-
Thông tin
-
Quiz
Tài liệu chuyên đề ứng dụng của tích phân trong hình học Toán 12
Tài liệu gồm 222 trang, tổng hợp lý thuyết, các dạng toán và bài tập tự luận + trắc nghiệm chuyên đề ứng dụng của tích phân trong hình học, từ cơ bản đến nâng cao, có đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh lớp 12 tham khảo khi học chương trình môn Toán 12.
Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng 199 tài liệu
Toán 12 3.8 K tài liệu
Tài liệu chuyên đề ứng dụng của tích phân trong hình học Toán 12
Tài liệu gồm 222 trang, tổng hợp lý thuyết, các dạng toán và bài tập tự luận + trắc nghiệm chuyên đề ứng dụng của tích phân trong hình học, từ cơ bản đến nâng cao, có đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh lớp 12 tham khảo khi học chương trình môn Toán 12.
Chủ đề: Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng 199 tài liệu
Môn: Toán 12 3.8 K tài liệu
Thông tin:
Tác giả:
Preview text:
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN G
ƠN III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN HƯ C
BÀI 3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN I LÝ THUYẾT.
I. DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1. Định lý 1: Cho hàm số y = f (x)liên tục, không âm trên a;b
. Khi đó diện tích S của hình
thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), trục hoành và 2 đường thẳng x = a,x = b là: b
S = f (x)dx ∫ a
2. Bài toán liên quan
Bài toán 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f x
( ) liên tục trên đoạn a;b , b
trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b được xác định: S = ∫ f x() dx a y y = f (x)
y = f (x) b y = 0 (H) S = ∫ f x ( ) dx x = a a O a c c c b x 1 2 3 x = b
Bài toán 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f x ( ), y = g x ( ) liên tục trên b
đoạn a;b
và hai đường thẳng x = a , x = b được xác định: S = f x ( ) − ∫ g x ( ) dx a y
(C ) : y = f (x) (C ) 1 1 1
(C ) : y = f (x) (H) 2 2 x = a (C ) 2 x = b b a c S = f x ( ) − O c 1 b x 2 ∫ f x ( ) dx 1 2 a Page 103
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Chú ý: b b
- Nếu trên đoạn [a;b] , hàm số f x
( ) không đổi dấu thì: f x ( ) dx = ∫ ∫ f x( dx ) a a
- Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối
Bài toán 3: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g y ( ), x = h y ( ) và hai đường d
thẳng y = c , y = d được xác định: S = g y ( ) − ∫ h y ( ) dy c
Bài toán 4: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị (C ) : f (x),(C ) : f (x) là: 1 1 2 2 n x
S = f (x) − ( g x)dx ∫
. Trong đó: x ,x tương ứng là nghiệm nhỏ nhất của phương trình 1 n 1 x f (x) = ( g x)
II. THỂ TÍCH CỦA KHỐI TRÒN XOAY
1. Thể tích vật thể
Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; S x
( ) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x , a
( ≤ x ≤ b) . Giả sử S x
( ) là hàm số liên tục trên đoạn [a;b] . (V ) b x V = a b ∫S x( dx ) O x a S(x)
2. Thể tích khối tròn xoay
Bài toán 1: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f x
( ), trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b quanh trục Ox: y y = f (x) (
C) : y = f (x) (
Ox) : y = 0 b V = π a ∫ f x dx x [ ]2 ( ) O b x x = a a x = b Page 104
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Bài toán 2: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g y
( ), trục hoành và hai đường thẳng y = c , y = d quanh trục Oy: y d (
C): x = g(y) (
Oy): x = 0 d
V = π∫ g y dy y [ ]2 ( ) y = c c c y = d O x
Bài toán 3: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường b y = f x ( ),y = g x
( ) và hai đường thẳng x = a , x = b quanh trục Ox: V = π f 2 x − g2 ( ) x ( ) dx ∫ a
II HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN.
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Dạng 1: Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f (x),Ox, x = a, x = . b
Phương pháp Giải theo phương pháp tự luận: Sử dụng tính chất cơ bản của tích phân để tính
tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối .
+) Tính chất: Hàm số y = f (x) liên tục trên K và a,b,c là ba số bất kỳ thuộc K. Khi đó, ta có b c b f
∫ (x)dx = f
∫ (x)dx + f ∫ (x)dx a a c
Phương pháp trắc nghiệm:
- Xác định các yếu tố cần thiết như công thức y = f (x),Ox, x = a, x = . b
- Sử dụng chức năng tính tích phân có sẵn trong máy tính Casio để tính.
Chú ý: Nếu đề bài chưa cho x = a, x = b thì ta cần giải phương trình hoành độ giao điểm
f (x) = 0 để tìm cận tích phân.
Câu 1: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số 4
y = x , trục hoành và hai đường thẳng x = 1 − , x = 3
Câu 2: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 1 y =1−
, trục Ox và hai đường thẳng 1
x = , x = 2 có diện 2 x 2 tích là
Câu 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 4
y = 2x − x và trục hoành Page 105
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 4: Cho hàm số y = f (x) 3 2
= ax + bx + cx + d,(a,b,c∈,a ≠ 0) có đồ thị (C). Biết rằng đồ thị (C)
tiếp xúc với đường thẳng y = 4 tại điểm có hoành độ âm và đồ thị hàm số y = f ′(x) cho bởi hình vẽ dưới đây:
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành.
Câu 5: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
y = cos x , trục hoành, đường thẳng x = 0 và x = π là.
Câu 6: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 3
y = x − 4x , trục hoành, đường thẳng x = 2 − và x = 4 là
Câu 7: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số −1 ( ) x f x =
, trục hoành, hai đường thẳng x
x =1 và x = 2 là.
Câu 8: Cho đồ thị hàm số y = f (x) trên đoạn[0; 4] như hình vẽ và có diện tích 11 9
S = , S = . Tính 1 2 6 2 4
tích phân I = ∫ f (x)dx 0
Câu 9: Cho đồ thị hàm số y = f (x) trên đoạn [ 2;
− 2] như hình vẽ ở bên và có diện tích 22 76 2 S = S = , S =
. Tính tích phân I = ∫ f (x)dx 1 2 3 15 15 2 − Page 106
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 10: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số 2
y = x , trục hoành và hai đường thẳng x = 1, − x = 3 là.
Câu 11: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = sin x +1, trục hoành và hai đường thẳng π x = 0 và 7 x = là. 6
Câu 13: Tính diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = .xln(3x + ) 1 , trục hoành
và hai đường thẳng x = 0; 1 x =
Câu 14: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x
y = e , trục Ox , trục Oy và đường thẳng x = 2 là.
Câu 15: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 4 2
y = x − 2x +1 và trục Ox
Câu 16: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 3 2
y = −x + 3x và trục hoành là.
Câu 17: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong 2
y = −x + 2x và trục hoành là:
Câu 18: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường 2
y + x − 5 = 0, x + y − 3 = 0
Câu 19: Gọi(H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số: 2
y = x − 4x + 4 , trục tung và trục hoành. Xác
định k để đường thẳng (d ) đi qua điểm A(0; 4) có hệ số góc k chia thành hai phần có diện tích bằng nhau.
2. Dạng 2: Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
y = f (x), y = g(x), x = a, x = . b Phương pháp giải:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị: (C : y = f x 1 ) ( ) (
C : y = g x và hai đường thẳng = = được xác 2 ) ( ) x a, x b định bởi công thức: b S = f
∫ (x)− g(x)dx. a
Chú ý: Để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta thường làm như sau:
* Giải phương trình: f (x) = g (x) tìm nghiệm x , x ,..., x ∈ a b , (x < x < ... < x . 1 2 n ) n ; 1 2 ( ) Tính: 1 x S = f
∫ (x)− g(x) 2 x dx + f
∫ (x)− g(x) dx ... b + + f
∫ (x)− g(x) dx a 1 x n x 1 x
= ∫ ( f (x)− g (x))dx +... b
+ ∫ ( f (x)− g (x))dx . a n x
Ngoài cách trên, ta có thể dựa vào đồ thị để khử dấu giá trị tuyệt đối.
Câu 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
y = 2 – x và y = x và các đường thẳng x = 2, − x =1 Page 107
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 2: . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số 3 y = x + ;
x y = 2x và các đường thẳng x = 1,
− x =1 được xác định bởi công thức.
Câu 3: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2x +1 y =
; tiệm cận ngang và hai đường thẳng x − 2
x = 3, x = e + 2 được tính bằng:
Câu 4: Hình phẳng(H ) giới hạn bởi các đường 2
y = x , y = 2x + 3 và hai đường x = 0, x = 2 . Công
thức nào sau đây tính diện tích hình phẳng(H ) ?
Câu 5: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường 3 2
y = x , y = 2 − x , x = 0 .
Câu 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị x + 2 (C) : y =
, tiệm cận ngang của (C), trục tung x +1
và đường thẳng x = 2.
Câu 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong 2x +1 (C) : y =
, tiệm cận ngang của (C) và x +1
hai đường thẳng x =1, x = 3.
Câu 8: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (P) 2
: y = x − 2x + 2, trục tung, tiếp tuyến của (P)
tại M (3;5) là:
Câu 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol: 2
y = x +1, tiếp tuyến với đường này tại điểm
M (2;5) và trục Oy .
3. Dạng 3: Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f (x), y = g(x). Phương pháp giải:
Dạng: Cho hai hàm số y = f (x)và y = g (x) liên tục trên đoạn [a;b]. Diện tích hình phẳng β
giới hạn bởi các đường y = f (x) và y = g (x) là S = f
∫ (x) − g(x)dx . Trong đó α,β là α
nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình f (x) = g (x) (a ≤ α < β ≤ b) Cách giải:
Bước 1: Giải phương trình f (x) = g (x) tìm các giá trị α,β . β
Bước 2: Tính S = f
∫ (x) − g(x)dx . α Page 108
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN b
Chú ý: Nếu f (x) ≥ g (x) x
∀ ∈[a;b] thì S = f
∫ (x)− g(x)dx a
Câu 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2
y = x ; y = x + 2 bằng?
Câu 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol 2
P : y x 4x 5 và hai tiếp tuyến của (P) tại các điểm A1;2, B4; 5 là:
Câu 3: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2
y = x + 3,y = x − 4x + 3 là:
Câu 4: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 3
y = x , y = 4x là:
Câu 5: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 3
y = x −12x và 2
y = x là:
Câu 6: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 4
y = x + x −1,y = x + x −1 là:
Câu 7: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2
y = 2x,y = 2x − 2 là:
Câu 8: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số 2
y − 2y + x = 0 , x + y = 0 là:
Câu 9: Gọi S là diện tích mặt phẳng giới hạn bởi parabol 2
y = x + 2x − 3 và đường thẳng y = kx +1
với k là tham số thực. Tìm k để S nhỏ nhất. Page 109
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY
Dạng 1: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y f (x),
trục hoành và hai đường thẳng x = a , x b quanh trụcOx : Phương pháp giải: y y = f (x) (
C) : y = f (x) (
Ox) : y = 0 b V = π a ∫ f x dx x [ ]2 ( ) O b x x = a a x = b Chú ý:
- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x g(y),
trục hoành và hai đường thẳng y c , y d quanh trục Oy: y d (
C) : x = g(y) (
Oy) : x = 0 d
V = π∫ g y dy y [ ]2 ( ) y = c c c y = d O x x
Câu 1: Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường 2
y = e x , x =1, x = 2
và y = 0 quanh trục Ox là:
Câu 2: Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
y = 2x − x và y = 0 . Tính thể tích vật thể
tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox .
Câu 3: Tính thể tích V của vật thể tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = x ln x , trục hoành và đường thẳng x = e quay quanh Ox
Câu 4: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường 2
y = x ; y = 0; x = 2 . Tính thể tích V ủa khối tròn
xoay thu được khi quay (H) quanh trục Ox .
Câu 5: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường 2
y = 4 − x , y = 0 . Tính thể tích V của khối tròn
xoay hình thành khi cho (H) quay xung quanh Ox
Câu 6: Tính thể tích V của vật thể tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 1
y = , y = 0, x =1, x = a(a > )
1 quay xung quanh trục Ox x x
Câu 7: Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
y = e trục Ox và hai đường thẳng x = 0,
x =1. Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay khi quay hình (D) quay quanh trục . Ox Page 110
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 8: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi các đường 2
y = x − 2x, y = 0, x = 0 và x =1.
Câu 9: Cho hình (H ) giới hạn bở đồ thị (C) : y = xln x , trục hoành và các đường thẳng x =1, x = .e
Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H ) quanh trục hoành.
Dạng 2. Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f (x), y = g (x), b
x = a, x = b khi quay quanh trục Ox được tính bởi công thức: 2 V = f (x) 2 π − ∫
g (x) dx . a
Câu 1: Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi Parabol 2
(P) : y = x và đường
thẳng d : y = 2x quay xung quanh trục Ox bằng:
Câu 2: Tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số 2
y = x − 2x và 2
y = −x quay quanh trục Ox .
Câu 3: Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = 0,y = x ln(x +1) và x = 1 xung quanh trực Ox là:
Câu 4: Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng được giới hạn bởi các đường 2 y = x và 2 x = y quay
quanh trục Ox bằng bao nhiêu?
Câu 5: Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục hoành phần hình phẳng giới hạn bởi 2 đường 2
y = x và y = x là Page 111
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN G
ƠN III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN HƯ C
BÀI 3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN I LÝ THUYẾT.
I. DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1. Định lý 1: Cho hàm số y = f (x)liên tục, không âm trên a;b
. Khi đó diện tích S của hình
thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), trục hoành và 2 đường thẳng x = a,x = b là: b
S = f (x)dx ∫ a
2. Bài toán liên quan
Bài toán 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f x
( ) liên tục trên đoạn a;b , b
trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b được xác định: S = ∫ f x() dx a y y = f (x)
y = f (x) b y = 0 (H) S = ∫ f x ( ) dx x = a a O a c c c b x 1 2 3 x = b
Bài toán 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f x ( ), y = g x ( ) liên tục trên b
đoạn a;b
và hai đường thẳng x = a , x = b được xác định: S = f x ( ) − ∫ g x ( ) dx a y
(C ) : y = f (x) (C ) 1 1 1
(C ) : y = f (x) (H) 2 2 x = a (C ) 2 x = b b a c S = f x ( ) − O c 1 b x 2 ∫ f x ( ) dx 1 2 a Chú ý: Page 1
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN b b
- Nếu trên đoạn [a;b] , hàm số f x
( ) không đổi dấu thì: f x ( ) dx = ∫ ∫ f x( dx ) a a
- Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối
Bài toán 3: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g y ( ), x = h y ( ) và hai đường d
thẳng y = c , y = d được xác định: S = g y ( ) − ∫ h y ( ) dy c
Bài toán 4: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị (C ) : f (x),(C ) : f (x) là: 1 1 2 2 n x
S = f (x) − ( g x)dx ∫
. Trong đó: x ,x tương ứng là nghiệm nhỏ nhất của phương trình 1 n 1 x f (x) = ( g x)
II. THỂ TÍCH CỦA KHỐI TRÒN XOAY
1. Thể tích vật thể
Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; S x
( ) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x , a
( ≤ x ≤ b) . Giả sử S x
( ) là hàm số liên tục trên đoạn [a;b] . (V ) b x V = a b ∫S x( dx ) O x a S(x)
2. Thể tích khối tròn xoay
Bài toán 1: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f x
( ), trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b quanh trục Ox: y y = f (x) (
C) : y = f (x) (
Ox) : y = 0 b V = π a ∫ f x dx x [ ]2 ( ) O b x x = a a x = b
Bài toán 2: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g y
( ), trục hoành và hai đường thẳng y = c , y = d quanh trục Oy: Page 2
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN y d (
C): x = g(y) (
Oy): x = 0 d
V = π∫ g y dy y [ ]2 ( ) y = c c c y = d O x
Bài toán 3: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường b y = f x ( ),y = g x
( ) và hai đường thẳng x = a , x = b quanh trục Ox: V = π f 2 x − g2 ( ) x ( ) dx ∫ a
II HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN.
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Dạng 1: Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f (x),Ox, x = a, x = . b
Phương pháp Giải theo phương pháp tự luận: Sử dụng tính chất cơ bản của tích phân để tính
tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối .
+) Tính chất: Hàm số y = f (x) liên tục trên K và a,b,c là ba số bất kỳ thuộc K. Khi đó, ta có b c b f
∫ (x)dx = f
∫ (x)dx + f ∫ (x)dx a a c
Phương pháp trắc nghiệm:
- Xác định các yếu tố cần thiết như công thức y = f (x),Ox, x = a, x = . b
- Sử dụng chức năng tính tích phân có sẵn trong máy tính Casio để tính.
Chú ý: Nếu đề bài chưa cho x = a, x = b thì ta cần giải phương trình hoành độ giao điểm
f (x) = 0 để tìm cận tích phân.
Câu 1: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số 4
y = x , trục hoành và hai đường thẳng x = 1 − , x = 3 Lời giải 3 x 3 1 − 4 4 ( )5 3 3 5 5
Diện tích hình phẳng cần tìm là: 244
S = x dx = x dx = = − = ∫ ∫ − − 5 5 5 5 1 1 1 −
Giải theo phương pháp trắc nghiệm 3
Sử dụng máy tính Casio tính tích phân 4 244 S = x dx = ∫ − 5 1
Câu 2: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 1 y =1−
, trục Ox và hai đường thẳng 1
x = , x = 2 có diện 2 x 2 tích là Page 3
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Lời giải
Diện tích hình phẳng cần tìm là: 2 2 2 1 2 2 2 1 x −1 x −1 x −1 S = 1− dx = dx = − dx + dx ∫ 2 ∫ 2 ∫ 2 ∫ 2 1 x 1 x 1 x x 1 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 2 = − 1− dx + 1− dx = − x + ∫ ∫ 1 + x + = 1 2 2 x x x x 1 1 1 2 2 ⇒ Chọn đáp án D
Giải theo phương pháp trắc nghiệm 2
Sử dụng máy tính Casio tính tích phân 1 S = 1− dx =1 ∫ 2 1 x 2
Câu 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 4
y = 2x − x và trục hoành Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là: x = 0 2 4 2
2x − x = 0 ⇔ x ( 2 2 − x ) = 0 ⇔ x = ± 2
Diện tích hình phẳng cần tìm là: 0 2 0 S =
2x − x dx + 2x − x dx = ∫ ∫ ∫ (2x − x ) 2 2 4 2 4 2 4 dx + ∫ ( 2 4
2x − x )dx − 2 0 − 2 0 0 2 3 5 3 5 x x x x 16 2 = 2 − + 2 − = 3 5 3 5 15 − 2 0
Giải theo phương pháp trắc nghiệm
+)Tìm hoành độ giao điểm tương tự như trên 2
+) Sử dụng máy tính Casio tính tích phân 2 4 S = 2x − x dx ∫ − 2
Câu 4: Cho hàm số y = f (x) 3 2
= ax + bx + cx + d,(a,b,c∈,a ≠ 0) có đồ thị (C). Biết rằng đồ thị (C)
tiếp xúc với đường thẳng y = 4 tại điểm có hoành độ âm và đồ thị hàm số y = f ′(x) cho bởi hình vẽ dưới đây: Page 4
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành. Lời giải
Từ đồ thị suy ra f ′(x) 2 = 3x − 3.
f (x) = f ′
∫ (x)dx = ∫( 2x − ) 3 3
3 dx = x − 3x + C .
Do (C) tiếp xúc với đường thẳng y = 4 tại điểm có hoành độ x âm nên 0 f ′(x ) 2
= 0 ⇔ 3x − 3 = 0 ⇔ x = 1 − . 0 0 0 Suy ra f (− )
1 = 4 ⇔ C = 2 ⇒ (C) 3
: y = x − 3x + 2 x = 2 − Xét phương trình 3
x − 3x + 2 = 0 ⇔ . x =1
Diện tích hình phẳng cần tìm là: 1 3 27
x − 3x + 2 dx = ∫ . 2 − 4
Câu 5: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
y = cos x , trục hoành, đường thẳng x = 0 và x = π là. Lời giải + π π π Diện tích S cần tìm: π 2 π 1 cos 2x 1 sin 2 = cos x S xdx = dx = x + = ∫ ∫ . 0 0 2 2 0 4 0 2
Câu 6: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 3
y = x − 4x , trục hoành, đường thẳng x = 2 − và x = 4 là Lời giải Diện tích cần tìm 4 3 S = x - 4xdx ∫ -2 x = 0 Ta có: 3
x − 4x = x( 2 x − 4) = 0 ⇔ x = 2 ± Vậy 0 2 4 3 3 3 S = x − 4x dx + x − 4xdx + x − 4xdx ∫ ∫ ∫ -2 0 2 Page 5
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 4 2 4 2 4 2 x x 0 x 4x 2 x x 4 = − 4 + − + − 4 = 44 . 4 2 2 − 4 2 0 4 2 2
Câu 7: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số −1 ( ) x f x =
, trục hoành, hai đường thẳng x
x =1 và x = 2 là. Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm: x −1 = 0 ⇔ x =1 x 2 2 2 x −1 x −1 1 2 Suy ra S = dx = dx = 1− = ∫ ∫ ∫
(x −ln x) =1− ln 2 . x x x 1 1 1 1
Câu 8: [2D3-5.7-2] Cho đồ thị hàm số y = f (x) trên đoạn[0; 4] như hình vẽ và có diện tích 11 9 4
S = , S = . Tính tích phân I = ∫ f (x)dx 1 2 6 2 0 Lời giải 4
Dựa vào đồ thị ta có I = f (x) 11 9 8
dx = S − S = − = − ∫ . 1 2 6 2 3 0
Câu 9: Cho đồ thị hàm số y = f (x) trên đoạn [ 2;
− 2] như hình vẽ ở bên và có diện tích 22 76 2 S = S = , S =
. Tính tích phân I = ∫ f (x)dx 1 2 3 15 15 2 − Lời giải 2
Ta có I = f (x) 76 22 32
dx = S − S − S = − 2. = ∫ 3 1 2 . 15 15 15 -2
Câu 10: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số 2
y = x , trục hoành và hai đường thẳng x = 1, − x = 3 là. Lời giải Page 6
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Ta thấy 2 28 x ≥ 0 x
∀ nên diện tích S cần tìm bằng 3 0 3 2 2 2 S =
x dx = x dx + x dx = ∫ ∫ ∫ . -1 -1 0 3
Câu 11: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = sin x +1, trục hoành và hai đường thẳng π x = 0 và 7 x = là. 6 Lời giải π Ta thấy 7 sin x 1 0 x 0; + ≥ ∀ ∈
nên diện tích S cần tìm bằng: 6 7π 7π 7π 7π 3 7π 6 6 S = sin x +1dx = (sin x + ∫ ∫ ) 1 dx = −cos + − (−cos0 + 0) = + + 1. 0 0 6 6 2 6
Câu 13: Tính diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = .xln(3x + ) 1 , trục hoành
và hai đường thẳng x = 0; 1 x = Lời giải
Giải theo phương pháp tự luận: 1
Ta có: Diện tích hình phẳng cần tìm là: S = .xln (3x + ∫ ) 1 dx 0 2
Đặt u = ln (3x + )
1 và dv = xdx suy ra 3 du = dx ; chọn 9x 1 v − = 3x +1 18 1 1 2 Do đó S = x ∫ ( x+ ) 9x −1 dx = ( x + )1 3 3 2 4 1 8 1 ln 3 1
ln 3 1 − x − x = ln 4 − = ln 2 − 0 18 18 2 9 12 9 12 0 0
Câu 14: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x
y = e , trục Ox , trục Oy và đường thẳng x = 2 là. Lời giải Ta có: x
e = 0 ⇔ x =1. Vậy 2 x x 2 2 S =
e dx = e | = e −1 ∫ . 0 0
Câu 15: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 4 2
y = x − 2x +1 và trục Ox Lời giải
PT hoành độ giao điểm đồ thị hàm số 4 2
y = x − 2x +1 và trục Ox là 4 2
x − 2x +1 = 0 ⇔ x = 1 ± . 1
Suy ra diện tích hình phẳng cần tính bằng S = ( 4 2 x − x + ) 16 2 1 dx = ∫ . 15 -1
Câu 16: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 3 2
y = −x + 3x và trục hoành là. Lời giải Page 7
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN x = 0 Đặt 3 2
(C) : y = −x + 3x . Phương trình hoành độ giao điểm: 3 2
−x + 3x = 0 ⇔ x = 3 3 3 4 x 3 Khi đó: 3 2
S = −x + x dx = ∫ ∫( 3 2 −x + x ) 3 27 3
3 dx = − + x = . 4 0 4 0 0
Câu 17: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong 2
y = −x + 2x và trục hoành là: Lời giải x = 0
Phương trình hoành độ giao điểm: 2
−x + 2x = 0 ⇔ x = 2 2 2 2 3 Ta có: 2
S = −x + xdx = ∫ ∫( 2 −x + x) x 2 4 2
2 dx = − + x = 3 3 0 0 0
Câu 18: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường 2
y + x − 5 = 0, x + y − 3 = 0 Lời giải 2 2 + − =
Hình phẳng giới hạn bởi y x 5 0 x = 5 − y ⇔
x + y − 3 = 0 x = 3 − y y = 1 − Xét phương trình: 2
5 − y = 3− y ⇔ y = 2 2 2 3 2
Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là: 2 = − − 2 y y S y y dy = ∫ − − 2y = 4,5 − 3 2 1 1−
Câu 19: Gọi(H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số: 2
y = x − 4x + 4 , trục tung và trục hoành. Xác
định k để đường thẳng (d ) đi qua điểm A(0; 4) có hệ số góc k chia thành hai phần có diện tích bằng nhau. Lời giải y 4 O B 1 I x d
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số 2
y = x − 4x + 4 và trục hoành là: 2
x − 4x + 4 = 0 ⇔ x = 2
Diện tích hình phẳng (H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số: 2
y = x − 4x + 4 , trục tung và trục hoành 2 2 2 3 là: 2 S x 8
= x − 4x + 4 dx = ∫
∫( 2x −4x+ 4)dx 2
= − 2x + 4x = . 3 3 0 0 0 Page 8
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Phương trình đường thẳng (d ) đi qua điểm A(0;4) có hệ số góc k có dạng: y = kx + 4. Gọi
B là giao điểm của (d ) và trục hoành. Khi đó 4 B − ; 0 . k
Đường thẳng (d) chia (H) thành hai phần có diện tích bằng nhau khi B∈OI và 4 0 < − < 2 1 4 k k < 2 − S = = ⇔ ⇔ ⇔ k = 6 − . ∆ S OAB 2 3 1 1 4 − 4 k = 6 − S = = = ∆ OAOB OAB . .4. 2 2 k 3
2. Dạng 2: Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
y = f (x), y = g(x), x = a, x = . b Phương pháp giải:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị: (C : y = f x 1 ) ( ) (
C : y = g x và hai đường thẳng = = được xác 2 ) ( ) x a, x b định bởi công thức: b S = f
∫ (x)− g(x)dx. a
Chú ý: Để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta thường làm như sau:
* Giải phương trình: f (x) = g (x) tìm nghiệm x , x ,..., x ∈ a b , (x < x < ... < x . 1 2 n ) n ; 1 2 ( ) Tính: 1 x S = f
∫ (x)− g(x) 2 x dx + f
∫ (x)− g(x) dx ... b + + f
∫ (x)− g(x) dx a 1 x n x 1 x
= ∫ ( f (x)− g (x))dx +... b
+ ∫ ( f (x)− g (x))dx . a n x
Ngoài cách trên, ta có thể dựa vào đồ thị để khử dấu giá trị tuyệt đối.
Câu 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
y = 2 – x và y = x và các đường thẳng x = 2, − x =1 Lời giải 1 1
Diện tích hình phẳng S = 2 2 9
−x − x + 2dx = (−x − x + 2) = ∫ ∫ − − 2 2 2
Câu 2: . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số 3 y = x + ;
x y = 2x và các đường thẳng x = 1,
− x =1 được xác định bởi công thức. Lời giải x = 0
Giải theo phương pháp tự luận: GPT hoành độ giao điểm của hai đồ thị: 3 x − x ⇔ x = 1 ± 1 0 1 0 1 0 1 3 3 3 3 3 3 3
S = x − x dx = x − x dx + x − x dx = (x − x )dx + (x − x )dx = (x − x)dx + (x − x )dx ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1 − 1 − 0 1 − 0 1 − 0 Page 9
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 3: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2x +1 y =
; tiệm cận ngang và hai đường thẳng x − 2
x = 3, x = e + 2 được tính bằng: Lời giải
+ Tiệm cận ngang y = 2
+ Đồ thị hàm số không cắt tiệm cận e+2 e+2 2x +1 5 e+2 ⇒ S = − 2 dx = dx = 5ln x − 2 = 5 ∫ ∫ 3 x − 2 x − 2 3 3
Câu 4: Hình phẳng(H ) giới hạn bởi các đường 2
y = x , y = 2x + 3 và hai đường x = 0, x = 2 . Công
thức nào sau đây tính diện tích hình phẳng(H ) ? Lời giải
Áp dụng lý thuyết: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị: (C : y = f x , 1 ) ( )
(C : y = g x và hai đường thẳng =
= được xác định bởi công thức: 2 ) ( ) x a, x b b S = f
∫ (x)− g(x)dx. a 2
Khi đó diện tích hình phẳng H = 2
x − 2x − 3dx ∫ 0
Câu 5: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường 3 2
y = x , y = 2 − x , x = 0 . Lời giải Ta có 3 2 3 2
x = 2 − x ⇔ x + x − 2 = 0 ⇔ x =1 1 4 3 x x 1 3 2 17
⇒ S = x + x − 2dx = ∫ + − 2x = . 4 3 0 12 0
Câu 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị x + 2 (C) : y =
, tiệm cận ngang của (C), trục tung x +1
và đường thẳng x = 2. Lời giải Ta có: x + 2 (C) : y =
. Tiệm cận ngang của (C): y =1. x +1 + Diện tích: 2 x 2 2 1 1 S = −1 dx = dx = ln(x +1) = ∫ ln 2. ∫ 0 0 0 x +1 x +1
Câu 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong 2x +1 (C) : y =
, tiệm cận ngang của (C) và x +1
hai đường thẳng x =1, x = 3. Lời giải Ta có: 2x +1 (C) : y =
. Tiệm cận ngang của (C): y = 2 x +1 Page 10
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN + − Diện tích: 3 2x 1 3 1 3 S = − 2 dx = dx = ln(x +1) = ∫ ln 2. ∫ 1 1 1 x +1 x +1
Câu 8: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (P) 2
: y = x − 2x + 2, trục tung, tiếp tuyến của (P)
tại M (3;5) là: Lời giải
Ta có y ' = 2x − 2 ⇒ y '(3) = 4
Phương trình tiếp tuyến tại M là: y − 5 = 4(x −3) hay y = 4x − 7 Diện tích cần tìm là: 3 S =
∫ (x−2x+ 2)−(4x−7) dx 0 3 (x −3)3 3
= ∫ ( 2x −6x +9) 3
dx = ∫ (x −3)2dx = = 9. 0 0 3 0
Câu 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol: 2
y = x +1, tiếp tuyến với đường này tại điểm
M (2;5) và trục Oy . Lời giải
y ' = f '(x) = 2x ⇒ f '(2) = 4
Phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm M (2;5)∈(P) là: y −5 = 4(x − 2) ⇔ y = 4x −3 2
S = ∫( 2x +1− 4x +3) 2
dx = ∫( 2x − 4x + 4) 2
dx = ∫(x − 2)2 dx 0 0 0 Page 11
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Đặt u = x − 2 ⇒ du = dx
Đổi cận x = 2 ⇒ u = 0 ; x = 0 ⇒ u = 2 − 0 0 3 Do đó: 2 u 8 S = u du = = ∫ đvdt. − 3 3 2 2 −
3. Dạng 3: Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f (x), y = g(x). Phương pháp giải:
Dạng: Cho hai hàm số y = f (x)và y = g (x) liên tục trên đoạn [a;b] . Diện tích hình phẳng β
giới hạn bởi các đường y = f (x) và y = g (x) là S = f
∫ (x) − g(x)dx . Trong đó α,β là α
nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình f (x) = g (x) (a ≤ α < β ≤ b) Cách giải:
Bước 1: Giải phương trình f (x) = g (x) tìm các giá trị α,β . β
Bước 2: Tính S = f
∫ (x) − g(x)dx . α b
Chú ý: Nếu f (x) ≥ g (x) x
∀ ∈[a;b] thì S = f
∫ (x)− g(x)dx a Page 12
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2
y = x ; y = x + 2 bằng? Lời giải x = −1 Ta có 2
x = x + 2 ⇒ x = 2 2 2 Do đó: 2
S = x − x − dx = ( 2 + x − x ) 9 2 2 dx = ∫ ∫ − − 2 1 1
Câu 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol 2
P : y x 4x 5 và hai tiếp tuyến của (P) tại các điểm A1;2, B4; 5 là: Lời giải
Phương trình tiếp tuyến với (P) tại A(1;2) là y = 2 − x + 4
Phương trình tiếp tuyến với (P) tại B(4;5) là y = 4x –11 5
Giao của hai tiếp tuyến có hoành độ x = 2 Xét phương trình 2 x − 4x + 5 = 2
− x + 4 ⇒ x =1 Xét phương trình 2
x − 4x + 5 = 4x −11⇒ x = 4 5 2 4 Do đó: 2 2 9
S = x − 4x + 5 + 2x − 4dx + x − 4x + 5 − 4x +11dx = ∫ ∫ 4 1 5 2
Câu 3: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2
y = x + 3, y = x − 4x + 3 là: Lời giải x = 0 Ta có: 2 2
x + 3 = x − 4x + 3 ⇔x − 5x = 0 ⇔ x = 5 5 5 3 2 Do đó: 2 x x 125
S = x − 5x dx = − 5 = ∫ . 3 2 6 0 0
Câu 4: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 3
y = x ,y = 4x là: Lời giải Ta có: 3
x = 4x ⇔x = −2,x = 0,x = 2 0 2
Suy ra: S = ∫ ( 3x − 4x)dx + ∫( 3x − 4x)dx = 8 2 − 0 Page 13
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Nếu trong đoạn [α;β ] phương trình f (x) = g (x) không còn nghiệm nào nữa thì ta có thể β β
dùng công thức S = f
∫ (x)− g(x)dx = f
∫ (x)− g(x) dx . α α
Câu 5: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 3
y = x −12x và 2
y = x là: Lời giải x = 0 Ta có: 3 2 x 12x x − = ⇔ x = −3 x = 4 4 0 4 Do đó: 3 2 3 2 3 2
S = x −12x − x dx = x −12x − x dx + x −12x − x dx ∫ ∫ ∫ −3 3 − 0 0
= ∫ (x −12x − x ) 4 3 2 dx + ∫( 3 2
x −12x − x )dx 937 = . 12 −3 0
Câu 6: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 4
y = x + x −1,y = x + x −1 là: Lời giải x = 0 Ta có: 2 4 4 2 x x 1 x x 1 x x 0 + − = + − ⇔ − = ⇔ x = 1 x = −1 1 1 1 5 3 Do đó: 4 2
S = x − x dx = ∫ ∫( 4 2 x − x ) x x 4 2 dx = 2 − = . − 5 3 15 1 0 0
Câu 7: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2
y = 2x,y = 2x − 2 là: Lời giải x = 2 Ta có: (2x 2)2 2 2x 2x 5x 2 0 − = ⇔ − + = ⇔ 1 x = 2 1 1 2 2 2 Do đó: 4 2 3 2 2 3 2 9
S =2 2xdx + 2x − 2x + 2 dx = x ∫ ∫ 2 +
x − x + 2x 1 = . 3 3 4 0 1 0 2 2
Câu 8: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số 2
y − 2y + x = 0 , x + y = 0 là: Lời giải
Biến đổi về hàm số theo biến số y là: 2
x = − y + 2y, x = − y y = 0 Ta có: 2
− y + 2y − (− y) = 0 ⇔ y = 3 Page 14
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 3 3 Do đó: 2
S = − y + y dy = ( 2 − y + y) 9 3 3 dy = ∫ ∫ . 2 0 0
Câu 9: Gọi S là diện tích mặt phẳng giới hạn bởi parabol 2
y = x + 2x − 3 và đường thẳng y = kx +1
với k là tham số thực. Tìm k để S nhỏ nhất. Lời giải Ta có 2 2
x + 2x − 3 = kx +1 ⇔ x − (k − 2) x − 4 = 0
x + x = k − 2
Do ac = −4 < 0 PT trên luôn có hai nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn 1 2 1 2 x .x = − 4 1 2 2 x 3 x k − x Giả sử 2
x < x ⇒ S =
x − k − 2 x − 4 dx = − x − ∫ 4x 1 2 ( 2 ( ) ) 2 2 3 2 x x 1 1 1 = ( 3 3
x − x ) k − 2 − ( 2 2
x − x ) − (x − x ) = (x − x ) 1 2 2 k − 2 4
x + x + x .x − x + x − 4 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 ( 1 2 ) 3 2 3 2 = ( − − x + x ) 1 − x x (x + x ) k 2 − x x −
(x + x ) − = (k − ) (k 2)2 2 2 2 8 4 . . 4 2 +16 + 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 3 2 6 3
Vậy S nhỏ nhất khi k = 2 .
THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY
Dạng 1: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y f (x),
trục hoành và hai đường thẳng x = a , x b quanh trụcOx : Phương pháp giải: y y = f (x) (
C) : y = f (x) (
Ox) : y = 0 b V = π a ∫ f x dx x [ ]2 ( ) O b x x = a a x = b Chú ý:
- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x g(y),
trục hoành và hai đường thẳng y c , y d quanh trục Oy: y d (
C) : x = g(y) (
Oy) : x = 0 d
V = π∫ g y dy y [ ]2 ( ) y = c c c y = d O x Page 15
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN x
Câu 1: Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường 2
y = e x , x =1, x = 2
và y = 0 quanh trục Ox là: Lời giải 2 x V = π xe dx ∫ 2 x x 2 = π ( .
x e − e ) = π e 1 1
Câu 2: Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
y = 2x − x và y = 0 . Tính thể tích vật thể
tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox . Lời giải
Phương pháp: công thức tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = f (x) , trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b(a < b) quay xung quanh trục Ox là b 2
V = π ∫ f (x)dx a 2 x = 0
Cách giải: ta có: 2x − x = 0 ⇔
⇒ V = π ∫(2x − x )2 2 2 dx x = 2 0 2
= ∫( x − x + x ) 3 5 4x x 2 2 3 4 4 16π π 4 4 dx = π − x + = 3 5 0 15 0
Câu 3: Tính thể tích V của vật thể tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = x ln x , trục hoành và đường thẳng x = e quay quanh Ox Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) với trục Ox là x ln x = 0 ⇔ x =1 4 3 u = ln x
Thể tích khối tròn xoay cần tính là 2 V dx x = π x ln xd . ∫ x Đặt ⇔ du = ;v = 2 dv = x dx x 3 1 4 4 3 4 2 3 3 3 3 3 x .ln x x
x .ln x x e e 1 2e +1 V = − dx = ∫ − = − + = 3 3 3 9 3 9 9 9 1 1 1
Câu 4: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường 2
y = x ; y = 0; x = 2 . Tính thể tích V ủa khối tròn
xoay thu được khi quay (H) quanh trục Ox . Lời giải 2 2 5 π Thể tích cần tính là 4 32 = π = π. = ∫ x V x dx 5 5 0 0
Câu 5: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường 2
y = 4 − x , y = 0 . Tính thể tích V của khối tròn
xoay hình thành khi cho (H) quay xung quanh Ox Lời giải Page 16
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN x = 2 −
PT hoành độ giao điểm các đồ thị là 2 4 − x = 0 ⇔ x = 2 3
Suy ra thể tích cần tính bằng V = ( − x )2 2 512π π 4 dx = ∫ (vtt) − 15 2
Câu 6: Tính thể tích V của vật thể tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 1
y = , y = 0, x =1, x = a(a > )
1 quay xung quanh trục Ox x Lời giải
- Phương pháp: Vật thể tròn xoay: Là vật thể được tạo ra khi quay hình thang cong giới hạn
bởi đường y = f (x) , x = a , x = b và y = 0 quanh trục Ox . Khi đó thể tích vật thể tròn xoay b
được tính theo công thức: 2 V = π f x dx x ∫ ( ) a a a - Cách giải: 1 1 1 V π dx π π ∫ 1 = = − = − . 2 x x a 1 1 x
Câu 7: Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
y = e trục Ox và hai đường thẳng x = 0,
x =1. Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay khi quay hình (D) quay quanh trục . Ox Lời giải 2 1 x 1
Thể tích của khối tròn xoay: 2 = π ∫ d =π x V e x e d ∫ x. 0 0
Câu 8: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi các đường 2
y = x − 2x, y = 0, x = 0 và x =1. Lời giải 1
V = ∫(x − x)2 2 8π π 2 dx = . 15 0
Câu 9: Cho hình (H ) giới hạn bở đồ thị (C) : y = xln x , trục hoành và các đường thẳng x =1, x = .e
Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H ) quanh trục hoành. Lời giải 2 u = 1 1 2 d ln xdx u = ln x V = π ∫(xln x)2 2 2
dx = π x ln xdx . Đặt x ⇒ Ox ∫ 2 dv = x dx 1 0 0 3 v = x 3 π e e e e 3 2 2π 2 π 3 2π 1 3 1 2 π
⇒ V = x ln x −
x ln xdx = .e − ∫
x ln x − ∫ x dx = ( 3 5e − 2). 3 1 3 3 3 3 1 3 27 1 1 Page 17
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Dạng 2. Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f (x), y = g (x), b
x = a, x = b khi quay quanh trục Ox được tính bởi công thức: 2 V = f (x) 2 π − ∫
g (x) dx . a
Câu 1: Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi Parabol 2
(P) : y = x và đường
thẳng d : y = 2x quay xung quanh trục Ox bằng: Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm 2
x = 2x ⇔ x = 0 hoặc x = 2 . Do 2
2x ≥ x với x ∈(0;2) nên V = V − V V 1
2 trong đó 1 là thể tích khối tròn xoay khi cho hình
phẳng giới hạn bởi đường thẳng d : y = 2x , trục Ox , đường thẳng x = 2 và trục Ox quay
quanh trục Ox ; V2 là thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi Parabol
(P) , trục Ox , đường thẳng x = 2 và trục Ox quay quanh trục Ox .
Câu 2: Tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số 2
y = x − 2x và 2
y = −x quay quanh trục Ox . Lời giải Xét 2 2
x − 2x = −x ⇒ x = 0;x =1 . 1
= π ∫ (x − x)2 2 8π V 2 dx = 1 0 15 1 π π = π ∫ (− )2 2 1 V x dx = π . 8 1 V = − π = . 2 0 5 15 5 3
Câu 3: Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = 0,y = x ln(x +1) và x = 1 xung quanh trực Ox là: Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox là x ln(x +1) = 0 ⇔ x = 0 1
Thể tích khối tròn xoay cần tính là 2
V = π x ln(x +1)dx ∫ . 0 dx du = = + Đặt u ln(x 1) x +1 ⇔ 2 3 dv = x dx x v = 3 1 3 3 1 x ⋅ ln(x +1) 1 1 x 1 π 2
⇒ I = x ln(x +1)dx = − dx = (12 ln 2 − 5) ⇒ V = (12 ln 2 − 5). ∫ ∫ 0 0 3 3 x +1 18 18 0
Câu 4: Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng được giới hạn bởi các đường 2 y = x và 2 x = y quay
quanh trục Ox bằng bao nhiêu? Lời giải Page 18
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 2
Phương trình hoành độ giao điểm của (C , C là y = x x = y = 0 1 ) ( 2 ) ⇔ 2 x = y x = 1; y = 1
Trong đoạn x ∈[0;1] suy ra 2
y = x ;y = x 1 1 5 2
Thể tích khối tròn xoay cần tính là 4 x x 3 V π = π − = π ∫ − = Ox (x x)dx . 5 2 10 0 0
Câu 5: Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục hoành phần hình phẳng giới hạn bởi 2 đường 2
y = x và y = x là: Lời giải
Thể tích khối tròn xoay là thể tích được tạo bởi hình phẳng có diện tích là phần gạch chéo trong
hình bên khi quay quanh trục hoành. Khi đó: 1 π V = π ( 3 4 x − x )dx = ∫ . 0 10 Page 19
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN G
ƠN III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
– ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN HƯ C
BÀI 2. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. III BÀI
TẬP TRẮC NGHIỆM TRÍCH TỪ ĐỀ THAM KHẢO VÀ ĐỀ CHÍNH THỨC
CỦA BỘ GIÁO DỤC TỪ NĂM 2017 ĐẾN NAY
Câu 1: (MĐ 101-2022) Biết F (x) và G(x) là hai nguyên hàm của hàm số f (x) trên và 3 f
∫ (x)dx = F (3)−G(0)+a, (a > 0). Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 0
y = F (x), y = G(x), x = 0, x = 3. Khi S =15 thì a bằng A. 15. B. 12⋅ C. 18⋅ D. 5⋅
Câu 2: (MĐ 102-2022) Biết F (x) và G(x) là hai nguyên hàm của hàm số f (x) trên và 5 f
∫ (x)dx = F (5)−G(0)+ a (a > 0). Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 0
y = F (x), y = G(x), x = 0 và x = 5. Khi S = 20 thì a bằng A. 4 . B. 15. C. 25 . D. 20 .
Câu 3: (MĐ 103-2022) Biết F (x) và G(x) là hai nguyên hàm của hàm số f (x) trên và 4 f
∫ (x)dx = F (4)−G(0)+ a (a > 0). Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 0
y = F (x), y = G (x), x = 0 và x = 4 . Khi S = 8 thì a bằng A. 8 . B. 4 . C. 12. D. 2 .
Câu 4: (MĐ 104-2022) Biết F (x) và G(x) là hai nguyên hàm của hàm số f (x) trên và 2 f
∫ (x)dx = F (2)−G(0)+ a (a > 0). Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 0
y = F (x), y = G(x), x = 0 và x = 2 . Khi S = 6 thì a bằng A. 4 . B. 6 . C. 3. D. 8 . Page 112
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 5: (MĐ 101-2022) Cho hàm số bậc bốn y = f (x) . Biết rằng hàm số g (x) = ln f (x) có bảng biến thiên như hình sau
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f ′(x) và y = g′(x) thuộc khoảng nào dưới đây? A. (5;6). B. (4;5) . C. (2;3). D. (3;4).
Câu 6: (MĐ 102-2022) Cho hàm số bậc bốn y = f (x) . Biết rằng hàm số g (x) = ln f (x) có bảng biến thiên như sau:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f ′(x) và y = g′(x) thuộc khoảng nào dưới đây? A. (38;39). B. (25;26) . C. (28;29) . D. (35;36).
Câu 7: (MĐ 103-2022) Cho hàm số bậc bốn y = f (x) . Biết rằng hàm số g (x) = ln f (x) có bảng biến thiên như sau:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f ′(x) và y = g′(x) thuộc khoảng nào dưới đây? A. (33;35) . B. (37;40) . C. (29;32) . D. (24;26). Page 113
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 8: (MĐ 104-2022) Cho hàm số bậc bốn y = f (x). Biết rằng hàm số g(x) = lnf (x) có bảng biến thiên như sau:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f '(x) và y = g'(x) thuộc khoảng nào dưới đây? A. (7;8). B. (6;7) . C. (8;9). D. (10; ) 11 .
Câu 9: (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình bên bằng A. 2 ∫ ( 2 2
− x + 2x + 4)dx . B. 2 ∫ ( 2
2x − 2x − 4)dx . 1 − 1 − C. 2 ∫ ( 2 2
− x − 2x + 4)dx. D. 2 ∫ ( 2
2x + 2x − 4)dx . 1 − 1 −
Câu 10: (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 y = 2x , y = 1
− , x = 0 và x =1 được tính bởi công thức nào sau đây? 1 1 1 1 A. S = π ( 2 2x + ∫
)1dx. B. S = ( 2 2x − ∫
)1dx. C. S = (2x + ∫ )2 2
1 dx . D. S = ( 2 2x + ∫ )1dx. 0 0 0 0
Câu 11: (Mã 101 - 2020 Lần 1) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường 2
y = x − 4 và y = 2x − 4 bằng π A. 36. B. 4 . C. 4 . D. 36π . 3 3
Câu 12: (Mã 102 - 2020 Lần 1) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường 2
y = x −1 và y = x −1 π π A. . B. 13 . C. 13 . D. 1 . 6 6 6 6
Câu 13: (Mã 104 - 2020 Lần 1) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường 2
y = x −3 và y = x −3 bằng π π A. 125 . B. 1 . C. 125 . D. . 6 6 6 6 Page 114
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 14: (Mã 103 - 2020 Lần 1) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường 2
y = x − 2 và y = 3x − 2 bằng π π A. 9 . B. 9 . C. 125 . D. 125 . 2 2 6 6
Câu 15: (Mã 102 2018) Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường 2x
y = , y = 0, x = 0
, x = 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 2 2 2 A. = π 2x S dx ∫ B. = 2x S dx ∫ C. 2 = π 2 x S dx ∫ D. 2 = 2 x S dx ∫ 0 0 0 0
Câu 16: (Mã 101 2018) Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ex
y = , y = 0, x = 0 ,
x = 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 2 2 2 A. = ex S dx ∫ B. = π ex S dx ∫ C. = π ex S dx ∫ D. 2 = π e x S dx ∫ 0 0 0 0
Câu 17: (Mã 102 - 2019) Cho hàm số y = f (x) liên tục trên .
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn
bởi các đường y = f (x), y = 0, x = 1
− và x = 5 (như hình vẽ bên).
Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 5 1 5
A. S = − f (x)dx − f (x)dx ∫ ∫ .
B. S = f (x)dx + f (x)dx ∫ ∫ . 1 − 1 1 − 1 1 5 1 5
C. S = f (x)dx − f (x)dx ∫ ∫ .
D. S = − f (x)dx + f (x)dx ∫ ∫ . 1 − 1 1 − 1
Câu 18: (Mã 103 - 2019) Cho hàm số f (x) liên tục trên . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi
các đường y = f (x), y = 0, x = 1,
− x = 2 (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 2 A. S = f ∫ (x) dx + f ∫ (x) dx . 1 − 1 1 2
B. S = − f ∫ (x) dx − f ∫ (x) dx . 1 − 1 1 2
C. S = − f ∫ (x) dx+ f ∫ (x) dx . 1 − 1 1 2 D. S = f ∫ (x) dx − f ∫ (x) dx . 1 − 1 Page 115
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 19: (Đề Minh Họa 2017) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 3
y = x − x và đồ thị hàm số 2
y = x − x . A. 37 B. 9 C. 81 D. 13 12 4 12
Câu 20: (Đề Tham Khảo 2017) Gọi S là diện tích hình phẳng (H ) giới hạn bởi các đường y = f (x) , 0 2
trục hoành và hai đường thẳng x = 1
− , x = 2 . Đặt a = f
∫ (x)dx ,b = f
∫ (x)dx , mệnh đề nào 1 − 0 sau đây đúng?
A. S = b − a
B. S = b + a C. S = b − + a D. S = b − − a
Câu 21: (Đề Tham Khảo 2019) Diện tích phần hình phẳng gạch
chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây? 2 2 A. ∫ ( 2
− x + 2)dx
B. ∫ (2x −2)dx 1 − 1 − 2 2 C. ∫ ( 2 2
− x + 2x + 4)dx D. ∫ ( 2
2x − 2x − 4)dx 1 − 1 −
Câu 22: (Mã 101 - 2019) Cho hàm số f (x) liên tục trên . Gọi
S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f (x), y = 0, x = 1
− và x = 4 (như hình vẽ
bên). Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 4 A. S = f ∫ (x)dx − f ∫ (x)dx. 1 − 1 1 4 B. S = f ∫ (x)dx + f ∫ (x)dx . 1 − 1 1 4
C. S = − f ∫ (x)dx − f ∫ (x)dx. 1 − 1 1 4
D. S = − f ∫ (x)dx + f ∫ (x)dx . 1 − 1
Câu 23: (Mã 104 - 2019) Cho hàm số f (x) liên tục trên .
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi
cá đường y = f (x), y = 0, x = 2
− và x = 3 (như hình vẽ). Mệnh đề nào dưới đây đúng? Page 116
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 1 3 1 3
A. S = − f (x)dx − ∫
∫ f (x)d .x
B. S = f (x)dx − ∫
∫ f (x)d .x 2 − 1 2 − 1 1 3 1 3
C. S = − f (x)dx + ∫
∫ f (x)d .x
D. S = f (x)dx + ∫
∫ f (x)d .x 2 − 1 2 − 1
Câu 24: (Dề Minh Họa 2017) Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay
hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) , trục Ox và hai đường thẳng
x = a, x = b(a < b), xung quanh trục Ox . b b b b A. V = f
∫ (x)dx B. 2 V = π f
∫ (x)dx C. 2 V = f
∫ (x)dx
D. V = π f ∫ (x)dx a a a a
Câu 25: (Đề Tham Khảo 2018) Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a;b]. Gọi D là hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b(a < b). Thể
tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức: b b b b A. 2 V = π f
∫ (x)dx B. 2 V = π f
∫ (x)dx C. 2 V = 2π f
∫ (x)dx D. 2 2 V = π f ∫ (x)dx a a a a
Câu 26: (Mã 101 2020 Lần 2) Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi các đường 3 e x y =
, y = 0, x = 0 và
x =1. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox bằng: 1 1 1 1 A. 3 π e xdx ∫ . B. 6 e xdx ∫ . C. 6 π e xdx ∫ . D. 3 e xdx ∫ . 0 0 0 0
Câu 27: (Mã 102 - 2020 Lần 2) Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi các đường 4x
y = e , y = 0, x = 0 và
x =1. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox bằng 1 1 1 1 A. 4x e dx ∫ . B. 8x π e dx ∫ . C. 4x π e dx ∫ . D. 8x e dx ∫ . 0 0 0 0
Câu 28: (Mã 103 - 2020 Lần 2) Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi các đường 2x
y = e , y = 0, x = 0 và
x =1. Thể tích khối tròn xoay tạo thành kho quay D quanh Ox bằng 1 1 1 1 A. 4x π e dx ∫ . B. 2x e dx ∫ . C. 2x π e dx ∫ . D. 4x e dx ∫ . 0 0 0 0
Câu 29: (Mã 104 - 2020 Lần 2) Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi các đường x
y = e , y = 0, x = 0 và
x =1. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox bằng 1 1 1 1 A. 2x π e dx ∫ . B. x π e dx ∫ C. xedx ∫ . D. 2x e dx ∫ . 0 0 0 0
Câu 30: (Mã 103 2018) Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi các đường 2
y = x +3, y = 0, x = 0 , x = 2 .
Gọi V là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H ) xung quanh trục Ox . Mệnh
đề nào dưới đây đúng? Page 117
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 2 2 2 2
A. V = ∫( 2x +3)dx
B. V = π ∫( 2x +3)dx C. V = ∫(x +3)2 2
dx D. V = π ∫(x +3)2 2 dx 0 0 0 0
Câu 31: (Mã 105 2017) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong = x
y e , trục hoành và các đường
thẳng x = 0 , x = 1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? π( 2 e + 1) 2 e −1 π 2 e π( 2 e −1) A. V = B. V = C. V = D. V = 2 2 3 2
Câu 32: (Mã 104 2017) Cho hình phẳng D giới hạn với đường cong 2
y x 1 , trục hoành và các
đường thẳng x 0, x 1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? A. V = 2 B. 4π V =
C. V = 2π D. 4 V = 3 3
Câu 33: (Mã 123 2017) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = 2 + cos x, trục hoành và các đường thẳng π
x = 0, x = . Khối tròn xoay tạo thành khi D quay quanh trục hoành có thể tích V 2 bằng bao nhiêu?
A. V = (π + 1)π
B. V = π −1
C. V = π + 1
D. V = (π −1)π
Câu 34: (Mã 110 2017) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = 2 + sin x , trục hoành và các
đường thẳng x = 0 , x = π . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quay quanh trục hoành có thể
tích V bằng bao nhiêu? A. V = 2π (π + ) 1
B. V = 2π C. V = 2(π + ) 1 D. 2 V = 2π
Câu 35: (Mã 104 2018) Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi các đường thẳng 2
y = x + 2, y = 0, x =1, x = 2
. Gọi V là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H ) xung quanh trục Ox . Mệnh
đề nào dưới đây đúng? 2 2 2 2
A. V = ∫( 2x + 2)dx
B. V = π ∫(x + 2)2 2
dx C. V = ∫(x + 2)2 2
dx D. V = π ∫( 2x + 2)dx 1 1 1 1
Câu 36: (Đề Tham Khảo 2017) Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x =1 và
x = 3, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (
1≤ x ≤ 3 ) thì được thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là 3x và 2 3x − 2 . A. 124 π V =
B. V = (32 + 2 15)π C. V = 32 + 2 15 D. 124 V = 3 3
Câu 37: (Đề Tham Khảo 2018) Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol 2
y = 3x , cung tròn có phương trình 2 y = 4 − x (với
0 ≤ x ≤ 2 ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H) bằng 4π + 3 4π − 3 A. B. 12 6 4π + 2 3 −3 5 3 − 2π C. D. 6 3 Page 118
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 3
Câu 38: (Mã 104 - 2019) Cho đường thẳng y = x và parabol 2
y = x + a ( a là tham số thực dương). 2 Gọi S , S S = S 1
2 lần lượt là diện tích hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi 1 2
thì a thuộc khoảng nào dưới đây? A. 2 0; B. 1 9 ; C. 2 9 ; D. 9 1 ; 5 2 16 5 20 20 2
Câu 39: (Mã 102 - 2019) Cho đường thẳng 3
y = x và parabol 1 2
y = x + a , (a là tham số thực dương). 4 2 Gọi S S
1 , 2 lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi S = S 1
2 thì a thuộc khoảng nào dưới đây? 7 1 1 9 3 7 A. ; . B. ; . C. ; . D. 3 0; . 32 4 4 32 16 32 16 Page 119
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 40: (Mã 103 - 2019) Cho đường thẳng y = 3x và parabol 2
2x + a ( a là tham số thực dương). Gọi
S và S lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi S = S 1 2 1 2
thì a thuộc khoảng nào dưới đây? A. 9 1; . B. 9 ;1 . C. 4 9 ; . D. 4 0; . 8 10 5 10 5
Câu 41: (Mã 102 2018) Cho hai hàm số f (x) 2 2
= ax + bx + cx − 2 và g (x) 2 = dx + x
e + 2 ( a , b , c , d , e ∈ ). Biết rằng đồ thị của hàm
số y = f (x) và y = g (x) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là 2 − ; 1
− ; 1 (tham khảo hình vẽ).
Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng A. 37 B. 37 12 6 C. 13 D. 9 2 2
Câu 42: (Mã 101 2018) Cho hai hàm số f (x) 3 2 1
= ax + bx + cx − và g (x) 2 = dx + ex +1 2
(a,b,c,d,e∈) . Biết rằng đồ thị hàm số y = f (x) và y = g (x) cắt nhau tại 3 điểm có hoành độ lần lượt là 3 − ; 1
− ; 1 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị đã cho có diện tích bằng A. 5 B. 9 C. 8 D. 4 2 Page 120
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 43: (Mã 103 2018) Cho hai hàm số f (x) 3 2
= ax + bx + cx −1 và g (x) 2 1 = dx + ex + 2
(a,b,c,d,e∈) . Biết rằng đồ thị của hàm số y = f (x) và y = g(x) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt 3 − ; 1;
− 2 (tham khảo hình vẽ).
Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng A. 253 B. 125 C. 253 D. 125 12 12 48 48
Câu 44: (Mã 104 2018) Cho hai hàm số f (x) 3 2 3
= ax + bx + cx + và g (x) 2 3 = dx + ex − , 4 4
(a,b,c,d,e∈) . Biết rằng đồ thị của hàm số y = f (x) và y = g (x) cắt nhau tại ba điểm có
hoành độ lần lượt là 2
− ; 1; 3 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng A. 253 B. 125 C. 125 D. 253 48 24 48 24
Câu 45: (Đề Minh Họa 2017) Kí hiệu (H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số = 2( −1) x y x e , trục
tung và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H ) xung quanh trục Ox
A. V = ( 2e −5)π
B. V = (4 − 2e)π C. 2
V = e − 5
D. V = 4 − 2e
Câu 46: (Mã 103 2018) Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo
thời gian bởi quy luật v(t) 1 2 13 = t +
t (m/s) , trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc 100 30
A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O , chuyển động
thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 10 giây so với A và có gia tốc bằng a ( 2 m/s ) ( a là
hằng số). Sau khi B xuất phát được 15 giây thì đuổi kịp A . Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng A. 15 (m/s) B. 9(m/s) C. 42 (m/s) D. 25 (m/s)
Câu 47: (Mã 104 2018) Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo
thời gian bởi quy luật v(t) 1 2 58 = t +
t (m / s) , trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ 120 45 Page 121
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O , chuyển
động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 3 giây so với A và có gia tốc bằng a( 2 m / s )
( a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 15 giây thì đuổi kịp A . Vận tốc của B tại thời điểm
đuổi kịp A bằng
A. 21(m / s)
B. 25(m / s)
C. 36(m / s)
D. 30(m / s)
Câu 48: (Đề Minh Họa 2017) Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì người lái đạp phanh; từ thời
điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = 5
− t +10 (m/s), trong đó t là khoảng
thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô
tô còn di chuyển bao nhiêu mét? A. 0,2m B. 2m C. 10m D. 20m
Câu 49: (Mã 102 2018) Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo
thời gian bởi quy luật v(t) 1 2 59 = t +
t (m / s) , trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc 150 75
a bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O , chuyển động
thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 3 giây so với A và có gia tốc bằng a( 2
m / s ) (a là
hằng số). Sau khi B xuất phát được 12 giây thì đuổi kịp A . Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng
A. 15(m / s)
B. 20(m / s)
C. 16(m / s)
D. 13(m / s)
Câu 50: (Mã 101 2018) Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật 1 2 11 v(t) =
t + t (m / s) , trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc 180 18
A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O , chuyển động
thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 5 giây so với A và có gia tốc bằng a( 2
m / s ) (a là
hằng số). Sau khi B xuất phát được 10 giây thì đuổi kịp A . Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng
A. 15(m / s)
B. 10(m / s)
C. 7(m / s)
D. 22(m / s)
Câu 51: (Mã 105 2017) Một vật chuyển động theo quy luật 1 s = − 3 t + 2
6t với t (giây) là khoảng thời 2
gian tính từ khi vật đó bắt đầu chuyển động và s(m) là quãng đường vật di chuyển được trong
khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 6 giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc
lớn nhất của vật đạt được bằng bào nhiêu? A. 18(m/s) B. 108(m/s) C. 64(m/s) D. 24(m/s) Page 122
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 52: (Mã 123 2017) Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc (
v km / h) phụ thuộc vào thời gian t(h) có đồ thị vận tốc như
hình bên. Trong thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động,
đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I(2;9) và
trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn
lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính
quãng đường s mà vật chuyển động được trong 3 giờ đó (kết
quả làm tròn đến hàng phần trăm).
A. s = 21,58(km)
B. s = 23,25(km)
C. s = 13,83(km)
D. s = 15,50(km)
Câu 53: (Mã 104 2017) Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc v (km/h) phụ
thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị là một phần parabol với đỉnh 1 I ; 8 và 2
trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quảng đường s
người đó chạy được trong khoảng thời gian 45 phút, kể từ khi chạy?
A. s = 2,3 (km)
B. s = 4,5 (km)
C. s = 5,3 (km) D. s = 4 (km)
Câu 54: (Mã 110 2017) Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận
tốc v(km/h) phụ thuộc thời gian t ( h) có đồ thị là một phần
của đường parabol có đỉnh I (2;9) và trục đối xứng song
song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s mà
vật di chuyển được trong 3 giờ đó.
A. s = 25,25(km)
B. s = 24,25(km)
C. s = 24,75(km)
D. s = 26,75(km)
Câu 55: (Mã 105 2017) Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc
v (km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị của vận tốc như
hình bên. Trong khoảng thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động,
đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I (2; 9) với trục đối
xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một
đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường s mà vật di
chuyển được trong 4 giờ đó.
A. s = 24 (km)
B. s = 28,5 (km)
C. s = 27 (km)
D. s = 26,5 (km) Page 123
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 56: (Đề Tham Khảo 2019) Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh A , A , B , B như 1 2 1 2
hình vẽ bên. Biết chi phí để sơn phần tô đậm là 2 200.000 n
v đ / m và phần còn lại 2 100.000 n
v đ / m . Hỏi số tiền để sơn theo cách trên gần nhất với số tiền nào dưới đây, biết
A A = 8m , B B = 6m và tứ giác ? 1 2 1 2
MNPQ là hình chữ nhật có MQ = 3m
A. 5.526.000 đồng.
B. 5.782.000 đồng
C. 7.322.000 đồng. D. 7.213.000 đồng.
Câu 57: (Mã 110 B 2017) Cho hàm số y = f (x) . Đồ thị của hàm số y = f ′(x) như hình bên. Đặt
g (x) = f (x) − (x + )2 2
1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. g ( ) 1 > g ( 3
− ) > g (3) B. g ( )
1 > g (3) > g ( 3 − )
C. g (3) > g ( 3 − ) > g ( ) 1 D. g ( 3
− ) > g (3) > g ( ) 1
Câu 58: (Mã 105 2017) Cho hàm số y = f (x). Đồ thị y = f ′(x) của hàm số như hình bên. Đặt
g(x) = f (x) + 2 2
x . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. g(3) < g(−3) < g(1)
B. g(1) < g(−3) < g(3)
C. g(−3) < g(3) < g(−1)
D. g(1) < g(3) < g(−3) Page 124
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 59: (Mã 123 2017) Cho hàm số y = f (x) . Đồ thị hàm số y = f '(x) như hình vẽ. Đặt
h(x) = f (x) − 2 2
x . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. h(4) = h(−2) < h(2) B. h(2) > h(−2) > h(4)
C. h(4) = h(−2) > h(2) D. h(2) > h(4) > h(−2)
Câu 60: (TK 2020-2021) Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Biết hàm
số f (x) đạt cực trị tại hai điểm x , x thỏa mãn x = x + 2 và f (x + f x = 0. 1 ) ( 2) Gọi điểm S 1 2 2 1 1 và S
S là diện tích của hai hình phẳng được gạch trong hình bên. Tỉ số 1 bằng 2 S2 A. 3 . B. 5. C. 3. D. 3. 4 8 8 5
Câu 61: (MĐ 101 2020-2021 – ĐỢT 1) Cho hàm số ( ) 3 2
f x = x + ax + bx + c với a,b,c là các số thực.
Biết hàm số g (x) = f (x) + f ′(x) + f ′′(x) có hai giá trị cực trị là 3
− và 6 . Diện tích hình phẳng f (x)
giới hạn bởi các đường y = và y =1 bằng g (x) + 6 A. 2ln3 . B. ln 3. C. ln18. D. 2ln 2.
Câu 62: (MĐ 103 2020-2021 – ĐỢT 1) Cho hàm số ( ) 3 2
f x = x + ax + bx + c với a, ,
b c là các số thực.
Biết hàm số g (x) = f (x) + f ′(x) + f ′′(x) có hai giá trị cực trị là 5
− và 3 . Diện tích hình phẳng f (x)
giới hạn bởi các đường y = và y =1 bằng g (x) + 6 A. 2ln 3 . B. ln 2 . C. ln15. D. 3ln 2 . Page 125
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 63: (MĐ 104 2020-2021 – ĐỢT 1) Cho hàm số ( ) 3 2
f x = x + ax + bx + c với a,b,c là các số thực.
Biết hàm số g (x) = f (x) + f ′(x) + f ′′(x) có hai giá trị cực trị là 5
− và 2 . Diện tích hình phẳng f (x)
giới hạn bởi đường y = và y =1 bằng g (x) + 6 A. ln 3. B. 3ln 2 . C. ln10. D. ln 7 .
Câu 64: (MĐ 103 2020-2021 – ĐỢT 2) Cho hai hàm số f (x) 4 3 2
= ax + bx + cx + x và g (x) 3 2
= mx + nx − 2x với a,b,c, ,
m n∈ . Biết hàm số y = f (x) − g (x) có ba điểm cực trị là 1,
− 2,3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = f '( x) và y = g′( x) bằng 32 A. . B. 16 . C. 71. D. 71. 3 3 12 6
Câu 65: (MĐ 103 2020-2021 – ĐỢT 2) Cho hàm số f (x) 4 3 2
= ax + bx + cx + 3x và hàm số g (x) 3 2 = mx + nx − ;
x với a,b,c, ,
m n ∈ . Biết hàm số y = f (x) − g (x) có ba điểm cực trị là 1;
− 2 và 3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f '(x) và y = g '(x) bằng A. 32 . B. 71 . C. 71 . D. 64 . 3 9 6 9 Page 126
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN G
ƠN III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
– ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN HƯ C
BÀI 2. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
III HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TRÍCH TỪ ĐỀ THAM KHẢO VÀ ĐỀ CHÍNH THỨC
CỦA BỘ GIÁO DỤC TỪ NĂM 2017 ĐẾN NAY
Câu 1: (MĐ 101-2022) Biết F (x) và G(x) là hai nguyên hàm của hàm số f (x) trên và 3 f
∫ (x)dx = F (3)−G(0)+a, (a > 0). Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 0
y = F (x), y = G(x), x = 0, x = 3. Khi S =15 thì a bằng A. 15. B. 12⋅ C. 18⋅ D. 5⋅ Lời giải Chọn D
Do F (x) và G(x) là hai nguyên hàm của hàm số f (x) trên nên G(x) = F (x) + C, x ∀ ∈
, với C là hằng số. 3 Mặt khác f
∫ (x)dx = F (3)− F (0) 0 3 Lại có f
∫ (x)dx = F (3)−G(0)+ a,suy ra G(0) = F (0)+ a . 0
Do đó a = C ⇒ G (x) = F (x) + a, x ∀ ∈
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = F (x), y = G(x), x = 0, x = 3. 3 3 > S = G
∫ (x)− F (x) a 0
dx ⇔ 15 = adx ⇔15 = 3a ⇔ a = 5 ∫ . 0 0
Câu 2: (MĐ 102-2022) Biết F (x) và G(x) là hai nguyên hàm của hàm số f (x) trên và 5 f
∫ (x)dx = F (5)−G(0)+ a (a > 0). Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 0
y = F (x), y = G(x), x = 0 và x = 5. Khi S = 20 thì a bằng A. 4 . B. 15. C. 25 . D. 20 . Lời giải Chọn A
Vì F (x) và G(x) là hai nguyên hàm của hàm số f (x) trên nên Page 1
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 5
F (0) = G(0) − a f
∫ (x)dx = F (5)− F (0) = G(5)−G(0) = F (5)−G(0)+ a ⇒ . F (5) = G (5) − 0 a
Do đó F (x) = G(x) − a ⇔ F (x) −G(x) = −a
S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = F (x), y = G (x), x = 0 và x = 5 nên 5 5 5 5 S = F
∫ (x)−G(x) 5
dx = −a dx = a dx = adx = ax = 5a ∫ ∫ ∫ (a > 0) . 0 0 0 0 0
Mà S = 20 nên 5a = 20 ⇔ a = 4..
Câu 3: (MĐ 103-2022) Biết F (x) và G(x) là hai nguyên hàm của hàm số f (x) trên và 4 f
∫ (x)dx = F (4)−G(0)+ a (a > 0). Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 0
y = F (x), y = G (x), x = 0 và x = 4 . Khi S = 8 thì a bằng A. 8 . B. 4 . C. 12. D. 2 . Lời giải Chọn D 4
F (x) là nguyên hàm của f (x) trên nên f
∫ (x)dx = F (4)− F (0). 0 4 Mà f
∫ (x)dx = F (4)−G(0)+ a (a > 0) nên 0
F (4) − F (0) = F (4) − G (0) + a ⇔ G (0) = F (0) + a .
Lại có G (x) cũng là nguyên hàm của f (x) trên nên G(x) = F (x) + a x ∀ ∈ .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = F (x), y = G(x), x = 0 và x = 4 là 4 4 S = F
∫ (x)−G(x) dx = adx = 4a = 8⇒ a = 2 ∫ . 0 0
Câu 4: (MĐ 104-2022) Biết F (x) và G(x) là hai nguyên hàm của hàm số f (x) trên và 2 f
∫ (x)dx = F (2)−G(0)+ a (a > 0). Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 0
y = F (x), y = G(x), x = 0 và x = 2 . Khi S = 6 thì a bằng A. 4 . B. 6 . C. 3. D. 8 . Lời giải Chọn C
Do F (x) và G(x) là hai nguyên hàm của hàm số f (x) trên nên F (x) −G(x) = C với C là hằng số. 2 2 2 Ta có S = F
∫ (x)−G(x) dx = C dx = C . 1dx = 2 C = 6 ⇒ C = 3 ∫ ∫ (*) . 0 0 0 Page 2
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Ta lại có: F (0) −G(0) = C ⇔ F (0) = G(0) + C Theo đề bài: 2 f
∫ (x)dx = F (2)− F (0) = F (2)−(G(0)+C) = F (2)−G(0)−C = F (2)−G(0)+ a . 0 Suy ra: a = C
− mà a > 0 nên C < 0 (2) . Từ ( ) 1 và (2) suy ra: C = 3 − ⇒ a = C − = 3. Vậy: a = 3.
Câu 5: (MĐ 101-2022) Cho hàm số bậc bốn y = f (x) . Biết rằng hàm số g (x) = ln f (x) có bảng biến thiên như hình sau
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f ′(x) và y = g′(x) thuộc khoảng nào dưới đây? A. (5;6). B. (4;5) . C. (2;3). D. (3;4). Lời giải Chọn D
Từ bảng biến thiên của hàm số g (x) = ln f (x), ta có: ln f (x) ≥ ln 2 ⇒ f (x) ≥ 2 . ( ) f ′ x
g x = ln f (x) ⇒ g′(x) ( ) = . f (x)
Phương trình hoành độ giao điểm của hàm đồ thị hàm số y = f ′(x) và y = g′(x) là: f ′ x
f ′(x) = g′(x) ⇔ f ′(x) ( ) =
⇔ f ′(x) = 0 hay f (x) =1 (vô nghiệm do f (x) ≥ 2 ). f (x) x = x1 ⇔ g (x) = 0 ′ ⇔ x = x . 2 x = x3 3 x
Do đó, ta có diện tích cần tìm là: S = f ′
∫ (x)− g′(x) dx 1 x 2 x x 2 x 3 x S = f ′
∫ (x)− g′(x) 3 dx + f ′
∫ (x)− g′(x) dx = f ′
∫ (x)− g′(x)dx + f ′
∫ (x)− g′(x)dx 1 x 2 x 1 x 2 x = f
( x) − g ( x) 2x + f
( x) − g ( x) 3x 1 x 2 x Page 3
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
= f (x − g x − f x + g x + f x − g x − f x + g x 2 ) ( 2) ( 1) ( 1) ( 3) ( 3) ( 2) ( 2) 43 43 = 6 − ln 6 − + ln + 2 − ln 2 − 6 + ln 6 5 43 = + ln + ln 3− 4 5 43 = + ln + 4 − ln 3 8 8 8 48 8 48 37 43 = + ln ≈ 3,416 . 8 144
Câu 6: (MĐ 102-2022) Cho hàm số bậc bốn y = f (x) . Biết rằng hàm số g (x) = ln f (x) có bảng biến thiên như sau:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f ′(x) và y = g′(x) thuộc khoảng nào dưới đây? A. (38;39). B. (25;26) . C. (28;29) . D. (35;36). Lời giải Chọn D f ′ x
Ta có: g (x) = ln f (x) ⇒ g′(x) ( ) =
. Nên: g′(x) = 0 ⇔ f ′(x) = 0. f (x)
Mà g′(x = g′ x = g′ x = 0 ⇒ f ′ x = f ′ x = f ′ x = 0 . 1 ) ( 2) ( 3) ( 1) ( 2) ( 3)
x < x < x
Theo giả thiết bài toán thì f (x) > 0 x
∀ nên: g′(x) > 0 ⇔ f ′(x) 1 2 > 0 ⇔ x > x3
x < x < x
Và: f (x ) =10, f (x ) = 42, f (x ) = 37 ⇒ g′(x) − f ′(x) = f ′(x) 1 2 3 −1 > 0 ⇔ 1 2 3 f ( x) x < x1 Vậy: 3 x x x S = g′
∫ (x)− f ′(x) 2
dx = ∫ ( f ′(x)− g′(x)) 3
dx + ∫ (g′(x)− f ′(x))dx 1 x 1 x 2 x 2 x x = f ′ ∫ (x) 3 1 1 1−
dx + f ′ x ∫ − dx f x f x x ( ) ( ) x ( ) 1 1 2 2 x 1 x = ∫ 1− d ( f x ) 3 1 + ∫ −1d ( f x ) f x f x x ( ) ( ) x ( ) ( ) 1 2 Page 4
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN x x
= ( f (x) −ln f (x) ) 2 +(ln f (x) − f (x)) 3 1 x 2 x = 37 + ln10 − ln 37 . ≈ 35,69
Câu 7: (MĐ 103-2022) Cho hàm số bậc bốn y = f (x) . Biết rằng hàm số g (x) = ln f (x) có bảng biến thiên như sau:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f ′(x) và y = g′(x) thuộc khoảng nào dưới đây? A. (33;35) . B. (37;40) . C. (29;32) . D. (24;26). Lời giải Chọn A
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy g (x) > ln 3, x
∀ ∈ ⇒ f (x) > 3, x ∀ ∈ . f ′ ′ x
Ta có: g′(x) = ln f (x) ( ) = ⇒ ′ = ′ f (x)
f (x) g (x). f (x) Nên x = x1
f (x) = g (x) ⇔ g (x). f (x) = g (x) ⇔ g (x) f
( x) −1 = 0 ⇔ g (x) = 0 ′ ′ ′ ′ ′ ′ ⇔ x = x . 2 x = x3
Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f ′(x) và y = g′(x) là 2 x x = ′ ∫ ( ) f ′(x) 3 f ′ x S f x −
dx + f ′ x − dx f x ∫ f x x ( ) ( ) ( ) x ( ) 1 2
Đặt t = f (x) ⇒ dt = f ′(x)dx .
Đổi cận: x = x ⇒ t = 30, x = x ⇒ t = 35 , x = x ⇒ t = 3. 1 2 3 35 3 Khi đó, 1 1 S 1 dt 1 dt = − + − = ∫ ∫
(t −ln t )35 + (ln t − t) 35 30 3 t t 30 35
= (35 − ln 35) −(30 − ln 30) + (35 − ln 35) −(3− ln 3) Page 5
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 90
= 5 − ln 35 + ln 30 + 32 − ln 35 + ln 3 = 37 + ln ≈ 34,39 . 1225
Câu 8: (MĐ 104-2022) Cho hàm số bậc bốn y = f (x). Biết rằng hàm số g(x) = lnf (x) có bảng biến thiên như sau:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f '(x) và y = g'(x) thuộc khoảng nào dưới đây? A. (7;8). B. (6;7) . C. (8;9). D. (10; ) 11 . Lời giải Chọn A
Từ BBT ta thấy f (x) ≥ 4, x ∀ g'(x) f '(x) = f (x) f ' x 1
Ta có f ' ( x) − g' ( x) = f ' (x) ( ) − f (x) = f ' (x).1− f (x) Do
f (x) ≥ 4 ⇒ f '(x)−g'(x) = 0 ⇔ f '(x) = 0 ⇔ g'(x) = 0 x = x1 ⇔ x = x 2 x = x 3 3 x x2 3 x
S = ∫ f' (x)− g' (x)dx = ∫ f' (x)− g' (x)dx+ ∫ f' (x)− g' (x)dx 1 x 1 x x2 x2 3 x
= ∫ ( f' (x)− g' (x) dx− ∫ ( f' (x)− g' (x) dx 1 x x2 = f (x g x f x g x f x g x f x g x 2 ) −
( 2)− ( 1)+ ( 1)− ( 3)+ ( 3)+ ( 2)− ( 2) = 2 f (x 2g x f x g x f x g x 2 ) −
( 2)− ( 1)+ ( 1)− ( 3)+ ( 3) 199 199 = 2. − 2 ln − 12 + ln 12 − 4 + ln 4 16 16 ≈ 7 ,705
Câu 9: (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình bên bằng Page 6
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A. 2 ∫ ( 2 2
− x + 2x + 4)dx . B. 2 ∫ ( 2
2x − 2x − 4)dx . 1 − 1 − C. 2 ∫ ( 2 2
− x − 2x + 4)dx. D. 2 ∫ ( 2
2x + 2x − 4)dx . 1 − 1 − Lời giải Chọn A
Dựa và hình vẽ ta có diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình bên là: 2
∫ (−x + 2)−(x −2x−2) 2 2 2 dx = ∫ ( 2 2
− x + 2x + 4)d .x 1 − 1 −
Câu 10: (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 y = 2x , y = 1
− , x = 0 và x =1 được tính bởi công thức nào sau đây? 1 1 A. S = π ( 2 2x + ∫
)1dx. B. S = ( 2 2x − ∫ )1dx. 0 0 1 1
C. S = (2x + ∫ )2 2
1 dx . D. S = ( 2 2x + ∫ )1dx. 0 0 Lời giải Chọn D 1 1
Diện tích hình phẳng cần tìm là 2
S = 2x +1 dx = ( 2 2x + ∫ ∫ )1dx do 2 2x +1 > 0 x ∀ ∈[0 ] ;1 . 0 0
Câu 11: (Mã 101 - 2020 Lần 1) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường 2
y = x − 4 và y = 2x − 4 bằng π A. 36. B. 4 . C. 4 . D. 36π . 3 3 Lời giải Chọn B
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là: x = 0 2 2
x − 4 = 2x − 4 ⇔ x − 2x = 0 ⇔ . x = 2 Page 7
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho là: 2 S = ∫ (x − ) 2 2 3 x 2 2 − ( x − ) 2
x = x − x x = ∫ ∫( 2 x − x ) 2 4 4 2 4 d 2 d 2
dx = x − = . 3 0 3 0 0 0
Câu 12: (Mã 102 - 2020 Lần 1) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường 2
y = x −1 và y = x −1 π π A. . B. 13 . C. 13 . D. 1 . 6 6 6 6 Lời giải Chọn D x = 0
Phương trình hoành độ giao điểm hai đường là: 2 2
x −1 = x −1 ⇔ x − x = 0 ⇔ . x = 1 1
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường là 2 1
x − x dx = . ∫ 6 0
Câu 13: (Mã 104 - 2020 Lần 1) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường 2
y = x −3 và y = x −3 bằng π π A. 125 . B. 1 . C. 125 . D. . 6 6 6 6 Lời giải Chọn B x = 0
Ta có Phương trình hoành độ giao điểm: 2 2
x − 3 = x − 3 ⇔ x − x = 0 ⇔ . x =1 1 1
Diện tích hình phẳng: S = ( 2
x − ) −(x − ) 2 1 3
3 dx = x − xdx = ∫ ∫ . 6 0 0
Câu 14: (Mã 103 - 2020 Lần 1) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường 2
y = x − 2 và y = 3x − 2 bằng π π A. 9 . B. 9 . C. 125 . D. 125 . 2 2 6 6 Lời giải Chọn A
Xét phương trình hoành độ giao điểm, ta có: x 0. 2
x 2 3x2 x 3. 3
Như vậy, diện tích hình phẳng được gới hạn bằng 9 2 x
2 3x2 dx . 2 0
Câu 15: (Mã 102 2018) Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường 2x
y = , y = 0, x = 0
, x = 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? Page 8
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 2 2 2 2 A. = π 2x S dx ∫ B. = 2x S dx ∫ C. 2 = π 2 x S dx ∫ D. 2 = 2 x S dx ∫ 0 0 0 0 Lời giải Chọn B 2 2 = 2x d = 2x S x dx ∫ ∫
(do 2x > 0, x ∀ ∈[0;2]). 0 0
Câu 16: (Mã 101 2018) Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ex
y = , y = 0, x = 0 ,
x = 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 2 2 2 A. = ex S dx ∫ B. = π ex S dx ∫ C. = π ex S dx ∫ D. 2 = π e x S dx ∫ 0 0 0 0 Lời giải Chọn A 2
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ex
y = , y = 0, x = 0 , x = 2 là: x S = e dx ∫ . 0
Câu 17: (Mã 102 - 2019) Cho hàm số y = f (x) liên tục trên .
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn
bởi các đường y = f (x), y = 0, x = 1
− và x = 5 (như hình vẽ bên).
Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 5 1 5
A. S = − f (x)dx − f (x)dx ∫ ∫ .
B. S = f (x)dx + f (x)dx ∫ ∫ . 1 − 1 1 − 1 1 5 1 5
C. S = f (x)dx − f (x)dx ∫ ∫ .
D. S = − f (x)dx + f (x)dx ∫ ∫ . 1 − 1 1 − 1 Lời giải Chọn C 1 5 1 5
Ta có: S = f (x) dx + f ∫
∫ (x) dx = f
∫ (x)dx− f
∫ (x)dx . 1 − 1 1 − 1
Câu 18: (Mã 103 - 2019) Cho hàm số f (x) liên tục trên . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi
các đường y = f (x), y = 0, x = 1,
− x = 2 (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây đúng? Page 9
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 1 2 1 2 A. S = f ∫ (x) dx + f ∫ (x) dx .
B. S = − f ∫ (x) dx − f ∫ (x) dx . 1 − 1 1 − 1 1 2 1 2
C. S = − f ∫ (x) dx+ f ∫ (x) dx . D. S = f ∫ (x) dx − f ∫ (x) dx . 1 − 1 1 − 1 Lời giải Chọn D 2 1 2 S = f ∫ (x)dx= f ∫ (x)dx + f ∫ (x)dx 1 − 1 − 1
Nhìn hình ta thấy hàm số f (x) liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn [ 1; − ] 1 nên 1 1 f ∫ (x)dx = f
∫ (x)dx ; hàm số f (x) liên tục và nhận giá trị âm trên đoạn [1;2] nên 1 − 1 − 2 2 f
∫ (x)dx = − f ∫ (x)dx 1 1 1 2 Vậy S = f ∫ (x) dx − f ∫ (x) dx 1 − 1
Câu 19: (Đề Minh Họa 2017) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 3
y = x − x và đồ thị hàm số 2
y = x − x . A. 37 B. 9 C. 81 D. 13 12 4 12 Lời giải Chọn A x = 0
Phương trình hoành độ giao điểm 3 2 3 2 x x x x x x 2x 0 − = − ⇔ + − = ⇔ x =1 x = 2 −
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 3
y = x − x và đồ thị hàm số 2
y = x − x là: 1
S = x − x − ∫ (x− x ) 0
dx = ∫ (x + x −2x) 1 3 2 3 2 dx + ∫( 3 2
x + x − 2x)dx 2 − 2 − 0 Page 10
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 0 1 4 3 4 3 x x x x 2 2 16 8 1 1 37
= + − x + + − x = − − − 4 + + − 1 = . 4 3 4 3 4 3 4 3 12 2 − 0
Câu 20: (Đề Tham Khảo 2017) Gọi S là diện tích hình phẳng (H ) giới hạn bởi các đường y = f (x) , 0 2
trục hoành và hai đường thẳng x = 1
− , x = 2 . Đặt a = f
∫ (x)dx ,b = f
∫ (x)dx , mệnh đề nào 1 − 0 sau đây đúng?
A. S = b − a
B. S = b + a C. S = b − + a D. S = b − − a Lời giải Chọn A Ta có: 2 0 2 0 2 S = f
∫ (x) dx = f
∫ (x) dx+ f
∫ (x) dx = − f
∫ (x)dx+ f
∫ (x)dx = −a +b . 1 − 1 − 0 1 − 0
Câu 21: (Đề Tham Khảo 2019) Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo
công thức nào dưới đây? Page 11
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 2 2 A. ∫ ( 2
− x + 2)dx
B. ∫ (2x −2)dx 1 − 1 − 2 2 C. ∫ ( 2 2
− x + 2x + 4)dx D. ∫ ( 2
2x − 2x − 4)dx 1 − 1 − Lời giải Chọn C
Diện tích hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ là: 2
S = ∫ (−x +3)−(x −2x − ) 2 2 2 2 2 1 dx = 2
− x + 2x + 4dx = ∫ ∫ ( 2 2
− x + 2x + 4)dx . 1 − 1 − 1 −
Câu 22: (Mã 101 - 2019) Cho hàm số f (x) liên tục trên . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi
các đường y = f (x), y = 0, x = 1
− và x = 4 (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 4 1 4 A. S = f ∫ (x)dx − f ∫ (x)dx. B. S = f ∫ (x)dx + f ∫ (x)dx . 1 − 1 1 − 1 1 4 1 4
C. S = − f ∫ (x)dx − f ∫ (x)dx.
D. S = − f ∫ (x)dx + f ∫ (x)dx . 1 − 1 1 − 1 Lời giải Chọn A
Ta có: hàm số f (x) ≥ 0 x ∀ ∈[ 1; − ]
1 ; f (x) ≤ 0 x ∀ ∈[1;4], nên: 4 1 4 1 4 S = f ∫ (x) dx = f ∫ (x) dx + f ∫ (x) dx = f ∫ (x)dx − f
∫ (x)dx. Chọn đáp án 1 − 1 − 1 1 − 1 B. Page 12
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 23: (Mã 104 - 2019) Cho hàm số f (x) liên tục trên .
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi
cá đường y = f (x), y = 0, x = 2
− và x = 3 (như hình vẽ). Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 3 1 3
A. S = − f (x)dx − ∫
∫ f (x)d .x
B. S = f (x)dx − ∫
∫ f (x)d .x 2 − 1 2 − 1 1 3 1 3
C. S = − f (x)dx + ∫
∫ f (x)d .x
D. S = f (x)dx + ∫
∫ f (x)d .x 2 − 1 2 − 1 Lời giải Chọn B 3 1 3 Ta có S =
f (x) dx = S = f (x) dx + ∫ ∫
∫ f (x) d .x 2 − 2 − 1 1 3
Do f (x) ≥ 0 với ∀x∈[ 2; − ]
1 và f (x) ≤ 0 với ∀x∈[1; ]
3 nên S = f (x)dx − ∫
∫ f (x)d .x 2 − 1
Câu 24: (Dề Minh Họa 2017) Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay
hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) , trục Ox và hai đường thẳng
x = a, x = b(a < b), xung quanh trục Ox . b b b b A. V = f
∫ (x)dx B. 2 V = π f
∫ (x)dx C. 2 V = f
∫ (x)dx
D. V = π f ∫ (x)dx a a a a Lời giải Chọn B
Câu 25: (Đề Tham Khảo 2018) Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a;b]. Gọi D là hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b(a < b). Thể
tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức: b b b b A. 2 V = π f
∫ (x)dx B. 2 V = π f
∫ (x)dx C. 2 V = 2π f
∫ (x)dx D. 2 2 V = π f ∫ (x)dx a a a a Lời giải Chọn B
Câu 26: (Mã 101 2020 Lần 2) Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi các đường 3 e x y =
, y = 0, x = 0 và
x =1. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox bằng: Page 13
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 1 1 1 1 A. 3 π e xdx ∫ . B. 6 e xdx ∫ . C. 6 π e xdx ∫ . D. 3 e xdx ∫ . 0 0 0 0 Lời giải Chọn C
Ta có thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox bằng: 1 π ∫(e x ) 1 2 3 6 d = π e x x dx ∫ . 0 0
Câu 27: (Mã 102 - 2020 Lần 2) Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi các đường 4x
y = e , y = 0, x = 0 và
x =1. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox bằng 1 1 1 1 A. 4x e dx ∫ . B. 8x π e dx ∫ . C. 4x π e dx ∫ . D. 8x e dx ∫ . 0 0 0 0 Lời giải Chọn B
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox là: 1 = π ∫( x ) 1 2 4 8 d x V e x = π e d . x ∫ 0 0
Câu 28: (Mã 103 - 2020 Lần 2) Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi các đường 2x
y = e , y = 0, x = 0 và
x =1. Thể tích khối tròn xoay tạo thành kho quay D quanh Ox bằng 1 1 1 1 A. 4x π e dx ∫ . B. 2x e dx ∫ . C. 2x π e dx ∫ . D. 4x e dx ∫ . 0 0 0 0 Lời giải Chọn A 1 2 1
Thể tích khối tròn xoay tạo thành kho quay D quanh Ox là = π ∫ ( 2x ) 4 d x V e
x = π e dx ∫ . 0 0
Câu 29: (Mã 104 - 2020 Lần 2) Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi các đường x
y = e , y = 0, x = 0 và
x =1. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox bằng 1 1 1 1 A. 2x π e dx ∫ . B. x π e dx ∫ C. xedx ∫ . D. 2x e dx ∫ . 0 0 0 0 Lời giải Chọn A
Câu 30: (Mã 103 2018) Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi các đường 2
y = x +3, y = 0, x = 0 , x = 2 .
Gọi V là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H ) xung quanh trục Ox . Mệnh
đề nào dưới đây đúng? 2 2
A. V = ∫( 2x +3)dx
B. V = π ∫( 2x +3)dx 0 0 2 2
C. V = ∫(x +3)2 2 dx
D. V = π ∫(x +3)2 2 dx 0 0 Page 14
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Lời giải Chọn D
Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H ) xung quanh trục Ox là: 2
V = π ∫(x +3)2 2 dx . 0
Câu 31: (Mã 105 2017) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong = x
y e , trục hoành và các đường
thẳng x = 0 , x = 1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? π( 2 e + 1) 2 e −1 π 2 e π( 2 e −1) A. V = B. V = C. V = D. V = 2 2 3 2 Lời giải Chọn D 1 x π e x e 1 2 ( 2 1 2 − ) V = π e dx =π = ∫ 2 2 0 0
Câu 32: (Mã 104 2017) Cho hình phẳng D giới hạn với đường cong 2
y x 1 , trục hoành và các
đường thẳng x 0, x 1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? A. V = 2 B. 4π V =
C. V = 2π D. 4 V = 3 3 Lời giải Chọn B
Thể tích khối tròn xoay được tính theo công thức: π
V = π ∫( x + ) 1 1 1 2 2
x = π ∫( 2x + ) 3 x 4 1 d
1 dx = π + x = . 3 3 0 0 0
Câu 33: (Mã 123 2017) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = 2 + cos x, trục hoành và các đường thẳng π
x = 0, x = . Khối tròn xoay tạo thành khi D quay quanh trục hoành có thể tích V 2 bằng bao nhiêu?
A. V = (π + 1)π
B. V = π −1
C. V = π + 1
D. V = (π −1)π Lời giải Chọn A π 2 V
( 2 cosx)2dx (2x sinx)π = π + = π + 2 = π(π + ∫ 1). 0 0 Page 15
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 34: (Mã 110 2017) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = 2 + sin x , trục hoành và các
đường thẳng x = 0 , x = π . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quay quanh trục hoành có thể
tích V bằng bao nhiêu? A. V = 2π (π + ) 1
B. V = 2π C. V = 2(π + ) 1 D. 2 V = 2π Lời giải Chọn A π π
Ta có: V = π ∫( 2+sin x)2dx =π ∫(2+sin x)dx = (2x −cos x)π π = 2π (π + ) 1 . 0 0 0
Câu 35: (Mã 104 2018) Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi các đường thẳng 2
y = x + 2, y = 0, x =1, x = 2
. Gọi V là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H ) xung quanh trục Ox . Mệnh
đề nào dưới đây đúng? 2 2
A. V = ∫( 2x + 2)dx
B. V = π ∫(x + 2)2 2 dx 1 1 2 2
C. V = ∫(x + 2)2 2 dx
D. V = π ∫( 2x + 2)dx 1 1 Lời giải Chọn B 2
Ta có: V = π ∫(x + 2)2 2 dx . 1
Câu 36: (Đề Tham Khảo 2017) Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x =1 và
x = 3, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (
1≤ x ≤ 3 ) thì được thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là 3x và 2 3x − 2 . A. 124 π V =
B. V = (32 + 2 15)π C. V = 32 + 2 15 D. 124 V = 3 3 Lời giải Chọn A
Diện tích thiết diện là: 2
S(x) = 3 .x 3x − 2 3
⇒ Thể tích vật thể là: 2 124 V = 3 .
x 3x − 2dx = ∫ 3 1
Câu 37: (Đề Tham Khảo 2018) Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol 2 y = 3x , cung tròn có phương trình 2
y = 4 − x (với 0 ≤ x ≤ 2 ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H) bằng Page 16
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 4π + 3 4π − 3 4π + 2 3 −3 5 3 − 2π A. B. C. D. 12 6 6 3 Lời giải Chọn B
Phương trình hoành độ giao điểm giữa parabol và cung tròn ta được 2 2
3x = 4 − x ⇔ x = 1 ±
với 0 ≤ x ≤ 2 nên ta có x = 1 1 1 2 2 2 3 3 Ta có diện tích 2 2 3 2 2 S = 3x dx + 4 − x dx = x + 4 − x dx = + 4 − ∫ ∫ x dx 3 ∫ 3 ∫ 0 1 1 1 0 Đặt: π π
x = 2sin t => dx = 2costdt; x =1 => t = ; x = 2 => t = 6 2 π 2 3 1 4π − 3 ⇒ S = + 2 t + sin 2t = 3 2 π 6 6 3
Câu 38: (Mã 104 - 2019) Cho đường thẳng y = x và parabol 2
y = x + a ( a là tham số thực dương). 2 Gọi S , S S = S 1
2 lần lượt là diện tích hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi 1 2
thì a thuộc khoảng nào dưới đây? A. 2 0; B. 1 9 ; C. 2 9 ; D. 9 1 ; 5 2 16 5 20 20 2 Lời giải Page 17
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Chọn C Giải toán: 3
Phương trình hoành độ giao điểm: 2 2
x + a = x ⇔ 2x − 3x + 2a = 0 2 a > 0 a > 0
Để phương trình có 2 nghiệm dương thì ⇔ 9 . ∆ > 0 a < 16
Gọi hai nghiệm đó là 0 < x < x 3 9 16a 1 2 thì x + − = . 2 4 2 x 3 Để S = S 2
x + a − x dx = ∫ 0 1 2 khi và chỉ khi 2 0 2 x 3 Ta có: 2 3 x2 3 2
x + a − x dx = 0 ⇔ + ax − x = ∫ 0 2 2 2 3 4 0 3 3 + 9 −16a 2 4
3 + 9 −16a 3 3 + 9 −16a ⇔ + a ⋅ − ⋅ = 0 3 4 4 4
Giải nhanh bằng máy tính cho kết quả
x = 0,421875 thuộc khoảng 2 9 ; . 5 20
Câu 39: (Mã 102 - 2019) Cho đường thẳng 3
y = x và parabol 1 2
y = x + a , (a là tham số thực dương). 4 2 Gọi S S
1 , 2 lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi S = S 1
2 thì a thuộc khoảng nào dưới đây? 7 1 1 9 3 7 A. ; . B. ; . C. ; . D. 3 0; . 32 4 4 32 16 32 16 Lời giải Chọn C
Ta có phương trình hoành độ giao điểm 1 2 3
x − x + a = 0 2
⇔ 2x − 3x + 4a = 0 . 2 4 Page 18
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 3 x + x = * 1 2 ( )
Theo đề bài phương trình có hai nghiệm 0 < x < x 1 2 thỏa mãn 2 . x x = 2a ** 1 2 ( ) 1 x 2 x 2 x S − S = 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ⇔ − + = 1 2 ⇔
x − x + a dx +
x − x + a dx = 0 ∫ x x a dx 0 2 4 ∫ 2 4 ∫ 2 4 0 1 x 0 2 1 x 2 3 3 2 1 3 x 3x ⇔
x − x + ax = 0 3 2
⇔ x − x + ax = 0 2 2 ⇒ a = − + (***) . 6 8 2 2 2 6 8 6 8 0 2 2 Từ ( ) 3 2x 3 * 3 x 3 x
⇒ x = − x , thay vào (**) x 9 2 2 ⇒ − x x = − + 2 2 ⇔ − = 0 ⇒ x = 1 2 2 2 2 2 3 4 3 4 2 8 (***) 27 → a = . Vậy 3 7 a ; ∈ . 128 16 32
Câu 40: (Mã 103 - 2019) Cho đường thẳng y = 3x và parabol 2
2x + a ( a là tham số thực dương). Gọi
S và S lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi S = S 1 2 1 2
thì a thuộc khoảng nào dưới đây? A. 9 1; . B. 9 ;1 . C. 4 9 ; . D. 4 0; . 8 10 5 10 5 Lời giải Chọn C
Phương trình hoành độ giao điểm 2 2
2x + a = 3x ⇔ 2x − 3x + a = 0 có hai nghiệm dương phân biệt ∆ = 9 −8a > 0 9 a < 9 ⇔ a ⇔ 8 ⇔ 0 < a < . > 0 8 2 a > 0
Ta được nghiệm của phương trình là 3± 9 −8 = a x . 4 Page 19
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 3− 9−8a 3+ 9−8a 4 4
Ta có S = S ⇔ ∫ ( 2
2x + a − 3x)dx = − ∫ ( 2
2x + a − 3x dx . 1 2 ) 0 3− 9−8a 4 3− 9−8a 3+ 9−8a 4 ⇔
∫ (2x + a −3x) 4 2 dx + ∫ ( 2
2x + a − 3x)dx = 0 0 3− 9−8a 4 3+ 9−8a 4 3+ 9 −8a ∫ ( 2 2x 3x a) 2 3 3 2 dx 0 ⇔ − + = ⇔
x − x + ax 4 = 0 3 2 0 0 3 2 2 3+ 9 −8a 2 3+ 9 −8a 3+ 9 −8a ⇔ − + a = 0 3 4 3 4 4 2 3+ 9 −8 a 2 3+ 9 −8a 2 3+ 9 −8 a ⇔ − + a = 0 4 3 4 3 4 3+ 9 −8a = 0 (vn) 4 ⇔ 2
2 3+ 9−8a 2 3+ 9−8a − + a = 0 3 4 3 4 2 2 3+ 9 −8a 2 3+ 9 −8a CASIO 27 ⇔ −
+ a = 0 →a = 3 4 3 4 Shift Solve 32
Câu 41: (Mã 102 2018) Cho hai hàm số f (x) 2 2
= ax + bx + cx − 2 và g (x) 2 = dx + x
e + 2 ( a , b , c , d
, e ∈ ). Biết rằng đồ thị của hàm số y = f (x) và y = g (x) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là 2 − ; 1
− ; 1 (tham khảo hình vẽ).
Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng A. 37 B. 37 C. 13 D. 9 12 6 2 2 Lời giải Chọn B Page 20
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị f (x) và g (x) là 3 2 2 3
ax + bx + cx − = dx + x + ⇔ a + (b − d ) 2 2 3 2
x + (c − e) x − 4 = 0. (*)
Do đồ thị của hai hàm số cắt nhau tại ba điểm suy ra phương trình (*) có ba nghiệm x = 2 − ; x = 1
− ; x = 1. Ta được 3
ax + (b − d ) 2
x + (c − e) x − 4 = k (x + 2)(x + ) 1 (x − ) 1 . Khi đó 4 − = 2
− k ⇒ k = 2 . 1
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là 2(x + 2)(x + ) 1 (x − ∫ ) 37 1 dx = . − 6 2
Câu 42: (Mã 101 2018) Cho hai hàm số f (x) 3 2 1
= ax + bx + cx − và g ( x) 2 = dx + ex +1 2
(a,b,c,d,e∈) . Biết rằng đồ thị hàm số y = f (x) và y = g (x) cắt nhau tại 3 điểm có hoành độ lần lượt là 3 − ; 1
− ; 1 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị đã cho có diện tích bằng A. 5 B. 9 C. 8 D. 4 2 Lời giải Chọn D Cách 1: Xét phương trình 3 2 1 2 3
ax + bx + cx − = dx + ex +1 3
Û ax + (b- d) 2
x + (c- e) x- = 0 có 3 2 2
− a + (b−d)− (c−e) 3 27 9 3 − = 0 3 b − d = 2 2 nghiệm lần lượt là 3 − ; 1 3 1
− ; 1 nên suy ra −a + (b − d ) − (c − e) − = 0 ⇔ a = 2 2 − a + 1
(b − d)+(c −e) 3 − = 0 c − e = 2 2 Page 21
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Vậy f (x) − g (x) 1 3 3 2 1 3
= x + x − x − . 2 2 2 2
Hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị đã cho có diện tích bằng 1 − S = ∫ ( 1
f (x) − g (x))dx + ∫ (g (x)− f (x))dx 3 − 1 − 1 − 1 1 3 3 2 1 3 1 3 3 2 1 3 S x x x dx x x x ⇔ = + − − − + − − dx = 2 + 2 = ∫ ∫ 4 . − 2 2 2 2 − 2 2 2 2 3 1 Cách 2:
Ta có: f (x) − g (x) = a(x + 3)(x + ) 1 (x − ) 1 .
Suy ra a(x + )(x + )(x − ) 3
= ax + (b − d ) 2
x + (c − d ) 3 3 1 1 x − 2
Xét hệ số tự do suy ra: 3 1 3
− a = − ⇒ a = . 2 2
Do đó: f (x) − g (x) 1 = (x + 3)(x + ) 1 (x − ) 1 . 2 1 − 1
Diện tích bằng: S = f
∫ (x)− g(x)dx+ g
∫ (x)− f (x)dx 3 − 1 − 1 − 1 1 ⇔ S =
(x + )(x + )(x − ) 1 3 1 1 dx − (x +3)(x + ) 1 (x − ∫ ∫ ) 1 dx = 4 . 2 − 2 3 1 −
Câu 43: (Mã 103 2018) Cho hai hàm số f (x) 3 2
= ax + bx + cx −1 và g (x) 2 1 = dx + ex + 2
(a,b,c,d,e∈) . Biết rằng đồ thị của hàm số y = f (x) và y = g(x) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt 3 − ; 1;
− 2 (tham khảo hình vẽ).
Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng A. 253 B. 125 C. 253 D. 125 12 12 48 48 Lời giải Chọn C Page 22
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Vì phương trình f (x) − g(x) = 0 có 3 nghiệm 3 − ; 1; − 2 nên
f (x) − g (x) = a(x + 3)(x − 2)(x + ) 1 . 2
So sánh hệ số tự do ta được 3 6 1 253 − a = − 1
⇒ a = . Do đó S = ∫ (x +3)(x + )1(x − 2) dx = 2 4 − 4 48 3 .
Câu 44: (Mã 104 2018) Cho hai hàm số f (x) 3 2 3
= ax + bx + cx + và g (x) 2 3 = dx + ex − , 4 4
(a,b,c,d,e∈) . Biết rằng đồ thị của hàm số y = f (x) và y = g (x) cắt nhau tại ba điểm có
hoành độ lần lượt là 2
− ; 1; 3 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng A. 253 B. 125 C. 125 D. 253 48 24 48 24 Lời giải Chọn A
Ta có phương trình hoành độ giao điểm là: 3 2 3 2 3
ax + bx + cx + = dx + ex − 3
⇔ ax + (b − d ) 2
x + (c − e) 3 x + = 0 . 4 4 2 Đặt h(x) 3
= ax + (b − d ) 2
x + (c − e) 3 x + 2
Dựa vào đồ thị ta có h(x) 3
= ax + (b − d ) 2
x + (c − e) 3
x + có ba nghiệm là x = 2
− ; x =1; x = 3. 2 Với x = 2
− ta có − a + (b − d ) − (c − e) 3 8 4 2 = − , ( ) 1 . 2
Với x =1 ta có a + (b − d ) + (c − e) 3 = − , (2) . 2
Với x = 3 ta có a + (b − d ) + (c − e) 3 27 9 3 = − , (3) . 2 Page 23
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
− a + (b−d)− (c−e) 3 8 4 2 = − 1 a = 2 4 Từ ( ) 1 ,(2) và (3) ta có 1
a + (b − d ) + (c − e) 3 = − ⇔ b − d = − . 2 2
a+ (b−d)+ (c−e) 3 27 9 3 = − 5 c − e = − 2 4 Hay ta có 3 1 3 S = f
∫ (x)− g(x) dx 1 3 1 2 5 3 1 3 1 2 5 3 =
x − x − x + dx +
x − x − x + dx ∫ ∫ 63 4 = + 253 = . 16 3 48 − 4 2 4 2 4 2 4 2 2 − 2 1
Câu 45: (Đề Minh Họa 2017) Kí hiệu (H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số = 2( −1) x y x e , trục
tung và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H ) xung quanh trục Ox
A. V = ( 2e −5)π
B. V = (4 − 2e)π C. 2
V = e − 5
D. V = 4 − 2e Lời giải Chọn A
Phương trình hoành độ giao điểm 2( − ) 1 x x e = 0 ⇔ x =1
Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H ) xung quanh trục Ox là: = − 1 1 = ( − )2 du 2(x ) 1 dx u x 1 = π 2 ∫ ( − ) 2 1 x = 4π ∫( − )2 2 1 x V x e dx x e dx . Đặt ⇒ 2x 2 e x 0 0 dv = e dx v = 2 1 1 2x 1 2x 2x 1 ⇒ = 4π ( − )2 1 e − 4π 2( − ) 1 e = 4π ( − )2 1 e V x x dx x − 4π (x − ∫ ∫ ) 2 1 x e dx 2 2 2 0 0 0 0 1 u
= x −1⇒ du = dx Gọi = ( − ∫ ) 2 1 x I x e dx . Đặt 2x 1 2x e 0
dv = e dx ⇒ v = 2 1 2x 1 2x
⇒ I = 4π (x − ) e e 1 2x 2 2 1 − 4π dx = 2π −πe
= 2π −πe +π = 3π −πe 1 ∫ 0 2 2 0 0 1 2x Vậy = 4π ( − )2 1 e V x − I = 2 − π − ( 2
3π −πe ) = π ( 2e −5 . 1 ) 2 0
Câu 46: (Mã 103 2018) Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo
thời gian bởi quy luật v(t) 1 2 13 = t +
t (m/s) , trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc 100 30
A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O , chuyển động
thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 10 giây so với A và có gia tốc bằng a ( 2 m/s ) ( a là Page 24
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
hằng số). Sau khi B xuất phát được 15 giây thì đuổi kịp A . Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng A. 15 (m/s) B. 9(m/s) C. 42 (m/s) D. 25 (m/s) Lời giải Chọn D
Ta có v t = a = at + C v
= ⇒ C = ⇒ v t = at . B ( ) B 0 0 0 B ( ) .dt ∫ , ( )
Quãng đường chất điểm A đi được trong 25 giây là 25 1 25 2 13 S ∫ 1 13 375 t t = + 3 2 = t + t = . A dt 100 30 300 60 2 0 0
Quãng đường chất điểm B đi được trong 15 giây là 15 2 15 S at 225a = at = = . B .dt ∫ 2 2 0 0 Ta có 375 225a 5 = ⇔ a = . 2 2 3
Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A là v = = . B ( ) 5 15 .15 25 (m/s) 3
Câu 47: (Mã 104 2018) Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo
thời gian bởi quy luật v(t) 1 2 58 = t +
t (m / s) , trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ 120 45
lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O , chuyển
động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 3 giây so với A và có gia tốc bằng a( 2 m / s )
( a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 15 giây thì đuổi kịp A . Vận tốc của B tại thời điểm
đuổi kịp A bằng
A. 21(m / s)
B. 25(m / s)
C. 36(m / s)
D. 30(m / s) Lời giải Chọn D
Thời điểm chất điểm B đuổi kịp chất điểm A thì chất điểm B đi được 15giây, chất điểm A đi được 18 giây.
Biểu thức vận tốc của chất điểm B có dạng v t = a t = at + C v = nên v t = at B ( ) B 0 0 B ( ) d ∫ mà ( ) .
Do từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động cho đến khi chất điểm B đuổi kịp thì quãng đường
hai chất điểm đi được bằng nhau. Do đó 18 1 58 15 2 225 t + dt = atdt ⇔ 225 = . a ⇔ a = ∫ 2 ∫ 0 0 120 45 2
Vậy, vận tốc của chất điểm B tại thời điểm đuổi kịp A bằng v t = = m s . B ( ) 2.15 30( / ) Page 25
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 48: (Đề Minh Họa 2017) Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì người lái đạp phanh; từ thời
điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = 5
− t +10 (m/s), trong đó t là khoảng
thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô
tô còn di chuyển bao nhiêu mét? A. 0,2m B. 2m C. 10m D. 20m Lời giải Chọn C Xét phương trình 5
− t +10 = 0 ⇔ t = 2. Do vậy, kể từ lúc người lái đạp phanh thì sau 2s ô tô dừng hẳn.
Quãng đường ô tô đi được kể từ lúc người lái đạp phanh đến khi ô tô dừng hẳn là 2 s = ∫( 5 − t +10) 5 2 2
dt = − t +10t = 10 . m 2 0 0
Câu 49: (Mã 102 2018) Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo
thời gian bởi quy luật v(t) 1 2 59 = t +
t (m / s) , trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc 150 75
a bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O , chuyển động
thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 3 giây so với A và có gia tốc bằng a( 2
m / s ) (a là
hằng số). Sau khi B xuất phát được 12 giây thì đuổi kịp A . Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng
A. 15(m / s)
B. 20(m / s)
C. 16(m / s)
D. 13(m / s) Lời giải Chọn C 15
Quãng đường chất điểm A đi từ đầu đến khi B đuổi kịp là 1 2 59 S t t = + dt = ∫ 96(m) . 150 75 0
Vận tốc của chất điểm B là v t = adt = at + C B ( ) ∫ .
Tại thời điểm t = 3 vật B bắt đầu từ trạng thái nghỉ nên v
= ⇔ C = − a . B (3) 0 3
Lại có quãng đường chất điểm B đi được đến khi gặp A là 15 15 2 = − 3 at S at a dt = ∫
− 3at = 72a m . 2 ( ) ( ) 2 3 3 Vậy 4
72a = 96 ⇔ a = ( 2 m / s ) . 3
Tại thời điểm đuổi kịp A thì vận tốc của B là v = m s . B (15) 16( / )
Câu 50: (Mã 101 2018) Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật 1 2 11 v(t) =
t + t (m / s) , trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc 180 18
A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O , chuyển động Page 26
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 5 giây so với A và có gia tốc bằng a( 2
m / s ) (a là
hằng số). Sau khi B xuất phát được 10 giây thì đuổi kịp A . Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng
A. 15(m / s)
B. 10(m / s)
C. 7(m / s)
D. 22(m / s) Lời giải Chọn A
Thời gian tính từ khi A xuất phát đến khi bị B đuổi kịp là 15 giây, suy ra quãng đường đi được 15 15 15
tới lúc đó là v(t)dt ∫ 1 2 11 t t = + ∫ 1 11 dt 3 2 = t + t = 75(m). 180 18 540 36 0 0 0
Vận tốc của chất điểm B là y(t) = .d a t ∫ = .
a t + C (C là hằng số); do B xuất phát từ trạng thái
nghỉ nên có y(0) = 0 ⇔ C = 0 ;
Quãng đường của B từ khi xuất phát đến khi đuổi kịp A là 10 10 10 2 3 y(t)dt . a t = 75 ∫ ⇔ . a tdt = 75 ∫ ⇔
= 75 ⇔ 50a = 75 ⇔ a = 2 2 0 0 0 Vậy có ( ) 3t
y t = ; suy ra vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng y(10) =15(m / s) . 2
Câu 51: (Mã 105 2017) Một vật chuyển động theo quy luật 1 s = − 3 t + 2
6t với t (giây) là khoảng thời 2
gian tính từ khi vật đó bắt đầu chuyển động và s(m) là quãng đường vật di chuyển được trong
khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 6 giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc
lớn nhất của vật đạt được bằng bào nhiêu? A. 18(m/s) B. 108(m/s) C. 64(m/s) D. 24(m/s) Lời giải Chọn B
Vận tốc của vật chuyển động là 3 v = ′s = − 2
t + 12t = f (t) 2
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f (t) trên đoạn 0;6
Ta có f ′(t) = −3t +12 ⇒ f ′(t) = 0 ⇔ t = 4∈0;6
f (0) = 0; f (4) = 24; f (6) = 18
Vậy vận tốc lớn nhất là 24(m/s).
Câu 52: (Mã 123 2017) Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc (
v km / h) phụ thuộc vào thời gian
t(h) có đồ thị vận tốc như hình bên. Trong thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị
đó là một phần của đường parabol có đỉnh I(2;9) và trục đối xứng song song với trục tung, Page 27
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường
s mà vật chuyển động được trong 3 giờ đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
A. s = 21,58(km)
B. s = 23,25(km)
C. s = 13,83(km)
D. s = 15,50(km) Lời giải Chọn A c = 4 b = 5
Gọi phương trình của parabol = 2
v at + bt + c ta có hệ như sau: 4a + 2b + c = 9 ⇔ c = 4 b 5 − = 2 a = − 2a 4 Với t = 1 ta có 31 v = . 4 1 3
Vậy quãng đường vật chuyển động được là 5 2 31 259
s = − t + 5t + 4 dt + dt = ≈ ∫ ∫ 21,583 4 4 12 0 1
Câu 53: (Mã 104 2017) Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian
t (h) có đồ thị là một phần parabol với đỉnh 1 I ; 8
và trục đối xứng song song với trục tung 2
như hình bên. Tính quảng đường s người đó chạy được trong khoảng thời gian 45 phút, kể từ khi chạy?
A. s = 2,3 (km)
B. s = 4,5 (km)
C. s = 5,3 (km) D. s = 4 (km) Lời giải Chọn B Page 28
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Gọi parabol là (P) 2
: y = ax + bx + c . Từ hình vẽ ta có (P) đi qua O(0; 0) , A(1; 0) và điểm 1 I ; 8 . 2 c = 0 a = 32 − Ta có hệ: a b c 0 b + + = ⇔ = 32 . a b c = 0 + + c = 8 4 2 Suy ra (P) 2 : y = 32 − x + 32x . 3 4
Vậy quảng đường người đó đi được là s = ∫( 2 32
− x + 32x)dx = 4,5 (km). 0
Câu 54: (Mã 110 2017) Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v(km/h) phụ thuộc thời gian
t ( h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh I (2;9) và trục đối xứng song song với
trục tung như hình bên. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó.
A. s = 25,25(km)
B. s = 24,25(km)
C. s = 24,75(km)
D. s = 26,75(km) Lời giải Chọn C Page 29
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Gọi v(t) 2 = .
a t + bt + c .
Đồ thị v(t) là một phần parabol có đỉnh I (2;9) và đi qua điểm A(0;6) nên b − 3 = 2 − 2 a = a 4 2 3 .2 a + .2
b + c = 9 ⇒ b
= 3 . Tìm được v(t) 2
= − t + 3t + 6 4 2 .0 a + .0 b + c = 6 c = 6 3 Vậy 3 2 S t 3t 6 dt = − + + = ∫ 24,75 (km) 4 0
Câu 55: (Mã 105 2017) Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t
(h) có đồ thị của vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển
động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I (2; 9) với trục đối xứng song song với
trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng
đường s mà vật di chuyển được trong 4 giờ đó.
A. s = 24 (km)
B. s = 28,5 (km)
C. s = 27 (km)
D. s = 26,5 (km) Lời giải Chọn B Gọi (P) y = 2 :
ax + bx + c .
Vì (P) qua O(0;0) và có đỉnh I (2;9) nên dễ tìm được phương trình là −9 y = 2 x + 9x. 4
Ngoài ra tại x = 3 ta có 27 y = 4 3 4
Vậy quãng đuờng cần tìm là: −9 2 27 S =
x + 9x dx + dx = ∫ ∫ 27 (km) . 4 4 0 3
Câu 56: (Đề Tham Khảo 2019) Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh A , A , B , B như 1 2 1 2
hình vẽ bên. Biết chi phí để sơn phần tô đậm là 2 200.000 n
v đ / m và phần còn lại Page 30
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 2 100.000 n
v đ / m . Hỏi số tiền để sơn theo cách trên gần nhất với số tiền nào dưới đây, biết
A A = 8m , B B = 6m và tứ giác ? 1 2 1 2
MNPQ là hình chữ nhật có MQ = 3m
A. 5.526.000 đồng.
B. 5.782.000 đồng
C. 7.322.000 đồng. D. 7.213.000 đồng. Lời giải Chọn C 2 2
Gọi phương trình chính tắc của elip (E) có dạng: x y + =1 2 2 a b A A = 8 = 2a a = 4 2 2 Với 1 2 x y 3 ⇔ → (E) 2 : + =1 ⇔ y = ± 16 − x . B B 6 2b b = = = 3 16 9 4 1 2
Suy ra diên tích của hình elip là S = π a b = π ( 2 . 12 m . E ) ( ) Vì 3
MNPQ là hình chữ nhật và MQ 3 M ; x = → ∈ (E) 2 2 x 1 2 3 3 1 x 12
M 2 3; ; N 2 3; ⇒ + = ⇒ = → − 16 4 2 2
Gọi S ;S lần lượt là diện tích phần bị tô màu và không bị tô màu 1 2 4 4 Ta có: 3 2 2 x=4sin = 4. 16 − d = 3 16 − d t S x x
x x → S = 4π − 6 3 ∫ ∫ ( 2 m 2 2 ) 4 2 3 2 3
Suy ra: S = S − S = 8π + 6 3 . Gọi T là tổng chi phí. Khi đó ta có 1 (E) 2 Page 31
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
T = (4π −6 3).100+(8π + 6 3).200 7.322.000 (đồng).
Câu 57: (Mã 110 B 2017) Cho hàm số y = f (x) . Đồ thị của hàm số y = f ′(x) như hình bên. Đặt
g (x) = f (x) − (x + )2 2
1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. g ( ) 1 > g ( 3
− ) > g (3) B. g ( )
1 > g (3) > g ( 3 − )
C. g (3) > g ( 3 − ) > g ( ) 1 D. g ( 3
− ) > g (3) > g ( ) 1 Lời giải Chọn B
Ta có g′(x) = 2 f ′(x) − 2(x + ) 1 =
g′(x) = ⇔ f ′(x) x 1 0 = x +1 ⇔ . x = 3 ± Bảng biến thiên Suy ra g ( 3 − ) < g ( )
1 và g (3) < g ( ) 1 . (1) Page 32
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Gọi S = = + = − =
1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y f '(x), y x 1, x 3, x 1 Gọi S = + = = =
2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y x 1, y f '(x), x 1, x 3
Dựa vào hình vẽ, ta thấy: S > S > 0 1 2 .
Suy ra: S − S > 0 1 2 1 3 ⇒ f ′
∫ (x)−(x + )1dx −
∫(x + )1− f ′(x)dx > 0 3 − 1 1 3 ⇒ f ′
∫ (x)−(x + )1dx + f ′
∫ (x)−(x + )1dx > 0 3 − 1 3 ⇒ f ′
∫ (x)−(x + )1dx > 0 . 3 − 3 3
Khi đó: g (3) − g ( 3 − ) = g′
∫ (x)dx = 2 f ′
∫ (x)−(x + )1dx > 0 (2) 3 − 3 −
Từ (1) và (2) suy ra: g ( )
1 > g (3) > g ( 3 − ).
Câu 58: (Mã 105 2017) Cho hàm số y = f (x). Đồ thị y = f ′(x) của hàm số như hình bên. Đặt
g(x) = f (x) + 2 2
x . Mệnh đề nào dưới đây đúng? Page 33
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
A. g(3) < g(−3) < g(1) B. g(1) < g(−3) < g(3)
C. g(−3) < g(3) < g(−1)
D. g(1) < g(3) < g(−3) Lời giải Chọn D
Ta có g′(x) = 2 f ′(x) + 2x ⇒ g′(x) = 0 ⇒ x∈{−3;1; } 3 .
Từ đồ thị của y = f ′(x) ta có bảng biến thiên của hàm g(x) .
Suy ra g(3) > g(1). Kết hợp với BBT ta có:
∫1 (−g′(x))dx > 3g′ x dx g x dx g x dx 3 ∫ ( ) − ⇔ 3 ′ 1 ∫ ( ) > 3 ′ 1 ∫ ( ) − 1
⇔ g(−3) − g(1) > g(3) − g(1) ⇔ g(−3) > g(3) Vậy ta có g( 3
− ) > g(3) > g(1).
Câu 59: (Mã 123 2017) Cho hàm số y = f (x) . Đồ thị hàm số y = f '(x) như hình vẽ. Đặt
h(x) = f (x) − 2 2
x . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. h(4) = h(−2) < h(2) B. h(2) > h(−2) > h(4)
C. h(4) = h(−2) > h(2) D. h(2) > h(4) > h(−2) Lời giải Chọn D Page 34
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Ta có h'(x) = 2 f '(x) − x;h'(x) = 0 ⇒ x∈{− 2; 2; } 4 . Bảng biến thiên
Suy ra h(2) > h(4) .
Kết hợp với đồ thị hàm số y=x ta có ′
h (x)dx > 0 ⇔ h(4) − h(−2) > 0 ⇔ h(4) > h(− ∫4 2). −2
Vậy ta có h(2) > h(4) > h(−2).
Câu 60: (TK 2020-2021) Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Biết hàm
số f (x) đạt cực trị tại hai điểm x , x thỏa mãn x = x + 2 và f (x + f x = 0. 1 ) ( 2) Gọi điểm S 1 2 2 1 1 và S
S là diện tích của hai hình phẳng được gạch trong hình bên. Tỉ số 1 bằng 2 S2 A. 3 . B. 5. C. 3. D. 3. 4 8 8 5 Lời giải
Rõ ràng kết quả bài toán không đổi nếu ta tịnh tiến đồ thị sang trái cho điểm uốn trùng gốc tọa độ O. Page 35
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Gọi 3 2
g(x) ax bx cx d là hàm số khi đó thì dễ thấy g(x) lẻ nên có ngay b d 0 và 3
g(x) ax cx có hai điểm cực trị tương ứng là 1,
1, cũng là nghiệm của 2
3ax c 0. Từ đó dễ dàng có 3
g(x) k(x 3x) với k 0.
Xét diện tích hình chữ nhật S S ( 1) g( 1) 2k. 1 2 Ngoài ra, 0 3 5 S k
x 3x dx k. 2 1 4 Vì thế 5k 3 S 3 2 k S k và 1 . 1 4 4 S 5 2
Câu 61: (MĐ 101 2020-2021 – ĐỢT 1) Cho hàm số ( ) 3 2
f x = x + ax + bx + c với a,b,c là các số thực.
Biết hàm số g (x) = f (x) + f ′(x) + f ′′(x) có hai giá trị cực trị là 3
− và 6 . Diện tích hình phẳng f (x)
giới hạn bởi các đường y = và y =1 bằng g (x) + 6 A. 2ln3 . B. ln 3. C. ln18. D. 2ln 2. Lời giải
Xét hàm số g (x) = f (x) + f ′(x) + f ′′(x)
Ta có g′(x) = f ′(x) + f ′′(x) + f ′′′(x) = f ′(x) + f ′′(x) + 6 . g (m) = 3 −
Theo giả thiết ta có phương trình g′(x) = 0 có hai nghiệm , m n và . g (n) = 6 f (x) x = m Xét phương trình
= ⇒ g ( x) + 6 − f ( x) = 0 ⇔ f ′(x) + f ′′(x) + 6 = 0 ⇔ . g (x) 1 + 6 x = n
Diện tích hình phẳng cần tính là: n f (x)
n g (x) + 6 − f (x)
n f ′(x) + f ′′(x) + 6 n g′(x) S = ∫1− x = dx ∫ = dx ∫ = x ∫ g x + g x + g x + g x + m ( ) d 6 m ( ) 6 m ( ) 6 m ( ) d 6
= ln g (x) + 6 n = ln 4 = 2ln 2
m = ln g ( n) + 6 − ln g ( m) + 6 = ln12 − ln 3 .
Câu 62: (MĐ 103 2020-2021 – ĐỢT 1) Cho hàm số ( ) 3 2
f x = x + ax + bx + c với a, ,
b c là các số thực.
Biết hàm số g (x) = f (x) + f ′(x) + f ′′(x) có hai giá trị cực trị là 5
− và 3 . Diện tích hình phẳng f (x)
giới hạn bởi các đường y = và y =1 bằng g (x) + 6 A. 2ln 3 . B. ln 2 . C. ln15. D. 3ln 2 . Lời giải
Ta có: g (x) = f (x) + f '(x) + f ''(x) ⇒ g '(x) = f '(x) + f ''(x) + f '''(x) .
Lại có f '''(x) = 6 ⇒ g '(x) = f '(x) + f ''(x) + 6 . Page 36
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Chú ý rằng g (x) là hàm số bậc 3 có hệ số của 3
x là số dương (bằng 1), có hai giá trị cực trị nên
g′(x) có hai nghiệm x , x ( x < x ) với x là điểm cực đại, x là điểm cực tiểu. 1 2 1 2 1 2
Khi đó từ giả thiết ta có g (x = 3, g (x = 5
− và với mọi x ∈(x ; x thì g′(x) < 0, 1 2 ) 2 ) 1 )
g (x) + 6 > 0. (*) f (x)
Phương trình hoành độ giao điểm của các đường y = và y =1 là g (x) + 6 f (x) x = x = ⇔ + − = ⇔ + + = hay g '(x) 1 = 0 ⇔ . g (x) 1
g (x) 6 f (x) 0
f '(x) f ''(x) 6 0 + 6 x = x2 f (x)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = và y =1 bằng g (x) + 6 2 x f (x) 2
x g (x) + 6 − f (x) 2 x g '(x) S = 1− dx = dx = dx ∫ g x ∫ ∫ . + g x + g x + x ( ) 6 x ( ) 6 x ( ) 6 1 1 1 Sử dụng (*) ta được 2 x g '(x) x g x + 6 2 2 5 − + 6 S = ∫ − = − + = − = − = . g (x) dx ln g (x) ( ) 6 ln ln 2ln 3 6 + 1 x g x + + x ( 6 3 6 1 ) 1
Câu 63: (MĐ 104 2020-2021 – ĐỢT 1) Cho hàm số ( ) 3 2
f x = x + ax + bx + c với a,b,c là các số thực.
Biết hàm số g (x) = f (x) + f ′(x) + f ′′(x) có hai giá trị cực trị là 5
− và 2 . Diện tích hình phẳng f (x)
giới hạn bởi đường y = và y =1 bằng g (x) + 6 A. ln 3. B. 3ln 2 . C. ln10. D. ln 7 . Lời giải
Ta có: gx f x f x f x f x f x6.
Gọi x , x x x là hai điểm cực trị của hàm số gx. 1 2 1 2
Vì lim gx nên gx 2, g x 5 1 2 x f x x x Ta có:
1 g x f x 6 0 f x f x 1 6 0 gx6 x x 2 f (x)
Khi đó diện tích hình phẳng bởi đường y = và y =1 là: g (x) + 6 2 x f x 2 x
f x f x6 2 x gx S x 1 dx dx
dx ln gx 2 6 3ln 2 gx 6 gx6 gx6 1 x 1 x 1 x 1 x Page 37
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 64: (MĐ 103 2020-2021 – ĐỢT 2) Cho hai hàm số f (x) 4 3 2
= ax + bx + cx + x và g (x) 3 2
= mx + nx − 2x với a,b,c, ,
m n∈ . Biết hàm số y = f (x) − g (x) có ba điểm cực trị là 1,
− 2,3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = f '( x) và y = g′( x) bằng 32 A. . B. 16 . C. 71. D. 71. 3 3 12 6 Lời giải
Vì hàm số y = f (x) − g (x) có ba điểm cực trị là 1, − 2,3 nên hàm số
y′ = f ′(x) − g′(x) 3
= ax + (b − m) 2 4 3
x + 2(c − n) x + 3 có ba nghiệm là 1, − 2,3. Suy ra, tồn tại
số thực k để y′ = k (x + )
1 (x − 2)(x −3) .
Ta có f ′(0) = 3 nên 1
k = . Do đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = f ′(x) và 2 3 3
y = g′(x) bằng: y′(x) 1 x =
(x + )(x − )(x − ) 71 d 1 2 3 dx = ∫ ∫ . − − 2 12 1 1
Câu 65: (MĐ 103 2020-2021 – ĐỢT 2) Cho hàm số f (x) 4 3 2
= ax + bx + cx + 3x và hàm số g (x) 3 2 = mx + nx − ;
x với a,b,c, ,
m n ∈ . Biết hàm số y = f (x) − g (x) có ba điểm cực trị là 1;
− 2 và 3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f '(x) và y = g '( x) bằng A. 32 . B. 71 . C. 71 . D. 64 . 3 9 6 9 Lời giải
Vì hàm số bậc bốn y = f (x) − g (x) có ba điểm cực trị là 1;
− 2 và 3 nên phương trình hàm số
y ' = 0 có ba nghiệm phân biệt 1; − 2 và 3. Hay
f '(x) − g '(x) = A(x + )
1 (x − 2)(x − 3) 3
⇔ ax + (b − m) 2 4 3
x + 2(c − n) x + 4 = A(x + )
1 (x − 2)(x −3)
Đồng nhất thức hệ số tự do ta thấy 2 4 = 6A ⇔ A = 3
Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f '(x) và y = g '(x) bằng 3 3
S = ∫ f (x) − g (x) 2 ' '
dx = ∫ (x + )1(x − 2)(x −3) dx − − 3 1 1 2 3 2
= ∫ (x + )(x − )(x − ) 2 1 2
3 dx + ∫ (x + )1(x − 2)(x −3) dx − 3 3 1 2 2 3 2
= ∫ (x + )(x − )(x − ) 2 1 2
3 dx + ∫ (x + )1(x − 2)(x −3)dx − 3 3 1 2 Page 38
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 15 7 71 = + = 2 18 9 Page 39
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN G
ƠN III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
– ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN HƯ C
BÀI 3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. III
DẠNG 1. Ứ NG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH
(C ) : y = f (x) 1 b
Hình phẳng (H ) giới hạn bởi (C ) : y = g(x)
thì diện tích là S = f (x) − g(x) dx . 2 ∫
x = a, x = b (a < b) a
(C ) : y = f (x) 1 b
Hình phẳng (H ) giới hạn bởi (C ) :Ox : y = 0
thì diện tích là S = f (x) dx . 2 ∫
x = a, x = b (a < b) a
Hình thức đề thường hay cho
Hình thức 1: Không cho hình vẽ, cho dạng (H ) :{y = f (x),
y = g(x), , x = a
x = b (a < b)} b casio
→ f (x) − g(x) dx = ∫
kết quả, so sánh với bốn đáp án. a
Hình thức 2: Không cho hình vẽ, cho dạng (H ) :{y = f (x), (
y = g x)} i x
Giải f (x) = g(x) tìm nghiệm x ,..., x với x nhỏ nhất, x lớn nhất casio → − i , 1 1 i
f (x) g(x) d . x ∫ 1 x
Hình thức 3: Cho hình vẽ, sẽ giải phương trình tìm tọa độ giao điểm , chia từng diện tích nhỏ, xổ
hình từ trên xuống, ghi công thức và bấm máy tính.
Hình thức 4: Cho ba hàm trở lên, chẳng hạn y = f (x),
y = g(x),
y = h(x) ta nên vẽ hình. Page 125
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 1: Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên đoạn [a;b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị hàm số y = f (x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức b b b a A. S = f ∫ (x) dx. B. S = f ∫ (x)dx .
C. S = − f
∫ (x)dx. D. S = f ∫ (x) dx. a a a b
Câu 2: Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây? 2 2 2 2 A. ∫ ( 2
2x − 2x − 4)dx . B. ∫ ( 2
2x + 2x − 4)dx . C. ∫ ( 2 2
− x + 2x + 4)dx . D. ∫ ( 2 2
− x − 2x + 4)dx . 1 − 1 − 1 − 1 −
Câu 3: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) , trục hoành, đường thẳng
x = a, x = b . Hỏi cách tính S nào dưới đây đúng? b c b A. S = f ∫ (x)dx . B. S = f
∫ (x)dx+ f ∫ (x)dx . a a c c b c b
C. S = − f
∫ (x)dx+ f ∫ (x)dx . D. S = f
∫ (x)dx+ f ∫ (x)dx . a c a c
Câu 4: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số: 3
y = x −3x , y = x . Tính S . A. S = 4 . B. S = 8.
C. S = 2 . D. S = 0 .
Câu 5: Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường 3x
y = , y = 0, x = 0 , x = 2 . Mệnh đề
nào dưới đây đúng? 2 2 2 2 A. = 3x S dx ∫ . B. 2 = π 3 x S dx ∫ . C. = π 3x S dx ∫ . D. 2 = 3 x S dx ∫ . 0 0 0 0 Page 126
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 6: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [ ;
a b]. Gọi D là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ
thị (C) : y = f (x) , trục hoành, hai đường thẳng x = a , x = b . Giả sử S là diện tích hình phẳng D
D . đúng trong các phương án A, B, C, D cho dưới đây? 0 b 0 b
A. S = f x x + f x x .
B. S = − f x x + f x x . D ∫ ( )d ∫ ( )d D ∫ ( )d ∫ ( )d a 0 a 0 0 b 0 b
C. S = f x x − f x x .
D. S = − f x x − f x x . D ∫ ( )d ∫ ( )d D ∫ ( )d ∫ ( )d a 0 a 0
Câu 7: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = (x − )2
2 −1, trục hoành và hai đường thẳng
x =1, x = 2 bằng A. 2 . B. 3 . C. 1 . D. 7 . 3 2 3 3
Câu 8: Cho hai hàm số f (x) và g(x) liên tục trên [a;b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của
các hàm số y = f (x) , y = g(x) và các đường thẳng x = a , x = b bằng b b b b
A. ∫[ f (x)− g(x)]dx . B. f (x)+ g(x) dx ∫
. C. f (x) − g(x) dx ∫
. D. ∫[ f (x)− g(x)]dx . a a a a
Câu 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
y = 4x − x và trục Ox A. 11. B. 34 . C. 31. D. 32 . 3 3 3
Câu 10: Diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) , trục hoành và hai đường
thẳng x = a , x = b (a < b) tính theo công thức nào dưới đây ? c b b A. S = f
∫ (x)dx+ f
∫ (x)dx. B. S = f ∫ (x)dx. a c a c b b
C. S = − f
∫ (x)dx+ f
∫ (x)dx. D. S = f ∫ (x)dx . a c a
Câu 11: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn bởi các đường 2
y = x +1, x = 1,
− x = 2 và trục hoành. Page 127
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A. S = 6 . B. S =16 . C. 13 S = . D. S =13. 6
Câu 12: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2
y = x + 5, y = 6x , x = 0 , x =1. Tính S . A. 4 B. 7 C. 8 D. 5 3 3 3 3
Câu 13: Gọi diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (C) 3 − x −1
: y = x−1 và hai trục tọa độ là S . Tính S ? A. 4 S =1− ln B. 4 S = 4ln C. 4 S = 4ln −1 D. 4 S = ln −1 3 3 3 3
Câu 14: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2
y = x ; y = 0; x =1; x = 2 bằng A. 4 . B. 7 . C. 8 . D. 1. 3 3 3
Câu 15: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số (H ) x −1 : y = và các trục tọa độ. x +1
Khi đó giá trị của S bằng A. 2ln 2 −1. B. ln 2 +1. C. ln 2 −1. D. 2ln 2 +1.
Câu 16: Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường ln x y
, y 0, x 1, x e . Mệnh 2 x
đề nào dưới đây đúng? e e e 2 e 2 A. ln x S ln x ln x ln x π dx . B. S dx S
dx. D. S π dx 2 x . C. 2 x 2 x 2 x 1 1 1 1
Câu 17: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số 2
y = −x + 2x +1, 2
y = 2x − 4x +1 là A. 8 . B. 5. C. 4 . D. 10.
Câu 18: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị 2
y = x + 2x , y = x + 2 . A. 7 . B. 9 . C. 5 . D. 11. 2 2 2 2
Câu 19: Hình phẳng (H ) được giới hạn bởi các đường 2
y = x , y = 3x − 2 . Tính diện tích hình phẳng (H ) A. 2 B. 1 C. 1 D. 1 3 3 6
Câu 20: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = ln x, y = 1 và đường thẳng x = 1 bằng A. 2 e . B. e + 2 . C. 2e . D. e − 2 .
Câu 21: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số 2
y = 4x − x và đường thẳng y = 2x bằng A. 4 . B. 20 . C. 4 . D. 16 3 3 3 Page 128
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 22: Tính diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên. π π A. 5 . B. 5 . C. 8 . D. 8 . 6 6 15 15
Câu 23: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường 2
y = x − 2x , y = 0, x = 10 − , x =10 . A. 2000 S = . B. S = 2008. C. S = 2000 . D. 2008 S = . 3 3
Câu 24: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f (x) , trục hoành và hai đường thẳng 1 2 x = 3
− , x = 2 . Đặt a = f
∫ (x)dx, b = f
∫ (x)dx . Mệnh đề nào sau đây là đúng. 3 − 1
A. S = a + b .
B. S = a −b .
C. S = −a − b .
D. S = b − a .
Câu 25: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
y = x và đường thẳng y = 2x là : A. 4 B. 5 C. 3 D. 23 3 3 2 15
Câu 26: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số 2
y = −x + 2x +1, 2
y = 2x − 4x +1 là A. 8 B. 5 C. 4 D. 10
Câu 27: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x −1 y =
và các trục tọa độ. Khi đó x +1
giá trị của S là A. S =1+ ln 2.
B. S = 2ln 2 −1.
C. S = 2ln 2 +1.
D. S = ln 2 −1. Page 129
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 28: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số 3 y = x , 2
y = x − 4x + 4 và trục Ox được
tính theo công thức nào dưới đây? 2 1 2 A. 3 x − ∫
( 2x −4x+4) dx. B. 3 − x dx + ∫
∫( 2x −4x+ 4)dx . 0 0 1 1 2 1 2 C. 3 x dx − ∫
∫( 2x −4x+ 4)dx . D. 3 x dx + ∫
∫( 2x −4x+ 4)dx . 0 1 0 1
Câu 29: Diện tích phần hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây? 1 1
A. ∫ ( 2x −2+ x )dx .
B. ∫ ( 2x −2− x )dx . 1 − 1 − 1 1 C. ∫ ( 2
−x + 2 + x )dx . D. ∫ ( 2
−x + 2 − x )dx . 1 − 1 −
Câu 30: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = xln x , trục hoành và đường thẳng x = e là 2 2 2 2
A. e −1 . B. e +1.
C. e −1. D. e +1. 2 2 4 4
Câu 31: Giá trị dương của tham số m sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số
y = 2x + 3 và các đường thẳng y = 0, x = 0, x = m bằng 10 là A. 7 m = .
B. m = 5.
C. m = 2 . D. m =1. 2 3 Câu 32:
74x khi 0 x 1
Cho hàm số f x
. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm 2 4 x khi x 1
số f x và các đường thẳng x 0, x 3, y 0 . A. 16 . B. 20 . C. 10. D. 9. 3 3
Câu 33: Tính diện tích S của hình phẳng (H ) giới hạn bởi các đường cong 3
y = −x +12x và 2 y = −x . Page 130
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A. 937 S = B. 343 S = C. 793 S = D. 397 S = 12 12 4 4
Câu 34: Cho (H ) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x , y = x − 2 và trục hoành. Diện tích của (H ) bằng y 2 y = x 2 x − x y = y O 2 4 x A. 7 . B. 8 . C. 10 . D. 16 . 3 3 3 3
Câu 35: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường 2
y = x + x −1 và 4
y = x + x −1 là A. 8 . B. 7 . C. 2 . D. 4 . 15 15 5 15
Câu 36: Gọi S là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x −1 (H ) : y =
và các trục tọa độ. Khi đó giá x +1 trị của S bằng A. S = ln 2 +1.
B. S = 2ln 2 +1.
C. S = ln 2 −1.
D. S = 2ln 2 −1.
Câu 37: Tính diện tích của phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ sau: A. 10 . B. 4 . C. 13 . D. 11. 3 3 3 2 2
Câu 38: Cho hình phẳng (H ) giới hạn bới parabol x y =
và đường cong có phương trình 4 x y = − 12 4
Diện tích hình phẳng (H ) bằng: 2(4π + 3) A. B. 4π + 3 C. 4π + 3 D. 4 3 +π 3 6 3 6 Page 131
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 39: Cho hàm số f (x) xác định và liên tục trên đoạn [ 5; −
]3 có đồ thị như hình vẽ bên. Biết diện tích
của hình phẳng ( A), (B), (C), (D) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) và trục hoành lần lượt là 1
6; 3; 12; 2 . Tính tích phân 2 f
∫ (2x+ )1+1 dx bằng 3 − A. 27. B. 25. C. 17. D. 21.
Câu 40: Cho (H ) là hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ và được giới hạn bởi các đường có phương −x khi x ≤1 trình 10 2 y =
x − x , y =
. Diện tích của (H ) bằng? 3
x − 2 khi x > 1 A. 11. B. 13 . C. 11. D. 14 . 6 2 2 3
Câu 41: Cho đường tròn có đường kính bằng 4 và 2 Elip lần lượt nhận 2 đường kính vuông góc nhau
của đường tròn làm trục lớn, trục bé của mỗi Elip đều bằng 1. Diện tích S phần hình phẳng ở
bên trong đường tròn và bên ngoài 2 Elip gần với kết quả nào nhất trong 4 kết quả dưới đây? A. S = 4,8 . B. S = 3,9. C. S = 3,7 . D. S = 3,4 . Page 132
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 42: Tính diện tích S của miền hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số ( ) 3 2
f x = ax + bx + c , các
đường thẳng x =1, x = 2 và trục hoành cho trong hình dưới đây. A. 51 S = . B. 52 S = . C. 50 S = . D. 53 S = . 8 8 8 8
Câu 43: Cho hàm số f liên tục trên đoạn [ 6;
− 5], có đồ thị gồm 2 đoạn thẳng và nửa đường tròn như 5
hình vẽ. Tính giá trị I = f
∫ (x)+2dx . 6 −
A. I = 2π + 35 .
B. I = 2π + 34 .
C. I = 2π + 33.
D. I = 2π + 32 .
Câu 44: Hình vuông OABC có cạnh bằng 4 được chia thành
hai phần bởi đường cong (C) có phương trình 1 2
y = x . Gọi S , S lần lượt là diện tích của phần 4 1 2
không bị gạch và bị gạch như hình vẽ bên dưới. Tỉ số S1 bằng S2 A. 3 . B. 3. 2 C. 1 . D. 2 . 2
Câu 45: Kí hiệu S (t) là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x +1, y = 0, x =1, x = t
(t > )1. Tìm t để S (t) =10. A. t = 3 . B. t = 4. C. t =13 . D. t =14 .
Câu 46: Cho parabol (P ) 2
: y = −x + 2x + 3 cắt trục hoành tại hai điểm ,
A B và đường thẳng d : y = a 1
(0 < a < 4) . Xét parabol (P đi qua , A B
= . Gọi S là diện 2 )
và có đỉnh thuộc đường thẳng y a 1 Page 133
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
tích hình phẳng giới hạn bởi (P và
S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P và trục 2 ) 1 ) d .Gọi 2
hoành. Biết S = S , tính 3 2
T = a −8a + 48a . 1 2 A. T = 99 . B. T = 64 . C. T = 32 . D. T = 72 .
Câu 47: Cho hàm số y = f (x) là hàm số đa thức bậc bốn và có đồ thị như hình vẽ.
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = f (x); y = f '(x) có diện tích bằng A. 127 . B. 127 . C. 107 . D. 13. 40 10 5 5
Câu 48: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 2
my = x , mx = y (m > 0) . Tìm giá trị
của m để S = 3. A. m =1
B. m = 2
C. m = 3
D. m = 4
Câu 49: Cho hình thang cong (H ) giới hạn bởi các đường ex
y = , y = 0, x = 0 , x = ln 4 . Đường thẳng
x = k (0 < k < ln 4) chia (H ) thành hai phần có diện tích là S và S như hình vẽ bên. Tìm k 1 2 để S = 2S . 1 2 A. 4 k = ln 2 . B. 8 k = ln . C. k = ln 2 . D. k = ln 3. 3 3 Page 134
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 50: Hình phẳng (H ) được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số đa thức bậc bốn y = f (x) và y = g(x).
Biết rằng đồ thị cảu hai hàm số này cắt nhau tại đúng ba điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là 3
− ;−1; 2. Diện tích của hình phẳng (H) gần nhất với kết quả nào dưới đây? A. 3,11 B. 2,45 C. 3,21 D. 2,95
Câu 51: Cho parabol (P) 2
: y = x và hai điểm ,
A B thuộc (P) sao cho AB = 2 . Diện tích lớn nhất của
hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng AB là A. 3 . B. 3 . C. 2 . D. 4 . 4 2 3 3
Câu 52: Cho Parabol (P) 2
: y = x +1 và đường thẳng d : y = mx + 2 với m là tham số. Gọi m0 là giá trị
của m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và d là nhỏ nhất. Hỏi m0 nằm trong khoảng nào? A. 1 (− 2;− ) . B. . C. 1 ( 1; − ) . D. 1 ( ;3) . 2 2 2
Câu 53: Cho hàm số f (x) xác định và liên tục trên đoạn [ 5; −
]3. Biết rằng diện tích hình phẳng
S , S , S giới hạn bởi đồ thị hàm số f (x) và đường parabol y = g (x) 2 = + + lần lượt là 1 2 3 ax bx c m,n, p . 3 Tích phân f
∫ (x)dx bằng −5 A. 208
−m + n − p − . B. 208
m − n + p + C. 208
m − n + p − . D. 208
−m + n − p + . 45 45 45 45
Câu 54: Cho hàm số f (x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên. Biết rằng diện tích các phần π ( 2
A),(B) lần lượt bằng 3 và 7 . Tích phân cos x. f (5sin x − ∫ ) 1 dx bằng 0 Page 135
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A. 4 − B. 2 C. 4 D. 2 − 5 5
Câu 55: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ và diện tích hai phần ,
A B lần lượt bằng 11 và 2. 0
Giá trị của I = f (3x + ∫ )1dx bằng 1 − A. 3. B. 13. C. 9. D. 13. 3
Câu 56: Hình phẳng (H ) được giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm đa thức bậc ba và parabol
(P) có trục đối xứng vuông góc với trục hoành. Phần tô đậm của hình vẽ có diện tích bằng A. 37 . B. 7 . C. 11 . D. 5 . 12 12 12 12 2
Câu 57: Parabol = x y
chia hình tròn có tâm là gốc tọa độ, bán kính bằng 2 2 thành hai phần có diện 2 tích S S S < S S 1 và 2 , trong đó 1 2 . Tìm tỉ số 1 . S2 π π π π A. 3 + 2 . B. 9 − 2 . C. 3 + 2 . D. 3 + 2 . 12π 3π + 2 9π − 2 21π − 2 Page 136
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 2 2 2
Câu 58: Tìm số thực + + −
a để hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm x 2ax 3a y = và a ax y = có 6 1+ a 6 1+ a diện tích lớn nhất. A. 1 . B. 1. C. 2. D. 3 3 . 3 2
Câu 59: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên , đồ thị hàm số y = f (x) như hình vẽ. Biết diện tích
hình phẳng phần sọc kẻ bằng 3. Tính giá trị của biểu thức: 2 3 4 T = f ′
∫ (x+ )1dx + f ′
∫ (x− )1dx + f ∫ (2x−8)dx 1 2 3 A. 9 T = . B. T = 6 . C. T = 0 . D. 3 T = . 2 2 Câu 60: Cho hàm số 4 2
y = x − 6x + m có đồ thị (C . Giả sử (C cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt m ) m )
sao cho hình phẳng giới hạn bởi (C và trục hoành có phần phía trên trục hoành và phần phía m )
dưới trục hoành có diện tích bằng nhau. Khi đó a
m = . Giá trị của biểu thức S = a + b là: b A. 7. B. 6. C. 5. D. 4.
Câu 61: Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số đa thức bậc ba và parabol có trục đối xứng
vuông góc với trục hoành. Phần tô đậm như hình vẽ có diện tích bằng A. 37 . B. 7 . C. 11 . D. 5 . 12 12 12 12 Page 137
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 62: Cho các số p,q thỏa mãn các điều kiện: p >1, q >1, 1 1
+ =1 và các số dương a,b . Xét hàm p q số: p 1 y x − =
(x > 0) có đồ thị là (C). Gọi (S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục 1 )
hoành, đường thẳng x = a , Gọi (S là diện tích hình phẳng giới 2 )
hạn bởi (C), trục tung, đường thẳng y = b, Gọi (S ) là diện tích
hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, trục tung và hai đường thẳng
x = a , y = b . Khi so sánh S + S và 1 2
S ta nhận được bất đẳng thức
nào trong các bất đẳng thức dưới đây? p q p 1 − q 1 − A. a b + ≤ ab B. a b + ≥ ab . p q p −1 q −1 p 1 + q 1 + p q C. a b +
≤ ab . D. a b + ≥ ab . p +1 q +1 p q
Câu 63: Cho khối trụ có hai đáy là hai hình tròn ( ;
O R) và (O ;′ R) , OO′ = 4R . Trên đường tròn ( ; O R) lấy hai điểm ,
A B sao cho AB = a 3 . Mặt phẳng (P) đi qua A , B cắt đoạn OO′ và tạo với
đáy một góc 60°, (P) cắt khối trụ theo thiết diện là một phần của elip. Diện tích thiết diện đó bằng π π π π A. 4 3 2 2 3 2 3 4 3 + R . B. 2 − R . C. 2 + R . D. 2 − R . 3 2 3 4 3 4 3 2
Câu 64: Cho parabol (P) 2
: y = x và một đường thẳng d thay đổi cắt (P) tại hai điểm A , B sao cho
AB = 2018. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng d . Tìm giá trị lớn
nhất S của max S. 3 3 3 3 A. 2018 1 S + = . B. 2018 S = . C. 2018 1 S − = . D. 2018 S = . max 6 max 3 max 6 max 3 Câu 65: Cho hàm số 4 2
y = ax + bx + c có đồ thị (C), biết rằng (C) đi qua điểm A( 1;
− 0) , tiếp tuyến d
tại A của (C) cắt (C) tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 0 và 2 và diện tích hình phẳng giới
hạn bởi d , đồ thị (C) và hai đường thẳng x = 0 ; x = 2 có diện tích bằng 28 . 5
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và hai đường thẳng x = 1
− ; x = 0 có diện tích bằng A. 2 . B. 1 . C. 2 . D. 1 . 5 4 9 5
Câu 66: Đặt S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số 2
y = 4 − x , trục hoành và đường thẳng x = 2
− , x = m , ( 2
− < m < 2) . Tìm số giá trị của tham số m để 25 S = . 3 Page 138
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A. 2. B. 3. C. 4. D. 1.
Câu 67: Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho parabol (P) 2
: y = x và hai đường thẳng y = a , y = b
(0 < a < b) . Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) và đường thẳng y = a ; (S P
2 ) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol ( ) và đường thẳng y = b . Với điều kiện nào
sau đây của a và b thì S = S 1 2 ? A. 3 b = 4a . B. 3 b = 2a . C. 3 b = 3a. D. 3 b = 6a . 2 x 3
Câu 68: Cho hình phẳng giới hạn bởi Elip 2 + y =1 y = x 4 , parabol
2 và trục hoành có diện tích 2 a c T = π +
3 . Tính S = a + b + c + d . b d A. S = 32 . B. S =10 . C. S =15 . D. S = 21. Page 139
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Câu 69: Cho hàm số 3 2
y = x + ax + bx + c (a,b,c∈) có đồ thị (C) và 2
y = mx + nx + p ( , m n, p∈)
có đồ thị (P) như hình vẽ. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và (P) có giá trị nằm
trong khoảng nào sau đây? A. (0; ) 1 . B. (1;2) . C. (2;3). D. (3;4). Page 140
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
DẠNG 2. ỨNG DỤNG TICH PHAN DỂ TIM THỂ TICH
Thể tích vật thể
Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b,
S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại
điểm x, (a ≤ x ≤ b). Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn [ ;
a b]. Khi đó, thể tích của b
vật thể B được xác định: V = S(x)dx . ∫ a
Thể tích khối tròn xoay
a) Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f (x), trục
hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox : y y = f (x) (
C) : y = f (x) (
Ox) : y = 0 b V = π a ∫ f x dx x [ ]2 ( ) O b x x = a a x = b
b) Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g(y), trục
hoành và hai đường thẳng y = c, y = d quanh trục Oy : y d (
C) : x = g(y) (
Oy) : x = 0 d 2 V g (y) dy y = c y c c y = d O x
c) Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f (x),
y = g(x)
Câu 70: Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi các đường 2 y = x +3, 0 y = , x = 0, 2
x = . Gọi V là thể tích
khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H ) xung quanh trục Ox . Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 2 2 2
A. V = π ∫(x +3)2 2
dx . B. V = ∫( 2x +3)dx . C. V = ∫(x +3)2 2
dx . D. V = π ∫( 2x +3)dx . 0 0 0 0 Page 141
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 71: Gọi V là thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số π
y = sin x , trục Ox, trục Oy và đường thẳng x = , xung quanh trục Ox. Mệnh đề nào dưới 2 đây đúng? π π π π 2 2 2 2 A. 2 V = sin xdx ∫
B. V = sin xdx ∫ C. 2 V = π sin xdx ∫
D. V = π sin xdx ∫ 0 0 0 0
Câu 72: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số 2
y = x − 2x , trục hoành, đường thẳng x = 0 và x =1quanh trục hoành bằng A. 16π . B. 2π . C. 4π . D. 8π . 15 3 3 15
Câu 73: Cho miền phẳng (D) giới hạn bởi y = x , hai đường thẳng x =1, x = 2 và trục hoành. Tính
thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) quanh trục hoành. A. 3π . B. 3π . C. 2π . D. 3 . 2 3 2
Câu 74: Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi các đường 2
y = 2x − x , y = 0. Quay (H ) quanh trục hoành
tạo thành khối tròn xoay có thể tích là 2 2 2 2 A. ( 2 2 − ∫ x x )dx B. π (2 − ∫ x x )2 2 dx C. (2 − ∫ x x )2 2 dx D. π ( 2 2 − ∫ x x )dx 0 0 0 0
Câu 75: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường π
y = tan x, y = 0, x = 0, x = quay xung quanh trục 4
Ox . Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra. A. π ln 2 . B. π ln3 C. π . D. π ln 2 . 2 4 4
Câu 76: Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng (H ) xác định bởi các đường 1 3 2
y = x − x , y = 0 3
, x = 0 và x = 3 quanh trục Ox là A. 81π . B. 81 . C. 71π . D. 71 . 35 35 35 35
Câu 77: Thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parapol : 2
y = x và đường thẳng d:
y = 2x quay xung quanh trục Ox bằng: 2 2 A. 2
π (2x − x )dx ∫ . B. 2 2
π (x − 2x) dx ∫ . 0 0 2 2 2 2 C. 2 4
π 4x dx +π x dx ∫ ∫ . D. 2 4
π 4x dx −π x dx ∫ ∫ . 0 0 0 0
Câu 78: Tính thể tích của vật thể tạo nên khi quay quanh trục Ox hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị (P) 2
: y = 2x − x và trục Ox bằng: A. 19π π π π V = . B. 13 V = . C. 17 V = . D. 16 V = . 15 15 15 15
Câu 79: Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành do quay xung quanh trục hoành một elip có phương 2 2 x y trình + =1 25 16
. V có giá trị gần nhất với giá trị nào sau đây? A. 550 B. 400 C. 670 D. 335 Page 142
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 80: Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi các đường 2
y = x − 2x , trục hoành và đường thẳng x = 1 .
Tính thể tích V hình tròn xoay sinh ra bởi (H ) khi quay (H ) quanh trục Ox . A. 4π π π π V = . B. 16 V = . C. 7 V = . D. 15 V = . 3 15 8 8
Câu 81: Cho hình phẳng (D) được giới hạn bởi hai đường y = ( 2 2 x − ) 1 ; 2
y =1− x . Tính thể tích khối
tròn xoay tạo thành do (D) quay quanh trục Ox . A. 64π . B. 32 . C. 32π . D. 64 . 15 15 15 15
Câu 82: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = tan x , y = 0, x = 0 , x π = quay xung quanh trục 4
Ox . Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: π 1 A. 5 B. π 1− π C. 3 D. π + π 4 2 2
Câu 83: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x − 2, y = 0 và x = 9 quay xung quanh trục Ox .
Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành. A. 7 π π π V = . B. 5 V = . C. 7 V = . D. 11 V = . 6 6 11 6
Câu 84: Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình (H ) quanh Ox với (H )
được giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
y = 4x − x và trục hoành. π π π A. 31 . B. 32 . C. 34 . D. 35π . 3 3 3 3
Câu 85: Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi đồ thị 2
y = 2x − x và trục hoành. Tính thể tích V vật thể
tròn xoay sinh ra khi cho (H ) quay quanh Ox . A. 4 V = π . B. 16 V = π . C. 16 V = . D. 4 V = . 3 15 15 3
Câu 86: Tính thể tích vật tròn xoay tạo bởi miền hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x + 3 ,
y = − x + 3 , x =1 xoay quanh trục Ox . A. 41π . B. 43π . C. 41π . D. 40 π . 2 2 3 3 Page 143
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 87: Ký hiệu (H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 = ( ) = . x y f x
x e , trục hoành, đường
thẳng x =1. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay (H ) quanh trục hoành. A. 2 1 1 V = e −1. B. V = π ( 2 e − ) 1 . C. 2 V = πe −1. D. V = π ( 2 e − ) 1 . 4 4
Câu 88: Cho vật thể (T ) giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 0; x = 2 . Cắt vật thể (T ) bởi mặt phẳng vuông
góc với trục Ox tại x(0 ≤ x ≤ 2) ta thu được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng ( + ) 1 x x e
. Thể tích vật thể (T ) bằng π ( 4 13e − ) 1 4 13e −1 A. . B. . C. 2 2e . D. 2 2πe . 4 4
Câu 89: Cho hai mặt cầu ( 1
S ),(S2 ) có cùng bán kính R = 3 thỏa mãn tính chất tâm của ( 1
S ) thuộc (S2 )
và ngược lại. Tính thể tích V phần chung của hai khối cầu tạo bởi ( 1 S ),(S2 ) . π π A. 45 V = . B. 45 V = . C. 45 V = . D. 45 V = . 8 4 4 8
Câu 90: Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y = x và 2
y = x quay quanh trục tung tạo nên một vật thể
tròn xoay có thể tích bằng π π π π A. . B. . C. 2 . D. 4 . 6 3 15 15 Câu 91: Cho hình ( 3
H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số 3 y =
x , cung tròn có phương trình 2 y = 4 − x . 9
Biết thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay (H ) quanh trục hoành là a 3 c V = − + π b d , trong đó *
a,b,c,d ∈ và a , c là các phân số tối giản. Tính P = a + b + c + d . b d A. P = 52. B. P = 40 . C. P = 46 . D. P = 34.
Câu 92: Cho hình phẳng (H ) được giới hạn bởi đường cong 2 2
y = m − x ( m là tham số khác 0 ) và
trục hoành. Khi (H ) quay xung quanh trục hoành được khối tròn xoay có thể tích V . Có bao
nhiêu giá trị nguyên của m để V <1000π . A. 18. B. 20. C. 19. D. 21. Page 144
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 93: Cho hàm số y = f (x) 3 2
= ax + bx + cx + d,(a,b,c,d ∈,a ≠ 0) có đồ thị (C). Biết rằng đồ thị
(C) tiếp xúc với đường thẳng y = 4 tại điểm có hoành độ âm và đồ thị của hàm số y = f '(x)
cho bởi hình vẽ dưới đây. Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng H
giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành khi quay xung quanh trục Ox . A. 725π . B. 1 π . C. 6π . D. đáp án khác. 35 35
Câu 94: Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x
, y = 0 và x = 4 quanh trục Ox . Đường thẳng
x = a (0 < a < 4) cắt đồ thị hàm số y = x tại M .
Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay 1
tam giác OMH quanh trục Ox . Biết rằng V = 2V . 1 Khi đó A. a = 2. B. a = 2 2 . C. 5 a = . D. a = 3 . 2
Câu 95: Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi các đường y = x −π , y = sin x và x = 0 . Gọi V là thể tích
khối tròn xoay tạo thành do (D) quay quanh trục hoành và 4
V = pπ , ( p∈) . Giá trị của 24p bằng A. 8 . B. 4 . C. 24 . D. 12. 2 x y = 4 2 2 x + y ≤16 2
Câu 96: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ( : x H y = −
,(H : x + y − 2 ≥ 4 . Cho (H , H 1 ) ( 2 ) 2 ) ( )2 2 1 ) 4 2 x = 4, − x = 4 2 x + ( y + 2) ≥ 4
xoay quanh trục Oy ta được các vật thể có thể tích lần lượt V ,V . Đẳng thức nào sau đây đúng. 1 2
A. V =V . 1 V = V . V = 2V . 3 V = V . 1 2 B. C. D. 1 2 2 1 2 1 2 2
Câu 97: Cho hình thang ABCD có AB song song CD và AB = AD = BC = a, CD = 2a . Tính thể tích
khối tròn xoay khi quay hình thang ABCD quanh trục là đường thẳng AB . − A. 5 3 π 3 2 2 a . B. 5 3 π a . C. 3 π a . D. 3 π a . 4 2 3 Page 145
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 98: Cho đồ thị (C) : y = f (x) = x . Gọi (H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), đường thẳng
x = 9 và trục Ox . Cho điểm M thuộc đồ thị (C) và điểm A(9;0) . Gọi V là thể tích khối tròn 1
xoay khi cho (H ) quay quanh trục Ox , V là thể tích khối tròn xoay khi cho tam giác 2 AOM
quay quanh trục Ox . Biết rằng V = 2V . Tính diện tích 1 2
S phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
(C) và đường thẳng OM . A. S = 3. B. 27 3 S = . C. 3 3 S = . D. 4 S = . 16 2 3 Page 146
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN G
ƠN III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN HƯ C
BÀI 3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
III HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
DẠNG 1. ỨNG DỤNG TICH PHAN DỂ TIM DIỆN TICH
(C ) : y = f (x) 1 b
Hình phẳng (H ) giới hạn bởi (C ) : y = g(x)
thì diện tích là S = f (x) − g(x) dx . 2 ∫
x = a, x = b (a < b) a
(C ) : y = f (x) 1 b
Hình phẳng (H ) giới hạn bởi (C ) :Ox : y = 0
thì diện tích là S = f (x) dx . 2 ∫
x = a, x = b (a < b) a
Hình thức đề thường hay cho
Hình thức 1: Không cho hình vẽ, cho dạng (H ) :{y = f (x),
y = g(x), , x = a
x = b (a < b)} b casio
→ f (x) − g(x) dx = ∫
kết quả, so sánh với bốn đáp án. a
Hình thức 2: Không cho hình vẽ, cho dạng (H ) :{y = f (x), (
y = g x)} i x
Giải f (x) = g(x) tìm nghiệm x ,..., x với x nhỏ nhất, x lớn nhất casio → − i , 1 1 i
f (x) g(x) d . x ∫ 1 x
Hình thức 3: Cho hình vẽ, sẽ giải phương trình tìm tọa độ giao điểm , chia từng diện tích nhỏ, xổ
hình từ trên xuống, ghi công thức và bấm máy tính.
Hình thức 4: Cho ba hàm trở lên, chẳng hạn y = f (x),
y = g(x),
y = h(x) ta nên vẽ hình. Page 1
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 1: Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên đoạn [a;b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị hàm số y = f (x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức b b b a A. S = f ∫ (x) dx. B. S = f ∫ (x)dx .
C. S = − f
∫ (x)dx. D. S = f ∫ (x) dx. a a a b Lời giải
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) , trục hoành và hai đường thẳng b
x = a, x = b được tính bởi công thức: S = f ∫ (x) dx. a
Câu 2: Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây? 2 2 A. ∫ ( 2
2x − 2x − 4)dx . B. ∫ ( 2
2x + 2x − 4)dx . 1 − 1 − 2 2 C. ∫ ( 2 2
− x + 2x + 4)dx . D. ∫ ( 2 2
− x − 2x + 4)dx . 1 − 1 − Lời giải Từ đồ thị ta thấy 2 2
−x + 3 ≥ x − 2x −1, x ∀ ∈[ 1; − 2] .
Vậy diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ là 2 2 S = ∫ ( 2 −x + 3) − ( 2 x − 2x − 2 )1dx
= ∫ (−2x + 2x + 4)dx . −1 −1
Câu 3: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) , trục hoành, đường thẳng
x = a, x = b . Hỏi cách tính S nào dưới đây đúng? b c b A. S = f ∫ (x)dx . B. S = f
∫ (x)dx+ f ∫ (x)dx . a a c c b c b
C. S = − f
∫ (x)dx+ f ∫ (x)dx . D. S = f
∫ (x)dx+ f ∫ (x)dx . a c a c Page 2
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Lời giải. Chọn B
Câu 4: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số: 3
y = x −3x , y = x . Tính S . A. S = 4 . B. S = 8.
C. S = 2 . D. S = 0 . Lời giải x = 2 −
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là 3
x − 3x = x 3 ⇔ x − 4x = 0 ⇒ x = 0 . x = 2 0 2
Vậy S = ∫ ( 3x −4x)dx + ∫( 3x −4x)dx = 4+ 4 = 8. 2 − 0
Câu 5: Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường 3x
y = , y = 0, x = 0 , x = 2 . Mệnh đề
nào dưới đây đúng? 2 2 2 2 A. = 3x S dx ∫ . B. 2 = π 3 x S dx ∫ . C. = π 3x S dx ∫ . D. 2 = 3 x S dx ∫ . 0 0 0 0 Lời giải 2
Diện tích hình phẳng đã cho được tính bởi công thức = 3x S dx ∫ 0
Câu 6: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [ ;
a b]. Gọi D là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ
thị (C) : y = f (x) , trục hoành, hai đường thẳng x = a , x = b . Giả sử S là diện tích hình phẳng D
D . đúng trong các phương án A, B, C, D cho dưới đây? 0 b 0 b
A. S = f x x + f x x .
B. S = − f x x + f x x . D ∫ ( )d ∫ ( )d D ∫ ( )d ∫ ( )d a 0 a 0 0 b 0 b
C. S = f x x − f x x .
D. S = − f x x − f x x . D ∫ ( )d ∫ ( )d D ∫ ( )d ∫ ( )d a 0 a 0 Lời giải b 0 b
Ta có S = f x x = f x x + f x x . D ∫ ( ) d ∫ ( ) d ∫ ( ) d a a 0
Vì f (x) ≤ 0, x
∀ ∈[a;0], f (x) ≥ 0, x ∀ ∈[0;b] nên: Page 3
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 0 S = ∫( b 0 b − f x
x + f x x = − f x x + f x x D ( ))d ∫ ( )d ∫ ( )d ∫ ( )d . a 0 a 0
Câu 7: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = (x − )2
2 −1, trục hoành và hai đường thẳng
x =1, x = 2 bằng A. 2 . B. 3 . C. 1 . D. 7 . 3 2 3 3 Lời giải 2 2 2
Ta có: S = (x − )2 2 −
x = x − x + x = ( 2 x − x + ) 2 2 1 d 4 3 d 4 3 dx = ∫ ∫ ∫ . 3 1 1 1
Câu 8: Cho hai hàm số f (x) và g(x) liên tục trên [a;b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của
các hàm số y = f (x) , y = g(x) và các đường thẳng x = a , x = b bằng b b b b
A. ∫[ f (x)− g(x)]dx . B. f (x)+ g(x) dx ∫
. C. f (x) − g(x) dx ∫
. D. ∫[ f (x)− g(x)]dx . a a a a Lời giải
Theo lý thuyết thì diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của các đường y = f (x) , b
y = g(x) , x = a , x = b được tính theo công thức S = f
∫ (x)− g(x) dx. a
Câu 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
y = 4x − x và trục Ox A. 11. B. 34 . C. 31. D. 32 . 3 3 3 Lời giải Chọn D
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
y = 4x − x và trục Ox . x = 0 Xét phương trình 2
4x − x = 0 ⇔ . x = 4 4 4 4 3 x 32 Ta có 2 2 2
S = 4x − x dx = (4x − x )dx = (2x − ) = ∫ ∫ . 3 3 0 0 0
Câu 10: Diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) , trục hoành và hai đường
thẳng x = a , x = b (a < b) tính theo công thức nào dưới đây ? Page 4
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN c b b A. S = f
∫ (x)dx+ f
∫ (x)dx. B. S = f ∫ (x)dx. a c a c b b
C. S = − f
∫ (x)dx+ f
∫ (x)dx. D. S = f ∫ (x)dx . a c a Lời giải
Diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) , trục hoành và hai đường b c b c b
thẳng x = a , x = b là S = f (x) dx = ∫ f
∫ (x) dx + f
∫ (x) dx = − f (x)dx + f (x)d ∫ ∫ x . a a c a c
Câu 11: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn bởi các đường 2
y = x +1, x = 1,
− x = 2 và trục hoành. A. S = 6 . B. S =16 . C. 13 S = . D. S =13. 6 Lời giải 2 2 Ta có: 2
S = x +1 dx = ∫
∫ ( 2x + )1dx = 6. 1 − 1 −
Câu 12: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2
y = x + 5, y = 6x , x = 0 , x =1. Tính S . A. 4 B. 7 C. 8 D. 5 3 3 3 3 Lời giải Chọn B
Phương trình hoành độ giao điểm: 2
x + 5 = 6x ⇔ x = 5; x =1. 1
Diện tích hình phẳng cần tìm: 2 7
S = x − 6x + 5 dx = ∫ . 3 0
Câu 13: Gọi diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (C) 3 − x −1
: y = x−1 và hai trục tọa độ là S . Tính S ? A. 4 S =1− ln B. 4 S = 4ln C. 4 S = 4ln −1 D. 4 S = ln −1 3 3 3 3 Lời giải Chọn C Page 5
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành là nghiệm của phương trình 3 − x −1 1 = 0 ⇔ x = − . x −1 3
Do đó diện tích hình phẳng là 0 0 3 − x −1 4 S x = = + x = ∫ ∫ ( x+ x − ) 0 4 d 3 d 3 4ln 1 1 = 4ln − 1. − − − 1 x 1 1 x 1 3 3 − − 3 3
Câu 14: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2
y = x ; y = 0; x =1; x = 2 bằng A. 4 . B. 7 . C. 8 . D. 1. 3 3 3 Lời giải 2 2 Ta có 2 2 7
S = x dx = x dx = . ∫ ∫ 3 1 1
Câu 15: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số (H ) x −1 : y = và các trục tọa độ. x +1
Khi đó giá trị của S bằng A. 2ln 2 −1. B. ln 2 +1. C. ln 2 −1. D. 2ln 2 +1. Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (H ) và trục hoành x −1 = 0 ⇔ x =1. x +1
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (H ) và các trục tọa độ là 1 1 1 x −1 −x +1 2 S dx dx 1 = = = − + dx = ∫ ∫ ∫
(−x+ 2ln x+1)1 = 2ln2− 1. x +1 x +1 x +1 0 0 0 0
Câu 16: Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường ln x y
, y 0, x 1, x e . Mệnh 2 x
đề nào dưới đây đúng? e e e 2 e 2 A. ln x S ln x ln x ln x π dx . B. S dx S
dx. D. S π dx 2 x . C. 2 x 2 x 2 x 1 1 1 1 Lời giải Page 6
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi miền D gồm các đường ln x y
, y 0, x 1, x e là: 2 x e ln e x ln ln x d x S x dx
0, x 1;e . 2 vì 2 x x 2 x 1 1
Câu 17: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số 2
y = −x + 2x +1, 2
y = 2x − 4x +1 là A. 8 . B. 5. C. 4 . D. 10. Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm là 2 2 2
−x + 2x +1 = 2x − 4x +1 ⇔ 3x − 6x = 0 x = 0 ⇔ x = 2 2
Diện tích hính phẳng là S = ∫ ( 2 2x − 4x + ) 1 − ( 2 −x + 2x + )1dx 0 2 2 = ∫( 2
3x − 6x)dx = ( 3 2
x − 3x ) = 4 . 0 0
Câu 18: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị 2
y = x + 2x , y = x + 2 . A. 7 . B. 9 . C. 5 . D. 11. 2 2 2 2 Lời giải x = 2 − Xét phương trình: 2
x + 2x = x + 2 2
⇔ x + x − 2 = 0 ⇔ . x =1
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị là: 1 1 1 3 2 2 S 9
= x + x − 2dx ∫
= ∫ ( 2x + x − 2)dx x x = 7 10 + − 2x = − − = . 3 2 6 3 2 2 − 2 − 2−
Câu 19: Hình phẳng (H ) được giới hạn bởi các đường 2
y = x , y = 3x − 2 . Tính diện tích hình phẳng (H ) A. 2 B. 1 C. 1 D. 1 3 3 6 Lời giải
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình: x = 1 2 2
x = 3x − 2 ⇔ x − 3x + 2 = 0 ⇔ . x = 2
Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường là: 2 2 2
S = x − ( x − ) dx = ( 2 x − x + ) 1 3 2 3 2 dx = ∫ ∫ . 6 1 1
Câu 20: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = ln x, y = 1 và đường thẳng x = 1 bằng Page 7
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A. 2 e . B. e + 2 . C. 2e . D. e − 2 . Lời giải
Ta có ln x −1 = 0 ⇔ x = e .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = ln x, y = 1 và đường thẳng x = 1 là: e e e = ln −1 = ∫
∫(ln − )1 = (ln − )1e − = 1 e S x dx x dx x x dx − x = 1− ∫
(e − )1 = 2 − e = e − 2 1 1 1 1 1
Câu 21: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số 2
y = 4x − x và đường thẳng y = 2x bằng A. 4 . B. 20 . C. 4 . D. 16 3 3 3 Lời giải x = 0
Xét phương trình hoành độ giao điểm 2 2
4x − x = 2x ⇔ x − 2x = 0 ⇔ x = 2 2 2 2 3
Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là 2
S = x − x x = ∫ ∫( 2 x − x ) 2 x 4 2 d 2
dx = x − = . 3 3 0 0 0
Câu 22: Tính diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên. π π A. 5 . B. 5 . C. 8 . D. 8 . 6 6 15 15 Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm x =1 x = (x − 2)2 2
⇔ x − 5x + 4 = 0 ⇔ x = 4
Dựa vào đồ thị, khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là 1 2
S = xdx + (x − )2 1 1 5 2 dx = + = ∫ ∫ 2 3 6 0 1 Vậy 5 S = . 6
Câu 23: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường 2
y = x − 2x , y = 0, x = 10 − , x =10 . A. 2000 S = . B. S = 2008. C. S = 2000 . D. 2008 S = . 3 3 Lời giải Page 8
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Chọn D
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường (C) 2
: y = x − 2x và (d ): y = 0 là: x = 0 2
x − 2x = 0 ⇔ . x = 2 Bảng xét dấu: 10 0 2 10 Diện tích cần tìm: 2 S =
x − 2x dx = ∫
∫ ( 2x −2x)dx − ∫( 2x −2x)dx + ∫( 2x −2x)dx 10 − 10 − 0 2 0 2 10 3 3 3 x 2 x 2 x 2 = 1300 4 704 2008
− x − − x + − x = + + = . 3 3 3 3 3 3 3 10 − 0 2
Câu 24: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f (x) , trục hoành và hai đường thẳng 1 2 x = 3
− , x = 2 . Đặt a = f
∫ (x)dx, b = f
∫ (x)dx . Mệnh đề nào sau đây là đúng. 3 − 1
A. S = a + b .
B. S = a −b .
C. S = −a − b .
D. S = b − a . Lời giải Chọn D 2 1 2 1 2 Ta có S = f
∫ (x) dx = f
∫ (x) dx+ f
∫ (x) dx = − f
∫ (x)dx+ f
∫ (x)dx = −a +b. 3 − 3 − 1 3 − 1
Câu 25: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
y = x và đường thẳng y = 2x là : A. 4 B. 5 C. 3 D. 23 3 3 2 15 Lờigiải Chọn A x = 0 Xét phương trình 2 x = x ⇒ x = 1
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
y = x và đường thẳng y = 2x là : 1 1 2
S = x − xdx = ( 2 x − x) 4 dx = ∫ ∫ 3 0 0 Page 9
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 26: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số 2
y = −x + 2x +1, 2
y = 2x − 4x +1 là A. 8 B. 5 C. 4 D. 10 Lời giải
Phương trình hoành đồ giao điểm hai đồ thị hàm số 2
y = −x + 2x +1, 2
y = 2x − 4x +1 là: x = 0 2 2 2
−x + 2x +1 = 2x − 4x +1 ⇔ 3x − 6x = 0 ⇔ . x = 2 2
Diện tích hình phẳng đã cho là 2 2 2 3x − 6x dx = ∫ ∫ ( 2
6x − 3x )dx = ( 2 3
3x − x ) = 4 . 0 0 0
Câu 27: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x −1 y =
và các trục tọa độ. Khi đó x +1
giá trị của S là A. S =1+ ln 2.
B. S = 2ln 2 −1.
C. S = 2ln 2 +1.
D. S = ln 2 −1. Lời giải
Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục hoành: x −1 = 0 1 ⇔ x = . x +1 1 1 1 Khi đó x −1 x −1 2 S dx dx 1 = = = − dx = ∫ ∫ ∫
(x−2ln x+1)1 = 2ln2− 1. 0 x +1 x +1 x +1 0 0 0
Câu 28: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số 3 y = x , 2
y = x − 4x + 4 và trục Ox được
tính theo công thức nào dưới đây? 2 1 2 A. 3 x − ∫
( 2x −4x+4) dx. B. 3 − x dx + ∫
∫( 2x −4x+ 4)dx . 0 0 1 1 2 1 2 C. 3 x dx − ∫
∫( 2x −4x+ 4)dx . D. 3 x dx + ∫
∫( 2x −4x+ 4)dx . 0 1 0 1 Lời giải
Dựa vào hình vẽ ta thấy hình phẳng cần tính diện tích gồm 2 phần:
Phần 1: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 3
y = x , trục Ox , x = 0 , x =1.
Phần 2: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
y = x − 4x + 4 , trục Ox , x =1, x = 2 . Page 10
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 1 2 1 2
Do đó diện tích cần tính là 3 2 3
S = x dx + x − 4x + 4 dx = x dx + ∫ ∫ ∫
∫( 2x −4x+ 4)dx. 0 1 0 1
Câu 29: Diện tích phần hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây? 1 1
A. ∫ ( 2x −2+ x )dx . B. ∫ ( 2x −2− x )dx . 1 − 1 − 1 1 C. ∫ ( 2
−x + 2 + x )dx . D. ∫ ( 2
−x + 2 − x )dx . 1 − 1 − Lời giải
Diện tích hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ bên là: 1 x −2− ∫ (− x ) 1 2 dx = ∫ ( 2
− x − x + 2)dx . 1 − 1 −
Câu 30: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = xln x , trục hoành và đường thẳng x = e là 2 2 2 2
A. e −1 . B. e +1.
C. e −1. D. e +1. 2 2 4 4 Lời giải
Phương trình hoành độ của đường cong y = xln x và trục hoành là x > 0 x > 0 x ln x 0 x = 0 = ⇔
⇔ x = 0 ⇔ x =1. ln x = 0 x =1
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = xln x , trục hoành và đường thẳng x = e e e
là S = xln x dx = xln d x x ∫ ∫ . 1 1 1 du = d = ln x u x 2 e 2 2 2 x e e x e Đặt x 1 e 1 ⇔ . Suy ra S ln x d x x + = − = − = ∫ . 2 dv = d x x x 2 1 2 2 4 1 4 v = 1 2 Page 11
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 31: Giá trị dương của tham số m sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số
y = 2x + 3 và các đường thẳng y = 0, x = 0, x = m bằng 10 là A. 7 m = .
B. m = 5.
C. m = 2 . D. m =1. 2 Lời giải
Vì m > 0 nên 2x + 3 > 0, x ∀ ∈[0;m].
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2x + 3 và các đường thẳng y = 0, x = 0, x = m là: m
S = ∫(2x +3).dx = ( 2x +3x) m 2 = m + 3m . 0 0 Theo giả thiết ta có: m = 2 2 2
S =10 ⇔ m + 3m =10 ⇔ m + 3m −10 = 0 ⇔
⇔ m = 2 (do m > 0). m = 5 − 3
Câu 32: Cho hàm số f x
74x khi 0 x 1
. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm 2 4 x khi x 1
số f x và các đường thẳng x 0, x 3, y 0 . A. 16 . B. 20 . C. 10. D. 9. 3 3 Lời giải 1 2 3 S 3
74x dx 2
4 x dx 2 x 4 dx 0 1 2 3 3 7x x 1 x 2 x 3 4 | 4x | 4x 7 8
6 4 3 8 10 . | 0 1 2 3 3 3 3
Câu 33: Tính diện tích S của hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường cong 3
y = −x +12x và 2 y = −x . Page 12
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A. 937 S = B. 343 S = C. 793 S = D. 397 S = 12 12 4 4 Lời giải
Xét phương trình hoành độ giao điểm 2 đường cong: x = 0 3 2 2 x 12x x x(x x 12) 0 − + = − ⇔ − − = ⇔ x = 3 − . x = 4 4 0 4
⇒ Diện tích cần tìm là: 3 2 3 2 3 2
S = x − x −12x dx = x − x −12x dx + x − x −12x dx ∫ ∫ ∫ 3 − 3 − 0 0 4 0∫( =
x − x −12x) 4
dx + ∫(x − x −12x) 4 3 4 3 3 2 3 2 x x 2 x x 2
dx = − − 6x + − − 6x − 4 3 4 3 3 0 3 − 0 99 − 160 − 937 = + = . 4 3 12
Câu 34: Cho (H ) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x , y = x − 2 và trục hoành. Diện tích của (H ) bằng y 2 y = x 2 x − x y = y O 2 4 x A. 7 . B. 8 . C. 10 . D. 16 . 3 3 3 3 Lời giải y = x y = x − 2
Xét các hình phẳng (H : y = 0
và (H : y = 0 . 2 ) 1 ) x = 0, x = 4 x = 2, x = 4 (
H ) = (H \ H 1 ) ( 2 ) Ta có ( . H )∪(H = H 2 ) ( 1) 4 4 2 2 4 x 4
Do đó S (H ) = S ( 16 10 H − S H =
xdx − x − 2 dx = x x − ∫ ∫ − 2x = − 2 = 1 ) ( 2) ( ) 3 0 2 2 3 3 0 2 2 x = y 2
Cách khác: Ta có (H ) : 10 x = y + 2 . Suy ra S (H ) 2
= y − ( y + 2)dy = ∫ . 3 y = 0, y = 2 0
Câu 35: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường 2
y = x + x −1 và 4
y = x + x −1 là Page 13
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A. 8 . B. 7 . C. 2 . D. 4 . 15 15 5 15 Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của 2
y = x + x −1 và 4
y = x + x −1 là x = 0 2 4
x + x −1 = x + x −1 2 4 x x 0 ⇔ − = ⇔ x =1 . x = 1 − 1 0 1
Diện tích hình phẳng cần tìm là 2 4 2 4 2 4
S = x − x dx = x − x dx + x − x dx ∫ ∫ ∫ 1 − 1 − 0 0∫( = x − x ) 1
x + ∫(x − x ) 3 5 3 5 x x 0 x x 1 2 4 2 4 2 2 4 d dx = − + − = + = . − − 3 5 1 3 5 0 15 15 15 1 0
Câu 36: Gọi S là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x −1 (H ) : y =
và các trục tọa độ. Khi đó giá x +1 trị của S bằng A. S = ln 2 +1.
B. S = 2ln 2 +1.
C. S = ln 2 −1.
D. S = 2ln 2 −1. Lời giải
Phương trình trục (Ox) và (Oy) lần lượt là y = 0 và x = 0 .
Phương trình hoành độ giao điểm của hàm số ( −
H ) và trục Ox: x 1 = 0 ⇔ x =1. x +1 1 Ta có: x −1 S = dx ∫
. Vì x −1 ≤ 0, x ∀ ∈[0; ]
1 nên diện tích cần tìm là: x +1 x +1 0 1 1 x −1 2 S dx 1 = − = − + dx = ∫ ∫
(−x + 2ln x +1) 1 = 2ln2− 1. x +1 x +1 0 0 0
Câu 37: Tính diện tích của phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ sau: A. 10 . B. 4 . C. 13 . D. 11. 3 3 3 Lời giải
Cách 1: Coi x là hàm số theo biến số y . Page 14
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Hình phẳng đã cho giới hạn bởi các đường: 2
x = y ; x = y + 2; y = 0 . y = 1 − (loai) Ta có: 2 2
y = y + 2 ⇔ y − y − 2 = 0 ⇔
y = 2 (t / m) 2 2
Diện tích của hình phẳng cần tìm là 2
S = y + − y y = ( 2 y + − y ) 10 2 d 2 dy = ∫ ∫ 3 0 0 Cách 2:
Phương trình hoành độ giao điểm của các đồ thị hàm số y = x, y = x − 2 : x ≥ 2 x ≥ 2
x = x − 2 ⇔ ⇔ ⇔ = x = ( x x − 2) 4. 2 2
x − 5x + 4 = 0 4 4
Diện tích của hình phẳng cần tìm là S = x x − (x − ) 10 d 2 dx = ∫ ∫ 3 0 2 2 2
Câu 38: Cho hình phẳng (H ) giới hạn bới parabol x y =
và đường cong có phương trình 4 x y = − 12 4 Page 15
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Diện tích hình phẳng (H ) bằng: 2(4π + 3) A. B. 4π + 3 C. 4π + 3 D. 4 3 +π 3 6 3 6 Lời giải 2 2 4 2 4 2 x = 12 Xét phương trình x 4 x = − x 4 x ⇔ = − x x ⇔ + − 4 = 0 ⇔ 12 4 144 4 144 4 x = − 12
Diện tích hình phẳng (H ) bằng: 2 2 2 2 2 2 12 x x 12 x x 12 x 12 = 4 − − d =2 4 − − d =2 4 − d − 2 x S x x x dx ∫ ∫ ∫ ∫ − 12 0 0 0 4 12 4 12 4 12 2 Xét 12 = 4 x I − dx 1 ∫ 0 4
Đặt x = 4sin t ⇒ dx = 4cos d x x Đổi cận: π
x = 0 ⇒ t = 0; x = 12 ⇒ t = 3 π π 3 3 2 4π
I = 8 cos tdt = 4 1+ cos 2t dt = + 3 1 ∫ ∫( ) 3 0 0 2 Xét 12 x 2 3 I = dx = 2 ∫ 0 12 3 2(4π + 3)
Vậy S = 2I − 2I = 1 2 3
Câu 39: Cho hàm số f (x) xác định và liên tục trên đoạn [ 5; −
]3 có đồ thị như hình vẽ bên. Biết diện tích
của hình phẳng ( A), (B), (C), (D) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) và trục hoành lần lượt là 1
6; 3; 12; 2 . Tính tích phân 2 f
∫ (2x+ )1+1 dx bằng 3 − Page 16
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A. 27. B. 25. C. 17. D. 21.
Hướng dẫn giải 1 Ta có 1 2 f ∫ (2x+ ) 1 1 +1 dx = 2 f ∫ (2x+ ) 3 1 dx + x = f ∫ (x)dx+ 4 3 − 3 − 3 − 5 −
Mà 3 f (x)dx = S( − S + S + S = − + + = ∫ A) (B) (C) (D) 6 3 12 2 17 5 − Vậy 1 2 f
∫ (2x+ )1+1 dx = 21 3 −
Câu 40: Cho (H ) là hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ và được giới hạn bởi các đường có phương −x khi x ≤1 trình 10 2 y =
x − x , y =
. Diện tích của (H ) bằng? 3
x − 2 khi x > 1 A. 11. B. 13 . C. 11. D. 14 . 6 2 2 3 Lời giải
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = −x và y = x − 2 là: −x = x − 2⇔ x =1.
Diện tích hình phẳng cần tính là: 1 3 10 2 10 2 S x x x dx x x x 2 = − + + − − + ∫ ∫ dx . 3 3 0 1 Page 17
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 1 3 13 2 7 2 S x x dx x x 2 ⇔ = − + − + ∫ ∫ dx 3 3 0 1 1 3 13 2 7 2 S x x dx x x 2 ⇔ = − + − + ∫ ∫ dx 3 3 0 1 1 3 3 3 13 2 x 7 2 x 13
⇔ S = x − + x − + 2x = . 6 3 6 3 2 0 1
Câu 41: Cho đường tròn có đường kính bằng 4 và 2 Elip lần lượt nhận 2 đường kính vuông góc nhau
của đường tròn làm trục lớn, trục bé của mỗi Elip đều bằng 1. Diện tích S phần hình phẳng ở
bên trong đường tròn và bên ngoài 2 Elip gần với kết quả nào nhất trong 4 kết quả dưới đây? A. S = 4,8 . B. S = 3,9. C. S = 3,7 . D. S = 3,4 . Lời giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. 2 2 2 2
Hai Elip lần lượt có phương trình: ( : x y E + =1 và ( : x y E + =1 2 ) 1 ) 4 1 1 4
Tọa độ giao điểm của hai Elip trong góc phần tư thứ nhất là nghiệm phương trình: 2 1 x − 2 4 2 4 x + = 1 ⇔ x = 2 5 ⇒ x = 4 5 5 2 5 5 2
Diện tích hình phẳng cần tìm: 2 2
= π.2 −π.2.1− 4 2 1− − 1 x S x − dx = 3,71 ∫ 4 0
Câu 42: Tính diện tích S của miền hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số ( ) 3 2
f x = ax + bx + c , các
đường thẳng x =1, x = 2 và trục hoành cho trong hình dưới đây. Page 18
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A. 51 S = . B. 52 S = . C. 50 S = . D. 53 S = . 8 8 8 8 Lời giải
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số ( ) 3 2
f x = ax + bx + c , các đường thẳng x = 1 − , x = 2
và trục hoành được chia thành hai phần:
Miền D là hình chữ nhật có hai kích thước lần lượt là 1 và ⇒ S = 3. 1 3 1 f (x) 3 2
= ax + bx + c
Miền D gồm: = . 2 y 1 x = 1; − x = 2
Dễ thấy (C) đi qua 3 điểm A( 1; − )
1 , B(0;3) , C (2; )
1 nên đồ thị (C) có phương trình f (x) 1 3 3 2 = x − x + 3. 2 2 2 1 3 3 2 27
⇒ S = ∫ x − x +3−1 dx = . 2 − 2 2 8 1
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là 51
S = S + S = . 1 2 8
Câu 43: Cho hàm số f liên tục trên đoạn [ 6;
− 5], có đồ thị gồm 2 đoạn thẳng và nửa đường tròn như 5
hình vẽ. Tính giá trị I = f
∫ (x)+2dx . 6 −
A. I = 2π + 35 .
B. I = 2π + 34 .
C. I = 2π + 33.
D. I = 2π + 32 . Page 19
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Lời giải 5 5 I = f
∫ (x)+2dx = g
∫ (x)dx với g(x) = f (x)+ 2 có đồ thị như hình vẽ. 6 − 6 −
Có I = S + S + S + S trong đó: 1 2 3 4
( AB +CD).AD (1+3).4
S là diện tích hình thang vuông ABCD ⇒ S = = = 8 , 1 1 2 2
S là diện tích hình chữ nhật CDEF S 3.4 12 , 2 2 2 π
S là diện tích hình tròn tâm .2 ⇒ S = = 2π , 3
I , bán kính R = 2 3 2
(EF +GH ).EH (5+3).3
S là diện tích hình thang vuông EFGH ⇒ S = = =12 . 4 4 2 2
Suy ra I = 8 +12 + 2π +12 = 2π + 32.
Câu 44: Hình vuông OABC có cạnh bằng 4 được chia thành hai phần bởi đường cong (C) có phương trình 1 2
y = x . Gọi S , S lần lượt là diện tích của phần không bị gạch và bị gạch như hình vẽ 4 1 2 S
bên dưới. Tỉ số 1 bằng S2 Page 20
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A. 3 . B. 3. C. 1 . D. 2 . 2 2 Lời giải
Ta có diện tích hình vuông OABC là 16 và bằng S + S 1 2 . 16 4 4 3 1 16 − − 2 x 16 S 16 S S = x dx = = 3 ⇒ = = = 2 2 ∫ 1 2 4 12 3 S S 16 0 0 2 2 3
Câu 45: Kí hiệu S (t) là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x +1, y = 0, x =1, x = t
(t > )1. Tìm t để S (t) =10. A. t = 3 . B. t = 4. C. t =13 . D. t =14 . Lời giải t t
Cách 1. Ta có: S (t) = 2x + 1 dx = ∫ ∫(2x+ )1 dx. 1 1
Suy ra S (t) = ( 2
x + x) t 2 = t + t − 2. 1 t = 3 Do đó S (t) 2 2
=10 ⇔ t + t − 2 =10 ⇔ t + t −12 = 0 ⇔ . t = 4 − (L) Vậy t = 3 .
Cách 2. Hình phẳng đã cho là hình thang có đáy nhỏ bằng y( )
1 = 3, đáy lớn bằng y (t) = 2t +1
và chiều cao bằng t −1.
(3+ 2t + )1(t − )1 t = 3 Ta có 2
=10 ⇔ 2t + 2t − 24 = 0 ⇔
. Vì t >1 nên t = 3 2 t = 4 −
Do đó chọn đáp án A.
Câu 46: Cho parabol (P ) 2
: y = −x + 2x + 3 cắt trục hoành tại hai điểm ,
A B và đường thẳng d : y = a 1
(0 < a < 4) . Xét parabol (P đi qua , A B
= . Gọi S là diện 2 )
và có đỉnh thuộc đường thẳng y a 1 Page 21
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
tích hình phẳng giới hạn bởi (P và
S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P và trục 2 ) 1 ) d .Gọi 2
hoành. Biết S = S , tính 3 2
T = a −8a + 48a . 1 2 A. T = 99 . B. T = 64 . C. T = 32 . D. T = 72 . Lời giải
Để việc tính toán trở nên đơn giản, ta tịnh tiến hai parabol sang trái một đơn vị.
Khi đó, phương trình các parabol mới là (P ) 2 : y = −x + 4 : a
P y = − x + a . 1 ,( ) 2 2 4 Gọi ,
A B là các giao điểm của (P và trục Ox ⇒ A( 2;
− 0), B(2;0) ⇒ AB = 4. 1 ) Gọi ,
A B là giao điểm của (P và đường thẳng d ⇒ M (− 4− a;a), N ( 4− a;a). 1 ) 4 4 3 Ta có 4
S = 2 4 − y.dy = − ∫ (4− y) 4 2 = 4 − a 4 − a 1 ( ) 3 3 a a 2 2 3 a 2 ax 8 = 2 − + ∫ . = 2 a S x a dx − + ax = . 2 4 12 3 a 0 Theo giả thiết 4 = ⇒ ( − ) 8 4 4 a S S a − a = ⇔ (4 − a)3 2 3 2
= 4a ⇔ a −8a + 48a = 64 1 2 3 3 Vậy T = 64 .
Câu 47: Cho hàm số y = f (x) là hàm số đa thức bậc bốn và có đồ thị như hình vẽ.
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = f (x); y = f '(x) có diện tích bằng A. 127 . B. 127 . C. 107 . D. 13. 40 10 5 5 Lời giải Hàm số đã cho có dạng 4 3 2 3 2
f (x) = ax + bx + cx + dx + e ⇒ f '(x) = 4ax + 3bx + 2cx + d .
Từ giả thiết đồ thị hàm số đã cho ta thấy đồ thị hàm số đi qua các điểm ( 2; − 0) , ( 1; − 1) , (0;1) ,
(1;0) và có hai điểm cực tiểu là (1;0) , ( 2; − 0) nên ta có hệ Page 22
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN e = 1 f (0) = 1 e = 1 1 a = 4 f ( 2) − = 0
a + b + c + d = 1 − 1 f (1)
= 0 ⇔ 16a −8b + 4c − 2d = 1 − ⇔ b = . 2 f '( 2) − = 0 32
− a +12b − 4c + d = 0 3 − '(1) 0 4 3 2 0 c f a b c d = = + + + = 4 d = 1 − Do đó 1 4 1 3 3 2 3 3 2 3
f (x) = x + x − x − x +1⇒ f '(x) = x + x − x −1. 4 2 4 2 2
Xét phương trình hoành độ giao điểm f (x) = f '(x). x = 2 − 1 1 9 1 x = 1 − 4 3 2
⇔ x − x − x + x + 2 = 0 ⇔ . 4 2 4 2 x = 1 x = 4
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = f (x); y = f '(x) là 4 S =
f (x) − f (′x) dx ∫2− Vì biểu thức 1 4 1 3 9 2 1
f (x) − f (′x) = x − x − x + x + 2 không đổi đấu trên các khoảng ( 2 − ; 1) − , 4 2 4 2 ( 1; − 1) , nên ta có 1 S −
= ∫ [ f x − f x ] 1
dx + ∫ [ f x − f x ] 4
dx + ∫ [ f x − f x ] 107 ( ) '( ) ( ) '( ) ( ) '( ) dx = (dvdt). 2 − 1 − 1 5
Câu 48: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 2
my = x , mx = y (m > 0) . Tìm giá trị
của m để S = 3. A. m =1
B. m = 2
C. m = 3
D. m = 4 Lời giải Chọn C 2 my = x ( ) 1
Tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là nghiệm của hệ phương trình: 2 mx = y (2) 2 2 x x = 0 Thế vào ta được: 3 4
mx = ⇔ m x − x = 0 ⇔ m x = m > 0 2 Vì x y = > 0 nên 2 y>0 mx = y ← → y = mx m m 2 m 2
Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là: x x S = mx − dx = ∫
∫ mx − dx m m 0 0 Page 23
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN m 3 3 2 m x 1 1 2 2 2 = .x − = m = m 3 3m 3 3 0 Yêu cầu bài toán 1 2 2 m>0
S = 3 ⇔ m = 3 ⇔ m = 9← → m = 3 3
Câu 49: Cho hình thang cong (H ) giới hạn bởi các đường ex
y = , y = 0, x = 0 , x = ln 4 . Đường thẳng
x = k (0 < k < ln 4) chia (H ) thành hai phần có diện tích là S và S như hình vẽ bên. Tìm k 1 2 để S = 2S . 1 2 A. 4 k = ln 2 . B. 8 k = ln . C. k = ln 2 . D. k = ln 3. 3 3 Lời giải
Diện tích hình thang cong (H ) giới hạn bởi các đường ex
y = , y = 0, x = 0 , x = ln 4 là ln 4 ln 4 = exd = ex S x = ∫ ln 4 0 e − e = 4 −1 = 3 . 0 0 Ta có 1 3
S = S + S = S + S = S . Suy ra 2S 2.3 S = = = 2 . 1 2 1 1 1 2 2 1 3 3
Vì S là phần diện tích được giới hạn bởi các đường ex
y = , y = 0, x = 0 , x = k nên 1 k 2 = = e d = e k x x S x = k k − = − . 1 ∫ 0 e e e 1 0 0
Do đó ek = 3 ⇔ k = ln 3.
Câu 50: Hình phẳng (H ) được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số đa thức bậc bốn y = f (x) và y = g(x).
Biết rằng đồ thị cảu hai hàm số này cắt nhau tại đúng ba điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là 3
− ;−1; 2. Diện tích của hình phẳng (H) gần nhất với kết quả nào dưới đây? Page 24
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A. 3,11 B. 2,45 C. 3,21 D. 2,95 Lời giải Chọn A
f (x) − g (x) = a(x + 3)(x + )
1 (x − 2) = (ax + a)( 2 3 x − x − 2) 3 2 2
= ax − ax − 2ax + 3ax − 3ax − 6a 3 2
= ax + 2ax − 5ax − 6a
f (0) − g (0) = 6
− a , quan sát hình vẽ ta có f ( ) − g ( ) 3 3 9 0 0 = − + = 5 2 10 2 2 − Nên 9 3 3 253 6a a − − = ⇒ = S = f
∫ (x)− g(x) dx =∫ (x+3)(x+ )1(x−2) dx = = 3.1625 10 20 − − 20 80 3 3
Câu 51: Cho parabol (P) 2
: y = x và hai điểm ,
A B thuộc (P) sao cho AB = 2 . Diện tích lớn nhất của
hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng AB là A. 3 . B. 3 . C. 2 . D. 4 . 4 2 3 3 Lời giải
Gọi phương trình đường thẳng AB là: y = ax + b (a,b∈)
Phương trình giao điểm của AB và (P) là: 2
x − ax − b = 0
A(x ;ax + b 1 1 )
B ( x ;ax + b 2 2 ) Để có 2 điểm , A B thì 2
a + 4b > 0 . khi đó:
x + x = a 1 2 x x = b − 1 2 Nên AB = 2 ⇔ ( 2 a + ) 1 x − x = 2 2 1
Giả sử x > x ta có 2 x − x = ≤ 2 2 1 2 1 ( 2a + )1
Mặt khác: x − x = (x + x )2 2
− 4x x = a + 4b 2 1 2 1 1 2 2 x Khi đó 2 a
S = ax + b − x x = ∫ ( 2 2
x − x ) + b(x − x ) 1 d − ( 3 3 x − x 2 1 2 1 2 1 ) 2 3 1 x Page 25
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ( )a x x (x x ) 1 b ( 2 2 x x x x = − + + − + + 2 1 2 1 2 1 2 1 ) 2 3 2 2 ( + (x − x 2 1 )3 x x ) a 1 .a b a 2b a 4b 8 4 ( 2a b = − + − + = (x − x + = (x − x = ≤ = . 2 1 ) 2 1 ) 2 1 ) 2 3 b 3 6 6 6 3 a = 0 x + x = 0 Suy ra: 4 S = khi 1 2 ⇔ max 3 x x 2 − = x = x = 1 2 1 1 2 A(1; ) 1 A( 1; − ) 1 ⇒ hoặc . B ( 1; − ) 1 B (1; ) 1
Câu 52: Cho Parabol (P) 2
: y = x +1 và đường thẳng d : y = mx + 2 với m là tham số. Gọi m0 là giá trị
của m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và d là nhỏ nhất. Hỏi m0 nằm trong khoảng nào? A. 1 (− 2;− ) . B. . C. 1 ( 1; − ) . D. 1 ( ;3) . 2 2 2 Lời giải Chọn C
Phương trình hoành độ của (P) và d là 2
x − mx −1 = 0 ( ) 1 . Dễ thấy ( )
1 luôn có 2 nghiệm phân biệt. Gọi a, b (a < b) là các nghiệm của ( ) 1 thì diện tích
hình phẳng giới hạn bởi (P) và d là b b b = − − = ∫ ∫( − − ) 3 2 2 2 1 x mx 1 dx x mx S x mx dx = − − x 3 2 a a a 3 3 2 2 2 2 b − a m(b − a )
b + ab + a m(b+ a) = −
− (b− a) = b − a . − −1 3 2 3 2 2 b+ a − ab m b+ a = (b+ a)2 ( ) ( ) − 4ab. − −1 3 2 2 Mà m a + b = , m ab = 1 − nên 2 2 4 S = m + 4. + ≥ . 6 3 3 Do đó 4
min S = khi m = 0. 3
Câu 53: Cho hàm số f (x) xác định và liên tục trên đoạn [−5; ]
3 . Biết rằng diện tích hình phẳng
S , S , S giới hạn bởi đồ thị hàm số f (x) và đường parabol y = g (x) 2 = + + lần lượt là 1 2 3 ax bx c m,n, p . Page 26
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 3 Tích phân f
∫ (x)dx bằng −5 A. 208
−m + n − p − . B. 208
m − n + p + C. 208
m − n + p − . D. 208
−m + n − p + . 45 45 45 45 Lời giải Chọn B −2 −2 −2 −2 −2
S = f x − g x dx = f x dx − g x dx ⇒ f x dx = S + g x dx . 1 ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) 1 ∫ ( ) −5 −5 −5 −5 −5 0 0 0 0 0
S = g x − f x dx = g x dx − f x dx ⇒ f x dx = g x dx − S . 2 ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) 2 −2 −2 −2 −2 −2 −2 3 3 3 3
S = f x − g x dx = f x dx − g x dx ⇒ f x dx = S + g x dx . 3 ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) 1 ∫ ( ) −5 0 0 0 0 3 3
Do vậy: f (x)dx = S − S + S + g x dx ∫ 1 2 3 ( ) . ∫ −5 −5 3
Từ đồ thị ta thấy g(x)dx ∫
là số dương. Mà 4 đáp án chỉ có B là phù hợp, nên ta Chọn B −5 3
Chú ý: Có thể tính g(x)dx ∫ như sau: −5
Từ đồ thị hàm số y = g (x) ta thấy nó đi qua các điểm (−5;2), (−2;0), (0;0) nên ta có:
25a − 5b + c = 2 2 4 3 3 2 4 208
4a − 2b + c = 0 ⇒ a = , b =
, c = 0. Do đó: g ∫ (x) 2
dx = ∫ x + xdx = . 15 15 − − 15 15 45 c = 0 5 5 Page 27
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 54: Cho hàm số f (x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên. Biết rằng diện tích các phần π ( 2
A),(B) lần lượt bằng 3 và 7 . Tích phân cos x. f (5sin x − ∫ ) 1 dx bằng 0 A. 4 − B. 2 C. 4 D. 2 − 5 5 Lời giải Chọn A 1 4 4
Theo giả thiết ta có f
∫ (x)dx = 3 và f (x)dx = 7 − ∫
suy ra f (x)dx = 4 − ∫ . 1 − 1 1 −
Đặt t = 5sin x −1⇒ dt = 5cos xdx . π 2 4 4 Khi đó x f ( x − ) 1 x = f ∫ (t) 1 t = f ∫ (x) 4 cos . 5sin 1 d d dx = − ∫ . 5 − 5 − 5 0 1 1
Câu 55: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ và diện tích hai phần ,
A B lần lượt bằng 11 và 2. 0
Giá trị của I = f (3x + ∫ )1dx bằng 1 − A. 3. B. 13. C. 9. D. 13. 3 Lời giải Chọn A Page 28
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 0
+) Xét I = f (3x + ∫
)1dx , đặt (3 + )1 = ⇒ = 3 dt x t dt dx ⇒ dx = 3 1 − x = 1 − ⇒ t = 2 − +) Đổi cận
x = 0 ⇒ t = 1 1 0 1 1 ⇒ I = f ∫ (t) 1 f ∫ (t) f ∫ (t) 1 = (S − S = − = A B ) 1 dt= dt + dt (11 2) 3 3 − 3 − 3 3 2 2 0
Câu 56: Hình phẳng (H ) được giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm đa thức bậc ba và parabol
(P) có trục đối xứng vuông góc với trục hoành. Phần tô đậm của hình vẽ có diện tích bằng A. 37 . B. 7 . C. 11 . D. 5 . 12 12 12 12 Lời giải Cách 1: Gọi hàm số bậc ba là 3 2
y = ax + bx + cx + d 2
⇒ y ' = 3ax + 2bx + c .
Đồ thị (C) đi qua các điểm (1;0),(2; 2
− ) và đạt cực trị tại x = 0; x = 2 nên ta có hệ sau :
0 = a + b + c + d a =1
2 8a 4b 2c d b − = + + + = 3 − ⇔ . 0 = c c = 0
0 =12a + 4b + c d = 2 Suy ra hàm số bậc ba là 3 2
y = x − 3x + 2. Gọi hàm bậc hai là 2
y = mx + nx + p . Đồ thị (P) đi qua các điểm (1;0), (2; 2 − ), ( 1; − 2 − ) nên ta có hệ sau :
0 = m + n + p m = 1 − 2 4m 2n p − = + + ⇔ n =1 . 2 m n p − = − + p = 0
Suy ra hàm số bậc hai là 2
y = −x + x . Page 29
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Phương trình hoành độ giao điểm của (C)và (P) là : x = 1 − 3 2 2 3 2 x 3x 2 x x x 2x x 2 0 − + = − + ⇔ − − + = ⇔ x =1 . x = 2 2
Vậy diện tích phần tô đậm là : S = ∫ ( 3 2
x − 2x − x + 2) dx . 1 − 1
S = (x − x − x + ) 2 3 2 dx + ( 3 2
x − x − x + ) 8 5 37 2 2 2 2 dx = + = ∫ ∫ . − 3 12 12 1 1 Cách 2:
Vì đồ thị hàm bậc ba và đồ thị hàm bậc hai cắt trục tung tại các điểm có tung độ lần lượt là
y = 2, y = 0 nên ta xét hai hàm số là 3 2
y = ax + bx + cx + 2 , 2
y = mx + nx .
* Vì đồ thị hai hàm số cắt nhau tại các điểm có hoành độ lần lượt là x = 1;
− x =1; x = 2 nên ta
có phương trình hoành độ giao điểm: 3 2 2
ax + bx + cx + 2 = mx + nx ⇔ a(x + ) 1 (x − )
1 (x − 2) = 0 . Với x = 0 ta được 2a = 2 → a =1. 2
*Vậy diện tích phần tô đậm là: S = (x + )(x − )(x − ) 37 1 1 2 dx = ∫ . − 12 1 2
Câu 57: Parabol = x y
chia hình tròn có tâm là gốc tọa độ, bán kính bằng 2 2 thành hai phần có diện 2 tích S S S < S S 1 và 2 , trong đó 1 2 . Tìm tỉ số 1 . S2 π π π π A. 3 + 2 . B. 9 − 2 . C. 3 + 2 . D. 3 + 2 . 12π 3π + 2 9π − 2 21π − 2 Lời giải Diện tích hình tròn là 2
S = π R = 8π .
Phương trình đường tròn tâm O(0;0), bán kính R = 2 2 là 2 2 x + y = 8 . Page 30
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 4
Hoành độ giao điểm của Parabol và đường tròn là nghiệm của phương trình 2 + x x = 8 4 x = 2 4 2
⇔ x + 4x − 32 = 0 ⇔ ( 2 x + )( 2 8 x − 4) = 0 2 ⇔ x − 4 = 0 ⇔ . x = 2 −
Phương trình nửa phía trên trục Ox của đường tròn là: 2 y = 8 − x .
Diện tích miền giới hạn bởi Parabol và nửa phía trên trục Ox của đường tròn là: 2 2 2 2 1 2 ∫ x 8 − x − dx 2 2 = 8 − x dx − ∫ ∫ x dx − 2 − 2 2 2 2 − 2 2 3 16 Ta có 2 = = ∫ x x dx . − 3 3 2 2 − 2 2 I = 8 − ∫ x dx 2 − π π
Đặt x = 2 2 sin t t ∈ − ;
⇒ dx = 2 2 costdt 2 2 π +) x = 2 − ⇒ t = − 4 π
+) x = 2 ⇒ t = . 4 π π π π 4 4 4 4 2 I = 8 −8sin t.2 2 cos ∫ tdt 2 = 8 cos ∫
tdt = 4 ∫ (1+cos2t)dt = 4 ∫ (1+cos2t)dt π π π π − − − − 4 4 4 4 π 4 1 4 t sin 2 = + t = 2π + 4 . 2 π −4 2 2 Vậy 4 2 ∫ x 8 − x − dx = 2π + . 3 − 2 2
Diện tích phần còn lại là 4 4 8π − 2π + = 6π − . 3 3 S π + Vậy 4 3 2 S = 2π + ; 4 S = 6π − 1 ⇒ = 1 3 2 3 S 9π − 2 2 2 2 2
Câu 58: Tìm số thực + + −
a để hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm x 2ax 3a y = và a ax y = có 6 1+ a 6 1+ a diện tích lớn nhất. A. 1 . B. 1. C. 2. D. 3 3 . 3 2 Page 31
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là: 2 2 2
x + 2ax + 3a a − ax x = −a 2 2 =
⇔ x + 3ax + 2a = 0 ⇔ x + a x + 2a = 0 ⇔ 6 6 ( )( ) 1+ a 1+ a x = 2 − a
Nếu a = 0 thì diện tích hình phẳng S = 0 . −a 2 2 −a 2 2 3 + Nếu a + + + + > 0 thì x 3ax 2a x 3ax 2a 1 = d = − d = . a S x x ∫ 6 ∫ . 6 6 + + + − 1 a − 1 a 6 1 a 2a 2a 2 − a 2 2 2 − a 2 2 3 + Nếu a + + + + < 0 thì x 3ax 2a x 3ax 2a 1 = d = − d = − . a S x x ∫ 6 ∫ . 6 6 + + + − 1 a − 1 a 6 1 a a a 3 3 a a Do đó, với 1 1 1
a ≠ 0 thì S = . ≤ . = . 6 3 6 1+ a 6 2 a 12
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi 3 a =1 ⇔ a = 1 ± .
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai hàm đã cho có diện tích lớn nhất khi a =1.
Câu 59: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên , đồ thị hàm số y = f (x) như hình vẽ. Biết diện tích
hình phẳng phần sọc kẻ bằng 3. Tính giá trị của biểu thức: 2 3 4 T = f ′
∫ (x+ )1dx + f ′
∫ (x− )1dx + f ∫ (2x−8)dx 1 2 3 A. 9 T = . B. T = 6 . C. T = 0 . D. 3 T = . 2 2 Lời giải 0
Diện tích phần kẻ sọc là: S = f ∫ (x) dx = 3. 2 − 0 0 0
Vì f (x) ≤ 0 x ∀ ∈[ 2; − 0] ⇒ 3 = f
∫ (x) dx = − f ∫ (x)dx ⇔ f (x)dx = 3 − ∫ . 2 − 2 − 2 − 4 Tính I = f ∫ (2x−8)dx . 3
Đặt t = 2x −8 ⇒ dt = 2dx ; x = 3 ⇒ t = 2
− ; x = 4 ⇒ t = 0. Page 32
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 0 0 Suy ra: I = f ∫ (t) 1. dt 1 = f ∫ (x)dx 3 = − . 2 2 − 2 2 2 − 2 3 4
Vậy T = f ′
∫ (x+ )1dx + f ′
∫ (x− )1dx + f ∫ (2x−8)dx 1 2 3 = f (x + ) 2 1 + f (x − ) 3
1 + I = f ( ) − f ( ) + f ( ) − f ( ) 3 3 2 2 1 − = − (− ) 3 3 2 1 − = . 1 2 2 2 2 Câu 60: Cho hàm số 4 2
y = x − 6x + m có đồ thị (C . Giả sử (C cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt m ) m )
sao cho hình phẳng giới hạn bởi (C và trục hoành có phần phía trên trục hoành và phần phía m )
dưới trục hoành có diện tích bằng nhau. Khi đó a
m = . Giá trị của biểu thức S = a + b là: b A. 7. B. 6. C. 5. D. 4. Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm: 4 2
x − 6x + m = 0 ( ) 1 . Đặt 2
t = x (t ≥ 0) ( )
1 trở thành 2t − 6t + m = 0 (2) .
(C cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt thì phương trình ( )1 có 4 nghiệm phân biệt hay m ) ′ ∆ = (− )2 3 − m > 0
phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt ⇔ P = m > 0
⇔ 0 < m < 9 (*) . S = 6 > 0
Gọi t t (0 < t < t là hai nghiệm của phương trình (2) . Lúc đó phương trình ( ) 1 có bốn 1 2 ) 1 , 2
nghiệm phân biệt theo thứ tự tăng dần là: x = − t x = − t x = t x = t 1 2 ; 2 1 ; 3 1 ; 4 2 . 3 x 4 x
Do tính đối xứng của đồ thị (C nên có ∫( 4 2
x − 6x + m)dx = ∫( 4 2
−x + 6x − m) m ) dx 0 3 x 5 x4 3 ⇒ − 2x + mx = 0 5 3
⇔ x −10x + 5mx = 0. 4 4 5 4 4 4 4 2
x − 6x + m = 0 3 4 4 ( )
Từ đó có x là nghiệm của hệ phương trình: ⇔ 4 4 2
x −10x + 5m = 0 (4) 4 4 Lấy (3) −(4) 2 ⇒ x = m x = m 3 − = 4 , thay 24 vào ( ) có: 2
m 5m 0 ⇒ m = 0 ∨ m = 5 .
Đối chiếu điều kiện (*) ta có m = 5 ⇒ a = 5 và b =1. Vậy S = 6 .
Câu 61: Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số đa thức bậc ba và parabol có trục đối xứng
vuông góc với trục hoành. Phần tô đậm như hình vẽ có diện tích bằng Page 33
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A. 37 . B. 7 . C. 11 . D. 5 . 12 12 12 12 Lời giải Chọn A +) Gọi (C) 3 2
: y = ax + bx + cx + d (a ≠ 0)
Do (C) cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng 2 nên d = 2
(C) đi qua 3 điểm A( 1; − 2
− ), B(1;0) và C(2; 2
− ) nên ta được hệ phương trình
−a + b − c = 4 − a = 1
a + b + c = 2 − ⇔ b = 3 − . Do đó (C) 3 2
: y = x − 3x + 2 4a 2b c 2 + + = − c = 0 +) Gọi (P) 2
: y = mx + nx + r (m ≠ 0)
Do (P) đi qua 3 điểm a( 1; − 2
− ), O(0;0) và C(2; 2 − ) nên ta được
m − n + r = 2 − m = 1 − r = 0
⇔ r = 0 . Do đó (P) 2
: y = −x + x 4m 2n r 2 + + = − n = 1 MTCT Vậy 2 37 3 2 ( S =
x − x − x + dx = ∫ H) 2 2 1 − 12
Câu 62: Cho các số p,q thỏa mãn các điều kiện: p >1, q >1, 1 1
+ =1 và các số dương a,b . Xét hàm p q số: p 1 y x − =
(x > 0) có đồ thị là (C). Gọi (S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục 1 )
hoành, đường thẳng x = a , Gọi (S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục tung, đường 2 )
thẳng y = b, Gọi (S ) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, trục tung và hai đường
thẳng x = a , y = b. Khi so sánh S + S và 1 2
S ta nhận được bất đẳng thức nào trong các bất đẳng thức dưới đây? Page 34
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN p q p 1 − q 1 − p 1 + q 1 + p q A. a b + ≤ ab B. a b +
≥ ab . C. a b +
≤ ab . D. a b + ≥ ab . p q p −1 q −1 p +1 q +1 p q Lời giải
Ta có: S ≤ S + S . 1 2 b 1 a 1 + a 1 p 1 b b − q q − y y b = ∫( p p p 1 − d x a S x x = = ; p 1
S = y dy = = ∫ = . 1 ) p p 2 1 + q q 0 0 0 1 0 p 1 − 0 p q Vì: 1 p 1 1 +1 = = = = q . Vậy a b + ≥ ab . p −1 p −1 1 1 1− p q p q
Câu 63: Cho khối trụ có hai đáy là hai hình tròn ( ;
O R) và (O ;′ R) , OO′ = 4R . Trên đường tròn ( ; O R) lấy hai điểm ,
A B sao cho AB = a 3 . Mặt phẳng (P) đi qua A , B cắt đoạn OO′ và tạo với
đáy một góc 60°, (P) cắt khối trụ theo thiết diện là một phần của elip. Diện tích thiết diện đó bằng π π π π A. 4 3 2 2 3 2 3 4 3 + R . B. 2 − R . C. 2 + R . D. 2 − R . 3 2 3 4 3 4 3 2 Lời giải Page 35
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Cách 1: Gọi I, H, K, E là các điểm như hình vẽ. * Ta có: IHO = 60° 2 2 2 2 2 2 3R R OH R 3
= OB − BH = R − = R
⇒ OH = ⇒ OI = OH.tan 60° = , 4 4 2 2 OH IH = = R , IE OK IO ∆ H E ∆ KH nên ta có: =
= 2 ⇒ IE = 2R . cos60° IH OH
* Chọn hệ trục tọa độ Ixy như hình vẽ ta có elip (E) có bán trục lớn là a = IE = 2R và (E) đi 2 2 qua R 3 A x y − ; R
nên (E) có phương trình là (E) : + = 1. 2 2 2 4R R 2R 2 2R 2
* Diện tích của thiết diện là = 2 1 x − d = 2 1 x S R x R − dx ∫ 2 ∫ 2 − 4R − 4R R R 2R 2 π π * Xét tích phân: = 1 x I − dx ∫ , đặt x = 2 . R sin t; ; t ∈ − ta được 2 2 2 − 4R R π π 2 R π π I 4 3 = ∫ ( + t) 2 R sin 2t 2 3
1 cos 2 dt = t + = + R 2 ⇒ S = + R . 2 2 2 π π 3 4 − 3 8 − 6 6 2 2 2 Cách 2:
OA + OB − AB 1 = = − ⇒ cos =120 R AOB AOB ° ⇒ OH = . 2. . OAOB 2 2
Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ
⇒ Phương trình đường tròn đáy là 2 2 2 2 2
x + y = R ⇔ y = ± R − x .
Hình chiếu của phần elip xuống đáy là miền sọc xanh như hình vẽ. R π Ta có 2 2 2 3 S = 2 R − x d . x ∫ Đặt x = . R sin t 2 ⇒ S = + R . 3 4 R − 2
Gọi diện tích phần elip cần tính là S .′ Page 36
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN π
Theo công thức hình chiếu, ta có S 4 3 2 S′ = = 2 S = + R . cos60 3 2 °
Câu 64: Cho parabol (P) 2
: y = x và một đường thẳng d thay đổi cắt (P) tại hai điểm A , B sao cho
AB = 2018. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng d . Tìm giá trị lớn
nhất S của max S. 3 3 3 3 A. 2018 1 S + = . B. 2018 S = . C. 2018 1 S − = . D. 2018 S = . max 6 max 3 max 6 max 3 Lời giải Giả sử 2 ( A ; a a ) ; 2 B( ;
b b )(b > a) sao cho AB = 2018.
Phương trình đường thẳng d là: y = (a + b)x − ab . Khi đó b b 2
S = a + b x − ab − x x = ∫ ∫( a +b) 2
x − ab − x ) 1 ( ) d
dx = (b − a)3 . 6 a a Vì AB =
⇔ (b − a)2 + ( 2 2 b − a )2 2 =
⇔ (b − a)2 ( +(b + a)2 ) 2 2018 2018 1 = 2018 . 3 3 ⇒ (b − a)2 2 ≤ 2018 2018
⇒ b − a = b − a ≤ 2018 ⇒ S ≤ . Vậy 2018 S = khi a = 1009 − và 6 max 6 b =1009 . Câu 65: Cho hàm số 4 2
y = ax + bx + c có đồ thị (C), biết rằng (C) đi qua điểm A( 1;
− 0) , tiếp tuyến d
tại A của (C) cắt (C) tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 0 và 2 và diện tích hình phẳng giới
hạn bởi d , đồ thị (C) và hai đường thẳng x = 0 ; x = 2 có diện tích bằng 28 . 5
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và hai đường thẳng x = 1
− ; x = 0 có diện tích bằng A. 2 . B. 1 . C. 2 . D. 1 . 5 4 9 5 Lời giải Ta có 3
y′ = 4ax + 2bx ⇒ d : y = ( 4
− a − 2b)(x + ) 1 .
Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là: (− a − b)(x + ) 4 2 4 2
1 = ax + bx + c( ) 1 . Page 37
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Phương trình ( )
1 phải cho 2 nghiệm là x = 0 , x = 2 . 4
− a − 2b = c ⇒ 12
− a − 6b =16a + 4b + c 4
− a − 2b − c = 0(2) ⇔ .
28a +10b + c = 0 (3) 2
Mặt khác, diện tích phần tô màu là 28 = ∫ ( 4
− a − 2b)(x + ) 4 2
1 − ax − bx − c dx 5 0 28 ⇔
= (− a − b) 32 8 4 4 2 −
a − b − 2c 112 32 28 ⇔ a + b + 2c = − (4). 5 5 3 5 3 5
Giải hệ 3 phương trình (2) , (3) và (4) ta được a =1, b = 3 − , c = 2 . Khi đó, (C) 4 2
: y = x − 3x + 2, d : y = 2(x + ) 1 . 0 0 Diện tích cần tìm là 4 2
S = x − 3x + 2 − 2 ∫ (x + )1dx 4 2 1
= (x −3x − 2x)dx = ∫ . − 5 1 − 1
Câu 66: Đặt S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số 2
y = 4 − x , trục hoành và đường thẳng x = 2
− , x = m , ( 2
− < m < 2) . Tìm số giá trị của tham số m để 25 S = . 3 A. 2 . B. 3. C. 4 . D. 1. Lời giải m Ta có 2 25
S = 4 − x dx = ∫ . − 3 2 Phương trình 2
4 − x = 0 ⇔ x = 2 ± . Bài ra 2
− < m < 2 nên trên ( 2; − m) thì 2
4 − x = 0 vô nghiệm. m 25 m − x x = ⇔ ∫ ∫ ( − x ) 3 m 2 2 25 x 25 4 d 4 dx = ⇔ 4x − = − 3 − 3 3 − 3 2 2 2 3 3 m 8 25 m 16 25 ⇔ 4m − − 8 − + = ⇔ 4m − + = 3 3 3 3 3 3 3 m 16 25 1 3 4m − + = m − 4m + 3 = 0 3 3 3 3 3
m −12m + 9 = 0 ⇔ ⇔ ⇔ ( ) 1 3 3 m 16 25 1 3 41
m −12m − 41 = 0 4m − + = − m − 4m − = 0 3 3 3 3 3
Xét hàm số f (m) 3
= m −12m , với m∈( 2; − 2) có f ′(m) 2 = m − = ( 2 3
12 3 m − 4) < 0 , m ∀ ∈( 2; − 2) .
Do đó f (m) nghịch biến trên (− ) ⇒ f (m) < f (− ) 3 2;2
2 =16 ⇒ m −12m − 41< 0. Khi đó ( ) 21 3 1 3 m 12m 9 0 (m 3)( 2
m 3m 3) 0 m − ⇔ − + = ⇔ − + − = ⇒ = thỏa mãn. 2 Page 38
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Vậy chỉ có 21 3 m − = thỏa mãn bài toán. 2
Câu 67: Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho parabol (P) 2
: y = x và hai đường thẳng y = a , y = b
(0 < a < b) . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) và đường thẳng y = a ; 1
(S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) và đường thẳng y = b . Với điều kiện nào 2 )
sau đây của a và b thì S = S ? 1 2 A. 3 b = 4a . B. 3 b = 2a . C. 3 b = 3a . D. 3 b = 6a . Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của parabol (P) 2
: y = x với đường thẳng y = b là 2
x = b ⇔ x = ± b .
Phương trình hoành độ giao điểm của parabol (P) 2
: y = x với đường thẳng y = a là 2
x = a ⇔ x = ± a .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) 2
: y = x và đường thẳng y = b là b 3 b x b b 4b b S = 2 ∫ ( 2
b − x )d x = 2bx − = 2b b − = . 3 3 3 0 0
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) 2
: y = x và đường thẳng y = a là a 3 a x a a 4a a S = 2 ∫ ( 2
a − x d x = 2ax − = 2a a − = . 1 ) 3 3 3 0 0 3 3 Do đó S = 2S 4b b 4 2. a a ⇔ =
⇔ ( b) = 2( a ) 3 ⇔ b = 2 a 3 ⇔ = . 1 b 4a 3 3 2
Câu 68: Cho hình phẳng giới hạn bởi Elip x 2 3 + y =1, parabol 2 y =
x và trục hoành có diện tích 4 2 a c T = π +
3 . Tính S = a + b + c + d . b d Page 39
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A. S = 32 . B. S =10 . C. S =15 . D. S = 21. Lời giải 2 2 Ta có: x 2 + = 1⇒ = ± 1 x y y − 4 4 2 Hoành độ giao điểm 1 x 3 y = − và parabol 2 y = x là 4 2 2 x 3 2 4 2 2 1− =
x ⇒ 3x + x − 4 = 0 ⇒ x =1⇒ x =1 4 2 1 2 2 Vậy 3 2 = + 1 x T x dx − dx ∫ 2 ∫ 4 0 1 1 1 3 Mà 3 2 3x 3 x dx = = ∫ 2 6 6 0 0 2 2 2 Ta có: x 1 2 I = 1− dx = 4 − x dx ∫ x = t ta có: 4 2 ∫ . Đặt 2cos 1 1 π π 2 0 3 3 π 2 4 2 3 − x dx = ∫ 2 4sin t. ∫ ( 2 − sin t)dt 2
= 4 sin tdt = 2 (1− cos 2t)dt = − ∫ ∫ 3 2 1 π 0 0 3 Do đó 1 1 T . − = π + . 3 nên S =15 3 12 Câu 69: Cho hàm số 3 2
y = x + ax + bx + c (a,b,c∈) có đồ thị (C) và 2
y = mx + nx + p ( , m , n p ∈ )
có đồ thị (P) như hình vẽ. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và (P) có giá trị nằm
trong khoảng nào sau đây? Page 40
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A. (0; ) 1 . B. (1;2) . C. (2;3). D. (3;4). Lời giải
Căn cứ đồ thị ta thấy + Hàm số 3 2
y = x + ax + bx + c đạt cực trị tại x = 1 ± nên ta có y′( ) 1 = 0
2a + b + 3 = 0 a = 0 ⇔ ⇔ . y′ (− ) 1 = 0 2
− a + b + 3 = 0 b = 3 − + Hàm số 2
y = mx + nx + p đạt cực đại tại x = 1
− và (P) cắt (C) tại hai điểm có hoành độ x = 1 ± nên ta có 2 − m + n = 0 n = 2 − 1 a b c m n p + + + = + + ⇔ m = 1 − 1 a b c m n p − + − + = − + p − c = 1 1 1 Suy ra S = ( 2 3 2
mx + nx + p − x − ax − bx − x)dx = ( 3 2
−x − x + x + ) 4 1 dx = ∈ ∫ ∫ (1;2) − − 3 1 1 Page 41
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
DẠNG 2. ỨNG DỤNG TICH PHAN DỂ TIM THỂ TICH
Thể tích vật thể
Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b, S(x)
là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x,
(a ≤ x ≤ b). Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn [ ;
a b]. Khi đó, thể tích của vật thể b
B được xác định: V = S(x)dx . ∫ a
Thể tích khối tròn xoay
a) Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f (x), trục
hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox : y y = f (x) (
C) : y = f (x) (
Ox) : y = 0 b V = π a ∫ f x dx x [ ]2 ( ) O b x x = a a x = b
b) Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g(y), trục
hoành và hai đường thẳng y = c, y = d quanh trục Oy : y d (
C) : x = g(y) (
Oy) : x = 0 d 2 V g (y) dy y = c y c c y = d O x
c) Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f (x),
y = g(x) Page 42
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 70: Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi các đường 2 y = x + 3, 0 y = , x = 0, 2
x = . Gọi V là thể tích
khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H ) xung quanh trục Ox . Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 2
A. V = π ∫(x +3)2 2
dx . B. V = ∫( 2x +3)dx. 0 0 2 2
C. V = ∫(x +3)2 2
dx . D. V = π ∫( 2x +3)dx . 0 0 Lời giải 2
Thể tích của vật thể được tạo nên là V = π ∫(x +3)2 2 d . x 0
Câu 71: Gọi V là thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số π
y = sin x , trục Ox, trục Oy và đường thẳng x = , xung quanh trục Ox. Mệnh đề nào 2 dưới đây đúng? π π π π 2 2 2 2 A. 2 V = sin xdx ∫
B. V = sin xdx ∫ C. 2 V = π sin xdx ∫
D. V = π sin xdx ∫ 0 0 0 0 Lời giải b Công thức tính: 2 V = π f ∫ (x)dx a
Câu 72: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số 2
y = x − 2x , trục hoành, đường thẳng x = 0 và x =1quanh trục hoành bằng A. 16π . B. 2π . C. 4π . D. 8π . 15 3 3 15 Lời giải 1 1 1 5 3 π
Ta có V = π ∫(x − x)2 2 x = π ∫( 4 3 2
x − x + x ) x 4 4x 1 4 8 2 d 4 4
dx = π. − x + = π. − 1+ = . 5 3 5 3 15 0 0 0 Page 43
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 73: Cho miền phẳng (D) giới hạn bởi y = x , hai đường thẳng x =1, x = 2 và trục hoành. Tính
thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) quanh trục hoành. π π A. 3π . B. 3 . C. 2 . D. 3 . 2 3 2 Lời giải Chọn B 2 2 2 π x 3π V = π xdx ∫ = = . 2 2 1 1
Câu 74: Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi các đường 2
y = 2x − x , y = 0. Quay (H ) quanh trục hoành
tạo thành khối tròn xoay có thể tích là 2 2 2 2 A. ( 2 2 − ∫ x x )dx B. π (2 − ∫ x x )2 2 dx C. (2 − ∫ x x )2 2 dx D. π ( 2 2 − ∫ x x )dx 0 0 0 0 Lời giải Chọn B 2
Theo công thức ta chọn V = π (2x − ∫ x )2 2 dx 0
Câu 75: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường π
y = tan x, y = 0, x = 0, x = quay xung quanh trục Ox 4
. Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra. A. π ln 2 . B. π ln 3 2 4 C. π . D. π ln 2 . 4 Lời giải
Thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra là π π π π 4 V = π ( x cosx tan x ) 4 4 4 2 sin d( ) .dx = π tan .d x x = π .dx = π − ∫ ∫ ∫ cosx ∫ cosx 0 0 0 0 = − ( π π π ln cosx ) 1 ln 2 4 = π − ln = . 0 2 2
Câu 76: Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng ( 1
H ) xác định bởi các đường 3 2
y = x − x , y = 0 3
, x = 0 và x = 3 quanh trục Ox là π π A. 81 . B. 81 . C. 71 . D. 71 . 35 35 35 35 Lời giải
Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng (H ) quanh trục Ox là : Page 44
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 3 2 3 1 3 2 1 6 2 5 4 81π V = π x − x ∫
dx = π ∫ x − x + x dx = . 3 9 3 35 0 0 π
Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là : 81 V = . 35
Câu 77: Thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parapol : 2
y = x và đường thẳng d:
y = 2x quay xung quanh trục Ox bằng: 2 2 A. 2
π (2x − x )dx ∫ . B. 2 2
π (x − 2x) dx ∫ . 0 0 2 2 2 2 C. 2 4
π 4x dx +π x dx ∫ ∫ . D. 2 4
π 4x dx −π x dx ∫ ∫ . 0 0 0 0 Lời giải x = 0
Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: 2 x = 2x ⇔ x = 2 2 2 2 2 Ta có: 2 2 2 2 4 V = π x −π x = π x −π x Ox (2 ) dx ( ) dx 4 dx dx ∫ ∫ ∫ ∫ 0 0 0 0
Câu 78: Tính thể tích của vật thể tạo nên khi quay quanh trục Ox hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị (P) 2
: y = 2x − x và trục Ox bằng: A. 19π π π π V = . B. 13 V = . C. 17 V = . D. 16 V = . 15 15 15 15 Lời giải
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và trục Ox : x = 0 2
2x − x = 0 ⇔ . x = 2 Khi đó: Page 45
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 2 2
V = π ∫( x − x ) 2 2 2 x = π ∫( 2 3 4
x − x + x ) 4 3 4 1 5 16 2 d 4 4
dx = π x − x + x = π . 3 5 15 0 0 0
Câu 79: Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành do quay xung quanh trục hoành một elip có phương 2 2 trình x y +
= 1. V có giá trị gần nhất với giá trị nào sau đây? 25 16 A. 550 B. 400 C. 670 D. 335 Lời giải Chọn D
Quay elip đã cho xung quanh trục hoành chính là quay hình phẳng: 2 4 1 x H y , y 0, x 5, x 5 = = − = = − = . 25
Vậy thể tích khối tròn xoay sinh ra bởi H khi quay xung quanh trục hoành là: 2 3 5 16x 16x 5 320π V = π ∫ 16− dx = π 16x − = 335,1 5 − 25 75 5 − 3
Câu 80: Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi các đường 2
y = x − 2x , trục hoành và đường thẳng x =1.
Tính thể tích V hình tròn xoay sinh ra bởi (H ) khi quay (H ) quanh trục Ox . π A. 4π π π V = . B. 16 V = . C. 7 V = . D. 15 V = . 3 15 8 8 Lời giải Chọn B
Theo đề, ta có hình vẽ sau: y x =1 2
y = x − 2x 1 2 O x
Nhận xét: Khi nhìn vào hình vẽ. Đường thẳng x =1chia hình phẳng giới hạn bởi đường 2
y = x − 2x và trục hoành làm 2 phần. Dễ thấy lúc này hình phẳng (H ) không thể xác định vì
phần hình giới hạn bởi x = 0 đến x =1và x =1đến x = 2 chưa rõ ràng.
Nếu xét phần tròn xoay khi xoay hình phẳng quanh trục Ox khi x = 0 đến x = 2 thì không có đáp
án trong bài, đồng thời đề cho thêm đường thẳng x =1 là không cần thiết.
Do đó để bài toán có đáp án và rõ ràng hơn ta điều chỉnh đề như sau: Page 46
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi đường 2
y = x − 2x , trục hoành. Tính thể tích V hình tròn xoay
sinh ra bởi (H ) khi quay (H ) quanh trục Ox . 2 = −
Hình phẳng (H ) giới hạn bởi y x 2x . y = 0
Ta có phương trình hoành độ giao điểm của 2
y = x − 2x và y = 0 là: x = 0 2
x − 2x = 0 ⇔ x = 2
Khi đó thể tích V hình tròn xoay sinh ra bởi (H ) khi quay (H ) quanh trục Ox là: 2 π
V = π x − x x 16 = . Ox ∫( 2 )2 2 d 15 0
Câu 81: Cho hình phẳng (D) được giới hạn bởi hai đường y = ( 2 2 x − ) 1 ; 2
y =1− x . Tính thể tích khối
tròn xoay tạo thành do (D) quay quanh trục Ox . A. 64π . B. 32 . C. 32π . D. 64 . 15 15 15 15 Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số y = ( 2 2 x − ) 1 và 2 y =1− x là ( 2x − ) 2 2
1 =1− x ⇔ x = 1 ± .
Lấy đối xứng đồ thị hàm số y = ( 2 2 x − )
1 qua trục Ox ta được đồ thị hàm số y = ( 2 2 1− x ) . Ta có ( 2 − x ) 2 2 1 ≥ 1− x , x ∀ ∈[ 1; − ]
1 . Suy ra thể tích khối tròn xoay cần tìm là 1 π V = π ∫ (x − ) 2 2 64 2 1 dx = . − 15 1
Câu 82: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = tan x , y = 0, x = 0 , x π = quay xung quanh trục 4
Ox . Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: Page 47
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A. 5 B. 1 π π − π C. 3 D. 1 π + π 4 2 2 Lời giải Chọn B π π 4 4 1 2 2 2 tan x sin d ∫ ∫ (tanx) t V xd x dt ∫ 1 π = π = π = π = π − 2 t 1 4 + 0 0 0
Câu 83: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x − 2, y = 0 và x = 9 quay xung quanh trục Ox
. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành. A. 7 π π π V = . B. 5 V = . C. 7 V = . D. 11 V = . 6 6 11 6 Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x − 2 và trục hoành: x − 2 = 0
⇔ x = 2 ⇔ x = 4.
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành là: 9 9 9 2
V = π ∫( x −2)2 dx =π ∫(x −4 x + 4)dx x 8x x = π − + 4x 2 3 4 4 4 81 16 64 11π = π − 72 + 36 −π − + 16 = . 2 2 3 6
Câu 84: Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình (H ) quanh Ox với (H )
được giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
y = 4x − x và trục hoành. π π π A. 31 . B. 32 . C. 34 . D. 35π . 3 3 3 3 Lời giải Điều kiện xác định: 2
4x − x ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 4.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số 2
y = 4x − x và trục hoành x = 0 2 4x − x = 0 2
⇔ 4x − x = 0 ⇔ . x = 4
Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình (H ) quanh Ox là : 4 4 V 32 = π ∫( 2
4x − x )2dx = π ∫( 2
4x − x )dx = π . 0 0 3
Vậy thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình (H ) quanh Ox là 32π . 3
Câu 85: Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi đồ thị 2
y = 2x − x và trục hoành. Tính thể tích V vật thể
tròn xoay sinh ra khi cho (H ) quay quanh Ox . Page 48
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A. 4 V = π . B. 16 V = π . C. 16 V = . D. 4 V = . 3 15 15 3 Lời giải x = 2
Phương trình hoành độ giao điểm của (H ) với trục hoành: 2 1
2x − x = 0 ⇔ . x = 0 2
Vậy thể tích khối tròn xoay sinh ra do (H ) quay quanh Ox là: 2 2 2 5
V = π ∫(2x − x )2 2 .dx 4 x 16 = π ∫( 2 3 4
4x − 4x + x ).dx 3 4
= π. x − x + = π . 3 5 15 0 0 0
Câu 86: Tính thể tích vật tròn xoay tạo bởi miền hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x + 3 ,
y = − x + 3 , x =1 xoay quanh trục Ox . A. 41π . B. 43π . C. 41π . D. 40 π . 2 2 3 3 Lời giải Page 49
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN x + 3 = 0
Xét phương trình x + 3 = − x + 3 ⇔ ⇔ x = 3 − . x + 3 = 1 −
Xét hình (H ) giới bởi đồ thị các hàm số y = x + 3 ( 3 − ≤ x ≤ 2
− ), y = x + 3 ( 2 − ≤ x ≤ ) 1 , y = 0 và x =1.
Thể tích vật thể tròn xoay cần tìm chính bằng thể tích của vật thể tròn xoay thu được khi quay
quanh hình (H ) quanh trục Ox . Do đó 2 − 2 1 π V π x = + x +π ∫ ∫ (x+ )2 43 3 d 3 dx = . 3 − 2 − 2
Câu 87: Ký hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 = ( ) = . x y f x
x e , trục hoành, đường
thẳng x =1. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay (H ) quanh trục hoành. A. 2 1 1 V = e −1. B. V = π ( 2 e − ) 1 . C. 2 V = πe −1. D. V = π ( 2 e − ) 1 . 4 4 Lời giải
Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f (x) và trục hoành là nghiệm của phương trình 2 . x
x e = 0 ⇔ x = 0.
Khi đó thể tích của khối tròn xoay được tạo thành là: 1 V = π ∫( 1 1 2 x. x e )2 2 x 1 2 x 1 2 1 2 2 2 2x 1 2
dx = π xe dx = π
e d(2x ) = π e = π (e −1) ∫ 4 ∫ . 4 0 4 0 0 0 Page 50
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 88: Cho vật thể (T ) giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 0; x = 2 . Cắt vật thể (T ) bởi mặt phẳng vuông
góc với trục Ox tại x(0 ≤ x ≤ 2) ta thu được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng ( + ) 1 x x e
. Thể tích vật thể (T ) bằng π ( 4 13e − ) 1 4 13e −1 A. . B. . C. 2 2e . D. 2 2πe . 4 4 Lời giải
Diện tích thiết diện là ( ) = ( + )2 2 1 x S x x e . 2 2
Thể tích của vật thể (T ) là = ( ) = ( + ∫ ∫ )2 2 1 x V S x dx x e dx . 0 0 2 2 4 2 2 1 − + V = (x + )2 2 1 x e − ∫(x + ) 2x 9e 1 x 1 2x 1 2 1 x e dx = − e − e dx 2 2 2 2 ∫ 0 0 0 0 4 4 2 4
9e −1 3e −1 1 2x 4 1 4 1 13e −1 = − + e = 3e + e − = . 2 2 4 4 4 4 0
Câu 89: Cho hai mặt cầu ( 1
S ),(S2 ) có cùng bán kính R = 3 thỏa mãn tính chất tâm của ( 1
S ) thuộc (S2 )
và ngược lại. Tính thể tích V phần chung của hai khối cầu tạo bởi ( 1 S ),(S2 ) . π π A. 45 V = . B. 45 V = . C. 45 V = . D. 45 V = . 8 4 4 8 Lời giải
Phần chung của hai khối cầu tạo bởi ( 1
S ),(S2 ) là một khối tròn xoay, tương đương phần hình
phẳng OAO′ quay quanh trục OO′ hay bằng hai lần phần mặt phẳng tạo bởi AHO′ quay quanh trục OO′ .
Đặt hệ trục như hình khi đó phương trình đường tròn (O) là 2 2 2
x + y = 9 ⇒ y = 9 − x , điểm
H có hoành độ bằng 3 ; O′ có hoành độ là 3 nên thể tích : 2 Page 51
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 3 V 45 = π ( 9− x )2 3 2 dx = ∫ = π ∫( 2
9 − x )dx = π . 3 3 8 2 2
Câu 90: Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y = x và 2
y = x quay quanh trục tung tạo nên một vật thể
tròn xoay có thể tích bằng π π π π A. . B. . C. 2 . D. 4 . 6 3 15 15 Lời giải
x = 0 ⇒ y = 0
Phương trình hoành độ giao điểm 2 x = x ⇔ . x = 1 ± ⇒ y =1
Ta có đồ thị hai hàm số y = x và 2
y = x đều đối xứng qua Oy nên hình phẳng giới hạn bởi hai
đồ thị y = x và 2
y = x quay quanh trục tung tạo nên một vật thể tròn xoay có thể tích bằng thể
tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi hai đường x = y và x = y quay xung quanh trục Oy .
Thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là: 1 1 1 2 π
V = π y − y dy ∫ = π ∫( 2
y − y )dy 1 2 1 3 π. y y = − = . 2 3 0 0 6 0 Câu 91: Cho hình ( 3
H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số 3 y =
x , cung tròn có phương trình 2 y = 4 − x . 9 Page 52
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Biết thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay (H ) quanh trục hoành là a 3 c V = − + π b d , trong đó *
a,b,c,d ∈ và a , c là các phân số tối giản. Tính P = a + b + c + d . b d A. P = 52. B. P = 40 . C. P = 46 . D. P = 34. Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm: 3 3 2
x = 4 − x ⇔ x = 3 9 2 3 2 3
V = π ∫ x dx + ∫ ( 4− x )2 3 2 dx 9 0 3 3 2 1 6 = π x dx + ∫ ∫ ( 2 4 − x )dx 27 0 3 3 2 7 3 1 = π . x + 4 x x − 27 7 3 0 3 20 3 16 = − + π . 7 3
⇒ a = 20,b = 7,c =16,d = 3
⇒ P = a + b + c + d = 46 .
Câu 92: Cho hình phẳng (H) được giới hạn bởi đường cong 2 2
y = m − x ( m là tham số khác 0 ) và
trục hoành. Khi (H ) quay xung quanh trục hoành được khối tròn xoay có thể tích V . Có bao
nhiêu giá trị nguyên của m để V <1000π . A. 18. B. 20. C. 19. D. 21. Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của đường cong và trục hoành là: 2 2
m − x = 0 ⇔ x = ±m m m 2 1 4π m m
Thể tích vật thể tròn xoay cần tính là: 2 2 2 3
V = π (m − x )dx = π (m x − x ) | = ∫ − 3 − m 3 m 2 4π m m
Ta có: V <1000π ⇔ < 1000π 3 ⇔ m < 750 3 3
⇔ − 750 < m < 750 . 3
Ta có 3 750 9,08 và m ≠ 0 . Vậy có 18 giá trị nguyên của m.
Câu 93: Cho hàm số y = f (x) 3 2
= ax + bx + cx + d,(a,b,c,d ∈,a ≠ 0) có đồ thị (C). Biết rằng đồ thị
(C) tiếp xúc với đường thẳng y = 4 tại điểm có hoành độ âm và đồ thị của hàm số y = f '(x)
cho bởi hình vẽ dưới đây. Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng H
giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành khi quay xung quanh trục Ox . Page 53
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A. 725π . B. 1 π . C. 6π . D. đáp án khác. 35 35 Lời giải Chọn D
Dựa vào đồ thị hàm số y = f '(x) ⇒ f (x) = ( 2 ' 3 x − ) 1 .
Khi đó f (x) = f (x) 3
' dx = x − 3x + C ∫ .
Điều kiện đồ thị hàm số f (x) tiếp xúc với đường thẳng y = 4 là: f (x) 3 = 4
x −3x +C = 4 x = 1 − ⇔ ⇔ suy ra f (x) 3 2
= x − 3x + 2(C) . f ' ( x) = 0 3 ( 2 x − ) 1 = 0 C = 2
+(C) ∩Ox ⇒ hoành độ giao điểm là x = 2; − x =1. 1
+Khi đó V = π ∫(x − x + )2 3 2 729 3 2 dx = π . 35 2 −
Câu 94: Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x
, y = 0 và x = 4 quanh trục Ox . Đường thẳng x = a (0 < a < 4) cắt đồ thị hàm số y = x tại
M . Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác 1
OMH quanh trục Ox . Biết
rằng V = 2V . Khi đó 1 A. a = 2. B. a = 2 2 . C. 5 a = . D. a = 3 . 2 Lời giải Page 54
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 4 4 2 Ta có: x V = π xdx = π = 8π ∫
. Mà V = 2V ⇒V = 4π . 2 1 1 0 0
Gọi K là hình chiếu của M trên Ox ⇒ OK = a, KH = 4 − a, MK = a .
Khi xoay tam giác OMH quanh Ox ta được khối tròn xoay là sự lắp ghép của hai khối nón sinh
bởi các tam giác OMK, MHK , hai khối nón đó có cùng mặt đáy và có tổng chiều cao là 1 4πa
OH = 4 nên thể tích của khối tròn xoay đó là V = .π.4.( a )2 = , từ đó suy ra . 1 a = 3 3 3
Câu 95: Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi các đường y = x −π , y = sin x và x = 0 . Gọi V là thể tích
khối tròn xoay tạo thành do (D) quay quanh trục hoành và 4
V = pπ , ( p∈) . Giá trị của 24p bằng A. 8 . B. 4 . C. 24 . D. 12. Lời giải
Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x −π và y = sin x :
x −π = sin x ⇔ x −π − sin x = 0 ( )
1 . Ta thấy x = π là một nghiệm của phương trình ( ) 1 .
Xét hàm số f (x) = x −π −sin x ⇒ f ′(x) =1− o
c sx ≥ 0, x ∀ ∈ .
⇒ f (x) đồng biến trên nên x = π là nghiệm duy nhất của phương trình f (x) = 0 . Cách 1:
Xét hàm số g (x) = π − x −sin x, x∈(0;π ) . g′(x) = 1 − − o
c sx < 0, x
∀ ∈(0;π ) , suy ra hàm số g (x) = π − x −sin x nghịch biến trên (0;π ) . Page 55
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN x
∀ ∈(0;π ) : g (x) > g (π ) ⇒ π − x −sin x > π −π −sinπ = 0 ⇒ π − x > sin x (2).
Do đó thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) quanh trục hoành là thể tích của khối nón
khi quay tam giác vuông OAB quanh trục hoành. 1 2 1 2 1 4
V = .π.OB .OA = π.π .π = π 1 ⇒ p = . Vậy 1 24 p = 24. = 8. 3 3 3 3 3 π π
Cách 2: Từ (2) ta có V = π ∫(x −π )2dx =π ∫(x −π )2d(x −π ) 0 0 ( π x −π )3 4 π = π. = 1 ⇒ p = . 3 3 3 0 Vậy 1 24 p = 24. = 8. 3 2 x y = 4 2 2 x + y ≤16 2
Câu 96: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ( : x H y = −
,(H : x + y − 2 ≥ 4 . Cho (H , H 1 ) ( 2 ) 2 ) ( )2 2 1 ) 4 2 x = 4, − x = 4 2 x + ( y + 2) ≥ 4
xoay quanh trục Oy ta được các vật thể có thể tích lần lượt V ,V . Đẳng thức nào sau đây đúng. 1 2
A. V =V . 1 = . V = 2V . 3 = . 1 2 B. V V C. D. V V 1 2 2 1 2 1 2 2 Lời giải 4 2 Ta có V = 8.( 2 π.4 − 2π 4y dy ∫ = 96π 1 ) ( ) 0 3 3 4π.4 4π.2 V = − 2 = 64π 2 3 3 Suy ra 3 V = V 1 2 2
Câu 97: Cho hình thang ABCD có AB song song CD và AB = AD = BC = a, CD = 2a . Tính thể tích
khối tròn xoay khi quay hình thang ABCD quanh trục là đường thẳng AB . − A. 5 3 π 3 2 2 a . B. 5 3 π a . C. 3 π a . D. 3 π a . 4 2 3 Lời giải Page 56
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Dễ thấy ABCE là hình bình hành nên AE = BC = a . Vậy ADE là tam giác đều. Có a 3 AH = . 2
Xét hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ. Có phương trình a 3 CD : y = −
; x = x = a ; a A ;0 D 0, C 2 2 2 . Phương trình a 3
AD : y = 3x − . 2 a a 2 2 2a 2 2 2 2 Vậy a 3 a 3 3π a 2 3 = π ∫ − 2π ∫ 3 − = .2 − 2π ∫3 −3 a V x a x ax + 2 2 4 4 0 0 0 a 3 2 2 3 3 3π a 3 3a 2 3a 3π a a 5 3 − 2π x − x + x = − 2π. = π a . 2 2 4 2 8 4 0
Cách 2: Thể tích khối tròn xoay được tạo ra theo đề bài là thể tích khối trụ có chiều cao 2a bán
kính đáy bằng a 3 trừ đi thể tích hai khối nón cùng có chiều cao a bán kính đáy a 3 . Vậy 2 2 2 2 2 a 3
1 a 3 a 5 3 V = π. 2a − 2. π . = π a 2 3 2 2 4
Câu 98: Cho đồ thị (C) : y = f (x) = x . Gọi (H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), đường thẳng
x = 9 và trục Ox . Cho điểm M thuộc đồ thị (C) và điểm A(9;0) . Gọi V là thể tích khối tròn 1
xoay khi cho (H ) quay quanh trục Ox , V là thể tích khối tròn xoay khi cho tam giác 2 AOM
quay quanh trục Ox . Biết rằng V = 2V . Tính diện tích 1 2
S phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
(C) và đường thẳng OM . Page 57
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A. S = 3. B. 27 3 S = . C. 3 3 S = . D. 4 S = . 16 2 3 Lời giải 9 2 π Ta có V = π x dx 81 = . 1 ∫( ) 2 0
Gọi H là hình chiếu của M lên trục Ox , đặt OH = m , ta có M ( ;
m m ) , MH = m và AH = 9 − m . Suy ra 1 2 1 2
V = π.MH .OH + π.MH .AH 1 2 = π.MH .OA = 2 3 π m . 3 3 3
Theo giả thiết, ta có V = 2V nên 81π = 6 π m ⇔ 27 m = . Do đó 27 3 3 M ; . 1 2 2 4 4 2
Từ đó ta có phương trình đường thẳng OM là 2 3 y = x . 9
Diện tích S phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và đường thẳng OM là 27 27 4 2 3 4 2 3 27 3
S = ∫ x − xdx 2 = x x − x = . 9 3 9 16 0 0 Page 58
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN G
ƠN III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN HƯ C
BÀI 3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
III HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
MỨC ĐỘ VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO
Câu 1: Chất điểm chuyển động theo quy luật vận tốc v(t)(m / s) có dạng đường Parapol khi 0 ≤ t ≤ 5(s)
và v(t) có dạng đường thẳng khi 5 ≤ t ≤10(s).Cho đỉnh Parapol là I (2,3) . Hỏi quãng đường đi
được chất điểm trong thời gian 0 ≤ t ≤10(s) là bao nhiêu mét? A. 181. B. 90. C. 92. D. 545 . 2 6
Câu 2: Một ô tô đang chạy với tốc độ 20(m / s) thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó ô tô chuyển
động chậm dần đều với vận tốc v(t) = 5
− t + 20(m / s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng
giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét ( m )? A. 20 m . B. 30 m . C. 10 m . D. 40 m .
Câu 3: Một ô tô đang chạy với vận tốc là 12 (m / s) thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó ô tô
chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = 6
− t +12 (m / s) , trong đó t là khoảng thời gian
tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến lúc ô tô dừng hẳn, ô tô còn di
chuyển được bao nhiêu mét? A. 8m . B. 12m. C. 15m . D. 10m.
Câu 4: Một chiếc ô tô đang chạy với vận tốc 15m/s thì người lái xe hãm phanh. Sau khi hãm phanh, ô
tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = 3
− t +15(m/s), trong đó t . Hỏi từ lúc hãm
phanh đến khi dừng hẳn, ô tô di chuyển được bao nhiêu mét? A. 38m. B. 37,2m. C. 37,5m. D. 37m.
Câu 5: Một chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = 10
− t + 20 , trong đó t là khoảng thời gian tính Page 147
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét? A. 5 m B. 20 m C. 40 m D. 10 m
Câu 6: Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m / s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển
động chậm dần đều với vận tốc v(t) = 2
− t +10(m / s) , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng
giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Tính quãng đường ô tô di chuyển được trong 8 giây cuối cùng. A. 55m . B. 25m . C. 50m. D. 16m.
Câu 7: Một chất điểm bắt đầu chuyển động thẳng đều với vận tốc v , sau 6 giây chuyển động thì gặp 0
chướng ngại vật nên bắt đầu giảm tốc độ với vận tốc chuyển động 5
v(t) = − t + a (m / s), (t ≥ 6) 2
cho đến khi dừng hẳn. Biết rằng kể từ lúc chuyển động đến lúc dừng thì chất điểm đi được quãng
đường là 80m. Tìm v . 0
A. v = 35m / s .
B. v = 25m / s .
C. v =10m / s .
D. v = 20m / s . 0 0 0 0
Câu 8: Một ô tô chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v(t) = 7t (m/s). Đi được 5 (s) người lái xe
phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc a = 35 − ( 2
m/s ). Tính quãng đường của ô tô đi được từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn? A. 87.5 mét. B. 96.5 mét. C. 102.5 mét. D. 105 mét.
Câu 9: Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc v =15 m/s thì tăng tốc với gia tốc 0 a(t) 2 = t + t ( 2
4 m/s ). Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể
từ lúc bắt đầu tăng vận tốc. A. 70,25 m . B. 68,25 m . C. 67,25 m . D. 69,75 m .
Câu 10: Một chất điểm chuyển động theo phương trình s(t) 2 3
= 10 + t + 9t − t trong đó s tính bằng mét,
t tính bằng giây. Thời gian để vận tốc của chất điểm đạt giá trị lớn nhất là A. t = 6(s). B. t = 3(s) . C. t = 2(s) . D. t = 5(s) .
Câu 11: Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v t = 7t m/ s . Đi được 5s , người 1 ( ) ( )
lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc a = − ( 2
70 m/ s ) . Tính quãng đường S đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn. A. S = 96,25 ( m) . B. S = 87,5 ( m) . C. S = 94 ( m) . D. S = 95,7 ( m) .
Câu 12: Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v t = 2t m/s . Đi được 12 giây, 1 ( ) ( )
người lái xe gặp chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc a = − ( 2
12 m/s ) . Tính quãng đường s(m) đi được của ôtô từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi dừng hẳn? A. s =168(m) . B. s =166(m) . C. s =144(m) . D. s =152(m) . Page 148
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 13: Để đảm bảo an toàn khi lưu thông trên đường, các xe ô tô khi dừng đèn đỏ phải cách nhau tối
thiểu 1m . Một ô tô A đang chạy với vận tốc 16m/s bỗng gặp ô tô B đang dừng đèn đỏ nên ô
tô A hãm phanh và chuyển động chậm dần đều với vận tốc được biểu thị bởi công thức v t =
− t , thời gian tính bằng giây. Hỏi rằng để có 2 ô tô A và B đạt khoảng cách an A ( ) 16 4
toàn khi dừng lại thì ô tô A phải hãm phanh khi cách ô tô B một khoảng ít nhất là bao nhiêu? A. 33. B. 12. C. 31. D. 32.
Câu 14: Một vật chuyển động với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc được tính theo thời gian là a(t) 2
= t + 3t . Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 6 giây kể từ khi vật bắt đầu tăng tốc. A. 136m . B. 126m . C. 276m. D. 216m.
Câu 15: Một chiếc máy bay chuyển động trên đường băng với vận tốc v(t) 2
= t +10t (m / s) với t là
thời gian được tính theo đơn vị giây kể từ khi máy bay bắt đầu chuyển động. Biết khi máy bay
đạt vận tốc 200(m / s) thì rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di chuyển trên đường băng là A. 2500 (m) . B. 2000(m). C. 500(m) . D. 4000 (m) . 3 3
Câu 16: Một ôtô đang dừng và bắt đầu chuyển động theo một đường thẳng với gia tốc
a(t) = − t ( 2
6 2 m / s ) , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc ôtô bắt đầu chuyển
động. Hỏi quảng đường ôtô đi được từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vận tốc của ôtô đạt giá
trị lớn nhất là bao nhiêu mét? A. 18m . B. 36m. C. 22,5m. D. 6,75m.
Câu 17: Một vật chuyển động trong 6 giờ với vận tốc v(km / h) phụ thuộc vào thời gian t (h)có đồ thị
như hình bên dưới. Trong khoảng thời gian 2 giờ từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị là một phần
đường Parabol có đỉnh I (3;9)và có trục đối xứng song song với trục tung. Khoảng thời gian còn
lại, đồ thị vận tốc là một đường thẳng có hệ số góc bằng 1 . Tính quảng đường s mà vật di 4
chuyển được trong 6 giờ? A. 130 (km) . B. 9( 134 km) . C. 40(km). D. (km). 3 3 Page 149
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 18: Một người chạy trong 2 giờ, vận tốc v phụ thuộc vào thời gian t có đồ thị là 1 phần của đường
Parabol với đỉnh I (1;5) và trục đối xứng song song với trục tung Ov như hình vẽ. Tính quảng
đường S người đó chạy được trong 1 giờ 30 phút kể từ lúc bắt đầu chạy . A. 2,11km . B. 6,67 km . C. 5,63 km. D. 5,63km .
Câu 19: Một người chạy trong thời gian 1 giờ, với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có
đồ thị là một phần của parabol có đỉnh 1 I ;8
và trục đối xứng song song với trục tung như 2
hình vẽ. Tính quãng đường S người đó chạy được trong thời gian 45 phút, kể từ khi bắt đầu chạy. A. 5,3 (km). B. 4,5 (km). C. 4 (km). D. 2,3 (km). Page 150
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 20: Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v (km/ h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị là
một phần của đường parabol có đỉnh I(1;1) và trục đối xứng song song với trục tung như hình
bên. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 4 giờ kể từ lúc xuất phát.
A. s = 6 (km).
B. s = 8 (km). C. 40 s = (km). D. 46 s = (km). 3 3
Câu 21: Một cái cổng hình Parabol như hình vẽ sau. Chiều cao GH = 4m , chiều rộng AB = 4m ,
AC = BD = 0,9m . Chủ nhà làm hai cánh cổng khi đóng lại là hình chữ nhật CDEF tô đậm có giá là 1200000 đồng 2
/m , còn các phần để trắng làm xiên hoa có giá là 900000 đồng 2 /m . Hỏi
tổng số tiền để làm hai phần nói trên gần nhất với số tiền nào dưới đây? A. 11445000 đồng. B. 4077000 đồng. C. 7368000 đồng. D. 11370000 đồng.
Câu 22: Một biển quảng cáo với 4 đỉnh ,
A B,C, D như hình vẽ. Biết chi phí để sơn phần tô đậm là 2
200.000(đ/m ) sơn phần còn lại là 2
100.000đ/m . Cho AC = 8 ; m BD =10 ;
m MN = 4m Hỏi số
tiền sơn gần với số tiền nào sau đây: A. 12204000đ. B. 14207000đ. C. 11503000đ. D. 10894000đ.
Câu 23: Một họa tiết hình cánh bướm như hình vẽ bên. Page 151
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Phần tô đậm được đính đá với giá thành 2
500.000đ/m . Phần còn lại được tô màu với giá thành 2 250.000đ / m . Cho AB = 4d ; m BC = 8d .
m Hỏi để trang trí 1000 họa tiết như vậy cần số tiền gần nhất với số nào sau đây.
A. 105660667đ .
B. 106666667đ .
C. 107665667đ .
D. 108665667đ .
Câu 24: Một khuôn viên dạng nửa hình tròn, trên đó người thiết kế phần để trồng hoa có dạng của một
cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm và có trục đối xứng vuông góc với đường kính của
nửa hình tròn, hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đường tròn và cách nhau một khoảng
bằng 4(m). Phần còn lại của khuôn viên dành để trồng cỏ Nhật Bản. Biết các kích thước cho
như hình vẽ, chi phí để trồng hoa và cỏ Nhật Bản tương ứng là 150.000 đồng/m2 và 100.000
đồng/m2. Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng hoa và trồng cỏ Nhật Bản trong khuôn viên đó? 4m 4m 4m A. 3.738.574 . B. 1.948.000 . C. 3.926.990 . D. 4.115.408 .
Câu 25: Người ta cần trồng một vườn hoa Cẩm Tú Cầu . Biết rằng phần gạch chéo là hình phẳng giới hạn bởi parabol 2
y = 2x −1 và nửa trên của đường tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng
2 (m) Tính số tiền tối thiểu để trồng xong vườn hoa Cẩm Tú Cầu biết rằng để trồng mỗi 2 m
hoa cần ít nhất là 250000 đồng. A. 3π− 2 π+ π+ π+ × 250000 .
B. 3 10 × 250000 . C. 3 10 × 250000 . D. 3 2 ×250000 6 6 3 6
Câu 26: Nhà trường dự định làm một vườn hoa dạng elip được chia ra làm bốn phần bởi hai đường
parabol có chung đỉnh, đối xứng với nhau qua trục của elip như hình vẽ bên. Biết độ dài trục lớn, Page 152
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
trục nhỏ của elip lần lượt là 8 m và 4 m , F , F là hai tiêu điểm của elip. Phần A , B dùng để 1 2
trồng hoa, phần C , D dùng để trồng cỏ. Kinh phí để trồng mỗi mét vuông hoa và cỏ lần lượt là
250.000 đ và 150.000 đ. Tính tổng tiền để hoàn thành vườn hoa trên . A. 5.676.000 đ. B. 4.766.000 đ. C. 4.656.000 đ. D. 5.455.000 đ.
Câu 27: Người ta xây một sân khấu với mặt sân có dạng hợp của hai hình tròn giao nhau. Bán kính của
hai của hai hình tròn là 20 mét và 15 mét. Khoảng cách giữa hai tâm của hai hình tròn là 30 mét.
Chi phí làm mỗi mét vuông phân giao nhau của hai hình tròn là 300 ngàn đồng và chi phí làm
mỗi mét vuông phần còn lại là 100 ngàn đồng. Hỏi số tiền làm mặt sân của sân khấu gần với số
nào trong các số dưới đây?
A. 202 triệu đồng.
B. 208 triệu đồng.
C. 218 triệu đồng.
D. 200 triệu đồng.
Câu 28: Người ta xây một sân khấu với sân có dạng của hai hình tròn giao nhau. Bán kính của hai hình
tròn là 20 m và 15 m. Khoảng cách giữa hai tâm của hai hình tròn là 30 m. Chi phí làm mỗi
mét vuông phần giao nhau của hai hình tròn là 300 nghìn đồng và chi phí làm mỗi mét vuông
phần còn lại là 100 nghìn đồng. Hỏi số tiền làm mặt sân khấu gần với số nào nhất trong các số dưới đây?
A. 218 triệu đồng.
B. 202 triệu đồng.
C. 200 triệu đồng.
D. 218 triệu đồng.
Câu 29: Bác Năm làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2,25 mét, chiều
rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng. Vậy số tiền bác Năm phải trả là: A. 33750000 đồng. B. 3750000 đồng.
C. 12750000 đồng. D. 6750000 đồng.
Câu 30: Một người có miếng đất hình tròn có bán kính bằng 5 m. Người này tính trồng cây trên mảnh
đất đó, biết mỗi mét vuông trồng cây thu hoạch được 100 nghìn. Tuy nhiên cần có 1 khoảng trống
để dựng 1 cái chòi và để đồ dùng nên người này bớt lại 1 phần đất nhỏ không trồng cây , trong
đó AB = 6m. Hỏi khi thu hoạch cây thì người này thu được bao nhiêu tiền ?
A. 3722 nghìn đồng.
D. 7445 nghìn đồng. C. 7446 nghìn đồng. B. 3723 nghìn đồng.
Câu 31: Một mảnh vườn hình elip có trục lớn bằng 100(m) và trục nhỏ bằng 80(m) được chia làm hai
phần bởi một đoạn thẳng nối hai đỉnh liên tiếp của elip. Phần nhỏ hơn trồng cây con và phần lớn
hơn trồng rau. Biết lợi nhuận thu được là 2000 mỗi 2
m trồng cây con và 4000 mỗi 2 m trồng
rau. Hỏi thu nhập của cả mảnh vườn là bao nhiêu? . A. 31904000. B. 23991000 . C. 10566000. D. 17635000. Page 153
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 32: Một cổng chào có dạng hình Parabol chiều cao 18 m , chiều rộng chân đế 12 m . Người ta căng
hai sợi dây trang trí AB , CD nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn bởi Parabol và mặt đất
thành ba phần có diện tích bằng nhau . Tỉ số AB bằng CD A. 1 . B. 4 . C. 1 . D. 3 . 2 5 3 2 1+ 2 2
Câu 33: Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh bằng 10 cm bằng
cách khoét đi bốn phần bằng nhau có hình dạng parabol như hình bên. Biết AB = 5cm, OH = 4
cm. Tính diện tích bề mặt hoa văn đó. A. 160 2 cm . B. 140 2 cm . C. 14 2 cm . D. 2 50 cm . 3 3 3
Câu 34: Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40cm . Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có
chung đỉnh tại tâm viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa .
Diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch bằng A. 2 800cm . B. 800 2 cm . C. 400 2 cm . D. 2 250cm . 3 3
Câu 35: Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã Y có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ.
Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ cây cầu. . Page 154
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN y O x A. 3 19m . B. 3 21m . C. 3 18m . D. 3 40m .
Câu 36: Để kỷ niệm ngày 26-3. Chi đoàn 12A dự định dựng một lều trại có dạng parabol, với kích thước:
nền trại là một hình chữ nhật có chiều rộng là 3 mét, chiều sâu là 6 mét, đỉnh của parabol cách
mặt đất là 3 mét. Hãy tính thể tích phần không gian phía bên trong trại để lớp 12A cử số lượng
người tham dự trại cho phù hợp. A. 3 30 m B. 3 36 m C. 3 40 m D. 3 41 m
Câu 37: Săm lốp xe ô tô khi bơm căng đặt nằm trên mặt phẳng nằm ngang có hình chiếu bằng như hình
vẽ với bán kính đường tròn nhỏ R = 20cm R = 30cm 1
, bán kính đường tròn lớn 2 và mặt cắt khi
cắt bởi mặt phẳng đi qua trục, vuông góc mặt phẳng nằm ngang là hai đường tròn. Bỏ qua độ dày
vỏ săm. Tính thể tích không khí được chứa bên trong săm. A. 2 3 1250π cm . B. 2 3 1400π cm . C. 2 3 2500π cm . D. 2 3 600π cm .
Câu 38: Chuẩn bị cho đêm hội diễn văn nghệ chào đón năm mới, bạn An đã làm một chiếc mũ “cách
điệu” cho ông già Noel có dáng một khối tròn xoay. Mặt cắt qua trục của chiếc mũ như hình vẽ
bên dưới. Biết rằng OO′ = 5 cm , OA =10 cm , OB = 20 cm , đường cong AB là một phần của
parabol có đỉnh là điểm A . Thể tích của chiếc mũ bằng π π π π A. 2750 3 cm B. 2500 3 cm C. 2050 ( 3 cm ) D. 2250 3 cm 3 ( ) 3 ( ) 3 3 ( )
Câu 39: Cho chiếc trống như hình vẽ, có đường sinh là nửa elip được cắt bởi trục lớn với độ dài trục lớn
bằng 80 cm, độ dài trục bé bằng 60 cm và đáy trống là hình tròn có bán kính bằng 60 cm. Tính
thể tích V của chiếc trống . Page 155
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A. 3 V = 344963cm B. 3 V = 344964cm C. 3 V = 208347cm D. 3 V = 208346cm
Câu 40: Một cốc rượu có hình dạng tròn xoay và kích thước như hình vẽ, thiết diện dọc của cốc là một
đường Parabol. Tính thể tích tối đa mà cốc có thể chứa được A. 3 V ≈ 320cm . B. 3
V ≈1005,31cm . C. 3
V ≈ 251,33cm . D. 3
V ≈ 502,65cm .
Câu 41: Cho vật thể đáy là hình tròn có bán kính bằng 1 . Khi cắt vật thể bằng mặt phẳng vuông góc với
trục Ox tại điểm có hoành độ x ( 1 − ≤ x ≤ )
1 thì được thiết diện là một tam giác đều. Thể tích V của vật thể đó là A. V = 3 . B. V = 3 3 . C. 4 3 V = . D. V = π . 3
Câu 42: Sân vận động Sport Hub là sân có mái vòm kỳ vĩ nhất thế giới. Đây là nơi diễn ra lễ khai mạc
Đại hội thể thao Đông Nam Á được tổ chức tại Singapore năm 2015 . Nền sân là một elip (E)
có trục lớn dài 150m, trục bé dài 90m . Nếu cắt sân vận động theo một mặt phẳng vuông góc Page 156
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
với trục lớn của (E)và cắt elip ở M , N thì ta được thiết diện luôn là một phần của hình tròn có
tâm I với MN là một dây cung và góc 0
MIN = 90 . Để lắp máy điều hòa không khí thì các kỹ
sư cần tính thể tích phần không gian bên dưới mái che và bên trên mặt sân, coi như mặt sân là
một mặt phẳng và thể tích vật liệu là mái không đáng kể. Hỏi thể tích xấp xỉ bao nhiêu? Hình 3 A. 3 57793m . B. 3 115586m . C. 3 32162m . D. 3 101793m .
Câu 43: Một cái thùng đựng dầu có thiết diện ngang là một đường elip có trục lớn bằng 1m , trục bé
bằng 0,8m , chiều dài bằng 3m . Đươc đặt sao cho trục bé nằm theo phương thẳng đứng . Biết
chiều cao của dầu hiện có trong thùng là 0,6m . Tính thể tích V của dầu có trong thùng . A. 3 V =1,52m . B. 3 V =1,31m . C. 3 V =1,27m . D. 3 V =1,19m .
Câu 44: Người ta thay nước mới cho một bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật có độ sâu là 280 cm. Giả sử
h(t)là chiều cao của mực nước bơm được tại thời điểm t giây, biết rằng tốc độ tăng của chiều
cao mực nước tại giây thứ t là 1 3 h (′t) =
t + 3 và lúc đầu hồ bơi không có nước. Hỏi sau bao 500
lâu thì bơm được số nước bằng 3 độ sâu của hồ bơi ? 4 A. 2 giờ 36 giây. B. 2 giờ 34 giây. C. 2 giờ 35 giây. D. 2 giờ 36 giây.
Câu 45: Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi h(t) là thể tích nước bơm được sau t giây. Cho h′(t) 2
= 6at + 2bt và ban đầu bể không có nước. Sau 3 giây thì thể tích nước trong bể là Page 157
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 3
90m , sau 6 giây thì thể tích nước trong bể là 3
504m . Tính thể tích nước trong bể sau khi bơm được 9 giây. A. 3 1458m . B. 3 600m . C. 3 2200m . D. 3 4200m .
Câu 46: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ′(x) liên tục trên đoạn [0;5] và đồ thị hàm số y = f ′(x)
trên đoạn [0;5] được cho như hình bên.
Tìm mệnh đề đúng
A. f (0) = f (5) < f (3).
B. f (3) < f (0) = f (5).
C. f (3) < f (0) < f (5) .
D. f (3) < f (5) < f (0) .
Câu 47: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị y = f ′(x) cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ a < b < c như
hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. f (b) > f (a) > f (c) .
B. f (a) > f (b) > f (c) .
C. f (c) > f (a) > f (b) .
D. f (c) > f (b) > f (a) .
Câu 48: Cho hàm số y = f (x) là hàm đa thức bậc bốn, có đồ thị y = f ′(x) như hình vẽ.
Phương trình f (x) = 0 có 4 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi
A. f (0) < 0 < f (m) . B. f (0) > 0.
C. f (m) < 0 < f (n) . D. f (0) < 0 < f (n) .
Câu 49: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có đồ thị của hàm số f ′(x) như hình bên dưới. Mệnh đề nào sau đây đúng? Page 158
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
A. f (0) > f (2) > f (− ) 1 .
B. f (0) > f (− ) 1 > f (2) .
C. f (2) > f (0) > f (− ) 1 . D. f (− )
1 > f (0) > f (2) .
Câu 50: Cho hàm số f (x). Đồ thị của hàm số y = f ′(x) trên [ 3 − ;2] như hình vẽ Biết f ( 3
− ) = 0, giá trị của f (− ) 1 + f ( ) 1 bằng A. 23 B. 31 C. 35 D. 9 6 6 3 2
Câu 51: Cho hàm số y = f (x) . Đồ thị của hàm số y = f ′(x) như hình vẽ. Đặt g (x) = f (x) −(x − )2 2 1 .
Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. g (− )
1 < g (3) < g (5). B. g (− )
1 < g (5) < g (3).
C. g (5) < g (− ) 1 < g (3).
D. g (3) < g (5) < g (− ) 1 . Page 159
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Câu 52: Cho hàm số 3 2
y = f (x) = ax + bx + cx + d (a,b,c,d ∈,a ≠ 0) có đồ thị là (C). Biết rằng đồ
thị (C) đi qua gốc tọa độ và đồ thị hàm số y = f '(x) cho bởi hình vẽ bên. Tính giá trị
H = f (4) − f (2) ? A. H = 45. B. H = 64. C. H = 51. D. H = 58 .
Câu 53: Cho hàm số y = f (x) . Đồ thị của hàm số y = f ′(x) như hình vẽ bên. Đặt M = max f (x) , [ 2; − 6]
m = min f (x), T = M + m . Mệnh đề nào dưới đây đúng? [ 2; − 6]
A. T = f (0) + f ( 2
− ) . B. T = f (5) + f ( 2
− ) . C. T = f (5) + f (6). D. T = f (0) + f (2) . Câu 54: Cho hàm số 4 3 2
f (x) ax bx cx dx e . Hàm số y f (x) có đồ thị như hình vẽ. Trong
các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. a c 0.
B. a b c d 0. C. a c b d .
D. b d c 0 .
Câu 55: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị gồm một phần đường thẳng và một phần parabol có đỉnh là gốc tọa độ O 3
như hình vẽ. Giá trị của f
∫ (x)dx bằng 3 − A. 26 . B. 38 . C. 4 . D. 28 . 3 3 3 3 Page 160
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 56: Cho hàm số y f x có đạo hàm đến cấp 2 trên . Biết hàm số y f x đạt cực tiểu tại
x 1, có đồ thị như hình vẽ và đường thẳng là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm x 2 4 . Tính
f x2dx 1 A. 1. B. 4. C. 3. D. 2.
Câu 57: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. 4 2
Giá trị của biểu thức I = f '
∫ (x−2)dx+ f '
∫ (x+2)dx bằng 0 0 A. − 2 . B. 2. C. 6. D. 10. Page 161
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 58: Cho hàm số f (x) liên tục có đồ thị như hình bên dưới. . 1 −
Biết F′(x) = f (x), x ∀ ∈[ 5; − 2] và f (x) 14 dx = ∫
. Tính F (2) − F ( 5 − ) − 3 3 A. 145 − . B. 89 − . C. 145 . D. 89 . 6 6 6 6 Page 162
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN G
ƠN III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
– ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN HƯ C
BÀI 3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
III HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
MỨC ĐỘ VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO
Câu 1: Chất điểm chuyển động theo quy luật vận tốc v(t)(m / s) có dạng đường Parapol khi 0 ≤ t ≤ 5(s)
và v(t) có dạng đường thẳng khi 5 ≤ t ≤10(s).Cho đỉnh Parapol là I (2,3) . Hỏi quãng đường đi
được chất điểm trong thời gian 0 ≤ t ≤10(s) là bao nhiêu mét? A. 181. B. 90. C. 92. D. 545 . 2 6 Lời giải Chọn D Gọi Parapol (P) 2
: y = ax + bx + c khi 0 ≤ t ≤ 5(s) Do (P) 2
: y = ax + bx + c đi qua I (3;2); A(0;1 ) 1 nên
4a + 2b + c = 3 a = 2 c 11 b = ⇒ = 8 − . 4a b 0 + = c = 11
Khi đó quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ 0 ≤ t ≤ 5(s) là 5 S = ( 2 x − x + ) 115 2 8 11 dx = ∫ (m) 3 0 Ta có f (5) = 21
Gọi d : y = ax + b khi 5 ≤ t ≤10(s) do d đi qua điểm B(5;2 ) 1 và C (10;0) nên: Page 1
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 21 5 a + b =11 a = − ⇒ 5 . 10 a + b = 0 b = 42
Khi đó quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ 5 ≤ t ≤10(s) là 10 26 105 S = − x + 52 dx = ∫ (m) 5 2 5
Quãng đường đi được chất điểm trong thời gian 0 ≤ t ≤10(s) là 115 105 545 S = + = . 3 2 6
Câu 2: Một ô tô đang chạy với tốc độ 20(m / s) thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó ô tô chuyển
động chậm dần đều với vận tốc v(t) = 5
− t + 20(m / s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng
giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét ( m )? A. 20 m . B. 30 m . C. 10 m . D. 40 m . Lời giải
Khi ô tô dừng hẳn thì: v(t) = 0 ⇔ 5
− t + 20 = 0 ⇔ t = 4(s). 4
Vậy từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô di chuyển được: s = ∫( 5
− t + 20)dt = 40(m). 0
Câu 3: Một ô tô đang chạy với vận tốc là 12 (m / s) thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó ô tô
chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = 6
− t +12 (m / s) , trong đó t là khoảng thời gian
tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến lúc ô tô dừng hẳn, ô tô còn di
chuyển được bao nhiêu mét? A. 8m . B. 12m. C. 15m . D. 10m. Lời giải
Lấy mốc thời gian (t = 0) là lúc đạp phanh.
Khi ô tô dừng hẳn thì vận tốc v(t) = 0, tức là v(t) = 6
− t +12 = 0 ⇔ t = 2 .
Vậy từ lúc đạp phanh đến lúc ô tô dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được quãng đường là
2∫( 6−t+12)dt =( 3−t +12t)2 2 = 12 (m) . 0 0
Câu 4: Một chiếc ô tô đang chạy với vận tốc 15m/s thì người lái xe hãm phanh. Sau khi hãm phanh, ô
tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = 3
− t +15(m/s), trong đó t . Hỏi từ lúc hãm
phanh đến khi dừng hẳn, ô tô di chuyển được bao nhiêu mét? A. 38m. B. 37,2m. C. 37,5m. D. 37m. Lời giải Chọn C
Khi xe dừng hẳn thì v(t) = 0 ⇒ t = 5. Page 2
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Khi đó quảng đường xe đi được tính từ lúc bắt đầu hãm phanh đến khi dừng hẳn là: 5 5 2 ∫(− + ) 3 = 3 15 d t S t t = − +15t = 37,5m 2 0 0
Vậy ta chọn đáp án C.
Câu 5: động chậm dần đều với vận tốc v(t) = 10
− t + 20 , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây,
kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét? A. 5 m B. 20 m C. 40 m D. 10 m Lời giải Chọn B
Lúc bắt đầu đạp phanh, ô tô có vận tốc 20 m / s ⇒ v(t = 10
− t + 20 = 20 ⇔ t = 0 0 ) 0 0
Ô tô dừng hẳn khi đó vận tốc v(t = 0 ⇔ 20 −10t = 0 ⇔ t = 2. 1 ) 1 1 2
Do đó ô tô di chuyển được thêm là: ∫(20−10t)dt = ( 2
20t − 5t ) 2 = 20 m 0 ( ) 0
Câu 6: Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m / s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển
động chậm dần đều với vận tốc v(t) = 2
− t +10(m / s) , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng
giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Tính quãng đường ô tô di chuyển được trong 8 giây cuối cùng. A. 55m . B. 25m . C. 50m. D. 16m. Lời giải Ta có 2
− t +10 = 0 ⇔ t = 5 ⇒ Thời gian tính từ lúc bắt đầu đạp phanh đến khi dừng hẳn là 5
giây. Vậy trong 8 giây cuối cùng thì có 3 giây ô tô chuyển động với vận tốc 10m / s và 5 giây
chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = 2
− t +10(m / s) . 5
Khi đó quãng đường ô tô di chuyển là S = 3.10 + ∫( 2
− t +10)dt = 30 + 25 = 55m. 0
Câu 7: Một chất điểm bắt đầu chuyển động thẳng đều với vận tốc v , sau 6 giây chuyển động thì gặp 0
chướng ngại vật nên bắt đầu giảm tốc độ với vận tốc chuyển động 5
v(t) = − t + a (m / s), (t ≥ 6) 2
cho đến khi dừng hẳn. Biết rằng kể từ lúc chuyển động đến lúc dừng thì chất điểm đi được quãng
đường là 80m. Tìm v . 0
A. v = 35m / s .
B. v = 25m / s .
C. v =10m / s .
D. v = 20m / s . 0 0 0 0 Lời giải
- Tại thời điểm t = 6vật đang chuyển động với vận tốc v nên có v(6) = v 0 0 5
⇔ − .6 + a = v ⇔ a = v +15 , suy ra 5
v(t) = − t + v +15. 0 0 2 0 2 Page 3
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
- Gọi k là thời điểm vật dừng hẳn, vậy ta có 2
v(k) = 0 ⇔ k = .(v +15) 2v0 ⇔ k = + 6 . 0 5 5 k
- Tổng quãng đường vật đi được là 5 80 6.v t v 15 = + − + + ∫ dt 0 0 2 6 5 k 2 80 6.v t
v .t 15t ⇔ = + − + + 0 0 4 6 5 2 2
⇔ 80 = 6.v − (k − 6 ) + v .(k − 6) +15(k − 6) 0 0 4 5 4(v )2 0 24v 2v 2v 0 0 0 ⇔ 80 = 6.v − + + v . +15. 0 0 4 25 5 5 5
⇔ (v )2 + 36.v − 400 = 0 0 0 ⇔ v =10 0
Câu 8: Một ô tô chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v(t) = 7t (m/s). Đi được 5 (s) người lái xe
phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc a = 35 − ( 2
m/s ). Tính quãng đường của ô tô đi được từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn? A. 87.5 mét. B. 96.5 mét. C. 102.5 mét. D. 105 mét. Lời giải 5 5 2
Quãng đường ô tô đi được trong t
5 (s) đầu là s = 7tdt = 7 = 87,5 1 ∫ . 2 0 0
Phương trình vận tốc của ô tô khi người lái xe phát hiện chướng ngại vật là v t = 35 − 35t . 2 ( ) ( )
Khi xe dừng lại hẳn thì v t = 0 ⇔ 35 − 35t = 0 ⇔ t =1. 2 ( ) ( ) 1
Quãng đường ô tô đi được từ khi phanh gấp đến khi dừng lại hẳn là s = 35 − 35t dt 2 ∫( ) 0 1 2 = 35 −35 t t =17.5 . 2 0
Vậy quãng đường của ô tô đi được từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn là
s = s + s = 87.5 +17.5 =105 . 1 2
Câu 9: Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc v =15 m/s thì tăng tốc với gia tốc 0 a(t) 2 = t + t ( 2
4 m/s ). Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể
từ lúc bắt đầu tăng vận tốc. A. 70,25 m . B. 68,25 m . C. 67,25 m . D. 69,75 m . Lời giải 3 t a (t) 2
= t + 4t ⇒ v(t) = a ∫ (t) 2
dt = + 2t + C (C ∈) . 3 Page 4
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 3 Mà t
v(0) = C =15 ⇒ v (t) 2 = + 2t +15. 3 3 3 Vậy t 2
S = ∫ + 2t +15dt = 69,75 m . 3 0
Câu 10: Một chất điểm chuyển động theo phương trình s(t) 2 3
= 10 + t + 9t − t trong đó s tính bằng mét,
t tính bằng giây. Thời gian để vận tốc của chất điểm đạt giá trị lớn nhất là A. t = 6(s). B. t = 3(s) . C. t = 2(s) . D. t = 5(s) . Lời giải
v(t) = s′(t) 2 = 3 − t +18t +1.
Dễ thấy hàm số v(t) là hàm bậc hai có đồ thị dạng parabol với hệ số a = 3 − < 0 .
Do đó v đạt tại đỉnh I (3;28) của parabol. max
Vậy Thời gian để vận tốc của chất điểm đạt giá trị lớn nhất t = 3(s) .
Câu 11: Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v t = 7t m/ s . Đi được 5s , người 1 ( ) ( )
lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc a = − ( 2
70 m/ s ) . Tính quãng đường S đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn. A. S = 96,25 ( m) . B. S = 87,5 ( m) . C. S = 94 ( m) . D. S = 95,7 ( m) . Lời giải
Chọn gốc thời gian là lúc ô tô bắt đầu đi. Sau 5s ô tô đạt vận tốc là v(5) = 35(m/s) .
Sau khi phanh vận tốc ô tô là v(t) = 35 − 70(t −5) .
Ô tô dừng tại thời điểm t = 5,5s . 5 5,5
Quãng đường ô tô đi được là S = 7tdt + 35 − 70 ∫ ∫
(t −5)dt = 96,25 (m) . 0 5
Câu 12: Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v t = 2t m/s . Đi được 12 giây, 1 ( ) ( )
người lái xe gặp chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc a = − ( 2
12 m/s ) . Tính quãng đường s(m) đi được của ôtô từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi dừng hẳn? A. s =168(m) . B. s =166(m) . C. s =144(m) . D. s =152(m) . Lời giải
Giai đoạn 1: Xe bắt đầu chuyển động đến khi gặp chướng ngại vật.
Quãng đường xe đi được là: 12 12
S = v t dt = 2tdt = t =144(m) . 1 ∫ 1 ( ) ∫ 12 2 0 0 0
Giai đoạn 2: Xe gặp chướng ngại vật đến khi dừng hẳn.
Ôtô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t = d a t = 12 − t + c 2 ( ) ∫ . Page 5
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Vận tốc của xe khi gặp chướng ngại vật là: v 0 = v 12 = 2.12 = 24 m/s . 2 ( ) 1 ( ) ( ) ⇒ 12.0 −
+ c = 24 ⇒ c = 24 ⇒ v t = 12 − t + 24. 2 ( )
Thời gian khi xe gặp chướng ngại vật đến khi xe dừng hẳn là nghiệm phương trình: 12
− t + 24 = 0 ⇔ t = 2 .
Khi đó, quãng đường xe đi được là: 2 2
S = v t dt = 12
− t + 24 dt = ( 6 − t + 24t) 2 2 = 24(m) . 2 ∫ ∫( ) 2 ( ) 0 0 0
Vậy tổng quãng đường xe đi được là: S = S + S =168 m . 1 2 ( )
Câu 13: Để đảm bảo an toàn khi lưu thông trên đường, các xe ô tô khi dừng đèn đỏ phải cách nhau tối
thiểu 1m . Một ô tô A đang chạy với vận tốc 16m/s bỗng gặp ô tô B đang dừng đèn đỏ nên ô
tô A hãm phanh và chuyển động chậm dần đều với vận tốc được biểu thị bởi công thức v t =
− t , thời gian tính bằng giây. Hỏi rằng để có 2 ô tô A và B đạt khoảng cách an A ( ) 16 4
toàn khi dừng lại thì ô tô A phải hãm phanh khi cách ô tô B một khoảng ít nhất là bao nhiêu? A. 33. B. 12. C. 31. D. 32. Lời giải Ta có: v = . A (0) 16m/s
Khi xe A dừng hẳn: v t = ⇔ t = 4s . A ( ) 0 4
Quãng đường từ lúc xe A hãm phanh đến lúc dừng hẳn là s = ∫(16 − 4t)dt = 32m. 0
Do các xe phải cách nhau tối thiểu 1m để đảm bảo an toàn nên khi dừng lại ô tô A phải hãm
phanh khi cách ô tô B một khoảng ít nhất là 33m .
Câu 14: Một vật chuyển động với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc được tính theo thời gian là a(t) 2
= t + 3t . Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 6 giây kể từ khi vật bắt đầu tăng tốc. A. 136m . B. 126m . C. 276m. D. 216m. Lời giải t t 3 2 t Ta có 1 3 v(0) t 3t
= 10m/s và v(t) = a
∫ (t)dt = ∫( 2t +3t)dt = + 3 2 = t + t . 3 2 3 2 0 0 0 6 6 6
Quãng đường vật đi được là S = v
∫ (t)dt 1 3 3 2 t t = + ∫ 1 1 dt 4 3 = t + t = 216m . 3 2 12 2 0 0 0
Câu 15: Một chiếc máy bay chuyển động trên đường băng với vận tốc v(t) 2
= t +10t (m / s) với t là
thời gian được tính theo đơn vị giây kể từ khi máy bay bắt đầu chuyển động. Biết khi máy bay
đạt vận tốc 200(m / s) thì rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di chuyển trên đường băng là A. 2500 (m) . B. 2000(m). C. 500(m) . D. 4000 (m) . 3 3 Page 6
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Lời giải t =10
Thời điểm máy bay đạt vận tốc 200(m / s) là v(t) 2
= 200 ⇔ t +10t = 200 ⇔ ⇔ t = 10 t = 20 −
Quãng đường máy bay đã di chuyển trên đường băng là 10
s = ∫(t + t) 3 10 2 t 2500
10 dt = + 5t = (m). 3 0 3 0
Câu 16: Một ôtô đang dừng và bắt đầu chuyển động theo một đường thẳng với gia tốc
a(t) = − t ( 2
6 2 m / s ) , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc ôtô bắt đầu chuyển
động. Hỏi quảng đường ôtô đi được từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vận tốc của ôtô đạt giá
trị lớn nhất là bao nhiêu mét? A. 18m . B. 36m. C. 22,5m. D. 6,75m. Lời giải
a(t) = − t ( 2
6 2 m / s ) ⇒ v(t) = ∫( − t) 2
6 2 dt = 6t − t + C
Xe dừng và bắt đầu chuyển động nên khi t = 0 thì v = 0 ⇒ C = 0 ⇒ v(t) 2 = 6t − t . b v(t) 2
= 6t − t là hàm số bậc 2 nên đạt GTLN khi t = − = 3 (s) 2a 3
Quảng đường xe đi trong 3 giây đầu là: S = ∫( 2
6t − t )dt =18m. 0
Câu 17: Một vật chuyển động trong 6 giờ với vận tốc v(km / h) phụ thuộc vào thời gian t (h)có đồ thị
như hình bên dưới. Trong khoảng thời gian 2 giờ từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị là một phần
đường Parabol có đỉnh I (3;9)và có trục đối xứng song song với trục tung. Khoảng thời gian còn
lại, đồ thị vận tốc là một đường thẳng có hệ số góc bằng 1 . Tính quảng đường s mà vật di 4
chuyển được trong 6 giờ? A. 130 (km) . B. 9( 134 km) . C. 40(km). D. (km). 3 3 Lời giải Chọn A Page 7
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
+ Vì Parabol đi qua O và có tọa độ đỉnh I (3;9)nên thiết lập được phương trình Parabol là
(P) y = v(t) 2 : = t − + 6t; t ∀ ∈[0;2]
+ Sau 2 giờ đầu thì hàm vận tốc có dạng là hàm bậc nhất 1
y = t + m , dựa trên đồ thị ta thấy đi 4
qua điểm có tọa độ (6;9) nên thế vào hàm số và tìm được 15 m = . 2
Nên hàm vận tốc từ giờ thứ 2 đến giờ thứ 6 là 1 15
y = t + ; t ∀ ∈[2;6] 4 2
+ Quảng đường vật đi được bằng tổng đoạn đường 2 giờ đầu và đoạn đường 4 giờ sau. 2
S = S + S = ∫( t− + t) 6 2 1 15 130 6 dt + t + dt = ∫ km 1 2 ( ) 4 2 3 0 2
Câu 18: Một người chạy trong 2 giờ, vận tốc v phụ thuộc vào thời gian t có đồ thị là 1 phần của đường
Parabol với đỉnh I (1;5) và trục đối xứng song song với trục tung Ov như hình vẽ. Tính quảng
đường S người đó chạy được trong 1 giờ 30 phút kể từ lúc bắt đầu chạy . A. 2,11km . B. 6,67 km . C. 5,63 km. D. 5,63km . Lời giải 1,5
Ta có 1 giờ 30 phút = 1,5 giờ ⇒ S = v(t)dt ∫ . 0
Đồ thị v = v(t) đi qua gốc tọa độ nên v(t) có dạng 2
v(t) = at + bt . b − =1 b = 2 − a a = 5 −
Đồ thị v = v(t) có đỉnh là I nên 2 2a ⇔ ⇔ ⇒ v(t) = 5 − t +10t a + b = 5 b =10 a + b = 5 1,5 S = ∫ ( 2 − t + t) 45 5 10 dt = ≈ 5,63 . 8 0 Page 8
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 19: Một người chạy trong thời gian 1 giờ, với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có
đồ thị là một phần của parabol có đỉnh 1 I ;8
và trục đối xứng song song với trục tung như 2
hình vẽ. Tính quãng đường S người đó chạy được trong thời gian 45 phút, kể từ khi bắt đầu chạy. A. 5,3 (km). B. 4,5 (km). C. 4 (km). D. 2,3 (km). Lời giải
Trước hết ta tìm công thức biểu thị vận tốc theo thời gian, giả sử ( ) 2
v t = at + bt + c .
Khi đó dựa vào hình vẽ ta có hệ phương trình c = 0 2 a = 32 − 1 1 a b + +
c = 8 ⇔ b = 32 . 2 2 c = 0
a + b + c = 0 45 60
Do đó quãng đường người đó đi được sau 45 phút là S = ∫ ( 2
32t − 32t )dt = 4,5 (km). 0
Câu 20: Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v (km/ h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị là
một phần của đường parabol có đỉnh I(1;1) và trục đối xứng song song với trục tung như hình
bên. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 4 giờ kể từ lúc xuất phát. Page 9
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
A. s = 6 (km).
B. s = 8 (km). C. 40 s = (km). D. 46 s = (km). 3 3 Lời giải
Hàm biểu diễn vận tốc có dạng ( ) 2
v t = at + bt + c . Dựa vào đồ thị ta có: c = 2 a =1 b − 1 b = ⇔ = 2 − ⇔ v(t) 2
= t − 2t + 2 . 2a c = 2
a + b + c = 1
Với t = 4 ⇒ v(4) =10 . 4
Từ đó s = ( 2t − t + ) 40 2 2 dt = ∫ (km). 3 0
Câu 21: Một cái cổng hình Parabol như hình vẽ sau. Chiều cao GH = 4m , chiều rộng AB = 4m ,
AC = BD = 0,9m . Chủ nhà làm hai cánh cổng khi đóng lại là hình chữ nhật CDEF tô đậm có giá là 1200000 đồng 2
/m , còn các phần để trắng làm xiên hoa có giá là 900000 đồng 2 /m . Hỏi
tổng số tiền để làm hai phần nói trên gần nhất với số tiền nào dưới đây? A. 11445000 đồng. B. 4077000 đồng. C. 7368000 đồng. D. 11370000 đồng. Lời giải Chọn A Page 10
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Gắn hệ trục tọa độ Oxy sao cho AB trùng Ox , A trùng O khi đó parabol có đỉnh G (2;4) và đi qua gốc tọa độ.
Giả sử phương trình của parabol có dạng 2
y = ax + bx + c ( 0 a ≠ ) . c = 0 a = −1 Vì parabol có đỉnh là b
G (2;4) và đi qua điểm O(0;0) nên ta có − = 2 ⇔ b = 4 . 2a 2 c = 0 .2 a + .2 b + c = 4
Suy ra phương trình parabol là 2
y = f (x) = −x + 4x . 4 4 3
Diện tích của cả cổng là S = ∫( 2 −x + x) x 2 32
4 dx =− + 2x = ( 2 m ). 3 3 0 0
Mặt khác chiều cao CF = DE = f (0,9) = 2,79(m); CD = 4 − 2.0,9 = 2,2 (m) .
Diện tích hai cánh cổng là S = CD CF = CDEF ( 2 . 6,138 m ).
Diện tích phần xiên hoa là 32 6793
S = S − S = − = . xh CDEF 6,14 ( 2 m ) 3 1500 6793
Vậy tổng số tiền để làm cổng là 6,138.1200000 + .900000 =11441400 đồng. 1500
Câu 22: Một biển quảng cáo với 4 đỉnh ,
A B,C, D như hình vẽ. Biết chi phí để sơn phần tô đậm là 2
200.000(đ/m ) sơn phần còn lại là 2
100.000đ/m . Cho AC = 8 ; m BD =10 ;
m MN = 4m Hỏi số
tiền sơn gần với số tiền nào sau đây: Page 11
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A. 12204000đ. B. 14207000đ. C. 11503000đ. D. 10894000đ. Lời giải 5 3 2 2 y = N
elip có phương trình là: x y + =1. Vì 2
MN = 4 ⇒ x = ⇒ N 2 16 25 5 − 3 y = N 2 5 3 2
Diện tích phần tô đậm là 4 2 2 S = 2
25 − y dy ≈ 59,21 (m ) 1 ∫ 5 5 − 3 2 Diện tích elip là 2
S = π.4.5 = 20π (m )
Diện tích phần trắng là 2
S = S − S ≈ 3,622 (m ) 2 1
Tổng chi phí trang chí là: T = 59,21.200000 + 3,622.100000 =12204200đ .
Câu 23: Một họa tiết hình cánh bướm như hình vẽ bên.
Phần tô đậm được đính đá với giá thành 2
500.000đ/m . Phần còn lại được tô màu với giá thành 2 250.000đ / m . Cho AB = 4d ; m BC = 8d .
m Hỏi để trang trí 1000 họa tiết như vậy cần số tiền gần nhất với số nào sau đây.
A. 105660667đ .
B. 106666667đ .
C. 107665667đ .
D. 108665667đ . Lời giải Page 12
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Vì AB = 4d ; m BC = 8d . m ⇒ ( A 2; − 4), B(2;4),C(2; 4 − ),D( 2; − 4 − ) . parabol là: 2 y = x hoặc 2 y = −x 2
Diện tích phần tô đậm là 2 32 2 S = 4 x dx = (dm ) 1 ∫ 3 0
Diện tích hình chữ nhật là 2
S = 4.8 = 32 (m )
Diện tích phần trắng là 32 64 2
S = S − S = 32 − = (dm ) 2 1 3 3
Tổng chi phí trang chí là: 32 64 T .5000 .2500 = + .1000 ≈ 106666667đ 3 3
Câu 24: Một khuôn viên dạng nửa hình tròn, trên đó người thiết kế phần để trồng hoa có dạng của một
cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm và có trục đối xứng vuông góc với đường kính của
nửa hình tròn, hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đường tròn và cách nhau một khoảng
bằng 4(m). Phần còn lại của khuôn viên dành để trồng cỏ Nhật Bản. Biết các kích thước cho
như hình vẽ, chi phí để trồng hoa và cỏ Nhật Bản tương ứng là 150.000 đồng/m2 và 100.000
đồng/m2. Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng hoa và trồng cỏ Nhật Bản trong khuôn viên đó? 4m 4m 4m A. 3.738.574 . B. 1.948.000 . C. 3.926.990 . D. 4.115.408 . Lời giải
Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ, ta có bán kính của đường tròn là 2 2 R = 4 + 2 = 2 5 .
Phương trình của nửa đường tròn (C) là: 2 2 2
x + y = 20, y ≥ 0 ⇒ y = 20 − x .
Parabol (P) có đỉnh O(0;0) và đi qua điểm (2;4) nên có phương trình: 2 y = x . 2
Diện tích phần tô màu là: 2 2 S 20 x x = − − dx ≈11,94 2 . 1 ∫ (m ) 2 −
Diện tích phần không tô màu là: 1
S = .π.(2 5)2 − S ≈10π −11,94 ( 2 m ) . 2 1 2 Page 13
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Số tiền để trồng hoa và trồng cỏ Nhật Bản trong khuôn viên đó là:
150000.11,94 +100000.(10π −11,94) ≈ 3.738.593.
Câu 25: Người ta cần trồng một vườn hoa Cẩm Tú Cầu . Biết rằng phần gạch chéo là hình phẳng giới hạn bởi parabol 2
y = 2x −1 và nửa trên của đường tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng
2 (m) Tính số tiền tối thiểu để trồng xong vườn hoa Cẩm Tú Cầu biết rằng để trồng mỗi 2 m
hoa cần ít nhất là 250000 đồng. A. 3π− 2 π+ π+ π+ × 250000 .
B. 3 10 × 250000 . C. 3 10 × 250000 . D. 3 2 ×250000 6 6 3 6 Lời giải Chọn B
Ta có phương trình đường tròn tâm gốc tọa độ và bán kính bằng 2 (m) 2 2 x + y = 2 . 2 y = 2 − x x = 1, − y =1
Tọa độ giao điểm của Parabol và đường tròn là nghiệm hệ ⇔ 2
y = 2x −1 x =1, y =1 1 π
Diện tích vườn hoa là S ( 2 2 2 + = − x − 2x + ) 3 10 1 dx = ∫ . − 6 1
số tiền tối thiểu để trồng xong vườn hoa Cẩm Tú Cầu là 3π+10 × 250000 . 6
Câu 26: Nhà trường dự định làm một vườn hoa dạng elip được chia ra làm bốn phần bởi hai đường
parabol có chung đỉnh, đối xứng với nhau qua trục của elip như hình vẽ bên. Biết độ dài trục lớn,
trục nhỏ của elip lần lượt là 8 m và 4 m , F , F là hai tiêu điểm của elip. Phần A , B dùng để 1 2
trồng hoa, phần C , D dùng để trồng cỏ. Kinh phí để trồng mỗi mét vuông hoa và cỏ lần lượt là
250.000 đ và 150.000 đ. Tính tổng tiền để hoàn thành vườn hoa trên . A. 5.676.000 đ. B. 4.766.000 đ. C. 4.656.000 đ. D. 5.455.000 đ. Lời giải Page 14
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Do elip có độ dài trục lớn 2a = 8 ⇔ a = 4 , độ dài trục nhỏ 2b = 4 ⇔ b = 2 .
Diện tích của (E) là: S( ) = πab = 8π . E 2 2
Phương trình chính tắc (E) là: x y + =1. Suy ra 1 2 y = ± 16 − x . 16 4 2 Ta có 2 2
c = a − b = 2 3 ⇒ F 2 3; 0 . 2 ( )
Do N và F có cùng hoành độ ⇒ N (2 3; ) 1 . 2 Gọi (P) 2
: y = kx là parabol nằm ở phía trên trục Ox .
Do N ∈(P) ta có = k ( )2 1 1 2 3 ⇔ k = . Suy ra (P) 1 2 : y = x . 12 12 2 3 2 3
Diện tích phần A là 1 2 1 2 S x x = − − ∫ 1 1 x 2 2 = − − A 16 d 2 ∫ 16 x x d x 2 12 2 12 2 − 3 0 2 3 2 3 2 1 2 = 16 − x dx − x dx ∫ 6 ∫ . 0 0 2 3 * Xét 2 I = 16 − x dx x = t ⇒ x = t t . 1 ∫ . Đặt 4sin d 4cos d 0 Đổi cận: π π π π 3 3 3 Khi đó 3 2 I =
16 −16sin t.4costdt 2
= 16 cos tdt = 8 1+ cos2t dt 1 8t sin 2t = + 1 ∫ ∫ ∫( ) 2 0 0 0 0 Page 15
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN π 3 = 8 + . 3 4 2 3 2 3 * Ta có 1 2 I = x dx 1 3 4 3 = x = . 2 6 ∫ 18 3 0 0 Suy ra: 8π + 2 3 π S + = I − I = 16 4 3
⇒ S + S = S = . A B 2 A 1 2 3 A 3 Tổng diện tích phần 8π − 4 3
C , D là: S + S = S − S + S = . E ( A B ) C D ( ) 3
Khi đó tổng số tiền để hoàn thành vườn hoa trên là: 16π + 4 3 8π − 4 3 .250000 + .150000 ≈ 5676000 đ. 3 3
Câu 27: Người ta xây một sân khấu với mặt sân có dạng hợp của hai hình tròn giao nhau. Bán kính của
hai của hai hình tròn là 20 mét và 15 mét. Khoảng cách giữa hai tâm của hai hình tròn là 30 mét.
Chi phí làm mỗi mét vuông phân giao nhau của hai hình tròn là 300 ngàn đồng và chi phí làm
mỗi mét vuông phần còn lại là 100 ngàn đồng. Hỏi số tiền làm mặt sân của sân khấu gần với số
nào trong các số dưới đây?
A. 202 triệu đồng.
B. 208 triệu đồng.
C. 218 triệu đồng.
D. 200 triệu đồng. Lời giải.
Gọi O, I lần lượt là tâm của các đường tròn bán kính bằng 20 mét và bán kính bằng 15 mét.
Gắn hệ trục Oxy như hình vẽ, vì OI = 30 mét nên I (0; 30) . Phương trình hai đường tròn lần lượt là 2 2 2 x + y = 20 và 2 x + ( y − )2 2 30 = 15 . Gọi ,
A B là các giao điểm của hai đường tròn đó. 5 455 2 2 2 + = 20 x x y = ± Tọa độ ,
A B là nghiệm của hệ 12 ⇔ . 2
x + ( y − 30)2 2 = 15 215 y = 12
Tổng diện tích hai đường tròn là π ( 2 2 20 +15 ) = 625π .
Phần giao của hai hình tròn chính là phần hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị 2 2
y = 30 − 15 − x và 2 2
y = 20 − x . Do đó diện tích phần giao giữa hai hình tròn là 5 455 12 S = ∫ ( 2 2 2 2
20 − x + 15 − x − 30)dx ≈ 60,2546 . 5 455 − 12
Số tiền để làm phần giao giữa hai hình tròn là 300.000x 60,2546 ≈ 18.076.386 .
Số tiền để làm phần còn lại là 100.000x (625π − 2x 60,2546) = 184.299.220 . Page 16
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Vậy tổng số tiền làm sân khấu là 184.299.220 +18.076.386 ≈ 202.375.606.
Câu 28: Người ta xây một sân khấu với sân có dạng của hai hình tròn giao nhau. Bán kính của hai hình
tròn là 20 m và 15 m. Khoảng cách giữa hai tâm của hai hình tròn là 30 m. Chi phí làm mỗi
mét vuông phần giao nhau của hai hình tròn là 300 nghìn đồng và chi phí làm mỗi mét vuông
phần còn lại là 100 nghìn đồng. Hỏi số tiền làm mặt sân khấu gần với số nào nhất trong các số dưới đây?
A. 218 triệu đồng.
B. 202 triệu đồng.
C. 200 triệu đồng.
D. 218 triệu đồng. Lời giải Gọi O O
1 , 2 lần lượt là tâm của hai đường tròn bán kính 20 m và 15 m. A , B là hai giao điểm của hai đường tròn.
Ta có O A = O B = 20 m O A = O B =15 m O O = 30 m 1 1 ; 2 2 ; 1 2 . 2 2 2
O B + O O − O B 43 1 1 2 2 cos BO O = = ⇒ ≈ ° ′ 1 2 BO O 26 23 . 2O . B O O 48 1 2 1 1 2
Theo tính chất hai đường tròn cắt nhau ta có O O 1 2 là tia phân giác AO B 1 ⇒ =
AO B 2O O B = 52,77° . 1 2 1
Suy ra diện tích hình quạt tròn O AB 2 52, 77 2 1 là S = π ≈ . O AB .20 . 184,2 m 1 ( ) 360 Page 17
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 1 = 2 S ≈ . ∆ O AO B AO B O AB . .sin 159,2 m 1 1 1 1 ( ) 2
Gọi S1 là diện tích hình giới hạn bởi dây AB và cung
AmB trong đường tròn (O . 1 ) 2 ⇒ S = S − S = . O AB O ∆ AB 25 m 1 1 1 ( )
Chứng minh tương tự ta được diện tích hình giới hạn bởi dây AB và cung AmB trong đường
tròn (O là S ≈ 35 ( 2 m . 2 ) 2 )
Suy ra diện tích phần giao nhau là S = S + S = 60 ( 2 m . 1 2 )
⇒ Chi phí làm sân khấu phần giao nhau 60.300000 =18000000 .
Tổng diện tích của hai hình tròn là 2 2 S′ = π + π ≈ ( 2 20 15 1963 m ) .
Diện tích phần không giao nhau là S′ − S = ( 2 1903 m ).
⇒ Chi phí làm sân khấu phần không giao nhau 1903.100000 =190300000 .
Số tiền làm mặt sân là 18000000 +190000000 = 208300000 = 208,3 .
Câu 29: Bác Năm làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2,25 mét, chiều
rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng. Vậy số tiền bác Năm phải trả là: A. 33750000 đồng. B. 3750000 đồng.
C. 12750000 đồng. D. 6750000 đồng. Lời giải
Gọi phương trình parabol (P) 2
: y = ax + bx + c . Do tính đối xứng của parabol nên ta có thể chọn
hệ trục tọa độ Oxy sao cho (P) có đỉnh I ∈Oy . y 9 I 0; 4 2 1 1 − 1 3 O 3 A − x ;0 B ;0 2 2 Page 18
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 9 = c, (I ∈(P)) 9 4 c = 4
Ta có hệ phương trình: 9 3
a − b + c = 0( A∈(P)) ⇔ a = 1 − . 4 2 9 3 b = 0
a + b + c = 0(B∈ (P)) 4 2 Vậy (P) 2 9 : y = −x + . 4
Dựa vào đồ thị, diện tích cửa parabol là: 3 3 9 2 2 3 4 − 2 9 S x = − + ∫ 9 x 9 9 dx 2 = 2 −x + ∫ dx = 2 + x 2 = m . 3 4 2 − 4 3 4 0 0 2
Số tiền phải trả là: 9 1500000 . = 6750000 đồng. 2
Câu 30: Một người có miếng đất hình tròn có bán kính bằng 5 m. Người này tính trồng cây trên mảnh
đất đó, biết mỗi mét vuông trồng cây thu hoạch được 100 nghìn. Tuy nhiên cần có 1 khoảng trống
để dựng 1 cái chòi và để đồ dùng nên người này bớt lại 1 phần đất nhỏ không trồng cây , trong
đó AB = 6m. Hỏi khi thu hoạch cây thì người này thu được bao nhiêu tiền ?
A. 3722 nghìn đồng.
D. 7445 nghìn đồng. C. 7446 nghìn đồng. B. 3723 nghìn đồng. Lời giải Page 19
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Diện tích miếng đất là 2 S = πR = 25π 1 .
Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ. Ta có phương trình của đường tròn biên là 2 2 x + y = 25 .
R = 5, AH = 3 ⇒ OH = 4 .
⇒ Phương trình của cung tròn nhỏ AC là 2
y = 25 − x , với 4 ≤ x ≤ 5 . 5
⇒ Diện tích phần đất trống là 2
S = 2 25 − x dx 2 ∫ . 4 5
⇒ Diện tích phần đất trồng cây là 2
S = S − S = 25π − 2 25 − x dx 1 2 ∫ . 4 5
⇒ Số tiền thu được là 2
T =100S =100(25π − 2 25 − x dx) ≈ 7445 ∫ . 4
Câu 31: Một mảnh vườn hình elip có trục lớn bằng 100(m) và trục nhỏ bằng 80(m) được chia làm hai
phần bởi một đoạn thẳng nối hai đỉnh liên tiếp của elip. Phần nhỏ hơn trồng cây con và phần lớn
hơn trồng rau. Biết lợi nhuận thu được là 2000 mỗi 2
m trồng cây con và 4000 mỗi 2 m trồng
rau. Hỏi thu nhập của cả mảnh vườn là bao nhiêu? . A. 31904000. B. 23991000 . C. 10566000. D. 17635000. Lời giải 2 2
Gọi phương trình của elip là x y + =1. 2 2 a b Page 20
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Theo giả thiết, ta có 2a =100 ⇒ a = 50 ; 2b = 80 ⇒ b = 40 .
Diện tích phần trồng cây con bằng 1 diện tích của elip trừ đi diện tích tam giác DOF . Do đó 4π
diện tích phần trồng cây con là ab ab S = − ( 2 m . 1 ) 4 2
Diện tích phần trồng rau bằng 3 diện tích elip cộng với diện tích tam giác DOF . Do đó diện 4 π tích phần trồng rau là 3 ab ab S = + ( 2 m . 2 ) 4 2 π π
Thu nhập của cả mảnh vườn là ab ab 3 2000 ab ab − ⋅ + + ⋅4000 ≈ 23991000. 4 2 4 2
Câu 32: Một cổng chào có dạng hình Parabol chiều cao 18 m, chiều rộng chân đế 12 m . Người ta căng
hai sợi dây trang trí AB , CD nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn bởi Parabol và mặt đất
thành ba phần có diện tích bằng nhau . Tỉ số AB bằng CD A. 1 . B. 4 . C. 1 . D. 3 . 2 5 3 2 1+ 2 2 Lời giải
Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ. Page 21
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Phương trình Parabol có dạng 2 y = . a x (P) . ( 1
P) đi qua điểm có tọa độ ( 6; − 1
− 8) suy ra: − = a (− )2 1 18
. 6 ⇔ a = − ⇒ (P) 2 : y = − x . 2 2
Từ hình vẽ ta có: AB x1 = . CD x2
Diện tích hình phẳng giới bạn bởi Parabol và đường thẳng 1 2
AB : y = − x là 1 2 x 1 x 1 1 3 2 1 2 1 x 1 2 S = 2 − ∫ 2 3 x − − x dx = 2 − . + x x = x . 1 1 2 2 1 1 2 3 2 3 0 0
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol và đường thẳng 1 CD 2 y = − x là 2 2 x 2 x 1 2 3 2 1 2 1 x 1 2 S = 2 − ∫ 2 3 x − − x dx = 2 − . + x x = x 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 0 0 Từ giả thiết suy ra 3 3
S = 2S ⇔ x = 2x x 1 AB x 1 1 ⇔ = = = 2 1 2 1 . Vậy 1 . 3 x 3 CD x 2 2 2 2
Câu 33: Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh bằng 10 cm bằng
cách khoét đi bốn phần bằng nhau có hình dạng parabol như hình bên. Biết AB = 5cm, OH = 4
cm. Tính diện tích bề mặt hoa văn đó. Page 22
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A. 160 2 cm . B. 140 2 cm . C. 14 2 cm . D. 2 50 cm . 3 3 3 Lời giải
Đưa parabol vào hệ trục Oxy ta tìm được phương trình là: (P) 16 2 16 : y = − x + x . 25 5
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) 16 2 16 : y = − x +
x , trục hoành và các đường thẳng 25 5 5 16 16 40
x = 0 , x = 5 là: 2 S = − x + x d ∫ x = . 25 5 3 0
Tổng diện tích phần bị khoét đi: 160 S = 4S = 2 cm . 1 3
Diện tích của hình vuông là: 2 S = . hv 100 cm
Vậy diện tích bề mặt hoa văn là: 160 140 2
S = S − S = − = . hv 100 cm 2 1 3 3
Câu 34: Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40cm . Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có
chung đỉnh tại tâm viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa .
Diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch bằng A. 2 800cm . B. 800 2 cm . C. 400 2 cm . D. 2 250cm . 3 3 Lời giải Page 23
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 2
Chọn hệ tọa độ như hình vẽ , các cánh hoa tạo bởi các đường parabol có phương trình x y = , 2 2 x 2 2 y = − , y x = − , y x = . 2 2 2 2
Diện tích một cánh hoa bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số x y = , y = 2x 2
và hai đường thẳng x = 0; x = 2.
Do đó diện tích một cánh hoa bằng 2 2 2 3 ∫ 2 2 3 x 4 400 4 400 2 x x − dx = (2x) − = ( 2 dm ) = ( 2 cm ) = ( 2 dm ) = ( 2 cm ). 2 3 6 3 3 3 3 0 0
Câu 35: Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã Y có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ.
Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ cây cầu. . y O x A. 3 19m . B. 3 21m . C. 3 18m . D. 3 40m . Lời giải
Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ. . Page 24
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Gọi (P ) 2
: y = a x + b là Parabol đi qua hai điểm 19 A ;0 , B (0;2) 1 1 1 2 2 19 8 = + = −
Nên ta có hệ phương trình sau: 0 . a 2 a 8 2 1 ⇔ 361 ⇒ (P ) 2 : y = − x + 2 . 1 361 2 = b b = 2 1 Gọi (P ) 2
: y = a x + b là Parabol đi qua hai điểm C (10;0) 5 2 2 2 , D0; 2 = a ( )2 5 0 . 10 + 1 a = − 2 2
Nên ta có hệ phương trình sau: 2 40 1 5 ⇔ ⇒ (P : y = − x + . 2 ) 2 5 = b 5 b = 40 2 2 2 2 2 19
Ta có thể tích của bê tông là: 10 1 2 5 8 2 2 3 V = 5.2 − ∫ x + d x − − ∫ x + 2 d x = 40 m . 0 0 40 2 361
Câu 36: Để kỷ niệm ngày 26-3. Chi đoàn 12A dự định dựng một lều trại có dạng parabol, với kích thước:
nền trại là một hình chữ nhật có chiều rộng là 3 mét, chiều sâu là 6 mét, đỉnh của parabol cách
mặt đất là 3 mét. Hãy tính thể tích phần không gian phía bên trong trại để lớp 12A cử số lượng
người tham dự trại cho phù hợp. A. 3 30 m B. 3 36 m C. 3 40 m D. 3 41 m Lời giải Chọn B
Giả sử nền trại là hình chữ nhật ABCD có AB = 3 mét, BC = 6 mét, đỉnh của parabol là I. Chọn
hệ trục tọa độ Oxy sao cho: O là trung điểm của cạnh AB, A, B và I, phương trình của parabol có dạng 2 y = ax + ,
b a ≠ 0 . Do I, A, B thuộc nên ta có 4 2 y = − x + 3 3
Vậy thể tích phần không gian phía trong trại là 3 2 4 2
V = 6.2 (− x + 3)dx = 36 ∫ 3 0
Câu 37: Săm lốp xe ô tô khi bơm căng đặt nằm trên mặt phẳng nằm ngang có hình chiếu bằng như hình
vẽ với bán kính đường tròn nhỏ R = 20cm R = 30cm 1
, bán kính đường tròn lớn 2 và mặt cắt khi
cắt bởi mặt phẳng đi qua trục, vuông góc mặt phẳng nằm ngang là hai đường tròn. Bỏ qua độ dày
vỏ săm. Tính thể tích không khí được chứa bên trong săm. Page 25
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A. 2 3 1250π cm . B. 2 3 1400π cm . C. 2 3 2500π cm . D. 2 3 600π cm . Lời giải
Thể tích săm xe bằng thể tích của khối tròn xoay sinh bởi hình tròn tâm I (0;25) bán kính bằng
5 quay quanh trục Ox . 2
y = 25 + 25 − x
Ta có phương trình đường tròn là 2
x + ( y − 25)2 = 25 ⇔ , x∈[ 5 − ;5] . 2
y = 25− 25− x 5 5 5 2 2 Vậy V = π.∫ ( 2
25 + 25 − x ) dx − ∫ ( 2 25 − 25 − x ) 2
dx =100π. 25− x dx ∫ . 5− 5 − 5 − 5 Ta có 2 25 − x dx ∫
là diện tích nửa hình tròn tâm O(0;0), bán kính bằng 5 5 − 5 2 1 2 25π ⇒
25 − x dx = .π.5 = ∫ . − 2 2 5 5 π Suy ra 2 25 V =100π.
25 − x dx =100π. = ∫ 2 3 1250π cm − 2 5
Chú ý: Có thể bấm máy tích phân, ta được 5
V = π ∫ (25+ 25− x ) 5
2 dx− ∫(25− 25−x )2 2 2 3
dx ≈ 3927πcm . 5− 5 −
Kiểm tra các đáp án ta chọn đáp án A.
Câu 38: Chuẩn bị cho đêm hội diễn văn nghệ chào đón năm mới, bạn An đã làm một chiếc mũ “cách
điệu” cho ông già Noel có dáng một khối tròn xoay. Mặt cắt qua trục của chiếc mũ như hình vẽ
bên dưới. Biết rằng OO′ = 5 cm , OA =10 cm , OB = 20 cm , đường cong AB là một phần của
parabol có đỉnh là điểm A . Thể tích của chiếc mũ bằng Page 26
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A. 2750π 3 cm π π π B. 2500 3 cm C. 2050 ( 3 cm ) D. 2250 3 cm 3 ( ) 3 ( ) 3 3 ( ) Lời giải Chọn B
Ta gọi thể tích của chiếc mũ là V .
Thể tích của khối trụ có bán kính đáy bằng OA =10 cm và đường cao OO′ = 5 cm là V . 1
Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong AB và hai trục tọa
độ quanh trục Oy là V . 2
Ta có V = V +V 1 2 2 V = 5.10 π = 500π 3 cm 1 ( ).
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Do parabol có đỉnh A nên nó có phương trình dạng 2
(P) : y = a(x −10) .
Vì (P) qua điểm B(0;20) nên 1 a = . 5 Do đó, (P) 1
: y = (x −10)2 . Từ đó suy ra x =10 − 5y . 5 20
Suy ra V = π ∫ ( − y)2 8000 1000 10 5 dy = π 3000 − = π ( 3 cm ). 2 3 3 0 Page 27
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Do đó 1000 2500
V = V +V = π + 500π = π ( 3 cm ). 1 2 3 3
Câu 39: Cho chiếc trống như hình vẽ, có đường sinh là nửa elip được cắt bởi trục lớn với độ dài trục lớn
bằng 80 cm, độ dài trục bé bằng 60 cm và đáy trống là hình tròn có bán kính bằng 60 cm. Tính
thể tích V của chiếc trống . A. 3 V = 344963cm B. 3 V = 344964cm C. 3 V = 208347cm D. 3 V = 208346cm Lời giải
Đặt hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ . 2 2 x y
Gọi (E) là elip có phương trình +
=1 thì ảnh của (E) qua phép tịnh tiến theo vectơ 16 9 x ( y −6)2 2
u (0;6) là elip (E′) có phương trình + =1. 16 9
Suy ra, phương trình của đường sinh là: 3 2 y = 6 − 16 − x . 4 4 2
Do đó, thể tích của chiếc trống là: 3 2 V π 6 16 x = − − dx ≈ ∫ 344,964 ( 3 dm ) . − 4 4 Page 28
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 40: Một cốc rượu có hình dạng tròn xoay và kích thước như hình vẽ, thiết diện dọc của cốc là một
đường Parabol. Tính thể tích tối đa mà cốc có thể chứa được A. 3 V ≈ 320cm . B. 3
V ≈1005,31cm . C. 3
V ≈ 251,33cm . D. 3
V ≈ 502,65cm . Lời giải Parabol có phương trình 5 2 2 8
y = x ⇔ x = y 8 5 Thể tích tối đa cốc: 10 8 V π y . = dy ≈ ∫ 251,33 . 5 0
Câu 41: Cho vật thể đáy là hình tròn có bán kính bằng 1 . Khi cắt vật thể bằng mặt phẳng vuông góc với
trục Ox tại điểm có hoành độ x ( 1 − ≤ x ≤ )
1 thì được thiết diện là một tam giác đều. Thể tích V của vật thể đó là Page 29
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A. V = 3 . B. V = 3 3 . C. 4 3 V = . D. V = π . 3 Lời giải
Do vật thể có đáy là đường tròn và khi cắt bởi mặt phẳng
vuông góc với trục Ox được thiết diện là tam giác đều do
đó vật thể đối xứng qua mặt phẳng vuông góc với trục
Oy tại điểm O .
Cạnh của tam giác đều thiết diện là: 2 a = 2 1− x . 2
Diện tích tam giác thiết diện là: a 3 S = = ( 2 1− x ) 3 . 4
Thể tích khối cần tìm là: 1 1 1 V = Sdx = ∫ ∫ ( − x ) 3 2 x 4 3 2 2 3 1 = 2 3 x − = . 3 3 0 0 0
Câu 42: Sân vận động Sport Hub là sân có mái vòm kỳ vĩ nhất thế giới. Đây là nơi diễn ra lễ khai mạc
Đại hội thể thao Đông Nam Á được tổ chức tại Singapore năm 2015 . Nền sân là một elip (E)
có trục lớn dài 150m, trục bé dài 90m . Nếu cắt sân vận động theo một mặt phẳng vuông góc
với trục lớn của (E)và cắt elip ở M , N thì ta được thiết diện luôn là một phần của hình tròn có
tâm I với MN là một dây cung và góc 0
MIN = 90 . Để lắp máy điều hòa không khí thì các kỹ
sư cần tính thể tích phần không gian bên dưới mái che và bên trên mặt sân, coi như mặt sân là
một mặt phẳng và thể tích vật liệu là mái không đáng kể. Hỏi thể tích xấp xỉ bao nhiêu? Page 30
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Hình 3 A. 3 57793m . B. 3 115586m . C. 3 32162m . D. 3 101793m . Lời giải
Chọn hệ trục như hình vẽ
Ta cần tìm diện tích của S (x) thiết diện.
Gọi d (O,MN ) = x 2 2 ( ): x y E + =1. 2 2 75 45 2 2 Lúc đó 2 = 2 = 2 45 1 x − = 90 1 x MN y − 2 2 75 75 2 2 2 MN 90 x 2 90 ⇒ = = . 1− ⇒ = .1 x R R − 2 2 2 2 75 2 75 Page 31
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 2 ( ) 1 2 1 2 1 1 2 = π − = π − = (π − ) 2025 2 .1 x S x R R R − . 2 4 2 4 2 2 75
Thể tích khoảng không cần tìm là 75 2 V = ∫ (π − 2) 2025 x 3 .1− ≈ 115586m . 2 − 2 75 75
Câu 43: Một cái thùng đựng dầu có thiết diện ngang là một đường elip có trục lớn bằng 1m , trục bé
bằng 0,8m , chiều dài bằng 3m . Đươc đặt sao cho trục bé nằm theo phương thẳng đứng . Biết
chiều cao của dầu hiện có trong thùng là 0,6m . Tính thể tích V của dầu có trong thùng . A. 3 V =1,52m . B. 3 V =1,31m . C. 3 V =1,27m . D. 3 V =1,19m . Lời giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. 2 2
Theo đề bài ta có phương trình của Elip là x y + =1 1 4 . 4 25
Gọi M , N lần lượt là giao điểm của dầu với elip. π
Gọi S là diện tích của Elip ta có 1 2
S = π ab = π . = . 1 1 2 5 5
Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi Elip và đường thẳng 2 MN .
Theo đề bài chiều cao của dầu hiện có trong thùng là 0,6m nên ta có phương trình của đường thẳng MN là 1 y = . 5 2 2
Mặt khác từ phương trình x y + =1 4 1 1 4 ta có 2 y = − x . 5 4 4 25 Do đường thẳng 1
y = cắt Elip tại hai điểm M , N có hoành độ lần lượt là 3 − và 3 nên 5 4 4 3 3 4 4 4 1 2 1 4 1 2 3 S = ∫
− x − dx = − x dx − 2 5 4 5 5 ∫ . 4 10 3 3 − − 4 4 Page 32
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 3 4 Tính 1 2 I = − x dx ∫ . 4 3 − 4 Đặt 1 1
x = sin t ⇒ dx = costdt . 2 2 π π Đổi cận: Khi 3 x − = thì t = − ; Khi 3 x = thì t = . 4 3 4 3 π π 3 3 1 1 2 1 π I = t t = ∫ ∫ ( + t) 1 2 3 . cos d 1 cos 2 dt = + . π 2 2 8 π 8 3 2 − − 3 3 π π Vậy 4 1 2 3 3 3 S = + − = − 2 . 5 8 3 2 10 15 20 π π
Thể tích của dầu trong thùng là 3 V = − + .3 =1,52 . 5 15 20
Câu 44: Người ta thay nước mới cho một bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật có độ sâu là 280 cm. Giả sử
h(t)là chiều cao của mực nước bơm được tại thời điểm t giây, biết rằng tốc độ tăng của chiều
cao mực nước tại giây thứ t là 1 3 h (′t) =
t + 3 và lúc đầu hồ bơi không có nước. Hỏi sau bao 500
lâu thì bơm được số nước bằng 3 độ sâu của hồ bơi ? 4 A. 2 giờ 36 giây. B. 2 giờ 34 giây. C. 2 giờ 35 giây. D. 2 giờ 36 giây. Lời giải
Gọi x là thời điểm bơm được số nước bằng 3 độ sâu của bể ( x tính bằng giây ). 4 x x
Ta có: 1 3 t + 3dt = 210 ∫ 3 ⇒ (t + 3)43 =105000 3 3
⇒ (x + 3) x + 3 − 3 3 =140000 500 4 0 0 3 ⇒ (x + 3)4 3 = 3 3 +140000 4
⇒ x + 3 = (3 3 +140000)3 3 4 ⇒ x = (3 3 +140000)3 3 − 3 ⇒ x ≈ 7234,8256 .
Câu 45: Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi h(t) là thể tích nước bơm được sau t giây. Cho h′(t) 2
= 6at + 2bt và ban đầu bể không có nước. Sau 3 giây thì thể tích nước trong bể là 3
90m , sau 6 giây thì thể tích nước trong bể là 3
504m . Tính thể tích nước trong bể sau khi bơm được 9 giây. A. 3 1458m . B. 3 600m . C. 3 2200m . D. 3 4200m . Lời giải 3∫( 2
6at + 2bt)dt = 90 ⇔ (2at + bt ) 3 3 2
= 90 ⇔ 54a + 9b = 90 0 0 Page 33
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 6∫( 2
6at + 2bt)dt = 504 ⇔ (2at + bt ) 6 3 2
= 504 ⇔ 432a + 36b = 504 0 0 2 a = Từ , ⇒
3 . Sau khi bơm 9 giây thì thể tích nước trong bể là: b = 6 9 9 V = ∫( 2
4t +12t)dt = 4 3 2 t 6t + = 1458( 3 m ). 3 0 0
Câu 46: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x) liên tục trên đoạn [0;5] và đồ thị hàm số y = f ′(x)
trên đoạn [0;5] được cho như hình bên.
Tìm mệnh đề đúng
A. f (0) = f (5) < f (3).
B. f (3) < f (0) = f (5).
C. f (3) < f (0) < f (5) .
D. f (3) < f (5) < f (0) . Lời giải 5 Ta có f ′
∫ (x)dx = f (5)− f (3) > 0, do đó f (5) > f (3) . 3 3 f ′
∫ (x)dx = f (3)− f (0) < 0, do đó f (3) < f (0) 0 5 f ′
∫ (x)dx = f (5)− f (0) < 0, do đó f (5) < f (0) 0
Câu 47: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị y = f ′(x) cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ a < b < c như
hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? Page 34
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
A. f (b) > f (a) > f (c) .
B. f (a) > f (b) > f (c) .
C. f (c) > f (a) > f (b) .
D. f (c) > f (b) > f (a) . Lời giải Chọn A
Ta có bảng biến thiên của hàm số y = f (x) b b c c
Ta có S = f ′ x dx = f ′ x dx = f b − f a , S = f ′ x dx = − f ′ x dx = f b − f c . 2 ∫ ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) 1 ∫ ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) a a b b
S < S ⇔ f b − f a < f b − f c ⇔ f c < f a 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Vì b
⇒ f (c) < f (a) < f (b) f ′
∫ (x)dx > 0 ⇔ f (b) > f (a) a
Câu 48: Cho hàm số y = f (x) là hàm đa thức bậc bốn, có đồ thị y = f ′(x) như hình vẽ.
Phương trình f (x) = 0 có 4 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi
A. f (0) < 0 < f (m) . B. f (0) > 0.
C. f (m) < 0 < f (n) . D. f (0) < 0 < f (n) . Lời giải Chọn A x = 0 Xét f (x) 0 ′ = ⇔ x = m x = n Bảng biến thiên: Page 35
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị y = f ′(x); ; Ox x = ; m Oy 1
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị y = f ′(x) = 2 ;Oy; x n
Từ hình vẽ ta thấy S > S 2 1 n 0 ⇔ f ′
∫ (x) dx > f ′ ∫ (x) dx 0 m n 0 ⇔ f ′
∫ (x)dx > − f ′ ∫ (x)dx 0 m
⇔ f (n) − f (0) > − f (0) − f (m)
⇔ f (n) > f (m) .
Từ bảng biến thiên kết hơp với điều kiện f (n) > f (m) ta thấy để phương trình f (x) = 0 có 4
nghiệm thực phân biệt ⇔ f (0) < 0 < f (m).
Câu 49: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có đồ thị của hàm số f ′(x) như hình bên dưới. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. f (0) > f (2) > f (− ) 1 .
B. f (0) > f (− ) 1 > f (2) .
C. f (2) > f (0) > f (− ) 1 . D. f (− )
1 > f (0) > f (2) . Lời giải Theo đồ thị, ta có: 0
f (0) − f (− ) 1 = f ′
∫ (x)dx > 0 1 −
⇒ f (0) > f (− ) 1 ( ) 1 , Page 36
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 2 0 2
f (2) − f (− ) 1 = f ′
∫ (x)dx = f ′
∫ (x)dx+ f ′
∫ (x)dx < 0 1 − 1 − 0 ⇒ f (− ) 1 > f (2) (2) . Từ ( )
1 và (2) ⇒ f (0) > f (− ) 1 > f (2) .
Câu 50: Cho hàm số f (x). Đồ thị của hàm số y = f ′(x) trên [ 3 − ;2] như hình vẽ Biết f ( 3
− ) = 0, giá trị của f (− ) 1 + f ( ) 1 bằng A. 23 B. 31 C. 35 D. 9 6 6 3 2 Lời giải Chọn B Parabol 2
y = ax + bx + c có đỉnh I ( 2; − ) 1 và đi qua điểm ( 3 − ;0) nên ta có − b = 2 − 2a a = 1 − 2
4a − 2b + c = 1 ⇔ b = 4
− ⇒ y = −x − 4x − 3. 9 a 3b c 0 − + = c = 3 − Do f ( 3 − ) = 0 nên f (− ) 1 + f ( ) 1 = f ( )
1 − f (0) + f (0) − f (− ) 1 + 2 f (− ) 1 − f ( 3 − ) 1 0 1 − 1 −
= f (′x)dx + f (′x)dx + 2 ∫ ∫ ∫ ( 2
−x − 4x − 3)dx = S + S + ∫ ( 2 3 8 31
2 −x − 4x − 3 dx =1+ + = . 1 2 ) − 2 3 6 0 1 − 3 − 3
Với S , S lần lượt là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ′(x), trục Ox và 1 2
hai đường thẳng x = 1,
− x = 0 và x = 0, x =1. Dễ thấy 3 S =1; S = . 1 2 2
Câu 51: Cho hàm số y = f (x) . Đồ thị của hàm số y = f ′(x) như hình vẽ. Đặt g (x) = f (x) −(x − )2 2 1 . Page 37
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. g (− )
1 < g (3) < g (5). B. g (− )
1 < g (5) < g (3).
C. g (5) < g (− ) 1 < g (3).
D. g (3) < g (5) < g (− ) 1 . Lời giải
Ta có g′(x) = 2 f ′(x) −(x − ) 1
; g′( x) = 0 ⇔ f ′( x) = x −1. x = 1 −
Dựa vào đồ thị ta có các nghiệm sau: x = 3 . x = 5 Ta có bảng biến thiên 3 5
Ngoài ra dựa vào đồ thị ta có 1 g′ ∫ (x) 1 dx > − g′
∫ (x)dx ⇔ g(x)3 > −g(x)5 2 1 − 3 − 2 1 3
⇔ g (3) − g (− )
1 > g (3) − g (5) ⇔ g (5) > g (− ) 1 .
Vậy g (3) > g (5) > g (− ) 1 . Câu 52: Cho hàm số 3 2
y = f (x) = ax + bx + cx + d (a,b,c,d ∈,a ≠ 0) có đồ thị là (C). Biết rằng đồ
thị (C) đi qua gốc tọa độ và đồ thị hàm số y = f '(x) cho bởi hình vẽ bên. Tính giá trị
H = f (4) − f (2) ? Page 38
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A. H = 45. B. H = 64. C. H = 51. D. H = 58 . Lời giải Theo bài ra 3 2
y = f (x) = ax + bx + cx + d (a,b,c,d ∈,a ≠ 0) do đó y = f ′(x) là hàm bậc hai có dạng = ′( ) 2
y f x = a x′ + b x ′ + c′. c′ =1 a′ = 3
Dựa vào đồ thị ta có:
a′ − b′ + c′ = 4 ⇔ b
′ = 0 ⇒ y = f ′( x) 2 = 3x +1.
a′+b′+ c′ = 4 c′ = 1
Gọi S là diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f ′(x) , trục Ox , x = 4, x = 2 . 4 Ta có S = ∫( 2 3x + ) 1 dx = 58 . 2 4 4
Lại có: S = f ′
∫ (x)dx = f (x) = f (4)− f (2). 2 2
Do đó: H = f (4) − f (2) = 58 .
Câu 53: Cho hàm số y = f (x) . Đồ thị của hàm số y = f ′(x) như hình vẽ bên. Đặt M = max f (x) , [ 2; − 6]
m = min f (x), T = M + m . Mệnh đề nào dưới đây đúng? [ 2; − 6]
A. T = f (0) + f ( 2
− ) . B. T = f (5) + f ( 2 − ) .
C. T = f (5) + f (6).
D. T = f (0) + f (2) . Lời giải Page 39
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Gọi S , S , S , S lần lượt là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ′(x) với và 1 2 3 4 trục hoành. Quan sát hình vẽ, ta có 0 2 0 0 f ′
∫ (x)dx > − f ′
∫ (x)dx ⇔ f (x) > f (x) 2 − 2 2 − 0
⇔ f (0) − f ( 2
− ) > f (0) − f (2) ⇔ f ( 2 − ) < f (2) 2 5 0 5 − f ′
∫ (x)dx < f ′
∫ (x)dx ⇔ f (x) < f (x) 2 2 0 2
⇔ f (0) − f (2) < f (5) − f (2) ⇔ f (0) < f (5) 5 6 5 5 f ′
∫ (x)dx > − f ′
∫ (x)dx ⇔ f (x) > f (x) 2 6 2 5
⇔ f (5) − f (2) > f (5) − f (6) ⇔ f (2) < f (6) Ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có M = max f (x) = f (5) và m = min f (x) = f ( 2 − ) [ 2; − 6] [ 2; − 6]
Khi đó T = f (5) + f ( 2 − ) . Câu 54: Cho hàm số 4 3 2
f (x) ax bx cx dx e . Hàm số y f (x) có đồ thị như hình vẽ. Trong
các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? Page 40
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
A. a c 0.
B. a b c d 0. C. a c b d .
D. b d c 0 . Lời giải Chọn A
Theo đồ thị ta có f (0) 0 d 0 và hệ số a 0 . 0 0 Xét 0
f (x)dx f (x) , mà
f (x)dx 0 a
bc d a b c d 1 nên ta có 0 1 1
Hay a c b d . Do đó ta loại C.
Thay d 0 ta có a bc , vì a 0 nên bc 0 . Loại D. 1 1 Xét 1
f (x)dx f (x) a b c d
f (x)dx 0 0 , mà
nên ta có a b c d 0. 0 0 Do đó ta loại B. Từ ta có a
bcd 0 cộng từng vế với ta có a c 0
Câu 55: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị gồm một phần đường thẳng và một phần parabol có đỉnh là gốc tọa độ O 3
như hình vẽ. Giá trị của f
∫ (x)dx bằng 3 − A. 26 . B. 38 . C. 4 . D. 28 . 3 3 3 3 Lời giải Chọn D
Ta có, phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b .
Từ hình vẽ, ta thấy đường thẳng đi qua hai điểm A( 2 − ;0), B( 1; − )1 . Page 41
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 2 − a + b = 0 a = 1
Suy ra, ta có hệ phương trình ⇔ ⇒ y = x + 2. −a + b = 1 b = 2
Ta có, phương trình parabol có dạng 2
y = ax , a ≠ 0.
Từ hình vẽ, ta thấy parabol đi qua điểm B(− ) 2 1;1 ⇒ y = x .
x + 2, x ≤ 1 −
Do đó, hàm số y = f (x) = 2 . x , x ≥ 1 − 2 − 3 1 − 3 (x + 2) 1 3 3 x 1 1 1 28 Vậy, f
∫ (x)dx = ∫ (x+ 2) 2 dx + x dx ∫ = + = − + 9 + = . 3 − 3 − 1 − 2 3 2 2 3 3 1 3 − −
Câu 56: Cho hàm số y f x có đạo hàm đến cấp 2 trên . Biết hàm số y f x đạt cực tiểu tại
x 1, có đồ thị như hình vẽ và đường thẳng là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm x 2 4 . Tính
f x2dx 1 A. 1. B. 4. C. 3. D. 2. Lời giải Chọn C
Dễ thấy đường thẳng đi qua các điểm 0;
3 và 1;0 nên : y 3x3 suy ra hệ số góc
của là k 3 f 2 3.
Hàm số y f x đạt cực tiểu tại x 1 suy ra f 1 0. 4
Vậy f x2dx f x24 f 2 f 1 30 3 . 1 1
Câu 57: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Page 42
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 4 2
Giá trị của biểu thức I = f '
∫ (x−2)dx+ f '
∫ (x+2)dx bằng 0 0 A. − 2 . B. 2. C. 6. D. 10. Lời giải Chọn C 4 2 4 2 Xét I = f '
∫ (x−2)dx+ f '
∫ (x+ 2)dx = f '
∫ (x−2)d(x−2)+ f '
∫ (x+ 2)d(x+ 2) 0 0 0 0
= f (x − 2) 4 + f (x + 2) 2 = f (2) − f ( 2 − ) + f
(4) − f (2) = f (4)− f ( 2 − ) = 4 −( 2 − ) = 6. 0 0
Câu 58: Cho hàm số f (x) liên tục có đồ thị như hình bên dưới. . 1 −
Biết F′(x) = f (x), x ∀ ∈[ 5; − 2] và f (x) 14 dx = ∫
. Tính F (2) − F ( 5 − ) − 3 3 A. 145 − . B. 89 − . C. 145 . D. 89 . 6 6 6 6 Lời giải Chọn C
Dựa vào đồ thị ta nhận thấy, đồ thị hàm số f (x) liên tục và xác định trên đoạn [ 5; − 2]được xây
f x khi − 5 ≤ x < 3 − 1 ( )
dựng bởi ba hàm số f (x) = f x khi −3 ≤ x ≤ 1 − . Trong đó:. 2 ( )
f x khi−1< x ≤ 2 3 ( ) Page 43
CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
f x là đường thẳng qua hai điểm ( 5; − 5) và ( 3 − ;4) có phương trình: x 5 f x − + = . 1 ( ) 1 ( ) 2
f x có đồ thị là một đường cong nối từ điểm ( 3 − ;4) đến điểm ( 1; − 2) . 2 ( )
f x là đường thẳng qua hai điểm ( 1;
− 2) và (0;3) có phương trình f x = x + 3. 3 ( ) 3 ( ) 2 3 − 1 − 2
Vậy: F (2) − F ( 5 − ) = f
∫ (x)dx = f x dx+ f x dx+ f x dx ∫ 1( ) ∫ 2 ( ) ∫ . 3 ( ) 5 − 5 − 3 − 1 − 3 − 1 − 2 −x + 5 =
dx + f x dx + x + 3 dx ∫ ∫ = 14 21 145 = 9 + + = . 2 ( ) ∫ ( ) 3 2 6 − 2 5 3 − 1 − Page 44
Document Outline
- 01_03_03_01_GT12_CIII_B3-UNG-DUNG-TICH-PHAN-TU-LUAN_DE
- 01_03_03_01_GT12_CIII_B3-UNG-DUNG-TICH-PHAN-TU-LUAN_HDG-CHI-TIET
- 01_03_03_02_GT12_CIII_B3-UNG-DUNG-TICH-PHAN-TRAC-NGHIEM-BO_DE
- 01_03_03_02_GT12_CIII_B3-UNG-DUNG-TICH-PHAN-TRAC-NGHIEM-BO_HDG-CHI-TIET
- 01_03_03_03_GT12_CIII_B3-UNG-DUNG-TICH-PHAN-TRAC-NGHIEM_DE
- DẠNG 1. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH
- DẠNG 2. ỨNG DỤNG TICH PHAN DỂ TIM THỂ TICH
- 01_03_03_03_GT12_CIII_B3-UNG-DUNG-TICH-PHAN-TRAC-NGHIEM_HDG-CHI-TIET
- DẠNG 1. ỨNG DỤNG TICH PHAN DỂ TIM DIỆN TICH
- DẠNG 2. ỨNG DỤNG TICH PHAN DỂ TIM THỂ TICH
- 01_03_03_03_GT12_CIII_B3-UNG-DUNG-TICH-PHAN-TRAC-NGHIEM-MUC-DO-9-10_DE
- 01_03_03_03_GT12_CIII_B3-UNG-DUNG-TICH-PHAN-TRAC-NGHIEM_MUC-DO-9-10_HDG