Tài liệu chuyên đề nguyên hàm và một số phương pháp tìm nguyên hàm Toán 12
Tài liệu gồm 159 trang, tổng hợp lý thuyết, các dạng toán và bài tập tự luận + trắc nghiệm chuyên đề nguyên hàm và một số phương pháp tìm nguyên hàm, từ cơ bản đến nâng cao, có đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh lớp 12 tham khảo khi học chương trình môn Toán 12.
Chủ đề: Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Môn: Toán 12
Thông tin:
Tác giả:
Thông tin :
Chủ đề:
Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Môn:
Tác giả:
Tài liệu liên quan:
Preview text:
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN G
ƠN III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN HƯ C BÀI 1. NGUYÊN HÀM I LÝ THUYẾT.
Kí hiệu K là một khoảng, hay một đoạn hay một nửa khoảng.
1) Định nghĩa: Cho hàm số f (x) xác định trên K . Hàm số F (x) được gọi là nguyên hàm của hàm
số f (x) trên K nếu F′(x) = f (x) với mọi x thuộc K . 2) Định lý
a. Nếu F (x) là một nguyên hàm của f (x) trên K thì C
∀ ∈ R hàm số F (x) + C cũng là một
nguyên hàm của f (x) trên K .
b. Đảo lại nếu F (x),G(x) là hai nguyên hàm của f (x) trên K thì tồn tại một hằng số C sao
cho F (x) = G(x) + C
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) ký hiệu là f
∫ (x) = F (x)+C .
Chú ý: Người ta chứng minh được rằng: “Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K ”
3) Tính chất của nguyên hàm.
a. Nếu f , g là hai hàm số liên tục trên K thì ∫[ f (x)± g(x)]dx = f (x)dx ± g(x)dx ∫ ∫ .
b. kf (x)dx = k f (x)dx ∫ ∫
với mọi số thực k khác 0.
Suy ra ∫[k.f (x)+l.g(x)]dx = k f (x)dx +l g(x)dx ∫ ∫
c. ( f (x)dx ∫ )′ = f (x).
4) Công thức nguyên hàm từng phần
udv = uv − d v u ∫ ∫ .
5) Công thức đổi biến số f [u
∫ (x)]u′(x)dx = F[u(x)]+C . Page 1
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
6) Bảng nguyên hàm và vi phân của những hàm số thường gặp Hàm sơ cấp
Hàm số hợpu = u (x) Thường gặp
1) dx = x + C ∫
1) du = u + C ∫ .
1) Vi phân (ax + b) 1 d = dx a α 1 + α 1 + α 1 1 2) αd x x x = + C ∫ (α ≠ − )1 2) αd u u u = + C ∫
(α ≠ − )1 2)∫(a x b) α 1 dx (ax b) + + = ⋅ + + C α +1 α +1 a α +1 d 3) x dx 1 = ln x + C ∫ (x ≠ 0) d 3)
u = ln u +C ∫
(u(x) ≠ 0) 3)
= ln ax + b + C ∫ (a ≠ 0) x u ax + b a 4) cos d
x x = sin x + C ∫
4) cosudu = sin u + C ∫ 1
4) cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C ∫ a 5) sin d
x x = −cos x + C ∫ 5) sin d
u u = −cosu + C ∫ 1
5) sin(ax + b)dx = − cos(ax + b) + C ∫ a 1 6) dx dx 1 = tan x + C ∫ 1 6)
du = tan u + C 6)
= tan (ax + b) + C ∫ 2 cos x ∫ 2 cos u 2
cos (ax + b) a π π
Với x ≠ + kπ
Với u (x) ≠ + kπ 2 2 1 − 7) dx dx 1 = −cot x + C ∫ . 1 7)
du = −cot u + C 7) =
cot (ax + b) + C ∫ 2 sin x ∫ 2 sin u 2 sin (ax + b) a Với x ≠ kπ
Với u (x) ≠ kπ 8) xd x
e x = e + C ∫ 8) ud u
e u = e + C ∫ ax+b 1 8) d ax+b e x = e + C ∫ a x u px+q 1 9) xd a a x =
+ C (0 < a ≠ ∫ )1 9) ud a a u =
+ C (0 < a ≠ ∫ )1 9) d px+q a x = a
+ C (0 < a ≠ ∫ ) 1 ln a ln a . p ln a
II HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN.
PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ 1 LÝ THUYẾT.
Phương pháp đổi biến số được sử dụng khá phổ biến trong việc tính các tích phân bất định.
Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm có hai dạng dựa trên định lý sau:
a) Nếu: f (x) = F(x) + C ∫
và với u = (x) là hàm số có đạo hàm thì: f (u)du = F(u) + C ∫
b) Nếu hàm số f(x) liên tục thì đặt x = ϕ (t) . Trong đó ϕ (t) cùng với đạo hàm của nó (ϕ '(t)
là những hàm số liên tục ) thì ta được: f (x)dx = f ϕ ∫ ∫ (t)ϕ '
(t) dt = g(t)dt = G(t) + C ∫ .
Từ đó ta trình bày hai dạng toán về phương pháp đổi biến số như sau:
Dạng 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1 để tính nguyên hàm: I = f (x)dx ∫ .
PHƯƠNG PHÁP CHUNG. Page 2
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Chọn t = ϕ (x) . Trong đó ϕ (x) là hàm số mà ta chọn thích hợp.
Bước 2: Tính vi phân hai vế: dt = ϕ '(x)dx .
Bước 3: Biểu thị: f (x)dx = g ϕ (x)ϕ '
( x) dx = g(t)dt .
Bước 4: Khi đó: I = f (x)dx = g(t)dt = G(t) + C ∫ ∫
* Chú ý: Ta có một số dấu hiệu để đổi biến thường gặp:
STT Dạng nguyên hàm Cách đặt
Đặc điểm nhận dạng f ′(x) 1 ∫ ( ) dx
t = f (x) f x Biểu thức dưới mẫu 2 u(x)
f e u′ ∫ (x)dx
t = u (x)
Biểu thức ở phần số mũ 3 f u
∫ (x)u′ ( x)dx
t = u (x)
Biểu thức trong dấu ngoặc 4 n f u ∫
(x)u′(x)dx n
t = u (x) Căn thức dx 5 ∫ ( ) d ln x f x t = ln x
đi kèm biểu thức theo ln x x x 6
f (sin x).cos xdx ∫ t = sin x
cos xdx đi kèm biểu thức theo sin x 7
f (cos x).sin xdx ∫ t = cos x
sin xdx đi kèm biểu thức theo cos x dx dx 8 f ∫ (tan x) t = tan x
đi kèm biểu thức theo tan x 2 cos x 2 cos x 9 ∫ ( ) d cot x f x dx t = cot x
đi kèm biểu thức theo cot x 2 sin x 2 sin x 10 ( ax) ax f e e dx ∫ ax t = e ax
e dx đi kèm biểu thức theo ax e
Đôi khi thay cách đặt t = t (x) bởi t = .
m t (x) + n ta sẽ biến đổi dễ dàng hơn. Page 3
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Các dạng đặc biệt Dấu hiệu Cách chọn Hàm f (x) . a sinx + b.cosx = x x t tan ; o c s 0 = ≠ .csinx + d.cosx + e 2 2 Hàm ( ) 1 f x =
+ Với: x + a > 0 và x + b > 0, Đặt:
(x + a)(x +b)
t = x + a + x + b
+ Với x + a < 0 và x + b < 0, đặt:
t = x − a + −x − b
2 BÀI TẬP TỰ LUẬN.
Câu 1: Tìm các họ nguyên hàm sau đây a) 4 2
x 1− x dx ∫ b) 1 dx ∫ c) 3 2 x x + 9 dx ∫ x x +1
Câu 2:Tìm các họ nguyên hàm sau đây 2 x ln ( 2 x + ) 1 2 a) ln x −1dx ∫ b) dx ln x dx xln x ∫ c) 2 x ∫ +1 x(1+ ln x +1)
Câu 3:Tìm nguyên hàm: a) xdx xdx 3
I = (x +1) 3− 2xdx ∫ b) J = ∫ c) K = ∫ 3 2x + 2 x + 3 + 5x + 3
Câu 4: Tìm nguyên hàm: a) 3 5 cos xdx I = sin . x cos xdx ∫ b) J = ∫ 3 (sin x + 2cos x)
Câu 5:Tìm nguyên hàm: 2x x 1) dx I + = ∫ 2) e J = dx e K = dx x e ∫ + 2 x e− − 3 ∫ 3) 4 1 x + e + 2 4 x e +1
Câu 6: Tìm nguyên hàm: 2 3 2 1) ln x +1 + I = dx ∫ 2) ln .xdx J ln x 2 ln x = K = dx x ∫ 3) ∫ x(1+ 3ln x + 2) x
Câu 7: Tìm nguyên hàm: 1) dx I = ∫ 2) dx J = 2 2sin x ∫ − 3sin 2x + 2
2cos x − sin x +1 4 3
Câu 8: Tìm nguyên hàm: sin 2 .xcos x I = dx ∫ tan π π x tan x + − 4 4 Page 4
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN x
Câu 9: Tìm nguyên hàm: 1) e dx I + = ∫ 2) (ln x 1)ln x J = dx x e ∫ + 4 x e− 3 (ln x + x +1) 3
Câu 10: Tìm nguyên hàm: 1) x −1 I = dx ∫ 2) dx J = 6 3 x(x ∫ + 3x + 2) 6 2 x(x +1)
Câu 11: Tìm nguyên hàm: tan xdx I = ∫ 2 sin x + 3 BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Tìm nguyên hàm: 2 (x + )2010 1
I = x x +1dx x dx I = I = dx 1 ∫ 2 ∫ ( ∫ x + 3)10 3 (3x + )2012 1
Bài 2: Tìm nguyên hàm: 3 x + 3x 2 2 I − = dx I =
x + 2x + 4.dx 1 x 2 ∫ I = dx, x ≠ 0 1 ∫ ( ∫ x + )3 2 1 3 4 2 x + x +1 3 x J = dx 2 2 ∫ x 2 J = x x − 4dx 2 x + 3 J = dx ∫ 1 ∫ 3 2 x + 4
Bài 3: Tìm nguyên hàm: dx I =
I = x . x + 9 1 ∫ 2 2 dx ∫ 3 1+ x + 1+ x 2 dx I = xdx = 3 ∫ I . ∫ 2 x x +1 4 1+ x + (1+ x )3 2 2
Bài 4: Tìm nguyên hàm: x I = dx dx I = x J = dx 2 ∫ ∫ ∫ 3 2x +1 3 2 x + 4 1 1+ 2x +1 dx J = xdx 3 3 J = 3x − x dx ∫ 2 ∫ J = ∫ 5 2 1+ x + x +1 4 3 x +1 − x +1 x J = dx 6 ∫ 2 3x + 9x −1
Bài 5: Tìm nguyên hàm: 2 1 1 I = tan xdx I = dx I = dx 1 ∫ 2 ∫ 4 cos x 3 ∫ 1+ sin x + 3 5sin x 2sin 2x tan x J = tan xdx J = dx J = dx 1 ∫ 2 ∫ cos 2x ∫ + 6cos x + 5 3 3 cos x
Bài 6: Tìm nguyên hàm: Page 5
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 5 3
I = sin x cos xdx cos x 4 tan x 1 ∫ I = dx 2 ∫ ( I = dx sin x + 2cos x)3 3 ∫ cos 2x
Bài 7: Tìm nguyên hàm: 1 I + = dx cos x I = dx 2ln x 3 I = dx 1 ∫ 2 cos xsin x 2 ∫ 2
sin x − 5sin x + 6 3 ∫ x
Bài 8: Tìm nguyên hàm: ln 2 2 I x = dx ln x ln (ln x) 1 ∫ x(ln x = + ) 1 I dx 2 ∫ I = dx ∫ x(1+ ln x +1) 3
x ln x ln (ln x) +1
Bài 9: Tìm nguyên hàm: sin 2xdx I = ∫ dx J = dx K = 1 ∫ ∫ + 4sin x 3 sin . π x sin x + cos x 3
Bài 10: Tìm nguyên hàm: sin 2x + 3cos x 2 I = dx ∫ 3 3 sin x − sin x 4sin 3x + sin 4x K = dx 3 1+ 1+ 2sin x J = cot .xdx ∫ ∫ 3 sin x tan x + cot 2x
Bài 11: Tìm nguyên hàm: 2x +1 + I x 1 = dx ∫ J = dx ∫ x −1 2 = + x −1 K dx 2 x + 2 ∫ x + 2
Bài 12: Tìm nguyên hàm: 2009 (x + 3) dx I = dx ∫ K = ∫ 2013 (2x −1) (x − ) 2 1 x + 3x + 2
Bài 13: Tìm nguyên hàm: 1. x 3
I = x x +1dx ∫ 2. I = dx ∫ 4 x +1 5 2 3. (x +1)dx I − = ∫ 4. x x I = dx ∫ 1+ 4x +1 3 x + 2 5. sin 2x + cos x I tan . = dx ∫ 6. x dx I = ∫ 3sin x +1 3 1+ ln(cos x) +1 7. ln x I = ∫ ( dx 8. 2x = + 4 x + 5. x I e e e dx ∫ 1+ ln x + 2) x
Bài toán 2: (Lượng giác hóa) Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 2 tính tích phân bất
định: I = f (x)dx ∫
PHƯƠNG PHÁP CHUNG Page 6
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: chọn x =ϕ (t), trong đó ϕ (t) là hàm số mà ta chọn thích hợp.
Bước 2: lấy vi phân hai vế: dx = ϕ '(t)dt
Bước 3: Biến đổi: f (x)dx = f ϕ (t)ϕ '
(t) dt = g (t) dt
Bước 4: Khi đó tính: f (x)dx = g(t)dt = G(t) + C ∫ ∫ .
* Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là: Dấu hiệu Cách chọn π π
x = a sint ↔ − ≤ t ≤ 2 2 a − x 2 2 x = a os c t ↔ 0 ≤ t ≤ π a π π x t ; = ↔ ∈ − \{ } 0 sin t 2 2 2 2 x − a a π x t [0;π ] \ = ↔ ∈ os c t 2 π π x a tan t t ; = ↔ ∈ − 2 2 a + x 2 2
x = a cott ↔ t ∈ (0;π ) a + x a − x ∨ x = a.cos2t a − x a + x
(x − a)(b − x)
x = a + (b − a) 2 sin t dx
Câu 1: Tính tích phân bất định a/ dx ∫ b/ ∫ ( − x )3 2 1 2 x + 2x + 3
Câu 2: Tính tích phân bất định: dx I = ∫ ( + x )3 2 1
PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN 1 LÝ THUYẾT.
Cho hai hàm số u và v liên tục trên đoạn [ ;
a b] và có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ; a b]. Page 7
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Khi đó: udv = uv − d v u. ∫ ∫ (*)
Để tính nguyên hàm f (x)dx ∫
bằng từng phần ta làm như sau:
Bước 1. Chọn u, v sao cho f (x)dx = d
u v (chú ý dv = v'(x)dx ).
Sau đó tính v = dv
∫ và du = u'.dx.
Bước 2. Thay vào công thức (*) và tính d v u ∫ .
Chú ý. Cần phải lựa chọn và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân d v u ∫ dễ tính hơn d u v
∫ . Ta thường gặp các dạng sau
● Dạng 1. I = P
∫ (x)sin(ax +b)dx, trong đó P(x) là đa thức. = ( )
du = P′(x).dx u P x Với dạng này, ta đặt ⇒ . v = (ax +b) 1 d sin dx
v = − cos(ax + b) a
● Dạng 2. I = P
∫ (x)cos(ax+b)dx , trong đó P(x) là đa thức. = ( )
du = P′(x).dx u P x Với dạng này, ta đặt ⇒ . v = (ax +b) 1 d cos dx
v = sin (ax + b) a
● Dạng 3. = ∫ ( ) ax+b I
P x e dx , trong đó P(x) là đa thức. = ( )
du = P′(x).dx u P x Với dạng này, ta đặt ⇒ . ax+b 1 dv = e d ax+b x v = e a
● Dạng 4. I = P
∫ (x)ln g(x)dx, trong đó P(x) là đa thức. u = ln g (x)
Với dạng này, ta đặt . dv = P (x)dx sin x ● Dạng 5. x I = ∫
e dx . cos x sin x u = Với dạng này, ta đặt cos x . d x v = e dx
2 BÀI TẬP TỰ LUẬN.
Câu 1. Tìm xsin 2xdx ∫
Câu 2. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = xsin x
Câu 3. Biết xcos 2 d
x x = axsin 2x + bcos 2x + C ∫
với a , b là các số hữu tỉ. Tính tích ab ?
Câu 4. Tìm nguyên hàm I = (x − ∫ ) 1 sin 2 d x x
Câu 5. Tìm nguyên hàm sin xdx ∫
Câu 6. Họ nguyên hàm của x e
∫ (1+ x)dx là: Câu 7. Biết 2x 2x 2 d x
xe x = axe + be + C ( a, b∈ ∫
). Tính tích ab .
Câu 8. Biết ( ) = ( + ) x F x
ax b e là nguyên hàm của hàm số = (2 + 3) x y x
e .Khi đó, tính a + b Page 8
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 9. Biết ∫( +3) 2−x 1 2 . d − x x e
x = − e (2x + n) + C , với , m n∈ . Tính 2 2
S = m + n . m
Câu 10. Tìm nguyên hàm = (2 − ∫ ) 1 −x I x e dx .
Câu 11. Tìm nguyên hàm ln xdx ∫
Câu 12. Tìm nguyên hàm I = xln xdx ∫
Câu 13. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = xln(x + 2) .
Câu 14. Tìm nguyên hàm của ( ) ln x g x = ? (x + )2 1 Page 9
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN G
ƠN III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN HƯ C BÀI 1. NGUYÊN HÀM I LÝ THUYẾT.
Kí hiệu K là một khoảng, hay một đoạn hay một nửa khoảng.
1) Định nghĩa: Cho hàm số f (x) xác định trên K . Hàm số F (x) được gọi là nguyên hàm của hàm
số f (x) trên K nếu F′(x) = f (x) với mọi x thuộc K . 2) Định lý
a. Nếu F (x) là một nguyên hàm của f (x) trên K thì C
∀ ∈ R hàm số F (x) + C cũng là một
nguyên hàm của f (x) trên K .
b. Đảo lại nếu F (x),G(x) là hai nguyên hàm của f (x) trên K thì tồn tại một hằng số C sao
cho F (x) = G(x) + C
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) ký hiệu là f
∫ (x) = F (x)+C .
Chú ý: Người ta chứng minh được rằng: “Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K ”
3) Tính chất của nguyên hàm.
a. Nếu f , g là hai hàm số liên tục trên K thì ∫[ f (x)± g(x)]dx = f (x)dx ± g(x)dx ∫ ∫ .
b. kf (x)dx = k f (x)dx ∫ ∫
với mọi số thực k khác 0.
Suy ra ∫[k.f (x)+l.g(x)]dx = k f (x)dx +l g(x)dx ∫ ∫
c. ( f (x)dx ∫ )′ = f (x).
4) Công thức nguyên hàm từng phần
udv = uv − d v u ∫ ∫ .
5) Công thức đổi biến số f [u
∫ (x)]u′(x)dx = F[u(x)]+C . Page 1
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
6) Bảng nguyên hàm và vi phân của những hàm số thường gặp Hàm sơ cấp
Hàm số hợpu = u (x) Thường gặp
1) dx = x + C ∫
1) du = u + C ∫ .
1) Vi phân (ax + b) 1 d = dx a α 1 + α 1 + α 1 1 2) αd x x x = + C ∫ (α ≠ − )1 2) αd u u u = + C ∫
(α ≠ − )1 2)∫(a x b) α 1 dx (ax b) + + = ⋅ + + C α +1 α +1 a α +1 d 3) x dx 1 = ln x + C ∫ (x ≠ 0) d 3)
u = ln u +C ∫
(u(x) ≠ 0) 3)
= ln ax + b + C ∫ (a ≠ 0) x u ax + b a 4) cos d
x x = sin x + C ∫
4) cosudu = sin u + C ∫ 1
4) cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C ∫ a 5) sin d
x x = −cos x + C ∫ 5) sin d
u u = −cosu + C ∫ 1
5) sin(ax + b)dx = − cos(ax + b) + C ∫ a 1 6) dx dx 1 = tan x + C ∫ 1 6)
du = tan u + C 6)
= tan (ax + b) + C ∫ 2 cos x ∫ 2 cos u 2
cos (ax + b) a π π
Với x ≠ + kπ
Với u (x) ≠ + kπ 2 2 1 − 7) dx dx 1 = −cot x + C ∫ . 1 7)
du = −cot u + C 7) =
cot (ax + b) + C ∫ 2 sin x ∫ 2 sin u 2 sin (ax + b) a Với x ≠ kπ
Với u (x) ≠ kπ 8) xd x
e x = e + C ∫ 8) ud u
e u = e + C ∫ ax+b 1 8) d ax+b e x = e + C ∫ a x u px+q 1 9) xd a a x =
+ C (0 < a ≠ ∫ )1 9) ud a a u =
+ C (0 < a ≠ ∫ )1 9) d px+q a x = a
+ C (0 < a ≠ ∫ ) 1 ln a ln a . p ln a
II HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN.
PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ 1 LÝ THUYẾT.
Phương pháp đổi biến số được sử dụng khá phổ biến trong việc tính các tích phân bất định.
Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm có hai dạng dựa trên định lý sau:
a) Nếu: f (x) = F(x) + C ∫
và với u = (x) là hàm số có đạo hàm thì: f (u)du = F(u) + C ∫
b) Nếu hàm số f(x) liên tục thì đặt x = ϕ (t) . Trong đó ϕ (t) cùng với đạo hàm của nó (ϕ '(t)
là những hàm số liên tục ) thì ta được: f (x)dx = f ϕ ∫ ∫ (t)ϕ '
(t) dt = g(t)dt = G(t) + C ∫ .
Từ đó ta trình bày hai dạng toán về phương pháp đổi biến số như sau:
Dạng 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1 để tính nguyên hàm: I = f (x)dx ∫ .
PHƯƠNG PHÁP CHUNG. Page 2
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Chọn t = ϕ (x) . Trong đó ϕ (x) là hàm số mà ta chọn thích hợp.
Bước 2: Tính vi phân hai vế: dt = ϕ '(x)dx .
Bước 3: Biểu thị: f (x)dx = g ϕ (x)ϕ '
( x) dx = g(t)dt .
Bước 4: Khi đó: I = f (x)dx = g(t)dt = G(t) + C ∫ ∫
* Chú ý: Ta có một số dấu hiệu để đổi biến thường gặp:
STT Dạng nguyên hàm Cách đặt
Đặc điểm nhận dạng f ′(x) 1 ∫ ( ) dx
t = f (x) f x Biểu thức dưới mẫu 2 u(x)
f e u′ ∫ (x)dx
t = u (x)
Biểu thức ở phần số mũ 3 f u
∫ (x)u′ ( x)dx
t = u (x)
Biểu thức trong dấu ngoặc 4 n f u ∫
(x)u′(x)dx n
t = u (x) Căn thức dx 5 ∫ ( ) d ln x f x t = ln x
đi kèm biểu thức theo ln x x x 6
f (sin x).cos xdx ∫ t = sin x
cos xdx đi kèm biểu thức theo sin x 7
f (cos x).sin xdx ∫ t = cos x
sin xdx đi kèm biểu thức theo cos x dx dx 8 f ∫ (tan x) t = tan x
đi kèm biểu thức theo tan x 2 cos x 2 cos x 9 ∫ ( ) d cot x f x dx t = cot x
đi kèm biểu thức theo cot x 2 sin x 2 sin x 10 ( ax) ax f e e dx ∫ ax t = e ax
e dx đi kèm biểu thức theo ax e
Đôi khi thay cách đặt t = t (x) bởi t = .
m t (x) + n ta sẽ biến đổi dễ dàng hơn. Page 3
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Các dạng đặc biệt Dấu hiệu Cách chọn Hàm f (x) . a sinx + b.cosx = x x t tan ; o c s 0 = ≠ .csinx + d.cosx + e 2 2 Hàm ( ) 1 f x =
+ Với: x + a > 0 và x + b > 0, Đặt:
(x + a)(x +b)
t = x + a + x + b
+ Với x + a < 0 và x + b < 0, đặt:
t = x − a + −x − b
2 BÀI TẬP TỰ LUẬN.
Câu 1: Tìm các họ nguyên hàm sau đây a) 4 2
x 1− x dx ∫ b) 1 dx ∫ c) 3 2 x x + 9 dx ∫ x x +1 Lời giải a) Xét 4 2
x 1− x dx ∫ . Đặt 4 2 4 2
t = 1− x ⇒ t =1− x , suy ra 3 3 4t dt = 2 − d x x ⇒ 2 − t dt = d x x 5 2t 2 1− x 1− x 4 2 3 ( 2) 4 2
Khi đó x 1− x dx = 2
− t.t dt = − + C = − + C ∫ ∫ 5 5 b) Xét 1 dx ∫ . x x +1
2tdt = dx Đặt 2
t = x +1 ⇒ t = x +1. Suy ra 2 x = t −1 Khi đó 1 2t 2 1 1 dx t t = = = − ∫ ∫ ∫ ∫ t x x +1 ( d d d 2 t − ) 2 1 t t −1
t −1 t +1 t −1 x +1 −1 = ln + C = ln + C t +1 x +1 +1 c) Xét 3 2 2 2
x x + 9 dx = x x + 9. d x x ∫ ∫ . t dt = d x x Đặt 2 2 2
t = x + 9 ⇒ t = x + 9. Suy ra 2 2 x = t − 9 5 Khi đó 2 2 x x t + x x = ∫
∫( 2t − )t t t = ∫( 4 2 9. d 9 . d
t − 9t )dt 3 = − 3t + C. 5 Page 4
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN x + 9 3 2 ( )5 2 3
Như vậy x x + 9 dx = − 3 ∫ ( 2x +9) +C 5
Câu 2:Tìm các họ nguyên hàm sau đây 2 x ln ( 2 x + ) 1 2 a) ln x −1dx ∫ b) dx ln x dx xln x ∫ c) 2 x ∫ +1 x(1+ ln x +1) Lời giải 2
a) Xét ln x −1dx ∫ . xln x
Đặt t = ln x, suy ra 1 dt = dx x 2 2 2 2 Khi đó ln x −1 t −1 1 t ln d = d = − d = − ln x x t t t t + C = − ln ln x + ∫ ∫ ∫ C x ln x t t 2 2 x ln ( 2 x + ) 1 b) Xét dx ∫ . 2 x +1 Đặt 2x 1 x t = ( 2 ln x + ) 1 , suy ra dt = dx ⇒ dt = dx . 2 2 x +1 2 x +1 x ln ( 2 x + ) 1 Khi đó 1 1 2 1 2 dx =
tdt = t + C = ln ∫ ∫ ( 2x +1 +C . 2 ) x +1 2 4 4 2 c) Xét ln x ∫ ( . + x + ) dx x 1 ln 1
Đặt t = + + x ⇒ (t − )2 2 1 1 ln
1 =1+ ln x ⇔ ln x = t − 2t
suy ra dx = (2t − 2)dt . x ln x (t − t)2 2 2 2 Khi đó = ⋅ − ∫ ∫ x( + x + ) dx (2t 2)dt 1 ln 1 t = 2∫( 4 3 2
t − 5t + 8t − 4t) 2 5 5 4 16 3 2
dt = t − t + t − 4t + C . 5 2 3 2 Như vậy ln x 2 5 16 ∫ (
x = t − t + t − t + C với t =1+ ln x +1 x 1+ ln x +1) 5 4 3 2 d 4 5 2 3
Câu 3:Tìm nguyên hàm: a) xdx xdx 3
I = (x +1) 3− 2xdx ∫ b) J = ∫ c) K = ∫ 3 2x + 2 x + 3 + 5x + 3 Page 5
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Lời giải. 3 a. Đặt − 3 3 t 3 2
t = 3− 2x ⇒ x =
⇒ dx = − t dt 2 2 3 3 3− t 2 3 3 6 ⇒ I = − ∫
+1t.t dt = −
(5t − t )dt 2 ∫ 2 4 4 7 3 7 3 4 3 5t t 3 (3 2x) 5 (3 2x) − − = − − + C = − + C 4 4 7 4 7 4 3 b. Đặt − 3 t 2 3 2
t = 2x + 2 ⇒ x = ⇒ dx = t dt 2 2 3 t − 2 3 2tdt 5 Suy ra 2 2 3 4 3 t 2 J = =
(t − 2t)dt = ∫ ∫
− t + C t 4 4 5 3 5 3 (2x 2) + 3 2 =
− (2x + 2) + C . 4 5 c. Ta có:
x( 5x + 3 − x + 3)dx 1 I = =
( 5x + 3 − x + 3)dx ∫ 5x ∫ + 3− x − 3 4 1 1 3 3 (5x 3) (x 3) = + − + + C . 6 5
Câu 4: Tìm nguyên hàm: a) 3 5 cos xdx I = sin . x cos xdx ∫ b) J = ∫ 3 (sin x + 2cos x) Lời giải.
a. Đặt t = cos x ⇒ dt = −sin xdx Ta có: 2 5 2 5
I = (1− cos x)cos xsin xdx = − (1− t )t dt ∫ ∫ 8 6 8 6 7 5 t t sin x sin = ( − ) x
t t dt = − + C = − + C ∫ . 8 6 8 6 b. cos xdx dx I = = ∫ 3 3 ∫ 2 3 cos x(tan x + 2) cos x(tan x + 2) Đặt 1
t = tan x ⇒ dt = dx . Do đó: 1 1 J = − + C 2 cos x 2 2 (tan x + 2)
Câu 5:Tìm nguyên hàm: 2x x 1) dx I + = ∫ 2) e J = dx e K = dx x e ∫ + 2 x e− − 3 ∫ 3) 4 1 x + e + 2 4 x e +1 Lời giải. Page 6
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN x 1. Ta có: e dx I = ∫ . Đặt x x
t = e ⇒ dt = e dx 2x e − 3 x e + 2 x Suy ra: dt dt t − 2 e − 2 I = = = ln + C = ln + C ∫ 2t ∫ − 3t + 2
(t −1)(t − 2) t −1 x e −1 2. Đặt x x 2 = + 2 ⇒ = − 2 x t e e t
⇒ e dx = 2tdt 2 (t − 2)2tdt 3 2 2 1 J 2 t t 1 = = − − + ∫ ∫ t t
dt = 2 − − t + ln t +1 + C 1+ t t +1 3 2 x 3 (e 2) x e + 2 + = 2 x −
− e + 2 + ln ( xe + 2 + )1 +C 3 2 x 2 3. Đặt e + 4 x t − 4 x 30t t = ⇒ e = − ⇒ e dx = − dt x 2 2 2 4e +1 4t −1 (4t −1) 30t ⇒ dx = dt 2 2
(t − 4)(4t −1) 2 t dt 1 4 K 30 2 = = − ∫ ∫ 1 t − 2 2t −1 dt = ln − ln + C , 2 2 2 2
(t − 4)(4t −1)
t − 4 4t −1 2 t + 2 2t +1 x với e + 4 t = . 4 x e +1
Câu 6: Tìm nguyên hàm: 2 3 2 1) ln x +1 + I = dx ∫ 2) ln .xdx J ln x 2 ln x = K = dx x ∫ 3) ∫ x(1+ 3ln x + 2) x Lời giải. 1. Đặt = ln dx t x ⇒ dt = x 3 3 Suy ra 2 t ln = ( +1) x I t dt = ∫
+ t + C = + ln x + C . 3 3 2 2. Đặt t − 2 dx 2
t = 3ln x + 2 ⇒ ln x = ⇒ = tdt 3 x 3 2 t − 2 2 . tdt 3 2 Suy ra 3 3 2 2 1 2 = = − − ∫ ∫ 1 t t J t t +
dt = − − t + ln(t +1) + C 1+ t 9 t +1 9 3 2
với t = 3ln x + 2 . 3. Đặt 3 2 2 3 ln xdx 3 2
t = ln x + 2 ⇒ ln x = t − 2 ⇒ = t dt x 2 Page 7
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Suy ra 3 3 3 4 3 3 4 I =
t dt = t + C = . (3ln x + 2) + C 2 ∫ 8 8
Câu 7: Tìm nguyên hàm: 1) dx I = ∫ 2) dx J = 2 2sin x ∫ − 3sin 2x + 2
2cos x − sin x +1 Lời giải. 1. Ta có: 1 dx 1 dx I = = ∫ 2 2 ∫ 2 2
2 2sin x − 3sin xcos x + cos x 2 cos x(2 tan x − 3tan x +1) Đặt = tan dt t x ⇒ dx = 2 1+ t Ta được: 1 dt
1 (2t −1) − 2(t −1) I = = dt ∫ 2 2 2t ∫ − 3t +1 2
(2t −1)(t −1) 1 1 2 1 t −1 1 tan x −1 = − dt = ln + C = ln + ∫ C
2 t −1 2t −1 2 2t −1 2 2 tan x −1 2 2. Đặt x 2 − = tan dt t ⇒ dx = và 2t 1 sin = ,cos t x x = 2 2 1+ t 2 2 1+ t 1+ t 2 Suy ra: t − − 2t + 3
2cos x − sin x +1 = 2 1+ t tan x + 3 dt
1 (t + 3) − (t −1) 1 t + 3 1 2 J = 2 − = − dt = ln + C = ln + C ∫ 2t ∫ + 2t − 3
2 (t −1)(t + 3) 2 t −1 2 tan x −1 2 4 3
Câu 8: Tìm nguyên hàm: sin 2 .xcos x I = dx ∫ tan π π x tan x + − 4 4 Lời giải. Ta có: π
π tan x −1 tan x +1
tan x + tan x − = . = 1 − 4
4 1+ tan x 1− tan x Suy ra: 4 6 I = 16 − sin .
x cos x cos xdx ∫
Đặt t = sin x ⇒ dt = sin xdx nên ta có: 4 2 3 4 6 4 2 I = 16 −
t (1− t ) dt =16 t (t − 3t + 3t −1)dt ∫ ∫ 11 9 7 5 11 9 7 5 t t 3t t
sin x sin x 3sin x sin = 16 − + − + =16 x C − + − + C 11 3 7 5 11 3 7 5 x
Câu 9: Tìm nguyên hàm: 1) e dx I + = ∫ 2) (ln x 1)ln x J = dx x e ∫ + 4 x e− 3 (ln x + x +1) Page 8
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Lời giải.
1. Cách 1: với cách đặt x t = e − x Cách 2: Xét e dx J = ∫ x e + 4 −x e x e + 4 −x + 4 e I J =
dx = dx = x + C ∫ x − x ∫ 1 Ta xét hệ : e + 4e x e − 4 −x − 4 e I J = dx = ln x e + 4 −x e + C ∫ x − x 2 e + 4e
⇒ 2 = + ln x + 4 −x I x e
e + C + C hay 1 1 = + ln x + 4 −x I x e e + C 1 2 2 2 2. Ta có : ln x +1 ln = . xdx J ∫ 3 2 ln x +1 x x + 1 x Đặt ln x +1 ln x t = ⇒ dt = − dx 2 x x Suy ra tdt 1 1 J 1 1 = − = − ∫ ∫ dt = − + + C 3 3 2 (t +1) (t +1) (t +1) 2 2(t +1) t +1 2 x x = − + + C 2 2(ln x +1+ x) ln x + x +1 3
Câu 10: Tìm nguyên hàm: 1) x −1 I = dx ∫ 2) dx J = 6 3 x(x ∫ + 3x + 2) 6 2 x(x +1) Lời giải. 1. Đặt 3 1 t −1 1 t −1
t = x ⇒ I = dt = dt ∫ 2 3 t(t ∫ + 3t + 2)
3 t(t +1)(t + 2) 3 1
t −1 = − t(t +1) − (t +1)(t + 2) + 2t(t + 2) 2 2 Suy ra 1 3 1 3 2 3
I = − ln x + 2 − ln x + ln x +1 + C . 2 6 3 2. Đặt 6 1 dt 1 1 1 1
t = x ⇒ I = = − − ∫ ∫ dt 2 2 6 t(t +1)
6 t t +1 (t +1) 6 Suy ra 1 x 1 I = ln + + C . 6 6 6 x +1 x +1
Câu 11: Tìm nguyên hàm: tan xdx I = ∫ 2 sin x + 3 Lời giải. Page 9
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Đặt t = cos x ⇒ dt = −sin xdx . Suy ra dt I = −∫ 2 t 4 − t • t > 0 ⇒ dt 1 dy I = − = ∫ ∫ (với 2 y = ) 2 4 2 t 2 y −1 t −1 2 t 1 2 1 2 4
⇒ I = ln y + y −1 = ln + −1 + C 2 2 2 cos x cos x • t < 0 ⇒ dt 1 2 4 I = = − ln + −1 + C ∫ . 2 4 2 cos x cos x 2 t −1 2 t
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Tìm nguyên hàm: 2 (x + )2010 1
I = x x +1dx x dx I = I = dx 1 ∫ 2 ∫ ( ∫ x + 3)10 3 (3x + )2012 1
Bài 2: Tìm nguyên hàm: 3 x + 3x 2 2 I − = dx I =
x + 2x + 4.dx 1 x 2 ∫ I = dx, x ≠ 0 1 ∫ ( ∫ x + )3 2 1 3 4 2 x + x +1 3 x J = dx 2 2 ∫ x 2 J = x x − 4dx 2 x + 3 J = dx ∫ 1 ∫ 3 2 x + 4
Bài 3: Tìm nguyên hàm: dx I =
I = x . x + 9 1 ∫ 2 2 dx ∫ 3 1+ x + 1+ x 2 dx I = xdx = 3 ∫ I . ∫ 2 x x +1 4 1+ x + (1+ x )3 2 2
Bài 4: Tìm nguyên hàm: x I = dx dx I = x J = dx 2 ∫ ∫ ∫ 3 2x +1 3 2 x + 4 1 1+ 2x +1 dx J = xdx 3 3 J = 3x − x dx ∫ 2 ∫ J = ∫ 5 2 1+ x + x +1 4 3 x +1 − x +1 x J = dx 6 ∫ 2 3x + 9x −1
Bài 5: Tìm nguyên hàm: 2 1 1 I = tan xdx I = dx I = dx 1 ∫ 2 ∫ 4 cos x 3 ∫ 1+ sin x Page 10
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN + 3 5sin x 2sin 2x tan x J = tan xdx J = dx J = dx 1 ∫ 2 ∫ cos 2x ∫ + 6cos x + 5 3 3 cos x
Bài 6: Tìm nguyên hàm: 5 3
I = sin x cos xdx cos x 4 tan x 1 ∫ I = dx 2 ∫ ( I = dx sin x + 2cos x)3 3 ∫ cos 2x
Bài 7: Tìm nguyên hàm: 1 I + = dx cos x I = dx 2ln x 3 I = dx 1 ∫ 2 cos xsin x 2 ∫ 2
sin x − 5sin x + 6 3 ∫ x
Bài 8: Tìm nguyên hàm: ln 2 2 I x = dx ln x ln (ln x) 1 ∫ x(ln x = + ) 1 I dx 2 ∫ I = dx ∫ x(1+ ln x +1) 3
x ln x ln (ln x) +1
Bài 9: Tìm nguyên hàm: sin 2xdx I = ∫ dx J = dx K = 1 ∫ ∫ + 4sin x 3 sin . π x sin x + cos x 3
Bài 10: Tìm nguyên hàm: sin 2x + 3cos x 2 I = dx ∫ 3 3 sin x − sin x 4sin 3x + sin 4x K = dx 3 1+ 1+ 2sin x J = cot .xdx ∫ ∫ 3 sin x tan x + cot 2x
Bài 11: Tìm nguyên hàm: 2x +1 + I x 1 = dx ∫ J = dx ∫ x −1 2 = + x −1 K dx 2 x + 2 ∫ x + 2
Bài 12: Tìm nguyên hàm: 2009 (x + 3) dx I = dx ∫ K = ∫ 2013 (2x −1) (x − ) 2 1 x + 3x + 2
Bài 13: Tìm nguyên hàm: 1. x 3
I = x x +1dx ∫ 2. I = dx ∫ 4 x +1 5 2 3. (x +1)dx I − = ∫ 4. x x I = dx ∫ 1+ 4x +1 3 x + 2 5. sin 2x + cos x I tan . = dx ∫ 6. x dx I = ∫ 3sin x +1 3 1+ ln(cos x) +1 7. ln x I = ∫ ( dx 8. 2x = + 4 x + 5. x I e e e dx ∫ 1+ ln x + 2) x Page 11
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN LỜI GIẢI Bài 1:
1. I = x x +1dx 1 ∫ .
Cách 1: Đặt t = x +1⇒ x = t −1 và dx = dt
Khi đó I = t −1 tdt = t tdt − tdt 1 ∫( ) ∫ ∫ 2 2 2 t 1 t t t t C t t C (x ) x +1 1 2 2 1 x 1 = − + = − + = + + − + C . 5 3 5 3 5 3
Cách 2: I = x +1 x +1dx − x +1dx 1 ∫( ) ∫ = (x + )
1 x +1d (x + ) 1 −
x +1d (x + ∫ ∫ ) 1 (x + )2 2 1 x +1 2(x + )
1 x +1 C (x ) x +1 1 2 1 x 1 = − + = + + − + C 5 3 5 3 (x ) 3x − 2 2 1 x 1 = + + + C . 15 2 2. x dx I = 2 ∫ (x +3)10
Đặt t = x + 3 ⇒ x = t − 3 và dx = dt . (t −3)2 Khi đó I = dt = ∫ ∫( 8− 9 − 10 − 1 3 1
t − 6t + 9t dt = − + − + C 2 10 ) 7 8 9 t 7t 4t t 1 3 1 = − + − + C .
7(x + 3)7 4(x + )8 1 (x +3)9 2010 3. x +1 dx I = 3 ∫3x 1 + (3x + )2 1 Đặt x +1 2 − dx dx 1 t = ⇒ dt = ⇒ = − dt 3x +1 (3x + )2 1 (3x + )2 1 2 2011 2011 Khi đó 1 2010 t 1 x +1 I t dt C = − = − + = − + ∫ C 3 2 4022 4022 3x +1 Bài 2: 2 1. Đặt 2 1 t +
= x +1⇒ xdx = dt 1 t 2 1 1 2 I dt ⇒ = = + ∫ ∫ dt 2 1 3 3 2 t 2 t t 1 1 1 2 1 = ln t −
+ C = ln x +1 − + C . 2 2 2t 2 2( 2 x + )2 1 Page 12
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 2. Đặt 2
t = x + x + x + ⇒ (t − x)2 2 2 4 = x + 2x + 4 2 2 ⇒ x(t + ) 2 t − 4 t + 2t + 4 2
1 = t − 4 ⇒ x = ⇒ dx = dt 2(t + ) 1 2(t + )2 1 2 2 Và 2 t − 4 t + 2t + 4
x + 2x + 4 = t − x = t − = 2(t + ) 1 2(t + ) 1 1 (t + 2t + 4)2 2 (t + ) 2 2 1 + 3 1 I dt ⇒ = = dt 4 4 ∫ ( ∫ t + )3 1 4 (t + )3 1 2 1 6 9 1 t 9 = t +1+ +
dt = + t + 6ln t +1 − + C 4 ∫ t +1 (t + )3 1 4 2 2(t + )2 1
3. Vì x ≠ 0 nên chia cả tử và mẫu cho 2
x ( Nếu không có điều kiện x ≠ 0 thì không được phép 1 1 1− 1− 2 2 chia cả tử và mẫu cho 2 x ). Khi đó x x I = dx = dx 3 ∫ ∫ 2 2 1 1 x 1 + + 2 x + − 1 x x Đặt 1 1 t x dt 1 = + ⇒ = − dx . 2 x x dt
1 t +1− (t − ) 1 1 1 1 I dt ⇒ = = = − ∫ ∫ ∫ dt 3 2
t −1 2 (t − ) 1 (t + ) 1
2 t −1 t +1 2 1 t −1 1 x − x +1 = ln + C = ln + C . 2 2 t +1 2 x + x +1 (x −4)3 2 x − 4 x − 4 2 ( 2 ) 2
4. Đặt t = x − 4 ⇒ J = + C = + C . 1 3 3 ( 2x −6 2 2 )
5. Đặt t = x + 3 ⇒ J = x + 3 + C . 2 3 2 2 6. Đặt 2 t − 4 t + 4
t = x + x + 4 ⇒ x = ⇒ dx = dt và dt dx = 2 2t 2t 2 t x + 4 2 2 4 2
1 t − 4 dt 1 t −8t +16 1 8 16 J ∫ dt ∫ ∫t ⇒ = = = − + dt 3 3 3 4 t t 4 t 4 t t 2 1 t 8
= −8ln t − + C với 2
t = x + x + 4 . 2 4 2 t Bài 3: 1. Đặt 6 6 5
t = 1+ x ⇒ t =1+ x ⇒ 6t dt = dx Page 13
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 5 dx t dt 2 1 I 6 6 ∫ ∫ ∫t t 1 dt = = = − + − 1 3 3 2 1+ x + 1+ x t t t 1 + + 3 2
= 2t − 3t + 6t − 6ln t +1 + C 3 6 6
= 2 1+ x − 3 1+ x + 6 1+ x − 6ln 1+ x +1 + C 2 2 2. Đặt 2 t − 9 t + 9
x + 9 = x − t ⇒ x = ⇒ dx = dt 2 2t 2t
t + 9 t
− − 9 (t − 9)2 1 (t − )2 2 4 2 2 81 I = ∫ . dt = − dt 2 2 2 ∫ 5
2t 2t 4t 16 t 4 1 3 162 6561 1 t 6561 = − ∫t − + dt = − −162ln t − + C 5 4 16 t t 16 4 4t (x − x + 9 1 )4 2 2 6561 = −
−162ln x − x + 9 − + C 16 4 4 (x− x +9)4 2 3. Đặt: 2 2 2
t = x +1 ⇒ t = x +1⇒ tdt = xdx dx xdx tdt I = = = 3 ∫ ∫ ∫ 2 2 2 x x +1 x x +1 ( 2t − )1t dt 1 1 1 1 t −1 = = − dt = ln + ∫ ∫ C 2
t −1 2 t −1 t +1 2 t +1 2 Vậy 1 x +1 −1 I = ln + C . 3 2 2 x 1 1 + + 4. Đặt: 2 2 2
t = 1+ x ⇒ t = x +1⇒ tdt = xdx xdx tdt dt ⇒ = = 2 2 t 1+ t 1 1+ . 1+ 1 + t x + x dt 2 I =
= 2 1+ t + C = 2 1+ 1+ x + C. 4 ∫ 1+ t Bài 4: 3 (2x + )5 1 3 (2x + )2 3 3 1
1. Đặt t = 2x +1 ⇒ I = − + C . 2 20 8 2 2. Đặt 2 x x + x + 4
t = x + x + 4 ⇒ dt = 1+ dx = dx 2 2 x 4 x 4 + + Page 14
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN dx dt dt 2 ⇒ = ⇒ I =
= ln t + C = ln x + x + 4 + C 3 ∫ . 2 x + 4 t t 2 3. Đặt = + + ⇒ + = ( − )2 t − 2 1 2 1 2 1 1 t t x x t ⇒ x =
⇒ dx = (t − ) 1 dt 2
1 ( 2t − 2t)(t − ) 1 dt 1 ⇒ = = ∫ ∫( − + ) 3 2 2 t 3 3 2 t J t t dt = − + t + C 1 2 t 2 6 4
( + x+ )3 ( + x+ )2 1 2 1 3 1 2 1 = −
+ (1+ 2x +1)+C . 6 4 4. Đặt 2 2 2 2 2
t = x + x +1 ⇒ t − x = x +1 ⇒ t − 2xt + x = x +1 2 2 t −1 t +1 2 ⇒ x = ⇒ dx = dt 1 t +1 ⇒ J = dt 2 2t 2t 2 ∫ 2 2 t (1+ t) 2 Ta có : t +1 2 1 1 1 = +
− ⇒ J = 2ln t +1 − − ln t + C 2 t (t + ) 2 1 t +1 t t 2 t Hay 2 2 2
J = 2ln 1+ x + x +1 + x − x +1 − ln x + x +1 + C . 2 5. Đặt x t = 6. Đặt 6 t = x +1 3 3 3x − x 2 = x +1 7. Đặt t x Bài 5: 1. 2 1 1 I = tan xdx = −1 dx =
dx − dx = tan x − x + ∫ ∫ C 1 2 ∫ 2 ∫ . cos x cos x 2. 1 I = dx = ∫ ∫( 2 1 1+ tan x . dx 2 4 ) 2 cos x cos x Đặt 1
t = tan x ⇒ dt = dx 2 cos x Khi đó I = ∫( 2 1+ t ) 1 3 1 3
dt = t + t + C = tan x + tan x + C . 2 3 3 2 π x d − − 3. 1 1 4 2 I dx dx = = = 3 ∫1 ∫ ∫ + sin x 2 π x 2 2cos 2cos π x − − 4 2 4 2 π π π tan x x tan x d = − − − = − − + ∫ C . 4 2 4 2 4 2 4. 3 2 1 J tan xdx tan .xtan xdx tan x ∫ ∫ ∫ 1 dx = = = − 1 2 cos x Page 15
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 1 1 =
tan xdx − tan xdx =
tan xdx − tan xdx ∫ 2 ∫ ∫ 2 cos x cos x ∫ 1 A = tan xdx ∫ 2 cos x Đặt 1
t = tan x ⇒ dt = dx 2 cos x 1 1 2 1 2 A =
tan xdx = tdt = t + C = tan x + C ∫ 2 ∫ 1 1 cos x 2 2 sin x (−sin .xdx) B = tan xdx = dx = − ∫ ∫ cos x ∫ cosx
Đặt a = cos x ⇒ da = −sin xdx (−sin .xdx) da B = − = −
= −ln a + C = −ln cos x + C ∫ ∫ 2 2 cos x a Vậy 1 2
J = A − B = tan x + ln cos x + C . 1 2
1 (4cos x + 5)sin .xdx 5. I = 2 ∫ = ⇒ = − 2 2 cos . Đặt t cos x dt sin xdx x + 3cos x + 2 4t + 5 3(t + ) 1 + (t + 2) Khi đó J = − dt = − dt 2 ∫ 2t ∫ + 3t + 2 (t + ) 1 (t + 2) 3 1 = − + dt = 3
− ln t + 2 − ln t +1 + ∫ C
t + 2 t +1 = 3
− ln cos x + 2 − ln cos x +1 + C . 6. tan x sin x J = dx = dx 3 ∫ 3 ∫ 4 cos x cos x
Đặt t = cos x ⇒ dt = −sin xdx ⇒ sin xdx = −dt −dt 1 1 I = = − + C = − + C 3 ∫ . 4 3 3 t 3.t 3.cos x Bài 6: 1. 5 I = sin x ∫ ( 2 1− sin x cos .
x dx .Đặt t = sin x ⇒ dt = cos . x dx 1 ) ⇒ = ∫ ( − ) = ∫( − ) 6 8 5 2 5 7 sin x sin 1 x I t t dt t t dt = − + C 1 6 8 . 2. dx I = dx 2 ∫
. Đặt t = tan x ⇒ dt = 2
cos x(tan x + 2)3 2 cos x Page 16
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN dt 1 1 ⇒ I = = − + C = − + C 2 ∫ . (t + 2)3 2(t + 2)2 2(tan x + 2)2 2 1− tan x 4 tan x( 2 1+ tan x)dx 3. cos 2x = ⇒ = t = x 2 1 I + tan x 3 ∫ . Đặt tan 2 1− tan x 4 t 2 1 ⇒ I = dt = ∫ ∫ t− −1+ dt 3 2 1 − t (1−t)(1+t) 3 2 1 1 1 t 1 1 = − − ∫ 1+ + = − − + ln + t t dt t + C
2 1− t 1+ t 3 2 1− t 3 tan x 1 1+ tan = − − tan + ln x x + C . 3 2 1− tan x 4 4 4 Cách 2 : tan x tan x tan x I = dx = dx = dx 3 ∫ ∫ 2 2 ∫ 2 cos 2x cos x − sin x cos x( 2 1− tan x)
Đặt t = tan x . Bài 7: 1. 1 cos x I = dx = dx 1 ∫ 2 cos xsin x ∫ ( 2 1− sin x) 2 sin x
Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx 2 dt t − ( 2 1−t ) 1 1 I dt = = = − ∫ ∫ ∫ dt 1 ( 2 1−t ) 2t ( 2 1−t ) 2 2 2 t t t −1 1 1 1 1 1 1 = dt − −
dt = − − ln t −1 − ln t +1 + ∫ ∫ C 2 ( ) t
2 t −1 t +1 t 2 1 1 t −1 1 1 sin x −1 = − − ln + C = − − ln + C . t 2 t +1 sin x 2 sin x +1 2. cos x I = dx 2 ∫ 2
sin x − 5sin x + 6
Đặt t = sin x ⇒ dt = cos .xdx . 1 1
(t − 2) −(t −3) I = dt = dt = dt 2 ∫ 2t ∫ ∫ − 5t + 6
(t − 2)(t −3)
(t − 2)(t −3) 1 1 = dt −
dt = ln t − 3 − ln t − 2 + C ∫ t ∫ − 3 t − 2 t − 3 sin x −3 = ln + C = ln + C . t − 2 sin x − 2 Page 17
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 3. Đặt 2 1 1
t = 2ln x + 3 ⇒ dt = dx ⇒ dt = dx . x 2 x 1 1 2 t t
(2ln x +3) 2ln x +3 Khi đó I =
tdt = . t t + C = + C = + C 1 ∫ 2 2 3 3 3 Bài 8: dx tdt 1
1. Đặt t = ln x ⇒ dt = ⇒ I = = 1−
dt = t − ln t +1 + ∫ ∫ C 1 x t +1 t +1 = ln − ln 1+ ln + = ln x x x C + C . 1+ ln x
2. Đặt t = + + x ⇒ (t − )2 2 1 1 ln
1 =1+ ln x ⇒ ln x = t − 2t
Lấy vi phân hai vế ta được: dx = (2t − 2)dt x ⇒ I = 2∫( 4 3 2
t − 5t + 8t − 4t) 2 5 5 4 16 3 2
dt = t − t +
t − 4t + C 2 5 2 3
Với t =1+ ln x +1 . 3. Đặt = ln(ln ) +1 dx t x ⇒ dt = x ln x 2 1 ln (ln x)
⇒ I = t − 2 + dt =
− 2ln ln x + ln ln ln x + ∫ C . 3 ( ) ( ) t 2 Bài 9 1. Ta có: sin x cos = 2 xdx I ∫ 1+ 4sin x Đặt t −1 1
t =1+ 4sin x ⇒ sin x =
⇒ cos xdx = dt 4 4 t −1 1 dt 4 4 1 1 1 Suy ra: I = 2 = 1− dt = ∫ ∫ (t −ln t )+ C . t 8 t 8 1
= (1+ 4sin x − ln 1+ 4sin x ) + C . 8 2. π π π π Ta có: sin sin x
x sin x cos x sin . x cos x = + − = + − + 3 3 3 3 cos π x + Suy ra: 1 2 cos x 3 = − π 3 sin sin sin x π x x sin x + + 3 3 Page 18
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 2 3 sin x Do đó: I = ln + C . 3 sin π x + 3 dx dx
Cách khác: I = 2 = 2 ∫ ∫ 2
sin x(sin x + 3 cos x)
sin x(1+ 3 cot x) d(cot x) 2 = 2 − = −
ln 3 cot x +1 + C ∫ . 1+ 3 cot x 3
3. Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx và ta có được 2 dt
1 [(1+ t) + (1− t)] 1 1 2 1 K = = dt = − + ∫ ∫ ∫ dt 2 2 2 2 2 2 (1− t ) 4 (1− t) (1+ t)
4 (t −1) (t +1)(t −1) (t +1) 1 1 1 1 1 = − + + ∫ dt 2 2
4 (t −1) t −1 t +1 (t +1) 1 t +1 2t 1 x π t anx ln C ln tan( ) = − + = + + + C . 2
4 t −1 t −1 2 2 4 cos x Bài 10:
(2sin x + 3)cos xdx
1. Ta có: I = ∫ . 3 1+ 1+ 2sin x 3 t Đặt 3 ( 1) 1 t 1 1 2sin x sin x − − = + + ⇒ = 3 2 2
⇒ cos xdx = (t −1) dt 2 2 3 2
[(t −1) + 2] (t −1) dt 2 2 2
3 (t − 2t + 3)(t − 2t +1)dt ⇒ I = = ∫ t 2 ∫ t 4 3 3 3 2 3 3 t 4t 2 =
t − 4t + 8t −8 + dt = −
+ 4t −8t + 3ln t + ∫ C , với 3
t =1+ 1+ 2sin x 2 t 2 4 3 1 1 1 2. Ta có: 3 2 = 3 J 1− .cot .x dx = cot x.cot .x dx ∫ 2 2 ∫ 2 sin x sin x sin x 5 8 3 Đặt = cot dx t x ⇒ dt = − 3 2 3 3
⇒ J = − t .tdt = − t dt = − t + C ∫ ∫ 2 sin x 8 2
4sin 3x + sin 4x 2(1− cos6x) + sin 4x 3. Ta có: = tan x + cot 2x sin x cos 2x + cos x sin 2x
= (sin 4x − 2cos6x + 2)sin 2x = sin 6xsin 2x − 2cos6 .xsin 2x + 2sin 2x 1 1
= cos 4x − cos8x − sin 8x + sin 4x + 2sin 2x 2 2 Page 19
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 1 1 1 1 K = sin 4x −
sin 8x + cos8x − cos 4x − cos 2x + C 8 16 8 4 Bài 11: 1. Đặt 2 2
t = 2 + x −1 ⇒ x = (t − 2) +1= t − 4t + 5 ⇒ dx = (2t − 4)dt . ( 2 2t −8t + ) 11 (2t − 4)dt Suy ra: 2 22 I =
= 2 (2t −12t + 27 − )dt ∫ t ∫ t 3 2t 2 = 2
− 6t + 27t − 22ln t + C với t = 2 + x −1 . 3 2 2 t − 2 1 t + 2 2. Đặt 2
t − x = x + 2 ⇒ x = ⇒ dx = dt 2 2 t 2 t 2 2 t − t + Và 2 2 2 x + 2 = t − = 2 . t 2t 2 2 t − 2 1 t + 2 + 1 . 2 2 Suy ra: 2t 2 t 1 t + 2t − 2 J = dt = dt ∫ 2 ∫ 2 t + 2 2 t 2t 1 2 2 1 2 1 dt t 2ln t = + − = + + + ∫ C 2 2 t t 2 t = ( 2 2
x + 2 + 2ln x + x + 2 )+C . 2 3. Đặt x −1 2t +1 6t t = ⇒ x = ⇒ dx = dt 2 2 2 x + 2 1− t (t −1) 2 6t 1 1 ⇒ K = dt = 6 + ∫ ∫ dt 2 2 2 2 2 (t −1)
t −1 (t −1) 1
1 (t +1) − (t −1) 1 1 1 Mà: = = − 2
t 1 2 (t 1)(t 1)
2 t 1 t 1 − − + − + 1
1 [(t +1) − (t −1)]2 1 1 1 1 1 = = + + − 2 2 2 2 (t −1)
4 (t −1) (t +1) 2 2
4 (t 1) (t 1) t 1 t 1 − + + − dt 1 t −1 Suy ra: = ln ∫ ; dt 1 t −1 1 1 ∫ ln = − + + . 2 t −1 2 t +1 2 2 (t 1)
4 t 1 t 1 t 1 − + − + 3 t −1 3t x −1 Vậy: I = ln − + C với t = . 2 2 t +1 t −1 x + 2 Bài 12: Page 20
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 2009 x + 3 1 1. I = ∫ dx 2 . 2x −1 (2x −1) Đặt x + 3 2 x + 3 2 1 t = ⇒ t = ⇒ − tdt = dx 2 2x −1 2x −1 7 (2x −1) 2011 2 2 2 x + 3 Suy ra 2010 2011 I = − t dt = − t = − + ∫ C 7 1407 1407 2x −1 3. Đặt 2 2 2
t = x + x + 3x + 2 ⇒ (t − x) = x + 3x + 2 dx dt = 2 2 t − 2
x + 3x + 2 2t + 3 ⇒ x = ⇒ 2 2t + 3 t − 2t − 5 x −1 = 2t + 3 1 t −1− 6 Suy ra dt I = ∫ = ln + C 2 t − 2t − 5 2 6 t −1+ 6 2 1
x −1− 6 + x + 3x + 2 = ln + C . 2 2 6
x −1+ 6 + x + 3x + 2 Bài 13: 1. Đặt 3 3
t = x +1 ⇒ x = t −1,ta có : 3 3 3 7 3 4 I = (x +1) − (x +1) + C . 7 4 2. Đặt 4 4
t = x +1 ⇒ x = t −1, 4 4 4 7 4 3 I = (x +1) − (x +1) + C 7 3 3. Đặt 1 2
t =1+ 4x +1 ⇒ x = (t − 2t) 4 1 1 3 3 2 I t
t 6t 4ln t = − + −
với t =1+ 4x +1 . 8 3 2 4. Đặt 3 3 2 2 2
t = x + 2 ⇒ x = t − 2 ⇒ x dx = tdt 3 2 3 3 3 I =
(x + 2) − 2 x + 2 + C 9 5. Đặt 1 2
t = 3sin x +1 ⇒ sin x = (t −1) 3 4 3 2 I = (3sin x +1) + 3sin x +1 + C . 27 9 6. Đặt 3 2 3
t =1+ ln(cos x) +1 ⇒ ln(cos x) = t −3t + 3t − 2 Page 21
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 2
⇒ tan xdx = 3(t − 2t +1)dt 3 2 3 3 3
I = (1+ ln(cos x) +1) − 6(1+ ln(cos x) +1) + 3ln 1+ ln(cos x) +1 + C 2 7. Đặt 2
= 1+ ln + 2 ⇒ ln = − 2 −1 dx t x x t t ⇒ = 2(t −1)dt x 2 3 2
I = t − 3t + 2t + 2ln t + C với t = 1+ ln x + 2 . 3 2 − t 8. Đặt x 2x x x 5
t + e = e + 4e + 5 ⇒ e = 2 t − 4 2 2 x t − + 4t − 5 2x x t − 4t + 5 ⇒ e dx = ; e + 4e + 5 = 2 2(t − 2) 2t − 4 2 2 1 (t − 2) +1 I = − dt ∫ 1 1 2 1 = −
t − 2t + 2ln t − 2 − + C 3 4 (t − 2) 2 4 2 2(t − 2) với 2x = + 4 x + 5 x t e e − e .
Bài toán 2: (Lượng giác hóa) Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 2 tính tích phân bất
định: I = f (x)dx ∫
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: chọn x =ϕ (t), trong đó ϕ (t) là hàm số mà ta chọn thích hợp.
Bước 2: lấy vi phân hai vế: dx = ϕ '(t)dt
Bước 3: Biến đổi: f (x)dx = f ϕ (t)ϕ '
(t) dt = g (t) dt
Bước 4: Khi đó tính: f (x)dx = g(t)dt = G(t) + C ∫ ∫ .
* Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là: Page 22
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Dấu hiệu Cách chọn π π
x = a sint ↔ − ≤ t ≤ 2 2 a − x 2 2 x = a os c t ↔ 0 ≤ t ≤ π a π π x t ; = ↔ ∈ − \{ } 0 sin t 2 2 2 2 x − a a π x t [0;π ] \ = ↔ ∈ os c t 2 π π x a tan t t ; = ↔ ∈ − 2 2 a + x 2 2
x = a cott ↔ t ∈ (0;π ) a + x a − x ∨ x = a.cos2t a − x a + x
(x − a)(b − x)
x = a + (b − a) 2 sin t dx
Câu 1: Tính tích phân bất định a/ dx ∫ b/ ∫ ( − x )3 2 1 2 x + 2x + 3 Lời giải π π
a/ Đặt: x = sint; t∈ − ; ⇒ dx = os c tdt 2 2 Suy ra: dx os c tdt os c tdt dt = = = = d tan t . 3 2 ( ) ( − )3 ( )3 2 2 cos t os 1 1-sin c t x t Khi đó: dx = ∫ ∫ ( ) sin tan = tan t x d t t + C = = + C ( )3 2 2 2 1− sin t 1 1 − − x x b/ Vì: 2
x + 2x + 3 = (x + ) 1 + ( 2)2 2 , nên π π dt x +1
Đặt: x +1 = 2 tan t;t ∈ − ; ⇒ dx = 2. ;tant = 2 2 2 os c t 2 Suy ra: dx dx dt dt 1 os c tdt = = = = . x + 2x + 3 (x )2 1 ( 2) 2(tan t + + + ) 2 2 2 2 2 1 . o c s t 2 os c t 2 1-sin t 1 os c tdt os c tdt . = − − . 2 2 sint-1 sint+1 Page 23
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN dx 1 os c tdt os c tdt 1 sin t −1 Khi đó: = − − = − ln + ∫ ∫ C (*) 2 x + 2x + 3 2 2 sint-1 sint+1 2 2 sin t +1 Từ: x +1 sin t (x + )2 2 1 2 2 2 tan t = ⇔ tan t = = ⇒ sin t =1− . Ta tìm được sint, thay 2 2 2 1− sin t 2 x + 2x + 3 vào (*) ta tính được I. Nhận xét:
Câu 2: Tính tích phân bất định: dx I = ∫ ( + x )3 2 1 Lời giải π π dt
Đặt: x = tan t;t ∈ − ; → dx = 2 2 2 os c t Suy ra: dx 1 = . dt = os c tdt . ( + ) ( + ) 2 3 3 2 2 os 1 1 tan c t x t Khi đó: dx = = ostdt = sin x I c t + C = + C ∫ ∫ ( )3 2 2 1 1 + + x x Nhận xét:
1. Sở dĩ trong ví dụ trên có kết quả như vậy vì: 1 ost = ; sin x c t = 2 2 1+x 1+ x π π 2 ∈ − ; ⇒ ost > 0 ↔ cos = ost ; sint = tant.cost = x t c t c 2 2 2 1+ x
2. Phương pháp trên áp dụng để giải bài toán tổng quát: dx ∫ (k ∈Z ). (a + x )2 1 2 2 k+ Page 24
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN 1 LÝ THUYẾT.
Cho hai hàm số u và v liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ; a b].
Khi đó: udv = uv − d v u. ∫ ∫ (*)
Để tính nguyên hàm f (x)dx ∫
bằng từng phần ta làm như sau:
Bước 1. Chọn u, v sao cho f (x)dx = d
u v (chú ý dv = v'(x)dx ).
Sau đó tính v = dv
∫ và du = u'.dx.
Bước 2. Thay vào công thức (*) và tính d v u ∫ .
Chú ý. Cần phải lựa chọn và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân d v u ∫ dễ tính hơn d u v
∫ . Ta thường gặp các dạng sau
● Dạng 1. I = P
∫ (x)sin(ax +b)dx, trong đó P(x) là đa thức. = ( )
du = P′(x).dx u P x Với dạng này, ta đặt ⇒ . v = (ax +b) 1 d sin dx
v = − cos(ax + b) a
● Dạng 2. I = P
∫ (x)cos(ax+b)dx , trong đó P(x) là đa thức. = ( )
du = P′(x).dx u P x Với dạng này, ta đặt ⇒ . v = (ax +b) 1 d cos dx
v = sin (ax + b) a
● Dạng 3. = ∫ ( ) ax+b I
P x e dx , trong đó P(x) là đa thức. = ( )
du = P′(x).dx u P x Với dạng này, ta đặt ⇒ . ax+b 1 dv = e d ax+b x v = e a
● Dạng 4. I = P
∫ (x)ln g(x)dx, trong đó P(x) là đa thức. u = ln g (x)
Với dạng này, ta đặt . dv = P (x)dx sin x ● Dạng 5. x I = ∫
e dx . cos x sin x u = Với dạng này, ta đặt cos x . d x v = e dx
2 BÀI TẬP TỰ LUẬN.
Câu 1. Tìm xsin 2xdx ∫ Lời giải
Ta có: I = xsin 2xdx ∫ Page 25
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN du = dx u = x Đặt: ⇒ 1 dv = sin 2xdx
v = − cos 2x 2 Khi đó: 1 1 1 1
I = uv − vdu = − x cos 2x +
cos 2xdx = − x cos 2x + sin 2x + C ∫ 2 2∫ 2 4
Câu 2. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = xsin x Lời giải Ta có: I = f
∫ (x)dx = xsin xdx ∫ . u = x du = dx Đặt Ta có .
dv = sin x dx v = − cos x I = f
∫ (x)dx = xsin xdx = −xcos x+ cos xdx = −xcos x+sin x+C ∫ ∫ .
Câu 3. Biết xcos 2 d
x x = axsin 2x + bcos 2x + C ∫
với a , b là các số hữu tỉ. Tính tích ab ? Lời giải du = dx u = x Đặt ⇒ 1 d v = cos 2 d x x v = sin 2x 2 Khi đó 1 1 x cos 2 d
x x = xsin 2x − sin 2 d x x ∫ = x x + x + C 2 2 ∫ 1 1 sin 2 cos 2 2 4 1 ⇒ a = , 1 b = . 2 4 Vậy 1 ab = . 8
Câu 4. Tìm nguyên hàm I = (x − ∫ ) 1 sin 2 d x x Lời giải du = d = −1 x u x Đặt ⇒ 1 dv = sin 2 d x x
v = − cos 2x 2
Khi đó I = ∫(x − ) 1
x x = − (x − ) 1 1 x + x x = − ∫ (x − ) 1 1 sin 2 d 1 cos 2 cos 2 d
1 cos 2x + sin 2x + C 2 2 2 4
Câu 5. Tìm nguyên hàm sin xdx ∫ Lời giải
Đặt t = x , ta có sin xdx = 2t sin tdt ∫ ∫ u = 2t du = 2dt Đặt ta có
dv = sin tdt v = − cost
2t sin tdt = 2
− t cost + 2costdt = − 2t cost + 2sin t + C = 2 −
x cos x + 2sin x + C ∫ ∫
Câu 6. Họ nguyên hàm của x e
∫ (1+ x)dx là: Lời giải Ta có: x I = e ∫ (1+ x) x x x x
dx = e dx + e xdx = e + C + xe dx ∫ ∫ . 1 ∫ 1 I Xét x I = e xdx 1 ∫ . u = x du = x Đặt ⇒ . x x dv = e dx v = e Page 26
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN x x 1 x
⇒ I = xe − xe dx ⇒ I = xe + C 1 ∫ . 1 2 2 x 1 x
⇒ I = e + xe + C . 2 Câu 7. Biết 2x 2x 2 d x
xe x = axe + be + C ( a, b∈ ∫
). Tính tích ab . Lời giải du = dx u = x Đặt ⇒ 2 x 1 2 dv = e d x x v = e 2 Suy ra: 2x 1 2x 1 2 d x xe x = xe − e dx ∫ 1 x 1 x
= xe − e + C 2 2 ∫ 2 2 2 4 Vậy: 1 1 1 a = ; .
b = − ⇒ ab = − 2 4 8
Câu 8. Biết ( ) = ( + ) x F x
ax b e là nguyên hàm của hàm số = (2 + 3) x y x
e .Khi đó, tính a + b Lời giải
Ta có: (2x+3) xd = ∫ (ax+b) x e x
e , nghĩa là:
(ax+b) x ' = (2x+3) x e e ⇔ . x x + (ax + )=(2x+3) x a e e b e x ⇔ (ax + + )=(2x+3) x e a b e
Đồng nhất hệ số ta được: a=2 và b =1
Vậy a + b = 3 .
Câu 9. Biết ∫( +3) 2−x 1 2 . d − x x e
x = − e (2x + n) + C , với , m n∈ . Tính 2 2
S = m + n . m Lời giải du = d = + 3 x u x Đặt ⇒ 2 − x 1 2 dv = e d − x x v = − e 2 Khi đó ∫( +3) 2−x 1 2 . d − x = − ( +3) 1 2 − x x e x e x + e dx 1 2−x 1 2 = − . + 3 − x e x − e + C 2 2 ∫ ( ) 2 4 1 2−x = − .(2 + 6 + ) 1 2 1 − x e x
+ C = − e (2x + 7) + C ⇒ m = 4;n = 7 . 4 4 2 2
S = m + n = 65.
Câu 10. Tìm nguyên hàm = (2 − ∫ ) 1 −x I x e dx . Lời giải u = 2x −1 du = 2dx Đặt ⇒ . − x dv = e d − x x v = −e Ta có = −(2 − )
1 −x + 2. −xd = − ∫ (2 − )
1 −x − 2 −x + = −(2 + ) 1 −x I x e e x x e e C x e + C .
Câu 11. Tìm nguyên hàm ln xdx ∫ Lời giải
Ta có: I = ln xdx ∫ = ln dx u x = Đặt: du ⇒ x dv = dx v = x
Khi đó: I = uv − vdu = xln x − dx = xln x − x + C ∫ ∫ Page 27
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 12. Tìm nguyên hàm I = xln xdx ∫ Lời giải Ta đặt: 1 = ln du = dx u x x ⇒ . 2 dv = xdx x v = 2 2 x 1
⇒ I = xln xdx = ln x − xdx ∫ 2 ∫ . 2
Câu 13. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = xln (x + 2) . Lời giải dx = ( + ) d ln 2 u u x = Đặt x + 2 ⇒ 2 dv = d x x x v = 2 2 2 x 1 suy ra ∫ ( )d = ln ∫ ( +2)d = ln( +2) x f x x x x x x − dx 2 2 ∫ x + 2 2 2 2 x = ( + ) 1 4 x − 4 − − + = ∫ ( + ) x − 4 ln 2 2 d ln 2 x x x x x − + C . 2 2 x + 2 2 2
Câu 14. Tìm nguyên hàm của ( ) ln x g x = ? (x + )2 1 Lời giải 1 u = ln x du = dx Đặt 1 x dv dx ⇒ = ( − x + )2 1 1 v = x +1 − ln x 1 − ln x 1 1 − lnx 1 dx ⇒ S = + dx = + − ∫ ∫ dx = + + dx − x ∫ ∫ +1 x(x + ) 1 x +1 x x +1 x +1 x x +1 . − ln x ⇔ = + ( − + ) − ln ln ln 1 x + = + ln x S x x C + C x +1 x +1 x +1 Page 28
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN G
ƠN III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN HƯ C BÀI 1. NGUYÊN HÀM
HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. III BÀI
TẬP TRẮC NGHIỆM TRÍCH TỪ ĐỀ THAM KHẢO VÀ ĐỀ CHÍNH THỨC
CỦA BỘ GIÁO DỤC TỪ NĂM 2017 ĐẾN NAY
Câu 1: (MĐ 101-2022) Cho f
∫ (x)dx = − o
c s x + C. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. f (x) = −sin x .
B. f (x) = −cos x .
C. f (x) = sin x .
D. f (x) = cos x .
Câu 2: (MĐ 101-2022) Cho hàm số ( ) = ex f x
+ 2x . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. ∫ ( ) 2 d = ex f x x + x + C . B. ∫ ( )d = ex f x x + C . C. ∫ ( ) 2 d = ex f x x − x + C . D. f ∫ (x) x 2
dx = e + 2x + C .
Câu 3: (MĐ 101-2022) Cho hàm số f (x) 1 = 1−
. Khẳng định nào dưới đây đúng? 2 cos 2x A. f
∫ (x)dx = x+ tan2x+C . B. f ∫ (x)d 1
x = x + cot 2x + C . 2 C. f ∫ (x)d 1
x = x − tan 2x + C . D. f ∫ (x)d 1
x = x + tan 2x + C . 2 2
Câu 4: (MĐ 102-2022) Cho hàm số ( ) x
f x = e + 2x . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. f ∫ (x) x 2
dx = e + 2x + C . B. f ∫ (x) x 2
dx = e − x + C . C. ∫ ( ) x
f x dx = e + C . D. f ∫ (x) x 2
dx = e + x + C .
Câu 5: (MĐ 102-2022) Cho f (x)dx = −cos x + C ∫
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. f (x) = −sin x .
B. f (x) = cos x .
C. f (x) = sin x .
D. f (x) = −cos x .
Câu 6: (MĐ 102-2022) Cho hàm số f (x) 1 =1−
. Khẳng định nào dưới đây đúng 2 cos 2x A. f ∫ (x) 1
dx = x + cot 2x + C . B. f
∫ (x)dx = x+tan2x+C . 2 C. f ∫ (x) 1
dx = x + tan 2x + C . D. f ∫ (x) 1
dx = x − tan 2x + C . 2 2
Câu 7: (MĐ 103-2022) Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. exd = ex x x + C ∫ . B. x x 1 e dx e + = + C ∫ . C. x x 1 e dx e + = − + C ∫
. D. exd = ex x + C ∫ .
Câu 8: (MĐ 103-2022) Hàm số F (x) = cot x là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây trên khoảng 0;π ? 2 Page 10
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A. 1 f x = . B. 1 f x = − . C. 1 f x = . D. 1 f x = − . 2 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 2 sin x 2 cos x 2 cos x 2 sin x
Câu 9: (MĐ 103-2022) Cho hàm số ( ) 2 1 e x f x = +
. Khẳng định nào sau đây đúng? A. ∫ ( ) 1 d = + ex f x x x + C . B. ∫ ( ) 2 d = + 2e x f x x x + C . 2 C. ∫ ( ) 1 2 d = + e x f x x x + C . D. ∫ ( ) 2 d = + e x f x x x + C . 2
Câu 10: (MĐ 104-2022) Hàm số F(x) = cot x là một nguyên hàm của hàm số nào dươi đây trền khoàng 0;π ? 2 A. 1 f (x) = B. 1 f (x) = − C. 1 f (x) = − D. 1 f (x) = 2 2 sin x 1 2 cos x 3 2 sin x 4 2 cos x
Câu 11: (MĐ 104-2022) Khẳng định nào dưới đây là đúng? A. x x
e dx = e + C ∫ . B. x x
e dx = xe + C ∫ . C. x x 1 e dx e + = − + C ∫ . D. x x 1 e dx e + = + C ∫ .
Câu 12: (MĐ 104-2022) Cho hàm số ( ) 2 =1 x f x
+ e . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. ∫ ( ) 1 x
f x dx = x + e + C . B. ∫ ( ) 2 = + 2 x
f x dx x e + C . 2 1 C. ∫ ( ) 2x f x dx = x e + + C . D. ∫ ( ) 2x
f x dx = x + e + C . 2
Câu 13: (TK 2020-2021) Cho hàm số f (x) 2
= 3x −1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. f ∫ (x) 3
dx = 3x − x + C. B. f ∫ (x) 3
dx = x − x + C. C. f ∫ (x) 1 3
dx = x − x + C. D. f ∫ (x) 3
dx = x − C. 3
Câu 14: (TK 2020-2021) Cho hàm số f (x) = cos 2 .x Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. f ∫ (x) 1
dx = sin 2x + C. B. f ∫ (x) 1
dx = − sin 2x + C. 2 2 C. f
∫ (x)dx = 2sin2x+C. D. f ∫ (x)dx = 2 − sin 2x + C.
Câu 15: (MĐ 101 2020-2021 – ĐỢT 1) Cho hàm số f (x) 2
= x + 4 . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. f
∫ (x)dx = 2x +C . B. f ∫ (x) 2
dx = x + 4x + C . 3 C. ∫ ( )d x f x x = + 4x + C . D. f ∫ (x) 3
dx = x + 4x + C 3
Câu 16: (MĐ 101 2020-2021 – ĐỢT 1) Cho hàm số ( ) x
f x = e + 2 . Khẳng định nào sau đây đúng? A. ∫ ( ) −2 d x f x x = e + C . B. ∫ ( )d x
f x x = e + 2x + C . C. ∫ ( )d x
f x x = e + C . D. ∫ ( )d x
f x x = e − 2x + C .
Câu 17: (MĐ 102 2020-2021 – ĐỢT 1) Cho hàm số f (x) 2
= x + 3. Khẳng định nào sau đây đúng? 3 A. f ∫ (x) 2
dx = x + 3x + C . B. ∫ ( )d x f x x = + 3x + C . 3 C. f ∫ (x) 3
dx = x + 3x + C . D. f
∫ (x)dx = 2x+C . Page 11
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 18: (MĐ 102 2020-2021 – ĐỢT 1) Cho hàm số ( ) x
f x = e +1. Khẳng định nào dưới đây đúng? A. ∫ ( ) 1 d x f x x e − =
+ C . B. ∫ ( )d x
f x x = e − x + C . C. ∫ ( )d x
f x x = e + x + C . D. ∫ ( )d x
f x x = e + C .
Câu 19: (MĐ 103 2020-2021 – ĐỢT 1) Cho hàm số f (x) 2
= x +1. Khẳng định nào dưới đây là đúng? 3 A. f ∫ (x) 3
dx = x + x + C . B. ∫ ( )d x f x x = + x + C . 3 C. f ∫ (x) 2
dx = x + x + C . D. f
∫ (x)dx = 2x+C .
Câu 20: (MĐ 103 2020-2021 – ĐỢT 1) Cho hàm số ( ) ex
f x = + 3. Khẳng định nào dưới đây đúng? A. ∫ ( )d = ex f x x + 3x + C . B. ∫ ( )d = ex f x x + C . C. ∫ ( ) −3 d = ex f x x
+ C . D. ∫ ( )d = ex f x x
− 3x + C .
Câu 21: (MĐ 104 2020-2021 – ĐỢT 1) Cho hàm số f (x) 3
= 4x − 3. Khẳng định nào dưới đây đúng? A. f ∫ (x) 4
dx = x − 3x + C . B. f ∫ (x) 4
dx = x + C . C. f ∫ (x) 3
dx = 4x − 3x + C . D. f ∫ (x) 2
dx =12x + C .
Câu 22: (MĐ 101 2020-2021 – ĐỢT 2) Cho hàm số f (x) = 4 + cos x . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. f
∫ (x)dx = −sin x+C . B. f
∫ (x)dx = 4x+sin x+C . C. f
∫ (x)dx = 4x−sin x+C . D. f
∫ (x)dx = 4x+cos x+C .
Câu 23: (MĐ 102 2020-2021 – ĐỢT 2) Cho hàm số f (x) = 2 + cos x . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. ( )d = 2 +sin + ∫ f x x x x C . B. ( )d = 2 + cos + ∫ f x x x x C . C. ( )d = −sin + ∫ f x x x C . D. ( )d = 2 −sin + ∫ f x x x x C .
Câu 24: (MĐ 101 2020-2021 – ĐỢT 2) Cho hàm số f (x) 3
= 4x − 2 . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. f ∫ (x) 4
dx = x − 2x + C . B. f ∫ (x) 3
dx = 4x − 2x + C . C. f ∫ (x) 2
dx =12x + C . D. ∫ ( ) 4
f x dx = x + C .
Câu 25: (MĐ 103 2020-2021 – ĐỢT 2) Cho hàm số f (x) =1+ cos x . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. f
∫ (x)dx = −sin x+C . B. f
∫ (x)dx = x −sin x+C . C. f
∫ (x)dx = x +cos x+C . D. f
∫ (x)dx = x +sin x+C .
Câu 26: (MĐ 103 2020-2021 – ĐỢT 2) Cho hàm số f (x) 3
= 4x −1. Khẳng định nào dưới đây đúng? A. f ∫ (x) 4
dx = x − x + C. B. f ∫ (x) 2
dx =12x + C. C. f ∫ (x) 3
dx = 4x − x + C. D. f ∫ (x) 4
dx = x + C.
Câu 27: (MĐ 104 2020-2021 – ĐỢT 2) Cho hàm số f (x) 3
= 4x − 4. Khẳng định nào dưới đây đúng? A. f ∫ (x) 2
dx = 12x + C . B. f ∫ (x) 3
dx = 4x − 4x + C . C. f ∫ (x) 4
dx = x − 4x + C . D. f ∫ (x) 4
dx = x + C . Page 12
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 28: (MĐ 101 2020-2021 – ĐỢT 1) Cho hàm số
2x + 5 khi x ≥ 1 f (x) =
. Giả sử F là nguyên 2 3
x + 4 khi x < 1
hàm của f trên thỏa mãn F(0) = 2 . Giá trị của F( 1) − + 2F(2) bằng A. 27. B. 29. C. 12. D. 33.
2x + 3 khi x ≥ 1
Câu 29: (MĐ 103 2020-2021 – ĐỢT 1) Cho hàm số f (x) =
. Giả sử F là nguyên 2 3
x + 2 khi x < 1
hàm của f trên thoả mãn F (0) = 2. Giá trị của F (− ) 1 + 2F (2) bằng: A. 23. B. 11. C. 10. D. 21.
Câu 30: (MĐ 103 2020-2021 – ĐỢT 2) Cho hàm số y = f (x), liên tục trên [ 1;
− 6] và có đồ thị là đường
gấp khúc ABC trong hình bên.Biết F(x) là nguyên hàm của f (x) thoả mãn F( 1) − = 1 − . Giá
trị của F(5) + F(6) bằng A. 23. B. 21 C. 25 D. 19
Câu 31: (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên khoảng K nếu
A. F '(x) = − f (x), x ∀ ∈ K.
B. f '(x) = F(x), x ∀ ∈ K.
C. F '(x) = f (x), x ∀ ∈ K.
D. f '(x) = −F(x), x ∀ ∈ K.
Câu 32: (Mã 101 - 2020 Lần 1) 2 x dx ∫ bằng A. 1 2x + C . B. 3 x + C . C. 3 x + C . D. 3 3x + C 3
Câu 33: (Mã 102 - 2020 Lần 1) Họ nguyên hàm của hàm số ( ) 3 f x = x là A. 4 4x + C . B. 2 3x + C . C. 4 x + C . D. 1 4 x + C . 4
Câu 34: (Mã 103 - 2020 Lần 1) 4 x dx ∫ bằng A. 1 5 x + C B. 3 4x + C C. 5 x + C D. 5 5x + C 5
Câu 35: (Mã 104 - 2020 Lần 1) 5 x dx ∫ bằng A. 4 5x + C . B. 1 6 x + C . C. 6 x + C . D. 6 6x + C . 6
Câu 36: (Mã 101- 2020 Lần 2) 4 5x dx ∫ bằng Page 13
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A. 1 5 x + C . B. 5 x + C . C. 5 5x + C . D. 3 20x + C . 5
Câu 37: (Mã 102 - 2020 Lần 2) 5 6x dx ∫ bằng A. 6 6x + C . B. 6 x + C . C. 1 6 x + C . D. 4 30x + C . 6 2
Câu 38: (Mã 103 - 2020 Lần 2) 3x dx ∫ bằng A. 3 1 3x + C .
B. 6x + C . C. 3 x + C . D. 3 x + C . 3
Câu 39: (Mã 104 - 2020 Lần 2) 3 4x dx ∫ bằng A. 4 4x + C . B. 1 4 x + C . C. 2 12x + C . D. 4 x + C . 4
Câu 40: (Mã 103 2018) Nguyên hàm của hàm số ( ) 4 2
f x = x + x là A. 1 5 1 3
x + x + C B. 4 2
x + x + C C. 5 3
x + x + C . D. 3
4x + 2x + C 5 3
Câu 41: (Mã 104 - 2019) Họ tất cả nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x + 4 là A. 2 x + C . B. 2 2x + C . C. 2
2x + 4x + C . D. 2
x + 4x + C .
Câu 42: (Mã 102 - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x + 6 là A. 2 x + C . B. 2
x + 6x + C . C. 2 2x + C . D. 2
2x + 6x + C .
Câu 43: (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = cos x + 6x là A. 2
sin x + 3x + C . B. 2
−sin x + 3x + C . C. 2
sin x + 6x + C .
D. −sin x + C .
Câu 44: (Mã 105 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 2sin x . A. xdx = − x + ∫2sin 2cos C B. xdx = x + ∫2sin 2cos C C. xdx = x + ∫ 2 2sin sin C D. xdx = x + ∫2sin sin 2 C
Câu 45: (Mã 101 2018) Nguyên hàm của hàm số ( ) 3
f x = x + x là A. 1 4 1 2
x + x + C B. 2
3x +1+ C C. 3
x + x + C D. 4 2
x + x + C 4 2
Câu 46: (Mã 103 - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x + 3 là A. 2
x + 3x + C . B. 2
2x + 3x + C . C. 2 x + C . D. 2 2x + C .
Câu 47: (Đề Minh Họa 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x −1. A. f ∫ (x) 2 dx = (2x − )
1 2x −1 + C. B. f ∫ (x) 1 dx = (2x − )
1 2x −1 + C. 3 3 C. f ∫ (x) 1 dx = −
2x −1 + C. D. f ∫ (x) 1 dx = 2x −1 + C. 3 2 Page 14
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 48: (Đề Tham Khảo 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 2 2 f x = x + . 2 x 3 x 1 3 x 2 A. f
∫ (x)dx = + +C . B. f
∫ (x)dx = − +C . 3 x 3 x 3 x 1 3 x 2 C. f
∫ (x)dx = − +C . D. f
∫ (x)dx = + +C . 3 x 3 x
Câu 49: (Mã 110 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) 1 = . 5x − 2 A. dx 1
= ln 5x − 2 + C ∫ B.
dx = ln 5x−2 +C 5x ∫ − 2 5 5x − 2 C. dx 1
= − ln 5x − 2 + C ∫ D.
dx = 5ln 5x−2 +C 5x ∫ − 2 2 5x − 2
Câu 50: (Mã123 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = cos3x A. xdx = x + ∫cos3 3sin 3 C B. x xdx = + ∫ sin 3 cos 3 C 3 C. xdx = x + ∫cos3 sin 3 C D. x xdx = − + ∫ sin 3 cos 3 C 3
Câu 51: (Mã 104 2018) Nguyên hàm của hàm số ( ) 3 2
f x = x + x là A. 1 4 1 3
x + x + C B. 2
3x + 2x + C C. 3 2
x + x + C D. 4 3
x + x + C 4 3
Câu 52: (Đề Tham Khảo 2019) Họ nguyên hàm của hàm số ( ) x
f x = e + x là A. x e +1+ C B. x 2
e + x + C C. x 1 2
e + x + C D. 1 x 1 2
e + x + C 2 x +1 2
Câu 53: (Mã 101 - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x + 5 là A. 2 x + C . B. 2
x + 5x + C . C. 2
2x + 5x + C . D. 2 2x + C .
Câu 54: (Mã 104 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 7x f x = . x 7x A. 7 dx = + C ∫ B. x x 1 7 dx 7 + = + C ln 7 ∫ x 1 + x 7 C. 7 dx = + C ∫
D. 7xd = 7x x ln 7 + C x +1 ∫
Câu 55: (Mã 102 2018) Nguyên hàm của hàm số ( ) 4
f x = x + x là A. 3
4x +1+ C B. 5 2
x + x + C C. 1 5 1 2
x + x + C D. 4
x + x + C 5 2
Câu 56: (Đề Tham Khảo 2018) Họ nguyên hàm của hàm số 2
f (x) = 3x +1 là 3 A. x 3 x + C B. + x + C
C. 6x + C D. 3
x + x + C 3
Câu 57: (Đề Tham Khảo 2018) Cho hàm số f (x) xác định trên 1 \ thỏa mãn 2 f ′(x) 2 =
, f (0) =1, f ( )
1 = 2 . Giá trị của biểu thức f (− )
1 + f (3) bằng 2x −1 A. 2 + ln15 B. 3+ ln15 C. ln15 D. 4 + ln15 Page 15
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 58: (Mã 105 2017) Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số ( ) = x
f x e + 2x thỏa mãn F ( ) 3 0 = . 2
Tìm F (x). A. ( ) = x F x e + 2 1
x + B. ( ) = x F x e + 2 5 x + 2 2 C. ( ) = x F x e + 2 3
x + D. ( ) = x F x e + 2 1 2 x − 2 2
Câu 59: (Mã 104 2017) Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) π
= sin x + cos x thoả mãn F = 2 . 2
A. F (x) = −cos x + sin x + 3
B. F (x) = −cos x + sin x −1
C. F (x) = −cos x + sin x +1
D. F (x) = cos x −sin x + 3
Câu 60: (Mã 123 2017) Cho hàm số f (x) thỏa mãn f '(x) = 3 − 5sin x và f (0) = 10 . Mệnh đề nào
dưới đây đúng?
A. f (x) = 3x − 5cos x +15
B. f (x) = 3x − 5cos x + 2
C. f (x) = 3x + 5cos x + 5
D. f (x) = 3x + 5cos x + 2
Câu 61: (Mã 101 – 2020 Lần 2) Biết F (x) x 2
= e + x là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên . Khi
đó f (2x)dx ∫ bằng A. x 2
2e + 2x + C. B. 1 2x 2
e + x + C. C. 1 2x 2
e + 2x + C. D. 2x 2
e + 4x + C. 2 2
Câu 62: (Mã 102 - 2020 Lần 2) Biết F (x) x 2
= e − 2x là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên . Khi
đó f (2x)dx ∫ bằng A. x 2
2e − 4x + C. B. 1 2x 2
e − 4x + C. C. 2x 2
e −8x + C. D. 1 2x 2
e − 2x + C. 2 2
Câu 63: (Mã 103 - 2020 Lần 2) Biết F (x) x 2
= e − x là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên . Khi
đó f (2x)dx ∫ bằng A. 1 2x 2
e − 2x + C . B. 2x 2
e − 4x + C . C. x 2
2e − 2x + C . D. 1 2x 2
e − x + C . 2 2
Câu 64: (Mã 104 - 2020 Lần 2) Biết F (x) x 2
= e + 2x là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên . Khi
đó f (2x)dx ∫ bằng A. 2x 2 e + 8x + C . B. x 2 2e + 4x + C . C. 1 2x 2 e + 2x + C . D. 1 2x 2 e + 4x + C . 2 2
Câu 65: (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số x + 2 f (x) = trên khoảng x −1 (1;+∞) là
A. x + 3ln (x − )
1 + C. B. x −3ln(x − ) 1 + C. C. 3 x − + C. D. 3 x + + C. (x − )2 1 (x − )2 1 Page 16
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 66: (Mã đề 104 - BGD - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) 3x − 2 = trên khoảng (x − 2)2 (2;+∞) là A. (x − ) 2 3ln 2 + + C B. (x − ) 2 3ln 2 − + C x − 2 x − 2 C. (x − ) 4 3ln 2 − + C D. (x − ) 4 3ln 2 + + C . x − 2 x − 2
Câu 67: (Mã đề 101 - BGD - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) 2x −1 = trên khoảng (x + )2 1 ( 1; − + ∞) là A. (x + ) 2 2ln 1 + + C . B. (x + ) 3 2ln 1 + + C . x +1 x +1 C. (x + ) 2 2ln 1 − + C . D. (x + ) 3 2ln 1 − + C . x +1 x +1 3x −1
Câu 68: (Mã 102 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = 2 ( trên khoảng là x −1) (1;+∞) A. 1 3ln(x −1) − + c . B. 2 3ln(x −1) + + c . x −1 x −1 C. 2 3ln(x −1) − + c . D. 1 3ln(x −1) + + c . x −1 x −1
Câu 69: (Mã 103 - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) 2x +1 = trên khoảng ( 2; − + ∞) (x + 2)2 là A. (x + ) 3 2ln 2 + + C . B. (x + ) 1 2ln 2 + + C . x + 2 x + 2 C. (x + ) 1 2ln 2 − + C . D. (x + ) 3 2ln 2 − + C . x + 2 x + 2 x
Câu 70: (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho hàm số f (x) =
. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số 2 x + 2
g (x) = (x + )
1 . f ′(x) là 2 x − 2 2 x + 2
A. x + 2x − 2 + + + C . B. + C . C. x
x 2 +C . D. + C . 2 2 x + 2 2 x + 2 2 x + 2 2 2 x + 2
Câu 71: (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho hàm số ( ) x f x =
. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số x2 + 3
g (x) = (x + )
1 f ′(x) là 2 x + 3 2 x − 3
A. x + 2x − 3 2 + + + C . B. + C . C. x
x 3 +C . D. + C . 2 x2 + 3 2 x2 + 3 x2 + 3 x2 + 3 Page 17
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN x
Câu 72: (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho hàm số f (x) =
. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số 2 x +1
g(x) = (x +1) f '(x) 2 x +1 2 x −1
A. x + 2x −1 + + + C . B. + C .
C. 2x x 1 + C . D. + C . 2 2 x +1 2 x +1 2 x +1 2 x +1 x
Câu 73: (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho hàm số f (x) =
. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số 2 x + 4
g (x) = (x + ) 1 f ′(x) là x + 4 x − 4 2 2 A. + C . B. + C .
C. x + 2x − 4 + +
+ C . D. 2x x 4 +C . 2 2 x + 4 2 x + 4 2 2 x + 4 2 x + 4
Câu 74: (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho hàm số f (x) liên tục trên . Biết cos 2x là một nguyên
hàm của hàm số ( )ex f x
, họ tất cả các nguyên hàm của hàm số ′( )ex f x là:
A. −sin 2x + cos 2x + C . B. 2
− sin 2x + cos 2x + C . C. 2
− sin 2x − cos 2x + C .
D. 2sin 2x − cos 2x + C .
Câu 75: (Đề Tham Khảo 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 4x(1+ ln x) là: A. 2 2
2x ln x + 3x . B. 2 2
2x ln x + x . C. 2 2
2x ln x + 3x + C . D. 2 2
2x ln x + x + C . f (x)
Câu 76: (Mã 104 2017) Cho F (x) 1 =
là một nguyên hàm của hàm số . Tìm nguyên hàm của 2 2x x
hàm số f ′(x)ln x . ln 1 A. ′ ∫ ( )ln d x f x x x = − + + ln x 1 C B. f ′ ∫ (x)ln d x x = + + C 2 2 x x 2 2 x 2x C. ln 1 f ∫ (x) ln x 1 ln d x x ′ = − + + C D. ′ ∫ ( )ln d x f x x x = + + C 2 2 x 2x 2 2 x x f (x)
Câu 77: (Mã 105 2017) Cho F (x) 1 = −
là một nguyên hàm của hàm số . Tìm nguyên hàm của 3 3x x
hàm số f ′(x)ln x
A. f ′(x) ln x 1 ln d x x ln x 1 = + + ∫ C B. f ′ ∫ (x)ln d x x = − + C 3 5 x 5x 3 5 x 5x
C. f ′(x) ln x 1 ln d x x ln x 1 = − + + ∫ C D. f ′ ∫ (x)ln d x x = + + C 3 3 x 3x 3 3 x 3x
Câu 78: (Mã 110 2017) Cho ( ) = ( − ) 1 x F x x
e là một nguyên hàm của hàm số ( ) 2x f x e . Tìm nguyên
hàm của hàm số ′( ) 2x f x e . A. ′
∫ ( ) 2xd = (4−2 ) x f x e x x e + C B. ′
∫ ( ) 2xd = ( −2) x f x e x x e + C C. f ′ ∫ ( x) 2x 2 e d − x x x = e + C D. ′
∫ ( ) 2xd = (2− ) x f x e x x e + C 2 Page 18
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 79: (Mã 103 2018) Cho hàm số f (x) thỏa mãn f ( ) 1 2 = −
và f ′(x) = x f (x) 2 3 4 với mọi 25
x∈ . Giá trị của f ( ) 1 bằng A. 391 − B. 1 − C. 41 − D. 1 − 400 40 400 10 Page 19
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN G
ƠN III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN HƯ C BÀI 1. NGUYÊN HÀM
III HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TRÍCH TỪ ĐỀ THAM KHẢO VÀ ĐỀ CHÍNH THỨC
CỦA BỘ GIÁO DỤC TỪ NĂM 2017 ĐẾN NAY
Câu 1: (MĐ 101-2022) Cho f
∫ (x)dx = − o
c s x + C. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. f (x) = −sin x .
B. f (x) = −cos x .
C. f (x) = sin x .
D. f (x) = cos x . Lời giải Chọn C Ta có sin d
x x = −cos x + C. ∫
Vậy f (x) = sin .x
Câu 2: (MĐ 101-2022) Cho hàm số ( ) = ex f x
+ 2x . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. ∫ ( ) 2 d = ex f x x + x + C . B. ∫ ( )d = ex f x x + C . C. ∫ ( ) 2 d = ex f x x − x + C . D. f ∫ (x) x 2
dx = e + 2x + C . Lời giải Chọn A
Ta có: f (x) x = ∫ ∫( x + x) x 2 d e 2 dx e = + x + C .
Câu 3: (MĐ 101-2022) Cho hàm số f (x) 1 = 1−
. Khẳng định nào dưới đây đúng? 2 cos 2x A. f
∫ (x)dx = x+ tan2x+C . B. f ∫ (x)d 1
x = x + cot 2x + C . 2 C. f ∫ (x)d 1
x = x − tan 2x + C . D. f ∫ (x)d 1
x = x + tan 2x + C . 2 2 Lời giải Chọn C Ta có, f ∫ (x)d 1 x = − d 1 1 1 x = 1dx −
dx = x − tan 2x + ∫ C 2 ∫ ∫ . 2 cos 2x cos 2x 2
Câu 4: (MĐ 102-2022) Cho hàm số ( ) x
f x = e + 2x . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. f ∫ (x) x 2
dx = e + 2x + C . B. f ∫ (x) x 2
dx = e − x + C . Page 1
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN C. ∫ ( ) x
f x dx = e + C . D. f ∫ (x) x 2
dx = e + x + C . Lời giải Chọn D Có: ∫ ( ) = ∫( x f x dx e + 2x)dx x 2
= e + x + C .
Câu 5: (MĐ 102-2022) Cho f (x)dx = −cos x + C ∫
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. f (x) = −sin x .
B. f (x) = cos x .
C. f (x) = sin x .
D. f (x) = −cos x . Lời giải Chọn C
Ta có: f (x) ( cos x)′ = − = sin x .
Câu 6: (MĐ 102-2022) Cho hàm số f (x) 1 =1−
. Khẳng định nào dưới đây đúng 2 cos 2x A. f ∫ (x) 1
dx = x + cot 2x + C . B. f
∫ (x)dx = x+tan2x+C . 2 C. f ∫ (x) 1
dx = x + tan 2x + C . D. f ∫ (x) 1
dx = x − tan 2x + C . 2 2 Lời giải Chọn D Ta có: 1 1 1−
dx = x − tan 2x + ∫ C . 2 cos 2x 2
Câu 7: (MĐ 103-2022) Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. exd = ex x x + C ∫ . B. x x 1 e dx e + = + C ∫ . C. x x 1 e dx e + = − + C ∫
. D. exd = ex x + C ∫ . Lời giải Chọn D Ta có: exd = ex x + C ∫ .
Câu 8: (MĐ 103-2022) Hàm số F (x) = cot x là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây trên khoảng 0;π ? 2 A. 1 f x = . B. 1 f x = − . C. 1 f x = . D. 1 f x = − . 2 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 2 sin x 2 cos x 2 cos x 2 sin x Lời giải Chọn B ′
Ta có F′(x) = (
x)′ cos x 1 cot = = − . 2 sin x sin x
Câu 9: (MĐ 103-2022) Cho hàm số ( ) 2 1 e x f x = +
. Khẳng định nào sau đây đúng? A. ∫ ( ) 1 d = + ex f x x x + C . B. ∫ ( ) 2 d = + 2e x f x x x + C . 2 Page 2
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN C. ∫ ( ) 1 2 d = + e x f x x x + C . D. ∫ ( ) 2 d = + e x f x x x + C . 2 Lời giải Chọn C
Áp dụng bảng nguyên hàm ta có ∫ ( ) 1 2 d = + e x f x x x + C . 2
Câu 10: (MĐ 104-2022) Hàm số F(x) = cot x là một nguyên hàm của hàm số nào dươi đây trền khoàng 0;π ? 2 A. 1 f (x) = B. 1 f (x) = − C. 1 f (x) = − D. 1 f (x) = 2 2 sin x 1 2 cos x 3 2 sin x 4 2 cos x Lời giải Chọn C
f (x) = [F x ]′ = ( x)′ 1 ( ) cot = − . 2 sin x
Câu 11: (MĐ 104-2022) Khẳng định nào dưới đây là đúng? A. x x
e dx = e + C ∫ . B. x x
e dx = xe + C ∫ . C. x x 1 e dx e + = − + C ∫ . D. x x 1 e dx e + = + C ∫ . Lời giải Chọn A
Câu 12: (MĐ 104-2022) Cho hàm số ( ) 2 =1 x f x
+ e . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. ∫ ( ) 1 x
f x dx = x + e + C . B. ∫ ( ) 2 = + 2 x
f x dx x e + C . 2 C. ∫ ( ) 2x 1 f x dx = x e + + C . D. ∫ ( ) 2x
f x dx = x + e + C . 2 Lời giải Chọn D x 1 - Ta có ∫( 2 1+ ) 2x
e dx = x + e + C . 2 ***********************
Câu 13: (TK 2020-2021) Cho hàm số f (x) 2
= 3x −1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. f ∫ (x) 3
dx = 3x − x + C. B. f ∫ (x) 3
dx = x − x + C. C. f ∫ (x) 1 3
dx = x − x + C. D. f ∫ (x) 3
dx = x − C. 3 Lời giải
Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản: 2 3
(3x 1)dx x x C .
Câu 14: (TK 2020-2021) Cho hàm số f (x) = cos 2 .x Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? Page 3
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A. f ∫ (x) 1
dx = sin 2x + C. B. f ∫ (x) 1
dx = − sin 2x + C. 2 2 C. f
∫ (x)dx = 2sin2x+C. D. f ∫ (x)dx = 2 − sin 2x + C. Lời giải
Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản: 1
cos(2x)dx sin(2x) C . 2
Câu 15: (MĐ 101 2020-2021 – ĐỢT 1) Cho hàm số f (x) 2
= x + 4 . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. f
∫ (x)dx = 2x +C . B. f ∫ (x) 2
dx = x + 4x + C . 3 C. ∫ ( )d x f x x = + 4x + C . D. f ∫ (x) 3
dx = x + 4x + C 3 Lời giải Ta có ∫ ( ) = ∫( + ) 3 2 d 4 d x f x x x x = + 4x + C . 3
Câu 16: (MĐ 101 2020-2021 – ĐỢT 1) Cho hàm số ( ) x
f x = e + 2 . Khẳng định nào sau đây đúng? A. ∫ ( ) −2 d x f x x = e
+ C . B. ∫ ( )d x
f x x = e + 2x + C . C. ∫ ( )d x
f x x = e + C . D. ∫ ( )d x
f x x = e − 2x + C . Lời giải
Ta có ∫ ( )d = ∫( x + 2)d x f x x e
x = e + 2x + C .
Câu 17: (MĐ 102 2020-2021 – ĐỢT 1) Cho hàm số f (x) 2
= x + 3. Khẳng định nào sau đây đúng? 3 A. f ∫ (x) 2
dx = x + 3x + C . B. ∫ ( )d x f x x = + 3x + C . 3 C. f ∫ (x) 3
dx = x + 3x + C . D. f
∫ (x)dx = 2x+C . Lời giải Ta có ∫ ( ) = ∫( + ) 3 2 d 3 d x f x x x x x = + 3x + C . 3
Câu 18: (MĐ 102 2020-2021 – ĐỢT 1) Cho hàm số ( ) x
f x = e +1. Khẳng định nào dưới đây đúng? A. ∫ ( ) 1 d x f x x e − =
+ C . B. ∫ ( )d x
f x x = e − x + C . C. ∫ ( )d x
f x x = e + x + C . D. ∫ ( )d x
f x x = e + C . Lời giải
Ta có: ∫ ( )d = ∫( x + )1d x f x x e
x = e + x + C
Câu 19: (MĐ 103 2020-2021 – ĐỢT 1) Cho hàm số f (x) 2
= x +1. Khẳng định nào dưới đây là đúng? 3 A. f ∫ (x) 3
dx = x + x + C . B. ∫ ( )d x f x x = + x + C . 3 C. f ∫ (x) 2
dx = x + x + C . D. f
∫ (x)dx = 2x+C . Lời giải Page 4
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ∫ ( ) = ∫( + ) 3 2 d 1 d x f x x x x = + x + C. 3
Câu 20: (MĐ 103 2020-2021 – ĐỢT 1) Cho hàm số ( ) ex
f x = + 3. Khẳng định nào dưới đây đúng? A. ∫ ( )d = ex f x x + 3x + C . B. ∫ ( )d = ex f x x + C . C. ∫ ( ) −3 d = ex f x x
+ C . D. ∫ ( )d = ex f x x
− 3x + C . Lời giải
Có ∫(ex +3)d = ex x + 3x + C .
Câu 21: (MĐ 104 2020-2021 – ĐỢT 1) Cho hàm số f (x) 3
= 4x − 3. Khẳng định nào dưới đây đúng? A. f ∫ (x) 4
dx = x − 3x + C . B. f ∫ (x) 4
dx = x + C . C. f ∫ (x) 3
dx = 4x − 3x + C . D. f ∫ (x) 2
dx =12x + C . Lời giải Ta có; f
∫ (x) x = ∫( 3x − ) 4 d 4
3 dx = x − 3x + C .
Câu 22: (MĐ 101 2020-2021 – ĐỢT 2) Cho hàm số f (x) = 4 + cos x . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. f
∫ (x)dx = −sin x+C . B. f
∫ (x)dx = 4x+sin x+C . C. f
∫ (x)dx = 4x−sin x+C . D. f
∫ (x)dx = 4x+cos x+C . Lời giải Ta có f
∫ (x)dx = ∫(4+cos x)dx = 4x+sin x+C .
Câu 23: (MĐ 102 2020-2021 – ĐỢT 2) Cho hàm số f (x) = 2 + cos x . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. ( )d = 2 +sin + ∫ f x x x x C . B. ( )d = 2 + cos + ∫ f x x x x C . C. ( )d = −sin + ∫ f x x x C . D. ( )d = 2 −sin + ∫ f x x x x C . Lời giải
f (x)dx = (2 + cos x)dx = 2x + sin x + ∫ ∫ C . Ta chọn đáp án A.
Câu 24: (MĐ 101 2020-2021 – ĐỢT 2) Cho hàm số f (x) 3
= 4x − 2 . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. f ∫ (x) 4
dx = x − 2x + C . B. f ∫ (x) 3
dx = 4x − 2x + C . C. f ∫ (x) 2
dx =12x + C . D. ∫ ( ) 4
f x dx = x + C . Lời giải Ta có: f
∫ (x)dx = ∫ ( 3x − ) 4 4
2 dx = x − 2x + C . Chọn A
Câu 25: (MĐ 103 2020-2021 – ĐỢT 2) Cho hàm số f (x) =1+ cos x . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. f
∫ (x)dx = −sin x+C . B. f
∫ (x)dx = x −sin x+C . Page 5
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN C. f
∫ (x)dx = x +cos x+C . D. f
∫ (x)dx = x +sin x+C . Lời giải Ta có: f
∫ (x)dx = ∫(1+cos x)dx = dx + cos xdx = x +sin x+C ∫ ∫ .
Câu 26: (MĐ 103 2020-2021 – ĐỢT 2) Cho hàm số f (x) 3
= 4x −1. Khẳng định nào dưới đây đúng? A. f ∫ (x) 4
dx = x − x + C. B. f ∫ (x) 2
dx =12x + C. C. f ∫ (x) 3
dx = 4x − x + C. D. f ∫ (x) 4
dx = x + C. Lời giải Ta có: f ∫ (x) 4
dx = x − x + C.
Câu 27: (MĐ 104 2020-2021 – ĐỢT 2) Cho hàm số f (x) 3
= 4x − 4. Khẳng định nào dưới đây đúng? A. f ∫ (x) 2
dx = 12x + C . B. f ∫ (x) 3
dx = 4x − 4x + C . C. f ∫ (x) 4
dx = x − 4x + C . D. f ∫ (x) 4
dx = x + C . Lời giải Ta có f
∫ (x) x = ∫( 3x − ) 4 d 4
4 dx = x − 4x + C
Câu 28: (MĐ 101 2020-2021 – ĐỢT 1) Cho hàm số
2x + 5 khi x ≥ 1 f (x) =
. Giả sử F là nguyên 2 3
x + 4 khi x < 1
hàm của f trên thỏa mãn F(0) = 2 . Giá trị của F( 1) − + 2F(2) bằng A. 27. B. 29. C. 12. D. 33. Lời giải 1 − 2
Ta có I = f (x)dx + 2 f (x)dx = F( 1
− ) − F(0) + 2F(2) − 2F(0) ∫ ∫ . 0 0 Do đó I = F( 1
− ) + 2F(2) − 3F(0) = F( 1
− ) + 2F(2) − 6 ⇒ F( 1
− ) + 2F(2) = I + 6. 1 − 0 2 1 2
Mà f (x)dx = − ( 2 3x + 4)dx = 5 − ∫ ∫ và
2 f (x)dx = 2 ∫ ∫( 2
3x +4)dx + ∫(2x +5)dx = 26. 0 1 − 0 0 1
Suy ra I = 26 − 5 = 21. Vậy F( 1
− ) + 2F(2) = 21+ 6 = 27 .
2x + 3 khi x ≥ 1
Câu 29: (MĐ 103 2020-2021 – ĐỢT 1) Cho hàm số f (x) =
. Giả sử F là nguyên 2 3
x + 2 khi x < 1
hàm của f trên thoả mãn F (0) = 2. Giá trị của F (− ) 1 + 2F (2) bằng: A. 23. B. 11. C. 10. D. 21. Lời giải 2
x + 3x + C khi x ≥1
Vì F là nguyên hàm của f trên nên 1 F(x) = . 3
x + 2x + C khi x <1 2
Ta có: F(0) = 2 ⇔ C = 2 2 . Page 6
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Ta có lim f (x) = lim f (x) = f ( )
1 = 5 nên hàm số f (x) liên tục tại x =1. x 1+ x 1− → →
Suy ra hàm số f (x) liên tục trên .
Do đó hàm số F (x) liên tục trên nên hàm số F (x) liên tục tại x =1.
Suy ra lim F(x) = lim F(x) = F(1) ⇔ 5 = 4 + C ⇔ C =1. + − 1 1 x 1 → x 1 → 2 x + 3x +1 khi x ≥1 Vậy F(x) = . 3 x + 2x + 2 khi x <1 Ta có: F( 1 − ) + 2F(2) = 1
− − 2 + 2 + 2(4 + 6 +1) = 21.
Câu 30: (MĐ 103 2020-2021 – ĐỢT 2) Cho hàm số y = f (x), liên tục trên [ 1;
− 6] và có đồ thị là đường
gấp khúc ABC trong hình bên.Biết F(x) là nguyên hàm của f (x) thoả mãn F( 1) − = 1 − . Giá
trị của F(5) + F(6) bằng A. 23. B. 21 C. 25 D. 19 Lời giải
Xét hàm số f (x) với x∈[ 1;
− 6] ; từ đồ thị hàm số ta có: 2 −1≤ x ≤ 4 f (x) = 2 − x +10 4 ≤ x ≤ 6 2x + C −1≤ x ≤ 4 Khi đó: 1 F(x) = 2
−x +10x + C 4 ≤ x ≤ 6 2
Hàm số f (x) liên tục tại x = 4 nên hàm số F(x) liên tục tại x = 4 , ta có:
lim F(x) = lim F(x) = F(4) suy ra: 8 + C = 24 + C 1 2 x 4+ x 4− → → Mặt khác: F( 1) − = 1 − ⇒ C − 2 = 1 − ⇒ C =1 1 1
Từ 8 + C = 24 + C C = 15 − 1 2 ta có: 2 2x +1 −1≤ x ≤ 4
Vậy: F(x) = 2
−x +10x −15 4 ≤ x ≤ 6 Page 7
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Suy ra F(5) + F(6) =19 .
Câu 31: (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên khoảng K nếu
A. F '(x) = − f (x), x ∀ ∈ K.
B. f '(x) = F(x), x ∀ ∈ K.
C. F '(x) = f (x), x ∀ ∈ K.
D. f '(x) = −F(x), x ∀ ∈ K. Lời giải Chọn C
Theo định nghĩa thì hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên khoảng K nếu
F '(x) = f (x), x ∀ ∈ K.
Câu 32: (Mã 101 - 2020 Lần 1) 2 x dx ∫ bằng A. 1 2x + C . B. 3 x + C . C. 3 x + C . D. 3 3x + C 3 Lời giải Chọn B
Câu 33: (Mã 102 - 2020 Lần 1) Họ nguyên hàm của hàm số ( ) 3 f x = x là A. 4 4x + C . B. 2 3x + C . C. 4 x + C . D. 1 4 x + C . 4 Lời giải Chọn D 4 Ta có 3d x x x = + C ∫ . 4
Câu 34: (Mã 103 - 2020 Lần 1) 4 x dx ∫ bằng A. 1 5 x + C B. 3 4x + C C. 5 x + C D. 5 5x + C 5 Lời giải Chọn A 4 x dx ∫ 1 5 = x + C . 5
Câu 35: (Mã 104 - 2020 Lần 1) 5 x dx ∫ bằng A. 4 5x + C . B. 1 6 x + C . C. 6 x + C . D. 6 6x + C . 6 Lời giải Chọn B
Câu 36: (Mã 101- 2020 Lần 2) 4 5x dx ∫ bằng A. 1 5 x + C . B. 5 x + C . C. 5 5x + C . D. 3 20x + C . 5 Lời giải Page 8
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Chọn B Ta có 4 5
5x dx = x + C ∫ .
Câu 37: (Mã 102 - 2020 Lần 2) 5 6x dx ∫ bằng A. 6 6x + C . B. 6 x + C . C. 1 6 x + C . D. 4 30x + C . 6 Lời giải Chọn B Ta có: 5 6
6x dx = x + C ∫ . 2
Câu 38: (Mã 103 - 2020 Lần 2) 3x dx ∫ bằng A. 3 1 3x + C .
B. 6x + C . C. 3 x + C . D. 3 x + C . 3 Lời giải Chọn D 3 Ta có: 2 x 3
3x dx = 3. + C = x + C ∫ 3
Câu 39: (Mã 104 - 2020 Lần 2) 3 4x dx ∫ bằng A. 4 4x + C . B. 1 4 x + C . C. 2 12x + C . D. 4 x + C . 4 Lời giải Chọn D Ta có 3 4x dx ∫ 4 = x + C .
Câu 40: (Mã 103 2018) Nguyên hàm của hàm số ( ) 4 2
f x = x + x là A. 1 5 1 3
x + x + C B. 4 2
x + x + C C. 5 3
x + x + C . D. 3
4x + 2x + C 5 3 Lời giải Chọn A f (x)dx = ∫ ∫( 4 2
x + x )dx 1 5 1 3
= x + x + C . 5 3
Câu 41: (Mã 104 - 2019) Họ tất cả nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x + 4 là A. 2 x + C . B. 2 2x + C . C. 2
2x + 4x + C . D. 2
x + 4x + C . Lời giải Chọn D Ta có f
∫ (x)dx = ∫( x+ ) 2 2
4 dx = x + 4x + C .
Câu 42: (Mã 102 - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x + 6 là Page 9
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A. 2 x + C . B. 2
x + 6x + C . C. 2 2x + C . D. 2
2x + 6x + C . Lời giải Chọn B ∫( x+ ) 2 2
6 dx = x + 6x + C
Câu 43: (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = cos x + 6x là A. 2
sin x + 3x + C . B. 2
−sin x + 3x + C . C. 2
sin x + 6x + C .
D. −sin x + C . Lời giải Chọn A Ta có f
∫ (x) x = ∫( x+ x) 2 d cos
6 dx = sin x + 3x + C .
Câu 44: (Mã 105 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 2sin x . A. xdx = − x + ∫2sin 2cos C B. xdx = x + ∫2sin 2cos C C. xdx = x + ∫ 2 2sin sin C D. xdx = x + ∫2sin sin 2 C Lời giải Chọn A
Câu 45: (Mã 101 2018) Nguyên hàm của hàm số ( ) 3
f x = x + x là A. 1 4 1 2
x + x + C B. 2
3x +1+ C C. 3
x + x + C D. 4 2
x + x + C 4 2 Lời giải Chọn A ∫( 3 2
x + x )dx 1 4 1 2
= x + x + C . 4 2
Câu 46: (Mã 103 - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x + 3 là A. 2
x + 3x + C . B. 2
2x + 3x + C . C. 2 x + C . D. 2 2x + C . Lời giải Chọn A Ta có ∫( x + ) 2 2
3 dx = x + 3x + C .
Câu 47: (Đề Minh Họa 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x −1. A. f ∫ (x) 2 dx = (2x − )
1 2x −1 + C. B. f ∫ (x) 1 dx = (2x − )
1 2x −1 + C. 3 3 C. f ∫ (x) 1 dx = −
2x −1 + C. D. f ∫ (x) 1 dx = 2x −1 + C. 3 2 Lời giải Chọn B Page 10
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN f ∫ (x) 1 dx = 2x −1dx = ∫ ∫(2x− )12 1 d (2x − ) 1 2 . 1 = (2x − ) 1 2x −1 + C 3
Câu 48: (Đề Tham Khảo 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 2 2 f x = x + . 2 x 3 x 1 3 x 2 A. f
∫ (x)dx = + +C . B. f
∫ (x)dx = − +C. 3 x 3 x 3 x 1 3 x 2 C. f
∫ (x)dx = − +C . D. f
∫ (x)dx = + +C . 3 x 3 x Lời giải Chọn B 3 Ta có 2 2 x 2 x + dx = − + ∫ C . 2 x 3 x
Câu 49: (Mã 110 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) 1 = . 5x − 2 A. dx 1
= ln 5x − 2 + C ∫ B.
dx = ln 5x−2 +C 5x ∫ − 2 5 5x − 2 C. dx 1
= − ln 5x − 2 + C ∫ D.
dx = 5ln 5x−2 +C 5x ∫ − 2 2 5x − 2 Lời giải Chọn A Áp dụng công thức dx 1
= ln ax + b + C ∫
(a ≠ 0) ta được dx 1
= ln 5x − 2 + C ax ∫ . + b a 5x − 2 5
Câu 50: (Mã123 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = cos3x A. xdx = x + ∫cos3 3sin 3 C B. x xdx = + ∫ sin 3 cos 3 C 3 C. xdx = x + ∫cos3 sin 3 C D. x xdx = − + ∫ sin 3 cos 3 C 3 Lời giải Chọn B Ta có: x xdx = + ∫ sin 3 cos 3 C 3
Câu 51: (Mã 104 2018) Nguyên hàm của hàm số ( ) 3 2
f x = x + x là A. 1 4 1 3
x + x + C B. 2
3x + 2x + C C. 3 2
x + x + C D. 4 3
x + x + C 4 3 Lời giải Chọn A Page 11
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 52: (Đề Tham Khảo 2019) Họ nguyên hàm của hàm số ( ) x
f x = e + x là A. x e +1+ C B. x 2
e + x + C C. x 1 2
e + x + C D. 1 x 1 2
e + x + C 2 x +1 2 Lời giải Chọn C
Câu 53: (Mã 101 - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x + 5 là A. 2 x + C . B. 2
x + 5x + C . C. 2
2x + 5x + C . D. 2 2x + C . Lời giải Chọn B
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x + 5 là 2
F(x) = x + 5x + C .
Câu 54: (Mã 104 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 7x f x = . x 7x A. 7 dx = + C ∫ B. x x 1 7 dx 7 + = + C ln 7 ∫ x 1 + x 7 C. 7 dx = + C ∫
D. 7xd = 7x x ln 7 + C x +1 ∫ Lời giải Chọn A x
Áp dụng công thức x d a a x =
+ C ,(0 < a ≠ ∫
)1 ta được đáp án B ln a
Câu 55: (Mã 102 2018) Nguyên hàm của hàm số ( ) 4
f x = x + x là A. 3
4x +1+ C B. 5 2
x + x + C C. 1 5 1 2
x + x + C D. 4
x + x + C 5 2 Lời giải Chọn C
Ta có ∫( 4x + x) 1 5 1 2
dx = x + x + C . 5 2
Câu 56: (Đề Tham Khảo 2018) Họ nguyên hàm của hàm số 2
f (x) = 3x +1 là 3 A. x 3 x + C B. + x + C
C. 6x + C D. 3
x + x + C 3 Lời giải Chọn D ∫( 2x + ) 3 3
1 dx = x + x + C.
Câu 57: (Đề Tham Khảo 2018) Cho hàm số f (x) xác định trên 1 \ thỏa mãn 2 f ′(x) 2 =
, f (0) =1, f ( )
1 = 2 . Giá trị của biểu thức f (− )
1 + f (3) bằng 2x −1 Page 12
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A. 2 + ln15 B. 3+ ln15 C. ln15 D. 4 + ln15 Lời giải Chọn C
2 dx = ln 2x−1 +C = f ∫ (x) 2x −1 Với 1
x < , f (0) =1 ⇒ C =1 nên f (− ) 1 =1+ ln 3 2 Với 1 x > , f ( )
1 = 2 ⇒ C = 2 nên f (3) = 2 + ln 5 2 Nên f (− )
1 + f (3) = 3+ ln15
Câu 58: (Mã 105 2017) Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số ( ) = x
f x e + 2x thỏa mãn F ( ) 3 0 = . 2
Tìm F (x). A. ( ) = x F x e + 2 1
x + B. ( ) = x F x e + 2 5 x + 2 2 C. ( ) = x F x e + 2 3
x + D. ( ) = x F x e + 2 1 2 x − 2 2 Lời giải Chọn A
Ta có F (x) = ( x e + x) x
x = e + x + ∫ 2 2 d C
Theo bài ra ta có: F ( ) 3 1
0 = 1+ C = ⇒ C = . 2 2
Câu 59: (Mã 104 2017) Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) π
= sin x + cos x thoả mãn F = 2 . 2
A. F (x) = −cos x + sin x + 3
B. F (x) = −cos x + sin x −1
C. F (x) = −cos x + sin x +1
D. F (x) = cos x −sin x + 3 Lời giải Chọn C
Có F (x) = f
∫ (x)dx = ∫(sin x+cos x)dx = −cos x+sin x+C Do π π π F
= − cos + sin + C = 2 ⇔ 1+ C = 2 ⇔ C =
1 ⇒ F (x) = −cos x + sin x +1. 2 2 2
Câu 60: (Mã 123 2017) Cho hàm số f (x) thỏa mãn f '(x) = 3 − 5sin x và f (0) = 10 . Mệnh đề nào
dưới đây đúng?
A. f (x) = 3x − 5cos x +15
B. f (x) = 3x − 5cos x + 2
C. f (x) = 3x + 5cos x + 5
D. f (x) = 3x + 5cos x + 2 Lời giải Page 13
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Chọn C
Ta có f (x) = ( − )dx = x+ x + ∫ 3 5sinx 3 5cos C
Theo giả thiết f (0) = 10 nên 5 +C = 10 ⇒ C = 5 .
Vậy f (x) = 3x + 5cos x + 5.
Câu 61: (Mã 101 – 2020 Lần 2) Biết F (x) x 2
= e + x là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên . Khi
đó f (2x)dx ∫ bằng A. x 2
2e + 2x + C. B. 1 2x 2
e + x + C. C. 1 2x 2
e + 2x + C. D. 2x 2
e + 4x + C. 2 2 Lời giải Chọn C Ta có: F (x) x 2
= e + x là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên ⇒ f ∫ (2x) 1 dx = f ∫ (2x) 1
d2x = F (2x) 1 2x 2
+ C = e + 2x + C. 2 2 2
Câu 62: (Mã 102 - 2020 Lần 2) Biết F (x) x 2
= e − 2x là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên . Khi
đó f (2x)dx ∫ bằng A. x 2
2e − 4x + C. B. 1 2x 2
e − 4x + C. C. 2x 2
e −8x + C. D. 1 2x 2
e − 2x + C. 2 2 Lời giải Chọn B Ta có: F (x) x 2
= e − 2x là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên Suy ra: ( ) = ′( ) = ( x 2 − )′ x = − ⇒ ( ) 2 2 4 2 x f x F x e x e x
f x = e −8x ⇒ f
∫ (2x)dx = ∫( 2x e −8x) 1 2x 2
dx = e − 4x + C. 2
Câu 63: (Mã 103 - 2020 Lần 2) Biết F (x) x 2
= e − x là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên . Khi
đó f (2x)dx ∫ bằng A. 1 2x 2
e − 2x + C . B. 2x 2
e − 4x + C . C. x 2
2e − 2x + C . D. 1 2x 2
e − x + C . 2 2 Lời giải Chọn A
Ta có f (2x)dx ∫ 1 = f ∫ (2x)d(2x) 1
= F (2x) + C 1 2x 2
= e − 2x + C . 2 2 2 Page 14
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 64: (Mã 104 - 2020 Lần 2) Biết F (x) x 2
= e + 2x là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên . Khi
đó f (2x)dx ∫ bằng A. 2x 2 e + 8x + C . B. x 2 2e + 4x + C . C. 1 2x 2 e + 2x + C . D. 1 2x 2 e + 4x + C . 2 2 Lời giải Chọn D Đặt d = 2 ⇒ d = 2d ⇒ d t t x t x x = 2 f ∫ (2x) 1 dx = f ∫ (t) 1
dt = F (t) 1 t 2 1 2
+ C = e + 2t + C = e x + (2x)2 1 2x 2
+ C = e + 4x + C . 2 2 2 2 2
Câu 65: (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số x + 2 f (x) = trên khoảng x −1 (1;+∞) là
A. x + 3ln (x − )
1 + C. B. x −3ln(x − ) 1 + C. C. 3 x − + C. D. 3 x + + C. (x − )2 1 (x − )2 1 Lời giải Chọn A
Trên khoảng (1;+∞) thì x −1 > 0 nên x + 2 3 f (x)dx dx 1 d = = +
x = x + 3ln x −1 + C = x + 3ln ∫ ∫ ∫ (x − )1+ C. x −1 x −1
Câu 66: (Mã đề 104 - BGD - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) 3x − 2 = trên khoảng (x − 2)2 (2;+∞) là A. (x − ) 2 3ln 2 + + C B. (x − ) 2 3ln 2 − + C x − 2 x − 2 C. (x − ) 4 3ln 2 − + C D. (x − ) 4 3ln 2 + + C . x − 2 x − 2 Lời giải Chọn C Ta có − − + f ( x) 3x 2 3( x 2) 4 3 4 = = = + . Do đó (x − 2)2 (x − 2)2
x − 2 (x − 2)2 3x 2 3 4 − 4 dx = +
dx = 3ln x − 2 − + C ∫ 2 ∫ . 2 ( ) (x − 2) x − 2 (x − 2) x − 2
Câu 67: (Mã đề 101 - BGD - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) 2x −1 = trên khoảng (x + )2 1 ( 1; − + ∞) là Page 15
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A. (x + ) 2 2ln 1 + + C . B. (x + ) 3 2ln 1 + + C . x +1 x +1 C. (x + ) 2 2ln 1 − + C . D. (x + ) 3 2ln 1 − + C . x +1
x +1Lời giải Chọn B Ta có x − x + − ∫ f (x) 2 1 2( )1 3 2 3 3 dx = dx = dx = −
dx = 2ln x +1 + + C. ∫ 2 ∫ 2 ∫ 2 ( ) (x + )1 (x + )1 x +1 (x + )1 x +1 3x −1
Câu 68: (Mã 102 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = 2 ( trên khoảng là x −1) (1;+∞) A. 1 3ln(x −1) − + c . B. 2 3ln(x −1) + + c . x −1 x −1 C. 2 3ln(x −1) − + c . D. 1 3ln(x −1) + + c . x −1
x −1Lời giải Chọn C
3x −3+ 2 3(x −1) + 2 3 2 Ta có f (x) = = = + 2 2 2 ( x −1) (x −1) x −1 (x −1) 3 2 d(x −1) d(x −1)
Vậy f (x)dx = ( + )dx ∫ ∫ = 3 + 2 2 x ∫ ∫ −1 (x −1) 2 x −1 (x −1) 2
3ln x 1 2 (x 1)− = − + − d(x −1) ∫ 2 = 3ln(x −1) −
+ C vì x > 1. x −1
Câu 69: (Mã 103 - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) 2x +1 = trên khoảng ( 2; − + ∞) (x + 2)2 là A. (x + ) 3 2ln 2 + + C . B. (x + ) 1 2ln 2 + + C . x + 2 x + 2 C. (x + ) 1 2ln 2 − + C . D. (x + ) 3 2ln 2 − + C . x + 2 x + 2 Lời giải Chọn B
Đặt x + 2 = t ⇒ x = t −1⇒ dx = dt với t > 0 2t −1 2 1 1 Ta có f ∫ (x)dx = dt = − dt = 2lnt + + ∫ ∫ C 2 2 t t t t Hay f ∫ (x) x = (x + ) 1 d 2ln 2 + + C. x + 2 Page 16
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN x
Câu 70: (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho hàm số f (x) =
. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số 2 x + 2
g (x) = (x + )
1 . f ′(x) là 2 x − 2 2 x + 2
A. x + 2x − 2 + + + C . B. + C . C. x
x 2 +C . D. + C . 2 2 x + 2 2 x + 2 2 x + 2 2 2 x + 2 Lời giải Chọn B 2
Tính ( ) = ∫( + )1 ′( )d = ( + )1 ( )− ∫( + )1 ( )d x + ′ x g x x f x x x f x x f x x = − f ∫ (x)dx 2 x + 2 2 x + x x 2 + − = − dx ∫ x x 2 x 2 = − x + 2 + C = + C. 2 2 x + 2 x + 2 2 2 x + 2 x + 2
Câu 71: (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho hàm số ( ) x f x =
. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số x2 + 3
g (x) = (x + )
1 f ′(x) là 2 x + 3 2 x − 3
A. x + 2x − 3 2 + + + C . B. + C . C. x
x 3 +C . D. + C . 2 x2 + 3 2 x2 + 3 x2 + 3 x2 + 3 Lời giải Chọn D x x −3
Ta có ∫(x + )1 f ′(x)dx = (x + )1 f (x)− dx = + C ∫ . 2 2 x + 3 x + 3 x
Câu 72: (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho hàm số f (x) =
. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số 2 x +1
g(x) = (x +1) f '(x) 2 x +1 2 x −1
A. x + 2x −1 + + + C . B. + C .
C. 2x x 1 + C . D. + C . 2 2 x +1 2 x +1 2 x +1 2 x +1 Lời giải Chọn D u = x +1 du = dx
Xét g(x)dx = (x +1) f '(x)dx ∫ ∫ . Đặt ⇔
dv f '(x)dx =
v = f (x) (x +1)x x
Vậy g(x)dx = (x +1) f (x) − f (x)dx ∫ ∫
⇒ g(x)dx = − dx ∫ ∫ 2 2 x +1 x +1 (x +1)x 2 2 2
⇒ g(x)dx = − x +1 + C ∫
x + x − x −1
⇒ g(x)dx = + C ∫ 2 x +1 2 x +1 x −1
⇒ g(x)dx = + C. ∫ 2 x +1 Page 17
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN x
Câu 73: (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho hàm số f (x) =
. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số 2 x + 4
g (x) = (x + ) 1 f ′(x) là x + 4 x − 4 2 2 A. + C . B. + C .
C. x + 2x − 4 + +
+ C . D. 2x x 4 +C . 2 2 x + 4 2 x + 4 2 2 x + 4 2 x + 4 Lời giải Chọn B ′ 2 2 x
x .′ x + 4 −( x + 4) .x Ta có: f (x) = ⇒ f ′(x) = 2 x + 4 2 x + 4 2 2 2 x x + 4 + 4 − . − x x x ⇒ f ′(x) 2 2 x + 4 x + 4 4 = = = 2 2 x + 4 x + 4 ( 2x +4)3
Suy ra: g (x) = (x + )
1 f ′(x) = .x f ′(x) + f ′(x) g
∫ (x)dx = .xf ′
∫ (x)+ f ′(x)dx = .xf ′ ∫
(x)dx + f ′ ∫ (x)dx 4x = ∫ (
dx + f ′ x dx ∫ 2 x + 4 )3 ( ) Xét: 4x I = ∫ ( dx x + 4 )3 2 Đặt 2
t = x + 4 ⇒ dt = 2xdx 1 3 − − 2 2dt 2dt t 4 − 4 − Suy ra: 2 I = ∫ ( = = = + = + = + ∫ ∫ t ) 2 t dt 2 C C C 3 3 1 1 1 1 2 t 2 x + − 4 t 2 và: J = f ′
∫ (x)dx = f (x)+C 2 4 − x x − 4 Vậy: g ∫ (x)dx = + + C = + C . 2 2 2 x + 4 x + 4 x + 4
Cách 2: g (x) = (x + ) 1 f ′(x)
⇒ g (x)dx = (x + ∫ ∫
)1 f ′(x)dx u = x +1 du = dx Đặt: ⇒ dv = f (x)dx ′ v = f (x) x +1 x
Suy ra: ∫ ( ) = ( + )1 ( )− ∫ ( ) ( ) x g x dx x f x f x dx = − dx ∫ 2 2 x + 4 x + 4 x + x d ( 2 2 x + 4) = − ∫ 2 x + x x − 4 2 = − x + 4 + C = + C . 2 2 x + 4 2 x + 4 2 x + 4 2 x + 4 Page 18
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 74: (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho hàm số f (x) liên tục trên . Biết cos 2x là một nguyên
hàm của hàm số ( )ex f x
, họ tất cả các nguyên hàm của hàm số ′( )ex f x là:
A. −sin 2x + cos 2x + C . B. 2
− sin 2x + cos 2x + C . C. 2
− sin 2x − cos 2x + C .
D. 2sin 2x − cos 2x + C . Lời giải Chọn C
Do cos 2x là một nguyên hàm của hàm số ( )ex f x nên ( )ex (cos2 )′ = ⇔ ( )ex f x x f x = 2 − sin 2x .
Khi đó ta có ∫ ( )ex f x
dx = cos 2x + C . u
= f (x) du = f ′(x)dx Đặt ⇒ .
dv = exdx v = ex Khi đó ∫ ( )ex f x
dx = cos 2x + C ⇔ ∫ ( )d(ex f x ) = cos2x+C ⇔ ( )ex − ′ ∫ ( )ex f x f x
dx = cos 2x + C ⇔ ′ ∫ ( )ex f x dx = 2
− sin 2x − cos 2x + C .
Vậy tất cả các nguyên hàm của hàm số ′( )ex f x là 2
− sin 2x − cos 2x + C .
Câu 75: (Đề Tham Khảo 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 4x(1+ ln x) là: A. 2 2
2x ln x + 3x . B. 2 2
2x ln x + x . C. 2 2
2x ln x + 3x + C . D. 2 2
2x ln x + x + C . Lời giải Chọn D
Ta có f (x) = 4x(1+ ln x) ⇒ F (x) = ∫(4x(1+ln x))dx đặt 1 u
= 1+ ln x ⇒ du =
x ⇒ F ( x) 2 = 2x (1+ ln x) 2 − 2xdx = 2x ∫ (1+ ln x) 2 2 2
− x + C = 2x ln x + x + C 2
dv = 4x ⇒ v = 2x f (x)
Câu 76: (Mã 104 2017) Cho F (x) 1 =
là một nguyên hàm của hàm số . Tìm nguyên hàm của 2 2x x
hàm số f ′(x)ln x . ln 1 A. ′ ∫ ( )ln d x f x x x = − + + ln x 1 C B. f ′ ∫ (x)ln d x x = + + C 2 2 x x 2 2 x 2x C. ln 1 f ∫ (x) ln x 1 ln d x x ′ = − + + C D. ′ ∫ ( )ln d x f x x x = + + C 2 2 x 2x 2 2 x x Lời giải Page 19
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Chọn C f (x) Ta có: 1 dx − = ∫ . Chọn ( ) 1 f x = . 2 x 2x 2 x d = ln d x u x u = Suy ra f ′ ∫ (x) 2 ln xdx = ln xdx ∫ . Đặt x ⇒ . 3 x 2 dv = dx 1 − 3 x v = 2 x Khi đó: f ∫ (x) ln x ln x 1 ln x 1 ln x dx dx dx ′ = = − + = − + + ∫ ∫ C . 3 2 3 2 2 x x x x 2x f (x)
Câu 77: (Mã 105 2017) Cho F (x) 1 = −
là một nguyên hàm của hàm số . Tìm nguyên hàm của 3 3x x
hàm số f ′(x)ln x
A. f ′(x) ln x 1 ln d x x ln x 1 = + + ∫ C B. f ′ ∫ (x)ln d x x = − + C 3 5 x 5x 3 5 x 5x
C. f ′(x) ln x 1 ln d x x ln x 1 = − + + ∫ C D. f ′ ∫ (x)ln d x x = + + C 3 3 x 3x 3 3 x 3x Lời giải Chọn C ′ f x Ta có F′(x) ( ) 1 1 = ⇒ f (x) = . x F′(x) −3 − = . x − .x = = 3 x x 3 3 x ⇒ f (x) − = − 4
x ⇒ f (x) − ′ ′ x = − 4 3 ln 3x ln x
Vậy f (x) x x ( −4 x x) − ′ = − x = − ∫ ∫ ∫ 4 ln d 3 ln d 3 ln . x x dx −3 Đặt − x x u = x dv = 4 d ln ;
x dx ⇒ du = ; v = x −3 4 ln x x Nên f ′ ∫ (x) − −4 ln x − ln x 1 ln d x x = −3 ln . x x dx = − ∫ 3 + dx x dx C 3 ∫ = − 4 = + + 3 ∫ − 3x 3 3 3 x x 3x
Câu 78: (Mã 110 2017) Cho ( ) = ( − ) 1 x F x x
e là một nguyên hàm của hàm số ( ) 2x f x e . Tìm nguyên
hàm của hàm số ′( ) 2x f x e . A. ′
∫ ( ) 2xd = (4−2 ) x f x e x x e + C B. ′
∫ ( ) 2xd = ( −2) x f x e x x e + C C. f ′ ∫ ( x) 2x 2 e d − x x x = e + C D. ′
∫ ( ) 2xd = (2− ) x f x e x x e + C 2 Lời giải Chọn D
Theo đề bài ta có ∫ ( ) 2 . xd = ( − ) 1 x f x e x x
e + C , suy ra f (x) 2 . x e = (x − ) 1 x ′ x
e = e + (x − ) 1 . x e Page 20
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ⇒ ( ) −x = + ( − )
1 . −x = . −x ⇒ ′( ) = (1− ). −x f x e x e x e f x x e Suy ra = ′
∫ ( ) 2xd = ∫(1− ) xd = ∫(1− )d( x) x = (1− ) x + d = ∫ (2− ) x K f x e x x e x x e e x e x
x e + C .
Câu 79: (Mã 103 2018) Cho hàm số f (x) thỏa mãn f ( ) 1 2 = −
và f ′(x) = x f (x) 2 3 4 với mọi 25
x∈ . Giá trị của f ( ) 1 bằng A. 391 − B. 1 − C. 41 − D. 1 − 400 40 400 10 Lời giải Chọn D f ′(x) ′ Ta có 1 1
f ′(x) = x f (x) 2 3 4 3 3 4 ⇒ − = 4 − x ⇒ = 4 − x ⇒ = −x + C f (x) 2 f ( x) f (x) Do f ( ) 1 2 = − , nên ta có C = 9
− . Do đó f (x) 1 = − ⇒ f ( ) 1 1 = − . 25 4 x + 9 10 Page 21
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN G
ƠN III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
- ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN HƯ C BÀI 1. NGUYÊN HÀM
HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. III
DẠNG 1. NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp 0dx C.
kdx kx C. n 1 n 1 n 1 (ax b) n x x dx C.
(ax b) dx C. n 1 a n 1 1
dx ln x C. 1 1
dx ln ax b C. x ax b a 1 1 1 1 1 dx C. dx C. 2 x x 2 (ax b) a ax b
sin x dx cos x C. 1
sin(ax b)dx cos(ax b) C. a
cosx dx sin x C. 1
cos(ax b)dx sin(ax b) C. a 1 dx 1
dx cotx C.
cot(ax b) C. 2 sin x 2 sin (ax b) a 1 dx 1
dx tan x C.
tan(ax b) C. 2 cos x 2 cos (ax b) a x d x
e x e C. ax b 1 d ax b e x e C. a x x a x a a dx C. x 1 a dx C. lna lna ♦ 1
Nhận xét. Khi thay x bằng (ax b) thì khi lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm a Page 19
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Một số nguyên tắc tính cơ bản
Tích của đa thức hoặc lũy thừa PP khai triễn.
Tích các hàm mũ PP
khai triển theo công thức mũ. 1 1 1 1
Bậc chẵn của sin và cosin Hạ bậc: 2 2
sin a cos2a, cos a cos2a. 2 2 2 2
Chứa tích các căn thức của x PP
chuyển về lũy thừa.
Câu 1: Tìm nguyên hàm x(x + ∫ )15 2 7 dx ? A. 1 (x + 7)16 2 + C B. 1 − (x +7)16 2
+ C C. 1 (x + 7)16 2
+ C D. 1 (x + 7)16 2 + C 2 32 16 32
Câu 2: Họ nguyên hàm của hàm số 3 (x) = x f
e là hàm số nào sau đây? A. 3 x e + C . B. 1 3x e + C . C. 1 x e + C . D. 3 3 x e + C . 3 3
Câu 3: Tính ∫(x −sin2x)dx. 2 2 2 x cos 2
A. x + sin x + C x x . B.
+ cos 2x + C . C. 2 cos 2x x + + C . D. + + C . 2 2 2 2 2
Câu 4: Nguyên hàm của hàm số 2 1 e x y − = là A. 2 1 2e x− + C . B. 2 1 e x− + C . C. 1 2x 1 e − + C .
D. 1 ex + C . 2 2
Câu 5: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) 1 = 2x + 3 A. 1
ln 2x + 3 + C .
B. 1 ln 2x + 3 + C .
C. 1 ln 2x + 3 + C . D. lg(2x + 3) + C . 2 ln 2 2
Câu 6: Tìm họ nguyên hàm của hàm số 2 1 = − 3x y x + . x 3 x 3 A. x 3 1 − − + C, C ∈ x x 1 . B. − 3 +
+ C, C ∈ . 2 3 ln 3 x 2 3 x 3 x 3 x C. x 3 −
+ ln x + C, C ∈ x 3 . D. −
− ln x + C, C ∈ . 3 ln 3 3 ln 3
Câu 7: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x sin 3x
A. 3cos3x C .
B. 3cos3x C .
C. 1 cos3x C . D. 1
cos3x C . 3 3
Câu 8: Họ nguyên hàm của hàm số f (x) 2
= 3x + sin x là A. 3
x + cos x + C .
B. 6x + cos x + C . C. 3
x − cos x + C .
D. 6x − cos x + C . Câu 9: Nếu f ∫ (x) 3 2
dx = 4x + x + C thì hàm số f (x) bằng 3 A. ( ) 4 x f x = x + + Cx . B. f (x) 2
=12x + 2x + C . 3 3 C. f (x) 2 x =12x + 2x . D. f (x) 4 = x + . 3
Câu 10: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? Page 20
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN e 1 + A. 1 x cos 2 d
x x = sin 2x + C ∫ . B. e x dx = + C ∫ . 2 e +1 x 1 + C. 1 x e
dx = ln x + C ∫ . D. e dx = + C ∫ . x x +1
Câu 11: Nguyên hàm của hàm số 2x y = là x x 2x
A. 2xd = ln 2.2x x + C ∫
. B. 2xd = 2x x + C ∫ . C. 2xd 2 x = + C ∫ . D. 2 dx = + C ln 2 ∫ . x +1
Câu 12: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x −sin x . 2 3 A. x ∫ f (x) 2
dx = 3x + cos x + C .
B. ∫ f (x)dx = − cos x + C . 2 2 3 C. ∫ ( )d x f x x = + cos x + C .
D. ∫ f (x)dx = 3+ cos x +C . 2
Câu 13: Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = cos x là:
A. cos x + C .
B. −cos x + C .
C. −sin x + C .
D. sin x + C .
Câu 14: Họ các nguyên hàm của hàm số ( ) 4 2
f x = x + x là A. 3
4x + 2x + C . B. 4 2
x + x + C . C. 1 5 1 3
x + x + C . D. 5 3
x + x + C . 5 3
Câu 15: Họ nguyên hàm của hàm số ( ) x
f x = e − 2x là. A. x 2
e + x + C . B. x 2
e − x + C . C. 1 x 2
e − x + C . D. x e − 2 + C . x +1
Câu 16: Họ các nguyên hàm của hàm số y = cos x + x là A. 1 2
sin x + x + C . B. 2
sin x + x + C . C. 1 2
−sin x + x + C . D. 2
−sin x + x + C . 2 2
Câu 17: Họ nguyên hàm của hàm số 2 1
y = x − 3x + là x 3 2 x 3 3 2 x 3 3 2 x 3 3 2 x 3x 1 A. x − − ln x + C. x x B. −
+ ln x + C. C. −
+ ln x + C. D. − + + C. 3 2 3 2 3 2 2 3 2 x
Câu 18: Họ nguyên hàm của hàm số f (x) 1 = + sin x là x A. ln x 1
− cos x + C . B. −
− cos x + C .
C. ln x + cos x + C . D. ln x − cos x + C . 2 x
Câu 19: Hàm số F (x) 1 3
= x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây trên ( ; −∞ +∞) ? 3 A. f (x) 2 = 3x . B. ( ) 3 f x = x . C. ( ) 2 f x = x .
D. f (x) 1 4 = x . 4 Page 21
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 4 + Câu 20: x 2
Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = . 2 x 3 3 A. f ∫ (x) x 1 dx = − + C x 2 . B. f
∫ (x)dx = + +C. 3 x 3 x 3 3 C. f ∫ (x) x 1 dx = + + C x 2 . D. f
∫ (x)dx = − +C . 3 x 3 x Câu 21: Tính 2
F(x) = e dx ∫
, trong đó e là hằng số và e ≈ 2,718. 2 2 3 A. ( ) e x F x = + C e .
B. F(x) = + C . C. 2
F(x) = e x + C . D. F(x) = 2ex + C . 2 3
Câu 22: Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) 1 = trên 1 ; −∞ . 1− 2x 2
A. 1 ln 2x −1 + C .
B. 1 ln (1− 2x) + C . C. 1
− ln 2x −1 + C . D. ln 2x −1 + C . 2 2 2
Câu 23: Nguyên hàm của hàm số ( ) = 2x f x + x là x 2 2 x 2x 2 A. + + C + x + C 2x x + + C ln 2 2 . B. 2
2x + x + C . C. 2 ln 2 . D. 2 .
Câu 24: Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =1+ sin x
A. 1+ cos x + C .
B. 1− cos x + C .
C. x + cos x + C .
D. x − cos x + C .
Câu 25: Nguyên hàm của hàm số 1 f (x) = 3 2
x − 2x + x − 2022 là 3 2 2 1 2 A. 1 4 2 3 x x − x + + C x . B. 4 3 x − x + − 2022x + C . 12 3 2 9 3 2 2 1 2 2 1 2 C. 4 3 x x − x + − 2022x + C x . D. 4 3 x + x − − 2022x + C . 12 3 2 9 3 2
Câu 26: Họ nguyên hàm của hàm số 1 f (x) = trên khoảng 1 ; −∞ là: 3x −1 3
A. 1 ln(3x −1) + C
B. ln(1− 3x) + C
C. 1 ln(1− 3x) + C
D. ln(3x−1) + C 3 3
Câu 27: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? 2x
A. 2xd = 2x x ln 2 + C ∫ . B. 2x e e dx = + C ∫ . 2 1 1 C. cos 2 d
x x = sin 2x + C ∫ . D.
dx = ln x +1 + C x ∀ ≠ − . 2 ∫ ( )1 x +1
Câu 28: Cho hàm số ( ) = 2x f x
+ x +1. Tìm f (x)dx ∫ . 1 x 1 A. f ∫ (x) x 2
dx = 2 + x + x + C . B. f ∫ (x) 2 dx =
2 + x + x + C ln 2 2 . x 1 1 x 1 C. f ∫ (x) 2
dx = 2 + x + x + C f x dx =
+ x + x + C 2 . D. ∫ ( ) 2 2 x +1 2 . Page 22
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Câu 29: Hàm số ( ) 2 x
F x = e là nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau: 2 x A. 2 ( ) = 2 x f x xe . B. 2 2 ( ) x
f x = x e −1. C. 2 ( ) x f x = e . D. ( ) e f x = . 2x
Câu 30: Tất cả các nguyên hàm của hàm số ( ) 3 x f x − = là − x − x A. 3 − + C B. 3−x − + C
C. 3−x ln 3+ C
D. 3 + C ln 3 ln 3
Câu 31: Họ nguyên hàm của hàm số f (x) 3 2
= x + x là 4 3 4 3
A. x + x + C x x . B. 4 3
x + x + C . C. 2
3x + 2x + C . D. + + C 4 3 3 4
Câu 32: Hàm số nào trong các hàm số sau đây không là nguyên hàm của hàm số 2019 y = x ? 2020 2020 2020 A. x +1 x x . B. . C. 2018 y = 2019x . D. −1. 2020 2020 2020 − x
Câu 33: Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) x 2018 = 2017 e f x e − . 5 x A. ∫ ( ) 2018 d = 2017 x f x x e − + C . B. ∫ ( ) 2018 d = 2017 x f x x e + + C . 4 x 4 x C. ∫ ( ) 504,5 d = 2017 x f x x e + + C . D. ∫ ( ) 504,5 d = 2017 x f x x e − + C . 4 x 4 x − x
Câu 34: Họ nguyên hàm của hàm số x = 2 e y e + là 2 cos x A. 2 x
e + tan x + C B. 2 x
e − tan x + C C. x 1 2e − + C D. x 1 2e + + C cos x cos x
Câu 35: họ nguyên hàm của hàm số f (x) 1 = là: 5x + 4
A. 1 ln (5x + 4) + C .
B. ln 5x + 4 + C .
C. 1 ln 5x + 4 + C . D. 1 ln 5x + 4 + C . 5 ln 5 5
Câu 36: Cho F (x) là một nguyên hàm của f (x) 1 =
trên khoảng (1;+∞) thỏa mãn F (e + ) 1 = 4 Tìm x −1 F (x) . A. 2ln (x − ) 1 + 2 B. ln (x − ) 1 + 3 C. 4ln (x − ) 1 D. ln (x − ) 1 − 3
Câu 37: Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) 1 = , biết F ( )
1 = 2. Giá trị của F (0) bằng x − 2 A. 2 + ln 2. B. ln 2. C. 2 + ln ( 2 − ). D. ln ( 2 − ).
Câu 38: Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm f (x) 1 =
; biết F (0) = 2. Tính F ( ) 1 . 2x +1 A. F 1
1 ln3 2 . B. F 1 ln3 2 . C. F
1 2ln3 2 . D. F 1 1 ln3 2 . 2 2 Page 23
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 39: Cho hàm số f (x) xác định trên R \{ }
1 thỏa mãn f ′(x) 1 =
, f (0) = 2017 , f (2) = 2018 . x −1
Tính S = f (3) − f (− ) 1 .
A. S = ln 4035 . B. S = 4 . C. S = ln 2 . D. S =1.
Câu 40: Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số ( ) 2x
f x = e và F (0) = 0 . Giá trị của F (ln3) bằng A. 2. B. 6. C. 8. D. 4. 1
Câu 41: Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số 2x e và F ( ) 201 0 =
⋅ Giá trị F là 2 2
A. 1 e + 200
B. 2e +100
C. 1 e + 50
D. 1 e +100 2 2 2
Câu 42: Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên và: ′( ) 2 = 2e x f x +1, x
∀ , f (0) = 2. Hàm f (x) là A. = 2ex y + 2x . B. 2ex y = + 2 . C. 2 = e x y + x + 2 . D. 2 = e x y + x +1.
Câu 43: Cho hàm số ( ) = 2 x f x
x + e . Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) thỏa mãn F (0) = 2019. A. ( ) 2 = + x F x x e + 2018. B. ( ) 2 = + x F x x e − 2018. C. ( ) 2 = + x F x x e + 2017 . D. ( ) = x F x e − 2019 .
Câu 44: Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số ( ) 2x
f x = , thỏa mãn F ( ) 1 0 = . Tính giá trị biểu ln 2
thức T = F (0) + F ( )
1 +...+ F (2018) + F (2019) . 2019 2019 2020 A. 2 +1 T =1009. . B. 2019.2020 T 2 1 2 1 = 2 . C. T − = . D. T − = . ln 2 ln 2 ln 2
Câu 45: Cho hàm số f (x) thỏa mãn f ′(x) = 2 −5sin x và f (0) =10. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. f (x) = 2x + 5cos x + 3 .
B. f (x) = 2x −5cos x +15 .
C. f (x) = 2x + 5cos x + 5 .
D. f (x) = 2x −5cos x +10 . π π
Câu 46: Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm f (x) = cos3x và 2 F = . Tính F . 2 3 9 A. π 3 + 2 π π π F − + − = B. 3 2 F = C. 3 6 F = D. 3 6 F = 9 6 9 6 9 6 9 6 π
Câu 47: Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) 1 = . Biết F + kπ =
k với mọi k ∈ 2 cos x 4
. Tính F (0) + F (π ) + F ( π 2 ) +...+ F (10π ) . A. 55. B. 44. C. 45. D. 0.
Câu 48: Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số ( ) 2x
f x = , thỏa mãn F ( ) 1 0 = . Tính giá trị biểu ln 2
thức T = F (0) + F ( )
1 + F (2) +...+ F (2019) . 2020 2019 2019 A. 2 1 T − − = . B. 2 1 T =1009. . C. 2019.2020 T 2 1 = 2 . D. T − = . ln 2 2 ln 2 Page 24
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
DẠNG 2. TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ “ Nếu f
∫ (x)dx = F (x)+C thì f
∫ (u(x)).u'(x)dx = F (u(x))+C”.
Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I = f
∫ (x)dx, trong đó ta có thể phân tích
f (x) = g (u(x))u '(x)dx thì ta thức hiện phép đổi biến số t = u(x)
⇒ dt = u '(x)dx . Khi đó: I = g
∫ (t)dt = G(t)+C = G(u(x))+C
Chú ý: Sau khi ta tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay t = u (x)
1. Đổi biến số với một số hàm thường gặp b ( + )n f ax b xdx PP
→t = ax + . b ∫
f (x) f (′x)d PP n n
x →t = f (x). ∫ a b 1 b f (ln x) d PP
x →t = ln . x ∫
f ( x e ) x e d PP x
x →t = e . x ∫ a a b b
f (sin x)cos xd PP
x →t = sin . x ∫
f (cos x)sin xd PP
x →t = cos . x ∫ a a b 1 b f (tan x) d PP
x →t = tan . x ∫
f (sin x ± cos x).(sin x ± cos x)dx ⇒ t = sin x ± cos .x 2 cos x ∫ a a β β 2 2 2 ( − ) n f a x x d PP
x → x = asin t. ∫ ∫ ( 2 2 m + ) 2 ( ) n f x a x d PP
x → x = a tan t. α α β ± β a x f ∫ x d PP
x → x = a cos 2t. d
⇒ t = ax + b + cx + d . ∫ α a x α
(ax + b)(cx + d) β β x 1 s + ,., ks + d n R ax b
ax b x ⇒ t = ax + . b ∫ PP d 1 → x = ⋅ ∫ n n n α a + bx a + bx t α ( )
2. Đổi biến số với hàm ẩn
Nhận dạng tương đối: Đề cho f (x), yêu cầu tính f (≠ x) hoặc đề cho f (≠ x), yêu cầu tính f (x).
Phương pháp: Đặt t = (≠ x).
Lưu ý: Đổi biến nhớ đổi cận và ở trên đã sử dụng tính chất: “Tích phân không phụ thuộc b b b
vào biến số, mà chỉ phụ thuộc vào hai cận”, nghĩa là f (u)du = f (t)dt = ⋅⋅⋅ = f (x)dx = ⋅⋅⋅ ∫ ∫ ∫ a a a Page 25
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 49: Biết f ∫ ( x) 2
2 dx = sin x + ln x + C . Tìm nguyên hàm f (x)dx ∫ ? A. ∫ ( ) 2 d = sin x f x x + ln x + C . B. f ∫ (x) 2
dx = 2sin 2x + 2ln x + C . 2 C. ∫ ( ) 2 d = 2sin x f x x + 2ln x + C . D. f ∫ (x) 2
dx = 2sin x + 2ln x + C . 2 Câu 50: Cho 2
f (4x)dx = x + 3x + c ∫
. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 A. ( + 2)d x f x x = + 2x + C ∫ . B. 2
f (x + 2)dx = x + 7x + C ∫ . 4 2 2 C. ( + 2)d x f x x = + 4x + C ∫ . D. ( + 2)d x f x x = + 4x + C 4 ∫ . 2 f ∫ (x) 3
dx = 4x + 2x + C I = xf ∫ ( 2x)dx Câu 51: Cho 0 . Tính . 10 6 A. 6 2 I x x
= 2x + x + C . B. I = + + C . C. 6 2
I = 4x + 2x + C . D. 2
I =12x + 2 . 10 6
Câu 52: Tìm họ nguyên hàm của hàm số ( ) 3 2 1 .e + = x f x x . 3 A. f (x) x 3 1 dx .e + = + ∫ x C .
B. ∫ f (x) 3 x 1 dx 3e + = + C . 3 C. ( ) 3 1 d e + = + ∫ x f x x C . D. ( ) 1 3 1 d e + = + ∫ x f x x C . 3
Câu 53: Nguyên hàm của ( ) 2 sin = sin 2 . x f x x e là 2 sin x 1 + 2 sin x 1 − A. 2 2 sin 1 sin . x x e − + C . B. e + C . C. 2 sin x e + C . D. e + C . 2 sin x +1 2 sin x −1
Câu 54: Tìm tất cả các họ nguyên hàm của hàm số f (x) 1 = 9 5 x + 3x 4 4 A. ∫ ( ) 1 1 x = − + ln x f x d + C B. ∫ ( ) 1 1 x = − − ln x f x d + C 4 4 3x 36 x + 3 4 4 12x 36 x + 3 4 4 C. ∫ ( ) 1 1 x = − − ln x f x d + C D. ∫ ( ) 1 1 x = − + ln x f x d + C 4 4 3x 36 x + 3 4 4 12x 36 x + 3 3
Câu 55: Tìm hàm số F (x) biết ( ) x F x = dx ∫ và F (0) =1. 4 x +1 1 3
A. F (x) = ( 4 ln x + )1+1.
B. F (x) = ln ( 4 x + ) 1 + . 4 4 1
C. F (x) = ln ( 4 x + ) 1 +1.
D. F (x) = ( 4 4ln x + ) 1 +1. 4 ( − )2017 1 b x Câu 56: Biết 1 x −1 dx . = + ∫ C , x ≠ 1 − với a, b ∗ ∈ (
. Mệnh đề nào sau đây đúng? x + )2019 1 a x +1
A. a = 2b .
B. b = 2a .
C. a = 2018b .
D. b = 2018a . Câu 57: 2017 Biết rằng x
F (x) là một nguyên hàm trên của hàm số f (x) = ( thỏa mãn F ( ) 1 = 0 x + )2018 2 1
. Tìm giá trị nhỏ nhất m của F (x) . Page 26
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 2017 2017 A. 1 m = − . B. 1 2 m − = . C. 1 2 m + = . D. 1 m = . 2 2018 2 2018 2 2
Câu 58: Cho F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x) 1 =
và F (0) = −ln 2e . Tập nghiệm S của x e +1
phương trình ( ) + ln ( x F x e + ) 1 = 2 là: A. S = { } 3 B. S = {2; } 3 C. S = { 2; − } 3 D. S = { 3 − ; } 3
Câu 59: Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x (x + )2019 3 2 1 là 2021 2020 1 (x )2021 (x )2020 2 2 1 1 + + ( 2x + ) ( 2 1 x + ) 1 A. − . B. − . 2 2021 2020 2021 2020 ( 2021 2020
x + )2021 (x + )2020 2 2 1 1 1 ( 2 x ) ( 2 1 x )1 + + C. − + C . D. − + C . 2021 2020 2 2021 2020
Câu 60: Nguyên hàm của ( ) 1+ ln x f x = là: . x ln x
A. 1+ ln xdx + = ln ln x + C ∫ . B. 1 ln x 2
dx = ln x .ln x + C .xln x ∫ . .xln x
C. 1+ ln xdx +
= ln x + ln x + C ∫ .
D. 1 ln xdx = ln .xln x + C .xln x ∫ . .xln x
Câu 61: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) 3 2 x 1 x e + = A. ∫ ( ) 3 1 d x f x x e + = + C . B. ∫ ( ) 3 1 d 3 x f x x e + = + C . 3 C. f ∫ (x) 1 3x 1 dx e + = + C . D. f ∫ (x) x 3 x 1 dx e + = + C . 3 3
Câu 62: Nguyên hàm của hàm số f (x) 3 = 3x +1 là A. f
∫ (x) x = ( x+ ) 3 d
3 1 3x +1 + C . B. f ∫ (x) 3
dx = 3x +1 + C . C. f ∫ (x) 1 3 dx =
3x +1 + C . D. f ∫ (x) 1 dx = (3x + ) 3 1 3x +1 + C . 3 4
Câu 63: Nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x + 2 là
A. 2 (3x + 2) 3x + 2 + C B. 3
1 (3x+2) 3x+2 +C 3
C. 2 (3x + 2) 3x + 2 + C D. 3 1 + C 9 2 3x + 2
Câu 64: Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x +1 là Page 27
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A. 1 − (2x + ) 1 2x +1 + C .
B. 1 2x +1 + C . 3 2 C. 2 (2x + ) 1 2x +1 + C . D. 1 (2x + ) 1 2x +1 + C . 3 3
Câu 65: Cho hàm số f (x) x ln 2 = 2 .
. Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số f (x) ? x A. ( ) = 2 x F x + C B. ( ) = 2(2 x F x − ) 1 + C C. ( ) = 2(2 x F x + ) 1 + C D. ( ) 1 2 x F x + = + C
Câu 66: Khi tính nguyên hàm x − 3 dx ∫
, bằng cách đặt u = x +1 ta được nguyên hàm nào? x +1 A. ∫ ( 2 2 u − 4)du .
B. ∫( 2u − 4)du.
C. ∫( 2u − 3)du . D. u ∫ ( 2 2 u − 4)du .
Câu 67: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) 1 = . 2 2x +1 A. f ∫ (x) 1 dx = 2x +1 + C . B. f
∫ (x)dx = 2x+1+C . 2 C. f
∫ (x)dx = 2 2x+1+C . D. f ∫ (x) 1 dx = + ( C . 2x + ) 1 2x +1
Câu 68: Nguyên hàm của hàm số f (x) = ( 2
ln x + x +1) là
A. F (x) = x ( 2 x + x + ) 2 ln 1 + x +1 + C .
B. F (x) = x ( 2 x + x + ) 2 ln
1 − x +1 + C .
C. F (x) = x ( 2
ln x + x +1)+C . D. F (x) 2 = x ( 2
ln x + x +1)+C . 2
Câu 69: Biết rằng trên khoảng 3 ; + ∞ 20x − 30x + 7
, hàm số f (x) = có một nguyên hàm 2 2x − 3 F (x) = ( 2
ax + bx + c) 2x −3 (a,b,c là các số nguyên). Tổng S = a + b + c bằng A. 4 . B. 3. C. 5. D. 6 .
Câu 70: Tìm nguyên hàm của hàm số sin ( ) x f x = . 1+ 3cos x A. 1
f (x)dx = ln 1+ 3cos x + C ∫ .
B. f (x)dx = ln 1+ 3cos x + C 3 ∫ .
C. f (x)dx = 3ln 1+ 3cos x + C ∫ . D. 1
f (x)dx = − ln 1+ 3cos x + C ∫ . 3
Câu 71: Tìm các hàm số f (x) biết ' cos ( ) x f x = . 2 (2 + sin x) sin 1 A. ( ) x f x = + C .
B. f (x) = + C . 2 (2 + sin x) (2 + cos x) C. 1 f (x) = − + C . D. sin ( ) x f x = + C . 2 + sin x 2 + sin x
Câu 72: Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số sin ( ) x π f x = và F =
2 .Tính F (0). 1+ 3cos x 2 Page 28
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A. 1
F(0) = − ln 2 + 2 . B. 2
F(0) = − ln 2 + 2. C. 2
F(0) = − ln 2 − 2 . D. 1 F(0 = − ln 2 − 2. 3 3 3 3
Câu 73: Biết f
∫ (x)dx = 3xcos(2x−5)+C . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau. A. f
∫ (3x)dx = 3xcos(6x−5)+C B. f
∫ (3x)dx = 9xcos(6x−5)+C C. f
∫ (3x)dx = 9xcos(2x−5)+C D. f
∫ (3x)dx = 3xcos(2x−5)+C
Câu 74: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) 5 = tan x . A. f ∫ (x) 1 4 1 2
dx = tan x − tan x + ln cosx + C . 4 2 B. f ∫ (x) 1 4 1 2
dx = tan x + tan x − ln cosx + C . 4 2 C. f ∫ (x) 1 4 1 2
dx = tan x + tan x + ln cosx + C . 4 2 D. f ∫ (x) 1 4 1 2
dx = tan x − tan x − ln cosx + C . 4 2 π
Câu 75: Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) 3 = sin .
x cos x và F (0) = π . Tính F . 2 π π π π A. F = π − . B. F = π . C. 1 F = − +π . D. 1 F = +π . 2 2 2 4 2 4
Câu 76: Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) 1 = thỏa mãn 1 F =
2 và F (e) = ln 2. x ln x e
Giá trị của biểu thức 1 F + F ( 2 e bằng 2 ) e A. 3ln 2 + 2. B. ln 2 + 2. C. ln 2 +1. D. 2ln 2 +1.
Câu 77: Gọi F (x) là nguyên hàm của hàm số ( ) = x f x
thỏa mãn F (2) = 0 . Khi đó phương trình 2 8 − x
F (x) = x có nghiệm là:
A. x = 0 . B. x =1. C. x = 1 − .
D. x =1− 3 .
Câu 78: Gọi F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x) 2x 1 = −
. Biết F (3) = 6, giá trị của F (8) là 2 x +1 x A. 217 . B. 27 . C. 215 . D. 215 . 8 24 8 2
Câu 79: Họ nguyên hàm của hàm số − +
f (x) 20x 30x 7 = trên khoảng 3 ; +∞ là 2x − 3 2 A. ( 2 4x + 2x + )
1 2x − 3 + C . B. ( 2 4x − 2x + ) 1 2x − 3 . C. ( 2 3x − 2x + ) 1 2x − 3 . D. ( 2 4x − 2x + )
1 2x − 3 + C . Page 29
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
DẠNG 3. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỈ
1. Công thức thường áp dụng 1 1 1 1 1 dx
ln ax b C. dx C. ax b a 2 (ax b) a ax b
lna lnb ln(ab). a
lna lnb ln b ln n
a n lna. ln1 0.
2. Phương pháp tính nguyên hàm, tích phân của hàm số hữu tỷ P(x) I dx. Q(x)
Nếu bậc của tử số P(x) bậc của mẫu số Q(x) PP Chia đa thức.
Nếu bậc của tử số P(x) bậc của mẫu số Q(x) PP
phân tích mẫu Q(x) thành tích số,
rồi sử dụng phương pháp che để đưa về công thức nguyên hàm số 01.
Nếu mẫu không phân tích được thành tích số PP
thêm bớt để đổi biến hoặc lượng giác
hóa bằng cách đặt X a tant, nếu mẫu đưa được về dạng 2 2
X a .
Câu 80: Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số ( ) b f x = ax +
x ≠ 0 , biết rằng 2 ( ) x F (− ) 1 =1, F ( ) 1 = 4, f ( ) 1 = 0
A. F (x) 3 2 3 7 = x + − .
B. F (x) 3 2 3 7 = x − − . 2 4x 4 4 2x 4
C. F (x) 3 2 3 7 = x + + .
D. F (x) 3 2 3 1 = x − − . 4 2x 4 2 2x 2 Câu 81: Cho biết 2x −13 ∫ ( )( = + + − + . +
x − )dx a ln x 1 bln x 2 C x 1 2
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a + 2b = 8.
B. a + b = 8 .
C. 2a −b = 8 .
D. a −b = 8 . Câu 82: Cho biết 1 ∫
dx = a ln (x − ) 1 (x + )
1 + bln x + C . Tính giá trị biểu thức: P = 2a + b . 3 x − x A. 0. B. -1. C. 1 . D. 1. 2 Câu 83: Cho biết 4x +11 ∫
dx = a ln x + 2 + bln x + 3 + C . Tính giá trị biểu thức: 2 2
P = a + ab + b . 2 x + 5x + 6 A. 12. B. 13. C. 14. D. 15.
Câu 84: Cho hàm số f x thỏa mãn 2 b f x ax , f 1 3, f 1 2, 1 1 f
. Khi đó 2a b 3 x 2 12 bằng A. 3 . B. 0 . C. 5. D. 3 . 2 2 Page 30
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 85: Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số + f (x) 2x 1 =
trên khoảng (0;+∞) thỏa mãn 4 3 2
x + 2x + x F ( ) 1
1 = . Giá trị của biểu thức S = F ( )
1 + F (2) + F (3) +…+ F (2019) bằng 2 2019 2019.2021 1 2019 A. . B. . C. 2018 . D. − . 2020 2020 2020 2020 Câu 86: Cho 1 −a I = dx ∫ 2 =
− bln x + 2c ln 1+ x + C . Khi đó S = a + b + c bằng 3 x ( 2 1+ x ) 2 ( ) x 1 − 3 7 A. . B. . C. . D. 2 . 4 4 4
Câu 87: Cho hàm số f (x) xác định trên R \{ 1; − }
1 thỏa mãn f (x) 1 ' =
. Biết f (3) + f ( 3 − ) = 4 và 2 x −1 1 1 f f − + =
2 . Giá trị của biểu thức f ( 5
− ) + f (0) + f (2) bằng 3 3 A. 1 5 − ln 2 . B. 1 6 − ln 2 . C. 1 5 + ln 2 . D. 1 6 + ln 2. 2 2 2 2
Câu 88: Cho hàm số f (x) xác định trên 1 \{ 2; − }
1 thỏa mãn f ′(x) = , f ( 3
− ) − f (3) = 0 và 2 x + x − 2 f ( ) 1
0 = . Giá trị của biểu thức f ( 4 − ) + f (− ) 1 − f (4) bằng 3 A. 1 1 ln 2 + . B. ln80 +1. C. 1 4 ln + ln 2 +1. D. 1 8 ln +1. 3 3 3 5 3 5
Câu 89: Cho hàm số f (x) xác định trên \{ }
1 thỏa mãn f ′(x) 1 =
, f (0) = 2017 ,, f (2) = 2018 . x −1
Tính S = ( f (3) − 2018)( f (− ) 1 − 2017) . A. S =1. B. 2 S =1+ ln 2 . C. S = 2ln 2 . D. 2 S = ln 2 . Câu 90: Cho hàm số 2
f ( x) xác định trên \{ 1; − }
1 thỏa mãn f ′( x) = , f ( 2 − ) + f (2) = 0 và 2 x −1 1 1 f f − + = 2 . Tính f ( 3
− ) + f (0) + f (4) được kết quả 2 2 A. 6 ln +1. B. 6 ln −1. C. 4 ln +1. D. 4 ln −1. 5 5 5 5 Page 31
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
DẠNG 4. PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
Cho hai hàm số u và v liên tục trên [ ;
a b] và có đạo hàm liên tục trên [a;b]. Khi đó:
udv = uv − vdu (∗ ∫ ∫ ) b
Để tính tích phân I = f
∫ (x)dx bằng phương pháp từng phần ta làm như sau: a
Bước 1: Chọn u,v sao cho f (x)dx = udv . Tính v = dv
∫ và du = u'.dx .
Bước 2: Thay vào công thức (∗) và tính vdu ∫ .
Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân vdu ∫ dễ tính hơn udv
∫ . Ta thường gặp các dạng sau
Cho hai hàm số u và v liên tục trên đoạn [ ;
a b] và có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ; a b].
Khi đó: udv = uv − d v u. ∫ ∫ (*)
Để tính nguyên hàm f (x)dx ∫
bằng từng phần ta làm như sau:
Bước 1. Chọn u, v sao cho f (x)dx = d
u v (chú ý dv = v'(x)dx ).
Sau đó tính v = dv
∫ và du = u'.dx.
Bước 2. Thay vào công thức (*) và tính d v u ∫ .
Chú ý. Cần phải lựa chọn và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân d v u ∫ dễ tính hơn d u v
∫ . Ta thường gặp các dạng sau
● Dạng 1. I = P
∫ (x)sin(ax+b)dx, trong đó P(x) là đa thức. = ( )
du = P′(x).dx u P x Với dạng này, ta đặt ⇒ . v = (ax +b) 1 d sin dx
v = − cos(ax + b) a
● Dạng 2. I = P
∫ (x)cos(ax+b)dx , trong đó P(x) là đa thức. = ( )
du = P′(x).dx u P x Với dạng này, ta đặt ⇒ . v = (ax +b) 1 d cos dx
v = sin (ax + b) a
● Dạng 3. = ∫ ( ) ax+b I
P x e dx , trong đó P(x) là đa thức. = ( )
du = P′(x).dx u P x Với dạng này, ta đặt ⇒ . ax+b 1 dv = e d ax+b x v = e a Page 32
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
● Dạng 4. I = P
∫ (x)ln g(x)dx, trong đó P(x) là đa thức. u = ln g (x)
Với dạng này, ta đặt . dv = P (x)dx sin x ● Dạng 5. x I = ∫
e dx . cos x sin x u = Với dạng này, ta đặt cos x . d x v = e dx
Câu 91: Họ các nguyên hàm của hàm số f (x) = xsin x là
A. F (x) = xcos x + sin x + C.
B. F (x) = xcos x −sin x + C.
C. F (x) = −xcos x −sin x + C.
D. F (x) = −xcos x + sin x + C.
Câu 92: Họ nguyên hàm của hàm số 2 ( ) = . x f x x e là : A. 1 2x 1 F(x) e x = − + 1 C B. 2 ( ) x
F x = e (x − 2) + C 2 2 2 C. 2 ( ) = 2 x F x
e (x − 2) + C D. 2x 1 F(x) 2e x = − + C 2
Câu 93: Họ nguyên hàm của hàm số ( ) = (2 − ) 1 x f x x e là A. (2 −3) x x e + C . B. (2 + 3) x x e + C . C. (2 + ) 1 x x e + C . D. (2 − ) 1 x x e + C .
Câu 94: Tìm họ nguyên hàm của hàm số 2 ( ) x
f x = xe ? A. 1 2x 1 F(x) e x = − + 1 C. B. 2 ( ) x
F x = e (x − 2) + C. 2 2 2 C. 2 ( ) = 2 x F x
e (x − 2) + C. D. 2x 1 F(x) 2e x = − + C. 2
Câu 95: Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x(1+ sin x) là 2 2
A. x − xsin x + cos x + C .
B. x − xcos x + sin x + C . 2 2 2 2
C. x − xcos x − sin x + C .
D. x − xsin x − cos x + C . 2 2
Câu 96: Giả sử ( ) = ( 2 + + ) x F x
ax bx c e là một nguyên hàm của hàm số ( ) 2 x
f x = x e .Tính tích P = abc . A. 4 − . B. 1. C. 5 − . D. 3 − .
Câu 97: Họ nguyên hàm của hàm số ( ) = 2 (1 x f x
x + e )là A. ( − ) 2 2 1 x x e + x . B. ( + ) 2 2 1 x x e + x . C. ( + ) 2 2 2 x x e + x . D. ( − ) 2 2 2 x x e + x .
Câu 98: Họ nguyên hàm của f (x) = xln x là kết quả nào sau đây?
A. F (x) 1 2 1 2
= x ln x + x + C .
B. F (x) 1 2 1 2
= x ln x + x + C . 2 2 2 4
C. F (x) 1 2 1 2
= x ln x − x + C .
D. F (x) 1 2 1
= x ln x + x + C . 2 4 2 4 Page 33
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 99: Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = ( 2 3x + ) 1 .ln x . 3 A. ∫ ( ) = ( + ) 3 2 1 ln x f x dx x x x − + C . B. ∫ ( ) 3 = ln x f x dx x x − + C . 3 3 3 C. ∫ ( ) = ( + ) 3 2 1 ln x f x dx x x x − − x + C . D. ∫ ( ) 3 = ln x f x dx x x − − x + C . 3 3 Câu 100: x
Tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = trên khoảng (0;π ) là 2 sin x
A. −xcot x + ln(sinx) + C .
B. xcot x − ln sinx + C .
C. xcot x + ln sinx + C .
D. −xcot x − ln (sinx) + C .
Câu 101: Họ nguyên hàm của hàm số y = 3x(x + cos x) là A. 3
x + 3(xsin x + cos x) + C B. 3
x − 3(xsin x + cos x) + C C. 3
x + 3(xsin x − cos x) + C D. 3
x − 3(xsin x − cos x) + C
Câu 102: Họ nguyên hàm của hàm số ( ) 4 = + ex f x x x là A. 1 5 + ( + ) 1 ex x x
+ C . B. 1 5 + ( − ) 1 ex x x
+ C . C. 1 5 + ex x x + C . D. 3 4 + ( + ) 1 ex x x + C . 5 5 5
Câu 103: Họ nguyên hàm của hàm số ( ) 2 = . x f x x e là
A. F (x) 1 2x 1 e x = − + 1 C . B. ( ) 2x
F x = e (x − 2) + C . 2 2 2 C. ( ) 2 = 2 x F x
e (x − 2) + C . D. F (x) 2x 1 2e x = − + C . 2
Câu 104: Mệnh đề nào sau đây là đúng? 2 A. d x = + + ∫ x x x xe x e xe C .
B. xe dx = e + e + ∫ x x x C . 2 2 C. d x = − + ∫ x x x xe x xe e C .
D. xe dx = e + ∫ x x C . 2 (x +a)2 2
Câu 105: Cho biết F (x) 1 3 1
= x + 2x − là một nguyên hàm của f (x) = . Tìm nguyên hàm của 3 x 2 x
g (x) = xcos ax .
A. xsin x − cos x + C B. 1 1
xsin 2x − cos 2x + C 2 4
C. xsin x + cos+ C D. 1 1
xsin 2x + cos 2x + C 2 4 ( 2
2x + x)ln x +1
Câu 106: Họ nguyên hàm của hàm số y = là x A. (x + + ) 2 2 1 ln x x x − + x + C x .
B. (x + x − ) 2 2 1 ln x + − x + C . 2 2 C. (x + + ) 2 2 1 ln x x x − − x + C x .
D. (x + x − ) 2 2 1 ln x − + x + C . 2 2
Câu 107: Cho hàm số f (x) thỏa mãn ′( ) x
f x = xe và f (0) = 2 .Tính f ( ) 1 . Page 34
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A. f ( ) 1 = 3 . B. f ( ) 1 = e . C. f ( ) 1 = 5 − e . D. f ( ) 1 = 8 − 2e . − x
Câu 108: Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (x) + f ′(x) = e , x
∀ ∈ và f (0) = 2. Tất cả các nguyên hàm của ( ) 2 e x f x là
A. ( − 2)ex + ex x + C B. ( + ) 2 2 e x + ex x + C C. ( − ) 1 ex x + C D. ( + ) 1 ex x + C
Câu 109: Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn '( ) = ( + ) 1 ex f x x , f (
0) = 0 và ∫ ( )d = ( + )ex f x x ax b + c với
a,b,c là các hằng số. Khi đó:
A. a + b = 2.
B. a + b = 3.
C. a + b =1.
D. a + b = 0.
Câu 110: Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số ( ) e x f x x − =
. Tính F (x) biết F (0) =1. A. ( ) ( ) 1 e x F x x − = − + + 2 . B. ( ) ( ) 1 e x F x x − = + +1. C. ( ) ( ) 1 e x F x x − = + + 2. D. ( ) ( ) 1 e x F x x − = − + +1.
Câu 111: Biết xcos 2 d
x x = axsin 2x + bcos 2x + C ∫
với a , b là các số hữu tỉ. Tính tích ab ? A. 1 ab = . B. 1 ab = . C. 1 ab = − . D. 1 ab = − . 8 4 8 4 ln x + 3
Câu 112: Giả sử F (x) là một nguyên hàm của f (x) ( ) = sao cho F ( 2 − ) + F ( ) 1 = 0 . Giá trị của 2 x F (− ) 1 + F (2) bằng A. 10 5 ln 2 − ln 5. B. 0 . C. 7 ln 2 . D. 2 3 ln 2 + ln 5 . 3 6 3 3 6
Câu 113: Gọi g (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = ln(x − )
1 . Cho biết g (2) =1 và g (3) = a ln b
trong đó a,b là các số nguyên dương phân biệt. Hãy tính giá trị của 2 2
T = 3a − b A. T = 8. B. T = 17 − . C. T = 2. D. T = 13 − .
Câu 114: Biết xcos 2 d
x x = axsin 2x + bcos 2x + C ∫
với a , b là các số hữu tỉ. Tính tích ab ? A. 1 ab = . B. 1 ab = . C. 1 ab = − . D. 1 ab = − . 8 4 8 4 Page 35
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN G
ƠN III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
- ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN HƯ C BÀI 1. NGUYÊN HÀM
HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. III
DẠNG. NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp 0dx C.
kdx kx C. n 1 n 1 n 1 (ax b) n x x dx C.
(ax b) dx C. n 1 a n 1 1
dx ln x C. 1 1
dx ln ax b C. x ax b a 1 1 1 1 1 dx C. dx C. 2 x x 2 (ax b) a ax b
sin x dx cos x C. 1
sin(ax b)dx cos(ax b) C. a
cosx dx sin x C. 1
cos(ax b)dx sin(ax b) C. a 1 dx 1
dx cotx C.
cot(ax b) C. 2 sin x 2 sin (ax b) a 1 dx 1
dx tan x C.
tan(ax b) C. 2 cos x 2 cos (ax b) a x d x
e x e C. ax b 1 d ax b e x e C. a x x a x a a dx C. x 1 a dx C. lna lna ♦ 1
Nhận xét. Khi thay x bằng (ax b) thì khi lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm a Page 1
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Một số nguyên tắc tính cơ bản
Tích của đa thức hoặc lũy thừa PP khai triễn.
Tích các hàm mũ PP
khai triển theo công thức mũ. 1 1 1 1
Bậc chẵn của sin và cosin Hạ bậc: 2 2
sin a cos2a, cos a cos2a. 2 2 2 2
Chứa tích các căn thức của x PP
chuyển về lũy thừa.
Câu 1: Tìm nguyên hàm x(x + ∫ )15 2 7 dx ? A. 1 (x + 7)16 2 + C B. 1 − (x +7)16 2
+ C C. 1 (x + 7)16 2
+ C D. 1 (x + 7)16 2 + C 2 32 16 32 Lời giải Chọn D x ∫ (x + )15 1
= ∫(x + )15 d (x + ) 1 7 dx 7 7 = (x +7)16 2 2 2 2 + C 2 32
Câu 2: Họ nguyên hàm của hàm số 3 (x) = x f
e là hàm số nào sau đây? A. 3 x e + C . B. 1 3x e + C . C. 1 x e + C . D. 3 3 x e + C . 3 3 Lời giải Ta có: 3x 1 3 d x
e x = e + C, ∫
với C là hằng số bất kì. 3
Câu 3: Tính ∫(x −sin2x)dx. 2 2 2 x cos 2
A. x + sin x + C x x . B.
+ cos 2x + C . C. 2 cos 2x x + + C . D. + + C . 2 2 2 2 2 Lời giải 2 x cos 2 Ta có ∫( x
x − sin 2x)dx = d x x − sin 2 d x x ∫ ∫ = + + C . 2 2
Câu 4: Nguyên hàm của hàm số 2 1 e x y − = là A. 2 1 2e x− + C . B. 2 1 e x− + C . C. 1 2x 1 e − + C .
D. 1 ex + C . 2 2 Lời giải Ta có: 2x 1− 1 2x 1 e dx e − d ∫ ∫ (2x ) 1 2x 1 1 e − = − = + C . 2 2
Câu 5: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) 1 = 2x + 3 A. 1
ln 2x + 3 + C .
B. 1 ln 2x + 3 + C .
C. 1 ln 2x + 3 + C . D. lg(2x + 3) + C . 2 ln 2 2 Page 2
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 6: Tìm họ nguyên hàm của hàm số 2 1 = − 3x y x + . x 3 x 3 A. x 3 1 − − + C, C ∈ x x 1 . B. − 3 +
+ C, C ∈ . 2 3 ln 3 x 2 3 x 3 x 3 x C. x 3 −
+ ln x + C, C ∈ x 3 . D. −
− ln x + C, C ∈ . 3 ln 3 3 ln 3 Lời giải 3 x Ta có: 2 x 1 x 3 x − 3 + d ∫ x = −
+ ln x + C,C ∈ . x 3 ln 3
Câu 7: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x sin3x
A. 3cos3x C .
B. 3cos3x C .
C. 1 cos3x C . D. 1
cos3x C . 3 3 Lời giải cos3 sin 3 dx x x C 3
Câu 8: Họ nguyên hàm của hàm số f (x) 2
= 3x + sin x là A. 3
x + cos x + C .
B. 6x + cos x + C . C. 3
x − cos x + C .
D. 6x − cos x + C . Lời giải
Ta có ∫( 2x + x) 3 3
sin dx = x − cos x + C . Câu 9: Nếu f ∫ (x) 3 2
dx = 4x + x + C thì hàm số f (x) bằng 3 A. ( ) 4 x f x = x +
+ Cx . B. f (x) 2
=12x + 2x + C . 3 3 C. f (x) 2 x
=12x + 2x . D. f (x) 4 = x + . 3 Lời giải Có f (x) = ( 3 2
x + x + C)′ 2 4 =12x + 2x .
Câu 10: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? e 1 + A. 1 x cos 2 d
x x = sin 2x + C ∫ . B. e x dx = + C ∫ . 2 e +1 x 1 + x e
C. 1 dx = ln x + C ∫ . D. e dx = + C ∫ . x x +1 Lời giải x 1 + x e Ta có: e dx = + C ∫
sai vì exd = ex x + C x +1 ∫ .
Câu 11: Nguyên hàm của hàm số 2x y = là x x 2x
A. 2xd = ln 2.2x x + C ∫
. B. 2xd = 2x x + C ∫ . C. 2xd 2 x = + C ∫ . D. 2 dx = + C ln 2 ∫ . x +1 Page 3
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Lời giải x
Do theo bảng nguyên hàm: xd a a x = + C ∫ . ln a
Câu 12: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x −sin x . 2 A. 3x ∫ f (x) 2
dx = 3x + cos x + C .
B. ∫ f (x)dx = − cos x + C . 2 2 C. ∫ ( ) 3 d x f x x = + cos x + C .
D. ∫ f (x)dx = 3+ cos x +C . 2 Lời giải 2 3x
Ta có ∫ f (x)dx = ∫(3x −sin x)dx = + cos x + C . 2
Câu 13: Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = cos x là:
A. cos x + C .
B. −cos x + C .
C. −sin x + C .
D. sin x + C . Lời giải Ta có cos d
x x = sin x + C ∫ .
Câu 14: Họ các nguyên hàm của hàm số ( ) 4 2
f x = x + x là A. 3
4x + 2x + C . B. 4 2
x + x + C . C. 1 5 1 3
x + x + C . D. 5 3
x + x + C . 5 3 Lời giải. Ta có f
∫ (x)dx = ∫( 4 2 x + x ) 1 5 1 3
dx = x + x + C . 5 3
Câu 15: Họ nguyên hàm của hàm số ( ) x
f x = e − 2x là. A. x 2
e + x + C . B. x 2
e − x + C . C. 1 x 2
e − x + C . D. x e − 2 + C . x +1 Lời giải
Ta có: ∫( xe − x) x 2
2 dx = e − x + C
Câu 16: Họ các nguyên hàm của hàm số y = cos x + x là A. 1 2
sin x + x + C . B. 2
sin x + x + C . C. 1 2
−sin x + x + C . D. 2
−sin x + x + C . 2 2 Lời giải ∫(cos x + x) 1 2
dx = sin x + x + C . 2
Câu 17: Họ nguyên hàm của hàm số 2 1
y = x − 3x + là x 3 2 x 3 3 2 x 3 3 2 x 3 3 2 x 3x 1 A. x − − ln x + C. x x B. −
+ ln x + C. C. −
+ ln x + C. D. − + + C. 3 2 3 2 3 2 2 3 2 x Lời giải Page 4
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Ta có: 3 2 2 1 x 3 ( − 3 + )d x x x x = − + ln x + C. ∫ x 3 2
Câu 18: Họ nguyên hàm của hàm số f (x) 1 = + sin x là x A. ln x 1
− cos x + C . B. −
− cos x + C .
C. ln x + cos x + C . D. ln x − cos x + C . 2 x Lời giải Ta có f ∫ (x) 1 1 dx = + sin x dx = dx + sin d
x x = ln x − cos x + ∫ C ∫ ∫ . x x
Câu 19: Hàm số F (x) 1 3
= x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây trên ( ; −∞ +∞) ? 3 A. f (x) 2 = 3x . B. ( ) 3 f x = x . C. ( ) 2 f x = x .
D. f (x) 1 4 = x . 4 Lời giải Gọi F (x) 1 3 = x f x .
3 là một nguyên hàm của hàm số ( )
Suy ra F (x) = f (x) ⇒ f (x) 2 ' = x . 4 x + 2
Câu 20: Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = . 2 x 3 x 1 3 x 2 A. f
∫ (x)dx = − +C . B. f
∫ (x)dx = + +C. 3 x 3 x 3 3 C. f ∫ (x) x 1 dx = + + C x 2 . D. f
∫ (x)dx = − +C . 3 x 3 x Lời giải 4 3 x + 2 2 x 2 Ta có: f ∫ (x) 2 dx = dx = x + dx = − + ∫ ∫ C . 2 2 x x 3 x Câu 21: Tính 2
F(x) = e dx ∫
, trong đó e là hằng số và e ≈ 2,718. 2 2 3 A. ( ) e x F x = + C e .
B. F(x) = + C . C. 2
F(x) = e x + C . D. F(x) = 2ex + C . 2 3 Lời giải Ta có: 2 2
F(x) = e dx = e x + C ∫ .
Câu 22: Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) 1 = trên 1 ; −∞ . 1− 2x 2
A. 1 ln 2x −1 + C .
B. 1 ln (1− 2x) + C . C. 1
− ln 2x −1 + C . D. ln 2x −1 + C . 2 2 2 Lời giải Page 5
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Trên khoảng 1 ; −∞ 1 1 1 1 , ta có: f ∫ (x)dx = dx = −
d 1− 2x = − ln 2x −1 + C . 2 ∫ ∫ ( ) 1− 2x 2 1− 2x 2
Câu 23: Nguyên hàm của hàm số ( ) = 2x f x + x là x 2 2 x 2x 2 A. + + C + x + C 2x x + + C ln 2 2 . B. 2
2x + x + C . C. 2 ln 2 . D. 2 . Lời giải 2x x 1 Ta có ∫(2 + x) 2 dx = + x + C . ln 2 2
Câu 24: Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =1+ sin x
A. 1+ cos x + C .
B. 1− cos x + C .
C. x + cos x + C .
D. x − cos x + C . Lời giải Ta có f
∫ (x)dx = ∫(1+sin x)dx = x−cos x+C.
Câu 25: Nguyên hàm của hàm số 1 f (x) = 3 2
x − 2x + x − 2022 là 3 1 2 4 2 2 1 2 A. 3 x x − x + + C x . B. 4 3 x − x + − 2022x + C . 12 3 2 9 3 2 2 2 C. 1 4 2 3 x x − x + − 2022x + C 1 2 . D. 4 3 x x + x − − 2022x + C . 12 3 2 9 3 2 Lời giải n 1 +
Sử dụng công thức n x x dx = + C ∫ ta được: n +1 4 3 2 1 3 2 1 x x x 1 4 2 3 1 2
x − 2x + x − 2022 dx = . − 2. + − 2022x + C =
x − x + x − 2022x + ∫ C. 3 3 4 3 2 12 3 2
Câu 26: Họ nguyên hàm của hàm số 1 f (x) = trên khoảng 1 ; −∞ là: 3x −1 3
A. 1 ln(3x −1) + C
B. ln(1− 3x) + C
C. 1 ln(1− 3x) + C
D. ln(3x−1) + C 3 3 Lời giải Ta có: 1 1 d(3x −1) 1 1 dx =
= ln 3x −1 + C = ln(1− 3x) + C ∫ 3x ∫ −1 3 3x −1 3 3
Câu 27: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? 2x
A. 2xd = 2x x ln 2 + C ∫ . B. 2x e e dx = + C ∫ . 2 1 1 C. cos 2 d
x x = sin 2x + C ∫ . D.
dx = ln x +1 + C x ∀ ≠ − . 2 ∫ ( )1 x +1 Lời giải Chọn A Page 6
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN x 2x Ta có: 2 dx = + C ∫ . ln 2
Câu 28: Cho hàm số ( ) = 2x f x
+ x +1. Tìm f (x)dx ∫ . 1 x 1 A. f ∫ (x) x 2
dx = 2 + x + x + C . B. f ∫ (x) 2 dx =
2 + x + x + C ln 2 2 . x 1 1 x 1 C. f ∫ (x) 2
dx = 2 + x + x + C f x dx =
+ x + x + C 2 . D. ∫ ( ) 2 2 x +1 2 . Lời giải x 1 x 1 Ta có: ∫( + x + ) 2 2 1 dx =
2 + x + x + C. ln 2 2 Câu 29: Hàm số ( ) 2 x
F x = e là nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau: 2 x A. 2 ( ) = 2 x f x xe . B. 2 2 ( ) x
f x = x e −1. C. 2 ( ) x f x = e . D. ( ) e f x = . 2x Lời giải Chọn A
Ta có f (x) = F′(x) ⇒ ( ) = ( 2x )′ 2 = 2 x f x e xe .
Câu 30: Tất cả các nguyên hàm của hàm số ( ) 3 x f x − = là − x − x A. 3 − + C B. 3−x − + C
C. 3−x ln 3+ C D. 3 + C ln 3 ln 3 Lời giải Chọn A − − x − x 3 x
Ta có f (x)dx = 3 dx = − 3 d(−x) = − + C ∫ ∫ ∫ . ln 3
Câu 31: Họ nguyên hàm của hàm số f (x) 3 2
= x + x là 4 3 4 3
A. x + x + C . B. x x 4 3
x + x + C . C. 2
3x + 2x + C . D. + + C 4 3 3 4 Lời giải Chọn A ( ) = ( + ) 4 3 3 2 d = + + ∫ ∫ x x f x dx x x x C . 4 3
Câu 32: Hàm số nào trong các hàm số sau đây không là nguyên hàm của hàm số 2019 y = x ? 2020 2020 2020 A. x +1. B. x . C. 2018 y = 2019x . D. x −1. 2020 2020 2020 Lời giải Page 7
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 2020 x Ta có: 2019 x dx = + C, C ∫
là hằng số. Nên các phương án A, B, D đều là nguyên hàm của 2020 hàm số 2019 y = x . − x
Câu 33: Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) x 2018 = 2017 e f x e − . 5 x A. ∫ ( ) 2018 d = 2017 x f x x e − + C . B. ∫ ( ) 2018 d = 2017 x f x x e + + C . 4 x 4 x C. ∫ ( ) 504,5 d = 2017 x f x x e + + C . D. ∫ ( ) 504,5 d = 2017 x f x x e − + C . 4 x 4 x Lời giải − x f ∫ (x) x 2018e x 2018 x 504,5 dx = e ∫ 2017− d
x = ∫2017e − d x = 2017e + + C 5 5 4 x x x − x
Câu 34: Họ nguyên hàm của hàm số x = 2 e y e + là 2 cos x A. 2 x
e + tan x + C B. 2 x
e − tan x + C C. x 1 2e − + C D. x 1 2e + + C cos x cos x Lời giải − x Ta có: x e x 1 y = e 2 + = 2e + 2 2 cos x cos x x 1 2 = + = 2 x ydx e dx e + tan x + ∫ ∫ C . 2 cos x
Câu 35: họ nguyên hàm của hàm số f (x) 1 = là: 5x + 4
A. 1 ln (5x + 4) + C .
B. ln 5x + 4 + C .
C. 1 ln 5x + 4 + C . D. 1 ln 5x + 4 + C . 5 ln 5 5 Lời giải Ta có 1 1 1 x = ∫ ∫ ( x + ) 1 d d 5
4 = ln 5x + 4 + C . 5x + 4 5 5x + 4 5
Câu 36: Cho F (x) là một nguyên hàm của f (x) 1 =
trên khoảng (1;+∞) thỏa mãn F (e + ) 1 = 4 Tìm x −1 F (x) . A. 2ln (x − ) 1 + 2 B. ln (x − ) 1 + 3 C. 4ln (x − ) 1 D. ln (x − ) 1 − 3 Lời giải Chọn B F (x) = 1 = + = ln −1 + ∫ dx C x C x −1 F (e + )
1 = 4 . Ta có 1+ C = 4 ⇒ C = 3 Page 8
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 37: Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) 1 = , biết F ( )
1 = 2. Giá trị của F (0) bằng x − 2 A. 2 + ln 2. B. ln 2. C. 2 + ln ( 2 − ). D. ln ( 2 − ). Lờigiải Cách 1: Ta có: f ∫ (x) 1 dx =
dx = ln x − 2 + C, C ∈ ∫ . x − 2
Giả sử F (x) = ln x − 2 + C là một nguyên hàm của hàm số đã cho thỏa mãn F ( ) 1 = 2 . 0 Do F ( )
1 = 2 ⇒ C = 2 ⇒ F x = ln x − 2 + 2 F 0 = 2 + ln 2. 0 ( ) .Vậy ( )
Câu 38: Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm f (x) 1 =
; biết F (0) = 2. Tính F ( ) 1 . 2x +1 A. F 1
1 ln3 2 . B. F 1 ln3 2 . C. F
1 2ln3 2 . D. F 1 1 ln3 2 . 2 2 Lời giải Chọn D Ta có F x 1 1
dx ln 2x 1 C 2x 1 2 Do F 1
0 2 ln 2.0 1 C 2 C 2 2
Vậy F x 1
x F 1 ln 2 1 2 1 ln 3 2 . 2 2
Câu 39: Cho hàm số f (x) xác định trên R \{ }
1 thỏa mãn f ′(x) 1 =
, f (0) = 2017 , f (2) = 2018 . x −1
Tính S = f (3) − f (− ) 1 .
A. S = ln 4035 . B. S = 4 . C. S = ln 2 . D. S =1. Lời giải
Trên khoảng (1;+∞) ta có f ∫ (x) 1 ' dx = dx ∫ = ln (x − )
1 + C ⇒ f (x) = ln (x − ) 1 + C . x −1 1 1
Mà f (2) = 2018 ⇒ C = 2018. 1 Trên khoảng( ) ;1 −∞ ta có f ∫ (x) 1 ' dx = dx ∫
= ln (1− x) + C ⇒ f (x) = ln (1− x) + C . x −1 2 2
Mà f (0) = 2017 ⇒ C = 2017 . 2 x − + x > Vậy f (x) ln( 1) 2018 khi 1 =
. Suy ra f (3) − f (− ) 1 =1.
ln(1− x) + 2017 khi x < 1 Page 9
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 40: Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số ( ) 2x
f x = e và F (0) = 0 . Giá trị của F (ln3) bằng A. 2. B. 6. C. 8. D. 4. Lời giải F (x) 2x 1 2x
= e x = e + C F ( ) 1
= ⇒ C = − ⇒ F ( x) 1 2x 1 d ; 0 0 = e − ∫ . 2 2 2 2 Khi đó F ( ) 1 2ln3 1 ln 3 = e − = 4 . 2 2 1
Câu 41: Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số 2x e và F ( ) 201 0 =
⋅ Giá trị F là 2 2
A. 1 e + 200
B. 2e +100
C. 1 e + 50
D. 1 e +100 2 2 2 Lời giải Chọn D x 1 Ta có 2 2 d x
e x = ⋅e + C ∫ . 2 201 1 201
Theo đề ra ta được: F (0) 0 = ⇔ ⋅e + C = ⇔ C =100 . 2 2 2 1 1 x 1 1 ⋅ 1 Vậy 2 2 2
F(x) = e +100 ⇒ F = e +100 = e + 100 . 2 2 2 2
Câu 42: Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên và: ′( ) 2 = 2e x f x +1, x
∀ , f (0) = 2. Hàm f (x) là A. = 2ex y + 2x . B. 2ex y = + 2 . C. 2 = e x y + x + 2 . D. 2 = e x y + x +1. Lời giải Ta có: f ′ ∫ (x)dx = ( 2 2e x + ∫ )1dx 2
= e x + x + C . Suy ra ( ) 2 = e x f x + x + C .
Theo bài ra ta có: f (0) = 2 ⇒1+ C = 2 ⇔ C =1. Vậy: ( ) 2 = e x f x + x +1.
Câu 43: Cho hàm số ( ) = 2 x f x
x + e . Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) thỏa mãn F (0) = 2019. A. ( ) 2 = + x F x x e + 2018. B. ( ) 2 = + x F x x e − 2018. C. ( ) 2 = + x F x x e + 2017 . D. ( ) = x F x e − 2019 . Lời giải Ta có ( ) = ( + ) 2 2 = + + ∫ ∫ x x f x dx x e dx x e C .
Có F (x) là một nguyên hàm của f (x) và F (0) = 2019. Page 10
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ( ) 2 = + x F x x e + C Suy ra
⇒1+ C = 2019 ⇔ C = 2018. F (0) = 2019 Vậy ( ) 2 = + x F x x e + 2018.
Câu 44: Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số ( ) 2x
f x = , thỏa mãn F ( ) 1 0 = . Tính giá trị biểu ln 2
thức T = F (0) + F ( )
1 +...+ F (2018) + F (2019) . 2019 2019 2020 A. 2 +1 T =1009. . B. 2019.2020 T 2 1 2 1 = 2 . C. T − = . D. T − = . ln 2 ln 2 ln 2 Lời giải x Ta có f ∫ (x) x 2 dx = 2 dx = + C ∫ ln 2 x
F (x) là một nguyên hàm của hàm số ( ) 2x
f x = , ta có F (x) 2 = + C mà F ( ) 1 0 = ln 2 ln 2 x
⇒ C = ⇒ F (x) 2 0 = . ln 2
T = F (0) + F ( )
1 +...+ F (2018) + F (2019) 1 2020 − 2020 − = ( 2 2018 2019 1+ 2 + 2 +...+ 2 + 2 ) 1 2 1 = . 2 1 = ln 2 ln 2 2 −1 ln 2
Câu 45: Cho hàm số f (x) thỏa mãn f ′(x) = 2 −5sin x và f (0) =10. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. f (x) = 2x + 5cos x + 3 .
B. f (x) = 2x −5cos x +15 .
C. f (x) = 2x + 5cos x + 5 .
D. f (x) = 2x −5cos x +10 . Lời giải
Ta có: f (x) = f ′
∫ (x)dx =∫(2−5sin x)dx= 2x+5cos x+C .
Mà f (0) =10 nên 5+ C =10 ⇒ C = 5 .
Vậy f (x) = 2x + 5cos x + 5 . π π
Câu 46: Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm f (x) = cos3x và 2 F = . Tính F . 2 3 9 A. π 3 + 2 π π π F − + − = B. 3 2 F = C. 3 6 F = D. 3 6 F = 9 6 9 6 9 6 9 6 Lời giải ( ) sin 3 = cos3 d x F x x x = + C ∫ 3 Page 11
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN π π 2 sin π F = x 3 3 + 6
⇒ C =1 ⇒ F (x) sin 3 = +1 ⇒ F = + 1 = . 2 3 3 9 3 6 π
Câu 47: Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) 1 = . Biết F + kπ =
k với mọi k ∈ 2 cos x 4
. Tính F (0) + F (π ) + F ( π 2 ) +...+ F (10π ) . A. 55. B. 44. C. 45. D. 0. Lời giải Ta có ∫ ( ) d d x f x x = = tan x + C ∫ . 2 cos x π π π
tan x C , x ; F 0π + ∈ − + =
1+ C = 0 ⇒ C = 1 − 0 0 0 2 2 4 π 3π π
tan x C , x ; F π + ∈ + =
1+ C =1⇒ C = 0 1 1 1 2 2 4 3π 5π π
tan x C , x ; F 2π + ∈ + =
1+ C = 2 ⇒ C = 1 Suy ra F (x) 2 = 2 2 ⇒ 4 2 0 ... ... 17π 19π π
tan x C , x ; + ∈ F
+ 9π =1+ C = 9 ⇒ C = 8 9 2 2 9 9 4 19π 21π π
tan x C , x ; + ∈ F + 10π =
1+ C = 10 ⇒ C = 9. 10 2 2 10 10 4
Vậy F (0) + F (π ) + F ( π
2 ) +...+ F (10π ) = tan 0 −1+ tanπ + tan 2π +1+...+ tan10π + 9 = 44.
Câu 48: Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số ( ) 2x
f x = , thỏa mãn F ( ) 1 0 = . Tính giá trị biểu ln 2
thức T = F (0) + F ( )
1 + F (2) +...+ F (2019) . 2020 2019 2019 A. 2 1 T − − = . B. 2 1 T =1009. . C. 2019.2020 T 2 1 = 2 . D. T − = . ln 2 2 ln 2 Lời giải Chọn A x Ta có: F (x) x 2 = 2 dx = + C ∫ . ln 2 0 x
Theo giả thiết F ( ) 1 2 1 0 = ⇔ + C =
⇔ C = 0 . Suy ra: F (x) 2 = ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 0 1 2 2019
Vậy T = F ( ) + F ( ) + F ( ) + + F ( ) 2 2 2 2 0 1 2 ... 2019 = + + + ...+ ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 1 = ( + + + + ) 2020 2020 0 1 2 2019 1 1− 2 2 −1 2 2 2 ... 2 = .1. = . ln 2 ln 2 1− 2 ln 2
DẠNG 2. TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Page 12
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN “ Nếu f
∫ (x)dx = F (x)+C thì f
∫ (u(x)).u'(x)dx = F (u(x))+C”.
Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I = f
∫ (x)dx, trong đó ta có thể phân tích
f (x) = g (u(x))u '(x)dx thì ta thức hiện phép đổi biến số t = u(x)
⇒ dt = u '(x)dx . Khi đó: I = g
∫ (t)dt = G(t)+C = G(u(x))+C
Chú ý: Sau khi ta tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay t = u (x)
1. Đổi biến số với một số hàm thường gặp b ( + )n f ax b xdx PP
→t = ax + . b ∫
f (x) f (′x)d PP n n
x →t = f (x). ∫ a b 1 b f (ln x) d PP
x →t = ln . x ∫
f ( x e ) x e d PP x
x →t = e . x ∫ a a b b
f (sin x)cos xd PP
x →t = sin .x ∫
f (cos x)sin xd PP
x →t = cos . x ∫ a a b 1 b f (tan x) d PP
x →t = tan .x ∫
f (sin x ± cos x).(sin x ± cos x)dx ⇒ t = sin x ± cos .x 2 cos x ∫ a a β β 2 2 2 ( − ) n f a x x d PP
x → x = asin t. ∫ ∫ ( 2 2 m + ) 2 ( ) n f x a x d PP
x → x = a tan t. α α β ± β a x f ∫ x d PP
x → x = a cos 2t. d
⇒ t = ax + b + cx + d . ∫ α a x α
(ax + b)(cx + d) β β x 1 s + ,., ks + d n R ax b
ax b x ⇒ t = ax + . b ∫ PP d 1 → x = ⋅ ∫ n n n α a + bx a + bx t α ( )
2. Đổi biến số với hàm ẩn
Nhận dạng tương đối: Đề cho f (x), yêu cầu tính f (≠ x) hoặc đề cho f (≠ x), yêu cầu tính f (x).
Phương pháp: Đặt t = (≠ x).
Lưu ý: Đổi biến nhớ đổi cận và ở trên đã sử dụng tính chất: “Tích phân không phụ thuộc b b b
vào biến số, mà chỉ phụ thuộc vào hai cận”, nghĩa là f (u)du = f (t)dt = ⋅⋅⋅ = f (x)dx = ⋅⋅⋅ ∫ ∫ ∫ a a a
Câu 49: Biết f ∫ ( x) 2
2 dx = sin x + ln x + C . Tìm nguyên hàm f (x)dx ∫ ? A. ∫ ( ) 2 d = sin x f x x + ln x + C . B. f ∫ (x) 2
dx = 2sin 2x + 2ln x + C . 2 Page 13
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN C. ∫ ( ) 2 d = 2sin x f x x + 2ln x + C . D. f ∫ (x) 2
dx = 2sin x + 2ln x + C . 2 Lời giải Chọn C Ta có: ∫ ( ) 2 1 = + + ⇔ ∫ ( ) ( ) 1−cos2 2 d sin ln 2 d 2 x f x x x x C f x x =
+ ln (2x) − ln 2 + C 2 2 ⇔ f
∫ (2x)d(2x) =1−cos2x+ 2ln(2x)−2ln2+ 2C ⇔ ∫ ( ) = − + − + ⇔ ∫ ( ) 2 d 1 cos 2ln 2ln 2 2 d = 2sin x f x x x x C f x x + 2ln x + C′. 2 Câu 50: Cho 2
f (4x)dx = x + 3x + c ∫
. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 A. ( + 2)d x f x x = + 2x + C ∫ . B. 2
f (x + 2)dx = x + 7x + C ∫ . 4 C. 2 ( + 2) d x f x x = + 4x + C ∫ . D. 2 ( + 2) d x f x x = + 4x + C 4 ∫ . 2 Lời giải Chọn C
Từ giả thiết bài toán 2
f (4x) dx = x + 3x + c ∫ . 2 2
Đặt t = 4x ⇒ dt = 4dx từ đó ta có 1 ( )d t 3 t = + + ⇒ ( )d t f t t c f t t = + 3t + ∫ c 4 ∫ . 4 4 4 Xét 2 2 (x + 2) ( + 2)d = ( + 2)d( + 2) = + 3( + 2) x f x x f x x x + c = + 4x + C ∫ ∫ . 4 4 Vậy mệnh đề đúng là 2 ( + 2)d x f x x = + 4x + C ∫ . 4 Câu 51: Cho f ∫ (x) 3
dx = 4x + 2x + C . Tính I = xf
∫ ( 2x)dx. 0 10 6 x x A. 6 2
I = 2x + x + C . B. I = + + C . 10 6 C. 6 2
I = 4x + 2x + C . D. 2
I = 12x + 2 . Lời giải Chọn A 1 1 3 Ta có: I = xf
∫ ( 2x)dx = f∫ ( 2x) 2
dx = (4( 2x) + 2( 2x)) 6 2
+ C = 2x + x + C . 2 2
Câu 52: Tìm họ nguyên hàm của hàm số ( ) 3 2 1 .e + = x f x x . 3 x A. f (x) 3 1 dx .e + = + ∫ x C 3 . B. ( ) 3 1 d 3e + = + ∫ x f x x C . C. ( ) 3 1 d e + = + ∫ x f x x C . D. ( ) 1 3 1 d e + = + ∫ x f x x C . 3 Lời giải Page 14
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ( )d ∫ f x x 3 2 1 e + = d ∫ x x x 1 3 1 e + = d ( 3 + ∫ x x )1 1 3x 1 e + = + C . 3 3
Câu 53: Nguyên hàm của ( ) 2 sin = sin 2 . x f x x e là 2 + 2 − 2 sin x 1 e 2 sin x 1 e A. 2 sin 1 sin . x x e − +C . B. + C . C. sin x e +C . D. + C . 2 sin x +1 2 sin x −1 Lời giải Ta có 2 sin sin 2 . x x e dx ∫ 2 sin x = e d ∫ ( 2 sin x) 2 sin x = e + C
Câu 54: Tìm tất cả các họ nguyên hàm của hàm số f (x) 1 = 9 5 x + 3x 4 4 A. ∫ ( ) 1 1 x = − + ln x f x d + C B. ∫ ( ) 1 1 x = − − ln x f x d + C 4 4 3x 36 x + 3 4 4 12x 36 x + 3 4 4 C. ∫ ( ) 1 1 x = − − ln x f x d + C D. ∫ ( ) 1 1 x = − + ln x f x d + C 4 4 3x 36 x + 3 4 4 12x 36 x + 3 Lời giải Chọn A 1 x 1 dx 1 ( 4 x + 3) 4 3 4 − f ∫ (x) x 4 dx = dx = dx = = dx ∫ 9 5 x ∫ ∫ ∫ + 3x ( 4x)2 ( 4x +3)
4 ( 4x)2 ( 4x +3) 12 ( 4x)2 ( 4x +3) 4 4 4 1 dx 1 dx 1 1 x = − = − − ∫ ∫ + C 12 (x ) ln 2 4 12 x ( 4 4 x + 3) 4 4 12x 36 x + 3 F (x) 3 x F (0) =
Câu 55: Tìm hàm số biết F (x) = dx ∫ 1 4 và . x +1
A. F (x) = ( 4 ln x + )
1 +1. B. F (x) 1 = ( 4x + ) 3 ln 1 + . 4 4
C. F (x) 1 = ln ( 4 x + ) 1 +1.
D. F (x) = ( 4 4ln x + ) 1 +1. 4 Lời giải Chọn C Ta có: F (x) 1 1 = ∫ ( 4x + ) 1 d 1 = ln ( 4 x +1 + C . 4 ) 4 x +1 4
Do F (0) =1 nên 1 ln(0 + )
1 + C =1 ⇔ C =1. 4 Vậy: F (x) 1 = ln ( 4 x + ) 1 +1. 4 ( − )2017 1 1 −1 b x x Câu 56: Biết dx . = + ∫ C , x ≠ 1 − a b ∗ ∈ ( với ,
. Mệnh đề nào sau đây đúng? x + )2019 1 a x +1
A. a = 2b .
B. b = 2a .
C. a = 2018b .
D. b = 2018a . Page 15
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Lời giải Ta có: (x − )2017 2017 2017 2018 1 x −1 1 1 x −1 x −1 1 x −1 dx . dx d . = = = + ∫ ∫ ∫ C ( . x + )2019 1 x +1 (x + )2 1 2 x +1
x +1 4036 x +1
⇒ a = 4036, b = 2018
Do đó: a = 2b . 2017x
Câu 57: Biết rằng F (x) là một nguyên hàm trên của hàm số f (x) = ( thỏa mãn F ( ) 1 = 0 . x + )2018 2 1
Tìm giá trị nhỏ nhất m của F (x) . 2017 1 2 2017 1 2 A. 1 m = − . B. m − = . C. m + = . D. 1 m = . 2 2018 2 2018 2 2 Lời giải 2017x − 2017 ( x + ) 2017 2 Ta có f ∫ (x)dx = ∫ 2017 2018 − 1 ( =
( 2x + )1 d ( 2x + ∫ )1 = . + C x + ) dx 2018 2 1 2 2 2017 − 1 = −
+ C = F (x) 2(x + )2017 2 1 Mà F ( ) 1 = 0 1 1 ⇒ − + C = 0 ⇒ C = 2017 2018 2.2 2 1 1
Do đó F (x) = − + suy ra 2.(x + )2017 2018 2 1 2 1
F (x) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi lớn nhất ⇔ ( 2 x + )
1 nhỏ nhất ⇔ x = 0 2(x + )2017 2 1 2017 1 1 1 2 Vậy m − = − + = 2018 2018 2 2 2 .
Câu 58: Cho F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x) 1 =
và F (0) = −ln 2e . Tập nghiệm S của x e +1
phương trình ( ) + ln( x F x e + ) 1 = 2 là: A. S = { } 3 B. S = {2; } 3 C. S = { 2; − } 3 D. S = { 3 − ; } 3 Lời giải Chọn A x Ta có ( ) ∫ ( ) dx = = = ∫ ∫1 e F x f x dx −
dx = x − ln ( x e + + C x x )1 e +1 e +1 Page 16
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
F (0) = −ln 2 + C = −ln 2e ⇒ C = 1 − : ( ) + ln ( x + )
1 = 2 ⇔ − ln ( x + ) 1 −1+ ln ( x PT F x e x e e + ) 1 = 2 ⇔ x = 3 .
Câu 59: Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x (x + )2019 3 2 1 là 2021 2020 2 2 1 (x )2021 (x )2020 2 2 1 1 + + (x + )1 (x + )1 A. − . B. − . 2 2021 2020 2021 2020 ( 2021 2020 x + )2021 1 (x + )2020 2 2 1 ( 2 x ) ( 2 1 x )1 + + C. 1 − + C . D. − + C . 2021 2020 2 2021 2020 Lời giải
Xét f (x) x = x (x + )2019 x= x (x + ∫ ∫ ∫ )2019 3 2 2 2 d 1 d 1 x dx . Đổi biến 2
t = x +1 ⇒ dt =2xdx , ta có: f ( x) 1
x = ∫(t − ) 2019 1 d 1 t dt = ∫( 2020 2019 t − t )dt= ∫ 2 2 1 t t 1 (x )2021 (x )2020 2 2 2021 2020 1 1 + + = − + C = − + C . 2 2021 2020 2 2021 2020 ( ) 1+ ln x f x =
Câu 60: Nguyên hàm của . x ln x là:
A. 1+ ln xdx + = ln ln x + C ∫ . B. 1 ln x 2
dx = ln x .ln x + C . x ln x ∫ . . x ln x
C. 1+ ln xdx +
= ln x + ln x + C ∫ .
D. 1 ln xdx = ln .xln x + C . x ln x ∫ . . x ln x Lời giải Ta có = ∫ ( ) 1+ ln d x I f x x = dx ∫ . . x ln x
Đặt xln x = t ⇒ (ln x + )
1 dx = dt . Khi đó ta có 1+ ln x I = dx ∫ 1 = dt =
+ = ln .xln x + C . . x ln x ∫ ln t C t
Câu 61: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) 3 2 x 1 x e + = A. ∫ ( ) 3 1 d x f x x e + = + C . B. ∫ ( ) 3 1 d 3 x f x x e + = + C . 3 x C. f ∫ (x) 1 3x 1 dx e + = + C . D. f ∫ (x) 3 x 1 dx e + = + C . 3 3 Lời giải Đặt 3 2
t = x +1⇒ dt = 3x dx Do đó, ta có f ∫ (x) 3 x + t 1 1 t 1 3 2 1 x 1 dx x e dx e . dt e C e + = = = + = + C ∫ ∫ 3 3 3 . 1 Vậy f ∫ (x) 3 x 1 dx e + = + C 3 . Page 17
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 62: Nguyên hàm của hàm số f (x) 3 = 3x +1 là A. f
∫ (x) x = ( x+ ) 3 d
3 1 3x +1 + C . B. f ∫ (x) 3
dx = 3x +1 + C . C. f ∫ (x) 1 3 dx =
3x +1 + C . D. f ∫ (x) 1 dx = (3x + ) 3 1 3x +1 + C . 3 4 Lời giải 1 Ta có f (x) 1 dx = (3x + ) 1 3 1 d(3x + ∫ ∫ )1 = (3x + ) 3
1 3x +1 + C . 3 4
Câu 63: Nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x + 2 là
A. 2 (3x + 2) 3x + 2 + C
B. 1 (3x + 2) 3x + 2 + C 3 3
C. 2 (3x + 2) 3x + 2 + C D. 3 1 + C 9 2 3x + 2 Lời giải Chọn C 1 1 3x + 2 + Do 3x + 2dx = ∫
∫(3x+ 2) d(3x+ 2) ( )1 1 1 2 2 2 =
+ C = (3x + 2) 3x + 2 + C 1 3 3 1 + 9 2
Câu 64: Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x +1 là A. 1 − (2x + ) 1 2x +1 + C .
B. 1 2x +1 + C . 3 2 C. 2 (2x + ) 1 2x +1 + C . D. 1 (2x + ) 1 2x +1 + C . 3 3 Lời giải Đặt 1
t = 2x +1 ⇒ dt =
dx ⇒ tdt = dx 2x +1 3 ⇒ f ∫ (x) 2 t 1
dx = 2x +1dx = t dx = + C = ∫ ∫
(2x + )1 2x +1+C . 3 3
Câu 65: Cho hàm số f (x) x ln 2 = 2 .
. Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số f (x) ? x A. ( ) = 2 x F x + C B. ( ) = 2(2 x F x − ) 1 + C C. ( ) = 2(2 x F x + ) 1 + C D. ( ) 1 2 x F x + = + C Lời giải Chọn A
Ta có F (x) = f ∫ (x)dx x ln 2 = 2 . dx ∫ x ln 2 = 2 . dx ∫ . x x Page 18
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Đặt 1
u = x ⇒ du = dx . 2 x u Vậy ( ) = 2ln 2. 2u F x .du ∫ 2 = 2ln 2. + C 1 2 x+ = + C . ln 2
Phương án B: F (x) x 1 2 + = − 2 + C thỏa.
Phương án C: F (x) x 1 2 + = + 2 + C thỏa.
Câu 66: Khi tính nguyên hàm x − 3 dx ∫
, bằng cách đặt u = x +1 ta được nguyên hàm nào? x +1 A. ∫ ( 2 2 u − 4)du .
B. ∫( 2u − 4)du.
C. ∫( 2u − 3)du . D. u ∫ ( 2 2 u − 4)du . Lời giải Chọn A Đặt u = x +1 2
⇒ x = u −1 ⇒ d x = 2udu . 2 Khi đó x − 3 dx ∫
trở thành u − 4 .2udu = 2 ∫
∫ ( 2u −4)du . x +1 u
Câu 67: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) 1 = . 2 2x +1 A. f ∫ (x) 1 dx = 2x +1 + C . B. f
∫ (x)dx = 2x+1+C . 2 C. f
∫ (x)dx = 2 2x+1+C . D. f ∫ (x) 1 dx = + ( C . 2x + ) 1 2x +1 Lời giải Đặt 2x +1 = t 2
⇒ 2x +1 = t ⇒ dx = tdt .
Khi đó ta có 1 2x +1dx ∫ 1 tdt = 1 = dt = t + C 1 = 2x +1 + C 2 2 ∫ = t 2 ∫ 1 2 2 .
Câu 68: Nguyên hàm của hàm số f (x) = ( 2
ln x + x +1) là
A. F (x) = x ( 2 x + x + ) 2 ln 1 + x +1 + C .
B. F (x) = x ( 2 x + x + ) 2 ln
1 − x +1 + C .
C. F (x) = x ( 2
ln x + x +1)+C . D. F (x) 2 = x ( 2
ln x + x +1)+C . Lời giải ( 2 x + x +1)( 2 x − x +1) Đặt 2
t = x + x +1 ⇔ t − = = 1 ⇒ 1 2 = x +1 − x . 2 x − x +1 2 x − x +1 t 1 t 1 1 − = 2x ⇒ dx 1 1 = + ; 2 t + = 2 x +1 t 2 2 t t Page 19
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN f
∫ (x)dx = ∫ ( 2
ln x + x +1)dx = 1 1 1 + ∫ 1 1 ln tdt = 1+ lnt.dt = ∫ I . 2 2 t 2 2 t
Đặt u = ln t → 1 du = dt t 1 dv 1 = + dt → 1 v = t − ; 2 t t 1 1 1 1 1 I t ln t t = − − − 1 1 1 1 ∫ dt = t − ln t − 1− ∫ dt = 1 1 1 1 t − ln t − t + + C 2 t 2 t t 2 2 t 2 t 2 t 2 t = x ( 2 x + x + ) 2 ln
1 − x +1 + C . 2
Câu 69: Biết rằng trên khoảng 3 ; + ∞ 20x − 30x + 7
, hàm số f (x) = có một nguyên hàm 2 2x − 3 F (x) = ( 2
ax + bx + c) 2x −3 (a,b,c là các số nguyên). Tổng S = a + b + c bằng A. 4 . B. 3. C. 5. D. 6 . Lời giải Đặt 2
t = 2x − 3 ⇒ t = 2x − 3 ⇒ dx = tdt 2 2 2 t + 3 t + 3 20 − 30 + 7 2
Khi đó 20x − 30x + 7 2 2 dx ∫ = tdt ∫ = ∫( 4 2
5t +15t + 7)dt 2x − 3 t 5 3
= t + 5t + 7t + C = ( x − )5 + ( x − )3 2 3 5 2
3 + 7 2x − 3 + C = ( x − )2 2 3
2x − 3 + 5(2x −3) 2x −3 + 7 2x −3 + C = ( 2 4x − 2x + ) 1 2x − 3 + C
Vậy F (x) = ( 2 4x − 2x + )
1 2x − 3 . Suy ra S = a + b + c = 3.
Câu 70: Tìm nguyên hàm của hàm số sin ( ) x f x = . 1+ 3cos x A. 1
f (x)dx = ln 1+ 3cos x + C ∫ .
B. f (x)dx = ln 1+ 3cos x + C 3 ∫ .
C. f (x)dx = 3ln 1+ 3cos x + C ∫ . D. 1
f (x)dx = − ln 1+ 3cos x + C ∫ . 3 Lời giải Ta có: sin x 1 1 x = − ∫ ∫ ( + x) 1 d
d 1 3cos = − ln 1+ 3cos x + C . 1+ 3cos x 3 1+ 3cos x 3
Câu 71: Tìm các hàm số f (x) biết ' cos ( ) x f x = . 2 (2 + sin x) sin 1 A. ( ) x f x = + C .
B. f (x) = + C . 2 (2 + sin x) (2 + cos x) Page 20
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN C. 1 f (x) = − + C . D. sin ( ) x f x = + C . 2 + sin x 2 + sin x Lời giải Ta có ' cos x d(2 + sin x) 1
f (x) = f (x)dx = dx = = − + C ∫ ∫ 2 ∫ . 2 (2 + sin x) (2 + sin x) 2 + sin x
Câu 72: Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số sin ( ) x π f x = và F =
2 .Tính F (0). 1+ 3cos x 2 A. 1
F(0) = − ln 2 + 2 . B. 2
F(0) = − ln 2 + 2. C. 2
F(0) = − ln 2 − 2 . D. 1 F(0 = − ln 2 − 2. 3 3 3 3 Lời giải Ta có sin d ( ) x x F x = ∫ d(cos x) = −
= − ln cosx + + C . 1 ∫ 1 3 1 + 3cos x 3cos x +1 3 mà π 1 π F ln 3cos = − +1 + C = 2 ⇒ C 2 = . 2 3 2 Do đó, F ( ) 1 = − ln cos( ) 1 2 0 3 0 +1 + 2 = − ln4 + 2 = − ln2 + 2. 3 3 3 Vậy F ( ) 2 0 = − ln2 + 2 . 3
Câu 73: Biết f
∫ (x)dx = 3xcos(2x−5)+C . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau. A. f
∫ (3x)dx = 3xcos(6x−5)+C B. f
∫ (3x)dx = 9xcos(6x−5)+C C. f
∫ (3x)dx = 9xcos(2x−5)+C D. f
∫ (3x)dx = 3xcos(2x−5)+C Lời giải Cách 2:
Đặt x = 3t ⇒ dx = 3dt . Khi đó: f
∫ (x)dx = 3xcos(2x−5)+C ⇔ 3 f
∫ (3t)dt = 3.(3t)cos(2.3t −5)+C ⇔ f
∫ (3t)dt = 3tcos(6t −5)+C ⇔ f
∫ (3x)dx = 3xcos(6x−5)+C .
Câu 74: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) 5 = tan x . A. f ∫ (x) 1 4 1 2
dx = tan x − tan x + ln cosx + C . 4 2 B. f ∫ (x) 1 4 1 2
dx = tan x + tan x − ln cosx + C . 4 2 C. f ∫ (x) 1 4 1 2
dx = tan x + tan x + ln cosx + C . 4 2 D. f ∫ (x) 1 4 1 2
dx = tan x − tan x − ln cosx + C . 4 2 Lời giải Page 21
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 5 = ∫ ( ) 5 sin d = tan d x I f x x x x = dx ∫ ∫ 5 cos x sin .xsin .sinx ( 2 1− os c x).( 2 2 2 1− os c x).sinx = dx = dx ∫ 5 ∫ 5 cos x cos x ( 2 1− t ).( 2 1− t ) 2 4 Đặt 1− 2t + t
t = cos x ⇒ dt = −sin d x x I = −dt = −dt ∫ 5 ( ) ∫ 5 ( ) t t 1 2 1 = − + − ∫ − − 1 1 dt = 5 3 4 − 2 t
− + 2t − dt = t − t− − ln t + ∫ C 5 3 t t t t 4 1 4 − 2 − 1 1 1
= cos x − cos x − ln cos x + C = . − − ln cos x + C 4 2 4 4 cos x cos x 1 = .(tan x + )2 2 1 − ( 2 tan x + )
1 − ln cos x + C 4 1 = ( 4 2
tan x + 2 tan x + ) 1 − ( 2 tan x + )
1 − ln cos x + C 4 1 4 1 2 1
= tan x − tan x − ln cos x + + C 4 2 4 1 4 1 2
= tan x − tan x − ln cos x + C . 4 2 π
Câu 75: Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) 3 = sin .
x cos x và F (0) = π . Tính F . 2 π π π π A. F = π − . B. F = π . C. 1 F = − +π . D. 1 F = +π . 2 2 2 4 2 4 Lời giải
Đặt t = sin x ⇒ dt = cos d x x . 4 4 F (x) = f ∫ (x)dx 3 = sin xcos d x x ∫ 3 = t dt ∫ t = + C sin x = + C . 4 4 4 sin π 4 sin x F (0) = π ⇒
+ C = π ⇔ C = π ⇒ F (x) = +π . 4 4 4 sin π π 2 1 F = = +π . 2 4 4
Câu 76: Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) 1 = thỏa mãn 1 F =
2 và F (e) = ln 2. x ln x e
Giá trị của biểu thức 1 F + F ( 2 e bằng 2 ) e A. 3ln 2 + 2. B. ln 2 + 2. C. ln 2 +1. D. 2ln 2 +1. Lời giải Chọn A Page 22
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN d(ln x) Ta có: 1 dx ∫ = ∫
= ln ln x + C , x > 0 , x ≠ 1. x ln x ln x
ln(ln x) + C khi 1 x > Nên: F (x) 1 = . ln
(− ln x) + C khi 0 < x < 1 2 Mà 1 F = 1 2 nên ln −ln + C =
2 ⇔ C = 2; F (e) = ln 2 nên ln(lne) + C = ln 2 ⇔ C = ln 2 e 2 e 2 1 1 .
ln(ln x) + ln 2 khi 1 x >
Suy ra F (x) = . ln
(− ln x) + 2 khi 0 < x < 1 Vậy 1 F + 1 F ( 2 e = ln −ln + 2 + ln( 2 lne + ln 2 = 3ln 2 + 2. 2 ) 2 ) e e
Câu 77: Gọi F (x) là nguyên hàm của hàm số ( ) = x f x
thỏa mãn F (2) = 0 . Khi đó phương trình 2 8 − x
F (x) = x có nghiệm là:
A. x = 0 . B. x =1. C. x = 1 − .
D. x =1− 3 . Lời giải Chọn D 1 Ta có: x 1 x ∫ ∫( 2 8 x )− = − − ( 2 d d 8 − x ) 2 2
= − 8 − x + C. 2 8 − x 2 Mặt khác: F (2) 2
= 0 ⇔ − 8 − 2 + C = 0 ⇔ C = 2. Nên F (x) 2
= − 8 − x + 2. F (x) 2 2
= x ⇔ − 8 − x + 2 = x ⇔ 8 − x = 2 − x x ≤ 2 2 − x ≥ 0 x ≤ 2 ⇔ ⇔ ⇔
x =1+ 3 ⇔ x =1− 3. 2 8 − x = (2− x)2 2 2
− x + 4x + 4 = 0 x =1− 3
Câu 78: Gọi F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x) 2x 1 = −
. Biết F (3) = 6, giá trị của F (8) là 2 x +1 x A. 217 . B. 27 . C. 215 . D. 215 . 8 24 8 Lời giải Chọn A 2x 1 2 x +1 − 2 Ta có: f ∫ (x) ( ) 1 dx = − ∫ dx = ∫ − dx 2 2 x +1 x x +1 x 1 1 = 2 x +1dx − 2 dx − ∫ ∫ dx ∫ 2 x +1 x Page 23
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
∫(x )1 d (x ) ∫(x ) 1− d (x ) 2 2 2 2 1 1 2 1 1 x− = + + − + + − dx ∫ (x + )32 4 1 1 =
− 4 x +1 + + C . 3 x x + Suy ra F (x) ( )32 4 1 1 =
− 4 x +1 + + C . 3 x + Mặt khác: F ( ) ( )32 4 3 1 1 3 = 6 ⇔ 6 =
− 4 3+1 + + C ⇔ C = 3. 3 3 + Vậy F ( ) ( )32 4 8 1 1 217 8 = − 4 8 +1 + + 3 = . 3 8 8 2
Câu 79: Họ nguyên hàm của hàm số f (x) 20x −30x + 7 = trên khoảng 3 ; +∞ là 2x − 3 2 A. ( 2 4x + 2x + )
1 2x − 3 + C . B. ( 2 4x − 2x + ) 1 2x − 3 . C. ( 2 3x − 2x + ) 1 2x − 3 . D. ( 2 4x − 2x + )
1 2x − 3 + C . Lời giải Chọn D Xét trên khoảng 3 ; +∞ , ta có: 2 2 − + − + f ∫ (x) 20x 30x 7 10x(2x 3) 7 dx = dx = dx ∫ ∫ . 2x − 3 2x − 3 Đặt 2
u = 2x − 3 ⇒ u = 2x − 3 ⇒ 2 d u u = 2dx ⇒ d u u = dx . Khi đó: 10x(2x −3) + 7 5( 2 u + 3) 2 u + 7 dx = udu = 5 ∫ ∫ ∫ ( 2u +3) 2 4 2 u + 7 d
u = 5u +15u + 7 d u ∫ 2x − 3 u 5 3
= u + 5u + 7u + C = ( 4 2
u + 5u + 7)u + C = (2x −3)2 + 5(2x −3) + 7 2x −3 + C = ( 2 4x − 2x + ) 1 2x − 3 + C.
DẠNG 3. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỈ
1. Công thức thường áp dụng 1 1 1 1 1 dx
ln ax b C. dx C. ax b a 2 (ax b) a ax b
lna lnb ln(ab). a
lna lnb ln b Page 24
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ln n
a n lna. ln1 0.
2. Phương pháp tính nguyên hàm, tích phân của hàm số hữu tỷ P(x) I dx. Q(x)
Nếu bậc của tử số P(x) bậc của mẫu số Q(x) PP Chia đa thức.
Nếu bậc của tử số P(x) bậc của mẫu số Q(x) PP
phân tích mẫu Q(x) thành tích số,
rồi sử dụng phương pháp che để đưa về công thức nguyên hàm số 01.
Nếu mẫu không phân tích được thành tích số PP
thêm bớt để đổi biến hoặc lượng giác
hóa bằng cách đặt X a tant, nếu mẫu đưa được về dạng 2 2
X a .
Câu 80: Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số ( ) b f x = ax +
x ≠ 0 , biết rằng 2 ( ) x F (− ) 1 =1, F ( ) 1 = 4, f ( ) 1 = 0
A. F (x) 3 2 3 7 = x + − .
B. F (x) 3 2 3 7 = x − − . 2 4x 4 4 2x 4
C. F (x) 3 2 3 7 = x + + .
D. F (x) 3 2 3 1 = x − − . 4 2x 4 2 2x 2 Lời giải Ta có ( ) = ∫ ( ) b 1 2 dx = + dx b F x f x ax = ax − + ∫ C . 2 x 2 x 1 3
a + b + C =1 b = − F ( ) 1 1 2 − = 2 1 3 Theo bài ra F ( )
1 = 4 ⇔ a −b + C = 4 ⇔ a = 2 2 . f ( )1 0 = a + b = 0 7 C = 4
Vậy F (x) 3 2 3 7 = x + + . 4 2x 4 Câu 81: Cho biết 2x −13 ∫ ( )( = + + − + . +
x − )dx a ln x 1 bln x 2 C x 1 2
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a + 2b = 8.
B. a + b = 8 .
C. 2a −b = 8 .
D. a −b = 8 . Lời giải
A(x − 2) + B(x + ) 1
( A+ B) x +( 2 − A + B) Ta có: 2x −13 A B ( = + = = x + )
1 (x − 2) x +1 x − 2 (x + )1(x − 2) (x + )1(x − 2) A + B = 2 A = 5 ⇒ ⇔ . 2A B 13 − + = − B = 3 − Page 25
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Khi đó: 2x −13 5 3 ∫ ( ∫ . + )( = − = + − − + x − )dx d
x 5ln x 1 3ln x 2 C x 1 2
x +1 x − 2
Suy ra a = 5; b = 3
− nên a − b = 8 . Câu 82: Cho biết 1 ∫
dx = a ln (x − ) 1 (x + )
1 + bln x + C . Tính giá trị biểu thức: P = 2a + b . 3 x − x A. 0. B. -1. C. 1 . D. 1. 2 Lời giải A( 2 x − ) 1 + Bx(x + ) 1 + Dx(x − ) 1 Ta có: 1 A B D = + + = 3
x − x x x −1 x +1 3 x − x
(A+ B + D) 2x +(B − D) x − A = 3 x − x A = 1 −
A + B + D = 0 1
⇒ B − D = 0 ⇔ B = . 2 A 1 − = 1 D = 2 Khi đó: 1 1 1 1 ∫ dx = ∫ 1 − + + dx = ln (x − ) 1 (x + )
1 − ln x + C . 3 x − x x 2 (x )1 2(x )1 − + 2 Suy ra 1 a = ; b = 1
− nên P = 2a + b = 0 . 2 Câu 83: Cho biết 4x +11 ∫
dx = a ln x + 2 + bln x + 3 + C . Tính giá trị biểu thức: 2 2
P = a + ab + b . 2 x + 5x + 6 A. 12. B. 13. C. 14. D. 15. Lời giải
A(x + 3) + B(x + 2) ( A+ B) x + (3A+ 2B) Ta có: 4x +11 A B = + = = 2
x + 5x + 6 x + 2 x + 3 (x + 2)(x +3) (x + 2)(x +3) A + B = 4 A = 3 ⇒ ⇔ . 3 A 2B 11 + = B =1 + Khi đó: 4x 11 3 1 ∫ dx ∫ dx = +
= 3ln x + 2 + ln x + 3 + C . 2 x 5x 6 x 2 x 3 + + + +
Suy ra a = 3; b =1 nên 2 2
P = a + ab + b =13.
Câu 84: Cho hàm số f x thỏa mãn 2 b f x ax , f 1 3, f 1 2, 1 1 f
. Khi đó 2a b 3 x 2 12 bằng Page 26
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A. 3 . B. 0 . C. 5. D. 3 . 2 2 Lời giải Ta có f
1 3 a b 3 1 .
Hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng 0;, các điểm x 1, 1
x đều thuộc 0; 2 nên 3 2 d b d ax b f x f x x ax x C . 3 2 x 3 2x + f 1 2 a b
C 2 2. 3 2 + 1 1 f a 1
2b C 3 . 2 12 24 12 a b 3 a 2 Từ 1 , 2 và
3 ta được hệ phương trình a b C 2 b 1 3 2 a 1 11 C
2b C 6 24 12
2a b 2.21 5.
Câu 85: Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số + f (x) 2x 1 =
trên khoảng (0;+∞) thỏa mãn 4 3 2
x + 2x + x F ( ) 1
1 = . Giá trị của biểu thức S = F ( )
1 + F (2) + F (3) +…+ F (2019) bằng 2 2019 2019.2021 1 2019 A. . B. . C. 2018 . D. − . 2020 2020 2020 2020 Lời giải Ta có + + f (x) 2x 1 2x 1 = = . 4 3 2 2
x + 2x + x x (x + )2 1
Đặt t = x(x + ) 2
1 = x + x ⇒ dt = (2x + ) 1 dx .
Khi đó F (x) = f ∫ (x) 1 1 1 dx =
dt = − + C = − + C ∫ . 2 t t x(x + ) 1 Mặt khác, F ( ) 1 1 = 1 1
⇒ − + C = ⇒ C = 1. 2 2 2 Vậy F (x) 1 = − + . x(x + ) 1 1 Suy ra Page 27
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
S F ( ) F ( ) F ( ) F ( ) 1 1 1 1 1 2 3 2019 ... = + + +…+ = − + + + + + 2019 1.2 2.3 3.4 2019.2020 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 2019 1 = − − + − + − + + − + = − − + 2019 2 2 3 3 4 2019 2020 2020 1 1 = 2018 + = 2018 . 2020 2020 Câu 86: Cho 1 −a I = dx ∫ 2 =
− bln x + 2c ln 1+ x + C . Khi đó S = a + b + c bằng 3 x ( 2 1+ x ) 2 ( ) x 1 − 3 7 A. . B. . C. . D. 2 . 4 4 4 Lời giải x I = dx ∫ 4x( 2 1+ x ) 2
t =1+ x ⇒ dt = 2xdx 1 1 − ⇒ I = dt 1 1 1 1 = + + dt t t = − − − + + C 2 ∫ ( ∫ 1 1 ln 1 ln t − )2 1 .t
2 t −1 (t − )2 1 t 2 t −1 1 2 1 2 ln x ln 1 x = − − + + + 1 1 C 2 = −
− ln x + ln 1+ x + C 2 2 x 2 ( ) 2x 2 1 a = 2 ⇒ b 7
= 1 ⇒ S = a + b + c = . 4 1 c = 4
Câu 87: Cho hàm số f (x) xác định trên R \{ 1; − }
1 thỏa mãn f (x) 1 ' =
. Biết f (3) + f ( 3 − ) = 4 và 2 x −1 1 1 f f − + =
2 . Giá trị của biểu thức f ( 5
− ) + f (0) + f (2) bằng 3 3 A. 1 5 − ln 2 . B. 1 6 − ln 2 . C. 1 5 + ln 2 . D. 1 6 + ln 2. 2 2 2 2 Lời giải Chọn A − Ta có 1 1 x 1 f (x) 1 ' =
⇒ f (x) = f ' ∫ (x)dx = dx = ln + C ∫
với x ∈ R \{ 1; − } 1 . 2 x −1 2 x −1 2 x +1 Page 28
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 1 x −1 ln + C khi x > 1 1 2 x +1
f (3) + f ( 3
− ) = C + C = 4 − 1 3 Khi đó: f (x) 1 x 1 = ln + C
khi −1< x <1 ⇒ 2 2 x +1 1 1 − f + f = 2C = 2 2 3 3 1 x −1 ln + C khi x < 1 − 3 2 x +1 C + C = 4 1 3 ⇒ C = 1 2 Vậy f ( 5
− ) + f (0) + f (2) 1 3 1 1 1 1 1
= ln + C + C + ln + C = ln + 5 = 5 − ln 2. 3 2 1 2 2 2 3 2 2 2
Câu 88: Cho hàm số f (x) xác định trên 1 \{ 2; − }
1 thỏa mãn f ′(x) = , f ( 3
− ) − f (3) = 0 và 2 x + x − 2 f ( ) 1
0 = . Giá trị của biểu thức f ( 4 − ) + f (− ) 1 − f (4) bằng 3 A. 1 1 ln 2 + . B. ln80 +1. C. 1 4 ln + ln 2 +1. D. 1 8 ln +1. 3 3 3 5 3 5 Lời giải 1 x −1 ln + C , x ∀ ∈ ; −∞ 2 − 1 ( ) 3 x + 2 − f (x) 1 1 x 1 = dx ∫ = ln + C , x ∀ ∈ 2; − 1 . 2 ( ) 2 x + x − 2 3 x + 2 1 x −1 ln + C , x ∀ ∈ 1;+∞ 3 ( ) 3 x + 2 Ta có f (− ) 1 3 = ln 4 + C , x ∀ ∈ ; −∞ 2 , f ( ) 1 1 0 = ln + C , x ∀ ∈ 2 − ;1 , 1 ( ) 1 ( ) 3 3 2 f ( ) 1 2 3 = ln + C , x ∀ ∈ 1;+∞ , 3 ( ) 3 5
Theo giả thiết ta có f ( ) 1 0 = 1 ⇔ C = 1+ ln 2 . 2 ( ) 3 3 ⇒ f (− ) 2 1 1 = ln 2 + . 3 3 Và f ( 3 − ) − f (3) = 0 1 1 ⇔ C − C = ln . 1 3 3 10 Vậy f ( 4 − ) + f (− ) 1 − f (4) 1 5 1 1 1 1
= ln + C + ln 2 + + ln 2 + ln 2 − C 1 1 = ln 2 + . 1 2 3 2 3 3 3 3 3 3
Câu 89: Cho hàm số f (x) xác định trên \{ }
1 thỏa mãn f ′(x) 1 =
, f (0) = 2017 ,, f (2) = 2018 . x −1
Tính S = ( f (3) − 2018)( f (− ) 1 − 2017) . Page 29
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A. S =1. B. 2 S =1+ ln 2 . C. S = 2ln 2 . D. 2 S = ln 2 . Lời giải ln (x − )
1 + C khi x > 1 Ta có f (x) 1 = dx ∫ = ln x −1 + C 1 = . x −1 ln
(1− x) + C khi x <1 2
Lại có f (0) = 2017 ⇒ ln(1− 0) + C = 2017 ⇒ C = 2017 . 2 2
f (2) = 2018 ln (2 − )
1 + C = 2018 ⇒ C = 2018 . 1 1 Do đó S = ln (3 − ) 1 + 2018 − 2018 ln (1− (− ) 1 ) + 2017 − 2017 2 = ln 2. Câu 90: Cho hàm số 2
f ( x) xác định trên \{ 1; − }
1 thỏa mãn f ′( x) = , f ( 2 − ) + f (2) = 0 và 2 x −1 1 1 f f − + = 2 . Tính f ( 3
− ) + f (0) + f (4) được kết quả 2 2 A. 6 ln +1. B. 6 ln −1. C. 4 ln +1. D. 4 ln −1. 5 5 5 5 Lời giải x −1 ln
+ C khi x < 1 − 1 x +1 x −
Ta có f (x) = f ′ ∫ (x)dx 2 1 = dx ∫ 1 1 = − d ∫ x = ln
+ C khi −1< x <1. 2 x −1
x −1 x +1 2 x +1 x −1 ln + C khi x >1 3 x +1
f (− ) + f ( ) 1 2 2 = 0
ln 3+ C + ln + C = 0 1 3 3 C + C = 0 Khi đó 1 3 1 1 ⇒ ⇒ f − + f = 2 1 C = 1 2 2 2
ln 3+ C + ln + C = 2 2 2 3
Do đó f (− ) + f ( ) + f ( ) 3 6 3 0
4 = ln 2 + C + C + ln + C = ln +1. 1 2 3 5 5 Page 30
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
Cho hai hàm số u và v liên tục trên [ ;
a b] và có đạo hàm liên tục trên [a;b]. Khi đó:
udv = uv − vdu (∗ ∫ ∫ ) b
Để tính tích phân I = f
∫ (x)dx bằng phương pháp từng phần ta làm như sau: a
Bước 1: Chọn u,v sao cho f (x)dx = udv . Tính v = dv
∫ và du = u'.dx .
Bước 2: Thay vào công thức (∗) và tính vdu ∫ .
Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân vdu ∫ dễ tính hơn udv
∫ . Ta thường gặp các dạng sau
Cho hai hàm số u và v liên tục trên đoạn [ ;
a b] và có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ; a b].
Khi đó: udv = uv − d v u. ∫ ∫ (*)
Để tính nguyên hàm f (x)dx ∫
bằng từng phần ta làm như sau:
Bước 1. Chọn u, v sao cho f (x)dx = d
u v (chú ý dv = v'(x)dx ).
Sau đó tính v = dv
∫ và du = u'.dx.
Bước 2. Thay vào công thức (*) và tính d v u ∫ .
Chú ý. Cần phải lựa chọn và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân d v u ∫ dễ tính hơn d u v
∫ . Ta thường gặp các dạng sau
● Dạng 1. I = P
∫ (x)sin(ax+b)dx, trong đó P(x) là đa thức. = ( )
du = P′(x).dx u P x Với dạng này, ta đặt ⇒ . v = (ax +b) 1 d sin dx
v = − cos(ax + b) a
● Dạng 2. I = P
∫ (x)cos(ax+b)dx , trong đó P(x) là đa thức. = ( )
du = P′(x).dx u P x Với dạng này, ta đặt ⇒ . v = (ax +b) 1 d cos dx
v = sin (ax + b) a
● Dạng 3. = ∫ ( ) ax+b I
P x e dx , trong đó P(x) là đa thức. = ( )
du = P′(x).dx u P x Với dạng này, ta đặt ⇒ . ax+b 1 dv = e d ax+b x v = e a Page 31
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
● Dạng 4. I = P
∫ (x)ln g(x)dx, trong đó P(x) là đa thức. u = ln g (x)
Với dạng này, ta đặt . dv = P (x)dx sin x ● Dạng 5. x I = ∫
e dx . cos x sin x u = Với dạng này, ta đặt cos x . d x v = e dx
Câu 91: Họ các nguyên hàm của hàm số f (x) = xsin x là
A. F (x) = xcos x + sin x + C.
B. F (x) = xcos x −sin x + C.
C. F (x) = −xcos x −sin x + C.
D. F (x) = −xcos x + sin x + C. Lời giải u = x du = dx Đặt ⇒ . dv = sin dx x v = − cos x Suy ra xsin dx
x = −x cos x + cos dx
x = −x cos x + sin x + C. ∫ ∫
Câu 92: Họ nguyên hàm của hàm số 2 ( ) = . x f x x e là : A. 1 2x 1 F(x) e x = − + 1 C B. 2 ( ) x
F x = e (x − 2) + C 2 2 2 C. 2 ( ) = 2 x F x
e (x − 2) + C D. 2x 1 F(x) 2e x = − + C 2 Lời giải du = dx u = x Đặt ⇒ 2 x 1 2x dv = e v = e 2 2x 1 2x 1 2 ⇒ . = . x x e dx x e − e dx ∫ 2 2 ∫ 2x 1 2x 1 2 1 x 1 ⇒ . = . x x e dx
x e − e + C ∫ 2 e x = − + C 2 4 2 2
Câu 93: Họ nguyên hàm của hàm số ( ) = (2 − ) 1 x f x x e là A. (2 −3) x x e + C . B. (2 + 3) x x e + C . C. (2 + ) 1 x x e + C . D. (2 − ) 1 x x e + C . Lời giải Gọi = (2 − ∫ )1 x I x e dx . u = 2x −1 du = 2dx Đặt ⇒ . dv = x e dx v = x e Page 32
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ⇒ = (2 − )
1 x − 2 xd = (2 − )
1 x − 2 x + = (2 −3) x I x e e x x e e C x e + ∫ C .
Câu 94: Tìm họ nguyên hàm của hàm số 2 ( ) x
f x = xe ? A. 1 2x 1 F(x) e x = − + 1 C. B. 2 ( ) x
F x = e (x − 2) + C. 2 2 2 C. 2 ( ) = 2 x F x
e (x − 2) + C. D. 2x 1 F(x) 2e x = − + C. 2 Lời giải Ta có 2 ( ) x F x = xe dx ∫ du = dx u = x Đặt ⇒ 2 x 1 2x dv = e dx v = e 2 Suy ra 1 2x 1 2 ( ) x F x 1 x 1 x 1 x 1 = xe − e dx xe e C e x = − + = − + C 2 2 ∫ 2 2 2 2 4 2 2
Câu 95: Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x(1+ sin x) là 2 2
A. x − xsin x + cos x + C .
B. x − xcos x + sin x + C . 2 2 2 2
C. x − xcos x − sin x + C .
D. x − xsin x − cos x + C . 2 2 Lời giải Ta có: f
∫ (x)dx = x
∫ (1+sin x)dx = dxx+ .xsin d x x = d x x − d x ∫ ∫ ∫ ∫ (cos x) 2 x −( − ∫ ) 2 = cos cos d = x x x x x
− x cos x + sin x + C . 2 2
Câu 96: Giả sử ( ) = ( 2 + + ) x F x
ax bx c e là một nguyên hàm của hàm số ( ) 2 x
f x = x e .Tính tích P = abc . A. 4 − . B. 1. C. 5 − . D. 3 − . Lời giải Chọn A 2 u = x du = 2xdx Ta đặt: ⇒ 2 x 2 x ⇒ = − 2 x x e dx x e xe . dx ∫ ∫ x x dv = e dx v = e u = x du = dx Ta đặt: ⇒ 2 x 2 x ⇒ = − ∫ ( x x − ∫ )=( 2 2 − 2 + 2) x x e dx x e xe e dx x x e . x x dv = e dx v = e Vậy a =1,b = 2
− ,c = 2 ⇒ P = abc = 4 − .
Câu 97: Họ nguyên hàm của hàm số ( ) = 2 (1 x f x
x + e )là A. ( − ) 2 2 1 x x e + x . B. ( + ) 2 2 1 x x e + x . C. ( + ) 2 2 2 x x e + x . D. ( − ) 2 2 2 x x e + x . Lời giải Page 33
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Ta có 2 (1 x + ) = 2 + 2 x x e dx xdx xe dx ∫ ∫ ∫ . u = x du = dx
Gọi I = 2 xln xdx ∫ . Đặt ⇒ . x x dv = e dx v = e
Khi đó = 2 x − 2 x I xe e dx ∫ . Vậy x x x 2 2 (1+ ) = 2 + − 2 x x e dx xdx xe
e dx = x + xe − 2x + C ∫ ∫ ∫ =( − ) 2 2 2 x x
e + x + C .
Câu 98: Họ nguyên hàm của f (x) = xln x là kết quả nào sau đây?
A. F (x) 1 2 1 2
= x ln x + x + C .
B. F (x) 1 2 1 2
= x ln x + x + C . 2 2 2 4
C. F (x) 1 2 1 2
= x ln x − x + C .
D. F (x) 1 2 1
= x ln x + x + C . 2 4 2 4 Lời giải dx = ln du u x =
Ta có F (x) = f
∫ (x)dx = xln xdx ∫ . Đặt x ⇒ . 2 dv = xdx x v = 2
Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có: F (x) 1 2 1 1 2 1 2 = x ln x −
xdx = x ln x − x + C 2 2 ∫ . 2 4
Câu 99: Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = ( 2 3x + ) 1 .ln x . 3 A. ∫ ( ) = ( + ) 3 2 1 ln x f x dx x x x − + C . B. ∫ ( ) 3 = ln x f x dx x x − + C . 3 3 3 C. ∫ ( ) = ( + ) 3 2 1 ln x f x dx x x x − − x + C . D. ∫ ( ) 3 = ln x f x dx x x − − x + C . 3 3 Lời giải Chọn C Ta có I = ( 2 3x + ∫ )1ln xdx 1 u = ln x du = dx Đặt ⇒ . dv ( x 2 3x )1dx = + v = ( 2 3x + ) 3
1 dx = x + x ∫ ⇒ = ( + ) − ∫( + ) 1 ln = ( + ) 1 ln − ∫( + )1 = ( + ) 3 3 3 2 2 2 1 ln x I x x x x x dx x x x x dx x x x − − x + C . x 3 Câu 100: x
Tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = trên khoảng (0;π ) là 2 sin x
A. −xcot x + ln(sinx) + C .
B. xcot x − ln sinx + C . Page 34
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
C. xcot x + ln sinx + C .
D. −xcot x − ln (sinx) + C . Lời giải Chọn A ( ) = ∫ ( )d x F x f x x = dx ∫ . 2 sin x u = x du = dx Đặt 1 ⇒ . dv = dx v = −cot x 2 sin x x cos x d sin x Khi đó: F (x) ( ) =
dx = − .xcot x + cot d x x = − . x cot x +
dx = − .xcot x + ∫ 2 sin x ∫ ∫ sinx ∫ sin x = − .
x cot x + ln sinx + C . Với x∈(0;π ) ⇒ sinx > 0 ⇒ ln sinx = ln(sinx) .
Vậy F (x) = −xcot x + ln (sinx) + C .
Câu 101: Họ nguyên hàm của hàm số y = 3x(x + cos x) là A. 3
x + 3(xsin x + cos x) + C B. 3
x − 3(xsin x + cos x) + C C. 3
x + 3(xsin x − cos x) + C D. 3
x − 3(xsin x − cos x) + C Lời giải Chọn A
Ta có: ∫ x(x + x) 2 3
cos dx = 3x dx + 3x cos d ∫ ∫ x x 2 3 3 d = + ∫ x x x C 1 3x cos d x x = 3 .
x d(sin x) = 3 .xsin x − 3sin d x x = 3 .
x sin x + 3cos x + ∫ ∫ ∫ C 2 Vậy ( + ) 3 3 cos d = + 3( sin + cos ) + ∫ x x x x x x x x C
Câu 102: Họ nguyên hàm của hàm số ( ) 4 = + ex f x x x là A. 1 5 + ( + ) 1 ex x x
+ C . B. 1 5 + ( − ) 1 ex x x + C . 5 5 C. 1 5 + ex x x + C . D. 3 4 + ( + ) 1 ex x x + C . 5 Lời giải Ta có: ∫( 4 x + ) 4 e dx = dx + ex x x x x dx ∫ ∫ . +) 4 1 5
x dx= x + C ∫ . 1 5 u = x du = dx +) Đặt ⇒ . dv = exdx v = ex Suy ra: ex x dx ∫
= ex − exdx = ex − ex x x + C ∫ = ( − ) 1 ex x + C . 2 2 Page 35
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Vậy ∫( 4 + ex ) 1 5 dx = + ( − ) 1 ex x x x x + C . 5
Câu 103: Họ nguyên hàm của hàm số ( ) 2 = . x f x x e là
A. F (x) 1 2x 1 e x = − + 1 C . B. ( ) 2x
F x = e (x − 2) + C . 2 2 2 C. ( ) 2 = 2 x F x
e (x − 2) + C . D. F (x) 2x 1 2e x = − + C . 2 Lời giải. du = dx u = x Đặt ⇒ . 2x 1 2x dv = e dx v = e 2 F (x) 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 . x e e dx . x e e C e x = − = − + = − + ∫ C . 2 2 4 2 2
Câu 104: Mệnh đề nào sau đây là đúng? 2 A. d x = + + ∫ x x x xe x e xe C .
B. xe dx = e + e + ∫ x x x C . 2 2 C. d x = − + ∫ x x x xe x xe e C .
D. xe dx = e + ∫ x x C . 2 Lời giải
Sử dụng công thức: udv = u.v − d ∫ ∫v u . Ta có:
xd = d( x ) = x − xd = x − x xe x x e xe e x xe e + ∫ ∫ ∫ C . (x +a)2 2
Câu 105: Cho biết F (x) 1 3 1
= x + 2x − là một nguyên hàm của f (x) = . Tìm nguyên hàm của 3 x 2 x
g (x) = xcos ax .
A. xsin x − cos x + C B. 1 1
xsin 2x − cos 2x + C 2 4
C. xsin x + cos+ C D. 1 1
xsin 2x + cos 2x + C 2 4 Lởi giải Chọn C 1 x +1 2 ( )2 2
Ta có F′(x) = x + 2 + = . 2 2 x x (x +a)2 2
Do F (x) là một nguyên hàm của f (x) = nên a =1. 2 x g
∫ (x)dx = xcos dxx ∫ Page 36
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN u = x du = dx Đặt ⇒ dv cos d x x = v = sin x g
∫ (x)dx = xcos dxx = xsin x− sin dxx = xsin x +cos x+C ∫ ∫ ( 2
2x + x)ln x +1
Câu 106: Họ nguyên hàm của hàm số y = là x A. (x + + ) 2 2 1 ln x x x − + x + C . B. (x + − ) 2 2 1 ln x x x + − x + C . 2 2 C. (x + + ) 2 2 1 ln x x x − − x + C . D. (x + − ) 2 2 1 ln x x x − + x + C . 2 2 Lời giải ( 2
2x + x)ln x +1 Ta có: dx = ∫ ∫(2x+ )1l 1 n xdx +
dx = I + I ∫ . 1 2 x x u ln x = d 1 u = dx
I = 2x +1 ln x dx . Đặt ⇒ . 1 ∫( ) x dv = (2x + )1dx 2
v = x + x I = ( 2
x + x)ln x − ∫( 2x + x) 1 dx =( 2x + x ln x − x +1 dx 1 ) ∫( ) x = (x + x) 2 2 ln x x − − x + C .1 2 1 I =
dx = ln x + C 2 ∫ . 2 x ( 2
2x + x)ln x +1dx = I +I ∫ 1 2 x = ( + ) 2 ln x − − x + C + ln + = (x + + ) 2 2 2 1 ln x x x x x C x x − − x + C. 1 2 2 2
Dạng 4.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện
Câu 107: Cho hàm số f (x) thỏa mãn ′( ) x
f x = xe và f (0) = 2 .Tính f ( ) 1 . A. f ( ) 1 = 3 . B. f ( ) 1 = e . C. f ( ) 1 = 5 − e . D. f ( ) 1 = 8 − 2e . Lời giải Ta có: ( ) = ′ ∫ ( ) = . x f x f x dx x e dx ∫ u = x du = dx Đặt → → ( ) = . x x − = . x x f x x e
e dx x e − e + C ∫ x x dv = e dx v = e
Theo đề: f (0) = 2 ⇔ 2 = 1
− + C ⇔ C = 3 Page 37
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ⇒ ( ) = . x x f x x e − e + 3 ⇒ f ( ) 1 = 3. − x
Câu 108: Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (x) + f ′(x) = e , x
∀ ∈ và f (0) = 2. Tất cả các nguyên hàm của ( ) 2 e x f x là
A. ( − 2)ex + ex x + C B. ( + ) 2 2 e x + ex x + C C. ( − ) 1 ex x + C D. ( + ) 1 ex x + C Lời giải Chọn D
Ta có ( ) + ′( ) = e−x ⇔ ( )ex + ′( )ex f x f x f x f x = 1 ( ( )ex)′ ⇔ = 1 ⇔ ( )ex f x f x = x + C . 1 Vì (0) = 2 ⇒ = 2 ⇒ ( ) 2 e x = + 2 ex f C f x x
⇒ ∫ ( ) 2exd = ∫( + 2)ex f x x x dx 1 ( ) . u = x + 2 du = dx Đặt ⇒
dv = exdx v = ex
⇒ ∫ ( ) 2exd = ∫( + 2)ex f x x x
dx = ( + 2)ex − ex x dx ∫
= ( + 2)ex − ex + = ( + ) 1 ex x C x + C .
Câu 109: Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn '( ) = ( + ) 1 ex f x x , f (
0) = 0 và ∫ ( )d = ( + )ex f x x ax b + c với
a,b,c là các hằng số. Khi đó:
A. a + b = 2.
B. a + b = 3.
C. a + b =1.
D. a + b = 0. Lời giải Theo đề: '( ) = ( + ) 1 ex f x x
. Nguyên hàm 2 vế ta được f '
∫ (x)dx = ∫(x+ )1exdx ⇔ f (x) = (x+ )1ex − exdx ∫
⇒ f (x) = (x + )
1 ex − ex + C = ex x + C Mà ( ) 0
0 = 0 ⇒ 0.e + = 0 ⇔ = 0 ⇒ ( ) = ex f C C f x x .
⇒ ∫ ( )d = exd = ex − exd = ex −ex + = ∫ ∫ ( − )1ex f x x x x x x x C x + C .
Suy ra a =1;b = 1
− ⇒ a + b = 0 .
Câu 110: Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số ( ) e x f x x − =
. Tính F (x) biết F (0) =1. A. ( ) ( ) 1 e x F x x − = − + + 2 . B. ( ) ( ) 1 e x F x x − = + +1. C. ( ) ( ) 1 e x F x x − = + + 2. D. ( ) ( ) 1 e x F x x − = − + +1. Lời giải u = x du = dx Đặt ⇒ .
dv = e−xdx v = −e−x
Do đó e−xd = − e−x + e−x x x x dx ∫ ∫
= − e−x − e−x x + C = F ( ; x C) . Page 38
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN F (0) =1 0 e− ⇔ −
+ C =1 ⇔ C = 2 . Vậy ( ) ( ) 1 e x F x x − = − + + 2 .
Câu 111: Biết xcos2 d
x x = axsin 2x + bcos 2x + C ∫
với a , b là các số hữu tỉ. Tính tích ab ? A. 1 ab = . B. 1 ab = . C. 1 ab = − . D. 1 ab = − . 8 4 8 4 Lời giải du = dx u = x Đặt ⇒ 1 d v = cos 2 d x x v = sin 2x 2 Khi đó 1 1 x cos 2 d
x x = xsin 2x − sin 2 d x x ∫ = x x + x + C 2 2 ∫ 1 1 sin 2 cos 2 2 4 1 ⇒ a = , 1 b = . 2 4 Vậy 1 ab = . 8 ln x + 3
Câu 112: Giả sử F (x) là một nguyên hàm của f (x) ( ) = sao cho F ( 2 − ) + F ( ) 1 = 0 . Giá trị của 2 x F (− ) 1 + F (2) bằng A. 10 5 ln 2 − ln 5. B. 0 . C. 7 ln 2 . D. 2 3 ln 2 + ln 5 . 3 6 3 3 6 Lời giải ln (x + 3) Tính dx ∫ . 2 x = ( + ) d ln 3 d x u x u = Đặt x + 3 d ⇒ d x v = 1 2 v x = − x ln (x + 3) Ta có 1 d d 1 1 = − ln + 3 x x x + ∫ = − ln + 3 + ln x x
+ C = F x,C . 2 ( ) x x ∫ ( ) ( ) x(x + 3) x 3 x + 3 Lại có 1 1 1 7 F ( 2 − ) + F ( ) 1 = 0 ⇔
ln 2 + C + −ln 4 + ln + C = 0 ⇔ 2C = ln 2 . 3 3 4 3
Suy ra F (− ) + F ( ) 1 1 1 2 1
2 = ln 2 + ln 2 − ln 5 + ln + 2C 10 5 = ln 2 − ln 5. 3 2 3 5 3 6
Câu 113: Gọi g (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = ln(x − )
1 . Cho biết g (2) =1 và g (3) = a ln b
trong đó a,b là các số nguyên dương phân biệt. Hãy tính giá trị của 2 2
T = 3a − b A. T = 8. B. T = 17 − . C. T = 2. D. T = 13 − . Lời giải Page 39
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN u = (x − ) 1 ln 1 du = Đặt ⇒ x −1 dv = dx v = x −1
g (x) = ∫ (x − )dx = (x − ) (x + ) x −1 ln 1 1 ln 1 − dx = ∫ (x − ) 1 ln (x − ) 1 − x + C x −1
Do g (2) =1⇔ 1ln1− 2 + C =1⇔ C = 3 ⇒ g (x) = (x − ) 1 ln (x − ) 1 − x + 3
Suy ra: g (3) = 2ln 2 −3+ 3 = 2ln 2 = ln 4 ⇒ a =1,b = 4 2 2 ⇒ 3a − b = 13 −
Câu 114: Biết xcos2 d
x x = axsin 2x + bcos 2x + C ∫
với a , b là các số hữu tỉ. Tính tích ab ? A. 1 ab = . B. 1 ab = . C. 1 ab = − . D. 1 ab = − . 8 4 8 4 Lời giải du = dx u = x Đặt ⇒ 1 d v = cos 2 d x x v = sin 2x 2 Khi đó 1 1 xcos 2 d
x x = xsin 2x − sin 2 d x x ∫ = x x + x + C 2 2 ∫ 1 1 sin 2 cos 2 2 4 1 ⇒ a = , 1 b = . 2 4 Vậy 1 ab = . 8 Page 40
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN G
ƠN III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN HƯ C BÀI 1. NGUYÊN HÀM
HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. III
MỨC ĐỘ VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO
NGUYÊN HÀM CỦA HÀM ẨN HOẶC LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH f (x), f ′(x), f ′′(x)
Dạng 1. Bài toán tích phân liên quan đến đẳng thúrc ′ '
u(x) f (x) + u (x) f (x) = h(x) Phương pháp:
Dễ dàng thấy rằng u(x) f (′x) + u (′x) f (x) = [u(x) f (x)]′
Do dó u(x) f (′x) + u (′x) f (x) = h(x) ⇔ [u(x) f (x)]′ = h(x)
Suy ra u(x) f (x) = h(x)dx ∫
Từ đây ta dễ dàng tính được f (x)
Dang 2. Bài toán tích phân liên quan đến biếu thúrc f (′x) + f (x) = h(x) Phương pháp: Nhân hai vế vói x
e ta durọc x ⋅ (′ ) x + ⋅ ( ) x = ⋅ ( ) x ⇔ ⋅ ( ) ′ x e f x e f x e h x
e f x = e ⋅h(x) Suy ra x ⋅ ( ) x
e f x = e ⋅h(x)dx ∫
Từ đây ta dễ dàng tính được f (x)
Dang 3. Bài toán tích phân liên quan đến biếu thúc f ′(x) − f (x) = h(x) Phương pháp: Nhân hai vế vói x
e− ta durọc x ⋅ ( ) x − ⋅ ( ) x = ⋅ ( ) x ⇔ ⋅ ( ) ′ − ′ − − − − x e f x e f x e h x e
f x = e ⋅h(x) Suy ra −x ⋅ ( ) − x e
f x = e ⋅h(x)dx ∫
Từ đây ta dễ dàng tính được f (x)
Dạng 4. Bài toán tích phân liên quan đến biếu thúrc f (′x) + p(x)⋅ f (x) = h(x) Page 36
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Phương pháp:
Nhân hai vế với p(x)dx e∫ ta được ′ p(x)dx p(x)dx p(x)dx ∫ ∫ ∫ p(x)dx ∫ p(x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dx f x e p x e f x h x e f x e h x e∫ ′ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⇔ ⋅ = ⋅ Suy ra p(x)dx p(x) ( ) dx f x e∫ e∫ ⋅ = h(x)dx ∫
Từ đây ta dễ dàng tính được f (x)
Dang 5. Bài toán tích phân liên quan đến biếu thúc f (′x) + p(x)⋅ f (x) = 0 Phương pháp: ′ ′
Chia hai vế với f (x) ta đựơc f (x) f (x) + p(x) = 0 ⇔ = − p(x) f (x) f (x) ′
Suy ra f (x)dx = − p(x)dx ⇔ ln | f (x) |= − p(x)dx ∫ f (x) ∫ ∫
Từ đây ta dễ dàng tính được f (x)
Dạng 6. Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức (′ ) + ( )⋅[ ( )]n f x p x f x = 0 Phương pháp:
Chia hai vế với [ ( )]n
f x ta được f (′x) f (′x) + p(x) = 0 ⇔ = − p(x) [ f (x)]n [ f (x)]n −n 1 + ′ Suy ra f (x) [ f (x)]
dx = − p(x)dx ⇔
= − p(x)dx
∫[f (x)]n ∫ ∫ −n +1
Từ dầy ta dễ dàng tính được f (x)
Câu 1: Cho hàm số y = f (x) đồng biến và có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn ( ′( ))2 = ( ). x f x f x e , x
∀ ∈ và f (0) = 2 . Khi đó f (2) thuộc khoảng nào sau đây? A. (12;13). B. (9;10). C. (11;12). D. (13 14 ; ).
Câu 2: Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn f ( ) 4 2 = − và ′( ) 3 2
f x = x f (x) x
∀ ∈ . Giá trị của f ( ) 1 19 bằng A. 2 − . B. 1 − . C. 1 − . D. 3 − . 3 2 4
Câu 3: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên \{ 1; − }
0 thỏa mãn điều kiện: f ( ) 1 = 2 − ln 2 và
x (x + ) f ′(x) + f (x) 2 . 1 .
= x + x . Biết f (2) = a + .
b ln 3 ( a , b∈ ). Giá trị ( 2 2 2 a + b ) là A. 27 . B. 9. C. 3 . D. 9 . 4 4 2 Page 37
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 4: Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn f (x) < 0, x
∀ > 0 và có đạo hàm f ′(x) liên tục trên khoảng
(0;+ ∞) thỏa mãn f ′(x) = ( x + ) 2
2 1 f (x), x ∀ > 0 và f ( ) 1
1 = − . Giá trị của biểu thức 2 f ( )
1 + f (2) +...+ f (2020) bằng A. 2020 − . B. 2015 − . C. 2019 − . D. 2016 − . 2021 2019 2020 2021
Câu 5: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên \{ 1; − } 0 thỏa mãn f ( ) 1 = 2ln 2 +1, x(x + )
1 f ′(x) + (x + 2) f (x) = x(x + ) 1 , x ∀ ∈ \{ 1; − }
0 . Biết f (2) = a + bln3, với a , b là hai số hữu tỉ. Tính 2
T = a − b . A. 3 T − = . B. 21 T = . C. 3 T = .
D. T = 0 . 16 16 2
Câu 6: Cho hs y = f (x) thỏa mãn 2
y′ = xy và f (− )
1 =1 thì giá trị f (2) là A. 2 e . B. 2e . C. e +1. D. 3 e .
Câu 7: Cho hàm số f (x) liên tục trên , f (x) ≠ 0 với mọi x và thỏa mãn f ( ) 1 1 = − , 2
f ′(x) = ( x + ) 2
2 1 f (x) .Biết ( ) 1 + (2) +...+ (2019) a f f f
= −1 với a,b∈,(a,b) =1 .Khẳng b
định nào sau đây sai?
A. a − b = 2019.
B. ab > 2019 .
C. 2a + b = 2022 . D. b ≤ 2020.
Câu 8: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên (0;+∞) thỏa mãn xf ′(x) + f (x) 2 2
= 3x x . Biết f ( ) 1 1 = . 2 Tính f (4) ? A. 24 . B. 14. C. 4 . D. 16.
Câu 9: Cho hàm số f (x) > 0 với mọi x∈ , f (0) =1 và f (x) = x +1. f ′(x) với mọi x∈ . Mệnh
đề nào dưới đây đúng?
A. f (x) < 2
B. 2 < f (x) < 4
C. f (x) > 6
D. 4 < f (x) < 6
Câu 10: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên [2;4] và f ′(x) > 0, x ∀ ∈[2;4]. Biết
x f (x) = f ′(x) 3 3 3 − x x ∀ ∈[ ] f ( ) 7 4 , 2;4 , 2 =
. Giá trị của f (4) bằng 4 A. 40 5 −1 . B. 20 5 −1 . C. 20 5 −1 . D. 40 5 −1 . 2 4 2 4
Câu 11: Cho f (x) là hàm số liên tục trên thỏa mãn f (x) + f ′(x) = x, x
∀ ∈ và f (0) =1. Tính f ( ) 1 . A. 2 . B. 1 . C. e . D. e . e e 2
Câu 12: Cho hàm số f (x) thỏa mãn xf ′ (x) 2 2 +1 = x 1 − f
(x).f ′ (x) với mọi x dương. Biết f ( ) 1 = f ′( ) 1 =1. Giá trị 2 f (2) bằng A. 2
f (2) = 2ln 2 + 2 . B. 2
f (2) = 2ln 2 + 2 . C. 2
f (2) = ln 2 +1. D. 2 f (2) = ln 2 +1 . Page 38
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 13: Cho hàm số f (x) thỏa mãn 2 3
( f (′x)) + f (x). f (
′′ x) = x − 2x, x
∀ ∈ R và f (0) = f (′0) =1. Tính giá trị của 2 T = f (2) A. 43 B. 16 C. 43 D. 26 30 15 15 15
Câu 14: Cho hàm số f (x) liên tục và có đạo hàm trên π 0; x
, thỏa mãn f (x) + tan .x f ′(x) = . 2 3 cos x Biết rằng π π 3 f f − = aπ 3 +
bln 3 trong đó a,b∈ . Giá trị của biểu thức P = a + b 3 6 bằng A. 14 B. 2 − C. 7 D. 4 − 9 9 9 9
Câu 15: Cho hàm số y = f (x) đồng biến trên (0;+∞); y = f (x) liên tục, nhận giá trị dương trên (0;+∞) và thỏa mãn f ( ) 4 3 = và f ( x) 2 ' = (x + )
1 . f (x) . Tính f (8) . 9 A. f (8) = 49 .
B. f (8) = 256 . C. f ( ) 1 8 = . D. f ( ) 49 8 = . 16 64 Câu 16: Cho hàm số 2
f (x) thỏa mãn f ( )
1 = 2 và (x + ) f ′(x) = f (x) 2 2 ( 2 1 x −
)1 với mọi x∈. Giá
trị của f (2) bằng A. 2 B. 2 − C. 5 − D. 5 5 5 2 2
Câu 17: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên khoảng (0;+ ∞) , biết f ′(x) + ( x + ) 2 2 1 f (x) = 0
, f (x) > 0, x ∀ > 0 và f ( ) 1
2 = . Tính giá trị của P = f ( )
1 + f (2) +...+ f (2019) . 6 A. 2021 . B. 2020 . C. 2019 . D. 2018 . 2020 2019 2020 2019
Câu 18: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 2; − ]
1 thỏa mãn f (0) = 3 và
( f (x))2 f ′(x) 2 .
= 3x + 4x + 2 . Giá trị lớn nhất của hàm số y = f (x) trên đoạn [ 2; − ] 1 là A. 3 2 42 . B. 3 2 15 . C. 3 42 . D. 3 15 . 3 2
Câu 19: Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (1) = 4 và f (x) = xf (′x) − 2x − 3x với mọi x > 0 . Giá trị của f (2) bằng A. 5. B. 10. C. 20 . D. 15.
Câu 20: Cho hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn các điều kiện: f (0) = 2 2, f (x) > 0, ∀x∈ và
f (x) f ′(x) = ( x + ) 2 .
2 1 1+ f (x), ∀x∈ . Khi đó giá trị f ( ) 1 bằng A. 26 . B. 24 . C. 15 . D. 23 .
Câu 21: Cho hàm số f (x) thỏa mãn f ′ ( x) 2 + f
(x) f ′′(x) 2 .
= 2x − x +1, x
∀ ∈ và f (0) = f ′(0) = 3
. Giá trị của f ( ) 2 1 bằng A. 28 . B. 22 . C. 19 . D. 10. 2 Page 39
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 22: Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên thỏa mãn ( + 2) ( ) + ( + ) 1 ′( ) = ex x f x x f x và f ( ) 1 0 = . 2 Tính f (2) . 2 2 A. e e f ( ) e 2 = . B. f ( ) e 2 = . C. f (2) = . D. f (2) = . 3 6 3 6
Câu 23: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên \{0; − }
1 thỏa mãn điều kiện f ( ) 1 = 2 − ln 2 và
x(x + ) f ′(x) + f (x) 2 1 .
= x + x . Giá trị f (2) = a + bln 3 , với a,b∈ . Tính 2 2 a + b . A. 25 . B. 9 . C. 5 . D. 13 . 4 2 2 4
Câu 24: Giả sử hàm số y = f (x) liên tục, nhận giá trị dương trên (0;+∞) và thỏa mãn f ( ) 1 =1,
f (x) = f ′(x). 3x +1, với mọi x > 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 2 < f (5) < 3.
B. 1< f (5) < 2 .
C. 4 < f (5) < 5.
D. 3 < f (5) < 4 .
Câu 25: Cho hàm số f (x) ≠ 0 thỏa mãn điều kiện f ′(x) = ( x + ) 2 2
3 f (x) và f ( ) 1
0 = − . Biết rằng tổng 2 ( )
1 + (2) + (3) +...+ (2017) + (2018) a f f f f f = với ( *
a ∈, b∈ ) và a là phân số tối giản. b b
Mệnh đề nào sa u đây đúng? A. a < 1 − . B. a >1.
C. a + b =1010.
D. b − a = 3029 . b b 4 2 3x + x −1
Câu 26: Cho hàm số f (x) ≠ 0, f ′(x) 2 = f x và f ( ) 1 1 = − . Tính f ( )
1 + f (2) +...+ f (80) 2 ( ) x 3 . A. 3240 − . B. 6480 . C. 6480 − . D. 3240 . 6481 6481 6481 6481
Câu 27: Cho hàm số f (x) đồng biến có đạo hàm đến cấp hai trên đoạn [0;2] và thỏa mãn f ( x) 2 − f
(x) f ′′(x)+ f ′ ( x) 2 . = 0
. Biết f (0) =1, f ( ) 6 2 = e . Khi đó f ( ) 1 bằng 3 5 A. 2 e . B. 3 e . C. 2 e . D. 2 e .
Câu 28: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên thỏa mãn ( ) ( ) 2 2 . e x f x x f x − ′ + = , x
∀ ∈ và f (0) = 0. Tính f ( ) 1 . A. f ( ) 2 1 = e . B. f ( ) 1 1 = − . C. f ( ) 1 1 = . D. f ( ) 1 1 = . e 2 e e
Câu 29: Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn f (x) f (x) 4 2 ' .
= x + x . Biết f (0) = 2 . Tính 2 f (2) . A. 2 f ( ) 313 2 = . B. 2 f ( ) 332 2 = . C. 2 f ( ) 324 2 = . D. 2 f ( ) 323 2 = . 15 15 15 15
Câu 30: Cho hàm số f (x) thỏa mãn ( ) + ′( ) = e−x f x f x , x
∀ ∈ và f (0) = 2 . Tất cả các nguyên hàm của ( ) 2 e x f x là
A. ( − 2)ex + ex x + C . B. ( + ) 2 2 e x + ex x + C . C. ( − ) 1 ex x + C . D. ( + ) 1 ex x + C . Page 40
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 31: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên (0;+ ∞) thỏa mãn 2xf ′(x) + f (x) = 2x x ∀ ∈(0;+ ∞) , f ( )
1 =1. Giá trị của biểu thức f (4) là: A. 25 . B. 25 . C. 17 . D. 17 . 6 3 6 3
Câu 32: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn điều kiện x f ′ ( x) 3 + f ( x) 4 6 27 −1 = 0, x ∀ ∈ và f ( )
1 = 0. Giá trị của f (2) bằng A. 1 − . B. 1. C. 7 . D. 7 − .
Câu 33: Cho hàm số f (x) thỏa mãn: ( f ′(x))2 + f (x) f ′′(x) 4 .
= 15x +12x , x
∀ ∈ và f (0) = f ′(0) =1 . Giá trị của 2 f ( ) 1 bằng A. 5 . B. 8. C. 10. D. 4. 2
Câu 34: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên (1;+ ∞) và thỏa mãn
(xf ′(x)− f (x)) 3 2
.ln x = x − f (x) , x
∀ ∈(1;+ ∞) ; biết f ( 3 e) = 3e . Giá trị f (2) thuộc khoảng nào dưới đây? A. 25 12; . B. 27 13; . C. 23 ;12 . D. 29 14; . 2 2 2 2
Câu 35: Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên thỏa mãn ′( ) 3f(x) 2 −x 1 − 2 3 .e x f x − = 0 với x ∀ ∈ 2 . Biết f (x) 7
f (0) =1, tính tích phân . x f (x)dx ∫ . 0 A. 11. B. 15 . C. 45 . D. 9 . 2 4 8 2
Câu 36: Cho hàm số y = f (x) liên tục và không âm trên thỏa mãn f (x) f ′(x) 2 .
= 2x f (x) +1 và
f (0) = 0. Gọi M ,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên đoạn [1; ]
3 . Biết rằng giá trị của biểu thức P = 2M − m có dạng a 11 −b 3 + c,(a,b,c∈).
Tính a + b + c
A. a + b + c = 7 .
B. a + b + c = 4 .
C. a + b + c = 6 .
D. a + b + c = 5. Câu 37: y = f (x) \{ 1; − } f ( ) Cho hàm số liên tục trên 0 thỏa mãn 1 = 2ln 2 +1, x(x + )
1 f ′(x) + (x + 2) f (x) = x(x + ) 1 x ∀ ∈ \{ 1; − } f (2) , 0 . Biết
= a + bln 3, với a,b là hai số hữu tỉ. Tính 2
T = a −b . A. 21 T = . B. 3 T = .
C. T = 0 . D. 3 T = − . 16 2 16
Câu 38: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên (0;+ ∞) thỏa mãn x f (x) 2 − x f ′(x) 2 3 . .
= 2 f (x) , với
f (x) ≠ 0, x
∀ ∈(0;+ ∞) và f ( ) 1
1 = . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 3
hàm số y = f (x) trên đoạn [1;2] . Tính M + m . A. 9 . B. 21 . C. 5 . D. 7 . 10 10 3 3 Page 41
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 39: Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số ( ) 2 = x f x e ( 3
x − 4x). Hàm số F ( 2 x + x) có bao
nhiêu điểm cực trị? A. 6 . B. 5. C. 3. D. 4 . ( 2
1+ cos x)(sin x + cot x)
Câu 40: Cho F (x) = dx ∫
và S là tổng tất cả các nghiệm của phương trình 4 sin x π F (x) F =
trên khoảng (0;4π ) . Tổng S thuộc khoảng 2 A. (6π;9π ). B. (2π;4π ) . C. (4π;6π ) . D. (0;2π ) .
Câu 41: Cho hàm số F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) 2cos x −1 =
trên khoảng (0;π ) . Biết 2 sin x
rằng giá trị lớn nhất của F (x) trên khoảng (0;π ) là 3 . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. A. π π π π F = 3 3 − 4 B. 2 3 F = C. F = − 3 D. 5 F = 3− 3 6 3 2 3 6
Câu 42: Biết F x là nguyên hàm của hàm số xcos xsin x f x
. Hỏi đồ thị của hàm số y F x 2 x
có bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng 0;4π ? A. 2 . B. 1. C. 3. D. 0 . Câu 43: Biết x − cos
F (x) là nguyên hàm của hàm số ( ) x f x =
. Hỏi đồ thị của hàm số y = F (x) có bao 2 x nhiêu điểm cực trị? A. 1. B. 2.
C. vô số điểm. D. 0.
Câu 44: Cho hàm số y = f (x) . Đồ thị của hàm số y = f '(x) trên [ 5; − ]3 như hình vẽ.
Biết f (0) = 0, giá trị của 2 f ( 5 − ) + 3 f (2) bằng A. 33. B. 109 . C. 35 . D. 11. 3 3 f x
Câu 45: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên (0;+ ∞) thỏa mãn f ′(x) ( ) 2 + = 4x + 3x và x f ( )
1 = 2 . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) tại điểm có hoành độ x = 2 là A. y = 16 − x − 20 .
B. y =16x − 20.
C. y =16x + 20. D. y = 16 − x + 20. Page 42
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN G
ƠN III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN HƯ C BÀI 1. NGUYÊN HÀM
HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. III
MỨC ĐỘ VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO
NGUYÊN HÀM CỦA HÀM ẨN HOẶC LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH f (x), f ′(x), f ′′(x)
Dạng 1. Bài toán tích phân liên quan đến đẳng thúrc ′ '
u(x) f (x) + u (x) f (x) = h(x) Phương pháp:
Dễ dàng thấy rằng u(x) f (′x) + u (′x) f (x) = [u(x) f (x)]′
Do dó u(x) f (′x) + u (′x) f (x) = h(x) ⇔ [u(x) f (x)]′ = h(x)
Suy ra u(x) f (x) = h(x)dx ∫
Từ đây ta dễ dàng tính được f (x)
Dang 2. Bài toán tích phân liên quan đến biếu thúrc f (′x) + f (x) = h(x) Phương pháp: Nhân hai vế vói x
e ta durọc x ⋅ (′ ) x + ⋅ ( ) x = ⋅ ( ) x ⇔ ⋅ ( ) ′ x e f x e f x e h x
e f x = e ⋅h(x) Suy ra x ⋅ ( ) x
e f x = e ⋅h(x)dx ∫
Từ đây ta dễ dàng tính được f (x)
Dang 3. Bài toán tích phân liên quan đến biếu thúc f ′(x) − f (x) = h(x) Phương pháp: Nhân hai vế vói x
e− ta durọc x ⋅ ( ) x − ⋅ ( ) x = ⋅ ( ) x ⇔ ⋅ ( ) ′ − ′ − − − − x e f x e f x e h x e
f x = e ⋅h(x) Suy ra −x ⋅ ( ) − x e
f x = e ⋅h(x)dx ∫
Từ đây ta dễ dàng tính được f (x)
Dạng 4. Bài toán tích phân liên quan đến biếu thúrc f (′x) + p(x)⋅ f (x) = h(x) Page 1
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Phương pháp:
Nhân hai vế với p(x)dx e∫ ta được ′ p(x)dx p(x)dx p(x)dx ∫ ∫ ∫ p(x)dx ∫ p(x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dx f x e p x e f x h x e f x e h x e∫ ′ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⇔ ⋅ = ⋅ Suy ra p(x)dx p(x) ( ) dx f x e∫ e∫ ⋅ = h(x)dx ∫
Từ đây ta dễ dàng tính được f (x)
Dang 5. Bài toán tích phân liên quan đến biếu thúc f (′x) + p(x)⋅ f (x) = 0 Phương pháp: ′ ′
Chia hai vế với f (x) ta đựơc f (x) f (x) + p(x) = 0 ⇔ = − p(x) f (x) f (x) ′
Suy ra f (x)dx = − p(x)dx ⇔ ln | f (x) |= − p(x)dx ∫ f (x) ∫ ∫
Từ đây ta dễ dàng tính được f (x)
Dạng 6. Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức (′ ) + ( )⋅[ ( )]n f x p x f x = 0 Phương pháp:
Chia hai vế với [ ( )]n
f x ta được f (′x) f (′x) + p(x) = 0 ⇔ = − p(x) [ f (x)]n [ f (x)]n −n 1 + ′ Suy ra f (x) [ f (x)]
dx = − p(x)dx ⇔
= − p(x)dx
∫[f (x)]n ∫ ∫ −n +1
Từ dầy ta dễ dàng tính được f (x)
Câu 1: Cho hàm số y = f (x) đồng biến và có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn ( ′( ))2 = ( ). x f x f x e , x
∀ ∈ và f (0) = 2 . Khi đó f (2) thuộc khoảng nào sau đây? A. (12;13). B. (9;10). C. (11;12). D. (13 14 ; ). Lời giải Chọn B
Vì hàm số y = f (x) đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đồng thời f (0) = 2 nên
f ′(x) ≥ 0 và f (x) > 0 với mọi x∈[0;+∞). x
Từ giả thiết ( ′( ))2 = ( ). x f x f x e , x
∀ ∈ suy ra f ′(x) = f (x) 2 .e , x ∀ ∈[ 0;+∞). ′( ) 1 x f x Do đó, 2 = e , x ∀ ∈[ 0;+∞). 2 f (x) 2 Page 2
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN x
Lấy nguyên hàm hai vế, ta được f (x) 2
= e + C, x ∀ ∈[
0;+∞) với C là hằng số nào đó.
Kết hợp với f (0) = 2 , ta được C = 2 −1.
Từ đó, tính được f ( ) = (e + − )2 2 2 1 ≈ 9,81.
Câu 2: Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn f ( ) 4 2 = − và ′( ) 3 2
f x = x f (x) x
∀ ∈ . Giá trị của f ( ) 1 19 bằng A. 2 − . B. 1 − . C. 1 − . D. 3 − . 3 2 4 Lời giải Chọn C f ′ x f ′(x) 4 Ta có f ′(x) 3 2 = x f (x) ( ) 3 ⇔ = x 3 1 x ⇒
dx = x dx ⇔ − = + ∫ ∫ C . 2 f (x) 2 f (x) f (x) 4 Mà f ( ) 4 2 = − 19 16 3 ⇒ =
+ C ⇒ C = . Suy ra f (x) 4 = − . 19 4 4 4 4 x + 3 Vậy f ( ) 1 = 1 − .
Câu 3: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên \{ 1; − }
0 thỏa mãn điều kiện: f ( ) 1 = 2 − ln 2 và
x (x + ) f ′(x) + f (x) 2 . 1 .
= x + x . Biết f (2) = a + .
b ln 3 ( a , b∈ ). Giá trị ( 2 2 2 a + b ) là A. 27 . B. 9. C. 3 . D. 9 . 4 4 2 Lời giải Chọn B
Chia cả hai vế của biểu thức x (x + ) f ′(x) + f (x) 2 . 1 .
= x + x cho (x + )2 1 ta có x ′ ′( ) 1 . x x + = ⇔ . x f x f x f x = . 2 ( ) ( ) x 1 (x + )1 x 1 x 1 + + + x +1 x x ′ x Vậy f (x) f ∫ (x) 1 . . dx dx 1 d = = = −
x = x − ln x +1 + ∫ ∫ C . x +1 x +1 x +1 x +1 Do f ( ) 1 = 2
− ln 2 nên ta có 1 . f ( )
1 =1− ln 2 + C ⇔ −ln 2 =1− ln 2 + C ⇔ C = 1 − . 2
Khi đó f (x) x +1 =
(x−ln x+1 − )1. x Vậy ta có f ( ) 3 = ( − − ) 3 = ( − ) 3 3 3 3 2 2 ln 3 1
1 ln 3 = − ln 3 ⇒ a = , b = − . 2 2 2 2 2 2 Page 3
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Suy ra (a b ) 2 2 2 2 3 3 2 2 + = + − = 9 . 2 2
Câu 4: Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn f (x) < 0, x
∀ > 0 và có đạo hàm f ′(x) liên tục trên khoảng
(0;+ ∞) thỏa mãn f ′(x) = ( x + ) 2
2 1 f (x), x ∀ > 0 và f ( ) 1
1 = − . Giá trị của biểu thức 2 f ( )
1 + f (2) +...+ f (2020) bằng A. 2020 − . B. 2015 − . C. 2019 − . D. 2016 − . 2021 2019 2020 2021 Lời giải Chọn A Ta có: f ′(x) f ′(x)
f ′(x) = ( x + ) 2 2 1 f (x) 1 ⇔ = 2x +1 ⇒
dx = 2x +1 dx 2 ⇒ −
= x + x + C . 2 f (x) ∫ 2f(x) ∫( ) f (x) Mà f ( ) 1 1 − = − ⇒ C = 0 ⇒ ( ) 1 f x = 1 1 = − . 2 2
x + x x +1 x f ( ) 1 1 = −1 2 f ( ) 1 1 2 = − 3 2 f ( ) 1 1 3 = −
⇒ f ( ) + f ( ) + + f ( ) 1 1 2 .... 2020 = 1 − + 2020 = − . 4 3 2021 2021 f ( ) 1 1 2020 = − 2021 2020
Câu 5: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên \{ 1; − }
0 thỏa mãn f ( )1 = 2ln2+1, x(x + )
1 f ′(x) + (x + 2) f (x) = x(x + ) 1 , x ∀ ∈ \{ 1; − }
0 . Biết f (2) = a+bln3, với a, b là hai số hữu tỉ. Tính 2
T = a − b . A. 3 T − = . B. 21 T = . C. 3 T = .
D. T = 0 . 16 16 2 Lời giải Chọn A
Ta có x(x + )
1 f ′(x) + (x + 2) f (x) = x(x + ) 1 2 2 x x x + 2 ⇔ f ′(x) x + 2 + = ⇔ ′( ) ( ) x f x + f x = 2 ( )
x(x + ) f (x) 1 1 x +1 (x + ) 1 x +1 ' 2 2 x 2 2 x x 2 2 x x ⇔ ( ) x f x = ⇔ f (x) = dx ∫ ⇔ f (x) =
− x + ln x +1 + c x 1 + x +1 x +1 x +1 x +1 2 Page 4
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 2
⇔ ( ) x +1 x f x =
− x + ln x +1 + c. 2 x 2 Ta có f ( ) 1 = 2ln 2 +1 ⇔ c =1. 3 2 = + a
Từ đó ( ) x 1 x f x = 4
− x + ln x +1 +1 , f ( ) 3 3 2 = + ln 3. Nên . 2 x 2 4 4 3 b = 4 Vậy 2 3
T = a − b = − . 16
Câu 6: Cho hs y = f (x) thỏa mãn 2
y′ = xy và f (− )
1 =1 thì giá trị f (2) là A. 2 e . B. 2e . C. e +1. D. 3 e . Lời giải y′ y′ 3 x 3 x Ta có 2 y′ = xy 2 ⇒ = x 2 ⇒
dx = x dx ⇔ ln y = + C +C 3 ⇔ y = e . y ∫ y ∫ 3 1 − +C 1
Theo giả thiết f (− ) 1 =1 nên 3 e =1 ⇔ C = . 3 3 x 1
Vậy y = f (x) + 3 3 =e . Do đó f ( ) 3 2 = e .
Câu 7: Cho hàm số f (x) liên tục trên , f (x) ≠ 0 với mọi x và thỏa mãn f ( ) 1 1 = − , 2
f ′(x) = ( x + ) 2
2 1 f (x) .Biết ( ) 1 + (2) +...+ (2019) a f f f
= −1 với a,b∈,(a,b) =1 .Khẳng b
định nào sau đây sai?
A. a − b = 2019.
B. ab > 2019 .
C. 2a + b = 2022 . D. b ≤ 2020. Lời giải f ′(x) f ′(x)
f ′(x) = ( x + ) 2 2 1 f (x) ⇔ = 2x +1 ⇒
dx = 2x +1 dx 2 f (x) ∫ 2f(x) ∫( )
d ( f (x)) ⇒ = 2x +1 dx ∫ 2 f (x) ∫( ) 1 2
⇒ − ( ) = x + x+C ( )1. f x Thay x =1 vào ( ) 1 được 1 2 + C = −
⇔ = .Vậy f (x) 1 1 = − . 1 C 0 − x +1 x 2 Page 5
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 1 1 1 1 1 1
T f (1) f (2) ... f (2019) ... = + + + = − + − + + − 1 = 1 − + . 2 1 3 2 2020 2019 2020 a =1 Suy ra:
⇒ a − b = 2019 − . b = 2020
Câu 8: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên (0;+∞) thỏa mãn xf ′(x) + f (x) 2 2
= 3x x . Biết f ( ) 1 1 = . 2 Tính f (4) ? A. 24 . B. 14. C. 4 . D. 16. Lời giải Chọn D 1 3
Trên khoảng (0;+∞) ta có: 2xf '(x) + f (x) 2
= 3x x ⇔ x f '(x) 2 + = x . 2 x 2
⇒ ( x.f (x))' 3
= x ⇒ ∫( x.f (x))' 2 3 2 dx = x dx 2 ∫ 2 .
⇒ x. f (x) 1 3 = x + C . (∗) 2 2 Mà f ( ) 1 1 x x = nên từ (∗) có: f ( ) 1 3 1 1
1. 1 = .1 + C ⇔ = + C ⇔ C = 0 ⇒ f (x) = . 2 2 2 2 2 2 Vậy f ( ) 4 4 4 = = 16 . 2
Câu 9: Cho hàm số f (x) > 0 với mọi x∈ , f (0) =1 và f (x) = x +1. f ′(x) với mọi x∈ . Mệnh
đề nào dưới đây đúng?
A. f (x) < 2
B. 2 < f (x) < 4
C. f (x) > 6
D. 4 < f (x) < 6 Lời giải f ′(x) f ′(x) Ta có: 1 = 1 ⇒ dx =
dx ⇔ ln ( f x ) = 2 x +1 + C f (x) ∫ ∫ ( ) x +1 f (x) x +1
Mà f (0) =1 nên C = − ⇒ f (x) 2 x 1 + −2 = e ⇒ f ( ) 2 2 3 = e > 6
Câu 10: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên [2;4] và f ′(x) > 0, x ∀ ∈[2;4]. Biết
x f (x) = f ′(x) 3 3 3 − x x ∀ ∈[ ] f ( ) 7 4 , 2;4 , 2 =
. Giá trị của f (4) bằng 4 A. 40 5 −1 . B. 20 5 −1 . C. 20 5 −1 . D. 40 5 −1 . 2 4 2 4 Lời giải Page 6
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Ta có: f ′(x) > 0, x
∀ ∈[2;4] nên hàm số y = f (x) đồng biến trên [2;4] ⇒ f (x) ≥ f (2) mà f ( ) 7
2 = . Do đó: f (x) > 0, x ∀ ∈[2;4]. 4
Từ giả thiết ta có: x f (x) = f ′(x) 3
− x ⇔ x f (x) + = f ′(x) 3 3 3 3 4 4 1 f ′ x 3 ⇔ .
x 4 f (x) +1 = f ′(x) ( ) ⇔ = x . 3 4 f ( x) +1 f ′(x) 1 d 4 f (x) 2 +1 2 3 Suy ra: d x = d x x x x ⇔ = + C ∫ ∫ ∫ ⇔ 4 f (x) 2 3 +1 = + C . 3 4 f ( x) +1 4 3 4 f (x) +1 2 8 2 f ( ) 7 3 1
2 = ⇔ = 2 + C ⇔ C = − . 4 2 2 4 ( x ) 3 2 1 − −1 Vậy: − f (x) 3 = ⇒ f ( ) 40 5 1 4 = . 4 4
Câu 11: Cho f (x) là hàm số liên tục trên thỏa mãn f (x) + f ′(x) = x, x
∀ ∈ và f (0) =1. Tính f ( ) 1 . A. 2 . B. 1 . C. e . D. e . e e 2 Lời giải
f (x) + f ′(x) = x (1) .
Nhân 2 vế của (1) với x
e ta được ex. ( ) + ex. ′( ) = .ex f x f x x . Hay ex. ( ) ′
= .ex ⇒ ex. ( ) = .ex f x x f x x dx ∫ . Xét = .ex I x dx ∫ .
u = x ⇒ du = dx Đặt .
exdx = dv ⇒ v = ex =
.exd = .ex − exd = .ex − ex I x x x x x + C ∫ ∫
. Suy ra ex ( ) = .ex − ex f x x + C . .ex x − ex + 2 2
Theo giả thiết f (0) = 1 nên C = 2 ⇒ f (x) = ⇒ f ( ) 1 = . ex e
Câu 12: Cho hàm số f (x) thỏa mãn xf ′ (x) 2 2 +1 = x 1 − f
(x).f ′ (x) với mọi x dương. Biết f ( ) 1 = f ′( ) 1 =1. Giá trị 2 f (2) bằng A. 2
f (2) = 2ln 2 + 2 . B. 2 f (2) = 2ln 2 + 2 . C. 2 f (2) = ln 2 +1. D. 2 f (2) = ln 2 +1 . Page 7
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Lời giải Ta có: xf ′ (x) 2 2 +1 = x 1 − f
(x).f "(x); x > 0
⇔ x f (x) 2 2 2 . ' +1 = x 1
− f (x). f "(x) ⇔ f ( x) 2 1 ' +
= 1− f x . f " x 2 ( ) ( ) x ⇔ f ( x) 2 + f (x) f (x) 1 ' . " = 1− 2 x ⇔ f
( x) f ( x) ' 1 . ' = 1− 2 x Do đó: f
∫ (x) f (x) ' 1 1 . ' .dx = ∫1− .d
x ⇒ f x . f ' x = x + + c . 2 ( ) ( ) 1 x x Vì f ( ) 1 = f '( )
1 =1⇒1 = 2 + c ⇔ c = 1. − 1 1 Nên f
∫ (x) f (x) 1 . ' .dx x 1 .d = + − ∫ x ⇔ f
∫ (x) ( f (x)) 1 .d = x + − ∫ 1 .d x x x 2 f (x) 2 x ⇒ =
+ ln x − x + c . Vì f ( ) 1 1
1 =1⇒ = −1+ c ⇔ c =1. 2 2 2 2 2 2 2 2 f (x) 2 Vậy x 2 =
+ ln x − x +1⇒ f (2) = 2ln 2 + 2 . 2 2 2 3
Câu 13: Cho hàm số f (x) thỏa mãn ( f '(x)) + f (x). f '(x) = x − 2x, x
∀ ∈ R và f (0) = f '(0) =1. Tính 2
giá trị của T = f (2) A. 43 B. 16 C. 43 D. 26 30 15 15 15 Lời giải Có 2 3 3
( f '(x)) + f (x). f '(x) = x − 2x ⇔ ( f (x). f '(x))' = x − 2x 3 1 4 2
⇔ f (x). f '(x) = (x − 2x)dx = x − x + C ∫ 4
Từ f (0) = f '(0) =1. Suy ra 1 C =1. Vậy 4 2
f (x). f '(x) = x − x +1 4 Tiếp, có 1 4 2 2 1 4 2
2 f (x). f '(x) = x − 2x + 2 ⇔ ( f (x))' = x − 2x + 2 2 2 2 1 4 2 1 5 2 3
⇔ f (x) = ( x − 2x + 2)dx =
x − x + 2x + C ∫ 2 10 3 Từ f (0) =1. Suy ra 1 2 C =1. Vậy 2 5 3 f (x) =
x − x + 2x +1. 10 3 Page 8
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Do đó 43 T = 15
Câu 14: Cho hàm số f (x) liên tục và có đạo hàm trên π 0; x
, thỏa mãn f (x) + tan .x f ′(x) = . 2 3 cos x Biết rằng π π 3 f f − = aπ 3 +
bln 3 trong đó a,b∈ . Giá trị của biểu thức P = a + b 3 6 bằng A. 14 B. 2 − C. 7 D. 4 − 9 9 9 9 Lời giải Chọn D ( )+ tan . ′( ) x f x x f x = ⇔ cos . ( ) + sin . ′( ) x x f x x f x = . 3 cos x 2 cos x ⇔ sin . ( ) ′ x x f x = . 2 cos x Do đó sin . ∫ x ( ) ′ d x x f x x = dx ∫
⇒ sin .x f (x) = dx 2 cos x ∫ 2 cos x Tính x I = dx ∫ . 2 cos x u = x du = dx Đặt d ⇒ . Khi đó d x v = v = tan x 2 cos x x d(cos x) I =
dx = x tan x − tan d
x x = x tan x +
dx = x tan x + ln cos x ∫ 2 cos x ∫ ∫ . cos x Suy ra + f (x) .
x tan x ln cos x x ln cos x = = + . sin x cos x sin x π π 2π 2ln 2 π 3 3
aπ 3 + bln 3 = 3 f − f = 3 − − + 2ln 3 6 3 3 9 2 5π 3 5 a = = − ln 3 . Suy ra 9 . 9 b = 1 − Vậy 4
P = a + b = − . 9
Câu 15: Cho hàm số y = f (x) đồng biến trên (0;+∞); y = f (x) liên tục, nhận giá trị dương trên (0;+∞) và thỏa mãn f ( ) 4 3 = và f ( x) 2 ' = (x + )
1 . f (x) . Tính f (8) . 9 Page 9
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A. f (8) = 49 .
B. f (8) = 256 . C. f ( ) 1 8 = . D. f ( ) 49 8 = . 16 64 Lời giải Chọn A Ta có với x
∀ ∈(0;+∞) thì y = f (x) > 0 ; x +1 > 0 .
Hàm số y = f (x) đồng biến trên (0;+∞) nên f ′(x) ≥ 0, x ∀ ∈(0;+∞). f ′(x) Do đó f ′ ( x) 2 = (x + )
1 f (x) ⇔ f ′(x) = (x + ) 1 f (x) ⇔ = (x + ) 1 . f (x) f ′(x) Suy ra dx = (x + ∫ ∫
)1dx ⇒ f (x) 1 = (x + )3 1 + C . f (x) 3 Vì f ( ) 4 3 = nên 2 8 C = − = 2 − . 9 3 3 2
Suy ra f (x) 1 (x )3 1 2 = + − , suy ra f (8) = 49 . 3 Câu 16: Cho hàm số 2
f (x) thỏa mãn f ( )
1 = 2 và (x + ) f ′(x) = f (x) 2 2 ( 2 1 x −
)1 với mọi x∈. Giá
trị của f (2) bằng A. 2 B. 2 − C. 5 − D. 5 5 5 2 2 Lời giải Chọn D 2
Từ giả thiết ta có: f ′(x) = f ( x) 2 x −1 . (
> với mọi x ∈(1;2] . x + ) 0 2 2 1
Do đó f (x) ≥ f ( )
1 =1 > 0 với mọi x∈[1;2].
Xét với mọi x∈[1;2] ta có: ( ′ ′ x + ) 2 2 f x − f x 2
f ′(x) = f (x) 2 ( 2 x − ) ( ) x 1 ( ) x −1 1 1 ⇔ = ⇒ dx = dx 2 f (x) ( ∫ ∫ . 2 x + )2 2 1 f (x) ( 2x + )2 1 1 1 f (x) 1− ′ d x + 2 f ′ x ⇒ d x x = dx ∫ ( ) ⇒ d x x = 1 1 ⇒ − = − + . 2 f (x) ∫ 2 ∫ ∫ 1 2 f (x) 2 ( ) 1 C f x x + 1 x + x + x x x 2 x +1 Mà f ( )
1 =1⇒1 =1+ C ⇔ C = 0. Vậy f (x) = ⇒ f ( ) 5 2 = . x 2
Câu 17: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên khoảng (0;+ ∞) , biết f ′(x) + ( x + ) 2 2 1 f (x) = 0
, f (x) > 0, x ∀ > 0 và f ( ) 1
2 = . Tính giá trị của P = f ( )
1 + f (2) +...+ f (2019) . 6 Page 10
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A. 2021 . B. 2020 . C. 2019 . D. 2018 . 2020 2019 2020 2019 Lời giải
TH1: f (x) = 0 ⇒ f ′(x) = 0 trái giả thiết. f ′(x)
TH2: f (x) ≠ 0 ⇒ f ′(x) = −( x + ) 2 2 1 . f (x) ⇒ = − 2x +1 . 2 f (x) ( ) f ′(x) 1 − ⇒
dx = − 2x +1 dx ∫ ⇒ = −( 2
x + x + C) . 2 f (x) ∫( ) f (x) Ta có: f ( ) 1
2 = ⇒ C = 0 ⇒ f (x) 1 1 1 = = − . 6 2 x + x x x +1 1 1 1 1 1 2019
⇒ P = − + − +.....− = . 1 2 2 3 2020 2020
Câu 18: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 2; − ]
1 thỏa mãn f (0) = 3 và
( f (x))2 f ′(x) 2 .
= 3x + 4x + 2 . Giá trị lớn nhất của hàm số y = f (x) trên đoạn [ 2; − ] 1 là A. 3 2 42 . B. 3 2 15 . C. 3 42 . D. 3 15 . Lời giải
Ta có: ( f (x))2 f ′(x) 2 . = 3x + 4x + 2
Lấy nguyên hàm 2 vế của phương trình trên ta được
∫( f (x))2 f ′(x)dx = ∫( x + x+ )dx ⇔ ∫( f (x))2 2
d ( f (x)) 3 2 . 3 4 2
= x + 2x + 2x + C ( f (x))3 ⇔
= x + x + x + C ⇔ ( f (x))3 3 2 = ( 3 2 2 2
3 x + 2x + 2x + C ) ( ) 1 3
Theo đề bài f (0) = 3 nên từ ta có ( f ( ))3 = ( 3 2 0
3 0 + 2.0 + 2.0 + C) ⇔ 27 = 3C ⇔ C = 9
⇒ ( f (x))3 = ( 3 2
x + x + x + ) ⇒ f x = ( 3 2 3 3 2 2 9 ( )
3 x + 2x + 2x + 9).
Tiếp theo chúng ta tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = f (x) trên đoạn [ 2; − ] 1 . CÁCH 1: Vì 3 2 2
x + 2x + 2x + 9 = x (x + 2) + 2(x + 2) + 5 > 0, x ∀ ∈[ 2; − ]
1 nên f (x) có đạo hàm trên 3( 2 3x + 4x + 2) [ 2 2; − ] 1 và f ′(x) 3x + 4x + 2 = = > 0, x ∀ ∈[ 2; − ] 1 . 3 3
( x + 2x + 2x + 9) 2 3
( x + 2x + 2x + 9) 2 3 2 3 2 3 3
⇒ Hàm số y = f ( x) đồng biến trên [ 2; − ]
1 ⇒ max f (x) = f ( ) 3 1 = 42. [ 2 − ] ;1
Vậy max f (x) = f ( ) 3 1 = 42 . [ 2 − ] ;1 CÁCH 2: Page 11
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 3 f (x) 2 2 223 3 = 3( 3 2
x + 2x + 2x + 9) = 3 3 x + + 2 x + + . 3 3 9 3 Vì các hàm số 2 2 22
y = 3 x + , y = 2 3 x + +
đồng biến trên nên hàm số 3 3 9 3 2 2 223 = 3 y 3 x + + 2 x + + cũng đồng biến trên .
y = f x đồng biến 3 3 Do đó, hàm số ( ) 9 trên [ 2; − ] 1 . Vậy a
m x f (x) = f ( ) 3 1 = 42 . [ 2 − ] ;1 3 2
Câu 19: Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (1) = 4 và f (x) = xf (′x) − 2x −3x với mọi x > 0 . Giá trị của f (2) bằng A. 5. B. 10. C. 20 . D. 15. Lời giải 3 2 ′ − ′ 3 2
1. f (x) .x f (x) 2 − x − 3x f (x)
f (x) − xf (x) = 2 − x − 3x ′ ⇔ = ⇔ = 2x + 3 2 2 x x x
Suy ra, f (x) là một nguyên hàm của hàm số g(x) = 2x + 3. x Ta có ∫( x + ) 2 2
3 dx = x + 3x + C, C ∈ . Do đó, f (x) 2
= x + 3x + C , với C ∈ 1 nào đó. x 1
Vì f (1) = 4 theo giả thiết, nên thay x =1 vào hai vế của ta thu được C = 0 , từ đó 1 3 2
f (x) = x + 3x . Vậy f (2) = 20 .
Câu 20: Cho hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn các điều kiện: f (0) = 2 2, f (x) > 0, ∀x∈ và
f (x) f ′(x) = ( x + ) 2 .
2 1 1+ f (x), ∀x∈ . Khi đó giá trị f ( ) 1 bằng A. 26 . B. 24 . C. 15 . D. 23 . Lời giải
f (x). f ′(x)
Ta có f (x) f ′(x) = ( x + ) 2 . 2 1 1+ f (x) ⇔ = (2x + ) 1 . 2 1+ f (x)
f (x). f ′(x) d( 2 1+ f (x)) Suy ra dx = ∫ ∫(2x+ )1dx ⇔ = ∫ ∫(2x+ )1dx 2 1+ f (x) 2 2 1+ f (x) 2 ⇔ + f (x) 2 1
= x + x + C .
Theo giả thiết f (0) = 2 2 , suy ra + ( )2
1 2 2 = C ⇔ C = 3. Page 12
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Với C = 3 thì + f (x) = x + x + ⇒ f (x) = (x + x + )2 2 2 2 1 3 3 −1 . Vậy f ( ) 1 = 24 .
Câu 21: Cho hàm số f (x) thỏa mãn f ′ ( x) 2 + f
(x) f ′′(x) 2 .
= 2x − x +1, x
∀ ∈ và f (0) = f ′(0) = 3
. Giá trị của f ( ) 2 1 bằng A. 28 . B. 22 . C. 19 . D. 10. 2 Lời giải Ta có ( ) ( ) ′ ′ = ′ ( ) 2 f x f x f x + f
(x) f ′′(x).
Do đó theo giả thiết ta được f
( x) f ′( x) ′ 2
= 2x − x +1 . 2 2 x
Suy ra f (x) f ′(x) 3 = x −
+ x + C . Hơn nữa f (0) = f ′(0) = 3 suy ra C 9 . 3 2 2 Tương tự vì 2
f (x) ′ = 2 f (x) f ′(x) ′ 2 x nên 2 f (x) 3 = 2 x − + x + 9 . Suy ra 3 2 2 3 2 f (x) 2 3 x 1 4 x 2 = 2
∫ x − + x +9dx = x − + x +18x +C , cũng vì f (0) = 3 suy ra 3 2 3 3 3 2
f (x) 1 4 x 2 = x −
+ x +18x + 9. Do đó f ( ) 2 1 = 28 3 3 .
Câu 22: Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên thỏa mãn ( + 2) ( ) + ( + ) 1 ′( ) = ex x f x x f x và f ( ) 1 0 = . 2 Tính f (2) . 2 e 2 e A. f ( ) e 2 = . B. f ( ) e 2 = . C. f (2) = . D. f (2) = . 3 6 3 6 Lời giải Ta có ( + 2) ( ) +( + ) 1 ′( ) = ex x f x x f x ⇔ ( + ) 1 ( ) + ( ) + ( + ) 1 ′( ) = ex x f x f x x f x ( )1 ( ) ( )1 ( ) ex x f x x f x ′ ⇔ + + + = x ( ) ( ) x ( ) ( ) 2 e 1 e 1 e x x f x x f x ′ ⇔ + + + = x ⇔ ( + ) ( ) 2 e 1 = e x x f x ′ x ′ x x 1 x ⇒
∫ (x+ ) f (x) 2 e 1 dx = e dx ∫ ⇔ e (x + ) 1 f (x) 2 = e + C 2 x Mà f ( ) 1
0 = ⇒ C = 0. Vậy f (x) 1 e = . 2 2 x +1 2 e Khi đó f (2) = . 6
Câu 23: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên \{0; − }
1 thỏa mãn điều kiện f ( ) 1 = 2 − ln 2 và
x(x + ) f ′(x) + f (x) 2 1 .
= x + x . Giá trị f (2) = a + bln 3 , với a,b∈ . Tính 2 2 a + b . Page 13
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A. 25 . B. 9 . C. 5 . D. 13 . 4 2 2 4 Lời giải Từ giả thiết, ta có x 1 x
x(x + ) f ′(x) + f (x) 2 1 . = x + x ⇔ . f ′(x) + f x = 2 ( ) x +1 (x + )1 x +1 x ′ ⇔ . ( ) x f x = , với x ∀ ∈ \{0; − } 1 . x 1 + x +1
Suy ra x . f (x) x = dx
x .f x = x−ln x+1 +C. x ∫ hay ( ) +1 x +1 x +1 Mặt khác, ta có x f ( ) 1 = 2 − ln 2 nên C = 1 − . Do đó
. f (x) = x − ln x +1 −1. x +1 Với 2
x = 2 thì . f (2) =1− ln 3 ⇔ f ( ) 3 3 2 = − ln 3. Suy ra 3 a = và 3 b = − . 3 2 2 2 2 Vậy 2 2 9 a + b = . 2
Câu 24: Giả sử hàm số y = f (x) liên tục, nhận giá trị dương trên (0;+∞) và thỏa mãn f ( ) 1 =1,
f (x) = f ′(x). 3x +1, với mọi x > 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 2 < f (5) < 3.
B. 1< f (5) < 2 .
C. 4 < f (5) < 5.
D. 3 < f (5) < 4 . Lời giải f ′(x) f ′(x)
Ta có f (x) = f ′(x). 3x +1 1 ⇔ = 1 ⇒ dx = dx f (x) ∫ ∫ 3x +1 f (x) 3x +1 d( f (x)) 1 2 ⇔ ∫ 3x 1 C 3 ( ) = dx ⇔ f x = x + + C f (x) e + + ⇔ = f x ∫ ( ) 2 ln 3 1 3x +1 3 4 4 Mà 4 f ( ) 1 =1 nên C 3
e + =1 ⇔ C = − . Suy ra f ( ) 3 5 = e ≈ 3,794 . 3
Câu 25: Cho hàm số f (x) ≠ 0 thỏa mãn điều kiện f ′(x) = ( x + ) 2 2
3 f (x) và f ( ) 1
0 = − . Biết rằng tổng 2 ( )
1 + (2) + (3) +...+ (2017) + (2018) a f f f f f = với ( *
a ∈, b∈ ) và a là phân số tối giản. b b
Mệnh đề nào sa u đây đúng? A. a < 1 − . B. a >1.
C. a + b =1010.
D. b − a = 3029 . b b Lời giải f ′(x)
Ta có f ′(x) = ( x + ) 2 2 3 f (x) ⇔ = 2x + 3 2 f (x) Page 14
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN f ′(x) ⇔ ∫ 1 2
( )dx = ∫(2x +3)dx ⇔ −
= x + 3x + C . f x f (x) Vì f ( ) 1 0 = − ⇒ C = 2 . 2 Vậy f (x) 1 1 1 = − ( = − . x + )
1 (x + 2) x + 2 x +1
Do đó f ( ) + f ( ) + f ( ) + + f ( )+ f ( ) 1 1 1009 1 2 3 ... 2017 2018 = − = − . 2020 2 2020 Vậy a = 1009 −
; b = 2020 . Do đó b − a = 3029 . 4 2 3x + x −1
Câu 26: Cho hàm số f (x) ≠ 0, f ′(x) 2 = f x và f ( ) 1 1 = − . Tính f ( )
1 + f (2) +...+ f (80) 2 ( ) x 3 . A. 3240 − . B. 6480 . C. 6480 − . D. 3240 . 6481 6481 6481 6481 Lời giải 4 2 + − f ′( x) 4 2 3x + x −1
f ′(x) 3x x 1 2 = f x ⇔ = . 2 ( ) x 2 f ( x) 2 x f ′( x) 4 2 3x + x −1 d ( f (x)) 4 2 3x + x −1 dx = ∫ dx ⇔ = ∫ ∫ dx . ⇔ 2 f ( x) ∫ 2 x 2 f (x) 2 x d ( f (x)) 2 1 ∫ ∫ 1 − 1 1 − 3x 1 = + − dx ⇔ 3 =
+ + + ⇔ f (x) = + C . 2 x x C f (x) 2 x f ( x) x 3 1 x + x + x Do −x 1 1 1 f ( ) 1
1 = − ⇒ C = 0 ⇒ f (x) = = − . 3 4 2 x + x +1 2 2
2 x + x +1 x − x +1 f ( ) 1 1 1 1 = − ; f ( ) 1 1 1 2 = − ; f ( ) 1 1 1 3 = − ;.; f ( ) 1 1 1 80 = − . 2 3 1 2 7 3 2 13 7 2 6481 6321 1 1 1 f ( )
1 + f (2) + ...+ f (80) = − + . = 3240 − . 2 2 6481 6481
Câu 27: Cho hàm số f (x) đồng biến có đạo hàm đến cấp hai trên đoạn [0;2] và thỏa mãn f ( x) 2 − f
(x) f ′′(x)+ f ′ ( x) 2 . = 0
. Biết f (0) =1, f ( ) 6 2 = e . Khi đó f ( ) 1 bằng 3 5 A. 2 e . B. 3 e . C. 2 e . D. 2 e . Lời giải 2
f x . f ′′ x − f ′ x
Theo đề bài, ta có f ( x) 2 − f
(x).f (x)+ f ( x) 2 ( ) ( ) ( ) = 0 ′′ ′ ⇒ = 1 f (x) 2 Page 15
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN f ′(x) ′ f ′(x) 2 x ⇒ ( ) =1⇒
( ) = x +C ⇒ ln f (x) = +C.x + D f x f x 2 f (0) =1 C = 2 2 x 5 Mà +2x ⇔ . Suy ra : f (x) 2 = ⇒ f ( ) 2 e 1 = e . f (2) 6 = e D = 0 Câu 28: ( ) 2 . ( ) 2
Cho hàm số y = f (x) liên tục trên thỏa mãn e x f x x f x − ′ + = , x ∀ ∈ f 0 = 0 và ( ) . Tính f ( ) 1 . A. f ( ) 2 1 = e . B. f ( ) 1 1 = − . C. f ( ) 1 1 = . D. f ( ) 1 1 = . e 2 e e Lời giải Chọn D Ta có ( ) ( ) 2 2 . e x f x x f x − ′ + = 2 x ⇔ ( ) 2 x + ( ) = ⇔ ( 2 e 2 .e . 1 ex f x x f x . f (x))′ ′ = 1. Suy ra ( 2 ex . ( ))′ 2
d = d ⇔ ex . ( ) = + ⇒ ( ) x C f x x x f x x C f x + = ∫ ∫ . 2 ex
Vì f (0) = 0 ⇒ C = 0 . Do đó ( ) x f x = . Vậy f ( ) 1 1 = . 2 ex e
Câu 29: Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn f (x) f (x) 4 2 ' .
= x + x . Biết f (0) = 2 . Tính 2 f (2) . A. 2 f ( ) 313 2 = . B. 2 f ( ) 332 2 = . C. 2 f ( ) 324 2 = . D. 2 f ( ) 323 2 = . 15 15 15 15 Lời giải Chọn B 2 f (x) 5 3 Ta có x x f
∫ (x) f (x) x = ∫( 4 2 ' . d
x + x )dx + C ⇒ = + + C . 2 5 3
Do f (0) = 2 nên suy ra C = 2 . Vậy 2 f ( ) 32 8 2 2 2 = + + 332 = . 5 3 15 − x Câu 30: f (x)
f (x) + f ′(x) f (0) Cho hàm số thỏa mãn = e , x ∀ ∈ và
= 2 . Tất cả các nguyên hàm ( ) 2 của e x f x là
A. ( − 2)ex + ex x + C . B. ( + ) 2 2 e x + ex x + C . C. ( − ) 1 ex x + C . D. ( + ) 1 ex x + C . Lời giải Chọn D
( )+ ( ) = e−x ⇔ ( )ex + ( )ex =1⇔ ( ( )ex )′ ′ ′ = 1 ⇔ ( )ex f x f x f x f x f x f x = x + C′. Page 16
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Vì f (0) = 2 nên C′ = 2 . Do đó ( ) 2 e x = ( + 2)ex f x x . Vậy:
( ) 2exd = ( + 2)exd = ( + 2)d(ex ) = ( + 2)ex − exd( + 2) = ( + 2)ex − ex f x x x x x x x x dx = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
= ( + 2)ex − ex + = ( + ) 1 ex x C x + C .
Câu 31: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên (0;+ ∞) thỏa mãn 2xf ′(x) + f (x) = 2x x ∀ ∈(0;+ ∞) , f ( )
1 =1. Giá trị của biểu thức f (4) là: A. 25 . B. 25 . C. 17 . D. 17 . 6 3 6 3 Lời giải Chọn C Xét phương trình 2 1
xf ′(x) + f (x) = 2x ( ) 1 trên (0;+ ∞) : ( ) 1 ⇔ f ′(x) +
⋅ f (x) =1 (2) . 2x Đặt g (x) 1 =
, ta tìm một nguyên hàm G(x) của g (x) . 2x Ta có g ∫ (x) 1 1 dx =
dx = ln x + C = ln x + C ∫
. Ta chọn G (x) = ln x . 2x 2
Nhân cả 2 vế của (2) cho ( )
eG x = x , ta được: x ⋅ f ′(x) 1 +
⋅ f (x) = x 2 x
( x.f (x))′ ⇔ = x (3) . 4 4
Lấy tích phân 2 vế của (3) từ 1 đến 4, ta được: ∫( x.f (x))′ dx = xdx ∫ 1 1 ⇒ ( 4
x f (x)) 4 2 3 =
x ⇒ f ( ) − f ( ) 14 = ⇒ f ( ) 1 14 17 . 2 4 1 4 = +1 = . 1 3 3 2 3 6 1 Vậy f ( ) 17 4 = . 6
Câu 32: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn điều kiện x f ′ ( x) 3 + f ( x) 4 6 27 −1 = 0, x ∀ ∈ và f ( )
1 = 0. Giá trị của f (2) bằng A. 1 − . B. 1. C. 7 . D. 7 − . Lời giải Chọn D ′ f ′ x
Ta có x f ′ ( x) 3 + f ( x) 4 6 ( ) 1 1 1 27 −1 = 0⇔ − ( = ⇔ = . 3 f (x) − ) 1 f (x) 2 −1 x f (x) 2 3 3 −1 x Page 17
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ′ Do đó 1 1 1 dx 1 1 = dx = − + C. ∫ ∫ Suy ra = − + C . f (x) 2 3 −1 x x 3 f ( x) −1 x Có f ( )
1 = 0 ⇒ C = 0 . Do đó f (x) 3 =1− x . Khi đó f (2) = 7. −
Câu 33: Cho hàm số f (x) thỏa mãn: ( f ′(x))2 + f (x) f ′′(x) 4 .
= 15x +12x , x
∀ ∈ và f (0) = f ′(0) =1 . Giá trị của 2 f ( ) 1 bằng A. 5 . B. 8. C. 10. D. 4. 2 Lời giải Chọn B Theo giả thiết, x
∀ ∈ : ( f ′(x))2 + f (x) f ′′(x) 4 . =15x +12x
⇔ f ′(x) f ′(x) + f (x) f ′′(x) 4 . . =15x +12x ⇔ f
( x) f ′( x) ′ 4 . = 15x +12x
⇔ f (x) f ′(x) = ∫( 4x + x) 5 2 . 15
12 dx = 3x + 6x + C ( ) 1 . Thay x = 0 vào ( )
1 , ta được: f (0). f ′(0) = C ⇔ C =1. Khi đó, ( )
1 trở thành: f (x) f ′(x) 5 2 . = 3x + 6x +1 1 1 1 1 ⇒ f
∫ (x).f (x)dx = ∫( 5 2 3x + 6x + ) 1 2 1 dx ⇔ f (x) 1 6 3 = x + 2x + x ′ 2 2 0 0 0 0 1 2 ⇔ f ( ) 2 1 − f (0) 7 2 = ⇔ f ( ) 2 1 −1 = 7 ⇔ f ( ) 1 = 8 2 . 2 Vậy 2 f ( ) 1 = 8 .
Câu 34: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên (1;+ ∞) và thỏa mãn
(xf ′(x)− f (x)) 3 2
.ln x = x − f (x) , x
∀ ∈(1;+ ∞) ; biết f ( 3 e) = 3e . Giá trị f (2) thuộc khoảng nào dưới đây? A. 25 12; . B. 27 13; . C. 23 ;12 . D. 29 14; . 2 2 2 2 Lời giải Chọn C
Xét phương trình (xf ′(x) − f (x)) 3 2
.ln x = x − f (x) ( ) 1 trên khoảng (1;+ ∞) : Page 18
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 2 ( ) ⇔ ′( ) + ( − ) ( ) 3 = ⇔ ′( ) 1− 2ln 1 ln . 1 2ln . x + ⋅ ( ) x x x f x x f x x f x f x = (2) . x ln x ln x Đặt ( ) 1− 2ln x g x =
. Ta tìm một nguyên hàm G (x) của g (x) . x ln x − − Ta có ∫ ( ) 1 2ln x 1 2ln x g x x x ∫ ∫ ( x) 1 d d d ln 2 = = = − ∫ d (ln x) xln x ln x ln x ( ) ln ln ln 2ln ln x x x C = − + = + C . 2 x Ta chọn ( ) ln ln x G x = . 2 x
Nhân cả 2 vế của (2) cho ( ) ln eG x x − = , ta được: ln x 1 2ln x ⋅ f ′ x + ⋅ f x =1 2 ( ) 3 ( ) 2 x x x ln x ′ ln ⇔ ⋅ = 1 x f x ⇔ ⋅ f x = x + C (3) . 2 ( ) 2 ( ) x x
Theo giả thiết, f ( 3 e) = 3e nên thay 3
x = e vào (3) , ta được: ln ( 3 e) 1 . f
e = e + C ⇔ C = ⋅3e − e = 0 . 2 (3 ) 3 3 3 3 2 e 3 e 3 3
Từ đây, ta tìm được ( ) x f x = ⇒ f ( ) 2 2 = .Vậy f ( ) 23 2 ;12 ∈ . ln x ln 2 2
Câu 35: Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên thỏa mãn ′( ) 3f(x) 2 −x 1 − 2 3 .e x f x − = 0 với x ∀ ∈ 2 . Biết f (x) 7
f (0) =1, tính tích phân . x f (x)dx ∫ . 0 A. 11. B. 15 . C. 45 . D. 9 . 2 4 8 2 Lời giải Chọn C
Ta có ′( ) 3f(x) 2 −x 1 − 2 3 .e x f x −
= 0 ⇔ f (x) f (x) 3f(x) 2 2 x 1 3 . .e 2 .e x + ′ = 2 f (x) ⇒ f ∫
(x) f (x) 3f(x) 2 2 x 1 3 . .e dx = 2 .e x + ′ dx ∫ 3
f (x) ( f (x)) 2 3 x 1 + ⇒ = ( 2 e d e d x + ∫ ∫ )1 3 f (x) 2 x 1 e e + ⇒ =
+ C . Mặt khác, vì f (0) =1 nên C = 0 . Do đó 3f(x) 2 x 1 e e + = 3 ⇔ f (x) 2
= x +1 ⇔ f (x) 3 2 = x +1. 7 7 7 Vậy . 3 x f (x)dx ∫ 3 2 = .x x +1dx ∫ 1 3 2 = x +1d( 2 x + ∫ )1 ( 2x ) 7 3 2 1 x 1 = + + 45 = . 2 8 8 0 0 0 0 Page 19
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 36: Cho hàm số y = f (x) liên tục và không âm trên thỏa mãn f (x) f ′(x) 2 .
= 2x f (x) +1 và
f (0) = 0. Gọi M ,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên đoạn [1; ]
3 . Biết rằng giá trị của biểu thức P = 2M − m có dạng a 11 −b 3 + c,(a,b,c∈).
Tính a + b + c
A. a + b + c = 7 .
B. a + b + c = 4 .
C. a + b + c = 6 .
D. a + b + c = 5. Lời giải Chọn A
f x . f ′ x
f x . f ′ x 2 ( ) ( )
Ta có: f (x). f ′(x) = 2x f (x) ( ) ( ) +1 ⇔ = 2x ⇒ dx = 2xdx ∫ ∫ 2 f (x) 2 +1 f (x) +1 2 ⇔ f (x) 2 +1 = x + C .
Mà f ( ) = ⇔ C = ⇒ f (x) + = x + ⇔ f (x) = (x + )2 2 2 2 2 4 2 0 0 1 1 1
1 −1 = x + 2x ⇔ f (x) 4 2 = x + 2x . 3 Ta có: ′( ) 2x + 2x f x = > 0, x ∀ ∈[1; ]
3 ⇒ max f (x) = f (3) = 3 11;min f (x) = f ( ) 1 = 3 . 4 2 [1; ]3 [1; ]3 x + 2x
Ta có: P = 2M − m = 6 11 − 3 ⇒ a = 6;b =1;c = 0 ⇒ a + b + c = 7 . Câu 37: y = f (x) \{ 1; − } f ( ) Cho hàm số liên tục trên 0 thỏa mãn 1 = 2ln 2 +1, x(x + )
1 f ′(x) + (x + 2) f (x) = x(x + ) 1 x ∀ ∈ \{ 1; − } f (2) , 0 . Biết
= a + bln 3, với a,b là hai số hữu tỉ. Tính 2
T = a −b . A. 21 T = . B. 3 T = .
C. T = 0 . D. 3 T = − . 16 2 16 Lời giải Chọn D
Ta có: x(x + )
1 f ′(x) + (x + 2) f (x) = x(x + ) 1 , x ∀ ∈ \{ 1; − } 0 . 2 2 2 x x + 2x x ⇒ ( ′ + = , x ∀ ∈ \{ 1; − } 0 .
x + ) f (x) f x 2 ( ) 1 (x + ) 1 x +1 2 ′ 2 x ⇒ ( ) x f x = , x ∀ ∈ \{ 1; − } 0 . x 1 + x + 1 2 2 x ⇒ d x x = f ∫
(x)+C′, x ∀ ∈ \{ 1; − } 0 . x +1 x +1 2 1 ⇒ −1 + d x x x = f ∫ (x)+ C′ , x ∀ ∈ \{ 1; − } 0 . x +1 x +1 2 2 x ⇒ − + ln +1 x x x + C′′ =
f (x) + C′ . 2 x +1 Page 20
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 2 2 x ⇒ − + ln +1 x x x + C = f (x) , x ∀ ∈ \{ 1; − } 0 . 2 x +1 Ta có: f ( ) 1 = 2ln 2 +1 và f ( ) 1 = 1
− + 2ln 2 + 2C ⇒ C =1. 2 2 x ⇒ − + ln +1 +1 x x x = f (x) . 2 x +1 ⇒ f ( ) 3 3 2 = + .ln 3 3 3 9 3 3 và f (2) 2 a bln 3 a , b T a b − = + ⇒ = = ⇒ = − = − = . 4 4 4 4 16 4 16
Câu 38: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên (0;+ ∞) thỏa mãn x f (x) 2 − x f ′(x) 2 3 . .
= 2 f (x) , với
f (x) ≠ 0, x
∀ ∈(0;+ ∞) và f ( ) 1
1 = . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 3
hàm số y = f (x) trên đoạn [1;2] . Tính M + m . A. 9 . B. 21 . C. 5 . D. 7 . 10 10 3 3 Lời giải Chọn C Ta có: x f (x) 2 − x f ′(x) 2 = f (x) 2 ⇒ x f (x) 3 − x f ′(x) 2 3 . . 2 3 . . = 2 . x f (x) 2
3x . f (x) 3
− x . f ′(x) ⇒
= 2x vì f (x) ≠ 0, x ∀ ∈(0;+ ∞) . 2 f (x) 3 ′ 3 x x 2
⇒ ( ) = 2x ⇒ ∫ . ( ) = 2 d
x x = x + C f x f x 3 1 Mà ( ) 1 = ⇒ = 2 ⇒ ( ) x f C f x = . 2 3 x + 2 3 4 2 Ta có: ( ) x x + 6x f x = ⇒ f ′ x = > 0, x ∀ ∈ 0;+ ∞ . 2 ( ) 2 ( ) x + 2 ( 2x +2) 3 Vậy, hàm số ( ) x f x =
đồng biến trên khoảng (0;+ ∞) . 2 x + 2 3 x
Mà [1;2] ⊂ (0;+ ∞) nên hàm số f (x) =
đồng biến trên đoạn [1;2] . 2 x + 2
Suy ra, M = f ( ) 4 = m = f ( ) 1 5 2 ;
1 = ⇒ M + m = . 3 3 3
Câu 39: Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số ( ) 2 = x f x e ( 3
x − 4x). Hàm số F ( 2 x + x) có bao
nhiêu điểm cực trị? A. 6 . B. 5. C. 3. D. 4 . Page 21
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Lời giải
Ta có F′(x) = f (x)
⇒ F′(x + x) = f (x + x) (x + x) 2
′ = ( + )(x + x) ( 2x+x) e ( x +x)2 2 2 2 2 2 . 2x 1 − 4) 2
= ( + ) x(x + ) ( 2x+x) e
( 2x + x − )( 2 2x 1 1 2 x + x + 2) (
) x(x )(x )(x )(x x ) (x +x)2 2 2 1 2x 1 1 2 1 2 e 0 x 2; 1; − ;0;1 = + + + − + + = ⇔ ∈ − − 2 F′( 2
x + x) = 0 có 5 nghiệm đơn nên F ( 2
x + x) có 5 điểm cực trị. ( 2
1+ cos x)(sin x + cot x)
Câu 40: Cho F (x) = dx ∫
và S là tổng tất cả các nghiệm của phương trình 4 sin x π F (x) F =
trên khoảng (0;4π ) . Tổng S thuộc khoảng 2 A. (6π;9π ). B. (2π;4π ) . C. (4π;6π ) . D. (0;2π ) . Lời giải Chọn ( 2
1+ cos x)(sin x + cot x) ( 2 1+ cos x)sin x ( 2 1+ cos x)cot x Ta có: F (x) = dx = dx + dx ∫ 4 ∫ 4 ∫ 4 sin x sin x sin x ( 2 1+ cos x)cot x ( 2 1+ cos x)sin x Gọi A = dx ∫ và B = dx 4 sin x ∫ 4 sin x Ta có: ( 2 1+ cos x)cot x ( 2 1+ 2cot x)cot x A = dx = dx = − ∫ ∫ ∫( 3
cot x + 2cot x .d cot x 4 2 ) ( ) sin x sin x 2 4
cot x cot x = − + + C .1 2 2 ( 2 1+ cos x)sin x ( 2 1+ cos x)sin x B = dx = dx ∫ 4 sin x ∫ ( 2 1− cos x)2
Đặt t = cos x , suy ra dt = −sin . x dx . Khi đó: 2 2 1 t 1 t 1 1 1 + + 1 1 1 B = −∫ ( dt = − dt = − + dt = + + ∫ ∫ C 2 t − )2 1 (t − )2 1 .(t + )2 1 2 (t − )2 1 (t + )2 2 1
2 t −1 t +1 1 1 1 = + + C2
2 cos x −1 cos x +1 Do đó: Page 22
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 2 4 ( ) 1 1 1
cot x cot x
F x = A + B = + − + + C
2 cos x −1 cos x +1 2 2 Suy ra: 2 4 ( ) π 1 1 1
cot x cot x F x = F ⇔ + − + + C = C 2
2 cos x −1 cos x +1 2 2 1 1 2 4 ⇔ +
− cot x − cot x = 0
cos x −1 cos x +1 2 4
2cos x cos x cos x ⇔ + + = 0 2 2 4
sin x sin x sin x
Với điều kiện sin x ≠ 0 , cos x = 0 cos x = 0 (*) 3 ⇔ cos ⇔ 2+ cos x x + = 0 2 ( 2
1− cos x) + cos x( 2 1− cos x) 3 + cos x = 0 2 sin x cos x = 0 cos x = 0 ⇔ ⇔ 2 1− 17 2
− cos x + cos x + 2 = 0 cos x = 4
Theo giả thiết x∈(0;4π ) nên π 3π π 3π x = ; x = ; x = + 2π; x = + 2π ; 2 2 2 2
x = α; x = α + 2π ;
x = β; x = β + 2π .
Khi đó tổng các nghiệm này sẽ lớn hơn 9π .
Câu 41: Cho hàm số F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) 2cos x −1 =
trên khoảng (0;π ) . Biết 2 sin x
rằng giá trị lớn nhất của F (x) trên khoảng (0;π ) là 3 . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. A. π π π π F = 3 3 − 4 B. 2 3 F = C. F = − 3 D. 5 F = 3− 3 6 3 2 3 6 Lời giải Ta có: f ∫ (x) 2cos x −1 cos x 1 dx = dx = 2 dx − dx ∫ 2 ∫ 2 ∫ 2 sin x sin x sin x d(sin x) 1 2 = 2 − dx = − + cot x + C ∫ 2 ∫ 2 sin x sin x sin x Page 23
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Do F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) 2cos x −1 =
trên khoảng (0;π ) nên hàm số 2 sin x
F (x) có công thức dạng F (x) 2 = −
+ cot x + C với mọi x ∈(0;π ). sin x
Xét hàm số F (x) 2 = −
+ cot x + C xác định và liên tục trên (0;π ) . sin x
F (x) = f (x) 2cos x −1 ' = 2 sin x − π Xét F (x) 2cos x 1 1 ' = 0 ⇔
= 0 ⇔ cos x = ⇔ x = ± + k2π k ∈ . 2 ( ) sin x 2 3 π
Trên khoảng (0;π ) , phương trình F '(x) = 0 có một nghiệm x = 3 Bảng biến thiên: π
max F (x) F = = − 3 + C (0;π ) 3
Theo đề bài ta có, − 3 + C = 3 ⇔ C = 2 3 . Do đó, F (x) 2 = − + cot x + 2 3 . sin x
Câu 42: Biết F x là nguyên hàm của hàm số xcos xsin x f x
. Hỏi đồ thị của hàm số y F x 2 x
có bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng 0;4π ? A. 2 . B. 1. C. 3. D. 0 . Lời giải Chọn C Ta có cos sin ' x x x F x f x trên 0;4π . 2 x
xcos xsin ' x F x f x
0 x cos xsin x 0 trên 0;4π . 2 x
Đặt gx xcos xsin x trên 0;4π . Page 24
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN x π
Ta có g 'x .xsin x 0 x 2π trên 0;4π . x 3π
Từ đó có bảng biến thiên của gx: x 0 π x1 2π x 3π x 2 3 4π g'(x) - 0 + 0 - 0 + 4π 0 2π g(x) 0 0 0 -π -3π
Vì gx liên tục và đồng biến trên π;2π và gπ .g2π 0 nên tồn tại duy nhất x π;2π g x 0 1 sao cho 1 .
Tương tự ta có gx 0 g x 0 x 2π;3π x 3π;4π 2 , 3 với 2 , 3 .
Từ bảng biến thiên của gx ta thấy gx 0 khi x 0; x và x x ; x ; gx 0 khi 2 3 1
x x ; x và x x ;4π . Dấu của f x là dấu của gx trên 0;4π . 3 1 2
Do đó ta có bảng biến thiên của F x: x 0 x1 x2 x3 4π f(x) - 0 + 0 - 0 + CĐ F(x) CT CT
Vậy hàm số y F x có ba cực trị. Câu 43: Biết x − cos x
F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x) =
. Hỏi đồ thị của hàm số y = F (x) có bao 2 x nhiêu điểm cực trị? A. 1. B. 2.
C. vô số điểm. D. 0. Lời giải Chọn A
Vì (F (x))′ = f (x) nên ta xét sự đổi dấu của hàm số f (x) để tìm cực trị hàm số đã cho.
Ta xét hàm số g (x) = x − cos x , ta có g′(x) =1+ sin x ≥ 0 x ∀ .
Vì vậy g (x) là hàm số đồng biến trên toàn trục số. Page 25
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN π π g = > 0 2 2 Hơn nữa ta có π π
, do đó g (x) = 0 có duy nhất nghiệm α ∈ − ; . π π 2 2 g − = − < 0 2 2 Ta có bảng xét dấu
Kết luận hàm số đã cho có một cực trị.
Câu 44: Cho hàm số y = f (x) . Đồ thị của hàm số y = f '(x)trên [ 5; − ]3 như hình vẽ.
Biết f (0) = 0, giá trị của 2 f ( 5 − ) + 3 f (2) bằng A. 33. B. 109 . C. 35 . D. 11. 3 3 Lời giải Chon C *)Parabol 2
y = ax +bx + c qua các điểm (2;3),(1;4),(0;3),( 1
− ;0),(3;0) nên xác định được 3 2
y = −x + 2x +3, x ∀ ≥ 1 − x suy ra f ( x) 2 = −
+ x + 3x + C1 3 . Mà 3
f (0) = 0 ⇒ C = 0, f (x) x 2 = − + x + 3x 1 3 . Có f (− ) 5 1 = − ; f ( ) 22 2 = 3 3 Page 26
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
*)Đồ thị f '(x) trên đoạn [ 4; − − ] 1 qua các điểm ( 4 − ;2),( 1; − 0) nên 2 ( ) 2 − = ( + ) ⇒ ( ) 2 − ' 1 x f x x f x = + x + C . 2 3 3 2 2 Mà (− ) 5 5 2 1 2 − 1 = − ⇔ = − + − = − 2 x f C − ⇒ f x =
+ x − 2, hay f (− ) 14 4 = . 2 ( ) 3 3 3 2 3 2 3
*) Đồ thị f '(x) trên đoạn [ 5; − 4 − ] qua các điểm ( 4 − ;2),( 5; − − ) 1 nên 2 ( ) = + ⇒ ( ) 3 ' 3 14 x f x x f x = +14x + C3 2 . 2 14 − 3. 4 − Mà f ( ) ( ) ( ) 14 4 14. 4 C − − = ⇔ + − + = suy ra 82 3 3 2 3 C = . 3 3 2 3x 82 31 Ta có f (x) = +14x + ⇒ f ( 5 − ) = − 2 3 6 .
Từ và ta được f (− ) + f ( ) 31 35 2 5 3 2 = − + 22 = . 3 3 f x
Câu 45: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên (0;+ ∞) thỏa mãn f ′(x) ( ) 2 + = 4x + 3x và x f ( )
1 = 2 . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) tại điểm có hoành độ x = 2 là A. y = 16 − x − 20 .
B. y =16x − 20.
C. y =16x + 20. D. y = 16 − x + 20. Lời giải Chọn B
f ′(x) f (x) 2 +
= x + x ⇔ xf ′(x) + f (x) 3 2 4 3 = 4x + 3x . x
Lấy nguyên hàm hai vế ta được: xf (x) = ∫( 3 2 x + x ) 4 3 4 3
dx = x + x + C .
Với x =1 ta có: f ( ) 1 = 2 + C . Theo bài ra f ( )
1 = 2 ⇔ 2 + C = 2 ⇔ C = 0 . Vậy ( ) 4 3 = + ⇔ ( ) 3 2 xf x x x
f x = x + x . Ta có: f ′(x) 2
= 3x + 2x ; f ′(2) =16 ; f (2) =12 .
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) tại điểm có hoành độ x = 2 là:
y =16(x − 2) +12 ⇔ y =16x − 20 . Page 27
Document Outline
- 01_03_01_01_GT12_CIII_B1-NGUYÊN-HÀM-TU-LUAN_DE
- 6) Bảng nguyên hàm và vi phân của những hàm số thường gặp
- PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
- 01_03_01_01_GT12_CIII_B1-NGUYÊN-HÀM-TU-LUAN_HDG-CHI-TIET
- 6) Bảng nguyên hàm và vi phân của những hàm số thường gặp
- PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
- 01_03_01_02_GT12_CIII_B1-NGUYÊN-HÀM-TRAC-NGHIEM-BO_DE
- 01_03_01_02_GT12_CIII_B1-NGUYÊN-HÀM-TRAC-NGHIEM-BO_HDG-CHI-TIET
- 01_03_01_03_GT12_CIII_B1-NGUYÊN-HÀM-TRAC-NGHIEM-THEO-DANG_DE
- DẠNG 1. NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
- DẠNG 2. TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
- DẠNG 3. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỈ
- DẠNG 4. PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
- 01_03_01_03_GT12_CIII_B1-NGUYÊN-HÀM-TRAC-NGHIEM-THEO-DANG_HDG-CHI-TIET
- DẠNG. NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
- DẠNG 2. TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
- DẠNG 3. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỈ
- PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
- 01_03_01_03_GT12_CIII_B1-NGUYÊN-HÀM-TRAC-NGHIEM-THEO-DANG_DE_MUC-9-10
- MỨC ĐỘ VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO
- NGUYÊN HÀM CỦA HÀM ẨN HOẶC LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH
- 01_03_01_03_GT12_CIII_B1-NGUYÊN-HÀM-TRAC-NGHIEM-THEO-DANG_HDG-CHI-TIET_MUC-9-10
- MỨC ĐỘ VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO
- NGUYÊN HÀM CỦA HÀM ẨN HOẶC LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH