Phương pháp tọa độ hóa bài toán hình không gian – Trần Duy Thúc Toán 12

Phương pháp tọa độ hóa bài toán hình không gian – Trần Duy Thúc Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

Trung tâm SEG.154-Hunh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
ThS. Trn Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 1
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA BÀI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN
I. Lý thuyết cn nh
1. Cách chn gc tọa độ
Ưu điểm:Khi ta chọn được tọa độ các điểm thì ch cn áp dng các kiến thc hình giải tích như khoảng
cách, góc, chứng minh vuông góc…Tuy nhiên, vi mt s Em hc sinh thì việc tính được tọa độ là vấn đề?
V nguyên tc thì Em có th chn gc tọa độ nm bt c ch nào, nhưng chọn ch nào thì vic tính tọa độ
là thun li nht? Sai lm của không ít người dẫn đến vic tính tọa độ các điểm phc tp là c thy chân
đường cao ca hình chóp là chn làm gc tọa độ. Trong mt s trường hp Em chọn như vậy s dẫn đến
vic tính tọa độ khó khăn và dễ b chán nn. Để thun li cho vic tính tọa độ Em nh nguyên tắc sau đây.
2.Nguyên tc chn gc tọa độ
+ V hình thc của đa giác đáy ra bên cnh.
+ Ưu tiên chọn gc tọa độ là góc vuông của đa giác đáy chứ không phải là ưu tiên chân đường cao. Tt
nhiên nếu chân đường cao mà trùng gc vuông đáy thì ta chọn gc tọa ngay điểm đó luôn là tốt.
+ Nhìn vào hình thực này để tính tọa độ các điểm trong mt phẳng đáy trước. Sau đó tính các điểm phát
sinh và đỉnh.
+ C quan tâm vào vic chn trc
;Ox Oy
đáy, sau đó gắn trc
Oz
vào là xong.
Chng hn ta có 1 s trường hp chn gc tọa độ như sau:
1. Đáy là hình vuông
Chn tọa độ tại đỉnh nào cũng được.
2. Đáy là hình chữ nht
3. Hình thoi
Chn góc tọa độ ti tâm I ca hình thoi.
y
x
D
A
C
x
y
D
B
C
A
x
y
B
C
I
A
D
Trung tâm SEG.154-Hunh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
ThS. Trn Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 i nào có ý chí,nơi đó có con đường! 2
4. Hình thang vuông
Chn góc tọa độ ngay gc vuông.
5. Tam giác vuông
Chn góc tọa độ ngay gc vuông.
6. Tam giác đều
Góc tọa độ là trung điểm H mt cnh ca tam
giác đều.
7. Tam giác cân
Góc tọa độ là trung điểm H ca cạnh đáy.
8. Hình bình hành
K thêm đường cao BH và góc tọa độ
là H.
y
x
B
C
A
D
x
y
C
B
A
y
y
H
B
A
C
y
y
H
B
A
C
y
x
H
D
B
C
A
Trung tâm SEG.154-Hunh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
ThS. Trn Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 i nào có ý chí,nơi đó có con đường! 3
II. Mt s yêu cầu thường gp
1. Chng minh quan h song song,vuông góc
2. Khong cách t một điểm đến mt mt phng
Cho điểm
0 0 0
;;M x y z
và mt phng
:0 P Ax By Cz D
. Khi đó:
0 0 0
2 2 2
;

Ax By Cz D
d M P
A B C
.
3. Khong cách giữa hai đường thng
Cho hai đường thẳng điểm
12
;dd
có hai vectơ chỉ phương lần lượt là
;ab
. Các điểm A và B lần lượt thuc
12
;dd
.Khi đó:
12
;.
;d
;



a b AB
dd
ab
.
4. Góc giữa hai đường thng
Cho hai đường thẳng điểm
12
;dd
có hai vectơ chỉ phương lần lượt là
;ab
.Khi đó:
12
.
cos ;d
.
ab
d
ab
.
III. Bài tp mu
Chú ý: Các ví d đây, Thầy ch s dụng phương pháp tọa độ để giúp các Em gii quyết triệt để ý sau ca
bài toán hình không gian thôi. Ý đầu tiên vn tính bình thường theo hình không gian thun túy nhé!
Ví d 1.(Trích đề THPT Quc Gia -2016) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân
ti B; AC= 2a. Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm ca cạnh AC; đường
thẳng A’B tạo vi mt phng (ABC) mt góc
45
. Tính theo a th tích ca khối lăng trụ ABC.A’B’C’
chứng minhg A’B vuông góc B’C.
Gii
P
d
(
M;
(
P
))
M
d1
d2
a
b
B
A
y
x
2a
A
B
C
45
x
y
z
B'
C'
H
A
B
C
A'
Trung tâm SEG.154-Hunh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
ThS. Trn Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 i nào có ý chí,nơi đó có con đường! 4
+ Tính
. ' ' 'ABC A B C
V
.
Gọi H là trung điểm ca AC, ta có
'A H ABC
'BH 45A
. Tam giác ABC vuông cân ti B và
AC=2a nên ta tính được:
BH a
2AB BC a
. Suy ra:

2
1
2. 2
2
ABC
S a a a
. Tam giác A’HB
vuông ti H và
'BH 45A
có nên tam giác A’HB vuông cân tại H. Suy ra
'A H BH a
.
Do đó :
23
. ' ' '
' . .
ABC A B C ABC
V A H S a a a
.
+ Chng minh
' 'CA B B
.
Dng h trc tọa độ
Bxyz
như hình vẽ,
/ / ; ;Bz AH A Bx C By
. Ta có:
2 2 2 2
0;0;0 ; 2;0;0 ; 0; 2;0 ; ; ;0 ; ' ; ;
2 2 2 2
a a a a
B A a C a H A a
.
Ta có:




22
' ' ' ; ;
22
aa
BB AA B a
2 2 2 2
' ; ; ; ' ; ;
2 2 2 2
a a a a
BA a CB a
.
Ta có :
2 2 2 2
'. ' . . . 0 ' ' .
2 2 2 2
a a a a
CB BA a a A B B C
Bình lun: Nhìn có v hơi dài dòng, nhưng khi đã quen Em sẽ tính tọa độ rt nhanh. Trong phn trên ta
tính các điểm nm trên các trc ta độ trước. Sau đó tính các điểm xung quanh, dựa vào các đặc điểm to ra
chúng. Ví dụ: khi đã tính được tọa độ điểm A và C thì áp dng tính chất trung điểm Em có ngay tọa độ
điểm H. Tung độ và hoành độ của H cũng là tung độ và hoành độ của A’ và chỉ cn thêm độ cao A’H là ta
có ngay tọa độ điểm A’. Các tứ giác bên là hình hình bình hành nên




22
' ' ' ; ;
22
aa
BB AA B a
.
Ví d 2. (Trích đề THPT Quc Gia -2015) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh
a. SA vuông góc mt phng(ABCD), góc giữa đường thng SC và mt phng (ABCD) bng
45
.
Tính theo a th tích ca khi chóp S.ABCD và khong cách giữa hai đường thng SB,AC.
Phân tích:
Đề bài cho
()SA ABCD
và ABCD là hình vuông vy là quá tt. Ta s chn ngay A làm góc ta độ luôn.
Gii
45
a
z
y
x
D
B
A
C
S
a
a
a
y
x
B
A
D
C
Trung tâm SEG.154-Hunh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
ThS. Trn Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 i nào có ý chí,nơi đó có con đường! 5
Gii
+ Tính
.S ABCD
V
.
Ta có:

; 45SC ABCD SCA
và ABCD là hình vuông cch a suy ra
2SA AC a
.
3
2
.
2
11
. . . 2.
3 3 3
S ABCD ABCD
a
V SA S a a
.
+ Tính
;d AC SB
.
Chn h trc tọa độ
Axyz
như hình vẽ. Ta có:
0;0;0 ;B ;0;0 ; ; ;0 ; 0;0; 2A a C a a S a
.
Đưng thẳng AC có vectơ chỉ phương
; ;0AC a a
cùng phương
1;1;0u
.
Đưng thẳng SB có vectơ chỉ phương
a;0; 2SB a
cùng phương
1;0; 2v
.


; 2 ; 2; 1 ; ;0;0u v AB a
.
Vy:




;.
10
;
5
;
u v AB
a
d SB AC
uv
.
Ví d 3. (Trích KA -2014) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a;
3
2
a
SD
;hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD) là trung điểm ca cnh AB. Tính theo a th ch ca
khi chóp S.ABCD và khong cách t điểm A đến mt phng (SBD).
Gii
z
x
y
a
3a
2
H
D
C
A
B
S
a
a
a
y
x
B
A
D
C
Trung tâm SEG.154-Hunh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
ThS. Trn Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 i nào có ý chí,nơi đó có con đường! 6
60
y
x
z
C'
B'
H
A
C
B
A'
+ Tính
.S ABCD
V
.
Gọi H là trung điểm ca AB, ta có
AH ABCD
. Tam giác ADH vuông ti A nên:
22
2 2 2 2
5
44
aa
HD AD AH a
. Tam giác SHD vuông H nên :
22
22
95
44
aa
SH SD HD a
. Khi đó :
3
2
.
11
. . . .
3 3 3
S ABCD ABCD
a
V SH S a a
.
+ Tính
;d A SBD
.
Chn h trc tọa độ
Axyz
như hình vẽ,
/ / SAz H
. Ta có:
0;0;0 ;B ;0;0 ; ;0;0 ; ;0; ; 0; ;0
22
aa
A a H S a D a
.
Ta có

; ;0BD a a
cùng phương

1;1;0u
;
;0;
2
a
BS a
cùng phương

1;0;2v
Mt phẳng (SBD) đi qua điểm B và có vectơ pháp tuyến



; 2;2;1n u v
có phương trình:
:2 2 2 0SBD x y z a
. Vy:
2
A;
3
a
d SBD
.
Ví d 4.(Trích KB -2014) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cnh a.. Hình chiếu
vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm ca cạnh AB; đường thẳng A’C tạo vi mt phng
(ABC) mt góc
60
. Tính theo a th tích ca khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khong cách t điểm B đến
(ACC’A’).
Gii
y
x
H
C
A
B
Trung tâm SEG.154-Hunh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
ThS. Trn Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 i nào có ý chí,nơi đó có con đường! 7
+ Tính
. ' ' 'ABC A B C
V
.
Gọi H là trung điểm ca AC, ta có
'A H ABC
'BH 60A
. Tam giácABC đều cnh a và H là trung
điểm ca AB nên
3
2
a
CH
2
3
4
ABC
a
S
. Tam giác A’HC vuông H nên

3
' .tan60
2
a
A H CH
.
Do đó :
23
. ' ' '
3 3 3 3
' . .
2 4 8
ABC A B C ABC
a a a
V A H S
.
+ Tính
B; ' 'd ACC A
.
Dng h trc tọa độ
Hxyz
như hình vẽ. Ta có:



33
0;0;0 ; ;0;0 ;B ;0;0 ; 0; ;0 ; ' 0;0;
2 2 2 2
a a a a
H A C A
.
Ta có
3
' ;0;
22
aa
AA
cùng phương

1;0;3u
;


3
; ;0
22
aa
AC
cùng phương
1; 3;0v
Mt phng
''ACC A
đi qua điểm A và có vectơ pháp tuyến



; 3 3;3; 3n v u
có phương trình:
33
' ' :3 3 3 3 0
2
a
ACC A x y z
. Vy:
3 13
B; ' '
13
a
d ACC A
.
Bình lun: Trong bài toán trên để viết phương trình mặt phng
''ACC A
ta ch cần tìm ba điểm thuc mt
phng
''ACC A
là được. Như vậy s tiết kim thi gian.
Ví d 5. (Trích KD -2014) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A; mt bên
SBC là tam giác đều cnh a và mt phẳng (SBC) vuông góc đáy. Tính theo a thể tích ca khi
chóp S.ABC và khong cách giữa hai đường thng SA; BC.
Gii
+ Tính
.S ABCD
V
.
Gọi H là trung điểm ca BC, do tam giác SBC đều nên ta có
SH BC
.
SBC ABC
, do đó
SH ABC
.
x
y
z
H
B
A
C
S
y
x
a
H
B
A
C
Trung tâm SEG.154-Hunh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
ThS. Trn Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 i nào có ý chí,nơi đó có con đường! 8
Tam giác SBC đều cnh a nên
3
2
a
SH
.
Tam giác ABC vuông cân ti A và BC=a,ta tính được

2
2
a
AB AC
.
Khi đó:

3
.
3 2 2 3
1 1 1
. . . . .
3 3 2 2 2 2 24
S ABCD ABC
a a a a
V SH S
.
+ Tính
;d SA BC
.
Chn h trc tọa độ
Axyz
như hình vẽ, vi
//Az SH
. Ta có:
2 2 2 2 2 2 3
0;0;0 ;B ;0;0 ;C 0; ;0 ; ; ;0 ; ; ;
2 2 4 4 4 4 2
a a a a a a a
A H S
.
Ta có


2 2 3
;;
4 4 2
aaa
AS
cùng phương
2; 2;2 3u
;


22
; ;0
22
aa
BC
cùng phương

1; 1;0v
. Ta có




2
; 2 3;2 3; 2 2 ; ;0;0
2
a
u v AB
.
Vy:




6
;.
3
;
4
;
32
a
u v AB
a
d SA BC
uv
.
Ví d 6. (Trích KA -2013) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A;
30ABC
mặt bên SBC là tam giác đều cnh a và mt phẳng (SBC) vuông góc đáy. Tính theo a thể tích
ca khi chóp S.ABC và khong cách t C đến mt phng (SAB).
Gii
+ Tính
.S ABCD
V
.
Gọi H là trung điểm ca BC, do tam giác SBC đều nên ta có
SH BC
. Mà
SBC ABC
SBC ABC BC
,do đó
SH ABC
.
x
y
z
H
B
A
C
S
x
a
y
30
°
H
A
C
B
Trung tâm SEG.154-Hunh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
ThS. Trn Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 i nào có ý chí,nơi đó có con đường! 9
Tam giác SBC đều cnh a nên
3
2
a
SH
. Tam giác ABC vuông A và
30ABC
, ta có:
3
sin60 ; sin30
22
aa
AC BC AB BC
.
Khi đó:
3
.
3 3 3
1 1 1
. . . . .
3 3 2 2 2 2 16
S ABCD ABC
a a a a
V SH S
.
+ Tính
C;d SAB
.
Chn h trc tọa độ
Axyz
như hình vẽ, vi
//Az SH
. Ta có:
3 3 3 3
0;0;0 ;B ;0;0 ;C 0; ;0 ; ; ;0 ; ; ;
2 2 4 4 4 4 2
a a a a a a a
A H S
.
Ta có


3
;0;0
2
a
AB
cùng phương
1;0;0u
;


33
;;
4 4 2
a a a
AS
cùng phương
3;1;2 3v
.
Ta có



; 0; 2 3;1uv
, mt phng
SAB
đi qua điểm A và có vectơ pháp tuyến
0;2 3; 1n
phương trình:
:2 3 0SAB y z
. Vy:
3 39
C;
13
a
d SAB
.
Ví d 7. (Trích KB -2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cnh a; mt bên SAB
là tam giác đều và nm trong mt phẳng vuông góc đáy. Tính theo a thể tích ca khi chóp
S.ABCD và khong cách t điểm A đến mt phng (SCD).
Gii
+ Tính
.S ABCD
V
.
Gọi H là trung điểm ca AB, do tam giác SAB đều cnh a nên ta có
SH AB
3
2
a
SH
.
SAB ABCD
SAB ABCD AB
,do đó
SH ABC
.
z
x
y
a
H
D
C
A
B
S
a
a
y
x
H
B
A
C
D
Trung tâm SEG.154-Hunh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
ThS. Trn Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 i nào có ý chí,nơi đó có con đường! 10
Vy:
3
2
.
33
11
. . . .
3 3 2 6
S ABCD ABCD
aa
V SH S a
.
+ Tính
A;d SDC
.
Chn h trc tọa độ
Axyz
như hình vẽ, vi
//Az SH
. Ta có:



3
0;0;0 ;B ;0;0 ;C ; ;0 ;D 0; ;0 ; ;0;0 ; ;0;
2 2 2
a a a
A a a a a H S
.
Ta có
;0;0DC a
cùng phương
1;0;0u
;



3
;;
22
aa
DS a
cùng phương
1; 2; 3v
.
Mt phng
SDC
đi qua điểm D và có vectơ pháp tuyến



; 0; 3;2n v u
có phương trình:
: 3 2 3 0SDC y z a
. Vy:
21
A;
7
a
d SDC
.
Ví d 8. (Trích KD -2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a; cnh bên SA
vuông góc với đáy;
120BAD
; M là trung điểm ca cnh BC và
45SMA
. Tính theo a th
tích ca khi chóp S.ABCD và khong cách t điểm D đến mt phng (SBC).
Gii
+ Tính
.S ABCD
V
.
120 60BAD BAC ABC
đều
2
33
22
ABCD
aa
AM S
.
SAM
vuông ti A và
45SMA SAM
vuông cân ti A
3
2
a
SA AM
.
Vy:
23
.
33
11
. . . .
3 3 2 2 4
S ABCD ABCD
a a a
V SA S
.
+ Tính
D;d SBC
.
z
y
x
120
°
M
I
D
B
A
C
S
a
a
a
x
y
120
°
I
M
D
B
A
C
Trung tâm SEG.154-Hunh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
ThS. Trn Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 i nào có ý chí,nơi đó có con đường! 11
Gi I là tâm ca hình thoi. Ta tính được
3
;
22
aa
AI CI IB ID
. Chn h trc tọa độ
Axyz
như hình
v, vi
//Iz SA
.
Ta có:

3 3 3
0;0;0 ;A ;0;0 ;C ;0;0 ;B 0; ;0 ;D 0; ;0 ; ;0;
2 2 2 2 2 2
a a a a a a
IS
.
Ta có


3
; ;0
22
aa
BC
cùng phương
1; 3;0u
;


33
;;
2 2 2
a a a
BS
cùng phương
1; 3; 3v
. Mt phng
SBC
đi qua điểm C và có vectơ pháp tuyến


; 3; 3;2 3n u v
phương trình:
3
:3 3 2 3 0
2
a
SBC x y z
. Vy:
6
D;
4
a
d SBC
.
Ví d 9. (Trích KA -2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cnh a. Hình chiếu
vuông góc ca S trên mt phẳng (ABC) là điểm H thuc cnh AB sao cho
2HA HB
. Góc gia
SC và mt phng (ABC) bng
60
. Tính theo a th tích ca khi chóp S.ABC và khong cách
giữa hai đường thng SA và BC.
Gii
+ Tính
.S ABCD
V
.
Gi I là trung điểm ca AB, do tam giác ABC đều nên ta có

3
;
2
a
CI AB CI
;
6
a
IH
.
Góc gia SC và phng (ABC) chính là góc
SCH
, suy ra
60SCH
. Ta có:
22
7 21
; .tan60
33
aa
HC IC IH SH CH
.Do đó:

23
.
21 3 7
11
. . . .
3 3 3 4 12
S ABCD ABC
a a a
V SH S
.
60
B
x
y
z
I
H
A
C
S
y
x
60
°
I
C
B
A
H
Trung tâm SEG.154-Hunh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
ThS. Trn Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 i nào có ý chí,nơi đó có con đường! 12
+ Tính
;d SA BC
.Chn h trc tọa độ
Ixyz
như hình vẽ, vi
//Iz SH
. Ta có:
3 21
0;0;0 ;A ;0;0 ;B ;0;0 ;C 0; ;0 ; ;0;0 ; ;0;
2 2 2 6 6 3
a a a a a a
I H S
.
Ta có


2 21
;0;
33
aa
AS
cùng phương
2;0; 21u
;


3
; ;0
22
aa
BC
cùng phương
1; 3;0v
. Ta có


; 63; 21;2 3 ; ;0;0u v AB a
.
Vy:




;.
42
;
8
;
u v AB
a
d SA BC
uv
.
Ví d 10. (Trích KB -2012) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC vi
2;SA a AB a
. Gi H là
hình chiếu vuông góc ca SA trên cnh SC. Chng minh SC vuông góc mt phng (ABH). Tính
th tích ca khi chóp S.ABH theo a.
Phân tích:Để chng minh SC vuông góc mt phng (ABH) ta ch cn chng minh SC vuông góc vi mt
cnh na trong mt phng (ABH). Mun vy, ch cn tìm tọa độ các đim s dụng tích hướng đ
chng minh vuông góc.Bài này làm theo cách trc tiếp thì nhanh hơn. Tất nhiên là phương pháp nhanh hay
chm thì ph thuc vào bài toán c th. th bài này ta thy phương pháp tọa độ là dài dòng, tuy nhiên
cũng sẽ bài ta thy rằng phương pháp y hiu qu. Tóm li tùy vào tng bài toán,mỗi phương pháp
s th hiện ưu khuyết điểm ca nó. Các Em o quan tâm th tham kho tài liu “Chuyên đề hình
không gian” được Thy biên son theo cách gii hình hc không gian thun túy.
Gii
+ Chng minh
SC ABH
.
Gi I là trung điểm ca AB; G là trng tâm ca
ABC
.
Ta có
SG ABC
33
; ;GC
23
aa
CI AB CI
.
B
x
y
z
G
I
A
C
S
H
B
x
a
y
x
60
°
G
I
C
B
A
Trung tâm SEG.154-Hunh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
ThS. Trn Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 i nào có ý chí,nơi đó có con đường! 13
SGC
vuông tai G, nên
22
33
3
a
SG SC GC
.Chn h trc tọa độ
Ixyz
như hình vẽ, vi
//Iz SG
.
Ta có:
3 3 3 33
0;0;0 ;A ;0;0 ;B ;0;0 ;C 0; ;0 ;G 0; ;0 ; 0; ;
2 2 2 6 6 3
a a a a a a
IS
.
Ta có


3 33
;0;0 ; 0; ;
33
aa
AB a SC
. Khi đó,
.0AB SC SC AB
.
SC AH
, do đó
SC ABH
.
+ Tính
.S ABH
V
.
Mt phẳng (ABH) đi qua I và có vectơ pháp tuyến là


3 33
0; ;
33
aa
SC
cùng phương
0;1; 11n
Ta có được phương trình
: 11 0ABH y z
.
Khi đó:

7
;
4
a
SH d S ABH
23
.
33 3 11
11
. . . .
3 3 3 4 12
S ABC ABC
a a a
V SG S
.
3
.
..
.
7 7 7 11
.
8 8 96
S ABH
S ABH S ABC
S ABC
V
SH a
VV
V SC
.
Ví d 11.(Trích KD -2012) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông;tam giác A’AC và
A’C=a. Tính theo a th tích ca khi t diện ABB’C’ và khoảng cách t điểm A đến mt phng (BCD’).
Gii
+ Tính
''ABB C
V
.
Tam giác A’AC vuông cân tại A và
2
' ' AC
2
a
A C a AA
. Do đó

2
a
AB AD
.
Khi đó:
3
' ' ' '
22
1 1 1
. . . . .
3 3 2 2 2 2 48
ABB C BB C
a a a a
V AB S
.
+ Tính
;'d A BCD
.
z
y
x
D'
C'
A'
C
A
D
B
B'
y
x
B
A
C
D
Trung tâm SEG.154-Hunh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
ThS. Trn Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 i nào có ý chí,nơi đó có con đường! 14
Dng h trc tọa độ
Axyz
như hình vẽ. Ta có:



2
0;0;0 ;B ;0;0 ; ; ;0 ;D 0; ;0 ; ' 0; ;
2 2 2 2 2 2
a a a a a a
A C D
.
Ta có
0; ;0
2
a
BC
cùng phương
0;1;0u
;


2
' ; ;
2 2 2
aaa
BD
cùng phương
1;1; 2v
.
Mt phng
'BCD
đi qua điểm B và có vectơ pháp tuyến



; 2;0;1n u v
có phương trình:
2
' : 2 0
2
a
BCD x z
. Vy:
6
A; '
6
a
d BCD
.
Ví d 12. (Trích KA -2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B;
2AB BC a
; hai mt mt (SAB) và (SAC) cùng vuông góc mt phng (ABC). Gi M là
trung điểm ca AB; mt phng cha SM và song song BC, ct AC ti N. Biết góc gia hai mt
phng (SBC) và (ABC) bng
60
.Tính theo a th tích ca khi chóp S.BCMN và khong gia
hai đường thng AB và SN.
Phân tích:Bài này các Em cn nh cách xây dng mt phng.

//
//
SMN BC
MN BC
SMN ABC MN
.
Khi đó N sẽ là trung điểm ca AC.
Gii
+ Tính
.MNCBS
V
.
Do các mt phng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc mt phng (ABC) suy ra
SA ABC
.
Ta có:
BC SA
BC SAB BC SB
BC AB
, do đó
SBA
là góc gia SB và mt phng (ABC) suy ra
60 .tan60 2 3SBA SA AB a
.
y
x
z
60
°
N
M
A
B
C
S
y
x
N
M
A
B
C
Trung tâm SEG.154-Hunh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
ThS. Trn Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 i nào có ý chí,nơi đó có con đường! 15
Ta có:


//
//
SMN BC
MN BC N
SMN ABC MN
là trung điểm ca AC;
;
22
BC
AB
MN a BM a
.
Din tích:
2
3
1
22
MNCB
a
S MB MN BC
. Vy:
2
3
.MNCB
3
11
. .2 3. 3
3 3 2
S MNCB
a
V SA S a a
.
+ Tính
;d AB SN
.
Chn h trc tọa độ
Bxyz
như hình vẽ, vi
//Bz SA
. Ta có:
2 ;0;0 ;B 0;0;0 ;C 0;2 ;0 ; ; ;0 ; 2 ;0;2 3A a a N a a S a a
.
Ta có
2 ;0;0BA a
cùng phương
1;0;0u
;
; ;2 3NS a a a
cùng phương
1; 1;2 3v
;


; 0; 2 3; 1 ; ; ;0u v BN a a
.
Khi đó:




23
;.
2 39
AB;
13
;
13
a
u v BN
a
d SN
uv
.
Ví d 13.(Trích KB -2011) Cho hình lăng trụ
1 1 1 1
.ABCD A B C D
có đáy ABCD là hình chữ nht;
;3AB a AD a
. Hình chiếu vuông góc ca
1
A
trên mt phng (ABCD) trùng với giao điểm ca AC và
BD. Góc gia hai mt phng
11
ADD A
và mt phng (ABCD) bng
60
. Tính theo a th tích ca khi
lăng trụ
1 1 1 1
.ABCD A B C D
và khong cách t điểm
1
B
đến mt phng
1
A BD
.
Gii
+ Tính
1 1 1 1
.ABCD A B C D
V
.
Gi I là giao điểm gia AC và BD

1
A I ABCD
; gọi E là trung điểm ca AD
IE AD
.
y
x
z
I
E
C
1
B
1
D
1
A
1
D
C
A
B
y
x
a
a
3
a
a
3
E
I
D
C
B
A
Trung tâm SEG.154-Hunh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
ThS. Trn Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 i nào có ý chí,nơi đó có con đường! 16
Suy ra
11
1
AD IE
AD A IE AD A E
AD A I
. Do đó
1
A EI
là góc gia hai mt phng
11
ADD A
mt phng (ABCD)
11
3
60 .tan60 3
22
a
AB
A EI A I IE
.
Diện tích đáy:

2
. 3 3
ABCD
S a a a
.
Th tích:
1 1 1 1
3
2
.1
33
. . 3
22
ABCD A B C D ABCD
aa
V A I S a
/
+ Tính
11
B;d A BD
.
Dng h trc tọa độ
Axyz
như hình vẽ, vi
1
/ / AAz I
.Ta có:
1
3 3 3
0;0;0 ;B ;0;0 ; 0; 3;0 ; ; ;0 ; ; ;
2 2 2 2 2
a a a a a
A a D a I A
.
Ta có:




1 1 1
3 3 3
;;
2 2 2
a a a
BB AA B
.
Ta có
; 3;0BD a a
cùng phương
1; 3;0u
;



1
33
;;
2 2 2
a a a
BA
cùng phương
1; 3; 3v
. Mt phng
1
A BD
đi qua điểm B và có vectơ pháp tuyến



; 3; 3;0n u v
phương trình:
1
:3 3 3 0A BD x y a
. Vy:
11
3
B;
2
a
d A BD
.
Ví d 14. (Trích đề thi th - THPT Trn phú 2016) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình
vuông cạnh a;I là trung điểm của AB; H là giao điểm gia BD và CI. Hai mt phng (SCI) và
(SBD) cùng vuông góc mt phng (ABCD). Góc gia (SAB) và (ABCD) bng
60
.Tính theo a
th tích ca khi chóp S.ABCD và khong cách giữa hai đường thng SA và CI.
Gii
x
y
z
E
H
I
C
A
D
B
S
y
x
E
H
I
B
A
C
D
Trung tâm SEG.154-Hunh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
ThS. Trn Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 i nào có ý chí,nơi đó có con đường! 17
+ Tính
.S ABCD
V
.
Ta có:

SCI ABCD
SBD ABCD SH ABCD
SCI SBD SH
.
K
HE AB
ti E,
AB SH
, do đó
AB SEH AB SE
.
Suy ra
SEH
là góc gia (SAB) và (ABCD)
60SEH
. Ta có
HIB
đồng dng
2
11
2 3 3
a
HB IB
HCD HB BD
HD CD
.
Ta có :
HBE
vuông ti E
2
.sin .sin45
33
aa
HE HB HBE
;
SHE
vuông ti H
3
.tan60
3
a
SH HE
.
Vy:
3
2
.
33
11
. .S . .
3 3 3 9
S ABCD ABCD
aa
V SH a
.
+ Tính
;d SA CI
.
Chn h trc tọa độ
Axyz
như hình vẽ,
//Az SH
. Ta có:
0;0;0 ;B ;0;0 ; 0; ;0 ; ; ;0 ;I ;0;0
2
a
A a D a C a a
;



2 2 3
1
; ;0 ; ;
3 3 3 3 3 3
a a a a a
BH BD H S
Ta có:
; ;0
2
a
IC a
cùng phương
1;2;0u
;


23
;;
3 3 3
aaa
AS
cùng phương
2;1; 3v
Ta có :


; 2 3; 3; 3 ; ; ;0u v AC a a
.
Khi đó:




3
;.
2
SA;
4
;
24
a
u v AC
a
d CI
uv
.
Ví d 15. (Trích đề thi th THPT Khoái Châu -2016) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình
thoi cnh a;

3
;
22
aa
SA SB
;
60BAD
và mt phẳng (SAB) vuông góc đáy. Gọi H và K ln
ợt là trung điểm ca AB và BC. Tính th tích ca khi t din KSDC và cosin ca góc hp bi
đường thng SH và DK.
Trung tâm SEG.154-Hunh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
ThS. Trn Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 i nào có ý chí,nơi đó có con đường! 18
Gii
+ Tính
KSDC
V
.
T gi thuyết:
3
;;
22
aa
AB a SA SB SAB
vuông ti S
22
a
AB
SH
.
Khi đó
2
a
SA SH AH SAH
đều. Gọi I là trung điểm ca AH
3
;
4
a
SI AH SI
. Mt khác,
SAB ABCD
nên ta có được
SI ABCD
.
Diện tích đáy:

22
33
11
.
2 2 4 8
KDC ABD
aa
SS
.
Th tích :
23
33
11
. . . .
3 3 4 8 32
KSDC KDC
a a a
V SI S
.
+ Tính
cos SH;DK
.
Gi F là tâm của hình thoi. Ta tính được
3
;F
22
aa
FB FD A FC
. Chn h trc tọa độ
Fxyz
như
hình v, vi
//Fz SI
. Ta có:
3 3 3
0;0;0 ;B ;0;0 ;D ;0;0 ;A 0; ;0 ;C 0; ;0 ;H ; ;0 ;
2 2 2 2 4 4
3 3 3 3 3 3
; ;0 ; ; ; ; ; ;0
8 8 8 8 4 4 4
a a a a a a
F
a a a a a a a
I S K
.
Ta có


33
;;
8 8 4
a a a
SH
cùng phương
1; 3; 2 3u
;


33
; ;0
44
aa
DK
cùng phương
3;1;0v
.
Khi đó :
.
3
cos SH;
4
.
uv
DK
uv
.
x
y
60
°
I
H
K
F
C
A
D
B
H
C
y
x
z
K
I
F
A
B
D
S
Trung tâm SEG.154-Hunh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
ThS. Trn Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 i nào có ý chí,nơi đó có con đường! 19
IV. Bài tp rèn luyn
Bài 1. (Trích KD -2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B;
3 ; 4BA a BC a
; mt
phng (SBC) vuông góc mt phng (ABC). Biết
23SB a
30SBC
. Tính th tích ca khi chóp
S.ABC và khong cách t điểm B đến mt phng (SAC) theo a.
Bài 2. (Trích KA -2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gi M và N lần lượt là
trung điểm ca AB và AD; H là giao điểm ca CN và MD. Biết SH vuông góc mt phng (ABCD) và
3SH a
. Tính theo a th tích ca khi chóp S.CDNM và khong cách giữa hai đường thng MD và SC.
Bài 3. (Trích KB -2010) Cho hình lăng tr đều ABC.A’B’C’ có AB= a. Góc gia mt phẳng (A’BC) và
bng
60
. Gi G là trng tâm của tam giác A’BC. Tính thể tích ca khối lăng trụ đã cho và bán kính mặt
cu ngoi tiếp t din GABC.
Bài 4. (Trích KD -2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; cnh bên SA=a; hình chiếu
vuông góc ca S trên mt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC,
4
AC
AH
. Gi CM là đường cao ca
tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm ca SA và tính th tích ca khi t din SMBC theo a.
Bài 5. (Trích KA -2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D;
2,AB AD a CD a
. Góc gia hai mt phng (SBC) và (ABCD) bng
60
. Gọi I là trung điểm ca AD.
Biết hai mt phng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc mt phng (ABCD), tính th tích ca khi chóp
S.ABCD theo a.
Bài 6. (Trích KB -2009) Cho hình lăng tr tam giác ABC.A’B’C’ có
'BB a
;góc giữa BB’ và mặt phng
(ABC) ; tam giác ABC vuông ti C và
60BAC
. Hình chiếu của B’ trên mặt phng (ABC) trùng vói
trng tâm ca tam giác ABC. Tính th tích ca khi t diện A’ABC theo a.
Bài 7. (Trích KD -2009) Cho hình lăng tr đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác ABC vuông tại B;
,AB a
' 2 ,A'C 3aAA a
. Gọi M là trung điểm của A’C’; I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a
th tích ca khi t din IABC và khong cách t điểm A đến mt phng (IBC).
Bài 8. (Trích KA -2008) Cho hình lăng tr ABC.A’B’C’ có độ dài cnh bên bằng 2a, đáy tam giác ABC
vuông ti A;
,3AB a AC a
và hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm ca
BC. Tính theo a th tích ca khối chóp A’.ABC và tính cosin của góc hp bởi hai đường thẳng AA’ và
B’C’.
Bài 9. (Trích KB -2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a;
,SB 3SA a a
và mt
phng (SAB) vuông góc mt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm ca AB và BC. Tính th tích ca
khi chóp S.BMDN và tính cosin ca góc hp bởi hai đường thng SM và DN.
Trung tâm SEG.154-Hunh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
ThS. Trn Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 i nào có ý chí,nơi đó có con đường! 20
Bài 10. (Trích KD -2008) Cho hình lăng tr đứng ABC.A’B’C’ đáy tam giác ABC vuông;
AB BC a
,cnh bên
'2AA a
. Gọi M là trung điểm ca BC. Tính theo a th tích ca khối lăng trụ
ABC.A’B’C’ và khong cách giữa hai đường thẳng AM và B’C.
Bài 11. (Trích KA -2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; mt bên (SAD) là tam
giác đều và nm trong mt phẳng vuông góc đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm ca các cnh SB,BC,
CD. Chng minh rng AM vuông góc vi BP và tính theo a th tích ca khi t din CMNP.
Bài 12. (Trích KB -2007) Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối
xng của D qua trung điểm của SA; M là trung điểm của AE;N là trung điểm ca BC. Chng minh MN
vuông góc vi BD và tính theo a khong cách giữa hai đường thng MN và AC.
Bài 13. (Trích KD -2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang,
90 ;ABC BAD
;2BA BC a AD a
. Cnh bên SA vuông góc với đáy và cạnh bên
2SA a
. Gi H là hình chiếu
vuông góc ca A trên SB. Chng minh tam giác SCD vuông và tính theo a khong cách t điểm H đến mt
phng (SDC).
Bài 14. (Trích KA -2006) Cho hình tr có các đáy là hai đường tròn tâm O và O’. Bán kính đáy bằng vi
chiu cao và bằng a. Trên đường tròn O lấy điểm A và trên đường tròn O’ lấy đim B sao cho AB=2a. Tính
th tích ca khi t diện OO’AB.
Bài 15. (Trích KB -2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nht vi
;AD 2;AB a a SA a
và SA vuông góc mt phng (ABCD). Gi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm ca
BM và AC. Chng minh rng mt phng (SAC) vuông góc mt phng (SMB). Tính th tích ca khi t
din ANIB theo a.
Bài 16. (Trích KD -2006) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cnh a
;2SA a
và SA vuông
góc mt phng (ABC). Gi M, N lần lượt là các hình chiếu vuông góc ca A trên các cnh SB và SC. Tính
th tích ca khi chóp A.BCNM.
Bài 17. Cho hình lăng tr đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác ABC vuông tại A, AB=2a, AC=a, AA’=3a.
Tính th tích ca khối lăng trụ và khong cách gia hai đường thẳng AB’ và BC.
Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, mặt phẳng (SBD) vuông góc đáy và hai đường
thng SA và SD hp với đáy một góc
30
. Biết
6; 2AD a BD a
45ADB
.Tính th tích ca khi
chóp S.ADBC và khong cách t đỉnh C đến mt phng (SAD).
Bài 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a,
60BCD
; cnh SA vuông góc mt phng
(ABCD). Hai mt phng (SCD) và (SBC) vuông góc nhau.Tính theo a thch ca khi chóp S.ADBC và
khong cách t đỉnh C đến mt phng (SBD).
Trung tâm SEG.154-Hunh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
ThS. Trn Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 i nào có ý chí,nơi đó có con đường! 21
Bài 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; mặt bên SAD là tam giác đều và
2SB a
.
Gi E, F lần lượt là trung điểm ca AD và AB. Gọi H là giao điểm ca FC và EB. Chng minh
;SE EB CH SB
và tính theo a th tích ca khi chóp C.SEB.
Bài 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang cân; AD là đáy lớn,
2;AD a AB BC CD a
.
Hình chiếu ca S trên mt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC sao cho
2HC HA
. Góc gia hai mt
phng (SDC) và (ABCD) bng
60
. Tính theo a th tích ca khi chóp S.ABCD và khong cách gia hai
đường thng SA và CD.
Bài 22. Cho hình chóp S.ABC có đáy là vuông cân tại đỉnh B,
,AB a SA a
và SA vuông góc mt phng
(ABC). Gi M và N lần lượt là trung điểm ca AB và SA. Tính theo a th tích ca khi chóp S.ABC và
khong cách t điểm N đến mt phng (SCM).
Bài 23. Cho hình lăng tr ABCD.A’B’C’D’ đáy là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’ trên
mt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC sao cho
3HC HA
;góc to bởi AA’ và mặt phng (ABCD)
bng
60
. Tính theo a th tích ca khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ và sin ca góc hp bi đường thẳng A’A
và mt phẳng (A’CD).
Bài 24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nht tâm I. Cnh SA vuông góc mt phng (ABCD) và
3SA a
. Biết bán kính của đường tròn ngoi tiếp hình ch nht ABCD bng
3
3
a
30ACB
.
Tính theo a th tích ca khi chóp S.ABCD và khong cách giữa hai đường thng AC và SB.
Bài 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nht tâm I;
;BC 3AB a a
, tam giác SAC vuông
ti S. Hình chiếu vuông góc ca S trên mt phng (ABCD) trùng với trung điểm H của đoạn thng AI. Tính
theo a th tích ca khi chóp S.ABCD và khong cácht điểm C đến mt phng (SAB).
Bài 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B;
,AD 2AB BC a a
. Cnh SA
vuông góc vi mt (ABCD); góc gia hai mt phng (SCD) và (ABCD) bng
45
. Gọi M là trung điểm
ca AD. Tính th tích ca khi chóp S.MCD và khong cách giữa hai đường thng SM và BD.
Bài 27. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cnh a; cạnh SA vuông góc đáy và SB hợp vi mt
phng (ABC) bng
45
. Gi M, N lần lượt là trung điểm ca SB và BC. Tính theo a th tích ca khi chóp
S.ABC và khong cách t điểm B đến mt phng (AMN).
Bài 28. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam vuông tại B;
;AC 10BC a a
. Hai mt phng (SAC) và
(SAB) cùng vuông góc mt phng (ABC). Góc gia mt phng (SBC) và mt phng (ABC) bng
60
.
Tính theo a th tích ca khi chóp S.ABC và khong cách gia hai đường thng SM và AC, với M là điểm
thuộc đoạn BC sao cho
2MC MB
.
Trung tâm SEG.154-Hunh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
ThS. Trn Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 i nào có ý chí,nơi đó có con đường! 22
Bài 29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nht,
;AD 2 2AB a a
. Hình chiếu vuông góc ca S
trên mt phng (ABCD) trùng vi trng tâm ca tam giác BCD. Đường thng SA to vi mt phng (ABC)
mt góc
45
.Tính theo a th tích ca khi chóp S.ABCD và khong cách giữa hai đường thng SD và AC.
Bài 30. Cho hình lăng tr đứng ABC.A’B’C’ có
;BC 2 ; 120AB a a ACB
. Đưng thẳng A’C tạo vi
mt phẳng (ABB’A’) một góc
30
. Gọi M là trung điểm của BB’. Tính theo a thể tích ca khối lăng trụ
ABC.A’B’C’ và khong cách giữa hai đường thẳng AM và CC’.
Bài 31. Cho hình lăng tr đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông với
AB AC a
.
Mt phng (A’BC) tạo vi mt phng (ABC) mt góc
45
. Tính theo a th tích ca khối lăng trụ
ABC.A’B’C’ và khong cách giữa hai đường thẳng A’B và B’C’.
Bài 32. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông ti A và B. Các mt phng (SAB) và (SAD)
cùng vuông góc vi mt phẳng đáy. Cho
2 ,AD ; ; 2 5AB a a SA BC a CD a
. Gi H là điểm thuc
đoạn thng AD sao cho
AH a
. Tính theo a th tích ca khi chóp S.ABCD và khong cách gia hai
đường thng BH và SC.
Bài 33. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cnh a; tam giác SAB vuông cân ti S và nm
trong mt phng vuông góc mt phng (ABC). Tính theo a th tích ca khi chóp S.ABC và cosin ca góc
hp bởi hai đường thng SB và AC.
i 34. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A vi
; 2 2AB a AC a
. Hình chiếu
vuông góc ca S trên mt phẳng (ABC) là điểm H thuc BC sao cho
2HB HC
, góc gia SB và mt
phẳng đáy bằng
60
. Tính theo a th tích ca khi chóp S.ABC và khong cách giữa hai đường thng SB
và AC.
Bài 35. Cho hình lăng tr đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, góc gia hai mt phẳng (A’BC) và (ABC)
bng
60
. Gọi M là trung điểm ca BC và N là trung điểm của CC’. Tính theo a thể tích ca khi chóp
A.BB’C’C và khong cách t điểm M đến mt phẳng (AB’N).
Bài 36. Cho hình lăng tr ABC.A’B’C’ có cạnh đáy là tam giác đều cnh bng a. Hình chiếu vuông góc
của A’ xuống mt phẳng (ABC) là trung điểm ca AB. Mặt bên (AA’C’C) tạo với đáy một góc bng
45
.
Tính theo a th tích ca khi lăng trụ ABC.A’B’C’ và khong cách t điểm B đến mt phng (AA’C’C).
Bài 37. Cho hình chóp t giác đều S.ABCD có
2AB
. Gi M và N lần lượt là trung điểm ca các cnh
SA, SC sao cho BM vuông góc DN. Tính th tích ca khi chóp S.ABCD và khong cách giữa hai đường
thng DN và AB.
Bài 38. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nữa lục giác đều và
AB CD BC a
. Hai mt phng
(SAD) và (SBD) cùng vuông góc mt phng (ABCD), góc gia SC và mt phng (ABCD) bng
60
.
Trung tâm SEG.154-Hunh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
ThS. Trn Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 i nào có ý chí,nơi đó có con đường! 23
Tính theo a th tích ca khi chóp S.ABCD và góc gia đưng thng SC và mt phng (SAD).
Bài 39. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là là hình ch nht,
; ; 2SA a AB a AC a
; SA vuông
góc mt phng (ABCD). Gi G là trng tâm ca tam giác SAC. Tính theo a th tích ca khi chóp S.ABCD
và khong cách t điểm A đến mt phng (BCG).
Bài 40. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là là hình ch nht,
2;AB a AD a
; K là hình chiếu
vuông góc của B lên đường chéo AC; các điểm H,M lần lượt là trung điểm ca AK và DC. Cnh SH vuông
góc vi mt phng (ABCD); góc gia SB và mt phng (ABCD) bng
45
. Tính theo a th tích ca khi
chóp S.ABCD và khong cách gia hai đường thng SB và MH.
Bài 41. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cnh a. Gọi I là trung điểm ca ca cnh AB; hình
chiếu vuông góc ca S trên mt phẳng (ABC) là trung điểm H ca CI; góc gia SA và mt phng (ABC)
bng
60
. Tính theo a th tích ca khi chóp S.ABC và khong cách t điểm H đên mặt phng (SBC).
Bài 42. Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D cạnh đáy là hình thoi cnh bng a, góc
60ACB
. Mt
phẳng (A’BD) to vi đáy một góc bng
60
. Tính theo a th tích ca khi hp và khong cách gia hai
đường thng CD và BD.
Bài 43. Cho hình chóp S.ABC có mt phng (SAC) vuông góc mt phng (ABC);
;2SA AB a AC a
90ASC ABC
. Tính theo a th tích ca khi chóp S.ABC và cosin ca góc gia hai mt phng
(SAB) và (SBC).
Bài 44. Cho hình chóp S.ABCD có
;,SA ABCD SA a ABCD
là hình ch nht có
2 ; 5AB a AD a
.
Đim E thuc BC sao cho CE=a. Tính theo a th tích ca khi chóp S.ABCD và din tích mt cu ngoi
tiếp t din ASDE.
Bài 45. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình chữ nht vi
;2AB a AD a
SA ABCD
.
Gọi M là trung điểm ca CD và SC hp vi mt phẳng đáy một góc
sao cho
1
tan
5
.Tính theo a th
tích ca khi chóp S.ABCD và khong cách t điểm D đến mt phng (SBM).
Bài 46. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cnh a,
3
2
a
SD
. Hình chiếu vuông góc ca
S trên mt phng (ABCD) là trung điểm H ca đoạn thng AB. Gi K là trung điểm ca AD. Tính theo a
th tích ca khi chóp S.ABCD và khong cách giữa hai đường thng HK và SD.
Bài 47. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cnh a,
SA ABCD
. Cnh SC to vi mt
phng (SAB) mt góc
30
. Goi E là trung điểm BC. Tính theo a th tích ca khi chóp S.ABCD và
khong cách giữa hai đường thng DE và SC.
Trung tâm SEG.154-Hunh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
ThS. Trn Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 i nào có ý chí,nơi đó có con đường! 24
Bài 48. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi cnh a,
60ABC
. Cnh SA vuông góc vi
mt phng (ABCD) và SC to vi mt phng (ABCD) mt góc
60
. Tính theo a th tích ca khi chóp
S.ABCD và khong cách giữa hai đường thng AB và SD.
Bài 49. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi cnh,
3; 120a BAD
. Cnh SA vuông góc
vi mt phng (ABC) và mt phng (SBC) to vi mt phng (ABCD) mt góc
60
. Tính theo a th tích
ca khi chóp S.ABCD và khong cách giữa hai đường thng BD và SC.
Bài 50. Cho hình lăng tr ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cnh a. Hình chiếu vuông góc ca A
xung mt phẳng (ABC) là trung điểm ca AB. Mt bên (AACC) to với đáy một góc bng
45
. Tính
theo a th tích ca khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khong cách t điểm B đến mt phng (AACC) .
Bài 51. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình chữ nht vi
2;AB a AD a
.Hình chiếu vuông
góc ca S xung mt phng (ABCD) là trung điểm H ca AB; SC to với đáy mt góc bng
45
.Tính theo
a th tích ca khi chóp S.ABCD và khong cách t điểm A đến mt phng (SCD).
Bài 52. Cho hình lăng tr ABC.A’B’C’ có độ dài cnh bên bằng 2a, đáy tam giác ABC là vuông cân ti A;
2AB a
. Hình chiếu vuông góc ca A xung mt phẳng (ABC) là trung điểm ca BC. Tính theo a th
tích ca khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khong cách giữa hai đường thng AA và BC.
Bài 53. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang cân
//BC AD
.Hình chiếu vuông góc ca S
xung mt phng (ABCD) là trung điểm H ca AD;
; ; 2SH a AB BC CD a AD a
. Tính theo a th
tích ca khi chóp S.ABCD và khong cách giữa hai đường thng SB AD.
Bài 54. Cho hình chóp S.ABC đáy tam giác vuông cân;
AB AC a
M là trung điểm ca AB. Hình
chiếu vuông góc ca S xung mt phng (ABC) trùng vi tâm đường tròn ngoi tiếp tam giác BMC và góc
gia SC vi mt phng (ABC) bng
60
. Tính theo a th tích ca khi chóp S.BMC và khong cách t
điểm B đến mt phng (SAC).
Bài 55. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cnh 2a,. Hình chiếu vuông góc ca S trên
mt phng (ABCD) là trùng vi trng tâm G ca tam giác ABC; góc gia SA và mt phng (ABCD) bng
30
. Tính th tích ca khi chóp S.ABCD và cosin ca góc hp bởi đường thng AC và mt phng (SAB).
Bài 56. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình chữ nht. Tam giác SAB đều và nm trong mt
phng vuông góc vi mt phng (ABCD). Biết
23SD a
đường thng SC to với đáy mt góc bng
30
.Tính theo a th tích ca khi chóp S.ABCD và khong cách t điểm B đến mt phng (SAC).
Chúc các Em hc tp tht tt!
Thy Trn Duy Thúc
| 1/24

Preview text:

Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA BÀI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN
I. Lý thuyết cần nhớ
1. Cách chọn gốc tọa độ
Ưu điểm:Khi ta chọn được tọa độ các điểm thì chỉ cần áp dụng các kiến thức hình giải tích như khoảng
cách, góc, chứng minh vuông góc…Tuy nhiên, với một số Em học sinh thì việc tính được tọa độ là vấn đề?
Về nguyên tắc thì Em có thể chọn gốc tọa độ nằm bất cứ chổ nào, nhưng chọn chổ nào thì việc tính tọa độ
là thuận lợi nhất? Sai lầm của không ít người dẫn đến việc tính tọa độ các điểm phức tạp là cứ thấy chân
đường cao của hình chóp là chọn làm gốc tọa độ. Trong một số trường hợp Em chọn như vậy sẽ dẫn đến
việc tính tọa độ khó khăn và dễ bị chán nản. Để thuận lợi cho việc tính tọa độ Em nhớ nguyên tắc sau đây.
2.Nguyên tắc chọn gốc tọa độ
+ Vẽ hình thực của đa giác đáy ra bên cạnh.
+ Ưu tiên chọn gốc tọa độ là góc vuông của đa giác đáy chứ không phải là ưu tiên chân đường cao. Tất
nhiên nếu chân đường cao mà trùng gốc vuông ở đáy thì ta chọn gốc tọa ngay điểm đó luôn là tốt.
+ Nhìn vào hình thực này để tính tọa độ các điểm trong mặt phẳng đáy trước. Sau đó tính các điểm phát sinh và đỉnh.
+ Cứ quan tâm vào việc chọn trục O ;
x Oy ở đáy, sau đó gắn trục Oz vào là xong.
Chẳng hạn ta có 1 số trường hợp chọn gốc tọa độ như sau: 1. Đáy là hình vuông
Chọn tọa độ tại đỉnh nào cũng được. y C B A D x
2. Đáy là hình chữ nhật y C B A D x y 3. Hình thoi
Chọn góc tọa độ tại tâm I của hình thoi. D x A I C B
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89
Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 1
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM 4. Hình thang vuông y C
Chọn góc tọa độ ngay gốc vuông. B x A D 5. Tam giác vuông y
Chọn góc tọa độ ngay gốc vuông. B A C x 6. Tam giác đều
Góc tọa độ là trung điểm H một cạnh của tam y giác đều. B y A H C 7. Tam giác cân y
Góc tọa độ là trung điểm H của cạnh đáy. B y A H C 8. Hình bình hành
Kẻ thêm đường cao BH và góc tọa độ x là H. B C y A H D
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 2
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
II. Một số yêu cầu thường gặp
1. Chứng minh quan hệ song song,vuông góc
2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Cho điểm M x ; y ; z và mặt phẳng M 0 0 0  
d(M;(P))
P : Ax By Cz D  0. Khi đó: 
Ax By Cz D d M ;P 0 0 0  . 2 2 2
A B C P
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng điểm d ;d có hai vectơ chỉ phương lần lượt là ;
a b . Các điểm A và B lần lượt thuộc 1 2 d ;d .Khi đó: 1 2 d1a b  ; .   AB A d d ;d  . a 1 2   ; a b   d2 b B
4. Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng điểm d ;d có hai vectơ chỉ phương lần lượt là ; a b .Khi đó: 1 2  . a b cos d ; d  . 1 2  a . b III. Bài tập mẫu
Chú ý: Các ví dụ ở đây, Thầy chỉ sử dụng phương pháp tọa độ để giúp các Em giải quyết triệt để ý sau của
bài toán hình không gian thôi. Ý đầu tiên vẩn tính bình thường theo hình không gian thuần túy nhé!
Ví dụ 1.(Trích đề THPT Quốc Gia -2016) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân
tại B; AC= 2a. Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AC; đường
thẳng A’B tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 45 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và
chứng minhg A’B vuông góc B’C. Giải z B' A' y C C' 2a x 45 A B H B A x y C
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 3
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
+ Tính VABC.A'B'C' .
Gọi H là trung điểm của AC, ta có A' H   ABC và A'BH  45 . Tam giác ABC vuông cân tại B và AC=2a nên ta tính đượ 1
c: BH a AB BC a 2 . Suy ra: S
a 2.a 2  2 aABC 2 . Tam giác A’HB
vuông tại H và A'BH  45 có nên tam giác A’HB vuông cân tại H. Suy ra A' H BH a . Do đó : VA'H.S  2 . a a  3 a
ABC.A'B'C' ABC .
+ Chứng minh A' B B'C .
Dựng hệ trục tọa độ Bxyz như hình vẽ, Bz / / AH; A B ;
x C By . Ta có:
B0;0;0; Aa 2;0;0;C0;a 2;0  a 2 a 2   a 2 a 2  ;H  ; ;0; A' ; ;a .  2 2   2 2 
 a 2 a 2   a 2 a 2   a 2 a 2 
Ta có: BB '  AA '  B ' ;
;a BA'  ; ;a ;CB'   ;    ;a .  2 2   2 2   2 2 
a 2 a 2 a 2 a 2
Ta có : CB '.BA'   .  .  .
a a  0  A'B B'C. 2 2 2 2
Bình luận: Nhìn có vẻ hơi dài dòng, nhưng khi đã quen Em sẽ tính tọa độ rất nhanh. Trong phần ở trên ta
tính các điểm nằm trên các trục tọa độ trước. Sau đó tính các điểm xung quanh, dựa vào các đặc điểm tạo ra
chúng. Ví dụ: khi đã tính được tọa độ điểm A và C thì áp dụng tính chất trung điểm Em có ngay tọa độ
điểm H. Tung độ và hoành độ của H cũng là tung độ và hoành độ của A’ và chỉ cần thêm độ cao A’H là ta
 a 2 a 2 
có ngay tọa độ điểm A’. Các tứ giác bên là hình hình bình hành nên BB '  AA '  B ' ; ;a .  2 2 
Ví dụ 2. (Trích đề THPT Quốc Gia -2015) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh
a. SA vuông góc mặt phẳng(ABCD), góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 45 .
Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB,AC. Phân tích:
Đề bài cho SA  (ABCD) và ABCD là hình vuông vậy là quá tốt. Ta sẽ chọn ngay A làm góc tọa độ luôn. Giải z S y C D a a D x A a a B 45 A B x y C
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 4
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Giải
+ Tính VS.ABCD . Ta có: S ;
C ABCD  SCA  45 và ABCD là hình vuông cạch a suy ra SA AC a 2 . 3  1 . .  1 2 . 2.  2a V SA S a a S.ABCD 3 ABCD 3 3 .
+ Tính d A ; C SB .
Chọn hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ. Ta có: A0;0;0;B ; a 0;0;C ; a ;
a 0;S0;0;a 2 .
Đường thẳng AC có vectơ chỉ phương AC   ; a ;
a 0cùng phương u  1;1;0 .
Đường thẳng SB có vectơ chỉ phương SB  a;0;a 2 cùng phương v  1;0; 2 .  ; u v     2; 2;  1 ; AB   ; a 0;0 .  ; u v  .AB a 10 Vậy: d S ; B AC   .  ; u v 5   a
Ví dụ 3. (Trích KA -2014) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SD  32
;hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD) là trung điểm của cạnh AB. Tính theo a thể tích của
khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD). Giải z y C S D 3a 2 a a A D y a A B x a H B x C
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 5
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
+ Tính VS.ABCD .
Gọi H là trung điểm của AB, ta có AH   ABCD . Tam giác ADH vuông tại A nên: 2 2 a 5a 2 HD  2 AD  2 AH  2 a   4
4 . Tam giác SHD vuông H nên : 2 2  2  2  9a  5a SH SD HDa . Khi đó : 4 4 3  1 . .  1 2 . .  a V SH S a a S.ABCD 3 ABCD 3 3 . + Tính d  ; A SBD.
Chọn hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ, Az / / SH . Ta có:
0;0;0;B ;0;0; a;0;0 a A a H S a D a 2 ;  ;0; 2 ; 0; ;0. a Ta có BD   ; a ;
a 0 cùng phương u  1;1;0; BS   ;0;a v  1;0;2 2  cùng phương  
Mặt phẳng (SBD) đi qua điểm B và có vectơ pháp tuyến n   ; u v  2;2;    1 có phương trình:
SBD:2x 2y z2a  0 a . Vậy: d  SBD  2 A; 3 .
Ví dụ 4.(Trích KB -2014) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a.. Hình chiếu
vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB; đường thẳng A’C tạo với mặt phẳng
(ABC) một góc 60 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ điểm B đến (ACC’A’). Giải z y C' A' C B' x 60 A y x C B H A H B
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 6
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
+ Tính VABC.A'B'C' .
Gọi H là trung điểm của AC, ta có A' H   ABC và A'BH  60 . Tam giácABC đều cạnh a và H là trung 2 điể a a 3 a m của AB nên CH  3 S  . Tam giác A’HC A H CH 2 và ABC 4 vuông H nên   3 ' .tan60 2 . 2 3 Do đó :   3a a 3  3 3 ' . . a V A H S
ABC.A'B'C' ABC 2 4 8 .
+ Tính d B; ACC ' A' .
Dựng hệ trục tọa độ Hxyz như hình vẽ. Ta có: 
 a   a   a 3   3 0;0;0 ; ;0;0 ;B ;0;0 ; a H A C 0; ;0; A'0;0; 2 2 2 2  .   a 3a  a a 3  Ta có AA '   ;0; u  1;0;3 AC  ; ;0 v  1; 3;0 2 2  cùng phương   ;   cùng phương    2 2 
Mặt phẳng  ACC ' A' đi qua điểm A và có vectơ pháp tuyến n   ; v u  
 3 3;3; 3 có phương trình:      3 3 ' ' : 3 3 3 3 a ACC A x y z  0    3 13 B; ' ' a d ACC A 2 . Vậy:   13 .
Bình luận: Trong bài toán trên để viết phương trình mặt phẳng  ACC ' A' ta chỉ cần tìm ba điểm thuộc mặt
phẳng  ACC ' A' là được. Như vậy sẽ tiết kiệm thời gian.
Ví dụ 5. (Trích KD -2014) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A; mặt bên
SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc đáy. Tính theo a thể tích của khối
chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA; BC. Giải S z y C a H x B A A B x H
+ Tính VS.ABCD . y C
Gọi H là trung điểm của BC, do tam giác SBC đều nên ta có
SH BC . MàSBC  ABC, do đó SH  ABC .
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 7
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM a
Tam giác SBC đều cạnh a nên SH  3 2 . a
Tam giác ABC vuông cân tại A và BC=a,ta tính được AB AC  2 2 . 3 Khi đó: V  1 .SH.S
 1 a 3 1 a 2 a 2 . . .  a 3 S.ABCD  3 ABC 3 2 2 2 2 24 . + Tính d S ; A BC.
Chọn hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ, với Az / /SH . Ta có:
A0;0;0  a 2   a 2 
a 2 a 2   a 2 a 2 a 3  ;B ;0;0;C0; ;0;H  ; ;0;S ; ;  .  2   2   4 4   4 4 2 
a 2 a 2 a 3 
 a 2 a 2  Ta có AS   ; ;
 cùng phương u   2; 2;2 3 ; BC   ; ;0  4 4 2   2 2  a 2
cùng phương v  1;1;0 . Ta có  ;
u v 2 3;2 3; 2 2       ; AB   ;0;0.  2   ; u v  .AB a 6 a 3 Vậy: d S ; A BC    .  ; u v 32 4  
Ví dụ 6. (Trích KA -2013) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A; ABC  30
mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc đáy. Tính theo a thể tích
của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB). Giải S z y C a H x B A x 30° A B H y C
+ Tính VS.ABCD .
Gọi H là trung điểm của BC, do tam giác SBC đều nên ta có
SH BC . MàSBC  ABCvà SBCABC  BC ,do đó SH  ABC .
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 8
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Tam giác SBC đề a u cạnh a nên SH  3 ABC
2 . Tam giác ABC vuông A và  30 , ta có:   a 3 sin60 ;  sin30  a AC BC AB BC 2 2 . 3 Khi đó: V  1 .SH.S  1 a 3 1 a 3 . . . a a 3 S.ABCD  3 ABC 3 2 2 2 2 16 .
+ Tính d C;SAB .
Chọn hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ, với Az / /SH . Ta có: 0;0;0  a 3  ;B ;0;0 ;C a a a a a a A H S 2 0; ;0 2   3   3 3    ;  ; ;0;  ; ;  .    4 4   4 4 2   a 3 
a 3 a a 3  Ta có AB  
;0;0 cùng phương u  1;0;0 ; AS   ; ;
 cùng phương v   3;1;2 3 .  2   4 4 2  Ta có  ; u v  0;   2 3; 
1 , mặt phẳng SAB đi qua điểm A và có vectơ pháp tuyến n  0;2 3;  1 có
phương trình: SAB : 2 3y z  0 a . Vậy: d  SAB  3 39 C; 13 .
Ví dụ 7. (Trích KB -2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; mặt bên SAB
là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp
S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD). Giải z y C D S a H A D y a A B x a H B x C
+ Tính VS.ABCD . a
Gọi H là trung điểm của AB, do tam giác SAB đều cạnh a nên ta có SH AB SH  3 2 .
Mà SAB   ABCD và SAB  ABCD  AB ,do đó SH   ABC .
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 9
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM 3 1 1 a 3 3a Vậy: V  .SH.S  2 . .a S.ABCD 3 ABCD 3 2 6 .
+ Tính d A;SDC .
Chọn hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ, với Az / /SH . Ta có:
0;0;0;B ;0;0;C ; ;0;D0; ;0; a;0;0 a a A a a a a H S 2   3  ;  ;0;  .  2 2   a a 3  Ta có DC   ;
a 0;0 cùng phương u  1;0;0 ; DS  ;  ; a
 cùng phương v  1;2; 3 .  2 2 
Mặt phẳng SDC đi qua điểm D và có vectơ pháp tuyến n   ; v u  
 0; 3;2 có phương trình:
SDC: 3y 2z 3a  0 a . Vậy: d  SDC  21 A; 7 .
Ví dụ 8. (Trích KD -2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a; cạnh bên SA
vuông góc với đáy; BAD  120 ; M là trung điểm của cạnh BC và SMA  45 . Tính theo a thể
tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC). Giải S z A 120° a a D B D I y A y a M I B 120° C x M C x
+ Tính VS.ABCD . 2
BAD 120  BAC  60  ABC đề a 3 a 3 u  AM   S  2 ABCD
2 . SAM vuông tại A và
SMA  45  SAM a
vuông cân tại A  SA AM  3 2 . 2 3 1
1 a 3 a 3 a Vậy: V  .S . A S  . .  S.ABCD 3 ABCD 3 2 2 4 .
+ Tính d D;SBC .
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 10
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM a a
Gọi I là tâm của hình thoi. Ta tính được AI CI IB ID  3 ; 2
2 . Chọn hệ trục tọa độ Axyz như hình
vẽ, với Iz / /SA . a aa 3 a 3 a a 3
Ta có: I 0;0;0;A ;0;0 S 2 ;C ;0;0 2        ;B 0; ;0 ;D 0; ;0 ;       ;0;  .  2   2   2 2   a a 3 
 a a 3 a 3  Ta có BC   ;
;0 cùng phương u  1; 3;0; BS   ; ;  cùng phương  2 2   2 2 2 
v  1; 3; 3 . Mặt phẳng SBC đi qua điểm C và có vectơ pháp tuyến n   ;uv  3;   3;2 3 có phương trình:      3 : 3 3 2 3 a SBC x y z  0 d SBC   a 6 D; 2 . Vậy:   4 .
Ví dụ 9. (Trích KA -2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu
vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA  2HB . Góc giữa
SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách
giữa hai đường thẳng SA và BC. Giải z S y C y 60 A C x 60° I A I H B H x B
+ Tính VS.ABCD . a a
Gọi I là trung điểm của AB, do tam giác ABC đều nên ta có CI AB CI  3 ; IH 2 ;  6 .
Góc giữa SC và phẳng (ABC) chính là góc SCH , suy ra SCH  60 . Ta có: HC  2 IC  2
IH a 7 SH CHa 21 ; .tan60 3 3 .Do đó: 2 3 V  1 .SH.S  1 a 21 a 3 . .  a 7 S.ABCD  3 ABC 3 3 4 12 .
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 11
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM + Tính d S ;
A BC.Chọn hệ trục tọa độ Ixyz như hình vẽ, với Iz / /SH . Ta có:
0;0;0;A a;0;0 a a a a a I H S 2 ;B ;0;0 2   3  ;C 0; ;0 ; 2  ;0;0 6   21     ;  ;0;  .    6 3   2a a 21   a a 3  Ta có AS   ;0;
 cùng phương u  2;0; 21 ; BC   ; ;0  3 3   2 2 
cùng phương v  1; 3;0. Ta có  ; u v  
  63; 21;2 3; AB   ; a 0;0 .  ; u v  .AB a 42 Vậy: d S ; A BC   .  ; u v 8  
Ví dụ 10. (Trích KB -2012) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA  2 ;
a AB a. Gọi H là
hình chiếu vuông góc của SA trên cạnh SC. Chứng minh SC vuông góc mặt phẳng (ABH). Tính
thể tích của khối chóp S.ABH theo a.
Phân tích:Để chứng minh SC vuông góc mặt phẳng (ABH) ta chỉ cần chứng minh SC vuông góc với một
cạnh nữa trong mặt phẳng (ABH). Muốn vậy, chỉ cần tìm tọa độ các điểm và sử dụng tích vô hướng để
chứng minh vuông góc.Bài này làm theo cách trực tiếp thì nhanh hơn. Tất nhiên là phương pháp nhanh hay
chậm thì phụ thuộc vào bài toán cụ thể. Có thể ở bài này ta thấy phương pháp tọa độ là dài dòng, tuy nhiên
cũng sẽ có bài ta thấy rằng phương pháp này là hiệu quả. Tóm lại tùy vào từng bài toán,mỗi phương pháp
sẽ thể hiện ưu và khuyết điểm của nó. Các Em nào quan tâm có thể tham khảo tài liệu “Chuyên đề hình x không gian” đượ B
c Thầy biên soạn theo cách giải hình học không gian thuần túy. Giải z S y C H a y G A x C 60° A I B G I x B
+ Chứng minh SC   ABH  .
Gọi I là trung điểm của AB; G là trọng tâm của ABC . a 3 a 3
Ta có SG   ABC và CI A ; B CI  ;GC  2 3 .
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 12
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM SGC 2 2 a 33
vuông tai G, nên SG SC GC Iz SG
3 .Chọn hệ trục tọa độ Ixyz như hình vẽ, với / / . a a a 3 a 3 a 3 a 33
Ta có: I 0;0;0;A ;0;0 S 2 ;B ;0;0 2         ;C0; ;0;G0; ;0; 0; ;  .  2   6   6 3  a 3 a 33 Ta có AB  ;a0;0    ;SC  0; ;   . Khi đó, A .
B SC  0  SC AB .  3 3 
SC AH , do đó SC   ABH  .
+ Tính VS.ABH .
a 3 a 33 
Mặt phẳng (ABH) đi qua I và có vectơ pháp tuyến là SC   0; ;
 cùng phương n  0;1; 11  3 3 
Ta có được phương trình  ABH  : y  11z  0 . 2 3 Khi đó: a 1 1 a 33 a 3 11a
SH d S ABH   7 ; V  .S . G S  . .  4 và S.ABC  3 ABC 3 3 4 12 . V 3 S ABH SH 7 7 7 11a Mà .    V  .VS.ABH S. V SC 8 8 ABC 96 . S.ABC
Ví dụ 11.(Trích KD -2012) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông;tam giác A’AC và
A’C=a. Tính theo a thể tích của khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’). Giải z D' y A' C D C' B' y A B x D A x B C
+ Tính VABB'C' .
Tam giác A’AC vuông cân tạ a a
i A và A C a AA   2 ' ' AC AB AD 2 . Do đó   2 . 3 Khi đó: V  1 A . B S  1 a 1 a 2 . . . . a a 2 ABB'C' . BB'C' 3 3 2 2 2 2 48 + Tính d  ;
A BCD' .
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 13
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Dựng hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ. Ta có: 0;0;0;Ba;0;0 a a a a a A C D 2 ;  ; ;0 2 2 ;D0; ;0 2   2  ; '0; ;  .  2 2  a  a a a 2  Ta có BC  0; ;0 u  0;1;0 BD'  ; ; v  1;1; 2 2  cùng phương   ;   cùng phương  .  2 2 2 
Mặt phẳng BCD ' đi qua điểm B và có vectơ pháp tuyến n   ; u v     2;0;  1 có phương trình: BCD
x z a 2 ' : 2  0    6 A; ' a d BCD 2 . Vậy:   6 .
Ví dụ 12. (Trích KA -2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B;
AB BC  2a ; hai mặt mặt (SAB) và (SAC) cùng vuông góc mặt phẳng (ABC). Gọi M là
trung điểm của AB; mặt phẳng chứa SM và song song BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt
phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60 .Tính theo a thể tích của khối chóp S.BCMN và khoảng giữa
hai đường thẳng AB và SN.
SMN/ /BC
Phân tích:Bài này các Em cần nhớ cách xây dựng mặt phẳng.  MN / /BC .
 SMN  ABC   MN
Khi đó N sẽ là trung điểm của AC. Giải S y z C y N x N A C M B M A x 60° B + Tính VS.MNCB .
Do các mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc mặt phẳng (ABC) suy ra SA   ABC . BC SA Ta có: 
BC  SAB  BC SB , do đó SBA là góc giữa SB và mặt phẳng (ABC) suy ra BC AB
SBA  60  SA A .
B tan60  2a 3 .
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 14
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
SMN/ /BC BC AB Ta có:  MN / /BC
N là trung điểm của AC; MN   ; a BM   a .
 SMN  ABC    MN 2 2 2 1 3a 2 1 1 3a 3 Diện tích: SMB MN BC V S . A S .2a 3. a 3 MNCB     2 2 . Vậy:    S.MNCB 3 MNCB 3 2 .
+ Tính d A ; B SN .
Chọn hệ trục tọa độ Bxyz như hình vẽ, với Bz / /SA . Ta có: A2 ;
a 0;0;B0;0;0;C0;2 ; a 0;N  ; a ;
a 0;S2 ;a0;2a 3. Ta có BA  2 ;
a 0;0 cùng phương u  1;0;0 ; NS   ;a ;a2a 3 cùng phương v  1;1;2 3;  ; u v    0;2 3;  1 ;BN   ; a ; a 0.  ; u v.BN 2a 3 Khi đó: d SN       2a 39 AB; .  ; u v 13 13  
Ví dụ 13.(Trích KB -2011) Cho hình lăng trụ ABC .
D A B C D có đáy ABCD là hình chữ 1 1 1 1 nhật; AB  ;
a AD a 3 . Hình chiếu vuông góc của A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và
BD. Góc giữa hai mặt phẳng  ADD A
1 1  và mặt phẳng (ABCD) bằng 60 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC . D A B C D B đế A BD
1 1 1 1 và khoảng cách từ điểm 1 n mặt phẳng  1  . Giải z D1 A1 x a 3 C B C1 B1 a I a E D E A y A D y a 3 I B C x + Tính VABCD. . 1 A 1 B 1 C 1 D
Gọi I là giao điểm giữa AC và BD  A I ABCD IE AD 1 
; gọi E là trung điểm của AD  .
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 15
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM AD IE Suy ra 
AD  A IE  AD A E . Do đó A EI ADD A AD
là góc giữa hai mặt phẳng  1 1  và   1 1 A I 1 1 AB a 3
mặt phẳng (ABCD) A EI  60  A I IE.tan 60  3  1 1 2 2 . Diện tích đáy: Sa a  2 . 3 a 3 ABCD . 3 a 3 3a Thể tích: VA I.S  2 .a 3  ABCD. / 1 A 1 B 1 C 1 D 1 ABCD 2 2
+ Tính d B ; A BD 1  1 .
Dựng hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ, với Az / / A I 1 .Ta có: A0;0;0;B ;
a 0;0;D0;a 3;0  a a 3   a a 3 a 3  ;I  ; ;0; A ; ; 1   .  2 2   2 2 2 
 3a a 3 a 3 
Ta có: BB AA B ; ; 1 1 1   .  2 2 2 
a a 3 a 3  Ta có BD   ;
a a 3;0 cùng phương u  1; 3;0 ; BA   ; ; 1   cùng phương  2 2 2 
v  1; 3; 3 . Mặt phẳng A BD n   ; u v  3; 3;0 1
 đi qua điểm B và có vectơ pháp tuyến    có
phương trình:  A BD : 3x  3y 3a  0 d a 3 B ; A BD 1 1   1 . Vậy:   2 .
Ví dụ 14. (Trích đề thi thử - THPT Trần phú 2016) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình
vuông cạnh a;I là trung điểm của AB; H là giao điểm giữa BD và CI. Hai mặt phẳng (SCI) và
(SBD) cùng vuông góc mặt phẳng (ABCD). Góc giữa (SAB) và (ABCD) bằng 60 .Tính theo a
thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CI. Giải z S y C D D A H y I E A I E B x B H C x
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 16
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
+ Tính VS.ABCD . 
SCI    ABCD  Ta có: 
SBD   ABCD
SH   ABCD . 
SCISBD   SH
Kẻ HE AB tại E, mà AB SH , do đó AB  SEH   AB SE .
Suy ra SEH là góc giữa (SAB) và (ABCD)  SEH  60 . Ta có HIB đồng dạng   HB IB HCD
 1  HB  1 BD a 2 HD CD 2 3 3 . a 2 a
Ta có : HBE vuông tại E  HE H . B sin HBE  .sin 45  3
3 ; SHE vuông tại H  SH HEa 3 .tan60 3 . 3 1 1 a 3 2 a 3 Vậy: V  .SH.S  . .a S.ABCD 3 ABCD 3 3 9 . + Tính d S ; A CI  .
Chọn hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ, Az / /SH . Ta có:
0;0;0;B ;0;0; 0; ;0;  ; ;0;Ia A a D a C a a ;0;0 1 2a a 2a a a 3 BH BD H ; ;0 S ; ; 2 ; 3  3 3          3 3 3  a  2a a a 3  Ta có: IC   ; ; a 0
u  1;2;0 AS  ; ; v  2;1; 3 2
 cùng phương  ;   cùng phương    3 3 3  Ta có :  ; u v  
 2 3; 3;3; AC   ; a ; a 0.  ; u v.AC 3a Khi đó:   a 2
d SA;CI     .  ; u v 24 4  
Ví dụ 15. (Trích đề thi thử THPT Khoái Châu -2016) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình a a thoi cạnh a; SA SB  3 ; ; BAD
và mặt phẳng (SAB) vuông góc đáy. Gọi H và K lần 2 2  60
lượt là trung điểm của AB và BC. Tính thể tích của khối tứ diện KSDC và cosin của góc hợp bởi đường thẳng SH và DK.
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 17
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Giải S z B K I H C A 60° F y B K C y H I F A D x x D + Tính VKSDC . a a 3 AB a
Từ giả thuyết: AB  ; a SA  ;SB
 SAB vuông tại S  SH   . 2 2 2 2 Khi đó    a SA SH AH  SAH a SI AH SI 2
đều. Gọi I là trung điểm của AH    3 ; 4 . Mặt khác,
SAB  ABCD nên ta có đượcSI  ABCD . 2 2 1 1 a 3 a 3 Diện tích đáy: SS  .  KDC  2 ABD 2 4 8 . 2 3 1 1 a 3 a 3 a Thể tích : V  .SI.S  . .  KSDC  3 KDC 3 4 8 32 .
+ Tính cosSH; DK  . a a
Gọi F là tâm của hình thoi. Ta tính được FB FD A FC  3 ;F 2
2 . Chọn hệ trục tọa độ Fxyz như
hình vẽ, với Fz / /SI . Ta có:
F 0;0;0;Ba;0;0;Da;0;0  a 3   a 3   a a 3  ;A 0; ;0;C0; ;0;H ; ;0; 2 2  2   2   4 4  .
 a 3 3a   a 3 3a a 3   a a 3  I  ; ;0;S ; ; ; K  ; ;0  8 8   8 8 4   4 4 
 a 3a a 3   3a a 3  Ta có SH   ; ;
 cùng phương u  1; 3;2 3 ; DK   ; ;0 cùng phương  8 8 4   4 4 
v   3;1;0 . . u v Khi đó : 3 cosSH; DK    . u . v 4
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 18
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
IV. Bài tập rèn luyện
Bài 1. (Trích KD -2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B; BA  3 ; a BC4a ; mặt
phẳng (SBC) vuông góc mặt phẳng (ABC). Biết SB  2a 3 và SBC  30 . Tính thể tích của khối chóp
S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.
Bài 2. (Trích KA -2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là
trung điểm của AB và AD; H là giao điểm của CN và MD. Biết SH vuông góc mặt phẳng (ABCD) và
SH a 3 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.CDNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng MD và SC.
Bài 3. (Trích KB -2010) Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có AB= a. Góc giữa mặt phẳng (A’BC) và
bằng 60 . Gọi G là trọng tâm của tam giác A’BC. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho và bán kính mặt
cầu ngoại tiếp tứ diện GABC.
Bài 4. (Trích KD -2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; cạnh bên SA=a; hình chiếu AC
vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, AH  4 . Gọi CM là đường cao của
tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích của khối tứ diện SMBC theo a.
Bài 5. (Trích KA -2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D;
AB AD  2 ,
a CD a . Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60 . Gọi I là trung điểm của AD.
Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc mặt phẳng (ABCD), tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a.
Bài 6. (Trích KB -2009) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB '  a ;góc giữa BB’ và mặt phẳng
(ABC) ; tam giác ABC vuông tại C và BAC  60 . Hình chiếu của B’ trên mặt phẳng (ABC) trùng vói
trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích của khối tứ diện A’ABC theo a.
Bài 7. (Trích KD -2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác ABC vuông tại B; AB  , a AA'  2 ,
a A'C  3a . Gọi M là trung điểm của A’C’; I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a
thể tích của khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC).
Bài 8. (Trích KA -2008) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy tam giác ABC
vuông tại A; AB  ,
a AC a 3 và hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của
BC. Tính theo a thể tích của khối chóp A’.ABC và tính cosin của góc hợp bởi hai đường thẳng AA’ và B’C’.
Bài 9. (Trích KB -2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a; SA  ,
a SB  a 3 và mặt
phẳng (SAB) vuông góc mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Tính thể tích của
khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc hợp bởi hai đường thẳng SM và DN.
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 19
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Bài 10. (Trích KD -2008) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác ABC vuông;
AB BC a ,cạnh bên AA'  a 2 . Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ
ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C.
Bài 11. (Trích KA -2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; mặt bên (SAD) là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB,BC,
CD. Chứng minh rằng AM vuông góc với BP và tính theo a thể tích của khối tứ diện CMNP.
Bài 12. (Trích KB -2007) Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối
xứng của D qua trung điểm của SA; M là trung điểm của AE;N là trung điểm của BC. Chứng minh MN
vuông góc với BD và tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.
Bài 13. (Trích KD -2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, ABC BAD  90 ; BA BC  ;
a AD  2a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và cạnh bên SA a 2 . Gọi H là hình chiếu
vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SDC).
Bài 14. (Trích KA -2006) Cho hình trụ có các đáy là hai đường tròn tâm O và O’. Bán kính đáy bằng với
chiều cao và bằng a. Trên đường tròn O lấy điểm A và trên đường tròn O’ lấy điểm B sao cho AB=2a. Tính
thể tích của khối tứ diện OO’AB.
Bài 15. (Trích KB -2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB  ;
a AD  a 2;SA a
và SA vuông góc mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của
BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc mặt phẳng (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB theo a.
Bài 16. (Trích KD -2006) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a ; SA  2a và SA vuông
góc mặt phẳng (ABC). Gọi M, N lần lượt là các hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB và SC. Tính
thể tích của khối chóp A.BCNM.
Bài 17. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác ABC vuông tại A, AB=2a, AC=a, AA’=3a.
Tính thể tích của khối lăng trụ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB’ và BC.
Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, mặt phẳng (SBD) vuông góc đáy và hai đường
thẳng SA và SD hợp với đáy một góc 30 . Biết AD a 6; BD  2a ADB  45 .Tính thể tích của khối
chóp S.ADBC và khoảng cách từ đỉnh C đến mặt phẳng (SAD).
Bài 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, BCD  60 ; cạnh SA vuông góc mặt phẳng
(ABCD). Hai mặt phẳng (SCD) và (SBC) vuông góc nhau.Tính theo a thể tích của khối chóp S.ADBC và
khoảng cách từ đỉnh C đến mặt phẳng (SBD).
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 20
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Bài 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; mặt bên SAD là tam giác đều và SB a 2 .
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD và AB. Gọi H là giao điểm của FC và EB. Chứng minh SE E ;
B CH SB và tính theo a thể tích của khối chóp C.SEB.
Bài 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang cân; AD là đáy lớn, AD  2 ;
a AB BC CD a .
Hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC sao cho HC  2HA . Góc giữa hai mặt
phẳng (SDC) và (ABCD) bằng 60 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD.
Bài 22. Cho hình chóp S.ABC có đáy là vuông cân tại đỉnh B, AB  ,
a SA a và SA vuông góc mặt phẳng
(ABC). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và SA. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và
khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng (SCM).
Bài 23. Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’ trên
mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC sao cho HC  3HA ;góc tạo bởi AA’ và mặt phẳng (ABCD)
bằng 60 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ và sin của góc hợp bởi đường thẳng A’A và mặt phẳng (A’CD).
Bài 24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm I. Cạnh SA vuông góc mặt phẳng (ABCD) và SA a 3 a 3
. Biết bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD bằng ACB 3 và  30 .
Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB.
Bài 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm I; AB  ;
a BC  a 3 , tam giác SAC vuông
tại S. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm H của đoạn thẳng AI. Tính
theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cáchtừ điểm C đến mặt phẳng (SAB).
Bài 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B; AB BC  ,
a AD  2a . Cạnh SA
vuông góc với mặt (ABCD); góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 45 . Gọi M là trung điểm
của AD. Tính thể tích của khối chóp S.MCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và BD.
Bài 27. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a; cạnh SA vuông góc đáy và SB hợp với mặt
phẳng (ABC) bằng 45 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và BC. Tính theo a thể tích của khối chóp
S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (AMN).
Bài 28. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam vuông tại B; BC  ;
a AC  a 10 . Hai mặt phẳng (SAC) và
(SAB) cùng vuông góc mặt phẳng (ABC). Góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABC) bằng 60 .
Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC, với M là điểm
thuộc đoạn BC sao cho MC  2MB .
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 21
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Bài 29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB  ;
a AD  2 2a . Hình chiếu vuông góc của S
trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm của tam giác BCD. Đường thẳng SA tạo với mặt phẳng (ABC)
một góc 45 .Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC.
Bài 30. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB  ; a BC  2 ;
a ACB 120 . Đường thẳng A’C tạo với
mặt phẳng (ABB’A’) một góc 30 . Gọi M là trung điểm của BB’. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ
ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và CC’.
Bài 31. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông với AB AC a .
Mặt phẳng (A’BC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 45 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ
ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và B’C’.
Bài 32. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B. Các mặt phẳng (SAB) và (SAD)
cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Cho AB  2 , a AD  ;
a SA BC  ;
a CD  2a 5 . Gọi H là điểm thuộc
đoạn thẳng AD sao cho AH a . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BH và SC.
Bài 33. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a; tam giác SAB vuông cân tại S và nằm
trong mặt phẳng vuông góc mặt phẳng (ABC). Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và cosin của góc
hợp bởi hai đường thẳng SB và AC.
Bài 34. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB  ;
a AC  2a 2 . Hình chiếu
vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc BC sao cho HB  2HC , góc giữa SB và mặt
phẳng đáy bằng 60 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC.
Bài 35. Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC)
bằng 60 . Gọi M là trung điểm của BC và N là trung điểm của CC’. Tính theo a thể tích của khối chóp
A.BB’C’C và khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (AB’N).
Bài 36. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh đáy là tam giác đều cạnh bằng a. Hình chiếu vuông góc
của A’ xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB. Mặt bên (AA’C’C) tạo với đáy một góc bằng 45 .
Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (AA’C’C).
Bài 37. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB  2 . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh
SA, SC sao cho BM vuông góc DN. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng DN và AB.
Bài 38. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nữa lục giác đều và AB CD BC a . Hai mặt phẳng
(SAD) và (SBD) cùng vuông góc mặt phẳng (ABCD), góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 60 .
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 22
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD).
Bài 39. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là là hình chữ nhật, SA  ; a AB  ;
a AC  2a ; SA vuông
góc mặt phẳng (ABCD). Gọi G là trọng tâm của tam giác SAC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD
và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCG).
Bài 40. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là là hình chữ nhật, AB  2 ;
a AD a ; K là hình chiếu
vuông góc của B lên đường chéo AC; các điểm H,M lần lượt là trung điểm của AK và DC. Cạnh SH vuông
góc với mặt phẳng (ABCD); góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) bằng 45 . Tính theo a thể tích của khối
chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và MH.
Bài 41. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Gọi I là trung điểm của của cạnh AB; hình
chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của CI; góc giữa SA và mặt phẳng (ABC)
bằng 60 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm H đên mặt phẳng (SBC).
Bài 42. Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy là hình thoi cạnh bằng a, góc ACB  60 . Mặt
phẳng (A’BD) tạo với đáy một góc bằng 60 . Tính theo a thể tích của khối hộp và khoảng cách giữa hai
đường thẳng CD’ và BD.
Bài 43. Cho hình chóp S.ABC có mặt phẳng (SAC) vuông góc mặt phẳng (ABC); SA AB  ; a AC  2a
ASC ABC  90 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).
Bài 44. Cho hình chóp S.ABCD có SA   ABCD;SA  ,
a ABCD là hình chữ nhật có AB  2 ; a AD  5a .
Điểm E thuộc BC sao cho CE=a. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ASDE.
Bài 45. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  ;
a AD  2a SA  ABCD .
Gọi M là trung điểm của CD và SC hợp với mặt phẳng đáy một góc  sao cho   1 tan .Tính theo a thể 5
tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBM). a
Bài 46. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD  32 . Hình chiếu vuông góc của
S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của đoạn thẳng AB. Gọi K là trung điểm của AD. Tính theo a
thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng HK và SD.
Bài 47. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA   ABCD . Cạnh SC tạo với mặt
phẳng (SAB) một góc 30 . Goi E là trung điểm BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và
khoảng cách giữa hai đường thẳng DE và SC.
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 23
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Bài 48. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ABC  60 . Cạnh SA vuông góc với
mặt phẳng (ABCD) và SC tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 60 . Tính theo a thể tích của khối chóp
S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD.
Bài 49. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh, a 3; BAD  120 . Cạnh SA vuông góc
với mặt phẳng (ABC) và mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 60 . Tính theo a thể tích
của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.
Bài 50. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’
xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB. Mặt bên (AA’C’C) tạo với đáy một góc bằng 45 . Tính
theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (AA’C’C) .
Bài 51. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  2 ;
a AD a .Hình chiếu vuông
góc của S xuống mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của AB; SC tạo với đáy một góc bằng 45 .Tính theo
a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).
Bài 52. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy tam giác ABC là vuông cân tại A;
AB a 2 . Hình chiếu vuông góc của A’ xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của BC. Tính theo a thể
tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BC.
Bài 53. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân BC / / AD .Hình chiếu vuông góc của S
xuống mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của AD; SH  ;
a AB BC CD  ;
a AD  2a. Tính theo a thể
tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AD.
Bài 54. Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân; AB AC a và M là trung điểm của AB. Hình
chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMC và góc
giữa SC với mặt phẳng (ABC) bằng 60 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMC và khoảng cách từ
điểm B đến mặt phẳng (SAC).
Bài 55. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a,. Hình chiếu vuông góc của S trên
mặt phẳng (ABCD) là trùng với trọng tâm G của tam giác ABC; góc giữa SA và mặt phẳng (ABCD) bằng
30 . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và cosin của góc hợp bởi đường thẳng AC và mặt phẳng (SAB).
Bài 56. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết SD  2a 3 và đường thẳng SC tạo với đáy một góc bằng
30 .Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC).
Chúc các Em học tập thật tốt!
Thầy Trần Duy Thúc
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 24