Phương pháp giải bài toán hàm Ẩn hàm hợp chương I giải tích 12

Phương pháp giải bài toán hàm ẩn hàm hợp chương I giải tích 12 rất hay dùng để ôn thi tốt nghiệp THPT Quốc gia được soạn dưới dạng file PDF gồm 50 trang. Tài liệu được biên soạn bởi thầy giáo Vũ Doãn Tiến-Trường THPT Ngô Gia Tự. Các bạn xem và tải về ở dưới.

Trang 1
PHƢƠNG PHÁP GIẢI MT S DNG TOÁN V HÀM N, HÀM HP
LUYN THI TT NGHIP THPT QUC GIA
I: KIẾN THỨC VỀ SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN, CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ, NGHIỆM
CỦA PHƢƠNG TRÌNH.
1.1. Các kiến thc v s đồng biến nghch biến ca hàm s:

1.1.1. Định nghĩa:

()y f x

1, 2 1 2 1 2
, .x x K x x thì f x f x

()y f x

1, 2 1 2 1 2
, .x x K x x thì f x f x

1.1.2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: 
f

- 
f

' 0fx

xK
.
- 
f

' 0fx

xK
.
1.1.3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: 
f

- 
' 0fx

xK
' 0fx

thì
f

- 
' 0fx

xK
' 0fx

f
 
- 
' 0fx

xK
thì
f

1.1.4. 



1 , 2 ,...,
i
x i n
 

 
i
x


1.2. Các kiến thc v cc tr ca hàm s:
1.2.1. Định nghĩa

y f x

; ab

0
; x a b
.
- 
0h
sao cho
0 0 0 0
, ; , f x f x x x h x h x x

f

0
x
.
- 
0h
sao cho
0 0 0 0
, ; , f x f x x x h x h x x 

f
 
0
x
.
1.2.2. Định lí 1. 
y f x

0 0
; 0K x h x h h

0
Kx
.
Trang 2

00
0, ;f x x x h x
00
0, ;f x x x h
thì
0
x
 .
1.2.3. Định lí 2  K = (x
0
- h ; x
0
+ h) (h >
0).
- 
00
' 0, '' 0f x f x
thì
0
x

f
.
- 
00
' 0, '' 0f x f x
thì
0
x
 
f
.
1.2.4. Quy tắc tìm cực trị
Quy tắc 1
- 
- Tính
'.fx

- 
- 
Quy tắc 2
- 
- Tính
'.fx

i
x

'0fx
.
- Tính
''
i
fx

i
x
.

'' 0
i
fx

i
x
).
1.3. Các kiến thc bin lun s nghim của phƣơng trình:
Tính cht 1: Nu hàm s
()fx
liên tc
[ ; ]ab
u trên khong
( ; )ab

( ) 0fx =
có nhiu nht mt nghin
[ ; ]ab
.
M rng: Nu hàm s
()fx
liên t n
[ ; ]ab
c  i du
n
ln trên
khong
( ; )ab

( ) 0fx =
có nhiu nht
1n +
mt nghin
[ ; ]ab
.
Tính cht 2: Nu hàm s
()fx
liên tn
[ ; ]ab
u trên khong
( ; )ab
thì

( ) ( )f u f v u v= Û =
vi
, [ ; ]u v a b
.
Tính cht 3: Nu hàm s
f
liên t  n
[ ; ]ab
    
( ; )ab
thì
( ) ( )f x f y x y> Û >
(Nu
f
u gim thì
( ) ( )f x f y x y> Û <
) vi
, ( ; )x y a b
.
Tính cht 4:
+ Cho hàm s
()y f x=
liên tn
[ ; ]ab
. B
()f x m£
nghi
vi mi
[ ; ]x a bÎ
khi và ch khi
[ ; ]
max ( )
ab
f x m£
.
+ Cho hàm s
()y f x=
liên t  n
[ ; ]ab
. B  
()f x m£
nghim
[ ; ]x a bÎ
khi và ch khi
[ ; ]
min ( )
ab
f x m£
.
Trang 3
II: CÁC DNG TOÁN
I. XÉT S ĐỒNG BIN, NGHCH BIN CA HÀM HP, HÀM N
1. Dng 1.
Cho hàm
()y f x
hoc hàm
'( )y f x
xét s bin thiên ca hàm
( ) ( ( ))g x f u x
.
Phƣơng pháp:
- o hàm
'( ) '( ( )). '( )g x f u x u x
- Xét du
'( )gx
da vào du ca
'( ( ))f u x
'( )ux
theo quy tc nhân du. 
xét du
'( ( ))f u x
da vào du ca
'( )fx
u
'( )fx
i du trên
D
thì
'( ( ))f u x
i du khi
()u x D
.
dụ 1. ( Câu 35 - 
()fx


'( )fx


(5 2 )fx

A. . B. . C. . D.
.
Lời giải
Ta có
(5 2 ) ' 2 '(5 2 )y f x y f x
khi
' 2 '(5 2 ) 0 '(5 2 ) 0y f x f x
.

1
'( ) 0
31
x
fx
x

Nên
5 2 1 3 4
'(5 2 ) 0
3 5 2 1 2
xx
fx
xx



 
3;4
;2
. Chọn B
dụ 2. ( Câu 33 - Cho hàm s
fx
, bng xét du
ca
fx

Hàm s
32y f x
ng bin trên kho
A.
3;4
. B.
2;3
. C.
;3
. D.
0;2
.
Li gii
2;3
0;2
3;5
5;
52y f x
Trang 4
Ta có:
32y f x
' 3 2 3 2y x f x
2 3 2fx
.
Hàm s
32y f x
ng bin khi
2 3 2 0y f x

3 2 0fx
3 2 3
1 3 2 1
x
x
3
12
x
x

.
Hàm s
32y f x
ng bin trên khong
3; 
ng bin trên khong
3;4
.
Đáp án A
Ví d 3.( KSCL lần 1 năm 2019-2020 THPT Trn Phú). Cho hàm s
y f x
có bng
bing bin ca hàm s
21y f x
?
A.
( ;2)
B.
( ;0)
2;
C.
( ; 1)
(0; )
D.
(0;2)
Li gii.
Ta có
2 1 ' 2 ' 2 1y f x y f x
.

' 2 ' 2 1 0 1 2 1 3 0 2y f x x x
. Đáp án D.
d 3. Cho hàm s
y f x
o hàm trên
 th hàm
fx

v Hàm s
2
g x f x x
ng bin trên khong nào?
A.
. B.
1;2
. C.
1
1;
2



. D.
;1
.
i giải
Trang 5
Ta có:
2
g x f x x
2
21g x x f x x

.
2
2
2
1
1
2
0
2
2 1 0
0 0 1
0
1
2
2
x
x
x
x
g x x x x
f x x
x
xx
x





( Ta tìm các điểm ti hn)
T  th
fx
ta suy ra
02f x x
 :
22
2
02
1
x
f x x x x
x

( Ta cần xác định mt loi du ca
2
'f x x
)
Bng xét du
gx
:
T bng xét du ta có hàm s
gx
ng bin trên khong
1
1;
2



. Chn đáp án C.
Lƣu ý: Du ca
gx
bc nh nhân du ca hai biu thc
21x
2
f x x
.
d 4.(KSCL lần 1 năm 2019-2020 THPTĐồng Đậu,THPTYên Lc) Cho hàm s
( )
y f x=
có bng xét du c
S giá tr nguyên ca tham s
m
 hàm s
( )
2
4y f x x m= + +
nghch bin trên
( )
1; 1-
A. 2
B. 3
C. 1
D. 0
Li gii
Ta có:
22
4 ' 2( 2) ' 4 0, 1;1y f x x m y x f x x m x
2
'( 4 ) 0, 1;1f x x m x
(vì
2( 2) 0, 1;1xx
)
Trang 6
2
2 ( ) 4 8, 1;1 (*)h x x x m x
Trong khong
( )
1; 1-
hàm s
()hx
ng bin nên
3 ( 1) ( ) (1) 5m h h x h m
Vy
2 3 1
(*)
5 8 3
mm
mm




suy ra có 3 giá tr nguyên ca
m
. Đáp án B
d 5.Cho hàm s liên tc trên
bng xét du ca hàm s
   i hàm s
1g x f x
nghch bin trên khong nào trong các
khong sau?
A.
0;2
B.
3;0
C.
1;4
D.
Li gii
Ta có:
1 , 0
1
1 , 0
f x x
g x f x
f x x

Nhn xét: Hàm
1g x f x
là hàm ch th i xng nhau qua trc tung.
+) Ta có BBT ca hàm s
()y f x
+) B1: Chuyn t hàm s
y f x
sang hàm s
1y f x
( tnh tiến đồ th sang
trái 1 đv)
+) B2: Chuyn t hàm s
1y f x
sang hàm s
1y f x
bng cách gi
nguyên phn
0x
, phn
0x
c li xng vi phn
0x
qua
Oy
.( lấy đối
xng qua Oy)
y f x
y f x
Trang 7
Đáp án B
Nhn xét: Dng chuyn t hàm
()fx
sang hàm
( 1)fx
rt d mc sai lm 
Chuyn t
()fx
sang
()fx
( li xc), ri tnh ti ( tnh
tin sau).
Ví d 5. Chính Thc 2018 - Mã 101)Cho hai hàm s
y f x
,
y g x
. Hai hàm
s
y f x
y g x
 th  ng cong đậmhơn
 th ca hàm s
y g x
.
Hàm s
3
42
2
h x f x g x



ng bin trên kho
A.
31
5;
5



. B.
9
;3
4



. C.
31
;
5




. D.
25
6;
4



.
Ligii
Ta có:
3
4 2 2 0
2
h x f x g x



khi
3
4 2 2
2
f x g x




.
T  th ta thy
5, 2 10,g x x g x x


3
4 2 2
2
f x g x




ta cn tìm
x
sao cho:
4 10
3
25
2
fx
gx





Trang 8
Nên ta k ng thng
c th hàm s
y f x
ti
;10Aa
,
8;10a
.
   
4 10, khi3 4 4 10, khi 1 4
3
4
3 3 3 3 25
4
2 5, khi0 2 11 2 5, khi
2 2 2 4 4
f x x a f x x
x
g x x g x x





.
Đáp án B.
Nhn xét: Bài này có th i tr  
- Ta có:
2h f g

dn so sánh
'f
vi 2 ln giá tr
'g
. Li thy các s 
th có các giá tr
10 5.2, 8 4.2

h
nghch bin thì min giá tr ca
'f
nh
n giá tr ca
'g
l suy lum trên trc hoành
ta thy
'(6) '(10) 2 '(10,5) 8 2.4 0h f g

h
s nghch bin trong nhng khong xung quanh giá tr 
A,C, D. Li th
' 10, ' 5fg
. c chn.
2. Dng 2.
Cho hàm
()y f x
hoc
'( )y f x
xét s bin thiên ca hàm
( ) ( ( )) ( )g x f u x h x
.
Phƣơng pháp:
- Tính
'( ) '( ). '( ( )) '( )g x u x f u x h x
- Lp bng xét du
'( )gx
bng cách cng du ca hai biu thc
'( ). '( ( ))u x f u x
'( )hx
.
d 1. tham kho THPTQG 2019)Cho m s
fx
bng xét du co

Hàm s
3
3 2 3 y f x x x
ng bin trên kho
A.
1; 
. B.
;1
. C.
1;0
. D.
0;2
.
Ligii
Ta có
22
3 2 3 3 3 '( 2) (1 )y f x x f x x



Xét
'( 2) 0 2 {1,2,3,4} { 1,0,1,2}f x x x
Xét
2
1 0 1, 1x x x
Li có:
1 2 3 1 1
'( 2) 0
2 4 2
xx
fx
xx



2
1 0 1 1xx
Bng xét du
Trang 9
T bng xét du suy ra trên khong
1;0
hàm s ng bin. Chọn đáp án C.
Lƣu ý:
-  nh du ca
'y
trong bng trên ta phi cng du ca
'( 2)fx
2
1 x
vi
nguyên tc cùng du thì cc. Nu khác dc du
ca
'y
.
-  gii
'( 2) 0fx
2
10x
ri ly giao hai tp nghic kt
qu hàm s chc chng bin trên
( 1;1)
. Nên chn tp
1;0 ( 1;1)
.
- N  th hàm
y f x
, xét s bin thiên ca hàm
( ) ( ) ( )g x f x h x
dn xét du ca
'( ) '( ) '( )g x f x h x
da vào s  th.
d 2.Cho hàm s
y f x
o hàm liên tc trên
.
 th hàm s
y f x
i.
Hàm s
2
2g x f x x
ng bin trên khong nào trong các kho
A.
;2
. B.
2;2
. C.
2;4
. D.
2;
.
Li gii
Ta có
2 2 0 .g x f x x g x f x x
S nghim c  
0gx
chính s  m c  th hàm s
y f x
ng thng
:d y x
 i).
Trang 10
D th, suy ra
2
0 2 .
4
x
g x x
x

Lp bng bin thiên
hàm s
gx
ng bin trên
2;2
4;
Chn B
Lƣu ý: c du ca
2g x f x x


theo nguyên tc: trong khong
( ; )ab
 th hàm s
'( )fx
nng thng
yx
thì
0gx
.
d 3.(Chuyên Phan Bi Châu Ngh An m 2018-2019)Cho hàm s
fx
bng
xét du c :
Hàm s
2
2 1 1y f x x x
nghch bin trên kho ?
A.
;1
. B.
;2
. C.
2;0
. D.
3; 2
.
Li gii
Ta có :
2
22
1
' 2 ' 1 1 2 ' 1
11
x x x
y f x f x
xx


2
2
1
0, .
1
xx
xR
x

Trang 11
Nên ta tìm kho :
1 1 3 2 0
2 ' 1 0 ' 1 0
1 4 3
xx
f x f x
xx



.
chn C.
3. Dng 3.
Cho hàm
( ( ))y f u x
hoc hàm
'( ( ))y f u x
xét s bin thiên ca hàm
()y f x
.
Phƣơng pháp:Gi s ta có:
'( ( )) 0f u x x D
. Ta cn gii BPT
'( ) 0fx
.
- t
( ) ( )t u x x v t
- Gii BPT:
'( ) 0 '( ( )) 0 ( ) 'f t f u x x D x v t D t D
.
- Vy
'( ) 0 'f x x D
Ví d 1.Cho hàm s
()y f x
o hàm trên
. Hàm s
'(3 1)y f x
 th 
hình v:
Hàm s
()y f x
ng bin trên kho
A.
2;6
. B.
;7
. C.
;6
. D.
1
;
3




.
Ligii
Ta cn gii BPT dng
'( ) 0fx
.
Ta có
2
'(3 1) 0
12
x
fx
x


t
1
31
3
t
t x x

1
2
27
3
'( ) 0 '(3 1) 0
1 2 1 2 5
12
3
t
xt
f t f x
x t t





Vy
7
'( ) 0
25
x
fx
x



. Chọn đáp án B.
Trang 12
Nhn xét:Dng 1 cho hàm
()y f x
tìm s u ca hàm
( ( ))y f u x
c tính
o hàm ca hàm
( ( ))y f u x
nhƣngDng 3 cho hàm
( ( ))y f u x
c tính
o hàm ca hàm
()y f x
.
Ví d 2.Cho hàm s
()y f x
o hàm trên
. Hàm s
'(2 )y f x
bng xét du

Hàm s
()y f x
nghch bin trên kho
A.
( ;0)
. B.
( ;1)
. C.
(2; )
. D.
(0;2)
.
Li gii
Ta có
1
'(2 ) 0
2
x
fx
x

t
22t x x t

1 2 1 3
'( ) 0 '(2 ) 0
2 2 2 0
x t t
f t f x
x t t
Vy
3
'( ) 0
0
x
fx
x

. Chọn đáp án A
Ví d 3.Cho hàm s
()y f x
có liên tc trên
. Hàm s
(3 4 )y f x
 th 
:
Hàm s
()y f x
nghch bin trên kho
A.
. B.
( ; 1)
. C.
(7; )
. D.
( 1;6)
.
Li gii
T  th ta suy ra
'(3 4 ) 0 1 1f x x
.
t
3
34
4
t
t x x
.

'( ) 0 '(3 4 ) 0 1 1 1 3 4 1 1 7f t f x x t t
Trang 13
Vy
'( ) 0 1 7 hay: '( ) 0 1 7f t t f x x
. Chọn đáp án D.
d 4.Cho hàm s
()y f x
2
7
2 3 12 9
2
f x x x



. Hàm s
()y f x
nghch bin trên kho
A.
19
;
44



. B.
9
;
4




. C.
53
;
22



. D.
5
;
2




.
i giải
Ta cn gii b
( ) 0fx
.
T
2
7
2 3 12 9
2
f x x x



2
7
2 0 3 12 9 1 3
2
f x x x x



.
t
7
2
2
tx
72
4
t
x


7 2 5 3
0 1 3
4 2 2
t
f t t
.
Vy hàm s
()y f x
nghch bin trên khong
53
;
22



.Chn C.
BÀI TẬP TƢƠNG TỰ
Bài 1. Cho hàm s
y f x
o hàm liên tc trên
 th hàm s
35y f x

. Hàm s
y f x
nghch trên khong nào?
A.
;8
. B.
7
;
3




. C.
4
;
3




. D.
;10
.
Bài 2.Cho hàm s
y f x
 th hàm s
2y f x

 bên. Hi hàm
s
y f x
ng bin trên kho
Trang 14
A.
2;4
. B.
1;3
. C.
2;0
. D.
0;1
.
Bài 3.Cho hàm s
y f x
o hàm trên
 th hàm s
y f x

i.
Hàm s
3
2
2
3
x
g x f x x x
ng bin trên khong nào trong các khong
sau?
A.
1;0
. B.
0;2
. C.
1;2
. D.
0;1
.
Bài 4.(Đề tham khảo BGD năm 2017-2018) 
y f x

y f x

2y f x

A.
1;3
. B.
2;
. C.
. D.
;2
.
Bài 5.(S GD&ĐT Nam Định năm 2018-2019) Cho hàm s liên tc trên
 tha mãn vi .
Hàm s nghch bin trên khong nào?
A. . B. . C. . D.
.
Bài 6. (Chuyên Lê Quý Đôn- Điện Biên năm 2018-2019) Cho hàm s
y f x
có bng
xét d
fx
fx
1 2 2018f x x x g x
0,g x x
1 2018 2019y f x x
1; 
0;3
;3
4;
O
x
y
1
1
4
y f x
Trang 15
Hàm s
2
2y f x
nghch bin trên kho
A.
2; 1
. B.
2;
. C.
0;2
. D.
1;0
.
Bài 7. Cho hàm s
()fx
có bng xét d
Hàm s
2
2y f x x
nghch bin trên kho
A.
2;1
. B.
4; 3
. C.
0;1
. D.
2; 1
.
Bài 8.( S Hà Ni năm 2018-2019) Cho hàm s bc ba
y f x
, hàm s
y f x
 th .
Hàm s
2
g x f x x
nghch bin trên kho
A.
2; 1
. B.
1; 2
. C.
1;0
. D.



1
;0
2
Bài 9. Cho hàm s
()fx
. Bit hàm s
'( )fx
 th  bên. Hàm s
2
(3 ) 2018y f x
ng bin trong kho
Trang 16
A.
1;0
. B.
2;3
C.
2; 1
. D.
0;1
.
Bài 10. Cho hàm s
fx
liên tc trên
, hàm s
y f x
 th .
Xét hàm s
2
2 3 1 9 6 4h x f x x x
. Hãy chn kh
A. Hàm s
hx
nghch bin trên
. B. Hàm s
hx
nghch bin trên
1
1;
3



.
C. Hàm s
hx
ng bin trên
1
1;
3



. D. Hàm s
hx
ng bin trên
.
Bài 11. (Đề Chính Thức 2018 - Mã 102) Cho hai hàm s
y f x
y g x
. Hai
hàm s
'y f x
'y g x
 th  ng cong
đậmhơn  th hàm s
'y g x
. Hàm s
9
72
2
h x f x g x



ng bin
trên kho
A.
16
2;
5



. B.
3
;0
4



. C.
16
;
5




. D.
13
3;
4



.
Bài 12. ( Chuyên Hùng Vương Phú Thọ năm 2018-2019) Cho hàm s
()fx
có bng xét
d:
Trang 17
Hàm s
3
(3 1) 3y f x x x
ng bin trên kho   
A.
. B.
. C.
11
;
43



. D.
1
1;
3




.
Bài 13.Hàm s
3
2
2 1 8 2019
3
y f x x x
nghch bin trên kho
A.
1; 
B.
;2
C.
1
1;
2



D.
1;7
Bài 14. (Chuyên VP lần 02 năm 2018-2019)Cho hàm s
y f x
 th
fx

hình v
Hàm s
2
1
2
x
y f x x
nghch bin trên khong nào trong các kho
A.
2; 0
. B.
3;1
. C.
3; 
. D.
1; 3
.
Bài 15. (Chuyên Quc Hc Huế năm 2018-2019)Cho hàm s o hàm trên
. bao nhiêu giá tr nguyên ca tham s thu n
 hàm s ng bin trên khong ?
A. B. C. D.
Bài 16. Cho hàm s
fx
 th ca hàm s
22y f x
.
fx
R
13f x x x
m
10;20
2
3y f x x m
0;2
18
17
16
20
Trang 18
Hi hàm s
y f x
nghch bin trên kho
A.
1;1
. B.
;2
. C.
35
;
22



. D.
2;
.
Đáp án
1
A
2C
3D
4C
5
D
6C
7D
8
9
A
10
C
11
B
12
C
1
3
14
A
15
A
16
A
Trang 19
II. CC TR CA HÀM S
1. Dng 1.
Cho hàm
()y f x
hoc hàm
'( )y f x
tìm cc tr ca hàm
( ) ( ( ))g x f u x
.
Phƣơng pháp:
- o hàm
'( ) '( ( )). '( )g x f u x u x
- Tìm s nghic bi l c
'( ) 0 '( ( )). '( ) 0g x f u x u x
.
- Nu cn có th xét du
'( )gx
.
d 1. Cho hàm s
y f x
 o hàm
2
2f x x x

,
x
. Hàm s
2
8y f x x
có bao m cc tr?
A.
6
. B.
3
. C.
5
. D.
2
.
Li gii
Ta có:
2
22f x x x x x
2 2 2
2 8 . 8 2 4 8 8 2y x f x x x x x x x

0y

2
2
40
80
8 2 0
x
xx
xx

4
0
8
4 3 2
4 3 2
x
x
x
x
x



.
Bng xét du
y

Vy hàm s
2
8y f x x
m cc tr. Chn C.
Lƣu ý: Ví d  bài yêu cu tìm s m cc tr nên ta có th không cn lp bng
xét du
'y
u yêu cu tìm s ci hay cc tiu thì ta phi lp bng xét du (
hay BBT).
Ví d 2.Cho hàm s o hàm trên và có bng xét du 
Hi hàm s m cc tiu?
A. . B. . C. . D. .
Li gii
t . Ta có .
y f x
fx
2
2y f x x
4
2
3
1
2
2g x f x x
2
2 2 2g x x f x x

Trang 20
Ta có:
22
'( 2 ) 0 2 2 3 1 3f x x x x x
Bng xét du
'( )gx
Vy hàm s m cc tiu là
1x
. Chn D.
Ví d 3.( Đề THPTQG năm 2019- mã 120). Cho hàm s
()fx
,bng bin thiên ca
hàm
'( )fx

S m cc tr ca hàm s
2
(4 4 )f x x
A.
7
. B.
3
. C.
5
. D.
9
.
i giải
Ta có
22
2
8 4 0
(4 4 ) ' (8 4). '(4 4 ) ' 0
'(4 4 ) 0
x
y f x x y x f x x y
f x x


2
1
2
2
2
3
2
4
1
2
4 4 ; 1 (1)
4 4 1;0 (2)
4 4 0;1 (3)
4 4 1; (4)
x
x x a
x x a
x x a
x x a



Ta có:
22
4 4 (2 1) 1 1x x x

(1)
vô nghi
(2), (3), (4)
mm.
Các nghim này khác nhau và khác
1
2
. Tóm li
'0y
có 7 nghim phân bit. Nên
hàm s có 7 cc tr. Đáp án A.
Ví d 4.Cho hàm s
( )
y f x=
o hàm
( )
( )( )
22
' 4 3 , .f x x x x x x= - - + " Î ¡
Tính
tng tt c các giá tr nguyên ca tham s m  hàm s
( )
( )
2
g x f x m=+
m
cc tr.
A.
0
. B.
6
. C.
3
. D.
2
.
i giải
Trang 21
Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
2
0
' 1 3 ; ' 0 1
3
x
f x x x x f x x
x
é
=
ê
ê
= - - = Û =
ê
ê
=
ë
(
0, 3xx==
nghi
1x=
là nghim bi chn).
Li có
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
1
0
0
' 2 . ' ' 0
'0
12
1
3
33
x
x
xm
x
xm
g x x f x m g x
f x m
xm
xm
xm
xm
é
=
é
=
ê
ê
ê
ê
é
=-
=
+=
ê
ê
ê
= + ® = Û Û Û
ê
ê
ê
+=
=-
+=
ê
ê
ê
ë
ê
ê
ê
ê
+=
=-
ë
ë
Do
( )
2
có nghim luôn là nghim bi ch
( ) ( )
1 , 3
không có nghim
chung và
3.mm- < -
Hàm s
( )
gx
m cc tr
( )
'0gxÛ=
có ba nghim bi l
0
03
30
m
m
m
í
ï
ï
Û Û £ <
ì
ï
->
ï
î
.
{ }
0;1;2mmÎ Þ Î¢
.Vy tng các giá tr nguyên ca tham s m bng 3. Chn C.
Ví d 4.Cho hàm s
y f x
o hàm
fx
trên khong
;
.  th ca
hàm s
y f x

 th ca hàm s
2
y f x
m ci, cc tiu?
A. 2 ci, 3 cc tiu. B. 3 ci, 2 cc tiu.
C.1 ci, 2 cc tiu. D.1 ci, 1 cc tiu.
Li gii
T  th hàm s ta thy hàm s t ct ti
1x
t cc tiu ti
12
;xx
t 
BBT
Trang 22
Ta có:
2
y f x
2 . 0y f x f x

0
0
fx
fx
.
 th và BBT ta có
0
01
3
x
f x x
x
1
2
01
xx
f x x
xx
vi
1
0;1x
2
1;3x
.
Ta có:
0 ;0 3;f x x  
12
0 ;1 ;f x x x x

T c bng bin thiên ca hàm s
2
y f x
:
Suy ra hàm s
2
m ci,
3
m cc tiu.Chọn đáp án A.
d 5.(Ngô S Liên- Bắc Giang năm 2018-2019)Cho hàm s
fx
liên tc trên
 th hàm
()fx

Hàm s
2 2019y f x
m cc tr.
A.
5
B.
6
C.
7
D.
9
Li gii
B1. T  th hàm s
()y f x
dch sang phi
2
  th hàm s
( 2)y f x
. Suy ra hàm s
( 2)y f x
có 3 cc tr 
-
1
Trang 23
B2. Hàm s
2 2019y f x
là hàm s ch th nhn trc tung làm tri
xng.
T  th hàm
( 2)y f x
, gi phn bên phi trc tung, phn bên trái trc tung có
c bng cách li xng phn bên phi qua trc tung.
Do hàm s
2fx
có 3 m cc tr nm bên phi trc tung nên hàm s
2 2019y f x
2.3 1 7
m cc tr.Chn C.
Nhn xét:
Hàm s
có s cc tr bng hai ln s m cc tr a hàm s
()fx
cng
1.
Hàm s
()fx
có s cc tr bng s cc tr ca hàm
()fx
và s m c th
hàm
()y f x
vm cc tr).
Ví dụ 6. 
()y f x
 :

3y f x

A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
Lời giải
Nhận xét: 
( 3), 3
3
(3 ), 3
f x x
y f x
f x x



3x
.

()y f x
sang
( 3)y f x


x

1
7

'( 3)fx
0
0
( 3)fx
B2. Li xng thng
3x
Trang 24
Hàm s m cc tr.Chn B.
Lƣu ý:
- Dng bài này d mc sai lm c th i xng qua Oy dn 5 cc
tr.
- S m cc tr hàm
y f x a

a

()y f x a
thêm 1.
- 
y f x a

xa
.
d 7. Cho hàm s
y f x
liên tc trên
 th . Hi hàm s
y f f x
m cc tr?
A.6. B.7. C.8. D. 9.
Li gii
T  th hàm s
y f x
nhn thy
+)
02
xa
f x x
xb
vi
0
0 2 3x a b
.
+)
02f x a x
hoc
xb
.
+)
0f x x a
hoc
2 xb
.
* Ta có:
.y f f x y f f x f x
.
 :
0
0
0
f f x
y
fx


02
f x a
f f x f x
f x b
vi
0
0 2 3x a b
.
Trang 25
Mng thng
yb
,
2y
,
ya
u c th hàm s m phân bit
lt tính t trái qua ph
1
x
6
x
;
2
x
5
x
;
3
x
4
x
nên:
1 2 3 0 4 5 6
16
25
34
3
2
x x x x x x x
f x f x b
f x f x
f x f x a



  th hàm s 

02f f x a f x
hoc
f x b
.
Ta có BBT:
Vy hàm s m cc tr.Chn D.
2. Dng 2.
Cho hàm
()y f x
hoc hàm
'( )y f x
tìm cc tr ca hàm
( ) ( ( )) ( )g x f u x h x
.
Phƣơng pháp:- Tính
'( ) '( ). '( ( )) '( )g x u x f u x h x
-Tìm s nghim c
'( ) 0gx
- Có th lp bng xét du
'( )gx
.
d 1. Cho hàm s
y f x
 o hàm
2
2f x x x

,
x
. Hàm s
14
2
x
y f x



có mm cc tr?
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
i giải
Xét hàm s
14
2
x
g x f x



.
Ta có:
1
14
22
x
g x f




=
2
2
19
1 2 1 4 0 6
2 2 2 8 2
x x x
x




.
Bng xét du
gx
Da vào bng bin thiên ta thy hàm s m cc tr.Chn C.
Trang 26
Ví d 2. Cho hàm s
y f x
o hàm
2019
2
2 8 , f x x x x
. Hàm
s
2 4 2
1
2 4 2020
2
y f x x x
m cc tr ?
A.
4
. B.
2019
. C.
5
. D.
2020
.
Li gii
Xét hàm s
2 4 2
1
2 4 2020
2
g x f x x x
.
Ta có:
23
2 . 2 2 8g x x f x x x

.

2 3 2 2
0 2 . 2 2 8 0 2 2 4 0g x x f x x x x f x x


22
0
2 4 0
x
f x x
.
Gi
t
2
2tx
.
20f t t
2019 2019
22
2 8 2 0 2 8 1 0t t t t t



2019
2
2
20
2
2
3
81
8 1 0
t
t
t
t
t
t



.
Suy ra
22
22
22
2 2 4
2
2 3 5
5
2 3 1
xx
x
xx
x
xx







.
0gx

5
nghim (không có nghim bi chn).
Vy hàm s
5
cc tr.Chn C.
d 3.(S Thái Bình 2017-2018)Cho m s
y f x
liên tc trên
, hàm s
'y f x
 th . Hàm s
2017 2018
2017
x
y f x

s m cc tr
là:
Trang 27
A.
4
. B.
3
. C.
2
. D.
1
.
Li gii
Ta có:

2017 2018 2018
''
2017 2017
x
y f x y f x

2018
' 0 '
2017
y f x
Da vào hình v ta nhn th
2018
'
2017
fx
có 4 nghim phân bit
Vy hàm s m cc tr. Chn A.
Ví d 4. (Chuyên Lào Cai năm 2017-2018)Cho hàm s
y f x
liên tc trên

th hàm s
y f x
cho bi hình v bên. t
2
2
x
g x f x
,
x
. H th
hàm s
y g x
m cc tr?
A.
3
. B.
2
. C.
1
. D.
4
.
Li gii
Ta có:
g x f x x


T  th hàm s
y f x
 th hàm s
yx
ta thy:
Trang 28
0f x x

vi
;1 2;x  
0f x x

vi
1;2x
Ta có bng bin thiên ca
gx
V th hàm s
y g x
m cc tr.Chn B.
Ví d 6.Hình v  th ca hàm s
( )
y f x=
.
Có bao nhiêu giá tr a tham s
m
 hàm s
( )
1y f x m= + +
5
m cc tr?
A.
0
. B.
3
. C.
2
. D.
1
.
Li gii
Nhn xét:
- Hàm s
()y f x

s m cc tr bng s cc tr ca hàm
()y f x
và s giao
m c th hàm
()y f x
vng thng
y
m các
m cc tr).
- S m cc tr ca hàm
()y f x
bng s m cc tr ca hàm
()y f x a
T nhn xét trên ta có: Hàm s
( 1)y f x
có 3 cc tr.
Vy ta cn ng thng
ym
c th hàm s
( 1)y f x
tm khác cc tr.
T  th ta suy ra:
6 3 3 6
22
mm
mm



Do
*
m
nên
3,4,5}m{
. Chn B.
Trang 29
Ví d 7.(Ngô Gia T lần 1 năm 2019-2020)Cho hàm s
y f x
liên tc trên
vàcó
bng bi bên. Hàm s
23y f x
m cc tr.
A. 4. B. 3. C. 6. D. 5.
Li gii
Theo nhn xét bài trên ta có:
- S m cc tr hàm
2fx
bng s cc tr ca hàm
fx
, nên hàm
2fx
có 2
m cc tr.
-  th hàm s
2y f x
cng thng
3y 
tm phân bit (u không
phi là cc tr)
Vy hàm s
23y f x
có 5 cc tr. Chn D.
Lƣu ý: Nu là hàm s
24y f x
thì có 3 m cc tr vì có mm trùng
vm cc tr ca hàm s.
BÀI TẬP TƢƠNG TỰ
Bài 1.(Ngô Gia T lần 1 năm 2018-
2019)  th hàm s
dng hình v bên. Tính tng tt c giá
tr ngun c   hàm s
m cc tr.
A. 6. B. 3. C.5. D. 2.
Bài 2. (Lê Xoay lần 1 năm 2019-2020)Cho hàm s
y f x
  th hàm s
y f x
   i. Hi hàm s
2
( ) 1g x f x
   m cc
tiu?
A.
5.
B.
1.
C.
2.
D.
3.
4
3
+
+
0
0
+
+
2
2
y
y'
x
()y f x
( ) 2 5y f x m
Trang 30
Bài 3.Cho hàm s
y f x
có bng bi
 th hàm s
2017 2018y f x
m cc tr?
A.
4
. B.
3
. C.
2
. D.
5
.
Bài 4. (Ngô Gia T Lần 1 năm 2019-2020)Cho hàm s
y f x
là hàm bc ba 
th  bên. Hàm s
2
3y f x x
m cc tr?
A. 5. B. 2. C. 4. D. 3.
Bài 5.Cho hàm s
()y f x
nh và liên tc trên
 th . Hàm s
2
( ) 2 4 y g x f x x
m cc tiu?
A.
1
. B.
3
. C.
2
. D.
4
.
Bài 6. (Ngô Gia T lần 1 năm 2018-2019) Cho hàm s
y f x
o hàm trên
 th  bên. Hàm s
2
y f x
m cc tr?
f
(
x
)
+
2018
+
+
1
f'
(
x
)
x
3
0
0
- 2018
+
x
y
4
2
1
2
1
O
Trang 31
A. 5. B. 3. C. 4. D. 6.
Bài 7. (Chuyên ĐHSP Hà Nội năm 2018-2019)Cho hàm s
y f x
 th o hàm
y f x

Kh
A. Hàm s
2
y f x x x
t ci ti
0x
.
B. Hàm s
2
y f x x x
t cc tiu ti
0x
.
C. Hàm s
2
y f x x x
t cc tr ti
0x
.
D. Hàm s
2
y f x x x
không có cc tr.
Bài 8. Cho hàm s
()fx

t
32
1
2 2 3 2019
3
g x f x x x x
. Khnh nào 
A.
y g x

1x
.
B. 
y g x

C. 
y g x

1;4
.
D.
56gg
01gg
.
x
y
-1
1
2
3
0
1
Trang 32
Bài 9. (TH&TT năm 2018-2019) Cho hàm s
fx
 nh trên
   th
fx
 t
g x f x x
. Hàm s
gx
t ci tm thuc
kho
A.
3
;3
2



. B.
2;0
. C.
0;1
. D.
1
;2
2



.
Bài 10.Cho hàm s
()y f x
 th . Hàm s
2018y f x
bao
m cc tr?
A.
1
. B.
3
. C.
2
. D.
5
.
Bài 11. Cho hàm s
y f ( x )
o hàm liên tc trên
, hàm s
2y f '( x )

th  
S m cc tr ca hàm s
y f ( x )
A. 0. B. 1. C. 3. D. 2.
Trang 33
Bài 12.(Chuyên Vĩnh Phúc lần 1 năm 2018-2019 ) Cho hàm s
()y f x
, hàm s
()y f x
 th  
Tìm
m
 hàm s
2
()y f x m
3
m cc tr.
A.
3;m 
. B.
0;3m
.
C.
0;3m
. D.
;0m
.
Bài 13.(KSCL lần 1 năm 2019-2020 THPT Yên Lc )Cho hàm s
( )
32
4y f x x x= = -
.
S m cc tr ca hàm s
( )
1y f x=-
bng
A.5 B. 6 C. 3 D. 4
Bài 14.Cho hàm s
y f x
o hàm trên
 th hàm s  i.
S m cc tiu ca hàm s
2 2 1 3g x f x x x
A.
2
. B.
1
. C.
3
. D.
4
.
ĐÁP ÁN
1C
2
3B
4
5B
6A
7A
8A
9B
10D
11D
12C
13A
14A
x
y
3
2
0
1
Trang 34
III. S NGHIM CỦA PHƢƠNG TRÌNH, S GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ TH
Dng 1: th hoc BBT ca hàm s
y f x
, tìm s nghim c
trình có dng
f x a
,
f u x a
.
Phƣơng pháp: Ta s dng tính cht sau:
Nu hàm s
f
u trên khong
a
là giá tr trung gian gia
()f
()f

f x a
có nghim duy nht.
N
( ) 0fx
có nghim là

( ( )) 0f u x
có nghim
là nghim PT
()ux
.
Ví d 1.

y f x
, 

:




10fx
:
A.
3
. B.
0
. C.
1
. D.
2
.
Li gii

1 0 ( ) 1f x f x

fx

Đáp án D.
Ví d 2. Cho hàm s
y f x
có bng bin thiên sau
S nghim c
10fx
A. 0. B. 4. C.
2
. D.
1
.
Li gii
Nhn xét: S nghim c
10fx
là s nghim c
0fx
.
Da vào BBT ta thy s nghim cĐáp án B
Ví d 3.Cho hàm s
y f x
nh trên
\0
có bng bi
Trang 35
S nghim c
2 3 5 7 0fx
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
i gii

7
2 3 5 7 0 3 5
2
f x f x
.
t
35tx
 thành
7
2
ft
.
Vi mi nghim
t
thì có mt nghim
5
3
t
x
nên s nghim
t
c
7
2
ft
bng s nghim c
2 3 5 7 0fx
.
Da vào bng bin thiên ca hàm s
y f x
  
7
2
ft
3
nghim phân bi
2 3 5 7 0fx
3
nghim phân bit.Chn C.
Ví d 4. Cho hàm s
()y f x
có bng bi.
 th hàm s
2
45 y f x x
ct trc hoành tm?
A. 2. B. 3 C. 4 D. 5.
Li gii

2
1
22
2
2
3
4 5 ( ;1) (1)
4 5 0 4 5 (1;3) (2)
4 5 (3; ) (3)
x x a
f x x x x a
x x a


Ta thy
22
4 5 ( 2) 1 1x x x
Trang 36
trình có 2
nghim, các nghim này khác nhau. V
2
4 5 0f x x
có 4 nghim.
Đáp án C.
Lƣu ý: N
( ) 0fx
có nghim bng

( ( )) 0f u x
có nghim tha mãn
()ux
.
Ví d 5. Cho hàm s
fx
liên tc trên
 th
y f x
 bên.

2f f x 
có tt c bao nhiêu nghim dƣơng phân bit.
A. 3. B. 4. C. 6. D. 7.
Li gii
Ta t  th hàm s
()y f x

( ) 1fx
3 nghim phân
bit.
Xét s nghi
()fx
Nhn xét :
Nu
(1; )

thì PT không có nghi
Nu
1
thì PT có 1 nghi
Nu
( 1;1)

thì PT có 2 nghi
Nu
( ; 1]

thì PT có 1 nghi
Vy
1
2
3
( ) ( 2; 1)
2 ( ) ( 1;0)
( ) (1;2)
f x a
f f x f x a
f x a

Theo nhn xét trên ta có :
P
1
( ) ( 2; 1)f x a
cho 1 nghi
Trang 37

2
( ) ( 1;0)f x a
cho 2 nghi

3
( ) (1;2)f x a
không có nghi
V
2f f x 
có 3 nghiĐáp án A.
Ví d 6.   th 
S nghim thc c
3
4
( 3 )
3
f x x
A. 3. B. 8. C. 7. D. 4.
Li gii
Xét 
3
4
( 3 )
3
f x x
(1)
t
3
3t x x
,
2
' 3 3 0 1, 1t x x x
, 

4
(1) ( )
3
ft
 th hàm
()y f t
 
Trang 38
T 
4
()
3
ft
có các nghim
1 2 3 4
2, ( 2;0), (0;2), 2t t t t
.

3
1
32x x t
có 1 nghim

3
2
3 ( 2;0)x x t
có 3 nghim

3
3
3 (0;2)x x t
có 3 nghim

3
4
32x x t
có 1 nghim
Vm. Đáp án B.
Ví d 7. Cho hàm s
y f x
 th  
Hng giác biu din nghim c
cos2 0f f x


?
A.
1
m. B.
3
m. C.
4
m. D.
Vô s.
i giải
D th ta thy khi
1;1x 
thì
0;1 .y
t
cos2tx
thì
1;1 ,t 

cos2 0;1 .fx
D th, ta có
cos2 0
cos2 0 cos2 1 .
cos2 1
fx
f f x f x a a
f x b b



loaïi
loaïi

cos2 0
cos2 0 cos2 1
cos2 1
x
f x x a a
x b b

loaïi
loaïi
cos2 0 .
42
x x k k

V
4
m biu din nghing
giác.Chn C.
Trang 39
Ví d 8.  ln 1-2020). Cho hàm s
32
f x ax bx cx
 th
C
. ng thng
:d y g x
là tip
tuyn ca
C
t
1.x 
H
1
0
1
f x g x
g x f x

bao nhiêu nghim?
A.
5.
B.
2.
C.
4.
D.
3.
Li gii

1
0 0; 1
1
f x g x
f x g x
g x f x
22
22
f x f x g x g x
f x g x f x g x
f x g x f x g x f x g x
(1)
.
1 (2)
f x g x
f x g x

- 
(1)

(1)

1
0.
x
x


- 
(2)

()y f x

C


( ) 1y g x

d


d

Ox
.

Oy


(2)

C

d



(2)

0x

Chọn C.
Dng 2: Các bài toán có cha tham s
Trang 40
Ví d 1. (THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2018-2019 LN 01)Cho hàm s
y f x
 th  bên. Có bao nhiêu s nguyên
m
 
3
3f x x m
6
nghim phân bit thun
[ 1;2]
?
A.
3
B.
2
C.
6
D.
7
Li gii
t
3
3t x x
, vi
[ 1;2]x
ta có bng bin thiên
Vi mi
( 2;2]t 
thì có 2 nghim
[ 1;2]x
 
f t m
có 3 nghim
( 2;2]t 
D th ta có
0; 1mm
. Đáp án B.
Lƣu ý: Bài toán tìm s nghim c
( ( ))f u x m
trên tp D.
- t
()t u x
, ta kho sát hàm
()t u x
trên D
- B2: Ch ra s ng gia giá tr ca
t
vi s giá tr ca
x
. c này quan trng,
nu không ch c s ng thì s không
-B3: Xét s nghim c
()f t m
, dt lun.
d 2. (CHUYÊN ĐHSP NỘI NĂM 2018-2019 LN 01)Cho hàm s
y f x
liên tc trên
 th 
2sinf x m
m phân bit thun
;

khi và ch khi
Trang 41
A.
3;1m
. B.
3;1m
. C.
3;1m
. D.
3;1m
.
Li gii
t
2sintx
,
;x


Ta có bng bin thiên hàm s
2sint g x x
trên
;

.
T BBT ta thy:
+
( 2;0) (0;2)t
, mi
t
cho 2 giá tr
x
+
{ 2;2}t 
, mi
t
cho 1 giá tr
x
+
0t
, cho 3 giá tr
x

2sinf x m
m phân bit thun
;

khi và
ch 
f t m
có:
+ Mt nghim duy nht
0t
, các nghim còn li không thuc
2;2

m
+ Hoc mt nghim
2t
nghim còn li thuc
2;2 \ 0

1m
+ Hoc mt nghim
2t 
, nghim còn li thuc
2;2 \ 0

3m 
.
Vy
3;1m
.Đáp án A.
Trang 42
d 3.(S GD&ĐT THANH HÓA NĂM 2018 - 2019)Cho hàm s
y f x
liên
tc trên
  th   . bao nhiêu giá tr nguyên ca tham s
m


2 cosf f x m
có nghim
;
2
x


.
A.
5
. B.
3
. C.
2
. D.
4
.
Li gii
T hình vt
32
, 0 .f x ax bx cx d a
 th hàm s c t
O
nên
0d
. Ta có h 
21
2 0 .
4 2 1 3
a b c a
a b c b
a b c c






3
3.f x x x
t
3
cos , ; 1;0 cos 3
2
t x x t f x f t t t


vi
1;0t 
.
2
' 3 3 0, 1;0f t t t f t
nghch bin trên
1;0 2 2 0 ;2 1f t f f
hay
2 0;4ft
t
2 0;2u f t u
3
3m f u u u
vi
0;2u
.
Ta có
2
' 3 3 ' 0 1 0;2f u u f u u
.
Bng bin thiên ca
fu
.
T bng bim
22m
.
2;2
2; 1;0;1 .
m
m
m

Chn D.
Lƣu ý: Dng bài toán tìm tham s
m
 
( ( ))f u x m
có nghim trên D
t
()t u x
ta ch cn tìm min giá tr ca hàm hàm
()ux
trên D. gi s
( ) ,u x K x D
Trang 43
+B2: Tìm tham s
m
 PT
( ) mft
có nghim trên tp K. i
m
thuc min giá tr ca
f
trên K.
Nhn xét: 
( ( ))f u x m
, nu bài toán v s nghim s phc t
so vi bài toán có nghim.
d 4. (THPT CHUYÊN ĐI HỌC VINH NĂM 2018-2019 LN 01)Cho hàm s
y f x
 th .
Có bao nhiêu s nguyên
m
 
1
1
32
x
f x m



có nghim thun
2;2
?
A.
11
B.
9
C.
8
D.
10
Li gii
t
1
2
x
t 
, khi
22x
thì
02t
.
 thành
1
22
3
f t t m
6 6 3f t t m
.
Xét hàm s
66g t f t t
n
0;2
.
Ta có
6g t f t


. T  th hàm s
y f x
suy ra hàm s
ft
ng bin trên
khong
0;2
nên
0, 0;2f t t
0, 0;2g t t
0 10g 
;
2 12g
.
Bng bin thiên ca hàm s
gt
n
0;2
Trang 44
m thun
2;2
khi và ch 
3g t m
có nghim thun
0;2
hay
10 3 12m
10
4
3
m
.
Mt khác
m
nguyên nên
3; 2; 1;0;1;2;3;4m
.
Vy có 8 giá tr
m
tho mãn bài toán. Đáp án C.
Ví d 5.Cho hai hàm s
y f x
y g x
nh và liên tc trên
 th   th ca hàm s
y f x
). Có bao nhiêu s nguyên
m
 
1 2 1f g x m
nghim thun
5
1;
2



.
A.
8
B.
3
C.
6
D.
4
Li gii
Vi
5
1; 2 1 3;4 2 1 3;4 1 2 1 3;4
2
x x g x t g x



Vy ta cn tìm
m
 
f t m
có nghim thun
3;4
3;4 3;4
3;4
min max min 2f t m f t f t m


3;4
min 1;0ft

. Vy các
s nguyên cn tìm là
0,1,2a
Chn B.
Trang 45
d 6.(THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LN 3)Cho hàm s
 o hàm trên   th  ng cong trong hình v  t
. Tìm s nghim c .
.
A. B. C. D.
Li gii.
Ta có: .
 th hàm s suy ra.
, vi .
.
 : nghim phân bit khác nghi .
 : có 3 nghim phân bit khác nghi
 . Vy có tt c 8 nghim c . Chn B.
Ví d 7. ( KSCL trƣờng Nguyn Bỉnh Khiêm năm 2019-2020)
Cho hàm s
( )
4 3 2
y f x ax bx cx dx k= = + + + +
vi h s thc. Bi th hàm s
( )
'y f x=
m
( )
0;0O
m cc tr, ct trc hoành tm
( )
3;0A
 th
. Có bao nhiêu giá tr nguyên ca tham s m thun
 
trình
( )
2
2f x x m k- + + =
có bn nghim phân bit.
y f x
R
g x f f x


0gx
2
8
4
6
0
0
0
fx
g x f x f f x
f f x




*
1
0
0
x
fx
xa

1
23a
1
0 , 1
0
,2
fx
f f x
f x a



1
0fx
3
*
2
1
f x a
1
*
0gx
Trang 46
A.
5
. B.
7
. C.
0
. D.
2
.
Li gii
T  th hàm s
( )
'y f x=
ta có
( ) ( )( )
2
'3f x px x p= - Î R
. M th hàm s
( )
'y f x=
m
( )
2;1
suy ra
( ) ( )
2 3 2
1 1 1 3
' 3 (1)
4 4 4 4
p f x x x x x= - Þ = - - = - +
.
 bài ta có
( )
32
' 4 3 2 (2)f x ax bx cx d= + + +
.
T (1) và (2) suy ra
( )
43
1
16
1
11
4
16 4
0
0
a
b
f x x x k
c
d
í
ï
ï
=-
ï
ï
ï
ï
ï
ï
=
Þ = - + +
ì
ï
ï
ï
ï=
ï
ï
ï
=
ï
î
.
t
( )
2
2 4 3
2
0 2 0 (3)
11
20
4
16 4
2 4 (4)
u x x m
u x x m f u k u u
u
x x m
é
é
= - + + =
ê
ê
= - + + Þ = Û - + = Û Û
ê
ê
=
- + + =
ê
ë
ë
 
( )
2
2f x x m k- + + =
có bn nghim phân bi
trình có hai nghim phân bi
10
3
1 4 0
m
m
m
í
+>
ï
ï
Û>
ì
ï
+ - >
ï
î
suy ra có hai giá tr
nguyên ca m là 4, 5.Chn D.
BÀI TẬP TƢƠNG TỰ
Bài 1.( Hồng Phong Nam Định lần 1 năm 2019-2020)Cho m s
y f x
liên tc
trên
có bng bi
Trang 47
A. 0. B. 3. C. 2. D. 4.
Bài 2.(THPT NGIA T VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LN 01)Cho hàm s
()y f x
liên tc trên
 th .
Gi
m
là s nghim c
( ( )) 1.f f x
Khđúng?
A.
B.
C.
D.
Bài 3. ( Đề minh ha thi THPTQG của BGD năm 2019) Cho hàm s
y f x
liên
tc trên
 th . Tp hp tt c các giá tr thc ca tham s
m


sinf x m
có nghim thuc khong
0,
:
A.
. B.
. C.
1;3
. D.
1;1
.
Bài 4. ( Đề THPTQG năm 2019, đề 102) 

y f x
3
1
3
2
f x x
Trang 48
A. . B. . C. . D.
.
Bài 5. (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM 2018-2019)Cho hàm s
()y f x
liên
tc trên
 th  
Tp hp tt c các giá tr thc ca tham s
m
  
2
4f x m
nghim thuc na khong
2; 3
A.
. B.
1; 2f


. C.
1; 2f
. D.
.
Bài 6.Cho hàm s liên tc trên  th . Tp hp tt c
các giá tr ca   có nghim là
A. . B. . C. . D.
.
6
10
12
3
y f x
m
2
2
1
x
f f m
x






0;2
1;1
2;2
Trang 49
Bài 7.Cho hàm s
y f x
 th  i S tp hp tt c các
giá tr ca tham s
m
  
2
34f x m
hai nghim phân bit
thun
2; 3


. Tìm tp S.
A.
1; 3 2Sf
. B.
3 2 ;3Sf

.
C.
S
. D.
1;3S 
.
Bài 8. ( Đề minh ha thi THPTQG của BGD năm 2019) Cho hàm s
4 3 2
f x mx nx px qx r
, , , , .m n p q r
Hàm s
y f x
 th 
hình v i
Tp nghim c
f x r
có s phn t
A.
4.
B.
3.
C.
1.
D.
2.
Bài 9. (Chuyên ĐHSP Vinh lần 1 năm 2019-2020) Cho hàm s
y f x
liên tc trên
 th .
Có bao nhiêu giá tr nguyên không âm ca
m
 
Trang 50
22
3sin2 8cos 4 4f x x f m m
có nghim
x
?
A.
2
. B.
4
. C.
5
. D.
6
.
Bài 10.( Chuyên Quang Trung lần 1 năm 2019-2020). Cho hàm s
()fx
liên tc trên
2;4
bng bi bên. bao nhiêu giá tr ngun ca
m
 
trình
2
2 2 . ( )x x x m f x
có nghim thun
2;4
?
A.
6
. B.
5
. C.
4
. D.
3
.
ĐÁP ÁN
1D
2B
3D
4B
5D
6D
7A
8B
9A
10C
| 1/50

Preview text:

PHƢƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN, HÀM HỢP
LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA
I: KIẾN THỨC VỀ SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN, CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ, NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH.
1.1. Các kiến thức về sự đồng biến nghịch biến của hàm số:
Kí hiệu K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng.
1.1.1. Định nghĩa:
Hàm số y f (x) đồng biến (tăng) trên K ⇔ x
x K, x x thì f x f x . 1, 2 1 2  1  2
Hàm số y f (x) nghịch biến (giảm) trên K ⇔ x
x K, x x thì f x f x . 1, 2 1 2  1  2
Hàm số đồng biến ( hay nghịch biến) trên tập K gọi chung là đơn điệu trên tập K.
1.1.2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Cho hàm số f có đạo hàm trên K.
- Nếu f đồng biến trên K thì f ' x  0 với mọi xK .
- Nếu f đồng biến trên K thì f ' x  0 với mọi xK .
1.1.3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: cho hàm số f có đạo hàm trên K.
- Nếu f ' x  0 với mọi xK f ' x  0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K
thì f đồng biến trên K.
- Nếu f ' x  0 với mọi xK f ' x  0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì
f nghịch biến trên K.
- Nếu f ' x  0 với mọi xK thì f là hàm hằng trên K.
1.1.4. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số a) Tìm tập xác định
b) Tính đạo hàm f ' x Tìm các điểm x i  1 , 2 ,..., n mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc i   không xác định.
c) Sắp xếp các điểm x theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. i
d) Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
1.2. Các kiến thức về cực trị của hàm số:
1.2.1. Định nghĩa
Cho hàm số yf x liên tục trên khoảng a ; b và điểm x a ; b . 0  
- Nếu tồn tại số h  0 sao cho f x  f x , x
  x h ; x h , xx thì ta nói hàm số f 0   0 0  0
đạt cực đại tại x0 .
- Nếu tồn tại số h  0 sao cho f x  f x , x
  x h ; x h , xx thì ta nói hàm số f 0   0 0  0
đạt cực tiểu tại x0 .
1.2.2. Định lí 1. Cho hàm số yf x liên tục trên khoảng K  x h ; x h h  0 và 0 0   
có đạo hàm trên K hoặc trên K ‚  x . 0 Trang 1
Nếu f  x  0, x  x  ;
h x f  x  0, x ; x h thì x là điểm cực tiểu của hàm số. 0 0  0 0  0
1.2.3. Định lí 2. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng K = (x0 - h ; x0 + h) (h > 0).
- Nếu f ' x  0, f ' x  0 thì x là điểm cực tiểu của hàm số f . 0   0 0
- Nếu f ' x  0, f ' x  0 thì x là điểm cực đại của hàm số f . 0   0 0
1.2.4. Quy tắc tìm cực trị
Quy tắc 1 - Tìm tập xác định.
- Tính f ' x. Tìm các điểm tại đó f '(x) bằng 0 hoặc f '(x) không xác định. - Lập bảng biến thiên.
- Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Quy tắc 2 - Tìm tập xác định.
- Tính f ' x. Tìm các nghiệm x của phương trình f ' x  0 . i
- Tính f '' x suy ra tính chất cực trị của các điểm x . i i
(Chú ý: nếu f '  x   0 thì ta phải dùng quy tắc 1 để xét cực trị tại x ). i i
1.3. Các kiến thức biện luận số nghiệm của phƣơng trình:
Tính chất 1: Nếu hàm số f (x ) liên tục [a;b]và đơn điệu trên khoảng (a; )
b thì phương trình
f (x ) = 0 có nhiều nhất một nghiệm trong đoạn [a;b].
Mở rộng: Nếu hàm số f (x ) liên tục trên đoạn[a;b] và có đạo hàm đổi dấu n lần trên khoảng (a; )
b thì phương trình f (x ) = 0 có nhiều nhất n + 1 một nghiệm trong đoạn[a;b].
Tính chất 2: Nếu hàm số f (x ) liên tục trên đoạn [a;b]và đơn điệu trên khoảng (a; ) b thì
phương trình f (u) = f (v) Û u = v với " u, v Î [a;b].
Tính chất 3: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và đơn điệu tăng trên (a; ) b thì
f (x ) > f (y) Û x > y (Nếu f đơn điệu giảm thì f (x ) > f (y) Û x < y ) với " x, y Î (a; ) b . Tính chất 4:
+ Cho hàm số y = f (x ) liên tục trên đoạn [a;b]. Bất phương trình f (x ) £ m nghiệm đúng
với mọi x Î [a;b]khi và chỉ khi max f (x) £ m . [a;b]
+ Cho hàm số y = f (x ) liên tục trên đoạn [a;b]. Bất phương trình f (x ) £ m có nghiệm
x Î [a;b]khi và chỉ khi min f (x) £ m . [a;b] Trang 2 II: CÁC DẠNG TOÁN
I. XÉT SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM HỢP, HÀM ẨN 1. Dạng 1.
Cho hàm y f (x) hoặc hàm y f '(x) xét sự biến thiên của hàm g(x)  f (u(x)) . Phƣơng pháp:
- Tính đạo hàm g '(x)  f '(u(x)).u '(x)
- Xét dấu g '(x) dựa vào dấu của f '(u(x)) và u '(x) theo quy tắc nhân dấu. Lưu ý khi
xét dấu f '(u(x)) dựa vào dấu của f '(x) như sau: Nếu f '(x) không đổi dấu trên D thì
f '(u(x)) không đổi dấu khi u(x)  D .
Ví dụ 1. ( Câu 35 Mã đề 102- THPTQG năm 2019). Cho hàm số f (x) , bảng xét dấu
của f '(x) như sau:
Hàm số f (5  2x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 2;3 . B. 0; 2 . C. 3;5 . D. 5;. Lời giải
Ta có y f (5  2x)  y '  2
f '(5  2x)
Hàm số nghịch biến khi y '  2
f '(5  2x)  0  f '(5  2x)  0 .x 1
Dựa vào bảng xét dấu ta thấy khi f '(x)  0    3   x  1  5   2x 1 3   x  4 Nên f '(5  2 ) x  0      3   5  2x  1  x  2
Vậy hàm số y f 5  2x nghịch biến trên các khoảng 3;4 và  ;  2 . Chọn B
Ví dụ 2. ( Câu 33 Mã đề 103- THPTQG năm 2019). Cho hàm số f x , bảng xét dấu
của f  x như sau:
Hàm số y f 3  2x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 3; 4 . B. 2;3 .
C. ; 3 . D. 0;2. Lời giải Trang 3 
Ta có: y f 3  2x  y '  3  2xf 3  2x  2
f 3 2x.
Hàm số y f 3  2x đồng biến khi y  2
f 3 2x  0  f 3 2x  0 3 2x  3     x 3    .  1   3 2x 1 1   x  2
Hàm số y f 3  2x đồng biến trên khoảng 3;  nên đồng biến trên khoảng 3;4. Đáp án A
Ví dụ 3.( KSCL lần 1 năm 2019-2020 THPT Trần Phú). Cho hàm số y f x có bảng
biến thiên như sau. Các khoảng đồng biến của hàm số y f 2x   1 ? A. ( ;  2) B. ( ;
 0) và 2; C. ( ;  1
 ) và (0;) D. (0; 2) Lời giải.
Ta có y f 2x  
1  y '  2 f '2x   1 .
Khi đó y '  2 f '2x   1  0  1
  2x 1 3  0  x  2 . Đáp án D.
Ví dụ 3. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên  và có đồ thị hàm f  x như hình
vẽ dưới đây. Hàm số     2 g x
f x x đồng biến trên khoảng nào?  1   1  A. ;1   . B. 1; 2 . C. 1  ;  . D.  2   2   ;    1 . Lời giải Trang 4 Ta có:     2 g x
f x x  g x   x   f  2 2 1
x x .  1 x    1 2 x    2 x  0      g x 2x 1 0  0         
( Ta tìm các điểm tới hạn) f
 x x 2 x x 0 x 1 2  0   2 x x  2 x  1     x  2  
Từ đồ thị f  x ta suy ra f  x  0  x  2 x  2 Do đó : f  2 x x 2
 0  x x  2  
( Ta cần xác định một loại dấu củax  1  f  2
' x x )
Bảng xét dấu g x :  1 
Từ bảng xét dấu ta có hàm số g x đồng biến trên khoảng 1  ; 
. Chọn đáp án C.  2 
Lƣu ý: Dấu của gx ở bảng trên có được nhờ nhân dấu của hai biểu thức 2x   1 và  2 f x x .
Ví dụ 4.(KSCL lần 1 năm 2019-2020 THPTĐồng Đậu,THPTYên Lạc) Cho hàm số
y = f (x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = f ( 2 x + 4x + )
m nghịch biến trên (- 1; ) 1 là A. 2 B. 3 C. 1 D. 0 Lời giải
Ta có: y f  2
x x m  y x f  2 4 ' 2(
2) ' x  4x m  0, x   1  ;  1 2
f '(x  4x  ) m  0, x   1  ; 
1 (vì 2(x  2)  0, x   1  ;  1 ) Trang 5 2  2
  h(x)  x  4x m  8, x   1  ;  1 (*) Trong khoảng (- 1; )
1 hàm số h(x) đồng biến nên m  3  h( 1
 )  h(x)  h(1)  m  5  2   m 3 m 1 Vậy (*)    
suy ra có 3 giá trị nguyên của m . Đáp án B m  5  8 m  3
Ví dụ 5.Cho hàm số y f x liên tục trên  và bảng xét dấu của hàm số y f  x
như hình bên. Hỏi hàm số g x  f x  
1 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. 0; 2 B.  3  ;0 C. 1; 4 D.  1   ;1 Lời giải
f x 1 , x  0 
Ta có: g x  f x     1   f  x   1 , x  0
Nhận xét: Hàm g x  f x  
1 là hàm chẵn, có đồ thị đối xứng nhau qua trục tung.
+) Ta có BBT của hàm số y f (x)
+) B1: Chuyển từ hàm số y f x sang hàm số y f x  
1 ( tịnh tiến đồ thị sang trái 1 đv)
+) B2: Chuyển từ hàm số y f x  
1 sang hàm số y f x   1 bằng cách giữ
nguyên phần x  0 , phần x  0 được lấy đối xứng với phần x  0 qua Oy .( lấy đối xứng qua Oy) Trang 6 Đáp án B
Nhận xét: Dạng chuyển từ hàm f (x) sang hàm f ( x 1) rất dễ mắc sai lầm đó là:
Chuyển từ f (x) sang f ( x ) ( lấy đối xứng trước), rồi tịnh tiến sang trái 1 đơn vị ( tịnh tiến sau).
Ví dụ 5.(Đề Chính Thức 2018 - Mã 101)Cho hai hàm số y f x , y g x . Hai hàm
số y f  x và y g x có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậmhơn
đồ thị của hàm số y g x .  
Hàm số hx  f x   3 4  g 2x  
 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?  2   31  9   31  A. 5;   . B. ;3   . C. ;    . D.  5   4   5   25  6;  .  4  Lờigiải    
Ta có: h x  f  x   3
4  2g 2x   0  
khi f  x   3
4  2g 2x    .  2   2   
Từ đồ thị ta thấy gx  5, x
  2g x  10, x
 . Do đó để f x   3
4  2g 2x     2 
f x  4 10 
ta cần tìm x sao cho:   3  g 2x   5      2  Trang 7
Nên ta kẻ đường thẳng y  10 cắt đồ thị hàm số y f  x tại A ;10 a  , a8;10 . Khi đó ta có
f x  4 10, khi3  x  4  a
f x  4 10, khi1 x  4   3        x  4 3 3  3  3 25 . g 2x
 5, khi0  2x  11 g 2x   5, khi  x  4         2  2   2  4 4 Đáp án B.
Nhận xét: Bài này có thể dùng phương pháp loại trừ để tìm đáp án như sau
- Ta có: h  f   2g dẫn đến so sánh f ' với 2 lần giá trị g ' . Lại thấy các số trên đồ
thị có các giá trị10  5.2, 8  4.2 , như vậy để h nghịch biến thì miền giá trị của f ' nhỏ
hơn 8, miền giá trị của g ' lớn hơn 4. Từ suy luận đó, dựa vào các điểm trên trục hoành
ta thấy h '(6)  f '(10) 2 g'(10,5) 8  2.  4 0 
Do đó h sẽ nghịch biến trong những khoảng xung quanh giá trị 6, đó là các phương án
A,C, D. Lại thấy đáp án B cho ta f '  10, g '  5 . Do đó phương án B được chọn. 2. Dạng 2.
Cho hàm y f (x) hoặc y f '(x) xét sự biến thiên của hàm g(x)  f (u(x))  h(x) . Phƣơng pháp:
- Tính g '(x)  u '(x). f '(u(x))  h '(x)
- Lập bảng xét dấu g '(x) bằng cách cộng dấu của hai biểu thức u '(x). f '(u(x)) và h '(x) .
Ví dụ 1.(Đề tham khảo THPTQG 2019)Cho hàm số f x có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
Hàm số y f x   3 3
2  x  3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 1;  . B.  ;    1 . C.  1  ;0 . D. 0;2. Lờigiải
Ta có y  f  x   2 2 3
2  3x  3  3  f '(x  2)  (1 x )  
Xét f '(x  2)  0  x  2 {1, 2, 3, 4}  x { 1  ,0,1, 2} Xét 2
1 x  0  x  1, x  1  1   x  2  3  1   x 1
Lại có: f '(x  2)  0     và 2 1 x  0  1   x  1 x  2  4 x  2 Bảng xét dấu Trang 8
Từ bảng xét dấu suy ra trên khoảng  1
 ;0 hàm số đồng biến. Chọn đáp án C. Lƣu ý:
- Để xác định dấu của y ' trong bảng trên ta phải cộng dấu của f '(x  2) và  2 1 x  với
nguyên tắc cùng dấu thì cộng được. Nếu khác dấu nhau thì không xác định được dấu của y ' .
- Dó đó ta có thể giải f '(x  2)  0 và 2
1 x  0 rồi lấy giao hai tập nghiệm ta được kết
quả hàm số chắc chắn đồng biến trên (1;1) . Nên chọn đáp án là tập  1  ;0  ( 1  ;1) .
- Nếu đề bài cho đồ thị hàm y f  x , xét sự biến thiên của hàm g(x)  f (x)  h(x)
dẫn đến xét dấu của g '(x)  f '(x)  h '(x) dựa vào sự tương giao đồ thị.
Ví dụ 2.Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên  . Đồ thị hàm số y f  x như hình bên dưới.
Hàm số g x  f x 2 2
x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây? A.  ;  2   . B.  2  ;2 . C. 2; 4 . D. 2; . Lời giải
Ta có g x  2 f  x  2x g x  0  f  x  . x
Số nghiệm của phương trình g x  0 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số
y f  x và đường thẳng d : y x (như hình vẽ bên dưới). Trang 9 x  2  
Dựa vào đồ thị, suy ra g x  0  x  2 .  x  4  Lập bảng biến thiên
 hàm số g x đồng biến trên  2
 ;2 và 4; . So sánh 4 đáp án Chọn B
Lƣu ý: Ta xác định được dấu của gx  2 f x  x theo nguyên tắc: trong khoảng
(a;b) đồ thị hàm số f '(x) nằm phía trên đường thẳng y x thì g x  0 .
Ví dụ 3.(Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An năm 2018-2019)Cho hàm số f x có bảng
xét dấu của đạo hàm như sau : Hàm số y f   x 2 2 1
x 1  x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ? A.   ;1  . B.  ;  2   . C.  2  ;0 . D.  3  ; 2   . Lời giải x x x 1 Ta có : y '  2
f '1 x  1  2
f '1 x 2  2 2 x 1 x 1 2 x x 1 Vì  0, x   . R 2 x 1 Trang 10    x    x
Nên ta tìm khoảng để :  f   x   f   x 1 1 3 2 0 2 ' 1 0 ' 1  0     . 1   x  4 x  3 
So sánh các đáp án, chọn C. 3. Dạng 3.
Cho hàm y f (u(x)) hoặc hàm y f '(u(x)) xét sự biến thiên của hàm y f (x) .
Phƣơng pháp:Giả sử ta có: f '(u(x))  0  x D . Ta cần giải BPT f '(x)  0 .
- Đặt t u(x)  x v(t)
- Giải BPT: f '(t)  0  f '(u(x))  0  x D x v(t)  D t D ' .
- Vậy f '(x)  0  x D '
Ví dụ 1.Cho hàm số y f (x) có đạo hàm trên  . Hàm số y f '(3x 1) có đồ thị như hình vẽ:
Hàm số y f (x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 2;6 . B.  ;  7  . C.  ;  6   . D.  1   ;     .  3  Lờigiải
Ta cần giải BPT dạng f '(x)  0 . x  2 
Ta có f '(3x 1)  0   1   x  2  Đặ t 1
t t  3x 1  x  3 t 1  2  x  2   t  7  Do đó: 3
f '(t)  0  f '(3x 1)  0       1   x  2 t 1  2  t  5 1   2  3 x  7  Vậy f '( ) x  0   . Chọn đáp án B. 2  x  5 Trang 11
Nhận xét:Dạng 1 cho hàm y f (x) tìm sự đơn điệu của hàm y f (u(x)) có bước tính
đạo hàm của hàm y f (u(x)) nhƣngDạng 3 cho hàm y f (u(x)) không có bước tính
đạo hàm của hàm y f (x) .
Ví dụ 2.Cho hàm số y f (x) có đạo hàm trên  . Hàm số y f '(2  x) bảng xét dấu như sau:
Hàm số y f (x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. (;0) . B. (;1) . C. (2; ) . D. (0; 2) . Lời giải x  1 
Ta có f '(2  x)  0  
. Đặt t  2  x x  2 t x  2 x  1  2 t  1  t   3
Khi đó f '(t)  0  f '(2  x)  0       x  2 2 t  2 t   0 x  3 Vậy f '( ) x  0   . Chọn đáp án Ax  0
Ví dụ 3.Cho hàm số y f (x) có liên tục trên  . Hàm số y f (3  4x) đồ thị như sau :
Hàm số y f (x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( 7  ;1) . B. ( ;  1  ) . C. (7; ) . D. (1;6) . Lời giải
Từ đồ thị ta suy ra f '(3  4x)  0  1   x 1 .  Đặ 3 t
t t  3  4x x  . 4
Khi đó f '(t)  0  f '(3  4x)  0  1   x 1  1
  3 4t  1  1   t  7 Trang 12
Vậy f '(t)  0  1
  t  7 hay : f '( ) x 0  1
  x 7 . Chọn đáp án D.  7 
Ví dụ 4.Cho hàm số y f (x) có 2 f  2  x
 3x 12x  9  
. Hàm số y f (x)  2 
nghịch biến trên khoảng nào sau đây.  1 9   9   5 3  A. ;   . B. ;  . C.  ;   . D.    4 4   4   2 2   5   ;     .  2  Lời giải
Ta cần giải bất phương trình f (  x)  0 .  7   7  Từ 2 f  2  x
 3x 12x  9   2  f  2  x
 0  3x 12x  9 1 x  3 .    2   2    Đặ 7 t t
t t  2x  7 2  x
. Khi đó ta có f t 7 2 5 3  0  1 
 3    t  . 2 4 4 2 2  5 3 
Vậy hàm số y f (x) nghịch biến trên khoảng  ;   .Chọn C.  2 2 
BÀI TẬP TƢƠNG TỰ
Bài 1. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên  . Đồ thị hàm số
y f 3x  5 như hình vẽ. Hàm số y f x nghịch trên khoảng nào?  7   4  A.  ;8   . B.  ;    . C. ;   . D.  3   3   ;  10.
Bài 2.Cho hàm số y f x có đồ thị hàm số y f 2  x như hình vẽ bên. Hỏi hàm
số y f x đồng biến trên khoảng nào sau đây? Trang 13 A.  2  ;4 . B. 1;3 . C.  2  ;0 . D. 0;  1 .
Bài 3.Cho hàm số y f x có đạo hàm trên  . Đồ thị hàm số y f  x như hình vẽ bên dưới. x
Hàm số g x  f x 3 2 
x x  2 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng 3 sau? A.  1  ;0 . B. 0; 2 . C. 1; 2 . D. 0;  1 .
Bài 4.(Đề tham khảo BGD năm 2017-2018) Cho hàm số y f x .Hàm số y f  x
có đồ thị như hình bên. Hàm số y f 2  x đồng biến trên khoảng: y
y f  x 1 O x 1 4 A. 1;3 . B. 2;  . C.  2   ;1 . D.  ;  2 .
Bài 5.(Sở GD&ĐT Nam Định năm 2018-2019) Cho hàm số f x liên tục trên  và
có đạo hàm f  x thỏa mãn f  x  1 x x  2 g x  2018 với g x  0, x   .
Hàm số y f 1 x  2018x  2019 nghịch biến trên khoảng nào? A. 1;  . B. 0;3 . C.  ;3   . D. 4; .
Bài 6. (Chuyên Lê Quý Đôn- Điện Biên năm 2018-2019) Cho hàm số y f x có bảng
xét dấu đạo hàm như sau: Trang 14
Hàm số y f  2
x  2 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A.  2  ;  1 . B. 2;  . C. 0;2 . D.  1  ;0 .
Bài 7. Cho hàm số f (
x) có bảng xét dấu như sau:
Hàm số y f  2
x  2x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 2;  1 . B.  4  ; 3   . C. 0;  1 . D.  2  ;  1 .
Bài 8.( Sở Hà Nội năm 2018-2019) Cho hàm số bậc ba y f x , hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ.
Hàm số      2 g x f
x x  nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 2;   1 . B. 1; 2 . C. 1; 0 . D.  1    ; 0   2 
Bài 9. Cho hàm số f ( x) . Biết hàm số f '(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số 2
y f (3  x )  2018 đồng biến trong khoảng nào dưới đây? Trang 15 A.  1  ;0 . B. 2;3 C.  2  ;  1 . D. 0;  1 .
Bài 10. Cho hàm số f x liên tục trên  , hàm số y f  x có đồ thị như hình vẽ.
Xét hàm số h x  f x   2 2 3
1  9x  6x  4 . Hãy chọn khẳng định đúng:  1 
A. Hàm số h x nghịch biến trên  . B. Hàm số h x nghịch biến trên 1  ;   .  3   1 
C. Hàm số h x đồng biến trên 1  ; 
 . D. Hàm số hx đồng biến trên  .  3 
Bài 11. (Đề Chính Thức 2018 - Mã 102) Cho hai hàm số y f x và y g x . Hai
hàm số y f ' x và y g ' x có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong  
đậmhơn là đồ thị hàm số y g ' x . Hàm số hx  f x   9 7  g 2x    đồng biến  2 
trên khoảng nào dưới đây?  16   3  16  A. 2;   . B.  ;0   . C. ;    . D.  5   4   5   13  3;   .  4 
Bài 12. ( Chuyên Hùng Vương Phú Thọ năm 2018-2019) Cho hàm số f (x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau: Trang 16 Hàm số 3
y f (3x  1)  x  3x
đồng biến trên khoảng nào sau đây?  3   2   1 1  A. ;1   . B. ;1   . C. ;   . D.  4   3   4 3   1  1;     .  3  2
Bài 13.Hàm số y f 2x   3 1 
x  8x  2019 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? 3  1  A. 1; B.  ;  2   C. 1  ;   D.  2   1  ;7
Bài 14. (Chuyên VP lần 02 năm 2018-2019)Cho hàm số y f x có đồ thị f  x như hình vẽ x
Hàm số y f   x 2 1 
x nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây? 2 A.  2  ; 0. B.  3  ;  1 . C. 3; . D. 1; 3.
Bài 15. (Chuyên Quốc Học Huế năm 2018-2019)Cho hàm số f x có đạo hàm trên R
f  x   x  
1  x  3 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  1
 0;20 để hàm số y f  2
x  3x m đồng biến trên khoảng 0;2 ? A. 18 B. 17 C. 16 D. 20
Bài 16. Cho hàm số f x có đồ thị của hàm số y f x  2  2 như hình vẽ. Trang 17
Hỏi hàm số y f x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?  3 5  A.  1  ;  1 .
B.  ; 2 . C. ;   . D.  2 2  2;. Đáp án 1 5 2C 3D 4C 6C 7D 8 A D 9 10 11 12 1 14 15 16 A C B C 3 A A A Trang 18
II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 1. Dạng 1.
Cho hàm y f (x) hoặc hàm y f '(x) tìm cực trị của hàm g(x)  f (u(x)) . Phƣơng pháp:
- Tính đạo hàm g '(x)  f '(u(x)).u '(x)
- Tìm số nghiệm đơn hoặc bội lẻ của phương trình g '(x)  0  f '(u(x)).u '(x)  0 .
- Nếu cần có thể xét dấu g '(x) .
Ví dụ 1. Cho hàm số y f x có đạo hàm f  x 2
x  2x , x   . Hàm số y f  2
x  8x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 6 . B. 3 . C. 5 . D. 2 . Lời giải
Ta có: f  x 2
x  2x xx  2 và
y   x   f  2
x x   x   2 x x 2 2 8 . 8 2 4 8
x  8x  2 x  4  x  4  0 x  0    y  0 2
x  8x  0   x  8  . 2
x 8x  2  0  x  4  3 2  x  4 3 2
Bảng xét dấu y như sau:
Vậy hàm số y f  2
x  8x có 5 điểm cực trị. Chọn C.
Lƣu ý: Ví dụ trên đề bài yêu cầu tìm số điểm cực trị nên ta có thể không cần lập bảng
xét dấu y ' . Nhưng nếu yêu cầu tìm số cực đại hay cực tiểu thì ta phải lập bảng xét dấu ( hay BBT).
Ví dụ 2.Cho hàm số y f x có đạo hàm trên  và có bảng xét dấu f  x như sau
Hỏi hàm số y f  2
x  2x có bao nhiêu điểm cực tiểu? A. 4 . B. 2 . C. 3 . D. 1 . Lời giải
Đặt g x  f  2
x  2x . Ta có g x   x   f  2 2 2 x  2x . Trang 19 Ta có: 2 2
f '(x  2x)  0  2
  x  2x  3  1   x  3
Bảng xét dấu g '(x)
Vậy hàm số có đúng điểm cực tiểu là x 1. Chọn D.
Ví dụ 3.( Đề THPTQG năm 2019- mã 120). Cho hàm số f (x) ,bảng biến thiên của
hàm f '(x) như sau:
Số điểm cực trị của hàm số 2
f (4x  4x) là A. 7 . B. 3 . C. 5 . D. 9 . Lời giải 8  x  4  0 Ta có 2 2
y f (4x  4x)  y '  (8x  4). f '(4x  4x)  y '  0   2
f '(4x  4x)  0  1 x    2  2
4x  4x a   ;  1  (1) 1    2
 4x  4x a  1  ;0 (2)  2    2
4x  4x a  0;1 (3) 3    2
4x  4x a  1; (4) 4     Ta có: 2 2
4x  4x  (2x 1) 1  1 
Do đó (1) vô nghiệm, các phương trình (2), (3), (4) mỗi phương trình cho hai nghiệm. 1
Các nghiệm này khác nhau và khác 
. Tóm lại y '  0 có 7 nghiệm phân biệt. Nên 2
hàm số có 7 cực trị. Đáp án A.
Ví dụ 4.Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f (x)= ( 2 x - x)( 2 ' x - 4x + ) 3 , " x Î ¡ . Tính
tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số ( )= ( 2 g x f x + ) m có 3 điểm cực trị. A. 0 . B. 6 . C. 3 . D. 2 . Lời giải Trang 20 x é = 0 ê 2
Ta có f '(x)= x(x - ) 1 (x - )
3 ; f '(x)= 0 Û x ê = 1 ê
( x = 0, x = 3 là nghiệm đơn; x = 1 x ê = 3 ë là nghiệm bội chẵn). Lại có x é = 0 x é = 0 ê ê 2 2 x é = 0 ê ê x + m = 0 x = - m ( ) 1 ê ê ê g '(x)= 2 . x f '( 2 x + )
m ® g '(x)= 0 Û Û Û ê ê ê f ' ê ( 2 x + ) 2 2 m = 0 x ê + m = 1 x ê = 1- m (2) ë ê ê 2 2 x ê + m = 3 x ê = 3- m ë ( ) 3 ë
Do (2) có nghiệm luôn là nghiệm bội chẵn; các phương trình ( ) 1 ,( ) 3 không có nghiệm chung và - m < 3- . m
Hàm số g (x) có 3 điểm cực trị Û g '(x)= 0 có ba nghiệm bội lẻ íï - m £ 0 ï Û ì Û 0 £ m < 3. ï 3- m > 0 ïî
m Î ¢ Þ m Î {0;1; }
2 .Vậy tổng các giá trị nguyên của tham số m bằng 3. Chọn C.
Ví dụ 4.Cho hàm số y f x có đạo hàm f  x trên khoảng  ;
  . Đồ thị của
hàm số y f x như hình vẽ
Đồ thị của hàm số    2 y f x
có bao nhiêu điểm cực đại, cực tiểu?
A. 2 cực đại, 3 cực tiểu.
B. 3 cực đại, 2 cực tiểu.
C.1 cực đại, 2 cực tiểu.
D.1 cực đại, 1 cực tiểu. Lời giải
Từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số đạt cực đạt tại x 1, đạt cực tiểu tại x ; x từ đó có 1 2 BBT Trang 21
f x  0 Ta có:    2 y f x
y  2 f x. f x  0   .  f    x  0 x  0 x x1 Quan sát đồ  
thị và BBT ta có f x  0  x  1 
f  x  0  x  1  với x  3  x x  2
x  0;1 và x  1;3 . 2   1  
Ta có: f x  0  x  ;
 03; và f x  0  xx ;1  x ; 1   2 
Từ đó ta lập được bảng biến thiên của hàm số    2 y f x :
Suy ra hàm số có 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.Chọn đáp án A.
Ví dụ 5.(Ngô Sỹ Liên- Bắc Giang năm 2018-2019)Cho hàm số f x liên tục trên  và
có đồ thị hàm f (  x) như hình vẽ - 1
Hàm số y f x  2  2019 có bao nhiêu điểm cực trị. A. 5 B. 6 C. 7 D. 9 Lời giải
B1. Từ đồ thị hàm số y f (x) dịch sang phải 2 đơn vị được đồ thị hàm số
y f (x  2) . Suy ra hàm số y f (x  2) có 3 cực trị dương. Trang 22
B2. Hàm số y f x  2  2019 là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.
Từ đồ thị hàm y f (x  2) , giữ phần bên phải trục tung, phần bên trái trục tung có
được bằng cách lấy đối xứng phần bên phải qua trục tung.
Do hàm số f x  2 có 3 điểm cực trị nằm bên phải trục tung nên hàm số
y f x  2  2019 có 2.31 7 điểm cực trị.Chọn C. Nhận xét:
Hàm số f x  có số cực trị bằng hai lần số điểm cực trị dương của hàm số f (x) cộng 1.
Hàm số f (x) có số cực trị bằng số cực trị của hàm f (x) và số giao điểm của đồ thị
hàm y f (x) với Ox ( không tính giao điểm là các điểm cực trị).
Ví dụ 6. Cho hàm số y f (x) có bảng biến thiên như sau :
Hàm số y f x 3  có bao nhiêu điểm cực trị? A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 Lời giải f x x
Nhận xét: hàm số y f x   ( 3), 3 3  
có trục đối xứng là đường thẳng
f (3 x), x  3 x  3 .
B1. Chuyển từ BBT hàm số y f (x) sang y f (x  3) bằng cách dịch sang phải 3 đơn vị. x  1 7  f '(x  3)  0  0  f (x  3)
B2. Lấy đối xứng qua đường thẳng x  3 Trang 23
Hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.Chọn B. Lƣu ý:
- Dạng bài này dễ mắc sai lầm ở bước thứ 2, đó là lấy đối xứng qua Oy dẫn đến 5 cực trị.
- Số điểm cực trị hàm y f x a  bằng hai lần số điểm cực trị lớn hơn a của hàm số
y f (x a) và cộng thêm 1.
- Đồ thị hàm y f x a  có trục đối xứng là đường thẳng x a .
Ví dụ 7. Cho hàm số y f x liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ. Hỏi hàm số
y f f x có bao nhiêu điểm cực trị? A.6. B.7. C.8. D. 9. Lời giải
Từ đồ thị hàm số y f x nhận thấy x a
+) f  x  0  x  2 với 0  x a  2  b  3 . 0 x b
+) f  x  0  a x  2 hoặc x b .
+) f  x  0  x a hoặc 2  x b .
* Ta có: y f f x  y  f  f x. f  x .
f  f x  0
Khi đó : y  0    f    x  0
f x  a
* Phương trình f  f x  0   f x  2 với 0  x a  2  b  3 . 0  f
  x  b Trang 24
Mỗi đường thẳng y b , y  2 , y a đều cắt đồ thị hàm số đã cho tại 2 điểm phân biệt
lần lượt tính từ trái qua phải có hoành độ là x x ; x x ; x x nên: 1 6 2 5 3 4
x x x x  3  x x x 1 2 3 0 4 5 6  f
  x f x b 1   6   f
  x f x  2 2   5  f
  x f x a 3   4 
* Cũng từ đồ thị hàm số đã cho suy ra:
Do đó: f  f x  0  a f x  2 hoặc f x  b . Ta có BBT:
Vậy hàm số có 9 điểm cực trị.Chọn D. 2. Dạng 2.
Cho hàm y f (x) hoặc hàm y f '(x) tìm cực trị của hàm g(x)  f (u(x))  h(x) .
Phƣơng pháp:- Tính g '(x)  u '(x). f '(u(x))  h '(x)
-Tìm số nghiệm của phương trình g '(x)  0
- Có thể lập bảng xét dấu g '(x) .
Ví dụ 1. Cho hàm số y f x có đạo hàm f  x 2
x  2x , x   . Hàm số  x y f 1  4x  
có mấy điểm cực trị?  2  A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải x
Xét hàm số g x  f 1  4x   .  2   x
Ta có: g x 1   f  1  4   = 2  2  2 2 1  x x      x 9    1  2 1      4     0  x  6  . 2  2   2    8 2 
Bảng xét dấu g x
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có 2 điểm cực trị.Chọn C. Trang 25
Ví dụ 2. Cho hàm số y f x có đạo hàm f  x    xx  2019 2 2 8 , x   . Hàm 1
số y f  2 x  2 4 2
x  4x  2020 có bao nhiêu điểm cực trị ? 2 A. 4 . B. 2019 . C. 5 . D. 2020 . Lời giải 1
Xét hàm số g x  f  2 x  2 4 2
x  4x  2020 . 2
Ta có: g x  x f  2 x   3 2 .
2  2x  8x .
Khi đó gx   x f  2 x   3
x x   x f    2 x   2 0 2 . 2 2 8 0 2 2  x  4  0  x  0   . f    2 x  2 2
x  4  0   
Giải phương trình  : Đặt 2 t x  2 .   2019 2019
f t   t  2  0    
t 2t    t      t  2 2 8 2 0 2 t  8 1  0   2  t  0 t  2 t  2   .      2 t  82019 2 1  0 t 8 1 t  3  2 2 x  2  2 x  4   x  2  Suy ra 2 2
x  2  3  x  5     .   x   5 2 2 x  2  3  x  1   
gx  0 có 5 nghiệm (không có nghiệm bội chẵn).
Vậy hàm số có 5 cực trị.Chọn C.
Ví dụ 3.(Sở Thái Bình 2017-2018)Cho hàm số y f x liên tục trên  , hàm số  x
y f 'x có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y f x 2017 2018  có số điểm cực trị 2017 là: Trang 26 A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 1 . Lời giải 2017  2018x 2018
Ta có: y f x 
y'  f 'x , khi đó: 2017 2017
y   f x  2018 ' 0 ' 2017
Dựa vào hình vẽ ta nhận thấy phương trình f x 2018 '  có 4 nghiệm phân biệt 2017
Vậy hàm số có 4 điểm cực trị. Chọn A.
Ví dụ 4. (Chuyên Lào Cai năm 2017-2018)Cho hàm số y f x liên tục trên  và đồ x
thị hàm số y f  x cho bởi hình vẽ bên. Đặt g x  f x 2  , x
  . Hỏi đồ thị 2
hàm số y g x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 3 . B. 2 . C.1. D. 4 . Lời giải
Ta có: g x  f  x  x
Từ đồ thị hàm số y f  x và đồ thị hàm số y x ta thấy: Trang 27
f  x  x  0 với x   
;1  2; và f  x  x  0 với x  1;2
Ta có bảng biến thiên của g x
Vậy đồ thị hàm số y g x có hai điểm cực trị.Chọn B.
Ví dụ 6.Hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số y = f (x).
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y = f (x + ) 1 + m có 5 điểm cực trị? A. 0 . B. 3 . C. 2 . D. 1 . Lời giải Nhận xét:
- Hàm số y f (x)  có số điểm cực trị bằng số cực trị của hàm y f (x) và số giao
điểm của đồ thị hàm y f (x) với đường thẳng y   ( không tính giao điểm là các điểm cực trị).
- Số điểm cực trị của hàm y f (x) bằng số điểm cực trị của hàm y f (x a)
Từ nhận xét trên ta có: Hàm số y f (x 1) có 3 cực trị.
Vậy ta cần đường thẳng y  m cắt đồ thị hàm số y f (x 1) tại 2 điểm khác cực trị.  6   m  3  3   m  6 Từ đồ thị ta suy ra:    m  2 m  2  Do *
m   nên m  3
{ , 4,5} . Chọn B. Trang 28
Ví dụ 7.(Ngô Gia Tự lần 1 năm 2019-2020)Cho hàm số y f x liên tục trên  vàcó
bảng biến thiên như hình vẽ bên. Hàm số y f x  2  3 có bao nhiêu điểm cực trị. x 2 2 +∞ y' + 0 0 + 3 +∞ y 4 A. 4. B. 3. C. 6. D. 5. Lời giải
Theo nhận xét bài trên ta có:
- Số điểm cực trị hàm f x  2 bằng số cực trị của hàm f x , nên hàm f x  2 có 2 điểm cực trị.
- Đồ thị hàm số y f x  2 cắt đường thẳng y  3 tại 3 điểm phân biệt (đều không phải là cực trị)
Vậy hàm số y f x  2  3 có 5 cực trị. Chọn D.
Lƣu ý: Nếu là hàm số y f x  2  4 thì có 3 điểm cực trị vì có một giao điểm trùng
với điểm cực trị của hàm số.
BÀI TẬP TƢƠNG TỰ
Bài 1.(Ngô Gia Tự lần 1 năm 2018-
2019) Cho đồ thị hàm số y f (x) có
dạng hình vẽ bên. Tính tổng tất cả giá
trị nguyên của m để hàm số
y f (x)  2m  5 có 7 điểm cực trị. A. 6. B. 3. C.5. D. 2.
Bài 2. (Lê Xoay lần 1 năm 2019-2020)Cho hàm số y f x có đồ thị hàm số
y f  x như hình bên dưới. Hỏi hàm số g x f  2 ( ) x  
1 có bao nhiêu điểm cực tiểu? A. 5. B. 1. C. 2. D. 3. Trang 29
Bài 3.Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau. x ∞ 1 3 + ∞ f'(x) + 0 0 + + ∞ 2018 f(x) ∞ - 2018
Đồ thị hàm số y f x  2017  2018 có bao nhiêu điểm cực trị? A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 5 .
Bài 4. (Ngô Gia Tự Lần 1 năm 2019-2020)Cho hàm số y f x là hàm bậc ba vàcó đồ
thị như hình vẽ bên. Hàm số y f  2
x  3x có bao nhiêu điểm cực trị? y 4 2 O 2 1 1 x A. 5. B. 2. C. 4. D. 3.
Bài 5.Cho hàm số y f (x) xác định và liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ. Hàm số
y g x f  2 ( )
x  2x  4 có bao nhiêu điểm cực tiểu? A.1. B. 3 . C. 2 . D. 4 .
Bài 6. (Ngô Gia Tự lần 1 năm 2018-2019) Cho hàm số y f x có đạo hàm trên 
và có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số    2 y f x
có bao nhiêu điểm cực trị? Trang 30 y 1 x -1 0 1 2 3 A. 5. B. 3. C. 4. D. 6.
Bài 7. (Chuyên ĐHSP Hà Nội năm 2018-2019)Cho hàm số y f x có đồ thị đạo hàm
y f  x như hình bên.
Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số    2 y
f x x x đạt cực đại tại x  0 . B. Hàm số    2 y
f x x x đạt cực tiểu tại x  0 . C. Hàm số    2 y
f x x x không đạt cực trị tại x  0 . D. Hàm số    2 y
f x x x không có cực trị.
Bài 8. Cho hàm số f (x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau: 1
Đặt g x  f x  2 3 2
x  2x  3x  2019 . Khẳng định nào sau đây đúng? 3
A.Hàm số y g x đạt cực đại tại x 1.
B. Hàm số y g x có 1 điểm cực trị.
C. Hàm số y g x nghịch biến trên khoảng 1; 4 .
D. g 5  g 6 và g 0  g   1 . Trang 31
Bài 9. (TH&TT năm 2018-2019) Cho hàm số f x xác định trên  và có đồ thị
f  x như hình vẽ bên. Đặt g x  f x  x . Hàm số g x đạt cực đại tại điểm thuộc khoảng nào dưới đây?  3  A. ;3  . B.  2  ;0 . C. 0;  1 . D.  2   1  ; 2   .  2 
Bài 10.Cho hàm số y f (x) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y f x  2018 có bao nhiêu điểm cực trị? A.1. B. 3 . C. 2 . D. 5 .
Bài 11. Cho hàm số y f ( x ) có đạo hàm liên tục trên  , hàm số y f '( x  2 ) có đồ
thị như hình vẽ dưới đây.
Số điểm cực trị của hàm số y f ( x ) A. 0. B. 1. C. 3. D. 2. Trang 32
Bài 12.(Chuyên Vĩnh Phúc lần 1 năm 2018-2019 ) Cho hàm số y f (x) , hàm số y f (
x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. y x 0 1 2 3
Tìm m để hàm số 2
y f (x  )
m có 3 điểm cực trị.
A. m  3; .
B. m 0;  3 .
C. m 0;3 .
D. m   ;0  .
Bài 13.(KSCL lần 1 năm 2019-2020 THPT Yên Lạc )Cho hàm số y = f (x) 3 2 = x - 4x .
Số điểm cực trị của hàm số y = f ( x - ) 1 bằng A.5 B. 6 C. 3 D. 4
Bài 14.Cho hàm số y f x có đạo hàm trên  . Đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới.
Số điểm cực tiểu của hàm số g x  2 f x  2   x   1  x  3 là A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 4 . ĐÁP ÁN 1C 2 3B 4 5B 6A 7A 8A 9B 10D 11D 12C 13A 14A Trang 33
III. SỐ NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH, SỐ GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ
Dạng 1:Cho đồ thị hoặc BBT của hàm số y f x , tìm số nghiệm của các phương
trình có dạng f x  a , f u x  a .
Phƣơng pháp: Ta sử dụng tính chất sau:
 Nếu hàm số f đơn điệu trên khoảng (;  ) và a là giá trị trung gian giữa f ( ) và
f ( ) thì phương trình f x  a có nghiệm duy nhất.
 Nếu phương trình f (x)  0 có nghiệm là  thì phương trình f (u(x))  0 có nghiệm
là nghiệm PT u(x)   .
Ví dụ 1.Cho hàm số y f x xác định, liên tu ̣c trên  và có bảng biến thiên như sau:
Số nghiê ̣m của phương trình f x 1 0 là: A. 3 . B. 0 . C. 1. D. 2 . Lời giải
Ta có phương trình f x 1  0  f (x)  1
 . Từ BBT hàm số f x ta thấy phương
trình có 2 nghiệm.Đáp án D.
Ví dụ 2. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên sau
Số nghiệm của phương trình f x   1  0 là A. 0. B. 4. C. 2 . D. 1. Lời giải
Nhận xét: Số nghiệm của phương trình f x  
1  0 là số nghiệm của phương trình
f x  0 .
Dựa vào BBT ta thấy số nghiệm của phương trình là 4. Đáp án B
Ví dụ 3.Cho hàm số y f x xác định trên  \ 
0 có bảng biến thiên như sau Trang 34
Số nghiệm của phương trình 2 f 3x  5  7  0 là A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải
Ta có phương trình: f x      f x   7 2 3 5 7 0 3 5  . 2
Đặt t  3x 5, phương trình trở thành f t 7  . 2 t  5
Với mỗi nghiệm t thì có một nghiệm x
nên số nghiệm t của phương trình 3 f t  7
 bằng số nghiệm của phương trình 2 f 3x 5  7  0 . 2
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y f x suy ra phương trình f t  7  có 3 2
nghiệm phân biệt nên phương trình 2 f 3x  5  7  0 có 3 nghiệm phân biệt.Chọn C.
Ví dụ 4. Cho hàm số y f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ.
Đồ thị hàm số y f  2
x  4x  5 cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm? A. 2. B. 3 C. 4 D. 5. Lời giải 2
x  4x  5  a ( ;  1) (1) 1 
Ta có phương trình f  2
x  4x  5 2
 0  x  4x 5  a (1;3) (2) 2  2
x  4x  5  a  (3;) (3)  3 Ta thấy 2 2
x  4x  5  (x  2) 1  1 Trang 35
Do đó: Phương trình (1) vô nghiệm, phương trình (2) và (3) mỗi phương trình có 2
nghiệm, các nghiệm này khác nhau. Vậy phương trình f  2
x  4x  5  0 có 4 nghiệm. Đáp án C.
Lƣu ý: Nếu phương trình f (x)  0 có nghiệm bằng  thì phương trình f (u(x))  0
có nghiệm thỏa mãn u(x)   .
Ví dụ 5. Cho hàm số f x liên tục trên  có đồ thị y f x như hình vẽ bên.
Phương trình f f x  2
 có tất cả bao nhiêu nghiệm dƣơng phân biệt. A. 3. B. 4. C. 6. D. 7. Lời giải
Ta có từ đồ thị hàm số y f (x) ta suy ra phương trình f (x)  1 có 3 nghiệm phân biệt.
Xét số nghiệm dương của phương trình f (x)   Nhận xét :
Nếu   (1; ) thì PT không có nghiệm dương.
Nếu  1 thì PT có 1 nghiệm dương. Nếu   ( 1
 ;1) thì PT có 2 nghiệm dương. Nếu   ( ;
 1] thì PT có 1 nghiệm dương.
f (x)  a ( 2  ; 1  ) 1 
Vậy f f x   2  f (x)  a  (1;0) 2 
f (x)  a (1;2)  3
Theo nhận xét trên ta có :
Phương trình f (x)  a  ( 2  ; 1  ) cho 1 nghiệm dương 1 Trang 36
Phương trình f (x)  a ( 1
 ;0) cho 2 nghiệm dương 2
Phương trình f (x)  a (1;2) không có nghiệm dương 3
Vậy phương trình f f x  2
 có 3 nghiệm dương. Đáp án A.
Ví dụ 6. ( Đề thi THPTQG năm 2019, mã 101). Cho hàm bậc 3 có đồ thị như hình vẽ 4
Số nghiệm thực của phương trình 3
f (x  3x)  3 A. 3. B. 8. C. 7. D. 4. Lời giải 4 Xét phương trình 3
f (x  3x)  (1) 3 Đặt 3
t x  3x , 2
t '  3x  3  0  x  1
 , x 1, có BBT như sau: Khi đó phương trình 4
(1)  f (t) 
. Xét đồ thị hàm y f (t) như hình vẽ dưới đây. 3 Trang 37
Từ đó suy ra phương trình 4 f (t) 
có các nghiệm t  2  , t ( 2
 ;0), t (0;2), t  2 3 1 2 3 4 . Phương trình 3
x  3x t  2  có 1 nghiệm 1 Phương trình 3
x  3x t ( 2  ;0) có 3 nghiệm 2 Phương trình 3
x  3x t (0;2) có 3 nghiệm 3 Phương trình 3
x  3x t  2 có 1 nghiệm 4
Vậy phương trình đã cho có 8 nghiệm. Đáp án B.
Ví dụ 7. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
Hỏi có bao nhiêu điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn nghiệm của phương trình f f
 cos 2x  0  ? A. 1 điểm. B. 3 điểm. C. 4 điểm. D. Vô số. Lời giải
Dựa vào đồ thị ta thấy khi x   1   ;1 thì y 0;  1 .
Do đó nếu đặt t  cos 2x thì t  1  ; 
1 , khi đó f cos 2x 0;  1 .
f cos 2x  0 
Dựa vào đồ thị, ta có f f
 cos 2x  0  
f cos 2x  a a    1 loaïi .
f cos2x  b b    1 loaïi  cos 2x  0 
Phương trình f cos 2x  0  cos 2x a a    1 loaïi  
cos2x b b    1 loaïi   
cos 2x  0  x
k k   . 4 2
Vậy phương trình đã cho có 4 điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác.Chọn C. Trang 38
Ví dụ 8. (Chuyên Hùng Vương Phú Thọ lần 1năm 2019-2020). Cho hàm số   3 2
f x ax bx cx có đồ thị C như hình vẽ. Đường thẳng d : y g x là tiếp
f x 1 g x
tuyến của C  tại điểm có hoành độ x  1.  Hỏi phương trình   có g x  f x 0 1 bao nhiêu nghiệm? A. 5. B. 2. C. 4. D. 3. Lời giải
f x 1 g x Xét phương trình 
 0  f x  0; g x   g x  f x     1 1 2
f x  f x 2
g x  g x 2  f x 2
g x  f x  g x   f
 x  g x  f
  x  g x  f
x gx
f x  g x (1)    f
  x   g x . 1 (2) x  1 
- Xét phương trình (1) : Từ đồ thị suy ra (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt  x    0.
- Xét phương trình (2) : Xét hàm số y f (x) có đồ thị là đường cong C như hình
vẽ và hàm số y  g(x) 1 có đồ thị là đường thẳng d được xác định như sau:
+ Lấy đối xứng phần đồ thị đường thẳng d qua trục Ox .
+ Sau đó tịnh tiến đường thẳng trên theo phương Oy lên trên 1 đơn vị.
Khi đó số nghiệm của (2) bằng số giao điểm của C với d . Từ đồ thị suy ra có 3
giao điểm, trong đó 1 giao điểm là gốc tọa độ O.
Do đó (2) có 3 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm x  0 (loại).
Kết luận: Phương trình đã cho có 4 nghiệm .Chọn C.
Dạng 2: Các bài toán có chứa tham số Trang 39
Ví dụ 1. (THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2018-2019 LẦN 01)Cho hàm số
y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình f  3
x  3x  m có 6 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [ 1;2] ? A. 3 B. 2 C. 6 D. 7 Lời giải Đặt 3
t x  3x , với x [ 1; 2] ta có bảng biến thiên
Với mỗi t  (2; 2]thì có 2 nghiệm x [1; 2]
Để phương trình có 6 nghiệm thì phương trình f t  mcó 3 nghiệm t (  2;2]
Dựa vao đồ thị ta có m  0; m  1. Đáp án B.
Lƣu ý: Bài toán tìm số nghiệm của phương trình f (u(x))  m trên tập D.
- B1: Đặt t u(x) , ta khảo sát hàm t u(x) trên D
- B2: Chỉ ra sự tương ứng giữa giá trị của t với số giá trị của x . Bước này quan trọng,
nếu không chỉ ra được sự tương ứng thì sẽ không
-B3: Xét số nghiệm của phương trình f (t)  m , dựa vào B2 đưa ra kết luận.
Ví dụ 2. (CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 01)Cho hàm số
y f x liên tục trên  và có đồ thị như hình bên. Phương trình f 2sin x  m
đúng ba nghiệm phân biệt thuộc đoạn  
 ;  khi và chỉ khi Trang 40 A. m  3   ;1 . B. m  3  ;  1 . C. m  3  ;  1 . D. m  3  ;  1 . Lời giải
Đặt t  2sin x , x    ; 
Ta có bảng biến thiên hàm số t g x  2sin x trên    ; . Từ BBT ta thấy: + t  ( 2
 ;0)  (0;2) , mỗi t cho 2 giá trị x
+ t {  2; 2} , mỗi t cho 1 giá trị x
+ t  0 , cho 3 giá trị x
Phương trình f 2sin x  m có đúng ba nghiệm phân biệt thuộc đoạn    ;  khi và
chỉ khi phương trình f t   m có:
+ Một nghiệm duy nhất t  0 , các nghiệm còn lại không thuộc  2
 ;2, khi đó m
+ Hoặc một nghiệm t  2 nghiệm còn lại thuộc  2  ;2 \  0 , khi đó m 1
+ Hoặc một nghiệm t  2
 , nghiệm còn lại thuộc  2  ;2 \  0 , khi đó m  3  . Vậy m  3   ;1 .Đáp án A. Trang 41
Ví dụ 3.(SỞ GD&ĐT THANH HÓA NĂM 2018 - 2019)Cho hàm số y f x liên
tục trên  có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để  
phương trình f  2 f cos x  m có nghiệm x ;   .  2  A. 5 . B. 3 . C. 2 . D. 4 . Lời giải
Từ hình vẽ, đặt f x 3 2
ax bx cx d ,a  0. Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O
a b c  2 a 1  
nên d  0 . Ta có hệ phương trình a b c  2   b
  0 . Do đó f x 3  x 3 . x  
4a  2b c  1 c  3      Đặt t x x    t   
  f x  f t 3 cos , ; 1;0 cos
t  3t với t  1  ;0.  2  f t  2 '
 3t 3  0, t   1
 ;0  f t nghịch biến trên  1
 ;0  2 f t2 f  0;2 f   1 
hay 2 f t  0; 4 . Đặt u  2 f t   u 0; 2  m f u 3
u 3u với u 0;2 . Ta có f u 2 '
 3u 3  f 'u  0  u 10;2.
Bảng biến thiên của f u  .
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm  2   m  2. m 2  ;2    m 2  ; 1  ;0  ;1 . Chọn D. m
Lƣu ý: Dạng bài toán tìm tham số m để phương trình f (u(x))  m có nghiệm trên D
+ B1: Đặt t u(x) ta chỉ cần tìm miền giá trị của hàm hàm u(x) trên D. giả sử
u(x)  K , x   D Trang 42
+B2: Tìm tham số m để PT f (t)  m có nghiệm trên tập K. Tương đương với m
thuộc miền giá trị của f trên K.
Nhận xét: Cho phương trình f (u(x))  m , nếu bài toán về số nghiệm sẽ phức tạp hơn
so với bài toán có nghiệm.
Ví dụ 4. (THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2018-2019 LẦN 01)Cho hàm số
y f x có đồ thị như hình vẽ.  x
Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình 1 f 1  x m   có nghiệm thuộc đoạn 3  2   2  ;2 ? A. 11 B. 9 C. 8 D. 10 Lời giải Đặ x t t  1, khi 2
  x  2 thì 0  t  2 . 2 Phương trình đã cho trở 1 thành
f t   2t  2  m f t   6t  6  3m . 3
Xét hàm số g t   f t   6t  6 trên đoạn 0; 2 .
Ta có gt   f t   6 . Từ đồ thị hàm số y f x suy ra hàm số f t  đồng biến trên
khoảng 0; 2 nên f t   0, t
 0;2  gt  0, t
 0;2 và g 0  1  0 ; g 2 12 .
Bảng biến thiên của hàm số g t  trên đoạn 0; 2 Trang 43
Phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn  2
 ;2 khi và chỉ khi phương trình
g t   3m có nghiệm thuộc đoạn 0; 2 hay 10  3m  10 12    m  4 . 3
Mặt khác m nguyên nên m  3  ; 2;1;0;1;2;3;  4 .
Vậy có 8 giá trị m thoả mãn bài toán. Đáp án C.
Ví dụ 5.Cho hai hàm số y f x và y g x là các hàm xác định và liên tục trên 
và có đồ thị như hình vẽ bên (trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số
y f x ). Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình f 1 g 2x   1   m có  5  nghiệm thuộc đoạn 1  ;   .  2  A. 8 B. 3 C. 6 D. 4 Lời giải  5  Với x  1  ;  2x 1 3  ; 
4  g 2x   1  3  ; 
4  t  1 g 2x   1 3;  4    2 
Vậy ta cần tìm m để phương trình f t   m có nghiệm thuộc đoạn  3  ;4
 min f t  m  max f t  min f t  m  2 trong đó min f t 1  ;0 . Vậy các  3  ;4  3  ;4  3  ;4  3  ;4
số nguyên cần tìm là a 0,1,  2 Chọn B. Trang 44
Ví dụ 6.(THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3)Cho hàm số
y f x có đạo hàm trên R và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ dưới. Đặt
g x  f f
 x . Tìm số nghiệm của phương trình gx  .    0 . A. 2 B. 8 C. 4 D. 6 Lời giải.
f x  0
Ta có: g x  f  xf   f
 x  0   * .   f  f
  x  0 
Theo đồ thị hàm số suy ra.   f  xx 0  0  
, với 2  a  3 . x   1 1 a
f x  0 ,  f   f   x 1   0    .  f
  x  a , 2 1   Phương trình  
1 : f x  0 có 3 nghiệm phân biệt khác nghiệm phương trình * .
Phương trình 2 : f x    1
a có 3 nghiệm phân biệt khác nghiệm phương trình 1 và
phương trình * . Vậy có tất cả 8 nghiệm của phương trình g x  0 . Chọn B.
Ví dụ 7. ( KSCL trƣờng Nguyễn Bỉnh Khiêm năm 2019-2020) Cho hàm số = ( ) 4 3 2 y
f x = ax + bx + cx + dx + k với hệ số thực. Biết đồ thị hàm số
y = f '(x) có điểm O(0; )
0 là điểm cực trị, cắt trục hoành tại điểm A(3; ) 0 và có đồ thị
như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [- 5; ] 5 để phương trình f ( 2 - x + 2x + )
m = k có bốn nghiệm phân biệt. Trang 45 A. 5 . B. 7 . C. 0 . D. 2 . Lời giải
Từ đồ thị hàm số y = f '(x) ta có f (x) 2 ' = px (x- )
3 (p Î R). Mặt khác đồ thị hàm số
y = f '(x) đi qua điểm (2; ) 1 suy ra 1 1 1 3 p = - Þ f '(x) 2 = - x (x - ) 3 2 3 = - x + x (1) . 4 4 4 4
Theo đề bài ta có f (x) 3 2 '
= 4ax + 3bx + 2cx + d (2) . íï 1 ï a = - ïï 16 ïïï 1 1 1 ï
Từ (1) và (2) suy ra ì b = Þ f (x) 4 3 = - x + x + k . ï 4 16 4 ïïï c= 0 ïïïïd = 0 î Đặt 2 1 1 u é = 0
é- x + 2x + m = 0 (3) 2
u = - x + 2x + m Þ f (u) 4 3 = k Û - u + u = 0 Û ê ê Û ê ê 2 16 4 u = 4 ë -
ê x + 2x + m = 4 (4) ë
Vì phương trình (3) và (4) không có nghiệm chung nên để phương tình f ( 2 - x + 2x + )
m = k có bốn nghiệm phân biệt thì phương trình (3) và (4) mỗi phương íï1+ m> 0 ï
trình có hai nghiệm phân biệt khi đó ì
Û m > 3 suy ra có hai giá trị ï1+ m- 4> 0 ïî
nguyên của m là 4, 5.Chọn D.
BÀI TẬP TƢƠNG TỰ
Bài 1.( Lê Hồng Phong Nam Định lần 1 năm 2019-2020)Cho hàm số y f x liên tục
trên  có bảng biến thiên như sau: Trang 46 A. 0. B. 3. C. 2. D. 4.
Bài 2.(THPT NGÔ GIA TỰ VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 01)Cho hàm số
y f (x) liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ.
Gọi m là số nghiệm của phương trình f ( f (x))  1. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. m  6. B. m  7. C. m  5. D. m  9.
Bài 3. ( Đề minh họa thi THPTQG của BGD năm 2019) Cho hàm số y f x liên
tục trên  và có đồ thị như hình vẽ. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để
phương trình f sin x  m có nghiệm thuộc khoảng 0,  : A.  1  ;3. B.  1   ;1 . C. 1;3 . D.  1   ;1 .
Bài 4. ( Đề THPTQG năm 2019, mã đề 102)Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị 1
như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình f  3
x  3x  là 2 Trang 47 A. 6 . B.10 . C. 12 . D. 3 .
Bài 5. (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM 2018-2019)Cho hàm số y f (x) liên
tục trên  và có đồ thị như hình vẽ dưới đây
Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f  2
4  x   m
nghiệm thuộc nửa khoảng  2; 3  là A.  1  ;  3 . B. 1; f     2. C. 1; f  2  . D.  1  ;  3 .
Bài 6.Cho hàm số y f x liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ. Tập hợp tất cả   2x 
các giá trị của m để phương trình f fm    có nghiệm là 2   x 1 A.  1  ;2. B. 0; 2 . C.  1  ;  1 . D.  2  ;2. Trang 48
Bài 7.Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Gọi S là tập hợp tất cả các
giá trị của tham số m để phương trình f  2
3  4  x   m có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn  2; 3   . Tìm tập S.
A. S  1; f 3 2  S      . B. f 3 2 ;3 .
C. S   . D. S   1  ;  3 .
Bài 8. ( Đề minh họa thi THPTQG của BGD năm 2019) Cho hàm số   4 3 2
f x mx nx px qx r  , m ,
n p, q, r   . Hàm số y f  x có đồ thị như hình vẽ bên dưới
Tập nghiệm của phương trình f x  r có số phần tử A. 4. B. 3. C.1. D. 2.
Bài 9. (Chuyên ĐHSP Vinh lần 1 năm 2019-2020) Cho hàm số y f x liên tục trên 
và có đồ thị như hình vẽ.
Có bao nhiêu giá trị nguyên không âm của m để phương trình: Trang 49 f  2 x
x    f  2 3sin 2 8cos 4
m  4m có nghiệm x ? A. 2 . B. 4 . C. 5 . D. 6 .
Bài 10.( Chuyên Quang Trung lần 1 năm 2019-2020). Cho hàm số f (x) liên tục trên
2;4 và có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 2
x  2 x  2x  .
m f (x) có nghiệm thuộc đoạn 2;4 ? A. 6 . B. 5 . C. 4 . D. 3 . ĐÁP ÁN 1D 2B 3D 4B 5D 6D 7A 8B 9A 10C Trang 50