡ 0( mod 3)
Nê
´
u không c
´
o nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m n
`
ay th
`
ı sô
´
¯
z v
´
o
,
i 5
¯
diê
,
m
¯
d
˜
a ch
.
on s
˜
e nh
.
ân
không qu
´
a 2 gi
´
a tr
.
i, do
¯
d
´
o ta t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c 3
¯
diê
,
m m
`
a gi
´
a tr
.
i
¯
z nh
.
ân c
`
ung
m
.
ôt gi
´
a tr
.
i m
`
a sô
´
z
0
´
u
,
ng v
´
o
,
i n
´
o l
`
a sô
´
nguyên.
J
.
.
. 11.9. Trên m
.
˘at ph
,
˘ang cho 7
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘ang trong
¯
d
´
o không c
´
o hai
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘ang n
`
ao song song. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang ta t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c hai trong
7
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘ang n
´
oi trên m
`
a g
´
oc gi
˜
u
,
a ch
´
ung nh
,
o ho
,
n 26
0
.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ta h
˜
ay t
.
inh tiê
´
n tâ
´
t c
,
a 7
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang
¯
d
˜
a cho sao cho ch
´
ung
c
`
ung
¯
di qua m
.
ôt
¯
diê
,
m cô
´
¯
d
.
inh O. Ta s
˜
e
¯
du
,
.
o
,
c 7
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang chia g
´
oc
¯
dâ
`
y
¯
d
,
ınh O th
`
anh 14 phâ
`
n. V
`
ı thê
´
m
.
ôt trong c
´
ac g
´
oc t
.
ao th
`
anh nh
,
o
ho
,
n
360
0
14
= 25
0
5
7
< 26
0
(nê
´
u tâ
´
t c
,
a c
´
ac g
´
oc
¯
dê
`
u b
`
˘
ang nhau th
`
ı m
˜
ôi
126 Chu
,
o
,
ng 11. To
´
an h
.
oc tô
,
h
.
o
,
p
g
´
oc không l
´
o
,
n ho
,
n 26
0
). Nhu
,
ng g
´
oc gi
˜
u
,
a hai
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang c
´
˘
at nhau
b
`
˘
ang g
´
oc gi
˜
u
,
a hai
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang ban
¯
dâ
`
u.
J
.
.
. 11.10. Cho A l
`
a m
.
ôt t
.
âp c
´
ac sô
´
nguyên v
`
a x l
`
a m
.
ôt sô
´
nguyên bâ
´
t
k
`
y. T
.
âp h
.
o
,
p x + A = {x + a|a ∈ A} g
.
oi l
`
a t
.
inh tiê
´
n c
,
ua A x
´
ac
¯
d
.
inh
b
,
o
,
i x. Hay n
´
oi c
´
ach kh
´
ac t
.
âp h
.
o
,
p x + A gô
`
m c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua A c
.
ông
thêm v
´
o
,
i c
`
ung m
.
ôt sô
´
x. Ch
´
ung ta n
´
oi r
`
˘
ang m
.
ôt t
.
âp h
.
o
,
p nh
˜
u
,
ng sô
´
nguyên l
`
a k-nh
,
o nhâ
´
t, nê
´
u tô
`
n t
.
ai k t
.
âp t
.
inh tiê
´
n c
,
ua A, m
`
a ch
´
ung
t
`
u
,
ng
¯
dôi không c
´
o
¯
diê
,
m chung. V
´
ı d
.
u: m
.
oi t
.
âp sô
´
h
˜
u
,
u h
.
an l
`
a k-nh
,
o
nhâ
´
t v
´
o
,
i m
.
oi sô
´
nguyên du
,
o
,
ng k. C
˜
ung c
´
o t
.
âp vô h
.
an l
`
a k-nh
,
o nhâ
´
t
nhu
,
d
˜
ay k + 1, (k + 1)
2
, . . . , (k + 1)
n
, . . . Nhu
,
ng ch
´
ung ta ch
´
u
,
ng minh
kê
´
t lu
.
ân sau:
Cho n l
`
a sô
´
t
.
u
,
nhiên. Khi
¯
d
´
o t
.
âp h
.
o
,
p nh
˜
u
,
ng sô
´
nguyên không thê
,
biê
,
u
di
˜
ên nhu
,
h
.
o
,
p c
,
ua n t
.
âp h
.
o
,
p (n + 1)-nh
,
o nhâ
´
t.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
ung ta gi
,
a s
,
u
,
ngu
,
.
o
,
c l
.
ai: tô
`
n t
.
ai nh
˜
u
,
ng t
.
âp h
.
o
,
p (n + 1)-
nh
,
o nhâ
´
t A
1
, A
2
, . . . , A
n
sao cho m
˜
ôi sô
´
nguyên thu
.
ôc m
.
ôt trong
nh
˜
u
,
ng t
.
âp h
.
o
,
p n
`
ay. Theo
¯
d
.
inh ngh
˜
ıa c
,
ua t
.
âp (n + 1)-nh
,
o nhâ
´
t v
´
o
,
i
m
.
oi i = 1, 2, . . . , n tô
`
n t
.
ai n + 1 sô
´
nguyên a
i,1
, a
i,2
, . . . , a
i, n+ 1
sao cho
v
´
o
,
i 1 ≤ r ≤ n + 1, 1 ≤ s ≤ n + 1 v
`
a r 6= s nh
˜
u
,
ng ph
´
ep t
.
inh tiê
´
n
a
ir
+ A
i
v
`
a a
i s
+ A
i
không c
´
o
¯
diê
,
m chung. K
´
y hi
.
êu N l
`
a t
.
âp h
.
o
,
p
tâ
´
t c
,
a n-b
.
ô s
´
˘
ap th
´
u
,
t
.
u
,
(j
1
, j
2
, . . . , j
n
)
,
o
,
¯
dây j
1
, j
2
, . . . , j
n
¯
d
.
ôc l
.
âp nh
.
ân
c
´
ac gi
´
a tr
.
i 1, 2, . . . , n, n + 1. V
´
o
,
i m
˜
ôi n-b
.
ô a = (j
1
, j
2
, . . . , j
n
) t
`
u
,
N
cho tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i m
.
ôt sô
´
nguyên x
a
= a
1j
1
+ a
2j
2
+ ··· + a
nj
n
. B
,
o
,
i
v
`
ı ch
´
ung ta
¯
d
˜
a gi
,
a thiê
´
t t
.
âp h
.
o
,
p nh
˜
u
,
ng sô
´
nguyên l
`
a h
.
o
,
p c
,
ua c
´
ac
t
.
âp h
.
o
,
p A
1
, A
2
, . . . , A
n
, m
˜
ôi sô
´
x
a
thu
.
ôc m
.
ôt t
.
âp n
`
ao
¯
d
´
o trong d
˜
ay
t
.
âp h
.
o
,
p trên. Ngo
`
ai ra sô
´
phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua N l
`
a (n + 1)
n
(
¯
dây l
`
a t
´
ınh tô
,
h
.
o
,
p).T
`
u
,
nguyên l
´
y Ðirichle m
,
o
,
r
.
ông ch
´
ung ta c
´
o
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt trong
c
´
ac t
.
âp A
1
, A
2
, . . . , A
n
ch
´
u
,
a nh
˜
u
,
ng sô
´
d
.
ang x
a
v
´
o
,
i
´
ıt nhâ
´
t
( n + 1)
n
n
11.2. B
`
ai t
.
âp 127
b
.
ô a t
`
u
,
N.
Không mâ
´
t t
´
ınh tô
,
ng qu
´
at ch
´
ung ta gi
,
a thiê
´
t A
1
c
´
o t
´
ınh châ
´
t
trên. Ch
´
ung ta x
´
et tâ
´
t c
,
a c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
α c
,
ua N m
`
a sô
´
x
α
thu
.
ôc A
1
.
Ch
´
ung gô
`
m
´
ıt nhâ
´
t
( n + 1)
n
n
phâ
`
n t
,
u
,
. Nê
´
u α = (j
1
, j
2
, . . . , j
n
) l
`
a m
.
ôt
phâ
`
n t
,
u
,
trong ch
´
ung, th
`
ı ch
´
ung ta cho tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i (n − 1)-b
.
ô
s
´
˘
ap α
0
= (j
2
, j
3
, . . . , j
n
). V
`
ı 1 ≤ j
µ
≤ n + 1 v
´
o
,
i m
.
oi µ = 2, 3, . . . , n,
theo t
´
ınh châ
´
t tô
,
h
.
o
,
p v
´
o
,
i α
0
c
´
o nhiê
`
u nhâ
´
t (n + 1)
n−1
kh
,
a n
˘
ang.
T
`
u
,
bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c
( n + 1)
n
n
> (n + 1)
n−1
suy ra
´
ıt nhâ
´
t c
´
o hai n-b
.
ô
α = (j
1
, j
2
, . . . , j
n
), β = (k
1
, k
2
, . . . , k
n
) ho
`
an to
`
an kh
´
ac nhau, m
`
a
x
α
∈ A
1
, x
β
∈ A
1
, tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i c
`
ung m
.
ôt (n −1)-b
.
ô.
Ch
´
ung ta c
´
o thê
,
t
´
om t
´
˘
at ng
´
˘
an g
.
on nhu
,
sau: tô
`
n t
.
ai hai b
.
ô kh
´
ac
nhau α = (j
1
, j
2
, . . . , j
n
) v
`
a β = (k
1
, k
2
, . . . , k
n
) thu
.
ôc N, m
`
a x
α
∈
A
1
, x
β
∈ A
1
, j
1
6= k
1
v
`
a j
2
= k
2
, j
3
= k
3
, . . . , j
n
= k
n
. Nhu
,
ng, x
α
=
a
1j
1
+ a
2j
2
+ ··· + a
nj
n
x
β
= a
1k
1
+ a
2k
2
+ ··· + a
nk
n
nhu
,
ng v
`
ı j
µ
= k
µ
v
´
o
,
i m
˜
ôi µ = 2, 3, . . . n ch
´
ung ta c
´
o x
α
− x
β
= a
1j
1
− a
1k
1
ho
.
˘
ac l
`
a
a
1k
1
+ x
α
= a
1j
1
+ x
β
. Khi
¯
d
´
o sô
´
x = a
1k
1
+ x
α
= a
1j
1
+ x
β
thu
.
ôc v
`
ao
t
.
âp h
.
o
,
p a
1k
1
+ A
1
v
`
a a
1j
1
+ A
1
. Suy ra t
.
âp t
.
inh tiê
´
n A
1
x
´
ac
¯
d
.
inh b
,
o
,
i
c
´
ac sô
´
a
1k
1
v
`
a a
1j
1
c
´
o
¯
diê
,
m chung,
¯
diê
`
u
¯
d
´
o tr
´
ai v
´
o
,
i gi
,
a thiê
´
t khi b
´
˘
at
¯
dâ
`
u ch
´
u
,
ng minh.
J
11.2. B
`
ai t
.
âp
.
.
. 11.11. a) Trong h
`
ınh vuông di
.
ên t
´
ıch 6
¯
d
.
˘
at ba
¯
da gi
´
ac di
.
ên t
´
ıch
3. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang trong sô
´
¯
d
´
o luôn t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c hai
¯
da gi
´
ac m
`
a di
.
ên
t
´
ıch phâ
`
n chung c
,
ua ch
´
ung không nh
,
o ho
,
n 1.
b) Trong h
`
ınh vuông di
.
ên t
´
ıch 5
¯
d
.
˘
at 9
¯
da gi
´
ac di
.
ên t
´
ıch 1. Ch
´
u
,
ng
minh r
`
˘
ang trong sô
´
¯
d
´
o luôn t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c hai
¯
da gi
´
ac m
`
a di
.
ên t
´
ıch phâ
`
n
128 Chu
,
o
,
ng 11. To
´
an h
.
oc tô
,
h
.
o
,
p
chung c
,
ua ch
´
ung không nh
,
o ho
,
n
1
9
.
.
.
. 11.12. S
´
au
¯
diê
,
m
¯
du
,
.
o
,
c s
´
˘
ap xê
´
p trên m
.
˘
at ph
,
˘
ang sao cho ba
¯
diê
,
m
bâ
´
t k
`
y l
`
a
¯
d
,
ınh c
,
ua m
.
ôt tam gi
´
ac m
`
a c
´
ac c
.
anh c
´
o
¯
d
.
ô d
`
ai kh
´
ac nhau.
Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang c
.
anh nh
,
o nhâ
´
t c
,
ua m
.
ôt trong c
´
ac tam gi
´
ac
¯
dô
`
ng
th
`
o
,
i l
`
a c
.
anh l
´
o
,
n nhâ
´
t c
,
ua m
.
ôt tam gi
´
ac kh
´
ac.
.
.
. 11.13. Cho P
1
, P
2
, . . . , P
7
l
`
a bâ
,
y
¯
diê
,
m trong không gian, trong
¯
d
´
o
không c
´
o bô
´
n
¯
diê
,
m n
`
ao
¯
dô
`
ng ph
,
˘
ang. Tô mâ
`
u m
˜
ôi
¯
do
.
an P
i
P
j
(i < j)
v
´
o
,
i m
.
ôt trong hai mâ
`
u
¯
d
,
o ho
.
˘
ac
¯
den. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang c
´
o hai tam
gi
´
ac
¯
do
,
n s
´
˘
ac không c
´
o chung c
.
anh.
.
.
. 11.14. C
´
o hai
¯
d
˜
ıa
¯
dê
`
u
¯
du
,
.
o
,
c chia th
`
anh 1998 h
`
ınh qu
.
at b
`
˘
ang nhau,
v
`
a trên m
˜
ôi
¯
d
˜
ıa tô m
.
ôt c
´
ach bâ
´
t k
`
y (b
`
˘
ang m
.
ôt mâ
`
u) 200 h
`
ınh qu
.
at.
C
´
ac
¯
d
˜
ıa
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
.
˘
at chô
`
ng lên nhau v
`
a quay m
.
ôt
¯
d
˜
ıa theo nh
˜
u
,
ng g
´
oc
l
`
a b
.
ôi c
,
ua
360
0
1998
. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang tô
`
n t
.
ai
´
ıt nhâ
´
t 94 v
.
i tr
´
ı c
´
o không
qu
´
a 20 h
`
ınh qu
.
at
¯
du
,
.
o
,
c so
,
n tr
`
ung nhau.
.
.
. 11.15. Trên m
.
˘
at ph
,
˘
ang cho n
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang t
`
u
,
ng
¯
dôi không song
song v
´
o
,
i nhau. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang g
´
oc gi
˜
u
,
a hai
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang n
`
ao
¯
d
´
o
trong sô
´
¯
d
´
o không l
´
o
,
n ho
,
n
180
0
n
.
CHU
,
O
,
NG 12
M
.
ÔT S
´
Ô B
`
AI T
.
ÂP H
`
INH H
.
OC KH
´
AC
12.1. V
´
ı d
.
u
.
.
. 12.1. Trong h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât 3x4
¯
d
.
˘at 6
¯
diê
,
m. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang trong
sô
´
¯
d
´
o luôn t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c hai
¯
diê
,
m c
´
o kho
,
ang c
´
ach gi
˜
u
,
a ch
´
ung không l
´
o
,
n
ho
,
n
√
5.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Chia h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât ra l
`
am
H
`
ınh 12.1:
5 h
`
ınh nhu
,
h
`
ınh 12.1. Trong m
.
ôt
trong sô
´
c
´
ac h
`
ınh
¯
d
´
o s
˜
e c
´
o
´
ıt nhâ
´
t
2
¯
diê
,
m, v
`
a kho
,
ang c
´
ach gi
˜
u
,
a hai
¯
diê
,
m
¯
d
´
o s
˜
e không l
´
o
,
n ho
,
n
√
5.
J
.
.
. 12.2. Trên m
.
˘at ph
,
˘ang c
´
o 25
¯
diê
,
m, biê
´
t r
`
˘ang trong 3
¯
diê
,
m bâ
´
t k
`
y
trong sô
´
¯
d
´
o luôn c
´
o 2
¯
diê
,
m c
´
ach nhau nh
,
o ho
,
n 1. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
tô
`
n t
.
ai h
`
ınh tr
`
on b
´
an k
´
ınh 1 ch
´
u
,
a không
´
ıt ho
,
n 13
¯
diê
,
m
¯
d
˜
a cho.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Gi
,
a s
,
u
,
A l
`
a m
.
ôt
¯
diê
,
m
¯
d
˜
a cho. Nê
´
u tâ
´
t c
,
a c
´
ac
¯
diê
,
m c
`
on l
.
ai
n
`
˘
am trong h
`
ınh tr
`
on S
1
tâm A b
´
an kinh 1 th
`
ı ta không câ
`
n ph
,
ai
ch
´
u
,
ng minh g
`
ı thêm. Gi
,
a s
,
u
,
c
´
o m
.
ôt
¯
diê
,
m B trong sô
´
¯
d
˜
a cho n
`
˘
am
ngo
`
ai
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on S
1
t
´
u
,
c l
`
a AB > 1. X
´
et h
`
ınh tr
`
on S
2
tâm B b
´
an k
´
ınh
1. Trong sô
´
c
´
ac
¯
diê
,
m A, B, C trong
¯
d
´
o C l
`
a
¯
diê
,
m
¯
d
˜
a cho bâ
´
t k
`
y luôn
c
´
o hai
¯
diê
,
m c
´
ach nhau nh
,
o ho
,
n 1, ho
,
n n
˜
u
,
a
¯
d
´
o không thê
,
l
`
a 2
¯
diê
,
m
130 Chu
,
o
,
ng 12. M
.
ôt sô
´
b
`
ai t
.
âp h
`
ınh h
.
oc kh
´
ac
A v
`
a B. Do
¯
d
´
o c
´
ac h
`
ınh tr
`
on S
1
v
`
a S
2
ch
´
u
,
a tâ
´
t c
,
a c
´
ac
¯
diê
,
m
¯
d
˜
a cho,
t
´
u
,
c l
`
a m
.
ôt trong hai h
`
ınh tr
`
on
¯
d
´
o ch
´
u
,
a không
´
ıt ho
,
n 13
¯
diê
,
m
¯
d
˜
a cho.
J
.
.
. 12.3. Bên trong
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on b
´
an k
´
ınh n
¯
d
.
˘at 4n
¯
do
.
an th
,
˘ang c
´
o
¯
d
.
ô d
`
ai
1. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang c
´
o thê
,
k
,
e m
.
ôt
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘ang song song ho
.
˘ac vuông
g
´
oc v
´
o
,
i
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘ang l cho tru
,
´
o
,
c v
`
a c
´
˘at
´
ıt nhâ
´
t 2
¯
do
.
an th
,
˘ang
¯
d
˜
a cho.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Gi
,
a s
,
u
,
l
1
l
`
a
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang bâ
´
t k
`
y vuông g
´
oc v
´
o
,
i l. K
´
y hi
.
êu
¯
d
.
ô d
`
ai c
´
ac h
`
ınh chiê
´
u c
,
ua
¯
do
.
an th
,
˘
ang th
´
u
,
i lên c
´
ac
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang l
v
`
a l
1
l
`
a a
i
v
`
a b
i
tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng. B
,
o
,
i v
`
ı
¯
d
.
ô d
`
ai c
,
ua m
˜
ôi
¯
do
.
an th
,
˘
ang b
`
˘
ang
1, nên a
i
+ b
i
≥ 1. Do
¯
d
´
o (a
1
+ ··· + a
4n
) + (b
1
+ ··· + b
4n
) ≥ 4n.
Không mâ
´
t t
´
ınh tô
,
ng qu
´
at gi
,
a s
,
u
,
(a
1
+ ···+ a
4n
) ≥ (b
1
+ ···+ b
4n
).
Khi
¯
d
´
o a
1
+ ···+ a
4n
≥ 2n. Tâ
´
t c
,
a c
´
ac
¯
do
.
an th
,
˘
ang
¯
d
˜
a cho
¯
dê
`
u
¯
du
,
.
o
,
c
chiê
´
u xuô
´
ng
¯
do
.
an th
,
˘
ang c
´
o
¯
d
.
ô d
`
ai 2n, b
,
o
,
i v
`
ı ch
´
ung
¯
dê
`
u n
`
˘
am trong
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on b
´
an k
´
ınh n. Nê
´
u nhu
,
c
´
ac h
`
ınh chiê
´
u c
,
ua c
´
ac
¯
do
.
an th
,
˘
ang
¯
d
˜
a cho lên
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang l không c
´
o
¯
diê
,
m chung, th
`
ı s
˜
e c
´
o bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang
th
´
u
,
c a
1
+ ···+ a
4n
< 2n. Do
¯
d
´
o trên l ph
,
ai c
´
o m
.
ôt
¯
diê
,
m b
.
i c
´
ac
¯
diê
,
m
c
,
ua
´
ıt nhâ
´
t hai trong sô
´
c
´
ac
¯
do
.
an th
,
˘
ang
¯
d
˜
a cho chiê
´
u lên
¯
d
´
o. Ðu
,
`
o
,
ng
vuông g
´
oc v
´
o
,
i l t
.
ai
¯
diê
,
m
¯
d
´
o s
˜
e c
´
˘
at
´
ıt nhâ
´
t hai
¯
do
.
an th
,
˘
ang
¯
d
˜
a cho.
J
.
.
. 12.4. Trên do
.
an th
,
˘ang c
´
o
¯
d
.
ô d
`
ai 1 ta tô m
.
ôt sô
´
¯
do
.
an th
,
˘ang sao
cho kho
,
ang c
´
ach gi
˜
u
,
a hai
¯
diê
,
m
¯
du
,
.
o
,
c tô bâ
´
t k
`
y không b
`
˘ang 0,1. Ch
´
u
,
ng
minh r
`
˘ang tô
,
ng
¯
d
.
ô d
`
ai c
´
ac do
.
an th
,
˘ang
¯
du
,
.
o
,
c tô không l
´
o
,
n ho
,
n 0,5.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Chia
¯
do
.
an th
,
˘
ang ra l
`
am 10
¯
do
.
an th
,
˘
ang c
´
o
¯
d
.
ô d
`
ai 0,1,
¯
d
.
˘
at
ch
´
ung theo m
.
ôt c
.
ôt v
`
a chiê
´
u ch
´
ung xuô
´
ng m
.
ôt
¯
do
.
an th
,
˘
ang nhu
,
v
.
ây.
B
,
o
,
i v
`
ı kho
,
ang c
´
ach gi
˜
u
,
a hai
¯
diê
,
m
¯
du
,
.
o
,
c tô bâ
´
t k
`
y không b
`
˘
ang 0,1,
nên c
´
ac
¯
diê
,
m
¯
du
,
.
o
,
c tô c
,
ua c
´
ac
¯
do
.
an th
,
˘
ang c
.
anh nhau không thê
,
c
`
ung
chiê
´
u xuô
´
ng 1
¯
diê
,
m. Do
¯
d
´
o không c
´
o
¯
diê
,
m n
`
ao c
´
o thê
,
l
`
a h
`
ınh chiê
´
u
12.1. V
´
ı d
.
u 131
c
,
ua c
´
ac
¯
diê
,
m
¯
du
,
.
o
,
c tô c
,
ua nhiê
`
u ho
,
n 5
¯
do
.
an th
,
˘
ang. Suy ra tô
,
ng
¯
d
.
ô d
`
ai c
´
ac h
`
ınh chiê
´
u c
,
ua c
´
ac
¯
do
.
an th
,
˘
ang
¯
du
,
.
o
,
c tô không l
´
o
,
n ho
,
n
5.0, 1 = 0, 5.
J
.
.
. 12.5. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang nê
´
u m
.
ôt
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘ang l n
`
˘am trong m
.
˘at
ph
,
˘ang c
,
ua tam gi
´
ac ABC v
`
a không
¯
di qua
¯
d
,
ınh n
`
ao c
,
ua tam gi
´
ac
¯
d
´
o,
th
`
ı n
´
o c
´
˘at không qu
´
a hai c
.
anh c
,
ua tam gi
´
ac
¯
d
˜
a cho.
L
`
o
,
i gi
,
ai. K
´
y hi
.
êu α v
`
a α l
`
a hai n
,
u
,
a m
.
˘
at ph
,
˘
ang do l chia m
.
˘
at ph
,
˘
ang
c
,
ua tam gi
´
ac ABC. M
˜
ôi
¯
d
,
ınh A, B v
`
a C n
`
˘
am trong m
.
ôt n
,
u
,
a m
.
˘
at
ph
,
˘
ang trên. Theo nguyên l
´
y Ðirichlê
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt trong hai n
,
u
,
a m
.
˘
at
ph
,
˘
ang trên, ch
,
˘
ang h
.
an nhu
,
α, ch
´
u
,
a hai
¯
d
,
ınh c
,
ua tam gi
´
ac ABC,
ch
,
˘
ang h
.
an nhu
,
A v
`
a B. Khi
¯
d
´
o
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang l không c
´
˘
at
¯
do
.
an th
,
˘
ang
AB, ngh
˜
ıa l
`
a n
´
o không c
´
˘
at m
.
ôt trong ba c
.
anh c
,
ua tam gi
´
ac ABC .
J
.
.
. 12.6. Nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m trong m
.
˘at ph
,
˘ang
¯
du
,
.
o
,
c so
,
n b
`
˘ang m
.
ôt trong ba
mâ
`
u. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang luôn t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c hai
¯
diê
,
m c
`
ung mâ
`
u c
´
ach nhau
¯
d
´
ung b
`
˘ang 1.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Gi
,
a s
,
u
,
hai
¯
diê
,
m bâ
´
t k
`
y c
´
ach nhau 1
¯
dê
`
u
¯
du
,
.
o
,
c tô b
`
˘
ang c
´
ac
mâ
`
u kh
´
ac nhau. X
´
et tam gi
´
ac
¯
dê
`
u ABC c
´
o c
.
anh b
`
˘
ang 1. Tâ
´
t c
,
a c
´
ac
¯
d
,
ınh c
,
ua n
´
o
¯
du
,
.
o
,
c tô b
`
˘
ang c
´
ac mâ
`
u kh
´
ac nhau. Gi
,
a s
,
u
,
¯
diê
,
m A
1
¯
dô
´
i
x
´
u
,
ng v
´
o
,
i A qua
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang BC. B
,
o
,
i v
`
ı A
1
B = A
1
C = 1, nên
¯
diê
,
m
A
1
c
´
o mâ
`
u kh
´
ac v
´
o
,
i mâ
`
u c
,
ua B v
`
a C, t
´
u
,
c l
`
a n
´
o
¯
du
,
.
o
,
c tô c
`
ung m
.
ôt mâ
`
u
v
´
o
,
i
¯
diê
,
m A. C
´
ac l
.
âp lu
.
ân
¯
d
´
o th
.
u
,
c châ
´
t
¯
d
˜
a ch
,
ı ra r
`
˘
ang nê
´
u AA
1
=
√
3,
th
`
ı c
´
ac
¯
diê
,
m A v
`
a A
1
tô c
`
ung m
.
ôt mâ
`
u. Do
¯
d
´
o tâ
´
t c
,
a c
´
ac
¯
diê
,
m n
`
˘
am
trên
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on tâm A b
´
an k
´
ınh
√
3 c
´
o c
`
ung m
.
ôt mâ
`
u. R
˜
o r
`
ang trên
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on
¯
d
´
o luôn t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c hai
¯
diê
,
m c
´
o kho
,
ang c
´
ach gi
˜
u
,
a ch
´
ung
b
`
˘
ang 1. Ta
¯
du
,
.
o
,
c mâu thu
˜
ân, v
.
ây luôn t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c hai
¯
diê
,
m c
`
ung mâ
`
u
c
´
o kho
,
ang c
´
ach gi
˜
u
,
a ch
´
ung b
`
˘
ang 1.
J
132 Chu
,
o
,
ng 12. M
.
ôt sô
´
b
`
ai t
.
âp h
`
ınh h
.
oc kh
´
ac
.
.
. 12.7. Cho 11
¯
diê
,
m kh
´
ac nhau trong h
`
ınh câ
`
u thê
,
t
´
ıch V. Ch
´
u
,
ng
minh r
`
˘ang qua tâm c
,
ua h
`
ınh câ
`
u c
´
o thê
,
d
.
u
,
ng hai m
.
˘at ph
,
˘ang sao cho
ch
´
ung c
´
˘at h
`
ınh câ
`
u th
`
anh m
.
ôt "miê
´
ng" v
´
o
,
i thê
,
t
´
ıch
V
6
, m
`
a phâ
`
n trong
c
,
ua n
´
o không ch
´
u
,
a trong phâ
`
n trong bâ
´
t c
´
u
,
m
.
ôt
¯
diê
,
m n
`
ao
¯
d
˜
a cho.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Chia h
`
ınh câ
`
u ra hai b
´
an câ
`
u b
`
˘
ang m
.
ôt m
.
˘
at ph
,
˘
ang
¯
di qua
tâm v
`
a hai
¯
diê
,
m t
`
u
,
c
´
ac
¯
diê
,
m
¯
d
˜
a cho. M
.
ôt b
´
an câ
`
u ch
´
u
,
a trong phâ
`
n
trong nhiê
`
u nhâ
´
t l
`
a 4
¯
diê
,
m t
`
u
,
c
´
ac
¯
diê
,
m c
`
on l
.
ai. Chia n
,
u
,
a h
`
ınh câ
`
u
b
`
˘
ang hai m
.
˘
at ph
,
˘
ang, m
`
a m
˜
ôi m
.
˘
at ph
,
˘
ang
¯
di qua tâm h
`
ınh câ
`
u v
`
a
hai
¯
diê
,
m trong 4
¯
diê
,
m c
`
on l
.
ai. Nhu
,
v
.
ây n
,
u
,
a h
`
ınh câ
`
u chia th
`
anh 3
"miê
´
ng" không ch
´
u
,
a m
.
ôt
¯
diê
,
m n
`
ao bên trong.
´
ıt nhâ
´
t thê
,
t
´
ıch c
,
ua
m
.
ôt miê
´
ng l
´
o
,
n ho
,
n
1
3
thê
,
t
´
ıch c
,
ua b
´
an h
`
ınh câ
`
u.
J
.
.
. 12.8. Cho khô
´
i
¯
da di
.
ên lô
`
i P
1
c
´
o 9
¯
d
,
ınh A
1
, A
2
, . . . , A
9
.K
´
y hi
.
êu
P
2
, P
3
, .., P
9
l
`
a nh
˜
u
,
ng
¯
da di
.
ên
¯
du
,
.
o
,
c t
.
ao th
`
anh b
,
o
,
i c
´
ac ph
´
ep t
.
inh tiê
´
n
tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng theo c
´
ac vecto
,
−−−→
A
1
A
2
, . . . ,
−−−→
A
1
A
9
. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
´
ıt nhâ
´
t
2 trong sô
´
9
¯
da di
.
ên trên c
´
o
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt
¯
diê
,
m chung.
L
`
o
,
i gi
,
ai. X
´
et h
`
ınh
¯
da di
.
ên P l
`
a
,
anh c
,
ua P
1
qua ph
´
ep v
.
i t
.
u
,
tâm A
1
v
`
a h
.
ê sô
´
2. Ta s
˜
e ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang 9
¯
da di
.
ên
¯
dê
`
u n
`
˘
am trong P. Th
.
ât
v
.
ây, cho A
1
, A
∗
2
, . . . , A
∗
9
l
`
a c
´
ac
¯
d
,
ınh c
,
ua
¯
da di
.
ên P. Ch
´
ung ta s
˜
e ch
´
u
,
ng
minh, ch
,
˘
ang h
.
an nhu
,
P
2
n
`
˘
am trong P. Ðê
,
ch
´
u
,
ng minh
¯
diê
`
u
¯
d
´
o ch
´
ung
ta ch
´
u
´
y t
´
o
,
i ph
´
ep t
.
inh tiê
´
n
−−−→
A
1
A
2
chuyê
,
n c
´
ac
¯
diê
,
m A
1
, A
2
, . . . , A
9
t
´
o
,
i c
´
ac
¯
diê
,
m A
2
, A
∗
2
, A
0
3
, . . . , A
0
9
,
,
o
,
¯
dây A
0
i
l
`
a trung
¯
diê
,
m c
,
ua
¯
do
.
an
A
∗
2
A
∗
i
).
Tô
,
ng thê
,
t
´
ıch c
,
ua c
´
ac
¯
da di
.
ên P
1
, P
2
, . . . , P
9
n
`
˘
am trong P b
`
˘
ang
9V,
,
o
,
¯
dây V l
`
a thê
,
t
´
ıch c
,
ua
¯
da di
.
ên P
1
, c
`
on thê
,
t
´
ıch c
,
ua
¯
da di
.
ên P
b
`
˘
ang 8V. Suy ra
´
ıt nhâ
´
t c
´
o hai
¯
da di
.
ên c
´
o
¯
diê
,
m chung (nguyên l
´
y
Ðirichlê cho thê
,
t
´
ıch.
J
12.1. V
´
ı d
.
u 133
.
.
. 12.9. Trong h
`
ınh câ
`
u
¯
du
,
`
o
,
ng k
´
ınh 3
¯
d
.
˘at m
.
ôt sô
´
h
`
ınh câ
`
u m
`
a tô
,
ng
¯
du
,
`
o
,
ng k
´
ınh c
,
ua ch
´
ung b
`
˘ang 25 (nh
˜
u
,
ng h
`
ınh câ
`
u n
`
ay c
´
o thê
,
giao
nhau). Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang v
´
o
,
i m
.
oi m
.
˘at ph
,
˘ang tô
`
n t
.
ai m
.
ôt m
.
˘at ph
,
˘ang
song song v
´
o
,
i n
´
o v
`
a c
´
˘at
´
ıt nhâ
´
t 9 h
`
ınh câ
`
u con.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
ung ta x
´
et h
`
ınh chiê
´
u c
´
ac h
`
ınh câ
`
u lên
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang
vuông g
´
oc v
´
o
,
i m
.
˘
at ph
,
˘
ang
¯
d
˜
a cho. H
`
ınh câ
`
u l
´
o
,
n chiê
´
u v
`
ao m
.
ôt
¯
do
.
an
th
,
˘
ang c
´
o
¯
d
.
ô d
`
ai 3, c
`
on c
´
ac h
`
ınh câ
`
u con chiê
´
u v
`
ao c
´
ac
¯
do
.
an th
,
˘
ang
nh
,
o c
´
o tô
,
ng 25. Gi
,
a s
,
u
,
không c
´
o m
.
ôt m
.
˘
at ph
,
˘
ang n
`
ao nhu
,
¯
dê
`
b
`
ai ra,
ngh
˜
ıa l
`
a m
.
oi m
.
˘
at ph
,
˘
ang song song v
´
o
,
i m
.
˘
at ph
,
˘
ang
¯
d
˜
a cho ch
,
ı c
´
˘
at 8
h
`
ınh câ
`
u nh
,
o. khi
¯
d
´
o m
˜
ôi
¯
diê
,
m trong
¯
do
.
an th
,
˘
ang
¯
d
.
ô d
`
ai 3 ch
,
ı thu
.
ôc
nhiê
`
u nhâ
´
t l
`
a 8
¯
do
.
an th
,
˘
ang h
`
ınh chiê
´
u c
,
ua nh
˜
u
,
ng h
`
ınh câ
`
u nh
,
o. Suy
ra tô
,
ng c
,
ua ch
´
ung không qu
´
a 24. Nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c s
.
u
,
vô l
´
y.
J
.
.
. 12.10. Trong h
`
ınh vuông c
.
anh 1
¯
do
,
n v
.
i c
´
o m
.
ôt
¯
du
,
`
o
,
ng gâ
´
p kh
´
uc L
không t
.
u
,
c
´
˘a v
´
o
,
i
¯
d
.
ô d
`
ai l
´
o
,
n ho
,
n 1000. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang tô
`
n t
.
ai m
.
ôt
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘ang m song song v
´
o
,
i c
.
anh h
`
ınh vuông v
`
a c
´
˘at
¯
du
,
`
o
,
ng L t
.
ai ho
,
n
500
¯
diê
,
m.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Gi
,
a s
,
u
,
l
i
l
`
a
¯
d
.
ô d
`
ai m
´
˘
at th
´
u
,
i c
,
ua
¯
du
,
`
o
,
ng gâ
´
p kh
´
uc, a
i
v
`
a b
i
l
`
a
¯
d
.
ô d
`
ai h
`
ınh chiê
´
u c
,
ua n
´
o lên c
´
ac c
.
anh c
,
ua h
`
ınh vuông. Khi
¯
d
´
o
l
i
≤ a
i
+ b
i
. Suy ra
1000 = l
1
+ ··· + l
n
≤ (a
1
+ ··· + a
n
) + (b
1
+ ··· + b
n
)
T
´
u
,
c l
`
a ho
.
˘
ac a
1
+ ··· + a
n
≥ 500 ho
.
˘
ac l
`
a b
1
+ ··· + b
n
≥ 500. Nê
´
u
tô
,
ng
¯
d
.
ô d
`
ai h
`
ınh chiê
´
u c
,
ua c
´
ac m
´
˘
at lên m
.
ôt c
.
anh
¯
d
.
ô d
`
ai 1 không nh
,
o
ho
,
n 500, th
`
ı theo nguyên l
´
y Ðirichlê cho
¯
d
.
ô d
`
ai
¯
do
.
an th
,
˘
ang ph
,
ai c
´
o
¯
diê
,
m chung cho ho
,
n 500 h
`
ınh chiê
´
u c
,
ua c
´
ac m
´
˘
at gâ
´
p kh
´
uc, t
´
u
,
c l
`
a
¯
du
,
`
o
,
ng vuông g
´
oc k
,
e t
`
u
,
¯
diê
,
m chung
¯
d
´
o s
˜
e c
´
˘
at
¯
du
,
`
o
,
ng gâ
´
p kh
´
uc t
.
ai
´
ıt
nhâ
´
t 500
¯
diê
,
m.
J
134 Chu
,
o
,
ng 12. M
.
ôt sô
´
b
`
ai t
.
âp h
`
ınh h
.
oc kh
´
ac
12.2. B
`
ai t
.
âp
.
.
. 12.11. Cho A l
`
a t
.
âp h
.
o
,
p nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m trên m
.
ôt m
.
˘
at câ
`
u v
`
a c
´
o di
.
ên
t
´
ıch l
´
o
,
n ho
,
n n
,
u
,
a di
.
ên t
´
ıch m
.
˘
at câ
`
u. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang A ch
´
u
,
a
´
ıt nhâ
´
t
m
.
ôt c
.
˘
ap
¯
diê
,
m m
`
a n
´
o l
`
a 2
¯
daah u
¯
du
,
`
o
,
ng k
´
ınh c
,
ua qu
,
a câ
`
u.
.
.
. 12.12. Ta g
.
oi h
`
ınh ch
˜
u
,
th
.
âp l
`
a h
`
ınh t
.
ao b
,
o
,
i c
´
ac
¯
du
,
`
o
,
ng ch
´
eo c
,
ua
h
`
ınh vuông c
.
anh 1. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang trong h
`
ınh tr
`
on b
´
an k
´
ınh 100
ch
,
ı c
´
o thê
,
¯
d
.
˘
at
¯
du
,
.
o
,
c m
.
ôt sô
´
h
˜
u
,
u h
.
an c
´
ac ch
˜
u
,
th
.
âp không c
´
˘
at nhau.
.
.
. 12.13. Trên m
.
˘
at ph
,
˘
ang cho
¯
diê
,
m O. H
,
oi c
´
o thê
,
¯
d
.
˘
at trên m
.
˘
at ph
,
˘
ang
5 h
`
ınh tr
`
on không ph
,
u
¯
diê
,
m O sao cho m
.
oi tia xuâ
´
t ph
´
at t
`
u
,
O c
´
˘
at
không
´
ıt ho
,
n hai h
`
ınh tr
`
on
¯
du
,
.
o
,
c hay không ? (c
´
˘
at
,
o
,
¯
dây c
´
o ngh
˜
ıa l
`
a
c
´
o
¯
diê
,
m chung).
.
.
. 12.14. Nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m trong m
.
˘
at ph
,
˘
ang
¯
du
,
.
o
,
c so
,
n b
`
˘
ang m
.
ôt trong
hai mâ
`
u. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang luôn t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c hai
¯
diê
,
m c
`
ung mâ
`
u c
´
ach
nhau
¯
d
´
ung b
`
˘
ang 1.
CHU
,
O
,
NG 13
M
.
ÔT S
´
Ô Ð
`
Ê THI VÔ Ð
.
ICH
Nh
˜
u
,
ng b
`
ai to
´
an thi vô
¯
d
.
ich c
´
ac nu
,
´
o
,
c l
`
a c
´
ac b
`
ai to
´
an
¯
diê
,
n h
`
ınh cho
vi
.
êc v
.
ân d
.
ung tr
´
ı thông minh, s
´
ang t
.
ao
¯
dê
,
gi
,
ai. N
´
o
¯
d
`
oi h
,
oi h
.
oc sinh
ph
,
ai n
´
˘
am
¯
du
,
.
o
,
c c
´
ac kiê
´
n th
´
u
,
c co
,
b
,
an v
˜
u
,
ng ch
´
˘
ac v
`
a hiê
,
u thâ
´
u
¯
d
´
ao.
Ðê
,
gi
,
ai c
´
ac b
`
ai to
´
an thi vô
¯
d
.
ich ph
,
ai v
.
ân d
.
ung cao t
´
ınh phân t
´
ıch
v
`
a tô
,
ng h
.
o
,
p c
´
ac kiê
´
n th
´
u
,
c to
´
an h
.
oc. Râ
´
t nhiê
`
u b
`
ai to
´
an thi vô
¯
d
.
ich
c
´
ac nu
,
´
o
,
c c
´
o m
.
ôt phâ
`
n gi
,
ai s
,
u
,
d
.
ung nguyên l
´
y Ðirichlê, c
´
ac chu
,
o
,
ng
tru
,
´
o
,
c ta
¯
d
˜
a g
.
˘
ap m
.
ôt sô
´
b
`
ai. Ðê
,
thu
.
ân ti
.
ên cho b
.
an
¯
doj c muô
´
n tham
kh
,
ao
¯
dâ
`
y
¯
d
,
u vê
`
ch
,
u
¯
dê
`
n
`
ay tôi ch
´
ep l
.
ai v
`
a thô
´
ng kê ra
¯
dây c
´
ac
¯
dê
`
thi vô
¯
d
.
ich c
´
ac nu
,
´
o
,
c ch
,
u yê
´
u trong cuô
´
n s
´
ach [4] v
`
a m
.
ôt sô
´
tuyê
,
n
t
.
âp kh
´
ac. Nhu
,
ng v
`
ı t
`
ai li
.
êu tham kh
,
ao c
´
o h
.
an, phâ
`
n su
,
u tâ
`
m c
,
ua tôi
ch
´
˘
ac ch
´
˘
an chu
,
a
¯
dâ
`
y
¯
d
,
u mong c
´
ac b
.
an
¯
d
.
oc bô
,
sung v
`
a cho
´
y kiê
´
n.
M
˜
ôi b
`
ai trong chu
,
o
,
ng n
`
ay k
`
em theo tên nu
,
´
o
,
c v
`
a n
˘
am k
`
y thi vô
¯
d
.
ich
nu
,
´
o
,
c
¯
d
´
o.
.
.
. 13.1. (Anh, 1966) Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang t
`
u
,
52 sô
´
nguyên bâ
´
t k
`
y luôn
c
´
o thê
,
ch
.
on
¯
du
,
.
o
,
c ra hai sô
´
m
`
a tô
,
ng ho
.
˘ac hi
.
êu c
,
ua ch
´
ung chia hê
´
t cho
100.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Tâ
´
t c
,
a c
´
ac sô
´
du
,
trong ph
´
ep chia cho 100,
¯
du
,
.
o
,
c chia th
`
anh
t
`
u
,
ng nh
´
om nhu
,
sau: {0}, {1; 99}, {2; 98}, . . . , {49, 51}, {50}. V
`
ı c
´
o
tâ
´
t c
,
a 51 nh
´
om, m
`
a l
.
ai c
´
o 52 sô
´
, nên theo nguyên l
´
y Ðirichlê gi
˜
u
,
a
136 Chu
,
o
,
ng 13. M
.
ôt sô
´
¯
dê
`
thi vô
¯
d
.
ich
ch
´
ung ph
,
ai c
´
o hai sô
´
m
`
a c
´
ac sô
´
du
,
trong ph
´
ep chia cho 100 ro
,
i v
`
ao
m
.
ôt nh
´
om. Hai sô
´
n
`
ay l
`
a hai sô
´
câ
`
n t
`
ım v
`
ı nê
´
u sô
´
du
,
c
,
ua ch
´
ung b
`
˘
ang
nhau th
`
ı hi
.
êu c
,
ua ch
´
ung chia hê
´
t cho 100, c
`
on nê
´
u sô
´
du
,
c
,
ua ch
´
ung
kh
´
ac nhau th
`
ı tô
,
ng c
,
ua ch
´
ung chia hê
´
t cho 100.
J
.
.
. 13.2. (Anh, 1970) Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang t
`
u
,
t
.
âp h
.
o
,
p tu
`
y
´
y gô
`
m n sô
´
t
.
u
,
nhiên luôn t
´
ach ra
¯
du
,
.
o
,
c m
.
ôt t
.
âp h
.
o
,
p con (kh
´
ac r
˜
ông) ch
´
u
,
a c
´
ac sô
´
m
`
a
tô
,
ng c
,
ua ch
´
ung chia hê
´
t cho n.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Gi
,
a s
,
u
,
v
´
o
,
i m
.
ôt t
.
âp h
.
o
,
p n
`
ao
¯
d
´
o ch
´
u
,
a c
´
ac sô
´
a
1
, a
2
, . . . , a
n
m
`
a
không tho
,
a m
˜
an kh
,
˘
ang
¯
d
.
inh c
,
ua b
`
ai to
´
an. Khi
¯
d
´
o không c
´
o sô
´
n
`
ao
trong c
´
ac sô
´
S
1
= a
1
, S
2
= a
1
+ a
2
, . . . , S
n
= a
1
+ a
2
+ ··· + a
n
chia hê
´
t cho n. V
`
ı sô
´
c
´
ac sô
´
du
,
kh
´
ac không trong ph
´
ep chia cho
n l
`
a n − 1, nên theo nguyên l
´
y Ðirichlê t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c hai sô
´
S
i
v
`
a S
j
(1 ≤ i < j ≤ n) c
´
o c
`
ung sô
´
du
,
. Suy ra hi
.
êu S
j
−S
i
= a
i −1
+ ··· + a
j
chia hê
´
t cho n,
¯
diê
`
u n
`
ay mâu thu
˜
ân v
´
o
,
i gi
,
a s
,
u
,
n
´
oi trên v
`
a kh
,
˘
ang
¯
d
.
inh c
,
ua b
`
ai to
´
an
¯
du
,
.
o
,
c ch
´
u
,
ng minh.
J
.
.
. 13.3. (Anh, 1976) Gi
,
a s
,
u
,
trong t
.
âp h
.
o
,
p h
˜
u
,
u h
.
an X ch
.
on ra 50 t
.
âp
h
.
o
,
p con A
1
, . . . , A
50
sao cho m
˜
ôi t
.
âp h
.
o
,
p con ch
´
u
,
a ho
,
n m
.
ôt n
,
u
,
a phâ
`
n
t
,
u
,
c
,
ua t
.
âp X. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang c
´
o thê
,
t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c t
.
âp h
.
o
,
p con B ⊂ X
ch
´
u
,
a không nhiê
`
u ho
,
n 5 phâ
`
n t
,
u
,
v
`
a c
´
o
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt phâ
`
n t
,
u
,
chung cho
c
´
ac t
.
âp h
.
o
,
p A
1
, A
2
, . . . A
50
.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Gi
,
a s
,
u
,
sô
´
c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua t
.
âp X b
`
˘
ang n. M
˜
ôi t
.
âp h
.
o
,
p con
¯
du
,
.
o
,
c ch
.
on A
1
, . . . , A
50
ch
´
u
,
a không
´
ıt ho
,
n
n
2
phâ
`
n t
,
u
,
, c
´
o ngh
˜
ıa l
`
a
tô
,
ng sô
´
c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua tâ
´
t c
,
a c
´
ac t
.
âp n
`
ay vu
,
.
o
,
t qu
´
a 50.
n
2
= 25.n.
Theo nguyên l
´
y Ðirichlê tô
`
n t
.
ai m
.
ôt phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua X thu
.
ôc không
´
ıt
137
ho
,
n 26 t
.
âp con
¯
d
˜
a ch
.
on. Tu
,
o
,
ng t
.
u
,
ta ch
´
u
,
ng minh v
´
o
,
i gi
´
a tr
.
i bâ
´
t k
`
y
k < 50 gi
˜
u
,
a c
´
ac t
.
âp A
i
1
, A
i
2
, . . . , A
i
k
c
´
o thê
,
ch
.
on ra không
´
ıt ho
,
n
k
2
+ 1 t
.
âp h
.
o
,
p ch
´
u
,
a c
`
ung m
.
ôt phâ
`
n t
,
u
,
. Ta lâ
´
y phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua m
.
ôt
t
.
âp h
.
o
,
p X m
`
a n
´
o thu
.
ôc không
´
ıt ho
,
n 26 t
.
âp (phâ
`
n t
,
u
,
n
`
ay s
˜
e l
`
a m
.
ôt
trong 5 phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua t
.
âp h
.
o
,
p B). Ta lo
.
ai ra 26 t
.
âp m
`
a ch
´
u
,
a phâ
`
n t
,
u
,
¯
d
˜
a x
´
et. Khi
¯
d
´
o t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c 1 phâ
`
n t
,
u
,
thu
.
ôc
´
ıt nhâ
´
t 13 t
`
u
,
24 t
.
âp c
`
on l
.
ai.
Ta l
.
ai lo
.
ai 13 t
.
âp n
`
ay ra, khi
¯
d
´
o gi
˜
u
,
a 11 t
.
âp c
`
on l
.
ai t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c 1 phâ
`
n
t
,
u
,
thu
.
ôc không
´
ıt ho
,
n 6 trong sô
´
c
´
ac t
.
âp h
.
o
,
p. Ðô
´
i v
´
o
,
i 5 t
.
âp h
.
o
,
p c
`
on
l
.
ai t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c 1 phâ
`
n t
,
u
,
thu
.
ôc không
´
ıt ho
,
n 3 trong sô
´
ch
´
ung. V
`
a cuô
´
i
c
`
ung tô
`
n t
.
ai m
.
ôt phâ
`
n t
,
u
,
thu
.
ôc hai t
.
âp cuô
´
i c
`
ung. Nhu
,
v
.
ây ta t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c không nhiê
`
u ho
,
n 5 phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua t
.
âp X (c
´
o thê
,
´
ıt ho
,
n v
`
ı m
.
ôt v
`
ai
phâ
`
n t
,
u
,
s
˜
e tr
`
ung nhau), ch
´
ung s
˜
e t
.
ao th
`
anh t
.
âp B. Ngo
`
ai ra m
.
ôt t
.
âp
bâ
´
t k
`
y t
`
u
,
A
1
, . . . , A
50
ch
´
u
,
a
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt trong c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
¯
d
´
o.
.
.
. 13.4. (Ba Lan, 1979) Khi chia c
´
ac sô
´
t
.
u
,
nhiên a
1
, a
2
, . . . , a
n
cho sô
´
t
.
u
,
nhiên m n
`
ao
¯
d
´
o, nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c c
´
ac sô
´
du
,
kh
´
ac nhau,
¯
dô
`
ng th
`
o
,
i n >
m
2
.
Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang v
´
o
,
i m
.
oi sô
´
k ∈ Z tô
`
n t
.
ai c
´
ac sô
´
i, j ∈ {1, 2, . . . , n}
(không nhâ
´
t thiê
´
t kh
´
ac nhau) sao cho sô
´
a
i
+ a
j
−k chia hê
´
t cho m.
L
`
o
,
i gi
,
ai. X
´
et 2n sô
´
a
1
, a
2
, . . . , a
n
, k − a
1
, k − a
2
, . . . , k −a
n
. V
`
ı 2n > m,
nên c
´
o 2 trong c
´
ac sô
´
¯
d
´
o c
´
o c
`
ung sô
´
du
,
trong ph
´
ep chia cho m. Theo
¯
diê
`
u ki
.
ên b
`
ai to
´
an, c
´
ac sô
´
a
1
, a
2
, . . . , a
n
, c
´
o sô
´
du
,
kh
´
ac nhau trong
ph
´
ep chia cho m, nên c
´
ac sô
´
k − a
1
, k − a
2
, . . . , k − a
n
c
˜
ung c
´
o sô
´
du
,
kh
´
ac nhau. Do
¯
d
´
o c
.
˘
ap sô
´
c
´
o sô
´
du
,
b
`
˘
ang nhau ch
,
ı c
´
o thê
,
l
`
a hai sô
´
c
´
o
d
.
ang a
i
v
`
a k − a
j
v
´
o
,
i i, j n
`
ao
¯
d
´
o. Khi
¯
d
´
o hi
.
êu c
,
ua ch
´
ung a
i
+ a
j
− k
chia hê
´
t cho m.
J
.
.
. 13.5. (Ba Lan, 1977) Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang v
´
o
,
i m
.
oi gi
´
a tr
.
i a, b ∈ R v
`
a
e > 0, tô
`
n t
.
ai c
´
ac sô
´
k, m ∈ Z v
`
a n ∈ N tho
,
a m
˜
an c
´
ac bâ
´
t
¯
d
,
˘ang th
´
u
,
c
138 Chu
,
o
,
ng 13. M
.
ôt sô
´
¯
dê
`
thi vô
¯
d
.
ich
|na − k| < e v
`
a |nb − m| < e.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Cho sô
´
nguyên N >
1
e
v
`
a v
´
o
,
i m
˜
ôi c
.
˘
ap x, y ∈ [0; 1] ta thay
thê
´
b
`
˘
ang c
.
˘
ap u, v tho
,
a m
˜
an u = [Nx], v = [Ny] , khi
¯
d
´
o nê
´
u v
´
o
,
i hai
c
.
˘
ap (x
1
, y
1
), (x
2
, y
2
) tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i m
.
ôt c
.
˘
ap duy nhâ
´
t (u, v) th
`
ı
|x
1
− x
2
| =
1
N
( u + {Nx
1
}) −
1
N
( v + {Nx
2
})
=
=
1
N
|{Nx
1
}−{Nx
2
}| <
1
N
< e
v
`
a tu
,
o
,
ng t
.
u
,
ta c
´
o |y
1
− y
2
| < e. V
`
ı u, v ∈ {0, . . . , N −1}, nên c
´
o tâ
´
t
c
,
a N
2
c
.
˘
ap (u, v) kh
´
ac nhau. X
´
et t
.
âp h
.
o
,
p N
2
+ 1 c
.
˘
ap gi
´
a tr
.
i
x = {la}, y = {lb} v
´
o
,
i l = 0, 1, . . . , N
2
Theo nguyên l
´
y Ðirichlê c
´
o
´
ıt nhâ
´
t hai c
.
˘
ap (gi
,
a s
,
u
,
v
´
o
,
i l = i v
`
a
l = j, i > j) t
`
u
,
t
.
âp h
.
o
,
p n
`
ay tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng c
`
ung m
.
ôt c
.
˘
ap (u, v). Do
¯
d
´
o,
v
´
o
,
i k
´
y hi
.
êu
n = i − j, k = [ia] −[ja], m = [ib] − [jb]
ta nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c c
´
ac bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c câ
`
n ch
´
u
,
ng minh :
|na − k| = |(ia − [ia]) − (ja − [ja])| = |{ia} − {ja}| < e,
|n b − m| = |(ib − [ib]) − (jb − [jb] )| = |{ib} − {jb}| < e.
J
.
.
. 13.6. (B
,
ı, 1977) Trong h
`
ınh tr
`
on c
´
o b
´
an k
´
ınh n ∈ N c
´
o 4n
¯
do
.
an
th
,
˘ang
¯
dê
`
u c
´
o
¯
d
.
ô d
`
ai b
`
˘ang 1. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang nê
´
u c
´
o m
.
ôt
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘ang
cho tru
,
´
o
,
c th
`
ı t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c m
.
ôt
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘ang kh
´
ac, ho
.
˘ac song song, ho
.
˘ac
vuông g
´
oc v
´
o
,
i
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘ang n
`
ay v
`
a c
´
˘at
´
ıt nhâ
´
t hai
¯
do
.
an th
,
˘ang n
´
oi trên.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ðê
,
´
y r
`
˘
ang tô
,
ng
¯
d
.
ô d
`
ai hai h
`
ınh chiê
´
u c
,
ua m
˜
ôi m
.
ôt
¯
do
.
an
th
,
˘
ang lên
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang l v
`
a
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang l
0
, vuông g
´
oc v
´
o
,
i n
´
o, không
139
b
´
e ho
,
n 1. Th
.
ât v
.
ây, nê
´
u vecto
,
a c
´
o
¯
d
.
ô d
`
ai l
`
a 1 song song v
´
o
,
i
¯
do
.
an
th
,
˘
ang n
`
ao
¯
d
´
o, c
`
on c
´
ac vecto
,
x v
`
a y l
`
a c
´
ac h
`
ınh chiê
´
u c
,
ua vecto
,
a lên
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang l v
`
a l
0
th
`
ı a = x + y, suy ra |x| + |y| ≥ |a| = 1. Nhu
,
ng
¯
d
.
ô d
`
ai c
´
ac h
`
ınh chiê
´
u c
,
ua
¯
do
.
an th
,
˘
ang b
`
˘
ang |x| v
`
a |y| do
¯
d
´
o tô
,
ng c
,
ua
ch
´
ung c
˜
ung không b
´
e ho
,
n 1. D
˜
ân
¯
dê
´
n tô
,
ng
¯
d
.
ô d
`
ai h
`
ınh chiê
´
u c
,
ua tâ
´
t
c
,
a c
´
ac
¯
do
.
an th
,
˘
ang không b
´
e ho
,
n 4n. B
´
o
,
i v
.
ây t
`
u
,
hai
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang l
v
`
a l
0
c
´
o thê
,
ch
.
on
¯
du
,
.
o
,
c m
.
ôt
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang, tô
,
ng
¯
d
.
ô d
`
ai c
,
ua h
`
ınh chiê
´
u
c
´
ac
¯
do
.
an th
,
˘
ang trên n
´
o không b
´
e ho
,
n 2n (nguyên l
´
y Ðirichlê). V
`
ı tâ
´
t
c
,
a c
´
ac
¯
do
.
an th
,
˘
ang
¯
du
,
.
o
,
c s
´
˘
ap xê
´
p trong h
`
ınh tr
`
on b
´
an k
´
ınh n, nên h
.
o
,
p
c
´
ac h
`
ınh chiê
´
u c
,
ua ch
´
ung trên
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang bâ
´
t k
`
y c
´
o
¯
d
.
ô d
`
ai b
´
e ho
,
n
2n. Suy ra trên
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang
¯
du
,
.
o
,
c ch
.
on t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c 1
¯
diê
,
m thu
.
ôc v
`
ao
h
`
ınh chiê
´
u c
,
ua
´
ıt nhâ
´
t hai
¯
do
.
an th
,
˘
ang (Nguyên l
´
y Ðirichlê cho
¯
do
.
an
th
,
˘
ang). Ðu
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang
¯
di qua
¯
diê
,
m n
`
ay vuông g
´
oc v
´
o
,
i
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang
¯
du
,
.
o
,
c ch
.
on, s
˜
e c
´
˘
at
´
ıt nhâ
´
t hai
¯
do
.
an th
,
˘
ang n
`
ay. V
`
ı
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang n
`
ay
ho
.
˘
ac vuông g
´
oc v
´
o
,
i, ho
.
˘
ac song song v
´
o
,
i
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang l, th
`
ı n
´
o tho
,
a
m
˜
an
¯
diê
`
u ki
.
ên b
`
ai to
´
an.
J
.
.
. 13.7. (Bungari (
¯
dê
`
thi ch
.
on
¯
d
.
ôi tuyê
,
n),1973) Cho a
1
, a
2
, . . . , a
n
l
`
a
nh
˜
u
,
ng sô
´
nguyên kh
´
ac nhau trong kho
,
ang [100,200], m
`
a ch
´
ung tho
,
a
m
˜
an a
1
+ a
2
+ ···+ a
n
≥ 11100. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang gi
˜
u
,
a nh
˜
u
,
ng sô
´
n
`
ay
c
´
o
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt sô
´
, m
`
a viê
´
t n
´
o
,
o
,
d
.
ang th
.
âp phân c
´
o
´
ıt nhâ
´
t hai ch
˜
u
,
sô
´
giô
´
ng nhau.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ch
´
ung ta l
.
âp danh s
´
ach c
´
ac sô
´
trong kho
,
ang [100,200], m
`
a
ch
´
ung viê
´
t
,
o
,
h
.
ê th
.
âp phân
´
ıt nhâ
´
t c
´
o hai ch
˜
u
,
sô
´
tr
`
ung nhau.: 100,
101, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 121, 122,
131, 133, 141, 144, 151, 155, 161, 166, 171, 177, 181, 188, 191,
199, 200. Tô
,
ng c
,
ua tâ
´
t c
,
a c
´
ac sô
´
trên l
`
a 4050. M
.
˘
at kh
´
ac tô
,
ng tâ
´
t c
,
a
c
´
ac sô
´
nguyên trong kho
,
ang [100,200] l
`
a 15150. Nê
´
u trong nh
˜
u
,
ng
sô
´
¯
d
˜
a cho a
1
, a
2
, . . . , a
n
không c
´
o sô
´
n
`
ao trong danh s
´
ach trên, th
`
ı
140 Chu
,
o
,
ng 13. M
.
ôt sô
´
¯
dê
`
thi vô
¯
d
.
ich
a
1
+ a
2
+ ··· + a
n
< 15150 − 4050 = 11100,
¯
diê
`
u n
`
ay vô l
´
y. Ngh
˜
ıa
l
`
a trong c
´
ac sô
´
a
1
, a
2
, . . . , a
n
c
´
o
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt sô
´
viê
´
t
,
o
,
co
,
sô
´
mu
,
`
o
,
i c
´
o
´
ıt
nhâ
´
t hai ch
˜
u
,
sô
´
tr
`
ung nhau.
J
.
.
. 13.8. (Bungari,1973) Trong m
.
ôt thu
,
vi
.
ên c
´
o 20000 cuô
´
n s
´
ach,
ch
´
ung
¯
du
,
.
o
,
c xê
´
p v
`
ao nh
˜
u
,
ng gi
´
a s
´
ach sao cho m
˜
ôi gi
´
a s
´
ach c
´
o
´
ıt nhâ
´
t
m
.
ôt quyê
,
n ho
.
˘ac nhiê
`
u nhâ
´
t 199 cuô
´
n s
´
ach. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
´
ıt nhâ
´
t
c
´
o hai gi
´
a s
´
ach c
´
o c
`
ung sô
´
lu
,
.
o
,
ng s
´
ach.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Gi
,
a s
,
u
,
ngu
,
.
o
,
c l
.
ai. Nê
´
u trong thu
,
vi
.
ên c
´
o n gi
´
a s
´
ach v
`
a ch
´
ung
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
´
anh sô
´
t
`
u
,
1
¯
dê
´
n n, th
`
ı r
˜
o r
`
ang l
`
a n ≤ 199. Ch
´
ung ta k
´
y hi
.
êu a
i
l
`
a sô
´
cuô
´
n s
´
ach
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
.
˘
at lên gi
´
a s
´
ach th
´
u
,
i, ch
´
ung ta s
˜
e c
´
o 1 ≤ a
i
≤
199. khi
¯
d
´
o t
,
u
,
¯
diê
`
u ki
.
ên a
i
6= a
j
v
´
o
,
i i 6= j, ch
´
ung ta nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c
20000 = a
1
+ a
2
+ ··· + a
n
≤ 1 + 2 + ··· + 199 = 19900 < 20000
¯
diê
`
u n
`
ay vô l
´
y. Suy ra c
´
o
´
ıt nhâ
´
t hai gi
´
a s
´
ach, trên ch
´
ung ch
´
u
,
a c
`
ung
sô
´
s
´
ach.
J
.
.
. 13.9. (Bungari, 1983) T
`
ım h
`
ınh vuông c
´
o k
´
ıch thu
,
´
o
,
c b
´
e nhâ
´
t,
¯
dê
,
trong h
`
ınh vuông
¯
d
´
o c
´
o thê
,
s
´
˘ap xê
´
p 5 h
`
ınh tr
`
on b
´
an k
´
ınh b
`
˘ang 1, sao
cho không c
´
o 3 h
`
ınh tr
`
on n
`
ao trong ch
´
ung c
´
o
¯
diê
,
m trong chung.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Gi
,
a s
,
u
,
h
`
ınh vuông ABCD
B
1
O
C
1
D
1
A
1
B
C
D
A
H
`
ınh 13.1:
c
´
o tâm O v
`
a c
.
anh a, ch
´
u
,
a 5 h
`
ınh
tr
`
on không c
´
˘
at nhau v
`
a
¯
dê
`
u c
´
o
b
´
an k
´
ınh b
`
˘
ang 1, khi
¯
d
´
o c
´
ac tâm
c
,
ua ch
´
ung n
`
˘
am trong h
`
ınh vuông
A
1
B
1
C
1
D
1
c
´
o tâm O v
`
a c
.
anh b
`
˘
ang
a −2 (
,
o
,
¯
dây A
1
B
1
//AB ).
C
´
ac
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang nô
´
i t
`
u
,
c
´
ac trung
¯
diê
,
m c
,
ua c
´
ac c
.
anh
¯
dô
´
i di
.
ên c
,
ua
h
`
ınh vuông A
1
B
1
C
1
D
1
chia h
`
ınh vuông
¯
d
´
o th
`
anh bô
´
n h
`
ınh vuông
141
nh
,
o,
,
o
,
m
.
ôt trong ch
´
ung
´
ıt nhâ
´
t c
˜
ung c
´
o hai trong sô
´
c
´
ac tâm (Nguyên
l
´
y Ðirichlê). Khi
¯
d
´
o kho
,
ang c
´
ach gi
˜
u
,
a hai tâm n
`
ay m
.
ôt m
.
˘
at không
l
´
o
,
n ho
,
n
¯
du
,
`
o
,
ng ch
´
eo h
`
ınh vuông b
´
e, m
.
˘
at kh
´
ac không b
´
e ho
,
n 2. Do
v
.
ây c
´
o
2 ≤ OA
1
=
A
1
B
1
2
√
2 =
a −2
2
√
2
suy ra a ≥ 2
√
2 + 2.
Cuô
´
i c
`
ung, nê
´
u a = 2
√
2 + 2 v
`
a tâm c
,
ua c
´
ac h
`
ınh tr
`
on l
`
a c
´
ac
¯
diê
,
m O, A
1
, B
1
, C
1
, D
1
th
`
ı tâ
´
t c
,
a c
´
ac
¯
diê
`
u ki
.
ên nêu trên
¯
du
,
.
o
,
c tho
,
a
m
˜
an. Nhu
,
v
.
ây c
.
anh c
,
ua h
`
ınh vuông câ
`
n t
`
ım l
`
a 2
√
2 + 2.
J
.
.
. 13.10. (Nam Tu
,
, 1977) Cho tru
,
´
o
,
c 20 sô
´
t
.
u
,
nhiên a
1
< a
2
< . . . <
a
20
không vu
,
.
o
,
t qu
´
a 70. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang gi
˜
u
,
a c
´
ac hi
.
êu a
j
−a
k
(j > k)
luôn t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c
´
ıt nhâ
´
t 4 hi
.
êu b
`
˘ang nhau.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Gi
,
a s
,
u
,
kh
,
˘
ang
¯
d
.
inh c
,
ua b
`
ai to
´
an l
`
a sai. Khi
¯
d
´
o gi
˜
u
,
a 19 sô
´
t
.
u
,
nhiên a
20
− a
19
, a
19
− a
18
, . . . , a
2
− a
1
không c
´
o 4 sô
´
n
`
ao b
`
˘
ang nhau.
Do
¯
d
´
o gi
˜
u
,
a ch
´
ung m
˜
ôi sô
´
1, 2, 3, 4, 5, 6 c
´
o m
.
˘
at không qu
´
a 3 lâ
`
n.
Suy ra c
´
o m
.
ôt trong 19 sô
´
¯
d
´
o ph
,
ai l
´
o
,
n ho
,
n 6 (nê
´
u không th
`
ı sô
´
c
´
ac
sô
´
không l
´
o
,
n ho
,
n 6 s
˜
e nhiê
`
u ho
,
n 18), c
´
o 3 trong 18 sô
´
c
`
on l
.
ai ph
,
ai
l
´
o
,
n ho
,
n 5, 3 trong 15 sô
´
c
`
on l
.
ai ph
,
ai l
´
o
,
n ho
,
n 4,. . . Do
¯
d
´
o tô
,
ng c
,
ua
ch
´
ung (a
20
−a
19
) + (a
19
−a
18
) + ···+ (a
2
−a
1
) ≥ 7 + 3( 6 + 5 + 4 +
3 + 2 + 1) = 70 không thê
,
b
`
˘
ang a
20
− a
1
≤ 70 −1 = 69. Mâu thu
˜
ân
nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
˜
a ch
´
u
,
ng minh kh
,
˘
ang
¯
d
.
inh c
,
ua b
`
ai to
´
an.
J
.
.
. 13.11. (Nam Tu
,
, 1981) T
.
âp h
.
o
,
p c
´
ac sô
´
{1, 2, . . . , 100}
¯
du
,
.
o
,
c chia
l
`
am 7 t
.
âp h
.
o
,
p con. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
´
ıt nhâ
´
t
,
o
,
m
.
ôt trong c
´
ac t
.
âp h
.
o
,
p
con â
´
y t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c ho
.
˘ac 4 sô
´
a, b, c, d sao cho a + b = c + d, ho
.
˘ac ba sô
´
e, f , g sao cho e + f = 2g.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ðê
,
´
y r
`
˘
ang c
´
o
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt trong 7 t
.
âp h
.
o
,
p con ch
´
u
,
a không
´
ıt ho
,
n 15 sô
´
(trong tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p ngu
,
.
o
,
c l
.
ai, tâ
´
t c
,
a c
´
ac t
.
âp h
.
o
,
p con
142 Chu
,
o
,
ng 13. M
.
ôt sô
´
¯
dê
`
thi vô
¯
d
.
ich
ch
´
u
,
a không nhiê
`
u ho
,
n 7.14 = 98 sô
´
). M
˜
ôi c
.
˘
ap sô
´
a > b c
,
ua t
.
âp h
.
o
,
p
con n
`
ay
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
.
˘
at tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i hi
.
êu a − b. Khi
¯
d
´
o ta nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c
không
´
ıt ho
,
n C
2
15
= 15
14
2
= 105 hi
.
êu, trong sô
´
¯
d
´
o ph
,
ai c
´
o c
´
ac hi
.
êu
b
`
˘
ang nhau (v
`
ı c
´
ac hi
.
êu nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c không qu
´
a 99 gi
´
a tr
.
i kh
´
ac nhau
1, 2,. . . ,99). Gi
,
a s
,
u
,
v
´
o
,
i hai c
.
˘
ap sô
´
a > b, c > d ta c
´
o
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c
a − b = c − d(a 6= c, b 6= d). Khi
¯
d
´
o a + d = b + c. Nê
´
u a = d
(ho
.
˘
ac b = c,
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c kh
´
ac không thê
,
xâ
,
y ra), th
`
ı c + b = 2a (ho
.
˘
ac
a + d = 2b).
J
.
.
. 13.12. (Nam tu
,
,1977) Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang di
.
ên t
´
ıch c
,
ua h
`
ınh vuông
bâ
´
t k
`
y n
`
˘am trong tam gi
´
ac, không l
´
o
,
n ho
,
n n
,
u
,
a di
.
ên t
´
ıch c
,
ua tam gi
´
ac
¯
d
´
o.
L
`
o
,
i gi
,
ai. (H
`
ınh 13.2) Ta ch
´
u
,
ng
C
A
B
L
M
N
1
K
1
K
N
E
F
L
1
M
1
H
`
ınh 13.2:
minh kh
,
˘
ang
¯
d
.
inh tô
,
ng qu
´
at ho
,
n :
di
.
ên t
´
ıch c
,
ua h
`
ınh b
`
ınh h
`
anh bâ
´
t
k
`
y KLMN n
`
˘
am
,
o
,
trong tam gi
´
ac
ABC không l
´
o
,
n ho
,
n n
,
u
,
a di
.
ên t
´
ıch
c
,
ua tam gi
´
ac
¯
d
´
o.
Ðê
,
´
y r
`
˘
ang m
˜
ôi m
.
ôt
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang
KL v
`
a MN c
´
˘
at hai c
.
anh c
,
ua tam
gi
´
ac ABC (c
´
o thê
,
,
o
,
¯
d
,
ınh tam gi
´
ac), ngh
˜
ıa l
`
a c
´
o 2 trong 4 giao
¯
diê
,
m
n
`
˘
am trên 1 c
.
anh theo nguyên l
´
y Ðirichlê. Ch
,
˘
ang h
.
an,
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang
KL v
`
a MN c
´
˘
at BC lâ
`
n lu
,
.
o
,
t
,
o
,
K
1
v
`
a N
1
. Trên c
.
anh AB, AC v
`
a BC
ch
.
on c
´
ac
¯
diê
,
m D, E v
`
a F sao cho L
1
, M
1
l
`
a giao
¯
diê
,
m c
,
ua DE v
´
o
,
i KL
v
`
a MN tho
,
a m
˜
an:
K
1
L
1
= KL; L
1
M
1
//K
1
N
1
¯
dô
`
ng th
`
o
,
i BF//BD
Khi
¯
d
´
o h
`
ınh b
`
ınh h
`
anh KLMN v
`
a K
1
L
1
M
1
N
1
c
´
o
¯
du
,
`
o
,
ng cao b
`
˘
ang
nhau
¯
dê
´
n
¯
das y chung, c
`
on c
´
ac h
`
ınh b
`
ınh h
`
anh BDEF v
`
a K
1
L
1
M
1
N
1
143
c
´
o
¯
d
´
ay DE không b
´
e ho
,
n
¯
d
´
ay L
1
M
1
v
`
a hai
¯
du
,
`
o
,
ng cao h
.
a t
`
u
,
D v
`
a L
1
xuô
´
ng BF b
`
˘
ang nhau. B
,
o
,
i v
.
ây c
´
o: S
KLMN
= S
K
1
L
1
M
1
N
1
≤ S
BDEF
. Gi
,
a
s
,
u
,
AE = x.AC, khi
¯
d
´
o EC = (1 − x)AC, c
´
ac tam gi
´
ac ABC , ADE
v
`
a EFC
¯
dô
`
ng d
.
ang v
´
o
,
i nhau nên ta c
´
o:
S
BDEF
= S
ABC
−S
ADE
−S
EFC
= S
ABC
− x
2
S
ABC
−(1 − x)
2
S
ABC
= 2x(1 − x)S
ABC
≤
1
2
S
ABC
.
V
`
ı x( 1 − x) ≤
1
4
v
´
o
,
i x lâ
´
y gi
´
a tr
.
i bâ
´
t k
`
y, nên S
KLMN
≤
1
2
S
ABC
.
J
.
.
. 13.13. (Nam tu
,
, 1972) Ðô
´
i v
´
o
,
i m
˜
ôi gi
´
a tr
.
i n ∈ N, h
˜
ay t
`
ım sô
´
k l
´
o
,
n
nhâ
´
t (k ∈ N) tho
,
a m
˜
an t
´
ınh châ
´
t sau: Trong t
.
âp h
.
o
,
p gô
`
m n phâ
`
n t
,
u
,
c
´
o thê
,
ch
.
on ra k t
.
âp h
.
o
,
p con kh
´
ac nhau, sao cho hai t
.
âp h
.
o
,
p con bâ
´
t
k
`
y
¯
dê
`
u c
´
o t
.
âp giao kh
´
ac r
˜
ông.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Cô
´
¯
d
.
inh phâ
`
n t
,
u
,
a
i
c
,
ua t
.
âp h
.
o
,
p X = {a
1
, a
2
, . . . , a
n
} v
`
a ch
,
ı
x
´
et c
´
ac t
.
âp h
.
o
,
p con ch
´
u
,
a phâ
`
n t
,
u
,
a
1
.Sô
´
c
´
ac t
.
âp h
.
o
,
p nhu
,
v
.
ây b
`
˘
ang sô
´
c
´
ac t
.
âp h
.
o
,
p con c
,
ua t
.
âp h
.
o
,
p {a
2
, . . . , a
n
}, ngh
˜
ıa l
`
a b
`
˘
ang 2
n−1
. Suy ra
k ≥ 2
n−1
. M
.
˘
at kh
´
ac gi
,
a s
,
u
,
¯
d
˜
a ch
.
on
¯
du
,
.
o
,
c ho
,
n 2
n−1
t
.
âp con c
,
ua X. Ta
chia tâ
´
t c
,
a c
´
ac t
.
âp con c
,
ua X th
`
anh 2
n−1
c
.
˘
ap
¯
du
,
.
o
,
c t
.
ao b
,
o
,
i 1 t
.
âp con
c
,
ua X v
`
a phâ
`
n b
`
u c
,
ua n
´
o. Theo nguyên l
´
y Ðirichlê c
´
o
´
ıt nhâ
´
t 2 t
.
âp
con
¯
d
˜
a ch
.
on t
.
ao th
`
anh m
.
ôt c
.
˘
ap, suy ra ch
´
ung không giao nhau. V
.
ây
k = 2
n−1
.
J
.
.
. 13.14. (M
˜
y, 1983) Trên tr
.
uc sô
´
lâ
´
y m
.
ôt kho
,
ang c
´
o
¯
d
.
ô d
`
ai
1
n
( n ∈
N). Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang kho
,
ang n
`
ay c
´
o ch
´
u
,
a nhiê
`
u ho
,
n
n + 1
2
phân sô
´
tô
´
i gi
,
an d
.
ang
p
q
, trong
¯
d
´
o p, q ∈ Z, 1 ≤ q ≤ n.
144 Chu
,
o
,
ng 13. M
.
ôt sô
´
¯
dê
`
thi vô
¯
d
.
ich
L
`
o
,
i gi
,
ai. Gi
,
a thiê
´
t r
`
˘
ang trong m
.
ôt kho
,
ang n
`
ao
¯
d
´
o c
´
o
¯
d
.
ô d
`
ai
1
n
, ch
´
u
,
a
nhiê
`
u ho
,
n
n + 1
2
phân sô
´
tô
´
i gi
,
an
p
q
, v
´
o
,
i q ∈ {1; 2; . . . ; n}. Ta s
˜
e
ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang gi
˜
u
,
a c
´
ac m
˜
âu sô
´
c
,
ua c
´
ac phân sô
´
n
`
ay luôn t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c hai m
˜
âu sô
´
m
`
a m
˜
âu sô
´
n
`
ay chia hê
´
t cho m
˜
âu sô
´
kia. Th
.
ât v
.
ây
ta biê
,
u di
˜
ên c
´
ac m
˜
âu sô
´
du
,
´
o
,
i d
.
ang 2
r
.s v
´
o
,
i s l
`
a sô
´
l
,
e, r ∈ Z
+
. Sô
´
c
´
ac sô
´
l
,
e kh
´
ac nhau gi
˜
u
,
a c
´
ac sô
´
1, 2, 3, . . . , n b
`
˘
ang
n + 1
2
( ngh
˜
ıa
l
`
a
´
ıt ho
,
n sô
´
c
´
ac m
˜
âu sô
´
¯
dang x
´
et), suy ra luôn t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c hai m
˜
âu sô
´
q = 2
r
.s v
`
a q
1
= 2
r
1
s
1
m
`
a s = s
1
v
`
a r = r
1
. Khi
¯
d
´
o c
´
o m
.
ôt m
˜
âu
sô
´
chia hê
´
t cho m
˜
âu sô
´
kia, hay q
1
= kq. Nhu
,
v
.
ây gi
˜
u
,
a c
´
ac phân sô
´
ch
.
on
¯
du
,
.
o
,
c hai sô
´
kh
´
ac nhau d
.
ang
m
q
v
`
a
l
kq
, v
´
o
,
i kq ≤ n. Khi
¯
d
´
o
m
q
−
l
kq
<
1
n
,
v
`
ı c
,
a hai n
`
˘
am trong kho
,
ang c
´
o
¯
d
.
ô d
`
ai
1
n
. Do
¯
d
´
o km − l = 0, v
`
ı trong
tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p ngu
,
.
o
,
c l
.
ai th
`
ı
m
q
−
l
kq
=
|km −l|
kq
≥
1
kq
≥
1
n
,
v
`
a do
¯
d
´
o km = l v
`
a
l
kq
=
km
kq
, ngh
˜
ıa l
`
a hai phân sô
´
¯
du
,
.
o
,
c ch
.
on tr
`
ung
nhau.
J
.
.
. 13.15. (Vi
.
êt nam, 1976) Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang tô
`
n t
.
ai vô sô
´
c
´
ac sô
´
c
´
o
d
.
ang 5
n
( n ∈ N), m
`
a trong c
´
ac biê
,
u di
˜
ên th
.
âp phân c
,
ua m
˜
ôi sô
´
¯
d
´
o c
´
o
không
´
ıt ho
,
n 1976 ch
˜
u
,
sô
´
0
¯
d
´
u
,
ng liên tiê
´
p.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ta ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang v
´
o
,
i m
.
oi k ∈ N tô
`
n t
.
ai vô sô
´
c
´
ac sô
´
m ∈ N tho
,
a m
˜
an
¯
diê
`
u ki
.
ên 5
m
= 1 (mod 2
k
).
145
Th
.
ât v
.
ây, gi
˜
u
,
a c
´
ac sô
´
5
0
, 5
1
, . . . , 5
2
k
luôn t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c hai sô
´
5
p
v
`
a
5
q
(p > q) c
´
o c
`
ung sô
´
du
,
trong ph
´
ep chia cho 2
k
. Khi
¯
d
´
o hi
.
êu c
,
ua
ch
´
ung 5
p
− 5
q
= 5
q
(5
p−q
− 1) chia hê
´
t cho 2
k
nghi
˜
a l
`
a sô
´
5
p−q
− 1
v
`
a tâ
´
t c
,
a c
´
ac sô
´
c
´
o d
.
ang 5
r(p−q)
−1 (r ∈ N)
¯
dê
`
u chia hê
´
t cho 2
k
.
Nhu
,
v
.
ây v
´
o
,
i m
˜
ôi gi
´
a tr
.
i m = r(p − q), r ∈ N, ta c
´
o 5
m
≡ 1
(mod 2
k
), t
`
u
,
¯
d
´
o 5
m+k
≡ 5
k
(mod 10
k
) ngh
˜
ıa l
`
a k ch
˜
u
,
sô
´
t
.
ân c
`
ung
c
,
ua 5
m+k
tr
`
ung v
´
o
,
i k ch
˜
u
,
sô
´
t
.
ân c
`
ung c
,
ua 5
k
. Gi
,
a s
,
u
,
sô
´
k tho
,
a m
˜
an
2
k
> 10
1976
ch
´
u
,
a không nhiê
`
u ho
,
n k − 1976 ch
˜
u
,
sô
´
. Do
¯
d
´
o gi
˜
u
,
a k
ch
˜
u
,
sô
´
t
.
ân c
`
ung c
,
ua sô
´
5
m+k
ch
,
ı c
´
o k −1976 ch
˜
u
,
sô
´
kh
´
ac không, c
`
on
1976 ch
˜
u
,
sô
´
c
`
on l
.
ai (liên tiê
´
p nhau) b
`
˘
ang 0.
J
.
.
. 13.16. (Ti
.
êp kh
´
˘ac, 1979) Trên m
.
ôt
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘ang c
´
o n
2
+ 1(n ∈ N)
¯
do
.
an th
,
˘ang. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang, ho
.
˘ac l
`
a gi
˜
u
,
a ch
´
ung c
´
o thê
,
ch
.
on n + 1
¯
do
.
an
¯
dôi m
.
ôt không c
´
˘at nhau, ho
.
˘ac l
`
a t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c n + 1
¯
do
.
an th
,
˘ang n
`
ao
¯
d
´
o c
´
o
¯
diê
,
m chung.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ta
¯
d
.
inh hu
,
´
o
,
ng bên tr
´
ai cho
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang khi n
´
oi r
`
˘
ang m
.
ôt
¯
do
.
an n
`
˘
am
,
o
,
bên tr
´
ai
¯
do
.
an th
,
˘
ang kh
´
ac, nê
´
u
¯
dâ
`
u m
´
ut bên tr
´
ai c
,
ua
¯
do
.
an th
,
˘
ang th
´
u
,
nhâ
´
t n
`
˘
am
,
o
,
bên tr
´
ai
¯
dâ
`
u m
´
ut bên tr
´
ai c
,
ua
¯
do
.
an
th
,
˘
ang th
´
u
,
hai. M
˜
ôi
¯
do
.
an th
,
˘
ang
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
´
anh sô
´
b
`
˘
ang m
.
ôt sô
´
tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng t
`
u
,
c
´
ac sô
´
1, 2, . . . , n b
`
˘
ang c
´
ach sau:
,
o
,
bu
,
´
o
,
c th
´
u
,
nhâ
´
t
¯
do
.
an th
,
˘
ang
,
o
,
t
.
ân c
`
ung bên tr
´
ai cho tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng sô
´
1. Sau
¯
d
´
o m
˜
ôi bu
,
´
o
,
c tiê
´
p theo
ta l
.
ai ch
.
on trong sô
´
nh
˜
u
,
ng
¯
do
.
an th
,
˘
ang chu
,
a
¯
d
´
anh sô
´
,
¯
do
.
an t
.
ân c
`
ung
bên tr
´
ai v
`
a
¯
d
.
˘
at cho n
´
o sô
´
tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng, kh
´
ac v
´
o
,
i c
´
ac sô
´
c
,
ua nh
˜
u
,
ng
¯
do
.
an
th
,
˘
ang giao v
´
o
,
i n
´
o (
¯
d
˜
a
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
´
anh sô
´
). Nê
´
u
¯
dê
´
n bu
,
´
o
,
c n
`
ao
¯
dâ
´
y, ta ch
.
on
¯
du
,
.
o
,
c
¯
do
.
an th
,
˘
ang, nhu
,
ng
¯
dô
´
i v
´
o
,
i n
´
o không ch
.
on
¯
du
,
.
o
,
c sô
´
th
´
u
,
t
.
u
,
, th
`
ı
¯
diê
`
u n
`
ay c
´
o ngh
˜
ıa l
`
a n
´
o giao v
´
o
,
i n
¯
do
.
an th
,
˘
ang n
`
˘
am bên tr
´
ai n
´
o v
`
a c
´
o
nh
˜
u
,
ng sô
´
kh
´
ac nhau. Trong tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p n
`
ay
¯
dâ
`
u m
´
ut tr
´
ai c
,
ua
¯
do
.
an
th
,
˘
ang
¯
du
,
.
o
,
c ch
.
on thu
.
ôc v
`
ao n + 1
¯
do
.
an th
,
˘
ang. Nê
´
u
,
o
,
bu
,
´
o
,
c â
´
y,
¯
do
.
an
146 Chu
,
o
,
ng 13. M
.
ôt sô
´
¯
dê
`
thi vô
¯
d
.
ich
th
,
˘
ang cuô
´
i c
`
ung
¯
du
,
.
o
,
c
¯
d
´
anh sô
´
th
`
ı theo nguyên l
´
y Ðirichlê
´
ıt nhâ
´
t
m
.
ôt trong n sô
´
´
u
,
ng v
´
o
,
i nhiê
`
u ho
,
n n
¯
do
.
an th
,
˘
ang, m
`
a c
´
ac
¯
do
.
an th
,
˘
ang
¯
d
´
o v
´
o
,
i c
´
ac sô
´
th
´
u
,
t
.
u
,
th
´
ıch h
.
o
,
p, không giao nhau.
J
.
.
. 13.17. (Rumani, 1978) C
´
ac h
`
am sô
´
f , g, h : N → N tho
,
a m
˜
an ba
¯
diê
`
u ki
.
ên sau:
a) H
`
am h(n) không nh
.
ân gi
´
a tr
.
i n
`
ao t
.
ai nhiê
`
u ho
,
n m
.
ôt
¯
diê
,
m n ∈ N.
b) T
.
âp h
.
o
,
p gi
´
a tr
.
i h
`
am sô
´
g(n) l
`
a N.
c) f (n) ≡ g(n ) − h(n) + 1, n ∈ N.
Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
¯
dô
`
ng nhâ
´
t th
´
u
,
c f (n) ≡ 1, n ∈ N, l
`
a
¯
d
´
ung.
L
`
o
,
i gi
,
ai. Ta ch
´
u
,
ng minh
¯
dô
`
ng nhâ
´
t th
´
u
,
c g(n) ≡ h(n) (n ∈ N) . T
`
u
,
¯
d
´
o v
`
a
¯
diê
`
u ki
.
ên b) s
˜
e d
˜
ân
¯
dê
´
n f (n) ≡ g(n) −h(n) + 1 ≡ 1, n ∈ N.
V
´
o
,
i bâ
´
t k
`
y n ∈ N c
´
o
h(n) = g(n) + 1 − f (n) ≤ g (n)
v
`
ı f (n) ≥ 1. Gi
,
a s
,
u
,
r
`
˘
ang,
¯
dô
´
i v
´
o
,
i gi
´
a tr
.
i n
`
ao
¯
d
´
o n ∈ N
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c
g(n) = h(n) không
¯
d
´
ung, khi
¯
d
´
o h(n) < g(n) = k. Theo
¯
diê
`
u ki
.
ên
b) ta t
`
ım c
´
ac sô
´
n
1
, n
2
, . . . , n
k−1
∈ N,
¯
dê
,
sao cho g(n
i
) = i khi i =
1, . . . , k −1. B
,
o
,
i v
.
ây m
˜
ôi sô
´
trong k sô
´
h(n
1
), h( n
2
), . . . , h(n
k−1
), h( n)
thu
.
ôc v
`
ao t
.
â p h
.
o
,
p {1, 2, . . . , k − 1}, do
¯
d
´
o theo nguyên l
´
y Ðirichlê
h
`
am sô
´
h(n) nh
.
ân gi
´
a tr
.
i n
`
ao
¯
d
´
o nhiê
`
u ho
,
n m
.
ôt lâ
`
n,
¯
diê
`
u n
`
ay tr
´
ai
v
´
o
,
i
¯
diê
`
u ki
.
ên a).Kh
,
˘
ang
¯
d
.
inh
¯
d
˜
a
¯
du
,
.
o
,
c ch
´
u
,
ng minh.
J
.
.
. 13.18. (M
˜
y (N
˜
u
,
u U
,
´
o
,
c), 1979) Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang c
´
ac
¯
d
,
ınh c
,
ua n-gi
´
ac
¯
dê
`
u c
´
o di
.
ên t
´
ıch b
´
e nhâ
´
t (n > 3) n
.
ôi tiê
´
p trong m
.
ôt n-gi
´
ac cho tru
,
´
o
,
c,
tr
`
ung v
´
o
,
i trung
¯
diê
,
m c
´
ac c
.
anh c
,
ua n-gi
´
ac cho tru
,
´
o
,
c.
L
`
o
,
i gi
,
ai. (H
`
ınh 13.3) Gi
,
a s
,
u
,
n-gi
´
ac
¯
dê
`
u B
1
, . . . , B
n
c
´
o di
.
ên t
´
ıch S
B
n
.
ôi tiê
´
p trong n-gi
´
ac
¯
dê
`
u A
1
, . . . , A
n
di
.
ên t
´
ıch S
A
.
147
Khi
¯
d
´
o nê
´
u ch
´
ung không tr
`
ung nhau th
`
ı trên m
˜
ôi m
.
ôt c
.
anh A
i
A
i +1
v
´
o
,
i i = 1, 2, . . . , n (A
n+1
= A
1
) c
´
o m
.
ôt
¯
d
,
ınh B
i
¯
du
,
.
o
,
c x
´
ac
¯
d
.
inh
trên c
.
anh â
´
y. Th
.
ât v
.
ây, trong tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p ngu
,
.
o
,
c l
.
ai theo nguyên l
´
y
Ðirichlê
´
ıt nhâ
´
t c
´
o m
.
ôt c
.
anh, ch
,
˘
ang h
.
an A
1
A
2
, ch
´
u
,
a hai
¯
diê
,
m B
1
v
`
a B
2
¯
d
´
o (
¯
dê
,
x
´
ac
¯
d
.
inh, gi
,
a s
,
u
,
A
1
B
2
> A
1
B
1
), khi
¯
d
´
o
¯
diê
,
m B
n
(
,
o
,
∆A
1
A
2
A
n
) c
´
o thê
,
n
`
˘
am trên c
.
anh A
2
A
3
v
`
a A
1
A
n
tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng (v
`
ı n >
3,
¯
do
.
an A
1
A
3
v
`
a A
2
A
n
l
`
a
¯
du
,
`
o
,
ng ch
´
eo, m
`
a không l
`
a c
.
anh c
,
ua n-gi
´
ac
A
1
, . . . , A
n
), ngh
˜
ıa l
`
a B
1
= A
1
v
`
a B
2
= A
2
. Ta ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang
A
1
B
1
= A
2
B
2
= . . . = A
n
B
n
Th
.
ât v
.
ây tam gi
´
ac B
1
A
2
B
2
v
`
a tam gi
´
ac B
2
A
3
B
3
b
`
˘
ang nhau, v
`
ı
\
B
1
A
2
B
2
=
\
B
2
A
3
B
3
=
\
B
1
B
2
B
3
= 180
0
n −2
n
\
A
2
B
1
B
2
= 180
0
−
\
B
1
A
2
B
2
−
\
A
2
B
2
B
1
= 180
0
−
\
B
1
B
2
B
3
−
\
A
2
B
2
B
1
=
\
A
2
B
2
B
3
v
`
a B
1
B
2
= B
2
B
3
. B
,
o
,
i v
.
ây A
2
B
2
= A
3
B
3
. Ta c
˜
ung ch
´
u
,
ng minh tu
,
o
,
ng
t
.
u
,
c
´
ac
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c c
`
on l
.
ai. Ð
.
ai lu
,
.
o
,
ng
S
B
= S
A
−S
B
1
A
2
B
2
−S
B
2
A
3
B
3
−. . . − S
B
n
A
1
B
1
= S
A
−nS
B
1
A
2
B
2
nh
.
ân gi
´
a tr
.
i nh
,
o nhâ
´
t, khi di
.
ên t
´
ıch tam gi
´
ac B
1
A
2
B
2
l
´
o
,
n nhâ
´
t. Gi
,
a
s
,
u
,
A
1
A
2
= a, A
1
B
1
= x, khi
¯
d
´
o
¯
d
.
ai lu
,
.
o
,
ng
S
B
1
A
2
B
2
=
1
2
B
1
A
2
.A
2
B
2
sin
\
B
1
A
2
B
2
=
1
2
(a − x)x. sin
\
B
1
A
2
B
2
=
1
2
(
a
2
4
−(x −
a
2
)
2
) sin
\
B
1
AB
2
nh
.
ân gi
´
a tr
.
i l
´
o
,
n nhâ
´
t khi x =
a
2
, ngh
˜
ıa l
`
a A
1
B
1
= B
1
A
2
.
J
.
.
. 13.19. (CHLB Ð
´
u
,
c, 1978) M
.
ôt b
.
ô gô
`
m n
2
con tem cho
,
i (n>2) mang
c
´
ac nh
˜
an hi
.
êu "1","2","3",. . . ,"n". M
˜
ôi lo
.
ai nh
˜
an hi
.
êu c
´
o n con tem. H
,
oi
148 Chu
,
o
,
ng 13. M
.
ôt sô
´
¯
dê
`
thi vô
¯
d
.
ich
c
´
o thê
,
xê
´
p tâ
´
t c
,
a c
´
ac con tem â
´
y th
`
anh m
.
ôt d
˜
ay tho
,
a m
˜
an c
´
ac
¯
diê
`
u ki
.
ên
sau không : v
´
o
,
i m
.
oi x ∈ {1, 2, . . . , n} gi
˜
u
,
a m
.
ôt con tem mang nh
˜
an
hi
.
êu "x" v
`
a con tem mang nh
˜
an hi
.
êu "x" tiê
´
p theo luôn c
´
o v
`
u
,
a
¯
d
´
ung x
con tem mang nh
˜
an hi
.
êu kh
´
ac "x" ?
L
`
o
,
i gi
,
ai. Trong m
˜
ôi
¯
do
.
an n
`
˘
am gi
˜
u
,
a
A
1
A
2
A
3
A
4
A
5
B
1
B
2
B
3
B
4
H
`
ınh 13.3:
hai con tem liên tiê
´
p v
´
o
,
i nh
˜
an "n"
¯
dê
`
u c
´
o n con tem. C
´
o n-1
¯
do
.
an nhu
,
v
.
ây do
¯
d
´
o sô
´
tem
,
o
,
gi
˜
u
,
a con tem
¯
dâ
`
u tiên mang nh
˜
an hi
.
êu "n" v
`
a con
tem cuô
´
i c
`
ung v
´
o
,
i c
`
ung nh
˜
an hi
.
êu
¯
d
´
o c
.
ông v
´
o
,
i hai con tem v
`
u
,
a n
´
oi l
`
a
( n − 1)n + n, ngh
˜
ıa l
`
a n
2
con tem.
V
.
ây con tem
¯
dâ
`
u tiên v
`
a con tem
cuô
´
i c
`
ung trong d
˜
ay
¯
dê
`
u ph
,
ai c
`
ung mang nh
˜
an hi
.
êu "n".
Trong sô
´
n con tem v
´
o
,
i nh
˜
an "n-1" ph
,
ai c
´
o (theo nguyên l
´
y
Ðirichlê)
´
ıt nhâ
´
t hai con tem c
`
ung n
`
˘
am trong
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt
¯
do
.
an
trong sô
´
n-1
¯
do
.
an kê
,
trên. Nhu
,
ng khi
¯
d
´
o
,
o
,
gi
˜
u
,
a hai con tem n
`
ay
ch
,
ı c
´
o nhiê
`
u nhâ
´
t l
`
a n-2 con tem;
¯
diê
`
u
¯
d
´
o mâu thu
˜
ân v
´
o
,
i t
´
ınh châ
´
t
c
,
ua d
˜
ay.
J
.
.
. 13.20. (CHLB Nga 1972) Ch
´
ın
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘ang c
`
ung c
´
o t
´
ınh châ
´
t l
`
a
m
˜
ôi
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘ang chia h
`
ınh vuông th
`
anh hai t
´
u
,
gi
´
ac c
´
o t
,
y sô
´
di
.
ên t
´
ıch
b
`
˘ang
2
3
. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang c
´
o
´
ıt nhâ
´
t ba
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘ang trong sô
´
¯
d
´
o c
`
ung
¯
di qua m
.
ôt
¯
diê
,
m.
L
`
o
,
i gi
,
ai. (H
`
ınh 13.4) C
´
ac
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang
¯
d
˜
a cho không thê
,
c
´
˘
at c
´
ac
c
.
anh kê
`
nhau c
,
ua h
`
ınh vuông ABCD, b
,
o
,
i v
`
ı nê
´
u thê
´
không thê
,
t
.
ao
ra
¯
du
,
.
o
,
c hai t
´
u
,
gi
´
ac, m
`
a l
`
a tam gi
´
ac v
`
a ng
˜
u gi
´
ac. Gi
,
a s
,
u
,
m
.
ôt
¯
du
,
`
o
,
ng
149
th
,
˘
ang c
´
˘
at c
´
ac c
.
anh BC v
`
a AD t
.
ai c
´
ac
¯
diê
,
m M v
`
a N. C
´
ac h
`
ınh thang
ABMN v
`
a CDNM c
´
o c
´
ac
¯
du
,
`
o
,
ng cao b
`
˘
ang nhau do
¯
d
´
o t
,
y sô
´
di
.
ên
t
´
ıch c
,
ua ch
´
ung b
`
˘
ang t
,
y sô
´
c
´
ac
¯
du
,
`
o
,
ng trung b
`
ınh, t
´
u
,
c l
`
a MN chia
¯
do
.
an th
,
˘
ang nô
´
i trung
¯
diê
,
m c
,
ua c
´
ac c
.
anh AB v
`
a CD theo t
,
y sô
´
2
3
.
Tô
,
ng sô
´
c
´
ac
¯
diê
,
m chia c
´
ac
¯
du
,
`
o
,
ng trung b
`
ınh c
,
ua h
`
ınh vuông theo t
,
y
sô
´
2
3
l
`
a 4 (H
`
ınh v
˜
e). B
,
o
,
i sô
´
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang
¯
d
˜
a cho l
`
a 9 v
`
a
¯
dê
`
u ph
,
ai
¯
di
qua m
.
ôt trong sô
´
4
¯
diê
,
m n
´
oi trên, nên c
´
o m
.
ôt
¯
diê
,
m thu
.
ôc
´
ıt nhâ
´
t 3
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang.
B
C
D
A
M
N
H
`
ınh 13.4:
150 Chu
,
o
,
ng 13. M
.
ôt sô
´
¯
dê
`
thi vô
¯
d
.
ich
CHU
,
O
,
NG 14
B
`
AI T
.
ÂP T
.
U
,
GI
,
AI
.
.
. 14.1. M
.
ôt h
`
ınh l
.
âp phu
,
o
,
ng c
´
o c
.
anh b
`
˘
ang 15 ch
´
u
,
a 11.000
¯
diê
,
m.
Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang c
´
o m
.
ôt h
`
ınh câ
`
u b
´
an k
´
ınh b
`
˘
ang 1 ch
´
u
,
a
´
ıt nhâ
´
t 6
¯
diê
,
m trong sô
´
nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m
¯
d
˜
a cho.
.
.
. 14.2. Cho F = {a
1
, a
2
, . . . , a
l
} l
`
a t
.
âp h
.
o
,
p h
˜
u
,
u h
.
an nh
˜
u
,
ng sô
´
nguyên du
,
o
,
ng v
`
a x
1
, x
2
, . . . , x
n
, . . . . . . l
`
a d
˜
ay vô h
.
an, m
.
oi phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua
n
´
o n
`
˘
am trong F, ngh
˜
ıa l
`
a tr
`
ung v
´
o
,
i m
.
ôt sô
´
n
`
ao
¯
d
´
o trong a
1
, a
2
, . . . , a
l
. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang v
´
o
,
i m
.
oi sô
´
nguyên du
,
o
,
ng bâ
´
t k
`
y tô
`
n t
.
ai m
.
ôt sô
´
phâ
`
n t
,
u
,
liên tiê
´
p c
,
ua d
˜
ay, m
`
a t
´
ıch c
,
ua ch
´
ung l
`
a l
˜
uy th
`
u
,
a c
,
ua m
.
ôt sô
´
nguyên n
`
ao
¯
d
´
o.
.
.
. 14.3. Cho 5
¯
diê
,
m P
1
, P
2
, P
3
, P
4
, P
5
trong phâ
`
n trong c
,
ua m
.
ôt h
`
ınh
vuông c
´
o c
.
anh 1
¯
do
,
n v
.
i. K
´
y hi
.
êu d
ij
l
`
a kho
,
ang c
´
ach gi
˜
u
,
a hai
¯
diê
,
m
P
i
v
`
a P
j
. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang
´
ıt nhâ
´
t c
´
o m
.
ôt trong sô
´
c
´
ac kho
,
ang c
´
ach
gi
˜
u
,
a c
´
ac
¯
diê
,
m nh
,
o ho
,
n
√
2
2
.
.
.
. 14.4. Trong m
.
ôt h
`
ınh vuông c
´
o c
.
anh 50
¯
do
,
n v
.
i , ngu
,
`
o
,
i ta k
,
e
¯
du
,
`
o
,
ng
gâ
´
p kh
´
uc sao cho m
.
oi
¯
diê
,
m trên c
.
anh h
`
ınh vuông c
´
o kho
,
ang c
´
ach
nh
,
o ho
,
n 1
¯
dê
´
n
¯
du
,
`
o
,
ng gâ
´
p kh
´
uc. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang
¯
d
.
ô d
`
ai c
,
ua c
,
ua
¯
du
,
`
o
,
ng gâ
´
p kh
´
uc l
´
o
,
n ho
,
n 1248.
.
.
. 14.5. Cho A l
`
a m
.
ôt
¯
da gi
´
ac lô
`
i v
´
o
,
i di
.
ên t
´
ıch S v
`
a chu vi P, c
`
on r
152 Chu
,
o
,
ng 14. B
`
ai t
.
âp t
.
u
,
gi
,
ai
l
`
a sô
´
th
.
u
,
c du
,
o
,
ng. K
´
y hi
.
êu M l
`
a t
.
âp h
.
o
,
p tâ
´
t c
,
a c
´
ac
¯
diê
,
m trong m
.
˘
at
ph
,
˘
ang, sao cho v
´
o
,
i m
˜
ôi
¯
diê
,
m R c
,
ua M tô
`
n t
.
ai m
.
ôt
¯
diê
,
m Q thu
.
ôc A
m
`
a kho
,
ang c
´
ach gi
˜
u
,
a R v
`
a Q nh
,
o ho
,
n ho
.
˘
ac b
`
˘
ang r. H
˜
ay t
`
ım di
.
ên
t
´
ıch c
,
ua h
`
ınh M.
.
.
. 14.6. Trong h
`
ınh vuông c
´
o c
.
anh b
`
˘
ang 70, ngu
,
`
o
,
i ta n
´
em ba h
`
ınh
ch
˜
u
,
nh
.
ât v
´
o
,
i k
´
ıch thu
,
´
o
,
c 20x10, 25x15 v
`
a 30x30 v
`
a ba h
`
ınh tr
`
on b
´
an
k
´
ınh 5. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang trong h
`
ınh vuông c
´
o thê
,
d
.
ich chuyê
,
n m
.
ôt
h
`
ınh tr
`
on b
´
an k
´
ınh 5 sao cho n
´
o không c
´
o nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m trong chung
v
´
o
,
i 5 h
`
ınh
¯
d
˜
a cho.
.
.
. 14.7. Trong m
.
˘
at ph
,
˘
ang cho m
.
ôt
¯
du
,
`
o
,
ng gâ
´
p kh
´
uc A
1
A
2
. . . A
n
v
`
a
h
`
ınh tr
`
on b
´
an k
´
ınh r, tâm h
`
ınh tr
`
on chuyê
,
n
¯
d
.
ông trên
¯
du
,
`
o
,
ng gâ
´
p
kh
´
uc n
`
ay. Cho L l
`
a
¯
d
.
ô d
`
ai c
,
ua
¯
du
,
`
o
,
ng gâ
´
p kh
´
uc, c
`
on F l
`
a h
`
ınh sinh
ra b
,
o
,
i s
.
u
,
chuyê
,
n
¯
d
.
ông c
,
ua h
`
ınh tr
`
on trên
¯
du
,
`
o
,
ng gâ
´
p kh
´
uc. Ch
´
u
,
ng
minh bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c S(F) ≤ 2Lr + πr
2
.
.
.
. 14.8. T
.
âp h
.
o
,
p M l
`
a h
.
o
,
p m
.
ôt sô
´
h
˜
u
,
u h
.
an nh
˜
u
,
ng
¯
do
.
an th
,
˘
ang n
`
˘
am
trong (0,1). Kho
,
ang c
´
ach gi
˜
u
,
a m
.
ôt sô
´
¯
diê
,
m trong M không b
`
˘
ang δ
,
,
o
,
¯
dây 0 ≤ δ ≤ 1 . Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang tô
,
ng
¯
d
.
ô d
`
ai c
,
ua nh
˜
u
,
ng
¯
do
.
an
th
,
˘
ang m
`
a ch
´
ung t
.
ao nên M, không vu
,
.
o
,
t qu
´
a
"
[
1
δ
] + 1
2
#
δ v
`
a s
.
u
,
¯
d
´
anh
gi
´
a n
`
ay l
`
a ch
´
ınh x
´
ac.
.
.
. 14.9. Trên
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on b
´
an k
´
ınh 1 cho n
¯
diê
,
m P
1
, P
2
, . . . , P
n
v
`
a t
.
âp
h
.
o
,
p A t
.
ao b
,
o
,
i m
.
ôt sô
´
h
˜
u
,
u h
.
an cung không c
´
˘
at nhau, m
`
a tô
,
ng
¯
d
.
ô d
`
ai
c
,
ua ch
´
ung l
`
a l(A). Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang
a) Nê
´
u l(A) >
2kπ
n
, (k = 1, 2, . . . , n − 1), th
`
ı c
´
o thê
,
quay t
.
âp
h
.
o
,
p A trên
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on sao cho
,
anh c
,
ua n
´
o ch
´
u
,
a
´
ıt nhâ
´
t k + 1
¯
diê
,
m
trong d
˜
ây P
1
, P
2
, . . . , P
n
.
153
b) Nê
´
u l(A) <
2kπ
n
, (k = 1, 2, . . . , n − 1), th
`
ı c
´
o thê
,
quay t
.
âp
h
.
o
,
p A trên
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on sao cho
,
anh c
,
ua n
´
o ch
´
u
,
a nhiê
`
u nhâ
´
t k −1
¯
diê
,
m trong d
˜
ây P
1
, P
2
, . . . , P
n
.
.
.
. 14.10. Cho t
.
âp h
.
o
,
p A nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m trên m
.
ôt m
.
˘
at câ
`
u v
´
o
,
i di
.
ên t
´
ıch
l
´
o
,
n ho
,
n n
,
u
,
a di
.
ên t
´
ıch c
,
ua m
.
˘
at câ
`
u. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang A ch
´
u
,
a
´
ıt nhâ
´
t
hai
¯
dâ
`
u m
.
ôt
¯
du
,
`
o
,
ng k
´
ınh c
,
ua h
`
ınh câ
`
u.
.
.
. 14.11. K
´
y hi
.
êu N
1
, N
2
, . . . , N
n
l
`
a nh
˜
u
,
ng t
.
âp h
.
o
,
p, m
`
a ch
´
ung c
´
o
¯
du
,
.
o
,
c sau khi nh
˜
u
,
ng
¯
d
,
ınh c
,
ua m
.
ôt lu
,
´
o
,
i nguyên
¯
du
,
.
o
,
c t
´
ac
¯
d
.
ông b
,
o
,
i n
ph
´
ep t
.
inh tiê
´
n, A l
`
a m
.
ôt bê
`
m
.
˘
at v
`
a k l
`
a sô
´
t
.
u
,
nhiên sao cho 1 ≤ k ≤
n −1. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang
a) Nê
´
u S(A) >
k
r
th
`
ı c
´
o thê
,
t
.
inh tiê
´
n t
.
âp h
.
o
,
p A sao cho
,
anh c
,
ua
n
´
o ch
´
u
,
a
´
ıt nhâ
´
t k + 1
¯
diê
,
m trong l
`
a nh
˜
u
,
ng
¯
d
,
ınh c
,
ua N
1
, N
2
, . . . , N
n
.
b) Nê
´
u S(A) <
k
r
th
`
ı c
´
o thê
,
t
.
inh tiê
´
n t
.
âp h
.
o
,
p A sao cho
,
anh c
,
ua n
´
o ch
´
u
,
a nhiê
`
u nhâ
´
t k − 1
¯
diê
,
m trong l
`
a nh
˜
u
,
ng
¯
d
,
ınh c
,
ua
N
1
, N
2
, . . . , N
n
.
.
.
. 14.12. Trong h
`
ınh vuông v
´
o
,
i c
.
anh 1
¯
do
,
n v
.
i d
.
u
,
ng
¯
du
,
`
o
,
ng gâ
´
p kh
´
uc
sao cho m
.
oi
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang song song v
´
o
,
i c
.
anh h
`
ınh vuông c
´
˘
at
¯
du
,
`
o
,
ng
gâ
´
p kh
´
uc không qu
´
a m
.
ôt
¯
diê
,
m. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang
¯
d
.
ô d
`
ai c
,
ua
¯
du
,
`
o
,
ng
gâ
´
p kh
´
uc nh
,
o ho
,
n 2.
.
.
. 14.13. Trong m
.
ôt m
.
˘
at ph
,
˘
ang cho 6
¯
diê
,
m. Nh
˜
u
,
ng
¯
do
.
an th
,
˘
ang nô
´
i
c
´
ac c
.
˘
ap
¯
diê
,
m
¯
du
,
.
o
,
c so
,
n mâ
`
u
¯
d
,
o ho
.
˘
ac xanh. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang v
´
o
,
i
c
´
ach t
.
ao h
`
ınh nhu
,
v
.
ây tô
`
n t
.
ai
´
ıt nhâ
´
t hai h
`
ınh tam gi
´
ac c
´
o c
´
ac c
.
anh
c
`
ung mâ
`
u. (c
´
o thê
,
hai tam gi
´
ac kh
´
ac mâ
`
u nhau).
154 Chu
,
o
,
ng 14. B
`
ai t
.
âp t
.
u
,
gi
,
ai
CHU
,
O
,
NG 15
L
`
O
,
I GI
,
AI V
`
A G
.
O
,
I
´
Y
15.1. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 1
.
.
. 1.11. L
`
o
,
i gi
,
ai: Nê
´
u tâ
´
t c
,
a c
´
ac ông quan
¯
dê
`
u quen nhau th
`
ı vi
.
êc
xê
´
p b
`
an bô
´
n ngu
,
`
o
,
i nhu
,
¯
dê
`
ra không c
´
o g
`
ı kh
´
o kh
˘
an. Gi
,
a c
´
o ông A
v
`
a ông B không quen nhau. T
`
u
,
2n −2 ông quan c
`
on l
.
ai c
˜
ung nhu
,
A
v
`
a B c
´
o
´
ıt nhâ
´
t n ngu
,
`
o
,
i quen. V
`
ı n + n = 2n = (2n − 2 ) + 2, th
`
ı tô
`
n
t
.
ai hai ông C v
`
a D, m
`
a h
.
o quen A c
˜
ung nhu
,
B. Khi
¯
d
´
o ngu
,
`
o
,
i xê
´
p
¯
d
.
˘
at
c
´
o thê
,
xê
´
p A
¯
dô
´
i di
.
ên B v
`
a gi
˜
u
,
a h
.
o l
`
a C
¯
dô
´
i di
.
ên D.
.
.
. 1.12. G
.
o
,
i
´
y: Chia m
.
ôt c
.
anh h
`
ınh vuông th
`
anh 48
¯
do
.
an m
˜
ôi
¯
do
.
an
20m, kho
,
ang c
´
ach gi
˜
u
,
a 2
¯
do
.
an l
`
a 0,6m, hai
¯
do
.
an
,
o
,
hai
¯
dâ
`
u d
`
ai
5,9m. (V
.
ây 48.20m+47.0,6m+2.5,9m =1000m=1km). C
.
anh thu
,
hai chia ra l
`
am 95
¯
do
.
an, kho
,
a ng c
´
ach hai
¯
do
.
an l
`
a 0,52m, hai
¯
do
.
an
¯
dâ
`
u d
`
ai 0,56m ( v
.
ây 95.10m+94.0,52m+20,56m= 1000m=1km).
Nhu
,
v
.
ây c
´
o 48.95=4560 m
,
anh c
´
o di
.
ên t
´
ıch 200m
2
m
`
a sô
´
cây ch
,
ı c
´
o
4500, nên c
`
on
´
ıt nhâ
´
t 60 ô nhu
,
v
.
ây không c
´
o cây n
`
ao.
.
.
. 1.13. G
.
o
,
i
´
y: Ta nh
´
om c
´
ac ng
˘
an c
´
o c
`
ung sô
´
s
´
ach v
`
a
¯
d
´
anh dâ
´
u t
`
u
,
0,1,. . . ,9 (c
´
ac ng
˘
an ch
´
u
,
a sô
´
s
´
ach
´
ıt ho
,
n 10) v
`
a m
.
ôt ng
˘
an c
´
o 10 cuô
´
n.
Gi
,
a s
,
u
,
không c
´
o ba ng
˘
an ch
´
u
,
a c
`
ung sô
´
s
´
ach, th
`
ı trong c
´
ac nh
´
om ta
¯
d
´
anh dâ
´
u c
´
o
´
ıt ho
,
n ba ng
˘
an c
´
o c
`
ung sô
´
s
´
ach (nhiê
`
u nhâ
´
t l
`
a 2), v
.
ây
156 Chu
,
o
,
ng 15. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y
th
`
ı v
´
o
,
i 10 nh
´
om trên 10.2=20 ng
˘
an s
´
ach c
.
ông v
´
o
,
i m
.
ôt ng
˘
an 10 cuô
´
n
n
˜
u
,
a không cho ta sô
´
ng
˘
an s
´
ach l
`
a 25, d
˜
ân
¯
dê
´
n vô l
´
y.
.
.
. 1.14. G
.
o
,
i
´
y: Ta lâ
´
y sô
´
c
,
ua ôtô chia cho 10 th
`
ı
¯
du
,
.
o
,
c sô
´
du
,
0, 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9. V
`
ı c
´
o 11 sô
´
m
`
a 10 sô
´
du
,
th
`
ı theo nguyên l
´
y Ðirichlê
c
´
o hai sô
´
c
´
o c
`
ung sô
´
du
,
. Nhu
,
v
.
ây hi
.
êu c
,
ua hai sô
´
chia hê
´
t cho 10
ngh
˜
ıa l
`
a n
´
o c
´
o c
`
ung m
.
ôt ch
˜
u
,
sô
´
t
.
ân c
`
ung.
.
.
. 1.15. L
`
o
,
i gi
,
ai: G
.
oi c
´
ac tr
.
am chuyê
,
n tiê
´
p l
`
a A, B, C, D, c
´
ac h
`
ınh
tr
`
on v
´
o
,
i
¯
du
,
`
o
,
ng k
´
ınh l
`
a c
´
ac
¯
du
,
`
o
,
ng nô
´
i gi
˜
u
,
a c
´
ac tr
.
am l
`
a v
`
ung bao ph
,
u
c
,
ua m
.
ôt trung tâm ph
´
at s
´
ong. Ch
´
ung ta c
´
o 4 h
`
ınh tr
`
on nhu
,
v
.
ây v
`
a
ph
,
ai ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang m
.
ôt
¯
diê
,
m M bâ
´
t k
`
y n
`
˘
am trong t
´
u
,
gi
´
ac c
,
ua 4
tr
.
am
¯
dê
`
u
¯
du
,
.
o
,
c ph
,
u b
,
o
,
i
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt h
`
ınh tr
`
on. Th
.
ât v
.
ây, nê
´
u
¯
diê
,
m M
n
`
˘
am trong h
`
ınh tr
`
on
¯
du
,
`
o
,
ng k
´
ınh AB th
`
ı g
´
oc AMB ph
,
ai l
`
a t
`
u ho
.
˘
ac
b
`
˘
ang 90
0
. Ta nô
´
i M v
´
o
,
i c
´
ac tr
.
am A, B, C, D, t
.
ao ra bô
´
n g
´
oc
¯
dô
´
i v
´
o
,
i
c
´
ac c
.
anh t
´
u
,
gi
´
ac. Tô
,
ng c
,
ua bô
´
n g
´
oc n
`
ay l
`
a 360
0
. Nhu
,
v
.
ây
´
ıt nhâ
´
t c
´
o
m
.
ôt g
´
oc t
`
u ho
.
˘
ac c
`
ung l
´
˘
am l
`
a b
`
˘
ang 90
0
. V
.
ây M thu
.
ôc m
.
ôt h
`
ınh tr
`
on
m
`
a t
.
ai M nh
`
ın c
.
anh c
,
ua t
´
u
,
gi
´
ac du
,
´
o
,
i m
.
ôt g
´
oc t
`
u.
15.2. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 2
.
.
. 2.11. G
.
o
,
i
´
y: Áp d
.
ung Phu
,
o
,
ng ph
´
ap b
`
ai 2.2.
.
.
. 2.12. G
.
o
,
i
´
y: Áp d
.
ung phu
,
o
,
ng ph
´
ap b
`
ai 2.4
.
.
. 2.13. G
.
o
,
i
´
y: Ð
.
˘
at b
k
= a
1
+ a
2
+ ··· + a
k
, k = 1, 2, . . . , 41 v
`
a
´
ap
d
.
ung b
`
ai t
.
âp trên.
.
.
. 2.14. G
.
o
,
i
´
y: Nhu
,
b
`
ai 2.8, nê
´
u M l
`
a sô
´
nguyên tô
´
c
`
ung nhau v
´
o
,
i
10, th
`
ı t
`
u
,
s
.
u
,
chia hê
´
t c
,
ua l − k =
111 . . . 11.10k cho M, suy ra sô
´
15.2. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 2 157
111 . . . 11
| {z }
(k-l ch
˜
u
,
sô
´
1)
chia hê
´
t cho M.
.
.
. 2.15. G
.
o
,
i
´
y: D
`
ung phu
,
o
,
ng ph
´
ap b
`
ai 2.8. H
˜
ay x
´
et d
˜
ay
N, NN, NNN, . . . , NNN . . . N
| {z }
(1968 ch
˜
u
,
sô
´
)
.
.
.
. 2.16. L
`
o
,
i gi
,
ai: Ta viê
´
t 1998 sô
´
1997, 19971997, . . .
, 1997 . . . 1997
| {z }
sô
´
1997 l
.
˘ap 1998 lâ
`
n
. V
`
a x
´
et c
´
ac sô
´
du
,
trong ph
´
ep chia m
˜
ôi
m
.
ôt sô
´
¯
d
´
o cho 1998. R
˜
o r
`
ang không m
.
ôt sô
´
n
`
ao trong c
´
ac sô
´
¯
d
˜
a viê
´
t
chia hê
´
t cho 1998 (v
`
ı 1998 l
`
a sô
´
ch
˜
˘
an, m
`
a c
´
ac sô
´
¯
d
˜
a viê
´
t l
`
a l
,
e), nhu
,
v
.
ây, c
´
ac sô
´
du
,
c
,
ua ph
´
ep chia
¯
dê
`
u kh
´
ac không, v
`
ı sô
´
c
´
ac sô
´
l
´
o
,
n ho
,
n
sô
´
c
´
ac sô
´
du
,
(c
´
o 1998 sô
´
m
`
a sô
´
c
´
ac sô
´
du
,
l
`
a 1997), nên t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c
hai sô
´
c
´
o sô
´
du
,
nhu
,
nhau, hi
.
êu c
,
ua hai sô
´
¯
d
´
o c
´
o d
.
ang câ
`
n t
`
ım v
`
a
chia hê
´
t cho 1998.
.
.
. 2.17. L
`
o
,
i gi
,
ai: Ta x
´
et 1997 sô
´
d
.
ang 1998, 19981998,. . . . Sô
´
cuô
´
i
c
`
ung trong c
´
ac sô
´
n
`
ay t
.
ao th
`
anh t
`
u
,
1997 nh
´
om trong bô
´
n ch
˜
u
,
sô
´
1,
9, 9, 8. Ho
.
˘
ac m
.
ôt trong c
´
ac sô
´
n
`
ay chia hê
´
t cho 1997 (v
.
ây,
¯
d
´
o l
`
a sô
´
ph
,
ai t
`
ım), ho
.
˘
ac t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c hai sô
´
du
,
nhu
,
nhau trong ph
´
ep chia cho
1997. Khi
¯
d
´
o hi
.
êu c
,
ua ch
´
ung c
´
o d
.
ang 19981998 . . . 1998.10
4m
v
`
a chia
hê
´
t cho1997. V
`
ı 10
4m
v
`
a 1997 nguyên tô
´
c
`
ung nhau nên nhân t
,
u
,
th
´
u
,
nhâ
´
t, ngh
˜
ıa l
`
a sô
´
19981998. . . 1998, chia hê
´
t cho 1997.
.
.
. 2.18. L
`
o
,
i gi
,
ai: Trong n + 1 sô
´
m, m
2
, . . . , m
n+1
t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c hai sô
´
c
´
o sô
´
du
,
nhu
,
nhau trong ph
´
ep chia cho n. Khi
¯
d
´
o hi
.
êu c
,
ua ch
´
ung
chia hê
´
t cho n. Gi
,
a s
,
u
,
m
l
− m
t
= a.n ho
.
˘
ac m
t
( m
l−t
− 1) = a.n. V
`
ı
( m, n) = 1 nên (m
t
, n) = 1, ngh
˜
ıa l
`
a, m
l−t
− 1 chia hê
´
t cho n. V
.
ây
m
l−t
−1 l
`
a sô
´
ph
,
ai t
`
ım.
158 Chu
,
o
,
ng 15. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y
15.3. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 3
.
.
. 3.11. L
`
o
,
i gi
,
ai: Ta x
´
et 10
4
c
´
ac lu
˜
y th
`
u
,
a kh
´
ac nhau c
,
ua 3: 3, 3
2
, 3
3
, . . . , 3
10
4
v
`
a c
´
ac sô
´
du
,
c
,
ua ph
´
ep chia m
˜
ôi lu
˜
y th
`
u
,
a
¯
d
´
o cho 10
4
. M
˜
ôi
sô
´
cho m
.
ôt sô
´
du
,
kh
´
ac không khi chia cho 10
4
; sô
´
c
´
ac sô
´
du
,
kh
´
ac
không l
`
a 10
4
−1; sô
´
c
´
ac sô
´
l
`
a 10
4
. Do
¯
d
´
o, t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c hai lu
˜
y th
`
u
,
a kh
´
ac
nhau 3
m
v
`
a 3
n
c
´
o sô
´
du
,
nhu
,
nhau trong ph
´
ep chia cho 10
4
, ngh
˜
ıa l
`
a
3
m
−3
n
= 10
4
.l ho
.
˘
ac 3
n
(3
m−n
−1) = 10
4
.l. V
`
ı 3
n
v
`
a 10
4
nguyên tô
´
c
`
ung nhau nên 3
m−n
−1 chia hê
´
t cho 10
4
ho
.
˘
ac 3
m−n
−1 = 10
4
.k. T
`
u
,
¯
d
´
o suy ra 3
m−n
= 10
4
.k + 1. Nhu
,
v
.
ây, tr
,
a l
`
o
,
i: c
´
o thê
,
.
.
.
. 3.12. G
.
o
,
i
´
y: L
´
y lu
.
ân nhu
,
b
`
ai 3.10.
.
.
. 3.13. G
.
o
,
i
´
y: Ch
´
u
´
y u
3
= 1986,
´
ap d
.
ung phu
,
o
,
ng ph
´
ap b
`
ai 3.4.
.
.
. 3.14. G
.
o
,
i
´
y: L
´
y lu
.
ân nhu
,
trong 3.4. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang v
´
o
,
i m
.
oi sô
´
t
.
u
,
nhiên m
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt trong c
´
ac sô
´
x
1
, x
2
, . . . , chia hê
´
t cho m. Sau
¯
d
´
o d
.
˘
at m = 38 v
`
a m = 43.
.
.
. 3.15. G
.
o
,
i
´
y: Tu
,
o
,
ng t
.
u
,
nhu
,
3.8 ta x
´
et b
.
ô xê
´
p s-phâ
`
n t
,
u
,
nh
˜
u
,
ng sô
´
du
,
tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng. D
˜
ê thâ
´
y r
`
˘
ang tô
`
n tai nh
˜
u
,
ng ch
,
ı sô
´
i v
`
a j sao cho
1 ≤ i < j ≤ k
s
v
`
a m
˜
ôi tô
,
ng trên
¯
dê
`
u chia hê
´
t cho k.
15.4. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 4
.
.
. 4.11. G
.
o
,
i
´
y: Quanh m
˜
ôi
¯
diê
,
m
¯
d
˜
a cho v
˜
e
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on b
´
an k
´
ınh
1
15
.
.
.
. 4.12. G
.
o
,
i
´
y: B
`
ai to
´
an suy ra t
`
u
,
b
`
ai 4.9.
.
.
. 4.13. L
`
o
,
i gi
,
ai: Gi
,
a s
,
u
,
tô
`
n tai
¯
diê
,
m X t
`
u
,
c
´
ac
¯
diê
,
m
¯
d
˜
a cho m
`
a n
´
o nô
´
i
¯
du
,
.
o
,
c v
´
o
,
i 6
¯
diê
,
m X
1
, X
2
, X
3
, X
4
, X
5
, X
6
. Khi
¯
d
´
o c
´
ac
¯
do
.
an th
,
˘
ang XX
1
15.4. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 4 159
v
`
a XX
2
¯
du
,
.
o
,
c d
.
u
,
ng theo m
.
ôt trong hai c
´
ach sau
¯
dây (th
.
u
,
c ra c
´
o c
´
ach
th
´
u
,
ba nhu
,
ng l
`
a h
.
ê qu
,
a c
,
ua (b) khi ta
¯
dô
,
i ch
,
ı sô
´
)
(a) Nê
´
u X l
`
a
¯
diê
,
m gâ
`
n nhâ
´
t
¯
dê
´
n X
1
v
`
a A
2
, th
`
ı XX
1
< X
1
X
2
v
`
a
XX
2
< X
1
X
2
, ngh
˜
ıa l
`
a trong tam gi
´
ac XX
1
X
2
c
´
o c
.
anh X
1
X
2
l
`
a l
´
o
,
n
nhâ
´
t.
(b) Nê
´
u X
1
gâ
`
n
¯
diê
,
m X nhâ
´
t, c
`
on X gâ
`
n
¯
diê
,
m X
2
nhâ
´
t, th
`
ı
XX
1
< XX
2
< X
1
X
2
ch
´
ung ta c
˜
ung c
´
o c
.
anh X
1
X
2
l
`
a l
´
o
,
n nhâ
´
t trong
tam gi
´
ac XX
1
X
2
Suy ra
\
X
1
XX
2
> 60
0
. Ch
´
u
,
ng minh ho
`
an to
`
an tu
,
o
,
ng t
.
u
,
, ch
´
ung ta
c
˜
ung c
´
o
\
X
2
XX
3
,
\
X
3
XX
4
,
\
X
4
XX
5
,
\
X
5
XX
6
,
\
X
6
XX
1
l
´
o
,
n ho
,
n 60
0
,
¯
diê
`
u
n
`
ay không thê
,
¯
du
,
.
o
,
c v
`
ı tô
,
ng c
´
ac g
´
oc n
`
ay ph
,
ai b
`
˘
ang 360
0
. Nhu
,
v
.
ây,
m
˜
ôi
¯
diê
,
m ch
,
ı nô
´
i
¯
du
,
.
o
,
c nhiê
`
u nhâ
´
t v
´
o
,
i 5
¯
diê
,
m thôi.
.
.
. 4.14. L
`
o
,
i gi
,
ai: Ta chia h
`
ınh tr
`
on th
`
anh 6 h
`
ınh qu
.
at b
`
˘
ang nhau (c
´
o
¯
d
,
ınh t
.
ai tâm h
`
ınh tr
`
on). Khi
¯
d
´
o t
.
ai m
˜
ôi m
.
ôt h
`
ınh qu
.
at, không c
´
o qu
´
a
m
.
ôt
¯
diê
,
m ro
,
i v
`
ao (b
,
o
,
i v
`
ı kho
,
ang c
´
ach gi
˜
u
,
a hai
¯
diê
,
m bâ
´
t k
`
y trong m
.
ôt
h
`
ınh qu
.
at không l
´
o
,
n ho
,
n 1). Nê
´
u t
.
ai m
˜
ôi h
`
ınh qu
.
at c
´
o m
.
ôt
¯
diê
,
m th
`
ı
ta c
´
o thê
,
t
`
ım
¯
du
,
.
o
,
c hai
¯
diê
,
m m
`
a g
´
oc gi
˜
u
,
a c
´
ac b
´
an k
´
ınh vecto
,
c
,
ua
ch
´
ung không l
´
o
,
n ho
,
n 60
0
v
`
a do
¯
d
´
o kho
,
ang c
´
ach gi
˜
u
,
a ch
´
ung không
l
´
o
,
n ho
,
n 1. Do v
.
ây, c
´
o thê
,
ch
.
on không qu
´
a 5
¯
diê
,
m.
.
.
. 4.15. L
`
o
,
i gi
,
ai: Ta thay m
˜
ôi h
`
ınh vuông b
`
˘
ang m
.
ôt h
`
ınh l
´
o
,
n ho
,
n gi
´
o
,
i
h
.
an b
,
o
,
i m
.
ôt
¯
du
,
`
o
,
ng c
´
ach biên c
,
ua h
`
ınh vuông m
.
ôt kho
,
ang
1
2
(
¯
du
,
`
o
,
ng
n
`
ay gô
`
m bô
´
n
¯
do
.
an th
,
˘
ang
¯
do
,
n v
.
i v
`
a bô
´
n cung tr
`
on c
´
o b
´
an k
´
ınh
1
2
).
M
˜
ôi m
.
ôt h
`
ınh nhu
,
thê
´
c
´
o di
.
ên t
´
ıch b
`
˘
ang 3 +
π
4
, c
`
on 120 h
`
ınh
¯
d
˜
a
¯
du
,
.
o
,
c
"viê
`
n ra" s
˜
e ph
,
u m
.
ôt di
.
ên t
´
ıch không qu
´
a 120.(3 +
π
4
) = 360 + 30π.
Ta bao vây biên c
,
ua h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât
¯
d
˜
a cho b
`
˘
ang m
.
ôt d
,
ai c
´
o chiê
`
u
160 Chu
,
o
,
ng 15. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y
r
.
ông
1
2
. Di
.
ên t
´
ıch c
,
ua d
,
ai b
`
˘
ang 44. Nhu
,
v
.
ây, di
.
ên t
´
ıch tô
,
ng c
.
ông
c
,
ua d
,
ai v
`
a tâ
´
t c
,
a c
´
ac h
`
ınh
¯
du
,
.
o
,
c viê
`
n ra b
`
˘
ang 360 + 30π + 44 =
404 + 30π < 404 + 94, 5 < 500, t
´
u
,
c l
`
a b
´
e ho
,
n di
.
ên t
´
ıch c
,
ua h
`
ınh
ch
˜
u
,
nh
.
ât (S = 20.25 = 500). Do
¯
d
´
o, trong h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât c
´
o
¯
diê
,
m O
không b
.
i ph
,
u b
,
o
,
i d
,
ai v
`
a c
´
ac h
`
ınh vuông
¯
d
˜
a
¯
du
,
.
o
,
c viê
`
n ra. Ngh
˜
ıa l
`
a
¯
diê
,
m O c
´
ach bien c
,
ua h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât v
`
a c
´
ach m
.
oi h
`
ınh vuông m
.
ôt
kho
,
ang l
´
o
,
n ho
,
n
1
2
. H
`
ınh tr
`
on b
´
an k
´
ınh
1
2
c
´
o tâm t
.
ai O l
`
a h
`
ınh tr
`
on
câ
`
n t
`
ım.
15.5. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 5
.
.
. 5.11. L
`
o
,
i gi
,
ai: X
´
et m
.
ôt t
.
âp A bâ
´
t k
`
y t
`
u
,
1978 t
.
âp. V
`
ı n
´
o giao v
´
o
,
i
1977 t
.
âp c
`
on l
.
ai, v
`
ı v
.
ây tô
`
n t
.
ai phâ
`
n t
,
u
,
a ∈ A , thu
.
ôc không
´
ıt ho
,
n 50
t
.
âp h
.
o
,
p n
`
ay (th
.
ât v
.
ây nê
´
u m
˜
ôi m
.
ôt t
`
u
,
40 phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua t
.
âp A thu
.
ôc
không nhiê
`
u ho
,
n 49 t
.
âp, th
`
ı tâ
´
t c
,
a c
´
o không nhiê
`
u ho
,
n 40.49 = 1960
t
.
âp kh
´
ac A,
¯
diê
`
u n
`
ay không
¯
d
´
ung). V
.
ây phâ
`
n t
,
u
,
a thu
.
ôc c
´
ac t
.
âp
h
.
o
,
p A, A
1
, . . . , A
50
. Ta s
˜
e ch
´
u
,
ng minh n
´
o s
˜
e thu
.
ôc t
.
âp bâ
´
t k
`
y B t
`
u
,
1978 t
.
âp. Th
.
ât v
.
ây không c
´
o hai t
.
âp n
`
ao t
`
u
,
c
´
ac t
.
âp A, A
1
, . . . , A
50
l
`
a c
´
o phâ
`
n t
,
u
,
chung kh
´
ac v
´
o
,
i a (v
`
ı hai t
.
âp bâ
´
t k
`
y giao nhau ch
,
ı c
´
o
m
.
ôt phâ
`
n t
,
u
,
chung). Gi
,
a s
,
u
,
a ∈ B. Khi
¯
d
´
o t
.
âp B c
´
o v
´
o
,
i m
˜
ôi t
.
âp
A, A
1
, . . . , A
50
m
.
ôt phâ
`
n t
,
u
,
chung kh
´
ac v
´
o
,
i a, suy ra t
.
âp B c
´
o không
´
ıt ho
,
n 51 phâ
`
n t
,
u
,
,
¯
diê
`
u n
`
ay không thê
,
¯
du
,
.
o
,
c. Suy ra phâ
`
n t
,
u
,
a thu
.
ôc
tâ
´
t c
,
a c
´
ac t
.
âp h
.
o
,
p.
.
.
. 5.12. L
`
o
,
i gi
,
ai: M
.
ôt sô
´
chia cho 9 th
`
ı c
´
o c
´
ac phâ
`
n du
,
{0, 1, 2, . . . , 8}.
Theo nguyên l
´
y Dirichlê m
,
o
,
r
.
ông, trong 55 sô
´
ch
.
on ra th
`
ı
´
ıt nhâ
´
t c
´
o
m
.
ôt nh
´
om 7 sô
´
khi chia cho 9 cho c
`
ung phâ
`
n du
,
(nê
´
u ngu
,
.
o
,
c l
.
ai th
`
ı
c
´
ac nh
´
om ch
,
ı c
´
o 6 phâ
`
n t
,
u
,
v
.
ây 6.9=54 m
`
a ta lâ
´
y ra nh
˜
u
,
ng 55 sô
´
).
Ch
´
ung ta k
´
y hi
.
êu c
´
ac sô
´
¯
d
´
o l
`
a a
1
, a
2
, a
3
, . . . , a
7
. V
`
ı a
i +1
≡ a
i
(mod 9),
15.6. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 6 161
nên a
i +1
− a
i
∈ {9, 18, . . .}. Ch
´
ung ta ph
,
ai ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang a
i +1
−
a
i
= 9 v
´
o
,
i m
.
ôt i n
`
ao
¯
d
´
o. Gi
,
a s
,
u
,
ngu
,
.
o
,
c l
.
ai, v
´
o
,
i m
.
oi i, a
i +1
− a
i
≥ 18,
¯
diê
`
u n
`
ay ngh
˜
ıa l
`
a a
7
− a
1
≥ 6.8 = 108. Ðiê
`
u n
`
ay không thê
,
¯
du
,
.
o
,
c v
`
ı
a
7
− a
1
< 100. Nhu
,
v
.
ây gi
˜
u
,
a hai phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua a
1
, a
2
, a
3
, . . . , a
7
c
´
o hai
sô
´
m
`
a hi
.
êu c
,
ua ch
´
ung ph
,
ai b
`
˘
ang 9.
.
.
. 5.13. G
.
o
,
i
´
y: C
´
ach ch
´
u
,
ng minh nhu
,
b
`
ai 5.10.
.
.
. 5.14. L
`
o
,
i gi
,
ai: (B
.
an t
.
u
,
v
˜
e lâ
´
y h
`
ınh ) Ch
´
ung ta xây d
.
u
,
ng lu
,
´
o
,
i gô
`
m
nh
˜
u
,
ng h
`
ınh l
.
uc gi
´
ac c
´
o c
.
anh
√
3
2
. M
˜
ôi h
`
ınh l
.
uc gi
´
ac c
´
o thê
,
ph
,
u b
,
o
,
i
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on v
´
o
,
i b
´
an k
´
ınh
√
3. C
´
o thê
,
t
´
ınh to
´
an
¯
du
,
.
o
,
c sô
´
lu
,
.
o
,
ng l
.
uc
gi
´
ac m
`
a ch
´
ung c
´
o
¯
diê
,
m chung v
´
o
,
i tam gi
´
ac
¯
dê
`
u
¯
d
˜
a cho l
`
a 1 + 2 +
3 + ··· + 10 = 55. V
`
ı 111 = 55 × 2 + 1, nên c
´
o m
.
ôt l
.
uc gi
´
ac trong
lu
,
´
o
,
i trên ch
´
u
,
a
´
ıt nhâ
´
t 3
¯
diê
,
m trong sô
´
111
¯
diê
,
m
¯
d
˜
a ch
.
on. Nhu
,
v
.
ây
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on bao l
.
uc gi
´
ac n
`
ay c
´
o t
´
ınh châ
´
t
¯
d
˜
a nêu.
.
.
. 5.15. L
`
o
,
i gi
,
ai: K
´
y hi
.
êu A
1
, A
2
, . . . , A
k
l
`
a sô
´
lu
,
.
o
,
ng ngu
,
`
o
,
i l
´
o
,
n nhâ
´
t
m
`
a bâ
´
t c
´
u
,
hai ngu
,
`
o
,
i n
`
ao c
˜
ung không quen nhau gi
´
an tiê
´
p. T
`
u
,
¯
diê
`
u
ki
.
ên b
`
ai ra k ≤ 7. M
˜
ôi ngu
,
`
o
,
i c
`
on l
.
ai trong nh
´
om quen gi
´
an tiê
´
p
´
ıt
nhâ
´
t m
.
ôt ngu
,
`
o
,
i trong A
1
, A
2
, . . . , A
k
(tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p ngu
,
.
o
,
c l
.
ai ch
´
ung
ta c
´
o nhiê
`
u ho
,
n k ngu
,
`
o
,
i, m
`
a hai ngu
,
`
o
,
i không quen nhau gi
´
an tiê
´
p).
M
.
ôt trong sô
´
A
1
, A
2
, . . . , A
k
c
´
o
´
ıt nhâ
´
t 20 ngu
,
`
o
,
i quen gi
´
an tiê
´
p, v
`
ı
nê
´
u không
¯
d
´
ung nhu
,
v
.
ây, ch
´
ung ta s
˜
e nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c tô
,
ng sô
´
lu
,
.
o
,
ng ngu
,
`
o
,
i
nhiê
`
u nhâ
´
t l
`
a 7.19 = 133 < 134. C
`
on l
.
ai kh
,
˘
ang
¯
d
.
inh r
`
˘
ang tâ
´
t c
,
a
nh
˜
u
,
ng ngu
,
`
o
,
i quen gi
´
an tiê
´
p qua c
`
ung m
.
ôt ngu
,
`
o
,
i l
`
a quen gi
´
an tiê
´
p.
15.6. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 6
.
.
. 6.11. G
.
o
,
i
´
y: Ðây l
`
a tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p riêng c
,
ua b
`
ai 6.1 v
`
a b
`
ai 6.2.
162 Chu
,
o
,
ng 15. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y
.
.
. 6.12. G
.
o
,
i
´
y: Sô
´
¯
d
˜
a cho l
`
a x
1
, x
2
, x
3
, x
4
v
`
a y
i
= 1 +
1
x
i
, i = 1, 2, 3, 4.
Ch
,
ı câ
`
n ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang hai sô
´
n
`
ao
¯
dâ
´
y trong y
1
, y
2
, y
3
, y
4
th
,
oa m
˜
an
0 ≤
y
i
−y
j
1 + 2y
i
y
j
≤ 2 −
√
3. Phâ
`
n c
`
on l
.
ai tu
,
o
,
ng t
.
u
,
nhu
,
2.6.
.
.
. 6.13. L
`
o
,
i gi
,
ai: V
´
o
,
i
¯
d
.
inh l
´
y Fecma ch
´
u
,
ng minh
¯
du
,
.
o
,
c r
`
˘
ang nê
´
u m
.
ôt
sô
´
nguyên tô
´
p c
´
o d
.
ang 4k + 3 chia hê
´
t cho tô
,
ng a
2
+ b
2
,
,
o
,
¯
dây
a, b l
`
a nh
˜
u
,
ng sô
´
nguyên, th
`
ı p chia hê
´
t cho t
`
u
,
ng sô
´
a v
`
a b. H
˜
ay
d
`
ung c
´
ac
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c sau 2 = 1
2
+ 1
2
, k
2
(a
2
+ b
2
) = (ka)
2
+ (kb)
2
,
(a
2
1
+ b
2
1
)(a
2
2
+ b
2
2
) = (a
1
a
2
+ b
1
b
2
)
2
+ (a
1
b
2
− a
2
b
1
)
2
.
.
.
. 6.14. L
`
o
,
i gi
,
ai: Cho tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng m
˜
ôi sô
´
v
´
o
,
i c
˘
an b
.
âc hai c
,
ua ch
´
ınh
n
´
o. Nhu
,
v
.
ây khi phân t
´
ıch ra m
˜
ôi sô
´
tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i c
˘
an b
.
âc hai c
,
ua
sô
´
l
,
e. M
`
a sô
´
tâ
´
t c
,
a c
´
ac sô
´
l
,
e nh
,
o ho
,
n 2k l
`
a k. V
.
ây theo nguyên l
´
y
Ðirichlê c
´
o hai sô
´
trong k + 1 sô
´
c
´
o c
`
ung phâ
`
n c
˘
an sô
´
l
,
e, do
¯
d
´
o t
,
y sô
´
c
,
ua n
´
o s
˜
e l
`
a l
˜
uy th
`
u
,
a c
,
ua 2.
.
.
. 6.15. L
`
o
,
i gi
,
ai: Nê
´
u gi
˜
u
,
a c
´
ac sô
´
¯
d
˜
a cho c
´
o n sô
´
m
`
a khi chia cho n
ch
´
ung cho nh
˜
u
,
ng phâ
`
n du
,
kh
´
ac nhau. Tô
,
ng c
,
ua ch
´
ung s
˜
e chia hê
´
t
cho n, v
`
ı n l
`
a sô
´
l
,
e. Trong tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p ngu
,
.
o
,
c l
.
ai,
´
ap d
.
ung nguyên l
´
y
Ðirichlê.
15.7. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 7
.
.
. 7.11. L
`
o
,
i gi
,
ai: Ch
´
ung ta thâ
´
y r
`
˘
ang m
.
oi sô
´
nguyên tô
´
th
.
u
,
c s
.
u
,
l
´
o
,
n
ho
,
n 3
¯
dê
`
u c
´
o d
.
ang 6n + 1 ho
.
˘
ac 6n + 5. V
`
ı ba sô
´
nguyên tô
´
l
´
o
,
n ho
,
n
3 l
.
âp th
`
anh m
.
ôt câ
´
p sô
´
c
.
ông, nên theo nguyên l
´
y Ðirichlê ph
,
ai c
´
o
´
ıt
nhâ
´
t hai sô
´
c
`
ung d
.
ang, t
´
u
,
c l
`
a hi
.
êu hai sô
´
¯
d
´
o chia hê
´
t cho 6. G
.
oi d l
`
a
công sai c
,
ua câ
´
p sô
´
c
.
ông, th
`
ı hi
.
êu c
,
ua hai sô
´
â
´
y ho
.
˘
ac l
`
a d, ho
.
˘
ac l
`
a
15.7. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 7 163
2d. Nhu
,
thê
´
ho
.
˘
ac l
`
a d|6 ho
.
˘
ac 2d|6. Ch
´
u
´
y công sai d l
`
a hi
.
êu c
,
ua hai
sô
´
nguyên tô
´
l
´
o
,
n ho
,
n 3, nên n
´
o l
`
a sô
´
ch
˜
˘
an. Nhu
,
thê
´
v
`
ı d|3 v
`
a d|2 suy
ra d|6.
.
.
. 7.12. L
`
o
,
i gi
,
ai: Ta luôn c
´
o lim
m→+∞
10
m
1998
= ∞. N
´
oi c
´
ach kh
´
ac tô
`
n t
.
ai
sô
´
nguyên du
,
o
,
ng m
0
sao cho ∀m ≥ m
0
th
`
ı
10
m
1998
> 9
1998
. X
´
et m
.
ôt
sô
´
nguyên du
,
o
,
ng n bâ
´
t k
`
y v
`
a n c
´
o k
0
ch
˜
u
,
sô
´
n = a
1
a
2
. . . a
k
0
. Tru
,
`
o
,
ng
h
.
o
,
p n
`
ay ta c
˜
ung ch
.
on
¯
du
,
.
o
,
c
10
N
> (9k
0
)
1998
v
`
a N > m
0
(15.1)
(c
.
u thê
,
c
´
o thê
,
lâ
´
y N = max{[1998lg(9k
0
)] + 1, m
0
+ 1})
- Ch
´
ung ta s
˜
e ch
´
u
,
ng minh
u
i
( n) < 10
N
v
´
o
,
i m
.
oi i = 1, 2, . . . (15.2)
Th
.
ât v
.
ây, ta s
˜
e ch
´
u
,
ng minh b
`
˘
ang qui n
.
ap.
1) V
´
o
,
i i = 1 ta c
´
o u
1
( n) = (k
1
+ ··· + k
0
)
1998
≤ (9k
0
)
1998
< 10
N
(do (15.1)). V
.
ây (15.2)
¯
d
´
ung khi i = 1.
2. Gi
,
a s
,
u
,
(15.2)
¯
d
´
ung v
´
o
,
i i = k, ngh
˜
ıa l
`
a u
k
( n) < 10
N
. Ta c
´
o
u
k+1
( n) = f (u
k
( n)). Theo gi
,
a thiê
´
t qui n
.
ap th
`
ı u
k
( n) < 10
N
. do
¯
d
´
o
u
k
( n) c
´
o không qu
´
a N ch
˜
u
,
sô
´
, t
´
u
,
c l
`
a u
k
( n) c
´
o d
.
ang
u
k
( n) = a
1
a
2
. . . a
p
v
´
o
,
i p ≤ N
Theo
¯
d
.
inh ngh
˜
ıa th
`
ı
u
k+1
( n) = (a
1
+ a
2
+ ··· + a
p
)
1998
≤ (9N)
1998
. (15.3)
Do N > m
0
v
.
ây t
`
u
,
(1) suy ra
10
N
> (9N)
1998
. (15.4)
T
`
u
,
(15.3) v
`
a (15.4) suy ra
u
k+1
( n) < 10
N
.
164 Chu
,
o
,
ng 15. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y
V
.
ây (15.2)
¯
d
´
ung v
´
o
,
i i = k + 1. Theo nguyên l
´
y qui n
.
ap th
`
ı (15.2)
¯
d
´
ung v
´
o
,
i m
.
oi i = 1, 2, . . ..
- D
˜
ay vô h
.
an c
´
ac sô
´
nguyên du
,
o
,
ng {u
i
( n)}, i = 1, 2, . . . b
.
i ch
.
˘
an
b
,
o
,
i 10
N
nên theo nguyên l
´
y Ðirichlê ph
,
ai tô
`
n t
.
ai hai ch
,
ı sô
´
p < q
sao cho
u
p
( n) = u
q
( n) =⇒ u
p+k
( n) = u
q+k
( n), ∀k
N
´
oi c
´
ach kh
´
ac d
˜
ay u
i
( n), i = p, p + 1, .. l
`
a d
˜
ay tuâ
`
n ho
`
an v
´
o
,
i chu k
`
y
u
p
( n), u
p+1
( n), . . . , u
p+q+1
( n).
.
.
. 7.13. L
`
o
,
i gi
,
ai: Cho a l
`
a m
.
ôt sô
´
tu
`
y
´
y, th
`
ı {a} = a −[a] g
.
oi l
`
a phâ
`
n
l
,
e c
,
ua sô
´
a,
,
o
,
¯
dây k
´
y hi
.
êu [a] l
`
a phâ
`
n nguyên c
,
ua sô
´
a. Xây d
.
u
,
ng d
˜
ay
m
´
o
,
i nhu
,
sau
v
1
= {u
1
}
v
2
= {u
1
+ u
2
}
. . . .
v
n
= {u
1
+ u
2
+ ··· + u
n
}
R
˜
o r
`
ang v
´
o
,
i m
.
oi k = 1, 2, . . . , n ta c
´
o 0 ≤ v
k
< 1.
Chia [0, 1) ra l
`
am n + 1 t
.
âp h
.
o
,
p nhu
,
sau
∆
0
= [0,
1
n + 1
); ∆
1
= [
1
n + 1
,
2
n + 1
); . . . ; ∆
n
= [
n
n + 1
, 1)
Ch
,
ı c
´
o c
´
ac kh
,
a n
˘
ang sau xâ
,
y ra
1. Ho
.
˘
ac tô
`
n t
.
ai k m
`
a v
k
∈ ∆
0
∪∆
n+1
:
- Nê
´
u v
k
∈ ∆
0
, t
´
u
,
c l
`
a 0 ≤ {u
1
+ u
2
+ ··· + u
k
} <
1
n + 1
. Ð
.
˘
at
S
k
= u
1
+ u
2
+ ··· + u
k
:⇒ 0 ≤ {S} <
1
n + 1
⇔ [ S] ≤ S < [S] +
1
n + 1
. (15.5)
15.7. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 7 165
V
.
ây [S] l
`
a sô
´
nguyên gâ
`
n S nhâ
´
t, nên t
`
u
,
(15.5) suy ra
¯
diê
`
u ph
,
ai
ch
´
u
,
ng minh.
-Nê
´
u v
k
∈ ∆
n
t
´
u
,
c l
`
a
n
n + 1
≤ {u
1
+ u
2
+ ··· + u
k
} < 1 hay l
`
a
n
n + 1
≤ {S} < 1 ⇔
n
n + 1
≤ S −[ S] < 1 hay l
`
a
n
n + 1
+ [S ] ≤ S < [S] + 1. (15.6)
T
`
u
,
(15.6) suy ra [S] + 1 l
`
a sô
´
nguyên gâ
`
n S nhâ
´
t v
`
a kh
´
ac n
´
o m
.
ôt
lu
,
.
o
,
ng ≤ [S] + 1 − ([S] +
n
n + 1
) =
1
n + 1
.
2. Ho
.
˘
ac l
`
a c
´
ac sô
´
v
1
, v
2
, . . . , v
n
6∈ ∆
0
∪ ∆
n
, v
.
ây v
1
, v
2
, . . . , v
n
∈
∪
n−1
i =1
∆
i
. Theo nguyên l
´
y Ðirichlê tô
`
n t
.
ai v
k
, v
l
, k > l, thu
.
ôc c
`
ung m
.
ôt
t
.
âp h
.
o
,
p ∆
j
n
`
ao
¯
d
´
o, 1 ≤ j ≤ n −1.
Ðiê
`
u
¯
d
´
o c
´
o ngh
˜
ıa l
`
a
j
n + 1
≤ {u
1
+ u
2
+ ··· + u
l
} <
j + 1
n + 1
j
n + 1
≤ {u
1
+ u
2
+ ··· + u
k
} <
j + 1
n + 1
Ð
.
˘
at S
k
= u
1
+ u
2
+ ··· + u
k
v
`
a S
l
= u
1
+ u
2
+ ··· + u
l
ta c
´
o
j
n + 1
≤ S
k
−[S
k
] <
j + 1
n + 1
⇒ [ S
k
] +
j
n + 1
≤ S
k
< [S
k
] +
j + 1
n + 1
j
n + 1
≤ S
l
−[S
l
] <
j + 1
n + 1
⇒ [ S
l
] +
j
n + 1
≤ S
l
< [S
l
] +
j + 1
n + 1
[S
k
] −[S
l
] −
1
n + 1
≤ S
k
−S
l
≤ [S
k
] −[S
l
] +
1
n + 1
[S
k
] −[S
l
] −
1
n + 1
≤ u
l+1
+ u
l+2
+ ··· + u
l
≤ [S
k
] −[S
l
] +
1
n + 1
Nhu
,
v
.
ây d
˜
ay con u
l+1
+ u
l+2
+ ··· + u
l
c
´
o sô
´
nguyên gâ
`
n nhâ
´
t l
`
a
[S
k
] −[S
l
] v
´
o
,
i
¯
d
.
ô l
.
êch không qu
´
a
1
n + 1
.
T
´
om l
.
ai, trong m
.
oi tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p ta
¯
dê
`
u c
´
o tô
`
n t
.
ai d
˜
ay con tho
,
a
m
˜
an yêu câ
`
u
¯
dê
`
ra.
166 Chu
,
o
,
ng 15. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y
.
.
. 7.14. L
`
o
,
i gi
,
ai: X
´
et d
˜
ây sô
´
p
1
= 1a = a, p
2
= 2a, p
3
= 3a,. . . ,
p
m−1
= (m − 1)a. K
´
y hi
.
êu q
1
, q
2
, . . . , q
m−1
l
`
a c
´
ac sô
´
du
,
tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng
c
,
ua d
˜
ây trên chia cho m. V
`
ı theo
¯
diê
`
u ki
.
ên b
`
ai to
´
an a v
`
a m l
`
a nguyên
tô
´
c
`
ung nhau, th
`
ı tâ
´
t c
,
a c
´
ac sô
´
du
,
trên
¯
dê
`
u kh
´
ac không. Nê
´
u m
.
ôt
trong c
´
ac sô
´
du
,
b
`
˘
ang 1 th
`
ı b
`
ai to
´
an
¯
d
˜
a
¯
du
,
.
o
,
c gi
,
ai. Nê
´
u tâ
´
t c
,
a c
´
ac sô
´
du
,
¯
dê
`
u kh
´
ac 1. Khi
¯
d
´
o m
˜
ôi sô
´
trong m − 1 sô
´
du
,
q
1
, q
2
, . . . , q
m
− 1
b
`
˘
ang m
.
ôt trong m − 2 sô
´
2, 3, . . . , m − 1. Theo nguyên l
´
y Ðirichlê
c
´
o
´
ıt nhâ
´
t hai sô
´
trong q
1
, q
2
, . . . , q
m−1
b
`
˘
ang nhau, ch
,
˘
ang h
.
an nhu
,
q
i
= q
j
, i < j. T
`
u
,
¯
d
´
o suy ra sô
´
(j − i)a = p
j
− p
i
chia hê
´
t cho m,
¯
diê
`
u n
`
ay không thê
,
xâ
,
y ra. S
.
u
,
vô l
´
y n
`
ay do gi
,
a thiê
´
t không m
.
ôt sô
´
du
,
trong q
1
, q
2
, . . . , q
m−1
b
`
˘
ang 1, do
¯
d
´
o suy ra
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt trong c
´
ac
sô
´
du
,
ph
,
ai b
`
˘
ang 1.
15.8. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 8
.
.
. 8.11. L
`
o
,
i gi
,
ai: Tru
,
´
o
,
c tiên ch
´
ung ta s
˜
e ch
´
u
,
ng minh a + b = c. T
`
u
,
bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c 0 ≤ an −[an] < 1 suy ra |
[an]
n
−a| <
1
n
v
´
o
,
i m
.
oi n ≥ 1
sao cho lim
n→∞
[an]
n
= a. Ch
´
ung ta c
˜
ung c
´
o bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c tu
,
o
,
ng t
.
u
,
cho b v
`
a c. Ch
´
ung ta lâ
´
y gi
´
o
,
i h
.
an c
,
ua
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c
[an]
n
+
[b n]
n
=
[c n]
n
v
`
a nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c a + b = c.
Ð
.
˘
at a = [a] + α, b = [b] + β
,
o
,
¯
dây 0 ≤ α < 1, 0 ≤ β < 1. Khi
¯
d
´
o
[an] + [bn] = [([a] + α)n ] + [([b] + β)n] = [a]n + [b]n + [ αn] + [βn],
[(a + b)n] = [([a] + [b] + α + β)n] = [a]n + [b]n + [(α + β)n].
Nhu
,
v
.
ây b
`
ai to
´
an c
´
o thê
,
¯
d
.
˘
at l
.
ai nhu
,
sau: Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang nê
´
u a
v
`
a b l
`
a nh
˜
u
,
ng sô
´
trong kho
,
ang [0, 1) m
`
a ch
´
ung tho
,
a m
˜
an
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c
[an] + [bn] = [(a + b)n] (15.7)
v
´
o
,
i m
.
oi sô
´
t
.
u
,
nhiên n, th
`
ı
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt trong hai sô
´
¯
d
´
o b
`
˘
ang 0.
15.8. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 8 167
Gi
,
a s
,
u
,
a 6= 0 v
`
a b 6= 0. Ch
´
ung ta s
˜
e ch
´
u
,
ng minh tô
`
n t
.
ai sô
´
t
.
u
,
nhiên n sao cho
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c (15.7) không
¯
d
´
ung. Không mâ
´
t t
´
ınh tô
,
ng
qu
´
at ch
´
ung ta c
´
o thê
,
gi
,
a thiê
´
t r
`
˘
ang a + b < 1, v
`
ı nê
´
u ngu
,
.
o
,
c l
.
ai th
`
ı
(15.7) s
˜
e không
¯
d
´
ung th
.
âm ch
´
ı v
´
o
,
i n = 1.
a) Ch
´
ung ta x
´
et tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p a v
`
a b l
`
a nh
˜
u
,
ng sô
´
h
˜
u
,
u t
,
y. Khi
¯
d
´
o c
´
o
thê
,
biê
,
u di
˜
ên ch
´
ung du
,
´
o
,
i d
.
ang a =
A
N
,
B
N
,
,
o
,
¯
dây A, B v
`
a N l
`
a nh
˜
u
,
ng
sô
´
nguyên v
`
a tho
,
a m
˜
an 0 < A < N, 0 < B < N. D
˜
ê d
`
ang kiê
,
m tra
r
`
˘
ang (15.7) không tho
,
a m
˜
an v
´
o
,
i n = N − 1. Th
.
ât v
.
ây,
[a(N −1)] = [aN − a] = [A − a] = A + [−a] = A −1,
[b (N − 1)] = [bN −b] = [B − b] = B + [−b] = B −1,
[(a + b)(N −1)] = [A + B − (a + b)] = A + B − [a + b]
= A + B −1
Nhu
,
v
.
ây [a(N − 1)] + [b(N −1)] 6= [(a + b) (N − 1)].
b) Ch
´
ung ta x
´
et tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p m
.
ôt trong c
´
ac sô
´
a v
`
a b l
`
a sô
´
vô t
,
y.
Ch
´
ung ta s
˜
e ch
,
ı ra r
`
˘
ang c
´
o m
.
ôt sô
´
t
.
u
,
nhiên n, m
`
a
{an} + {bn} ≥ 1. (15.8)
Khi
¯
d
´
o
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c (15.8) s
˜
e suy ra không thê
,
c
´
o (15.7).
Gi
,
a s
,
u
,
a l
`
a m
.
ôt sô
´
vô t
,
y, theo b
`
ai 8.1 t
.
âp h
.
o
,
p nh
˜
u
,
ng sô
´
{an}, n =
1, 2, . . . l
`
a tr
`
u m
.
ât trong kho
,
ang (0, 1). K
´
y hi
.
êu k l
`
a sô
´
t
.
u
,
nhiên l
´
o
,
n
nhâ
´
t m
`
a a + kb < 1. Khi
¯
d
´
o tô
`
n t
.
ai sô
´
t
.
u
,
nhiên n m
`
a
a + kb < {an} < 1. (15.9)
Nê
´
u {bn} ≥ b, th
`
ı t
`
u
,
¯
d
.
inh ngh
˜
ıa c
,
ua k suy ra
{an} + {bn} > (a + kb) + b = a + (k + 1)b ≥ 1
hay n
´
oi c
´
ach kh
´
ac tô
`
n t
.
ai sô
´
t
.
u
,
nhiên n m
`
a
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c (15.8)
¯
d
´
ung.
168 Chu
,
o
,
ng 15. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y
Nê
´
u {bn} < b, th
`
ı v
´
o
,
i vi
.
êc thêm 1 − b v
`
ao c
´
ac vê
´
c
,
ua bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang
th
´
u
,
c 0 ≤ {bn} < b, ch
´
ung ta nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c
1 − b ≤ b(n −1) − [bn] + 1 < 1
Ðiê
`
u
¯
d
´
o c
´
o ngh
˜
ıa l
`
a [b(n − 1)] = [bn] − 1 v
`
a {b( n − 1)} ≥ 1 − b.
Ngo
`
ai ra, tu
,
o
,
ng t
.
u
,
t
`
u
,
(15.9) suy ra
kb < a(n −1) − [an] < 1 − a < 1
v
`
ı thê
´
[a(n −1)] = [an] v
`
a {a(n −1)} > kb. Nhu
,
ng khi
¯
d
´
o
{a(n −1)} + {b(n −1)} > kb + (1 −b) = 1 + (k −1)b ≥ 1,
v
`
ı k ≥ 1. Trong tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p n
`
ay (15.8)
¯
d
´
ung cho sô
´
t
.
u
,
nhiên n −1.
Nhu
,
v
.
ây d
˜
ân
¯
dê
´
n vô l
´
y khi m
.
ôt trong c
´
ac sô
´
a v
`
a b l
`
a sô
´
vô t
,
y.
.
.
. 8.12. G
.
o
,
i
´
y: Ch
´
u
´
y r
`
˘
ang {n} ch
,
ı c
´
o thê
,
nh
.
ân h
˜
u
,
u h
.
an gi
´
a tr
.
i.
.
.
. 8.13. G
.
o
,
i
´
y: L
´
y lu
.
ân tu
,
o
,
ng t
.
u
,
nhu
,
8.4.
.
.
. 8.14. G
.
o
,
i
´
y: X
´
et c
´
ac sô
´
c
´
o d
.
ang n = 2k
2
v
`
a
´
ap d
.
ung 8.4.
15.9. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 9
.
.
. 9.11. G
.
o
,
i
´
y: X
´
et c
´
ac sô
´
kx − [kx](k = 0, 1, 2, . . . , n) v
`
a sô
´
1, chia
¯
do
.
an [0,1] ra n + 1 phâ
`
n, phâ
`
n c
`
on l
.
ai
´
ap d
.
ung phu
,
o
,
ng ph
´
ap
¯
do
.
an
n
`
ay.
.
.
. 9.12. G
.
o
,
i
´
y: V
´
o
,
i m
˜
ôi c
´
ach ch
.
on nh
˜
u
,
ng sô
´
q
1
, q
2
, . . . q
n
tô
`
n t
.
ai sô
´
nguyên p, v
´
o
,
i n
´
o 0 ≤ q
1
x
1
+ q
2
x
2
+ ··· + q
m
x
m
− p < 1. Bây gi
`
o
,
i
chia
¯
do
.
an [0,1] ra (n + 1)
m
¯
do
.
an con b
`
˘
ang nhau.
15.10. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 10 169
.
.
. 9.13. G
.
o
,
i
´
y: H
˜
ay x
´
et hai tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p
√
2 −
p
q
>
√
3 −
√
2 v
`
a
√
2 −
p
q
≤
√
3 −
√
2
.
.
. 9.14. G
.
o
,
i
´
y: Tu
,
o
,
ng t
.
u
,
b
`
ai trên.
.
.
. 9.15. G
.
o
,
i
´
y: Gi
,
a thiê
´
t v
´
o
,
i m
.
oi p v
`
a q th
,
oa m
˜
an
|mp
2
+ npq + sq
2
| ≥ 1.
15.10. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 10
.
.
. 10.11. L
`
o
,
i gi
,
ai: Ðây l
`
a s
.
u
,
tô
,
ng qu
´
at h
´
oa b
`
ai 10.3. C
´
ach ch
´
u
,
ng
minh ho
`
an to
`
an tu
,
o
,
ng t
.
u
,
. Ch
´
ung ta c
˜
ung t
.
ao ra lu
,
´
o
,
i v
´
o
,
i c
´
ac h
`
ınh
vuông c
´
o di
.
ên t
´
ıch 1. Sau
¯
d
´
o lâ
´
y m
.
ôt h
`
ınh vuông l
`
am gô
´
c rô
`
i t
.
inh
tiê
´
n c
´
ac h
`
ınh vuông c
´
o ch
´
u
,
a c
´
ac m
,
anh c
,
ua A vê
`
h
`
ınh vuông gô
´
c.
Nhu
,
v
.
ây tô
,
ng di
.
ên t
´
ıch nh
˜
u
,
ng phâ
`
n t
.
inh tiê
´
n c
,
ua A s
˜
e l
´
o
,
n ho
,
n n.
Theo nguyên l
´
y Ðirichlê m
,
o
,
r
.
ông cho di
.
ên t
´
ıch suy ra c
´
o
´
ıt nhâ
´
t
n + 1 trong sô
´
nh
˜
u
,
ng phâ
`
n c
,
ua A
¯
d
˜
a t
.
inh tiê
´
n t
´
o
,
i h
`
ınh vuông gô
´
c
c
´
o
¯
diê
,
m chung (x
0
, y
0
). Nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m t
`
u
,
c
´
ac h
`
ınh vuông nh
,
o ban
¯
dâ
`
u
t
.
inh tiê
´
n
¯
dê
´
n
¯
diê
,
m n
`
ay c
´
o to
.
a
¯
d
.
ô l
`
a (x
i
, y
i
) (i = 1, 2, . . . , n + 1), m
`
a
x
i
− x
j
v
`
a y
i
−y
j
(i, j = 1, 2, . . . , n + 1) l
`
a nh
˜
u
,
ng sô
´
nguyên.
.
.
. 10.12. L
`
o
,
i gi
,
ai: Ch
´
ung ta x
´
et h
`
ınh vuông V, m
`
a n
´
o ch
´
u
,
a bê
`
m
.
˘
at A
v
`
a c
´
o c
.
anh v
´
o
,
i
¯
d
.
ô d
`
ai n nguyên. Ð
.
˘
at B = V\A. Ch
´
ung ta thâ
´
y ngay
S(V) = n
2
v
`
a S(A) < k, do
¯
d
´
o S(B) > n
2
− k . Bây gi
`
o
,
´
ap d
.
ung b
`
ai
10.11. V
`
ı thê
´
B c
´
o thê
,
t
.
inh tiê
´
n sao cho n
´
o ch
´
u
,
a
´
ıt nhâ
´
t n
2
− k + 1
¯
diê
,
m v
´
o
,
i to
.
a
¯
d
.
ô nguyên. K
´
y hi
.
êu A
1
, V
1
, B
1
l
`
a c
´
ac
,
anh c
,
ua ph
´
ep t
.
inh
tiê
´
n trên c
,
ua A, V, B tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng. R
˜
o r
`
ang B
1
= V
1
\A
1
. Ch
´
ung ta s
˜
e
ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang A
1
ch
´
u
,
a nhiê
`
u nhâ
´
t k −1
¯
diê
,
m v
´
o
,
i to
.
a
¯
d
.
ô nguyên.
170 Chu
,
o
,
ng 15. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y
Th
.
ât v
.
ây, Gi
,
a s
,
u
,
ngu
,
.
o
,
c l
.
ai ch
´
ung ta c
´
o k
¯
diê
,
m v
´
o
,
i to
.
a
¯
d
.
ô nguyên
trong A
1
. V
`
ı theo c
´
ach d
.
u
,
ng trên B
1
ch
´
u
,
a
´
ıt nhâ
´
t n
2
− k + 1
¯
diê
,
m
trong v
´
o
,
i to
.
a
¯
d
.
ô nguyên v
`
a B
1
⊂ V
1
, A
1
⊂ V
1
, A
1
∩ B
1
= ∅, Khi
¯
d
´
o
h
`
ınh vuông V
1
ch
´
u
,
a
´
ıt nhâ
´
t n
2
+ 1
¯
diê
,
m v
´
o
,
i to
.
a
¯
d
.
ô nguyên,
¯
diê
`
u n
`
ay
không thê
,
xâ
,
y ra, d
˜
ân
¯
dê
´
n vô l
´
y.
.
.
. 10.13. L
`
o
,
i gi
,
ai: C
˜
ung nhu
,
b
`
ai 10.5 t
´
ac d
.
ung lên A ph
´
ep v
.
i t
.
u
,
v
´
o
,
i
tâm t
.
ai gô
´
c t
.
a
¯
d
.
ô v
`
a h
.
ê sô
´
1
2
, ch
´
ung ta nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c t
.
âp h
.
o
,
p m
´
o
,
i A
0
.
V
`
ı S(A) > 4n nên S(A
0
) > n. Theo nguyên l
´
y Ðirichlê m
,
o
,
r
.
ông
cho di
.
ên t
´
ıch A
0
ch
´
u
,
a
´
ıt nhâ
´
t n + 1
¯
diê
,
m kh
´
ac nhau (x
i
, y
i
) (i =
1, 2, . . . , n + 1) m
`
a x
i
− x
j
v
`
a y
i
−y
j
l
`
a nh
˜
u
,
ng sô
´
nguyên.
Ch
´
ung ta x
´
et
¯
da gi
´
ac lô
`
i nh
,
o nhâ
´
t ch
´
u
,
a tâ
´
t c
,
a c
´
ac
¯
diê
,
m trên. D
˜
ê
d
`
ang thâ
´
y r
`
˘
ang m
˜
ôi
¯
d
,
ınh c
,
ua
¯
da gi
´
ac l
`
a m
.
ôt trong c
´
ac
¯
diê
,
m (x
i
, y
i
).
Nh
˜
u
,
ng
¯
d
,
ınh c
,
ua
¯
da gi
´
ac không thu
.
ôc trong
¯
do
.
an n
`
ao m
`
a hai
¯
dâ
`
u l
`
a
nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m n
`
˘
am trong
¯
da gi
´
ac. V
`
ı thê
´
trong nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m (x
i
, y
i
) tô
`
n
t
.
ai m
.
ôt
¯
diê
,
m m
`
a không n
`
˘
am trong
¯
do
.
an th
,
˘
ang nô
´
i hai
¯
diê
,
m trong
t
.
âp h
.
o
,
p
¯
diê
,
m
¯
d
˜
a ch
.
on. Gi
,
a s
,
u
,
¯
diê
,
m
¯
d
´
o l
`
a (x
1
, y
1
). C
˜
ung theo b
`
ai
10.5 cho ta n
¯
diê
,
m kh
´
ac nhau v
`
a kh
´
ac
¯
diê
,
m gô
´
c to
.
a
¯
d
.
ô, v
´
o
,
i to
.
a
¯
d
.
ô
nguyên (x
i
− x
1
, y
i
− y
1
), i = 2, 3, . . . , n + 1,
¯
dê
`
u n
`
˘
am trong A. V
`
ı
t
´
ınh
¯
dô
´
i x
´
u
,
ng nên c
´
ac
¯
diê
,
m (x
1
− x
i
, y
1
− y
i
), i = 2, 3, . . . , n + 1,
c
˜
ung thu
.
ôc A.
Ch
´
ung ta s
˜
e ch
´
u
,
ng minh nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m x
´
ac
¯
d
.
inh theo c
´
ach trên l
`
a
kh
´
ac nhau t
`
u
,
ng
¯
dôi m
.
ô t. Th
.
ât v
.
ây, gi
,
a s
,
u
,
ngu
,
.
o
,
c l
.
ai ch
´
ung ta c
´
o
(x
i
− x
1
, y
i
−y
1
) = (x
1
− x
j
, y
1
−y
j
)
v
´
o
,
i hai ch
,
ı sô
´
n
`
ao
¯
d
´
o i, j m
`
a i, j = 2, 3, . . . , n + 1. V
`
ı v
.
ây x
1
=
1
2
(x
i
+
x
j
) v
`
a y
1
=
1
2
( y
i
+ y
j
). Nê
´
u i = j th
`
ı (x
1
, y
1
) = (x
j
, y
j
), vô l
´
y v
`
ı
15.11. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 11 171
1 6= j. Nê
´
u i 6= j, th
`
ı (x
1
, y
1
) l
`
a trung
¯
diê
,
m c
,
ua
¯
do
.
an th
,
˘
ang nô
´
i hai
¯
diê
,
m (x
i
, y
i
) v
`
a (x
j
, y
j
),
¯
diê
`
u n
`
ay không thê
,
¯
du
,
.
o
,
c theo c
´
ach ch
.
on.
Ch
´
u
,
ng minh trên ch
,
ı ra r
`
˘
ang A ch
´
u
,
a
´
ıt nhâ
´
t 2n
¯
diê
,
m kh
´
ac nhau
v
`
a kh
´
ac gô
´
c to
.
a
¯
d
.
ô, c
´
o to
.
a
¯
d
.
ô nguyên. Nhu
,
ng
¯
diê
,
m gô
´
c to
.
a
¯
d
.
ô c
˜
ung
n
`
˘
am trong t
.
âp A v
`
a c
´
o to
.
a
¯
d
.
ô nguyên, suy ra kê
´
t lu
.
ân c
,
ua b
`
ai to
´
an.
.
.
. 10.14. G
.
o
,
i
´
y:
´
Ap d
.
ung b
`
ai t
.
âp 10.13.
.
.
. 10.15. G
.
o
,
i
´
y: C
´
ach ch
´
u
,
ng minh tu
,
o
,
ng t
.
u
,
10.9.
15.11. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 11
.
.
. 11.11. a) T
`
u
,
b
`
ai 11.3 suy ra 6 = 9 − (S
12
+ S
23
+ S
13
) + S
123
, t
´
u
,
c
l
`
a S
12
+ S
23
+ S
13
= 3 + S
123
≥ 3. Do
¯
d
´
o m
.
ôt trong c
´
ac sô
´
S
12
, S
23
, S
13
không nh
,
o ho
,
n 1.
b) L
`
o
,
i gi
,
ai: T
`
u
,
b
`
ai 11.3 suy ra 5 ≥ 9 − M
2
, t
´
u
,
c l
`
a M
2
≥ 4. B
,
o
,
i v
`
ı
t
`
u
,
9
¯
da gi
´
ac c
´
o thê
,
t
.
ao
¯
du
,
.
o
,
c 9.
8
2
= 36 c
.
˘
ap, di
.
ên t
´
ıch phâ
`
n chung c
,
ua
m
.
ôt sô
´
c
´
ac c
.
˘
ap
¯
d
´
o không nh
,
o ho
,
n
M
2
36
≥
1
9
.
.
.
. 11.12. L
`
o
,
i gi
,
ai: G
.
oi M
1
, M
2
, . . . , M
6
l
`
a 6
¯
diê
,
m
¯
d
˜
a cho. Trong m
˜
ôi
tam gi
´
ac M
i
M
j
M
k
ta tô c
.
anh l
´
o
,
n nhâ
´
t b
`
˘
ang mâ
`
u
¯
d
,
o. Kê
´
t qu
,
a s
˜
e l
`
a
m
.
ôt
¯
do
.
an th
,
˘
ang M
r
M
s
l
`
a
¯
d
,
o c
`
on c
´
ac c
.
anh kh
´
ac s
˜
e không
¯
d
,
o. Ch
,
ı câ
`
n
ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang tô
`
n t
.
ai m
.
ôt tam gi
´
ac c
´
o
¯
d
,
ınh l
`
a c
´
ac
¯
diê
,
m
¯
d
˜
a cho v
`
a
ba c
.
anh
¯
du
,
.
o
,
c tô mâ
`
u
¯
d
,
o. Th
.
ât v
.
ây, c
.
anh l
´
o
,
n nhâ
´
t c
,
ua tam gi
´
ac nhu
,
thê
´
¯
dô
`
ng th
`
o
,
i l
`
a c
.
anh nh
,
o nhâ
´
t c
,
ua tam gi
´
ac kh
´
ac v
`
ı n
´
o
¯
du
,
.
o
,
c tô mâ
`
u
¯
d
,
o. T
`
u
,
m
˜
ôi
¯
diê
,
m
¯
d
˜
a cho xuâ
´
t ph
´
at 5
¯
do
.
an th
,
˘
ang nô
´
i n
´
o v
´
o
,
i c
´
ac
¯
diê
,
m
c
`
on l
.
ai. V
.
ây ho
.
˘
ac
´
ıt nhâ
´
t c
´
o 3 trong nh
˜
u
,
ng
¯
do
.
an th
,
˘
ang n
`
ay
¯
du
,
.
o
,
c tô
mâ
`
u
¯
d
,
o, ho
.
˘
ac
´
ıt nhâ
´
t c
´
o 3
¯
do
.
an v
˜
ân không
¯
du
,
.
o
,
c tô mâ
`
u
¯
d
,
o.
172 Chu
,
o
,
ng 15. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y
Nê
´
u t
`
u
,
¯
diê
,
m M
1
xuâ
´
t ph
´
at 3
¯
do
.
an
¯
du
,
.
o
,
c tô mâ
`
u
¯
d
,
o (ch
,
˘
ang h
.
an
M
1
M
2
, M
1
M
3
, M
1
M
4
) th
`
ı trong ∆M
2
M
3
M
4
´
ıt nhâ
´
t c
´
o m
.
ôt c
.
anh (l
´
o
,
n
nhâ
´
t)
¯
du
,
.
o
,
c tô mâ
`
u
¯
d
,
o, gi
,
a s
,
u
,
¯
d
´
o l
`
a
¯
do
.
an M
2
M
3
. Thê
´
th
`
ı trong
∆M
1
M
2
M
3
tâ
´
t c
,
a c
´
ac c
.
anh
¯
dê
`
u
¯
du
,
.
o
,
c tô mâ
`
u
¯
d
,
o.
Nê
´
u t
`
u
,
¯
diê
,
m M
1
xuâ
´
t ph
´
at
´
ıt nhâ
´
t 3
¯
do
.
an không
¯
du
,
.
o
,
c tô mâ
`
u
¯
d
,
o (ch
,
˘
ang h
.
an 3
¯
do
.
an M
1
M
2
, M
1
M
3
, M
1
M
4
) th
`
ı ta x
´
et 3 tam gi
´
ac
M
1
M
2
M
3
, M
1
M
2
M
4
, M
1
M
3
M
4
. Trong m
˜
ôi tam gi
´
ac n
`
ay
´
ıt nhâ
´
t c
´
o
m
.
ôt c
.
anh
¯
du
,
.
o
,
c tô mâ
`
u
¯
d
,
o, nhu
,
ng c
.
anh không ch
´
u
,
a
¯
d
,
ınh M
1
. V
.
ây
3
¯
do
.
an M
2
M
3
, M
2
M
4
, M
3
M
4
¯
du
,
.
o
,
c tô mâ
`
u
¯
d
,
o, t
´
u
,
c l
`
a 3 c
.
anh c
,
ua
∆M
2
M
3
M
4
¯
dê
`
u mâ
`
u
¯
d
,
o.
.
.
. 11.13. L
`
o
,
i gi
,
ai: Tru
,
´
o
,
c hê
´
t ta nh
.
ân x
´
et c
´
o
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt tam gi
´
ac
¯
do
,
n
s
´
˘
ac (B
`
ai 5.4). Gi
,
a s
,
u
,
P
1
P
2
P
3
l
`
a tam gi
´
ac
¯
do
,
n s
´
˘
ac, ch
,
˘
ang h
.
an
¯
d
,
o. Ðê
,
riêng P
1
ta c
`
on l
.
ai 6
¯
diê
,
m v
`
a ta l
.
ai c
´
o m
.
ôt tam gi
´
ac
¯
do
,
n s
´
˘
ac không
c
´
o P
1
l
`
a
¯
d
,
ınh (B
`
ai 5.4). Nê
´
u tam gi
´
ac n
`
ay không ch
´
u
,
a c
.
anh P
2
P
3
th
`
ı
ta
¯
du
,
.
o
,
c kê
´
t qu
,
a, thê
´
th
`
ı c
´
o m
.
ôt
¯
diê
,
m th
´
u
,
tu
,
P
0
1
sao cho P
0
1
P
2
P
3
c
˜
ung
l
`
a tam gi
´
ac
¯
d
,
o. Tu
,
o
,
ng t
.
u
,
¯
dê
,
riê
`
n P
2
v
`
a P
3
ta
¯
du
,
.
o
,
c P
0
2
v
`
a P
0
3
sao cho
P
1
P
0
2
P
3
v
`
a P
1
P
2
P
0
3
l
`
a tam gi
´
ac
¯
d
,
o.
Tru
,
´
o
,
c hê
´
t ta x
´
et kh
,
a n
˘
angl
`
a 3
¯
diê
,
m P
0
1
, P
0
2
v
`
a P
0
3
không phân bi
.
êt.
Trong tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p n
`
ay m
.
ôt trong ch
´
ung t
.
ao th
`
anh v
´
o
,
i P
1
P
2
P
3
m
.
ôt
h
`
ınh t
´
u
,
di
.
ên. C
`
on l
.
ai 3
¯
diê
,
m. Nê
´
u c
´
ac c
.
anh gi
˜
u
,
a m
.
ôt trong ba
¯
diê
,
m
c
`
on l
.
ai
¯
d
´
o v
`
a 2
¯
d
,
ınh c
,
ua h
`
ınh t
´
u
,
di
.
ên l
`
a
¯
d
,
o ta s
˜
e
¯
du
,
.
o
,
c hai tam gi
´
ac
¯
d
,
o v
´
o
,
i 2 c
.
anh r
`
o
,
i nhau, m
.
ôt tam gi
´
ac c
´
o m
.
ôt
¯
d
,
ınh m
´
o
,
i v
`
a m
.
ôt c
.
anh
c
,
ua t
´
u
,
di
.
ên v
`
a tam gi
´
ac kia trên t
´
u
,
di
.
ên. Nê
´
u không, m
˜
ôi
¯
diê
,
m c
´
o
´
ıt
nhâ
´
t c
.
anh
¯
d
,
o thu
.
ôc t
´
u
,
di
.
ên. Nhu
,
thê
´
c
´
o
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt
¯
d
,
ınh c
,
ua t
´
u
,
di
.
ên
nô
´
i v
´
o
,
i c
,
a 3
¯
d
,
ınh c
`
on l
.
ai b
`
˘
ang c
.
anh mâ
`
u
¯
den. Nê
´
u c
.
˘
ap n
`
ao trong 3
nô
´
i b
`
˘
ang c
.
anh
¯
den th
`
ı ta c
´
o m
.
ôt tam gi
´
ac
¯
den v
`
a m
.
ôt
¯
d
,
o. Nê
´
u không
ta
¯
du
,
.
o
,
c hai tam gi
´
ac
¯
d
,
o c
´
o
¯
d
,
ınh r
`
o
,
i nhau.
15.12. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 12 173
V
.
ây ta c
´
o thê
,
gi
,
a s
,
u
,
r
`
˘
ang ba
¯
diê
,
m P
0
1
, P
0
2
v
`
a P
0
3
l
`
a phân bi
.
êt. Nê
´
u
2
¯
diê
,
m, P
0
1
v
`
a P
0
2
,
¯
du
,
.
o
,
c nô
´
i b
`
˘
ang c
.
anh
¯
d
,
o th
`
ı ta
¯
du
,
.
o
,
c hai tam gi
´
ac
¯
d
,
o
P
1
P
2
P
3
v
`
a P
0
1
P
0
2
P
3
. Nê
´
u không th
`
ı P
1
P
2
P
3
v
`
a P
0
1
P
0
2
P
0
3
cho theo th
´
u
,
t
.
u
,
m
.
ôt tam gi
´
ac
¯
d
,
o v
`
a m
.
ôt tam gi
´
ac
¯
den.
.
.
. 11.14. L
`
o
,
i gi
,
ai: Lâ
´
y 1998
¯
d
˜
ıa
¯
du
,
.
o
,
c tô giô
´
ng nhu
,
¯
d
˜
ıa th
´
u
,
hai c
,
ua
ch
´
ung ta v
`
a
¯
d
.
˘
at chô
`
ng tâ
´
t c
,
a ch
´
ung lên
¯
d
˜
ıa th
´
u
,
nhâ
´
t sao cho ch
´
ung
c
´
o tâ
´
t c
,
a c
´
ac v
.
i tr
´
ı c
´
o thê
,
(nhu
,
khi quay). Khi
¯
d
´
o trên m
˜
ôi h
`
ınh qu
.
at
c
,
ua
¯
d
˜
ıa th
´
u
,
nhâ
´
t c
´
o 200 h
`
ınh qu
.
at,
¯
du
,
.
o
,
c tô, t
´
u
,
c l
`
a c
´
o tâ
´
t c
,
a 200
2
c
.
˘
ap h
`
ınh qu
.
at
¯
du
,
.
o
,
c tô tr
`
ung nhau. Gi
,
a s
,
u
,
c
´
o n v
.
i tr
´
ı c
,
ua
¯
d
˜
ıa th
´
u
,
hai c
´
o không
´
ıt ho
,
n 21 c
.
˘
ap h
`
ınh qu
.
at
¯
du
,
.
o
,
c tô tr
`
ung nhau. Khi
¯
d
´
o
sô
´
c
´
ac h
`
ınh qu
.
at
¯
du
,
.
o
,
c tô tr
`
ung nhau không nh
,
o ho
,
n 21n. Do
¯
d
´
o
21n ≤ 200
2
, t
´
u
,
c l
`
a n ≤ 1904, 8. B
,
o
,
i v
`
ı n l
`
a sô
´
nguyên, nên n ≤ 1904.
Suy ra c
´
o
´
ıt nhâ
´
t 1998 −1904 = 94 v
.
i tr
´
ı c
´
o không qu
´
a 20 c
.
˘
ap h
`
ınh
qu
.
at
¯
du
,
.
o
,
c tô tr
`
ung nhau.
.
.
. 11.15. G
.
o
,
i
´
y: Ch
´
u
,
ng minh ho
`
an to
`
an nhu
,
b
`
ai 11.2.
15.12. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 12
.
.
. 12.11. L
`
o
,
i gi
,
ai: Lâ
´
y A
∗
l
`
a nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m trên m
.
˘
at câ
`
u
¯
dô
´
i x
´
u
,
ng qua
tâm c
,
ua qu
,
a câ
`
u t
`
u
,
nh
˜
u
,
ng
¯
diê
,
m c
,
ua t
.
âp h
.
o
,
p A . Theo gi
,
a thiê
´
t tô
,
ng
di
.
ên t
´
ıch c
,
ua A v
`
a A
∗
l
´
o
,
n ho
,
n di
.
ên t
´
ıch m
.
˘
at câ
`
u. Theo nguyên l
´
y
Ðirichlê cho di
.
ên t
´
ıch ch
´
ung c
´
o
¯
diê
,
m chung. V
.
ây
¯
diê
,
m chung
¯
d
´
o v
`
a
¯
diê
,
m
¯
dô
´
i x
´
u
,
ng c
,
ua n
´
o l
`
a c
.
˘
ap
¯
diê
,
m
¯
dê
`
u thu
.
ôc A t
.
ao ra
¯
du
,
`
o
,
ng k
´
ınh
qu
,
a câ
`
u.
.
.
. 12.12. L
`
o
,
i gi
,
ai: V
´
o
,
i m
˜
ôi h
`
ınh ch
˜
u
,
th
.
âp ta x
´
et h
`
ınh tr
`
on c
´
o tâm t
.
ai
tâm ch
˜
u
,
th
.
âp v
`
a b
´
an k
´
ınh b
`
˘
ang
1
2
√
2
. Ta ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang nê
´
u hai
174 Chu
,
o
,
ng 15. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y
h
`
ınh tr
`
on
¯
d
´
o c
´
˘
at nhau th
`
ı hai ch
˜
u
,
th
.
âp c
˜
ung s
˜
e c
´
˘
at nhau. Kho
,
ang
c
´
ach gi
˜
u
,
a hai tâm c
,
ua h
`
ınh tr
`
on b
`
˘
ang nhau v
`
a c
´
˘
at nhau không l
´
o
,
n
ho
,
n hai lâ
`
n b
´
an k
´
ınh c
,
ua ch
´
ung, do
¯
d
´
o kho
,
ang c
´
ach gi
˜
u
,
a tâm c
,
ua
c
´
ac ch
˜
u
,
th
.
âp tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i ch
´
ung không l
´
o
,
n ho
,
n
1
√
2
. X
´
et h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât x
´
ac
¯
d
.
inh b
,
o
,
i c
´
ac c
´
anh c
,
ua h
`
ınh ch
˜
u
,
th
.
âp th
´
u
,
nhâ
´
t v
`
a tâm c
,
ua
ch
˜
u
,
th
.
âp th
´
u
,
hai. S
˜
e c
´
o m
.
ôt c
´
anh c
,
ua ch
˜
u
,
th
.
âp th
´
u
,
hai
¯
di qua h
`
ınh
ch
˜
u
,
nh
.
ât
¯
d
´
o, do
¯
d
´
o s
˜
e c
´
˘
at ch
˜
u
,
th
.
âp th
´
u
,
nhâ
´
t, b
,
o
,
i v
`
ı
¯
d
.
ô d
`
ai c
,
ua c
´
anh
b
`
˘
ang
1
√
2
, c
`
on
¯
d
.
ô d
`
ai
¯
du
,
`
o
,
ng ch
´
eo h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât không l
´
o
,
n ho
,
n
1
√
2
.
R
˜
o r
`
ang trong h
`
ınh tr
`
on b
´
an k
´
ınh 100 ch
,
ı c
´
o thê
,
¯
d
.
˘
at
¯
du
,
.
o
,
c m
.
ôt
sô
´
h
˜
u
,
u h
.
an c
´
ac h
`
ınh tr
`
on b
´
an k
´
ınh
1
2
√
2
không c
´
˘
at nhau.
.
.
. 12.13. L
`
o
,
i gi
,
ai: C
´
o thê
,
. Gi
,
a s
,
u
,
O l
`
a tâm c
,
ua ng
˜
u gi
´
ac
¯
dê
`
u ABCDE.
Khi
¯
d
´
o c
´
ac h
`
ınh tr
`
on n
.
ôi tiê
´
p trong c
´
ac g
´
oc AOC, BOD, COE, DOA,
EOB c
´
o t
´
ınh châ
´
t
¯
d
˜
a nêu.
.
.
. 12.14. L
`
o
,
i gi
,
ai: X
´
et m
.
ôt tam gi
´
ac
¯
dê
`
u c
´
o c
.
anh b
`
˘
ang 1. Tâ
´
t c
,
a 3
¯
d
,
ınh c
,
ua n
´
o không thê
,
¯
du
,
.
o
,
c tô b
`
˘
ang c
´
ac mâ
`
u kh
´
ac nhau, do
¯
d
´
o ph
,
ai
c
´
o hai
¯
diê
,
m c
`
ung mâ
`
u, v
`
a kho
,
ang c
´
ach gi
˜
u
,
ch
´
ung b
`
˘
ang 1.
PH
.
U L
.
UC A
T
.
ÂP H
.
O
,
P V
`
A
´
ANH X
.
A
A.1. T
.
âp h
.
o
,
p v
`
a To
´
an t
,
u
,
trên t
.
âp h
.
o
,
p.
Khi ch
´
ung ta coi m
.
ôt
¯
dô
´
i tu
,
.
o
,
ng a n
`
ao
¯
d
´
o l
`
a m
.
ôt phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua t
.
âp
h
.
o
,
p A, th
`
ı k
´
y hi
.
êu l
`
a a ∈ A, c
`
on khi a không l
`
a phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua A th
`
ı k
´
y
hi
.
êu l
`
a a 6∈ A .
M
.
ôt t
.
âp h
.
o
,
p A g
.
oi l
`
a t
.
âp h
.
o
,
p con c
,
ua t
.
âp h
.
o
,
p B, khi m
.
oi phâ
`
n
t
,
u
,
c
,
ua t
.
âp h
.
o
,
p A l
`
a phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua t
.
âp h
.
o
,
p B, K
´
y hi
.
êu l
`
a A ⊂ B ho
.
˘
ac
B ⊃ A. Ngh
˜
ıa l
`
a t
`
u
,
a ∈ A suy ra a ∈ B ho
.
˘
ac l
`
a t
`
u
,
a 6∈ B suy ra
a 6∈ A.
T
.
âp h
.
o
,
p r
˜
ông không c
´
o m
.
ôt phâ
`
n t
,
u
,
n
`
ao, k
´
y hi
.
êu l
`
a ∅. M
.
oi
¯
dô
´
i
tu
.
o
,
ng x
¯
dê
`
u không n
`
˘
am trong t
.
âp h
.
o
,
p r
˜
ông x 6∈ ∅ . T
.
âp h
.
o
,
p r
˜
ông
¯
dê
`
u n
`
˘
am trong m
.
oi t
.
âp h
.
o
,
p, ngh
˜
ıa l
`
a ∅ ⊂ A, v
´
o
,
i m
.
oi A.
Hai t
.
âp h
.
o
,
p A v
`
a B tr
`
ung nhau khi ch
´
ung c
´
o c
`
ung c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
nhu
,
nhau, k
´
y hi
.
êu A = B. Tu
,
o
,
ng
¯
du
,
o
,
ng , A = B khi v
`
a ch
,
ı khi t
`
u
,
a ∈ A suy ra a ∈ B v
`
a t
`
u
,
a ∈ B suy ra a ∈ A ho
.
˘
ac A ⊂ B v
`
a B ⊂ A.
Cho A
1
, A
2
, . . . , A
n
l
`
a m
.
ôt sô
´
h
˜
u
,
u h
.
an nh
˜
u
,
ng t
.
âp h
.
o
,
p. H
.
o
,
p c
,
ua
nh
˜
u
,
ng t
.
âp h
.
o
,
p trên l
`
a m
.
ôt t
.
âp h
.
o
,
p gô
`
m tâ
´
t c
,
a c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
m
`
a n
´
o
thu
.
ôc v
`
ao m
.
ôt trong c
´
ac t
.
âp h
.
o
,
p A
1
, A
2
, . . . , A
n
. H
.
o
,
p c
,
ua c
´
ac t
.
âp
h
.
o
,
p A
1
, A
2
, . . . , A
n
, k
´
y hi
.
êu l
`
a A
1
∪ A
2
∪. . . ∪ A
n
. C
.
u thê
,
, a ∈ A
1
∪
A
2
∪. . . ∪ A
n
ngh
˜
ıa l
`
a tô
`
n t
.
ai m
.
ôt ch
,
ı sô
´
i trong {1, 2, . . . , n } sao cho
175
176 Chu
,
o
,
ng A. T
.
âp h
.
o
,
p v
`
a
´
Anh x
.
a
a ∈ A
i
.
Cho A
1
, A
2
, . . . , A
n
l
`
a m
.
ôt sô
´
h
˜
u
,
u h
.
an nh
˜
u
,
ng t
.
âp h
.
o
,
p. Giao
c
,
ua nh
˜
u
,
ng t
.
âp h
.
o
,
p trên l
`
a m
.
ôt t
.
âp h
.
o
,
p gô
`
m c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
m
`
a
n
´
o n
`
˘
am trong m
.
oi t
.
âp h
.
o
,
p A
1
, A
2
, . . . , A
n
. Giao c
,
ua c
´
ac t
.
âp h
.
o
,
p
A
1
, A
2
, . . . , A
n
k
´
y hi
.
êu l
`
a A
1
∩ A
2
∩. . . ∩ A
n
. C
.
u thê
,
, a ∈ A
1
∩ A
2
∩
. . . ∩ A
n
ngh
˜
ıa l
`
a v
´
o
,
i m
.
oi ch
,
ı sô
´
i trong {1, 2, . . . , n} ta c
´
o a ∈ A
i
.
Hi
.
êu c
,
ua hai t
.
âp h
.
o
,
p A v
`
a B l
`
a m
.
ôt t
.
âp h
.
o
,
p, k
´
y hi
.
êu A\B, gô
`
m
nh
˜
u
,
ng phâ
`
n t
,
u
,
a c
´
o t
´
ınh châ
´
t a ∈ A v
`
a a 6∈ B.
A.2. Qui n
.
ap to
´
an h
.
oc v
`
a B
`
ai to
´
an tô
,
h
.
o
,
p
Trong t
.
âp h
.
o
,
p sô
´
t
.
u
,
nhiên, c
`
ung v
´
o
,
i nguyên l
´
y Ðirichlê c
`
on m
.
ôt
nguyên l
´
y qui n
.
ap to
´
an h
.
oc c
˜
ung hay
¯
du
,
.
o
,
c s
,
u
,
d
.
ung. D
.
ang
¯
do
,
n gi
,
an
c
,
ua phu
,
o
,
ng ph
´
ap qui n
.
ap to
´
an h
.
oc nhu
,
sau:
Cho m
.
ôt d
˜
ay nh
˜
u
,
ng
¯
diê
`
u kh
,
˘ang
¯
d
.
inh
K
1
, K
2
, . . . , K
n
, . . . (A.1)
c
´
o t
´
ınh châ
´
t sau:
a)K
1
l
`
a kh
,
˘ang
¯
d
.
inh
¯
d
´
ung.
b) V
´
o
,
i m
˜
ôi sô
´
t
.
u
,
nhiên n,nê
´
u K
n
l
`
a kh
,
˘ang
¯
d
.
inh
¯
dus ng th
`
ı suy ra
K
n+1
c
˜
ung l
`
a kh
,
˘ang
¯
d
.
inh
¯
d
´
ung.
Khi
¯
d
´
o tâ
´
t c
,
a c
´
ac kh
,
˘ang
¯
d
.
inh trong d
˜
ay (A.1)
¯
dê
`
u
¯
d
´
ung.
Ch
´
u
´
y:
¯
diê
`
u ki
.
ên a)
¯
d
,
am b
,
ao cho K
1
¯
d
´
ung, sau
¯
d
´
o
´
ap d
.
ung b)
cho K
2
c
˜
ung
¯
d
´
ung, tiê
´
p t
.
uc
´
ap d
.
ung b) cho K
3
c
˜
ung
¯
d
´
ung v
`
a tiê
´
p t
.
uc
qu
´
a tr
`
ınh
¯
d
´
o v
´
o
,
i m
.
oi n. Ðê
,
minh h
.
oa ch
´
ung ta ch
´
u
,
ng minh m
.
ôt
¯
d
.
inh
l
´
y vê
`
tô
,
h
.
o
,
p m
`
a râ
´
t hay
´
ap d
.
ung trong cuô
´
n s
´
ach n
`
ay:
M
.
oi t
.
âp h
.
o
,
p h
˜
u
,
u h
.
an v
´
o
,
i n phâ
`
n t
,
u
,
c
´
o
¯
d
´
ung 2
n
t
.
âp h
.
o
,
p con t
.
ao b
,
o
,
i
c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
kh
´
ac nhau c
,
ua n
´
o.
A.3.
´
Anh x
.
a trên t
.
âp h
.
o
,
p 177
V
´
o
,
i m
.
oi sô
´
n ch
´
ung ta k
´
y hi
.
êu
¯
diê
`
u kh
,
˘
ang
¯
d
.
inh trên b
`
˘
ang K
n
.
Nhu
,
v
.
ây ch
´
ung ta s
˜
e nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c d
˜
ay (A.1). V
´
o
,
i n = 1 kh
,
˘
ang
¯
d
.
inh
¯
d
´
ung, v
`
ı m
.
oi t
.
âp h
.
o
,
p c
´
o m
.
ôt phâ
`
n t
,
u
,
c
´
o
¯
d
´
ung hai t
.
âp h
.
o
,
p con,
¯
d
´
o l
`
a
t
.
âp r
˜
ông v
`
a ch
´
ınh t
.
âp ( m
.
ôt phâ
`
n t
,
u
,
)
¯
dos . V
.
ây (A.1) c
´
o t
´
ınh châ
´
t
a).
Bây gi
`
o
,
ch
´
ung ta ph
,
ai ch
´
u
,
ng minh b)
¯
d
´
ung. Ngh
˜
ıa l
`
a cho n l
`
a
m
.
ôt sô
´
t
.
u
,
nhiên bâ
´
t k
`
y v
`
a kh
,
˘
ang
¯
d
.
inh K
n
¯
d
´
ung t
´
u
,
c l
`
a m
.
oi t
.
âp h
.
o
,
p c
´
o
n phâ
`
n t
,
u
,
c
´
o
¯
d
´
ung 2
n
t
.
âp h
.
o
,
p con. Câ
`
n ph
,
ai ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang K
n+1
l
`
a
¯
dus ng. Ch
´
ung ta x
´
et S l
`
a t
.
âp h
.
o
,
p c
´
o n + 1 phâ
`
n t
,
u
,
v
`
a s l
`
a m
.
ôt
phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua n
´
o. Ch
´
ung ta chia nh
˜
u
,
ng t
.
âp h
.
o
,
p con c
,
ua S l
`
am hai l
´
o
,
p:
L
´
o
,
p a
1
gô
`
m tâ
´
t c
,
a c
´
ac t
.
âp h
.
o
,
p con c
,
ua S không ch
´
u
,
a s. L
´
o
,
p a
2
gô
`
m
tâ
´
t c
,
a c
´
ac t
.
âp h
.
o
,
p con c
,
ua S ch
´
u
,
a s. Nh
˜
u
,
ng t
.
âp h
.
o
,
p con thu
.
ôc l
´
o
,
p a
1
l
`
a t
.
âp h
.
o
,
p con c
,
ua m
.
ôt t
.
âp h
.
o
,
p n phâ
`
n t
,
u
,
S
1
, m
`
a n
´
o nh
.
ân t
`
u
,
S sau
khi b
,
o
¯
di phâ
`
n t
,
u
,
s. Theo gi
,
a thiê
´
t qui n
.
ap sô
´
lu
,
.
o
,
ng t
.
âp h
.
o
,
p con c
,
ua
n
´
o
¯
d
´
ung l
`
a 2
n
. M
.
˘
at kh
´
ac c
´
ac t
.
âp h
.
o
,
p con c
,
ua l
´
o
,
p a
2
l
`
a tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng 1-1
v
´
o
,
i v
´
o
,
i c
´
ac t
.
âp h
.
o
,
p con c
,
ua S
1
. Th
.
ât v
.
ây, m
.
oi t
.
âp h
.
o
,
p con Z ch
´
u
,
a s
c
,
ua S ta cho tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i t
.
âp h
.
o
,
p con Z
1
c
,
ua S
1
b
`
˘
ang c
´
ach t
`
u
,
Z
ta b
,
o
¯
d
.
i phâ
`
n t
,
u
,
s. Ngh
˜
ıa l
`
a sô
´
lu
,
.
o
,
ng t
.
âp h
.
o
,
p con c
,
ua S trong l
´
o
,
p a
2
tr
`
ung v
´
o
,
i sô
´
lu
,
.
o
,
ng t
.
âp h
.
o
,
p con c
,
ua S
1
v
`
a b
`
˘
ang 2
n
. Do
¯
d
´
o tâ
´
t c
,
a t
.
âp
h
.
o
,
p con c
,
ua S l
`
a 2
n
+ 2
n
= 2
n+1
. Nhu
,
v
.
ây ch
´
ung ta
¯
d
˜
a ch
´
u
,
ng minh,
v
´
o
,
i m
.
oi n, t
`
u
,
K
n
¯
dus ng suy ra K
n+1
¯
dus ng. Ch
´
ung ta ch
´
u
,
ng minh
¯
du
,
.
o
,
c (A.1) c
´
o t
´
ınh châ
´
t b). Suy ra tâ
´
t c
,
a c
´
ac kh
,
˘
ang
¯
d
.
inh
¯
dê
`
u
¯
d
´
ung.
J
A.3.
´
Anh x
.
a trên t
.
âp h
.
o
,
p
T
`
u
,
nh
˜
u
,
ng kh
´
ai ni
.
êm sô
´
phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua m
.
ôt t
.
âp h
.
o
,
p n
`
ay l
´
o
,
n ho
,
n sô
´
phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua m
.
ôt t
.
âp h
.
o
,
p kia, ngu
,
`
o
,
i ta xây d
.
u
,
ng kh
´
ai ni
.
êm
´
anh x
.
a
¯
dê
,
gi
,
ai th
´
ıch v
`
a ch
´
ınh x
´
ac h
´
oa trong khi ch
´
u
,
ng minh.
178 Chu
,
o
,
ng A. T
.
âp h
.
o
,
p v
`
a
´
Anh x
.
a
Ch
´
ung ta n
´
oi r
`
˘
ang cho m
.
ôt
´
anh x
.
a f : A → B t
`
u
,
t
.
âp h
.
o
,
p A v
`
ao
t
.
âp h
.
o
,
p B, khi m
.
oi phâ
`
n t
,
u
,
a thu
.
ôc A cho tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i m
.
ôt phâ
`
n
t
,
u
,
f (a) thu
.
ôc B. Phâ
`
n t
,
u
,
f (a) g
.
oi l
`
a gi
´
a tr
.
i c
,
ua
´
anh x
.
a f v
´
o
,
i phâ
`
n
t
,
u
,
a c
,
ua A. C
´
o thê
,
ch
,
ı ra nhiê
`
u v
´
ı d
.
u nhu
,
´
anh x
.
a sô
´
t
.
u
,
nhiên v
`
ao sô
´
ch
˜
˘
an, v
´
o
,
i m
.
oi n cho tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i 2n,. . . .
Ngu
,
`
o
,
i ta c
`
on
¯
du
,
a ra m
.
ôt sô
´
t
´
ınh châ
´
t c
,
ua
´
anh x
.
a: M
.
ôt
´
anh x
.
a
f : A → B g
.
oi l
`
a
¯
do
,
n
´
anh, nê
´
u t
`
u
,
f (a
1
) = f (a
2
)(a
1
, a
2
∈ A) suy ra
a
1
= a
2
. N
´
oi c
´
ach kh
´
ac f l
`
a
¯
do
,
n
´
anh khi m
.
oi phâ
`
n t
,
u
,
kh
´
ac nhau c
,
ua
A cho tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i nh
˜
u
,
ng phâ
`
n t
,
u
,
kh
´
ac nhau c
,
ua B.
M
.
ôt
´
anh x
.
a f : A → B g
.
oi l
`
a to
`
an
´
anh, nê
´
u v
´
o
,
i m
.
oi phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua b c
,
ua B tô
`
n t
.
ai phâ
`
n t
,
u
,
a thu
.
ôc A sao cho f (a) = b. C
´
o nhiê
`
u v
´
ı
d
.
u vê
`
´
anh x
.
a lo
.
ai n
`
ay, nhu
,
ph
´
ep chiê
´
u lên tr
.
uc to
.
a
¯
d
.
ô c
,
ua m
.
oi
¯
diê
,
m
trong m
.
˘
at ph
,
˘
ang.
M
.
ôt
´
anh x
.
a f : A → B g
.
oi l
`
a song
´
anh, khi n
´
o
¯
dô
`
ng th
`
o
,
i l
`
a
¯
do
,
n
´
anh v
`
a to
`
an
´
anh. Nê
´
u f : A → B l
`
a song
´
anh, th
`
ı v
´
o
,
i m
.
oi phâ
`
n t
,
u
,
b
c
,
ua B tô
`
n t
.
ai duy nhâ
´
t phâ
`
n t
,
u
,
a thu
.
ôc A sao cho f (a) = b.
Cho song
´
anh f : A → B. Nê
´
u ch
´
ung ta
¯
d
.
˘
at g(b) = a khi
¯
d
˜
a
c
´
o f (a) = b, ch
´
ung ta nh
.
ân
¯
du
,
.
o
,
c
´
anh x
.
a g : B → A g
.
oi l
`
a
´
anh
x
.
a ngu
,
.
o
,
c c
,
ua f v
`
a k
´
y hi
.
êu l
`
a f
−1
= g. Nhu
,
v
.
ây f ( f
−1
( b)) = b v
`
a
f
−1
( f (a)) = a v
´
o
,
i m
.
oi a thu
.
ôc A v
`
a b thu
.
ôc B.
Cho hai
´
anh x
.
a f : A → B v
`
a g : B → C, c
´
o thê
,
t
.
ao ra
´
anh x
.
a
h : A → C b
`
˘
ang công th
´
u
,
c h(a) = f (g(a)). K
´
y hi
.
êu h = g ◦ f .
T
`
AI LI
.
ÊU THAM KH
,
AO
[1] Tuyê
,
n t
.
âp 30 n˘am t
.
ap ch
´
ı To
´
an h
.
oc v
`
a Tuô
,
i tr
,
e, NXBGD, 1997.
[2] 255 b
`
ai to
´
an sô
´
h
.
oc ch
.
on l
.
oc, V.D. Th
.
uy, T. C. Th
`
anh, N. N.
Ð
.
am, S
,
o
,
GD H
`
a tây, 1993
[3] 10000 B
`
ai to
´
an so
,
câ
´
p - D
˜
ay sô
´
v
`
a gi
´
o
,
i h
.
an, Phan Huy Kh
,
ai,
NXB H
`
a n
.
ôi, 1997.
[4] C
´
ac
¯
dê
`
thi vô
¯
d
.
ich to
´
an c
´
ac nu
,
´
o
,
c, Xv. Cônhiagin, G.A.Tônôian,
If. Saru
,
gin, NXB GD 1996.
[5] C
´
ac b
`
ai to
´
an h
`
ınh h
.
oc ph
,
˘ang, V.V. Praxolov, T
.
âp II, NXB H
,
ai
ph
`
ong 1997.
[6] Zadatri Vsesaiun
´
u
,
c matematitreskii olimpiada, N.B. Vasilev,
A.A. Egorov, Maskova- Nauka 1988.
[7] Matematichskii akvarium V. A. Uphnarovskii, Kishinev " shti-
insa" 1987.(Tiê
´
ng Nga).
[8] Problem-Solving Through Problems, Loren C. Larson, Spring-
Verlag, 1983.
[9] Princil na Dirichle, Ivan Prodanov, "Narodna Prosveta", Sophia
1988 (Tiê
´
ng Bungari).
179
180 M
.
uc l
.
uc
[10] Zadachi da idvu
,
nklasna Rabota po matematika,
R.Rusev, K.Bankov, Sv. Slavchev, "Narodna Prosveta", Sophia
1986 (Tiê
´
ng Bungari).
[11] Sbornhik ot Zadachi za Matematicheski Olympiadi,
St. Budurov, V. Phlorov, "Narodna Prosveta", Sophia 1966
(Tiê
´
ng Bungari).
N
.
ÔI DUNG
L
`
o
,
i n
´
oi
¯
dâ
`
u.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Chu
,
o
,
ng 1. Nguyên l
´
y Ðirichlê v
`
a v
´
ı d
.
u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1. Nguyên l
´
y Ðirichlê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. V
´
ı d
.
u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3. B
`
ai t
.
âp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Chu
,
o
,
ng 2. Sô
´
h
.
oc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1. Ph
´
ep chia sô
´
t
.
u
,
nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2. V
´
ıd
.
u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3. B
`
ai t
.
âp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Chu
,
o
,
ng 3. D
˜
ay sô
´
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1. Nguyên l
´
y Ðirichlê cho d
˜
ay sô
´
vô h
.
an. . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2. V
´
ı d
.
u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3. B
`
ai t
.
âp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Chu
,
o
,
ng 4. H
`
ınh h
.
oc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.1. V
´
ı d
.
u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2. B
`
ai t
.
âp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Chu
,
o
,
ng 5. M
,
o
,
r
.
ông nguyên l
´
y Ðirichlê. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.1. Nguyên l
´
y Ðirichlê m
,
o
,
r
.
ông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.2. V
´
ı d
.
u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
181
182 N
.
ÔI DUNG
5.3. B
`
ai t
.
âp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Chu
,
o
,
ng 6. B
`
ai t
.
âp sô
´
h
.
oc nâng cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.1. Ð
.
inh l
´
y co
,
b
,
an c
,
ua sô
´
h
.
oc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.2. V
´
ı d
.
u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.3. B
`
ai t
.
âp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Chu
,
o
,
ng 7. B
`
ai t
.
âp d
˜
ây sô
´
nâng cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7.1. V
´
ı d
.
u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7.2. B
`
ai t
.
âp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Chu
,
o
,
ng 8. Sô
´
th
.
u
,
c v
´
o
,
i t
.
âp tr
`
u m
.
ât . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8.1. T
.
âp tr
`
u m
.
ât. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8.2. V
´
ı d
.
u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
8.3. B
`
ai t
.
âp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Chu
,
o
,
ng 9. Nh
˜
u
,
ng
´
u
,
ng d
.
ung kh
´
ac c
,
ua nguyên l
´
y Ðirichle. . 89
9.1. Xâ
´
p x
,
ı m
.
ôt sô
´
th
.
u
,
c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
9.2. B
`
ai t
.
âp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Chu
,
o
,
ng 10. Nguyên l
´
y Ðirichlê cho di
.
ên t
´
ıch . . . . . . . . . . . . . 101
10.1. Ph
´
at biê
,
u nguyên l
´
y Ðirichlê cho di
.
ên t
´
ıch . . . . . . . . . . 101
10.2. V
´
ı d
.
u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
10.3. B
`
ai t
.
âp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Chu
,
o
,
ng 11. To
´
an h
.
oc tô
,
h
.
o
,
p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
11.1. V
´
ı d
.
u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
11.2. B
`
ai t
.
âp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Chu
,
o
,
ng 12. M
.
ôt sô
´
b
`
ai t
.
âp h
`
ınh h
.
oc kh
´
ac . . . . . . . . . . . . . . . . 129
12.1. V
´
ı d
.
u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
M
.
uc l
.
uc 183
12.2. B
`
ai t
.
âp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Chu
,
o
,
ng 13. M
.
ôt sô
´
¯
dê
`
thi vô
¯
d
.
ich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Chu
,
o
,
ng 14. B
`
ai t
.
âp t
.
u
,
gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Chu
,
o
,
ng 15. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
15.1. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
15.2. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
15.3. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
15.4. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
15.5. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
15.6. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
15.7. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
15.8. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
15.9. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
15.10. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
15.11. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
15.12. L
`
o
,
i gi
,
ai v
`
a g
.
o
,
i
´
y chu
,
o
,
ng 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Ph
.
u l
.
uc A. T
.
âp h
.
o
,
p v
`
a
´
Anh x
.
a .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
A.1. T
.
âp h
.
o
,
p v
`
a To
´
an t
,
u
,
trên t
.
âp h
.
o
,
p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
A.2. Qui n
.
ap to
´
an h
.
oc v
`
a B
`
ai to
´
an tô
,
h
.
o
,
p . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
A.3.
´
Anh x
.
a trên t
.
âp h
.
o
,
p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
M
.
uc l
.
uc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
NGUY
˜
ÊN H
˜
U
,
U ÐIÊ
,
N
PHU
,
O
,
NG PH
´
AP ÐIRICHLÊ V
`
A
´
U
,
NG D
.
UNG
c
Ebook 1.0 c
,
ua cuô
´
n s
´
ach nguyên gô
´
c t
`
u
,
b
,
an in, c
´
ac b
.
an tham
kh
,
ao, cho
´
y kiê
´
n sai s
´
ot v
`
a l
`
o
,
i khuyên t
´
ai b
,
an. M
.
oi liên h
.
ê
T
´
ac gi
,
a: Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n
Ði
.
ên tho
.
ai: 0989061951
Email: huudien@vnu.edu.vn
Web: http://nhdien.wordpress.com
Ch
.
iu tr
´
ach nhi
.
êm xuâ
´
t b
,
an: TÔ Ð
˘
ANG H
,
AI
Biên t
.
âp v
`
a s
,
u
,
a b
,
an in: Ð
˜
Ô PH
´
U
Tr
`
ınh bâ
`
y v
`
a chê
´
b
,
an: H
˜
U
,
U ÐIÊ
,
N, PH
`
U LINH
Tr
`
ınh bâ
`
y b
`
ıa: HU
,
O
,
NG LAN
NH
`
A XU
´
ÂT B
,
AN KHOA H
.
OC V
`
A K
˜
Y THU
.
ÂT
70 TR
`
ÂN HU
,
NG Ð
.
AO - H
`
A N
.
ÔI
6.6T7.3
KHKT −98
290 - 4-98
In 1000 b
,
an khô
,
14, 5 ×20, 5 t
.
ai Công ty In Công Ðo
`
an Vi
.
êt Nam
191 So
,
n Tây - Ðô
´
ng Ða - H
`
a N
.
ôi. Giâ
´
y ph
´
ep XB sô
´
: 290-22/4/98.
In xong v
`
a n
.
ôp lu
,
u chiê
,
u th
´
ang 1 n
˘
am 1999.

Tài liệu khác của Môn Toán

Preview text:

, , NGUY˜ ÊN H ˜ UU ÐIÊN , , PHUONG PH´ AP ÐIRICHLÊ , V` A ´ UNG D .UNG , NH` A XU´
ÂT BAN KHOA H .OC V`A K˜Y THU .ÂT H` A N .ÔI - 1999 , L ` OI N ´ OI Ð ` ÂU , , , , , Nguyên l´ y nh˜ ung c´ ai lô`ng v` a c´ ac ch´ u tho ¯ d˜ a ¯
du .oc biê´t ¯dê´n t`u râ´t , , , , ,,
lâu. Ngay trong chuong tr`ınh phô thông co so ch´ ung ta c˜ ung ¯ d˜ a l` am , , , , , quen v´ oi phuong ph´ ap giai to´ an n`
ay. Th .uc ra nguyên l´y n`ay mang , , , tên nh` a b´
ac h .oc ngu`oi дuc Pête Gutxtap Legien Dirichlet (1805- , , , , 1859). Nguyên l´ y ph´ at biêu râ´t ¯ don gian: Nê´u ch´ ung ta nhô´t tho v` ao , , , c´ ac lô`ng m`
a sô´lô`ng ´ıt hon sô´tho, th`ı thê n` ao c˜ ung c´
o m .ôt lô`ng nhô´t ´ıt , nhâ´t hai con tho. , , , , Chı b` ˘ ang nguyên l´ y ¯
don gian nhu v .ây h`ang lo.at c´ac b`ai to´an ¯d˜a , , , ¯ du .oc giai. , , , , Cuô´n s´ ach ¯
du .oc biên so.an l.ai theo t`ung chu ¯dê`c´o liên quan ¯dê´n , , , , , nguyên l´ y, m˜ ôi c´
ach giai trong v´ı d .u cua t`ung chuong l`a ´ap d .ung , , , , ¯ diên h`ınh nguyên l´ y Ðirichlê. B`
ai t .âp giai tru´oc c´o liên quan ¯dê´n b`ai , , , giai sau nên câ`n luu ´ y khia ¯
d .oc s´ach. V´oi mong muô´n c`ung b.an ¯d .oc , , , ,
thao lu .ân m .ôt phuong ph´ap ch´ung minh to´an h .oc v`a hy v .ong cung ,
câ´p m .ôt t`ai li.êu bô ´ıch cho c´ac thâ`y cô gi´ao v`a c´ac em h .oc sinh ham , mê t`ım t` oi trong to´
an h .oc, t´ac gia m.anh d.an biên so.an cuô´n s´ach , , n` ay. Do kha n˘ ang v` a th` oi gian c`
on h .an chê´, cuô´n s´ach ch´˘ac ch´˘an , , , , không tr´ anh khoi thiê´u s´ ot. Ch´ ung tôi mong ¯ du .oc s .u ¯d´ong g´op ´y , , , ,, , kiê´n cua ¯
d .oc gia. Thu g´op ´y xin gui vê`Nh`a xuâ´t ban Khoa h .oc v`a K˜y ,
thu .ât - 70 Trâ`n Hung Ð.ao, H`a N .ôi. 3 , 4 L` oi n´ oi ¯ dâ`u , , , T´ ac gia xin chân th` anh cam on PGS-TSKH И ô Hô`ng Tân ¯ d˜ a ¯ d .oc , , v` a ¯ d´ ong g´ op nhiê`u ´ y kiê´n qu´ı b´ au trong qu´ a tr`ınh ho` an chınh ban , thao. , T´ ac gia , , CHUONG 1 NGUYÊN L ´ Y ÐIRICHLÊ V ` A V´I D .U 1.1. Nguyên l´ y Ðirichlê , , , Nguyên l´ y Ðirichlê nhiê`u khi ngu`
oi ta g .oi l`a ¨Nguyên l´y nh˜ung , , ng˘ an k´ eo¨. Ðây l`
a m .ôt nguyên l´y râ´t ¯don gian, ¯d.˘ac bi.êt c´o nhiê`u , ´, ,
ung d .ung trong c´ac l˜ınh v .uc kh´ac nhau cua to´an h .oc. D`ung nguyên , , , , , , l´ y n` ay ngu` oi ta d˜ ê d` ang ch´
ung minh tô`n t .ai m .ôt ¯dô´i tu .ong v´oi t´ınh , , , , , châ´t x´ ac ¯
d.inh. D.ang ¯don gian nhâ´t c´o thê ph´at biêu nhu sau: Nê´u c´
o m v .ât ¯d .˘at v`ao n c´ai ng˘an k´eo v`a m > n th`ı c´o ´ıt nhâ´t m.ôt , ng˘ an k´eo ch´
ua ´ıt nhâ´t hai v .ât. , , , , , , , , Tuy r` ˘ ang v´ oi nguyên l´ y n` ay ngu`oi ta chı ch´ ung minh ¯ du .oc s .u tô`n , , , , , , , , ,
t .ai m`a không ¯dua ra ¯du .oc phuong ph´ap t`ım ¯du .oc v.ât c .u thê, nhung , , , , ,
trong th .uc tê´nhiê`u b`ai to´an ta chı câ`n chı ra s .u tô`n t.ai l`a ¯du rô`i. , , , Nguyên l´ y Ðirichlê l`
a m .ôt ¯d.inh l´y vê`t.âp h .op h˜uu h.an. Ph´at biêu , ch´ınh x´ ac nguyên l´ y n` ay nhu sau: , ,, , Cho A v` a B l`
a hai t .âp h .op không r˜ông c´o sô´ phâ`n tu h˜uu , , ,, , , , , , ,, ,
h .an, m`a sô´ lu .ong phâ`n tu cua A l´on hon sô´ lu .ong phâ`n tu cua , ,, , , , B. Nê´u v´
oi m .ôt qui t´˘ac n`ao ¯dâ´y, m˜ôi phâ`n tu cua A cho tuong , , , ´, , , , ung v´
oi m .ôt phâ`n tu B, th`ı tô`n t .ai hai phâ`n tu kh´ac nhau cua A , , , , ,, , m` a ch´ ung tuong ´ ung v´ oi c`
ung m .ôt phâ`n tu cua B. , , , ,, , , Ðê d˜ ê hiêu ta c´ u cho r` ˘ ang c´
ac phâ`n tu cua t .âp B l`a ¨Nh˜ung ng˘an , , 6 Chuong 1. Nguyên l´ y Ðirichlê v` a v´ı d .u ,, , , , , k´ eo¨ v` a c´ ac phâ`n tu cua A ¯
du .oc ¯d.˘at v`ao c´ac ng˘an k´eo cua n´o. Trong , , ,, , , , ph´ at biêu cua nguyên l´ y trên c´ ac phâ`n tu h˜
uu h .an ¯du .oc t´ınh b`˘ang , ,
sô´t .u nhiên, v`ı v.ây Nguyên l´y Ðirichlê c´o liên quan m.ât thiê´t t´oi t.âp , , , ,
h .op sô´t .u nhiên v`a c´ac t´ınh châ´t cua t.âp h .op sô´n`ay. 1.2. V´ı d .u , , ,
. 1.1. Ðê ky ni.êm 20 n˘am ng`ay giai ph´ong Miê`n Nam, t .ai m.ôt th`anh , , , , , , , , , phô´ ngu` oi ta tô ch´ uc buôi l˜
ê g .˘ap m .˘at nh˜ung ngu`oi 20 tuôi. Ng`ay 30 , , th´ ang 4 n˘ am ¯ d´
o trong buôi g .˘ap m .˘at c´o 400 thanh niên. Ch´ung minh , , , , , , r` ˘ ang c´
o ´ıt nhâ´t hai ngu` oi trong sô´ ngu` oi t´
oi d .u c`ung chung m.ôt ng`ay sinh. , , , L` oi giai. N˘ am 1995 c´ o 365 ng` ay. Ch´ ung ta coi m˜ ôi ng` ay nhu m .ôt , ng˘ an k´ eo v` a ¯ d´ anh sô´ t` u 1 ¯ dê´n 365 (ng˘ an k´ eo cuô´i c` ung l` a ng` ay 31 , th´ ang 12 n˘ am 1995). Ch´ ung ta ¯
d .˘at nh˜ung thanh niên c´o ng`ay sinh , , , , , , tuong ´ ung v` ao c´ ac ng˘ an k´ eo ¯ d´ o. Nhung sô´thanh niên ¯ dê´n d .u l˜ê l´on , , , , , hon sô´ ng˘ an k´ eo, theo nguyên l´ y Ðirichlê c´ o ´ıt nhâ´t hai ngu` oi ¯ du .oc ¯
d .˘at v`ao c`ung m .ôt ng˘an k´eo. Ðiê`u ¯d´o c´o ngh˜ıa l`a h .o sinh c`ung m .ôt ng` ay. J , , , , ,
. 1.2. Trong sinh h .oc ngu`oi ta biê´t r`˘ang sô´t´oc trên ¯dâ`u cua m˜ôi ngu`oi , , , , không qu´ a 200.000 c´ ai. Ch´ ung minh r` ˘ ang trong sô´ ngu` oi cua th` anh , , , , phô´H`
a n .ôi, v´oi sô´dân hon 2.000.000, c´o ´ıt nhâ´t 11 ngu`oi c´o c`ung sô´ t´ oc. , , , , , L` oi giai. Ch´ ung ta x´ et 200.000 ng˘ an k´ eo ¯
du .oc ¯d´anh sô´ t`u 0 ¯dê´n , , 199.999. Ch´ ung ta ¨¯
d .˘at¨ m˜ôi ngu`oi dân H`a n .ôi v`ao m .ôt ng˘an k´eo , , , , ,, , , m` a sô´ t´ oc b` ˘ ang sô´ th´
u t .u cua ng˘an k´eo. Gia su không c´o 11 ngu`oi , , , c´ o c` ung sô´t´
oc, nhu v .ây m˜ôi ng˘an c´o nhiê`u nhâ´t l`a 10 ngu`oi c´o c`ung sô´t´ oc, do ¯ d´ o sô´dân H`
a n .ôi nhiê`u nhâ´t l`a 200.000×10=2.000.000, 1.2. V´ı d .u 7 , , , , ¯ diê`u n` ay không ¯ d´ ung v´ oi gia thiê´t l` a sô´ dân H` a n .ôi l´on hon 2 tri.êu. J , , ,
. 1.3. Ba muoi h .oc sinh l`am b`ai viê´t ch´ınh ta. M.ôt trong sô´h.oc sinh , , ¯ d´
o b.i 14 l˜ôi, c`on c´ac h.oc sinh kh´ac m´˘ac l˜ôi ´ıt hon. Ch´ung minh r`˘ang , , c´ o ´ıt nhâ´t ba ngu` oi m´ ˘ ac sô´l˜ ôi b` ˘ ang nhau. , , , , , L` oi giai. Ch´ ung ta x´ et 15 ng˘ an k´ eo ¯
du .oc ¯d´anh sô´t`u 0 ¯dê´n 14. Ch´ung ta ¨¯
d .˘at¨ m˜ôi h .oc sinh v`ao m .ôt ng˘an k´eo mang sô´ ¯d´ung b`˘ang sô´ l˜ôi ,
cua h .oc sinh n`ay. Nê´u không c´o ba h .oc sinh n`ao c´o sô´l˜ôi b`˘ang nhau, , th`ı trong m˜ ôi ng˘ an mang sô´t` u 0,1,2,. . . ,13 s˜ e c´ o nhiê`u nhâ´t hai h .oc , , , , sinh. Khi ¯ d´
o sô´lu .ong cua nh˜ung h .oc sinh n`ay nhiê`u nhâ´t l`a 28. Nê´u thêm v` ao ¯ d´
o h .oc sinh m´˘ac 14 l˜ôi (trong ng˘an k´eo sô´14) ch´ung ta s˜e , , ,
nh .ân ¯du .oc nhiê`u nhâ´t 29 h .oc sinh viê´t ch´ınh ta, ¯diê`u n`ay d˜ân ¯dê´n , ,
s .u vô l´y v´oi ¯diê`u ki.ên ¯d˜a cho. J , , , . 1.4. Ch´ ung minh r` ˘ ang trong m˜ ôi nh´
om b .an 5 ngu`oi c´o ´ıt nhâ´t hai , , , , , , , , , , ngu` oi c´ o c`
ung sô´lu .ong ngu`oi quen gi˜ua nh˜ung ngu`oi trong nh´om ¯dos. , , , , , Ch´ ung minh r` ˘ ang c`
ung kê´t lu .ân nhu v .ây v´oi nh´om b .an c´o sô´ lu.ong th` anh viên bâ´t k` y. , , , , , L` oi giai. Ch´ ung ta x´ et n˘ am ng˘ an k´ eo, ¯ d´ anh sô´t` u 0 ¯ dê´n 4. M˜ ôi ngu` oi , , , , , ,
tham d .u ¯du .oc ¯d.˘at v`ao ng˘an k´eo mang sô´ tr`ung v´oi sô´ ngu`oi trong , , nh´ om m` a ngu` oi ¯ d´ o quen. , , , , , , a) Nê´u c´
o m .ôt ngu`oi không quen ai ca trong sô´ nh˜ung ngu`oi , , , c`
on l .ai, th`ı ng˘an sô´ 4 l`a trô´ng (v`ı ngu .oc l.ai th`ı ca hai ng˘an 0 v`a 4 , , , ¯ dê`u không trô´ng, d˜ ân ¯ dê´n vô l´
y). Nhu v .ây, m˜ôi ngu`oi trong sô´ 5 , , , , , , , ngu` oi ¯
du .oc ¯d.˘at v`ao c´ac ng˘an mang sô´ 0,1,2,3 v´oi sô´ lu .ong 4 ng˘an. , , , ,, T` u nguyên l´
y Ðirichlê suy ra ´ıt nhâ´t c´ o hai ngu` oi o trong m .ôt ng˘an, , , , , hay l`
a, h .o c´o chung sô´lu .ong ngu`oi quen. , , 8 Chuong 1. Nguyên l´ y Ðirichlê v` a v´ı d .u , , , , , , , ,
b) Nê´u m .oi ngu`oi c´o ´ıt nhâ´t m .ôt ngu`oi quen, m˜ôi ngu`oi s˜e ¯du .oc , , , ¯
d .˘at v`ao c´ac ng˘an mang sô´1,2,3,4, v´oi sô´lu .ong 4 ng˘an. Phâ`n c`on l.ai ´
ap d .ung nguyên l´y Ðirichlê. J , , ,
. 1.5. Trong m .ôt giai b´ong ¯d´a tham d .u 16 ¯d.ôi. M˜ôi c .˘ap hai ¯d.ôi phai , , , , , , ¯ dâ´u v´ oi nhau. Ch´ ung minh r` ˘
ang t .ai m˜ôi th`oi ¯diêm cua giai c´o ´ıt nhâ´t , 2 ¯
d .ôi c´o sô´tr .ân ¯d˜a ¯dâ´u nhu nhau. , , , L` oi giai. Ch´ ung ta x´ et 16 ng˘ an k´ eo ¯ d´ anh sô´t` u 0 ¯ dê´n 15. Ch´ u ´ y r` ˘ ang , , , , , 15 l`
a sô´lu .ong l´on nhâ´t c´ac tr.ân b´ong m`a m˜ôi ¯d .ôi c´o thê ¯dâ´u t.ai th`oi , ¯ diêm ¯ dang x´ et. H˜ ay ¯
d .˘at m˜ôi ¯d .ôi b´ong v`ao ng˘an k´eo mang sô´ b`˘ang , , sô´c´
ac tr .ân m`a ¯d .ôi ¯d˜a ¯dâ´u ¯dê´n th`oi ¯diêm ¯d´o. Ch´ung ta nh.ân ra r`˘ang , , , , , c´ ac ng˘ an 0 v` a 15 không thê ¯ dô`ng th` oi không trô´ng ¯ du .oc v`a nhu v.ây , c´ o thê ´
ap d .ung nguyên l´y Ðirichlê. J , , , ,
. 1.6. Trên tr´ ai ¯
dâ´t sô´ng hon 5 ty ngu` oi, biê´t r` ˘ ang không qu´ a 1% sô´ng , , , ,
trên m .ôt tr˘am tuôi. Ch´ung minh r`˘ang ´ıt nhâ´t c´o hai ngu`oi sinh c`ung
m .ôt giây ¯dô`ng hô`. , , , , , L`
oi giai. Theo duong l.ich hi.ên h`anh 100 n˘am c´o ´ıt hon 37000 ng`ay. , , , M˜ ôi ng` ay c´ o 24 gi` o, m˜ ôi gi` o c´ o 3600 giây. Khi ¯ d´ o 100 n˘ am c´ o ´ıt hon , , , , , , , 3,33 ty giây. T` u ¯
diê`u ki .ên ch´ung ta t`ım ¯du .oc nh˜ung ngu`oi trên tr´ai , , , , , ¯ dâ´t không qu´ a 100 tuôi ´ıt nhâ´t l` a 99% t` u 5 ty ngu` oi ngh˜ıa l` a ´ıt nhâ´t , , , , c´
o 4,9 ty. Vi .êc c`on l.ai ´ap d .ung nguyên l´y Ðirichlê: ¯d.˘at 4,9 ty ngu`oi , v` ao 3,33 ty ng˘ an k´ eo. J , , . 1.7. Trong th` oi gian k´eo d`
ai m .ôt n˘am h.oc m.ôt h.oc sinh giai ´ıt nhâ´t , , ,
m .ôt b`ai t .âp m˜ôi ng`ay. Ðê tr´anh c˘ang th˘ang h.oc sinh giai h`ang tuâ`n , , không qu´ a 12 b`
ai t .âp. Ch´ung minh r`˘ang trong th`oi gian k´eo d`ai liên , ,
t .uc m.ôt sô´ng`ay h.oc sinh n`ay phai giai ¯d´ung 20 b`ai t .âp m˜ôi ng`ay. 1.2. V´ı d .u 9 , , , , , L` oi giai. Ch´ ung ta k´
y hi .êu a1 l`a sô´ lu .ong b`ai t.âp h .oc sinh ¯d˜a giai , , , trong ng` ay ¯
dâ`u tiên, a2 l`a sô´ lu .ong b`ai t.âp ¯d˜a giai trong hai ng`ay , , , ¯
dâ`u, a3 l`a sô´ lu .ong b`ai t.âp ¯d˜a giai trong ba ng`ay ¯dâ`u, v`a v.v. a77 , , , , l`
a sô´ lu .ong b`ai t.âp ¯d˜a giai trong 77 ng`ay ¯dâ`u (11 tuâ`n). Theo gia , ,
thiê´t a77 ≤ 11.12 = 132. Ch´ung ta x´et t .âp h .op c´ac sô´ t .u nhiên
M = {a1, a2, a3, . . . , a77, a1 + 20, a2 + 20, a3 + 20, . . . , a77 + 20}. N´o , ,, , ch´ ua 154 phâ`n tu v` a sô´ l´ on nhâ´t trong ch´ ung l` a a77 + 20 ≤ 152. , Theo nguyên l´ y Ðirichlê trong M c´ o ´ıt nhâ´t hai sô´b` ˘ ang nhau. Nhung c´
ac sô´ a1, a2, a3, . . . , a77 l`a ho`an to`an kh´ac nhau. suy ra tô`n t .ai ak v`a ,
al m`a ak = al + 20, l < k ≤ 77. Nhu v .ây ak − al = 20, ¯diê`u n`ay , , , , , c´ o ngh˜ıa l` a t` u ng` ay th´ u l + 1 ¯ dê´n ng` ay th´ u k h .oc sinh n`ay phai giai ¯ d´ ung 20 b` ai. J , , , , , ,
. 1.8. Trong m .ôt khu t .âp thê sô´ng 123 ngu`oi. Tông sô´ tuôi cua h.o , , , , ,, , l` a 3813. Ch´ ung minh r` ˘ ang c´
o thê ch .on 100 ngu`oi sô´ng o khu t .âp thê , , , , , n` ay, m`
a tông sô´tuôi cua h .o không nho hon 3100. , , , , , , ,, L` oi giai. Ch´ ung ta h˜
ay ch .on 100 ngu`oi nhiê`u tuôi nhâ´t v`a gia su , , , , , , , ,
tông sô´ tuôi cua h .o nho hon 3100. Khi ¯d´o ngu`oi tre nhâ´t trong sô´ , , , , , , , ngu` oi ¯
du .oc ch .on l`a 3100:100=31 tuôi. M.˘at kh´ac ngu`oi n`ay không , , , , , , , tre hon 23 ngu`oi c`
on l .ai theo c´ach ch .on. Khi ¯d´o tông sô´tuôi cua 23 , , , , , , , , ngu` oi n` ay không l´
on hon 23.31=713. Suy ra tông sô´tuôi cua tâ´t ca , , , , ,
m .oi ngu`oi sô´ng trong t.âp thê nho hon 3100+713=3813 d˜ân ¯dê´n vô l´ y. J , , , , . 1.9. N˘
am c .˘ap v.o chô`ng tô ch´uc m.ôt buôi g .˘ap m .˘at. Khi g .˘ap nhau h.o , , , , b´ ˘
at tay nhau, nhung không ai t .u b´˘at tay ngu`oi trong gia ¯d`ınh m`ınh , , , v` a ngu` oi m`
a chô`ng m`ınh (ho .˘ac v.o m`ınh) ¯d˜a b´˘at tay rô`i. C˜ung không , , , ai b´ ˘ at tay c`
ung m .ôt ngu`oi hai lâ`n. Sau cu.ôc g .˘ap ch´uc m`ung ban ¯dâ`u, , , , , , , , , ,
m .ôt ngu`oi ¯d`an ông tên l`a H`ung hoi tâ´t ca nh˜ung ngu`oi c´o m .˘at, kê ca , , 10 Chuong 1. Nguyên l´ y Ðirichlê v` a v´ı d .u , , ,
v .o m`ınh, l`a h.o ¯d˜a b´˘at tay ¯du.oc bao nhiêu lâ`n. H.o nh .ân thâ´y r`˘ang ch´ın , , , , , , , , , , ngu` oi ¯
du .oc hoi ¯dê`u tra l`oi c´ac con sô´kh´ac nhau. Nhu v .ây v.o cua H`ung ¯ d˜ a b´ ˘
at tay bao nhiêu lâ`n? , , , , , , L` oi giai. M˜
ôi m .ôt ngu`oi kh´ach b´˘at tay không qu´a 8 lâ`n. V`ı câu tra l`oi , , , , cua 9 ngu`oi l` a c´ ac sô´kh´ ac nhau nên c´ ac sô´ ¯ d´ o phai l` a 0,1,2,3,4,5,6,7 , , , , , , , v` a 8. Ngu` oi b´ ˘ at tay 8 lâ`n phai l`
a v .o (ho.˘ac chô`ng) cua ngu`oi không , , , , b´ ˘ at tay lâ`n n`
ao (nê´u ngu .oc l.ai th`ı ngu`oi ¯d´o không b´˘at tay 8 lâ`n m`a , , , , , , , nhiê`u nhâ´t chı l`
a 7 lâ`n thôi). Tuong t .u nhu v.ây ngu`oi b´˘at tay 7 lâ`n , , , , , c´ o ngu`
oi v .o (ho.˘ac chô`ng) b´˘at tay m .ôt lâ`n, ngu`oi b´˘at tay 6 lâ`n c´o , , , , , , , , ngu`
oi v .o (ho.˘ac chô`ng) b´˘at tay 2 lâ`n, ngu`oi b´˘at tay 5 lâ`n c´o ngu`oi v .o , , ,
(ho .˘ac chô`ng) b´˘at tay 3 lâ`n. Chı c`on l.ai m .ôt ngu`oi duy nhâ´t b´˘at tay , , , , 4 lâ`n, ¯ d´ o ch´ınh l` a ngu` oi v .o cua H`ung. J , , , ,
. 1.10. M .ôt câu chuy.ên cô t´ıch kê l .ai r`˘ang: M.ôt lâ`n vua H`ung vuong , 18 c´ o m` oi c´
ac quan trong triê`u h .op ngô`i quanh m.ôt c´ai b`an tr`on. Theo , , , ,
l.ênh cua vua, m.ôt c .ân thâ`n ¯d˜a viê´t tên cua m˜ôi quan trên b`an tru´oc , , , chiê´c ghê´ m`
a ông ta phai ngô`i. C´
ac quan trong triê`u không ¯ du .oc b´ao , , tru´
oc nên h .o ¯d˜a ngô`i không theo s´˘ap xê´p ¯d˜a ¯d.inh m`a chiê´m ch˜ô m.ôt , , c´ ach bâ´t k` y. Ch´ ung minh r` ˘
ang ông c .ân thâ`n c´o thê quay chiê´c b`an sao , cho ´ıt nhâ´t c´
o hai ông quan ngô`i ¯ d´
ung v.i tr´ı tên cua m`ınh ? , , , , L`
oi giai. Ð .˘at sô´lu .ong c´ac quan l`a n. Khi ¯d´o m.˘at b`an c´o n tr.ang th´ai, , , , v´ oi c´
ac tr .ang th´ai n`ay ¯dô´i di.ên v´oi c´ac quan l`a biên ¯dê` tên n`ao ¯d´o. , , Ngo` ai ra v´ oi m˜
ôi m .ôt ông quan chı c´o m .ôt tr.ang th´ai, m`a khi ngô`i , , , ¯ d´ ung th`ı ông â´y ¯
dô´i di .ên v´oi ch´ınh tên cua m`ınh trên biên ¯dê` s˜˘an. , , , , Ngh˜ıa l` a, nê´u m˜
ôi tr .ang th´ai cua b`an (v`ı b`an c´o thê xoay ¯du .oc) ta , , , , , , cho tuong ´ ung v´
oi m .ôt sô´ b`˘ang sô´ lu .ong c´ac quan ngô`i ¯d´ung v.i tr´ı , , , , , ,
tên m`ınh, th`ı tông cua tâ´t ca nh˜
ung sô´ nh .ân ¯du .oc (m .oi tr.ang th´ai , , , , b` an) s˜
e không nho hon n. Nhung m .ôt tr.ang th´ai ¯dâ`u tiên cua s´˘ap 1.3. B` ai t .âp 11 , , , , , ,, xê´p b` an cho tuong ´ ung v´ oi 0 (không ai ngô`i ¯ d´ ung ch˜ ô ). Nê´u gia su , , , , , ,
trong n − 1 tr .ang th´ai m.˘at b`an c`on l.ai tuong ´ung v´oi sô´ nho hon 2 , , , , , , , , (t´ uc l` a chı c´
o sô´ 1 ho .˘ac 0), th`ı tông cua n sô´nh.ân ¯du .oc s˜e nho hon , , , , n, ¯ diê`u ¯ d´ o không thê ¯
du .oc. Suy ra t`u n − 1 tr.ang th´ai m.˘at b`an c`on , , ,
l .ai c´o ´ıt nhâ´t m .ôt tr.ang th´ai m`a hai ngu`oi s˜e ¯dô´i di.ên v´oi ch´ınh tên , cua m`ınh. J 1.3. B ` ai t .âp
. 1.11. Trong sân cung ¯
di .ên nh`a vua h .ôi h .op 2n(n ≥ 2) ông quan, , , m˜ ôi ông quan ¯ d˜
a quen biê´t không ´ıt hon n ông c´ o m .˘at t.ai ¯d´o. Ch´ung , , , , , , , minh r` ˘ ang ngu`oi xê´p b` an tr` on c´ o thê xê´p ¯
du .oc m˜ôi b`an 4 ngu`oi sao , , , , , , , cho m˜ ôi ngu` oi ¯ d´ ung gi˜ua hai ngu` oi quen cua m`ınh. ,
. 1.12. M .ôt khu r`ung thông c´o d.ang h`ınh vuông m˜ôi chiê`u 1km. , , , Trong r` ung c´
o 4500 cây thông, cây to nhâ´t c´ o ¯ du` ong k´ınh 0,5m. , , , Ch´ ung minh r` ˘ ang trong khu r` ung c´ o ´ıt nhâ´t 60 manh ¯ dâ´t, di .ên t´ıch , m˜ ôi manh 200m2, không c´ o m .ôt cây thông n`ao. ,
. 1.13. Trong m .ôt gi´a s´ach c´o 25 ng˘an. Ta thâ´y c´o m .ôt ng˘an ch´ua , , , 10 cuô´n, c` on c´ ac ng˘ an kh´ ac ch´ ua sô´ s´ ach ´ıt hon. Ch´ ung minh r` ˘ ang , , , , , c´ o ´ıt nhâ´t ba ng˘ an s´ ach ch´ ua c` ung sô´ s´ ach nhu nhau (kê ca nh˜ ung ng˘ an không c´ o s´ ach). , , , , ,
. 1.14. T .ai m .ôt th`anh phô´ biên xe ôtô ¯du .oc ¯d´anh sô´ b`˘ang tô h .op , , , , , ch˜ u c´ ai rô`i ¯ dê´n d˜ ay sô´. Ch´ ung minh r` ˘
ang trên m .ôt ¯do.an ¯du`ong c´u , , c´ o 11 chiê´c ôtô ¯ di qua th`ı bao gi` o c˜ ung c´ o hai chiê´c ôtô c´ o c` ung ch˜ u sô´t .ân c`ung. , , , ,, ,
. 1.15. M .ôt chiê´c hô` l´on ¯du .oc b .oc boi 4 tr.am chuyên tiê´p s´ong , , , , thông tin. Gi˜
ua hai tr .am ngu`oi ta xây d .ung c´ac trung tâm ph´at s´ong , , , , , , ,, v`
a nh .ân s´ong, ¯du`ong s´ong bao phu l´on nhâ´t l`a ¯du`ong tr`on c´o tâm o , , 12 Chuong 1. Nguyên l´ y Ðirichlê v` a v´ı d .u , , trung tâm v` a ¯
di qua hai tr .am. Ch´ung minh r`˘ang v´oi bô´n trung tâm ,, , , , , , , o c´ ac ¯
do .an gi˜ua cua t`ung c.˘ap tr.am th`ı to`an b .ô m.˘at hô` s˜e ¯du .oc phu s´ ong thông tin. , , CHUONG 2 S ´ Ô H .OC , 2.1. Ph ´ ep chia sô´ t .u nhiên , Trong c´ ac ph´
ep t´ınh trên sô´ nguyên: c .ông, tr`u, nhân, chia, th`ı, ph´ ep chia l` a râ´t ¯
d .˘ac bi.êt. Ph´ep chia c´o h`ang lo.at t´ınh châ´t m`a tâ´t ca , c´ ac ph´ ep t´ınh c`
on l .ai không c´o. V´ı d .u c´ac ph´ep to´an ¯dê`u th .uc hi.ên , , , , , , v´ oi sô´0 ¯
du .oc, nhung riêng ph´ep chia cho sô´0 th`ı không ¯du .oc. Ph´ep , , , chia không chı ¯
d .˘ac bi.êt v´oi ph´ep chia cho 0. V´oi c´ac ph´ep t´ınh c .ông, , , , tr`
u, nhân trên sô´nguyên cho ta sô´nguyên, nhung v´ oi ph´ ep chia th`ı , t´ınh châ´t ¯ d´ o không c` on ¯ d´ ung v`ı không phai l´ uc n` ao ta c˜ ung nh .ân , , , , , ¯
du .oc sô´nguyên sau ph´ep chia. Nh`o nh˜ung d.i bi.êt cua ph´ep chia m`a , , , trong to´
an h .oc xây d .ung h˘an m .ôt l´y thuyê´t vê` ph´ep chia nh˜ung sô´ , , , nguyên. Nh˜
ung v´ı d .u v`a b`ai t.âp chuong n`ay c´o liên quan m.ât thiê´t , gi˜ ua ph´ ep chia v` a nguyên l´ y Ðirichlê, nên ch´ ung ta nh´ ˘ ac l .ai ¯d.inh ngh˜ıa ph´ ep chia: , , Cho a v`a b l`a nh˜ ung sô´ nguyên, v´ oi b > 0. Ch´ ung ta n´ oi r` ˘ ang a
chia hê´t cho b, k´y hi .êu l`a b|a, khi tô`n t.ai m .ôt sô´ nguyên q sao cho , , ¯ d˘ ang th´ uc sau ¯ d´ ung a = bq. , , , , , , Ch´ ung ta thu`
ong g .oi sô´ a l`a b.ôi cua b, ho.˘ac b l`a u´oc cua a. Sô´q , , , ,
g .oi l`a thuong sô´ cua ph´ep chia a cho b. Trong ph´at biêu ¯d.inh ngh˜ıa ,
trên, nê´u không tô`n t .ai m .ôt sô´ q n`ao ca, th`ı ch´ung ta n´oi r`˘ang a , , 14 Chuong 2. Sô´h .oc
không chia hê´t cho b v`a k´y hi .êu l`a b 6 |a. , , , , T` u ¯
d.inh ngh˜ıa ch´ung ta d˜ê d`ang ch´ung minh ¯du .oc c´ac t´ınh châ´t sau , 1) V´
oi m .oi sô´ nguyên a > 0 ch´ung ta c´o a|a, Ph´ep chia hê´t c´o , t´ınh phan x .a.
2) Nê´u b|a v`a a|c th`ı b|c- ph´ep chia hê´t c´ o t´ı nh b´ ˘ ac câ`u.
3) Nê´u b|a v`a b|c, th`ı b|(ac). ,
4) Nê´u a, b, m, n l`a nh˜ung sô´ nguyên v`a nê´u c|a v`a c|b, th`ı c|(ma + nb). ,
Ð.inh l´y sau ¯dây gi˜u vai tr`o quan tr .ong cho ph´ep chia m .ôt sô´
nguyên cho m .ôt sô´nguyên. , V´
oi hai sô´ nguyên bâ´t k` y a v`
a b sao cho b > 0, tô`n t .ai duy , , nhâ´t nh˜
ung sô´ nguyên q v` a r thoa m˜ an a = bq + r v`
a 0 ≤ r < b. , , , C`
on râ´t nhiê`u t´ınh châ´t kh´ ac cua sô´ nguyên c˜ ung nhu sô´ th .uc , , , , nhung ch´ ung ta không ¯ di theo hu´ ong n` ay, m` a chı d` ung c´ ac t´ınh châ´t , , ,
cua sô´h .oc v`a Nguyên l´y Ðirichlê ¯dê giai c´ac b`ai to´an. 2.2. V´ıd .u , , ,
. 2.1. Cho k l`
a m .ôt sô´t .u nhiên, A l`a t .âp h.op gô`m k + 1 sô´t .u nhiên. , ,, Ch´ ung minh r` ˘ ang c´
o ´ıt nhâ´t m .ôt hi.êu hai phâ`n tu trong A chia hê´t cho k. , , ,, , L`
oi giai. G .oi a1, a2, . . . , ak+1 l`a c´ac phâ`n tu cua A, c`on b1, b2 , . . . , bk+1 , , , l` a nh˜ ung sô´ du cua ph´ ep chia c´ ac sô´ trên cho k. Khi ¯ d´ o a1 = ,
kc1 + b1, a2 = kc2 + b2, . . . , ak+1 = kck+1 + bk+1,v´oi c´ac sô´ nguyên
c1, c2, . . . , ck+1 sao cho 0 ≤ b1 ≤ k − 1, 0 ≤ b2 ≤ k − 1, . . . , 0 ≤ ,, , , , ,
bk+1 ≤ k − 1. M .ôt phâ`n tu bâ´t k`y as thu .ôc A cho tuong ´ung v´oi sô´ 2.2. V´ıd .u 15 , , , , , ,, ,
du bs cua n´o.G .oi t.âp h .op c´ac sô´du l`a B. Nhu v.ây, m˜ôi phâ`n tu cua A , , , , , , ,, , , , ¯
du .oc ¯d.˘at tuong ´ung v´oi m .ôt phâ`n tu cua t.âp h .op B, gô`m tâ´t ca c´ac , , , , ,, , , sô´ nguyên t` u 0 ¯
dê´n k − 1. Nhung sô´ lu .ong phâ`n tu cua A theo gia , , thiê´t l` a k + 1, c` on B c´
o sô´ lu .ong k. Theo nguyên l´y Ðirichlê suy ra ,, , ,
tô`n t .ai hai phâ`n tu kh´ac nhau cua A c´o c`ung sô´du. Ðiê`u ¯d´o ngh˜ıa l`a, , ,
tô`n t .ai hai chı sô´kh´ac nhau s v`a t v´oi as = kcs + bs v`a at = kct + bs , , , sau khi tr` u ¯ di cho nhau ta ¯
du .oc at − as = k(ct − cs). J , ,
. 2.2. Cho A m .ôt t .âp h.op bâ´t k`y gô`m 101 sô´t .u nhiên, m˜ôi sô´không , , , l´ on hon 200. Ch´ ung minh r` ˘ ang trong A c´
o ´ıt nhâ´t hai sô´ m` a m .ôt sô´ n`
ay chia hê´t cho sô´kia. , , , , , , , , L` oi giai. M˜ ôi sô´ a cua A c´ o thê biêu di˜ ên du´ oi d .ang a = 2kb v´oi k l`a , , sô´ nguyên không âm, c`
on b l`a m .ôt sô´ le. V´oi m˜ôi sô´ a thu .ôc A cho , , , , , , ,, tuong ´ ung v´
oi sô´ b trong s .u biêu di˜ên o trên. B`˘ang c´ach n`ay, m˜ôi ,, , , , , , , , ,, , , phâ`n tu a cua A ¯
du .oc ¯d.˘at tuong ´ung v´oi m .ôt phâ`n tu cua t.âp h .op B , , , , , ,, gô`m c´ ac sô´le gi˜ ua 1 v`
a 200. Nhung t .âp h .op B chı c´o 100 phâ`n tu v`ı ,, , , , ,, , ,
v .ây sô´ phâ`n tu cua A l´on hon sô´ phâ`n tu cua B. Ta c´o thê ´ap d .ung ,, nguyên l´
y Ðirichlê, suy ra tô`n t .ai hai phâ`n tu kh´ac nhau a1 v`a a2 , , , , , ,
thu .ôc A m`a ch´ung tuong ´ung v´oi c`ung m .ôt sô´cua t.âp h .op B. Ngh˜ıa l`
a, a1 = 2k1b, a2 = 2k2b v`a nê´u k1 < k2, th`ı sô´ a2 chia hê´t cho a1. J , ,
. 2.3. Cho M l`
a t .âp h.op bâ´t k`y gô`m 75 sô´t .u nhi.ên m`a m˜ôi sô´không , , , , , , , l´ on hon 100. Ch´ ung minh r` ˘ ang v´ oi m˜
ôi sô´ t .u nhiên l nho hon ho .˘ac ,, , b` ˘
ang 49 tô`n t .ai hai phâ`n tu cua M c´o hi.êu l`a l. , , ,, , L`
oi giai. G .oi c´ac phâ`n tu cua M l`a x1, x2, . . . , x75. K´y hi.êu A l`a t.âp , , , , , ,
h .op c´ac sô´t .u nhiên t`u 1 ¯dê´n 150. V´oi m˜ôi sô´1, 2, 3 . . . , 75 cho tuong ´, , , , ung v´ oi c´
ac sô´ x1, x2, . . . , x75, c`on c´ac sô´ 76, 77, 78, . . . 150 lâ`n lu .ot ´, , ung v´
oi x1 + l, x2 + l, . . . , x75 + l. V`ı xm ≤ 100(m = 1, 2, . . . , 75) v`a , , 16 Chuong 2. Sô´h .oc ,, , , , , ,
l ≤ 49 th`ı xm + l < 150. Suy ra m˜ôi phâ`n tu cua A tuong ´ ung v´ oi ,, , , , ,
m .ôt phâ`n tu cua B gô`m nh˜ung sô´t .u nhiên t`u 1 ¯dê´n 149. V`ı sô´phâ`n ,, , , , ,, , tu cua A l´
on hon sô´ phâ`n tu cua B, theo nguyên l´y Ðirichlê tô`n t .ai ,, , , , , , hai phâ`n tu kh´ ac nhau cua A, m`a ch´ ung tuong ´ ung v´ oi c` ung m .ôt ,, , , , , , phâ`n tu cua B. Nhung v´ oi c´ ac gi´
a tr.i kh´ac nhau cua m t`u 1 ¯dê´n 75 , , , , , , , ¯
du .oc cho tuong ´ung v´oi c´ac gi´a tr.i kh´ac nhau cua x1 ¯dê´n x75 trong , , , , ,, , , , , ,
B. Tuong t .u c´ac gi´a tr.i cua m o khoang 76 ¯dê´n 150 tuong ´ung v´oi , , c´ ac gi´
a tr.i kh´ac nhau trong khoang c`on l.ai. T`u ¯d´o suy ra tô`n t.ai xm v`
a xn m`a xm = xn + l, ngh˜ıa l`a xm − xn = l. J , , ,
. 2.4. Cho k ≥ 1 v` a n ≥ 1 l` a nh˜
ung sô´t .u nhiên v`a A l`a t .âp h.op gô`m , , , ,
(k − 1)n + 1 sô´nguyên duong, m˜ ôi sô´n` ay ¯
dê`u nho hon ho .˘ac b`˘ang kn. , ,, , , , , Ch´ ung minh r` ˘ ang ´ıt nhâ´t c´
o m .ôt phâ`n tu cua A c´o thê biêu di˜ên nhu , , ,,
tông cua k phâ`n tu trong A. , , , , , L` oi giai. V´
oi k = 1 b`ai to´an hiên nhiên l`a ¯ d´ ung, ch´ ung ta gia thiê´t ,
k ≥ 2. K´y hi .êu m l`a sô´ nho nhâ´t thu .ôc A. D˜ê thâ´y r`˘ang m ≤ n v`a , , ,
tô`n t .ai ¯d´ung n − m sô´ thu .ôc A m`a ch´ung l´on hon m nhung không , , vu .ot qu´a kn. , , Ðê ch´ ung minh b` ai to´ an ch´
ung ta t`ım hai sô´ x v`a y thu .ôc A sao ,
cho x = y + (k − 1)m; ngh˜ıa l`a biêu di˜ên m .ôt sô´ n`ao ¯d´o thu .ôc A , , th`
anh tông k sô´h .ang thu .ôc A trong ¯d´o c´o k − 1 sô´h.ang b`˘ang m. Chı
câ`n t`ım sô´ x thu .ôc A m`a x > (k − 1)m v`a x − (k − 1)m thu .ôc A. ,
Th .ât v.ây, trong khoang ∆ = ((k − 1)m, kn] c´o kn − (k − 1)m =
k(n − m) + m sô´ nguyên. V`ı k ≥ 2, nên (k − 1)m ≥ m, theo nh .ân x´ et ban ¯ dâ`u suy ra c´
o nhiê`u nhâ´t n − m sô´ trong ∆ không thu .ôc A. , Ðiê`u n` ay ngh˜ıa l` a A ch´
ua ´ıt nhâ´t s = k(n − m) + m − (n − m) = ,
(k − 1)(n − m) + m sô´. Nhung s ≥ n, v`ı (k − 2)(n − m) ≥ 0. G .oi ,
a1, a2, . . . , as thu .ôc A, v´oi (k − 1)m < ai ≤ kn, i = 1, 2, . . . , s. Khi ¯d´o 2.2. V´ıd .u 17 , , nh˜
ung hi .êu a1 − (k − 1)m, a2 − (k − 1)m, . . . , as − (k − 1)m l`a nh˜ung , sô´nguyên kh´
ac nhau trong khoang [1, kn]. Nê´u m .ôt sô´n`ao ¯d´o trong ch´
ung không thu .ôc A, th`ı theo nguyên l´y Ðirichlê ch´ung ta nh.ân , , , , ¯
du .oc s ≤ n − 1, v`ı ngo`ai A c´o ¯d´ung n − 1 sô´trong khoang n`ay. Nhu , , , ,
v .ây tr´ai v´oi bâ´t ¯d˘ang th´uc ¯d˜a ch´ung minh s ≥ n. Suy ra tô`n t.ai m .ôt
hi .êu ai − (k − 1)m thu .ôc A. J , , , , , , . 2.5. Ch´ ung minh r` ˘ ang t`
u n + 1 sô´duong kh´
ac nhau nho hon 2n, c´ o , , , , ,
thê ch .on ¯du.oc ba sô´sao cho tông hai sô´trong ch´ung b`˘ang sô´th´u ba. , , , L` oi giai. K´
y hi .êu 0 < a1 < a2 < . . . < an+1 l`a nh˜ung sô´ ¯d˜a cho. Ch´ ung ta x´ et c´
ac hi .êu sô´ a2 − a1, a3 − a1, . . . , an+1 − a1 v`a c´ac sô´ , , ,
a2, a3 . . . , an+1. V`ı tâ´t ca c´ac sô´ n`ay ¯
dê`u nho hon 2n nên c´ac sô´ trên , , , , , chı n` ˘
am trong khoang 1, 2, . . . , 2n − 1. Nhu v .ây ch´ung ta s˜e t`ım ¯du .oc ,, , ,, ,
m .ôt sô´o nh´om th´u nhâ´t b`˘ang m .ôt sô´o nh´om th´u hai: ak − a1 = al, suy ra ak = a1 + al. J , , . 2.6. Ch´ ung minh r` ˘ ang v´
oi m .ôt sô´ bâ´t k`y n tô`n t .ai m.ôt sô´ c´o d .ang 111 . . . 000 m`
a chia hê´t cho n. | {z } , n ch˜ u sô´ , , , , L` oi giai. Ch´ ung ta x´
et nh˜ung sô´ 1, 11, 111, . . . , 111 . . . 111 v`a nh˜ung | {z } , n ch˜ u sô´ , sô´ du khi chia d˜
ay sô´ trên cho n. V`ı d˜ay sô´ ¯ d˜ a cho gô`m n phâ`n ,, , , , , tu, nên nh˜ ung sô´ du duong kh´ ac nhau khi chia ch´ ung cho n c´ o sô´ , , , ,
lu .ong n − 1. C´o thê gia thiê´t không c´o m .ôt sô´ n`ao trong d˜ay trên , , , , ,
chia hê´t cho n v`ı nê´u ngu .oc l.ai th`ı b`ai to´an ¯d˜a ¯du .oc giai. Khi ¯d´o s˜ e c´ o hai sô´ trong ch´
ung, v´ı d .u 111 . . . 111 v`a 111 . . . 111, l > k, | {z } , | {z } , k ch˜ u sô´ l ch˜ u sô´ , m` a khi chia ch´ ung cho n s˜e cho c`
ung m .ôt sô´ du. Do ¯d´o l − k = , , 18 Chuong 2. Sô´h .oc 111 . . . 000 s˜ e chia hê´t cho n. J | {z } , , (l-k ch˜ u sô´1, k ch˜ u sô´0) , , ,
. 2.7. Cho p l` a sô´nguyên tô´l´ on hon 5. Ch´ ung minh r` ˘ ang tô`n t .ai m.ôt sô´c´
o d .ang 111 . . . 111 m`a chia hê´t cho p. , , L` oi giai. Ta x´ et d˜
ay sô´1, 11, 111, . . . , 111 . . . 1 . Nê´u trong d˜ay trên | {z } , (p ch˜ u sô´) , , , , không c´ o sô´ n`
ao chia hê´t cho p, th`ı ta cho tuong ´ ung m˜ ôi sô´ v´ oi sô´ , , , , , du cua ph´
ep chia. T .âp h .op c´ac sô´du chı c´o 1, 2, . . . , p − 1 gô`m p − 1 ,, , ,
phâ`n tu (v`ı 0 không thê c´
o trong t .âp n`ay). Nhung v`ı ch´ung ta c´o p ,,
sô´ o d .ang trên, nên theo nguyên l´y Ðirichlê tô`n t.ai hai sô´ c´o c`ung , , ,, , sô´du. Gia su c´ ac sô´ ¯ d´ o l` a 111 . . . 1 v` a 111 . . . 1 v´ oi m > n. Khi | {z } , | {z } , (m ch˜ u sô´) ( n ch˜ u sô´) ¯ d´ o 1 ≤ n < m ≤ p. V .ây 111 . . . 1 − 111 . . . 1 = 111 . . . 000 | {z } , | {z } , | {z } , , (m ch˜ u sô´) (n ch˜ u sô´) (m-n ch˜ u sô´1, n ch˜ u sô´0) = 111 . . . 1 .10n | {z } , (m-n ch˜ u sô´) T´ıch n`
ay chia hê´t cho p v`ı (p, 10) = 1, suy ra 111 . . . 1 | {z } , (m-n ch˜ u sô´1) ,, chia hê´t cho p v`a n´ o c˜ ung n` ˘ am trong d˜ ay o trên. M` a 1 ≤ m − n ≤ p , , mâu thu˜ ân v´ oi gia thiê´t không c´ o sô´ n` ao trong d˜ ay chia hê´t cho p. J , , ,
. 2.8. (Ðê` thi Olympic to´ an thê´gi´ oi lâ`n th´ u 14) Cho M l` a t .âp h.op bâ´t , , , , k`
y gô`m 10 sô´ t .u nhiên, m˜ôi sô´không l´on hon 100. Ch´ung minh r`˘ang , , , , ,,
tô`n t .ai hai t .âp h.op con cua M m`a tông cua c´ac phâ`n tu trong ch´ung b` ˘ ang nhau. 2.2. V´ıd .u 19 , , , , , L` oi giai. C´ o thê ch´
ung minh nê´u tô`n t .ai hai t.âp thoa m˜an kê´t lu.ân , , , , cua b` ai to´ an, th`ı ta c´
o thê ch .on ¯du .oc hai t.âp con c´o c`ung t´ınh châ´t , ,
â´y nhung không giao nhau. Th .ât v.ây, Cho X, Y l`a hai t.âp con cua M , ,, c´ o tông c´ ac phâ`n tu b` ˘ ang nhau. Ch´ ung ta k´
y hi .êu X1 gô`m c´ac phâ`n ,, , , , , ,
tu cua X m`a không thu .ôc Y. Tuong t .u nhu v.ây Y1 gô`m c´ac phâ`n ,, , ,
tu cua Y m`a không thu .ôc X. R˜o r`ang X1 v`a Y1 c´o tông c´ac phâ`n ,, , , tu b` ˘ ang nhau m`
a không giao nhau. G .oi A l`a t.âp h .op m .oi t.âp h .op , , , ,, , con không r˜
ông cua M. Sô´ lu .ong phâ`n tu cua A l`a 210 − 1 = 1023. , ,, , , , Ch´ ung ta x´
et tông S c´ac phâ`n tu cua m .ôt t.âp h .op con nhu v.ây, r˜o , r`
ang S ≤ 91 + 92 + · · · + 100 < 10.100 = 1000. Nhu v .ây tô`n t.ai , , , không qu´ a 1000 tông kh´ ac nhau. K´
y hi .êu B l`a t.âp h .op tâ´t ca c´ac , , , , ,, , ,, , ,
tông nhu v .ây. Do ¯d´o sô´ lu .ong phâ`n tu cua B nho hon 1000 v`a nho , , , ,, , , , , ,, , ,
hon sô´lu .ong phâ`n tu cua A. Ð.˘at tuong ´ung m˜ôi phâ`n tu cua t.âp h .op , , ,, , , A v´ oi tông c´ ac phâ`n tu cua n´ o. Ta thâ´y r` ˘ ang c´ o thê ´ ap d .ung nguyên ,, , l´ y Ðirichlê o ¯
dây. Suy ra tô`n t .ai ´ıt nhâ´t hai t.âp h .op con kh´ac nhau c´o , ,, c`
ung m .ôt tông c´ac phâ`n tu. J , ,
. 2.9. (Ðê` thi h .oc sinh gioi to´an Câ´p II to`an quô´c 1983) Ch´ung minh , r` ˘ ang trong c´
ac sô´t .u nhiên thê´n`ao c˜ung c´o sô´k sao cho 1983k − 1 chia hê´t cho 105. , , , , , L`
oi giai. Cho k lâ´y gi´a tr.i t`u 1 ¯dê´n 105 + 1 rô`i thay v`ao biêu th´uc , ,
1983k − 1 s˜e nh .ân ¯du .oc 105 + 1 gi´a tr.i kh´ac nhau. Chia 105 + 1 sô´ , ,, , , , v`
ua nh .ân o trên cho 105, s˜e ¯du .oc nhiê`u nhâ´t l`a 105 sô´ du. Do ¯d´o , , theo nguyên l´ y Ðirichlê phai c´
o ´ıt nhâ´t hai sô´ cho c` ung m .ôt sô´ du. , ,, Gia su ¯ d´ o l`
a sô´ 1983m − 1 v`a 1983n − 1(m > n). Thê´ th`ı (1983m −
1) − (1983n − 1) chia hê´t cho 105 m`
a (1983m − 1) − (1983n − 1) = ,
(1983m − 1983n) = 1983n(1983m−n − 1). Nhung 1983 v` a 105 nguyên , tô´ c`
ung nhau, do v .ây phai c´o (1983m−n − 1) chia hê´t cho 105. Sô´ , k = m − n thoa m˜ an ¯ diê`u ki .ên ¯dâ`u b`ai. J , , 20 Chuong 2. Sô´h .oc , , . 2.10. Ch´ ung minh r` ˘
ang tô`n t .ai nh˜ung sô´ nguyên a, b v`a c, không , , ¯ dô`ng th` oi b` ˘ ang 0 v` a gi´
a tr.i tuy.êt ¯dô´i cua m˜ôi sô´ không qu´a 1000000, , √ √ thoa m˜
an |a + b 2 + c 3| < 10−11. , , , , , √ √ , L`
oi giai. Ð .˘at S l`a t.âp h .op cua 1018 sô´ th .uc r + s 2 + t 3 v´oi m .oi √ √
r, s, t thu .ôc {0, 1, 2, . . . , 106 − 1} v`a ¯d.˘at d = (1 + 2 + 3d)106. , Khi ¯ d´ o m˜ ôi x trong S ¯ dê`u n` ˘
am trong khoang 0 ≤ x < d. Chia , ¯
do .an n`ay th`anh 1018 − 1 phâ`n b`˘ang nhau, m˜ôi ¯do.an nho c´o ¯d .ô d`ai d e = . Theo nguyên l´
y Ðirichlê tô`n t .ai hai sô´ trong 1018 sô´ 1018 − 1 , , , cua S n`˘am trong c`
ung m .ôt ¯do.an nho. Hi.êu cua hai sô´n`ay k´y hi.êu l`a √ √ 107 a + b 2 + c 3 ¯ d´ o ch´ınh l` a c´ ac sô´ a, b, c v`ı e < = 10−11. J 1018 2.3. B ` ai t .âp , , . 2.11. Cho A l`
a t .âp h .op bâ´t k`y gô`m 201 sô´t .u nhiên, m˜ôi sô´không , , , , , ,
vu .ot qu´a 300. Ch´ung minh r`˘ang A ch´ua ´ıt nhâ´t hai sô´, m`a ty sô´cua , ch´ ung l` a l˜ uy th` ua b .âc ba. , , . 2.12. Cho k l`
a sô´ t .u nhiên bâ´t k`y, c`on a v`a b l`a nh˜ung sô´nguyên , ,
sao cho a ≤ b v`a b − a < 2k − 2. Ch´ ung minh r` ˘ ang nê´u M l`a t .âp h .op , , , ,
k sô´ t .u nhiên n`˘am trong khoang [a, b], v`a l l`a sô´t .u nhiên thoa m˜an , ,, ,
1 ≤ l ≤ 2k + a − b − 2, th`ı c´
o ´ıt nhâ´t m .ôt hi.êu nh˜ung phâ`n tu cua , M tr` ung v´ oi l. ,, , , , . 2.13. Cho d˜
ây sô´ a1, a2, a3, . . . , a41, m`a m˜ôi phâ`n tu chı ¯ du .oc t.ao ,, , , , ,, boi sô´1 v` a, sô´2, trong ¯ d´ o c´
o ´ıt nhâ´t 21 sô´chı ¯ du .oc t.ao boi c´ac sô´1. , ,, , , Ch´ ung minh r` ˘
ang tô`n t .ai m .ôt sô´ phâ`n tu liên tiê´p cua d˜ay c´o tông b` ˘ ang ¯ d´ ung 20. , , . 2.14. Ch´ ung minh r` ˘
ang tô`n t .ai m .ôt sô´ t .u nhiên n, sao cho sô´ 2.3. B` ai t .âp 21 111 . . . 1 chia hê´t cho 139. (B` ai to´ an c` on ¯ d´ ung nê´u ta thay 139 | {z } , (n ch˜ u sô´) , b` ˘
ang m .ôt sô´nguyên tô´c`ung nhau v´oi 10). , ,, , . 2.15. Ch´ ung minh r` ˘
ang trong m .oi sô´t.ao boi 100 ch˜u sô´ N tô`n t.ai
m .ôt sô´chia hê´t cho 1967. , , , , . 2.16. Ch´ ung minh r` ˘ ang bao gi`o c˜ ung t`ım ¯ du .oc sô´
19971997. . . 19970. . . 0 chia hê´t cho 1998. , , . 2.17. Ch´ ung minh r` ˘ ang c´
o m .ôt sô´t .u nhiên chia hê´t cho 1997, m`a , , bô´n ch˜u sô´cuô´i c` ung cua n´ o l` a 1998. , . 2.18. Ch´ ung minh r` ˘ ang nê´u c´
ac sô´nguyên m v`a n nguyên tô´c` ung , , , nhau th`ı t`ım ¯
du .oc sô´t .u nhiên k sao cho mk − 1 chia hê´t cho n. , , 22 Chuong 2. Sô´h .oc , , CHUONG 3 D ˜ AY S ´ Ô 3.1. Nguyên l´ y Ðirichlê cho d˜ ay sô´ vô h .an , , Trong phâ`n n` ay ch´ ung ta x´ et nguyên l´ y Ðirichlê du´ oi d .ang: , , Nê´u c´ o h˜
uu h .an nh˜ung ng˘an k´eo m`a ch´ung ta ¯d .˘at vô h .an , , nh˜
ung v .ât v`ao ¯d´o, th`ı ´ıt nhâ´t c´o m .ôt ng˘an k´eo ch´ua vô h .an , nh˜
ung v .ât ¯d˜a c´o. , ,,, , Ch´ ung ta d˜ ê c´ o cam tuong r` ˘ ang nguyên l´ y n` ay l` a hiên nhiên nên , , , , ´ıt ch´ u ´ y ¯ dê´n n´ o. B` ˘ ang phan ch´ ung c´ o thê ch´ ung minh nguyên l´ y n` ay , ,, l` a ¯ d´
ung. Trong sô´ h .oc, t.âp h .op c´o liên quan ¯dê´n vô h.an phâ`n tu l`a , d˜ ây sô´. Ch´
ung ta biê´t râ´t nhiê`u d˜ ay sô´ ¯
d .ep nhu d˜ay câ´p sô´c .ông, d˜ay , , câ´p sô´ nhân, d˜ ay c´
ac sô´ nguyên tô´, ho .˘ac d˜ay Fibonaxi,. . . Chuong , , , , n` ay ch´ ung ta chı quan tâm ¯ dê´n ´
ap d .ung ¯diê`u ph´at biêu trên ¯dê giai , c´ ac b` ai to´ an liên quan ¯ dê´n d˜ ây sô´. Nh˜
ung t .âp vô h.an trong c´ac b`ai , , , to´ an du´ oi ¯ dây ta x´ et nhu c´ ac d˜ ay sô´. 3.2. V´ı d .u , . 3.1. X´et d˜
ay sô´ 6, 62, 63, 64, 65, . . . , 6n, . . . v` a viê´t 4 ch˜ u sô´ cuô´i c` ung , , cua c´ ac sô´ n`
ay 0006, 0036, 0216, 1296, 7776, . . .. Ch´ ung minh r` ˘ ang b´ ˘ at , , ¯ dâ`u t`
u m .ôt sô´n0 n`ao ¯d´o d˜ây v`ua l .âp l`a d˜ây tuâ`n ho`an. , , , , , L`
oi giai. V`ı tô`n t .ai h˜uu h.an sô´ lu .ong (104) c´ach ch .on kh´ac nhau , , 24 Chuong 3. D˜ ay sô´ , , , c´ ac sô´ c´ o 4 ch˜ u sô´, nên trong d˜ ay ¯ d˜ a cho ch´ ˘ ac ch´ ˘ an t`ım ¯ du .oc hai , , , c´
ach ch .on c´o c`ung 4 ch˜u sô´ cuô´i. C´o ngh˜ıa l`a t`ım ¯du .oc hai sô´ n0 , , v`
a n0 + t m`a v´oi ch´ung th`ı 6n0 v`a 6n0+t+1 c´o c`ung 4 ch˜u sô´ cuô´i , ,
(6n0+t+1 − 6n0 = 104.6k). N´ oi chung, ch˜ u sô´ 6n v`a 6n+t v´ oi bâ´t k` y ,
n > n0 s˜e c´o c`ung 4 ch˜u sô´cuô´i (6n+t − 6n = 104.6n−n0). J
. 3.2. (Ðê` thi To´
an Olympic quô´c tê´ lâ`n 17 n˘ am 1975) Cho , ,
a1, a2, . . . , an, . . . l`a d˜ay t˘ang ng .˘at c´ac sô´ t .u nhiên. Ch´ung minh r`˘ang ,, , , , , ,
vô h .an c´ac phâ`n tu an cua d˜ây trên c´o thê biêu di˜ên du´oi d .ang ,, , , ,
an = xap + yaq,o ¯dây x v`a y l`a nh˜ung sô´nguyên duong v`a p 6= q. , , , , L`
oi giai. Nê´u a1 = 1 kê´t lu .ân cua b`ai to´an l`a hiên nhiên. Th.ât v.ây, , , v´
oi m .oi n ≥ 3 sô´ h.ang an c´o biêu di˜ên d.ang an = an−1 + (an +
an−1) = 1.an−1 + (an − an−1).a1 c´o t´ınh châ´t mong muô´n. Ch´ung ta , , , , s˜ e ch´
ung minh tô`n t .ai chı sô´ p l´on hon 1 sao cho vô h.an c´ac sô´h.ang , , , , , cua d˜ ay ¯ d˜ a cho c´ o thê viê´t du´
oi d .ang xap + ya1 v´oi c´ac sô´ nguyên , , , , , , , ,
duong th´ıch h .op x v`a y. M˜ôi sô´ h.ang cua d˜ay ta ¯d.˘at tuong ´ung v´oi , , , , sô´ du cua n´ o khi chia ch´ınh n´
o cho a1. T .âp h .op tâ´t ca c´ac sô´ h.ang , , , , , cua d˜ ay l`
a vô h .an, c`on tâ´t ca c´ac kha n˘ang cua sô´du khi chia c´ac sô´ , , , ,,
h .ang cho a1 l`a h˜uu h.an. Ðiê`u ¯d´o ch´ung to r`˘ang vô h.an phâ`n tu ,
an , a , . . . , a , . . . , v´oi n 1 n2 nk
1 < n2 < . . . < nk < . . . , , cho c`
ung m .ôt sô´ du r khi chia cho a1. Không mâ´t t´ınh tông qu´at , , , , , ,
ta gia thiê´t n1 > 1, v`ı trong tru`ong h .op ngu .oc l.ai ta x´et c´ac sô´ , an , a , . . . , a , . . . c˜ ung l` a d˜ ay vô h r khi chia 2 n3 nk .an v` a cho c` ung sô´ du , , ,
cho a1. V´oi m .oi k = 1, 2, . . . tô`n t.ai sô´nguyên duong xk sao cho an = k xka1 + r. Khi ¯ d´ o an − a = (x k n1
k a1 + r) − (x1 a1 + r) = (xk − x1)a1 , , , suy ra v´
oi m .oi k ≥ 2 ta c´o ¯d˘ang th´uc an = a + (x k n1 k − x1)a1 = , , 1.an + (x
ng sô´ a , a , . . . , a , . . . ., c´ o biêu 1 k − x1)a1. Ngh˜ ıa l` a, nh˜ u n2 n3 nk , , , di˜ ên v` a c´ ac t´ınh châ´t nhu b` ai to´ an ¯ d`
oi hoi. Th .ât v.ây, chı sô´ 1 v`a n1 3.2. V´ı d .u 25 , , , , , , kh´ ac nhau v`ı theo c´
ach ch .on trên n1 th .uc s .u l´on hon 1. Chı c`on phai , , , , kh˘ ang ¯
d.inh r`˘ang sô´ xk − x1 l`a sô´ nguyên duong v´oi k ≥ 2, ¯diê`u ¯d´o , ¯ d´ ung v`ı t`
u n1 < nk suy ra x1 < xk. J , ,
. 3.3. Cho sô´t .u nhiên bâ´t k`y k. Ch´ung minh r`˘ang tô`n t .ai sô´nguyên tô´ , , p v`
a m .ôt d˜ay sô´t .u nhiên t˘ang ng .˘at a1, a2, . . . , an, . . . sao cho tâ´t ca c´ac ,, , , phâ`n tu cua d˜
ay p + ka1, p + ka2, . . . , p + kan, . . . l`a nh˜ung sô´nguyên tô´. , , , , , L` oi giai. K´
y hi .êu P l`a t.âp h .op tâ´t ca c´ac sô´ nguyên tô´. V´oi m .oi ,
i = 0, 1, . . . , k − 1 k´y hi .êu Pi l`a t.âp h .op c´ac sô´ nguyên tô´ m`a khi , chia cho k c´
o sô´du i. D˜ê thâ´y r`˘ang m .oi sô´nguyên tô´n`˘am trong m .ôt , ,, trong c´
ac t .âp h .op P0, P1, P2, . . . , Pk−1. Boi v`ı sô´nguyên tô´l`a vô h.an, , , ,
v .ây ´ıt nhâ´t phai c´o m .ôt trong sô´c´ac t.âp h .op P0, P1, P2, . . . , Pk−1 ch´ua , ,, ,
vô h .an sô´nguyên tô´. Gia su Pi ch´ua vô h.an sô´v`a k´y hi.êu p l`a phâ`n ,, , , , tu nho nhâ´t cua n´ o. Khi ¯ d´
o m .oi sô´x thu .ôc Pi c´o d.ang x = p + ka v´oi , ,, ,
m .ôt sô´ t .u nhiên a. Lâ´y x1, x2, x3, . . . l`a c´ac phâ`n tu cua Pi xê´p theo , , , , , x th´ u t n − p .u l´ on dâ`n. V´
oi m .oi sô´t .u nhiên n ¯d.˘at an = . D˜ ê thâ´y r` ˘ ang k
sô´nguyên tô´ p v`a d˜ay a1, a2, . . . , an, . . . c´o t´ınh châ´t mong muô´n. J , , . 3.4. Cho f l` a ¯ da th´ uc k ¯ dô´i sô´v´
oi h.ê sô´nguyên v`a a1, a2, . . . , an, . . . l`a , , , d˜ ay nh˜
ung sô´ nguyên thoa m˜
an h.ê th´uc an+1 = f (a,a2, . . . , an−k+1), , , , v´
oi m .oi sô´ nguyên n, k m`a n ≥ k. Ch´ung ta x´et sô´ duong bâ´t k`y m , , , , v` a v´
oi m .oi n = 1, 2, . . .. K´y hi.êu an l`a sô´ du không âm nho nhâ´t cua ,
an theo mô ¯dun m. Ch´ ung minh r` ˘ ang d˜
ay a1, a2, a3, . . . , an, . . . . l`a d˜ay tuâ`n ho` an. , , ,, , , L` oi giai. Ch´ ung ta s˜
e su d .ung kh˘ang ¯d.inh sau: Nê´u g l`a ¯da th´uc , k ¯ dô´i sô´ v´
oi h .ê sô´ nguyên v`a x1, x2, . . . , xk, y1, y2, . . . , yk l`a c´ac sô´
nguyên sao cho x1 ≡ y1 (mod m), x2 ≡ y2 (mod m), . . . , xk ≡ yk
(mod m), th`ı g(x1, x2, . . . , xk) ≡ g(y1, y2, . . . , yk) (mod m). , , 26 Chuong 3. D˜ ay sô´ ,
M .oi sô´ h.ang cua d˜ay b`˘ang m .ôt trong c´ac sô´ a1, a1, a3, . . . , an, . . . , , ,, 0, 1, . . . , m − 1. Ch´ ung ta x´ et c´
ac b .ô s´˘ap th´u t .u gô`m k phâ`n tu
(a1, a2, . . . , ak), (a2, a3, . . . , ak+1), . . . , (an, an+1 . . . , an+k−1).. , , , , , C´
o tâ´t ca vô h .an b .ô s´˘ap nhu v.ây, nhung sô´ lu .ong c´ac b .ô k sô´ , ,
(α1, α2, α3, . . . , αk), v´oi 0 ≤ αi ≤ m − 1, i = 1, 2 . . . , k l`a h˜uu h .an , , (b` ˘
ang mk theo l´y thuyê´t tô h .op). Theo nguyên l´y Ðirichlê tô`n t.ai hai ,
chı sô´ i v`a j, i < j sao cho
ai = aj, ai+1 = aj+1, . . . , ai+k−1 = aj+k−1 ho .˘ac l`a
x1 ≡ y1 (mod m), x2 ≡ y2 (mod m) , . . . , xk ≡ yk (mod m). , , T` u ¯ dây suy ra d˜
ay a1, a2, a3, . . . , an . . . l`a tuâ`n ho`an (chu k`y cua n´o , , , , , l` a u´
oc sô´ cua j − i). Th .ât v.ây, v`ı f l`a ¯da th´uc v´oi h.ê sô´ nguyên nên , theo c´ ach ch´ ung minh trên ch´ ung ta c´ o
f (ai+k−1, ai+k−2, . . . , ai) ≡ f (aj+k−1, aj+k−2, . . . , aj) (mod m) ,
=⇒ ai+k ≡ aj+k (mod m) ho .˘ac l`a ai+k ≡ aj+k. Biê´n ¯dôi m .ôt ch´ut d˜ê , , , thâ´y r` ˘ ang v´
oi m .oi n ≥ i ta c´o ¯d˘ang th´uc sau an+(i−j) ≡ an. J , , , . 3.5. Cho d˜
ay x1, x2, . . . , xn, . . . . ¯du .oc x´ac ¯d.inh theo công th´uc sau
x1 = 1, x2 = 0, x3 = 2, xn+1 = 2xn−1 + xn−2, n ≥ 3. , , , ,, Ch´ ung minh r` ˘ ang v´
oi m .oi sô´ t .u nhiên m tô`n t .ai hai phâ`n tu liên tiê´p , cua d˜ ay m` a ch´ ung ¯
dê`u chia hê´t cho m. , , , , L`
oi giai. Công th´ uc hô`i quy trên c´ o thê viê´t l .ai xn−2 = xn+1 − 2xn−1 (3.1) , , , , , T` u ¯ d´ o chı ra r` ˘ ang d˜ ay c´ o kha n˘ ang ph´ at triên vê` ph´ıa tr´ ai, t´ uc , , l` a x´ ac ¯
d.inh xn v´oi n ≤ 0. V´ı d .u v´oi n = 2, 1, 0 ch´ung ta nh.ân , , , , ¯
du .oc x0 = 0, x−1 = 0, x−2 = 1. Nhu m .uc 3.4 chı ra r`˘ang d˜ay 3.2. V´ı d .u 27 , , , , ,
x1, x2, . . . , xn, . . . gô`m nh˜ung sô´du tuong ´ung x1, x2, . . . , xn, . . . theo , ,
môdd un m, l`a d˜ay tuâ`n ho`an. T`u công th´ uc (3.1) suy ra m˜ ôi ,, , , , phâ`n tu cua d˜
ay {xn} v`a suy ra ca {xn} x´ac ¯ d.inh duy nhâ´t t`u 3 ,, , , , phâ`n tu tru´ oc n´ o. Khi ¯ d´
o nê´u (r1, r2, . . . , rk) l`a phâ`n chu k`y cua d˜ay ,
x1, x2, . . . , xn, . . . th`ı phâ`n n`ay s˜e chuyên ¯
d .ông tuâ`n ho`an vê`ph´ıa tr´ai , cua d˜
ay . . . , x−3, x−2, x−1, x0, x1, x2, . . . v`a s˜e c´o d .ang
. . . , r1, r2, . . . , rk, r1, r2, . . . , rk, r1, r2, . . . , rk . . . (3.2) , , Bây gi` o ta ch´ u ´ y r` ˘
ang x−1 = x0 = 0, suy ra x−1 = x0 = 0. T`u (3.2) , , ,, suy ra r` ˘ ang d˜ ay c´
ac sô´ du theo môdd un m ch´ ua vô sô´ c .˘ap phâ`n tu liên tiê´p b` ˘ ang không. N´ oi c´ ach kh´
ac tô`n t .ai vô sô´c´ac c.˘ap sô´liên tiê´p , ,, cua d˜
ay x1, x2, . . . , xn, . . . m`a m˜ôi phâ`n tu trong c .˘ap ¯dê`u chia hê´t cho m. J , , , , . 3.6. D˜ ay sô´ Fibonaxi ¯
du .oc ¯d.inh ngh˜ıa b`˘ang c´ac ¯d˘ang th´uc F1 = ,
F2 = 1, Fn+2 = Fn+1 + Fn, n ≥ 1. Ch´ ung minh r` ˘
ang ´ıt nhâ´t m .ôt trong ,, ,
1.000.000.000 phâ`n tu ¯ dâ`u tiên cua d˜
ay chia hê´t cho 10.000. , , , , , , , , L`
oi giai. Tuong t .u nhu 3.5 ch´ung ta x´et c´ac sô´ du cua c´ac sô´ , , ,, trong d˜ ay ¯ d˜ a cho khi chia cho 10.000. K´
y hi .êu sô´ du ¯d´ung o v.i , tr´ı th´
u k khi chia cho 10 000 l`a rk. Khi ¯ d´ o th`ı r1 = 1, r2 =
1, r3 = 2, r4 = 3, . . . . . . .rk = rk−1 + rk−2. R˜o r`ang c´o 10.000 sô´ , du kh´ ac nhau do ¯ d´ o c´
o 100002 = 100000000 (tr˘am tri .êu) c.˘ap sô´ , , du kh´ ac nhau. X´
et 100000001 c .˘ap sô´ du (r1, r2), (r2, r3), (r3, r4) . . .
. . . (r100000001, r100000002). Theo nguyên l´y Ðirichlê trong sô´ n`ay c´o ´ıt , , , ,
nhâ´t 2 c .˘ap sô´ tr`ung nhau, t´uc l`a t`ım ¯du .oc hai sô´ n v`a p v´oi n, p , , , , ¯
dê`u nho hon 100000002,n nho hon p sao cho rn = rp, rn+1 = rp+1. , , , , , ,
Nhung nê´u biê´t sô´ du cua tông hai sô´ v`
a sô´ du cua m .ôt sô´ th`ı sô´ , , , du kia c˜ ung t´ınh ¯
du .oc. V`ı v.ây ta c´o rn−1 = rp−1, rn−2 = rp−2, . . . . , cho ¯
dê´n khi r2 = 1 = rp−n+2, r1 = 1 = rp−n+1, Áp d .ung công th´uc , , 28 Chuong 3. D˜ ay sô´ , ,, ,
sô´ du hô`i qui o trên ta c´
o rp−n = 0 v´oi p − n ≤ 100000001 − 1 = , ,, , 100000000. Ngh˜ıa l` a sô´ ¯ d´
ung o v.i tr´ı p − n s˜e thoa m˜an ¯diê`u ki.ên b`ai ra, chia hê´t cho 10 000. J
. 3.7. (Ð.inh l´y Fecma) Nê´u m.ôt sô´ nguyên tô´ p không chia hê´t sô´ , ,
nguyên a, th`ı ¯ d˘ ang th´ uc sau ¯ d´
ung ap−1 ≡ 1( mod p). , , , , , L` oi giai. Ch´ ung ta ch´
ung minh m .ênh ¯dê` tông qu´at hon. Cho m > 1 , , l`
a sô´ t .u nhiên bâ´t k`y v`a a l`a sô´ nguyên tô´ c`ung nhau v´oi m. Ch´ung , , , ta x´ et d˜ ay nh˜ung l˜ uy th` ua liên tiê´p cua a a1, a2, a3, . . . (3.3) v` a k´ y hi .êu r1, r2, r3, . . . (3.4) , , , , , , l` a nh˜ ung sô´du tuong ´
ung cua (3.3) khi chia cho m, ngh˜ıa l`a
ak ≡ rk (mod m), 1 ≤ rk ≤ m − 1. , , , ,, Khi ¯ d´
o sô´ lu .ong c´ac sô´ trong (3.3) l`a vô h.an, c`on nh˜ung sô´ o (3.4) , , , , , chı c´
o thê nh .ân nh˜ung gi´a tr.i trong 1, 2, 3, . . . , m − 1 nên sô´lu .ong l`a , , , , h˜
uu h .an. Suy ra theo nguyên l´y Ðirichlê, gi˜ua nh˜ung sô´du rk s˜e c´o , , ´ıt nhâ´t hai sô´ tr` ung nhau; n´ oi c´ ach kh´
ac tô`n t .ai hai chı sô´ i v`a j v´oi, i 6= j sao cho ri = rj. Khi ¯ d´ o ch´ ung ta c´ o ai ≡ aj( mod m). Theo gia , , , thiê´t (a, m) = 1, v´ oi i 6= j ch´
ung ta nh .ân ¯du .oc ai−j ≡ 1( mod m). , , , Ch´ ung ta c´
o kê´t lu .ân tô`n t.ai sô´t .u nhiên l sao cho ¯d˘ang th´uc sau ¯ dây ¯ d´ ung: al ≡ 1 (mod m) (3.5)
- Sô´ l trong (3.5) không x´ac ¯
d.inh duy nhâ´t, th.âm ch´ı c`on tô`n t.ai , ,
vô sô´sô´t .u nhiên l thoa m˜an (3.5). , , , , - Trong tru`
ong h .op m = p l`a sô´nguyên tô´, Fecma t`ım ra l c´o thê ch .on l`a sô´ p − 1. 3.2. V´ı d .u 29 , , , , , , -Tru`
ong h .op m bâ´t k`y th`ı Ole ch´ung minh r`˘ang l c´o thê ch .on l`a , , ,, h` am chı sô´ cua m (ch´ ung ta không xem x´ et vâ´n ¯ dê` n` ay o ¯ dây, ¯ d .ôc , , , gia c´ o thê t`ım trong bâ´t c´ u cuô´n s´ ach sô´h .oc n`ao). J
. 3.8. Cho x1, x2, x3, . . . l`a d˜
ây vô h .an c´ac sô´ nguyên v`a k l`a m.ôt sô´ , , , ,,
t .u nhiên bâ´t k`y. Ch´ung minh r`˘ang tô`n t .ai d˜ây sô´gô`m nh˜ung phâ`n tu , , , liên tiê´p cua d˜ ây, m` a tông cua ch´
ung chia hê´t cho k. , , , , , ,, L` oi giai. Ch´ ung ta c´ o thê gi´
oi h .an l.ai, gi˜ua m .oi b .ô k phâ`n tu liên , , , , ,, tiê´p cua d˜ ây c´
o thê ch .on ¯du .oc m .ôt sô´ phâ`n tu c´o t´ınh châ´t mong , , , ,, muô´n. Ðê ¯ don gian ta xem x´ et k phâ`n tu ¯
dâ`u tiên x1, x2, x3, . . . , xk. , Ch´ ung ta x´ et tông
S1 = x1, S2 = x1 + x2, S3 = x1 + x2 + x3, . . . , Sk = x1 + x2 + · · · + xk , , ,
Nê´u m .ôt tông n`ao ¯d´o trong sô´trên chia hê´t cho k, th`ı b`ai to´an ¯du .oc , , , , ,
giai. Ngu .oc l.ai, c´ac sô´ S1, S2, . . . , Sk (c´o sô´ lu .ong k) khi chia cho k , , , , ¯
du .oc c´ac sô´du 1, 2, 3, . . . , k − 1. T`u nguyên l´y Ðirichlê suy ra c´o m .ôt , ,
c .˘ap chı sô´i v`a j, 1 ≤ i < j ≤ k, m`a c´ac tông Si v`a Sj cho c`ung m .ôt sô´ , , ,, du khi chia cho k. Khi ¯ d´ o tông c´
ac phâ`n tu liên tiê´p xi+1, xn+2, . . . , xj , cua d˜ ay ¯ d˜
a cho chia hê´t cho k, v`ı xi+1 + xn+2 + · · · + xj = Sj − Si. J , , , , . 3.9. Cho d˜
ay vô h .an c´ac ch˜u sô´. Ch´ung minh r`˘ang v´oi m.oi sô´ t .u ,
nhiên n, nguyên tô´ c` ung nhau v´ oi 10, trong d˜
ay vô h .an trên tô`n t .ai , ,, ,
m .ôt nh´om ch˜u sô´liên tiê´p, m`a sô´t .ao boi c´ac ch˜u sô´trong nh´om (viê´t , , , , , , , theo th´
u t .u chı sô´l´on ¯d´ung tru´oc) chia hê´t cho n. , , , L` oi giai. Cho d˜ ay c´ ac ch˜
u sô´ a1, a2, . . . , an, . . .. Ch´ung ta x´et c´ac sô´
A1 = a1, A2 = a2a1, . . . , An = anan−1 . . . a1, . . . , An+1 = an+1 . . . a1. , , , , , , , ,
V`ı sô´lu .ong nh˜ung sô´n`ay l`a n + 1, c`on sô´lu .ong kha n˘ang cua sô´du khi chia ch´
ung cho n l`a n, nên theo nguyên l´y Ðirichlê tô`n t .ai ´ıt nhâ´t , , 30 Chuong 3. D˜ ay sô´ , hai sô´cho c`
ung m .ôt sô´du ta k´y hi.êu ch´ung l`a Ai v`a Aj, (i < j). Khi ¯ d´
o hi .êu Aj − Ai chia hê´t cho n. Hay n´oi c´ach kh´ac
Aj − Ai = aj . . . a1 − ai . . . a1 = aj . . . ai−1.10j−i+1
v`ı (n, 10) = 1, nên aj . . . ai−1 chia hê´t cho n. J , , . 3.10. Cho k l`
a sô´nguyên duong bâ´t k` y v` a x1, x2, . . . , xn, . . . y1, y2, . . . , yn, . . . , , l` a nh˜ ung chu˜
ôi sô´ nguyên bâ´t k` y. Ch´ ung minh r` ˘
ang tô`n t .ai vô sô´ c .˘ap , , ,
chı sô´ (i, j), v´
oi i < j sao cho m˜ ôi tông
xi+1 + xn+2 + · · · + xj; yi+1 + yn+2 + · · · + yj ¯
dê`u chia hê´t cho k. , , , , ,, L`
oi giai. Chı câ`n ch´ ung minh r` ˘
ang trong b .ô sô´ k2 phâ`n tu liên tiê´p , , , , , , , cua 2 d˜ ây trên c´
o thê ch .on ¯du .oc tông v´oi t´ınh châ´t ¯d˜a chı ra. V`ı v.ây , ,, , ch´ ung ta chı quan tâm ¯ dê´n k2 phâ`n tu ¯ dâ`u tiên cua c´ ac chu˜ ôi ¯ d˜ a cho. , , , B` ˘ ang c´ ach tông qu´ at h´ oa c´ ach giai b` ai to´ an 3.8, lâ´y tông
S1 = x1, S2 = x1 + x2, S3 = x1 + x2 + x3, . . . , Sk2 = x1 + x2 + · · · + xk2
T1 = y1, T2 = y1 + y2, T3 = y1 + y2 + y3, . . . , Tk2 = y1 + y2 + · · · + yk2 , , , , , V´ oi m˜ ôi m = 1, 2, 3, . . . , k2 ¯
d .˘at tuong ´ung c.˘ap (Sm, Tm) v´oi c.˘ap , , ,
(RSm, RTm) cua nh˜ung sô´ du, khi chia Sm v`a Tm cho k. V`ı RSm , , , v`
a RTm l`a m .ôt trong c´ac sô´ 0, 1, 2, . . . , k − 1, nên tô h .op tâ´t ca c´
ac d .ang kh´ac nhau (RSm, RTm) l`a không qu´a k2. Nê´u tô`n t.ai , , ,
m .ôt chı sô´ m, sao cho (RSm, RTm) tr`ung v´oi (0, 0), th`ı m .oi tông
Sm = x1 + x2 + · · · + xm v`a Tm = y1 + y2 + · · · + ym ¯ dê`u chia hê´t cho ,
k. V`ı nê´u không nhu v .ây, th`ı c´ac c.˘ap sô´(RSm, RTm), m = 1, 2, . . . .., k2 , , , , c´ o nhiê`u nhâ´t l`
a k2 − 1 kha n˘ang kh´ac nhau. Nhung sô´ lu .ong 3.3. B` ai t .âp 31 , nh˜
ung c .˘ap sô´ n`ay l`a k2 suy ra c´o ´ıt nhâ´t hai trong ch´ung b`˘ang , nhau. N´ oi c´ ach kh´
ac, tô`n t .ai hai chı sô´ i v`a j, sao cho 1 ≤ i < , , , j ≤ k2 v`
a (RSi, RTi) = (RSj, RTj). Trong tru`ong h .op n`ay m˜ôi sô´
xi+1 + xn+2 + · · · + xj = Sj − Si; yi+1 + yn+2 + · · · + yj = Tj − Ti ¯ dê`u chia hê´t cho k. J , ,, Ch´ u ´ y: Ðây l` a b` ai to´ an tông qu´ at h´ oa b` ai to´ an 3.8. Mo r .ông kê´t , qua n` ay c´
ac b .an h˜ay xem v`a l`am b`ai tâp 3.15. 3.3. B ` ai t .âp , , , , . 3.11. C´
o tô`n t .ai lu˜y th`ua cua sô´3 m`a c´ac ch˜u sô´cuô´i c`ung cua n´o l` a 0001 không ? , , , , . 3.12. Cho F l`
a t .âp h˜uu h.an nh˜ung sô´nguyên duong v`a x1, x2, . . . , ,,
, xn, . . . v`a y1, y2, . . . , yn, . . . l`a hai d˜ây vô h .an nh˜ung phâ`n tu thu .ôc , , , F. Ch´ ung minh r` ˘
ang tô`n t .ai nh˜ung chı sô´ i v`a j, i < j sao cho t´ıch , ,
cua xi+1, xi+2, . . . , xj v`a yi+1, yi+2, . . . , yj l`a m .ôt sô´c´o l˜uy th`ua b.âc k. ,
. 3.13. Cho u1, u2, . . . , un, . . . l`a d˜ay nh˜ung sô´nguyên x´ac ¯ d.inh b`˘ang , , công th´ uc u1 = 39, u2 = 45, un+2 = u2 − u ng minh n+1 n(n ≥ 1). Ch´ u , ,, r` ˘
ang 1986 chia hê´t cho vô sô´nh˜ ung phâ`n tu trong d˜ ay n` ay. , , . 3.14. Cho k l`
a m .ôt sô´t .u nhiên. D˜ay x1, x2, . . . , xn, . . . thoa m˜an c´ac , , 1 , ¯ d˘ ang th´ uc x0 = 0, x1 = 1 v`a xn = (x i m .oi n ≥ 1. k n+1 − xn−1) v´ o , , , Ch´ ung minh r` ˘ ang gi˜ ua nh˜
ung sô´ x1, x2, . . . , x1986 tô`n t .ai hai sô´ m`a , t´ıch cua ch´
ung chia hê´t cho tich 19.86. , , . 3.15. Cho k l` a sô´nguyên duong v` a x11, x12, . . . , x1n, . . . x21, x22, . . . , x2n, . . . , , 32 Chuong 3. D˜ ay sô´ . . . . . . . . . . . . . . . xs1, xs2, . . . , xsn, . . . , , l`
a s d˜ay sô´ nguyên. Khi ¯ d´
o tô`n t .ai vô h.an c´ac c.˘ap chı sô´ (i, j), v´oi , i < j sao cho c´ ac tông sau ¯ dây x1 + + · · · + i+1 x1i+2 x1j x2 + + · · · + i+1 x2i+2 x2j
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xs + + · · · + i+1 xsi+2 xsj ¯ dê`u chia hê´t cho k. , , CHUONG 4 H`INH H .OC 4.1. V´ı d .u , , , Trong sô´c´ ac b` ai to´
an h`ınh h .oc trong to´an h .oc tô h .op c´o m .ôt l´op , , , b` ai to´ an giai b` ˘ ang phuong ph´
ap Ðirichlê râ´t thu .ân ti.ên v`a r˜o r`ang. , , , ,
B .an ¯d .oc c´o thê t`ım thâ´y nh˜ung c´ach giai kh´ac, nhung v`ı m .uc ¯d´ıch , , , , chuyên ¯ dê` phuong ph´ ap ch´ ung ta ¯ dang x´ et nên ch´ ung ta chı khao s´ at c´ ac v´ı d .u sau. , , , , , ,
. 4.1. Trong h`ınh vuông v´
oi c .anh 1 ¯don v.i ¯du.oc ch.on 101 ¯diêm. Ch´ung , , , , ,, , , minh r` ˘ ang c´ o n˘ am ¯ diêm trong c´ ac ¯ diêm ¯ d˜
a ch .on c´o thê phu boi ¯du`ong 1 tr` on b´ an k´ınh . 7 , , L`
oi giai. Chia h`ınh vuông ra ra 25 h`ınh vuông con c´ o c .anh 0,2. , , , , , Nh˜ ung h`ınh vuông n` ay c´
o sô´ lu .ong 25 v`a v`ı tâ´t ca sô´ ¯diêm ¯d˜a ch .on , , , l` a 101, th`ı ´ıt nhâ´t c´
o m .ôt h`ınh vuông nho ch´ua ´ıt nhâ´t 5 ¯diêm. M`a , , , 1 1 b´ an k´ınh ¯ du` ong tr`
on ngo .ai tiê´p h`ınh vuông nho b`˘ang √ < . J 5 5 7 , . 4.2. Ch´ ung minh r` ˘
ang trong m .oi khô´i ¯da di.ên lô`i tô`n t .ai ´ıt nhâ´t hai
m .˘at c´o c`ung sô´c .anh. , , , , L` oi giai. K´
y hi .êu F l`a m.˘at c´o sô´c.anh l´on nhâ´t cua khô´i ¯da di.ên. Nê´u ,
sô´c .anh cua F l`a k, th`ı khô´i ¯da di.ên c´o ´ıt nhâ´t k + 1 m.˘at (v`ı c´o k m.˘at , , 34 Chuong 4. H`ınh h .oc , , , , c´
o c .anh chung v´oi F), c`on sô´ lu .ong c´ac c.anh cua m˜ôi m.˘at l`a m .ôt trong c´
ac sô´ 3, 4, . . . , k. Theo nguyên l´y Ðirichlê c´ o ´ıt nhâ´t hai m .˘at c´ o c` ung sô´c .anh. J , , , , ,
. 4.3. Trong phâ`n trong cua m .ôt h`ınh tr`on v´oi ¯du`ong k´ınh 5 ¯don v.i, , , , , , ngu`
oi ta ch .on bâ´t k`y 10 ¯diêm. Ch´ung minh r`˘ang ´ıt nhâ´t c´o hai ¯diêm , , , , trong c´ ac ¯ diêm ¯ d˜
a ch .on c´o khoang c´ach nho hon 2. , , , , L` oi giai. Chia ¯ du` ong tr` on , th` anh 8 re qu .at b`˘ang nhau , C , 9 , , C C 2 v´ oi g´ oc o tâm m˜ ôi re qu .at l`a A1 , , , B 450 v`
a d .ung ¯du`ong tr`on ¯dô`ng C F 8 , A C tâm C i b´ an k´ınh 1. K´ y 3 1 v´ o E D ,
hi .êu C2, C3, . . . , C9 l`a nh˜ung O B1 , , , C h`ınh t` u t´ am re qu 7 ¯ di C1 .at tr` u , , phâ`n m` a ¯ du` ong tr` on C1 ¯ d˜ a C , 4 , chiê´m. C´ o thê ch´ ung minh C , 6 , , , C5 ¯
du .oc bâ´t c´u hai ¯diêm n`ao
thu .ôc m .ôt trong ch´ın h`ınh , , H`ınh 4.1: trên ¯ dê`u c´ o khoang c´ ach nho , , , , ,
hon 2. Th .ât v.ây, nê´u hai ¯diêm roi v`ao ¯du`ong tr`on ¯dô`ng tâm th`ı , , , , , ,, , , khoang c´ ach gi˜ ua ch´ ung nho hon 2. Gia su hai ¯ diêm A v`a B roi , v`
ao m .ôt CDEF trong sô´ t´am re qu.at. Trên b´an k´ınh OC v`a OD lâ´y , , , , tuong ´ ung hai ¯
diêm A1 v`a B1 sao cho OA1 = OA; OB1 = OB, ngh˜ıa ,, l` a AB ≤ A1B1 (theo ¯
d.inh l´y h`am cosin, boi v`ı [ AOB ≤ \ A1OB1). , , Ðê ´ y r` ˘
ang A1B1 ≤ max{A1D, A1E}. Th .ât v.ây ¯diêm B1 n`˘am trong , ,, , ¯
do .an th˘ang t.ao boi h`ınh chiê´u H cua A1 trên OD v`a ´ıt nhâ´t m .ôt , , , ,, trong hai ¯
diêm D, E, ch˘ang h .an ¯diêm D. Boi v.ây h`ınh chiê´u HD , , , , , cua ¯ du`
ong xiên A1D không b´e hon h`ınh chiê´u HB1 cua A1B1 trên , , OD. Ngh˜ıa l`
a A1B1 ≤ A1D. C˜ung ch´ung minh nhu trên ta c´o 4.1. V´ı d .u 35 , ,
DA1 ≤ max{DF, DC}, EA1 ≤ max{EF, EC}. T`u s .u ¯d´anh gi´a
EF2 < CD2 = OC2 + OD2 − 2.OC.OD. cos 450 √ 25 25 2 = 2 − < 3, 75 < 4 4 4 v` a
EC2 = FD2 = OF2 + OD2 − 2OF.OD. cos 450 √ 25 5 2 5.1, 4 = 1 + − < 7, 25 − = 3, 75 < 4, 4 2 2 , , ta ¯
du .oc AB ≤ A1B1 ≤ max{DF, DC, EF, EC} < 2. J , ,, , , , , ,
. 4.4. Gia su m˜ ôi ¯
diêm trong m .ôt m .˘at ph˘ang ¯du.oc son b`˘ang m.ôt trong , , , hai mâ`u ¯ do v` a xanh. Ch´ ung minh r` ˘ ang c´
o m .ôt h`ınh ch˜u nh .ât n`ao ¯d´o , , ,
trong m .˘at ph˘ang m`a bô´n ¯dınh cua n´o c`ung mâ`u. , , L` oi giai. D˜ ê thâ´y theo nguyên l´ y , P1 P2 P3 P4
Ðirichlê, m .ôt t.âp bâ´t k`y 7 ¯diêm , m`
a son m .ôt trong hai mâ`u th`ı´ıt , Q1 Q2 Q3 Q4 nhâ´t c´ o 4 ¯ diêm c` ung mâ`u. Trên , , , ,
m .ôt ¯du`ong th˘ang c´o 7 ¯diêm th`ı R R 1 2 R3 R4 , , , ch´ ung ta phai c´ o 4 ¯ diêm th˘ ang , ,, h` ang c` ung mâ`u, gia su ¯ d´ o l` a , H`ınh 4.2:
P1, P2, P3, P4 c´o c`ung mâ`u ¯ do. Ta , , , , , , , , chiê´u nh˜ ung ¯ diêm n` ay xuô´ng hai ¯ du` ong th˘ ang song song v´ oi ¯ du` ong , , , , , ch´ ua ch´
ung t .ao ra (Q1, Q2, Q3, Q4) v`a (R1, R2, R3, R4) tuong ´ung v´oi , , , (P1, P2, P3, P4). Nh˜ung ¯ diêm n`
ay t .ao ra m .ôt sô´h`ınh ch˜u nh.ât, ch´ung , , , ta ch´ u ´ y ¯ dê´n c´ ac h`ınh ch˜
u nh .ât c´o ¯dınh l`a Pi, i = 1, 2, 3, 4. Nhu v.ây , , , , nê´u 2 ¯ diêm bâ´t k` y cua Q l`a ¯ do th`ı ta c´
o kê´t qua m .ôt h`ınh vuông , , , , , PiPjQjQi c´o ¯ dınh c`
ung mâ`u. Tuong t .u cho c´ac ¯diêm R. Nê´u ¯dô`ng , , , , , , th` oi không c´ o ¯
diêm Q v`a R thoa m˜an tru`ong h .op trên th`ı c´o 3 (ho.˘ac , , 36 Chuong 4. H`ınh h .oc , , , , hon) ¯ diêm Q n`ao ¯ d´ o v` a 3 ¯ diêm R n`ao ¯ d´ o c´ o c` ung mâ`u xanh. Nhung , , , ,
trong b .ô ba nhu v.ây phai c´o c.˘ap ¯dôi t.ao ra h`ınh ch˜u nh.ât v´oi c´ac , , ¯
dınh mâ`u xanh trong sô´c´ ac ¯ diêm Q v`a R. J , ,, , , , , ,
. 4.5. Gia su m .ôt b`an c`o h`ınh ch˜u nh .ât c´o 4x7 ô vuông ¯du.oc son ¯den , , , ,
ho .˘ac tr´˘ang. Ch´ung minh r`˘ang v´oi c´ach son mâ`u bâ´t k`y, trong b`an c`o , ,,
luôn tô`n t .ai h`ınh ch˜u nh .ât gô`m c´ac ô vuông, m`a bô´n ô o g´oc l`a c´ac ô c` ung mâ`u. , , , L` oi giai. Ch´ ung ta ch´ ung, minh cho b` ai to´ an b` an c` o , 3 × 7. M˜ âu son mâ`u c´ o , , , , thê xây ra v´ oi b` an c` o n` ay , , c´ o d .ang t`u 1 ¯dê´n 8. Gia ,,
su m .ôt trong sô´ c´ac c .ôt
thu .ôc d.ang 1. B`ai to´an s˜e , , , ¯
du .oc ch´ung minh nê´u tâ´t , , ca nh˜ ung c .ôt c`on l.ai trong
6 c .ôt thu .ôc c´ac d.ang 1, 2, , , ,, ,
3, 4. Nhu v .ây gia su tâ´t ca H`ınh 4.3: c´
ac c .ôt c`on l.ai thu .ôc d.ang
5, 6, 7, ho .˘ac 8. Khi ¯d´o theo nguyên l´y Ðirichlê hai trong sô´ s´au c .ôt , , , , c´
o hai c .ôt c`ung m .ôt d.ang v`a nhu v.ây b`ai to´an c˜ung ¯du .oc ch´ung , , , , , minh. Ch´ ung minh ho` an to`
an tuong t .u nê´u m .ôt c .ôt c´o d.ang 8. Gia ,, , su không c´
o c .ôt n`ao trong 7 c .ôt c´o d.ang 1 ho.˘ac 8. Nhu v.ây ta c´o 7 ,
c .ôt v´oi 6 d.ang. Theo nguyên l´y Ðirichlê c´o hai c .ôt c`ung d.ang v`a b`ai , , , , to´ an ¯
du .oc ch´ung minh ¯dâ`y ¯du. J , , . 4.6. N˘ am ¯
diêm A, B, C, D, E n` ˘
am trong m .ôt m .˘at ph˘ang v`a t.oa ¯d.ô , , , cua ch´ ung l` a c´ ac sô´ nguyên. Ch´ ung minh r` ˘ ang trong sô´ nh˜ ung tam 4.1. V´ı d .u 37 , , , , gi´ ac m` a ¯ dınh cua n´ o l` a ba ¯ diêm n` ao ¯ d´ o trong c´ ac ¯ diêm n` ay, c´ o ´ıt nhâ´t , ba tam gi´ ac v´
oi di.ên t´ıch l`a c´ac sô´nguyên. , , , , , L` oi giai. Ta c´ o thê ch´ ung minh r` ˘
ang nê´u m .ôt trong c´ac t .oa ¯d .ô cua , , , c´ ac ¯ dınh tam gi´ ac ¯ d˜ a cho thay ¯
dôi m .ôt sô´ch˜˘an, th`ı di.ên t´ıch cua tam , , , , gi´ ac c˜ ung thay ¯
dôi m .ôt sô´nguyên. M .ôt c´ach tông qu´at hon ta c´o thê , , , , kh˘ ang ¯
d.inh nê´u c´ac t .oa ¯d .ô ¯dınh cua m .ôt tam gi´ac thay ¯dôi m .ôt sô´ , , ch˜ ˘
an, th`ı di .ên t´ıch cua n´o c˜ung thay ¯dôi m .ôt sô´nguyên. V`ı v.ây, nê´u , , , ,
di .ên t´ıch cua tam gi´ac m´oi nh.ân ¯du .oc l`a sô´ nguyên, th`ı di.ên t´ıch , tam gi´ ac ban ¯ dâ`u c˜ ung l` a sô´nguyên (h˜ ay v˜ e h`ınh v` a ch´ ung minh). , , , , V`ı nh˜
ung t .oa ¯d .ô cua c´ac ¯diêm ¯d˜a cho A, B, C, D, E l`a nh˜ung sô´ , , nguyên, sau khi thêm v` ao c´
ac t .oa ¯d .ô n`ay nh˜ung sô´ch˜˘an th´ıch h .op, , , th`ı m˜
ôi t .oa ¯d .ô s˜e chı nh.ân c´ac gi´a tr.i 0 v`a 1. Do ¯d´o m .oi 5 ¯diêm ¯d˜a cho ,, ,
t .ao nên boi c´ac ¯diêm (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1). Áp d .ung nguyên l´y , , ,
Ðirichlê suy ra ´ıt nhâ´t hai ¯ diêm trong c´ ac ¯ diêm A, B, C, D, E biê´n ¯ dôi , , ,, th` anh c`
ung m .ôt ¯diêm trong {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}. Gia su ¯d´o l`a , A, B. Ch´ ung ta s˜ e kh˘ ang ¯
d.inh di.ên t´ıch c´ac tam gi´ac ABC, ABD v`a , ABE l` a nh˜
ung sô´ nguyên. Th .ât v.ây, c´ac tam gi´ac n`ay b.i biê´n th`anh , , ¯
do .an th˘ang (do A v`a B biê´n th`anh c`ung m .ôt ¯diêm) nên di.ên t´ıch , , , , , , anh cua ch´ ung b` ˘
ang 0. V .ây tru´oc khi biê´n ¯dôi, di.ên t´ıch cua ch´ung , phai l` a sô´nguyên. J , , ,
. 4.7. Trong m .ôt m .˘at ph˘ang cho m.ôt t .âp h.op A c´o n ¯diêm (n ≥ 2), , , , , , ,
m .ôt sô´ c .˘ap ¯diêm ¯du.oc nô´i v´oi nhau b`˘ang ¯do .an th˘ang. Ch´ung minh , , , , , , , r` ˘ ang trong A c´ o ´ıt nhâ´t hai ¯ diêm ¯
du .oc nô´i v´oi c`ung sô´lu.ong c´ac ¯diêm kh´ ac thu .ôc A. , , , , L` oi giai. V´
oi m .oi ¯diêm bâ´t k`y a thu .ôc A ch´ung ta k´y hi.êu S(a) l`a , , , , , ,
sô´ lu .ong nh˜ung ¯diêm cua A m`a a nô´i th`anh ¯do.an th˘ang. B`ai to´an , , , muô´n kh˘ ang ¯
d.inh r`˘ang tô`n t.ai hai ¯diêm kh´ac nhau a1 v`a a2 cua A , , 38 Chuong 4. H`ınh h .oc , m`
a S(a1) = S(a2). Ch´ung ta thâ´y ngay r`˘ang 0 ≤ S(a) ≤ n − 1 v´oi ,, , ,
m .oi phâ`n tu a thu .ôc A. M.˘at kh´ac, c˜ung không tô`n t.ai nh˜ung ¯diêm ,,
x1 v`a x2 thu .ôc A, m`a S(x1) = n − 1 v`a S(x2) = 0. Boi v`ı ¯diê`u n`ay , , , , , c´ o ngh˜ıa l` a ¯
diêm x1 nô´i v´oi tâ´t ca c´ac ¯ diêm c` on l .ai cua A, c`on x2 , , , , không nô´i v´ oi ¯ diêm n` ao cua A, ¯ d˜ ân ¯ dê´n vô l´ y. C´ ac sô´ nguyên t` u 0 , , , ¯ dê´n n − 1 c´
o sô´ lu .ong l`a n. V`ı 0 v`a n − 1 không ¯dô`ng th`oi l`a gi´a tr.i , , , ,
vua S nên S nh .ân nhiê`u nhâ´t l`a n − 1 gi´a tr.i. B`ai to´an ¯du .oc giai suy , ra t` u nguyên l´ y Ðirichlê. J , , . 4.8. Cho ¯ da gi´ ac ¯
dê`u 100 c .anh n.ôi tiê´p trong ¯du`ong tr`on k. M˜ôi , , , , ¯ dınh ¯
du .oc g´an m.ôt trong c´ac sô´ 1, 2, . . . , 49. Ch´ung minh r`˘ang trên k ,
tô`n t .ai hai cung AB v`a CD v´oi c´ac t´ınh châ´t sau: , , , a) C´ ac ¯ diêm A, B, C v` a D l` a ¯ dınh cua ¯ da gi´ ac ¯ dê`u ¯ d˜ a cho. , b) C´
ac dây cung AB v`
a CD song song v´ oi nhau , , ,
c) Nê´u A, B, C v` a D c´ o nh˜ an tuong ´ ung l` a c´
ac sô´ a, b, c, d th`ı a + b = c + d. , , , , L`
oi giai. Trong ¯ du` ong tr` on k c´ o , , ¯ d´ ung 50 ¯ du` ong k´ınh kh´ ac nhau m` a D C , , , , ¯ diêm cuô´i cua ¯ du` ong k´ınh l` a m .ôt , , ¯ dınh cua ¯ da gi´ ac ¯ dê`u 100 c .anh ¯d˜a , ,
cho. Nê´u PQ l`a m .ôt trong sô´¯du`ong , , k´ınh ¯ d´ o v` a ¯ dir nh P ¯ du .oc g´an nh˜an , , , p, c` on Q v´ oi nh˜ an q th`ı ¯ du` ong , , , , k´ınh PQ tuong ´ ung v´ oi sô´ nguyên B A
|p − q|. R˜o r`ang, 0 ≤ |p − q| ≤ 48. , , B` ˘ ang c´ ach n` ay m˜ ôi ¯ du` ong k´ınh ¯ d˜ a H`ınh 4.4: , , , , x´ et (tông sô´ c´ o 50 tâ´t ca) ¯ du .oc cho , , , , tuong ´ ung v´
oi m .ôt trong c´ac sô´ 0, 1, 2, . . . , 48. Suy ra c´o ´ıt nhâ´t hai 4.1. V´ı d .u 39 , , , , , , , , ¯ du` ong k´ınh ¯
du .oc ¯d.˘at tuong ´ung v´oi c`ung m .ôt sô´. , , , , , , Ta k´
y hi .êu ¯d´o l`a AB v`a CD, c`on c´ac ¯dınh ¯du .oc g´an tuong ´ung , , , c´ ac nh˜
an a, b, c, d. Không mâ´t t´ınh tông qu´at ch´ ung ta c´ o thê gia
thiê´t c ≤ a v`a b ≤ d. Khi ¯ d´ o dây cung AC v`a BD c´ o c´ ac t´ınh châ´t , , , , ,
mong muô´n. Th .ât v.ây, v´oi ¯du`ong k´ınh AC ch´ung ta ¯d˜a ¯d.˘at tuong ´, , , , , ung v´ oi a − c, c` on BD ´ ung v´
oi d − b v`a nh˜ung sô´ n`ay b`˘ang nhau, , , ch´
ung ta nh .ân ¯du .oc a − c = d − b hay l`a a + b = c + d. Ngo`ai ra, , , t´ u gi´
ac ABCD l`a h`ınh vuông, nên AB song song v´ oi CD (th .âm ch´ı AB = CD). J , , , , , ,,
. 4.9. Tâ´t ca c´ ac ¯
diêm trong m .ôt m .˘at ph˘ang ¯du.oc bôi boi n mâ`u , , , , kh´ ac nhau. Cho tru´ oc 2n − 1 ¯ du` ong tr` on ¯ dô`ng tâm kh´ ac nhau , , , , , ,
k1, k2, . . . , k2n−1. Trong c´ac ¯du`ong tr`on d .ung b´an k´ınh tuong ´ung ,
OA1, OA2, . . . , OA2n−1 sao cho m˜
ôi c .˘ap b´an k´ınh không c´o ¯diêm , , , chung n` ao kh´ ac ngo` ai O. Ch´ ung minh r` ˘
ang tô`n t .ai m.ôt ¯du`ong tr`on ,
ki, i = 1, 2, . . . , 2n − 1 sao cho trên n´o v`a trên b´an k´ınh OAi cua n´o c´o , , , , , , , nh˜ ung ¯ diêm tuong ´
ung Xi v`a Yi, m`a ch´ung ¯du .oc bôi c`ung m.ôt mâ`u v`a ,
Yi không tr`ung v´oi O v`a Ai. , , L` oi giai. K´
y hi .êu c´ac mâ`u ¯d˜a cho l`a c1, c2, . . . , cn. Ch´ung ta s˜e t´ınh , , , , , , ,
sô´ lu .ong c´ac tô h .op kh´ac nhau cua c´ac mâ`u m`a v´oi ch´ung c´o thê , , bôi mâ`u c´ ac ¯
diêm trên m .ôt h`ınh ph˘ang. M .oi t.âp con kh´ac trô´ng , , , , ,
{i1, i2, . . . , ik}, 1 ≤ k ≤ n cua t.âp h .op N = {1, 2, . . . , n} tuong ´ung , , , , v´
oi tô h .op mâ`u {ci , c , . . . , c }. R˜o r`ang nh˜ung t 1 i2 ik .âp con kh´ ac trô´ng , , , , , , , , kh´
ac nhau cua N b`˘ang c´ach n`ay tuong ´ ung v´ oi nh˜ ung tô h .op mâ`u , , , kh´ ac nhau. Ngo`
ai ra, m .oi tô h .op mâ`u {ci , c , . . . , c } c´o thê nh 1 i2 ik .ân , , , , , , ¯
du .oc nh`o xây d .ung t.âp con kh´ac trô´ng {i1, i2, . . . , ik}. Suy ra, tô h .op , , , , nh˜
ung mâ`u c1, c2, . . . , cn m`a v´oi ch´ung c´o thê bôi c´ac ¯ diêm m .ôt h`ınh , , , , , , , ph˘ ang l` a tuong ´
ung m .ôt - m .ôt v´oi nh˜ung t.âp h .op con kh´ac trô´ng , , 40 Chuong 4. H`ınh h .oc , , , ,
cua N = {1, 2, . . . , n}. Ngh˜ıa l`a sô´ c´ac tô h .op kh´ac nhau cua mâ`u , , , , b` ˘ ang sô´ c´
ac t .âp h .op con kh´ac trô´ng cua N, c´o tâ´t ca 2n − 1 t.âp h .op , nhu v .ây. , , , , , Tru´ oc tiên ch´ ung ta gia thiê´t r` ˘
ang tô`n t .ai ¯du`ong tr`on ki, i = , , 1, 2, . . . , 2n − 1 m` a muô´n bôi k´ın n´ o phai d` ung tâ´t ca c´ ac mâ`u , , c1, c2, . . . , cn. Khi ¯ d´ o ch´
ung ta ch .on ¯diêm bâ´t k`y Yi l`a ¯diêm trong , , ,, , , , cua b´ an k´ınh OAi. Gia su Yi ¯
du .oc bôi b`˘ang mâ`u c1. Nhung trên ki c´o , , , ,
´ıt nhâ´t m .ôt ¯diêm Xi, ¯du .oc bôi c`ung mâ`u nhu v.ây, v`ı m .oi mâ`u ¯d˜a cho , , , , , , , ¯ dê`u b´ ˘
at g .˘ap trên ki; v.ây b`ai to´an ¯du .oc giai trong tru`ong h .op gia thiê´t , , , , ,, , , n` ay. Ta x´ et tru`
ong h .op c`on l.ai: Gia su không c´o ¯du`ong tr`on n`ao m`a , , , , , , , , nh˜ ung ¯ diêm cua n´ o ¯
du .oc bôi mâ`u v´oi to`an b .ô tô h .op c1, c2, . . . , cn. , , , , , , , , Khi ¯ d´ o c´
o tâ´t ca 2n − 2 kha n˘ang tô h .op mâ`u, v´oi n´o c´ac ¯diêm ¯du .oc , , ,, bôi cho c´ ac ¯ du` ong tr`
on k1, k2, . . . , k2n−1 . Boi v`ı 2n − 1 > 2n − 2 nên , , , , c´ o hai ¯ du` ong tr`
on ki v`a kj, i < j trên n´o s˜e c´o c`ung m .ôt tô h .op mâ`u. , ,, , , , ,
Gia su ki c´o b´an k´ınh l´on hon kj. K´y hi.êu Yi l`a ¯diêm c´˘at cua OAi v`a , , , , , ,
kj. Trong tru`ong h .op ¯d´o Yi n`˘am trên kj v`a v`ı nh˜ung ¯diêm cua ki v`a , , , , , , , , kj ¯
du .oc bôi v´oi c`ung m .ôt tô h .op mâ`u, trên ki c´o ¯diêm Xi ¯du .oc bôi , c` ung mâ`u v´ oi Yi. J , , , , ,
. 4.10. Tông cua ¯
d .ô d`ai m.ôt sô´ vecto trong m .˘at ph˘ang l`a 4. Ch´ung , , , , , , minh r` ˘ ang t` u nh˜ ung vecto n` ay c´
o thê ch .on m.ôt sô´ vecto m`a tông ¯d.ô , , , d` ai cua ch´ ung l´ on hon 1. , , , , , L` oi giai. Ch´ ung ta ¯ dua v`
ao h .ê t .oa ¯d .ô v`a x´et vecto ¯d.ai di.ên nh˜ung , , , , vecto ¯ d˜
a cho t .ai ¯diêm gô´c. Ch´ung ta chiê´u nh˜ung vecto n`ay xuô´ng , , , , ,
tr .uc t .oa ¯d .ô Ox v`a Oy. V`ı m˜ôi vecto c´o ¯d .ô d`ai nho hon tông cua c´ac , , , , ¯
d .ô d`ai h`ınh chiê´u cua n´o xuô´ng hai tr .uc;nên tông ¯d .ô d`ai cua tâ´t ca , , , , h`ınh chiê´u cua c´ ac vecto l´ on hon 4. Khi ¯ d´
o trên ´ıt nhâ´t m .ôt trong ,, , , , , ,
4 nua tr .uc cua h.ê t .oa ¯d .ô tông ¯d .ô d`ai cua h`ınh chiê´u s˜e l´on hon 1, 4.2. B` ai t .âp 41 , , , , , , , , ¯ diê`u ¯ d´ o c´ o ngh˜ıa l` a tông cua ¯
d .ô d`ai cua nh˜ung vecto tuong ´ung s˜e , , , , , l´ on hon 1. (¯
d .ô d`ai h`ınh chiê´u ¯d˜a l´on hon th`ı tâ´t nhiên ¯d .ô d`ai vecto , , c˜ ung l´ on hon.) J 4.2. B ` ai t .âp , , , ,
. 4.11. Trong h`ınh vuông v´
oi c .anh 1 ¯don v.i cho 112 ¯diêm. Ch´ung , , , 2 minh r` ˘
ang ´ıt nhâ´t hai trong sô´ ¯ d´ o c´ o khoang c´ ach nho hon . 15 , . 4.12. (Ðê` thi To´
an Olympic quô´c tê´ lâ`n th´ u 25 n˘ am 1984) Trong , , , ,
m .˘at ph˘ang cho hai ¯diêm kh´ac nhau O v`a A. V´oi m˜ôi ¯diêm X thu .ôc ,
m .˘at ph˘ang kh´ac O ch´ung ta k´y hi.êu a(X) l`a ¯d .ô ¯do b`˘ang radian , , , , cua g´ oc AOX, ¯
do theo chiê`u ngu .oc kim ¯dô`ng hô` t`u OA ¯dê´n OX , , (0 ≤ a(X) ≤ 2). C` on c(X) l`a ¯ du` ong tr`
on tâm O v`a b´an k´ınh c´ o ¯ d .ô a(X) , , , , d` ai OX + . Cho tru´
oc b .ô h˜uu h.an mâ`u v`a m˜ôi ¯diêm trong m.˘at OX , , , , , ph˘ ang ¯
du .oc bôi b`˘ang 1 trong sô´ ¯d´o. Ch´ung minh r`˘ang tô`n t.ai ¯diêm , , , , , ,
X1 v´oi a(X1) > 0 v`a trên ¯ du` ong tr`
on c(X1) c´o ´ıt nhâ´t 1 ¯ diêm ¯ du .oc , bôi c` ung mâ`u v´ oi X1. , , ,
. 4.13. Trong m .˘at ph˘ang cho n ¯diêm, n ≥ 7, sao cho khoang c´ach , , , , , , m˜
ôi c .˘ap ¯diêm gi˜ua ch´ung l`a kh´ac nhau. M˜ôi m .ôt ¯diêm ¯du .oc nô´i v´oi , , , , , ¯ diêm gâ`n n´ o nhâ´t. Ch´ ung minh r` ˘ ang không c´ o ¯ diêm n` ao ¯ du .oc nô´i , , , v´ oi nhiê`u hon 5 ¯ diêm kh´ ac. , . 4.14. Ch´ ung minh r` ˘
ang trong m .ôt h`ınh tr`on b´an k´ınh 1, không , , , , , , ,
thê ch .on ¯du .oc qu´a n˘am ¯diêm m`a khoang c´ach gi˜ua hai ¯diêm m .ôt , , l´ on hon 1. , , , , . 4.15. Ngu` oi ta qu˘ ang 120 h`ınh vuông c´ o k´ıch thu´ oc 1 × 1 v`ao m .ôt , , , , , h`ınh ch˜
u nh .ât k´ıch thu´oc20 × 25. Ch´ung minh r`˘ang v´oi m .oi c´ach s´˘ap , , 42 Chuong 4. H`ınh h .oc ,, , , xê´p c´
ac h`ınh vuông th`ı o trong h`ınh ch˜
u nh .ât v˜ân c`on ch˜ô trô´ng ¯dê , , ¯
d .˘at m .ôt h`ınh tr`on ¯du`ong k´ınh 1. , , CHUONG 5 ,,
MO R .ÔNG NGUYÊN L´Y ÐIRICHLÊ ,, 5.1. Nguyên l´ y Ðirichlê mo r .ông , , ,, , ,
Cho A l`a t .âp h˜uu h.an nh˜ung phâ`n tu, k´y hi.êu s(A) l`a sô´ lu .ong ,, , ,, , c´
ac phâ`n tu thu .ôc A. Nguyên l´y Ðirichlê c´o thê mo r .ông nhu sau: , , , ,, Nê´u A v` a B l` a nh˜
ung t .âp h .op h˜uu h .an v`a s(A) > k.s(B), o , ,, , ¯ dây k l`
a m .ôt sô´ t .u nhiên n`ao ¯d´o v`a nê´u m˜ôi phâ`n tu cua A cho , , , , ,, , tuong ´ ung v´
oi m .ôt phâ`n tu n`ao ¯d´o cua B, th`ı tô`n t .ai ´ıt nhâ´t k + 1 ,, , , , , , ,, ,
phâ`n tu cua A m` a ch´ ung tuong ´ ung v´ oi c`
ung m .ôt phâ`n tu cua B , , ,
Th .ât v.ây, tru`ong h .op k = 1 l`a nguyên l´y Ðirichlê m`a ta ¯d˜a x´et , , , , , trong c´ ac b`
ai t .âp t`u ¯dâ`u t´oi gi`o. Ðê ch´ung minh m.ênh ¯dê`trên ch´ung , ,, ,, , , , , , , ,, ta gia su m˜
ôi phâ`n tu cua B chı tuong ´ ung v´ oi nhiê`u nhâ´t k phâ`n tu , , , cua A. Khi ¯ d´ o s(A) ≤ k.s(B) tr´ai v´
oi gia thiê´t s(A) > k.s(B). , , , , , , ,, Ch´ u ´ y. Ngay t` u nh˜ ung chuong ¯ dâ`u nguyên l´ y n` ay ¯ d˜ a ¯ du .oc su , , , , , , , ,
d .ung v´oi c´ach ch´ung minh tuong t .u nhu trên. Ðê tiê´p t .uc hiêu sâu ,, , , thêm nguyên l´
y o d .ang m´oi ch´ung ta x´et m .ôt lo.at b`ai to´an ¯diên h`ınh. , , ,, 44
Chuong 5. Mo r .ông nguyên l´y Ðirichlê 5.2. V´ı d .u ,
. 5.1. Trong m .ôt h`ınh vuông c´o c .anh b`˘ang 1 ta ch.on bâ´t k`y 51 ¯diêm. , , Ch´ ung minh r` ˘ ang ´ıt nhâ´t c´ o ba ¯ diêm trong sô´ ¯ d´ o n` ˘ am trong m .ôt h`ınh vuông c´ o c .anh 0,2. , , L` oi giai. Ch´ ung ta chia h`ınh vuông th` anh 25 h`ınh vuông con c´ o , , , , ,
c .anh 0,2 b`˘ang c´ac ¯du`ong th˘ang song song v´oi c´ac c.anh cua h`ınh , , , , , , vuông.Nê´u gia su r` ˘ ang m˜ ôi h`ınh vuông v`
ua nh .ân ¯du .oc ch´ua không , , , , , qu´ a 2 ¯ diêm th`ı tâ´t ca c´ ac ¯ diêm trong h`ınh vuông l´ on s˜ e c´ o sô´ ¯ diêm nhiê`u nhâ´t l` a 2 × 25 = 50 d˜ân ¯ dê´n vô l´ y. J , , , ,
. 5.2. Tâ´t ca 9 c .anh v`a 27 ¯du`ong ch´eo cua m.ôt h`ınh ch´op ¯d´ay ¯da gi´ac , , , , , , , , 9 ¯ dınh ¯
du .oc bôi son: m.ôt sô´ bôi son ¯do, c`on l .ai bôi son xanh. Ch´ung , , , , minh r` ˘
ang tô`n t .ai ba ¯dınh cua h`ınh ch´op, m`a ch´ung l`a nh˜ung ¯dınh , , , , ,
cua m .ôt h`ınh tam gi´ac v´oi c´ac c .anh ¯du.oc son c`ung m.ôt mâ`u. , , , , , , L`
oi giai. 9 c .anh bên cua h`ınh ch´op ¯du .oc son b`˘ang hai mâ`u. V`ı 9 > , ,, , , 4.2, t` u nguyên l´
y mo r .ông trên suy ra ´ıt nhâ´t c´o 5 c.anh bên ¯du .oc bôi , ,, , , c`
ung m .ôt mâ`u. Gia su ¯d´o l`a SA1, SA2, SA3, SA4, SA5 ¯du .oc bôi c`ung , ,, , , ,,, , mâ`u ¯ do, o ¯ dây S l`a ¯ dınh h`ınh ch´ op. Không anh huong t´ oi kê´t lu .ân , ,, , , , b` ai to´ an ch´ ung ta gia su c´ ac ¯ diêm A1, A2, A3, A4, A5 ¯ du .oc s´˘ap xê´p , , ,
theo chiê`u ngu .oc kim ¯dô`ng hô`. Ít nhâ´t m .ôt trong c´ac c.anh cua ng˜u , , , , ,, gi´ ac l` a ¯ du` ong ch´ eo cua ¯ da gi´ ac ¯ d´ ay; gia su ¯ d´ o l` a A1A2. Ch´ung ta , , , , , x´ et tam gi´
ac A1A2A4. Nh˜ung c .anh cua n´o l`a c´ac ¯du`ong ch´eo cua ¯da , , , , gi´ ac ¯ d´ ay (do c´ ach xê´p trên) v` a suy ra ch´ ung ¯
du .oc bôi son.Nê´u tâ´t ca , c´
ac c .anh A1A2, A2A4, A4A1 l`a mâ`u xanh th`ı b`ai to´an ¯d˜a giai xong. , , , , , Tru`
ong h .op ngu .oc l.ai m .ôt trong c´ac c.anh A1A2, A2A4, A4A1 l`a mâ`u , , ,, , ¯ do, gia su ¯ d´ o l` a A1A2. Khi ¯ d´ o c´
ac c .anh cua tam gi´ac SA1A2 l`a mâ`u , ¯ do. J 5.2. V´ı d .u 45 , , . 5.3. Ch´ ung minh r` ˘
ang trong m .oi ¯da gi´ac lô`i v´oi sô´ c .anh ch˜˘an tô`n , , , ,
t .ai ¯du`ong ch´eo không song song v´oi m.ôt c .anh n`ao cua ¯da gi´ac. , , , d1 L` oi giai. B` ˘
ang qui n .ap ta c´o thê d˜ê , , , , d2 ch´ ung minh ¯
du .oc m .oi ¯da gi´ac v´oi n n(n − 3) , , c .anh c´o ¯ du` ong ch´ eo. 2 dk−1 , Bây gi` o ch´ ung ta x´ et ¯ da gi´ ac lô`i bâ´t , k` y P c´
o 2k c .anh v´oi k(≥ 2) l`a m .ôt sô´ a nguyên. H`ınh 5.1: , ,, , , , , Gia su m˜ ôi ¯ du`ong ch´ eo cua P song song v´ oi m .ôt c.anh n`ao ¯d´o , , , , , , , , cua P. Khi ¯ d´ o m˜ ôi ¯ du` ong ch´ eo d c´ o thê cho tuong ´ ung v´ oi c .anh song , , , song v´
oi d. K´y hi .êu s l`a sô´c´ac ¯du`ong ch´eo ch´ung ta c´o 2k(2k − 3) s = = k(2k − 3) 2
= 2k(k − 2) + k > (k − 2).2k. , ,,
Nhu v .ây theo nguyên l´y Ðirichlê mo r .ông suy ra tô`n t.ai k − 1 , , , , , , , ¯ du` ong ch´
eo d1, d2, . . . , dk−1 cua ¯da gi´ac P m`a ch´ung tuong ´ung v´oi , c`
ung m .ôt c.anh a cua ¯da gi´ac, ngh˜ıa l`a a, d1, d2, . . . , dk−1 song song , , , v´ oi nhau. Suy ra c´ ac ¯ du` ong ch´
eo d1, d2, . . . , dk−1 c`ung n`˘am trong ,, , ,,
m .ôt nua m.˘at ph˘ang x´ac ¯d.inh boi c.anh a v`ı P l`a ¯da gi´ac lô`i (h`ınh v˜e). , , ,, Ngo`
ai ra d1, d2, . . . , dk−1 v`a a l`a nh˜ung ¯do .an th˘ang kh´ac nhau v`a boi , , , , , , ,
v`ı sô´ lu .ong cua ch´ung l`a k, m˜ôi ¯dınh cua ¯da gi´ac P l`a ¯diêm ¯dâ`u cua , ,,, , ,
m .ôt ¯do.an n`ao ¯d´o trong ch´ung. Không anh huong ¯dê´n kê´t qua ch´ung , , , , minh ta gia thiê´t d1 l`a ¯
do .an xa nhâ´t ¯dô´i v´oi a trong c´ac ¯du`ong ch´eo , d1, d2, . . . , dk−1. Khi ¯ d´ o t` u l´
y lu .ân trên suy ra r`˘ang ¯da gi´ac P n`˘am ,, , ,, , to`
an b .ô trong m .ôt nua m.˘at ph˘ang x´ac ¯d.inh boi d1. Ðiê`u n`ay tr´ai v´oi , t´ınh lô`i cua ¯ da gi´ ac P. J , , , ,
. 5.4. Trong m .˘at ph˘ang cho 6 ¯diêm. M˜ôi ¯do .an th˘ang nô´i t`ung c .˘ap , , ,, 46
Chuong 5. Mo r .ông nguyên l´y Ðirichlê , , , , , , ¯ diêm ¯
du .oc bôi mâ`u ¯do ho .˘ac xanh. Ch´ung minh r`˘ang ba ¯diêm trong sô´ , , , , , , c´ ac ¯ diêm l` a ¯
dınh cua m .ôt tam gi´ac, m`a c´ac c .anh cua n´o ¯du.oc bôi c`ung m .ôt mâ`u. , , , L` oi giai. K´
y hi .êu A l`a m .ôt trong c´ac ¯diêm ¯d˜a cho v`a x´et n˘am ¯do.an , , , , , , , th˘ ang, c´ o ¯ dınh chung l` a A. Nh˜ung ¯
do .an th˘ang n`ay ¯du .oc son hai , ,, mâ`u v` a v`ı 5=2.2+1, suy ra t` u nguyên l´
y Ðirichlê mo r .ông ch´ung , ,, ta c´ o ´ıt nhâ´t ba ¯
do .an c`ung mâ`u. Gia su ¯d´o l`a AB1, AB2, AB3 mâ`u ,
xanh. Nê´u m .ôt v`ai ¯do.an th˘ang B1B2, B2B3, B3B1 l`a xanh th`ı tô`n t.ai , , ,
m .ôt tam gi´ac v´oi ba c.anh xanh v`a c´o ¯dınh l`a A. Nê´u ba ¯do.an th˘ang , , B1B2, B2B3, B3B1 l`a ¯
do, th`ı m .ôt tam gi´ac thoa m˜an ¯dê` to´an ¯d˜a ra l`a ,
B1B2B3 (c´ac c .anh ¯dê`u mâ`u ¯do). J , , , . 5.5. Cho d˜
ay vô h .an c´ac sô´t .u nhiên u1, u2, . . . , un, . . . ¯du.oc x´ac ¯d.inh , theo công th´
uc sau u1 = 3, un+1 = (n + 1)un − n + 1, n = 1, 2, . . .. , , ,
Cho n sô´ t .u nhiên bâ´t k`y v`a t .âp h.op M gô`m un ¯diêm sao cho không , , , , c´ o ba ¯ diêm n` ao th˘ ang h` ang. M˜ ôi ¯
do .an th˘ang nô´i hai ¯diêm kh´ac nhau , , , trong M ¯
du .oc bôi son b`˘ang m.ôt trong n mâ`u ¯d˜a cho. Khi ¯d´o tô`n t .ai 3 , , , ¯ diêm trong M l` a ¯
dınh cua m .ôt tam gi´ac ¯dô`ng mâ`u. , , , , L` oi giai. Ch´ ung minh b` ˘
ang qui n .ap theo n. V´oi n = 1 ch´ung ta c´o , , , , , ,
u1 = 3 v`a kê´t lu .ân l`a hiên nhiên. V´oi n = 2 t`u công th´uc t´ınh ¯du .oc , , , , ,, , ,, u2 = 6, ¯ dây l` a tru`
ong h .op ta ¯d˜a ch´ung minh o b`ai trên. Gia su b`ai , , , , , ,, to´ an v´ oi un ¯ diêm v` a c´ ac ¯
do .an th˘ang nô´i ¯du .oc bôi boi n mâ`u, c´o m .ôt , , , tam gi´ ac v´ oi c´
ac c .anh c`ung mâ`u. Bây gi`o ta x´et un+1 ¯diêm bâ´t k`y, m`a , , , , , ¯ du`ong nô´i gi˜ ua ch´ ung ¯
du .oc bôi b`˘ang n + 1 mâ`u: c1, c2, . . . , cn+1. Lâ´y , , , , , A l`
a m .ôt trong c´ac ¯diêm trên. Ðiêm n`ay c´o thê nô´i v´oi c´ac ¯diêm c`on , , , ,
l .ai ¯du .oc un+1 − 1 ¯do.an th˘ang bôi mâ`u. M.˘at kh´ac do công th´uc hô`i ,
qui un+1 − 1 = (n + 1)(un − 1) + 1, nhu v .ây theo nguyên l´y Ðirichlê ,, , , , ,
mo r .ông ´ıt nhâ´t un ¯do.an th˘ang c´o chung ¯dınh A ¯du .oc bôi c`ung mâ`u. 5.2. V´ı d .u 47 , ,, , , ,
Gia su AB1, AB2, . . . , ABu ¯ du c bôi c` ung mâ`u, ch˘ ang h n .o .an mâ`u c1. , , , , , Nh˜ ung kha n˘ ang c´ o thê xây ra nhu sau: , , ,
a) Nê´u m .ôt trong c´ac ¯do.an th˘ang nô´i gi˜ua c´ac ¯diêm B1, B2, . . . , , , , Bu theo t`ung c c bôi b` ˘ ang mâ`u c n .˘ ap ¯ du .o 1 th`
ı tô`n t .ai tam gi´ac ¯dô`ng , , , mâ`u c´ o ¯
dınh A. C´ac c .anh cua tam gi´ac n`ay son mâ`u c1. , , b) Không c´
o m .ôt ¯do.an n`ao trong c´ac ¯do.an th˘ang nô´i gi˜ua c´ac , , , , ¯ diêm B1, B2, . . . , Bu ¯ du c son mâ`u c n .o 1. Khi ¯ d´ o ´ ap d .ung qui n.ap to´an , , , , , ,
h .oc cho nh˜ung ¯diêm B1, B2, . . . , Bu . Ðiê`u n`ay c´o thê ¯du c v`ı tâ´t ca n .o , , , , c´ ac ¯
do .an th˘ang ¯d˜a nô´i ¯du .oc bôi son n mâ`u c2, c3, . . . cn+1. Trong , , , tru`
ong h .op n`ay ta c˜ung d˜ân ¯dê´n kê´t lu.ân tô`n t.ai m .ôt tam gi´ac ¯dô`ng mâ`u. J , , , , , ,
. 5.6. Cho sô´ h .ang cua d˜ay un ¯du.oc ¯d.inh ngh˜ıa nhu b`ai tru´oc. T .âp , , , , , , , ,
h .op nh˜ung sô´ t .u nhiên t`u 1 ¯dê´n un − 1 ¯du.oc phân chia b`˘ang phuong , , ,, ph´ ap bâ´t k` y v`
ao n t .âp h.op con, m`a t`ung ¯dôi m.ôt không c´o phâ`n tu , , , chung. Ch´ ung minh r` ˘
ang tô`n t .ai hai sô´cua c`ung m.ôt t .âp h.op con, m`a , , , tông cua ch´ ung c˜ ung n` ˘
am trong t .âp h.op con n`ay ; ho .˘ac l`a tô`n t .ai m.ôt ,
sô´ trong m .ôt t .âp h.op con n`ao ¯d´o, m`a sau khi nhân ¯dôi v˜ân thu.ôc t .âp , h .op con n`ay. , , , , L` oi giai. K´
y hi .êu nh˜ung t.âp h .op con ¯d˜a cho l`a l`a A1, A2, . . . , An. , , , , Ch´ ung ta x´
et t .âp h .op bâ´t k`y M gô`m un ¯diêm, m`a ch´ung ¯du .oc ¯d´anh , , sô´ b` ˘ ang phuong ph´ ap n` ao ¯ d´ o trong c´
ac sô´ 0, 1, 2, . . . , un − 1. Ch´ung , , , ta bôi mâ`u nh˜ ung ¯
do .an th˘ang nô´i c´ac ¯diêm trong M b`˘ang n mâ`u , , , ,
c1, c2, . . . , cn theo c´ach sau: Ðo .an th˘ang nô´i c´ac ¯diêm th´u i v`a j, v´oi , , , , , i > j ¯
du .oc son b`˘ang mâ`u ck khi v`a chı khi hi.êu i − j thu .ôc t.âp h .op , , , , , ,
Ak. Theo b`ai to´an tru´oc 5.5 ba ¯ diêm n` ao ¯ d´ o cua M l`a ¯ dınh cua m .ôt , ,, , tam gi´ ac c` ung mâ`u. Gia su c´ ac ¯ diêm n` ay l`
a i, j, k v`a i > j > k. Khi ¯ d´ o c´
ac sô´i − j, j − k v`a i − k = (i − j) + (j − k) n`˘am trong c` ung m .ôt , , ,, 48
Chuong 5. Mo r .ông nguyên l´y Ðirichlê ,
t .âp h .op As v`a ch´ung c´o c´ac t´ınh châ´t ta câ`n t`ım. J , ,
. 5.7. Trong m .˘at ph˘ang cô´¯d.inh h.ê t.oa ¯d.ô Oxy. Ch´ung ta x´et t .âp h.op , , , ,, , R gô`m nh˜ ung ¯ diêm v´
oi t .oa ¯d.ô (x, y), o ¯dây x, y l`a nh˜ung sô´ nguyên , , , , v`
a 1 ≤ x ≤ 12, 1 ≤ y ≤ 10. M˜ ôi ¯ diêm n` ay ¯
du .oc son b`˘ang m.ôt mâ`u , , , tr´ ˘
ang, xanh ho .˘ac ¯do. Ch´ung minh r`˘ang tô`n t .ai h`ınh ch˜u nh .ât c´o c´ac , , , , , ,
c .anh song song v´oi c´ac tr .uc t.oa ¯d.ô, m`a ¯dınh cua n´o l`a nh˜ung ¯diêm cua , , , R ¯
du .oc son c`ung m.ôt mâ`u. , , , , L`
oi giai. Trong ch´ ung minh ta d` ung hai kh˘ ang ¯ d.inh sau: , , ,, , , ,
a) Nê´u X l`a t .âp h˜uu h.an v´oi n phâ`n tu, th`ı sô´lu .ong t.âp h .op con , ,, , n(n − 1)
cua X gô`m c´ac c .˘ap phâ`n tu {x, y}, v´oi x ∈ X, y ∈ X l`a . 2 , , , ,
b) M .oi sô´ duong bâ´t k`y x1, x2, . . . , xn ¯dê`u thoa m˜an bâ´t ¯d˘ang , th´ uc x2 + x2 + · · · + x2 1 2 n x
≥ ( 1 + x2 + · · · + xn )2 2 2 , , Dâ´u b` ˘
ang chı xây ra khi x1 = x2 = . . . = xn. ,, , ,
Tro l .ai b`ai to´an ¯dang x´et, v`ı tông sô´c´ac ¯diêm ta x´et l`a 120, nên , , , , ,, , , ´ıt nhâ´t c´ o 40 ¯ diêm ¯
du .oc bôi c`ung mâ`u, gia su l`a mâ`u ¯do. V´oi m˜ôi , , , , i = 1, 2, . . . , 12 ch´ ung ta k´
y hi .êu li l`a ¯du`ong th˘ang ¯di qua ¯diêm (i, 0) , , , v` a song song v´
oi tr .uc Oy. Nê´u trên li c´o ni ¯diêm ¯do, i = 1, 2, . . . , 12, , , ,
n1 + n2 + · · · + n12 ≥ 40. Ngo`ai ra t`u ni ¯ diêm c´ o thê t .ao ra c´ac c.˘ap , , , , n , ¯ dôi ¯ du i (ni − 1) .oc s´ ˘ ap c´ o sô´lu .ong . Ngh˜ıa l` a v´ oi m˜ ôi i = 1, 2, . . . , 12 2 n , tô`n t i (ni − 1) .ai ¯ d´ ung c .˘ap sô´ nguyên {j oa m˜ an 1 ≤ j 2 1, j2} th 1 ≤ , , , ,
10, 1 ≤ j2 ≤ 10 v`a c´ac ¯
diêm {i, j1} v`a {i, j2} l`a ¯
do. M .˘at kh´ac sô´lu .ong , , , ,
cua tâ´t ca c .˘ap nh˜ung sô´nguyên {j1, j2} v´oi 1 ≤ j1 ≤ 10, 1 ≤ j2 ≤ 10 5.2. V´ı d .u 49 10(10 − 1) , , , b` ˘ ang = 45. Ch´ ung ta phai ch´ ung minh r` ˘ ang tông c´ ac sô´ 2 n1(n1 − 1) n n
, 2(n2 − 1) , . . . , 12(n12 − 1) 2 2 2 , , , , , , l´ on hon 45. T` u ¯ d´
o suy ra tô`n t .ai nh˜ung chı sô´kh´ac nhau i1 v`a i2 v´oi ,
1 ≤ i1 < i2 ≤ 12 v`a c .˘ap sô´nguyên {j1, j2} v´oi 1 ≤ j1 ≤ 10, 1 ≤ j2 ≤ , , ,, , 10 sao cho 4 ¯
diêm {i1, j1}, {i1, j2}, {i2, j1}, {i2, j2} l`a ¯ do. Boi nh˜ ung , , , , , , ¯ diêm n` ay l` a ¯ dınh cua h`ınh ch˜
u nh .ât v´oi c´ac c.anh song song v´oi tr .uc , , , ,
t .oa ¯d .ô, nhu v.ây b`ai to´an ¯du .oc ch´ung minh. , , , ,
Nhu v .ây, ta chı c`on phai ch´ung minh n n n
S = 1(n1 − 1) + 2(n2 − 1) + · · · + 12(n12 − 1) > 45 2 2 2 ,, , ,
Su d .ung bâ´t ¯d˘ang th´uc b) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S = ((n )2 − ) + ((n )2 − ) + · · · + ((n )2 − ) 2 1 − 2 4 2 2 − 2 4 2 12 − 2 4 1 1 1 1 1 = ((n )2 + (n )2 + · · · + (n )2) − 12 2 1 − 2 2 − 2 12 − 2 8 1 1 1 1
(n1 − ) + (n2 − ) + · · · + (n12 − ) 3 ≥ .12( 2 2 2 )2 − 2 12 2 1 1 3 = ((n )2 − 24
1 + n2 + · · · + n12) − 12 2 2 1 3 342 3 ≥ (40 − 6)2 − = − > 45 24 2 24 2
v`ı n1 + n2 + · · · + n12 ≥ 40. J , . 5.8. (B` ai thi Olympic to´
an quô´c tê´ lâ`n th´
u 20, 1978) M .ôt h.ôi to´an ,, , ,
h .oc bao gô`m c´ac th`anh viên o 6 nu´oc. Danh s´ach c´ac h.ôi viên gô`m , , , , , , 1978 ngu` oi ¯
du .oc ¯d´anh sô´b´ao danh t`u 1 ¯dê´n 1978. Ch´ung minh r`˘ang ,
tô`n t .ai ´ıt nhâ´t m.ôt h.ôi viên c´o sô´ b´ao danh gâ´p ¯dôi sô´ b´ao danh cua , , ,, 50
Chuong 5. Mo r .ông nguyên l´y Ðirichlê , , , ,
m .ôt h.ôi viên kh´ac c`ung nu´oc, ho .˘ac b`˘ang tông hai sô´b´ao danh cua hai , , ,
h .ôi viên c`ung m.ôt nu´oc v´oi m`ınh. , , , , , L` oi giai. T`
u 329.6 < 1978 suy ra m .ôt trong c´ac nu´oc (k´y hi.êu l`a , , , A) c´ o không ´ıt hon 330 ¯
d .ai biêu trong h .ôi v`a ch´ung ta c´o thê viê´t , sô´ b´
ao danh a1 < a2 < . . . < a330 < . . . Ch´ung ta x´et nh˜ung hi.êu ,
xi = a330 − ai, i = 1, 2, . . . 329. Nê´u c´o m .ôt sô´ xi n`ao ¯d´o tr`ung v´oi aj , , , (sô´b´
ao danh cua m .ôt ¯daj i biêu cua A) th`ı ch´ung ta c´o a330 = ai + aj, , , b` ai to´ an ¯ d˜ a ch´
ung minh xong. Nê´u xi 6= aj v´oi m .oi i, j, th`ı sô´ xi l`a , , , , , sô´ b´
ao danh cua m .ôt sô´ ¯d.a i biêu thu .ôc 5 nu´oc c`on l.ai. Bây gi`o, , ,
v`ı 65.5 < 329 , th`ı ´ıt nhâ´t c´
o m .ôt trong n˘am nu´oc n`ay (k´y hi.êu l`a , , B) s˜ e c´ o không ´ıt hon 66 th` anh viên, m` a sô´ b´ ao danh cua h .o l`a
m .ôt trong c´ac sô´ x1, x2, . . . , x329. Cho c´ac sô´ ¯d´o l`a b1 < b2 < b3 < ,
. . . < b66 < . . . v´oi bi = xn , i = 1, 2, . . . , 66. Ch´ung ta l i .ai x´ et hi .êu ,
yi = b66 − bi, i = 1, 2, . . . , 65 Nê´u m .ôt hi.êu n`ao ¯d´o tr`ung v´oi sô´b´ao , , , ,
danh bj cua m .ôt ¯d.ai biêu cua B th`ı b66 = bi + bj. Nê´u v´oi hai sô´ i v` a k n`ao ¯ d´ o ch´ ung ta c´
o yi = ak, th`ı ak = b66 − bi = xn − x = 66 ni a330 − an − (a ) = a − a ho = a + a 66 330 − ani ni n66 .˘ ac l` a ani n66 k. Nê´u hai , , , , , tru`
ong h .op trên không xây ra, th`ı nh˜ung sô´ n`ay s˜e l`a sô´ b´ao danh , , , , , , cua ¯
d .ai biêu 4 nu´oc c`on l.ai v`a suy ra ´ıt nhâ´t m .ôt trong c´ac nu´oc n`ay , c´
o sô´ h .ôi viên ´ıt nhâ´t l`a 17 v´oi sô´ b´ao danh yi. Tiê´p t .uc qu´a tr`ınh , ,
nhu v .ây v`a l.˘ap l.ai l´y lu.ân trên ch´ung ta c´o kê´t lu.ân cua b`ai to´an. J , , , ,
. 5.9. (Ðê` thi To´ an vô ¯
d.ich nu´oc Anh, 1978) M.ôt h`ınh l .âp phuong c´o , , ,
c .anh b`˘ang 15 ch´ua 11.000 ¯diêm. Ch´ung minh r`˘ang c´o m.ôt h`ınh câ`u , , , , b´ an k´ınh b` ˘ ang ¯
don v.i ch´ua ´ıt nhâ´t 6 ¯diêm trong sô´ 11.000 ¯diêm ¯d˜a cho. , , , , , L`
oi giai. Chia m˜
ôi c .anh cua h`ınh l.âp phuong th`anh 13 phâ`n b`˘ang , , , ,
nhau, thê´ th`ı h`ınh l .âp phuong ban ¯dâ`u ¯du .oc chia th`anh 133 = 2187 5.2. V´ı d .u 51 , , , , , ,
h`ınh l .âp phuong nho. V`ı h`ınh l.âp phuong ban ¯dâ`u ch´ua 11.000 , , , , , , ¯
diêm, nên tô`n t .ai m .ôt h`ınh l.âp phuong nho ch´ua ´ıt nhâ´t 6 ¯diêm. , , , , 15 D˜
ê thâ´y c .anh cua h`ınh l.âp phuong nho l`a , do ¯ d´ o b´ an k´ınh h`ınh 13r r , , , 1 15 1 675
câ`u ngo .ai tiê´p h`ınh l.âp phuong nho l`a r = 3( )2 = < 2 13 2 169 1 r 676 1 √ , =
4 = 1. V .ây: Tô`n t.ai m .ôt h`ınh câ`u b´an k´ınh 1 ch´ua ´ıt 2 169 2 , , nhâ´t 6 ¯ diêm trong 11.000 ¯ diêm ¯ d˜ a cho. J , , ,
. 5.10. Trong m .˘at ph˘ang cho m .ôt sô´ h˜uu h.an ¯diêm, m .ôt sô´ trong , , , ch´ ung ¯
du .oc nô´i l.ai b`˘ang ¯do.an th˘ang. Ch´ung ta n´oi r`˘ang m .ôt d˜ay , , , ,
e1, e2, . . . , em t`u c´ac ¯
d .oan th˘ang ¯du .oc nô´i l`a m .ôt dây chuyê`n, nê´u ,
m .oi c.˘ap ¯do.an th˘ang liê`n nhau ei v`a ei+1 c´o chung m .ôt ¯dâ`u m´ut, , , , ,
i = 1, 2, . . . , m − 1. Sô´lu .ong m nh˜ung ¯do.an th˘ang trong dây chuyê`n ,
g .oi l`a ¯d .ô d`ai cua n´o. Ch´ung ta x´et b`ai to´an: , , , , , , , , Cho n ¯ diêm, t` u c´ ac ¯ diêm n`
ay d .ung nh˜ung ¯do .an th˘ang, sô´ lu.ong ¯do .an , , , ,, , , , , th˘ ang ¯ d˜
a d .ung l`a q. Gia su nh˜ung ¯do .an th˘ang ¯du.oc ¯d´anh sô´m.ôt c´ach , bâ´t k` y b` ˘ ang c´
ac sô´ 1, 2, . . . , q. Khi ¯ d´ o trong c´
ach t .ao h`ınh nhu v .ây tô`n , , 2q
t .ai m.ôt dây chuyê`n v´oi ¯d.ô d`ai nho nhâ´t l`a
, trên dây chuyê`n n` ay n , , , , , c´ ac sô´ ´ ung v´ oi nh˜ ung ¯
do .an th˘ang th`anh phâ`n l .âp nên m.ôt d˜ay sô´giam ng .˘at. , , , , , , L`
oi giai. G .oi G l`a câ´u h`ınh bâ´t k`y cua nh˜ung ¯diêm v`a ¯do.an th˘ang, , , , , , m` a ch´ ung ¯
du .oc ¯d´anh sô´b`˘ang sô´t .u nhiên nhu ¯dê` b`ai ¯d˜a ra. V´oi m .oi ,
v thu .ôc G ch´ung ta k´y hi.êu LG(v) l`a ¯d .ô d`ai cua dây chuyê`n d`ai nhâ´t , , , , trong G, m`a n´ o b´ ˘ at ¯ dâ`u t`
u v v`a giam dâ`n. B`˘ang phuong ph´ap qui , , , , , ,
n .ap ch´ung ta s˜e ch´ung minh bâ´t ¯d˘ang th´uc sau ¯du .oc thoa m˜an
LG(v1) + LG(v2) + · · · + LG(vn) ≥ 2q (5.1) , , ,, 52
Chuong 5. Mo r .ông nguyên l´y Ðirichlê ,, , , , , o ¯
dây v1, v2, . . . , vn l`a tâ´t ca c´ac ¯
diêm thu .ôc G. Kê´t lu.ân phai ch´ung , ,, minh suy ra t` u (5.1) theo nguyên l´
y Ðirichlê mo r .ông: M .ôt trong , , 2q , c´
ac sô´ LG(v1), LG(v2), . . . , LG(vn) l´on hon ho .˘ac b`˘ang , nhu v .ây n , , , , ,
tô`n t .ai dây chuyê`n v´oi t´ınh châ´t ¯d˜a chı ra. Do ¯d´o chı c`on phai ch´ung , , , , , , , , , minh (5.1) ¯
du .oc thoa m˜an v´oi n ¯diêm cua G v`a q ¯do.an th˘ang ¯du .oc , , ,, , , ¯ d´ anh sô´ nhu mô ta o ¯ dâ`u b` ai. B` ˘
ang qui n .ap v´oi q = 1 bâ´t ¯dang , , , ,, , th´ uc (5.1) l`
a hiên nhiên. Gia su (5.1) thoa m˜ an cho m .oi câ´u h`ınh , , , , v´ oi q − 1 ¯
do .an th˘ang v`a ch´ung ta xem x´et câ´u h`ınh v´oi n ¯diêm v`a , , , , q ¯
do .an th˘ang. Nê´u ¯do.an th˘ang k´y hi.êu l`a q nô´i v´oi hai ¯diêm vi v`a , , , , , vj th`ı ch´ung ta bo ¯
do .an th˘ang n`ay v`a nh.ân ¯du .oc câ´u h`ınh G0 cua n , , , ¯ diêm v` a q − 1 ¯
do .an th˘ang. V´oi câ´u h`ınh n`ay theo qui n.ap ch´ung ta , c´
o LG0(v1) + LG0(v2) + · · · + LG0(vn) ≥ 2(q − 1). Bây gi`o ch´ung ta , , , x´ et ¯
diêm vj. Dây chuyê`n giam dâ`n xuâ´t ph´at t`u xj c´o ¯ d .ô d`ai LG0(vj), , , , , ,, , v` a nh˜ ung ¯
do .an th˘ang trong dây chuyê`n n`ay ¯du .oc k´y hi.êu boi nh˜ung sô´ n` ao ¯ d´ o trong d˜
ây 1, 2, . . . , q − 1. Nê´u nô´i thêm v`ao dây chuyê`n , , ,
m .ôt ¯do.an th˘ang c´o k´y hi.êu q ch´ung ta s˜e nh.ân ¯du .oc dây chuyê`n , , , , giam v´ oi ¯ diêm ¯ dâ`u vi v`a v´oi ¯
d .ô d`ai LG0(vj) + 1. Theo ¯d.inh ngh˜ıa , ,
cua LG(vi) ch´ung ta c´o LG(vi) ≥ LG0(vj) + 1. B`˘ang m .ôt c´ach ch´ung , , , , , , minh ho` an to`
an tuong t .u ch´ung ta c˜ung ch´ung minh ¯du .oc LG(vj) ≥ , , L0 (v i m m v G i ) + 1. M .˘ at kh´ ac, LG(vk) = LG0(vk) v´o .oi ¯ diê k thu . ôc G m` a n´ o kh´
ac vi v`a vj. Suy ra, LG(v1) + LG(v2) + · · · + LG(vn) ≥
LG0 (v1) + LG0 (v2) + · · · + LG0 (vn) + 2 ≥ 2(q − 1) + 2 = 2q. J 5.3. B ` ai t .âp ,
. 5.11. (Ðê` thi vô ¯
d.ich Áo - Balan, 1978) Cho 1978 t.âp h .op, m˜ôi , ,, ,
t .âp h .op c´o 40 phâ`n tu. Biê´t r`˘ang hai t.âp h .op bâ´t k`y c´o ¯d´ung m .ôt ,, , ,, , phâ`n tu chung. Ch´ ung minh r` ˘
ang, tô`n t .ai m .ôt phâ`n tu thu .ôc tâ´t ca , 1978 t .âp h .op trên. 5.3. B` ai t .âp 53 , , , , , , . 5.12. Ch´ ung minh r` ˘
ang m .oi t.âp h .op ch´ua 55 sô´ch .on ¯du .oc t`u t.âp , , ,
h .op sô´{1, 2, 3, . . . , 100} ch´ua hai sô´m`a hi.êu cua ch´ung b`˘ang 9. , , , . 5.13. Cho n l`
a sô´t .u nhiên. Cho n t.âp h .op con A1, A2, . . . , An cua , , ,
m .˘at ph˘ang v´oi t´ınh châ´t: v´oi m .oi i = 1, 2, . . . , n tô`n t.ai n + 1 ph´ep , , ,
t.inh tiê´n sao cho c´ac anh cua Ai qua c´ac ph´ep t.inh tiê´n t`ung ¯dôi m .ôt , , , không c´ o ¯ diêm chung. Ch´ ung minh r` ˘
ang tô`n t .ai m .ôt ¯diêm trên m.˘at , , , ph˘ ang, không n` ˘ am trong bâ´t c´
u t .âp h .op Ai n`ao, i = 1, 2, . . . , n. , , ,
. 5.14. Trong phâ`n trong cua m .ôt tam gi´ac ¯dê`u v´oi c.anh d`ai 15 ¯don , , , ,
v.i, ch´ung ta ch .on b`˘ang phuong ph´ap bâ´t k`y 111 ¯diêm. Ch´ung minh , , , √ , , r` ˘
ang tô`n t .ai h`ınh tr`on v´oi ¯du`ong k´ınh 3, m`a n´o phu ´ıt nhâ´t 3 ¯diêm , , ,, trong sô´nh˜ ung ¯ diêm ¯ d˜ a ch .on o trên.
. 5.15. (Ðê` thi vô ¯
d.ich Quô´c gia Bungari, 1977) Trong m .ôt nh´om , , , , , ngu` oi, hai ngu`
oi X v`a Y g .oi l`a quen nhau gi´an tiê´p, nê´u h .o tr .uc , , ,
tiê´p quen nhau, ho .˘ac l`a nê´u tô`n t.ai m .ôt dây truyê`n nh˜ung ngu`oi
Z1, Z2, . . . , Zp sao cho X v`a Z1 quen nhau, Z1 v`a Z2 quen nhau,... , , ,
, Zp v`a Y quen nhau. Cho biê´t nh´om ¯ d´ o gô`m 134 ngu`oi, c` on gi˜ ua , , , , , , m˜ ôi nh´ om nho 8 ngu`oi t`u nh´ om ¯ d˜ a biê´t ´ıt nhâ´t c´ o hai ngu` oi quen , , , , gi´ an tiê´p. Ch´ ung minh r` ˘ ang c´
o m .ôt nh´om nho 12 ngu`oi trong nh´om , , , , , ngu` oi ¯ d˜ a biê´t, m`
a m .oi c.˘ap hai ngu`oi trong nh´om nho n`ay ¯dê`u quen nhau gi´ an tiê´p. , , ,, 54
Chuong 5. Mo r .ông nguyên l´y Ðirichlê , , CHUONG 6 B ` AI T .ÂP S ´ Ô H .OC NÂNG CAO , , ,
6.1. Ð.inh l´y co ban cua sô´ h .oc , ,, , , Trong l´
y thuyê´t sô´h .oc co so c´o m .ôt ¯d.inh l´y co ban: , , , , ,
M .oi sô´t .u nhiên l´on hon m.ôt ¯dê`u c´o thê phân t´ıch ra t´ıch c´ac th`ua , , sô´ nguyên tô´ v` a phân t´ıch ¯ d´ o l`
a duy nhâ´t nê´u ta không ¯ dê ´ y ¯ dê´n th´ u , , ,
t .u cua c´ac th`ua sô´. ,
Cho p1, p2, . . . , pn l`a nh˜ung sô´ nguyên tô´ kh´ac nhau. Trong , , , , chuong n` ay ch´ ung ta x´
et m .ôt sô´ kê´t lu.ân vê` vê` t.âp h .op M cua , , , c´
ac sô´ t .u nhiên m`a n´o c´o thê phân t´ıch ra c´ac th`ua sô´ n`˘am trong , , , , ,
{p1, p2, . . . , pn}. M .oi sô´ x cua M c´o thê biêu di˜ên du´oi d.ang
x = pα1 pα2 . . . pαn 1 2 n
,,o ¯dây α1,α2,. . .,αn l`a c´ac sô´nguyên không âm. 6.2. V´ı d .u , , , . 6.1. T`
u t .âp h.op M ch.on m.ôt c´ach bâ´t k`y 2n + 1 sô´. Ch´ung minh , , r` ˘
ang tô`n t .ai hai sô´ trong t .âp v`ua ch.on m`a t´ıch cua ch´ung l`a m.ôt sô´ , , ch´ınh phuong. , , , L`
oi giai. Nh .ân x´et r`˘ang m .ôt sô´ t .u nhiên x = pα1 pα2 . . . pαn 1 2 n l` a sô´ , , , , ch´ınh phuong khi v` a chı khi tâ´t ca c´ ac sô´ m˜ u ¯ dê`u ch˜ ˘ an. Ch´ ung ta , , 56 Chuong 6. B` ai t .âp sô´h .oc nâng cao , , ,, , , , , biêu di˜
ên m .oi sô´ ¯d˜a ch .on v´oi d.ang o trên v`a cho tuong ´ung v´oi b .ô ,, , ,
n-sô´ (α1, α2, . . . , αn), o ¯
dây α1, α2, . . . , αn l`a c´ac sô´ du cua c´ac sô´ m˜u , , , tuong ´
ung α1, α2, . . . , αn khi chia cho 2. R˜o r`ang αi = 0 ho .˘ac αi = 1 , , , v´
oi m .oi i = 1, 2, . . . , n. V.ây (α1, α2, . . . , αn) l`a b .ô xê´p th´u t .u n sô´gô`m , , , , , , sô´ 0 v` a 1. Theo l´
y thuyê´t tô h .op, tâ´t ca n-b .ô nhu v.ây c´o sô´ lu .ong , , , l` a 2n, c` on c´ ac sô´ ta ¯ dang x´ et c´
o sô´ lu .ong l`a 2n + 1. Nhu v.ây ´ıt nhâ´t c´ o 2 sô´ trong ch´ ung c´ o c`
ung b .ô s´˘ap xê´p gô`m sô´ 0 v`a sô´ 1 giô´ng , ,, , nhau. Gia su c´ ac sô´ ¯ d´ o l`
a x = pα1 pα2 . . . pαn pβ2 . . . pβn i 1 2 n v` a y = pβ1 1 2 n v´ o , , ch´ ung c´
o (α1, α2, . . . , αn) = (β , , . . . , ). Ð˘ ang th´ uc sau c` ung c´ o 1 β2 βn ngh˜ıa l`
a αi = β , i = 1, 2, . . . , n . Do c´ o c` ung i ¯ d´ o c´ ac sô´ m˜ u αi v`a βi , , , t´ınh ch˜ ˘ an le nhu nhau v´ oi bâ´t k` y i = 1, 2, . . . , n. Khi ¯ d´ o α1 + β1,
α2 + β2, . . . , αn + βn, l` a c´ ac sô´ ch˜ ˘ an v`
a theo nh .ân x´et ban ¯dâ`u t´ıch
xy = (pα1 pα2 . . . pαn pβ2 . . . pβn
pα2+β2 . . . pαn+βn 1 2 n )( pβ1 1 2 n ) = pα1+β1 1 2 n ¯ d´ ung , , l` a sô´ch´ınh phuong. J , , , , . 6.2. Ch´ ung minh r` ˘ ang gi˜
ua n + 1 sô´ trong t .âp hop M c´o thê ch.on , , , , , ¯
du .oc m.ôt v`ai sô´m`a t´ıch cua ch´ung l`a m.ôt sô´ch´ınh phuong. , , , , , L`
oi giai. Cho x1, x2, . . . , xn l`a nh˜ung sô´ bâ´t k`y cua M. V´oi m˜ôi t .âp , , con kh´
ac trô´ng {i1, i2, . . . , ik} cua t .âp h .op {1, 2, . . . n + 1}, ch´ung ta , x´ et c´
ac xi , x , . . . , x (tâ´t nhiên sô´n`ay c˜ung thu u di˜ ên c´ ac 1 i2 ik .ôc M). Biê , , , , sô´n`
ay theo d .ang chuân v`a m˜ôi t.âp h .op con {i1, i2, . . . , ik} cho tuong , , ´, , , , ung v´
oi n-b .ô (α1, α2, . . . , αn) , o ¯dây α1, α2, . . . , αn l`a c´ac sô´ du cua , , , , , , c´ ac sô´ m˜ u tuong ´
ung α1, α2, . . . , αn khi chia cho 2. Nhung sô´ lu .ong , , nh˜
ung t .âp con kh´ac r˜ông cua {1, 2, . . . , n + 1} l`a 2n+1 − 1, c`on sô´ , , , ,
lu .ong c´ac n-b .ô s´˘ap gô`m nh˜ung sô´0 v`a 1 l`a 2n. Suy ra tô`n t.ai nh˜ung ,
t .âp h .op con kh´ac trô´ng kh´ac nhau {i1, i2, . . . , ik} v`a {j1, j2, . . . , jl} , , , , , ,
cua {1, 2, . . . , n + 1}, m`a ch´ ung tuong ´ ung v´ oi c` ung m .ôt n-b .ô s´˘ap cua , , nh˜ ung sô´ du. Ðiê`u n` ay c´ o ngh˜ıa l`
a nê´u xi x . . . x = pα1 pα2 . . . pαn 1 i2 ik 1 2 n v`
a xj x . . . x = pβ1 pβ2 . . . pβn 1 j2 jk 1 2 n th`ı c´ ac sô´ m˜
u αi v`a βi c´o c`ung t´ınh 6.2. V´ı d .u 57 , , , , ch˜ ˘ an le v´
oi i = 1, 2, . . . , k. Ðiê`u n`ay c´ o ngh˜ıa l` a t´ıch cua nh˜ ung , ,
sô´ xi , x , . . . , x , x , x , . . . , x l`a ch´ınh phuong. Nê´u {i 1 i2 ik j1 j2 jk 1, i2, . . . , ik} ,, , , , v`
a {j1, j2, . . . , jl} không c´o phâ`n tu chung, th`ı b`ai to´an ¯ d˜ a ¯ du .oc giai. , , , , , Tru`
ong h .op ngu .oc l.ai, trong P = xi x . . . x x x . . . x l 1 i2 ik j1 j2 jk .˘ ap l .ai ¯d´ung , nh˜
ung sô´ xs, m`a s thu .ôc {i1, i2, . . . , ik} v`a {j1, j2, . . . , jl}. Ch´ung ta , , , , , , ,
lo .ai tr`u trong P tâ´t ca c´ac nh˜ung xs nhu v.ây v`a nh.ân ¯du .oc t´ıch cua , , v`
ai sô´trong sô´ x1, x2, . . . , xn+1 m`a n´o ¯ d´ ung l` a ch´ınh phuong. J , , , , , . 6.3. Ch´ ung minh r` ˘ ang gi˜
ua m .oi 3.2n + 1 sô´ t`u t .âp h.op M c´o thê , , , , ,
ch .on ¯du.oc 4 sô´m`a t´ıch cua ch´ung l`a l˜uy th`ua b .âc bô´n cua m.ôt sô´. , , , , L`
oi giai. V`ı 3.2n + 1 > 2n + 1 gi˜ua nh˜ung sô´ ¯ d˜ a ch .on theo b`ai 6.1 , , , c´ o hai sô´ m` a t´ıch cua ch´ ung l`
a m .ôt sô´ ch´ınh phuong. T´ach hai sô´ , trên ra th`ı c`
on l .ai 3.2n − 1 sô´v`a ´ap d .ung tiê´p 6.1 cho hai sô´n˜ua m`a , , , , t´ıch cua ch´ ung l` a sô´ch´ınh phuong. Ch´ ung ta c´
o thê l .˘ap l.ai qu´a tr`ınh (3.2n − 1) − (2n + 1) , ,, n` ay ´ıt nhâ´t = 2n + 1 lâ`n. Gia su ch´ ung ta nh .ân 2 , , , , , ¯
du .oc 2n + 1 c.˘ap (x1, y1), (x2, y2), . . . , v´oi xiyi l`a c´ac sô´ch´ınh phuong, i = 1, 2, . . . , 2n + 1. Ch´ u ´ y r` ˘ ang theo c´
ach ch .on trên th`ı c´ac c.˘ap sô´ ,
(x1, y1), (x2, y2), . . . , (x2n+1, y2n+1) t`ung ¯
dôi m .ôt kh´ac nhau. Ðê´n ¯dây √ √ √ , suy ra c´ ac sô´
x1y1, x2y2, . . . , x2n+1y2n+1 l`a nh˜ung sô´nguyên v`a , , ,
thu .ôc M. Khi ¯d´o ´ap d .ung m .ôt lâ`n n˜ua 6.1 chı ra r`˘ang t´ıch cua hai sô´ , , , n` ao ¯ d´ o trong ch´ ung l`
a ch´ınh phuong. Nhu v .ây xiyixjyj = t4 ngh˜ıa l`a , , , t´ıch cua 4 sô´t` ung ¯
dôi m .ôt kh´ac nhau xi, yi, xj, yj l`a l˜uy th`ua b.âc bô´n , cua m .ôt sô´. J , , , . 6.4. Cho p l`
a m .ôt sô´nguyên tô´le v`a a1, a2, . . . , a p+1 l`a nh˜ung sô´t .u 2 , , , , , nhiên kh´ ac nhau nho hon p. Ch´ ung minh r` ˘ ang v´
oi m .oi sô´ t .u nhiên , , , ,
r nho hon p, tô`n t .ai hai sô´ (c´o thê b`˘ang nhau) ai v`a aj, m`a t´ıch cua , ch´ ung khi chia cho p c´ o sô´du ¯ d´ ung l` a r. , , 58 Chuong 6. B` ai t .âp sô´h .oc nâng cao , , , ,, L`
oi giai. Áp d .ung m .ôt ¯d.inh l´y trong l´y thuyê´t sô´ co so: Nê´u a v`a b l` a hai sô´ nguyên tô´ c`
ung nhau, th`ı tô`n t .ai m .ôt sô´nguyên x sao cho ax ≡ 1 (mod b). , p + 1 V´ oi m˜ ôi i = 1, 2, . . . , , c´ ac sô´ a 2 i v` a p l`a nguyên tô´ c` ung ,
nhau, v`ı 1 ≤ ai ≤ p − 1 v`a p l`a sô´ nguyên tô´. Áp d .ung ¯d.inh l´y v`ua , , ph´
at biêu trên, tô`n t .ai c´ac sô´nguyên b1, b2, . . . , b p+1 sao cho v´oi m .oi 2 , , , i = 1, 2, . . . , p+1 c´ ac ¯ d˘ ang th´ uc sau ¯ dê`u thoa m˜ an 2 aibi ≡ 1 (mod p) (6.1) Ch´ ung ta x´ et d˜
ay sô´ a1, a2, . . . , a p+1 , rb1, rb2, . . . , rb p+1 . Ch´ung ta c´o 2 2 ,
tâ´t ca p + 1 sô´ sao cho ´ıt nhâ´t hai sô´ trong ch´ ung khi chia cho p , , c´ o c`
ung m .ôt sô´ du. Theo gia thiê´t c´ac sô´ a1, a2, . . . , a p+1 kh´ac nhau 2 , , , , ho` an to` an v`
a nho hon p. Suy ra sô´ du cua ch´ ung theo môdd un p , l` a kh´
ac nhau. V`ı r l`a sô´ nguyên tô´ c` ung nhau v´ oi p, nên d˜ê d`ang , , , , ch´ ung minh ¯
du .oc r`˘ang c´ac sô´rb1, rb2, . . . , rb p+1 cho sô´du ho`an to`an 2 , , kh´
ac nhau khi chia cho p. Ngh˜ıa l`a chı tô`n t .ai hai chı sô´ i v`a j sao , , ,
cho ai ≡ rbj (mod p). T`u (6.1) ch´ung ta nh .ân ¯du .oc aiaj ≡ rbjaj ≡ r.1 ≡ r (mod p). J , , , , . 6.5. Bô ¯
dê` Tue: Cho n l`
a sô´ t .u nhiên l´on hon 1 v`a a l`a sô´ nguyên , tô´ c` ung nhau v´ oi n. Khi ¯ d´
o tô`n t .ai c´ac sô´ nguyên x v`a y, m`a ch´ung , , , , , thoa m˜
an phuong tr`ınh ax ≡ y (mod n) v` a c´
ac bâ´t phuong tr`ınh √ √
1 ≤ x ≤ [ n], 1 ≤ |y| ≤ [ n]. , , , ,, L` oi giai. Ch´ ung ta x´ et tâ´t ca c´ ac sô´c´
o d .ang au − v, o ¯dây u v`a v ch.ay √ , , , ¯
d .ôc l.âp nhau trong c´ac sô´0, 1, 2, . . . , [ n]. Sô´lu .ong tâ´t ca c´ac sô´ ¯d´o √ , , √ √ l`
a ([ n] + 1)2 . Suy ra sô´n`ay l´
on hon n v`ı ([ n] + 1)2 > ( n)2 = n. ,, , Boi c´ o ¯ d´
ung n sô´ du kh´ac nhau theo mô¯
dun n, nên tô`n t .ai hai c.˘ap , sô´ kh´
ac nhau (u1, v1), (u2, v2) t`u c´ac sô´ nguyên sao cho 1 ≤ ui ≤ 6.2. V´ı d .u 59 √ √
[ n], 1 ≤ vi ≤ [ n], i = 1, 2 v`a au1 − v1 ≡ au2 − v2 (mod n). , , , , , D˜ ê d` ang ch´ ung minh ¯
du .oc v1 kh´ac v2. Th.ât v.ây, nê´u ngu .oc l.ai th`ı
au1 ≡ au2 (mod n),suy ra u1 ≡ u2 (mod n), do a l`a sô´ nguyên tô´ , , , , , c` ung nhau v´
oi n. M .˘at kh´ac, u1, u2 l`a c´ac sô´t .u nhiên nho hon n. Nhu , , , ,
v .ây ¯d˘ang th´uc sau c`ung chı c´o m .ôt kha n˘ang duy nhâ´t u1 = u2. Do , , ¯ d´
o c .˘ap (u1, v1), (u2, v2) tr`ung nhau, tr´ai v´oi c´ach ch .on trên. Nhu v.ây , , ,
u1 v`a u2 c˜ung phai kh´ac nhau. C´o thê gia thiê´t u1 > u2 m`a không , ,,, , , , anh huong ¯ dê´n kê´t qua ch´ ung minh. Bây gi` o ta ¯ d .˘at x = u1 − u2, y = , √ √ v1 − v2. T`u ¯ d´
o suy ra 1 ≤ x ≤ [ n], 1 ≤ |y| ≤ [ n] v`a ax ≡ y (mod n). J , , ,
. 6.6. Áp d .ung bô ¯dê` Tue: M.oi sô´ nguyên tô´ d .ang 4k + 1 c´o thê biêu , , , , , , di˜ ên du´
oi d .ang tông b`ınh phuong cua hai sô´nguyên. , , , , L` oi giai. Ch´ ung ta ch´ ung minh kh˘ ang ¯
d.inh sau: Nê´u p = 4k + 1 l`a sô´ , ,
nguyên tô´, th`ı phuong tr`ınh x2 ≡ −1 (mod p) c´ o nghi .êm. Th.ât v.ây,
V`ı p l`a sô´ nguyên tô´, theo ¯
d.inh l´y Wilson, (p − 1)! ≡ −1 (mod p). Ngo`
ai ra p − 1 ≡ −1 (mod p), p − 2 ≡ −2 (mod p), . . . , p − p+1 ≡ 2 p+1 (mod p). Suy ra, 2 (p − 1) (p + 1)
−1 ≡ (p − 1)! = 1.2 . . . . 2 2 p − 1 ≡ (−11)(−21) . . . (−( )2) 2 p−1 p − 1 p − 1 = (−1) 2 (1.2 . . . )2 = (−1)2k(( )!)2 2 2 p − 1 = (( )!)2 (mod p). 2 , p − 1 , , , Nhu v .ây a = ( )! l`
a nghi .êm cua phuong tr`ınh trên. V`ı a 2 2 + 1 , ,
chia hê´t cho p nên a l`a nguyên tô´ c` ung nhau v´ oi p. Bây gi`o ta ´ap ,
d .ung bô ¯dê` Tue cho hai sô´ a v`a p. Tô`n t.ai c´ac sô´nguyên x v`a y m`a , , 60 Chuong 6. B` ai t .âp sô´h .oc nâng cao √ √
1 ≤ x ≤ [ p], 1 ≤ |y| ≤ [ p] v` a ax ≡ y (mod p). Khi ¯ d´ o a2x2 ≡ y2 , ,
(mod p), nhu v .ây x2 ≡ −y2 (mod p), v`ı a2 ≡ −1 (mod p). T`u ¯d´o
suy ra x2 + y2 chia hê´t cho p. M .˘at kh´ac 1 ≤ x2 ≤ p, 1 ≤ y2 ≤ p. Ta , , thâ´y r` ˘
ang x2 = p v`a y2 = p không thê xây ra v`ı p l`a sô´nguyên tô´, suy
ra 0 < x2 + y2 < 2p v`a v`ı x2 + y2 chia hê´t cho p, nên x2 + y2 = p. J , , , , , , Ch´ u ´
y: Tuong t .u, ch´ung minh r`˘ang m .oi sô´ p, sao cho phuong , , , ,
tr`ınh x2 ≡ −2 (mod p) c´
o nghi .êm, ¯dê`u c´o thê biêu di˜ên du´oi d.ang , p = x2 + 2y2 v´
oi x, y l`a c´ac sô´nguyên.
. 6.7. (Ðê` thi To´
an Olympic quô´c tê´ lâ`n 18 n˘ am 1976) Cho h.ê p , , , , phuong tr`ınh v´ oi q = 2p ân
a11x1 + a12x2 + · · · + a1qxq = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ap1x1 + ap2x2 + · · · + apqxq = 0 , , , Tâ´t ca c´
ac h.ê sô´aij thu.ôc t .âp hop {−1, 0, 1}. Ch´ung minh r`˘ang tô`n t .ai , ,
nghi.êm (x1, x2, . . . , xq) cua h.ê, m`a n´o thoa m˜an , ,
a) tâ´t ca xj(j = 1, 2, . . . , q) l`a nhung sô´nguyên; b) ´ıt nhâ´t c´
o m .ôt j(j = 1, 2, . . . , q) m`a xj ≤ 0; , c) v´
oi m .oi j(j = 1, 2, . . . , q) ta luôn c´o xj ≤ q; , , , L` oi giai. X´
et b .ô (x1, x2, . . . , xq) gô`m nh˜ung sô´ nguyên bâ´t k`y, m`a , ,, , ch´ ung thoa m˜
an |x1| ≤ p, |x2| ≤ p, . . . , |xq| ≤ p. Boi v`ı tâ´t ca c´ac , , , , , ,
h .ê sô´ cua h.ê phuong tr`ınh chı l`a -1,0 ho.˘ac 1, v´oi vi.êc thay c´ac ân , , , , ,
x1, x2, . . . , xq ch´ung ta nh .ân ¯du .oc gi´a tr.i cua m˜ôi phuong tr`ınh n`˘am , ,
trong khoang [−pq, pq]. Th .ât v.ây, v´oi m˜ôi i = 1, 2, . . . , p ch´ung ta c´
o |ai1x1 + ai2x2 + · · · + aiqxq| ≤ |x1| + |x2| + · · · + |xq| ≤ pq. Suy , , , , , , , , , ra, nê´u thay nh˜
ung ân trong tâ´t ca phuong tr`ınh cua h .ê tuong ´ung 6.2. V´ı d .u 61 , , , v´
oi x1, x2, . . . , xq s˜e nh .ân ¯du .oc b .ô p sô´ nguyên (y1, y2, . . . , yp). Tâ´t , , , , ca nh˜ ung sô´ n` ay ¯ dê`u n` ˘
am trong khoang [−pq, pq]. Trong khoang , , n` ay c´ o ¯ d´
ung 2pq + 1 sô´ nguyên. Suy ra gi˜ua nh˜ung b .ô s´˘ap xê´p ,, , ,, p phâ`n tu nhu o trên c´
o (2pq + 1)p b .ô xê´p kh´ac nhau. M.˘at kh´ac , , , ,,
sô´ lu .ong nh˜ung b .ô xê´p q-phâ`n tu (x1, x2, . . . , xq) m`a |xj| ≤ p , , v´
oi j = 1, 2, . . . q, l`a (2p + 1)q. D˜ê thâ´y r`˘ang t`u q = 2p suy ra
(2p + 1)q > (2pq + 1)p. Theo nguyên l´y Ðirichlê tô`n t .ai hai b .ô q- sô´ nguyên (x0 , x0 , x00 1 2, . . . , x0q) v`
a (x001 2 , . . . , x00q) kh´ac nhau m`a ch´ung , , thoa m˜ an |x0| ≤ p, |x00| ≤ p v´
oi j = 1, 2, . . . q v`a sau khi thê´ v`ao j j , ,
h .ê phuong tr`ınh cho c`ung m .ôt b .ô p sô´ nguyên (y1, y2, . . . , yp). Ð.˘at x1 = x0 − x00, x − x00 − x00 1 1 2 = x02 2 , . . . , xq = x0q q . R˜ o r` ang (x1, x2, . . . , xq) , , , , l`
a nghi .êm cua h.ê phuong tr`ınh v`a xj l`a c´ac sô´ nguyên v´oi m .oi
j = 1, 2, . . . , q. V`ı (x0 , x0 , x00 1 2, . . . , x0q) v`
a (x001 2 , . . . , x00q) l`a hai b .ô q sô´ ho` an to` an kh´
ac nhau, th`ı ´ıt nhâ´t m .ôt trong c´ac sô´ xj kh´ac không. , Cuô´i c` ung v´
oi m .oi j = 1, 2, . . . , q ch´ung ta c´o |xj| = |x0 − x00| ≤ j j , ,
|x0| + |x00| ≤ p + p = 2p = q. Nhu v ua j j .ây (x1, x2, . . . , xq) l` a nghi .êm c , ,
h .ê phuong tr`ınh c´o t´ınh châ´t mong muô´n. J
. 6.8. (Ðê` thi To´
an Olympic quô´c tê´ lâ`n 28 n˘ am 1987) Cho , , ,
x1, x2, . . . , xn l`a nh˜ung sô´th .uc v`a x2 + x2 + · · · + x2 ng minh 1 2 n = 1. Ch´ u , , r` ˘ ang v´ oi m˜
ôi sô´nguyên k, k ≥ 2, tô`n t .ai nh˜ung sô´nguyên a1, a2, . . . , an , không ¯ dô`ng th` oi b` ˘
ang không sao cho |ai| ≤ k − 1, i = 1, 2, . . . , n v`a , √ , , thoa m˜
an bâ´t phuong tr`ınh sau |a n
1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn| ≤ (k−1) kn−1 , , ,, , , L` oi giai. Ch´
ung ta su d .ung bâ´t ¯d˘ang th´uc Cosi-Buniakovski-Svars q q | 2 2
α1β1 + |α2β2 + · · · + |αn βn| ≤ α + · · · + + · · · + 1 α2n β1 β2n , , , , ¯ dus ng v´
oi m .oi sô´th .uc α1, α2, . . . αn, β1, β2, . . . , βn. Dâ´u b`˘ang xây ra , khi v`
a chı khi tô`n t .ai m .ôt sô´λ sao cho α1 = λβ1, α2 = λβ2 . . . , αn = λβn. , , 62 Chuong 6. B` ai t .âp sô´h .oc nâng cao , Bây gi` o ch´ ung ta x´ et c´ ac sô´ y0 = − k−1, y + 1, . . . , 2 1 = − k−1 2 , , , ,
yk−1 = − k−1 + (k − 1) = k−1 Sô´lu ng cua ch´ung l`a k v`a hi ng 2 2 .o .êu t` u , ,
c .˘ap trong ch´ung l`a nh˜ung sô´ nguyên, m`a gi´a tr.i tuy.êt ¯dô´i cua n´o không qu´ a k − 1. M˜
ôi b .ô s´˘ap xê´p n-th`anh phâ`n β = (b1, b2, . . . , bn), ,, , o ¯
dây bi l`a m .ôt sô´n`ao ¯d´o trong y1, y2, . . . , yn v´oi m .oi i = 1, 2, . . . , n, , , , , ch´ ung ta ¯
d .˘at tuong ´ung v´oi m .ôt sô´ S = b β
1 x1 + b2 x2 + · · · + bn xn. , , , T` u bâ´t ¯ d˘ ang th´ uc Cosi S = b β
1 x1 + b2 x2 + · · · + bn xn q q ≤ b2 + b2 + · · · + b2 x2 + x2 + · · · + x2 1 2 n 1 2 n q = b2 + b2 + · · · + b2 1 2 n , , Nhung |bi| ≤ k−1 v´oi m 2
.oi i = 1, 2, . . . , n sao cho q k − 1 √ |S | ≤ b2 + b2 + · · · + b2 ≤ n β 1 2 n 2 √ √ , ,
ho .˘ac l`a − k−1 n ≤ S ≤ k−1 n. Theo phuong ph´ap n`ay n-b 2 β 2 .ô β = ,, , (b1, b2, . . . , bn), o ¯
dây bi l`a m .ôt trong c´ac sô´ y0, y1, . . . , yk−1 v´oi m .oi , , , , , , i = 1, 2, . . . , n, ¯
du .oc ¯d.˘at tuong ´ung v´oi m .ôt sô´ S = b β 1 x1 + b2 x2 + √ √ , , , , · · · + bnxn trong ¯
do .an ∆ = [− k−1 n, k−1 n]. Sô´ lu ng n-b c 2 2 .o .ô ¯ du .o , , √ , s´ ˘ ap xê´p l` a kn. Chia ∆ ra kn − 1 ¯
do .an nho v´oi ¯d .ô d`ai k−1 n. T` u kn−1 nguyên l´
y Ðirichlê suy ra tô`n t .ai hai n-b .ô β = (b1, b2, . . . , bn) v`a ,
γ = (c1, c2, . . . , cn), m` a nh˜ung sô´ S = b β
1 x1 + b2 x2 + · · · + bn xn , , , , v` a S = c ong ´ ung v´ oi ch´ ung n` ˘ am trong γ
1 x1 + c2 x2 + · · · + cn xn tu , c`
ung m .ôt ¯do.an nho. Ð.˘at a1 = b1 − c1,a2 = b2 − c2, . . . , an = bn − , , , , cn. D˜ê kiêm tra ¯
du .oc a1, a2.., an thoa m˜an ¯diê`u ki.ên ¯d˜a cho. Th.ât , ,
v .ây, v´oi m .oi i = 1, 2, . . . , n sô´ ai = bi − ci l`a hi.êu cua hai sô´ n`ao , ,, ¯ d´
o trong y0, y1, . . . , yk−1 nhu ¯d˜a n´oi o trên v`a l`a sô´ nguyên không , ,
vu .ot qu´a k − 1. V`ı hai n-b .ô trên kh´ac nhau ho`an to`an th`ı ´ıt nhâ´t
m .ôt trong c´ac sô´ ai = bi − ci kh´ac không. Ngo`ai ra, |b1x1 + b2x2 + 6.2. V´ı d .u 63
· · · + bnxn| = |x1(b1 − c1) + x2(b2 − c2) + · · · + xn(bn − cn)| = |S − β √ S | ≤ k−1 n. J γ kn−1 , , . 6.9. Ch´ ung minh r` ˘ ang m˜
ôi b .ô gô`m 11 sô´ th .uc kh´ac nhau trong , , , , , khoang [1,1000] c´
o thê ch .on ¯du.oc hai sô´ x v`a y, m`a ch´ung thoa m˜an , , bâ´t ¯ d˘ ang th´ uc sau √ 0 < x − y < 3 3 xy (6.2) , , , L` oi giai. Ch´ ung ta x´ et c˘
an b .âc ba cua c´ac sô´ trong b .ô sô´ ¯d˜a cho , √ x1, x2, . . . , x11 T`u ¯
diê`u ki .ên ¯d˜a cho suy ra 1 ≤ 3 xi ≤ 10, i = , , , 1, 2, . . . , 11. Ch´
ung ta chia khoang [1,10] ra mu` oi phâ`n b` ˘ ang nhau. √ √ √ Khi ¯ d´ o, c´
o ´ıt nhâ´t m .ôt trong hai sô´ 3 x1, 3 x2, . . . , 3 x11 n`˘am trong , √ √ c`
ung m .ôt ¯do.an nho. Nê´u c´ac sô´ ¯d´o l`a 3 xi v`a 3 xj, i 6= j v`a xi > xj, ch´ ung ta c´ o √ 9 0 < 3 xi − 3 pxj ≤ < 1. (6.3) √ √ 10 , , ,
Nhu v .ây, 0 < ( 3 xi − 3 xj)3 < 1, kê´t h .op v´oi (6.3) ta c´o 0 < xi − √ √ √ √
xj < 1 + 3 3 xixj( 3 xi − 3 xj) < 1 + 3 3 xixj. J , , , Ch´ u ´ y: B` ai to´ an không c` on ¯ d´ ung v´
oi b .ô 10 sô´th .uc trong khoang ,
[1,1000]. Phan v´ı d .u: b .ô sô´13, 23, . . . , 103. nê´u i 6= j v`a i > j ch´ung , ta c´
o (i − j)3 ≥ 1, nhu v .ây i2 + ij + j2 ≥ 1 + 3ij. Ngh˜ıa l`a i − j = , , ,
(i − j)(i2 + ij + j2) ≥ 1 + 3ij. ¯ d˘ ang th´ uc xây ra khi i = j + 1. , , , ,
. 6.10. Cho 7 sô´ th .uc bâ´t k`y. Ch´ung minh r`˘ang gi˜ua ch´ung c´o thê , , ,
ch .on ¯du.oc hai sô´, ch˘ang h .an x v`a y, sao cho √ x − y 3 0 ≤ ≤ . 1 + xy 3 , , , L` oi giai. C´ ac sô´ ¯ d˜ a cho k´
y hi .êu l`a x1, x2, . . . , x7. M .uc ¯d´ıch cua ch´ung , , , ,, ta l` a biêu di˜
ên m .oi sô´ du´oi d.ang xi = tg αi, o ¯dây αi l`a m .ôt sô´ , π trong khoang (− π , ), i = 1, 2, . . . , 7. Ch´ ung ta chia ¯ do .an n`ay ra 2 2 , , 64 Chuong 6. B` ai t .âp sô´h .oc nâng cao π s´ au ¯
do .an con c´o ¯d .ô d`ai b`˘ang nhau, ngh˜ıa l`a b`˘ang . D˜ ê d` ang thâ´y 6 r` ˘ ang ´ıt nhâ´t c´
o hai sô´ trong α1, α2, . . . , α7 c`ung n`˘am trong m .ôt ¯do.an , coni ¯ d´ o. Nê´u ch´ ung ta k´
y hi .êu c´ac sô´ ¯d´o l`a αi v`a αj, αi ≥ αj, th`ı t`u ¯d´o ,
suy ra 0 ≤ αi − αj ≤ π . V`ı h`am sô´tg l`a t˘ang trong khoang (− π , π ), 6 2 2 suy ra √
tg αi − tg αj xi − xj π 3
0 ≤ tg(αi − αj) = = ≤ tg = .
1 + tg αi tg αj 1 + xixj 6 3 J , , , Ch´ u ´ y: B` ˘ ang c´ ach giai cua hai b`
ai t .âp n`ay ch´ung ta c´o thê s´ang , , , , , , ,
t .ao ra m .ôt lo.at b`ai to´an tuong t .u, m`a v´oi c´ach giai b`ınh thu`ong kh´o , , , m` a giai quyê´t ¯ du .oc. 6.3. B ` ai t .âp . 6.11. (Ðê` thi To´
an Olympic quô´c tê´ lâ`n 26 n˘ am 1985). Cho t .âp , , , , , ,
h .op M gô`m 1985 sô´ t .u nhiên, không c´o sô´ n`ao c´o u´oc sô´ l´on hon , , , ,, , , , , 26. Ch´ ung minh r` ˘ ang t` u nh˜ung phâ`n tu cua M c´ o thê ch .on ¯du .oc 4 , , , , sô´ t` ung ¯
dôi m .ôt kh´ac nhau m`a t´ıch cua ch´ung l`a l˜uy th`ua b.âc 4 cua , ,
m .ôt sô´nguyên. (kê´t lu.ân ¯d´ung v´oi t.âp h .op gô`m 3.29 + 1 = 1537 sô´ , , , , m` a nh˜ ung u´ oc sô´cua ch´ ung không qu´ a 23). , , ,
. 6.12. Cho bô´n sô´duong bâ´t k` y. Ch´ ung minh r` ˘ ang c´ o hai sô´trong , , , , bô´n sô´ ¯ d´ o, ch˘
ang h .an x v`a y, thoa m˜an bâ´t phuong tr`ınh sau x − y √ 0 ≤ ≤ 2 − 3. 1 + x + y + 2xy , , , , . 6.13. Ch´ ung minh r` ˘
ang m .ôt sô´ t .u nhiên c´o thê biêu di˜ên th`anh , , , , ,
tông b`ınh phuong cua hai sô´nguyên khi v`
a chı khi, trong phân t´ıch , ,
ra d .ang ch´ınh t´˘ac cua n´o, c´ac th`ua sô´nguyên tô´d.ang 4k + 3 ¯dê`u c´o sô´m˜ u ch˜ ˘ an. 6.3. B` ai t .âp 65 , , , , . 6.14. Ch´ ung minh r` ˘ ang t` u k + 1 sô´, m`a ch´ ung nho hon 2k, luôn , , , , , , luôn c´
o thê ch .on ¯du .oc hai sô´ m`a ty sô´ cua ch´ung l`a m .ôt l˜uy th`ua , cua 2. , , , . 6.15. Cho n l`
a m .ôt sô´ le. Ch´ung minh r`˘ang t`u (n − 1)2 + 1 sô´ , , , , , nguyên bâ´t k` y c´
o thê ch .on ¯du .oc n sô´ sao cho tông cua ch´ung chia hê´t cho n. , , 66 Chuong 6. B` ai t .âp sô´h .oc nâng cao , , CHUONG 7 B ` AI T .ÂP D ˜ ÂY S ´ Ô NÂNG CAO 7.1. V´ı d .u , . 7.1. Cho d˜
ay Fibonaxi u1 = u2 = 1, un = un−1 + un−2. V´oi m .oi sô´ , , , , , ,
nguyên duong m, th`ı gi˜ ua nh˜
ung sô´ h .ang t`u ¯dâ`u d˜ây ¯dê´n sô´h .ang th´u
m2 − 1 tô`n t .ai m.ôt sô´h .ang chia hê´t cho m. , , , , L` oi giai. Ch´ ung ta k´
y hi .êu k l`a phâ`n du cua sô´ k cho m. Ch´ung ta , , x´ et c´
ac c .˘ap phâ`n du cua d˜ay Fibonaxi khi chia cho m:
(u1, u2).(u2, u3), (u3, u4), . . . , (un, un+1), . . . (7.1) Nê´u ch´ ung ta qui ¯
d.inh hai c.˘ap (a1, b1) v`a (a2, b2) l`a b`˘ang nhau khi , , , ,
a1 = b1 v`a a2 = b2, th`ı sô´ tâ´t ca kha n˘ang cua c´ac c .˘ap phâ`n du khi chia cho m l` a m2. V`ı thê´ ch´
ung ta lâ´y m2 + 1 sô´ h .ang ¯dâ`u tiên , , cua d˜ ay (7.1) th`ı trong ch´ ung phai c´
o hai c .˘ap tr`ung nhau,( theo , , ,, nguyên l´ y Ðirichlê ) v` a t` u ¯ d´ o c´
ac c .˘ap sau l.˘ap l.ai. Gia su c.˘ap (uk, uk+1) , l`
a c .˘ap ¯dâ`u tiên l.˘ap l.ai trong (7.1). Ch´ung ta s˜e ch´ung minh r`˘ang , ,, , ,
c .˘ap n`ay b`˘ang c.˘ap (1, 1). Th.ât v.ây, gia su ngu .oc l.ai, ngh˜ıa l`a c.˘ap , ¯
dâ`u tiên l .˘ap l.ai l`a (uk, uk+1), v´oi k > 1. Khi ¯d´o ch´ung ta s˜e t`ım , , ¯
du .oc trong (7.1) m .ôt c.˘ap (ul, ul+1), (l > k), m`a n´o b`˘ang (uk, uk+1) ,
. Nhu v .ây ul−1 = ul+1 − ul v`a uk−1 = uk+1 − uk, do ul+1 = uk+1 v`a , ,
ul = uk, nên phâ`n du cua ul−1 v`a uk−1 khi chia cho m c˜ung b`˘ang , nhau, ngh˜ıa l`
a ul−1 = uk−1. T`u ¯d´o suy ra (uk−1, uk) = (ul−1, ul), v.ây , , 68 Chuong 7. B`
ai t .âp d˜ây sô´nâng cao , , ,
c .˘ap (uk−1, uk)n`˘am trong d˜ay (7.1) tru´oc ca (uk, uk+1). Ðiê`u ¯d´o n´oi , , , lên r` ˘
ang (uk, uk+1) không phai c .˘ap l.˘ap l.ai ¯dâ`u tiên, tr´ai v´oi gia thiê´t , , ¯
d .˘at ra. Ngh˜ıa l`a k > 1 không thê xay ra, v.ây k = 1. , , ,,
Nhu v .ây c.˘ap (1, 1) l`a c.˘ap ¯dâ`u tiên l.˘ap l.ai trong (7.1). Gia su n´o
l .˘ap l.ai t lâ`n (1 < t < m2 + 1). ho.˘ac l`a (ut, ut+1) = (1, 1). Ngh˜ıa l`a ut , , v`
a ut+1 khi chia cho m cho phâ`n du c`ung l`a 1, v .ây hi.êu cua ch´ung , , ,
chia hê´t cho m. Nhung ut+1 − ut = ut−1. Nhu v .ây sô´h.ang th´u t − 1 , cua d˜ ay Fibonaxi s˜ e chia hê´t cho m. J , ,, , , , , ,
. 7.2. Gia su a v` a x l` a c´
ac sô´t .u nhiên th .uc s .u l´on hon 1 v`a (x, a − 1) = , , , 1. D˜
ay sô´vô h .an {un} ¯du.oc x´ac ¯d.inh nhu sau
un = axn − a + 1, n = 1, 2, . . . , , Ch´ ung minh r` ˘ ang trong d˜ ay sô´n´ oi trên ch´
ua vô h .an sô´¯dôi m.ôt nguyên tô´c` ung nhau. , , , , , , , L`
oi giai. Gia thiê´t phan ch´ ung trong d˜ ay sô´ chı c´ o h˜ uu h .an sô´ ui , u , . . . , u ¯ dôi m 1 i2 ik .ôt nguyên tô´c` ung nhau.
Ð .˘at q = ui u . . . u . X´et (q + 1) sô´ sau a, ax, ax2, . . . , axq. Theo 1 i2 ik nguyên l´
y Ðirichlê tô`n t .ai hai sô´ nguyên r, s sao cho 0 ≤ r < s ≤ q v` a axr ≡ axs (mod q) =⇒ axr − axs ≡ 0 (mod q) hay axr(1 − xs−r) ≡ 0 (mod q) (7.2) , Theo gia thiê´t ta c´
o (x, a − 1) = 1, nên suy ra
(axr, ui ) = 1, ∀j = 1, 2, . . . , k. (7.3) j , T` u (7.3) suy ra (axr, q) = 1. (7.4) 7.1. V´ı d .u 69 , , T` u (7.2) v` a (7.4) c´
o xs−r ≡ 1 (mod q) =⇒ xs−r = lq + 1 v´ oi l ∈ N. X´ et sô´ ui = axs−r − a + 1. V k+j .ây ui
= a(lq + 1) − a + 1 = qal + 1. (7.5) k+j , T` u (7.5) ta c´ o (ui , u ) = 1, ∀j = 1, 2, . . . , k. (7.6) k+j ij , , , , ,
H .ê th´uc (7.6) ch´ung to r`˘ang luôn c´o thê bô sung thêm v`ao b .ô sô´ , ,
q = ui u . . . u c´ac sô´ m´oi, m`a b oa m˜ an ¯ diê`u ki 1 i2 ik .ô sô´ n` ay v˜ ân th .ên: bâ´t k` y hai sô´ n` ao c˜ ung nguyên tô´ c` ung nhau. Ðiê`u n` ay c´ o ngh˜ıa l` a trong d˜ ay {un} ¯ d˜ a cho c´
o vô h .an sô´ ¯dôi m .ôt nguyên tô´ c`ung nhau. J ,
. 7.3. Cho {un} l`a d˜ay c´ac sô´t .u nhiên t˘ang dâ`n: u1 < u2 < u3 < . . . , , , v` a thoa m˜ an ¯
diê`u ki.ên u1 = 1, un+1 ≤ 2n, v´oi m.oi n l`a sô´ t .u nhiên. , , , Ch´ ung minh r` ˘ ang v´
oi m .oi sô´ t .u nhiên n tô`n t .ai c´ac sô´ h .ang up v`a uq , cua d˜
ay sao cho up − uq = n. , , , ,, , , , , , L`
oi giai. Gia su n ∈ N l`a sô´ t .u nhiên cho tru´oc. T`u gia thiê´t suy ra , , , m˜
ôi sô´ h .ang u1, u2, . . . , un+1 không vu .ot qu´a 2n. X´et t.âp h .op 2n sô´ , ,
t .u nhiên sau {1, 2, . . . , 2n}. Ch´ung ta chia t.âp h .op n`ay ra l`am n c.˘ap , , ,
(1, n + 1), (2, n + 2), . . . , (n, 2n). Do t .âp h .op trên ch´ua không ´ıt hon ,, , (n + 1) phâ`n tu cua d˜ ay {un} ¯ d˜ a cho (v`ı n´
oi riêng u1, u2, . . . , un+1 ¯ d˜ a ,
thu .ôc t.âp h .op â´y), v.ây theo nguyên l´y Ðirichlê tô`n t.ai hai sô´ h.ang , , ,, kh´
ac nhau up v`a uq cua d˜ay thu .ôc v`ao m .ôt c.˘ap ( gia su up > uq). , ,
Nhung hi .êu sô´cua m˜ôi c.˘ap ¯dê`u b`˘ang n, nên ch´ung ta c´o up − uq = n. J ,
. 7.4. Cho {uk}, k = 1, 2, . . . , n l`a d˜ay sô´t .u nhiên sao cho
1 ≤ u1 ≤ u2 ≤ . . . ≤ un v`a u1 + u2 + · · · + un = 2n , , 70 Chuong 7. B`
ai t .âp d˜ây sô´nâng cao , , Ch´ ung minh r` ˘
ang nê´u n ch˜ ˘ an v`
a un 6= n + 1, th`ı t`u d˜ay trên luôn ch .on , , , , ra ¯
du .oc m.ôt d˜ay con m`a tông c´ac sô´h .ang cua d˜ay con ¯d´o b`˘ang n. , , L`
oi giai. Ð .˘at Sk = u1 + u2 + · · · + uk, k = 1, 2, 3, . . . , n. X´et n + 2 sô´
{0, u1 − un, S1, S2, . . . , Sn} Theo nguyên l´y Ðirichlê th`ı´ıt nhâ´t hai sô´ , , , khi chia cho n c´ o c`
ung phâ`n du. V .ây, chı c´o 4 kha n˘ang sau ¯dây:
1) (u1 − un) chia hê´t cho n.
Do u1 + u2 + · · · + un ≥ nu1 =⇒ 2n ≥ nu1 =⇒ u1 ≤ 2 ,
a) Nê´u u1 = 2 th`ı t`u 1 ≤ u1 ≤ u2 ≤ . . . ≤ un v`a u1 + u2 + · · · +
un = 2n suy ra u1 = u2 = . . . = un = 2. Do n ch˜˘an nên n = 2m v .ây
u1 + u2 + · · · + um = 2m = n ,
b) Nê´u u1 < 2 th`ı t`u u1 − un chia hê´t cho n, suy ra un = 1 ho .˘ac l`
a un = 1 + n ( do u1 nguyên nên u1 = 1 v`a 1 ≤ un ≤ 2n suy ra , , , ¯
du .oc kê´t lu.ân trên). Nhung un 6= n + 1 suy ra un = 1. M.˘at kh´ac
1 ≤ u1 ≤ u2 ≤ . . . ≤ un v .ây th`ı u2 = u3 = . . . = un−1 = 1. Suy ra
u1 + u2 + · · · + un = n, vô l´y. , , , , ,
Nhu v .ây trong tru`ong h .op n`ay, ta chı ra tô`n t.ai d˜ay con u1, u2 , n
, . . . , um sao cho u1 + u2 + · · · + um = n v´oi m = . 2
2) Sj − Si, (j > i) chia hê´t cho n. , , , Ta c´
o Sj − Si = ui+1 + ui+2 + · · · + uj. R˜o r`ang vê´phai cua ¯d˘ang , th´ uc trên c´
o ´ıt nhâ´t m .ôt sô´h.ang m`a uk ≥ 1, ∀k = 1, 2, . . . , n, suy ra , ,, ,
Sj − Si ≥ 1. M .˘at kh´ac c˜ung hi.êu trên nê´u không ¯du c´ac phâ`n tu cua , d˜ ay th`ı bao gi` o ta c˜ ung c´
o Sj − Si < u1 + u2 + · · · + un ≤ 2n − 1. Do ¯ d´ o cuô´i c` ung ta c´
o 1 ≤ Sj − Si < u1 + u2 + · · · + un ≤ 2n − 1 , , m`
a Sj − Si chia hê´t cho n. ¯ diê`u n`
ay chı xây ra khi Sj − Si = n ho .˘ac l`
a ui+1 + ui+2 + · · · + uj = n. 3) Si chia hê´t cho n. 7.1. V´ı d .u 71 Ta c´
o 1 ≤ Si ≤ Sn−1 = 2n − un < 2n m`a Si chia hê´t cho n, suy
ra Si = n ho .˘ac l`a u1 + u2 + · · · + ui chia hê´t cho n. , ,
4) Sk v`a u1 − un cho c`ung phâ`n du khi chia cho n, v´oi k n`ao ¯ d´
o, 1 ≤ k ≤ n − 1. Suy ra Sk − (u1 − un)|n =⇒ (u2 + u3 + · · · +
uk + un)|n. M`a u2 + u3 + · · · + uk + un ≤ 2n − u1 < 2n. Suy ra
u2 + u3 + · · · + uk + un = n. , , , , T´
om l .ai luôn luôn ch .on ¯du .oc d˜ay con m`a tông cua ch´ung b`˘ang n. J , , . 7.5. Cho d˜
ay sô´ nguyên u1, u2, . . . , un v´oi n ≥ 2. Ch´ ung minh r` ˘ ang
tô`n t .ai d˜ay con uk , u , . . . , u trong ¯d´o 1 ≤ k 1 k2 km
1 < k2 < . . . < km ≤ n
sao cho u2 + u2 + · · · + u2 chia hê´t cho n. k1 k2 km , , L` oi giai. X´ et (n + 1) sô´
0, u21, u21 + u22, u21 + u22 + u23, . . . , u21 + u22 + · · · + u2n , Chia c´ ac sô´ n` ay cho n, th`ı ch´
ung cho nhiê`u nhâ´t n sô´ du. Theo , , ,, nguyên l´
y Ðirichlê tô`n t .ai hai sô´ cho c`ung sô´ du, gia su ¯d´o l`a u2 + 1 u2 + · · · + u2 v` a u2 + u2 + · · · + u2( 2 0 ≤ j < k ≤ n). C´ o ngh˜ıa j 1 2 k l`
a sô´ (u2 + u2 + · · · + u2) − (u2 + u2 + · · · + u2) chia hê´t cho n. 1 2 j 1 2 k ,
Ho .˘ac l`a uj+1 + uj+2 + · · · + uk chia hê´t cho n. D˜ay con phai t`ım l`a uj+1, uj+2, . . . , uk. J . 7.6. Cho d˜
ay Fibonaxi 1, 2, 3, 5, 8,. . . .Ð .˘at f (n) = 19852 + , , 1956n2 + 1960 Ch´ ung minh r` ˘
ang tô`n t .ai vô h .an sô´ h .ang uk cua d˜ay
Fibonaxi, sao cho f (uk)|1989 , , L`
oi giai. Ð .˘at h(n) = 4n2 + 33n + 29 =⇒ h(n) = 1989(n2 + n + 1) − , f (n). T` u ¯ d´
o suy ra f (n)|1989 ⇐⇒ h(n)|1989. , , 72 Chuong 7. B`
ai t .âp d˜ây sô´nâng cao X´ et d˜ ay sô´ {vn} sau ¯ dây, trong ¯ d´ o v0 = −1, v1 = 1
vn+1 = vn + vn+1, n = 1, 2, . . . ,, N´ oi c´ ach kh´ ac d˜
ay {vn} l`a d˜ay sinh ra boi d˜ay Fibonaxi {un} : , , 1, 1, 2, 3, 5, . . . b` ˘ ang c´ ach thêm v` ao tru´ oc d˜ ay n` ay ba sô´h .ang -1, 1, 0. ,
G .oi ri l`a phâ`n du trong ph´ep chia vi cho 1989(i = 0, 1, 2, . . .). ,
Nhu v .ây ta c´o 0 ≤ r ≤ 1988. X´et d˜ay c´ac c.˘ap sô´sau ¯dây
(r0, r1), (r1, r2), (r2, r3), . . . . , V`ı m˜
ôi c .˘ap ri chı nh.ân m .ôt trong 1989 gi´a tr.i, v.ây sô´ c´ac c.˘ap kh´ac , nhau tô´i ¯ da l` a 19892. T`u ¯ d´ o theo nguyên l´
y Ðirichlê th`ı trong 19892 + , ,,
1 c .˘ap ¯dâ`u tiên ´ıt nhâ´t c´o hai c.˘ap tr`ung nhau. Gia su hai c.˘ap â´y l`a
(rp, rp+1), (rp+q, rp+q+1), p, q ∈ N Ðiê`u â´y c´ o ngh˜ıa l`
a rp = rp+1, rp+q = rp+q+1. Theo c´ach x´ac ¯ d.inh d˜ ay, ta c´ o
vp−1 = vp+1 − vp =⇒ rp−1 = rp+1 − rp , , , Tuongt .u, ta c´o
vp+q−1 = vp+q+1 − vp+q =⇒ rp+q−1 = rp+q+1 − rp+q , , , , T` u ¯ d´
o suy ra rp−1 = rp+q−1. Tuongt .u, ta c´o rp−2 = rp+q−2 . . . . . . . r2 = rq+2 r1 = rq+1 r0 = rq , T`
u r0 = rq, r1 = rq+1 v`a vn+1 = vn + vn+1 suy ra ri = ri+q, ∀i =
0, 1, 2, . . .. Do v .ây r0 = rq = r2q = r3q = . . . = rkq, ∀k ≥ 1, suy 7.1. V´ı d .u 73 ,
ra h(vkq) = 1989.A + h(−1) = 1989.A. Nhung ∀k = 1, 2, 3 . . . vkq , ¯ dê`u l` a sô´ Fibonaxi suy ra c´
o vô sô´ sô´ h .ang vkq cua d˜ay Fibonaxi m`a f (vkq)|1989. J , . 7.7. Cho d˜
ay sô´ {un} x´ac ¯d.inh nhu sau
u1 = 20, u2 = 100, v`a un+1 = 4un + 5un−1 − 1976, n = 1, 2, . . . , , Ch´ ung minh r` ˘
ang tô`n t .ai ´ıt nhâ´t m.ôt sô´cua d˜ay sô´chia hê´t cho 1996. , , L`
oi giai. Ð .˘at un = 1996pn + qn, ∀n = 1, 2, . . . trong ¯d´o pn, qn l`a c´ac sô´nguyên v`
a 0 ≤ qn ≤ 1995. X´et d˜ay sô´
(q1, q2), (q2, q3), . . . , (qn, qn+1), . . . , V`ı d˜ ay n`
ay vô h .an m`a sô´ c´ac sô´ qi l`a h˜uu h.an nên tô`n t.ai hai sô´ , , ,, ,
t .u nhiên l, m ( gia su m > l) sao cho (ql, ql+1) = (qm, qm+1) hiêu ,
theo ngh˜ıa ql = qm v`a ql+1 = qm+1. Ch´ung ta s˜e ch´ung minh r`˘ang
ql−1 = qm−1. Th .ât v.ây,
5(um−1 − ul−1) = (um+1 − 4um + 1976) − (ul+1 − 4ul + 1976)
= (um+1 − ul+1) − 4(um − ul) (7.7) ,
Do uk = 1996pk + qk, nên t`u (7.7) c´o
5(um−1 − ul−1) = 1996(pm+1 − pl+1) − (qm+1 − ql+1)−
− 4[1996(pm − pl) − (qm − ql)] (7.8) , Thay nh˜ ung gi´
a tr.i b`˘ang nhau v`ao ((7.8) ta ¯di ¯dê´n
5(um−1 − ul−1) = 1996[(pm+1 − pl+1) − 4(qm − ql)] (7.9) , T`
u (7.9) suy ra 5(um−1 − ul−1)|1996, m`a (5, 1996) = 1 =⇒ (um−1 −
ul−1)|1996 =⇒ 1996(pm−1 − pl−1) + (qm−1 − ql−1)|1996 =⇒ (qm−1 − ql−1)|1996. (7.10) , , 74 Chuong 7. B`
ai t .âp d˜ây sô´nâng cao
Do 0 ≤ qm−1 ≤ 1995, 0 ≤ ql−1 ≤ 1995
=⇒ −1995 ≤ qm−1 − ql−1 ≤ 1995 (7.11) , T` u (7.10) v`
a (7.11) suy ra (qm−1 − ql−1) = 0 hay qm−1 = ql−1. , , , , ,
Tuong t .u ch´ung ta c˜ung c´o thê ¯di ¯dê´n qm−2 = ql−2 v`a c´u tiê´p t .uc , nhu thê´ ¯ di ¯ dê´n
q2 = q2 + (m − 1) v`a q1 = q1 + (m − l) (7.12) , , Ta ch´ ung minh r` ˘
ang um−l ch´ınh l`a sô´h .ang cua d˜ay m`a chia hê´t cho
1996. Th .ât v.ây theo c´ach x´ac ¯d.inh d˜ay, ta c´o
5um−l = um−l+2 − 4um−l+1 + 1976
= 1996pm−l+2 + qm−l+2 − 4(1996pm−l+1 + qm−l+1) + 1996
= 1996(pm−l+2 + 4pm+l+1) + (qm−l+2 + 4qm−l+1) + 1996 , , Thay (7.12) v` ao ¯ d˘ ang th´ uc trên ta c´ o
5um−l = 1996(pm−l+2 − 4pm−l+1) + (q2 − 4q1) + 1996. (7.13) Do
u1 = 20 =⇒ u1 = 0.1996 + 20 =⇒ q1 = 20
u2 = 100 =⇒ u2 = 0.1996 + 100 =⇒ q2 = 100 , V .ây t`u (7.13) suy ra
5um−l = 1996(pm−l+2 − 4pm−l+1) + 1996. (7.14) ,
Do pm−l+2 v`a pm−l+1 l`a sô´nguyên, v.ây t`u (7.14) suy ra 5um−l|1996 m`
a (5, 1996) = 1 suy ra um−l|1996. J , . 7.8. Cho d˜
ay sô´ t .u nhiên u1, u2, . . . , un+1 sao cho 1 ≤ u1 < u2 < , ,
. . . < un+1 ≤ 2n . Ch´ ung minh r` ˘
ang tô`n t .ai hai sô´t .u nhiên i v`a j sao
cho uj chia hê´t cho ui, (j > i). , , , , , , , , , , L` oi giai. K´
y hi .êu vi l`a u´oc sô´le l´on nhâ´t cua ui tuong ´ung, ngh˜ıa l`a , , ,
ui = 2pi.vi , v´oi vi le v`a sô´ t .u nhiên pi n`ao ¯d´o (i = 1, 2, . . . , n + 1). 7.1. V´ı d .u 75 ,
Do 1 ≤ u1 < u2 < . . . < un+1 ≤ 2n suy ra v´oi m .oi i = 1, 2, . . . , n + 1 , , ta c´
o vi < 2n . X´et (n + 1) sô´ le v1, v2, . . . , vn+1. C´ac sô´ le n`ay ¯ dê`u , , , , , , , duong v`
a nho hon 2n. nên sô´ lu .ong cua ch´ung b`˘ang n. V.ây theo nguyên l´
y Ðirichlê tô`n t .ai hai sô´ i, j sao cho 1 ≤ i < j ≤ n + 1 m`a , vi = vj. Theo c´ach ¯
d .˘at trên th`ı ui = 2pivi v`a uj = 2pjvj. Nhung
ui < uj suy ra 2pi vi < 2pj vj, m`a vi = vj. Suy ra 2pi < 2pj. Do pi, pj l`a , , c´
ac sô´ nguyên duong nên 2pj chia hê´t cho 2pi. Ngh˜ıa l`a uj chia hê´t cho ui. J ,
. 7.9. (Ðê` thi To´
an Olympic Quô´c tê´ lâ`n th´ u 13) D˜ ay sô´ {un}, n = , , 2, 3, 4, . . . x´ ac ¯
d.inh nhu sau un = 2n − 3. Ch´ung minh r`˘ang d˜ay sô´n`ay , ,, , ch´
ua m .ôt t .âp vô h .an c´ac phâ`n tu, sao cho bâ´t k`y hai sô´ n`ao cua t .âp ,
h .op n`ay c˜ung nguyên tô´c`ung nhau. , , , , , , , L` oi giai. Ta ch´ ung minh b` ˘
ang quy n .ap. Gia thiê´t ¯d˜a xây d .ung ¯du .oc ,, , k phâ`n tu cua d˜ ay
u1 = 2n1 − 3, u2 = 2n2 − 3, . . . , uk = 2nk − 3 , , ,, m` a v´
oi m .oi i 6= j, th`ı (uj, ui) = 1, v´oi 1 ≤ i, j ≤ k, o ¯dây 2 = n1 < n2 < . . . < nk. , Ch´ ung ta s˜
e xây d .ung sô´ uk+1 = 2nk+1 − 3 nguyên tô´c`ung nhau , v´ oi c´
ac sô´ u1, u2, . . . , uk b`˘ang c´ach sau ¯
dây: Ð .˘at l = u1.u2 . . . uk. X´et , , ,
(l + 1) sô´20, 21, . . . 2l Khi chia c´ ac sô´ n` ay cho l ta ¯ du .oc m .ôt t.âp h .op ,
gô`m l sô´ du. V .ây theo nguyên l´y Ðirichlê c´o ´ıt nhâ´t hai sô´ cho ta , , ,, , c`
ung phâ`n du. Gia su hai sô´ ¯ d´ o l`
a 2r v`a 2s, (s > r). Bây gi`o ch .on sô´ p ,
sao cho pl = 2r − 2s = 2s(2r−s − 1). Do l l`a sô´le nên 2s không chia
hê´t cho l . M .˘at kh´ac (2r, 2r−s) = 1 suy ra (2r−s − 1) chia hê´t cho l. , Ðiê`u n` ay ngh˜ıa l`
a tô`n t .ai sô´t .u nhiên q sao cho 2r−s − 1 = ql, suy ra
2r−s+2 − 3 = 4.2r−s − 3 = 4(ql + 1) − 3 = 4ql + 1. , , 76 Chuong 7. B`
ai t .âp d˜ây sô´nâng cao
Ð .˘at uk+1 = 2r−s+2 − 3 = ql. Do uk+1 = 4ql + 1 v`a l =
u1.u2 . . . uk, suy ra uk+1 > uk. ,
Do uk+1 = 4ql + 1, suy ra (uk+1, 1) = 1. Do ¯d´o (uk+1, ui) = 1 v´oi m .oi i = 1, 2, . . . , k. , , , , ,
Nhu v .ây khi ¯d˜a xây d .ung ¯du .oc d˜ay con u1, u2, . . . , uk thoa m˜an , , , , , ¯
diê`u ki .ên ¯dâ`u b`ai, th`ı s˜e xây du .ong ¯du .oc d˜ay con m´oi u1, u2, . . . , uk, ,
uk+1 c˜ung c´o t´ınh châ´t â´y. Theo nguyên l´y qui n .ap ch´ung ta xây d .ung , , , ¯
du .oc d˜ay con vô h.an u1, u2, . . . , un, . . . . cua d˜ay ¯d˜a cho c´o t´ınh châ´t: , ,, , Bâ´t c´
u c .˘ap phâ`n tu n`ao cua d˜ay con â´y c˜ung nguyên tô´ c`ung nhau. J , ,
. 7.10. Cho u1 v`a u2 l`a hai sô´ nguyên duong nguyên tô´ c`ung nhau. , D˜
ay sô´ {un} x´ac ¯d.inh v´oi u1, u2 l`a hai sô´ h .ang ¯dâ`u tiên, c`on khi n = 2, 3, . . . ta x´ ac ¯ d.inh un+1 = unun−1 + 1 , , Ch´ ung minh r` ˘ ang v´
oi m .oi i > 1 tô`n t .ai j > i sao cho uj chia hê´t cho ui. , , , , , , L`
oi giai. Lâ´y i > 1 t` uy ´ y, v` a p l`a u´
oc sô´ nguyên tô´ cua ui. Xây d .ung , d˜ ay sô´ {vn} nhu sau 0 ≤ vn ≤ p − 1 vn ≡ un (mod p) Ta c˜ ung c´
o vn+1 = vnvn−1 + 1 (mod p), ∀n = 2, 3 . . . V`ı c´ac c .˘ap , ,
(vn, vn−1) l`a vô h .an, m`a vn chı nh.ân h˜uu h.an gi´a tr.i suy ra {vn} , , , phai l` a d˜ ay tuâ`n ho` an t`
u m .ôt l´uc n`ao ¯d´o. Ta câ`n ch´ung minh r`˘ang , ,
tô`n t .ai sô´nguyên duong kp > 0 sao cho vi+k = 0. (7.15) p , X´ et hai kha n˘ ang sau 7.1. V´ı d .u 77 , ,, , , 1) Gia su d˜
ay {vn} tuâ`n ho`an t`u vs v´oi chu k`y T, trong ¯ d´ o s > i. Ta c´ o
vs+1 = vsvs−1 + 1 = vs+T+1 = vs+Tvs+T−1 + 1 (mod p)
vsvs−1 = vs+Tvs+T−1 (mod p). (7.16)
a) Nê´u vs = vs+T ≡ 0 (mod p), th`ı vs = vs+T = 0, do 0 ≤ vn ≤ , p − 1, ∀n. Khi ¯ d´
o chı vi .êc ch .on kp = s − i, Suy ra vi+k = v p s = 0, v .ây (7.15) ¯d´ung. ,
b) Nê´u vs = vs+T 6= 0, th`ı t`u (7.16) c´o vs−1 = vs+T−1. Suy ra , , ,
{vn} tuâ`n ho`an không phai b´˘at ¯ dâ`u t` u vs ¯ diê`u n` ay mâu thu˜ ân v´ oi , , c´
ach ch .on s.Kha n˘ang n`ay không xây ra. , , , , T´
om l .ai h.ê th´uc (7.15) ¯d´ung trong tru`ong h .op 1). , ,
2) Nê´u s ≤ i th`ı h .ê th´uc (7.15) hiên nhiên ¯d´ung. Ta c´o vi+1 ≡ ,
ui+1 (mod p) ≡ uiui−1 + 1 (mod p) v .ây vi ≡ ui (mod p) nhung , , , , do p l`a u´
oc nguyên tô´cua ui suy ra vi ≡ 0 (mod p), nhu v .ây vi+1 ≡ 1 (mod p) hay l` a vi+1 = 1. , , , ,
Tuongt .u, do vi+k = 0 suy ra v v p i+kp+1 = 1. Nhu .ây suy ra {vn} , , , , , c˜ ung tuâ`n ho` an v´ oi chu k`
y kp t´uc l`a v´oi m .oi l nguyên duong, ta c´o vi+l.k = 0. (7.17) p Ngh˜ıa l` a ui+l.k chia hê´t cho p. p , , , , , , , ,
Nhu v .ây v´oi m .oi u´oc nguyên tô´ p cua ui ta xây d .ung ¯du .oc sô´kp sao cho (7.17) ¯ d´ ung. , , ,
G .oi m l`a b .ôi sô´ chung nho nhâ´t cua tâ´t ca c´ac sô´ kp, theo (7.3) , , ,
suy ra vi+lm = 0 v´oi m .oi l nguyên duong. Suy ra ui+lm chia hê´t cho , , , , , , tâ´t ca c´ ac u´
oc sô´ nguyên tô´ cua ui. T´uc l`a ui+lm chia hê´t cho ui v´oi , , , ,
m .oi sô´nguyên duong l. Lâ´y j = i + lm, ta c´o ¯diê`u phai ch´ung minh. J , , 78 Chuong 7. B`
ai t .âp d˜ây sô´nâng cao 7.2. B ` ai t .âp , , , ,
. 7.11. Nê´u ba sô´ nguyên tô´ th .uc s .u l´on hon 3 l.âp th`anh m .ôt câ´p ,
sô´c .ông th`ı công sai cua ch´ung chia hê´t cho 6. , , , . 7.12. cho f (n) l` a h` am x´ ac ¯
d.inh trên t.âp c´ac sô´nguyên duong nhu ,
sau: nê´u n = a1a2 . . . ak, th`ı f (n) = (a1 + a2 + · · · + ak)1998. V´oi m˜ôi , , ,
sô´nguyên duong n, l .âp d˜ay vô h.an ui(n), i = 1, 2, . . . nhu sau
ui(n) = f ( f (. . . f (n)i lâ`n f | {z } , , , , Ch´ ung minh r` ˘ ang v´
oi m .oi n nguyên duong, tô`n t.ai p sao cho d˜ay
ui(n), i = p, p + 1, . . . l`a d˜ay tuâ`n ho`an. ,
. 7.13. Cho u1, u2, . . . , un l`a d˜ay sô´ t`uy ´y gô`m n sô´ h .ang. Ch´ung , , minh r` ˘ ang luôn luôn tr´ıch ¯
du .oc m .ôt d˜ay con sao cho nê´u g .oi S l`a , ,, , , tông c´ ac phâ`n tu cua d˜
ay con â´y, th`ı S kh´ac v´ oi sô´ nguyên gâ`n nhâ´t , , , , 1
m .ôt lu .ong không vu .ot qu´a . n + 1 , , . 7.14. Ch´ ung minh r` ˘
ang nê´u nh˜ung sô´ nguyên a v`a m nguyên tô´ , c`
ung nhau, th`ı tô`n t .ai m .ôt sô´t .u nhiên n m`a t´ıch na chia cho m cho , sô´du 1. , , CHUONG 8 , , S ´ Ô TH .UC V ´ OI T .ÂP TR`U M .ÂT 8.1. T .âp tr`u m .ât , , , , , , , Trên ¯ du` ong th˘
ang th .uc ch´ung ta thu`ong quan tâm t´oi kh´ai ni.êm , , , , ,
m .ôt khoang (m .ôt ¯do.an th˘ang), ta c´o thê hiêu m .ôt khoang trên , , , , , , , , , ¯ du` ong th˘
ang th .uc l`a t.âp h .op tâ´t ca c´ac sô´ th .uc n`˘am gi˜ua hai ¯diêm , , , , , ¯ d˜
a cho. Nhu v .ây hai ¯diêm ¯dê x´ac ¯d.inh m .ôt khoang c´o thê n`˘am trong , ,
ho .˘ac n`˘am ngo`ai khoang ¯d´o ; ¯dây l`a xuâ´t ph´at cua kh´ai ni.êm ¯d´ong, ,, ,, , , , mo,.. o ng`
anh giai t´ıch, giai t´ıch h` am trong to´ an h .oc cao câ´p. Nhung ,, , , o ¯ dây ta không quan tâm ¯ diê`u ¯ d´ o, m` a chı quan tâm t´ oi c´ ac kh´ ai , , , , , ,
ni .êm sau ¯dây v´oi quan ¯diêm kiê´n th´uc so câ´p. V´oi a, b l`a sô´th .uc, k´y , , , , , ,
hi .êu [a,b] l`a khoang ¯du .oc t´ınh ca hai ¯diêm ¯dâ`u a, b v`a g .oi l`a khoang , ,, , , , ¯ d´ ong. Khoang mo ¯
du .oc k´y hi.êu l`a (a, b), không lâ´y hai ¯diêm ¯dâ`u , ,, ,, ,, , a, b. Ngo` ai ra ta c` on x´ et khoang nua ¯ d´
ong (nua mo ) do vi .êc ta chı , ,
lâ´y m .ôt trong hai ¯diêm ¯dâ`u a ho.˘ac b,v´ı d .u nhu [a, b) ho.˘ac (a, b]. M .ôt , , , ,
khoang trong t .âp sô´ th .uc g .oi l`a suy tho´ai nê´u n´o chı l`a m .ôt ¯diêm , , (t´ uc l` a khi hai ¯ diêm ¯ dâ`u tr` ung nhau). , , , ,
M .ôt t .âp h .op A cua sô´ th .uc g .oi l`a tr`u m .ât, nê´u m .oi khoang , ,, , không suy tho´ ai ¯ dê`u ch´
ua m .ôt sô´phâ`n tu cua A. , , , , ,
M .ôt v´ı d .u d˜ê thâ´y l`a t.âp h .op sô´ h˜uu ty gô`m c´ac sô´ c´o thê biêu , , , , , , di˜
ên nhu m .ôt thuong cua hai sô´ nguyên v`a t.âp h .op sô´ vô ty gô`m , , , , 80
Chuong 8. Sô´th .uc v´oi t.âp tr`u m.ât , , , , , nh´ ung sô´ không phai l` a sô´ h˜ uu ty ¯ dê`u l` a nh˜ ung t .âp tr`u m.ât trong , t .âp sô´th .uc. , , ,, , Ngu` oi ta c`
on mo r .ông kh´ai ni.êm tr`u m.ât cho m .ôt khoang trên , , , , , , , , ¯ du` ong th˘
ang th .uc. Cho ∆ l`a m .ôt khoang bâ´t k`y trên ¯du`ong th˘ang , , , ,
th .uc. Ch´ung ta g .oi t.âp h .op B gô`m nh˜ung sô´ th .uc l`a tr`u m.ât trong , , ∆ , , , , nê´u v´
oi m .oi khoang con không suy tho´ai cua ∆ ¯dê`u ch´ua nh˜ung ,, , , , , phâ`n tu cua B. R˜ o r`
ang t .âp h .op c´ac sô´ h˜uu ty tr`u m.ât trong m .oi , , , khoang; v`
a t .âp h .op c´ac sô´vô ty c˜ung c´o t´ınh châ´t â´y. , , , , , Nh˜ung k´
y hi .êu hay ¯du .oc d`ung: v´oi m .oi sô´th .uc x, k´y hi.êu [x] l`a , , , sô´ nguyên l´
on nhâ´t không vu .ot qu´a x, {x} l`a sô´ x − [x]; [x] v`a {x} , ,
g .oi l`a phâ`n nguyên v`a phâ`n th.âp phân cua sô´ x. T`u ¯d.inh ngh˜ıa c´o , , , ,
thê thâ´y ngay 0 ≤ x − [x] < 1. Ðê hiêu r˜ o hon kh´ ai ni .êm tr`u m.ât ,, trong phâ`n n` ay ta x´
et m .ôt lo.at b`ai to´an c´o liên quan v`a c´ach su d .ung , , , , nguyên l´ y Ðirichlê ¯ dê ch´ ung minh ¯ dinh l´ y co ban Kronecker. 8.2. V´ı d .u , , , ,
. 8.1. Nê´u m .ôt t .âp h.op A cua sô´th .uc l`a tr`u m .ât v`a r l`a sô´th .uc kh´ac , , ,
không, th`ı t .âp h.op gô`m tâ´t ca t´ıch sô´{ra} v´oi a ch .ay trong A c˜ung l`a t .âp tr`u m .ât. , , , , , , , L` oi giai. C´ o hai tru`
ong h .op xây ra: r > 0 v`a r < 0. V`ı c´ach ch´ung , , , , , , , minh ho` an to`
an tuong t .u nên ta chı x´et tru`ong h .op ¯dâ`u. Cho x v`a , x y , y l`
a hai sô´ th .uc v`a x < y. Khi ¯d´o < v`
a theo gia thiê´t A l`a t .âp r r ,, x y tr`
u m .ât, th`ı tô`n t.ai phâ`n tu a thu .ôc A sao cho < a < . Suy ra r r , , ,, , ,
x < ar < y. Nhu v .ây m .oi khoang mo (x, y) ch´ua sô´ d.ang ra v´oi a thu .ôc A. J , , , ,
. 8.2. (Ð.inh l´y Kronecker) V´oi m.oi sô´vô ty α, t .âp h.op tâ´t ca c´ac sô´c´o 8.2. V´ı d .u 81 ,, ,
d .ang mα + n l`a t .âp tr`u m .ât, o ¯dây m v`a n l`a nh˜ung sô´nguyên bâ´t k`y. , , , , , L`
oi giai. Câ`n phai ch´ ung minh r` ˘
ang m .oi khoang không suy tho´ai , , ∆ , , ch´ ua nh˜ ung ¯
diêm d .ang mα + n. Ch´ung ta chia khoang [0,1] ra , , , th`
anh m .ôt sô´h˜uu h.an khoang con ∆1, ∆2, . . . , ∆k m`a ¯d .ô d`ai cua m˜ôi , , , , , khoang con nho hon ¯
d .ô d`ai cua ∆. Ch´u ´y r`˘ang v´oi m .oi sô´ a tô`n t.ai ,
m .ôt sô´nguyên n, sao cho sô´ a + n n`˘am trong khoang [0,1]. Suy ra , , , , , , v´
oi m .oi sô´nguyên m c´o thê cho tuong ´ung v´oi m .ôt sô´d.ang mα + n, , , , , , m` a n´ o n` ˘
am trong khoang [0,1]. Nhung ¯
do .an th˘ang [0,1] ¯du .oc chia , , , , ra h˜
uu h .an khoang nho. Suy ra tô`n t.ai nh˜ung sô´nguyên m, m1, n, n1, , , v´
oi m 6= m1 v`a nh˜ung sô´ mα + n v`a m1α + n1 n`˘am trong c`ung m .ôt , , , , , , , khoang nho ∆i. Do ¯ d´ o khoang c´ ach gi˜ ua hai ¯ diêm n` ay nho hon ¯ d .ô , , , d`
ai cua ∆. Ch´ung ta c˜ung thâ´y không thê xây ra mα + n = m1α + n1, , , , n , , v`ı t` u ¯ d˘ ang th´ uc n` ay suy ra 1 − n α = m`
a l .ai l`a m .ôt sô´h˜uu ty, tr´ai m − m1 , , v´ oi gia thiê´t. , ,
Nhu v .ây ch´ung ta kh˘ang ¯d.inh r`˘ang sô´(m − m1)α + (n − n1) kh´ac , , , , , không v` a c´ o gi´
a tr.i tuy.êt ¯dô´i nho hon ∆. T`u ¯d´o suy ra m .ôt sô´u´oc sô´ , , cua n´ o, c˜ ung c´
o d .ang mα + n, s˜e n`˘am trong khoang ∆. J , , , , , . 8.3. Cho α l`
a m .ôt sô´vô ty duong. Khi ¯d´o t .âp h.op tâ´t ca sô´c´o d .ang , , , mα − n l`
a t .âp tr`u m .ât,v´oi m v`a n l`a nh˜ung sô´t .u nhiên bâ´t k`y. , , , , , L`
oi giai. Kê´t lu .ân cua b`ai n`ay m.anh hon ¯d.inh l´y trên v`ı n´o kh˘ang , , , , ¯
d.inh m .ôt t.âp sô´th .uc nho hon t.âp mô ta trong ¯dij nh l´y ¯d´o c˜ung tr`u m .ât. , ,, , Cho khoang không suy tho´
ai ∆ n`˘am o bên phai sô´ không v`a c´o , ,,, , , , , ¯
d .ô d`ai e > 0. Không anh huong ¯dê´n kê´t qua ch´ung minh c´o thê gia , , ,
thiê´t e < 1. Ngo`ai ra ta c´
o thê ch .on sô´t .u nhiên k sao cho k ≥ e . T`u α , 8.1 v`
a 8.2 suy ra t .âp c´ac sô´kpα + kq v´oi p v`a q l`a c´ac sô´nguyên bâ´t , , , , 82
Chuong 8. Sô´th .uc v´oi t.âp tr`u m.ât , k` y, l`
a t .âp tr`u m.ât. Ngh˜ıa l`a tô`n t.ai c´ac sô´nguyên p v`a q thoa m˜an
0 < kpα + kq < e. (8.1) , , , Ch´ ung ta s˜ e chı ra r` ˘ ang gi˜ ua nh˜
ung c .˘ap sô´nguyên (p, q) trong (8.1) , , , , , , c´ o nh˜
ung c .˘ap m`a p > 0. Th.ât v.ây, tru`ong h .op p = 0 không thê xây , , ra v`ı t`
u (8.1) suy ra 0 < kq < e, mâu thu˜ân v´ oi ¯ diê`u ta ¯ d˜ a biê´t l` a kq , , , , , l` a sô´ nguyên v`
a e < 1. Do v .ây chı c`on phai ch´ung minh cho tru`ong , , , , ,
h .op p < 0. Trong tru`ong h .op n`ay sô´ c´o d.ang kpsα + kqt v´oi s, t l`a , , nh˜ ung sô´ nguyên bâ´t k`
y, t .ao th`anh t.âp tr`u m.ât. T`u (8.1) suy ra tô`n
t .ai sô´nguyên s v`a t sao cho
0 < kpsα + kqt < kpα + kq. (8.2) , ,
Nê´u s < 0, th`ı kps > 0 v`a ch´
ung minh l .ai ¯d´ung. V`ı thê´ ta chı x´et , s ≥ 0. T`u (8.1) v` a (8.2) suy ra
0 < kp(1 − s)α + kq − kpt < e. (8.3) , , , , , , V`ı v´ oi s = 0 bâ´t ¯ d˘ ang th´
uc (8.2) không thê xây ra, nên s > 0. Nhung ,, ,
boi v`ı s l`a sô´ nguyên, th`ı t`u s > 0 suy ra s ≥ 1. T .ai v`ı ((8.3) không , , , , , , thê xây ra v´ oi s = 1, t`u bâ´t ¯ d˘ ang th´ uc cuô´i c` ung l .ai suy ra s > 1. ,
Nhu v .ây kp(1 − s) > 0. Ðiê`u ¯d´o c´o ngh˜ıa l`a tô`n t.ai c´ac sô´nguyên p , , v`
a q thoa m˜an (8.1) v`a p > 0. T`u (8.1) suy ra e
kq < e − kpα < e − p α = e(1 − p) ≤ 0 α , , ,
V .ây kq < 0. Theo c´ach n`ay (8.1) ¯du .oc ¯dua vê`d.ang 0 < mα − n < e, ,, , , ,, , , o ¯
dây m v`a n l`a nh˜ung sô´ t .u nhiên. Boi v`ı e l`a ¯d .ô d`ai cua∆, t`u bâ´t , , , , , ¯ d˘ ang th´ uc cuô´i c`
ung suy ra m .ôt u´oc sô´n`ao ¯d´o cua mα − n, c˜ung c´o , , , , , ,
d .ang n`ay, s˜e n`˘am trong ∆. Tuong t .u c˜ung ch´ung minh ¯du .oc khi ∆ ,, n` ˘ am o bên tr´ ai sô´không. J , , , . 8.4. Cho α l`
a sô´ vô ty bâ´t k` y. Khi ¯ d´
o t .âp h.op nh˜ung sô´d .ang {αn}, , , , v´ oi n l`
a sô´t .u nhiên bâ´t k`y, l`a t .âp tr`u m .ât trong khoang (0,1). 8.2. V´ı d .u 83 , , , , , L`
oi giai. Câ`n phai ch´ ung minh r` ˘
ang m .oi khoang con không suy , , , , biê´n (a, b) cua (0,1) ch´ ua sô´ c´
o d .ang {αn} v´oi m .ôt sô´ t .u nhiên , , , , n n` ao ¯ d´ o. Ch´ ung ta ch´ ung minh cho tru`
ong h .op khi α l`a m .ôt sô´ , , , , , duong. Theo b` ai 8.3 nh˜ ung sô´ c´
o d .ang nα − m v´oi n, m l`a c´ac sô´t .u , ,
nhiên, t .ao th`anh t.âp tr`u m.ât. Ngh˜ıa l`a tô`n t.ai nh˜ung sô´ t .u nhiên , , , m v`
a n thoa m˜an 0 ≤ a < nα − m < b < 1. Nhung t`u ¯ d.inh ngh˜ıa , ,
[αn] suy ra 0 ≤ nα − [nα] < 1. Ch´
ung ta nh .ân ¯du .oc hi.êu hai sô´ , ,
nguyên m v`a [nα] thoa m˜an −1 < m − [nαm] < 1, ¯ diê`u n` ay chı , , ,
xây ra khi m − [nαm] = 0, do ¯ d´
o m = [nα]. T`u (8.1) chı ra r`˘ang sô´ , ,
{nα} = nα − [nα] n`˘am trong khoang (a, b). V´oi α > 0, ch´ ung ta ¯ d˜ a , ch´ ung minh xong. , , , , Tru`
ong h .op α < 0. Khi ¯d´o −α > 0 v`a t`u b`ai 8.3 suy ra tô`n t.ai , , , nh˜
ung sô´ t .u nhiên m v`a n, thoa m˜an −1 ≤ −b < n(−α) − m < , , ,
−a ≤ 0. Nhân c´ac vê´v´oi -1 ch´
ung ta nh .ân ¯du .oc 0 ≤ a < nα − m < ,
b ≤ 1. Nhu v .ây d˜ê d`ang t´ınh ra m = −[nα] v`a {nα} n`˘am trong , khoang (a, b). J , , , ,
. 8.5. T .âp h.op tâ´t ca c´ac sô´d .ang {log n} v´oi n l`a sô´t .u nhiên bâ´t k`y l`
a t .âp tr`u m .ât trong (0,1). , , , , ,, , L` oi giai. Ch´ ung ta c´ o thê ch´
ung minh mo r .ông hon m .ôt ch´ut: t.âp , , ,
h .op c´ac sô´d.ang {n log 2} v´oi n l`a sô´t .u nhiên bâ´t k`y, l`a t.âp tr`u m.ât trong (0,1). , , Ðê ¯
d .at m .uc ¯d´ıch n`ay ch´ung ta ch´ung minh log 2 l`a m .ôt sô´ vô , , , , , , ,
ty. Th .ât v.ây, trong tru`ong h .op ngu .oc l.ai th`ı tô`n t.ai hai sô´ t .u nhiên p p , , , p v` a q, m`a log 2 = , ngh˜ıa l` a 2 = 10 q . L˜ uy th` ua ¯ d˘ ang th´ uc cuô´i q , , , c` ung v´ oi q ch´
ung ta nh .ân ¯du .oc 2q = 2p.5p. Ðiê`u n`ay tr´ai ¯d.inh l´y , , , , ,
co ban cua sô´ h .oc vê` vi.êc phân t´ıch ra th`ua sô´ nguyên tô´. Nhu v.ây , , , , 84
Chuong 8. Sô´th .uc v´oi t.âp tr`u m.ât , , ,
log 2 th .uc s .u l`a m .ôt sô´vô ty. Áp d .ung 8.4 suy ra t.âp c´ac sô´c´o d.ang {n log 2} l`a tr` u m .ât trong (0,1)., ,
M .˘at kh´ac, theo t´ınh châ´t cua logarit, log 2n = n log 2 v´oi m .oi n = 1, 2, . . . J , , . 8.6. Cho m l` a sô´ nguyên, n l`
a sô´ nguyên không âm. T .âp h.op tâ´t ca m c´ ac sô´c´ o d .ang l` a t .âp tr`u m .ât. 2n , , , , L` oi giai. Do c´ ac b` ai to´ an trên, ch´ ung ta chı câ`n ch´ ung minh r` ˘ ang , 3m , , , , t .âp h .op sô´d.ang v´
oi m, n l`a nh˜ung sô´ nguyên duong, l`a tr` u m .ât 2n , , , ,
trong khoang (0, +∞). Ðiê`u ¯ d´ o c´ o ngh˜ıa l` a v´ oi m .oi c.˘ap sô´ duong , , , 3m
a, b(a < b) tô`n t .ai nh˜ung sô´t .u nhiên m v`a n thoa m˜an a < < b. 2n , , , Sau khi logarit h´
oa c .˘ap bâ´t ¯d˘ang th´uc n`ay theo co sô´ 2, ch´ung ta , , , , , , , ,
nh .ân ¯du .oc c.˘ap bâ´t ¯d˘ang th´uc tuong ¯duong log a < m log 3 − n < 2 2 , , , , , , log b. C´ ach ch´
ung minh tuong t nhu 8.5 cho thâ´y log 3 l`a vô ty. 2 .u 2 , , Khi ¯ d´ o ¯
d.inh l´y Kronecker chı ra r`˘ang trong ¯do.an (log a, log b) ch´ua 2 2 sô´c´ o d .ang {m log 3 − n}. J 2 , , , ,
. 8.7. T .âp h.op tâ´t ca c´ac sô´ h .ang cua d˜ay x´ac ¯d.inh b`˘ang công th´uc n , 1 xn = , n = 1, 2, 3 . . ., l` a tr` u m .ât trong khoang ( , 1). 10[log n]+1 10 , , , 1 , L`
oi giai. Lâ´y hai sô´ th .uc a v`a b sao cho ≤ a < b ≤ 1. Câ`n phai 10 , , , n ch´ ung minh r` ˘
ang tô`n t .ai sô´ t .u nhiên n, thoa m˜an a < < 10[log n]+1 , , , , b. Sau khi logarit h´ oa bâ´t ¯ d˘ ang th´ uc trên v´ oi co sô´ 10 ch´ ung ta , , , , , , , ,
nh .ân ¯du .oc bâ´t ¯d˘ang th´uc tuong ¯duong 1 + log a < log n − [log n] = , , ,, ,
{log n} < 1 + log b. Nhung khoang mo v´oi c´ac ¯ dâ`u m´ ut 1 + log a , , v` a 1 + log b r˜ o r` ang n` ˘
am trong khoang (0, 1). Ðiê`u n`ay giai th´ıch t .ai , , , , ,,
sao tô`n t .ai m .ôt sô´t .u nhiên n thoa m˜an bâ´t ¯d˘ang th´uc sau c`ung, boi 8.2. V´ı d .u 85 ,
v`ı theo 8.5 t .âp h .op c´ac sô´ c´o d.ang {log n} l`a tr`u m.ât trong (0, 1). , ,
Nhu v .ây th`ı a < xn < b, ¯diê`u ta câ`n ch´ung minh. J , , , , . 8.8. Ch´ ung minh r` ˘
ang tô`n t .ai vô h .an nh˜ung sô´l˜uy th`ua cua 2, m`a ,
khi viê´t theo co sô´10 ch´ ung luôn luôn b´ ˘ at ¯ dâ`u b` ˘ ang 8975. , , , , L`
oi giai. M .ôt sô´ 2m b´˘at ¯dâ`u b`˘ang nh´om sô´ 8975 khi v`a chı khi v´oi , , , , , , ,
m .ôt sô´ t .u nhiên n n`ao ¯d´o, nh˜ung ¯d˘ang th´uc sau ¯du .oc thoa m˜an , , , ,
8975.10n ≤ 2m < 8976.10n. Nhu c´ ach giai c´ ac b` ai tru´ oc ch´ ung ta , , , , , , , , logarit h´ oa bâ´t ¯ d˘ ang th´ uc trên v`
a nh .ân ¯du .oc c´ac bâ´t ¯d˘ang th´uc tuong , , ¯
duong log 8975 ≤ m log 2 − n < log 8976. T .ai v`ı log 2 l`a m .ôt sô´ vô , , , , , ty, nên nh˜ ung sô´ c´
o d .ang m log 2 − n v´oi n, m l`a nh˜ung sô´t .u nhiên
t .ao th`anh m .ôt t.âp tr`u m.ât. Ðiê`u n`ay c´o ngh˜ıa l`a tô`n t.ai vô sô´c.˘ap sô´ , , , ,
t .u nhiên m v`a n thoa m˜an c´ac bâ´t ¯d˘ang th´uc sau c`ung, suy ra c˜ung , , , , , thoa m˜ an c´ ac bâ´t ¯ d˘ ang th´ uc tru´ oc ¯ d´ o. Ch´ u ´ y b` ai to´ an c` on ¯ d´ ung khi , , , , thay co sô´hai b` ˘ ang co sô´10 cua logarit v` a sô´8975 c´ o thê thay b` ˘ ang , , ,
m .ôt tô h .op sô´bâ´t k`y, ch´ung minh ¯diê`u n`ay d`anh cho b.an ¯d .oc. J , , , , . 8.9. V´
oi m .oi sô´ t .u nhiên n, k´y hi.êu xn l`a ch˜u sô´ ¯dâ`u tiên cua , , ,
sô´ 2n (trong c´ ach viê´t v´ oi co sô´ 10). Ch´ ung minh r` ˘ ang d˜ ay sô´ ,
x1, x2, . . . , xn, . . . không phai l`a d˜ ây tuâ`n ho` an. , , , ,, , , , , , L`
oi giai. Gia su ngu .oc l.ai l`a tô`n t.ai nh˜ung sô´ nguyên duong k v`a
d sao cho xk = xk+d = xk+2d = . . . = xk+nd = . . . N´oi c´ach kh´ac ,
2k, 2k+d, 2k+2d, . . . , 2k+nd, . . . c´ o c` ung ch˜ u sô´ ¯ daah u tiên trong c´ ach , , , , , viê´t v´ oi co sô´10. Bâ`y gi` o ch´ ung ta kh˘ ang ¯
d.inh r`˘ang m .oi sô´t .u nhiên , , , , N c´ o thê biêu di˜ ên du´
oi d .ang N = 10log N = 10[log N]+{log N} =
10[log N].10{log N}. V`ı 0 ≤ {log N} < 1, nên 1 ≤ 10{log N} < 10, suy , , , , , ra ch˜ u sô´ ¯ dâ`u tiên cua N tr` ung v´
oi phâ`n nguyên cua cua sô´10{log N}. , , , Ðê´n ¯
dây suy ra tô`n t .ai m .ôt ch˜u sô´ s, 1 ≤ s ≤ 9, thoa m˜an bâ´t ¯d˘ang , , , , 86
Chuong 8. Sô´th .uc v´oi t.âp tr`u m.ât , , th´
uc sau: s ≤ 10{log 2k+nd} < s + 1 v´
oi n = 0, 1, 2, . . .. Sau khi logarit , , h´ oa ¯ d˘ ang th´ uc trên ch´ ung ta c´
o log s ≤ {(k + nd) log 2} < log(s + , 1). Ðiê`u n` ay ngh˜ıa l` a tâ´t ca c´ ac sô´ c´ o d .ang {(k + nd) log 2}, n = , , 0, 1, 2, . . . n` ˘
am trong khoang [log s, log(s + 1)). D˜ê d`ang ch´ ung minh , , r` ˘
ang t .âp h .op nh˜ung sô´ n`ay tr`u m.ât trong ¯do.an (0,1). Ðiê`u ¯d´o tr´ai , ,, , , v´
oi kê´t lu .ân : tô`n t.ai t.âp con mo cua ¯do.an (0,1) không c´o ¯diêm , , , ,, , , chung v´
oi [log s, log(s + 1)). Nhu v .ây ¯diê`u gia su ngu .oc l.ai l`a sai. J , , , , . 8.10. H˜ ay t`ım trong ¯
do .an th˘ang [0, π], tâ´t ca sô´ th .uc t thoa m˜an , , , ,
bâ´t phuong tr`ınh cos nt ≥ cos t v´
oi m .oi sô´t .u nhiên n. , , , L` oi giai. - Ch´ ung ta s˜ e ch´ ung minh r` ˘ ang nê´u t c´ o t´ınh châ´t ¯ d˜ a nêu , t , , , ,, t trong b` ai to´ an th`ı ty sô´ l`
a m .ôt sô´ h˜uu ty. Th.ât v.ây gia su l` a π π , , , sô´ vô ty. Khi ¯ d´
o t 6= π ; Không mâ´t t´ınh tông qu´at ch´ ung ta c´ o thê , t , , , gia thiê´t r` ˘
ang 0 ≤ t < π. V`ı l` a sô´ vô ty duong, theo ¯ d.inh l´y 2π , , , , ,
Kronecker tô`n t .ai nh˜ung sô´ t .u nhiên m v`a n, thoa m˜an bâ´t phuong t t t , tr`ınh < m − n < 1 − , hay l`
a t < mt − 2nπ < 2π − t. T`u 2π 2π 2π , t´ınh châ´t cua h` am cos trong ¯
do .an [0, 2π] ch´ung ta suy ra cos mt = , ,
cos(mt − 2nπ) < cos t. Ðiê`u n` ay tr´ ai v´ oi c´
ach ch .on t, do v.ây ty sô´ t , , l` a sô´h˜ uu ty. π , , , , , p ,,
Nhu v .ây t c´o thê biêu di˜ên du´oi d.ang t = 2π, o ¯dây p v`a q l`a q , nh˜ ung sô´ nguyên tô´ c` ung nhau v`
a 0 ≤ p ≤ q (t .ai v`ı 0 ≤ t ≤ 2π ). q , ,
Nê´u q l`a sô´ch˜˘an, th`ı n = l`
a sô´t .u nhiên v`a ngo`ai ra p l`a sô´le, v`ı p 2 v` a q l`a nguyên tô´ c`
ung nhau. V`ı v .ây cos t ≤ cos nt = cos pπ = −1, , , , t` u ¯ d´
o suy ra cos t = −1 v`a t = π. R˜ o r`
ang π thoa m˜an tâ´t ca c´ac ¯ diê`u ki .ên ¯d˜a cho., , , , , , , , Ch´ ung ta chı c` on phai x´ et tru`
ong h .op q l`a sô´ le. C´o thê ch´ung 8.3. B` ai t .âp 87 , minh r` ˘ ang v´
oi m .oi n = 1, 2, . . . cos nt b`˘ang m .ôt sô´n`ao ¯d´o trong d˜ây sau ¯ dây 2π 2π 2π 2π 1 = cos 0. , cos 1. , cos 2. , . . . , cos((q − 1) ). (8.4) q q q q ,,
Th .ât v.ây, nê´u n = sq + r, o ¯dây 0 ≤ r ≤ q − 1, th`ı cos nt = cos(sqt + ,
rt) = cos(2psπ + rt) = cos rt. Nê´u q = 2k + 1 l` a m .ôt sô´ le, th`ı sô´ , k k + 1 nho nhâ´t trong (8.4) l` a c´ ac sô´ cos 2π v` a cos 2π. Lâ´y 2k + 1 2k + 1 p t =
2π, 0 ≤ t ≤ π, c´
o t´ınh châ´t mong muô´n, ch´ ung ta s˜ e 2k + 1 , , , , ch´ ung minh khi ¯ d´ o p = k. Ðê ¯
d .at m .uc ¯d´ıch n`ay chı câ`n chı ra r`˘ang , , k
tô`n t .ai m .ôt sô´nguyên duong n m`a cos nt = cos 2π. Th .ât v.ây: 2k + 1 , ,
v`ı 2k + 1 v`a p l`a nh˜ung sô´ nguyên tô´ c`
ung nhau tô`n t .ai nh˜ung sô´ , ,
nguyên m v`a n thoa m˜an 0 ≤ n ≤ 2k + 1 v`a (2k + 1)m + pn = k. T`u , , k ¯ d˘ ang th´ uc sau c` ung suy ra 2mπ + nt = 2π. Suy ra cos nt = 2k + 1 k , k cos 2π. D˜ê d` ang thâ´y r` ˘ ang nh˜ ung sô´ c´ o d .ang 2π v` a 2k + 1 2k + 1 k + 1 ,
2π, k = 0, 1, 2, . . . l`
a nghi .êm cua b`ai to´an. Kê´t lu.ân cuô´i c`ung 2k + 1 , , , k k + 1 , l` a nh˜ ung gi´
a tr.i cua t phai t`ım l`a t = π v`a 2π, 2π, v´ oi 2k + 1 2k + 1 k = 0, 1, 2 . . . . . . J 8.3. B ` ai t .âp , , , . 8.11. Cho a, b, c l` a nh˜
ung sô´ th .uc sao cho [an] + [bn] = [cn] v´oi , ,
m .oi sô´t .u nhiên n. Ch´ung minh r`˘ang ´ıt nhâ´t m .ôt trong c´ac sô´ a, b l`a nguyên. , , , ,
. 8.12. Cho α l`
a m .ôt sô´h˜uu ty. Ch´ung minh r`˘ang t.âp h .op c´ac sô´c´o ,
d .ang {αn}, n = 1, 2, . . . không tr`u m.ât trong khoang (0, 1). , , , , 88
Chuong 8. Sô´th .uc v´oi t.âp tr`u m.ât , , , , , . 8.13. Ch´ ung minh r` ˘ ang v´
oi m .ôt sô´vô ty bâ´t k`y α v`a m .ôt sô´h˜uu ty , bâ´t k`
y β, t .âp h .op sô´c´o d.ang {αn + β}, n = 1, 2, . . . l`a tr`u m.ât trong , khoang (0, 1). , , √ , , . 8.14. Ch´ ung minh r` ˘
ang t .âp h .op sô´d.ang { n} v´oi n l`a sô´t .u nhiên , l`
a t .âp tr`u m.ât trong khoang (0,1). , , CHUONG 9 , , , NH˜ UNG ´ UNG D .UNG KH ´AC CUA NGUYÊN L ´ Y ÐIRICHLE , ,
9.1. Xâ´p xı m .ôt sô´ th .uc , ,
. 9.1. Cho x l`
a m .ôt sô´th .uc, c`on n l`a m.ôt sô´t .u nhiên. Khi ¯d´o tô`n t .ai , , nh˜
ung sô´nguyên p v` a q thoa m˜
an 1 ≤ q ≤ n v` a p 1 x − ≤ . (9.1) q nq , , , L` oi giai. Ch´ ung ta x´ et nh˜
ung sô´ kx − [kx](k = 0, 1, 2, . . . , n). Ch´ ung , ,
gô`m n + 1 sô´v`a n`˘am trong khoang [0, 1]. Ch´ ung ta chia khoang [0, 1] , , ,
ra n khoang con b`˘ang nhau ∆1, ∆2, . . . , ∆n v`a ¯ d .ô d`ai cua m˜ôi khoang 1 n` ay b` ˘ ang . Theo nguyên l´
y Ðirichlê tô`n t .ai hai sô´kh´ac nhau k v`a l n , n` ˘
am trong 0, 1, 2, . . . , n, sao cho nh˜ung sô´kx − [kx] v`a lx − [lx] n`˘am , , , , trong c`
ung m .ôt khoang con th´u m. Do ¯d´o khoang c´ach gi˜ua ch´ung 1 , 1 không qu´ a , t´ uc l`
a |kx − [kx] − (lx − [lx])| ≤ , hay l` a n n 1
|(k − l)x − ([kx] − [lx])| ≤ . (9.2) n ,, , ,,, , , ,
Boi v`ı k 6= l, không anh huong ¯ dê´n kê´t qua ch´ ung minh ta c´ o thê , ,, gia thiê´t r` ˘
ang k > l. Boi v`ı ngo`ai ra c` on c´
o 0 ≤ k ≤ n, 0 ≤ l ≤ n,
nên 1 ≤ k − l ≤ n. Ta ¯
d .˘at q = k − l v`a p = [kx] − [lx]. Khi ¯d´o p v`a q , , , , , 90 Chuong 9. Nh˜ ung ´
ung d .ung kh´ac cua nguyên l´y Ðirichle , , , l` a nh˜ ung sô´ nguyên v` a thoa m˜ an 1 ≤ q ≤ n. V´ oi c´ ach d .˘at n`ay (9.2) , 1 , ¯
dua vê` d .ang |qx − p| ≤ , t`u ¯dây chia hai vê´cho q ta c´o (9.1). J n , , , , . 9.2. V´
oi m .oi sô´ th .uc x tô`n t .ai vô h .an sô´ t .u nhiên q, v´oi m˜ôi q tô`n , , ,
t .ai sô´nguyên p, sao cho ch´ung thoa m˜an bâ´t ¯d˘ang th´uc. p 1 x − ≤ . (9.3) q q2 , , , , , r , L`
oi giai. Nê´u x l`a sô´ h˜uu ty, t´ uc l` a x = v´
oi r l`a sô´ nguyên v`a s l`a s , , ,
sô´ t .u nhiên, th`ı kê´t lu.ân cua b`ai to´an l`a ¯d´ung, v`ı c´o thê ¯d.˘at p = mr , , , , , v` a q = ms v´
oi sô´t .u nhiên bâ´t k`y m. V´oi tâ´t ca c´ach ch .on p v`a q nhu , , , ,
v .ây (9.3) ¯du .oc thoa m˜an, v`ı vê´tr´ai luôn luôn b`˘ang không. Nhu v.ây , , , , , , , ,, , , chı c` on phai x´ et tru`
ong h .op x l`a sô´ vô ty. Gia su chı c´o h˜uu h.an sô´ , , ,
t .u nhiên q, m`a v´oi ch´ung tô`n t.ai sô´ nguyên p thoa m˜an (9.3), k´y ,
hi .êu ch´ung l`a q1, q2, . . . , ql. V´oi bâ´t k`y λ = 1, 2, . . . , l k´y hi.êu p l`a sô´ λ , nguyên thoa m˜ an p p λ x − ≤ x − q q λ λ , , ,, v´
oi m .oi sô´nguyên p. V`ı sô´x l`a vô ty, m .oi gi´a tr.i tuy.êt ¯dô´i o ph´ıa tr´ai , , , , , , bâ´t ¯ d˘ ang th´ uc trên l` a duong, sô´ nh˜ ung gi´
a tr.i tuy.êt ¯dô´i n`ay l`a h˜uu , 1 p h λ
.an. V`ı v .ây tô`n t .ai sô´ t .u nhiên n, sao cho < x − , (λ = n qλ 1, 2, . . . , l). , , , Theo b` ai tru´ oc s˜
e tô`n t .ai sô´ t .u nhiên q v`a sô´ nguyên p, sao cho , , p 1 1 (9.1) thoa m˜ an v` a 1 ≤ q ≤ n. Nhung khi ¯ d´ o x − ≤ ≤ = q qn qq 1 , , , , , , suy ra q = q v´
oi m .ôt sô´λ = 1, 2, . . . , l T`u nh˜ung bâ´t ¯d˘ang th´uc q2 λ 1 p p 1 , 1 1 trên suy ra < λ x − ≤ x − ≤ . Nhu v .ây < v`ı thê´ n q q nq n nq λ , ,
9.1. Xâ´p xı m .ôt sô´th .uc 91 , , , , , , q < 1, ¯ diê`u n` ay không thê ¯
du .oc v`ı q l`a sô´ t .u nhiên. Ta nh.ân ¯du .oc ¯ diê`u vô l´ y. J , , , . 9.3. V´
oi m .oi c > 2 bâ´t ¯d˘ang th´uc √ p 1 2 − ≤ . (9.4) q qc , , , , ¯ d´ ung chı v´ oi h˜
uu h .an c .˘ap sô´nguyên p v`a sô´t .u nhiên q. , , , , , L` oi giai. Ch´ ung ta ch´ ung minh bâ´t ¯ d˘ ang th´ uc sau l` a ¯ d´ ung √ p 1 √ 2 − ≤ . (9.5) q 3 2q2 , , , 1 , v´
oi m .oi sô´ nguyên p v`a v´oi m .oi sô´ t .u nhiên q. V`ı ≤ 1, bâ´t ¯ d˘ ang q2 , , √ p 1 , , th´
uc (9.5) tâ´t nhiên thoa m˜ an, khi √ 2 − > . Nhu v .ây chı q 3 2 , , , √ p 1 , √ 1 câ`n x´ et tru` ong h .op √ √ 2 − ≤ . Nhung khi ¯ d´ o 2 − ≤ q 3 2 3 2 p √ 1 ≤ 2 + √ suy ra q 3 2 p √ 0 < < 2 2. (9.6) q M .˘at kh´ac √ p √ p 2 − . 2 + √ p q q 2q2 − p2 2 − = = . (9.7) √ √ q p p 2 + q2 2 − q q , √ ,
Nhung sô´ 2q2 − p2 l`a sô´ kh´ac không, v`ı 2 l` a m .ôt sô´ vô ty. Ngo`ai , √ p ra n´ o l`
a sô´nguyên nên |2q2 − p2| ≥ 1 . T`u (9.7) suy ra 2 − ≥ q 1 , v` a c` ung v´ oi (9.6) cho ta (9.5). √ p q2 2 + q , , , , , 92 Chuong 9. Nh˜ ung ´
ung d .ung kh´ac cua nguyên l´y Ðirichle , ,, , , , , Gia su bâ´t ¯ d˘ ang th´ uc (9.4) ¯ d´ ung v´
oi m .ôt c.˘ap sô´(p, q) n`ao ¯d´o. T`u , , 1 1 , , (9.4) v` a (9.5) suy ra ¯ d˘ ang th´ uc √ ≤ . V`ı c > 2 bâ´t ¯ d˘ ang th´ uc 3 2 qc−2 , , , , , , n` ay chı ¯ d´ ung cho h˜
uu h .an sô´ t .u nhiên q. V´oi m˜ôi sô´ q nhu v.ây chı , , , , c´
o nhiê`u nhâ´t hai sô´ nguyên p, v´ oi ch´ ung thoa m˜ an bâ´t ¯ d˘ ang th´ uc , , , (9.4). Ngh˜ıa l` a (9.4) chı thoa m˜ an cho h˜ uu h .an c.˘ap sô´ p v`a q. J , , ,
. 9.4. Nê´u D l`
a sô´t .u nhiên bâ´t k`y, không l`a sô´ch´ınh phuong, th`ı tô`n , , , ,
t .ai vô h .an c´ac c .˘ap sô´t .u nhiên (x, y), l`a nghi.êm cua bâ´t phuong tr`ınh sau √ |x2 − Dy2| ≤ 1 + 2 D. (9.8) , , , L` oi giai. Theo b` ai 9.2 ta biê´t r` ˘
ang tô`n t .ai vô h.an c.˘ap sô´ (x, y) t .u nhiên, sao cho x √ 1 − D ≤ . (9.9) y y2 , ,
M .˘at kh´ac bâ´t ¯d˘ang th´uc sau l`a ¯d´ung x √ x √ √ x √ √ + D = ( − D) + 2 D ≤ − D + 2 D. y y y , Suy ra v´ oi m˜ ôi c .˘ap (x, y) ta c´o x √ 1 √ + D ≤ + 2 D. y y2 , , ,
Nhu v .ây, v´oi c´ach ch .on bâ´t k`y c.˘ap (x, y), sao cho thoa m˜an (9.9) , , ch´ ung ta nh .ân ¯du .oc √ √
|x2 − Dy2| = |x − y D|.|x + y D| 1 1 √ 1 √ √ ≤ ( + 2 Dy) ≤ + 2 D ≤ 1 + 2 D. y y y2 , , , Ðiê`u n` ay ¯ d˜ a ch´ ung minh r` ˘
ang bâ´t phuong tr`ınh (9.8) c´ o vô h .an , ,
nghi .êm trong t.âp h .op sô´t .u nhiên. J , ,
9.1. Xâ´p xı m .ôt sô´th .uc 93 , , ,
. 9.5. Nê´u D l`
a sô´ t .u nhiên bâ´t k`y, không l`a sô´ ch´ınh phuong, th`ı , , ,
phuong tr`ınh x2 − Dy2 = 1 c´
o ´ıt nhâ´t m .ôt nghi.êm nguyên (u, v) v´oi v 6= 0. , , , , , L` oi giai. Ch´ ung ta x´ et tâ´t ca c´
ac c .˘ap (x, y) sô´t .u nhiên, m`a n´o thoa √ √ m˜
an −1 − 2 D ≤ x2 − Dy2 ≤ 1 + 2 D. Theo b`ai 9.4 c´ o vô sô´ c .˘ap , , , , , , ,
sô´t .u nhiên thoa m˜an bâ´t ¯d˘ang th´uc trên, Nhung biêu th´uc x2 − Dy2 , , chı c´
o h˜uu h .an gi´a tr.i v`ı ch´ung l`a c´ac sô´ nguyên trong ¯do.an (−1 − √ √ , , 2 D, 1 + 2 D). Ngh˜ıa l`
a tô`n t .ai m .ôt sô´nguyên k, sao cho phuong , tr`ınh x2 − Dy2 = k c´
o vô h .an nghi.êm t .u nhiên (x, y). R˜o r`ang k 6= 0, , , √ , ,
v`ı nê´u ngu .oc l.ai th`ı d˜ân ¯dê´n mâu thu˜ân do sô´ D không thê biêu , , , , √ x , , , di˜ ên du´ oi d .ang h˜uu ty D = . Gi˜ ua nh˜
ung c .˘ap n`ay c´o thê ch .on ´ıt y ,
nhâ´t hai c .˘ap kh´ac nhau (x1, y1) v`a (x2, y2) m`a ch´ung thoa m˜an
x1 ≡ x2 (mod |k|), y1 ≡ y2 (mod |k|). (9.10) , , , , , ,
Th .ât v.ây,chı câ`n chı ra tâ´t ca c´ac kha n˘ang cua c´ac c.˘ap sô´ du theo , , , , mô¯ dun |k| c´
o sô´lu .ong h˜uu h.an. C´o ngh˜ıa l`a tô`n t.ai nh˜ung c.˘ap kh´ac , , nhau nh˜
ung sô´ t .u nhiên (x1, y1) v`a (x2, y2), m`a x2 − Dy2 = x2 − 1 1 2 , , , Dy2 = k v` a thoa m˜ an d˘ ang th´ uc (9.10). 2 , , Ch´ ung ta x´ et ¯ d˘ ang th´ uc √ √
(x1 − y1 D)(x2 + y2 D) = (x1x2 − y1y2D) + (x1y2 − x2y1). (9.11) , T` u (9.10) ch´ ung ta c´ o x1x2 − y1y2D ≡ x2 − ≡ 1 Dy21 k ≡ 0 (mod |k|),
x1y2 − x2y1 ≡ x1y1 − x1y1 ≡ 0 (mod |k|). Khi ¯ d´
o tô`n t .ai sô´nguyên u v`a v, sao cho x1x2 − y1y2D = ku, x1y2 − ,
x2y1 = kv. V`ı v .ây (9.11) c´o thê viê´t th`anh √ √ √
(x1 − y1 D)(x2 + y2 D) = k(u + v D). , , , , , 94 Chuong 9. Nh˜ ung ´
ung d .ung kh´ac cua nguyên l´y Ðirichle , , , , Nhân t`
ung sô´h .ang v´oi nhau trong c´ac ¯d˘ang th´uc sau c`ung ch´ung ta , , nh .ân ¯du .oc k2 = (x2 − − 1 Dy21)(x22 Dy22) = k2(u2 − Dv2), , , , , t` u ¯ d´
o suy ra u2 − Dv2 = 1, ngh˜ıa l`a c .˘ap (u, v) l`a nghi.êm cua phuong tr`ınh. , , , , , , Chı c` on phai ch´
ung minh v 6= 0. Nê´u gia thiê´t ngu .oc l.ai, ch´ung ta s˜ e c´
o x1x2 = y1y2D = |k| v`a x1y2 = x2y1. Khi ¯ d´ o |k|y2 = |(x1y2)x2 − y1y2 − − | 2 D| = |y1 x2 2 y1y22D| = y1|x22 Dy22 = |k|y1 , , , , t` u ¯ dây, v`ı k 6= 0 chı c´ o kha n˘
ang khi y1 = y2. Ðiê`u n`ay không thê , ,
xây ra v`ı (x1, y1) kh´ac (x2, y2) , c`on t`u y1 = y2 suy ra x1 = x2. J , , ,
. 9.6. Cho x1, x2, . . . , xn l`a nh˜ung sô´th .uc v`a N l`a sô´t .u nhiên. Khi ¯d´o ,
tô`n t .ai nh˜ung sô´nguyên p1, p2, . . . , pn, q sao cho 1 ≤ q ≤ Nn v`a p 1 i xi − ≤ , (9.12) q Nq , v´
oi m .oi i = 1, 2, . . . , n. , , , , , , , L` oi giai. Ch´ ung ta ch´ ung minh b` ai to´
an cho tru`ong h .op n = 2. V´oi , , , , , , , , ,
tru`ong h .op n l´on hon 2 ch´ung minh ho`an to`an tuong t .u v`a d`anh , , , ,
cho b .an ¯d .oc. Nhu v.ây cho x1 v`a x2 l`a nh˜ung sô´th .uc, c`on N l`a sô´t .u , , nhiên. Ch´ ung ta s˜ e ch´ ung minh r` ˘
ang tô`n t .ai nh˜ung sô´nguyên p1, p2 , , v` a q v´
oi 1 ≤ q ≤ N2 v`a thoa m˜an p 1 p 1 1 2 x1 − < , x2 − < . (9.13) q Nq q Nq , Ch´ ung ta cô´ ¯
d.inh h.ê t .oa ¯d .ô trong m.˘at ph˘ang v`a x´et h`ınh vuông Q , , , v´ oi c´ ac ¯
dınh (0, 0), (1, 0), (1, 1) v`a (0, 1) nhu h`ınh v˜e. Chia Q ra N2 , , 1 , , , h`ınh vuông nho b` ˘ ang nhau v´ oi c .anh l`a b` ˘ ang c´ ac ¯ du` ong th˘ ang N , , song song v´
oi tr .uc t .oa ¯d .ô (trong h`ınh v˜e ta chia v´oi N=7). , ,
9.1. Xâ´p xı m .ôt sô´th .uc 95 , Bây gi` o ch´ ung ta ch´ u ´ y ¯
dê´n c .˘ap sô´ c´o d.ang (qx1 − [qx1], qx2 − ,, , [qx2]), o ¯
dây q nh .ân nh˜ung gi´a tr.i nguyên 0, 1, 2, . . . , N2. V`ı 0 ≤ , , ,
qxi − [qxi] < 1, i = 1, 2, . . . , N2 m˜ôi c .˘ap nhu vây c´o thê coi nhu , ,
m .ôt c.˘ap t .oa ¯d .ô cua ¯diêm trong h`ınh vuông Q. B`˘ang c´ach ¯d´o m˜ôi sô´ , , , ,
0, 1, 2, . . . , N2 t .ao ra m .ôt ¯diêm tuong ´ung trong h`ınh vuông Q , sô´ , , , , ,
lu .ong c´ac sô´ ¯d´o l`a N2 + 1. Nhung Q ¯du .oc chia ra N2 h`ınh vuông ,
nho, suy ra tô`n t .ai hai sô´nguyên kh´ac nhau q1, q2 trong ¯do.an [0, N], , , , , , m` a ¯ diêm tuong ´ ung v´ oi ch´ ung c´ o c´
ac t .oa ¯d .ô (q1x1 − [q1x1], q1x2 −
[q1x2]), (q2x1 − [q2x1], q2x2 − [q2x2]) v`a c`ung n`˘am trong m .ôt h`ınh , , 1 vuông nho v´ oi c .anh . Ðiê`u ¯ d´ o c´ o ngh˜ıa l` a N 1
|(q1x1 − [q1x1]) − (q1x2 − [q1x2])| ≤ , N 1
|(q2x1 − [q2x1]) − (q2x2 − [q2x2])| ≤ . (9.14) , , , N
Không mâ´t t´ınh tông qu´ at c´
o thê gia thiê´t q1 > q2. Nê´u ¯ d .˘at q = , ,
q1 − q2, p1 = [q1x1] − [q2x1], p2 = [q1x2] − [q2x2] th`ı bâ´t ¯ d˘ ang th´ uc (9.14) c´ o d .ang 1 1 |qx1 − p1| ≤ , |qx . (9.15) N 2 − p2| ≤ N Ch´ ung ta thâ´y r` ˘
ang 1 ≤ q ≤ N2, v`ı 1 ≤ q2 < p1 ≤ N2. Chia hai vê´ , , , cua (9.15) cho q ch´
ung ta nh .ân ¯du .oc (9.13). J , , , , Hai b` ai to´ an du´ oi ¯ dây liên quan t´
oi m .ôt t´ınh châ´t m`a ta ¯d˜a ch´ung ,, , , , ,, ,
minh o chuong 2. Ðê mo r .ông t´ınh châ´t n`ay ch´ung ta ¯dua v`ao ¯d.inh ngh˜ıa. ,
Nê´u a1, a2, . . . , a2n+1 l`a 2n + 1 sô´th .uc (n ≥ 1). Ch´ung ta n´oi r`˘ang , d˜ ay n` ay c´
o t´ınh châ´t P, nê´u bâ´t k` y 2n sô´ trong ch´ ung c´ o thê chia , , l` am hai nh´ om, m˜ ôi nh´
om n sô´, sao cho tông cua c´ac sô´ trong hai nh´ om b` ˘ ang nhau. , , , , , 96 Chuong 9. Nh˜ ung ´
ung d .ung kh´ac cua nguyên l´y Ðirichle , , . 9.7. Ch´ ung minh r` ˘
ang m .oi b.ô 2n + 1 sô´ gô`m nh˜ung sô´ nguyên , , , duong c´
o t´ınh châ´t P, th`ı tâ´t ca c´ ac sô´ ¯ dê`u b` ˘ ang nhau. , , , , , L` oi giai. Ch´ ung minh b` ˘
ang qui n .ap theo sô´ l´on nhâ´t cua d˜ây sô´. , , Nê´u sô´ l´ on nhâ´t b` ˘ ang 1 th`ı tâ´t ca c´ ac sô´ c`
on l .ai c˜ung ¯dê`u l`a 1, nên , , , ,, , b` ai to´ an ¯ d˜ a giai. Bây gi`
o gia su kê´t lu .ân ¯d´ung v´oi m .oi b .ô 2n+1 sô´ , , , , nguyên duong m` a m˜
ôi sô´không vu .ot qu´a k, k ≥ 2 v`a c´o t´ınh châ´t P. , ,
Lâ´y p1, p2, . . . , p2n+1 l`a b .ô sô´nguyên duong c´o t´ınh châ´t P v`a m˜ôi sô´ , , ,
không vu .ot qu´a k + 1. T`u ¯diê`u ki.ên b`ai to´an suy ra p1, p2, . . . , p2n+1 , c´ o c` ung t´ınh ch˜ ˘ an le.
a) Nê´u p1, p2, . . . , p2n+1 l`a c´ac sô´ ch˜˘an, ch´ung ta x´et c´ac sô´ p1 p p , 2 , . . . ,
2n+1 . Ch´ung ta thâ´y ngay ch´ung c˜ung c´o t´ınh châ´t 2 2 2 , , , P. Ngo`
ai ra m .oi sô´ không vu .ot qu´a k v`ı pi ≤ k + 1 v´oi m .oi i = p p p 1, 2, . . . , 2n + 1. B` ˘ ang qui n 1 2 2n+1 .ap suy ra = = . . . = .Ngh˜ıa 2 2 2 l` a p1 = p2 = . . . = p2n+1. , ,
b) Nê´u p1, p2, . . . , p2n+1 l`a c´ac sô´ le, ch´ung ta ch´ung b`˘ang qui
n .ap cho d˜ay p1 − 1, p2 − 1, . . . , p2n+1 − 1. Ch´ung c˜ung c´o t´ınh châ´t , , , , P v`
a không vu .ot qu´a k, ch´ung ta nh.ân ¯du .oc p1 − 1 = p2 − 1 = . . . =
p2n+1 − 1. Ngh˜ıa l`a p1 = p2 = . . . = p2n+1. J , , , , , . 9.8. Ch´ ung minh r` ˘
ang m .oi b.ô 2n+1 sô´ gô`m nh˜ung sô´ th .uc duong , c´
o t´ınh châ´t P, th`ı tâ´t ca c´ ac sô´ ¯ dê`u b` ˘ ang nhau. , , , L`
oi giai. - Hiên nhiên r` ˘ ang nê´u c´
ac sô´ a1, a2, . . . , a2n+1 c´o t´ınh châ´t , P v`
a q l`a sô´ th .uc bâ´t k`y, th`ı c´ac sô´ qa1, qa2, . . . , qa2n+1 c˜ung c´o t´ınh châ´t P. , , , , , , Bây gi`
o cho x1, x2, . . . , x2n+1 l`a nh˜ung sô´ th .uc duong v´oi t´ınh , , , , ,
châ´t P. Nê´u tâ´t ca c´ ac sô´ l` a h˜ uu ty th`ı ¯ diê`u kh˘ ang ¯ d.inh cua b`ai to´an , , suy ra không kh´
o. Th .ât v.ây, k´y hi.êu q l`a b .ôi sô´chung nho nhâ´t cua , ,
9.1. Xâ´p xı m .ôt sô´th .uc 97 , m˜ âu sô´ c´ ac sô´ trên. Khi ¯ d´
o qx1, qx2, . . . , qx2n+1 l`a nh˜ung sô´ nguyên , , , , , duong c´ o t´ınh châ´t P, theo c´ ach ch´ ung minh b` ai tru´ oc ch´ ung ta c´ o ,
qx1 = qx2 = . . . = qx2n+1. V`ı v .ây x1 = x2 = . . . = x2n+1. Chı c`on , , , , , phai ch´ ung minh tru`
ong h .op c´o trong d˜ây x1, x2, . . . , x2n+1 m .ôt sô´ , , , , ,
vô ty. Nhung theo kê´t qua cua b`
ai 9.6 tô`n t .ai sô´ t .u nhiên q, v`a c´ac , , ,
sô´nguyên duong p1, p2, . . . , p2n+1 thoa m˜an p 1 |x i i − | < , i = 1, 2, . . . , n. (9.16) q 1 q1+ 2n+1 , , , , Tru`
ong h .op riêng, tô`n t.ai p1, p2, . . . , p2n+1, q v´oi q > (2n)2n+1 v`a , 1 ch´ ung thoa m˜ an |qxi − pi| ≤ , i = 1, 2, . . . , n. 1 q 2n+1 , ,
Ð .˘at αi = qxi − pi, i = 1, 2, . . . , 2n + 1. Nhu phâ`n ¯dâ`u kh˘ang ¯d.inh , r` ˘
ang qx1, qx2, . . . , qx2n+1 c´o t´ınh châ´t P. Ch´ung ta s˜e ch´ung minh r` ˘
ang p1, p2, . . . , p2n+1 c˜ung c´o t´ınh châ´t P. Ch .on 2n sô´ trong ¯d´o, v´ı ,
d .u nhu p1, p2, . . . , p2n . V`ı qx1, qx2, . . . , qx2n c´o t´ınh châ´t P, không , , , mâ´t t´ınh tông qu´ at ch´ ung ta lâ´y ¯ d˘ ang th´
uc qx1 + qx2 + · · · + qxn =
qxn+1 + qxn+2 + · · · + qx2n, khi ¯ d´
o (p1 + α1) + (p2 + α2) + · · · +
(pn + αn) = (pn+1 + αn+1) + (pn+2 + αn+2) + · · · + (p2n + α2n). Ch´ ung ta viê´t l .ai
p1 + p2 + · · · + pn − pn+1 − pn+2 − · · · − p2n =
= αn+1 + αn+2 + · · · + α2n − α1 − α2 − · · · − αn. (9.17) , , Vê´ bên tr´ ai ¯ d˘ ang th´ uc trên l`
a sô´ nguyên nên sô´ α = αn+1 + ,
αn+2 + · · · + α2n − α1 − α2 − · · · − αn c˜ ung l` a sô´ nguyên. Nhung 1 |αi| ≤ , i = 1, 2, . . . , n. Do ¯ d´ o | 1
α| ≤ |αn+1| + |αn+2| + · · · + q 2n+1 2n
|α2n| + |α1| + |α2| + · · · + |αn| <
< 1, v`ı q > (2n)2n+1. Khi 1 q 2n+1 , , , , , 98 Chuong 9. Nh˜ ung ´
ung d .ung kh´ac cua nguyên l´y Ðirichle , , , , , ¯ d´ o α = 0 v`a t`u ¯ d˘ ang th´ uc tru´ oc ¯ d´ o ta c´ o p1 + p2 + · · · + pn = , , , , ,
pn+1 + pn+2 + · · · + p2n Nhu v .ây ch´ung ta kh˘ang ¯d.inh ¯du .oc nh˜ung ,
sô´ nguyên p1, p2, . . . p2n+1 c´o t´ınh châ´t P. Ch´ung ta c´o thê kê´t lu .ân , , ¯ du .oc p1 = p2 = . . . = p2n+1 , , , ,
Th .uc châ´t ¯dê´n ¯dây ch´ung ta ¯d˜a ch´ung minh ¯du .oc : , ,
Nê´u p1, p2, . . . , p2n+1, q l`a nh˜ung sô´ nguyên thoa m˜an (9.16) v`a
q > (2n)2n+1 th`ı p = p1 = p2 = . . . = p2n+1. Suy ra (9.16) c´o d .ang p 1 |xi − | < , i = 1, 2, . . . , 2n + 1 q 1 q1+ 2n+1 , , Trong 9.6 ch´ ung ta kh˘ ang ¯
d.inh r`˘ang tô`n t.ai vô h.an sô´ t .u nhiên q , , , thoa m˜
an (9.16). Không mâ´t t´ınh tông qu´ at ch´ ung ta gia thiê´t r` ˘ ang , ,, nh˜ ung sô´ ¯ d´ o l`
a q1 < q2 < . . . < qk < . . ., o ¯ dây q1 > (2n)2n+1. Trong , , , , tru`
ong h .op n`ay v´oi m .oi k tô`n t.ai sô´nguyên pk sao cho p 1 |x k i − | < , i = 1, 2, . . . , 2n + 1. (9.18) q 1 k 1+ q 2n+1 k 1 , , p V`ı lim = 0 khi k tiê´n t´ oi vô c` ung, t` u (9.18) suy ra lim k = 1 1+ qk q 2n+1 k , , ,
xi khi k tiê´n t´oi vô c`ung, v´oi m .oi i = 1, 2, . . . , 2n + 1. Nhung m˜ôi d˜ay , , ,
sô´ th .uc không c´o nhiê`u hon m .ôt gi´oi h.an, suy ra x1 = x2 = . . . = x2n+1. J , , , . 9.9. Ch´ ung minh r` ˘ ang trong t´ am sô´, m˜ ôi sô´ c´ o ba ch˜ u sô´, bao gi` o , , , , , , c˜
ung ch .on ¯du.oc hai sô´ c´o ba ch˜u sô´ v`a ¯dê khi gh´ep l .ai ta ¯du.oc m.ôt sô´ chia hê´t cho 7. , , , L`
oi giai. Khi mang t´
am sô´ chia cho 7 th`ı thê n` ao c˜ ung c´ o hai sô´ c´ o , , ,, , c` ung sô´du (nguyên l´
y Ðirichlê ). Gia su hai sô´ ¯ d´ o l` a abc v`a αβγ. Hiên 9.2. B` ai t .âp 99 ,
nhiên abcαβγ = 1000abc + αβγ. T`u c´ach ch .on ta c´o abc = 7m + r , , v` a αβγ = 7n + r v´
oi 0 ≤ r < 7 v`a m, n, r l`a c´ac sô´ t .u nhiên. V`ı
v .ây abcαβγ = 1000(7m + r) + (7n + r) = 7(1000m + n) + 1001.r = 7(1000m + n + 143.r). J , ,
. 9.10. Cho a, b, c, d l` a c´ ac sô´ nguyên. Ch´ ung minh r` ˘ ang t´ıch cua c´ ac
hi.êu b − a, c − a, d − a, d − c, b − d v`a c − b chia hê´t cho 12. , , , L`
oi giai. Câ`n ch´
ung minh t´ıch: P = (b − a)(c − a)(d − a)(d − c)(d −
b)(c − b) chia hê´t cho 12=4.3. Ch´ ung ta biê´t r` ˘ ang m .ôt sô´ nguyên , , bâ´t k`
y khi chia cho 4 th`ı chı c´ o c´ ac sô´du 0, 1, 2, 3. , ,
Trong bô´n sô´ a, b, c, d cho tru´ oc nê´u c´ o hai sô´ khi chia cho 4 m` a , , c´ o c`
ung sô´ du th`ı hi .êu cua ch´ung s˜e chia hê´t cho 4. Nê´u không c´o , , hai sô´ n` ao khi chia cho 4 cho c`
ung sô´ du th`ı trong bô´n sô´ phai c´ o , , , , hai sô´ ch˜ ˘ an v`
a hai sô´ le. V`ı hi .êu cua hai sô´ch˜˘an c˜ung nhu hi.êu cua , hai sô´le ¯ dê`u l` a sô´ch˜ ˘ an nên P chia hê´t cho 4. , ,
M .˘at kh´ac trong bô´n sô´a, b, c, d luôn t`ım ¯du .oc hai sô´khi chia cho , , 3 th`ı c´ o c` ung sô´du (nguyên l´ y Ðirichlê ). Do ¯ d´ o hi .êu cua ch´ung chia
hê´t cho 3, suy ra P chia hê´t cho 3. T´
om l .ai P chia hê´t cho 12=4.3. J 9.2. B ` ai t .âp , , . 9.11. Cho x l`
a m .ôt sô´th .uc, c`on n l`a m .ôt sô´t .u nhiên. Khi ¯d´o tô`n t.ai , , p 1 nh˜
ung sô´nguyên p v`a q thoa m˜an 1 ≤ q ≤ n v`a x − ≤ . q (n + 1)q , , ,
. 9.12. Cho x1, x2, . . . , xm l`a nh˜ung sô´th .uc v`a n l`a sô´t .u nhiên. Khi , , ¯ d´
o tô`n t .ai nh˜ung sô´ nguyên p1, p2, . . . , pn, q không ¯dô`ng th`oi b`˘ang 0, sao cho ta c´ o q ≤ n( µ
µ = 1, 2, . . . , m) v` a 1
|q1x1 + q2x2 + · · · + qmxm − p| ≤ . (n + 1)m , , , , , 100 Chuong 9. Nh˜ ung ´
ung d .ung kh´ac cua nguyên l´y Ðirichle , , . 9.13. Ch´ ung minh r` ˘ ang v´
oi m .oi c.˘ap sô´nguyên p v`a q > 0 ta ¯dê`u √ √ , , √ p 3 − 2 c´ o bâ´t ¯ d˘ ang th´ uc sau 2 − ≥ . q q2 , , . 9.14. Ch´ ung minh r` ˘ ang v´
oi m .oi c.˘ap sô´nguyên p v`a q > 0 ta ¯dê`u , , √ p 1 c´ o bâ´t ¯ d˘ ang th´ uc sau √ 3 − ≥ . q 3 3q2 , , , , . 9.15. Cho m, n v`
a s l`a nh˜ung sô´nguyên v`a α l`a nghi .êm cua phuong ,
tr`ınh b .âc hai mx2 + nx + s = 0, (m 6= 0). Ch´ung minh r`˘ang nê´u α l`a , , , , p c , sô´ vô ty, th`ı tô`n t
.ai m .ôt sô´ duong c thoa m˜ an α − ≥ v´ oi m .ôi q q2
c .˘ap sô´nguyên p v`a q > 0. , , CHUONG 10 NGUYÊN L ´ Y ÐIRICHLÊ CHO DI .ÊN T´ICH , 10.1. Ph ´ at biêu nguyên l´
y Ðirichlê cho di .ên t´ıch , , , , , Trong chuong n` ay ch´ ung ta x´ et nh˜
ung t .âp h .op trên m.˘at ph˘ang, , , , nh˜ ung ph´ ep to´ an trên c´
ac t .âp h .op nê´u c´ac b.an chua quen biê´t c´o , ,, ,
thê xem o Ph .u ¯d´ınh cuô´i s´ach. Ch´ung ta quan tâm t´oi c´ac kh´ai ni.êm sau ¯ dây: , ,
M .ôt t.âp h .op trong m.˘at ph˘ang g .oi l`a b.i ch .˘an, khi tô`n t.ai m .ôt , , , , h`ınh tr` on ch´ ua to`
an b .ô c´ac ¯diêm cua t.âp h .op ¯d´o. Khi không tô`n t.ai , , ,
m .ôt h`ınh tr`on n`ao nhu trên th`ı t.âp h .op ¯d´o g .oi l`a t.âp h .op không b.i , ,, ,
ch .˘an. V´ı d .u nhu m .ôt ¯da gi´ac lô`i l`a t.âp b.i ch.˘an c`on nua m.˘at ph˘ang l`a , , , ,
t .âp h .op không b.i ch.˘an. D˜ê d`ang ch´ung minh ¯du .oc c´ac t´ınh châ´t sau , , , cua nh˜ ung t .âp h .op b.i ch.˘an , , , ,
1. H .op v`a giao cua h˜uu h.an nh˜ung t.âp b.i ch.˘an l`a m .ôt t.âp b.i ,
ch .˘an. Hi.êu cua hai t.âp b.i ch.˘an l`a m .ôt t.âp b.i ch.˘an. , ,
2. M .ôt t.âp h .op con cua m .ôt t.âp b.i ch.˘an l`a m .ôt t.âp b.i ch.˘an. M .ôt , , ,
t .âp h .op ch´ua m .ôt t.âp h .op con không b.i ch.˘an th`ı n´o c˜ung không b.i ch .˘an. , , , , ,
M .ôt ¯diêm P g .oi l`a ¯
diêm biên cua t .âp h .op A trong m.˘at ph˘ang, , , 102 Chuong 10. Nguyên l´
y Ðirichlê cho di .ên t´ıch , , , ,
nê´u m .oi h`ınh tr`on tâm t.ai P c´o ch´ua nh˜ung ¯diêm thu .ôc A v`a ca , , , , , , nh˜ ung ¯
diêm không thu .ôc A.T.âp h .op tâ´t ca c´ac ¯diêm biên cua A g .oi , , , , l`
a biên cua A v`a k´y hi .êu l`a K(A). V´ı d .u biên cua h`ınh tr`on l`a ¯du`ong , , tr` on v´ oi c` ung tâm v` a b´
an k´ınh. V´ı d .u ¯d.˘ac bi.êt v`a t´ınh châ´t biên cua , , t .âp h .op nhu sau: , , , , ,
3. Cho t .âp h .op A gô`m to`an b .ô nh˜ung ¯diêm c´o t .oa ¯d .ô h˜uu ty ,
trong m .ôt h`ınh vuông v´oi t .oa ¯d .ô c´ac ¯dir nh (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1). , D˜ ê d` ang thâ´y r` ˘
ang biên cua A l`a to`an b .ô h`ınh vuông n´oi trên. , , , , 4. V´
oi m .oi t.âp h .op A gô`m c´ac ¯diêm trong m.˘at ph˘ang ¯dê`u c´o , công th´ uc sau K(K(A)) ⊂ K(A). , , ,
5. M .oi c.˘ap t.âp h .op bâ´t k`y trong m.˘at ph˘ang ¯dê`u thoa m˜an c´ac , công th´ uc sau K(A ∪ B) ⊂ K(A) ∪ K(B) K(A ∩ B) ⊂ K(A) ∩ K(B) K(A\B) ⊂ K(A) ∪ K(B) , , , , , ,
M .ôt ¯diêm P g .oi l`a ¯
diêm trong cua t .âp h .op A nh˜ung ¯diêm trong ,
m .˘at ph˘ang, khi tô`n t.ai h`ınh tr`on tâm P m`a n´o n`˘am tr .on trong A. , , , , T` u ¯
d.inh ngh˜ıa n`ay thâ´y ngay l`a m .oi ¯diêm trong cua t.âp h .op A ¯dê`u , , ,, ,
thu .ôc A. Ðiê`u ngu .oc l.ai không ¯d´ung: trong v´ı d .u 3 o trên t.âp h .op A , không c´
o m .ôt ¯diêm trong n`ao. Ta thâ´y ngay , , ,
6. M .ôt ¯diêm thu .ôc A l`a ¯diêm trong cua A khi v`a chi khi n´o không , , , , , l` a ¯
diêm biên cua A. Ðiê`u n`ay giai th´ıch t .ai sao nh˜ung ¯diêm trong , , , cua h`ınh tr` on không n` ˘ am trên ¯ du` ong tr` on. , , , ,
Ðê lo .ai tr`u c´ac t.âp h .op ¯d.˘ac bi.êt, ch´ung ta ¯dua v`ao m .ôt kh´ai ni.êm , , , , ¯
d .˘ac chung cho l´op t.âp h .op không ¯d.˘ac bi.êt trong m.˘at ph˘ang : M .ôt , , ,
t .âp h .op b.i ch.˘an c´ac ¯diêm trong m.˘at ph˘ang g .oi l`a bê` m .˘at, khi biên , , , , cua n´ o không ch´ ua ¯ diêm trong (cua biên). ,
V´ı d .u c´ac h`ınh tr`on ho.˘ac ¯da gi´ac ¯dê`u l`a bê`m.˘at trong m.˘at ph˘ang. , 10.1. Ph´ at biêu nguyên l´
y Ðirichlê cho di .ên t´ıch 103 , ,
Nhung trong v´ı d .u 3 t.âp h .op A không l`a bê` m.˘at. B`˘ang c´ach d`ung , c´ ac ¯
d.inh ngh˜ıa vê` t.âp h .op v`a c´ac ¯d.inh ngh˜ıa trong phâ`n trên ch´ung , , , ta ch´ ung minh ¯ du .oc , ,
7. Nê´u A v`a B l`a hai bê` m .˘at, nh˜ung t.âp h .op A ∪ B, A ∩ B v`a , , A\B c˜ ung l` a nh˜
ung bê` m .˘at trong m.˘at ph˘ang. ,
8. Nê´u A, B v`a C l`a c´ac bê` m .˘at v`a A không c´o chung ¯diêm trong , , , , v´ oi B v`a v´ oi C, th`ı A không c´ o ¯ diêm trong chung v´ oi B ∪ C. , , , ,
M .ôt trong nh˜ung ¯d.inh l´y co ban trong h`ınh h .oc ph˘ang, nhiê`u khi ,, , , o phô thông ch´
ung ta công nh .ân nhu m .ôt tiên ¯dê`: , , , , , ,
9. M .oi bê` m.˘at A nh˜ung ¯diêm trong m.˘at ph˘ang c´o thê cho tuong ´, , , ung v´
oi m .ôt sô´th .uc không âm S(A) sao cho ,
a) S(∆) = 1, v´oi ∆ l`a m .ôt h`ınh vuông c´o c.anh l`a 1; ,
b) Nê´u A v`a B l`a hai bê` m .˘at không c´o ¯diêm trong chung, th`ı S(A ∪ B) = S(A) + S(B). , , , , , , Ph´ ep cho tuong ´ ung S v´ oi c´ ac t´ınh châ´t trên ¯ du .oc x´ac ¯d.inh m .ôt c´ ach duy nhâ´t. , ,
Cho bê`m .˘at A bâ´t k`y, sô´S(A) g .oi l`a di.ên t´ıch cua A. Nh˜ung m.˘at , , , , , , ¯ d˜ a ¯
du .oc x´et trong c´ac tru`ong phô thông l`a h`ınh ch˜u nh.ât, tam gi´ac, , h`ınh tr` on,. . . v` a sô´ S(A) theo ¯
d.inh ngh˜ıa trên tr`ung v´oi kh´ai ni.êm , , , , ,
di .ên t´ıch cua c´ac h`ınh n`ay. V´oi c´ach tr`uu tu .ong h´oa kh´ai ni.êm di.ên , , t´ıch ch´ ung ta d˜ ê d` ang khao s´
at t´ınh châ´t vê` di .ên t´ıch cua c´ac h`ınh. , , , , , T` u a) v` a b) ch´ ung ta c´ o thê d˜ ê d` ang ch´ ung minh ¯ du .oc: ,
10. Nê´u A v`a B l`a nh˜ung bê` m .˘at v`a A ⊂ B, th`ı S(A\B) = S(A) − S(B). ,
11. Nê´u A1, A2, . . . , An l`a c´ac bê` m .˘at t`ung ¯dôi m .ôt không c´o , ¯
diêm trong chung, th`ı S(A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An) = S(A1) + S(A2) + , , 104 Chuong 10. Nguyên l´
y Ðirichlê cho di .ên t´ıch · · · + S(An). Nguyên l´
y Ðirichlê cho di .ên t´ıch: Nê´u A l`a m.ôt bê` m.˘at, c`on
A1, A2, . . . , An l`a c´ac bê` m .˘at sao cho Ai ⊂ A(i = 1, 2, . . . , n) v`a
S(A) < S(A1) + S(A2) + · · · + S(An), th`ı ´ıt nhâ´t c´o hai bê` m .˘at , trong sô´c´
ac bê` m .˘at trên c´o m.ôt ¯diêm trong chung. , , C˜ ung nhu nguyên l´ y ¯ dâ`u tiên, ch´ ung ta c˜ ung c´ o thê thâ´y ¯ diê`u , , , , , ,, n` ay l` a hiên nhiên v` a ch´ ung minh ¯
du .oc. Th.ât v.ây, Gia su không c´o , ,
c .˘ap n`ao trong nh˜ung m.˘at ¯d˜a cho c´o ¯diêm trong chung. Khi ¯d´o theo , kh˘ ang ¯
d.inh 11. ta c´o S(A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An) = S(A1) + S(A2) + · · · +
S(An). M .˘at kh´ac Ai ⊂ A(i = 1, 2, . . . , n) suy ra A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An ⊂ , , A, t` u ¯ d´ o c´
o S(A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An) ⊂ S(A). Thô´ng nhâ´t c´ac bâ´t ¯ d˘ ang , , th´
uc l .ai ch´ung ta c´o S(A) < S(A), d˜ân t´oi vô l´y. , C´ o thê thâ´y r` ˘ ang nguyên l´ y trên bao tr` um nguyên l´ y Ðirichlê , , , cho nh˜
ung t .âp h˜uu h.an. Ngo`ai ra nguyên l´y Ðirichlê trên c´o thê c .u , , , , , , thê h´ oa cho nh˜ ung l´
op bê` m .˘at thông d .ung trong chuong tr`ınh phô , , thông v` a c´ ac kh´
ai ni .êm ¯d .ô d`ai, thê t´ıch c˜ung c´o c`ung t´ınh châ´t nhu ,, , , kh´
ai ni .êm di.ên t´ıch o trên. Do ¯d´o ch´ung ta c´o thê ph´at biêu nguyên , , l´ y Ðirichlê theo c´ ac phuong ´ an kh´ ac nhau. , , 12.Cho nh˜ ung ¯
do .an th˘ang ∆1, ∆2, . . . , ∆n n`˘am trong ¯do .an ∆ v`a , , , , , tông ¯
d .ô d`ai cua ∆1, ∆2, . . . , ∆n l´on hon ¯d.ô d`ai cua ∆. Khi ¯d´o ´ıt nhâ´t c´o , , , hai trong sô´nh˜ ung ¯
do .an th˘ang ∆1, ∆2, . . . , ∆n c´o ¯diêm chung. , , 13. Cho nh˜ ung ¯
da di.ên P1, P2, . . . , Pn n`˘am trong ¯da di.ên P v`a tông , , , , , ,
thê t´ıch cua P1, P2, . . . , Pn l´on hon thê t´ıch cua P. Khi ¯d´o ´ıt nhâ´t c´o hai , , trong sô´nh˜ ung ¯
da di.ên P1, P2, . . . Pn c´o ¯diêm chung. , , , , 14. Cho nh˜
ung cung c1, c2, . . . , cn n`˘ am trên ¯ du` ong tr` on c v` a tông , , , , , ¯
d .ô d`ai cua c1, c2, . . . , cn l´on hon ¯d.ô d`ai ¯du`ong tr`on c. Khi ¯d´o ´ıt nhâ´t c´o , , hai trong sô´nh˜
ung cung c1, c2, . . . cn c´o ¯diêm chung. 10.2. V´ı d .u 105 , , Tâ´t ca c´ ac ph´ at biêu 12, 13, 14 ch´ ung ta ¯ dê`u g .oi l`a nguyên l´y , , , , Ðirichlê v`
a b .an ¯d .oc c´o thê ch´ung minh ¯du .oc c´ac nguyên l´y n`ay. 10.2. V´ı d .u , ,
. 10.1. Cho M l`
a m .ôt ¯da gi´ac lô`i v´oi di.ên t´ıch S v`a chu vi P. Ch´ung minh r` ˘ ang , , , , , , , S a) M c´ o thê phu ¯
du .oc m.ôt h`ınh tr`on v´oi b´an k´ınh l´on hon ; P , S b) B´ an k´ınh cua c´ ac h`ınh tr` on n` ˘
am trong M không qu´ a . P , , , , L` oi giai. a) Ch´
ung ta d .ung trên m˜ôi c.anh ¯da gi´ac M m .ôt h`ınh ch˜u S ,
nh .ât chiê`u cao h = , nhu h`ınh 10.1. P M M O H C S h = P H`ınh 10.1: H`ınh 10.2: , , , , , Nh˜ ung h`ınh ch˜
u nh .ât n`ay c´o nh˜ung ¯diêm chung gi˜ua ch´ung; n´oi ,
chung m .ôt sô´h`ınh ch˜u nh.ât không n`˘am tr .on trong M. Ch´ung ta c´o , , , , , thê t´ınh to´
an tông di .ên t´ıch cua c´ac h`ınh ch˜u nh.ât n`ay l`a S. Nhu v.ây , , , , , ,
phâ`n cua M b.i c´ac h`ınh ch˜u nh.ât phu phai c´o di.ên t´ıch nho hon S. , , , Ðiê`u n` ay chı ra r` ˘
ang tô`n t .ai m .ôt ¯diêm O cua M không thu .ôc , , 106 Chuong 10. Nguyên l´
y Ðirichlê cho di .ên t´ıch , , , , , h`ınh ch˜
u nh .ât n`ao ca. Nhu v.ây c´o ngh˜ıa l`a khoang c´ach t`u O ¯dê´n , , , , S c´
ac c .anh cua M phai l´on hon h = . Ta lâ´y O l`a tâm h`ınh tr`on b´an P S k´ınh R > , h`ınh tr` on n` ay s˜ e n` ˘ am tr .on trong M. P b) Cho h`ınh tr`
on C tâm O b´an k´ınh R n`˘am trong M. Ch´ ung ta x´ et , , , , , c´ ac tam gi´ ac m` a hai ¯ dınh cua n´ o l` a hai ¯ dınh liên tiê´p cua t´ u gi´ ac, c` on , , , , , ¯ dınh th´ u ba l` a tâm h`ınh tr`
on O. Ðu`ong cao h .a t`u O xuô´ng c´ac c.anh , , , , , , cua tam gi´ ac n` ay l´ on hon R. T`u ¯ dây suy ra tông c´ ac di .ên t´ıch cua , , S ch´ ung b` ˘
ang S v`a không nho hon P.R. Suy ra R ≤ (H`ınh 10.2). P J , ,
. 10.2. Trong không gian cho 30 vecto kh´ ac không. Ch´ ung minh r` ˘ ang , , , , trong sô´ ¯ d´ o c´ o hai vecto m` a g´ oc gi˜ ua ch´ ung nho hon 450. , , , , , L` oi giai. C´ o thê gia thiê´t r` ˘ ang tâ´t ca , , v´ ecto c´ o chung ¯ diêm ¯ dâ`u O. Lâ´y OA , , , A v´ oi ¯
d .ôd`ai b`˘ang 1 trên vecto th´u nhâ´t. , , , Ch´
ung ta d .ung h`ınh n´on ¯dınh O v´oi ,, , 450 J
tr .uc OA, m`a g´oc o ¯dınh l`a 450. B`ai , , , O to´ an s˜ e ¯
du .oc ch´ung minh nê´u ch´ung , ta chı ra r` ˘
ang ´ıt nhâ´t hai trong sô´ 30 , , , , h`ınh n´ on (¯ du .oc xây duong theo c´ach , , , , trên ´ ung v´ oi 30 vecto ¯ d˜ a cho) c´ o ¯ diêm trong chung (h`ınh 10.3). , H`ınh 10.3: Ch´ ung ta x´ et h`ınh câ`u S v´ oi tâm , O v` a b´ an k´ınh 1. M˜
ôi lâ`n d .ung h`ınh n´on c´˘at m.˘at câ`u S m .ôt h`ınh , , , , v´
oi di .ên t´ıch δ1 m`a c´o thê t´ınh to´an ¯du .oc. Ta c˜ung thâ´y r`˘ang , , hai h`ınh n´ on c´ o ¯ diêm trong chung khi v` a chi khi nh˜ ung phâ`n , , ,
trên m .˘at câ`u c˜ung phai c´o ¯diêm trong chung. T`u ¯diê`u n`ay v`a 10.2. V´ı d .u 107 , , , nguyên l´ y Ðirichlê ch´
ung ta chı câ`n thiê´t kiêm tra tông di .ên t´ıch , , ,
cua 30 h`ınh trên m .˘at câ`u l´on hon di.ên t´ıch m.˘at câ`u (b`˘ang 4π). √ p ! π 2 + 2 Ch´ ung ta c´
o δ1 = 2π 1 − cos = 2π 1 − . V .ây 8 2 √ √ p ! p 2 + 2 , , , , , 2 + 2 14 30.2π 1 − > 4π tuong ¯ duong v´ oi < 2 2 15 1 167 2 ho .˘ac l`a < . J 2 225 , ,
. 10.3. Nê´u m .ôt bê` m .˘at A trong m .˘at ph˘ang thoa m˜an ¯diê`u ki.ên , ,
S(A) > 1. th`ı n´o luôn luôn ch´ ua ´ıt nhâ´t hai ¯ diêm trong (x1, y1), ,
(x2, y2) m`a hi.êu x2 − x1 v`a y2 − y1 l`a nh˜ung sô´nguyên. , , , , L` oi giai. Qua m˜ ôi ¯ diêm (m, n) v´ oi , y
t .oa ¯d .ô nguyên ch´ung ta ke c´ac , , , , , , , ¯ du` ong th˘ ang ¯ d´ ung v` a ¯ du`ong th˘ ang ngang (h`ınh 10.4). , , , , Ch´ ung ta s˜ e t .ao ¯du .oc lu´oi −3 −2 −1 0 1 2 3 x , , , nh˜ ung ¯ diêm v´ oi t .oa d .ô nguyên. , , , Lu´
oi nguyên chia m .˘at ph˘ang ra c´ac h`ınh vuông b` ˘ ang nhau, m˜ ôi h`ınh vuông c´
o di .ên t´ıch l`a 1. Ch´u ´y r`˘ang , H`ınh 10.4: m˜ ôi h`ınh vuông c´ o thê xê d.ich ¯dê´n , , , tr` ung v´
oi m .ôt h`ınh vuông kh´ac, chı c´o kh´ac l`a t .oa ¯d .ô cua h`ınh vuông , , m´ oi chuyên ¯ dê´n c˜ ung l` a c´ ac sô´nguyên. , , Ch´
ung ta ch .on m .ôt h`ınh vuông trong lu´oi nguyên l`am gô´c cô´ , , ¯
d.inh rô`i d.ich chuyên m .oi h`ınh vuông vê` h`ınh vuông gô´c. Nhu v.ây , , , nh˜
ung phâ`n cua A n`˘am trong c´ac h`ınh vuông kh´ac nhau ¯ dê`u chuyên , , ,
vê` h`ınh vuông gô´c (h`ınh v˜
e). Tông cua di .ên t´ıch cua c´ac phâ`n ¯d´o , , 108 Chuong 10. Nguyên l´
y Ðirichlê cho di .ên t´ıch , , , b` ˘
ang di .ên t´ıch cua A v`a suy ra l´on hon 1. Suy ra ´ıt nhâ´t hai trong , sô´c´ ac phâ`n n` ˘
am trong h`ınh vuông d.ich ¯dê´n s˜e c´o ¯diêm trong chung , , , , ,
(x0, y0). Trong t .âp A ban ¯dâ`u th`ı ¯diêm (x0, y0) tuong ´ung v´oi hai , ¯ diêm kh´
ac nhau (x1, y1) v`a (x2, y2) m`a x1 − x0, y1 − y0, x2 − x0, y2 − ,
y0 l`a c´ac sô´nguyên. Nhu v .ây th`ı x2 − x1 v`a y2 − y1 c˜ung l`a sô´nguyên. J , , ,
. 10.4. Cho A l`
a t .âp h.op lô`i v`a b.i ch .˘an nh˜ung ¯diêm trong m .˘at , , , ph˘ ang, c`
on P1, P2, P3, P4, P5 l`a nh˜ung ¯diêm thu .ôc A. G.oi Ai l`a t .âp , , , ,
h .op nh .ân t`u A sau m.ôt ph´ep t.inh tiê´n c´ac ¯diêm theo vecto P1Pi(i = , , 1, 2, 3, 4, 5). Ch´ ung minh r` ˘ ang ´ıt nhâ´t c´
o hai t .âp h.op trong sô´ c´ac ,
Ai(i = 1, 2, 3, 4, 5) c´o ¯diêm chung. , , L` oi giai. Ch´ ung ta chia ra hai , , , , Q Qi tru`
ong h .op A c´o thê c´o ho.˘ac , , c´ o thê không c´ o ¯ diêm trong. Q00 , , , , 1. Tru` ong h .op A c´o ¯diêm , trong. K´ y hi .êu A0 l`a t.âp h .op, , , , m` a n´ o nh c t` u A, sau P P .ân ¯ du .o 1 i , khi t´ ac ¯ d .ông ph´ep v.i t .u tâm H`ınh 10.5: ,
P1 v`a h.ê sô´ v.i t .u 2. Khi ¯d´o , công th´ uc sau ¯ d´ ung Ai ⊂ A0 (h`ınh 10.5). , ,
Th .ât v.ây, nê´u Q ∈ A v`a Qi l`a anh cua Q qua ph´ep t.inh tiê´n theo , −−→
vecto P1Pi (xem h`ınh v˜e), th`ı P1PiQiQ l`a h`ınh b`ınh h`anh. K´y hi.êu , , ,, Q00 l` a trung ¯
diêm cua P1Qi. R˜o r`ang Q00 ∈ A, v`ı Q v`a Pi l`a phâ`n tu , , ,
cua A v`a A lô`i. M .˘at kh´ac P1Qi = 2P1Q00 v`a v`ı A0 l`a anh cua A qua , , , ph´
ep v.i t .u tâm P1 v`a h.ê sô´ 2, nên ¯diêm Qi n`˘am trong t.âp h .op A0. , ,
Nhu v .ây m˜ôi tâp trong c´ac t.âp Ai n`˘am trong A0. Ðô`ng th`oi m˜ôi t.âp 10.2. V´ı d .u 109 , , cua Ai ¯
dô`ng d .ang v´oi A v`a suy ra S(Ai) = S(A). Do ¯d´o
S(A1) + S(A2) + S(A3) + S(A4) + S(A5) = 5S(A). (10.1) , , , ,
Nhung t .âp h .op A0 ¯dô`ng d.ang v´oi A v´oi h.ê sô´2. Suy ra S(A0) = 4S(A). (10.2) , ,
M .˘at kh´ac A c´o ¯diêm trong, v`ı thê´ S(A) > 0. Ngh˜ıa l`a t`u (10.1) v`a
(10.2) suy ra S(A1) + S(A2) + S(A3) + S(A4) + S(A5) > S(A0). , , , , , , ,
Nhu v .ây trong tru`ong h .op 1 b`ai to´an ¯du .oc suy ra t`u nguyên l´y
Ðirichlê cho di .ên t´ıch. , , , , , , 2. Tru`
ong h .op A không c´o ¯diêm trong, A s˜e n`˘am trên m .ôt ¯du`ong , , , , , th˘
ang. Th .ât v.ây, nê´u ´ıt nhâ´t ba ¯diêm n`˘am trên m .ôt ¯du`ong th˘ang, do , , , , t´ınh châ´t lô`i A ch´ ua to`
an b .ô h`ınh tam gi´ac v´oi ¯dınh l`a c´ac ¯diêm , , , , n` ay, suy ra A c´ o ¯
diêm trong. Nhung t .âp lô`i, b.i ch.˘an trên m .ôt ¯du`ong , , , , , th˘ ang ch´ınh l` a ¯
do .an th˘ang trên du`ong th˘ang n`ay. Phâ`n c`on l.ai l´y , , , , , , , , , ,
lu .ân tuong t .u nhu phâ`n trên. Nhung trong tru`ong h .op trên ¯du`ong , , , th˘ ang chı câ`n 3 ¯ diêm v` a nguyên l´ y Ðirichlê vê` ¯ d .ô d`ai. J , , ,
. 10.5. (Ð.inh l´y Minkovski) Cho A l`a t .âp h.op ¯diêm trong m .˘at ph˘ang , c´
o t´ınh châ´t lô`i, b.i ch .˘an v`a ¯dô´i x´ung qua gô´c t.oa ¯d.ô v`a S(A) > 4. Khi , , , , , ¯ d´ o A ch´ ua nh˜ ung ¯ diêm trong kh´ ac ¯ diêm gô´c v´
oi t .oa ¯d.ô nguyên. , , , L` oi giai. T´
ac d .ung lên A ph´ep v.i t .u tâm l`a gô´c t .oa ¯d .ô v`a h.ê sô´ 1. 2 , , , , , ,
Nhu v .ây ch´ung ta nh.ân ¯du .oc A0, ¯dô`ng d.ang v´oi A v`a c´o k´ıch thu´oc ,, , , , 1 b` ˘ ang nua k´ıch thu´ oc cua A. Suy ra S(A0) = S(A) > 1. Theo b` ai 4 , , 10.13 suy ra A0 ch´ ua ´ıt nhâ´t hai ¯ diêm kh´ ac nhau (x1, y1) v`a (x2, y2), , , m` a c´
ac hi .êu x2 − x1 v`a y2 − y1 l`a nguyên. V`ı t.âp h .op A ¯dô´i x´ung qua , , ,
gô´c t .oa ¯d .ô nên t.âp h .op A0 c˜ung v.ây. Ðiê`u ¯d´o giai th´ıch r`˘ang ¯diêm ,
(−x1, −y1) thu .ôc A0. V`ı A lô`i nên A0 c˜ung lô`i. Do ¯d´o trung ¯diêm , , 110 Chuong 10. Nguyên l´
y Ðirichlê cho di .ên t´ıch , , cua c´ ac ¯ diêm m´
ut (−x1, −y1) v`a (x2, y2) c˜ung thu .ôc A0 v`a c´o t .oa ¯d .ô x y , , , ,
( 2 − x1 , 2 − y1 ). Nhân t .oa ¯d .ô n`ay v´oi 2 th`ı ¯du .oc t .oa ¯d .ô cua m .ôt 2 2 , , , , , ¯
diêm thu .ôc A. Nhu v.ây (x2 − x1, y2 − y1) thu .ôc A. Ðiêm ta t`ım ¯du .oc , , kh´
ac gô´c t .oa ¯d .ô v`a c´o t .oa ¯d .ô nguyên v`a l`a ¯diêm trong cua t.âp A. J
. 10.6. Nê´u A l` a m .ôt bê` m .˘at, A1, A2, . . . , An. (10.3) , , , l` a nh˜
ung bê` m .˘at v`a thoa m˜an Ai ⊂ A(i = 1, 2, . . . , n), c`on k l`a sô´t .u nhiên m` a
k.S(A) < S(A1) + S(A2) + · · · + S(An). (10.4) , ,
th`ı´ıt nhâ´t k + 1 trong sô´nh˜
ung bê` m .˘at trên c´o m.ôt ¯diêm trong chung. , , , , , , L` oi giai. Ch´ ung ta ch´ ung minh b` ˘
ang qui n .ap,Tru`ong h .op k = 1 ¯d´o , ,, , , ,, l` a nguyên L´ y Ðirichlê ¯ d˜ a ch´ ung minh o trên. Bây gi` o gia su b` ai to´ an , , ¯ d˜ a ¯ d´ ung cho k, ch´ ung ta phai ch´ ung minh n´ o c˜ ung ¯ d´ ung cho k + 1. , , Ta cô´ ¯
d.inh m .ôt k v`a c´o bâ´t ¯d˘ang th´uc
(k + 1)S(A) < S(A1) + S(A2) + · · · + S(An). (10.5) , , , , , Ch´ ung ta s˜ e chı ra r` ˘ ang v´
oi (10.5) tô`n t .ai m .ôt ¯diêm l`a ¯diêm trong cua , ,
k + 2 t .âp h .op cua (10.3). Do A ⊂ A( ) ≤ µ
µ = 1, 2, . . . , n), nên S(Aµ , , S(A), t` u ¯ d´
o suy ra S(A1) + S(A2) + · · · + S(An) ≤ nS(A). T`u bâ´t , , ¯ d˘ ang th´ uc sau c` ung v` a (10.5) ch´ ung ta c´ o (k + 1)S(A) < nS(A) suy ra k + 1 < n. V`ı v .ây n ≥ k + 2. (10.6) , , , , ,
Tô`n t .ai ¯diêm chung cho ´ıt nhâ´t k + 2 t.âp h .op (10.3) ¯du .oc ch´ung , , minh b` ˘
ang qui n .ap theo n. T`u (10.4) suy ra (10.5), v.ây ta phai b´˘at , , ¯ dâ`u t`
u k + 2. Nhu v .ây viê´t l.ai
(k + 1)S(A) < S(A1) + S(A2) + · · · + S(Ak+2). (10.7) 10.2. V´ı d .u 111 , , , , , Câ`n phai ch´
ung minh tô`n t .ai ¯diêm m`a n´o l`a ¯diêm trong cua A1, A2, . . . , Ak+2. Lâ´y A0 = A \A µ µ
k+2(µ = 1, 2, . . . , k + 1) (10.8) A00 = A ∩ A µ µ
k+2(µ = 1, 2, . . . , k + 1) (10.9) v` a A0 = A\Ak+2 (10.10) A00 = Ak+2. (10.11) , R˜ o r` ang A0 ⊂ A0 v`a A0 ⊂ A00( a k + 1 µ µ
µ = 1, 2, . . . , k + 1) . V` ı c´ o tâ´t c , , ,
t .âp h .op A0 , t`u bao h`am th´uc trên suy ra µ
(k + 1)S(A0) ≥ S(A01) + S(A02) + · · · + S(A0 ) k+1 . (10.12) , , , Nê´u lâ´y (10.7) tr` u ¯ di (10.12) ch´ ung ta nh .ân ¯du .oc
(k + 1)S(A00) < S(Ak+2) + S(A001) + S(A002) + · · · + S(A00 ) k+1 . (10.13)
V`ı S(A) − S(A0) = S(A00) v`a S(A ) − S(A0 ) = S(A00) do (10.8)- µ µ µ , (10.11) nên t` u (10.13),(10.9) v` a (10.11) suy ra
kS(Ak+2) < S(A1 ∩ Ak+2) + S(A2 ∩ Ak+2) + · · · + S(Ak+1 ∩ Ak+2). (10.14) , , T` u (10.14) v` a gia thiê´t ¯ d´
ung cho k theo qui n .ap suy ra A1 ∩ ,
Ak+2, A2 ∩ Ak+2, . . . , Ak+1 ∩ Ak+2 c´o ¯ diêm trong chung, ¯ diê`u n` ay , , , c´ o ngh˜ıa l`
a t .âp h .op A1, A2, . . . , Ak+2 c´o ¯diêm trong chung. Nhu v.ây , , , , v´
oi n = k + 2 t`u (10.5) suy ra ´ıt nhâ´t k + 2 t .âp h .op t`u (10.3) c´o , ¯ diêm trong chung. , , , , Bây gi` o ch´ ung ta gia thiê´t v´
oi m .ôt n ≥ k + 2 t`u (10.5) suy ra , , , ,
´ıt nhâ´t k + 2 t .âp h .op t`u (10.3) c´o ¯diêm trong chung v`a s˜e phai kê´t , lu .ân r`˘ang t`u
(k + 1)S(A) < S(A1) + S(A2) + · · · + S(An) + S(An+1). (10.15) , , 112 Chuong 10. Nguyên l´
y Ðirichlê cho di .ên t´ıch , , suy ra c´
o ´ıt nhâ´t k + 2 t .âp h .op trong d˜ây A1, A2, . . . , An+1 c´o ¯diêm
trong chung. Th .ât v.ây, ch´ung ta ¯d.˘at A0 = A \A µ µ n+1, (µ = 1, 2, . . . , n). (10.16) A00 = A ∩ A µ µ n+1, (µ = 1, 2, . . . , n) (10.17) v` a A0 = A\An+1 (10.18) A00 = An+1. (10.19)
V`ı A0 ∪ A0 = A0 , A0 ∩ A00 = ∅( µ µ µ µ µ
µ = 1, 2, . . . , n) v` a A0 ∪ A00 = A, A0 ∩ A00 = ∅ nên S(A0 ) + S(A00) = S(A ), ( µ µ µ µ = 1, 2, . . . , n) (10.20) v` a S(A0) + S(A00) = S(A). (10.21) , , , Ch´ ung ta s˜ e ch´
ung minh m .ôt trong c´ac bâ´t ¯d˘ang th´uc sau l`a ¯d´ung
(k + 1)S(A0) < S(A01) + S(A02) + · · · + S(A0n) (10.22) ho .˘ac l`a
kS(A00) < S(A001) + S(A002) + · · · + S(A00n). (10.23) , , , , ,
Th .ât v.ây, trong tru`ong h .op ngu .oc l.ai ch´ung ta s˜e c´o (k + 1)S(A0) ≥
S(A0 ) + S(A0 ) + · · · + S(A0 ) + S(A00) + · · · + 1 2 n) v` a kS(A00) ≥ S(A001 2 , ,
S(A00n) C .ông hai vê´l.ai v`a do (10.20), (10.21) ch´ung ta nh.ân ¯du .oc
S(A0) + kS(A) ≥ S(A1) + S(A2) + · · · + S(An). (10.24) , ,
C .ông hai vê´(10.24) v´oi S(A00) v`a t`u (10.19), (10.21) ch´ung ta nh.ân , , ¯ du .oc
(k + 1)S(A) ≥ S(A1) + S(A2) + · · · + S(An) , , , , Nhung ¯ diê`u n` ay tr´ ai v´ oi (10.15). Do ¯ d´ o trong hai bâ´t ¯ d˘ ang th´ uc , (10.22) v` a (10.23) phai c´
o ´ıt nhâ´t m .ôt c´ai ¯d´ung. 10.2. V´ı d .u 113 , ,, , , , Gia su (10.22) ¯ d´
ung. Theo gia thiê´t qui n .ap ¯dô´i v´oi n t`u (10.22) , ,
suy ra ´ıt nhâ´t k + 2 t .âp h .op trong d˜ây A0 , A0 m trong 1 2, . . . , A0n c´ o ¯ diê , chung. T` u (10.16) suy ra r` ˘
ang kê´t lu .ân trên c˜ung ¯d´ung cho d˜ây (10.3). , ,, , , , Gia su (10.23) ¯ d´ ung. T`
u gia thiê´t qui n .ap ¯dô´i v´oi k suy ra k + 1 , , , , t .âp h .op trong A00, A00 m chung v` a c` ung v´ oi (10.17) chı 1 2 , . . . , A00 n c´ o ¯ diê , , , , , ra r` ˘
ang tô`n t .ai m .ôt ¯diêm m`a n´o l`a ¯diêm trong cua k + 1 t.âp h .op t`u , , (10.3) v` a ca cua An+1. , , ,
Nhu v .ây t`u (10.15) suy ra k + 2 t.âp h .op trong d˜ay A1, A2, , , , . . . , An+1 c´o ¯
diêm trong chung. Suy ra kê´t lu .ân ¯d´ung v´oi n + 1. T`u , , , , , phuong ph´
ap qui n .ap bây gi`o l.ai suy ra, v´oi m .oi n, v´oi (10.5) tô`n , , , ,
t .ai m .ôt ¯diêm m`a n´o l`a ¯diêm trong cua ´ıt nhâ´t k + 2 t.âp h .op trong (10.3). J , , , Ch´ u ´ y. Trong ch´ ung minh ¯
d.inh l´y d`ung phuong ph´ap qui n.ap , , , , , , theo k. Nhung ¯ di t` u bu´
oc k sang k + 1 ta l .ai d`ung phuong ph´ap qui , , , , ,
n .ap theo n. V´oi ch´ung minh qui n.ap theo n t`u bu´oc n sang n + 1 ta , , , ,
l .ai d`ung bu´oc k tru´oc ¯d´o v`a n.
. 10.7. Trong m .ôt h`ınh vuông c´o c .anh l`a , , , , , 1 ch´
ua m .ôt sô´ ¯du`ong tr`on, Tông ¯d.ô d`ai cua , ch´ ung l` a 10. Ch´ ung minh r` ˘ ang tô`n t .ai m.ôt , , , , ¯ du` ong th˘ ang, m` a n´ o c´ ˘
at ´ıt nhâ´t 4 trong nh˜ ung , , ¯ du` ong tr` on n` ay. , , L`
oi giai. (H`ınh 10.6) Ch´ ung ta ch .on m .ôt H`ınh 10.6:
c .anh h`ınh vuông rô`i chiê´u vuông g´oc c´ac , , ¯ du` ong tr` on xuô´ng c .anh ¯d´o. , , 114 Chuong 10. Nguyên l´
y Ðirichlê cho di .ên t´ıch , , , D˜ ê thâ´y r` ˘
ang h`ınh chiê´u cua m .ôt ¯du`ong tr`on b´an k´ınh R l`a m .ôt , ¯
do .an th˘ang c´o ¯d .ô d`ai 2R. V`ı v.ây trên c.anh h`ınh vuông ¯d˜a ch .on s˜e , , , , 10 c´ o nh˜ ung ¯
do .an th˘ang chiê´u xuô´ng v´oi tông ¯d .ôd`ai l`a . π , 10 Nhung
> 3 = 3.1, theo nguyên l´y Ðirichlê suy ra c´ o m .ôt π , , , , ¯ diêm M n`ao ¯ d´
o thu .ôc AB l`a ¯diêm trong chung cua 4 ¯do.an th˘ang ¯d˜a , , , , , chiê´u xuô´ng. Khi ¯ d´ o ¯ du` ong th˘ ang ¯ di qua ¯ diêm M vuông g´ oc v´ oi AB , , s˜ e c´ ˘ at 4 ¯ du` ong tr` on. J , , , , , ,
. 10.8. M .ôt sô´ cung n`˘am trên ¯du`ong tr`on v´oi b´an k´ınh 1 ¯du.oc son , , , , , xanh. Tông ¯
d .ô d`ai cua c´ac cung mâ`u xanh l´on hon π. Ch´ung minh , , , , , , r` ˘ ang v´ oi m˜ ôi ¯ du` ong k´ınh d cua ¯ du` ong tr`
on tô`n t .ai dây cung song song , , , , , v´ oi d, m` a hai ¯ dâ`u cua dây cung ¯ du .oc son xanh. , , L`
oi giai. (H`ınh 10.7) Không mâ´t C , , A t´ınh tông qu´ at ch´ ung ta gia thiê´t , , c´ ac cung bôi son không c´ o ¯ diêm , , d chung. Cho d l`a ¯ du` ong k´ınh bâ´t k` y , , cua ¯ du` ong tr` on k v`a c l`a m .ôt trong , , , , c´ ac cung c bôi mâ`u. Trên ` ong d0 ¯ du .o ¯ du tr`
on k ta t .ao ra cung c0 b`˘ang c´ach , , , lâ´y ¯ dô´i x´ ung c qua ¯ du` ong k´ınh d0 k A0 , vuông g´ oc v´ oi d. C0 H`ınh 10.7: D˜ ê thâ´y cung c0 cho c` ung ¯ d .ô d`ai , , , , , v´
oi cung c. Ta l`am nhu v .ây v´oi m .oi cung c`on l.ai th`ı trên k nh.ân ¯du .oc , , , , ,
m .ôt h.ê cung c´o tông ¯d .ô d`ai l´on hon 2π. Nhung ¯d .ô d`ai cua k l`a 2π, ,
nhu v .ây theo nguyên l´y Ðirichlê c´o ´ıt nhâ´t hai cung trong h.ê n`ay c´o , ¯ diêm chung. 10.2. V´ı d .u 115 , , ,, , , Nhung ch´ ung ta ¯ d˜
a gia thiê´t o trên nh˜ung cung d .ang c t`ung ¯dôi , không c´ o ¯ diêm chung, ¯ diê`u ¯ d´ o c˜ ung ¯ d´ ung cho c´ ac cung c0. Khi ¯ d´ o , , , ,
tô`n t .ai m .ôt cung bôi son c1 c´o ¯diêm chung A v´oi cung c0 , ng 2 ¯ dô´i x´ u , , v´
oi cung c2 qua d0. R˜o r`ang dây cung ¯ di qua A v`a song song v´ oi d c´ o ,, ,,
t´ınh châ´t mong muô´n v`ı m .ôt ¯dâ`u o c1, c`on ¯dâ`u kia o c2. J , , ,
. 10.9. Trong h`ınh tr` on b´ an k´ınh 1 ngu`
oi ta tô son m .ôt sô´dây cung. , , , Ch´ ung minh r` ˘
ang nê´u m .oi ¯du`ong k´ınh c´˘at nhiê`u nhâ´t k dây cung, th`ı , , , , , , tông ¯
d .ô d`ai cua tâ´t ca c´ac dây cung ¯d˜a tô son nho hon πk. , , L`
oi giai. Lâ´y c l`a m .ôt dây cung bâ´t k`y trong h`ınh tr`on C ¯d˜a cho v`a γ , , l`
a cung nho trong hai cung do c t 0 .ao ra. K´
y hi .êu γ l`a cung ¯dô´i x´ung , , , , , v´
oi γ qua tâm cua h`ınh tr` on. R˜ o r`
ang m .ôt ¯du`ong k´ınh cua C c´˘at dây , cung c khi v`a chı khi c´ o hai ¯ dâ`u m´ ut n` ˘ am trong 0 γ v` a γ . , ,, , , , , , Gia su r` ˘ ang tông ¯
d .ô d`ai nh˜ung dây cung ¯d˜a ke l´on hon ho.˘ac , , , , b` ˘ ang πk. Khi ¯ d´ o tông ¯
d .ô d`ai tâ´t ca c´ac cung d.ang γ l´on hon πk. , , , C˜ ung ¯ d´ ung nhu v 0 .ây cho tông ¯
d .ô d`ai c´ac cung d.ang γ . Suy ra tông , , , , ¯ d 0 .ô d` ai cua c´
ac cung d .ang γ ho.˘ac γ l`a l´on hon 2πk. V`ı ¯d .ô d`ai cua , , , ,, ¯ du` ong tr`
on C l`a 2π, t`u nguyên l´y Ðirichlê mo r .ông suy ra tô`n t.ai ´ıt ,
nhâ´t m .ôt ¯diêm thu .ôc C, m`a n´o n`˘am trên ´ıt nhâ´t k + 1 cung c´o d.ang , , , 0 , , , γ ho .˘ ac γ . Nê´u t`u ¯ diêm chung n` ay ta ke ¯ du` ong k´ınh cua C,th`ı n´ o c´ ˘ at ,
´ıt nhâ´t k + 1 dây cung ¯ d˜ a cho, ¯ diê`u n` ay tr´ ai v´ oi ¯ diê`u ki .ên trong ¯dâ`u , , b`
ai. V .ây ¯diê`u kh˘ang ¯d.inh cua b`ai to´an l`a ¯d´ung. J , , , ,
. 10.10. M .ôt t .âp h.op M l`a h.op cua m.ôt sô´ ¯do .an th˘ang n`˘am trong , , , , ,
khoang [0, 1]. Biê´t r` ˘ ang khoang c´ ach gi˜ ua hai ¯ diêm bâ´t k` y cua M , , , , không b` ˘ ang 0,1. Ch´ ung minh r` ˘ ang tông ¯
d .ô d`ai cua nh˜ung ¯do .an t .ao , ,
nên M không vu .ot qu´a a) 0, 55; b) 0, 5. , , 116 Chuong 10. Nguyên l´
y Ðirichlê cho di .ên t´ıch , , , , , , ,, , , L` oi giai. a) Ch´ ung minh b` ˘ ang phan ch´ ung. Gia su tông S cua ¯ d .ô , , , , d` ai nh˜ ung ¯
do .an th˘ang t.ao nên M l´on hon 0,55. Ch´ung ta x´et t.âp N , , , , , , ,
nh .ân ¯du .oc t`u M b`˘ang c´ach c .ông m˜ôi ¯do.an th˘ang cua M v´oi 0,1. T`u , , ¯
diê`u ki .ên cua b`ai to´an suy ra M v`a N không c´o ¯diêm chung. Ngo`ai , , , , , ra tông ¯
d .ô d`ai cua N b`˘ang S nên l´on hon 0,55. D˜ê thâ´y hai t.âp h .op , M v` a N n`˘am trong ¯
do .an [0;1,1]. V`ı 2.S > 2.0, 55 = 1, 1, t`u nguyên , , l´
y Ðirichlê suy ra M v`a N c´ o ¯ diêm chung, ¯ diê`u n` ay d˜ ân t´ oi vô l´ y. , ,, , , , , b) Gia su ¯
d .ô d`ai cua tâ´t ca c´ac ¯do.an trong M l´on hon 0,5. Ch´ung 1 1 2 9 ta chia ¯
do .an [0,1] th`anh 10 phâ`n 0, , , , . . . , , 1 . K´y 10 10 10 10 , i i + 1
hi .êu Mi l`a phâ`n cua M n`˘am trong ¯do.an , , i = 0, 1, . . . , 9 10 10 , , v` a Si l`a tông ¯
d .ô d`ai c´ac ¯do.an th˘ang tao ra Mi. B`˘ang c´ach t.inh , , 1 2 9
tiê´n th´ıch h .op ch´ung ta chuyên m .oi ¯do.an , , . . . , , 1 10 10 10 , 1 , , , t´ oi 0, . K´ y hi .êu M0 l`a anh cua M i i = 2, 3, 4 . . . , 9. V`ı 10 i i v´ o ,
S = S1 + S2 + · · · + S10 > 0, 5 = 5.0, 1, t`u nguyên l´y Ðirichlê ,, , ,
mo r .ông suy ra c´o ´ıt nhâ´t 6 t.âp h .op trong M0, M0 , . . . , M0 c´o m 1 9 ¯ diê 1 chung. Ðiê`u n` ay c´ o ngh˜ıa l`
a m .ôt sô´ n`ao ¯d´o trong 0, l` a kê´t 10 , , , , , , , , qua cua 6 ¯ diêm kh´
ac nhau x1, x2, . . . , x6 cua M tr`u ¯ di tuong ´ ung , k k k ,, nh˜ ung sô´ d 1 2 6 .ang , , . . . , , o ¯ dây k 10 10 10 i l`
a m .ôt sô´ n`ao ¯d´o trong
0, 1, 2, . . . , 9, i = 1, 2, . . . 6. D˜ê d` ang thâ´y r` ˘ ang ´ıt nhâ´t c´ o hai trong c´ ac,
sô´ k1, k2, . . . , k6 l`a liên tiê´p (´ap d .ung nguyên l´y Ðirichlê). V´ı d .u nhu k k 1 k 1 2 2 = k1 + 1. V` ı x1 − = x , nên x , 10 2 − 10 2 − x1 = (k2 − k1) = 10 ¯ diê`u n` ay ¯ d˜ ân ¯ dê´n vô l´ y. J 10.3. B` ai t .âp 117 10.3. B ` ai t .âp , . 10.11. Cho n l`
a m .ôt sô´ t .u nhiên bâ´t k`y, c`on A l`a m .ôt bê` m.˘at , ,
trong m .˘at ph˘ang, m`a s(A) > n. Khi ¯d´o tô`n t.ai n + 1 ¯diêm trong , kh´
ac nhau (xi, yi) (i = 1, 2, . . . , n + 1) cua A, m`a hi.êu xi − xj v`a ,
yi − yj(i, j = 1, 2, . . . , n + 1) l`a nh˜ung sô´nguyên. , , . 10.12. Nê´u v´
oi m .ôt bê`m.˘at A trong m.˘at ph˘ang v`a m .ôt sô´nguyên , , ,
duong k thoa m˜an S(A) < k, th`ı tô`n t .ai m .ôt ph´ep t.inh tiê´n sao cho , , , , ,
anh cua A qua ph´ep t.inh tiê´n n`ay ch´ua nhiê`u nhâ´t k − 1 ¯diêm v´oi t .oa ¯d .ô nguyên. , , . 10.13. Cho A l`
a t .âp h .op lô`i, ¯dô´i x´ung qua gô´c t .oa ¯d .ô trong m.˘at , , , ph˘
ang, n l`a sô´t .u nhiên v`a S(A) > 4n. Khi ¯d´o A ch´ua ´ıt nhâ´t 2n + 1 , , ¯ diêm trong kh´ ac nhau v´ oi t .oa ¯d .ô nguyên. , , . 10.14. Nê´u A l`
a t .âp h .op lô`i, b.i ch.˘an, ¯dô´i x´ung qua gô´c t .oa ¯d .ô v`a , , , c´
o di .ên t´ıch b`˘ang 615, th`ı A ch´ua ´ıt nhâ´t 307 ¯diêm m`a khoang c´ach , , , gi˜
ua m .oi c.˘ap trong ch´ung l´on hon ho.˘ac b`˘ang 1. , , , , , . 10.15. Cho F l`
a t .âp h .op lô`i, b.i ch.˘an nh˜ung ¯diêm cua m.˘at ph˘ang. , , , , , Ch´
ung ta g .oi ¯d .ô h˜uu hi.êu cua t.âp h .op F l`a khoang c´ach nho nhâ´t , , , , ,, , , , gi˜ ua hai ¯ du` ong th˘
ang song song o hai ph´ıa cua t .âp h .op F. Ch´ung , , , minh r` ˘
ang nê´u trong m .ôt t.âp h .op lô`i, b.i ch.˘an v´oi ¯d .ô h˜uu hi.êu d c´o , , , , , , , ch´
ua m .ôt sô´ t.âp h .op con m`a tông ¯d .ô h˜uu hi.êu cua ch´ung l´on hon , , , ,
kd, th`ı tô`n t .ai ¯du`ong th˘ang, m`a n´o c´˘at ´ıt nhâ´t k + 1 t.âp h .op con n´oi trên. , , 118 Chuong 10. Nguyên l´
y Ðirichlê cho di .ên t´ıch , , CHUONG 11 , , TO ´ AN H .OC TÔ H .OP 11.1. V´ı d .u ,
. 11.1. (Ðê` thi To´
an Olympic Quô´c tê´,1972) Cho t .âp h.op gô`m 10 sô´ , , , , c´ o hai ch˜ u sô´. Ch´ ung minh r` ˘
ang t .âp h.op ¯d´o c´o ´ıt nhâ´t hai t .âp h.op con , , ,, không giao nhau, m` a tông nh˜
ung phâ`n tu trong ch´ ung b` ˘ ang nhau. , , , , L`
oi giai. Nê´u c´
o hai t .âp h .op con giao nhau m`a tông trong ch´ung , , , ,, b` ˘ ang nhau th`ı ch´ ung ta c´ o thê bo nh˜ ung phâ`n tu chung ¯ di. Khi ¯ d´ o , ,, , c`
on l .ai hai t.âp không giao nhau v`a tông c´ac phâ`n tu cua ch´ung v˜ân b` ˘ ang nhau. , , Ch´ ung ta t´ınh c´
o bao nhiêu t .âp h .op con không r˜ông cua m .ôt t.âp , , , ,, , , , , , ,
h .op c´o mu`oi phâ`n tu. Sô´lu .ong nh˜ung t.âp h .op con chı ch´ua 1 phâ`n ,, , , , , , ,, tu c´
o 10 ho .˘ac l`a C1 . Sô´ lu ng nh˜ung t p con ch´ ua 2 phâ`n tu 10 .o .âp h .o , , , , , ,, l` a C2 . Sô´lu ng nh˜ung t p con ch´ ua 3 phâ`n tu l` a C3 ,. . . Suy ra 10 .o .âp h .o 10 , , , ,
tông sô´lu .ong c´ac t.âp h .op con l`a C110 + C210 + C3 + · · · + = ( 10 C10 10 1 + 1)10 = 1023 , , , ,
Ðiê`u ki .ên b`ai ra l`a 10 sô´ ¯d˜a cho không l´on hon 99. V.ây tông cua , , , , c´ ac sô´ trong m˜
ôi t .âp h .op con không vu .ot qu´a 99.10 = 990, nhu v.ây , , , ,
sô´ lu .ong nh˜ung tông kh´ac nhau nhiê`u nhâ´t l`a 990. Theo nguyên l´y , , ,
Ðirichlê trong sô´ 1023 t .âp h .op con cua t.âp h .op gô`m 10 sô´ s˜e c´o ´ıt , ,, ,
nhâ´t hai t .âp m`a tông c´ac phâ`n tu trong ch´ung phai b`˘ang nhau. J , , , , 120 Chuong 11. To´ an h .oc tô h .op ,
. 11.2. Cho 15 b` ai to´ an tr´ ˘
ac nghi.êm, ¯d´anh sô´ t`u 1 ¯dê´n 15, m˜ôi b`ai , , , , chı c´ o hai kha n˘ ang tra l` oi : ¯ d´
ung ho .˘ac sai. C´o 1600 th´ı sinh tham gia , , , , thi, nhung không c´ o ai tra l` oi ¯ d´ ung 2 b` ai liê`n nhau. Ch´ ung minh r` ˘ ang , , , c´
o ´ıt nhâ´t hai th´ı sinh tra l` oi to`
an b .ô 15 b`ai h.êt nhu nhau. , , , , , , , ,, L` oi giai. B` ai l` am cua m˜ ôi th´ı sinh tuong ´ ung v´ oi m .ôt d˜ay 15 phâ`n tu, ,, , m˜
ôi phâ`n tu ho .˘ac l`a Ð (¯d´ung) ho.˘ac l`a S (sai). Theo gia thiê´t không ,, ,, c´ o d˜ ay n` ao c´ o 2 phâ`n tu kê` nhau l` a Ð, Ð, nên sô´ tô´i ¯ da c´ ac phâ`n tu SS trong d˜ ay l` a 8. ,
Ta nh .ân thâ´y v´oi m˜ôi 0 ≤ k ≤ 8 th`ı sô´ c´ac d˜ay c´o ¯d´ung k phâ`n ,, ,, , , , , , tu Ð l`
a C15−k+1 = C16−k (boi v`ı m˜ ôi m thê´ tuong ¯ duong k k .ôt d˜ ay nhu , , , , v´ oi c´ ach ¯
d .˘at k tâ´m b`ıa gi˜ua 15 − k quyên s´ach: c´o tâ´t ca 16 − k v.i tr´ı , , , , ¯ dê ¯
d .˘at b`ıa, kê ca hai ¯dâ`u cua chô`ng s´ach ¯d´o).
V .ây l`a sô´c´ac d˜ay c´o t´ınh châ´t nêu trên l`a 8
∑ C16−k = 1 + 15 + 91 + 286 + 495 + 462 + 210 + 36 + 1 k k=0 = 1597 < 1600 , , , , , Ðiê`u n` ay ch´ ung to r` ˘ ang phai c´
o ´ıt nhâ´t 2 th´ı sinh c´ o c´ ac câu tra l` oi , h .êt nhu nhau. , , ,
. 11.3. Trong m .ôt h`ınh 9 c .anh ¯dê`u c´o m.ôt ¯dınh ¯du.oc tô mâ`u tr´˘ang , , , , c` on c´ ac ¯ dınh kh´ ac ¯
du .oc tô ¯den. Ch´ung minh r`˘ang tô`n t .ai hai tam gi´ac , , ,
phân bi.êt to`an ¯d˘ang (di.ên t´ıch b`˘ang nhau) m`a c´ac ¯dınh cua m˜ôi tam , , gi´ ac ¯
du .oc tô c`ung m.ôt mâ`u. , , , , , , , , , L` oi giai. T` u 9 ¯ dınh ¯
du .oc tô mâ`u th`ı´ıt nhâ´t c˜ung c´o 5 ¯dınh ¯du .oc tô , ,, c`
ung m .ôt mâ`u. Gia su ¯d´o l`a mâ`u tr´˘ang. N˘am mâ`u tr´˘ang t.ao th`anh 5.4.3 , C5 = = 10 tam gi´ ac phân bi ´ y r` ˘ ang 3 .êt c`
ung m .ôt mâ`u tr´˘ang. Ðê 2.3 11.1. V´ı d .u 121 2kπ , ph´ ep quay m .ôt g´oc
(k = 0, 1, . . . , 8) xung quanh tâm O cua 9 , ,,, , ,
h`ınh 9 c .anh ¯dê`u không anh huong ¯dê´n t.âp M c´ac ¯dınh cua h`ınh 9
c .anh n`ay. V`ı thê´ sau khi quay m˜ôi tam gi´ac trong 10 tam gi´ac trên 2kπ , , m .ôt g´oc
(0 ≤ k ≤ 8) xung quanh O ta ¯ du .oc 10.9 = 90 tam gi´ac 9 , , , , c´ o ¯
dınh trong t .âp h .op M. Tâ´t ca ch´ung không thê phân bi.êt v`ı sô´ , , 2.8.7 tam gi´ ac kh´ ac nhau c´ o ¯
dınh trong t .âp h .op M b`˘ang C5 = = 3 2.3 78 < 90. , , ,
Nhu v .ây ta t`ım ¯du .oc hai tam gi´ac tr´˘ang ∆1 v`a ∆2 sau m .ôt v`ai , , ph´ ep quay tr` ung v´ oi c`
ung m .ôt tam gi´ac ∆. Luu ´y l`a hai tam gi´ac ∆1 , , v`
a ∆2 l`a phân bi.êt. Th.ât thê´, hai tam gi´ac nhu nhau không thê c´o , , , ¯
du .oc sau khi quay t`u m .ôt tam gi´ac. , V`ı m˜ ôi tam gi´
ac ∆1 v`a ∆2 s˜e tr`ung v´oi tam gi´ac ∆ sau khi quay, , , , , nên t` u tam gi´
ac ∆1 b`˘ang m .ôt ph´ep quay ta c´o thê nh.ân ¯du .oc tam , gi´
ac ∆2 (ch˘ang h .an c´ac ph´ep quay ∆1 → ∆, ∆ → ∆2). V.ây ∆1 v`a ∆2 , l` a hai tam gi´ ac phai t`ım. J , , ,,
. 11.4. Trên m .˘at ph˘ang c´o n h`ınh. Gia su Si , l` a di 1 ...ik .ên t´ıch phâ`n , , , giao cua c´ ac h`ınh th´
u i1, . . . , ik, c`on S l`a di.ên t´ıch phâ`n m .˘at ph˘ang b.i , ,, , , , , phu boi c´ ac h`ınh ¯ d´ o. K´
y hi.êu Mk l`a tông tâ´t ca c´ac Si , t´ uc l` a tông 1 ...ik , , , , ,
di.ên t´ıch cua tâ´t ca c´ac h`ınh c´o thê c´o l`a giao cua k h`ınh ¯d˜a cho. Ch´ung minh r` ˘ ang
a) S = M1 − M2 + M3 − . . . − (−1)n+1Mn ,
b) S ≥ M1 − M2 + M3 − . . . − (−1)n+1Mn v´oi m ch˜˘ an v` a , ,
S ≤ M1 − M2 + M3 − . . . − (−1)n+1Mn v´oi m le. , , ,, , ,, L` oi giai. a) K´
y hi .êu Cn l`a sô´ c´ach ch u t` u n phâ`n tu, ta k .on k phâ`n t , , c´
o nh.i th´uc Niuton (x + y)n = ∑nk=0 Cnxkyn−k. K´y hi k .êu Dm l` a di .ên , , , , 122 Chuong 11. To´ an h .oc tô h .op , , ,, ,
t´ıch phâ`n m .˘at ph˘ang b.i phu boi ¯d´ung m h`ınh. Phâ`n m.˘at ph˘ang ¯d´o , , , , ,, gô`m nh˜ ung manh, m˜
ôi manh b.i phu boi m h`ınh x´ac ¯d.inh n`ao ¯d´o. , , , , ,,
Khi t´ınh Mk di.ên t´ıch m˜ôi manh nhu v.ây, s˜e ¯du .oc t´ınh Cm lâ`n, boi v`ı k , , , , , t` u m h`ınh c´
o thê t .ao ¯du .oc Cm giao cua k h`ınh. Do ¯d´o k Mk = CkkDk + Ck+1D k k+1 + · · · + Cn k Dn
Suy ra M1 − M2 + M3 − · · · + (−1)n+1 = C1D − C2)D 1 1 + (C2 1 2 2 +
· · · + (Cn − Cn + Cn − · · · )D 1 2 3 n = D1 + D2 + · · · + Dn ,, , ,
boi v`ı do nh.i th´uc Niuton Cm − Cm + 3m − · · · − (−1)mCm 1 2 m = (−1 +
Cm − Cm + Cm − · · · − (−1)mCm 1 2 3 m ) + 1 = (1 − 1)m + 1 = 1 , Cuô´i c` ung ch´ ung ta luu ´ y r` ˘
ang S = D1 + D2 + · · · + Dn. , b) T` u phâ`n a) ta c´ o
S − (M1 − M2 + · · · + (−1)m+1Mm) =
= (−1)m+2 Mm+1 + (−1)m+3Mm+2 + · · · + (−1)n+1Mn n
= ∑((−1)m+2Cim+ + · · · + (− 1 1)n+1Cin)Di i=1 , , , , , (Ta qui u´
oc nê´u k > i th`ı Ci = 0. Do ¯ d´ o ta chı câ`n phai ch´ ung minh k r` ˘ ang: , Ci − Ci + Ci
− . . . − (−1)m+n+1Ci ≥ 0 v´oi i ≤ n. m+1 m+2 m+3 n , , , , , T` u ¯ d˘ ang th´
uc (x + y)i = (x + y)i−1(x + y) suy ra ¯ d˘ ang th´ uc Ci = Ci−1 + Ci−1. j j−1 j Do ¯ d´ o Ci − − m+1 Cim+2 + Cim+3 . . . − (−1)m+n+1Cin = = Ci−1 − − m + Ci−1 Ci−1 + Ci−1 . . . m+1 m+2 m+3
+(−1)m+n+1Ci−1 + (−1)m+n+1Ci−1 ± Ci−1 n−1 n = Ci−1 m n , , , Cuô´i c` ung chı câ`n luu ´ y r` ˘ ang Ci−1 n = 0 v´ oi i ≤ n. J 11.1. V´ı d .u 123 ,
. 11.5. M .ôt c´ai ´ao di.ên t´ıch b`˘ang 1 c´o 5 miê´ng v´a, m`a di.ên t´ıch cua , , , , , m˜ ôi miê´ng v´
a không nho hon 0,5. Ch´ ung minh r` ˘ ang luôn t`ım ¯ du .oc hai , , , miê´ng v´ a c´
o di.ên t´ıch phâ`n chung cua ch´ung không nho hon 0,2. , , , ,, , L`
oi giai. Gia su di .ên t´ıch c´ai ´ao b`˘ang M, di.ên t´ıch phâ`n giao cua c´ac , , miê´ng v´ a th´ u i1, . . . , ik b`˘ang Si , c` on M . T` u b` ai trên suy 1 ...ik k = ∑ Si1...ik ,, ,
ra M − M1 + M2 − M3 + M4 − M5 ≥ 0, boi v`ı M ≥ S. C´ac bâ´t ¯ d˘ ang , , , , , , , , , th´
uc tuong t .u c´o thê ¯du .oc viê´t không chı cho ca c´ai ´ao, m`a c`on cho , , , t` ung miê´ng v´ a. Nê´u ta coi miê´ng v´
a S1 nhu m .ôt c´ai ´ao v´oi c´ac miê´ng , , v´
a S12, S13, S14, S15 th`ı ta ¯
du .oc S1 − ∑ S1i + ∑ S1ij − ∑ S1ijk + S12345 ≥ , , , , , ,
0. C .ông c´ac bâ´t ¯d˘ang th´uc nhu v.ây cho tâ´t ca 5 miê´ng v´a, ta ¯du .oc ,,
M1 − 2M2 + 3M3 − 4M4 + 5M5 ≥ 0 (h .ang tu Si c´ o trong c´ ac 1 ...ik , , , , bâ´t ¯ d˘ ang th´ uc cho c´ ac miê´ng v´
a i1 . . . ik, nên trong tông tâ´t ca c´ac , , , , bâ´t ¯ d˘ ang th´ uc n´ o c´
o h .ê sô´ k). C .ông c´ac bâ´t ¯d˘ang th´uc 3(M − M1 +
M2 − M3 + M4 − M5) ≥ 0 v`a M1 − 2M2 + 3M3 − 4M4 + 5M5 ≥ 0, , , , ta ¯
du .oc 3M − 2M1 + M2 − M4 + 2M5 ≥ 0. C .ông v`ao ¯d´o bâ´t ¯d˘ang , , , , , th´ uc M4 − 2M5 ≥ 0, (¯
du .oc suy ra t`u S12345 c´o trong tâ´t ca c´ac Si1i2i3i4 , , , , t´ uc l` a M4 ≥ 5M5 ≥ 2M5), ta ¯
du .oc 3M − 2M1 + M2 ≥ 0, t´uc l`a ,, , , , ,
M2 ≥ 2M1 − 3M ≥ 5 − 3 = 2. Boi v`ı t`u 5 miê´ng v´a c´o thê t .ao ¯du .oc , ,
10 c .˘ap, nên di.ên t´ıch giao cua m .ôt trong sô´ c´ac c.˘ap ¯d´o không nho , M hon 2 ≥ 0, 2. J 10 , , ,, , ,
. 11.6. (Ðê` thi To´ an vô ¯
d.ich CHLB дuc, 1979) Gia su m˜ôi ¯diêm cua , , , , , ,
m .˘at ph˘ang ¯du.oc tô b`˘ang 1 trong n mâ`u (n l`a sô´ t .u nhiên cho tru´oc). , , , , , , Ch´ ung minh r` ˘
ang tô`n t .ai m.ôt h`ınh ch˜u nh .ât v´oi c´ac ¯dınh ¯du.oc tô c`ung m .ôt mâ`u. , , , L`
oi giai. Ta thiê´t l .âp trong m.˘at ph˘ang m .ôt h.ê to.a ¯d .ô Ðê` c´ac vuông , , , g´ oc tu` y ´ y v` a ch´ u ´ y t´ oi ¯ diêm nguyên (i, j) v´ oi 1 ≤ i ≤ n + 1 v`a , , , , 124 Chuong 11. To´ an h .oc tô h .op , , , ,
1 ≤ j ≤ nn+1 + 1. Vi .êc tô mâ`u kê theo th´u t .u n + 1 ¯diêm trên m˜ôi , d` ong c´ o nn+1 c´ach kh´ac nhau (m˜ ôi ¯ diêm c´ o n c´ach tô). Do ¯ d´ o c´ o , , ´ıt nhâ´t l` a 2 d` ong trong sô´ nn+1 + 1 d` ong ¯ du .oc tô mâ`u giô´ng nhau ,, , , , (ngh˜ıa l` a hai d`
ong giô´ng nhau vê` mâ`u s´ ˘ ac tô o ¯ diêm th´ u nhâ´t, ¯ diêm , , , , , , , ,, th´ u hai,. . . ,¯ diêm th´
u n + 1 ch˘ang h .an t´ınh t`u tr´ai qua phai). Gia su , , , hai d` ong â´y l` a d` ong nh˜ ung ¯ diêm c´
o to .a ¯d .ô k v`a m; ngh˜ıa l`a v´oi m˜ôi , ,, i ∈ {1, 2, . . . , n} c´ ac ¯ diêm (i, k) v`a (i, m) c´ o c` ung m .ôt mâ`u. Boi v`ı , , , chı c´
o n mâ`u nên trong sô´ n + 1 ¯ diêm trên d` ong c´ ac ¯ diêm c´ o tung , , , ¯
d .ô k ´˘at c´o ´ıt nhâ´t hai ¯diêm c´o c`ung mâ`u, ch˘ang h.an, ¯d´o l`a 2 ¯diêm , , , (a, k) v` a (b, k). Khi ¯ d´ o h`ınh ch˜
u nh .ât v´oi c´ac ¯dınh (a, k), (b, k), (b, m) , v` a (a, m) c´ o 4 ¯ dınh c` ung mâ`u. J , , ,
. 11.7. Cho 1000 ¯
diêm trên m .˘at ph˘ang M1, M2, . . . , M1000. Ch´ung , , , , , minh r` ˘ ang trên bâ´t c´ u ¯ du` ong tr` on b´ an k´ınh 1 n` ao ta ¯ dê`u t`ım ¯ du .oc m.ôt , , , , , ¯
diêm S sao cho tông khoang c´ ach t` u S ¯ dê´n c´ ac ¯
diêm M1, M2, . . . , M1000 , , không nho hon 1000. , , , ,, , , , , L`
oi giai. Gia su S1 v`a S2 l`a hai ¯ diêm tu` y ´ y ¯ dô´i tâm cua ¯ du` ong tr` on T b´ an k´ınh 1. Ta c´
o S1S2 = 2, v .ây S1M1 + S2M2 ≥ S1S2 = 2;
S1M2 + S2M2 ≥ 2;. . . ; S1M1000 + S2M1000 ≥ 2. V`ı thê´ (S1M1 +
S2M1) + (S1M2 + S2M1) + · · · + (S1M1000 + S2M1000) = (S1M1 +
S1M2 + · · · + S1M1000) + (S2M1 + S2M2 + · · · + S2M1000) ≥ 2000. , , Do ¯ d´
o ´ıt nhâ´t m .ôt trong hai ¯diêm S1 v`a S2 ch´˘ac ch´˘an thoa m˜an , , , , b` ai ra l` a tông khoang c´ ach t` u n´ o ¯ dê´n c´ ac ¯ diêm M1, M2, . . . , M1000 , , không nho hon 1000. J , ,
. 11.8. Cho 37 ¯
diêm phân bi.êt trong không gian c´o to .a ¯d.o l`a nh˜ung , , ,
sô´ nguyên sao cho không c´ o ba ¯ diêm n` ao th˘ ang h` ang. Ch´ ung minh , , , , r` ˘ ang ta c´
o thê ch .on 3 ¯diêm m`a to .a ¯d.ô giao ¯diêm c´ac trung tuyê´n cua tam gi´
ac t .ao th`anh ¯dê`u l`a sô´nguyên. 11.1. V´ı d .u 125 , , , , , , L` oi giai. V´ oi m˜ ôi ¯ diêm x; y; z c´
o to .a ¯d .ô l`a nh˜ung sô´ nguyên (¯diêm , , , , , , nguyên) ta cho tuong ´ ung c´
ac sô´ ¯x; ¯y; ¯z l`a nh˜ung sô´ du cua ph´ep chia c´
ac sô´ x; y; z cho 3. V`ı ¯x nh .ân không qu´a 3 gi´a tr.i nên ´ıt nhâ´t , , 13 trong sô´37 ¯ diêm c´ o c` ung gi´
a tr.i (nê´u không, thê´th`ı sô´c´ac ¯diêm , , , , , , , không l´
on hon 12.3=36). Tuong t .u, c´o không´ıt hon 5 trong 13 ¯diêm , ¯ d´ o c´ o gi´ a tr.i ¯y nhu nhau. , , , Thê´ th`ı giao ¯ diêm c´ ac trung tuyê´n cua tam gi´ ac c´ o ¯ dınh (x1, y1, z1),
(x2, y2, z2) v`a (x3, y3, z3) c´o to .a ¯d .ô x y z x 1 + x2 + x3 1 + y2 + y3 1 + z2 + z3 0 = ; y ; z 3 0 = 3 0 = 3
Nê´u ¯x1 = ¯x2 = ¯x3 v`a ¯y1 = ¯y2 = ¯y3 th`ı c´ac sô´ x0 v`a y0 l`a nguyên c`on , ,
sô´ z0 chı nguyên khi v`a chı khi z1 + z2 + z3 ≡ 0( mod 3). Trong , , , , , tru`
ong h .op b`ai ra ta ch .on ra 5 ¯diêm m`a tâ´t ca sô´ ¯x b`˘ang nhau v`a tâ´t , , , , ,
ca sô´ ¯y b`˘ang nhau. Nê´u trong c´ac ¯ diêm n` ay ta t`ım ¯ du .oc ba ¯diêm m`a , , c´
ac sô´ ¯z nh .ân c´ac gi´a tr.i 0; 1; 2 th`ı v´oi c´ac ¯diêm ¯d´o ta c´o
z1 + z2 + z3 ≡ ¯z1 + ¯z2 + ¯z3 ≡ 0 + 1 + 2 ≡ 0( mod 3) , , , , Nê´u không c´ o nh˜ ung ¯ diêm n` ay th`ı sô´ ¯z v´ oi 5 ¯ diêm ¯ d˜ a ch .on s˜e nh.ân , , , không qu´ a 2 gi´
a tr.i, do ¯d´o ta t`ım ¯du .oc 3 ¯diêm m`a gi´a tr.i ¯z nh.ân c`ung , ,
m .ôt gi´a tr.i m`a sô´z0 ´ung v´oi n´o l`a sô´nguyên. J , , , ,
. 11.9. Trên m .˘at ph˘ang cho 7 ¯du`ong th˘ang trong ¯d´o không c´o hai , , , , , , ¯ du` ong th˘ ang n` ao song song. Ch´ ung minh r` ˘ ang ta t`ım ¯ du .oc hai trong , , , , , , 7 ¯ du` ong th˘ ang n´ oi trên m` a g´ oc gi˜ ua ch´ ung nho hon 260. , , , , , , L` oi giai. Ta h˜
ay t.inh tiê´n tâ´t ca 7 ¯du`ong th˘ang ¯d˜a cho sao cho ch´ung , , , , , , c` ung ¯
di qua m .ôt ¯diêm cô´ ¯d.inh O. Ta s˜e ¯du .oc 7 ¯du`ong th˘ang chia g´oc , , ¯ dâ`y ¯
dınh O th`anh 14 phâ`n. V`ı thê´ m .ôt trong c´ac g´oc t.ao th`anh nho , 3600 5 , hon = 250 < 260 (nê´u tâ´t ca c´ ac g´ oc ¯ dê`u b` ˘ ang nhau th`ı m˜ ôi 14 7 , , , , 126 Chuong 11. To´ an h .oc tô h .op , , , , , , , g´ oc không l´ on hon 260). Nhung g´ oc gi˜ ua hai ¯ du` ong th˘ ang c´ ˘ at nhau , , , , b` ˘ ang g´ oc gi˜ ua hai ¯ du` ong th˘ ang ban ¯ dâ`u. J . 11.10. Cho A l`
a m .ôt t.âp c´ac sô´nguyên v`a x l`a m .ôt sô´nguyên bâ´t , , k`
y. T .âp h .op x + A = {x + a|a ∈ A} g .oi l`a t.inh tiê´n cua A x´ac ¯d.inh ,, , ,, , bo i x. Hay n´ oi c´ ach kh´
ac t .âp h .op x + A gô`m c´ac phâ`n tu cua A c .ông , , , thêm v´ oi c`
ung m .ôt sô´ x. Ch´ung ta n´oi r`˘ang m .ôt t.âp h .op nh˜ung sô´ , , nguyên l`
a k-nho nhâ´t, nê´u tô`n t .ai k t.âp t.inh tiê´n cua A, m`a ch´ung , , , , t` ung ¯ dôi không c´ o ¯
diêm chung. V´ı d .u: m .oi t.âp sô´h˜uu h.an l`a k-nho , , , , nhâ´t v´
oi m .oi sô´nguyên duong k. C˜ung c´o t.âp vô h.an l`a k-nho nhâ´t , , , nhu d˜
ay k + 1, (k + 1)2, . . . , (k + 1)n, . . . Nhung ch´ ung ta ch´ ung minh kê´t lu .ân sau: , , , , , Cho n l`
a sô´t .u nhiên. Khi ¯d´o t .âp h.op nh˜ung sô´nguyên không thê biêu , , , , , di˜
ên nhu h .op cua n t .âp h.op (n + 1)-nho nhâ´t. , , , ,, , , , , L` oi giai. Ch´
ung ta gia su ngu .oc l.ai: tô`n t.ai nh˜ung t.âp h .op (n + 1)- ,
nho nhâ´t A1, A2, . . . , An sao cho m˜ôi sô´ nguyên thu .ôc m .ôt trong , , , , , nh˜
ung t .âp h .op n`ay. Theo ¯d.inh ngh˜ıa cua t.âp (n + 1)-nho nhâ´t v´oi
m .oi i = 1, 2, . . . , n tô`n t.ai n + 1 sô´nguyên ai,1, ai,2, . . . , ai,n+1 sao cho , , v´
oi 1 ≤ r ≤ n + 1, 1 ≤ s ≤ n + 1 v`a r 6= s nh˜ung ph´ep t.inh tiê´n , ,
air + Ai v`a ais + Ai không c´o ¯ diêm chung. K´ y hi .êu N l`a t.âp h .op , , , ,,
tâ´t ca n-b .ô s´˘ap th´u t .u (j1, j2, . . . , jn) o ¯dây j1, j2, . . . , jn ¯d .ôc l.âp nh.ân , , c´ ac gi´
a tr.i 1, 2, . . . , n, n + 1. V´oi m˜ôi n-b .ô a = (j1, j2, . . . , jn) t`u N , , , , ,, cho tuong ´ ung v´
oi m .ôt sô´ nguyên xa = a1j + a + · · · + a . Boi 1 2j2 njn , , , , , v`ı ch´ ung ta ¯ d˜
a gia thiê´t t .âp h .op nh˜ung sô´ nguyên l`a h .op cua c´ac ,
t .âp h .op A1, A2, . . . , An, m˜ôi sô´ xa thu .ôc m .ôt t.âp n`ao ¯d´o trong d˜ay , ,, , ,
t .âp h .op trên. Ngo`ai ra sô´phâ`n tu cua N l`a (n + 1)n (¯dây l`a t´ınh tô , , ,,
h .op).T`u nguyên l´y Ðirichle mo r .ông ch´ung ta c´o ´ıt nhâ´t m .ôt trong , , , (n + 1)n c´
ac t .âp A1, A2, . . . , An ch´ua nh˜ung sô´ d.ang xa v´oi ´ıt nhâ´t n 11.2. B` ai t .âp 127 , b .ô a t`u N. , ,
Không mâ´t t´ınh tông qu´ at ch´
ung ta gia thiê´t A1 c´o t´ınh châ´t , ,, , trên. Ch´ ung ta x´ et tâ´t ca c´
ac phâ`n tu α cua N m`a sô´ x thu α .ôc A1. (n + 1)n ,, Ch´ ung gô`m ´ıt nhâ´t
phâ`n tu. Nê´u α = (j n 1, j2, . . . , jn) l` a m .ôt ,, , , , , phâ`n tu trong ch´ ung, th`ı ch´ ung ta cho tuong ´ ung v´ oi (n − 1)-b .ô , s´ ˘ ap 0
α = (j2, j3, . . . , jn). V`ı 1 ≤ j ≤ n + 1 v´oi m µ
.oi µ = 2, 3, . . . , n, , , , , theo t´ınh châ´t tô h 0 .op v´ oi α c´
o nhiê`u nhâ´t (n + 1)n−1 kha n˘ang. , , , (n + 1)n T` u bâ´t ¯ d˘ ang th´ uc
> (n + 1)n−1 suy ra ´ıt nhâ´t c´ o hai n-b .ô n
α = (j1, j2, . . . , jn), β = (k1, k2, . . . , kn) ho` an to` an kh´ ac nhau, m` a , , , , x ∈ A ∈ A ong ´ ung v´ oi c` ung m α 1, xβ 1, tu .ôt (n − 1)-b .ô. , , Ch´ ung ta c´ o thê t´ om t´ ˘ at ng´ ˘
an g .on nhu sau: tô`n t.ai hai b .ô kh´ac
nhau α = (j1, j2, . . . , jn) v`a β = (k1, k2, . . . , kn) thu .ôc N, m`a x ∈ α , A1, x ∈ A ng, x = β 1, j1 6= k1 v`
a j2 = k2, j3 = k3, . . . , jn = kn. Nhu α , a1j + a + · · · + a x = a + a + · · · + a nhung v`ı j = k 1 2j2 njn β 1k1 2k2 nkn µ µ , v´ oi m˜
ôi µ = 2, 3, . . . n ch´ ung ta c´ o x − x = a − a ho α β 1j1 1k1 .˘ ac l` a a1k + x = a + x . Khi ¯ d´ o sô´ x = a + x = a + x thu 1 α 1j1 β 1k1 α 1j1 β .ôc v` ao , ,, t .âp h .op a1k + A + A oi 1 1 v` a a1j1
1. Suy ra t .âp t.inh tiê´n A1 x´ ac ¯ d.inh b , , , c´ ac sô´ a1k v`a a c´ o ¯ diêm chung, ¯ diê`u ¯ d´ o tr´ ai v´ oi gia thiê´t khi b´ ˘ at 1 1j1 , ¯ dâ`u ch´ ung minh. J 11.2. B ` ai t .âp
. 11.11. a) Trong h`ınh vuông di .ên t´ıch 6 ¯d.˘at ba ¯da gi´ac di.ên t´ıch , , , 3. Ch´ ung minh r` ˘ ang trong sô´ ¯ d´ o luôn t`ım ¯
du .oc hai ¯da gi´ac m`a di.ên , , , t´ıch phâ`n chung cua ch´ ung không nho hon 1. ,
b) Trong h`ınh vuông di .ên t´ıch 5 ¯d.˘at 9 ¯da gi´ac di.ên t´ıch 1. Ch´ung , , minh r` ˘ ang trong sô´ ¯ d´ o luôn t`ım ¯
du .oc hai ¯da gi´ac m`a di.ên t´ıch phâ`n , , , , 128 Chuong 11. To´ an h .oc tô h .op , , , 1 chung cua ch´ ung không nho hon . 9 , , , , , . 11.12. S´ au ¯ diêm ¯
du .oc s´˘ap xê´p trên m.˘at ph˘ang sao cho ba ¯diêm , , bâ´t k` y l` a ¯
dınh cua m .ôt tam gi´ac m`a c´ac c.anh c´o ¯d .ô d`ai kh´ac nhau. , , , Ch´ ung minh r` ˘
ang c .anh nho nhâ´t cua m .ôt trong c´ac tam gi´ac ¯dô`ng , , , th` oi l`
a c .anh l´on nhâ´t cua m .ôt tam gi´ac kh´ac. , ,
. 11.13. Cho P1, P2, . . . , P7 l`a bây ¯
diêm trong không gian, trong ¯ d´ o , , không c´ o bô´n ¯ diêm n` ao ¯ dô`ng ph˘ ang. Tô mâ`u m˜ ôi ¯ do .an PiPj (i < j) , , , v´
oi m .ôt trong hai mâ`u ¯do ho.˘ac ¯den. Ch´ung minh r`˘ang c´o hai tam , gi´ ac ¯ don s´ ˘ ac không c´ o chung c .anh. , , . 11.14. C´ o hai ¯ d˜ıa ¯ dê`u ¯
du .oc chia th`anh 1998 h`ınh qu.at b`˘ang nhau, v` a trên m˜ ôi ¯
d˜ıa tô m .ôt c´ach bâ´t k`y (b`˘ang m .ôt mâ`u) 200 h`ınh qu.at. , , , C´ ac ¯ d˜ıa ¯
du .oc ¯d.˘at chô`ng lên nhau v`a quay m .ôt ¯d˜ıa theo nh˜ung g´oc , 3600 , l` a b .ôi cua . Ch´ ung minh r` ˘
ang tô`n t .ai ´ıt nhâ´t 94 v.i tr´ı c´o không 1998 , , , qu´
a 20 h`ınh qu .at ¯du .oc son tr`ung nhau. , , , , ,
. 11.15. Trên m .˘at ph˘ang cho n ¯du`ong th˘ang t`ung ¯dôi không song , , , , , , song v´ oi nhau. Ch´ ung minh r` ˘ ang g´ oc gi˜ ua hai ¯ du` ong th˘ ang n` ao ¯ d´ o , , 1800 trong sô´ ¯ d´ o không l´ on hon . n , , CHUONG 12 M .ÔT S ´ Ô B ` AI T .ÂP H`INH H .OC KH ´AC 12.1. V´ı d .u , , ,
. 12.1. Trong h`ınh ch˜
u nh .ât 3x4 ¯d .˘at 6 ¯diêm. Ch´ung minh r`˘ang trong , , , , , , sô´ ¯ d´ o luôn t`ım ¯
du .oc hai ¯diêm c´o khoang c´ach gi˜ua ch´ung không l´on , √ hon 5. , , , L`
oi giai. Chia h`ınh ch˜u nh .ât ra l`am ,
5 h`ınh nhu h`ınh 12.1. Trong m .ôt trong sô´ c´ ac h`ınh ¯ d´ o s˜ e c´ o ´ıt nhâ´t , , , 2 ¯ diêm, v` a khoang c´ ach gi˜ ua hai , , , √ ¯ diêm ¯ d´ o s˜ e không l´ on hon 5. J H`ınh 12.1: , , ,
. 12.2. Trên m .˘at ph˘ang c´o 25 ¯diêm, biê´t r`˘ang trong 3 ¯diêm bâ´t k`y , , , , trong sô´ ¯ d´ o luôn c´ o 2 ¯ diêm c´
ach nhau nho hon 1. Ch´ ung minh r` ˘ ang , , ,
tô`n t .ai h`ınh tr`on b´an k´ınh 1 ch´ua không ´ıt hon 13 ¯diêm ¯d˜a cho. , , , ,, , , , L`
oi giai. Gia su A l`a m .ôt ¯diêm ¯d˜a cho. Nê´u tâ´t ca c´ac ¯diêm c`on l.ai , n` ˘ am trong h`ınh tr`
on S1 tâm A b´an kinh 1 th`ı ta không câ`n phai , , ,, , ch´
ung minh g`ı thêm. Gia su c´
o m .ôt ¯diêm B trong sô´ ¯d˜a cho n`˘am , , , ngo` ai ¯ du` ong tr`
on S1 t´uc l`a AB > 1. X´et h`ınh tr`on S2 tâm B b´an k´ınh , , 1. Trong sô´ c´ ac ¯ diêm A, B, C trong ¯ d´ o C l`a ¯ diêm ¯ d˜ a cho bâ´t k` y luôn , , , , , , , c´ o hai ¯ diêm c´ ach nhau nho hon 1, hon n˜ ua ¯ d´ o không thê l` a 2 ¯ diêm , , 130
Chuong 12. M .ôt sô´b`ai t.âp h`ınh h .oc kh´ac , , , A v` a B. Do ¯ d´ o c´ ac h`ınh tr`
on S1 v`a S2 ch´ua tâ´t ca c´ac ¯ diêm ¯ d˜ a cho, , , , , t´ uc l`
a m .ôt trong hai h`ınh tr`on ¯d´o ch´ua không ´ıt hon 13 ¯diêm ¯d˜a cho. J , , ,
. 12.3. Bên trong ¯ du` ong tr` on b´ an k´ınh n ¯
d .˘at 4n ¯do .an th˘ang c´o ¯d.ô d`ai , , , , , , 1. Ch´ ung minh r` ˘ ang c´
o thê ke m .ôt ¯du`ong th˘ang song song ho .˘ac vuông , , , , , , , g´ oc v´ oi ¯ du` ong th˘ ang l cho tru´ oc v` a c´ ˘ at ´ıt nhâ´t 2 ¯
do .an th˘ang ¯d˜a cho. , , , ,, , , , , L`
oi giai. Gia su l1 l`a ¯ du` ong th˘ ang bâ´t k` y vuông g´ oc v´ oi l. K´y hi .êu , , , , , , ¯
d .ô d`ai c´ac h`ınh chiê´u cua ¯do.an th˘ang th´u i lên c´ac ¯du`ong th˘ang l , , , ,, , , v`
a l1 l`a ai v`a bi tuong ´ung. Boi v`ı ¯
d .ô d`ai cua m˜ôi ¯do.an th˘ang b`˘ang 1, nên ai + bi ≥ 1. Do ¯ d´
o (a1 + · · · + a4n) + (b1 + · · · + b4n) ≥ 4n. , , ,,
Không mâ´t t´ınh tông qu´
at gia su (a1 + · · · + a4n) ≥ (b1 + · · · + b4n). , , , , Khi ¯ d´
o a1 + · · · + a4n ≥ 2n. Tâ´t ca c´ac ¯
do .an th˘ang ¯d˜a cho ¯dê`u ¯du .oc , ,, chiê´u xuô´ng ¯
do .an th˘ang c´o ¯d .ô d`ai 2n, boi v`ı ch´ung ¯dê`u n`˘am trong , , , , , ¯ du` ong tr` on b´
an k´ınh n. Nê´u nhu c´ac h`ınh chiê´u cua c´ac ¯ do .an th˘ang , , , , , ¯ d˜ a cho lên ¯ du` ong th˘ ang l không c´ o ¯ diêm chung, th`ı s˜ e c´ o bâ´t ¯ d˘ ang , , , , th´
uc a1 + · · · + a4n < 2n. Do ¯ d´ o trên l phai c´
o m .ôt ¯diêm b.i c´ac ¯diêm , , , ,
cua ´ıt nhâ´t hai trong sô´ c´ ac ¯
do .an th˘ang ¯d˜a cho chiê´u lên ¯d´o. Ðu`ong , , , vuông g´ oc v´
oi l t .ai ¯diêm ¯d´o s˜e c´˘at ´ıt nhâ´t hai ¯do.an th˘ang ¯d˜a cho. J , ,
. 12.4. Trên do .an th˘ang c´o ¯d.ô d`ai 1 ta tô m.ôt sô´ ¯do .an th˘ang sao , , , , , , cho khoang c´ ach gi˜ ua hai ¯ diêm ¯
du .oc tô bâ´t k`y không b`˘ang 0,1. Ch´ung , , , , , , minh r` ˘ ang tông ¯
d .ô d`ai c´ac do .an th˘ang ¯du.oc tô không l´on hon 0,5. , , , , L` oi giai. Chia ¯
do .an th˘ang ra l`am 10 ¯do.an th˘ang c´o ¯d .ô d`ai 0,1, ¯d.˘at , , ch´
ung theo m .ôt c .ôt v`a chiê´u ch´ung xuô´ng m .ôt ¯do.an th˘ang nhu v.ây. ,, , , , , , Boi v`ı khoang c´ ach gi˜ ua hai ¯ diêm ¯
du .oc tô bâ´t k`y không b`˘ang 0,1, , , , , , , nên c´ ac ¯ diêm ¯
du .oc tô cua c´ac ¯do.an th˘ang c.anh nhau không thê c`ung , , , chiê´u xuô´ng 1 ¯ diêm. Do ¯ d´ o không c´ o ¯ diêm n` ao c´ o thê l` a h`ınh chiê´u 12.1. V´ı d .u 131 , , , , , , , , cua c´ ac ¯ diêm ¯
du .oc tô cua nhiê`u hon 5 ¯do.an th˘ang. Suy ra tông , , , , , , ¯
d .ô d`ai c´ac h`ınh chiê´u cua c´ac ¯do.an th˘ang ¯du .oc tô không l´on hon 5.0, 1 = 0, 5. J , , , , . 12.5. Ch´ ung minh r` ˘
ang nê´u m .ôt ¯du`ong th˘ang l n`˘am trong m .˘at , , , , ph˘ ang cua tam gi´ ac ABC v` a không ¯ di qua ¯ dınh n` ao cua tam gi´ ac ¯ d´ o, , th`ı n´ o c´ ˘ at không qu´
a hai c .anh cua tam gi´ac ¯d˜a cho. , , ,, , , L` oi giai. K´
y hi .êu α v`a α l`a hai nua m.˘at ph˘ang do l chia m.˘at ph˘ang , , ,, cua tam gi´ ac ABC. M˜ ôi ¯
dınh A, B v`a C n`˘am trong m .ôt nua m.˘at , ,, ph˘ ang trên. Theo nguyên l´
y Ðirichlê ´ıt nhâ´t m .ôt trong hai nua m.˘at , , , , , , ph˘ ang trên, ch˘
ang h .an nhu α, ch´ua hai ¯dınh cua tam gi´ac ABC, , , , , , , ch˘
ang h .an nhu A v`a B. Khi ¯d´o ¯du`ong th˘ang l không c´˘at ¯do.an th˘ang , AB, ngh˜ıa l` a n´ o không c´ ˘
at m .ôt trong ba c.anh cua tam gi´ac ABC. J , , , , , , . 12.6. Nh˜ ung ¯
diêm trong m .˘at ph˘ang ¯du.oc son b`˘ang m.ôt trong ba , , , , mâ`u. Ch´ ung minh r` ˘ ang luôn t`ım ¯
du .oc hai ¯diêm c`ung mâ`u c´ach nhau ¯ d´ ung b` ˘ ang 1. , , , ,, , , , L`
oi giai. Gia su hai ¯ diêm bâ´t k` y c´ ach nhau 1 ¯ dê`u ¯ du .oc tô b`˘ang c´ac , mâ`u kh´ ac nhau. X´ et tam gi´ ac ¯ dê`u ABC c´
o c .anh b`˘ang 1. Tâ´t ca c´ac , , , , , ,, , ¯ dınh cua n´ o ¯
du .oc tô b`˘ang c´ac mâ`u kh´ac nhau. Gia su ¯diêm A1 ¯dô´i , , , , , ,, , x´ ung v´ oi A qua ¯ du` ong th˘
ang BC. Boi v`ı A1B = A1C = 1, nên ¯ diêm , , , , ,
A1 c´o mâ`u kh´ac v´oi mâ`u cua B v`a C, t´uc l`a n´o ¯ du .oc tô c`ung m .ôt mâ`u , , , , √ v´ oi ¯
diêm A. C´ac l .âp lu.ân ¯d´o th .uc châ´t ¯d˜a chı ra r`˘ang nê´u AA1 = 3, , , , th`ı c´ ac ¯
diêm A v`a A1 tô c`ung m .ôt mâ`u. Do ¯d´o tâ´t ca c´ac ¯diêm n`˘am , , √ trên ¯ du`ong tr` on tâm A b´an k´ınh 3 c´ o c`
ung m .ôt mâ`u. R˜o r`ang trên , , , , , , , ¯ du` ong tr` on ¯ d´ o luôn t`ım ¯
du .oc hai ¯diêm c´o khoang c´ach gi˜ua ch´ung , , , , , b` ˘ ang 1. Ta ¯
du .oc mâu thu˜ân, v.ây luôn t`ım ¯du .oc hai ¯diêm c`ung mâ`u , , c´ o khoang c´ ach gi˜ua ch´ ung b` ˘ ang 1. J , , 132
Chuong 12. M .ôt sô´b`ai t.âp h`ınh h .oc kh´ac , , ,
. 12.7. Cho 11 ¯ diêm kh´
ac nhau trong h`ınh câ`u thê t´ıch V. Ch´ ung , , , , minh r` ˘
ang qua tâm cua h`ınh câ`u c´
o thê d .ung hai m .˘at ph˘ang sao cho , , V ch´ ung c´ ˘ at h`ınh câ`u th`
anh m .ôt "miê´ng" v´oi thê t´ıch , m` a phâ`n trong 6 , , , , cua n´ o không ch´
ua trong phâ`n trong bâ´t c´
u m .ôt ¯diêm n`ao ¯d˜a cho. , , , L`
oi giai. Chia h`ınh câ`u ra hai b´ an câ`u b` ˘
ang m .ôt m.˘at ph˘ang ¯di qua , , , , tâm v` a hai ¯ diêm t` u c´ ac ¯ diêm ¯ d˜
a cho. M .ôt b´an câ`u ch´ua trong phâ`n , , , ,, trong nhiê`u nhâ´t l` a 4 ¯ diêm t` u c´ ac ¯ diêm c`
on l .ai. Chia nua h`ınh câ`u , , b` ˘
ang hai m .˘at ph˘ang, m`a m˜ôi m.˘at ph˘ang ¯di qua tâm h`ınh câ`u v`a , , , ,, hai ¯ diêm trong 4 ¯ diêm c`
on l .ai. Nhu v.ây nua h`ınh câ`u chia th`anh 3 , , , , "miê´ng" không ch´
ua m .ôt ¯diêm n`ao bên trong. ´ıt nhâ´t thê t´ıch cua , , 1 , , m .ôt miê´ng l´on hon thê t´ıch cua b´ an h`ınh câ`u. J 3 ,
. 12.8. Cho khô´i ¯
da di.ên lô`i P1 c´o 9 ¯dınh A1, A2, . . . , A9.K´y hi.êu , , , ,,
P2, P3, .., P9 l`a nh˜ung ¯da di.ên ¯du.oc t .ao th`anh boi c´ac ph´ep t.inh tiê´n , , , , −−−→ −−−→ , tuong ´ ung theo c´
ac vecto A1A2, . . . , A1A9. Ch´ ung minh r` ˘ ang ´ıt nhâ´t , 2 trong sô´9 ¯
da di.ên trên c´o ´ıt nhâ´t m.ôt ¯diêm chung. , , , , , L` oi giai. X´ et h`ınh ¯
da di .ên P l`a anh cua P1 qua ph´ep v.i t .u tâm A1 , v`
a h .ê sô´2. Ta s˜e ch´ung minh r`˘ang 9 ¯da di.ên ¯dê`u n`˘am trong P. Th.ât , , , v .ây, cho A1, A∗ l` a c´ ac ınh cua ng 2 , . . . , A∗ 9 ¯ d ¯
da di .ên P. Ch´ung ta s˜e ch´u , , , , minh, ch˘
ang h .an nhu P2 n`˘am trong P. Ðê ch´ung minh ¯diê`u ¯d´o ch´ung , −−−→ , , ta ch´ u ´ y t´ oi ph´
ep t.inh tiê´n A1A2 chuyên c´ac ¯diêm A1, A2, . . . , A9 , , ,, , , t´ oi c´ ac ¯ diêm A2, A∗ , o l` a trung m cua 2 , A03, . . . , A09 ¯ dây A0i ¯ diê ¯ do .an A∗ A∗). 2 i , , , Tông thê t´ıch cua c´ ac ¯
da di .ên P1, P2, . . . , P9 n`˘am trong P b`˘ang ,, , , , , 9V, o ¯ dây V l`a thê t´ıch cua ¯
da di .ên P1, c`on thê t´ıch cua ¯da di.ên P , b` ˘
ang 8V. Suy ra ´ıt nhâ´t c´ o hai ¯
da di .ên c´o ¯diêm chung (nguyên l´y , Ðirichlê cho thê t´ıch. J 12.1. V´ı d .u 133 , , ,
. 12.9. Trong h`ınh câ`u ¯ du` ong k´ınh 3 ¯
d .˘at m.ôt sô´ h`ınh câ`u m`a tông , , , , , ¯ du` ong k´ınh cua ch´ ung b` ˘ ang 25 (nh˜ ung h`ınh câ`u n` ay c´ o thê giao , , , , nhau). Ch´ ung minh r` ˘ ang v´
oi m .oi m .˘at ph˘ang tô`n t .ai m.ôt m .˘at ph˘ang , song song v´ oi n´ o v` a c´ ˘
at ´ıt nhâ´t 9 h`ınh câ`u con. , , , , , L` oi giai. Ch´ ung ta x´ et h`ınh chiê´u c´ ac h`ınh câ`u lên ¯ du` ong th˘ ang , , , vuông g´ oc v´
oi m .˘at ph˘ang ¯d˜a cho. H`ınh câ`u l´on chiê´u v`ao m .ôt ¯do.an , , th˘ ang c´ o ¯
d .ô d`ai 3, c`on c´ac h`ınh câ`u con chiê´u v`ao c´ac ¯do.an th˘ang , , , ,, , , nho c´ o tông 25. Gia su không c´
o m .ôt m.˘at ph˘ang n`ao nhu ¯dê` b`ai ra, , , , , ngh˜ıa l`
a m .oi m.˘at ph˘ang song song v´oi m.˘at ph˘ang ¯d˜a cho chı c´˘at 8 , , , , h`ınh câ`u nho. khi ¯ d´ o m˜ ôi ¯ diêm trong ¯
do .an th˘ang ¯d .ô d`ai 3 chı thu .ôc , , , , nhiê`u nhâ´t l` a 8 ¯
do .an th˘ang h`ınh chiê´u cua nh˜ung h`ınh câ`u nho. Suy , , , , , ra tông cua ch´ ung không qu´
a 24. Nh .ân ¯du .oc s .u vô l´y. J , , ,
. 12.10. Trong h`ınh vuông c .anh 1 ¯don v.i c´o m.ôt ¯du`ong gâ´p kh´uc L , , , , ,
không t .u c´˘a v´oi ¯d.ô d`ai l´on hon 1000. Ch´ung minh r`˘ang tô`n t .ai m.ôt , , , , , , , ¯ du` ong th˘
ang m song song v´
oi c .anh h`ınh vuông v`a c´˘at ¯du`ong L t .ai hon , 500 ¯ diêm. , , , ,, , , , , L`
oi giai. Gia su li l`a ¯
d .ô d`ai m´˘at th´u i cua ¯du`ong gâ´p kh´uc, ai v`a bi , , l` a ¯
d .ô d`ai h`ınh chiê´u cua n´o lên c´ac c.anh cua h`ınh vuông. Khi ¯d´o li ≤ ai + bi. Suy ra
1000 = l1 + · · · + ln ≤ (a1 + · · · + an) + (b1 + · · · + bn) , T´ uc l`
a ho .˘ac a1 + · · · + an ≥ 500 ho.˘ac l`a b1 + · · · + bn ≥ 500. Nê´u , , , tông ¯
d .ô d`ai h`ınh chiê´u cua c´ac m´˘at lên m .ôt c.anh ¯d .ô d`ai 1 không nho , , ,
hon 500, th`ı theo nguyên l´ y Ðirichlê cho ¯
d .ô d`ai ¯do.an th˘ang phai c´o , , , , ¯
diêm chung cho hon 500 h`ınh chiê´u cua c´ ac m´ ˘ at gâ´p kh´ uc, t´ uc l` a , , , , , , , ¯ du` ong vuông g´ oc ke t` u ¯ diêm chung ¯ d´ o s˜ e c´ ˘ at ¯ du` ong gâ´p kh´ uc t .ai ´ıt , nhâ´t 500 ¯ diêm. J , , 134
Chuong 12. M .ôt sô´b`ai t.âp h`ınh h .oc kh´ac 12.2. B ` ai t .âp , , , . 12.11. Cho A l`
a t .âp h .op nh˜ung ¯diêm trên m .ôt m.˘at câ`u v`a c´o di.ên , , ,, , , t´ıch l´
on hon nua di .ên t´ıch m.˘at câ`u. Ch´ung minh r`˘ang A ch´ua ´ıt nhâ´t , , , , ,
m .ôt c.˘ap ¯diêm m`a n´o l`a 2 ¯daah u ¯du`ong k´ınh cua qua câ`u. , ,, , , ,
. 12.12. Ta g .oi h`ınh ch˜u th.âp l`a h`ınh t.ao boi c´ac ¯du`ong ch´eo cua ,
h`ınh vuông c .anh 1. Ch´ung minh r`˘ang trong h`ınh tr`on b´an k´ınh 100 , , , , , , chı c´ o thê ¯
d .˘at ¯du .oc m .ôt sô´h˜uu h.an c´ac ch˜u th.âp không c´˘at nhau. , , , , ,
. 12.13. Trên m .˘at ph˘ang cho ¯diêm O. Hoi c´o thê ¯d.˘at trên m.˘at ph˘ang , , , 5 h`ınh tr` on không phu ¯
diêm O sao cho m .oi tia xuâ´t ph´at t`u O c´˘at , , , ,,
không ´ıt hon hai h`ınh tr` on ¯
du .oc hay không ? (c´˘at o ¯dây c´o ngh˜ıa l`a , c´ o ¯ diêm chung). , , , , , , . 12.14. Nh˜ ung ¯
diêm trong m .˘at ph˘ang ¯du .oc son b`˘ang m .ôt trong , , , , hai mâ`u. Ch´ ung minh r` ˘ ang luôn t`ım ¯
du .oc hai ¯diêm c`ung mâ`u c´ach nhau ¯ d´ ung b` ˘ ang 1. , , CHUONG 13 M .ÔT S ´ Ô Ð`Ê THI VÔ Ð.ICH , , , , Nh˜ ung b` ai to´ an thi vô ¯
d.ich c´ac nu´oc l`a c´ac b`ai to´an ¯diên h`ınh cho , , ,
vi .êc v.ân d .ung tr´ı thông minh, s´ang t.ao ¯dê giai. N´o ¯d`oi hoi h .oc sinh , , , , , , , , phai n´ ˘ am ¯
du .oc c´ac kiê´n th´uc co ban v˜ung ch´˘ac v`a hiêu thâ´u ¯d´ao. , , , Ðê giai c´ ac b` ai to´ an thi vô ¯
d.ich phai v.ân d .ung cao t´ınh phân t´ıch , , , v`
a tông h .op c´ac kiê´n th´uc to´an h .oc. Râ´t nhiê`u b`ai to´an thi vô ¯d.ich , , , ,, , , c´ ac nu´ oc c´
o m .ôt phâ`n giai su d .ung nguyên l´y Ðirichlê, c´ac chuong , , , tru´ oc ta ¯ d˜
a g .˘ap m .ôt sô´b`ai. Ðê thu.ân ti.ên cho b.an ¯doj c muô´n tham , , , khao ¯ dâ`y ¯ du vê` chu ¯ dê` n` ay tôi ch´
ep l .ai v`a thô´ng kê ra ¯dây c´ac ¯dê` , , , , thi vô ¯
d.ich c´ac nu´oc chu yê´u trong cuô´n s´ach [4] v`a m .ôt sô´ tuyên , , , ,
t .âp kh´ac. Nhung v`ı t`ai li.êu tham khao c´o h.an, phâ`n suu tâ`m cua tôi , , , ch´ ˘ ac ch´ ˘ an chua ¯ dâ`y ¯ du mong c´
ac b .an ¯d .oc bô sung v`a cho ´y kiê´n. , , , , M˜ ôi b` ai trong chuong n` ay k` em theo tên nu´ oc v` a n˘ am k` y thi vô ¯ d.ich , , nu´ oc ¯ d´ o. , ,
. 13.1. (Anh, 1966) Ch´ ung minh r` ˘ ang t`
u 52 sô´ nguyên bâ´t k` y luôn , , , , , c´
o thê ch .on ¯du.oc ra hai sô´m`a tông ho .˘ac hi.êu cua ch´ung chia hê´t cho 100. , , , , , , L`
oi giai. Tâ´t ca c´ ac sô´du trong ph´ ep chia cho 100, ¯ du .oc chia th`anh , , t` ung nh´
om nhu sau: {0}, {1; 99}, {2; 98}, . . . , {49, 51}, {50}. V`ı c´ o , , tâ´t ca 51 nh´ om, m`
a l .ai c´o 52 sô´, nên theo nguyên l´y Ðirichlê gi˜ua , , 136
Chuong 13. M .ôt sô´ ¯dê` thi vô ¯d.ich , , , ch´ ung phai c´ o hai sô´ m` a c´ ac sô´ du trong ph´ ep chia cho 100 roi v` ao , ,
m .ôt nh´om. Hai sô´n`ay l`a hai sô´câ`n t`ım v`ı nê´u sô´du cua ch´ung b`˘ang , , ,
nhau th`ı hi .êu cua ch´ung chia hê´t cho 100, c`on nê´u sô´du cua ch´ung , , kh´ ac nhau th`ı tông cua ch´ ung chia hê´t cho 100. J , , , ,
. 13.2. (Anh, 1970) Ch´ ung minh r` ˘ ang t`
u t .âp h.op tu`y ´y gô`m n sô´ t .u , , , , nhiên luôn t´ ach ra ¯
du .oc m.ôt t .âp h.op con (kh´ac r˜ông) ch´ua c´ac sô´m`a , , tông cua ch´
ung chia hê´t cho n. , , , ,, , , , L`
oi giai. Gia su v´
oi m .ôt t.âp h .op n`ao ¯d´o ch´ua c´ac sô´a1, a2, . . . , an m`a , , , không thoa m˜ an kh˘ ang ¯
d.inh cua b`ai to´an. Khi ¯d´o không c´o sô´ n`ao trong c´ ac sô´
S1 = a1, S2 = a1 + a2, . . . , Sn = a1 + a2 + · · · + an ,
chia hê´t cho n. V`ı sô´ c´ ac sô´ du kh´ ac không trong ph´ ep chia cho , , n l`
a n − 1, nên theo nguyên l´y Ðirichlê t`ım ¯ du .oc hai sô´ Si v`a Sj , (1 ≤ i < j ≤ n) c´ o c`
ung sô´du. Suy ra hi .êu Sj − Si = ai−1 + · · · + aj , , ,, , chia hê´t cho n, ¯ diê`u n` ay mâu thu˜ ân v´ oi gia su n´ oi trên v` a kh˘ ang , , , , ¯
d.inh cua b`ai to´an ¯du .oc ch´ung minh. J , ,, , ,
. 13.3. (Anh, 1976) Gia su trong t .âp h.op h˜uu h .an X ch.on ra 50 t .âp , , , , ,,
h .op con A1, . . . , A50 sao cho m˜ôi t .âp h.op con ch´ua hon m.ôt nua phâ`n ,, , , , , , ,
tu cua t .âp X. Ch´ung minh r`˘ang c´o thê t`ım ¯du.oc t .âp h.op con B ⊂ X , , ,, ,, ch´
ua không nhiê`u hon 5 phâ`n tu v` a c´
o ´ıt nhâ´t m .ôt phâ`n tu chung cho , c´
ac t .âp h.op A1, A2, . . . A50. , , , ,, ,, , , L`
oi giai. Gia su sô´ c´
ac phâ`n tu cua t .âp X b`˘ang n. M˜ôi t.âp h .op con , , , , n ,, ¯
du .oc ch .on A1, . . . , A50 ch´ua không ´ıt hon phâ`n tu, c´ o ngh˜ıa l` a 2 , ,, , , , , n tông sô´ c´ ac phâ`n tu cua tâ´t ca c´
ac t .âp n`ay vu .ot qu´a 50. = 25.n. 2 ,, , Theo nguyên l´
y Ðirichlê tô`n t .ai m .ôt phâ`n tu cua X thu .ôc không ´ıt 137 , , , , , ,
hon 26 t .âp con ¯d˜a ch .on. Tuong t .u ta ch´ung minh v´oi gi´a tr.i bâ´t k`y , , , k < 50 gi˜ua c´
ac t .âp Ai , A , . . . , A c´o thê ch n 1 i2 ik .on ra không ´ıt ho k , , ,, ,, ,
+ 1 t .âp h .op ch´ua c`ung m .ôt phâ`n tu. Ta lâ´y phâ`n tu cua m .ôt 2 , , ,,
t .âp h .op X m`a n´o thu .ôc không ´ıt hon 26 t.âp (phâ`n tu n`ay s˜e l`a m .ôt ,, , , , ,,
trong 5 phâ`n tu cua t .âp h .op B). Ta lo.ai ra 26 t.âp m`a ch´ua phâ`n tu , , ,, , ¯ d˜ a x´ et. Khi ¯ d´ o t`ım ¯
du .oc 1 phâ`n tu thu .ôc ´ıt nhâ´t 13 t`u 24 t.âp c`on l.ai. , , ,
Ta l .ai lo.ai 13 t.âp n`ay ra, khi ¯d´o gi˜ua 11 t.âp c`on l.ai t`ım ¯du .oc 1 phâ`n ,, , , , ,
tu thu .ôc không ´ıt hon 6 trong sô´c´ac t.âp h .op. Ðô´i v´oi 5 t.âp h .op c`on , , ,, ,
l .ai t`ım ¯du .oc 1 phâ`n tu thu .ôc không ´ıt hon 3 trong sô´ch´ung. V`a cuô´i ,, , c`
ung tô`n t .ai m .ôt phâ`n tu thu .ôc hai t.âp cuô´i c`ung. Nhu v.ây ta t`ım , , , ,, , , , ¯
du .oc không nhiê`u hon 5 phâ`n tu cua t.âp X (c´o thê ´ıt hon v`ı m .ôt v`ai ,, phâ`n tu s˜ e tr` ung nhau), ch´ ung s˜
e t .ao th`anh t.âp B. Ngo`ai ra m .ôt t.âp , , ,, bâ´t k` y t`
u A1, . . . , A50 ch´ua ´ıt nhâ´t m .ôt trong c´ac phâ`n tu ¯d´o. ,
. 13.4. (Ba Lan, 1979) Khi chia c´
ac sô´ t .u nhiên a1, a2, . . . , an cho sô´ , , , , , m
t .u nhiên m n`ao ¯d´o, nh .ân ¯du.oc c´ac sô´du kh´ac nhau, ¯dô`ng th`oi n > . 2 , , Ch´ ung minh r` ˘ ang v´
oi m .oi sô´ k ∈ Z tô`n t .ai c´ac sô´ i, j ∈ {1, 2, . . . , n}
(không nhâ´t thiê´t kh´
ac nhau) sao cho sô´ ai + aj − k chia hê´t cho m. , , L` oi giai. X´
et 2n sô´a1, a2, . . . , an, k − a1, k − a2, . . . , k − an. V`ı 2n > m, , nên c´ o 2 trong c´ ac sô´ ¯ d´ o c´ o c` ung sô´du trong ph´ ep chia cho m. Theo , ¯
diê`u ki .ên b`ai to´an, c´ac sô´ a1, a2, . . . , an, c´o sô´ du kh´ac nhau trong, ph´
ep chia cho m, nên c´ac sô´ k − a1, k − a2, . . . , k − an c˜ung c´o sô´du , , , kh´ ac nhau. Do ¯ d´
o c .˘ap sô´c´o sô´du b`˘ang nhau chı c´o thê l`a hai sô´c´o , ,
d .ang ai v`a k − aj v´oi i, j n`ao ¯d´o. Khi ¯d´o hi.êu cua ch´ung ai + aj − k chia hê´t cho m. J , ,
. 13.5. (Ba Lan, 1977) Ch´ ung minh r` ˘ ang v´
oi m .oi gi´a tr.i a, b ∈ R v`a , , ,
e > 0, tô`n t .ai c´
ac sô´ k, m ∈ Z v`
a n ∈ N thoa m˜ an c´ ac bâ´t ¯ d˘ ang th´ uc , , 138
Chuong 13. M .ôt sô´ ¯dê` thi vô ¯d.ich
|na − k| < e v`a |nb − m| < e. , , 1 , L`
oi giai. Cho sô´ nguyên N > v` a v´ oi m˜
ôi c .˘ap x, y ∈ [0; 1] ta thay e , , thê´ b` ˘
ang c .˘ap u, v thoa m˜an u = [Nx], v = [Ny], khi ¯d´o nê´u v´oi hai , , , ,
c .˘ap (x1, y1), (x2, y2) tuong ´ung v´oi m .ôt c.˘ap duy nhâ´t (u, v) th`ı 1 1 |x 1 − x2| = (u + {Nx1}) − (v + {Nx2}) = N N 1 1 = |{Nx < e N 1} − {N x2}| < N , , , v`
a tuong t .u ta c´o |y1 − y2| < e. V`ı u, v ∈ {0, . . . , N − 1}, nên c´o tâ´t , ,
ca N2 c .˘ap (u, v) kh´ac nhau. X´et t.âp h .op N2 + 1 c.˘ap gi´a tr.i , x = {la}, y = {lb} v´ oi l = 0, 1, . . . , N2 , ,, , Theo nguyên l´ y Ðirichlê c´
o ´ıt nhâ´t hai c .˘ap (gia su v´oi l = i v`a , , , , ,
l = j, i > j) t`u t .âp h .op n`ay tuong ´ung c`ung m .ôt c.˘ap (u, v). Do ¯d´o, , v´ oi k´ y hi .êu
n = i − j, k = [ia] − [ja], m = [ib] − [jb] , , , , ,
ta nh .ân ¯du .oc c´ac bâ´t ¯d˘ang th´uc câ`n ch´ung minh :
|na − k| = |(ia − [ia]) − (ja − [ja])| = |{ia} − {ja}| < e,
|nb − m| = |(ib − [ib]) − (jb − [jb])| = |{ib} − {jb}| < e. J ,
. 13.6. (Bı, 1977) Trong h`ınh tr` on c´ o b´
an k´ınh n ∈ N c´ o 4n ¯ do .an , , , , , th˘ ang ¯ dê`u c´ o ¯
d .ô d`ai b`˘ang 1. Ch´ung minh r`˘ang nê´u c´o m.ôt ¯du`ong th˘ang , , , , , , , cho tru´ oc th`ı t`ım ¯
du .oc m.ôt ¯du`ong th˘ang kh´ac, ho .˘ac song song, ho .˘ac , , , , , vuông g´ oc v´ oi ¯ du` ong th˘ ang n` ay v` a c´ ˘ at ´ıt nhâ´t hai ¯
do .an th˘ang n´oi trên. , , , , , L` oi giai. Ðê ´ y r` ˘ ang tông ¯
d .ô d`ai hai h`ınh chiê´u cua m˜ôi m .ôt ¯do.an , , , , , , , , th˘ ang lên ¯ du`ong th˘ ang l v`a ¯ du` ong th˘ ang l0, vuông g´ oc v´ oi n´ o, không 139 , , , b´
e hon 1. Th .ât v.ây, nê´u vecto a c´o ¯d .ô d`ai l`a 1 song song v´oi ¯do.an , , , , th˘ ang n` ao ¯ d´ o, c` on c´
ac vecto x v`a y l`a c´ac h`ınh chiê´u cua vecto a lên , , , , ¯ du` ong th˘
ang l v`a l0 th`ı a = x + y, suy ra |x| + |y| ≥ |a| = 1. Nhung , , , , ¯
d .ô d`ai c´ac h`ınh chiê´u cua ¯do.an th˘ang b`˘ang |x| v`a |y| do ¯d´o tông cua , , , ch´ ung c˜ ung không b´ e hon 1. D˜ ân ¯ dê´n tông ¯
d .ô d`ai h`ınh chiê´u cua tâ´t , , , , , , , , ca c´ ac ¯
do .an th˘ang không b´e hon 4n. B´oi v.ây t`u hai ¯du`ong th˘ang l , , , , , , , , v` a l0 c´
o thê ch .on ¯du .oc m .ôt ¯du`ong th˘ang, tông ¯d .ô d`ai cua h`ınh chiê´u , , c´ ac ¯
do .an th˘ang trên n´o không b´e hon 2n (nguyên l´y Ðirichlê). V`ı tâ´t , , , , , ca c´ ac ¯
do .an th˘ang ¯du .oc s´˘ap xê´p trong h`ınh tr`on b´an k´ınh n, nên h .op , , , , , c´ ac h`ınh chiê´u cua ch´ ung trên ¯ du` ong th˘ ang bâ´t k` y c´ o ¯ d .ô d`ai b´e hon , , , , , , , , 2n. Suy ra trên ¯ du` ong th˘ ang ¯
du .oc ch .on t`ım ¯du .oc 1 ¯diêm thu .ôc v`ao , ,
h`ınh chiê´u cua ´ıt nhâ´t hai ¯
do .an th˘ang (Nguyên l´y Ðirichlê cho ¯do.an , , , , , , , , , th˘ ang). Ðu` ong th˘ ang ¯ di qua ¯ diêm n` ay vuông g´ oc v´ oi ¯ du` ong th˘ ang , , , , , , ¯
du .oc ch .on, s˜e c´˘at ´ıt nhâ´t hai ¯do.an th˘ang n`ay. V`ı ¯du`ong th˘ang n`ay , , , , , ,
ho .˘ac vuông g´oc v´oi, ho.˘ac song song v´oi ¯du`ong th˘ang l, th`ı n´o thoa m˜ an ¯ diê`u ki .ên b`ai to´an. J ,
. 13.7. (Bungari (¯
dê` thi ch .on ¯d.ôi tuyên),1973) Cho a1, a2, . . . , an l`a , , , nh˜ ung sô´nguyên kh´
ac nhau trong khoang [100,200], m` a ch´ ung thoa , , , m˜
an a1 + a2 + · · · + an ≥ 11100. Ch´ ung minh r` ˘ ang gi˜ ua nh˜ ung sô´n` ay ,, , c´
o ´ıt nhâ´t m .ôt sô´, m`a viê´t n´o o d .ang th .âp phân c´o ´ıt nhâ´t hai ch˜u sô´ giô´ng nhau. , , , L` oi giai. Ch´
ung ta l .âp danh s´ach c´ac sô´trong khoang [100,200], m`a ,, , ch´
ung viê´t o h .ê th.âp phân ´ıt nhâ´t c´o hai ch˜u sô´ tr`ung nhau.: 100,
101, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 121, 122,
131, 133, 141, 144, 151, 155, 161, 166, 171, 177, 181, 188, 191, , , , , ,
199, 200. Tông cua tâ´t ca c´ ac sô´ trên l`
a 4050. M .˘at kh´ac tông tâ´t ca , , c´
ac sô´ nguyên trong khoang [100,200] l` a 15150. Nê´u trong nh˜ ung sô´ ¯ d˜
a cho a1, a2, . . . , an không c´o sô´ n`ao trong danh s´ach trên, th`ı , , 140
Chuong 13. M .ôt sô´ ¯dê` thi vô ¯d.ich
a1 + a2 + · · · + an < 15150 − 4050 = 11100, ¯ diê`u n` ay vô l´ y. Ngh˜ıa ,, , , , l` a trong c´
ac sô´ a1, a2, . . . , an c´o ´ıt nhâ´t m .ôt sô´viê´t o co sô´mu`oi c´o ´ıt , nhâ´t hai ch˜u sô´tr` ung nhau. J ,
. 13.8. (Bungari,1973) Trong m .ôt thu vi.ên c´o 20000 cuô´n s´ach, , , , ch´ ung ¯
du .oc xê´p v`ao nh˜ung gi´a s´ach sao cho m˜ôi gi´a s´ach c´o ´ıt nhâ´t , ,
m .ôt quyên ho .˘ac nhiê`u nhâ´t 199 cuô´n s´ach. Ch´ung minh r`˘ang ´ıt nhâ´t , , c´ o hai gi´ a s´ ach c´ o c`
ung sô´lu .ong s´ach. , , , ,, , , , L`
oi giai. Gia su ngu .oc l.ai. Nê´u trong thu vi.ên c´o n gi´a s´ach v`a ch´ung , , , ¯
du .oc ¯d´anh sô´t`u 1 ¯dê´n n, th`ı r˜o r`ang l`a n ≤ 199. Ch´ung ta k´y hi.êu ai , , , l` a sô´ cuô´n s´ ach ¯
du .oc ¯d.˘at lên gi´a s´ach th´u i, ch´ung ta s˜e c´o 1 ≤ ai ≤ ,, , , , 199. khi ¯ d´ o tu ¯
diê`u ki .ên ai 6= aj v´oi i 6= j, ch´ung ta nh.ân ¯du .oc
20000 = a1 + a2 + · · · + an ≤ 1 + 2 + · · · + 199 = 19900 < 20000 , ¯ diê`u n` ay vô l´ y. Suy ra c´ o ´ıt nhâ´t hai gi´ a s´ ach, trên ch´ ung ch´ ua c` ung sô´s´ ach. J , , ,
. 13.9. (Bungari, 1983) T`ım h`ınh vuông c´ o k´ıch thu´ oc b´e nhâ´t, ¯ dê , trong h`ınh vuông ¯ d´ o c´ o thê s´ ˘ ap xê´p 5 h`ınh tr` on b´ an k´ınh b` ˘ ang 1, sao , cho không c´ o 3 h`ınh tr` on n` ao trong ch´ ung c´ o ¯ diêm trong chung. , , , ,, A B L`
oi giai. Gia su h`ınh vuông ABCD A1 B1 , c´
o tâm O v`a c .anh a, ch´ua 5 h`ınh O tr` on không c´ ˘ at nhau v` a ¯ dê`u c´ o D1 C1 b´ an k´ınh b` ˘ ang 1, khi ¯ d´ o c´ ac tâm , D C cua ch´ ung n` ˘ am trong h`ınh vuông
A1B1C1D1 c´o tâm O v`a c .anh b`˘ang H`ınh 13.1: ,, a − 2 (o ¯ dây A1B1//AB ). , , , , , , , C´ ac ¯ du` ong th˘ ang nô´i t` u c´ ac trung ¯ diêm cua c´ ac c .anh ¯dô´i di.ên cua
h`ınh vuông A1B1C1D1 chia h`ınh vuông ¯ d´ o th` anh bô´n h`ınh vuông 141 , ,,
nho, o m .ôt trong ch´ung´ıt nhâ´t c˜ung c´o hai trong sô´c´ac tâm (Nguyên , , l´ y Ðirichlê). Khi ¯ d´ o khoang c´ ach gi˜ ua hai tâm n` ay m .ôt m.˘at không , , , , , l´ on hon ¯ du` ong ch´ eo h`ınh vuông b´
e, m .˘at kh´ac không b´e hon 2. Do v .ây c´o A √ a − 2 √ 2 ≤ OA 1 B1 1 = 2 = 2 √ 2 2 suy ra a ≥ 2 2 + 2. √ , Cuô´i c`
ung, nê´u a = 2 2 + 2 v`a tâm cua c´ac h`ınh tr` on l` a c´ ac , , , , , ¯
diêm O, A1, B1, C1, D1 th`ı tâ´t ca c´ac ¯
diê`u ki .ên nêu trên ¯du .oc thoa , , √ m˜
an. Nhu v .ây c.anh cua h`ınh vuông câ`n t`ım l`a 2 2 + 2. J , , , ,
. 13.10. (Nam Tu, 1977) Cho tru´
oc 20 sô´ t .u nhiên a1 < a2 < . . . < , , , ,
a20 không vu .ot qu´a 70. Ch´ung minh r`˘ang gi˜ua c´ac hi.êu aj − ak(j > k) , , luôn t`ım ¯
du .oc ´ıt nhâ´t 4 hi.êu b`˘ang nhau. , , , ,, , , , , L`
oi giai. Gia su kh˘ ang ¯
d.inh cua b`ai to´an l`a sai. Khi ¯d´o gi˜ua 19 sô´t .u
nhiên a20 − a19, a19 − a18, . . . , a2 − a1 không c´o 4 sô´n`ao b`˘ang nhau. , Do ¯ d´ o gi˜ ua ch´ ung m˜ ôi sô´ 1, 2, 3, 4, 5, 6 c´
o m .˘at không qu´a 3 lâ`n. , , , Suy ra c´
o m .ôt trong 19 sô´ ¯d´o phai l´on hon 6 (nê´u không th`ı sô´c´ac , , , , sô´ không l´ on hon 6 s˜ e nhiê`u hon 18), c´ o 3 trong 18 sô´ c` on l .ai phai , , , , , , , l´ on hon 5, 3 trong 15 sô´ c`
on l .ai phai l´on hon 4,. . . Do ¯d´o tông cua ch´
ung (a20 − a19) + (a19 − a18) + · · · + (a2 − a1) ≥ 7 + 3(6 + 5 + 4 + , 3 + 2 + 1) = 70 không thê b` ˘
ang a20 − a1 ≤ 70 − 1 = 69. Mâu thu˜ân , , , , ,
nh .ân ¯du .oc ¯d˜a ch´ung minh kh˘ang ¯d.inh cua b`ai to´an. J , , , ,
. 13.11. (Nam Tu, 1981) T .âp h.op c´ac sô´ {1, 2, . . . , 100} ¯du.oc chia , , ,, , l`
am 7 t .âp h.op con. Ch´ung minh r`˘ang ´ıt nhâ´t o m.ôt trong c´ac t .âp h.op , , con â´y t`ım ¯
du .oc ho .˘ac 4 sô´ a, b, c, d sao cho a + b = c + d, ho .˘ac ba sô´
e, f , g sao cho e + f = 2g. , , , , , L` oi giai. Ðê ´ y r` ˘ ang c´
o ´ıt nhâ´t m .ôt trong 7 t.âp h .op con ch´ua không , , , , , , , ,
´ıt hon 15 sô´ (trong tru`ong h .op ngu .oc l.ai, tâ´t ca c´ac t.âp h .op con , , 142
Chuong 13. M .ôt sô´ ¯dê` thi vô ¯d.ich , , , , ch´
ua không nhiê`u hon 7.14 = 98 sô´). M˜
ôi c .˘ap sô´ a > b cua t.âp h .op , , , , , , , , con n` ay ¯
du .oc ¯d.˘at tuong ´ung v´oi hi.êu a − b. Khi ¯d´o ta nh.ân ¯du .oc , 14 , không ´ıt hon C2 = 15 = 105 hi ai c´ o c´ ac hi 15 .êu, trong sô´ ¯ d´ o ph .êu 2 , , b` ˘ ang nhau (v`ı c´
ac hi .êu nh.ân ¯du .oc không qu´a 99 gi´a tr.i kh´ac nhau , ,, , , , 1, 2,. . . ,99). Gia su v´
oi hai c .˘ap sô´ a > b, c > d ta c´o ¯d˘ang th´uc
a − b = c − d(a 6= c, b 6= d). Khi ¯ d´ o a + d = b + c. Nê´u a = d , , , ,
(ho .˘ac b = c, ¯d˘ang th´uc kh´ac không thê xây ra), th`ı c + b = 2a (ho.˘ac a + d = 2b). J , , ,
. 13.12. (Nam tu,1977) Ch´ ung minh r` ˘
ang di.ên t´ıch cua h`ınh vuông , , ,, , bâ´t k` y n` ˘ am trong tam gi´ ac, không l´
on hon nua di.ên t´ıch cua tam gi´ac ¯ d´ o. , , , L`
oi giai. (H`ınh 13.2) Ta ch´ ung A , , , minh kh˘ ang ¯ d.inh tông qu´at hon : , M
di .ên t´ıch cua h`ınh b`ınh h`anh bâ´t , L , k`
y KLMN n`˘am o trong tam gi´ac E L M1 F 1 , , ,, N ABC không l´ on hon nua di .ên t´ıch K , C B cua tam gi´ ac ¯ d´ o. K N 1 1 , , , , Ðê ´ y r` ˘ ang m˜ ôi m .ôt ¯du`ong th˘ang , H`ınh 13.2: KL v`
a MN c´˘at hai c .anh cua tam , ,, , , gi´ ac ABC (c´ o thê o ¯ dınh tam gi´ ac), ngh˜ıa l` a c´ o 2 trong 4 giao ¯ diêm , , , , n` ˘
am trên 1 c .anh theo nguyên l´y Ðirichlê. Ch˘ang h.an, ¯du`ong th˘ang , , ,, KL v`
a MN c´˘at BC lâ`n lu .ot o K1 v`a N1. Trên c.anh AB, AC v`a BC , , , ,
ch .on c´ac ¯diêm D, E v`a F sao cho L1, M1 l`a giao ¯diêm cua DE v´oi KL , v` a MN thoa m˜an: , K1L1 = KL; L1M1//K1N1 ¯ dô`ng th` oi BF//BD , , Khi ¯ d´ o h`ınh b`ınh h` anh KLMN v`a K1L1M1N1 c´o ¯ du`ong cao b` ˘ ang nhau ¯ dê´n ¯ das y chung, c` on c´ ac h`ınh b`ınh h` anh BDEF v`a K1L1M1N1 143 , , , , c´ o ¯ d´ ay DE không b´e hon ¯ d´ ay L1M1 v`a hai ¯ du` ong cao h .a t`u D v`a L1 ,, ,
xuô´ng BF b`˘ang nhau. Boi v .ây c´o: SKLMN = SK ≤ S a 1 L1 M1 N1 BDEF. Gi ,, su AE = x.AC, khi ¯ d´
o EC = (1 − x)AC, c´ac tam gi´ac ABC, ADE , v` a EFC ¯
dô`ng d .ang v´oi nhau nên ta c´o: SBDEF = SABC − SADE − SEFC
= SABC − x2SABC − (1 − x)2SABC 1 = 2x(1 − x)SABC ≤ S 2 ABC. 1 , 1 V`ı x(1 − x) ≤ v´
oi x lâ´y gi´a tr.i bâ´t k`y, nên S S 4 KLMN ≤ 2 ABC. J , , ,
. 13.13. (Nam tu, 1972) Ðô´i v´ oi m˜ ôi gi´
a tr.i n ∈ N, h˜ay t`ım sô´k l´on , , ,,
nhâ´t (k ∈ N) thoa m˜
an t´ınh châ´t sau: Trong t .âp h.op gô`m n phâ`n tu , , , c´
o thê ch .on ra k t .âp h.op con kh´ac nhau, sao cho hai t .âp h.op con bâ´t k` y ¯ dê`u c´
o t .âp giao kh´ac r˜ông. , , ,, , , , L`
oi giai. Cô´ ¯
d.inh phâ`n tu ai cua t.âp h .op X = {a1, a2, . . . , an} v`a chı , , ,, , , x´ et c´
ac t .âp h .op con ch´ua phâ`n tu a1.Sô´c´ac t.âp h .op nhu v.ây b`˘ang sô´ , , , c´
ac t .âp h .op con cua t.âp h .op {a2, . . . , an}, ngh˜ıa l`a b`˘ang 2n−1. Suy ra , ,, , , , ,
k ≥ 2n−1. M .˘at kh´ac gia su ¯d˜a ch .on ¯du .oc hon 2n−1 t.âp con cua X. Ta , , , , ,, chia tâ´t ca c´
ac t .âp con cua X th`anh 2n−1 c.˘ap ¯du .oc t.ao boi 1 t.âp con , , cua X v`a phâ`n b` u cua n´ o. Theo nguyên l´ y Ðirichlê c´ o ´ıt nhâ´t 2 t .âp con ¯ d˜
a ch .on t.ao th`anh m .ôt c.˘ap, suy ra ch´ung không giao nhau. V.ây k = 2n−1. J , 1 . 13.14. (M˜
y, 1983) Trên tr .uc sô´ lâ´y m.ôt khoang c´o ¯d.ô d`ai (n ∈ n , , , , n + 1 N). Ch´ ung minh r` ˘ ang khoang n` ay c´ o ch´ ua nhiê`u hon phân sô´ 2 , p
tô´i gian d .ang , trong ¯d´o p, q ∈ Z, 1 ≤ q ≤ n. q , , 144
Chuong 13. M .ôt sô´ ¯dê` thi vô ¯d.ich , , , , 1 , L`
oi giai. Gia thiê´t r` ˘
ang trong m .ôt khoang n`ao ¯d´o c´o ¯d .ô d`ai , ch´ua n , n + 1 , p , nhiê`u hon phân sô´ tô´i gian , v´
oi q ∈ {1; 2; . . . ; n}. Ta s˜e 2 q , , , ch´ ung minh r` ˘ ang gi˜ ua c´ ac m˜ âu sô´ cua c´ ac phân sô´ n` ay luôn t`ım , , ¯
du .oc hai m˜âu sô´ m`a m˜âu sô´ n`ay chia hê´t cho m˜âu sô´ kia. Th.ât v.ây , , , , , ta biêu di˜ ên c´ ac m˜ âu sô´ du´
oi d .ang 2r.s v´oi s l`a sô´ le, r ∈ Z+. Sô´ , , n + 1 c´ ac sô´ le kh´ ac nhau gi˜ ua c´
ac sô´ 1, 2, 3, . . . , n b`˘ang ( ngh˜ıa 2 , , , l` a ´ıt hon sô´ c´ ac m˜ âu sô´ ¯ dang x´ et), suy ra luôn t`ım ¯ du .oc hai m˜âu sô´ q = 2r.s v`
a q1 = 2r1s1 m`a s = s1 v`a r = r1. Khi ¯ d´ o c´ o m .ôt m˜âu , , sô´ chia hê´t cho m˜
âu sô´ kia, hay q1 = kq. Nhu v .ây gi˜ua c´ac phân sô´ , , m l ,
ch .on ¯du .oc hai sô´kh´ac nhau d.ang v` a , v´ oi kq ≤ n. Khi ¯ d´ o q kq m l 1 − < , q kq n , , 1 v`ı ca hai n` ˘ am trong khoang c´ o ¯
d .ô d`ai . Do ¯d´o km − l = 0, v`ı trong n , , , , , tru` ong h .op ngu .oc l.ai th`ı m l |km − l| 1 1 − = ≥ ≥ , q kq kq kq n l km , , v` a do ¯ d´ o km = l v`a = , ngh˜ıa l` a hai phân sô´ ¯ du .oc ch .on tr`ung kq kq nhau. J ,
. 13.15. (Vi.êt nam, 1976) Ch´ung minh r`˘ang tô`n t .ai vô sô´ c´ac sô´ c´o , ,
d .ang 5n(n ∈ N), m`a trong c´ac biêu di˜ên th .âp phân cua m˜ôi sô´ ¯d´o c´o , , ,
không ´ıt hon 1976 ch˜ u sô´0 ¯ d´ ung liên tiê´p. , , , , L` oi giai. Ta ch´ ung minh r` ˘ ang v´
oi m .oi k ∈ N tô`n t.ai vô sô´ c´ac sô´ , m ∈ N thoa m˜ an ¯
diê`u ki .ên 5m = 1 (mod 2k). 145 , , ,
Th .ât v.ây, gi˜ua c´ac sô´ 50, 51, . . . , 52k luôn t`ım ¯du .oc hai sô´ 5p v`a , , 5q(p > q) c´ o c` ung sô´ du trong ph´ ep chia cho 2k. Khi ¯ d´ o hi .êu cua ch´
ung 5p − 5q = 5q(5p−q − 1) chia hê´t cho 2k nghi˜a l`a sô´ 5p−q − 1 , v` a tâ´t ca c´ ac sô´c´
o d .ang 5r(p−q) − 1 (r ∈ N) ¯dê`u chia hê´t cho 2k. , ,
Nhu v .ây v´oi m˜ôi gi´a tr.i m = r(p − q), r ∈ N, ta c´o 5m ≡ 1 , , (mod 2k), t`u ¯ d´
o 5m+k ≡ 5k (mod 10k) ngh˜ıa l`a k ch˜u sô´ t .ân c`ung , , , , , ,, , cua 5m+k tr` ung v´
oi k ch˜u sô´ t .ân c`ung cua 5k. Gia su sô´ k thoa m˜an , , , , 2k > 101976 ch´
ua không nhiê`u hon k − 1976 ch˜u sô´. Do ¯ d´ o gi˜ ua k , , , , ch˜
u sô´t .ân c`ung cua sô´5m+k chı c´o k − 1976 ch˜u sô´kh´ac không, c`on , 1976 ch˜u sô´c`
on l .ai (liên tiê´p nhau) b`˘ang 0. J , , ,
. 13.16. (Ti.êp kh´˘ac, 1979) Trên m.ôt ¯du`ong th˘ang c´o n2 + 1(n ∈ N) , , , , ¯
do .an th˘ang. Ch´ung minh r`˘ang, ho .˘ac l`a gi˜ua ch´ung c´o thê ch.on n + 1 , , , ¯
do .an ¯dôi m.ôt không c´˘at nhau, ho .˘ac l`a t`ım ¯du.oc n + 1 ¯do .an th˘ang n`ao , ¯ d´ o c´ o ¯ diêm chung. , , , , , , , L` oi giai. Ta ¯
d.inh hu´ong bên tr´ai cho ¯du`ong th˘ang khi n´oi r`˘ang m .ôt ,, , , ¯
do .an n`˘am o bên tr´ai ¯do.an th˘ang kh´ac, nê´u ¯dâ`u m´ut bên tr´ai cua , , ,, , ¯
do .an th˘ang th´u nhâ´t n`˘am o bên tr´ai ¯dâ`u m´ut bên tr´ai cua ¯do.an , , , , , , , th˘ ang th´ u hai. M˜ ôi ¯
do .an th˘ang ¯du .oc ¯d´anh sô´ b`˘ang m .ôt sô´ tuong , , ´, , , , , , ung t` u c´
ac sô´1, 2, . . . , n b`˘ang c´ach sau: o bu´ oc th´ u nhâ´t ¯ do .an th˘ang ,, , , , , ,
o t .ân c`ung bên tr´ai cho tuong ´ung sô´ 1. Sau ¯d´o m˜ôi bu´oc tiê´p theo , , ,
ta l .ai ch .on trong sô´nh˜ung ¯do.an th˘ang chua ¯d´anh sô´, ¯do.an t.ân c`ung , , , , , , bên tr´ ai v` a ¯
d .˘at cho n´o sô´tuong ´ung, kh´ac v´oi c´ac sô´cua nh˜ung ¯do.an , , , , , , th˘ ang giao v´ oi n´ o (¯ d˜ a ¯
du .oc ¯d´anh sô´). Nê´u ¯dê´n bu´oc n`ao ¯dâ´y, ta ch .on , , , , , , , , , ¯
du .oc ¯do.an th˘ang, nhung ¯dô´i v´oi n´o không ch .on ¯du .oc sô´ th´u t .u, th`ı , , ¯ diê`u n` ay c´ o ngh˜ıa l` a n´ o giao v´ oi n ¯
do .an th˘ang n`˘am bên tr´ai n´o v`a c´o , , , , , nh˜ ung sô´ kh´ ac nhau. Trong tru`
ong h .op n`ay ¯dâ`u m´ut tr´ai cua ¯do.an , , , , ,, , , th˘ ang ¯
du .oc ch .on thu .ôc v`ao n + 1 ¯do.an th˘ang. Nê´u o bu´oc â´y, ¯do.an , , 146
Chuong 13. M .ôt sô´ ¯dê` thi vô ¯d.ich , , , th˘ ang cuô´i c` ung ¯
du .oc ¯d´anh sô´ th`ı theo nguyên l´y Ðirichlê ´ıt nhâ´t , , , , ,
m .ôt trong n sô´´ung v´oi nhiê`u hon n ¯do.an th˘ang, m`a c´ac ¯do.an th˘ang , , , , ¯ d´ o v´ oi c´ ac sô´th´
u t .u th´ıch h .op, không giao nhau. J ,
. 13.17. (Rumani, 1978) C´ ac h`
am sô´ f , g, h : N → N thoa m˜ an ba ¯ diê`u ki.ên sau: , , a) H`
am h(n) không nh .ân gi´a tr.i n`ao t .ai nhiê`u hon m.ôt ¯diêm n ∈ N. ,
b) T .âp h.op gi´a tr.i h`am sô´ g(n) l`a N.
c) f (n) ≡ g(n) − h(n) + 1, n ∈ N. , , Ch´ ung minh r` ˘ ang ¯ dô`ng nhâ´t th´
uc f (n) ≡ 1, n ∈ N, l` a ¯ d´ ung. , , , , , L` oi giai. Ta ch´ ung minh ¯ dô`ng nhâ´t th´ uc g(n) ≡ h(n) (n ∈ N). T` u ¯ d´ o v` a ¯
diê`u ki .ên b) s˜e d˜ân ¯dê´n f (n) ≡ g(n) − h(n) + 1 ≡ 1, n ∈ N. , V´ oi bâ´t k` y n ∈ N c´ o
h(n) = g(n) + 1 − f (n) ≤ g(n) , ,, , , ,
v`ı f (n) ≥ 1. Gia su r`˘ang, ¯ dô´i v´ oi gi´
a tr.i n`ao ¯d´o n ∈ N ¯d˘ang th´uc g(n) = h(n) không ¯ d´ ung, khi ¯ d´ o h(n) < g(n) = k. Theo ¯ diê`u ki .ên , b) ta t`ım c´
ac sô´ n1, n2, . . . , nk−1 ∈ N, ¯dê sao cho g(ni) = i khi i = ,,
1, . . . , k − 1. Boi v .ây m˜ôi sô´trong k sô´h(n1), h(n2), . . . , h(nk−1), h(n) ,
thu .ôc v`ao t.â p h .op {1, 2, . . . , k − 1}, do ¯d´o theo nguyên l´y Ðirichlê , h`
am sô´ h(n) nh .ân gi´a tr.i n`ao ¯d´o nhiê`u hon m .ôt lâ`n, ¯diê`u n`ay tr´ai , , , , , v´ oi ¯
diê`u ki .ên a).Kh˘ang ¯d.inh ¯d˜a ¯du .oc ch´ung minh. J , , , , , , . 13.18. (M˜ y (N˜ uu U´ oc), 1979) Ch´ ung minh r` ˘ ang c´ ac ¯ dınh cua n-gi´ ac , , ¯ dê`u c´
o di.ên t´ıch b´e nhâ´t (n > 3) n.ôi tiê´p trong m.ôt n-gi´ac cho tru´oc, , , , , , tr` ung v´ oi trung ¯ diêm c´
ac c .anh cua n-gi´ac cho tru´oc. , , , ,, L`
oi giai. (H`ınh 13.3) Gia su n-gi´ac ¯
dê`u B1, . . . , Bn c´o di.ên t´ıch SB
n .ôi tiê´p trong n-gi´ac ¯dê`u A1, . . . , An di.ên t´ıch SA. 147 Khi ¯ d´ o nê´u ch´ ung không tr` ung nhau th`ı trên m˜ ôi m .ôt c.anh Ai Ai+1 , , , , v´
oi i = 1, 2, . . . , n (An+1 = A1) c´o m .ôt ¯dınh Bi ¯du .oc x´ac ¯d.inh , , , , ,
trên c .anh â´y. Th.ât v.ây, trong tru`ong h .op ngu .oc l.ai theo nguyên l´y , , , Ðirichlê ´ıt nhâ´t c´
o m .ôt c.anh, ch˘ang h.an A1A2, ch´ua hai ¯diêm B1 , , ,, , ,, v` a B2 ¯ d´ o (¯ dê x´ ac ¯
d.inh, gia su A1B2 > A1B1), khi ¯d´o ¯diêm Bn (o , ∆ , , ,
A1A2An) c´o thê n`˘am trên c .anh A2A3 v`a A1An tuong ´ung (v`ı n > , , , 3, ¯
do .an A1A3 v`a A2An l`a ¯du`ong ch´eo, m`a không l`a c.anh cua n-gi´ac ,
A1, . . . , An), ngh˜ıa l`a B1 = A1 v`a B2 = A2. Ta ch´ung minh r`˘ang A1B1 = A2B2 = . . . = AnBn
Th .ât v.ây tam gi´ac B1A2B2 v`a tam gi´ac B2A3B3 b`˘ang nhau, v`ı \ B1A2B2 = \ B2A3B3 = \ B1B2B3 = 1800 n − 2 n \ A2B1B2 = 1800 − \ B1A2B2 − \ A2B2B1 = 1800 − \ B1B2B3 − \ A2B2B1 = \ A2B2B3 ,, , , , v`
a B1B2 = B2B3. Boi v .ây A2B2 = A3B3. Ta c˜ung ch´ung minh tuong , , , , ,
t .u c´ac ¯d˘ang th´uc c`on l.ai. Ð.ai lu .ong SB = SA − SB − S − . . . − S = S 1 A2 B2 B2 A3B3 Bn A1B1 A − nSB1 A2B2 , , ,
nh .ân gi´a tr.i nho nhâ´t, khi di.ên t´ıch tam gi´ac B1A2B2 l´on nhâ´t. Gia ,, , , su A1A2 = a, A1B1 = x, khi ¯ d´ o ¯ d .ai lu .ong 1 1 SB = B (a − x)x. sin \ B 1 A2 B2 2 1 A2.A2B2 sin \ B1A2B2 = 2 1 A2 B2 1 a2 a = ( − (x − )2) sin \ B 2 4 2 1 AB2 , a
nh .ân gi´a tr.i l´on nhâ´t khi x = , ngh˜ıa l`a A 2 1 B1 = B1 A2. J , ,
. 13.19. (CHLB д
uc, 1978) M .ôt b.ô gô`m n2 con tem choi (n>2) mang , c´ ac nh˜
an hi.êu "1","2","3",. . . ,"n". M˜ôi lo .ai nh˜an hi.êu c´o n con tem. Hoi , , 148
Chuong 13. M .ôt sô´ ¯dê` thi vô ¯d.ich , , , c´
o thê xê´p tâ´t ca c´ ac con tem â´y th`
anh m .ôt d˜ay thoa m˜an c´ac ¯diê`u ki.ên , , sau không : v´
oi m .oi x ∈ {1, 2, . . . , n} gi˜ua m.ôt con tem mang nh˜an ,
hi.êu "x" v`a con tem mang nh˜an hi.êu "x" tiê´p theo luôn c´o v`ua ¯d´ung x con tem mang nh˜ an hi.êu kh´ac "x" ? , , , L`
oi giai. Trong m˜ ôi ¯ do .an n`˘am gi˜ua A3 , A B 2 2 hai con tem liên tiê´p v´ oi nh˜ an "n", B B 1 3 ¯ dê`u c´ o n con tem. C´ o n-1 ¯ do .an nhu , A A 1 4 , ,
v .ây do ¯d´o sô´ tem o gi˜ua con tem B4 ¯ dâ`u tiên mang nh˜ an hi .êu "n" v`a con , A5 tem cuô´i c` ung v´ oi c` ung nh˜ an hi .êu , , ¯ d´
o c .ông v´oi hai con tem v`ua n´oi l`a (n − 1)n + n, ngh˜ıa l` a n2 con tem. V H`ınh 13.3: .ây con tem ¯ dâ`u tiên v` a con tem , cuô´i c` ung trong d˜ ay ¯ dê`u phai c` ung mang nh˜ an hi .êu "n". , , Trong sô´ n con tem v´ oi nh˜ an "n-1" phai c´ o (theo nguyên l´ y
Ðirichlê) ´ıt nhâ´t hai con tem c` ung n` ˘
am trong ´ıt nhâ´t m .ôt ¯do.an , , ,, , trong sô´ n-1 ¯
do .an kê trên. Nhung khi ¯d´o o gi˜ua hai con tem n`ay , , chı c´ o nhiê`u nhâ´t l` a n-2 con tem; ¯ diê`u ¯ d´ o mâu thu˜ ân v´ oi t´ınh châ´t , cua d˜ ay. J , , ,
. 13.20. (CHLB Nga 1972) Ch´ın ¯ du` ong th˘ ang c` ung c´ o t´ınh châ´t l` a , , , , , m˜ ôi ¯ du` ong th˘
ang chia h`ınh vuông th` anh hai t´ u gi´ ac c´
o ty sô´ di.ên t´ıch 2 , , , , b` ˘ ang . Ch´ ung minh r` ˘ ang c´ o ´ıt nhâ´t ba ¯ du` ong th˘ ang trong sô´ ¯ d´ o c` ung 3 , ¯ di qua m .ôt ¯diêm. , , , , , , L`
oi giai. (H`ınh 13.4) C´ ac ¯ du` ong th˘ ang ¯ d˜ a cho không thê c´ ˘ at c´ ac , ,, ,
c .anh kê` nhau cua h`ınh vuông ABCD, boi v`ı nê´u thê´ không thê t.ao , , , , ,, , , ra ¯
du .oc hai t´u gi´ac, m`a l`a tam gi´ac v`a ng˜u gi´ac. Gia su m .ôt ¯du`ong 149 , , th˘ ang c´ ˘ at c´
ac c .anh BC v`a AD t.ai c´ac ¯diêm M v`a N. C´ac h`ınh thang , , , ABMN v` a CDNM c´ o c´ ac ¯ du` ong cao b` ˘ ang nhau do ¯ d´ o ty sô´ di .ên , , , , , t´ıch cua ch´ ung b` ˘ ang ty sô´ c´ ac ¯ du` ong trung b`ınh, t´ uc l` a MN chia , , , , ¯
do .an th˘ang nô´i trung ¯diêm cua c´ac c.anh AB v`a CD theo ty sô´ 2. 3 , , , , , , Tông sô´c´ ac ¯ diêm chia c´ ac ¯ du`
ong trung b`ınh cua h`ınh vuông theo ty ,, , , , , sô´ 2 l` a 4 (H`ınh v˜ e). Boi sô´ ¯ du` ong th˘ ang ¯ d˜ a cho l` a 9 v` a ¯ dê`u phai ¯ di 3 , ,
qua m .ôt trong sô´4 ¯diêm n´oi trên, nên c´o m .ôt ¯diêm thu .ôc ´ıt nhâ´t 3 , , , ¯ du` ong th˘ ang. M C B D A N H`ınh 13.4: , , 150
Chuong 13. M .ôt sô´ ¯dê` thi vô ¯d.ich , , CHUONG 14 , , B ` AI T .ÂP T .U GIAI , , , ,
. 14.1. M .ôt h`ınh l.âp phuong c´o c.anh b`˘ang 15 ch´ua 11.000 ¯diêm. , , Ch´ ung minh r` ˘ ang c´
o m .ôt h`ınh câ`u b´an k´ınh b`˘ang 1 ch´ua ´ıt nhâ´t 6 , , , ¯ diêm trong sô´nh˜ ung ¯ diêm ¯ d˜ a cho. , , ,
. 14.2. Cho F = {a1, a2, . . . , al} l`a t .âp h .op h˜uu h.an nh˜ung sô´ , , ,, , nguyên duong v`
a x1, x2, . . . , xn, . . . . . . l`a d˜ay vô h .an, m .oi phâ`n tu cua , n´ o n` ˘ am trong F, ngh˜ıa l`a tr` ung v´
oi m .ôt sô´n`ao ¯d´o trong a1, a2, . . . , al , , , , . Ch´ ung minh r` ˘ ang v´
oi m .oi sô´ nguyên duong bâ´t k`y tô`n t.ai m .ôt sô´ ,, , , , ,
phâ`n tu liên tiê´p cua d˜ ay, m` a t´ıch cua ch´ ung l` a l˜ uy th` ua cua m .ôt sô´ nguyên n` ao ¯ d´ o. , , . 14.3. Cho 5 ¯
diêm P1, P2, P3, P4, P5 trong phâ`n trong cua m .ôt h`ınh , , , , vuông c´
o c .anh 1 ¯don v.i. K´y hi.êu dij l`a khoang c´ach gi˜ua hai ¯diêm , ,
Pi v`a Pj. Ch´ung minh r`˘ang ´ıt nhâ´t c´o m .ôt trong sô´c´ac khoang c´ach √ , , , , 2 gi˜ ua c´ ac ¯ diêm nho hon . 2 , , , , , ,
. 14.4. Trong m .ôt h`ınh vuông c´o c.anh 50 ¯don v.i , ngu`oi ta ke ¯du`ong , , gâ´p kh´
uc sao cho m .oi ¯diêm trên c.anh h`ınh vuông c´o khoang c´ach , , , , , , , nho hon 1 ¯ dê´n ¯ du`ong gâ´p kh´ uc. Ch´ ung minh r` ˘ ang ¯ d .ô d`ai cua cua , , , , ¯ du` ong gâ´p kh´ uc l´ on hon 1248. , . 14.5. Cho A l`
a m .ôt ¯da gi´ac lô`i v´oi di.ên t´ıch S v`a chu vi P, c`on r , , , , 152 Chuong 14. B` ai t .âp t .u giai , , , , , , l`
a sô´ th .uc duong. K´y hi.êu M l`a t.âp h .op tâ´t ca c´ac ¯diêm trong m.˘at , , , , , ph˘ ang, sao cho v´ oi m˜ ôi ¯
diêm R cua M tô`n t .ai m .ôt ¯diêm Q thu .ôc A , , , , m` a khoang c´
ach gi˜ua R v`a Q nho hon ho .˘ac b`˘ang r. H˜ay t`ım di.ên , t´ıch cua h`ınh M. , ,
. 14.6. Trong h`ınh vuông c´
o c .anh b`˘ang 70, ngu`oi ta n´em ba h`ınh , , , , ch˜
u nh .ât v´oi k´ıch thu´oc 20x10, 25x15 v`a 30x30 v`a ba h`ınh tr`on b´an , , , k´ınh 5. Ch´ ung minh r` ˘ ang trong h`ınh vuông c´ o thê d.ich chuyên m .ôt , , h`ınh tr` on b´ an k´ınh 5 sao cho n´ o không c´ o nh˜ ung ¯ diêm trong chung , v´ oi 5 h`ınh ¯ d˜ a cho. , , ,
. 14.7. Trong m .˘at ph˘ang cho m .ôt ¯du`ong gâ´p kh´uc A1A2 . . . An v`a , , , h`ınh tr` on b´ an k´ınh r, tâm h`ınh tr` on chuyên ¯ d .ông trên ¯du`ong gâ´p , , , kh´ uc n` ay. Cho L l`a ¯
d .ô d`ai cua ¯du`ong gâ´p kh´uc, c`on F l`a h`ınh sinh ,, , , , , , ,
ra boi s .u chuyên ¯d .ông cua h`ınh tr`on trên ¯du`ong gâ´p kh´uc. Ch´ung , , minh bâ´t ¯ d˘ ang th´
uc S(F) ≤ 2Lr + πr2 . , , , , ,
. 14.8. T .âp h .op M l`a h .op m .ôt sô´h˜uu h.an nh˜ung ¯do.an th˘ang n`˘am , , , trong (0,1). Khoang c´ ach gi˜
ua m .ôt sô´ ¯diêm trong M không b`˘ang δ ,, , , , , , o ¯
dây 0 ≤ δ ≤ 1 . Ch´ ung minh r` ˘ ang tông ¯ d .ô d`ai cua nh˜ung ¯do.an , " # , , [ 1 ] + 1 , th˘ ang m` a ch´
ung t .ao nên M, không vu .ot qu´a δ δ v` a s .u ¯d´anh 2 gi´ a n` ay l` a ch´ınh x´ ac. , , , . 14.9. Trên ¯ du` ong tr` on b´ an k´ınh 1 cho n ¯
diêm P1, P2, . . . , Pn v`a t .âp , ,, , ,
h .op A t.ao boi m .ôt sô´h˜uu h.an cung không c´˘at nhau, m`a tông ¯d .ô d`ai , , cua ch´ ung l` a l(A). Ch´ ung minh r` ˘ ang 2kπ , a) Nê´u l(A) >
, (k = 1, 2, . . . , n − 1), th`ı c´ o thê quay t .âp n , , , , , , ,
h .op A trên ¯du`ong tr`on sao cho anh cua n´o ch´ua ´ıt nhâ´t k + 1 ¯diêm trong d˜ ây P1, P2, . . . , Pn . 153 2kπ , b) Nê´u l(A) <
, (k = 1, 2, . . . , n − 1), th`ı c´ o thê quay t .âp n , , , , , ,
h .op A trên ¯du`ong tr`on sao cho anh cua n´o ch´ua nhiê`u nhâ´t k − 1 , ¯ diêm trong d˜ ây P1, P2, . . . , Pn . , , , ,
. 14.10. Cho t .âp h .op A nh˜ung ¯diêm trên m .ôt m.˘at câ`u v´oi di.ên t´ıch , , ,, , , , l´
on hon nua di .ên t´ıch cua m.˘at câ`u. Ch´ung minh r`˘ang A ch´ua ´ıt nhâ´t , , , hai ¯
dâ`u m .ôt ¯du`ong k´ınh cua h`ınh câ`u. , , . 14.11. K´
y hi .êu N1, N2, . . . , Nn l`a nh˜ung t.âp h .op, m`a ch´ung c´o , , , , , , , , , ,, ¯
du .oc sau khi nh˜ung ¯dınh cua m .ôt lu´oi nguyên ¯du .oc t´ac ¯d .ông boi n , ph´
ep t.inh tiê´n, A l`a m .ôt bê` m.˘at v`a k l`a sô´t .u nhiên sao cho 1 ≤ k ≤ , n − 1. Ch´ ung minh r` ˘ ang k , , , , a) Nê´u S(A) > th`ı c´
o thê t.inh tiê´n t.âp h .op A sao cho anh cua r , , , , , n´ o ch´ ua ´ıt nhâ´t k + 1 ¯ diêm trong l` a nh˜ ung ¯ dınh cua N1, N2, . . . , Nn. k , , b) Nê´u S(A) < th`ı c´
o thê t.inh tiê´n t.âp h .op A sao cho r , , , , , , , anh cua n´ o ch´ ua nhiê`u nhâ´t k − 1 ¯ diêm trong l` a nh˜ ung ¯ dınh cua N1, N2, . . . , Nn . , , , , ,
. 14.12. Trong h`ınh vuông v´
oi c .anh 1 ¯don v.i d .ung ¯du`ong gâ´p kh´uc , , , , , ,
sao cho m .oi ¯du`ong th˘ang song song v´oi c.anh h`ınh vuông c´˘at ¯du`ong , , , , , gâ´p kh´ uc không qu´
a m .ôt ¯diêm. Ch´ung minh r`˘ang ¯d .ô d`ai cua ¯du`ong , , gâ´p kh´ uc nho hon 2. , , , ,
. 14.13. Trong m .ôt m.˘at ph˘ang cho 6 ¯diêm. Nh˜ung ¯do.an th˘ang nô´i , , , , , , , c´
ac c .˘ap ¯diêm ¯du .oc son mâ`u ¯do ho.˘ac xanh. Ch´ung minh r`˘ang v´oi , c´
ach t .ao h`ınh nhu v.ây tô`n t.ai ´ıt nhâ´t hai h`ınh tam gi´ac c´o c´ac c.anh , c` ung mâ`u. (c´ o thê hai tam gi´ ac kh´ ac mâ`u nhau). , , , , 154 Chuong 14. B` ai t .âp t .u giai , , CHUONG 15 , , , L ` OI GIAI V ` A G .OI ´Y , , , , , 15.1. L` oi giai v ` a g .oi ´y chuong 1 , , , . 1.11. L` oi giai: Nê´u tâ´t ca c´ ac ông quan ¯ dê`u quen nhau th`ı vi .êc , , , , xê´p b` an bô´n ngu` oi nhu ¯ dê` ra không c´ o g`ı kh´ o kh˘ an. Gia c´ o ông A , , v`
a ông B không quen nhau. T`u 2n − 2 ông quan c` on l .ai c˜ung nhu A , , v` a B c´
o ´ıt nhâ´t n ngu`oi quen. V`ı n + n = 2n = (2n − 2) + 2, th`ı tô`n , , ,
t .ai hai ông C v`a D, m`a h .o quen A c˜ung nhu B. Khi ¯d´o ngu`oi xê´p ¯d.˘at , , c´ o thê xê´p A ¯
dô´i di .ên B v`a gi˜ua h .o l`a C ¯dô´i di.ên D. ,
. 1.12. G .oi ´y: Chia m .ôt c.anh h`ınh vuông th`anh 48 ¯do.an m˜ôi ¯do.an , , ,, 20m, khoang c´ ach gi˜ ua 2 ¯
do .an l`a 0,6m, hai ¯do.an o hai ¯dâ`u d`ai,
5,9m. (V .ây 48.20m+47.0,6m+2.5,9m =1000m=1km). C.anh thu , hai chia ra l` am 95 ¯
do .an, khoa ng c´ach hai ¯do.an l`a 0,52m, hai ¯do.an ¯ dâ`u d`
ai 0,56m ( v .ây 95.10m+94.0,52m+20,56m= 1000m=1km). , , ,
Nhu v .ây c´o 48.95=4560 manh c´o di.ên t´ıch 200m2 m`a sô´cây chı c´o , 4500, nên c`
on ´ıt nhâ´t 60 ô nhu v .ây không c´o cây n`ao. , ,
. 1.13. G .oi ´y: Ta nh´om c´ac ng˘an c´o c`ung sô´ s´ach v`a ¯d´anh dâ´u t`u , , 0,1,. . . ,9 (c´ ac ng˘ an ch´ ua sô´s´ ach ´ıt hon 10) v`
a m .ôt ng˘an c´o 10 cuô´n. , ,, , Gia su không c´ o ba ng˘ an ch´ ua c` ung sô´ s´ ach, th`ı trong c´ ac nh´ om ta , ¯ d´ anh dâ´u c´ o ´ıt hon ba ng˘ an c´ o c` ung sô´ s´ ach (nhiê`u nhâ´t l` a 2), v .ây , , , , , 156 Chuong 15. L` oi giai v` a g .oi ´y , , th`ı v´ oi 10 nh´ om trên 10.2=20 ng˘ an s´
ach c .ông v´oi m .ôt ng˘an 10 cuô´n , n˜ ua không cho ta sô´ng˘ an s´ ach l` a 25, d˜ ân ¯ dê´n vô l´ y. , , , , ,
. 1.14. G .oi ´y: Ta lâ´y sô´cua ôtô chia cho 10 th`ı ¯du .oc sô´du 0, 1, 2, 3, , 4, 5, 6, 7, 8, 9. V`ı c´ o 11 sô´ m`
a 10 sô´ du th`ı theo nguyên l´ y Ðirichlê , , , c´ o hai sô´ c´ o c`
ung sô´ du. Nhu v .ây hi.êu cua hai sô´ chia hê´t cho 10 , ngh˜ıa l` a n´ o c´ o c`
ung m .ôt ch˜u sô´t.ân c`ung. , , , . 1.15. L`
oi giai: G .oi c´ac tr.am chuyên tiê´p l`a A, B, C, D, c´ac h`ınh , , , , , , , tr` on v´ oi ¯ du` ong k´ınh l` a c´ ac ¯ du` ong nô´i gi˜ ua c´ ac tr .am l`a v`ung bao phu , ,
cua m .ôt trung tâm ph´at s´ong. Ch´ung ta c´o 4 h`ınh tr`on nhu v.ây v`a , , , , , phai ch´ ung minh r` ˘
ang m .ôt ¯diêm M bâ´t k`y n`˘am trong t´u gi´ac cua 4 , , , ,, ,
tr .am ¯dê`u ¯du .oc phu boi ´ıt nhâ´t m .ôt h`ınh tr`on. Th.ât v.ây, nê´u ¯diêm M , , , n` ˘ am trong h`ınh tr` on ¯ du` ong k´ınh AB th`ı g´ oc AMB phai l`a t` u ho .˘ac , , b` ˘ ang 900. Ta nô´i M v´ oi c´
ac tr .am A, B, C, D, t.ao ra bô´n g´oc ¯dô´i v´oi , , , , c´
ac c .anh t´u gi´ac. Tông cua bô´n g´oc n`ay l`a 3600. Nhu v.ây ´ıt nhâ´t c´o
m .ôt g´oc t`u ho.˘ac c`ung l´˘am l`a b`˘ang 900. V.ây M thu .ôc m .ôt h`ınh tr`on , , , , m`
a t .ai M nh`ın c.anh cua t´u gi´ac du´oi m .ôt g´oc t`u. , , , , , 15.2. L` oi giai v ` a g .oi ´y chuong 2 , , ,
. 2.11. G .oi ´y: Áp d .ung Phuong ph´ap b`ai 2.2. , , ,
. 2.12. G .oi ´y: Áp d .ung phuong ph´ap b`ai 2.4 ,
. 2.13. G .oi ´y: Ð.˘at bk = a1 + a2 + · · · + ak, k = 1, 2, . . . , 41 v`a ´ap d .ung b`ai t.âp trên. , , ,
. 2.14. G .oi ´y: Nhu b`ai 2.8, nê´u M l`a sô´ nguyên tô´ c`ung nhau v´oi , , , 10, th`ı t`
u s .u chia hê´t cua l − k = 111 . . . 11.10k cho M, suy ra sô´ , , , , , 15.2. L` oi giai v` a g .oi ´y chuong 2 157 111 . . . 11 chia hê´t cho M. | {z } , (k-l ch˜ u sô´1) , , ,
. 2.15. G .oi ´y: D`ung phuong ph´ap b`ai 2.8. H˜ay x´et d˜ay
N, NN, NNN, . . . , NNN . . . N . | {z } , (1968 ch˜ u sô´) , , . 2.16. L` oi giai: Ta viê´t 1998 sô´ 1997, 19971997, . . . , , 1997 . . . 1997 . V` a x´ et c´ ac sô´ du trong ph´ ep chia m˜ ôi | {z }
sô´1997 l .˘ap 1998 lâ`n
m .ôt sô´ ¯d´o cho 1998. R˜o r`ang không m .ôt sô´n`ao trong c´ac sô´ ¯d˜a viê´t , ,
chia hê´t cho 1998 (v`ı 1998 l` a sô´ ch˜ ˘ an, m` a c´ ac sô´ ¯ d˜ a viê´t l` a le), nhu , , , ,
v .ây, c´ac sô´ du cua ph´ep chia ¯dê`u kh´ac không, v`ı sô´ c´ac sô´ l´on hon , , , , sô´ c´ ac sô´ du (c´ o 1998 sô´ m` a sô´ c´ ac sô´ du l` a 1997), nên t`ım ¯ du .oc , , , hai sô´ c´
o sô´ du nhu nhau, hi .êu cua hai sô´ ¯d´o c´o d.ang câ`n t`ım v`a chia hê´t cho 1998. , , . 2.17. L` oi giai: Ta x´
et 1997 sô´ d .ang 1998, 19981998,. . . . Sô´ cuô´i , , c` ung trong c´ ac sô´ n`
ay t .ao th`anh t`u 1997 nh´om trong bô´n ch˜u sô´1,
9, 9, 8. Ho .˘ac m .ôt trong c´ac sô´n`ay chia hê´t cho 1997 (v.ây, ¯d´o l`a sô´ , , , , ,
phai t`ım), ho .˘ac t`ım ¯du .oc hai sô´ du nhu nhau trong ph´ep chia cho , 1997. Khi ¯ d´
o hi .êu cua ch´ung c´o d.ang 19981998 . . . 1998.104m v`a chia ,, ,
hê´t cho1997. V`ı 104m v`a 1997 nguyên tô´c` ung nhau nên nhân tu th´ u nhâ´t, ngh˜ıa l`
a sô´19981998. . . 1998, chia hê´t cho 1997. , , , , . 2.18. L`
oi giai: Trong n + 1 sô´ m, m2, . . . , mn+1 t`ım ¯ du .oc hai sô´ , , , c´ o sô´ du nhu nhau trong ph´ ep chia cho n. Khi ¯ d´ o hi .êu cua ch´ung , ,,
chia hê´t cho n. Gia su ml − mt = a.n ho .˘ac mt(ml−t − 1) = a.n. V`ı
(m, n) = 1 nên (mt, n) = 1, ngh˜ıa l`
a, ml−t − 1 chia hê´t cho n. V .ây , ml−t − 1 l` a sô´phai t`ım. , , , , , 158 Chuong 15. L` oi giai v` a g .oi ´y , , , , , 15.3. L` oi giai v ` a g .oi ´y chuong 3 , , , , . 3.11. L` oi giai: Ta x´
et 104 c´ac lu˜y th`ua kh´ac nhau cua 3: 3, 32, 33 , , , , . . . , 3104 v` a c´ ac sô´ du cua ph´ ep chia m˜ ôi lu˜ y th` ua ¯ d´ o cho 104. M˜ ôi , ,
sô´ cho m .ôt sô´ du kh´ac không khi chia cho 104; sô´ c´ac sô´ du kh´ac , , , không l`
a 104 − 1; sô´c´ac sô´l`a 104. Do ¯ d´ o, t`ım ¯ du .oc hai lu˜y th`ua kh´ac , , nhau 3m v`a 3n c´ o sô´ du nhu nhau trong ph´ ep chia cho 104, ngh˜ıa l`a
3m − 3n = 104.l ho .˘ac 3n(3m−n − 1) = 104.l. V`ı 3n v`a 104 nguyên tô´, c`
ung nhau nên 3m−n − 1 chia hê´t cho 104 ho .˘ac 3m−n − 1 = 104.k. T`u , , , , ¯ d´
o suy ra 3m−n = 104.k + 1. Nhu v .ây, tra l`oi: c´o thê. , ,
. 3.12. G .oi ´y: L´y lu.ân nhu b`ai 3.10. , , ,
. 3.13. G .oi ´y: Ch´u ´y u3 = 1986, ´ap d .ung phuong ph´ap b`ai 3.4. , , , ,
. 3.14. G .oi ´y: L´y lu.ân nhu trong 3.4. Ch´ung minh r`˘ang v´oi m .oi sô´ ,
t .u nhiên m ´ıt nhâ´t m .ôt trong c´ac sô´ x1, x2, . . . , chia hê´t cho m. Sau ¯ d´ o d .˘at m = 38 v`a m = 43. , , , , , ,, ,
. 3.15. G .oi ´y: Tuong t .u nhu 3.8 ta x´et b .ô xê´p s-phâ`n tu nh˜ung sô´ , , , , , , du tuong ´ ung. D˜ ê thâ´y r` ˘ ang tô`n tai nh˜ ung chı sô´ i v`a j sao cho , 1 ≤ i < j ≤ ks v` a m˜ ôi tông trên ¯ dê`u chia hê´t cho k. , , , , , 15.4. L` oi giai v ` a g .oi ´y chuong 4 , , , , 1
. 4.11. G .oi ´y: Quanh m˜ôi ¯diêm ¯d˜a cho v˜e ¯du`ong tr`on b´an k´ınh . 15 , ,
. 4.12. G .oi ´y: B`ai to´an suy ra t`u b`ai 4.9. , , , ,, , , , . 4.13. L` oi giai: Gia su tô`n tai ¯ diêm X t`u c´ac ¯ diêm ¯ d˜ a cho m` a n´ o nô´i , , , , , ¯
du .oc v´oi 6 ¯diêm X1, X2, X3, X4, X5, X6. Khi ¯d´o c´ac ¯do.an th˘ang XX1 , , , , , 15.4. L` oi giai v` a g .oi ´y chuong 4 159 , , , , v` a XX2 ¯
du .oc d .ung theo m .ôt trong hai c´ach sau ¯dây (th .uc ra c´o c´ach , , , , , , th´ u ba nhung l`
a h .ê qua cua (b) khi ta ¯dôi chı sô´) , (a) Nê´u X l`a ¯ diêm gâ`n nhâ´t ¯
dê´n X1 v`a A2, th`ı XX1 < X1X2 v`a ,
XX2 < X1X2, ngh˜ıa l`a trong tam gi´ac XX1X2 c´o c .anh X1X2 l`a l´on nhâ´t. , , (b) Nê´u X1 gâ`n ¯ diêm X nhâ´t, c` on X gâ`n ¯ diêm X2 nhâ´t, th`ı ,
XX1 < XX2 < X1X2ch´ung ta c˜ung c´o c .anh X1X2 l`a l´on nhâ´t trong tam gi´ ac XX1X2 , , , , Suy ra \
X1XX2 > 600. Ch´ung minh ho`an to`an tuong t .u, ch´ung ta , , c˜ ung c´ o \ X2XX3, \ X3XX4, \ X4XX5, \ X5XX6, \ X6XX1 l´on hon 600, ¯ diê`u , , , , , , n` ay không thê ¯
du .oc v`ı tông c´ac g´oc n`ay phai b`˘ang 3600. Nhu v.ây, , , , , , , m˜ ôi ¯ diêm chı nô´i ¯
du .oc nhiê`u nhâ´t v´oi 5 ¯diêm thôi. , , . 4.14. L` oi giai: Ta chia h`ınh tr` on th`
anh 6 h`ınh qu .at b`˘ang nhau (c´o , ¯
dınh t .ai tâm h`ınh tr`on). Khi ¯d´o t.ai m˜ôi m .ôt h`ınh qu.at, không c´o qu´a , , ,, , , ,
m .ôt ¯diêm roi v`ao (boi v`ıkhoang c´ach gi˜ua hai ¯diêm bâ´t k`y trong m .ôt , , ,
h`ınh qu .at không l´on hon 1). Nê´u t.ai m˜ôi h`ınh qu.at c´o m .ôt ¯diêm th`ı , , , , , , , ta c´ o thê t`ım ¯
du .oc hai ¯diêm m`a g´oc gi˜ua c´ac b´an k´ınh vecto cua , , , , ch´ ung không l´ on hon 600 v`a do ¯ d´ o khoang c´ ach gi˜ ua ch´ ung không , , , , l´
on hon 1. Do v .ây, c´o thê ch .on không qu´a 5 ¯diêm. , , , , , . 4.15. L` oi giai: Ta thay m˜ ôi h`ınh vuông b` ˘
ang m .ôt h`ınh l´on hon gi´oi ,, , , , , 1 , ,
h .an boi m .ôt ¯du`ong c´ach biên cua h`ınh vuông m .ôt khoang (¯ du`ong 2 , , 1 n` ay gô`m bô´n ¯
do .an th˘ang ¯don v.i v`a bô´n cung tr`on c´o b´an k´ınh ). 2 , π , , M˜
ôi m .ôt h`ınh nhu thê´c´o di.ên t´ıch b`˘ang 3 + , c`on 120 h`ınh ¯d˜a ¯du .oc 4 , π "viê`n ra" s˜
e phu m .ôt di.ên t´ıch không qu´a 120.(3 + ) = 360 + 30π. 4 , , ,
Ta bao vây biên cua h`ınh ch˜u nh .ât ¯d˜a cho b`˘ang m .ôt dai c´o chiê`u , , , , , 160 Chuong 15. L` oi giai v` a g .oi ´y 1 , , , ,
r .ông . Di.ên t´ıch cua dai b`˘ang 44. Nhu v.ây, di.ên t´ıch tông c .ông 2 , , , , , cua dai v` a tâ´t ca c´ ac h`ınh ¯
du .oc viê`n ra b`˘ang 360 + 30π + 44 = , , ,
404 + 30π < 404 + 94, 5 < 500, t´ uc l` a b´
e hon di .ên t´ıch cua h`ınh , , , ch˜
u nh .ât (S = 20.25 = 500). Do ¯d´o, trong h`ınh ch˜u nh.ât c´o ¯diêm O , ,, , , ,
không b.i phu boi dai v`a c´ac h`ınh vuông ¯d˜a ¯du .oc viê`n ra. Ngh˜ıa l`a , , , ¯
diêm O c´ach bien cua h`ınh ch˜u nh .ât v`a c´ach m .oi h`ınh vuông m .ôt , , , 1 1 khoang l´ on hon . H`ınh tr` on b´ an k´ınh c´
o tâm t .ai O l`a h`ınh tr`on 2 2 câ`n t`ım. , , , , , 15.5. L` oi giai v ` a g .oi ´y chuong 5 , , , , . 5.11. L` oi giai: X´
et m .ôt t.âp A bâ´t k`y t`u 1978 t.âp. V`ı n´o giao v´oi ,, ,
1977 t .âp c`on l.ai, v`ı v.ây tô`n t.ai phâ`n tu a ∈ A, thu .ôc không ´ıt hon 50 , , ,, ,
t .âp h .op n`ay (th.ât v.ây nê´u m˜ôi m .ôt t`u 40 phâ`n tu cua t.âp A thu .ôc , , ,
không nhiê`u hon 49 t .âp, th`ı tâ´t ca c´o không nhiê`u hon 40.49 = 1960 ,,
t .âp kh´ac A, ¯diê`u n`ay không ¯d´ung). V.ây phâ`n tu a thu .ôc c´ac t.âp , , ,
h .op A, A1, . . . , A50. Ta s˜e ch´ung minh n´o s˜e thu .ôc t.âp bâ´t k`y B t`u ,
1978 t .âp. Th.ât v.ây không c´o hai t.âp n`ao t`u c´ac t.âp A, A1, . . . , A50 ,, , , l` a c´ o phâ`n tu chung kh´ ac v´
oi a (v`ı hai t .âp bâ´t k`y giao nhau chı c´o ,, , ,, ,
m .ôt phâ`n tu chung). Gia su a ∈ B. Khi ¯d´o t.âp B c´o v´oi m˜ôi t.âp ,, ,
A, A1, . . . , A50 m .ôt phâ`n tu chung kh´ac v´oi a, suy ra t.âp B c´o không , ,, , , , ,, ´ıt hon 51 phâ`n tu, ¯ diê`u n` ay không thê ¯
du .oc. Suy ra phâ`n tu a thu .ôc , , tâ´t ca c´ ac t .âp h .op. , , , . 5.12. L`
oi giai: M .ôt sô´chia cho 9 th`ıc´o c´ac phâ`n du {0, 1, 2, . . . , 8}. ,, Theo nguyên l´
y Dirichlê mo r .ông, trong 55 sô´ch .on ra th`ı´ıt nhâ´t c´o , , ,
m .ôt nh´om 7 sô´khi chia cho 9 cho c`ung phâ`n du (nê´u ngu .oc l.ai th`ı , ,, , c´ ac nh´ om chı c´
o 6 phâ`n tu v .ây 6.9=54 m`a ta lâ´y ra nh˜ung 55 sô´). Ch´ ung ta k´
y hi .êu c´ac sô´ ¯d´o l`a a1, a2, a3, . . . , a7. V`ı ai+1 ≡ ai (mod 9), , , , , , 15.6. L` oi giai v` a g .oi ´y chuong 6 161 , ,
nên ai+1 − ai ∈ {9, 18, . . .}. Ch´ung ta phai ch´ung minh r`˘ang ai+1 − , , ,, , , ,
ai = 9 v´oi m .ôt i n`ao ¯d´o. Gia su ngu .oc l.ai, v´oi m .oi i, ai+1 − ai ≥ 18, , , , ¯ diê`u n` ay ngh˜ıa l`
a a7 − a1 ≥ 6.8 = 108. Ðiê`u n`ay không thê ¯ du .oc v`ı , , ,, ,
a7 − a1 < 100. Nhu v .ây gi˜ua hai phâ`n tu cua a1, a2, a3, . . . , a7 c´o hai , , sô´m`
a hi .êu cua ch´ung phai b`˘ang 9. , , ,
. 5.13. G .oi ´y: C´ach ch´ung minh nhu b`ai 5.10. , , , , , , . 5.14. L`
oi giai: (B .an t .u v˜e lâ´y h`ınh ) Ch´ung ta xây d .ung lu´oi gô`m √ , 3 , , ,, nh˜
ung h`ınh l .uc gi´ac c´o c.anh . M˜
ôi h`ınh l .uc gi´ac c´o thê phu boi √ 2 , , , , , , , , ¯ du` ong tr` on v´ oi b´ an k´ınh 3. C´ o thê t´ınh to´ an ¯ du .oc sô´ lu .ong l .uc , , gi´ ac m` a ch´ ung c´ o ¯ diêm chung v´ oi tam gi´ ac ¯ dê`u ¯ d˜ a cho l` a 1 + 2 +
3 + · · · + 10 = 55. V`ı 111 = 55 × 2 + 1, nên c´ o m .ôt l .uc gi´ac trong , , , , , , lu´ oi trên ch´ ua ´ıt nhâ´t 3 ¯ diêm trong sô´ 111 ¯ diêm ¯ d˜ a ch .on. Nhu v.ây , , ¯ du` ong tr`
on bao l .uc gi´ac n`ay c´o t´ınh châ´t ¯d˜a nêu. , , , , , , , . 5.15. L` oi giai: K´
y hi .êu A1, A2, . . . , Ak l`a sô´ lu .ong ngu`oi l´on nhâ´t , , , , m` a bâ´t c´ u hai ngu` oi n` ao c˜ ung không quen nhau gi´ an tiê´p. T` u ¯ diê`u , ,
ki .ên b`ai ra k ≤ 7. M˜ôi ngu`oi c`on l.ai trong nh´om quen gi´an tiê´p ´ıt , , , , , , ,
nhâ´t m .ôt ngu`oi trong A1, A2, . . . , Ak (tru`ong h .op ngu .oc l.ai ch´ung , , , , , ta c´
o nhiê`u hon k ngu`oi, m`a hai ngu`oi không quen nhau gi´an tiê´p). , ,
M .ôt trong sô´ A1, A2, . . . , Ak c´o ´ıt nhâ´t 20 ngu`oi quen gi´an tiê´p, v`ı , , , , , , , , nê´u không ¯ d´
ung nhu v .ây, ch´ung ta s˜e nh.ân ¯du .oc tông sô´lu .ong ngu`oi , , nhiê`u nhâ´t l` a 7.19 = 133 < 134. C`
on l .ai kh˘ang ¯d.inh r`˘ang tâ´t ca , , , , , nh˜ ung ngu` oi quen gi´ an tiê´p qua c`
ung m .ôt ngu`oi l`a quen gi´an tiê´p. , , , , , 15.6. L` oi giai v ` a g .oi ´y chuong 6 , , , , ,
. 6.11. G .oi ´y: Ðây l`a tru`ong h .op riêng cua b`ai 6.1 v`a b`ai 6.2. , , , , , 162 Chuong 15. L` oi giai v` a g .oi ´y , 1
. 6.12. G .oi ´y: Sô´ ¯d˜a cho l`a x1, x2, x3, x4 v`a yi = 1 + , i = 1, 2, 3, 4. xi , , , Chı câ`n ch´ ung minh r` ˘ ang hai sô´n` ao ¯
dâ´y trong y1, y2, y3, y4 thoa m˜an y √ i − yj , , , , 0 ≤ ≤ 2 − 3. Phâ`n c` on l .ai tuong t .u nhu 2.6. 1 + 2yiyj , , , , , , . 6.13. L` oi giai: V´ oi ¯
d.inh l´y Fecma ch´ung minh ¯du .oc r`˘ang nê´u m .ôt , ,, sô´ nguyên tô´ p c´
o d .ang 4k + 3 chia hê´t cho tông a2 + b2, o ¯dây , , a, b l` a nh˜
ung sô´ nguyên, th`ı p chia hê´t cho t`ung sô´ a v`a b. H˜ay , , d` ung c´ ac ¯ d˘ ang th´
uc sau 2 = 12 + 12, k2(a2 + b2) = (ka)2 + (kb)2, (a2 + b2)(a2 + b2) = (a 1 1 2 2
1 a2 + b1b2)2 + (a1b2 − a2b1)2. , , , , , , , . 6.14. L` oi giai: Cho tuong ´ ung m˜ ôi sô´ v´ oi c˘ an b .âc hai cua ch´ınh , , , , , , n´
o. Nhu v .ây khi phân t´ıch ra m˜ôi sô´ tuong ´ung v´oi c˘an b.âc hai cua , , , , , sô´ le. M` a sô´ tâ´t ca c´
ac sô´ le nho hon 2k l`a k. V .ây theo nguyên l´y , , Ðirichlê c´
o hai sô´trong k + 1 sô´c´ o c` ung phâ`n c˘ an sô´le, do ¯ d´ o ty sô´ , , , cua n´ o s˜ e l` a l˜ uy th` ua cua 2. , , , . 6.15. L` oi giai: Nê´u gi˜ ua c´ ac sô´ ¯ d˜ a cho c´ o n sô´ m`a khi chia cho n , , , , ch´ ung cho nh˜ ung phâ`n du kh´ ac nhau. Tông cua ch´ ung s˜ e chia hê´t , , , , , ,
cho n, v`ı n l`a sô´ le. Trong tru`ong h .op ngu .oc l.ai, ´ap d .ung nguyên l´y Ðirichlê. , , , , , 15.7. L` oi giai v ` a g .oi ´y chuong 7 , , , , , . 7.11. L` oi giai: Ch´ ung ta thâ´y r` ˘
ang m .oi sô´ nguyên tô´ th .uc s .u l´on , , , hon 3 ¯ dê`u c´
o d .ang 6n + 1 ho.˘ac 6n + 5. V`ı ba sô´ nguyên tô´ l´on hon ,
3 l .âp th`anh m .ôt câ´p sô´c .ông, nên theo nguyên l´y Ðirichlê phai c´o ´ıt , nhâ´t hai sô´c`
ung d .ang, t´uc l`a hi.êu hai sô´ ¯d´o chia hê´t cho 6. G .oi d l`a , ,
công sai cua câ´p sô´ c .ông, th`ı hi.êu cua hai sô´ â´y ho.˘ac l`a d, ho.˘ac l`a , , , , , 15.7. L` oi giai v` a g .oi ´y chuong 7 163 , ,
2d. Nhu thê´ ho .˘ac l`a d|6 ho.˘ac 2d|6. Ch´u ´y công sai d l`a hi.êu cua hai , , , sô´nguyên tô´l´ on hon 3, nên n´ o l` a sô´ch˜ ˘
an. Nhu thê´v`ı d|3 v`a d|2 suy ra d|6. , , 10m . 7.12. L` oi giai: Ta luôn c´ o lim
= ∞. N´oi c´ach kh´ac tô`n t .ai m→+∞ 1998 , , 10m
sô´ nguyên duong m0 sao cho ∀m ≥ m0 th`ı > 91998. X´et m .ôt 1998 , , , , ,
sô´nguyên duong n bâ´t k`y v`a n c´
o k0 ch˜u sô´n = a1a2 . . . ak . Tru`ong 0 , , ,
h .op n`ay ta c˜ung ch .on ¯du .oc
10N > (9k0)1998 v`a N > m0 (15.1) , ,
(c .u thê c´o thê lâ´y N = max{[1998lg(9k0)] + 1, m0 + 1}) , - Ch´ ung ta s˜ e ch´ ung minh ,
ui(n) < 10N v´oi m .oi i = 1, 2, . . . (15.2) ,
Th .ât v.ây, ta s˜e ch´ung minh b`˘ang qui n.ap. , 1) V´ oi i = 1 ta c´
o u1(n) = (k1 + · · · + k0)1998 ≤ (9k0)1998 < 10N
(do (15.1)). V .ây (15.2) ¯d´ung khi i = 1. , ,, , 2. Gia su (15.2) ¯ d´ ung v´
oi i = k, ngh˜ıa l`a uk(n) < 10N. Ta c´o ,
uk+1(n) = f (uk(n)). Theo gia thiê´t qui n .ap th`ı uk(n) < 10N. do ¯d´o , ,
uk(n) c´o không qu´a N ch˜u sô´, t´uc l`a uk(n) c´o d .ang ,
uk(n) = a1a2 . . . ap v´oi p ≤ N Theo ¯ d.inh ngh˜ıa th`ı
uk+1(n) = (a1 + a2 + · · · + ap)1998 ≤ (9N)1998. (15.3) ,
Do N > m0 v .ây t`u (1) suy ra 10N > (9N)1998. (15.4) , T` u (15.3) v` a (15.4) suy ra uk+1(n) < 10N. , , , , , 164 Chuong 15. L` oi giai v` a g .oi ´y ,
V .ây (15.2) ¯d´ung v´oi i = k + 1. Theo nguyên l´y qui n.ap th`ı (15.2) , ¯ d´ ung v´ oi m .oi i = 1, 2, . . .. , , - D˜
ay vô h .an c´ac sô´ nguyên duong {ui(n)}, i = 1, 2, . . . b.i ch.˘an ,, , ,
boi 10N nên theo nguyên l´y Ðirichlê phai tô`n t .ai hai chı sô´ p < q sao cho
up(n) = uq(n) =⇒ up+k(n) = uq+k(n), ∀k , N´ oi c´ ach kh´ ac d˜
ay ui(n), i = p, p + 1, .. l`a d˜ay tuâ`n ho`an v´oi chu k`y
up(n), up+1(n), . . . , up+q+1(n). , , . 7.13. L`
oi giai: Cho a l`a m .ôt sô´tu`y ´y, th`ı {a} = a − [a] g .oi l`a phâ`n , , ,, , , le cua sô´ a, o ¯ dây k´
y hi .êu [a] l`a phâ`n nguyên cua sô´a. Xây d .ung d˜ay , , m´ oi nhu sau v1 = {u1} v2 = {u1 + u2} . . . . vn = {u1 + u2 + · · · + un} , R˜ o r` ang v´
oi m .oi k = 1, 2, . . . , n ta c´o 0 ≤ vk < 1. , ,
Chia [0, 1) ra l`am n + 1 t .âp h .op nhu sau ∆ 1 1 2 n 0 = [0, ); ∆ , ); . . . ; ∆ , 1) n + 1 1 = [ n + 1 n + 1 n = [ n + 1 , , , Chı c´ o c´ ac kha n˘ ang sau xây ra
1. Ho .˘ac tô`n t.ai k m`a vk ∈ ∆0 ∪ ∆n+1: , 1
- Nê´u vk ∈ ∆0, t´uc l`a 0 ≤ {u1 + u2 + · · · + uk} < . Ð .˘at n + 1 1
Sk = u1 + u2 + · · · + uk :⇒ 0 ≤ {S} < n + 1 1 ⇔ [S] ≤ S < [S] + . (15.5) n + 1 , , , , , 15.7. L` oi giai v` a g .oi ´y chuong 7 165 , ,
V .ây [S] l`a sô´ nguyên gâ`n S nhâ´t, nên t`u (15.5) suy ra ¯diê`u phai , ch´ ung minh. , n -Nê´u vk ∈ ∆n t´uc l`a ≤ {u n + 1
1 + u2 + · · · + uk} < 1 hay l` a n n ≤ {S} < 1 ⇔ ≤ S − [S] < 1 hay l`a n + 1 n + 1 n + [S] ≤ S < [S] + 1. (15.6) n + 1 , T`
u (15.6) suy ra [S] + 1 l`a sô´ nguyên gâ`n S nhâ´t v`a kh´ac n´ o m .ôt , , n 1 lu .ong ≤ [S] + 1 − ([S] + ) = . n + 1 n + 1
2. Ho .˘ac l`a c´ac sô´ v1, v2, . . . , vn 6∈ ∆0 ∪ ∆n, v.ây v1, v2, . . . , vn ∈ ∪n−1∆ i=1 i. Theo nguyên l´
y Ðirichlê tô`n t .ai vk, vl, k > l, thu .ôc c`ung m .ôt ,
t .âp h .op ∆j n`ao ¯d´o, 1 ≤ j ≤ n − 1. Ðiê`u ¯ d´ o c´ o ngh˜ıa l` a j j + 1 ≤ {u n + 1
1 + u2 + · · · + ul } < n + 1 j j + 1 ≤ {u n + 1
1 + u2 + · · · + uk} < n + 1
Ð .˘at Sk = u1 + u2 + · · · + uk v`a Sl = u1 + u2 + · · · + ul ta c´o j j + 1 j j + 1 ≤ S ⇒ [S ≤ S n + 1 k − [Sk] < n + 1 k] + n + 1 k < [Sk] + n + 1 j j + 1 j j + 1 ≤ S ⇒ [S ≤ S n + 1 l − [Sl ] < n + 1 l ] + n + 1 l < [Sl ] + n + 1 1 1 [Sk] − [Sl] − ≤ S n + 1
k − Sl ≤ [Sk] − [Sl ] + n + 1 1 1 [Sk] − [Sl] − ≤ u n + 1
l+1 + ul+2 + · · · + ul ≤ [Sk] − [Sl ] + n + 1 ,
Nhu v .ây d˜ay con ul+1 + ul+2 + · · · + ul c´o sô´ nguyên gâ`n nhâ´t l`a , 1 [Sk] − [Sl] v´oi ¯ d .ô l.êch không qu´a . n + 1 , , , , T´
om l .ai, trong m .oi tru`ong h .op ta ¯dê`u c´o tô`n t.ai d˜ay con thoa m˜ an yêu câ`u ¯ dê` ra. , , , , , 166 Chuong 15. L` oi giai v` a g .oi ´y , , . 7.14. L` oi giai: X´ et d˜
ây sô´ p1 = 1a = a, p2 = 2a, p3 = 3a,. . . , , , , ,
pm−1 = (m − 1)a. K´y hi.êu q1, q2, . . . , qm−1 l`a c´ac sô´ du tuong ´ung , cua d˜
ây trên chia cho m. V`ı theo ¯
diê`u ki .ên b`ai to´an a v`a m l`a nguyên , , tô´ c` ung nhau, th`ı tâ´t ca c´ ac sô´ du trên ¯ dê`u kh´ ac không. Nê´u m .ôt , , , , , trong c´ ac sô´ du b` ˘ ang 1 th`ı b`ai to´an ¯ d˜ a ¯
du .oc giai. Nê´u tâ´t ca c´ac sô´ , , du ¯ dê`u kh´ ac 1. Khi ¯ d´ o m˜
ôi sô´ trong m − 1 sô´ du q1, q2, . . . , qm − 1 b` ˘
ang m .ôt trong m − 2 sô´ 2, 3, . . . , m − 1. Theo nguyên l´y Ðirichlê , , c´
o ´ıt nhâ´t hai sô´ trong q1, q2, . . . , qm−1 b`˘ang nhau, ch˘ang h .an nhu , qi = qj, i < j. T` u ¯ d´
o suy ra sô´ (j − i)a = pj − pi chia hê´t cho m, , , , , ¯ diê`u n`
ay không thê xây ra. S .u vô l´y n`ay do gia thiê´t không m .ôt sô´ ,
du trong q1, q2, . . . , qm−1 b`˘ang 1, do ¯ d´
o suy ra ´ıt nhâ´t m .ôt trong c´ac , , sô´du phai b` ˘ ang 1. , , , , , 15.8. L` oi giai v ` a g .oi ´y chuong 8 , , , , , , . 8.11. L` oi giai: Tru´ oc tiên ch´ ung ta s˜ e ch´ ung minh a + b = c. T`u , , [an] 1 , bâ´t ¯ d˘ ang th´
uc 0 ≤ an − [an] < 1 suy ra | − a| < v´ oi m .oi n ≥ 1 n n [an] , , , , , sao cho limn→∞ = a. Ch´ ung ta c˜ ung c´ o bâ´t ¯ d˘ ang th´ uc tuong t .u n , , , , [an] [bn] [cn] cho b v`a c. Ch´ ung ta lâ´y gi´ oi h .an cua ¯d˘ang th´uc + = n n n , , v` a nh .ân ¯du .oc a + b = c. ,,
Ð .˘at a = [a] + α, b = [b] + β o ¯dây 0 ≤ α < 1, 0 ≤ β < 1. Khi ¯d´o
[an] + [bn] = [([a] + α)n] + [([b] + β)n] = [a]n + [b]n + [αn] + [βn],
[(a + b)n] = [([a] + [b] + α + β)n] = [a]n + [b]n + [(α + β)n]. , , , ,
Nhu v .ây b`ai to´an c´o thê ¯d.˘at l.ai nhu sau: Ch´ung minh r`˘ang nê´u a , , , , , v`
a b l`a nh˜ung sô´trong khoang [0, 1) m`a ch´ ung thoa m˜ an ¯ d˘ ang th´ uc [an] + [bn] = [(a + b)n] (15.7) , , v´
oi m .oi sô´t .u nhiên n, th`ı´ıt nhâ´t m .ôt trong hai sô´ ¯d´o b`˘ang 0. , , , , , 15.8. L` oi giai v` a g .oi ´y chuong 8 167 , ,, , , Gia su a 6= 0 v`a b 6= 0. Ch´ ung ta s˜ e ch´
ung minh tô`n t .ai sô´ t .u , , , nhiên n sao cho ¯ d˘ ang th´ uc (15.7) không ¯ d´
ung. Không mâ´t t´ınh tông , , , , qu´ at ch´ ung ta c´ o thê gia thiê´t r` ˘
ang a + b < 1, v`ı nê´u ngu .oc l.ai th`ı , (15.7) s˜ e không ¯ d´
ung th .âm ch´ı v´oi n = 1. , , , , , , a) Ch´ ung ta x´ et tru`
ong h .op a v`a b l`a nh˜ung sô´h˜uu ty. Khi ¯d´o c´o , , , , A B ,, , thê biêu di˜ ên ch´ ung du´ oi d .ang a = , , o ¯ dây A, B v`a N l`a nh˜ung N N , , sô´ nguyên v` a thoa m˜
an 0 < A < N, 0 < B < N. D˜ê d`ang kiêm tra , , r` ˘ ang (15.7) không thoa m˜ an v´ oi n = N − 1. Th .ât v.ây,
[a(N − 1)] = [aN − a] = [A − a] = A + [−a] = A − 1,
[b(N − 1)] = [bN − b] = [B − b] = B + [−b] = B − 1,
[(a + b)(N − 1)] = [A + B − (a + b)] = A + B − [a + b] = A + B − 1 ,
Nhu v .ây [a(N − 1)] + [b(N − 1)] 6= [(a + b)(N − 1)]. , , , , b) Ch´ ung ta x´ et tru`
ong h .op m .ôt trong c´ac sô´ a v`a b l`a sô´ vô ty. , , Ch´ ung ta s˜ e chı ra r` ˘ ang c´
o m .ôt sô´t .u nhiên n, m`a {an} + {bn} ≥ 1. (15.8) , , , Khi ¯ d´ o ¯ d˘ ang th´ uc (15.8) s˜ e suy ra không thê c´ o (15.7). , ,, , , ,
Gia su a l`a m .ôt sô´vô ty, theo b`ai 8.1 t.âp h .op nh˜ung sô´{an}, n = , , , 1, 2, . . . l` a tr`
u m .ât trong khoang (0, 1). K´y hi.êu k l`a sô´ t .u nhiên l´on , nhâ´t m` a a + kb < 1. Khi ¯ d´
o tô`n t .ai sô´t .u nhiên n m`a a + kb < {an} < 1. (15.9) , ,
Nê´u {bn} ≥ b, th`ı t`u ¯ d.inh ngh˜ıa cua k suy ra
{an} + {bn} > (a + kb) + b = a + (k + 1)b ≥ 1 , , , hay n´ oi c´ ach kh´
ac tô`n t .ai sô´t .u nhiên n m`a ¯d˘ang th´uc (15.8) ¯d´ung. , , , , , 168 Chuong 15. L` oi giai v` a g .oi ´y , , , Nê´u {bn} < b, th`ı v´
oi vi .êc thêm 1 − b v`ao c´ac vê´ cua bâ´t ¯d˘ang , , , th´ uc 0 ≤ {bn} < b, ch´ ung ta nh .ân ¯du .oc
1 − b ≤ b(n − 1) − [bn] + 1 < 1 Ðiê`u ¯ d´ o c´ o ngh˜ıa l`
a [b(n − 1)] = [bn] − 1 v`a {b(n − 1)} ≥ 1 − b. , , , , Ngo`
ai ra, tuong t .u t`u (15.9) suy ra
kb < a(n − 1) − [an] < 1 − a < 1 ,
v`ı thê´ [a(n − 1)] = [an] v`a {a(n − 1)} > kb. Nhung khi ¯ d´ o
{a(n − 1)} + {b(n − 1)} > kb + (1 − b) = 1 + (k − 1)b ≥ 1, , , , ,
v`ı k ≥ 1. Trong tru`ong h .op n`ay (15.8) ¯d´ung cho sô´ t .u nhiên n − 1. , ,
Nhu v .ây d˜ân ¯dê´n vô l´y khi m .ôt trong c´ac sô´ a v`a b l`a sô´vô ty. , , , ,
. 8.12. G .oi ´y: Ch´u ´y r`˘ang {n} chı c´o thê nh.ân h˜uu h.an gi´a tr.i. , , , , ,
. 8.13. G .oi ´y: L´y lu.ân tuong t .u nhu 8.4. ,
. 8.14. G .oi ´y: X´et c´ac sô´c´o d.ang n = 2k2 v`a ´ap d .ung 8.4. , , , , , 15.9. L` oi giai v ` a g .oi ´y chuong 9 ,
. 9.11. G .oi ´y: X´et c´ac sô´ kx − [kx](k = 0, 1, 2, . . . , n) v`a sô´ 1, chia , , ¯
do .an [0,1] ra n + 1 phâ`n, phâ`n c`on l.ai ´ap d .ung phuong ph´ap ¯do.an n` ay. , , ,
. 9.12. G .oi ´y: V´oi m˜ôi c´ach ch .on nh˜ung sô´ q1, q2, . . . qn tô`n t.ai sô´ , , nguyên p, v´ oi n´
o 0 ≤ q1x1 + q2x2 + · · · + qmxm − p < 1. Bây gi`oi chia ¯
do .an [0,1] ra (n + 1)m ¯do.an con b`˘ang nhau. , , , , , 15.10. L` oi giai v` a g .oi ´y chuong 10 169 , , , , √ p √ √ . 9.13. G .oi ´ y: H˜ ay x´ et hai tru` ong h .op 2 − > 3 − 2 v` a q √ p √ √ 2 − ≤ 3 − 2 q , , , ,
. 9.14. G .oi ´y: Tuong t .u b`ai trên. , , , ,
. 9.15. G .oi ´y: Gia thiê´t v´oi m .oi p v`a q thoa m˜an |mp2 + npq + sq2| ≥ 1. , , , , , 15.10. L` oi giai v ` a g .oi ´y chuong 10 , , , , , . 10.11. L` oi giai: Ðây l`
a s .u tông qu´at h´oa b`ai 10.3. C´ach ch´ung , , , , , , minh ho` an to`
an tuong t .u. Ch´ung ta c˜ung t.ao ra lu´oi v´oi c´ac h`ınh vuông c´
o di .ên t´ıch 1. Sau ¯d´o lâ´y m .ôt h`ınh vuông l`am gô´c rô`i t.inh , , , tiê´n c´ ac h`ınh vuông c´ o ch´ ua c´
ac manh cua A vê` h`ınh vuông gô´c. , , , , , ,
Nhu v .ây tông di.ên t´ıch nh˜ung phâ`n t.inh tiê´n cua A s˜e l´on hon n. ,, Theo nguyên l´
y Ðirichlê mo r .ông cho di.ên t´ıch suy ra c´o ´ıt nhâ´t , , ,
n + 1 trong sô´ nh˜ung phâ`n cua A ¯ d˜
a t.inh tiê´n t´oi h`ınh vuông gô´c , , , , , c´ o ¯
diêm chung (x0, y0). Nh˜ung ¯ diêm t` u c´ ac h`ınh vuông nho ban ¯ dâ`u ,
t.inh tiê´n ¯dê´n ¯diêm n`ay c´o to.a ¯d .ô l`a (xi, yi) (i = 1, 2, . . . , n + 1), m`a ,
xi − xj v`a yi − yj (i, j = 1, 2, . . . , n + 1) l`a nh˜ung sô´nguyên. , , , . 10.12. L` oi giai: Ch´ ung ta x´ et h`ınh vuông V, m`a n´ o ch´ ua bê`m .˘at A , v` a c´
o c .anh v´oi ¯d .ô d`ai n nguyên. Ð.˘at B = V\A. Ch´ung ta thâ´y ngay , S(V) = n2 v` a S(A) < k, do ¯ d´
o S(B) > n2 − k. Bây gi`o ´ap d .ung b`ai , , 10.11. V`ı thê´ B c´
o thê t.inh tiê´n sao cho n´o ch´ua ´ıt nhâ´t n2 − k + 1 , , , , ¯ diêm v´
oi to .a ¯d .ô nguyên. K´y hi.êu A1, V1, B1 l`a c´ac anh cua ph´ep t.inh , , , ,
tiê´n trên cua A, V, B tuong ´ ung. R˜ o r`
ang B1 = V1\A1. Ch´ung ta s˜e , , , , ch´ ung minh r` ˘
ang A1 ch´ua nhiê`u nhâ´t k − 1 ¯ diêm v´ oi to .a ¯d .ô nguyên. , , , , , 170 Chuong 15. L` oi giai v` a g .oi ´y , ,, , , , ,
Th .ât v.ây, Gia su ngu .oc l.ai ch´ung ta c´o k ¯diêm v´oi to.a ¯d .ô nguyên , , ,
trong A1. V`ı theo c´ach d .ung trên B1 ch´ua ´ıt nhâ´t n2 − k + 1 ¯diêm , trong v´
oi to .a ¯d .ô nguyên v`a B1 ⊂ V1, A1 ⊂ V1, A1 ∩ B1 = ∅, Khi ¯d´o , , ,
h`ınh vuông V1 ch´ua ´ıt nhâ´t n2 + 1 ¯ diêm v´
oi to .a ¯d .ô nguyên, ¯diê`u n`ay , , không thê xây ra, d˜ ân ¯ dê´n vô l´ y. , , , , , . 10.13. L` oi giai: C˜ ung nhu b` ai 10.5 t´
ac d .ung lên A ph´ep v.i t .u v´oi , , , ,
tâm t .ai gô´c t.a ¯d .ô v`a h.ê sô´ 1, ch´ung ta nh.ân ¯du .oc t.âp h .op m´oi A0. 2 ,,
V`ı S(A) > 4n nên S(A0) > n. Theo nguyên l´y Ðirichlê mo r .ông , ,
cho di .ên t´ıch A0 ch´ua ´ıt nhâ´t n + 1 ¯diêm kh´ac nhau (xi, yi) (i = , 1, 2, . . . , n + 1) m`
a xi − xj v`a yi − yj l`a nh˜ung sô´nguyên. , , , , Ch´ ung ta x´ et ¯ da gi´ ac lô`i nho nhâ´t ch´ ua tâ´t ca c´ ac ¯ diêm trên. D˜ ê , , , d` ang thâ´y r` ˘ ang m˜ ôi ¯ dınh cua ¯ da gi´ ac l`
a m .ôt trong c´ac ¯diêm (xi, yi). , , , Nh˜ ung ¯ dınh cua ¯ da gi´
ac không thu .ôc trong ¯do.an n`ao m`a hai ¯dâ`u l`a , , , , nh˜ ung ¯ diêm n` ˘ am trong ¯ da gi´ ac. V`ı thê´trong nh˜ ung ¯ diêm (xi, yi) tô`n , , ,
t .ai m .ôt ¯diêm m`a không n`˘am trong ¯do.an th˘ang nô´i hai ¯diêm trong , , , ,, ,
t .âp h .op ¯diêm ¯d˜a ch .on. Gia su ¯diêm ¯d´o l`a (x1, y1). C˜ung theo b`ai , , , 10.5 cho ta n ¯ diêm kh´ ac nhau v` a kh´ ac ¯
diêm gô´c to .a ¯d .ô, v´oi to.a ¯d .ô
nguyên (xi − x1, yi − y1), i = 2, 3, . . . , n + 1, ¯ dê`u n` ˘ am trong A. V`ı , , t´ınh ¯ dô´i x´ ung nên c´ ac ¯ diêm (x1 − xi, y1 − yi), i = 2, 3, . . . , n + 1, c˜ ung thu .ôc A. , , , Ch´ ung ta s˜ e ch´ ung minh nh˜ ung ¯ diêm x´ ac ¯ d.inh theo c´ach trên l`a , , ,, , , kh´ ac nhau t` ung ¯
dôi m .ô t. Th.ât v.ây, gia su ngu .oc l.ai ch´ung ta c´o
(xi − x1, yi − y1) = (x1 − xj, y1 − yj) , , 1 v´ oi hai chı sô´n` ao ¯ d´
o i, j m`a i, j = 2, 3, . . . , n + 1. V`ı v .ây x1 = (x 2 i + 1 xj) v`a y1 = (y 2 i + yj). Nê´u i = j th`
ı (x1, y1) = (xj, yj), vô l´y v`ı , , , , , 15.11. L` oi giai v` a g .oi ´y chuong 11 171 , , ,
1 6= j. Nê´u i 6= j, th`ı (x1, y1) l`a trung ¯ diêm cua ¯ do .an th˘ang nô´i hai , , , , ¯
diêm (xi, yi) v`a (xj, yj), ¯ diê`u n` ay không thê ¯ du .oc theo c´ach ch .on. , , , , Ch´ ung minh trên chı ra r` ˘ ang A ch´ ua ´ıt nhâ´t 2n ¯ diêm kh´ ac nhau , , v` a kh´
ac gô´c to .a ¯d .ô, c´o to.a ¯d .ô nguyên. Nhung ¯diêm gô´c to.a ¯d .ô c˜ung , n` ˘
am trong t .âp A v`a c´o to.a ¯d .ô nguyên, suy ra kê´t lu.ân cua b`ai to´an. ,
. 10.14. G .oi ´y: ´Ap d .ung b`ai t.âp 10.13. , , , , ,
. 10.15. G .oi ´y: C´ach ch´ung minh tuong t .u 10.9. , , , , , 15.11. L` oi giai v ` a g .oi ´y chuong 11 , , . 11.11. a) T` u b`
ai 11.3 suy ra 6 = 9 − (S12 + S23 + S13) + S123, t´uc l`
a S12 + S23 + S13 = 3 + S123 ≥ 3. Do ¯ d´
o m .ôt trong c´ac sô´S12, S23, S13 , , không nho hon 1. , , , , ,, b) L` oi giai: T` u b`
ai 11.3 suy ra 5 ≥ 9 − M2, t´uc l`a M2 ≥ 4. Boi v`ı , , , , 8 , t` u 9 ¯ da gi´ ac c´
o thê t .ao ¯du .oc 9. = 36 c.˘ap, di.ên t´ıch phâ`n chung cua 2 , , M 1 m 2 .ôt sô´c´
ac c .˘ap ¯d´o không nho hon ≥ . 36 9 , , , . 11.12. L`
oi giai: G .oi M1, M2, . . . , M6 l`a 6 ¯diêm ¯d˜a cho. Trong m˜ôi , , , tam gi´
ac Mi Mj Mk ta tô c .anh l´on nhâ´t b`˘ang mâ`u ¯do. Kê´t qua s˜e l`a , , , ,
m .ôt ¯do.an th˘ang Mr Ms l`a ¯do c`on c´ac c.anh kh´ac s˜e không ¯do. Chı câ`n , , , ch´ ung minh r` ˘
ang tô`n t .ai m .ôt tam gi´ac c´o ¯dınh l`a c´ac ¯diêm ¯d˜a cho v`a , , , , , ,
ba c .anh ¯du .oc tô mâ`u ¯do. Th.ât v.ây, c.anh l´on nhâ´t cua tam gi´ac nhu , , , , , thê´ ¯ dô`ng th` oi l`
a c .anh nho nhâ´t cua tam gi´ac kh´ac v`ı n´o ¯du .oc tô mâ`u , , , , , , ¯ do. T` u m˜ ôi ¯ diêm ¯ d˜ a cho xuâ´t ph´ at 5 ¯
do .an th˘ang nô´i n´o v´oi c´ac ¯diêm , , , , c`
on l .ai. V.ây ho.˘ac ´ıt nhâ´t c´o 3 trong nh˜ung ¯do.an th˘ang n`ay ¯du .oc tô , , , , mâ`u ¯
do, ho .˘ac ´ıt nhâ´t c´o 3 ¯do.an v˜ân không ¯du .oc tô mâ`u ¯do. , , , , , 172 Chuong 15. L` oi giai v` a g .oi ´y , , , , , , Nê´u t` u ¯ diêm M1 xuâ´t ph´at 3 ¯
do .an ¯du .oc tô mâ`u ¯do (ch˘ang h.an ,
M1M2, M1M3, M1M4) th`ı trong ∆M2M3M4 ´ıt nhâ´t c´o m .ôt c.anh (l´on , , , , ,, nhâ´t) ¯
du .oc tô mâ`u ¯do, gia su ¯d´o l`a ¯do.an M2M3. Thê´ th`ı trong , , ∆ , ,
M1M2M3 tâ´t ca c´ac c .anh ¯dê`u ¯du .oc tô mâ`u ¯do. , , , , Nê´u t` u ¯
diêm M1 xuâ´t ph´at ´ıt nhâ´t 3 ¯
do .an không ¯du .oc tô mâ`u , , ¯ do (ch˘
ang h .an 3 ¯do.an M1M2, M1M3, M1M4) th`ı ta x´et 3 tam gi´ac
M1M2M3, M1M2M4, M1M3M4. Trong m˜ôi tam gi´ac n`ay ´ıt nhâ´t c´o , , , , , ,
m .ôt c.anh ¯du .oc tô mâ`u ¯do, nhung c.anh không ch´ua ¯dınh M1. V.ây , , , , , 3 ¯
do .an M2M3, M2M4, M3M4 ¯du .oc tô mâ`u ¯do, t´uc l`a 3 c.anh cua , ∆M2M3M4 ¯dê`u mâ`u ¯do. , , , , , . 11.13. L` oi giai: Tru´
oc hê´t ta nh .ân x´et c´o ´ıt nhâ´t m .ôt tam gi´ac ¯don , ,, , , , , s´ ˘ ac (B`
ai 5.4). Gia su P1P2P3 l`a tam gi´ac ¯ don s´ ˘ ac, ch˘ ang h .an ¯do. Ðê , ,
riêng P1 ta c`on l .ai 6 ¯diêm v`a ta l.ai c´o m .ôt tam gi´ac ¯don s´˘ac không , , c´ o P1 l`a ¯ dınh (B` ai 5.4). Nê´u tam gi´ ac n` ay không ch´ ua c .anh P2P3 th`ı , , , , , , ta ¯
du .oc kê´t qua, thê´th`ı c´o m .ôt ¯diêm th´u tu P0 sao cho P0 P 1 1 2 P3 c˜ ung , , , , , , , l` a tam gi´ ac ¯
do. Tuong t .u ¯dê riê`n P2 v`a P3 ta ¯du .oc P0 v`a P0 sao cho 2 3 , P1P0 P l` a tam gi´ ac o. 2 3 v` a P1P2P03 ¯ d , , , , Tru´ oc hê´t ta x´ et kha n˘ angl` a 3 ¯
diêm P0, P0 v`a P0 không phân bi 1 2 3 .êt. , , , , Trong tru`
ong h .op n`ay m .ôt trong ch´ung t.ao th`anh v´oi P1P2P3 m .ôt , , , , h`ınh t´
u di .ên. C`on l.ai 3 ¯diêm. Nê´u c´ac c.anh gi˜ua m .ôt trong ba ¯diêm , , , , , , c`
on l .ai ¯d´o v`a 2 ¯dınh cua h`ınh t´u di.ên l`a ¯do ta s˜e ¯du .oc hai tam gi´ac , , , , , ¯ do v´
oi 2 c .anh r`oi nhau, m .ôt tam gi´ac c´o m .ôt ¯dınh m´oi v`a m .ôt c.anh , , , , cua t´
u di .ên v`a tam gi´ac kia trên t´u di.ên. Nê´u không, m˜ôi ¯diêm c´o ´ıt , , , , , ,
nhâ´t c .anh ¯do thu .ôc t´u di.ên. Nhu thê´c´o ´ıt nhâ´t m .ôt ¯dınh cua t´u di.ên , , , nô´i v´ oi ca 3 ¯ dınh c`
on l .ai b`˘ang c.anh mâ`u ¯den. Nê´u c.˘ap n`ao trong 3 , nô´i b` ˘
ang c .anh ¯den th`ı ta c´o m .ôt tam gi´ac ¯den v`a m .ôt ¯do. Nê´u không , , , , , ta ¯
du .oc hai tam gi´ac ¯do c´o ¯dınh r`oi nhau. , , , , , 15.12. L` oi giai v` a g .oi ´y chuong 12 173 , , ,, ,
V .ây ta c´o thê gia su r`˘ang ba ¯diêm P0, P0 v`a P0 l`a phân bi 1 2 3 .êt. Nê´u , , , , , , , 2 ¯ diêm, P0 v`a P0, c nô´i b` ˘ ang c o th`ı ta c hai tam gi´ ac o 1 2 ¯ du .o .anh ¯ d ¯ du .o ¯ d , , P1P2P3 v`a P0 P0 P P0 P0 cho theo th´ u t 1 2 3. Nê´u không th` ı P1P2P3 v`a P01 2 3 .u ,
m .ôt tam gi´ac ¯do v`a m .ôt tam gi´ac ¯den. , , , , , , , . 11.14. L` oi giai: Lâ´y 1998 ¯ d˜ıa ¯
du .oc tô giô´ng nhu ¯d˜ıa th´u hai cua , , ch´ ung ta v` a ¯
d .˘at chô`ng tâ´t ca ch´ung lên ¯d˜ıa th´u nhâ´t sao cho ch´ung , , , c´ o tâ´t ca c´
ac v.i tr´ı c´o thê (nhu khi quay). Khi ¯d´o trên m˜ôi h`ınh qu.at , , , , , , cua ¯ d˜ıa th´ u nhâ´t c´
o 200 h`ınh qu .at, ¯du .oc tô, t´uc l`a c´o tâ´t ca 2002 , , , ,, , ,
c .˘ap h`ınh qu.at ¯du .oc tô tr`ung nhau. Gia su c´o n v.i tr´ı cua ¯d˜ıa th´u , , , hai c´
o không ´ıt hon 21 c .˘ap h`ınh qu.at ¯du .oc tô tr`ung nhau. Khi ¯d´o , , , , sô´ c´
ac h`ınh qu .at ¯du .oc tô tr`ung nhau không nho hon 21n. Do ¯d´o , ,, 21n ≤ 2002, t´ uc l`
a n ≤ 1904, 8. Boi v`ı n l`a sô´nguyên, nên n ≤ 1904. Suy ra c´
o ´ıt nhâ´t 1998 − 1904 = 94 v.i tr´ı c´o không qu´a 20 c.˘ap h`ınh , ,
qu .at ¯du .oc tô tr`ung nhau. , , ,
. 11.15. G .oi ´y: Ch´ung minh ho`an to`an nhu b`ai 11.2. , , , , , 15.12. L` oi giai v ` a g .oi ´y chuong 12 , , , , , . 12.11. L`
oi giai: Lâ´y A∗ l`a nh˜ung ¯
diêm trên m .˘at câ`u ¯dô´i x´ung qua , , , , , , , , , tâm cua qua câ`u t` u nh˜ ung ¯
diêm cua t .âp h .op A. Theo gia thiê´t tông , , ,
di .ên t´ıch cua A v`a A∗ l´on hon di.ên t´ıch m.˘at câ`u. Theo nguyên l´y , ,
Ðirichlê cho di .ên t´ıch ch´ung c´o ¯diêm chung. V.ây ¯diêm chung ¯d´o v`a , , , , , , ¯ diêm ¯ dô´i x´ ung cua n´ o l`
a c .˘ap ¯diêm ¯dê`u thu .ôc A t.ao ra ¯du`ong k´ınh , qua câ`u. , , , , . 12.12. L` oi giai: V´ oi m˜
ôi h`ınh ch˜u th .âp ta x´et h`ınh tr`on c´o tâm t.ai , 1 , tâm ch˜
u th .âp v`a b´an k´ınh b`˘ang √ . Ta ch´ung minh r`˘ang nê´u hai 2 2 , , , , , 174 Chuong 15. L` oi giai v` a g .oi ´y , , h`ınh tr` on ¯ d´ o c´ ˘ at nhau th`ı hai ch˜
u th .âp c˜ung s˜e c´˘at nhau. Khoang , , , c´ ach gi˜ ua hai tâm cua h`ınh tr` on b` ˘ ang nhau v` a c´ ˘ at nhau không l´ on , , , , , hon hai lâ`n b´ an k´ınh cua ch´ ung, do ¯ d´ o khoang c´ ach gi˜ ua tâm cua , , , , , , , 1 , c´ ac ch˜
u th .âp tuong ´ung v´oi ch´ung không l´on hon √ . X´et h`ınh ch˜u 2 ,, , , , ,
nh .ât x´ac ¯d.inh boi c´ac c´anh cua h`ınh ch˜u th.âp th´u nhâ´t v`a tâm cua , , , , , ch˜
u th .âp th´u hai. S˜e c´o m .ôt c´anh cua ch˜u th.âp th´u hai ¯di qua h`ınh , , , ,, , ch˜
u nh .ât ¯d´o, do ¯d´o s˜e c´˘at ch˜u th.âp th´u nhâ´t, boi v`ı ¯d .ô d`ai cua c´anh 1 , , , , , 1 b` ˘ ang √ , c` on ¯
d .ô d`ai ¯du`ong ch´eo h`ınh ch˜u nh.ât không l´on hon √ . 2 2 , , , , R˜ o r` ang trong h`ınh tr` on b´ an k´ınh 100 chı c´ o thê ¯ d .˘at ¯du .oc m .ôt , 1 sô´h˜
uu h .an c´ac h`ınh tr`on b´an k´ınh √ không c´˘at nhau. 2 2 , , , , ,, , . 12.13. L` oi giai: C´
o thê. Gia su O l`a tâm cua ng˜ u gi´ ac ¯ dê`u ABCDE. Khi ¯ d´ o c´ ac h`ınh tr`
on n .ôi tiê´p trong c´ac g´oc AOC, BOD, COE, DOA, EOB c´ o t´ınh châ´t ¯ d˜ a nêu. , , , . 12.14. L` oi giai: X´
et m .ôt tam gi´ac ¯dê`u c´o c.anh b`˘ang 1. Tâ´t ca 3 , , , , , , ¯ dınh cua n´ o không thê ¯
du .oc tô b`˘ang c´ac mâ`u kh´ac nhau, do ¯d´o phai , , , c´ o hai ¯ diêm c` ung mâ`u, v` a khoang c´ ach gi˜ u ch´ ung b` ˘ ang 1. PH .U L .UC A , T .ÂP H .OP V `A ´ANH X .A , ,, ,
A.1. T .âp h .op v`a To´an tu trên t .âp h .op. , , ,, , Khi ch´
ung ta coi m .ôt ¯dô´i tu .ong a n`ao ¯d´o l`a m .ôt phâ`n tu cua t.âp , ,, ,
h .op A, th`ı k´y hi.êu l`a a ∈ A, c`on khi a không l`a phâ`n tu cua A th`ı k´y hi .êu l`a a 6∈ A. , , , ,
M .ôt t.âp h .op A g .oi l`a t .âp h .op con cua t.âp h .op B, khi m .oi phâ`n ,, , , ,, , ,
tu cua t .âp h .op A l`a phâ`n tu cua t.âp h .op B, K´y hi.êu l`a A ⊂ B ho.˘ac , , B ⊃ A. Ngh˜ıa l` a t`
u a ∈ A suy ra a ∈ B ho .˘ac l`a t`u a 6∈ B suy ra a 6∈ A. , ,,
T .âp h .op r˜ông không c´o m .ôt phâ`n tu n`ao, k´y hi.êu l`a ∅. M .oi ¯dô´i , , ,
tu .ong x ¯dê`u không n`˘am trong t.âp h .op r˜ông x 6∈ ∅ . T.âp h .op r˜ông , , ¯ dê`u n` ˘
am trong m .oi t.âp h .op, ngh˜ıa l`a ∅ ⊂ A, v´oi m .oi A. , ,,
Hai t .âp h .op A v`a B tr`ung nhau khi ch´ung c´o c`ung c´ac phâ`n tu , , , , , , , nhu nhau, k´
y hi .êu A = B. Tuong ¯duong , A = B khi v`a chı khi t`u , a ∈ A suy ra a ∈ B v` a t`
u a ∈ B suy ra a ∈ A ho .˘ac A ⊂ B v`a B ⊂ A. , , , , ,
Cho A1, A2, . . . , An l`a m .ôt sô´ h˜uu h.an nh˜ung t.âp h .op. H .op cua , , , , ,, nh˜
ung t .âp h .op trên l`a m .ôt t.âp h .op gô`m tâ´t ca c´ac phâ`n tu m`a n´o , , ,
thu .ôc v`ao m .ôt trong c´ac t.âp h .op A1, A2, . . . , An. H .op cua c´ac t.âp , ,
h .op A1, A2, . . . , An , k´y hi.êu l`a A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An. C .u thê, a ∈ A1 ∪ ,
A2 ∪ . . . ∪ An ngh˜ıa l`a tô`n t .ai m .ôt chı sô´i trong {1, 2, . . . , n} sao cho 175 , , , 176 Chuong A. T .âp h .op v`a ´ Anh x .a a ∈ Ai. , , ,
Cho A1, A2, . . . , An l`a m .ôt sô´ h˜uu h.an nh˜ung t.âp h .op. Giao , , , , ,, cua nh˜
ung t .âp h .op trên l`a m .ôt t.âp h .op gô`m c´ac phâ`n tu m`a , , , n´ o n` ˘
am trong m .oi t.âp h .op A1, A2, . . . , An. Giao cua c´ac t.âp h .op ,
A1, A2, . . . , An k´y hi.êu l`a A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An. C .u thê, a ∈ A1 ∩ A2 ∩ , ,
. . . ∩ An ngh˜ıa l`a v´oi m .oi chı sô´i trong {1, 2, . . . , n} ta c´o a ∈ Ai. , , ,
Hi .êu cua hai t.âp h .op A v`a B l`a m .ôt t.âp h .op, k´y hi.êu A\B, gô`m , ,, nh˜ ung phâ`n tu a c´
o t´ınh châ´t a ∈ A v`a a 6∈ B. , ,
A.2. Qui n .ap to´an h .oc v`a B`ai to´an tô h .op , , ,
Trong t .âp h .op sô´t .u nhiên, c`ung v´oi nguyên l´y Ðirichlê c`on m .ôt , , ,, , , nguyên l´
y qui n .ap to´an h .oc c˜ung hay ¯du .oc su d .ung. D.ang ¯don gian , , , , cua phuong ph´
ap qui n .ap to´an h .oc nhu sau: , ,
Cho m .ôt d˜ay nh˜ung ¯diê`u kh˘ang ¯d.inh K1, K2, . . . , Kn, . . . (A.1) c´ o t´ınh châ´t sau: ,
a)K1 l`a kh˘ang ¯d.inh ¯d´ung. , , , b) V´ oi m˜
ôi sô´ t .u nhiên n,nê´u Kn l`a kh˘ang ¯d.inh ¯dus ng th`ı suy ra ,
Kn+1 c˜ung l`a kh˘ang ¯d.inh ¯d´ung. , , Khi ¯ d´ o tâ´t ca c´ ac kh˘ ang ¯
d.inh trong d˜ay (A.1) ¯dê`u ¯d´ung. , , Ch´ u ´ y: ¯
diê`u ki .ên a) ¯dam bao cho K1 ¯d´ung, sau ¯d´o ´ap d .ung b) cho K2 c˜ung ¯ d´
ung, tiê´p t .uc ´ap d .ung b) cho K3 c˜ung ¯d´ung v`a tiê´p t .uc , , , qu´ a tr`ınh ¯ d´ o v´
oi m .oi n. Ðê minh h .oa ch´ung ta ch´ung minh m .ôt ¯d.inh , , l´
y vê` tô h .op m`a râ´t hay ´ap d .ung trong cuô´n s´ach n`ay: , , , ,, , ,,
M .oi t .âp h.op h˜uu h .an v´oi n phâ`n tu c´o ¯d´ung 2n t .âp h.op con t .ao boi ,, , c´ ac phâ`n tu kh´ ac nhau cua n´ o. , A.3. ´ Anh x .a trên t.âp h .op 177 , , V´
oi m .oi sô´ n ch´ung ta k´y hi.êu ¯diê`u kh˘ang ¯d.inh trên b`˘ang Kn. , , , , ,
Nhu v .ây ch´ung ta s˜e nh.ân ¯du .oc d˜ay (A.1). V´oi n = 1 kh˘ang ¯d.inh , ,, , ¯ d´
ung, v`ı m .oi t.âp h .op c´o m .ôt phâ`n tu c´o ¯d´ung hai t.âp h .op con, ¯d´o l`a ,,
t .âp r˜ông v`a ch´ınh t.âp ( m .ôt phâ`n tu ) ¯dos . V.ây (A.1) c´o t´ınh châ´t a). , , , Bây gi` o ch´ ung ta phai ch´ ung minh b) ¯ d´ ung. Ngh˜ıa l` a cho n l`a , , , ,
m .ôt sô´t .u nhiên bâ´t k`y v`a kh˘ang ¯d.inh Kn ¯d´ung t´uc l`a m .oi t.âp h .op c´o ,, , , , n phâ`n tu c´ o ¯ d´
ung 2n t .âp h .op con. Câ`n phai ch´ung minh r`˘ang Kn+1 , ,, l` a ¯ dus ng. Ch´ ung ta x´
et S l`a t .âp h .op c´o n + 1 phâ`n tu v`a s l`a m .ôt ,, , , , , , phâ`n tu cua n´ o. Ch´ ung ta chia nh˜
ung t .âp h .op con cua S l`am hai l´op: , , , , , , L´
op a1 gô`m tâ´t ca c´ac t .âp h .op con cua S không ch´ua s. L´op a2 gô`m , , , , , , , tâ´t ca c´
ac t .âp h .op con cua S ch´ua s. Nh˜ung t.âp h .op con thu .ôc l´op a1 , , , ,, , l`
a t .âp h .op con cua m .ôt t.âp h .op n phâ`n tu S1, m`a n´o nh.ân t`u S sau , ,, , , , , , khi bo ¯
di phâ`n tu s. Theo gia thiê´t qui n .ap sô´lu .ong t.âp h .op con cua , , , , , , n´ o ¯ d´ ung l`
a 2n. M .˘at kh´ac c´ac t.âp h .op con cua l´op a2 l`a tuong ´ung 1-1 , , , , , , v´ oi v´ oi c´
ac t .âp h .op con cua S1. Th.ât v.ây, m .oi t.âp h .op con Z ch´ua s , , , , , , , , cua S ta cho tuong ´ ung v´
oi t .âp h .op con Z1 cua S1 b`˘ang c´ach t`u Z , ,, , , , , , ta bo ¯
d.i phâ`n tu s. Ngh˜ıa l`a sô´lu .ong t.âp h .op con cua S trong l´op a2 , , , , , , tr` ung v´
oi sô´ lu .ong t.âp h .op con cua S1 v`a b`˘ang 2n. Do ¯d´o tâ´t ca t.âp , , , ,
h .op con cua S l`a 2n + 2n = 2n+1. Nhu v.ây ch´ung ta ¯d˜a ch´ung minh, , , , v´
oi m .oi n, t`u Kn ¯dus ng suy ra Kn+1 ¯dus ng. Ch´ung ta ch´ung minh , , , , ¯
du .oc (A.1) c´o t´ınh châ´t b). Suy ra tâ´t ca c´ac kh˘ang ¯d.inh ¯dê`u ¯d´ung. J , A.3. ´ Anh x .a trên t .âp h .op , , ,, , , , , T` u nh˜ ung kh´
ai ni .êm sô´phâ`n tu cua m .ôt t.âp h .op n`ay l´on hon sô´ ,, , , , , ,
phâ`n tu cua m .ôt t.âp h .op kia, ngu`oi ta xây d .ung kh´ai ni.êm ´anh x.a , , , ¯ dê giai th´ıch v` a ch´ınh x´ ac h´ oa trong khi ch´ ung minh. , , , 178 Chuong A. T .âp h .op v`a ´ Anh x .a , , Ch´ ung ta n´ oi r` ˘
ang cho m .ôt ´anh x .a f : A → B t`u t.âp h .op A v`ao , ,, , , , ,
t .âp h .op B, khi m .oi phâ`n tu a thu .ôc A cho tuong ´ung v´oi m .ôt phâ`n ,, ,, , ,
tu f (a) thu .ôc B. Phâ`n tu f (a) g .oi l`a gi´a tr.i cua ´anh x.a f v´oi phâ`n ,, , , , , , tu a cua A. C´
o thê chı ra nhiê`u v´ı d .u nhu ´anh x.a sô´t .u nhiên v`ao sô´ , , , , , ch˜ ˘ an, v´
oi m .oi n cho tuong ´ung v´oi 2n,. . . . , , , , Ngu` oi ta c` on ¯
dua ra m .ôt sô´ t´ınh châ´t cua ´anh x.a: M .ôt ´anh x.a , ,
f : A → B g .oi l`a ¯don ´anh, nê´u t`u f (a1) = f (a2)(a1, a2 ∈ A) suy ra , ,, ,
a1 = a2. N´oi c´ach kh´ac f l`a ¯ don ´
anh khi m .oi phâ`n tu kh´ac nhau cua , , , , , ,, , A cho tuong ´ ung v´ oi nh˜ ung phâ`n tu kh´ ac nhau cua B. , ,,
M .ôt ´anh x.a f : A → B g .oi l`a to`an ´anh, nê´u v´oi m .oi phâ`n tu , , ,,
cua b cua B tô`n t .ai phâ`n tu a thu .ôc A sao cho f (a) = b. C´o nhiê`u v´ı , , ,
d .u vê` ´anh x.a lo.ai n`ay, nhu ph´ep chiê´u lên tr .uc to.a ¯d .ô cua m .oi ¯diêm , trong m .˘at ph˘ang. , ,
M .ôt ´anh x.a f : A → B g .oi l`a song ´anh, khi n´o ¯dô`ng th`oi l`a ¯don , ,, ´ anh v` a to` an ´
anh. Nê´u f : A → B l`a song ´anh, th`ı v´ oi m .oi phâ`n tu b , ,,
cua B tô`n t .ai duy nhâ´t phâ`n tu a thu .ôc A sao cho f (a) = b. Cho song ´ anh f : A → B. Nê´u ch´ ung ta ¯ d .˘at g(b) = a khi ¯d˜a , , c´ o f (a) = b, ch´
ung ta nh .ân ¯du .oc ´anh x.a g : B → A g .oi l`a ´anh , , , ,
x .a ngu .oc cua f v`a k´y hi.êu l`a f −1 = g. Nhu v.ây f ( f −1(b)) = b v`a , f −1( f (a)) = a v´
oi m .oi a thu .ôc A v`a b thu .ôc B. , Cho hai ´
anh x .a f : A → B v`a g : B → C, c´o thê t.ao ra ´anh x.a , h : A → C b`˘ ang công th´
uc h(a) = f (g(a)). K´y hi .êu h = g ◦ f . , T ` AI LI .ÊU THAM KHAO , , ,
[1] Tuyên t .âp 30 n˘am t .ap ch´ı To´an h.oc v`a Tuôi tre, NXBGD, 1997. [2] 255 b` ai to´
an sô´ h .oc ch.on l.oc, V.D. Th .uy, T. C. Th`anh, N. N. ,, Ð .am, So GD H`a tây, 1993 , , , [3] 10000 B` ai to´ an so câ´p - D˜ ay sô´ v` a gi´
oi h .an, Phan Huy Khai, NXB H` a n .ôi, 1997. , , [4] C´ ac ¯ dê` thi vô ¯
d.ich to´an c´ac nu´oc, Xv. Cônhiagin, G.A.Tônôian, , If. Sarugin, NXB GD 1996. , , [5] C´ ac b` ai to´
an h`ınh h .oc ph˘ang, V.V. Praxolov, T.âp II, NXB Hai ph` ong 1997. , [6] Zadatri Vsesaiun´
uc matematitreskii olimpiada, N.B. Vasilev,
A.A. Egorov, Maskova- Nauka 1988.
[7] Matematichskii akvarium V. A. Uphnarovskii, Kishinev " shti- insa" 1987.(Tiê´ng Nga).
[8] Problem-Solving Through Problems, Loren C. Larson, Spring- Verlag, 1983.
[9] Princil na Dirichle, Ivan Prodanov, "Narodna Prosveta", Sophia 1988 (Tiê´ng Bungari). 179 180 M .uc l .uc ,
[10] Zadachi da idvunklasna Rabota po matematika,
R.Rusev, K.Bankov, Sv. Slavchev, "Narodna Prosveta", Sophia 1986 (Tiê´ng Bungari).
[11] Sbornhik ot Zadachi za Matematicheski Olympiadi,
St. Budurov, V. Phlorov, "Narodna Prosveta", Sophia 1966 (Tiê´ng Bungari). N .ÔI DUNG , L` oi n´ oi ¯
dâ`u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 , , Chuong 1. Nguyên l´ y Ðirichlê v`
a v´ı d .u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1. Nguyên l´
y Ðirichlê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. V´ı d .u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3. B`
ai t .âp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 , ,
Chuong 2. Sô´ h .oc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 , 2.1. Ph´
ep chia sô´t .u nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2. V´ıd .u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3. B`
ai t .âp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 , , Chuong 3. D˜
ay sô´. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.1. Nguyên l´ y Ðirichlê cho d˜
ay sô´vô h .an. . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2. V´ı d .u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.3. B`
ai t .âp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 , ,
Chuong 4. H`ınh h .oc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.1. V´ı d .u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.2. B`
ai t .âp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 , , ,,
Chuong 5. Mo r .ông nguyên l´y Ðirichlê. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ,, 5.1. Nguyên l´
y Ðirichlê mo r .ông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.2. V´ı d .u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 181 182 N .ÔI DUNG 5.3. B`
ai t .âp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 , , Chuong 6. B`
ai t .âp sô´h .oc nâng cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 , , ,
6.1. Ð.inh l´y co ban cua sô´h .oc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.2. V´ı d .u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 6.3. B`
ai t .âp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 , , Chuong 7. B`
ai t .âp d˜ây sô´nâng cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7.1. V´ı d .u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 7.2. B`
ai t .âp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 , , , ,
Chuong 8. Sô´ th .uc v´oi t .âp tr`u m .ât . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8.1. T .âp tr`u m.ât . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8.2. V´ı d .u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 8.3. B`
ai t .âp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 , , , , , Chuong 9. Nh˜ ung ´
ung d .ung kh´ac cua nguyên l´y Ðirichle . . 89 , ,
9.1. Xâ´p xı m .ôt sô´th .uc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 9.2. B`
ai t .âp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 , , Chuong 10. Nguyên l´
y Ðirichlê cho di .ên t´ıch . . . . . . . . . . . . . 101 , 10.1. Ph´ at biêu nguyên l´
y Ðirichlê cho di .ên t´ıch . . . . . . . . . . 101
10.2. V´ı d .u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 10.3. B`
ai t .âp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 , , , , Chuong 11. To´
an h .oc tô h .op. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
11.1. V´ı d .u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 11.2. B`
ai t .âp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 , ,
Chuong 12. M .ôt sô´b`ai t .âp h`ınh h .oc kh´ac . . . . . . . . . . . . . . . . 129
12.1. V´ı d .u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 M .uc l .uc 183 12.2. B`
ai t .âp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 , ,
Chuong 13. M .ôt sô´ ¯dê` thi vô ¯d.ich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 , , , , Chuong 14. B`
ai t .âp t .u giai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 , , , , , Chuong 15. L` oi giai v`
a g .oi ´y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 , , , , , 15.1. L`oi giai v`
a g .oi ´y chuong 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 , , , , , 15.2. L` oi giai v`
a g .oi ´y chuong 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 , , , , , 15.3. L` oi giai v`
a g .oi ´y chuong 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 , , , , , 15.4. L` oi giai v`
a g .oi ´y chuong 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 , , , , , 15.5. L` oi giai v`
a g .oi ´y chuong 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 , , , , , 15.6. L` oi giai v`
a g .oi ´y chuong 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 , , , , , 15.7. L` oi giai v`
a g .oi ´y chuong 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 , , , , , 15.8. L` oi giai v`
a g .oi ´y chuong 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 , , , , , 15.9. L` oi giai v`
a g .oi ´y chuong 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 , , , , , 15.10. L` oi giai v`
a g .oi ´y chuong 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 , , , , , 15.11. L` oi giai v`
a g .oi ´y chuong 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 , , , , , 15.12. L` oi giai v`
a g .oi ´y chuong 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 ,
Ph .u l .uc A. T .âp h .op v`a ´Anh x .a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 , ,, ,
A.1. T .âp h .op v`a To´an tu trên t.âp h .op. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 , ,
A.2. Qui n .ap to´an h .oc v`a B`ai to´an tô h .op . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 , A.3. ´
Anh x .a trên t.âp h .op . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
M .uc l .uc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 , , NGUY˜ ÊN H ˜ UU ÐIÊN , , , PHUONG PH´ AP ÐIRICHLÊ V` A ´ UNG D .UNG , , , c Ebook 1.0 cua cuô´n s´ ach nguyên gô´c t` u ban in, c´ ac b .an tham , , , khao, cho ´ y kiê´n sai s´ ot v` a l` oi khuyên t´ ai ban. M .oi liên h.ê , , , T´ ac gia: Nguy˜ ên H˜ uu Ðiên Ði .ên tho.ai: 0989061951 Email: huudien@vnu.edu.vn
Web: http://nhdien.wordpress.com , ,
Ch.iu tr´ach nhi.êm xuâ´t ban: TÔ Ð˘ANG HAI ,, , Biên t .âp v`a sua ban in: Ð ˜ Ô PH ´ U , , , Tr`ınh bâ`y v` a chê´ban: H˜ UU ÐIÊN, PH ` U LINH , , Tr`ınh bâ`y b`ıa: HUONG LAN , NH` A XU´
ÂT BAN KHOA H .OC V`A K˜Y THU .ÂT , 70 TR` ÂN HUNG Ð .AO - H`A N .ÔI 6.6T7.3 290 - 4-98 KHKT − 98 , ,
In 1000 ban khô 14, 5 × 20, 5 t .ai Công ty In Công Ðo`an Vi.êt Nam ,
191 Son Tây - Ðô´ng Ða - H`
a N .ôi. Giâ´y ph´ep XB sô´: 290-22/4/98. , , In xong v`
a n .ôp luu chiêu th´ang 1 n˘am 1999.
Document Outline

  • Lời nói đầu
  • Nguyên lý Đirichlê và ví dụ
    • Nguyên lý Đirichlê
    • Ví dụ
    • Bài tập
  • Số học
    • Phép chia số tự nhiên
    • Vídụ
    • Bài tập
  • Dãy số
    • Nguyên lý Đirichlê cho dãy số vô hạn
    • Ví dụ
    • Bài tập
  • Hình học
    • Ví dụ
    • Bài tập
  • Mở rộng nguyên lý Đirichlê
    • Nguyên lý Đirichlê mở rộng
    • Ví dụ
    • Bài tập
  • Bài tập số học nâng cao
    • Định lý cơ bản của số học
    • Ví dụ
    • Bài tập
  • Bài tập dẫy số nâng cao
    • Ví dụ
    • Bài tập
  • Số thực với tập trù mật
    • Tập trù mật
    • Ví dụ
    • Bài tập
  • Những ứng dụng khác của nguyên lý Đirichle
    • Xấp xỉ một số thực
    • Bài tập
  • Nguyên lý Đirichlê cho diện tích
    • Phát biểu nguyên lý Đirichlê cho diện tích
    • Ví dụ
    • Bài tập
  • Toán học tổ hợp
    • Ví dụ
    • Bài tập
  • Một số bài tập hình học khác
    • Ví dụ
    • Bài tập
  • Một số đề thi vô địch
  • Bài tập tự giải
  • Lời giải và gợi ý
    • Lời giải và gợi ý chương 1
    • Lời giải và gợi ý chương 2
    • Lời giải và gợi ý chương 3
    • Lời giải và gợi ý chương 4
    • Lời giải và gợi ý chương 5
    • Lời giải và gợi ý chương 6
    • Lời giải và gợi ý chương 7
    • Lời giải và gợi ý chương 8
    • Lời giải và gợi ý chương 9
    • Lời giải và gợi ý chương 10
    • Lời giải và gợi ý chương 11
    • Lời giải và gợi ý chương 12
  • Tập hợp và Ánh xạ
    • Tập hợp và Toán tử trên tập hợp.
    • Qui nạp toán học và Bài toán tổ hợp
    • Ánh xạ trên tập hợp
    • Mục lục

Tài liệu liên quan: