Phương pháp giải toán 9 hệ thức vi ét và ứng dụng (có đáp án và lời giải chi tiết)

Tổng hợp Phương pháp giải toán 9 hệ thức vi ét và ứng dụng (có đáp án và lời giải chi tiết) rất hay và bổ ích giúp bạn đạt điểm cao. Các bạn tham khảo và ôn tập để chuẩn bị thật tốt cho kỳ thi tốt nghiệp sắp đến nhé. Mời bạn đọc đón xem.

Trang 1
Bài 6. H THC VI-ÉT VÀ NG DNG
A. KIN THC TRNG TÂM
1. H thc Vi-ét và ng dng
Xét phương trình bc hai
2
0( 0)ax bx c a
. Nếu
1
x
,
2
x
là nghim ca phương trình thì
12
12
.
b
S x x
a
c
P x x
a

2. ng dng ca h thc Vi-ét
Nhm nghim phương trình bc hai. Xét phương trình bc hai
2
0,( 0)ax bx c a
.
Nếu
0abc
thì phương trình có mt nghim là
1
1x
, nghim kia là
Nếu
0a b c
thì phương trình có mt nghim là
1
1x 
, nghim kia là
2
.
c
x
a
Tìm hai s khi biết tng và tích ca chúng. Nếu hai s có tng bng
S
tích bng
P
thì hai
s đó là nghim ca phương trình
2
0X Sx P
.
B. CÁC DNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dng 1: Không giải phương trình, tính giá trị ca biu thức đối xng gia các nghim
ớc 1: Tìm điều kiện đ phương trình có nghiệm
0
0
a
ì
ï
¹
ï
í
ï
ï
î
. T đó áp dụng h thc Vi-ét
12
b
S x x
a
-
= + =
12
c
P x x
a
==
.
c 2: Biến đổi biu thức đối xng gia các nghim của đề i theo tng
12
xx
ri áp dụng bước 1.
d 1. Đối vi mỗi phương trình sau, ký hiu
1
x
,
2
x
hai nghiệm phương trình (nếu có) Không
giải phương trình hãy điền vào ch trng
a)
2
4 5 0xx
,
,
12
xx
,
12
xx 
.
b)
2
4 4 1 0xx
,
,
12
xx
,
12
xx 
.
c)
2
3 3 0xx
,
,
12
xx
,
12
xx 
.
d)
2
7 5 0xx
,
,
12
xx
,
12
xx 
.
d 2. Đối vi mỗi phương trình sau, ký hiu
1
x
,
2
x
hai nghiệm phương trình (nếu có) Không
giải phương trình hãy điền vào ch trng
a)
2
3 4 0xx
,
,
12
xx
,
12
xx 
.
b)
2
6 9 0xx
,
,
12
xx
,
12
xx 
.
Trang 2
c)
2
2 5 0xx
,
,
12
xx
,
12
xx 
.
d)
2
5 1 0xx
,
,
12
xx
,
12
xx 
.
Ví d 3. Không giải phương trình sau, tính tổng và tích các nghiệm phương trình sau
a)
2
3 5 0xx
. ĐS:
3, 5SP
.
b)
2
5 7 12 0xx
. ĐS:
7 12
,
55
SP
.
c)
2
4 7 2 0xx
. ĐS:
71
,
42
SP
.
d)
2
3 21 12 0xx
. ĐS:
7 3, 4 3SP
.
Ví d 4. Không giải phương trình sau, tính tổng và tích các nghiệm phương trình sau
a)
2
2 5 0xx
. ĐS:
2, 5SP
.
b)
2
5 3 7 0xx
. ĐS:
37
,
55
SP
.
c)
2
5 7 3 0xx
. ĐS:
73
,
55
SP
.
d)
2
2 10 2 0xx
. ĐS:
5 2, 2SP
.
d 5. Gi
1
x
,
2
x
hai nghim của phương trình
2
2 1 0xx
. Không giải phương trình y
tính giá tr ca các biu thc sau
a)
22
12
A x x
. ĐS:
6
.
b)
22
1 2 1 x
B x x x x
. ĐS:
2
.
c)
12
11
C
xx

. ĐS:
2
.
d)
21
12
xx
D
xx

. ĐS:
6
.
d 6. Gi
1
x
,
2
x
hai nghim của phương trình
2
30xx
. Không giải phương trình hãy
tính giá tr ca các biu thc sau
a)
22
12
A x x
. ĐS:
7
.
b)
22
1 2 1 x
B x x x x
. ĐS:
3
.
c)
12
11
C
xx

. ĐS:
1
3
.
Trang 3
d)
21
12
xx
D
xx

. ĐS:
7
3
.
Dng 2: Giải phương trình bằng cách nhm nghim
S dng h thc Vi-ét.
Ví d 7. Xét tng
abc
hoc
a b c
ri tính nhm các nghim của phương trình sau
a)
2
3 2 0xx
. ĐS:
1;2
.
b)
2
3 7 10 0xx
. ĐS:
10
1;
3



.
c)
2
3 4 1 0xx
. ĐS:
1
1;
3




.
d)
2
3 1 3 0xx
. ĐS:
33
1;
3





.
Ví d 8. Xét tng
abc
hoc
a b c
ri tính nhm các nghim của phương trình sau
a)
2
3 4 0xx
. ĐS:
1; 4
.
b)
2
2 7 5 0xx
. ĐS:
5
1;
2




.
c)
2
6 5 1 0xx
. ĐS:
1
1;
6



.
d)
2
2 1 2 0xx
. ĐS:
1; 1 2
.
Ví d 9. S dụng định lý Vi-ét tính nhm nghim của phương trình
a)
2
7 10 0xx
. ĐS:
2;5
.
b)
2
7 10 0xx
. ĐS:
2; 5
.
Ví d 10. S dụng định lý Vi-ét tính nhm nghim của phương trình
a)
2
5 6 0xx
. ĐS:
2; 3
.
b)
2
5 6 0xx
. ĐS:
2;3
.
Ví d 11. Cho phương trình
2
10x mx m
. Chứng minh phương trình đã cho luôn mt nghim
không ph thuc vào
m
. Tìm nghim còn li. ĐS:
1; 1m
.
d 12. Cho phương trình
2
10x mx m
. Chứng minh phương trình đã cho luôn mt
nghim không ph thuc vào
m
. Tìm nghim còn li. ĐS:
1; 1m
.
Trang 4
Dng 3: Tìm hai s khi biết tng và tích ca chúng
Để tìm hai s
,xy
khi biết tng
S x y=+
và tích
P xy=
, ta làm như sau
c 1: Giải phương trình
2
0X Sx P- + =
để tìm các nghim
12
,XX
.
c 2: Suy ra các s
,xy
cn tìm là
( ) ( )
12
,,x y X X=
hoc
( ) ( )
21
,,x y X X=
.
Ví d 13. Tìm hai s
u
v
trong mỗi trường hp sau
a)
5uv
14uv 
. ĐS:
2
7
.
b)
5uv
24uv 
. ĐS:
3
8
.
Ví d 14. Tìm hai s
u
v
trong mỗi trường hp sau
a)
6uv
16uv 
. ĐS:
2
8
.
b)
1uv
1
4
uv
. ĐS:
1
2
.
Ví d 15. Lập phuơng trình bậc hai có hai nghim là
21
21
. ĐS:
2
2 2 1 0xx
.
Ví d 16. Lập phuơng trình bậc hai có hai nghim là
5
7
. ĐS:
2
2 35 0xx
.
Ví d 17. Cho phương trình
2
3 1 0xx
hai nghim là
1
x
2
x
. Lập phương trình bc hai
hai nghim là
12
11
xx
22
12
xx
. ĐS:
2
10 21 0xx
.
Ví d 18. Cho phương trình
2
4 2 0xx
có hai nghim là
1
x
2
x
. Lập phương trình bậc hai có
hai nghim là
1
1
x
2
1
x
. ĐS:
2
2 4 1 0xx
.
Dng 4: Phân tích tam giác bc hai thành nhân t
Xét tam thc bc hai
2
,( 0)ax bx c a+ + ¹
. Nếu phương trình bậc hai
2
0ax bx c+ + =
có hai nghim
12
,xx
thì tam thức được phân tích thành
( )( )
2
12
ax bx c a x x x x+ + = - -
.
Ví d 19. Phân tích đa thức sau thành nhân t
a)
2
23xx
. ĐS:
( 1)( 3)xx
.
b)
2
3 2 1xx
. ĐS:
1
3( 1)
3
xx




.
c)
2
( 2 1) 2xx
. ĐS:
( 1) 2xx
.
d)
2
1x mx m
. ĐS:
( 1)( 1)x x m
.
Ví d 20. Phân tích đa thức sau thành nhân t
a)
2
34xx
. ĐS:
( 1)( 4)xx
.
Trang 5
b)
2
4 3 1xx
. ĐS:
1
4( 1)
4
xx




.
c)
2
( 3 1) 3xx
. ĐS:
( 1) 3xx
.
d)
2
1x mx m
. ĐS:
( 1)( 1)x x m
.
Dng 5: Xét du các nghim của phương trình bậc hai
Xét phương trình bậc hai mt n
2
0,( 0)ax bx c a+ + = ¹
. Khi đó
Phương trình có hai nghiệm trái du khi và ch khi
0P <
.
Phương trình có hai nghiệm cùng du khi và ch khi
0
0P
ì
ï
D>
ï
í
ï
>
ï
î
.
Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi và ch khi
0
0
0
S
P
ì
ï
D>
ï
ï
ï
>
í
ï
ï
>
ï
ï
î
.
Phương trình có hai nghiệm âm phân bit khi và ch khi
0
0
0
S
P
ì
ï
D>
ï
ï
ï
<
í
ï
ï
>
ï
ï
î
.
Ví d 21. Cho phương trình
2
2( 2) 1 0x m x m
. Tìm
m
để phương trình
a) Có hai nghim trái du. ĐS:
1m
.
b) Có hai nghim phân bit. ĐS: mi
m
.
c) Có hai nghim phân bit cùng du. ĐS:
1m
.
d) Có hai nghiệm dương phân biệt. ĐS:
1m
.
e) Có hai nghim âm phân bit. ĐS: không tn ti
m
.
Ví d 22. Cho phương trình
2
2 1 0x mx m
. Tìm
m
để phương trình
a) Có hai nghim trái du. ĐS:
1m
.
b) Có hai nghim phân bit. ĐS: mi
m
.
c) Có hai nghim phân bit cùng du. ĐS:
1m
.
d) Có hai nghiệm dương phân biệt. ĐS: không tn ti.
e) Có hai nghim âm phân bit. ĐS:
1m
.
Dng 6: Xác định điều kin ca tham s để phương trình bậc hai nghim tha mãn h thc
cho trước
ớc 1: Điều kiện để phương trình có nghiệm
0
.
c 2: T h thức cho trước và h thc Vi-ét, ta tìm được điều kin ca tham s.
Trang 6
Ví d 23. Cho phương trình
2
40x x m
. Tìm các giá tr ca tham s
m
để phương trình hai
nghim phân bit
1
x
,
2
x
tha mãn
22
12
10xx
. ĐS:
3m 
.
d 24. Cho phương trình
2
2 1 0x x m
. Tìm các giá tr ca tham s
m
để phương trình
hai nghim phân bit
1
x
,
2
x
tha mãn
22
1 2 1 2
1x x x x
. ĐS:
3
2
m
.
C. BÀI TP VN DNG
Bài 1. Không giải các phương trình, tính tổng và tích các nghiệm phương trình sau
a)
2
5 7 0xx
. ĐS:
5, 7SP
.
b)
2
3 12 0xx
. ĐS:
3, 12SP
.
c)
2
2 4 8 0xx
. ĐS:
2 2, 4 2SP
.
d)
2
6 5 2xx
. ĐS:
51
,
63
SP
.
Bài 2. Gi
1
x
,
2
x
là hai nghim của phương trình
2
3 5 0xx
. Không giải phương trình hãy tính
giá tr ca các biu thc
a)
1 2 1 2
3( )A x x x x
. ĐS:
4
.
b)
22
12
B x x
. ĐS:
19
.
c)
2
12
()C x x
. ĐS:
29
.
d)
21
12
.
xx
D
xx

ĐS:
19
5
.
Bài 3. Tính nhm các nghim của phương trình sau
a)
2
5 6 0xx
. ĐS:
1; 6
.
b)
2
2 7 5 0xx
. ĐS:
1;5
.
c)
2
( 5 1) 2 5 0xx
. ĐS:
1;2 5
.
d)
2
2 15 0xx
. ĐS: vô nghim.
Bài 4. Tìm hai s
u
v
trong mỗi trường hp sau
a)
5uv
14uv 
. ĐS:
2
7
.
b)
4uv
21uv 
. ĐS:
3
7
.
Bài 5. Lập phương trình bậc hai có hai nghim là
31
31
. ĐS:
2
2 3 2 0xx
.
Trang 7
Bài 6. Cho phương trình
2
5 2 0xx
có hai nghim là
1
x
2
x
. Lập phương trình bậc hai có hai
nghim là
1
1
x
2
1
x
. ĐS:
2
2 5 1 0xx
.
Bài 7. Phân tích các đa thức sau thành nhân t
a)
2
34xx
. ĐS:
( 1)( 4)xx
.
b)
2
4 5 1xx
. ĐS:
1
4( 1)
4
xx




.
c)
2
( 2 1) 2xx
. ĐS:
( 1) 2xx
.
d)
2
( 1)x m x m
. ĐS:
( 1)( )x x m
.
Bài 8. Cho phương trình
2
2( 2) 1 0x m x m
. Tìm
m
để phương trình
a) Có hai nghim phân bit. ĐS: mi
m
.
b) Có hai nghim phân bit trái du. ĐS:
1m
.
c) Có hai nghim phân bit cùng du. ĐS:
1m
.
d) Có hai nghiệm dương phân biệt. ĐS:
1m
.
e) Có hai nghim âm phân bit. ĐS: không tn ti
m
.
Bài 9. Cho phương trình
2
2( 1) 2 0.x m x m
Tìm
m
để phương trình
a) Có nghim. ĐS: mi
m
.
b) Có mt nghim bng
2
. Tìm nghim còn li. ĐS:
2m
,
2
0x
.
c) Có hai nghim phân bit
1
x
,
2
x
tha mãn
22
12
8xx
. ĐS:
0m
hoc
5
2
m
.
Trang 8
NG DN GII
Ví dụ 1. Đối vi mi phương trình sau, ký hiu
1
x
,
2
x
là hai nghim phương trình (nếu có) Không
gii phương trình hãy đin vào ch trng
a)
2
4 5 0xx
,
,
12
xx
,
12
xx 
.
b)
2
4 4 1 0xx
,
,
12
xx
,
12
xx 
.
c)
2
3 3 0xx
,
,
12
xx
,
12
xx 
.
d)
2
7 5 0xx
,
,
12
xx
,
12
xx 
.
Li gii.
a)
22
4 5 0, (2) ( 5) 9xx
,
12
4xx
,
12
5xx 
.
b)
2
4 4 1 0, 0xx
,
12
1xx
,
12
1
4
xx
.
c)
2
3 3 0, 37xx
,
12
1
3
xx
,
12
1xx 
.
d)
2
7 5 0, 29xx
,
12
7xx
,
12
5xx
.
Ví dụ 2. Đối vi mi phương trình sau, ký hiu
1
x
,
2
x
là hai nghim phương trình (nếu có) Không
gii phương trình hãy đin vào ch trng
a)
2
3 4 0xx
,
,
12
xx
,
12
xx 
.
b)
2
6 9 0xx
,
,
12
xx
,
12
xx 
.
c)
2
2 5 0xx
,
,
12
xx
,
12
xx 
.
d)
2
5 1 0xx
,
,
12
xx
,
12
xx 
.
Li gii.
a)
2
3 4 0, 25xx
,
12
3xx
,
12
4xx
.
b)
2
6 9 0, 0xx
,
12
6xx
,
12
9xx
.
c)
2
2 5 0, 11xx
,
12
1
2
xx
,
12
5
2
xx 
.
d)
2
5 1 0, 29xx
,
12
5xx
,
12
1xx 
.
Ví dụ 3. Không gii phương trình sau, tính tng và tích các nghim phương trình sau
a)
2
3 5 0xx
. b)
2
5 7 12 0xx
.
c)
2
4 7 2 0xx
. d)
2
3 21 12 0xx
.
Trang 9
Li gii.
Tt c các phương trình trình đã cho đều có tích
0ac
nên luôn có nghim.
a)
2
3 5 0xx
.
12
3xx
,
12
5xx 
.
b)
2
5 7 12 0xx
.
12
7
5
xx
,
12
12
5
xx 
.
c)
2
4 7 2 0xx
.
12
7
4
xx
,
12
1
2
xx 
.
d)
2
3 21 12 0xx
.
12
73xx
,
12
43xx 
.
Ví dụ 4. Không gii phương trình sau, tính tng và tích các nghim phương trình sau
a)
2
2 5 0xx
. b)
2
5 3 7 0xx
.
c)
2
5 7 3 0xx
. d)
2
2 10 2 0xx
.
Ví dụ 5. Gi
1
x
,
2
x
là hai nghim ca phương trình
2
2 1 0xx
. Không gii phương trình hãy
tính giá tr ca các biu thc sau
a)
22
12
A x x
. b)
22
1 2 1 x
B x x x x
.
c)
12
11
C
xx

. d)
21
12
xx
D
xx

.
Li gii.
Phương trình có tích
1 ( 1) 1 0ac
nên có nghim phân bit
1
x
,
2
x
1
x
,
2
0x
.Theo định lý
Vi-ét, ta có
12
2xx
12
1xx 
.
a)
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
( ) 2 2 2 ( 1) 6A x x x x x x
.
b)
22
1 2 1 1 2 1 2
( ) ( 1) 2 2
x
B x x x x x x x x
.
c)
12
1 2 1 2
1 1 2
2
1
xx
C
x x x x
.
d)
22
2 1 1
1 2 1 2
2
6
6
1
x x x x
D
x x x x

.
Ví dụ 6. Gi
1
x
,
2
x
là hai nghim ca phương trình
2
30xx
. Không gii phương trình hãy
tính giá tr ca các biu thc sau
a)
22
12
A x x
. b)
22
1 2 1 x
B x x x x
.
c)
12
11
C
xx

. d)
21
12
xx
D
xx

.
Trang 10
Li gii.
Phương trình có tích
1 ( 1) 1 0ac
nên có nghim phân bit
1
x
,
2
x
1
x
,
2
0x
.Theo định lý
Vi-ét, ta có
12
1xx
12
3xx 
.
a)
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
( ) 2 1 2 ( 3) 7A x x x x x x
.
b)
22
1 2 1 1 2 1 2
( ) 3 1 3
x
B x x x x x x x x
.
c)
12
1 2 1 2
1 1 1 1
33
xx
C
x x x x
.
d)
22
2 1 1 2
1 2 1 2
77
33
x x x x
D
x x x x
.
Ví dụ 7. Xét tng
abc
hoc
a b c
ri tính nhm các nghim ca phương trình sau
a)
2
3 2 0xx
. b)
2
3 7 10 0xx
.
c)
2
3 4 1 0xx
. d)
2
3 1 3 0xx
.
Li gii.
a)
2
3 2 0xx
.
1 ( 3) 2 0abc
nên phương trình có nghim
1
1x
,
2
2
c
x
a

.
b)
2
3 7 10 0xx
.
3 7 ( 10) 0abc
nên phương trình có nghim
1
1x
,
2
10
3
x 
.
c)
2
3 4 1 0xx
.
3 4 1 0a b c
nên phương trình có nghim
1
1x 
,
2
1
3
x 
.
d)
2
3 1 3 0xx
.
3 ( 1) 1 3 0abc
nên phương trình có nghim
1
1x
,
2
33
3
x
.
Ví dụ 8. Xét tng
abc
hoc
a b c
ri tính nhm các nghim ca phương trình sau
a)
2
3 4 0xx
. b)
2
2 7 5 0xx
.
c)
2
6 5 1 0xx
. d)
2
2 1 2 0xx
.
Li gii.
a)
2
3 4 0xx
.
1 3 ( 4) 0abc
nên phương trình có nghiêm
1
1x
,
2
4x 
.
b)
2
2 7 5 0xx
.
1 7 5 0a b c
nên phương trình có nghiêm
1
1x 
,
2
5
2
x 
.
c)
2
6 5 1 0xx
.
6 ( 5) ( 1) 0abc
nên phương trình có nghiêm
1
1x
,
2
1
6
x 
.
Trang 11
d)
2
2 1 2 0xx
.
1 2 ( 1 2) 0a b c
nên phương trình có nghiêm
1
1x 
,
2
12x 
.
Ví dụ 9. S dng định lý Vi-ét tính nhm nghim ca phương trình
a)
2
7 10 0xx
. b)
2
7 10 0xx
.
Li gii.
a)
2
7 10 0xx
.Theo định lý Vi-ét, ta có
12
12
12
7
2, 5.
10
xx
xx
xx

b)
2
7 10 0xx
.Theo định lý Vi-ét, ta có
12
12
12
7
2, 5.
10
xx
xx
xx
r
Ví dụ 10. S dng định lý Vi-ét tính nhm nghim ca phương trình2
a)
2
5 6 0xx
. b)
2
5 6 0xx
.
Li gii.
a)
2
5 6 0xx
.Theo định lý Vi-ét, ta có
12
12
12
5
2, 3.
6
xx
xx
xx
b)
2
5 6 0xx
.Theo định lý Vi-ét, ta có
12
12
12
5
2, 3.
10
xx
xx
xx

r
Ví dụ 11. Cho phương trình
2
10x mx m
. Chng minh phương trình đã cho luôn mt nghim
không ph thuc vào
m
. Tìm nghim còn li.
Li gii.
Ta có
1 ( ) 1 0a b c m m
nên phương trình có nghim
1
1x
,
2
1xm
.
Ví dụ 12. Cho phương trình
2
10x mx m
. Chng minh phương trình đã cho luôn mt
nghim không ph thuc vào
m
. Tìm nghim còn li.
Li gii.
Ta có
1 1 0a b c m m
nên phương trình có nghim
1
1x 
,
2
1xm
.
Ví dụ 13. Tìm hai s
u
v
trong mi trường hp sau
a)
5uv
14uv 
. b)
5uv
24uv 
.
Li gii.
a)
5uv
14uv 
.
u
v
là nghim ca phương trình
2
7
5 14 0
2.
x
xx
x

Trang 12
Vy
7
2
u
v

hoc
2
7.
u
v

b)
5uv
24uv 
.
u
v
là nghim ca phương trình
2
8
5 24 0
33.
x
xx
x

Vy
8
3
u
v

hoc
3
8.
u
v

r
Ví dụ 14. Tìm hai s
u
v
trong mi trường hp sau
a)
6uv
16uv 
. b)
1uv
1
4
uv
.
Li gii.
a)
6uv
16uv 
.
u
v
là nghim ca phương trình
2
2
6 16 0
8.
x
xx
x

Vy
2
8
u
v

hoc
8
2.
u
v

b)
1uv
1
4
uv
.
u
v
là nghim ca phương trình
2
11
0.
42
x x x
Vy
1
.
2
uv
r
Ví dụ 15. Lp phuơng trình bc hai có hai nghim là
21
21
.
Li gii.
Ta có
2 1 2 1 2 2
( 2 1)( 2 1) 1
nên hai s đã cho là nghim ca phương trình
2
2 2 1 0.xx
Ví dụ 16. Lp phuơng trình bc hai có hai nghim là
5
7
.
Li gii.
Ta có
5 ( 7) 2
5 ( 7) 35
nên hai s đã cho là nghim ca phương trình
2
2 35 0.xx
Ví dụ 17. Cho phương trình
2
3 1 0xx
có hai nghim là
1
x
2
x
. Lp phương trình bc hai có
hai nghim là
12
11
xx
22
12
xx
.
Li gii.
Theo định lý Vi-ét, ta có
12
3xx
12
1xx
.
Trang 13
2 2 2 2
12
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
11
3. ( ) 2 3 2 1 7
xx
x x x x x x
x x x x
.
Vy phương trình tha đề bài là
2
10 21 0.xx
Ví dụ 18. Cho phương trình
2
4 2 0xx
có hai nghim là
1
x
2
x
. Lp phương trình bc hai có
hai nghim là
1
1
x
2
1
x
.
Li gii.
Theo định lý Vi-ét, ta có
12
4xx
12
2xx
.
12
1 2 1 2
1 1 4
2
2
xx
x x x x
1 2 1 2
1 1 1 1
.
2x x x x
Vy phương trình tha đề bài là
22
1
2 0 2 4 1 0.
2
x x x x
Ví dụ 19. Phân tích đa thc sau thành nhân t
a)
2
23xx
. b)
2
3 2 1xx
.
c)
2
( 2 1) 2xx
. d)
2
1x mx m
.
Li gii.
a)
2
23xx
.
2
1
2 3 0
3.
x
xx
x

Vy
2
2 3 ( 1)( 3).x x x x
b)
2
3 2 1xx
.
2
1
3 2 1 0
1
.
3
x
xx
x

Vy
2
1
3 2 1 3( 1) .
3
x x x x



c)
2
( 2 1) 2xx
.
2
1
( 2 1) 2 0
2.
x
xx
x
Vy
2
( 2 1) 2 ( 1) 2x x x x
.
d)
2
1x mx m
.
2
1
10
1.
x
x mx m
xm

Vy
2
1 ( 1)( 1).x mx m x x m
r
Ví dụ 20. Phân tích đa thc sau thành nhân t
a)
2
34xx
. b)
2
4 3 1xx
.
c)
2
( 3 1) 3xx
. d)
2
1x mx m
.
Li gii.
a)
2
34xx
.
2
1
3 4 0
4.
x
xx
x

Trang 14
Vy
2
3 4 ( 1)( 4).x x x x
b)
2
4 3 1xx
.
2
1
4 3 1 0
1
.
4
x
xx
x

Vy
2
1
4 3 1 4 1 .
4
x x x x



c)
2
( 3 1) 3xx
.
2
1
( 3 1) 3 0
3.
x
xx
x
Vy
2
( 3 1) 3 ( 1) 3 .x x x x
d)
2
1x mx m
.
2
1
10
1.
x
x mx m
xm


Vy
2
1 ( 1)( 1).x mx m x x m
r
Ví dụ 21. Cho phương trình
2
2( 2) 1 0x m x m
. Tìm
m
để phương trình
a) Có hai nghim trái du. b) Có hai nghim phân bit.
c) Có hai nghim phân bit cùng du. d) Có hai nghim dương phân bit.
e) Có hai nghim âm phân bit.
Li gii.
2
2
2
2 2 4( 1) 4 12 20 2 3 11. 2( 2).
b
m m m m m S m
a
1.
c
Pm
a
a) Phương trình có hai nghim trái du
0 1 0 1.P m m
b) Phương trình có hai nghim phân bit
2
0 2 3 11 0m
, đúng vi mi
m
.
c) Phương trình có hai nghim phân bit cùng du
2
0
2 3 11 0
1.
0
10
m
m
a
P
m
c





d) Phương trình có hai nghim dương phân bit
2
0
(2 3) 11 0
0 2( 2) 0 1.
10
0
m
b
S m m
a
m
c
P
a





Trang 15
e) Phương trình có hai nghim âm phân bit
2
0
(2 3) 11 0
2
0 2( 2) 0
1
10
0
m
m
b
Sm
m
a
m
c
P
a





(Vô
lý). Vy không tn ti
m
.
Ví dụ 22. Cho phương trình
2
2 1 0x mx m
. Tìm
m
để phương trình
a) Có hai nghim trái du.
b) Có hai nghim phân bit.
c) Có hai nghim phân bit cùng du.
d) Có hai nghim dương phân bit.
e) Có hai nghim âm phân bit.
Li gii.
2 2 2
( 2 ) 4( 1) 4 4 4 (2 1) 3. 2 .
b
m m m m m S m
a
1.
c
Pm
a
a) Phương trình có hai nghim trái du
0 1 0 1P m m
.
b) Phương trình có hai nghim phân bit
2
(2 1) 3 0m
, đúng vi mi
m
.
c) Phương trình có hai nghim phân bit cùng du
2
0
(2 1) 3 0
1.
0
10
m
m
P
m


d) Phương trình có hai nghim dương phân bit
2
0 (2 1) 3 0
0
0 2 0
1
0 1 0
m
m
Sm
m
Pm


(Vô
lý). Vy không tn ti
m
.
e) Phương trình có hai nghim âm phân bit
2
0 (2 1) 3 0
0
0 2 0 1.
1
0 1 0
m
m
S m m
m
Pm


Ví dụ 23. Cho phương trình
2
40x x m
. Tìm các giá tr ca tham s
m
để phương trình có hai
nghim phân bit
1
x
,
2
x
tha mãn
22
12
10xx
.
Li gii.
2
( 4) 4 16 4mm
.
Phương trình có hai nghim phân bit
0 16 4 0 4.mm
Theo định lý Vi-et ta có
12
4xx
12
x x m
. Ta có
Trang 16
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
10 ( ) 2 10 4 2 10 3x x x x x x m m
.
Vy
3.m
Ví dụ 24. Cho phương trình
2
2 1 0x x m
. Tìm các giá tr ca tham s
m
để phương trình có
hai nghim phân bit
1
x
,
2
x
tha mãn
22
1 2 1 2
1x x x x
.
Li gii.
2
( 2) 4( 1) 4 4 4 8 4 .m m m
Phương trình có hai nghim phân bit
0 8 4 0 2.mm
Theo định lý Vi-et ta có
12
2xx
12
1.x x m
Ta có
22
1 2 1 2 1 2 1 2
3
1 ( ) 1 ( 1)2 1
2
x x x x x x x x m m
(tha mãn).
Vy
3
.
2
m
Bài 1. Không gii các phương trình, tính tng và tích các nghim phương trình sau
a)
2
5 7 0xx
. b)
2
3 12 0xx
.
c)
2
2 4 8 0xx
. d)
2
6 5 2xx
.
Li gii.
Tt c các phương trình đã cho đều có tích
0ac
nên luôn có nghim.2
a)
2
5 7 0xx
.
12
5xx
,
12
7.xx 
b)
2
3 12 0xx
.
12
3xx
,
12
12.xx 
c)
2
2 4 8 0xx
.
12
22xx
,
12
42xx 
.
d)
22
6 5 2 6 5 2 0x x x x
.
12
5
6
xx
,
12
1
.
3
xx 
r
Bài 2. Gi
1
x
,
2
x
là hai nghim ca phương trình
2
3 5 0xx
. Không gii phương trình hãy
tính giá tr ca các biu thc
a)
1 2 1 2
3( )A x x x x
. b)
22
12
B x x
.
c)
2
12
()C x x
. d)
21
12
.
xx
D
xx

Li gii.
Theo định lý Vi-ét, ta có
12
3xx
12
5xx 
.
Trang 17
a)
1 2 1 2
3( ) 3 3 ( 5) 4A x x x x
.
b)
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
( ) 2 3 2 ( 5) 19B x x x x x x
.
c)
2 2 2
1 2 1 2 1 2
( ) 2 19 2 ( 5) 29C x x x x x x
.
d)
22
2 1 1 2
1 2 1 2
19 19
.
55
x x x x
D
x x x x
Bài 3. Tính nhm các nghim ca phương trình sau2
a)
2
5 6 0xx
. b)
2
2 7 5 0xx
.
c)
2
( 5 1) 2 5 0xx
. d)
2
2 15 0xx
.
Li gii.
a)
2
5 6 0xx
.Ta có
1 ( 5) ( 6) 0a b c
nên phương trình có nghim
1
1x 
,
2
6.x 
b)
2
2 7 5 0xx
.Ta có
2 7 5 0a b c
nên phương trình có nghim
1
1x 
,
2
5.x
c)
2
( 5 1) 2 5 0xx
.Ta có
1 ( 5 1) 2 5 0a b c
nên phương trình có
nghim
1
1x 
,
2
2 5.x 
d)
2
2 15 0xx
.Ta có
2
( 2) 4 15 56 0
nên phương trình vô nghim.
Bài 4. Tìm hai s
u
v
trong mi trường hp sau
a)
5uv
14uv 
. b)
4uv
21uv 
.
Li gii.
a)
5uv
14uv 
. Hai s
u
v
là nghim ca phương trình
2
2
5 14 0
7.
x
xx
x

Vy
2
7
u
v

hoc
7
2.
u
v

b)
4uv
21uv 
. Hai s
u
v
là nghim ca phương trình
2
7
4 21 0
3.
x
xx
x

Vy
7
3
u
v

hoc
3
7.
u
v

Bài 5. Lp phương trình bc hai có hai nghim là
31
31
.
Li gii.
Ta có
( 3 1) ( 3 1) 2 3
( 3 1) ( 3 1) 2
nên hai s đã cho là nghim ca phương
trình
2
2 3 2 0.xx
Trang 18
Bài 6. Cho phương trình
2
5 2 0xx
có hai nghim là
1
x
2
x
. Lp phương trình bc hai có
hai nghim là
1
1
x
2
1
x
.
Li gii.
Phương trình có tích
20ac
nên có nghim.
Theo định lý Vi-et ta có
12
5xx
12
2.xx 
Ta có
12
1 2 1 2
1 1 5 5
22
xx
x x x x
1 2 1 2
1 1 1 1 1
22x x x x
nên phương trình cn tìm là
22
51
0 2 5 1 0.
22
x x x x
Bài 7. Phân tích các đa thc sau thành nhân t
a)
2
34xx
. b)
2
4 5 1xx
.
c)
2
( 2 1) 2xx
. d)
2
( 1)x m x m
.
Li gii.
a)
2
1
3 4 0
4.
x
xx
x

Vy
2
3 4 ( 1)( 4).x x x x
b)
2
1
4 5 1 0
1
.
4
x
xx
x


Vy
2
1
4 5 1 4( 1) .
4
x x x x



c)
2
1
( 2 1) 2 0
2.
x
xx
x

Vy
2
( 2 1) 2 ( 1) 2 .x x x x
d)
2
1
( 1) 0
.
x
x m x m
xm
Vy
2
( 1) ( 1)( ).x m x m x x m
r
Bài 8. Cho phương trình
2
2( 2) 1 0x m x m
. Tìm
m
để phương trình
a) Có hai nghim phân bit. b) Có hai nghim phân bit trái du.
c) Có hai nghim phân bit cùng du. d) Có hai nghim dương phân bit.
e) Có hai nghim âm phân bit.
Li gii.
2 2 2
[ 2( 2)] 4( 1) 4 12 20 (2 3) 11. 2( 2)m m m m m S m
,
1Pm
.
a) Phương trình có hai nghim phân bit
2
0 (2 3) 11 0m
, đúng vi mi
m
.
b) Phương trình có hai nghim phân bit trái du
0 1 0 1.P m m
Trang 19
c) Phương trình có hai nghim phân bit cùng du
2
0
(2 3) 11 0
1.
0
10
m
m
P
m



d) Phương trình có hai nghim dương phân bit
2
0 (2 3) 11 0
0 2( 2) 0 1.
0 1 0
m
S m m
Pm


e) Phương trình có hai nghim âm phân bit
2
0 (2 3) 11 0
2
0 2( 2) 0
1
0 1 0
m
m
Sm
m
Pm


(Vô
lý.)Vy không tn ti
m
.
Bài 9. Cho phương trình
2
2( 1) 2 0.x m x m
m
m
để phương trình
a) Có nghim.
b) Có mt nghim bng
2
. Tìm nghim còn li.
c) Có hai nghim phân bit
1
x
,
2
x
tha mãn
22
12
8xx
.
Li gii.
a)
2
22
33
[ ( 1)] ( 2) 3 3 0
24
m m m m m



nên phương trình luôn có nghim vi
mi
m
.
b) Theo định lý Vi-ét, ta có
11
2( 1)x x m
12
2.x x m
Phương trình có nghim
1
2x
ta
22
2
22
2 2( 1) 2 4
0
2 2 2 2
2.
x m x m
x
x m x m
m



Vy
2m
và nghim còn li là
0
.
c)
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
0
8 ( ) 2 8 4( 1) 2( 2) 8
5
.
2
m
x x x x x x m m
m
Vy
0m
hoc
5
2
m
.
--- HT ---
| 1/19

Preview text:

Bài 6. HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
 Xét phương trình bậc hai 2
ax bx c  0(a  0) . Nếu x , x là nghiệm của phương trình thì 1 2  b
S x x   1 2   a  . cP x x  1 2  a
2. Ứng dụng của hệ thức Vi-ét
 Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai. Xét phương trình bậc hai 2
ax bx c  0, (a  0) .  c
Nếu a b c  0 thì phương trình có một nghiệm là x  1, nghiệm kia là x  . 1 2 a   c
Nếu a b c  0 thì phương trình có một nghiệm là x  1
 , nghiệm kia là x  . 1 2 a
 Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng. Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai
số đó là nghiệm của phương trình 2
X Sx P  0 .
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm ìï a ¹ 0  ï
Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm í
. Từ đó áp dụng hệ thức Vi-ét ï D ³ 0 ïî - b c
S = x + x = và P = x x = . 1 2 a 1 2 a
 Bước 2: Biến đổi biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của đề bài theo tổng x + x và 1 2
x x rồi áp dụng bước 1. 1 2
Ví dụ 1. Đối với mỗi phương trình sau, ký hiệu x , x là hai nghiệm phương trình (nếu có) Không 1 2
giải phương trình hãy điền vào chỗ trống a) 2
x  4x  5  0 , 
 , x x , x x  . 1 2 1 2 b) 2
4x  4x 1  0 , 
 , x x , x x  . 1 2 1 2 c) 2
3x x  3  0 ,  , x x  , x x  . 1 2 1 2 d) 2
x  7x  5  0 ,  , x x  , x x  . 1 2 1 2
Ví dụ 2. Đối với mỗi phương trình sau, ký hiệu x , x là hai nghiệm phương trình (nếu có) Không 1 2
giải phương trình hãy điền vào chỗ trống a) 2
x  3x  4  0 ,  , x x  , x x  . 1 2 1 2 b) 2
x  6x  9  0 ,  , x x  , x x  . 1 2 1 2 Trang 1 c) 2
2x x  5  0 ,  , x x  , x x  . 1 2 1 2 d) 2
x  5x 1  0 ,  , x x  , x x  . 1 2 1 2
Ví dụ 3. Không giải phương trình sau, tính tổng và tích các nghiệm phương trình sau a) 2
x  3x  5  0 .
ĐS: S  3, P  5  . b) 2
5x  7x 12  0 . ĐS: 7 12 S   , P   . 5 5 c) 2
4x  7x  2  0 . ĐS: 7 1 S  , P   . 4 2 d) 2
3x  21x 12  0 .
ĐS: S  7 3, P  4  3 .
Ví dụ 4. Không giải phương trình sau, tính tổng và tích các nghiệm phương trình sau a) 2
x  2x  5  0 .
ĐS: S  2, P  5  . b) 2 5
x  3x  7  0. ĐS: 3 7 S  , P   . 5 5 c) 2
5x  7x  3  0 . ĐS: 7 3 S  , P   . 5 5 d) 2
2x 10x  2  0 .
ĐS: S  5 2, P   2 .
Ví dụ 5. Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình 2
x  2x 1  0 . Không giải phương trình hãy 1 2
tính giá trị của các biểu thức sau a) 2 2
A x x . ĐS: 6 . 1 2 b) 2 2
B x x x x . ĐS: 2  . 1 2 1 x 1 1 c) C   . ĐS: 2  . x x 1 2 x x d) 2 1 D   . ĐS: 6  . x x 1 2
Ví dụ 6. Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình 2
x x  3  0 . Không giải phương trình hãy 1 2
tính giá trị của các biểu thức sau a) 2 2
A x x . ĐS: 7 . 1 2 b) 2 2
B x x x x . ĐS: 3  . 1 2 1 x 1 1 c) C   . ĐS: 1  . x x 3 1 2 Trang 2 x x d) 2 1 D   . ĐS: 7  . x x 3 1 2
Dạng 2: Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm
 Sử dụng hệ thức Vi-ét.
Ví dụ 7. Xét tổng a b c hoặc a b c rồi tính nhẩm các nghiệm của phương trình sau a) 2
x  3x  2  0 . ĐS: 1;  2 .   b) 2
3x  7x 10  0 . ĐS: 10 1  ;  .  3    c) 2
3x  4x 1  0 . ĐS: 1 1;  .  3     d) 2
3x x 1 3  0 . ĐS: 3 3 1  ;  .  3  
Ví dụ 8. Xét tổng a b c hoặc a b c rồi tính nhẩm các nghiệm của phương trình sau a) 2
x  3x  4  0 . ĐS: 1;  4  .   b) 2
2x  7x  5  0 . ĐS: 5 1;  .  2    c) 2
6x  5x 1  0 . ĐS: 1 1  ;  .  6  d) 2
x  2x 1 2  0 .
ĐS: 1;1 2 .
Ví dụ 9. Sử dụng định lý Vi-ét tính nhẩm nghiệm của phương trình a) 2
x  7x 10  0 . ĐS: 2;  5 . b) 2
x  7x 10  0 . ĐS:  2  ;  5 .
Ví dụ 10. Sử dụng định lý Vi-ét tính nhẩm nghiệm của phương trình a) 2
x  5x  6  0 . ĐS:  2  ;  3 . b) 2
x  5x  6  0 . ĐS: 2;  3 .
Ví dụ 11. Cho phương trình 2
x mx m 1  0 . Chứng minh phương trình đã cho luôn một nghiệm
không phụ thuộc vào m . Tìm nghiệm còn lại.
ĐS: 1;m   1 .
Ví dụ 12. Cho phương trình 2
x mx m 1  0 . Chứng minh phương trình đã cho luôn một
nghiệm không phụ thuộc vào m . Tìm nghiệm còn lại. ĐS:  1  ;m   1 . Trang 3
Dạng 3: Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng
 Để tìm hai số x,y khi biết tổng S = x + y và tích P = xy , ta làm như sau
 Bước 1: Giải phương trình 2
X - Sx + P = 0 để tìm các nghiệm X , X . 1 2
 Bước 2: Suy ra các số x,y cần tìm là (x,y)= (X ,X hoặc (x,y)= (X ,X . 2 1 ) 1 2 )
Ví dụ 13. Tìm hai số u v trong mỗi trường hợp sau
a) u v  5 và uv  14  . ĐS: 2  và 7 .
b) u v  5 và uv  24  . ĐS: 3  và 8 .
Ví dụ 14. Tìm hai số u v trong mỗi trường hợp sau a) u v  6  và uv  16  . ĐS: 2 và 8  . 1
b) u v 1 và uv  . ĐS: 1 . 4 2
Ví dụ 15. Lập phuơng trình bậc hai có hai nghiệm là 2 1 và 2 1. ĐS: 2
x  2 2x 1  0 .
Ví dụ 16. Lập phuơng trình bậc hai có hai nghiệm là 5 và 7  . ĐS: 2
x  2x  35  0 .
Ví dụ 17. Cho phương trình 2
x  3x 1  0 có hai nghiệm là x x . Lập phương trình bậc hai có 1 2 1 1 hai nghiệm là  và 2 2
x x . ĐS: 2
x 10x  21  0 . x x 1 2 1 2
Ví dụ 18. Cho phương trình 2
x  4x  2  0 có hai nghiệm là x x . Lập phương trình bậc hai có 1 2 1 1 hai nghiệm là và . ĐS: 2
2x  4x 1  0 . x x 1 2
Dạng 4: Phân tích tam giác bậc hai thành nhân tử  Xét tam thức bậc hai 2 ax + bx + ,
c (a ¹ 0) . Nếu phương trình bậc hai 2
ax + bx + c = 0
có hai nghiệm x , x thì tam thức được phân tích thành 1 2 2
ax + bx + c = a (x - x x - x . 1 )( 2 )
Ví dụ 19. Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) 2
x  2x  3 .
ĐS: (x 1)(x  3) .   b) 2
3x  2x 1 . ĐS: 1 3(x 1) x    .  3  c) 2
x  ( 2 1)x  2 .
ĐS: (x 1)x  2 . d) 2
x mx m 1 .
ĐS: (x 1)(x m 1) .
Ví dụ 20. Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) 2
x  3x  4 .
ĐS: (x 1)(x  4) . Trang 4   b) 2
4x  3x 1 . ĐS: 1 4(x 1) x    .  4  c) 2
x  ( 3 1)x  3 .
ĐS: (x 1) x  3. d) 2
x mx m 1.
ĐS: (x 1)(x m 1) .
Dạng 5: Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai
Xét phương trình bậc hai một ẩn 2
ax + bx + c = 0,(a ¹ 0) . Khi đó
 Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi P < 0. ìï D > 0  ï
Phương trình có hai nghiệm cùng dấu khi và chỉ khi í . ï P > 0 ïî ìï D > 0 ïï
 Phương trình có hai nghiệm dương phân biệ ï
t khi và chỉ khi í S > 0 . ïïïP > 0 ïî ìï D > 0 ïï
 Phương trình có hai nghiệ ï
m âm phân biệt khi và chỉ khi í S < 0 . ïïïP > 0 ïî
Ví dụ 21. Cho phương trình 2
x  2(m  2)x m 1  0 . Tìm m để phương trình
a) Có hai nghiệm trái dấu. ĐS: m 1.
b) Có hai nghiệm phân biệt. ĐS: mọi m .
c) Có hai nghiệm phân biệt cùng dấu. ĐS: m 1.
d) Có hai nghiệm dương phân biệt. ĐS: m 1.
e) Có hai nghiệm âm phân biệt.
ĐS: không tồn tại m .
Ví dụ 22. Cho phương trình 2
x  2mx m 1  0 . Tìm m để phương trình
a) Có hai nghiệm trái dấu. ĐS: m  1  .
b) Có hai nghiệm phân biệt. ĐS: mọi m .
c) Có hai nghiệm phân biệt cùng dấu. ĐS: m  1  .
d) Có hai nghiệm dương phân biệt.
ĐS: không tồn tại.
e) Có hai nghiệm âm phân biệt. ĐS: m  1  .
Dạng 6: Xác định điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn hệ thức cho trước
 Bước 1: Điều kiện để phương trình có nghiệm D ³ 0 .
 Bước 2: Từ hệ thức cho trước và hệ thức Vi-ét, ta tìm được điều kiện của tham số. Trang 5
Ví dụ 23. Cho phương trình 2
x  4x m  0 . Tìm các giá trị của tham số m để phương trình có hai
nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn 2 2
x x  10 . ĐS: m  3  . 1 2 1 2
Ví dụ 24. Cho phương trình 2
x  2x m 1  0 . Tìm các giá trị của tham số m để phương trình có
hai nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn 2 2
x x x x  1. ĐS: 3 m  . 1 2 1 2 1 2 2
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Không giải các phương trình, tính tổng và tích các nghiệm phương trình sau a) 2
x  5x  7  0 .
ĐS: S  5, P  7  . b) 2
x  3x 12  0 . ĐS: S  3  , P  1  2 . c) 2
2x  4x 8  0 .
ĐS: S  2 2, P  4 2 . d) 2
6x  5x  2 . ĐS: 5 1 S  , P   . 6 3
Bài 2. Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình 2
x  3x  5  0 . Không giải phương trình hãy tính 1 2
giá trị của các biểu thức
a) A  3(x x )  x x . ĐS: 4 . 1 2 1 2 b) 2 2
B x x . ĐS: 19. 1 2 c) 2
C  (x x ) . ĐS: 29 . 1 2 x x d) 2 1 D   . ĐS: 19  . x x 5 1 2
Bài 3. Tính nhẩm các nghiệm của phương trình sau a) 2
x  5x  6  0 . ĐS:  1  ;  6 . b) 2
2x  7x  5  0 . ĐS:  1  ;  5 . c) 2
x  ( 5 1)x  2  5  0 .
ĐS: 1;2  5. d) 2
x  2x 15  0 . ĐS: vô nghiệm.
Bài 4. Tìm hai số u v trong mỗi trường hợp sau
a) u v  5 và uv  14  . ĐS: 2  và 7 . b) u v  4  và uv  21  . ĐS: 3 và 7  .
Bài 5. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 3 1 và 3 1 . ĐS: 2
x  2 3x  2  0 . Trang 6
Bài 6. Cho phương trình 2
x  5x  2  0 có hai nghiệm là x x . Lập phương trình bậc hai có hai 1 2 1 1 nghiệm là và . ĐS: 2
2x  5x 1  0 . x x 1 2
Bài 7. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) 2
x  3x  4 .
ĐS: (x 1)(x  4) .   b) 2
4x  5x 1. ĐS: 1 4(x 1) x    .  4  c) 2
x  ( 2 1)x  2 .
ĐS: (x 1)x  2 . d) 2
x  (m 1)x m .
ĐS: (x 1)(x m) .
Bài 8. Cho phương trình 2
x  2(m  2)x m 1  0 . Tìm m để phương trình
a) Có hai nghiệm phân biệt. ĐS: mọi m .
b) Có hai nghiệm phân biệt trái dấu. ĐS: m 1.
c) Có hai nghiệm phân biệt cùng dấu. ĐS: m 1.
d) Có hai nghiệm dương phân biệt. ĐS: m 1.
e) Có hai nghiệm âm phân biệt.
ĐS: không tồn tại m .
Bài 9. Cho phương trình 2
x  2(m 1)x m  2  0. Tìm m để phương trình a) Có nghiệm. ĐS: mọi m .
b) Có một nghiệm bằng 2 . Tìm nghiệm còn lại.
ĐS: m  2 , x  0 . 2 5
c) Có hai nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn 2 2
x x  8.
ĐS: m  0 hoặc m  . 1 2 1 2 2 Trang 7 HƯỚNG DẪN GIẢI
Ví dụ 1. Đối với mỗi phương trình sau, ký hiệu x , x là hai nghiệm phương trình (nếu có) Không 1 2
giải phương trình hãy điền vào chỗ trống a) 2
x  4x  5  0 , 
 , x x , x x  . 1 2 1 2 b) 2
4x  4x 1  0 , 
 , x x , x x  . 1 2 1 2 c) 2
3x x  3  0 ,  , x x  , x x  . 1 2 1 2 d) 2
x  7x  5  0 ,  , x x  , x x  . 1 2 1 2 Lời giải. a) 2 2
x  4x  5  0,   (2)  ( 5
 )  9 , x x  4  , x x  5  . 1 2 1 2 1 b) 2
4x  4x 1  0,   0 , x x  1  , x x  . 1 2 1 2 4 1 c) 2
3x x  3  0,   37 , x x  , x x  1  . 1 2 3 1 2 d) 2
x  7x  5  0,   29 , x x  7 , x x  5 . 1 2 1 2
Ví dụ 2. Đối với mỗi phương trình sau, ký hiệu x , x là hai nghiệm phương trình (nếu có) Không 1 2
giải phương trình hãy điền vào chỗ trống a) 2
x  3x  4  0 ,  , x x  , x x  . 1 2 1 2 b) 2
x  6x  9  0 ,  , x x  , x x  . 1 2 1 2 c) 2
2x x  5  0 ,  , x x  , x x  . 1 2 1 2 d) 2
x  5x 1  0 ,  , x x  , x x  . 1 2 1 2 Lời giải. a) 2
x  3x  4  0,   25 , x x  3  , x x  4 . 1 2 1 2 b) 2
x  6x  9  0,   0 , x x  6 , x x  9 . 1 2 1 2 1 5 c) 2
2x x  5  0,   11, x x  , x x   . 1 2 2 1 2 2 d) 2
x  5x 1  0,   29 , x x  5 , x x  1  . 1 2 1 2
Ví dụ 3. Không giải phương trình sau, tính tổng và tích các nghiệm phương trình sau a) 2
x  3x  5  0 . b) 2
5x  7x 12  0 . c) 2
4x  7x  2  0 . d) 2
3x  21x 12  0 . Trang 8 Lời giải.
Tất cả các phương trình trình đã cho đều có tích ac  0 nên luôn có nghiệm. a) 2
x  3x  5  0 . x x  3 , x x  5  . 1 2 1 2 7 12 b) 2
5x  7x 12  0 . x x   , x x   . 1 2 5 1 2 5 7 1 c) 2
4x  7x  2  0 . x x  , x x   . 1 2 4 1 2 2 d) 2
3x  21x 12  0 . x x  7 3 , x x  4  3 . 1 2 1 2
Ví dụ 4. Không giải phương trình sau, tính tổng và tích các nghiệm phương trình sau a) 2
x  2x  5  0 . b) 2 5
x  3x  7  0. c) 2
5x  7x  3  0 . d) 2
2x 10x  2  0 .
Ví dụ 5. Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình 2
x  2x 1  0 . Không giải phương trình hãy 1 2
tính giá trị của các biểu thức sau a) 2 2
A x x . b) 2 2
B x x x x . 1 2 1 2 1 x 1 1 x x c) C   . d) 2 1 D   . x x x x 1 2 1 2 Lời giải.
Phương trình có tích ac  1 ( 1  )  1
  0 nên có nghiệm phân biệt x , x x , x  0 .Theo định lý 1 2 1 2
Vi-ét, ta có x x  2 và x x  1  . 1 2 1 2 a) 2 2 2 2
A x x  (x x )  2x x  2  2 ( 1  )  6 . 1 2 1 2 1 2 b) 2 2
B x x x x x x (x x )  ( 1  )2  2  . 1 2 1 x 1 2 1 2 1 1 x x 2 c) 1 2 C      2 x x x x  . 1 1 2 1 2 2 2 x x x x  2 6 d) 2 1 1 D      6 . x x x x 1  1 2 1 2
Ví dụ 6. Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình 2
x x  3  0 . Không giải phương trình hãy 1 2
tính giá trị của các biểu thức sau a) 2 2
A x x . b) 2 2
B x x x x . 1 2 1 2 1 x 1 1 x x c) C   . d) 2 1 D   . x x x x 1 2 1 2 Trang 9 Lời giải.
Phương trình có tích ac  1 ( 1  )  1
  0 nên có nghiệm phân biệt x , x x , x  0 .Theo định lý 1 2 1 2
Vi-ét, ta có x x  1 và x x  3  . 1 2 1 2 a) 2 2 2 2
A x x  (x x )  2x x 1  2 ( 3  )  7 . 1 2 1 2 1 2 b) 2 2
B x x x x x x (x x )  3  1 3  . 1 2 1 x 1 2 1 2 1 1 x x 1 1 c) 1 2 C       . x x x x 3 3 1 2 1 2 2 2 x x x x 7 7 d) 2 1 1 2 D       . x x x x 3  3 1 2 1 2
Ví dụ 7. Xét tổng a b c hoặc a b c rồi tính nhẩm các nghiệm của phương trình sau a) 2
x  3x  2  0 . b) 2
3x  7x 10  0 . c) 2
3x  4x 1  0 . d) 2
3x x 1 3  0 . Lời giải. c a) 2
x  3x  2  0 . a b c  1 ( 3
 )  2  0 nên phương trình có nghiệm x  1, x   2 . 1 2 a 10 b) 2
3x  7x 10  0 . a b c  3  7  ( 1
 0)  0 nên phương trình có nghiệm x  1, x   . 1 2 3 1 c) 2
3x  4x 1  0 . a b c  3 4 1  0 nên phương trình có nghiệm x  1  , x   . 1 2 3 d) 2
3x x 1 3  0 . a b c  3  ( 1
 ) 1 3  0 nên phương trình có nghiệm x  1, 1 3  3 x  . 2 3
Ví dụ 8. Xét tổng a b c hoặc a b c rồi tính nhẩm các nghiệm của phương trình sau a) 2
x  3x  4  0 . b) 2
2x  7x  5  0 . c) 2
6x  5x 1  0 . d) 2
x  2x 1 2  0 . Lời giải. a) 2
x  3x  4  0 . a b c  1 3  ( 4)
  0 nên phương trình có nghiêm x  1, x  4 . 1 2 5 b) 2
2x  7x  5  0 . a b c 1 7  5  0 nên phương trình có nghiêm x  1  , x   . 1 2 2 1 c) 2
6x  5x 1  0 . a b c  6  ( 5  )  ( 1
 )  0 nên phương trình có nghiêm x  1, x   . 1 2 6 Trang 10 d) 2
x  2x 1 2  0 . a b c 1 2  ( 1
  2)  0 nên phương trình có nghiêm x  1  , 1 x  1 2 . 2
Ví dụ 9. Sử dụng định lý Vi-ét tính nhẩm nghiệm của phương trình a) 2
x  7x 10  0 . b) 2
x  7x 10  0 . Lời giải. x x  7 a) 2
x  7x 10  0 .Theo định lý Vi-ét, ta có 1 2 
x  2, x  5. 1 2 x x  10  1 2 x x  7  b) 2
x  7x 10  0 .Theo định lý Vi-ét, ta có 1 2   x  2  , x  5  . r 1 2 x x  10  1 2
Ví dụ 10. Sử dụng định lý Vi-ét tính nhẩm nghiệm của phương trình2 a) 2
x  5x  6  0 . b) 2
x  5x  6  0 . Lời giải. x x  5  a) 2
x  5x  6  0 .Theo định lý Vi-ét, ta có 1 2   x  2  , x  3  . 1 2 x x  6  1 2 x x  5 b) 2
x  5x  6  0 .Theo định lý Vi-ét, ta có 1 2 
x  2, x  3.r 1 2 x x  10  1 2
Ví dụ 11. Cho phương trình 2
x mx m 1  0 . Chứng minh phương trình đã cho luôn một nghiệm
không phụ thuộc vào m . Tìm nghiệm còn lại. Lời giải.
Ta có a b c  1 (m)  m 1  0 nên phương trình có nghiệm x  1, x m 1. 1 2
Ví dụ 12. Cho phương trình 2
x mx m 1  0 . Chứng minh phương trình đã cho luôn một
nghiệm không phụ thuộc vào m . Tìm nghiệm còn lại. Lời giải.
Ta có a b c  1
 mm1 0 nên phương trình có nghiệm x  1
 , x  m 1. 1 2
Ví dụ 13. Tìm hai số u v trong mỗi trường hợp sau
a) u v  5 và uv  14  .
b) u v  5 và uv  24  . Lời giải. x  7
a) u v  5 và uv  14
 .u v là nghiệm của phương trình 2
x  5x 14  0  x  2.  Trang 11u  7 u   2  Vậy  hoặc  v  2 v  7. x  8
b) u v  5 và uv  24
 .u v là nghiệm của phương trình 2
x  5x  24  0  x  33.  u  8 u  3 Vậy  hoặc  r v  3 v  8.
Ví dụ 14. Tìm hai số u v trong mỗi trường hợp sau 1
a) u v  6  và uv  16  .
b) u v 1 và uv  . 4 Lời giải. x  2
a) u v  6  và uv  16
 .u v là nghiệm của phương trình 2
x  6x 16  0  x  8.  u  2 u   8  Vậy  hoặc  v  8 v  2. 1 1 1
b) u v 1 và uv
. u v là nghiệm của phương trình 2 x x   0  x  . 4 4 2 1
Vậy u v  . r 2
Ví dụ 15. Lập phuơng trình bậc hai có hai nghiệm là 2 1 và 2 1. Lời giải.
Ta có 2 1 2 1  2 2 và ( 2 1)( 2 1) 1 nên hai số đã cho là nghiệm của phương trình 2
x  2 2x 1  0.
Ví dụ 16. Lập phuơng trình bậc hai có hai nghiệm là 5 và 7  . Lời giải. Ta có 5  ( 7  )  2  và 5( 7  )  3
 5 nên hai số đã cho là nghiệm của phương trình 2
x  2x  35  0.
Ví dụ 17. Cho phương trình 2
x  3x 1  0 có hai nghiệm là x x . Lập phương trình bậc hai có 1 2 1 1 hai nghiệm là  và 2 2 x x . x x 1 2 1 2 Lời giải.
Theo định lý Vi-ét, ta có x x  3 và x x  1. 1 2 1 2 Trang 12 1 1 x x 1 2 2 2 2 2  
 3.x x  (x x )  2x x  3  21  7 . 1 2 1 2 1 2 x x x x 1 2 1 2
Vậy phương trình thỏa đề bài là 2
x 10x  21  0.
Ví dụ 18. Cho phương trình 2
x  4x  2  0 có hai nghiệm là x x . Lập phương trình bậc hai có 1 2 1 1 hai nghiệm là và . x x 1 2 Lời giải. 1 1 x x 4 1 1 1 1
Theo định lý Vi-ét, ta có x x  4 và x x  2 . 1 2     2 và    . 1 2 1 2 x x x x 2 x x x x 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
Vậy phương trình thỏa đề bài là 2 2 x  2x
 0  2x  4x 1  0. 2
Ví dụ 19. Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) 2
x  2x  3 . b) 2
3x  2x 1 . c) 2
x  ( 2 1)x  2 . d) 2
x mx m 1 . Lời giải. x  1 a) 2
x  2x  3 . 2
x  2x  3  0   Vậy 2
x  2x  3  (x 1)(x  3). x  3.  x 1  1  b) 2 3x  2x 1 . 2 
3x  2x 1  0  1       Vậy 2 3x 2x 1 3(x 1) x .   x   .  3   3 x 1 c) 2
x  ( 2 1)x  2 . 2
x  ( 2 1)x  2  0   Vậy x  2. 2
x  ( 2 1)x  2  (x 1)  x  2  . x  1 d) 2
x mx m 1 . 2
x mx m 1  0   Vậy 2
x mx m 1  (x 1)(x m 1). r x m 1.
Ví dụ 20. Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) 2
x  3x  4 . b) 2
4x  3x 1 . c) 2
x  ( 3 1)x  3 . d) 2
x mx m 1. Lời giải. x  1  a) 2
x  3x  4 . 2
x  3x  4  0  x  4. Trang 13 Vậy 2
x  3x  4  (x 1)(x  4). x 1 b) 2 4x  3x 1 . 2 
4x  3x 1  0  1 x   .  4  1  Vậy 2
4x  3x 1  4  x   1 x  .    4  x 1 c) 2
x  ( 3 1)x  3 . 2
x  ( 3 1)x  3  0  x  3. Vậy 2
x  ( 3 1)x  3  (x 1)  x  3. x  1  d) 2
x mx m 1. 2
x mx m 1  0  x m1. Vậy 2
x mx m 1  (x 1)(x m 1).r
Ví dụ 21. Cho phương trình 2
x  2(m  2)x m 1  0 . Tìm m để phương trình
a) Có hai nghiệm trái dấu.
b) Có hai nghiệm phân biệt.
c) Có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
d) Có hai nghiệm dương phân biệt.
e) Có hai nghiệm âm phân biệt. Lời giải.       c
m  2  m   m m    m  2 b 2 2 2 4( 1) 4 12 20 2 3 11.S
 2(m  2). P   m 1. a a
a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu  P  0  m 1 0  m 1.
b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt      m  2 0 2 3
11 0, đúng với mọi m .   0  
 2m 32 11 0
c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu   a    m 1. P   0  m 1 0  c    0 2
(2m  3) 11  0   b  
d) Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt  S
 0  2(m  2)  0  m  1. a  m 1 0  cP   0  a Trang 14    0 2
(2m  3) 11  0   b   m  2 
e) Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt  S
 0  2(m  2)  0   (Vô a   m  1 m 1  0  cP   0  a
lý). Vậy không tồn tại m .
Ví dụ 22. Cho phương trình 2
x  2mx m 1  0 . Tìm m để phương trình
a) Có hai nghiệm trái dấu.
b) Có hai nghiệm phân biệt.
c) Có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
d) Có hai nghiệm dương phân biệt.
e) Có hai nghiệm âm phân biệt. Lời giải. bc 2 2 2   ( 2
m)  4(m 1)  4m  4m  4  (2m 1)  3.S   2 . m P   m 1. a a
a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu  P  0  m
 1 0  m  1  .
b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt 2
   (2m 1)  3  0 , đúng với mọi m . 2   0
(2m 1)  3  0
c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu     m  1.  P  0 m 1  0 2   0
(2m 1)  3  0   m  0
d) Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt  S  0  2m  0   (Vô   m  1  P  0 m 1  0  
lý). Vậy không tồn tại m . 2   0
(2m 1)  3  0   m  0
e) Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt  S  0  2m  0    m  1  .   m  1  P  0 m 1  0  
Ví dụ 23. Cho phương trình 2
x  4x m  0 . Tìm các giá trị của tham số m để phương trình có hai
nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn 2 2
x x  10 . 1 2 1 2 Lời giải. 2   ( 4
 )  4m 16  4m .
Phương trình có hai nghiệm phân biệt    0 16  4m  0  m  4.
Theo định lý Vi-et ta có x x  4 và x x m . Ta có 1 2 1 2 Trang 15 2 2 2 2
x x 10  (x x )  2x x 10  4  2m 10  m  3 . 1 2 1 2 1 2 Vậy m  3.
Ví dụ 24. Cho phương trình 2
x  2x m 1  0 . Tìm các giá trị của tham số m để phương trình có
hai nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn 2 2
x x x x  1 . 1 2 1 2 1 2 Lời giải. 2   ( 2
 )  4(m 1)  4  4m  4  8  4 . m
Phương trình có hai nghiệm phân biệt    0  8  4m  0  m  2.
Theo định lý Vi-et ta có x x  2 và x x m 1. Ta có 1 2 1 2 3 2 2
x x x x  1  x x (x x )  1  (m 1)2  1  m  (thỏa mãn). 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3 Vậy m  . 2 Bài 1.
Không giải các phương trình, tính tổng và tích các nghiệm phương trình sau a) 2
x  5x  7  0 . b) 2
x  3x 12  0 . c) 2
2x  4x 8  0 . d) 2
6x  5x  2 . Lời giải.
Tất cả các phương trình đã cho đều có tích ac  0 nên luôn có nghiệm.2 a) 2
x  5x  7  0 . x x  5 , x x  7.  1 2 1 2 b) 2
x  3x 12  0 . x x  3  , x x  12.  1 2 1 2 c) 2
2x  4x 8  0 . x x  2 2 , x x  4  2 . 1 2 1 2 5 1 d) 2 2
6x  5x  2  6x  5x  2  0 . x x  , x x   . r 1 2 6 1 2 3 Bài 2.
Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình 2
x  3x  5  0 . Không giải phương trình hãy 1 2
tính giá trị của các biểu thức
a) A  3(x x )  x x . b) 2 2
B x x . 1 2 1 2 1 2 x x c) 2
C  (x x ) . d) 2 1 D   . 1 2 x x 1 2 Lời giải.
Theo định lý Vi-ét, ta có x x  3 và x x  5  . 1 2 1 2 Trang 16
a) A  3(x x )  x x  33  ( 5  )  4 . 1 2 1 2 b) 2 2 2 2
B x x  (x x )  2x x  3  2 ( 5  ) 19 . 1 2 1 2 1 2 c) 2 2 2
C  (x x )  x x  2x x  19  2 ( 5  )  29 . 1 2 1 2 1 2 2 2 x x x x 19 19 d) 2 1 1 2 D       . x x x x 5 5 1 2 1 2 Bài 3.
Tính nhẩm các nghiệm của phương trình sau2 a) 2
x  5x  6  0 . b) 2
2x  7x  5  0 . c) 2
x  ( 5 1)x  2  5  0 . d) 2
x  2x 15  0 . Lời giải. a) 2
x  5x  6  0 .Ta có a b c  1 (5)  (6)  0 nên phương trình có nghiệm x  1  , 1 x  6.  2 b) 2
2x  7x  5  0 .Ta có a b c  2  7  5  0 nên phương trình có nghiệm x  1  , x  5. 1 2 c) 2
x  ( 5 1)x  2  5  0 .Ta có a b c 1 ( 5 1)  2  5  0 nên phương trình có nghiệm x  1  , x  2  5. 1 2 d) 2
x  2x 15  0 .Ta có 2   ( 2  )  415  5
 6  0 nên phương trình vô nghiệm. Bài 4.
Tìm hai số u v trong mỗi trường hợp sau
a) u v  5 và uv  14  .
b) u v  4  và uv  21  . Lời giải. x  2 
a) u v  5 và uv  14
 . Hai số u v là nghiệm của phương trình 2
x  5x 14  0  x  7. u   2  u  7 Vậy  hoặc  v  7 v  2. x  7 
b) u v  4  và uv  21
 . Hai số u v là nghiệm của phương trình 2
x  4x  21  0  x  3. u   7  u  3 Vậy  hoặc  v  3 v  7. Bài 5.
Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 3 1 và 3 1 . Lời giải.
Ta có ( 3 1)  ( 3 1)  2 3 và ( 3 1) ( 3 1)  2 nên hai số đã cho là nghiệm của phương trình 2
x  2 3x  2  0. Trang 17 Bài 6. Cho phương trình 2
x  5x  2  0 có hai nghiệm là x x . Lập phương trình bậc hai có 1 2 1 1 hai nghiệm là và . x x 1 2 Lời giải.
Phương trình có tích ac  2   0 nên có nghiệm. 1 1 x x 5 5 
Theo định lý Vi-et ta có x x  5 và x x  2.  Ta có 1 2     và 1 2 1 2 x x x x 2  2 1 2 1 2 1 1 1 1 1     5 1
nên phương trình cần tìm là 2 2 x x
 0  2x  5x 1  0. x x x x 2 2 2 2 1 2 1 2 Bài 7.
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) 2
x  3x  4 . b) 2 4x  5x 1. c) 2
x  ( 2 1)x  2 . d) 2
x  (m 1)x m . Lời giải. x  1 a) 2
x  3x  4  0   Vậy 2
x  3x  4  (x 1)(x  4). x  4.  x  1   1  b) 2 
4x  5x 1  0  1       Vậy 2 4x 5x 1 4(x 1) x .   x   .  4   4 x 1 c) 2
x  ( 2 1)x  2  0   Vậy 2
x  ( 2 1)x  2  (x 1)  x  2 . x   2. x 1 d) 2
x  (m 1)x m  0   Vậy 2
x  (m 1)x m  (x 1)(x  ) m . r x  . m Bài 8. Cho phương trình 2
x  2(m  2)x m 1  0 . Tìm m để phương trình
a) Có hai nghiệm phân biệt.
b) Có hai nghiệm phân biệt trái dấu.
c) Có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
d) Có hai nghiệm dương phân biệt.
e) Có hai nghiệm âm phân biệt. Lời giải. 2 2 2   [ 2
 (m  2)]  4(m 1)  4m 12m  20  (2m  3) 11.S  2(m  2) , P m1.
a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt 2
   0  (2m  3) 11  0 , đúng với mọi m .
b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu  P  0  m 1 0  m 1. Trang 18 2   0
(2m  3) 11  0
c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu      m 1. P  0 m 1  0 2   0
(2m  3) 11  0  
d) Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt  S  0  2(m  2)  0  m 1.   P  0 m 1  0   2   0
(2m  3) 11  0   m  2 
e) Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt  S  0  2(m  2)  0   (Vô   m 1 P  0 m 1  0  
lý.)Vậy không tồn tại m . Bài 9. Cho phương trình 2
x  2(m 1)x m  2  0. Tìm m để phương trình a) Có nghiệm.
b) Có một nghiệm bằng 2 . Tìm nghiệm còn lại.
c) Có hai nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn 2 2 x x  8. 1 2 1 2 Lời giải. 2  3  3 a) 2 2    [ (
m 1)]  (m  2)  m  3m  3  m    0  
nên phương trình luôn có nghiệm với  2  4 mọi m .
b) Theo định lý Vi-ét, ta có x x  2(m 1) và x x m  2. Phương trình có nghiệm x  2 ta 1 1 1 2 1
2  x  2(m 1)
x  2m  4  x  0 có 2 2 2      2x m  2 2x m  2    m  2. 2 2
Vậy m  2 và nghiệm còn lại là 0 . m  0 c) 2 2 2 2 
x x  8  (x x )  2x x  8  4(m 1)  2(m  2)  8  1 2 1 2 1 2 5 m  .  2 5
Vậy m  0 hoặc m  . 2 --- HẾT --- Trang 19