Phương pháp tọa độ hóa bài toán hình không gian – Trần Duy Thúc Toán 12

Phương pháp tọa độ hóa bài toán hình không gian – Trần Duy Thúc Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

65 33 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian

Môn: Toán 12

Thông tin:

24 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 1
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA BÀI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN
I. Lý thuyết cần nhớ
1. Cách chọn gốc tọa độ
Ưu điểm:Khi ta chọn được tọa độ các điểm thì chỉ cần áp dụng các kiến thức hình giải tích như khoảng
cách, góc, chứng minh vuông góc…Tuy nhiên, với một số Em học sinh thì việc tính được tọa độ là vấn đề?
Về nguyên tắc thì Em có thể chọn gốc tọa độ nằm bất cứ chổ nào, nhưng chọn chổ nào thì việc tính tọa độ
là thuận lợi nhất? Sai lầm của không ít người dẫn đến việc tính tọa độ các điểm phức tạp là cứ thấy chân
đường cao của hình chóp là chọn làm gốc tọa độ. Trong một số trường hợp Em chọn như vậy sẽ dẫn đến
việc tính tọa độ khó khăn và dễ bị chán nản. Để thuận lợi cho việc tính tọa độ Em nhớ nguyên tắc sau đây.
2.Nguyên tắc chọn gốc tọa độ
+ Vẽ hình thực của đa giác đáy ra bên cạnh.
+ Ưu tiên chọn gốc tọa độ là góc vuông của đa giác đáy chứ không phải là ưu tiên chân đường cao. Tất
nhiên nếu chân đường cao mà trùng gốc vuông ở đáy thì ta chọn gốc tọa ngay điểm đó luôn là tốt.
+ Nhìn vào hình thực này để tính tọa độ các điểm trong mặt phẳng đáy trước. Sau đó tính các điểm phát
sinh và đỉnh.
+ Cứ quan tâm vào việc chọn trục
;Ox Oy
ở đáy, sau đó gắn trục
Oz
vào là xong.
Chẳng hạn ta có 1 số trường hợp chọn gốc tọa độ như sau:
1. Đáy là hình vuông
Chọn tọa độ tại đỉnh nào cũng được.
2. Đáy là hình chữ nhật
3. Hình thoi
Chọn góc tọa độ tại tâm I của hình thoi.
y
x
D
A
C
x
y
D
B
C
A
x
y
B
C
I
A
D
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 2
4. Hình thang vuông
Chọn góc tọa độ ngay gốc vuông.
5. Tam giác vuông
Chọn góc tọa độ ngay gốc vuông.
6. Tam giác đều
Góc tọa độ là trung điểm H một cạnh của tam
giác đều.
7. Tam giác cân
Góc tọa độ là trung điểm H của cạnh đáy.
8. Hình bình hành
Kẻ thêm đường cao BH và góc tọa độ
là H.
y
x
B
C
A
D
x
y
C
B
A
y
y
H
B
A
C
y
y
H
B
A
C
y
x
H
D
B
C
A
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 3
II. Một số yêu cầu thường gặp
1. Chứng minh quan hệ song song,vuông góc
2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Cho điểm
0 0 0
;;M x y z
và mặt phẳng
:0 P Ax By Cz D
. Khi đó:
0 0 0
2 2 2
;

Ax By Cz D
d M P
A B C
.
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng điểm
12
;dd
có hai vectơ chỉ phương lần lượt là
;ab
. Các điểm A và B lần lượt thuộc
12
;dd
.Khi đó:
12
;.
;d
;



a b AB
dd
ab
.
4. Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng điểm
12
;dd
có hai vectơ chỉ phương lần lượt là
;ab
.Khi đó:
12
.
cos ;d
.
ab
d
ab
.
III. Bài tập mẫu
Chú ý: Các ví dụ ở đây, Thầy chỉ sử dụng phương pháp tọa độ để giúp các Em giải quyết triệt để ý sau của
bài toán hình không gian thôi. Ý đầu tiên vẩn tính bình thường theo hình không gian thuần túy nhé!
Ví dụ 1.(Trích đề THPT Quốc Gia -2016) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân
tại B; AC= 2a. Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AC; đường
thẳng A’B tạo với mặt phẳng (ABC) một góc
45
. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và
chứng minhg A’B vuông góc B’C.
Giải
P
d
(
M;
(
P
))
M
d1
d2
a
b
B
A
y
x
2a
A
B
C
45
x
y
z
B'
C'
H
A
B
C
A'
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 4
+ Tính
. ' ' 'ABC A B C
V
.
Gọi H là trung điểm của AC, ta có
'A H ABC
và
'BH 45A
. Tam giác ABC vuông cân tại B và
AC=2a nên ta tính được:
BH a
và
2AB BC a
. Suy ra:

2
1
2. 2
2
ABC
S a a a
. Tam giác A’HB
vuông tại H và
'BH 45A
có nên tam giác A’HB vuông cân tại H. Suy ra
'A H BH a
.
Do đó :
23
. ' ' '
' . .
ABC A B C ABC
V A H S a a a
.
+ Chứng minh
' 'CA B B
.
Dựng hệ trục tọa độ
Bxyz
như hình vẽ,
/ / ; ;Bz AH A Bx C By
. Ta có:
2 2 2 2
0;0;0 ; 2;0;0 ; 0; 2;0 ; ; ;0 ; ' ; ;
2 2 2 2
a a a a
B A a C a H A a
.
Ta có:




22
' ' ' ; ;
22
aa
BB AA B a
và
2 2 2 2
' ; ; ; ' ; ;
2 2 2 2
a a a a
BA a CB a
.
Ta có :
2 2 2 2
'. ' . . . 0 ' ' .
2 2 2 2
a a a a
CB BA a a A B B C
Bình luận: Nhìn có vẻ hơi dài dòng, nhưng khi đã quen Em sẽ tính tọa độ rất nhanh. Trong phần ở trên ta
tính các điểm nằm trên các trục tọa độ trước. Sau đó tính các điểm xung quanh, dựa vào các đặc điểm tạo ra
chúng. Ví dụ: khi đã tính được tọa độ điểm A và C thì áp dụng tính chất trung điểm Em có ngay tọa độ
điểm H. Tung độ và hoành độ của H cũng là tung độ và hoành độ của A’ và chỉ cần thêm độ cao A’H là ta
có ngay tọa độ điểm A’. Các tứ giác bên là hình hình bình hành nên




22
' ' ' ; ;
22
aa
BB AA B a
.
Ví dụ 2. (Trích đề THPT Quốc Gia -2015) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh
a. SA vuông góc mặt phẳng(ABCD), góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng
45
.
Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB,AC.
Phân tích:
Đề bài cho
()SA ABCD
và ABCD là hình vuông vậy là quá tốt. Ta sẽ chọn ngay A làm góc tọa độ luôn.
Giải
45
a
z
y
x
D
B
A
C
S
a
a
a
y
x
B
A
D
C
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 5
Giải
+ Tính
.S ABCD
V
.
Ta có:

; 45SC ABCD SCA
và ABCD là hình vuông cạch a suy ra
2SA AC a
.
3
2
.
2
11
. . . 2.
3 3 3
S ABCD ABCD
a
V SA S a a
.
+ Tính
;d AC SB
.
Chọn hệ trục tọa độ
Axyz
như hình vẽ. Ta có:
0;0;0 ;B ;0;0 ; ; ;0 ; 0;0; 2A a C a a S a
.
Đường thẳng AC có vectơ chỉ phương
; ;0AC a a
cùng phương
1;1;0u
.
Đường thẳng SB có vectơ chỉ phương
a;0; 2SB a
cùng phương
1;0; 2v
.


; 2 ; 2; 1 ; ;0;0u v AB a
.
Vậy:




;.
10
;
5
;
u v AB
a
d SB AC
uv
.
Ví dụ 3. (Trích KA -2014) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a;
3
2
a
SD
;hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD) là trung điểm của cạnh AB. Tính theo a thể tích của
khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD).
Giải
z
x
y
a
3a
2
H
D
C
A
B
S
a
a
a
y
x
B
A
D
C
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 6
60
y
x
z
C'
B'
H
A
C
B
A'
+ Tính
.S ABCD
V
.
Gọi H là trung điểm của AB, ta có
AH ABCD
. Tam giác ADH vuông tại A nên:
22
2 2 2 2
5
44
aa
HD AD AH a
. Tam giác SHD vuông H nên :
22
22
95
44
aa
SH SD HD a
. Khi đó :
3
2
.
11
. . . .
3 3 3
S ABCD ABCD
a
V SH S a a
.
+ Tính
;d A SBD
.
Chọn hệ trục tọa độ
Axyz
như hình vẽ,
/ / SAz H
. Ta có:
0;0;0 ;B ;0;0 ; ;0;0 ; ;0; ; 0; ;0
22
aa
A a H S a D a
.
Ta có

; ;0BD a a
cùng phương

1;1;0u
;
;0;
2
a
BS a
cùng phương

1;0;2v
Mặt phẳng (SBD) đi qua điểm B và có vectơ pháp tuyến



; 2;2;1n u v
có phương trình:
:2 2 2 0SBD x y z a
. Vậy:
2
A;
3
a
d SBD
.
Ví dụ 4.(Trích KB -2014) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a.. Hình chiếu
vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB; đường thẳng A’C tạo với mặt phẳng
(ABC) một góc
60
. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ điểm B đến
(ACC’A’).
Giải
y
x
H
C
A
B
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 7
+ Tính
. ' ' 'ABC A B C
V
.
Gọi H là trung điểm của AC, ta có
'A H ABC
và
'BH 60A
. Tam giácABC đều cạnh a và H là trung
điểm của AB nên
3
2
a
CH
và
2
3
4
ABC
a
S
. Tam giác A’HC vuông H nên

3
' .tan60
2
a
A H CH
.
Do đó :
23
. ' ' '
3 3 3 3
' . .
2 4 8
ABC A B C ABC
a a a
V A H S
.
+ Tính
B; ' 'd ACC A
.
Dựng hệ trục tọa độ
Hxyz
như hình vẽ. Ta có:



33
0;0;0 ; ;0;0 ;B ;0;0 ; 0; ;0 ; ' 0;0;
2 2 2 2
a a a a
H A C A
.
Ta có
3
' ;0;
22
aa
AA
cùng phương

1;0;3u
;


3
; ;0
22
aa
AC
cùng phương
1; 3;0v
Mặt phẳng
''ACC A
đi qua điểm A và có vectơ pháp tuyến



; 3 3;3; 3n v u
có phương trình:
33
' ' :3 3 3 3 0
2
a
ACC A x y z
. Vậy:
3 13
B; ' '
13
a
d ACC A
.
Bình luận: Trong bài toán trên để viết phương trình mặt phẳng
''ACC A
ta chỉ cần tìm ba điểm thuộc mặt
phẳng
''ACC A
là được. Như vậy sẽ tiết kiệm thời gian.
Ví dụ 5. (Trích KD -2014) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A; mặt bên
SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc đáy. Tính theo a thể tích của khối
chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA; BC.
Giải
+ Tính
.S ABCD
V
.
Gọi H là trung điểm của BC, do tam giác SBC đều nên ta có
SH BC
. Mà
SBC ABC
, do đó
SH ABC
.
x
y
z
H
B
A
C
S
y
x
a
H
B
A
C
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 8
Tam giác SBC đều cạnh a nên
3
2
a
SH
.
Tam giác ABC vuông cân tại A và BC=a,ta tính được

2
2
a
AB AC
.
Khi đó:

3
.
3 2 2 3
1 1 1
. . . . .
3 3 2 2 2 2 24
S ABCD ABC
a a a a
V SH S
.
+ Tính
;d SA BC
.
Chọn hệ trục tọa độ
Axyz
như hình vẽ, với
//Az SH
. Ta có:
2 2 2 2 2 2 3
0;0;0 ;B ;0;0 ;C 0; ;0 ; ; ;0 ; ; ;
2 2 4 4 4 4 2
a a a a a a a
A H S
.
Ta có


2 2 3
;;
4 4 2
aaa
AS
cùng phương
2; 2;2 3u
;


22
; ;0
22
aa
BC
cùng phương

1; 1;0v
. Ta có




2
; 2 3;2 3; 2 2 ; ;0;0
2
a
u v AB
.
Vậy:




6
;.
3
;
4
;
32
a
u v AB
a
d SA BC
uv
.
Ví dụ 6. (Trích KA -2013) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A;
30ABC
mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc đáy. Tính theo a thể tích
của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB).
Giải
+ Tính
.S ABCD
V
.
Gọi H là trung điểm của BC, do tam giác SBC đều nên ta có
SH BC
. Mà
SBC ABC
và
SBC ABC BC
,do đó
SH ABC
.
x
y
z
H
B
A
C
S
x
a
y
30
°
H
A
C
B
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 9
Tam giác SBC đều cạnh a nên
3
2
a
SH
. Tam giác ABC vuông A và
30ABC
, ta có:
3
sin60 ; sin30
22
aa
AC BC AB BC
.
Khi đó:
3
.
3 3 3
1 1 1
. . . . .
3 3 2 2 2 2 16
S ABCD ABC
a a a a
V SH S
.
+ Tính
C;d SAB
.
Chọn hệ trục tọa độ
Axyz
như hình vẽ, với
//Az SH
. Ta có:
3 3 3 3
0;0;0 ;B ;0;0 ;C 0; ;0 ; ; ;0 ; ; ;
2 2 4 4 4 4 2
a a a a a a a
A H S
.
Ta có


3
;0;0
2
a
AB
cùng phương
1;0;0u
;


33
;;
4 4 2
a a a
AS
cùng phương
3;1;2 3v
.
Ta có



; 0; 2 3;1uv
, mặt phẳng
SAB
đi qua điểm A và có vectơ pháp tuyến
0;2 3; 1n
có
phương trình:
:2 3 0SAB y z
. Vậy:
3 39
C;
13
a
d SAB
.
Ví dụ 7. (Trích KB -2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; mặt bên SAB
là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp
S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).
Giải
+ Tính
.S ABCD
V
.
Gọi H là trung điểm của AB, do tam giác SAB đều cạnh a nên ta có
SH AB
và
3
2
a
SH
.
Mà
SAB ABCD
và
SAB ABCD AB
,do đó
SH ABC
.
z
x
y
a
H
D
C
A
B
S
a
a
y
x
H
B
A
C
D
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 10
Vậy:
3
2
.
33
11
. . . .
3 3 2 6
S ABCD ABCD
aa
V SH S a
.
+ Tính
A;d SDC
.
Chọn hệ trục tọa độ
Axyz
như hình vẽ, với
//Az SH
. Ta có:



3
0;0;0 ;B ;0;0 ;C ; ;0 ;D 0; ;0 ; ;0;0 ; ;0;
2 2 2
a a a
A a a a a H S
.
Ta có
;0;0DC a
cùng phương
1;0;0u
;



3
;;
22
aa
DS a
cùng phương
1; 2; 3v
.
Mặt phẳng
SDC
đi qua điểm D và có vectơ pháp tuyến



; 0; 3;2n v u
có phương trình:
: 3 2 3 0SDC y z a
. Vậy:
21
A;
7
a
d SDC
.
Ví dụ 8. (Trích KD -2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a; cạnh bên SA
vuông góc với đáy;
120BAD
; M là trung điểm của cạnh BC và
45SMA
. Tính theo a thể
tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC).
Giải
+ Tính
.S ABCD
V
.
120 60BAD BAC ABC
đều
2
33
22
ABCD
aa
AM S
.
SAM
vuông tại A và
45SMA SAM
vuông cân tại A
3
2
a
SA AM
.
Vậy:
23
.
33
11
. . . .
3 3 2 2 4
S ABCD ABCD
a a a
V SA S
.
+ Tính
D;d SBC
.
z
y
x
120
°
M
I
D
B
A
C
S
a
a
a
x
y
120
°
I
M
D
B
A
C
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 11
Gọi I là tâm của hình thoi. Ta tính được
3
;
22
aa
AI CI IB ID
. Chọn hệ trục tọa độ
Axyz
như hình
vẽ, với
//Iz SA
.
Ta có:

3 3 3
0;0;0 ;A ;0;0 ;C ;0;0 ;B 0; ;0 ;D 0; ;0 ; ;0;
2 2 2 2 2 2
a a a a a a
IS
.
Ta có


3
; ;0
22
aa
BC
cùng phương
1; 3;0u
;


33
;;
2 2 2
a a a
BS
cùng phương
1; 3; 3v
. Mặt phẳng
SBC
đi qua điểm C và có vectơ pháp tuyến


; 3; 3;2 3n u v
có
phương trình:
3
:3 3 2 3 0
2
a
SBC x y z
. Vậy:
6
D;
4
a
d SBC
.
Ví dụ 9. (Trích KA -2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu
vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho
2HA HB
. Góc giữa
SC và mặt phẳng (ABC) bằng
60
. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách
giữa hai đường thẳng SA và BC.
Giải
+ Tính
.S ABCD
V
.
Gọi I là trung điểm của AB, do tam giác ABC đều nên ta có

3
;
2
a
CI AB CI
;
6
a
IH
.
Góc giữa SC và phẳng (ABC) chính là góc
SCH
, suy ra
60SCH
. Ta có:
22
7 21
; .tan60
33
aa
HC IC IH SH CH
.Do đó:

23
.
21 3 7
11
. . . .
3 3 3 4 12
S ABCD ABC
a a a
V SH S
.
60
B
x
y
z
I
H
A
C
S
y
x
60
°
I
C
B
A
H
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 12
+ Tính
;d SA BC
.Chọn hệ trục tọa độ
Ixyz
như hình vẽ, với
//Iz SH
. Ta có:
3 21
0;0;0 ;A ;0;0 ;B ;0;0 ;C 0; ;0 ; ;0;0 ; ;0;
2 2 2 6 6 3
a a a a a a
I H S
.
Ta có


2 21
;0;
33
aa
AS
cùng phương
2;0; 21u
;


3
; ;0
22
aa
BC
cùng phương
1; 3;0v
. Ta có


; 63; 21;2 3 ; ;0;0u v AB a
.
Vậy:




;.
42
;
8
;
u v AB
a
d SA BC
uv
.
Ví dụ 10. (Trích KB -2012) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với
2;SA a AB a
. Gọi H là
hình chiếu vuông góc của SA trên cạnh SC. Chứng minh SC vuông góc mặt phẳng (ABH). Tính
thể tích của khối chóp S.ABH theo a.
Phân tích:Để chứng minh SC vuông góc mặt phẳng (ABH) ta chỉ cần chứng minh SC vuông góc với một
cạnh nữa trong mặt phẳng (ABH). Muốn vậy, chỉ cần tìm tọa độ các điểm và sử dụng tích vô hướng để
chứng minh vuông góc.Bài này làm theo cách trực tiếp thì nhanh hơn. Tất nhiên là phương pháp nhanh hay
chậm thì phụ thuộc vào bài toán cụ thể. Có thể ở bài này ta thấy phương pháp tọa độ là dài dòng, tuy nhiên
cũng sẽ có bài ta thấy rằng phương pháp này là hiệu quả. Tóm lại tùy vào từng bài toán,mỗi phương pháp
sẽ thể hiện ưu và khuyết điểm của nó. Các Em nào quan tâm có thể tham khảo tài liệu “Chuyên đề hình
không gian” được Thầy biên soạn theo cách giải hình học không gian thuần túy.
Giải
+ Chứng minh
SC ABH
.
Gọi I là trung điểm của AB; G là trọng tâm của
ABC
.
Ta có
SG ABC
và
33
; ;GC
23
aa
CI AB CI
.
B
x
y
z
G
I
A
C
S
H
B
x
a
y
x
60
°
G
I
C
B
A
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 13
SGC
vuông tai G, nên
22
33
3
a
SG SC GC
.Chọn hệ trục tọa độ
Ixyz
như hình vẽ, với
//Iz SG
.
Ta có:
3 3 3 33
0;0;0 ;A ;0;0 ;B ;0;0 ;C 0; ;0 ;G 0; ;0 ; 0; ;
2 2 2 6 6 3
a a a a a a
IS
.
Ta có


3 33
;0;0 ; 0; ;
33
aa
AB a SC
. Khi đó,
.0AB SC SC AB
.
Mà
SC AH
, do đó
SC ABH
.
+ Tính
.S ABH
V
.
Mặt phẳng (ABH) đi qua I và có vectơ pháp tuyến là


3 33
0; ;
33
aa
SC
cùng phương
0;1; 11n
Ta có được phương trình
: 11 0ABH y z
.
Khi đó:

7
;
4
a
SH d S ABH
và
23
.
33 3 11
11
. . . .
3 3 3 4 12
S ABC ABC
a a a
V SG S
.
Mà
3
.
..
.
7 7 7 11
.
8 8 96
S ABH
S ABH S ABC
S ABC
V
SH a
VV
V SC
.
Ví dụ 11.(Trích KD -2012) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông;tam giác A’AC và
A’C=a. Tính theo a thể tích của khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’).
Giải
+ Tính
''ABB C
V
.
Tam giác A’AC vuông cân tại A và
2
' ' AC
2
a
A C a AA
. Do đó

2
a
AB AD
.
Khi đó:
3
' ' ' '
22
1 1 1
. . . . .
3 3 2 2 2 2 48
ABB C BB C
a a a a
V AB S
.
+ Tính
;'d A BCD
.
z
y
x
D'
C'
A'
C
A
D
B
B'
y
x
B
A
C
D
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 14
Dựng hệ trục tọa độ
Axyz
như hình vẽ. Ta có:



2
0;0;0 ;B ;0;0 ; ; ;0 ;D 0; ;0 ; ' 0; ;
2 2 2 2 2 2
a a a a a a
A C D
.
Ta có
0; ;0
2
a
BC
cùng phương
0;1;0u
;


2
' ; ;
2 2 2
aaa
BD
cùng phương
1;1; 2v
.
Mặt phẳng
'BCD
đi qua điểm B và có vectơ pháp tuyến



; 2;0;1n u v
có phương trình:
2
' : 2 0
2
a
BCD x z
. Vậy:
6
A; '
6
a
d BCD
.
Ví dụ 12. (Trích KA -2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B;
2AB BC a
; hai mặt mặt (SAB) và (SAC) cùng vuông góc mặt phẳng (ABC). Gọi M là
trung điểm của AB; mặt phẳng chứa SM và song song BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt
phẳng (SBC) và (ABC) bằng
60
.Tính theo a thể tích của khối chóp S.BCMN và khoảng giữa
hai đường thẳng AB và SN.
Phân tích:Bài này các Em cần nhớ cách xây dựng mặt phẳng.

//
//
SMN BC
MN BC
SMN ABC MN
.
Khi đó N sẽ là trung điểm của AC.
Giải
+ Tính
.MNCBS
V
.
Do các mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc mặt phẳng (ABC) suy ra
SA ABC
.
Ta có:
BC SA
BC SAB BC SB
BC AB
, do đó
SBA
là góc giữa SB và mặt phẳng (ABC) suy ra
60 .tan60 2 3SBA SA AB a
.
y
x
z
60
°
N
M
A
B
C
S
y
x
N
M
A
B
C
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 15
Ta có:


//
//
SMN BC
MN BC N
SMN ABC MN
là trung điểm của AC;
;
22
BC
AB
MN a BM a
.
Diện tích:
2
3
1
22
MNCB
a
S MB MN BC
. Vậy:
2
3
.MNCB
3
11
. .2 3. 3
3 3 2
S MNCB
a
V SA S a a
.
+ Tính
;d AB SN
.
Chọn hệ trục tọa độ
Bxyz
như hình vẽ, với
//Bz SA
. Ta có:
2 ;0;0 ;B 0;0;0 ;C 0;2 ;0 ; ; ;0 ; 2 ;0;2 3A a a N a a S a a
.
Ta có
2 ;0;0BA a
cùng phương
1;0;0u
;
; ;2 3NS a a a
cùng phương
1; 1;2 3v
;


; 0; 2 3; 1 ; ; ;0u v BN a a
.
Khi đó:




23
;.
2 39
AB;
13
;
13
a
u v BN
a
d SN
uv
.
Ví dụ 13.(Trích KB -2011) Cho hình lăng trụ
1 1 1 1
.ABCD A B C D
có đáy ABCD là hình chữ nhật;
;3AB a AD a
. Hình chiếu vuông góc của
1
A
trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và
BD. Góc giữa hai mặt phẳng
11
ADD A
và mặt phẳng (ABCD) bằng
60
. Tính theo a thể tích của khối
lăng trụ
1 1 1 1
.ABCD A B C D
và khoảng cách từ điểm
1
B
đến mặt phẳng
1
A BD
.
Giải
+ Tính
1 1 1 1
.ABCD A B C D
V
.
Gọi I là giao điểm giữa AC và BD

1
A I ABCD
; gọi E là trung điểm của AD
IE AD
.
y
x
z
I
E
C
1
B
1
D
1
A
1
D
C
A
B
y
x
a
a
3
a
a
3
E
I
D
C
B
A
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 16
Suy ra
11
1
AD IE
AD A IE AD A E
AD A I
. Do đó
1
A EI
là góc giữa hai mặt phẳng
11
ADD A
và
mặt phẳng (ABCD)
11
3
60 .tan60 3
22
a
AB
A EI A I IE
.
Diện tích đáy:

2
. 3 3
ABCD
S a a a
.
Thể tích:
1 1 1 1
3
2
.1
33
. . 3
22
ABCD A B C D ABCD
aa
V A I S a
/
+ Tính
11
B;d A BD
.
Dựng hệ trục tọa độ
Axyz
như hình vẽ, với
1
/ / AAz I
.Ta có:
1
3 3 3
0;0;0 ;B ;0;0 ; 0; 3;0 ; ; ;0 ; ; ;
2 2 2 2 2
a a a a a
A a D a I A
.
Ta có:




1 1 1
3 3 3
;;
2 2 2
a a a
BB AA B
.
Ta có
; 3;0BD a a
cùng phương
1; 3;0u
;



1
33
;;
2 2 2
a a a
BA
cùng phương
1; 3; 3v
. Mặt phẳng
1
A BD
đi qua điểm B và có vectơ pháp tuyến



; 3; 3;0n u v
có
phương trình:
1
:3 3 3 0A BD x y a
. Vậy:
11
3
B;
2
a
d A BD
.
Ví dụ 14. (Trích đề thi thử - THPT Trần phú 2016) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình
vuông cạnh a;I là trung điểm của AB; H là giao điểm giữa BD và CI. Hai mặt phẳng (SCI) và
(SBD) cùng vuông góc mặt phẳng (ABCD). Góc giữa (SAB) và (ABCD) bằng
60
.Tính theo a
thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CI.
Giải
x
y
z
E
H
I
C
A
D
B
S
y
x
E
H
I
B
A
C
D
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 17
+ Tính
.S ABCD
V
.
Ta có:

SCI ABCD
SBD ABCD SH ABCD
SCI SBD SH
.
Kẻ
HE AB
tại E, mà
AB SH
, do đó
AB SEH AB SE
.
Suy ra
SEH
là góc giữa (SAB) và (ABCD)
60SEH
. Ta có
HIB
đồng dạng
2
11
2 3 3
a
HB IB
HCD HB BD
HD CD
.
Ta có :
HBE
vuông tại E
2
.sin .sin45
33
aa
HE HB HBE
;
SHE
vuông tại H
3
.tan60
3
a
SH HE
.
Vậy:
3
2
.
33
11
. .S . .
3 3 3 9
S ABCD ABCD
aa
V SH a
.
+ Tính
;d SA CI
.
Chọn hệ trục tọa độ
Axyz
như hình vẽ,
//Az SH
. Ta có:
0;0;0 ;B ;0;0 ; 0; ;0 ; ; ;0 ;I ;0;0
2
a
A a D a C a a
;



2 2 3
1
; ;0 ; ;
3 3 3 3 3 3
a a a a a
BH BD H S
Ta có:
; ;0
2
a
IC a
cùng phương
1;2;0u
;


23
;;
3 3 3
aaa
AS
cùng phương
2;1; 3v
Ta có :


; 2 3; 3; 3 ; ; ;0u v AC a a
.
Khi đó:




3
;.
2
SA;
4
;
24
a
u v AC
a
d CI
uv
.
Ví dụ 15. (Trích đề thi thử THPT Khoái Châu -2016) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình
thoi cạnh a;

3
;
22
aa
SA SB
;
60BAD
và mặt phẳng (SAB) vuông góc đáy. Gọi H và K lần
lượt là trung điểm của AB và BC. Tính thể tích của khối tứ diện KSDC và cosin của góc hợp bởi
đường thẳng SH và DK.
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 18
Giải
+ Tính
KSDC
V
.
Từ giả thuyết:
3
;;
22
aa
AB a SA SB SAB
vuông tại S
22
a
AB
SH
.
Khi đó
2
a
SA SH AH SAH
đều. Gọi I là trung điểm của AH
3
;
4
a
SI AH SI
. Mặt khác,
SAB ABCD
nên ta có được
SI ABCD
.
Diện tích đáy:

22
33
11
.
2 2 4 8
KDC ABD
aa
SS
.
Thể tích :
23
33
11
. . . .
3 3 4 8 32
KSDC KDC
a a a
V SI S
.
+ Tính
cos SH;DK
.
Gọi F là tâm của hình thoi. Ta tính được
3
;F
22
aa
FB FD A FC
. Chọn hệ trục tọa độ
Fxyz
như
hình vẽ, với
//Fz SI
. Ta có:
3 3 3
0;0;0 ;B ;0;0 ;D ;0;0 ;A 0; ;0 ;C 0; ;0 ;H ; ;0 ;
2 2 2 2 4 4
3 3 3 3 3 3
; ;0 ; ; ; ; ; ;0
8 8 8 8 4 4 4
a a a a a a
F
a a a a a a a
I S K
.
Ta có


33
;;
8 8 4
a a a
SH
cùng phương
1; 3; 2 3u
;


33
; ;0
44
aa
DK
cùng phương
3;1;0v
.
Khi đó :
.
3
cos SH;
4
.
uv
DK
uv
.
x
y
60
°
I
H
K
F
C
A
D
B
H
C
y
x
z
K
I
F
A
B
D
S
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 19
IV. Bài tập rèn luyện
Bài 1. (Trích KD -2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B;
3 ; 4BA a BC a
; mặt
phẳng (SBC) vuông góc mặt phẳng (ABC). Biết
23SB a
và
30SBC
. Tính thể tích của khối chóp
S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.
Bài 2. (Trích KA -2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là
trung điểm của AB và AD; H là giao điểm của CN và MD. Biết SH vuông góc mặt phẳng (ABCD) và
3SH a
. Tính theo a thể tích của khối chóp S.CDNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng MD và SC.
Bài 3. (Trích KB -2010) Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có AB= a. Góc giữa mặt phẳng (A’BC) và
bằng
60
. Gọi G là trọng tâm của tam giác A’BC. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho và bán kính mặt
cầu ngoại tiếp tứ diện GABC.
Bài 4. (Trích KD -2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; cạnh bên SA=a; hình chiếu
vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC,
4
AC
AH
. Gọi CM là đường cao của
tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích của khối tứ diện SMBC theo a.
Bài 5. (Trích KA -2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D;
2,AB AD a CD a
. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng
60
. Gọi I là trung điểm của AD.
Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc mặt phẳng (ABCD), tính thể tích của khối chóp
S.ABCD theo a.
Bài 6. (Trích KB -2009) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có
'BB a
;góc giữa BB’ và mặt phẳng
(ABC) ; tam giác ABC vuông tại C và
60BAC
. Hình chiếu của B’ trên mặt phẳng (ABC) trùng vói
trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích của khối tứ diện A’ABC theo a.
Bài 7. (Trích KD -2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác ABC vuông tại B;
,AB a
' 2 ,A'C 3aAA a
. Gọi M là trung điểm của A’C’; I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a
thể tích của khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC).
Bài 8. (Trích KA -2008) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy tam giác ABC
vuông tại A;
,3AB a AC a
và hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của
BC. Tính theo a thể tích của khối chóp A’.ABC và tính cosin của góc hợp bởi hai đường thẳng AA’ và
B’C’.
Bài 9. (Trích KB -2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a;
,SB 3SA a a
và mặt
phẳng (SAB) vuông góc mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Tính thể tích của
khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc hợp bởi hai đường thẳng SM và DN.
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 20
Bài 10. (Trích KD -2008) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác ABC vuông;
AB BC a
,cạnh bên
'2AA a
. Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ
ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C.
Bài 11. (Trích KA -2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; mặt bên (SAD) là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB,BC,
CD. Chứng minh rằng AM vuông góc với BP và tính theo a thể tích của khối tứ diện CMNP.
Bài 12. (Trích KB -2007) Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối
xứng của D qua trung điểm của SA; M là trung điểm của AE;N là trung điểm của BC. Chứng minh MN
vuông góc với BD và tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.
Bài 13. (Trích KD -2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang,
90 ;ABC BAD
;2BA BC a AD a
. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và cạnh bên
2SA a
. Gọi H là hình chiếu
vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ điểm H đến mặt
phẳng (SDC).
Bài 14. (Trích KA -2006) Cho hình trụ có các đáy là hai đường tròn tâm O và O’. Bán kính đáy bằng với
chiều cao và bằng a. Trên đường tròn O lấy điểm A và trên đường tròn O’ lấy điểm B sao cho AB=2a. Tính
thể tích của khối tứ diện OO’AB.
Bài 15. (Trích KB -2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với
;AD 2;AB a a SA a
và SA vuông góc mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của
BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc mặt phẳng (SMB). Tính thể tích của khối tứ
diện ANIB theo a.
Bài 16. (Trích KD -2006) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a
;2SA a
và SA vuông
góc mặt phẳng (ABC). Gọi M, N lần lượt là các hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB và SC. Tính
thể tích của khối chóp A.BCNM.
Bài 17. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác ABC vuông tại A, AB=2a, AC=a, AA’=3a.
Tính thể tích của khối lăng trụ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB’ và BC.
Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, mặt phẳng (SBD) vuông góc đáy và hai đường
thẳng SA và SD hợp với đáy một góc
30
. Biết
6; 2AD a BD a
và
45ADB
.Tính thể tích của khối
chóp S.ADBC và khoảng cách từ đỉnh C đến mặt phẳng (SAD).
Bài 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a,
60BCD
; cạnh SA vuông góc mặt phẳng
(ABCD). Hai mặt phẳng (SCD) và (SBC) vuông góc nhau.Tính theo a thể tích của khối chóp S.ADBC và
khoảng cách từ đỉnh C đến mặt phẳng (SBD).
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 21
Bài 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; mặt bên SAD là tam giác đều và
2SB a
.
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD và AB. Gọi H là giao điểm của FC và EB. Chứng minh
;SE EB CH SB
và tính theo a thể tích của khối chóp C.SEB.
Bài 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang cân; AD là đáy lớn,
2;AD a AB BC CD a
.
Hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC sao cho
2HC HA
. Góc giữa hai mặt
phẳng (SDC) và (ABCD) bằng
60
. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai
đường thẳng SA và CD.
Bài 22. Cho hình chóp S.ABC có đáy là vuông cân tại đỉnh B,
,AB a SA a
và SA vuông góc mặt phẳng
(ABC). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và SA. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và
khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng (SCM).
Bài 23. Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’ trên
mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC sao cho
3HC HA
;góc tạo bởi AA’ và mặt phẳng (ABCD)
bằng
60
. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ và sin của góc hợp bởi đường thẳng A’A
và mặt phẳng (A’CD).
Bài 24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm I. Cạnh SA vuông góc mặt phẳng (ABCD) và
3SA a
. Biết bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD bằng
3
3
a
và
30ACB
.
Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB.
Bài 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm I;
;BC 3AB a a
, tam giác SAC vuông
tại S. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm H của đoạn thẳng AI. Tính
theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cáchtừ điểm C đến mặt phẳng (SAB).
Bài 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B;
,AD 2AB BC a a
. Cạnh SA
vuông góc với mặt (ABCD); góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng
45
. Gọi M là trung điểm
của AD. Tính thể tích của khối chóp S.MCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và BD.
Bài 27. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a; cạnh SA vuông góc đáy và SB hợp với mặt
phẳng (ABC) bằng
45
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và BC. Tính theo a thể tích của khối chóp
S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (AMN).
Bài 28. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam vuông tại B;
;AC 10BC a a
. Hai mặt phẳng (SAC) và
(SAB) cùng vuông góc mặt phẳng (ABC). Góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABC) bằng
60
.
Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC, với M là điểm
thuộc đoạn BC sao cho
2MC MB
.
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 22
Bài 29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật,
;AD 2 2AB a a
. Hình chiếu vuông góc của S
trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm của tam giác BCD. Đường thẳng SA tạo với mặt phẳng (ABC)
một góc
45
.Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC.
Bài 30. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có
;BC 2 ; 120AB a a ACB
. Đường thẳng A’C tạo với
mặt phẳng (ABB’A’) một góc
30
. Gọi M là trung điểm của BB’. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ
ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và CC’.
Bài 31. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông với
AB AC a
.
Mặt phẳng (A’BC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc
45
. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ
ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và B’C’.
Bài 32. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B. Các mặt phẳng (SAB) và (SAD)
cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Cho
2 ,AD ; ; 2 5AB a a SA BC a CD a
. Gọi H là điểm thuộc
đoạn thẳng AD sao cho
AH a
. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai
đường thẳng BH và SC.
Bài 33. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a; tam giác SAB vuông cân tại S và nằm
trong mặt phẳng vuông góc mặt phẳng (ABC). Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và cosin của góc
hợp bởi hai đường thẳng SB và AC.
Bài 34. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A với
; 2 2AB a AC a
. Hình chiếu
vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc BC sao cho
2HB HC
, góc giữa SB và mặt
phẳng đáy bằng
60
. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB
và AC.
Bài 35. Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC)
bằng
60
. Gọi M là trung điểm của BC và N là trung điểm của CC’. Tính theo a thể tích của khối chóp
A.BB’C’C và khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (AB’N).
Bài 36. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh đáy là tam giác đều cạnh bằng a. Hình chiếu vuông góc
của A’ xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB. Mặt bên (AA’C’C) tạo với đáy một góc bằng
45
.
Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (AA’C’C).
Bài 37. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có
2AB
. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh
SA, SC sao cho BM vuông góc DN. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường
thẳng DN và AB.
Bài 38. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nữa lục giác đều và
AB CD BC a
. Hai mặt phẳng
(SAD) và (SBD) cùng vuông góc mặt phẳng (ABCD), góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng
60
.
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 23
Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD).
Bài 39. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là là hình chữ nhật,
; ; 2SA a AB a AC a
; SA vuông
góc mặt phẳng (ABCD). Gọi G là trọng tâm của tam giác SAC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD
và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCG).
Bài 40. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là là hình chữ nhật,
2;AB a AD a
; K là hình chiếu
vuông góc của B lên đường chéo AC; các điểm H,M lần lượt là trung điểm của AK và DC. Cạnh SH vuông
góc với mặt phẳng (ABCD); góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) bằng
45
. Tính theo a thể tích của khối
chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và MH.
Bài 41. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Gọi I là trung điểm của của cạnh AB; hình
chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của CI; góc giữa SA và mặt phẳng (ABC)
bằng
60
. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm H đên mặt phẳng (SBC).
Bài 42. Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy là hình thoi cạnh bằng a, góc
60ACB
. Mặt
phẳng (A’BD) tạo với đáy một góc bằng
60
. Tính theo a thể tích của khối hộp và khoảng cách giữa hai
đường thẳng CD’ và BD.
Bài 43. Cho hình chóp S.ABC có mặt phẳng (SAC) vuông góc mặt phẳng (ABC);
;2SA AB a AC a
và
90ASC ABC
. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và cosin của góc giữa hai mặt phẳng
(SAB) và (SBC).
Bài 44. Cho hình chóp S.ABCD có
;,SA ABCD SA a ABCD
là hình chữ nhật có
2 ; 5AB a AD a
.
Điểm E thuộc BC sao cho CE=a. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và diện tích mặt cầu ngoại
tiếp tứ diện ASDE.
Bài 45. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với
;2AB a AD a
và
SA ABCD
.
Gọi M là trung điểm của CD và SC hợp với mặt phẳng đáy một góc
sao cho
1
tan
5
.Tính theo a thể
tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBM).
Bài 46. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
3
2
a
SD
. Hình chiếu vuông góc của
S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của đoạn thẳng AB. Gọi K là trung điểm của AD. Tính theo a
thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng HK và SD.
Bài 47. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
SA ABCD
. Cạnh SC tạo với mặt
phẳng (SAB) một góc
30
. Goi E là trung điểm BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và
khoảng cách giữa hai đường thẳng DE và SC.
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 24
Bài 48. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,
60ABC
. Cạnh SA vuông góc với
mặt phẳng (ABCD) và SC tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc
60
. Tính theo a thể tích của khối chóp
S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD.
Bài 49. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh,
3; 120a BAD
. Cạnh SA vuông góc
với mặt phẳng (ABC) và mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc
60
. Tính theo a thể tích
của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.
Bài 50. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’
xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB. Mặt bên (AA’C’C) tạo với đáy một góc bằng
45
. Tính
theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (AA’C’C) .
Bài 51. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với
2;AB a AD a
.Hình chiếu vuông
góc của S xuống mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của AB; SC tạo với đáy một góc bằng
45
.Tính theo
a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).
Bài 52. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy tam giác ABC là vuông cân tại A;
2AB a
. Hình chiếu vuông góc của A’ xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của BC. Tính theo a thể
tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BC.
Bài 53. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân
//BC AD
.Hình chiếu vuông góc của S
xuống mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của AD;
; ; 2SH a AB BC CD a AD a
. Tính theo a thể
tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AD.
Bài 54. Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân;
AB AC a
và M là trung điểm của AB. Hình
chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMC và góc
giữa SC với mặt phẳng (ABC) bằng
60
. Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMC và khoảng cách từ
điểm B đến mặt phẳng (SAC).
Bài 55. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a,. Hình chiếu vuông góc của S trên
mặt phẳng (ABCD) là trùng với trọng tâm G của tam giác ABC; góc giữa SA và mặt phẳng (ABCD) bằng
30
. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và cosin của góc hợp bởi đường thẳng AC và mặt phẳng (SAB).
Bài 56. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết
23SD a
và đường thẳng SC tạo với đáy một góc bằng
30
.Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC).
Chúc các Em học tập thật tốt!
Thầy Trần Duy Thúc
| 1/24
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA BÀI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN
I. Lý thuyết cần nhớ
1. Cách chọn gốc tọa độ
Ưu điểm:Khi ta chọn được tọa độ các điểm thì chỉ cần áp dụng các kiến thức hình giải tích như khoảng
cách, góc, chứng minh vuông góc…Tuy nhiên, với một số Em học sinh thì việc tính được tọa độ là vấn đề?
Về nguyên tắc thì Em có thể chọn gốc tọa độ nằm bất cứ chổ nào, nhưng chọn chổ nào thì việc tính tọa độ
là thuận lợi nhất? Sai lầm của không ít người dẫn đến việc tính tọa độ các điểm phức tạp là cứ thấy chân
đường cao của hình chóp là chọn làm gốc tọa độ. Trong một số trường hợp Em chọn như vậy sẽ dẫn đến
việc tính tọa độ khó khăn và dễ bị chán nản. Để thuận lợi cho việc tính tọa độ Em nhớ nguyên tắc sau đây.
2.Nguyên tắc chọn gốc tọa độ
+ Vẽ hình thực của đa giác đáy ra bên cạnh.
+ Ưu tiên chọn gốc tọa độ là góc vuông của đa giác đáy chứ không phải là ưu tiên chân đường cao. Tất
nhiên nếu chân đường cao mà trùng gốc vuông ở đáy thì ta chọn gốc tọa ngay điểm đó luôn là tốt.
+ Nhìn vào hình thực này để tính tọa độ các điểm trong mặt phẳng đáy trước. Sau đó tính các điểm phát sinh và đỉnh.
+ Cứ quan tâm vào việc chọn trục O ;
x Oy ở đáy, sau đó gắn trục Oz vào là xong.
Chẳng hạn ta có 1 số trường hợp chọn gốc tọa độ như sau: 1. Đáy là hình vuông
Chọn tọa độ tại đỉnh nào cũng được. y C B A D x
2. Đáy là hình chữ nhật y C B A D x y 3. Hình thoi
Chọn góc tọa độ tại tâm I của hình thoi. D x A I C B
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89
Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 1
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM 4. Hình thang vuông y C
Chọn góc tọa độ ngay gốc vuông. B x A D 5. Tam giác vuông y
Chọn góc tọa độ ngay gốc vuông. B A C x 6. Tam giác đều
Góc tọa độ là trung điểm H một cạnh của tam y giác đều. B y A H C 7. Tam giác cân y
Góc tọa độ là trung điểm H của cạnh đáy. B y A H C 8. Hình bình hành
Kẻ thêm đường cao BH và góc tọa độ x là H. B C y A H D
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 2
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
II. Một số yêu cầu thường gặp
1. Chứng minh quan hệ song song,vuông góc
2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Cho điểm M x ; y ; z và mặt phẳng M 0 0 0  
d(M;(P))
P : Ax By Cz D  0. Khi đó: 
Ax By Cz D d M ;P 0 0 0  . 2 2 2
A B C P
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng điểm d ;d có hai vectơ chỉ phương lần lượt là ;
a b . Các điểm A và B lần lượt thuộc 1 2 d ;d .Khi đó: 1 2 d1a b  ; .   AB A d d ;d  . a 1 2   ; a b   d2 b B
4. Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng điểm d ;d có hai vectơ chỉ phương lần lượt là ; a b .Khi đó: 1 2  . a b cos d ; d  . 1 2  a . b III. Bài tập mẫu
Chú ý: Các ví dụ ở đây, Thầy chỉ sử dụng phương pháp tọa độ để giúp các Em giải quyết triệt để ý sau của
bài toán hình không gian thôi. Ý đầu tiên vẩn tính bình thường theo hình không gian thuần túy nhé!
Ví dụ 1.(Trích đề THPT Quốc Gia -2016) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân
tại B; AC= 2a. Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AC; đường
thẳng A’B tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 45 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và
chứng minhg A’B vuông góc B’C. Giải z B' A' y C C' 2a x 45 A B H B A x y C
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 3
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
+ Tính VABC.A'B'C' .
Gọi H là trung điểm của AC, ta có A' H   ABC và A'BH  45 . Tam giác ABC vuông cân tại B và AC=2a nên ta tính đượ 1
c: BH a và AB BC a 2 . Suy ra: S
a 2.a 2  2 aABC 2 . Tam giác A’HB
vuông tại H và A'BH  45 có nên tam giác A’HB vuông cân tại H. Suy ra A' H BH a . Do đó : VA'H.S  2 . a a  3 a
ABC.A'B'C' ABC .
+ Chứng minh A' B B'C .
Dựng hệ trục tọa độ Bxyz như hình vẽ, Bz / / AH; A B ;
x C By . Ta có:
B0;0;0; Aa 2;0;0;C0;a 2;0  a 2 a 2   a 2 a 2  ;H  ; ;0; A' ; ;a .  2 2   2 2 
 a 2 a 2   a 2 a 2   a 2 a 2 
Ta có: BB '  AA '  B ' ;
;a và BA'  ; ;a ;CB'   ;    ;a .  2 2   2 2   2 2 
a 2 a 2 a 2 a 2
Ta có : CB '.BA'   .  .  .
a a  0  A'B B'C. 2 2 2 2
Bình luận: Nhìn có vẻ hơi dài dòng, nhưng khi đã quen Em sẽ tính tọa độ rất nhanh. Trong phần ở trên ta
tính các điểm nằm trên các trục tọa độ trước. Sau đó tính các điểm xung quanh, dựa vào các đặc điểm tạo ra
chúng. Ví dụ: khi đã tính được tọa độ điểm A và C thì áp dụng tính chất trung điểm Em có ngay tọa độ
điểm H. Tung độ và hoành độ của H cũng là tung độ và hoành độ của A’ và chỉ cần thêm độ cao A’H là ta
 a 2 a 2 
có ngay tọa độ điểm A’. Các tứ giác bên là hình hình bình hành nên BB '  AA '  B ' ; ;a .  2 2 
Ví dụ 2. (Trích đề THPT Quốc Gia -2015) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh
a. SA vuông góc mặt phẳng(ABCD), góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 45 .
Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB,AC. Phân tích:
Đề bài cho SA  (ABCD) và ABCD là hình vuông vậy là quá tốt. Ta sẽ chọn ngay A làm góc tọa độ luôn. Giải z S y C D a a D x A a a B 45 A B x y C
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 4
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Giải
+ Tính VS.ABCD . Ta có: S ;
C ABCD  SCA  45 và ABCD là hình vuông cạch a suy ra SA AC a 2 . 3  1 . .  1 2 . 2.  2a V SA S a a S.ABCD 3 ABCD 3 3 .
+ Tính d A ; C SB .
Chọn hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ. Ta có: A0;0;0;B ; a 0;0;C ; a ;
a 0;S0;0;a 2 .
Đường thẳng AC có vectơ chỉ phương AC   ; a ;
a 0cùng phương u  1;1;0 .
Đường thẳng SB có vectơ chỉ phương SB  a;0;a 2 cùng phương v  1;0; 2 .  ; u v     2; 2;  1 ; AB   ; a 0;0 .  ; u v  .AB a 10 Vậy: d S ; B AC   .  ; u v 5   a
Ví dụ 3. (Trích KA -2014) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SD  32
;hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD) là trung điểm của cạnh AB. Tính theo a thể tích của
khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD). Giải z y C S D 3a 2 a a A D y a A B x a H B x C
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 5
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
+ Tính VS.ABCD .
Gọi H là trung điểm của AB, ta có AH   ABCD . Tam giác ADH vuông tại A nên: 2 2 a 5a 2 HD  2 AD  2 AH  2 a   4
4 . Tam giác SHD vuông H nên : 2 2  2  2  9a  5a SH SD HDa . Khi đó : 4 4 3  1 . .  1 2 . .  a V SH S a a S.ABCD 3 ABCD 3 3 . + Tính d  ; A SBD.
Chọn hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ, Az / / SH . Ta có:
0;0;0;B ;0;0; a;0;0 a A a H S a D a 2 ;  ;0; 2 ; 0; ;0. a Ta có BD   ; a ;
a 0 cùng phương u  1;1;0; BS   ;0;a v  1;0;2 2  cùng phương  
Mặt phẳng (SBD) đi qua điểm B và có vectơ pháp tuyến n   ; u v  2;2;    1 có phương trình:
SBD:2x 2y z2a  0 a . Vậy: d  SBD  2 A; 3 .
Ví dụ 4.(Trích KB -2014) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a.. Hình chiếu
vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB; đường thẳng A’C tạo với mặt phẳng
(ABC) một góc 60 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ điểm B đến (ACC’A’). Giải z y C' A' C B' x 60 A y x C B H A H B
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 6
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
+ Tính VABC.A'B'C' .
Gọi H là trung điểm của AC, ta có A' H   ABC và A'BH  60 . Tam giácABC đều cạnh a và H là trung 2 điể a a 3 a m của AB nên CH  3 S  . Tam giác A’HC A H CH 2 và ABC 4 vuông H nên   3 ' .tan60 2 . 2 3 Do đó :   3a a 3  3 3 ' . . a V A H S
ABC.A'B'C' ABC 2 4 8 .
+ Tính d B; ACC ' A' .
Dựng hệ trục tọa độ Hxyz như hình vẽ. Ta có: 
 a   a   a 3   3 0;0;0 ; ;0;0 ;B ;0;0 ; a H A C 0; ;0; A'0;0; 2 2 2 2  .   a 3a  a a 3  Ta có AA '   ;0; u  1;0;3 AC  ; ;0 v  1; 3;0 2 2  cùng phương   ;   cùng phương    2 2 
Mặt phẳng  ACC ' A' đi qua điểm A và có vectơ pháp tuyến n   ; v u  
 3 3;3; 3 có phương trình:      3 3 ' ' : 3 3 3 3 a ACC A x y z  0    3 13 B; ' ' a d ACC A 2 . Vậy:   13 .
Bình luận: Trong bài toán trên để viết phương trình mặt phẳng  ACC ' A' ta chỉ cần tìm ba điểm thuộc mặt
phẳng  ACC ' A' là được. Như vậy sẽ tiết kiệm thời gian.
Ví dụ 5. (Trích KD -2014) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A; mặt bên
SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc đáy. Tính theo a thể tích của khối
chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA; BC. Giải S z y C a H x B A A B x H
+ Tính VS.ABCD . y C
Gọi H là trung điểm của BC, do tam giác SBC đều nên ta có
SH BC . MàSBC  ABC, do đó SH  ABC .
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 7
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM a
Tam giác SBC đều cạnh a nên SH  3 2 . a
Tam giác ABC vuông cân tại A và BC=a,ta tính được AB AC  2 2 . 3 Khi đó: V  1 .SH.S
 1 a 3 1 a 2 a 2 . . .  a 3 S.ABCD  3 ABC 3 2 2 2 2 24 . + Tính d S ; A BC.
Chọn hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ, với Az / /SH . Ta có:
A0;0;0  a 2   a 2 
a 2 a 2   a 2 a 2 a 3  ;B ;0;0;C0; ;0;H  ; ;0;S ; ;  .  2   2   4 4   4 4 2 
a 2 a 2 a 3 
 a 2 a 2  Ta có AS   ; ;
 cùng phương u   2; 2;2 3 ; BC   ; ;0  4 4 2   2 2  a 2
cùng phương v  1;1;0 . Ta có  ;
u v 2 3;2 3; 2 2       ; AB   ;0;0.  2   ; u v  .AB a 6 a 3 Vậy: d S ; A BC    .  ; u v 32 4  
Ví dụ 6. (Trích KA -2013) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A; ABC  30
mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc đáy. Tính theo a thể tích
của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB). Giải S z y C a H x B A x 30° A B H y C
+ Tính VS.ABCD .
Gọi H là trung điểm của BC, do tam giác SBC đều nên ta có
SH BC . MàSBC  ABCvà SBCABC  BC ,do đó SH  ABC .
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 8
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Tam giác SBC đề a u cạnh a nên SH  3 ABC
2 . Tam giác ABC vuông A và  30 , ta có:   a 3 sin60 ;  sin30  a AC BC AB BC 2 2 . 3 Khi đó: V  1 .SH.S  1 a 3 1 a 3 . . . a a 3 S.ABCD  3 ABC 3 2 2 2 2 16 .
+ Tính d C;SAB .
Chọn hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ, với Az / /SH . Ta có: 0;0;0  a 3  ;B ;0;0 ;C a a a a a a A H S 2 0; ;0 2   3   3 3    ;  ; ;0;  ; ;  .    4 4   4 4 2   a 3 
a 3 a a 3  Ta có AB  
;0;0 cùng phương u  1;0;0 ; AS   ; ;
 cùng phương v   3;1;2 3 .  2   4 4 2  Ta có  ; u v  0;   2 3; 
1 , mặt phẳng SAB đi qua điểm A và có vectơ pháp tuyến n  0;2 3;  1 có
phương trình: SAB : 2 3y z  0 a . Vậy: d  SAB  3 39 C; 13 .
Ví dụ 7. (Trích KB -2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; mặt bên SAB
là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp
S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD). Giải z y C D S a H A D y a A B x a H B x C
+ Tính VS.ABCD . a
Gọi H là trung điểm của AB, do tam giác SAB đều cạnh a nên ta có SH AB và SH  3 2 .
Mà SAB   ABCD và SAB  ABCD  AB ,do đó SH   ABC .
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 9
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM 3 1 1 a 3 3a Vậy: V  .SH.S  2 . .a S.ABCD 3 ABCD 3 2 6 .
+ Tính d A;SDC .
Chọn hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ, với Az / /SH . Ta có:
0;0;0;B ;0;0;C ; ;0;D0; ;0; a;0;0 a a A a a a a H S 2   3  ;  ;0;  .  2 2   a a 3  Ta có DC   ;
a 0;0 cùng phương u  1;0;0 ; DS  ;  ; a
 cùng phương v  1;2; 3 .  2 2 
Mặt phẳng SDC đi qua điểm D và có vectơ pháp tuyến n   ; v u  
 0; 3;2 có phương trình:
SDC: 3y 2z 3a  0 a . Vậy: d  SDC  21 A; 7 .
Ví dụ 8. (Trích KD -2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a; cạnh bên SA
vuông góc với đáy; BAD  120 ; M là trung điểm của cạnh BC và SMA  45 . Tính theo a thể
tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC). Giải S z A 120° a a D B D I y A y a M I B 120° C x M C x
+ Tính VS.ABCD . 2
BAD 120  BAC  60  ABC đề a 3 a 3 u  AM   S  2 ABCD
2 . SAM vuông tại A và
SMA  45  SAM a
vuông cân tại A  SA AM  3 2 . 2 3 1
1 a 3 a 3 a Vậy: V  .S . A S  . .  S.ABCD 3 ABCD 3 2 2 4 .
+ Tính d D;SBC .
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 10
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM a a
Gọi I là tâm của hình thoi. Ta tính được AI CI IB ID  3 ; 2
2 . Chọn hệ trục tọa độ Axyz như hình
vẽ, với Iz / /SA . a aa 3 a 3 a a 3
Ta có: I 0;0;0;A ;0;0 S 2 ;C ;0;0 2        ;B 0; ;0 ;D 0; ;0 ;       ;0;  .  2   2   2 2   a a 3 
 a a 3 a 3  Ta có BC   ;
;0 cùng phương u  1; 3;0; BS   ; ;  cùng phương  2 2   2 2 2 
v  1; 3; 3 . Mặt phẳng SBC đi qua điểm C và có vectơ pháp tuyến n   ;uv  3;   3;2 3 có phương trình:      3 : 3 3 2 3 a SBC x y z  0 d SBC   a 6 D; 2 . Vậy:   4 .
Ví dụ 9. (Trích KA -2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu
vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA  2HB . Góc giữa
SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách
giữa hai đường thẳng SA và BC. Giải z S y C y 60 A C x 60° I A I H B H x B
+ Tính VS.ABCD . a a
Gọi I là trung điểm của AB, do tam giác ABC đều nên ta có CI AB CI  3 ; IH 2 ;  6 .
Góc giữa SC và phẳng (ABC) chính là góc SCH , suy ra SCH  60 . Ta có: HC  2 IC  2
IH a 7 SH CHa 21 ; .tan60 3 3 .Do đó: 2 3 V  1 .SH.S  1 a 21 a 3 . .  a 7 S.ABCD  3 ABC 3 3 4 12 .
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 11
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM + Tính d S ;
A BC.Chọn hệ trục tọa độ Ixyz như hình vẽ, với Iz / /SH . Ta có:
0;0;0;A a;0;0 a a a a a I H S 2 ;B ;0;0 2   3  ;C 0; ;0 ; 2  ;0;0 6   21     ;  ;0;  .    6 3   2a a 21   a a 3  Ta có AS   ;0;
 cùng phương u  2;0; 21 ; BC   ; ;0  3 3   2 2 
cùng phương v  1; 3;0. Ta có  ; u v  
  63; 21;2 3; AB   ; a 0;0 .  ; u v  .AB a 42 Vậy: d S ; A BC   .  ; u v 8  
Ví dụ 10. (Trích KB -2012) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA  2 ;
a AB a. Gọi H là
hình chiếu vuông góc của SA trên cạnh SC. Chứng minh SC vuông góc mặt phẳng (ABH). Tính
thể tích của khối chóp S.ABH theo a.
Phân tích:Để chứng minh SC vuông góc mặt phẳng (ABH) ta chỉ cần chứng minh SC vuông góc với một
cạnh nữa trong mặt phẳng (ABH). Muốn vậy, chỉ cần tìm tọa độ các điểm và sử dụng tích vô hướng để
chứng minh vuông góc.Bài này làm theo cách trực tiếp thì nhanh hơn. Tất nhiên là phương pháp nhanh hay
chậm thì phụ thuộc vào bài toán cụ thể. Có thể ở bài này ta thấy phương pháp tọa độ là dài dòng, tuy nhiên
cũng sẽ có bài ta thấy rằng phương pháp này là hiệu quả. Tóm lại tùy vào từng bài toán,mỗi phương pháp
sẽ thể hiện ưu và khuyết điểm của nó. Các Em nào quan tâm có thể tham khảo tài liệu “Chuyên đề hình x không gian” đượ B
c Thầy biên soạn theo cách giải hình học không gian thuần túy. Giải z S y C H a y G A x C 60° A I B G I x B
+ Chứng minh SC   ABH  .
Gọi I là trung điểm của AB; G là trọng tâm của ABC . a 3 a 3
Ta có SG   ABC và CI A ; B CI  ;GC  2 3 .
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 12
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM SGC 2 2 a 33
vuông tai G, nên SG SC GC Iz SG
3 .Chọn hệ trục tọa độ Ixyz như hình vẽ, với / / . a a a 3 a 3 a 3 a 33
Ta có: I 0;0;0;A ;0;0 S 2 ;B ;0;0 2         ;C0; ;0;G0; ;0; 0; ;  .  2   6   6 3  a 3 a 33 Ta có AB  ;a0;0    ;SC  0; ;   . Khi đó, A .
B SC  0  SC AB .  3 3 
Mà SC AH , do đó SC   ABH  .
+ Tính VS.ABH .
a 3 a 33 
Mặt phẳng (ABH) đi qua I và có vectơ pháp tuyến là SC   0; ;
 cùng phương n  0;1; 11  3 3 
Ta có được phương trình  ABH  : y  11z  0 . 2 3 Khi đó: a 1 1 a 33 a 3 11a
SH d S ABH   7 ; V  .S . G S  . .  4 và S.ABC  3 ABC 3 3 4 12 . V 3 S ABH SH 7 7 7 11a Mà .    V  .VS.ABH S. V SC 8 8 ABC 96 . S.ABC
Ví dụ 11.(Trích KD -2012) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông;tam giác A’AC và
A’C=a. Tính theo a thể tích của khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’). Giải z D' y A' C D C' B' y A B x D A x B C
+ Tính VABB'C' .
Tam giác A’AC vuông cân tạ a a
i A và A C a AA   2 ' ' AC AB AD 2 . Do đó   2 . 3 Khi đó: V  1 A . B S  1 a 1 a 2 . . . . a a 2 ABB'C' . BB'C' 3 3 2 2 2 2 48 + Tính d  ;
A BCD' .
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 13
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Dựng hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ. Ta có: 0;0;0;Ba;0;0 a a a a a A C D 2 ;  ; ;0 2 2 ;D0; ;0 2   2  ; '0; ;  .  2 2  a  a a a 2  Ta có BC  0; ;0 u  0;1;0 BD'  ; ; v  1;1; 2 2  cùng phương   ;   cùng phương  .  2 2 2 
Mặt phẳng BCD ' đi qua điểm B và có vectơ pháp tuyến n   ; u v     2;0;  1 có phương trình: BCD
x z a 2 ' : 2  0    6 A; ' a d BCD 2 . Vậy:   6 .
Ví dụ 12. (Trích KA -2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B;
AB BC  2a ; hai mặt mặt (SAB) và (SAC) cùng vuông góc mặt phẳng (ABC). Gọi M là
trung điểm của AB; mặt phẳng chứa SM và song song BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt
phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60 .Tính theo a thể tích của khối chóp S.BCMN và khoảng giữa
hai đường thẳng AB và SN.
SMN/ /BC
Phân tích:Bài này các Em cần nhớ cách xây dựng mặt phẳng.  MN / /BC .
 SMN  ABC   MN
Khi đó N sẽ là trung điểm của AC. Giải S y z C y N x N A C M B M A x 60° B + Tính VS.MNCB .
Do các mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc mặt phẳng (ABC) suy ra SA   ABC . BC SA Ta có: 
BC  SAB  BC SB , do đó SBA là góc giữa SB và mặt phẳng (ABC) suy ra BC AB
SBA  60  SA A .
B tan60  2a 3 .
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 14
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
SMN/ /BC BC AB Ta có:  MN / /BC
N là trung điểm của AC; MN   ; a BM   a .
 SMN  ABC    MN 2 2 2 1 3a 2 1 1 3a 3 Diện tích: SMB MN BC V S . A S .2a 3. a 3 MNCB     2 2 . Vậy:    S.MNCB 3 MNCB 3 2 .
+ Tính d A ; B SN .
Chọn hệ trục tọa độ Bxyz như hình vẽ, với Bz / /SA . Ta có: A2 ;
a 0;0;B0;0;0;C0;2 ; a 0;N  ; a ;
a 0;S2 ;a0;2a 3. Ta có BA  2 ;
a 0;0 cùng phương u  1;0;0 ; NS   ;a ;a2a 3 cùng phương v  1;1;2 3;  ; u v    0;2 3;  1 ;BN   ; a ; a 0.  ; u v.BN 2a 3 Khi đó: d SN       2a 39 AB; .  ; u v 13 13  
Ví dụ 13.(Trích KB -2011) Cho hình lăng trụ ABC .
D A B C D có đáy ABCD là hình chữ 1 1 1 1 nhật; AB  ;
a AD a 3 . Hình chiếu vuông góc của A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và
BD. Góc giữa hai mặt phẳng  ADD A
1 1  và mặt phẳng (ABCD) bằng 60 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC . D A B C D B đế A BD
1 1 1 1 và khoảng cách từ điểm 1 n mặt phẳng  1  . Giải z D1 A1 x a 3 C B C1 B1 a I a E D E A y A D y a 3 I B C x + Tính VABCD. . 1 A 1 B 1 C 1 D
Gọi I là giao điểm giữa AC và BD  A I ABCD IE AD 1 
; gọi E là trung điểm của AD  .
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 15
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM AD IE Suy ra 
AD  A IE  AD A E . Do đó A EI ADD A AD
là góc giữa hai mặt phẳng  1 1  và   1 1 A I 1 1 AB a 3
mặt phẳng (ABCD) A EI  60  A I IE.tan 60  3  1 1 2 2 . Diện tích đáy: Sa a  2 . 3 a 3 ABCD . 3 a 3 3a Thể tích: VA I.S  2 .a 3  ABCD. / 1 A 1 B 1 C 1 D 1 ABCD 2 2
+ Tính d B ; A BD 1  1 .
Dựng hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ, với Az / / A I 1 .Ta có: A0;0;0;B ;
a 0;0;D0;a 3;0  a a 3   a a 3 a 3  ;I  ; ;0; A ; ; 1   .  2 2   2 2 2 
 3a a 3 a 3 
Ta có: BB AA B ; ; 1 1 1   .  2 2 2 
a a 3 a 3  Ta có BD   ;
a a 3;0 cùng phương u  1; 3;0 ; BA   ; ; 1   cùng phương  2 2 2 
v  1; 3; 3 . Mặt phẳng A BD n   ; u v  3; 3;0 1
 đi qua điểm B và có vectơ pháp tuyến    có
phương trình:  A BD : 3x  3y 3a  0 d a 3 B ; A BD 1 1   1 . Vậy:   2 .
Ví dụ 14. (Trích đề thi thử - THPT Trần phú 2016) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình
vuông cạnh a;I là trung điểm của AB; H là giao điểm giữa BD và CI. Hai mặt phẳng (SCI) và
(SBD) cùng vuông góc mặt phẳng (ABCD). Góc giữa (SAB) và (ABCD) bằng 60 .Tính theo a
thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CI. Giải z S y C D D A H y I E A I E B x B H C x
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 16
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
+ Tính VS.ABCD . 
SCI    ABCD  Ta có: 
SBD   ABCD
SH   ABCD . 
SCISBD   SH
Kẻ HE AB tại E, mà AB SH , do đó AB  SEH   AB SE .
Suy ra SEH là góc giữa (SAB) và (ABCD)  SEH  60 . Ta có HIB đồng dạng   HB IB HCD
 1  HB  1 BD a 2 HD CD 2 3 3 . a 2 a
Ta có : HBE vuông tại E  HE H . B sin HBE  .sin 45  3
3 ; SHE vuông tại H  SH HEa 3 .tan60 3 . 3 1 1 a 3 2 a 3 Vậy: V  .SH.S  . .a S.ABCD 3 ABCD 3 3 9 . + Tính d S ; A CI  .
Chọn hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ, Az / /SH . Ta có:
0;0;0;B ;0;0; 0; ;0;  ; ;0;Ia A a D a C a a ;0;0 1 2a a 2a a a 3 BH BD H ; ;0 S ; ; 2 ; 3  3 3          3 3 3  a  2a a a 3  Ta có: IC   ; ; a 0
u  1;2;0 AS  ; ; v  2;1; 3 2
 cùng phương  ;   cùng phương    3 3 3  Ta có :  ; u v  
 2 3; 3;3; AC   ; a ; a 0.  ; u v.AC 3a Khi đó:   a 2
d SA;CI     .  ; u v 24 4  
Ví dụ 15. (Trích đề thi thử THPT Khoái Châu -2016) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình a a thoi cạnh a; SA SB  3 ; ; BAD
và mặt phẳng (SAB) vuông góc đáy. Gọi H và K lần 2 2  60
lượt là trung điểm của AB và BC. Tính thể tích của khối tứ diện KSDC và cosin của góc hợp bởi đường thẳng SH và DK.
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 17
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Giải S z B K I H C A 60° F y B K C y H I F A D x x D + Tính VKSDC . a a 3 AB a
Từ giả thuyết: AB  ; a SA  ;SB
 SAB vuông tại S  SH   . 2 2 2 2 Khi đó    a SA SH AH  SAH a SI AH SI 2
đều. Gọi I là trung điểm của AH    3 ; 4 . Mặt khác,
SAB  ABCD nên ta có đượcSI  ABCD . 2 2 1 1 a 3 a 3 Diện tích đáy: SS  .  KDC  2 ABD 2 4 8 . 2 3 1 1 a 3 a 3 a Thể tích : V  .SI.S  . .  KSDC  3 KDC 3 4 8 32 .
+ Tính cosSH; DK  . a a
Gọi F là tâm của hình thoi. Ta tính được FB FD A FC  3 ;F 2
2 . Chọn hệ trục tọa độ Fxyz như
hình vẽ, với Fz / /SI . Ta có:
F 0;0;0;Ba;0;0;Da;0;0  a 3   a 3   a a 3  ;A 0; ;0;C0; ;0;H ; ;0; 2 2  2   2   4 4  .
 a 3 3a   a 3 3a a 3   a a 3  I  ; ;0;S ; ; ; K  ; ;0  8 8   8 8 4   4 4 
 a 3a a 3   3a a 3  Ta có SH   ; ;
 cùng phương u  1; 3;2 3 ; DK   ; ;0 cùng phương  8 8 4   4 4 
v   3;1;0 . . u v Khi đó : 3 cosSH; DK    . u . v 4
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 18
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
IV. Bài tập rèn luyện
Bài 1. (Trích KD -2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B; BA  3 ; a BC4a ; mặt
phẳng (SBC) vuông góc mặt phẳng (ABC). Biết SB  2a 3 và SBC  30 . Tính thể tích của khối chóp
S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.
Bài 2. (Trích KA -2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là
trung điểm của AB và AD; H là giao điểm của CN và MD. Biết SH vuông góc mặt phẳng (ABCD) và
SH a 3 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.CDNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng MD và SC.
Bài 3. (Trích KB -2010) Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có AB= a. Góc giữa mặt phẳng (A’BC) và
bằng 60 . Gọi G là trọng tâm của tam giác A’BC. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho và bán kính mặt
cầu ngoại tiếp tứ diện GABC.
Bài 4. (Trích KD -2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; cạnh bên SA=a; hình chiếu AC
vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, AH  4 . Gọi CM là đường cao của
tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích của khối tứ diện SMBC theo a.
Bài 5. (Trích KA -2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D;
AB AD  2 ,
a CD a . Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60 . Gọi I là trung điểm của AD.
Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc mặt phẳng (ABCD), tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a.
Bài 6. (Trích KB -2009) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB '  a ;góc giữa BB’ và mặt phẳng
(ABC) ; tam giác ABC vuông tại C và BAC  60 . Hình chiếu của B’ trên mặt phẳng (ABC) trùng vói
trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích của khối tứ diện A’ABC theo a.
Bài 7. (Trích KD -2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác ABC vuông tại B; AB  , a AA'  2 ,
a A'C  3a . Gọi M là trung điểm của A’C’; I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a
thể tích của khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC).
Bài 8. (Trích KA -2008) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy tam giác ABC
vuông tại A; AB  ,
a AC a 3 và hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của
BC. Tính theo a thể tích của khối chóp A’.ABC và tính cosin của góc hợp bởi hai đường thẳng AA’ và B’C’.
Bài 9. (Trích KB -2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a; SA  ,
a SB  a 3 và mặt
phẳng (SAB) vuông góc mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Tính thể tích của
khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc hợp bởi hai đường thẳng SM và DN.
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 19
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Bài 10. (Trích KD -2008) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác ABC vuông;
AB BC a ,cạnh bên AA'  a 2 . Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ
ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C.
Bài 11. (Trích KA -2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; mặt bên (SAD) là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB,BC,
CD. Chứng minh rằng AM vuông góc với BP và tính theo a thể tích của khối tứ diện CMNP.
Bài 12. (Trích KB -2007) Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối
xứng của D qua trung điểm của SA; M là trung điểm của AE;N là trung điểm của BC. Chứng minh MN
vuông góc với BD và tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.
Bài 13. (Trích KD -2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, ABC BAD  90 ; BA BC  ;
a AD  2a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và cạnh bên SA a 2 . Gọi H là hình chiếu
vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SDC).
Bài 14. (Trích KA -2006) Cho hình trụ có các đáy là hai đường tròn tâm O và O’. Bán kính đáy bằng với
chiều cao và bằng a. Trên đường tròn O lấy điểm A và trên đường tròn O’ lấy điểm B sao cho AB=2a. Tính
thể tích của khối tứ diện OO’AB.
Bài 15. (Trích KB -2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB  ;
a AD  a 2;SA a
và SA vuông góc mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của
BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc mặt phẳng (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB theo a.
Bài 16. (Trích KD -2006) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a ; SA  2a và SA vuông
góc mặt phẳng (ABC). Gọi M, N lần lượt là các hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB và SC. Tính
thể tích của khối chóp A.BCNM.
Bài 17. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác ABC vuông tại A, AB=2a, AC=a, AA’=3a.
Tính thể tích của khối lăng trụ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB’ và BC.
Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, mặt phẳng (SBD) vuông góc đáy và hai đường
thẳng SA và SD hợp với đáy một góc 30 . Biết AD a 6; BD  2a và ADB  45 .Tính thể tích của khối
chóp S.ADBC và khoảng cách từ đỉnh C đến mặt phẳng (SAD).
Bài 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, BCD  60 ; cạnh SA vuông góc mặt phẳng
(ABCD). Hai mặt phẳng (SCD) và (SBC) vuông góc nhau.Tính theo a thể tích của khối chóp S.ADBC và
khoảng cách từ đỉnh C đến mặt phẳng (SBD).
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 20
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Bài 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; mặt bên SAD là tam giác đều và SB a 2 .
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD và AB. Gọi H là giao điểm của FC và EB. Chứng minh SE E ;
B CH SB và tính theo a thể tích của khối chóp C.SEB.
Bài 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang cân; AD là đáy lớn, AD  2 ;
a AB BC CD a .
Hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC sao cho HC  2HA . Góc giữa hai mặt
phẳng (SDC) và (ABCD) bằng 60 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD.
Bài 22. Cho hình chóp S.ABC có đáy là vuông cân tại đỉnh B, AB  ,
a SA a và SA vuông góc mặt phẳng
(ABC). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và SA. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và
khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng (SCM).
Bài 23. Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’ trên
mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC sao cho HC  3HA ;góc tạo bởi AA’ và mặt phẳng (ABCD)
bằng 60 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ và sin của góc hợp bởi đường thẳng A’A và mặt phẳng (A’CD).
Bài 24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm I. Cạnh SA vuông góc mặt phẳng (ABCD) và SA a 3 a 3
. Biết bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD bằng ACB 3 và  30 .
Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB.
Bài 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm I; AB  ;
a BC  a 3 , tam giác SAC vuông
tại S. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm H của đoạn thẳng AI. Tính
theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cáchtừ điểm C đến mặt phẳng (SAB).
Bài 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B; AB BC  ,
a AD  2a . Cạnh SA
vuông góc với mặt (ABCD); góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 45 . Gọi M là trung điểm
của AD. Tính thể tích của khối chóp S.MCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và BD.
Bài 27. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a; cạnh SA vuông góc đáy và SB hợp với mặt
phẳng (ABC) bằng 45 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và BC. Tính theo a thể tích của khối chóp
S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (AMN).
Bài 28. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam vuông tại B; BC  ;
a AC  a 10 . Hai mặt phẳng (SAC) và
(SAB) cùng vuông góc mặt phẳng (ABC). Góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABC) bằng 60 .
Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC, với M là điểm
thuộc đoạn BC sao cho MC  2MB .
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 21
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Bài 29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB  ;
a AD  2 2a . Hình chiếu vuông góc của S
trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm của tam giác BCD. Đường thẳng SA tạo với mặt phẳng (ABC)
một góc 45 .Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC.
Bài 30. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB  ; a BC  2 ;
a ACB 120 . Đường thẳng A’C tạo với
mặt phẳng (ABB’A’) một góc 30 . Gọi M là trung điểm của BB’. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ
ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và CC’.
Bài 31. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông với AB AC a .
Mặt phẳng (A’BC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 45 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ
ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và B’C’.
Bài 32. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B. Các mặt phẳng (SAB) và (SAD)
cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Cho AB  2 , a AD  ;
a SA BC  ;
a CD  2a 5 . Gọi H là điểm thuộc
đoạn thẳng AD sao cho AH a . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BH và SC.
Bài 33. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a; tam giác SAB vuông cân tại S và nằm
trong mặt phẳng vuông góc mặt phẳng (ABC). Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và cosin của góc
hợp bởi hai đường thẳng SB và AC.
Bài 34. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB  ;
a AC  2a 2 . Hình chiếu
vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc BC sao cho HB  2HC , góc giữa SB và mặt
phẳng đáy bằng 60 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC.
Bài 35. Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC)
bằng 60 . Gọi M là trung điểm của BC và N là trung điểm của CC’. Tính theo a thể tích của khối chóp
A.BB’C’C và khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (AB’N).
Bài 36. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh đáy là tam giác đều cạnh bằng a. Hình chiếu vuông góc
của A’ xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB. Mặt bên (AA’C’C) tạo với đáy một góc bằng 45 .
Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (AA’C’C).
Bài 37. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB  2 . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh
SA, SC sao cho BM vuông góc DN. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng DN và AB.
Bài 38. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nữa lục giác đều và AB CD BC a . Hai mặt phẳng
(SAD) và (SBD) cùng vuông góc mặt phẳng (ABCD), góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 60 .
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 22
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD).
Bài 39. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là là hình chữ nhật, SA  ; a AB  ;
a AC  2a ; SA vuông
góc mặt phẳng (ABCD). Gọi G là trọng tâm của tam giác SAC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD
và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCG).
Bài 40. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là là hình chữ nhật, AB  2 ;
a AD a ; K là hình chiếu
vuông góc của B lên đường chéo AC; các điểm H,M lần lượt là trung điểm của AK và DC. Cạnh SH vuông
góc với mặt phẳng (ABCD); góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) bằng 45 . Tính theo a thể tích của khối
chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và MH.
Bài 41. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Gọi I là trung điểm của của cạnh AB; hình
chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của CI; góc giữa SA và mặt phẳng (ABC)
bằng 60 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm H đên mặt phẳng (SBC).
Bài 42. Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy là hình thoi cạnh bằng a, góc ACB  60 . Mặt
phẳng (A’BD) tạo với đáy một góc bằng 60 . Tính theo a thể tích của khối hộp và khoảng cách giữa hai
đường thẳng CD’ và BD.
Bài 43. Cho hình chóp S.ABC có mặt phẳng (SAC) vuông góc mặt phẳng (ABC); SA AB  ; a AC  2a
và ASC ABC  90 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).
Bài 44. Cho hình chóp S.ABCD có SA   ABCD;SA  ,
a ABCD là hình chữ nhật có AB  2 ; a AD  5a .
Điểm E thuộc BC sao cho CE=a. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ASDE.
Bài 45. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  ;
a AD  2a và SA  ABCD .
Gọi M là trung điểm của CD và SC hợp với mặt phẳng đáy một góc  sao cho   1 tan .Tính theo a thể 5
tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBM). a
Bài 46. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD  32 . Hình chiếu vuông góc của
S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của đoạn thẳng AB. Gọi K là trung điểm của AD. Tính theo a
thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng HK và SD.
Bài 47. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA   ABCD . Cạnh SC tạo với mặt
phẳng (SAB) một góc 30 . Goi E là trung điểm BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và
khoảng cách giữa hai đường thẳng DE và SC.
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 23
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Bài 48. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ABC  60 . Cạnh SA vuông góc với
mặt phẳng (ABCD) và SC tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 60 . Tính theo a thể tích của khối chóp
S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD.
Bài 49. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh, a 3; BAD  120 . Cạnh SA vuông góc
với mặt phẳng (ABC) và mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 60 . Tính theo a thể tích
của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.
Bài 50. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’
xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB. Mặt bên (AA’C’C) tạo với đáy một góc bằng 45 . Tính
theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (AA’C’C) .
Bài 51. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  2 ;
a AD a .Hình chiếu vuông
góc của S xuống mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của AB; SC tạo với đáy một góc bằng 45 .Tính theo
a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).
Bài 52. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy tam giác ABC là vuông cân tại A;
AB a 2 . Hình chiếu vuông góc của A’ xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của BC. Tính theo a thể
tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BC.
Bài 53. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân BC / / AD .Hình chiếu vuông góc của S
xuống mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của AD; SH  ;
a AB BC CD  ;
a AD  2a. Tính theo a thể
tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AD.
Bài 54. Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân; AB AC a và M là trung điểm của AB. Hình
chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMC và góc
giữa SC với mặt phẳng (ABC) bằng 60 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMC và khoảng cách từ
điểm B đến mặt phẳng (SAC).
Bài 55. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a,. Hình chiếu vuông góc của S trên
mặt phẳng (ABCD) là trùng với trọng tâm G của tam giác ABC; góc giữa SA và mặt phẳng (ABCD) bằng
30 . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và cosin của góc hợp bởi đường thẳng AC và mặt phẳng (SAB).
Bài 56. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết SD  2a 3 và đường thẳng SC tạo với đáy một góc bằng
30 .Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC).
Chúc các Em học tập thật tốt!
Thầy Trần Duy Thúc
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 24