Tài liệu chuyên đề số phức Toán 12

Tài liệu chuyên đề số phức Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 1
1. ĐỊNH NGHĨA
o Mt s phc là mt biu thc dng
z a bi
vi
,ab
2
1i 
.
o
i
được gọi là đơn vị o,
a
được gi là phn thc và
b
được gi là phn o ca s phc
z a bi
.
Tp hp các s phức được kí hiu là
.
.
o Chú ý: - Khi phn o
0b za
là s thc.
- Khi phn thc
0a z bi z
là s thun o.
- S
000i
va là s thc, va là s o.
o Hai s phc bng nhau:
ac
a bi c di
bd

vi
,,,abcd
.
o Hai s phc
12
; z a bi z a bi

được gi là hai s phc đi nhau.
2. S PHC LIÊN HP
S phc liên hp ca
z a bi
vi
,ab
a bi
và được kí hiu bi
z
.
Mt s tính cht ca s phc liên hp:
a)
zz
b)
''
zz zz 
c)
''zz zz 
c)
.' .'zz zz
d)
zz
z
z


z
là s thc
zz

;
z
là s thun o
zz 
3. BIU DIN HÌNH HC CA S PHC
Trong mt phng phc
Oxy
(
Ox
là trc thc,
Oy
là trc o ), s phc
z a bi
vi
,ab
được biu din bằng điểm
;M ab
.
CHƯƠNG
IV
S PHC
LÝ THUYT.
I
CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 2
4. MODULE CA S PHC
o Môđun của s phc
,z a bi a b

22
z ab

.
o Như vậy, môđun của s phc
z
z
chính là khong cách t điểm M biu din s phc
,z a bi a b

đến gc ta đ O ca mt phng phc là:
22
OM a b zz


.
o Mt s tính cht của môđun:
2
2
12 1 2
12 1 2
1
1
2
2
0; 0 0;
, ,
+
'' '
. .
zz z
z z zzzz
zz z z
z z zz z z
zz z z
z
z
z
z






5. CÁC PHÉP TOÁN VI S PHC: CNG TRNHÂN CHIA S PHC
Cho hai s phc
z a bi
;
' ' ' z a bi
vi
, , ', 'aba b
và s
k
.
o Tng hai s phc:
' ' ( ')z z a a b bi 
.
o Hiu hai s phc:
 ' ' ( ')
z z a a b bi
.
o S đối ca s phc
z a bi
z a bi 
.
o Nếu
,'uu

theo th t biu din các s phc
,'zz
thì
'uu

biu din s phc
'zz
.
'
uu

biu din s phc
'zz
.
o Nhân hai s phc:
.' ' ' .' .' .' '.
z z a bi a b i a a b b a b a b i
.
o S phc nghịch đảo:
1
2
1
zz
z
.
o Chia hai s phc:
Nếu
0z
thì
2
' '.z zz
z
z
, nghĩa là nếu mun chia s phc
'z
cho s phc
0z
thì ta nhân
c t và mu của thương
'
z
z
cho
z
.
Chú ý:
4 41 42 43
1; ; 1; (k )
kk k k
i i ii i i

 
.
6. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHC
CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 3
Cho s phc
w
. Mi s phc z tha mãn
2
zw
được gi là một căn thức bc 2 ca
w
.
Mi s phc
0w
0 có hai căn bậc hai là hai s phc đi nhau
( )
–.z z
o Trưng hp
w
là s thc (
wa
)
+ Khi
0
a >
thì
w
có hai căn bậc hai là
a
a
.
+ Khi
0a <
nên
2
()a ai

, do đó
w
có hai căn bậc hai là
.ai
.ai
.
Ví d: Hai căn bc 2 ca
1
i
i
.
Hai căn bc 2 ca
2
( 0)
aa
,
ai ai
.
o Trưng hp
( , ; 0)w a bi a b b
.
Cách 1:
Gi
(, )z x yi x y

là căn bc 2 ca
w
khi và ch khi
2
zw
, tc là:
2
22
()
...; ...
2
x yi a bi
xya
xy
xy b



Mi cp s thc
( )
;xy
nghiệm đúng hệ phương trình đó cho ra một căn bậc hai
z x yi

ca s phc
w a bi
.
Cách 2:
Có th biến đổi
w
thành bình phương của mt tổng, nghĩa là
2
wz
. T đó kết lun căn
bc hai ca
w
z
-
z
.
7. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRÊN TP S PHC
Cho phương trình bậc 2:
2
0 (1)Az Bz C 
trong đó
,,ABC
là nhng s phc
0A
.
Xét bit thc
2
4B AC
o Nếu
0
thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân bit:
12
;
22
BB
zz
AA
 

Trong đó
là một căn bậc 2 ca
.
o Nếu
0
thì phương trình (1) có nghiệm kép:
12
2
B
zz
A

CHÚ Ý:
o Mọi phương trình bậc n:
1
01 1
... 0
nn
nn
Az Az A z A

luôn có n nghim phc
(không nht thiết phân bit).
o H thc Vi-ét đi với phương trình bậc 2 s phc h s thc:
Cho phương trình bc 2 :
2
0 ( , , ; 0)Az Bz C A B C A 
có 2 nghim phân
bit (thc hoc phc). Ta có:
12
12
B
Sz z
A
C
P zz
A


H THNG BÀI TP T LUN.
II
CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 4
PHƯƠNG PHÁP GII TNG QUÁT
o ớc 1: Gọi s phc z cn tìm là
,z a bi a b
.
o c 2: Biến đổi theo điều kiện cho trước ca đ bài (thường liên quan đến môđun, biểu
thc có cha
, , ,...zz z
) đ đưa về phương trình hoặc h phương trình 2 ẩn theo
a
b
nh tính cht 2 s phc bng nhau ( phn thc bng nhau và phn o bng nhau ), ri t đó
suy ra
a
b
và suy ra được s phc
z
cn tìm.
Câu 1. Tìm phn thc, phn o, s phc liên hp và tính môđun của s phc
z
:
) 2 4 21 3.az i i i
45
) 2 4 5 2
2
i
bz i i
i

.
Câu 2. Cho s phc
32zi
. Tìm môđun số phc

12w zi z i
.
Câu 3. Tìm phn thc, phn o ca s phc sau:
2 3 20
1 1 1 1 ... 1ii i i
  
Câu 4. Tính
2 3 2017
1009 2 3 ... 2017S ii i i 
.
Câu 5. Cho s phc
1
13
2
zi
. Tính
2 3 2017
1 1 1 ... 1 .w zz z z
Câu 6. Tìm s
z
sao cho:
(2 ) 3 5z iz i 
.
Câu 7. Tìm s phc
z
khi nó thỏa mãn đồng thời các điều kin sau:
(2 ) 10
zi

. 25
zz
.
Câu 8. Cho
z
_
z
là s phc liên hp ca
z
. Biết
2
z
z
23zz
.Tìm
z
Câu 9. Tìm s phc z thỏa mãn điều kin:
12 3 4z iz i
2zi
zi
là mt s thun o.
Câu 10. Cho s phc
z
có môđun bằng
2018
w
là s phc tha mãn biu thc
11 1
z w zw

.
Môđun của s phc
w
bng?
Câu 11. Cho s phc
,zw
khác 0 sao cho
2zw z w
. Phn thc ca s phc
z
u
w
là ?
Câu 12. Tính môđun của s phc
z
biết
zz
1
zz
có phn thc bng
4.
CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 5
S DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570 VN-PLUS Đ GII V S PHC
Để thc hin các phép toán trên tp s phc, ta chuyn qua chế độ CMPLX bng cách bm
w2.
o Bấm đơn vị o
i
bng cách bm phím b.
o Tính môđun của s phc bm qc.
o Để bm s phc liên hp ca
z
bấm q22để hin Conjg (liên hp).
1. PHÉP CNG, TR, NHÂN, CHIA
Câu 1. Tính
1 (3 2 ).zi i 
ng dn:
Ta lần lượt bấm các phím như sau: 1+bp(3+2b)
Và ta được kết qu là:
Câu 2. Tính
(1 3 )( 3 4 ).zii 
ng dn:
Ta lần lượt bấm các phím tương tự như trên và ta thu được kết qu
như sau:
Câu 3. Tính
13
( 2 i)
27
i
z
i

ng dn:
Ta lần lượt nhp biu thc
13
( 2 i)
27
i
z
i

vào máy ta thu
được kết qu:
Câu 4. Cho s phc
z a bi
. S phc
2
z
có phn o là :
A.
22
ab
B.
22
2ab
C.
2ab
D.
ab
ng dn:
Vì đ bài cho dng tng quát nên ta tiến hành “cá bit hóa” bài toán bng cách chn giá tr cho
,
ab
(lưu ý nên chọn các giá tr l để tránh xy ra trường hợp đặc bit).
Chn
1.25a
2.1b
ta có
1.25 2.1zi
S dng máy tính Casio tính
2
z
1. 25+2. 1b) d=
Vy phn o là
21
4
CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 6
Xem đáp số nào có giá tr
21
4
thì đáp án đó chính xác. Ta có :
Vy
21
2
4
ab
Đáp án C là chính xác.
Câu 5. Cho s phc
z a bi

. S phc
1
z
có phn thc là :
A.
ab
B.
22
a
ab
C.
22
b
ab
D.
ab
ng dn:
Vì đ bài mang tính cht tng quát nên ta phi cá bit hóa, ta chn
1; 1.25ab
.
Vi
1
1
z
z
S dng máy tính Casio
a1R1+1. 25b=
Ta thy phn thc s phc
1
z
là :
16
41
đây là 1 giá trị dương. Vì ta
chn
0ba
nên ta thấy ngay đáp số C D sai.
Th đáp số A
9 16
1 1.25
4 41
ab
vậy đáp số A cũng sai
Đáp án chính xác là B
Câu 6. Cho s phc
2 3 22
1 1 ... 1zi i i  
. Phn thc ca s phc
z
là :
A.
11
2
B.
11
22
C.
11
22
D.
11
2
ng dn:
y s trên là mt cp s nhân vi
2
1
1Ui

, s s hng là
21
và công bi là
1 i
. Thu gn
z
ta
được :
21
2
1
11
1
. 1.
1
11
n
i
q
zU i
q
i



S dng máy tính Casio tính
z
(1+b)dOa1p(1+b)^21R1p(1+b)=
Vy
2050 2048zi
Phn o s phc
z
11
2050 2 2 
Đáp s chính xác là C
2. TÍNH MÔĐUN
Câu 1. Tìm môđun của s phc
(1 2 ) 2 6iz i 
.
CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 7
ng dn:
62
(1 2 ) 2 6
12
i
iz i z z
i


.Nên ta thc hin bấm như sau:
qcap6p2bR1p2b=
Ta thu được kết qu:
Câu 2. Tìm s phc
2. .
12
zz
. Biết
3
2 4 2(1 )
3
4 3 (1 ) ,
12
1
ii
z i iz
i


ng dn:
- Tính
3
4 3 (1 )
1
z ii
và lưu vào biến A:
4p3b+(1pb)^3qJz
- Tính
3
2 4 2(1 )
2
1
ii
z
i

và lưu vào biến B
a2+4bp2(1pb)^3R1+bqJx
- Tính
2. .
12
zz
:
2q22q22Qz)OQx)=
CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 8
3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHT
Câu 1. Tìm môđun của s phc
z
tha mãn:
13 3 7 2
iz i i 
.
5
. 1 . 4 . 2 .
3
Az Bz C z Dz
ng dn:
Ta chuyn
z
v dng:
7 23
13
ii
z
i

và tìm môđun.
Quy trình bm máy:
Qca7bp2p3bR1p3b=
Màn hình hin th:
>>> Chn C.
Câu 2. Cho s phc
z
tha mãn
(3 )( 1) (2 )( 3 ) 1 .iz iz i i
Tìm môđun của s phc
1
iz
w
z
.
82 82 2 82 3 82
. . .
.
48 9 5
ABC D
ng dn:
đây là sẽ cho phím X s là đi din cho s phc
z
.
Đây là phương trình bậc nht ca s phc.
c 1: Các em nhp lại phương trình này với máy tính lần lượt như sau:
(3 )(X 1) (2 )(C onj ( ) 3 ) (1 )i i gX i i 
(3pb)(Q)+1)+(2pb)(q22Q))+3b)p(1pb)
Màn hình hin th:
c 2:
Tìm s phc
z a bi
nghĩa là đi tìm a và b.
Ta s cho trước a=10000 và b=100 ri t đó suy ngược li mi quan h ca a và b bằng 1 hệ phương
trình 2 ẩn theo a và b, lúc đó tìm được a và b.
Cho
10000 100zi
bng cách nhập r10000+100b=
Màn hình s cho kết qu:
Nghĩa là:
(3 )( 1) (2 )( 3 ) (1 ) 50005 19894 5 5 (2 6)
iz iz i i i a a b i
.
Cho nên:
(3 )( 1) (2 )( 3 ) (1 ) 0
5 50 5 50
1, 8 1 8
2 60 2 6
iz iz i i
aa
ab z i
ab ab



 

 





CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 9
T đó tính môđun của
w
:
>>> Chn B.
Câu 3. Cho s phc
z a bi
thỏa mãn điều kin
( ) ( ) ( )
2
23 4 13iz iz i + + =−+
.Tìm
2
P ab
A.
3
B.
1
C.
1
D. Đáp án khác
Gii:
Phương trình
2
23 4 13 0iz iz i

Nhp vế trái vào máy tính Casio và CALC vi
1000 100Xi
) ))(2p3b) Q +(4+b) q 22Q
+(1+3b) dr 1000+100b=
Vy vế trái
6392 2194i
vi
6392 6.1000 4.100 8 6 4 8
2194 2.1000 2.100 6 2 2 6
ab
ab


Để vế trái
0
thì
6 4 80
2 2 60
ab
ab


2; 5ab

Vy
25
zi
21
P ab 
Đáp số chính xác là C.
CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 10
4. BIU DIN HÌNH HC CA S PHC
Câu 1. Các đim
,,MNP
lần lượt là điểm biu din cho các s phc
1
4
;
1
i
z
i

2
1 12z ii
3
; 12zi

A. Tam giác vuông B.Tam giác cân C.Tam giác vuông cân D.Tam giác
ng dn:
Rút gọn
1
z
bng Casio
a4bRbp1=
Ta được
1
22zi
vậy điểm
2; 2M
Rút gọn
2
z
bng Casio
(1pb)(1+2b) =
Ta được
2
3
zi
vậy điểm
3;1N
Tương tự
2
12zi
và điểm
1; 2P
Để phát hin tính cht ca tam giác
MNP
ta nên biu diễn 3 điểm
,,MNP
trên h trc tọa độ
D thy tam giác MNP vuông cân ti P
đáp án C chính xác
Câu 2. Trong mt phng ta đ
Oxy
, gi
M
là điểm biu din s phc
34zi
, điểm
'M
là điểm
biu din s phc
1
'
2
i
zz
. Tính din tích
'OMM
CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 11
A.
'
25
4
OMM
S
B.
'
25
2
OMM
S
C.
'
15
4
OMM
S
D.
'
15
2
OMM
S
ng dn:
Đim
M
biu din s phc
1
34zi
ta đ
3; 4M
Đim
'
M
biu din s phc
1
'
2
i
zz
ta đ
71
;
22
N


a1+bR2$O(3p4b) =
Gc ta đ
0; 0O
Để tính din tích tam giác
'OMM
ta ng dụng tích có hướng ca 2 vecto trong không gian. Ta thêm
cao đ 0 cho ta đ mỗi điểm
,, '
OMM
là xong
3; 4; 0OM

,
71
' ; ;0
22
OM



1
;'
2
S OM OM




 
Tính
;'OM OM



 
w 8113=p4=0=q 51217P2=
p1P2=0=Cq 53q 57q 54=
Vy
'
25 1 25
; ' 12.5 ; '
22 4
OMM
OM OM S OM OM
 

 
 
   
CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 12
GII PHƯƠNG TRÌNH BC HAI TRÊN TP S PHC
Câu 1. Giải phương trình bậc hai sau:
2
2 30zz+ +=
.
Câu 2. Giải phương trình bậc hai sau:
2
2 4 20
z zi+ + −=
.
ĐƯA PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO VỀ NHỮNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, PHƯƠNG
TRÌNH BẬC HAI.
c 1:
Để đưa phương trình thành nhân tử thì ta phi nhm nghim của phương trình. Có các cách
nhm nghiệm như sau:
o Tng các h s của phương trình bằng 0 thì nghim của phương trình là
1x =
.
o Tng các h s bc chn bng tng h s bc l thì nghim của phương trình
1x =
.
o Định lý Bézout:
Phần dư trong phép chia đa thức
( )
fx
cho
xa
bằng giá trị của đa thức
()fx
tại
xa
. Tức là
( ) ( ) ( ) ( )
f x x agx f a=−−
Hệ quả: Nếu
( )
0fa=
thì
( ) ( )
fx x a
.
Nếu
( ) (
)
fx x a
thì
(
)
0
fa
=
.
o Sử dụng máy tính Casio để nhẩm nghiệm:
- Nhập phương trình vào máy tính.
- Bấm phím r rồi nhập 1 giá trị X bất kỳ, máy tính sẽ cho ra nghiệm của phương trình.
Sau đó dùng sơ đồ hoocne để phân tích thành nhân tử.
o Sơ đồ Hoocne:
Với đa thức f(x) =
12
1 2 10
...
nn n
nn n
a x a x a x ax a
−−
−−
+ + ++ +
chia cho x - a thương là
g(x) =
123
1 2 3 10
...
nn n
nn n
b x b x b x bx b
−−
−−
+ + ++ +
r
.
Nếu
0r =
thì
( ) ( )
f x gx
, nghĩa là:
( ) (
) (
)
f x x agx=
.
Ta đi tìm các hệ số
1 2 3 10
, , ... ,
nn n
b b b bb
−−
bằng bảng sau đây.
n
a
1n
a
2n
a
...
2
a
1
a
0
a
a
1
n
n
b
a
=
2
11
n
nn
b
ab a
−−
= +
3
22
n
nn
b
ab a
−−
= +
1
22
b
ab a= +
0
11
b
ab a= +
00
r
ab a= +
..
Bước 2: Giải phương trình bậc nhất hoặc phương trình hai số phức, kết luận nghiệm.
Câu 1. Giải các phương trình:
3
27 0z
.
Câu 2. Giải phương trình sau:
32
3 1 2 3 8 5 2 0.z iz iz i 
Câu 3. Cho phương trình sau:

32
2–2 5–4 10 0 1
z iz iz i
biết rằng phương trình có
nghim thun o.
CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 13
Câu 4. Gii
32
3 2 16 2 0
z iz iz i 
biết rằng phương trình có 1 nghiệm thc.
Câu 5. Giải phương trình
32
2 3 31 2 9 0z iz iz i

biết rằng phương trình có một nghim
thun o.
Câu 6. Gi
1234
;;;zzzz
là 4 nghim phc của phương trình
( )
++ + =
42
4 4 0 (1).z mz m
Tìm tt c các
giá tr
m
để
+++=
1234
6.zzzz
Câu 7. Cho phương trình
42
4 40z mz+ +=
trong tp s phc và
m
là tham s thc. Gi
1234
,,,zzzz
lần lượt là 4 nghim của phương trình đã cho. Tìm tất c các giá tr ca
m
để
( )( )(
)( )
2222
1234
4 4 4 4 324zzzz+ + + +=
.
S DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570VN-PLUS Đ GII
Để thc hin các phép toán trên tp s phc, ta chuyn qua chế độ CMPLX bng cách bm
w2.
o Bấm đơn vị o
i
bng cách bm phím b
o Bm 2 và la chn các chc năng:
o Chọn 1 để bm acgumen ca
(
)
(
)
arg
zz
.
o Chọn 2 để bm s phc liên hp ca
( )
( )
z Conjg z
.
o Chọn 3 để chuyn t dng đi s sang dng lưng giác.
o Chọn 4 để chuyn t dng lưng giác sang dng đi s.
o
Bm du
bng cách bm: qz
Câu 1. Giải phương trình bậc hai sau:
2
4 10 0zz
.
ng dn:
Quy trình bm: w531=p4=10==
Thu được kết qu:
Câu 2. Gi
12
,zz
là 2 nghim của phương trình :
2
10zz
. Tính
2018 2018
12
.Pz z
ng dn :
Quy trình bấm như sau:
o Tìm nghim
12
,zz
w531=1=1==
Thu được kết qu:
o Lưu 2 nghiệm vào X và Y:
CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 14
o Màn hình hin th là đã lưu biến X thành công, tương tự biến Y.
o Tính P .
o Sau đó vào w2 và nhập P và thu được kết qu:
Sau đây là Bài toán 3 tương tự Bài toán 2 nhưng giải theo dạng lượng giác của s phức. Cách này
luôn giải được với số mũ lớn bất kỳ, cách giải theo Bài toán 2 có thể không giải được với số mũ lớn
nào đó.
Câu 3. Biết
z
là nghim của phương trình
1
1z
z

. Tính giá tr biu thc
2009
2009
1
Pz
z

A.
1
P
B.
0P
C.
5
2
P 
D.
7
4
P
ng dn:
Quy đồng phương trình
1
0z
z

ta được phương trình bậc hai
2
10zz
. Tính nghim
phương trình này với chức năng MODE 5 3
w 531=p1=1==
Ta thu được hai nghiệm
z
nhưng hai nghiệm này có vai trò như nhau nên chỉ cần lấy một nghiệm
z
đại diện là được
Với
13
22
zi
ta chuyển về dạng lượng giác
1 cos sin
33
zi




a1R2$+as3R2$bq 23=
Vậy
2009 2009
1 cos2009. sin 2009. cos2009. sin 2009.
33 33
zi i
 











Tính
2009
z
và lưu và biến
A
Wk2009Oaq K R3$ +bj 2009
Oa q K
)
)R3 $ = q J z
CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 15
Tng kết
1
1
PA
A

Qz+a1RQz=
Đáp số chính xác là A
CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 16
TP HP ĐIM CA S PHC
Trong dng này, ta gp các bài toán biu din hình hc ca s phức hay còn gọi là tìm tp
hợp điểm biu din mt s phc
z
trong đó số phc
z
tha mãn mt h thức nào đó. Khi đó
ta giải bài toán này như sau:
1. Phương pháp tổng quát:
Đặt
=+∈ ,()
z x yi x y
. Khi đó số phc
z
biu din trên mt phng phc bởi điểm
;M xy
. Biến đổi điều kin ca bài toán thành để tìm mi liên h gia
x
y
t đó suy ra
tp hợp điểm M.
2. Gi s các điểm M, A, B lần lượt là điểm biu din ca các s phc z, a, b
o
| || |z a z b MA MB
M thuộc đường trung trc của đon AB
o
| | | | ( , 0, | |)z a z b k k k k a b MA MB k 
()ME
nhận A, B là hai tiêu điểm và có độ dài trc ln bng k.
3. Gi s M và M’ lần lượt là điểm biu din ca s phc z w = f(z)
Đặt z = x + yi và w = u + vi
(,, , )
xyuv
.
H thc w = f(z) tương đương với hai h thc liên h gia x, y, u, v
o Nếu biết mt h thc gia x, y ta tìm đưc mt h thc gia u, v và suy ra đưc tp
hợp các điểm M’
o Nếu biết mt h thc gia u, v ta tìm đưc mt h thc gia x, y và suy ra được tp
hợp điểm M’.
1. Các dng phương trình đưng thẳng
- Dng tng quát:
0
ax by c

. - Dng đi s:
y ax b
.
- Dng tham s:
0
0
x x at
y y bt


- Dng chính tc:
00
xx yy
ab

.
- Phương trình đoạn chn
1
xy
ab

.
- Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm
0 00
;M xy
biết h s góc k:
00
()y kx x y 
2. Phương trình đường tròn tâm I(a;b) bán kính R:
2 22
( )( )
xa yb R 
22
22 0x y ax by c 
vi
22 2
ca b R

Lưu ý điều kiện để phương trình:
22
22 0x y ax by c 
là phương trình đường tròn:
22
0abc 
có tâm
,I ab

và bán kính
22
R abc 
.
3. Phương trình (Elip):
22
22
1
xy
ab

Vi hai tiêu c
1 2 12
( ; 0), ( ; 0), 2FcFcFF c
. Trc ln 2a, trc bé 2b
2 22
a bc

.
Câu 1. Gi s M là điểm trên mt phng phc biu din s phc
z
. Tìm tp hợp các điểm M tha mãn
một trong các điều kiện sau đây:
a) =2 b)
13 4zi
c)
Câu 2. Trong mt phng
Oxy
, tìm tp hợp điểm biu din các s phc
z
tha mãn
1z i iz
.
1zi−+
21zi+=
CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 17
Câu 3. Cho các s phc
123
, ,
zzz
có biu din trên mt phng phức là ba đỉnh ca tam giác đu có
phương trình đường tròn ngoại tiếp là
22
2017 2018 1.xy
Tng phn thc và phn
o ca s phc
123
wz z z
bng?
Câu 4. Tìm tp hp các đim biu din ca s phc
z
sao cho
23
zi
u
zi

là mt s thun o.
Câu 5. Trên mt phng to độ, tìm tp hợp điểm biu din s phc z tho mãn điều kin sau:
a)
22zi zz i
b)
1 14zz
Câu 6. Trong tp s phc
, gi
1
z
2
z
các nghim ca phương trình
2
2 10 0zz
. Gi
M
,
N
,
P
ln lưt là các đim biu din ca
1
z
,
2
z
và s phc
k x iy
trên mt phng phc. Đ
tam giác
MNP
đều thì s phc
k
là?
Câu 7. Trong mt phng phc, cho
m
M
theo th t là điểm biu din ca s phc
= +
z x yi
=
+
1
.
2
z
Z
zi
Tìm tp hợp các điểm
m
sao cho:
Z
là mt s thc.
Câu 8. Tp hợp các điểm
M
biu din s phc
z
tha mãn
4zi zi
là?
Câu 9. Cho s phc
z
tha mãn
12z −=
. Biết rng tp hp các đim biu din s phc
(
)
13 2w iz
=++
là một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.
Câu 10. Cho các s phc
z
tha mãn
1 3.z

Biết rng tp hợp các điểm biu din các s phc
w
vi
32 2i w iz 
là một đường tròn. Tìm tọa đ tâm
I
và bán kính
r
của đường tròn đó
Câu 11. Cho hai s phc
12
, zz
tha mãn
1
3z
,
2
2z
đưc biu din trong mt phng phc ln t là
các đim
, MN
. Biết góc to bi gia hai vectơ
OM

ON

bng
0
30
. Tính giá tr ca biu thc
12
12
.
zz
A
zz
S DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570 VN- PLUS
Câu 1. Trên mặt phẳng Oxy tìm tập hợp biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện
( )
2
||–2zi i
+=
A.
2 10xy+ −=
B.
( ) ( )
22
1 –2 9xy++ =
C.
( ) ( )
22
1 24xy ++ =
D.
3 4 20
xy+ −=
Hướng dẫn:
Ta giả sử:
z A Bi
.
Nên điều kiện của bài toán được viết lại là:
2 2 0.A Bi i i 
o w2 và nhập điều kiện vào:
Thử đáp án A.
2 1 0 12xy x y+ −= =−
.
Cho
1y =
ta được
1x =
.
Nhập rp1=1=thu được kết quả khác 0.
CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 18
>>> Loại đáp án A.
Thử đáp án B.
( ) ( )
22
1 –2 9xy++ =
.
Cho
1x =
ta được
5y =
hoặc
1y =
.
rp1=5= ra kết quả khác 0.
>>> Loại đáp án B
Thử đáp án C.
( ) ( )
22
1 24xy ++ =
.
Cho
1x =
ta được
0y
=
4
y =
.
r1=0= và r1=p4= đều được kết quả bằng 0.
Vậy đáp án đúng là C.
Câu 2. Cho các s phc
z
tha mãn
4z
. Biết rng tp hợp các điểm biu din các s phc
34w iz i

là một đường tròn. Tính bán kính
r
của đường tròn đó.
A.
4r
B.
5r
C.
20r
D.
22r
ng dn:
Để xây dựng 1 đường tròn ta cần 3 điểm biu din ca
w
, vì
z
s sinh ra
w
nên đầu tiên ta s chn
3 giá trị đại din ca
z
tha mãn
4z
Chn
40zi

(tha mãn
4z
). Tính
1
3440
w i ii
(3+4b) O4+b=
Ta có điểm biu din ca
1
z
12;17M
Chn
4zi
(tha mãn
4
z
). Tính
2
344w ii i

(3+4b) O4b+b=
Ta có điểm biu din ca
2
z
16;13N
Chn
4zi
(tha mãn
4z
). Tính
3
34 4w i ii
CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 19
(3+4b)(p4b) +b=
Ta có điểm biu din ca
3
z
16; 11P
Vậy ta có 3 điểm
,,
MNP
thuộc đường tròn biểu din s phc
w
Đường tròn này sẽ có dng tng quát
22
0x y ax by c 
. Để tìm
,,abc
ta s dng máy tính
Casio vi chức năng MODE 5 3
w 5212=17=1=p12dp17d=p16=
13=1=p16dp13d=16=p11=1=
p16dp11d==
Vậy phương trình đường tròn biu din s phc
w
là:
2
22 2 2
2 399 0 1 20
xy y x y 
.
Bán kính đường tròn tập hợp điểm biu din s phc
w
là 20
Đáp án chính xác là C.
Câu 3. Tp hợp điểm biu din s phc
z
tha mãn
21 2z zz i 
là mt Parabol có dng:
A.
2
3 62yx x 
B.
2
2
x
yx
C.
2
4
3
x
y 
D.
2
1
2
3
yx x
ng dn:
Đặt s phc
z x yi
.
Nếu đáp số A đúng thì đúng với mi
z x yi
tha mãn
2
3 62yx x 
.
Chn mt cp
;xy
bt kì tha
2
3 62yx x

ví d
0; 2 2A zi
Xét hiu
21 2z zz i 
2q c2bp1$pq c2bp(p2b) +2b=
Vy
2 1 2 6 25 0z zz i

21 2z zz i 
Đáp số A sai
Tương tự với đáp số B chn
1
1
2
zi
. Xét hiu
21 2z zz i 
CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 20
2q c1pabR2$p1$pq c1pab
R2$p(1+abR2$) +2b=
Vy
21 20z zz i

21 2z zz i 
Đáp số B chính xác.
D. BÀI TOÁN CC TR CA S PHC
I. PHƯƠNG PHÁP QUY VỀ TÌM MIN-MAX CA HÀM MT BIN KT HP S DNG
TÍNH CHT CA S PHC.
Bài toán: Trong các s phc
z
tho mãn điều kin T. Tìm s phc
z
để biu thức P đạt giá
tr nh nht, ln nht.
Phương pháp tổng quát: Đặt
;z x yi x y
.
T điều kin T, biến đổi đ tìm cách rút n ri thế vào biu thức P để được hàm mt biến.
Tìm giá tr ln nht (hoc nh nht) tu theo yêu cu bài toán ca hàm s mt biến va tìm
được.
Sử dụngcác tính chất và các bất đẳng thức về môđun của số phức sau để giải quyết các
bài toán min-max:
''
''
.' .'
'
'
zz
zz zz
zz zz
zz zz
zz
z
z
•=
•+ =+
•− =
•=

•=


2
2
12 1 2
12 1 2
1
1
2
2
0; 0 0;
, ,
+
'' '
. .
zz z
z z zzzz
zz z z
z z zz z z
zz z z
z
z
z
z






Kết hợp sử dụng các bất đẳng thức liên h giữa trung bình cộng và trung bình nhân, BĐT
Bunhia- Cốpxki.
Bt đẳng thức Bunhiacopxki :Cho các s thc
,,,abxy
ta luôn có
2
2 22 2
ax by a b x y 
. Du = xy ra
ab
xy

Bt đẳng thức Vectơ : Cho 2 vecto
;uxy
'; 'vx y
ta luôn có
u v uv

22
22 2 2
'' ' 'x y x y xx yy 
Du = xy ra
0
''
xy
xy

CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 21
Câu 1. Trong các s phc tho mãn điều kin , tìm s phc có môđun nhỏ
nht.
Câu 2. Cho các s phc
z
tha mãn
2
25zm m
, vi
m
là tham s thc. Biết rng tp hp các
điểm biu din các s phc
34 2w iz i
là một đường tròn. Bán kính nhỏ nht ca
đường tròn đó bằng?
Câu 3. Trong các s phc có phn thc, phn o không âm và tho mãn: .Tìm s
phc sao cho biu thc đạt giá tr ln nht,
nh nht.
Câu 4. Trong các s phc thỏa mãn điều kin .Tìm s phc có môđun nhỏ
nht.
Câu 5. Trong các s phc tha mãn Tìm s phc để đạt giá tr ln nht
Câu 6. Trong các s phc tha: biết rng s phc có modul
nh nhất. Khi đó, giá trị ca ?
Câu 7. Cho s phc tha . Tính tng giá tr ln nht và giá tr nh nht ca
.
Câu 8. S phc tha mãn Tng giá tr ln nht và giá tr nh nht ca biu thc
Câu 9. Cho số phức thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của
Câu 10. Trong các s phc tho mãn . Tìm giá tr ln nht, giá tr nh nht ca và
xy ra khi bng bao nhiêu?
Câu 11. Cho s phc tha mãn . Tng giá tr ln nht và giá tr nh nht ca
bng bao nhiêu ?
Câu 12. Cho s phc tha mãn . Giá tr ln nht và giá tr nh nht ca
bng bao nhiêu ?
Câu 13. Trong các s phc có môđun bằng . Tìm s phc sao cho biu thc
đạt giá tr ln nht.
Câu 14. Cho s phc tha mãn . Gi , lần lượt giá tr ln nht và nh nht
Khi đó bng ?
Câu 15. Cho s phc
z
tha mãn
4 4 10zz
. Giá tr ln nht và nh nht ca
z
bng?
z
15 3z iz i
z
z
3
1
12
z
zi

z
22 22
. . (1 ) (1 )Pzz zziz iz i




z
24 2z izi
z
z
1.z
z
 1 31zz
z
34 ,z iz
,,z a bi a b
2
Pa b
1z
2
11Pz z z= ++ −+
0z
2.z
.
zi
P
z
z
−− =23 1zi
= ++1Pz i
z
34 4zi
z
z
z
2 11
iz

1z
z
1 2 10
zi
14zi
z
22
z
1P z zi 
z
3 38zz
M
m
.z
Mm
CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 22
PHƯƠNG PHÁP HÌNH HC GII BÀI TOÁN MIN-MAX
Bài toán 1: Cho đường tròn
()T
c định có tâm I bán kính R và điểm A c định. Điểm M di
động trên đường tròn
()
T
. Hãy xác định v trí điểm M sao cho AM ln nht, nh nht.
Gii:
TH1: A thuộc đường tròn (T)
Ta có: AM đạt giá tr nh nht bằng 0 khi M trùng với A
AM đt giá tr ln nht bằng 2R khi M là điểm đối xng vi A qua I
TH2: A không thuộc đường tròn (T)
Gọi B, C là giao điểm của đường thẳng qua A,I và đường tròn (T);
Gi s AB < AC.
+) Nếu A nằm ngoài đường tròn (T) thì với điểm M bt kì trên (T), ta có:
AM AI IM AI IB AB 
.
Đẳng thc xy ra khi
MB
AM AI IM AI IC AC 
.
Đẳng thc xy ra khi
MC
+) Nếu A nằm trong đường tròn (T) thì với điểm M bt kì trên (T),
ta có:
AM IM IA IB IA AB 
.
Đẳng thc xy ra khi
MB
AM AI IM AI IC AC
 
.
Đẳng thc xy ra khi
MC
Vậy khi M trùng với B thì AM đạt gía tr nh nht.
Vậy khi M trùng với C thì AM đạt gía tr ln nht.
Bài toán 2: Cho hai đường tròn
1
()T
có tâm I, bán kính R
1
; đường tròn
2
()T
có tâm J, bán
kính R
2
. Tìm v trí của điểm M trên
1
()T
, điểm N trên
2
()T
sao cho MN đạt giá tr ln nht,
nh nht.
Gii:
Gọi d là đường thẳng đi qua I, J; d cắt đường tròn
1
()T
tại hai điểm phân bit A, B (gi s JA > JB)
; d ct
2
()T
tại hai điểm phân bit C, D ( gi s ID > IC).
Với điểm M bt khì trên
1
()T
và điểm N bt kì trên
2
()T
.
Ta có:
12
MN IM IN IM IJ JN R R IJ AD  
Đẳng thc xảy ra khi M trùng với A và N trùng với D
12
MN IM IN IJ IM JN IJ R R BC 
.
CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 23
Đẳng thc xảy ra khi M trùng với B và N trùng với C.
Vậy khi M trùng với A và N trùng với D thì MN đạt
giá tr ln nht.
khi M trùng với B và N trùng với C thì MN đạt giá tr
nh nht.
Bài toán 3: Cho hai đường tròn
()T
có tâm I, bán kính R; đường thng
không có điểm
chung vi
()T
. Tìm v trí của điểm M trên
()T
, điểm N trên
sao cho MN đạt giá tr nh
nht.
Gii:
Gi H là hình chiếu vuông góc ca I trên d
Đon IH cắt đường tròn
()T
tại J
Vi M thuộc đường thng
, N thuộc đường tròn
()T
, ta có:
MN IN IM IH IJ JH const 
.
Đẳng thc xy ra khi
;M HN I
Vậy khi M trùng với H; N trùng với J thì MN đạt giá tr nh nht.
Câu 1. Trong các s phc tho mãn . Tìm giá tr ln nht, giá tr nh nht ca
Câu 2. Trong các s phc tho mãn điều kin là mt s o, tìm s phc sao cho
có môđun lớn nht.
Câu 3. Trong các s phc tho mãn: , tìm s phc sao cho
đạt giá tr ln nht.
Câu 4. Cho các s phc tho mãn: là mt s thc. Tìm s phc
sao cho đạt giá tr nh nht.
Câu 5. Trong các s phc có môđun bằng . Tìm s phc sao cho biu thc
đạt giá tr ln nht.
Câu 6. Cho s phc tha mãn . Gi lần lượt là giá tr ln nht và giá tr nh
nht ca . Tính giá tr .
Câu 7. Trong các s phc tho mãn điều kin . Tìm s phức z có môđun lớn nht.
Câu 8. Biết rng s phc tha mãn là mt s thc. Tìm giá tr nh nht
ca .
Câu 9. Tìm s phc có mô đun lớn nht và thỏa mãn điều kin .
Câu 10. Cho s phc tha mãn và đạt
giá tr nh nht . Tính .
z
34 4zi
z
z
( 2 4)zz i
z
1zi 
12
,zz
12
1 1; 6 6 6z iz i
12
,zz
12
zz
12
;zz
1 22
1 ; (1 ) 6 2z zz i i




12
;zz
2
2 12 12
P z zz zz
z
2
z
1 17Pz z i 
z
( )
34 5zi−+ =
,Mm
22
2P z zi=+ −−
22
AM m= +
z
3 3 10zz
z
3 13u z iz i 
z
z
13
1 32
2
zi i 
,z a bi a b
12z izi++ = +
23 1Pz iz 
2Pa b= +
CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 24
Câu 11. Cho hai s phc
12
, zz
tha mãn
1
23zi
22
22 24z iz i 
. Giá tr nh nht
ca biu thc
12
Pzz
bng?
S DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570 VN-PLUS Đ GII DNG MAX, MIN S PHC
Câu 1. Trong các s phc có môđun bằng . Tìm s phc sao cho biu thc
đạt giá tr ln nht.
ng dn:
o Chuyn qua chế độ s phc: w2
o Nhp biu thc P :
qcQ)p1$+ qcQ)p1+7b
Màn hình hin th:
o Gán X cho từng đáp án, dùng phím: r
o So sánh kết qu và ta tìm được giá tr ln nht là 7
Câu 2. Trong các s phc tho mãn điều kin . Tìm s phức z có môđun lớn nht.
Hướng dẫn:
o Chuyn qua chế độ s phc: w2
o Nhập biểu thức: vào máy tính:
qcQ)p3$ qcQ)+3$p10.
Màn hình hin th:
o Dùng phím r để nhập các đáp án, nếu đáp án nào cho kết qu
bng 0 thì thỏa mãn điều kin .
Ta thy 3 đáp án A,B,C thỏa mãn điều kiện đề bài nhưng đáp
án B có môđun lớn nht. Chn B.
z
2
z
1 17Pz z i 
.1 i 3 .1 3 . 3 . 3A Bi C i D i 
z
3 3 10zz
9 12
.4 .5 .3 .3 5 i
55
AiB CiD 
3 3 10zz
3 3 10zz
CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 1
1. ĐỊNH NGHĨA
o Mt s phc là mt biu thc dng
z a bi
vi
,ab
2
1i 
.
o
i
được gọi là đơn vị o,
a
được gi là phn thc và
b
được gi là phn o ca s phc
z a bi
.
Tp hp các s phức được kí hiu là
.
.
o Chú ý: - Khi phn o
0b za
là s thc.
- Khi phn thc
0a z bi z
là s thun o.
- S
000i
va là s thc, va là s o.
o Hai s phc bng nhau:
ac
a bi c di
bd

vi
,,,abcd
.
o Hai s phc
12
; z a bi z a bi

được gi là hai s phc đi nhau.
2. S PHC LIÊN HP
S phc liên hp ca
z a bi
vi
,ab
a bi
và được kí hiu bi
z
.
Mt s tính cht ca s phc liên hp:
a)
zz
b)
''
zz zz 
c)
''zz zz 
c)
.' .'zz zz
d)
zz
z
z


z
là s thc
zz

;
z
là s thun o
zz 
3. BIU DIN HÌNH HC CA S PHC
Trong mt phng phc Oxy ( Ox là trc thc, Oy là trc o ), s phc
z a bi
vi
,ab
được biu din bằng điểm
;M ab
.
4. MODULE CA S PHC
CHƯƠNG
IV
S PHC
LÝ THUYT.
I
CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 2
o Môđun của s phc
,
z a bi a b
22
z ab

.
o Như vậy, môđun của s phc
z
z
chính là khong cách t điểm M biu din s phc
,z a bi a b
đến gc ta đ O ca mt phng phc là:
22
OM a b zz 

.
o Mt s tính cht của môđun:
2
2
12 1 2
12 1 2
1
1
2
2
0; 0 0;
, ,
+
'' '
. .
zz z
z z zzzz
zz z z
z z zz z z
zz z z
z
z
z
z






5. CÁC PHÉP TOÁN VI S PHC: CNG TRNHÂN CHIA S PHC
Cho hai s phc
z a bi
;
' ' '
z a bi
vi
, , ', 'aba b
và s
k
.
o Tng hai s phc:
' ' ( ')z z a a b bi 
.
o Hiu hai s phc:

' ' ( ')z z a a b bi
.
o S đối ca s phc
z a bi
z a bi 
.
o Nếu
,'uu

theo th t biu din các s phc
,'zz
thì
'uu

biu din s phc
'zz
.
'uu

biu din s phc
'zz
.
o Nhân hai s phc:
.' ' ' .' .' .' '.z z a bi a b i a a b b a b a b i
.
o S phc nghịch đảo:
1
2
1
zz
z
.
o Chia hai s phc:
Nếu
0z
thì
2
' '.z zz
z
z
, nghĩa là nếu mun chia s phc
'z
cho s phc
0z
thì ta nhân
c t và mu của thương
'z
z
cho
z
.
Chú ý:
4 41 42 43
1; ; 1; (k )
kk k k
i i ii i i

 
.
6. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHC
CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 3
Cho s phc
w
. Mi s phc z tha mãn
2
zw
được gi là một căn thức bc 2 ca
w
.
Mi s phc
0w
0 có hai căn bậc hai là hai s phc đi nhau
( )
–.z z
o Trưng hp
w
là s thc (
wa
)
+ Khi
0
a >
thì
w
có hai căn bậc hai là
a
a
.
+ Khi
0a <
nên
2
()a ai

, do đó
w
có hai căn bậc hai là
.ai
.ai
.
Ví d: Hai căn bc 2 ca
1
i
i
.
Hai căn bc 2 ca
2
( 0)
aa
,
ai ai
.
o Trưng hp
( , ; 0)w a bi a b b
.
Cách 1:
Gi
(, )z x yi x y

là căn bc 2 ca
w
khi và ch khi
2
zw
, tc là:
2
22
()
...; ...
2
x yi a bi
xya
xy
xy b



Mi cp s thc
( )
;xy
nghiệm đúng hệ phương trình đó cho ra một căn bậc hai
z x yi

ca s phc
w a bi
.
Cách 2:
Có th biến đổi
w
thành bình phương của mt tổng, nghĩa là
2
wz
. T đó kết lun căn
bc hai ca
w
z
-
z
.
7. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRÊN TP S PHC
Cho phương trình bậc 2:
2
0 (1)Az Bz C 
trong đó
,,ABC
là nhng s phc
0A
.
Xét bit thc
2
4B AC
o Nếu
0
thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân bit:
12
;
22
BB
zz
AA
 

Trong đó
là một căn bậc 2 ca
.
o Nếu
0
thì phương trình (1) có nghiệm kép:
12
2
B
zz
A

CHÚ Ý:
o Mọi phương trình bậc n:
1
01 1
... 0
nn
nn
Az Az A z A

luôn có n nghim phc
(không nht thiết phân bit).
o H thc Vi-ét đi với phương trình bậc 2 s phc h s thc:
Cho phương trình bậc 2 :
2
0 ( , , ; 0)Az Bz C A B C A 
có 2 nghim phân
bit (thc hoc phc). Ta có:
12
12
B
Sz z
A
C
P zz
A


H THNG BÀI TP T LUN.
II
CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 4
PHƯƠNG PHÁP GII TNG QUÁT
o ớc 1: Gọi s phc z cn tìm là
,z a bi a b
.
o c 2: Biến đổi theo điều kiện cho trước ca đ bài (thường liên quan đến môđun, biểu
thc có cha
, , ,...zz z
) đ đưa về phương trình hoặc h phương trình 2 ẩn theo
a
b
nh tính cht 2 s phc bng nhau ( phn thc bng nhau và phn o bng nhau ), ri t đó
suy ra
a
b
và suy ra được s phc
z
cn tìm.
Câu 1. Tìm phn thc, phn o, s phc liên hp và tính môđun của s phc
z
:
) 2 4 21 3.az i i i
45
) 2 4 5 2
2
i
bz i i
i

.
Gii:
2
a) 24 213 24 2 6 26 686z i i i iii i i   
.
Phn thc: 8 ; Phn o: 6 ; S phc liên hp:
86zi
.
Môđun
22
8 6 10
z

.





2
22
452
45
b) z 2 4 5 2 10 4 i 20 i 8 i
2
21
8 14 5 93 94
18 16 .
5 55
ii
i
ii
i
i
ii
Phn thc:
93
5
; Phn o:
94
5
; S phc liên hp:
93 94
55
zi
.
Môđun
22
93 94 17485
55 5
z











.
Câu 2. Cho s phc
32zi
. Tìm môđun số phc
 12w zi z i
.
Gii:
1 2 (3 2) (3 2)(1 2)
3 236 2 4 57
w zi z i i i i i
i ii i


.
Vy
22
5 7 74w 
.
Câu 3. Tìm phn thc, phn o ca s phc sau:
2 3 20
1 1 1 1 ... 1
ii i i  
Gii:
21
2 20
20
21 2 10
10
10
10 10
11
1 1 1 ... 1
1 1 1 2 1 21
21 1
2 21
i
P ii i
i
i i ii i i
i
Pi
i

 

 





Vy phn thc là
10
2
và phn o là
10
21
.
Câu 4. Tính
2 3 2017
1009 2 3 ... 2017S ii i i 
.
Gii:
Cách 1:
CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 5
2 3 4 2017
4 8 2016 5 9 2017
2 6 10 2014 3 7 11 2015
504 505 504 504
11 1 1
1009 2 3 4 ... 2017
1009 4 8 ... 2016 5 9 ... 2017 .....
2 6 10 ... 2014 3 7 11 ... 2015
1009 4 4 3 4 2 4 1
nn n n
S ii i i i
i i i ii i i
ii i i ii i i
nin n in


 
 


1009 509040 509545 508032 508536
2017 1009 .
ii
i


Cách 2:
Đặt
2 3 2017
1 ....fx x x x x
2 2016
1 2 3 ... 2017
fx x x x

2 3 2017
2 3 ... 2017 1xf x x x x x

Mt khác:
2017 2018
2018
2 3 2017
2
2017 2018
2
2018 1 1
1
1 ....
1
1
2018 1 1
.2
1
xx x
x
fx x x x x f x
x
x
xx x
xf x x
x




Thay
xi
vào
1
2
ta được:
(1) 1009; (1)=(2)S⇔−
, nên:


 
2017 2018
2
2018 1 1
2018 2018 2
1009 . 1009 2017 1009 .
2
1
ii i
i
Si i i
i
i
Câu 5. Cho s phc
1
13
2
zi
. Tính
2 3 2017
1 1 1 ... 1 .w zz z z
Gii :
Ta có
2
3
10
1
13 .
1
2
zz
zi
z


Do đó với mi
k
, ta có
33
31 31 2
32 2 32 2
1 12
11
11
.
kk
kk
kk
zz
z z z zz
z z z zz






Vì t
1
đến
2017
có:
673
s chia
3
1
,
672
s chia
3
2
,
672
s chia hết cho
3
nên
673
672
2 3 2017 672 2 672 2018 672 3.672 2
1 1 1 ...1 2. . 2. 2.w zz z z z z z z
 
672 2 672 672 671
13
2. 2 1 2 2 1 3
22
zz i i



.
Câu 6. Tìm s
z
sao cho:
(2 ) 3 5
z iz i 
.
Gii:
Gi s phc
z
cn tìm là
,z a bi a b
.
Ta có:
(2 ) 3 5 z iz i 
CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 6
2
(2 )( )35 2 2 35
3 ( ) 35
33 2
2 3.
53
a bi i a bi i a bi a bi ai bi i
a b a bi i
ab a
zi
ab b
 











Câu 7. Tìm s phc
z
khi nó thỏa mãn đồng thời các điều kin sau:
(2 ) 10zi
. 25
zz
.
Gii:
Gi s phc cn tìm là
,z a bi a b
.
Ta có:
2
22
. 25 (1)zz z a b 
.
Li có:
22
22
(2 ) 10 2 1 10 4 2 5 0 2z i a b ab ab

Thay (1) vào (2) ta được:
25 4 2 5 10 2 10ab b a 
.
Nên
22 2 2
25 ( 2 10) 25ab a a

2
50
5 40 75 0
34
ab
aa
ab








Vy
5z
hoc
34zi
.
Câu 8. Cho
z
_
z
là s phc liên hp ca
z
. Biết
2
z
z
23zz
.Tìm
z
Gii :
Gi
( )
_
,
z a bi a b z a bi=+ ⇒=
.
Ta có :
( )
( )
2
2 23 3z z a bi a bi bi b−= + = = =
.
( )
_
2
..z z zz∈⇒ 
. Ta có:
(
) ( ) ( ) ( )
23
3
2 2 22 2
.1 .
.
z z zz z
z
z
z z z zz
= = = ⇒∈
.
( ) ( )
( )
23
33 2 3 2 2 3
33 3 3z a a bi a bi bi a ab a b b i=+ + + =−+
2 3 22 2
2 22
3 03 0 1
2
3 33
ab b a b a
z
b bb

−= −= =

⇒=

= = =


.
Câu 9. Tìm s phc z thỏa mãn điều kin:
12 3 4z iz i
2zi
zi
là mt s thun o.
Gii :
Đặt
(),z x yi x y= +
. Theo bài ra ta có :
22 22
1 2 34 1 2 3 4 5x y i x yi x y x y y x   
S phc

2
2
2
2 2 1 23
2
1
1
x y i x y y xy i
zi
w
x yi
zi
xy




CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 7
w
là mt s o khi và ch khi
2
2
2
2 10
12
7
10
23
5
7
xy y
x
xy
y
yx










. Vy
12 23
77
zi
.
Câu 10. Cho s phc
z
có môđun bằng
2018
w
là s phc tha mãn biu thc
11 1
z w zw

.
Môđun của s phc
w
bng?
Gii:
T gi thiết
2
11 1 1
00
z w zw
zw
z w zw zw zw
zw z w



2
22
22 2 2 2 2
13 1 3 1 3
00
44 2 4 2 2
iw
z w zw z zw w w z w w z w

 



 





 

T
2
2
1 3 13
2 2 22
iw i
zw z w















.
Lấy môđun hai vế, ta được
13
. 1. 2018.
22
i
z w ww w
Câu 11. Cho s phc
,
zw
khác 0 sao cho
2
zw z w
. Phn thc ca s phc
z
u
w
là ?
Gii :
Cách 1 : Gi
( )
,u a bi a b
=+∈
.
Ta có :
22
2
2
1
1
2
4
2
11
11
z
u
ab
w
zw z w
zw
zw
ab
u
w
w










.
2
2
31
1 21
48
a aa a 
Cách 2: Gi
(
)
,w a bi a b=+∈
.
Chn
( )
( )
22
2
2
4*
1
1 11 2
2
14
ab
z z ww a
ab
+=
= =⇒− == =
+=
.
Thay
1
2
a =
vào
( )
15 1 1 15
*
2 88
1 15
22
bu i
i
⇒= = =
+
.
Câu 12. Tính môđun của s phc
z
biết
zz
1
zz
có phn thc bng
4.
Gii:
CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 8
Cách 1: Gi s
z a bi
, ab
.
Ta có
22
11
zz
a b a bi

22 22
2 22
22 2 22 2 22 2
.
ababi aba b
i
aba b aba b aba b
 

  
Theo gi thiết:
1
zz
có phn thc bng 4 nên
22
2
22 2
4
aba
aba b


22 22
22 22
22 22
44
22
2
aba aba
ab aab
ababa
 



22
22
1 11
4.
88
2
ab z
ab

Cách 2: Nếu
z a bi

thì
2zz a
.
Áp dng:
1
zz
có phn thc bng
4
11
8
zz zz


2 22
22
11
888
.
z zz z zz
zz zz
z zz z zz z zz z z
 
 

 
2
22
11
8 88 .
8
2
2
z zz z zz
z
z
z z zz
z zz z
 
  


Nhn xét:
Trong bài toán tìm thuc tính ca s phc
z
thỏa mãn điều kiện K cho trước, nếu K là
thun
z
(tt c đều
z
) hoc thun
z
thì đó là bài toán giải phương trình bậc nht (phép
cng, tr, nhân, chia s phc) vi n
z
hoc
z
. Còn nếu cha hai loi tr lên (
z
,
z
,
z
)
thì ta s gi
,z a bi a b
. T đó sử dng các phép toán trên s phc đ đưa về
hai s phc bằng nhau để gii.
CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 9
S DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570 VN-PLUS Đ GII V S PHC
Để thc hin các phép toán trên tp s phc, ta chuyn qua chế độ CMPLX bng cách bm
w2.
o Bấm đơn vị o
i
bng cách bm phím b.
o Tính môđun ca s phc bm qc.
o Để bm s phc liên hp ca
z
bấm q22để hin Conjg (liên hp).
1. PHÉP CNG, TR, NHÂN, CHIA
Câu 1. Tính
1 (3 2 ).zi i 
ng dn:
Ta lần lượt bấm các phím như sau: 1+bp(3+2b)
Và ta được kết qu là:
Câu 2. Tính
(1 3 )( 3 4 ).zii 
ng dn:
Ta lần lượt bấm các phím tương tự như trên và ta thu được kết qu
như sau:
Câu 3. Tính
13
( 2 i)
27
i
z
i

ng dn:
Ta lần lượt nhp biu thc
13
( 2 i)
27
i
z
i

vào máy ta thu
được kết qu:
Câu 4. Cho s phc
z a bi
. S phc
2
z
có phn o là :
A.
22
ab
B.
22
2ab
C.
2ab
D.
ab
ng dn:
Vì đ bài cho dng tng quát nên ta tiến hành “cá bit hóa” bài toán bng cách chn giá tr cho
,
ab
(lưu ý nên chọn các giá tr l để tránh xy ra trường hợp đặc bit).
Chn
1.25a
2.1b
ta có
1.25 2.1zi
S dng máy tính Casio tính
2
z
1. 25+2. 1b) d=
Vy phn o là
21
4
CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 10
Xem đáp số nào có giá tr
21
4
thì đáp án đó chính xác. Ta có :
Vy
21
2
4
ab
Đáp án C là chính xác.
Câu 5. Cho s phc
z a bi

. S phc
1
z
có phn thc là :
A.
ab
B.
22
a
ab
C.
22
b
ab
D.
ab
ng dn:
Vì đ bài mang tính cht tng quát nên ta phi cá bit hóa, ta chn
1; 1.25ab
.
Vi
1
1
z
z
S dng máy tính Casio
a1R1+1. 25b=
Ta thy phn thc s phc
1
z
là :
16
41
đây là 1 giá trị dương. Vì ta
chn
0ba
nên ta thấy ngay đáp số C D sai.
Th đáp số A
9 16
1 1.25
4 41
ab
vậy đáp số A cũng sai
Đáp án chính xác là B
Câu 6. Cho s phc
2 3 22
1 1 ... 1zi i i  
. Phn thc ca s phc
z
là :
A.
11
2
B.
11
22
C.
11
22
D.
11
2
ng dn:
y s trên là mt cp s nhân vi
2
1
1Ui

, s s hng là
21
và công bi là
1 i
. Thu gn
z
ta
được :
21
2
1
11
1
. 1.
1
11
n
i
q
zU i
q
i



S dng máy tính Casio tính
z
(1+b)dOa1p(1+b)^21R1p(1+b)=
Vy
2050 2048zi
Phn o s phc
z
11
2050 2 2 
Đáp s chính xác là C
CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 11
2. TÍNH MÔĐUN
Câu 1. Tìm môđun của s phc
(1 2 ) 2 6
iz i 
.
ng dn:
62
(1 2 ) 2 6
12
i
iz i z z
i


.Nên ta thc hin bấm như sau:
qcap6p2bR1p2b=
Ta thu được kết qu:
Câu 2. Tìm s phc
2. .
12
zz
. Biết
3
2 4 2(1 )
3
4 3 (1 ) ,
12
1
ii
z i iz
i


ng dn:
- Tính
3
4 3 (1 )
1
z ii
và lưu vào biến A:
4p3b+(1pb)^3qJz
- Tính
3
2 4 2(1 )
2
1
ii
z
i

và lưu vào biến B
a2+4bp2(1pb)^3R1+bqJx
- Tính
2. .
12
zz
:
2q22q22Qz)OQx)=
CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 12
3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHT
Câu 1. Tìm môđun của s phc
z
tha mãn:
13 3 7 2
iz i i 
.
5
. 1 . 4 . 2 .
3
Az Bz C z Dz
ng dn:
Ta chuyn
z
v dng:
7 23
13
ii
z
i

và tìm môđun.
Quy trình bm máy:
Qca7bp2p3bR1p3b=
Màn hình hin th:
>>> Chn C.
Câu 2. Cho s phc
z
tha mãn
(3 )( 1) (2 )( 3 ) 1 .iz iz i i
Tìm môđun của s phc
1
iz
w
z
.
82 82 2 82 3 82
. . .
.
48 9 5
ABC D
ng dn:
đây là sẽ cho phím X s là đi din cho s phc
z
.
Đây là phương trình bậc nht ca s phc.
c 1: Các em nhp lại phương trình này với máy tính lần lượt như sau:
(3 )(X 1) (2 )(C onj ( ) 3 ) (1 )i i gX i i 
(3pb)(Q)+1)+(2pb)(q22Q))+3b)p(1pb)
Màn hình hin th:
c 2:
Tìm s phc
z a bi
nghĩa là đi tìm a và b.
Ta s cho trước a=10000 và b=100 ri t đó suy ngược li mi quan h ca a và b bằng 1 hệ phương
trình 2 ẩn theo a và b, lúc đó tìm được a và b.
Cho
10000 100zi
bng cách nhập r10000+100b=
Màn hình s cho kết qu:
Nghĩa là:
(3 )( 1) (2 )( 3 ) (1 ) 50005 19894 5 5 (2 6)
iz iz i i i a a b i
.
Cho nên:
(3 )( 1) (2 )( 3 ) (1 ) 0
5 50 5 50
1, 8 1 8
2 60 2 6
iz iz i i
aa
ab z i
ab ab



 

 





CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 13
T đó tính môđun của
w
:
>>> Chn B.
Câu 3. Cho s phc
z a bi
thỏa mãn điều kin
( ) ( ) ( )
2
23 4 13iz iz i + + =−+
.Tìm
2
P ab
A.
3
B.
1
C.
1
D. Đáp án khác
Gii:
Phương trình
2
23 4 13 0iz iz i

Nhp vế trái vào máy tính Casio và CALC vi
1000 100Xi
) ))(2p3b) Q +(4+b) q 22Q
+(1+3b) dr 1000+100b=
Vy vế trái
6392 2194i
vi
6392 6.1000 4.100 8 6 4 8
2194 2.1000 2.100 6 2 2 6
ab
ab


Để vế trái
0
thì
6 4 80
2 2 60
ab
ab


2; 5ab

Vy
25
zi
21
P ab 
Đáp số chính xác là C.
CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 14
4. BIU DIN HÌNH HC CA S PHC
Câu 1. Các đim
,,MNP
lần lượt là điểm biu din cho các s phc
1
4
;
1
i
z
i

2
1 12z ii
3
; 12zi

A. Tam giác vuông B.Tam giác cân C.Tam giác vuông cân D.Tam giác
ng dn:
Rút gọn
1
z
bng Casio
a4bRbp1=
Ta được
1
22zi
vậy điểm
2; 2M
Rút gọn
2
z
bng Casio
(1pb)(1+2b) =
Ta được
2
3
zi
vậy điểm
3;1N
Tương tự
2
12zi
và điểm
1; 2P
Để phát hin tính cht ca tam giác
MNP
ta nên biu diễn 3 điểm
,,MNP
trên h trc tọa độ
D thy tam giác MNP vuông cân ti P
đáp án C chính xác
Câu 2. Trong mt phng ta đ
Oxy
, gi
M
là điểm biu din s phc
34zi
, điểm
'M
là điểm
biu din s phc
1
'
2
i
zz
. Tính din tích
'OMM
CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 15
A.
'
25
4
OMM
S
B.
'
25
2
OMM
S
C.
'
15
4
OMM
S
D.
'
15
2
OMM
S
ng dn:
Đim
M
biu din s phc
1
34zi
ta đ
3; 4M
Đim
'
M
biu din s phc
1
'
2
i
zz
ta đ
71
;
22
N


a1+bR2$O(3p4b) =
Gc ta đ
0; 0O
Để tính din tích tam giác
'OMM
ta ng dụng tích có hướng ca 2 vecto trong không gian. Ta thêm
cao đ 0 cho ta đ mỗi điểm
,, '
OMM
là xong
3; 4; 0OM

,
71
' ; ;0
22
OM



1
;'
2
S OM OM




 
Tính
;'OM OM



 
w 8113=p4=0=q 51217P2=
p1P2=0=Cq 53q 57q 54=
Vy
'
25 1 25
; ' 12.5 ; '
22 4
OMM
OM OM S OM OM
 

 
 
   
CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 16
GII PHƯƠNG TRÌNH BC HAI TRÊN TP S PHC
Câu 1. Giải phương trình bậc hai sau:
2
2 30zz 
.
Gii:
Bit thc
22
2 4.1.3 8 8i 
. Phương trình có 2 nghiệm phân bit là:
12
24 24
1 2; 1 2
22
ii
z iz i

 
.
Câu 2. Giải phương trình bậc hai sau:
2
2 4 20z zi 
.
Gii:
Bit thc:
2 22
2 4.1.(4 i 2) 4 16 8 12 16 16 2.4.2 4 (4 2 )i i ii i  
.
Chn
4 2.i 
Phương trình trên có hai nghiệm là :
12
242 242
1 i; 3 .
22 22
B iB i
z zi
AA
  

CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 17
ĐƯA PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO VỀ NHỮNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, PHƯƠNG
TRÌNH BẬC HAI.
c 1:
Để đưa phương trình thành nhân tử thì ta phi nhm nghim của phương trình. Có các cách
nhm nghim như sau:
o Tng các h s của phương trình bằng 0 thì nghim của phương trình là
1x
.
o Tng các h s bc chn bng tng h s bc l thì nghim của phương trình
1x 
.
o Định lý Bézout:
Phần dư trong phép chia đa thức
fx
cho
xa
bằng giá trị của đa thức
()fx
tại
xa
. Tức là
fx x agx fa
Hệ quả: Nếu
0
fa
thì
fx x a
.
Nếu
f
x xa
thì
0fa
.
o Sử dụng máy tính Casio để nhẩm nghiệm:
- Nhập phương trình vào máy tính.
- Bấm phím r rồi nhập 1 giá trị X bất kỳ, máy tính sẽ cho ra nghiệm của phương trình.
Sau đó dùng sơ đồ hoocne để phân tích thành nhân tử.
o Sơ đồ Hoocne:
Với đa thức f(x) =
-1 -2
-1 -2 1 0
...
nn n
nn n
a x a x a x ax a 
chia cho x - a thương là
g(x) =
-1 -2 -3
-1 -2 -3 1 0
...
nnn
nn n
b x b x b x bx b 
r
.
Nếu
0r
thì
fx gx
, nghĩa là:
fx x agx
.
Ta đi tìm các hệ số
-1 -2 -3 1 0
, , ... ,
nnn
b b b bb
bằng bảng sau đây.
n
a
-1n
a
-2
n
a
..
.
2
a
1
a
0
a
a
1
n
n
b
a
2
1 -1
n
nn
b
ab a

3
2 -2
n
nn
b
ab a

1
22
b
ab a
0
11
b
ab a
00
r
ab a
Bước 2: Giải phương trình bậc nhất hoặc phương trình hai số phức, kết luận nghiệm.
Câu 1. Giải các phương trình:
3
27 0z
.
Gii:
( )
( )
32
2,3
1
27 0 1 3 9 0
3 33
2
z
z z zz
i
z
=
= ++=
−±
=
. Vy p/t đã cho có 3 nghiệm.
Câu 2. Giải phương trình sau:
32
3 1 2 3 8 5 2 0.z iz iz i 
Giải:
Nhẩm nghiệm: Ta thấy tổng các hệ số của phương trình bằng 0 nên phương trình có nghiệm
1z
.
Khi đó:
CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 18
32 2
31 2 3 8 5 2 0 1 21 3 2 5 0
1 v 2 5 .
z iz iz i z z iz i
z vz i z i





Vậy nghiệm của phương trình đã cho là :
1 ; ; 2 5 .z ziz i 
Câu 3. Cho phương trình sau:

32
2–2 5–4 10 0 1
z iz iz i
biết rằng phương trình có
nghim thun o.
Gii:
Đặt
z yi=
vi
y
. Phương trình (1) trở thành:
( ) ( )( ) ( )( )
32
2 2 5 4 10 0iy i yi i yi i+ +− =
32 2
2 2 5 4 10 0 0 0iy y iy iy y i i + ++ ==+
Đồng nht hoá hai vế ta đưc:
2
32
2 40
2 5 10 0
yy
yyy
+=
−+ + =
Gii h này ta được nghim duy nht
2y =
.
Suy ra phương trình (1) có nghiệm thun o
2zi=
.
* Vì phương trình (1) nhận nghim
2i
.
vế trái của (1) có thể phân tích dưới dng:
( ) ( ) ( )
( )
32 2
2–2 54 10 –2 , ) (z iz iz i z i z az b ab+ + = ++
đồng nht hoá hai vế ta giải được
2
a =
5b =
.
( ) ( )
(
)
2
2
2
2
1 –2 2 5 0 1 2
2 50
12
zi
zi
z iz z z i
zz
zi
=
=
+ + = =−−

+ +=

=−+
⇒⇔
Vậy phương trình (1) có 3 nghiệm.
Câu 4. Gii
32
3 2 16 2 0z iz iz i 
biết rằng phương trình có 1 nghiệm thc.
Gii :
Gi nghim thc là z
0
ta có:
32
000
32
2
000 0
0
3 2 16 0
3 2 16 2 0 2
20
o
zzz
z iz iz i z
zz



Khi đó ta có phương trình
2
25 80z z iz i

Tìm được các nghim của phương trình là
2z =
;
2zi= +
;
32zi=
.
Câu 5. Giải phương trình
32
2 3 31 2 9 0z iz iz i
biết rằng phương trình có một nghim
thun o.
Gii:
Gi s phương trình có nghiệm thun o là
, bi b
.
Thay vào phương trình ta được:
3
2
2 32
32
2 3 31 2 9 0
2 60
2 6 3 39 0 3 3
3 3 90
bi i bi i bi i
bb
bb bbb i b z i
bbb


 
 
2
Phương trình có thể phân tích thành
2
3 230z iz z 
Các nghim của phương trình là
3zi
=
;
12zi
.
CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 19
Câu 6. Gi
1234
;;;
zzzz
là 4 nghim phc của phương trình
(
)
++ + =
42
4 4 0 (1).z mz m
Tìm tt c các
giá tr
m
để
+++=
1234
6.zzzz
Gii:
( )
( )
(
)
= ±
++ + = + + =
=±−
1,2
4 2 22
3,4
2
4 40 4 0
zi
z mz m z z m
zm
Nếu
< 0m
thì (1) có nghiệm là
= ±
=±−
1,2
3,4
2zi
zm
.
Khi đó
= + + + =+−
⇔=
<
1234
6 42
1
0
zzzz m
m
m
.
Nếu
0m
thì (1) có nghiệm là
= ±
= ±
1;2
3;4
2zi
z im
Khi đó
=+++=+
⇔=
1234
6 42
1
0
zzzz m
m
m
. Kết hp li
= ±1
m
tha mãn bài toán.
Câu 7. Cho phương trình
42
4 40z mz+ +=
trong tp s phc và
m
là tham s thc. Gi
1234
,,,
zzzz
lần lượt là 4 nghim của phương trình đã cho. Tìm tất c các giá tr ca
m
để
( )( )( )( )
2222
1234
4 4 4 4 324zzzz
+ + + +=
.
Gii:
Cách 1:
Đặt
2
tz=
, phương trình trở thành:
2
4 40t mt+ +=
có 2 nghim
12
,tt
.
Ta có:
12
12
4
.1
m
tt
tt
+=
=
. Do vai trò bình đẳng, gi s ta có:
22 22
1 2 13 4 2
,z z tz z t
= = = =
.
Yêu cu bài toán
( ) ( ) ( )
2
22
1 2 12 1 2
4 4 324 4 16 324t t tt t t

+ + = + ++ =

.
( )
2
2
17 18 1
17 18 .
17 18 35
mm
m
mm
−+ = =
⇔− + =
−+ = =
Cách 2:
Đặt
( )
( )( )(
)( )
1234
4fz zz zz zz zz=−−
.
Do
(
)( )
2
1 11
4 22z z iz i
+= +
nên
(
)( )
( )( )
( )
( )
( )
2222
1234
22
4444 . *
44
fif i
zzzz
+ + + +=
(
) ( ) ( ) ( )
42
2 2 4 2 2 4 68 4 .f i f i i mi m= = + +=
Vy
( )
( )
2
68 4
1
* 324 .
35
4.4
m
m
m
=
⇔=
=
CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 20
S DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570VN-PLUS Đ GII
Để thc hin các phép toán trên tp s phc, ta chuyn qua chế độ CMPLX bng cách bm
w2.
o Bấm đơn vị o
i
bng cách bm phím b
o Bm q2 và la chn các chc năng:
o Chọn 1 để bm acgumen ca
(
)
(
)
argzz
.
o Chọn 2 để bm s phc liên hp ca
( )
(
)
z Conjg z
.
o Chọn 3 để chuyn t dng đi s sang dng lưng giác.
o Chọn 4 để chuyn t dng lưng giác sang dng đi s.
o
Bm du
bng cách bm: qz
Câu 1. Giải phương trình bậc hai sau:
2
4 10 0zz
.
ng dn:
Quy trình bm: w531=p4=10==
Thu được kết qu:
Câu 2. Gi
12
,
zz
là 2 nghim của phương trình :
2
10zz
. Tính
2018 2018
12
.Pz z
ng dn :
Quy trình bấm như sau:
o Tìm nghim
12
,zz
w531=1=1==
Thu được kết qu:
o Lưu 2 nghiệm vào X và Y:
o Màn hình hin th là đã lưu biến X thành công, tương tự biến Y.
o Tính P .
o Sau đó vào w2 và nhập P và thu được kết qu:
Sau đây là Bài toán 3 tương tự Bài toán 2 nhưng giải theo dạng lượng giác của s phức. Cách này luôn
giải được vi s mũ lớn bất kỳ, cách giải theo Bài toán 2 có thể không giải được vi s mũ lớn nào đó.
Câu 3. Biết
z
là nghim của phương trình
1
1z
z

. Tính giá tr biu thc
2009
2009
1
Pz
z

CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 21
A.
1P
B.
0P
C.
5
2
P 
D.
7
4
P
ng dn:
Quy đồng phương trình
1
0z
z

ta được phương trình bậc hai
2
10zz
. Tính nghim
phương trình này với chức năng MODE 5 3
w 531=p1=1==
Ta thu được hai nghiệm
z
nhưng hai nghiệm này có vai trò như nhau nên chỉ cần lấy một nghiệm
z
đại diện là được
Với
13
22
zi
ta chuyển về dạng lượng giác
1 cos sin
33
zi




a1R2$+as3R2$bq 23=
Vậy
2009 2009
1 cos2009. sin 2009. cos2009. sin 2009.
33 33
zi i
 











Tính
2009
z
và lưu và biến
A
Wk2009Oaq K R3$ +bj 2009
Oa q K
)
)
R3 $ = q J z
Tng kết
1
1PA
A

Qz+a1RQz=
Đáp số chính xác là A
CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 22
TP HP ĐIM CA S PHC
Trong dng này, ta gp các bài toán biu din hình hc ca s phc hay còn gi là tìm tp
hợp điểm biu din mt s phc
z
trong đó số phc
z
tha mãn mt h thức nào đó. Khi đó
ta giải bài toán này như sau:
1. Phương pháp tổng quát:
Đặt
=+∈ ,()
z x yi x y
. Khi đó số phc
z
biu din trên mt phng phc bởi điểm
;M xy
. Biến đổi điều kin ca bài toán thành để tìm mi liên h gia
x
y
t đó suy ra
tp hợp điểm M.
2. Gi s các điểm M, A, B lần lượt là điểm biu din ca các s phc z, a, b
o
| || |z a z b MA MB
M thuộc đường trung trc của đon AB
o
| | | | ( , 0, | |)z a z b k k k k a b MA MB k 
()ME
nhận A, B là hai tiêu điểm và có độ dài trc ln bng k.
3. Gi s M và M’ lần lượt là điểm biu din ca s phc z w = f(z)
Đặt z = x + yi w = u + vi
(,, , )
xyuv
.
H thc w = f(z) tương đương với hai h thc liên h gia x, y, u, v
o Nếu biết mt h thc gia x, y ta tìm đưc mt h thc gia u, v và suy ra đưc tp
hợp các điểm M’
o Nếu biết mt h thc gia u, v ta tìm đưc mt h thc gia x, y và suy ra được tp
hợp điểm M’.
1. Các dng phương trình đưng thẳng
- Dng tng quát:
0
ax by c

. - Dng đi s:
y ax b
.
- Dng tham s:
0
0
x x at
y y bt


- Dng chính tc:
00
xx yy
ab

.
- Phương trình đoạn chn
1
xy
ab

.
- Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm
0 00
;M xy
biết h s góc k:
00
()y kx x y 
2. Phương trình đường tròn tâm I(a;b) bán kính R:
2 22
( )( )
xa yb R 
22
22 0x y ax by c 
vi
22 2
ca b R

Lưu ý điều kiện để phương trình:
22
22 0x y ax by c 
là phương trình đường tròn:
22
0abc 
có tâm
,I ab

và bán kính
22
R abc 
.
3. Phương trình (Elip):
22
22
1
xy
ab

Vi hai tiêu c
1 2 12
( ; 0), ( ; 0), 2FcFcFF c
. Trc ln 2a, trc bé 2b
2 22
a bc

.
Câu 1. Gi s M là điểm trên mt phng phc biu din s phc
z
. Tìm tp hợp các điểm M tha mãn
mt trong các điều kiện sau đây:
a) =2 b)
13 4zi
c)
Gii:
1zi−+
21zi+=
CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 23
Đặt
(
)
,
z x yi x y=+∈
được biu din bởi điểm
(
)
;M xy
a) Xét h thc:

12
zi
.



22
22
–1 1 2
1 1 2.
1 1 4.
x yi
xy
xy
Tp hợp các điểm
Mz
trên mt phng ta đ biu din s phc
z
thỏa mãn (1) là đường tròn có
tâm ti
1; 1
I
và bán kính
2R
.
b) Xét h thc :
13 4 1 3 4z i x yi
22
1 14xy 
22
1 1 16.xy

Vy tp hợp các điểm M trên mt phng ta đ biu din s phc
z
là hình tròn có tâm là
( )
1; 1
; bán
kính
4r =
.
Nhận xét: Tp hợp các điểm biu din s phc
z
thỏa mãn điều kin:
13 4zi
là tp hình các
điểm nm trên và nằm ngoài đường tròn có tâm là
( )
1; 1
; bán kính
4r =
.
c) Xét h thc:
2
z zi
(
)
( )
( )
( )
22
22
21
21
4 2 3 0.
x yi x y i
x yx y
xy
++ =+
+ +=+−
+ +=
Vy tp hợp các điểm M là đường thng
4 2 3 0.xy+ +=
Nhận xét: Đưng thng
4 2 30xy
+ +=
chính là đường trung trc của đon AB.
Câu 2. Trong mt phng
Oxy
, tìm tp hợp điểm biu din các s phc
z
tha mãn
1z i iz
.
Gii:
Đặt
( ,.)z x yi x y= +
Ta có:
 

222
2
11
1
z i iz x y i x y x yi
x y xy xy
2
22 2
2 10 1 2x y xy x y 
Vy tp hợp các điểm M biu din các s phc
z
là đường tròn có phương trình
2
2
12xy
.
CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 24
Câu 3. Cho các s phc
123
, ,
zzz
có biu din trên mt phng phức là ba đỉnh ca tam giác đu có
phương trình đường tròn ngoi tiếp là
22
2017 2018 1.xy
Tng phn thc và phn
o ca s phc
123
wz z z
bng?
Gii:
Đường tròn đã cho có tâm
I
biu din s phc
2017 2018zi
.
Gi
, , AB C
lần lượt là điểm biu din các s phc
123
, , zzz
.
Ta có
(do tam giác
ABC
đều nên
GI
).
Suy ra
123
3 2017 2018 6051 6054
zzz i i

.
Nên tng phn thc và phn o ca s phc
w
bằng 3.
Câu 4. Tìm tp hp các đim biu din ca s phc
z
sao cho
23zi
u
zi

là mt s thun o.
Gii :
Đặt
(
)
,z x yi x y= +
, khi đó:
2
2
23 1
23
1
1
x y ix y i
x yi
u
xy i
xy

 






22
2
2
2 2 3 22 1
1
x y x y xy i
xy


u là s thun o
22
22
2
2
2 2 30
1 15
10
; 0;1
xy xy
xy
xy
xy







Vy tp hợp các điểm biu din ca
z
là đường tròn tâm
( 1; 1)I
, bán kính
5
tr điểm
(0; 1)
.
Câu 5. Trên mt phng to độ, tìm tp hợp điểm biu din s phc z tho mãn điều kin sau:
a)
22zi zz i
b)
1 14zz
Gii:
Đặt:
(, )z x yi x y R
z
có điểm biu din trên mt phng phc là
M x; y .
a)
2
2 2 2 ( 1) (1 )
4
x
z i z z i x y i yi y

Vy tp hợp điểm M là đường parabol (P) có phương trình
2
4
x
y
.
b)
22
22
1 1 4 1 1 4 (*)
z z x yx y
.
Đặt
12
( 1; 0) ; (1; 0)FF
12
(*) 4MF MF
12
2
FF
.
Suy ra tp hợp M là elíp (E) có 2 tiêu điểm là
12
,FF
.
Gọi (E) có phương trình
22
2 22
22
1 (0 ; )
xy
b ab a c
ab

Ta có
12
2 22
12
22
3
21
MF MF a a
b ac
FF c c










CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 25
Vậy (E) có phương trình
22
1
43
xy

.
Câu 6. Trong tp s phc
, gi
1
z
2
z
các nghim ca phương trình
2
2 10 0zz
. Gi
M
,
N
,
P
ln lưt là các đim biu din ca
1
z
,
2
z
và s phc
k x iy
trên mt phng phc. Đ
tam giác
MNP
đều thì s phc
k
là?
Gii:
Ta có
2
2 10 0zz
1,2
13zi

. Gi
M
,
N
,
P
lần lượt là các điểm biu din ca
1
z
,
2
z
s phc
k x iy
trên mt phng phức. Khi đó
1; 3M
,
1; 3
N
,
;P xy
Để
MNP
đều
MN MP
MN NP
22
22
MN MP
MN NP
(1)
Ta có
0; 6
MN


,
1; 3MP x y

,
1; 3NP x y

(2)
T (1) và (2)
22
22
1 3 36
1 3 36
xy
xy


1 27
0
x
y

1 27k 
.
Câu 7. Trong mt phng phc, cho
m
M
theo th t là điểm biu din ca s phc
= +
z x yi
=
+
1
.
2
z
Z
zi
Tìm tp hợp các điểm
m
sao cho:
Z
là mt s thc.
Gii:
Ta có:
( )
( )
( )
(
) ( )
(
)
(
)
( )
( )
( )
−+ +
+−
−+
= = = =
+
+ + ++
++ −+
12
1
11
2
22
22
x yi x y i
x yi
z x yi
Z
zi
x yi i x y i
xyixyi
( ) ( ) ( )
( )
−+ ++ +
⇒=
++
2
2
1 2 22
2
xx yy y x i
Z
xy
Z
là mt s thc khi và ch khi
+=2 20yx
.
Tp hợp các điểm
m
biu din s phc
= +z x yi
là đường thng
+== 2 20 2 2
yx y x
Câu 8. Tp hợp các điểm
M
biu din s phc
z
tha mãn
4
zi zi
là?
Gii:
Ta có
22
22
4 1 14zizi xy xy
2
2
22
22
2 22
2 22
14
14 1
1 16 1 8 1
xy
xy xy
xy xy xy


 
2
2
2
2
2
2
2
2
22
22
1 16 1
1 16
1 16
4 42
2 14
4312
3
.
1
34
xy
xy
xy
yy
xy y
xy
xy




 







Tp hợp các điểm tha mãn
3
đều tha mãn
1
2
.
CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 26
Vy tp hp những điểm
M
là elip
22
: 1.
34
xy
E

Câu 9. Cho s phc
z
tha mãn
12z
−=
. Biết rng tp hp các đim biu din s phc
(
)
13 2w iz=++
là một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.
Gii:
Cách 1:
Ta có:
(
)
2 33
13 2 1
13 13
w wi
w iz z z
ii
−−
= + + = −=
++
Suy ra
33 33
33
1 2 334
2
13
13
wiwi
wi
z wi
i
i
−− −−
−−
= = = −− =
+
+
Như vy bán kính của đường tròn là 4.
Cách 2:
Ta có:
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
( )
13 2 13 133 33 13 1w iz w iz i w i iz=++=+−+++=+−
.
Lấy môđun hai vế ta được:
(
)
3 3 1 3 . 1 2.2 4
w i iz + =+ −= =
.
Câu 10. Cho các s phc
z
tha mãn
1 3.z 
Biết rng tp hợp các điểm biu din các s phc
w
vi
32 2i w iz 
là một đường tròn. Tìm ta đ tâm
I
và bán kính
r
của đường tròn đó
Gii:
Ta có
2 23 64
32 2
3 2 3 2 13 13 13 13
i
i w iz w z w i z i
ii

 


23 47 47 23
1 1.
13 13 13 13 13 13 13 13
w iz i w i iz
 



 





 
Lấy môđun, hai vế ta được
3
1
13
47 23 3
.1
13 13 13 13
13
w i iz




.
Vy tp hp các s phc
w
thuộc đường tròn tâm
47
;
13 13
I


, bán kính
3
.
13
r
Nhn xét: Bài này có rất nhiều cách giải tự luận nhưng cách này là tối ưu nhất. Quý thầy cô nên
nghiên cứu kỹ phương pháp giải này để truyền đạt cho học sinh.
Câu 11. Cho hai s phc
12
, zz
tha mãn
1
3
z
,
2
2z
đưc biu din trong mt phng phc ln t là
các đim
,
MN
. Biết góc to bi gia hai vectơ
OM

ON

bng
0
30
. Tính giá tr ca biu thc
12
12
.
zz
A
zz
Gii:
Cách 1:
Dng hình bình hành
OMPN
trong mt phng phức, khi đó
12
12
z z OP
z z MN


.
CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 27
Ta có
22
0
1 2 1 2 12
22
0
1 2 1 2 12
2 cos 30 13
2 cos150 1
z z z z zz
z z z z zz


12
12
12
12
13
zz
zz
zz
zz

.
Nhn xét: Thầy cô nên giải thích rõ cho học sinh hiểu tại tại lại là
góc
0
30
và góc
0
150 .
Cách 2:
Gi s
1 1 1 11 11
2 22
22
22
;;
.
,
;
z a bi Mab OM ab
z a bi
Nab
ON a b









Theo gi thiết, ta có
22
11
22
22
3
4
ab
ab


0
1 2 12
1 2 12
2222
1122
cos , cos 30 3.
aa bb
OM ON a a b b
abab


 
Ta có
22
1 2 12
1 2 12
12
22
12
1 2 12
1 2 12
a a b bi
aa bb
zz
A
zz
a a b bi
aa bb





22 22
11 22 1212
22 22
11 22 1212
2
3 4 2.3
13.
3 4 2.3
2
ab ab aabb
ab ab aabb





S DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570 VN- PLUS
Câu 1. Trên mặt phẳng Oxy tìm tập hợp biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện
( )
2||–2zi i
+=
A.
2 10
xy+ −=
B.
( ) ( )
22
1 –2 9xy
++ =
C.
( )
( )
22
1 24
xy ++ =
D.
3 4 20
xy+ −=
Hướng dẫn:
Ta giả sử:
z A Bi
.
Nên điều kiện của bài toán được viết lại là:
2 2 0.
A Bi i i 
o w2 và nhập điều kiện vào:
Thử đáp án A.
2 1 0 12
xy x y+ −= =−
.
Cho
1y =
ta được
1x =
.
Nhập rp1=1=thu được kết quả khác 0.
>>> Loại đáp án A.
O
P
N
M
y
x
CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 28
Thử đáp án B.
( ) (
)
22
1 –2 9
xy
++ =
.
Cho
1x =
ta được
5y =
hoặc
1y =
.
rp1=5= ra kết quả khác 0.
>>> Loại đáp án B
Thử đáp án C.
( ) ( )
22
1 24xy ++ =
.
Cho
1x =
ta được
0y =
4y =
.
r1=0= và r1=p4= đều được kết quả bằng 0.
Vậy đáp án đúng là C.
Câu 2. Cho các s phc
z
tha mãn
4z
. Biết rng tp hợp các điểm biu din các s phc
34
w iz i
là một đường tròn. Tính bán kính
r
của đường tròn đó.
A.
4r
B.
5r
C.
20r
D.
22r
ng dn:
Để xây dựng 1 đường tròn ta cần 3 điểm biu din ca
w
, vì
z
s sinh ra
w
nên đầu tiên ta s chn
3 giá trị đại din ca
z
tha mãn
4z
Chn
40zi
(tha mãn
4z
). Tính
1
3440w i ii
(3+4b) O4+b=
Ta có điểm biu din ca
1
z
12;17M
Chn
4zi
(tha mãn
4
z
). Tính
2
344w ii i
(3+4b) O4b+b=
Ta có điểm biu din ca
2
z
16;13N
Chn
4zi
(tha mãn
4z
). Tính
3
34 4w i ii

(3+4b)(p4b) +b=
Ta có điểm biu din ca
3
z
16; 11P
Vậy ta có 3 điểm
,,MNP
thuộc đường tròn biu din s phc
w
CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 29
Đưng tròn này s có dng tng quát
22
0x y ax by c 
. Để tìm
,,abc
ta s dng máy tính
Casio vi chức năng MODE 5 3
w 5212=17=1=p12dp17d=p16=
13=1=p16dp13d=16=p11=1=
p16dp11d==
Vậy phương trình đường tròn biu din s phc
w
là:
2
22 2 2
2 399 0 1 20xy y x y 
.
Bán kính đường tròn tp hợp điểm biu din s phc
w
là 20
Đáp án chính xác là C.
Câu 3. Tp hợp điểm biu din s phc
z
tha mãn
21 2z zz i 
là mt Parabol có dng:
A.
2
3 62yx x 
B.
2
2
x
yx
C.
2
4
3
x
y 
D.
2
1
2
3
yx x
ng dn:
Đặt s phc
z x yi
.
Nếu đáp số A đúng thì đúng với mi
z x yi
tha mãn
2
3 62yx x 
.
Chn mt cp
;xy
bt kì tha
2
3 62yx x 
ví d
0; 2 2A zi
Xét hiu
21 2z zz i 
2q c2bp1$pq c2bp(p2b) +2b=
Vy
2 1 2 6 25 0z zz i 
21 2z zz i 
Đáp số A sai
Tương tự với đáp số B chn
1
1
2
zi
. Xét hiu
21 2z zz i 
2q c1pabR2$p1$pq c1pab
R2$p(1+abR2$) +2b=
Vy
21 20z zz i 
21 2z zz i 
Đáp số B chính xác.
D. BÀI TOÁN CC TR CA S PHC
I. PHƯƠNG PHÁP QUY VỀ TÌM MIN-MAX CA HÀM MT BIN KT HP S DNG
TÍNH CHT CA S PHC.
CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 30
Bài toán: Trong các s phc
z
tho mãn điều kin T. Tìm s phc
z
để biu thức P đạt giá
tr nh nht, ln nht.
Phương pháp tổng quát: Đặt
;z x yi x y
.
T điều kin T, biến đổi đ tìm cách rút n ri thế vào biu thức P để được hàm mt biến.
Tìm giá tr ln nht (hoc nh nht) tu theo yêu cu bài toán ca hàm s mt biến va tìm
được.
Sử dụngcác tính chất và các bất đẳng thức về môđun của số phức sau để giải quyết các
bài toán min-max:
''
''
.' .'
'
'
zz
zz zz
zz zz
zz zz
zz
z
z
•=
•+ =+
•− =
•=

•=


2
2
12 1 2
12 1 2
1
1
2
2
0; 0 0;
, ,
+
'' '
. .
zz z
z z zzzz
zz z z
z z zz z z
zz z z
z
z
z
z






Kết hp sử dụng các bất đẳng thc liên h giữa trung bình cộng và trung bình nhân, BĐT
Bunhia- Cpxki.
Bt đẳng thức Bunhiacopxki :Cho các s thc
,,,abxy
ta luôn có
2
2 22 2
ax by a b x y 
. Du = xy ra
ab
xy

Bt đẳng thức Vectơ : Cho 2 vecto
;u xy
'; 'vx y
ta luôn có
u v uv

22
22 2 2
'' ' 'x y x y xx yy 
Du = xy ra
0
''
xy
xy

Câu 1. Trong các s phc tho mãn điều kin , tìm s phc có môđun nhỏ
nht.
Gii:
Gi
;z x yi x y
.
22 22
1 5 3 ( 1) ( 5) ( 3) ( 1)z iz i x y x y
3 4 0 43xy x y  
.
2
22 22 2
6 8 2 10
(4 3 ) 10 24 16 10
55 5
z xy y y y y y

 

.
z
15 3z iz i
z
CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 31
Đẳng thc xy ra khi
62
55
yx
.
Vy
z
đạt giá tr nh nht bng
2 10
5
khi
26
55
zi
. Vy
26
55
zi
là s phc cn tìm.
Câu 2. Cho các s phc
z
tha mãn
2
25zm m
, vi
m
là tham s thc. Biết rng tp hp các
điểm biu din các s phc
34 2w iz i
là một đường tròn. Bán kính nh nht ca
đường tròn đó bằng?
Gii :
Cách 1 : Gi
w x yi
.
T gi thiết, ta có
2
3 4 84 3 6
34 2 .
3 4 25 25
xy i
xy xy
x yi i z i z i
i



22
348 436
25
xy xy
z


.
22
2 22
2 5 3 4 8 4 3 6 25 2 25zmm xy xy mm 
22
2 22
22 2 2
4 4 25 1 4 2 25 1 4 400 20 .xy y m x y m
 
 
 
 
 
Vy bán kính nh nht của đường tròn đó là 20. Dấu
'' ''
xy ra khi
1m 
.
Cách 2: T gi thiết, ta có
2 34w i iz
.
Lấy môđun hai vế, ta được
2
2
2 3 4 . 5. 2 5 5 1 4 20.w i iz m m m





Câu 3. Trong các s phc có phn thc, phn o không âm và tho mãn: .Tìm s
phc sao cho biu thc đạt giá tr ln nht,
nh nht.
Gii:
Điu kin:
12zi
. Gi
*
;z x yi x y

.
 



22 2 2
3
3
1 1 3 1 2
( 3) ( 1) ( 2)
12
12
1
z
z
z z ix yx y
zi
zi
xy
(luôn tho mãn điều kin vì
1; 2xy 
không tho mãn phương trình)
22 22
4. 4z x yi z z xy i z z xy
(vì
;xy
không âm).
(1 ) (1 ) 2 2z iz i x y
Do đó
22 22
16 4 .(2 2 ) 16 8P x y xy x y x y xy 
.
Đặt
2
1
0
24
xy
t xy t



, ta có
2
1
16 8 ; 0;
4
P t tt





.
z
3
1
12
z
zi

z
22 22
. . (1 ) (1 )Pzz zziz iz i




CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 32
+ Xét hàm s
2
( ) 16 8ft t t
liên tc trên
1
0;
4




.
1
'( ) 32 8 ; '( ) 0 0
4
ft t tft t t 
(loi)
11
0; 0;
44
1 33 33 1
(0) 0; max ( ) ;min ( ) 0 0
4 16 16 4
f f ft t ft t
 
 
 
 

 

Khi
0; 1
11
; Khi 0
1; 0
22
xy
t xy t
xy



Vậy P đạt giá tr ln nht bng
33 1 1
khi
16 2 2
zi
.
P đạt giá tr nh nht bng
0 khi 1 0zz
.
Nhận xét: Bài tập này cũng có thể giải được bng cách rút
1yx
và thế vào biu thc
P
ta được
hàm s
22
( ) 16 (1 ) 8 (1 )gx x x x x 
ri đi tìm giá tr ln nht, giá tr nh nht ca hàm s
()gx
trên
0;1



.
Câu 4. Trong các s phc thỏa mãn điều kin .Tìm s phc có môđun nhỏ
nht.
Gii:
Gi s s phc
z
cn tìm có dng
 ,()z x yi x y
được biu din bởi điểm M(x;y).
Ta có
2 ( 4) ( 2)x y ixy i 
(1)
2 22 2
( 2) ( 4) ( 2)x y xy  
4yx 
.
Mt khác
22 22 2
8 16 2 8 16zxy xxx xx   
Hay
2
2 2 8 22zx 
. Do đó
min
22zx y
. Vy
22zi
.
Câu 5. Trong các s phc tha mãn Tìm s phc để đạt giá tr ln nht
Gii:
Gi s
 ,,z x yi x y
.
 
22 22
1 11z xy xy
Khi đó:
22
22
22
22
1 31 1 3 1
11 3 11 21 31
z zx y x y
xxxx xx

 
Xét hàm s
 2 1 31fx x x
trên đoạn



1; 1
ta có:
z
24 2z izi
z
z
1.z
z
 1 31zz
CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 33




13 4
' 2 ;'
0
5
21 21
fx fx
x
xx
Ta có:



4
1 6; 2 10
5
ff
.
Vy
 






max
22
43
4
;
4
55
2 10
5
43
5
1
;
55
xy
x
ff
yx
xy
Vy
 
43 43
,.
55 55
z iz i
Câu 6. Trong các s phc tha: biết rng s phc có modul
nh nhất. Khi đó, giá trị ca ?
Gii:
Ta có
34 34z i z a bi i a bi 
22
22
25 6
3 4 25 6 8 0
8
a
a b ab ab b

22
2
22
25 6 25 75 625 5 15 25 25
8 16 16 64 4 8 4 4
a
za a a a











Du
""=
xy ra khi
3
2
2
ab 
.
Khi đó
2
1
4
Pa b 
.
Câu 7. Cho s phc tha . Tính tng giá tr ln nht và giá tr nh nht ca
.
Gii:
Đặt
( )
22
;1z a bi a b a b=+ +=
.
( ) ( )
2
2
1 1 21z aba+ += + + = +
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2 22 2
2
2
22
2
22
1 2 2 21
2 21
21
z z a abi b a bi a b a a a bi
aa a b
a ab
+ += + −+ ++ = −+
= −+
=−+
21a=
Vy
( )
2 121Pa a= ++
.
Xét
( )
max 1 3
1
;1
1
2
min 3
2
PP
a
PP
= =

∈⇒


= =



. Xét
7 13
max
1
84
1;
1
2
min 3
2
PP
a
PP

= =



∈−



= =


z
34 ,z iz
,,z a bi a b
2
Pa b
1z
2
11Pz z z= ++ −+
CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 34
Kết lun
1
1
13 7 15
4 88
13
3
22
z
z
Max P z i
Min P z i
=
=
= =−±
= ⇒=±
Câu 8. S phc tha mãn Tng giá tr ln nht và giá tr nh nht ca biu thc
Gii:
Ta có
  
11
1 11 1 11.
iii i
zzz z
zz
Mt khác

11
2
2
z
z
suy ra

13
.
22
P
Suy ra giá tr ln nht và giá tr nh nht là
31
,.
22
Vy tng giá tr ln nht và giá tr nh nht ca biu
thc
P
2.
Câu 9. Cho số phức thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của
Giải:
Ta có:
−− = −− = −+ = −+ =232323231z iz iz iz i
= ++= −+ + −+ + =+1 23 32 23 32 1 13Pziziizi i
. Vậy
= +
max
1 13P
.
Câu 10. Trong các s phc tho mãn . Tìm giá tr ln nht, giá tr nh nht ca
xy ra khi bng bao nhiêu?
Gii:
Ta có :
34 (34) 34 5z iz i z i z
4 5 4 54 1 9zz z 
max 9
z

min 1
z
Đặt
=+∈ (; )z x yi x y
TH
max 9
z
+=
=
+=

⇔⇔

−=
++ =
−+ =

22
22
22
81
9
81
3 4 45
( 3) ( 4) 16
34 4
xy
z
xy
xy
xy
zi
Giải hệ phương trình này ta thu được
= =
27 36
;y
55
x
⇒=
27 36
55
zi
.
Vậy
max 9
z
⇔=
27 36
55
zi
.
TH
min 1
z
0z
2.z
.
zi
P
z
z
−− =23 1zi
= ++1Pz i
z
34 4zi
z
z
CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 35
+=
=
+=

⇔⇔

−=
++ =
−+ =

22
22
22
1
1
1
3 4 45
( 3) ( 4) 16
34 4
xy
z
xy
xy
xy
zi
Giải hệ phương trình này ta thu được
= =
34
;y
55
x
⇒=
34
55
zi
.
Vậy
min 1
z
⇔=
34
55
zi
.
Câu 11. Cho s phc tha mãn . Tng giá tr ln nht và giá tr nh nht ca
bng bao nhiêu ?
Gii:
Ta có .
1 1 11 1
12 12 2 1 2
5 5 55 5
zz z  
max min
1 1 22zz 
.
Câu 12. Cho s phc tha mãn . Giá tr ln nht và giá tr nh nht ca
bng bao nhiêu ?
Gii:
Ta có
12 12 (12) 12 12 10z iz iz i z iz i    
Lại có :
12 14 22 14 22 14 22zizi izi izi   
10 1 4 2 2 10 1 4 2 2 10
10 2 2 1 4 10 2 2
zi zi
zi
 

Vậy
max min
1 4 10 2 2; 1 4 10 2 2zi zi 
.
Câu 13. Trong các s phc có môđun bằng . Tìm s phc sao cho biu thc
đạt giá tr ln nht.
Gii:
Gi
;z x yi x y
22 22
22 22 8z xy xy
22 2 2
1 ( 1) ( 1)P z zi x y x y 
Áp dng bất đẳng thc Bunhia-côpxki cho hai b s 1;1 và
2 22 2
( 1) ; ( 1)x yx y 
, ta có:
2 222 2
2 ( 1) ( 1) 4(9 )P x y x y xy




z
2 11
iz

1z
21
1 1 21
2 11
2 55
22
5
iz
i
iz z z
i
ii



27 7
1 1 12
55 55 55
ii i
zz z z

 

z
1 2 10
zi
14zi
z
22
z
1P z zi 
CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 36
Áp dng bất đẳng thc Bunhia-cpxki cho hai b s 1;1 và
;xy
, ta có:
22
24xy x y
2
52 2 13PP 
. Đẳng thc xy ra khi
2xy
Vậy P đạt giá tr ln nht bng
2 13 khi 2 2zi
.
Câu 14. Cho s phc tha mãn . Gi , lần lượt giá tr ln nht và nh nht
Khi đó bng ?
Gii:
Gi
z x yi
vi
;xy
.
Ta có
833332 4z z z z zz
.
Do đó
4M max z
.
22
22
3 38 3 3 8 3 3 8z z x yi x yi x y x y 
.
Áp dng bất đẳng thc Bunhiacopxki, ta có
2 2 22
2 2 22 2 2
8 1. 3 1. 3 1 1 3 3xyxy xyxy

 



22 22
8 2 2 2 18 2 2 2 18 64xy xy  
22 22
7 77xy xy z 
.
Do đó
7M min z
.
Vy
47Mm 
.
Câu 15. Cho s phc
z
tha mãn
4 4 10zz
. Giá tr ln nht và nh nht ca
z
bng?
Gii:
Cách 1: Gi s
;z x yi x y
.
Ta có
1044442 5z z z z zz
.
Áp dng bất đẳng thc Bunhiacopxki, ta có
2 22
100 4 .1 4 .1 4 4 .2zz z z





22
2 2 22
4 4 50 9 3a b a b ab z 
.
Cách 2: Gi s
;z x yi x y
.
T gi thiết, ta có
22
22
4 4 10x yx y 
.
*
Trong mt phng vi h ta đ
Oxy
, gi
;M xy
và
1
4; 0F
,
2
4; 0F
thì
*
dng
12
2.5MF MF
. Vy tp hợp điểm
;M xy
biu din s phc
z
là một Elip có độ dài trc ln
5a
,
tiêu c
12
84FF c

. Suy ra độ i trc bé
22
3b ac 
.
Khi đó ta luôn có
b OM a
hay
35z
.
PHƯƠNG PHÁP HÌNH HC GII BÀI TOÁN MIN-MAX
z
3 38zz
M
m
.z
Mm
CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 37
Bài toán 1: Cho đường tròn
()
T
c định có tâm I bán kính R và điểm A c định. Điểm M di
động trên đường tròn
()T
. Hãy xác định v trí điểm M sao cho AM ln nht, nh nht.
Gii:
TH1: A thuộc đường tròn (T)
Ta có: AM đạt giá tr nh nht bằng 0 khi M trùng với A
AM đt giá tr ln nht bằng 2R khi M là điểm đối xng vi A qua I
TH2: A không thuộc đường tròn (T)
Gọi B, C là giao điểm của đường thẳng qua A,I và đường tròn (T);
Gi s AB < AC.
+) Nếu A nằm ngoài đường tròn (T) thì với điểm M bt kì trên (T), ta có:
AM AI IM AI IB AB 
.
Đẳng thc xy ra khi
MB
AM AI IM AI IC AC 
.
Đẳng thc xy ra khi
MC
+) Nếu A nằm trong đường tròn (T) thì với điểm M bt kì trên (T),
ta có:
AM IM IA IB IA AB 
.
Đẳng thc xy ra khi
MB
AM AI IM AI IC AC 
.
Đẳng thc xy ra khi
MC
Vậy khi M trùng với B thì AM đạt gía tr nh nht.
Vậy khi M trùng với C thì AM đạt gía tr ln nht.
Bài toán 2:
Cho hai đường tròn
1
()T
có tâm I, bán kính R
1
; đường tròn
2
()
T
có tâm J, bán
kính R
2
. Tìm v trí của điểm M trên
1
()T
, điểm N trên
2
()T
sao cho MN đạt giá tr ln nht,
nh nht.
Gii:
Gọi d là đường thẳng đi qua I, J; d cắt đường tròn
1
()T
tại hai điểm phân bit A, B (gi s JA > JB)
; d ct
2
()
T
tại hai điểm phân bit C, D ( gi s ID > IC).
Với điểm M bt khì trên
1
()T
và điểm N bt kì trên
2
()T
.
Ta có:
12
MN IM IN IM IJ JN R R IJ AD  
Đẳng thc xảy ra khi M trùng với A và N trùng với D
12
MN IM IN IJ IM JN IJ R R BC 
.
Đẳng thc xảy ra khi M trùng với B và N trùng với C.
Vậy khi M trùng với A và N trùng với D thì MN đạt
giá tr ln nht.
khi M trùng với B và N trùng với C thì MN đạt giá tr
nh nht.
CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 38
Bài toán 3: Cho hai đường tròn
()T
có tâm I, bán kính R; đường thng
không có điểm
chung vi
()T
. Tìm v trí của điểm M trên
()T
, điểm N trên
sao cho MN đạt giá tr nh
nht.
Gii:
Gi H là hình chiếu vuông góc ca I trên d
Đon IH cắt đường tròn
()T
tại J
Vi M thuộc đường thng
, N thuộc đường tròn
()T
, ta có:
MN IN IM IH IJ JH const 
.
Đẳng thc xy ra khi
;M HN I
Vy khi M trùng với H; N trùng với J thì MN đạt giá tr nh nht.
Câu 1. Trong các s phc tho mãn . Tìm giá tr ln nht, giá tr nh nht ca
Gii:
Cách 1
Gi
;z x yi x y
(; )Mxy
biu din cho s phc
z
trong h to độ Oxy
22 22
3 4 4 ( 3) ( 4) 4 ( 3) ( 4) 16zi xy xy  
Vậy điểm M biu din cho s phc
z
thuộc đường tròn (T) có tâm
(3; 4)I
, bán kính R = 4.
22
z x y OM 
;
5OI R
nên O nằm ngoài đường tròn (T)
z
ln nht khi OM ln nht, nh nht khi OM nh nht.
(Bài toán qui về Bài toán 1- Trường hợp 2)
Đưng thng OI cắt đường tròn (T) tại hai điểm phân bit
3 4 27 36
; ; ; 1; 9
55 5
5
A B OA OB











Với M di động trên (T), ta có:
19OA OM OB OM
19z
OM nh nhất khi M trùng với A; OM ln nhất khi M trùng với B
Vy
z
nh nht bằng 1 khi
34
55
zi
;
z
ln nht bng 9 khi
27 36
55
zi
.
Cách 2
Gi
;z x yi x y
(; )Mxy
biu din cho s phc
z
trong h to độ Oxy
34i 
(3; 4)A
biu din cho s phc
; 5 z OM OA z AM 
;
Theo gi thiết
34 4 4 4z i z AM  
.
Ta có:
4 44 4 1 9OM OA AM OM OA OA OM OA OM  
19z
;
1z
khi
34
55
zi
;
9z
khi
27 36
55
zi
.
z
34 4zi
z
CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 39
Vy
z
nh nht bằng 1 khi
34
55
zi
;
z
ln nht bng 9 khi
27 36
55
zi
.
Nhn xét: Ngoài ra bài toán trên có th gii bằng phương pháp sử dng bất đẳng thc Bunhia-Cpxki
hoặc phương pháp lượng giác hoá.
Câu 2. Trong các s phc tho mãn điều kin là mt s o, tìm s phc sao cho
có môđun lớn nht.
Gii:
Gi
;z x yi x y
(; )Mxy
biu din cho s phc
z
trong h to độ
Oxy
(24)( )(2)(4) (2)(4) (4)(2)z z i x yi x y i x x y y x y y x i

   


( 2 4)zz i
là mt s o
22 2 2
( 2) ( 4) 0 2 4 0 ( 1) ( 2) 5xx yy x y x y x y  
M biu din cho
z
thuộc đường tròn (T) có tâm
( 1; 2)I
, bán kính
5R
22
1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)z i x y i x y AM  
vi
(1; 1)A
5 ()IA A T 
(Bài toán được qui về Bài toán 1 - trường hợp 1)
Vì M là điểm di động trên (T) nên
AM
ln nht
AM
là đường kính ca (T)
M
đối xng vi
A
qua
I
I
là trung dim ca
Vy ln nht bng khi .
Câu 3. Trong các s phc tho mãn: , tìm s phc sao cho
đạt giá tr ln nht.
Gii:
Gi là nhng s thc); được biu din bởi điểm
; được biu din bởi điểm trong mt phng to đ Oxy
M thuộc đường tròn tâm I(1; 1), bán kính R = 1.
M thuộc đường tròn tâm , bán kính .
.
(Bài toán được qui về Bài toán 2)
Đưng thng IJ có phương trình . Đường thng IJ cắt đường tròn tâm I tại hai điểm
z
( 2 4)zz i
z
1zi 
AM
( 3; 3) 3 3 4 2Mzi i  
25
33zi
12
,zz
12
1 1; 6 6 6z iz i
12
,zz
12
zz
12
. ; . ; ( , , ,z a bi z c di abcd 
1
z
;M ab
2
z
;N cd
2
22
11
1 1 1 1 ( 1) ( 1) 1zi zi a b 
2
22
22
6 6 6 6 6 36 ( 6) ( 6) 36zi zi c d 
6; 6J
'6R
22
12
()()z z c a d b MN 
yx
12
2 22 2 2 22 2
;; ;
22 22
MM












CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 40
Đưng thng IJ cắt đường tròn tâm J tại 2 điểm
.
Vy thì đạt giá tr ln nht.
Câu 4. Cho các s phc tho mãn: là mt s thc. Tìm s phc
sao cho đạt giá tr nh nht.
Gii:
Gi
lần lượt biu din cho trong h to độ Oxy
M thuộc đường tròn tâm O, bán kính R = 1
là s thc
N thuộc đường thng
Ta có nên không có điểm chung
(vì )
(Bài toán được qui về Bài toán 3)
Gi H là hình chiếu vuông góc ca O trên
Đon OH cắt đường tròn ti
Vi N thuộc đường thng , M thuộc đường tròn , ta có:
.
Đẳng thc xy ra khi
.
Đẳng thc xy ra khi
Vậy P đạt giá tr nh nht bng khi .
Câu 5. Trong các s phc có môđun bằng . Tìm s phc sao cho biu thc
đạt giá tr ln nht.
Gii:
12
6 32;6 32; 6 32;6 32NN
21 12
M N MN M N
12
52 7 52 7zz 

12 1 2
max 5 2 7 ,z z kh i M M N N
12
2222
; 6 32 6 32
22
z iz i


12
zz
12
;zz
1 22
1 ; (1 ) 6 2z zz i i




12
;zz
2
2 12 12
P z zz zz
12
; ; , , ,z a bi z c di abcd 
( ; ), ( ; )Mab Ncd
12
;zz
22 22
1
1 11z ab ab 
()T
2
;
1 6 2 ( 1) ( 1) 2 6
( 1) ( 1) 2 ( 1) ( 1) 6
z c di
z z i i c di c d i i
cc dd cd dc i










 


( 1) ( 1) 6 0 6 0cd dc c d  
: 60xy 
(; ) 1dO
()T
12
12 12 12
( );
( ) 2( )
z z ac bd bc ad i
z z ac bd bc ad i z z z z ac bd


22 2 2 2
2( )()()1 1P c d acbd ca bd MN
22
1ab
: 6 0 (3; 3)xy H 
()T
22
;
22
I


()T
32 1MN ON OM OH OI IH
;M IN H
2
32 1 1 18 62P 
12
22
; 33
22
z iz i 
18 3 2
12
22
; 33
22
z iz i 
z
2
z
1 17Pz z i 
CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 41
Gi
Xét . Khi đó:
. Đẳng thc xy ra khi cùng hướng
Vi thì ngược hướng (không tho mãn)
Vi thì cùng hướng (tho mãn)
Vy thì P đạt giá tr nh nht bng 7.
Câu 6. Cho s phc tha mãn . Gi lần lượt là giá tr ln nht và giá tr nh
nht ca . Tính giá tr .
Gii :
Gi . Ta có : .
thuộc đường tròn có tâm và bán kính .
Mt khác : .
Vy thuộc đường thng .
Ta có : Để thì .
.
Câu 7. Trong các s phc tho mãn điều kin . Tìm s phức z có môđun lớn nht.
Gii:
Gi
biu din cho s phc z trong h to độ Oxy
(vi ).
có tâm O, trc ln bằng 10; tiêu cự bng 6
ln nht
Vy ln nht bng 5 khi .
;z x yi x y
22 22
2 24z xy xy 
22 2 2
1 1 7 ( 1) ( 1) ( 7)Pz z i x y x y  
1; , 1 ;7 0;7ux yv x y u v 
 
7Pu v uv 
 
,uv

( 1)( 7 ) (1 ) 1x yy x x 
3y 
1; 3xy

,uv

1; 3xy 
,uv

13zi
z
( )
34 5zi−+ =
,Mm
22
2P z zi=+ −−
22
AM m= +
( )
,z a bi a b=+∈
( )
( ) (
)
22
34 5 3 4 5zi a b+ = +− =
z
( )
C
( )
3; 4I
5R =
22 2 2
22
2 2 1 423 0P z zi a b a b a b P 
z
( )
:4 2 3 0ab P + +− =
( )
( )
zC
z
∈∆
z
;C dI R




23
5 13 33
25
P
P
≤≤
1258A⇒=
z
3 3 10zz
;z x yi x y
(; )Mxy
22 22
12
3 3 10 ( 3) ( 3) 10
10
z z x yx y
MF MF


12
( 3; 0); (3; 0)FF
()ME
22
( ): 1
25 9
xy
ME 
;z OM OM
5 (5; 0) ( 5; 0)OM a M M 
z
55zz 
CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 42
Câu 8. Biết rng s phc tha mãn là mt s thc. Tìm giá tr nh nht
ca .
Gii:
Đặt ta có
Ta có:
Tp hợp các điểm biu din ca là đường thng .
là điểm biu din ca , có môđun nhỏ nht khi và ch khi độ dài OM nh nht
. Tìm được suy ra .
Câu 9. Tìm s phc có mô đun lớn nht và thỏa mãn điều kin .
Gii:
Gi .
.
Gi là điểm biu din ca trong mt phng ta đ Oxy.
là đường tròn có tâm và bán kính .
Gọi d là đường thẳng đi qua O và I .
Gi là hai giao điểm ca d và (C) .
Ta thy
S phc cn tìm ng với điểm biu din hay .
Câu 10. Cho s phc tha mãn và đạt
giá tr nh nht . Tính .
Gii :
Ta có : .
.
Xét trong mt phng phc , xét các điểm vi điểm biu
din s phc .
Ta có : .
Vy ta tìm sao cho .
Do cùng thuộc mt phía so với đường thng .
z
3 13u z iz i 
z
 ,()z x yi x y
22
3 1 1 3 4 4 62 4u x y ix y i x y x y x y i




40uR xy 
z
: 40dx y
;M xy
z
z
OM d
2; 2M
 22zi
z
13
1 32
2
zi i 
(, )z x yi x y R z x yi 
22
13 39
(1 ) 3 2 5 0
28
z i i xyx y 
;M xy
z
()MC
15
;
22
I


26
4
R
:5dy x
12
,MM
1
3 15
;
44
M


2
15
;
44
M


12
1
( ( ))
OM OM
OM OI R OM M C

1
M
3 15
44
zi
,z a bi a b
12z izi++ = +
23 1Pz iz 
2Pa b= +
12 1z i z i ab
22 2
2
23 1 2 3 1Pz iz a b a b 
Oab
; , 2;3 , 1;0M ab A B
M
: 10z M dab 
22 2
2
23 1MA MB a b a b 
Md
min
MA MB

1 10 ,
AA B B
x y x y AB 
d
CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 43
Gi là điểm đối xng ca qua . Ta có : .
Du xy ra khi .
Câu 11. Cho hai s phc
12
, zz
tha mãn
1
23zi
22
22 24z iz i 
. Giá tr nh nht
ca biu thc
12
Pzz
bng?
Gii:
Đặt
1 11
z x yi
2 22
z x yi
vi
1212
, , , .xxyy
2
2
1 11
23 2 9zi x y 
tp hp các s phc
1
z
là đường tròn
2
2
: 29Cx y
.
22
22 24z iz i 
22 22
22 22 2
2 2 2 4 30xyxyy
tp hp các s phc
2
z
là đường thng
:3dy
.
Ta có
22
12 21 21
Pzz xx yy
đây chính là khoảng cách t điểm
22
;Bx y d
đến điểm
11
;Ax y C
. Do đó
2 1 min
min
.z z AB
Da vào hình v ta tìm đưc
min
2AB
khi
0; 1 , 0; 3AB
. Vy
12
Pzz
khi
12
; 3z iz i=−=
.
Nhn xét: bài này đường thẳng và đường tròn có vị trí đặc biệt nên vẽ hình sẽ nhận ra ngay
được hai điểm
A
&
B
, nếu không thì viết phương trình đường thẳng qua tâm
C
và vuông góc
với
d
, sau đó tìm giao điểm vi
C
d
rồi loại điểm.
S DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570 VN-PLUS Đ GII DNG MAX, MIN S PHC
Câu 1. Trong các s phc có môđun bằng . Tìm s phc sao cho biu thc
đạt giá tr ln nht.
ng dn:
o Chuyn qua chế độ s phc: w2
o Nhp biu thc P :
qcQ)p1$+ qcQ)p1+7b
Màn hình hin th:
'A
A
d
''MA MB MA MB A B
""
'M AB d
31 5
;2
22 2
M Pa b



z
2
z
1 17Pz z i 
.1 i 3 .1 3 . 3 . 3A Bi C i D i 
CHUYÊN Đ IVGII TÍCH 12 – S PHC
Page 44
o Gán X cho tng đáp án, dùng phím: r
o So sánh kết qu và ta tìm được giá tr ln nht là 7
Câu 2. Trong các s phc tho mãn điều kin . Tìm s phức z có môđun lớn nht.
Hướng dẫn:
o Chuyn qua chế độ s phc: w2
o Nhập biểu thức: vào máy tính:
qcQ)p3$ qcQ)+3$p10.
Màn hình hin th:
o Dùng phím r để nhập các đáp án, nếu đáp án nào cho kết qu
bng 0 thì thỏa mãn điều kin .
Ta thy 3 đáp án A,B,C thỏa mãn điều kiện đề bài nhưng đáp
án B có môđun lớn nht. Chn B.
z
3 3 10zz
9 12
.4 .5 .3 .3 5 i
55
AiB CiD 
3 3 10zz
3 3 10zz
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 25
BÀI TP TRC NGHIM TRÍCH T ĐỀ THAM KHẢO VÀ ĐỀ CHÍNH THC
CA B GIÁO DC T NĂM 2017 ĐẾN NAY
Câu 1: (MĐ 103-2022) S phức nào dưới đây có phần o bng phn o ca s phc
14wi=
?
A.
2
34zi= +
. B.
1
54zi=
. C.
3
15zi=
. D.
4
14zi= +
.
Câu 2: (MĐ 104-2022) S phức nào dưới đây có phần o bng phn o ca s phc
1 4?zi
A.
1
54zi=
. B.
4
14zi
= +
. C.
3
15zi
=
. D.
2
34zi= +
.
Câu 3: (MĐ 101-2022) Môđun của s phc
34zi
= +
bng
A.
25.
B.
7.
C.
5.
D.
7.
Câu 4: (MĐ 102-2022) Môđun của s phc
34zi= +
bng
A.
7
. B. 5. C.
7
. D. 25.
Câu 5: (MĐ 101-2022) Trên mt phng ta độ, đim biểu diễn cho s phc
27zi
=
có tọa đ
A.
(2;7)
. B.
( 2;7)
. C.
(2; 7)
. D.
( 7;2)
.
Câu 6: (MĐ 102-2022) Trên mt phng ta độ, đim biểu diễn s phc
27
zi=
có tọa đ
A.
( )
2; 7
. B.
(
)
7;2
. C.
( )
2;7
. D.
( )
2;7
.
Câu 7: (MĐ 103-2022) Trên mt phng ta độ, đim biểu diễn s phc
27zi= +
có tọa đ
A.
( )
2; 7
. B.
( )
2;7
. C.
( )
7;2
. D.
( )
2; 7
−−
Câu 8: (MĐ 104-2022) Trên mt phng ta độ, đim biểu diễn s phc
27
zi= +
có tọa đ
A.
( )
2; 7
. B.
( )
2; 7−−
. C.
( )
7;2
. D.
( )
2;7
.
Câu 9: (MĐ 101-2022) Cho hai s phc
1
23
zi= +
2
1zi
=
. S phc
12
zz+
bng
A.
5 + i
. B.
32+ i
. C.
14+ i
. D.
34+ i
.
Câu 10: (MĐ 102-2022) Cho hai s phc
1
23zi= +
2
1zi=
. S phc
12
zz+
bng
A.
34
i+
. B.
14
i
+
. C.
5 i+
. D.
32i+
.
Câu 11: (MĐ 103-2022) Phn o ca s phc
( )( )
21z ii=−+
bng
A.
3
. B.
1
. C.
1
. D.
3
.
Câu 12: (MĐ 104-2022) Phn o ca s phc

21z ii
bng
A.
3
. B.
1
. C.
3
. D.
1
.
CHƯƠNG
IV
S PHC
H THNG BÀI TP TRC NGHIM.
III
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 26
Câu 13: (MĐ 101-2022) Gi
1
z
2
z
là hai nghim phc của phương trình
2
60zz++=
. Khi đó
1 2 12
z z zz++
bng
A.
7
. B.
5
. C.
7
. D.
5
.
Câu 14: (MĐ 102-2022) Gi
1
z
và
2
z
là hai nghim phc của phương trình
2
60
zz++=
. Khi đó
1 2 12
z z zz
++
bng:
A.
5
. B.
7
. C.
7
. D.
5
.
Câu 15: (MĐ 103-2022) Gi
12
,zz
là nghim phc của phương trình
2
2 50zz +=
. Giá tr ca
22
12
zz
+
bng
A.
6
. B.
8
i
. C.
8i
. D.
6
.
Câu 16: (MĐ 104-2022) Gi
1
z
2
z
hai nghim phc của phương trình
2
2 5 0.
zz +=
Khi đó
22
12
zz+
bng
A.
6.
B.
8.i
C.
8.i
D.
6.
Câu 17: (MĐ 101-2022) Cho các s phc
123
,,zz z
tha mãn
12 3
22zz z= = =
( )
1 2 3 12
8 3.z z z zz+=
Gi
,,ABC
lần lượt là các đim biểu diễn ca
123
,,zz z
trên mt phng ta
độ. Din tích tam giác ABC bng
A.
55
32
B.
55
16
C.
55
24
D.
55
8
Câu 18: (MĐ 101-2022) Có bao nhiêu số phc
z
tha mãn
2
2z zz=
( )( )
2
44 4z zi zi −=+
A.
3
. B.
1
. C.
2
. D.
4
.
Câu 19: (MĐ 102-2022) Cho các s phc
123
,,zz z
tha mãn
12 3
22= = =zz z
( )
12 3 1 2
34= +zz z z z
. Gi
,,
ABC
lần lượt đim biểu diễn ca
123
,,zzz
trên mt phng ta đ. Din tích tam giác
ABC
bng
A.
7
4
. B.
37
4
. C.
7
2
. D.
37
2
.
Câu 20: (MĐ 102-2022) Có bao nhiêu số phc
z
tha mãn
2
z zz=
(
)
( )
2
2 2 2?z zi zi
+ +=
A.
4
. B.
2
. C.
3
. D.
1
.
Câu 21: (MĐ 103-2022) Cho các s phc
123
,,zzz
tha mãn
1 23
22 2z zz= = =
( )
1 2 3 12
3z z z zz+=
. Gi
,,ABC
lần lượt các đim biểu diễn ca
123
,,zzz
trên mt phng ta đ. Din tích tam
giác
ABC
bng
A.
57
8
. B.
57
16
. C.
57
24
. D.
57
32
.
Câu 22: (MĐ 103-2022) Có bao nhiêu số phc
z
tha mãn
2
z zz
=
( )( )
2
22 2z zi zi −=+
?
A. 2. B. 3. C. 1. D. 4.
Câu 23: (MĐ 104-2022) Cho các s phc
123
,,zz z
tha mãn
1 23
22 2z zz= = =
( )
1 2 3 12
2z z z zz+=
. Gi
,,ABC
lần lượtcác đim biểu diễn ca
123
,,zz z
trên mt phng ta
độ. Din tích tam giác
ABC
bng
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 27
A.
33
4
. B.
3
8
. C.
33
8
. D.
3
4
.
Câu 24: Có bao nhiêu số phc
z
tha mãn
2
2z zz
=
( )
( )
2
44 4z zi zi+ +=
?
A.
4
. B.
2
. C.
1
. D.
3
.
Câu 25: (TK 2020-2021) S phc liên hp ca s phc
32zi= +
là:
A.
3 2.zi=
B.
2 3.
zi
= +
C.
3 2.
zi=−+
D.
3 2.zi=−−
Câu 26: (2020-2021 ĐỢT 1) Phần thực của số phức
52zi=
bằng
A.
5
. B.
2
. C.
5
. D.
2
.
Câu 27: (2020-2021 ĐỢT 1) Trên mặt phẳng tọa độ, điểm
( )
3;4
M
điểm biểu diễn của số phức
nào dưới đây?
A.
2
34zi= +
. B.
3
34zi=−+
. C.
4
34
zi=−−
. D.
1
34zi=
.
Câu 28: (MĐ 102 2020-2021 ĐỢT 1) Trên mt phng ta độ, điểm
(
)
3; 2
M
đim biểu diễn s
phức nào dưới đây?
A.
3
32zi=
. B.
4
32zi= +
. C.
1
32zi=−−
. D.
2
32zi=−+
.
Câu 29: (MĐ 102 2020-2021 ĐỢT 1) Phn thc ca s phc
62zi=
bng
A.
2.
B.
2.
C.
6.
D.
6.
Câu 30: (MĐ 103 2020-2021 ĐỢT 1) Trên mt phng ta độ, điểm
( )
2;3M
đim biểu diễn s
phức nào dưới đây?
A.
3
23zi= +
. B.
4
23zi=−−
. C.
1
23zi=−+
. D.
2
23
zi
=
.
Câu 31: (MĐ 103 2020-2021 ĐỢT 1) Phn thc ca s phc
32zi=
bng
A.
2
. B.
3
. C.
3
. D.
2
.
Câu 32: (MĐ 104 2020-2021 ĐỢT 1) Phn thc ca s phc
42
zi=
bng
A.
2
. B.
4
. C.
4
. D.
2
.
Câu 33: (MĐ 104 2020-2021 ĐỢT 1) Trên mt phng to độ, điểm
( )
4;3M
là đim biểu diễn ca
s phức nào dưới đây?
A.
3
43zi
=−−
. B.
4
43zi
= +
. C.
2
43zi
=
. D.
1
43
zi
=−+
.
Câu 34: (2020-2021 ĐỢT 1) Điểm nào trong hình bên là điểm biểu diễn ca s phc
2zi=−+
?
A. Đim
P
. B. Đim
Q
.
C. Đim
M
. D. Đim
N
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 28
Câu 35: (2020-2021 ĐỢT 1) Phn o ca s phc
23
zi
=
bng
A.
2
. B.
3
. C.
3
. D.
2
.
Câu 36: (2020-2021 ĐỢT 1) Phần ảo của số phức
34zi=
bằng
A.
4
. B.
3
. C.
4
. D.
3
.
Câu 37: (2020-2021 ĐỢT 1) Điểm nào trong hình bên là điểm biểu diễn của số phức
2.zi=−−
A. Điểm
.Q
B. Điểm
.P
C. Điểm
.
N
D. Điểm
.
M
Câu 38: (MĐ 103 2020-2021ĐỢT 2) Phn o ca s phc
32zi=
bng
A.
2
. B.
3
. C.
2
. D.
3
.
Câu 39: (MĐ 103 2020-2021 ĐT 2) Điểm nào trong hình bên là điểm biểu diễn ca s phc
2zi=
?
A. Đim
P
. B. Đim
Q
. C. Đim
M
. D. Đim
N
.
Câu 40: (MĐ 104 2020-2021 ĐỢT 2) Phn o ca s phc
43zi=
bng
A.
3
. B.
4
. C.
3
. D.
4
.
Câu 41: (MĐ 103 2020-2021 ĐỢT 1) Cho s phc
z
tha
32iz i= +
. S phc liên hp ca
z
A.
23zi= +
. B.
23zi=−−
. C.
23zi=−+
. D.
23zi
=
.
Câu 42: (MĐ 104 2020-2021 ĐT 2) Điểm nào trong hình bên điểm biểu diễn của số phức
2zi= +
A. Điểm
N
. B. Điểm
M
. C. Điểm
P
. D. Điểm
Q
.
Câu 43: (TK 2020-2021) Cho s phc
3zi= +
w 23i= +
. S phc
wz
bng
A.
1 4.i+
B.
1 2.i
C.
5 4.i+
D.
5 2.i
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 29
Câu 44: (TK 2020-2021) Trên mt phng tọa đô, điểm biểu diễn s phc
32i
có tọa đ
A.
( )
2;3 .
B.
( )
2;3 .
C.
( )
3; 2 .
D.
( )
3; 2 .
Câu 45: Cho hai số phức
42
zi
= +
34
wi
=
. Số phức
zw+
bằng
A.
16i+
. B.
72i
. C.
72i+
. D.
16
i
−−
.
Câu 46: (MĐ 102 2020-2021 ĐỢT 1) Cho hai s phc
52zi= +
14wi=
. S phc
zw+
bng
A.
62
i+
. B.
46i+
. C.
62i
. D.
46i−−
.
Câu 47: (MĐ 103 2020-2021 ĐỢT 1) Cho hai s phc
12zi= +
w 34i=
. S phc
wz +
bng
A.
26i
. B.
42i+
. C.
42i
. D.
26i−+
.
Câu 48: (MĐ 104 2020-2021 ĐỢT 1) Cho hai số phức
32zi= +
14
wi=
. Số phức
zw+
bằng
A.
42i+
. B.
42
i
. C.
26i−−
. D.
26i+
.
Câu 49: Cho hai s phc
34
zi= +
1wi
=
. S phc
zw
bng
A.
7 i+
. B.
25i−−
. C.
43i
+
. D.
25i
+
.
Câu 50: Cho hai s phc
43
zi= +
1
wi=
. S phc
zw
bng
A.
52i+
. B.
7
i
. C.
34i
+
. D.
34i−−
.
Câu 51: (MĐ 103 2020-2021 ĐỢT 2) Cho hai s phc
23zi= +
1wi=
. S phc
zw
bng
A.
14zi= +
. B.
14zi
=−−
. C.
32zi= +
. D.
5zi= +
.
Câu 52: (MĐ 104 2020-2021 ĐỢT 2) Cho hai s phc
32zi= +
1wi=
. S phc
zw
bng
A.
23i+
. B.
4 i
+
. C.
23i−−
. D.
5 i
.
Câu 53: (MĐ 102 2020-2021 ĐỢT 1) Cho s phc
z
tha mãn
65iz i= +
. S phc liên hp ca
z
là:
A.
56zi=
. B.
56zi=−+
. C.
56
zi= +
. D.
56zi=−−
.
Câu 54: (MĐ 104 2020-2021 ĐỢT 1) Cho s phc
z
tha mãn
43= +iz i
. S phc liên hp ca
z
A.
34= +zi
. B.
34=−−zi
. C.
34=
zi
. D.
34=−+zi
.
Câu 55: Cho s phc
4zi
, mô đun của s phc
1 iz
bng
A.
34
. B.
30
. C.
34
. D.
30
.
Câu 56: (TK 2020-2021) Cho s phc
34zi= +
. Môđun của s phc
(
)
1 iz+
bng
A.
50.
B.
10.
C.
10.
D.
5 2.
Câu 57: Cho s phc
42= zi
. Môđun số phc
( )
1+ iz
bng
A.
2 10
. B.
24
. C.
26
. D.
40
.
Câu 58: (MĐ 103 2020-2021 ĐỢT 2) Cho s phc
z 2i=
, môđun của s phc
( )
1 iz+
bng
A.
10
. B.
6
. C.
6
. D.
10
.
Câu 59: (MĐ 104 2020-2021 ĐỢT 2) Cho s phc
32zi=
, mô đun của s phc
( )
1 iz+
bng
A.
10
. B.
26
. C.
26
. D.
10
.
Câu 60: (Mã 102 - 2020 Ln 2) Phn thc ca s phc
34zi=
bng
A.
3
B.
4
C.
3
D.
4
Câu 61: (Mã 103 - 2020 Ln 2) Phn thc ca s phc
54zi=−−
bng
A.
5
. B.
4
. C.
4
. D.
5
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 30
Câu 62: (Mã 103 -2018) S phc
56i+
có phần thc bng
A.
6
. B.
6
. C.
5
. D.
5
Câu 63: (Mã 104 2018) S phức có phần thc bng
1
và phn o bng
3
A.
13i
B.
13i−+
C.
13i+
D.
13i−−
Câu 64: (Mã 102 2018) S phức có phần thc bng
3
và phn o bng
4
A.
34i+
B.
43i
C.
34i
D.
43i+
Câu 65: Tham Kho 2017) Kí hiệu
,ab
ln lưt là phn thc và phn o ca s phc
3 22i
. Tìm
a
,
b
.
A.
3; 2ab= =
B.
3; 2 2ab= =
C.
3; 2ab= =
D.
3; 2 2ab= =
Câu 66: (Mã 101 2018) S phc
37i−+
có phần o bng:
A.
7
B.
7
C.
3
D.
3
Câu 67: (Mã 123 2017) S phức nào dưới đây là số thuần o.
A.
= +3zi
B.
= 2z
C.
=−+23zi
D.
= 3zi
Câu 68: (Mã 105 2017) Cho s phc
= 23zi
. Tìm phần thc
a
ca
z
?
A.
= 2a
B.
= 3a
C.
= 2a
D.
= 3a
Câu 69: Minh Ha 2020 Ln 1) Môđun của s phc
12i+
bng
A.
5
. B.
3
. C.
5
. D.
3
.
Câu 70: Tham Kho 2020 Ln 2) S phc liên hp ca s phc
2zi= +
A.
2zi=−+
. B.
2zi=−−
. C.
2zi=
. D.
2zi= +
.
Câu 71: (Mã 101 - 2020 Ln 1) S phc liên hp ca s phc
35zi=−+
là:
A.
35zi=−−
. B.
35zi= +
. C.
35zi=−+
. D.
35zi=
.
Câu 72: (Mã 102 - 2020 Ln 1) S phc liên hp ca s phc
A. . B. . C. . D. .
Câu 73: (Mã 103 - 2020 Ln 1) S phc liên hp ca s phc
25zi=
A.
25zi= +
. B.
25zi=−+
. C.
25zi=
. D.
25zi=−−
.
Câu 74: (Mã 104 - 2020 Ln 1) S phc liên hp ca s phc
35zi=
A.
35zi=−−
. B.
35zi= +
. C.
35zi=−+
. D.
35zi=
.
Câu 75: Minh Ha 2017) Cho s phc
32zi=
. Tìm phn thc và phn o ca s phc
z
:
A. Phn thc bng
3
Phn o bng
2i
B. Phn thc bng
3
Phn o bng
2
C. Phn thc bng
3
Phn o bng
2i
D. Phn thc bng
3
Phn o bng
2
Câu 76: (Mã 104 2019) S phc liên hp ca s phc
32zi=
là.
A.
32i+
. B.
32i−−
. C.
23i−+
. D.
32i−+
.
Câu 77: (Mã 103 - 2019) S phc liên hp ca s phc
12i
là:
A.
12i−−
. B.
12i+
. C.
2 i−+
. D.
12i−+
.
Câu 78: (Mã 104 2017) Cho s phc
2zi= +
. Tính
z
.
A.
5z =
B.
5z =
C.
2z =
D.
3z =
Câu 79: (Mã 102 - 2019) S phc liên hp ca s phc
53i
A.
35i−+
. B.
53i−−
. C.
53i+
. D.
53i−+
.
Câu 80: (Mã 101 - 2019) S phc liên hp ca s phc
34i
25=−+zi
25= zi
25= +zi
25=−+zi
25=−−zi
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 31
A.
34i+
. B.
43i−+
. C.
34i−−
. D.
34i−+
.
Câu 81: Minh Ha 2020 Ln 1) Trên mt phng ta độ, điểm biểu diễn s phc
( )
2
12zi= +
điểm nào dưới đây?
A.
( )
3;4P
. B.
( )
5;4Q
. C.
( )
4; 3N
. D.
( )
4;5M
.
Câu 82: Tham Kho 2020 Ln 2) Trên mt phng ta độ, điểm biểu diễn s phc
12zi=−+
là
điểm nào dưới đây?
A.
( )
1; 2Q
. B.
( )
1; 2P
. C.
( )
1; 2N
. D.
( )
1; 2M −−
.
Câu 83: (Mã 101 - 2020 Ln 1) Trên mt phng ta đ, biết
( )
3;1M
là đim biểu diễn s phc
z
.
Phn thc ca
z
bng
A.
1
. B.
3
. C.
1
. D.
3
.
Câu 84: (Mã 102 - 2020 Ln 1) Trên mt phng ta đ, biết đim biểu diễn s phc .
Phn thc ca bng
A. . B. . C. . D. .
Câu 85: (Mã 103 - 2020 Ln 1) Trong mt phng tọa độ, biết điểm
( 2;1)M
là điểm biểu diễn s phc
z
. Phn thc ca
z
bng:
A.
2
B.
2
C.
1
D.
1
Câu 86: (Mã 102 - 2020 Ln 2) Trên mt phng ta độ, điểm nào dưới đây đim biểu diễn s phc
12zi=
?
A.
( )
1;2Q
. B.
( )
2;1M
. C.
( )
2;1P
. D.
( )
1; 2N
.
Câu 87: (Mã 103 - 2020 Ln 2) Trên mt phng ta đ, đim nào dưi đây là đim biểu diễn ca s phc
32zi=
?
A.
( )
3; 2P
. B.
( )
2; 3Q
. C.
( )
3; 2N
. D.
( )
2;3M
.
Câu 88: (Mã 104 - 2020 Ln 2) Trên mt phng ta độ, điểm nào dưới đây đim biểu diễn s phc
12zi=−+
?
A.
( )
1; 2N
. B.
( )
2; 1P
. C.
( )
2;1Q
. D.
( )
1; 2M
.
Câu 89: Tham Kho 2018) Đim
M
trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn s phc
A.
12zi= +
B.
12zi=
C.
2zi= +
D.
2zi=−+
Câu 90: Tham Kho 2019) Điểm nào trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn ca s phc
12zi=−+
?
( )
1; 3M
z
z
3
1
3
1
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 32
A.
P
B.
M
C.
Q
D.
N
Câu 91: (Mã 110 2017) S phc nào dưi đây đim biu din trên mt phng ta đ là đim
M
như hình
bên?
A.
1
12zi=
B.
2
12zi
= +
C.
3
2zi=−+
D.
4
2zi
= +
Câu 92: Minh Ha 2020 Ln 1) Cho hai s phc
1
3zi=−+
2
1.zi=
Phn o ca s phc
12
zz+
bng
A.
2.
B.
2.
i
C.
2.
D.
2.i
Câu 93: Tham Kho 2020 Ln 2) Cho hai s phc
1
2zi= +
2
13zi= +
. Phn thc ca s phc
12
zz
+
bng
A.
1
. B.
3
. C.
4
. D.
2
.
Câu 94: (Mã 101 - 2020 Ln 1) Cho hai s phc
1
32zi=
2
2
zi= +
. S phc
12
zz+
bng
A.
5 i+
. B.
5 i
−+
. C.
5 i
. D.
5 i−−
.
Câu 95: (Mã 103 - 2020 Ln 1) Cho hai s phc
1
12zi=
2
2
zi
= +
. S phc
12
zz
+
bng
A.
3
i+
B.
3
i−−
C.
3 i
D.
3 i−+
Câu 96: (Mã 104 - 2020 Ln 1) Cho hai s phc
1
13zi=
2
3zi= +
. S phc
12
zz+
bng.
A.
42i
. B.
42i−+
. C.
42i+
. D.
42
i−−
.
Câu 97: (Mã 102 - 2020 Ln 2) Cho hai s phc
1
12zi
= +
2
4zi=
. S phc
12
zz
bng
A.
33i+
. B.
33i−−
. C.
33i−+
. D.
33i
.
Câu 98: (Mã 103 - 2020 Ln 2) Cho hai s phc
1
13zi=
2
3zi= +
. S phc
12
zz
bng
A.
24i
−−
. B.
24i
. C.
24i−+
. D.
24i+
.
Câu 99: (Mã 104 - 2019) Cho hai s phc
1
2= zi
2
1= +zi
. Trên mt phng ta đ
Oxy
, điểm biu
din ca s phc
12
2 +zz
có tọa đ
A.
( )
0; 5
. B.
( )
5; 1
. C.
( )
1; 5
. D.
( )
5; 0
.
Câu 100: (Mã 104 - 2020 Ln 2) Cho hai s phc
1
32zi=
2
2zi= +
. S phc
12
zz
bng
A.
13i−+
. B.
13i−−
. C.
13i+
. D.
13i
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 33
Câu 101: (Mã 103 - 2019) Cho hai s phc
1
1zi= +
2
2zi= +
. Trên mt phng ta đ
Oxy
, điểm biu
din s phc
12
2zz+
có tọa đ
A.
(3; 5)
. B.
(5; 2)
. C.
(5; 3)
. D.
(2;5)
.
Câu 102: (Mã 123 2017) Cho 2 s phc
=
1
57zi
= +
2
23zi
. Tìm số phc
= +
12
zz z
.
A.
= 3 10zi
B.
14
C.
= 74zi
D.
= +25zi
Câu 103: Minh Ha 2017) Cho hai s phc
1
1zi= +
2
23zi=
. Tính môđun của s phc
12
.zz+
A.
12
5zz+=
. B.
12
5zz+=
. C.
12
1zz+=
. D.
12
13zz+=
.
Câu 104: (Mã 110 2017) Cho hai s phc
1
43zi=
2
73zi= +
. Tìm số phc
12
zz z=
.
A.
36zi=−−
B.
11z =
C.
1 10zi=−−
D.
36zi= +
Câu 105: (Mã 104 2017) Cho s phc
1
12zi=
,
2
3zi=−+
. Tìm đim biu din ca s phc
12
zz z= +
trên mt phng ta đ.
A.
( )
2; 5M
B.
( )
2; 1P −−
C.
( )
1; 7Q
D.
( )
4; 3N
Câu 106: (Mã 104 2017) Tìm s phc
z
tha mãn
23 32zi i+− =−
.
A.
55zi=
B.
1zi=
C.
15zi=
D.
1zi= +
Câu 107: (Mã 105 2017) Cho hai s phc
=
1
13zi
=−−
2
25zi
. Tìm phn o
b
ca s phc
=
12
zz z
.
A.
= 3b
B.
= 2b
C.
= 2b
D.
= 3b
Câu 108: Tham Kho 2020 Ln 2) Cho hai s phc
1
3zi
2
1zi
. Phn o ca s phc
12
zz
bng
A.
4
. B.
4i
. C.
1
. D.
i
.
Câu 109: (Mã 101 - 2020 Ln 1) Cho hai s phc
12zi= +
w3i= +
. Môđun của s phc
.wz
bng
A.
52
. B.
26
. C.
26
. D.
50
.
Câu 110: (Mã 102 - 2020 Ln 1) Cho hai s phc
. Mô đun của s phc
A. . B. . C. . D. .
Câu 111: (Mã 103 - 2020 Ln 1) Cho hai s phc
42zi= +
1wi= +
. Môđun ca s phc
.zw
bng
A.
2 2.
B.
8.
C.
2 10.
D.
40.
Câu 112: (Mã 104 - 2020 Ln 1) Cho hai s phc
13zi= +
1wi= +
. Môđun của s phc
.zw
bng
A.
25
. B.
22
. C.
20
. D.
8
.
Câu 113: (Mã 102 - 2020 Ln 2) Cho s phc
2zi=
, s phc
( )
23iz
bng
A.
18i−+
. B.
74i−+
. C.
74i
. D.
18i+
.
Câu 114: (Mã 103 - 2020 Ln 2) Cho s phc
23=−+zi
, s phc
( )
1+ iz
bng
A.
5−−i
. B.
15−+i
. C.
15 i
. D.
5 i
.
Câu 115: (Mã 104 - 2020 Ln 2) Cho s phc
32zi=−+
, s phc
( )
1 iz
bng
22zi= +
w2i= +
zw
40
8
22
2 10
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 34
A.
15i−−
B.
5
i
. C.
15i
. D.
5
i−+
.
Câu 116: Minh Ha 2017) Cho s phc
2 5.zi= +
Tìm s phc
w iz z= +
A.
33wi=−−
. B.
3 7.wi= +
. C.
77
wi
=−−
D.
73
wi=
.
Câu 117: Tham Kho 2017) Tính môđun ca s phc
z
biết
( )( )
43 1z ii=−+
.
A.
52
z
=
B.
2z =
C.
25 2z =
D.
72z =
Câu 118: (Mã 110 2017) Cho s phc
3
1
z ii
=−+
. Tìm phần thc
a
và phn o
b
ca
z
.
A.
1, 0ab= =
B.
0, 1ab= =
C.
1, 2ab= =
D.
2, 1ab=−=
Câu 119: (Mã 123 2017) Cho s phước
= 1 2.zi
Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn s phc
=w iz
trên mt phng ta đ
A.
(
)
1; 2Q
B.
(
)
2;1
N
C.
( )
2;1P
D.
( )
1; 2M
Câu 120: Tham Kho 2017) Trong mt phng ta độ, điểm
M
đim biểu diễn ca s phc
z
.
Điểm nào trong hình vẽ là điểm biểu diễn ca s phc
2z
?
A. Đim
Q
B. Đim
E
C. Đim
P
D. Đim
N
Câu 121: (Mã 101 - 2019) Cho hai s phc
1
1zi=
2
12zi= +
. Trên mt phng ta đ
Oxy
, điểm
biểu diễn s phc
12
3zz
+
có tọa đ là:
A.
( )
1; 4
. B.
( )
1; 4
. C.
( )
4;1
. D.
( )
4; 1
.
Câu 122: (Mã 102 - 2019) Cho hai s phc
1
2zi=−+
2
1.zi= +
Trên mt phng ta đ
,Oxy
điểm
biểu diễn s phc
12
2zz+
có tọa đ
A.
(
)
3; 3
. B.
( )
3; 2
. C.
( )
3; 3
. D.
( )
2; 3
.
Câu 123: (Mã 104 2018) Tìm hai s thc
x
y
tha mãn
( ) ( )
23 3 54x yi i x i +−=
vi
i
đơn vị
o.
A.
1; 1xy=−=
. B.
1; 1xy=−=
. C.
1; 1xy= =
. D.
1; 1xy= =
.
Câu 124: (Mã 105 2017) Tìm tt c các s thc
,
xy
sao cho
+ =−+
2
1 12x yi i
.
A.
= =2, 2xy
B.
=−=2, 2xy
C.
= =0, 2xy
D.
= = 2, 2xy
Câu 125: (Mã 101 2018) Tìm hai s thc
x
y
tha mãn
( ) ( )
2 3 13 6x yi i x i +− =+
vi
i
đơn vị
o.
A.
1; 1xy= =
B.
1; 3xy= =
C.
1; 3xy=−=
D.
1; 1xy=−=
Câu 126: (Mã 104 - 2019) Cho s phc
z
tha mãn
( )
( )
2 3 16 2iz i z i ++ = +
. Môđun của
z
bng
A.
13
. B.
5
. C.
5
. D.
13
.
O
x
y
Q
E
P
N
M
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 35
Câu 127: (Mã 103 - 2019) Cho s
z
tha mãn
( )
( )
2 4 8 19iz z i i+ =−+
. Môđun của
z
bng
A.
13
. B.
5
. C.
13
. D.
5
.
Câu 128: (Mã 102 2018) Tìm hai s thc
x
y
tha mãn
( ) ( )
32 2 23x yi i x i+ + +=
vi
i
đơn vị
o.
A.
2; 2xy= =
B.
2; 1xy= =
C.
2; 2xy=−=
D.
2; 1xy
=−=
Câu 129: Tham Kho -2019) Tìm các s thc
,ab
tha mãn
2 ( ) 12a b ii i++ =+
vi
i
là đơn vị o.
A.
0, 1.
ab= =
B.
1, 2.ab= =
C.
0, 2.ab= =
D.
1
, 1.
2
ab= =
Câu 130: (Mã 103 2018) Tìm hai s thc
x
y
tha mãn
( ) ( )
3 42 5 2x yi i x i++−=+
vi
i
đơn vị
o.
A.
2
x =
;
4y =
B.
2x =
;
0y =
C.
2x =
;
0y =
D.
2x =
;
4y =
Câu 131: (Mã 102 - 2019) Cho s phc
z
tho mãn
3 2 3 7 16 .z i iz i 
Môđun của
z
bng
A.
3.
B.
5.
C.
5.
D.
3.
Câu 132: (Mã 101 - 2019) Cho s phc
z
tha mãn
( )
( )
3 2 3 10
z i iz i+− =+
. Môđun của
z
bng
A.
3
. B.
3
. C.
5
. D.
5
.
Câu 133: Tham Kho 2017) Hỏi có bao nhiêu số phc z thỏa mãn đồng thời các điều kiện
5zi−=
2
z
là s thuần o?
A.
4
B.
0
C.
2
D.
3
Câu 134: (Mã 110 2017) Cho s phc
( )
, z a bi a b=+∈
tho mãn
2z iz
+ +=
. Tính
4S ab= +
.
A.
4S =
B.
2
S =
C.
2S =
D.
4S
=
Câu 135: Tham Kho 2018) Cho s phc
( )
,z a bi a b=+∈
tha mãn
( )
2 10z iz i+ +− + =
1z >
. Tính
P ab= +
.
A.
1P =
B.
5P =
C.
3P =
D.
7
P =
Câu 136: THAM KHO BGD&ĐT NĂM 2020-2021) bao nhiêu số phc
z
tha mãn
2z =
( )
(
)
22z iz+−
là s thuần o?
A.
1.
B.
0.
C.
2.
D.
4.
Câu 137: (Mã 110 2017) Có bao nhiêu số phc
z
tha mãn
| 2 |22zi+−=
( )
2
1z
là s thuần o?
A.
0
B.
2
C.
4
D.
3
Câu 138: (Mã 104 2018) Có bao nhiêu số phc
z
tha mãn
( ) ( )
5 26−− + = z z i i iz
?
A.
1
B.
3
C.
4
D.
2
Câu 139: (Mã 103 2018) Có bao nhiêu số phc tha mãn
( ) ( )
6 27z z i i iz−− + =
?
A.
1
B.
4
C.
2
D.
3
Câu 140: (Mã 102 2018) Có bao nhiêu số phc
z
tha mãn
( ) ( )
3 24z z i i iz−− + =
?
A.
1
B.
3
C.
2
D.
4
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 36
Câu 141: (Mã 105 2017) Cho s phc
z
tha mãn
35
z +=
2 22ziz i = −−
. Tính
z
.
A.
= 17z
B.
= 17z
C.
= 10z
D.
= 10z
Câu 142: (Mã105 2017) Có bao nhiêu số phc
z
tha mãn
+=3 13zi
+ 2
z
z
là s thuần o?
A.
0
B.
2
C. Vô s D.
1
Câu 143: (Mã 102 2018) Xét các s phc
z
tha mãn
( )( )
3i 3zz+−
là s thuần o. Trên mt phng ta
độ, tp hp tt c các đim biểu diễn các s phc
z
là một đường tròn có bán kính bằng:
A.
9
2
B.
32
C.
3
D.
32
2
Câu 144: (Mã 103 2018) Xét các s phc
z
tha mãn
( )( )
22z iz+−
là s thuần o. Trên mt phng ta
độ, tp hp tt c các đim biểu diễn các s phc
z
là một đường tròn có bán kính bằng
A.
22
B.
4
C.
2
D.
2
Câu 145: (Mã 104 2019) Xét các s phc
z
tha mãn
2=z
. Trên mt phng ta đ
Oxy
tp hp các
điểm biểu diễn các s phc
5
1
+
=
+
iz
w
z
là một đường tròn có bán kính bằng
A.
44
. B.
52
. C.
2 13
. D.
2 11
.
Câu 146: (Mã 104 2018) Xét các s phc
z
tha mãn
( )
( )
22z iz−+
là s thuần o. Trên mt phng ta
độ, tp hp tt c các đim biểu diễn các s phc
z
là một đường tròn có bán kính bằng?
A.
2
B.
2
C.
4
D.
22
Câu 147: Minh Ha 2017) Cho các s phc
z
tha mãn
4z =
. Biết rng tp hp các đim biểu diễn
các s phc
(3 4 )w iz i=++
là một đường tròn. Tính bán kính
r
của đường tròn đó
A.
22
r =
B.
4r =
C.
5r =
D.
20r =
Câu 148: Tham Kho 2019) Xét các s phc
z
tha mãn
( )
( )
22
z iz++
là s thuần o. Biết rng
tp hp tt c các đim biểu diễn ca
z
là một đường tròn, tâm của đường tròn đó có tọa đ
A.
( )
1;1
B.
( )
1;1
C.
( )
1; 1−−
D.
( )
1; 1
Câu 149: (Mã 101 2018) Xét các s phc
z
tha mãn
( )
(
)
2
ziz++
là s thuần o. Trên mt phng ta
độ, tp hp tt c các đim biểu diễn s phc
z
là một đường tròn có bán kính bằng
A.
3
2
B.
1
C.
5
4
D.
5
2
Câu 150: (Mã 101 2019) Xét s phc
z
tha mãn
2z =
. Trên mt phng ta đ
Oxy
, tp hợp điểm
biểu diễn các s phc
4
1
iz
w
z
+
=
+
là một đường tròn có bán kính bằng
A.
26
. B.
34
. C.
26
. D.
34
.
Câu 151: (Mã 102 - 2019) Xét s phc
z
tha mãn
2z =
. Trên mt phng ta đ
Oxy
, tp hợp điểm
biểu diễn các s phc
3
1
iz
w
z
+
=
+
là một đường tròn có bán kính bằng
A.
25
. B.
20
. C.
12
. D.
23
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 37
Câu 152: (Mã 103 - 2019) Xét các s phc
z
tha mãn
2z =
. Trên mt phng ta đ
Oxy
, tp hp
các đim biểu diễn s phc
2
1
iz
w
z
+
=
+
là một đường tròn có bán kính bằng
A.
10
. B.
2
. C.
2
. D.
10
.
Câu 153: (Mã 101 - 2020 Ln 1) Gi
0
z
là nghim phc phn ảo dương của phương trình
2
6 13 0zz++=
. Trên mt phng ta độ, điểm biểu diễn s phc
0
1 z
A.
( )
2;2N
. B.
( )
4;2M
. C.
( )
4; 2P
. D.
( )
2; 2Q
.
Câu 154: (Mã 102 - 2020 Ln 1) Gi
là nghim phc phn ảo dương của phương trình
. Trên mt phng ta độ, điểm biểu diễn s phc
A. . B. . C. . D. .
Câu 155: (Mã 103 - 2020 Ln 1) Cho
0
z
là nghim phc phn ảo dương của phương trình
2
4 13 0zz++=
. Trên mt phng ta độ, điểm biểu diễn ca s phc
0
1 z
A.
( 1; 3).P −−
B.
( 1; 3).M
C.
(3; 3).N
D.
(3;3).Q
Câu 156: (Mã 104 - 2020 Ln 1) Gi
0
z
là nghim phc phn ảo dương của phương trình
2
4 13 0+=zz
. Trên mt phng ta độ, điểm biểu diễn ca s phc
0
1 z
A.
( )
3; 3M
. B.
( )
1; 3P
. C.
( )
1; 3Q
D.
( )
1; 3−−N
.
Câu 157: (Mã 102 - 2020 Ln 2) Gi
1
z
2
z
là hai nghim phc của phương trình
2
30−+=zz
. Khi
đó
12
+zz
bng
A.
3
. B.
23
. C.
6
. D.
3
.
Câu 158: (Mã 103 - 2020 Ln 2) Gi
1
x
2
x
là hai nghim phc của phương trình
2
20zz−+=
. Khi
đó
12
zz+
bng
A.
2
. B.
4
. C.
22
. D.
2
.
Câu 159: (Mã 104 - 2020 Ln 2) Gi
12
,zz
là hai nghim phc của phương trình
2
30zz++=
. Khi đó
12
zz+
bng
A.
3
. B.
23
C.
3
. D.
6
.
Câu 160: Tham Kho 2020 Ln 2) Gi
0
z
là nghim phc phn o âm của phương trình
2
2 50zz 
. Môđun của s phc
0
zi
bng
A.
2
. B.
2
. C.
10
. D.
10
.
Câu 161: (Mã104 2017) hiệu
1
z
,
2
z
là hai nghim của phương trình
2
40z +=
. Gi
M
,
N
lần lượt
là điểm biểu diễn ca
1
z
,
2
z
trên mt phng ta đ. Tính
T OM ON= +
vi
O
là gc ta đ.
A.
8T =
B.
4
C.
2T =
D.
2T =
Câu 162: (Mã 123 2017) Phương trình nào dưới đây nhận hai s phc
+12i
12i
là nghim.
A.
+ +=
2
2 30zz
B.
+=
2
2 30zz
C.
+ −=
2
2 30zz
D.
−=
2
2 30zz
0
z
2
6 13 0zz+=
0
1 z
( )
2; 2M
( )
4; 2Q
( )
4; 2N
( )
2; 2P −−
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 38
Câu 163: (Mã 110 2017) Kí hiệu
12
,zz
là hai nghim phc của phương trình
2
3 10zz+=
. Tính
12
Pz z= +
.
A.
2
3
P
=
B.
3
3
P =
C.
23
3
P =
D.
14
3
P =
Câu 164: (Mã 102 - 2019) Kí hiệu
12
,zz
là hai nghim phc của phương trình
2
6z 14 0z −+=
. Giá tr
ca
22
12
zz
+
bng
A.
36
. B.
8
. C.
28
. D.
18
.
Câu 165: (Mã 104 - 2019) Gi
12
,zz
là hai nghim phc của phương trình
2
4 7 0. +=zz
Giá tr ca
22
12
+zz
bng
Hàm s đã cho đạt cc tiểu tại
A. 2. B. 8. C. 16. D. 10.
Câu 166: Tham Kho 2017) hiệu
12
;
zz
là hai nghim của phương trình
2
10zz++=
. Tính
22
1 2 12
Pzzzz
=++
.
A.
2P =
B.
1P =
C.
0P =
D.
1P =
Câu 167: Tham Kho 2019) Kí hiệu
1
z
2
z
là hai nghim phc của phương trình
2
3 50zz +=
.
Giá tr ca
12
zz+
bng:
A.
10
B.
2
5
. C.
5
. D.
3
.
Câu 168: (Mã 105 2017) Kí hiệu
12
,zz
là hai nghim phc của phương trình
−+=
2
60zz
. Tính
= +
12
11
P
zz
.
A.
1
6
B.
1
6
C.
6
D.
1
12
Câu 169: Tham Kho 2018) Gi
1
z
2
z
là hai nghim phc của phương trình
2
4 4 30
zz +=
. Giá
tr ca biểu thức
12
zz+
bng:
A.
32
B.
23
C.
3
D.
3
Câu 170: (Mã 103 - 2019) Gi
12
,zz
là 2 nghim phc của phương trình
2
4z 5 0z +=
. Giá tr ca
22
12
zz+
bng
A. 16. B. 26. C. 6. D. 8.
Câu 171: (Mã 101 - 2019) Gi
12
,zz
là hai nghim phc của phương trình
2
6 10 0zz+=
. Giá tr ca
22
12
zz+
bng:
A.
16.
B.
56
. C.
20.
D.
26
.
Câu 172: Minh Ha 2017) hiệu
123
,,zz z
4
z
là bn nghim phc của phương trình
42
12 0zz−−=
. Tính tng
1234
Tz z z z=+++
A.
2 23T = +
B.
4T =
C.
23T =
D.
4 23T = +
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 39
Câu 173: (MĐ 101 2020-2021 ĐỢT 1) Trên tập hợp các số phức, xét phương trình
( )
22
21 0z m zm ++=
(
m
là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của
m
để phương trình đó có
nghiệm
o
z
thỏa mãn
7
o
z =
?
A.
2
. B.
3
. C.
1
. D.
4
.
Câu 174: (MĐ 102 2020-2021 ĐỢT 1) Trên tập số phức, xét phương trình
( )
22
21 0z m zm ++=
( m
là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình đó có nghiệm
0
z
thỏa mãn
0
5
z =
.
A.
2
. B.
3
. C.
1
. D.
4
.
Câu 175: (MĐ 104 2020-2021 ĐỢT 1) Trên tp hp các s phức, xét phương trình
(
)
22
21 0z m zm ++=
(
m
là tham s thực). Có bao nhiêu giá trị ca
m
để phương trình đó có
nghim
0
z
tha mãn
0
6z =
?
A.
4
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Câu 176: (2020-2021 ĐỢT 2) Trên tập hợp các số phức, xét phương trình
22
4 20z az b + +=
(
a
,
b
là các tham số thực). Có bao nhiêu cặp số thực
( )
;ab
sao cho phương trình đó có hai nghiệm
1
z
,
2
z
thỏa mãn
12
2 33z iz i+=+
?
A.
3
. B.
2
. C.
1
. D.
4
.
Câu 177: (2020-2021 ĐỢT 2) Trên tập hợp các số phức, xét phương trình
22
4 20z az b+ + +=
(
,ab
các tham số thực). bao nhiêu cặp số thực
( )
;ab
sao cho phương trình hai nghiệm
1
z
,
2
z
thỏa mãn
12
2 33z iz i+=+
?
A.
4
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Câu 178: (MĐ 103 2020-2021 ĐỢT 2) Trên tp hp các s phức, xét phương trình
22
2 20z az b+ + +=
(
,ab
là các tham s thc). bao nhiêu cặp s thc
( )
;ab
sao cho phương trình đó hai
nghim
1
z
,
2
z
tha mãn
12
2 33z iz i+=+
?
A.
4
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Câu 179: (MĐ 104 2020-2021 ĐỢT 2) Trên tp hp các s phức, xét phương trình
22
2 20z az b + +=
(
, ab
là các tham s thực). bao nhiêu cặp s thc
( )
;ab
sao cho phương trình đó hai
nghim
12
, zz
tha mãn
12
2 33z iz i+=+
?
A.
2
. B.
3
. C.
1
. D.
4
.
Câu 180: Tham Kho 2018) Xét s phc
z a bi= +
(
)
,ab
tha mãn
43 5
zi−− =
. Tính
P ab= +
khi
13 1z iz i+− + −+
đạt giá tr ln nht.
A.
8=P
B.
10=P
C.
4=P
D.
6=P
Câu 181: Tham Kho 2017) Xét s phc
z
tha mãn
2 4 7 6 2.z iz i+−+ =
Gi
, mM
ln
t là giá tr nh nht và giá tr ln nht ca
1.zi−+
Tính
.PmM= +
A.
52 273
2
P
+
=
B.
5 2 73P = +
C.
5 2 73
2
P
+
=
D.
13 73P = +
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 40
Câu 182: (TK NĂM 2020-2021) Xét hai s phc
12
,
zz
tha mãn
12
1, 2zz= =
12
3zz
−=
. Giá tr
ln nht ca
12
35zz i+−
bng
A.
5 19.
B.
5 19.+
C.
5 2 19.
−+
D.
5 2 19.+
Câu 183: (MĐ 103 2020-2021 ĐỢT 1) Xét các phc
,zw
tho mãn
1z =
2w
=
. Khi
68z iw i+ −+
đạt giá tr nh nht,
zw
bng
A.
3
. B.
29
5
. C.
5
. D.
221
5
.
Câu 184: (MĐ 104 2020-2021 ĐỢT 1) Xét các s phc
z
;
w
tha mãn
1z =
2w =
. Khi
68z iw i+ ++
đạt giá tr nh nht,
zw
bng:
A.
29
5
. B.
221
5
. C.
3
. D.
5
.
Câu 185: (MĐ 103 2020-2021 ĐỢT 2) Xét các s phc
z
w
thay đi tha mãn
3zw= =
32zw−=
. Giá tr nh nht ca
1 25Pz iw i= +++ +
bng
A.
5 32
B.
17
C.
29 2
D.
5
Câu 186: (MĐ 104 2020-2021 ĐỢT 2) Xét các s phc
z
w
thay đi tha mãn
4zw
= =
42zw
−=
. Giá tr nh nht ca
1 34Pz iw i= ++ + +
bng
A.
52
. B.
13
. C.
41
. D.
5 22
.
Câu 187: (MĐ 101 2020-2021 ĐỢT 1) t các s phc
,zw
tha mãn
1z =
2w =
. Khi
68z iw i+ −−
đạt giá tr nh nht,
zw
bng?
A.
221
5
. B.
5
. C.
3
. D.
29
5
.
Câu 188: (MĐ 102 2020-2021 ĐỢT 1) Xét các s phc
,zw
tha mãn
1z =
2w =
. Khi
68z iw i
+ +−
đạt giá tr nh nht,
zw
bng
A.
5
. B.
221
5
. C.
3
. D.
29
5
.
Câu 189: (2020-2021 ĐỢT 2) Xét s phc
z
w
thay đi tha mãn
3zw= =
32zw
−=
. Giá
tr nh nht ca
1 25Pz iw i= −−+ +
bng
A.
5 32
. B.
29 2
. C.
17
. D.
5
.
Câu 190: (2020-2021 ĐỢT 2) Xét các s phc
,zw
thay đi tha mãn
4zw= =
,
42
zw−=
. Giá
tr nh nht ca
1 34Pz iw i= −−+ +
bng:
A.
41
. B.
5 22
. C.
52
. D.
13
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 1
BÀI TP TRC NGHIM TRÍCH T ĐỀ THAM KHẢO VÀ ĐỀ CHÍNH THC
CA B GIÁO DC T NĂM 2017 ĐẾN NAY
Câu 1: (MĐ 103-2022) S phức nào dưới đây có phần o bng phn o ca s phc
14
wi
=
?
A.
2
34zi= +
. B.
1
54zi=
. C.
3
15zi=
. D.
4
14zi= +
.
Li gii
Chn B
S phức có phần o bng phn o ca s phc
14wi
=
1
54zi=
.
Câu 2: (MĐ 104-2022) S phức nào dưới đây có phần o bng phn o ca s phc
1 4?
zi
A.
1
54zi=
. B.
4
14
zi= +
. C.
3
15zi=
. D.
2
34zi= +
.
Li gii
Chn A
S phc
1
54zi
có phần o bng phn o ca s phc
1 4.zi
Câu 3: (MĐ 101-2022) Môđun của s phc
34zi
= +
bng
A.
25.
B.
7.
C.
5.
D.
7.
Li gii
Chn C
Ta có:
22
3 4 3 4 5.zi=+= +=
Câu 4: (MĐ 102-2022) Môđun của s phc
34zi= +
bng
A.
7
. B. 5. C.
7
. D. 25.
Li gii
Chn B
Ta có:
22
34 5z = +=
.
Câu 5: (MĐ 101-2022) Trên mt phng ta độ, đim biểu diễn cho s phc
27
zi=
có tọa đ
A.
(2;7)
. B.
( 2; 7)
. C.
(2; 7)
. D.
( 7;2)
.
Li gii
Chn C
Câu 6: (MĐ 102-2022) Trên mt phng ta độ, đim biểu diễn s phc
27zi=
có tọa đ
CHƯƠNG
IV
S PHC
H THNG BÀI TP TRC NGHIM.
III
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 2
A.
(
)
2; 7
. B.
(
)
7;2
. C.
(
)
2;7
. D.
(
)
2;7
.
Li gii
Chn A
Đim biểu diễn s phc
27zi=
có tọa đ
( )
2; 7
.
Câu 7: (MĐ 103-2022) Trên mt phng ta độ, đim biểu diễn s phc
27zi= +
có tọa đ
A.
(
)
2; 7
. B.
( )
2;7
. C.
( )
7;2
. D.
( )
2; 7−−
Li gii
Chn B
27zi
= +
nên điểm biểu diễn có tọa đ
( )
2;7
.
Câu 8: (MĐ 104-2022) Trên mt phng ta độ, đim biểu diễn s phc
27zi= +
có tọa đ
A.
(
)
2; 7
. B.
( )
2; 7−−
. C.
( )
7;2
. D.
( )
2;7
.
Li gii
Chn D
Đim biểu diễn s phc
27zi= +
có tọa đ
( )
2;7
.
Câu 9: (MĐ 101-2022) Cho hai s phc
1
23zi= +
2
1
zi=
. S phc
12
zz+
bng
A.
5 + i
. B.
32+ i
. C.
14+ i
. D.
34+ i
.
Li gii
Chn B
Ta có
12
32zz i+=+
Câu 10: (MĐ 102-2022) Cho hai s phc
1
23zi= +
2
1zi=
. S phc
12
zz
+
bng
A.
34
i+
. B.
14i
+
. C.
5 i+
. D.
32i+
.
Li gii
Chn D
S phc
( )
( )
12
21 31 3 2zz i i+ = ++ =+
.
Câu 11: (MĐ 103-2022) Phn o ca s phc
( )( )
21z ii=−+
bng
A.
3
. B.
1
. C.
1
. D.
3
.
Li gii
Chn B
Ta có:
( )( )
21 3z ii i= +=+
.
Vậy phần o ca s phc
z
bng
1
.
Câu 12: (MĐ 104-2022) Phn o ca s phc

21z ii
bng
A.
3
. B.
1
. C.
3
. D.
1
.
Li gii
Chn B
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 3
21 3
z ii i

.
Do đó phần o ca s phc
z
1.
Câu 13: (MĐ 101-2022) Gi
1
z
2
z
là hai nghim phc của phương trình
2
60zz
++=
. Khi đó
1 2 12
z z zz++
bng
A.
7
. B.
5
. C.
7
. D.
5
.
Li gii
Chn B
Ta có
1
z
2
z
là hai nghim phc của phương trình
2
60zz++=
nên có:
12
1 2 12
12
1
1 6 5.
6
zz
z z zz
zz
+=
+ + =−+ =
=
Câu 14: (MĐ 102-2022) Gi
1
z
và
2
z
là hai nghim phc của phương trình
2
60
zz++=
. Khi đó
1 2 12
z z zz++
bng:
A.
5
. B.
7
. C.
7
. D.
5
.
Li gii
Chn D
1
z
2
z
là hai nghim phc của phương trình
2
60
zz++=
nên
12
12
1
.
6
zz
zz
+=
=
Khi đó:
1 2 12
1 6 5.z z zz+ + =−+ =
.
Câu 15: (MĐ 103-2022) Gi
12
,zz
là nghim phc của phương trình
2
2 50zz +=
. Giá tr ca
22
12
zz+
bng
A.
6
. B.
8i
. C.
8i
. D.
6
.
Li gii
Chn D
Theo Vi-et ta có
12
12
2
. 5.
zz
zz
+=
=
Khi đó
( )
2
22 2
1 2 1 2 12
2 . 2 2.5 6
z z z z zz+= + =− =
.
Câu 16: (MĐ 104-2022) Gi
1
z
2
z
hai nghim phc của phương trình
2
2 5 0.zz +=
Khi đó
22
12
zz+
bng
A.
6.
B.
8.i
C.
8.i
D.
6.
Li gii
Chn D
Ta có:
( ) ( )
22
22
1 2 1 2 12
2 . 2 2.5 6.z z z z zz+= + = =
Câu 17: (MĐ 101-2022) Cho các s phc
123
,,zz z
tha mãn
12 3
22zz z= = =
( )
1 2 3 12
8 3.z z z zz+=
Gi
,,ABC
ln lưt là các đim biểu diễn ca
123
,,zz z
trên mt phng ta đ. Din tích tam giác
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 4
ABC bng
A.
55
32
B.
55
16
C.
55
24
D.
55
8
Li gii
Chn B
Ta có
3
1z =
. T
( )
1 2 3 12
83z z z zz+=
(
)
12
123 12 12
3
3
3
83
82
zz
zzz zz zz
z
+ = ⇒+= =
Mt khác
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
22
12 1 2
21 12
12 1 2
12
3 12
22
12
1212
12 12
3.
3. . 3 .
3.
3
2
83
8
8. 8.
zz z z
zz zz
zz z z
zz
z zz
zz
zzzz
zz zz
+
+
+
= = = = = +
+
++
++
( do
22
11 2 2 1 2 1 2
3
. . 4;
2
zz z z z z z z= = = = +=
)
Gi
,,ABC
lần lượt là các đim biểu diễn ca
123
,,zz z
trên mt phng ta đ. Ta thy điểm A,
B thuộc đường tròn tâm O bán kính bằng 2, điểm C thuộc đường tròn tâm O bán kính bng 1.
V điểm D sao cho
OA OB OD+=
  
. T giác OADB là hình thoi tâm E.
Ta có
12
3 3 13
2 2 24
z z OD OE OD+= = = =
. Xét tam giác vuông OAE
2
222
3 55
2
44
AE OA OE

= −= =


55
2
2
AB AE⇒= =
.
Mt khác
( )
3 12
22
33
z z z OC OD= +⇒ =
 
nên
,,OC D
thng hàng và
31
1
44
EC OC OE= =−=
Vy
( )
1 1 1 55 55
. . ..
2 2 4 2 16
ABC
S CE AB dvdt= = =
Câu 18: (MĐ 101-2022) Có bao nhiêu số phc
z
tha mãn
2
2z zz=
( )( )
2
44 4z zi zi −=+
A.
3
. B.
1
. C.
2
. D.
4
.
Li gii
Chn D
Đặt
( )
, ,z a bi z a bi a b=+⇒=
Ta có
( )
( )
( )
22
2 22
22
4 , 0
24 1
4 , 0
a b bb
z z z a b bi
a b bb
+=
= −⇔ + =
+= <
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 5
Ta lại có
44zizi−=+
. Do đó suy ra
(
)
(
)
( )
(
)
( )
( )
( )
22
4 4 4 4. 4 4 0 4 4 4 0z zi zi z zi zi zi z zi
=+ −+ =⇔ + −+ =
( )
0
40
40
40
4
44
44
a
zi
zi
ab i
b
z zi
z zi
ab
ab
=
+ =
+=
++ =
⇔⇔⇔
=
−=+
−=+
=
=
Vi
0
4
a
b
=
=
thay vào
( )
1
tha
Vi
ab=
thay vào
( )
1
ta được
2
2
2
2 4
2
0
0
24
2
0
2
b
bb
a
b
ab
bb
b
b
a
=
=
=
⇔==
=
=
<
=
Vậy có
4
s phc tha yêu cầu bài toán.
Câu 19: (MĐ 102-2022) Cho các s phc
123
,,
zzz
tha mãn
12 3
22= = =zz z
( )
12 3 1 2
34= +zz z z z
. Gi
,,ABC
lần lượt đim biểu diễn ca
123
,,zzz
trên mt phng ta đ. Din tích tam giác
ABC
bng
A.
7
4
. B.
37
4
. C.
7
2
. D.
37
2
.
Li gii
Chn A
Ta có :
( )
( )
12
12 312 12 312 12
3
3.
3.2.2
34 3 4 3
4 4.1
= + = + ⇔+= = =
zz
zz zzz zz zzz zz
z
222 2
2 22
12 1 2 12 12
2 2 2.2 2.2 3 7 7 = + −+ = + = =zz z z zz zz
Đồng thi
(
)
( )
( )
( )
2
12 1212 1212 11221212
....+ =+ +=+ += + + +zz zzzz zzzz zzzz zzzz
22 2
222
12 12 1 2 1 2
. . 3221 + =+ =−−=zz zz z z z z
Li có:
(
) ( ) ( )
31 2
12 31 2 12 3 31 2 2 3 1 2
1
.4
1
3 4 3 4 .4
36
+
= + = + −= = +
zz z
zz zz z zz z zz z z z z z
z
( ) ( ) ( )
3 12
12 312 213 3 12 13 12
2
.4
1
3 4 3 4 .4
36
+
= +⇔ = +⇔= = +
z zz
zz zzz zzz z zz zz zz
z
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
12 1212 121211 221212
2
12 12 12 12 12 1122 12 12
4 4 4 4 4 . 16 . 4 . 4 . 72
4 4 4 4 4 16. . 4. 4. 72
+ =+ +=+ +=+ + + =
+ = + += + += + + + =
zz zzzz zzzzzz zz zzzz
zz zz zz zz zz zzzz zz zz
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 6
23 1 2
13 12
11
. 4 . 72 2
66
11
. 4 . 72 2
66
−= + = =
−= += =
zz z z
zz zz
Khi đó
12 13 23
7, 2, 2== =−= =−=AB z z AC z z BC z z
(
)( )( )
7
4
= −=
ABC
S p p AB p AC p BC
.
Câu 20: (MĐ 102-2022) Có bao nhiêu số phc
z
tha mãn
2
z zz=
( )
( )
2
2 2 2?z zi zi+ +=
A.
4
. B.
2
. C.
3
. D.
1
.
Li gii
Chn A
Gi
,;z a bi a b=+∀
.
Ta có:
( )
2 2 22
2 2*z z z z bi a b b=−⇒ = + =
( )
( )
( )
2
2 2 2 **z zi zi+ +=
22z iz i+=
nên
22zizi+=
.
Nên t (**)
( )
2
22 2z zizi+ −=
2
22
zi
z zi
=
+=
Ta có:
(
) ( )
22
22
22 2 2z zi a ba b a b
+= + + = + ⇔=
thay vào (*) ta được:
22 2
0
2
1
b
bb b b b
b
=
+= =
= ±
.
Vậy có tất c 4 s phc thỏa mãn là: 0,
2i
,
1 i−+
,
1 i
.
Câu 21: (MĐ 103-2022) Cho các s phc
123
,,zzz
tha mãn
1 23
22 2z zz= = =
( )
1 2 3 12
3z z z zz+=
. Gi
,,ABC
lần lượt các đim biểu diễn ca
123
,,zzz
trên mt phng ta đ. Din tích tam
giác
ABC
bng
A.
57
8
. B.
57
16
. C.
57
24
. D.
57
32
.
Li gii
Chn B
Ta có:
22 2
1 11 2 2 2 3 3 3
1, 1, 4z zz z zz z zz= = = = = =
.
( )
123 12 123 12 12
3
3 . 3.
2
zzz zz zzz zz zz+ = ⇒+ = ⇒+=
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 7
( )
(
)
2
1 2 1 2 1 2 12 12 12 22 12 12
1
4
z z z z z z zz zz zz zz zz zz+=+ +=++++=
.
( )
( )
2
12 1212 11121222 12
77
42
zz zzzz zzzz zz zz zz= =−−+ ==
.
Tương tự, ta tính được:
13 23
2
zz zz
−=−=
.
Tam giác
ABC
có độ dài các cnh là
7
,2,2
2
nên có diện tích là
57
16
ABC
S
=
.
Câu 22: (MĐ 103-2022) Có bao nhiêu số phc
z
tha mãn
2
z zz=
(
)
( )
2
22 2
z zi zi −=+
?
A. 2. B. 3. C. 1. D. 4.
Li gii
Chn D
S phc
z a bi
= +
vi
,ab
.
T
2
z zz=
ta có
( )
2
2 2 22 2 2 2 2
42 2 2ab ab bab ba b b + = + = =−+
.
(
)
1
T
( )( )
2
22 2z zi zi −=+
ta suy ra
( ) ( ) ( )
2
2 22
22 2
2. 2 2a bab ab + ++ = ++
(
)
( )
(
)
( )
(
)
(
)
22 2
2 22
2
2
22
22
2. 2 2 0
20
2 20
ab a b ab
ab
a b ab

++ + ++ =


++ =
+ ++ =
( ) ( ) (
)
( ) (
)
22
22
; 0; 2 *
2 2 (**)
ab
a ba b
=
+= ++
Kết hp với đk
( )
1
ta thy có các cp giá tr
( )
;ab
thỏa mãn ycbt là
( )
( ) ( ) ( )
0; 2 ; 0; 0 ; 1; 1 ; 1;1 −−
.
Vậy có 4 số phc thỏa mãn ycbt.
Câu 23: (MĐ 104-2022) Cho các s phc
123
,,zz z
tha mãn
1 23
22 2z zz= = =
( )
1 2 3 12
2z z z zz+=
. Gi
,,ABC
lần lượtcác đim biểu diễn ca
123
,,zzz
trên mt phng ta
độ. Din tích tam giác
ABC
bng
A.
33
4
. B.
3
8
. C.
33
8
. D.
3
4
.
Li gii
Chn A
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 8
Ta có
1 23
22 2z zz= = =
suy ra
1
2
3
1
1
2
z
z
z
=
=
=
,,ABC
lần lượt là các đim biểu diễn ca
123
,,zz z
trên mt phng ta đ nên
,AB
thuộc
đường tròn tâm
(0; 0)
O
bán kính
1R =
; Đim
C
đường tròn tâm
(0; 0)O
bán kính
2r
=
.
Li có
( )
1 2 3 12
2z z z zz+=
nên
( )
123 12 123 12 12
2 21zzz zz zzz zz zz+ = ⇔+ = ⇔+=
Áp dng công thc:
( )
2 2 22
12 12 1 2
2zz zz z z+ +− = +
Ta có
12
33z z AB−= =
.
Gi
H
là trung điểm ca
AB
, ta có
22
31
;
22
AH OH OA AH= = −=
.
Mặt khác:
( )
( )
22
12 21
12 12 1 2
123 12 3 12
2
12
12
2( )
2 2( )
2 2( )
1
zz zz
zz zz z z
zzz zz z zz
zz
zz
+
+
+ = ⇔= = = = +
+
+
Suy ra
(
)
3
2 4 3 3.
2
OC OA OB OH CH OH OC OH CH OH= + = ⇒=−= ⇒= =
       
Din tích tam giác
ABC
bng
1 13 33
. . .3
2 22 4
S CH AB= = =
.
Vy Chn A
Câu 24: Có bao nhiêu số phc
z
tha mãn
2
2z zz=
( )
( )
2
44 4z zi zi+ +=
?
A.
4
. B.
2
. C.
1
. D.
3
.
Li gii
Chn A
Ta có
( )
( )
( )
22
4
4 4 4 44 4
4 4 .1
zi
z zi zi z zizi
z zi
=
+ +=−⇔+−=−⇔
+=
Vi
4zi=
thay vào
2
2z zz=
luôn đúng.
Đặt
( )
,,z a bi a b=+∈
. Khi đó
( ) ( ) ( )
22
22
14 4a ba b a b
+ + = + ⇔=
.
Thay
z a ai=
vào
22
00
0
2 2 22 2 2 2
2
2 2 2.
az
a
z zz a a a z i
a
a zi
= =

=

= −⇔ = = =+

=

= =−−

Vậy có
4
s phc tha mãn.
Câu 25: (TK 2020-2021) S phc liên hp ca s phc
32zi= +
là:
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 9
A.
3 2.
zi
=
B.
2 3.
zi
= +
C.
3 2.zi=−+
D.
3 2.zi
=−−
Li gii
Ta có
()a bi a bi 
nên
3 2.zi
Câu 26: (2020-2021 ĐỢT 1) Phần thực của số phức
52zi=
bằng
A.
5
. B.
2
. C.
5
. D.
2
.
Lời giải
Phần thực của số phức
52
zi=
bằng
5
.
Câu 27: (2020-2021 ĐỢT 1) Trên mặt phẳng tọa độ, điểm
( )
3;4M
điểm biểu diễn của số phức
nào dưới đây?
A.
2
34zi= +
. B.
3
34zi=−+
. C.
4
34
zi=−−
. D.
1
34zi=
.
Lời giải
Điểm
( )
;
M ab
trong mặt phẳng tọa độ được gọi là điểm biểu diễn số phức
z a bi= +
.
Do đó điểm
( )
3;4M
điểm là điểm biểu diễn số phức
3 4.zi=−+
Câu 28: (MĐ 102 2020-2021 ĐỢT 1) Trên mt phng ta độ, điểm
( )
3; 2M
đim biểu diễn s
phức nào dưới đây?
A.
3
32zi=
. B.
4
32zi= +
. C.
1
32zi=−−
. D.
2
32zi=−+
.
Li gii
Đim
( )
3; 2M
biểu diễn s phc
32zi=−+
.
Câu 29: (MĐ 102 2020-2021 ĐỢT 1) Phn thc ca s phc
62zi=
bng
A.
2.
B.
2.
C.
6.
D.
6.
Li gii
Chn C
S phc
62zi=
có phần thc là
6.
Câu 30: (MĐ 103 2020-2021 ĐỢT 1) Trên mt phng ta độ, điểm
( )
2;3
M
đim biểu diễn s
phức nào dưới đây?
A.
3
23zi= +
. B.
4
23zi=−−
. C.
1
23zi=−+
. D.
2
23zi=
.
Li gii
Đim
( )
2;3M
biểu diễn s phc
1
2 3.zi=−+
Câu 31: (MĐ 103 2020-2021 ĐỢT 1) Phn thc ca s phc
32zi=
bng
A.
2
. B.
3
. C.
3
. D.
2
.
Li gii
Phn thc ca s phc
32zi=
bng
3
.
Câu 32: (MĐ 104 2020-2021 ĐỢT 1) Phn thc ca s phc
42zi=
bng
A.
2
. B.
4
. C.
4
. D.
2
.
Li gii
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 10
Phn thc ca s phc
42
zi
=
là 4
Câu 33: (MĐ 104 2020-2021 ĐỢT 1) Trên mt phng to độ, điểm
( )
4;3M
là đim biểu diễn ca
s phức nào dưới đây?
A.
3
43zi=−−
. B.
4
43zi= +
. C.
2
43zi=
. D.
1
43zi=−+
.
Li gii
Đim
( )
4;3M
là dim biểu diễn s phc
1
43zi=−+
.
Câu 34: (2020-2021 ĐỢT 1) Điểm nào trong hình bên là điểm biểu diễn ca s phc
2zi=−+
?
A. Đim
P
. B. Đim
Q
. C. Đim
M
. D. Đim
N
.
Li gii
T hình vẽ trên ta thấy điểm biểu diễn s phc
2zi=−+
là điểm
( )
2;1
P
.
Câu 35: (2020-2021 ĐỢT 1) Phn o ca s phc
23zi
=
bng
A.
2
. B.
3
. C.
3
. D.
2
.
Li gii
Phn o ca s phc
23zi=
bng
3
.
Câu 36: (2020-2021 ĐỢT 1) Phần ảo của số phức
34zi
=
bằng
A.
4
. B.
3
. C.
4
. D.
3
.
Lời giải
Theo định nghĩa, phần ảo của số phức
34zi=
bằng
4
.
Câu 37: (2020-2021 ĐỢT 1) Điểm nào trong hình bên là điểm biểu diễn của số phức
2.zi=−−
A. Điểm
.Q
B. Điểm
.P
C. Điểm
.N
D. Điểm
.M
Lời giải
Điểm biểu diễn của số phức
2zi=−−
là điểm có tọa độ
(
)
2; 1−−
chọn đáp án A
Câu 38: (MĐ 103 2020-2021 ĐỢT 2) Phn o ca s phc
32zi=
bng
A.
2
. B.
3
. C.
2
. D.
3
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 11
Li gii
S phc
32zi=
có phần o bng
2
.
Câu 39: (MĐ 103 2020-2021 ĐỢT 2) Điểm nào trong hình bên điểm biểu diễn ca s phc
2
zi
=
?
A. Đim
P
. B. Đim
Q
. C. Đim
M
. D. Đim
N
.
Li gii
Đim biểu diễn s phc
2zi=
là điểm
(2; 1)N
.
Câu 40: (MĐ 104 2020-2021 ĐỢT 2) Phn o ca s phc
43zi=
bng
A.
3
. B.
4
. C.
3
. D.
4
.
Li gii
Phn o ca s phc
43zi=
bng
3
.
Câu 41: (MĐ 103 2020-2021 ĐỢT 1) Cho s phc
z
tha
32iz i= +
. S phc liên hp ca
z
A.
23zi= +
. B.
23zi=−−
. C.
23zi=−+
. D.
23zi=
.
Li gii
Ta có:
32
23 23
i
z iz i
i
+
= = ⇒=+
Câu 42: (MĐ 104 2020-2021 ĐỢT 2) Điểm nào trong hình bên điểm biểu diễn của số phức
2zi= +
A. Điểm
N
. B. Điểm
M
. C. Điểm
P
. D. Điểm
Q
.
Li gii
Ta có điểm biểu diễn số phức
2zi= +
là điểm
( )
2;1M
.
Câu 43: (TK 2020-2021) Cho s phc
3zi
= +
w 23i= +
. S phc
wz
bng
A.
1 4.i+
B.
1 2.i
C.
5 4.i+
D.
5 2.i
Li gii
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 12
Ta có
(3 ) (2 3 ) 1 2 .zw i i i 
Câu 44: (TK 2020-2021) Trên mt phng tọa đô, điểm biểu diễn s phc
32i
có tọa đ
A.
( )
2;3 .
B.
( )
2;3 .
C.
( )
3; 2 .
D.
( )
3; 2 .
Li gii
Đim biểu diễn ca
z a bi
có tọa đ
(;)ab
nên
32i
biểu diễn bi
(3; 2).
Câu 45: Cho hai số phức
42zi= +
34wi
=
. Số phức
zw+
bằng
A.
16i+
. B.
72i
. C.
72i+
. D.
16
i
−−
.
Lời giải
Ta có
42 34 72zw i i i+ =+ +− =
.
Câu 46: (MĐ 102 2020-2021 ĐỢT 1) Cho hai s phc
52zi= +
14wi=
. S phc
zw+
bng
A.
62i
+
. B.
46
i+
. C.
62i
. D.
46i−−
.
Li gii
Ta có:
(
)
( )
52 14 62zw i i i+= + +− =
Câu 47: (MĐ 103 2020-2021 ĐỢT 1) Cho hai s phc
12zi= +
w 34i=
. S phc
wz +
bng
A.
26i
. B.
42
i
+
. C.
42
i
. D.
26
i−+
.
Li gii
Ta có:
(
) (
) (
) ( )
w 12 34 13 24 42
z i i ii+=+ +− =++ =
.
Câu 48: (MĐ 104 2020-2021 ĐỢT 1) Cho hai số phức
32zi= +
14
wi=
. Số phức
zw+
bằng
A.
42i+
. B.
42i
. C.
26i−−
. D.
26i+
.
Lời giải
Ta có
( ) ( )
32 14 42zw i i i+= + +− =
Câu 49: Cho hai s phc
34zi= +
1wi=
. S phc
zw
bng
A.
7 i+
. B.
25i−−
. C.
43i+
. D.
25
i+
.
Li gii
Ta có:
( )
34 1 25zw i i i
=+−−=+
.
Câu 50: Cho hai s phc
43
zi= +
1wi=
. S phc
zw
bng
A.
52i+
. B.
7 i
. C.
34
i+
. D.
34i−−
.
Li gii
Ta có
(
)
43 1 34zw i i i−=+−=+
.
Câu 51: (MĐ 103 2020-2021 ĐỢT 2) Cho hai s phc
23
zi= +
1wi=
. S phc
zw
bng
A.
14zi= +
. B.
14zi=−−
. C.
32zi= +
. D.
5zi= +
.
Li gii
Ta có
(
) ( ) ( )
[
]
2 3 1 2 1 3 ( 1) 1 4zw i i i i
= + −−= −+ =+
.
Câu 52: (MĐ 104 2020-2021 ĐỢT 2) Cho hai s phc
32zi= +
1wi=
. S phc
zw
bng
A.
23i+
. B.
4 i+
. C.
23i−−
. D.
5 i
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 13
Lời giải
Ta có:
23zw i
−=+
.
Câu 53: (MĐ 102 2020-2021 ĐỢT 1) Cho s phc
z
tha mãn
65iz i= +
. S phc liên hp ca
z
là:
A.
56zi=
. B.
56zi=−+
. C.
56zi= +
. D.
56zi=−−
.
Li gii
Ta có:
2
66
65 5 5 56 56
i
iz iz z z iz i
ii
=+ ⇔=+⇔= +⇔= ⇔=+
.
Câu 54: (MĐ 104 2020-2021 ĐỢT 1) Cho s phc
z
tha mãn
43= +
iz i
. S phc liên hp ca
z
A.
34= +zi
. B.
34=−−zi
. C.
34
=
zi
. D.
34=−+
zi
.
Lời giải
Ta có:
2
2
43 (43).() 4 3
34
1
+ + −−
= = = =
i i i ii
zi
ii
. Suy ra
3 4.= +zi
Câu 55: Cho s phc
4zi
, mô đun của s phc
1 iz
bng
A.
34
. B.
30
. C.
34
. D.
30
.
Li gii
Ta có
4zi
suy ra
4zi
.

2
1 1 4 4 4 35iz i i i i i i 
.
22
1 3 5 3 5 34iz i 
.
Câu 56: (TK 2020-2021) Cho s phc
34zi= +
. Môđun của s phc
( )
1 iz+
bng
A.
50.
B.
10.
C.
10.
D.
5 2.
Li gii
Dùng tính chất modun của tích:
(1 ) 1 3 4 2 5 5 2.iz i i

Câu 57: Cho s phc
42= zi
. Môđun số phc
( )
1+ iz
bng
A.
2 10
. B.
24
. C.
26
. D.
40
.
Li gii
Ta có
( )
( )( )
2
1 1 42 46 2 46 2 26+ =+ + =++ =+−=+
iz i i i i i i
.
Vậy môđun số phc
( )
1+ iz
bng
22
2 6 2 10+=
.
Câu 58: (MĐ 103 2020-2021 ĐỢT 2) Cho s phc
z 2i=
, môđun của s phc
( )
1 iz+
bng
A.
10
. B.
6
. C.
6
. D.
10
.
Li gii
Ta có:
( ) ( )( ) ( )
22
1iz 1i 2i 13i 1iz 13i 1 3 10+ =+ +=+ + =+ = + =
.
Câu 59: (MĐ 104 2020-2021 ĐỢT 2) Cho s phc
32zi=
, mô đun của s phc
( )
1 iz+
bng
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 14
A.
10
. B.
26
. C.
26
. D.
10
.
Li gii
Ta có
( ) ( )( )
1 1 32 15iz i i i+=+ +=+
.
Vy
( )
1 1 5 26iz i+ =+=
.
Câu 60: (Mã 102 - 2020 Ln 2) Phn thc ca s phc
34zi=
bng
A.
3
B.
4
C.
3
D.
4
Li gii
Ta có phần thc ca s phc
34zi=
bng
3
Câu 61: (Mã 103 - 2020 Ln 2) Phn thc ca s phc
54zi=−−
bng
A.
5
. B.
4
. C.
4
. D.
5
.
Li gii
Chn D
S phc
54
zi
=−−
có phần thc là
5
.
Câu 62: (Mã 103 -2018) S phc
56
i+
có phần thc bng
A.
6
. B.
6
. C.
5
. D.
5
Li gii
Chn D
S phc
56i+
có phần thc bng 5, phn o bng
6
.
Câu 63: (Mã 104 2018) S phức có phần thc bng
1
và phn o bng
3
A.
13i
B.
13i−+
C.
13i
+
D.
13i
−−
Li gii
Chn C
Câu 64: (Mã 102 2018) S phức có phần thc bng
3
và phn o bng
4
A.
34i+
B.
43i
C.
34
i
D.
43
i+
Li gii
Chn A
S phức có phần thc bng
3
và phn o bng
4
là:
34zi= +
.
Câu 65: Tham Kho 2017) Kí hiệu
,ab
ln lưt là phn thc và phn o ca s phc
3 22i
. Tìm
a
,
b
.
A.
3; 2ab= =
B.
3; 2 2ab= =
C.
3; 2ab= =
D.
3; 2 2ab= =
Li gii
Chn B
S phc
3 22i
có phần thc là
3a =
và phn o là
22
b =
.
Câu 66: (Mã 101 2018) S phc
37i−+
có phần o bng:
A.
7
B.
7
C.
3
D.
3
Li gii
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 15
Chn A
Câu 67: (Mã 123 2017) S phức nào dưới đây là số thuần o.
A.
= +
3
zi
B.
= 2z
C.
=−+23
zi
D.
= 3zi
Li gii
Chn D
S phc
z
được gi là s thuần o nếu phần thc của nó bằng
0
.
Câu 68: (Mã 105 2017) Cho s phc
= 23zi
. Tìm phần thc
a
ca
z
?
A.
= 2a
B.
=
3
a
C.
= 2a
D.
= 3a
Li gii
Chn A
S phc
= 23zi
có phần thc
=
2a
.
Câu 69: Minh Ha 2020 Ln 1) Môđun của s phc
12i+
bng
A.
5
. B.
3
. C.
5
. D.
3
.
Li gii
Chn C
Ta có
22
12 1 2 5i+= +=
.
Câu 70: Tham Kho 2020 Ln 2) S phc liên hp ca s phc
2zi= +
A.
2zi=−+
. B.
2zi=−−
. C.
2zi=
. D.
2zi= +
.
Li gii
Chn C
S phc liên hp ca s phc
2zi
= +
2zi=
.
Câu 71: (Mã 101 - 2020 Ln 1) S phc liên hp ca s phc
35zi=−+
là:
A.
35zi
=−−
. B.
35
zi= +
. C.
35zi=−+
. D.
35
zi=
.
Li gii
Chn A
Câu 72: (Mã 102 - 2020 Ln 1) S phc liên hp ca s phc
A. . B. . C. . D. .
Li gii
Chn D
S phc liên hp ca s phc là .
Câu 73: (Mã 103 - 2020 Ln 1) S phc liên hp ca s phc
25zi=
A.
25zi= +
. B.
25zi=−+
. C.
25zi=
. D.
25zi=−−
.
Li gii
Chn A
Ta có số phc liên hp ca s phc
25zi=
25
zi= +
.
25=−+zi
25= zi
25= +zi
25=−+
zi
25=−−
zi
25=−+zi
25=−−zi
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 16
Câu 74: (Mã 104 - 2020 Ln 1) S phc liên hp ca s phc
35zi=
A.
35zi=−−
. B.
35zi= +
. C.
35zi=−+
. D.
35
zi
=
.
Li gii
Chn B
Ta có:
35zi=
35
zi⇒=+
.
Câu 75: Minh Ha 2017) Cho s phc
32zi=
. Tìm phn thc và phn o ca s phc
z
:
A. Phn thc bng
3
Phn o bng
2i
B. Phn thc bng
3
Phn o bng
2
C. Phn thc bng
3
Phn o bng
2i
D. Phn thc bng
3
Phn o bng
2
Li gii
Chn B
32 32z iz i=⇒=+
. Vậy phần thc bng
3
Phn o bng
2
.
Câu 76: (Mã 104 2019) S phc liên hp ca s phc
32zi=
là.
A.
32i
+
. B.
32i−−
. C.
23i−+
. D.
32i−+
.
Li gii
Chn A
S phc liên hp ca s phc
z a bi= +
là s phc
z a bi=
t đó suy ra chọn đáp án B.
Câu 77: (Mã 103 - 2019) S phc liên hp ca s phc
12i
là:
A.
12i−−
. B.
12
i+
. C.
2 i−+
. D.
12i−+
.
Li gii
Chn B
Theo định nghĩa số phc liên hp ca s phc
,,z a bi a b
=+∈
là s phc
,,z a bi a b=−∈
.
Câu 78: (Mã 104 2017) Cho s phc
2zi= +
. Tính
z
.
A.
5z =
B.
5
z =
C.
2z =
D.
3z =
Li gii
Chn A
Ta có
2
21 5z = +=
.
Câu 79: (Mã 102 - 2019) S phc liên hp ca s phc
53
i
A.
35i−+
. B.
53i−−
. C.
53i+
. D.
53i−+
.
Li gii
Chn C
S phc liên hp ca s phc
53i
53i+
Câu 80: (Mã 101 - 2019) S phc liên hp ca s phc
34i
A.
34i+
. B.
43i−+
. C.
34i−−
. D.
34i−+
.
Li gii
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 17
Chn A
S phc liên hp ca s phc
a bi+
là s phc
a bi
.
Vy s phc liên hp ca s phc
34i
là s phc
34i
+
.
Câu 81: Minh Ha 2020 Ln 1) Trên mt phng ta độ, điểm biểu diễn s phc
( )
2
12zi= +
điểm nào dưới đây?
A.
( )
3;4P
. B.
( )
5;4Q
. C.
( )
4; 3N
. D.
( )
4;5M
.
Li gii
Chn A
Ta có
( )
2
12zi= +
( )
2
2
1 2.1.2 2ii=++
34i=−+
.
Vậy trên mặt phng ta độ, điểm biểu diễn s phc
( )
2
12
zi= +
là điểm
( )
3;4P
.
Câu 82: Tham Kho 2020 Ln 2) Trên mt phng ta độ, điểm biểu diễn s phc
12zi=−+
là
điểm nào dưới đây?
A.
( )
1; 2Q
. B.
( )
1; 2P
. C.
( )
1; 2N
. D.
( )
1; 2M −−
.
Li gii
Chn B
Đim biểu diễn s phc
12zi=−+
là điểm
( )
1; 2P
.
Câu 83: (Mã 101 - 2020 Ln 1) Trên mt phng ta đ, biết
( )
3;1M
là đim biểu diễn s phc
z
.
Phn thc ca
z
bng
A.
1
. B.
3
. C.
1
. D.
3
.
Li gii
Chn B
Đim
( )
3;1M
là điểm biểu diễn s phc
z
, suy ra
3zi=−+
.
Vậy phần thc ca
z
bng
3
.
Câu 84: (Mã 102 - 2020 Ln 1) Trên mt phng ta đ, biết đim biểu diễn s phc .
Phn thc ca bng
A. . B. . C. . D. .
Li gii
Chn B
Ta có là điểm biểu diễn s phc .
Vậy phần thc ca bng .
Câu 85: (Mã 103 - 2020 Ln 1) Trong mt phng tọa độ, biết điểm
( 2;1)M
là điểm biểu diễn s phc
z
. Phn thc ca
z
bng:
A.
2
B.
2
C.
1
D.
1
( )
1; 3
M
z
z
3
1
3
1
( )
1; 3M
z
13zi=−+
z
1
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 18
Li gii
Chn A
Đim
( 2;1)M
là điểm biểu diễn s phc
z
2zi 
Vậy phần thc ca
z
2
Câu 86: (Mã 102 - 2020 Ln 2) Trên mt phng ta độ, điểm nào dưới đây là đim biểu diễn s phc
12zi=
?
A.
( )
1;2
Q
. B.
( )
2;1
M
. C.
( )
2;1P
. D.
( )
1; 2N
.
Li gii
Chn D
Đim biểu diễn s phc
12zi=
là điểm
( )
1; 2N
.
Câu 87: (Mã 103 - 2020 Ln 2) Trên mt phng ta đ, đim nào dưi đây là điểm biểu diễn ca s phc
32zi=
?
A.
(
)
3; 2P
. B.
( )
2; 3Q
. C.
( )
3; 2N
. D.
(
)
2;3M
.
Li gii
Chn C
Ta có:
( )
;z a bi N a b=+⇒
điểm biểu diễn ca s phc
z
32zi=
(
)
3; 2N⇒−
Câu 88: (Mã 104 - 2020 Ln 2) Trên mt phng ta độ, điểm nào dưới đây là đim biểu diễn s phc
12zi=−+
?
A.
( )
1; 2N
. B.
( )
2; 1
P
. C.
( )
2;1Q
. D.
(
)
1; 2M
.
Li gii
Chn A
Đim biểu diễn s phc
12zi=−+
là điểm
( )
1; 2N
.
Câu 89: Tham Kho 2018) Đim
M
trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn s phc
A.
12zi= +
B.
12zi=
C.
2
zi= +
D.
2zi=−+
Li gii
Chn D
Theo hình vẽ
( )
2;1 2M zi =−+
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 19
Câu 90: Tham Kho 2019) Điểm nào trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn ca s phc
12
zi
=−+
?
A.
P
B.
M
C.
Q
D.
N
Li gii
Chn C
Ta có điểm biểu diễn ca s phc
12
zi
=−+
trên h trc ta đ
Oxy
là điểm
(
)
12Q;
Câu 91: (Mã 110 2017) S phc nào dưi đây có đim biu din trên mt phng ta đ đim
M
như hình
bên?
A.
1
12zi=
B.
2
12zi= +
C.
3
2zi=−+
D.
4
2
zi= +
Li gii
Chn C
Đim
( )
2;1M
là điểm biểu diễn s phc
1
2zi=−+
Câu 92: Minh Ha 2020 Ln 1) Cho hai s phc
1
3zi=−+
2
1.zi=
Phn o ca s phc
12
zz+
bng
A.
2.
B.
2.i
C.
2.
D.
2.i
Li gii
Chn C
Ta có:
2
1zi= +
. Do đó
12
( 3 ) (1 ) 2 2 .
zz i i i+ =−+ + + =+
Vậy phần o ca s phc
12
zz+
bng
2.
Câu 93: Tham Kho 2020 Ln 2) Cho hai s phc
1
2zi= +
2
13zi= +
. Phn thc ca s phc
12
zz+
bng
A.
1
. B.
3
. C.
4
. D.
2
.
Li gii
Chn B
Ta có
12
34zz i+=+
.
Phn thc ca s phc
12
zz+
bng
3
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 20
Câu 94: (Mã 101 - 2020 Ln 1) Cho hai s phc
1
32zi=
2
2
zi= +
. S phc
12
zz+
bng
A.
5 i+
. B.
5 i−+
. C.
5 i
. D.
5 i−−
.
Li gii
Chn C
Ta có:
12
32 2 5zz i i i+ = + +=
.
Câu 95: (Mã 103 - 2020 Ln 1) Cho hai s phc
1
12zi=
2
2
zi= +
. S phc
12
zz+
bng
A.
3 i+
B.
3 i−−
C.
3 i
D.
3 i−+
Li gii
Chn C
Tacó:
12
12 2 3
zz i i i+ = + +=
.
Câu 96: (Mã 104 - 2020 Ln 1) Cho hai s phc
1
13zi=
2
3
zi
= +
. S phc
12
zz+
bng.
A.
42i
. B.
42i−+
. C.
42i+
. D.
42i−−
.
Li gii
Chn A
Ta có:
12
13 3 42zz i i i+ = ++=
.
Câu 97: (Mã 102 - 2020 Ln 2) Cho hai s phc
1
12zi
= +
2
4zi=
. S phc
12
zz
bng
A.
33i+
. B.
33
i−−
. C.
33i
−+
. D.
33i
.
Li gii
Chn C
Ta có:
( ) (
)
12
12 4 33zz i i i = + =−+
.
Câu 98: (Mã 103 - 2020 Ln 2) Cho hai s phc
1
13zi=
2
3zi
= +
. S phc
12
zz
bng
A.
24i−−
. B.
24i
. C.
24i−+
. D.
24i+
.
Li gii
Chn A
Ta có
( )
( )
12
13 3 13 3 24zz i i i i i
= + = =−−
.
Câu 99: (Mã 104 - 2019) Cho hai s phc
1
2= zi
2
1= +zi
. Trên mt phng ta đ
Oxy
, điểm biu
din ca s phc
12
2 +zz
có tọa đ
A.
( )
0; 5
. B.
( )
5; 1
. C.
( )
1; 5
. D.
( )
5; 0
.
Li gii
Chn B
Ta có
12
25+=zz i
.
Câu 100: (Mã 104 - 2020 Ln 2) Cho hai s phc
1
32zi=
2
2zi= +
. S phc
12
zz
bng
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 21
A.
13i−+
. B.
13
i−−
. C.
13i+
. D.
13i
.
Li gii
Chn D
Ta có
( )
12
32 2 13zz i i i = +=
Câu 101: (Mã 103 - 2019) Cho hai s phc
1
1zi= +
2
2zi= +
. Trên mt phng ta đ
Oxy
, điểm biu
din s phc
12
2zz+
có tọa đ
A.
(3; 5)
. B.
(5; 2)
. C.
(5; 3)
. D.
(2;5)
.
Li gii
Chn C
Ta có
12
2 (1 ) 2(2 ) 5 3zz i i i+ =++ +=+
.
Do đó điểm biểu diễn s phc
12
2zz+
có tọa đ
(5; 3)
.
Câu 102: (Mã 123 2017) Cho 2 s phc
=
1
57zi
= +
2
23zi
. Tìm số phc
= +
12
zz z
.
A.
= 3 10
zi
B.
14
C.
= 74zi
D.
= +25zi
Li gii
Chn C
= ++ =
57 23 74
ziii
.
Câu 103: Minh Ha 2017) Cho hai s phc
1
1
zi= +
2
23zi=
. Tính môđun của s phc
12
.zz+
A.
12
5
zz
+=
. B.
12
5zz+=
. C.
12
1zz+=
. D.
12
13zz+=
.
Li gii
Chn D
( )
12
1 23 32zz i i i+ =++ =
nên ta có:
( )
2
2
12
3 2 3 2 13+ = = +− =zz i
.
Câu 104: (Mã 110 2017) Cho hai s phc
1
43zi=
2
73
zi= +
. Tìm số phc
12
zz z=
.
A.
36zi=−−
B.
11z =
C.
1 10zi
=−−
D.
36zi= +
Li gii
Chn A
Ta có
12
zz z=
(
) ( )
43 73ii= −+
36i=−−
.
Câu 105: (Mã 104 2017) Cho s phc
1
12zi=
,
2
3zi=−+
. Tìm đim biu din ca s phc
12
zz z= +
trên mt phng ta đ.
A.
( )
2; 5M
B.
( )
2; 1P −−
C.
( )
1; 7Q
D.
( )
4; 3N
Li gii
Chn B
12
2zz z i= + =−−
.
Câu 106: (Mã 104 2017) Tìm s phc
z
tha mãn
23 32zii+− =−
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 22
A.
55zi=
B.
1zi=
C.
15zi=
D.
1zi= +
Li gii
Chn D
23 32zi i+− =−
32 23 1z i ii
=− −+ =+
.
Câu 107: (Mã 105 2017) Cho hai s phc
=
1
13zi
=−−
2
25zi
. Tìm phn o
b
ca s phc
=
12
zz z
.
A.
= 3b
B.
= 2b
C.
= 2b
D.
= 3b
Li gii
Chn B
Ta có
= =+ ⇒=
12
32 2zz z i b
Câu 108: Tham Kho 2020 Ln 2) Cho hai s phc
1
3
zi
2
1zi
. Phn o ca s phc
12
zz
bng
A.
4
. B.
4
i
. C.
1
. D.
i
.
Li gii
Chn A
Ta có:

12
3 1 24zz i i i

.
Suy ra phần o ca
12
zz
bng
4
.
Câu 109: (Mã 101 - 2020 Ln 1) Cho hai s phc
12zi= +
w3i= +
. Môđun của s phc
.wz
bng
A.
52
. B.
26
. C.
26
. D.
50
.
Li gii
Chn A
Ta có
22
.w .w .w 1 2 . 3 1 5 2.
zz z= = = + +=
Câu 110: (Mã 102 - 2020 Ln 1) Cho hai s phc
. Mô đun của s phc
A. . B. . C. . D. .
Li gii
Chn D
Câu 111: (Mã 103 - 2020 Ln 1) Cho hai s phc
42zi= +
1wi= +
. Môđun ca s phc
.zw
bng
A.
2 2.
B.
8.
C.
2 10.
D.
40.
Li gii
Chn C
Ta có:
( )( )
. 4 2 1 6 2.zw i i i= + −=
Suy ra
. 40 2 10.zw = =
Câu 112: (Mã 104 - 2020 Ln 1) Cho hai s phc
13zi= +
1wi= +
. Môđun của s phc
.zw
bng
22
zi= +
w2
i= +
zw
40
8
22
2 10
( )( )
zw 22 2 62 210ii i= + −=+ =
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 23
A.
25
. B.
22
. C.
20
. D.
8
.
Li gii
Chn A
Ta có:
11w iw i=+⇒ =
(
)
(
)
. 13 1 42
zw i i i
=+ −=+
T đây ta suy ra:
22
. 4 2 25zw = +=
.
Câu 113: (Mã 102 - 2020 Ln 2) Cho s phc
2zi=
, s phc
( )
23iz
bng
A.
18i−+
. B.
74i−+
. C.
74i
. D.
18i+
.
Li gii
Chn C
Ta có:
( ) ( )( )
23 23 2 74iz i i i = +=
.
Câu 114: (Mã 103 - 2020 Ln 2) Cho s phc
23=−+zi
, s phc
( )
1+ iz
bng
A.
5−−i
. B.
15−+i
. C.
15 i
. D.
5 i
.
Li gii
Chn C
Ta có
23=−+zi
23=−−zi
. Do đó
( ) ( ) ( )
1 1.2315+ = + −− =iz i i i
.
Câu 115: (Mã 104 - 2020 Ln 2) Cho s phc
32zi=−+
, s phc
( )
1 iz
bng
A.
15
i−−
B.
5
i
. C.
15i
. D.
5 i−+
.
Li gii
Chn D
32zi=−−
nên ta có
(
)
1 (1 )( 3 2 ) 5iz i i i = −− =−+
Câu 116: Minh Ha 2017) Cho s phc
2 5.zi= +
Tìm s phc
w iz z= +
A.
33wi=−−
. B.
3 7.wi= +
. C.
77wi=−−
D.
73
wi=
.
Li gii
Chn A
Ta có
(2 5 ) (2 5 ) 2 5 2 5 3 3
w iz z i i i i i i= + = + + = + =−−
Câu 117: Tham Kho 2017) Tính môđun ca s phc
z
biết
( )( )
43 1z ii=−+
.
A.
52z =
B.
2z =
C.
25 2z =
D.
72z =
Li gii
Chn A
( )( )
43 1z ii=−+
7 i= +
7zi⇒=
52z⇒=
Câu 118: (Mã 110 2017) Cho s phc
3
1z ii=−+
. Tìm phần thc
a
và phn o
b
ca
z
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 24
A.
1, 0ab
= =
B.
0, 1ab= =
C.
1, 2ab= =
D.
2, 1ab
=−=
Li gii
Chn C
Ta có:
32
1 1 . 1 12z ii iii ii i=−+ =−+ =−−=
(vì
2
1i =
)
Suy ra phần thc ca
z
1a =
, phn o ca
z
2b =
.
Câu 119: (Mã 123 2017) Cho s phước
= 1 2.zi
Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn s phc
=w iz
trên mt phng ta đ
A.
(
)
1; 2Q
B.
( )
2;1N
C.
( )
2;1P
D.
( )
1; 2M
Li gii
Chn B
( )
==−=+12 2w iz i i i
Câu 120: Tham Kho 2017) Trong mt phng ta độ, điểm
M
đim biểu diễn ca s phc
z
.
Điểm nào trong hình vẽ là điểm biểu diễn ca s phc
2z
?
A. Đim
Q
B. Đim
E
C. Đim
P
D. Đim
N
Li gii
Chn B
Gi
( )
,z a bi a b=+∈
. Điểm biểu diễn ca
z
là điểm
( )
;M ab
222z a bi⇒=+
có điểm biểu diễn trên mt phng
Oxy
( )
1
2 ;2M ab
.
Ta có
1
2OM OM=
 
suy ra
1
ME
.
Câu 121: (Mã 101 - 2019) Cho hai s phc
1
1zi=
2
12zi= +
. Trên mt phng ta đ
Oxy
, điểm
biểu diễn s phc
12
3zz+
có tọa đ là:
A.
(
)
1; 4
. B.
( )
1; 4
. C.
(
)
4;1
. D.
( )
4; 1
.
Li gii
Chn D
( ) ( )
12
3 31 1 2 4
zz i i i+ = −++ =
. Suy ra: Tọa đ điểm biểu diễn là:
( )
4; 1 .
Câu 122: (Mã 102 - 2019) Cho hai s phc
1
2zi=−+
2
1.zi= +
Trên mt phng ta đ
,Oxy
điểm
biểu diễn s phc
12
2zz+
có tọa đ
A.
( )
3; 3
. B.
( )
3; 2
. C.
( )
3; 3
. D.
( )
2; 3
.
Li gii
O
x
y
Q
E
P
N
M
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 25
Chn A
Ta có:
12
2 4 2 1 3 3.
zz i i i+ =−+ ++=+
Vậy điểm biểu diễn s phc
12
2zz+
có tọa đ
( )
3; 3
.
Câu 123: (Mã 104 2018) Tìm hai s thc
x
y
tha mãn
( )
(
)
23 3 54x yi i x i +−=
vi
i
đơn vị
o.
A.
1; 1xy=−=
. B.
1; 1xy=−=
. C.
1; 1xy
= =
. D.
1; 1xy= =
.
Li gii
Chn D
( )
(
) ( ) ( )
2 35 1
23 3 54 23 31 54
3 14 1
x xx
xyi i xi x y i xi
yy
+= =

+−= +− + =

+= =

Câu 124: (Mã 105 2017) Tìm tt c các s thc
,xy
sao cho
+ =−+
2
1 12x yi i
.
A.
= =2, 2xy
B.
=−=2, 2
xy
C.
= =0, 2xy
D.
= = 2, 2xy
Li gii
Chn C
T
+ =−+
2
1 12x yi i
=
−=
⇒⇔

=
=
2
0
11
2
2
x
x
y
y
Câu 125: (Mã 101 2018) Tìm hai s thc
x
y
tha mãn
( ) ( )
2 3 13 6x yi i x i +− =+
vi
i
đơn vị
o.
A.
1; 1
xy= =
B.
1; 3xy= =
C.
1; 3xy=−=
D.
1; 1xy=−=
Li gii
Chn C
Ta có
( ) ( )
2 3 13 6x yi i x i +− =+
( )
1 39 0x yi ++− =
10
3 90
x
y
+=
−=
1
3
x
y
=
=
.
Câu 126: (Mã 104 - 2019) Cho s phc
z
tha mãn
( )
(
)
2 3 16 2iz i z i ++ = +
. Môđun của
z
bng
A.
13
. B.
5
. C.
5
. D.
13
.
Li gii
Chn A
Gi
z x yi= +
.
( )
( )
2 3 16 2iz i z i
++ = +
( )( ) ( )
2 3 16 2i x yi i x yi i + ++ = +
2 2 3 16 2 2 2x yi xi y i x yi i
+ +++ = +
2 32
2 16 2 2
xy x
yx y
++=
−+ = +
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 26
30
4 14
y
xy
+=
−+ =
2
3
x
y
=
=
Suy ra
23zi=
. Vy
13z =
.
Câu 127: (Mã 103 - 2019) Cho s
z
tha mãn
( )
( )
2 4 8 19iz z i i+ =−+
. Môđun của
z
bng
A.
13
. B.
5
. C.
13
. D.
5
.
Li gii
Chn C
Gi
( )
; ,.
z a bi z a bi a b
=+=
Ta có:
( )
( )
( )( ) ( )
( )
2 4 8 19
2 4 8 19
2 6 4 8 19
28 3
6 4 19 2
iz z i i
i a bi a bi i i
ab a b i
ab a
ab b
+ =−+
+ + =−+
⇔− + + + =− +
−= =

⇔⇔

+ += =

Vy
3 2 13.z iz=+⇒=
Câu 128: (Mã 102 2018) Tìm hai s thc
x
y
tha mãn
( ) ( )
32 2 23x yi i x i+ + +=
vi
i
đơn vị
o.
A.
2; 2
xy= =
B.
2; 1xy= =
C.
2; 2xy=−=
D.
2; 1
xy=−=
Li gii
Chn C
Ta có:
( ) ( )
32 2 23x yi i x i+ + +=
( )
322123x y xi ++ + =
3 22 2
213 2
x xx
yy
+= =

⇔⇔

+= =

.
Câu 129: Tham Kho -2019) Tìm các s thc
,ab
tha mãn
2 ( ) 12a b ii i++ =+
vi
i
là đơn vị o.
A.
0, 1.ab= =
B.
1, 2.ab= =
C.
0, 2.ab= =
D.
1
, 1.
2
ab= =
Li gii
Chn B
2 ( ) 12a b ii i++ =+
2
2 12a bi i i ++=+
(2 1) 1 2a bi i −+ =+
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 27
2 11
2
a
b
−=
=
1
2
a
b
=
=
Câu 130: (Mã 103 2018) Tìm hai s thc
x
y
tha mãn
( ) ( )
3 42 5 2x yi i x i++−=+
vi
i
đơn vị
o.
A.
2x =
;
4y =
B.
2
x
=
;
0y =
C.
2x =
;
0y =
D.
2x =
;
4y =
Li gii
Chn A
( ) ( )
3 42 5 2x yi i x i++−=+
( )
244 0x yi−+ =
2 40
40
x
y
−=
−=
2
4
x
y
=
=
.
Câu 131: (Mã 102 - 2019) Cho s phc
z
tho mãn
3 2 3 7 16 .
z i iz i 
Môđun của
z
bng
A.
3.
B.
5.
C.
5.
D.
3.
Li gii
Chn B
Đặt
;z a bi a b
.
Theo đề ta có
3 2 3 7 16
a bi i i a bi i  
3 3 3 2 2 3 3 7 16a bi i a bi ai b i  
3 3 5 3 7 16ab ab i 
37 37 1
3 5 3 16 3 5 13 2
ab ab a
ab ab b

 





 


.
Vy
22
12 5z 
.
Câu 132: (Mã 101 - 2019) Cho s phc
z
tha mãn
( )
(
)
3 2 3 10z i iz i
+− =+
. Môđun của
z
bng
A.
3
. B.
3
. C.
5
. D.
5
.
Li gii
Chn D
Đặt
(
)
,,z x yi x y
=+∈
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 28
( )
( )
( ) ( )( )
( )
3 2 3 10
3 2 3 10
5 3 3 10
3
5 3 10
2
1
z i iz i
x yi i i x yi i
xy x y i i
xy
xy
x
y
+− =+
+− + =+
⇔−+ + =+
−=
+=
=
=
2zi=
Vy
5z =
Câu 133: Tham Kho 2017) Hỏi có bao nhiêu số phc z thỏa mãn đồng thời các điều kiện
5zi−=
2
z
là s thuần o?
A.
4
B.
0
C.
2
D.
3
Li gii
Chn A
Gi s
2 22
2z a bi z a b abi=+⇒ =+
5zi−=
2
z
là s thuần ảo ta có hệ phương trình
22
22
22
22
4
1 25
1 25 3
4
0
3
1 25
=
= =
+− =
+− = ==
⇒⇔
=−=
=
−=
=−=
+− =
()
()
()
ab
ab
bb
a b ab
ba
ab
ab
ba
bb
.
Câu 134: (Mã 110 2017) Cho s phc
( )
, z a bi a b=+∈
tho mãn
2z iz+ +=
. Tính
4S ab= +
.
A.
4S =
B.
2S =
C.
2S =
D.
4S
=
Li gii
Chn A
Ta có
( ) ( )
22
22
2 (1)
2 21
1 0 (2)
a ab
z iz a b i ab
b
+= +
+ += + + + = +
+=
T (2) ta có:
1b =
. Thay vào (1):
2
22
20
3
12
4
1 ( 2)
a
aa a
aa
+≥
+=+ =
+= +
Vy
44S ab= +=
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 29
Câu 135: Tham Kho 2018) Cho s phc
(
)
,
z a bi a b
=+∈
tha mãn
( )
2 10z iz i
+ +− + =
1z >
. Tính
P ab= +
.
A.
1P =
B.
5
P =
C.
3P
=
D.
7P =
Li gii
Chn D
Ta có:
( )
2 10z iz i+ +− + =
( )
22
2 10a bi i a b i + + +− + + =
(
)
( )
( )
22
22 22
22
2 01
2 10
1 02
a ab
a ab b abi
b ab
+− + =
+−+++−+ =
+− + =
Ly
(
)
1
tr
(
)
2
ta được:
10 1ab b a+= = +
. Thế vào
( )
1
ta được:
( )
( )
(
)
2
22
22 2
2 1 0 2 2 21
2
22
3
4 42 2 1 2 30
1
a aa a a a
a
aa
a tm
aa aa aa
a tm
+− + + =+= + +
≥−
≥− ≥−


=
⇔⇔

++= ++ −−=


=
Vi
34ab
=⇒=
;
10ab=−⇒ =
.
3
1 34 347
4
a
z z i P ab
b
=
>⇒ =+ = + =+ =
=
.
Câu 136: THAM KHO BGD&ĐT NĂM 2020-2021) Có bao nhiêu số phc
z
tha mãn
2z =
( )
( )
22z iz+−
là s thuần o?
A.
1.
B.
0.
C.
2.
D.
4.
Li gii
Đặt
z a bi
vi
,ab
thì
( 2 )( 2) ( ( 2) )( 2 ) ( 2) ( 2)z i z a b i a bi a a b b 
.
Do đó, ta có hệ
22
2
( 2) ( 2) 0
ab
aa bb


hay
2
22
2
13
2
12
.
2
1
1
1
ab
bb
b
ab
ab
ab











Vậy có hai số phc sao thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 137: (Mã 110 2017) Có bao nhiêu số phc
z
tha mãn
| 2 |22zi+−=
( )
2
1z
là s thuần o?
A.
0
B.
2
C.
4
D.
3
Li gii
Chn D
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 30
Gi s phc
z x yi
= +
(
)
,xy
,
(
)
( ) ( )
2
2
2
1 1 21x xyyzi
−= +

là s thuần o nên
theo đề bài ta có hệ phương trình:
( ) ( )
( )
22
2
2
2 1 8 (1)
1 (2)
xy
xy
+ +− =
−=
T
(2)
suy ra:
( 1)yx=±−
Vi
1yx=
, thay vào
(1)
, ta được:
(
)
( )
22
2
8 0 0.
22
x
xx x
+==+
=
Suy ra:
zi=
.
Vi
( 1)yx=−−
, thay vào
(1)
, ta được:
( ) ( )
22
2
822 44
0 1 3.xx
xx x
+− ++ = = =−±
Suy ra:
( ) (
)
13 23zi=−+ +
;
( )
(
)
13 23
zi=−− + +
Vậy có 3 số phc tha mãn.
Câu 138: (Mã 104 2018) Có bao nhiêu số phc
z
tha mãn
( ) ( )
5 26−− + = z z i i iz
?
A.
1
B.
3
C.
4
D.
2
Li gii
Chn B
Ta có
( )
52−− +zz i i
( )
6=
iz
( )
6 −+z iz
( )
52
= +−
zz i
( )
1
Lây môđun hai vế ca
( )
1
ta có:
( )
2
6 1.−+zz
( )
2
2
25 2= +−zz
Bình phương và rút gọn ta được:
432
12 11 4 4 0 + + −=
z z zz
( )
( )
32
1 11 4 0 +=zz z
32
1
11 4 0
=
+=
z
zz
1
10,9667...
0,62...
0,587...
=
=
=
=
z
z
z
z
Do
0z
, nên ta có
1=z
,
10,9667...=z
,
0,62...=z
. Thay vào
( )
1
ta có
3
s phc tha
mãn đề bài.
Câu 139: (Mã 103 2018) Có bao nhiêu số phc tha mãn
( ) ( )
6 27z z i i iz−− + =
?
A.
1
B.
4
C.
2
D.
3
Li gii
Chn D
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 31
Đặt
0,za a=≥∈
, khi đó ta có
( ) (
)
6 27z z i i iz−− + =
(
)
( )
6 27az i i iz −− + =
( )
762a i z a ai i −+ = +
( ) ( )
762
a iz a a i −+ = +
(
)
(
)
7 62
a iz a a i −+ = +
( ) ( )
22
22
7 1 36 2
a a aa

+ = +−

432
14 13 4 4 0
a a aa
+ + −=
( )
( )
32
32
1
1 13 4 0
12 4 0
a
aaa
aa
=
+=
+=
Xét hàm s
(
) ( )
32
13 0fa a a a=−≥
, có bảng biến thiên là
Đưng thng
4y
=
ct đ th hàm s
( )
fa
ti hai điểm nên phương trình
32
12 4 0aa +=
hai nghim khác
1
(do
(
)
10f
). Mi giá tr ca
a
cho ta mt s phc
z
.
Vậy có
3
s phc thỏa mãn điều kiện.
Câu 140: (Mã 102 2018) Có bao nhiêu số phc
z
tha mãn
( ) (
)
3 24z z i i iz−− + =
?
A.
1
B.
3
C.
2
D.
4
Li gii
Chn B
(
) ( )
3 24
z z i i iz−− + =
(
)
( )
43 2z iz z z i −+ = +
(*)
( ) ( )
22
2
4 1. 9 2z z zz + = +−
(1).
Đặt
0mz=
ta
( ) ( )
( )
( )
22
22
1 4 1. 9 2m m mm + = +−
432
8 7 4 40mmmm + + −=
( )
( )
32
1 7 40m mm
+=
32
1
7 40
m
mm
=
+=
( )
1
6,91638
0.80344
0.71982 L
m
m
m
m
=
≈−
.
T (*) ta suy ra ứng vi mi
zm
=
s có một s phc
( )
32
4
mm i
z
mi
+−
=
−+
thỏa mãn đề bài.
Vậy có
3
s phc
z
tha mãn yêu cầu bài toán.
Câu 141: (Mã 105 2017) Cho s phc
z
tha mãn
35z +=
2 22
ziz i = −−
. Tính
z
.
A.
= 17z
B.
= 17z
C.
= 10z
D.
= 10z
Li gii
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 32
Chn C
Đặt
=+∈;,z x yi x y
Theo bài ra ta có
( )
( ) ( ) ( )
( )
+ +=
+ +=


+=
+− =− +−

2
2
2
2
2 22
2
3 25
3 25
4 40
222
xy
xy
x
xy x y
=±
=
⇔⇔

=
=
2
3
9
1
1
y
y
x
x
. Vy
= 10z
Câu 142: (Mã105 2017) Có bao nhiêu số phc
z
tha mãn
+=3 13zi
+ 2
z
z
là s thuần o?
A.
0
B.
2
C. Vô s D.
1
Li gii
Chn B
Gi s phc
(
)
=+∈
,,z a bi a b
Ta có
+= ++=3 13 3 13z i a bi i
( )
++ =
2
2
3 13
ab
(
)
⇔++=⇔+=
22 22
6 4 0 461
ab b ab b
( )
(
)
+−
=−= =
+ + ++
++
2
2
22
22
11 1
222
2
a bi
z
z z a bi
ab
.
( )
( )
( )
+ +−
= +
++ ++
2
2
22
22
2 24
2
22
a ba
b
i
ab ab
( ) ( )
++
= +
++ ++
22
22
22
22
22
ab a b
i
abab
Do
+ 2
z
z
là s thuần o nên
( )
( )
++ =
++
= ≠−
++
22
22
2
2
2 02
2
02
2
0
ab a
ab a
a
ab
b
Thay
( )
1
vào
( )
2
ta có
+ =⇔= 46 2 0 3 2ba ab
thay vào
( )
1
ta có
( )
+ −+ = =
2
22
32 46010 60b b b bb
=
= ⇒=
0( )
31
55
bL
ba
Vậy có một s phc cần tìm.
Câu 143: (Mã 102 2018) Xét các s phc
z
tha mãn
( )( )
3i 3zz+−
là s thuần o. Trên mt phng ta
độ, tp hp tt c các đim biểu diễn các s phc
z
là một đường tròn có bán kính bằng:
A.
9
2
B.
32
C.
3
D.
32
2
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 33
Li gii
Chn D
Gi
izxy= +
, vi
,xy
.
Theo gi thiết, ta có
( )( )
3i 3
zz+−
2
3 3i 9iz zz
= −+
là s thuần o khi
22
33 0xy xy+−−=
. Đây là phương trình đường tròn tâm
33
;
22
I



, bán kính
32
2
R =
.
Câu 144: (Mã 103 2018) Xét các s phc
z
tha mãn
( )( )
22z iz+−
là s thuần o. Trên mt phng ta
độ, tp hp tt c các đim biểu diễn các s phc
z
là một đường tròn có bán kính bằng
A.
22
B.
4
C.
2
D.
2
Li gii
Chn C
Gi s
z x yi= +
vi
,
xy
.
(
)(
)
(
)
(
)
22 2 2ziz xyixyi+ =+ −+ =


( ) ( ) ( )( )
2 2 22
x x y y xy x y i
−− + +


là s thuần ảo nên có phần thc bằng không do đó
( )
( )
22 0xx y y−− =
( ) ( )
22
1 12
xy⇔− +− =
. Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn các s phc
z
là một đường tròn
có bán kính bằng
2
.
Câu 145: (Mã 104 2019) Xét các s phc
z
tha mãn
2=z
. Trên mt phng ta đ
Oxy
tp hp các
điểm biểu diễn các s phc
5
1
+
=
+
iz
w
z
là một đường tròn có bán kính bằng
A.
44
. B.
52
. C.
2 13
. D.
2 11
.
Li gii
Chn C
Gi
= +w x yi
vi
,xy
là các s thc.
Ta có
55
1
+−
= ⇔=
+−
iz w
wz
z iw
.
Li có
5
22
=⇔=
w
z
iw
( ) ( )
22
22
52 5 2 1

= −⇔ + = +

w wi x y x y
( ) ( )
22
5 4 52⇔+ +− =xy
.
Vy tp hợp các điểm biểu diễn các s phc
w
là một đường tròn có bán kính bằng
52 2 13=
.
Câu 146: (Mã 104 2018) Xét các s phc
z
tha mãn
( )
( )
22z iz−+
là s thuần o. Trên mt phng ta
độ, tp hp tt c các đim biểu diễn các s phc
z
là một đường tròn có bán kính bằng?
A.
2
B.
2
C.
4
D.
22
Li gii
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 34
Chn A
Gi
z a bi= +
,
,ab
Ta có:
(
)
(
) ( )
( )
(
)
22
2 2 2 2 2 22 2z iz abi iabi a ab b ab i
+= ++=+++ ++
(
)
( )
22
z iz
−+
là s thuần ảo nên ta có
( ) ( )
22
22
2 20 1 1 2a ab b a b+ ++ =+ ++ =
.
Trên mt phng ta đ, tp hp tt c các đim biểu diễn các s phc
z
là một đường tròn có
bán kính bng
2
.
Câu 147: Minh Ha 2017) Cho các s phc
z
tha mãn
4z =
. Biết rng tp hp các đim biểu diễn
các s phc
(3 4 )w iz i=++
là một đường tròn. Tính bán kính
r
của đường tròn đó
A.
22r =
B.
4r =
C.
5r =
D.
20r =
Li gii
Chn D
Gi s
(
)
; ; ,,,z a bi w x yi a b x y=+=+
Theo đề
(
) ( )
( )
34 34
w i z i x yi i a bi i= + +⇒ + = + + +
(
) (
)
34 34
34 341
341 134
xab xab
x yi a b b a i
yba y ba
=−=

⇔+ = + + +

= + + −= +

Ta có
( )
( ) (
)
(
)
2 22
2 2 2 22
1 3 4 4 3 25 25 25x y ab ab a b ab
+− = + + = + = +
22
4 16z ab=+=
. Vy
( )
2
2
1 25.16 400xy+− = =
Bán kính đường tròn là
400 20r = =
.
Câu 148: Tham Kho 2019) Xét các s phc
z
tha mãn
( )
( )
22z iz++
là s thuần o. Biết rng
tp hp tt c các đim biểu diễn ca
z
là một đường tròn, tâm của đường tròn đó có tọa đ
A.
( )
1;1
B.
( )
1;1
C.
( )
1; 1−−
D.
( )
1; 1
Li gii
Chn C
Gi
z x yi
= +
z x yi⇒=
( )
( )
22z iz++
.22 4zzzizi= ++ +
( ) ( )
22
22 4x y x yi i x yi i=++ + + +
( )
22
22 224xy xy xy i=++++ ++
( )
( )
22z iz++
là s thuần o
22
22 0xy xy⇔+++ =
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 35
Vy tp hợp các điểm biểu diễn ca
z
là một đường tròn có tâm là
(
)
1; 1
I
−−
.
Câu 149: (Mã 101 2018) Xét các s phc
z
tha mãn
(
)
( )
2ziz
++
là s thuần o. Trên mt phng ta
độ, tp hp tt c các đim biểu diễn s phc
z
là một đường tròn có bán kính bằng
A.
3
2
B.
1
C.
5
4
D.
5
2
Li gii
Chn D
Đặt
( )
,z x yi x y=+∈
.
(
)
(
)
( ) ( )
21 2
z i z x y i x yi+ + = +− + +


là s thuần o
( )
( )
2 10xx yy + + −=
22
20x y xy + + −=
.
Vy tp hợp các điểm biểu diễn s phc
z
là một đường tròn có tâm
15
1; ,
22
IR

−=


.
Câu 150: (Mã 101 2019) Xét s phc
z
tha mãn
2z =
. Trên mt phng ta đ
Oxy
, tp hợp điểm
biểu diễn các s phc
4
1
iz
w
z
+
=
+
là một đường tròn có bán kính bằng
A.
26
. B.
34
. C.
26
. D.
34
.
Li gii
Chn B
( )
4
14
1
iz
w z w iz
z
+
= ⇔+ =+
+
( )
4
zw i w −=
.4zwi w −=
2. 4
wi w −=
(*)
Gi
( )
,,w x yi x y=+∈
khi đó thay vào (*) ta có:
2. 4x yi i x yi+ −= −−
(
) ( )
22
22
2 14xy x y

+− =− +

( ) ( )
22
22
8 4 14 0 4 2 34xy xy x y++−=+ + =
.
Vy tp hp điểm biểu diễn các s phc
4
1
iz
w
z
+
=
+
là một đường tròn có bán kính bằng
34
.
Câu 151: (Mã 102 - 2019) Xét s phc
z
tha mãn
2z
=
. Trên mt phng ta đ
Oxy
, tp hợp điểm
biểu diễn các s phc
3
1
iz
w
z
+
=
+
là một đường tròn có bán kính bằng
A.
25
. B.
20
. C.
12
. D.
23
.
Li gii
Chn A
Ta có:
( )
3
33
1
iz
w w wz iz w i w z
z
+
= ⇔+ =+⇔−=
+
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 36
( ) ( )
33w iwz w iwz −= −=
.
Gi
( )
,,w x yi x y=+∈
.
Do đó,
( )
( )
( )
22
22
3 3 1 .2w iwz x y x y−= + = +
( ) ( )
22
2 2 22
3 2 21 6 4 7 0
x y x y xy xy + = + + + −=
.
Vy tp hợp điểm biểu diễn s phc
w
tha mãn
2z =
là đường tròn có tâm
( )
3;2I
bán kính bng
25
.
Câu 152: (Mã 103 - 2019) Xét các s phc
z
tha mãn
2z =
. Trên mt phng ta đ
Oxy
, tp hp
các đim biểu diễn s phc
2
1
iz
w
z
+
=
+
là một đường tròn có bán kính bằng
A.
10
. B.
2
. C.
2
. D.
10
.
Li gii
Chn A
Gi s phc
;,w x yi x y
=+∈
. Khi đó:
2
1
iz
w
z
+
=
+
( ) ( )
12 2w z iz w z i w + =+ −=
(
)
( )
22
w zi w w z zi w −= −=
( )
( )
( )
( )
( ) (
)
2 2 22
22
2 2 1 2 2 10 *x yx y x y⇔− += + ⇔+ +− =
T
( )
*
suy ra điểm biểu diễn s phc
w
là một đường tròn có bán kính bằng
10
.
Câu 153: (Mã 101 - 2020 Ln 1) Gi
0
z
là nghim phc phn ảo dương của phương trình
2
6 13 0zz
++=
. Trên mt phng ta độ, điểm biểu diễn s phc
0
1 z
A.
(
)
2;2N
. B.
(
)
4;2M
. C.
( )
4; 2P
. D.
( )
2; 2Q
.
Li gii
Chn C
Ta có:
2
32
6 13 0
32
zi
zz
zi
=−+
++=
=−−
.
Do
0
z
là nghim phức có phần ảo dương của phương trình đã cho nên
0
32zi=−+
.
T đó suy ra điểm biểu diễn s phc
0
1 42zi−=
là điểm
( )
4; 2
P
.
Câu 154: (Mã 102 - 2020 Ln 1) Gi
là nghim phc phn ảo dương của phương trình
. Trên mt phng ta độ, điểm biểu diễn s phc
A. . B. . C. . D. .
Li gii
Chn D
0
z
2
6 13 0zz+=
0
1 z
( )
2; 2M
( )
4; 2Q
( )
4; 2N
( )
2; 2P −−
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 37
Ta có .
Suy ra . Điểm biểu diễn s phc là .
Câu 155: (Mã 103 - 2020 Ln 1) Cho
0
z
là nghim phc phn ảo dương của phương trình
2
4 13 0zz++=
. Trên mt phng ta độ, điểm biểu diễn ca s phc
0
1 z
A.
( 1; 3).P −−
B.
( 1; 3).M
C.
(3; 3).N
D.
(3;3).Q
Li gii
Chn C
Ta có
2
23
4 13 0
23
zi
zz
zi
=−+
++=
=−−
. Do
0
z
có phần ảo dương nên suy ra
0
23zi=−+
Khi đó
( )
0
1 1 23 33z ii
= −−+ =
. Vậy điểm biểu diễn s phc
0
1 z
( )
3; 3N
Câu 156: (Mã 104 - 2020 Ln 1) Gi
0
z
là nghim phc phn ảo dương của phương trình
2
4 13 0+=zz
. Trên mt phng ta độ, điểm biểu diễn ca s phc
0
1 z
A.
( )
3; 3M
. B.
( )
1; 3
P
. C.
(
)
1; 3
Q
D.
(
)
1; 3−−N
.
Li gii
Chn D
Ta có
2
4 13 0 2 3 + =⇔=±zz z i
. Vy
00
23 1 13= + =−−z iz i
.
Đim biểu diễn ca
0
1 z
trên mt phng ta đ là:
( )
1; 3−−N
.
Câu 157: (Mã 102 - 2020 Ln 2) Gi
1
z
2
z
là hai nghim phc của phương trình
2
30−+=zz
. Khi
đó
12
+zz
bng
A.
3
. B.
23
. C.
6
. D.
3
.
Li gii
Chn B
Giải phương trình
2
1 11
22
30
1 11
22
= +
−+=
=
zi
zz
zi
.
Khi đó:
12
1 11 1 11
23
22 22
+ =+ +− =zz i i
.
Câu 158: (Mã 103 - 2020 Ln 2) Gi
1
x
2
x
là hai nghim phc của phương trình
2
20zz−+=
. Khi
đó
12
zz+
bng
A.
2
. B.
4
. C.
22
. D.
2
.
Li gii
( )
(
)
2
32
6 13 0
32
z i TM
zz
z iL
= +
+=
=
( )
0
1 1 32 22z ii = + =−−
0
1 z
(
)
2; 2P −−
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 38
Chn C
Ta có
2
1i7
2
20
1i7
2
z
zz
z
=
−+=
+
=
Không mt tính tổng quát giả s
1
1i7
2
z
=
2
1i7
2
z
+
=
Khi đó
22
22
12
1 7 17
2 2 22
2 2 22
zz

 
+= + + + =+=

 

 

.
Câu 159: (Mã 104 - 2020 Ln 2) Gi
12
,zz
là hai nghim phc của phương trình
2
30zz++=
. Khi đó
12
zz
+
bng
A.
3
. B.
23
C.
3
. D.
6
.
Li gii
Chn B
Ta có
2
30zz++=
1 11
22
zi⇔=−±
. Suy ra
12
23zz+=
Câu 160: Tham Kho 2020 Ln 2) Gi
0
z
là nghim phc phn o âm của phương trình
2
2 50
zz 
. Môđun của s phc
0
zi
bng
A.
2
. B.
2
. C.
10
. D.
10
.
Li gii
Chn B
Ta có:
2
2 50zz +=
2
21 4zz +=
( )
2
2
14zi⇔− =
1 2 12
12 12
z iz i
z zi
−= =−

⇔⇔

−= =+

.
0
z
là nghim phức có phần ảo âm nên
0
12zi=
0
12 1z i ii i +=− +=−
.
Suy ra:
(
)
2
2
0
1 11 2zi i+ = = +− =
.
Câu 161: (Mã104 2017) Kí hiệu
1
z
,
2
z
là hai nghim của phương trình
2
40z +=
. Gi
M
,
N
lần lượt
là điểm biểu diễn ca
1
z
,
2
z
trên mt phng ta đ. Tính
T OM ON= +
vi
O
là gc ta đ.
A.
8T =
B.
4
C.
2T =
D.
2T =
Li gii
Chn B
Ta có:
1
2
2
2
40
2
zi
z
iz
=
+=
=
.
Suy ra
( )
0; 2M
;
( )
0; 2N
nên
( )
2
2
2 24T OM ON= + =−+ =
.
Câu 162: (Mã 123 2017) Phương trình nào dưới đây nhận hai s phc
+12i
12i
là nghim.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 39
A.
+ +=
2
2 30zz
B.
+=
2
2 30zz
C.
+ −=
2
2 30zz
D.
−=
2
2 30zz
Li gii
Chn B
Theo định lý Viet ta có
+ =
=
12
12
2
.3
zz
zz
, do đó
12
,zz
là hai nghim của phương trình
+=
2
2 30zz
Câu 163: (Mã 110 2017) Kí hiệu
12
,zz
là hai nghim phc của phương trình
2
3 10zz+=
. Tính
12
Pz z
= +
.
A.
2
3
P
=
B.
3
3
P =
C.
23
3
P =
D.
14
3
P =
Li gii
Chn C
Xét phương trình
2
3 10zz+=
(
)
2
1 4.3.1 11 0∆= = <
.
Phương trình đã cho có 2 nghiệm phức phân biệt
1
1 11 1 11
;
6 66
i
zi
+
= = +
2
1 11 1 11
6 66
i
zi
= =
Suy ra
12
Pz z=+=
1 11 1 11
66 66
ii+ +−
22
22
1 11 1 11
66 6 6

 
= + + +−

 

 

33
33
= +
23
3
=
Câu 164: (Mã 102 - 2019) Kí hiệu
12
,zz
là hai nghim phc của phương trình
2
6z 14 0z
−+=
. Giá tr
ca
22
12
zz+
bng
A.
36
. B.
8
. C.
28
. D.
18
.
Ta có :
( )
( )
22
2 22
12
35
6z 14 0 3 5 3 5 8.
35
zi
z zz i i
zi
= +
−+= + =+ + =
=
Câu 165: (Mã 104 - 2019) Gi
12
,zz
là hai nghim phc của phương trình
2
4 7 0. +=zz
Giá tr ca
22
12
+zz
bng
Hàm s đã cho đạt cc tiểu tại
A. 2. B. 8. C. 16. D. 10.
Li gii
Chn A
Ta có
( )
2
47 3 3 .
∆= = = i
Do đó phương trình có hai nghiệm phc là
12
2 3, 2 3.=+=z iz i
Suy ra
( ) ( )
22
22
12
2 3 2 3 4 43 3 4 43 3 2.+ = + + =+ −+ =zz i i i i
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 40
Câu 166: Tham Kho 2017) hiệu
12
;zz
là hai nghim của phương trình
2
10
zz++=
. Tính
22
1 2 12
Pzzzz=++
.
A.
2P =
B.
1
P =
C.
0P =
D.
1P =
Li gii
Chn C
Cách 1
2
13
22
10
13
22
zi
zz
zi
=−+
++=
=−−
22
22
1 2 12
13 13 13 13
22 22 2 22
0
2
iiiPzzzz i
 
=++ = + + =
 
 

−+ −− −+

Cách 2: Theo định lí Vi-et:
12
1
zz
+=
;
12
.1zz =
.
Khi đó
( )
2
22 2
1 2 12 1 2 12 12
2 1 10P z z zz z z zz zz=++=+ +==
.
Câu 167: Tham Kho 2019) Kí hiệu
1
z
2
z
là hai nghim phc của phương trình
2
3 50
zz +=
.
Giá tr ca
12
zz+
bng:
A.
10
B.
2 5
. C.
5
. D.
3
.
Li gii
Chn B
Xét phương trình
2
3 50zz +=
ta có hai nghiệm là:
1
2
3 11
3 11
22
22
zi
zi
=
= +
12
5zz⇒==
12
2 5zz+=
.
Câu 168: (Mã 105 2017) hiệu
12
,
zz
là hai nghim phc của phương trình
−+=
2
60zz
. Tính
= +
12
11
P
zz
.
A.
1
6
B.
1
6
C.
6
D.
1
12
Li gii
Chn A
Theo định lí Vi-et, ta có
+ =
=
12
12
1
6
zz
zz
nên
+
=+= =
12
1 2 12
11 1
.6
zz
P
z z zz
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 41
Câu 169: Tham Kho 2018) Gi
1
z
2
z
là hai nghim phc của phương trình
2
4 4 30zz +=
. Giá
tr ca biểu thức
12
zz+
bng:
A.
32
B.
23
C.
3
D.
3
Li gii
Chn D
Xét phương trình
2
4 4 30zz +=
ta có hai nghiệm là:
1
2
12
22
12
22
zi
zi
= +
=
12
3
2
zz⇒==
12
3zz+=
Câu 170: (Mã 103 - 2019) Gi
12
,zz
là 2 nghim phc của phương trình
2
4z 5 0z +=
. Giá tr ca
22
12
zz+
bng
A. 16. B. 26. C. 6. D. 8.
Li gii
Chn C
2
' b' 4 5 1
ac= =−=
Phương trình có 2 nghiệm phc
12
2, 2z iz i=−+ =−−
nên
( ) ( )
22
22 2 2 2
12
2 2 44 44 82 826z z i i ii ii i+ =−+ +−− = + + + + = + = =
Câu 171: (Mã 101 - 2019) Gi
12
,zz
là hai nghim phc của phương trình
2
6 10 0zz+=
. Giá tr ca
22
12
zz+
bng:
A.
16.
B.
56
. C.
20.
D.
26
.
Li gii
Chn A
Áp dụng định lý Viet áp dụng cho phương trình trên ta được:
12
12
6
10
zz
zz
+=
=
.
Khi đó ta có
( )
2
22
1 2 1 2 12
2 36 20 16z z z z zz+= + ==
.
Câu 172: Minh Ha 2017) hiệu
123
,,zz z
4
z
là bn nghim phc của phương trình
42
12 0zz−−=
. Tính tng
1234
Tz z z z=+++
A.
2 23T = +
B.
4T =
C.
23T =
D.
4 23T = +
Li gii
Chn D
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 42
2
42
2
3
3
12 0
2
4
z
zi
zz
z
z
=
= ±
−−=
= ±
=
1234
3 3 2 2 23 4
Tz z z z i i= + + + = + +− + = +
Câu 173: (MĐ 101 2020-2021 ĐỢT 1) Trên tập hợp các số phức, xét phương trình
(
)
22
21 0z m zm ++=
(
m
là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của
m
để phương trình đó có
nghiệm
o
z
thỏa mãn
7
o
z =
?
A.
2
. B.
3
. C.
1
. D.
4
.
Lời giải
Phương trình
( )
22
21 0z m zm ++=
( )
1
21m
∆= +
.
+Trường hợp 1:
1
0
2
m
≥−
.
Phương trình
( )
1
có nghiệm
o
z
thỏa mãn
7
o
z =
suy ra
7
o
z =
hoặc
7
o
z =
.
Nếu
7
o
z =
suy ra
( )
22
7 14
49 14 1 0 14 35 0
7 14
m
m m mm
m
= +
++ = + =
=
, (chọn).
Nếu
7
o
z
=
suy ra
(
)
22
49 14 1 0 14 63 0m m mm+ ++ = + + =
vô nghiệm.
+ Trường hợp 2:
1
0
2
m
< <−
. Khi đó phương trình
( )
1
có hai nghiệm phức
12
;zz
thỏa mãn
12o
zzz
= =
.
Suy ra
2
12
7 . 49 . 49 49 7
o oo
z z z zz m m= = = = ⇔=±
.
Kết hợp điều kiện
1
2
m <−
suy ra
7m =
.
Vậy có 3 giá trị của
m
thỏa mãn.
Câu 174: (MĐ 102 2020-2021 ĐỢT 1) Trên tập số phức, xét phương trình
( )
22
21 0z m zm ++=
( m
là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình đó có nghiệm
0
z
thỏa mãn
0
5z =
.
A.
2
. B.
3
. C.
1
. D.
4
.
Lời giải
Ta có
'2 1m∆= +
.
TH1:
1
'2 10
2
mm = + ≥−
, khi đó phương trình có nghiệm
0
z
.
00
55zz=⇔=±
.
+)
2
0
5 10 15 0 5 10z mm m= +=⇔=±
( TM).
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 43
+)
2
0
5 10 35 0
z mm m= + + = ∈∅
.
TH2:
1
2
m <−
, khi đó phương trình đã cho có 2 nghiệm phức
0
z
0
z
;
( )
( )
2
0 00
5
5 . 25 25
5
m KTM
z zz m
m TM
=
= =⇔=
=
.
Câu 175: (MĐ 104 2020-2021 ĐỢT 1) Trên tp hp các s phức, xét phương trình
(
)
22
21 0z m zm ++=
(
m
là tham s thực). Có bao nhiêu giá trị ca
m
để phương trình đó có
nghim
0
z
tha mãn
0
6
z
=
?
A.
4
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Lời giải
Ta có:
( )
2
2
1 21m mm
∆= + = +
.
Nếu
0
∆<
1
2
m <−
: Phương trình có hai nghiệm phc
1 2 1.zm m i=
.
Ta có:
0
6
z =
( )
2
1 2 1 36mm+ −=
2
36m =
6 ()
6( )
ml
mn
=
=
Nếu
0
∆=
1
2
m =
: Phương trình có kép
1
2
z =
.
Khi đó
1
2
z =
nên
1
2
m =
không tha mãn.
Nếu
0
∆>
1
2
m >−
: Phương trình có hai nghiệm thực phân biệt
121zm m= +
.
Ta có:
0
6
z =
0
0
6
6
z
z
=
=
+ Vi
0
6z =
: Thay vào phương trình ta được:
( )
22
6 2 1 .6 0mm + +=
2
12 24 0mm +=
6 2 3( )
6 2 3()
mn
mn
=
= +
+ Vi
0
6z
=
: Thay vào phương trình ta được:
( ) ( ) ( )
2
2
6 2 1. 6 0mm + −+ =
2
12 48 0mm+ +=
(PTVN).
Vậy có
3
giá tr
m
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cách 2: Đặt
( ) ( )
22
21fz z m z m= ++
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 44
Ycbt
( )
( )
2
2
0
2
2
0 01
6 12
60
12 24 0
6 0 12 48 0 6 12
6
1
'2 10
2
6
36 .
m
f
mm
f mm m
m
m
m
z
z zz m
= +
=
+=
−= + + = =
=
∆= + <
<
=
= = =
Câu 176: (2020-2021 ĐỢT 2) Trên tập hợp các số phức, xét phương trình
22
4 20
z az b
+ +=
(
a
,
b
là các tham số thực). Có bao nhiêu cặp số thực
( )
;ab
sao cho phương trình đó có hai nghiệm
1
z
,
2
z
thỏa mãn
12
2 33
z iz i+=+
?
A.
3
. B.
2
. C.
1
. D.
4
.
Li gii
Phương trình
( )
22
4 2 0 *z az b + +=
là phương trình bậc hai có
22
42ab
∆=
.
+ Trưng hp
( )
22
0 4 2 0 1
ab
∆< <
Khi đó phương trình
( )
*
có hai nghiệm phức là
1
z
,
2
z
là hai số phức liên hợp.
Giả sử
1
z x yi= +
với
,
xy
, suy ra
2
z x yi=
.
Ta có
(
)
12
2 33 2 33
z iz i x yi i x yi i+ =+ ⇔+ + =+
( )
2 2 33x y x yi i⇔+ + + =+
23 1
23 1
xy x
xy y
+= =

⇔⇔

+= =

Suy ra
1
1zi= +
2
1zi=
là hai nghiệm của
( )
*
.
Áp dụng định lý Vi-ét, ta có
( ) ( )
( )( )
12
22
2
12
1
1 14
4
24
2
. 2 22
11 2
0
i ia
zz a
a
a
zz b b
i ib
b
++=
+=
=
=

⇒⇒

=+=+
+ −= +
=
(thỏa mãn (1)).
+ Trưng hp
( )
22
0 4 2 0 2ab
∆≥
Khi đó phương trình
( )
*
có hai nghiệm thực là
1
z
,
2
z
.
Ta có
1
12
2
3
2 33
3
2
z
z iz i
z
=
+ =+⇔
=
.
Áp dụng định lý Vi-ét, ta có
12
2
22
12
9
99
44
4
8
22
95
.2
10
2
22
2
a
aa
zz a
zz b
bb
b

=
= =

+=

⇔⇒

= +

=+=
= ±


(thỏa mãn (2)).
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 45
Vậy có ba cặp s thc
( )
;ab
tha mãn bài toán là
1
;0
2



,
9 10
;
82




9 10
;
82




.
Câu 177: (2020-2021 ĐỢT 2) Trên tập hợp các số phức, xét phương trình
22
4 20z az b+ + +=
(
,ab
các tham số thực). bao nhiêu cặp số thực
( )
;ab
sao cho phương trình hai nghiệm
1
z
,
2
z
thỏa mãn
12
2 33z iz i
+=+
?
A.
4
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Li gii
Chn D
12
,
zz
là các nghim của phương trình
22
4 20z az b+ + +=
nên
12
2
12
4
.2
zz a
zz b
+=
= +
.
Khi đó
12
12
4
2 33
zz a
z iz i
+=
+=+
(
)
( )
1
2
3 38
12
34 3
12
ai
z
i
ai
z
i
++
=
−+
=
.
Do đó
2
12
.2zz b= +
( ) ( )
2
3 38 34 3
.2
12 12
ai a i
b
ii
++ −+
⇔=+
−−
( ) ( )
( )
( )
2
3 38 34 3 234ai a i b i

++ + + = + +

( ) ( ) ( )( )
( )
( )
2
334 338 9 38 34 234a a a ai b i

+−++++ + =+ +

( )
( )
( )
( )
2
2
12 3 2
9 38 34 4 2
ab
a ab
−= +
++ + = +
2
42
1
2
9
8
ba
a
a
=−−
=
=
1
2
0
9
8
10
2
a
b
a
b
=
=
=
= ±
.
Vậy có
3
cặp số
( )
;ab
1
;0
2



,
9 10
;
82




9 10
;
82

−−



.
Cách 2.
Xét phương trình
22
4 20z az b+ + +=
22
42ab
∆=
, khi đó
12
2
12
4
.2
zz a
zz b
+=
= +
.
TH1:
0∆≥
nên các nghiệm
12
,zz
là nghiệm thực. Khi đó
12
2 33
z iz i+=+
1
2
3
3
2
z
z
=
=
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 46
Do đó
9
8
10
2
a
b
=
= ±
(thỏa mãn)
TH2:
0
∆<
, khi đó
12
,zz
là hai nghiệm phức và
12
zz=
.
Đặt
( )
12
,,z x yi x y z x yi=+ ⇒=
. Khi đó
12
2 33z iz i+=+
( )
23
2 33
23
xy
x yi i x yi i
xy
+=
⇔+ + =+
+=
1
1
x
y
=
=
.
Do đó
12
1, 1z iz i=+=
suy ra
1
2
0
a
b
=
=
(thỏa mãn).
Vậy có ba cặp số
( )
;ab
1
;0
2



,
9 10
;
82




9 10
;
82

−−



.
Câu 178: (MĐ 103 2020-2021 ĐỢT 2) Trên tp hp các s phức, xét phương trình
22
2 20
z az b+ + +=
(
,ab
là các tham s thc). bao nhiêu cặp s thc
( )
;ab
sao cho phương trình đó hai
nghim
1
z
,
2
z
tha mãn
12
2 33z iz i+=+
?
A.
4
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Lời giải
Theo định lý Viet ta có:
( )
12
2
12
2
1
2
zz a
zz b
+=
= +
.
TH1:
12
,
zz
là các s thực. Khi đó
( )
1
12
12
2
12
9
3
2
2 33 2
3
9
2
2
z
zz
z iz i
z
zz
=
+=

+ =+⇔

=

=
.
Từ và suy ra:
22
9
99
2
4
24
95
10
2
22
2
a
aa
bb
b

=
−= =


⇔⇔


+= =
= ±


.
Suy ra trường hợp này có
2
cp
( )
,ab
thỏa mãn đề bài.
TH2:
12
,
zz
là các s phức. Khi đó
21
=zz
. Gi
( )
12
,,z x yi x y z x yi=+ ⇒=
.
Ta có
( ) ( )
12
2 33 2 33z iz i x yi i x yi i+ =+⇔ + + =+
23 1
23 1
xy x
xy y
+= =

⇔⇔

+= =

.
Khi đó
( )
12
1, 1 3z iz i=+=
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 47
Từ và suy ra:
2
22 1
22 0
aa
bb
−= =


+= =

.
Suy ra trường hợp này có
1
cp
( )
,ab
thỏa mãn đề bài.
Vậy có tất cả
3
cặp
( )
,ab
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 179: (MĐ 104 2020-2021 ĐỢT 2) Trên tp hp các s phức, xét phương trình
22
2 20z az b + +=
(
, ab
là các tham s thực). bao nhiêu cặp s thc
( )
;ab
sao cho phương trình đó hai
nghim
12
, zz
tha mãn
12
2 33z iz i
+=+
?
A.
2
. B.
3
. C.
1
. D.
4
.
Li gii
Ta có
12
, zz
là hai nghim của phương trình, khi đó
12
2
12
2
.2
zz a
zz b
+=
= +
Khi đó
(
)
( )
2
2
12
12
12
1
2 33
1 2 2 3 31
2 33
12
2 3 34
2
1 21
ai
z
iz a
z iz i
i
z z a ai
zz a
z
−−
=
= −−
+=+

⇔⇔

+= +−
+=
=
Thay vào
2
12
.2zz b
= +
ta có
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2
22
2
2
2
22
2
2
3 34
2 33
.2
12 12
6 18 8 18 2 3 4
63 2
22
4 9 94
18 8 18 4 2
1
1
0
0
9
9
4
4
5
10
2
2
ai
ai
b
ii
a aa ib i
ab
ab
aa a
aa b
a
a
b
b
a
a
b
b
+−
−−
= +
−−
⇔− + = +
−= +
= +

⇔⇔

+=
−= +
=
=
=
=
⇔⇔
=
=
=
= ±
Vậy có 3 cặp s thc
( )
;ab
thỏa mãn đề bài.
Câu 180: Tham Kho 2018) Xét s phc
z a bi= +
( )
,ab
tha mãn
43 5zi−− =
. Tính
P ab= +
khi
13 1z iz i+− + −+
đạt giá tr ln nht.
A.
8
=P
B.
10=
P
C.
4=P
D.
6=P
Li gii
Chn B
Goi
( )
;M ab
là điểm biểu diễn ca s phc z.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 48
Theo gi thiết ta có:
(
) ( )
22
43 5 4 3 5zi a b
=−+−=
Tp hợp điểm biểu diễn s
phc
z
là đường tròn tâm
( )
4;3I
bán kính
5R =
Gi:
( )
( )
1; 3
13 1
1; 1
A
Q z i z i MA MB
B
= + + −+ = +
Gi E là trung điểm của AB, kéo dài EI cắt đường tròn ti D
Ta có:
222
2.MA MBQ MA MB=++
( )
22222 22
2
Q MA MB MA MB MA MB≤+++= +
ME
là trung tuyến trong
MAB
222 2
2 22 2
2
24 2
MA MB AB AB
ME MA MB ME
+
= ⇒+= +
2
2 2 22
22 4
2
AB
Q ME ME AB

⇒≤ + = +


. Mt khác
25 5 35ME DE EI ID =+= +=
( )
2
2
4. 3 5 20 200Q +=
( )
10 2 10 2
4 2( 4) 6
2 6; 4 10
2 2( 3) 4
max
DD
DD
MA MB
QQ
MD
xx
EI ID M P a b
yy
=
⇒≤ =
=−=

= ⇔⇒ = + =

=−=

 
Cách 2:Đặt
.z a bi= +
Theo gi thiết ta có:
( ) ( )
22
4 5 5.ab +− =
Đặt
4 5 sin
3 5 cos
at
bt
−=
−=
. Khi đó:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 22
13 1 1 3 1 1Qz iz i a b a b=+++= + +− + ++
( ) ( )
( )
2 22
2
5 sin 5 5cos 5 sin 3 5 cos 4t tt t= ++ + ++ +
( )
30 10 5 sin 30 2 5 3sin 4cost tt=+ ++ +
Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có:
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 49
(
)
(
) ( )
2 60 8 5 2sin cos 2 60 8 5. 5 200 10 2Q tt≤+ +≤+ ==
10 2 10 2
max
QQ
⇒≤ =
Dấu bằng xảy ra khi
2
sin
6
5
10.
14
cos
5
t
a
P ab
b
t
=
=
=+=

=
=
Câu 181: Tham Kho 2017) Xét s phc
z
tha mãn
2 4 7 6 2.z iz i+−+ =
Gi
, mM
ln
t là giá tr nh nht và giá tr ln nht ca
1.zi−+
Tính
.PmM= +
A.
52 273
2
P
+
=
B.
5 2 73P = +
C.
5 2 73
2
P
+
=
D.
13 73
P = +
Lời
gii
Chọn A
Gi
A
là điểm biểu diễn s phc
z
,
( ) ( )
2;1 , 4; 7EF
( )
1; 1 .
N
T
2 4 7 62AE A F z i z i+ = +−+ =
62EF
=
nên ta có
A
thuộc đoạn thng
EF
.
Gi
H
là hình chiếu của
N
lên
EF
, ta có
33
;
22
H



. Suy ra
52 273
.
2
P NH NF
+
=+=
Câu 182: (TK NĂM 2020-2021) Xét hai s phc
12
,
zz
tha mãn
12
1, 2zz= =
12
3zz
−=
. Giá tr
ln nht ca
12
35zz i+−
bng
A.
5 19.
B.
5 19.+
C.
5 2 19.−+
D.
5 2 19.+
Li gii
Đặt
12
,z a bi z c di 
vi
,,, .abcd
Theo gi thiết thì
22 2 2 2 2
1, 4, ( ) ( ) 3.a b c d ac bd 
5
8
6
4
2
2
H
E
N
D
A
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 50
Do đó
2 22 2
2 2 3 1.a ac c b bd d ac bd 
Ta có
12
3 3( ) (3 )z z a c b di

nên
2 2 22 2 2
12
3 (3 ) (3 ) 9( ) ( ) 6( ) 19.z z a c b d a b c d ac bd

Áp dng bất đẳng thc
zz z z


, ta có ngay
12 12
3 5 3 5 19 5.zz i zz i 
Câu 183: (MĐ 103 2020-2021 ĐỢT 1) Xét các phc
,zw
tho mãn
1
z =
2w =
. Khi
68z iw i+ −+
đạt giá tr nh nht,
zw
bng
A.
3
. B.
29
5
. C.
5
. D.
221
5
.
Li gii
Do
1z =
nên điểm biểu diễn s phc z s thuộc đường tròn
(
)
;1
O
.
Do
2iw iw= =
nên điểm biểu diễn s phc
.iw
s thuộc đường tròn
( )
;2O
.
Đim
( )
6;8
A
là điểm biểu diễn s phc
68
i−+
.
Ta có
( )
6 8 6 8 10 10 w 7z iw i i z iw z iw z i+ + −+ = −+ + =
Du = xảy ra khi và chỉ khi đường thng OA cắt đường tròn
( )
;1O
ti B và cắt đường tròn
( )
;2O
ti C O nm gia A, B O nm gia
,AC
.
Phương trình đường thng AO là:
43 0xy+=
Gii ra
34
;
55
B



68
;
55
C



suy ra
34
55
zi=
68
w
55
ii=
nên
86
55
wi=−+
Suy ra
11
2
5
zw i−=
, suy ra
3 4 8 6 221
5 55 5
i
zw i

= −− + =


Câu 184: (MĐ 104 2020-2021 ĐỢT 1) Xét các s phc
z
;
w
tha mãn
1z =
2w =
. Khi
68z iw i
+ ++
đạt giá tr nh nht,
zw
bng:
A.
29
5
. B.
221
5
. C.
3
. D.
5
.
Li gii
Đặt
12
6 8,z z i z iw=++ =
. Gi
( ) ( ) (
) ( )
12
, , 6;8 , 0;0Mz Nz I O
+) Ta có:
1 2 12
6 8 1, 2, 6 8z i z z iw i z z MN−− = = + ++ = =
+) Ta có
12 7MN OI −− =
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 51
+)
1
min
2
9 27 36
10 5 5
7
2 68
10 5 5
OM OI z i
MN
ON OI z i

= = +


=⇔⇔


= = +


 
 
34
55
86
w
55
zi
i
−−
= +
−−
= +
. Suy ra:
29
w
5
z −=
Câu 185: (MĐ 103 2020-2021 ĐỢT 2) Xét các s phc
z
w
thay đi tha mãn
3
zw= =
32zw−=
. Giá tr nh nht ca
1 25Pz iw i= +++ +
bng
A.
5 32
B.
17
C.
29 2
D.
5
Li gii
Gi
M
N
lần lượt là các điểm biểu diễn s phc
z
w
trong mt phng
Oxy
Do
3
32
zw
zw
= =
−=
nên
3
32
OM ON
MN
= =
=
.
Vy
M
N
thuộc đường tròn
( )
;3CO
OMN
vuông cân tại
O
.
Li có:
1
12
z
w
z
w
=
−=
. Đặt
(, )
z
t x yi x y
w
==+∈
Khi đó ta có:
(
)
22
2
2
0
1
1
12
1
x
xy
y
xy
y
=
+=

=

+=
=
.
Vy
z iw=
hoc
z iw=
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 52
Trưng hợp 1:
z iw=
1 25 1 25P iw i w i w i w i NA NB AB= ++ + + = +−+ + = +
.
Vy
min
35
P AB= =
khi
N
là giao điểm ca
AB
với đường tròn
( )
;3CO
N
thuộc đoạn
thng
AB
Trưng hợp 2:
z iw=
1 25 1 25P iw i w i w i w i NC NB CB
= +++ + = ++ + = +
.
Vy
min
17P CB= =
khi
N
là giao điểm ca
CB
với đường tròn
(
)
;3
CO
N
thuộc đoạn
thng
CB
. Vy
min
17P =
.
Câu 186: (MĐ 104 2020-2021 ĐỢT 2) Xét các s phc
z
w
thay đi tha mãn
4zw
= =
42zw−=
. Giá tr nh nht ca
1 34Pz iw i= ++ + +
bng
A.
52
. B.
13
. C.
41
. D.
5 22
.
Li gii
Gi
M
là điểm biểu diễn s phc
z
,
N
là điểm biểu diễn s phc
w
.
T gi thiết
4zw
= =
42zw−=
ta có
M
,
N
thuộc đường tròn
()C
tâm
;O 00
, bán
kính bng 4 và
OMN
vuông cân tại
O
.
Gi
;,;AB 11 34
.Ta có:
P MA NB= +
.
+ Trưng hợp 1:
; ()QO M N



2
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 53
Gi
,;C QO A C



11
2
, ta có
MA NC
.
Suy ra:
P NC NB BC
41
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
N
là giao điểm ca đon thng
CB
và đường tròn
()C
.
+ Trưng hợp 2:
; ()QO M N


2
.
Gi
,;D QO A D



11
2
, ta có
MA ND
.
Suy ra:
P ND NB DB
13
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
N
là giao điểm ca đon thng
DB
và đường tròn
()C
.
Vygiá tr nh nht ca
P
bng
13
.
Câu 187: (MĐ 101 2020-2021 ĐỢT 1) t các s phc
,zw
tha mãn
1z =
2w =
. Khi
68z iw i+ −−
đạt giá tr nh nht,
zw
bng?
A.
221
5
. B.
5
. C.
3
. D.
29
5
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 54
Lời giải
Gọi
,MN
lần lượt là các điểm biểu diễn số phức
68zi−−
iw
.
Ta có
( ) ( )
1 68 68 1 1z z i i MI= −− + + = =
, với
( )
6; 8I −−
.
Suy ra tập hợp điểm
M
là đường tròn
( )
1
T
tâm
( )
6; 8I −−
và bán kính
1
1
R =
.
Ta có
.2iw i w−= =
. Suy ra tập hợp điểm
N
là đường tròn
( )
2
T
tâm
O
và bán kính
2
2R =
.
Ta có
68
P z iw i MN= + −− =
.
12
min 10 1 2 7P OI R R = = −− =
(do
( )
1
T
( )
2
T
rời nhau).
, đạt được khi
27 36
9
;
55
10
1
68
;
5
55
M
OM OI
ON OI
N

−−
=





=
−−


 
 
27 36 3 4
68
5 5 55
68 86
55 55
z i iz i
iw i w i

−− = = +


⇔⇔


=−− =+


Vậy
2 29
1
55
zw i
=−− =
.
Cách 2: Đoàn Trí Dũng
Ta có
22w iw=⇒=
.
Gọi
,MN
là điểm biểu diễn của các số phức
,z iw
( )
3; 4A
.
Khi đó
68 2 2 2z iw i OM ON OA OI OA AI+ −− = + = =
    
, với
I
là trung điểm
MN
.
Do
,MN
thuộc hai đường tròn tâm
O
, bán kính
1
2
nên
I
thuộc hình vành tròn được giới hạn bởi
hai đường tròn bán kính
1
2
3
2
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 55
Suy ra
AI
nhỏ nhất
, ,,
OM N A
thẳng hàng.
Khi đó
34 34
34 68
55 55
;, ;
68 86
55 55
55 55
zizi
MN
iw i w i

=+=+



⇒⇒




=+=+


Vậy
2 29
1
55
zw i =−− =
.
Câu 188: (MĐ 102 2020-2021 ĐỢT 1) Xét các s phc
,zw
tha mãn
1z =
2w =
. Khi
68z iw i
+ +−
đạt giá tr nh nht,
zw
bng
A.
5
. B.
221
5
. C.
3
. D.
29
5
.
Li gii
Cách 1:
Ta có
68 68 1012 7z iw i i z iw+ + = −− =
Dấu bằng xảy ra khi
( )
( )
( )
( )
1 34
68
68
10 5 5
6 8 ;, 0
2 86
68
1; 2
10 5 5
zt i
z iz i
iw t i t t
iw i w i
zw

=
= =−+


′′
= <⇔


=−− =
= =


Do đó
11 221
2
55
zw i−=+ =
.
Cách 2:
Đặt
( )
, , ,;,z a bi w c di a b c d=+=+
, khi đó
22
22
1
2
ab
cd
+=
+=
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 56
Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
22 2 2
68 6 8 6 8z iw i a d b c a d b c+ + = + + + + = +− +
Mt khác
( )
( )
22
22 2 2
6 8 36 64 10ad bc a b c d
+− + + + + + + =
Suy ra
68 7
z iw i+ +−
, dấu đẳng thc xảy ra khi
34 86
;
55 55
z iw i=−+ =
.
Do đó
11 221
2
55
zw i−=+ =
.
Câu 189: (2020-2021 ĐỢT 2) Xét s phc
z
w
thay đi tha mãn
3zw= =
32zw−=
. Giá
tr nh nht ca
1 25Pz i w i= −−+ +
bng
A.
5 32
. B.
29 2
. C.
17
. D.
5
.
Li gii
Gi
,MN
lần lượt là các đim biểu diễn s phc
z
w
.
T gi thiết ta có:
3
32
OM ON
MN
= =
=
OMN
⇒∆
vuông tại
O
w iz
OM ON
w iz
=
⊥⇒
=
 
.
+) Trưng hp
w iz=
.
Ta có
(
)
(
)
1 25 1 52P z i iz i z i z i MA MB
= −−+ + = + + + = +
vi
( ) ( )
1;1 , 5; 2AB
.
Gi
E
là giao điểm của đoạn
AB
với đường tròn
( )
;3O
như hình vẽ.
P MA MB AB=+≥
,
17AB =
.
Suy ra
min 17P =
khi
ME
,
N
nh ca
M
qua phép quay
( )
0
,90O
Q
.
+) Trưng hp
w iz
=
.
Ta có
( ) ( )
1 25 1 52P z i iz i z i z i MA MC=+−+− = + + = +
vi
( ) ( )
1;1 , 5; 2AC−−
.
Gi
F
là giao điểm của đoạn
AC
với đường tròn
( )
;3O
như hình vẽ.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 57
P MA MC AC=+≥
,
35
AC =
.
Suy ra
min 3 5P =
khi
MF
,
N
nh ca
M
qua phép quay
(
)
0
, 90
O
Q
.
Kết hợp hai trường hợp, ta được
min 17P =
.
Câu 190: (2020-2021 ĐỢT 2) Xét các s phc
,zw
thay đi tha mãn
4zw= =
,
42
zw−=
. Giá
tr nh nht ca
1 34Pz iw i= −−+ +
bng:
A.
41
. B.
5 22
. C.
52
. D.
13
.
Li gii
Gi
,MN
lần lượt là điểm biểu diễn các s phc
,
zw
. Theo gi thiết ta có
0
4
90
42
OM ON
MON
MN
= =
⇒=
=
hay
z iw
OM ON
z iw
=
⊥⇒
=
 
.
TH1:
1 3 4 1 3 4 41z iw P iw i w i w i w i NA NB AB= = −− + + = −+ + + = + =
(vi
( ) ( )
1; 1 , 3; 4AB−−
.
TH2:
1 34 1 34 13z iw P iw i w i w i w i NC NB CB= = −+ +− = +−+ + = + =
(vi
( )
1;1C
). Đẳng thc xy ra khi
3 6 23 2 9 23
13 13
wi
−− +
= +
.
Vy
min 13P =
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 40
PHN THC – PHN O – S PHC LIÊN HP – CÁC PHÉP TOÁN V S PHC
S phc
z a bi
= +
có phn thc là
,a
phn o là
.b
S phc liên hp
z a bi=
và cn nh
2
1.i =
S phc
z a bi
= +
có điểm biu din là
( ; ).M ab
S phc liên hp
z a bi=
có điểm biu din
( ; ).Na b
Hai điểm
M
N
đối xng nhau qua trc hoành
.Ox
;
zz=
;zz zz
′′
+=+
;
zz zz
′′
−=
. .;zz zz
′′
=
;
zz
zz

=

′′

22
.
zz a b= +
Hai s phc bng nhau khi thc bng thc và o bng o.
Mô đun của s phức
z
là:
22
z ab= +
.
zz z z
′′
=
z
z
zz
=
′′
z z zz z z
′′
≤+ +
z z zz z z
′′
≤− +
Phép cộng hai số phc Cho s phc
1
.z a bi= +
2
.z c di= +
. Khi đó
( ) (
) ( )
( )
12
. . ..z z abi cdi ac bdi+=+ ++ =+++
Phép tr hai số phc
( ) ( ) ( ) ( )
12
. . ..z z abi cdi ac bdi= + −+ = −+
Phép nhân hai s phc
( ) (
) ( ) (
)
12
. . . . ..z z a b i c d i ac bd ad bc i=+ +=−++
. .( )k z k a bi ka kbi= +=+
Phép chia hai số phức
( )
( ) ( ) ( )
1 12 12
2
22 22 22 22
2 22
2
.. .
..
.
.
a b i c d i ac bd bc ad i
z zz zz
ac bd bc ad
i
z zz cd cd cd cd
z
+ + +−
+−
= = = = = +
+ + ++
CHƯƠNG
IV
S PHC
H THNG BÀI TP TRC NGHIM.
III
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 41
Câu 1: Cho s phc
34zi=
. Tìm phn thc và phn o ca s phc
z
.
A. Phn thc là
4
và phn o là
3i
. B. Phn thc là
3
và phn o là
4
.
C. Phn thc là
4
và phn o là
3
. D. Phn thc là
3
và phn o là
4
i
.
Câu 2: Cho s phc
32
zi= +
. Tìm phn thc và phn o ca s phc
z
.
A. Phn thc bng
3
và phn o bng
2
. B. Phn thc bng
3
và phn o bng
2
.
C. Phn thc bng
3
và phn o bng
2i
. D. Phn thc bng
3
và phn o bng
2
.
Câu 3: S phc đi ca
57zi= +
là?
A.
57zi= +
. B.
57zi=−−
. C.
57zi=−+
. D.
57zi−=
.
Câu 4: S phc liên hp ca s phc
12zi=
A.
12zi= +
. B.
2
zi=
. C.
12zi
=−+
. D.
12zi
=−−
.
Câu 5: S phc liên hp ca s phc
56
zi= +
A.
56zi
=−+
. B.
56zi=−−
. C.
65
zi
=
. D.
56
zi
=
.
Câu 6: Cho s phc
23zi=
. S phc liên hp ca s phc
z
là:
A.
32zi=
. B.
32zi= +
. C.
23zi=−−
. D.
23zi= +
.
Câu 7: Đim
M
trong hình v bên là điểm biu din ca s phc
z
. Tìm phn thc
và phn o ca s phc
z
.
A. Phn thc là
3
và phn o là
4 i
B. Phn thc là
3
và phn o là
4
C. Phn thc là
4
và phn o là
3i
D. Phn thc là
4
và phn o là
3
Câu 8: Trong hình v bên, điểm M biu din s phc
z
. S phc
z
là:
A.
12i
. B.
2 i+
.
C.
12
i+
. D.
2 i
.
Câu 9: Đim nào hình v bên biu din s phc
32zi=
?
A.
M
. B.
N
. C.
P
. D.
Q
.
Câu 10: Đim biu din hình hc ca s phc
23zi=
là điểm nào trong các điểm sau đây?
A.
( )
2;3M
. B.
( )
2; 3Q −−
. C.
( )
2; 3N
. D.
( )
2;3
P
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 42
Câu 11: Đim
M
trong hình v bên dưới biu th cho s phc
A.
3 2.i+
B.
2 3.i
C.
2 3.i−+
D.
3 2.
i
Câu 12: Đim
M
trong hình v bên biu din s phc
z
. Chn kết lun đúng v
s phc
z
.
A.
35zi
= +
. B.
35zi=−+
. C.
35
zi
=
. D.
35zi=−−
.
Câu 13: Đim
M
trong hình v là biu din hình hc ca s phức nào dưới đây?
A.
2zi
=
. B.
2zi= +
. C.
12zi=−+
. D.
12zi=−−
.
Câu 14: S phức nào sau đây có điểm biu din là
(1; 2)M
?
A.
12i−−
B.
12
i
+
C.
12i
D.
2 i
−+
Câu 15: Trong mt phng ta đ
Oxy
, điểm biu din ca hai s phc đi nhau là
A. hai điểm đối xng nhau qua gc ta đ
O
.
B. hai điểm đối xng nhau qua trc hoành.
C. hai điểm đối xng nhau qua trc tung.
D. hai điểm đối xứng nhau qua đường thng
yx=
.
Câu 16: Đim nào trong hình v dưới đây là điểm biu din s phc liên hp ca s phc
32zi=−+
?
A.
M
. B.
N
. C.
Q
. D.
P
.
Câu 17: Trong hình v bên, điểm M biu din s phc
z
. S phc
z
là:
2
-1
O
x
y
2
M
3
O
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 43
A.
12i
. B.
2
i
+
. C.
12i+
. D.
2
i
.
Câu 18: Trong mt phng ta đ
Oxy
, 3 điểm
,,ABC
lần lượt là điểm biu din ca ba s phc
12
3 7, 9 5z iz i=−=
3
59zi
=−+
. Khi đó, trọng tâm
G
là điểm biu din ca s phc nào
sau đây?
A.
19zi=
. B.
33zi= +
. C.
7
3
zi=
. D.
22
zi
= +
.
Câu 19: Cho hai s phc
1
1zi= +
2
23zi=
. Tính môđun của s phc
12
zz+
.
A.
12
1zz+=
. B.
12
5zz+=
. C.
12
13zz+=
. D.
12
5
zz+=
.
Câu 20: Gi
1
z
,
2
z
lần lượt điểm biu din là
M
N
trên mt phng
phc hình bên. Tính
12
zz
+
.
A.
2 29
. B.
20
.
C.
25
. D.
116
.
Câu 21: Tìm s phc liên hp ca s phc
( )
31= +zii
.
A.
3
= +zi
. B.
3=−−zi
.
C.
3= zi
. D.
3=−+zi
.
Câu 22: Cho s phc
z
tha mãn
( )
12 43
zi i+=
. Tìm s phc liên hp
z
ca
z
.
A.
2 11
55
zi
=
. B.
2 11
zi
55
=
. C.
2 11
z
55
=i
+
. D.
2 11
z
55
=i+
.
Câu 23: Cho s phc
z
tha mãn
( )
1 35
zi i+=
. Tính môđun của
z
A.
17z =
. B.
16z
=
. C.
17z =
. D.
4z =
.
Câu 24: Cho s phc
( )
2
12zi=
. Tính mô đun của s phc
1
z
.
A.
1
5
. B.
5
. C.
1
25
. D.
1
5
.
Câu 25: Cho s phc
( ) ( )
2
1 12zi i=−+
. S phc
z
có phần o là:
A.
2
. B.
2
. C.
4
. D.
2i
.
Câu 26: Cho s phc
1
1
3
zi=
. Tìm s phc
w3iz z= +
.
x
y
-4
3
2
O
1
M
N
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 44
A.
8
w
3
=
. B.
8
w
3
i= +
. C.
10
w
3
=
. D.
10
w
3
i= +
.
Câu 27: Cho s phc
2zi=−+
. Điểm nào dưới đây biu din ca s phc
w iz=
trên mt phng to
độ?
A.
( )
1; 2 .M −−
B.
( )
2;1 .P
C.
(
)
2;1 .
N
D.
(
)
1; 2 .
Q
Câu 28: Cho s phc
12zi
= +
. Tìm tng phn thc và phn o ca s phc
2
w zz= +
.
A.
3
B.
5
C.
1
D.
2
Câu 29: Cho s phc
z
khác
0
. Khẳng định nào sau đâysai?
A.
z
z
là s thun o. B.
.
zz
là s thc. C.
zz+
là s thc. D.
zz
là s o.
Câu 30: Cho hai s phc
1
12zi
= +
2
34zi=
. S phc
1 2 12
23z z zz+−
là s phức nào sau đây?
A.
10
i
. B.
10
i
. C.
11 8i+
. D.
11 10i
.
Câu 31: Tìm ta đ đim
M
là đim biu din s phc
z
biết
z
thỏa mãn phương trình
( )
1 35iz i+=
.
A.
( )
1;4M
. B.
(
)
1; 4
M
−−
. C.
( )
1;4M
. D.
( )
1; 4M
.
Câu 32: Cho s phc
z
tha mãn
( )
1 3 5 7.iz i+ −=
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
13 4
55
zi=
. B.
13 4
55
zi
=−+
. C.
13 4
55
zi=−−
. D.
13 4
55
zi= +
.
Câu 33: Cho s phc
( )( )
23 4
32
ii
z
i
−−
=
+
. Tìm ta đ điểm biu din ca s phc
z
trên mt phng
Oxy
.
A.
( )
1; 4
. B.
( )
1; 4
. C.
( )
1; 4
−−
. D.
( )
1; 4
.
Câu 34: Cho
12
2 4, 3 5z iz i=+=
. Xác định phn thc ca
2
12
.w zz=
A.
120
. B.
32
. C.
88
. D.
152
.
Câu 35: Cho s phc z thỏa mãn phương trình
2
(3 2 ) (2 ) 4iz i i+ +− =+
. Tìm ta đ điểm M biu din s
phc z.
A.
( )
1;1M
B.
( )
1; 1M −−
C.
( )
1;1
M
D.
( )
1; 1M
Câu 36: Cho s phc
z
tha mãn
( )
2
1 3 43iz i
−=
. Môđun của
z
bng
A.
5
4
B.
5
2
C.
2
5
D.
4
5
Câu 37: Cho
3 i
z
xi
+
=
+
. Tng phn thc và phn o ca
z
A.
24
2
x
. B.
42
2
x +
. C.
2
42
1
x
x
+
. D.
2
26
1
x
x
+
+
.
Câu 38: Tìm hai s thc
x
y
tha mãn
( ) ( )
2 3 13 16x yi i i + =−+
vi
i
là đơn vị o.
A.
1x =
;
3y =
. B.
1x =
;
3y =
. C.
1x =
;
1y =
. D.
1x =
;
1y =
.
Câu 39: Tìm hai s thc
x
y
tha mãn
( ) ( )
23 3 54x yi i x i +−=
vi
i
là đơn vị o.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 45
A.
1, 1xy=−=
B.
1, 1xy= =
C.
1, 1xy=−=
D.
1, 1xy= =
Câu 40: Tìm các s thc
x
y
tha mãn
( ) ( ) ( ) ( )
32 21 1 5 + + = +− x y ix y i
, vi
i
là đơn vị o.
A.
3
,2
2
xy= =
. B.
34
,
23
xy=−=
. C.
4
1,
3
xy= =
. D.
34
,
23
xy= =
.
Câu 41: Cho s phc
( )
,z a bi a b=+∈
tha mãn
( )
1 2 32iz z i+ +=+
. Tính
P ab= +
A.
1P =
B.
1
2
P =
C.
1
2
P =
D.
1P =
Câu 42: Cho s phc
z
tha mãn
( )
23 43 134iz i i+ +− = +
. Môđun của
z
bng
A.
2
. B.
4
. C.
22
. D.
10
.
Câu 43: Cho s phc
( )
,z x yi x y=+∈
tha mãn
( )
12 34iz z i+ +=
. Tính giá tr ca biu thc
32Sxy=
.
A.
12S =
B.
11S =
C.
13S =
D.
10S =
Câu 44: Tng phn thc và phn o ca s phc
z
tho mãn
( )
12iz i z i+− =
bng
A.
6
B.
2
C.
2
D.
6
Câu 45: Cho
,ab
và tha mãn
( )
2 13a bi i a i+ −=+
, vi
i
là đơn vị o. Giá tr
ab
bng
A.
4
B.
10
C.
4
D.
10
Câu 46: Cho s phc
(, )z a bi a b=+∈
tho mãn
(1 ) 2 3 2iz z i++=+
. Tính
P ab= +
A.
1P =
. B.
1
2
P =
. C.
1
2
P =
. D.
1P =
Câu 47: Tìm s phc
z
biết
4 5 27 7zz i+=
.
A.
37zi=−+
. B.
37zi=−−
. C.
37zi
=
. D.
37zi
= +
.
Câu 48: Cho s phc
z
tha mãn
( ) ( )
2
32 2 4iz i i+ +− =+
. Mô đun của s phc
( )
1wz z= +
bng.
A.
2
. B.
10
. C.
5
. D.
4
.
Câu 49: Tìm các s thc
,ab
tha mãn
( ) ( ) ( )
2 42 2a b ab i ab bi + ++ = + +
vi
i
là đơn vị o.
A.
3, 1ab=−=
. B.
3, 1ab= =
. C.
3, 1ab=−=
. D.
3, 1ab= =
.
Câu 50: Cho hai s phc
1
12zm i= +−
( )
1
21z mi=−+
. Có bao nhiêu giá trị thc ca tham s
m
để
12
. 88zz i−+
là mt s thc.
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Câu 51: Tìm mô đun của s phc
z
biết
( )( )
( )
( )
2 11 11 2 2z iz i i ++ + =
.
A.
1
9
B.
2
3
C.
2
9
D.
1
3
Câu 52: Tính mô đun của s phc
z
tha mãn
( )
( )
12 1 4 0z iz i i+ + + −=
vi
i
là đơn vị o.
A.
6
. B.
5
. C.
2
. D.
3
.
Câu 53: Tìm s phc tha mãn .
A. . B. . C. . D. .
z
( )
23 19z iz i−+ =
2zi=−+
2zi=−−
2zi=
2 i+
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 46
Câu 54: Có bao nhiêu số phc
z
thỏa mãn điều kin
.2zz z+=
2z =
?
A.
2
. B.
3
. C.
1
. D.
4
.
Câu 55: Có bao nhiêu số phc
z
thỏa mãn điều kin
5 56zi zi+ +− =
, biết
z
có môđun bằng
5
?
A.
3
B.
4
C.
2
D.
0
Câu 56: Cho hai s phc
1
z
,
2
z
tha mãn c điu kin
12
2
zz= =
12
24
zz+=
. Giá tr ca
12
2zz
bng
A.
26
. B.
6
. C.
36
. D.
8
.
Câu 57: Cho s phc
z
phần thc là s nguyên
z
tha mãn
2 73z z iz =−+ +
. Môđun của s
phc
2
1w zz=−+
bng
A.
445w =
. B.
425
w =
. C.
37w =
. D.
457w =
Câu 58: Cho s phc
z a bi= +
( )
,ab
tho n
( )
4 2 51z iz i i
+− = +
. Tính giá tr ca biu
thc
T ab= +
.
A.
2
T =
. B.
3T =
. C.
1T =
. D.
1T =
.
Câu 59: Có bao nhiêu số phc
z
tha mãn
2
3
20z iz
+=
.
A.
4
B.
3
C.
2
D.
6
Câu 60: Có bao nhiêu số phc
z
tha
12 34z iz i
+− = ++
2zi
zi
+
là mt s thun o
A.
0
. B. Vô s. C.
1
. D.
2
.
Câu 61: Có bao nhiêu số phc
z
tha mãn
(2 ) 10zi−+=
. 25
zz=
.
A.
2
. B.
3
. C.
1
. D.
4
.
Câu 62: Có bao nhiêu số phc
z
tha mãn
( )
2
2019
11z z zi z z i +− + + =
?
A. 4 B. C. 1 D. 3
Câu 63: Có bao nhiêu số phc
z
tha mãn
2
zz zzz =++−
2
z
là s thun o
A.
4
B.
2
C.
3
D.
5
Câu 64: Có bao nhiêu số phc
z
tha mãn
2
3
20z iz
+=
.
A.
4
B.
3
C.
2
D.
6
Câu 65: Cho s phc
z a bi= +
( )
,ab
tha mãn
31zz−=
( )
( )
2z zi+−
là s thc. Tính
ab+
.
A.
2
. B. 0. C. 2. D. 4.
Câu 66: Cho s phc
z a bi= +
( )
,
ab
tha mãn
13 0z i zi++ =
. Tính
23S ab= +
.
A.
6S =
. B.
6S =
. C.
5S =
. D.
5S =
.
Câu 67: Cho ba s phc
123
;;zzz
tha mãn
123
123
0
22
3
zzz
zzz
++=
= = =
. Tính
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 47
2 22
12 23 31
Azz z z z z
=+ ++ ++
A.
22
3
. B.
22
. C.
8
3
. D.
3
8
.
Câu 68: Cho s phc
(
)
,
z a bi a b=+∈
tha mãn
25 5
zi
++ =
. 82zz=
. Tính giá tr ca biu thc
P ab= +
.
A.
10
. B.
8
. C.
35
. D.
7
.
Câu 69: Cho
M
là tp hp các s phc
z
tha
22z i iz−= +
. Gi
1
z
,
2
z
hai s phc thuc tp hp
M
sao cho
12
1zz
−=
. Tính giá tr ca biu thc
12
Pzz= +
.
A.
3P =
. B.
3
2
P =
. C.
2
P
=
. D.
2P =
.
Câu 70: Gi
S
là tp hp các s thc
m
sao cho vi mi
mS
đúng mt s phc tha mãn
6zm−=
4
z
z
là s thun o. Tính tng ca các phn t ca tp
S
.
A.
10.
B.
0.
C.
16.
D.
8.
Câu 71: Cho s phc
z
tha mãn
(
)
( )
4 1 43z i z zi−= + +
. Môđun của s phc
z
bng
A.
2
. B.
1
. C.
16
. D.
4
.
Câu 72: Cho s phc
z a bi= +
( )
, ,0ab a∈>
tha
(
)
. 12 13 10
zz z z z i +− =
. Tính
S ab= +
.
A.
17S =
. B.
5S =
. C.
7S =
. D.
17S =
.
Câu 73: Cho s phc
0z
tha mãn
( )
2
31
1
iz i z
z
i
−+
=
+
. S phc
13
3
w iz
=
có môđun bằng
A.
26
. B.
26
. C.
3 26
2
. D.
13
.
Câu 74: Cho hai s phc
1
z
,
2
z
tha mãn
1
1z =
,
2
2z =
12
3zz+=
. Giá tr ca
12
zz
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D. mt giá tr khác.
Câu 75: Cho s phc
( )
,z a bi a b R
=+∈
tha mãn
( )
7 20z iz i+ +− + =
3.z
<
Tính
.P ab= +
A.
5
. B.
1
2
. C.
7
. D.
5
2
.
Câu 76: Cho hai s phc
12
,zz
tho mãn:
1
23z =
,
2
32z =
. Hãy tính giá tr biu thc
22
12 12
.
Pzz zz= ++
A.
60.P =
B.
20 3P =
. C.
30 2P =
. D.
50P =
.
Câu 77: Cho s phc
w x yi= +
,
( )
,xy
tha mãn điu kin
2
42ww+=
. Đặt
( )
22
8 12P xy= −+
. Khng định nào dưới đây đúng?
A.
( )
2
2
2Pw=−−
. B.
( )
2
2
2Pw=−−
. C.
( )
2
4Pw=−−
. D.
(
)
2
2
4Pw=−−
.
Câu 78: S phc
( )
,=+∈z a bi a b
tha mãn
( )
8 6 51−+−= +z iz i i
. Tính giá tr biu thc
= +P ab
.
A.
1
=P
. B.
14=P
. C.
2=P
. D.
7=P
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 48
Câu 79: Có bao nhiêu số phc
z
tha mãn
( )
2
2019
1 i i1z zz zz +− + + =
?
A.
4
. B.
2
. C.
1
. D.
3
.
Câu 80: Cho s phc
z a bi= +
,
( )
,
ab
tha mãn
( )
2 10z iz i+ +− + =
1z >
. Tính
P ab= +
.
A.
3P =
. B.
1
P =
. C.
5P =
. D.
7P =
.
Câu 81: Có bao nhiêu số phc
z
tha mãn
23 1z iz i + = +−
( )
2
25z zz+ +=
?
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
4
.
Câu 82: Cho s phc
( )
, ,0
=+ ∈>
z a bi a b a
tha mãn
(
)
. 12 13 10
+−=zz z z z i
. Tính
= +S ab
.
A.
17= S
. B.
5=
S
. C.
7=S
. D.
17=S
.
Câu 83: Cho s phc
z a bi= +
(
)
,
ab
tha mãn
( )( )
1 39z izi i++ + =
và
2z >
. Tính
P ab= +
.
A.
2
. B.
1
. C.
3
. D.
1
.
Câu 84: Cho s phc
1
z
,
2
z
tha mãn
1
3
z
=
,
12
32zz−=
12
6z iz−=
. Biết
21
zz
>
, tính
2
z
.
A.
37
. B.
35
. C.
32
. D.
33
.
Câu 85: Tính tng phn thc ca tt c các s phc
0z
tha mãn
5
7ziz
z

+=



.
A.
3
. B.
2
. C.
3
. D.
2
.
Câu 86: Cho s phc
( )
2019
1zi= +
. Phn thc ca
z
bng
A.
1009
2
. B.
2019
2
. C.
2019
2
. D.
1009
2
.
Câu 87: S phc
( ) ( ) (
)
2 2018
1 1 ... 1zi i i=+++ +++
có phần o bng
A.
1009
21+
. B.
1009
12
. C.
1009
21
. D.
( )
1009
21
−+
.
Câu 88: Gi
T
là tng phn thc, phn o ca s phc
2 3 2018
2 3 ... 2018wi i i i=+ + ++
. Tính giá tr ca T.
A.
0.T
=
B.
1.T
=
C.
2.
T =
D.
2.T =
Câu 89: Cho ba s phc
1
z
,
2
z
,
3
z
tha mãn h
123
123
1
1
zzz
zzz
= = =
++=
. Tính giá tr biu thc
2019 2019 2019
1 23
Szzz=++
.
A.
1S =
. B.
2019
2S =
. C.
1S =
. D.
2019
2S
=
.
Câu 90: Tính
2 3 2019
2 3 ... 2019Si i i i=+ + ++
A.
1010 1010Si=−−
. B.
1010 1010Si=
. C.
2019Si=
. D.
1010 1010Si= +
.
Câu 91: Cho s phc
z
tha mãn
2
10zz++=
. Tính giá tr biu thc
22 2
2 2019
2 2019
11 1
...Pz z z
zz z

= + + + ++ +


.
A.
4038
P =
. B.
2019P =
. C.
673P =
. D.
6073P =
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 49
Câu 92: Khai trin ca biu thc
( )
2018
2
1
xx++
được viết thành
2 4036
0 1 2 4036
...a ax ax a x+ + ++
. Tng
0 2 4 6 4034 4036
...Sa a a a a a= + +− +
bng
A.
1009
2
. B.
1009
2
. C.
0
. D.
1
.
Câu 93: Gi
S
là tp hp các s phc
z
thỏa mãn điều kin
4
zz=
. S phn t ca
S
A.
7
. B.
6
. C.
5
. D.
4
.
Câu 94: Gi
S
là tp hp tt c c giá tr thc ca tham s
m
để tn tại duy nhất s phc
z
tha mãn
.1zz=
3
z im
+=
. Tìm s phn t ca
S
.
A.
2
. B.
4
. C.
1
. D.
3
.
Câu 95: Tìm tt c các giá tr thc ca tham s
m
để s phc
2
2
mi
z
mi
+
=
có phần thực dương
A.
2
m
>
. B.
2
2
m
m
<−
>
. C.
22m−< <
. D.
2m
<−
.
Câu 96: Cho hai s phc
34
zi=
( ) ( )
'2
z m mi m
=++
tha mãn
'z iz=
. Tng tt c các giá
tr ca
m
bng
A.
1
. B.
46
2
. C.
0
. D.
2
.
Câu 97: Biết rng
2
3 3 ( 2)zm m m i= ++
, vi
m
, là mt s thc. Giá tr ca biu thc
2 3 2019
1P zz z z=++ + + +
bng
A. 1. B.
2020
. C.
2019
. D.
0
.
Câu 98: Gi
S
là tp tt c các giá tr thc ca
m
để tn ti 4 s phc
z
tha mãn
2zz zz++−=
( ) ( )
2
zz z z m
+−+−
là s thun o. Tng các phn t ca
S
A.
1
. B.
1
2
. C.
3
2
. D.
3
2
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 1
S phc
z a bi= +
có phn thc là
,a
phn o là
.b
S phc liên hp
z a bi=
và cn nh
2
1.i =
S phc
z a bi= +
có điểm biu din là
( ; ).M ab
S phc liên hp
z a bi=
có điểm biu din
( ; ).Na b
Hai điểm
M
N
đối xng nhau qua trc hoành
.Ox
;zz
=
;zz zz
′′
+=+
;
zz zz
′′
−=
. .;zz zz
′′
=
;
zz
zz

=

′′

22
.zz a b= +
Hai s phc bng nhau khi thc bng thc và o bng o.
Mô đun của s phức
z
là:
22
z ab= +
.zz z z
′′
=
z
z
zz
=
′′
z z zz z z
′′
≤+ +
z z zz z z
′′
≤− +
Phép cộng hai số phc Cho s phc
1
.z a bi= +
2
.z c di= +
. Khi đó
(
) ( )
( ) (
)
12
. . ..z z abi cdi ac bdi
+=+ ++ =+++
Phép tr hai số phc
( ) ( ) ( ) ( )
12
. . ..z z abi cdi ac bdi= + −+ = −+
Phép nhân hai s phc
( ) (
) ( ) ( )
12
. . . . ..z z a b i c d i ac bd ad bc i=+ +=−++
. .( )k z k a bi ka kbi= +=+
Phép chia hai số phức
( ) ( ) ( ) ( )
1 12 12
2
22 22 22 22
2 22
2
.. .
..
.
.
a b i c d i ac bd bc ad i
z zz zz
ac bd bc ad
i
z zz cd cd cd cd
z
+ + +−
+−
= = = = = +
+ + ++
Câu 1: Cho s phc
34zi=
. Tìm phn thc và phn o ca s phc
z
.
CHƯƠNG
IV
S PHC
H THNG BÀI TP TRC NGHIM.
III
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 2
A. Phn thc là
4
và phn o là
3
i
. B. Phn thc là
3
và phn o là
4
.
C. Phn thc là
4
và phn o là
3
. D. Phn thc là
3
và phn o là
4i
.
Lời giải
S phc
34zi=
có phần thc là
3
và phn o là
4
.
Câu 2: Cho s phc
32zi= +
. Tìm phn thc và phn o ca s phc
z
.
A. Phn thc bng
3
và phn o bng
2
.
B. Phn thc bng
3
và phn o bng
2
.
C. Phn thc bng
3
và phn o bng
2i
.
D. Phn thc bng
3
và phn o bng
2
.
Lời giải
32
zi= +
32
zi=
. Nên s phc
z
có phần thc bng
3
và phn o bng
2
.
Câu 3: S phc đi ca
57
zi= +
là?
A.
57zi= +
. B.
57zi
=−−
. C.
57zi=−+
. D.
57zi
−=
.
Lời giải
S phc đi ca
z
z
. Suy ra
57zi=−−
.
Câu 4: S phc liên hp ca s phc
12zi=
A.
12zi= +
. B.
2zi=
. C.
12zi=−+
. D.
12zi=−−
.
Lời giải
S phc liên hp ca s phc
z a bi
= +
là s phc
z a bi=
.
Câu 5: S phc liên hp ca s phc
56zi= +
A.
56zi=−+
. B.
56zi=−−
. C.
65zi=
. D.
56zi=
.
Lời giải
S phc liên hp ca s phc
z x yi= +
,
,
xy
là s phc
z x yi=
. Do đó số phc liên
hp ca s phc
56zi= +
56zi=
.
Câu 6: Cho s phc
23zi
=
. S phc liên hp ca s phc
z
là:
A.
32zi=
. B.
32zi= +
. C.
23zi=−−
. D.
23zi= +
.
Lời giải
S phc liên hp ca s phc
23zi=
23zi= +
.
Câu 7: Đim
M
trong hình v bên là điểm biu din ca s phc
z
. Tìm phn thc và phn o ca s
phc
z
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 3
A. Phn thc là
3
và phn o là
4 i
B. Phn thc là
3
và phn o là
4
C. Phn thc là
4
và phn o là
3i
D. Phn thc là
4
và phn o là
3
Lời giải
Chọn B
Nhắc li:Trên mt phng phc, s phc
= +z x yi
được biu din bởi điểm
(; )Mxy
.
Đim
M
trong h trc
Oxy
có hoành độ
3=
x
và tung độ
4= y
.
Vy s phc
z
có phần thc là
3
và phn o là
4
.
Câu 8: Trong hình v bên, điểm M biu din s phc
z
. S phc
z
là:
A.
12i
. B.
2 i
+
. C.
12i+
. D.
2
i
.
Lời giải
Đim
( )
2;1M
trong h ta đ vuông góc cuả mt phng đưc gọi là điểm biu din s phc
2
zi= +
suy ra
2zi=
.
Câu 9: Đim nào hình v bên biu din s phc
32zi=
?
A.
M
. B.
N
. C.
P
. D.
Q
.
Lời giải
Chọn D
Câu 10: Đim biu din hình hc ca s phc
23zi=
là điểm nào trong các điểm sau đây?
A.
( )
2;3M
. B.
( )
2; 3Q −−
. C.
( )
2; 3N
. D.
( )
2;3P
.
Lời giải
Đim biu din hình hc ca s phc
z a bi= +
( )
,ab
( )
;ab
.
Vi
23zi=
ta có
2
a =
3b
=
. Do đó điểm biu diễn tương ứng là
( )
2; 3N
.
Câu 11: Đim
M
trong hình v bên dưới biu th cho s phc
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 4
A.
3 2.
i+
B.
2 3.i
C.
2 3.
i−+
D.
3 2.i
Lời giải
Đim
( )
2;3M
biu th cho s phc
2 3.zi=−+
Câu 12: Đim
M
trong hình v bên biu din s phc
z
. Chn kết luận đúng về s phc
z
.
A.
35zi
= +
. B.
35zi=−+
. C.
35
zi=
. D.
35zi=−−
.
Lời giải
Ta đ điểm
( )
3;5 3 5 3 5M z iz i =−+ =−−
.
Câu 13: Đim
M
trong hình v là biu din hình hc ca s phức nào dưới đây?
A.
2zi=
. B.
2zi= +
. C.
12zi=−+
. D.
12zi=−−
.
Lời giải
Đim
(2; 1)M
nên nó biểu din cho s phc
2zi=
.
Câu 14: S phức nào sau đây có điểm biu din là
(1; 2)M
?
A.
12i−−
B.
12i+
C.
12i
D.
2 i−+
Lời giải
Chọn C
(1; 2)M
là điểm biu din cho s phức có phần thc bng
1
và phn o bng
2
, tc
12i
.
x
y
2
M
3
O
2
-1
O
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 5
Câu 15: Trong mt phng ta đ
Oxy
, điểm biu din ca hai s phc đi nhau là
A. hai điểm đối xng nhau qua gc ta đ
O
.
B. hai điểm đối xng nhau qua trc hoành.
C. hai điểm đối xng nhau qua trc tung.
D. hai điểm đối xứng nhau qua đường thng
yx=
.
Lời giải
Đim biu din ca s phc
z a bi= +
trong mt phng ta đ
Oxy
là điểm
(
)
;
M ab
Đim biu din ca s phc
z a bi−=−−
trong mt phng ta đ
Oxy
là điểm
( )
;N ab−−
Do đó: điểm biu din ca hai s phc đối nhau là hai điểm đối xng nhau qua gc ta đ
Câu 16: Đim nào trong hình v dưới đây là điểm biu din s phc liên hp ca s phc
32
zi=−+
?
A.
M
. B.
N
. C.
Q
. D.
P
.
Lời giải
S phc liên hp ca s phc
32zi=−+
23
= +zi
. Điểm biu din s phc
z
( )
2 ; 3N
.
Vậy điểm biu din s phc liên hp ca s phc
32
zi=−+
N
.
Câu 17: Trong hình v bên, điểm M biu din s phc
z
. S phc
z
là:
A.
12i
. B.
2 i+
. C.
12i+
. D.
2 i
.
Lời giải
Đim
(
)
2;1M
trong h ta đ vuông góc cuả mt phng đưc gọi là điểm biu din s phc
2zi= +
suy ra
2zi=
.
Câu 18: Trong mt phng ta đ
Oxy
, 3 điểm
,,
ABC
lần lượt là điểm biu din ca ba s phc
12
3 7, 9 5z iz i=−=
3
59zi=−+
. Khi đó, trọng tâm
G
là điểm biu din ca s phc nào
sau đây?
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 6
A.
19zi=
. B.
33
zi= +
. C.
7
3
zi=
. D.
22zi= +
.
Lời giải
Ta có:
( ) ( ) ( )
3;7, 9;5, 5;9ABC −−
Trọng tâm của tam giác
ABC
7
;1
3
G



Vy trng tâm
G
là điểm biu din ca s phc
7
3
zi=
.
Câu 19: Cho hai s phc
1
1zi= +
2
23
zi=
. Tính môđun của s phc
12
zz+
.
A.
12
1zz+=
. B.
12
5zz+=
. C.
12
13zz+=
. D.
12
5zz+=
.
Lời giải
Ta có
12 12
1 23 32 32 13zz i i i zz i+ =++ = + = =
.
Câu 20: Gi
1
z
,
2
z
ln lưt có đim biu din là
M
N
trên mt phng phc hình bên. Tính
12
zz+
.
A.
2 29
. B.
20
. C.
25
. D.
116
.
Lời giải
T hình bên ta có tọa đ
( )
3;2M
biu din s phc
1
32zi= +
.
Ta đ
( )
1; 4N
biu din
2
14zi=
.
Ta có
12
42zz i+=
( ) ( )
22
12
4 2 25zz+ = +− =
.
Câu 21: Tìm s phc liên hp ca s phc
( )
31= +zii
.
A.
3
= +zi
. B.
3=−−zi
. C.
3
= zi
. D.
3=−+zi
.
Lời giải
Chọn B
( )
31 3zii i= + =−+
nên suy ra
3zi=−−
.
x
y
-4
3
2
O
1
M
N
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 7
Câu 22: Cho s phc
z
tha mãn
(
)
12 43zi i+=
. Tìm s phc liên hp
z
ca
z
.
A.
2 11
55
zi
=
. B.
2 11
zi
55
=
. C.
2 11
z
55
=i
+
. D.
2 11
z
55
=i+
.
Lời giải
(
)
12 43zi i+=
nên
43
12
i
z=
i
+
( )( )
22
43 12
12
ii−−
=
+
2 11
5
i−−
=
2 11
55
=i
.
Vy nên
2 11
z
55
=i
+
.
Câu 23: Cho s phc
z
tha mãn
(
)
1 35
zi i+=
. Tính môđun của
z
A.
17z =
. B.
16z =
. C.
17z
=
. D.
4z =
.
Lời giải
(
)
35
1 35 14
1
i
z i iz i
i
+ = = =−−
+
(
)
( )
22
1 4 17z = +− =
.
Câu 24: Cho s phc
( )
2
12
zi=
. Tính mô đun của s phc
1
z
.
A.
1
5
. B.
5
. C.
1
25
. D.
1
5
.
Lời giải
Ta có
( )
2
2
12 14 4 34z i ii i= = + =−−
1 1 34
3 4 25 25
i
zi
⇒= = +
−−
.
Do đó
22
1 3 41
25 25 5z

=−+ =


.
Câu 25: Cho s phc
(
) ( )
2
1 12zi i=−+
. S phc
z
có phần o là:
A.
2
. B.
2
. C.
4
. D.
2i
.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
(
) ( )
( )
( )
( )
2
22
1 12 12 12 212 2 4 42
z i i ii iiiii i= +=+ += +==
.
Suy ra s phc
z
có phần o là:
2
.
Câu 26: Cho s phc
1
1
3
zi=
. Tìm s phc
w3iz z= +
.
A.
8
w
3
=
. B.
8
w
3
i= +
. C.
10
w
3
=
. D.
10
w
3
i= +
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
11
11
33
z iz i= ⇒=+
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 8
Khi đó:
1 18
w 3 (1 ) 3(1 )
3 33
iz z i i i=+=+ + =
Câu 27: Cho s phc
2zi=−+
. Điểm nào dưới đây biu din ca s phc
w iz=
trên mt phng to
độ?
A.
( )
1; 2 .M −−
B.
( )
2;1 .P
C.
( )
2;1 .N
D.
( )
1; 2 .Q
Lời giải
Chọn A
Ta có:
( )
2 12w iz i i i= = + =−−
.
Vậy điểm biu din s phc
w iz=
là điểm
( )
1; 2 .M −−
Câu 28: Cho s phc
12zi= +
. Tìm tng phn thc và phn o ca s phc
2w zz= +
.
A.
3
B.
5
C.
1
D.
2
Lời giải
Chọn B
Ta có
12 12
z iz i=+ ⇒=
2 2(1 2 ) 1 2 3 2
w zz i i i
= + = + +− = +
Vy tng phn thc và phn o ca s phc
w
5
Câu 29: Cho s phc
z
khác
0
. Khẳng định nào sau đâysai?
A.
z
z
là s thun o. B.
.zz
là s thc. C.
zz+
là s thc. D.
zz
là s o.
Lời giải
Đặt
( )
11
, ,z a bi a b z a bi=+ ⇒=
.
( )
( )( )
( )
2
22
22
22 22 22
2.
2
.
a b ab i
a bi
z a bi a b ab
i
z a bi a bi a bi a b a b a b
−+
+
+−
= = = = +
−+ + + +
ch là s thun o
ab⇔=±
.
Câu 30: Cho hai s phc
1
12zi= +
2
34zi
=
. S phc
1 2 12
23z z zz+−
là s phức nào sau đây?
A.
10i
. B.
10i
. C.
11 8i+
. D.
11 10i
.
Lời giải
Ta có
1 2 12
23z z zz+−
( ) (
) ( )( )
212 334 12 34i i ii= + + −+
(
)
11 8 11 2 10i ii=−− + =
.
Câu 31: Tìm ta đ đim
M
là đim biu din s phc
z
biết
z
thỏa mãn phương trình
( )
1 35iz i+=
.
A.
( )
1;4M
. B.
( )
1; 4M −−
. C.
( )
1;4M
. D.
( )
1; 4M
.
Lời giải
Ta có
( )
1 35iz i+=
35
1
i
z
i
⇔=
+
14zi =−−
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 9
Suy ra
14
zi
=−+
. Vy
(
)
1;4M
.
Câu 32: Cho s phc
z
tha mãn
( )
1 3 5 7.iz i+ −=
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
13 4
55
zi=
. B.
13 4
55
zi=−+
. C.
13 4
55
zi=−−
. D.
13 4
55
zi= +
.
Lời giải
(
)
5 7 13 4 13 4
13 5 7 .
13 5 5 5 5
i
iz i z z i z i
i
+
+ = ⇔= ⇔= ⇒= +
+
Câu 33: Cho s phc
( )( )
23 4
32
ii
z
i
−−
=
+
. Tìm ta đ điểm biu din ca s phc
z
trên mt phng
Oxy
.
A.
( )
1; 4
. B.
( )
1; 4
. C.
( )
1; 4−−
. D.
( )
1; 4
.
Lời giải
Ta có
( )(
)
23 4
32
ii
z
i
−−
=
+
( ) ( )
8 3 2 12
32
i
i
−−+
=
+
5 14
32
i
i
=
+
( )( )
( )( )
5 14 3 2
32 32
ii
ii
−−
=
+−
( ) ( )
15 28 10 42
94
i−+
=
+
13 52
13
i−−
=
14i=−−
.
Vậy điểm biu din s phc
z
trên mt phng
Oxy
( )
1; 4M
−−
.
Câu 34: Cho
12
2 4, 3 5z iz i=+=
. Xác định phn thc ca
2
12
.
w zz=
A.
120
. B.
32
. C.
88
. D.
152
.
Lời giải
Ta có
2
22
3 5 16 30z iz i=+⇒ =+
( )( )
2
12
. 2 4 16 30 152 4w zz i i i
⇒= = + + =
.
Vy phn thc ca
w
152
.
Câu 35: Cho s phc z thỏa mãn phương trình
2
(3 2 ) (2 ) 4iz i i+ +− =+
. Tìm ta đ điểm M biu din s
phc z.
A.
( )
1;1M
B.
( )
1; 1M −−
C.
( )
1;1M
D.
( )
1; 1M
Lời giải
Chọn C
Ta có
( )
2
42
1
32
ii
zi
i
+−
= = +
+
nên
( )
1;1M
.
Câu 36: Cho s phc
z
tha mãn
( )
2
1 3 43iz i−=
. Môđun của
z
bng
A.
5
4
B.
5
2
C.
2
5
D.
4
5
Lời giải
Chọn A
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 10
Ta có
( )
2
43
13
i
z
i
=
2
43
5
4
13
i
z
i
⇒= =
.
Câu 37: Cho
3 i
z
xi
+
=
+
. Tng phn thc và phn o ca
z
A.
24
2
x
. B.
42
2
x +
. C.
2
42
1
x
x
+
. D.
2
26
1
x
x
+
+
.
Lời giải
Ta có:
( )( )
2 22
3
3 3 3 1 3 1 ( 3)
( )( ) 1 1 1
ixi
i x i xi x x i
z
xi xixi x x x
+−
+ −++ +
= = = = +
+ +− + + +
.
Suy ra tng phn thc và phn o ca s phc
z
là:
22 2
31 342
11 1
xx x
xx x
+−
+=
++ +
.
Câu 38: Tìm hai s thc
x
y
tha mãn
( ) ( )
2 3 13 16x yi i i + =−+
vi
i
là đơn vị o.
A.
1x =
;
3
y =
. B.
1x =
;
3y =
. C.
1x =
;
1y =
. D.
1x =
;
1y
=
.
Lời giải
Ta có:
( ) ( )
2 3 13 16x yi i i + =−+
( )
2 1 3 3 16x yi i + + =−+
.
Suy ra
21 1
3 36
x
y
+=
−=
1
3
x
y
=
=
.
Câu 39: Tìm hai s thc
x
y
tha mãn
( ) ( )
23 3 54x yi i x i +−=
vi
i
là đơn vị o.
A.
1, 1xy=−=
B.
1, 1xy
= =
C.
1, 1xy=−=
D.
1, 1xy= =
Lời giải
Chọn B
T
( ) ( ) ( ) ( )
23 3 54 23 31 54xyi i xi x y i xi +−= −⇔ +− + =
2 35 1
3 14 1
xx
yy
+= =

⇔⇔

+= =

Vy
1, 1xy= =
.
Câu 40: Tìm các s thc
x
y
tha mãn
( ) ( ) ( ) ( )
32 21 1 5 + + = +− x y ix y i
, vi
i
là đơn vị o.
A.
3
,2
2
xy= =
. B.
34
,
23
xy=−=
. C.
4
1,
3
xy= =
. D.
34
,
23
xy= =
.
Lời giải
Ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
32 21 1 5 32 21 1 5x y ix y i x y ix yi + + = +− + + = ++
3
32 1
2
4
2 15
3
x
xx
yy
y
=
−=+
⇔⇔

+=
=
.
Câu 41: Cho s phc
( )
,z a bi a b=+∈
tha mãn
( )
1 2 32iz z i+ +=+
. Tính
P ab= +
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 11
A.
1P =
B.
1
2
P =
C.
1
2
P
=
D.
1P =
Lời giải
Ta có
( )
( )( ) ( )
( )
1 2 32 1 2 32
3 32
1
33
2
23
2
i z z i i a bi a bi i
a b a bi i
a
ab
ab
b
+ + =+⇔+ + + =+
−+ + =+
=
−=
⇔⇔

−=
=
Vy
1P ab=+=
.
Câu 42: Cho s phc
z
tha mãn
( )
23 43 134iz i i+ +− = +
. Môđun của
z
bng
A.
2
. B.
4
. C.
22
. D.
10
.
Lời giải
( )
2 3 4 3 13 4iz i i+ +− = +
(
)
97
23 97
23
i
iz i z
i
+
+ =+ ⇔=
+
( )( )
97 23
49
ii
z
+−
⇔=
+
39 13
3
13
i
z zi
⇔= ⇔=
.
Vy
9 1 10z = +=
.
Câu 43: Cho s phc
( )
,z x yi x y=+∈
tha mãn
( )
12 34iz z i+ +=
. Tính giá tr ca biu thc
32Sxy=
.
A.
12
S =
B.
11S =
C.
13S =
D.
10S =
Lời giải
(
)
2
22 3
1 2 3 4 13
7
24
3
x
xy
iz z i S
x
y
=
+=
+ += =

=
=
.
Câu 44: Tng phn thc và phn o ca s phc
z
tho mãn
( )
12iz i z i+− =
bng
A.
6
B.
2
C.
2
D.
6
Lời giải
Chọn A
Gi s s phc
z
có dạng:
,,z x yi x y=+∈
.
Ta có:
( )
12iz i z i+− =
( ) ( )( )
12i x yi i x yi i + +− =
22x y yi i⇔− =
.
20 4
22
xy x
yy
−= =

⇔⇔

−= =

6xy⇒+=
.
Tng phn thc và phn o ca s phc
z
bng
6
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 12
Câu 45: Cho
,ab
và tha mãn
( )
2 13a bi i a i+ −=+
, vi
i
là đơn vị o. Giá tr
ab
bng
A.
4
B.
10
C.
4
D.
10
Lời giải
Chọn D
Ta có
( )
21 3
2 13 2 13
37
ba a
a bi i a i b a ai i
ab
−− = =

+ =+⇔ +=+⇔

= =

Vy
10
ab
−=
.
Câu 46: Cho s phc
(, )z a bi a b=+∈
tho mãn
(1 ) 2 3 2iz z i++=+
. Tính
P ab= +
A.
1P =
. B.
1
2
P =
. C.
1
2
P =
. D.
1
P =
Lời giải
(1 ) 2 32 (1 )( )2( )32 (3 )( ) 32iz z i iabi abi i ab abi i+ + =+⇔+ + + =+⇔ + =+
1
33
2
23
2
a
ab
ab
b
=
−=
⇔⇔

−=
=
. Suy ra:
1P ab=+=
.
Câu 47: Tìm s phc
z
biết
4 5 27 7
zz i
+=
.
A.
37zi=−+
. B.
37zi=−−
. C.
37zi=
. D.
37zi= +
.
Lời giải
Gi s
(
)
,z a bi a b R
=+∈
, khi đó
4( )5( )277 9 277
a bi a bi i a bi i
+ + = −⇔ =
9 27 3
37
77
aa
zi
bb
= =

⇒=+

−= =

.
Câu 48: Cho s phc
z
tha mãn
( )
( )
2
32 2 4iz i i+ +− =+
. Mô đun của s phc
( )
1wz z= +
bng.
A.
2
. B.
10
. C.
5
. D.
4
.
Lời giải
Ta có:
( ) ( ) (
)
2
32 2 4 32 15 1iz i i iz i z i+ + = +⇔ + =+ =+
.
Do đó:
( ) ( )( )
1 1 1 1 21 3w z z zz z i i i i i= + = + = + +−= +−=
.
2
3 1 10w = +=
.
Câu 49: Tìm các s thc
,ab
tha mãn
( ) ( ) ( )
2 42 2a b ab i ab bi + ++ = + +
vi
i
là đơn vị o.
A.
3, 1ab=−=
. B.
3, 1
ab= =
. C.
3, 1
ab=−=
. D.
3, 1ab= =
.
Lời giải
Ta có:
( ) ( ) ( )
2 42 2a b ab i ab bi + ++ = + +
.
22 30 3
42 4 1
a b ab a b a
ab b ab b
=+ += =

⇔⇔

++= = =

.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 13
Câu 50: Cho hai s phc
1
12zm i= +−
( )
1
21z mi=−+
. Có bao nhiêu giá trị thc ca tham s
m
để
12
. 88zz i−+
là mt s thc.
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Lời giải
Ta có:
( ) ( )
( )
2
12
. 88 12 2 1 88 8 2 3
zz i m i m i i m m i
−+ = + + −+ =+ +


.
Để
12
.8zz i−+
là mt s thc thì
2
1
2 30
3
m
mm
m
=
+=
=
.
Vậy có hai giá trị ca tham s
m
để
12
.8zz i
−+
là mt s thc.
Câu 51: Tìm mô đun của s phc
z
biết
(
)(
)
( )
( )
2 11 11 2 2
z iz i i ++ + =
.
A.
1
9
B.
2
3
C.
2
9
D.
1
3
Lời giải
Chọn B
Gi s
z a bi z a bi
=+ ⇒=−
Do đó
( )( )
( )
( )
2 11 11 2 2z iz i i ++ + =
( )( ) ( )( )
2 2 11 11 2 2a bi i a bi i i + ++ + =
( ) ( ) ( ) ( )
2 21 2 21 1 1 22a b a b i ab ab i i + + + −+ ++ =
( ) ( )
( ) ( )
1
2 21 12
332
3
01
2 21 1 2
3
a
a b ab
ab
ab
a b ab
b
=
+ −+ =
−=

⇔⇔

+=
+ ++ =
=
Khi đó
22
2
3
z ab= +=
.
Câu 52: Tính mô đun của s phc
z
tha mãn
( )
( )
12 1 4 0z iz i i+ + + −=
vi
i
là đơn vị o.
A.
6
. B.
5
. C.
2
. D.
3
.
Lời giải
Gi s:
z x yi= +
,
,xy
.
Ta có:
(
) ( )
12 1 4 0z iz i i+ + + −=
( )( ) ( )( )
12 1 4 0x yi i x yi i i+ + + + −=
( ) ( )
234 1 0xy x i ++ =
2 3 40
10
xy
x
+=
−=
2
1
y
x
=
=
12 5z iz 
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 14
Câu 53: Tìm s phc tha mãn .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gi s . Ta có:
.
Vy .
Câu 54: Có bao nhiêu số phc
z
thỏa mãn điều kin
.2zz z+=
2z =
?
A.
2
. B.
3
. C.
1
. D.
4
.
Lời giải
Đặt
z x yi= +
(
x
;
y
;
2
1i =
).
Theo bài ra ta có:
22
22
22
2
42
4
2
x y x yi
x yi
xy
xy
+ ++ =
++ =

+=
+=
( )
2
2
22
44
4
xy
xy
+ +=
+=
2
0
x
y
=
=
Vậy có
1
s phc tha yêu cu bài toán là
2z =
.
Câu 55: Có bao nhiêu số phc
z
thỏa mãn điều kin
5 56zi zi+ +− =
, biết
z
có môđun bằng
5
?
A.
3
B.
4
C.
2
D.
0
Lời giải
Chọn B
Gi
( )
2
,,1z a bi a b i=+ ∈=
Ta có
( )
( )
22
22
22
2
22
22
2
5 56
5 56
5
5
4
16
36 16 144
5
5
93
5
5
5
zi zi
ab ab
z
ab
a
a
ab
ab
bb
+ +− =
++ + +− =



=
+=
= ±
=
+=

⇔⇔

+=

= = ±
Vậy có
4
s phc tha mãn.
Câu 56: Cho hai s phc
1
z
,
2
z
tha mãn c điu kin
12
2zz= =
12
24zz+=
. Giá tr ca
12
2zz
bng
A.
26
. B.
6
. C.
36
. D.
8
.
z
( )
23 19z iz i−+ =
2zi=−+
2zi=−−
2zi=
2 i+
z a bi= +
( )
,ab
( )
23 19z iz i−+ =
( )( )
23 19a bi i a bi i⇔+ + =
( )
3 3 3 19a b a bi i⇔− + + =
31
33 9
ab
ab
−− =
−+ =
2
1
a
b
=
=
2zi=
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 15
Lời giải
Gi s
1
z a bi= +
, (
a
,
b
);
2
z c di= +
, (
c
,
d
).
Theo gi thiết ta có:
1
2
12
2
2
24
z
z
zz
=
=
+=
( ) ( )
22
22
22
4
4
2 2 16
ab
cd
ac bd
+=
+=
+ ++ =
( )
(
)
( )
( ) ( )
22
22
22 2 2
41
42
4 4 16 3
ab
cd
a b c d ac bd
+=
+=
++ + + + =
Thay
(
)
1
,
( )
2
vào
( )
3
ta được
1ac bd
+=
( )
4
.
Ta có
12
2zz−=
( ) ( )
22
22ac bd−+
( ) ( )
( )
22 2 2
44a b c d ac bd= +++ +
( )
5
.
Thay
(
)
1
,
( )
2
,
( )
4
vào
( )
5
ta có
12
2 26zz−=
.
Câu 57: Cho s phc
z
phần thc là s nguyên và
z
tha mãn
2 73
z z iz =−+ +
. Môđun của s
phc
2
1w zz=−+
bng
A.
445w =
. B.
425w =
. C.
37w =
. D.
457w =
Lời giải
Đặt
( )
,z a bi a b=+ ∈∈
.
Khi đó:
2 73z z iz =−+ +
22
2 2 73a b a bi i a bi

(
)
( )
22
37 3 0ab a b i+++− =
3
5
7
()
4
3
3
4
b
a
a
b
a
.
Do
a
nên
4 4 3 4 21 457a z iw i w=⇒=+ =+ =
Câu 58: Cho s phc
z a bi= +
(
)
,ab
tho n
( )
4 2 51z iz i i +− = +
. Tính giá tr ca biu
thc
T ab= +
.
A.
2T =
. B.
3T =
. C.
1T =
. D.
1T =
.
Lời giải
( ) ( )
4 2 51 4 2 51z i z i i a bi i a bi i i + = +⇔+− ++− = +
( )
( ) ( )
4 51
2 52
a bi
ab i
−+ =
+− =
T
( )
1
( )
2
, ta có
( ) ( ) ( )
22
22
4 2 4 2 23a bi a b i a b a b b a+=+− +=+− =
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 16
Kết hp vi
( )
1
, ta được:
( )
2
2
2
45
1
23
a
ab
b
ba
=
+=

=
=
Vy
3T ab=+=
.
Câu 59: Có bao nhiêu số phc
z
tha mãn
2
3
20z iz+=
.
A.
4
B.
3
C.
2
D.
6
Lời giải
Chọn A
( )
(
)
2
33 2
2
0
2 0 2z 0 2 0
202
z
z i z z iz z z iz
z iz
=
+ =⇔+ = + =
+=
Gi
z x yi z x yi=+ ⇒=
vi
,xy
thay vào
( )
2
có:
(
)
( )
22
2
22
22
2
0
20
20
20
2 2x 1 0
0
2 10
1
1
30
x
xy y
yy
xy y
xy y y i
x
xy
y
y
x
=
−+ =
−+ =
−+ =

+++=⇔⇔⇔
=

+=
=
=

−=
0
0
2
3
1
3
1
xy
x
y
x
y
x
y
= =
=
=
=
=
=
=
0
2
3
3
z
zi
zi
zi
=
=
=−−
=
Vậy phương trình có 4 nghiệm
Câu 60: Có bao nhiêu số phc
z
tha
12 34z iz i+− = ++
2zi
zi
+
là mt s thun o
A.
0
. B. Vô s. C.
1
. D.
2
.
Lời giải
Đặt
( ,
)z x yi x y=+∈
Theo bài ra ta có
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2222
1 2 34
1234 5
x y i x yi
x y x y yx
++ = ++
⇔+ +− =+ +− =+
S phc
(
)
(
)
( )( ) ( )
( )
2
2
2
2 2 1 23
2
w
1
1
x y ix y y xy i
zi
x yi
zi
xy
+ −+
= = =
+−
+
+−
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 17
w
là mt s o khi và ch khi
(
)(
)
( )
2
2
2
12
2 10
7
10
23
5
7
xy y
x
xy
y
yx
−=
=

+− >


=
= +
Vy
12 23
77
zi=−+
.Vy ch
1
s phc
z
tha mãn.
Câu 61: Có bao nhiêu số phc
z
tha mãn
(2 ) 10zi−+=
. 25zz=
.
A.
2
. B.
3
. C.
1
. D.
4
.
Lời giải
Gi s phc cn tìm là
( )
,z a bi a b=+∈
.
Ta có:
2
22
. 25 (1)
zz z a b
= =+=
.
Li có:
(2 ) 10 2 ( 1) 10z i a bi−+= +− =
22
22
22
( 2) ( 1) 10
( 2) ( 1) 10
4 2 5 10 (2)
ab
ab
ab ab
+− =
+− =
+ +=
Thay vào ta được:
25 4 2 5 10 2 10ab b a
+= = +
.
Nên
22 2 2
25 ( 2 10) 25
ab a a
+ = +− + =
2
50
5 40 75 0
34
ab
aa
ab
= =

+=

= =

Vy Vy có 2 số phc
z
tho mãn là
5z =
34zi= +
.
Câu 62: Có bao nhiêu số phc
z
tha mãn
( )
2
2019
11z z zi z z i +− + + =
?
A. 4 B. C. 1 D. 3
Lời giải
Chọn D
Gi
z a bi= +
;
( )
,ab
z a bi⇒=−
.
Ta có:
( )
22
2
2
1 11z a bi a b−=+−=− +
,
(
)
2
22
z z i a bi a bi i b i b i = + −+ = =
,
2019
ii=
,
( )
( )
2019
2z z i i a bi a bi ai+ = + +− =
.
Suy ra phương trình đã cho tương đương với:
(
)
2
2
1 2 21a b b i ai
++ =
( )
2
2
22
2
0
0
0
20
1 1 2 20
1
1
1
2 20
1
1
=
=
=
+=
+= =
=

⇔=

=
=
−=
=

=
=
=
a
b
b
a ab
a b bb
a
b
b
ab
ba
ab
ab
a
b
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 18
Vậy có 3 số phc
z
tha mãn.
Câu 63: Có bao nhiêu số phc
z
tha mãn
2
zz zzz
=++−
2
z
là s thun o
A.
4
B.
2
C.
3
D.
5
Lời giải
Gi s phc
z a bi
= +
,
,
ab
.
Ta có
2
2
2
22zz zz a az b bi
=++− + = +
( )
22
2 21ab a b+= +
.
Li có
( )
22
2
2
2a bi az b abi=+ =−+
là s thun o, suy ra
22
0
ab a b =⇔=±
Trưng hp 1:
ab=
thay vào
( )
1
ta được:
2
0
0
24
2
2
a
a
aa
a
a
=
=
⇔=⇔
= ±
=
0
2
ab
ab
= =
= = ±
.
Trưng hp 2:
ab=
thay vào
( )
1
ta được:
2
0
0
24
2
2
a
a
aa
a
a
=
=
⇔=⇔
= ±
=
0
2
b
b
=
=
.
Vậy có
5
s phc tha mãn bài toán là
0z =
,
22zi= ±
,
22zi=−±
.
Câu 64: Có bao nhiêu số phc
z
tha mãn
2
3
20z iz+=
.
A.
4
B.
3
C.
2
D.
6
Lời giải
Chọn A
( )
( )
2
33 2
2
0
2 0 2z 0 2 0
202
z
z i z z iz z z iz
z iz
=
+ =⇔+ = + =
+=
Gi
z x yi z x yi=+ ⇒=
vi
,xy
thay vào
(
)
2
có:
( )
( )
22
2
22
22
2
0
20
20
20
2 2x 1 0
0
2 10
1
1
30
x
xy y
yy
xy y
xy y y i
x
xy
y
y
x
=
−+ =
−+ =
−+ =

+++=⇔⇔⇔
=

+=
=
=

−=
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 19
0
0
2
3
1
3
1
xy
x
y
x
y
x
y
= =
=
=
=
=
=
=
0
2
3
3
z
zi
zi
zi
=
=
=−−
=
Vậy phương trình có 4 nghiệm
Câu 65: Cho s phc
z a bi= +
( )
,ab
tha mãn
31zz−=
(
)
(
)
2z zi+−
là s thc. Tính
ab+
.
A.
2
. B. 0. C. 2. D. 4.
Lời giải
Ta có
z a bi= +
( )
,ab
.
+)
31
zz−=
31a bi a bi + = −+
( ) ( )
22
22
31a ba b += +
( ) ( )
22
22
31a ba b⇔− +=−+
4 80
a⇔− + =
2a⇔=
.
+)
( )
( )
( )( ) ( ) ( )
2 2 21z z i a bi a bi i a bi a b i+ −= ++ −= + + +


( ) ( ) ( )
2 1 22aa bb a b i= + + +− + +
.
( )
( )
2
z zi+−
là s thc
2 20ab+ +=
.
Thay
2a =
tìm đưc
2b
=
. Vy
0ab+=
.
Câu 66: Cho s phc
z a bi= +
( )
, ab
tha mãn
13 0
z i zi++ =
. Tính
23S ab= +
.
A.
6S =
. B.
6S =
. C.
5S =
. D.
5S
=
.
Lời giải
Ta có
13 0z i zi++ =
( )
(
)
22
13 0a b a bi + + +− + =
.
22
10
30
a
b ab
+=
+− + =
( )
2
1
1 3*
a
bb
=
+=+
.
( )
( )
2
2
3
*
13
b
bb
≥−
+=+
3
4
3
b
b
≥−
=
4
3
b
⇔=
.
Vy
1
4
3
a
b
=
=
23 6S ab⇒= + =
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 20
Câu 67: Cho ba s phc
123
;;zz z
tha mãn
123
123
0
22
3
zzz
zzz
++=
= = =
. Tính
2 22
12 23 31
Azz z z z z=+ ++ ++
A.
22
3
. B.
22
. C.
8
3
. D.
3
8
.
Lời giải
12 3
123 13 2
32 1
0
zz z
zzz zz z
zz z
=
=
=
+
++= +
+
.
2
2 2 2 2 2 2222
12 23 31 1 2 3 1 2 3
22 8
3.
33
Azzzzzz z z zzzz

= + + + + + +− +− = + + = =



=
.
Câu 68: Cho s phc
( )
,z a bi a b=+∈
tha mãn
25 5zi++ =
. 82zz=
. Tính giá tr ca biu thc
P ab= +
.
A.
10
. B.
8
. C.
35
. D.
7
.
Lời giải
Theo gi thiết ta có
(
) (
)
( )
( )
22
22
22
5 43
1
2 55
2
82
82 2
b
a
ab
ab
ab
−−
=
+ ++ =



+=
+=
Thay
( )
1
vào
( )
2
ta được
2
9
29 430 1521 0
169
29
b
bb
b
=
++=
=
b
nên
91ba=−⇒ =
. Do đó
8P ab=+=
.
Câu 69: Cho
M
là tp hp các s phc
z
tha
22z i iz−= +
. Gi
1
z
,
2
z
là hai s phc thuc tp hp
M
sao cho
12
1zz−=
. Tính giá tr ca biu thc
12
Pzz= +
.
A.
3P =
. B.
3
2
P =
. C.
2P =
. D.
2P =
.
Lời giải
Đặt
z x yi= +
vi
x
,
y
.
Ta có:
( )
22
2 2 2 21 2 1z i iz x y i y xi x y−= + + = + + =
.
Suy ra tp hp các điểm biu din s phc
z
trên mt phng phc là đưng tròn
( )
;1O
12
1zz⇒==
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 21
Ta có:
( )
2 2 22
2
12 12 1 2
2 33zz zz z z P P+ + = + =⇒=
.
Câu 70: Gi
S
là tp hp các s thc
m
sao cho vi mi
mS
đúng một s phc tha mãn
6zm−=
4
z
z
là s thun o. Tính tng ca các phn t ca tp
S
.
A.
10.
B.
0.
C.
16.
D.
8.
Lời giải
Cách 1:
Gi
z x iy= +
vi
,xy
ta có
( )( )
( )
( )
( )
2
22
22
4 44
44
44
x iy x iy x x y iy
z x iy
z x iy
xy xy
+ −− +
+
= = =
−+
−+ −+
là s thun o khi
(
) (
)
2
22
402 4xx y x y+= +=
( )
2
2
6 36zm xm y
−= +=
Ta được h phương trình
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
36
4 2 36
36
42
36
42
24
42
42
m
x
mx m
xm y
m
m
yx
xy
y
m
=
−=
+=

⇔⇔


=−−
+=

=−−


Ycbt
2
2
36
4 20
42
m
m

⇔− =


2
36
22
42
m
m
⇔=
hoc
2
36
22
42
m
m
−=
10m⇔=
hoc
2
m =
hoc
6m = ±
Vy tng là
102668−+−=
.
Câu 71: Cho s phc
z
tha mãn
(
) ( )
4 1 43z i z zi−= + +
. Môđun của s phc
z
bng
A.
2
. B.
1
. C.
16
. D.
4
.
Lời giải
Gi s
(
)
,z a bi a b=+∈
.
Ta có:
( )
(
)
4 1 43z i z zi−= + +
( ) ( )
13 44 1z i i iz + −+ = +
( )
( ) ( )
22
13 44 1a bi i i i a b + + −+ = + +
( )
22 22
343 4ab ab i ab abi −+ ++ = + + +
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 22
22
22
34
34
ab ab
ab a b
−= +
++= +
22
34
24
ab ab
ab
−= +
=−−
2
5 8 5 16 16
24
b bb
ab
−= + +
=−−
2
5 80
20 64 48 0
24
b
bb
ab
−≥
+ +=
=−−
( )
( )
8
5
2
6
5
24
b
bN
bL
ab
≤−
=
=
=−−
2
0
b
a
=
=
.
Vy
2z =
.
Câu 72: Cho s phc
z a bi= +
( )
, ,0ab a∈>
tha
( )
. 12 13 10zz z z z i +−=
. Tính
S ab= +
.
A.
17S =
. B.
5S =
. C.
7S =
. D.
17S =
.
Lời giải
Ta có:
( )
. 12 13 10zz z z z i +− =
22 22
12 2 13 10ab ab bi i+− ++ =−
22 22
12 13
2 10
ab ab
b
+− +=
=
22
25 12 25 13
5
aa
b
+− + =
=
( )
2
2
25 13
25 1
5
a
a VN
b
+=
+=
=
12
5
a
b
= ±
=
12
5
a
b
=
=
, vì
0a >
.
Vậy
7S ab
=+=
.
Câu 73: Cho s phc
0z
tha mãn
( )
2
31
1
iz i z
z
i
−+
=
+
. S phc
13
3
w iz=
có môđun bằng
A.
26
. B.
26
. C.
3 26
2
. D.
13
.
Lời giải
Gi
( )
,z a bi a b=+∈
. Suy ra
z a bi=
.
Ta có
( ) (
) ( )( )
2
22
31 31
11
iz i z i a bi i a bi
z ab
ii
−+ +−+
=⇔=+
++
222 2
33ai b ai b a bi a b a i b i −− + = + + +
( ) ( )
22 22
2 40ab abiab ba ++ + +++=
22
22
20
40
a b ab
abab
+ + −=
+ ++ =
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 23
2
0, 0 0
26 9 0
9 45 45 9
,
5
26 26 26 26
ba z
bb
ba z i
ab
= = =

+=

⇔⇔
−−

= = =
=

45 9
26 26
zi
⇒=
.
Vi
45 9 15 3 3 26
ww
26 26 2 2 2
zi i
= ⇒= =
.
Câu 74: Cho hai s phc
1
z
,
2
z
tha mãn
1
1z =
,
2
2z =
12
3zz+=
. Giá tr ca
12
zz
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D. mt giá tr khác.
Lời giải
Gi s
( )
1 1 1 11
,,z a bi a b
=+∈
,
( )
2 2 2 22
,,
z a bi a b=+∈
.
Theo bài ra ta có:
1
2
12
1
2
3
z
z
zz
=
=
+=
( ) ( )
22
11
22
22
22
12 12
1
4
9
ab
ab
aa bb
+=
+=
+ ++ =
22
11
22
22
12 12
1
4
224
ab
ab
aa bb
+=
+=
+=
.
Khi đó, ta có:
(
) ( )
22
12 1 2 12
z z aa bb
−= +
( ) (
)
( )
22 22
11 22 12 12
22ab ab aa bb= +++− +
1=
.
Vy
12
1
zz−=
.
Câu 75: Cho s phc
( )
,z a bi a b R
=+∈
tha mãn
( )
7 20z iz i+ +− + =
3.z <
Tính
.P ab= +
A.
5
. B.
1
2
. C.
7
. D.
5
2
.
Lời giải
( )
22 22
7 12 0a b i ab abi++ + + + =
( )
( )
22
22
72 1
1 2
a ab
ab b
+= +
+=+
( )
72 1 2 5a b ab⇒+= + =
thế vào.
( )
2
2
2
1
1
4
25 1
4 22 24 0
3
2
b
b
b
b bb
bb
b
≥−
≥−
=
+ =+⇔

+=
=
TH1:
4 3 5 3.ba z=⇒= =>
TH2:
35
2 3.
22
ba z= =−⇒ = <
.
1
.
2
P ab=+=
Câu 76: Cho hai s phc
12
,zz
tho mãn:
1
23z =
,
2
32z =
. Hãy tính giá tr biu thc
22
12 12
.Pzz zz= ++
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 24
A.
60.P =
B.
20 3P =
. C.
30 2P =
. D.
50
P
=
.
Lời giải
Đặt
( )
12
, ,,,z a bi z c di a b c d=+=+
Theo đề:
22
1
22
2
23
12
18
32
z
ab
cd
z
=
+=


+=
=
Vy
( ) ( )
( )
(
)
( )
22
12 12
2 22 2
222 2
2 60
Pzz zz
ac bd ac bd a b c d
= ++
= +− ++ ++ = +++ =
Câu 77: Cho s phc
w x yi= +
,
( )
,xy
tha mãn điu kin
2
42ww+=
. Đặt
( )
22
8 12P xy= −+
. Khng định nào dưới đây đúng?
A.
(
)
2
2
2Pw=−−
. B.
( )
2
2
2Pw=−−
. C.
( )
2
4Pw=−−
. D.
(
)
2
2
4Pw=−−
.
Lời giải
Ta có
2
4w +
( )
2
4x yi=++
22
24x y xyi=−+ +
( )
2
2 2 2 22
4 44w x y xy += + +
.
Do đó
2
42ww
+=
( )
2
2 2 22 2 2
44 2x y xy x y −+ + = +
(
) ( )
2
2 2 22 2 2
44 4x y xy x y −+ + = +
(
) ( )
4 4 22 2 2 22 2 2
2 8 16 4 4x y xy x y xy x y+ + ++ = +
( ) ( )
44 22 22 22
2 4 4 8 12 0xy xy xy xy + + + ++ + =
( ) ( ) ( )
2
22 22 22
4 4 8 12 0xy xy xy + + ++ + =
( ) ( )
2
22 22
2 8 12 0xy xy + + +=
( ) ( )
2
22 22
8 12 2xy xy += +
( )
2
2
2Pw⇔=
.
Câu 78: S phc
( )
,=+∈
z a bi a b
tha mãn
( )
8 6 51−+−= +z iz i i
. Tính giá tr biu thc
= +P ab
.
A.
1
=P
. B.
14
=P
. C.
2=P
. D.
7=
P
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
( )
( )
8 6 51 8 6 51−+−= ++−++−= +z i z i i a bi i a bi i i
.
(
) (
)
( )
( )
22
22
8 6 51
8 . 6 5. 5
−+ + + = +
+ + +− = +
a bi i a b i i
a bi a b i
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 25
( )
( )
2
2
2
2
85
65
ab
ab
+=
+− =
22
22
16 64 25
12 36 25
aa b
ab b
++=
+− +=
( )
( )
22
22
16 39 1
.
12 11 2
ab a
ab b
+− =
+− =
Ly
( ) ( )
12
ta được:
( )
37
16 12 28 0 3
4
+
+ + =⇔=
b
ab a
.
Thế
( )
3
vào
( )
2
ta được:
2
22
37
12 11 25 150 225 0 3 4.
4
+

+ = + =⇔==


b
bb b b b a
Vy
7P ab=+=
.
Câu 79: Có bao nhiêu số phc
z
tha mãn
( )
2
2019
1 i i1z zz zz +− + + =
?
A.
4
. B.
2
. C.
1
. D.
3
.
Lời giải
Chọn D
Đặt
iz ab= +
ta được
( )
2
2019
1 i i1
z zz zz +− + + =
(
)
2
2019
i1 iii iii1ab ab ab ab ab+− ++−+ + ++ =
.
(
)
2
2
1 2 i2i 1a b ba
++ =
22
2 2 i2i 0a ab b a++ =
22
20
2 20
a ab
ba
+=
−=
22
22
20
0
a ab
a
ba
+=
⇔≥
=
22
22
20
0
a aa
a
ba
−+=
⇔≥
=
0, 0
1
1,
1
a b
b
a
b
= =
=
=
=
Suy ra có ba số phc thỏa mãn phương trình
12 3
0, 1 i, 1 iz z z= =+=
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 26
Câu 80: Cho s phc
z a bi= +
,
(
)
,ab
tha mãn
( )
2 10z iz i+ +− + =
1z >
. Tính
P ab= +
.
A.
3P =
. B.
1
P
=
. C.
5P =
. D.
7
P
=
.
Lời giải
Chọn D
T gi thiết
( ) ( )
22
2 10 2 10z i z i a bi i a b i+ +− + = + + +− + + =
.
(
)
(
)
22
22 22
22
2 0 (1)
2 10
1 0 (2)
a ab
a ab b abi
b ab
+− + =
+−+++−+ =
+− + =
.
Ly
( )
( )
12
ta được
10 1ab b a+= = +
. Thay vào phương trình
(
)
1
ta được
( )
( )
2
22
2
2
2
2
2
2 1 0 2 21 2
2 30
2 21 2
a
a
a aa a a a
aa
aa a
≥−
≥−
+ + + = + +=+

−=
+ += +
2
1
1
3
3
a
a
a
a
a
≥−
=
⇔⇔
=
=
=
.
+ Vi
10 1 1a bz z=−⇒ = =−⇒ =
+ Vi
3434 5a b z iz=⇒=⇒=+ =
.
Vy
7P ab=+=
.
Câu 81: Có bao nhiêu số phc
z
tha mãn
23 1z iz i
+ = +−
( )
2
25z zz+ +=
?
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
4
.
Lời giải
Chọn C
Đặt
z a bi= +
(
,ab R
). Ta có
( )
( ) ( ) ( )
2 2 22
23 1 2 3 1 1z izia b a b+=+ ++ =+ +−
6 8 11 0ab −=
6 11
8
a
b
⇔=
;
( )
2
22
2 5 45z zz a b a+ +=++ =
Thế vào ta có:
( )
2
22
31 4 371
6 11
50
4 5 100 124 199 0
64
31 4 371
50
a
a
a a aa
a
−+
=
+ += + =
−−
=
Suy ra có hai số phc
z
tha u cu bài toán.
Câu 82: Cho s phc
( )
, ,0=+ ∈>z a bi a b a
tha mãn
( )
. 12 13 10 +−=zz z z z i
. Tính
= +
S ab
.
A.
17= S
. B.
5=S
. C.
7=S
. D.
17=S
.
Lời giải
Chọn C
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 27
T gi thiết
( )
( )
22 22
. 12 13 10 12 13 10 + = + + + + −+ = z z z z z i a b a b a bi a bi i
(
)
22 22
22 22
12 13 (1)
12 2 13 10
2 10 (2)
+− +=
+− + + =−
=
ab ab
ab ab bi i
b
.
T suy ra
5= b
thay vào ta được
22
25 12 25 13+− + =
aa
.
Đặt
2
25 0= +>ta
khi đó ta có phương trình
( )
(
)
2
1 loaïi
12 13 0
13 thoûa maõn
t
tt
t
=
−=
=
.
Vi
22
13 25 13 144 12= + = = ⇔=ta a a
. Vy
12 5 7=+= −=S ab
.
Câu 83: Cho s phc
z a bi= +
(
)
,
ab
tha mãn
( )( )
1 39z izi i++ + =
và
2z >
. Tính
P ab= +
.
A.
2
. B.
1
. C.
3
. D.
1
.
Lời giải
Chọn B
z a bi z a bi=+⇒=
;
22
zab= +
.
Theo bài ra ta có:
22
22
z ab>⇔ + >
.
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) (
)
(
)
2
2
2
1 39 1 1 1 39
1 1 1 93
2
2
1 19
0; 2.
0
1; 2.
0
13
1
z izii a biabi i
aa b b i i
b
b
aa b
ab
a
ab
aa
b
a
++ + = ++ + + + =


++ + + =
=
=
++ + =
= =

⇔⇔
=

=−=
+=
+=

=
TH
0a =
;
2b =
loi do không tha mãn.
TH
1a =
;
2b =
tha mãn nên
1P ab=+=
.
Câu 84: Cho s phc
1
z
,
2
z
tha mãn
1
3z
=
,
12
32zz−=
12
6z iz−=
. Biết
21
zz>
, tính
2
z
.
A.
37
. B.
35
. C.
32
. D.
33
.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
12
2
12
11
32 2 1 2
zz
z
zz
zz
= = ⇔− =
.
Ta lại có:
2
12
1
61 2
z
z iz i
z
=⇔− =
. Ta gi
2
1
;,
z
x yi x y
z
=+∈
.
T, suy ra:
( )
2
2
2
1
1 21 2
z
xy
z
=⇔− + =
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 28
(
)
2
2
2
1
1 21 4
z
i yx
z
=⇔+ + =
.
Ta có hệ phương trình
( )
( )
2
2
2
2
12
1
0
14
xy
y
x
yx
+=
=

=
+ +=
hay
1
2
y
x
=
=
.
Vậy:
2
21
1
0
z
iz z
z
= +⇒ =
.
2
21
1
2 .5 35
z
iz z
z
= −⇒ = =
.
Câu 85: Tính tng phn thc ca tt c các s phc
0z
tha mãn
5
7ziz
z

+=



.
A.
3
. B.
2
. C.
3
. D.
2
.
Lời giải
Chọn A
Đặt
(
)
,z a bi a b
=+∈
.
Theo gi thiết
(
)
(
)
5
7 57 0
z i z z a bi i i z a bi z
z

+ =−⇔ + + + + =



( ) ( )
(
)
( )
22 22
22
70
7 50
50
ab
abab abab i
ab a b
−−=
+ −− + + + + =
+ + +=
( )
2
7
2 7 2 14 49 5
ab
b bb
= +
+ + +=
( )
( )
2
2
7
2 7 2 14 49 25
2 70
ab
b bb
b
= +
+ ++=
+≤
( )( )
22
7
2 70
4 28 98 49 2 14 49 25 0
ab
b
bb bb
= +
+≤
+ +− + + =
(
)
2
2
7
7
4
2
3
2 14 49 25
1
2 14 49 loai
2
ab
b
b
a
bb
bb
= +
≤−
=
⇔⇒

=
+ +=
+ +=
.
Vậy có một s phc thỏa mãn điều kin là
34zi=
có phần thc là
3
.
Vy tng phn thc ca tt c các s phc
z
3
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 29
Câu 86: Cho s phc
( )
2019
1zi= +
. Phn thc ca
z
bng
A.
1009
2
. B.
2019
2
. C.
2019
2
. D.
1009
2
.
Lời giải
Cách 1: Phương pháp lượng giác
Xét s phc
1
11
1 2 2 sin
44
22
z i i cos i
ππ


=+= + = +




Ta có số phc
(
)
2019
2019
2019
1
2019 2019
1 2 sin
44
z z i cos i
ππ

==+= +


2019 2019
1009 1009
3 3 22
2 sin 2 2 2
4 4 22
cos i i i
ππ


= + = −+ = +





Phn thc ca
z
bng
1009
2
.
Cách 2:
Ta có
( )
2020 505
2019
505 1009 1009
(1 ) ( 4) 1 1
1 ( 4) ( ) 2 2
1 (1 ) 2 2
i
zi i i
ii
+−
=+ = = = −= +
++
Phn thc ca
z
bng
1009
2
.
Câu 87: S phc
( ) ( ) ( )
2 2018
1 1 ... 1zi i i=+++ +++
có phần o bng
A.
1009
21+
. B.
1009
12
. C.
1009
21
. D.
( )
1009
21
−+
.
Lời giải
( ) ( ) ( )
2 2018
1 1 ... 1
zi i i=+++ +++
( )
( )
( )
( )
2018
1009
11
21
11
11
i
i
ii
ii
+−
=+=+
+−
( )
(
) ( )
1009 1009 1009
1 2 2 12 1
ii i= + + = −+ +
.
z
có phần o bng
1009
21+
.
Câu 88: Gi
T
là tng phn thc, phn o ca s phc
2 3 2018
2 3 ... 2018wi i i i
=+ + ++
. Tính giá tr ca T.
A.
0.T =
B.
1.
T =
C.
2.T =
D.
2.T =
Lời giải
(
)
2 2017
1 2 3 ... 2018wi i i i= + + ++
Xét
2018 2019
2 3 2018
1
( ) ...
11
x xx
fx x x x x x
xx
−−
=+ + ++ = =
−−
( ) ( )
2018 2019
2 2017
2
2019 1 ( 1)
'( ) 1 2 3 ... 2018
( 1)
x x xx
fx x x x
x
−−
=+ + ++ =
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 30
( )
( ) ( )
2018 2019
2 2017
2
2019 1 ( 1)
1 2 3 ... 2018 . ( )
( 1)
i i ii
wi ii i ifii
i
−−
= + + ++ = =
2020( 1) 2
1010 1009
2
ii
ii
i
−+
= =−+
1010 1009 1T =−+ =
.
Câu 89: Cho ba s phc
1
z
,
2
z
,
3
z
tha mãn h
123
123
1
1
zzz
zzz
= = =
++=
. Tính giá tr biu thc
2019 2019 2019
1 23
Szzz=++
.
A.
1S
=
. B.
2019
2S =
. C.
1S =
. D.
2019
2
S
=
.
Lời giải
Chọn C
Đặt
(
)
123
1: 1zzz
= = =
,
( )
123
2: 1zz z
++=
.
Gi
A
,
B
,
C
lần lượt là điểm biu din s phc
1
z
,
2
z
,
3
z
.
T
( )
11OA OB OC
⇒===
Đưng tròn
( )
C
tâm
O
, bán kính
1R =
ngoi tiếp
ABC
.
Gi
G
,
H
lần lượt là trọng tâm, trực tâm
ABC
.
G
là điểm biu din s phc
123
3
zzz++
3.OH OG=
 
nên t
( ) (
)
2 1;0H
.
D thy
( )
HC
nên
ABC
vuông.
Gi s
ABC
vuông ti
(
)
3
1;0 1CC z
⇒=
.
2019 2019 2019 2019
12 1 2 1 2 1 2
00zz z z z z z z+ = =−⇒ = + =
.
Vy
1S =
.
Câu 90: Tính
2 3 2019
2 3 ... 2019Si i i i=+ + ++
A.
1010 1010Si=−−
. B.
1010 1010Si=
. C.
2019Si=
. D.
1010 1010Si= +
.
Lời giải
Chọn A
2 3 2019
2 3 ... 2019Si i i i=+ + ++
2 3 4 ... 2016 2017 2018 2019ii i i=−− ++ + +
( ) ( )
( ) ( )
4 8 ... 2016 2 6 ... 2018 5 ... 2017 3 7 ... 2019ii i ii i
= + + + +− + + + + +−
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 31
( ) ( ) ( ) ( )
4 8 ... 2016 2 6 ... 2018 5 ... 2017 3 7 ... 2019ii i ii i= + + + +− + + + + +−
4 2016 2016 4 2 2018 2018 2
11
24 24
+ −+

= +− +


1 2017 2017 1 3 2019 2019 3
11
24 24
ii
+ −+

+ +− +


1010 1010 .i
=−−
Câu 91: Cho s phc
z
tha mãn
2
10zz++=
. Tính giá tr biu thc
22 2
2 2019
2 2019
11 1
...
Pz z z
zz z

= + + + ++ +


.
A.
4038P =
. B.
2019P =
. C.
673P =
. D.
6073P =
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
2
10zz
++=
( )
( )
2
1 10z zz ++ =
3
1z⇒=
3
31
32 2
1
n
n
n
z
zz
zz
+
+
=
⇒=
=
.
2
2019 2019 2019
22
22
11 1
11 1
2 2.2019
kk k
kk k
kk k
Pz z z
zz z
= = =

= + = + += + +


∑∑
Ta có
2 2 4 6 4034 4036 4038
1 ... z 0zz zzz z z++= + + = = + + =
,
246 2
246 6 6
111 1
0
zzz zz
zzz z z
+ + ++
++= = =
Tương tự
8 10 12 4034 4036 4038
111 1 1 1
... 0
zzz zzz
++== + + =
Vy
4038P =
.
Câu 92: Khai trin ca biu thc
( )
2018
2
1xx++
được viết thành
2 4036
0 1 2 4036
...a ax ax a x+ + ++
. Tng
0 2 4 6 4034 4036
...Sa a a a a a= + +− +
bng
A.
1009
2
. B.
1009
2
. C.
0
. D.
1
.
Lời giải
( )
2018
2
1xx++
2 4036
0 1 2 4036
...a ax ax a x= + + ++
.
Thay
xi=
vi
2
1i =
ta được:
( )
1009
2 3 4034 4035 4036
0 1 2 3 4034 4035 4036
1 ...aaiai ai ai ai ai = + + + ++ + +
.
Đối chiếu phn thc hai vế ta được:
0 2 4 6 4034 4036
1 ...aaaa a a−= + + +
.
Nhận xét: Ngoài cách trên ta có thể thay
2018
bng
2
,
4
để tính trc tiếp
S
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 32
Câu 93: Gi
S
là tp hp các s phc
z
thỏa mãn điều kin
4
zz
=
. S phn t ca
S
A.
7
. B.
6
. C.
5
. D.
4
.
Lời giải
Chọn C
Gi
z a bi
= +
,
( )
,ab
thì
22
z ab= +
( )
( ) ( ) ( )
22
4
4 22 22 22 22
2 44z a bi a b abi a b a b ab a b i=+ = −+ = +
.
Ta có
4
zz
=
( ) (
)
2
22 22 22 22
44ab ab ababi ab⇔− + = +
.
Suy ra
(
)
( )
( )
( )
22
2
2 2 22 2 2
4 0, 1
4 ,2
ab a b
a b ab a b
−=
−− =+
Xét
( )
22
0
10
a
b
ab
=
⇔=
=
.
Vi
0a =
thì t
(
)
4
2 0, 1, 1
bbb bb = ⇒= = =
ta được
0; ;z z iz i
= = =
.
Vi
0b =
thì t
( )
4
2 0, 1, 1
aaa aa = ⇒= = =
ta được
0; 1; 1z zz= = =
.
Vi
22
ab=
thì t
( )
42
24 2 2 0a aa a
⇒− = = =
,
0b =
0
z =
ta được
0
z =
.
Vy
{
}
0;1; 1; ;S ii= −−
.
Câu 94: Gi
S
là tp hp tt c c giá tr thc ca tham s
m
để tn ti duy nht s phc
z
tha mãn
.1zz
=
3z im
+=
. Tìm s phn t ca
S
.
A.
2
. B.
4
. C.
1
. D.
3
.
Lời giải
Chọn A
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 33
Gi
,( , )
z x yi x y=+∈
, ta có hệ
( )
( )
22
2
2
2
1 (1)
3 1 ( 0)
xy
x y mm
+=
++ =
Ta thy
03mz i=⇒=
không tha mãn
.1zz=
suy ra
0m >
.
Xét trong h ta đ
Oxy
tp hp c đim tha mãn
( )
1
đưng tròn
1
()C
1
(0; 0), 1
OR
=
,
tp hp các đim tha mãn
( )
2
là đưng tròn
2
()C
tâm
( )
2
3; 1 ,I Rm
−=
, ta thy
1
2OI R= >
suy ra
I
nm ngoài
1
()C
.
Để duy nhất s phc
z
thì h có nghiệm duy nht khi đó tương đương vi
12
( ),( )CC
tiếp xúc
ngoài và tiếp xúc trong, điều này xy ra khi
12
12 1
OI R R m m= + += =
hoc
21
12 3R R OI m= + =+=
Câu 95: Tìm tt c các giá tr thc ca tham s
m
để s phc
2
2
mi
z
mi
+
=
có phần thực dương
A.
2
m
>
. B.
2
2
m
m
<−
>
. C.
22
m
−< <
. D.
2m
<−
.
Lời giải
2
2
mi
z
mi
+
=
( )( )
2
22
4
mimi
m
++
=
+
2
22
44
44
mm
i
mm
= +
++
.
z
có phần thực dương
2
2
40
2
m
m
m
>
−>
<−
.
Câu 96: Cho hai s phc
34zi=
( ) ( )
'2z m mi m=++
tha mãn
'z iz=
. Tng tt c các giá
tr ca
m
bng
A.
1
. B.
46
2
. C.
0
. D.
2
.
lời giải:
Chọn D
Ta có
( )
2
2
'2z mm=++
22
43 5iz = +=
vậy ta có phương trình
( )
2
22
12
4
2 25 2 4 21 0 2
2
m m m m mm+ + = + = + =−=
Câu 97: Biết rng
2
3 3 ( 2)zm m m i
= ++
, vi
m
, là mt s thc. Giá tr ca biu thc
2 3 2019
1P zz z z=++ + + +
bng
A. 1. B.
2020
. C.
2019
. D.
0
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
2
3 3 ( 2)zm m m i= ++
là mt s thc khi
20 2mm−= =
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 34
Vi
21mz=⇒=
, thay vào biu thc
P
, ta được:
2 3 2019
111 1 1P
=++ + + +
2020.=
Câu 98: Gi
S
là tp tt c các giá tr thc ca
m
để tn ti 4 s phc
z
tha mãn
2
zz zz++−=
( )
( )
2
zz z z m
+−+−
là s thun o. Tng các phn t ca
S
A.
1
. B.
1
2
. C.
3
2
. D.
3
2
.
Lời giải
Chọn C
*)
z x yi= +
,
,xy∀∈
2zz zz++−=
22 2x yi⇔+ =
1xy
⇔+=
.
*)
(
)
( )
2zz z z m
+−+−
22
2
x y yi m=++
là s thun o
22
xym⇔+=
( )
0m >
.
Để tn ti 4 s phc
z
thì h phương trình
22
1xy
xym
+=
+=
có 4 nghiệm phân biệt.
H 4 nghiệm thì đường tròn tâm
O
bán kính
m
phi ct các đưng thng
1xy
+=
ti 4
điểm phân biệt.
Các đưng thng
1
xy+=
đôi một ct nhau tạo thành 1 hình vuông như trên đồ th.
Để đường tròn
( )
C
:
22
xym+=
ct các đưng thng
1xy+=
tại 4 điểm thì đường tròn s
đường tròn ni tiếp hoc ngoi tiếp hình vuông với các bán kính tương ứng
1
2
r =
và bán kính
1R =
. Hay
1
2
1
m
m
=
=
. Suy ra tng các giá tr
m
cn tìm là
3
2
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 50
Dng toán. Trong mt phng ta đ
,Oxy
hãy tìm tp hợp điểm M biểu diễn s phc
z x yi= +
tha
mãn điều kiện K cho trước?
c 1. Gi
(
)
;M xy
là điểm biểu diễn s phc
z x yi= +
.
c 2. Biến đổi điều kiện K để tìm mối liên hệ gia
,xy
và kết lun.
Mi liên h gia x và y
Kết lun tp hp đim
( )
;
M xy
0.Ax By C+ +=
Là đưng thng
:0d Ax By C
+ +=
.
( ) (
)
22
2
xa yb R +− =
hoc
22
2 2 0.x y ax by c+ +=
Là đưng tròn tâm
( )
;
I ab
và bán kính
22
R abc= +−
.
( ) (
)
22
2
xa yb R−+−≤
hoc
22
2 2 0.x y ax by c
+ +≤
Là hình tròn tâm
( )
;I ab
và bán kính
22
R abc
= +−
.
( ) ( )
22
22
12
.R xa yb R−+−≤
Là nhng đim thuc miền có hình vành khăn tạo bi
hai đường tròn đồng tâm
( )
;I ab
và bán kính ln lưt
1
R
2
R
.
( )
2
, 0 .y ax bx c a= ++
Là một parabol có đỉnh
;
24
b
S
aa

−−


.
22
1
xy
ab
+=
vi
12
2MF MF a+=
12
22FF c a= <
.
Là mt elíp có trc ln
2,a
trc bé
2b
tiêu c
( )
22
22 , 0c a b ab
= >>
.
22
1
xy
ab
−=
vi
12
2MF MF a−=
12
22FF c a= >
.
Là mt hyperbol có trc thc là
2,a
trc o là
2b
tiêu cự
22
22c ab
= +
vi
,0ab>
.
MA MB
=
.
Là đưng trung trực đoạng thng AB.
Lưu ý
Đối với bài toán dạng này, người ra đề thường cho thông qua hai cách:
Trc tiếp, nghĩa là tìm tập hợp điểm
( )
;M xy
biểu diễn s phc
z x yi= +
tha mãn tính cht K.
CHƯƠNG
IV
S PHC
H THNG BÀI TP TRC NGHIM.
III
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 51
Gián tiếp, nghĩa là tìm tập hợp điểm biểu diễn s phc
( )
w fz=
mà s phc z tha mãn tính cht
K nào đó, chẳng hn:
( )
, , 0,...f zz z
=
Câu 1: Cho s phc
z
tha mãn
2z =
. Biết rng tp hp các điểm biểu diễn s phc
( )
w 32 2i iz=−+
là một đường tròn. Tìm ta đ tâm
I
của đường tròn đó?
A.
( )
3; 2I
. B.
( )
3;2I
. C.
(
)
3;2I
. D.
(
)
3; 2I −−
.
Câu 2: Trong mt phng phc, tp hợp các điểm biểu diễn s phc
z
tho mãn
.1
zz
=
A. một đường thng. B. một đường tròn. C. mt elip. D. một điểm.
Câu 3: Cho s phc
z
tha
12 3
zi
−+ =
. Biết rng tp hợp các điểm biểu diễn ca s phc
2w zi= +
trên mặt phng
( )
Oxy
là một đường tròn. Tìm tâm ca đường tròn đó.
A.
( )
2; 3I
. B.
( )
1;1I
. C.
( )
0;1I
. D.
(
)
1; 0I
.
Câu 4: Tp hp các điểm biểu diễn s phc
z
tha mãn
( )
1z i iz−= +
một đường tròn, tâm ca
đường tròn đó có tọa đ
A.
( )
1;1
. B.
(
)
0; 1
. C.
(
)
0;1
. D.
( )
1;0
.
Câu 5: Cho s phc
z
tha mãn
1
2
z
i
=
+
. Biết rng tp hp các đim biểu diễn s phc
z
là mt đưng
tròn
( )
C
. Tính bán kính
r
ca đưng tròn
( )
C
.
A.
1.r
=
B.
5.r =
C.
2.
r =
. D.
3.r =
.
Câu 6: Trong mt phng ta đ điểm biểu diễn s phc
z
tha mãn
12 3zi
−− =
A. đường tròn tâm
(1; 2)I
, bán kính
9R
=
. B. đường tròn tâm
(1; 2)I
, bán kính
3R =
.
C. đường tròn tâm
( 1; 2)I −−
, bán kính
3R =
. D.
đường thẳng có phương trình
2 30xy+ −=
.
Câu 7: Xét các s phc
z
tha mãn
(2 )( )zz i−+
là s thun o. Tp hp các đim biểu diễn ca
z
trong
mt phng ta đ là:
A. Đưng tròn tâm
1
1;
2
I



,bán kính
5
2
R
=
.
B. Đưng tròn tâm
1
1;
2
I

−−


,bán kính
5
2
R =
.
C. Đưng tròn tâm
( )
2;1I
,bán kính
5R =
.
D. Đưng tròn tâm
1
1;
2
I



,bán kính
5
2
R =
nhưng bỏ điểm
(2;0); (0;1)AB
.
Câu 8: Tìm tp hợp điểm biểu diễn s phc z tha mãn
(1 )z i iz−= +
.
A. Đưng tròn tâm I, bán kính
2R =
. B. Đưng tròn tâm I, bán kính
2R =
.
C. Đưng tròn tâm I, bán kính
2R =
. D. Đưng tròn tâm I, bán kính
2R =
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 52
Câu 9: Tâp hp tt c các đim biểu diễn s phc
( )
,z x yi x y=+∈
tha mãn
4
zi−=
là đưng cong
có phương trình
A.
( )
2
2
14xy+=
B.
( )
2
2
14xy+− =
C.
(
)
2
2
1 16xy+=
D.
(
)
2
2
1 16xy
+− =
Câu 10: Tp hp tt c các điểm biểu diễn các s phc
z
tha mãn
24zi+−=
là đường tròn có tâm và
bán kính lần lượt là
A.
(
)
2; 1
I
;
4R =
. B.
( )
2; 1I
;
2
R =
. C.
( )
2; 1I
−−
;
4R =
. D.
( )
2; 1I
−−
;
2
R =
.
Câu 11: Tp hợp điểm biểu diễn s phc
z
tha mãn
12zi−+ =
đưng tròn có tâm và bán kính ln
t là:
A.
( )
1;1 , 4IR−=
. B.
( )
1;1 , 2
IR−=
. C.
( )
1; 1 , 2IR−=
. D.
( )
1; 1 , 4IR−=
.
Câu 12: Tp hp tt c các đim biểu diễn các s phc
z
tha mãn
(
)
1 52
iz i+ −+=
là mt đưng tròn
tâm
I
và bán kính
R
lần lượt là
A.
( )
2; 3 , 2IR
−=
. B.
(
)
2; 3 , 2IR
−=
. C.
( )
2;3 , 2IR
−=
. D.
( )
2;3 , 2IR−=
.
Câu 13: Xét các s phc
z
tha mãn
2
2
z
zi
+
là s thun ảo. Biết rng tp hpc điểm biểu diễn các s
phc
z
luôn thuc một đường tròn c định. Bán kính của đường tròn đó bằng
A.
1
. B.
2
. C.
22
. D.
2
.
Câu 14: Tính tng ca tt c các giá tr ca tham s
m
để tn ti duy nht s phc
z
tho mãn đng thi
zm=
2
43z m mi m−+ =
.
A.
4
. B.
6
. C.
9
. D.
10
.
Câu 15: Cho s phc
z
tha mãn:
23zi+−=
. Tp hp các đim trong mt phng ta đ
( )
Oxy
biểu
diễn s phc
1
wz= +
A. Đưng tròn tâm
( )
2;1I
bán kính
3R =
. B. Đưng tròn tâm
( )
2; 1I
bán kính
3R =
.
C. Đưng tròn tâm
( )
1; 1I −−
bán kính
9R =
. D. Đưng tròn tâm
( )
1; 1I −−
bán kính
3R
=
.
Câu 16: Cho các s phc
z
tha mãn
25z
=
. Biết rng trong mt phng ta đ các đim biểu diễn ca
s phc
( )
2w i iz=+−
cùng thuc một đường tròn c định. Tính bán kính
r
ca đưng tròn
đó?
A.
5
r =
. B.
10r =
. C.
20
r =
. D.
25r =
.
Câu 17: Xét các số phức
z
thỏa mãn
(
)( )
23z iz−+
số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất
cả các điểm biểu diễn số phức
z
là một đường tròn có bán kính bằng
A.
13
B.
11
C.
11
2
D.
13
2
Câu 18: Cho các s phc
z
tha mãn
12z +=
. Biết rng tp hp các điểm biểu diễn các s phc
( )
18w i zi=++
là một đường tròn. Bán kính
r
của đường tròn đó là
A.
9
. B.
36
. C.
6
. D.
3
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 53
Câu 19: Cho
12
,zz
hai s phc tha mãn điều kiện
|z 5 3i| 5−− =
đồng thời
12
| |8zz−=
. Tp hp các
điểm biểu diễn s phc
12
wz z= +
trong mt phng ta đ
Oxy
là đường tròn có phương trình
A.
22
( 10) ( 6) 36xy +− =
. B.
22
( 10) ( 6) 16xy +− =
.
C.
22
53
( )( )9
22
xy +− =
. D.
22
5 39
( )( )
2 24
xy
+− =
.
Câu 20: Tp hp tt c các điểm biểu diễn các s phc
z
tha mãn:
24
zi+−=
là đường tròn có tâm
I
và bán kính
R
lần lượt là:
A.
( )
2; 1
I −−
;
4R
=
. B.
(
)
2; 1I
−−
;
2R
=
. C.
( )
2; 1I
;
4R
=
. D.
( )
2; 1I
;
( )
2; 1I
.
Câu 21: Cho s phc
z
tha mãn
2z =
. Tp hợp điểm biểu diễn s phc
(
)
12
w iz i=−+
A. Một đường tròn. B. Một đường thng.
C. Mt Elip. D. Mt parabol hoc hyperbol.
Câu 22: Tp hợp điểm biểu diễn ca s phc
z
tha mãn
11 2
z iz
+ = −−
là đưng tròn
(
)
C
. Tính bán
kính
R
của đường tròn
( )
C
A.
10
9
R =
. B.
23
R
=
. C.
7
3
R =
. D.
10
3
R =
.
Câu 23: Tp hp tt c các điểm biểu diễn s phc
z
tha mãn
26
zi−=
là mt đưng tròn có bán kính
bng:
A.
3
. B.
62
. C.
6
. D.
32
.
Câu 24: Cho s phc
z
tha mãn
13 2zi+− =
. Biết tp hợp điểm biểu diễn s phc
( )
2 35w iz i= −+
là một đường tròn. Xác định tâm
I
và bán kính ca đường tròn trên.
A.
( )
6; 4 , 2 5IR−− =
. B.
( )
6; 4 , 10IR=
.
C.
( )
6; 4 , 2 5IR=
. D.
( )
6; 4 , 2 5IR−=
.
Câu 25: Cho s phc
z
tha mãn
2z =
. Biết rng tp hp các điểm biểu din s phc
( )
32 2w i iz=−+
là một đường tròn. Bán kính
R
của đường tròn đó bằng?
A.
7
. B.
20
. C.
25
. D.
7
.
Câu 26: Cho
1
z
,
2
z
hai trong các s phc
z
tha mãn điều kiện
53 5
zi−− =
, đồng thi
12
8zz−=
. Tp hợp các điểm biểu diễn ca s phc
12
wz z= +
trong mt phng ta đ
Oxy
là đưng tròn
có phương trình nào dưới đây?
A.
22
5 39
2 24
xy

+− =


. B.
( )
( )
22
10 6 36xy +− =
.
C.
( ) ( )
22
10 6 16xy +− =
. D.
22
53
9
22
xy

+− =


.
Câu 27: Xét s phc z tha mãn
343zi−+=
, biết rng tp hp các điểm biểu diễn s phc
(12 5 ) 4w iz i=−+
là một đường tròn. Tìm bán kính r của đường tròn đó.
A.
13r
=
. B.
39r =
. C.
17r =
D.
3r =
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 54
Câu 28: Cho số phức
z
thỏa mãn
31
z
−=
. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức
(
)
1 3 12
w iz i
= +−
là một đường tròn. Tính bán kính
r
của đường tròn đó.
A.
2
r
=
. B.
1r =
. C.
4r =
. D.
2
r =
.
Câu 29: Gi
M
là điểm biểu diễn ca s phc
z
tha mãn
134zm i+ −+ =
. Tìm tt c các s thc
m
sao cho tp hợp các điểm
M
là đường tròn tiếp xúc vi trc
Oy
.
A.
5; 3
mm=−=
. B.
5; 3mm= =
. C.
3m
=
. D.
5m =
.
Câu 30: Cho s phc
z
tha mãn
( )
(
)
2 2 25z iz i−+ −− =
. Biết tp hợp các điểm
M
biểu diễn s phc
2 23wz i
= −+
là đường tròn tâm
( )
;I ab
và bán kính
c
. Giá trị ca
abc++
bng
A.
18
. B.
20
. C.
10
. D.
17
.
Câu 31: Trong mt phng ta đ
Oxy
, tìm tp hợp điểm biểu diễn s phc
z
tha mãn
( )
23 2zi−−
.
A. Một đường thng. B. Mt hình tròn. C. Một đường tròn. D. Một đường elip.
Câu 32: Có bao nhiêu số phc
z
thỏa mãn điều kiện
12zi z i++ =
1
z
=
A.
0
. B.
2
. C.
1
. D.
4
.
Câu 33: Xét các s phc
z
tha mãn
( )
( )
42z iz−+
là s thun ảo. Biết rng tp hp tt c các đim
biểu diễn ca
z
là một đường tròn. Tìm ta đ tâm của đường tròn đó.
A.
( )
1; 2−−
. B.
(
)
1; 2
. C.
( )
1; 2
. D.
( )
1; 2
.
Câu 34: Tp hợp điểm biểu diễn s phc
z
thỏa mãn điều kiện
12 1++ =zi
A. đường tròn
( )
1; 2
I
, bán kính
1=R
. B. đường tròn
( )
1; 2−−I
, bán kính
1=R
.
C. đường tròn
( )
1; 2I
, bán kính
1
=
R
. D. đường tròn
( )
1; 2I
, bán kính
1=R
.
Câu 35: Cho s phc
z
tho mãn
( )
( )
1 3 1 3 25z iz i+− ++ =
. Biết tp hợp biểu diễn s phc
z
là mt
đường tròn có tâm
( )
;I ab
và bán kính
c
. Tng
abc++
bng
A.
9
. B.
3
. C.
2
. D.
7
.
Câu 36: Cho s phc
z
thay đi tha mãn
1 2.−=z
Biết rng tp hợp điểm biểu din các s phc
( )
13 2
=++w iz
là đường tròn có bán kính bng
.R
Tính
.R
A.
8=R
. B.
2=R
. C.
16=R
. D.
4=R
.
Câu 37: Cho s phc
z
tho mãn
15−=z
. Biết tp hp các đim biểu din s phc
w
xác đnh bởi
( )
23 34= + ++w iz i
là một đường tròn bán kính
R
. Tính
R
.
A.
5 13
. B.
5 17
. C.
5 10
. D.
55
.
Câu 38:
Cho s phc
z
thỏa mãn điều kiện
5z =
. Biết tp hp các điểm biểu diễn s phc
(1 2 )w iz i=++
là một đường tròn. Tìm bán kính
r
của đường tròn đó.
A.
5r =
. B.
10r =
. C.
5
r =
. D.
25r =
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 55
Câu 39: Cho s phc
z
môđun bằng
22
. Biết rng tp hợp điểm trong mt phng ta đ biểu diễn
các s phc
( )
(
)
11w iz i
= +−
là đưng tròn có tâm
(
)
;
I ab
, bán kính
R
. Tng
abR++
bng
A.
5
. B.
7
. C.
1
. D.
3
.
Câu 40: Cho s phc
z
tho mãn
3z =
. Biết rng tp hợp điểm biểu diễn ca s phc
wzi
= +
là mt
đường tròn. Tìm tâm
I
của đường tròn đó.
A.
(
)
0;1I
. B.
(
)
0; 1I
. C.
( )
1; 0I
. D.
( )
1; 0I
.
Câu 41: Tp hp các đim biểu din các s phc
z
tha mãn
2z zi+=−
là mt đưng thẳng phương
trình
A.
4 2 30xy+ +=
. B.
2 4 13 0
xy
+ +=
. C.
4 2 30xy +=
. D.
2 4 13 0
xy
+=
.
Câu 42: Cho s phc
z
tha mãn
12z iz−+ = +
. Trong mt phng phc, qu tích điểm biểu diễn các
s phc
z
.
A. là đường thng
3 10xy+ +=
. B. là đường thng
3 10
xy +=
.
C. là đường thng
3 10xy
+ −=
. D. là đường thng
3 10xy −=
.
Câu 43: Trên mt phng phc, tp hp các s phc
(
)
,
z x yi x y=+∈
tha mãn
23z izi++=
đường thẳng có phương trình
A.
1yx= +
. B.
1yx=−+
. C.
1yx=−−
. D.
1yx=
.
Câu 44: Trong mt phng ta đ
Oxy
, tp hp các điểm biểu biễn các s phc
z
tha mãn
12 12z iz i−+ = ++
là đường thẳng có phương trình
A.
2 10xy
+=
. B.
20xy+=
. C.
20
xy−=
. D.
2 10xy+ +=
.
Câu 45: Xét các s phc
z
tha mãn
( )
2 41
zz i i−+ +
là s thc. Biết rng tp hợp các điểm biểu diễn
ca s phc
z
là đường thng
d
. Diện tích tam giác giới hạn bởi đường thng
d
và hai trục ta
độ bng
A.
8
. B.
4
. C.
2
. D.
10
.
Câu 46: Tp hp các đim biểu diễn các s phc
z
tha mãn
2z zi+=
là mt đưng thẳng phương
trình
A.
4 2 30xy+ +=
. B.
2 4 13 0xy+ +=
. C.
4 2 30xy +=
. D.
2 4 13 0xy
+=
.
Câu 47: Cho s phc
z
tha mãn:
1 23zz i= −+
. Tp hợp các điểm biểu diễn s phc
z
A. Đưng tròn tâm
( )
1; 2I
, bán kính
1R =
.
B. Đưng thẳng có phương trình
2 6 12 0xy+=
.
C. Đưng thẳng có phương trình
3 60xy −=
.
D. Đưng thẳng có phương trình
5 60xy −=
.
Câu 48: Tìm tp hợp điểm biểu diễn các s phc
z
tha
( )
12 5 17 7
13
2
iz i
zi
++
=
−−
.
A.
:6 4 3 0dx y+ −=
. B.
: 2 10dx y+ −=
.
C.
( )
22
: 2 2 10Cx y x y+ + +=
. D.
( )
22
: 4 2 40Cx y x y+ + +=
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 56
Câu 49: Cho s phc
z x yi
= +
(
)
,
xy
tha mãn
( )
2 10z iz i+ −− =
. Trong mt phng ta đ
Oxy
, điểm
M
là điểm biểu diễn ca s phc
z
. Hi
M
thuc đưng thẳng nào sau đây?
A.
50xy+=
. B.
20xy−+=
. C.
20xy+−=
. D.
10xy+ +=
.
Câu 50: Trong mt phng phc
Oxy
, tp hp các điểm biểu diễn s phc
Z
tha mãn
( )
2
2
2
2 16zz z++ =
hai đưng thng
12
,dd
. Khong cách giữa 2 đường thng
12
,dd
là bao
nhiêu?
A.
( )
12
,1ddd =
. B.
( )
12
,6ddd =
. C.
( )
12
,2ddd =
. D.
(
)
12
,4
ddd =
.
Câu 51: Trong mt phng phc, tp hp các đim
M
biểu diễn s phc
z
tha mãn điều kiện
34zz i= −+
là?
A. Parabol
2
4yx=
. B. Đưng thng
6 8 25 0xy
+−=
.
C. Đưng tròn
22
40xy
+ −=
. D. Elip
22
1
42
xy
+=
.
Câu 52: Cho s phc
z
tha:
2 23 2 12z ii z + = −−
. Tp hợp điểm biểu diễn cho s phc
z
là.
A. Một đường thng có phương trình:
20 32 47 0xy + +=
.
B. Một đường có phương trình:
2
3 20 2 20 0y xy+ +−=
.
C. Một đường thng có phương trình:
20 16 47 0xy+ +=
.
D. Một đường thng có phương trình:
20 16 47 0xy −=
.
Câu 53: Trên mặt phng ta đ, tìm tp hợp điểm biễu diễn s phc
z
sao cho
2
z
là s thun o.
A. Hai đường thng
yx=
yx=
.
B. Trc
Ox
.
C. Trc
Oy
.
D. Hai đường thng
yx
=
yx=
, b đi điểm
( )
0;0O
.
Câu 54: Tp hp các đim biểu diễn các s phc
z
tha mãn
22−−= +z izi
đường thẳng phương
trình
A.
4 2 10 −=xy
. B.
4 6 10 −=
xy
. C.
4 2 10+ −=xy
. D.
4 2 10 +=xy
.
Câu 55: Trên mặt phng ta đ, tìm tp hợp điểm biểu diễn s phc
z
tha mãn
2 z zi+=−
.
A. Đưng thng
4 2 30xy+ +=
. B. Đim
( )
1;1/ 2M
.
C. Đưng thng
2 30xy++=
. D. Đưng thng
4 2 30xy+ −=
.
Câu 56: Cho s phc
z
tha mãn
2 23 2 12
z ii z + = −−
. Tp hợp điểm biểu diễn cho s phc
z
đường thẳng có phương trình:
A.
20 16 47 0xy −=
. B.
20 6 47 0xy+−=
. C.
20 16 47 0xy+ +=
. D.
20 16 47 0xy
+ −=
.
Câu 57: Cho s phc tha mãn
1 2.zi z i = −+
Tp hợp điểm biểu diễn s phc
( )
21iz
ω
=−+
trên
mt phng phc là một đường thẳng. Phương trình đường thẳng đó là
A.
7 90xy+ +=
. B.
7 90xy+ −=
. C.
7 90xy −=
. D.
7 90
xy +=
.
Câu 58: Tp hợp các điểm biểu diễn các s phc
z
tha mãn
22zi zz i= −+
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 57
A. Một điểm B. Một đường tròn C. Một đường thng D. Mt Parabol
Câu 59: Cho s phc
z
tha mãn
2 24zz++−=
. Tp hợp điểm biểu diễn ca s phc
z
trên mt
phng ta đ
A. Một đường elip. B. Một đường parabol. C. Một đoạn thng. D. Một đường tròn.
Câu 60: Xét các s phc
z
tho n
(
)
1
1
zi
z zi
−+
++
là s thc. Tp hp các đim biu din ca s phc
2
z
parabol có to đ đnh
A.
13
;
44
I



. B.
11
;
44
I



. C.
13
;
22
I



. D.
11
;
22
I



.
Câu 61: Tính diện tích hình phẳng giới hn bi các điểm biểu diễn các s phc tha mãn
2 4 10z iz i
+−+ =
.
A.
15
π
. B.
12
π
. C.
20
π
. D. Đáp án khác.
Câu 62: Gi
M
là điểm biểu diễn ca s phc
z
tha mãn
32 3zi z z i+ = +− +
. Tìm tp hp tt c
những điểm
M
như vậy.
A. Một đường thng. B. Mt parabol. C. Mt elip. D. Một đường tròn.
Câu 63: Cho s phc
z
tha mãn
2 28zz++−=
. Trong mt phng phc tp hp những điểm
M
biểu
diễn cho s phc
z
là?
A.
( ) (
) ( )
22
: 2 2 64Cx y+ +− =
. B.
( )
22
:1
16 12
xy
E +=
.
C.
( )
22
:1
12 16
xy
E +=
. D.
( ) ( )
( )
22
: 2 28
Cx y+ +− =
.
Câu 64: Tp hp các đim trong mt phng ta đ biểu diễn s phc
z
tha mãn điều kin
22zi zz i 
là hình gì?
A. Một đường tròn. B. Một đường Parabol. C. Một đường Elip. D. Một đường thng.
Câu 65: Tìm tp hp các đim
M
biểu diễn hình hc s phc
z
trong mt phng phức, biết s phc
z
thỏa mãn điều kiện:
4 4 10.
zz
.
A. Tp hợp các điểm cần tìm là đường elip có phương trình
22
1
9 25
xy

.
B. Tp hp các đim cn tìm là những điểm
;M xy
trong mt phng
Oxy
thỏa mãn phương
trình
22
22
4 4 12
x yx y 
.
C. Tp hợp các điểm cần tìm là đường tròn có tâm
0; 0O
và có bán kính
4R
.
D. Tp hợp các điểm cần tìm là đường elip có phương trình
22
1
25 9
xy

.
Câu 66: Cho s phc
z
tha mãn điều kiện:
4 4 10zz++−=
. Tp hp các đim
M
biểu diễn cho s
phc
z
là đường có phương trình.
A.
22
1
9 25
xy
+=
. B.
22
1
25 9
xy
+=
. C.
22
1
9 25
xy
−=
. D.
22
1
25 9
xy
−=
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 58
Câu 67: Phn gch trong hình v dưới hình biểu diễn ca tp các s phc tha mãn điều kiện nào sau
đây?
A.
68z≤≤
. B.
2 44 4zi ++
. C.
2 44 4zi
−−
. D.
4 4 4 16zi −−
.
Câu 68:
Trong mt phng ta đ
Oxy
, tìm tp hợp các điểm biểu diễn s phc
z
biết
( )
23 2zi−−
.
A. Một đường thng. B. Mt hình tròn. C. Một đường tròn. D. Một đường Elip.
Câu 69: Trong mt phng phc, tp hợp điểm biểu diễn cho s phc
z
tha
44 2+− zi
A. Hình tròn tâm
( )
4; 4I
, bán kính
4=R
. B. Hình tròn tâm
( )
4; 4I
, bán kính
2
=R
.
C. Hình tròn tâm
( )
4; 4I
, bán kính
2
=R
. D. Hình tròn tâm
( )
4; 4I
, bán kính
4=R
.
Câu 70: Cho s phc
z
tha mãn điều kiện
3 315
zi +≤
. Tp hp các đim biểu diễn ca
z
to thành
mt hình phẳng. Tính diện tích ca hình phẳng đó.
A.
25S
π
=
. B.
8S
π
=
. C.
4S
π
=
. D.
16S
π
=
.
Câu 71: Trong mt phng
Oxy
cho s phc
z
điểm biểu diến nm trong cung phn th
( )
I
. Hi
điểm biểu diễn s phc
1
w
iz
=
nm trong cung phần tư thứ my?
A. Cung
( )
IV
. B. Cung
( )
II
. C. Cung
( )
III
. D. Cung
( )
I
.
Câu 72: Trong mt phng ta đ
Oxy
,gọi
(
)
H
là phn mt phng cha các đim biểu diễn các s phc
z
tha mãn
16
z
16
z
có phn thc và phn ảo đều thuc đon
[ ]
0;1
.Tính diện tích
S
ca
( )
H
A.
( )
32 6 .S
π
=
B.
( )
16 4 .S
π
=
C.
256.S =
. D.
64 .S
π
=
.
Câu 73: Cho s phc
z
tha mãn điều kiện
3 315
zi +≤
. Tp hp c điểm biểu diễn ca
z
to
thành mt hình phẳng. Tính diện tích
S
ca hình phẳng đó.
A.
4S
π
=
. B.
25S =
π
. C.
8S =
π
. D.
16
S =
π
.
Câu 74: Biết s phc
z
thõa mãn
11z −≤
zz
có phn o không âm. Phn mt phẳng biểu din s
phc
z
có diện tích là:
A.
2
π
. B.
2
π
. C.
2
π
. D.
π
.
Câu 75: Gi
H
là hình biểu diễn tp hp các s phc
z
trong mt phng ta đ
0xy
sao cho
23zz−≤
,
và s phc
z
có phn ảo không âm. Tính diện tích hình
H
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 59
A.
3
2
π
. B.
3
4
π
. C.
6
π
. D.
3
π
.
Câu 76: Tp hp các s phc
( )
11w iz=++
vi
z
là s phc tha mãn
11
z
−≤
hình tròn. Tính diện
tích hình tròn đó.
A.
2
π
. B.
π
. C.
3
π
. D.
4
π
.
Câu 77: Gi
M
điểm biểu din s phc
2
23
2
zzi
z
ϖ
+−
=
+
, trong đó
z
là s phc tha mãn
( )( )
23izi iz
+ + = −+
. Gi
N
đim trong mt phng sao cho
( )
,2Ox ON
ϕ
=
 
, trong đó
( )
,Ox OM
ϕ
=
 
là góc ng giác tạo thành khi quay tia
Ox
ti v trí tia
OM
. Đim
N
nm
trong góc phần tư nào?
A. Góc phần tư thứ. B. Góc phần tư thứ. C. Góc phần tư thứ. D. Góc phần tư thứ.
Câu 78: Cho s phc
z
tha mãn điều kiện
3 4 2.zi
−+
Trong mt phng
Oxy
tp hợp điểm biu din
s phc
21wz i
= +−
là hình tròn có diện tích
A.
9S
π
=
. B.
12S
π
=
. C.
16S
π
=
. D.
25S
π
=
.
Câu 79: Biết s phc
z
tha điu kin
3 315
zi +≤
. Tp hp các đim biểu diễn ca
z
to thành
1
hình phẳng. Diện tích ca hình phẳng đó bằng:
A.
9
π
. B.
16
π
. C.
25
. D.
4
π
.
Câu 80: Cho s phc
z
tha mãn
2 24zz
++−=
. Tp hợp điểm biểu din ca s phc
z
trên mt
phng ta đ
A. Một đường Parabol. B. Một đường Elip. C. Một đoạn thng. D. Một đường tròn.
Câu 81: Cho s phc
z
tha mãn điều kiện
34 2zi−+
. trong mt phng
Oxy
, tp hp đim biểu diễn
s phc
21wz i= +−
là hình tròn có diện tích
A.
25S
π
=
B.
9S
π
=
C.
12S
π
=
D.
16S
π
=
Câu 82: Trong mt phng ta đ
Oxy
, gi
( )
H
là tp hp các đim biểu diễn hình hc ca s phc
z
tha mãn
12
4 3 22
zz
zi
+
−−
. Diện tích ca hình phng
( )
H
là:
A.
44
π
. B.
88
π
. C.
24
π
. D.
84
π
.
Câu 83: Các đim
,AB
tương ng là điểm biểu diễn s phc
12
,zz
trên h trc ta đ
Oxy
,
G
là trng
tâm tam giác
OAB
, biết
1 2 12
12z z zz= =−=
. Độ dài đoạn
OG
bng
A.
43
. B.
53
. C.
63
. D.
33
.
Câu 84: Tính diện tích hình phẳng giới hn bi các điểm biểu diễn các s phc tha mãn
2 4 10z iz i+−+ =
.
A.
15
π
. B.
12
π
. C.
20
π
. D. Đáp án khác.
Câu 85: Cho hai điểm A, B là hai đim biểu diễn hình hc s phc theo th t
1
z
,
2
z
khác 0 và tha mãn
đẳng thc
22
1 2 12
z z zz+=
. Hỏi ba điểm O, A, B to thành tam giác gì? Chọn phương án đúng và
đầy đ nht.
A. Vuông cân ti O. B. Vuông ti O. C. Đều. D. Cân ti O.
Câu 86: Cho các s phc
1 23
3 2, 1 4, 1z iz iz i= = + =−+
điểm biểu diễn hình hc trong mt phng
Oxy
lần lượt là các đim
,,ABC
. Tính diện tích tam giác
ABC
.
A.
2 17
. B.
12
. C.
4 13
. D.
9
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 60
Câu 87: Gi
,
MN
lần lượt đim biểu diễn ca
12
,zz
trong mt phng ta đ,
I
trung điểm
MN
,
O
là gc ta đ,. Mệnh đề nào sau đây luôn đúng?
A.
( )
12
2z z OM ON−= +
. B.
12
z z OI+=
.
C.
12
z z OM ON
−= +
. D.
12
2z z OI+=
.
Câu 88: Cho s phc
(
)
2
21
zm m i
= −+
vi
m
. Gi
( )
C
là tp hp các đim biểu diễn s phc
z
trong mt phng ta đ. Din tích hình phng giới hạn bi
( )
C
và trc hoành bng:
A.
32
3
. B.
8
3
. C. 1. D.
4
3
.
Câu 89: Gi
,,,ABCD
lần lượt là các điểm biếu diễn các s phc
1 2;
i+
1 3;
i++
1 3;
i+−
12i
trên mt phng ta đ. Biết t giác
ABCD
ni tiếp được trong mt đưng tròn, tâm ca đưng
tròn đó biếu diện s phc có phn thc là
A.
3
B. 2 C.
2
D. 1
Câu 90: Xét hai điểm
,AB
lần lượt là các đim trong mt phng to độ
Oxy
biểu diễn các s phc
z
( )
13+ iz
. Biết rằng diện tích ca tam giác
OAB
bằng 6, môđun của s phc
z
bng
A.
2
. B.
23
. C.
2
. D.
4
.
Câu 91: Tìm tp hp tt c các giá tr ca tham s
m
để đúng 4 s phc
z
tha mãn đng thi các điu
kiện
2
zz zz z
++−=
zm=
?
A.
{ }
2; 2 2
. B.
2; 2 2


. C.
{ }
2
. D.
( )
2; 2 2
.
Câu 92: Có bao nhiêu số phc
z a bi= +
,
( )
,ab
tha mãn
346zizi z izi++− =+ +−
10z
.
A.
12
. B.
2
. C.
10
. D.
5
.
Câu 93: Cho hai số phc
12
;
zz
tho mãn:
12
6, 2zz= =
. Gi
,MN
lần lượt điểm biểu diễn ca các
s phc
12
,z iz
. Biết
0
60MON =
, khi đó giá trị của biểu thc
22
12
9zz+
bng
A.
18
. B.
36 3
. C.
24 3
. D.
36 2
.
Câu 94: Cho hai số phc
12
,zz
tha mãn
1 2 12
3, 4, 37z z zz= = −=
. Xét s phc
1
2
z
z a bi
z
= = +
. Tìm
b
A.
33
8
b
=
. B.
39
8
b =
. C.
3
8
b =
. D.
3
8
b =
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 1
Dng toán. Trong mt phng ta đ
,Oxy
hãy tìm tp hợp điểm M biểu diễn s phc
z x yi= +
tha
mãn điều kiện K cho trước?
c 1. Gi
(
)
;M xy
là điểm biểu diễn s phc
z x yi= +
.
c 2. Biến đổi điều kiện K để tìm mối liên hệ gia
,xy
và kết lun.
Mi liên h gia x và y
Kết lun tp hp đim
( )
;
M xy
0.Ax By C+ +=
Là đưng thng
:0d Ax By C
+ +=
.
( ) (
)
22
2
xa yb R +− =
hoc
22
2 2 0.x y ax by c+ +=
Là đưng tròn tâm
( )
;
I ab
và bán kính
22
R abc= +−
.
( ) (
)
22
2
xa yb R−+−≤
hoc
22
2 2 0.x y ax by c
+ +≤
Là hình tròn tâm
( )
;I ab
và bán kính
22
R abc
= +−
.
( ) ( )
22
22
12
.R xa yb R−+−≤
Là nhng đim thuc miền có hình vành khăn tạo bi
hai đường tròn đồng tâm
( )
;I ab
và bán kính ln lưt
1
R
2
R
.
( )
2
, 0 .y ax bx c a= ++
Là một parabol có đỉnh
;
24
b
S
aa

−−


.
22
1
xy
ab
+=
vi
12
2MF MF a+=
12
22FF c a= <
.
Là mt elíp có trc ln
2,a
trc bé
2b
tiêu c
( )
22
22 , 0c a b ab
= >>
.
22
1
xy
ab
−=
vi
12
2MF MF a−=
12
22FF c a= >
.
Là mt hyperbol có trc thc là
2,a
trc o là
2b
tiêu cự
22
22c ab
= +
vi
,0ab>
.
MA MB
=
.
Là đưng trung trực đoạng thng AB.
Lưu ý
Đối với bài toán dạng này, người ra đề thường cho thông qua hai cách:
Trc tiếp, nghĩa là tìm tập hợp điểm
( )
;M xy
biểu diễn s phc
z x yi= +
tha mãn tính cht K.
CHƯƠNG
IV
S PHC
H THNG BÀI TP TRC NGHIM.
III
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 2
Gián tiếp, nghĩa là tìm tập hợp điểm biểu diễn s phc
( )
w fz=
mà s phc z tha mãn tính cht
K nào đó, chẳng hn:
( )
, , 0,...f zz z
=
Câu 1: Cho s phc
z
tha mãn
2z =
. Biết rng tp hp các điểm biểu diễn s phc
(
)
w 32 2i iz=−+
là một đường tròn. Tìm ta đ tâm
I
của đường tròn đó?
A.
(
)
3; 2I
. B.
( )
3;2I
. C.
( )
3;2I
. D.
( )
3; 2I −−
.
Li gii
Cách 1.
Đặt
w
x yi= +
.Ta có
( )
w 32 2i iz=−+
.
(
)
32 2x yi i i z⇔+ = +
.
( ) ( ) ( )
2 32iz x y i = −+ +
.
(
)
( )
(
) (
)
2
4 3 2 .2iz x y i i

= −+ + +

.
2 8 21
55
xy x y
zi
−− + +
⇔= +
.
2z =
nên
22
2 8 21
4
55
xy x y−− + +

+=


.
22
6 4 13 20
xy xy++ +=
.
( ) (
)
22
3 2 20xy⇔− ++ =
.
y tp hợp biểu diễn s phc
w
là đường tròn tâm
( )
3; 2I
.
Cách 2.
Đặt
;wz a bi x yi=+=+
.
2z =
nên
22
4ab+=
.
Ta có
(
)
w 32 2i iz=−+
.
( )( )
23 2x yi i i a bi+ + −= +
.
( ) ( ) ( ) ( )
3 22 2x y i ab bai −+ + = ++
.
( ) ( ) ( ) ( )
22 2 2
3 22 2x y ab ba⇒− ++ = + +
.
( ) ( )
( )
22
22
3 25x y ab⇔− ++ = +
.
( ) ( )
22
3 2 20xy⇔− ++ =
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 3
y tp hợp biểu diễn s phc
w
là đường tròn tâm
( )
3; 2I
.
Câu 2: Trong mt phng phc, tp hợp các điểm biểu diễn s phc
z
tho mãn
.1zz=
A. một đường thng. B. một đường tròn. C. mt elip. D. một điểm.
Li gii
Đặt
z x yi= +
;
,
xy
. Khi đó
z x yi
=
.
( )( )
22
.1 1 1z z x yi x yi x y=⇔+ =+=
.
Vy tp hợp các điểm biểu diễn s phc
z
cần tìm là đường tròn đơn vị.
Câu 3: Cho s phc
z
tha
12 3
zi−+ =
. Biết rng tp hợp các điểm biểu diễn ca s phc
2w zi= +
trên mặt phng
( )
Oxy
là một đường tròn. Tìm tâm ca đường tròn đó.
A.
( )
2; 3I
. B.
( )
1;1I
. C.
( )
0;1I
. D.
( )
1; 0I
.
Li gii
Gi
M
là điểm biểu diễn s phc
w
.
Ta có
2
2
wi
w zi z
= +⇔ =
.
Do đó
12 3zi
−+ =
12 3
2
wi
i
−+ =
23 6wi −+ =
6MI⇔=
, vi
( )
2; 3
I
.
Do đó tập hợp điểm
M
là đường tròn tâm
( )
2; 3I
và bán kính
6
R =
.
Câu 4: Tp hp các điểm biểu diễn s phc
z
tha mãn
( )
1z i iz−= +
một đường tròn, tâm ca
đường tròn đó có tọa đ
A.
(
)
1;1
. B.
( )
0; 1
. C.
( )
0;1
. D.
( )
1;0
.
Li gii
Đặt
( )
,z x yi x y=+∈
.
Ta có
( )
1z i iz
−= +
.
( ) ( )( )
11x y i i x yi⇔+ = + +
(
) ( )
( )
1x y i x y x yi⇔+ = ++
( ) (
) ( )
2 22
2
1 + = ++x y xy xy
22
2 10 + + −=xy y
( )
2
2
12
++ =xy
.
Vy tp hợp các điểm biểu diễn s phc
z
là đường tròn có tâm
( )
0; 1
.
Câu 5: Cho s phc
z
tha mãn
1
2
z
i
=
+
. Biết rng tp hp các đim biểu diễn s phc
z
là mt đưng
tròn
( )
C
. Tính bán kính
r
ca đưng tròn
( )
C
.
A.
1.r =
B.
5.r =
C.
2.r =
. D.
3.r =
.
Li gii
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 4
Ta có:
1 25
2
z
zi
i
= =+=
+
.
Suy ra tp hợp các điểm biểu diễn s phc
z
là một đường tròn có bán kính
5.r =
Câu 6: Trong mt phng ta đ điểm biểu diễn s phc
z
tha mãn
12 3
zi−− =
A. đường tròn tâm
(1; 2)I
, bán kính
9R =
. B. đường tròn tâm
(1; 2)I
, bán kính
3
R =
.
C. đường tròn tâm
( 1; 2)I −−
, bán kính
3R
=
. D.
đường thẳng có phương trình
2 30xy+ −=
.
Li gii
Chn C
Gi s điểm
M(x; y)
là điểm biểu diễn s phc
z
. Ta có:
22
1 2 3 ( 1) ( 2) i 3 ( 1) ( 2) 9zi x y x y= +− = +− =
Vậy điểm
M(x; y)
thuộc đường tròn
22
( 1) ( 2) 9xy+− =
có tâm
(1; 2)I
, bán kính
3R =
.
Câu 7: Xét các s phc
z
tha mãn
(2 )( )zz i−+
là s thun o. Tp hp các đim biểu diễn ca
z
trong
mt phng ta đ là:
A. Đưng tròn tâm
1
1;
2
I



,bán kính
5
2
R =
.
B. Đưng tròn tâm
1
1;
2
I

−−


,bán kính
5
2
R =
.
C. Đưng tròn tâm
( )
2;1I
,bán kính
5R =
.
D. Đưng tròn tâm
1
1;
2
I



,bán kính
5
2
R =
nhưng bỏ điểm
(2;0); (0;1)AB
.
Li gii
Gọi số phc
( )
,.z x yi x y z x yi=+ ⇒=
Thay vào điều kiện ta được:
( ) ( )
[ ]
(2 )( ).
(2 )( ).
2 1.
(2 ) (1 ) (2 )(1 ) .
zz i
x yi x yi i
x yi x y i
x x y y x y xy i
−+
= −− +
= +−


=− + −+ −−
(2 )( )zz i−+
là s thun ảo khi và chỉ khi:
(2 ) (1 ) 0xx y y + −=
.
22
20
x y xy + −=
.
Vy s phc
z x yi= +
thuc đường tròn tâm
1
1;
2
I



,bán kính
5
2
R =
.
Câu 8: Tìm tp hợp điểm biểu diễn s phc z tha mãn
(1 )z i iz−= +
.
A. Đưng tròn tâm I, bán kính
2R =
. B. Đưng tròn tâm I, bán kính
2R =
.
C. Đưng tròn tâm I, bán kính
2R =
. D. Đưng tròn tâm I, bán kính
2R =
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 5
Li gii
Chn D
( )
2
2
(1 ) 1 2z i iz a b−= + + + =
nên tập điểm
M
là Đưng tròn tâm I, bán kính
2R
=
.
Câu 9: Tâp hp tt c các đim biểu diễn s phc
( )
,z x yi x y=+∈
tha mãn
4zi−=
là đưng cong
có phương trình
A.
( )
2
2
14
xy+=
B.
( )
2
2
14xy+− =
C.
( )
2
2
1 16
xy
+=
D.
( )
2
2
1 16xy+− =
li gii:
Ta có
( )
( )
22
22
4 1 4 1 16zi xy xy= +− =+− =
Câu 10: Tp hp tt c các điểm biểu diễn các s phc
z
tha mãn
24zi+−=
là đường tròn có tâm và
bán kính lần lượt là
A.
( )
2; 1
I
;
4R =
. B.
( )
2; 1I
;
2
R
=
. C.
( )
2; 1I −−
;
4R =
. D.
( )
2; 1I −−
;
2R =
.
Li gii
Gi s s phc thỏa mãn bài toán có dạng
z x yi= +
( )
,xy
.
Suy ra
2 2 2 ( 1)z ixyi ix y i
+−= +−=+− +
.
Do đó:
22
2 4 2 ( 1) 4 ( 2) ( 1) 16z i x yi x y+−= +− + = + + + =
.
Vy tp hp tt c các điểm biểu diễn s phc
z
là đường tròn tâm
( )
2; 1I −−
, bán kính
4R =
.
Câu 11: Tp hợp điểm biểu diễn s phc
z
tha mãn
12
zi−+ =
đưng tròn có tâm và bán kính ln
t là:
A.
( )
1;1 , 4IR−=
. B.
( )
1;1 , 2IR−=
. C.
( )
1; 1 , 2IR
−=
. D.
( )
1; 1 , 4IR
−=
.
Li gii
Gi
z a bi= +
, vi
,xy
, ta có:
12zi−+ =
( ) ( )
1 2 1 12x yi i x y i + −+ = + + =
(
)
( )
22
1 14xy⇔−++ =
.
Vy tp hợp các điểm biểu diễn s phc
z
là đường tròn tâm
( )
1; 1I
, bán kính
2R
=
.
Câu 12: Tp hp tt c các đim biểu diễn các s phc
z
tha mãn
( )
1 52iz i+ −+=
là mt đưng tròn
tâm
I
và bán kính
R
lần lượt là
A.
( )
2; 3 , 2IR
−=
. B.
( )
2; 3 , 2
IR−=
. C.
( )
2;3 , 2IR−=
. D.
( )
2;3 , 2IR−=
.
Li gii
Gi
( )
,,z x yi x y=+∈
. Ta có:
( ) ( )( )
1 521 52i z i i x yi i+ −+= + + −+=
(
) ( )
5 12xy xy i −− + ++ =
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 6
(
)
( )
22
5 14xy xy
−− + ++ =
22
2 2 8 12 22 0x yxy + −+ +=
22
4 6 11 0
xy xy
+ + +=
.
Vy tp hp tt c các điểm biểu diễn các s phc
z
là đường tròn tâm
(
)
2; 3I
2R =
.
Câu 13: Xét các s phc
z
tha mãn
2
2
z
zi
+
là s thun ảo. Biết rng tp hpc điểm biểu diễn các s
phc
z
luôn thuc một đường tròn c định. Bán kính của đường tròn đó bằng
A.
1
. B.
2
. C.
22
. D.
2
.
Li gii
Đặt
,,z a bi a b
=+∈
. Gi
( )
;
M ab
là điểm biểu diễn cho s phc
z
.
( )
22
w
22
z a bi
z iab i
+ ++
= =
+−
( )
( )
(
)
2
2
22
2
a bi a b i
ab
++


=
+−
( ) ( )
( )
(
)
( )
2
2
2 2 22
2
aabb ababi
ab
++ −+−+ −+


=
+−
w
là s thun o
( ) ( ) ( )
( )
2
2
2 2 01
20
aa bb
ab
++ =
+−
( )
22
1 220ab ab⇔++−=
.
Suy ra
M
thuộc đường tròn tâm
( )
1;1I
, bán kính
2R =
.
Câu 14: Tính tng ca tt c các giá tr ca tham s
m
để tn ti duy nht s phc
z
tho mãn đng thi
zm=
2
43z m mi m−+ =
.
A.
4
. B.
6
. C.
9
. D.
10
.
Li gii
Đặt
( )
,z x yi x y=+∈
. Ta có điểm biểu diễn
z
( )
;Mxy
.
Vi
0m =
, ta có
0z
=
, tho mãn yêu cầu bài toán.
Vi
0m >
, ta có:
+
zm
=
M
thuộc đường tròn
( )
1
C
tâm
( )
0;0 ,I
bán kính
Rm=
+
( ) ( )
22
24
43 4 3z m mi m x m y m m + = ⇔− ++ =
M
thuộc đường tròn
( )
2
C
tâm
( )
4;3 ,Imm
bán kính
2
Rm
=
.
+) Có duy nht mt s phc
z
tho mãn yêu cầu bài toán khichỉ khi
( )
1
C
( )
2
C
tiếp xúc
nhau
2
2
5
4
.
5
6
0
mm m
II R R
m
mm m
II R R
m
m
= +
′′
= +
=
⇔⇔
=
′′
=
=
>
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 7
Kết hp vi
0m =
, suy ra
{ }
0; 4; 6
m
. Vy tng tt c các giá tr ca
m
10
.
Câu 15: Cho s phc
z
tha mãn:
23
zi
+−=
. Tp hp các đim trong mt phng ta đ
(
)
Oxy
biểu
diễn s phc
1wz= +
A. Đưng tròn tâm
( )
2;1I
bán kính
3R =
.
B. Đưng tròn tâm
( )
2; 1I
bán kính
3R
=
.
C. Đưng tròn tâm
( )
1; 1I −−
bán kính
9R =
.
D. Đưng tròn tâm
( )
1; 1I −−
bán kính
3R =
.
Li gii
Gi
w x yi= +
,
x
,
y
. S phc
w
được biểu diễn bởi điểm
( )
;M xy
.
T
1
wz= +
suy ra
1x yi z+=+
( )
1z x yi⇔= +
( )
1z x yi⇒=
.
23zi+−=
nên ta có:
( )
1 23x yi i +−=
( ) ( )
1 13x yi +− + =
( ) ( )
22
1 13xy + ++ =
(
) ( )
22
2
1 13xy⇔+ ++ =
.
Vy tp hợp điểm biểu diễn s phc
w
là đường tròn tâm
( )
1; 1I −−
bán kính
3
R
=
.
Câu 16: Cho các s phc
z
tha mãn
25z
=
. Biết rng trong mt phng ta đ các đim biểu diễn ca
s phc
( )
2w i iz=+−
cùng thuc một đường tròn c định. Tính bán kính
r
ca đưng tròn
đó?
A.
5r =
. B.
10r =
. C.
20r =
. D.
25r =
.
Li gii
Chn B
Ta có
( ) ( )
22w i iz w i iz=+ −=
. Suy ra
( )
2 2 . 10w i iz i z−= = =
.
Vy tp hợp điểm biểu diễn ca s phc
w
trên mặt phng ta đ nằm trên đường tròn có bán
kính
10r =
.
Câu 17: Xét các số phức
z
thỏa mãn
( )( )
23
z iz−+
số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất
cả các điểm biểu diễn số phức
z
là một đường tròn có bán kính bằng
A.
13
B.
11
C.
11
2
D.
13
2
Li gii
Chn D
Gọi
( )
,z x yi x y=+∈
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 8
Khi đó:
( )( )
23w z iz=−+
[
][
]
( 2) ( 3)x y i x yi= +− + +
[
]
( 3) ( 2) ( 3)( 2)x x y y xy x y i
= + + + + + + −−
Do
w
là số thuần ảo
( 3) ( 2) 0
xx yy ++ +=
22
32 0
xy xy
+++ =
( )
2
2
3 13
1
24
xy

+ ++ =


.
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức
z
là đường tròn tâm
3
;1
2
I

−−


, bán kính
13
2
R =
.
Câu 18: Cho các s phc
z
tha mãn
12z +=
. Biết rng tp hp các điểm biểu diễn các s phc
( )
18w i zi=++
là một đường tròn. Bán kính
r
của đường tròn đó là
A.
9
. B.
36
. C.
6
. D.
3
.
Li gii
Gi
( )
,w x yi x y=+∈
Theo đề bài ta có:
( ) ( ) ( )
( )
( )
18 18 18 118w i zi wi i z wi i z i= + + −= + −= + + +
( )
( ) (
)
(
) ( )
( )
1818 1 1 18 18 1wii iz x y i iz++=+++++=++
( )
( ) ( )
( )
( )
22 2
22
2
1 1 8 1 8 .2 1 1 8 36xy xy + + −+ = + + + −+ =
Vy tp hợp các điểm biểu diễn s phc
(
)
18w i zi=++
là một đường tròn có bán kính
6.r
=
Câu 19: Cho
12
,zz
hai s phc tha mãn điều kiện
|z 5 3i| 5−− =
đồng thời
12
| |8zz−=
. Tp hp các
điểm biểu diễn s phc
12
wz z= +
trong mt phng ta đ
Oxy
là đường tròn có phương trình
A.
22
( 10) ( 6) 36xy +− =
. B.
22
( 10) ( 6) 16xy +− =
.
C.
22
53
( )( )9
22
xy +− =
. D.
22
5 39
( )( )
2 24
xy +− =
.
Li gii
+)Đt
z x yi= +
Khi đó
22
| z 5 3i | 5 | x 5 (y 3)i | 5 ( 5) ( 3) 25xy−− = −+ = + =
()C
Gọi A, B lần lượt là 2 điểm biểu diễn s phc
12
,zz
A, B thuộc đường tròn
()C
có tâm I, bán kính R = 5 và
12
| |8 8z z AB−= =
+) Gọi H là điểm biểu diễn s phc
12
w=
2
zz+
H là trung điểm AB
4
2
AB
AH⇒==
Xét tam giác AIH vuông tại H có AH = 4, AI = 5 nên
2 2 22
54 3IH IA AH= = −=
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 9
H thuộc đường tròn
()C
có tâm I, bán kính
3R
=
+) Gọi M là điểm biểu diễn s phc
12
w=zz+
2OM OH=
 
M là nh của H qua phép vị t tâm O, t s k = 2 với O là gốc ta đ
T
tp hợp M là đường tròn
()C
′′
nh ca
()C
phép v t tâm O, t s k = 2
+) Gi s đường tròn
()C
′′
có tâm J và bán kính
R
′′
2.5 10
2.3 6
2.R 6
a
b
R
= =
⇒= =
′′
= =
Phương trình đường tròn
()C
′′
22
( 10) ( 6) 36xy +− =
Câu 20: Tp hp tt c các điểm biểu diễn các s phc
z
tha mãn:
24zi+−=
là đường tròn có tâm
I
và bán kính
R
lần lượt là:
A.
( )
2; 1I −−
;
4R =
. B.
( )
2; 1I −−
;
2R =
. C.
( )
2; 1I
;
4R =
. D.
( )
2; 1I
;
( )
2; 1I
.
Li gii
Gọi số phc
( )
,z x iy x y=+∈
Ta có:
( ) (
)
2 4 2 14z i x yi+ = + +− =
( )
( )
22
2 1 16
xy⇔+ ++ =
Vy tp hp tt c các điểm biểu diễn các s phc
z
tha mãn:
24zi+−=
đưng tròn có
tâm
(
)
2; 1I −−
và có bán kính
4R =
.
Câu 21: Cho s phc
z
tha mãn
2z
=
. Tp hợp điểm biểu diễn s phc
( )
12w iz i=−+
A. Một đường tròn. B. Một đường thng.
C. Mt Elip. D. Mt parabol hoc hyperbol.
Li gii
Ta có:
( )
12w iz i
=−+
( )
21w i iz⇔−=−
( )
21w i iz⇔−=−
2 22wi⇔−=
.
Do đó, tập hợp điểm biểu diễn s phc
w
là đường tròn tâm
( )
0; 2I
và bán kính
22
.
Câu 22: Tp hợp điểm biểu diễn ca s phc
z
tha mãn
11 2z iz+ = −−
là đưng tròn
( )
C
. Tính bán
kính
R
của đường tròn
( )
C
A.
10
9
R =
. B.
23R =
. C.
7
3
R =
. D.
10
3
R =
.
Li gii
Gọi số phc
z a bi= +
,
( )
,
ab
( )
11 2a bi i a bi+ + = −− +
( ) ( ) ( )
2 22
2
1 12 12ab a b + + = +−−
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 10
22 2 2
2 1 14 4 14 4a a b aa bb + ++ = + ++ +
22
41
20
33
ab a b + + +=
Tp hợp các điểm biểu diễn s phc
z
là một đường tròn có tâm
2
1;
3
I



,
Bán kính
2
21
1
33
R

= +−


10
3
=
.
Câu 23: Tp hp tt c các điểm biểu diễn s phc
z
tha mãn
26
zi
−=
là mt đưng tròn có bán kính
bng:
A.
3
. B.
62
. C.
6
. D.
32
.
Li gii
Cách 1: Đặt
z a bi= +
ta có
26zi−=
22 6a bi i + −=
( )
2
2
4 21 6ab + −=
.
22
4 4 4 35 0
abb+ −−=
22
35
0
4
abb
+ −− =
2
2
1
9
2
ab

+− =


.
Vy tp hp tt c các điểm biểu diễn s phc
z
là đường tròn tâm
1
0;
2
I



bán kính
3R =
.
Cách 2:
26zi−=
1
03
2
zi

⇔− + =


. Gi
I
điểm biểu diễn s phc
1
0
2
i
+
,
M
đim
biểu diễn s phc
z
. Ta có
3MI =
. Vy tp hp tt c c điểm biểu diễn s phc
z
đưng
tròn tâm
1
0;
2
I



bán kính
3R =
.
Câu 24: Cho s phc
z
tha mãn
13 2zi+− =
. Biết tp hợp điểm biểu diễn s phc
( )
2 35w iz i= −+
là một đường tròn. Xác định tâm
I
và bán kính ca đường tròn trên.
A.
(
)
6; 4 , 2 5IR
−− =
. B.
( )
6; 4 , 10IR=
.
C.
( )
6; 4 , 2 5IR=
. D.
( )
6; 4 , 2 5IR−=
.
Li gii
Ta có:
( ) ( )( )
2 3 5 2 13 64wizi wizi i= + = +− + +
( )( )
64 2 13w i iz i = +−
( )( )
6 4 2 13 25w i iz i = +− =
Gi
( )
;M xy
là điểm biểu diễn s phc
( )
;w x yi x y=+∈
( ) ( )
6 4 25 6 4 25w i x yi−− = + =
( ) ( )
( )
2
22
6 4 25xy⇔− +− =
Vy tp hợp điểm biểu diễn s
w
là đường tròn tâm
( )
6; 4I
, bán kính
25R =
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 11
Câu 25: Cho s phc
z
tha mãn
2
z
=
. Biết rng tp hp các điểm biểu din s phc
( )
32 2
w i iz=−+
là một đường tròn. Bán kính
R
của đường tròn đó bằng?
A.
7
. B.
20
. C.
25
. D.
7
.
Li gii
Ta có
(
)
32 2w i iz=−+
32
2
wi
z
i
−+
⇔=
. Đặt
w x yi
= +
( )
,xy
.
Khi đó
32
2
x yi i
z
i
+ −+
=
.
Ta có
2z =
32
2
2
x yi i
i
+ −+
⇒=
( )
32
2
2
x yi
i
−+ +
⇔=
( )
32
2
2
x yi
i
−+ +
⇔=
(
)
3 2 22x yi i −+ + =
( )
3 2 25x yi −+ + =
(
) (
)
( )
2
22
3 2 25xy⇔− ++ =
.
Vy tp hợp các điểm biểu din s phc
(
)
32 2w i iz=−+
là một đường tròn có bán kính
25R =
.
Câu 26: Cho
1
z
,
2
z
hai trong các s phc
z
tha mãn điều kiện
53 5zi−− =
, đồng thi
12
8zz−=
. Tp hợp các điểm biểu diễn ca s phc
12
wz z= +
trong mt phng ta đ
Oxy
đường tròn
có phương trình nào dưới đây?
A.
22
5 39
2 24
xy

+− =


. B.
( ) ( )
22
10 6 36xy +− =
.
C.
( ) ( )
22
10 6 16xy +− =
. D.
22
53
9
22
xy

+− =


.
Li gii
Gi
A
,
B
,
M
các điểm biểu diễn ca
1
z
,
2
z
,
w
. Khi đó
A
,
B
thuc đưng tròn
( ) ( ) ( )
22
: 5 3 25Cx y +− =
12
8AB z z=−=
.
( )
C
có tâm
( )
5;3I
và bán kính
5R =
, gi
T
là trung điểm ca
AB
khi đó
T
là trung điểm ca
OM
22
3IT IA TA= −=
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 12
Gi
J
đim đi xng ca
O
qua
I
suy ra
(
)
10;6J
IT
đưng trung bình ca tam giác
OJM
, do đó
26JM IT= =
.
Vy
M
thuộc đường tròn tâm
J
bán kính bng
6
và có phương trình
( ) ( )
22
10 6 36xy +− =
.
Câu 27: Xét s phc z tha mãn
343zi−+=
, biết rng tp hp các điểm biểu diễn s phc
(12 5 ) 4
w iz i
=−+
là một đường tròn. Tìm bán kính r của đường tròn đó.
A.
13
r =
. B.
39r
=
. C.
17
r =
D.
3r =
.
Li gii
Gọi số phc
,
w x yi= +
vi
,xy R
, biểu diễn bi
(; )Mxy
(12 5 ) 4w iz i=−+
(12 5 ) 4x yi i z i⇔+ = +
( 4)
12 5
xy i
z
i
+−
⇔=
( 4)
12 5
xy i
z
i
−−
⇒=
+
Ta có :
343zi−+=
( 4)
343
12 5
xy i
i
i
−−
−+=
+
63 ( 12)
3
12 5
x yi
i
+−+
⇔=
+
22
22
( 63) ( 12)
3
12 5
xy+ ++
⇔=
+
2 22
( 63) ( 12) 39xy+++=
Vy
39r =
.
Câu 28: Cho số phức
z
thỏa mãn
31z −=
. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức
( )
1 3 12w iz i= +−
là một đường tròn. Tính bán kính
r
của đường tròn đó.
A.
2
r =
. B.
1r =
. C.
4r =
. D.
2r =
.
Li gii
Gi
= +w x yi
.
( )
1 3 12w iz i= +−
( )
1 3 12 + = +−x yi i z i
(
)
12
13
−+ +
⇔=
x yi
z
i
( )
13
12
44

= −+ + +





zx y i i
( ) ( )
( )
( )
1 3 2 2 13
44
−− + + +
= +
x y yx
i
3 −=z
( )
( ) ( ) ( )
13 3 2 2 1 3
44
+ ++−
+
x y yx
i
31z −=
( )
( ) ( ) (
)
22
13 3 2 2 1 3
1
44

+ ++
+=



x y yx
( )
( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
2 22 2
13 2 3 13 2 3 2 2 2 2 1 3 3 1 16 ++ ++++ + + =x x y y y yx x
( )
22
8 4 6 3 12 3 43 0 +++ + + =xy x y
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 13
Bán kính
(
)
2
2
4 2 3 3 12 3 43 2
= +− =r
.
Câu 29: Gi
M
là điểm biểu diễn ca s phc
z
tha mãn
134zm i+ −+ =
. Tìm tt c các s thc
m
sao cho tp hợp các điểm
M
là đường tròn tiếp xúc vi trc
Oy
.
A.
5; 3
mm=−=
. B.
5; 3mm= =
. C.
3m
=
. D.
5m
=
.
Li gii
Chn B
Đặt
(
)
,,z x yi x y=+∈
. Khi đó.
134 134+ −+ = + + −+ =zmi xyimi
.
(
)
( )
( )
( )
2
2
1 34 1 34
+−+ + = +− + + =xm y i xm y
.
( )
( )
2
2
1 3 16 +− + + =xm y
.
Do đó tập hợp các điểm
M
biểu diễn ca s phc
z
là đường tròn tâm
( )
1 ;3Im−−
và bán
kính
4R
=
. Để đường tròn này tiếp xúc vi trc
Oy
thì
14 3
14
14 5
mm
m
mm
−= =

−=

−= =

.
Vy
5; 3mm= =
.
Câu 30: Cho s phc
z
tha mãn
( )
( )
2 2 25z iz i−+ −− =
. Biết tp hợp các điểm
M
biểu diễn s phc
2 23wz i= −+
là đường tròn tâm
( )
;I ab
và bán kính
c
. Giá trị ca
abc++
bng
A.
18
. B.
20
. C.
10
. D.
17
.
Li gii
Chn A
Gi s
z a bi= +
( )
;ab
w x yi= +
( )
;
xy
.
(
)
( )
( ) ( )
2 2 25 2 1 2 1 25z iz i a bia bi
−+ −− = −+ + −− + =


( ) ( )
22
2 1 25ab ++ =
( )
1
Theo giả thiết:
( ) (
)
2 23 2 23 2 2 32w z i x yi a bi i x yi a b i= −+ + = −+ + = −+
.
2
22
2
32 3
2
x
a
xa
yb y
b
+
=
=
⇒⇔

=−−
=
( )
2
.
Thay
( )
2
vào
( )
1
ta được:
( ) ( )
22
22
23
2 1 25 2 5 100
22
xy
xy
+−

+ + = +− =


.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 14
Suy ra, tp hợp điểm biểu din ca s phc
w
là đường tròn tâm
(
)
2;5
I
và bán kính
10R
=
.
Vy
17abc++=
.
Câu 31: Trong mt phng ta đ
Oxy
, tìm tp hợp điểm biểu diễn s phc
z
tha mãn
( )
23 2zi
−−
.
A. Một đường thng. B. Mt hình tròn. C. Mt đường tròn. D. Một đường elip.
Li gii
Chn B
Gi
; ,z x yi x y=+∈
. T gi thiết
(
)
23 2 (23) 2
z i x yi i
≤⇔+
.
(
) (
)
22
( 2) ( 3) 2 2 3 4x yi x y++≤−++≤
.
Vy tp hợp điểm biểu diễn s phc
z
là mt hình tròn.
Câu 32: Có bao nhiêu số phc
z
thỏa mãn điều kiện
12zi z i++ =
1
z =
A.
0
. B.
2
. C.
1
. D.
4
.
Li gii
Chn B
Đặt
;,z x yi x y=+∈
( )
( )
;Mz Mxy=
( ) ( ) ( )
22 2
2
22
12
11 2
1
1
zi z i
x y xy
xy
z
++ =
+ ++ =++


+=
=
22
10
1
xy
xy
−+ +=
+=
Suy ra ta đ điểm
M
nằm trên đường thng
: 10
xy∆−+ +=
và đường tròn
22
1xy
+=
tâm
( )
0;0 , 1OR
=
Ta có
( )
( )
2
2
001
1
,1
2
11
dO R
−+ +
∆= = <=
−+
Suy ra đường thng cắt đường tròn tại hai điểm hay có hai số phc
z
tha mãn.
Câu 33: Xét các s phc
z
tha mãn
( )
( )
42
z iz−+
là s thun ảo. Biết rng tp hp tt c các đim
biểu diễn ca
z
là một đường tròn. Tìm ta đ tâm của đường tròn đó.
A.
( )
1; 2−−
. B.
( )
1; 2
. C.
( )
1; 2
. D.
( )
1; 2
.
Li gii
Chn B
Gi
z x yi= +
vi
,xy
( )
;M xy
là điểm biểu diễn ca s phc
z
.
Ta có
( )( ) ( )
22
4 2 24 248z iz x y x y y x i +=+++
.
( )
( )
42z iz−+
là s thun o
22
24 0xy xy⇔++ =
( ) ( )
22
1 25xy⇔+ +− =
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 15
Tp hợp các điểm biễn diễn ca s phc
z
là m đường tròn có tâm
( )
1; 2I
,bán kính
5
R =
.
Câu 34: Tp hợp điểm biểu diễn s phc
z
thỏa mãn điều kiện
12 1++ =zi
A. đường tròn
( )
1; 2
I
, bán kính
1=R
. B. đường tròn
( )
1; 2−−I
, bán kính
1=R
.
C. đường tròn
(
)
1; 2I
, bán kính
1
=
R
. D. đường tròn
( )
1; 2I
, bán kính
1=R
.
Li gii
Chn C
Đặt
( )
;,=+∈z x yi x y R
Khi đó:
(
) ( )
12 1 1 2 1++ = + +− + =z i x yi
( ) ( )
22
1 21 + +− + =xy
(
)
( )
22
1 21⇔+ +− =xy
Vy tp hợp điểm biểu diễn s phc
z
là đường tròn
( )
1; 2I
, bán kính
1=R
.
Câu 35: Cho s phc
z
tho mãn
( )
( )
1 3 1 3 25z iz i
+− ++ =
. Biết tp hợp biểu diễn s phc
z
là mt
đường tròn có tâm
( )
;I ab
và bán kính
c
. Tng
abc++
bng
A.
9
. B.
3
. C.
2
. D.
7
.
Li gii
Chn D
Ta có
( )
( )
1 3 1 3 25z iz i+− ++ =
( )
( )
. 3 15zz z z z z i +++− =
( )
*
.
Đặt
z x yi= +
,
( )
,xy
khi đó
22
.
2
2
zz x y
zz x
z z yi
= +
+=
−=
.
Thay vào
( )
*
ta được
22
2 6 15 0xy xy++−=
.
Vy tp hợp các điểm biểu diễn
z
thuộc đường tròn
( )
C
có tâm
( )
1;3I
và bán kính
5R =
.
Suy ra
1
3
5
a
b
c
=
=
=
. Vy
7abc++=
.
Cách 2:
Đặt
0
13zi=−+
5R =
.
Ta có
2
00000
zzzz zzzz zz
−= −=
.
Suy ra
2
22
00 0 0
zzzz R zz R zz R = ⇔− = ⇔− =
, vi
0R >
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 16
Vy tp hợp biểu diễn s phc
z
thuộc đường tròn tâm
(
)
1;3
I
, bán kính
5R =
.
Suy ra
1
3
5
a
b
c
=
=
=
. Vy
7abc++=
.
Câu 36: Cho s phc
z
thay đi tha mãn
1 2.
−=
z
Biết rng tp hợp điểm biểu din các s phc
(
)
13 2
=++w iz
là đường tròn có bán kính bng
.R
Tính
.
R
A.
8=R
. B.
2
=
R
. C.
16=
R
. D.
4=R
.
Li gii
Gi
,,
=+∈
w x yi x y
.
( )
13 2
=++w iz
( )
( )
( )
13 2 13 1132⇒+ = + +⇔+ = + ++ +x yi i z x yi i z i
(
)
(
)
(
)
3 3 13 1 −+ = +
x y i iz
( ) ( )
( )
3 3 13 1 −+ = + x y i iz
(
)
( )
2
2
3 3 13 1 +− =+ x y iz
(
)
( )
2
2
3 34
+− =xy
( )
(
)
2
2
3 3 16.⇔− +− =xy
Vy tp hợp điểm biểu diễn các s phc
( )
13 2=++
w iz
đưng tròn tâm
(
)
3; 3I
, bán
kính bng
4.=R
.
Câu 37: Cho s phc
z
tho mãn
15−=z
. Biết tp hp các đim biểu din s phc
w
xác đnh bởi
( )
23 34= + ++w iz i
là một đường tròn bán kính
R
. Tính
R
.
A.
5 13
. B.
5 17
. C.
5 10
. D.
55
.
Li gii
Chn A
Ta có:
1 1 15
−= −= −=zzz
.
Khi đó:
( ) ( )
( ) ( )( )
23 34 23 1 34 23 1 23 1= + ++ = + ++ = + w iz i w iz i i w i iz
1 2 3 . 1 5 13 −− = + =w i iz
.
Vy tp hợp các điểm biểu diễn s phc
w
là một đường tròn bán kính
5 13=R
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 17
Câu 38:
Cho s phc
z
thỏa mãn điều kiện
5z =
. Biết tp hp các điểm biểu diễn s phc
(1 2 )
w iz i=++
là một đường tròn. Tìm bán kính
r
của đường tròn đó.
A.
5r =
. B.
10r
=
. C.
5r =
. D.
25r =
.
Li gii
Chn C
Ta có:
(1 2 ) - (1 2 ) - (1 2 )w iz i w i iz w i iz= + +⇔ = + = +
- (1 2). - 5.
wi iz wi
⇒=+⇒=
Gi
;,w x yi x y=+∈
.
Khi đó
22 22
- 5 5 ( 1) 5 ( 1) 25.wi xyii xy xy=+= +− =+− =
Vy tp hợp điểm biểu diễn s phc
w
là một đường tròn có bán kính
5.r
=
Câu 39: Cho s phc
z
môđun bằng
22
. Biết rng tp hợp điểm trong mt phng ta đ biểu diễn
các s phc
( )
(
)
11
w iz i= +−
là đưng tròn có tâm
( )
;
I ab
, bán kính
R
. Tng
abR++
bng
A.
5
. B.
7
. C.
1
. D.
3
.
Li gii
Chn D
Cách 1: Đặt
w a bi= +
với điều kiện
,ab
.
Ta có
(
)( )
11
w iz i
= +−
( )
( ) ( ) ( )
1 1 11 1abiiziabiizi⇔+ = +⇔+ + = +
(
)
( )
( ) ( )
1 21
12
12
a bi i
a bi
z
i
−+ + +

−+ +

⇔= =
( )
31
2
ab ab i
z
−+ ++
⇔=
.
( )
( )
22
31
22 22
44
ab ab
z
−− ++
= +=
( ) ( )
22
3 1 32ab ab −− + ++ =
22
2 4 11 0ab ab + +−=
.
Suy ra tp hợp điểm biểu diễn s phc
w
là một đường tròn tâm
(
)
1; 2I
, bán kính
4R =
.
T đó suy ra
1, 2, 4ab R==−=
( )
1 2 43abR + + =+− + =
.
Cách 2: Đặt
w x yi= +
, vi
,xy
.
Ta có
(
)( ) ( )(
) ( )
11 11 11w i z i wi i z wi iz i= + −⇔ += + += +
( )
12 1w i iz −+ =
.
Lấy môđun hai vế ta được
( )
12 1 12 1w i i z x yi i i z−+ = + −+ =
( ) ( )
22
1 24xy ++ =
( ) ( )
22
1 2 16xy⇔− ++ =
.
Suy ra tp hợp điểm biểu diễn s phc
w
là một đường tròn tâm
(
)
1; 2I
, bán kính
4R =
.
T đó suy ra
1, 2, 4ab R==−=
( )
1 2 43abR + + =+− + =
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 18
Câu 40: Cho s phc
z
tho mãn
3
z =
. Biết rng tp hợp điểm biểu diễn ca s phc
wzi
= +
là mt
đường tròn. Tìm tâm
I
của đường tròn đó.
A.
( )
0;1I
. B.
( )
0; 1I
. C.
( )
1; 0I
. D.
( )
1; 0I
.
Li gii
Chn A
Ta có
3zz= =
.
T
3w z i wi z wi z wi=+ = −= −=
.
Vy tp hợp điểm biểu diễn ca s phc
w
là đường tròn tâm
( )
0;1I
.
Câu 41: Tp hp các đim biểu diễn các s phc
z
tha mãn
2z zi+=−
là mt đưng thẳng phương
trình
A.
4 2 30xy+ +=
. B.
2 4 13 0
xy+ +=
. C.
4 2 30xy +=
. D.
2 4 13 0xy +=
.
Li gii
Chn A
Gi
( )
;
M xy
là điểm biểu diễn s phc
z
.
Ta có
(
) ( )
22
22
2 2 1 44214230
z zi x y x y x y x y+=+ +=+⇔+=+⇔++=
Do đó ta chọn đáp án A.
Câu 42: Cho s phc
z
tha mãn
12z iz−+ = +
. Trong mt phng phc, qu tích điểm biểu diễn các
s phc
z
.
A. là đường thng
3 10xy+ +=
. B. là đường thng
3 10xy +=
.
C. là đường thng
3 10xy+ −=
. D. là đường thng
3 10xy −=
.
Li gii
Gi s s phc
z
có dng:
( )
z x yi x, y=+∈
Ta có:
( ) (
)
( )
1 2 1 2 11 2z i z x yi i x yi x y i x yi−+ = + + −+ = + + + + = + +
( )
( ) ( )
22 2
2
11 2x y xy
++ = + +
( ) (
) ( )
22 2
2
11 2x y xy⇔− ++ =+ +
22 2 2
21 21 44xx yy xx y ++ + += + + +
62203 10x y xy += −+=
Vy tp hợp điểm biểu diễn s phc
z
là đường thng
3 10xy +=
.
Câu 43: Trên mt phng phc, tp hp các s phc
( )
,z x yi x y=+∈
tha mãn
23z izi++=
đường thẳng có phương trình
A.
1yx= +
. B.
1yx=−+
. C.
1yx=−−
. D.
1yx=
.
Li gii
( ) ( ) (
)
22 2
2
2 3 2 1 3 4 4 40 1z i z i x y x y x y yx++=−⇔+ ++ =++ ==
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 19
Câu 44: Trong mt phng ta đ
Oxy
, tp hp các điểm biểu biễn các s phc
z
tha mãn
12 12
z iz i
−+ = ++
là đường thẳng có phương trình
A.
2 10xy +=
. B.
20
xy+=
. C.
20xy−=
. D.
2 10
xy+ +=
.
Li gii
Đặt
( )
,z x yi x y z x yi=+ ⇒=
( )
;M xy
là điểm biểu diễn ca s phc
z
.
Ta có:
12 12 12 12
z i z i x yi i x yi i+=++⇔++=++
( ) ( )
( )
( )
1 2 12x y i x yi −+ + = ++
( ) ( )
( )
( )
22 22
1 2 12xy x y ++ = + +−
22 22
21 4 4 21 4 4 48 0 2 0
xxyy xxyy xy xy ++ + + = + ++ + = =
.
Vy tp hp các điểm biểu bin các s phc
z
tha mãn yêu cầu bài toán đường thng
phương trình là
20xy−=
.
Câu 45: Xét các s phc
z
tha mãn
( )
2 41zz i i−+ +
là s thc. Biết rng tp hợp các điểm biểu diễn
ca s phc
z
là đường thng
d
. Diện tích tam giác giới hạn bởi đường thng
d
và hai trục ta
độ bng
A.
8
. B.
4
. C.
2
. D.
10
.
Li gii
Gi s
z a bi= +
(
)
,
ab R
.
Khi đó
( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
2 41 2 41 . 2 1 41z z i i a bi a bi i i a bi a b i i++−= + −−++−= + + +−


( ) ( ) ( ) ( )
2 1 1 2 41aa b b a b ba i i= −− −+ −+ +


( ) ( ) ( )
2 1 1 24aa b b a b i= −+ +
.
+
( )
2 41zz i i−+ +
là s thc suy ra
2 4 0.ab +=
+ S phc
z
có điểm biểu diễn
( )
; : 2 40M ab M d x y +=
.
+ Đưng thng
d
ct trc
Ox
,
Oy
lần lượt ti
( )
4;0A
( )
1
0; 2 . . 4
2
OAB
B S OA OB
⇒= =
.
Câu 46: Tp hp các đim biểu diễn các s phc
z
tha mãn
2z zi+=
là mt đưng thẳng phương
trình
A.
4 2 30xy+ +=
. B.
2 4 13 0xy+ +=
. C.
4 2 30xy +=
. D.
2 4 13 0xy +=
.
Li gii
Gọi số phc
z a bi= +
, vi
,ab
thuc
. Khi đó,
(a;b)M
điểm biểu diễn s phc
z
.
Ta có:
2z zi+=
2 (b 1)a bi a i ++ = +
22 2 2
(a 2) (b 1)ba + + = +−
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 20
22 2 2
(a 2) (b 1)ba+ + = +−
4 2 30ab + +=
điểm
(a;b)M
thuộc đường thng
4 2 30xy+ +=
Vy, tp hp các điểm
M
tha mãn bài ra là đường thng
4 2 30xy+ +=
.
Câu 47: Cho s phc
z
tha mãn:
1 23zz i
= −+
. Tp hợp các điểm biểu diễn s phc
z
A. Đưng tròn tâm
(
)
1; 2I
, bán kính
1R =
.
B. Đưng thẳng có phương trình
2 6 12 0xy+=
.
C. Đưng thẳng có phương trình
3 60xy −=
.
D. Đưng thẳng có phương trình
5 60xy −=
.
Li gii
Gi
z x yi= +
; (
x
,
y
).
Ta có:
1 23zz i= −+
( ) ( ) ( )
2 22
2
1 23x yx y⇔− +=− ++
3 60xy
−=
.
Vy tp hợp các điểm biểu diễn s phc
z
là đường thẳng có phương trình
3 60xy −=
.
Câu 48: Tìm tp hợp điểm biểu diễn các s phc
z
tha
( )
12 5 17 7
13
2
iz i
zi
++
=
−−
.
A.
:6 4 3 0dx y
+ −=
. B.
: 2 10dx y+ −=
.
C.
(
)
22
: 2 2 10Cx y x y
+ + +=
. D.
( )
22
: 4 2 40
Cx y x y+ + +=
.
Li gii
Đặt
( )
,
2
z x yi x y
zi
=+∈
≠+
, ta có:
( )
12 5 17 7
13
2
iz i
zi
++
=
−−
( )
12 5 17 7 13 2iz i z i + + = −−
( )( )
12 5 1 13 2iz i z i ++ =
12 5 1 13 2iz i z i ++ =
13 1 13 2zi z i
++ =
12z iz i
++ =
12x yi i x yi i+++=+−
( ) ( ) ( ) ( )
22 22
11 21xyx y+ ++ =− +−
6 4 30
xy + −=
.
Vy tp hợp điểm biểu diễn s phc
z
là đường thng
6 4 30xy+ −=
.
Câu 49: Cho s phc
z x yi= +
( )
,xy
tha mãn
( )
2 10z iz i+ −− =
. Trong mt phng ta đ
Oxy
, điểm
M
là điểm biểu diễn ca s phc
z
. Hỏi
M
thuc đưng thẳng nào sau đây?
A.
50xy+=
. B.
20xy−+=
. C.
20xy+−=
. D.
10xy+ +=
.
Li gii
Ta có
( )
2 10z iz i+ −− =
( )
22
21 0x yi i i x y + + −− + =
(
)
22 22
2 10x xy y xyi + + + −+ + =
22
22
20
10
x xy
y xy
+− + =
−+ + =
22 22
2 10x xyy xy + + + −+ + =
10xy + +=
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 21
Do đó
M
thuộc đường thng
10xy+ +=
.
Câu 50: Trong mt phng phc
Oxy
, tp hp các điểm biểu diễn s phc
Z
tha mãn
( )
2
2
2
2 16zz z++ =
hai đưng thng
12
,
dd
. Khong cách giữa 2 đường thng
12
,dd
là bao
nhiêu?
A.
( )
12
,1ddd =
. B.
(
)
12
,6ddd =
. C.
( )
12
,2ddd =
. D.
( )
12
,4ddd =
.
Li gii
Chn D
Gi
( )
,M xy
là điểm biểu diễn s phc
( )
,z x yi x y R=+∈
Ta có:
( )
2
2
2 2 22 2 2 2
2 16 2 2 2 2 16z z z x xyi y x xyi y x y
+ + =⇔ + −+ −+ + =
2
4 16 2
xx = ⇔=±
(
)
12
,4ddd =
đây lưu ý hai đường thẳng x = 2 và x = -2 song song với nhau.
Câu 51: Trong mt phng phc, tp hp các đim
M
biểu diễn s phc
z
tha mãn điều kiện
34zz i= −+
là?
A. Parabol
2
4yx=
. B. Đưng thng
6 8 25 0xy+−=
.
C. Đưng tròn
22
40
xy+ −=
. D. Elip
22
1
42
xy
+=
.
Li gii
Chn B
Đặt
( )
,z x yi x y=+∈
( )
;
M xy
là điểm biểu diễn ca z.
Ta có
( )( )
22
34 34 3 4
z xy
z i x iy i x y i
= +
−+ = −+ = −+
.
( ) ( )
22
34 3 4z ix y −+ = +−+
.
Vy
( ) ( )
22
22
3 4 3 4 6 8 25 0zz i xy x y xy= −+ + = +−+ + =
.
Câu 52: Cho s phc
z
tha:
2 23 2 12z ii z + = −−
. Tp hợp điểm biểu diễn cho s phc
z
là.
A. Một đường thng có phương trình:
20 32 47 0xy + +=
.
B. Một đường có phương trình:
2
3 20 2 20 0y xy+ +−=
.
C. Một đường thng có phương trình:
20 16 47 0xy+ +=
.
D. Một đường thng có phương trình:
20 16 47 0xy −=
.
Li gii
Chn D
Gi
( )
;M xy
là điểm biểu diễn s phc
z x yi= +
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 22
Ta có.
( ) ( )
( ) ( )
2 23 2 12
2 2 3 12 2 2
z ii z
x yi x yi
+ = −−
+ + = −− + +
.
( )
( ) ( ) ( )
( )
22 2 2
22 2 2
2 2 3 12 2 2
4 46134 4 485
20 16 47 0
x y xy
xy xy x y xy
xy
+ + = −− + +
+++ = + +++
−=
.
Vy tp hợp điểm
( )
;M xy
là đường thng
20 16 47 0xy −=
.
Câu 53: Trên mặt phng ta đ, tìm tp hợp điểm biễu diễn s phc
z
sao cho
2
z
là s thun o.
A. Hai đường thng
yx=
yx
=
.
B. Trc
Ox
.
C. Trc
Oy
.
D. Hai đường thng
yx=
yx=
, b đi điểm
( )
0;0O
.
Li gii
Chn A
Gi
z x yi
= +
,
x
,
y
. S phc
z
được biểu diễn bi
( )
;M xy
.
Ta có:
( )
2
2 22
2
z x yi x y xyi=+ =−+
.
2
z
là s thun ảo nên có phần thc bng
0
, tc là
22 22
0xy yx−==
yx
yx
=
=
.
Vy tp hợp điểm biểu diễn s phc
z
là hai đường thng
yx
=
yx=
.
Câu 54: Tp hp các đim biểu din các s phc
z
tha mãn
22−−= +z izi
đường thẳng phương
trình
A.
4 2 10 −=xy
. B.
4 6 10 −=
xy
. C.
4 2 10+ −=xy
. D.
4 2 10 +=xy
.
Li gii
Chn A
Gọi số phc
( )
;=+∈z x yi x y
có điểm biểu diễn là
(
)
;M xy
.
⇒=z x yi
.
22
−−= +z izi
22 + −−= +x yi i x yi i
( ) ( )
21 2 −+ = +
xyixyi
( ) ( ) ( )
22 2
2
21 2 + = +−x y xy
4 42 1 4 4⇔− + + =− +xy y
4 2 10 −=xy
.
Vy tp hp c điểm biểu diễn các s phc
z
đường thng
4 2 10 −=xy
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 23
Câu 55: Trên mặt phng ta đ, tìm tp hợp điểm biểu diễn s phc
z
tha mãn
2 z zi+=−
.
A. Đưng thng
4 2 30xy+ +=
. B. Đim
( )
1;1/ 2
M
.
C. Đưng thng
2 30
xy
++=
. D. Đưng thng
4 2 30xy+ −=
.
Li gii
Chn A
Gi
(
)
;M xy
,
,xy
là điểm biểu diễn s phc
z
. Suy ra
z x iy
= +
.
2 z zi+=−
( ) (
)
22
22
21x yx y⇔+ +=+−
4 2 30xy + +=
.
Vy tp hợp điểm biểu diễn s phc
z
là đường thẳng có phương trình
4 2 30xy+ +=
.
Câu 56: Cho s phc
z
tha mãn
2 23 2 12
z ii z + = −−
. Tp hợp điểm biểu diễn cho s phc
z
đường thẳng có phương trình:
A.
20 16 47 0
xy
−=
. B.
20 6 47 0
xy+−=
. C.
20 16 47 0xy+ +=
. D.
20 16 47 0xy
+ −=
.
Li gii
Chn A
Gi
( )
;M xy
là điểm biểu diễn cho s phc
,,z x yi x y=+∈
.
z x yi⇒=
.
( )
2 23 2 12 2 23 2 12z i i z x yi i i x yi + = −− + + = −−
( ) (
)
2 2 3 212 2x yi x yi + + = −+ +
( ) ( )
( ) ( )
22 2 2
4 2 3 21 2 2xy x y ++ =−− + +
( ) ( ) ( ) ( )
22 2 2
4 2 3 21 2 2
xy x y

++ =−− + +

16 24 16 36 4 8 1 4
x y xy + ++=+++
20 16 47 0xy
−=
.
Câu 57: Cho s phc tha mãn
1 2.zi z i = −+
Tp hợp điểm biểu diễn s phc
( )
21iz
ω
=−+
trên
mt phng phc là một đường thng. Phương trình đường thẳng đó là
A.
7 90xy+ +=
. B.
7 90xy+ −=
. C.
7 90xy −=
. D.
7 90
xy +=
.
Li gii
Chn A
Ta có:
( )
1
21 .
2
iz z
i
ω
ω
= +⇔ =
Gi
( )
,, .x yi x y
ω
=+∈
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
22 15
11
12 12
22 2 2
x yix yi
zi z i i i
ii i i
ωω
+− ++
−−
= −+ = −+ =
−−
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 24
( ) ( )
( ) ( )
22 22
2 2 1 5 7 9 0.x y x y xy +− = ++ ++=
Kết lun: Tp hợp điểm biểu diễn s phc
ω
trên mt phng phc là mt đưng thẳng phương
trình
7 9 0.xy+ +=
Câu 58: Tp hợp các điểm biểu diễn các s phc
z
tha mãn
22zi zz i= −+
A. Một điểm B. Một đường tròn C. Một đường thng D. Mt Parabol
Li gii
Chn D
Đặt
(
)
,z x yi x y
=+∈
z x yi⇒=−
.
Khi đó
22
zi zz i
−= −+
( )
(
)
2 1 22xy i y i +− = +
( ) ( )
22
2
4 1 22xy y

+− = +

22 2
4 4 844 84xyy yy + += + +
2
4
x
y
⇔=
là mt Parabol.
Câu 59: Cho s phc
z
tha mãn
2 24zz++−=
. Tp hợp điểm biểu diễn ca s phc
z
trên mt
phng ta đ
A. Một đường elip. B. Một đường parabol.
C. Một đoạn thng. D. Một đường tròn.
Li gii
Gi
( )
;M xy
là điểm biểu diễn s phc
z x yi
= +
.
Xét hai điểm
( )
1
2;0F
,
( )
2
2;0F
, khi đó theo giả thiết:
( )
( )
22
22
12
2 24 2 2 4 4z z x y x y MF MF++−= + + + + = + =
.
12
4FF
=
, nên
1 2 12
MF MF F F+=
.
Do đó tập hợp các điểm biểu diễn ca
z
chính là đoạn thng
12
FF
.
Câu 60: Xét các s phc
z
tho n
( )
1
1
zi
z zi
−+
++
là s thc. Tp hp các đim biu din ca s phc
2
z
parabol có to độ đỉnh
A.
13
;
44
I



. B.
11
;
44
I



. C.
13
;
22
I



. D.
11
;
22
I



.
Li gii
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 25
Gi s
z a bi= +
(
)
,ab R
.
Khi đó
( )
(
)
( ) (
)
2
1 1 12
11
1
12 14
1
a b i ai
a bi
zi
ai a
z zi
−+ +

−+ +
−+

= =
++
++
( )
(
)
2
12 1 2 1 1
14
a ab aa b i
a
−+ + +− + +


=
+
.
(
)
1
1
zi
z zi
−+
++
là s thc suy ra
( )
2
2
1
2 1 1 0 2 2 1 4. 2.
2 2 22
ba a
aa b b a a

++= = −⇔ =


.
S phc
2
z
đim biu din
;
22
ab
M



qu tích
M
là parabol có phương trình
2
1
42
2
yx x
= −−
Tp hp các đim biu din ca s phc
2
z
là parabol có to độ đỉnh
13
;
44
I



.
Câu 61: Tính diện tích hình phẳng giới hn bi các điểm biểu din các s phc tha mãn
2 4 10z iz i
+−+ =
.
A.
15
π
. B.
12
π
. C.
20
π
. D. Đáp án khác.
Li gii
Gi
( )
;M xy
là điểm biểu diễn ca s phc
(
)
,.z x yi x y
=+∈
Ta có:
2 4 10
z iz i+−+ =
( )
( )
2 1 4 1 10.x yix yi++− ++− =
( ) ( )
( ) ( )
22 22
21 4110xy xy + +− + +− =
Đặt
( ) ( ) ( )
2
2
2;1 , 4;1 4 2 0 6.A B AB = + +=
Khi đó phương trình tr thành:
10.MA MB+=
Khi đó tập hp những điểm
M
thỏa mãn phương trình là một elip với.
+ Đ dài trục ln
10
2 10 5.
2
aa= ⇒= =
+ Tiêu cự
6
2 6 3.
2
c AB c= =⇒= =
+ Đ dài trục bé
2b
vi
2 22 22
5 3 16 4.b ac b= = = ⇒=
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi các điểm biểu diễn các s phc tha mãn
2 4 10z iz i+−+ =
là diện tích Elip trên:
4.5 20S ab
ππ π
= = =
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 26
Câu 62: Gi
M
là điểm biểu diễn ca s phc
z
tha mãn
32 3zi z z i+ = +− +
. Tìm tp hp tt c
những điểm
M
như vậy.
A. Một đường thng. B. Mt parabol. C. Mt elip. D. Một đường tròn.
Li gii
Chn B
Gọi số phc
z x yi= +
có điểm biểu diễn là
( )
,M xy
trên mặt phng ta đ:
Theo đề bài ta có:
3 2 3 3( )3 2( )( )3z i z z i x yi i x yi x yi i+= +⇔ + += + +⇔
.
2 22 2
3 (3 3) (3 3 ) 9 (3 3) (3 3 )x y ix y x y x y
+ + =+− + + = +−
.
2 22 2 2 2
2
9 (3 3) (3 3 ) 8 36 0
9
xy x y x y y x+ + = + + =⇒=
.
Vy tp hợp các điểm
( )
,M xy
biểu diễn s phức z theo yêu cầu ca đ bài là Một parabol
2
2
9
yx=
.
Câu 63: Cho s phc
z
tha mãn
2 28
zz
++−=
. Trong mt phng phc tp hp những điểm
M
biểu
diễn cho s phc
z
là?
A.
( )
( ) (
)
22
: 2 2 64Cx y
+ +− =
. B.
( )
22
:1
16 12
xy
E +=
.
C.
( )
22
:1
12 16
xy
E +=
. D.
( ) ( )
( )
22
: 2 28Cx y+ +− =
.
Li gii
Chn B
Gi
( )
;M xy
,
1
( 2; 0)F
,
2
(2;0)F
.
Ta có
2 22 2
2 2 8 ( 2) ( 2) 8z z xy xy++= ++ + +− =
12
8MF MF
⇔+=
.
Do đó điểm
( )
;M xy
nằm trên elip
( )
E
2 8 4,aa
=⇔=
ta có
12
2 42 2FF c c c= = ⇔=
.
Ta có
2 22
16 4 12b ac= = −=
. Vy tp hợp các điểm M là elip
( )
22
:1
16 12
xy
E +=
.
Câu 64: Tp hp các đim trong mt phng ta đ biểu diễn s phc
z
tha mãn điều kin
22zi zz i 
là hình gì?
A. Một đường tròn. B. Một đường Parabol.
C. Một đường Elip. D. Một đường thng.
Li gii
Chn B
Đặt
z x yi z x yi=+ ⇒=
điểm biểu diễn ca
z
( )
;M xy
. Ta có:
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 27
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
22
2 22 2
1
2 1 2 1 2 1 21
4
z i z z i x yi i x yi x yi i
xy i y i x y y y x
−= −+ + −= + +
+− = + +− = +=
.
Vy tp hợp các điểm biểu diễn s phc
z
là một đường Parabol.
Câu 65: Tìm tp hp các đim
M
biểu diễn hình hc s phc
z
trong mt phng phức, biết s phc
z
thỏa mãn điều kiện:
4 4 10.zz
.
A. Tp hợp các điểm cần tìm là đường elip có phương trình
22
1
9 25
xy

.
B. Tp hp các đim cn tìm là những điểm
;M xy
trong mt phng
Oxy
thỏa mãn phương
trình
22
22
4 4 12x yx y 
.
C. Tp hợp các điểm cần tìm là đường tròn có tâm
0; 0O
và có bán kính
4R
.
D. Tp hợp các điểm cần tìm là đường elip có phương trình
22
1
25 9
xy

.
Li gii
Chn D
Ta có: Gi
;M xy
là điểm biểu diễn ca s phc
.z x yi
.
Gi
4; 0A
là điểm biểu diễn ca s phc
4.
z
.
Gi
4; 0B
là điểm biểu diễn ca s phc
4.
z

.
Khi đó:
4 4 10 10.z z MA MB

.
Hệ thc trên chng t tp hợp các điểm
M
là elip nhận
,AB
là các tiêu điểm.
Gọi phương trình của elip
22
2 22
22
1, 0,
xy
ab a b c
ab

.
T ta có:
2 10 5.aa 
.
2 22
2 82 4 9AB c c c b a c
.
Vy qu tích các điểm
M
là elip:
22
: 1.
25 9
xy
E 
Câu 66: Cho s phc
z
tha mãn điều kiện:
4 4 10zz++−=
. Tp hp các đim
M
biểu diễn cho s
phc
z
là đường có phương trình.
A.
22
1
9 25
xy
+=
. B.
22
1
25 9
xy
+=
. C.
22
1
9 25
xy
−=
. D.
22
1
25 9
xy
−=
.
Li gii
Chn B
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 28
Gi
( )
;M xy
biểu diễn s phc
( )
,z x yi x y R=+∈
.
T gi thiết ta
(
)
(
)
22
22
12
4 4 10 10x y x y MF MF
+ ++ += + =
vi
( ) ( )
12
4;0 , 4; 0FF
.
Vy tp hợp các điểm
M
biểu diễn cho s phc
z
là đường Elip có phương trình
22
1
25 9
xy
+=
.
Câu 67: Phn gch trong hình v dưới hình biểu diễn ca tp các s phc tha mãn điều kiện nào sau
đây?
A.
68z≤≤
. B.
2 44 4zi ++
. C.
2 44 4zi
−−
. D.
4 4 4 16zi −−
.
Li gii
D thấy điểm
( )
4; 4I
là tâm của hai đường tròn.
Đưng tròn nh có phương trình là:
( ) ( )
22
4 44xy +− =
.
Đường tròn to có phương trình là:
(
) ( )
22
4 4 16xy +− =
.
Vy tp hợp điểm biểu diễn s phc thỏa mãn đề bài là
2 44 4zi
−−
.
Câu 68:
Trong mt phng ta đ
Oxy
, tìm tp hợp các điểm biểu diễn s phc
z
biết
( )
23 2zi−−
.
A. Một đường thng. B. Mt hình tròn. C. Một đường tròn. D. Một đường Elip.
Li gii
Cách 1:
Đặt
z x yi= +
vi
,yx
.
Theo bài ra:
( )
23 2zi−−
( )
23 2x yi i⇔+
2 ( 3) 2x yi −+ +
( ) ( )
22
2 32xy ++
(
) ( )
22
2 34xy⇔− ++
.
Vy tp hợp các điểm biểu diễn s phc
z
trong mt phng ta đ
Oxy
là hình tròn tâm
( )
2; 3I
, bán kính
2
R =
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 29
Câu 69: Trong mt phng phc, tp hợp điểm biểu diễn cho s phc
z
tha
44 2
+−
zi
A. Hình tròn tâm
(
)
4; 4I
, bán kính
4=
R
. B. Hình tròn tâm
( )
4; 4I
, bán kính
2=R
.
C. Hình tròn tâm
(
)
4; 4I
, bán kính
2
=R
. D. Hình tròn tâm
( )
4; 4I
, bán kính
4=R
.
Li gii
Gi
( )
;M xy
là điểm biểu diễn cho s phc
( )
; ;=+∈z x yi x y
.
44 2+− zi
.
44 2x yi i 
( )
4 42 ++ x yi
(
)
( )
22
4 42 + +− xy
(
)
( )
22
4 44⇔+ +− xy
.
Vy tp hợp điểm biểu diễn cho s phc
z
tha
44 2
+−
zi
là hình tròn tâm
( )
4; 4I
, bán
kính
2
=
R
.
Câu 70: Cho s phc
z
tha mãn điều kiện
3 315
zi
+≤
. Tp hp các đim biểu diễn ca
z
to thành
mt hình phẳng. Tính diện tích ca hình phẳng đó.
A.
25S
π
=
. B.
8S
π
=
. C.
4S
π
=
. D.
16
S
π
=
.
Li gii
Gi
( )
;M ab
là điểm biểu diễn ca s phc
z
;
(
)
1; 3A
là điểm biểu diễn s phc
13i−+
.
Khi đó,
( )
( )
22
31 1 3AM z i a b= += + +
( )
( )
22
2
3 1 3 25ab+ +−
, tp hợp các điểm biểu diễn ca
z
là hình vành khăn giới hạn bi
hai đường tròn
( )
;3A
(
)
;5A
, k c các đim nằm trên hai đường tròn này.
( )
25 9 16S dvdt
ππ π
= −=
.
Câu 71: Trong mt phng
Oxy
cho s phc
z
điểm biểu diến nm trong cung phn th
( )
I
. Hỏi
điểm biểu diễn s phc
1
w
iz
=
nm trong cung phần tư thứ my?
A. Cung
( )
IV
. B. Cung
( )
II
. C. Cung
(
)
III
. D. Cung
( )
I
.
Li gii
Vì s phc
z
có điểm biểu diến nm trong cung phần tư thứ
( )
I
nên gọi
( )
, 0, 0z a bi a b=+ >>
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 30
( )
22 22 22
11 1
b ai b a
wi
iziabi baiab ab ab
−−
⇒= = = = =
+ −+ + + +
Do
22 22
0, 0 0, 0
ba
ab
ab ab
> >⇒ < <
++
.
Vậy điểm biểu diễn
w
nm trong cung phần tư thứ
( )
III
.
Câu 72: Trong mt phng ta đ
Oxy
,gọi
( )
H
là phn mt phng cha các đim biểu diễn các s phc
z
tha mãn
16
z
16
z
có phn thc và phn ảo đều thuc đon
[ ]
0;1
.Tính diện tích
S
ca
(
)
H
A.
( )
32 6 .S
π
=
B.
( )
16 4 .S
π
=
C.
256.S =
. D.
64 .S
π
=
.
Li gii.
Gi
,,z x yi x y R=+∈
khi đó điểm biểu diễn ca
z
(
)
;.M xy
16 16 16 16
z x yi x y
i
+
= = +
theo giả thiết
01
0 16
16
0 16
01
16
x
x
yy
≤≤
≤≤

≤≤
≤≤
(
)
22 2222
16
16 16 16 16
x yi
xy
i
x yi
z
xy xy xy
+
= = = +
+ ++
Theo giả thiết
22
22
22
22
16
01
0 16
16
0 16
01
x
xx y
xy
y
yx y
xy
≤≤
≤+
+


≤+
≤≤
+
22
22
0, 0
16 0
16 0
xy
xy x
xy y
≥≥
+−
+−
( )
( )
2
2
2
2
0, 0
8 64
8 64
xy
xy
xy
≥≤
+≥
+−
Gọi
1
S
là diện tích hình vuông OABC có cnh bng 16,
2
1
16 256S = =
.
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
2
4
6
8
0
5
5
10
15
I
B
A
O
E
C
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 31
2
S
là diện tích hình tròn có bán kính bng 8.
3
S
là diện tích phần giao của hai nửa đường tròn như hình vẽ.
22
123
11
256 64 2 8 8
42
SS S S
ππ

=−+= +


Vy
( )
256 64 32 64 32 6S
ππ π
=−+−=
.
Câu 73: Cho s phc
z
tha mãn điều kiện
3 315zi +≤
. Tp hp c điểm biểu diễn ca
z
to
thành mt hình phẳng. Tính diện tích
S
ca hình phẳng đó.
A.
4S
π
=
. B.
25S =
π
. C.
8S =
π
. D.
16S =
π
.
Li gii
Gi
z a bi= +
( )
;ab
.
Ta có
3 315zi +≤
3 315a bi i + +≤
( ) ( )
22
9 3 1 25ab⇔≤ + +
.
Do đó tập hợp các điểm biểu diễn ca
z
là hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn có tâm
( )
3; 1I
bán kính lần lượt là 3 và 5.
Vì vy
( )
22
53S
π
=
=
16
π
.
Câu 74: Biết s phc
z
thõa mãn
11z −≤
zz
có phn o không âm. Phn mt phẳng biểu din s
phc
z
có diện tích là:
A.
2
π
. B.
2
π
. C.
2
π
. D.
π
.
Li gii
Chn C
.
Đặt
z x yi z x yi=+ ⇒=+
khi đó ta có:
( )
11 11z x yi−≤ + −≤
.
x
y
O
-1
-1
1
2
2
1
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 32
( ) ( )
( )
2
2
1 1 1 11x yi x y + ≤⇔ +
.
( ) ( )
2z z x yi x yi yi−= + =
có phn o không âm suy ra
( )
02y
.
Tta suy ra phn mt phẳng biểu diễn s phc
z
là na hình tròn tâm
( )
1; 0I
bán kính
1r
=
, diện tích ca nó bng
2
1
22
r
π
π
⋅=
.
Câu 75: Gi
H
là hình biểu diễn tp hp các s phc
z
trong mt phng ta đ
0xy
sao cho
23zz−≤
,
và s phc
z
có phn ảo không âm. Tính diện tích hình
H
.
A.
3
2
π
. B.
3
4
π
. C.
6
π
. D.
3
π
.
Li gii
Chn B
Gi
( )
,,z x yi x y=+∈
.
Ta có
( ) ( )
22
22 22
2 3 93 99 1
91
xy
x yi x yi x y x y+ ≤⇔ + ≤⇔ + +
.
Suy ra tp hợp điểm biểu diễn s phc
z
là min trong của Elip
22
1
91
xy
+≤
.
Ta có
3, 1ab
= =
, nên diện tích hình
H
cn tìm bng
1
4
diện tích Elip.
Vy
13
...
44
S ab
π
π
= =
.
Câu 76: Tp hp các s phc
( )
11w iz=++
vi
z
là s phc tha mãn
11z −≤
hình tròn. Tính diện
tích hình tròn đó.
A.
2
π
. B.
π
. C.
3
π
. D.
4
π
.
Li gii
Chn A
Gi
;;w x yi x y=+∈
.
Ta có
( )
1
11
1
w
w iz z
i
= + +⇔ =
+
.
Do đó
( ) ( )
21
12
11 11 1 1
11 1
x yi
w wi
z
ii i
−+
−−
≤⇔ ≤⇔ ≤⇔
++ +
.
(
) ( )
( ) ( )
22
21
1 2 12
1
x yi
xy
i
−+
≤⇔ +
+
.
Vy diện tích hình tròn đó là
2S
π
=
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 33
Câu 77: Gi
M
điểm biểu din s phc
2
23
2
zzi
z
ϖ
+−
=
+
, trong đó
z
là s phc tha mãn
( )
(
)
23
izi iz
+ + = −+
. Gi
N
đim trong mt phng sao cho
(
)
,2Ox ON
ϕ
=
 
, trong đó
( )
,Ox OM
ϕ
=
 
là góc ng giác tạo thành khi quay tia
Ox
ti v trí tia
OM
. Đim
N
nm
trong góc phần tư nào?
A. Góc phần tư thứ. B. Góc phần tư thứ.
C. Góc phần tư thứ. D. Góc phần tư thứ.
Li gii
Chn B
Ta có:
(
)(
)
5 1 51 1
2 3 1 ; tan .
4 4 44 5
izi iz z i w i M
ϕ

+ + = −+ = = + =


Lúc đó:
2
22
2 tan 5 1 tan 12
sin 2 0; cos 2 0
13 13
1 t an 1 tan
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
==>==>
++
.
Câu 78: Cho s phc
z
tha mãn điều kiện
3 4 2.zi−+
Trong mt phng
Oxy
tp hợp điểm biu din
s phc
21wz i= +−
là hình tròn có diện tích
A.
9S
π
=
. B.
12S
π
=
. C.
16S
π
=
. D.
25S
π
=
.
Li gii
Chn C
1
21
2
wi
wz iz
−+
= +−⇒ =
(
)
1
342 342 1 684 7941
2
wi
zi iwiiwi
−+
+ ≤⇔ + ≤⇔ ++ ≤⇔ +
Gi s
( )
,w x yi x y=+∈
, khi đó
(
) ( )
( )
22
1 7 9 16xy⇔− ++
Suy ra tp hợp điểm biểu diễn s phc
w
là hình tròn tâm
( )
7; 9
I
, bán kính
4.r =
Vậy diện tích cn tìm là
2
.4 16 .S
ππ
= =
Câu 79: Biết s phc
z
tha điu kin
3 315zi +≤
. Tp hp các đim biểu diễn ca
z
to thành
1
hình phẳng. Diện tích ca hình phẳng đó bằng:
A.
9
π
. B.
16
π
. C.
25
. D.
4
π
.
Li gii
Chn B
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 34
.
Gi
z x yi= +
.
( ) ( )
22
3 3 1 5 9 1 3 25zi x y +≤ + +
.
Vy tp hợp các điểm biểu diễn s phc
z
trên mặt phng phức là hình vành khăn giới hạn bi
hai đường tròn bán kính
5R =
3.r =
Din tích
( )
22
16S Rr
ππ
= −=
.
Câu 80: Cho s phc
z
tha mãn
2 24zz++−=
. Tp hợp điểm biểu din ca s phc
z
trên mt
phng ta đ
A. Một đường Parabol. B. Một đường Elip. C. Một đoạn thng. D. Một đường tròn.
Li gii
Chn C
Cách 1:
Gi
( )
;M xy
là điểm biểu diễn cho s phc
z x yi= +
, vi
,xy
.
Ta có
( )
( )
2 24 2 2 4z z x yi x yi++−= + + + + =
( ) ( )
22
22
2 24x yx y + ++ +=
Xét
( ) ( )
12
2;0 , 2; 0FF
12
4FF⇒=
.
( )
( )
22
22
12
22MF MF x y x y+ = + ++ +
.
Suy ra
1 2 12
MF MF F F+=
M
thuộc đoạn thng
12
FF
Vy tp hợp các điểm
( )
;M xy
biểu diễn cho s phc
z
là một đoạn thng
12
FF
.
Câu 81: Cho s phc
z
tha mãn điều kiện
34 2zi−+
. trong mt phng
Oxy
, tp hp đim biểu diễn
s phc
21wz i= +−
là hình tròn có diện tích
A.
25S
π
=
B.
9S
π
=
C.
12S
π
=
D.
16S
π
=
Li gii
Chn D
Ta có:
21 2 1w z i zw i= + = −+
.
Ta có:
34 2 2 68 4 1 68 4z i z i wi i+ −+ +−+
79 4wi −+
.
Vy tp hợp điểm biểu diễn s phc
w
là hình tròn tâm
( )
7; 9I
, bán kính
4.R =
Do đó diện tích hình tròn tâm
( )
7; 9I
, bán kính là
16S
π
=
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 35
Câu 82: Trong mt phng ta đ
Oxy
, gi
( )
H
là tp hp các đim biểu diễn hình hc ca s phc
z
tha mãn
12
4 3 22
zz
zi
+
−−
. Diện tích ca hình phng
( )
H
là:
A.
44
π
. B.
88
π
. C.
24
π
. D.
84
π
.
Li gii
Chn C
Gọi
z x yi= +
; (
,xy
);
z x yi⇒=
.
Ta có
12
4 3 22
zz
zi
+
−−
( )
( )
22
2 12
4 38
x
xy
≥
+−
( ) ( )
( )
22
6
4 38
x
H
xy
≥
+−
.
( )
H
là phần tô đậm trong hình v.
Giải hệ :
( ) ( )
22
3
4 38
y
xy
=
−+−=
3
4 22
y
x
=
= ±
.
Suy ra đồ th hàm s
3y
=
cắt đường tròn
( )
C
ti
( )
4 2 2;3E
( )
4 2 2;3F
+
.
Vậy diện tích ca hình phng
( )
H
là:
( )
( )
422
2
6
2. 3 8 4 3 dx =2 4x
π
+
+ −−
.
Câu 83: Các đim
,AB
tương ng là điểm biểu diễn s phc
12
,zz
trên h trc ta đ
Oxy
,
G
là trng
tâm tam giác
OAB
, biết
1 2 12
12
z z zz
= =−=
. Độ dài đoạn
OG
bng
A.
43
. B.
53
. C.
63
. D.
33
.
Li gii
Chn A
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 36
Ta có:
12OA OB AB OAB= = = ⇒∆
đều.
2
43
3
OG AH⇒= =
(
do 6 3AH =
đường cao trong tam giác đều).
Kết lun:
43OG =
.
Câu 84: Tính diện tích hình phẳng giới hn bi các điểm biểu din các s phc tha mãn
2 4 10z iz i+−+ =
.
A.
15
π
. B.
12
π
. C.
20
π
. D. Đáp án khác.
Li gii
Chn C
Đặt
(; )z x yi x y=+∈
.
Ta có:
22 22
2 4 10 ( 2) ( 1) ( 4) ( 1) 10
z iz i x y x y++= + +− + +− =
22 22
2 1 4 4 2 1 16 8 10xy y x xy y x
+ ++ + + + ++ =
.
Đặt
22
21
4 4 16 8 24 2
cx y y
dx x d
=+−+
= +⇒ =
.
Thay vào ta có:
2
24 2 10 9 400 56 5776 0cd c d d c d++ + = + + =
.
2 22
9(4 4) 400( 2 1) 56(4 4) 5776 0x xy y x + + ++ + + =
22
256( 1) 400( 1) 6400xy
−+ =
.
Đặt
1
1
Xx
Yy
=
=
ta thu được tp hp s phc
z
là một Elip có phương trình:
22
1
25 16
XY
+=
.
Din tích hình phng gii hn bi các đim biểu diễn các s phức chính là din tích ca Elip trên.
Áp dng công thức tính diện tích Elip với
5, 4ab= =
ta được:
. . 20S ab
ππ
= =
.
Câu 85: Cho hai điểm A, B là hai đim biểu diễn hình hc s phc theo th t
1
z
,
2
z
khác 0 và tha mãn
đẳng thc
22
1 2 12
z z zz+=
. Hỏi ba điểm O, A, B to thành tam giác gì? Chọn phương án đúng
đầy đ nht.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 37
A. Vuông cân ti O. B. Vuông ti O. C. Đều. D. Cân ti O.
Li gii
Chn C
Ta có:
22
1 2 12
z z zz+=
2
11
22
10
zz
zz

+=


.
1
2
13
22
z
i
z
⇔=±
1
2
1
z
z
⇔=
12
zz
⇔=
OA OB⇒=
.
2
1 2 12
()z z zz⇔− =
.
Ly modul 2 vế:
22
1 2 12 1
z z zz z−==
.
22
AB OA OA OB AB = ⇒==
.
Vy tam giác
OAB
là tam giác đu.
Câu 86: Cho các s phc
1 23
3 2, 1 4, 1z iz iz i= = + =−+
điểm biểu diễn hình hc trong mt phng
Oxy
lần lượt là các đim
,,ABC
. Tính diện tích tam giác
ABC
.
A.
2 17
. B.
12
. C.
4 13
. D.
9
.
Li gii
Chn D
1 23
3 2, 1 4, 1
z iz iz i= =+ =−+
có điểm biểu diễn hình hc trong mt phng
Oxy
lần lượt là
các đim
( ) ( ) ( )
, , 3; 2 , 1; 4 , 1;1ABC A B C⇒−
.
(
) (
)
11 2 2
;, ;AB x y AC x y
= =
 
12 21
1
2
ABC
S xy x y
⇒=
.
(
) (
)
2;6 , 4;3
AB AC
=−=
 
Diện tích tam giác
ABC
là:
( ) ( )
1
2 .3 4 .6 9
2
S = −− =
.
Câu 87: Gi
,MN
lần lượt đim biểu diễn ca
12
,zz
trong mt phng ta đ,
I
trung điểm
MN
,
O
là gc ta đ,. Mệnh đề nào sau đây luôn đúng?
A.
( )
12
2z z OM ON−= +
. B.
12
z z OI+=
.
C.
12
z z OM ON−= +
. D.
12
2z z OI+=
.
Li gii
Chn D
,MN
lần lượt là điểm biểu diễn ca
12
,zz
trong mt phng ta đ và 3 điểm
,,OM N
không thngng.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 38
Nên ta có
12
z z OM ON NM NM
−= = =
  
loại đáp án
( )
12
2z z OM ON−= +
12
z z OM ON
−= +
Mt khác
12
22 2z z OM ON OI OI OI+= + = = =
   
loại đáp án
12
z z OI+=
.
Câu 88: Cho s phc
( )
2
21
zm m i= −+
vi
m
. Gi
( )
C
là tp hp các đim biểu diễn s phc
z
trong mt phng ta đ. Din tích hình phng giới hạn bi
( )
C
và trc hoành bng:
A.
32
3
. B.
8
3
. C. 1. D.
4
3
.
Li gii
Chn D
Gi
(
)
;M xy
là điểm biểu diễn s phc
z x yi
= +
( )
, xy
.
Theo giả thiết,
( )
2
21zm m i
= −+
nên:
( )
2
2
2
2
2
43
1
21
mx
xm
yx x
ym
yx
= +
=
⇒= + +

=
=+−
.
( )
2
: 43Cyx x =++
.
Phương trình hoành độ giao điểm ca
( )
C
Ox
:
2
3
4 30
1
x
xx
x
=
+ +=
=
.
Din tích hình phng giới hạn bi
( )
C
và trc hoành:
( )
1
11
3
22 2
33
3
44
43d 43d 2 3 0
3 33
x
S xx x xx x xx
−−
−−

= ++ = ++ = + + ==


∫∫
.
Vy
4
3
S =
.
Câu 89: Gi
,,,ABC D
lần lượt là các điểm biếu diễn các s phc
1 2;i+
1 3;i++
1 3;i+−
12i
trên mt phng ta đ. Biết t giác
ABCD
ni tiếp được trong mt đưng tròn, tâm ca đưng
tròn đó biếu diện s phc có phn thc là
A.
3
B. 2 C.
2
D. 1
Li gii
Chn D
Ta có
( )
( )
( )
( )
1; 2 ; 1 3;1 ; 1 3; 1 ; 1; 2AB C D+ +−
1
2;
2
AD BC AB BC CD AD= = = =
 
nên tứ giác
ABCD
là na lc giác đu
Vy tâm
I
của đường tròn ngoi tiếp t giác là trung điểm ca
AD
( )
1; 0I
nên biểu diễn s
phc là
10 1z iz=+ ⇔=
, có phn thc là
1
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 39
Câu 90: Xét hai điểm
,
AB
lần lượt là các đim trong mt phng to độ
Oxy
biểu diễn các s phc
z
( )
13
+ iz
. Biết rằng diện tích ca tam giác
OAB
bằng 6, môđun của s phc
z
bng
A.
2
. B.
23
. C.
2
. D.
4
.
Li gii
Chn A
Ta có:
( ) ( )
, 13 10 , 13 1 3 3
= = + = = +− = =OA z OB i z z AB z i iz z
.
Ta thy
2
2 22
10= + = ⇒∆
OB AB OA z OAB
vuông tại A.
Do đó
11
6 . 3 . 6 2.
22
= = =⇒=
OAB
S AB OA z z z
Câu 91: Tìm tp hp tt c các giá tr ca tham s
m
để đúng 4 s phc
z
tha mãn đng thi các điu
kiện
2
zz zz z++−=
zm=
?
A.
{ }
2; 2 2
. B.
2; 2 2


. C.
{ }
2
. D.
( )
2; 2 2
.
Li gii
Chn A
Đặt
( )
,z x yi x y R=+∈
( )
( )
2
22
2 2 22
22 2
22
2 2 01
44
02
zz zz z
xy x y
x y xy
xym
zm
xym
++−=
+− =
+=+

⇔⇔

+− =
=
+=

Điều kiện
( )
1
cho ta bốn đường tròn:
+
( )
1
C
có tâm
( )
1
1;1I
và bán kính
1
2R =
.
+
( )
2
C
có tâm
( )
2
1;1I
và bán kính
2
2R =
.
+
( )
3
C
có tâm
( )
3
1; 1I
và bán kính
3
2
R =
.
+
( )
4
C
có tâm
( )
4
1; 1I −−
và bán kính
4
2R =
.
Điều kiện
( )
2
là đường tròn
( )
C
tâm O và bán kính
Rm=
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 40
Dựa vào đồ th, ta thấy điều kiện để có đúng 4 số phc
z
tha mãn yêu cầu bài toán là đường
tròn
( )
C
tiếp xúc với 4 đường tròn
(
)
1
C
,
( )
2
C
,
( )
3
C
,
( )
4
C
ti
,,,D ABC
hoc đi qua các giao
điểm
,,,EFGH
ca bốn đường tròn đó.
Suy ra
22
m
=
hoc
2m =
.
Cách 2: dùng điều kiện trên rồi th các đáp án.
Câu 92: Có bao nhiêu số phc
z a bi= +
,
( )
,ab
tha mãn
346zizi z izi++− =+ +−
10z
.
A.
12
. B.
2
. C.
10
. D.
5
.
Li gii
Chn A
Gi
( )
;M ab
,
( )
0; 1A
,
( )
0;3B
,
( )
0; 4C
,
( )
0;6D
lần lượt là các điểm biểu diễn cho s
phc
z a bi= +
,
i
,
3i
,
4i
,
6i
.
Trưng hp 1: Xét trưng hp
M
không thuc
Oy
. Gi
I
trung điểm
AB
khi đó
I
cũng
là trung điểm
CD
. Do (
M
,
A
,
B
), (
M
,
C
,
D
) không thng hàng. Gi
M
là điểm đối xứng
ca
M
qua
I
.
Theo tính cht hình bình hành ta có
MA MB MB M B
+=+
;
MC MD MD M D
+=+
.
D thy
MD M D MB M B
′′
+ >+
vy tng hợp này không có điểm
M
tha mãn.
Trưng hp 2: Xét trưng hp
M
thuc
( )
0;
Oy M m
,
( )
10m
.
6
13 46
4
m
MA MB MC MD m m m m
m
+ = + ++−=++−
≤−
.
Kết hợp điều kiện
[ ] [ ]
10; 4 6;10m ∈−
. Vì
m ∈⇒
có 12 giá tr.
Câu 93: Cho hai số phc
12
;zz
tho mãn:
12
6, 2zz= =
. Gi
,MN
lần lượt điểm biểu diễn ca các
s phc
12
,
z iz
. Biết
0
60MON =
, khi đó giá trị của biểu thc
22
12
9zz+
bng
A.
18
. B.
36 3
. C.
24 3
. D.
36 2
.
Li gii
Chn B
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 41
Ta có:
1
6
z =
nên điểm biểu diễn ca s phc
1
z
là điểm
M
nằm trên đường tròn
( )
C
tâm
O
, bán
kính bng 6.
22
33 6iz iz= =
nên điểm biểu diễn ca s phc
2
3iz
là điểm
1
N
(
1
N
là giao điểm ca tia
ON
với đường tròn
( )
C
,
N
là điểm biểu diễn ca s phc
2
iz
), điểm biểu diễn ca s phc
2
3iz
là điểm
2
N
đối xứng với điểm
1
N
qua
O
.
Theo giả thiết:
0 00
12
60 60 ; 120
MON MON MON=⇒= =
Ta có:
(
)
( )
2
222
1 2 1 2 1 21 2 1 21 2
12
9 3 33 3 3
. 6.6 3 36 3
z z z iz z iz z iz z iz z iz
MN MN
+= =−+=−−
= = =
Câu 94: Cho hai số phc
12
,zz
tha mãn
1 2 12
3, 4, 37z z zz= = −=
. Xét s phc
1
2
z
z a bi
z
= = +
. Tìm
b
A.
33
8
b =
. B.
39
8
b =
. C.
3
8
b =
. D.
3
8
b =
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 42
Li gii
Chn A
Cách 1
Gi s
( )
1 1 1 11
;z x yi M x y=+↔
( )
2 2 2 22
;z x yi N x y=+↔
Theo giả thiết ta có:
3, 4, 37OM ON MN= = =
Suy ra: tp hp các điểm biểu diễn
1
z
là đường tròn
( )
1
C
có tâm
1
,3OR=
tp hợp các điểm biểu diễn
2
z
là đường tròn
( )
2
C
có tâm
2
,4
OR =
Xét tam giác
OMN
( )
22 2
0
1
cos 120
2. . 2
OM ON MN
MON MON
OM ON
+−
= =−⇒ =
Suy ra M là nh của N qua phép đồng dạng có được bng cách thực hiện liên tiếp phép v t
3
,
4
O
V



và phép quay
( )
0
,120O
Q
hoc phép quay
(
)
0
, 120
O
Q
Như vy ng với mỗi điểm N ta có 2 điểm M đối xứng nhau qua
ON
tha yêu cầu bài toán
Không mt tính tng quát của bài toán ta chọn
( )
4;0N
khi đó
'
,MM
đối xứng qua
Ox
0
0
120
90
MON
NOy
=
=
suy ra
0
0
0
3
.sin 30
2
30
33
.cos30
2
M
M
x OM
yOM
y OM
=−=
=
= =
333
;
22
M




'
3 33
;
22
M

−−



Khi đó
12
3 33
,4
22
z iz=−+ =
suy ra
1
2
3 33
88
z
zi
z
= =−+
12
3 33
,4
22
z iz=−− =
suy ra
1
2
3 33
88
z
zi
z
= =−−
Vy
33
8
b =
Cách 2
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 43
Ta có:
( )
( )
( )
1
2
12
31
42
37 3
z
z
zz
=
=
−=
Mt khác
1
12
2
. (4)
z
z a bi z z z
z
= =+⇒=
Thay vàota đưc:
2
2
3
.3
4
37
1 . 37
1
4
z
zz
zz
z
=
=


−=
−=
( )
22
2
2
9
16
37
1
16
ab
ab
+=
+=
22
28
21
16
9
16
a
ba
+=
=
2
3
33
8
27
8
64
a
b
b
=
⇒=
=
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 61
PHƯƠNG TRÌNH BC HAI - BẬC CAO S PHC
Xét phương trình bậc hai
( )
2
0,
az bz c+ +=
vi
0a
có:
2
4b ac∆=
.
Nếu
0∆=
thì
(
)
có nghiệm kép:
12
2
b
zz
a
= =
.
Nếu
0∆≠
và gọi
δ
là căn bc hai
thì
( )
có hai nghiệm phân biệt:
12
22
bb
zz
aa
δδ
−+ −−
= ∨=
.
Lưu ý
H thc Viét vẫn đúng trong trường phức
:
12
b
zz
a
+=
12
c
zz
a
=
.
Căn bậc hai ca s phc
z x yi= +
là mt s phức w và tìm như sau:
+ Đặt
w z x yi a bi= = +=+
vi
,,,x yab
.
+
( )
2
2
w x yi a bi=+=+
( )
22
2a b abi x yi −+ =+
22
2
ab x
ab y
−=
=
.
+ Gii h này với
,ab
s tìm được a và b
w z a bi⇒= =+
.
Câu 1: Gi
1
z
;
2
z
hai nghiệm của phương trình
2
2 10 0zz++=
. Tính giá tr biu thc
22
12
Az z= +
.
A.
10 3
. B.
52
. C.
2 10
. D.
20
.
Câu 2: Nghim phc có phần ảo dương của phương trình
2
2 50zz +=
là:
A.
12i+
. B.
12i−+
. C.
12i−−
. D.
12i
.
Câu 3: Gi
1
z
;
2
z
hai nghiệm của phương trình
2
2 10 0zz++=
. Tính giá tr biểu thc
22
12
Az z= +
.
A.
10 3
. B.
52
. C.
2 10
. D.
20
.
Câu 4: Ký hiu
1
z
,
2
z
là nghiệm của phương trình
2
2 10 0zz++=
. Giá trị ca
12
.zz
bằng
A.
5
. B.
5
2
. C.
10
. D.
20
.
CHƯƠNG
IV
S PHC
H THỐNG BÀI TP TRẮC NGHIM.
III
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 62
Câu 5: Kí hiu
1
z
,
2
z
là hai nghiệm phc của phương trình
2
3z
=
. Giá trị ca
12
zz+
bằng
A.
6
. B.
23
. C.
3
. D.
3
.
Câu 6: Gi
1
z
,
2
z
là các nghim phc của phương trình
2
8 25 0zz−+=
. Giá trị
12
zz
bằng
A.
5
. B.
3
. C.
8
. D.
6
.
Câu 7: Biết
z
là s phc có phần o âm và là nghim của phương trình
2
6 10 0zz−+=
. Tính tổng phần
thc và phẩn ảo của s phc
w
z
z
=
.
A.
7
5
. B.
1
5
. C.
2
5
. D.
4
5
.
Câu 8: Gi
1
z
,
2
z
là hai nghiệm phc của phương trình
2
4 50zz +=
. Tính
( )
22
12 21
12
11
w izz z z
zz
=++ +
.
A.
4
20
5
wi=−+
. B.
4
20
5
wi= +
. C.
4 20
wi
= +
. D.
4
20
5
wi= +
.
Câu 9: Vi các s thc
,ab
biết phương trình
2
8 64 0z az b++ =
nghiệm phc
0
8 16zi= +
. Tính
môđun của s phc
w a bi= +
A.
w 19=
B.
w3=
C.
w7=
D.
w 29
=
Câu 10: Phương trình
2
.0
z az b+ +=
, vi
,ab
là các s thực nhận số phc
1 i+
là một nghiệm.
Tính
?ab
.
A.
2
. B.
4
. C.
4
. D.
0
.
Câu 11: Gi
12
,zz
là các nghim phc của phương trình
2
4 70zz+ +=
. S phc
12 21
..zz zz+
bằng
A.
2
B.
10
C.
2i
D.
10i
Câu 12: Gi
12
;zz
là hai nghim phc của phương trình
2
3 2 27 0zz−+=
. Giá tr ca
12 1
2
zz z z+
bằng:
A.
2
B.
6
C.
36
D.
6
Câu 13: Gi
1
z
2
z
hai nghiệm phc của phương trình
2
4 29 0zz++=
.Tính giá tr ca biu thc
44
12
zz+
.
A.
841
. B.
1682
. C.
1282
. D.
58
.
Câu 14: Kí hiu
1
;z
2
z
là hai nghiệm phc của phương trình
2
3 10zz+=
. Tính
12
Pz z
= +
.
A.
14
3
P =
. B.
2
3
P =
. C.
3
3
P =
. D.
23
3
P =
.
Câu 15: Gi
1
z
,
2
z
là hai nghim phc của phương trình
2
3 20zz−+=
. nh giá trị biu thc
22
12
= +zT z
.
A.
2
3
=T
. B.
8
3
=T
. C.
4
3
=T
. D.
11
9
= T
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 63
Câu 16: Tính modun của s phc
= +w b ci
,
,bc
biết s phc
8
7
12
1
−−
ii
i
là nghim của phương trình
2
0+ +=z bz c
.
A.
2
. B.
3
. C.
22
. D.
32
.
Câu 17: Gi
,AB
là hai điểm trong mặt phẳng phức theo thứ t biểu diễn cho các số phc
12
,zz
khác
0
thỏa mãn đẳng thc
22
1 2 12
0,z z zz+− =
khi đó tam giác
OAB
(
O
là gc ta đ):
A. Là tam giác đu. B. Là tam giác vuông.
C. Là tam giác cân, không đều. D. Là tam giác tù.
Câu 18: Cho phương trình
2
0bz caz + +=
, vi
,, , 0abc a∈≠
các nghim
12
,zz
đều không số
thực. Tính
22
12 12
z
zzPz
= ++−
theo
,,.abc
A.
2
2
2b
a
P
ac
=
. B.
2
P
a
c
=
. C.
4
P
a
c
=
. D.
2
2
24b
a
P
ac
=
.
Câu 19: Gi
S
là tng các s thc
m
để phương trình
2
21 0
zz m +− =
nghiệm phc tha mãn
2.z =
Tính
.S
A.
6.S =
B.
=10.S
C.
3.S =
D.
7.S
=
Câu 20: Cho số phc
z a bi
= +
( )
, ab
tha mãn
13 0z i zi++ =
. Tính
23S ab= +
.
A.
6S =
. B.
6S =
. C.
5S =
. D.
5S =
.
Câu 21: Gi
S
là tng các giá tr thc ca
m
để phương trình
2
9 61 0zz m+ +− =
có nghim phc tha
mãn
1z =
. Tính
S
.
A.
20
. B.
12
. C.
14
. D.
8
.
Câu 22: Gi
z
là mt nghim ca phương trình
2
10
zz+=
. Giá tr ca biu thc
2019 2018
2019 2018
11
5Mz z
zz
=++ + +
bằng
A. 5. B. 2. C. 7. D.
1
.
Câu 23: Gi
12
,zz
hai nghiệm phc của phương trình
2
4 50zz +=
. Giá tr ca biu thc
( ) ( )
2019 2019
12
11zz +−
bằng?
A.
1009
2
. B.
1010
2
. C.
0
. D.
1010
2
.
Câu 24: Cho phương trình
2
0z bz c+ +=
, có hai nghiệm
12
,zz
tha mãn
21
42zz i−=+
. Gi
,AB
là các
điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình
2
2 40z bz c
+=
. Tính độ dài đoạn
AB
.
A.
8 5.
B.
2 5.
C.
4 5.
D.
5.
Câu 25: Cho số phc
w
và hai s thc
a
,
b
. Biết rng
wi+
và
21w
là hai nghiệm của phương trình
2
0z az b+ +=
. Tng
S ab= +
bằng
A.
5
9
. B.
5
9
. C.
1
3
. D.
1
3
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 64
Câu 26: S phc
z a bi= +
,
,ab
nghiệm của phương trình
( )
( )
11
1
z iz
i
z
z
−+
=
. Tng
22
Ta b= +
bằng
A.
4
. B.
4 23
. C.
3 22+
. D.
3
.
Câu 27: Cho các số phc
z
,
w
khác
0
tha mãn
0zw+≠
13 6
z w zw
+=
+
. Khi đó
z
w
bằng
A.
3
. B.
1
3
. C.
3
. D.
1
3
.
Câu 28: Cho phương trình
2
40
c
xx
d
+=
có hai nghiệm phc. Gi
A
,
B
là hai điểm biểu diễn của hai
nghiệm đó trên mặt phng
Oxy
. Biết tam giác
OAB
đều, tính
2Pc d= +
.
A.
18P =
. B.
10P
=
. C.
14P =
. D.
22P =
.
Câu 29: Xét s phc
z
tha mãn
( )
10
12 2 .iz i
z
+ = −+
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
3
2.
2
z<<
B.
2.z >
C.
1
.
2
z <
D.
13
.
22
z<<
Câu 30: bao nhiêu giá trị dương của s thc
a
sao cho
phương trình
22
3 20z za a+ +− =
nghiệm
phc
0
z
vi phần ảo khác 0 tha mãn
0
3.z =
A.
3
. B.
2
. C.
1
. D.
4
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 1
PHƯƠNG TRÌNH BC HAI - BẬC CAO S PHC
Xét phương trình bậc hai
( )
2
0,
az bz c+ +=
vi
0a
có:
2
4b ac∆=
.
Nếu
0∆=
thì
( )
có nghiệm kép:
12
2
b
zz
a
= =
.
Nếu
0∆≠
và gi
δ
là căn bc hai
thì
( )
có hai nghiệm phân biệt:
12
22
bb
zz
aa
δδ
−+ −−
= ∨=
.
Lưu ý
H thc Viét vẫn đúng trong trường phức
:
12
b
zz
a
+=
12
c
zz
a
=
.
Căn bậc hai ca s phc
z x yi
= +
là mt s phức w và tìm như sau:
+ Đặt
w z x yi a bi= = +=+
vi
,,,x yab
.
+
(
)
2
2
w x yi a bi
=+=+
( )
22
2a b abi x yi −+ =+
22
2
ab x
ab y
−=
=
.
+ Gii h này với
,ab
s tìm được a và b
w z a bi⇒= =+
.
Câu 1: Gi
1
z
;
2
z
hai nghiệm của phương trình
2
2 10 0zz++=
. Tính giá tr biu thc
22
12
Az z= +
.
A.
10 3
. B.
52
. C.
2 10
. D.
20
.
Li gii
Chn D
1
2
2
13
2 10 0
13
zi
zz
zi
=−+
++=
=−−
.
Do đó:
22 2 2
12
1 3 1 3 20
Az z i i= + =−+ +−− =
.
Suy ra
12
6
3
zz= =
. Vy
4
3
P
=
.
Câu 2: Nghim phc có phần ảo dương của phương trình
2
2 50zz +=
là:
A.
12i+
. B.
12i−+
. C.
12i−−
. D.
12i
.
CHƯƠNG
IV
S PHC
H THỐNG BÀI TP TRẮC NGHIM.
III
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 2
Li gii
Chn A
2
2 50zz +=
12
12
zi
zi
= +
=
. Vy nghim phc có phần o dương của phương trình
12zi
= +
.
Câu 3: Gi
1
z
;
2
z
hai nghiệm của phương trình
2
2 10 0zz++=
. Tính giá tr biểu thc
22
12
Az z
= +
.
A.
10 3
. B.
52
. C.
2 10
. D.
20
.
Li gii
1
2
2
13
2 10 0
13
zi
zz
zi
=−+
++=
=−−
.
Do đó:
22 2 2
12
1 3 1 3 20Az z i i= + =−+ +−− =
.
Câu 4: Ký hiu
1
z
,
2
z
là nghiệm của phương trình
2
2 10 0zz++=
. Giá trị ca
12
.zz
bằng
A.
5
. B.
5
2
. C.
10
. D.
20
.
Li gii
Phương trình
2
13
2 10 0
13
=−+
++=
=−−
zi
zz
zi
. Vy
1
13=−+zi
,
2
13
=−−zi
.
Suy ra
12
. 10. 10 10zz= =
.
Câu 5: Kí hiu
1
z
,
2
z
là hai nghiệm phc của phương trình
2
3z =
. Giá trị ca
12
zz+
bằng
A.
6
. B.
23
. C.
3
. D.
3
.
Li gii
Ta có:
2
3
3
3
zi
z
zi
=
=−⇔
=
12
3 3 23
zz i i
+ = +− =
.
Câu 6: Gi
1
z
,
2
z
là các nghim phc của phương trình
2
8 25 0
zz−+=
. Giá trị
12
zz
bằng
A.
5
. B.
3
. C.
8
. D.
6
.
Li gii
Phương trình
2
8 25 0zz−+=
1
2
43
43
zi
zi
=
= +
.
Suy ra:
12
66zz i=−=
.
Câu 7: Biết
z
là s phc có phần o âm và là nghim của phương trình
2
6 10 0zz+=
. Tính tổng phần
thc và phẩn ảo của s phc
w
z
z
=
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 3
A.
7
5
. B.
1
5
. C.
2
5
. D.
4
5
.
Li gii
Ta có:
2
6 10 0
zz
−+=
3
3
zi
zi
=
= +
. Vì
z
là s phc có phần ảo âm nên
3zi⇔=
Suy ra
3 43
w
3 55
zi
i
i
z
= = =
+
Tổng phần thực và phần ảo:
4 31
5 55

+− =


.
Câu 8: Gi
1
z
,
2
z
là hai nghiệm phc của phương trình
2
4 50zz +=
. Tính
( )
22
12 21
12
11
w izz z z
zz
=++ +
.
A.
4
20
5
wi=−+
. B.
4
20
5
wi= +
. C.
4 20wi= +
. D.
4
20
5
wi
= +
.
Li gii
Theo hệ thc Vi-et, ta có
12
12
4
5
zz
zz
+=
=
.
Suy ra
( )
21
1 2 12
12
zz
w i z z zz
zz
+
= ++
4
20
5
i= +
.
Câu 9: Vi các s thc
,ab
biết phương trình
2
8 64 0z az b++ =
nghiệm phc
0
8 16zi= +
. Tính
môđun của s phc
w
a bi= +
A.
w 19=
B.
w3=
C.
w7=
D.
w 29=
Li gii
Chn D
Theo Viet ta có
12
12
8 16
2
. 64 64.5 5
zz a
a
zz b b
+=−=
=

= = =
. Vy
w 29=
.
Câu 10: Phương trình
2
.0z az b+ +=
, vi
,ab
là các s thực nhận số phc
1 i
+
là một nghiệm.
Tính
?ab
.
A.
2
. B.
4
. C.
4
. D.
0
.
Li gii
Do số phc
1 i+
là một nghiệm của phương trình
2
.0z az b+ +=
.
Nên ta có:
( ) ( ) ( )
2
1 1 0 20i a i b ab a i++++=+++=
02
20 2
ab a
ab
+= =

⇔⇔

+= =

.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 4
Vy:
4ab
−=
.
Câu 11: Gi
12
,zz
là các nghim phc của phương trình
2
4 70zz+ +=
. S phc
12 21
..zz zz+
bằng
A.
2
B.
10
C.
2i
D.
10
i
Li gii
Chn A
Ta có
( ) ( )
22
1
12 21
2
23
. . 23 23 2
23
zi
zz zz i i
zi
=−+
+ =−+ +−− =
=−−
Câu 12: Gi
12
;
zz
là hai nghim phc của phương trình
2
3 2 27 0zz−+=
. Giá tr ca
12 1
2
zz z z+
bằng:
A.
2
B.
6
C.
36
D.
6
Ligii
Chn A
2
3 2 27 0zz−+=
12
1 80 1 80
;
33
ii
zz
+−
= =
vy
12 1
2
zz z z+
=2
Câu 13: Gi
1
z
2
z
hai nghiệm phc của phương trình
2
4 29 0zz++=
.Tính giá tr ca biu thc
44
12
zz+
.
A.
841
. B.
1682
. C.
1282
. D.
58
.
Li gii
Phương trình
( )
( )
(
)
2 22
1
2
2
25
4 29 0 2 25 2 5
25
zi
zz z z i
zi
=−−
++=⇔+ =⇔+ =
=−+
.
Suy ra
( )
2
2
12
2 5 29zz= =+=
.
Vy
( ) ( )
44
44
12
29 29 1682zz+= + =
.
Câu 14: Kí hiu
1
;z
2
z
là hai nghiệm phc của phương trình
2
3 10zz+=
. Tính
12
Pz z= +
.
A.
14
3
P =
. B.
2
3
P =
. C.
3
3
P =
. D.
23
3
P =
.
Li gii
Cách 1:
Ta có
22 2
1 1 1 11
3 10 0
3 3 6 36
zz z z z

+= + = =


CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 5
22
1 11
1 11
66
6 36
1 11
66
zi
zi
zi
= +

⇔− =


=
.
Khi đó
22
22
1 11 1 11 2 3
66 6 6 3
P

 
= + + +− =

 

 

.
Cách 2:
Theo nh chất phương trình bậc 2 vi h s thc, ta có
1
;z
2
z
là hai s phc liên hp nên
22
12 1 2
.zz z z= =
. Mà
12
1
.
3
zz =
suy ra
12
3
3
zz= =
.
Vy
12
23
3
Pz z=+=
.
Câu 15: Gi
1
z
,
2
z
là hai nghim phc của phương trình
2
3 20zz−+=
. nh giá trị biu thc
22
12
=
+z
T
z
.
A.
2
3
=
T
. B.
8
3
=T
. C.
4
3
=T
. D.
11
9
=
T
.
Li gii
Phương trình
2
3 20
zz−+=
1
2
2
1 23
6
( 1) 4.3.2 23
1 23
6
i
z
i
z
=
∆= =−
+
=
.
2
1
2
2
2
2
1 23 2 2 2 4
6 6 3 333
zzT


= = + =⇒=+=





.
Câu 16: Tính modun của s phc
= +
w b ci
,
,bc
biết s phc
8
7
12
1
−−
ii
i
là nghim của phương trình
2
0+ +=z bz c
.
A.
2
. B.
3
. C.
22
. D.
32
.
Li gii
Chn C
+) Đt
8
7
12
1
−−
=
o
ii
z
i
, ta có
( )
( )
( )
4
4
82
3
72
11
.
= =−=
= =
ii
i ii i
( )
2
21
112 2
1
111
−−
−−
= = = =−−
++
o
ii
ii
zi
iii
.
+)
o
z
là nghiệm của đa thức
( )
2
=++P z z bz c
o
z
là nghiệm còn lại ca
( )
Pz
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 6
+) Ta có:
22+ = ==−⇒ =
oo
b
zz b b
a
.
( )( )
. 11 2
oo
c
zz i i c c
a
= −− −+ = =
22
2 2 2 2 22
w iw⇒=+ = + =
.
Câu 17: Gi
,AB
là hai điểm trong mặt phẳng phức theo thứ t biểu diễn cho các số phc
12
,z
z
khác
0
thỏa mãn đẳng thc
22
1 2 12
0,z z zz+− =
khi đó tam giác
OAB
(
O
là gc ta đ):
A. Là tam giác đu. B. Là tam giác vuông.
C. Là tam giác cân, không đều. D. Là tam giác tù.
Li gii
Cách 1:
+ Gi
22
1
( , : b 0)z a bi a b a=+ +≠
.
(
)
;
A ab
.
Khi đó
2
z
là nghiệm phương trình:
( ) ( )
2
2
22
0z a bi z a bi−+ ++ =
+ Ta có:
( ) ( ) (
) ( ) (
)
22
22 2
43 3 3a bi a bi a bi a bi i b ai

=++=+= + = +

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
2
33
22
a b ab
zi
−+
= +
nên
33
;
22
a b ab
B

−+



.
Hoc
2
33
22
a b ab
zi
+ −+
= +
nên
33
;
22
a b ab
B

+ −+



.
+ Tính
2 22
b,OA a= +
2 22
b,OB a= +
2 22
b.AB a= +
Vy tam giác
OAB
đều.
Cách 2:
Theo giả thiết:
(
)
( )
22 22
1 2 12 1 2 1 2 12
00z z zz z z z z zz+− = + +− =
33 3 3
1 2 1 2 12
0z z z z z z OA OB+ = =−⇒ = =
.
Mặt khác:
( )
2
12
2 2 12 1 2 12
0z z zz z z zz+− = =
( )
2
2
2
12 12 12 12
.z z z z z z z z AB OA OB = ⇒− = =
.
OA OB=
nên
AB OA OB= =
.
Vy tam giác
OAB
đều.
Cách 3:
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 7
+
2
22
11
1 2 12
22
0 10
zz
z z zz
zz

+ = +=


2
11 1 1
12
22 2 2
13
10 1
2
zz z z
i
zz
zz z z

±
+= = = =


Vy
OA OB=
.
Mặt khác:
12 22 2
13
2
i
z z z z z AB OB
±
−= −= =
Vy tam giác
OAB
đều.
Câu 18: Cho phương trình
2
0bz caz + +=
, vi
,, , 0abc a∈≠
các nghim
12
,zz
đều không số
thực. Tính
22
12 12
z zzPz
= ++−
theo
,,.abc
A.
2
2
2b
a
P
ac
=
. B.
2
P
a
c
=
. C.
4
P
a
c
=
. D.
2
2
24b
a
P
ac
=
.
Li gii
Chn C
Cách 1: Tự luận.
Ta có phương trình
2
0bz caz + +=
có các nghiệm
12
,zz
đều không là số thực, do đó
2
40b ac∆= <
. Ta có
( )
22
4i ac b∆=
.
*
2
1
2
2
4
2
4
2
b i ac b
z
a
b i ac b
z
a
−+
=
−−
=
Khi đó:
2
2
12
2
22
12 12
2
2
12
2
4
4
z
c
Pz z
a
ac b
z
b
z
a
a
zz
z
+=
+ +−
−=
= =
. Vy
4c
P
a
=
.
Cách 2: Trc nghm.
Cho
1, 0, 1ab c= = =
, ta có phương trình
2
10z +=
có 2 nghệm phc là
12
,z iz i= =
. Khi đó
22
12 12
4Pz zzz= + =+
.
Thế
1, 0, 1ab c= = =
lên các đáp án, ta thấy ch có đáp án C cho kết qu ging.
Câu 19: Gi
S
là tng các s thc
m
để phương trình
2
21 0zz m +− =
nghiệm phc tha mãn
2.z =
Tính
.S
A.
6.S
=
B.
=10.S
C.
3.S =
D.
7.S
=
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 8
Li gii
Chn D
Ta có:
( )
2
2
21 0 1zz m z m +− = =
( )
1
+) Vi
0m
thì
( )
11zm⇔=±
. Do
1
21 2
9
m
zm
m
=
=⇔± =
=
.
+) Vi
0m <
thì
( )
11.z im⇔=±
Do
2 1 21 4 3z im m m
= ± = ⇔− = =
.
Vy
193 7
S =+−=
.
Câu 20: Cho số phc
z a bi= +
(
)
,
ab
tha mãn
13 0z i zi++ =
. Tính
23S ab= +
.
A.
6S =
. B.
6S
=
. C.
5S =
. D.
5S
=
.
Li gii
Ta có
13 0z i zi++ =
( )
(
)
22
13 0a b a bi + + +− + =
.
22
10
30
a
b ab
+=
+− + =
( )
2
1
1 3*
a
bb
=
+=+
.
( )
( )
2
2
3
*
13
b
bb
≥−
+=+
3
4
3
b
b
≥−
=
4
3
b⇔=
.
Vy
1
4
3
a
b
=
=
23 6S ab⇒= + =
.
Câu 21: Gi
S
là tng các giá tr thc ca
m
để phương trình
2
9 61 0zz m+ +− =
có nghim phc tha
mãn
1z =
. Tính
S
.
A.
20
. B.
12
. C.
14
. D.
8
.
Li gii
2
9 61 0zz m+ +− =
(
)
*
.
Trưng hp 1:
( )
*
có nghiệm thc
( )
0 9 91 0 1mm
≥⇔ ≥⇔
.
1
1
1
z
z
z
=
=
=
.
1 16zm=⇒=
.
14zm=−⇒ =
.
Trưng hp 2:
( )
*
có nghiệm phc
( )
0z a bi b=+≠
( )
0 9 91 0 1mm
<⇔ <⇔ <
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 9
Nếu
z
là một nghiệm của phương trình
2
9 61 0zz m+ +− =
thì
z
cũng là một nghiệm ca
phương trình
2
9 61 0zz m+ +− =
.
Ta có
2
1
1 1 .z 1 1 1 8
9
cm
zz z m
a
= = =⇔= ==
.
Vy tng các giá tr thc ca
m
bằng
12
.
Câu 22: Gi
z
là mt nghim ca phương trình
2
10zz+=
. Giá tr ca biu thc
2019 2018
2019 2018
11
5
Mz z
zz
=++ + +
bằng
A. 5. B. 2. C. 7. D.
1
.
Li gii
Chn B
Phương trình
2
10zz+=
có hai nghiệm
1 31 3
2 22
i
zi
±
= = ±
.
Chọn
13
cos sin
22 3 3
zii
ππ
=+= +
.
Áp dụng công thức Moivre:
( ) ( ) ( )
cos sin cos sin
n
i nin
ϕϕ ϕ ϕ
+= +
n∀∈
, ta được:
2019
2019
2019 2019 1
cos sin 1 1
33
zi
z
ππ
= + =−⇒ =
.
2018
2018 2018 2 2
cos sin cos sin
3 3 33
zi i
π ππ π
=+=+
2018
1 2 2 22
cos sin cos sin
3 3 33
ii
z
π π ππ
 
=−+ =
 
 
.
Do đó,
2 22 2
1 1 cos sin cos sin 5 2
3 33 3
M ii
π ππ π
=++ +− +=
.
Vy
2M =
.
Câu 23: Gi
12
,zz
hai nghiệm phc của phương trình
2
4 50zz +=
. Giá tr ca biu thc
(
) ( )
2019 2019
12
11zz +−
bằng?
A.
1009
2
. B.
1010
2
. C.
0
. D.
1010
2
.
Li gii
Chn D
Ta có
2
4 50zz +=
2 11
2 11
z iz i
z iz i
= + −=+

⇔⇔

= −=−

.
( ) ( ) ( ) ( )
24 2 4
24
1; 1;1 2;1 4;1 2;1 4;i i i ii i ii= = += += −= −=
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 10
Suy ra
(
)
( )
2019 2019
12
11zz +−
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
504 504
42 22
1 .1 1 1 .1 .1i ii i i i= −+ + + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
504 504
504 504 1010
4 . 2 . 1 4 . 2 . 1 4 .2 . 1 1 4 .2 .2 2ii iiiiiii= + += +++= =
.
Câu 24: Cho phương trình
2
0
z bz c
+ +=
, có hai nghiệm
12
,
zz
tha mãn
21
42
zz i
−=+
. Gi
,AB
là các
điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình
2
2 40z bz c +=
. Tính độ dài đoạn
AB
.
A.
8 5.
B.
2 5.
C.
4 5.
D.
5.
Li gii:
Chn C
2
0z bz c+ +=
có hai nghiệm
12
,zz
tha mãn
21
42zz i
−=+
Xét
(
) ( ) ( )
22 2
2
2 1 2 1 12
42 4 42 4 42z z i z z zz i b c i−=+ + =+ = +
Khi đó phương trình
2
2 40
z bz c
+=
( )
( )
( )
( )
2
2
4 2 4; 2
4 42 ,,
4 2 4; 2
A
B
z b i Ab
b c i b m ni m n
z b i Bb
=−−
∆= = + = +
=++ +
Vậy
( ) ( )
22
4 4 2 2 4 5.AB b b= +−+ + + =
Câu 25: Cho số phc
w
và hai s thc
a
,
b
. Biết rng
wi+
và
21w
là hai nghiệm của phương trình
2
0z az b+ +=
. Tng
S ab= +
bằng
A.
5
9
. B.
5
9
. C.
1
3
. D.
1
3
.
Li gii
Chn B
Đặt
w x yi= +
( )
, xy
. Vì
,
ab
và phương trình
2
0z az b+ +=
có hai nghiệm là
1
z wi= +
,
2
21zw=
nên
( )
12
21 2 1z z w i w x yi i x yi= += + += +
( ) ( )
1
21
1 212
1
12
3
x
xx
x y i x yi
yy
y
=
=
⇔+ + =

+=
=
.
1
2
2
1
1
3
1
2
3
2 11
3
z wi i
wi
zw i
= +=+
⇒=
= −=−
.
Theo định lý Viet:
12
22
22
4 13
.
1
99
aa
zz a
zz b
bb
=−=

+=

⇒⇒

=
+= =


.
Vy
5
9
S ab
=+=
.
Câu 26: S phc
z a bi= +
,
,ab
nghiệm của phương trình
( )
( )
11
1
z iz
i
z
z
−+
=
. Tng
22
Ta b= +
bằng
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 11
A.
4
. B.
4 23
. C.
3 22+
. D.
3
.
Li gii
Chn C
Điu kiện:
0; 1zz≠≠
.
Ta có
( )
( )
( )
( ) ( )
22
11
11
1
z iz
i z z iz z i
z
z
−+
=⇔− + =
( )
( )
22
11ziz ziz zzi⇔+ = + = + +
( )
2
1
z zz =±− + +
2
1
z⇔=
hoặc
2
2 10zz −=
2
1 2 3 22
zz
⇔=+ =+
.
Vy
22
3 22Ta b=+=+
.
Câu 27: Cho các số phc
z
,
w
khác
0
tha mãn
0zw+≠
13 6
z w zw
+=
+
. Khi đó
z
w
bằng
A.
3
. B.
1
3
. C.
3
. D.
1
3
.
Li gii
Chn B
Ta có
13 6
z w zw
+=
+
36wz
zw z w
+
⇔=
+
( )( )
36
w z z w zw⇔+ +=
22
32 0
z zw w +=
2
3 2 10
zz
ww

+=


12
33
z
i
w
⇔=±
1
3
z
w
⇒=
.
Câu 28: Cho phương trình
2
40
c
xx
d
+=
có hai nghiệm phc. Gi
A
,
B
là hai điểm biểu diễn của hai
nghiệm đó trên mặt phng
Oxy
. Biết tam giác
OAB
đều, tính
2Pc d= +
.
A.
18P =
. B.
10P
=
. C.
14
P =
. D.
22P =
.
Li gii
Chn D
Ta có:
2
40
c
xx
d
+=
có hai nghiệm phc
40
c
d
∆= <
.
Khi đó, phương trình có hai nghiệm phc
1
2xi
=+∆
;
2
2xi
=−∆
.
Gi
A
,
B
lần lượt là hai điểm biểu diễn của
1
x
;
2
x
trên mặt phng
Oxy
ta có:
( )
2;A
;
( )
2;B
−∆
.
Ta có:
2AB
=
;
4OA OB
= = +∆
.
Tam giác
OAB
đều khi và ch khi
2 4 44AB OA OB
′′
= = = +∆ = +∆
4
3
⇔∆ =
. Vì
0
∆<
nên
4
3
∆=
hay
4 16
4
33
cc
dd
=−⇔ =
.
T đó ta có
16c =
;
3d =
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 12
Vy:
2 22
Pc d=+=
.
Câu 29: Xét s phc
z
tha mãn
( )
10
12 2 .iz i
z
+ = −+
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
3
2.
2
z<<
B.
2.z >
C.
1
.
2
z <
D.
13
.
22
z<<
Li gii
Chon D
Ta có
1
2
1
.zz
z
=
Vậy
( )
10
12 2iz i
z
+ = −+
(
)
(
)
( )
( )
22
10 10
221 . 221 .
 
 
++ = ++ =
 
 
z zi z z zi z
zz
( )
( )
22
2
42
10 10
2 21 . .zz z
zz


+ + −= =


Đặt
0.
za= >
( ) ( )
2
22
42
2
2
1
10
2 2 1 2 0 1 1.
2
a
a a aa a z
a
a
=

⇒+ + = +−= ==

=

Câu 30: bao nhiêu gtrị dương của s thc
a
sao cho
phương trình
22
3 20
z za a+ +− =
nghiệm
phc
0
z
vi phần ảo khác 0 tha mãn
0
3.z
=
A.
3
. B.
2
. C.
1
. D.
4
.
Li gii
Chn C
Ta có
( )
22
34 2 34 8aa aa∆= = +
.
Phương trình
22
3 20z za a+ +− =
có nghiệm phc khi và ch khi
( )
22
0 3 4 8 0 4 8 3 0 *.aa aa<⇔ + <⇔ >
Khi đó phương trình có hai nghiệm
12
,zz
là hai s phức liên hợp của nhau và
12
.
zz=
Ta có
2
2 2 22
12 12 1 2 0
. 2. 2 . 2 2zzaazzaazzaaz aa=−⇒ = = =
.
Theo giả thiết có
( )
2
2
2
2
23 1
32
3
23
aa a
aa
a
aa
−= =
=−⇔
=
−=
).
Các giá tr ca
a
thỏa mãn điều kiện
( )
*
. Vậy có 1 giá trị dương
a
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 13
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 65
CC TR S PHC MC Đ VN DNG – VN DNG CAO
1. Môđun ca s phc:
S phc
z a bi= +
được biu din bởi điểm M trên mt phẳng Oxy. Độ dài ca véctơ
OM

được gọi là môđun của s phc z. Kí hiu
22
z = a+bi = a +b
Tính cht
22
z a b zz OM= += =

0, , 0 0z zz z ∀∈ = =
.' . 'zz z z=
( )
,'0
''
zz
z
zz
=
'' '
z z zz z z
≤± +
.,kz k z k
=
Chú ý:
2
2
2 22 222 22 22
2 ( )4 .z a b abi a b a b a b z z z z= −+ = + =+= = =
.
u ý:
12 1 2
zz z z+≤+
du bng xy ra
( )
12
0z kz k⇔=
12 1 2
zz z z−≤+
du bng xy ra
(
)
12
0
z kz k⇔=
.
12 1 2
zz z z+≥
du bng xy ra
( )
12
0z kz k⇔=
12 1 2
zz z z−≥
du bng xy ra
( )
12
0z kz k⇔=
( )
2 2 22
12 12 1 2
2zz zz z z+ +− = +
2
2
z zz z= =
z∀∈
2.Mt s qu tích nên nh
Biu thc liên h
,xy
Qu tích đim M
ax 0by c+ +=
z a bi z c di = −−
Đưng thng
:ax 0
by c
+ +=
Đưng trung trực đoạn AB vi
(
) ( )
( )
,, ,A ab B cd
( ) ( )
22
2
xa yb R +− =
hoặc
z a bi R−− =
Đưng tròn tâm
( )
;I ab
, bán kính
R
( ) ( )
22
2
xa yb R−+−≤
hoặc
Hình tròn tâm
( )
;I ab
, bán kính
R
CHƯƠNG
IV
S PHC
H THNG BÀI TP TRC NGHIM.
III
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 66
z a bi R−−
( ) ( )
22
22
r xa yb R−+−≤
hoặc
r z a bi R
−−
Hình vành khăn giới hn bởi hai đường tròn
đồn tâm
(
)
;
I ab
, bán kính lần lượt là
,rR
( )
2
2
0
y ax bx c
c
x ay by c
= ++
= ++
Parabol
( ) ( )
( )
22
22
11
xa yc
bd
++
+=
hoặc
11 2 2
2za bi za bi a +− =
( )
1
Elip
( )
2
Elip nếu
( ) ( )
11 2 2
2 , ,, ,a AB A a b B a b>
Đon AB nếu
2a AB=
(
) (
)
22
22
1
xa yc
bd
++
−=
Hypebol
MT S DNG ĐC BIT CN LƯU Ý:
DNG 1: Qu tích điểm biu din s phức là đường thng.
TQ1: Cho số phc
z
tha mãn
z a bi z−− =
, tìm
Min
z
. Khi đó ta có
+ Qu tích điểm
(
)
;M xy
biu din s phc
z
là đường trung trực đoạn
OA
vi
( )
;A ab
+
22
0
11
22
22
Min
z z ab
ab
zi
= = +
= +
TQ2: Cho số phc thỏa mãn điều kin
.z a bi z c di = −−
Tìm
min
z
. Ta có
+ Qu tích đim
( )
;
M xy
biu din s phc
z
là đưng trung trc đon
AB
vi
( ) ( )
;, ;A ab B cd
+
( )
( ) ( )
222 2
22
,
2
Min
abcd
z d O AB
ac bd
+−−
= =
+−
Lưu ý: Đề bài th suy biến bài toán thành 1 số dạng, khi đó ta cần thc hin biến đổi đ đưa
v dạng cơ bản.
Ví d 1:
+ Cho số phc thỏa mãn điều kin
.z a bi z c di = −−
Khi đó ta biến đổi
.z a bi z c di z a bi z c di = −− + = −−
+ Cho số phc thỏa mãn điều kin
.iz a bi z c di = −−
Khi đó ta biến đổi
.
a bi c di
iz a bi iz c di z z z b ai z d ci
ii
−−
= ⇔+ =+ ⇔++ =++
DNG 2: Qu tích điểm biu din s phức là đường tròn.
TQ: Cho số phc
z
tha mãn điu kin
( )
0
0z a bi R z z R−− = > =
. Tìm
,
Max Min
zz
. Ta có
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 67
+ Qu tích điểm
(
)
;
M xy
biu din s phc
z
là đường tròn tâm
(
)
;
I ab
bán kính
R
+
22
0
22
0
Max
Min
z OI R a b R z R
z OI R a b R z R
= += + += +
= −= +−=
Lưu ý: Đề i th cho dng khác, ta cn thc hin các phép biến đi đ đưa v dng cơ bn.
Ví d 1: Cho số phc
z
thỏa mãn điều kin
a bi R
iz a bi R z
ii
−−
−− = + =
z b ai R ++ =
Ví d 2: Cho số phc
z
thỏa mãn điều kin
z a bi R z a bi R
−− = −+ =
Ví d 3: Cho số phc
z
thỏa mãn điều kin
( )
22
a bi R R
c di z a bi R z
c di c di
cd
−−
+ −− = + = =
++
+
Hay viết gn
1
01
00
z
R
zz z R z
zz
=⇔− =
DNG 3: Qu tích điểm biu din s phc là Elip.
TQ1: Cho số phc
z
thỏa mãn điều kin
(
)
2,zc zc aa c
−++= >
Khi đó ta có
+ Qu tích điểm
( )
;M xy
biu din s phc
z
là Elip:
22
2 22
1
xy
a ac
+=
+
22
Max
Min
za
z ac
=
=
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 68
TQ2:. Cho số phc
z
thỏa mãn điều kin
12
2zz zz a +− =
Tha mãn
12
2
azz
>−
.
Khi đó ta thực hin phép biến đổi để đưa Elip về dng chính tc
Ta có
Khi đ cho Elip dạng không chính tc
( )
1 2 12
2, 2zz zz a z z a
+− = <
12
,,z z c ci≠± ±
).
Tìm Max, Min ca
0
P zz=
.
Đặt
12
2 22
2zz c
b ac
−=
=
Nếu
12
0
0
2
zz
z
+
−=
Max
Min
Pa
Pb
=
=
Nếu
( )
12
0
01 0 2
2
zz
za
zzkzz
+
−>
−=
12
0
12
0
2
2
Max
Min
zz
Pz a
zz
Pz a
+
=−+
+
=−−
Nếu
( )
12
0
01 0 2
2
zz
za
zzkzz
+
−<
−=
12
0
2
Max
zz
Pz a
+
=−+
Nếu
01 02
zz zz−=
12
0
2
Min
zz
Pz b
+
=−−
Câu 1: Cho hai số phc
12
,
zz
tha mãn đng thi hai điu kin sau
1 34, 1 2z z mi z m i = ++ = + +
và sao cho
12
zz
là ln nhất. Khi đó giá trị
12
zz+
bng
A.
2
B.
10
C.
2
D.
130
Câu 2: Cho số phc
z
tha mãn
22 1zi−− =
. S phc
zi
có môđun nhỏ nht là:
A.
52
. B.
51
. C.
51+
. D.
52+
.
Câu 3: Gi
M
m
lần lượt là giá tr ln nht và giá tr nh nht ca
2zi
P
z
+
=
vi
z
là s phc
khác
0
và tha mãn
2z
. Tính t s
M
m
.
A.
3
M
m
=
. B.
4
3
M
m
=
. C.
5
3
M
m
=
. D.
2
M
m
=
.
Câu 4: Cho số phc
z
thoả mãn
23 1zi−− =
. Tìm giá tr ln nht ca
1zi++
.
A.
13 3+
. B.
13 5+
. C.
13 1+
. D.
13 6+
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 69
Câu 5: Xét tt c các s phc
z
tha mãn
341zi−+=
. Giá tr nh nht ca
2
7 24zi+−
nằm trong
khoảng nào?
A.
( )
0;1009
. B.
( )
1009;2018
. C.
( )
2018;4036
. D.
( )
4036;
+∞
.
Câu 6: Cho số phc z tha mãn
4zz zz++−=
. Gi M, m lần lượt là giá tr ln nht và giá tr nh
nht ca
22Pz i= −−
. Đặt
AMm
= +
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
( )
34;6A
. B.
( )
6; 42A
. C.
( )
2 7; 33A
. D.
( )
4;3 3
A
.
Câu 7: Cho số phc
z
tha mãn
6 6 20zz−++=
. Gi
M
,
n
ln lượt là môđun lớn nht và nh nht
ca z. Tính
Mn
A.
2Mn−=
. B.
4Mn
−=
. C.
7Mn−=
. D.
14
Mn−=
.
Câu 8: Cho số phc
z
tha mãn
34 2
zi
−+ =
w2 1zi= +−
. Khi đó
w
có giá tr ln nht bng
A.
4 74
+
. B.
2 130
+
. C.
4 130+
. D.
16 74+
.
Câu 9: Xét s phc
z
và s phc liên hp của điểm biu din là
M
M
. S phc
( )
43
zi+
và s phc liên hp của điểm biu din
N
N
. Biết rng
M
,
M
,
N
,
N
là bn
đỉnh ca hình ch nht. Tìm giá tr nh nht ca
45zi+−
.
A.
5
34
. B.
2
5
. C.
1
2
. D.
4
13
.
Câu 10: Biết s phc
z
tha mãn
32
iz z i = −−
và
z
giá tr nh nht. Phn thc ca s phc
z
bng:
A.
2
5
. B.
1
5
. C.
2
5
. D.
1
5
.
Câu 11: Xét các s phc
z
tha mãn
13 2zi
−− =
. S phc
z
1z
nh nht là
A.
15zi= +
. B.
1zi= +
. C.
13zi= +
. D.
1
zi=
.
Câu 12: Cho số phc
z
tha mãn
4.zz zz++−=
Gi
,Mm
lần lượt là giá tr ln nht và giá tr nh
nht ca
2 2.Pz i= −−
Đặt
.
AMm= +
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
( )
34;6A
. B.
( )
6; 42A
. C.
( )
2 7; 33A
. D.
)
4;3 3A
.
Câu 13: Trong các số phc
z
tha mãn
1 12z iz i−+ = +−
, s phc
z
mô đun nhỏ nht có phn o
A.
3
10
. B.
3
5
. C.
3
5
. D.
3
10
.
Câu 14: Cho hai số phc
12
,zz
tha mãn
12
12
1; 2
23 1
zi z i
z iz i
−+
= =
+ −+
. Giá tr nh nht ca
12
zz
A.
22
. B.
2
. C.
1
. D.
21
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 70
Câu 15: Gi
S
là tp hp các s phc
z
tha mãn
1 34z −=
và
12z mi z m i++ = + +
,. Gi
1
z
,
2
z
là hai s phc thuc
S
sao cho
12
zz
ln nhất, khi đó giá trị ca
12
zz+
bng
A.
2
B.
10
C.
2
D.
130
Câu 16: Cho hai số phc
,zw
tha mãn
32 2z −=
,
42 22wi−=
. Biết rng
zw
đạt giá tr
nh nht khi
0
zz=
,
0
ww=
. Tính
00
3zw
.
A.
22
. B.
42
. C. 1. D.
62
.
Câu 17: Cho hai số phc
z
w
tha mãn
2 86zw i+=
4.zw−=
Giá tr ln nht ca biu thc
zw+
bng
A.
4 6.
B.
2 26.
C.
66.
D.
3 6.
Câu 18: Cho số phức
z
thoả mãn
1z =
. Gọi
M
m
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
2
11Pz z z= ++ −+
. Tính
.Mm
A.
13 3
4
. B.
39
4
. C.
33
. D.
13
4
.
Câu 19: Cho hai số phc
z
a bi
ω
= +
tha mãn
5 56zz+ +− =
;
5 4 20 0ab−−=
. Giá tr nh
nht ca
z
ω
A.
3
41
. B.
5
41
. C.
4
41
. D.
3
41
.
Câu 20: Gi
z a bi= +
( )
,ab
là s phc thỏa mãn điều kin
1 2 2 3 10z iz i
có mô đun nhỏ nht. Tính
7?S ab
A.
7
. B.
0
. C.
5
. D.
12
.
Câu 21: Cho số phc tha mãn . Gi lần lượt là giá tr ln nht, nh nht
ca biu thc . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Câu 22: Cho số phc z
1z =
. Tìm giá tr ln nht ca biu thc
22
1Pz zz z= + ++
.
A.
13
4
B. 3 C.
3
D.
11
4
Câu 23: Gi s
12
,zz
hai trong các s phc tha mãn
( )
( )
68z zi−+
là s thc. Biết rng
12
4zz−=
, giá
tr nh nht ca
12
3zz+
bng
A.
5 21
B.
20 4 21
C.
20 4 22
D.
5 22
Câu 24: Trong các số phc
z
tha mãn
34 2zi−− =
có hai s phc
12
,zz
tha mãn
12
1zz−=
. Giá tr
nh nht ca
22
12
zz
bng
A.
10
B.
4 35−−
C.
5
D.
6 25−−
z
28zz zz
,Mm
33Pz i 
Mm
10 34
2 10
10 58
5 58
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 71
Câu 25: Cho hai số phc
12
,zz
thoả mãn
11
2 4 7 62
z iz i
+−+ =
2
12 1iz i−+ =
. Tìm giá tr nh
nht ca biu thc
12
Tzz= +
.
A.
21
. B.
21
+
. C.
22 1+
. D.
22 1
.
Câu 26: Cho
z
là s phc tha mãn
2zzi= +
. Giá tr nh nht ca
12 13
z iz i−+ + ++
A.
52
. B.
13
. C.
29
. D.
5
.
Câu 27: Cho các s phc
1
2
zi=−+
,
2
2
zi= +
và s phc
z
thay đi tha mãn
22
12
16zz zz +− =
.
Gi
M
m
lần lượt là giá tr ln nht và giá tr nh nht ca
z
. Giá tr biu thc
22
Mm
bng
A.
15
. B.
7
. C.
11
. D.
8
.
Câu 28: Cho số phc
z
tha mãn
24
zizi
≤−
33 1zi−− =
. Giá tr ln nht ca biu thc
2Pz=
là:
A.
13 1
+
. B.
10 1+
. C.
13
. D.
10
.
Câu 29: Xét s phc
z
tha mãn
22 2zi−− =
. Giá tr nh nht ca biu thc
1 52Pz iz i= −−+
bng
A.
1 10+
. B.
4
. C.
17
D.
5
.
Câu 30: Cho số phc
z
tha mãn
34 5zi−− =
. Gi
M
m
ln lưt là giá tr ln nht và giá tr nh
nht ca biu thc
22
2P z zi=+ −−
. Môđun của s phc
w M mi= +
A.
3 137w =
. B.
1258w
=
. C.
2 309w =
. D.
2 314w
=
.
Câu 31: Cho hai số phc
12
,zz
tha mãn
1
12zi+− =
21
z iz=
. Tìm giá tr nh nht
m
ca biu thc
12
zz
?
A.
21m =
. B.
22
m =
. C.
2m =
. D.
22 2m
=
.
Câu 32: Cho hai số phc
,wz
tha mãn
32 1
w12 w2
zi
ii
−−
++≤−
. Tìm giá tr nh nht
min
P
ca biu thc
wPz=
.
A.
min
32 2
2
P
=
. B.
min
21P = +
. C.
min
52 2
2
P
=
. D.
min
32 2
2
P
=
.
Câu 33: Cho các s phc
w
,
z
tha mãn
35
wi
5
+=
( )( )
5w 2 i 4z=+−
. Giá tr ln nht ca biu
thc
1 2i 5 2iPz z= −− +
bng
A.
67
. B.
4 2 13+
. C.
2 53
. D.
4 13
.
Câu 34: Xét các s phc
z a bi= +
(
,ab
) tha mãn
32 2zi−− =
. Tính
ab+
khi
12 2 25z iz i+− +
đạt giá tr nh nht.
A.
43
. B.
23+
. C.
3
. D.
43+
.
V
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 72
Câu 35: Biết rng hai s phc
1
z
,
2
z
tha mãn
1
3 4i 1z −− =
2
1
3 4i
2
z −− =
. S phc
z
có phần thc
a
và phn ảo là
b
tha mãn
3212ab−=
. Giá tr nh nht ca
12
22P zz z z= +− +
bng:
A.
min
9945
11
P =
. B.
min
5 23P =
. C.
min
9945
13
P =
. D.
min
5 25P = +
.
Câu 36: Trong các số phc tha mãn:
1 12−+ = +−z iz i
, s phc
z
có mô đun nhỏ nht có phn o là
A.
3
10
. B.
3
5
. C.
3
5
. D.
3
10
.
Câu 37: Cho số phc
z
tha mãn
1z =
. Gi
,
Mm
lần lượt là giá tr ln nht, giá tr ln nht ca
53 4
62 1
Pz z z z=++ +
. Tính
Mm
.
A.
1Mm−=
. B.
7Mm−=
. C.
6Mm−=
. D.
3Mm−=
.
Câu 38: Cho số phc
z
tha mãn
1=z
. Giá tr ln nht ca biu thc
1 21=++ Pz z
bng
A.
65
. B.
45
. C.
25
. D.
5
.
Câu 39: Cho số phức
z
thoả mãn
1z =
. Gọi
M
m
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
2
11Pz z z= ++ −+
. Tính
.Mm
A.
13 3
4
. B.
39
4
. C.
33
. D.
13
4
.
Câu 40: Cho số phc
z
tha mãn :
2zzi= +
. Giá tr nh nht ca biu thc
4
P zi z= −+
A.
5.
B.
4.
C.
3 3.
D.
6.
Câu 41: Cho các s phc
1
13
zi
= +
,
2
53zi=−−
. Tìm điểm
( )
;
M xy
biu din s phc
3
z
, biết rng
trong mặt phng phc đim
M
nằm trên đường thng
2 10
xy +=
đun số phc
32 1
32w zz z= −−
đạt gí tr nh nht.
A.
31
;
55
M



. B.
31
;
55
M



. C.
31
;
55
M

−−


. D.
31
;
55
M



.
Câu 42: Cho số phc
z
thoả mãn
12 5−+ =zi
. Giá tr ln nht ca
1++zi
bng
A.
5
. B.
52
. C.
20
. D.
25
.
Câu 43: Cho số phc
z
tha mãn
( ) ( )
2 22iz iz i −+ =
. Giá tr nh nht ca
z
bng
A.
1
. B.
25
5
. C.
2
. D.
5
5
.
Câu 44: S phc
z
có môđun nhỏ nhất thoả mãn
23iz zi−− + =
A.
63
55
i
. B.
36
55
i+
. C.
36
55
i
. D.
63
55
i+
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 73
Câu 45: Trong các số phc
z
tha mãn
( )
12 5 17 7
13
2
iz i
zi
++
=
−−
. Tìm giá tr nh nht ca
z
.
A.
3 13
26
. B.
5
5
. C.
1
2
. D.
2
.
Câu 46: Cho số phc
z
tha mãn
( )( )
2
2 5 12 3 1z z z iz i
+ = −+ +
. Tính
min ,w
vi
22wz i=−+
.
A.
1
min
2
w =
. B.
min 1w =
. C.
3
min
2
w =
. D.
min 2w =
.
Câu 47: Xét các s phc
z
tha mãn
3 2 3 35z iz i+ + −+=
. Gi
M
,
m
lần lượt là giá tr ln nht
và giá tr nh nht ca biu thc
2 13Pz z i= + + −−
. Tìm
M
,
m
.
A.
17 5M = +
;
32m =
. B.
26 2 5M = +
;
2m =
.
C.
26 2 5
M = +
;
32
m
=
. D.
17 5M = +
;
3m =
.
Câu 48: Xét các s phc
z
tha mãn
13 2zi−− =
. S phc
z
1z
nh nht là
A.
15zi= +
. B.
1zi= +
. C.
13zi= +
. D.
1
zi=
.
Câu 49: Cho các s phc
,,zz z
12
thay đi tha mãn các điu kin sau:
iz i243
, phn thc ca
z
1
bng 2, phn ảo của
z
2
bng 1. Tìm giá tr nh nht ca biu thc
T zz zz

22
12
.
A.
.
9
B.
.2
C.
.5
D.
.
4
Câu 50: Cho số phc
z
tha mãn
34 5zi−− =
và biu thc
22
2
P z zi=+ −−
đạt giá tr ln nht.
Tính
zi+
.
A.
53
. B.
41
. C.
61
. D.
35
.
Câu 51: Cho số phc
( )
,z a bi a b=+∈
tha mãn
11zi−− =
. Giá tr nh nht ca biu thc
5P ab= +−
A.
32
. B.
22
. C.
3 22
. D.
22+
.
Câu 52: Cho số phc
z a bi
= +
(
a
,
b
) tha mãn
1z =
. Tìm giá tr ln nht ca biu thc
22 2Az z=++
.
A.
10
. B.
52
. C.
10 2
. D.
7
.
Câu 53: Cho số thc
a
thay đổi và s phc
z
tha mãn
( )
2
12
1
z ia
aa i
a
=
−−
+
. Trên mt phng ta đ,
gi
M
là điểm biu din s phc
z
. Khoảng cách nh nht gia hai điểm
M
( )
3;4I
A.
6
. B.
5
. C.
4
. D.
3
.
Câu 54: Xét s phc
z
tha mãn
24 5zi−− =
. Gi
a
b
lần lượt là giá tr ln nht và giá tr nh
nht ca
z
. Giá tr biu thc
22
ab
bng
A.
40
. B.
45
. C.
20
. D.
25
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 74
Câu 55: Cho
12
, zz
là hai trongc s phc tha mãn
332zi−+ =
12
4zz−=
. Giá tr ln nht ca
12
zz+
bng
A.
8
. B.
43
. C.
4
. D.
2 23+
.
Câu 56: Gi s
12
,zz
là hai trong các s phc tha mãn
( )
( )
68z zi−+
là s thc. Biết rng
12
4zz−=
.
Giá tr nh nht ca
12
3zz+
bng
A.
5 21
. B.
20 4 21
. C.
20 4 22
. D.
5 22
.
Câu 57: Trong các số phc
z
tha mãn
2
12zz+=
gi
1
z
2
z
lần lượt là các s phức có môđun nhỏ
nht và ln nht. Giá tr ca biu thc
22
12
zz+
bng
A.
6.
B.
2 2.
C.
4 2.
D.
2.
Câu 58: Gi
z
là s phức môđun nhỏ nht tha mãn điu kin
2 8 17zi−− =
. Biết
( )
,z a bi a b=+∈
, tính
2
23ma b=
A.
18m =
. B.
54m =
. C.
10m =
. D.
14m =
.
Câu 59: Xét các s phc
( )
,z a bi a b=+∈
tha mãn
2 3 22zi+− =
. Tính
2P ab= +
khi
16 72z iz i++ +
đạt giá tr ln nht.
A.
3P =
. B.
3P =
. C.
1P =
. D.
7P =
.
Câu 60: Cho số phc
z
tha mãn
( )
1 13 32iz i+ +− =
. Giá tr ln nht ca biu thc
2 6 23Pz i z i= +++
bng
A.
56
. B.
( )
15 1 6+
. C.
65
. D.
10 3 15+
.
Câu 61: Cho số phc
z
thay đi tha mãn
13zi+− =
. Giá tr nh nht ca biu thc
2 45 17A z iz i= + + +−
bng
ab
. Tính
S ab= +
?
A.
20
. B.
18
. C.
24
. D.
17
.
Câu 62: Cho là nghiệm phương trình và tha mãn . Giá tr ln
nht ca bng
A. . B. . C. . D. .
Câu 63: Cho các số phc tha mãn . Tìm giá tr ln nht
A. . B. . C. . D. .
Câu 64: Cho các s phc tha mãn . Tìm giá tr nh nht ca biu thc
.
A. . B. . C. . D. .
12
,zz
63 2 69i iz z i + = −−
12
8
5
zz−=
12
zz+
56
5
28
5
6
5
z
w
( )
31
1
z
iz i
w
= +−
T wi= +
2
2
32
2
2
1
2
z
2 2 23zz ++ =
23 33 2 3Pz iz izi=+ ++− + +−
12
6
8
10
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 75
Câu 65: Cho số phc , tha mãn . Biu thc đạt giá
tr ln nht ti vi . Khi đó: bng
A. . B. . C. . D. .
Câu 66: Cho số phc tha mãn ln nht. Tính
.
A. . B. . C. . D. .
Câu 67: Cho số phc tha ln nht. Tính ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 68: Cho số phc tha mãn , lần lượt là giá tr ln nht và giá tr nh nht ca biu
thc . Giá tr ca biu thc bng
A. . B. . C. . D. .
Câu 69: Xét tp hp các s phc tha mãn điu kin .
Biu thc đạt giá tr ln nht là đạt được ti . Tính giá tr
A. . B. . C. . D. .
Câu 70: Cho hai trong các s phc tha mãn . Giá tr ln nht ca
bng
A. . B. . C. . D. .
Câu 71: Cho hai số phc , tha mãn . Tìm giá tr
nh nht ca biu thc .
A. . B. . C. . D. .
Câu 72: Cho số phc tha mãn . Tính
khi
đạt giá tr nh nht
A. B. . C. . D. .
Câu 73: Cho các số phc tha mãn Tìm giá tr ln nht ca
A. B. C. D.
z x yi= +
,xy
2
2
3 16zy+=
2P zi z= −−
( )
00
;xy
00
0, 0xy<>
22
00
xy+
20 3 6
2
20 3 7
2
+
20 3 6
2
+
20 3 7
2
z a bi= +
( )
,ab
4 4 10zz++−=
6z
S ab= +
11S =
5S =
3S =
5S =
( )
,z a bi a b=+∈
4 4 10zz++−=
6z
S ab= +
3S =
5S =
5S =
11S =
z
1z =
,Mm
1 21Az z=++
Mm+
25 2+
6
25 4+
7
S
( )
,z x yi x y=+∈
( )( )
3 1 22zz i i−= + +
( )
2Q zz x=−−
M
000
z x yi= +
2
00
..T Mxy=
93
2
T =
93
4
T =
93
2
T =
93
4
T =
12
, zz
332zi
−+ =
12
4zz−=
12
zz+
8
43
4
2 23+
1
z
2
z
11
2 4 7 62z iz i+−+ =
2
12 1iz i−+ =
12
Tzz= +
22 1+
21
22 1
21+
12
,,zz z
12
45 11z iz−− = =
4 84ziz i+ = −+
12
zz
12
P zz zz= +−
8
6
41
25
z
ω
( )
2 1.
z
iz i
ω
+ = +−
1Ti
ω
= +−
42
3
2
3
22
3
2
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 76
Câu 74: Cho số phc và gi , là hai nghim phc của phương trình . Giá tr nh nht
ca biu thc được viết dưới dng . Tng
bng
A. . B. . C. . D. .
Câu 75: Trong các s phc tha mãn gi ln lưt là các s phức có môđun nhỏ
nht và ln nht. Giá tr ca biu thc bng
A. . B. . C. . D. .
Câu 76: Xét các s phc , tha mãn . Tìm giá tr ln nht ca
biu thc .
A. . B. . C. . D. .
Câu 77: Cho các s phc , ,
tha mãn
.
Tính giá tr ln nht ca biu thc
.
A. . B. . C. . D. .
Câu 78: Cho số phc tha mãn Gi lnt là giá tr ln nht, nh nht
ca Giá tr ca bng:
A. . B. . C. D. .
z
1
z
2
z
2
80zi+=
2
12 1
2
2
z
P zz z z z z= + −++ +
mn pq+
mnpq+−
3
4
0
2
z
2
12zz+=
1
z
2
z
22
12
zz+
6
22
42
2
w
z
35
w
5
i+=
( )( )
52 4w iz=+−
2 62Pz iz i= + −−
7
2 53
2 58
4 13
1
z
2
z
3
z
123
1zz z
= = =
2 22
12 23 31
Pzz zz zz=− + +−
9P =
10P =
8P =
12P =
z
3 2 12.zz zz++
,Mm
4 3.zi−+
.Mm
28
24
26 .
20
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 1
CC TR S PHC MC Đ VN DNG – VN DNG CAO
1. Môđun ca s phc:
S phc
z a bi= +
được biu din bởi điểm M trên mt phẳng Oxy. Độ dài ca véctơ
OM

được gọi là môđun của s phc z. Kí hiu
22
z = a+bi = a +b
Tính cht
22
z a b zz OM= += =

0, , 0 0z zz z ∀∈ = =
.' . '
zz z z=
( )
,'0
''
zz
z
zz
=
'' 'z z zz z z ≤± +
.,
kz k z k
=
Chú ý:
2
2
2 22 222 22 22
2 ( )4 .z a b abi a b a b a b z z z z= −+ = + =+= = =
.
u ý:
12 1 2
zz z z+≤+
du bng xy ra
( )
12
0z kz k⇔=
12 1 2
zz z z−≤+
du bng xy ra
( )
12
0z kz k⇔=
.
12 1 2
zz z z+≥
du bng xy ra
( )
12
0z kz k⇔=
12 1 2
zz z z−≥
du bng xy ra
( )
12
0z kz k⇔=
( )
2 2 22
12 12 1 2
2
zz zz z z+ +− = +
2
2
z zz z= =
z∀∈
2.Mt s qu tích nên nh
Biu thc liên h
,xy
Qu tích đim M
ax 0by c+ +=
z a bi z c di = −−
Đưng thng
:ax 0by c + +=
Đưng trung trực đoạn AB vi
( ) ( )
( )
,, ,A ab B cd
( ) ( )
22
2
xa yb R +− =
hoặc
z a bi R−− =
Đưng tròn tâm
( )
;I ab
, bán kính
R
( ) ( )
22
2
xa yb R−+−≤
hoặc
z a bi R
−−
Hình tròn tâm
( )
;I ab
, bán kính
R
CHƯƠNG
IV
S PHC
H THNG BÀI TP TRC NGHIM.
III
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 2
( ) ( )
22
22
r xa yb R−+−≤
hoặc
r z a bi R −−
Hình vành khăn giới hn bởi hai đường tròn
đồn tâm
(
)
;
I ab
, bán kính lần lượt là
,
rR
(
)
2
2
0
y ax bx c
c
x ay by c
= ++
= ++
Parabol
( )
( )
( )
22
22
11
xa yc
bd
++
+=
hoặc
11 2 2
2
za bi za bi a +− =
( )
1
Elip
( )
2
Elip nếu
( )
( )
11 2 2
2 , ,, ,a AB A a b B a b>
Đon AB nếu
2a AB=
(
)
( )
22
22
1
xa yc
bd
++
−=
Hypebol
MT S DNG ĐC BIT CN LƯU Ý:
DNG 1: Qu tích điểm biu din s phức là đường thng.
TQ1: Cho số phc
z
tha mãn
z a bi z−− =
, tìm
Min
z
. Khi đó ta có
+ Qu tích điểm
( )
;M xy
biu din s phc
z
là đường trung trực đoạn
OA
vi
( )
;A ab
+
22
0
11
22
22
Min
z z ab
ab
zi
= = +
= +
TQ2: Cho số phc thỏa mãn điều kin
.z a bi z c di = −−
Tìm
min
z
. Ta có
+ Qu tích đim
(
)
;
M xy
biu din s phc
z
là đưng trung trc đon
AB
vi
( ) ( )
;, ;
A ab B cd
+
( )
( )
( )
222 2
22
,
2
Min
abcd
z d O AB
ac bd
+−−
= =
+−
Lưu ý: Đề bài th suy biến bài toán thành 1 số dạng, khi đó ta cần thc hin biến đổi đ đưa
v dạng cơ bản.
Ví d 1:
+ Cho số phc thỏa mãn điều kin
.z a bi z c di = −−
Khi đó ta biến đổi
.z a bi z c di z a bi z c di = −− + = −−
+ Cho số phc thỏa mãn điều kin
.iz a bi z c di
= −−
Khi đó ta biến đổi
.
a bi c di
iz a bi iz c di z z z b ai z d ci
ii
−−
= ⇔+ =+ ⇔++ =++
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 3
DNG 2: Qu tích điểm biu din s phức là đường tròn.
TQ: Cho số phc
z
tha mãn điu kin
(
)
0
0
z a bi R z z R
−− = > =
. Tìm
,
Max Min
zz
. Ta có
+ Qu tích điểm
(
)
;
M xy
biu din s phc
z
là đường tròn tâm
( )
;I ab
bán kính
R
+
22
0
22
0
Max
Min
z OI R a b R z R
z OI R a b R z R
= += + += +
= −= +−=
Lưu ý: Đề i th cho dng khác, ta cn thc hin các phép biến đi đ đưa v dng cơ bn.
Ví d 1: Cho số phc
z
thỏa mãn điều kin
a bi R
iz a bi R z
ii
−−
−− = + =
z b ai R ++ =
Ví d 2: Cho số phc
z
thỏa mãn điều kin
z a bi R z a bi R−− = −+ =
Ví d 3: Cho số phc
z
thỏa mãn điều kin
( )
22
a bi R R
c di z a bi R z
c di c di
cd
−−
+ −− = + = =
++
+
Hay viết gn
1
01
00
z
R
zz z R z
zz
=⇔− =
DNG 3: Qu tích điểm biu din s phc là Elip.
TQ1: Cho số phc
z
thỏa mãn điều kin
(
)
2,
zc zc aa c−++= >
Khi đó ta có
+ Qu tích điểm
( )
;M xy
biu din s phc
z
là Elip:
22
2 22
1
xy
a ac
+=
+
22
Max
Min
za
z ac
=
=
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 4
TQ2:. Cho số phc
z
thỏa mãn điều kin
12
2zz zz a +− =
Tha mãn
12
2
azz
>−
.
Khi đó ta thực hin phép biến đổi để đưa Elip về dng chính tc
Ta có
Khi đ cho Elip dạng không chính tc
( )
1 2 12
2, 2zz zz a z z a
+− = <
12
,,z z c ci≠± ±
).
Tìm Max, Min ca
0
P zz=
.
Đặt
12
2 22
2zz c
b ac
−=
=
Nếu
12
0
0
2
zz
z
+
−=
Max
Min
Pa
Pb
=
=
Nếu
( )
12
0
01 0 2
2
zz
za
zzkzz
+
−>
−=
12
0
12
0
2
2
Max
Min
zz
Pz a
zz
Pz a
+
=−+
+
=−−
Nếu
( )
12
0
01 0 2
2
zz
za
zzkzz
+
−<
−=
12
0
2
Max
zz
Pz a
+
=−+
Nếu
01 02
zz zz−=
12
0
2
Min
zz
Pz b
+
=−−
Câu 1: Cho hai số phc
12
,zz
tha mãn đng thi hai điu kin sau
1 34, 1 2z z mi z m i = ++ = + +
và sao cho
12
zz
là ln nhất. Khi đó giá trị
12
zz+
bng
A.
2
B.
10
C.
2
D.
130
Li gii
Gi
,MN
lần lượt là điểm biu din ca s phc
12
,zz
Gi
( )
,,z x iy x y=+∈
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 5
Ta có
1 34 ,
z MN−=
thuộc đường tròn
( )
C
có tâm
( )
1; 0I
, bán kính
34R =
1 21 2z mi z m i x yi mi x yi m i++ = + + + ++ = + + +
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 22
12x ym xm y + ++ = + ++
( ) (
)
2 1 2 2 30mx m y + −=
Suy ra
,MN
thuộc đường thng
( ) ( )
:2 1 2 2 3 0dmx m y + −=
Do đó
,MN
là giao điểm ca đưng thng
d
và đường tròn
(
)
C
Ta có
12
z z MN−=
nên
12
zz
ln nht khi và ch khi
MN
ln nht
MN
đường kính ca
(
)
C
. Khi đó
12
22z z OI+= =
Câu 2: Cho số phc
z
tha mãn
22 1zi−− =
. S phc
zi
có môđun nhỏ nht là:
A.
52
. B.
51
. C.
51
+
. D.
52+
.
Li gii
Cách 1:
Đặt
w zi z wi= −⇒ = +
.
Gi
( )
;M xy
là điểm biu din hình hc ca s phc
.w
T gi thiết
22 1zi−− =
ta được:
22 1wi i+− =
21wi −−=
( )
( )
2 11x yi
−+ =
(
) ( )
22
2 11xy⇔− +− =
.
Suy ra tp hp những điểm
( )
;
M xy
biu diễn cho số phc
w
là đường tròn
( )
C
có tâm
( )
2;1I
bán kính
1R =
.
Gi s
OI
cắt đường tròn
( )
C
tại hai điểm
,
AB
vi
A
nằm trong đoạn thng
OI
.
Ta có
w OM=
OM MI OI+≥
OM MI OA AI +≥+
OM OA⇔≥
Nên
w
nh nht bng
51OA OI IA= −=
khi
.MA
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 6
Cách 2:
T
22 1zi
−− =
( ) ( )
22
2 21ab +− =
vi
( )
,z a bi a b=+∈
2 sin ; 2 cosa xb x−= −=
2 sin , 2 cosa xb x⇒=+ =+
Khi đó:
(
)
2 sin 2 cos
z i x xi i−= + + +
( ) ( )
22
2 sin 1 cosxx= + ++
( )
6 4sin 2cosxx=++
( )(
)
22 2 2
6 4 2 sin cosxx≥− + +
( )
2
625 51 51= = −=−
Nên
zi
nh nht bng
51
khi
4cos 2sin
4sin 2cos 2 5
xx
xx
=
+=
25
sin
5
5
cos
5
x
x
=
=
Ta được
25 5
22
55
zi

= +−



Cách 3:
S dng bất đẳng thc
1 2 12 1 2
z z zz z z ≤+ +
(
) ( )
22 2 22 2 51zizi izii
−= −− + + −− + =
Câu 3: Gi
M
m
lần lượt là giá tr ln nht và giá tr nh nht ca
2zi
P
z
+
=
vi
z
là s phc
khác
0
và tha mãn
2z
. Tính t s
M
m
.
A.
3
M
m
=
. B.
4
3
M
m
=
. C.
5
3
M
m
=
. D.
2
M
m
=
.
Li gii
Ta có
22 2
2 1 13 5
22
22
zi z i z i
zi
P P PP
zz z z z z
+− +
+
= = ≤≤ ≤≤+ ⇔≤≤
.
Vy
5
3
M
m
=
.
Câu 4: Cho số phc
z
thoả mãn
23 1
zi−− =
. Tìm giá tr ln nht ca
1zi++
.
A.
13 3+
. B.
13 5+
. C.
13 1+
. D.
13 6+
.
Li gii
Ta có
( ) ( ) ( )( )
2
1 23 23. 23 23 23ziziziziz i= −− = −− −− = −− −+
( )
( )
1 23 23 23 1` 1 32 1(*)zizizi zii= −− −+ −+ = +++ =
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 7
t
w1
zi
= ++
, khi đó
w32 1i −+ =
.
Tp hp các đim biu din s phc
w1zi= ++
đưng tròn
(
)
;1I
w
là khoảng cách t
gc ta đ đến 1 điểm trên đường tròn. Do đó giá trị ln nht ca
w
chính là đoạn
OQ
.
22
max
w 1 3 2 1 13 =+ +=+
.
Câu 5: Xét tt c c s phc
z
tha mãn
341zi−+=
. Giá tr nh nht ca
2
7 24zi+−
nằm trong
khoảng nào?
A.
( )
0;1009
. B.
(
)
1009;2018
. C.
( )
2018;4036
. D.
( )
4036;+∞
.
Li gii
Ta có
1 3 4 3 4 5 1 51 4 6zi z i z z z= + = ⇒−
.
Đặt
2
0 00
4 3 5, 7 24z iz z i=−⇒ = =
.
Ta có
( )
(
)
22
22
2 22 22
7 24
o oo
Az i zz zz zz= +− = + = + +
( )
2
44 2
. . 2.
o oo o
z z zz z z zz=++ +
( )
( )
22
1 . .1
o o oo o
zz zz zz zz z z+ += + =−−
Suy ra
( )
2
2
44 2 2 4 2
1 2 . 2 2 1201
o oo
A z z z z zz z z= + +− = +
.
Hàm s
42
2 2 1201yt t=−+
đồng biến trên
[ ]
4;6
nên
42
2.4 2.4 1201 1681A −+ =
.
Du bng xy ra khi và ch khi
4
43 1
z
zi
=
+− =
.
Do đó
2
7 24zi+−
nằm trong khoảng
( )
1009;2018
.
Câu 6: Cho số phc z tha mãn
4zz zz++−=
. Gi M, m lần lượt là giá tr ln nht và giá tr nh
nht ca
22Pz i= −−
. Đặt
AMm= +
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
( )
34;6A
. B.
( )
6; 42A
. C.
( )
2 7; 33A
. D.
( )
4;3 3A
.
Li gii
Gi s:
( ) ( )
,, ;z x yi xy N xy
=+ ∈⇒
: điểm biu din ca s phc z trên mt phng ta đ
Oxy
.
Ta có:
42zz zz x y N++−= + =
thuc các cnh ca hình vuông BCDF.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 8
( ) ( ) ( )
22
22 2 2 ;P z i P x y P d IN= ⇒= + ⇒=
vi
( )
2; 2I
T hình ta có:
(
)
1;1E
22
max
4 2 25
M P ID= = = +=
( ) ( )
22
min
21 21 2m P IE= = = +− =
Vy,
( )
2 2 5 34;6AMm= +=+
.
Câu 7: Cho số phc
z
tha mãn
6 6 20
zz−++=
. Gi
M
,
n
ln lượt là môđun lớn nht và nh nht
ca z. Tính
Mn
A.
2Mn−=
. B.
4Mn−=
. C.
7Mn−=
. D.
14Mn−=
.
Li gii
Gi , . Theo giả thiết, ta có
6 6 20zz
−++=
.
6 6 20x yi x yi −+ + ++ =
( ) ( ) ( )
22
22
6 6 20x yx y ++ + +=
.
Gi
( )
;M xy
,
( )
1
6;0
F
( )
2
6;0F
.
Khi đó
( )
1 2 12
20 12MF MF F F+=>=
nên tp hp các đim
E
đưng elip hai
tiêu điểm
1
F
2
F
. Và độ dài trc ln bng
20
.
Ta có
6c =
;
2 20 10aa= ⇔=
2 22
64 8bac b= = ⇒=
.
Do đó, phương trình chính tắc ca
22
1
100 64
xy
+=
.
Suy ra
'
max 10z OA OA= = =
khi
10z = ±
'
min 8z OB OB= = =
khi
8zi= ±
.
Vy
2Mn−=
.
Câu 8: Cho số phc
z
tha mãn
34 2zi−+ =
w2 1zi= +−
. Khi đó
w
có giá tr ln nht bng
A.
4 74+
. B.
2 130+
. C.
4 130+
. D.
16 74+
.
z x yi
= +
( )
,xy
( )
E
( )
E
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 9
Li gii
Theo bất đẳng thc tam giác ta có
(
) (
)
w 2 1 2 6 8 7 9 2 6 8 7 9 4 130zizi izi i= += −+ + −+ + =+
.
Vy giá tr ln nht ca
w
4 130
+
.
Câu 9: Xét s phc
z
và s phc liên hp của điểm biu din là
M
M
. S phc
(
)
43zi+
và s phc liên hp của điểm biu din
N
N
. Biết rng
M
,
M
,
N
,
N
là bn
đỉnh ca hình ch nht. Tìm giá tr nh nht ca
45zi+−
.
A.
5
34
. B.
2
5
. C.
1
2
. D.
4
13
.
Li gii
Gi
z x yi
= +
, trong đó
,xy
. Khi đó
z x yi=
,
( )
;M xy
,
( )
;Mx y
.
Ta đt
( ) ( )
( ) ( ) ( ) (
)
43 43 4 3 3 4 4 3;3 4wz i xyi i xy xyiNxyxy= +=+ += + + +
. Khi đó
( ) ( ) ( ) ( )
43 43 34 43;34wz i xy xyiNxyxy
= + = + −−
.
Ta có
M
M
;
N
N
tng cặp đối xng nhau qua trc
Ox
. Do đó, để chúng tạo thành
mt hình ch nht thì
MN
yy=
hoặc
MN
yy
=
. Suy ra
34yxy
= +
hoặc
34y xy=−−
. Vy tp
hợp các điểm
M
là hai đường thng:
1
:0dxy+=
2
:3 5 0dxy+=
.
Đặt
(
) ( )
22
45 5 4Pz i x y=+ −= + +
. Ta có
P MA=
vi
( )
5; 4A
.
( )
min min 1
;P MA MA d A d ⇔=
hoặc
( )
2
;MA d A d=
. Mà
( )
1
1
;
2
d Ad =
,
( )
2
5
;
34
d Ad =
,
vy
( )
min 1
1
;
2
P d Ad= =
.
Câu 10: Biết s phc
z
tha mãn
32iz z i = −−
và
z
giá tr nh nht. Phn thc ca s phc
z
bng:
A.
2
5
. B.
1
5
. C.
2
5
. D.
1
5
.
Li gii
Đặt
z x yi= +
(
x
,
y
).
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 10
Khi đó
32iz z i = −−
( ) ( ) ( )
2 22
2
3 21xy x y +− = +
2 10xy + +=
21xy⇔=
( )
1
.
Li có
22
z xy= +
( )
2
.
Thay
(
)
1
vào
(
)
2
ta được:
22
z xy= +
(
)
2
2
21yy=−− +
2
5 41yy= ++
2
215
5
5 55
y

= + +≥


Dấu đẳng thc xy ra khi
2
0
5
y
+=
2
5
y⇔=
.
Thay
2
5
y =
vào
( )
1
suy ra
1
5
x =
.
Vy phn thc ca s phc
z
1
5
.
Câu 11: Xét các s phc
z
tha mãn
13 2zi−− =
. S phc
z
1
z
nh nht là
A.
15zi= +
. B.
1zi= +
. C.
13zi= +
. D.
1zi=
.
Li gii
Gi
z x yi= +
,
,xy
. Khi đó
( )
; M xy
là điểm biu din ca s phc
z
.
Theo bài ra ta có
( ) ( )
22
13 2 1 3 4zi x y−− = + =
.
Suy ra tp hợp điểm
M
là đưng tròn tâm
( )
1; 3I
bán kính
2R =
.
Khi đó
( )
2
2
11
z x y IM
−= + =
vi
( )
1; 0I
.
1z
nh nht khi
IM
ngn nht hay
I
,
M
,
I
thng hàng,
M
nm gia
I
I
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 11
Phương trình đường thng
II
1x
=
.
Ta đ giao điểm ca đưng thng
II
với đường tròn tâm
I
bán kính
2R =
( )
1
1; 1
M
( )
1
1; 5M
.
Th li ta thy
( )
1
1; 1M
tha mãn. Vy
1
zi
= +
.
Câu 12: Cho số phc
z
tha mãn
4.zz zz++−=
Gi
,Mm
lần lượt là giá tr ln nht và giá tr nh
nht ca
2 2.
Pz i= −−
Đặt
.
AMm= +
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
( )
34;6
A
. B.
( )
6; 42
A
. C.
( )
2 7; 33A
. D.
)
4;3 3
A
.
Li gii
Đặt
z x iy= +
và gi
( )
;M xy
là điểm biu din ca
z x iy= +
ta có:
42zz zz x y++−= + =
Gi
( )
2; 2A
P MA=
* Theo hình vẽ,
( )
min , ,P dA=
vi
:2xy +=
222
min 2
2
P
+−
= =
22
max 2 4 2 5,P AE= = +=
vi
( )
0; 2E
Vy
2 2 5 5,88Mm+= +
Câu 13: Trong các số phc
z
tha mãn
1 12z iz i−+ = +−
, s phc
z
mô đun nhỏ nht có phn o
A.
3
10
. B.
3
5
. C.
3
5
. D.
3
10
.
Li gii
Gi
z x yi= +
,
( )
,xy
được biu din bởi điểm
( )
;M xy
.
( ) (
) ( ) ( )
1 12 1 1 1 2zizixyixyi−+ = + + + = + +
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 12
( ) ( )
(
) (
)
22 2 2
3
1 1 1 2 4 2 30 2
2
x y x y xy y x
++ = + ++ + +==
.
Cách 1:
22
22 2 2
3 9 3 9 35
2 56 5 ,
2 4 5 20 10
z xy x x x x x x

= + = +− = + + = + +


.
Suy ra
35
10
min z =
khi
33
;
5 10
xy=−=
.
Vy phn ảo của s phc
z
có mô đun nhỏ nht là
3
10
.
Cách 2:
Trên mt phng ta đ
Oxy
, tp hợp điểm biu din s phc
z
là đường thng
:4 2 3 0dx y+ +=
.
Ta có
z OM=
.
z
nh nht
OM
nh nht
M
là hình chiếu ca
O
trên
d
.
Phương trình đường thng
OM
đi qua
O
và vuông góc với
d
là:
20xy−=
.
Ta đ ca
M
là nghim ca h phương trình:
3
4 2 30
5
20 3
10
x
xy
xy
y
=
+ +=

−=
=
33
;
5 10
M

−−


. Hay
33
5 10
zi=−−
.
Vy phn ảo của s phc
z
có mô đun nhỏ nht là
3
10
.
Nhận xét: Ta có thể tìm tp hợp điểm biu din s phc
z
như sau:
( ) ( )
1 12 1 12z iz i z i z i+ = + = −−
( )
*
Gi
M
biu din s phc
z
, điểm
( )
1; 1A
biu din s phc
1 i
, điểm
(
)
1; 2B −−
biu
din s phc
12i−−
.
Khi đó
( )
* MA MB⇔=
. Suy ra tp hợp điểm biu din s phc
z
là đường trung trc ca
đoạn thng
AB
có phương trình
:4 2 3 0dx y+ +=
.
Câu 14: Cho hai số phc
12
,zz
tha mãn
12
12
1; 2
23 1
zi z i
z iz i
−+
= =
+ −+
. Giá tr nh nht ca
12
zz
A.
22
. B.
2
. C.
1
. D.
21
.
Li gii
Gi s
111
z x yi= +
vi
11
;xy
. Khi đó:
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 13
( ) ( ) ( )
1
1 1 11 1 1
1
1 23 1 2 3
23
zi
zi z i x y i x y i
zi
==++−= ++−
+−
( )
( ) ( )
1
2 22
2
1 1 1 12
1 2 3 30x y x y xy +−= ++− +=
.
Qu tích điểm
M
biu din s phc
1
z
là đường thng
: 30
xy
+=
.
Gi s
222
z x yi= +
vi
22
;
xy
. Ta có:
(
)
(
) (
)
2
2 2 22 2 2
2
2 21 1 2 1 1
1
zi
zi z ixyi x yi
zi
+
= += +⇔ + + = + +
−+
( )
( ) ( )
2 22
2 22
2 2 2 2 22 2 2
1 2 1 1 4 2 30x y x y xy x y ++= ++⇔++ +=
.
Qu ch điểm
N
biu din s phc
2
z
là đưng tròn
( )
22
: 4 2 30Cx y x y+ + +=
tâm
( )
2; 1I
và bán kính
( )
2
2
2 13 2
R = +− =
.
Khong cách t
I
đến
là:
( )
( )
( )
2
2
2 13
; 32
11
dI R
−− +
∆= = >
+−
đường thng
đường
tròn
C
không có điểm chung.
Qu ch các đim biu din s phc
12
zz
là đon thng
MN
.
12
zz⇒−
nh nht khi và ch
khi
MN
nh nht.
D thy
min
32 2 22
MN = −=
.
Câu 15: Gi
S
là tp hp các s phc
z
tha mãn
1 34z −=
và
12z mi z m i++ = + +
,. Gi
1
z
,
2
z
là hai s phc thuc
S
sao cho
12
zz
ln nhất, khi đó giá trị ca
12
zz+
bng
A.
2
B.
10
C.
2
D.
130
Li gii
Đặt
z x yi= +
,
( )
,xy
. Khi đó
1 34
z −=
( )
2
2
1 34xy⇔−+=
;
12z mi z m i++ = + +
( ) ( )
2 1 22 3 0m x my + +=
.
Do đó tập hợp các điểm
M
biu din s phc
z
là giao điểm của đường tròn
( ) ( )
2
2
: 1 34Cx y+=
và đường thng
( ) ( )
:2 1 2 2 3 0d m x my + +=
.
Gi
A
,
B
là hai điểm biu din
1
z
2
z
. Suy ra
( ) { }
,C d AB∩=
.
Mt khác
12
2 2 34z z AB R−= =
do đó
( )
12
max 2 34 2 1;0zz ABRI d−= =
.
N
M
I
N'
M'
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 14
T đó ta có
1
2
m =
nên
:3 5 3 0dx y −=
1
2
63
43
zi
zi
= +
=−−
.
Vy
12
2zz+=
.
Câu 16: Cho hai số phc
,zw
tha mãn
32 2z −=
,
42 22
wi−=
. Biết rng
zw
đạt giá tr
nh nht khi
0
zz=
,
0
ww=
. Tính
00
3zw
.
A.
22
. B.
42
. C. 1. D.
62
.
Li gii
Ta có: +
32 2z −=
, suy ra tp hợp điểm biu din
M
biu din s phc
z
là đưng tròn có
tâm
( )
3 2;0I
, bán kính
2r =
.
+
42 22wi
−=
, suy ra tp hợp điểm biu din
N
biu din s phc
w
là đưng trònm
( )
0;4 2J
, bán kính
22R =
.
Ta có
min minz w MN−=
.
+
5 2; 2; 2 2IJ IM r NJ R= = = = =
.
Mt khác
IM MN NJ IJ+ +≥
MN IJ IM NJ ≥−
hay
52 2 22 22MN −− =
.
Suy ra
min 2 2MN =
khi
, ,,IMNJ
thng hàng và
,MN
nm gia
,IJ
.
Cách 1:
Khi đó ta có:
00
33z w OM ON−=
 
32IN =
13
;
55
IM IJ IN IJ⇒= =
   
.
Mt khác
ON OI IN= +
  
3
5
OI IJ= +
 
;
( )
33OM OI IM= +=
  
13
33
55
OI IJ OI IJ

+=+


   
.
Suy ra
00
33z w OM ON−=
 
33
32
55
OI IJ OI IJ OI

= +−+ =


    
62=
.
Cách 2:
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 15
Ta có
33 0IN IM IM IN= −=
   
.
Do đó
( ) ( )
00
3 3 3 2 2. 2.3 2 6 2.z w OM ON OI IM OI IN OI OI−= = + + = = = =
      
Cách 3:
+)
0
12 2
1 122 42
5
5 55
42
5
M
M
x
IM
IM IJ IM IJ z i
IJ
y
=
= = ⇒= +
=
   
.
+)
0
62
3 62 122
5
5 55
12 2
5
N
N
x
IN
IN IJ IN IJ w i
IJ
y
=
= = ⇒= +
=
   
.
Suy ra
00
3 62 62zw
−= =
.
Câu 17: Cho hai số phc
z
w
tha mãn
2 86zw i+=
4.zw−=
Giá tr ln nht ca biu thc
zw
+
bng
A.
4 6.
B.
2 26.
C.
66.
D.
3 6.
Li gii
Chọn C
Gi s
,MN
lần lượt là các đim biu diễn cho
z
.w
Suy ra
2,
OM ON OF OI+==
   
4z w MN−= =
2 10.OF OI
= =
Đặt
;.
2
a
z ON w OM b= = = =
Dng hình bình hành
OMFE
Ta có
22 2
22
2 22
25
264
24
2
3
16
24
a b ME
ab
b ME a
+
−=
⇒+ =
+
−=
( )
( )
2
2
22
11
2 66
2 42
a
zw b a b

+ =+ + +=


a
b
I
F
E
N
M
O
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 16
Suy ra
66,ab+≤
du “=” xy ra khi
2 66
.
3
ab
= =
Vy
( )
max
66.ab+=
Câu 18: Cho số phức
z
thoả mãn
1
z =
. Gọi
M
m
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
2
11
Pz z z
= ++ −+
. Tính
.Mm
A.
13 3
4
. B.
39
4
. C.
33
. D.
13
4
.
Li gii
Thay
2
1z =
vào
P
ta có
2
11Pz z z= ++ −+
2
2
1z z zz= ++ −+
2
1.z z z zz= ++ −+
11z zz z= ++ +
11z zz= ++ +
.
Mt khác
( )
( )
2
1 1 12z z z zz+ = + + =++
.
Đặt
t zz= +
do
1
z =
nên điều kin
[
]
2; 2t ∈−
.
Suy ra
21Pt t= ++−
.
Xét hàm s
( )
21ft t t= ++−
vi
[ ]
2; 2
t ∈−
.
( )
1
1
22
ft
t
= +
+
vi
1t >
. Suy ra
( )
0ft
>
vi
1t >
.
( )
1
1
22
ft
t
=
+
vi
1
t <
. Suy ra
(
)
0
fx
=
7
4
x
⇔=
.
Ta có bảng biến thiên
T bng biến thiên suy ra
13
4
M
=
ti
7
4
t
=
3m
=
ti
2t =
.
Vy
13 3
.
4
Mm=
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 17
Câu 19: Cho hai số phc
z
a bi
ω
= +
tha mãn
5 56zz+ +− =
;
5 4 20 0ab−−=
. Giá tr nh
nht ca
z
ω
A.
3
41
. B.
5
41
. C.
4
41
. D.
3
41
.
Li gii
Đặt
( )
1
5;0F
,
( )
2
5;0F
, vì
53<
n tp hpc đim
M
biu din s phc
z
thuc elip
2 22
3
4
5
a
b ac
c
=
=−=
=
suy ra
( )
22
:1
94
xy
E +=
.
Tp hợp các điểm
N
biu din s phc
ω
thuộc đường thng
:5 4 20 0xy −=
.
Yêu cầu bài toán trở thành tìm điểm
( )
ME
N ∈∆
sao cho
MN
nh nht.
Đưng thng
d
song song với
có dạng
:5 4 0d x yc +=
,
( )
20c ≠−
.
d
tiếp xúc vi
( )
E
khi và ch khi
( )
2
22
17
5 .9 4 .4 289
17
c
c
c
=
= +− =
=
.
Vi
17c =
( )
( )
2
2
20 17
37
,
41
54
dd
−−
∆= =
+−
.
Vi
17c =
( )
( )
2
2
20 17
3
,
41
54
dd
−+
∆= =
+−
.
Vy
( )
3
min
41
MN =
.
Câu 20: Gi
z a bi= +
( )
,ab
là s phc thỏa mãn điều kin
1 2 2 3 10z iz i
có mô đun nhỏ nht. Tính
7?S ab
A.
7
. B.
0
. C.
5
. D.
12
.
Li gii
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 18
Gi
( )
;M ab
là điểm biu din s phc
z a bi
( )
1; 2A
là điểm biu din s phc
12i
( )
2;3B
là điểm biu din s phc
23i
,
10AB =
1 2 2 3 10z iz i−− + + =
tr thành
MA MB AB+=
,,MAB
thng hàng và M gia A và B
Gi
H
là điểm chiếu ca
O
lên AB, phương trình
( )
: 3 70AB x y+ −=
,
( )
:3 0OH x y−=
Ta đ điểm
7 21
;
10 10
H



, Có
31
;
10 10
AH

=



,
27 9
;
10 10
BH

=



9BH AH=
 
Nên
H
thuộc đoạn
AB
z
nh nht
OM
nh nhât, mà
M
thuộc đoạn AB
7 21
;
10 10
MH

⇔≡


Lúc đó
49 21
77
10 10
S ab= += + =
.
Câu 21: Cho số phc tha mãn . Gi lần lượt là giá tr ln nht, nh nht
ca biu thc . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Li gii:
Gi
,,z x yi x y=+∈
, ta có
4
2 8 24
2
x
zz zz x y
y
 
, tp hp
( )
;K xy
biu din s phc
z
thuc cnh các cnh của trong hình thoi
ABCD
như hình vẽ.
4
2
2
4
O
M
H
B
A
z
28zz zz
,Mm
33Pz i 
Mm
10 34
2 10
10 58
5 58
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 19
đạt giá tr ln nht khi
KM
ln nhất, theo hình vẽ ta có
KM
ln nht khi
KD
hay
(
)
4;0
K
suy ra
49 9 58
M = +=
đạt giá tr nh nht khi
KM
nh nhất, theo hình vẽ ta có
KM
nh nht khi
KF
(
F
là hình chiếu ca
E
trên
AB
.
Suy ra
( )
2;1F
do
AE AB=
nên
F
là trung điểm ca
AB
.
Suy ra
14 5
m = +=
. Vy
58 5Mm
+= +
Câu 22: Cho số phc z
1z =
. Tìm giá tr ln nht ca biu thc
22
1Pz zz z= + ++
.
A.
13
4
B. 3 C.
3
D.
11
4
Li gii
22 2 2
11111Pzzzz zz zz z zz= + ++= + ++= + ++
Do
1z =
nên ta đặt
cos .sinz xi x= +
. Khi đó
( ) ( ) ( )
2
2 22
2
2
1 1 cos .sin 1 cos 2 sin 2 cos sin 1
cos 1 sin cos 2 cos 1 sin 2 sin
2 2cos 3 4cos 2cos 2
2 2cos 4cos 4cos 1
2 2cos 2cos 1
P z z z xi x xi x xi x
x x x x xx
x xx
x xx
xx
= −+ ++= + −+ + + + +
= −+ + + ++ +
= ++ +
=+ ++
=−++
Đặt
[ ]
cos , 1;1t xt= ∈−
. Xét hàm
22 2 1y tt= −++
Vi
1
2
t ≥−
thì
1
2 2 2 1, ' 2
22
y tt y
t
= ++ = +
33Pz i 
33Pz i 
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 20
17
'0 20
8
22
yt
t
= += ⇔=
( )
7 13
1 3;
84
yy

= =


;
1
3
2
y

−=


Vi
1
2
t <−
thì
1
2 2 2 1, ' 2
22
y tt y
t
= −− =
11
'0 20 22
2
22
yt
t
−−
= −= =
( )
13y −=
;
1
3
2
y

−=


Vy
[ ]
1;1
13
max
4
y
=
. Do đó giá trị ln nht ca
22
1Pz zz z= + ++
13
4
.
Câu 23: Gi s
12
,zz
là hai trong các s phc tha mãn
( )
( )
68z zi−+
là s thc. Biết rng
12
4zz
−=
, giá
tr nh nht ca
12
3zz+
bng
A.
5 21
B.
20 4 21
C.
20 4 22
D.
5 22
Li gii
Gi s
z x yi
= +
,
,xy
.Gi
,
AB
lần lượt là điểm biu diễn cho các số phc
12
,zz
. Suy ra
12
4AB z z
=−=
.
* Ta có
(
)
(
)
68z zi−+
( ) ( )
6 .8x yi y xi

= −+

( )
( )
22
8 6 48 6 8x y x y x yi= + +−−
.
Theo giả thiết
( )
( )
68z zi−+
là s thc nên ta suy ra
22
68 0xy xy+−−=
. Tc là các đim
,AB
thuộc đường tròn
( )
C
tâm
( )
3; 4I
, bán kính
5R =
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 21
* Xét điểm
M
thuộc đoạn
AB
tha
3 0 34MA MB OA OB OM+ =⇔+ =
    
.Gi
H
là trung điểm
AB
. Ta tính được
22 2 2 2
21; 22HI R HB IM HI HM=−= = + =
, suy ra điểm
M
thuc
đường tròn
( )
C
tâm
( )
3; 4
I
, bán kính
22
r =
.
* Ta có
12
3 34 4z z OA OB OM OM+=+ = =
  
, do đó
12
3zz+
nh nht khi
OM
nh nht.
Ta có
( )
0
min
5 22OM OM OI r= = −=
.
Vy
12 0
min
3 4 20 4 22
z z OM
+==
.
Câu 24: Trong các số phc
z
tha mãn
34 2zi−− =
có hai s phc
12
,zz
tha mãn
12
1zz−=
. Giá tr
nh nht ca
22
12
zz
bng
A.
10
B.
4 35−−
C.
5
D.
6 25−−
Li gii
Đặt
( )
1 1 1 11
,,z x yi x y=+∈
( )
2 2 2 22
,,z x yi x y=+∈
.
Khi đó
( ) ( )
( ) ( )
22
11
22
22
3 44
3 44
xy
xy
−+−=
−+ =
( ) ( )
22
12 12
1xx yy +− =
.
Ta có
( )
( ) (
)
( )
22 22
11 2 2
34 33xy x y
−+−=−+
( )
( ) ( )
22 22
11 22 12 12
68xy xy xx yy
⇔+− + = +
.
Suy ra
(
) ( )
(
)
( )
( )
22
22
22
1 2 12 12 12 12
2 3 4 2. 3 4 10
z z xx yy xx yy

= + + +− =

.
Do đó
22
12
10 10zz
−≤
.
Câu 25: Cho hai số phc
12
,zz
thoả mãn
11
2 4 7 62
z iz i
+−+ =
2
12 1iz i
−+ =
. Tìm giá tr nh
nht ca biu thc
12
Tzz= +
.
A.
21
. B.
21+
. C.
22 1+
. D.
22 1
.
Li gii
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 22
Gi
M
là điểm biu din s phc
1
z
(
)
2;1
A
;
( )
4;7B
lần lượt là hai điểm biu din hai s
phc
2 i−+
,
47
i+
. Ta có
62
AB =
. Phương trình đường thng
AB
: 30dx y+=
.
+)
11
2 4 7 62
z iz i+−+ =
62MA MB
⇔+=
MA MB AB⇔+=
. Do đó tập hp các
điểm biu din s phc
1
z
là đoạn thng
AB
.
+)
22 2
12 1 12 1 2 1iz i iz i i z i
−+ = −+ = =
.
Gi
N
là điểm biu din s phc
2
z
( )
2;1I
là điểm biu din s phc
2 i+
. Ta có
1IN =
Suy ra tp hợp các điểm biu din s phc
2
z
là đường tròn
( )
C
có phương trình:
( ) ( )
22
2 11xy +− =
.
( )
, 22 1d I AB = >
, suy ra
AB
không cắt đường tròn.
Gi
K
là hình chiếu ca
( )
2;1I
lên
AB
. D thy
K
nằm trên đoạn thng
AB
.
Gi
H
là giao điểm của đoạn
IK
với đường tròn
( )
C
.
Ta có
( )
12
, 22 1z z MN KH d I AB R+ = = −=
.
Suy ra
12
2 2 1.min z z+=
Câu 26: Cho
z
là s phc tha mãn
2zzi= +
. Giá tr nh nht ca
12 13z iz i−+ + ++
A.
52
. B.
13
. C.
29
. D.
5
.
Li gii
Đặt
( )
,z a bi a b=+∈
.
Ta có:
( )
2
22 2
22zzi ab a b=+ + = ++
4 40 1bb
+==
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 23
z ai⇒=
.
Xét:
12 13 1 12
z iz ia ia i−+ + ++ = −++ ++
( ) ( )
22
22
1 11 2aa= ++ + +
.
Áp dng BĐT Mincôpxki:
( ) ( )
( ) ( )
2 2 22
22
1 1 1 2 1 1 12a a aa−++++++++
4 9 13
= +=
.
Suy ra:
12 13
z iz i
−+ + ++
đạt GTNN là
13
khi
( )
1
21 1
3
a aa =+⇔=
.
Nhận xét: Bài toán trên có thể được gii quyết bằng cách đưa về bài toán hình học phng.
Câu 27: Cho các s phc
1
2zi=−+
,
2
2zi= +
và s phc
z
thay đi tha mãn
22
12
16zz zz +− =
.
Gi
M
m
lần lượt là giá tr ln nht và giá tr nh nht ca
z
. Giá tr biu thc
22
Mm
bng
A.
15
. B.
7
. C.
11
. D.
8
.
Li gii
Gi s
( )
,z x yi x y=+∈
.
Ta có:
22
12
16zz zz
+− =
22
2 2 16x yi i x yi i++++−=
(
)
2
2
14
xy+− =
.
Suy ra tp hợp điểm biu din ca s phc
z
là đưng tròn tâm s phc
( )
0;1I
bán kính
2R =
.
Do đó
1m =
,
3M =
.
Vy
22
8Mm−=
.
Câu 28: Cho số phc
z
tha mãn
24zizi ≤−
33 1zi−− =
. Giá tr ln nht ca biu thc
2Pz=
là:
A.
13 1+
. B.
10 1+
. C.
13
. D.
10
.
Li gii
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 24
Gi
( )
;M xy
là điểm biu din s phc
z
ta có:
24
zizi ≤−
(
) ( )
22
22
24xy xy+− +−
3y⇔≤
;
33 1zi−− =
điểm M nằm trên đường tròn tâm
( )
3; 3
I
và bán kính bng 1. Biu
thc
2P z AM=−=
trong đó
( )
2;0A
, theo hình vẽ thì giá tr ln nht ca
2Pz=
đạt
được khi
( )
4;3M
nên
( )
( )
22
max 4 2 3 0 13P
= +− =
.
Câu 29: Xét s phc
z
tha mãn
22 2
zi−− =
. Giá tr nh nht ca biu thc
1 52Pz iz i= −−+
bng
A.
1 10+
. B.
4
. C.
17
D.
5
.
Li gii
Gi
( )
;Mxy
đim biu din s phc
z
. Do
22 2zi−− =
nên tp hợp điểm
M
đưng
tròn
( ) ( ) (
)
22
:2 24Cx y
+− =
.
Các đim
( )
1;1A
,
( )
5; 2B
đim biu din các s phc
1 i+
52i+
. Khi đó,
P MA MB= +
.
Nhn thấy, điểm
A
nằm trong đường tròn
( )
C
còn điểm
B
nằm ngoài đường tròn
( )
C
, mà
17MA MB AB+≥=
. Đẳng thc xy ra khi
M
là giao điểm của đoạn
AB
vi
( )
C
.
Ta có, phương trình đường thng
: 4 30AB x y +=
.
Ta đ giao điểm ca đưng thng
AB
và đường tròn
( )
C
là nghim ca h vi
15y<<
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 25
( ) ( ) ( ) ( )
22 22
2 24 45 24
4 30 4 3
xy yy
xy x y

+− = +− =


+= =


Ta có
( )
( )
( )
( )
22
2
22 59
17
4 5 2 4 17 44 25 0
22 59
17
yN
y y yy
yL
+
=
+− = +=
=
Vy
min 17P
=
khi
37 4 59 22 59
17 17
zi
++
= +
Câu 30: Cho số phc
z
tha mãn
34 5zi
−− =
. Gi
M
m
ln lưt là giá tr ln nht và giá tr nh
nht ca biu thc
22
2P z zi
=+ −−
. Môđun của s phc
w M mi= +
A.
3 137
w
=
. B.
1258w =
. C.
2 309
w
=
. D.
2 314
w
=
.
Li gii
- Đặt
z x yi= +
, vi
,xy
.
Ta có:
34 5zi−− =
( ) ( )
3 45x yi −+ =
( ) ( )
22
3 45xy⇔− +− =
, hay tp hp các
điểm biu din s phc
z
là đường tròn
( )
C
có tâm
( )
3; 4
I
, bán kính
5r
=
.
- Khi đó :
22
2P z zi=+ −−
( ) ( )
22
22
21x yx y=+ +−−
423xy=++
423 0xy P + +− =
, kí hiệu là đường thng
.
- S phc
z
tn ti khi và ch khi đường thng
cắt đường tròn
(
)
C
( )
;dI r ∆≤
23
5
25
P
⇔≤
23 10
P⇔−
13 33P ≤≤
Suy ra
33M =
13m =
33 13wi⇒= +
.
Vy
1258w =
.
Câu 31: Cho hai số phc
12
,zz
tha mãn
1
12zi+− =
21
z iz=
. Tìm giá tr nh nht
m
ca biu thc
12
zz
?
A.
21m =
. B.
22m =
. C.
2m
=
. D.
22 2m =
.
Li gii
Đặt
1
; ,z a bi a b=+∈
2
z b ai =−+
( )
( )
12
z z ab bai=++−
.
Nên
( ) ( )
22
12 1
2.z z ab ba z = + +− =
Ta lại có
11 1
21 1 2z iz iz= +−≤ +−= +
1
22z ≥−
. Suy ra
12 1
2. 2 2 2zz z−=
.
Du
""=
xy ra khi
0
11
ab
= <
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 26
Vy
12
min 2 2 2m zz
= −=
.
Câu 32: Cho hai số phc
,wz
tha mãn
32 1
w12 w2
zi
ii
−−
++≤−
. Tìm giá tr nh nht
min
P
ca biu thc
wPz=
.
A.
min
32 2
2
P
=
. B.
min
21
P
= +
. C.
min
52 2
2
P
=
. D.
min
32 2
2
P
=
.
Li gii
Gi s
z a bi= +
( )
,ab
,
w x yi= +
( )
,xy
.
32 1zi−−
(
) ( )
22
3 21ab
+−
w12 w2ii++≤−
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 22
1221xy x y⇔+ ++ ≤− +−
.
Suy ra
0
xy
+=
.
( ) ( ) ( ) ( )
22 22
wP z ax by ax bx== +− = ++
.
T ta có
( )
3; 2I
, bán kính
1r
=
. Gi
H
là hình chiếu ca
I
trên
:dy x=
.
Đưng thng
HI
có PTTS
3
2
xt
yt
= +
= +
.
( )
3 ;2
M HI M t t∈⇒ ++
( )
2
21MC t
⇔=
1
2
1
2
t
t
=
=
11
2 3 ;2
22
tM

=⇒+ +


,
52
2
MH
+
=
11
3 3 ;2
22
tM

=⇒−


,
52
2
MH
=
Vy
min
52 2
2
P
=
.
Câu 33: Cho các số phc
w
,
z
tha mãn
35
wi
5
+=
( )( )
5w 2 i 4z=+−
. Giá tr ln nht ca biu
thc
1 2i 5 2iPz z
= −− +
bng
A.
67
. B.
4 2 13+
. C.
2 53
. D.
4 13
.
Li gii
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 27
Gi
izxy= +
, vi
,
xy
. Khi đó
( )
;M xy
là điểm biu diễn cho số phc
z
.
Theo giả thiết,
( )( )
5w 2 i 4z=+−
( ) ( )( )
5 w i 2 i 4 5iz += + +
( )( )
2 i w i 3 2iz + =−+
3 2i 3z −+ =
. Suy ra
( )
;M xy
thuộc đường tròn
( ) ( ) ( )
22
:3 29Cx y ++ =
.
Ta có
1 2i 5 2iPz z= −− +
MA MB= +
, vi
( )
1; 2A
( )
5; 2
B
.
Gi
H
là trung điểm ca
AB
, ta có
( )
3; 2H
và khi đó:
P MA MB= +
( )
22
2 MA MB≤+
hay
22
4P MH AB≤+
.
Mt khác,
MH KH
vi mi
( )
MC
nên
22
4P KH AB≤+
(
)
2
2
4 IH R AB
= ++
2 53=
.
Vy
max
2 53P =
khi
MK
MA MB
=
hay
3 5iz =
3 11
wi
55
=
.
Câu 34: Xét các s phc
z a bi= +
(
,ab
) tha mãn
32 2zi−− =
. Tính
ab+
khi
12 2 25z iz i+− +
đạt giá tr nh nht.
A.
43
. B.
23+
. C.
3
. D.
43+
.
Li gii
Cách 1:
Đặt
32z iw−− =
vi
w x yi= +
( )
,xy
. Theo bài ra ta có
22
24
w xy=⇔+=
.
Ta có
( )
( ) ( )
2 22
2
12 2 25 4 2 13 4 2 1 3
Pz i z i w w i x y x y= +− + = + + +− = + + + + +
( ) ( ) ( ) ( )
22 22
20821 325221 3xx y xx y= ++ + +− = + + + +−
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
22 2 22
22 2
2 211321 13xyxxy xyxy= ++++ ++ = +++ ++
( )
2 32 3 6yy y y + +− =
.
V
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 28
(
)
22
1
1
6 30
3
4
x
x
P yy
y
xy
=
=
=⇔ ≥⇔

=
+=
.
Vy GTNN ca
P
là bng
6
đạt được khi
(
)
22 3zi=++
.
Cách 2:
32 2zi−− =
2MI⇒=
(
)
;2MI⇒∈
vi
( )
3; 2I =
.
12 2 25 2P z i z i MA MB
= +− + = +
vi
( )
1; 2A
=
,
( )
2;5B =
.
Ta có
2IM =
;
4IA =
. Chn
( )
2; 2K
thì
1IK =
. Do đó ta có
2
.IA IK IM=
IA IM
IM IK
⇒=
IAM⇒∆
IMK
đồng dng vi nhau
2
AM IM
MK IK
⇒==
2AM MK⇒=
.
T đó
2P MA MB= +
(
)
2
MK MB= +
2BK
.
Du bng xy ra khi và ch khi
M
,
K
,
B
thng hàng và
M
thuộc đoạn thng
BK
.
T đó tìm được
( )
2; 2 3M
= +
.
Cách 3:
Gi
( )
;M ab
là điểm biu din s phc
.
z a bi= +
Đặt
(
)
3; 2I =
,
( )
1; 2A
( )
2;5B
.
Ta xét bài toán: Tìm đim M thuc đưng tròn
( )
C
có tâm
I
, bán kính
2R =
sao cho biểu thc
2P MA MB= +
đạt giá tr nh nht.
Trước tiên, ta tìm điểm
( )
;K xy
sao cho
2MA MK=
( )
MC∀∈
.
Ta có
( ) ( )
22
22
24 4MA MK MA MK MI IA MI IK= = ⇔+= +
   
( ) ( )
22 2 2 2 22
2. 4 2. 2 4 3 4MI IA MI IA MI IK MI IK MI IA IK R IK IA ++ = + + = +
      
(
)
*
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 29
(
)
*
luôn đúng
( )
2 22
40
34 0
IA IK
MC
R IK IA
−=
∀∈
+ −=
 
.
( )
(
)
434
2
40
2
4 20
x
x
IA IK
y
y
−=
=
−=

=
−=
 
.
Th trc tiếp ta thy
( )
2; 2K
tha mãn
2 22
34 0R IK IA
+ −=
.
222 2
1 3 10 4
BI R=+=> =
nên
B
nằm ngoài
( )
C
.
22
14KI R=<=
nên
K
nằm trong
( )
C
.
Ta có
( )
2222 2MA MB MK MB MK MB KB+=+= +
.
Du bằng trong bất đẳng thc trên xy ra khi và ch khi
M
thuộc đoạn thng
BK
.
Do đó
2MA MB+
nh nht khi và ch khi M là giao điểm ca
(
)
C
và đoạn thng
.BK
Phương trình đường thng
:2BK x =
.
Phương trình đường tròn
(
)
(
) ( )
22
:3 24Cx y
+− =
.
Ta đ điểm
M
là nghim ca h
( ) ( )
22
2
2
3 24
23
x
x
xy
y
=
=


+− =
= +
hoặc
2
23
x
y
=
=
.
Th li thy
( )
2; 2 3M +
thuộc đoạn
BK
.
Vy
2a =
,
23b = +
43ab+=+
.
Câu 35: Biết rng hai s phc
1
z
,
2
z
tha mãn
1
3 4i 1z −− =
2
1
3 4i
2
z −− =
. S phc
z
phần
thc là
a
và phn o
b
tha mãn
3212ab
−=
. Giá tr nh nht ca
12
22
P zz z z= +− +
bng:
A.
min
9945
11
P =
. B.
min
5 23P =
. C.
min
9945
13
P =
. D.
min
5 25P = +
.
Lời giải
Gi
1
M
,
2
M
,
M
lần lượt là điểm biu diễn cho số phc
1
z
,
2
2z
,
z
trên h trc ta đ
Oxy
.
Khi đó quỹ tích của điểm
1
M
là đường tròn
( )
1
C
tâm
( )
3; 4I
, bán kính
1R =
;
qu tích của điểm
2
M
là đường
( )
2
C
tròn tâm
( )
6;8I
, bán kính
1R =
;
qu tích của điểm
M
là đường thng
:3 2 12 0dx y −=
.
Bài toán trở thành tìm giá tr nh nht ca
12
2MM MM++
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 30
Gi
( )
3
C
có tâm
3
138 64
;
13 13
I



,
1R =
là đường tròn đối xng vi
( )
2
C
qua
d
. Khi đó
( )
( )
12 13
min 2 min 2MM MM MM MM+ += + +
vi
( )
33
MC
.
Gi
A
,
B
lần lượt là giao điểm của đoạn thng
13
II
vi
( )
1
C
,
( )
3
C
. Khi đó với mọi điểm
( )
11
MC
,
(
)
33
MC
,
Md
ta có
13
22MM MM AB+ +≥ +
, du "=" xy ra khi
13
,M AM B≡≡
. Do đó
min 1 3
2 22P AB I I= += −+
13
9945
13
II= =
.
Câu 36: Trong các số phc tha mãn:
1 12−+ = +z iz i
, s phc
z
có mô đun nhỏ nht có phn o là
A.
3
10
. B.
3
5
. C.
3
5
. D.
3
10
.
Li gii
+ Gi s phc cn tìm là
,( , )=+∈z a bi a b
.
⇒=−z a bi
+
1 12−+ = +−z iz i
1 12 + −+ = +a bi i a bi i
( )
( )
11 12 −+ + = + +abiabi
.
( ) ( ) ( ) ( )
22 2 2
11 12 ++ = + ++ab ab
43 3
4 2 30 2
22
+
+ +== =
a
ab b a
+
2
22 2 2 2
3 9 699
2 56 5
2 4 5 25 20

= + = + + = + += + + +


z ab a a a a a a
2
3 9 9 35
5
5 20 20 10

= + +≥ =


a
I
3
I
2
I
1
M
8
6
4
3
O
y
x
B
A
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 31
z
nh nht bng
35
10
khi
33
5 10
=−⇒=ab
.
Câu 37: Cho số phc
z
tha mãn
1z
=
. Gi
,
Mm
lần lượt là giá tr ln nht, giá tr ln nht ca
53 4
62 1Pz z z z=++ +
. Tính
Mm
.
A.
1Mm−=
. B.
7Mm−=
. C.
6Mm−=
. D.
3Mm−=
.
Li gii
Ta có:
2
1
1zz z z
z
= =⇔=
.
Suy ra
5 4 8 4 4 84 4
3
3
11
621 1621 6121Pz z z z z z z z z
z
z
=++−+= ++−+=++−+
Đặt
4
1wz w=⇒=
, ta được
2
6 12 2
Pw w w= + +− +
.
Gi
w x yi= +
, vì
22
1
11
1
x
w xy
y
≤
=⇔+=
.
( )
( )
22 2
61 2 3 21 2 62 3 21P x x y y x i x yi x x y x i x yi= + +− + + ++ = + + + ++
(
)( )
( ) ( )
2
2
23 2 1 23 222x x yi x y x x yi x= + + ++= + +− +
( )
2 3 22 2xx= +− +
Xét hàm s
( ) ( )
2 3 22 2fx x x= +− +
trên đoạn
[
]
1;1
.
( ) ( )
11 1
22 ; 0 22 0 2 21
2
22 22
fx fx x x
xx
′′
= =⇔− = +==
++
.
Ta có:
( ) (
)
1
14; 3;14
2
ff f

−= = =


Vy
4, 3 1M m Mm= = −=
.
Câu 38: Cho số phc
z
tha mãn
1=z
. Giá tr ln nht ca biu thc
1 21=++ Pz z
bng
A.
65
. B.
45
. C.
25
. D.
5
.
Li gii
Gi
( )
; ;=+∈z x yi x y
.
[
]
22 2 2
1 1 1 1;1 .= + = = ∈−z xy y x x
Ta có:
( ) ( )
( ) ( )
22
22
1 31 1 3 1 21 2 21=++ = + + + + = + + P z z xy xy x x
.
Xét hàm s
( ) ( ) ( )
[ ]
21 2 21 ; 1;1.= + + ∈−fx x x x
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 32
Hàm s liên tc trên
[ ]
1;1
và vi
( )
1;1∈−x
ta có:
( )
( ) ( )
12
.
21 21
=
+−
fx
xx
(
)
(
) ( )
( )
12 3
0 0 1;1 .
5
21 21
= = = ∈−
+−
fx x
xx
(
) (
)
3
1 2; 1 4; 2 5
5

= −= =


ff f
.
[ ]
( )
1;1
max 2 5
∈−
⇒=
x
fx
.
Vy giá tr ln nht ca biu thc
1 31=++ Pz z
bng
25
khi
3
5
= x
,
4
5
= ±
y
.
Câu 39: Cho số phức
z
thoả mãn
1
z =
. Gọi
M
m
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
2
11Pz z z= ++ −+
. Tính
.Mm
A.
13 3
4
. B.
39
4
. C.
33
. D.
13
4
.
Li gii
Thay
2
1z =
vào
P
ta có
2
11Pz z z
= ++ −+
2
2
1z z zz= ++ −+
2
1.z z z zz
= ++ −+
11z zz z
= ++ +−
11z zz
= ++ +−
.
Mt khác
( )
( )
2
1 1 12z z z zz
+ = + + =++
.
Đặt
t zz= +
do
1z
=
nên điều kin
[ ]
2; 2t ∈−
.
Suy ra
21Pt t= ++−
.
Xét hàm s
( )
21ft t t= ++−
vi
[ ]
2; 2t ∈−
.
( )
1
1
22
ft
t
= +
+
vi
1t >
. Suy ra
( )
0ft
>
vi
1t >
.
( )
1
1
22
ft
t
=
+
vi
1t
<
. Suy ra
( )
0fx
=
7
4
x
⇔=
.
Ta có bảng biến thiên
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 33
T bng biến thiên suy ra
13
4
M =
ti
7
4
t
=
3m =
ti
2t =
.
Vy
13 3
.
4
Mm=
.
Câu 40: Cho số phc
z
tha mãn :
2zzi= +
. Giá tr nh nht ca biu thc
4P zi z= −+
A.
5.
B.
4.
C.
3 3.
D.
6.
Li gii
Gi
(; )Mxy
là điểm biu din s phc
.z
Ta có
2 1 0,zzi y= + +=
tc biu din hình hc
ca s phc tha mãn gi thiết đưng thng
1 0.y +=
Xét đim
(0;1)A
(4;0)B
thì
4.
P z i z MA MB= −+ = +
D thy
,AB
cùng phía vi đưng thng
10
y +=
nên
MA MB+
nh nht bng
BA
trong đó
(0; 3)A
đối xng vi
A
qua đường thng
1 0.y +=
Do đó
MA MB+
nh nht bng
5.BA
=
Câu 41: Cho các s phc
1
13zi= +
,
2
53zi=−−
. Tìm điểm
( )
;
M xy
biu din s phc
3
z
, biết rng
trong mặt phng phc đim
M
nằm trên đường thng
2 10xy +=
đun số phc
32 1
32w zz z= −−
đạt gí tr nh nht.
A.
31
;
55
M



. B.
31
;
55
M



. C.
31
;
55
M

−−


. D.
31
;
55
M



.
Li gii
Trắc nghim: Thay ta đ điểm M vào vế trái phương trình đường thng kết qu bng 0 tha
ta được đáp án A
T lun:
Ta có
( )
32 1 3 3 3
3 2 3 33 3 1 3 1 3wzzzz iziwziAM
= = + = +− = +− =
vi
( )
1; 3A
( )
;M xy
biu din s phc
3
z
nằm trên đường thng
: 2 10dx y +=
( )
1; 3Ad−∉
.
M'
A
B
A'
M
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 34
Khi đó
3
31 3
w z i AM= +− =
đạt giá tr nh nht khi
AM
ngn nht
AM d
AM d
nên
AM
có phương trình:
2 10xy
+ +=
.
Khi đó
M AM d=
nên
31
;.
55
M



.
Câu 42: Cho số phc
z
thoả mãn
12 5−+ =
zi
. Giá tr ln nht ca
1++zi
bng
A.
5
. B.
52
. C.
20
. D.
25
.
Li gii
Cách 1.
Ta có
1 12 2 12 2 25
ziziizii++ = −+ + −+ + =
.
Đẳng thc xy ra khi
33
zi=
.
Vy
max 1 2 5zi
++ =
.
Cách 2.
Đặt
( )
,,z x yi x y=+∈
thì t điều kiện ta có:
(
) ( )
22
1 25xy++ =
.
Gi
( )
;M xy
là điểm biu diễn cho
z
( )
1; 1A −−
là điểm biu diễn cho số phc
1 i−−
, khi
đó
1z i AM++ =
vi
M
thuộc đường tròn
(
)
C
tâm
(
)
1; 2
I
bán kính
5R =
.
D thy
( )
AC
, do đó
2 25AM R≤=
.
Suy ra
max 1 2 5zi++ =
, đẳng thc xy ra khi
MK
.
Cách 3.
12 5−+ =zi
( )
*
Đặt
= +
z x yi
( )
, xy
, khi ấy, ta có
( )
* 12 5 + −+ =x yi i
( ) (
)
1 25
−+ + =x yi
( ) ( )
22
1 25 ++ =xy
.
Đặt
1 5 sin
2 5 cos
−=
+=
xa
ya
. Ta có
( ) ( )
1 11++ = + + +z ix yi
( ) ( )
22
11= + ++xy
( ) ( )
22
5 sin 2 5 cos 1
= ++ aa
10 4 5 sin 2 5 cos=+−aa
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 35
25 5
10 10 sin cos
55

=+−



aa
(
)
10 10sin=+−
a
ϕ
vi
25
cos
5
5
sin
5
=
=
ϕ
ϕ
.
( )
1 sin 1−≤ a
ϕ
vi mi
; a
ϕ
10 10 1 10 10⇒−++≤+
zi
0 1 25 ++ zi
.
Vy giá tr ln nht ca
1
++zi
25
. Du
""=
xy ra khi
( )
sin 1−=a
ϕ
2
2
⇔−= +ak
π
ϕπ
5
cos cos 2 sin
25
25
sin sin 2 cos
25

= + += =


⇒⇒

= + += =


ak
ak
π
πϕ ϕ
π
πϕ ϕ
1 5 sin
2 5 cos
−=
+=
xa
ya
12
21
−=
+=
x
y
3
3
=
=
x
y
33
⇒=zi
.
Câu 43: Cho số phc
z
tha mãn
( )
( )
2 22
iz iz i −+ =
. Giá tr nh nht ca
z
bng
A.
1
. B.
25
5
. C.
2
. D.
5
5
.
Li gii
Gi s
z x yi= +
(
)
,
xy
. Ta có
(
)
( )
2 22iz iz i
−+ =
( )
( ) (
)( )
2 22i x yi i x yi i + −+ =
( ) (
) ( ) (
)
22 2 2 2x y y xi x y y xi i ++ +++ =


( )
42 2y xi i⇔− =
422yx
−=
21xy
⇔=
.
Do đó
( )
2
2
2
22 2 2
2 11
21 5 41 5 , .
55
5
z xy y y y y y y

=+= += −+= +


Suy ra
15
min
55
z = =
khi
2
5
y =
,
1
5
x =
.
Câu 44: S phc
z
có môđun nhỏ nhất thoả mãn
23iz zi−− + =
A.
63
55
i
. B.
36
55
i+
. C.
36
55
i
. D.
63
55
i+
.
Li gii
Đặt
( )
,; .z x yi x y z x yi=+ ⇒=
Khi đó
( )
( ) ( )
23 2 3 1iz zi x y i x y i−− + = + = +
( ) ( ) ( )
22 2
2
2 3 1 2 30x y x y xy
++ = +− =
.
Do đó tập hợp điểm biu din ca
z
là đường thng
: 2 30xy −=
.
Ta có
( )
min d ,zO=
. Gi
d
là đường thng qua
O
và vuông góc với
:2 0d xy +=
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 36
Gi
20
36
:;
2 30
55
xy
Hd H H
xy
+=

= ∩∆

−=

.
Khi đó
z
có môđun nhỏ nhất thoả mãn có điểm biu din là
H
, tc là
36
55
zi
=
.
Câu 45: Trong các số phc
z
tha mãn
(
)
12 5 17 7
13
2
iz i
zi
++
=
−−
. Tìm giá tr nh nht ca
z
.
A.
3 13
26
. B.
5
5
. C.
1
2
. D.
2
.
Li gii
Điu kin:
2
zi≠+
.
Phương trình đã cho
17 7
12 5 . 13 2 1 2
12 5
i
iz zizizi
i
+
+ = −−⇔ ++= −−
( )
1
.
Gi
( )
;M xy
là điểm biu din s phc
z x yi= +
. Vì
2zi≠+
nên
( )
2;1MN
.
Khi đó,
( ) ( ) (
) ( ) ( )
22 22
1 1 1 2 1 6 4 30x y x y xy⇔+ ++ = +− +=
.
Ta thy đường thng
:6 4 3 0dx y
+ −=
không đi qua điểm
( )
2;1N
nên tp hợp điểm
M
đường thng
d
.
Ngoài ra,
z OM=
nên
z
nh nht khi
OM
nh nht, tc là
(
)
22
3 3 13
d,
26
64
OM O d= = =
+
.
Vy
3 13
min
26
z =
.
Câu 46: Cho số phc
z
tha mãn
( )
(
)
2
2 5 12 3 1
z z z iz i + = −+ +
. Tính
min ,w
vi
22wz i=−+
.
A.
1
min
2
w =
. B.
min 1w =
. C.
3
min
2
w =
. D.
min 2w =
.
Li gii
Theo giả thiết,
( )( )
2
2 5 12 3 1z z z iz i + = −+ +
( )( ) ( )( )
12 12 12 3 1z iz i z iz i −+ −− = −+ +
( )
1 2. 1 2 1 3 0z iz iz i −+ −− −+ =
( )
( )
1 2 0 1
1 2 1 3 2
zi
z iz i
−+ =
−− = −+
.
( )
1 12 0 12zi z i −+ = =
. Khi đó,
12 22 1w ii= −+ =
( )
3
.
Đặt
z x yi= +
(
, xy
). Khi đó,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 12 13xyixyi −+ = −+ +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 22 2 2 2
11
1213 2 3
22
xy xy y y y zxi⇔− +− =−++ =+ ==
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 37
( )
( )
2
3 9 93
22
2 4 42
wx i x = + = +≥ =
x∀∈
.
( )
4
.
T
( )
3
( )
4
min 1w⇒=
.
Câu 47: Xét các s phc
z
tha mãn
3 2 3 35z iz i+ + −+=
. Gi
M
,
m
lần lượt là giá tr ln nht
và giá tr nh nht ca biu thc
2 13Pz z i= + + −−
. Tìm
M
,
m
.
A.
17 5
M = +
;
32m =
. B.
26 2 5M = +
;
2m =
.
C.
26 2 5M = +
;
32m =
. D.
17 5M = +
;
3m =
.
Li gii
Gi
M
là điểm biu din s phc
z
,
(
)
1
3; 2
F
,
( )
2
3; 1F
,
( )
2;0A
(
)
1; 3B
.
Ta có
3 2 3 35z iz i+ + −+=
12
35FF =
1 2 12
MF MF F F+=
.
Do đó tập hợp các điểm
M
là đoạn thng
12
FF
.
Dựa vào hình vẽ, ta thy:
+
max 2 2
26 2 5M P MA MB==+=+
.
+
min 1 1
32m P M A M B AB==+==
.
Vy
26 2 5M = +
;
32m =
.
Câu 48: Xét các s phc
z
tha mãn
13 2zi−− =
. S phc
z
1z
nh nht là
A.
15zi= +
. B.
1zi= +
. C.
13zi= +
. D.
1zi=
.
Li gii
Gi s
( )
;z x yi x y=+∈
.
Ta có
13 2zi−− =
( ) ( )
22
1 32xy +− =
( )
2
2
1 65x yy =−+
( )
2
2
1 0 6 50 1 5x yy y ⇒− +
( )
2
2
1 1 65z x yy−= + =
1 5165251 15yy z ⇔≤ ⇔≤
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 38
Vy
1z
nh nht khi
1
1
x
y
=
=
khi đó
1
zi
= +
Câu 49: Cho các s phc
,,zz z
12
thay đi tha mãn các điu kin sau:
iz i243
, phn thc ca
z
1
bng 2, phn ảo của
z
2
bng 1. Tìm giá tr nh nht ca biu thc
T zz zz 
22
12
.
A.
.9
B.
.2
C.
.5
D.
.4
Li gii
Đặt
,,z x yi x y
, ta có
;Mz Mxy
Khi đó:
iz i i x yi i y x i  243 243 4 2 3
xy

22
2 49
Suy ra tp hợp điểm
M
là đưng tròn
C
tâm
;I 24
, bán kính
.
R
3
Mt khác:
;z bi A z A b
11
22
Tp hợp điểm
A
là đường thng
:.dx
1
2
;z a i Bz Ba 
22
1
Tp hợp điểm
B
là đường thng
:.dy
2
1
Giao điểm ca
d
1
d
2
;
P
21
.
Gi
H
K
lần lượt là hình chiếu ca
M
trên
d
1
.d
2
Ta có:
T z z z z MA MB MH MK MP 
22
22 2 2 2
12
.
T
đạt giá tr nh nht khi
,A HB K
,,IMP
thngng.
Phương trình đường thng
:;
xt
IP M t t
yt



24
2 41 3
13
.
MC
nên ta có
t
tt t
t



22 2
2
9
5
44 33 9 1
8
25
5
- Vi
;tM



8 22 29
5 55
y
x
O
I
P
M
- 2
4
1
2
K
H
d
1
d
2
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 39
- Vi
; ,.t M z i z iz i

 

12
2 2 11 2 11 11 2
2
5 55 5 5 5 5
Suy ra
min
MP IP IM IP R 
2
2
4 3 32
.
Vy
min
T 
2
24
khi
, ,.z iz iz i 
12
2 11 11 2
2
55 5 5
Câu 50: Cho số phc
z
tha mãn
34 5
zi
−− =
và biu thc
22
2P z zi=+ −−
đạt giá tr ln nht.
Tính
zi+
.
A.
53
. B.
41
. C.
61
. D.
35
.
Li gii
Gi s
z x yi= +
, (
,xy
).
+) Ta có:
( ) ( ) ( )
22
34 5 3 4 5 1zi x y−− = + =
.
+)
( ) ( )
22
22
22
2 2 1 423P z zi x y x y x y

=+ −− = + + + = + +

( ) ( )
( )
( ) ( )
22
22
4 3 2 4 23 4 2 3 4 23 33x y xy

= −+ + + + + =

.
( ) ( )
34
33 3 2 4 2
42
xy
P xy
−−
= = −=
.
T
( )
1
( )
2
suy ra
5
5
x
y
=
=
hoặc
1
3
x
y
=
=
.
Vi
5
33
5
x
P
y
=
⇒=
=
; Vi
1
13
3
x
P
y
=
⇒=
=
.
Vy s phc
z
tha mãn
34 5zi−− =
và biu thc
22
2P z zi=+ −−
đạt giá tr ln nht là
55zi= +
. Khi đó
61zi+=
.
Câu 51: Cho số phc
( )
,z a bi a b=+∈
tha mãn
11
zi−− =
. Giá tr nh nht ca biu thc
5P ab= +−
A.
32
. B.
22
. C.
3 22
. D.
22+
.
Li gii
Cách 1:
Theo giả thiết ta có
( ) ( )
22
1 1 1 11zi a b−− = + =
.
Đặt
(
)
1 sin , 1 cos 0 2a tb t t
π
=+ =+ ≤≤
.
Khi đó
5 sin cos 3 2 sin 3 3 2 sin
44
P ab t t t t
ππ
 
=+= + −= + −= +
 
 
.
Ta có:
1 sin 1 2 2 sin 2 3 2 3 2
44
t tP
ππ
 
+≤ +≤+
 
 
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 40
Do đó giá trị nh nht ca
P
32
.
Cách 2:
Theo giả thiết ta có
(
) ( )
[ ]
22
1 1 1 1 1 , 0;2z i a b ab
−− = + =
.
Khi đó
( ) ( )
55 3 1 1P ab ab a b= +− ==− +


.
Theo BĐT Bunhia ta có:
( ) ( )
( )
( ) ( )
22
22
1 1 1 1. 1 1 2ab a b

+− + +− =

Do đó
32
P
≥−
.
Câu 52: Cho số phc
z a bi= +
(
a
,
b
) tha mãn
1z =
. Tìm giá tr ln nht ca biu thc
22 2Az z=++
.
A.
10
. B.
52
. C.
10 2
. D.
7
.
Li gii
Ta có:
( )
2
2
2
22z ab+=+ +
;
( )
2
2
2
22z ab
−= +
.
Suy ra:
22
22zz+ +−
( )
22
28ab= ++
2
28z= +
10=
.
Ta có:
( )
( )
( )
2
22
2 22
2 2 2 1 2 2 2 50Az z z z
= ++ + + +− =
.
0A
nên t đó suy ra
50 5 2A ≤=
.
Vy giá tr ln nht ca
A
52
.
Câu 53: Cho số thc
a
thay đổi và s phc
z
tha mãn
( )
2
12
1
z ia
aa i
a
=
−−
+
. Trên mt phng ta đ,
gi
M
là điểm biu din s phc
z
. Khoảng cách nh nht gia hai điểm
M
( )
3;4
I
A.
6
. B.
5
. C.
4
. D.
3
.
Li gii
Ta có:
( )
( )
( )
( )
2
2
22
2
12
12
11
1
i a a ai
z ia z
aa i
aa
a
−−
= ⇔=
−−
++
+
( )
( )
32
2
22
2
1
1.
11
1
aaa i
z ai
zz
aa
a
++ +
+
= ⇔= =
++
+
Vy tp hợp các điểm biu din ca s phc
z
là đường tròn tâm
O
bán kính
1R =
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 41
Ta có:
5OI =
. Do đó:
min 1
51 4OM OM OI R= = = −=
.
Câu 54: Xét s phc
z
tha mãn
24 5zi
−− =
. Gi
a
b
lần lượt là giá tr ln nht và giá tr nh
nht ca
z
. Giá tr biu thc
22
ab
bng
A.
40
. B.
45
. C.
20
. D.
25
.
Li gii
Gi
( )
;M xy
là điểm biu din s phc
z x yi
= +
vi
,
xy
.
Ta có
( )
( )
22
24 5 2 4 5zi x y−− = + =
tp hợp điểm biu din s phc
z
là mt
đường tròn có tâm
( )
2;4I
và bán kính
5
R =
.
K đường thẳng đi qua
2
điểm
O
I
cắt đường tròn ti
2
điểm
M
N
như hình vẽ.
22
2 4 25OI = +=
;
5IM IN R= = =
.
T hình v ta thy:
min
25 5 5z OM OI IM b= = = −==
.
max
25 5 35z ON OI IN a= =+= += =
.
Vy
22
40ab−=
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 42
Câu 55: Cho
12
, zz
là hai trongc s phc tha mãn
332zi
−+ =
12
4zz−=
. Giá tr ln nht ca
12
zz+
bng
A.
8
. B.
43
. C.
4
. D.
2 23
+
.
Li gii
Gi
, MN
lần lượt là điểm biu din ca hai s phc
12
,
zz
.
Do
12
12
33 332
4
z iz i
zz
−+ = −+ =
−=
nên
( ) ( )
( )
2
2
2
,N : 3 3 2
4 2.2
M Cx y
MN
++ =
= =
.
Như vy
MN
là đường kính của đường tròn
( )
C
vi tâm
( )
3; 3I
, bán kính
2
R
=
, do đó
I
là trung điểm
MN
,
O 12I
=
.
Ta có
( )
( )
2
22 2
12
1 1 2 2O 8
2
MN
z z OM ON OM ON I

+= + + + = + =


.
Du
""=
xy ra khi và ch khi
OM ON MN
=
là đường kính ca
(
)
C
vuông góc với
OI
.
Câu 56: Gi s
12
,zz
là hai trong các s phc tha mãn
( )
( )
68z zi−+
là s thc. Biết rng
12
4
zz
−=
.
Giá tr nh nht ca
12
3zz+
bng
A.
5 21
. B.
20 4 21
. C.
20 4 22
. D.
5 22
.
Li gii
Gi s s phc
z x yi
= +
tha mãn
( )
( )
68z zi−+
là s thực. Ta có:
( )
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
6 8 6 (8 ) 6 8 8 8 6 8z zi x yi x yi i x y xy x x y y i + = + + + = + +− +


Để
( )
( )
68z zi−+
s thc thì
( ) ( ) ( ) ( )
22
2
8 6 8 0 3 45xx y y x y −+ = + =
Vậy điểm biu din s phc
12
,zz
thuộc đường tròn tâm
( )
3, 4I
, bán kính
5R =
Gi s
111
z x yi= +
có điểm biu din
(
)
11
,
Ax y
;
222
z x yi= +
có điểm biu din
( )
22
,Bx y
.
( ) ( )
22
12 12 1 2
4 44z z x x y y AB−= + = =
Ta xét
12
33z z OA OB+=+
 
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 43
Gi
H
là trung điểm
,AB
K
là trung điểm
HB
, khi đó ta có:
(
)
12
3 32 44
z z OA OB OH OB OK OK+=+ = + = =
    
Ta có
5; 4; AH HB 2; 1OI IB IA AB HK= = = = = = =
Suy ra
21 22IH IK= ⇒=
.
Theo bất đẳng thc tam giác ta có
5 22OK KI OI OK OI KI OK+≥ ≥−⇔
.
Suy ra
12
3 4 20 4 22z z OK+ = ≥−
Câu 57: Trong các số phc
z
tha mãn
2
12zz+=
gi
1
z
2
z
lần lượt là các s phức có môđun nhỏ
nht và ln nht. Giá tr ca biu thc
22
12
zz+
bng
A.
6.
B.
2 2.
C.
4 2.
D.
2.
Li gii
Áp dng bất đẳng thức mô đun :
12 1 2
.
zz z z+≥
Du bng xy ra
( )
12
, 0.
z kz k=
Ta có:
22 2
2 1 1 2 12zz z zz z= +≥ −⇔
Vi
22
12 2 10 1 2
z zz z z−≤ −≤ +
Du bng xy ra khi và ch khi:
(
)
2
max
2
3 22
12
12
12
k
z
zz
zi
zk
=−−
= +

=+=

=±+
=
Vi
22
1 2 2 10 1 2z zz z z ≥− + ≥− +
Du bng xy ra khi và ch khi:
( )
1
min
2
3 22
21
21
21
m
z
zz
zi
zm
=−+
=

= −=

=±−
=
Vy
( ) ( )
22
22
12
2 1 2 1 6.zz+ = −+ +=
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 44
Câu 58: Gi
z
là s phức môđun nhỏ nht tha mãn điu kin
2 8 17zi−− =
. Biết
( )
,z a bi a b=+∈
, tính
2
23ma b=
A.
18m =
. B.
54
m
=
. C.
10m =
. D.
14m =
.
Li gii
Gi
( )
;M ab
là điểm biu din s phc
( )
,z a bi a b=+∈
.
Ta có:
( ) ( )
22
2 8 17 2 8 17 17z i a b IM
−− = + = =
vi
( )
2;8I
.
Suy ra:
M
thuộc đường tròn
( )
C
có tâm
I
bán kính
17R =
.
Li có:
22
2 8 2 17OI R= += >
nên
O
nằm ngoài
( )
C
.
GTNN của môđun
z
min
min
z OM=
17OI R
= −=
( )
1
.
Đẳng thc xy ra khi
( )
M OI C=
M
nm gia
O
I
( )
2
.
T
( )
1
( )
2
ta có
M
là trung điểm
OI
nên
( )
1; 4M
.
Suy ra
1; 4ab
= =
. Khi đó:
2
2 3 2 12 10ma b= =−=
.
Câu 59: Xét các s phc
( )
,z a bi a b=+∈
tha mãn
2 3 22zi+− =
. Tính
2P ab= +
khi
16 72z iz i++ +
đạt giá tr ln nht.
A.
3
P
=
. B.
3P =
. C.
1
P =
. D.
7
P
=
.
Li gii
Đặt
( ) ( ) ( )
1; 6 , 7; 2 8; 8A B AB
−− =

và trung điểm ca
AB
( )
3; 2K
.
Gi
(
)
;M ab
là điểm biu din s phc
z
ta có:
( ) ( )
22
2 38
ab+ +− =
.
M
thuộc đường tròn
( )
C
có tâm
( )
2;3I
, bán kính
8R =
.
Ta thy
( )
5; 5 . 0IK IK AB I= −⇒ =
  
nằm trên đường thng trung trc ca
AB
.
Xét tam giác
2
22 2
2
2
AB
MAB MA MB MK⇒+= +
.
( )
( )
2
2 2 22 22
24 4MA MB MK AB MA MB MA MB MK AB
+ = + + ⇒+ +
.
(
C
)
A
B
I
N
K
M
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 45
Ta có
16 72z iz i++ +
là tổng khoảng cách t điểm
M
trên đường tròn
( )
C
tới hai điểm
A
B
.
Vy
MA MB+
ln nht khi:
max
MA MB
MK
=
. Điều này xy ra khi
M
là giao điểm ca
IK
vi
đường tròn
( )
C
M
nằm ngoài đoạn
IK
.
Ta có phương trình của đưng thng
2
:
3
xt
IK
yt
=−+
=
.
Ta đ giao điểm ca
IK
với đường tròn
(
)
C
là nghim ca h:
( ) ( )
2
22
2
3 28 2
2 38
xt
yt t t
xy
=−+
= =⇒=±
+ +− =
.
Vậy điểm
M
cn tìm ng vi
2t =
khi đó
( )
4
4;5 2 8 5 3
5
a
M P ab
b
=
= + =−+ =
=
Câu 60: Cho số phc
z
tha mãn
(
)
1 13 32
iz i+ +− =
. Giá tr ln nht ca biu thc
2 6 23Pz i z i= +++
bng
A.
56
. B.
( )
15 1 6+
. C.
65
. D.
10 3 15+
.
Li gii
Cách 1
( )
1 13 32
iz i+ +− =
13
1 32
1
i
iz
i
⇔+ + =
+
( )
( )
1 2 31zi−+ =
.
Gi
( )
;
OM x y=

,
( )
1; 2OI =

là vec-tơ biểu diễn cho các số phc
z x iy= +
,
w 12i= +
.
T
(
)
1
3OM OI−=
 
3MI⇔=
.
Suy ra
M
thuộc đường tròn
( )
C
tâm
( )
1; 2I
bán kính
3R =
,
( ) ( ) ( )
23
:1 29Cx y +− =
Gi
( )
2; 1OA =−−

,
( )
2;3OB =

lần lượt là vec-tơ biểu diễn cho số phc
2ai=−−
,
23
bi= +
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 46
(
)
3; 3
IA
=−−

,
(
)
1;1
IB
=

. Suy ra
3 30IA IB IA IB= ⇔+ =
   
.
Lúc đó
6 2. 3P MA MB MA MB=+=+
( )
22
33MA MB≤+
.
( ) ( )
22
22
33MA MB IA IM IB IM+ = +−
   
22 2
43IM IA IB= ++
.
2
9IM =
,
2
18
IA =
,
2
2IB =
, nên
22
3 60MA MB+=
.
Suy ra
3.60 6 5P ≤=
.
65
P =
3
1
2
MA MB
⇔=
.
Vy giá tr ln nht ca
P
65
P
=
.
Cách 2.
Gi s
( )
;M xy
là điểm biu din ca s phc
z
khi đó
( )
(
)
22
1 13 32 1 3 32 2 4 4 0
iz i x y x y i x y x y+ +− = ++ + = + =
( ) ( )
22
1 29xy⇔− +− =
. Do đó
M
thuộc đường tròn tâm
( )
1; 2
I
, bán kính
3R =
.
Đặt
1
2
ax
by
=
=
Ta có
22
9
ab+=
. Gi
( )
2; 1A =−−
,
( )
2;3B =
(
) (
)
(
) (
)
22 2 2
2 6 23 6 2 1 6 2 3
P z i z i MA MB x y x y

=+++ −= + = + ++ + +−

( ) ( )
( ) ( )
( )
( )( )
2 2 22
3 3 6 1 1 6 27 6 2 11a b a b ab ab

= + ++ + +− = ++ + ++

( )
( )( ) ( )( )
6 27 2 6 33 1 2 27 33 6 5ab ab
= ++ + ++ + + =
.
Câu 61: Cho số phc
z
thay đi tha mãn
13zi+− =
. Giá tr nh nht ca biu thc
2 45 17
A z iz i= + + +−
bng
ab
. Tính
S ab= +
?
A.
20
. B.
18
. C.
24
. D.
17
.
Li gii
Gi
( )
,,z x yi x y=+∈
.
Ta có:
( )
( ) ( )
22
1 3 1 19zi x y C+− = + + =
;
Suy ra, tp hp tt c các đim biu din s phc
z
là đường tròn
( )
C
, có tâm là
( )
1;1I
bán kính
3R
=
.
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
22 22
2 45 17 2 4 5 1 7A z iz i x y x y= +++= ++ + + +−
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 47
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2 22
2 4 5 1 73 1 19x y xy xy= ++ + + +− + + +−
( ) ( )
22
22
2 4 5 4 8 4 20 29x y x xy y= ++ + ++ +
(
)
( )
22
22
29
2 4 5 2 2 10
4
x y x xy y= ++ + ++ +
( ) ( )
(
)
2
22 2
5
24 5 1
2
xy xy



= ++ + + +




.
Gi
( ) ( )
;M xy C
.
( ) ( )
2 4 5 1 7 2 , 4; 5 ; 1;7A z i z i MA MB A B = + + +− = +
.
( )
5
2 2 , 1;
2
A MA MB MA MC C

⇒= + = +


.
Ta có:
( )
33
0;
22
C
IC IC R

= ⇒=<


 
.
Suy ra, điểm
C
nằm trong đường tròn
( )
C
.
Vậy, đường thng
AC
cắt đường tròn
( )
C
tại hai điểm.
Do đó, để
( )
2A MA MC= +
đạt giá tr nh nht thì
M
phi nm gia hai điểm
A
C
.
( )
5 13
2 2,
2
A MA MC AC AC⇒= + =
.
5 13A ab
⇒≥ =
.
Vy,
18ab+=
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 48
Câu 62: Cho
12
,
zz
nghiệm phương trình
63 2 69i iz z i + = −−
và tha mãn
12
8
5
zz−=
. Giá tr ln
nht ca
12
zz
+
bng
A.
56
5
. B.
28
5
. C.
6
. D.
5
.
Li gii
Gi
1 1 12 2 2
,z x yi z x y i
=+=+
, vi
112 2
,,,xyx y
.
Do
12
8
5
zz−=
( ) ( )
12 12
8
5
x x y yi+− =
( ) ( )
22
12 12
8
5
xx yy +− =
Gi
( )
1 11
;M xy
,
( )
2 22
;
M xy
( )
(
)
22
12 1 2 1 2
8
5
MM x x y y
= +− =
.
1
z
là nghiệm phương trình
63 2 69
i iz z i + = −−
( ) ( )
(
) (
)
11 1 1
6 3 2629yxi x y i
+ = −+
( ) ( )
( ) ( )
22 2 2
11 1 1
6 3 26 29yx x y +− = +
22
11 1 1
6 8 24 0
xy xy+ +=
( )
1 11
;M xy⇒∈
đường tròn
22
( ) : 6 8 24 0Cx y x y+−−+=
.
Tương tự
( )
( )
2 22
;M xy C
.
Đưng tròn
()
C
có tâm
( )
3; 4I
, bán kính
1
R =
.
Go
M
là trung điểm
12
MM
12
IM M M⇒⊥
,
2
22
1
43
1
55
IM R M M

= =−=


, và
12
2z z OM+=
.
OM OI IM≤+
, du bng xy ra khi
,,OIM
thẳng hàng. Khi đó
12
OM M M
, và
28
5
OM OI IM=+=
.
12
zz
+
đạt giá tr ln nht bng
( )
2 OI IM+
, bng
56
5
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 49
Hoc đánh giá chọn đáp án như sau:
Gi
( )
22
;Nx y−−
( ) ( )
22
1 12 1 2 12
NM x x y y z z = + ++ =+
N
đối xng vi
2
M
qua gc ta đ
O
,
N
đường tròn
22
1
( ) : 6 8 24 0
Cx y x y++++=
.
1
()C
có tâm
( )
1
3; 4I
−−
, bán kính
1
1R =
,
1
()C
đối xng vi
( )
C
qua gc ta đ
O
.
1
10II=
11
8II R R −− =
.
Nhn xét: vi mọi điểm
( )
1
MC
,
( )
1
NC
thì
11 1
MN II R R −−
. Loại các đáp án B,C,D
12 1
z z MN+=
đạt giá tr ln nht bng
56
5
.
Câu 63: Cho các số phc
z
w
tha mãn
( )
31
1
z
iz i
w
= +−
. Tìm giá tr ln nht
T wi= +
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 50
A.
2
2
. B.
32
2
. C.
2
. D.
1
2
.
Li gii
( )
31
1
z
iz i
w
= +−
( )
3 11
1
z
z zi
w
= −+
( )
( )
22
31 1 .
1
z
zz
w
= +−
.
Đặt
tz=
;
0t >
.
tr thành:
( ) ( )
22
31 1
1
t
tt
w
= +−
2
1.
10 8 2
t
w
tt
−=
−+
.
2
2
1 11
1 ; 0.
82 2
1
10
222
wt
t
t
t
= = ∀>

−+
−+


.
Ta luôn có:
1
11 2
2
wi w i+≤ ++≤ +
32
.
2
wi +≤
.
Du = xy ra
( )
1
2
11
32
2
tz
w ki
wi
= =
−= +
+=
1
2
31
22
zi
wi
=
= +
.
Vy: Giá tr ln nht ca
32
.
2
T =
.
Câu 64: Cho các s phc
z
tha mãn
2 2 23zz ++ =
. Tìm giá tr nh nht ca biu thc
23 33 2 3Pz iz izi=+ ++− + +−
.
A.
12
. B.
6
. C.
8
. D.
10
.
Li gii
Gi
( )
;Mxy
,
( )
1
2;0F
,
( )
2
2;0
F
, lần lượt là điểm biu diễn cho các số phc
z x yi= +
,
2
,
2
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 51
2 2 23zz ++ =
12
23MF MF⇔+=
, có
12
23 22FF
>=
.
Suy ra
(
)
;M xy
chy trên
( )
E
có tiêu cự
2 22c =
, độ dài trc ln
2 23a =
, độ dài trc nh
22b =
và phương trình chính tắc ca
( )
E
22
1
31
xy
+=
.
( ) ( )
33
;
11
x
Mxy E
y
≤≤
∈⇒
−≤
.
23 33 2 3Pz iz izi=+ ++− + +−
.
(
)
( )
( )
( )
( )
22
2 22
2
23 1 33 2 3
x y x y xy= + ++ + ++ + +−
.
( )
( )
( )
( ) ( )
+ ++ + ++ +
22
2 22
23 1 33 2 3x y xy y
.
(
)
( ) ( )
2
2
23 33 2 3 31x xy y + + −+++
.
2
4 12 84 3yy y= + + +−
.
Đặt
( )
2
2 3 21 3fy y y y= + + +−
, vi
11y−≤
.
( )
2
23
1
3 21
y
fy
yy
+
=
++
.
( )
0fy
=
( )
++=+
2
3 21 2 3 1yy y
,
(
)
−≤
1 11y
2
3 9 12 0yy +−=
( )
( )
1 nhaän
4 loaïi
y
y
=
=
.
( )
1 4 2 19f −=+
,
( )
1 12f
=
.
Suy ra
( )

∈−

=
1;1
12
y
Min f y
12P
.
Đẳng thc
( )
1
xy ra khi
0, 1
23 1
0
2
33
xy
xy
y
x
= =
++
= >
+
0, 1xy⇒= =
.
Th li: Khi
0, 1xy= =
12P =
.
Vy
12MinP =
khi
0, 1xy= =
.
Câu 65: Cho số phc
z x yi= +
,
,xy
tha mãn
2
2
3 16zy+=
. Biu thc
2P zi z= −−
đạt giá
tr ln nht ti
( )
00
;xy
vi
00
0, 0xy<>
. Khi đó:
22
00
xy+
bng
A.
20 3 6
2
. B.
20 3 7
2
+
. C.
20 3 6
2
+
. D.
20 3 7
2
.
Li gii
Ta có:
2
2 22
3 16 4 16z y xy+ =⇔+ =
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 52
( ) (
) ( ) ( ) ( )
22 222
2 22
1 2 12
Pxy x y xy x y= +− + = +− +
(
) (
)
22
2 15x xyy + + −− =
.
( ) ( )( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
2
2
max
22
22
22
.2 1
2 20
20
2 2 4 16 0
.2 0
1. 0
20
1. 0
5
4 16
1. 0
4 16
0
0
0
0
0
0
xy
x y xy
xy
xx
yy
xx
yy
xx
yy
P
xy
yy
xy
x
x
x
y
y
y
=
−=
+ −=
−<
+ −=
−<
−<
−<
−<

= ⇔⇔

+=
−<
+=


<
<
<


>
>
>
0
22
00
0
17
17
20 3 7
2
17
2
17
2
x
y
xy
y
x
=
+
=

⇒+=

+
=

=
.
Nhận xét: Bài này ta dùng bất đẳng thức véc tơ như sau
Cho
( )
( ) ( )
1 2 12 1 1 2 2
;, ; ;a a a b bb a b a ba b= = += + +

, ta có:
( ) ( )
22
22 22
11 2 2 1 2 1 2
ab a b a b a b a a b b+≥ + + + + +

.
Du “ = ” xãy ra
,ab

ngưc ng
12 21
11
22
0
0
ab ab
ab
ab
=
⇔<
<
.
Câu 66: Cho số phc
z a bi= +
( )
,ab
tha mãn
4 4 10
zz
++−=
6
z
ln nht. Tính
S ab= +
.
A.
11S =
. B.
5S =
. C.
3S =
. D.
5S =
.
Li gii
Trong mp tọa đ
Oxy
, Ta gi các đim biu din ca các s phc:
z x yi= +
( )
;M xy
;
40zi=−+
( )
1
4;0F
;
40zi= +
( )
2
4;0F
.
Ta có:
4 4 10zz
++−=
12
10MF MF⇒+=
.
( )
( )
2
22
1
22
1 2 12
2
22
2
4
8
16
5
4
MF x y
x
MF MF x MF MF
MF x y
=++
=⇒−=
=−+
.
T và, suy ra
1
4
5
5
x
MF = +
.
Mt khác
( )
2
22
1
4MF x y=++
( )
2
22
2
2
4
54 1
5 25 9
x xy
xy

⇒+ =+ + + =


.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 53
Vy, tp hợp các điểm biu din ca s phc tha mãn
4 4 10zz++−=
là Elip có phương
trình
( )
22
:1
25 9
xy
E +=
.
Theo đề, ta cần tìm điểm thuc
( )
E
sau cho
6z
ln nht.
Ta gi các đim biu din s phc:
60zi= +
( )
6;0A
;
z a bi= +
( ) ( )
;M ab E
;
50zi=−+
( )
5;0C
.
Do đó,
6
z
ln nht khi và ch khi
MA
ln nht.
Dựa, vào hình vẽ trên ta thy đ
MA
ln nht khi
( )
5; 0 5; 0 5MC a b S ⇒= ==
.
Câu 67: Cho số phc
( )
,z a bi a b=+∈
tha
4 4 10
zz++−=
6z
ln nht. Tính
S ab= +
?
A.
3S =
. B.
5
S =
. C.
5S =
. D.
11S =
.
Li gii
Gi
( )
;M ab
là điểm biu din s phc
( )
,z a bi a b=+∈
.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
22
22
4 4 10 4 4 10
4 4 10 *
z z a bi a bi
a ba b
−++= + + + + =
++ + +=
Xét
( )
1
4;0F
( )
2
4;0F
. Khi đó
(
)
12
* 10MF MF⇔+=
Suy ra
M
thuộc Elip có
22
4
3
2 10 5
c
b ac
aa
=
⇒= =
= ⇒=
Ta có:
( ) ( )
2
2
6 6 , 6; 0z a b IM I−= + =
, suy ra
max 6z IA
−=
hay điểm
( )
5; 0 5 0 5MA z i S
=−+ =
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 54
Câu 68: Cho số phc
z
tha mãn
1z =
,
,Mm
lần lượt là giá tr ln nht và giá tr nh nht ca biu
thc
1 21
Az z=++
. Giá tr ca biu thc
Mm+
bng
A.
25 2
+
. B.
6
. C.
25 4+
. D.
7
.
Li gii
Gi
z x yi= +
vi
,xy
.
22 22
1 11z xy xy= +=⇔+=
( ) ( )
22
22
1 21 1 2 1 2 2 2 2 2A z z x y xy x x=++ = + + + + = + +
.
Xét hàm s
( )
2 2 22 2fx x x=++
vi
[ ]
1;1x ∈−
.
Hàm s
( )
fx
liên tục trên đoạn
[ ]
1;1
( )
( )
2
1 2 1 21
22 22
21
xx
fx
xx
x
−− +
=−=
+−
.
( )
[
]
3
0 1 2 1 0 1;1
5
fx x x x
= + = = ∈−
.
Khi đó
( )
14
f −=
;
3
25
5
f

−=


;
( )
12f =
.
Do đó
[ ]
( )
[ ]
( ) ( )
1;1
1;1
3
max 2 5 ; min 1 2
5
M fx f m fx f

= =−= = = =


. Suy ra
25 2Mm+= +
.
Câu 69: Xét tp hp
S
các s phc
( )
,z x yi x y=+∈
tha mãn điu kin
( )( )
3 1 22zz i i−= + +
.
Biu thc
( )
2Q zz x
=−−
đạt giá tr ln nht là
M
đạt được ti
000
z x yi= +
. Tính giá tr
2
00
..T Mxy=
A.
93
2
T =
. B.
93
4
T =
. C.
93
2
T =
. D.
93
4
T =
.
Li gii
Ta có:
( )
( )
2 2 22 2 2
3 1 2 2 4 16 16 4 4 4 4zz i i x y x y y x−= + + + = + = =
Do đó,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
22
24242 , 22.Q z z x y x x x fx x= −= −= −=
( ) (
)
( )
( )
2
2
2 24
, 2 2.
4
1
0 1.
2 2 ; 2
xx
fx x
x
x
fx x
x
−−
= −< <
=
= ⇔=
= ∉−
Mt khác,
( ) (
) ( )
2 0, 2 0, 1 3 3.f ff= = −=
Suy ra
33M =
ti
2
00
3
1, .
4
xy=−=
Vy
93
.
4
T
=
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 55
Câu 70: Cho
12
, zz
là hai trongc s phc tha mãn
332zi
−+ =
12
4zz−=
. Giá tr ln nht ca
12
zz+
bng
A.
8
. B.
43
. C.
4
. D.
2 23
+
.
Li gii
Gi
, MN
lần lượt là điểm biu din ca hai s phc
12
, zz
.
Do
12
12
33 332
4
z iz i
zz
−+ = −+ =
−=
nên
(
) ( )
( )
2
2
2
,N : 3 3 2
4 2.2
M Cx y
MN
++ =
= =
.
Như vy
MN
là đường kính của đường tròn
( )
C
vi tâm
( )
3; 3I
, bán kính
2
R
=
, do đó
I
là trung điểm
MN
,
O 12I
=
.
Ta có
( )
( )
2
22 2
12
1 1 2 2O 8
2
MN
z z OM ON OM ON I

+= + + + = + =


.
Du
""=
xy ra khi và ch khi
OM ON MN
=
là đường kính ca
(
)
C
vuông góc với
OI
.
Câu 71: Cho hai số phc
1
z
,
2
z
tha mãn
11
2 4 7 62z iz i+−+ =
2
12 1iz i−+ =
. Tìm giá tr
nh nht ca biu thc
12
Tzz= +
.
A.
22 1+
. B.
21
. C.
22 1
. D.
21+
.
Li gii
Trên mt phng
Oxy
, gi
( )
;M ab
là đim biu diễn cho số phc
1
z
;
( )
2;1A
,
( )
4;7B
ln lưt
là điểm biểu cho các số phc
2 i−+
47i+
62
AB⇒=
.
T đó ta được
62
MA MB AB+= =
n tp hp các đim
M
biu din cho s phc
1
z
là đon
thng
AB
nằm trên đường thng
: 30dx y+=
.
Đặt
32
zz=
, khi đó
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 56
2 33
12 1 12 1 2 1iz i iz i z i−+ = −+ = =
. Gi
( )
;N cd
đim biu diễn cho
3
z
;
(
)
2;1I
là đim biu diễn cho số phc
2 i+
, khi đó
1IN =
nên tp hp các đim biu diễn cho số
phc
3
z
là đường tròn
( ) ( ) ( )
22
: 2 11Cx y +− =
.
12 13
z z z z MN+=−=
.
D thy hình chiếu vuông góc của đim
( )
2;1I
trên đường thng
( )
d
là đim
( )
0;3K
thuc
đoạn
AB
suy ra
MN KH
vi
H
là giao điểm ca
IK
vi
( )
C
và thuc đon
IK
.
Do đó
( )
min , 2 2 1MN KH d I AB R= = −=
. Vy
12
min 2 2 1zz+=
Câu 72: Cho số phc
12
,,
zz z
tha mãn
12
45 1 1
z iz
−− = =
4 84ziz i+ = −+
. Tính
12
zz
khi
12
P zz zz= +−
đạt giá tr nh nht
A.
8
B.
6
. C.
41
. D.
25
.
Li gii
Gi
A
là điểm biu din ca s phc
1
z
. Suy ra
A
thuộc đường tròn
( )
1
C
tâm
( )
1
4;5 , 1IR=
.
Gi
B
là điểm biu din ca s phc
2
z
. Suy ra
B
thuộc đường tròn
( )
2
C
tâm
( )
2
1; 0 , 1IR=
.
Gi
( )
;M xy
là điểm biu din ca s phc
z x yi= +
Theo giả thiết
4 84ziz i+ = −+
4xy⇔−=
. Suy ra M thuộc đường thng
(
)
40dx y−−=
Gi
( )
2
'C
có tâm
( )
2
' 4; 3 , 1IR−=
là đường tròn đối xng với đường tròn
( )
2
C
tâm
( )
22
1; 0 , 1IR=
qua đường thng d. Gi
'B
là điểm đối xng với đối xng vi
B
qua đường
thng d. Ta có
1 2 12 1 2
'' ' 6P z z z z MA MB MA MB AB I I R R= +− = + = + = =
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 57
Du = xy ra khi và ch khi
12
, ', , ',AB I I M
thẳng hàng. Khi đó
1 12
1
'
8
IA II=
 
suy ra
( )
4; 4A
2 21
1
''
8
IB I I
=
 
suy ra
( ) ( )
' 4; 2 2; 0BB−⇒
.
25AB =
.
Vy
12
25
zz
−=
.
Câu 73: Cho các số phc
z
ω
tha mãn
( )
2 1.
z
iz i
ω
+ = +−
Tìm giá tr ln nht ca
1Ti
ω
= +−
A.
42
3
B.
2
3
C.
22
3
D.
2
Li gii
( )
(
)
(
) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
22
2
22
22
2
2 1 2 1.
21 1 21 1
5 22
24
0 ' '0 0 2
5 22
5 22
zz
iz i iz i
z
zz
z zi z z
zz
t tt
ft t ft ft t t
tt
tt
ωω
ω
ωω
+ = + = + −+
= ++= ++=
−+
−+
= ⇒= ⇒===
−+
−+
Bng biến thiên
Ta có
2 42
11 2
93
T iz i
ω
= +−≤ +−≤ + =
Câu 74: Cho số phc
z
và gi
1
z
,
2
z
là hai nghim phc của phương trình
2
80zi+=
. Giá tr nh nht
ca biu thc
2
12 1
2
2
z
P zz z z z z= + −++ +
được viết dưới dng
mn pq+
. Tng
mnpq+−
bng
A.
3
. B.
4
. C.
0
. D.
2
.
Li gii
2
80zi+=
1
22zi=
2
22zi=−+
.
12 11 21
22
2
2
2
2
P zz z z zz zz z MAMBM
zz
z Czz= + −+ = +− ++ + = + +++
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 58
Trong đó ,
(
)
2; 2A
,
( )
2; 2
B
,
(
)
3; 3
C
−−
lần lượt là điểm biu diễn cho các số phc
z
,
1
z
,
2
z
,
2
1
2 33
2
i
z
z
ω
= =−−
.
Gi
H
là hình chiếu vuông góc của
M
trên
OC
.
Ta có
MA MB HA HB+≥+
MA MB MC HA HB HC++ ≥++
.
Do đó
( )
min
min
P MA MB MC HA HB HC= ++ =++
MH
:
M OC y x
∈=
.
Ga s
( )
;M xx
[
)
( )
3; 0x ∈−
( )
( )
2
2 3 22 4P MA MB MC x x= + + = ++ +
2
2 2 2.
4
x
P
x
= +
+
0P
=
[
)
23
3; 0
3
x = ∈−
.
Vy
2
min
23 23
2 3 22 4 26 32
33
P



= ++ + = +





.
Suy ra
2m =
,
6n =
,
3p =
,
2q =
3
mnpq+−=
.
Câu 75: Trong các số phc
z
tha mãn
2
12zz+=
gi
1
z
2
z
ln lưt là các s phức có môđun nhỏ
nht và ln nht. Giá tr ca biu thc
22
12
zz+
bng
A.
6
. B.
22
. C.
42
. D.
2
.
Li gii
Đặt
;,z a bi a b=+∈
.
( )
2
2 22 22 22
1 12 1 4z a b abi a b a b+= −++ = −+ +
;
22
22z ab= +
.
Ta có
( )
( )
2
2 2 2 22 2 2
12 1 4 4
z z a b ab a b+= + + = +
( ) ( ) ( ) ( )
22
22 22 22 22 22 2 2
4 2 14 0 2 6 10ab ab ab ab ab a b⇔− + + + +=⇔+ −+=
( ) ( )
2
22 22 2
6 14ab ab a + + +=
.
2
4 0,aa ∀∈
nên
( ) (
)
2
22 22 22
6 1 0 3 22 3 22ab ab ab+ + +⇒− + ≤+
.
M
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 59
Suy ra
22 2 2
21
2 1 2 1 6.
21
m
ab mM
M
=
−≤ + +⇒ + =
= +
( )
22
0
0
21 .
12
3 22
a
a
M
b
ab
=
=

= +⇔

=±+
+=+
( )
22
0
0
21 .
21
3 22
a
a
m
b
ab
=
=

= −⇔

=±−
+=
Câu 76: Xét các s phc
w
,
z
tha mãn
35
w
5
i+=
( )( )
52 4w iz=+−
. Tìm giá tr ln nht ca
biu thc
2 62
Pz iz i= + −−
.
A.
7
. B.
2 53
. C.
2 58
. D.
4 13
.
Li gii
Cách 1.
Ta có:
( )(
) ( )
( )
52455245w iz w i iz i=+−+=+−+
(
)
( )
(
)(
)
5 5 2 4 5 5 12 412 5 32
w i iz i wi iz i z i + = + + + = + ++ = +
35
5. 5 32 32 3
5
zizi = −+ −+ =
.
Ta có:
( )
2 2 22
11 1 1
2 ;,z z z z z z zz+ +− = +
.
( )
2
22
1
11
;,
2
zz
z z zz
+
+≥
.
Ta có:
2 62 32 3 32 3Pzizizizi= + = −− + + −−
.
Áp dng , ta có:
( )
2 22
32 3 32 3 2 32 9zi zi zi−− + + −− = −− +
.
( ) ( )
22
22
32 3 32 3 2 62
32 3 32 3
22
zizi zizi
zi zi
−− + + −− +
−− + + −− =
.
Vậy, ta có:
( )
( )
( )
( )
2
2
22
2 62
2 32 9 2 62 4 32 9
2
ziz i
zi zizi zi
+ −−
−− + + −− +
.
( )
2
2
4 32 9Pzi −− +
.
Do
( ) ( )
22
4 3294 3249z i z ii + = −+ +
nên
( )
(
)
2
2
4 32 4 9P z ii + +− +
( )
22
4 7 9 232 2 58PP + = ⇒≤
.
Cách 2.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 60
Ta có:
( )( )
52 4w iz=+−
thay
35
w
5
i+=
32 3zi −+ =
.
Suy ra, tp hợp các điểm biu din s phc
z
là đường tròn
( ) ( ) ( )
22
:3 29Cx y ++ =
.
Gi
( )
MC
.
Ta có:
( ) ( )
2 6 2 ; 0;2 , 6;2P z i z i AM BM A B= + −− = +
.
Suy ra
( )
22
2P AM BM≤+
.
Gi
H
là trung điểm ca cnh
AB
.
Ta có:
( )
2
2 2 2 22
2 22 4
2
AB
P AM BM MH MH AB

+= += +


.
Vy,
2 62Pz iz i= + −−
đạt giá tr ln nht khi
2
MH
đạt giá tr ln nht.
Dựa vào hình v sau
Suy ra,
2
MH
đạt giá tr ln nht khi
'MM
2
232 2 58PP ⇒=
.
Câu 77: Cho các s phc
1
z
,
2
z
,
3
z
tha mãn
123
1zz z= = =
.
Tính giá tr ln nht ca biu thc
2 22
12 2 3 31
Pzz zz zz= + +−
.
A.
9P =
. B.
10P =
. C.
8P =
. D.
12P =
.
Li gii
Gi
( )
11
;Ax y
;
(
)
22
;Bx y
;
( )
33
;Cx y
là các đim lần lượt biu din các s phc
1
z
;
2
z
;
3
z
.
123
1zz z= = =
suy ra
A
;
B
;
C
thuộc đường tròn tâm
O
bán kính bng 1.
Ta có
12
z z AB−=
;
23
z z BC−=
31
z z AC−=
.
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 61
Suy ra
2 22
12 2 3 31
Pzz zz zz
= + +−
222
AB BC AC=++
( ) ( ) ( )
222
AO OB BO OC AO OC=+ ++ ++
     
( )
62 . . .OA OB OB OC OA OC= ++
     
( )
2
9 OA OB OC= ++
  
(
)
2
93
OG
=

2
99OG=−≤
.
Du “ = “ xy ra khi
GO
, hay
ABC
đều.
Câu 78: Cho số phc
z
tha mãn
3 2 12.zz zz++ −≤
Gi
,Mm
lần lượt là giá tr ln nht, nh nht
ca
4 3.zi−+
Giá tr ca
.Mm
bng:
A.
28
. B.
24
. C.
26 .
D.
20
.
Li gii
Gi
;; .z x yi x y=+∈
Xét
3 2 12 3 2 6. (1)zz zz x y++ +
Ta có:
( ) ( ) ( )
22
43 4 3 2Pz i x y= −+ = + +
Tp hp những điểm biu din
;; .
z x yi x y
=+∈
tha mãn là miền trong của hình thoi
ABCD
vi
(
)
0;3A
;
( )
2;0B
;
( )
0; 3C
;
( )
2;0D
tạo bởi 4 đường thng
3 2 6.xy
+=
Đim biu din
z
tha mãn là đường tròn tâm
( )
4; 3I
bán kính
0RP=
.
P
đạt min, max khi bán kính đường tròn đạt min, max khi xét s tương giao với min hình thoi
.ABCD
Ta có đường tròn giao với miền hình thoi điểm gn tâm nht khi đường tròn tiếp xúc cnh CD:
3 2 60xy −=
tương ứng có
22
3.4 2.3 6
12
.
13
32
m
+−
= =
+
Điểm giao xa nhất là đỉnh
( )
0;3A
của hình thoi. Do đó
22
4 6 2 13.
M = +=
CHUYÊN ĐỀ IVGIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC
Page 62
. 24.Mm⇒=
| 1/330