Phương pháp giải nhanh hình không gian – Trần Duy Thúc Toán 12

Tài liệu gồm 77 trang gồm lý thuyết, công thức và hướng dẫn phương pháp giải nhanh bài toán hình học không gian thông qua các ví dụ điển hình có lời giải chi tiết.Mời các bạn đón xem.

75 38 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 1: Khối đa diện

Môn: Toán 12

Thông tin:

77 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Lan Tường
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 1
Lời nói đầu
Chào các Em học sinh thân mến !
Câu hình học không gian là một nội dung quan trọng trong đề thi của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo.Câu
này không quá khó. Tuy nhiên nhiều Em học sinh cũng lúng túng khi gặp phần này. Đặc biệt là khi
các Em tính khoảng cách hay ý sau của bài toán. Qua nhiều năm tham gia chấm thi Thầy nhận ra
được rằng đa phần các Em hay bị mất đi 0,5 điểm ở ý sau của câu này. Với mục tiêu có thể giúp Em
cảm thấy nhẹ nhàn với hình học không gian và có thể lấy được trọn điểm câu này. Thầy biên soạn
một quyển tài liệu “PHƯƠNG PHÁP GIẢI NHANH HÌNH KHÔNG GIAN” gửi đến các Em.
Với cách hệ thống lý thuyết và các ví dụ được xây dựng từ cái góc của vấn đề, nâng dần đến giải
quyết các vấn đề tổng quát. Thầy tin rằng có thể mang đến cho các Em một cái nhìn hết sức rỏ ràng
về hình không gian và có được sự tự tin về hình học không gian. Để thuận lợi cho việc đọc tài liệu
Thầy chia ra thành 3 chương:
Chương 1. Tóm tắt lý thuyết quan trọng
Chương 2. Phân dạng các bài toán khoảng cách
Chương 3. Thể tích và các bài toán liên quan
Cuối cùng, Thầy cũng không quên nói rằng dù đã cố gắng nhưng tài liệu chắc chắn sẽ không tránh
khỏi sai sót nhất định. Hi vọng nhận được phản hồi từ phía các Bạn đọc. Để lần chỉnh sửa sau sẽ
mang đến cho chúng ta một tài liệu hoàn chỉnh hơn nữa để việc học tập của các Em học sinh hiệu
quả nhất.
Mọi ý kiến đóng góp xin vui lòng liên hê một trong các địa chỉ sau:
+ Gmail: tdthuc89@gmail.com
+ Facebook: https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
Chân thành cảm ơn các Bạn đọc!
Trần Duy Thúc
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 2
H
M
B
C
A
Chương 1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT QUAN TRỌNG
Trong phần này Thầy chỉ điểm qua những lý thuyết hay sữ dụng nhất khi giải bài toán hình không
gian. Những phần lý thuyết khác nếu có sữ dụng Thầy sẽ nhắc lại trong các bài tập mẫu.
A. Hình học phẳng
I. Các hệ thức lượng trong tam giác thường
1. Định lí côsin
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 .cos
2 .cos
2 .cosC
a b c bc A
b a c ac B
c b a ab
2. Định lí sin
2
sin sin sinC
a b c
R
AB
. Trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
II. Các hệ thức lượng trong tam giác vuông
Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH và đường trung tuyến AM.Ta có:
2 2 2
2 2 2
22
..
1 1 1
. ; .

BC AB AC
AH BC AB AC
AH AB AC
MA MB MC
BH BC AB CH CB AC
III. Diện tích tam giác
1 1 1
2 2 2
1 1 1
sinC sin sin
2 2 2
.b.c
;
,
2





ABC a b c
ABC
ABC ABC
ABC
S ah bh ch
S ab bc A ac B
a
S S pr
R
abc
S p p a p b p c p
+
lần lượt là độ dài đường cao kẻ từ A, B và C của
ABC
.
+ R: bán kính đường tròn ngoại tiếp.
+ r: bán kính đường tròn nội tiếp.
+ p: nữa chu vi của
ABC
.
b
c
a
A
B
C
c
b
a
B
A
C
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 3
IV. Diện đa giác
1. Diện tích tam giác vuông
Diện tích tam giác vuông bằng ½ tích hai cạnh góc vuông.
1
.
2
ABC
S AB AC
.
2. Diện tích tam giác đều
Cho tam giác ABC đều cạnh a, ta có:
+
2
3
4
ABC
a
S
+
3
2
a
AH
.
+ Diện tích tam giác đều bằng cạnh bình phương nhân
3
chia 4.
+ Đường cao bằng cạnh nhân
3
chia 2.
3. Diện tích hình chữ nhật và hình vuông.
Diện tích hình vuông bằng cạnh bình phương.
Diện tích hình chữ nhật bằng chiều dài nhân chiều rộng.
4. Diện tích hình thang.
Diện tích hình thang bằng một nữa đường cao nhân tổng hai cạnh đáy.
1
2

ABCD
S h AD BC
.
5. Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc.
1
.
2
ABCD
S AC BD
.
Chú ý: Trường hợp không nhớ công thức tính diện tích của tứ giác thì chia ra thành các tam giác
hoặc các hình dễ tính, sau đó cộng lại ta có diện tích cần tính.
B. Hình không gian
I. Đường thẳng vuông góc mặt phẳng
1. Định nghĩa:
P
d
a
B
C
A
a
A
H
B
C
h
A
D
B
C
B
D
A
C
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 4
, d P d a a P
.
2. Định lí ( cách chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng)
,,
da
db
a b P a b O
.

dP
3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
a. Định nghĩa:
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng d và hình chiếu vuông góc của
nó trên (P).
b. Cách xác định góc giữa đường thẳng d và (P):
B1: Tìm
A d P
.
B2. Lấy điểm
Sd
(thường có sẳn), sau đó tìm H là hình chiếu vuông
góc của S trên (P).
Suy ra AH là hình chiếu của d trên (P).
Suy ra
;;d P d AH SAH
.
II. Mặt phẳng vuông góc mặt phẳng
1. Định nghĩa:
Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc nếu một trong hai mặt phằng chứa một
đường thẳng vuông góc mặt phẳng kia.
2.Định lí 1
,d

PQ
P Q a d Q
d P a
3.Định lí 2
1
2
12

PP
P P d Q
P P d
P
d
a
b
P
d
S
A
H
P
d
Q
a
P
d
P1
d
P2
P
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 5
4. Góc giữa hai mặt phẳng
a. Định nghĩa
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng thuộc hai mặt
phẳng cùng vuông góc giao tuyến của hai mặt phẳng đó.
b. Cách xác định góc giữa (P) và (Q)
B1: Xác định
d P Q
.
B2: Lấy điểm S thuộc (P), tìm H là hình chiếu vuông góc của S trên
(Q).
B3: Từ H kẻ HA vuông góc d(A thuộc d).
Ta sẽ chứng minh được SA vuông góc với d.
Suy ra
;;P Q SA HA SAH
.
III. Hình chóp đều
1. Định nghĩa
Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và chân đường cao trùng với tâm của đa giác
đáy.
Nhận xét:
+ Hình chóp đều có các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau. Các mặt bên tạo với đáy các góc
bằng nhau.
+ Các cạnh bên bằng nhau và cùng với đáy các góc bằng nhau.
2. Các hình chóp đều thường gặp
a) Hình chóp tam giác đều
Hình chóp tam giác đều
đáy là tam giác đều, các cạnh bên bằng
nhau và chân đường cao của hình chóp là trọng tâm của tam giác.Cho
hình chóp đều S.ABC, khi đó:
+Tam giác ABC đều;chân đường cao của hình chóp là trọng tâm G của
ABC
.
+Các mặt bên là tam giác cân tai S và bằng nhau.
+Góc giữa các cạnh bên và mặt đáy bằng nhau.
Chú ý:
Hình chóp tam giác đều khác với tứ diện đều.
+ Tứ diện đều các cạnh bên bằng cạnh đáy và các mặt bên các tam giác đều. Hình chóp tam giác đều
đáy là tam giác đều và các cạnh bên bằng nhau.
+ hình chóp tam giác đều các cạnh bên chưa chắc đã bằng cạnh đáy.
b) Hình chóp tứ giác đều
Hình chóp tứ giác đều
đáy là hình vuông, các cạnh bên bằng nhau và chân
đường cao của hình chóp là tâm của hình vuông.Cho hình chóp đều S.ABCD,
Q
d
P
H
S
A
I
C
A
D
B
S
G
M
A
B
C
S
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 6
khi đó:
+ABCD là hình vuông;chân đường cao của hình chóp là I hình vuông ABCD.
+Các mặt bên là tam giác cân tai S và bằng nhau.
+Góc giữa các cạnh bên và mặt đáy bằng nhau.
IV. Xác định đường cao của hình chóp
1. Hình chóp có mặt bên vuông góc đáy
Đường cao của hình chóp là đường cao của mặt bên chứa trong mặt phẳng vuông góc đáy.
Ví dụ:Cho hình chóp S.ABCD có mặt bên SAB vuông góc đáy. Ta kẻ SH vuông góc AB thì SH là
đường cao của hình chóp.
2. Hình chóp có hai mặt bên vuông góc đáy
Đường cao của hình chóp là giao tuyến của hai mặt bên.
Ví dụ:Cho hình chóp S.ABCD có các mặt bên (SAB) và (SAC) cùng vuông góc đáy. Khi đó đường
cao là SA.
V. Khoảng cách
1. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
Để tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng ta phải dựng đoạn thẳng vuông góc kẻ từ điểm đó
đến mặt phẳng. Cho điểm M và (P) để dựng đoạn thẳng vuông góc kẻ từ M đến (P) ta thường dùng
một trong hai cách sau:
Cách 1:
+ Xây dựng (Q) chứa M và (Q) vuông góc (P).
+ Xác định
( ) ( )d P Q
.
+ Dựng
;( )MH d MH d M P
.
Cách 2:
Nếu trong bài toán đã có
()SA P
. Ta dựng MH song song với SA (H thuộc
(P)). Khi đó:
+ Nếu
//MH SA
thì
;( ) ;( )d M P d S P
.
+ Nếu
MH SA I
thì
;( )
;( )
d M P
MI
d S P SI
.
ng (Q) chứa M và (Q) vuông góc (P).
+ Xác định
( ) ( )d P Q
.
+ Dựng
;( )MH d MH d M P
.
2. Khoảng giữa đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng d và (P) ta có:
+


;0
d P O
d d P
dP
.
+
/ / ; ;( ) ,d P d d P d A P A d
.
P
d
Q
H
M
P
H
M
S
I
A
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 7
3. Khoảng giữa hai mặt phẳng
+


()
( ); 0
()
Q P d
d Q P
QP
.
+
(Q)/ / (Q); ;( ) , (Q)P d P d A P A
.
4. Khoảng giữa hai hai đường thẳng.
Cho hai đường thẳng

12
;
khi đó:
+
12
12
12
;0d
.
+
1 2 1 2 2 1 1 2
/ / ; ; ; , ;d d M d N M N
.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cho hai đường thẳng

12
;
chéo nhau. Khi đó đoạn thẳng MN đồng thời vuông góc với
1
và
2
(M thuộc
1
;N thuộc
2
) được gọi là đoạn thẳng vuông góc chung của
1
và
2
. MN chính là
khoảng cách giữa
1
và
2
.
Phương pháp:
Cách 1:Dựng mặt phẳng (P) chứa
1
và song song
2
. Khi đó:
1 2 2
; ;( )d d P
.
Cách 2:Dựng đoạn thẳng vuông góc chung và tính độ dài của đoạn thẳng đó.
Phần này ta sẽ tìm hiểu kỉ hơn và sẽ được giải quyết nhanh gọn ở chương 2.
VI. Thể tích khối đa diện
1. Thể tích khối chóp
1
3
V Bh
+ B:Diên tích đáy.
+ h: độ dài đường cao của hình chóp.
oảng cách
2. Thể tích khối lăng trụ
V Bh
+ B:Diên tích đáy.
+ h: độ dài đường cao của hình chóp.
3. Thể tích hình hộp chữ nhật
..V a b c
Thể tích hình lập phương:
3
Va
4. Tỉ số thể tích:
. ' ' '
.
' ' '
..
S A B C
S ABC
V
SA SB SC
V SA SB SC
.
h
B
D
A
C
S
C
A
S
B
A'
B'
C'
C'
B'
H
B
C
A
A'
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 8
.......................................................................................................................................................................
Chương 2. PHÂN DẠNG CÁC BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH
I. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
1. Khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng bên
a. Phương pháp:
Cho hình chóp có đỉnh là S và chân đường cao H. Để tính khoảng
cách từ H đến mặt phẳng bên chứa S ta thực hiện các bước sau:
+ Xác định giao tuyến d giữa mặt phẳng bên và mặt phẳng đáy.
+ Từ chân đường cao H dựng đoạn
HM d
. Kẻ
HK SM
, khi
đó HK là khoảng cách cần tính. Để tính được HK ta nhớ là phải tính đường cao của hình chóp trước
nhé.
Chú ý:
Trong khi tính khoảng cách ta nên vẻ thêm mặt phẳng đáy ra cho dễ phát hiện các tính chất vuông
góc, song song, cũng như để thuận tiện cho việc tính độ dài. Tức là nếu đáy là hình vuông thì ta vẻ
đúng hình vuông bên cạnh…
b. Bài tập mẫu
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SA vuông góc mặt phẳng đáy.
SC hợp với đáy 1 góc
60
.
a) Tính
;d A SBC
. b) Tính
;d A SBD
.
Phân tích:
Tính khoảng cách từ chân đường cao tới các mặt bên là khá dễ, nhưng hầu như khi tính khoảng cách
đều quy về khoảng cách của chân đường cao. Do vậy các Em phải làm thật vững phần này nếu
muốn tính được các khoảng cách ở phần sau.
Bởi vì trong lúc tính khoảng cách ta sẽ dựng thêm các đường vuông góc trong mặt phẳng đáy nên
tốt nhất là ta vẽ mặt đáy ra. Để có thể dự đoán được chân đường vuông góc cũng như để tính chúng.
Trong một số bài toán thì đường vuông góc từ chân đường cao kẻ đến mặt bên có sẳn nên ta không
cần kẻ thêm. Ví dụ như bài này để tính
;d A SBC
thì ta cần kẻ AE vuông góc BC vì
AB BC E B
. Tiếp theo ta chỉ cần kẻ AK vuông góc SB thì AK là khoảng cách cần tính.
Giải
a) Ta có
C SC ABCD
và A là hình chiếu của S trên (ABCD). Suy ra AC là hình chiếu của SC
trên (ABCD). Do đó:
d
C
A
D
B
H
S
M
K
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 9

;( 60SC ABCD SCA
. Tam giác SAC vuông tại A nên
tan 2.tan60 6
SA
SCA SA a a
AC
.
Ta đã có
AB BC
, kẻ
1AK SB
. Ta chứng minh
AK SBC
.
Ta có:
2
AB BC
BC SAB BC AK
SA BC
. Từ (1) và (2) suy ra
;AK SBC AK d A SBC
. Tam giác SAB vuông tại A, có đường cao AK nên ta có:
2 2 2 2 2 2
42
1 1 1 1 1 1
7
6
a
AK
AK AS AB AK a a
. Vậy
42
;
7
a
d A SBC
.
b) Gọi I là giao điểm giữa AC và BD thì
AI BD
. Kẻ
3AH SI
, ta chứng minh
AH SBD
.
Ta có:
4
BD AI
BD SAI BD AH
BD SA
.
Từ (3) và(4) suy ra
;AH SBD AH d A SBD
.
Tam giác SAI vuông tại A, có đường cao AH nên ta có:



2 2 2 2 2 2
78
1 1 1 1 1 1
13
2
6
2
a
AK
AH AS AI AK
a
a
. Vậy
78
;
13
a
d A SBC
.
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SA vuông góc mặt phẳng đáy.
SC hợp với đáy 1 góc
60
. Gọi M là trung điểm BC. Tính
;d A SMD
.
Phân tích:
Giao tuyến giữa
SMD ABCD MD
. Do đó ta cần kẻ AH vuông góc MD.
Ở ví dụ 1 thì ta không vẽ mặt phẳng đáy ra vì việc xác định hình chiếu vuông góc từ A đến các giao
tuyến có sẳn. Nhưng ví dụ này ta vẻ thêm mặt phẳng đáy ra cho việc xác định hình chiếu từ A đến
MD và cũng như tính độ dài AH.
Giải
Ta có
C SC ABCD
và A là hình chiếu của S trên (ABCD). Suy ra AC là hình chiếu của SC
trên (ABCD). Do đó:

;( 60SC ABCD SCA
.
60
I
D
B
A
C
S
K
H
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 10
Tam giác SAC vuông tại A nên
tan 2.tan60 6
SA
SCA SA a a
AC
.
Giao tuyến giữa (SDM) và (ABCD) là MD nên ta kẻ AH vuông góc MD tại H. Kẻ AK vuông góc
SH tại K. Ta chứng minh
AK SMD
. Ta có:
2
MD AH
MD SAH MD AK
MD SA
.
Từ (1) và (2) suy ra
;AK SBC AK d A SMD
.
Ta có:
22
5
2
a
MD BD BM
.
Và
2 2 2
2
4 4 2
AMD ABCD AMM BMD
a a a
S S S S a
. Mà
2
25
1
.
2 2 5
AMD
aa
S AH MD AH
.
Xét tam giác SAH vuông tại A, có đường cao AK nên ta có:
2 2 2 2 2 2
5 2 51
1 1 1 1 1
17
64
a
AK
AK AS AH AK a a
. Vậy
2 51
;
17
a
d A SBC
.
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a;
3
2
a
SD
; hình chiếu vuông góc của
S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của cạnh AB.
a) Tính
;d H SDC
. b) Tính
;d H SBD
.
Giải
a) H là trung điểm của AB và
SH ABCD SH HD
. Suy ra:
2 2 2 2 2
SH SD HD SD HA AD a
. Kẻ
HN DC
tại N;kẻ
1HK SN
tại K . Ta
chứng minh
HK SDC
.Ta có:
2
DC HN
DC SHN DC H K
DC SH
.
Từ (1) và (2) suy ra
H;HK SDC HK d SDC
.
Tam giác SHN vuông tại H, có đường cao HK nên:
a
M
D
B
A
C
S
H
K
a
a
a
M
H
M
C
B
B
C
A
D
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 11
2 2 2
2
1 1 1
2
a
HK
HK HS HN
. Vậy
2
H;
2
a
d SDC
.
b) Kẻ
HM BD
tại M;kẻ
1HE SM
tại E . Ta chứng minh
HE SBD
.Ta có:
2
BD HM
BD SHM BD HE
BD SH
.
Từ (1) và (2) suy ra
H;HE SBD HE d SBD
. Ta có

2
.sin45
4
a
HM HB
.
Tam giác SHM vuông tại H, có đường cao HE nên:
2 2 2
1 1 1
3
a
HE
HE HS HM
. Vậy
H;
3
a
d SBD
.
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt
phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA=2HB. Góc giữa SC và (ABC) bằng
60
.
a) Tính
;d H SAC
. b) Tính
;d H SBC
.
Giải
a) Ta có
C SC ABC
và H là hình chiếu của S trên
(ABC). Suy ra HC là hình chiếu của SC trên (ABC). Do đó:

; 60SC ABC SCA
.
Xét tam giác BHC ta có:
2
2 2 2 2 2
7
2 . .cos 2. . .cos60
3 3 3
a a a
HC HB BC HB BC HBC HC a a HC
.Xét tam giác SHC ta có:
7 21
.tan . 3
33
aa
SH HC SCH
. Kẻ
HM BC
tại M;kẻ
1HE SM
tại K . Ta chứng minh
HE SBC
.Ta có:
2
BC H M
BC SHM BC HE
BC SH
.
C
M
N
B
H
A
60
B
H
A
C
S
M
N
E
K
N
H
C
A
B
D
S
K
M
E
a
M
H
D
A
B
C
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 12
Từ (1) và (2) suy ra
H;HE SBC HE d SBC
. Tam giác HBM vuông tại M, có
33
.sin60 .
3 2 6
aa
HM HB
. Tam giác SHM vuông tại H, có đường cao HE nên:
2 2 2
609
1 1 1
87
a
HE
HE HS HM
. Vậy
609
H;
87
a
d SBC
.
b) Kẻ
HN AC
tại N;kẻ
1HK SN
tại K . Ta chứng minh
HK SAC
.Ta có:
2
AC H N
AC SHN AC HK
AC SH
. Từ (1) và (2) suy ra
H;HK SAC HK d SAC
.
Tam giác HAN vuông tại N, có
2 3 3
.sin60 .
3 2 3
aa
HN HA
.Tam giác SHN vuông tại H, có
đường cao HK nên:
2 2 2
42
1 1 1
12
a
HK
HK HS HN
. Vậy
42
H;
12
a
d SDC
.
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A;
30ABC
; SBC là tam giác đều
cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy.
a) Xác định chân đường cao H của hình chóp S.ABC và tính độ dài đường cao này.
b) Tính:
;d H SAC
và
;d H SAB
.
Phân tích: Để xác định chân đường cao của hình chóp các Em xem lại mục 1 của IV. Do mặt phẳng
(SBC) vuông góc với (ABC) và có chung đường thẳng BC nên ta chỉ cần kẻ SH vuông góc BC; SH
sẽ là đường cao của hình chóp. Để ý, do tam giác SBC đều nên H là trung điểm của BC.
Giải
a) Kẻ
SH BC
, do tam giác SBC đều nên H là trung điểm của BC. Khi đó:

;
SBC ABC
SBC ABC BC SH ABC
SH BC SH SBC
. Vậy SH là đường cao của hình chóp S.ABC.
Tam giác SBC đều cạnh a nên
3
2
a
SH
.
30
N
M
H
C
A
B
S
K
E
30
N
M
A
C
H
B
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 13
b) + Tính
;d H SAC
.
Kẻ
HN AC
tại N;kẻ
1HE SN
tại E . Ta chứng minh
HE SAC
.Ta có:
2
AC HN
AC SHN AC HE
AC S H
. Từ (1) và (2) suy ra
H;HE SAC HE d SAC
.
Tam giác HCN vuông tại N, có
33
.sin60 .
2 2 4
aa
HN HC
.Tam giác SHN vuông tại H, có
đường cao HE nên:
2 2 2
15
1 1 1
10
a
HK
HE HS HN
. Vậy
15
H;
10
a
d SDC
.
+ Tính
;d H SAB
.
Kẻ
HM AB
tại M;kẻ
1HK SM
tại K . Ta chứng minh
HK SAB
.Ta có:
2
AB HM
AB SHM AB HK
AB SH
. Từ (1) và (2) suy ra
H;HK SAB HK d SAB
.
Tam giác HBM vuông tại M, có
1
.sin30 .
2 2 4
aa
HM HB
. Tam giác SHM vuông tại H, có
đường cao HK nên:
2 2 2
39
1 1 1
26
a
HE
HK HS HM
. Vậy
39
H;
26
a
d SBC
.
Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B;
2AB BC a
; hai mặt phẳng
(SAB) và (SAC) cùng vuông góc mặt phẳng (ABC). Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)
bằng
60
.Tính
A;d SBC
.
Phân tích: Trước tiên ta cần xác định được đường cao của hình chóp. Bài này ta thấy ngay SA là
đường cao của hình chóp.
Giải
Ta có:

SAB ABC
SAC ABC SA ABC
SAC SAB AB
.
30
2a
A
C
B
S
K
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 14
Mặt khác,
BC AB
BC SAB SB BC
BC SA
. Do đó:
; ; 30SBC ABC SB AB SBA
. Tam giác SAB vuông tai A nên
23
tan .tan30
3
SA a
SBA SA AB
AB
.
Kẻ
AK SB
tại K, ta có:

;
AK BC BC SAB
AK SBC AK d A SAB
AK SB
.
Tam giác SAB vuông tại A, có đường cao AK nên:
2 2 2
1 1 1
AK a
AK AS AB
. Vậy
A;d SBC a
.
Bình luận: Trong ví dụ 6 để tính AK, các Em cũng có thể xét tam giác ABK vuông tại K và áp dụng
định lý cosin cho tam giác vuông. Tức là:
.sin30AK AB a
. Khi đó các Em không cần tính SA.
Nhưng vì các bài toán này thường đi chung câu tính thể tích nên ở đây Thầy rèn luyện cho các Em
cách tính đường cao luôn.
Ví dụ 7. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của
A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của AB. Góc giữa đường thẳng A’C và mặt đáy bằng
60
a) Tính đường cao A’H.
b) Tính:
; ' 'd H ACC A
.
Giải
a) Ta có:
'A H ABC
và
' 60A HC
. Do đó
33
' .tan60 . 3
22
aa
A H CH
.
b) Kẻ
HM AC
tại M, kẻ
HK SM
tại K. Khi đó:
; ' 'HK d H ACC A
.Ta có:

3
.sin60
4
a
HM HA
,
2 2 2
3 13
1 1 1
26
'
a
HK
HK HM HA
.
Ví dụ 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B; AD=2AB=2BC; BC=a;
SA ABCD
và SB hợp với mặt phẳng đáy một góc
45
. Tính
;d A SDC
.
Phân tích: Bài toán đã cho ta đường cao SA, không khó để ta xác định được độ dài SA. Để tính
;d A SDC
, ta cần kẻ AH vuông góc DC tại H. Để xác định được vị trí điểm H. Em nên vẻ hình
60
a
C'
B'
H
A
C
B
A'
M
K
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 15
thang ABCD ra, khi đó Em sẽ thấy rằng H trùng C. Tức là
AC DC
?? Thử vẻ lại cho đúng tỷ lệ ta
tin rằng điều này có thể. Vậy ta sẽ chứng minh
AC DC
.Tiếp theo thì đã biết rồi nhé.!
Giải
Ta có:
SA ABCD
và
45SBA
. Do đó
SA AB a
. Gọi I là trung điểm của AD, ta có ABCI
là hình vuông
1
2
CI AB AD ADC
vuông tại C hay
AC DC
và
2AC a
. Kẻ
AK SC
tại K. Khi đó:
A;AK d SDC
.Ta có:
2 2 2
6
1 1 1
3
a
AK
AK AS AC
. Vậy
6
A;
3
a
d SDC
.
2. Khoảng cách từ một điểm ở mặt đáy đến mặt bên
a.Phương pháp:
Ta sẽ đưa bài toán trở về khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên(dạng này ta đã biết).
Giả sử cho hình chóp có đỉnh là S và chân đường cao H và cần tính khoảng cách từ điểm M thuộc
mặt phẳng đáy đến mặt bên (SAB) ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Ta dựng đường thẳng d đi qua H và M. Khi đó:
+ Trường hợp1: Nếu
//d SAB
thì
;;d M SAB d H SAB
.
+ Trường hợp 2: Nếu
d SAB K
thì
;
;
d M SAB
MK
d H SAB HK
(định lí Ta-let).
Bước 2: Tính
;d H SAB
(đã biết ở phần trước).
a
a
C
B
I
A
D
C
I
A
D
B
S
K
d
Trường hợp 1
M
A
C
B
D
H
S
E
F
Trường hợp 2
A
S
H
D
B
C
E
F
K
M
(SAB)
N
M
K
F
H
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 16
b. Bài tập mẫu
Ví dụ 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a;
60BAC
; mặt bên SAB là tam giác
cân và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy. Mặt phẳng (SCD) tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc
30
.Tính:
a)
;d A SBC
c)
M;d SAD
, với M là trung điểm của DC.
Giải
a) Tính
;d A SBC
.
Gọi H là trung điểm của AB, do tam giác SAB cân tại S nên
SH AB
, mà
SAB ABCD
nên
SH ABCD
. Tam giác ABC cân tại B có
60BAC ABC
đều là
CH AB
và
3
2
a
CH
.
Vì AB //
DC
suy ra
CH CD
.
Mà
; 30SH CD CD SHC CD SC SCD ABCD SCH
.
Tam giác SHC vuông tại H
.tan30
2
a
SH HC
.
Đường thẳng AH cắt BC tại B
;
2 ; 2 ;
H;
d A SBC
AB
d A SBC d H SBC
d SBC HB
.
Kẻ
;HF SEHE BC
,suy ra
;HF d H SBC
( Các Em xem lại I.1 nhé!).
Ta có
33
.sin60 .
2 2 4
aa
HE HB
. Tam giác SHE vuông tại H, có đường cao HF suy ra:
2 2 2 2 2
16 21
1 1 1 4
14
3
a
HF
HF SH HE a a
. Vậy

21
A; 2
7
a
d SBC HF
.
b) Tính
M;d SAD
.
Ta có HM // AD
HM // (SAD)
;;d M SAD d H SAD
.
Kẻ
;;HN BC HK SN HK d H SAD
( Các Em xem lại chương2 I.1 nhé!).
60
°
N
M
E
D
H
B
A
C
K
N
B
M
H
C
A
B
D
S
E
F
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 17
Ta có
33
.sin60 .
2 2 4
aa
HN HA
. Tam giác SHN vuông tại N, có đường cao HK suy ra:
2 2 2 2 2
16 21
1 1 1 4
14
3
a
HK
HK SH HN a a
. Vậy

21
M;
14
a
d SAD HK
.
Ví dụ 10. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A và
2 ; 2 3AB a AC a
. Hình
chiếu vuông góc S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của AB. Mặt phẳng (SBC) tạo với mặt
phẳng (ABC) một góc
30
.Tính:
a)
B;d SAC
c)
M;d SAC
, với M là trung điểm của BC.
Giải
a) Tính
B;d SAC
.
Kẻ
HE BC
, mà
; 30SH BC BC SHE SE BC SBC ABCD SEH
.
Ta có:
tan 3 60
AC
ABC ABC
AB
;
3
.sin60 tan30
22
aa
HI BH SH HI
.
Đường thẳng BH cắt AC tại A
B;
2 B; 2 ;
H;
d SAC
BA
d SAC d H SAC
d SAC HA
.
Kẻ
HK SA
, mà
;SH AC AC SAH AC HK HK SAC HK d H SAC
.
Ta có:
2 2 2
5
1 1 1
5
a
HK
HK SH HA
. Vậy

25
B; 2
5
a
d SAC HK
.
b) Tính
M;d SAC
.
Ta có HM // AC
HM // (SAC)
;;d M SAC d H SAC
.
Vậy
5
M;
5
a
d SAC
.
Ví dụ 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A và
3 ; 5AB a CB a
. Mặt bên
(SAC) vuông góc với (ABC). Biết
23SA a
và
30SAC
.Tính
;d A SBC
.
Giải
Kẻ
SH AC
tại H, do
SAC ABC SH ABC
.
30
°
M
H
A
C
B
S
K
E
E
M
H
A
B
B
C
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 18
Ta có
.sin 3SH SA SAC a
và
.cos 3AH SA SAC a HC a
.
Đường thẳng AH cắt BC tại C
;
4
4 ; 4 ;
;
d A SBC
AC a
d A SBC d H SBC
d H SBC HC a
.
Kẻ
HE BC
tại E và
HK SE
tại K. Khi đó
;HK d H SBC
.
Ta có tam giác CEH đồng dạng với tam giác CAB suy ra
3
5
a
HE AB
HE
HC BC
.
2 2 2
37
1 1 1
14
a
HK
HK SH HE
. Vậy

67
;4
7
a
d A SAB HK
.
Ví dụ 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; hình chiếu vuông góc của S trên
mặt phẳng (ABCD) là trọng tâm của tam giác ABD. Cạnh SD tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng
60
. Gọi M là trung điểm của AB.
a) Tính
;d A SBC
. b) Tính
;d D SBC
. c) Tính
;d M SDC
.
Giải
a) Tính
;d A SBC
.
Gọi I là tâm của hình vuông ABCD và G là trọng tâm của tam giác ABD, khi đó
SG ABCD
và
ta có
5a
3a
4a
E
B
H
A
A
C
30
°
H
C
B
A
S
E
K
G
60
°
N
E
I
M
C
A
B
D
S
K
F
I
N
E
G
M
D
A
B
C
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 19
SDG
là góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD). Do SD tạo với mặt phẳng đáy một góc
bằng
60 60SDG
.Do G là trọng tâm của tam giác ABD
22
5
22
.
3 3 3
a
DG MD AM AD
. Xét tam giác SDG vuông tại G,ta có

15
.tan60
3
a
SG DG
.
Ta có
2
2 3 2
3
AC AI AG AI AC AG AC GC
.
Đường thẳng AG cắt BC tại C
;
33
;;
; 2 2
d A SBC
AC
d A SBC d G SBC
d G SBC GC
.
Kẻ
GN BC
tại N và
GK SN
tại K. Khi đó
;GK d G SBC
.
Ta có tam giác CGN đồng dạng với tam giác CAB suy ra
2
3
GN GC a
GN
AB AC
.Ta có:
2 2 2
2 285
1 1 1
57
a
GK
GK SG GN
. Vậy

3 285
;
2 19
a
d A SBC GK
.
b) Tính
;d D SBC
.
Ta có AD // BC
AD // (SBC)
;;d D SBC d A SBC
.
Vậy
285
;
19
a
d D SBC
.
c) Tính
;d M SBC
.
Đường thẳng MG cắt DC tại D
;
33
;;
; 2 2
d M SDC
MD
d M SDC d G SDC
d G SDC GD
.
Kẻ
GE DC
tại E và
GF SE
tại F. Khi đó
;GF d G SDC
. Xét tam giác DGE vuông tại E,
ta có:
5 10
2
.sin45 .
3 2 6
aa
GE DG
.
Tam giác SGE vuông tại G, có đường cao GF suy ra:
2 2 2 2 2 2
3 18 105
1 1 1 1
21
55
a
GF
GF SG GE GF a a
.
Vậy
3 3 105 105
;.
2 2 21 14
aa
d M SDC GK
.
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 20
Ví dụ 13. Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a,
2SA a
. Điểm M là trung điểm của BC.
a) Tính
;d C SAB
. b) Tính
;d M SAB
.
Phân tích: AK…! Các Em cần nhớ lại định nghĩa hình chóp đều nhé. Các Em xem lý thuyết chương
1 nhé!
Giải
a) Tính
;d C SAB
.
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC; N là trung điểm của AB. Do S.ABC là hình chóp đều nên
SG ABC
.
Tam giác ABC đều cạnh a nên
33
2
;
2 3 3
aa
AM AG AM
.
Tam giác SAG vuông tại G nên:
22
33
3
a
SG SA AG
.
Ta có:
;
3 ; 3 ;
;
d C SAB
CN
d C SAB d G SAB
d G SAB GN
.
Kẻ
GK SN
tại K. (Ta sẽ chứng minh được
GK SAB
Thầy để các Em làm nhé! Xem như bài
tập nhỏ). Khi đó
;GK d G SAB
.Ta có:
2 2 2
165
1 1 1
45
a
GK
GK SG GN
.
Vậy

165
;3
15
a
d C SAB GK
.
b) Tính
;d M SAB
.
Ta có:
;
3 3 165
;;
; 2 2 30
d M SAB
a
MA
d M SAB d G SAB
d G SAB GA
.
Ví dụ 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a;
3
2
a
SD
;hình chiếu vuông góc của S
trên (ABCD) là trung điểm của cạnh AB.
2a
G
M
N
A
B
C
S
K
a
G
N
M
C
A
B
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 21
a) Tính
A;d SBC
. b) Tính
;d C SBD
.
Giải
a) Tính
A;d SBC
.
Gọi H là trung điểm của AB, ta có
AH ABCD
. Tam giác ADH vuông tại A nên:
22
2 2 2 2
5
44
aa
HD AD AH a
. Tam giác SHD vuông H nên :
22
22
95
44
aa
SH SD HD a
.
Ta có:
;
2 ; 2 ;
;
d A SBC
AB
d A SBC d H SBC
d H SBC HB
.
Kẻ
HK SB
tại K(Ta sẽ chứng minh được
HK SBC
Thầy để các Em làm nhé! Xem như bài
tập nhỏ). Khi đó
;HK d H SBC
. Tam giác SHB vuông tại H, có đường cao HK suy ra:
2 2 2
5
1 1 1
5
a
HK
HK SH BH
. Vậy

25
;2
5
a
d A SBC HK
.
b) Tính
;d C SBD
.
Gọi I là giao điểm của CH và BD. Khi đó:
22
IC CD
IC IH
IH HB
.
Suy ra:
;
2 ; 2 ;
;
d C SBD
IC
d C SBD d H SBD
d H SBD IH
.
Kẻ
HE BD
tại E và
HF SE
tại F(Ta sẽ chứng minh được
HF SBD
Thầy để các Em làm
nhé! Xem như bài tập nhỏ). Khi đó
;HF d H SBD
.
Xét tam giác HBE vuông tại B, ta có:
2
2
.sin45 .
2 2 4
aa
HE HB
.
C
3a
2
I
H
A
B
D
S
K
E
F
a
I
E
H
D
A
B
C
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 22
Tam giác SHE vuông tại H, có đường cao HF suy ra:
2 2 2 2 2 2
8
1 1 1 1 1
3
a
HF
HF SH HE HF a a
. Vậy

2
;2
3
a
d C SBD HF
.
Ví dụ 15. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của
A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB; đường thẳng A’C tạo với mặt phẳng (ABC)
một góc
60
. Điểm M là trung điểm của BC.
a) Tính
; ' 'd B ACC A
. b) Tính
; ' 'd M ACC A
.
Giải
a) Tính
; ' 'd B ACC A
.
Gọi H là trung điểm của AC, ta có
'A H ABC
và
'CH 60A
. Tam giácABC đều cạnh a và H
là trung điểm của AB nên
3
2
a
CH
. Tam giác A’HC vuông H nên

3
' .tan60
2
a
A H CH
.
Ta có:
;
2 ; 2 ;
;
d B SAC
BA
d B SAC d H SAC
d H SAC HA
.
Kẻ
HE AC
tại E và
HF SE
tại F(Ta sẽ chứng minh được
HF SAC
Thầy để các Em làm
nhé! Xem như bài tập nhỏ). Khi đó
;HF d H SAC
.
Ta có :
33
.sin60 .
2 2 4
aa
HE HA
. Tam giác A’HE vuông tại E, có đường cao HF suy ra:
2 2 2 2 2 2
16 3 13
1 1 1 1 4
26
' 9 3
a
HF
HF A H HE HF a a
.
Vậy

3 13
;2
13
a
d B SAC HF
.
b) Tính
; ' 'd M ACC A
.
Ta có MH // AC và AC thuộc mặt phẳng (SAC) suy ra MH // (SAC).
60
M
C'
B'
H
B
C
A
A'
E
F
M
E
H
C
B
A
B
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 23
Do đó :

3 13
;;
26
a
d M SAC d H SAC
.
Ví dụ 16. Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy tam giác vuông tại B,
,2AB a AC a
. Cạnh bên SA
vuông góc đáy. Mặt phẳng (SBC) hợp với đáy một góc bằng
60
. Tính khoảng từ trọng tâm G của
tam giác SAB đến mặt phẳng (SBC).
Giải
Ta có:
BC AB
BC SAB BC SB
BC SA
.
Vậy ta được
; 60
SB BC
SBC ABC SB A
AB BC
.
Ta có:
.tan60 3SA AB a
.
Gọi M là trung điểm của SB.
Ta có:
11
;;
33
GM
d G SBC d A SBC
AM
.
Kẻ
AK SB
tại K .(Ta sẽ chứng minh được
AK SBC
Thầy để các Em làm nhé! Xem như bài tập nhỏ nhé).
Khi đó
A;AK d SBC
.
Tam giác SAB vuông tại A,có đường cao AK suy ra:
2 2 2 2 2 2
3
1 1 1 1 1 1
2
3
a
AK
AK SA AB AK a a
.
Vậy

3
1
;
36
a
d G SBC AK
.
3. Khoảng cách từ một điểm thuộc mặt đáy đến mặt bên
a.Phương pháp:
Ta dựng đường thẳng d đi qua điểm đó và song song mặt bên. Sau đó tìm giao điểm giữa d và
mặt đáy. Khi đó ta đưa bài toán trở về khoảng cách từ một điểm thuộc mặt đáy đến mặt bên. Tiếp
theo đưa về khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên(tới đây không phải là đã biết nữa, mà
phải biết).
Giả sử cho hình chóp S.ABCD có
SH ABCD
. Điểm M
thuộc SA, cần tính
;d M SBC
. Ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Ta dựng đường thẳng d đi qua M và song song SB. Xác
định E là giao điểm AB và d.
ME//SB
d(M;(SBC) =d(E;(SBC)
E
A
S
H
D
B
C
M
a
2a
60
°
G
M
A
C
B
S
K
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 24
Bước 2: Tính
;;d M SAB d E SAB
(đã biết ở phần trước).
b. Bài tập mẫu
Ví dụ 17. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a; cạnh bên SA = 2a . Gọi M là trung điểm
của SA. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC).
Phân tích:Trước tiên cần nhớ chân đường cao của hình chóp tứ giác đều là tâm I của hình vuông.
Như đã phân tích ở trên, để tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC); ta sẽ dựng đường thẳng d
đi qua M và song song với một cạnh của mặt phẳng (SBC). Do M thuộc SA; SA và SC đồng phẳng;
SA và SB đồng phẳng. Do đó ta có thể dựng đường thẳng d qua M và d // SC hoặc d // SB. Đó là lý
thuyết!
Trong trường hợp này, do M là trung điểm của SA; I là trung điểm của AC, ta phải thấy được MI //
SC. Khi đó nên
;;d M SBC d I SBC
. Chẳn qua đây là trường hợp đặc biệt; trong trường
hợp tổng quát ta cần nhớ định lí Ta-let hay tam giác đồng dạng.
Giải
Gọi I là tâm của hình vuông ABCD ( tâm của hình
vuông là giao điểm hai đường chéo). Do S.ABCD là
hình chóp đều nên
SI ABCD
. Ta có:
2
2
2
a
AC a AI
.
Tam giác SAI vuông tại I nên:
22
14
2
a
SI SA AI
.
Do M, I lần lượt là trung điểm của SA và AC nên MI //
SC suy ra MI // (SBC) .
Từ MI // (SBC) ta có
;;d M SBC d I SBC
.
Kẻ
IK BC
tại K , khi đó K là trung điểm của BC. Kẻ
IF SK
tại F. (Ta sẽ chứng minh được
IF SBC
Thầy để các Em làm nhé! Xem như bài tập nhỏ nhé). Khi đó
;IF d I SBC
.
Tam giác SIK vuông tại I,có đường cao IF suy ra:
2 2 2 2 2 2
210
1 1 1 1 2 4
30
7
a
IF
IF IK SI IF a a
.
Vậy

210
;;
30
a
d M SBC d I SBC
.
Ví dụ 18. Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy hình vuông cạnh a; mặt bên SAB là tam giác đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy. Gọi M là điểm thuộc đoạn thẳng SD sao cho SD=4SM.
a
2
2
a
2a
K
M
I
C
A
D
B
S
F
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 25
a) Tính khoảng cách từ trung điểm của đoạn thẳng AB đến mặt phẳng (SBC).
b) Tính khoảng điểm M đến mặt phẳng (SBC).
Giải
a) Tính
;d H SBC
.
Gọi H là trung điểm của AB, do tam giác SAB đều cạnh a nên
SH AB
và
3
2
a
SH
.
Ta lại có
SAB ABCD SH ABCD
. Kẻ
HK SB
tại K .(Ta sẽ chứng minh được
HK SBC
Thầy để các Em làm nhé! Xem như bài tập nhỏ nhé). Khi đó
;d H SBC HK
. Tam
giác SBH vuông tại H, có HK là đường cao suy ra:
2 2 2 2 2 2
3
1 1 1 1 4 4
4
3
a
HK
HK SH HB HK a a
. Vậy
3
;
4
a
d H SBC
.
b) Tính
;d M SBC
.
Gọi I là tâm của hình vuông; d là đường thẳng qua M và song song với SB; N là giao điểm giữa d và
BD.
Khi đó MN // BC
/ / ; ;MN SBC d M SBC d N SBC
.
Ta có:
11
44
BN SM
BN BD
BD SD
N là trung điểm của BI. Gọi E là giao điểm của HI và BC
thì E là trung điểm của BC ( Do HI // AC và H là trung điểm của AB thì E phải là trung điểm của
BC). Ta có:
HI = EI (không khó lắm các Em thử kiểm tra xem như bài tập nhỏ nhé!).
Ta có:
N;
33
1 1 1
N; ; .
; 2 2 2 4 8
d SBC
NI a a
d SBC d H SBC
d H SBC HI
.
Vậy

3
;;
8
a
d M SBC d N SBC
.
a
I
E
N
M
H
D
C
A
B
S
K
a
E
N
I
H
C
B
D
A
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 26
Ví dụ 19. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S
trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho
2HA HB
. Góc giữa SC và mặt phẳng
(ABC) bằng
60
.Tính
;d M SAC
, với M là trung điểm của SB.
Giải
Gọi I là trung điểm của AB, ta có IM // SA
IM // (SAC)
;;d M SAC d I SAC
.
Góc giữa SC và phẳng (ABC) chính là góc
SCH
, suy ra
60SCH
.
Ta có:
2 2 2
7 21
2 . .cos60 ; .tan60
33
aa
HC BH BC BH BC HC SH CH
.
Ta có:
;
33
12
; ; ;
2 3 ; 4 4
d I SAC
IA
IA AB HA d I SAC d H SAC
d H SAC HA
.
Kẻ
HE AC
tại ,kẻ
HF SE
tại F. (Ta sẽ chứng minh được
HF SAC
Thầy để các Em làm
nhé! Xem như bài tập nhỏ nhé). Khi đó
;HF d H SAC
.
Ta có:
2 3 3
.sin60 .
3 2 3
aa
HE HA
.
Tam giác SHE vuông tại E,có đường cao HF suy ra:
2 2 2 2 2 2
3 3 42
1 1 1 1
12
7
a
HF
HF HE SH HF a a

3 42
;;
4 16
a
d I SAC d H SAC
.
Vây:

42
;;
16
a
d M SAC d I SAC
.
4. Ứng dụng công thức thể tích để tính khoảng cách
a.Phương pháp:
Sử dụng công thức
3
1
.
3
V
V S h h
S
. Một ý tưởng hết sức đơn giản để tính khoảng cách nhưng
60
°
a
60
°
E
I
C
B
A
H
60
B
M
I
H
A
C
S
E
F
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 27
cũng hiệu quả trong một số trường hợp.
Thường áp dụng với các bài dễ tính thể tích. Tuy nhiên nhược điểm trong khâu tính diện tích, để
khắc phục điểm yếu này ta cứ sử dụng công thức Heron và bấm máy tính. Mỗi phương pháp đều có
ưu và nhược điểm, tùy theo bài toán cụ thể. Do vậy các Em cứ nắm hết phương pháp. Thầy nhắc lại
công thức Heron:
ABC
S p AB p AC p BC
; Với

2
AB BC AC
p
.
b. Bài tập mẫu
Ví dụ 20. (Trích KA -2014) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a;
3
2
a
SD
;hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD) là trung điểm của cạnh AB. Tính theo a thể tích của
khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD).
Giải
+ Tính
.S ABCD
V
.
Gọi H là trung điểm của AB, ta có
AH ABCD
.
Tam giác ADH vuông tại A nên:
22
2 2 2 2
5
44
aa
HD AD AH a
.
Tam giác SHD vuông H nên :
22
22
95
44
aa
SH SD HD a
.
Khi đó :
3
2
.
11
. . . .
3 3 3
S ABCD ABCD
a
V SH S a a
.
+ Tính
;d A SBD
.
Ta có:
3
2
.
1 1 1
. . . .
3 3 2 6
S ABD ABD
a
V SH S a a
.
Ta tính được:
35
2; ;
25
aa
BD a SD SD
. Với

35
2
22
2
a
aa
p
.
Áp dụng công thức Heron ta có:
2
3
4
SBD
S p AB p AC p BC a
.
Vậy:
22
.
3
3 3 2
;:
6 4 3
A SBD
SBD
V
a a a
d A SBD
S
.
a
3a
2
H
D
C
A
B
S
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 28
Ví dụ 21.(Trích KB -2014) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a.. Hình
chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB; đường thẳng A’C tạo với
mặt phẳng (ABC) một góc
60
. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách
từ điểm B đến (ACC’A’).
Giải
+ Tính
. ' ' 'ABC A B C
V
.
Gọi H là trung điểm của AC, ta có
'A H ABC
và
'BH 60A
. Tam giácABC đều cạnh a và H là trung
điểm của AB nên
3
2
a
CH
và
2
3
4
ABC
a
S
. Tam giác
A’HC vuông H nên

3
' .tan60
2
a
A H CH
.
Do đó :
23
. ' ' '
3 3 3 3
' . .
2 4 8
ABC A B C ABC
a a a
V A H S
.
+ Tính
B; ' 'd ACC A
.
Ta có:
23
A'.
3 3 3
11
' . . .
3 3 2 4 8
ABC ABC
a a a
V A H S
.
Ta có:
22
10
''
2
a
A A AH A H
;
AC a
;
33
'
' : 3
22
sin60
a
AH
A C a
. ÁP dụng công
thức Heron ta có :
2
'
39
''
8
A AC
S p A A p AC p A C a
. Với

10
3
2
2
a
aa
p
.
Vậy
3
2
A'.
'C
3
3 39 3 13
; 'C'C 3. :
8 8 13
ABC
AA
V
aa
d B AA a
S
.
Ví dụ 22. (Trích KA -2013) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A;
30ABC
mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc đáy. Tính theo a thể tích
của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB).
Giải
+ Tính
.S ABCD
V
.
Gọi H là trung điểm của BC, do tam giác SBC đều nên ta có
SH BC
. Mà
SBC ABC
và
SBC ABC BC
,do đó
SH ABC
.
60
y
C'
B'
H
A
C
B
A'
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 29
Tam giác SBC đều cạnh a nên
3
2
a
SH
. Tam giác ABC
vuông A và
30ABC
, ta có:
3
sin60 ; sin30
22
aa
AC BC AB BC
.
Khi đó:
3
.
33
1 1 1
. . . . .
3 3 2 2 2 2 16
S ABCD ABC
a a a a
V SH S
.
+ Tính
C;d SAB
.
Xét
SHB
và
SHA
cùng vuông tại H; có chung SH và
2
a
HA HB SHB SHA SA SB
.
Gọi I là trung điểm của AB, khi đó
SI AB
( vì
SAB
cân tại S). Ta có:
22
13
4
a
SI SB BI
.
Suy ra:
2
13 3 39
11
. . .
2 2 4 2 16
SAB
a a a
S SI AB
.
Vậy:
32
S.
3
39 39
C; ; 'C'C 3. :
16 16 13
ABC
SAB
V
a a a
d SAB d B AA
S
.
Bình luận:
Ta sẽ không dành quá nhiều giấy mực cho phương pháp này nhé!Vì với các phương pháp đã cung
cấp ở phía trước ta hoàn toàn có thể giải nhanh các bài toán khoảng cách. Ở đây, Thầy chỉ cũng
cấp thêm để các Em cùng tham khảo thôi.
II. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
a.Phương pháp:
Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau . Để tính khoảng cách giữa a và b ta thực hiện các bước
sau:
Cách 1: Phương pháp tổng quát
B1: Dựng mặt phẳng (P) chứa a và (P) song song với b.
B2: Khi đó ta đưa bài toán khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b về
bài toán khoảng cách từ một điểm tùy ý thuộc đường thẳng b đến mặt
phẳng (P).Việc còn lại là đã biết ở phần trước.
B3: Chỉ cần chọn điểm A phù hợp thuộc đường thẳng b và tính khoảng
cách từ điểm A đên (P).
a
a
a
30
°
I
H
B
A
C
S
H
b
a
(P)
A
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 30
Cách chọn mặt phẳng (P): Ta thường gặp yêu cầu tính khoảng cách giữa đáy và cạnh bên của hình
chóp hay hình lăng trụ. Khi đó:
+ Ta chọn mặt phẳng (P) là mặt phẳng chứa cạnh bên và song song cạnh đáy. Vì khi đó sẽ đưa bài
toán về tính khoảng cách từ điểm thuộc mặt phẳng đáy đến mặt phẳng bên( đã
biêt).
+ Cụ thể: Cho hình chóp S.ABCD có đáy H là chân đường cao của hình chóp.
Giả sử cần tính khoảng cách giữa SA và BD. Ta thực hiện:
B1: Dựng đường thẳng d qua A và d // BD. Khi đó mặt phẳng (P) chứa SA và d.
B2: Ta chuyển về bài toán khoảng cách từ một điểm từ ý thuộc BD đến mp(P).
Thường thì điểm đó sẽ là B hoặc D luôn. Tới đây Em cân nhớ lại cách tính
khoảng cách từ mặt điểm thuộc mặt đáy đến mặt bên.
Cách 2: Đặc biệt khi đường thẳng a và b vuông góc nhau
Khi đó thường bài toán có sẳn mặt mặt (P) chứa đường thẳng a và (P)
vuông góc b (nếu không thì ta dựng thêm).
B1: Xác định giao điểm A của đường thẳng b và (P).
B2: Từ A kẻ AK vuông góc đường thẳng a. Khi đó đoạn thẳng AK là
khoảng cách cần tính.
Chú ý:
Ngoài cách tính khoảng cách trực tiếp Thầy có biên soạn “ Chuyên đề phương pháp tọa độ hóa
hình không gian’’. Các Em tìm đọc nhé nếu thấy phần này hơi phức tạp. Ta đừng bận tâm việc
phương pháp nào nhanh hay chậm, dài hay ngắn, đẹp hay không đẹp. Điều ta nên bận tâm là phải
tích lũy được nhiều phương pháp cho những yêu cầu của bài toán. Trong từng bài toán cụ thể mỗi
phương pháp sẽ thể hiện được điểm mạnh và yếu của nó. Quan trọng là các Em phải mạnh dạn tư
duy, đánh giá bài toán. Xem bài toán đó có hai đường thẳng đó có quan hệ vuông góc hay dễ mặt
phẳng song song và đưa ra phương án phù hợp.
b. Bài tập mẫu
Ví dụ 23. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A; mặt bên SBC là tam giác
đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc đáy.Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA;BC.
Phân tích: Trước hết ta cân xác định được chân đường cao của hình chóp. Gọi H là trung điểm của
BC, thì
SH BC SH ABC
. Để ý tí ta sẽ thấy
BC S A H
và có điểm chung với mặt phẳng
(SAH) là điểm H. Vậy để tính
;d SA BC
ta chỉ cần kẻ
HK SA
thì
;HK d SA BC
.
Giải
b
(P)
a
A
K
d
A
B
C
D
H
S
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 31
Gọi H là trung điểm của BC, do tam giác SBC đều nên ta có
SH BC
. Mà
SBC ABC
, do đó
SH ABC
.Tam giác SBC đều cạnh a nên
3
2
a
SH
.
Tam giác ABC vuông cân tại A nên
AH BC
và

1
22
a
AH BC
,mà
SA BC BC SAH
.
Kẻ
HK SA
tại K,
BC SAH BC HK
HK là đoạn thẳng vuông góc chung của SA và BC
suy ra:
;HK d SA BC
. Tam giác SAH vuông tai H, có đường cao HK, suy ra:
2 2 2 2 2 2
3
1 1 1 1 4 4
4
3
a
HK
HK SH HA HK a a
. Vậy
3
;
4
a
d SA BC
.
Bình luận: Câu hỏi đặt ra là nếu ta không phát hiện ra
BC S A H
liệu có giải được bài toán
không? Câu trả lời hoàn toàn có thể giải theo cách tổng quát, mặc dù hơi dài hơn tí. Nhưng với cách
tư duy này thì tổng hơn. Cụ thể:
Kẻ đường thẳng d đi qua A và d // BC. Để Em dể hình dung mặt phẳng (P). Ta lấy điểm E thuộc
đường thẳng d, thì AE//BC
BC // (SAE)
;;d SA BC d H SAE
. Qua về bài toán khoảng
cách từ chân đường cao tới mặt bên. Tiếp theo kẻ
HF AE
tại F, tuy nhiên nhớ rằng
H
B
A
C
S
K
a
H
B
A
C
d
H
C
A
B
S
K
E
d
a
H
B
A
C
E
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 32
; / /AH BC AE BC AH AE
tại A, chỉ cần kẻ
;HK SA HK d H SAE
.
Ví dụ 24. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S
trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho
2HA HB
. Góc giữa SC và mặt phẳng
(ABC) bằng
60
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC.
Giải
Góc giữa SC và phẳng (ABC) chính là góc
SCH
, suy ra
60SCH
. Ta có:
2
2;
33
aa
HA HB HA HB
. Xét tam giác HBC và tam giác SHC vuông tại H ta có:
2 2 2
7 21
2. . .cos60 ; .tan60
33
aa
HC HB BC HB BC HC SH CH
. Kẻ đường thẳng d
đi qua A và d // BC. Kẻ
HE d
tại E và
HK SE
tại K . Ta có
d HE
d SEH d HK
d SH
.
Mà
HK SE
,do đó HK vuông góc với mặt phẳng (SAE).
Suy ra
;HK d H SAE
. Do BC // AE
BC // (SAE)
;;d SA BC d B SAE
.
Mà đường thẳng AB cắt (SAE) tại E suy ra
;
33
;;
; 2 2
d B SAE
BA
d B SAE d H SAE
d H SAE HA
.
Xét tam giác AHE vuông tại E, có
60EAH ABC
(so le trong) , ta có:

3
.sin60
3
a
AE AH
.
Tam giác SEH vuông tại H, có HE là đường cao suy ra:
2 2 2 2 2 2
3 3 42
1 1 1 1
12
7
a
HK
HK SH HE HK a a
.
Vậy
3 3 42 42
;;
2 2 12 8
aa
d B SAE d H SAE
.
60
°
d
60
°
E
C
B
A
H
60
B
H
A
C
S
E
K
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 33
Ví dụ 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a;
60BAC
; mặt bên SAB là tam giác
cân và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy. Mặt phẳng (SCD) tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc
30
.Tính khoảng cách giửa hai đường thẳng SB và AD .
Giải
Gọi H là trung điểm của AB, do tam giác SAB cân tại S nên
SH AB
, mà
SAB ABCD
nên
SH ABCD
. Tam giác ABC cân tại B có
60BAC ABC
đều là
CH AB
và
3
2
a
CH
.
Vì AB //
DC
suy ra
CH CD
.
Mà
; 30SH CD CD SHC CD SC SCD ABCD SCH
.
Tam giác SHC vuông tại H
.tan30
2
a
SH HC
.
Ta có AD // BC
AD // (SBC)
; A;d SB AD d SBC
.
Mà đường thẳng AH cắt (SBC) tại B suy ra
;
2 ; 2 ;
;
d A SBC
AB
d A SBC d H SBC
d H SBC HB
.
Kẻ
;HF SEHE BC
,suy ra
;HF d H SBC
(Thầy để các Em chứng minh
HF SBC
nhé!).
Ta có
33
.sin60 .
2 2 4
aa
HE HB
. Tam giác SHE vuông tại H, có đường cao HF suy ra:
2 2 2 2 2
16 21
1 1 1 4
14
3
a
HF
HF SH HE a a
. Vậy

21
;2
7
a
d SB AD HF
.
Bình luận:
Bài toán này dễ ở chổ đã có sẳn mặt phẳng (SBC) // AD. Khi làm bài tập ta nhớ chú ý, đánh giá bài
toán. Có một số hình vẽ ta phải nắm luôn kết quả. Tức là khi vẽ hình ra thì Em phải nhớ ngay trong
60
°
E
D
H
B
A
C
B
H
C
A
B
D
S
E
F
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 34
hình vẽ đó có những tính chất song song, vuông góc hay tỉ lệ nào… Em làm nhiều bài tập và tích lủy
dần những dạng hình vẽ , khi đã có kỉ năng thì vấn đề sẽ đơn giản.
Ví dụ 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; hình chiếu vuông góc của S trên
mặt phẳng (ABCD) là trọng tâm của tam giác ABD. Cạnh SD tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng
60
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AD.
Giải
Gọi I là tâm của hình vuông ABCD và G là trọng tâm của tam giác ABD, khi đó
SG ABCD
và
ta có
SDG
là góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD). Do SD tạo với mặt phẳng đáy một góc
bằng
60 60SDG
.Do G là trọng tâm của tam giác ABD
22
5
22
.
3 3 3
a
DG MD AM AD
.
Xét tam giác SDG vuông tại G,ta có

15
.tan60
3
a
SG DG
.
Ta có AD // BC
AD // (SBC)
; A;d SC AD d SBC
.
Ta có
2
2 3 2
3
AC AI AG AI AC AG AC GC
.
Đường thẳng AG cắt BC tại C
;
33
;;
; 2 2
d A SBC
AC
d A SBC d G SBC
d G SBC GC
.
Kẻ
GN BC
tại N và
GK SN
tại K. Khi đó
;GK d G SBC
.
Ta có tam giác CGN đồng dạng với tam giác CAB suy ra
2
3
GN GC a
GN
AB AC
.Ta có:
2 2 2
2 285
1 1 1
57
a
GK
GK SG GN
. Vậy
3 28 5
;;
2 19
a
d AD SC d A SBC GK
.
60
°
N
I
G
M
C
A
B
D
S
K
I
N
G
M
D
A
B
C
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 35
Ví dụ 27. (Trích KB -2007) Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E
là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA; M là trung điểm của AE;N là trung điểm của
BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN
và AC.
Giải
+ Chứng minh
MN BD
.
Gọi I là tâm của hình vuông, do S.ABCD là hình chóp đều
nên
SI ABCD
.
Gọi P là trung điểm của SA, mà M là trung điểm của AE nên
MP là đương trung bình của tam giác ADE.
Suy ra
//
1
1
2
MP AD
MP AD
.
Mặt khác, ta cũng có
//
2
1
2
NC AD
NC AD
.
Từ (1) và (2) ta suy ra tứ giác MPCN là hình bình hành hình suy ra MN // PC (3).
Ta có
4
BD AC
BD SAC BC CP
BD SI
. Từ (3) và (4) suy ra
MN BD
.
+ Tính
;d MN AC
.
Do MN // CP
MN // (SAC)
;;d MN AC d N SAC
.
Đường thẳng BN cắt (SAC) tại C nên
;
11
;;
; 2 2
d N SAC
NC
d N SAC d B SAC
d B SAC BC
.
Ta có:
2
1
;
22
a
BI SAC BI d B SAC BD
.
Vậy

2
1
;;
24
a
d MN AC d B SAC
.
Bình luận
Khi đề bài cho hình chóp đều S.ABCD thì các ngoài tính chất của hình chóp đều thì các Em phải
nhớ thêm vài kết quả như BD vuông góc (SAC) và AC vuông góc (SBD). Với mục tiêu giúp cho tất
cả các học sinh có thể hiểu rỏ chuyên đề. Thầy cố gắng trình bày chi tiết nhất và nếu là bài thi thì
Thầy khuyên các Em cũng nên theo nguyên tất trình bày chi tiết là tốt.
M
E
P
N
I
D
B
A
C
S
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 36
Ví dụ 28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B;
,2AB BC a AD a
; SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Góc giữa hai mặt phẳng (SCD)
và (ABCD) bằng
45
. Tính
;d SM BD
theo a.
Giải
M là trung điểm của AD nên ta có được tứ giác ABCM là hình vuông. Suy ra
1
2
CM a AD ACD
vuông tại C hay
1CD AD
. Mặt khác,
CD SA
nên ta có
2CD SAC CD SC
. Từ (1) và (2) suy ra
SCA
chính là góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và
(ABCD) suy ra
45SCA
. Suy ra tam giác SAC vuông cân tại A
2SA AC a
.Gọi N là
trung điểm của AB trung điểm của AB, ta có:
BD // MN
BD // (SMN)
;;d SM BD d B SMN
.
Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (SMN) tại N nên
;
1 ; ;
;
d B SMN
NB
d B SMN d A SMN
d A SMN NA
Kẻ
AK MN
tại K và
AH SK
tại H. Khi đó
;AH d A SMN
.
Xét tam giác giác AMN vuông tai A có đường cao AK suy ra:
2 2 2
5
1 1 1
2
a
AK
AK AM AN
.
Xét tam giác giác SAK vuông tai A có đường cao AH suy ra:
2 2 2
22
1 1 1
11
a
AH
AH SA AK
.
Vậy

22
;;
11
a
d SM BD d A SMN
.
Ví dụ 29. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A;
2;BC a AB a
.
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BC’.
K
N
C
B
M
A
D
45
°
N
C
M
A
D
B
S
K
H
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 37
Giải
Do AA’ // BB’
AA’ // (BB’C’C)
'; ' ; ' 'd AA B C d A BB C C
.
Kẻ
AK BC
tại K, mà
' ' ' ; ' 'AK BB AK BB C C AK d A BB C C
.
Tam giác ABC vuông tại A, ta có:
22
3AC BC AB a
và
3
..
2
a
AK BC AB AC AK
.
Vậy
3
'; '
2
a
d AA B C
.
Ví dụ 30. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân tại A; M là trung điểm
của BC;
6BC a
. Mặt phảng (A’BC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc bằng
60
. Tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng A’M và AB.
Giải
Tam giác ABC vuông cân tại A suy ra
.sin45 3AB AC BC a
;
1AM BC
và
6
2
a
AM
.
Ta có:
' ' 2
'
BC AM
BC A MA BC A M
BC AA
.
Từ (1) và (2) ta có thể suy ra
'A MA
chính là góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC).
Suy ra
' 60A MA
và

32
' .tan60
2
a
A A AM
.
B'
C'
A
C
B
A'
K
2a
a
K
A
B
C
a
6
45
°
N
M
B
B
A
C
B'
60
°
N
M
A'
C
A
B
C'
H
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 38
Gọi N là trung điểm của AC, ta có AB // MN
AB // (A’MN)
' ; ; 'd A M AB d A A MN
.
Kẻ
'AH A M
tại H ( ta sẽ chứng minh được
'AH A MN
Thầy để các Em chứng minh xem như
bài tập nhỏ nhé!). Khi đó
;'AH d A A MN
. Xét tam A’AN vuông tai A có đường cao AH suy
ra:
2 2 2 2 2
3 14
1 1 1 2 4
14
' 9 3
a
AH
AH A A AN a a
.
Vậy
3 14
';
14
a
d A M AB
.
Ví dụ 31. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a;I là trung điểm của AB; H là
giao điểm giữa BD và CI. SH vuông góc với mặt phẳng đáy và
3
3
a
SH
. Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng SA và CI.
Giải
Gọi M là trung điểm của DC, khi đó tứ giác AICM là hình bình hành suy ra CI // AM
CI //
(SAM)
;;d SA CI d H SAM
. Gọi N là giao điểm của DC và AM; K và E lần lượt là hình
chiếu vuông góc của H và D trên AM. Do M là trung điểm của DC và MN // CI suy ra N là trung
điểm của DH. Từ đây ta có được
2 2 2 2
1 1 1 1
HK DE
HK DE DA MD
. Kẻ
HF SK
tại F ( ta
sẽ chứng minh được
HF SAM
Thầy để các Em chứng minh xem như bài tập nhỏ nhé!).
Khi đó
;HF d H SAM
.
Ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
32
1 1 1 1 1 1 1 4
4
a
HF
HF SH HK SH DA MD a a a
.
E
N
M
H
I
C
A
D
B
S
K
F
N
E
K
M
H
I
B
A
C
D
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 39
Vậy

2
;;
4
a
d SA CI d H SAM
.
Ví dụ 32. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A;mặt bên ABB’A’ là
hình vuông. Biết
' ' 3B C a
, góc giữa B’C và mặt phẳng A’B’C’ bằng
30
.Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng BA’ và B’C.
Phân tích:Đối với bài toán này ta để ý tí nhận ra được một điều rằng
'A' 'AC ABB AC BA
, mà
' ' ' ' ' 'BA B A BA B A BA B AC
.Vậy để tính
';B'Cd BA
, ta chỉ gọi
''I BA B A
và kẻ
' ';B'CIK BC IK d BA
.
Giải
Ta có
''CB C
chính là góc giữa CB’ và mặt phẳng (A’B’C’) suy ra
' ' 30 ' ' '.tan30CB C CC B C a
. Do ABB’A’ là hình
vuông nên
' ' ' ' ' aBB AA AB A B CC
.
Ta có
'A' '
'
AC AB
AC ABB AC BA
AC AA
, mà
' ' ' ' ' 'BA B A BA B A BA B AC
.Gọi
''I BA B A
và
kẻ
'IK BC
, mặt khác
' ' 'BA B AC BA IK
.
Từ các đều này ta có
';B'CIK d BA
.
Tam giác B’AC đồng dạng với tam giác B’KI suy ra
.'
'
''
AC IB
IK IB
IK
AC CB CB
.
Ta có

2
'
22
a
AB
IB
;
22
2AC BC AB a
;
22
' ' ' ' 2CB CC B C a
.
Từ đây ta có:
2
a
IK
. Vậy
';B'C
2
a
d BA
.
Bình luận:
Trong trường hợp ta không nhận ra được
''BA B AC
thì thế nào? Ta có thể làm theo cách 2 sau
đây, tuy nhiên Thầy khuyến khích các Em nên mạnh dạn suy nghĩ các phương pháp nhé.
Cách 2:
B
30
°
a
3
I
C
A'
C'
B'
A
K
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 40
Gọi d là đường thẳng đi qua B và d // B’C; K là giao điểm giữa
d và B’C’. Ta có thể kiểm tra được B’ là trung điểm của KC’( các
Em kiểm tra thử nhé!). Khi đó B’C // BK
B’C // (BA’K)
'; ' '; 'd BA B C d B BA K
.
Kẻ
'B E AK
tại E và
'B F BE
tại F ( ta sẽ chứng minh được
''B F BA K
Thầy để các Em chứng minh xem như bài tập nhỏ nhé!). Khi đó
' '; 'B F d B BA K
. Xét tam BB’E vuông tại B’ có đường cao B’F suy ra:

2 2 2
1 1 1
' ' 'B F B E BB
.
Ta có :
6
' ' 1
cos ' ' cos ' ' sin ' '
' ' 3
3
AB
KB A B A C KB A
BC
;
2 2 2
' ' 2 '. '.cos 'A' 6AK KB AB AB KB KB a
.
11
' . 'sin ' . ' ' B'E
22
3
ABK
a
S B K AB KBA B E A B
.
Suy ra
2 2 2 2 2
3
1 1 1 1
'
2
' ' '
a
BF
B F B E BB a a
.
Vậy
'; '
2
a
d BA B C
.
III. Bài tập rèn luyện
Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng
đáy và SC hợp với đáy một góc
60
. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC.
Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt
phẳng (ABC) thuộc đoạn thẳng AB sao cho
3AB AH
. Cạnh bên SC hợp với đáy một góc
60
.
a) Tính
;d H SBC
b) Tính
;d H SAC
.
Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, AB = a. Hình chiếu vuông góc của
S trên mặt phẳng (ABC) là trọng tâm G của tam giác ABC. Mặt bên (SBC) hợp với đáy một góc
45
.
a
3
30
°
K
C
B
A'
C'
B'
A
E
F
a
3
a
2
a
a
3
E
K
B'
A'
K
C'
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 41
a) Tính
;d G SBC
b) Tính
;d G SAC
.
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy.
Cạnh bên SC hợp với mặt phẳng đáy một góc
45
và
2SD a
.
a) Tính
;d A SBC
. b) Tính
;d A SDC
. c) Tính
;d A SBD
.
d) Tính
;d A SBM
. M là trung điểm của DC.
Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A. Hình chiếu vuông góc của S trên
mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của AB. Cạnh bên SC hợp với đáy một góc
45
và
2SC a
.
a) Tính
;d H SBC
b) Tính
;d H SAC
.
Bài 6. Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc đáy và SA =2a . Diện tích của tam giác
ABC gấp 2 lần diện tích của tam giác SBC. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC.
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang cân; AD // BC ;
2
AD
AB BC a
; cạnh bên
SA vuông góc đáy và
3SA a
.
a) Tính
A;d SBC
b) Tính
;d A SDC
. c) Tính
;d A SBD
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; tam giác SAB đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc đáy. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của cạnh AB và BC.
a) Tính
;d H SBC
b) Tính
;d H SDC
.
c) Tính
;d H SDK
.
d) Tính
;d H SAC
e) Tính
;d H SAK
.
f) Tính
;d A SAD
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành với
22AB AD a
;
60BAC
. Hình
chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của AB. Cạnh bên SC hợp với đáy
một góc
45
.
a) Tính
;d H SBC
b) Tính
;d H SDC
Bài 10. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và I là tâm của đa giác đáy. Mặt bên hợp
với mặt đáy một góc
60
.
a) Tính
;d I SAB
b) Tính
;d I SBM
, M là trung điểm của AD.
Bài 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A;
22AB AC a
. Hình chiếu vuông
góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là tâm H của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Biết SC hợp
với mặt phẳng(ABC) một góc
60
. Tính
;d H SAB
.
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 42
Bài 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm I;
,3AB a BC a
.Tam giác SAI
cân tại S và mặt phẳng (SAD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết góc giữa SD và mặt phẳng
(ABCD) bằng
60
.
a) Tính
;d A SDC
. b) Tính
;d B SAD
. c) Tính
;d C SAB
Bài 13. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A;mặt bên ABB’A’ là
hình vuông. Biết
' ' 3B C a
, góc giữa B’C và mặt phẳng A’B’C’ bằng
30
.
a) Tính
'; ' 'd A AB C
. b) Tính
'; 'ABd B C
.
Bài 14. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’
trên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của cạnh AB, góc giữa A’C và mặt đáy bằng
60
.
a) Tính
;'d A A BC
. b) Tính
; ' 'd A BCC B
.
Bài 15. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, góc giữa hai mặt phẳng
(A’BC) và (ABC) bằng
60
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và CC’.
a) Tính
; 'Nd M AB
. b) Tính
; ' 'd B AB C
.
Bài 16. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’
trên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của cạnh AB, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
45
.
Gọi M là trung điểm của B’C’.
a) Tính
;'d A A MC
. b) Tính
; ' 'd A BCC B
.
Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,
3
2
a
SD
. Hình chiếu vuông góc của
S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của AB. Gọi K là trung điểm của AD.
a) Tính
;d SA BC
.
b) Tính
;d HK SB
.
c) Tính
;d CK SB
.
d) Tính
;d SC BK
.
Bài 18. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Gọi I là trung điểm của AB; hình
chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của CI và cạnh SA hợp với mặt phẳng
(ABC) một góc
60
a) Tính
;d SA CI
. b) Tính
;d SB AC
.
Bài 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a,
60ABC
,
2SD a
. Hình chiếu
vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn thẳng BD sao
3HD HB
, gọi M là
trung điểm của SD.
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 43
a) Tính
;d SB AD
. b) Tính
;d SB CM
. c) Tính
;d BM AD
.
Bài 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B,
2 2 2AD AB BC a
,
hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của đoạn thẳng AB. Cạnh SC
tạo với đáy một góc bằng
60
.
a) Tính
;d SB AD
.
b) Tính
;d H SCD
.
c) Tính
;d SC AB
.
d) Tính
;d SD AB
.
Bài 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật
22AD AB a
. Mặt bên SAB là tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy. Gọi M là trung điểm của SA.
a) Tính
;d SB CD
. b) Tính
;d SD AC
. a) Tính
;d SB CM
.
Bài 22. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên tạo với đáy một góc
60
.
a) Tính
;d SB AC
.
b) Tính
;d CM SA
, với M là trung điểm của SB.
Bài 23. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A với
2 ; 60BC a ABC
. Gọi M là
trung điểm của BC. Biết
5SA SC SM a
.
a) Tính
;d SC AB
. b) Tính
;d SA BC
.
Bài 24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông; hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng
(ABCD) là trung điểm H của AB. Cạnh bên SC hợp với đáy một góc
60
và
3SD a
.
a) Tính
;d SC BD
. b) Tính
;d SB AD
.
Bài 25. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông với
; ' 2AB BC a AA a
.
Gọi M là trung điểm của BC.
a) Tính
;'d AM CB
. b) Tính
' ; 'd B C A M
.
Bài 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; hình chiếu vuông góc của S trên mặt
phẳng (ABCD) là trùng với trọng tâm H của tam giác ABD. Cạnh SB tạo với mặt phẳng (ABCD)
một góc
60
.
a) Tính
;d SA CD
. b) Tính
;d SA BD
.
Bài 27. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD.
Mặt phẳng (SBD) hợp với mặt đáy góc
60
. Gọi K là trung điểm của SC.
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 44
a) Tính
;d BD SC
. b) Tính
;d CK AD
.
Bài 28. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C,
3AB a
. Hình chiếu vuông góc
của S trên mặt phẳng (ABCD) là trọng tâm G của tam giác ABC. Cạnh
14
2
a
SB
.
a) Tính
;d B SAC
. b) Tính
;d SC AB
.
Bài 29. Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Tính
;d SC AB
.
Bài 30. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Gọi K là trung điểm
của SC.
a) Tính
;d B SAC
.
b) Tính
;d K SAB
.
c) Tính
;d SB AC
.
d) Tính
;d SA CD
---------------------------------------------------------------------------------------------------
Chương 3. THỂ TÍCH VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Trong chương này Thầy sẽ trình bày các dạng tính thể tích của khối chóp, khối lăng trụ. Các bài
toán liên quan có thể là khoảng cách, quan hệ vuông góc, quan hệ song song và xác định góc… Ta
biết rằng muốn tính được thể tích thì phải tính được độ dài đường cao và diện tích đa giác đáy. Mà
muốn tính được đường cao trước tiên phải xác định được chân đường cao. Trong phần này Thầy sẽ
phân dạng cách xác định chân đường cao và cách xác định góc giữa mặt phẳng với mặt phẳng và
giữa đường thẳng với mặt phẳng. Các Em có thể xem lại lý thuyết chương 1 để đối chiếu với các ví
dụ ở đây và làm bài tập rèn luyện. Các Em chú ý trong phần này Thầy sẽ ghép chung luôn thể tích
và các câu liên quan nhé! Để các Em có thể luyện tập lại các phần đã học chương 2 cũng như làm
quen với cách hỏi của đề thi.
I. Nhắc lại lý thuyết thường sữ dụng
1. Cách xác định góc giữa đường thẳng d và (P):
B1: Tìm
A d P
.
B2. Lấy điểm
Sd
(thường có sẳn), sau đó tìm H là hình chiếu vuông
góc của S trên (P).
Suy ra AH là hình chiếu của d trên (P).
Suy ra
;;d P d AH SAH
.
2. Góc giữa hai mặt phẳng
a. Định nghĩa
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng cùng vuông góc giao
P
d
S
A
H
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 45
tuyến của hai mặt phẳng đó.
b. Cách xác định góc giữa (P) và (Q)
B1: Xác định
d P Q
.
B2: Lấy điểm S thuộc (P), tìm H là hình chiếu vuông góc
của S trên (Q).
B3: Từ H kẻ HA vuông góc d(A thuộc d).
Ta sẽ chứng minh được SA vuông góc với d.
Suy ra
;;P Q SA HA SAH
.
II. Phân dạng thể tích khối chóp
Các Em cần nhớ công thức tính thể tích khối chóp và công thức tính diện tích đáy nhé. Để ít tốn giấy
mực các Em xem lại công thức ở chương 1 nhé!
1. Khối chóp đã có chân đường cao
Khi bài toán đã có sẳn chân đường cao rồi thì nhiệm vụ còn lại của ta chỉ là tính đường cao và diện
tích đáy thay vào công thức thể tích là xong. Mà để tính được đường cao thường các Em sẽ phải xác
định góc giữa đường thẳng với mặt phẳng hoặc góc của mặt phẳng với mặt phẳng. Các ví dụ Thầy
sẽ cố gắng trình bài từ dễ nhất và tăng dần độ khó để các Em mới học dễ theo dõi. Tất nhiên nếu Em
nào đã vững rồi thì có thể bỏ qua các bài dễ, nhưng làm lại thì các tốt càng tốt Em nhé!
a. Bài tập mẫu
Ví dụ 33. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) và SB hợp với đáy một góc bằng
30
. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và
khoảng cách giữa hai SD và AB.
Phân tích:Khi đọc vào đề này thì Em phải nhớ ngay kết quả
;;BC SAB BD SAC CD SAD
. Để khi lúc sao có khi sữ dụng. Các kết quả này Em dễ
dạng chứng minh được. Bài toán này ta dễ dạng tính được diện tích đáy, phần còn lại là tính đường
cao SA thôi. Mà muốn tính được SA thì phải xác định được góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD). Ta
có B là giao điểm giữa SB và (ABCD) và
;SA ABCD SB ABCD SBA
.
Giải
+ Tính
.S ABCD
V
.
Ta có
B SB ABCD
và
SA ABCD
;SB ABCD SBA
.
Khi đó:
.tan30
3
a
SA AB
và
2
ABCD
Sa
.
Vậy
3
2
.
3
11
. . .
3 3 9
3
S ABCD ABCD
aa
V SA S a
.
Q
d
P
H
S
A
a
30
°
D
B
A
C
S
H
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 46
+ Tính
;d AB SD
.
Ta có AB // DC
AB // (SAD)
;;d AB SD d A SAD
.
Kẻ
AH SD
, ta chứng minh
AH SDC
. Ta có

CD AD
CD AH
CD SA
. Mà
AH SD
, do đó
;AH SDC AH d A SDC
. Xét tam giác SAD vuông tại A, có đường cao AH suy ra:
2 2 2 2 2
3
1 1 1 1
2
a
AH
AH SA AD a a
. Vậy
;
2
a
d AB SD
.
Ví dụ 34. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, với AD = 2AB. Hình chiếu vuông góc
của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của AB. Biết SC hợp với đáy một góc
45
và
2SD a
.
Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).
Phân tích:Rõ ràng đề này muốn làm khó ta rôi cho góc giữa SC và đáy nhưng không cho cạnh nào
trong tam giác này. Vậy phải nghĩ xem SD có liên quan gì? Ak…!Không khó để ta thấy được
2SHD SHC SC SD a
. Vậy là được rồi nhé!
Giải
Ta có
SCH
chính là góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) suy ra
45SCH
.
2 .sin45SHD SHC SC SD a SH HC SC a
.
Xét tam giác BHC vuông tại H có
2
2 2 2 2 2
2
4
55
BC a a
BC HB HC BC a BC AB
.
Vậy
3
.
22
11
. . . . .
3 3 30
55
S ABCD ABCD
a a a
V SH S a
.
+
;d A SCD
.
Ta có AH // CD
AH // (SDC)
;;d A SDC d H SDC
.
45
°
a
a
2
E
H
C
A
B
D
S
K
E
H
C
B
A
D
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 47
Gọi E là trung điểm của DC, kẻ
;HK SE HK d H SCD
.Xét tam giác SHE vuông tại H,
có đường cao HK suy ra:
2 2 2 2 2
52
1 1 1 1
3
4
a
HK
HK SH HE a a
. Vậy
2
;
3
a
d A SC D
.
Ví dụ 35. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy
và mặt phẳng (SBC) hợp với mặt đáy một góc
60
.Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và
khoảng cách từ trung điểm N của AB đến mặt phẳng (SBC).
Phân tích: Bài này thì ta dễ dàng tính được diện tích đáy rồi. Phần còn lại là tính SA, vậy cần xác
định góc giữa (SBC) và (ABC). Nhớ là lại cách xác định góc giữa hai mặt phẳng, đầu tiên ta có
BC SBC ABC
, tiếp theo kẻ
AE BC
tại E thì E là trung điểm của BC và
SE BC
. Khi
đó ta có
SEA
là góc giữa (SBC) và (ABC).
Giải
+ Tính
.S ABC
V
Kẻ
AE BC
tại E thì E là trung điểm
của BC;
3AE a
và
SE BC
. Khi
đó ta có
SEA
là góc giữa (SBC) và
(ABC) suy ra
60SEA
.
Ta có
.tan60SA AE a
.
Vây
23
.
4 3 3
11
. . .
3 3 4 2
S ABC ABC
aa
V SA S a
.
+ Tính
;d M SBC
.
Ta có
;
11
;;
; 2 2
d M SBC
MB
d M SBC d A SBC
d A SBC AB
.
Kẻ
AK SE
tại K, khi đó
;AK d A SBC
. Ta có :
2 2 2 2 2
3
1 1 1 1 1
2
3
a
AK
AK SA AE a a
.
Vậy

3
1
;;
24
a
d M SBC d A SBC
.
Ví dụ 36. (Trích đề THPT Quốc Gia -2015) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SA
vuông góc mặt phẳng(ABCD), góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng
45
. Tính theo a
thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB,AC.
Giải
60
°
M
E
A
C
B
S
K
E
2a
60
°
M
C
B
A
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 48
+ Tính
.S ABCD
V
.
Ta có:

; 45SC ABCD SCA
và ABCDlà hình vuông cạch a suy ra
2SA AC a
.
3
2
.
2
11
. . . 2.
3 3 3
S ABCD ABCD
a
V SA S a a
.
+ Tính
;d AC SB
.
Kẻ đường thẳng d đi qua B và song song với AC. Kẻ
AE d
tại E,
AK SE
tại K.
Ta có
BE AE
BE SAE BE AK
BE SA
. Mà
AK SE
, do đó
;AK SBE AK d A SBE
.
Ta có AC // BE
AC // (SBE)
;;d AC SB d A SBE AK
.
Xét tam giác ABE vuông tại E có
.sin45
2
a
AE AB
. Xét tam giác SAE vuông tại A, có đường
cao AK suy ra:
2 2 2 2 2
10
1 1 1 1 2
5
2
a
AK
AK SA AE a a
. Vậy
10
;
5
a
d AC SB
.
Ví dụ 37. (Trích KA -2014) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a;
3
2
a
SD
;hình chiếu
vuông góc của S trên (ABCD) là trung điểm của cạnh AB. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và
khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD).
Giải
d
a
45
°
E
C
B
A
D
d
45
°
a
D
B
A
C
S
E
K
a
M
H
D
A
B
C
a
3a
2
H
C
A
B
D
S
M
E
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 49
+ Tính
.S ABCD
V
.
Gọi H là trung điểm của AB, ta có
AH ABCD
. Tam giác ADH vuông tại A nên:
22
2 2 2 2
5
44
aa
HD AD AH a
.
Tam giác SHD vuông H nên :
22
22
95
44
aa
SH SD HD a
.
Khi đó :
3
2
.
11
. . . .
3 3 3
S ABCD ABCD
a
V SH S a a
.
+ Tính
;d A SBD
.
Ta có
;
2 ; 2 ;
;
d A SBD
AB
d A SBD d H SBD
d H SBD HB
.
Kẻ
HM BD
tại M;kẻ
1HE SM
tại E . Ta chứng minh
HE SBD
.
Ta có:
2
BD HM
BD SHM BD HE
BD SH
.
Từ (1) và (2) suy ra
H;HE SBD HE d SBD
. Ta có

2
.sin45
4
a
HM HB
.
Tam giác SHM vuông tại H, có đường cao HE nên:
2 2 2
1 1 1
3
a
HE
HE HS HM
. Vậy

2
; 2 ;
3
a
d A SBD d H SBD
.
Ví dụ 38. (Trích KD -2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a; cạnh bên SA
vuông góc với đáy;
120BAD
; M là trung điểm của cạnh BC và
45SMA
. Tính theo a thể
tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC).
Giải
+ Tính
.S ABCD
V
.
45
°
a
M
B
S
C
A
D
H
a
a
a
60
°
M
D
B
A
C
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 50
120 60BAD BAC ABC
đều
2
33
22
ABCD
aa
AM S
.
SAM
vuông tại A và
45SMA SAM
vuông cân tại A
3
2
a
SA AM
.
Vậy:
23
.
33
11
. . . .
3 3 2 2 4
S ABCD ABCD
a a a
V SA S
.
+ Tính
;d D SBC
.
Ta có AD // BC
AD // (SBC)
;;d D SBC d A SBC
.
Kẻ
1AH SM
tại H , do
2
BC AM
BC SAM BC AH
BC SA
.
Từ (1) và (2) suy ra
;AH SBC AH d A SBC
.
Ta có
36
2
.sin45 .
2 2 4
aa
AH AM
. Vậy
6
;
4
a
d D SB C
.
Ví dụ 39. (Trích KA -2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu
vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho
2HA HB
. Góc giữa
SC và mặt phẳng (ABC) bằng
60
. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách
giữa hai đường thẳng SA và BC.
Giải
+ Tính
.S ABCD
V
.
Từ
2
2;
33
aa
HA HB HA HB
. Xét tam giác CHB, ta có
2 2 2
7
2 . .cos60
3
a
CH HB BC HB BC CH
.
Góc giữa SC và phẳng (ABC) chính là góc
SCH
, suy ra
60SCH
. Ta có:

21
.tan60
3
a
SH CH
.
Do đó:
23
.
21 3 7
11
. . . .
3 3 3 4 12
S ABCD ABC
a a a
V SH S
.
+ Tính
;d SA BC
.
Kẻ đường thẳng d đi qua A và song song với BC. Kẻ
HE d
tại E,
HK SE
tại K.
B
d
60
°
H
A
C
S
E
K
d
2a
3
a
3
a
60
°
E
C
B
A
H
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 51
Ta có
AE HE
AE SHE AE HK
AE SH
. Mà
HK SE
, do đó
;HK SAE HK d H SAE
.
Ta có BC // AE
BC // (SAE)
;;d BC SA d B SAE
.
Ta có đường thẳng đi qua điểm B và H cắt d tại A suy ra:
Ta có
;
33
;;
; 2 2
d B SAE
BA
d B SAE d H SAE
d H SAE HA
.
Xét tam giác AHE vuông tại E có
2 3 3
.sin60 .
3 2 3
aa
HE AH
. Xét tam giác SHE vuông tại
E, có đường cao HK suy ra:
2 2 2
42
1 1 1
12
a
HK
HK SH HE
.
Vậy

3 42
;;
28
a
d SA BC d H SAE
.
Bài 40. (Trích KA -2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi M và N
lần lượt là trung điểm của AB và AD; H là giao điểm của CN và MD. Biết SH vuông góc mặt
phẳng (ABCD) và
3SH a
. Tính theo a thể tích của khối chóp S.CDNM và khoảng cách giữa
hai đường thẳng MD và SC.
Phân tích: Các Em nên vẽ đa giác đáy ra, bài toán này Em sẽ phát hiện ra rằng
ND MC
, khi đó
ND SCM
và
ND SCM H
, để tính
;d ND SC
, chỉ cần kẻ
HK SC
, thì HK là khoảng
cách cần tính.
Giải
+ Tính
.S DCNM
V
.
Ta có:
2 2 2
2
5
8 4 8
DCNM ABCD AMN BCM
a a a
S S S S a
.
a
H
N
M
C
B
A
D
H
N
M
D
B
A
C
S
K
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 52
Vậy:
23
.
5 5 3
11
. . . 3.
3 3 8 24
S DCNM DCNM
aa
V SH S a
.
+ Tính
;d SC ND
.
Ta có
90DAN CDM ADN DCM ADN CMD DCM CMD DN CM
.
Kết hợp thêm
DN SH DN SCM
. Kẻ
HK SC
, khi đó HK là đoạn thẳng vuông góc
chung của
DN và SC
 ;HK d SC ND
.
Xét tam giác DCM vuông tại D, có đường cao DH, ta có:
2
2
.
5
a
CH CM CD CH
.
Ta có :
2 2 2
23
1 1 1
19
a
HK
HK SH HC
.
Vậy
23
;
19
a
d SC ND
.
b. Bài tập rèn luyện
Bài 31. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA vuông góc với mặt phẳng
(ABCD); SC hợp với mặt phẳng (SCD) một góc
60
.Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a và
khoảng cách từ trung điểm M của SB đến mặt phẳng (SCD).
Bài 32. Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân với AB=AC=a. Hình chiếu vuông góc
của S trên mặt phẳng (ABC) là hình trung điểm của BC. Mặt phẳng (SAB) hợp với mặt phẳng
(ABC) một góc
45
. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt
phẳng (SAC).
Bài 33. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SB vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) và mặt phẳng (SAC) hợp với mặt phẳng đáy một góc
45
. Tính theo a thể tích của khối
chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và AC.
Bài 34. (Trích KD -2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang,
90 ;ABC BAD
;2BA BC a AD a
. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và cạnh bên
2SA a
. Gọi H là hình
chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ
điểm H đến mặt phẳng (SDC).
Bài 35. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là là hình chữ nhật,
; ; 2SA a AB a AC a
; SA
vuông góc mặt phẳng (ABCD). Gọi G là trọng tâm của tam giác SAC. Tính theo a thể tích của khối
chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCG).
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 53
Bài 36. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là là hình chữ nhật,
2;AB a AD a
; K là hình
chiếu vuông góc của B lên đường chéo AC; các điểm H,M lần lượt là trung điểm của AK và DC.
Cạnh SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD); góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) bằng
45
. Tính
theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và MH.
Bài 37. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với
;2AB a AD a
và
SA ABCD
. Gọi M là trung điểm của CD và SC hợp với mặt phẳng đáy một góc
sao cho
1
tan
5
.Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng
(SBM).
Bài 38. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
3
2
a
SD
. Hình chiếu vuông
góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của đoạn thẳng AB. Gọi K là trung điểm của
AD. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng HK và SD.
Bài 39. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
SA ABCD
. Cạnh SC tạo
với mặt phẳng (SAB) một góc
30
. Goi E là trung điểm BC. Tính theo a thể tích của khối chóp
S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng DE và SC.
Bài 40. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh,
3; 120a BAD
. Cạnh SA
vuông góc với mặt phẳng (ABC) và mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc
60
.
Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.
2. Khối chóp đều
Trong đề thi nếu gặp khối chóp đều thì chỉ có thể là khối chóp tứ giác đều hoặc khối chóp tam giác
đều thôi. Các Em xem lại tính chất của hình chóp đều ở chương 1 nhé!
a. Bài tập mẫu
Ví dụ 41. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và mặt bên hợp với đáy một
góc bằng
60
. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt
phẳng (SBC).
Giải
B
60
°
G
E
A
C
S
F
G
E
C
B
A
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 54
+ Tính
.S ABC
V
.
Gọi E là trung điểm của BC và G là trọng tâm của tam giác ABC. Do S.ABC là hình chóp đều nên
SG ABC
. Tam giác ABC đều canh a nên
AE BC
và

33
;
26
aa
AE GE
. Ta có
SEG
chính là góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABC) nên
60SEG
và
3
.tan60 . 3
62
aa
SG GE
.
Vậy
23
.
33
11
. . . .
3 3 2 4 24
S ABC ABC
a a a
V SG S
.
+ Tính
;d A SBC
.
Ta có :
;
3 ; 3 ;
;
d A SBC
AE
d A SBC d G SBC
d G SBC GE
.
Kẻ
GK SE
, khi đó
;GK d G SBC
. Ta có:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 4 12
4
a
GK
GK SG GE GK a a
.
Vậy

2
3
;3
4
a
d A SBC GK
.
Ví dụ 42. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Gọi M
là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và SB.
Giải
d
E
G
M
C
B
A
B
d
E
G
M
A
C
S
K
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 55
+ Tính
.S ABC
V
.
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Do S.ABC là hình chóp đều nên
SG ABC
.
Tam giác ABC đều canh a nên
AM BC
và

33
;
23
aa
AM AG
. Xét tam giác SAG vuông tại
G, ta có:



2
2
22
3 33
2
33
aa
SG SA AG a
.
Vậy
23
.
33 3 11
11
. . . .
3 3 3 4 12
S ABC ABC
a a a
V SG S
.
+ Tính
;d AM SB
.
Kẻ đường thẳng d đi qua B và song song với AM. Kẻ
GE d
tại E,
GK SE
tại K.
Ta có
BE GE
BE SGE BE GK
BE SG
. Mà
GK SE
, do đó
;GK SBE GK d G SBE
.
Ta có AM // BE
AM // (SBE)
;;d AM SB d G SBE
. Ta có

2
a
GE MB
và
2 2 2 2 2 2
3 517
1 1 1 1 4
47
11
a
GK
GK SG GE GK a a
.Vậy
517
;
47
a
d AM SB
.
Ví dụ 43. (Trích KB -2012) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với
2;SA a AB a
. Gọi H là hình
chiếu vuông góc của SA trên cạnh SC. Chứng minh SC vuông góc mặt phẳng (ABH). Tính thể tích của
khối chóp S.ABH theo a.
Phân tích:Trong bài này để tính
.S ABH
V
ta có thể tính trực tiếp, tuy nhiên ở đây Thầy đưa ra một
hướng khác cho các Em đó là sữ dụng tỷ số thể tích. Tỷ số thể tích sẽ được tìm hiểu kỉ hơn ở phần
sau.
Giải
B
G
I
A
C
S
H
60
°
I
C
B
A
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 56
+ Chứng minh
SC ABH
.
Gọi I là trung điểm của AB; G là trọng tâm của
ABC
.
Ta có
SG ABC
và
33
; ;GC
23
aa
CI AB CI
.
Ta có :
AB CI
AB SCI AB SC
AB SG
, thêm nữa là
AH SC SC ABH
.
+ Tính
.S ABH
V
.
Ta có
.
.
S ABH
S ABC
V
SH
V SC
. Do
SGC
vuông tai G, nên
22
33
3
a
SG SC GC
.
Đặt
, 0 2SH x x HC a x
. Khi đó ta có phương trình:
23
.
33 3 11
11
. . . .
3 3 3 4 12
S ABC ABC
a a a
V SG S
.
Đặt
, 0 2SH x x HC a x
. Khi đó ta có phương trình:
2
2 2 2 2 2 2 2
77
42
44
aa
SA SH AC HC a x a a x x SH
.
Vậy
33
.
..
.
7 7 7 7 11 7 11
:2 . .
4 8 8 8 12 96
S ABH
S ABH S ABC
S ABC
V
SH a a a a
a V V
V SC
.
Ví dụ 44. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng
3
2
a
. Gọi
M,K lần lượt là trung điểm của BC và SD. Tính theo a thể tích của khôi chóp S.ABCD và
khoảng cách giữa hai đường thẳng MK và SB.
Giải
E
N
K
M
I
D
B
A
C
S
H
a
I
E
M
N
C
B
A
D
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 57
+ Tính
.S ABCD
V
.
Gọi I là tâm của hình vuông. Do S.ABCD là hình chóp đều nên
SI ABCD
và
2
2
a
AI
.
Xét tam giác SAI vuông tại I, có
22
22
32
2 2 2
a a a
SI SA AI
.
Vậy
3
2
.
11
. . . .
3 3 2 6
S ABCD ABCD
aa
V SI S a
.
+ Tính
;d MK SB
.
Gọi N là trung điểm của AD, khi đó NK // SA và MN // AB suy ra:

;;MKN SAB d MK SB d I SAB
.
Kẻ
IE AB
tại E,
IH SE
tại H.Ta có
IE AB
AB SIE AB IH
SI AB
.
Mà
IH SE
, do đó
;IH SAB IH d I SAB
. Ta có:
2 2 2 2 2 2
2
1 1 1 1 4 4
4
a
IH
IH SI IE IH a a
.Vậy
2
;
4
a
d MK SB
.
Ví dụ 45. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên hợp với đáy một
góc
60
. Gọi K là trung điểm của SD. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và cosin của
góc hợp bởi hai đường thẳng CK và SB.
Giải
+ Tính
.S ABCD
V
.
Gọi I là giao điểm của AC và BD. Do S.ABCD là hình chóp đều nên
SI ABCD
và
2
2
a
ID
.
a
2
2
a
I
C
B
A
D
a
60
°
K
I
D
B
A
C
S
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 58
Ta có
SDI
là góc giữa SD và mặt phẳng (ABCD)
60SDI
.
Xét tam giác SID vuông tại I, ta có:
26
.tan60 . 3
22
aa
SI ID
.
Vậy
3
2
.
66
11
. . . .
3 3 2 6
S ABCD ABCD
aa
V SI S a
.
+ Tính
cos ;CK SB
.
Ta có IK // SB
;;CK SB CK KI CIK
. Ta có
IC BD
IC SBD IC IK
IC SI
hay
tam giác IKC vuông tại I. Xét tam giác SID vuông tại I, ta có:
22
2
2
2
a
SD SI CD a IK
.
Do
2
2
a
IC IK CIK
vuông cân tại I
2
cos cos45
2
CIK
.
Vậy
2
cos ;
2
CK SB
.
Ví dụ 46. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có I là tâm của đa giác đáy và cạnh đáy bằng a .
Mặt bên hợp với đáy một góc
60
. Gọi E là trung điểm của SB. Chứng minh IE vuông góc với
SC và tính theo a thể tích của khối chóp S.EICB.
Giải
+ Chứng minh
SE CD
.
Do S.ABCD là hình chóp đều nên
SI ABCD
. Ta có
CD IE
CD SEI CD SE
CD SI
.
+ Tính
.S EICB
V
.
a
I
E
C
B
A
D
60
°
E
I
D
B
A
C
S
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 59
Ta có
SEI
là góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (ABCD)
60SEI
và
3
.tan60 . 3
22
aa
SI IE
.
Diện tích
2
3
1
28
EICB
S EB IE BC a
. Vậy
3
2
.
3 3 3
11
. . . .
3 3 2 8 16
S ABCD EICB
aa
V SI S a
.
b. Bài tập rèn luyện
Bài 41. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên hợp với đáy một góc
45
. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
Bài 42. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên
3SA a
và SA hợp với đáy một góc
60
.
Gọi K là trung điểm của SB.Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và cosin của góc hợp bởi hai
đường thẳng CK và SA.
Bài 43. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và mặt bên hợp với mặt đáy một
góc
45
. Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên cạnh SB. Chứng minh rằng SB vuông góc với
mặt phẳng (AHC) và tính theo a thể tích của khối chóp S.AHC.
Bài 44. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và mặt bên hợp với mặt đáy một
góc
45
. Gọi K là trung điểm của SD. Tính theo a thể tích của khối chóp S.AKC và khoảng cách
giữa hai đường thẳng BK và CD.
Bài 45. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên a và cạnh bên hợp với mặt đáy một góc
45
.Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và cosin của góc hợp bởi SC và mặt phẳng (SAD).
Bài 46. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên a và mặt bên hợp với mặt đáy một góc
45
.Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và cosin của góc hợp bởi SC và mặt phẳng (SAD).
Bài 47. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên 2a và mặt bên hợp với mặt đáy một góc
60
. Gọi M,K lần lượt là trung điểm của SD và BC.Tính theo a thể tích của khối chóp K.AMCD.
Bài 48. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên SD = 2a và tam giác SAC đều. Tính theo a
thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
3. Khối chóp cần phải xác định chân đường cao
Bài toán hình không gian thì việc rất quan trọng là phải xác định được chân đường cao khối chóp
hay khối lăng trụ. Ở hai dạng vừa trình bày thì xem như đã có sẳn chân đường cao hoặc việc xác
định chân đường cao của khối chóp là dễ dàng đối với khối chóp đều. Trong mục này ta sẽ tìm hiểu
một số cách xác định chân đường cao. Nhắc lại hai dạng thường gặp:
Dạng 1. Hình chóp có mặt bên vuông góc đáy
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 60
Đường cao của hình chóp là đường cao của mặt bên chứa trong mặt phẳng vuông góc đáy.
Ví dụ:Cho hình chóp S.ABCD có mặt bên SAB vuông góc đáy. Ta kẻ SH vuông góc AB thì SH là
đường cao của hình chóp.
Dạng 2. Hình chóp có hai mặt bên vuông góc đáy
Đường cao của hình chóp là giao tuyến của hai mặt bên.
a. Bài tập mẫu
Ví dụ 47 (Trích THPT Trần Phú 2016). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a;I là
trung điểm của AB; H là giao điểm giữa BD và CI. Các mặt bên (SCI) và (SBD) cùng vuông góc với
đáy. Góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (ABCD) bằng
60
.Tính theo a thể tích của khối chóp
S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CI.
Giải
+ Tính
.S ABCD
V
.
Ta có SH là giao tuyến của hai mặt phẳng (SCI) và (SBD), mà hai mặt phẳng (SCI) và (SBD) cùng
vuông góc mặt phẳng (ABCD) suy ra
SH ABCD
. Kẻ
HL AB
tại L, khi đó
SLH
là góc giữa
hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) suy ra
60SLH
.
Ta có
3
11
.tan60
2 3 3 3
aa
HI IB HL HI
HL SH HL
HC CD BC IC
.
Vậy
3
2
.
33
11
. . . .
3 3 3 9
S ABCD ABCD
aa
V SH S a
.
+ Tính
;d SA CI
.
Gọi M là trung điểm của DC, khi đó tứ giác AICM là hình bình hành suy ra CI // AM
CI //
(SAM)
;;d SA CI d H SAM
. Gọi N là giao điểm của DC và AM; K và E lần lượt là hình
L
E
N
M
H
I
C
A
D
B
S
K
F
L
N
E
K
M
H
I
B
A
C
D
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 61
chiếu vuông góc của H và D trên AM. Do M là trung điểm của DC và MN // CI suy ra N là trung
điểm của DH. Từ đây ta có được
2 2 2 2
1 1 1 1
HK D E
HK DE D A MD
. Kẻ
HF SK
tại F ( ta
sẽ chứng minh được
HF SAM
Thầy để các Em chứng minh xem như bài tập nhỏ nhé!). Khi đó
;HF d H SAM
. Ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
32
1 1 1 1 1 1 1 4
4
a
HF
HF SH HK SH DA MD a a a
.
Vậy

2
;;
4
a
d SA CI d H SAM
.
Ví dụ 48. (Trích KB -2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; mặt bên
SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp
S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).
Giải
+ Tính
.S ABCD
V
.
Gọi H là trung điểm của AB, do tam giác SAB đều
cạnh a nên ta có
SH AB
và
3
2
a
SH
.
Mà
SAB ABCD
và
SAB ABCD AB
,do
đó
SH ABC
.
Vậy:
3
2
.
33
11
. . . .
3 3 2 6
S ABCD ABCD
aa
V SH S a
.
+ Tính
A;d SDC
.
Do AB // DC
;;d A SDC d H SDC
. Gọi E là trung điểm của DC, kẻ
HK SE
tại K, khi đó
;d H SDC HK
. Ta có
2 2 2
21
1 1 1
7
a
HK
HK SH HE
.Vậy
21
A;
7
a
d SDC
.
Ví dụ 49. (Trích KD -2014) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A; mặt bên
SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc đáy. Tính theo a thể tích của khối
chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA; BC.
a
E
H
D
C
A
B
S
K
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 62
Giải
+ Tính
.S ABCD
V
.
Gọi H là trung điểm của BC, do tam giác SBC đều nên ta có
SH BC
. Mà
SBC ABC
, do đó
SH ABC
.Tam giác SBC đều cạnh a nên
3
2
a
SH
.
Tam giác ABC vuông cân tại A và BC=a,ta tính được

2
2
a
AB AC
.
Khi đó:
3
.
3 2 2 3
1 1 1
. . . . .
3 3 2 2 2 2 24
S ABCD ABC
a a a a
V SH S
.
+ Tính
;d SA BC
.
Kẻ
1HK SA
tại K. Ta có
2
SH BC
BC SAH BC HK
AH BC
. Từ (1) và (2) suy ra
;HK d SA BC
. Ta có
2 2 2
3
1 1 1
4
a
HK
HK SH HA
.
Vậy
3
;
4
a
d SA BC
.
Ví dụ 50 (Trích TTLT Diệu Hiền 2015). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh
3a
;
mặt bên (SAD) là tam giác vuông và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy; cạnh bên SC hợp với mặt
phẳng (SAD) một góc
60
. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và góc giữa hai mặt phẳng
(SAC) và (ABCD).
Giải
+ Tính
.S ABCD
V
. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên cạnh AD, khi đó
SH ABCD
.
Ta có
DC AD DC SH
DC SAD DSC
là góc giữa cạnh SC và mặt phẳng (SAD).
Xét tam giác SCD vuông tại D, có SH

tan60
CD
SD a
.
H
B
A
C
S
K
a
H
B
A
C
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 63
Mặt khác xét tam giác SAD vuông tại S có
22
2SA AD SD a
.
Ta có
6
..
3
a
SH AD SA AD SH
. Vậy
3
2
.
66
11
. . . .3
3 3 3 3
S ABCD ABCD
aa
V SH S a
.
+ Tính
;SAC ABCD
.
Kẻ
1HE AC
, mà
2SH AC AC SHE AC SE
. Từ (1) và (2) suy ra
SEH
là góc
giữa hai mặt phẳng hai mặt phẳng (SAC) và (ABCD).
Ta có

6
.cos45
3
a
HE HA
.
Xét tam giác SHE vuông tại H có
tan 1 45
SH
SEH SEH
HE
.
Vậy
; 45S A C ABC D
.
Ví dụ 51. (Trích Chuyên Hạ Long -2015) Cho hình chóp S.ABC có các mặt ABC và SBC là tam giác
đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) nằm trong tam giác (ABC). Góc giữa
mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng
60
. Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a và khoảng cách từ
điểm B đến mặt phẳng (SAC).
Giải
+ Tính
.S ABC
V
.
Gọi M là trung điểm của BC; do các tam giác ABC và SBC đều nên

BC SM
BC SAM
BC AM
.
Ta có
SMA
là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABC)
60SMA
.
Thêm vào đó là
ABC SBC AM SM SAM
đều và có cạnh
bằng
3
2
a
và
2
33
16
SAM
a
S
.
a
3
E
I
C
D
B
A
H
B
60
°
M
A
C
S
a
3
E
I
B
C
A
D
H
S
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 64
+ Tính
;d B SAC
.
Ta có
2
39
16
SAC
a
S p p SA p AC p SC
, trong đó.

3
2
2
a
aa
p
Vậy

.
3
3 13
;
13
S ABC
SAC
V
a
d B SAC
S
.
Ví dụ 52. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tam I và cạnh đáy bằng
a
; mặt bên SAD là
tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy. Điểm M thuộc SB sao cho
3SB MB
. E là
trung điểm của CI.Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và chứng minh đường thẳng BE vuông
góc với đường thẳng AM.
Giải
+ Tính
.S ABCD
V
.
Gọi H là trung điểm của AD ta có
SH ABCD
và
3
2
a
SH
.
Vậy
3
2
.
33
11
. . .
3 3 2 6
S ABCD ABCD
aa
V SH S a
.
+ Chứng minh
BE AM
.
Gọi d là đường thẳng đi qua M ; d song song với SC và cắt BC tại F

1
3
BF BC
.
Gọi K là giao điểm giữa HE và BC, ta có
1 1 1
3 3 6
KC IC
KC AH BC
HA IA
.
Từ đây
1 1 1 1
3 6 2 2
KC FB BC BC BC KF BC AH
. Suy ra tứ giác AHKF là hình bình
hành suy ra HK//AF, mà MF//SC suy ra (MAF) // (SHE) (1).
K
F
M
E
H
I
B
D
A
C
S
J
K
F
E
H
I
C
D
A
B
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 65
Gọi J là trung điểm của BC ta có AHJB là hình chữ nhật nên nội tiếp đường tròn (C) với các đường
kính là AJ và BH. JE là đương trung bình của tam giác JCI suy ra JE vuông góc với AC suy ra E
thuộc đường tròn (C) suy ra
BE HE
. Mà
BE SH
, do đó
2BE SHE
.
Từ (1) và (2) suy ra
BE MFA BE MA
.
Ví dụ 53(Trích KA-2009). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D;
2 ; 2AB AD a CD a
; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng
60
. Gọi I là trung điểm
của AD, các mặt phẳng (SCI) và (SBI) cùng vuông góc mặt phẳng (ABCD). Tính theo a thể tích của
khối chóp S.ABCD.
Giải
Hai mặt phẳng (SCI) và (SBI) cùng vuông góc mặt phẳng (ABCD), suy ra
SI ABCD
.
Kẻ
1IK BC
tại K, khi đó
2
SI BC
BC SIK BC SK
BC IK
. Từ (1) và (2) suy ra
SKI
là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) suy ra
60SKI
. Gọi M là trung điểm của AB, ta có
ADCM là hình chữa nhật
22
5BC CM MB a
. Ta có

2
22
1
. . 3 ; ;
22
ABCD ABI CDI
a
S AD AB CD a S a S
.
Suy ra
2
3
2
BCI ABCD ABI CDI
a
S S S S
. Mà
2
35
1
.
25
BCI
BCI
S
a
S CK BC CK
BC
.
Xét tam giác SIK vuông tại I có

3 15
.tan60
5
a
SI IK
.
Vậy
3
2
.
3 15 3 15
11
. . .3
3 3 5 5
S ABCD ABCD
aa
V SI S a
.
Ví dụ 54(Trích KD-2007).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang có
90 , , 2DAB ABC BA BC a AD a
. Cạnh
bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và
2SA a
. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên
SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD).
60
°
C
D
M
A
B
I
K
S
a
a
a
K
C
D
I
M
A
B
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 66
Giải
+ Chứng minh tam giác SCD vuông.
Gọi I là trung điểm của AD, ta có ABCI là hình vuông
1
2
CI AB AD ADC
vuông tại C
hay
AC DC
và
2AC a
. Mà
CD SA CD SAC CD SC
. Vậy tam giác SCD
vuông tại C.
+ Tính
;d H SCD
Xét tam giác SAB vuông tai A có
22
3SB SA AB a
và
22
2
22
.
33
SA a a
SH SB SA SH
SB
a
. Ta có
;
22
;;
; 3 3
d H SDC
SH
d H SDC d B SDC
d B SCD SB
.
Gọi F là giao điểm của AB và CD suy ra
;
11
;;
; 2 2
d B SDC
BC
BF
d B SDC d A SDC
d A SCD AF AD
.
Từ các đều trên suy ra
1
;;
3
d H SDC d A SDC
.
Kẻ
AK SC
tại K. Khi đó:
A;AK d SDC
.Ta có:
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
22
AK a
AK AS AC a a
.
Vậy

1
;;
33
a
d H SDC d A SDC
.
b. Bài tập rèn luyện
Bài 49. (Trích KD -2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B;
3 ; 4BA a BC a
;
mặt phẳng (SBC) vuông góc mặt phẳng (ABC). Biết
23SB a
và
30SBC
. Tính thể tích của
khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.
Bài 50. (Trích KB -2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a;
,SB 3SA a a
và mặt phẳng (SAB) vuông góc mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
F
C
I
A
D
B
S
K
H
a
a
F
C
B
I
A
D
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 67
của AB và BC. Tính thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc hợp bởi hai đường thẳng
SM và DN.
Bài 51. (Trích KA -2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; mặt bên (SAD) là
tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các
cạnh SB,BC, CD. Chứng minh rằng AM vuông góc với BP và tính theo a thể tích của khối tứ diện
CMNP.
Bài 52. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a; SAB là tam giác cân tại S và nằm trong
mặt phẳng vuông góc đáy. Cạnh bên SC hợp với đáy một góc
60
. Tính theo a thể tích của khối
chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
Bài 53. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân,
AB AC a
.Các mặt phẳng (SAC)
và (SBC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Cạnh bên SB hợp với đáy một góc
60
. Tính theo
a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC.
Bài 54. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh A, mặt bên SAB là tam giác vuông cân
tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng
cách giữa hai đường thẳng SB và AC.
Bài 55. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật;tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc đáy. Biết
23SD a
và cạnh bên SC hợp với đáy một góc
30
. Tính theo a
thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC).
Bài 56. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông;tam giác SAB là tam giác cân tại S và nằm
trong mặt phẳng vuông góc đáy. Biết
25SD a
và cạnh bên SC hợp với đáy một góc
60
. Gọi M
là trung điểm của AB. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường
thẳng SA và MD.
Bài 57. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B;
;2AB BC a AD a
; các
mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết góc giữa hai mặt phẳng
(SAB) và (ABCD) bằng
60
. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai
đường thẳng CD và SB.
Bài 58. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Điểm H thuộc được thẳng AB sao cho
2BH AH
,tam giác SAB vuông tại S. Gọi I là giao điểm giữa HC và BD. Biết hai mặt phẳng
(SCH) và (SDH) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính theo a thể tích của khối chóp
S.ABCD và khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (SCD).
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 68
Bài 59. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a,
,3SA a SB a
, mặt phẳng (SAB)
vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M là trung điểm của, N là điểm thuộc BC
sao cho
32BN BC
.
Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN.
4. Tỷ số thể tích của khối chóp.
a. Lý thuyết
Cho khối chóp S.ABC, giả sử mặt phẳng (P) cắt các cạnh SA, SB, SC của khối chóp lần lượt tại
A’,B’C’.
Khi đó
. ' ' '
.
' ' '
..
S A B C
S ABC
V
SA SB SC
V SA SB SC
.
Đặc biệt
Cho điểm M thuộc đoạn thẳng SC của khối chóp S.ABC. Khi đó:
.
.
S ABM
S ABC
V
SM
V SC
b. Bài tập mẫu
Ví dụ 55. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A; mặt bên SBC là tam giác
đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc đáy. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAC, mặt
phẳng (P) qua G song song AC và cắt SA,AC lần lượt tại M và N. Tính theo a thể tích của khối
chóp S.BMN.
Phân tích: Trong trường hợp này việc tính thể tích của khối chóp S.ABC là đơn giản nên ta nghĩ
đến lập tỷ số hai thể tích khối chóp để chuyển bài toán về tính
.S ABC
V
. Cần nhớ lại cách dựng mặt
phẳng (P). Mặt phẳng (P) qua G và song song với AC nên MN // AC. Từ đây ta có
2
3
SM SN SG
SA SC SI
với I là trung điểm của AC.
Giải
Gọi H là trung điểm của BC, do tam giác SBC đều nên ta có
SH BC
. Mà
SBC ABC
, do đó
SH ABC
.Tam giác
SBC đều cạnh a nên
3
2
a
SH
. Mặt phẳng (P) qua G và song
song với AC nên MN // AC. Từ đây ta có
2
3
SM SN SG
SA SC SI
C
A
S
B
A'
B'
C'
A
B
C
S
M
M
N
G
I
H
B
A
C
S
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 69
với I là trung điểm của AC.
Ta có
.
..
.
44
.
99
S BMN
S BMN S BAC
S BAC
V
SN SM
VV
V SC SA
.
Tam giác ABC vuông cân tại A và BC=a,ta tính được

2
2
a
AB AC
.
Khi đó:
3
.
3 2 2 3
1 1 1
. . . . .
3 3 2 2 2 2 24
S ABCD ABC
a a a a
V SH S
. Vậy
33
..
33
44
.
9 9 24 54
S BMN S BAC
aa
VV
.
Ví dụ 56. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; mặt bên SAB là tam giác đều
và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy. Gọi M là trung điểm của SD, mặt phẳng (P) chứa CM
và song song với BD cắt SB tại N. Tính theo a thể tích của khối chóp S.CMN.
Phân tích:Phải nắm được cách dựng mặt phẳng (P). Do (P) song song với BD và cắt SB tại N suy ra
N là trung điểm của SB (M là trung điểm của SD). Việc tính
.S CMN
V
ta sẽ chuyên về tính
.S BCD
V
.
Giải
Gọi H là trung điểm của AB, do tam giác SAB đều cạnh a nên ta có
SH AB
và
3
2
a
SH
.
Mà
SAB ABCD
và
SAB ABCD AB
,do đó
SH ABC
. Do (P) song song với BD và cắt SB tại N suy ra N là
trung điểm của SB (M là trung điểm của SD).
Ta có
.
..
.
11
.
44
S CMN
S CMN S CDB
S CDB
V
SM SN
VV
V SD SB
.
Vậy:
23
.C
33
11
. . . .
3 3 2 2 12
S DB BCD
a a a
V SH S
.
Vậy
33
..
33
11
.
4 4 12 48
S CMN S CDB
aa
VV
.
Ví dụ 57. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) và
2SA a
. Gọi E , F lần lượt là hình chiếu của A trên các cạnh SB, SD; mặt phẳng
(AEF) cắt SC tại K.
a) Chứng minh
SC AEKF
.
b) Tính theo a thể tích của khối chóp S.AEKF.
a
a
N
M
H
D
C
C
A
B
S
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 70
Giải
a) Chứng minh
SC AEKF
.
Gọi I là tâm của hình vuông, M là giao điểm giữa SI và EF; khi đó K
là giao điểm giữa AM và SC.
Ta có
BC SAB BC AE
, mà
AE SB AE SBC AE SC
;SB ABCD SBA
.
Tương tự ta có
SC AF
, do đó
SC AEKF
.
b)Tính
.S AEKF
V
Do
. . . .
2
S AEK S AFK S AEKF S AEK
SAB SAD AE AF V V V V
.
Ta có
SC AEKF SC AK
, mà tam giác SAC vuông tại C và
2SA SC a
suy ra K là
trung điểm của SC.Ta có
.
.
.
S AEK
S ABC
V
SE SK
V SB SC
và

2
2
2
3
SE SA
SB
SB
và
1
2
SK
SC
.
Mặt khác
23
.ABC
2
11
. . . 2.
3 3 2 6
S ABC
aa
V SA S a
.
Suy ra
3
.
..
.
2
2 1 1 1
..
3 2 3 3 18
S AEK
S AEK S ABC
S ABC
V
SE SK a
VV
V SB SC
. Vậy

3
..
2
2
9
S AEKF S AEK
a
VV
.
c. Bài tập rèn luyện
Bài 60. Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a; H là hình chiếu vuông
góc của A trên SC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABH.
Bài 61. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. M là trung điểm của SB;
mặt phẳng (MCD) cắt SA tại N. Tính theo a thể tích của khối chóp S.MNDC.
Bài 62. Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy
và tam giác SAB cân. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SC và SD. Tính theo a thể tích của khối
chóp S.AMN.
Bài 63. Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy là tam giác vuông cân tại A, AB = a ; mặt bên SBC là
tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy. Gọi G là trong tâm của tam giác SAB; mặt
phẳng B qua G song song AB và cắt SA, SB lần lượt tại M và N. Tính theo a thể tích của khối chóp
S.CMN.
Bài 64. Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng
(ABC). Mặt phẳng (SBC) hợp với mặt đáy một góc
60
. Gọi M là hình chiếu vuông góc của A trên
SC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ACM.
a
E
F
M
K
I
D
B
A
C
S
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 71
Bài 65. Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của SB và SD. Mặt phẳng (AMN) cắt SC tại K. Tính theo a thể tích của khối chóp S.AMKN.
Bài 66. Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy là hình vuông cạnh bằng a, cạnh bên SA vuông góc với
mặt phẳng đáy và SC hợp với đáy một góc
45
. Gọi K là hình chiếu của A trên SC. Mặt phẳng (P)
chứa AK và song song với BD cắt SB, SC lần lượt tại M và N. Tính theo a thể tích của khối chóp
S.AMKN.
Bài 67. Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy là tam giác vuông cân tại B, AB = 3a , BC = 4a. Cạnh
SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Mặt phẳng (P) đi qua A vuông góc SC và (P) cắt SC, SB lần
lượt tại M,N.
a) Chứng minh
AM SBC
.
b) Tính theo a thể tích của khối chóp S.AMN.
III. Thể tích khối lăng trụ
Thầy nghĩ rằng nếu các Em đã nắm vững những phần đã trình bày trước đó thì lăng trụ xem như nhẹ
rồi. Chắc ta sẽ không phân các dạng nữa, mà sẽ tìm hiểu trực tiếp qua các ví dụ nhé. Nếu quên công
thức tính thể tích các Em có thể xem lại chương 1 nhe!
a. Bài tập mẫu
Ví dụ 58.(Trích đề THPT Quốc Gia -2016) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác
vuông cân tại B; AC= 2a. Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của
cạnh AC; đường thẳng A’B tạo với mặt phẳng (ABC) một góc
45
. Tính theo a thể tích của khối
lăng trụ ABC.A’B’C’ và chứng minhg A’B vuông góc B’C.
Giải
+ Tính
. ' ' 'ABC A B C
V
.
Gọi H là trung điểm của AC, ta có
'A H ABC
và
'BH 45A
. Tam giác ABC vuông cân tại B và AC=2a
nên ta tính được:
BH a
và
2AB BC a
. Suy ra:

2
1
2. 2
2
ABC
S a a a
. Tam giác A’HB vuông tại H
và
'BH 45A
có nên tam giác A’HB vuông cân tại H.
Suy ra
'A H BH a
.
Do đó :
23
. ' ' '
' . .
ABC A B C ABC
V A H S a a a
.
+ Chứng minh
''B C AB
.
45
K
B'
C'
H
A
B
C
A'
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 72
Gọi K là giao điểm giữa AB và A’B’ thì K là trung điểm của A’B’ và AB (vì ABB’A’ là hình bình
hành). Mặt khác do tam giác A’HB vuông cân tại H suy ra
'1HK AB
. Mà HK là đường trung
bình của tam giác B’AC nên HK // B’C (2). Từ (1) và (2) suy ra
''B C AB
.
Ví dụ 59.(Trích KB -2014) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình
chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB; đường thẳng A’C tạo với
mặt phẳng (ABC) một góc
60
. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách
từ điểm B đến (ACC’A’).
Giải
+ Tính
. ' ' 'ABC A B C
V
.
Gọi H là trung điểm của AC, ta có
'A H ABC
và
'BH 60A
. Tam giácABC đều cạnh a và H
là trung điểm của AB nên
3
2
a
CH
và
2
3
4
ABC
a
S
. Tam giác A’HC vuông H nên

3
' .tan60
2
a
A H CH
.
Do đó :
23
. ' ' '
3 3 3 3
' . .
2 4 8
ABC A B C ABC
a a a
V A H S
.
a) Tính
; ' 'd B ACC A
.
Ta có:
;
2 ; 2 ;
;
d B SAC
BA
d B SAC d H SAC
d H SAC HA
.
Kẻ
HE AC
tại E và
HF SE
tại F . Khi đó
;HF d H SAC
.
Ta có :
33
.sin60 .
2 2 4
aa
HE HA
. Tam giác A’HE vuông tại E, có đường cao HF suy ra:
2 2 2 2 2 2
16 3 13
1 1 1 1 4
26
' 9 3
a
HF
HF A H HE HF a a
.
Vậy

3 13
;2
13
a
d B SAC HF
.
60
C'
B'
H
B
C
A
A'
E
F
E
H
C
B
A
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 73
Ví dụ 60.(Trích KD -2012) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông;tam giác
A’AC và A’C=a. Tính theo a thể tích của khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ điểm A đến mặt
phẳng (BCD’).
Giải
+ Tính
''ABB C
V
.
Tam giác A’AC vuông cân tại A và
2
' ' AC
2
a
A C a AA
. Do đó

2
a
AB AD
.
Khi đó:
3
' ' ' '
22
1 1 1
. . . . .
3 3 2 2 2 2 48
ABB C BB C
a a a a
V AB S
.
+ Tính
;'d A BCD
.
Do AD // BC
; ' ; 'd A BCD d D BCD
.
Kẻ
'1DH CD
tại H. Ta có
' ' 2
'
BC CD
BC DCC D BC DH
BC DD
.
Từ (1) và (2) suy ra
' ; 'DH BCD DH D BCD
.
Ta có
2 2 2 2 2 2
6
1 1 1 1 2 4
6
'
a
DH
DH D D DC DH a a
. Vậy
6
;'
6
a
d A BCD
.
b. Bài tập rèn luyện
Bài 68. (Trích KB -2011) Cho hình lăng trụ
1 1 1 1
.ABCD A B C D
có đáy ABCD là hình chữ nhật;
;3AB a AD a
. Hình chiếu vuông góc của
1
A
trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của
AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng
11
ADD A
và mặt phẳng (ABCD) bằng
60
. Tính theo a thể
tích của khối lăng trụ
1 1 1 1
.ABCD A B C D
và khoảng cách từ điểm
1
B
đến mặt phẳng
1
A BD
.
Bài 69. (Trích KB -2009) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có
'BB a
;góc giữa BB’ và
mặt phẳng (ABC) ; tam giác ABC vuông tại C và
60BAC
. Hình chiếu của B’ trên mặt phẳng
(ABC) trùng vói trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích của khối tứ diện A’ABC theo a.
Bài 70. (Trích KD -2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác ABC vuông tại B;
,AB a
' 2 ,A'C 3aAA a
. Gọi M là trung điểm của A’C’; I là giao điểm của AM và A’C. Tính
theo a thể tích của khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC).
Bài 71. (Trích KA -2008) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy tam
giác ABC vuông tại A;
,3AB a AC a
và hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là
D'
C'
A'
C
A
D
B
B'
H
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 74
trung điểm của BC. Tính theo a thể tích của khối chóp A’.ABC và tính cosin của góc hợp bởi hai
đường thẳng AA’ và B’C’.
Bài 72. (Trích KD -2008) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác ABC vuông;
AB BC a
,cạnh bên
'2AA a
. Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích của khối lăng
trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C.
Bài 73. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác ABC vuông tại A, AB=2a, AC=a,
AA’=3a. Tính thể tích của khối lăng trụ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB’ và BC.
Bài 74. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có
;BC 2 ; 120AB a a ACB
. Đường thẳng A’C
tạo với mặt phẳng (ABB’A’) một góc
30
. Gọi M là trung điểm của BB’. Tính theo a thể tích của
khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và CC’.
Bài 75. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông với
AB AC a
.
Mặt phẳng (A’BC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc
45
. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ
ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và B’C’.
Bài 76. Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và
(ABC) bằng
60
. Gọi M là trung điểm của BC và N là trung điểm của CC’. Tính theo a thể tích của
khối chóp A.BB’C’C và khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (AB’N).
Bài 77. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tam giác đều, tam giác A’AC vuông cân và A’C=a.
Tính theo a thể tích của khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A’BC).
IV. Bài tập tổng hợp
Bài 78. Cho hình chóp hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với
6 ; 8AB a AD a
; tam giác
SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính theo a thể tích của khối
chóp S.ABCD và cosin của góc hợp bởi mặt phẳng (SAC) và (SAD).
Bài 79. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân
//BC AD
.Hình chiếu vuông
góc của S xuống mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của AD;
; ; 2SH a AB BC CD a AD a
. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AD.
Bài 80. Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân;
AB AC a
và M là trung điểm của
AB. Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác BMC và góc giữa SC với mặt phẳng (ABC) bằng
60
. Tính theo a thể tích của khối chóp
S.BMC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC).
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 75
Bài 81. Cho hình chóp hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với
22AB AD a
; điểm M
thuộc đoạn thẳng AB sao cho
2
a
AM
. Gọi H là giao điểm giữa AC và MD , biết SH vuông góc
với mặt phẳng (ABCD) và SH = a. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ADCM và khoảng cách giữa
hai đường thẳng SD và AC.
Bài 82. Cho hình chóp hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a,
60SAD SAB BAD
và
SA =a.
Tính theo a thể tích của khối chóp S.ADCM và khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AB.
Bài 83. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a,. Hình chiếu vuông góc của S
trên mặt phẳng (ABCD) là trùng với trọng tâm G của tam giác ABC; góc giữa SA và mặt phẳng
(ABCD) bằng
30
. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và cosin của góc hợp bởi đường thẳng AC
và mặt phẳng (SAB).
Bài 84. Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác đều cạnh a, mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại S
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng
cách giữa hai đường thẳng SB và AC.
Bài 85. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D,
2;AB AD a CD a
.
Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng Ì(ABCD) là trung điểm H của AD. Biết khoảng cách từ
H đến mặt phẳng (SBC) bằng
3
2
a
. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD.
Bài 86. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh A’C và mặt
phẳng (BB’C’C) bằng
30
. Gọi M là trung điểm của CC’. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ và
khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (A’BC).
Bài 86. Cho chóp đều S.ABC có cạnh bên bằng 2a và mặt bên hợp với đáy một góc
30
. Tính theo a
thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
Bài 87. Cho hình chóp hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a,
,SD 2SA SB a a
; mặt
phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABDC và
khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).
Bài 88. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, Hình chiếu vuông góc
của A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Đường
thẳng AA’ hợp với mặt phẳng (ABC) một góc
60
. Chứng minh tứ giác BB’C’C là hình chữ nhật và
tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ .
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 76
Bài 89. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam vuông tại B;
;AC 10BC a a
. Hai mặt phẳng
(SAC) và (SAB) cùng vuông góc mặt phẳng (ABC). Góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng
(ABC) bằng
60
.
Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC, với M
là điểm thuộc đoạn BC sao cho
2MC MB
.
Bài 90. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm I , cạnh đáy bằng a. Hình chiếu
vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trùng với trung điểm của IA. Cạnh bên SB hợp với đáy
một góc
30
.
Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SAB).
Bài 91. Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,
' 60ABC A AD
.
Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của CD.Tính theo a thể tích
của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng A’D và BC.
Bài 92 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều . Hình chiếu vuông góc của C’
trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm I của tam giác ABC. Biết
; ' 5d I A A a
và mặt
phẳng (AA’C’C) tạo với mặt phẳng (AA’B’B) một góc
sao cho
3
tan
2
.Tính khoảng cách từ
điểm B đến mặt phẳng (A’B’C’).
Bài 93. Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông tại A, AB = a. Tam giác SAB đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). BC tạo với mặt phẳng (SAC) một góc
60
. Tính
theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
Bài 94. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh 2a,
;SB a 3SA a
. Mặt bên (SAB)
vuông góc với mặt phẳng (ABCD) . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ
điểm M đến mặt phẳng (SBC), với M là trung điểm của SA.
Bài 95. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông,
SA ABCD
. Cạnh bên
SD a
và cạnh SB
hợp với đáy một góc
60
. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai
đường thẳng SA và CM, với M là trung điểm của SD.
Bài 96. Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông tại A,
22AB AC a
. Các cạnh bên của
hình chóp bằng nhau và bằng
2a
. Gọi M và H lần lượt là các trung của AB và BC và điểm I thỏa
mãn
3AC BI
.
Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng MH và SSI.
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 77
Bài 97. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cân
, 120AB a BAC
. Mặt bên
(A’BC) hợp với mặt phẳng đáy một góc
60
. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’và
khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (A’BC).
Bài 98. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với
;2AB a AD a
và
SA ABCD
. Gọi M là trung điểm của CD và SC hợp với mặt phẳng đáy một góc
sao cho
1
tan
5
.Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến (SBM).
Bài 99. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; mặt bên SAD là tam giác đều và
2SB a
.Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD và AB. Gọi H là giao điểm của FC và EB. Chứng
minh
;SE EB CH SB
và tính theo a thể tích của khối chóp C.SEB.
Bài 100. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm I. Cạnh SA vuông góc mặt phẳng
(ABCD) và
3SA a
. Biết bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD bằng
3
3
a
và
30ACB
.Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường t AC và SB.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
“Không có việc gì khó
Chỉ Sợ lòng không bền
Đào núi và lấp biển
Quyết chí ắt làm nên!”
Chủ Tịch Hồ Chí Minh
Chúc các Em sẽ học tập thật tốt !
Thầy Trần Duy Thúc
| 1/77
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73 Lời nói đầu
Chào các Em học sinh thân mến !
Câu hình học không gian là một nội dung quan trọng trong đề thi của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo.Câu
này không quá khó. Tuy nhiên nhiều Em học sinh cũng lúng túng khi gặp phần này. Đặc biệt là khi
các Em tính khoảng cách hay ý sau của bài toán. Qua nhiều năm tham gia chấm thi Thầy nhận ra
được rằng đa phần các Em hay bị mất đi 0,5 điểm ở ý sau của câu này. Với mục tiêu có thể giúp Em
cảm thấy nhẹ nhàn với hình học không gian và có thể lấy được trọn điểm câu này. Thầy biên soạn
một quyển tài liệu “PHƯƠNG PHÁP GIẢI NHANH HÌNH KHÔNG GIAN” gửi đến các Em.
Với cách hệ thống lý thuyết và các ví dụ được xây dựng từ cái góc của vấn đề, nâng dần đến giải
quyết các vấn đề tổng quát. Thầy tin rằng có thể mang đến cho các Em một cái nhìn hết sức rỏ ràng
về hình không gian và có được sự tự tin về hình học không gian. Để thuận lợi cho việc đọc tài liệu
Thầy chia ra thành 3 chương:
Chương 1. Tóm tắt lý thuyết quan trọng
Chương 2. Phân dạng các bài toán khoảng cách
Chương 3. Thể tích và các bài toán liên quan
Cuối cùng, Thầy cũng không quên nói rằng dù đã cố gắng nhưng tài liệu chắc chắn sẽ không tránh
khỏi sai sót nhất định. Hi vọng nhận được phản hồi từ phía các Bạn đọc. Để lần chỉnh sửa sau sẽ
mang đến cho chúng ta một tài liệu hoàn chỉnh hơn nữa để việc học tập của các Em học sinh hiệu quả nhất.
Mọi ý kiến đóng góp xin vui lòng liên hê một trong các địa chỉ sau: + Gmail: tdthuc89@gmail.com
+ Facebook: https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
Chân thành cảm ơn các Bạn đọc! Trần Duy Thúc
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 1
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
Chương 1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT QUAN TRỌNG
Trong phần này Thầy chỉ điểm qua những lý thuyết hay sữ dụng nhất khi giải bài toán hình không
gian. Những phần lý thuyết khác nếu có sữ dụng Thầy sẽ nhắc lại trong các bài tập mẫu. A. Hình học phẳng
I. Các hệ thức lượng trong tam giác thường A 1. Định lí côsin c b 2 2 2
a b c  2b . c cos A a C B 2 2 2
b a c  2a . c cos B 2 2 2
c b a  2a . b cosC 2. Định lí sin a
b c  2R . Trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. sin A sin B sinC
II. Các hệ thức lượng trong tam giác vuông
Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH và đường trung tuyến AM.Ta có: 2 2 2 A
BC AB AC
AH.BC A . B AC 1 1 1    2 2 2 H AH AB AC B C M
MA MB MC 2 2
BH.BC AB ;CH.CB AC
III. Diện tích tam giác 1 1 1  S
ah bh   ch ABC 2 a 2 b 2 c A 1 1 1  S
absinC  bcsin A acsin  B ABC 2 2 2 c b . a b.c  S  ; S   pr ABCABC R a
a b c CS
p p a p b p c p BABC    ,    2 
+ h , h , h lần lượt là độ dài đường cao kẻ từ A, B và C của ABC . a b c
+ R: bán kính đường tròn ngoại tiếp.
+ r: bán kính đường tròn nội tiếp.
+ p: nữa chu vi của ABC .
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 2
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73 IV. Diện đa giác
1. Diện tích tam giác vuông A
Diện tích tam giác vuông bằng ½ tích hai cạnh góc vuông. 1 SA .  B AC . ABC 2 B C
2. Diện tích tam giác đều
Cho tam giác ABC đều cạnh a, ta có: 2 A a 3 + S   ABC 4 3 a +a AH . 2
+ Diện tích tam giác đều bằng cạnh bình phương nhân 3 chia 4. B C H
+ Đường cao bằng cạnh nhân 3 chia 2.
3. Diện tích hình chữ nhật và hình vuông.
 Diện tích hình vuông bằng cạnh bình phương.
 Diện tích hình chữ nhật bằng chiều dài nhân chiều rộng.
4. Diện tích hình thang.
Diện tích hình thang bằng một nữa đường cao nhân tổng hai cạnh đáy. 1 A D S
hAD BC . ABCD  2 h B C A
5. Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc. 1 SAC.BD . B D ABCD 2 C
Chú ý: Trường hợp không nhớ công thức tính diện tích của tứ giác thì chia ra thành các tam giác
hoặc các hình dễ tính, sau đó cộng lại ta có diện tích cần tính. B. Hình không gian
I. Đường thẳng vuông góc mặt phẳng d 1. Định nghĩa: a P
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 3
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
d  P  d  ,
a a P .
2. Định lí ( cách chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng) d add b
d  P. a,b  
P,a b O b a
3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng P a. Định nghĩa:
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng d và hình chiếu vuông góc của nó trên (P).
b. Cách xác định góc giữa đường thẳng d và (P): d S
B1: Tìm A d  P .
B2. Lấy điểm S d (thường có sẳn), sau đó tìm H là hình chiếu vuông góc của S trên (P). A H
Suy ra AH là hình chiếu của d trên (P). P
Suy ra d;P  d; AH   SAH . Q
II. Mặt phẳng vuông góc mặt phẳng 1. Định nghĩa: d
Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc nếu một trong hai mặt phằng chứa một
đường thẳng vuông góc mặt phẳng kia. P 2.Định lí 1
P  Q  d
P Q  a d  Q a
d   P, d   a P 3.Định lí 2 dP P 1    P2  P1P P
d Q 2     
P P   d 1   2 P
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 4
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
4. Góc giữa hai mặt phẳng a. Định nghĩa
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng thuộc hai mặt S
phẳng cùng vuông góc giao tuyến của hai mặt phẳng đó. P
b. Cách xác định góc giữa (P) và (Q)
B1: Xác định d  P Q .
B2: Lấy điểm S thuộc (P), tìm H là hình chiếu vuông góc của S trên (Q). A H
B3: Từ H kẻ HA vuông góc d(A thuộc d). d Q
Ta sẽ chứng minh được SA vuông góc với d.
Suy ra  P;Q  S ;
A HA  SAH .
III. Hình chóp đều 1. Định nghĩa
Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy. Nhận xét:
+ Hình chóp đều có các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau. Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau.
+ Các cạnh bên bằng nhau và cùng với đáy các góc bằng nhau.
2. Các hình chóp đều thường gặp S
a) Hình chóp tam giác đều
Hình chóp tam giác đều  đáy là tam giác đều, các cạnh bên bằng
nhau và chân đường cao của hình chóp là trọng tâm của tam giác.Cho C A
hình chóp đều S.ABC, khi đó: G M
+Tam giác ABC đều;chân đường cao của hình chóp là trọng tâm G của ABC . B
+Các mặt bên là tam giác cân tai S và bằng nhau.
+Góc giữa các cạnh bên và mặt đáy bằng nhau. Chú ý:
Hình chóp tam giác đều khác với tứ diện đều.
+ Tứ diện đều các cạnh bên bằng cạnh đáy và các mặt bên các tam giác đều. Hình chóp tam giác đều
 đáy là tam giác đều và các cạnh bên bằng nhau.
+ hình chóp tam giác đều các cạnh bên chưa chắc đã bằng cạnh đáy. S
b) Hình chóp tứ giác đều
Hình chóp tứ giác đều  đáy là hình vuông, các cạnh bên bằng nhau và chân đườ A D
ng cao của hình chóp là tâm của hình vuông.Cho hình chóp đều S.ABCD, I C B
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 5
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73 khi đó:
+ABCD là hình vuông;chân đường cao của hình chóp là I hình vuông ABCD.
+Các mặt bên là tam giác cân tai S và bằng nhau.
+Góc giữa các cạnh bên và mặt đáy bằng nhau.
IV. Xác định đường cao của hình chóp
1. Hình chóp có mặt bên vuông góc đáy
Đường cao của hình chóp là đường cao của mặt bên chứa trong mặt phẳng vuông góc đáy.
Ví dụ:Cho hình chóp S.ABCD có mặt bên SAB vuông góc đáy. Ta kẻ SH vuông góc AB thì SH là
đường cao của hình chóp.
2. Hình chóp có hai mặt bên vuông góc đáy
Đường cao của hình chóp là giao tuyến của hai mặt bên.
Ví dụ:Cho hình chóp S.ABCD có các mặt bên (SAB) và (SAC) cùng vuông góc đáy. Khi đó đường cao là SA. V. Khoảng cách
1. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
Để tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng ta phải dựng đoạn thẳng vuông góc kẻ từ điểm đó
đến mặt phẳng. Cho điểm M và (P) để dựng đoạn thẳng vuông góc kẻ từ M đến (P) ta thường dùng một trong hai cách sau: Q Cách 1: M
+ Xây dựng (Q) chứa M và (Q) vuông góc (P).
+ Xác định d  (P) ( ) Q . d
+ Dựng MH d MH d M;(P) . H P Cách 2: M
Nếu trong bài toán đã có SA  (P) . Ta dựng MH song song với SA (H thuộc S (P)). Khi đó:
+ Nếu MH / /SA thì d M;(P)  d  ; S (P) . I
d M;(P) A MI H
+ Nếu MH SA I thì P d  ;
S (P)  SI .
ng (Q) chứa M và (Q) vuông góc (P).
+ Xác định d  (P) ( ) Q .
+ Dựng MH d MH d M;(P) .
2. Khoảng giữa đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng d và (P) ta có:
d P  O +  d d; P 0. d   P     
+ d / / P  d d;P  d  ;
A (P),Ad .
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 6
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
3. Khoảng giữa hai mặt phẳng
(Q)P  d +  d (Q); P 0 . (Q)   P     
+ (Q) / / P  d (Q);P  d  ;
A (P),A(Q) .
4. Khoảng giữa hai hai đường thẳng.
Cho hai đường thẳng  ; khi đó: 1 2      1 2 +   d  ; 0 1 2   .     1 2
+  / /  d  ;   d  ;
M    d N; ,M  ;N  1 2 1 2 2 1 1 2 .
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cho hai đường thẳng  ; chéo nhau. Khi đó đoạ 1 2
n thẳng MN đồng thời vuông góc với 1và 2 (M thuộc  ) đượ 1 ;N thuộc 2
c gọi là đoạn thẳng vuông góc chung của 1và 2 . MN chính là
khoảng cách giữa 1và 2 . Phương pháp:
Cách 1:Dựng mặt phẳng (P) chứa 
. Khi đó: d  ;  d  ;(P) 1 và song song 2  1 2   2 .
Cách 2:Dựng đoạn thẳng vuông góc chung và tính độ dài của đoạn thẳng đó.
Phần này ta sẽ tìm hiểu kỉ hơn và sẽ được giải quyết nhanh gọn ở chương 2.
VI. Thể tích khối đa diện S
1. Thể tích khối chóp V  1 Bh 3 h
+ B:Diên tích đáy.
+ h: độ dài đường cao của hình chóp. oảng cách A D
2. Thể tích khối lăng trụ B V Bh C
+ B:Diên tích đáy.
+ h: độ dài đường cao của hình chóp. A' C' B' A C H
3. Thể tích hình hộp chữ nhật B V  . a . b c S
Thể tích hình lập phương:  3 V a
4. Tỉ số thể tích: C'
VS.A'B'C'  SA' SB' SC' . . A' V SA SB SC . B' S.ABC A C B
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 7
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
.......................................................................................................................................................................
Chương 2. PHÂN DẠNG CÁC BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH
I. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
1. Khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng bên S a. Phương pháp:
Cho hình chóp có đỉnh là S và chân đường cao H. Để tính khoảng K
cách từ H đến mặt phẳng bên chứa S ta thực hiện các bước sau: A D
+ Xác định giao tuyến d giữa mặt phẳng bên và mặt phẳng đáy. H d B M C
+ Từ chân đường cao H dựng đoạn HM d . Kẻ HK SM , khi
đó HK là khoảng cách cần tính. Để tính được HK ta nhớ là phải tính đường cao của hình chóp trước nhé. Chú ý:
Trong khi tính khoảng cách ta nên vẻ thêm mặt phẳng đáy ra cho dễ phát hiện các tính chất vuông
góc, song song, cũng như để thuận tiện cho việc tính độ dài. Tức là nếu đáy là hình vuông thì ta vẻ
đúng hình vuông bên cạnh… b. Bài tập mẫu
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SA vuông góc mặt phẳng đáy.
SC hợp với đáy 1 góc 60 . a) Tính d  ;
A SBC . b) Tính d  ; A SBD. Phân tích:
Tính khoảng cách từ chân đường cao tới các mặt bên là khá dễ, nhưng hầu như khi tính khoảng cách
đều quy về khoảng cách của chân đường cao. Do vậy các Em phải làm thật vững phần này nếu
muốn tính được các khoảng cách ở phần sau.
Bởi vì trong lúc tính khoảng cách ta sẽ dựng thêm các đường vuông góc trong mặt phẳng đáy nên
tốt nhất là ta vẽ mặt đáy ra. Để có thể dự đoán được chân đường vuông góc cũng như để tính chúng.
Trong một số bài toán thì đường vuông góc từ chân đường cao kẻ đến mặt bên có sẳn nên ta không
cần kẻ thêm. Ví dụ như bài này để tính d  ;
A SBC thì ta cần kẻ AE vuông góc BC vì
AB BC E B . Tiếp theo ta chỉ cần kẻ AK vuông góc SB thì AK là khoảng cách cần tính. Giải
a) Ta có C SC   ABCD và A là hình chiếu của S trên (ABCD). Suy ra AC là hình chiếu của SC trên (ABCD). Do đó:
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 8
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73 SS ;
C (ABCD  SCA  60 . Tam giác SAC vuông tại A nên tan  SA SCA
SA a 2.tan60  a 6 AC . H K
Ta đã có AB BC , kẻ AK SB  1 . Ta chứng minh D A AK I  SBC60 . B CAB BC Ta có:
BC  SAB  BC AK 2 SA BC . Từ (1) và (2) suy ra
AK  SBC  AK d  ;
A SBC. Tam giác SAB vuông tại A, có đường cao AK nên ta có:
1  1  1  1  1  1  AK a 42 a
. Vậy d A SBC  42 ; . 2 2 2 2 2 2 AK AS AB AK 6a a 7 7
b) Gọi I là giao điểm giữa AC và BD thì AI BD . Kẻ AH SI 3 , ta chứng minh AH  SBD . BD AI Ta có:
BD  SAI   BD AH 4 BD SA .
Từ (3) và(4) suy ra AH  SBD  AH d  ;
A SBD .
Tam giác SAI vuông tại A, có đường cao AH nên ta có: 1  1  1  1  1 1 a 78 AK
d A SBC   a 78 ; 2 2 2 2 . Vậy   . AH AS AI AKa 6    2  a 2 13 2 13    2 
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SA vuông góc mặt phẳng đáy.
SC hợp với đáy 1 góc 60 . Gọi M là trung điểm BC. Tính d  ;
A SMD . Phân tích:
Giao tuyến giữa SMD  ABCD  MD . Do đó ta cần kẻ AH vuông góc MD.
Ở ví dụ 1 thì ta không vẽ mặt phẳng đáy ra vì việc xác định hình chiếu vuông góc từ A đến các giao
tuyến có sẳn. Nhưng ví dụ này ta vẻ thêm mặt phẳng đáy ra cho việc xác định hình chiếu từ A đến
MD và cũng như tính độ dài AH. Giải
Ta có C SC   ABCD và A là hình chiếu của S trên (ABCD). Suy ra AC là hình chiếu của SC
trên (ABCD). Do đó: S ;
C (ABCD  SCA  60 .
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 9 B M C
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73 S A a D K a H a D A B M C H a B M C SA
Tam giác SAC vuông tại A nên tan SCA
SA a 2.tan60  a 6 AC .
Giao tuyến giữa (SDM) và (ABCD) là MD nên ta kẻ AH vuông góc MD tại H. Kẻ AK vuông góc MD AH
SH tại K. Ta chứng minh AK  SMD . Ta có:
MD  SAH   MD AK 2 MD SA .
Từ (1) và (2) suy ra AK  SBC  AK d  ; A SMD. a 5 Ta có: MD  2 BD  2 BM  2 . 2 2 2 a a a Và SSSS  2 a    . Mà AMD ABCDAMMBMD 4 4 2 2 S
 1 AH.MD a AH  2a 5 AMD 2 2 5 .
Xét tam giác SAH vuông tại A, có đường cao AK nên ta có:
1  1  1  1  1  5  AK  2a 51 a
. Vậy d A SBC  2 51 ; . 2 2 2 2 2 2 AK AS AH AK 6a 4a 17 17 a
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SD  32 ; hình chiếu vuông góc của
S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của cạnh AB.
a) Tính d H;SDC . b) Tính d H;SBD . Giải
a) H là trung điểm của AB và SH   ABCD  SH HD . Suy ra:  2  2  2  2  2 SH SD HD SD HA
AD   a . Kẻ HN DC tại N;kẻ HK SN   1 tại K . Ta DC HN
chứng minh HK  SDC .Ta có:
DC  SHN   DC HK 2 DC SH .
Từ (1) và (2) suy ra HK  SDC  HK d H;SDC .
Tam giác SHN vuông tại H, có đường cao HK nên:
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 10
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
1  1  1  HK a 2 a . Vậy d  SDC  2 H; . 2 2 2 HK HS HN 2 2 B a C S M K H E A D C B M H N A D
b) Kẻ HM BD tại M;kẻ HE SM  
1 tại E . Ta chứng minh HE  SBD .Ta có: BD HM
BD  SHM  BD HE 2 BD SH . a
Từ (1) và (2) suy ra HE  SBD  HE d H;SBD . Ta có HM HB  2 .sin 45 4 .
Tam giác SHM vuông tại H, có đường cao HE nên: 1  1  1   a HE a
. Vậy d  H;SBD  . 2 2 2 HE HS HM 3 3
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt
phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA=2HB. Góc giữa SC và (ABC) bằng 60 .
a) Tính d H;SAC . b) Tính d H;SBC . S Giải
a) Ta có C SC   ABC và H là hình chiếu của S trên
(ABC). Suy ra HC là hình chiếu của SC trên (ABC). Do đó: K ES ;
C ABC  SCA  60 . 60 A C N Xét tam giác BHC ta có: H M 2 2 B HC  2 HB  2 BC HB BC HBC  2
HC  a  2a a aHC a 7 2 . .cos 2. . .cos60 3 3 3 C a 7 a 21
.Xét tam giác SHC ta có: SH HC.tan SCH  . 3  3 3 . Kẻ N
HM BC tại M;kẻ HE SM  
1 tại K . Ta chứng minh HE  SBC.Ta có: M A B HBC HM
BC  SHM  BC HE 2 BC SH .
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 11
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
Từ (1) và (2) suy ra HE  SBC  HE d H;SBC . Tam giác HBM vuông tại M, có HM HBa 3  a 3 .sin60 . 3 2
6 . Tam giác SHM vuông tại H, có đường cao HE nên:
1  1  1  HE a 609 a . Vậy d  SBC  609 H; . 2 2 2 HE HS HM 87 87
b) Kẻ HN AC tại N;kẻ HK SN  
1 tại K . Ta chứng minh HK  SAC.Ta có: AC HN
AC  SHN   AC HK 2 AC SH . Từ (1) và (2) suy ra
HK  SAC  HK d H;SAC . 2a 3 a 3
Tam giác HAN vuông tại N, có HN H . A sin60  .  3 2
3 .Tam giác SHN vuông tại H, có đường cao HK nên:
1  1  1  HK a 42 a . Vậy d  SDC  42 H; . 2 2 2 HK HS HN 12 12
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A; ABC  30 ; SBC là tam giác đều
cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy.
a) Xác định chân đường cao H của hình chóp S.ABC và tính độ dài đường cao này.
b) Tính: d H;SAC và d H;SAB .
Phân tích: Để xác định chân đường cao của hình chóp các Em xem lại mục 1 của IV. Do mặt phẳng
(SBC) vuông góc với (ABC) và có chung đường thẳng BC nên ta chỉ cần kẻ SH vuông góc BC; SH
sẽ là đường cao của hình chóp. Để ý, do tam giác SBC đều nên H là trung điểm của BC. S Giải A E M N K C A N 30 C B H H M 30 B
a) Kẻ SH BC , do tam giác SBC đều nên H là trung điểm của BC. Khi đó:
SBC  ABC
SBCABC  BC SH  ABC . Vậy SH là đường cao của hình chóp S.ABC.
SH BC SH   ; SBC Tam giác SBC đề a u cạnh a nên SH  3 2 .
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 12
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
b) + Tính d H;SAC .
Kẻ HN AC tại N;kẻ HE SN  
1 tại E . Ta chứng minh HE  SAC .Ta có: AC HN
AC  SHN   AC HE 2 AC SH . Từ (1) và (2) suy ra
HE  SAC  HE d H;SAC . a 3 a 3
Tam giác HCN vuông tại N, có HN HC.sin 60  .  2 2
4 .Tam giác SHN vuông tại H, có đường cao HE nên:
1  1  1  HK a 15 a . Vậy d  SDC  15 H; . 2 2 2 HE HS HN 10 10
+ Tính d H;SAB .
Kẻ HM AB tại M;kẻ HK SM  
1 tại K . Ta chứng minh HK  SAB .Ta có: AB HM
AB  SHM  AB HK 2 AB SH . Từ (1) và (2) suy ra
HK  SAB  HK d H;SAB . a 1 a
Tam giác HBM vuông tại M, có HM H . B sin30  . 
2 2 4 . Tam giác SHM vuông tại H, có đường cao HK nên:
1  1  1  HE a 39 a . Vậy d  SBC  39 H; . 2 2 2 HK HS HM 26 26
Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B; AB BC  2a ; hai mặt phẳng
(SAB) và (SAC) cùng vuông góc mặt phẳng (ABC). Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)
bằng 60 .Tính d A;SBC .
Phân tích: Trước tiên ta cần xác định được đường cao của hình chóp. Bài này ta thấy ngay SA là
đường cao của hình chóp. Giải S
SAB  ABC  Ta có:
SAC   ABC
SA  ABC . K
SACSAB   AB A C 2a 30 B
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 13
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73 BC AB Mặt khác, 
BC  SAB  SB BC . Do đó: BC SA
SBC;ABC  S ;
B AB  SBA  30 . Tam giác SAB vuông tai A nên
SBA SA SA AB  2a 3 tan .tan30 AB 3 .
AK BC BC  SAB
Kẻ AK SB tại K, ta có: 
AK  SBC  AK d  ;
A SAB . AK SB
Tam giác SAB vuông tại A, có đường cao AK nên:
1  1  1  AK a . Vậy dA;SBC  a. 2 2 2 AK AS AB
Bình luận: Trong ví dụ 6 để tính AK, các Em cũng có thể xét tam giác ABK vuông tại K và áp dụng
định lý cosin cho tam giác vuông. Tức là: AK A .
B sin30  a . Khi đó các Em không cần tính SA.
Nhưng vì các bài toán này thường đi chung câu tính thể tích nên ở đây Thầy rèn luyện cho các Em
cách tính đường cao luôn.
Ví dụ 7. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của
A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của AB. Góc giữa đường thẳng A’C và mặt đáy bằng 60 a) Tính đường cao A’H.
b) Tính: d H; ACC ' A' . Giải A' C'
a) Ta có: A' H   ABC và A' HC  60 . Do đó   a 3  3 ' .tan60 . 3 a A H CH B' 2 2 . K
b) Kẻ HM AC tại M, kẻ HK SM tại K. Khi đó: HK d 60
H;ACC'A'.Ta có: A C M a H HM HAa 3 .sin60 4 , B 1  1  1   3 13a HK . 2 2 2 HK HM HA' 26
Ví dụ 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B; AD=2AB=2BC; BC=a;
SA  ABCD và SB hợp với mặt phẳng đáy một góc 45 . Tính d  ;
A SDC .
Phân tích: Bài toán đã cho ta đường cao SA, không khó để ta xác định được độ dài SA. Để tính d  ;
A SDC, ta cần kẻ AH vuông góc DC tại H. Để xác định được vị trí điểm H. Em nên vẻ hình
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 14
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
thang ABCD ra, khi đó Em sẽ thấy rằng H trùng C. Tức là AC DC ?? Thử vẻ lại cho đúng tỷ lệ ta
tin rằng điều này có thể. Vậy ta sẽ chứng minh AC DC .Tiếp theo thì đã biết rồi nhé.! S Giải I A D K a I A D a B C B C
Ta có: SA   ABCD và SBA  45 . Do đó SA AB a . Gọi I là trung điểm của AD, ta có ABCI 1
là hình vuông  CI AB AD  ADC AC DC AC a 2 vuông tại C hay  và  2 . Kẻ AK SC 1 1 1 a 6
tại K. Khi đó: AK d A;SDC .Ta có:    AK  . Vậy 2 2 2 AK AS AC 3
d  SDC  a 6 A; 3 .
2. Khoảng cách từ một điểm ở mặt đáy đến mặt bên
a.Phương pháp:
Ta sẽ đưa bài toán trở về khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên(dạng này ta đã biết).
Giả sử cho hình chóp có đỉnh là S và chân đường cao H và cần tính khoảng cách từ điểm M thuộc
mặt phẳng đáy đến mặt bên (SAB) ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Ta dựng đường thẳng d đi qua H và M. Khi đó:
+ Trường hợp1: Nếu d / / SABthì d M;SAB  d H;SAB .
d M;SAB + Trườ MK
ng hợp 2: Nếu d  SAB  K thì (đị
d H;SAB  HK nh lí Ta-let).
Bước 2: Tính d H;SAB (đã biết ở phần trước). S S M H F F K C C F N (SAB) B B D H K M D H E M E d A Trường hợp 2 Trường hợp 1 A
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 15
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73 b. Bài tập mẫu
Ví dụ 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a; BAC  60 ; mặt bên SAB là tam giác
cân và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy. Mặt phẳng (SCD) tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 30 .Tính: a) d  ;
A SBC c) d M;SAD, với M là trung điểm của DC. Giải a) Tính d  ;
A SBC .
Gọi H là trung điểm của AB, do tam giác SAB cân tại S nên SH AB , mà SAB   ABCD nên
SH  ABCDa
. Tam giác ABC cân tại B có BAC  60  ABC đều là CH AB và CH  3 2 . S B E F H K N C 60° B E A C H M N A D M D B
Vì AB // DC suy ra CH CD .
Mà SH CD CD  SHC  CD SC  SCD; ABCD  SCH  30 . a
Tam giác SHC vuông tại H SH HC.tan 30  2 . d  ; A SBC Đườ AB
ng thẳng AH cắt BC tại B   d A SBC d H SBC
d H;SBC   2   ;   2  ;  HB . Kẻ HE B ;
C HF  SE ,suy ra HF d H;SBC ( Các Em xem lại I.1 nhé!). a 3 a 3
Ta có HE H . B sin60  .  2 2
4 . Tam giác SHE vuông tại H, có đường cao HF suy ra:
1  1  1  4  16  HF a 21 a . Vậy d
SBC  HF  21 A; 2 . 2 2 2 2 2 HF SH HE a 3a 14 7
b) Tính d M;SAD .
Ta có HM // AD  HM // (SAD)  d M;SAD  d H;SAD . Kẻ HN B ;
C HK SN HK d H;SAD ( Các Em xem lại chương2 I.1 nhé!).
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 16
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73 a 3 a 3
Ta có HN H . A sin60  .  2 2
4 . Tam giác SHN vuông tại N, có đường cao HK suy ra:
1  1  1  4  16  HK a 21 a . Vậy d
SAD  HK  21 M; . 2 2 2 2 2 HK SH HN a 3a 14 14
Ví dụ 10. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A và AB  2 ;
a AC  2a 3 . Hình
chiếu vuông góc S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của AB. Mặt phẳng (SBC) tạo với mặt
phẳng (ABC) một góc 30 .Tính:
a) Bd B;SAC c) d M;SAC , với M là trung điểm của BC. Giải S
a) Tính d B;SAC . A K H A C C 30° H M B E M E B
Kẻ HE BC , mà SH BC BC  SHE  SE BC  SBC; ABCD  SEH  30 . AC a 3 a
Ta có: tan ABC   3  ABC  60 HI BH.sin60 SH HI tan30 AB ;      2 2 .
d B;SAC Đườ BA
ng thẳng BH cắt AC tại A   d SAC d H SAC
d H;SAC   2  B;   2  ;  HA .
Kẻ HK SA , mà SH AC AC  SAH  AC HK HK  SAC  HK d  ;
H SAC . 1 1 1 a 5 a Ta có:    HK  . Vậy d
SAC  HK  2 5 B; 2 . 2 2 2 HK SH HA 5 5
b) Tính d M;SAC .
Ta có HM // AC  HM // (SAC)  d M;SAC  d H;SAC . a Vậy d  SAC  5 M; 5 .
Ví dụ 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A và AB  3 ;
a CB  5a. Mặt bên
(SAC) vuông góc với (ABC). Biết SA  2a 3 và SAC  30 .Tính d  ;
A SBC . Giải
Kẻ SH AC tại H, do SAC   ABC  SH   ABC .
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 17
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
Ta có SH S .
A sinSAC a 3 và AH S .
A cosSAC  3a HC a . d  ; A SBC Đườ AC 4a
ng thẳng AH cắt BC tại C   d A SBC d H SBC
d H;SBC    4   ;   4  ;  HC a .
Kẻ HE BC tại E và HK SE tại K. Khi đó HK d H;SBC . HE AB a
Ta có tam giác CEH đồng dạng với tam giác CAB suy ra   HE  3 HC BC 5 .
1  1  1  HK  3a 7 a
. Vậy d A SAB  HK  6 7 ; 4 . 2 2 2 HK SH HE 14 7 A S B 5a K 3a E E C B A C 4a H H 30° A
Ví dụ 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; hình chiếu vuông góc của S trên
mặt phẳng (ABCD) là trọng tâm của tam giác ABD. Cạnh SD tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng
60 . Gọi M là trung điểm của AB. a) Tính d  ;
A SBC . b) Tính d  ;
D SBC . c) Tính d M;SDC . Giải S N B C K M I F E N C G B M I A D G 60° E A D a) Tính d  ;
A SBC .
Gọi I là tâm của hình vuông ABCD và G là trọng tâm của tam giác ABD, khi đó SG   ABCD và ta có
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 18
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
SDG là góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD). Do SD tạo với mặt phẳng đáy một góc
bằng 60  SDG  60 .Do G là trọng tâm của tam giác ABD
DG  2 MD  2 2 . AM  2 AD a 5 3 3
3 . Xét tam giác SDG vuông tại G,ta có SG DGa 15 .tan60 3 . 2
Ta có AC  2AI AG
AI AC  3AG AC  2GC 3 . d  ; A SBC Đườ AC 3 3
ng thẳng AG cắt BC tại C   d A SBC d G SBC d ;
G SBC     ;    ;  GC 2 2 .
Kẻ GN BC tại N và GK SN tại K. Khi đó GK d  ;
G SBC . GN GC a
Ta có tam giác CGN đồng dạng với tam giác CAB suy ra   GN  2 AB AC 3 .Ta có:
1  1  1  GK  2a 285 3 a 285 . Vậy d  ;
A SBC  GK  . 2 2 2 GK SG GN 57 2 19 b) Tính d  ; D SBC.
Ta có AD // BC  AD // (SBC)  d  ;
D SBC  d  ; A SBC. a
Vậy d D SBC  285 ; 19 .
c) Tính d M;SBC .
d M;SDC MD 3 3
Đường thẳng MG cắt DC tại D   d M SDC d G SDC d ;
G SDC     ;    ;  GD 2 2 .
Kẻ GE DC tại E và GF SE tại F. Khi đó GF d  ;
G SDC . Xét tam giác DGE vuông tại E, ta có: a 5 2 a 10 GE D . G sin 45  .  3 2 6 .
Tam giác SGE vuông tại G, có đường cao GF suy ra:
1  1  1  1  3  18  GF a 105 . 2 2 2 2 2 2 GF SG GE GF 5a 5a 21 3 3 a 105 a 105
Vậy d M;SDC  GK  .  2 2 21 14 .
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 19
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
Ví dụ 13. Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, SA  2a . Điểm M là trung điểm của BC. a) Tính d  ;
C SAB . b) Tính d M;SAB .
Phân tích: AK…! Các Em cần nhớ lại định nghĩa hình chóp đều nhé. Các Em xem lý thuyết chương 1 nhé! Giải S C 2a a K G C A A M G M N N B B a) Tính d  ;
C SAB .
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC; N là trung điểm của AB. Do S.ABC là hình chóp đều nên
SG  ABC. Tam giác ABC đề a 3 2 a 3 u cạnh a nên AM  ; AG AM  2 3 3 . 2 2 a 33
Tam giác SAG vuông tại G nên: SG
SA AG  3 . d  ;
C SAB CN Ta có:  d C SAB d G SAB d ;
G SAB   3   ;   3  ;  GN .
Kẻ GK SN tại K. (Ta sẽ chứng minh được GK  SAB Thầy để các Em làm nhé! Xem như bài 1 1 1 a 165
tập nhỏ). Khi đó GK d  ;
G SAB .Ta có:    GK  . 2 2 2 GK SG GN 45 a
Vậy d C SAB  GK  165 ; 3 15 .
b) Tính d M;SAB .
d M;SAB MA 3 3 a 165 Ta có:  d M SAB d G SAB d ;
G SAB     ;    ;   GA 2 2 30 . a
Ví dụ 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SD  32 ;hình chiếu vuông góc của S
trên (ABCD) là trung điểm của cạnh AB.
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 20
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
a) Tính d A;SBC . b) Tính d  ; C SBD. Giải S B C E K 3a I F H 2 C B E I H A a D A D
a) Tính d A;SBC .
Gọi H là trung điểm của AB, ta có AH   ABCD . Tam giác ADH vuông tại A nên: 2 2 a 5a 2 HD  2 AD  2 AH  2 a   4
4 . Tam giác SHD vuông H nên : 2 2  2  2  9a  5a SH SD HDa 4 4 . d  ;
A SBC AB Ta có:  d A SBC d H SBC
d H;SBC   2   ;   2  ;  HB .
Kẻ HK SB tại K(Ta sẽ chứng minh được HK  SBC Thầy để các Em làm nhé! Xem như bài
tập nhỏ). Khi đó HK d H;SBC . Tam giác SHB vuông tại H, có đường cao HK suy ra:
1  1  1  HK a 5 a
. Vậy d A SBC  HK  2 5 ; 2 . 2 2 2 HK SH BH 5 5 b) Tính d  ; C SBD. IC CD
Gọi I là giao điểm của CH và BD. Khi đó: 
 2  IC  2IH IH HB . d  ;
C SBD IC Suy ra:  d C SBD d H SBD
d H;SBD   2   ;   2  ;  IH .
Kẻ HE BD tại E và HF SE tại F(Ta sẽ chứng minh được HF  SBD Thầy để các Em làm
nhé! Xem như bài tập nhỏ). Khi đó HF d H;SBD . a 2 a
Xét tam giác HBE vuông tại B, ta có: HE H . B sin 45  .  2 2 2 4 .
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 21
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
Tam giác SHE vuông tại H, có đường cao HF suy ra:
1  1  1  1  1  8   a HF a
. Vậy d C SBD  HF  2 ; 2 . 2 2 2 2 2 2 HF SH HE HF a a 3 3
Ví dụ 15. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của
A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB; đường thẳng A’C tạo với mặt phẳng (ABC)
một góc 60 . Điểm M là trung điểm của BC. a) Tính d  ;
B ACC' A'. b) Tính d M;ACC' A' . B Giải C' A' C B' M F E E 60 A C B H A H M B a) Tính d  ;
B ACC' A'.
Gọi H là trung điểm của AC, ta có A' H   ABC và A'CH  60 . Tam giácABC đều cạnh a và H là trung điể a a m của AB nên CH  3 A H CH
2 . Tam giác A’HC vuông H nên   3 ' .tan60 2 . d  ;
B SAC BA Ta có:  d B SAC d H SAC
d H;SAC   2   ;   2  ;  HA .
Kẻ HE AC tại E và HF SE tại F(Ta sẽ chứng minh được HF  SAC Thầy để các Em làm
nhé! Xem như bài tập nhỏ). Khi đó HF d H;SAC . a 3 a 3
Ta có : HE H . A sin60  . 
. Tam giác A’HE vuông tại E, có đườ 2 2 4 ng cao HF suy ra:
1  1  1  1  4  16  HF  3a 13 . 2 2 2 2 2 2 HF A'H HE HF 9a 3a 26 a
Vậy d B SAC  HF  3 13 ; 2 13 .
b) Tính d M; ACC ' A' .
Ta có MH // AC và AC thuộc mặt phẳng (SAC) suy ra MH // (SAC).
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 22
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
Do đó : d M SAC  d H SAC  3a 13 ; ; 26 .
Ví dụ 16. Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy tam giác vuông tại B, AB  ,
a AC  2a . Cạnh bên SA
vuông góc đáy. Mặt phẳng (SBC) hợp với đáy một góc bằng 60 . Tính khoảng từ trọng tâm G của
tam giác SAB đến mặt phẳng (SBC). Giải SBC AB Ta có: 
BC  SAB  BC SBBC SA . SB BC K Vậy ta được 
 SBC;ABC  SBA  60 AB BC . M 2a G
Ta có: SA A .
B tan60  a 3 . A C
Gọi M là trung điểm của SB. a 60° GM 1 1 Ta có:   d  ;
G SBC  d  ; A SBC AM 3 3 . B
Kẻ AK SB tại K .(Ta sẽ chứng minh được AK  SBC
Thầy để các Em làm nhé! Xem như bài tập nhỏ nhé).
Khi đó AK d A;SBC .
Tam giác SAB vuông tại A,có đường cao AK suy ra:
1  1  1  1  1  1  AK a 3 . 2 2 2 2 2 2 AK SA AB AK 3a a 2 1 a Vậy d  ;
G SBC  AK  3 3 6 .
3. Khoảng cách từ một điểm thuộc mặt đáy đến mặt bên
a.Phương pháp:
Ta dựng đường thẳng d đi qua điểm đó và song song mặt bên. Sau đó tìm giao điểm giữa d và
mặt đáy. Khi đó ta đưa bài toán trở về khoảng cách từ một điểm thuộc mặt đáy đến mặt bên. Tiếp
theo đưa về khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên(tới đây không phải là đã biết nữa, mà phải biết). S
Giả sử cho hình chóp S.ABCD có SH   ABCD . Điểm M ME//SB d(M;(SBC) =d(E;(SBC)
thuộc SA, cần tính d M;SBC . Ta thực hiện các bước sau: M Bướ C
c 1: Ta dựng đường thẳng d đi qua M và song song SB. Xác
định E là giao điểm AB và d. B D H E A
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 23
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
Bước 2: Tính d  ;
M SAB  d  ;
E SAB (đã biết ở phần trước). b. Bài tập mẫu
Ví dụ 17. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a; cạnh bên SA = 2a . Gọi M là trung điểm
của SA. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC).
Phân tích:Trước tiên cần nhớ chân đường cao của hình chóp tứ giác đều là tâm I của hình vuông.
Như đã phân tích ở trên, để tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC); ta sẽ dựng đường thẳng d
đi qua M và song song với một cạnh của mặt phẳng (SBC). Do M thuộc SA; SA và SC đồng phẳng;
SA và SB đồng phẳng. Do đó ta có thể dựng đường thẳng d qua M và d // SC hoặc d // SB. Đó là lý thuyết!
Trong trường hợp này, do M là trung điểm của SA; I là trung điểm của AC, ta phải thấy được MI //
SC. Khi đó nên d  ;
M SBC  d I;SBC . Chẳn qua đây là trường hợp đặc biệt; trong trường
hợp tổng quát ta cần nhớ định lí Ta-let hay tam giác đồng dạng. Giải S
Gọi I là tâm của hình vuông ABCD ( tâm của hình
vuông là giao điểm hai đường chéo). Do S.ABCD là
hình chóp đều nên SI  2a ABCD. Ta có: M F AC aAI a 2 2 2 . C
Tam giác SAI vuông tại I nên: D a 2 2 I K SI  2 SA  2 AI a 14 2 . A a B
Do M, I lần lượt là trung điểm của SA và AC nên MI // SC suy ra MI // (SBC) .
Từ MI // (SBC) ta có d  ;
M SBC  d I;SBC .
Kẻ IK BC tại K , khi đó K là trung điểm của BC. Kẻ IF SK tại F. (Ta sẽ chứng minh được
IF  SBC Thầy để các Em làm nhé! Xem như bài tập nhỏ nhé). Khi đó IF d I;SBC .
Tam giác SIK vuông tại I,có đường cao IF suy ra:
1  1  1  1  2  4  IF a 210 . 2 2 2 2 2 2 IF IK SI IF 7a a 30 a
Vậy d M SBC  dI SBC  210 ; ; 30 .
Ví dụ 18. Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy hình vuông cạnh a; mặt bên SAB là tam giác đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy. Gọi M là điểm thuộc đoạn thẳng SD sao cho SD=4SM.
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 24
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
a) Tính khoảng cách từ trung điểm của đoạn thẳng AB đến mặt phẳng (SBC).
b) Tính khoảng điểm M đến mặt phẳng (SBC). Giải S M D A I K a H A D N H I N a B E B E C C
a) Tính d H;SBC . a
Gọi H là trung điểm của AB, do tam giác SAB đều cạnh a nên SH AB và SH  3 2 .
Ta lại có SAB   ABCD  SH   ABCD . Kẻ HK SB tại K .(Ta sẽ chứng minh được
HK  SBC Thầy để các Em làm nhé! Xem như bài tập nhỏ nhé). Khi đó d H;SBC  HK . Tam
giác SBH vuông tại H, có HK là đường cao suy ra:
1  1  1  1  4  4  HK a 3 a
. Vậy d H SBC  3 ; . 2 2 2 2 2 2 HK SH HB HK 3a a 4 4
b) Tính d M;SBC .
Gọi I là tâm của hình vuông; d là đường thẳng qua M và song song với SB; N là giao điểm giữa d và BD.
Khi đó MN // BC  MN / / SBC  d  ;
M SBC  d N;SBC . BN SM 1 1 Ta có:
  BN BD BD SD 4 4
N là trung điểm của BI. Gọi E là giao điểm của HI và BC
thì E là trung điểm của BC ( Do HI // AC và H là trung điểm của AB thì E phải là trung điểm của BC). Ta có:
HI = EI (không khó lắm các Em thử kiểm tra xem như bài tập nhỏ nhé!).
d N;SBC NI 1 1 1 a 3 a 3 Ta có:  d SBC d H SBC
d H;SBC    N;    ;   .  HI 2 2 2 4 8 . a
Vậy d M SBC  dN SBC  3 ; ; 8 .
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 25
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
Ví dụ 19. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S
trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA  2HB . Góc giữa SC và mặt phẳng
(ABC) bằng 60 .Tính d M;SAC , với M là trung điểm của SB. Giải S C a F M E E 60° 60° A 60 A I H B C I H B
Gọi I là trung điểm của AB, ta có IM // SA  IM // (SAC)  d  ;
M SAC  d I;SAC.
Góc giữa SC và phẳng (ABC) chính là góc SCH , suy ra SCH  60 . a 7 a 21 Ta có: 2 HC  2 BH  2
BC  2BH.BC.cos60  HC
;SH CH.tan60  3 3 . 1 2
d I;SAC IA 3 3 Ta có: IA A ; B HA   d I SAC d H SAC 2 3
d H;SAC     ;    ;  HA 4 4 .
Kẻ HE AC tại ,kẻ HF SE tại F. (Ta sẽ chứng minh được HF  SAC Thầy để các Em làm
nhé! Xem như bài tập nhỏ nhé). Khi đó HF d H;SAC . 2a 3 a 3
Ta có: HE H . A sin60  .  3 2 3 .
Tam giác SHE vuông tại E,có đường cao HF suy ra:
1  1  1  1  3  3  HF a 42  3 a 42
d I;SAC  d H;SAC  . 2 2 2 2 2 2 HF HE SH HF a 7a 12 4 16 a
Vây: d M SAC  d I SAC  42 ; ; 16 .
4. Ứng dụng công thức thể tích để tính khoảng cách
a.Phương pháp: 1 V
Sử dụng công thức V
S.h h  3 3
S . Một ý tưởng hết sức đơn giản để tính khoảng cách nhưng
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 26
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
cũng hiệu quả trong một số trường hợp.
Thường áp dụng với các bài dễ tính thể tích. Tuy nhiên nhược điểm trong khâu tính diện tích, để
khắc phục điểm yếu này ta cứ sử dụng công thức Heron và bấm máy tính. Mỗi phương pháp đều có
ưu và nhược điểm, tùy theo bài toán cụ thể. Do vậy các Em cứ nắm hết phương pháp. Thầy nhắc lại công thức Heron: S
p AB p AC p BC AB BC   AC pABC     ; Với 2 . b. Bài tập mẫu a
Ví dụ 20. (Trích KA -2014) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SD  32
;hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD) là trung điểm của cạnh AB. Tính theo a thể tích của
khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD). Giải
+ Tính VS.ABCD . S
Gọi H là trung điểm của AB, ta có AH   ABCD . 3a 2
Tam giác ADH vuông tại A nên: 2 2 a 5a 2 HD  2 AD  2 AH  2 a   4 4 . A D Tam giác SHD vuông H nên : a H 2 2 B  2  2  9a  5a SH SD HDa C 4 4 . 3 Khi đó :  1 . .  1 2 . .  a V SH S a a S.ABCD 3 ABCD 3 3 . + Tính d  ; A SBD. 3 1 1 1 2 a Ta có: V  .SH.S  . . a a S.ABD  3 ABD 3 2 6 . a  3 a a 5 2 Ta tính đượ 3a a 5 2 2
c: BD a 2; SD  ;SD p  2 5 . Với 2 . 3
Áp dụng công thức Heron ta có: S
p AB p AC p BC  2 aSBD     4 . 3V 2 2 A.SBD 3a 3a 2a Vậy: d  ;
A SBD   :  S 6 4 3 . SBD
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 27
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
Ví dụ 21.(Trích KB -2014) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a.. Hình
chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB; đường thẳng A’C tạo với
mặt phẳng (ABC) một góc 60 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách
từ điểm B đến (ACC’A’). Giải
+ Tính VABC.A'B'C' . C' A'
Gọi H là trung điểm của AC, ta có A' H   ABC và
A'BH  60 . Tam giácABC đều cạnh a và H là trung B' a 2 a 3
điểm của AB nên CH  3 S  2 và ABC 4 . Tam giác 60 A C A’HC vuông H nên   3 ' .tan60 a A H CH 2 . H 2 3 Do đó : B   3a a 3  3 3 ' . . a V A H S
ABC.A'B'C' ABC 2 4 8 . y
+ Tính d B; ACC ' A' . 2 3 1 1 3a a 3 a 3 Ta có: VA'H.S  . .  A'.ABC  3 ABC 3 2 4 8 . a 10 A'H 3a 3
Ta có: A ' A  2 AH  2 A'H AC a A'C : a 3 2 ;  ;    . ÁP dụng công sin60 2 2 a aa 10 3 39 2 thức Heron ta có : S
p A' A p AC p A'C  2 a p  A' AC     8 . Với 2 . 3V 3 A'. ABC a 3 39 2 3a 13 Vậy d  ;
B AA'C'C   3. : a S 8 8 13 . AA'C
Ví dụ 22. (Trích KA -2013) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A; ABC  30
mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc đáy. Tính theo a thể tích
của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB). Giải
+ Tính VS.ABCD .
Gọi H là trung điểm của BC, do tam giác SBC đều nên ta có SH BC . Mà SBC   ABC và
SBCABC  BC ,do đó SH  ABC.
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 28
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73 S Tam giác SBC đề a u cạnh a nên SH  3 2 . Tam giác ABC
vuông A và ABC  30 , ta có: a a   a 3 sin60 ;  sin30  a AC BC AB BC 2 2 . B I 30° 3 A Khi đó:  1 . .  1 a 3 1 a 3 . . . a a V SH S S.ABCD  3 ABC 3 2 2 2 2 16 . a H
+ Tính d C;SAB . C
Xét SHB và SHA cùng vuông tại H; có chung SH và   a HA HB
 SHB  SHA SA SB 2 . a 13
Gọi I là trung điểm của AB, khi đó SI AB ( vì SAB cân tại S). Ta có: SI  2 SB  2 BI  4 . 2 1
1 a 13 a 3 a 39 Suy ra: SSI.AB  . .  SAB 2 2 4 2 16 . 3V 3 2 ABC a a 39 39a
Vậy: d C;SAB  d  ;
B AA'C'C  S.  3. :  S 16 16 13 . SAB Bình luận:
Ta sẽ không dành quá nhiều giấy mực cho phương pháp này nhé!Vì với các phương pháp đã cung
cấp ở phía trước ta hoàn toàn có thể giải nhanh các bài toán khoảng cách. Ở đây, Thầy chỉ cũng
cấp thêm để các Em cùng tham khảo thôi.
II. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
a.Phương pháp:
Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau . Để tính khoảng cách giữa a và b ta thực hiện các bước sau:
Cách 1: Phương pháp tổng quát
B1: Dựng mặt phẳng (P) chứa a và (P) song song với b. b A
B2: Khi đó ta đưa bài toán khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b về
bài toán khoảng cách từ một điểm tùy ý thuộc đường thẳng b đến mặt a H
phẳng (P).Việc còn lại là đã biết ở phần trước. (P)
B3: Chỉ cần chọn điểm A phù hợp thuộc đường thẳng b và tính khoảng
cách từ điểm A đên (P).
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 29
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
Cách chọn mặt phẳng (P): Ta thường gặp yêu cầu tính khoảng cách giữa đáy và cạnh bên của hình
chóp hay hình lăng trụ. Khi đó:
+ Ta chọn mặt phẳng (P) là mặt phẳng chứa cạnh bên và song song cạnh đáy. Vì khi đó sẽ đưa bài
toán về tính khoảng cách từ điểm thuộc mặt phẳng đáy đến mặt phẳng bên( đã S biêt). d
+ Cụ thể: Cho hình chóp S.ABCD có đáy H là chân đường cao của hình chóp.
Giả sử cần tính khoảng cách giữa SA và BD. Ta thực hiện: D
B1: Dựng đường thẳng d qua A và d // BD. Khi đó mặt phẳng (P) chứa SA và d. A H
B2: Ta chuyển về bài toán khoảng cách từ một điểm từ ý thuộc BD đến mp(P).
Thường thì điểm đó sẽ B C
là B hoặc D luôn. Tới đây Em cân nhớ lại cách tính
khoảng cách từ mặt điểm thuộc mặt đáy đến mặt bên.
Cách 2: Đặc biệt khi đường thẳng a và b vuông góc nhau
Khi đó thường bài toán có sẳn mặt mặt (P) chứa đường thẳng a và (P) b
vuông góc b (nếu không thì ta dựng thêm). K a
B1: Xác định giao điểm A của đường thẳng b và (P). (P) A
B2: Từ A kẻ AK vuông góc đường thẳng a. Khi đó đoạn thẳng AK là khoảng cách cần tính. Chú ý:
Ngoài cách tính khoảng cách trực tiếp Thầy có biên soạn “ Chuyên đề phương pháp tọa độ hóa
hình không gian’’. Các Em tìm đọc nhé nếu thấy phần này hơi phức tạp. Ta đừng bận tâm việc
phương pháp nào nhanh hay chậm, dài hay ngắn, đẹp hay không đẹp. Điều ta nên bận tâm là phải
tích lũy được nhiều phương pháp cho những yêu cầu của bài toán. Trong từng bài toán cụ thể mỗi
phương pháp sẽ thể hiện được điểm mạnh và yếu của nó. Quan trọng là các Em phải mạnh dạn tư
duy, đánh giá bài toán. Xem bài toán đó có hai đường thẳng đó có quan hệ vuông góc hay dễ mặt
phẳng song song và đưa ra phương án phù hợp. b. Bài tập mẫu
Ví dụ 23. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A; mặt bên SBC là tam giác
đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc đáy.Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA;BC.
Phân tích: Trước hết ta cân xác định được chân đường cao của hình chóp. Gọi H là trung điểm của
BC, thì SH BC SH   ABC . Để ý tí ta sẽ thấy BC  SAH  và có điểm chung với mặt phẳng
(SAH) là điểm H. Vậy để tính d S ;
A BC ta chỉ cần kẻ HK SA thì HK d S ; A BC . Giải
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 30
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73 S C K a H B A A B H C
Gọi H là trung điểm của BC, do tam giác SBC đều nên ta có SH BC . Mà SBC   ABC , do đó
SH  ABC.Tam giác SBC đề a u cạnh a nên SH  3 2 . 1 a
Tam giác ABC vuông cân tại A nên AH BC và AH BC
SA BC BC SAH 2 2 ,mà  .
Kẻ HK SA tại K, BC  SAH   BC HK  HK là đoạn thẳng vuông góc chung của SA và BC
suy ra: HK d S ;
A BC. Tam giác SAH vuông tai H, có đường cao HK, suy ra:
1  1  1  1  4  4  HK a 3 a
. Vậy d SA BC  3 ; . 2 2 2 2 2 2 HK SH HA HK 3a a 4 4
Bình luận: Câu hỏi đặt ra là nếu ta không phát hiện ra BC  SAH  liệu có giải được bài toán
không? Câu trả lời hoàn toàn có thể giải theo cách tổng quát, mặc dù hơi dài hơn tí. Nhưng với cách
tư duy này thì tổng hơn. Cụ thể: S C a K H E d B d A B A H E C
Kẻ đường thẳng d đi qua A và d // BC. Để Em dể hình dung mặt phẳng (P). Ta lấy điểm E thuộc
đường thẳng d, thì AE//BC  BC // (SAE)  d S ;
A BC  d H;SAE. Qua về bài toán khoảng
cách từ chân đường cao tới mặt bên. Tiếp theo kẻ HF AE tại F, tuy nhiên nhớ rằng
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 31
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73 AH B ;
C AE / /BC AH AE tại A, chỉ cần kẻ HK SA HK d H;SAE .
Ví dụ 24. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S
trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA  2HB . Góc giữa SC và mặt phẳng
(ABC) bằng 60 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC. S Giải C K d 60 A 60° A 60° C H B E E H B
Góc giữa SC và phẳng (ABC) chính là góc SCH , suy ra SCH  60 . Ta có:    2 2 a ;  a HA HB HA HB 3
3 . Xét tam giác HBC và tam giác SHC vuông tại H ta có: 2 HC  2 HB  2 BC HB BC
HC a 7 SH CHa 21 2. . .cos60 ; .tan60 3 3 . Kẻ đường thẳng d
đi qua A và d // BC. Kẻ HE d tại E và HK SE tại K . Ta có d HE
d  SEH  d HKd SH .
Mà HK SE ,do đó HK vuông góc với mặt phẳng (SAE).
Suy ra HK d H;SAE . Do BC // AE  BC // (SAE)  d S ;
A BC  d  ; B SAE.
Mà đường thẳng AB cắt (SAE) tại E suy ra d  ;
B SAE BA 3 3  d B SAE d H SAE
d H;SAE     ;    ;  HA 2 2 . a
Xét tam giác AHE vuông tại E, có EAH ABC  60 (so le trong) , ta có: AE AH  3 .sin60 3 .
Tam giác SEH vuông tại H, có HE là đường cao suy ra:
1  1  1  1  3  3  HK a 42 . 2 2 2 2 2 2 HK SH HE HK 7a a 12 3 3 a 42 a 42 Vậy d  ;
B SAE  d H;SAE   2 2 12 8 .
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 32
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
Ví dụ 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a; BAC  60 ; mặt bên SAB là tam giác
cân và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy. Mặt phẳng (SCD) tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc
30 .Tính khoảng cách giửa hai đường thẳng SB và AD . S Giải B E H F 60° A C E C B H D A D B
Gọi H là trung điểm của AB, do tam giác SAB cân tại S nên SH AB , mà SAB   ABCD nên
SH  ABCDa
. Tam giác ABC cân tại B có BAC  60  ABC đều là CH AB và CH  3 2 .
Vì AB // DC suy ra CH CD .
Mà SH CD CD  SHC  CD SC  SCD; ABCD  SCH  30 . a
Tam giác SHC vuông tại H  SH HC.tan 30  2 .
Ta có AD // BC  AD // (SBC)  d S ;
B AD  d A;SBC .
Mà đường thẳng AH cắt (SBC) tại B suy ra d  ;
A SBC ABd A SBC d H SBC
d H;SBC   2   ;   2  ;  HB . Kẻ HE B ;
C HF  SE ,suy ra HF d H;SBC (Thầy để các Em chứng minh HF  SBC nhé!). a 3 a 3
Ta có HE H . B sin60  .  2 2
4 . Tam giác SHE vuông tại H, có đường cao HF suy ra:
1  1  1  4  16  HF a 21 a
. Vậy d SB AD  HF  21 ; 2 . 2 2 2 2 2 HF SH HE a 3a 14 7 Bình luận:
Bài toán này dễ ở chổ đã có sẳn mặt phẳng (SBC) // AD. Khi làm bài tập ta nhớ chú ý, đánh giá bài
toán. Có một số hình vẽ ta phải nắm luôn kết quả. Tức là khi vẽ hình ra thì Em phải nhớ ngay trong
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 33
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
hình vẽ đó có những tính chất song song, vuông góc hay tỉ lệ nào… Em làm nhiều bài tập và tích lủy
dần những dạng hình vẽ , khi đã có kỉ năng thì vấn đề sẽ đơn giản.
Ví dụ 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; hình chiếu vuông góc của S trên
mặt phẳng (ABCD) là trọng tâm của tam giác ABD. Cạnh SD tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng
60 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AD. Giải S N B C M I K G N C B M I A D 60° G A D
Gọi I là tâm của hình vuông ABCD và G là trọng tâm của tam giác ABD, khi đó SG   ABCD và ta có
SDG là góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD). Do SD tạo với mặt phẳng đáy một góc
bằng 60  SDG  60 .Do G là trọng tâm của tam giác ABD
DG  2 MD  2 2 . AM  2 AD a 5 3 3 3 . a
Xét tam giác SDG vuông tại G,ta có SG DG  15 .tan60 3 .
Ta có AD // BC  AD // (SBC)  d S ;
C AD  d A;SBC . 2
Ta có AC  2AI AG
AI AC  3AG AC  2GC 3 . d  ;
A SBC AC 3 3
Đường thẳng AG cắt BC tại C   d A SBC d G SBC d ;
G SBC     ;    ;  GC 2 2 .
Kẻ GN BC tại N và GK SN tại K. Khi đó GK d  ;
G SBC . Ta có tam giác CGN đồ GN GC a
ng dạng với tam giác CAB suy ra   GN  2 AB AC 3 .Ta có:
1  1  1  GK  2a 285 3 a 285
. Vậy d A ;
D SC  d ;
A SBC  GK  . 2 2 2 GK SG GN 57 2 19
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 34
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
Ví dụ 27. (Trích KB -2007) Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E
là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA; M là trung điểm của AE;N là trung điểm của
BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC. Giải E S
+ Chứng minh MN BD .
Gọi I là tâm của hình vuông, do S.ABCD là hình chóp đều P M
nên SI   ABCD .
Gọi P là trung điểm của SA, mà M là trung điểm của AE nên D A
MP là đương trung bình của tam giác ADE. I B N C MP / /AD Suy ra  1  1 MP   AD .  2 NC / /AD Mặt khác, ta cũng có  2 1  NC   AD .  2
Từ (1) và (2) ta suy ra tứ giác MPCN là hình bình hành hình suy ra MN // PC (3). BD AC Ta có 
BD  SAC  BC CP4 MN BD . BD SI . Từ (3) và (4) suy ra 
+ Tính d MN; AC .
Do MN // CP  MN // (SAC)  d MN; AC  d N;SAC .
d N;SAC NC Đườ 1 1
ng thẳng BN cắt (SAC) tại C nên  d N SAC d B SAC d ;
B SAC     ;    ;  BC 2 2 . 1 a
Ta có: BI  SAC  BI d  ;
B SAC  BD  2 2 2 . 1 a
Vậy d MN; AC  d  ;
B SAC  2 2 4 . Bình luận
Khi đề bài cho hình chóp đều S.ABCD thì các ngoài tính chất của hình chóp đều thì các Em phải
nhớ thêm vài kết quả như BD vuông góc (SAC) và AC vuông góc (SBD). Với mục tiêu giúp cho tất
cả các học sinh có thể hiểu rỏ chuyên đề. Thầy cố gắng trình bày chi tiết nhất và nếu là bài thi thì
Thầy khuyên các Em cũng nên theo nguyên tất trình bày chi tiết là tốt.
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 35
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
Ví dụ 28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B; AB BC  ,
a AD  2a; SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Góc giữa hai mặt phẳng (SCD)
và (ABCD) bằng 45 . Tính d SM; BD theo a. Giải S M A D H N K A M D K N B C 45° B C
M là trung điểm của AD nên ta có được tứ giác ABCM là hình vuông. Suy ra
CM a  1 AD  ACD CD AD 1 CD SA 2 vuông tại C hay   . Mặt khác,  nên ta có
CD  SAC CD SC2. Từ (1) và (2) suy ra SCA chính là góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và
(ABCD) suy ra SCA  45 . Suy ra tam giác SAC vuông cân tại A  SA AC a 2 .Gọi N là
trung điểm của AB trung điểm của AB, ta có:
BD // MN  BD // (SMN)  d SM; BD  d  ;
B SMN .
Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (SMN) tại N nên d  ;
B SMN NBd B SMN d A SMN d ;
A SMN   1  ;    ;  NA
Kẻ AK MN tại K và AH SK tại H. Khi đó AH d  ;
A SMN .
Xét tam giác giác AMN vuông tai A có đườ 1 1 1 a 5 ng cao AK suy ra:    AK  . 2 2 2 AK AM AN 2
Xét tam giác giác SAK vuông tai A có đườ 1 1 1 a 22 ng cao AH suy ra:    AH  . 2 2 2 AH SA AK 11 a
Vậy d SM BD  d A SMN   22 ; ; 11 .
Ví dụ 29. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A; BC  2 ; a AB a .
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BC’.
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 36
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73 Giải A' C' A B' a B C K 2a A C K B
Do AA’ // BB’  AA’ // (BB’C’C)  d AA';B'C  d  ;
A BB'C'C .
Kẻ AK BC tại K, mà AK BB '  AK  BB'C 'C  AK d  ;
A BB'C'C . 2 2 a
Tam giác ABC vuông tại A, ta có: AC BC AB a 3 và AK BC AB AC AK  3 . . 2 . a
Vậy d AA B C  3 '; ' 2 .
Ví dụ 30. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân tại A; M là trung điểm
của BC; BC a 6 . Mặt phảng (A’BC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc bằng 60 . Tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng A’M và AB. B Giải C' A' B 45° B' a 6 M H C N A 60° A N C M B
Tam giác ABC vuông cân tại A suy ra
AB AC B . C sin45  a 3 a
; AM BC   1 và AM  6 2 . BC AM Ta có: 
BC  A'MA  BC  A'M2 . BC AA'
Từ (1) và (2) ta có thể suy ra A' MA chính là góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC). a
Suy ra A' MA  60 và A A AM  3 2 ' .tan60 2 .
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 37
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
Gọi N là trung điểm của AC, ta có AB // MN  AB // (A’MN)  d A' ;
M AB  d  ;
A A'MN .
Kẻ AH A' M tại H ( ta sẽ chứng minh được AH   A' MN Thầy để các Em chứng minh xem như
bài tập nhỏ nhé!). Khi đó AH d  ;
A A'MN . Xét tam A’AN vuông tai A có đường cao AH suy ra:
1  1  1  2  4  AH  3a 14 . 2 2 2 2 2 AH A' A AN 9a 3a 14 a
Vậy d A M AB  3 14 ' ; 14 .
Ví dụ 31. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a;I là trung điểm của AB; H là giao điể a
m giữa BD và CI. SH vuông góc với mặt phẳng đáy và SH  3 3 . Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng SA và CI. Giải S M C D E N K F H A D K I N A I B E M H B C
Gọi M là trung điểm của DC, khi đó tứ giác AICM là hình bình hành suy ra CI // AM  CI //
(SAM)  d S ;
A CI   d H;SAM . Gọi N là giao điểm của DC và AM; K và E lần lượt là hình
chiếu vuông góc của H và D trên AM. Do M là trung điểm của DC và MN // CI suy ra N là trung điể 1 1 1 1
m của DH. Từ đây ta có được HK DE     HF SK 2 2 2 2 HK DE DA MD . Kẻ  tại F ( ta
sẽ chứng minh được HF  SAM Thầy để các Em chứng minh xem như bài tập nhỏ nhé!).
Khi đó HF d H;SAM . 1 1 1 1 1 1 3 1 4 a 2 Ta có:          HF  . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 HF SH HK SH DA MD a a a 4
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 38
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73 a
Vậy d SA CI   d H SAM   2 ; ; 4 .
Ví dụ 32. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A;mặt bên ABB’A’ là
hình vuông. Biết B 'C '  a 3 , góc giữa B’C và mặt phẳng A’B’C’ bằng 30 .Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng BA’ và B’C.
Phân tích:Đối với bài toán này ta để ý tí nhận ra được một điều rằng AC   ABB'A'  AC BA'
, mà BA'  B ' A BA'  B ' A BA'  B' AC .Vậy để tính d BA';B'C , ta chỉ gọi I BA
' B' A và kẻ IK BC '  IK d BA';B'C. Giải A C
Ta có CB 'C ' chính là góc giữa CB’ và mặt phẳng (A’B’C’) suy ra
CB'C'  30  CC'  B'C'.tan30  a . Do ABB’A’ là hình B
vuông nên BB'  AA'  AB A' B'  CC '  a . IAC AB Ta có 
AC  ABB'A'  AC BA' , mà AC AA' K A' C'
BA'  B' A BA'  B' A BA'  B' AC .Gọi I BA  ' B' A và 30° a 3
kẻ IK BC ' , mặt khác BA'  B' AC  BA'  IK . B'
Từ các đều này ta có IK d BA';B'C . IK IB' AC IB
Tam giác B’AC đồng dạng với tam giác B’KI suy ra   IK  . ' AC CB' CB' . A'B a 2 2 2 2 Ta có IB   2 AC BC AB a 2 CB' CC' B'C' 2a 2 2 ;    ;    . a a
Từ đây ta có: IK d BA ';B'C 2 . Vậy    2 . Bình luận:
Trong trường hợp ta không nhận ra được BA'  B' AC thì thế nào? Ta có thể làm theo cách 2 sau
đây, tuy nhiên Thầy khuyến khích các Em nên mạnh dạn suy nghĩ các phương pháp nhé. Cách 2:
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 39 K
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73 A C A' E K a 2 B a a 3 B' a 3 C' F
Gọi d là đường thẳng đi qua B và d // B’C; K là giao điểm giữa A' C'
d và B’C’. Ta có thể kiểm tra được B’ là trung điểm của KC’( các 30° a 3
Em kiểm tra thử nhé!). Khi đó B’C // BK  B’C // (BA’K) E B'
d BA';B'C  d B';BA'K . K
Kẻ B' E AK tại E và B' F BE tại F ( ta sẽ chứng minh được
B'F  BA'K Thầy để các Em chứng minh xem như bài tập nhỏ nhé!). Khi đó
B'F d B';BA'K . Xét tam BB’E vuông tại B’ có đường cao B’F suy ra: 1  1  1 2 2 2 B'F B'E BB' . A'B' 1
Ta có : cos KB ' A'   cos B ' A'C   
 sin KB' A'  6 B'C ' ; 3 3 2 AK  2 KB  2
' AB'  2AB'.KB'.cosKB'A'  a 6 .   1  1 ' . 'sin ' . ' '  B'E  a S B K AB KBA B E A BABK 2 2 . 3 1 1 1 3 1 a Suy ra      B'F  . 2 2 2 2 2 B'F B'E BB' a a 2 a
Vậy d BA'; B'C  2 .
III. Bài tập rèn luyện
Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng
đáy và SC hợp với đáy một góc 60 . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC.
Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt
phẳng (ABC) thuộc đoạn thẳng AB sao cho AB  3AH . Cạnh bên SC hợp với đáy một góc 60 .
a) Tính d H;SBC
b) Tính d H;SAC .
Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, AB = a. Hình chiếu vuông góc của
S trên mặt phẳng (ABC) là trọng tâm G của tam giác ABC. Mặt bên (SBC) hợp với đáy một góc 45 .
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 40
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73 a) Tính d  ; G SBC b) Tính d  ; G SAC.
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy.
Cạnh bên SC hợp với mặt phẳng đáy một góc 45 và SD  2a . a) Tính d  ;
A SBC . b) Tính d  ;
A SDC . c) Tính d  ;
A SBD . d) Tính d  ;
A SBM. M là trung điểm của DC.
Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A. Hình chiếu vuông góc của S trên
mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của AB. Cạnh bên SC hợp với đáy một góc 45 và SC a 2 .
a) Tính d H;SBC
b) Tính d H;SAC .
Bài 6. Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc đáy và SA =2a . Diện tích của tam giác
ABC gấp 2 lần diện tích của tam giác SBC. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC. AD
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang cân; AD // BC ; AB BC   a 2 ; cạnh bên
SA vuông góc đáy và SA a 3 .
a) Tính d A;SBC b) Tính d  ;
A SDC . c) Tính d  ; A SBD
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; tam giác SAB đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc đáy. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của cạnh AB và BC.
a) Tính d H;SBC
c) Tính d H;SDK  .
e) Tính d H;SAK  .
b) Tính d H;SDC .
d) Tính d H;SAC f) Tính d  ; A SAD
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành với AB  2AD  2a ; BAC  60 . Hình
chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của AB. Cạnh bên SC hợp với đáy một góc 45 .
a) Tính d H;SBC
b) Tính d H;SDC
Bài 10. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và I là tâm của đa giác đáy. Mặt bên hợp
với mặt đáy một góc 60 .
a) Tính d I;SAB
b) Tính d I;SBM  , M là trung điểm của AD.
Bài 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A; AB  2AC  2a . Hình chiếu vuông
góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là tâm H của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Biết SC hợp
với mặt phẳng(ABC) một góc 60 . Tính d H;SAB .
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 41
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
Bài 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm I; AB  ,
a BC a 3 .Tam giác SAI
cân tại S và mặt phẳng (SAD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết góc giữa SD và mặt phẳng (ABCD) bằng 60 . a) Tính d  ;
A SDC . b) Tính d  ;
B SAD . c) Tính d  ; C SAB
Bài 13. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A;mặt bên ABB’A’ là
hình vuông. Biết B 'C '  a 3 , góc giữa B’C và mặt phẳng A’B’C’ bằng 30 .
a) Tính d A'; AB'C ' .
b) Tính d B';C 'A  B  .
Bài 14. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’
trên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của cạnh AB, góc giữa A’C và mặt đáy bằng 60 . a) Tính d  ;
A A'BC . b) Tính d  ;
A BCC'B' .
Bài 15. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, góc giữa hai mặt phẳng
(A’BC) và (ABC) bằng 60 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và CC’.
a) Tính d M; AB'N . b) Tính d  ;
B AB'C' .
Bài 16. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’
trên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của cạnh AB, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 45 .
Gọi M là trung điểm của B’C’. a) Tính d  ;
A A'MC . b) Tính d  ;
A BCC'B' . a
Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SD  32 . Hình chiếu vuông góc của
S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của AB. Gọi K là trung điểm của AD.
a) Tính d S ; A BC .
c) Tính d CK;SB .
b) Tính d HK;SB .
d) Tính d S ; C BK .
Bài 18. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Gọi I là trung điểm của AB; hình
chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của CI và cạnh SA hợp với mặt phẳng (ABC) một góc 60
a) Tính d S ; A CI  .
b) Tính d S ; B AC .
Bài 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, ABC  60 , SD a 2 . Hình chiếu
vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn thẳng BD sao HD  3HB , gọi M là trung điểm của SD.
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 42
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
a) Tính d S ; B AD .
b) Tính d S ; B CM .
c) Tính d BM; AD .
Bài 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, AD  2AB  2BC  2a ,
hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của đoạn thẳng AB. Cạnh SC
tạo với đáy một góc bằng 60 .
a) Tính d S ; B AD .
c) Tính d S ; C AB .
b) Tính d H;SCD .
d) Tính d S ; D AB .
Bài 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật AD  2AB  2a . Mặt bên SAB là tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy. Gọi M là trung điểm của SA.
a) Tính d S ; B CD .
b) Tính d S ; D AC .
a) Tính d S ; B CM .
Bài 22. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên tạo với đáy một góc 60 .
a) Tính d S ; B AC .
b) Tính d CM;SA , với M là trung điểm của SB.
Bài 23. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A với BC  2 ;
a ABC  60 . Gọi M là
trung điểm của BC. Biết SA SC SM a 5 .
a) Tính d S ; C AB .
b) Tính d S ; A BC .
Bài 24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông; hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng
(ABCD) là trung điểm H của AB. Cạnh bên SC hợp với đáy một góc 60 và SD a 3 .
a) Tính d S ; C BD .
b) Tính d S ; B AD .
Bài 25. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông với AB BC  ; a AA'  a 2 .
Gọi M là trung điểm của BC.
a) Tính d AM;CB' .
b) Tính d B' ; C A' M .
Bài 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; hình chiếu vuông góc của S trên mặt
phẳng (ABCD) là trùng với trọng tâm H của tam giác ABD. Cạnh SB tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 60 .
a) Tính d S ; A CD .
b) Tính d S ; A BD .
Bài 27. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD.
Mặt phẳng (SBD) hợp với mặt đáy góc 60 . Gọi K là trung điểm của SC.
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 43
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
a) Tính d B ; D SC .
b) Tính d CK; AD .
Bài 28. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C, AB  3a . Hình chiếu vuông góc a
của S trên mặt phẳng (ABCD) là trọng tâm G của tam giác ABC. Cạnh SB  14 2 . a) Tính d  ;
B SAC .
b) Tính d S ; C AB .
Bài 29. Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Tính d S ; C AB .
Bài 30. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Gọi K là trung điểm của SC. a) Tính d  ;
B SAC .
c) Tính d S ; B AC .
b) Tính d K;SAB .
d) Tính d S ; A CD
---------------------------------------------------------------------------------------------------
Chương 3. THỂ TÍCH VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Trong chương này Thầy sẽ trình bày các dạng tính thể tích của khối chóp, khối lăng trụ. Các bài
toán liên quan có thể là khoảng cách, quan hệ vuông góc, quan hệ song song và xác định góc… Ta
biết rằng muốn tính được thể tích thì phải tính được độ dài đường cao và diện tích đa giác đáy. Mà
muốn tính được đường cao trước tiên phải xác định được chân đường cao. Trong phần này Thầy sẽ
phân dạng cách xác định chân đường cao và cách xác định góc giữa mặt phẳng với mặt phẳng và
giữa đường thẳng với mặt phẳng. Các Em có thể xem lại lý thuyết chương 1 để đối chiếu với các ví
dụ ở đây và làm bài tập rèn luyện. Các Em chú ý trong phần này Thầy sẽ ghép chung luôn thể tích
và các câu liên quan nhé! Để các Em có thể luyện tập lại các phần đã học chương 2 cũng như làm
quen với cách hỏi của đề thi.
I. Nhắc lại lý thuyết thường sữ dụng
1. Cách xác định góc giữa đường thẳng d và (P): d S
B1: Tìm A d  P .
B2. Lấy điểm S d (thường có sẳn), sau đó tìm H là hình chiếu vuông A góc của S trên (P). H
Suy ra AH là hình chiếu của d trên (P). P
Suy ra d;P  d; AH   SAH .
2. Góc giữa hai mặt phẳng a. Định nghĩa
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng cùng vuông góc giao
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 44
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
tuyến của hai mặt phẳng đó. S
b. Cách xác định góc giữa (P) và (Q) P
B1: Xác định d  P Q .
B2: Lấy điểm S thuộc (P), tìm H là hình chiếu vuông góc của S trên (Q).
B3: Từ H kẻ HA vuông góc d(A thuộc d). A H
Ta sẽ chứng minh được SA vuông góc với d. d Q
Suy ra  P;Q  S ;
A HA  SAH .
II. Phân dạng thể tích khối chóp
Các Em cần nhớ công thức tính thể tích khối chóp và công thức tính diện tích đáy nhé. Để ít tốn giấy
mực các Em xem lại công thức ở chương 1 nhé!
1. Khối chóp đã có chân đường cao
Khi bài toán đã có sẳn chân đường cao rồi thì nhiệm vụ còn lại của ta chỉ là tính đường cao và diện
tích đáy thay vào công thức thể tích là xong. Mà để tính được đường cao thường các Em sẽ phải xác
định góc giữa đường thẳng với mặt phẳng hoặc góc của mặt phẳng với mặt phẳng. Các ví dụ Thầy
sẽ cố gắng trình bài từ dễ nhất và tăng dần độ khó để các Em mới học dễ theo dõi. Tất nhiên nếu Em
nào đã vững rồi thì có thể bỏ qua các bài dễ, nhưng làm lại thì các tốt càng tốt Em nhé! a. Bài tập mẫu
Ví dụ 33. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) và SB hợp với đáy một góc bằng 30 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và
khoảng cách giữa hai SD và AB.
Phân tích:Khi đọc vào đề này thì Em phải nhớ ngay kết quả
BC  SAB;BD  SAC;CD  SAD . Để khi lúc sao có khi sữ dụng. Các kết quả này Em dễ
dạng chứng minh được. Bài toán này ta dễ dạng tính được diện tích đáy, phần còn lại là tính đường
cao SA thôi. Mà muốn tính được SA thì phải xác định được góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD). Ta
có B là giao điểm giữa SB và (ABCD) và SA   ABCD  S ;
B ABCD  SBA . Giải S
+ Tính VS.ABCD .
Ta có B SB  ABCD và SA   ABCDH  S ;
B ABCD  SBA . D Khi đó:  .tan30  a SA AB và S  2 a . a A 3 ABCD 30° 3 B 1 1 a a 3 C Vậy VS . A S  2 . .a S.ABCD 3 ABCD 3 . 3 9
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 45
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
+ Tính d A ; B SD.
Ta có AB // DC  AB // (SAD)  d A ;
B SD  d  ; A SAD. CD AD
Kẻ AH SD , ta chứng minh AH  SDC . Ta có   CD AH AH SD , do đó CD SA . Mà 
AH  SDC  AH d  ;
A SDC. Xét tam giác SAD vuông tại A, có đường cao AH suy ra: 1  1  1  3  1   a AH a
. Vậy d AB;SD   . 2 2 2 2 2 AH SA AD a a 2 2
Ví dụ 34. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, với AD = 2AB. Hình chiếu vuông góc
của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của AB. Biết SC hợp với đáy một góc 45 và SD a 2 .
Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).
Phân tích:Rõ ràng đề này muốn làm khó ta rôi cho góc giữa SC và đáy nhưng không cho cạnh nào
trong tam giác này. Vậy phải nghĩ xem SD có liên quan gì? Ak…!Không khó để ta thấy được
SHD  SHC SC SD a 2 . Vậy là được rồi nhé! Giải
Ta có SCH chính là góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) suy ra SCH  45 .
SHD  SHC SC SD a 2  SH HC S . C sin45  a S . A D K H E a 2 45° C B H E B C A a D 2 BC 2a a
Xét tam giác BHC vuông tại H có 2 BC  2 HB  2 HC  2 BC   2 a BC   AB  4 . 5 5 3 1 1 2a a 2a Vậy V  .SH.S  . . a .  S.ABCD 3 ABCD 3 . 5 5 30 + d  ;
A SCD .
Ta có AH // CD  AH // (SDC)  d  ;
A SDC  d H;SDC.
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 46
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
Gọi E là trung điểm của DC, kẻ HK SE HK d H;SCD .Xét tam giác SHE vuông tại H, có đườ 1 1 1 1 5 2a a ng cao HK suy ra:      HK
. Vậy d A SCD   2 ; . 2 2 2 2 2 HK SH HE a 4a 3 3
Ví dụ 35. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy
và mặt phẳng (SBC) hợp với mặt đáy một góc 60 .Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và
khoảng cách từ trung điểm N của AB đến mặt phẳng (SBC).
Phân tích: Bài này thì ta dễ dàng tính được diện tích đáy rồi. Phần còn lại là tính SA, vậy cần xác
định góc giữa (SBC) và (ABC). Nhớ là lại cách xác định góc giữa hai mặt phẳng, đầu tiên ta có
BC  SBCABC, tiếp theo kẻ AE BC tại E thì E là trung điểm của BC và SE BC . Khi
đó ta có SEA là góc giữa (SBC) và (ABC). Giải S C + Tính VS.ABC
Kẻ AE BC tại E thì E là trung điểm K E 2a
của BC; AE a 3 và SE BC . Khi A C A
đó ta có SEA là góc giữa (SBC) và 60° 60° M E M
B (ABC) suy ra SEA  60 . B
Ta có SA A . E tan60  a . 2 3 1 1 4a 3 a 3 Vây V  .S . A S  . aS.ABC  3 ABC 3 4 2 .
+ Tính d M;SBC .
d M;SBC MB 1 1 Ta có  d M SBC d A SBC d ;
A SBC     ;    ;  AB 2 2 .
Kẻ AK SE tại K, khi đó AK d  ;
A SBC . Ta có :
1  1  1  1  1  AK a 3 . 2 2 2 2 2 AK SA AE a 3a 2 1 a
Vậy d M;SBC  d  ;
A SBC  3 2 4 .
Ví dụ 36. (Trích đề THPT Quốc Gia -2015) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SA
vuông góc mặt phẳng(ABCD), góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 45 . Tính theo a
thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB,AC. Giải
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 47
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
+ Tính VS.ABCD . Ta có: S ;
C ABCD  SCA  45 và ABCDlà hình vuông cạch a suy ra SA AC a 2 . 3  1 . .  1 2 . 2.  2a V SA S a a S.ABCD 3 ABCD 3 3 . A S D d a K E D 45° A a B C E B 45° C d
+ Tính d A ; C SB .
Kẻ đường thẳng d đi qua B và song song với AC. Kẻ AE d tại E, AK SE tại K. BE AE Ta có 
BE  SAE  BE AK AK SE , do đó BE SA . Mà 
AK  SBE  AK d  ;
A SBE .
Ta có AC // BE  AC // (SBE)  d A ;
C SB  d  ;
A SBE  AK . a
Xét tam giác ABE vuông tại E có AE A . B sin 45 
. Xét tam giác SAE vuông tại A, có đường 2 1 1 1 1 2 a 10 a cao AK suy ra:      AK
. Vậy d AC SB  10 ; . 2 2 2 2 2 AK SA AE 2a a 5 5 a
Ví dụ 37. (Trích KA -2014) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SD  32 ;hình chiếu
vuông góc của S trên (ABCD) là trung điểm của cạnh AB. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và
khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD). Giải S a B C M H E 3a 2 A D C B M H A a D
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 48
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
+ Tính VS.ABCD .
Gọi H là trung điểm của AB, ta có AH   ABCD . Tam giác ADH vuông tại A nên: 2 2 a 5a 2 HD  2 AD  2 AH  2 a   4 4 . 2 2 9a 5a
Tam giác SHD vuông H nên : SH  2 SD  2 HD    a 4 4 . 3 Khi đó :  1 . .  1 2 . .  a V SH S a a S.ABCD 3 ABCD 3 3 . + Tính d  ; A SBD. d  ;
A SBD AB Ta có  d A SBD d H SBD
d H;SBD   2   ;   2  ;  HB .
Kẻ HM BD tại M;kẻ HE SM  
1 tại E . Ta chứng minh HE  SBD . BD HM Ta có:
BD  SHM  BD HE 2 BD SH . a
Từ (1) và (2) suy ra HE  SBD  HE d H;SBD . Ta có HM HB  2 .sin 45 4 .
Tam giác SHM vuông tại H, có đường cao HE nên: 1  1  1   a HE a
. Vậy d A SBD  dH SBD  2 ; 2 ; . 2 2 2 HE HS HM 3 3
Ví dụ 38. (Trích KD -2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a; cạnh bên SA
vuông góc với đáy; BAD  120 ; M là trung điểm của cạnh BC và SMA  45 . Tính theo a thể
tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC). Giải S B M a a H 60° A C B A a 45° a M D C D
+ Tính VS.ABCD .
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 49
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73 2
BAD 120  BAC  60  ABC đề a 3 a 3 u  AM   S  2 ABCD 2 . SAM a
vuông tại A và SMA  45  SAM vuông cân tại A  SA AM  3 2 . 2 3 1
1 a 3 a 3 a Vậy: V  .S . A S  . .  S.ABCD 3 ABCD 3 2 2 4 . + Tính d  ; D SBC.
Ta có AD // BC  AD // (SBC)  d  ;
D SBC  d  ;
A SBC . BC AM
Kẻ AH SM   1 tại H , do 
BC  SAM  BC AH 2 BC SA .
Từ (1) và (2) suy ra AH  SBC  AH d  ;
A SBC . a 3 2 a 6 a
Ta có AH AM.sin 45  . 
d D SBC   6 ; 2 2 4 . Vậy   4 .
Ví dụ 39. (Trích KA -2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu
vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA  2HB . Góc giữa
SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách
giữa hai đường thẳng SA và BC. Giải
+ Tính VS.ABCD . 2a a S
Từ HA  2HB HA  ;HB  3 3 . Xét tam giác CHB, ta có 2 CH  2 HB  2 BC HB BCCH a 7 2 . .cos60 3 . K
Góc giữa SC và phẳng (ABC) chính là góc SCH , suy ra A 60° C E SCH  60 a
. Ta có: SH CH  21 .tan60 3 . d H B 2 3 Do đó:V  1 .SH.S  1 a 21 a 3 . .  a 7 C S.ABCD  3 ABC 3 3 4 12 . + Tính d S ; A BC. a
Kẻ đường thẳng d đi qua A và song song với BC. Kẻ HE d tại E, d 2a
HK SE tại K. A 3 60° a H B 3 E
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 50
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73 AE HE Ta có 
AE  SHE  AE HK HK SE , do đó AE SH . Mà 
HK  SAE  HK d H;SAE.
Ta có BC // AE  BC // (SAE)  d B ;
C SA  d  ;
B SAE .
Ta có đường thẳng đi qua điểm B và H cắt d tại A suy ra: d  ;
B SAE BA 3 3 Ta có  d B SAE d H SAE
d H;SAE     ;    ;  HA 2 2 . 2a 3 a 3
Xét tam giác AHE vuông tại E có HE AH.sin 60  .  3 2
3 . Xét tam giác SHE vuông tại 1 1 1 a 42
E, có đường cao HK suy ra:    HK  . 2 2 2 HK SH HE 12 3 a 42 Vậy d S ;
A BC  dH;SAE  2 8 .
Bài 40. (Trích KA -2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi M và N
lần lượt là trung điểm của AB và AD; H là giao điểm của CN và MD. Biết SH vuông góc mặt
phẳng (ABCD) và SH a 3 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.CDNM và khoảng cách giữa
hai đường thẳng MD và SC.
Phân tích: Các Em nên vẽ đa giác đáy ra, bài toán này Em sẽ phát hiện ra rằng ND MC , khi đó
ND  SCM và ND SCM  H , để tính d N ;
D SC , chỉ cần kẻ HK SC , thì HK là khoảng cách cần tính. Giải S A M D H a N K A M D B C H N B C
+ Tính VS.DCNM . 2 2 2 2 a a 5a Ta có: SSSSa    DCNM ABCD AMN BCM 8 4 8 .
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 51
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73 2 3 1 1 5a 5 3a Vậy: V  .SH.S  .a 3.  S.DCNM 3 DCNM 3 8 24 . + Tính d S ; C ND .
Ta có DAN  CDM ADN DCM ADN CMD DCM CMD  90  DN CM .
Kết hợp thêm DN SH DN  SCM . Kẻ HK SC , khi đó HK là đoạn thẳng vuông góc chung của
DN và SC  HK d S ; C ND. 2a
Xét tam giác DCM vuông tại D, có đường cao DH, ta có: CH.CM  2 CD CH  . 5 1 1 1 2a 3 Ta có :    HK  . 2 2 2 HK SH HC 19 a
Vậy d SC ND  2 3 ; . 19
b. Bài tập rèn luyện
Bài 31. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA vuông góc với mặt phẳng
(ABCD); SC hợp với mặt phẳng (SCD) một góc 60 .Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a và
khoảng cách từ trung điểm M của SB đến mặt phẳng (SCD).
Bài 32. Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân với AB=AC=a. Hình chiếu vuông góc
của S trên mặt phẳng (ABC) là hình trung điểm của BC. Mặt phẳng (SAB) hợp với mặt phẳng
(ABC) một góc 45 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC).
Bài 33. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SB vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) và mặt phẳng (SAC) hợp với mặt phẳng đáy một góc 45 . Tính theo a thể tích của khối
chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và AC.
Bài 34. (Trích KD -2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, ABC BAD  90 ; BA BC  ;
a AD  2a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và cạnh bên SA a 2 . Gọi H là hình
chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ
điểm H đến mặt phẳng (SDC).
Bài 35. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là là hình chữ nhật, SA  ; a AB  ;
a AC  2a ; SA
vuông góc mặt phẳng (ABCD). Gọi G là trọng tâm của tam giác SAC. Tính theo a thể tích của khối
chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCG).
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 52
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
Bài 36. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là là hình chữ nhật, AB  2 ;
a AD a ; K là hình
chiếu vuông góc của B lên đường chéo AC; các điểm H,M lần lượt là trung điểm của AK và DC.
Cạnh SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD); góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) bằng 45 . Tính
theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và MH.
Bài 37. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  ;
a AD  2a và
SA  ABCD . Gọi M là trung điểm của CD và SC hợp với mặt phẳng đáy một góc  sao cho   1 tan
.Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng 5 (SBM). a
Bài 38. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD  32 . Hình chiếu vuông
góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của đoạn thẳng AB. Gọi K là trung điểm của
AD. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng HK và SD.
Bài 39. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA   ABCD . Cạnh SC tạo
với mặt phẳng (SAB) một góc 30 . Goi E là trung điểm BC. Tính theo a thể tích của khối chóp
S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng DE và SC.
Bài 40. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh, a 3; BAD  120 . Cạnh SA
vuông góc với mặt phẳng (ABC) và mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 60 .
Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC. 2. Khối chóp đều
Trong đề thi nếu gặp khối chóp đều thì chỉ có thể là khối chóp tứ giác đều hoặc khối chóp tam giác
đều thôi. Các Em xem lại tính chất của hình chóp đều ở chương 1 nhé! a. Bài tập mẫu
Ví dụ 41. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và mặt bên hợp với đáy một
góc bằng 60 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC). Giải S C E G F A B A C 60° ThS. Trần Duy Thúc . S
G đt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 53 E B
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
+ Tính VS.ABC .
Gọi E là trung điểm của BC và G là trọng tâm của tam giác ABC. Do S.ABC là hình chóp đều nên SG  ABCa 3 a 3
. Tam giác ABC đều canh a nên AE BC và AE  ;GE  2 6 . Ta có SEG
chính là góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABC) nên SEG  60 và   a 3 .tan60 . 3  a SG GE 6 2 . 2 3 1 1 a a 3 a 3 Vậy V  .S . G S  . .  S.ABC  3 ABC 3 2 4 24 . + Tính d  ;
A SBC . d  ;
A SBC AE Ta có :  d A SBC d G SBC d ;
G SBC   3   ;   3  ;  GE .
Kẻ GK SE , khi đó GK d  ;
G SBC . Ta có:
1  1  1  1  4 12   a GK . 2 2 2 2 2 2 GK SG GE GK a a 4 2 3a Vậy d  ;
A SBC  3GK  4 .
Ví dụ 42. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Gọi M
là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và SB. Giải S C M G K d A A C B G E M B E d
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 54
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
+ Tính VS.ABC .
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Do S.ABC là hình chóp đều nên SG   ABC . Tam giác ABC đề a 3 a 3
u canh a nên AM BC và AM  ; AG  2
3 . Xét tam giác SAG vuông tại G, ta có: 2 SG SA AGa2 2 2  a 3       a 33 2   .  3  3 2 3 1
1 a 33 a 3 a 11 Vậy V  .S . G S  . .  S.ABC  3 ABC 3 3 4 12 .
+ Tính d AM;SB .
Kẻ đường thẳng d đi qua B và song song với AM. Kẻ GE d tại E, GK SE tại K. BE GE Ta có 
BE  SGE  BE GK GK SE , do đó BE SG . Mà 
GK  SBE  GK d  ; G SBE. a
Ta có AM // BE  AM // (SBE)  d AM;SB  d  ;
G SBE . Ta có GE MB  2 và
1  1  1  1  3  4  GK a 517 a
.Vậy d AM SB  517 ; . 2 2 2 2 2 2 GK SG GE GK 11a a 47 47
Ví dụ 43. (Trích KB -2012) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA  2 ;
a AB a. Gọi H là hình
chiếu vuông góc của SA trên cạnh SC. Chứng minh SC vuông góc mặt phẳng (ABH). Tính thể tích của khối chóp S.ABH theo a.
Phân tích:Trong bài này để tính VS.ABH ta có thể tính trực tiếp, tuy nhiên ở đây Thầy đưa ra một
hướng khác cho các Em đó là sữ dụng tỷ số thể tích. Tỷ số thể tích sẽ được tìm hiểu kỉ hơn ở phần sau. Giải S C H A C 60° A I B I G
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 55 B
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
+ Chứng minh SC   ABH  .
Gọi I là trung điểm của AB; G là trọng tâm của ABC . a 3 a 3
Ta có SG   ABC vàCI A ; B CI  ;GC  2 3 . AB CI Ta có : 
AB  SCI   AB SC
AH SC SC ABH . AB SG , thêm nữa là  
+ Tính VS.ABH . VS ABH SH 2 2 a 33 Ta có .  SG SC GC V
SC . Do SGC vuông tai G, nên    3 . S.ABC
Đặt SH x,x  0  HC  2a x . Khi đó ta có phương trình: 2 3 V  1 .S . G S  1 a 33 a 3 . .  a 11 S.ABC  3 ABC 3 3 4 12 .
Đặt SH x,x  0  HC  2a x . Khi đó ta có phương trình:          2 2 2 2 2 2 2 2   7a   7 4 2 a SA SH AC HC a x a a x x SH 4 4 . V 3 3 S.ABH SH 7a 7a 7 7 a 11 7a 11 Vậy   : 2a   V  .V  .  S.ABH S. V SC 4 8 8 ABC 8 12 96 . S.ABC 3a
Ví dụ 44. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2 . Gọi
M,K lần lượt là trung điểm của BC và SD. Tính theo a thể tích của khôi chóp S.ABCD và
khoảng cách giữa hai đường thẳng MK và SB. Giải S N A D K H a E I N D E A I B C M B M C
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 56
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
+ Tính VS.ABCD . a
Gọi I là tâm của hình vuông. Do S.ABCD là hình chóp đều nên SI   ABCD và AI  2 2 .  a 2  a 2 2 2 3 2 a
Xét tam giác SAI vuông tại I, có SI SA AI        .  2   2  2 3 1 1 a 2 a Vậy V  .SI.S  . .a S.ABCD 3 ABCD 3 2 6 .
+ Tính d MK;SB .
Gọi N là trung điểm của AD, khi đó NK // SA và MN // AB suy ra:
MKN SAB  dMK;SB  dI;SAB. IE AB
Kẻ IE AB tại E, IH SE tại H.Ta có 
AB  SIE  AB IHSI AB .
Mà IH SE , do đó IH  SAB  IH d I;SAB . Ta có:
1  1  1  1  4  4  IH a 2 a
.Vậy d MK SB   2 ; . 2 2 2 2 2 2 IH SI IE IH a a 4 4
Ví dụ 45. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên hợp với đáy một
góc 60 . Gọi K là trung điểm của SD. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và cosin của
góc hợp bởi hai đường thẳng CK và SB. Giải S A D K a I a 2 2 60° D A B C a I B C
+ Tính VS.ABCD . a
Gọi I là giao điểm của AC và BD. Do S.ABCD là hình chóp đều nên SI   ABCD và ID  2 2 .
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 57
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
Ta có SDI là góc giữa SD và mặt phẳng (ABCD)  SDI  60 . a 2 a 6
Xét tam giác SID vuông tại I, ta có: SI I . D tan60  . 3  2 2 . 3 1 1 a 6 2 a 6 Vậy V  .SI.S  . .a S.ABCD 3 ABCD 3 2 6 .
+ Tính cosCK;SB . IC BD
Ta có IK // SB  CK;SB  CK;KI   CIK . Ta có 
IC  SBD  IC IKIC SI hay
tam giác IKC vuông tại I. Xét tam giác SID vuông tại I, ta có: SD  2 SI  2 CD aIK a 2 2 2 . a 2 Do IC IK   CIK CIK 2 vuông cân tại I    2 cos cos45 2 . Vậy CK SB  2 cos ; 2 .
Ví dụ 46. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có I là tâm của đa giác đáy và cạnh đáy bằng a .
Mặt bên hợp với đáy một góc 60 . Gọi E là trung điểm của SB. Chứng minh IE vuông góc với
SC và tính theo a thể tích của khối chóp S.EICB. Giải
+ Chứng minh SE CD . CD IE
Do S.ABCD là hình chóp đều nên SI   ABCD . Ta có 
CD  SEI   CD SECD SI .
+ Tính VS.EICB . S a A D E I D B C E A 60° I B C
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 58
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
Ta có SEI là góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (ABCD)  SEI  60 và SI IEaa 3 .tan60 . 3 2 2 . 1 3 3 1 1 a 3 3 2 a 3 Diện tích SEB IE BC a V .SI.S . . a EICB     2 2 8 . Vậy    S.ABCD 3 EICB 3 2 8 16 .
b. Bài tập rèn luyện
Bài 41. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên hợp với đáy một góc
45 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
Bài 42. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên SA a 3 và SA hợp với đáy một góc 60 .
Gọi K là trung điểm của SB.Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và cosin của góc hợp bởi hai đường thẳng CK và SA.
Bài 43. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và mặt bên hợp với mặt đáy một
góc 45 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên cạnh SB. Chứng minh rằng SB vuông góc với
mặt phẳng (AHC) và tính theo a thể tích của khối chóp S.AHC.
Bài 44. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và mặt bên hợp với mặt đáy một
góc 45 . Gọi K là trung điểm của SD. Tính theo a thể tích của khối chóp S.AKC và khoảng cách
giữa hai đường thẳng BK và CD.
Bài 45. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên a và cạnh bên hợp với mặt đáy một góc
45 .Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và cosin của góc hợp bởi SC và mặt phẳng (SAD).
Bài 46. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên a và mặt bên hợp với mặt đáy một góc 45
.Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và cosin của góc hợp bởi SC và mặt phẳng (SAD).
Bài 47. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên 2a và mặt bên hợp với mặt đáy một góc
60 . Gọi M,K lần lượt là trung điểm của SD và BC.Tính theo a thể tích của khối chóp K.AMCD.
Bài 48. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên SD = 2a và tam giác SAC đều. Tính theo a
thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
3. Khối chóp cần phải xác định chân đường cao
Bài toán hình không gian thì việc rất quan trọng là phải xác định được chân đường cao khối chóp
hay khối lăng trụ. Ở hai dạng vừa trình bày thì xem như đã có sẳn chân đường cao hoặc việc xác
định chân đường cao của khối chóp là dễ dàng đối với khối chóp đều. Trong mục này ta sẽ tìm hiểu
một số cách xác định chân đường cao. Nhắc lại hai dạng thường gặp:
Dạng 1. Hình chóp có mặt bên vuông góc đáy
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 59
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
Đường cao của hình chóp là đường cao của mặt bên chứa trong mặt phẳng vuông góc đáy.
Ví dụ:Cho hình chóp S.ABCD có mặt bên SAB vuông góc đáy. Ta kẻ SH vuông góc AB thì SH là
đường cao của hình chóp.
Dạng 2. Hình chóp có hai mặt bên vuông góc đáy
Đường cao của hình chóp là giao tuyến của hai mặt bên. a. Bài tập mẫu
Ví dụ 47 (Trích THPT Trần Phú 2016). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a;I là
trung điểm của AB; H là giao điểm giữa BD và CI. Các mặt bên (SCI) và (SBD) cùng vuông góc với
đáy. Góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (ABCD) bằng 60 .Tính theo a thể tích của khối chóp
S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CI. Giải S M C D E N K H F A D K A I L B I N L E M H B C
+ Tính VS.ABCD .
Ta có SH là giao tuyến của hai mặt phẳng (SCI) và (SBD), mà hai mặt phẳng (SCI) và (SBD) cùng
vuông góc mặt phẳng (ABCD) suy ra SH   ABCD . Kẻ HL AB tại L, khi đó SLH là góc giữa
hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) suy ra SLH  60 . HI IB 1 HL HI 1 a a Ta có    
  HL   SH HL.tan60  3 HC CD 2 BC IC 3 3 3 . 3 1 1 a 3 2 a 3 Vậy V  .SH.S  . .a S.ABCD 3 ABCD 3 3 9 . + Tính d S ; A CI  .
Gọi M là trung điểm của DC, khi đó tứ giác AICM là hình bình hành suy ra CI // AM  CI //
(SAM)  d S ;
A CI   d H;SAM . Gọi N là giao điểm của DC và AM; K và E lần lượt là hình
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 60
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
chiếu vuông góc của H và D trên AM. Do M là trung điểm của DC và MN // CI suy ra N là trung điể 1 1 1 1
m của DH. Từ đây ta có được HK DE     HF SK 2 2 2 2 HK DE DA MD . Kẻ  tại F ( ta
sẽ chứng minh được HF  SAM Thầy để các Em chứng minh xem như bài tập nhỏ nhé!). Khi đó
HF d H;SAM . Ta có:
1  1  1  1  1  1  3  1  4  HF a 2 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 HF SH HK SH DA MD a a a 4 a
Vậy d SA CI   d H SAM   2 ; ; 4 .
Ví dụ 48. (Trích KB -2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; mặt bên
SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp
S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD). Giải + Tính V S S.ABCD .
Gọi H là trung điểm của AB, do tam giác SAB đều a
cạnh a nên ta có SH AB và SH  3 K 2 . D A
Mà SAB   ABCD và SAB  ABCD  AB ,do E
đó SH   ABC . H B a 3 C 1 1 a 3 3a Vậy: V  .SH.S  2 . .a S.ABCD 3 ABCD 3 2 6 .
+ Tính d A;SDC . Do AB // DC d  ;
A SDC  d H;SDC. Gọi E là trung điểm của DC, kẻ HK SE tại K, khi đó
d H;SDC  HK 1 1 1 a 21 a . Ta có    HK  .Vậy d  SDC  21 A; . 2 2 2 HK SH HE 7 7
Ví dụ 49. (Trích KD -2014) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A; mặt bên
SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc đáy. Tính theo a thể tích của khối
chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA; BC.
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 61
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73 Giải S C K a H B A H A B C
+ Tính VS.ABCD .
Gọi H là trung điểm của BC, do tam giác SBC đều nên ta có SH BC . Mà SBC   ABC , do đó
SH  ABC.Tam giác SBC đề a u cạnh a nên SH  3 2 . a
Tam giác ABC vuông cân tại A và BC=a,ta tính được AB AC  2 2 . 3 Khi đó: V  1 .SH.S
 1 a 3 1 a 2 a 2 . . .  a 3 S.ABCD  3 ABC 3 2 2 2 2 24 . + Tính d S ; A BC. SH BC
Kẻ HK SA  1 tại K. Ta có 
BC  SAH  BC HK 2 AH BC . Từ (1) và (2) suy ra
HK d S ; A BC 1 1 1 a 3 . Ta có    HK  . 2 2 2 HK SH HA 4 a
Vậy d SA BC  3 ; 4 .
Ví dụ 50 (Trích TTLT Diệu Hiền 2015). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a 3 ;
mặt bên (SAD) là tam giác vuông và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy; cạnh bên SC hợp với mặt
phẳng (SAD) một góc 60 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABCD). Giải + Tính V SH ABCD
S.ABCD . Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên cạnh AD, khi đó   .
Ta có DC AD DC SH DC  SAD  DSC là góc giữa cạnh SC và mặt phẳng (SAD). CD
Xét tam giác SCD vuông tại D, có SH SD   a tan60 .
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 62
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73 2 2
Mặt khác xét tam giác SAD vuông tại S có SA
AD SD a 2 . a 3 1 1 a 6 2 a 6
Ta có SH AD SA AD SH  6 . . V .SH.S . .3a 3 . Vậy    S.ABCD 3 ABCD 3 3 3 .
+ Tính SAC; ABCD .
Kẻ HE AC  
1 , mà SH AC AC  SHE  AC SE2 . Từ (1) và (2) suy ra SEH là góc
giữa hai mặt phẳng hai mặt phẳng (SAC) và (ABCD). S a 3 B A E H I B A E H D I C D a 3 C a Ta có HE HA  6 .cos45 3 . SH
Xét tam giác SHE vuông tại H có tan SEH   1 SEH  45 HE .
Vậy SAC ;ABCD   45 .
Ví dụ 51. (Trích Chuyên Hạ Long -2015) Cho hình chóp S.ABC có các mặt ABC và SBC là tam giác
đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) nằm trong tam giác (ABC). Góc giữa
mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60 . Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a và khoảng cách từ
điểm B đến mặt phẳng (SAC). Giải
+ Tính VS.ABC . BC SM
Gọi M là trung điểm của BC; do các tam giác ABC và SBC đều nên 
BC  SAM BC AM .
Ta có SMA là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABC)  SMA  60 . S
Thêm vào đó là ABC  SBC AM SM  SAM đều và có cạnh a 3 2 3 3a bằng S  2 và SAM 16 . A ThS. Trần Duy Thúc . Sđt
C : 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 63 60° M B
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73 + Tính d  ; B SAC.
a a a 3 2 a 39 2 Ta có S
p p SA p AC p SC p  SAC     16 , trong đó. 2 3VS ABC 3a 13 Vậy d  ;
B SAC  .  S 13 . SAC
Ví dụ 52. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tam I và cạnh đáy bằng a ; mặt bên SAD là
tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy. Điểm M thuộc SB sao cho SB  3MB . E là
trung điểm của CI.Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và chứng minh đường thẳng BE vuông
góc với đường thẳng AM. Giải S B A F I M H J B A E K D I F C H D E K C
+ Tính VS.ABCD . a
Gọi H là trung điểm của AD ta có SH   ABCD và SH  3 2 . 3 1 1 a 3 2 a 3 Vậy VSH.S  . .a S.ABCD 3 ABCD 3 2 6 .
+ Chứng minh BE AM .
Gọi d là đường thẳng đi qua M ; d song song với SC và cắt BC tại F  BF  1 BC 3 . KC IC 1 1 1
Gọi K là giao điểm giữa HE và BC, ta có 
  KC AH BC HA IA 3 3 6 . 1 1 1 1
Từ đây KC FB
BC BC BC KF BC AH 3 6 2 2
. Suy ra tứ giác AHKF là hình bình
hành suy ra HK//AF, mà MF//SC suy ra (MAF) // (SHE) (1).
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 64
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
Gọi J là trung điểm của BC ta có AHJB là hình chữ nhật nên nội tiếp đường tròn (C) với các đường
kính là AJ và BH. JE là đương trung bình của tam giác JCI suy ra JE vuông góc với AC suy ra E
thuộc đường tròn (C) suy ra BE HE . Mà BE SH , do đó BE  SHE2 .
Từ (1) và (2) suy ra BE  MFA  BE MA .
Ví dụ 53(Trích KA-2009). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D;
AB AD  2 ;
a CD  2a ; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60 . Gọi I là trung điểm
của AD, các mặt phẳng (SCI) và (SBI) cùng vuông góc mặt phẳng (ABCD). Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD. Giải S a M A B a M A B I I a K 60° K D C D C
Hai mặt phẳng (SCI) và (SBI) cùng vuông góc mặt phẳng (ABCD), suy ra SI   ABCD . SI BC
Kẻ IK BC   1 tại K, khi đó 
BC  SIK  BC SK 2 BC IK
. Từ (1) và (2) suy ra SKI
là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) suy ra SKI  60 . Gọi M là trung điểm của AB, ta có 2 2
ADCM là hình chữa nhật  BC CM MB a 5 . Ta có 2  1 . . a S AD AB CD a S a S ABCD     2 3 ;  2;  . ABI  2 CDI 2 2 3a 2 1 S BCI 3 5a Suy ra SSSSS
CK.BC CK   BCI ABCDABICDI 2 . Mà  BCI 2 BC 5 . a
Xét tam giác SIK vuông tại I có SI IK  3 15 .tan60 5 . 3 1 1 3 15a 2 3a 15 Vậy VSI.S  . .3a S.ABCD 3 ABCD 3 5 5 .
Ví dụ 54(Trích KD-2007).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang có DAB ABC  90 , BA BC  ,
a AD  2a . Cạnh
bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA a 2 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên
SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD).
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 65
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73 Giải S I A D a H K a I A D B C B C F F
+ Chứng minh tam giác SCD vuông. 1
Gọi I là trung điểm của AD, ta có ABCI là hình vuông  CI AB AD  ADC 2 vuông tại C
hay AC DC và AC a 2 . Mà CD SA CD  SAC  CD SC . Vậy tam giác SCD vuông tại C.
+ Tính d H;SCD 2 2
Xét tam giác SAB vuông tai A có SB SA AB a 3 và 2 2  2 
SA  2a  2 . a SH SB SA SH SB . Ta có a 3 3
d H;SDC SH 2 2  d H SDC d B SDC d ;
B SCD     ;    ;  SB 3 3 .
Gọi F là giao điểm của AB và CD suy ra d  ;
B SDC BF BC 1 1  d B SDC d A SDC d ;
A SCD      ;    ;  AF AD 2 2 .
Từ các đều trên suy ra d H SDC  1 ; d  ; A SDC 3 . 1 1 1 1 1
Kẻ AK SC tại K. Khi đó: AK d A;SDC .Ta có:      AK a . 2 2 2 2 2 AK AS AC 2a 2a 1 a
Vậy d H;SDC  d  ;
A SDC  3 3 .
b. Bài tập rèn luyện
Bài 49. (Trích KD -2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B; BA  3 ; a BC4a ;
mặt phẳng (SBC) vuông góc mặt phẳng (ABC). Biết SB  2a 3 và SBC  30 . Tính thể tích của
khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.
Bài 50. (Trích KB -2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a; SA  ,
a SB  a 3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 66
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
của AB và BC. Tính thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc hợp bởi hai đường thẳng SM và DN.
Bài 51. (Trích KA -2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; mặt bên (SAD) là
tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các
cạnh SB,BC, CD. Chứng minh rằng AM vuông góc với BP và tính theo a thể tích của khối tứ diện CMNP.
Bài 52. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a; SAB là tam giác cân tại S và nằm trong
mặt phẳng vuông góc đáy. Cạnh bên SC hợp với đáy một góc 60 . Tính theo a thể tích của khối
chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
Bài 53. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân, AB AC a .Các mặt phẳng (SAC)
và (SBC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Cạnh bên SB hợp với đáy một góc 60 . Tính theo
a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC.
Bài 54. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh A, mặt bên SAB là tam giác vuông cân
tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng
cách giữa hai đường thẳng SB và AC.
Bài 55. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật;tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc đáy. Biết SD  2a 3 và cạnh bên SC hợp với đáy một góc 30 . Tính theo a
thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC).
Bài 56. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông;tam giác SAB là tam giác cân tại S và nằm
trong mặt phẳng vuông góc đáy. Biết SD  2a 5 và cạnh bên SC hợp với đáy một góc 60 . Gọi M
là trung điểm của AB. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và MD.
Bài 57. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B; AB BC  ;
a AD  2a ; các
mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết góc giữa hai mặt phẳng
(SAB) và (ABCD) bằng 60 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và SB.
Bài 58. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Điểm H thuộc được thẳng AB sao cho
BH  2AH ,tam giác SAB vuông tại S. Gọi I là giao điểm giữa HC và BD. Biết hai mặt phẳng
(SCH) và (SDH) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính theo a thể tích của khối chóp
S.ABCD và khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (SCD).
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 67
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
Bài 59. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, SA  ,
a SB a 3 , mặt phẳng (SAB)
vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M là trung điểm của, N là điểm thuộc BC S
sao cho 3BN  2BC . C' A'
Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN. B' A
4. Tỷ số thể tích của khối chóp. C a. Lý thuyết B
Cho khối chóp S.ABC, giả sử mặt phẳng (P) cắt các cạnh SA, SB, SC của khối chóp lần lượt tại A’,B’C’. Khi đó
VS.A'B'C'  SA' SB' SC' . . V SA SB SC . S.ABC Đặc biệt S
Cho điểm M thuộc đoạn thẳng SC của khối chóp S.ABC. Khi đó: M
VS.ABM SM V SC C S.ABC A b. Bài tập mẫu B
Ví dụ 55. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A; mặt bên SBC là tam giác
đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc đáy. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAC, mặt
phẳng (P) qua G song song AC và cắt SA,AC lần lượt tại M và N. Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMN.
Phân tích: Trong trường hợp này việc tính thể tích của khối chóp S.ABC là đơn giản nên ta nghĩ
đến lập tỷ số hai thể tích khối chóp để chuyển bài toán về tính VS.ABC . Cần nhớ lại cách dựng mặt
phẳng (P). Mặt phẳng (P) qua G và song song với AC nên MN // AC. Từ đây ta có
SM SN SG  2 SA SC SI
3 với I là trung điểm của AC. Giải S
Gọi H là trung điểm của BC, do tam giác SBC đều nên ta có
SH BC . MàSBC  ABC, do đó SH  ABC .Tam giác M SBC đề a u cạnh a nên SH  3
2 . Mặt phẳng (P) qua G và song G B N A SM SN SG
song với AC nên MN // AC. Từ đây ta có    2 SA SC SI 3 H I C
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 68
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
với I là trung điểm của AC. VS.BMN SN SM 4 4 Ta có  .   VV S.BMN S. V SC SA 9 9 BAC . S.BAC a
Tam giác ABC vuông cân tại A và BC=a,ta tính được AB AC  2 2 . 3 Khi đó: V  1 .SH.S
 1 a 3 1 a 2 a 2 . . .  a 3 S.ABCD  3 ABC 3 2 2 2 2 24 . Vậy 3 3 V  4 V  4 a 3 .  a 3 S.BMN S. 9 BAC 9 24 54 .
Ví dụ 56. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; mặt bên SAB là tam giác đều
và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy. Gọi M là trung điểm của SD, mặt phẳng (P) chứa CM
và song song với BD cắt SB tại N. Tính theo a thể tích của khối chóp S.CMN.
Phân tích:Phải nắm được cách dựng mặt phẳng (P). Do (P) song song với BD và cắt SB tại N suy ra
N là trung điểm của SB (M là trung điểm của SD). Việc tínhV V
S.CMN ta sẽ chuyên về tính S.BCD . a C Giải
Gọi H là trung điểm của AB, do tam giác SAB đều cạnh a nên ta có S SH AB a và SH  3 2 . M
Mà SAB   ABCD và SAB  ABCD  AB ,do đó N D A
SH  ABC. Do (P) song song với BD và cắt SB tại N suy ra N là
trung điểm của SB (M là trung điểm của SD). H B a C VS.CMN SM SN 1 1 Ta có  .   VV S.CMN S. V SD SB 4 4 CDB . S.CDB 2 3 1 1 a 3 a 3a Vậy: V  .SH.S  . .  S.CDB  3 BCD 3 2 2 12 . 3 3 1 1 3a 3a Vậy VV  .  S.CMN S. 4 CDB 4 12 48 .
Ví dụ 57. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) và SA a 2 . Gọi E , F lần lượt là hình chiếu của A trên các cạnh SB, SD; mặt phẳng (AEF) cắt SC tại K.
a) Chứng minh SC   AEKF .
b) Tính theo a thể tích của khối chóp S.AEKF.
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 69
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73 Giải S
a) Chứng minh SC   AEKF .
Gọi I là tâm của hình vuông, M là giao điểm giữa SI và EF; khi đó K K F
là giao điểm giữa AM và SC. M E Ta có BC D
SAB  BC AE , mà a A I
AE SB AE B
SBC AE SC S ;
B ABCD  SBA . C
Tương tự ta có SC AF , do đó SC   AEKF.
b)Tính VS.AEKF
Do SAB  SAD AE AF VVV  2V S.AEK S.AFK S.AEKF S.AEK .
Ta có SC   AEKF  SC AK , mà tam giác SAC vuông tại C và SA SC a 2 suy ra K là V 2 trung điể S.AEK SE SK SE SA 2 SK m của SC.Ta có  . V SB SC và   và  1 . 2 SB SB 3 SC 2 S.ABC 2 3 1 1 a 2a Mặt khác V  .S . A S  .a 2.  S.ABC  3 ABC 3 2 6 . V 3 3 S AEK SE SK 2 1 1 1 2a 2a Suy ra .  .  .   VVV 2V S.AEK S. V SB SC 3 2 3 3 ABC 18 . Vậy   S.AEKF S.AEK 9 . S.ABC
c. Bài tập rèn luyện
Bài 60. Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a; H là hình chiếu vuông
góc của A trên SC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABH.
Bài 61. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. M là trung điểm của SB;
mặt phẳng (MCD) cắt SA tại N. Tính theo a thể tích của khối chóp S.MNDC.
Bài 62. Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy
và tam giác SAB cân. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SC và SD. Tính theo a thể tích của khối chóp S.AMN.
Bài 63. Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy là tam giác vuông cân tại A, AB = a ; mặt bên SBC là
tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy. Gọi G là trong tâm của tam giác SAB; mặt
phẳng B qua G song song AB và cắt SA, SB lần lượt tại M và N. Tính theo a thể tích của khối chóp S.CMN.
Bài 64. Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng
(ABC). Mặt phẳng (SBC) hợp với mặt đáy một góc 60 . Gọi M là hình chiếu vuông góc của A trên
SC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ACM.
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 70
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
Bài 65. Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của SB và SD. Mặt phẳng (AMN) cắt SC tại K. Tính theo a thể tích của khối chóp S.AMKN.
Bài 66. Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy là hình vuông cạnh bằng a, cạnh bên SA vuông góc với
mặt phẳng đáy và SC hợp với đáy một góc 45 . Gọi K là hình chiếu của A trên SC. Mặt phẳng (P)
chứa AK và song song với BD cắt SB, SC lần lượt tại M và N. Tính theo a thể tích của khối chóp S.AMKN.
Bài 67. Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy là tam giác vuông cân tại B, AB = 3a , BC = 4a. Cạnh
SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Mặt phẳng (P) đi qua A vuông góc SC và (P) cắt SC, SB lần lượt tại M,N.
a) Chứng minh AM  SBC .
b) Tính theo a thể tích của khối chóp S.AMN.
III. Thể tích khối lăng trụ
Thầy nghĩ rằng nếu các Em đã nắm vững những phần đã trình bày trước đó thì lăng trụ xem như nhẹ
rồi. Chắc ta sẽ không phân các dạng nữa, mà sẽ tìm hiểu trực tiếp qua các ví dụ nhé. Nếu quên công
thức tính thể tích các Em có thể xem lại chương 1 nhe! a. Bài tập mẫu
Ví dụ 58.(Trích đề THPT Quốc Gia -2016) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác
vuông cân tại B; AC= 2a. Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của
cạnh AC; đường thẳng A’B tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 45 . Tính theo a thể tích của khối
lăng trụ ABC.A’B’C’ và chứng minhg A’B vuông góc B’C. Giải B' A'
+ Tính VABC.A'B'C' .
Gọi H là trung điểm của AC, ta có A' H   ABC và K C'
A'BH  45 . Tam giác ABC vuông cân tại B và AC=2a
nên ta tính được: BH a và AB BC a 2 . Suy ra: 45 A B S
 1 a 2.a 2  2 aABC 2
. Tam giác A’HB vuông tại H H
và A'BH  45 có nên tam giác A’HB vuông cân tại H. C
Suy ra A' H BH a . Do đó : VA'H.S  2 . a a  3 a
ABC.A'B'C' ABC .
+ Chứng minh B'C AB' .
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 71
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
Gọi K là giao điểm giữa AB và A’B’ thì K là trung điểm của A’B’ và AB (vì ABB’A’ là hình bình
hành). Mặt khác do tam giác A’HB vuông cân tại H suy ra HK AB ' 
1 . Mà HK là đường trung
bình của tam giác B’AC nên HK // B’C (2). Từ (1) và (2) suy ra B'C AB' .
Ví dụ 59.(Trích KB -2014) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình
chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB; đường thẳng A’C tạo với
mặt phẳng (ABC) một góc 60 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách
từ điểm B đến (ACC’A’). Giải C' A' C B' E F B H A E 60 A C H B
+ Tính VABC.A'B'C' .
Gọi H là trung điểm của AC, ta có A' H   ABC và A'BH  60 . Tam giácABC đều cạnh a và H 2 là trung điể a a 3 m của AB nên CH  3 S
. Tam giác A’HC vuông H nên 2 và ABC 4   3 ' .tan60 a A H CH 2 . 2 3 Do đó :   3a a 3  3 3 ' . . a V A H S
ABC.A'B'C' ABC 2 4 8 . a) Tính d  ;
B ACC' A'. d  ;
B SAC BA Ta có:  d B SAC d H SAC
d H;SAC   2   ;   2  ;  HA .
Kẻ HE AC tại E và HF SE tại F . Khi đó HF d H;SAC . a 3 a 3
Ta có : HE H . A sin60  . 
. Tam giác A’HE vuông tại E, có đườ 2 2 4 ng cao HF suy ra:
1  1  1  1  4  16  HF  3a 13 . 2 2 2 2 2 2 HF A'H HE HF 9a 3a 26 a
Vậy d B SAC  HF  3 13 ; 2 13 .
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 72
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
Ví dụ 60.(Trích KD -2012) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông;tam giác
A’AC và A’C=a. Tính theo a thể tích của khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’). Giải A' D'
+ Tính VABB'C' . C' B'
Tam giác A’AC vuông cân tạ a
i A và A C a AA   2 ' ' AC 2 . Do đó H D   a AB AD A 2 . B 3 C Khi đó: V  1 A . B S  1 a 1 a 2 . . . . a a 2 ABB'C' BB'C' 3 3 2 2 2 2 48 . + Tính d  ;
A BCD' . Do AD // BC  d  ;
A BCD'  d  ;
D BCD' . BC CD
Kẻ DH CD '  1 tại H. Ta có 
BC  DCC'D'  BC DH 2 . BC DD'
Từ (1) và (2) suy ra DH  BCD'  DH   ;
D BCD'. 1 1 1 1 2 4 a 6 a Ta có       DH
. Vậy d A BCD   6 ; ' . 2 2 2 2 2 2 DH D'D DC DH a a 6 6
b. Bài tập rèn luyện
Bài 68. (Trích KB -2011) Cho hình lăng trụ ABC .
D A B C D có đáy ABCD là hình chữ 1 1 1 1 nhật; AB  ;
a AD a 3 . Hình chiếu vuông góc của A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của
AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng  ADD A và mặt phẳng (ABCD) bằng 60 . Tính theo a thể 1 1 
tích của khối lăng trụ ABC . D A B C D B đế A BD
1 1 1 1 và khoảng cách từ điểm 1 n mặt phẳng  . 1 
Bài 69. (Trích KB -2009) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB '  a ;góc giữa BB’ và
mặt phẳng (ABC) ; tam giác ABC vuông tại C và BAC  60 . Hình chiếu của B’ trên mặt phẳng
(ABC) trùng vói trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích của khối tứ diện A’ABC theo a.
Bài 70. (Trích KD -2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác ABC vuông tại B; AB  , a AA'  2 ,
a A'C  3a . Gọi M là trung điểm của A’C’; I là giao điểm của AM và A’C. Tính
theo a thể tích của khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC).
Bài 71. (Trích KA -2008) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy tam
giác ABC vuông tại A; AB  ,
a AC a 3 và hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 73
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
trung điểm của BC. Tính theo a thể tích của khối chóp A’.ABC và tính cosin của góc hợp bởi hai
đường thẳng AA’ và B’C’.
Bài 72. (Trích KD -2008) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác ABC vuông;
AB BC a ,cạnh bên AA'  a 2 . Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích của khối lăng
trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C.
Bài 73. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác ABC vuông tại A, AB=2a, AC=a,
AA’=3a. Tính thể tích của khối lăng trụ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB’ và BC.
Bài 74. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB  ; a BC  2 ;
a ACB 120 . Đường thẳng A’C
tạo với mặt phẳng (ABB’A’) một góc 30 . Gọi M là trung điểm của BB’. Tính theo a thể tích của
khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và CC’.
Bài 75. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông với AB AC a .
Mặt phẳng (A’BC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 45 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ
ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và B’C’.
Bài 76. Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và
(ABC) bằng 60 . Gọi M là trung điểm của BC và N là trung điểm của CC’. Tính theo a thể tích của
khối chóp A.BB’C’C và khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (AB’N).
Bài 77. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tam giác đều, tam giác A’AC vuông cân và A’C=a.
Tính theo a thể tích của khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A’BC).
IV. Bài tập tổng hợp
Bài 78. Cho hình chóp hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB  6 ;
a AD  8a ; tam giác
SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính theo a thể tích của khối
chóp S.ABCD và cosin của góc hợp bởi mặt phẳng (SAC) và (SAD).
Bài 79. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân BC / / AD .Hình chiếu vuông
góc của S xuống mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của AD; SH  ;
a AB BC CD  ; a AD  2a
. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AD.
Bài 80. Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân; AB AC a và M là trung điểm của
AB. Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác BMC và góc giữa SC với mặt phẳng (ABC) bằng 60 . Tính theo a thể tích của khối chóp
S.BMC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC).
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 74
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
Bài 81. Cho hình chóp hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB  2AD  2a ; điểm M a
thuộc đoạn thẳng AB sao cho AM  2 . Gọi H là giao điểm giữa AC và MD , biết SH vuông góc
với mặt phẳng (ABCD) và SH = a. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ADCM và khoảng cách giữa
hai đường thẳng SD và AC.
Bài 82. Cho hình chóp hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, SAD SAB BAD  60 và SA =a.
Tính theo a thể tích của khối chóp S.ADCM và khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AB.
Bài 83. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a,. Hình chiếu vuông góc của S
trên mặt phẳng (ABCD) là trùng với trọng tâm G của tam giác ABC; góc giữa SA và mặt phẳng
(ABCD) bằng 30 . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và cosin của góc hợp bởi đường thẳng AC và mặt phẳng (SAB).
Bài 84. Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác đều cạnh a, mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại S
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng
cách giữa hai đường thẳng SB và AC.
Bài 85. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, AB AD  2 ; a CD a .
Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng Ì(ABCD) là trung điểm H của AD. Biết khoảng cách từ H đế a 3
n mặt phẳng (SBC) bằng 2 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD.
Bài 86. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh A’C và mặt
phẳng (BB’C’C) bằng 30 . Gọi M là trung điểm của CC’. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ và
khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (A’BC).
Bài 86. Cho chóp đều S.ABC có cạnh bên bằng 2a và mặt bên hợp với đáy một góc 30 . Tính theo a
thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
Bài 87. Cho hình chóp hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, SA SB  ,
a SD  a 2 ; mặt
phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABDC và
khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).
Bài 88. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, Hình chiếu vuông góc
của A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Đường
thẳng AA’ hợp với mặt phẳng (ABC) một góc 60 . Chứng minh tứ giác BB’C’C là hình chữ nhật và
tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ .
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 75
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
Bài 89. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam vuông tại B; BC  ;
a AC  a 10 . Hai mặt phẳng
(SAC) và (SAB) cùng vuông góc mặt phẳng (ABC). Góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABC) bằng 60 .
Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC, với M
là điểm thuộc đoạn BC sao cho MC  2MB .
Bài 90. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm I , cạnh đáy bằng a. Hình chiếu
vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trùng với trung điểm của IA. Cạnh bên SB hợp với đáy một góc 30 .
Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SAB).
Bài 91. Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ABC A' AD  60 .
Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của CD.Tính theo a thể tích
của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng A’D và BC.
Bài 92 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều . Hình chiếu vuông góc của C’
trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm I của tam giác ABC. Biết d I; A' A  a 5 và mặt
phẳng (AA’C’C) tạo với mặt phẳng (AA’B’B) một góc  sao cho   3 tan 2 .Tính khoảng cách từ
điểm B đến mặt phẳng (A’B’C’).
Bài 93. Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông tại A, AB = a. Tam giác SAB đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). BC tạo với mặt phẳng (SAC) một góc 60 . Tính
theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
Bài 94. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh 2a, SA  ;
a SB  a 3 . Mặt bên (SAB)
vuông góc với mặt phẳng (ABCD) . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ
điểm M đến mặt phẳng (SBC), với M là trung điểm của SA.
Bài 95. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông, SA   ABCD . Cạnh bên SD a và cạnh SB
hợp với đáy một góc 60 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai
đường thẳng SA và CM, với M là trung điểm của SD.
Bài 96. Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông tại A, AB  2AC  2a . Các cạnh bên của
hình chóp bằng nhau và bằng a 2 . Gọi M và H lần lượt là các trung của AB và BC và điểm I thỏa
mãn AC  3BI .
Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng MH và SSI.
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 76
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM. fb:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73
Bài 97. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cân AB  ,
a BAC 120 . Mặt bên
(A’BC) hợp với mặt phẳng đáy một góc 60 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’và
khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (A’BC).
Bài 98. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  ;
a AD  2a và
SA   ABCD . Gọi M là trung điểm của CD và SC hợp với mặt phẳng đáy một góc  sao cho   1 tan
.Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến (SBM). 5
Bài 99. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; mặt bên SAD là tam giác đều và
SB a 2 .Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD và AB. Gọi H là giao điểm của FC và EB. Chứng minh SE E ;
B CH SB và tính theo a thể tích của khối chóp C.SEB.
Bài 100. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm I. Cạnh SA vuông góc mặt phẳng a 3
(ABCD) và SA a 3 . Biết bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD bằng 3 và
ACB  30 .Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường t AC và SB.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
“Không có việc gì khó
Chỉ Sợ lòng không bền
Đào núi và lấp biển
Quyết chí ắt làm nên!”
Chủ Tịch Hồ Chí Minh
Chúc các Em sẽ học tập thật tốt !
Thầy Trần Duy Thúc
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường! 77