Tài liệu luyện thi vào lớp 10 môn Toán phần Hình học – Vũ Xuân Hưng

Tài liệu gồm 122 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Vũ Xuân Hưng, tổng hợp kiến thức cần nhớ, các dạng bài tập và hướng dẫn giải, tuyển chọn các bài tập từ cơ bản đến nâng cao các chủ đề Hình học bậc THCS, giúp học sinh ôn tập chuẩn bị cho kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán.

96 48 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu ôn thi vào 10 môn Toán

Môn: Môn Toán

Thông tin:

122 trang 7 tháng trước

Tác giả:

Profile Nguyễn Vân
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 1
PHẦN II - HÌNH HỌC
*****
CHUYÊN ĐỀ 7 - HÌNH HỌC PHẲNG
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Phần I: Lý thuyết cần nhớ:
I. Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông.
Trong một tam giác vuông:
Bình phương đường cao ứng với cạnh
huyền bằng tích hai hình chiếu của 2 cạnh góc
vuông trên cạnh huyền.
Tích hai cạnh góc vuông bằng tích cạnh
huyền với đường cao tương ứng.
Bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích
của cạnh huyền với hình chiếu tương ứng của
cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.
Nghịch đảo bình phương đường cao bằng
tổng nghịch đảo bình phương hai cạnh góc
vuông.
II. CÁC TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC
NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG.
1. Các tỉ số lượng giác.
Mẹo nhớ: “Sin Đi – Học, Cos Không – Hư, tg
Đoàn – Kết, Cotg Kết – Đoàn”
A
B
H C
A
B
2. Một số tính chất và đẳng thức lượng giác cần nhớ:
a. Với góc nhọn ( ) thì
2
..a AH BH CH=
. . .b AH BC AB AC=
22
. . , .c AB BC BH AC BC HC==
, os
,
AC AB
Sin C
BC BC
AC AB
tg Cotg
AB AC


==
==
0 90

0 sin , os 1c


Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 2
b.
c.
d. (Các bạn nhớ chỉ được
lấy giá trị dương vì tuân theo tính chất a ở mục này)
e. Với góc nhọn và
f. (Công thức này thầy đã chứng minh cho
các bạn)
3. Mối quan hệ lượng giác của các góc phụ nhau.
Nếu thì các giá trị lượng giác của và chéo nhau, tức là:
4. Hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông. A
c b
Vậy trong một tam giác vuông: B a
C
a. Độ dài một cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền với sin góc đối hoặc
cos góc kề.
b. Độ dài một cạnh góc vuông bằng tích của cạnh góc vuông còn lại với tg
góc đối hoặc cotg góc kề.
II. GÓC VÀ ĐƯỜNG TRÒN
§-êng trßn:
1,§Þnh nghÜa:
TËp hîp c¸c ®iÓm c¸ch ®iÓm 0 cho tr-íc mét kho¶ng c¸ch R > 0 kh«ng
®æi gäi lµ ®-êng trßn t©m 0 b¸n kÝnh R . KÝ hiÖu : ( 0 ; R)
2, VÞ trÝ t-¬ng ®èi:
* Cña mét ®iÓm víi mét ®-êng trßn :
xÐt (0 ; R ) vµ ®iÓm M bÊt k×
VÞ trÝ t-¬ng ®èi
HÖ thøc
M n»m ngoµi ( O ; R )
OM > R
sin os
,cot
os sin
c
tg g
c



==
11
,cot .cot 1
cot
tg g tg g
g tg

= = =
2 2 2 2
sin os 1 sin 1 os , os 1 sinc c c
+ = = − = −
22
22
11
1 ,1 cot
os sin
tg g
c


+ = + =
90

+=
sin os , os sin , cot ,cotc c tg g g tg
= = = =
.sin .cos
.sin .cos
. .cot
. .cot
b a B a C
c a C a B
b c tgB c gC
c btgC b gB
==
==
==
==
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 3
M n»m trªn( O ; R ) hay M thuéc( O ;
R)
OM = R
M n»m trong ( O ; R )
OM < R
* Vị trí của mét ®-êng th¼ng víi mét ®-êng trßn :
xÐt ( O; R) vµ ®-êng th¼ng a bÊt k× (víi d lµ kho¶ng c¸ch tõ t©m O ®Õn ®-êng
th¼ng a)
vÞ trÝ t-¬ng ®èi
Sè ®iÓm chung
HÖ thøc
a c¾t ( O ; R )
2
d < R
a tiÕp xóc ( O ; R )
1
d = R
a vµ ( O ; R ) kh«ng giao nhau
0
d > R
* Cña hai ®-êng trßn :
xÐt ( O;R) vµ (O’; R’) ( víi d = O O’ )
vÞ trÝ t-¬ng ®èi
Sè ®iÓm chung
HÖ thøc
Hai ®-êng trßn c¾t nhau
2
R - r < d < R- r
Hai ®-êng trßn tiÕp xóc nhau :
+ tiÕp xóc ngoµi :
+ tiÕp xóc trong :
1
d = R + r
d = R - r
Hai®-êng trßn kh«ng giao nhau :
+hai ®-êng trßn ë ngoµi nhau :
+®-êng trßn lín ®ùng ®-êng trßn
nhá :
0
d > R + r
d < R -r
3 . TiÕp tuyÕn cña ®-êng trßn :
a. §Þnh nghÜa :
®-êng th¼ng d ®-îc gäi lµ tiÕp tuyÕn cña mét ®-êng trßn nÕu nã chØ cã mét
®iÓm chung víi ®-êng ®ã .
b, TÝnh chÊt :
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 4
+ TÝnh chÊt 1 : NÕu mét ®-êng th¼ng lµ mét tiÕp tuyÕn cña mét ®-êng trßn
th× nã vu«ng gãc víi b¸n kÝnh ®i qua tiÕp ®iÓm .
+ TÝnh chÊt 2 : NÕu hai tiÕp tuyÕn cña mét ®-êng trßn c¾t nhau t¹i mét ®iÓm
th× giao ®iÓm nµy c¸ch ®Òu hai tiÕp ®iÓm vµ tia kÎ tõ giao ®iÓm ®ã qua t©m
®-êng trßn lµ tia ph©n gi¸c cña gãc t¹o bëi hai tiÕp tuyÕn .
c, C¸ch chøng minh :
C¸ch 1 : chøng minh ®-êng th¼ng ®ã cã mét ®iÓm chung víi ®-êng trßn ®ã
.
C¸ch 2 : chøng minh ®-êng th¼ng ®ã vu«ng gãc víi b¸n kÝnh cña ®-êng trßn
®ã t¹i mét ®iÓm vµ ®iÓm ®ã thuéc ®-êng trßn .
4 . Quan hÖ gi÷a ®-êng kÝnh vµ d©y cung :
* §Þnh lÝ 1 : §-êng kÝnh vu«ng gãc víi mét d©y cung th× chia d©y cung Êy
ra thµnh hai phÇn b»ng nhau .
* §Þnh lÝ 2 : §-êng kÝnh ®I qua trung ®iÓm cña mét d©y cung kh«ng ®i qua
t©m th× vu«ng gãc víi d©y cung Êy.
5 . Quan hÖ gi÷a d©y cung vµ kho¶ng c¸ch ®Õn t©m :
* §Þnh lÝ 1 : Trong mét ®-êng trßn hai d©y cung b»ng nhau khi vµ chØ khi
chóng c¸ch ®Òu t©m .
* §Þnh lÝ 2 : Trong hai d©y cung kh«ng b»ng nhau cña mét ®-êng trßn, d©y
cung lín h¬n khi vµ chØ khi nã gÇn t©m h¬n .
Gãc trong ®-êng trßn:
1, C¸c lo¹i gãc trong ®-êng trßn:
- Gãc ë t©m
- Gãc néi tiÕp
- Gãc cã ®Ønh ë bªn trong hay bªn ngoµi ®-êng trßn
- Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung
2, Mèi quan hÖ gi÷a cung vµ d©y cung:
* §Þnh lÝ 1: §èi víi hai cung nhá trong mét ®-êng trßn:
a, Hai cung b»ng nhau c¨ng hai d©y b»ng nhau
b, §¶o l¹i, hai d©y b»ng nhau tr-¬ng hai cung b»ng nhau.
* §Þnh lÝ 2: §èi víi hai cung nhá trong mét ®-êng trßn:
a, Cung lín h¬n c¨ng d©y lín h¬n
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 5
b, D©y lín h¬n tr-¬ng cung lín h¬n.
3, Tø gi¸c néi tiÕp:
a, §Þnh nghÜa:
Tø gi¸c néi tiÕp mét ®-êng trßn lµ tø gi¸c cã bèn ®Ønh n»m trªn mét ®-êng
trßn . §-¬ng trßn ®ã ®-îc gäi lµ ®-êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c.
b, C¸ch chøng minh :
* C¸ch 1: chøng minh bèn ®Ønh cña tø gi¸c cïng thuéc mét ®-êng trßn
* C¸ch 2: chøng minh tø gi¸c cã tæng hai gãc ®èi diÖn b»ng 180
0
* C¸ch 3: chøng minh tø gi¸c cã hai ®Ønh kÒ nhau nh×n c¹nh ®èi diÖn d-íi
cïng mét gãc.
II – CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
Dạng 1: Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn
Phương pháp giải
Cách 1: Chứng minh 4 đỉnh của tứ giác
cùng thuộc một đường tròn
C¸ch 2: chøng minh tø gi¸c cã tæng hai
gãc ®èi diÖn b»ng 180
0
00
180 , 180A C B D+ = + =
C¸ch 3: chøng minh tø gi¸c cã hai ®Ønh kÒ
nhau nh×n c¹nh ®èi diÖn d-íi cïng mét
gãc bằng nhau.
,
,
ABD ACD BDC BAC
CAD CBD BDA BCA
==
==
Cách 4: Chứng minh 4 điểm của tứ giác
cách đều tâm
IA=IB=IC=ID
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 6
Bài 1: Đề thi vào 10 Phú Thọ 2018 – 2019
Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định nằm ngoài (O;R). Từ M
kẻ các tiếp tuyến MA, MB tới (O;R) (A, B là các tiếp điểm). Đường thẳng
(d) bất kì qua M và cắt (O;R) tại hai điểm phân biệt C, D ( C nằm giữa M
và D). Gọi N là giao điểm của AB và CD.
Chứng minh tứ giác OAMB nội tiếp dường tròn
HƯỚNG DẪN GIẢI:
Xét tứ giác OAMB có :
0
90MAO OBM==
(tiếp tuyến của
đường tròn vuông góc với bán kính
tại tiếp điểm).
Do
MAO
và
MBO
là hai góc đối
nhau của tứ giác OAMB và
0 0 0
90 90 180MAO OBM+ = + =
Vậy tứ giác OAMB nội tiếp đường
tròn.
Bài 2: Đề thi vào 10 Phú Thọ 2017 – 2018
Cho tứ giác ABCD nội tiếp.Gọi I là giao điểm của AC và BD. Kẻ IH
⊥
AB
IK
AD⊥
(
,H AB K AD
).
Chứng minh tứ giác AHIK nội tiếp đường tròn.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 7
Xét tứ giác AHIK có IH
⊥
AB (gt)
Và IK
AD⊥
(gt).
,AHK AKI
là hai đỉnh đối nhau của tứ
giác AHI, và
Vậy tứ giác AHIK nội tiếp đường tròn.
Bài 3: Đề thi vào 10 Hà Nội 2017 – 2018
Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Gọi M và N lần lượt
là điểm chính giữa của cung nhỏ AB và BC. Hai dây AN và CM cắt nhau
tại điểm I. Dây MN cắt cạnh AB và BC lần lượt tại H và K.
Chứng minh bốn điểm C, N, K, I cùng thuộc một đường tròn
HƯỚNG DẪN GIẢI:
Ta có
NIC
là góc có đỉnh nằm
trong đường tròn nên:
2
NC MA
NIC
+
=
Tương tự
NKC
là góc có đỉnh
nằm trong đường tròn nên:
2
NC MB
NKC
+
=
Do M là điểm chính giữa cung
nhỏ AB nên
MA MB=
Nên
NIC NKC=
.
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 8
Xét tứ giác CNKI có
NIC NKC=
và
,NIC NKC
là
hai đỉnh kề nhau.
Vậy tứ giác CNKI nội tiếp
đường tròn.
Dạng 2: Chứng minh tứ giác đã cho là hình bình hành, hình thoi, hình
chữ nhật, hình vuông.
Phương pháp giải:
+) Dấu hiệu nhận biết hình bình hành:
Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành.
Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.
Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình
hành.
Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành.
Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
là hình bình hành.
+) Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật
Tứ giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật
Hình thang cân có 1 góc vuông là hình chữ nhật
Hình bình hành có 1 góc vuông là hình chữ nhật
Hình bình hành có 2 đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật
+) Dấu hiệu nhận biết hình thoi
Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.
Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.
Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 9
Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc
là hình thoi.
+) Dấu hiệu nhận biết hình vuông
Hình chữ nhật có hai cạnh kể bằng nhau là hình vuông.
Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình
vuông.
Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc
là hình vuông.
Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.
Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.
Bài 1: Cho đường tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d
với (O). Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến
MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm).
Kẻ AC ⊥ MB, BD ⊥ MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao
điểm của OM và AB.
Chứng minh OAHB là hình thoi.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
Ta có OB ⊥ MB (tính chất
tiếp tuyến) ; AC ⊥ MB (gt)
=> OB // AC hay OB // AH.
OA ⊥ MA (tính chất tiếp
tuyến) ; BD ⊥ MA (gt) =>
OA // BD hay OA // BH.
=> Tứ giác OAHB là hình bình
hành; lại có OA = OB =R =>
OAHB là hình thoi
d
H
I
K
N
P
M
D
C
B
A
O
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 10
Bài 2: Cho đường tròn (O) bán
kính R có hai đường kính AB và
CD vuông góc với nhau. Trên
đoạn thẳng AB lấy điểm M (M
khác O). CM cắt (O) tại N.
Đường thẳng vuông góc với AB
tại M cắt tiếp tuyến tại N của
đường tròn ở P. Chứng minh :
1. Tứ giác OMNP nội tiếp.
2. Tứ giác CMPO là hình
bình hành
HƯỚNG DẪN GIẢI:
1. Ta có
0
90OMP =
OMP = 90
0
( vì PM ⊥ AB );
0
90ONP =
(vì NP
là tiếp tuyến ).
Như vậy M và N cùng nhìn OP dưới một góc bằng 90
0
M và N cùng
nằm trên đường tròn đường kính OP
Tứ giác OMNP nội tiếp.
2. Tứ giác OMNP nội tiếp
OPM
ONM=
(nội tiếp chắn cung OM)
Tam giác ONC cân tại O vì có ON = OC = R
ONC OCN=
.OPM OCM=
hai tam giác
OMC
và
MOP
ta có
0
90MOC OMP==
;
OPM OCM=
CMO POM=
lại có MO là
cạnh chung OMC = MOP => OC = MP. (1)
Theo giả thiết Ta có CD ⊥ AB; PM ⊥ AB
CO//PM (2).
Từ (1) và (2)
Tứ giác CMPO là hình bình hành.
Bài 3: Đề thi vào 10 Hà Nội (2016 – 2017)
Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp
tuyến AB với đường tròn (O) (B là tiếp điểm) và đường kính BC. Trên
đoạn thẳng CO lấy điểm I ( I khác C, I khác O). Đường thẳng AI cắt (O)
tại hai điểm D và E ( D nằm giữa A và E). Gọi H là trung điểm của đoạn
thẳng DE. Tia CD cắt AO tại điểm P, tia EO cắt BP tại điểm F. Chứng
minh tứ giác BECF là hình chữ nhật
HƯỚNG DẪN GIẢI:
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 11
Gọi F’ là giao điểm của BP và đường
tròn (O). Gọi AQ là tiếp tuyến thứ 2 với
đường tròn (O). Vì tứ giác BDQC là tứ
giác nội tiếp nên
QDC QBC=
(1). Vì
tứ giác ABOQ là tứ giác nội tiếp đường
tròn đường kính AO nên
QBC QAO=
(2). Từ (1) và (2)
QDC OAQ =
APDQ là tứ giác
nội tiếp
PDA PQA=
(3).
ư
Ta có
PDA EDC EBC==
(4). Ta có
( . . )ABP AQP c g c PQA PBA = =
(5)
Từ (3), (4), (5)
PBA EBC=
0
90PBE ABC = =
0
' 90F BE=
'FE
là đường kính của (O)
''F OE F F
. Vì FBEC là tứ giác
nội tiếp nên
0
180 90FCE FBL= − =
. Tứ giác FBEC có
0
90FCE FBE BCE= = =
nên là hình chữ nhật.
Bài 4: Đề thi vào 10 Hà Nội 2017 – 2018
Cho đường tròn tâm (O) ngoại tiêp tam giác nhọn ABC. Gọi M , N lần lượt
là điểm chính giữa cung nhỏ AB và cung nhỏ BC. Hai dây AN và CM cắt
nhau tại điểm I. Dây MN cắt các cạnh AB và BC lần lượt tại H và K. Chứng
minh tứ giác BHIK là hình thoi.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 12
Tứ giác IKNC nội tiếp nên
IKC INC=
( hai góc nội tiếp chắn
cung IC).
ABC ANC=
( cùng chắn cung
AC)
ABC IKC=
. Hai góc này ở vị
trí đồng vị
//IK HB
. Gọi BI cắt
(O) tại G. Vì I là giao điểm của 3
đường phân giác của tam giác
ABC nên G là điểm chính giữa của
cung AC và
BI là phân giác
ABC
. CM tương tự AMHI nội tiếp
AHI AMI=
(hai góc
nội tiếp cùng chắn cung AI)
ABC AHI=
( cùng chắn cung AC)
ABC AHI=
mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên
//HI BK
.
Xét tứ giác BHIK có
//IK HB
(cmt)
//HI BK
(cmt)
BHIK
là hình bình hành. Mà BI là tia phân giác của
HBK
BHIK
là hình thoi
Dạng toán 3: Chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn
Phương pháp giải
+) Chứng minh đường thẳng và đường tròn có một điểm chung duy nhất
+) Chứng minh đường thẳng vuông góc với bán kính của đường tròn tại
,một điểm thuộc đường tròn điểm này gọi là tiếp điểm.
Bài 1: Đề thi vào 10 Cần Thơ 2017 – 2018
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 13
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Đường tròn (O) đường kính BC cắt các
cạnh AB, AC lần lượt tại các điểm D và E. Gọi H là giao điểm của hai
đường thẳng CD và BE.
a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn. Xác định tâm I của
đường tròn này
b) Chứng minh ID là tiếp tuyến của đường tròn (O)
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a). Ta có
0
90BDC =
(góc nội tiếp chắn
nửa đường tròn)
0
90ADH =
Ta có
0
90BEC =
(góc nội tiếp chắn
nửa đường tròn)
0
90AEH =
Trong tứ
giác ADHE Ta có
ADH
,
AEH
đối nhau và
ADH
+
AEH
=
0
180
nên tứ giác ADHE
nội tiếp đường tròn
Do
ADH
và
AEH
cùng nhìn AH dưới
một góc vuông nên AH là đường kính của
đường tròn nội tiếp tứ giác ADHE vậy I là
trung điểm của AH.
b). Gọi M là giao điểm của AH và BC
Ta có
IDH IHD=
(Do
IDH
cân tại I)
IHD HMC=
(2 góc đối đỉnh)
ODC OCD=
(
ODC
cân tại O)
0
90IDC ODC IHD OCD MHC OCH+ = + = + =
Vậy OD
⊥
DI hay DI là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Dạng 4: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng
Phương pháp giải:
Sử dụng hai góc kề bù có ba điểm nằm trên hai cạnh là hai tia đối nhau.
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 14
Hai đường thẳng cùng đi qua hai trong ba điểm ấy cùng vuông góc với
đường thẳng thứ ba.
Sử dụng tính chất đường phân giác của một góc, tính chất đường trung trực
của đoạn thẳng, tính chất ba đường cao trong tam giác .
Bài 1: Đề thi vào 10 Phú Thọ 2012 – 2013.
Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy B làm tâm, vẽ đường tròn bán kính BA;
lấy C làm tâm, vẽ đường tròn bán kính CA. Hai đường tròn này cắt nhau tại
điểm thứ hai là D. Vẽ AM và AN lần lượt là các dây cung của đường tròn
(B) và (C) sao cho AM vuông góc với AN và D nằm giữa M và N.
Chứng minh rằng ba điểm M, D, N thẳng hàng.
Ta có
11
AM=
(do
ABM
cân tại
B)
42
(A N CNA=
cân tại C)
14
AA=
(cùng phụ với
23
AA+
)
21
AN=
(Cùng chắn cung AD
của (C)).
Ta có:
00
1 2 3 1 1 3
90 90A A A M N A+ + = + + =
Mà
AMN
vuông tại A nên
0
1 1 2
90M N M+ + =
3 2 3 1
A M A D = =
CDN
cân tại C nên
1 2 4
N N D+=
2 3 1 4 2 3 1 1 2 2 3 2 1 2
D D D D D D D N N D D M N N + + + = + + + + = + + + +
0
2 1 1 1 2
0 0 0
90 ( )
90 90 180
M N M doM N+ + + =
= + =
Vậy M, D, N thẳng hàng
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 15
Bài 2: Đề thi vào 10 Quảng Ngãi 2017 – 2018
Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Một điểm M cố định
thuộc đoạn thẳng OB (M khác B và M khác O). Đường thẳng d vuông góc
với AB tại M cắt nửa đường tròn đã cho tại N. Trên cung NB lấy điểm E
bất kì (E khác B và E khác N). Tia BE cắt đường thẳng d tại C, đường
thẳng AC cắt nửa đường tròn tại D. Gọi H là giao điểm của AE và đường
thẳng d.
a) Chứng minh tứ giác BMHE nội tiếp đường tròn
b) Chứng minh 3 điểm B, D, H thẳng hàng
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) Ta có
0
90HMB =
(gt)
0
90HEB =
(góc nội tiếp
chắn nửa đường tròn
Trong tức giác HEBM ta có
HMB
HEB
ở hai vị trí đôi nhau
và
HMB
+
HEB
0
180=
. Vậy tứ
giác HEBM nội tiếp đường tròn
b). Xét
CAB
có
AE CB⊥
nên AE là đường cao trong
CAB
CA BD⊥
(Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
BD là đường cao trong
CAB
. Ta có BD giao AE tại H nên H là trực tâm
CAB
.
Vậy B, H, D thẳng hàng.
Dạng 4: Chứng minh tỉ lệ độ dài đoạn thẳng
Phương pháp giải
Tìm mối liên hệ giữa các độ dài đoạn thẳng rồi suy ra tỉ lệ tương ứng
Bài 1: Đề thi vào 10 Phú thọ 2016 – 2017
Cho tam giác nhọn ABC không cân, nội tiếp dường tròn (O;R). Gọi
H là trực tâm và I, K lần lượt là đường cao kẻ từ đỉnh A, B của tam giác
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 16
ABC (
,I BC K AC
). Gọi M là trung điểm của BC. Kẻ HJ vuông góc
với AM (
J AM
). CMR
2
.MJ MA R
HƯỚNG DẪN GIẢI:
Vì
,HJ AM HK AK⊥⊥
0
AJ 90H AKH = =
mà
AJH
và
AKH
cùng chắn đoạn AH nên tứ
giác AHJK nội tiếp đường tròn
AJK AHK=
(cùng chắn cung
AK) (1)
Ta có
AHK BHI=
(2 góc đối
đỉnh) (2). Từ (1) và (2) ta có
AJK
=
BHI
Ta có
BHI BCK=
(cùng phụ với
HBI
). Nên
AJK
BCA=
(3)
Xét
AJ ,K ACM
có
CAM
chúng(4). Từ (3), (4) Ta có
AJ ( . )K ACM g g
AJK ACB=
(góc tương ứng)
0
AJ 180ACB MJK K MJK + = + =
Vậy tứ giác MJKC nội tiếp đường tròn.
MJC MKC=
(góc nội tiếp chắn
cung MC) (5). Mặt khác
BKC K⊥
có KM là đường trung tuyến nên
KM=KC, hay
KMC
cân tại M
(6)MKC MCK=
.
Từ (5) và (6)
MJC
=
MCA
.
Xét
,MJC MCA
Có
JMC
chung và
MJC
=
MCA
MJC MCA
(g.g)
2
.
MJ MC
MJ MA MC
MC MA
= =
. Mà
22
BC d
MC R= =
(với d là đường
kính)
22
.MJ MA MC R =
(đpcm)
Bài 2: Đề thi vào 10 Phú Thọ 2017 – 2018
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 17
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O; R). Gọi I là giao điểm AC và
BD. Kẻ IH vuông góc với AB; IK vuông góc với AD (
;H AB K AD
).
Gọi S là diện tích tam giác ABD, S
’
là
diện tích tam giác HIK. Chứng
minh rằng:
2
2
'
4.
S HK
S AI
HƯỚNG DẪN GIẢI:
Ta có tứ giác AHIK nội tiếp đường
tròn nên
KAI KHI=
(cùng chắn
cung KI). Mà
DKI DBC=
(cùng
chắn cung DC). Mà
KAI KHI=
;
DKI DBC=
KHI DBC=
.
Chứng minh tương tự
HKI BDC=
Xét
HIK
và
BCD
có
HKI BDC=
;
KHI DBC=
HIK BCD
(g.g)
Gọi
1
S
là diện tích
BCD
vì
HIK BCD
nên
2 2 2 2
22
1
'
(1)
( ) 4 . 4 .
S HK HK HK HK
S BD IB ID IB ID IA IC
= = =
+
Kẻ
, / /
CF IC
AE BD CF BD AE CF
AE IA
⊥ ⊥ =
ABD
và
BCD
có chung cạnh đáy BD
nên
22
1
2
1
''
..
' 4 . 4
S S HK IA S HK
S S IA IC IC S IA
Bài 3: Đề thi vào 10 Bình Định 2017 – 2018
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 18
Cho tam giác ABC (AB
AC) nội tiếp đường tròn tâm O. M là điểm nằm
trên cung BC không chứa điểm A. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của
M trên BC, CA, AB. CMR
BC AC AB
MD ME MF
=+
HƯỚNG DẪN GIẢI:
Ta có
AF-FCAC AB AE EC
ME MF ME MF
+
+ = +
AFAE EC FC
ME ME MF MF
= + + −
tan tan tanAMF-tanBFMAME EMC= + +
Mà
BMF EMC=
nên
tan
AC AB
AMAAAME AMF
ME MF
+ = +
tan tanBMD MDC=+
BD DC BD DC BC
MD MD MD MD
+
= + = =
(đpcm)
Bài 4: Đề thi vào 10 Bình Dương 2017 – 2018
Cho tam giác AMB cân tại M nội tiếp đường tròn (O;R). Kẻ MH vuông
góc với AB
()H AB
, MH cắt đường tròn tại N, trên tia đối của BA lấy
điểm C. MC cắt đường tròn tại D, ND cắt AB tại E. Chứng minh tứ giác
MDEH nội tiếp và chứng minh các hệ thức sau:
2
.NB NE ND=
và
..AC BE BC AE=
HƯỚNG DẪN GIẢI:
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 19
Ta có
0
90MDN =
(góc nội tiếp
chắn nửa đường tròn)
0
90 ( )MEH MH AB=⊥
0
180MDE MHE + =
Vậy tứ giác MDEH nội tiếp.
NBE
và
NDB
có
N
chung
NBE NDB=
( cùng chắn hai cung
bằng nhau là
,NA NB
- tính chất
đường kính và dây cung)
2
.
NB NE
NBE NDB
ND NB
NB NE ND
=
=
Ta có
NA NB=
(t/c đường kính và dây cung)
ADE EDB DE =
là phân
giác trong của
ABD
Vì
ED DC DC⊥
là tia phân giác ngoài của
ABD
..
DA EA CA
AC BE BC AE
DB EB CB
= = =
Bài 5: Đề thi vào 10 Bà Rịa – Vũng Tàu 2017 – 2018
Cho nửa đường tròn (O;R) có đường kính AB. Trên tia OA lấy điểm H
(H khác O, H khác A). Qua H dựng đường thẳng vuông góc với AB,
đường thẳng này cắt nửa đường tròn tại C. Trên cung BC lấy điểm M (M
khác B, M khác C). Dựng CK vuông góc với AM tại K. Gọi N là giao
điểm của AM và CH. Tính theo R giá trị của biểu thức
HƯỚNG DẪN GIẢI:
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 20
Ta có
0
90ACN ABC HCB= = −
ABC AMC ACN AMC= =
Do đó
ACN AMC
(g.g)
2
.
AN AC
AM AN AC
AC AM
= =
C thuộc nửa đường tròn đường
kính
AB
nên
ABC
vuông tại C
2 2 2
AC BC AB + =
Vậy
2 2 2
.4P AM AN BC AB R= + = =
Bài 6: Đề thi vào 10 Hà Nội 2017 – 2018
Cho đường tròn tâm (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Gọi M , N lần
lượt là điểm chính giữa cung nhỏ AB và cung nhỏ BC. Hai dây AN và
CM cắt nhau tại điểm I. Dây MN cắt các cạnh AB và BC lần lượt tại H và
K. Chứng minh
2
.NB NK NM=
HƯỚNG DẪN GIẢI:
Vì ABNC là tứ giác nội tiếp nên
NBC NAC=
, vì N là điểm chính
giữa cung nhỏ BC của (O) nên
NAC NAB=
.Vì AMBN là tứ giác
nội tiếp nên
NAB NMB NBC NMB= =
hay
NBK NMB=
. Xét
NBK
và
NMB
có
NBK NMB=
,
MNB
chung nên
NBK NMB
(g.g)
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 21
2
.
NB NK
NB NM NK
NM NB
= =
* Chú ý: Khi có tỉ lệ thức là đẳng thức ta đưa về chứng minh tam giác đồng
dạng rồi suy ra tỉ lệ thức mong muốn.
Dạng 5: Chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn
Phương pháp giải:
+) Chứng minh đường thẳng và đường tròn có một điểm chung duy nhất
+) Chứng minh đường thẳng vuông góc với bán kính đường tròn tại tiếp
điểm
Bài 1: Đề thi vào 10 Cần Thơ 2017 – 2018 .
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Đường tròn O đường kính BC
cắt cạnh AB, AC lần lượt tại D và E. Gọi H là giao điểm của hai đường
thẳng CD và BE.
a.Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn. Xác định tâm I
của đường tròn này
b. Chứng minh ID là tiếp tuyến của đường tròn O.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a.Ta có
0
90ADH AEH==
(góc nội
tiếp chắn nửa đường tròn).
Xét tứ giác ADHE có
0
90ADH AEH==
mà
,ADH AEH
ở hai vị trí đối nhau của tứ giác nên
ADHE nội tiếp đường tròn.
Gọi I là trung điểm của AH thì
IH=IA=IE=IB nên I là tâm của
đường tròn
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 22
b.Ta có
IDH IHD=
(
IDH
cân tại I)
IHD MHC=
( hai góc đối đỉnh)
ODC OCD=
(
ODC
cân tại
O
)
0
90IDH HDO MCH MHC + = + =
. Vậy ID là tiếp tuyến của đường tròn
(O)
Bài 2: Đề thi vào 10 Đồng Nai 2017 – 2018
Cho tam giác ABC có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Biết 3 góc
, ,BCACAB ABC
. Gọi M là trung điểm của AH.
a, Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn
b, Chứng minh EM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BEF
HƯỚNG DẪN GIẢI:
Ta có
EH AE⊥
,
AFHF ⊥
. Xét tứ
giác
AEHF
ta có
AFHAEH =
0
90=
và
,AFHAEH
ở hai vị trí đối
nhau nên tứ giác
AEHF
nội tiếp
đường tròn.
Bài 3: Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), c¸c ®-êng cao AD, BE, c¾t
nhau t¹i H. Gäi O lµ t©m ®-êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE.
a. Chøng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp .
b. Bèn ®iÓm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®-êng trßn.
c. Chøng minh ED =
2
1
BC.
d. Chøng minh DE lµ tiÕp tuyÕn cña ®-êng trßn (O).
HƯỚNG DẪN GIẢI:
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 23
a. XÐt tø gi¸c CEHD ta
cã:
CEH = 90
0
( V× BE lµ ®-êng
cao)
CDH = 90
0
( V× AD lµ ®-êng
cao)
=> CEH + CDH = 180
0
Mµ CEH vµ CDH lµ hai gãc
®èi cña tø gi¸c CEHD , Do ®ã
CEHD lµ tø gi¸c néi
H
1
3
2
1
1
O
E
D
C
B
A
b, Theo giả thiết BE lµ ®-êng cao => BE ⊥ AC => BEA = 90
0
.
AD lµ ®-êng cao => AD ⊥ BC => BDA = 90
0
.
Như vậy E vµ D cïng nh×n AB d-íi mét gãc 90
0
=> E vµ D cïng n»m trªn
®-êng trßn ®-êng kÝnh AB.
VËy bèn ®iÓm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®-êng trßn.
c, Theo giả thiết tam gi¸c ABC c©n t¹i A cã AD lµ ®-êng cao nªn còng lµ
®-êng trung tuyÕn nên lµ trung ®iÓm cña BC. Theo trªn ta cã BEC = 90
0
.
Vậy tam gi¸c BEC vu«ng t¹i E cã ED lµ trung tuyÕn => DE =
2
1
BC.
d, Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam gi¸c AHE nªn O lµ trung ®iÓm cña
AH => OA => E
3
= B
1
(2)= OE => tam gi¸c , Theo trên DE =
2
1
BC =>
tam gi¸c DBE c©n t¹i D. Mà B
1
= A
1
( v× cïng phô víi gãc ACB) => E
1
= E
3
=> E
1
+ E
2
= E
2
+ E
3, và
E
1
+ E
2
= BEA = 90
0
=> E
2
+
E
3
= 90
0
= OED
=> DE ⊥ OE t¹i E. VËy DE lµ tiÕp tuyÕn cña ®-êng trßn (O) t¹i E.
BÀI TOÁN TỔNG HỢP
Bài 1: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ dây cung CD vuông
góc với AB tại I (I nằm giữa A và O ). Lấy điểm E trên cung nhỏ BC ( E
khác B và C ), AE cắt CD tại F. Chứng minh:
a) BEFI là tứ giác nội tiếp đường tròn.
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 24
b) AE.AF = AC
2
.
c) Khi E chạy trên cung nhỏ BC thì tâm đường tròn ngoại tiếp ∆CEF
luôn thuộc một đường thẳng cố định.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) Tứ giác BEFI có: (gt) (gt)
(góc nội tiếp chắn nửa
đường tròn)
Suy ra tứ giác BEFI nội tiếp đường tròn
đường kính BF
b) Vì AB CD nên ,
suy ra .
Xét ∆ACF và ∆AEC có góc A chung và
.
Suy ra: ∆ACF ~ với ∆AEC
c) Theo câu b) ta có , suy ra AC là tiếp tuyến của đường tròn
ngoại tiếp ∆CEF (1).
Mặt khác (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), suy ra AC CB (2).
Từ (1) và (2) suy ra CB chứa đường kính của đường tròn ngoại tiếp ∆CEF,
mà CB cố định nên tâm của đường tròn ngoại tiếp ∆CEF thuộc CB cố định
khi E thay đổi trên cung nhỏ BC.
Bài 2: Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R) ta vẽ hai tiếp tuyến
AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một
điểm M, vẽ MI AB, MK AC (I AB,K AC)
a) Chứng minh: AIMK là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Vẽ MP BC (P BC). Chứng minh: .
c) Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP
đạt giá trị lớn nhất.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
0
BIF 90=
0
BEF BEA 90==
⊥
AC AD=
ACF AEC=
ACF AEC=
AC AE
AF AC
=
2
AE.AF = AC
F
E
I
O
D
C
B
A
ACF AEC=
0
ACB 90=
⊥
⊥
⊥
⊥
MPK MBC=
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 25
a) Ta có: (gt), suy ra tứ giác AIMK nội tiếp đường tròn đường
kính AM.
b) Tứ giác CPMK có (gt). Do đó CPMK là tứ giác nội tiếp
(1). Vì KC là tiếp tuyến của (O) nên ta có: (cùng
chắn ) (2). Từ (1) và (2) suy ra (3)
c) Chứng minh tương tự câu b ta có BPMI
là tứ giác nội tiếp.
Suy ra: (4). Từ (3) và (4) suy ra
.
Tương tự ta chứng minh được
.
Suy ra: MPK ∆MIP
MI.MK = MP
2
MI.MK.MP = MP
3
.
Do đó MI.MK.MP lớn nhất khi và chỉ khi
MP lớn nhất (4)
- Gọi H là hình chiếu của O trên BC, suy
ra OH là hằng số (do BC cố định).
Lại có: MP + OH OM = R MP R –
OH. Do đó MP lớn nhất bằng R – OH khi
và chỉ khi O, H, M thẳng hàng hay M nằm
chính giữa cung nhỏ BC (5). Từ (4) và (5)
suy ra:
Max (MI.MK.MP) = ( R - OH )
3
M nằm chính giữa cung nhỏ BC.
Bài 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O;R).
Các đường cao BE và CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh: AEHF và BCEF là các tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Gọi M và N thứ tự là giao điểm thứ hai của đường tròn (O;R) với
BE và CF. Chứng minh: MN // EF.
c) Chứng minh rằng OA EF.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) Tứ giác AEHF có: (gt). Suy ra AEHFlà tứ giác
nội tiếp.
0
AIM AKM 90==
0
MPC MKC 90==
MPK MCK=
MCK MBC=
MC
MPK MBC=
MIP MBP=
MPK MIP=
MKP MPI=
~
MP MI
MK MP
=
H
O
P
K
I
M
C
B
A
⊥
0
AEH AFH 90==
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 26
- Tứ giác BCEF có: (gt). Suy ra BCEF là tứ giác
nội tiếp.
b) Tứ giác BCEF nội tiếp suy ra: (1). Mặt khác
=
(góc nội tiếp cùng chắn ) (2). Từ (1) và (2) suy ra: MN // EF.
c) Ta có: ( do BCEF nội tiếp) AM = AN, lại có
OM = ON nên suy ra OA là đường trung trực của MN , mà MN
song song với EF nên suy ra .
Bài 4: Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại E. Lấy I
thuộc cạnh AB, M thuộc cạnh BC sao cho: (I và M không trùng
với các đỉnh của hình vuông ).
a) Chứng minh rằng BIEM là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Tính số đo của góc
c) Gọi N là giao điểm của tia AM và tia DC; K là giao điểm của BN và
tia EM. Chứng minh CK BN.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) Tứ giác BIEM có: (gt); suy ra tứ giác BIEM nội tiếp đường
tròn đường kính IM.
b) Tứ giác BIEM nội tiếp suy ra: (do ABCD là hình vuông).
c) ∆EBI và ∆ECM có: ,
BE = CE , ( do )
∆EBI = ∆ECM (g-c-g) MC = IB;
suy ra MB = IA
Vì CN // BA nên theo định lí Thalet, ta có:
= .
Suy ra IM song song với BN
(định lí Thalet đảo)
(2). Lại có (do
ABCD là hình vuông).
Suy ra BKCE là tứ giác nội
tiếp. Suy ra: mà ;
0
BEC BFC 90==
BEF BCF=
BMN BCN=
BCF
BN
BEF BMN=
ABM ACN=
AM AN=
OA MN⊥
OA EF⊥
0
IEM 90=
IME
⊥
0
IBM IEM 90==
0
IME IBE 45==
0
IBE MCE 45==
BEI CEM=
0
IEM BEC 90==
MA MB
MN MC
=
IA
IB
0
BKE IME 45 = =
0
BCE 45=
BKE BCE=
0
BKC BEC 180+=
0
BEC 90=
I
E
M
N
B
C
A
D
K
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 27
suy ra ; hay .
Bài 5: Cho đường tròn (O;R); AB và CD là hai đường kính khác nhau của
đường tròn. Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O;R) cắt các đường thẳng
AC, AD thứ tự tại E và F.
a) Chứng minh tứ giác ACBD là hình chữ nhật.
b) Chứng minh ∆ACD ∆CBE
c) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp được đường tròn.
d) Gọi S, S
1
, S
2
thứ tự là diện tích của ∆AEF, ∆BCE và ∆BDF. Chứng
minh: .
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) Tứ giác ACBD có hai đường
chéo AB và CD bằng nhau và cắt
nhau tại trung điểm của mỗi
đường, suy ra ACBD là hình chữ
nhật
b) Tứ giác ACBD là hình chữ
nhật suy ra:
(1). Lại có sđ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây
cung); sđ (góc nội tiếp), mà (do BC = AD)
(2). Từ (1) và (2) suy ra ∆ACD ~ ∆CBE .
c) Vì ACBD là hình chữ nhật nên CB song song với AF, suy ra:
(3).
Từ (2) và (3) suy ra do đó tứ giác CDFE nội tiếp được đường
tròn.
d) Do CB // AF nên ∆CBE ~ ∆AFE, suy ra:
. Tương tự ta có . Từ đó suy ra:
.
Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, M là một điểm thuộc cạnh AC (M
khác A và C ). Đường tròn đường kính MC cắt BC tại N và cắt tia BM tại
I. Chứng minh rằng:
0
BKC 90=
CK BN⊥
~
12
S S S+=
F
E
O
D
C
B
A
0
CAD BCE 90==
1
CBE
2
=
BC
1
ACD
2
=
AD
BC AD=
CBE ACD=
CBE DFE=
ACD DFE=
2
1
2
S
EB
S EF
=
1
S
EB
S EF
=
2
S
BF
S EF
=
12
SS
1
SS
+ =
12
S S S+=
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 28
a) ABNM và ABCI là các tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) NM là tia phân giác của góc .
c) BM.BI + CM.CA = AB
2
+ AC
2
.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) Ta có:
(gt)(1). (góc nội
tiếp chắn nửa đường tròn)
(2)
Từ (1) và (2) suy ra ABNM là tứ giác nội
tiếp.
Tương tự, tứ giác ABCI có:
ABCI là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Tứ giác ABNM nội tiếp suy ra (góc nội tiếp cùng chắn cung AM)
(3).
Tứ giác MNCI nội tiếp suy ra (góc nội tiếp cùng chắn cung MI) (4).
Tứ giác ABCI nội tiếp suy ra (góc nội tiếp cùng chắn cung AI) (5).
Từ (3),(4),(5) suy ra NM là tia phân giác của .
c) ∆BNM và ∆BIC có chung góc B và ∆BNM ~ ∆BIC (g.g)
=> BM.BI = BN . BC .
Tương tự ta có: CM.CA = CN.CB.
Suy ra: BM.BI + CM.CA = BC
2
(6).
Áp dụng định lí Pitago cho tam giác ABC vuông tại A ta có:
BC
2
= AB
2
+ AC
2
(7).
Từ (6) và (7) suy ra điều phải chứng minh.
ANI
0
MAB 90=
0
MNC 90=
0
MNB 90=
0
BAC BIC 90==
I
N
M
C
B
A
MNA MBA=
MNI MCI=
MBA MCI=
MNI MNA=
ANI
0
BNM BIC 90==
BN BI
BM BC
=
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 29
Bài 7: Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB. Vẽ dây cung CD vuông
góc với AB (CD không đi qua tâm O). Trên tia đối của tia BA lấy điểm S;
SC cắt (O; R) tại điểm thứ hai là M.
a) Chứng minh ∆SMA đồng dạng với ∆SBC.
b) Gọi H là giao điểm của MA và BC; K là giao điểm của MD và
AB. Chứng minh BMHK là tứ giác nội tiếp và HK // CD.
c) Chứng minh: OK.OS = R
2
.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) ∆SBC và ∆SMA có:
,
(góc nội tiếp cùng chắn ).
.
b) Vì AB ⊥ CD nên .
Suy ra (vì cùng bằng
tứ giác BMHK
nội tiếp được đường tròn
(1).
Lại có: (2)
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Từ (1) và (2) suy ra , do đó HK // CD (cùng vuông góc với AB).
c) Vẽ đường kính MN, suy ra .
Ta có: (sđ - sđ ); sđ = (sđ -
sđ );
mà và nên suy ra
(g.g) .
Bài 8: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và tia tiếp tuyến
Ax cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp
tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C là tiếp điểm). AC cắt OM tại E;
MB cắt nửa đường tròn (O) tại D (D khác B).
a) Chứng minh: AMCO và AMDE là các tứ giác nội tiếp đường tròn.
BSC MSA=
SCB SAM=
MB
SBC SMA ~
AC AD=
MHB MKB=
1
(sdAD sdMB)
2
+
0
HMB HKB 180 + =
0
HMB AMB 90==
0
HKB 90=
MB AN=
1
OSM ASC
2
==
AC
BM
1
OMK NMD
2
==
ND
1
2
AD
AN
AC AD=
MB AN=
OSM OMK=
OSM OMK ~
22
OS OM
OK.OS = OM R
OM OK
= =
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 30
b) Chứng minh .
c) Vẽ CH vuông góc với AB (H AB). Chứng minh rằng MB đi qua trung
điểm của CH.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) Vì MA, MC là tiếp tuyến nên:
AMCO là tứ
giác nội tiếp đường tròn đường kính
MO.
(góc nội tiếp chắn nửa
đường tròn) (1)
Lại có: OA = OC = R; MA = MC
(tính chất tiếp tuyến). Suy ra OM là
đường trung trực của AC
(2).
Từ (1) và (2) suy ra AMDE là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MA.
b) Tứ giác AMDE nội tiếp suy ra: (góc nội tiếp cùng chắn
cung AE) (3)
Tứ giác AMCO nội tiếp suy ra: (góc nội tiếp cùng chắn cung AO)
(4).
Từ (3) và (4) suy ra
c) Tia BC cắt Ax tại N. Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
, suy ra ∆ACN vuông tại C. Lại có MC = MA nên suy ra được
MC = MN, do đó MA = MN (5).
Mặt khác ta có CH // NA (cùng vuông góc với AB) nên theo định lí Ta-lét thì
(6). Từ (5) và (6) suy ra IC = IH hay MB đi qua trung
điểm của CH.
ADE ACO=
0
MAO MCO 90==
0
ADB 90=
0
ADM 90=
0
AEM 90=
x
N
I
H
E
D
M
C
O
B
A
ADE AME AMO==
AMO ACO=
ADE ACO=
0
ACB 90=
0
ACN 90=
IC IH BI
MN MA BM

==


Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 31
Bài 9: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm M thuộc đoạn
thẳng OA, điểm N thuộc nửa đường tròn (O). Từ A và B vẽ các tiếp tuyến
Ax và By. Đường thẳng qua N và vuông góc với NM cắt Ax, By thứ tự tại
C và D.
a) Chứng minh ACNM và BDNM là các tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh ∆ANB đồng dạng với ∆CMD.
c) Gọi I là giao điểm của AN và CM, K là giao điểm của BN và DM. Chứng
minh IK //AB.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) Tứ giác ACNM có: (gt) ( tínhchất tiếp tuyến).
ACNM là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MC. Tương tự tứ giác
BDNM nội tiếp đường tròn đường kính MD.
b) ∆ANB và ∆CMD có:
(do tứ giác BDNM nội tiếp)
(do tứ giác ACNM nội tiếp) ∆ANB ~ ∆CMD (g.g)
c) ∆ANB ~ ∆CMD = 90
0
(do
là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
(O)).
Suy ra IMKN là tứ giác
nội tiếp đường tròn đường kính IK
(1).
Tứ giác ACNM nội tiếp (góc
nội tiếp cùng chắn cung NC) (2).
Lại có: sđ ) (3).
Từ (1), (2), (3) suy ra IK // AB (đpcm).
Bài 10: Cho hai đường tròn (O) và cắt nhau tại A và B. Vẽ AC, AD thứ
tự là đường kính của hai đường tròn (O) và .
a) Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng.
b) Đường thẳng AC cắt đường tròn tại E; đường thẳng AD cắt
đường tròn (O) tại F (E, F khác A). Chứng minh 4 điểm C, D, E, F cùng
nằm trên một đường tròn.
0
MNC 90=
0
MAC 90=
ABN CDM=
BAN DCM=
CMD ANB=
ANB
0
IMK INK 90==
IKN IMN=
IMN NAC=
K
I
y
x
D
C
N
M
O
B
A
1
NAC ABN (
2
==
AN
IKN ABN=
(O )
(O )
(O )
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 32
c) Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A cắt (O) và thứ tự tại
M và N. Xác định vị trí của d để CM + DN đạt giá trị lớn nhất.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
c) Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn); suy ra CM //
DN hay CMND là hình thang.
Gọi I, K thứ tự là trung điểm của MN và CD. Khi đó IK là đường trung bình
của hình thang CMND. Suy ra IK // CM // DN (1) và CM + DN = 2.IK (2)
Từ (1) suy ra IK ⊥ MN IK KA (3) (KA là hằng số do A và K cố định).
Từ (2) và (3) suy ra: CM + DN 2KA. Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi IK =
AK
(O )
0
CMA DNA 90==
a) Ta có và lần lượt là các
góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)
và (O
/
)
Suy ra C, B, D thẳng hàng.
b) Xét tứ giác CDEF có:
(góc nội tiếp chắn nửa
đường tròn (O))
(góc nội tiếp chắn
nửa đường tròn (O
/
)
suy ra CDEF là tứ
giác nội tiếp.
ABC
ABD
0
ABC ABD 90 = =
0
CFD CFA 90==
0
CED AED 90==
0
CFD CED 90 = =
d
K
I
N
M
F
E
O
/
O
C
D
B
A
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 33
d ⊥ AK tại A. Vậy khi đường thẳng d vuông góc AK tại A thì (CM + DN)
đạt giá trị lớn nhất bằng 2KA.
Bài 11: Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Dây BC = R. Từ B kẻ
tiếp tuyến Bx với đường tròn. Tia AC cắt Bx tại M. Gọi E là trung
điểm của AC.
a) Chứng minh tứ giác OBME nội tiếp đường tròn.
b) Gọi I là giao điểm của BE với OM. Chứng minh: IB.IE = IM.IO.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) Ta có E là trung điểm của AC OE
AC hay = 90
0
.
Ta có Bx AB =90
0
.
nên tứ giác CBME nội tiếp.
b) Vì tứ giác OEMB nội tiếp
(cung chắn ),
(cùng chắn cung EM)
~ (g.g)
IB.IE = M.IO
Bài 12: Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy 1 điểm M, dựng
đường tròn tâm (O) có đường kính MC. Đường thẳng BM cắt đường tròn
tâm (O) tại D, đường thẳng AD cắt đường tròn tâm (O) tại S.
a) Chứng minh tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp và CA là tia phân giác của
góc .
b) Gọi E là giao điểm của BC với đường tròn (O). Chứng minh các đường
thẳng BA, EM, CD đồng quy.
c) Chứng minh M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) Ta có
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
A, D nhìn BC dưới góc 90
0
, tứ giác ABCD nội
tiếp
Vì tứ giác ABCD nội tiếp.
(cùng chắn cung AB). (1)
Ta có tứ giác DMCS nội tiếp
(cùng bù với ). (2)
⊥
OEM
⊥
ABx
OMB = OEB
OB
EOM = EBM
EIO 
MIB
BCS
0
BAC = 90 (gt)
0
MDC = 90
ADB = ACB
ADB = ACS
MDS
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 34
Từ (1) và (2) .
b) Giả sử BA cắt CD tại K. Ta có BD CK, CA BK.
M là trực tâm ∆KBC. Mặt khác = 90
0
(góc nội tiếp chắn nửa đường
tròn)
K, M, E thẳng hàng, hay BA, EM, CD đồng quy tại K.
c) Vì tứ giác ABCD nội tiếp (cùng chắn ). (3)
Mặt khác tứ giác BAME nội tiếp (cùng chắn ). (4)
Từ (3) và (4) hay AM là tia phân giác .
Chứng minh tương tự: hay DM là tia phân giác .
Vậy M là tâm đường tròn nội tiếp ∆ADE.
BCA = ACS
⊥
⊥
MEC
DAC = DBC
DC
MAE = MBE
ME
DAM = MAE
DAE
ADM = MDE
ADE
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 35
Bài 13: Cho ∆ABC cân tại A, I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường
tròn bàng tiếp góc A, O là trung điểm của IK.
a) Chứng minh 4 điểm B, I, C, K cùng thuộc một đường tròn tâm O.
b) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn tâm (O).
c) Tính bán kính của đường tròn (O), biết AB = AC = 20cm, BC = 24cm.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) Theo giả thiết ta có:
Mà
Tương tự
Xét tứ giác BICK có
4 điểm B, I, C, K thuộc đường tròn
tâm O đường kính IK.
b) Nối CK ta có OI = OC = OK
(vì ∆ICK vuông tại C)
∆ IOC cân tại O
(1)
Ta lại có (gt).
Gọi H là giao điểm của AI với BC.
Ta có AH BC. (Vì ∆ ABC cân tại A).
Trong ∆ IHC có
Hay hay AC là tiếp tuyến của đường tròn tâm (O).
c) Ta có BH = CH = 12 (cm).
Trong ∆ vuông ACH có AH
2
= AC
2
- CH
2
= 20
2
- 12
2
= 256 AH = 16
Trong tam giác ACH, CI là phân giác góc C ta có:
(16 - IH) . 3 = 5 . IH IH = 6
Trong ∆ vuông ICH có IC
2
= IH
2
+ HC
2
= 6
2
+ 12
2
= 180
Trong ∆ vuông ICK có IC
2
= IH . IK
, OI = OK = OC = 15 (cm)
1 2 3 4
B = B , B = B
0
1 2 3 4
B + B + B + B = 180
0
23
B B 90+=
0
23
C + C = 90
0
B + C = 180
OIC = ICO.
12
C = C
2
1
2
3
4
4
1
3
K
I
H
B
C
A
O
⊥
00
HIC + ICH = 90 OCI + ICA = 90 .
0
ACO = 90
IA AC AH - IH AC 20 5
= = = =
IH CH IH CH 12 3
2
IC 180
IK = = = 30
IH 6
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 36
Bài 14: Cho tam giác ABC vuông ở A (AB > AC), đường cao AH. Trên nửa
mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt
AB tại E, nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại F. Chứng minh:
a) Tứ giác AFHE là hình chữ nhật.
b) Tứ giác BEFC là tứ giác nội tiếp đường tròn.
c) EF là tiếp tuyến chung của 2 nửa đường tròn đường kính BH và HC.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) Từ giả thiết suy ra
. (góc nội tiếp chắn nửa
đường tròn)
Trong tứ giác AFHE có:
là hình chữ nhật.
b) Vì AEHF là hình chữ nhật AEHF nội tiếp
(góc nội tiếp chắn ) (1)
Ta lại có (góc có cạnh tương ứng ) (2)
Từ (1) và (2)
mà
Vậy tứ giác BEFC nội tiếp.
c) Gọi O
1
, O
2
lần lượt là tâm đường tròn đường kính HB và đường kính HC.
Gọi O là giao điểm AH và EF. Vì AFHE là hình chữ nhật.
cân tại O . Vì ∆ CFH vuông tại F O
2
C = O
2
F = O
2
H
∆ HO
2
F cân tại O
2
. mà
Vậy EF là tiếp tuyến của đường tròn tâm O
2
.
Chứng minh tương tự EF là tiếp tuyến của đường tròn tâm O
1
.
Vậy EF là tiếp tuyến chung của 2 nửa đường tròn.
Bài 15: Cho đường tròn (O) đường kiính AB = 2R. Điểm M thuộc đường
tròn sao cho MA < MB. Tiếp tuyến tại B và M cắt nhau ở N, MN
cắt AB tại K, tia MO cắt tia NB tại H.
a) Tứ giác OAMN là hình gì ?
00
CFH = 90 , HEB = 90
0
A = F = E = 90 AFHE
AFE = AHE
AE
AHE = ABH
⊥
AFE = ABH
0
CFE + AFE = 180
0
CFE + ABH = 180 .
OF = OH FOH
OFH = OHF
22
O FH = O HF
0
2
O HF + FHA = 90 .
0
2
O FH + HFO = 90 .
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 37
q
o
p
e
d
c
b
a
b) Chứng minh KH // MB.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) = 90
0
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
(O))
AM MB (1)
MN = BN (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau), OM = OB
ON là đường trung trực của đoạn thẳng MB
ON MB (2)
Từ (1) và (2) AM // ON OAMN là hình
thang.
b) ∆ NHK có HM NK; KB NH.
suy ra O là trực tâm ∆NHK ON KH (3)
Từ (2) và (3) KH // MB
Bài 16: Cho đường tròn (O) với dây BC cố định và một điểm A thay đổi
trên cung lớn BC sao cho AC > AB và AC> BC. Gọi D là điểm chính giữa
của cung nhỏ BC. Các tiếp tuyến của (O) tại D và C cắt nhau tại E. Gọi
P, Q lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng AB với CD; AD với
CE.
a) Chứng minh rằng: DE//BC
b) Chứng minh tứ giác PACQ nội tiếp đường tròn.
c) Gọi giao điểm của các dây AD và BC là F. Chứng minh hệ thức: =
+
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) = Sđ = Sđ
DE// BC (2 góc ở vị trí so le trong)
b) = sđ
Tứ giác PACQ nội tiếp (vì )
c) Tứ giác APQC nội tiếp
(cùng chắn )
(cùng chắn )
AMB
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
1
CE
1
CQ
1
CF
CDE
2
1
DC
2
1
BD = BCD
APC
2
1
(AC - DC) = AQC
APC = AQC
CPQ = CAQ
CQ
CAQ = CDE
DC
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 38
Suy ra
Ta có : = (vì DE//PQ) (1) , = (vì DE// BC) (2)
Cộng (1) và (2) : (3)
ED = EC (t/c tiếp tuyến); từ (1) suy ra PQ = CQ
Thay vào (3) ta có :
Bài 17: Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng (B nằm giữa A và C). Vẽ đường
tròn tâm O đường kính BC; AT là tiếp tuyến vẽ từ A. Từ tiếp điểm T vẽ
đường thẳng vuông góc với BC, đường thẳng này cắt BC tại H và cắt
đường tròn tại K (K T). Đặt OB = R.
a) Chứng minh OH.OA = R
2
.
b) Chứng minh TB là phân giác của góc ATH.
c) Từ B vẽ đường thẳng song song với TC. Gọi D, E lần lượt là giao
điểm của đường thẳng vừa vẽ với TK và TA. Chứng minh rằng
∆TED cân.
d) Chứng minh
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) Trong tam giác vuông ATO có:
R
2
= OT
2
= OA . OH (Hệ thức lượng trong tam
giác vuông)
b) Ta có (cùng chắn cung TB)
(góc nhọn có cạnh tương ứng vuông
góc).
hay TB là tia phân giác của góc
ATH.
c) Ta có ED // TC mà TC TB nên ED TB. ∆ TED có TB vừa là đường cao
vừa là đường phân giác nên ∆TED cân tại T.
d) BD // TC nên (vì BD = BE) (1)
BE // TC nên (2)
CPQ = CDE DE // PQ
DE
PQ
CE
CQ
DE
FC
QE
QC
DE DE CE + QE CQ
+ = = = 1
PQ FC CQ CQ
1 1 1
+ =
PQ FC DE
1 1 1
+ =
CQ CF CE
HB AB
=
HC AC
ATB = BCT
BCT = BTH
ATB = BTH
⊥
⊥
HB BD BE
= =
HC TC TC
BE AB
=
TC AC
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 39
I
Q
O
O'
F
H
P
E
D
C
B
A
Từ (1) và (2) suy ra:
Bài 18: Cho 2 đường tròn (O) và cắt nhau tại hai điểm A, B phân biệt.
Đường thẳng OA cắt (O), lần lượt tại điểm thứ hai C, D. Đường
thẳng A cắt (O), lần lượt tại điểm thứ hai E, F.
a) Chứng minh 3 đường thẳng AB, CE và DF đồng quy tại một điểm
I.
b) Chứng minh tứ giác BEIF nội tiếp được trong một đường tròn.
c) Cho PQ là tiếp tuyến chung của (O) và (P (O), Q ).
Chứng minh đường thẳng AB đi qua trung điểm của đoạn thẳng PQ.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) Ta có: = 90
0
(góc nội tiếp chắn nửa
đường tròn)
= 90
0
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
nên B, C, F thẳng hàng. AB, CE và DF là 3
đường cao của tam giác ACF nên chúng đồng
quy.
b) Do suy ra BEIF nội tiếp
đường tròn.
c) Gọi H là giao điểm của AB và PQ
Ta chứng minh được các tam giác AHP
và PHB đồng dạng HP
2
= HA.HB
Tương tự, HQ
2
= HA.HB. Vậy HP = HQ hay H là trung điểm PQ.
Bài 19: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Điểm M thuộc nửa đường
tròn, điểm C thuộc đoạn OA. Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB
chứa điểm M vẽ tiếp tuyến Ax, By. Đường thẳng qua M vuông góc với
MC cắt Ax, By lần lượt tại P và Q; AM cắt CP tại E, BM cắt CQ tại F.
a) Chứng minh tứ giác APMC nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh góc = 90
0
.
c) Chứng minh AB // EF.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) Ta có
nên tứ giác APMC nội tiếp
HB AB
=
HC AC
(O )
(O )
O
(O )
(O )
(O )
ABC
ABF
0
IEF IBF 90==
HP HA
HB HP
=
PCQ
0
PAC = 90
0
PAC + PMC = 180
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 40
b) Do tứ giác APMC nội tiếp nên
(1)
Dễ thấy tứ giác BCMQ nội tiếp suy ra
Lại có (3). Từ (1), (2), (3) ta có :
.
c) Ta có
(Tứ giác BCMQ nội tiếp)
(Cùng phụ với BMC) (Tứ giác CEMF nội tiếp).
Nên hay AB // EF.
Bài 20: Cho đường tròn (O,R) và một điểm S ở ngoài đường tròn. Vẽ hai
tiếp tuyến SA, SB ( A, B là các tiếp điểm). Vẽ đường thẳng a đi qua
S và cắt đường tròn (O) tại M và N, với M nằm giữa S và N (đường
thẳng a không đi qua tâm O).
a) Chứng minh: SO AB
b) Gọi H là giao điểm của SO và AB; gọi I là trung điểm của MN. Hai
đường thẳng OI và AB cắt nhau tại E. Chứng minh rằng IHSE là tứ giác
nội tiếp đường tròn.
c) Chứng minh OI.OE = R
2
.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) ∆SAB cân tại S (vì SA = SB - theo t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)
nên tia phân giác SO cũng là đường cao
b) nội tiếp đường tròn đường kính SE.
c) ∆SOI ~ ∆EOH (g.g)
OI . OE = OH . OS = R
2
(hệ thức lượng trong tam giác vuông SOB)
Bài 21: Cho đường tròn (O) có đường kính AB và điểm C thuộc đường
tròn đó (C khác A , B ). Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B, C). Tia AD
cắt cung nhỏ BC tại điểm E, tia AC cắt tia BE tại điểm F.
a) Chứng minh rằng FCDE là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh rằng DA.DE = DB.DC.
MPC MAC=
MQC MBC (2)=
0
MAC MBC 90+=
00
MPC MBC 90 PCQ 90+ = =
BMQ = BCQ
BMQ = AMC
EMC = EFC
BCQ = EFC
⊥
SO AB⊥
0
SHE = SIE = 90 IHSE
OI SO
=
OH OE
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 41
c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE, chứng minh rằng IC
là tiếp tuyến của đường tròn (O) .
HƯỚNG DẪN GIẢI:
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 42
a) Tứ giác FCDE có 2 góc đối : (góc nội tiếp chắn nửa
o
FED FCD 90==
D
O
F
B
A
C
E
I
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 43
đường tròn). Suy ra tứ giác FCDE nội tiếp.
b) Xét hai tam giác ACD và BED có:
, (đối đỉnh) nên
ACDBED. Từ đó ta có tỷ số :
.
c) I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE
tam giác ICD cân
(chắn cung ). Mặt khác tam giác OBC cân
nên (chắn cung của
(O)). Từ đó
IC ⊥ CO hay IC là tiếp tuyến của đường
tròn (O).
Bài 22: Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mp bờ AB
vẽ hai tia Ax, By vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy một điểm I, tia vuông
góc với CI tại C cắt tia By tại K . Đường tròn đường kính IC cắt IK tại P.
a) Chứng minh tứ giác CPKB nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh rằng AI.BK = AC.BC.
c) Tính .
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) Ta có = 90
0
(vì góc nội tiếp
chắn nửa đường tròn) => = 90
0
.
Xét tứ giác CPKB có: = 90
0
+ 90
0
= 180
0
=> CPKB là tứ giác nội tiếp đường tròn (đpcm)
b) Xét AIC và BCK có = 90
0
;
(2 góc có cạnh tương ứng vuông góc)
=> AIC ~ BCK (g.g) =>
=> AI.BK = AC.BC.
c) Ta có: (vì 2 góc nội tiếp cùng chắn cung PC )
(vì 2 góc nội tiếp cùng chắn cung PC )
Suy ra (vì ICK vuông tại C)=> = 90
0
.
Bài 23: Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, R’) với R > R’ cắt nhau tại A
và B. Kẻ tiếp tuyến chung DE của hai đường tròn với D (O) và E (O’)
sao cho B gần tiếp tuyến đó hơn so với A.
0
90ACD BED==
ADC BDE=
..
DC DE
DC DB DA DE
DA DB
= =
ICD IDC FEC==
FC
OCB OBC DEC==
AC
0
90ICO ICD DCO FEC DEC FED= + = + = =
APB
IPC
CPK
KB+
AB=
ACI BKC=
BK
AC
BC
AI
=
PAC PIC=
PBC PKC=
0
PAC PBC PIC PKC 90+ = + =
APB
x
y
P
A
B
C
I
K
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 44
a) Chứng minh rằng .
b) Tia AB cắt DE tại M. Chứng minh M là trung điểm của DE.
c) Đường thẳng EB cắt DA tại P, đường thẳng DB cắt AE tại Q. Chứng
minh rằng PQ song song với AB.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) Ta có = sđ (góc nội tiếp) và = sđ
(góc giữa tiếp tuyến và dây cung). Suy ra .
b) Xét hai tam giác DMB và AMD có: chung, nên
DMB AMD hay .
Tương tự ta cũng có: EMB AME hay .
Từ đó: MD = ME hay M là trung điểm của DE.
c) Ta có ,
=
tứ giác APBQ nội tiếp . Kết hợp với suy ra
. Hai góc này ở vị trí so le trong nên PQ song song với AB.
Bài 24: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm C thuộc nửa
đường tròn và điểm D nằm trên đoạn OA. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By của
nửa đường tròn. Đường thẳng qua C, vuông góc với CD cắt cắt tiếp tuyên
Ax, By lần lượt tại M và N.
a) Chứng minh các tứ giác ADCM và BDCN nội tiếp được đường tròn.
b) Chứng mình rằng .
c) Gọi P là giao điểm của AC và DM, Q là giao điểm của BC và DN. Chứng
minh rằng PQ song song với AB.
DAB BDE=
A
B
O
O'
M
D
E
P
Q
DAB
1
2
DB
BDE
1
2
DB
DAB BDE=
DMA
DAM BDM=
MD MA
MB MD
=
2
.MD MAMB=
ME MA
MB ME
=
2
.ME MA MB=
DAB BDM=
EAB BEM=
PAQ PBQ+
0
180DAB EAB PBQ BDM BEM DBE+ + = + + =
PQB PAB=
PAB BDM=
PQB BDM=
0
90MDN =
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 45
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) Ta có vì Ax là tiếp tuyến của nửa đường tròn nên . Mặt khác
theo giả thiết nên suy ra tứ giác ADCM nội tiếp. Tương tự, tứ
giác BDCN cũng nội tiếp.
b) Theo câu trên vì các tứ giác ADCM và BDCN nội tiếp nên:
, . Suy ra . Từ đó .
c) Vì nên tứ giác CPDQ nội tiếp. Do đó
.
Mặt khác, tứ giác CDBN nội tiếp nên . Hơn nữa ta có
, suy ra hay PQ song song với AB.
Bài 25: Cho đường trong (O, R) và đường thẳng d không qua O cắt đường
tròn tại hai điểm A, B. Lấy một điểm M trên tia đối của tia BA kẻ hai tiếp
tuyến MC, MD với đường tròn (C, D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm
của AB.
a) Chứng minh rằng các điểm M, D, O, H cùng nằm trên một đường tròn.
b) Đoạn OM cắt đường tròn tại I. Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội
tiếp tam giác MCD.
c) Đường thẳng qua O, vuông góc với OM cắt các tia MC, MD thứ tự tại P
và Q. Tìm vị trí của điểm M trên d sao cho diện tích tam giác MPQ bé nhất.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
0
90MAD =
0
90MCD =
DMC DAC=
DNC DBC=
0
90DMC DNC DAC DBC+ = + =
0
90MDN =
0
90==ACB MDN
CPQ CDQ CDN==
CDN CBN=
CBN CAB=
CPQ CAB=
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 46
a) Vì H là trung điểm của AB nên hay . Theo tính chất
của tiếp tuyến ta lại có hay . Suy ra các điểm M, D, O,
H cùng nằm trên một đường tròn.
b) Theo tính chất tiếp tuyến, ta có MC = MD MCD cân tại M MI là
một đường phân giác của . Mặt khác I là điểm chính giữa cung nhỏ
nên sđ = sđ = CI là phân giác của .
Vậy I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD.
c) Ta có tam giác MPQ cân ở M, có MO là đường cao nên diện tích của nó
được tính: . Từ đó S nhỏ nhất MD +
DQ nhỏ nhất. Mặt khác, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông OMQ ta
có không đổi nên MD + DQ nhỏ nhất DM = DQ = R.
Khi đó OM = hay M là giao điểm của d với đường tròn tâm O bán kính
.
Bài 26: Cho tứ giác ABCD có hai đỉnh B và C ở trên nửa đường tròn đường
kính AD, tâm O. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Gọi H là hình chiếu
vuông góc của E xuống AD và I là trung điểm của DE. Chứng minh rằng:
a) Các tứ giác ABEH, DCEH nội tiếp được đường tròn.
b) E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCH.
c) Năm điểm B, C, I, O, H cùng thuộc một đường tròn.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) Tứ giác ABEH có: (góc nội tiếp trong nửa đường tròn);
(giả thiết)
nên tứ giác ABEH nội tiếp được.
d
I
B
A
O
M
C
D
H
Q
P
OH AB⊥
0
90OHM =
OD DM⊥
0
90ODM =
CMD
CD
1
2
DCI =
DI
1
2
CI
MCI
MCD
1
2 2. . . ( )
2
OQM
S S ODQM R MD DQ= = = +
22
.DM DQ OD R==
2R
2R
0
B = 90
0
H = 90
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 47
Tương tự, tứ giác DCEH có , nên nội tiếp được.
b) Trong tứ giác nội tiếp ABEH,
ta có:
(cùng chắn cung )
Trong (O) ta có:
(cùng chắn cung ).
Suy ra: , nên BE là tia
phân giác của góc .
Tương tự, ta có:
, nên CE là tia
phân giác của góc .
Vậy E là tâm đường tròn nội tiếp tam
giác BCH.
c) Ta có I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ECD,
nên (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung
). Mà , suy ra .
+ Trong (O), (góc nội tiếp và góc ở tâm
cùng chắn cung ).
+ Suy ra: H, O, I ở trên cung chứa góc dựng trên đoạn BC,
hay 5 điểm B, C, H, O, I cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 27: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. C là một điểm nằm
giữa O và A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn trên
tại I. K là một điểm bất kỳ nằm trên đoạn thẳng CI (K khác C và I), tia AK
cắt nửa đường tròn (O) tại M, tia BM cắt tia CI tại D. Chứng minh:
a) ACMD là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) ∆ABD ~ ∆MBC
c) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD nằm trên một đường thẳng cố
định khi K di động trên đoạn thẳng CI.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
0
C = H = 90
EBH = EAH
EH
EAH = CAD = CBD
CD
EBH = EBC
HBC
ECH = BDA = BCE
BCH
I
O
H
E
D
C
B
A
BIC = 2EDC
EC
EDC = EHC
BIC = BHC
BOC = 2BDC = BHC
BC
BHC
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 48
a) Ta có: (góc nội tiếp chắn
nửa đường tròn) .
Tứ giác ACMD có , suy
ra ACMD nội tiếp đường tròn đường
kính AD.
b) ∆ABD và ∆MBC có:
chung và
(do ACMD là tứ giác nội tiếp).
Suy ra: ∆ABD ~ ∆MBC (g – g)
c) Lấy E đối xứng với B qua C thì E cố định và , lại có:
(cùng phụ với ), suy ra: . Do đó AKDE là tứ giác
nội tiếp. Gọi O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆AKD thì O’ củng là tâm
đường tròn ngoại tiếp tứ giác AKDE nên A = E, suy ra thuộc đường
trung trực của đoạn thẳng AE cố định.
Bài 28: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và tia tiếp tuyến
Ax cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp
tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C là tiếp điểm). AC cắt OM tại E;
MB cắt nửa đường tròn (O) tại D (D khác B).
a) Chứng minh: AMDE là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) MA
2
= MD.MB
c) Vẽ CH vuông góc với AB (H AB). Chứng minh rằng MB đi qua trung
điểm của CH.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) (góc nội tiếp chắn nửa
đường tròn) (1)
Lại có: OA = OC = R; MA = MC (tính
chất tiếp tuyến). Suy ra OM là đường
trung trực của AC (2).
Từ (1) và (2) suy ra MADE là tứ giác
nội tiếp đường tròn đường kính MA.
b) Xét ∆MAB vuông tại A có AD MB, suy ra: MA
2
= MB.MD (hệ thức
lượng trong tam giác vuông)
0
AMB 90=
0
AMD 90=
0
AMD ACD 90==
B
BAD BMC=
E
D
M
I
C
K
O
B
A
EDC BDC=
BDC CAK=
B
EDC CAK=
O
O
O
0
ADB 90=
0
ADM 90=
0
AEM 90=
x
N
I
H
E
D
M
C
O
B
A
⊥
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 49
c) Kéo dài BC cắt Ax tại N, ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường
tròn) , suy ra ∆ACN vuông tại C. Lại có MC = MA nên suy ra
được MC = MN, do đó MA = MN (5).
Mặt khác ta có CH // NA (cùng vuông góc với AB) nên theo định lí Ta-lét
thì (6) với I là giao điểm của CH và MB.
Từ (5) và (6) suy ra IC = IH hay MB đi qua trung điểm của CH.
Bài 29: Cho nửa đường tròn đường kính BC = 2R. Từ điểm A trên nửa
đường tròn vẽ AH BC. Nửa đường tròn đường kính BH, CH lần lượt có
tâm O
1
; O
2
cắt AB, AC thứ tự tại D và E.
a) Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật, từ đó tính DE biết R = 25
và BH = 10
b) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn.
c) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác DEO
1
O
2
đạt giá trị lớn nhất.
Tính giá trị đó.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) Ta có = 90
0
(vì góc nội tiếpchắn nửa đường tròn)
Tương tự có = 90
0
Xét tứ giác ADHE có = 90
0
=> ADHE là hình chữ nhật.
Từ đó DE = AH mà AH
2
= BH.CH (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)
hay AH
2
= 10 . 40 = 20
2
(BH = 10; CH = 2.25 - 10 = 40) => DE = 20
b) Ta có: = (góc có cạnh tương ứng vuông góc) mà (1)
(Vì ADHE là hình chữ nhật) => do = 180
0
nên tứ giác
BDEC nội tiếp đường tròn.
c) Vì O
1
D = O
1
B => O
1
BD cân tại O
1
=> (2)
Từ (1), (2) => = 90
0
=> O
1
D //O
2
E
Vậy DEO
2
O
1
là hình thang vuông tại D và E.
0
ACB 90=
0
ACN 90=
IC IH BI
MN MA BM

==


⊥
BAC
BDH CEH=
A ADH AEH==
BAH
C
DAH ADE=
C ADE=
C BDE+
1
B BDO=
1
ADE BDO+=
B BAH+
O
1
O
2
D
O
B
C
H
A
E
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 50
Ta có S
ht
=
(Vì O
1
D
+ O
2
E = O
1
H + O
2
H = O
1
O
2
và DE < O
1
O
2
)
. Dấu "=" xảy ra khi
và chỉ khi DE = O
1
O
2
DEO
2
O
1
là hình chữ
nhật
A là điểm chính giữa cung BC. Khi đó max = .
Bài 30: Cho tam giác vuông ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O đường
kính AB. Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho CD = AC.
a) Chứng minh tam giác ABD cân.
b) Đường thẳng vuông góc với AC tại A cắt đường tròn (O) tại E (E A).
Tên tia đối của tia EA lấy điểm F sao cho EF = AE. Chứng minh rằng ba
điểm D, B, F cùng nằm trên một đường thẳng.
c) Chứng minh rằng đường tròn đi qua ba điểm A, D, F tiếp xúc với đường
tròn (O).
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) Chứng minh ABD cân
Xét ABD có BC DA và CA = CD
nên BC vừa là đường cao vừa là trung
tuyến của nó.
Vậy ABD cân tại B
b) Chứng minh rằng ba điểm D, B, F
cùng nằm trên một đường thẳng.
Vì = 90
0
, nên CE là đường kính của
(O).
Ta có CO là đường trung bình của tam
giác ABD
Suy ra BD // CO hay BD // CE (1)
Tương tự CE là đường trung bình của
tam giác ADF.
Suy ra DF // CE (2). Từ (1) và (2) suy ra D, B, F cùng nằm trên một đường thẳng.
c) Chứng minh rằng đường tròn đi qua ba điểm A, D, F tiếp xúc với đường tròn (O).
2
1 2 1 2 1 2
1 1 1
(O D O E).DE O O .DE O O
2 2 2
+ =
22
2
ht 1 2
1 BC R
S O O
2 8 2
= =
12
ODEO
S
2
2
R
⊥
CAE
C
O
D
F
B
A
E
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 51
Tam giác ADF vuông tại A và theo tính chất của đường trung bình DB = CE
= BF B là trung điểm của DF. Do đó đường tròn qua ba điểm A,D,F nhận
B làm tâm và AB làm bán kính. Hơn nữa, vì OB = AB - OA nên đường tròn
đi qua ba điểm A, D, F tiếp xúc trong với đường tròn (O) tại A.
Bài 31: Cho ba điểm A, B, C cố định thẳng hàng theo thứ tự đó. Vẽ đường
tròn (O; R) bất kỳ đi qua B và C (BC 2R). Từ A kẻ các tiếp tuyến AM,
AN đến (O) (M, N là tiếp điểm). Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BC
và MN; MN cắt BC tại D. Chứng minh:
a) AM
2
= AB.AC
b) AMON; AMOI là các tứ giác nội tiếp đường tròn.
c) Khi đường tròn (O) thay đổi, tâm đường tròn ngoại tiếp OID luôn
thuộc một đường thẳng cố định.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) Xét ABM và AMC
Có góc A chung;
( = sđ cung MB)
=> AMB ~ ACM (g.g)
=> => AM
2
= AB.AC
b) Tứ giác AMON có = 180
0
(Vì = 90
0
tính chất tiếp tuyến)
=> AMON là tứ giác nội tiếp được
- Vì OI BC (định lý đường kính và dây cung)
Xét tứ giác AMOI có = 90
0
+ 90
0
= 180
0
=> AMOI là tứ giác nội tiếp được
c) Ta có OA MN tại K (vì K trung điểm MN), MN cắt AC tại D.
Xét tứ giác KOID có = 180
0
=> tứ giác KOID nội tiếp đường tròn tâm O
1
=> O
1
nằm trên đường trung trực của DI mà AD.AI = AK.AO = AM
2
=
AB.AC không đổi (Vì A, B, C, I cố định). Do AI không đổi => AD không
đổi => D cố định.
Vậy O
1
tâm đường tròn ngoại tiếp OIK luôn thuộc đường trung trực của DI
cố định.
Bài 32: Qua điểm A cho trước nằm ngoài đường tròn (O) vẽ 2 tiếp tuyến
AB, AC (B, C là các tiếp điểm), lấy điểm M trên cung nhỏ BC, vẽ MH
BC; MI AC; MK AB.
a) Chứng minh các tứ giác: BHMK, CHMI nội tiếp đường tròn.
AMB MCB=
2
1
AM
AB
AC
AM
=
MN+
MN=
⊥
MI+
⊥
KI+
⊥
⊥
⊥
D
K
I
B
O
N
A
C
M
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 52
b) Chứng minh MH
2
= MI.MK
c) Qua M vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt AB, AC tại P, Q. Chứng
minh chu vi APQ không phụ thuộc vào vị trí điểm M.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) Xét tứ giác BHMK: = 90
0
+ 90
0
= 180
0
=> Tứ giác BHMK nội tiếp đường tròn.
CM tương tự có tứ giác CHMI cũng nội tiếp được.
b) Ta có = 180
0
mà (1)
(vì 2 góc nội tiếp
cùng chắn cung MK và góc tạo bởi tia tt ... và
góc nội tiếp cùng chắn cung BM).
(góc tạo bởi tia tiếp tuyến và góc nội
tiếp cùng chắn ) (2).
Từ (1), (2) => HMK ~ IMH (g.g) => = MI .MK
(đpcm)
c) Ta có PB = PM; QC = QM; AB = AC (Theo t/c hai tiếp tuyến)
Xét chu vi APQ = AP + AQ + PQ = AP + AQ + PM + QM
= (AP + PB) + (AQ + QC) = AB + AC = 2AB không đổi.
Vì A cố định và đường tròn (O) cho trước nên chu vi APQ không
phụ thuộc vào vị trí của điểm M (đpcm).
Bài 33: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ tiếp
tuyến chung ngoài BC (B, C thứ tự là các tiếp điểm thuộc (O; R) và (O’;
R’)).
a) Chứng minh = 90
0
.
b) Tính BC theo R, R’.
c) Gọi D là giao điểm của đường thẳng AC và đường tròn (O) (D A),
vẽ tiếp tuyến DE với đường tròn (O’) (E (O’)). Chứng minh BD = DE.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
HK+
B HMK C HMI+ = +
BC=
HMK HMI=
KBM BCM KBM KHM,==
HCM HIM=
HM
KHM HIM=
2
MH
MH
MK
MI
MH
=
BAC
H
K
I
B
C
A
M
E
N
A
M
O
O'
B
C
D
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 53
a) Qua A vẽ tiếp tuyến chung trong cắt BC
tại M
Ta có MB = MA = MC (t/c 2 tiếp tuyến cắt
nhau)
= 90
0
.
b) Giả sử R’ > R. Lấy N trung điểm của
OO’.
Ta có MN là đường trung bình của hình thang vuông OBCO’
(OB // O’C; = 90
0
) và tam giác AMN vuông tại A.
Có MN = ; AN = . Khi đó MA
2
= MN
2
- AN
2
= RR’
=> MA = mà BC = 2MA = 2
c) Ta có O, B, D thẳng hàng (vì = 90
0
; OA = OB = OD)
BDC có = 90
0
, BA CD, ta có: BD
2
= DA . DC (1)
ADE ~ EDC (g.g) => => DA . DC = DE
2
(2)
(1), (2) => BD = DE (đpcm).
Bài 34: Cho đường tròn (O), đường kính AB, d
1
, d
2
là các các đường thẳng
lần lượt qua A, B và cùng vuông góc với đường thẳng AB. M, N là các
điểm lần lượt thuộc d
1
, d
2
sao cho = 90
0
.
a) Chứng minh đường thẳng MN là tiếp tuyến của đường tròn (O).
b) Chứng minh AM . AN = .
c) Xác định vị trí của M, N để diện tích tam giác MON đạt giá trị nhỏ
nhất.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) Gọi H là hình chiếu của O trên
đường thẳng MN. Xét tứ giác OAMH
=> OAMH là tứ giác nội tiếp đường tròn.
Tương tự tứ giác OANH nội tiếp được
=> (2 góc nội tiếp chắn 1 cung)
=> = 90
0
=> MN là tiếp tuyến
A
BC=
2
'RR +
RR
2
−
'RR
'RR
BAD
DBC
⊥
DE
DA
DC
DE
=
MON
4
2
AB
00
A H 180 (do A H 90 )+ = = =
1 1 1 1
A M , B N==
0
1 1 1 1
A B M N 90 + = + =
AHB
N
M
O
A
B
H
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 54
b) Ta có AM = MH, BN = NH, theo hệ thức lượng
trong tam vuông, ta có:
AM. BN = MH . NH = OH
2
= (đpcm)
c) OH . MN > OH . AB (Vì AMNB là hình thang vuông)
Dấu “=” khi và chỉ khi MN = AB hay H là điểm chính giữa của cung AB.
M, N song song với AB AM = BN =
Vậy nhỏ nhất khi và chỉ khi AM = BN =
Bài 35: Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB
(tiếp điểm A; B) và cát tuyến cắt đường tròn tại 2 điểm C và D không đi
qua O. Gọi I là trung điểm của CD.
a) Chừng minh 5 điểm M, A, I, O, B cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh IM là phân giác của .
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) Vì MA, MB là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Nên MA OA; MB OB; Mà OI CD
(Theo định lý đường kính là dây cung).
Do đó = 90
0
=> 3 điểm
A, B, I
thuộc đường tròn đường kính MO hay 5
điểm M, A, I, O, B cùng thuộc một đường
tròn.
b) Ta có: (vì 2 góc nội tiếp cùng chắn cung MA) (vì
2 góc nội tiếp cùng chắn cung MB) mà (tính chất hai tiếp tuyến)
=> => IM là phân giác của góc AIB (đpcm).
Bài 36: Cho đường tròn (O), từ điểm A ngoài đường tròn vẽ đường thẳng
AO cắt đường tròn (O) tại B, C (AB < AC). Qua A vẽ đường thẳng không
đi qua (O) cắt đường tròn (O) tại D; E (AD < AE). Đường thẳng vuông góc
với AB tại A cắt đường thẳng CE tại F.
a) Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp đường tròn.
b) Gọi M là giao điểm thứ hai của FB với đường tròn (O), chứng minh
DM AC.
4
2
AB
2
1
=
MON
S
2
1
AB
.
2
MON
S
AB
.
2
AIB
⊥
⊥
⊥
MAO MBO MIO==
AIM AOM=
BIM BOM=
AOM BOM=
AIM BIM=
⊥
I
C
O
B
M
D
A
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 55
c) Chứng minh: CE . CF + AD . AE = AC
2
.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) = 90
0
(vì AF AB)
= 90
0
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
=> = 90
0
. Do đó = 180
0
Vậy tứ giác ABEF nội tiếp đường tròn.
b) Ta có: = ( sđ cung AB) (vì 2 góc
nội tiếp cùng chắn 1 cung)
= ( sđ cung BD) (vì 2 góc nội tiếp cùng chắn 1 cung)
Do đó => AF // DM mà FA AC => DM AC
c) ACF ~ ECB (g.g) => => CE.CF = AC.BC (1)
ABD ~ AEC (g.g) => => AD.AE = AC.AB (2)
(1), (2) => AD.AE + CE.CF = AC(AB + BC) = AC
2
(đpcm)
Bài 37: Cho ABC có 3 góc nhọn, trực tâm là H và nội tiếp đường tròn
(O). Vẽ đường kính AK.
a) Chứng minh tứ giác BHCK là hình hình hành.
b) Vẽ OM BC (M BC). Chứng minh H, M, K thẳng hàng và
AH = 2.OM.
c) Gọi A’, B’, C’ là chân các đường cao thuộc các cạnh BC, CA, AB
của ABC. Khi BC cố định hãy xác định vị trí điểm A để tổng S = A’B’ +
B’C’ + C’A’ đạt giá trị lớn nhất.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) Ta có = 90
0
(vì góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Nên CK AC mà BH AC (vì H trực tâm)
=> CK // BH tương tự có CH // BK
=> Tứ giác BHCK là hbh (đpcm)
b) OM BC => M trung điểm của BC
(định lý đường kính và dây cung) => M là trung
điểm của HK (vì BHCK là hình bình hành) =>
đpcm AHK có OM là đường trung bình => AH
= 2.OM
FAB
⊥
BEC
BEF
FAB BEF+
AFB AEB=
2
1
AEB BMD=
2
1
AFB BMD=
⊥
⊥
BC
CF
CE
AC
=
AC
AD
AE
AB
=
⊥
ACK
⊥
⊥
⊥
D
M
E
O
F
A
C
B
M
H
O
B
A
C
K
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 56
O
1
E
I
C
O
N
M
B
A
c) Ta có = 90
0
=> tứ giác BC’B’C nội tiếp đường tròn =>
= mà (Ax là tiếp tuyến tại A) => Ax // B’C’
OA Ax => OA B’C’. Do đó S
AB’OC’
= R.B’C’
Tương tự: S
BA’OC’
= R.A’C’; S
CB’OA’
= R.A’B’
= R(A’B’ + B’C’ + C’A’)= AA’ .BC < (AO + OM).BC
=> A’B’ + B’C’ + C’A’, lớn nhất khi A, O, M thẳng hàng <=> A là đỉểm
chính giữa cung lớn BC.
Bài 38: Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và
O sao cho AI = AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I, gọi C là điểm tùy
ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN
tại E.
a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp .
b) Chứng minh hệ thức: AM
2
= AE.AC.
c) Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) Theo giả thiết MN ⊥AB tại I
mà đây là hai góc đối của tứ giác IECB nên
tứ giác IECB là tứ giác nội tiếp.
b) Theo giả thiêt MN ⊥AB, suy ra A là điểm
chính giữa của nên (hai
góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) hay , lại có là
góc chung do đó tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM
AM
2
= AE.AC.
c) Theo trên AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp
ECM. Nối MB ta có = 90
0
, do đó tâm O
1
của đường tròn ngoại tiếp
ECM phải nằm trên BM.
AC C BB C

=
AC B

ACB
ACB BAx=
⊥
⊥
2
1
2
1
2
1
ABC
S
2
1
2
1
2
1
2
3
00
ACB = 90 hay ECB = 90
0
EIB + ECB = 180
MN
AMN = ACM
AME = ACM
CAM
AM AE
=
AC AM
AMN = ACM
AMB
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 57
+ Ta thấy NO
1
nhỏ nhất khi NO
1
là khoảng cách từ N đến BM NO
1
⊥BM.
Gọi O
1
là chân đường vuông góc kẻ từ N đến BM ta được O
1
là tâm
đường tròn ngoại tiếp ECM có bán kính là O
1
M.
+ Do đó để khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp ECM là nhỏ
nhất thì C phải là giao điểm của đường tròn (O
1
), bán kính O
1
M với đường
tròn (O) trong đó O
1
là hình chiếu vuông góc của N trên BM.
Bài 39: Bên trong hình vuông ABCD vẽ tam giác đều ABE . Vẽ tia Bx
thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm E, có bờ là đường thẳng AB sao cho Bx
vuông góc với BE. Trên tia Bx lấy điểm F sao cho BF = BE.
a) Tính số đo các góc của tam giác ADE.
b) Chứng minh 3 điểm: D, E, F thẳng hàng.
c) Đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác AEB cắt AD tại M. Chứng minh
ME // BF.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) Tam giác ADE cân tại A vì
AD = AE. Lại có:
=
Do đó
.
b) Từ giả thiết, dễ thấy tam giác
BEF vuông cân tại B, nên
.
Từ đó ta có:
suy ra 3 điểm D, E, F thẳng hàng,
đpcm.
c) Ta có: (cùng chắn cung EM) suy ra nên .
Mà nên .
Vậy hay ME EB. Mặt khác BF EB do đó ME //
BF.
Bài 40: Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Bán kính CO vuông
góc với AB, M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC (M khác A, C); BM
cắt AC tại H. Gọi K là hình chiếu của H trên AB.
a) Chứng minh CBKH là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh
1
A
0 0 0
DAB EAB 90 60 30− = − =
0 0 0
1
ADE AED (180 30 ) 75
2
= = − =
0
1
E 45=
2
1
2
3
x
1
1
M
O
F
E
D
C
A
B
0 0 0 0
21
DEF DEA E E 75 60 45 180= + + = + + =
11
BA=
0
1
B 30=
0
2
B 30=
32
EB=
0
3
E 30=
0 0 0
23
E E 60 30 90+ = + =
⊥
⊥
ACM ACK=
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 58
c) Trên đọan thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM. Chứng minh tam
giác ECM là tam giác vuông cân tại C
c) Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại điểm A; cho P là điểm nằm trên d sao cho
hai điểm P, C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và .
Chứng minh đường thẳng PB đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) Ta có ( do chắn nửa đường tròn đk AB)
(do K là hình chiếu của H trên AB)
=> nên tứ giác CBKH nội tiếp trong đường tròn đường
kính HB.
b) Ta có (do cùng chắn của (O))
và (vì cùng chắn .của đtròn đk HB)
Vậy
c) Vì OC ⊥ AB nên C là điểm chính giữa của cung AB AC = BC và
Xét 2 tam giác MAC và EBC có
MA= EB(gt), AC = CB(cmt) và = vì cùng chắn cung của
(O)
MAC và EBC (cgc) CM = CE tam giác MCE cân tại C (1)
Ta lại có (vì chắn cung )
(tính chất tam giác MCE cân tại C)
AP.MB
R
MA
=
0
90HCB =
0
90HKB =
0
180HCB HKB+=
ACM ABM=
AM
ACK HCK HBK==
HK
ACM ACK=
0
90sd AC sdBC==
MAC
MBC
MC
0
45CMB =
0
90CB =
0
45CEM CMB==
A
B
C
M
H
K
O
S
P
E
N
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 59
Mà (Tính chất tổng ba góc trong tam giác)
(2)
Từ (1), (2) tam giác MCE là tam giác vuông cân tại C (đpcm).
d) Gọi S là giao điểm của BM và đường thẳng (d), N là giao điểm của BP
với HK.
Xét PAM và OBM :
Theo giả thiết ta có (vì có R = OB).
Mặt khác ta có (vì cùng chắn cung của (O))
PAM ∽ OBM .(do OB = OM = R) (3)
Vì (do chắn nửa đtròn(O))
tam giác AMS vuông tại M.
và
(4)
Mà PM = PA(cmt) nên
Từ (3) và (4) PA = PS hay P là trung điểm của AS.
Vì HK//AS (cùng vuông góc AB) nên theo ĐL Ta-lét, ta có:
hay mà PA = PS(cmt) hay BP đi qua trung điểm N
của HK. (đpcm)
TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10
0
180CME CEM MCE++=
0
90MCE =
.AP MB AP OB
R
MA MA MB
= =
PAM ABM=
AM
= = =1
AP OB
PA PM
PM OM
=
0
90AMB
=
0
90AMS
+=
0
90PAM PSM
+=
0
90PMA PMS
= =PMS PSM PS PM
=PAM PMA
==
NK BN HN
PA BP PS
=
NK HN
PA PS
=NK NH
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 60
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 - 2017
Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Cho biết a = và b = . Tính giá trị biểu thức: P = a + b -
ab.
b) Giải hệ phương trình: .
Câu 2 (2,0 điểm) Cho biểu thức P = (với x > 0,
x 1)
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm các giá trị của x để P > .
Câu 3 (2,0 điểm)
Cho phương trình: x
2
– 5x + m = 0 (m là tham số).
a) Giải phương trình trên khi m = 6.
b) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn:
.
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ dây cung CD vuông góc
với AB tại I (I nằm giữa A và O ). Lấy điểm E trên cung nhỏ BC ( E khác B
và C ), AE cắt CD tại F. Chứng minh:
a) BEFI là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) AE.AF = AC
2
.
c) Khi E chạy trên cung nhỏ BC thì tâm đường tròn ngoại tiếp ∆CEF
luôn thuộc một đường thẳng cố định.
23+
23−
3x + y = 5
x - 2y = - 3
1 1 x
:
x - x x 1 x - 2 x 1

+

−+

1
2
12
x x 3−=
ĐỀ SỐ 01
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 61
Câu 5 (1,0 điểm) Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a + b . Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức: P = .
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì
thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 - 2017
Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức: .
b) Giải phương trình: x
2
– 7x + 3 = 0.
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d: y = - x + 2 và Parabol
(P): y = x
2
.
b) Cho hệ phương trình: .
Tìm a và b để hệ đã cho có nghiệm duy nhất ( x;y ) = ( 2; - 1).
Câu 3 (1,5 điểm)
Một xe lửa cần vận chuyển một lượng hàng. Người lái xe tính rằng
nếu xếp mỗi toa 15 tấn hàng thì còn thừa lại 5 tấn, còn nếu xếp mỗi toa 16
tấn thì có thể chở thêm 3 tấn nữa. Hỏi xe lửa có mấy toa và phải chở bao
nhiêu tấn hàng.
Câu 4 (3,5 điểm)
Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R) ta vẽ hai tiếp tuyến AB,
AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M,
vẽ MI AB, MK AC (I AB,K AC)
22
11
ab
+
11
3 7 3 7
−
−+
4x + ay = b
x - by = a
⊥
⊥
ĐỀ SỐ 02
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 62
a) Chứng minh: AIMK là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Vẽ MP BC (P BC). Chứng minh: .
c) Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt
giá trị MAX.
Câu 5 (1,0 điểm)
Giải phương trình:
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì
thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 -
2017
Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình sau:
a) x
4
+ 3x
2
– 4 = 0
b)
Câu 2 (2,0 điểm) Rút gọn các biểu thức:
a) A =
b) B = ( với x > 0, x 4 ).
Câu 3 (2,0 điểm)
⊥
MPK MBC=
y - 2016 1
x - 2015 1 z - 2017 1 3
x - 2015 y - 2016 z - 2017 4
−
−−
+ + =
2x + y = 1
3x + 4y = -1
3 6 2 8
1 2 1 2
−+
−
−+
1 1 x + 2 x
.
x4
x + 4 x 4 x

−

−
+

ĐỀ SỐ 03
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 63
a) Vẽ đồ thị các hàm số y = - x
2
và y = x – 2 trên cùng một hệ trục tọa
độ.
b) Tìm tọa độ giao điểm của các đồ thị đã vẽ ở trên bằng phép tính.
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O;R).
Các đường cao BE và CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh: AEHF và BCEF là các tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Gọi M và N thứ tự là giao điểm thứ hai của đường tròn (O;R) với
BE và CF. Chứng minh: MN // EF.
c) Chứng minh rằng OA EF.
Câu 5 (1,0 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì
thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 -
2017
Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm)
⊥
2
x - x y + x + y - y + 1
ĐỀ SỐ 04
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 64
a) Trục căn thức ở mẫu của các biểu thức sau: ; .
b) Trong hệ trục tọa độ Oxy, biết đồ thị hàm số y = ax
2
đi qua điểm M
(- 2; ). Tìm hệ số a.
Câu 2 (2,0 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình sau:
a)
b)
Câu 3 (2,0 điểm) Cho phương trình ẩn x: x
2
– 2mx + 4 = 0 (1)
a) Giải phương trình đã cho khi m = 3.
b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn:
( x
1
+ 1 )
2
+ ( x
2
+ 1 )
2
= 2.
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại E. Lấy I thuộc
cạnh AB, M thuộc cạnh BC sao cho: (I và M không trùng với các
đỉnh của hình vuông ).
a) Chứng minh rằng BIEM là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Tính số đo của góc
c) Gọi N là giao điểm của tia AM và tia DC; K là giao điểm của BN
và tia EM. Chứng minh CK BN.
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác.
Chứng minh: ab + bc + ca a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca ).
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì
thêm.
TRÌ
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
4
3
5
51−
1
4
2x + 1 = 7 - x
2x + 3y = 2
1
x - y =
6
0
IEM 90=
IME
⊥
ĐỀ SỐ 05
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 65
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 - 2017
Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Thực hiện phép tính:
b) Trong hệ trục tọa độ Oxy, biết đường thẳng y = ax + b đi qua điểm
A( 2; 3 ) và điểm B(-2;1) Tìm các hệ số a và b.
Câu 2 (2,0 điểm) Giải các phương trình sau:
a) x
2
– 3x + 1 = 0
b)
Câu 3 (1,0 điểm)
Hai ô tô khởi hành cùng một lúc trên quãng đường từ A đến B dài 120
km. Mỗi giờ ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai là 10 km nên đến B
trước ô tô thứ hai là 0,4 giờ. Tính vận tốc của mỗi ô tô.
Câu 4 (4,0 điểm)
Cho đường tròn (O;R); AB và CD là hai đường kính khác nhau của
đường tròn. Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O;R) cắt các đường thẳng AC,
AD thứ tự tại E và F.
a) Chứng minh tứ giác ACBD là hình chữ nhật.
b) Chứng minh ∆ACD ∆CBE
c) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp được đường tròn.
d) Gọi S, S
1
, S
2
thứ tự là diện tích của ∆AEF, ∆BCE và ∆BDF. Chứng
minh: .
Câu 5 (1,0 điểm) Giải phương trình:
32
.6
23

−



2
x - 2 4
+ =
x - 1 x + 1 x - 1
~
12
S S S+=
( )
32
10 x + 1 = 3 x + 2
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 66
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì
thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 -
2017
Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm) Rút gọn các biểu thức sau:
a) A =
b) B = ( với a > 0, b > 0, a b)
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình:
b) Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình: x
2
– x – 3 = 0. Tính giá
trị biểu thức: P = x
1
2
+ x
2
2
.
Câu 3 (2,0 điểm)
a) Biết đường thẳng y = ax + b đi qua điểm M ( 2; ) và song song
với đường thẳng 2x + y = 3. Tìm các hệ số a và b.
b) Tính các kích thước của một hình chữ nhật có diện tích bằng 40
cm
2
, biết rằng nếu tăng mỗi kích thước thêm 3 cm thì diện tích tăng thêm 48
cm
2
.
Câu 4 (3,0 điểm)
3 3 3 3
2 . 2
3 1 3 1
+−
+−
+−
( )
ba
- . a b - b a
a - ab ab - b




( )
( )
x - y = - 1 1
23
+ = 2 2
xy
1
2
ĐỀ SỐ 06
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 67
Cho tam giác ABC vuông tại A, M là một điểm thuộc cạnh AC (M
khác A và C ). Đường tròn đường kính MC cắt BC tại N và cắt tia BM tại I.
Chứng minh rằng:
a) ABNM và ABCI là các tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) NM là tia phân giác của góc .
c) BM.BI + CM.CA = AB
2
+ AC
2
.
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho biểu thức A = . Hỏi A có giá trị nhỏ nhất hay
không? Vì sao?
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì
thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 -
2017
Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Tìm điều kiện của x biểu thức sau có nghĩa: A =
b) Tính:
Câu 2 (2,0 điểm) Giải phương trình và bất phương trình sau:
a) ( x – 3 )
2
= 4
b)
Câu 3 (2,0 điểm)
Cho phương trình ẩn x: x
2
– 2mx - 1 = 0 (1)
ANI
2x - 2 xy + y - 2 x + 3
x - 1 + 3 - x
11
3 5 5 1
−
−+
x - 1 1
<
2x + 1 2
ĐỀ SỐ 07
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 68
a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân
biệt x
1
và x
2
.
b) Tìm các giá trị của m để: x
1
2
+ x
2
2
– x
1
x
2
= 7.
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB. Vẽ dây cung CD vuông góc
với AB (CD không đi qua tâm O). Trên tia đối của tia BA lấy điểm S; SC cắt
(O; R) tại điểm thứ hai là M.
a) Chứng minh ∆SMA đồng dạng với ∆SBC.
b) Gọi H là giao điểm của MA và BC; K là giao điểm của MD và AB.
Chứng minh BMHK là tứ giác nội tiếp và HK // CD.
c) Chứng minh: OK.OS = R
2
.
Câu 5 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: .
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì
thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 -
2017
Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình:
3
3
x + 1 = 2y
y + 1 = 2x
2x + y = 5
x - 3y = - 1
ĐỀ SỐ 08
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 69
b) Gọi x
1
,x
2
là hai nghiệm của phương trình: 3x
2
– x – 2 = 0.
Tính giá trị biểu thức: P = .
Câu 2 (2,0 điểm) Cho biểu thức A = với a > 0, a
1
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm các giá trị của a để A < 0.
Câu 3 (2,0 điểm) Cho phương trình ẩn x: x
2
– x + 1 + m = 0 (1)
a) Giải phương trình đã cho với m = 0.
b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa
mãn: x
1
x
2
.( x
1
x
2
– 2 ) = 3( x
1
+ x
2
).
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và tia tiếp tuyến Ax
cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến
thứ hai MC với nửa đường tròn (C là tiếp điểm). AC cắt OM tại E; MB cắt
nửa đường tròn (O) tại D (D khác B).
a) Chứng minh: AMCO và AMDE là các tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh .
c) Vẽ CH vuông góc với AB (H AB). Chứng minh rằng MB đi qua
trung điểm của CH.
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho các số a, b, c . Chứng minh rằng: a + b
2
+ c
3
- ab - bc - ca
1.
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì
thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
12
11
+
xx
a a a 1
:
a - 1
a 1 a - a

+
−


−

ADE ACO=
0 ; 1
ĐỀ SỐ 09
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 70
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 -
2017
Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Cho hàm số y = x + 1. Tính giá trị của hàm số khi x =
.
b) Tìm m để đường thẳng y = 2x – 1 và đường thẳng y = 3x + m cắt
nhau tại một điểm nằm trên trục hoành.
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức: A = với
.
b) Giải phương trình:
Câu 3 (2,0 điểm) Cho hệ phương trình: (1)
a) Giải hệ phương trình đã cho khi m = 1.
b) Tìm m để hệ (1) có nghiệm (x; y) thỏa mãn: x
2
+ y
2
= 10.
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm M thuộc đoạn
thẳng OA, điểm N thuộc nửa đường tròn (O). Từ A và B vẽ các tiếp tuyến
Ax và By. Đường thẳng qua N và vuông góc với NM cắt Ax, By thứ tự tại C
và D.
a) Chứng minh ACNM và BDNM là các tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh ∆ANB đồng dạng với ∆CMD.
c) Gọi I là giao điểm của AN và CM, K là giao điểm của BN và DM.
Chứng minh IK //AB.
Câu 5 (1,0 điểm)
( )
32−
32+
3 x 6 x x - 9
:
x - 4
x 2 x 3

+
+


−−

x 0, x 4, x 9
( )( )
2
x - 3x + 5 1
x + 2 x - 3 x - 3
=
3x - y = 2m - 1
x + 2y = 3m + 2
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 71
Chứng minh rằng: với a, b là các số dương.
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì
thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 -
2017
Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm) Rút gọn các biểu thức:
a) A =
b) B = , với 0 < x < 1
Câu 2 (2,0 điểm) Giải hệ phương trình và phương trình sau:
a) .
b)
Câu 3 (1,5 điểm)
Một xí nghiệp sản xuất được 120 sản phẩm loại I và 120 sản phẩm loại
II trong thời gian 7 giờ. Mỗi giờ sản xuất được số sản phẩm loại I ít hơn số
sản phẩm loại II là 10 sản phẩm. Hỏi mỗi giờ xí nghiệp sản xuất được bao
nhiêu sản phẩm mỗi loại.
Câu 4 (3,5 điểm) Cho hai đường tròn (O) và cắt nhau tại A và B. Vẽ AC,
AD thứ tự là đường kính của hai đường tròn (O) và .
a) Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng.
( ) ( )
a + b 1
2
a 3a + b b 3b + a
+
( )
2
3 8 50 2 1− − −
2
2
2 x - 2x + 1
.
x - 1 4x
( )
2 x - 1 y = 3
x - 3y = - 8
+
x + 3 x 4 0−=
(O )
(O )
ĐỀ SỐ 10
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 72
b) Đường thẳng AC cắt đường tròn tại E; đường thẳng AD cắt
đường tròn (O) tại F (E, F khác A). Chứng minh 4 điểm C, D, E, F cùng nằm
trên một đường tròn.
c) Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A cắt (O) và thứ tự tại M
và N. Xác định vị trí của d để CM + DN đạt giá trị lớn nhất.
Câu 5 (1,0 điểm) Cho hai số x, y thỏa mãn đẳng thức:
. Tính: x + y
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì
thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 -
2017
Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức:
a) với a ≥ 0 và a ≠ 1.
b) Giải phương trình: 2x
2
- 5x + 3 = 0
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Với giá trị nào của k, hàm số y = (3 - k) x + 2 nghịch biến trên R.
b) Giải hệ phương trình:
Câu 3 (2,0 điểm) Cho phương trình x
2
- 6x + m = 0.
(O )
(O )
(
)
(
)
22
x + x 2011 y + y 2011 2011+ + =
2
1 - a a 1 - a
A a
1 - a
1 - a
=+
4x + y = 5
3x - 2y = - 12
ĐỀ SỐ 11
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 73
a) Với giá trị nào của m thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu.
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn điều kiện x
1
- x
2
= 4.
Câu 4 (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Dây BC = R. Từ
B kẻ tiếp tuyến Bx với đường tròn. Tia AC cắt Bx tại M. Gọi E là trung
điểm của AC.
a) Chứng minh tứ giác OBME nội tiếp đường tròn.
b) Gọi I là giao điểm của BE với OM. Chứng minh: IB.IE = IM.IO.
Câu 5 (1,0 điểm) Cho x > 0, y > 0 và x + y ≥ 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức :
P = 3x + 2y + .
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì
thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 -
2017
Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm) Tính gọn biểu thức:
68
+
xy
ĐỀ SỐ 12
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 74
a) A = .
b) B = với a ≥ 0, a ≠ 1.
Câu 2 (2,0 điểm)
1. Cho hàm số y = ax
2
, biết đồ thị hàm số đi qua điểm A (- 2 ; -12).
Tìm a.
2. Cho phương trình: x
2
+ 2 (m + 1)x + m
2
= 0. (1)
a) Giải phương trình với m = 5
b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có 1
nghiệm bằng - 2.
Câu 3 (2,0 điểm)
Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu tăng chiều dài thêm 2m, chiều rộng
thêm 3m thì diện tích tăng thêm 100m
2
. Nếu giảm cả chiều dài và chiều rộng
đi 2m thì diện tích giảm đi 68m
2
. Tính diện tích thửa ruộng đó.
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy 1 điểm M, dựng
đường tròn tâm (O) có đường kính MC. Đường thẳng BM cắt đường tròn
tâm (O) tại D, đường thẳng AD cắt đường tròn tâm (O) tại S.
a) Chứng minh tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp và CA là tia phân giác
của góc .
b) Gọi E là giao điểm của BC với đường tròn (O). Chứng minh các
đường thẳng BA, EM, CD đồng quy.
c) Chứng minh M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE.
Câu 5 (1,0 điểm)
Giải phương trình:
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì
thêm.
20 - 45 + 3 18 + 72
a + a a - a
1 + 1 +
a + 1 1- a
BCS
22
x - 3x + 2 + x + 3 = x - 2 + x + 2x - 3
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 75
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 -
2017
Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm) Cho biểu thức: P = với a > 0, a
1, a 2.
a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên.
Câu 2 (3,0 điểm)
1) Cho đường thẳng d có phương trình: ax + (2a - 1) y + 3 = 0
Tìm a để đường thẳng d đi qua điểm M (1, -1). Khi đó, hãy tìm hệ số góc của
đường thẳng d.
2) Cho phương trình bậc 2: (m - 1)x
2
- 2mx + m + 1 = 0.
a) Tìm m, biết phương trình có nghiệm x = 0.
b) Xác định giá trị của m để phương trình có tích 2 nghiệm bằng 5,
từ đó hãy tính tổng 2 nghiệm của phương trình.
Câu 3 (1,0 điểm)
Giải hệ phương trình:
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho ∆ABC cân tại A, I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường
tròn bàng tiếp góc A, O là trung điểm của IK.
a) Chứng minh 4 điểm B, I, C, K cùng thuộc một đường tròn tâm O.
b) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn tâm (O).
c) Tính bán kính của đường tròn (O), biết AB = AC = 20cm, BC = 24cm.
Câu 5 (1,0 điểm) Giải phương trình: x
2
+ = 2016.
a a - 1 a a + 1 a +2
- :
a - 2
a - a a + a




4x + 7y = 18
3x - y = 1
x + 2016
ĐỀ SỐ 13
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 76
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì
thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 -
2017
Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm) Cho biểu thức: P = với x ≥ 0,
x ≠ 4.
a) Rút gọn P.
b) Tìm x để P = 2.
Câu 2 (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng, với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương
trình: .
a) Với giá trị nào của m và n thì d song song với trục Ox.
b) Xác định phương trình của d, biết d đi qua điểm A(1; - 1) và có hệ số
góc bằng -3.
Câu 3 (2,0 điểm) Cho phương trình: x
2
- 2 (m - 1)x - m - 3 = 0 (1)
a) Giải phương trình với m = -3
b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm thoả mãn hệ thức = 10.
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc giá trị của m.
Câu 4 (3,0 điểm)
x + 1 2 x 2 + 5 x
+ +
4 - x
x - 2 x + 2
y m 1 x n= − +()
22
12
x + x
ĐỀ SỐ 14
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 77
Cho tam giác ABC vuông ở A (AB > AC), đường cao AH. Trên nửa mặt
phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E,
nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại F. Chứng minh:
a) Tứ giác AFHE là hình chữ nhật.
b) Tứ giác BEFC là tứ giác nội tiếp đường tròn.
c) EF là tiếp tuyến chung của 2 nửa đường tròn đường kính BH và HC.
Câu 5 (1,0 điểm)Các số thực x, a, b, c thay đổi, thỏa mãn hệ:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của x.
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì
thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 -
2017
Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm) Cho M = với
.
a) Rút gọn M.
b) Tìm x sao cho M > 0.
Câu 2 (2,0 điểm)
2 2 2 2
x + a + b + c = 7 (1)
x + a + b + c = 13 (2)
x 1 1 2
- : +
x - 1
x - 1 x - x x 1





+


x 0, x 1
ĐỀ SỐ 15
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 78
Cho phương trình x
2
- 2mx - 1 = 0 (m là tham số)
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình trên.
Tìm m để - x
1
x
2
= 7
Câu 3 (2,0 điểm)
Một đoàn xe chở 480 tấn hàng. Khi sắp khởi hành có thêm 3 xe nữa
nên mỗi xe chở ít hơn 8 tấn. Hỏi lúc đầu đoàn xe có bao nhiêu chiếc, biết
rằng các xe chở khối lượng hàng bằng nhau.
Câu 4 (3,0 điểm) Cho đường tròn (O) đường kiính AB = 2R. Điểm M thuộc
đường tròn sao cho MA < MB. Tiếp tuyến tại B và M cắt nhau ở N, MN cắt
AB tại K, tia MO cắt tia NB tại H.
a) Tứ giác OAMN là hình gì ?
b) Chứng minh KH // MB.
Câu 5 (1,0 điểm) Tìm x, y thoả mãn 5x - 2 (2 + y) + y
2
+ 1 = 0.
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì
thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 -
2017
Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề thi có 01 trang
-------------------------
22
12
x + x
x
ĐỀ SỐ 16
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 79
Câu 1 (2,0 điểm) Cho biểu thức: K = với x >0 và x 1
a) Rút gọn biểu thức K
b) Tìm giá trị của biểu thức K tại x = 4 + 2
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng y = ax + b đi qua điểm
M (-1; 2) và song song với đường thẳng y = 3x + 1. Tìm hệ số a và b.
b) Giải hệ phương trình:
Câu 3 (2,0 điểm)
Một đội xe nhận vận chuyển 96 tấn hàng. Nhưng khi sắp khởi hành có
thêm 3 xe nữa, nên mỗi xe chở ít hơn lúc đầu 1,6 tấn hàng. Hỏi lúc đầu đội
xe có bao nhiêu chiếc.
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O) với dây BC cố định và một điểm A thay đổi trên
cung lớn BC sao cho AC > AB và AC> BC. Gọi D là điểm chính giữa của
cung nhỏ BC. Các tiếp tuyến của (O) tại D và C cắt nhau tại E. Gọi P, Q
lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng AB với CD; AD với CE.
a) Chứng minh rằng: DE//BC
b) Chứng minh tứ giác PACQ nội tiếp đường tròn.
c) Gọi giao điểm của các dây AD và BC là F.
Chứng minh hệ thức: = +
Câu 5 (1,0 điểm) Cho các số dương a, b, c.
Chứng minh rằng:
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
x 2x - x
-
x - 1 x - x
3
3x 2y 6
x - 3y 2
+=
=
1
CE
1
CQ
1
CF
a b c
1 + + 2
a + b b + c c + a

Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 80
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì
thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 -
2017
Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm)
Cho x
1
= và x
2
=
Hãy tính: A = x
1
. x
2
; B =
Câu 2 (2,0 điểm)
Cho phương trình ẩn x: x
2
- (2m + 1) x + m
2
+ 5m = 0
a) Giải phương trình với m = -2.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm sao cho tích các nghiệm bằng
6.
Câu 3 (2,0 điểm)
Cho hai đường thẳng (d): y = - x + m + 2 và (d’): y = (m
2
- 2) x + 1
a) Khi m = -2, hãy tìm toạ độ giao điểm của chúng.
b) Tìm m để (d) song song với (d’)
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng (B nằm giữa A và C). Vẽ đường tròn
tâm O đường kính BC; AT là tiếp tuyến vẽ từ A. Từ tiếp điểm T vẽ đường
thẳng vuông góc với BC, đường thẳng này cắt BC tại H và cắt đường tròn tại
K (K T). Đặt OB = R.
a) Chứng minh OH.OA = R
2
.
b) Chứng minh TB là phân giác của góc ATH.
3 + 5
3 - 5
22
12
x + x
ĐỀ SỐ 17
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 81
c) Từ B vẽ đường thẳng song song với TC. Gọi D, E lần lượt là giao
điểm của đường thẳng vừa vẽ với TK và TA. Chứng minh rằng
∆TED cân.
d) Chứng minh
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho x, y là hai số thực thoả mãn: (x + y)
2
+ 7(x + y) + y
2
+ 10 = 0
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x + y + 1
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì
thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 -
2017
Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm)
Rút gọn các biểu thức:
a) .
b) với x > 0.
Câu 2 (2,0 điểm)
Một thửa vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 72m. Nếu tăng chiều rộng
lên gấp đôi và chiều dài lên gấp ba thì chu vi của thửa vườn mới là 194m.
Hãy tìm diện tích của thửa vườn đã cho lúc ban đầu.
Câu 3 (2,0 điểm)
Cho phương trình: x
2
- 4x + m +1 = 0 (1)
a) Giải phương trình (1) khi m = 2.
HB AB
=
HC AC
45 20 5+−
x x x 4
x x 2
+−
+
+
ĐỀ SỐ 18
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 82
b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn
đẳng thức = 5 (x
1
+ x
2
)
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho 2 đường tròn (O) và cắt nhau tại hai điểm A, B phân biệt.
Đường thẳng OA cắt (O), lần lượt tại điểm thứ hai C, D. Đường thẳng
A cắt (O), lần lượt tại điểm thứ hai E, F.
a) Chứng minh 3 đường thẳng AB, CE và DF đồng quy tại một điểm I.
b) Chứng minh tứ giác BEIF nội tiếp được trong một đường tròn.
c) Cho PQ là tiếp tuyến chung của (O) và (P (O), Q ).
Chứng minh đường thẳng AB đi qua trung điểm của đoạn thẳng PQ.
Câu 5 (1,0 điểm) Giải phương trình: + = 2
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì
thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 -
2017
Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm)
Cho các biểu thức A =
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Chứng minh: A - B = 7.
22
12
x + x
(O )
(O )
O
(O )
(O )
(O )
1
x
2
1
2 x−
5 7 5 11 11 5
B5
5 1 11 5 55
,:
++
+=
++
ĐỀ SỐ 19
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 83
Câu 2 (2,5 điểm) Cho hệ phương trình
a) Giải hệ khi m = 2
b) Chứng minh hệ có nghiệm duy nhất với mọi m.
Câu 3 (1,5 điểm) Một tam giác vuông có cạnh huyền dài 10m. Hai cạnh góc
vuông hơn kém nhau 2m. Tính các cạnh góc vuông.
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Điểm M thuộc nửa đường
tròn, điểm C thuộc đoạn OA. Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB
chứa điểm M vẽ tiếp tuyến Ax, By. Đường thẳng qua M vuông góc với MC
cắt Ax, By lần lượt tại P và Q; AM cắt CP tại E, BM cắt CQ tại F.
a) Chứng minh tứ giác APMC nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh góc = 90
0
.
c) Chứng minh AB // EF.
Câu 5 (2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = .
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì
thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 -
2017
Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề thi có 01 trang
-------------------------
3x + my = 5
mx - y = 1
PCQ
42
2
x + 2x + 2
x + 1
ĐỀ SỐ 20
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 84
Câu 1 (2,0 điểm) Rút gọn các biểu thức :
a) A =
b) B = với
Câu 2 (2,0 điểm) Cho phương trình x
2
- (m + 5)x - m + 6 = 0 (1)
a) Giải phương trình với m = 1
b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm x = - 2
c) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn
Câu 3 (2,0 điểm)
Một phòng họp có 360 chỗ ngồi và được chia thành các dãy có số chỗ
ngồi bằng nhau. nếu thêm cho mỗi dãy 4 chỗ ngồi và bớt đi 3 dãy thì số chỗ
ngồi trong phòng không thay đổi. Hỏi ban đầu số chỗ ngồi trong phòng họp
được chia thành bao nhiêu dãy.
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O,R) và một điểm S ở ngoài đường tròn. Vẽ hai tiếp
tuyến SA, SB ( A, B là các tiếp điểm). Vẽ đường thẳng a đi qua S và cắt
đường tròn (O) tại M và N, với M nằm giữa S và N (đường thẳng a không đi
qua tâm O).
a) Chứng minh: SO AB
b) Gọi H là giao điểm của SO và AB; gọi I là trung điểm của MN. Hai
đường thẳng OI và AB cắt nhau tại E. Chứng minh rằng IHSE là tứ giác
nội tiếp đường tròn.
c) Chứng minh OI.OE = R
2
.
Câu 5 (1,0 điểm) Tìm m để phương trình ẩn x sau đây có ba nghiệm phân
biệt:
x
3
- 2mx
2
+ (m
2
+ 1) x - m = 0 (1).
----------HẾT----------
22
-
5 - 2 5 + 2
1 x - 1 1 - x
x - : +
x x x + x







x 0, x 1.
22
1 2 1 2
x x + x x = 24
⊥
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 85
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì
thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 -
2017
Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Trục căn thức ở mẫu số .
b) Giải hệ phương trình : .
Câu 2 (2,0 điểm)
Cho hai hàm số: và
a) Vẽ đồ thị của hai hàm số này trên cùng một hệ trục Oxy.
b) Tìm toạ độ các giao điểm M, N của hai đồ thị trên bằng phép tính.
Câu 3 (2,0 điểm)
Cho phương trình với là tham số.
a) Giải phương trình khi .
b) Tìm để phương trình có hai nghiệm thoả mãn
.
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O) có đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn
đó (C khác A , B ). Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B, C). Tia AD cắt
cung nhỏ BC tại điểm E, tia AC cắt tia BE tại điểm F.
a) Chứng minh rằng FCDE là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh rằng DA.DE = DB.DC.
2
51−
4
2 3 0
xy
x
−=
+=
2
xy =
2+= xy
( )
01122
2
=−+−+ mxmx
m
2=m
m
21
,xx
22
1 1 2 2
4 2 4 1x x x x+ + =
ĐỀ SỐ 21
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 86
c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE, chứng minh rằng
IC là tiếp tuyến của đường tròn (O) .
Câu 5 (1,0 điểm) Tìm nghiệm dương của phương trình: .
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì
thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 -
2017
Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình: x
2
- 2x - 15 = 0
b) Trong hệ trục toạ độ Oxy, biết đường thẳng y = ax - 1 đi qua điểm
M (- 1; 1). Tìm hệ số a.
Câu 2 (2,0 điểm)
Cho biểu thức: P = với a > 0, a 1
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm a để P > - 2
Câu 3 (2,0 điểm)
Tháng giêng hai tổ sản xuất được 900 chi tiết máy; tháng hai do cải
tiến kỹ thuật tổ I vượt mức 15% và tổ II vượt mức 10% so với tháng giêng,
vì vậy hai tổ đã sản xuất được 1010 chi tiết máy. Hỏi tháng giêng mỗi tổ sản
xuất được bao nhiêu chi tiết máy?
Câu 4 (3,0 điểm)
28
94
77
2
+
=+
x
xx
−
+
−
+
−
−
112
1
2
a
aa
a
aa
a
a
ĐỀ SỐ 22
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 87
Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mp bờ AB vẽ
hai tia Ax, By vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy một điểm I, tia vuông góc
với CI tại C cắt tia By tại K . Đường tròn đường kính IC cắt IK tại P.
a) Chứng minh tứ giác CPKB nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh rằng AI.BK = AC.BC.
c) Tính .
Câu 5 (1,0 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x
2
+ px + q = 0 biết p
+ q = 198.
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì
thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 -
2017
Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Tính giá trị của A = .
b) Giải phương trình .
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Tìm m để đường thẳng và đường thẳng
cắt nhau tại một điểm nằm trên trục hoành.
APB
0274
24
=−+ xx
63 +−= xy
12
2
5
+−= mxy
ĐỀ SỐ 23
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 88
b) Một mảnh đất hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 13m và chiều
dài lớn hơn chiều rộng 7m. Tính diện tích của hình chữ nhật đó.
Câu 3 (2,0 điểm)
Cho phương trình với là tham số.
a) Giải phương trình khi .
b) Tìm giá trị của để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt
thoả mãn điều kiện: .
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, R’) với R > R’ cắt nhau tại A và B.
Kẻ tiếp tuyến chung DE của hai đường tròn với D (O) và E (O’) sao cho
B gần tiếp tuyến đó hơn so với A.
a) Chứng minh rằng .
b) Tia AB cắt DE tại M. Chứng minh M là trung điểm của DE.
c) Đường thẳng EB cắt DA tại P, đường thẳng DB cắt AE tại Q. Chứng
minh rằng PQ song song với AB.
Câu 5 (1,0 điểm) Tìm các giá trị x để là số nguyên âm.
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì
thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 -
2017
Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức:
032
2
=−+− mxx
m
3=m
m
21
,xx
122
212
2
1
−=+− xxxx
DAB BDE=
1
34
2
+
+
x
x
ĐỀ SỐ 24
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 89
a) A =
b) B = với .
Câu 2 (2,0 điểm) Cho phương trình với là tham
số.
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của phương trình luôn có
nghiệm .
b) Tìm giá trị của để phương trình trên có nghiệm .
Câu 3 (2,0 điểm)
Một xe ô tô cần chạy quãng đường 80km trong thời gian đã dự định.
Vì trời mưa nên một phần tư quãng đường đầu xe phải chạy chậm hơn vận
tốc dự định là 15km/h nên quãng đường còn lại xe phải chạy nhanh hơn vận
tốc dự định là 10km/h. Tính thời gian dự định của xe ô tô đó.
Câu 4 (3,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm C
thuộc nửa đường tròn và điểm D nằm trên đoạn OA. Vẽ các tiếp tuyến Ax,
By của nửa đường tròn. Đường thẳng qua C, vuông góc với CD cắt cắt tiếp
tuyên Ax, By lần lượt tại M và N.
a) Chứng minh các tứ giác ADCM và BDCN nội tiếp được đường
tròn.
b) Chứng mình rằng .
c) Gọi P là giao điểm của AC và DM, Q là giao điểm của BC và DN.
Chứng minh rằng PQ song song với AB.
Câu 5 (1,0 điểm) Cho các số dương a, b, c.
Chứng minh bất đẳng thức: .
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
55
(1 5) .
25
+
−
11
11
x x x x
xx
+−
++
+−
01x
( ) ( )
0523
2
=−+−+ mxmx
m
m
2=x
m
225−=x
0
90MDN =
4
a b b c c a a b c
c a b b c c a a b
+ + +

+ + + +

+ + +

Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 90
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì
thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 -
2017
Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm) Cho biểu thức A = với a > 0,
a 1
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của A khi .
Câu 2 (2,0 điểm) Cho phương trình với là tham số.
a) Giải phương trình khi và .
b) Tìm giá trị của để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt
thoả mãn điều kiện: .
Câu 3 (2,0 điểm)
Một chiếc thuyền chạy xuôi dòng từ bến sông A đến bên sông B cách
nhau 24km. Cùng lúc đó, từ A một chiếc bè trôi về B với vận tốc dòng nước
là 4 km/h. Khi về đến B thì chiếc thuyền quay lại ngay và gặp chiếc bè tại
địa điểm C cách A là 8km. Tính vận tốc thực của chiếc thuyền.
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho đường trong (O, R) và đường thẳng d không qua O cắt đường tròn tại
hai điểm A, B. Lấy một điểm M trên tia đối của tia BA kẻ hai tiếp tuyến MC,
MD với đường tròn (C, D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của AB.
a) Chứng minh rằng các điểm M, D, O, H cùng nằm trên một đường
tròn.
1 1 2
:
1
11
x
x
x x x x


−+



−
− − +


2 2 3x =+
2
10x ax b+ + + =
ba,
3=a
5b =−
ba,
21
,xx
=−
=−
9
3
3
2
3
1
21
xx
xx
ĐỀ SỐ 25
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 91
b) Đoạn OM cắt đường tròn tại I. Chứng minh rằng I là tâm đường
tròn nội tiếp tam giác MCD.
c) Đường thẳng qua O, vuông góc với OM cắt các tia MC, MD thứ tự tại
P và Q. Tìm vị trí của điểm M trên d sao cho diện tích tam giác MPQ bé nhất.
Câu 5 (1,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = .
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì
thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 -
2017
Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức: .
b) Giải hệ phương trình: .
Câu 2 (2,0 điểm)
Cho biểu thức P = với x > 0.
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm các giá trị của x để P > .
Câu 3 (2,0 điểm)
Cho phương trình ẩn x: x
2
– x + m = 0 (1)
1
abc
abc
+ + =
( )( )
a b a c++
11
2 5 2 5
−
−+
3x + y = 9
x - 2y = - 4
1 1 x
:
x + x x 1 x + 2 x 1

−

++

1
2
ĐỀ SỐ 26
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 92
a) Giải phương trình đã cho với m = 1.
b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa
mãn: (x
1
x
2
- 1)
2
= 9( x
1
+ x
2
).
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho tứ giác ABCD có hai đỉnh B và C ở trên nửa đường tròn đường kính
AD, tâm O. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Gọi H là hình chiếu vuông
góc của E xuống AD và I là trung điểm của DE. Chứng minh rằng:
a) Các tứ giác ABEH, DCEH nội tiếp được đường tròn.
b) E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCH.
c) Năm điểm B, C, I, O, H cùng thuộc một đường tròn.
Câu 5 (1,0 điểm) Giải phương trình: .
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì
thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 -
2017
Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm) Rút gọn các biểu thức sau:
a) A =
b) B =
Câu 2 (2,0 điểm)
( )
(
)
2
x + 8 x + 3 x 11x + 24 1 5− + + =
12
20 80 45
23
−+
5 5 5 5
2 . 2
5 1 5 1
−+
+−
−+
ĐỀ SỐ 27
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 93
a) Giải hệ phương trình:
b) Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình: x
2
- x - 3 = 0.
Tính giá trị biểu thức P = .
Câu 3 (2,0 điểm) Một xe lửa đi từ Huế ra Hà Nội. Sau đó 1 giờ 40 phút, một
xe lửa khác đi từ Hà Nội vào Huế với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe lửa thứ
nhất là 5 km/h. Hai xe gặp nhau tại một ga cách Hà Nội 300 km. Tìm vận tốc
của mỗi xe, giả thiết rằng quãng đường sắt Huế-Hà Nội dài 645km.
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. C là một điểm nằm giữa
O và A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn trên tại I.
K là một điểm bất kỳ nằm trên đoạn thẳng CI (K khác C và I), tia AK cắt
nửa đường tròn (O) tại M, tia BM cắt tia CI tại D. Chứng minh:
a) ACMD là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) ∆ABD ~ ∆MBC
c) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD nằm trên một đường
thẳng cố định khi K di động trên đoạn thẳng CI.
Câu 5 (1,0 điểm) Cho hai số dương x, y thỏa mãn điều kiện x + y = 1.
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì
thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 -
2017
Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề thi có 01 trang
-------------------------
2x - y = 1 - 2y
3x + y = 3 - x
12
11
xx
+
22
11
x y xy
+
+
ĐỀ SỐ 28
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 94
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình:
b) Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình: 3x
2
– x – 2 = 0.
Tính giá trị biểu thức P = x
1
2
+ x
2
2
.
Câu 2 (2,0 điểm) Cho biểu thức A = với a > 0, a
1.
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm các giá trị của a để A < 0.
Câu 3 (2,0 điểm) Cho phương trình ẩn x: x
2
- 2mx - 1 = 0 (1)
a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt
x
1
và x
2
.
b) Tìm các giá trị của m để: x
1
2
+ x
2
2
- x
1
x
2
= 7.
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và tia tiếp tuyến Ax
cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến
thứ hai MC với nửa đường tròn (C là tiếp điểm). AC cắt OM tại E; MB cắt
nửa đường tròn (O) tại D (D khác B).
a) Chứng minh: AMDE là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) MA
2
= MD.MB
c) Vẽ CH vuông góc với AB (H AB). Chứng minh rằng MB đi qua
trung điểm của CH.
Câu 5 (1,0 điểm) Giải phương trình:
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì
thêm.
2x + y = 7
x - 3y = - 7
a a a 1
:
a - 1
a 1 a + a

−
−


+

4 1 5
x - x + 2x -
x x x
+=
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 95
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 -
2017
Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Cho đường thẳng d có phương trình: . Tìm m để đồ
thị hàm số đi qua gốc tọa độ.
b) Với những giá trị nào của m thì đồ thị hàm số đi qua
điểm A(-1; 2).
Câu 2 (2,0 điểm)
Cho biểu thức P = với a > 0 và a 9.
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm các giá trị của a để P > .
Câu 3 (2,0 điểm)
Hai người cùng làm chung một công việc thì hoàn thành trong 4 giờ.
Nếu mỗi người làm riêng, để hoàn thành công việc thì thời gian người thứ
nhất ít hơn thời gian người thứ hai là 6 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người
phải làm trong bao lâu để hoàn thành công việc.
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho nửa đường tròn đường kính BC = 2R. Từ điểm A trên nửa đường
tròn vẽ AH BC. Nửa đường tròn đường kính BH, CH lần lượt có tâm O
1
;
O
2
cắt AB, AC thứ tự tại D và E.
a) Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật, từ đó tính DE biết R = 25
và BH = 10
b) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn.
y mx 2m 4= + −
22
y m m x()=−
−
+
+
− aaa
3
1
3
1
3
1
2
1
⊥
ĐỀ SỐ 29
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 96
c) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác DEO
1
O
2
đạt giá trị lớn
nhất. Tính giá trị đó.
Câu 5 (1,0 điểm) Giải phương trình: x
3
+ x
2
- x = - .
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì
thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 -
2017
Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình: .
b) Giải hệ phương trình .
Câu 2 (2,0 điểm)
Cho phương trình (1) với là tham số.
a) Giải phương trình khi .
b) Chứng tỏ phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m. Gọi
là các nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
sau: A = .
Câu 3 (2,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức P = với .
b) Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 48 km. Một canô xuôi
dòng từ bến A đến bến B, rồi quay lại bến A. Thời gian cả đi và về là 5 giờ
1
3
0753 =+x
−=+
=−
42
123
yx
yx
( )
032
2
=++− mxmx
m
2=m
21
,xx
21
xx −
3
2
9 25 4
2
a a a
aa
−+
+
0a
ĐỀ SỐ 30
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 97
(không tính thời gian nghỉ). Tính vận tốc của canô trong nước yên lặng, biết
rằng vận tốc của dòng nước là 4 km/h.
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho tam giác vuông ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O đường kính
AB. Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho CD = AC.
a) Chứng minh tam giác ABD cân.
b) Đường thẳng vuông góc với AC tại A cắt đường tròn (O) tại E (E
A). Tên tia đối của tia EA lấy điểm F sao cho EF = AE. Chứng minh rằng
ba điểm D, B, F cùng nằm trên một đường thẳng.
c) Chứng minh rằng đường tròn đi qua ba điểm A, D, F tiếp xúc với
đường tròn (O).
Câu 5 (1,0 điểm) Cho các số dương .
Chứng minh bất đẳng thức: .
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì
thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 -
2017
Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm) Tính:
a) .
b) .
c) với x > 1
Câu 2 (2,0 điểm) Cho hàm số y = (2m - 1)x - m + 2
a) Tìm m để hàm số nghịch biến trên R.
cba ,,
2
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
A 20 3 18 45 72= − − +
B 4 7 4 7= + + −
C x 2 x 1 x 2 x 1= + − + − −
ĐỀ SỐ 31
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 98
b) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua A (1; 2)
Câu 3 (2,0 điểm)
Hai người thợ cùng làm công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người
thứ nhất làm 3 giờ, người thứ hai làm 6 giờ thì họ làm được công việc.
Hỏi mỗi người làm một mình thì trong bao lâu làm xong công việc?
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho ba điểm A, B, C cố định thẳng hàng theo thứ tự đó. Vẽ đường
tròn (O; R) bất kỳ đi qua B và C (BC 2R). Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN
đến (O) (M, N là tiếp điểm). Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BC và MN;
MN cắt BC tại D. Chứng minh:
a) AM
2
= AB.AC
b) AMON; AMOI là các tứ giác nội tiếp đường tròn.
c) Khi đường tròn (O) thay đổi, tâm đường tròn ngoại tiếp OID luôn
thuộc một đường thẳng cố định.
Câu 5 (1,0 điểm) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: (2x +1).y
= x +1.
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì
thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 -
2017
Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề thi có 01 trang
4
1
ĐỀ SỐ 32
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 99
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức: P = .
b) Trong mp toạ độ Oxy, tìm m để đường thẳng (d):
song song với đường thẳng .
Câu 2 (2,0 điểm) Cho phương trình x
2
+ (2m + 1) x + m
2
+ 1 = 0 (1)
a) Giải phương trình (1) khi m = 1
b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm âm.
Câu 3 (2,0 điểm)
Cho a, b là các số dương thoả mãn ab = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (a + b + 1)(a
2
+ b
2
) + .
Câu 4 (3,0 điểm)
Qua điểm A cho trước nằm ngoài đường tròn (O) vẽ 2 tiếp tuyến AB,
AC (B, C là các tiếp điểm), lấy điểm M trên cung nhỏ BC, vẽ MH BC;
MI AC; MK AB.
a) Chứng minh các tứ giác: BHMK, CHMI nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh MH
2
= MI.MK
c) Qua M vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt AB, AC tại P, Q. Chứng
minh chu vi APQ không phụ thuộc vào vị trí điểm M.
Câu 5 (1,0 điểm)
Chứng minh nếu thì hệ phương trình: vô
nghiệm.
----------HẾT----------
( 7 3 2)( 7 3 2)+ − − +
2
y m 1 x 1()= − +
d y 3x m 1( ) :
= + −
ba +
4
⊥
⊥
⊥
a2
5
22
x 2y a (1)
x y 1 (2)
−=
+=
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 100
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì
thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 -
2017
Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình: .
b) Với giá trị nào của m thì hàm số y = (m + 2) x - 3 đồng biến trên tập
xác định.
Câu 2 (2,0 điểm)
Cho biểu thức A = với a > 0, a
1
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của A khi a = 2011 - 2 .
Câu 3 (2,0 điểm) Cho phương trình: k (x
2
- 4x + 3) + 2(x - 1) = 0.
a) Giải phương trình với k = - .
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của k.
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ tiếp tuyến
chung ngoài BC (B, C thứ tự là các tiếp điểm thuộc (O; R) và (O’; R’)).
a) Chứng minh = 90
0
.
b) Tính BC theo R, R’.
c) Gọi D là giao điểm của đường thẳng AC và đường tròn (O) (D A),
vẽ tiếp tuyến DE với đường tròn (O’) (E (O’)). Chứng minh BD = DE.
x 3y 10
2x y 1
− + = −
+ = −
+++
−
+
+
−
1
2
1
1
:
1
2
1
aaaa
a
a
a
a
2010
2
1
BAC
ĐỀ SỐ 33
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 101
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho hai phương trình: x
2
+ a
1
x + b
1
= 0 (1) , x
2
+ a
2
x + b
2
= 0 (2)
Cho biết a
1.
a
2
> 2 (b
1
+ b
2
) . Chứng minh ít nhất một trong hai phương trình
đã cho có nghiệm.
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì
thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 -
2017
Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm)
Rút gọn biểu thức: P = với a > 1
Câu 2 (2,0 điểm) Cho biểu thức: Q = .
a) Tìm tất cả các giá trị của x để Q có nghĩa. Rút gọn Q.
b) Tìm tất cả các giá trị của x để Q = - 3 - 3.
Câu 3 (2,0 điểm) Cho phương trình x
2
+ 2 (m - 1) + m + 1 = 0 với m là
tham số.
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có đúng 2 nghiệm phân
biệt.
Câu 5 (2,0 điểm)
22
)11()11( −−++− aa
+
−
−
−
+
−
1
1
1
1
2
1
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
ĐỀ SỐ 34
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 102
Cho đường tròn (O), đường kính AB, d
1
, d
2
là các các đường thẳng lần
lượt qua A, B và cùng vuông góc với đường thẳng AB. M, N là các điểm lần
lượt thuộc d
1
, d
2
sao cho = 90
0
.
a) Chứng minh đường thẳng MN là tiếp tuyến của đường tròn (O).
b) Chứng minh AM . AN = .
c) Xác định vị trí của M, N để diện tích tam giác MON đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 5 (1,0 điểm) Giải phương trình: = 8 - x
2
+
2x .
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì
thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 -
2017
Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm) Rút gọn A = với .
Câu 2 (2,0 điểm)
MON
4
2
AB
2621963
22
+−++− xxxx
3
96
2
+
++
x
xx
x3−
ĐỀ SỐ 35
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 103
a) Giải phương trình .
b) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua 2 điểm A(1; 2) và B(2; 0).
Câu 3 (2,0 điểm)
Cho phương trình: (x
2
- x - m)(x - 1) = 0 (1)
a) Giải phương trình khi m = 2.
b) Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt.
Câu 4 (3,0 điểm)
Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB (tiếp
điểm A; B) và cát tuyến cắt đường tròn tại 2 điểm C và D không đi qua O.
Gọi I là trung điểm của CD.
a) Chừng minh 5 điểm M, A, I, O, B cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh IM là phân giác của .
Câu 5 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: .
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì
thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 -
2017
Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
2
x 2x 4 2− + =
AIB
44
3 3 2 2
x y 1
x y x y
+=
+ = +
ĐỀ SỐ 36
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 104
Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Tính .
b) Giải phương trình: x
2
+ 2x - 24 = 0.
Câu 2 (2,0 điểm)
Cho biểu thức: P = với a > 0, a 9.
a) Rút gọn.
b) Tìm a để P < 1.
Câu 3 (2,0 điểm)
Cho phương trình: x
4
- 5x
2
+ m = 0 (1)
a) Giải phương trình khi m = 4.
b) Tìm m để phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt.
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O), từ điểm A ngoài đường tròn vẽ đường thẳng AO
cắt đường tròn (O) tại B, C (AB < AC). Qua A vẽ đường thẳng không đi qua
(O) cắt đường tròn (O) tại D; E (AD < AE). Đường thẳng vuông góc với AB
tại A cắt đường thẳng CE tại F.
a) Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp đường tròn.
b) Gọi M là giao điểm thứ hai của FB với đường tròn (O), chứng minh
DM AC.
c) Chứng minh: CE . CF + AD . AE = AC
2
.
Câu 5 (1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = , với 0 < x <
1
22
(1 5) (1 5)+ + −
a
a
a
a
a
a
−
+
+
−
+
+
+
9
73
3
1
3
2
⊥
xx
1
1
2
+
−
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 105
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì
thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 -
2017
Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm) Cho biểu thức: M =
Rút gọn biểu thức M với
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình:
b) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, với giá trị nào của a, b thì đường thẳng (d):
y = ax + 2 - b và đường thẳng (d’): y = (3 - a)x + b song song với nhau.
Câu 3 (2,0 điểm)
Cho phương trình: x
2
- 2x + m = 0 (1)
a) Giải phương trình khi m = - 3.
b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn: = 1.
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho ABC có 3 góc nhọn, trực tâm là H và nội tiếp đường tròn (O). Vẽ
đường kính AK.
a) Chứng minh tứ giác BHCK là hình hình hành.
b) Vẽ OM BC (M BC). Chứng minh H, M, K thẳng hàng và AH
= 2.OM.
1
11
22
++
+−
+
−
++
−
x
xx
xx
xx
xx
x 0.
3x 5y 18
x 2y 5
− = −
+=
2
2
2
1
11
xx
+
⊥
ĐỀ SỐ 37
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 106
c) Gọi A’, B’, C’ là chân các đường cao thuộc các cạnh BC, CA, AB của
ABC. Khi BC cố định hãy xác định vị trí điểm A để tổng S = A’B’ + B’C’
+ C’A’ đạt giá trị lớn nhất.
Câu 5 (1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y = .
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì
thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 -
2017
Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm)
Cho biểu thức: P = với x > 0.
a) Rút gọi biểu thức P.
b) Tìm x để P = 0.
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình: x +
b) Giải hệ phương trình:
Câu 3 (2,0 điểm)
2
2
x x 1
x 2x 2
++
++
x
xx
xx
xx +
−+
+−
+ 2
1
1
2
11
2
=− x
6x 6y 5xy
.
43
1
xy
+=
−=
ĐỀ SỐ 38
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 107
Cho phương trình: x
2
- 2(m - 1)x + m + 1= 0. (1)
a) Giải phương trình khi m = - 1.
b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn .
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho ABC cân tại A. Vẽ đường tròn (O; R) tiếp xúc với AB, AC tại B, C.
Đường thẳng qua điểm M trên BC vuông góc với OM cắt tia AB, AC tại D, E.
a) Chứng minh 4 điểm O, B, D, M cùng thuộc một đường tròn.
b) MD = ME.
Câu 5 (1,0 điểm) Giải phương trình: x
2
+ 3x + 1 = (x + 3)
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì
thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 -
2017
Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Tính:
b) Rút gọn biểu thức: P= với x 1 và x >0
Câu 2 (2,0 điểm)
4
1
2
2
1
=+
x
x
x
x
1
2
+x
48 - 2 75 + 108
1 1 1
- . 1 -
1 - x 1 + x x
ĐỀ SỐ 39
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 108
a) Trên hệ trục tọa độ Oxy, đường thẳng y = ax + b đi qua 2 điểm M
(3; 2) và N (4; -1). Tìm hệ số a và b.
b) Giải hệ phương trình:
Câu 3 (2,0 điểm) Cho phương trình: x
2
- 2mx - 6m = 0 (1)
a) Giải phương trình (1) khi m = 2
b) Tìm m để phương trình (1) có 1 nghiệm gấp 2 lần nghiệm kia.
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O
sao cho AI = AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I, gọi C là điểm tùy ý
thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại
E.
a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp .
b) Chứng minh hệ thức: AM
2
= AE.AC.
c) Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất.
Câu 5 (3,0 điểm)
Cho x và y là hai số thỏa mãn đồng thời : x , y 0, 2x + 3y 6 và 2x +
y 4.
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức K = x - 2x – y.
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì
thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 -
2017
Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
2x + 5y = 7
3x - y = 2
2
3
0
2
ĐỀ SỐ 40
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 109
Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm) Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình:
3x + 4y = 2.
a) Tìm hệ số góc của đường thẳng d.
b) Với giá trị nào của tham số m thì đường thẳng d
1
: y = (m
2
-1)x + m
song song với đường thẳng d.
Câu 2 (2,0 điểm)
Tìm a, b biết hệ phương trình có nghiệm .
Câu 3 (2,0 điểm)
Cho phương trình: (1)
a) Chứng tỏ phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt.
b) Gọi 2 nghiệm của phương trình (1) là . Lập một phương trình
bậc 2 có 2 nghiệm là và .
Câu 4 (3,0 điểm)
Bên trong hình vuông ABCD vẽ tam giác đều ABE . Vẽ tia Bx thuộc
nửa mặt phẳng chứa điểm E, có bờ là đường thẳng AB sao cho Bx vuông
góc với BE. Trên tia Bx lấy điểm F sao cho BF = BE.
a) Tính số đo các góc của tam giác ADE.
b) Chứng minh 3 điểm: D, E, F thẳng hàng.
c) Đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác AEB cắt AD tại M. Chứng minh
ME // BF.
Câu 5 (1,0 điểm)
Hai số thực x, y thoả mãn hệ điều kiện : .
Tính giá trị biểu thức P = .
ax by 3
bx ay 11
+=
−=
x3
y1
=
=−
2
(1 3)x 2x 1 3 0+ − + − =
12
x , x
1
1
x
2
1
x
32
2 2 2
x 2y 4y 3 0 (1)
x x y 2y 0 (2)
+ − + =
+ − =
22
xy+
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 110
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì
thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 -
2017
Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm) Cho biểu thức : P=
a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức P.
b) Rút gọn P
Câu 2 (2,0 điểm) Cho hệ phương trình :
a) Giải hệ phương trình với a =1
b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Câu 3 (2,0 điểm) Một hình chữ nhật có chiều rộng bằng một nửa chiều dài.
Biết rằng nếu giảm mỗi chiều đi 2m thì diện tích hình chữ nhật đã cho giảm
đi một nửa. Tính chiều dài hình chữ nhật đã cho.
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O;R) (điểm O cố định, giá trị R không đổi) và điểm
M nằm bên ngoài (O). Kẻ hai tiếp tuyến MB, MC (B,C là các tiếp điểm ) của
(O) và tia Mx nằm giữa hai tia MO và MC. Qua B kẻ đường thẳng song
song với Mx, đường thẳng này cắt (O) tại điểm thứ hai là A. Vẽ đường kính
BB’ của (O). Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với BB’,đường thẳng này
cắt MC và B’C lần lượt tại K và E. Chứng minh rằng:
a) 4 điểm M,B,O,C cùng nằm trên một đường tròn.
b) Đoạn thẳng ME = R.
c) Khi điểm M di động mà OM = 2R thì điểm K di động trên một
đường tròn cố định, chỉ rõ tâm và bán kính của đường tròn đó.
Câu 5 (1,0 điểm) Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+ b + c =4.
Chứng minh rằng:
2
3 6 4
1 1 1
xx
x x x
−
+−
− + −
24
ax 3 5
x ay
y
+ = −
−=
3 3 3
4 4 4
22abc+ +
ĐỀ SỐ 41
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 111
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì
thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 -
2017
Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình .
b) Giải hệ phương trình .
Câu 2 (1,0 điểm)
Rút gọn biểu thức với .
Câu 3 (1,0 điểm) Một tam giác vuông có chu vi là 30 cm, độ dài hai cạnh
góc vuông hơn kém nhau 7cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác vuông đó.
Câu 4 (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d): và parabol
(P): .
a) Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 3).
b) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ (x
1
; y
1
) và (x
2
;
y
2
) sao cho .
Câu 5 (3,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên đường tròn lấy điểm C sao
cho AC < BC (C A). Các tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau ở điểm D,
AD cắt (O) tại E (E A).
a) Chứng minh BE
2
= AE.DE.
b) Qua C kẻ đường thẳng song song với BD cắt AB tại H, DO cắt BC
tại F. Chứng minh tứ giác CHOF nội tiếp .
1
1
3
x
x
−
=+
3 3 3 0
3 2 11
x
xy
−=
+=
1 1 a + 1
P = + :
2 a - a 2 - a a - 2 a



a > 0và a 4
y = 2x-m+1
2
1
y= x
2
( )
1 2 1 2
x x y + y 48 0+=
ĐỀ SỐ 42
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 112
c) Gọi I là giao điểm của AD và CH. Chứng minh I là trung điểm của
CH.
Câu 6 (1,0 điểm)
Cho 2 số dương a, b thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức
.
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì
thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 -
2017
Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề thi có 01 trang
-------------------------
Bài 1 (2,5 điểm)
a) Cho biểu thức . Tính giá trị của A khi x = 36
b) Rút gọn biểu thức (với )
c) Với các của biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị của x
nguyên để giá trị của biểu thức B(A – 1) là số nguyên
Bài 2 (2,0 điểm) Hai người cùng làm chung một công việc trong giờ thì
xong. Nếu mỗi người làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc
trong ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải
làm trong bao nhiêu thời gian để xong công việc?
Bài 3 (1,5 điểm)
11
2
ab
+=
4 2 2 4 2 2
11
22
Q
a b ab b a ba
=+
+ + + +
x4
A
x2
+
=
+
x 4 x 16
B:
x 4 x 4 x 2

+
=+


+ − +

x 0;x 16
12
5
ĐỀ SỐ 43
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 113
a) Giải hệ phương trình:
b) Cho phương trình: x
2
– (4m – 1)x + 3m
2
– 2m = 0 (ẩn x). Tìm m để
phương trình có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thỏa mãn điều kiện :
Bài 4 (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Bán kính CO
vuông góc với AB, M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC (M khác A, C);
BM cắt AC tại H. Gọi K là hình chiếu của H trên AB.
a) Chứng minh CBKH là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh
c) Trên đọan thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM. Chứng minh
tam giác ECM là tam giác vuông cân tại C
d) Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại điểm A; cho P là điểm nằm trên d
sao cho hai điểm P, C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và
.
Chứng minh đường thẳng PB đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK
Bài 5 (0,5 điểm). Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì
thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 -
2017
Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm) Cho biểu thức : , (Với a >
0 , a 1)
21
2
xy
62
1
xy
+=
−=
22
12
x x 7+=
ACM ACK=
AP.MB
R
MA
=
x 2y
22
xy
M
xy
+
=
1 1 1
4
1 1 2
aa
Pa
a a a a

+−
= − +


−+

ĐỀ SỐ 44
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 114
a) Chứng minh rằng :
b) Tìm giá trị của a để P = a
Câu 2 (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = x
2
và đường thẳng (d) :
y = 2x + 3
a) Chứng minh rằng (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt
b) Gọi A và B là các điểm chung của (d) và (P) . Tính diện tích tam
giác OAB
( O là gốc toạ độ)
Câu 3 (2,0 điểm) Cho phương trình : x
2
+ 2mx + m
2
- 2m + 4 = 0
a) Giải phương trình khi m = 4
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O) có đờng kính AB cố định, M là một điểm thuộc
(O) ( M khác A và B ) . Các tiếp tuyến của (O) tại A và M cắt nhau ở C.
Đường tròn (I) đi qua M và tiếp xúc với đường thẳng AC tại C. CD là đờng
kính của (I). Chứng minh rằng: 1. Ba điểm O, M, D thẳng hàng
a) Tam giác COD là tam giác cân
b) Đường thẳng đi qua D và vuông góc với BC luôn đi qua một điểm
cố định khi M di động trên đường tròn (O)
Câu 5 (1,0 điểm) Cho a,b,c là các số dương không âm thoả mãn :
Chứng minh rằng :
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì
thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 -
2017
Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề thi có 01 trang
-------------------------
2
1
P
a
=
−
2 2 2
3abc+ + =
2 2 2
1
2 3 2 3 2 3 2
a b c
a b b c c a
+ +
+ + + + + +
ĐỀ SỐ 45
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 115
Câu 1 (2,0 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a)
b)
c)
d)
Câu 2 (1,5 điểm)
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số và đường thẳng (D):
trên cùng một hệ trục toạ độ.
b) Tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (D) ở câu trên bằng phép tính.
Câu 3 (1,5 điểm) Thu gọn các biểu thức sau:
với x > 0;
Câu 4 (1,5 điểm) Cho phương trình (x là ẩn số)
a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt
với mọi m.
b) Gọi x
1
, x
2
là các nghiệm của phương trình.
Tìm m để biểu thức M = đạt giá trị nhỏ nhất
Câu 5 (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) có tâm O và điểm M nằm ngoài đường
tròn (O). Đường thẳng MO cắt (O) tại E và F (ME<MF). Vẽ cát tuyến MAB
và tiếp tuyến MC của (O) (C là tiếp điểm, A nằm giữa hai điểm M và B, A
và C nằm khác phía đối với đường thẳng MO).
a) Chứng minh rằng MA.MB = ME.MF
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm C lên đường thẳng MO.
Chứng minh tứ giác AHOB nội tiếp.
c) Trên nửa mặt phẳng bờ OM có chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn
đường kính MF; nửa đường tròn này cắt tiếp tuyến tại E của (O) ở K. Gọi S
là giao điểm của hai đường thẳng CO và KF. Chứng minh rằng đường thẳng
MS vuông góc với đường thẳng KC.
d) Gọi P và Q lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác EFS
và ABS và T là trung điểm của KS. Chứng minh ba điểm P, Q, T thẳng hàng.
----------HẾT----------
2
2 3 0− − =xx
2 3 7
3 2 4
−=
+=
xy
xy
42
12 0+ − =xx
2
2 2 7 0− − =xx
2
1
4
=yx
1
2
2
= − +yx
1 2 1
1
= + −
−
+−
x
A
x
x x x x
1x
(2 3) 26 15 3 (2 3) 26 15 3= − + − + −B
2
2 2 0− + − =x mx m
22
1 2 1 2
24
6
−
+−x x x x
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 116
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì
thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 -
2017
Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,5 điểm)
1. Thực hiện phép tính:
2. Cho biểu thức: P =
a) Tìm điều kiện của a để P xác định b) Rút gọn biểu thức P.
Câu 2 (1,5 điểm)
1. Cho hai hàm số bậc nhất y = -x + 2 và y = (m+3)x + 4. Tìm các giá
trị của m để đồ thị của hàm số đã cho là:
a) Hai đường thẳng cắt nhau
b) Hai đường thẳng song song.
2. Tìm các giá trị của a để đồ thị hàm số y = ax
2
(a 0) đi qua điểm
M(-1; 2).
Câu 3 (1,5 điểm)
a) Giải phương trình x
2
- 7x - 8 = 0
b) Cho phương trình x
2
- 2x + m – 3 = 0 với m là tham số. Tìm các giá
trị của m để phương trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thỏa mãn điều kiện
Câu 4 (1,5 điểm)
a) Giải hệ phương trình
( ) ( )
23
3
3
a) 2 10 36 64 b) 2 3 2 5 .− − + − + −
2
3
2a 4 1 1
1a
1 a 1 a
+
−−
−
+−
33
1 2 1 2
x x x x 6+ = −
3x 2y 1
.
x 3y 2
−=
− + =
ĐỀ SỐ 46
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 117
b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa
mãn điều kiện x + y > 1.
Câu 5 (3,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và tiếp
tuyến Ax cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên Ax kẻ
tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C là tiếp điểm). AC cắt OM tại
E; MB cắt nửa đường tròn (O) tại D (D khác B).
a) Chứng minh AMOC là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh AMDE là tứ giác nội tiếp đường tròn.
c) Chứng mình
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì
thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 -
2017
Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm) Cho biểu thức , với
a) Rút gọn biểu thức Q
b) Tìm các giá trị nguyên của x để Q nhận giá trị nguyên.
Câu 2 (1,5 điểm) Cho phương trình , với x là ẩn
số,
a) Giải phương trình đã cho khi m = - 2
b) Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt và . Tìm
hệ thức liên hệ giữa và mà không phụ thuộc vào m.
2x y m 1
3x y 4m 1
− = −
+ = +
ADE ACO=
( )
x 2 x 2
Q x x
x1
x 2 x 1

+−
= − +


−
++

x 0, x 1
2
x 2(m 1)x m 2 0− + + − =
mR
1
x
2
x
1
x
2
x
ĐỀ SỐ 47
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 118
Câu 3 (2,0 điểm) Cho hệ phương trình , với
a) Giải hệ đã cho khi m = –3
b) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm duy nhất.
Tìm nghiệm duy nhất đó.
Câu 4 (2,0 điểm) Cho hàm số có đồ thị (P). Gọi d là đường thẳng đi
qua điểm M(0;1) và có hệ số góc k.
a) Viết phương trình của đường thẳng d
b) Tìm điều kiện của k để đt d cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt.
Câu 5 (2,5 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC < BC) nội tiếp trong đường tròn
(O). Gọi H là giao điểm của hai đường cao BD và CE của tam giác ABC
a) Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp trong một đường tròn
b) Gọi I là điểm đối xứng với A qua O và J là trung điểm của BC.
Chứng minh rằng ba điểm H, J, I thẳng hàng
c) Gọi K, M lần lượt là giao điểm của AI với ED và BD. Chứng minh
rằng
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì
thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 -
2017
Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (3,0 điểm) Học sinh không sử dụng máy tính bỏ túi
a) Giải phương trình: 2x – 5 = 0
(m 1)x ( m 1)y 4m
x (m 2)y 2
+ − + =
+ − =
mR
2
yx=−
(D AC, E AB)
2 2 2
1 1 1
DK DA DM
=+
ĐỀ SỐ 48
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 119
b) Giải hệ phương trình:
c) Rút gọn biểu thức với
d) Tính giá trị của biểu thức
Câu 2 (2,0 điểm)
Cho parabol (P) và đường thẳng (d) có phương trình lần lượt là
và (m là tham số, m 0).
a) Với m = –1 , tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P).
b) Chứng minh rằng với mọi m 0 đường thẳng (d) luôn cắt parabol
(P) tại hai điểm phân biệt.
Câu 3 (2,0 điểm)
Quãng đường từ Việt Trì đến Hà Nội dài 100 km. Cùng một lúc, một
xe máy khởi hành từ Việt Trì đi Hà Nội và một xe ô tô khởi hành từ Hà Nội
đi Việt Trì. Sau khi hai xe gặp nhau, xe máy đi 1 giờ 30 phút nữa mới đến
Hà Nội. Biết vận tốc hai xe không thay đổi trên suốt quãng đường đi và vận
tốc của xe máy kém vận tốc xe ô tô là 20 km/h. Tính vận tốc mỗi xe.
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Gọi C là trung điểm của
OA, qua C kẻ dây MN vuông góc với OA tại C. Gọi K là điểm tùy ý trên
cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK và MN.
a) Chứng minh tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh AK.AH = R
2
Trên KN lấy điểm I sao cho KI = KM, chứng minh NI = KB.
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì
thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 -
2017
Môn Toán
y x 2
5x 3y 10
−=
−=
2
5 a 3 3 a 1 a 2 a 8
A
a4
a 2 a 2
− + + +
= + −
−
−+
a 0,a 4
B 4 2 3 7 4 3= + + −
2
y mx=
( )
21y m x m= − + −
ĐỀ SỐ 49
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 120
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Tính
b) Xác định giá trị của a,biết đồ thị hàm số y = ax - 1 đi qua điểm M(1;5)
Câu 2 (3,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức: với a>0,a
b) Giải hệ phương trình:
c) Chứng minh rằng pt: luôn có nghiệm với mọi giá
trị của m.
Giả sử x
1
,x
2
là 2 nghiệm của pt đã cho,tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Câu 3 (1,5 điểm) Một ôtô tải đi từ A đến B với vận tốc 40km/h. Sau 2 giờ
30 phút thì một ôtô taxi cũng xuất phát đi từ A đến B với vận tốc 60 km/h và
đến B cùng lúc với xe ôtô tải.Tính độ dài quãng đường AB.
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O) và một điểm A sao cho OA=3R. Qua A kẻ 2 tiếp
tuyến AP và AQ của đường tròn (O),với P và Q là 2 tiếp điểm.Lấy M thuộc
đường tròn (O) sao cho PM song song với AQ.Gọi N là giao điểm thứ 2 của
đường thẳng AM và đường tròn (O).Tia PN cắt đường thẳng AQ tại K.
a) Chứng minh APOQ là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh KA
2
=KN.KP
c) Kẻ đường kính QS của đường tròn (O).Chứng minh tia NS là tia
phân giác của góc .
d) Gọi G là giao điểm của 2 đường thẳng AO và PK .Tính độ dài đoạn
thẳng AG theo bán kính R.
Câu 5 (0,5 điểm) Cho a,b,c là 3 số thực khác không và thoả mãn:
1
2
21
1 2 3 2
( ).( 1)
2 2 2
aa
A
a a a a
4
2 5 9
35
xy
xy
2
10x mx m
22
1 2 1 2
4.( )B x x x x
PNM
2 2 2
2016 2016 2016
( ) ( ) ( ) 2 0
1
a b c b c a c a b abc
abc
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 121
Hãy tính giá trị của biểu thức
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì
thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 -
2017
Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,5 điểm)
a) Cho biểu thức . Tính giá trị của A khi x = 36
b) Rút gọn biểu thức (với )
c) Với các của biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị của x
nguyên để giá trị của biểu thức B(A – 1) là số nguyên
Câu 2 (2,0 điểm) Hai người cùng làm chung một công việc trong giờ thì
xong. Nếu mỗi người làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc
trong ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải
làm trong bao nhiêu thời gian để xong công việc?
Câu 3 (1,5 điểm)
a) Giải hệ phương trình:
b) Cho phương trình: x
2
– (4m – 1)x + 3m
2
– 2m = 0 (ẩn x). Tìm m để
phương trình có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thỏa mãn điều kiện :
Câu 4 (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Bán kính CO
vuông góc với AB, M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC (M khác A, C);
BM cắt AC tại H. Gọi K là hình chiếu của H trên AB.
a) Chứng minh CBKH là tứ giác nội tiếp.
2016 2016 2016
1 1 1
Q
abc
x4
A
x2
+
=
+
x 4 x 16
B:
x 4 x 4 x 2

+
=+


+ − +

x 0;x 16
12
5
21
2
xy
62
1
xy
+=
−=
22
12
x x 7+=
ĐỀ SỐ 50
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Trang 122
b) Chứng minh
c) Trên đọan thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM. Chứng minh
tam giác ECM là tam giác vuông cân tại C
d) Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại điểm A; cho P là điểm nằm trên d
sao cho hai điểm P, C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và
. Chứng minh đường thẳng PB đi qua trung điểm của đoạn thẳng
HK
Câu 5 (0,5 điểm) Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện , tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì
thêm.
ACM ACK=
AP.MB
R
MA
=
x 2y
22
xy
M
xy
+
=
| 1/122
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
PHẦN II - HÌNH HỌC *****
CHUYÊN ĐỀ 7 - HÌNH HỌC PHẲNG
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Phần I: Lý thuyết cần nhớ:
I. Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông.
Trong một tam giác vuông: 2 .
a AH = BH.CH A
Bình phương đường cao ứng với cạnh
huyền bằng tích hai hình chiếu của 2 cạnh góc vuông trên cạnh huyền. .
b AH.BC = A . B AC
Tích hai cạnh góc vuông bằng tích cạnh
huyền với đường cao tương ứng. B 2 2 . c AB = B .
C BH , AC = B . C HC H C
Bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích
của cạnh huyền với hình chiếu tương ứng của
cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền. 1 1 1 d. = + 2 2 2 AH AB AC
Nghịch đảo bình phương đường cao bằng
tổng nghịch đảo bình phương hai cạnh góc vuông.
II. CÁC TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC
NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG.
1. Các tỉ số lượng giác. A AC AB Sin = , Cos = BC BC AC AB tg = ,Cotg = AB AC
Mẹo nhớ: “Sin Đi – Học, Cos Không – Hư, tg B
Đoàn – Kết, Cotg Kết – Đoàn”
2. Một số tính chất và đẳng thức lượng giác cần nhớ:
a. Với góc  nhọn (0    90 ) thì 0  sin, o c s  1
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 1
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 sin o c s b. tg = , cot g = o c s sin 1 1 c. tg = , cot g =
tg.cot g =1 cot gtg d. 2 2 2 2 sin  + o
c s  = 1  sin = 1− o c s  , o
c s = 1− sin  (Các bạn nhớ chỉ được
lấy giá trị dương vì tuân theo tính chất a ở mục này)
e. Với góc  nhọn và sin = sin    =  1 1 f. 2 2 1+ tg  = ,1+ cot g  =
(Công thức này thầy đã chứng minh cho 2 2 o c s  sin  các bạn)
3. Mối quan hệ lượng giác của các góc phụ nhau.
Nếu  +  = 90 thì các giá trị lượng giác của  và  chéo nhau, tức là: sin  = o c s , o
c s = sin  , tg = cot g  , cot g = tg
4. Hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông. A b = . a sin B = . a cos C c = . a sin C = . a cos B c b b = . c tgB = . c cot gC c = . b tgC = . b cot gB
Vậy trong một tam giác vuông: B a C
a. Độ dài một cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền với sin góc đối hoặc cos góc kề.
b. Độ dài một cạnh góc vuông bằng tích của cạnh góc vuông còn lại với tg
góc đối hoặc cotg góc kề.
II. GÓC VÀ ĐƯỜNG TRÒN §-êng trßn:
1,§Þnh nghÜa:
TËp hîp c¸c ®iÓm c¸ch ®iÓm 0 cho tr-íc mét kho¶ng c¸ch R > 0 kh«ng
®æi gäi lµ ®-êng trßn t©m 0 b¸n kÝnh R . KÝ hiÖu : ( 0 ; R)
2, VÞ trÝ t-¬ng ®èi:
* Cña mét ®iÓm víi mét ®-êng trßn :
xÐt (0 ; R ) vµ ®iÓm M bÊt k× VÞ trÝ t-¬ng ®èi HÖ thøc M n»m ngoµi ( O ; R ) OM > R
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 2
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
M n»m trªn( O ; R ) hay M thuéc( O ; OM = R R) M n»m trong ( O ; R ) OM < R
* Vị trí của mét ®-êng th¼ng víi mét ®-êng trßn :
xÐt ( O; R) vµ ®-êng th¼ng a bÊt k× (víi d lµ kho¶ng c¸ch tõ t©m O ®Õn ®-êng th¼ng a) vÞ trÝ t-¬ng ®èi
Sè ®iÓm chung HÖ thøc a c¾t ( O ; R ) 2 d < R a tiÕp xóc ( O ; R ) 1 d = R
a vµ ( O ; R ) kh«ng giao nhau 0 d > R
* Cña hai ®-êng trßn :
xÐt ( O;R) vµ (O’; R’) ( víi d = O O’ ) vÞ trÝ t-¬ng ®èi
Sè ®iÓm chung HÖ thøc Hai ®-êng trßn c¾t nhau 2 R - r < d < R- r
Hai ®-êng trßn tiÕp xóc nhau : 1 + tiÕp xóc ngoµi : + tiÕp xóc trong : d = R + r d = R - r
Hai®-êng trßn kh«ng giao nhau : 0
+hai ®-êng trßn ë ngoµi nhau : d > R + r
+®-êng trßn lín ®ùng ®-êng trßn d < R -r nhá :
3 . TiÕp tuyÕn cña ®-êng trßn : a. §Þnh nghÜa :
®-êng th¼ng d ®-îc gäi lµ tiÕp tuyÕn cña mét ®-êng trßn nÕu nã chØ cã mét
®iÓm chung víi ®-êng ®ã . b, TÝnh chÊt :
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 3
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
+ TÝnh chÊt 1 : NÕu mét ®-êng th¼ng lµ mét tiÕp tuyÕn cña mét ®-êng trßn
th× nã vu«ng gãc víi b¸n kÝnh ®i qua tiÕp ®iÓm .
+ TÝnh chÊt 2 : NÕu hai tiÕp tuyÕn cña mét ®-êng trßn c¾t nhau t¹i mét ®iÓm
th× giao ®iÓm nµy c¸ch ®Òu hai tiÕp ®iÓm vµ tia kÎ tõ giao ®iÓm ®ã qua t©m
®-êng trßn lµ tia ph©n gi¸c cña gãc t¹o bëi hai tiÕp tuyÕn . c, C¸ch chøng minh :
C¸ch 1 : chøng minh ®-êng th¼ng ®ã cã mét ®iÓm chung víi ®-êng trßn ®ã .
C¸ch 2 : chøng minh ®-êng th¼ng ®ã vu«ng gãc víi b¸n kÝnh cña ®-êng trßn
®ã t¹i mét ®iÓm vµ ®iÓm ®ã thuéc ®-êng trßn .
4 . Quan hÖ gi÷a ®-êng kÝnh vµ d©y cung :
* §Þnh lÝ 1 : §-êng kÝnh vu«ng gãc víi mét d©y cung th× chia d©y cung Êy
ra thµnh hai phÇn b»ng nhau .
* §Þnh lÝ 2 : §-êng kÝnh ®I qua trung ®iÓm cña mét d©y cung kh«ng ®i qua
t©m th× vu«ng gãc víi d©y cung Êy.
5 . Quan hÖ gi÷a d©y cung vµ kho¶ng c¸ch ®Õn t©m :
* §Þnh lÝ 1 : Trong mét ®-êng trßn hai d©y cung b»ng nhau khi vµ chØ khi chóng c¸ch ®Òu t©m .
* §Þnh lÝ 2 : Trong hai d©y cung kh«ng b»ng nhau cña mét ®-êng trßn, d©y
cung lín h¬n khi vµ chØ khi nã gÇn t©m h¬n .
Gãc trong ®-êng trßn:
1, C¸c lo¹i gãc trong ®-êng trßn: - Gãc ë t©m - Gãc néi tiÕp
- Gãc cã ®Ønh ë bªn trong hay bªn ngoµi ®-êng trßn
- Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung
2, Mèi quan hÖ gi÷a cung vµ d©y cung:
* §Þnh lÝ 1: §èi víi hai cung nhá trong mét ®-êng trßn:
a, Hai cung b»ng nhau c¨ng hai d©y b»ng nhau
b, §¶o l¹i, hai d©y b»ng nhau tr-¬ng hai cung b»ng nhau.
* §Þnh lÝ 2: §èi víi hai cung nhá trong mét ®-êng trßn:
a, Cung lín h¬n c¨ng d©y lín h¬n
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 4
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
b, D©y lín h¬n tr-¬ng cung lín h¬n.
3, Tø gi¸c néi tiÕp: a, §Þnh nghÜa:
Tø gi¸c néi tiÕp mét ®-êng trßn lµ tø gi¸c cã bèn ®Ønh n»m trªn mét ®-êng
trßn . §-¬ng trßn ®ã ®-îc gäi lµ ®-êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c. b, C¸ch chøng minh :
* C¸ch 1: chøng minh bèn ®Ønh cña tø gi¸c cïng thuéc mét ®-êng trßn
* C¸ch 2: chøng minh tø gi¸c cã tæng hai gãc ®èi diÖn b»ng 1800
* C¸ch 3: chøng minh tø gi¸c cã hai ®Ønh kÒ nhau nh×n c¹nh ®èi diÖn d-íi cïng mét gãc.
II – CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
Dạng 1: Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn Phương pháp giải
Cách 1: Chứng minh 4 đỉnh của tứ giác
cùng thuộc một đường tròn
C¸ch 2: chøng minh tø gi¸c cã tæng hai gãc ®èi diÖn b»ng 1800 0 0
A + C = 180 , B + D = 180
C¸ch 3: chøng minh tø gi¸c cã hai ®Ønh kÒ
nhau nh×n c¹nh ®èi diÖn d-íi cïng mét gãc bằng nhau.
ABD = ACD, BDC = BAC
CAD = CBD, BDA = BCA
Cách 4: Chứng minh 4 điểm của tứ giác cách đều tâm IA=IB=IC=ID
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 5
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
Bài 1: Đề thi vào 10 Phú Thọ 2018 – 2019
Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định nằm ngoài (O;R). Từ M
kẻ các tiếp tuyến MA, MB tới (O;R) (A, B là các tiếp điểm). Đường thẳng
(d) bất kì qua M và cắt (O;R) tại hai điểm phân biệt C, D ( C nằm giữa M
và D). Gọi N là giao điểm của AB và CD.
Chứng minh tứ giác OAMB nội tiếp dường tròn HƯỚNG DẪN GIẢI: Xét tứ giác OAMB có : 0
MAO = OBM = 90 (tiếp tuyến của
đường tròn vuông góc với bán kính tại tiếp điểm).
Do MAO và MBO là hai góc đối
nhau của tứ giác OAMB và 0 0 0
MAO + OBM = 90 + 90 = 180
Vậy tứ giác OAMB nội tiếp đường tròn.
Bài 2: Đề thi vào 10 Phú Thọ 2017 – 2018
Cho tứ giác ABCD nội tiếp.Gọi I là giao điểm của AC và BD. Kẻ IH ⊥ AB
IK ⊥ AD ( H A , B K AD ).
Chứng minh tứ giác AHIK nội tiếp đường tròn. HƯỚNG DẪN GIẢI:
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 6
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
Xét tứ giác AHIK có IH ⊥ AB (gt) Và IK ⊥ AD (gt).
AHK , AKI là hai đỉnh đối nhau của tứ giác AHI, và 0 AHK + AKI = 180
Vậy tứ giác AHIK nội tiếp đường tròn.
Bài 3: Đề thi vào 10 Hà Nội 2017 – 2018
Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Gọi M và N lần lượt
là điểm chính giữa của cung nhỏ AB và BC. Hai dây AN và CM cắt nhau
tại điểm I. Dây MN cắt cạnh AB và BC lần lượt tại H và K.
Chứng minh bốn điểm C, N, K, I cùng thuộc một đường tròn HƯỚNG DẪN GIẢI:
Ta có NIC là góc có đỉnh nằm trong đường tròn nên: NC + MA NIC = 2
Tương tự NKC là góc có đỉnh
nằm trong đường tròn nên: NC + MB NKC = 2
Do M là điểm chính giữa cung
nhỏ AB nên MA = MB
Nên NIC = NKC .
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 7
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 Xét tứ giác CNKI có
NIC = NKC và NIC, NKC là hai đỉnh kề nhau.
Vậy tứ giác CNKI nội tiếp đường tròn.
Dạng 2: Chứng minh tứ giác đã cho là hình bình hành, hình thoi, hình
chữ nhật, hình vuông. Phương pháp giải:
+) Dấu hiệu nhận biết hình bình hành:
Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành.
Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.
Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.
Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành.
Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.
+) Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật
Tứ giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật
Hình thang cân có 1 góc vuông là hình chữ nhật
Hình bình hành có 1 góc vuông là hình chữ nhật
Hình bình hành có 2 đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật
+) Dấu hiệu nhận biết hình thoi
Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.
Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.
Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 8
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.
+) Dấu hiệu nhận biết hình vuông
Hình chữ nhật có hai cạnh kể bằng nhau là hình vuông.
Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.
Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông.
Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.
Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.
Bài 1: Cho đường tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d
với (O). Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến
MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm).
Kẻ AC ⊥ MB, BD ⊥ MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB.
Chứng minh OAHB là hình thoi. HƯỚNG DẪN GIẢI:
Ta có OB ⊥ MB (tính chất d
tiếp tuyến) ; AC ⊥ MB (gt) A => OB // AC hay OB // AH. P K D
OA ⊥ MA (tính chất tiếp N
tuyến) ; BD ⊥ MA (gt) => H O M OA // BD hay OA // BH. I
=> Tứ giác OAHB là hình bình C
hành; lại có OA = OB =R => B OAHB là hình thoi
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 9
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
Bài 2: Cho đường tròn (O) bán
kính R có hai đường kính AB và
CD vuông góc với nhau. Trên
đoạn thẳng AB lấy điểm M (M
khác O). CM cắt (O) tại N.
Đường thẳng vuông góc với AB
tại M cắt tiếp tuyến tại N của
đường tròn ở P. Chứng minh :
1. Tứ giác OMNP nội tiếp. 2. Tứ giác CMPO là hình bình hành HƯỚNG DẪN GIẢI: 1. Ta có 0 OMP = 90
OMP = 900 ( vì PM ⊥ AB ); 0 ONP = 90 (vì NP là tiếp tuyến ).
Như vậy M và N cùng nhìn OP dưới một góc bằng 900  M và N cùng
nằm trên đường tròn đường kính OP  Tứ giác OMNP nội tiếp.
2. Tứ giác OMNP nội tiếp  OPM = ONM (nội tiếp chắn cung OM)
Tam giác ONC cân tại O vì có ON = OC = R  ONC = OCN
OPM = OCM . hai tam giác OMC và MOP ta có 0
MOC = OMP = 90 ; OPM = OCM CMO = POM lại có MO là
cạnh chung OMC = MOP => OC = MP. (1)
Theo giả thiết Ta có CD ⊥ AB; PM ⊥ ABCO//PM (2).
Từ (1) và (2)  Tứ giác CMPO là hình bình hành.
Bài 3: Đề thi vào 10 Hà Nội (2016 – 2017)
Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp
tuyến AB với đường tròn (O) (B là tiếp điểm) và đường kính BC. Trên
đoạn thẳng CO lấy điểm I ( I khác C, I khác O). Đường thẳng AI cắt (O)
tại hai điểm D và E ( D nằm giữa A và E). Gọi H là trung điểm của đoạn
thẳng DE. Tia CD cắt AO tại điểm P, tia EO cắt BP tại điểm F. Chứng
minh tứ giác BECF là hình chữ nhật HƯỚNG DẪN GIẢI:
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 10
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
Gọi F’ là giao điểm của BP và đường ư
tròn (O). Gọi AQ là tiếp tuyến thứ 2 với
đường tròn (O). Vì tứ giác BDQC là tứ
giác nội tiếp nên QDC = QBC (1). Vì
tứ giác ABOQ là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AO nên
QBC = QAO (2). Từ (1) và (2)
QDC = OAQ  APDQ là tứ giác
nội tiếp  PDA = PQA (3).
Ta có PDA = EDC = EBC (4). Ta có ABP = AQP( .
c g.c)  PQA = PBA (5)
Từ (3), (4), (5)  PBA = EBC 0
PBE = ABC = 90 0  F 'BE = 90
F 'E là đường kính của (O)  F 'OE F '  F . Vì FBEC là tứ giác nội tiếp nên 0
FCE = 180 − FBL = 90 . Tứ giác FBEC có 0
FCE = FBE = BCE = 90 nên là hình chữ nhật.
Bài 4: Đề thi vào 10 Hà Nội 2017 – 2018
Cho đường tròn tâm (O) ngoại tiêp tam giác nhọn ABC. Gọi M , N lần lượt
là điểm chính giữa cung nhỏ AB và cung nhỏ BC. Hai dây AN và CM cắt
nhau tại điểm I. Dây MN cắt các cạnh AB và BC lần lượt tại H và K. Chứng
minh tứ giác BHIK là hình thoi. HƯỚNG DẪN GIẢI:
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 11
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
Tứ giác IKNC nội tiếp nên
IKC = INC ( hai góc nội tiếp chắn cung IC).
ABC = ANC ( cùng chắn cung AC)
ABC = IKC . Hai góc này ở vị
trí đồng vị  IK / /HB . Gọi BI cắt
(O) tại G. Vì I là giao điểm của 3
đường phân giác của tam giác
ABC nên G là điểm chính giữa của cung AC và
BI là phân giác ABC . CM tương tự AMHI nội tiếp  AHI = AMI (hai góc
nội tiếp cùng chắn cung AI)
ABC = AHI ( cùng chắn cung AC)
ABC = AHI mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên HI / /BK . Xét tứ giác BHIK có
IK / / HB (cmt)
HI / / BK (cmt)
BHIK là hình bình hành. Mà BI là tia phân giác của HBK
BHIK là hình thoi
Dạng toán 3: Chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn Phương pháp giải
+) Chứng minh đường thẳng và đường tròn có một điểm chung duy nhất
+) Chứng minh đường thẳng vuông góc với bán kính của đường tròn tại
,một điểm thuộc đường tròn điểm này gọi là tiếp điểm.
Bài 1: Đề thi vào 10 Cần Thơ 2017 – 2018
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 12
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Đường tròn (O) đường kính BC cắt các
cạnh AB, AC lần lượt tại các điểm D và E. Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng CD và BE.
a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn này
b) Chứng minh ID là tiếp tuyến của đường tròn (O) HƯỚNG DẪN GIẢI: a). Ta có 0
BDC = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  0 ADH = 90 Ta có 0
BEC = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  0 AEH = 90 Trong tứ giác ADHE Ta có
ADH , AEH đối nhau và ADH + AEH = 0 180 nên tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn
Do ADH và AEH cùng nhìn AH dưới
một góc vuông nên AH là đường kính của
đường tròn nội tiếp tứ giác ADHE vậy I là trung điểm của AH.
b). Gọi M là giao điểm của AH và BC
Ta có IDH = IHD (Do IDH cân tại I)
IHD = HMC (2 góc đối đỉnh)
ODC = OCD ( ODC  cân tại O) 0
IDC + ODC = IHD + OCD = MHC + OCH = 90
Vậy OD ⊥ DI hay DI là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Dạng 4: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng Phương pháp giải:
Sử dụng hai góc kề bù có ba điểm nằm trên hai cạnh là hai tia đối nhau.
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 13
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
Hai đường thẳng cùng đi qua hai trong ba điểm ấy cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba.
Sử dụng tính chất đường phân giác của một góc, tính chất đường trung trực
của đoạn thẳng, tính chất ba đường cao trong tam giác .
Bài 1: Đề thi vào 10 Phú Thọ 2012 – 2013.
Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy B làm tâm, vẽ đường tròn bán kính BA;
lấy C làm tâm, vẽ đường tròn bán kính CA. Hai đường tròn này cắt nhau tại
điểm thứ hai là D. Vẽ AM và AN lần lượt là các dây cung của đường tròn
(B) và (C) sao cho AM vuông góc với AN và D nằm giữa M và N.
Chứng minh rằng ba điểm M, D, N thẳng hàng.
Ta có A = M (do ABM  cân tại 1 1 B)
A = N ( CNA cân tại C) 4 2
A = A (cùng phụ với 1 4 A + A ) 2 3
A = N (Cùng chắn cung AD 2 1 của (C)). Ta có: 0 0
A + A + A = 90  M + N + A = 90 1 2 3 1 1 3 Mà A
MN vuông tại A nên 0
M + N + M = 90 1 1 2
A = M A = D 3 2 3 1 CD
N cân tại C nên N + N = D 1 2 4
D + D + D + D = D + D + D + N + N = D + D + M + N + N 2 3 1 4 2 3 1 1 2 2 3 2 1 2 0
90 + M + N + M (doM = N ) 2 1 1 1 2 0 0 0 = 90 + 90 =180 Vậy M, D, N thẳng hàng
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 14
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
Bài 2: Đề thi vào 10 Quảng Ngãi 2017 – 2018
Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Một điểm M cố định
thuộc đoạn thẳng OB (M khác B và M khác O). Đường thẳng d vuông góc
với AB tại M cắt nửa đường tròn đã cho tại N. Trên cung NB lấy điểm E
bất kì (E khác B và E khác N). Tia BE cắt đường thẳng d tại C, đường
thẳng AC cắt nửa đường tròn tại D. Gọi H là giao điểm của AE và đường thẳng d.
a) Chứng minh tứ giác BMHE nội tiếp đường tròn
b) Chứng minh 3 điểm B, D, H thẳng hàng HƯỚNG DẪN GIẢI: a) Ta có 0 HMB = 90 (gt) 0
HEB = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn Trong tức giác HEBM ta có
HMB HEB ở hai vị trí đôi nhau và HMB + HEB 0 =180 . Vậy tứ
giác HEBM nội tiếp đường tròn b). Xét C
AB có AE ⊥ CB
nên AE là đường cao trong CAB
CA ⊥ BD (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  BD là đường cao trong C
AB . Ta có BD giao AE tại H nên H là trực tâm CAB . Vậy B, H, D thẳng hàng.
Dạng 4: Chứng minh tỉ lệ độ dài đoạn thẳng Phương pháp giải
Tìm mối liên hệ giữa các độ dài đoạn thẳng rồi suy ra tỉ lệ tương ứng
Bài 1: Đề thi vào 10 Phú thọ 2016 – 2017
Cho tam giác nhọn ABC không cân, nội tiếp dường tròn (O;R). Gọi
H là trực tâm và I, K lần lượt là đường cao kẻ từ đỉnh A, B của tam giác
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 15
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
ABC ( I BC, K AC ). Gọi M là trung điểm của BC. Kẻ HJ vuông góc
với AM ( J AM ). CMR 2
MJ.MA R HƯỚNG DẪN GIẢI:
Vì HJ ⊥ AM , HK ⊥ AK 0
 AJH = AKH = 90 mà AJH và
AKH cùng chắn đoạn AH nên tứ
giác AHJK nội tiếp đường tròn
 AJK = AHK (cùng chắn cung AK) (1)
Ta có AHK = BHI (2 góc đối
đỉnh) (2). Từ (1) và (2) ta có AJK = BHI
Ta có BHI = BCK (cùng phụ với HBI ). Nên AJK = BCA (3) Xét A  JK, A
CM có CAM chúng(4). Từ (3), (4) Ta có A  JK A
CM (g.g)
 AJK = ACB (góc tương ứng) 0
ACB + MJK = AJK + MJK =180
Vậy tứ giác MJKC nội tiếp đường tròn.  MJC = MKC (góc nội tiếp chắn
cung MC) (5). Mặt khác B
KC ⊥ K có KM là đường trung tuyến nên KM=KC, hay KM
C cân tại M  MKC = MCK (6) .
Từ (5) và (6) MJC = MCA . Xét MJC, M
CA Có JMC chung và MJC = MCA MJC MCA (g.g) MJ MC BC d 2  =
MJ.MA = MC . Mà MC =
 = R (với d là đường MC MA 2 2 kính) 2 2
MJ.MA = MC R (đpcm)
Bài 2: Đề thi vào 10 Phú Thọ 2017 – 2018
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 16
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O; R). Gọi I là giao điểm AC và
BD. Kẻ IH vuông góc với AB; IK vuông góc với AD ( H A ; B K AD ).
Gọi S là diện tích tam giác ABD, S’ là diện tích tam giác HIK. Chứng minh rằng: 2 S ' HK  2 S 4.AI HƯỚNG DẪN GIẢI:
Ta có tứ giác AHIK nội tiếp đường
tròn nên KAI = KHI (cùng chắn
cung KI). Mà DKI = DBC (cùng
chắn cung DC). Mà KAI = KHI ;
DKI = DBC KHI = DBC . Chứng minh tương tự HKI = BDC Xét H
IK và BCD có
HKI = BDC ; KHI = DBC HIK BCD  (g.g)
Gọi S là diện tích BCD vì 1 HIK BCD nên 2 2 2 2 S ' HK HK HK HK = =  = (1) 2 2 S BD (IB + ID) 4I . B ID 4I . A IC 1 Kẻ CF IC
AE ⊥ BD,CF ⊥ BD AE / /CF  = AE IA ABD
và BCD có chung cạnh đáy BD 2 2 S ' S HK IA S ' HK nên 1 .  .   2 S S ' 4I . A IC IC S 4IA 1
Bài 3: Đề thi vào 10 Bình Định 2017 – 2018
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 17
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
Cho tam giác ABC (AB  AC) nội tiếp đường tròn tâm O. M là điểm nằm
trên cung BC không chứa điểm A. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của BC AC AB M trên BC, CA, AB. CMR = + MD ME MF HƯỚNG DẪN GIẢI: Ta có AC AB AE + EC AF-FC + = + ME MF ME MF AE EC AF FC = + + − ME ME MF MF
= tan AME + tan EMC + tan AMF-tanBFM Mà BMF = EMC nên AC AB +
= AMAAAME + tan AMF ME MF + = BD DC BD DC BC
tan BMD + tan MDC = + = = (đpcm) MD MD MD MD
Bài 4: Đề thi vào 10 Bình Dương 2017 – 2018
Cho tam giác AMB cân tại M nội tiếp đường tròn (O;R). Kẻ MH vuông
góc với AB (H AB) , MH cắt đường tròn tại N, trên tia đối của BA lấy
điểm C. MC cắt đường tròn tại D, ND cắt AB tại E. Chứng minh tứ giác
MDEH nội tiếp và chứng minh các hệ thức sau: 2 NB = N .
E ND và AC.BE = BC.AE HƯỚNG DẪN GIẢI:
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 18
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 Ta có 0
MDN = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 0
MEH = 90 (MH ⊥ AB) 0
MDE + MHE =180
Vậy tứ giác MDEH nội tiếp. N
BE và NDB có N chung
NBE = NDB ( cùng chắn hai cung bằng nhau là , NA NB - tính chất
đường kính và dây cung) NB NENBE NDB  = ND NB 2
NB = NE.ND
Ta có NA = NB (t/c đường kính và dây cung)  ADE = EDB DE là phân giác trong của ABD
Vì ED ⊥ DC DC là tia phân giác ngoài của ABDDA EA CA  = =
AC.BE = BC.AE DB EB CB
Bài 5: Đề thi vào 10 Bà Rịa – Vũng Tàu 2017 – 2018
Cho nửa đường tròn (O;R) có đường kính AB. Trên tia OA lấy điểm H
(H khác O, H khác A). Qua H dựng đường thẳng vuông góc với AB,
đường thẳng này cắt nửa đường tròn tại C. Trên cung BC lấy điểm M (M
khác B, M khác C). Dựng CK vuông góc với AM tại K. Gọi N là giao
điểm của AM và CH. Tính theo R giá trị của biểu thức 2
P = AM .AN + BC HƯỚNG DẪN GIẢI:
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 19
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 Ta có 0
ACN = ABC = 90 − HCB
ABC = AMC ACN = AMC Do đó ACN AMC (g.g) AN AC 2  =
AM.AN = AC AC AM
C thuộc nửa đường tròn đường
kính AB nên ABC  vuông tại C 2 2 2
AC + BC = AB Vậy 2 2 2
P = AM .AN + BC = AB = 4R
Bài 6: Đề thi vào 10 Hà Nội 2017 – 2018
Cho đường tròn tâm (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Gọi M , N lần
lượt là điểm chính giữa cung nhỏ AB và cung nhỏ BC. Hai dây AN và
CM cắt nhau tại điểm I. Dây MN cắt các cạnh AB và BC lần lượt tại H và K. Chứng minh 2
NB = NK.NM HƯỚNG DẪN GIẢI:
Vì ABNC là tứ giác nội tiếp nên
NBC = NAC , vì N là điểm chính
giữa cung nhỏ BC của (O) nên
NAC = NAB .Vì AMBN là tứ giác nội tiếp nên
NAB = NMB NBC = NMB hay
NBK = NMB . Xét NBK và NMB
có NBK = NMB , MNB chung nên NBK NMB (g.g)
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 20
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 NB NK 2  =
NB = NM.NK NM NB
* Chú ý: Khi có tỉ lệ thức là đẳng thức ta đưa về chứng minh tam giác đồng
dạng rồi suy ra tỉ lệ thức mong muốn.
Dạng 5: Chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn Phương pháp giải:
+) Chứng minh đường thẳng và đường tròn có một điểm chung duy nhất
+) Chứng minh đường thẳng vuông góc với bán kính đường tròn tại tiếp điểm
Bài 1: Đề thi vào 10 Cần Thơ 2017 – 2018 .
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Đường tròn O đường kính BC
cắt cạnh AB, AC lần lượt tại D và E. Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng CD và BE.
a.Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn này
b. Chứng minh ID là tiếp tuyến của đường tròn O. HƯỚNG DẪN GIẢI: a.Ta có 0
ADH = AEH = 90 (góc nội
tiếp chắn nửa đường tròn). Xét tứ giác ADHE có 0
ADH = AEH = 90 mà ADH , AEH
ở hai vị trí đối nhau của tứ giác nên
ADHE nội tiếp đường tròn.
Gọi I là trung điểm của AH thì
IH=IA=IE=IB nên I là tâm của đường tròn
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 21
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
b.Ta có IDH = IHD ( IDH cân tại I)
IHD = MHC ( hai góc đối đỉnh)
ODC = OCD ( ODC  cân tại O ) 0
IDH + HDO = MCH + MHC = 90 . Vậy ID là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Bài 2: Đề thi vào 10 Đồng Nai 2017 – 2018
Cho tam giác ABC có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Biết 3 góc
CAB, ABC, BCA . Gọi M là trung điểm của AH.
a, Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn
b, Chứng minh EM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BEF HƯỚNG DẪN GIẢI:
Ta có EH ⊥ AE , HF ⊥ AF . Xét tứ
giác AEHF ta có AEH = AFH 0
= 90 và AEH ,AFH ở hai vị trí đối
nhau nên tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn.
Bài 3: Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), c¸c ®-êng cao AD, BE, c¾t
nhau t¹i H. Gäi O lµ t©m ®-êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE.
a. Chøng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp .
b. Bèn ®iÓm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®-êng trßn. 1 c. Chøng minh ED = BC. 2
d. Chøng minh DE lµ tiÕp tuyÕn cña ®-êng trßn (O). HƯỚNG DẪN GIẢI:
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 22
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 a. XÐt tø gi¸c CEHD ta cã: A
 CEH = 900 ( V× BE lµ ®-êng 1 cao)  O
CDH = 900 ( V× AD lµ ®-êng 1 cao) 2 E H 3
=>  CEH +  CDH = 1800 B 1 D C
Mµ  CEH vµ  CDH lµ hai gãc
®èi cña tø gi¸c CEHD , Do ®ã CEHD lµ tø gi¸c néi
b, Theo giả thiết BE lµ ®-êng cao => BE ⊥ AC => BEA = 900.
AD lµ ®-êng cao => AD ⊥ BC => BDA = 900.
Như vậy E vµ D cïng nh×n AB d-íi mét gãc 900 => E vµ D cïng n»m trªn
®-êng trßn ®-êng kÝnh AB.
VËy bèn ®iÓm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®-êng trßn.
c, Theo giả thiết tam gi¸c ABC c©n t¹i A cã AD lµ ®-êng cao nªn còng lµ
®-êng trung tuyÕn nên lµ trung ®iÓm cña BC. Theo trªn ta cã BEC = 900 . Vậy 1
tam gi¸c BEC vu«ng t¹i E cã ED lµ trung tuyÕn => DE = BC. 2
d, Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam gi¸c AHE nªn O lµ trung ®iÓm cña 1
AH => OA => E3 = B1 (2)= OE => tam gi¸c , Theo trên DE = BC => 2
tam gi¸c DBE c©n t¹i D. Mà B1 = A1 ( v× cïng phô víi gãc ACB) => E1 = E 
3 => E1 + E2 = E2 + E3, và
E1 + E2 = BEA = 900 => E2 + E3 = 900 = OED
=> DE ⊥ OE t¹i E. VËy DE lµ tiÕp tuyÕn cña ®-êng trßn (O) t¹i E.
BÀI TOÁN TỔNG HỢP
Bài 1: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ dây cung CD vuông
góc với AB tại I (I nằm giữa A và O ). Lấy điểm E trên cung nhỏ BC ( E
khác B và C ), AE cắt CD tại F. Chứng minh:
a) BEFI là tứ giác nội tiếp đường tròn.
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 23
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 b) AE.AF = AC2.
c) Khi E chạy trên cung nhỏ BC thì tâm đường tròn ngoại tiếp ∆CEF
luôn thuộc một đường thẳng cố định. HƯỚNG DẪN GIẢI: a) Tứ giác BEFI có: 0 BIF = 90 (gt) (gt) C E 0
BEF = BEA = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) F
Suy ra tứ giác BEFI nội tiếp đường tròn đường kính BF B A I O
b) Vì AB ⊥ CD nên AC = AD , suy ra ACF = AEC .
Xét ∆ACF và ∆AEC có góc A chung và D ACF = AEC . Suy ra: ∆ACF ~ với ∆AEC AC AE  = AF AC 2  AE.AF = AC
c) Theo câu b) ta có ACF = AEC , suy ra AC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆CEF (1). Mặt khác 0
ACB = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), suy ra AC ⊥ CB (2).
Từ (1) và (2) suy ra CB chứa đường kính của đường tròn ngoại tiếp ∆CEF,
mà CB cố định nên tâm của đường tròn ngoại tiếp ∆CEF thuộc CB cố định
khi E thay đổi trên cung nhỏ BC.
Bài 2: Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R) ta vẽ hai tiếp tuyến
AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một
điểm M, vẽ MI ⊥ AB, MK ⊥ AC (I AB,K AC)
a) Chứng minh: AIMK là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Vẽ MP ⊥ BC (P BC). Chứng minh: MPK = MBC .
c) Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP
đạt giá trị lớn nhất. HƯỚNG DẪN GIẢI:
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 24
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 a) Ta có: 0
AIM = AKM = 90 (gt), suy ra tứ giác AIMK nội tiếp đường tròn đường kính AM. b) Tứ giác CPMK có 0
MPC = MKC = 90 (gt). Do đó CPMK là tứ giác nội tiếp
 MPK = MCK (1). Vì KC là tiếp tuyến của (O) nên ta có: MCK = MBC (cùng
chắn MC ) (2). Từ (1) và (2) suy ra MPK = MBC (3)
c) Chứng minh tương tự câu b ta có BPMI A là tứ giác nội tiếp.
Suy ra: MIP = MBP (4). Từ (3) và (4) suy ra MPK = MIP .
Tương tự ta chứng minh được K MKP = MPI . I M Suy ra: MPK ~ ∆MIP MP MI = MK MP
MI.MK = MP2  MI.MK.MP = MP3. H C B
Do đó MI.MK.MP lớn nhất khi và chỉ khi P MP lớn nhất (4)
- Gọi H là hình chiếu của O trên BC, suy O
ra OH là hằng số (do BC cố định).
Lại có: MP + OH  OM = R MP  R –
OH. Do đó MP lớn nhất bằng R – OH khi
và chỉ khi O, H, M thẳng hàng hay M nằm
chính giữa cung nhỏ BC (5). Từ (4) và ( 5) suy ra: Max (MI.MK.MP) = ( R - OH )3
 M nằm chính giữa cung nhỏ BC.
Bài 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O;R).
Các đường cao BE và CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh: AEHF và BCEF là các tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Gọi M và N thứ tự là giao điểm thứ hai của đường tròn (O;R) với
BE và CF. Chứng minh: MN // EF.
c) Chứng minh rằng OA ⊥ EF. HƯỚNG DẪN GIẢI: a) Tứ giác AEHF có: 0
AEH = AFH = 90 (gt). Suy ra AEHFlà tứ giác nội tiếp.
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 25
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 - Tứ giác BCEF có: 0
BEC = BFC = 90 (gt). Suy ra BCEF là tứ giác nội tiếp.
b) Tứ giác BCEF nội tiếp suy ra: BEF = BCF (1). Mặt khác BMN = BCN = BCF
(góc nội tiếp cùng chắn BN ) (2). Từ (1) và (2) suy ra: BEF = BMN  MN // EF.
c) Ta có: ABM = ACN ( do BCEF nội tiếp)  AM = AN  AM = AN, lại có
OM = ON nên suy ra OA là đường trung trực của MN  OA ⊥ MN , mà MN
song song với EF nên suy ra OA ⊥ EF.
Bài 4: Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại E. Lấy I
thuộc cạnh AB, M thuộc cạnh BC sao cho: 0
IEM = 90 (I và M không trùng
với các đỉnh của hình vuông ).
a) Chứng minh rằng BIEM là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Tính số đo của góc IME
c) Gọi N là giao điểm của tia AM và tia DC; K là giao điểm của BN và
tia EM. Chứng minh CK ⊥ BN. HƯỚNG DẪN GIẢI: a) Tứ giác BIEM có: 0
IBM = IEM = 90 (gt); suy ra tứ giác BIEM nội tiếp đường tròn đường kính IM.
b) Tứ giác BIEM nội tiếp suy ra: 0
IME = IBE = 45 (do ABCD là hình vuông). c) ∆EBI và ∆ECM có: 0 IBE = MCE = 45 , N K BE = CE , BEI = CEM ( do 0 IEM = BEC = 90 )
 ∆EBI = ∆ECM (g-c-g) MC = IB; M suy ra MB = IA B C
Vì CN // BA nên theo định lí Thalet, ta có: MA MB = IA = . I MN MC IB Suy ra IM song song với BN E
(định lí Thalet đảo) 0  BKE = IME = 0
45 (2). Lại có BCE = 45 (do ABCD là hình vuông). A D
Suy ra BKE = BCE  BKCE là tứ giác nội tiếp. Suy ra: 0 BKC + BEC = 180 mà 0 BEC = 90 ;
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 26
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 suy ra 0 BKC = 90 ; hay CK ⊥ BN .
Bài 5: Cho đường tròn (O;R); AB và CD là hai đường kính khác nhau của
đường tròn. Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O;R) cắt các đường thẳng
AC, AD thứ tự tại E và F.
a) Chứng minh tứ giác ACBD là hình chữ nhật.
b) Chứng minh ∆ACD ~ ∆CBE
c) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp được đường tròn.
d) Gọi S, S1, S2 thứ tự là diện tích của ∆AEF, ∆BCE và ∆BDF. Chứng minh: S + S = S 1 2 . HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) Tứ giác ACBD có hai đường A
chéo AB và CD bằng nhau và cắt
nhau tại trung điểm của mỗi D O
đường, suy ra ACBD là hình chữ C nhật
b) Tứ giác ACBD là hình chữ E B F nhật suy ra: 0 CAD = BCE = 1 90 (1). Lại có CBE =
sđ BC (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây 2 1 cung); ACD =
sđ AD (góc nội tiếp), mà BC = AD (do BC = AD) 2
 CBE = ACD (2). Từ (1) và (2) suy ra ∆ACD ~ ∆CBE .
c) Vì ACBD là hình chữ nhật nên CB song song với AF, suy ra: CBE = DFE (3).
Từ (2) và (3) suy ra ACD = DFE do đó tứ giác CDFE nội tiếp được đường tròn. 2
d) Do CB // AF nên ∆CBE ~ ∆AFE, suy ra: S EB 1 = 2 S EF S EB S BF S S 1  = . Tương tự ta có 2 = . Từ đó suy ra: 1 2 + =1 S EF S EF S S S + S = S 1 2 .
Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, M là một điểm thuộc cạnh AC (M
khác A và C ). Đường tròn đường kính MC cắt BC tại N và cắt tia BM tại I. Chứng minh rằng:
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 27
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
a) ABNM và ABCI là các tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) NM là tia phân giác của góc ANI .
c) BM.BI + CM.CA = AB2 + AC2. HƯỚNG DẪN GIẢI: a) Ta có: B 0 MAB = 90 (gt)(1). 0 MNC = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) N 0  MNB = 90 (2)
Từ (1) và (2) suy ra ABNM là tứ giác nội C tiếp. M A
Tương tự, tứ giác ABCI có: I 0 BAC = BIC = 90
 ABCI là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Tứ giác ABNM nội tiếp suy ra MNA = MBA (góc nội tiếp cùng chắn cung AM) (3).
Tứ giác MNCI nội tiếp suy ra MNI = MCI (góc nội tiếp cùng chắn cung MI) (4).
Tứ giác ABCI nội tiếp suy ra MBA = MCI (góc nội tiếp cùng chắn cung AI) (5).
Từ (3),(4),(5) suy ra MNI = MNA  NM là tia phân giác của ANI .
c) ∆BNM và ∆BIC có chung góc B và 0
BNM = BIC = 90  ∆BNM ~ ∆BIC (g.g) BN BI  = => BM.BI = BN . BC . BM BC
Tương tự ta có: CM.CA = CN.CB.
Suy ra: BM.BI + CM.CA = BC2 (6).
Áp dụng định lí Pitago cho tam giác ABC vuông tại A ta có: BC2 = AB2 + AC2 (7).
Từ (6) và (7) suy ra điều phải chứng minh.
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 28
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
Bài 7: Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB. Vẽ dây cung CD vuông
góc với AB (CD không đi qua tâm O). Trên tia đối của tia BA lấy điểm S;
SC cắt (O; R) tại điểm thứ hai là M.
a) Chứng minh ∆SMA đồng dạng với ∆SBC.
b) Gọi H là giao điểm của MA và BC; K là giao điểm của MD và
AB. Chứng minh BMHK là tứ giác nội tiếp và HK // CD. c) Chứng minh: OK.OS = R2. HƯỚNG DẪN GIẢI: a) ∆SBC và ∆SMA có: BSC = MSA , SCB = SAM
(góc nội tiếp cùng chắn MB ).  S  BC ~ S  MA .
b) Vì AB ⊥ CD nên AC = AD .
Suy ra MHB = MKB (vì cùng bằng
1 (sdAD+sdMB)  tứ giác BMHK 2
nội tiếp được đường tròn 0  HMB + HKB =180 (1). Lại có: 0 HMB = AMB = 90 (2)
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Từ (1) và (2) suy ra 0
HKB = 90 , do đó HK // CD (cùng vuông góc với AB).
c) Vẽ đường kính MN, suy ra MB = AN . 1 1 1 Ta có: OSM = ASC =
(sđ AC - sđ BM ); OMK = NMD = sđ ND = (sđ AD - 2 2 2 sđ AN );
mà AC = AD và MB = AN nên suy ra OSM = OMK  OS OM O  SM ~ O  MK (g.g) 2 2  =  OK.OS = OM = R . OM OK
Bài 8: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và tia tiếp tuyến
Ax cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp
tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C là tiếp điểm). AC cắt OM tại E;
MB cắt nửa đường tròn (O) tại D (D khác B).
a) Chứng minh: AMCO và AMDE là các tứ giác nội tiếp đường tròn.
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 29
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 b) Chứng minh ADE = ACO .
c) Vẽ CH vuông góc với AB (H  AB). Chứng minh rằng MB đi qua trung điểm của CH. HƯỚNG DẪN GIẢI: x
a) Vì MA, MC là tiếp tuyến nên: N 0
MAO = MCO = 90  AMCO là tứ
giác nội tiếp đường tròn đường kính C MO. M D 0
ADB = 90 (góc nội tiếp chắn nửa I E đường tròn) 0  ADM = 90 (1) Lại có: OA = OC = R; MA = A MC H O B (tính chất tiếp tuyến ). Suy ra OM là
đường trung trực của AC 0  AEM = 90 (2).
Từ (1) và (2) suy ra AMDE là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MA.
b) Tứ giác AMDE nội tiếp suy ra: ADE = AME = AMO (góc nội tiếp cùng chắn cung AE) (3)
Tứ giác AMCO nội tiếp suy ra: AMO = ACO (góc nội tiếp cùng chắn cung AO) (4).
Từ (3) và (4) suy ra ADE = ACO
c) Tia BC cắt Ax tại N. Ta có 0
ACB = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 0
 ACN = 90 , suy ra ∆ACN vuông tại C. Lại có MC = MA nên suy ra được MC = MN, do đó MA = MN (5).
Mặt khác ta có CH // NA (cùng vuông góc với AB) nên theo định lí Ta-lét thì IC IH  BI  = = 
 (6). Từ (5) và (6) suy ra IC = IH hay MB đi qua trung MN MA  BM  điểm của CH.
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 30
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
Bài 9: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm M thuộc đoạn
thẳng OA, điểm N thuộc nửa đường tròn (O). Từ A và B vẽ các tiếp tuyến
Ax và By. Đường thẳng qua N và vuông góc với NM cắt Ax, By thứ tự tại C và D.
a) Chứng minh ACNM và BDNM là các tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh ∆ANB đồng dạng với ∆CMD.
c) Gọi I là giao điểm của AN và CM, K là giao điểm của BN và DM. Chứng minh IK //AB. HƯỚNG DẪN GIẢI: a) Tứ giác ACNM có: 0 MNC = 90 (gt) 0
MAC = 90 ( tínhchất tiếp tuyến).
ACNM là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MC. Tương tự tứ giác
BDNM nội tiếp đường tròn đường kính MD. b) ∆ANB và ∆CMD có:
ABN = CDM (do tứ giác BDNM nội tiếp)
BAN = DCM (do tứ giác ACNM nội tiếp)  ∆ANB ~ ∆CMD (g.g)
c) ∆ANB ~ ∆CMD CMD = ANB = 900 (do y x D
ANB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn C N (O)). Suy ra 0
IMK = INK = 90  IMKN là tứ giác K I
nội tiếp đường tròn đường kính IK A M O B  IKN = IMN (1).
Tứ giác ACNM nội tiếp  IMN = NAC (góc
nội tiếp cùng chắn cung NC) (2). Lại có: 1 NAC = ABN = ( sđ AN ) (3). 2
Từ (1), (2), (3) suy ra IKN = ABN  IK // AB (đpcm).
Bài 10: Cho hai đường tròn (O) và (O )
 cắt nhau tại A và B. Vẽ AC, AD thứ
tự là đường kính của hai đường tròn (O) và (O ) .
a) Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng.
b) Đường thẳng AC cắt đường tròn (O )
 tại E; đường thẳng AD cắt
đường tròn (O) tại F (E, F khác A). Chứng minh 4 điểm C, D, E, F cùng
nằm trên một đường tròn.
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 31
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
c) Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A cắt (O) và (O )  thứ tự tại
M và N. Xác định vị trí của d để CM + DN đạt giá trị lớn nhất. HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) Ta có ABC và ABD lần lượt là các
góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) F E d N A và (O/) 0  ABC = ABD = 90 I Suy ra C, B, D thẳng hàng. M O/ b) Xét tứ giác CDEF có: O 0 D
CFD = CFA = 90 (góc nội tiếp chắn nửa K C B đường tròn (O)) 0
CED = AED = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O/) 0
 CFD = CED = 90 suy ra CDEF là tứ giác nội tiếp. c) Ta có 0
CMA = DNA = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn); suy ra CM // DN hay CMND là hình thang.
Gọi I, K thứ tự là trung điểm của MN và CD. Khi đó IK là đường trung bình
của hình thang CMND. Suy ra IK // CM // DN (1) và CM + DN = 2.IK (2)
Từ (1) suy ra IK ⊥ MN  IK  KA (3) (KA là hằng số do A và K cố định).
Từ (2) và (3) suy ra: CM + DN 2KA. Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi IK = AK
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 32
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
 d ⊥ AK tại A. Vậy khi đường thẳng d vuông góc AK tại A thì (CM + DN)
đạt giá trị lớn nhất bằng 2KA.
Bài 11: Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Dây BC = R. Từ B kẻ
tiếp tuyến Bx với đường tròn. Tia AC cắt Bx tại M. Gọi E là trung điểm của AC.
a) Chứng minh tứ giác OBME nội tiếp đường tròn.
b) Gọi I là giao điểm của BE với OM. Chứng minh: IB.IE = IM.IO. HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) Ta có E là trung điểm của AC OE ⊥ AC hay OEM = 900.
Ta có Bx ⊥ AB  ABx =900.
nên tứ giác CBME nội tiếp.
b) Vì tứ giác OEMB nội tiếp
 OMB = OEB (cung chắn OB ),
EOM = EBM (cùng chắn cung EM)   EIO ~  MIB (g.g)  IB.IE = M.IO
Bài 12: Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy 1 điểm M, dựng
đường tròn tâm (O) có đường kính MC. Đường thẳng BM cắt đường tròn
tâm (O) tại D, đường thẳng AD cắt đường tròn tâm (O) tại S.
a) Chứng minh tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp và CA là tia phân giác của góc BCS .
b) Gọi E là giao điểm của BC với đường tròn (O). Chứng minh các đường
thẳng BA, EM, CD đồng quy.
c) Chứng minh M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE. HƯỚNG DẪN GIẢI: a) Ta có 0 BAC = 90 (gt) 0
MDC = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
A, D nhìn BC dưới góc 900, tứ giác ABCD nội tiếp
Vì tứ giác ABCD nội tiếp. ADB = ACB
(cùng chắn cung AB). (1)
Ta có tứ giác DMCS nội tiếp ADB = ACS
(cùng bù với MDS ). (2)
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 33
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
Từ (1) và (2)  BCA = ACS .
b) Giả sử BA cắt CD tại K. Ta có BD ⊥ CK, CA ⊥ BK.
 M là trực tâm ∆KBC. Mặt khác MEC = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
 K, M, E thẳng hàng, hay BA, EM, CD đồng quy tại K.
c) Vì tứ giác ABCD nội tiếp  DAC = DBC (cùng chắn DC ). (3)
Mặt khác tứ giác BAME nội tiếp  MAE = MBE (cùng chắn ME ). (4)
Từ (3) và (4)  DAM = MAE hay AM là tia phân giác DAE .
Chứng minh tương tự: ADM = MDE hay DM là tia phân giác ADE .
Vậy M là tâm đường tròn nội tiếp ∆ADE.
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 34
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
Bài 13: Cho ∆ABC cân tại A, I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường
tròn bàng tiếp góc A, O là trung điểm của IK.
a) Chứng minh 4 điểm B, I, C, K cùng thuộc một đường tròn tâm O.
b) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn tâm (O).
c) Tính bán kính của đường tròn (O), biết AB = AC = 20cm, BC = 24cm. HƯỚNG DẪN GIẢI: a) Theo giả thiết ta có: A B = B , B = B 1 2 3 4 Mà 0 B + B + B + B = 180 1 2 3 4 0 B + B = 90 I 2 3 Tương tự 0 C + C = 90 1 1 2 3 2 H B 2 C Xét tứ giác BICK có 0 B + C = 180 3 4 3 4
 4 điểm B, I, C, K thuộc đường tròn O tâm O đường kính IK.
b) Nối CK ta có OI = OC = OK
(vì ∆ICK vuông tại C)  ∆ IOC cân tại O K  OIC = ICO. (1) Ta lại có C = C 1 2 (gt).
Gọi H là giao điểm của AI với BC.
Ta có AH ⊥ BC. (Vì ∆ ABC cân tại A). Trong ∆ IHC có 0 0
HIC + ICH = 90  OCI + ICA = 90 . Hay 0
ACO = 90 hay AC là tiếp tuyến của đường tròn tâm (O). c) Ta có BH = CH = 12 (cm).
Trong ∆ vuông ACH có AH2 = AC2 - CH2 = 202 - 122 = 256 AH = 16
Trong tam giác ACH, CI là phân giác góc C ta có: IA AC AH - IH AC 20 5 =  = = =
 (16 - IH) . 3 = 5 . IH  IH = 6 IH CH IH CH 12 3
Trong ∆ vuông ICH có IC2 = IH2 + HC2 = 62 + 122 = 180
Trong ∆ vuông ICK có IC2 = IH . IK 2 IC 180  IK = =
= 30 , OI = OK = OC = 15 (cm) IH 6
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 35
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
Bài 14: Cho tam giác ABC vuông ở A (AB > AC), đường cao AH. Trên nửa
mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt
AB tại E, nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại F. Chứng minh:
a) Tứ giác AFHE là hình chữ nhật.
b) Tứ giác BEFC là tứ giác nội tiếp đường tròn.
c) EF là tiếp tuyến chung của 2 nửa đường tròn đường kính BH và HC. HƯỚNG DẪN GIẢI: a) Từ giả thiết suy ra 0 0
CFH = 90 , HEB = 90 . (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Trong tứ giác AFHE có: 0 A = F = E = 90  AFHE là hình chữ nhật.
b) Vì AEHF là hình chữ nhật  AEHF nội tiếp  AFE = AHE
(góc nội tiếp chắn AE ) (1)
Ta lại có AHE = ABH (góc có cạnh tương ứng ⊥ ) (2) Từ (1) và (2)  AFE = ABH mà 0 CFE + AFE = 180 0
 CFE + ABH = 180 . Vậy tứ giác BEFC nội tiếp.
c) Gọi O1, O2 lần lượt là tâm đường tròn đường kính HB và đường kính HC.
Gọi O là giao điểm AH và EF. Vì AFHE là hình chữ nhật.  OF = OH   FOH
cân tại O  OFH = OHF . Vì ∆ CFH vuông tại F  O2C = O2F = O2H  ∆ HO F cân tại O  0 2 2. O FH = O HF O HF + FHA = 90 . 2 2 mà 2 0  O FH + HFO = 90 . 2
Vậy EF là tiếp tuyến của đường tròn tâm O2.
Chứng minh tương tự EF là tiếp tuyến của đường tròn tâm O1.
Vậy EF là tiếp tuyến chung của 2 nửa đường tròn.
Bài 15: Cho đường tròn (O) đường kiính AB = 2R. Điểm M thuộc đường
tròn sao cho MA < MB. Tiếp tuyến tại B và M cắt nhau ở N, MN
cắt AB tại K, tia MO cắt tia NB tại H.
a) Tứ giác OAMN là hình gì ?
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 36
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 b) Chứng minh KH // MB. HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) AMB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))  AM ⊥ MB (1)
MN = BN (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau), OM = OB
 ON là đường trung trực của đoạn thẳng MB  ON ⊥ MB (2)
Từ (1) và (2)  AM // ON  OAMN là hình thang.
b) ∆ NHK có HM ⊥ NK; KB ⊥ NH.
suy ra O là trực tâm ∆NHK  ON ⊥ KH (3) Từ (2) và (3)  KH // MB
Bài 16: Cho đường tròn (O) với dây BC cố định và một điểm A thay đổi
trên cung lớn BC sao cho AC > AB và AC> BC. Gọi D là điểm chính giữa
của cung nhỏ BC. Các tiếp tuyến của (O) tại D và C cắt nhau tại E. Gọi
P, Q lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng AB với CD; AD với CE.
a) Chứng minh rằng: DE//BC
b) Chứng minh tứ giác PACQ nội tiếp đường tròn. 1
c) Gọi giao điểm của các dây AD và BC là F. Chứng minh hệ thức: = CE 1 1 + CQ CF HƯỚNG DẪN GIẢI: 1 1 a
a) CDE = Sđ DC = Sđ BD = BCD 2 2
 DE// BC (2 góc ở vị trí so le trong) b) 1 APC = sđ (AC - DC) = AQC 2 o b
 Tứ giác PACQ nội tiếp (vì APC = AQC ) c
c) Tứ giác APQC nội tiếp d e CPQ = CAQ (cùng chắn CQ ) p CAQ = CDE (cùng chắn DC ) q
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 37
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 Suy ra CPQ = CDE  DE // PQ DE CE DE QE Ta có : = (vì DE//PQ) (1) , = (vì DE// BC) (2) PQ CQ FC QC Cộng (1) và (2) : DE DE CE + QE CQ 1 1 1 + = = = 1  + = (3) PQ FC CQ CQ PQ FC DE
ED = EC (t/c tiếp tuyến); từ (1) suy ra PQ = CQ Thay vào (3) ta có : 1 1 1 + = CQ CF CE
Bài 17: Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng (B nằm giữa A và C). Vẽ đường
tròn tâm O đường kính BC; AT là tiếp tuyến vẽ từ A. Từ tiếp điểm T vẽ
đường thẳng vuông góc với BC, đường thẳng này cắt BC tại H và cắt
đường tròn tại K (K  T). Đặt OB = R. a) Chứng minh OH.OA = R2.
b) Chứng minh TB là phân giác của góc ATH.
c) Từ B vẽ đường thẳng song song với TC. Gọi D, E lần lượt là giao
điểm của đường thẳng vừa vẽ với TK và TA. Chứng minh rằng ∆TED cân. d) Chứng minh HB AB = HC AC HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) Trong tam giác vuông ATO có:
R2 = OT2 = OA . OH (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)
b) Ta có ATB = BCT (cùng chắn cung TB)
BCT = BTH (góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc).
 ATB = BTH hay TB là tia phân giác của góc ATH.
c) Ta có ED // TC mà TC ⊥ TB nên ED ⊥ TB. ∆ TED có TB vừa là đường cao
vừa là đường phân giác nên ∆TED cân tại T. HB BD BE d) BD // TC nên = = (vì BD = BE) (1) HC TC TC BE AB BE // TC nên = (2) TC AC
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 38
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 HB AB Từ (1) và (2) suy ra: = HC AC
Bài 18: Cho 2 đường tròn (O) và (O )
 cắt nhau tại hai điểm A, B phân biệt.
Đường thẳng OA cắt (O), (O ) lần lượt tại điểm thứ hai C, D. Đường
thẳng O A cắt (O),(O ) lần lượt tại điểm thứ hai E, F.
a) Chứng minh 3 đường thẳng AB, CE và DF đồng quy tại một điểm I.
b) Chứng minh tứ giác BEIF nội tiếp được trong một đường tròn.
c) Cho PQ là tiếp tuyến chung của (O) và (O )
 (P  (O), Q (O ) ).
Chứng minh đường thẳng AB đi qua trung điểm của đoạn thẳng PQ. HƯỚNG DẪN GIẢI: I
a) Ta có: ABC = 900 (góc nội tiếp chắn nửa E đường tròn) D A
ABF = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
nên B, C, F thẳng hàng. AB, CE và DF là 3
đường cao của tam giác ACF nên chúng đồng O O' quy. F C B b) Do 0
IEF = IBF = 90 suy ra BEIF nội tiếp Q H P đường tròn.
c) Gọi H là giao điểm của AB và PQ
Ta chứng minh được các tam giác AHP HP HA và PHB đồng dạng  =  HP2 = HA.HB HB HP
Tương tự, HQ2 = HA.HB. Vậy HP = HQ hay H là trung điểm PQ.
Bài 19: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Điểm M thuộc nửa đường
tròn, điểm C thuộc đoạn OA. Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB
chứa điểm M vẽ tiếp tuyến Ax, By. Đường thẳng qua M vuông góc với
MC cắt Ax, By lần lượt tại P và Q; AM cắt CP tại E, BM cắt CQ tại F.
a) Chứng minh tứ giác APMC nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh góc PCQ = 900. c) Chứng minh AB // EF. HƯỚNG DẪN GIẢI: a) Ta có 0 PAC = 90 0 PAC + PMC = 180
nên tứ giác APMC nội tiếp
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 39
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
b) Do tứ giác APMC nội tiếp nên MPC = MAC (1)
Dễ thấy tứ giác BCMQ nội tiếp suy ra MQC = MBC (2) Lại có 0
MAC + MBC = 90 (3). Từ (1), (2), (3) ta có : 0 0 MPC + MBC = 90  PCQ = 90 . c) Ta có BMQ = BCQ
(Tứ giác BCMQ nội tiếp) BMQ = AMC
(Cùng phụ với BMC) EMC = EFC (Tứ giác CEMF nội tiếp). Nên BCQ = EFC hay AB // EF.
Bài 20: Cho đường tròn (O,R) và một điểm S ở ngoài đường tròn. Vẽ hai
tiếp tuyến SA, SB ( A, B là các tiếp điểm). Vẽ đường thẳng a đi qua
S và cắt đường tròn (O) tại M và N, với M nằm giữa S và N (đường
thẳng a không đi qua tâm O). a) Chứng minh: SO ⊥ AB
b) Gọi H là giao điểm của SO và AB; gọi I là trung điểm của MN. Hai
đường thẳng OI và AB cắt nhau tại E. Chứng minh rằng IHSE là tứ giác nội tiếp đường tròn. c) Chứng minh OI.OE = R2. HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) ∆SAB cân tại S (vì SA = SB - theo t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)
nên tia phân giác SO cũng là đường cao  SO ⊥ AB b) 0
SHE = SIE = 90  IHSE nội tiếp đường tròn đường kính SE. c) ∆SOI ~ ∆EOH (g.g) OI SO  = OH OE
 OI . OE = OH . OS = R2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông SOB)
Bài 21: Cho đường tròn (O) có đường kính AB và điểm C thuộc đường
tròn đó (C khác A , B ). Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B, C). Tia AD
cắt cung nhỏ BC tại điểm E, tia AC cắt tia BE tại điểm F.
a) Chứng minh rằng FCDE là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh rằng DA.DE = DB.DC.
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 40
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE, chứng minh rằng IC
là tiếp tuyến của đường tròn (O) . HƯỚNG DẪN GIẢI:
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 41
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
a) Tứ giác FCDE có 2 góc đối : o
FED = FCD = 90 (góc nội tiếp chắn nửa F I E C D A B O
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 42
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
đường tròn). Suy ra tứ giác FCDE nội tiếp.
b) Xét hai tam giác ACD và BED có: 0
ACD = BED = 90 , ADC = BDE (đối đỉnh) nên
ACDBED. Từ đó ta có tỷ số : DC DE =
DC.DB = D . A DE . DA DB
c) I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE
 tam giác ICD cân  ICD = IDC = FEC
(chắn cung FC ). Mặt khác tam giác OBC cân
nên OCB = OBC = DEC (chắn cung AC của (O)). Từ đó 0
ICO = ICD + DCO = FEC + DEC = FED = 90
 IC ⊥ CO hay IC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Bài 22: Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mp bờ AB
vẽ hai tia Ax, By vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy một điểm I, tia vuông
góc với CI tại C cắt tia By tại K . Đường tròn đường kính IC cắt IK tại P.
a) Chứng minh tứ giác CPKB nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh rằng AI.BK = AC.BC. c) Tính APB . HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) Ta có IPC = 900 (vì góc nội tiếp
chắn nửa đường tròn) => CPK = 900. y x K
Xét tứ giác CPKB có: K + B = 900 + 900 = 1800
=> CPKB là tứ giác nội tiếp đường tròn (đpcm)
b) Xét  AIC và  BCK có A = B = 900; P I
ACI = BKC (2 góc có cạnh tương ứng vuông góc) AI AC
=>  AIC ~  BCK (g.g) => = BC BK A C B => AI.BK = AC.BC.
c) Ta có: PAC = PIC (vì 2 góc nội tiếp cùng chắn cung PC )
PBC = PKC (vì 2 góc nội tiếp cùng chắn cung PC ) Suy ra 0
PAC + PBC = PIC + PKC = 90 (vì  ICK vuông tại C)=> APB = 900 .
Bài 23: Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, R’) với R > R’ cắt nhau tại A
và B. Kẻ tiếp tuyến chung DE của hai đường tròn với D  (O) và E  (O’)
sao cho B gần tiếp tuyến đó hơn so với A.
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 43
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
a) Chứng minh rằng DAB = BDE .
b) Tia AB cắt DE tại M. Chứng minh M là trung điểm của DE.
c) Đường thẳng EB cắt DA tại P, đường thẳng DB cắt AE tại Q. Chứng
minh rằng PQ song song với AB. HƯỚNG DẪN GIẢI: D M E B P Q O O' A 1 1
a) Ta có DAB = sđ DB (góc nội tiếp) và BDE = sđ DB 2 2
(góc giữa tiếp tuyến và dây cung). Suy ra DAB = BDE .
b) Xét hai tam giác DMB và AMD có: DMA chung, DAM = BDM nên  MD MA DMB  AMD  = hay 2 MD = M . A MB . MB MD ME MA
Tương tự ta cũng có: EMB  AME  = hay 2 ME = M . A MB . MB ME
Từ đó: MD = ME hay M là trung điểm của DE.
c) Ta có DAB = BDM , EAB = BEM PAQ + PBQ = 0
DAB + EAB + PBQ = BDM + BEM + DBE = 180
 tứ giác APBQ nội tiếp  PQB = PAB . Kết hợp với PAB = BDM suy ra
PQB = BDM . Hai góc này ở vị trí so le trong nên PQ song song với AB.
Bài 24: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm C thuộc nửa
đường tròn và điểm D nằm trên đoạn OA. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By của
nửa đường tròn. Đường thẳng qua C, vuông góc với CD cắt cắt tiếp tuyên
Ax, By lần lượt tại M và N.
a) Chứng minh các tứ giác ADCM và BDCN nội tiếp được đường tròn. b) Chứng mình rằng 0 MDN = 90 .
c) Gọi P là giao điểm của AC và DM, Q là giao điểm của BC và DN. Chứng
minh rằng PQ song song với AB.
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 44
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) Ta có vì Ax là tiếp tuyến của nửa đường tròn nên 0 MAD = 90 . Mặt khác theo giả thiết 0
MCD = 90 nên suy ra tứ giác ADCM nội tiếp. Tương tự, tứ
giác BDCN cũng nội tiếp.
b) Theo câu trên vì các tứ giác ADCM và BDCN nội tiếp nên: DMC = DAC
, DNC = DBC . Suy ra 0
DMC + DNC = DAC + DBC = 90 . Từ đó 0 MDN = 90 . c) Vì 0
ACB = MDN = 90 nên tứ giác CPDQ nội tiếp. Do đó CPQ = CDQ = CDN .
Mặt khác, tứ giác CDBN nội tiếp nên CDN = CBN . Hơn nữa ta có CBN = CAB
, suy ra CPQ = CAB hay PQ song song với AB.
Bài 25: Cho đường trong (O, R) và đường thẳng d không qua O cắt đường
tròn tại hai điểm A, B. Lấy một điểm M trên tia đối của tia BA kẻ hai tiếp
tuyến MC, MD với đường tròn (C, D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của AB.
a) Chứng minh rằng các điểm M, D, O, H cùng nằm trên một đường tròn.
b) Đoạn OM cắt đường tròn tại I. Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD.
c) Đường thẳng qua O, vuông góc với OM cắt các tia MC, MD thứ tự tại P
và Q. Tìm vị trí của điểm M trên d sao cho diện tích tam giác MPQ bé nhất. HƯỚNG DẪN GIẢI:
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 45
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 P C A d H B I O M D Q
a) Vì H là trung điểm của AB nên OH ⊥ AB hay 0
OHM = 90 . Theo tính chất
của tiếp tuyến ta lại có OD ⊥ DM hay 0
ODM = 90 . Suy ra các điểm M, D, O,
H cùng nằm trên một đường tròn.
b) Theo tính chất tiếp tuyến, ta có MC = MD  MCD cân tại M  MI là
một đường phân giác của CMD . Mặt khác I là điểm chính giữa cung nhỏ 1 1 CD nên DCI =
sđ DI = sđCI = MCI  CI là phân giác của MCD . 2 2
Vậy I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD.
c) Ta có tam giác MPQ cân ở M, có MO là đường cao nên diện tích của nó được tính: 1 S = 2S = 2. .O .
D QM = R(MD + DQ) OQM
. Từ đó S nhỏ nhất  MD + 2
DQ nhỏ nhất. Mặt khác, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông OMQ ta có 2 2
DM .DQ = OD = R không đổi nên MD + DQ nhỏ nhất  DM = DQ = R.
Khi đó OM = R 2 hay M là giao điểm của d với đường tròn tâm O bán kính R 2 .
Bài 26: Cho tứ giác ABCD có hai đỉnh B và C ở trên nửa đường tròn đường
kính AD, tâm O. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Gọi H là hình chiếu
vuông góc của E xuống AD và I là trung điểm của DE. Chứng minh rằng:
a) Các tứ giác ABEH, DCEH nội tiếp được đường tròn.
b) E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCH.
c) Năm điểm B, C, I, O, H cùng thuộc một đường tròn. HƯỚNG DẪN GIẢI: a) Tứ giác ABEH có: 0
B = 90 (góc nội tiếp trong nửa đường tròn); 0 H = 90 (giả thiết)
nên tứ giác ABEH nội tiếp được.
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 46
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
Tương tự, tứ giác DCEH có 0
C = H = 90 , nên nội tiếp được.
b) Trong tứ giác nội tiếp ABEH, ta có: EBH = EAH C (cùng chắn cung EH ) B
Trong (O) ta có: EAH = CAD = CBD E (cùng chắn cung CD ). I
Suy ra: EBH = EBC , nên BE là tia A H O D phân giác của góc HBC . Tương tự, ta có:
ECH = BDA = BCE , nên CE là tia phân giác của góc BCH .
Vậy E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCH.
c) Ta có I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ECD,
nên BIC = 2EDC (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung EC
). Mà EDC = EHC , suy ra BIC = BHC .
+ Trong (O), BOC = 2BDC = BHC (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung BC ).
+ Suy ra: H, O, I ở trên cung chứa góc BHC dựng trên đoạn BC,
hay 5 điểm B, C, H, O, I cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 27: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. C là một điểm nằm
giữa O và A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn trên
tại I. K là một điểm bất kỳ nằm trên đoạn thẳng CI (K khác C và I), tia AK
cắt nửa đường tròn (O) tại M, tia BM cắt tia CI tại D. Chứng minh:
a) ACMD là tứ giác nội tiếp đường tròn. b) ∆ABD ~ ∆MBC
c) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD nằm trên một đường thẳng cố
định khi K di động trên đoạn thẳng CI. HƯỚNG DẪN GIẢI:
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 47
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 a) Ta có: 0
AMB = 90 (góc nội tiếp chắn D nửa đường tròn) 0  AMD = 90 . M Tứ giác ACMD có 0 AMD = ACD = 90 , suy I
ra ACMD nội tiếp đường tròn đường K kính AD. b) ∆ABD và ∆MBC có: E C O B A B chung và BAD = BMC
(do ACMD là tứ giác nội tiếp).
Suy ra: ∆ABD ~ ∆MBC (g – g)
c) Lấy E đối xứng với B qua C thì E cố định và EDC = BDC , lại có:
BDC = CAK (cùng phụ với B ), suy ra: EDC = CAK . Do đó AKDE là tứ giác
nội tiếp. Gọi O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆AKD thì O’ củng là tâm
đường tròn ngoại tiếp tứ giác AKDE nên O A = O E, suy ra O thuộc đường
trung trực của đoạn thẳng AE cố định.
Bài 28: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và tia tiếp tuyến
Ax cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp
tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C là tiếp điểm). AC cắt OM tại E;
MB cắt nửa đường tròn (O) tại D (D khác B).
a) Chứng minh: AMDE là tứ giác nội tiếp đường tròn. b) MA2 = MD.MB
c) Vẽ CH vuông góc với AB (H  AB). Chứng minh rằng MB đi qua trung điểm của CH. HƯỚNG DẪN GIẢI: a) 0
ADB = 90 (góc nội tiếp chắn nửa x N đường tròn) 0  ADM = 90 (1)
Lại có: OA = OC = R; MA = MC (tính C
chất tiếp tuyến). Suy ra OM là đường M D trung trực của AC I 0  AEM = 90 (2). E
Từ (1) và (2) suy ra MADE là tứ giác A H O B
nội tiếp đường tròn đường kính MA.
b) Xét ∆MAB vuông tại A có AD ⊥ MB, suy ra: MA2 = MB.MD (hệ thức
lượng trong tam giác vuông)
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 48
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
c) Kéo dài BC cắt Ax tại N, ta có 0
ACB = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 0
 ACN = 90 , suy ra ∆ACN vuông tại C. Lại có MC = MA nên suy ra
được MC = MN, do đó MA = MN (5).
Mặt khác ta có CH // NA (cùng vuông góc với AB) nên theo định lí Ta-lét IC IH  BI  thì = = 
 (6) với I là giao điểm của CH và MB. MN MA  BM 
Từ (5) và (6) suy ra IC = IH hay MB đi qua trung điểm của CH.
Bài 29: Cho nửa đường tròn đường kính BC = 2R. Từ điểm A trên nửa
đường tròn vẽ AH ⊥ BC. Nửa đường tròn đường kính BH, CH lần lượt có
tâm O1; O2 cắt AB, AC thứ tự tại D và E.
a) Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật, từ đó tính DE biết R = 25 và BH = 10
b) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn.
c) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác DEO1O2 đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị đó. HƯỚNG DẪN GIẢI: A E D B O O O C H a) Ta có 1 2
BAC = 900 (vì góc nội tiếpchắn nửa đường tròn)
Tương tự có BDH = CEH = 900
Xét tứ giác ADHE có A = ADH = AEH = 900 => ADHE là hình chữ nhật.
Từ đó DE = AH mà AH2 = BH.CH (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)
hay AH2 = 10 . 40 = 202 (BH = 10; CH = 2.25 - 10 = 40) => DE = 20
b) Ta có: BAH = C (góc có cạnh tương ứng vuông góc) mà DAH = ADE (1)
(Vì ADHE là hình chữ nhật) => C = ADE do C + BDE = 1800 nên tứ giác
BDEC nội tiếp đường tròn. c) Vì O  BD cân tại O = 1D = O1B => O1 1 => B BDO1 (2)
Từ (1), (2) =>ADE + BDO = B + BAH 1 = 900 => O1D //O2E
Vậy DEO2O1 là hình thang vuông tại D và E.
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 49
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 Ta có Sht = 1 1 1 2 (O D + O E).DE = O O .DE  O O 1 2 1 2 1 2 (Vì O1D 2 2 2
+ O2E = O1H + O2H = O1O2 và DE < O1O2 ) 2 2 1 BC R 2 S  O O = = . Dấu "=" xảy ra khi ht 1 2 2 8 2 và chỉ khi DE = O là hình chữ 1O2  DEO2O1 nhật 2  R
A là điểm chính giữa cung BC. Khi đó max SDEO O = . 2 1 2
Bài 30: Cho tam giác vuông ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O đường
kính AB. Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho CD = AC.
a) Chứng minh tam giác ABD cân.
b) Đường thẳng vuông góc với AC tại A cắt đường tròn (O) tại E (E  A).
Tên tia đối của tia EA lấy điểm F sao cho EF = AE. Chứng minh rằng ba
điểm D, B, F cùng nằm trên một đường thẳng.
c) Chứng minh rằng đường tròn đi qua ba điểm A, D, F tiếp xúc với đường tròn (O). HƯỚNG DẪN GIẢI: a) Chứng minh  ABD cân D
Xét  ABD có BC ⊥ DA và CA = CD
nên BC vừa là đường cao vừa là trung C tuyến của nó. Vậy  ABD cân tại B A O B
b) Chứng minh rằng ba điểm D, B, F
cùng nằm trên một đường thẳng. E
Vì CAE = 900, nên CE là đường kính của F (O).
Ta có CO là đường trung bình của tam giác ABD
Suy ra BD // CO hay BD // CE (1)
Tương tự CE là đường trung bình của tam giác ADF.
Suy ra DF // CE (2). Từ (1) và (2) suy ra D, B, F cùng nằm trên một đường thẳng.
c) Chứng minh rằng đường tròn đi qua ba điểm A, D, F tiếp xúc với đường tròn (O).
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 50
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
Tam giác ADF vuông tại A và theo tính chất của đường trung bình DB = CE
= BF  B là trung điểm của DF. Do đó đường tròn qua ba điểm A,D,F nhận
B làm tâm và AB làm bán kính. Hơn nữa, vì OB = AB - OA nên đường tròn
đi qua ba điểm A, D, F tiếp xúc trong với đường tròn (O) tại A.
Bài 31: Cho ba điểm A, B, C cố định thẳng hàng theo thứ tự đó. Vẽ đường
tròn (O; R) bất kỳ đi qua B và C (BC  2R). Từ A kẻ các tiếp tuyến AM,
AN đến (O) (M, N là tiếp điểm). Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BC
và MN; MN cắt BC tại D. Chứng minh: a) AM2 = AB.AC
b) AMON; AMOI là các tứ giác nội tiếp đường tròn.
c) Khi đường tròn (O) thay đổi, tâm đường tròn ngoại tiếp  OID luôn
thuộc một đường thẳng cố định. HƯỚNG DẪN GIẢI: a) Xét  ABM và  AMC M Có góc A chung; AMB = MCB 1 ( = sđ cung MB) 2 K O A =>  AMB ~  ACM (g.g) D I B AM AB C => = => AM2 = AB.AC AC AM N
b) Tứ giác AMON có M + N = 1800
(Vì M = N = 900 tính chất tiếp tuyến)
=> AMON là tứ giác nội tiếp được
- Vì OI ⊥ BC (định lý đường kính và dây cung)
Xét tứ giác AMOI có M + I = 900 + 900 = 1800 => AMOI là tứ giác nội tiếp được
c) Ta có OA ⊥ MN tại K (vì K trung điểm MN), MN cắt AC tại D.
Xét tứ giác KOID có K + I = 1800 => tứ giác KOID nội tiếp đường tròn tâm O1
=> O1 nằm trên đường trung trực của DI mà AD.AI = AK.AO = AM2 =
AB.AC không đổi (Vì A, B, C, I cố định). Do AI không đổi => AD không đổi => D cố định. Vậy O 
1 tâm đường tròn ngoại tiếp
OIK luôn thuộc đường trung trực của DI cố định.
Bài 32: Qua điểm A cho trước nằm ngoài đường tròn (O) vẽ 2 tiếp tuyến
AB, AC (B, C là các tiếp điểm), lấy điểm M trên cung nhỏ BC, vẽ MH ⊥ BC; MI ⊥ AC; MK ⊥ AB.
a) Chứng minh các tứ giác: BHMK, CHMI nội tiếp đường tròn.
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 51
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 b) Chứng minh MH2 = MI.MK
c) Qua M vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt AB, AC tại P, Q. Chứng
minh chu vi  APQ không phụ thuộc vào vị trí điểm M. HƯỚNG DẪN GIẢI: a) Xét tứ giác BHMK: A H + K = 900 + 900 = 1800
=> Tứ giác BHMK nội tiếp đường tròn.
CM tương tự có tứ giác CHMI cũng nội tiếp được. I
b) Ta có B + HMK = C + HMI = 1800 K M mà B = C  HMK = HMI (1) B
KBM = BCM , KBM = KHM (vì 2 góc nội tiếp H C
cùng chắn cung MK và góc tạo bởi tia tt ... và
góc nội tiếp cùng chắn cung BM).
HCM = HIM (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và góc nội
tiếp cùng chắn HM )  KHM = HIM (2). Từ (1), (2) =>  MH MK HMK ~  IMH (g.g) => 2 =  MH = MI .MK MI MH (đpcm)
c) Ta có PB = PM; QC = QM; AB = AC (Theo t/c hai tiếp tuyến)
Xét chu vi  APQ = AP + AQ + PQ = AP + AQ + PM + QM
= (AP + PB) + (AQ + QC) = AB + AC = 2AB không đổi.
Vì A cố định và đường tròn (O) cho trước nên chu vi  APQ không
phụ thuộc vào vị trí của điểm M (đpcm).
Bài 33: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ tiếp
tuyến chung ngoài BC (B, C thứ tự là các tiếp điểm thuộc (O; R) và (O’; R’)). a) Chứng minh BAC = 900 . b) Tính BC theo R, R’.
c) Gọi D là giao điểm của đường thẳng AC và đường tròn (O) (D  A),
vẽ tiếp tuyến DE với đường tròn (O’) (E  (O’)). Chứng minh BD = DE. HƯỚNG DẪN GIẢI: C M B A O O' N D
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 52 E
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
a) Qua A vẽ tiếp tuyến chung trong cắt BC tại M
Ta có MB = MA = MC (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)  A = 900.
b) Giả sử R’ > R. Lấy N trung điểm của OO’.
Ta có MN là đường trung bình của hình thang vuông OBCO’
(OB // O’C; B = C = 900) và tam giác AMN vuông tại A. R + R' R − R Có MN = ; AN =
. Khi đó MA2 = MN2 - AN2 = RR’ 2 2
=> MA = RR' mà BC = 2MA = 2 RR'
c) Ta có O, B, D thẳng hàng (vì BAD = 900 ; OA = OB = OD)
 BDC có DBC = 900, BA ⊥ CD, ta có: BD2 = DA . DC (1)  DE DA ADE ~  EDC (g.g) => = => DA . DC = DE2 (2) DC DE
(1), (2) => BD = DE (đpcm).
Bài 34: Cho đường tròn (O), đường kính AB, d1, d2 là các các đường thẳng
lần lượt qua A, B và cùng vuông góc với đường thẳng AB. M, N là các
điểm lần lượt thuộc d1, d2 sao cho MON = 900.
a) Chứng minh đường thẳng MN là tiếp tuyến của đường tròn (O). 2 AB b) Chứng minh AM . AN = . 4
c) Xác định vị trí của M, N để diện tích tam giác MON đạt giá trị nhỏ nhất. HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) Gọi H là hình chiếu của O trên
đường thẳng MN. Xét tứ giác OAMH N 0 0 A + H = 180 (do A = H = 90 )
=> OAMH là tứ giác nội tiếp đường tròn. H
Tương tự tứ giác OANH nội tiếp được M => A = M , B = N 1 1 1
1 (2 góc nội tiếp chắn 1 cung) 0  A + B = M + N = 90 AHB A B O 1 1 1 1 => = 900 => MN là tiếp tuyến
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 53
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
b) Ta có AM = MH, BN = NH, theo hệ thức lượng trong tam vuông, ta có: 2 AB AM. BN = MH . NH = OH2 = (đpcm) 4 1 1 c) S = MON
OH . MN > OH . AB (Vì AMNB là hình thang vuông) 2 2
Dấu “=” khi và chỉ khi MN = AB hay H là điểm chính giữa của cung AB.
 M, N song song với AB  AB AM = BN = . 2 Vậy AB S
nhỏ nhất khi và chỉ khi AM = BN = . MON 2
Bài 35: Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB
(tiếp điểm A; B) và cát tuyến cắt đường tròn tại 2 điểm C và D không đi
qua O. Gọi I là trung điểm của CD.
a) Chừng minh 5 điểm M, A, I, O, B cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh IM là phân giác của AIB . HƯỚNG DẪN GIẢI: A
a) Vì MA, MB là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Nên MA ⊥ OA; MB ⊥ OB; Mà OI ⊥ CD
(Theo định lý đường kính là dây cung). O M
Do đó MAO = MBO = MIO = 900 => 3 điểm I C D A, B, I
thuộc đường tròn đường kính MO hay 5 B
điểm M, A, I, O, B cùng thuộc một đường tròn.
b) Ta có: AIM = AOM (vì 2 góc nội tiếp cùng chắn cung MA) BIM = BOM (vì
2 góc nội tiếp cùng chắn cung MB) mà AOM = BOM (tính chất hai tiếp tuyến)
=> AIM = BIM => IM là phân giác của góc AIB (đpcm).
Bài 36: Cho đường tròn (O), từ điểm A ngoài đường tròn vẽ đường thẳng
AO cắt đường tròn (O) tại B, C (AB < AC). Qua A vẽ đường thẳng không
đi qua (O) cắt đường tròn (O) tại D; E (AD < AE). Đường thẳng vuông góc
với AB tại A cắt đường thẳng CE tại F.
a) Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp đường tròn.
b) Gọi M là giao điểm thứ hai của FB với đường tròn (O), chứng minh DM ⊥ AC.
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 54
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
c) Chứng minh: CE . CF + AD . AE = AC2. HƯỚNG DẪN GIẢI: F a) FAB = 900 (vì AF ⊥ AB)
BEC = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) E
=> BEF = 900. Do đó FAB + BEF = 1800 D
Vậy tứ giác ABEF nội tiếp đường tròn. O 1 A b) Ta có: B
AFB = AEB = ( sđ cung AB) (vì 2 góc C 2
nội tiếp cùng chắn 1 cung) M 1
AEB = BMD = ( sđ cung BD) (vì 2 góc nội tiếp cùng chắn 1 cung) 2
Do đó AFB = BMD => AF // DM mà FA ⊥ AC => DM ⊥ AC AC CF
c)  ACF ~  ECB (g.g) => = => CE.CF = AC.BC (1) CE BCAB AD ABD ~  AEC (g.g) => = => AD.AE = AC.AB (2) AE AC
(1), (2) => AD.AE + CE.CF = AC(AB + BC) = AC2 (đpcm)
Bài 37: Cho  ABC có 3 góc nhọn, trực tâm là H và nội tiếp đường tròn (O). Vẽ đường kính AK.
a) Chứng minh tứ giác BHCK là hình hình hành.
b) Vẽ OM ⊥ BC (M  BC). Chứng minh H, M, K thẳng hàng và AH = 2.OM.
c) Gọi A’, B’, C’ là chân các đường cao thuộc các cạnh BC, CA, AB
của  ABC. Khi BC cố định hãy xác định vị trí điểm A để tổng S = A’B’ +
B’C’ + C’A’ đạt giá trị lớn nhất. HƯỚNG DẪN GIẢI: A a) Ta có ACK = 900
(vì góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Nên CK ⊥ AC mà BH ⊥ AC (vì H trực tâm)
=> CK // BH tương tự có CH // BK O H
=> Tứ giác BHCK là hbh (đpcm)
b) OM ⊥ BC => M trung điểm của BC M C B
(định lý đường kính và dây cung) => M là trung K
điểm của HK (vì BHCK là hình bình hành) =>
đpcm  AHK có OM là đường trung bình => AH = 2.OM
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 55
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 c) Ta có AC C  = BB C
 = 900=> tứ giác BC’B’C nội tiếp đường tròn => AC B  
= ACB mà ACB = BAx (Ax là tiếp tuyến tại A) => Ax // B’C’ 1
OA ⊥ Ax => OA ⊥ B’C’. Do đó SAB’OC’ = R.B’C’ 2 1 1
Tương tự: SBA’OC’ = R.A’C’; SCB’OA’ = R.A’B’ 2 2 1 1 1 S
= R(A’B’ + B’C’ + C’A’)= AA’ .BC < (AO + OM).BC ABC 2 2 2
=> A’B’ + B’C’ + C’A’, lớn nhất khi A, O, M thẳng hàng <=> A là đỉểm chính giữa cung lớn BC.
Bài 38: Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và 2
O sao cho AI = AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I, gọi C là điểm tùy 3
ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E.
a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp .
b) Chứng minh hệ thức: AM2 = AE.AC.
c) Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đ ến tâm M
đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất. O1 HƯỚNG DẪN GIẢI: C E
a) Theo giả thiết MN ⊥AB tại I A 0 0 I O B ACB = 90 hay ECB = 90 0  EIB + ECB = 180
mà đây là hai góc đối của tứ giác IECB nên N
tứ giác IECB là tứ giác nội tiếp.
b) Theo giả thiêt MN ⊥AB, suy ra A là điểm
chính giữa của MN nên AMN = ACM (hai
góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) hay AME = ACM , lại có CAM là
góc chung do đó tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM AM AE  =  AM2 = AE.AC. AC AM
c) Theo trên AMN = ACM  AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp
ECM. Nối MB ta có AMB = 900, do đó tâm O1 của đường tròn ngoại tiếp ECM phải nằm trên BM.
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 56
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 + Ta thấy NO 
1 nhỏ nhất khi NO1 là khoảng cách từ N đến BM NO1 ⊥BM.
Gọi O1 là chân đường vuông góc kẻ từ N đến BM ta được O1 là tâm
đường tròn ngoại tiếp  ECM có bán kính là O1M.
+ Do đó để khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp  ECM là nhỏ
nhất thì C phải là giao điểm của đường tròn (O1), bán kính O1M với đường
tròn (O) trong đó O là hình chiếu vuông góc của N trên BM. 1
Bài 39: Bên trong hình vuông ABCD vẽ tam giác đều ABE . Vẽ tia Bx
thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm E, có bờ là đường thẳng AB sao cho Bx
vuông góc với BE. Trên tia Bx lấy điểm F sao cho BF = BE.
a) Tính số đo các góc của tam giác ADE.
b) Chứng minh 3 điểm: D, E, F thẳng hàng.
c) Đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác AEB cắt AD tại M. Chứng minh ME // BF. HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) Tam giác ADE cân tại A vì D C AD = AE. Lại có: E 3 2 1 A 0 0 0 − = − = 1 = DAB EAB 90 60 30 x Do đó M F 1 0 0 0 ADE = AED = (180 − 30 ) = 75 . 2 O 1 b) Từ giả 1
thiết, dễ thấy tam giác 2 A B BEF vuông cân tại B, nên 0 E = 45 1 . Từ đó ta có: 0 0 0 0
DEF = DEA + E + E = 75 + 60 + 45 = 180 2 1
suy ra 3 điểm D, E, F thẳng hàng, đpcm. c) Ta có: B = A 0 B = 30 0 B = 30 1
1 (cùng chắn cung EM) suy ra 1 nên 2 . Mà E = B 0 E = 30 3 2 nên 3 . Vậy 0 0 0 E + E = 60 + 30 = 90 ⊥ ⊥ 2 3
hay ME EB. Mặt khác BF EB do đó ME // BF.
Bài 40: Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Bán kính CO vuông
góc với AB, M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC (M khác A, C); BM
cắt AC tại H. Gọi K là hình chiếu của H trên AB.
a) Chứng minh CBKH là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh ACM = ACK
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 57
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
c) Trên đọan thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM. Chứng minh tam
giác ECM là tam giác vuông cân tại C
c) Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại điểm A; cho P là điểm nằm trên d sao cho
hai điểm P, C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và AP.MB = R . MA
Chứng minh đường thẳng PB đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK HƯỚNG DẪN GIẢI: C S M H P E N A K B O a) Ta có 0
HCB = 90 ( do chắn nửa đường tròn đk AB) 0
HKB = 90 (do K là hình chiếu của H trên AB) => 0
HCB + HKB = 180 nên tứ giác CBKH nội tiếp trong đường tròn đường kính HB.
b) Ta có ACM = ABM (do cùng chắn AM của (O))
và ACK = HCK = HBK (vì cùng chắn HK .của đtròn đk HB)
Vậy ACM = ACK
c) Vì OC ⊥ AB nên C là điểm chính giữa của cung AB  AC = BC và 0
sd AC = sd BC = 90
Xét 2 tam giác MAC và EBC có
MA= EB(gt), AC = CB(cmt) và MAC = MBC vì cùng chắn cung MC của (O)
MAC và EBC (cgc)  CM = CE  tam giác MCE cân tại C (1) Ta lại có 0
CMB = 45 (vì chắn cung 0 CB = 90 )  0
CEM = CMB = 45 (tính chất tam giác MCE cân tại C)
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 58
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 Mà 0
CME + CEM + MCE = 180 (Tính chất tổng ba góc trong tam giác) 0 MCE = 90 (2)
Từ (1), (2) tam giác MCE là tam giác vuông cân tại C (đpcm).
d) Gọi S là giao điểm của BM và đường thẳng (d), N là giao điểm của BP với HK. Xét PAM và  OBM :
Theo giả thiết ta có A . P MB AP OB = R  = (vì có R = OB). MA MA MB
Mặt khác ta có PAM = ABM (vì cùng chắn cung AM của (O))  AP OB PAM ∽  OBM  =
= 1 PA = PM .(do OB = OM = R) (3) PM OM Vì AMB = 0
90 (do chắn nửa đtròn(O))  AMS = 0 90
 tam giác AMS vuông tại M.  PAM + PSM = 0 90 và PMA + PMS = 0 90
PMS = PSM PS = PM (4)
Mà PM = PA(cmt) nên PAM = PMA
Từ (3) và (4)  PA = PS hay P là trung điểm của AS.
Vì HK//AS (cùng vuông góc AB) nên theo ĐL Ta NK BN HN -lét, ta có: = = PA BP PS NK HN hay =
mà PA = PS(cmt)  NK = NH hay BP đi qua trung điểm N PA PS của HK. (đpcm)
TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 59
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 - 2017 ĐỀ SỐ 01 Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Cho biết a = 2 + 3 và b = 2 − 3 . Tính giá trị biểu thức: P = a + b - ab. 3  x + y = 5
b) Giải hệ phương trình:  . x - 2y = - 3  1 1  x
Câu 2 (2,0 điểm) Cho biểu thức P = + :   (với x > 0,  x - x x −1  x - 2 x +1 x  1)
a) Rút gọn biểu thức P. 1
b) Tìm các giá trị của x để P > . 2
Câu 3 (2,0 điểm)
Cho phương trình: x2 – 5x + m = 0 (m là tham số).
a) Giải phương trình trên khi m = 6.
b) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x − x = 3 1 2 .
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ dây cung CD vuông góc
với AB tại I (I nằm giữa A và O ). Lấy điểm E trên cung nhỏ BC ( E khác B
và C ), AE cắt CD tại F. Chứng minh:
a) BEFI là tứ giác nội tiếp đường tròn. b) AE.AF = AC2.
c) Khi E chạy trên cung nhỏ BC thì tâm đường tròn ngoại tiếp ∆CEF
luôn thuộc một đường thẳng cố định.
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 60
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
Câu 5 (1,0 điểm) Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a + b  2 2 . Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức: P = 1 1 + . a b
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 - 2017 ĐỀ SỐ 02 Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức: 1 1 − . 3 − 7 3 + 7
b) Giải phương trình: x2 – 7x + 3 = 0.
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d: y = - x + 2 và Parabol (P): y = x2. 4x + ay = b
b) Cho hệ phương trình:  . x - by = a
Tìm a và b để hệ đã cho có nghiệm duy nhất ( x;y ) = ( 2; - 1).
Câu 3 (1,5 điểm)
Một xe lửa cần vận chuyển một lượng hàng. Người lái xe tính rằng
nếu xếp mỗi toa 15 tấn hàng thì còn thừa lại 5 tấn, còn nếu xếp mỗi toa 16
tấn thì có thể chở thêm 3 tấn nữa. Hỏi xe lửa có mấy toa và phải chở bao nhiêu tấn hàng.
Câu 4 (3,5 điểm)
Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R) ta vẽ hai tiếp tuyến AB,
AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M,
vẽ MI ⊥ AB, MK ⊥ AC (I AB,K AC)
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 61
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
a) Chứng minh: AIMK là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Vẽ MP ⊥ BC (P BC). Chứng minh: MPK = MBC .
c) Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị MAX.
Câu 5 (1,0 điểm) − − −
Giải phương trình: x - 2015 1 y - 2016 1 z - 2017 1 3 + + = x - 2015 y - 2016 z - 2017 4
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 - ĐỀ SỐ 03 2017 Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình sau: a) x4 + 3x2 – 4 = 0 2x + y = 1 b)  3  x + 4y = -1
Câu 2 (2,0 điểm) Rút gọn các biểu thức: 3 − 6 2 + 8 a) A = − 1− 2 1+ 2  1 1  x + 2 x b) B = − .   ( với x > 0, x  4 ).  x − 4 x + 4 x + 4  x
Câu 3 (2,0 điểm)
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 62
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
a) Vẽ đồ thị các hàm số y = - x2 và y = x – 2 trên cùng một hệ trục tọa độ.
b) Tìm tọa độ giao điểm của các đồ thị đã vẽ ở trên bằng phép tính.
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O;R).
Các đường cao BE và CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh: AEHF và BCEF là các tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Gọi M và N thứ tự là giao điểm thứ hai của đường tròn (O;R) với
BE và CF. Chứng minh: MN // EF.
c) Chứng minh rằng OA ⊥ EF.
Câu 5 (1,0 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 2 x - x y + x + y - y + 1
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 - ĐỀ SỐ 04 2017 Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm)
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 63
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
a) Trục căn thức ở mẫu của các biểu thức 4 5 sau: ; . 3 5 −1
b) Trong hệ trục tọa độ Oxy, biết đồ thị hàm số y = ax2 đi qua điểm M 1 (- 2; ). Tìm hệ số a. 4
Câu 2 (2,0 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình sau: a) 2x + 1 = 7 - x 2x + 3y = 2  b)  1 x - y =  6
Câu 3 (2,0 điểm) Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx + 4 = 0 (1)
a) Giải phương trình đã cho khi m = 3.
b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
( x1 + 1 )2 + ( x2 + 1 )2 = 2.
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại E. Lấy I thuộc
cạnh AB, M thuộc cạnh BC sao cho: 0
IEM = 90 (I và M không trùng với các đỉnh của hình vuông ).
a) Chứng minh rằng BIEM là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Tính số đo của góc IME
c) Gọi N là giao điểm của tia AM và tia DC; K là giao điểm của BN
và tia EM. Chứng minh CK ⊥ BN.
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác.
Chứng minh: ab + bc + ca  a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca ).
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. TRÌ
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH ĐỀ SỐ 05
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 64
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 - 2017 Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm)   a) Thực hiện phép tính: 3 2  − . 6   2 3  
b) Trong hệ trục tọa độ Oxy, biết đường thẳng y = ax + b đi qua điểm
A( 2; 3 ) và điểm B(-2;1) Tìm các hệ số a và b.
Câu 2 (2,0 điểm) Giải các phương trình sau: a) x2 – 3x + 1 = 0 x - 2 4 b) + = 2 x - 1 x + 1 x - 1
Câu 3 (1,0 điểm)
Hai ô tô khởi hành cùng một lúc trên quãng đường từ A đến B dài 120
km. Mỗi giờ ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai là 10 km nên đến B
trước ô tô thứ hai là 0,4 giờ. Tính vận tốc của mỗi ô tô.
Câu 4 (4,0 điểm)
Cho đường tròn (O;R); AB và CD là hai đường kính khác nhau của
đường tròn. Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O;R) cắt các đường thẳng AC, AD thứ tự tại E và F.
a) Chứng minh tứ giác ACBD là hình chữ nhật.
b) Chứng minh ∆ACD ~ ∆CBE
c) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp được đường tròn.
d) Gọi S, S1, S2 thứ tự là diện tích của ∆AEF, ∆BCE và ∆BDF. Chứng minh: S + S = S 1 2 .
Câu 5 (1,0 điểm) Giải phương trình: 3 ( 2 10 x + 1 = 3 x + 2)
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 65
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 - ĐỀ SỐ 06 2017 Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm) Rút gọn các biểu thức sau:  3 + 3   3 − 3  a) A =  2 + . 2 −      3 +1 3 −1      b a  b) B =  - . 
 (a b - b a ) ( với a > 0, b > 0, a  b) a - ab ab - b  
Câu 2 (2,0 điểm) x - y = - 1 ( ) 1 
a) Giải hệ phương trình:  2 3 + = 2  (2)  x y
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: x2 – x – 3 = 0. Tính giá trị biểu thức: P = x 2 2 1 + x2 .
Câu 3 (2,0 điểm)
a) Biết đường thẳng y = ax + b đi qua điểm M ( 2; 1 ) và song song 2
với đường thẳng 2x + y = 3. Tìm các hệ số a và b.
b) Tính các kích thước của một hình chữ nhật có diện tích bằng 40
cm2, biết rằng nếu tăng mỗi kích thước thêm 3 cm thì diện tích tăng thêm 48 cm2.
Câu 4 (3,0 điểm)
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 66
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
Cho tam giác ABC vuông tại A, M là một điểm thuộc cạnh AC (M
khác A và C ). Đường tròn đường kính MC cắt BC tại N và cắt tia BM tại I. Chứng minh rằng:
a) ABNM và ABCI là các tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) NM là tia phân giác của góc ANI .
c) BM.BI + CM.CA = AB2 + AC2.
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho biểu thức A = 2x - 2 xy + y - 2 x + 3 . Hỏi A có giá trị nhỏ nhất hay không? Vì sao?
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 - ĐỀ SỐ 07 2017 Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Tìm điều kiện của x biểu thức sau có nghĩa: A = x - 1 + 3 - x 1 1 b) Tính: − 3 − 5 5 +1
Câu 2 (2,0 điểm) Giải phương trình và bất phương trình sau: a) ( x – 3 )2 = 4 x - 1 1 b) < 2x + 1 2
Câu 3 (2,0 điểm)
Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx - 1 = 0 (1)
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 67
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2.
b) Tìm các giá trị của m để: x 2 2 1 + x2 – x1x2 = 7.
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB. Vẽ dây cung CD vuông góc
với AB (CD không đi qua tâm O). Trên tia đối của tia BA lấy điểm S; SC cắt
(O; R) tại điểm thứ hai là M.
a) Chứng minh ∆SMA đồng dạng với ∆SBC.
b) Gọi H là giao điểm của MA và BC; K là giao điểm của MD và AB.
Chứng minh BMHK là tứ giác nội tiếp và HK // CD. c) Chứng minh: OK.OS = R2. 3 x + 1 = 2y
Câu 5 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:  . 3 y + 1 = 2x
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 - ĐỀ SỐ 08 2017 Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm) 2x + y = 5
a) Giải hệ phương trình:  x - 3y = - 1
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 68
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
b) Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình: 3x2 – x – 2 = 0. 1 1
Tính giá trị biểu thức: P = + . x x 1 2  a a  a +1
Câu 2 (2,0 điểm) Cho biểu thức A =  −  : với a > 0, a    a −1 a - a a - 1   1
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm các giá trị của a để A < 0.
Câu 3 (2,0 điểm) Cho phương trình ẩn x: x2 – x + 1 + m = 0 (1)
a) Giải phương trình đã cho với m = 0.
b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa
mãn: x1x2.( x1x2 – 2 ) = 3( x1 + x2 ).
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và tia tiếp tuyến Ax
cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến
thứ hai MC với nửa đường tròn (C là tiếp điểm). AC cắt OM tại E; MB cắt
nửa đường tròn (O) tại D (D khác B).
a) Chứng minh: AMCO và AMDE là các tứ giác nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh ADE = ACO .
c) Vẽ CH vuông góc với AB (H  AB). Chứng minh rằng MB đi qua trung điểm của CH.
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho các số a, b, c 0 ; 
1 . Chứng minh rằng: a + b2 + c3 - ab - bc - ca  1.
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH ĐỀ SỐ 09
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 69
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 - 2017 Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Cho hàm số y = ( 3 −2) x + 1. Tính giá trị của hàm số khi x = 3 + 2 .
b) Tìm m để đường thẳng y = 2x – 1 và đường thẳng y = 3x + m cắt
nhau tại một điểm nằm trên trục hoành.
Câu 2 (2,0 điểm)  + 
a) Rút gọn biểu thức: A = 3 x 6 x x - 9  +  : với   x - 4 x − 2 x − 3   x  0, x  4, x  9 . 2 x - 3x + 5 1 b) Giải phương trình: = (x + 2)(x - 3) x - 3 3  x - y = 2m - 1
Câu 3 (2,0 điểm) Cho hệ phương trình:  (1) x + 2y = 3m + 2
a) Giải hệ phương trình đã cho khi m = 1.
b) Tìm m để hệ (1) có nghiệm (x; y) thỏa mãn: x2 + y2 = 10.
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm M thuộc đoạn
thẳng OA, điểm N thuộc nửa đường tròn (O). Từ A và B vẽ các tiếp tuyến
Ax và By. Đường thẳng qua N và vuông góc với NM cắt Ax, By thứ tự tại C và D.
a) Chứng minh ACNM và BDNM là các tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh ∆ANB đồng dạng với ∆CMD.
c) Gọi I là giao điểm của AN và CM, K là giao điểm của BN và DM. Chứng minh IK //AB.
Câu 5 (1,0 điểm)
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 70
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 Chứng minh rằng: a + b 1
 với a, b là các số dương. a (3a + b) + b (3b + a ) 2
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 - ĐỀ SỐ 10 2017 Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm) Rút gọn các biểu thức: a) A = − − ( − )2 3 8 50 2 1 2 2 x - 2x + 1 b) B = . , với 0 < x < 1 2 x - 1 4x
Câu 2 (2,0 điểm) Giải hệ phương trình và phương trình sau: 2(x - ) 1 + y = 3 a)  . x - 3y = - 8 b) x + 3 x − 4 = 0
Câu 3 (1,5 điểm)
Một xí nghiệp sản xuất được 120 sản phẩm loại I và 120 sản phẩm loại
II trong thời gian 7 giờ. Mỗi giờ sản xuất được số sản phẩm loại I ít hơn số
sản phẩm loại II là 10 sản phẩm. Hỏi mỗi giờ xí nghiệp sản xuất được bao
nhiêu sản phẩm mỗi loại.
Câu 4 (3,5 điểm) Cho hai đường tròn (O) và (O )
 cắt nhau tại A và B. Vẽ AC,
AD thứ tự là đường kính của hai đường tròn (O) và (O ) .
a) Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng.
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 71
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
b) Đường thẳng AC cắt đường tròn (O )
 tại E; đường thẳng AD cắt
đường tròn (O) tại F (E, F khác A). Chứng minh 4 điểm C, D, E, F cùng nằm trên một đường tròn.
c) Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A cắt (O) và (O )  thứ tự tại M
và N. Xác định vị trí của d để CM + DN đạt giá trị lớn nhất.
Câu 5 (1,0 điểm) Cho hai số x, y thỏa mãn đẳng thức: ( 2 + )( 2 x + x 2011
y + y + 2011) = 2011. Tính: x + y
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 - ĐỀ SỐ 11 2017 Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức: 2 1 - a a 1 - a  a) A =  + a 
 với a ≥ 0 và a ≠ 1.    1 - a 1 - a   
b) Giải phương trình: 2x2 - 5x + 3 = 0
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Với giá trị nào của k, hàm số y = (3 - k) x + 2 nghịch biến trên R. 4x + y = 5
b) Giải hệ phương trình:  3  x - 2y = - 12
Câu 3 (2,0 điểm) Cho phương trình x2 - 6x + m = 0.
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 72
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
a) Với giá trị nào của m thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu.
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện x1 - x2 = 4.
Câu 4 (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Dây BC = R. Từ
B kẻ tiếp tuyến Bx với đường tròn. Tia AC cắt Bx tại M. Gọi E là trung điểm của AC.
a) Chứng minh tứ giác OBME nội tiếp đường tròn.
b) Gọi I là giao điểm của BE với OM. Chứng minh: IB.IE = IM.IO.
Câu 5 (1,0 điểm) Cho x > 0, y > 0 và x + y ≥ 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 6 8 P = 3x + 2y + + . x y
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 - ĐỀ SỐ 12 2017 Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm) Tính gọn biểu thức:
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 73
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 a) A = 20 - 45 + 3 18 + 72 .  a + a   a - a  b) B = 1 + 1 +  với a ≥ 0, a ≠ 1.    a + 1 1- a   
Câu 2 (2,0 điểm)
1. Cho hàm số y = ax2, biết đồ thị hàm số đi qua điểm A (- 2 ; -12). Tìm a.
2. Cho phương trình: x2 + 2 (m + 1)x + m2 = 0. (1)
a) Giải phương trình với m = 5
b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng - 2.
Câu 3 (2,0 điểm)
Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu tăng chiều dài thêm 2m, chiều rộng
thêm 3m thì diện tích tăng thêm 100m2. Nếu giảm cả chiều dài và chiều rộng
đi 2m thì diện tích giảm đi 68m2. Tính diện tích thửa ruộng đó.
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy 1 điểm M, dựng
đường tròn tâm (O) có đường kính MC. Đường thẳng BM cắt đường tròn
tâm (O) tại D, đường thẳng AD cắt đường tròn tâm (O) tại S.
a) Chứng minh tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp và CA là tia phân giác của góc BCS .
b) Gọi E là giao điểm của BC với đường tròn (O). Chứng minh các
đường thẳng BA, EM, CD đồng quy.
c) Chứng minh M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE.
Câu 5 (1,0 điểm) Giải phương trình: 2 2
x - 3x + 2 + x + 3 = x - 2 + x + 2x - 3
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 74
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 - ĐỀ SỐ 13 2017 Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút Đề thi có 01 trang
-------------------------  a a - 1 a a + 1 a +2
Câu 1 (2,0 điểm) Cho biểu thức: P =  -  : với a > 0, a    a - a a + a a - 2   1, a  2. a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên.
Câu 2 (3,0 điểm)
1) Cho đường thẳng d có phương trình: ax + (2a - 1) y + 3 = 0
Tìm a để đường thẳng d đi qua điểm M (1, -1). Khi đó, hãy tìm hệ số góc của đường thẳng d.
2) Cho phương trình bậc 2: (m - 1)x2 - 2mx + m + 1 = 0.
a) Tìm m, biết phương trình có nghiệm x = 0.
b) Xác định giá trị của m để phương trình có tích 2 nghiệm bằng 5,
từ đó hãy tính tổng 2 nghiệm của phương trình.
Câu 3 (1,0 điểm) 4x + 7y = 18
Giải hệ phương trình:  3  x - y = 1
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho ∆ABC cân tại A, I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường
tròn bàng tiếp góc A, O là trung điểm của IK.
a) Chứng minh 4 điểm B, I, C, K cùng thuộc một đường tròn tâm O.
b) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn tâm (O).
c) Tính bán kính của đường tròn (O), biết AB = AC = 20cm, BC = 24cm.
Câu 5 (1,0 điểm) Giải phương trình: x2 + x + 2016 = 2016.
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 75
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 - ĐỀ SỐ 14 2017 Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút Đề thi có 01 trang
------------------------- x + 1 2 x 2 + 5 x
Câu 1 (2,0 điểm) Cho biểu thức: P = + + với x ≥ 0, x - 2 x + 2 4 - x x ≠ 4. a) Rút gọn P. b) Tìm x để P = 2.
Câu 2 (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng, với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình: y = (m −1)x + n .
a) Với giá trị nào của m và n thì d song song với trục Ox.
b) Xác định phương trình của d, biết d đi qua điểm A(1; - 1) và có hệ số góc bằng -3.
Câu 3 (2,0 điểm) Cho phương trình: x2 - 2 (m - 1)x - m - 3 = 0 (1)
a) Giải phương trình với m = -3
b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm thoả mãn hệ thức 2 2 x + x 1 2 = 10.
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc giá trị của m.
Câu 4 (3,0 điểm)
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 76
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
Cho tam giác ABC vuông ở A (AB > AC), đường cao AH. Trên nửa mặt
phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E,
nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại F. Chứng minh:
a) Tứ giác AFHE là hình chữ nhật.
b) Tứ giác BEFC là tứ giác nội tiếp đường tròn.
c) EF là tiếp tuyến chung của 2 nửa đường tròn đường kính BH và HC.
Câu 5 (1,0 điểm)Các số thực x, a, b, c thay đổi, thỏa mãn hệ: x + a + b + c = 7 (1)  2 2 2 2 x + a + b + c = 13 (2)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của x.
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 - ĐỀ SỐ 15 2017 Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút Đề thi có 01 trang
-------------------------  x 1   1 2 
Câu 1 (2,0 điểm) Cho M =  -  : +     với x - 1 x - x    x +1 x - 1  x  0, x  1 . a) Rút gọn M. b) Tìm x sao cho M > 0.
Câu 2 (2,0 điểm)
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 77
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
Cho phương trình x2 - 2mx - 1 = 0 (m là tham số)
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm m để 2 2 x + x 1 2 - x1x2 = 7
Câu 3 (2,0 điểm)
Một đoàn xe chở 480 tấn hàng. Khi sắp khởi hành có thêm 3 xe nữa
nên mỗi xe chở ít hơn 8 tấn. Hỏi lúc đầu đoàn xe có bao nhiêu chiếc, biết
rằng các xe chở khối lượng hàng bằng nhau.
Câu 4 (3,0 điểm) Cho đường tròn (O) đường kiính AB = 2R. Điểm M thuộc
đường tròn sao cho MA < MB. Tiếp tuyến tại B và M cắt nhau ở N, MN cắt
AB tại K, tia MO cắt tia NB tại H.
a) Tứ giác OAMN là hình gì ? b) Chứng minh KH // MB.
Câu 5 (1,0 điểm) Tìm x, y thoả mãn 5x - 2 x (2 + y) + y2 + 1 = 0.
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 - ĐỀ SỐ 16 2017 Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút Đề thi có 01 trang
-------------------------
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 78
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
Câu 1 (2,0 điểm) Cho biểu thức: K = x 2x - x - với x >0 và x  1 x - 1 x - x a) Rút gọn biểu thức K
b) Tìm giá trị của biểu thức K tại x = 4 + 2 3
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng y = ax + b đi qua điểm
M (-1; 2) và song song với đường thẳng y = 3x + 1. Tìm hệ số a và b. 3  x + 2y = 6
b) Giải hệ phương trình:  x - 3y = 2
Câu 3 (2,0 điểm)
Một đội xe nhận vận chuyển 96 tấn hàng. Nhưng khi sắp khởi hành có
thêm 3 xe nữa, nên mỗi xe chở ít hơn lúc đầu 1,6 tấn hàng. Hỏi lúc đầu đội xe có bao nhiêu chiếc.
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O) với dây BC cố định và một điểm A thay đổi trên
cung lớn BC sao cho AC > AB và AC> BC. Gọi D là điểm chính giữa của
cung nhỏ BC. Các tiếp tuyến của (O) tại D và C cắt nhau tại E. Gọi P, Q
lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng AB với CD; AD với CE.
a) Chứng minh rằng: DE//BC
b) Chứng minh tứ giác PACQ nội tiếp đường tròn.
c) Gọi giao điểm của các dây AD và BC là F. Chứng minh hệ thức: 1 1 1 = + CE CQ CF
Câu 5 (1,0 điểm) Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng: a b c 1  + +  2 a + b b + c c + a
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 79
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 - ĐỀ SỐ 17 2017 Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm) Cho x1 = 3 + 5 và x2 = 3 - 5 Hãy tính: A = x 2 2 1 . x2; B = x + x 1 2
Câu 2 (2,0 điểm)
Cho phương trình ẩn x: x2 - (2m + 1) x + m2 + 5m = 0
a) Giải phương trình với m = -2.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm sao cho tích các nghiệm bằng 6.
Câu 3 (2,0 điểm)
Cho hai đường thẳng (d): y = - x + m + 2 và (d’): y = (m2 - 2) x + 1
a) Khi m = -2, hãy tìm toạ độ giao điểm của chúng.
b) Tìm m để (d) song song với (d’)
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng (B nằm giữa A và C). Vẽ đường tròn
tâm O đường kính BC; AT là tiếp tuyến vẽ từ A. Từ tiếp điểm T vẽ đường
thẳng vuông góc với BC, đường thẳng này cắt BC tại H và cắt đường tròn tại K (K  T). Đặt OB = R. a) Chứng minh OH.OA = R2.
b) Chứng minh TB là phân giác của góc ATH.
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 80
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
c) Từ B vẽ đường thẳng song song với TC. Gọi D, E lần lượt là giao
điểm của đường thẳng vừa vẽ với TK và TA. Chứng minh rằng ∆TED cân. HB AB d) Chứng minh = HC AC
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho x, y là hai số thực thoả mãn: (x + y)2 + 7(x + y) + y2 + 10 = 0
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x + y + 1
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 - ĐỀ SỐ 18 2017 Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm)
Rút gọn các biểu thức: a) 45 + 20 − 5 . + − b) x x x 4 + với x > 0. x x + 2
Câu 2 (2,0 điểm)
Một thửa vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 72m. Nếu tăng chiều rộng
lên gấp đôi và chiều dài lên gấp ba thì chu vi của thửa vườn mới là 194m.
Hãy tìm diện tích của thửa vườn đã cho lúc ban đầu.
Câu 3 (2,0 điểm)
Cho phương trình: x2- 4x + m +1 = 0 (1)
a) Giải phương trình (1) khi m = 2.
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 81
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn đẳng thức 2 2 x + x 1 2 = 5 (x1 + x2)
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho 2 đường tròn (O) và (O ) cắt nhau tại hai điểm A, B phân biệt.
Đường thẳng OA cắt (O), (O ) lần lượt tại điểm thứ hai C, D. Đường thẳng O A cắt (O), (O )
 lần lượt tại điểm thứ hai E, F.
a) Chứng minh 3 đường thẳng AB, CE và DF đồng quy tại một điểm I.
b) Chứng minh tứ giác BEIF nội tiếp được trong một đường tròn.
c) Cho PQ là tiếp tuyến chung của (O) và (O )
 (P  (O), Q (O ) ).
Chứng minh đường thẳng AB đi qua trung điểm của đoạn thẳng PQ. 1
Câu 5 (1,0 điểm) Giải phương trình: + 1 = 2 x 2 2 − x
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 - ĐỀ SỐ 19 2017 Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm) 5 + 7 5 11+ 11 5 Cho các biểu thức A = + , B = 5 : 5 1+ 11 5 + 55
a) Rút gọn biểu thức A. b) Chứng minh: A - B = 7.
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 82
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 3  x + my = 5
Câu 2 (2,5 điểm) Cho hệ phương trình  mx - y = 1 a) Giải hệ khi m = 2
b) Chứng minh hệ có nghiệm duy nhất với mọi m.
Câu 3 (1,5 điểm) Một tam giác vuông có cạnh huyền dài 10m. Hai cạnh góc
vuông hơn kém nhau 2m. Tính các cạnh góc vuông.
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Điểm M thuộc nửa đường
tròn, điểm C thuộc đoạn OA. Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB
chứa điểm M vẽ tiếp tuyến Ax, By. Đường thẳng qua M vuông góc với MC
cắt Ax, By lần lượt tại P và Q; AM cắt CP tại E, BM cắt CQ tại F.
a) Chứng minh tứ giác APMC nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh góc PCQ = 900. c) Chứng minh AB // EF. 4 2 x + 2x + 2
Câu 5 (2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = . 2 x + 1
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 - ĐỀ SỐ 20 2017 Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút Đề thi có 01 trang
-------------------------
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 83
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
Câu 1 (2,0 điểm) Rút gọn các biểu thức : 2 2 a) A = - 5 - 2 5 + 2  1   x - 1 1 - x  b) B = x - :    +  với x  0, x  1.    x  x x + x  
Câu 2 (2,0 điểm) Cho phương trình x2 - (m + 5)x - m + 6 = 0 (1)
a) Giải phương trình với m = 1
b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm x = - 2
c) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn 2 2 x x + x x = 24 1 2 1 2
Câu 3 (2,0 điểm)
Một phòng họp có 360 chỗ ngồi và được chia thành các dãy có số chỗ
ngồi bằng nhau. nếu thêm cho mỗi dãy 4 chỗ ngồi và bớt đi 3 dãy thì số chỗ
ngồi trong phòng không thay đổi. Hỏi ban đầu số chỗ ngồi trong phòng họp
được chia thành bao nhiêu dãy.
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O,R) và một điểm S ở ngoài đường tròn. Vẽ hai tiếp
tuyến SA, SB ( A, B là các tiếp điểm). Vẽ đường thẳng a đi qua S và cắt
đường tròn (O) tại M và N, với M nằm giữa S và N (đường thẳng a không đi qua tâm O). a) Chứng minh: SO ⊥ AB
b) Gọi H là giao điểm của SO và AB; gọi I là trung điểm của MN. Hai
đường thẳng OI và AB cắt nhau tại E. Chứng minh rằng IHSE là tứ giác nội tiếp đường tròn. c) Chứng minh OI.OE = R2.
Câu 5 (1,0 điểm) Tìm m để phương trình ẩn x sau đây có ba nghiệm phân biệt:
x3 - 2mx2 + (m2 + 1) x - m = 0 (1).
----------HẾT----------
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 84
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 - ĐỀ SỐ 21 2017 Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm) 2
a) Trục căn thức ở mẫu số . 5 −1 x − y = 4
b) Giải hệ phương trình :  . 2x + 3 = 0
Câu 2 (2,0 điểm) Cho hai hàm số: 2
y = x và y = x + 2
a) Vẽ đồ thị của hai hàm số này trên cùng một hệ trục Oxy.
b) Tìm toạ độ các giao điểm M, N của hai đồ thị trên bằng phép tính.
Câu 3 (2,0 điểm) Cho phương trình 2 2 x + (2m − )
1 x + m −1 = 0 với m là tham số.
a) Giải phương trình khi m = 2 .
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x , x 1 2 thoả mãn 2 2
4x + 2x x + 4x =1 1 1 2 2 .
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O) có đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn
đó (C khác A , B ). Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B, C). Tia AD cắt
cung nhỏ BC tại điểm E, tia AC cắt tia BE tại điểm F.
a) Chứng minh rằng FCDE là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh rằng DA.DE = DB.DC.
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 85
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE, chứng minh rằng
IC là tiếp tuyến của đường tròn (O) . 4 + 9
Câu 5 (1,0 điểm) Tìm nghiệm dương của phương trình: 7 2 x + x 7x = . 28
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 - ĐỀ SỐ 22 2017 Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm) a) Giải phương trình: x2 - 2x - 15 = 0
b) Trong hệ trục toạ độ Oxy, biết đường thẳng y = ax - 1 đi qua điểm M (- 1; 1). Tìm hệ số a.
Câu 2 (2,0 điểm) a 1 
a − a a + a  Cho biểu thức: P = − − với a > 0, a  1      2 2 a   a + 1 a −1  a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm a để P > - 2
Câu 3 (2,0 điểm)
Tháng giêng hai tổ sản xuất được 900 chi tiết máy; tháng hai do cải
tiến kỹ thuật tổ I vượt mức 15% và tổ II vượt mức 10% so với tháng giêng,
vì vậy hai tổ đã sản xuất được 1010 chi tiết máy. Hỏi tháng giêng mỗi tổ sản
xuất được bao nhiêu chi tiết máy?
Câu 4 (3,0 điểm)
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 86
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mp bờ AB vẽ
hai tia Ax, By vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy một điểm I, tia vuông góc
với CI tại C cắt tia By tại K . Đường tròn đường kính IC cắt IK tại P.
a) Chứng minh tứ giác CPKB nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh rằng AI.BK = AC.BC. c) Tính APB .
Câu 5 (1,0 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 + px + q = 0 biết p + q = 198.
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 - ĐỀ SỐ 23 2017 Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm) ( 20 −3 5 + 80) a) Tính giá trị của A = . 5 . b) Giải phương trình 4 4 x + 7 2 x − 2 = 0 .
Câu 2 (2,0 điểm) 5
a) Tìm m để đường thẳng y = 3
− x + 6 và đường thẳng y = x − 2m +1 2
cắt nhau tại một điểm nằm trên trục hoành.
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 87
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
b) Một mảnh đất hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 13m và chiều
dài lớn hơn chiều rộng 7m. Tính diện tích của hình chữ nhật đó.
Câu 3 (2,0 điểm) Cho phương trình 2
x − 2x + m − 3 = 0 với m là tham số.
a) Giải phương trình khi m = 3 .
b) Tìm giá trị của m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x , x 2
x − 2x + x x = 12 − 1 2 thoả mãn điều kiện: . 1 2 1 2
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, R’) với R > R’ cắt nhau tại A và B.
Kẻ tiếp tuyến chung DE của hai đường tròn với D  (O) và E  (O’) sao cho
B gần tiếp tuyến đó hơn so với A.
a) Chứng minh rằng DAB = BDE .
b) Tia AB cắt DE tại M. Chứng minh M là trung điểm của DE.
c) Đường thẳng EB cắt DA tại P, đường thẳng DB cắt AE tại Q. Chứng
minh rằng PQ song song với AB. 4x + 3
Câu 5 (1,0 điểm) Tìm các giá trị x để là số nguyên âm. 2 x + 1
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 - ĐỀ SỐ 24 2017 Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức:
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 88
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 5 + 5 a) A = (1− 5)  . 2 5  x + x   x − x  b) B = 1+ 1+
 với 0  x 1.    1+ x 1− x   
Câu 2 (2,0 điểm) Cho phương trình 2
x + (3 − m)x + (
2 m − 5) = 0 với m là tham số.
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phương trình luôn có nghiệm x = 2 .
b) Tìm giá trị của m để phương trình trên có nghiệm x = 5 − 2 2 .
Câu 3 (2,0 điểm)
Một xe ô tô cần chạy quãng đường 80km trong thời gian đã dự định.
Vì trời mưa nên một phần tư quãng đường đầu xe phải chạy chậm hơn vận
tốc dự định là 15km/h nên quãng đường còn lại xe phải chạy nhanh hơn vận
tốc dự định là 10km/h. Tính thời gian dự định của xe ô tô đó.
Câu 4 (3,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm C
thuộc nửa đường tròn và điểm D nằm trên đoạn OA. Vẽ các tiếp tuyến Ax,
By của nửa đường tròn. Đường thẳng qua C, vuông góc với CD cắt cắt tiếp
tuyên Ax, By lần lượt tại M và N.
a) Chứng minh các tứ giác ADCM và BDCN nội tiếp được đường tròn. b) Chứng mình rằng 0 MDN = 90 .
c) Gọi P là giao điểm của AC và DM, Q là giao điểm của BC và DN.
Chứng minh rằng PQ song song với AB.
Câu 5 (1,0 điểm) Cho các số dương a, b, c. + + +  
Chứng minh bất đẳng thức: a b b c c a a b c + +  4 + +   . c a b
b + c c + a a + b
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 89
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 - ĐỀ SỐ 25 2017 Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút Đề thi có 01 trang
------------------------- x 1   1 2 
Câu 1 (2,0 điểm) Cho biểu thức A =  −  : +     với a > 0, x −1 x − x
  x +1 x −1 a  1
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của A khi x = 2 2 + 3 .
Câu 2 (2,0 điểm) Cho phương trình 2
x + ax + b +1 = 0 với a,b là tham số.
a) Giải phương trình khi a = 3 và b = 5 − .
b) Tìm giá trị của a,b để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x − x = 3 1 2 x , x  1 2 thoả mãn điều kiện: .  3 x − 3 x = 9 1 2
Câu 3 (2,0 điểm)
Một chiếc thuyền chạy xuôi dòng từ bến sông A đến bên sông B cách
nhau 24km. Cùng lúc đó, từ A một chiếc bè trôi về B với vận tốc dòng nước
là 4 km/h. Khi về đến B thì chiếc thuyền quay lại ngay và gặp chiếc bè tại
địa điểm C cách A là 8km. Tính vận tốc thực của chiếc thuyền.
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho đường trong (O, R) và đường thẳng d không qua O cắt đường tròn tại
hai điểm A, B. Lấy một điểm M trên tia đối của tia BA kẻ hai tiếp tuyến MC,
MD với đường tròn (C, D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của AB.
a) Chứng minh rằng các điểm M, D, O, H cùng nằm trên một đường tròn.
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 90
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
b) Đoạn OM cắt đường tròn tại I. Chứng minh rằng I là tâm đường
tròn nội tiếp tam giác MCD.
c) Đường thẳng qua O, vuông góc với OM cắt các tia MC, MD thứ tự tại
P và Q. Tìm vị trí của điểm M trên d sao cho diện tích tam giác MPQ bé nhất. 1
Câu 5 (1,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c = . abc
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = (a + b)(a + c) .
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 - ĐỀ SỐ 26 2017 Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm) 1 1 a) Rút gọn biểu thức: − . 2 − 5 2 + 5 3  x + y = 9
b) Giải hệ phương trình:  . x - 2y = - 4
Câu 2 (2,0 điểm)   Cho biểu thức P = 1 1 x − :   với x > 0.  x + x x +1  x + 2 x +1
a) Rút gọn biểu thức P. 1
b) Tìm các giá trị của x để P > . 2
Câu 3 (2,0 điểm)
Cho phương trình ẩn x: x2 – x + m = 0 (1)
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 91
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
a) Giải phương trình đã cho với m = 1.
b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa
mãn: (x1x2 - 1)2 = 9( x1 + x2 ).
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho tứ giác ABCD có hai đỉnh B và C ở trên nửa đường tròn đường kính
AD, tâm O. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Gọi H là hình chiếu vuông
góc của E xuống AD và I là trung điểm của DE. Chứng minh rằng:
a) Các tứ giác ABEH, DCEH nội tiếp được đường tròn.
b) E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCH.
c) Năm điểm B, C, I, O, H cùng thuộc một đường tròn.
Câu 5 (1,0 điểm) Giải phương trình: ( − )( 2 x + 8 x + 3 x +11x + 24 + ) 1 = 5 .
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 - ĐỀ SỐ 27 2017 Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm) Rút gọn các biểu thức sau: 1 2 a) A = 20 − 80 + 45 2 3  5 − 5   5 + 5  b) B =  2 + . 2 −      5 −1 5 +1    
Câu 2 (2,0 điểm)
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 92
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 2x - y = 1 - 2y
a) Giải hệ phương trình:  3  x + y = 3 - x
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: x2 - x - 3 = 0.
Tính giá trị biểu thức P = 1 1 + . x x 1 2
Câu 3 (2,0 điểm) Một xe lửa đi từ Huế ra Hà Nội. Sau đó 1 giờ 40 phút, một
xe lửa khác đi từ Hà Nội vào Huế với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe lửa thứ
nhất là 5 km/h. Hai xe gặp nhau tại một ga cách Hà Nội 300 km. Tìm vận tốc
của mỗi xe, giả thiết rằng quãng đường sắt Huế-Hà Nội dài 645km.
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. C là một điểm nằm giữa
O và A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn trên tại I.
K là một điểm bất kỳ nằm trên đoạn thẳng CI (K khác C và I), tia AK cắt
nửa đường tròn (O) tại M, tia BM cắt tia CI tại D. Chứng minh:
a) ACMD là tứ giác nội tiếp đường tròn. b) ∆ABD ~ ∆MBC
c) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD nằm trên một đường
thẳng cố định khi K di động trên đoạn thẳng CI.
Câu 5 (1,0 điểm) Cho hai số dương x, y thỏa mãn điều kiện x + y = 1.
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 1 1 + 2 2 x + y xy
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 - ĐỀ SỐ 28 2017 Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút Đề thi có 01 trang
-------------------------
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 93
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
Câu 1 (2,0 điểm) 2x + y = 7
a) Giải hệ phương trình:  x - 3y = - 7
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: 3x2 – x – 2 = 0.
Tính giá trị biểu thức P = x 2 2 1 + x2 .  a a  a −1
Câu 2 (2,0 điểm) Cho biểu thức A =  −  : với a > 0, a   a +1 a + a a - 1    1.
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm các giá trị của a để A < 0.
Câu 3 (2,0 điểm) Cho phương trình ẩn x: x2 - 2mx - 1 = 0 (1)
a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2.
b) Tìm các giá trị của m để: x 2 2 1 + x2 - x1x2 = 7.
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và tia tiếp tuyến Ax
cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến
thứ hai MC với nửa đường tròn (C là tiếp điểm). AC cắt OM tại E; MB cắt
nửa đường tròn (O) tại D (D khác B).
a) Chứng minh: AMDE là tứ giác nội tiếp đường tròn. b) MA2 = MD.MB
c) Vẽ CH vuông góc với AB (H  AB). Chứng minh rằng MB đi qua trung điểm của CH. 4 1 5
Câu 5 (1,0 điểm) Giải phương trình: + x - = x + 2x - x x x
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 94
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 - ĐỀ SỐ 29 2017 Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Cho đường thẳng d có phương trình: y = mx + 2m − 4 . Tìm m để đồ
thị hàm số đi qua gốc tọa độ.
b) Với những giá trị nào của m thì đồ thị hàm số 2 2 y = (m − m)x đi qua điểm A(-1; 2).
Câu 2 (2,0 điểm)  1 1   3  Cho biểu thức P =  + 1− 
 với a > 0 và a  9.  a − 3 a + 3   a
a) Rút gọn biểu thức P 1
b) Tìm các giá trị của a để P > . 2
Câu 3 (2,0 điểm)
Hai người cùng làm chung một công việc thì hoàn thành trong 4 giờ.
Nếu mỗi người làm riêng, để hoàn thành công việc thì thời gian người thứ
nhất ít hơn thời gian người thứ hai là 6 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người
phải làm trong bao lâu để hoàn thành công việc.
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho nửa đường tròn đường kính BC = 2R. Từ điểm A trên nửa đường
tròn vẽ AH ⊥ BC. Nửa đường tròn đường kính BH, CH lần lượt có tâm O1;
O2 cắt AB, AC thứ tự tại D và E.
a) Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật, từ đó tính DE biết R = 25 và BH = 10
b) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn.
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 95
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
c) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác DEO1O2 đạt giá trị lớn
nhất. Tính giá trị đó. 1
Câu 5 (1,0 điểm) Giải phương trình: x3 + x2 - x = - . 3
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 - ĐỀ SỐ 30 2017 Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình: 3x + 75 = 0 . 3x − 2y = 1
b) Giải hệ phương trình  . 2x + y = −4
Câu 2 (2,0 điểm) Cho phương trình 2 2 x − (m + )
3 x + m = 0 (1) với m là tham số.
a) Giải phương trình khi m = 2 .
b) Chứng tỏ phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m. Gọi x , x 1
2 là các nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = x − x 1 2 .
Câu 3 (2,0 điểm) 3
9 a − 25a + 4a
a) Rút gọn biểu thức P = với a  0 . 2 a + 2a
b) Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 48 km. Một canô xuôi
dòng từ bến A đến bến B, rồi quay lại bến A. Thời gian cả đi và về là 5 giờ
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 96
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
(không tính thời gian nghỉ). Tính vận tốc của canô trong nước yên lặng, biết
rằng vận tốc của dòng nước là 4 km/h.
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho tam giác vuông ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O đường kính
AB. Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho CD = AC.
a) Chứng minh tam giác ABD cân.
b) Đường thẳng vuông góc với AC tại A cắt đường tròn (O) tại E (E
 A). Tên tia đối của tia EA lấy điểm F sao cho EF = AE. Chứng minh rằng
ba điểm D, B, F cùng nằm trên một đường thẳng.
c) Chứng minh rằng đường tròn đi qua ba điểm A, D, F tiếp xúc với đường tròn (O).
Câu 5 (1,0 điểm) Cho các số dương a,b, c .
Chứng minh bất đẳng thức: a + b + c  2 . b + c c + a a + b
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 - ĐỀ SỐ 31 2017 Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm) Tính:
a) A = 20 − 3 18 − 45 + 72 . b) B = 4 + 7 + 4 − 7 .
c) C = x + 2 x −1 + x − 2 x −1 với x > 1
Câu 2 (2,0 điểm) Cho hàm số y = (2m - 1)x - m + 2
a) Tìm m để hàm số nghịch biến trên R.
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 97
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
b) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua A (1; 2)
Câu 3 (2,0 điểm)
Hai người thợ cùng làm công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người
thứ nhất làm 3 giờ, người thứ hai làm 6 giờ thì họ làm được 1 công việc. 4
Hỏi mỗi người làm một mình thì trong bao lâu làm xong công việc?
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho ba điểm A, B, C cố định thẳng hàng theo thứ tự đó. Vẽ đường
tròn (O; R) bất kỳ đi qua B và C (BC  2R). Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN
đến (O) (M, N là tiếp điểm). Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BC và MN;
MN cắt BC tại D. Chứng minh: a) AM2 = AB.AC
b) AMON; AMOI là các tứ giác nội tiếp đường tròn.
c) Khi đường tròn (O) thay đổi, tâm đường tròn ngoại tiếp  OID luôn
thuộc một đường thẳng cố định.
Câu 5 (1,0 điểm) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: (2x +1).y = x +1.
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 - ĐỀ SỐ 32 2017 Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút Đề thi có 01 trang
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 98
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức:
P = ( 7 + 3 − 2)( 7 − 3 + 2) .
b) Trong mp toạ độ Oxy, tìm m để đường thẳng (d): 2 y = (m −1)x +1
song song với đường thẳng (d ) : y = 3x + m −1.
Câu 2 (2,0 điểm) Cho phương trình x2 + (2m + 1) x + m2 + 1 = 0 (1)
a) Giải phương trình (1) khi m = 1
b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm âm.
Câu 3 (2,0 điểm)
Cho a, b là các số dương thoả mãn ab = 1. 4
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (a + b + 1)(a2 + b2) + . a + b
Câu 4 (3,0 điểm)
Qua điểm A cho trước nằm ngoài đường tròn (O) vẽ 2 tiếp tuyến AB,
AC (B, C là các tiếp điểm), lấy điểm M trên cung nhỏ BC, vẽ MH ⊥ BC; MI ⊥ AC; MK ⊥ AB.
a) Chứng minh các tứ giác: BHMK, CHMI nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh MH2 = MI.MK
c) Qua M vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt AB, AC tại P, Q. Chứng
minh chu vi  APQ không phụ thuộc vào vị trí điểm M.
Câu 5 (1,0 điểm) 5  − = Chứng minh nế x 2y a (1)
u a  2 thì hệ phương trình:  vô 2 2 x + y =1 (2) nghiệm.
----------HẾT----------
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 99
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 - ĐỀ SỐ 33 2017 Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm) −x + 3y = 1 − 0
a) Giải hệ phương trình:  .  2x + y = 1 −
b) Với giá trị nào của m thì hàm số y = (m + 2) x - 3 đồng biến trên tập xác định.
Câu 2 (2,0 điểm)  2 a   1 2 a  Cho biểu thức A = 1− : − với a > 0, a      
a + 1  a +1 a a + a + a +1 1
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của A khi a = 2011 - 2 2010 .
Câu 3 (2,0 điểm) Cho phương trình: k (x2 - 4x + 3) + 2(x - 1) = 0.
a) Giải phương trình với k = 1 - . 2
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của k.
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ tiếp tuyến
chung ngoài BC (B, C thứ tự là các tiếp điểm thuộc (O; R) và (O’; R’)). a) Chứng minh BAC = 900 . b) Tính BC theo R, R’.
c) Gọi D là giao điểm của đường thẳng AC và đường tròn (O) (D  A),
vẽ tiếp tuyến DE với đường tròn (O’) (E  (O’)). Chứng minh BD = DE.
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 100
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho hai phương trình: x2 + a1x + b1 = 0 (1) , x2 + a2x + b2 = 0 (2) Cho biết a
) . Chứng minh ít nhất một trong hai phương trình 1.a2 > 2 (b1 + b2 đã cho có nghiệm.
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 - ĐỀ SỐ 34 2017 Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm)
Rút gọn biểu thức: P = 2 2 ( a −1 + ) 1 + ( a −1 − ) 1 với a > 1  2 x 1   x + 1 x −1
Câu 2 (2,0 điểm) Cho biểu thức: Q = − − .      2
2 x   x −1 x + 1
a) Tìm tất cả các giá trị của x để Q có nghĩa. Rút gọn Q.
b) Tìm tất cả các giá trị của x để Q = - 3 x - 3.
Câu 3 (2,0 điểm) Cho phương trình x2 + 2 (m - 1) x + m + 1 = 0 với m là tham số.
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt.
Câu 5 (2,0 điểm)
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 101
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
Cho đường tròn (O), đường kính AB, d1, d2 là các các đường thẳng lần
lượt qua A, B và cùng vuông góc với đường thẳng AB. M, N là các điểm lần
lượt thuộc d1, d2 sao cho MON = 900.
a) Chứng minh đường thẳng MN là tiếp tuyến của đường tròn (O). 2 AB b) Chứng minh AM . AN = . 4
c) Xác định vị trí của M, N để diện tích tam giác MON đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 5 (1,0 điểm) Giải phương trình: 3 2 x − 6x + 19 2
+ x − 2x + 26 = 8 - x2 + 2x .
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 - ĐỀ SỐ 35 2017 Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút Đề thi có 01 trang
------------------------- 2 x + 6x + 9
Câu 1 (2,0 điểm) Rút gọn A = với x  3 − . x + 3
Câu 2 (2,0 điểm)
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 102
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 a) Giải phương trình 2 x − 2x + 4 = 2 .
b) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua 2 điểm A(1; 2) và B(2; 0).
Câu 3 (2,0 điểm)
Cho phương trình: (x2 - x - m)(x - 1) = 0 (1)
a) Giải phương trình khi m = 2.
b) Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt.
Câu 4 (3,0 điểm)
Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB (tiếp
điểm A; B) và cát tuyến cắt đường tròn tại 2 điểm C và D không đi qua O.
Gọi I là trung điểm của CD.
a) Chừng minh 5 điểm M, A, I, O, B cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh IM là phân giác của AIB . 4 4 x + y =1
Câu 5 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:  . 3 3 2 2 x + y = x + y
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 - ĐỀ SỐ 36 2017 Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 103
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm) a) Tính 2 2 (1+ 5) + (1− 5) .
b) Giải phương trình: x2 + 2x - 24 = 0.
Câu 2 (2,0 điểm) 2 a a +1 3 + 7 a Cho biểu thức: P = + + với a > 0, a  9. a + 3 a − 3 9 − a a) Rút gọn. b) Tìm a để P < 1.
Câu 3 (2,0 điểm)
Cho phương trình: x4 - 5x2 + m = 0 (1)
a) Giải phương trình khi m = 4.
b) Tìm m để phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt.
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O), từ điểm A ngoài đường tròn vẽ đường thẳng AO
cắt đường tròn (O) tại B, C (AB < AC). Qua A vẽ đường thẳng không đi qua
(O) cắt đường tròn (O) tại D; E (AD < AE). Đường thẳng vuông góc với AB
tại A cắt đường thẳng CE tại F.
a) Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp đường tròn.
b) Gọi M là giao điểm thứ hai của FB với đường tròn (O), chứng minh DM ⊥ AC.
c) Chứng minh: CE . CF + AD . AE = AC2. 2 1
Câu 5 (1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = + , với 0 < x < 1− x x 1
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 104
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 - ĐỀ SỐ 37 2017 Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút Đề thi có 01 trang
------------------------- 2 2 x − x x + x
Câu 1 (2,0 điểm) Cho biểu thức: M = − + x +1 x + x +1 x − x +1
Rút gọn biểu thức M với x  0.
Câu 2 (2,0 điểm) 3  x − 5y = 1 − 8
a) Giải hệ phương trình:  x + 2y = 5
b) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, với giá trị nào của a, b thì đường thẳng (d):
y = ax + 2 - b và đường thẳng (d’): y = (3 - a)x + b song song với nhau.
Câu 3 (2,0 điểm)
Cho phương trình: x2 - 2x + m = 0 (1)
a) Giải phương trình khi m = - 3. 1 1
b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x thoả mãn: + 1, x2 = 1. 2 2 x x 1 2
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho  ABC có 3 góc nhọn, trực tâm là H và nội tiếp đường tròn (O). Vẽ đường kính AK.
a) Chứng minh tứ giác BHCK là hình hình hành.
b) Vẽ OM ⊥ BC (M  BC). Chứng minh H, M, K thẳng hàng và AH = 2.OM.
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 105
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
c) Gọi A’, B’, C’ là chân các đường cao thuộc các cạnh BC, CA, AB của
 ABC. Khi BC cố định hãy xác định vị trí điểm A để tổng S = A’B’ + B’C’
+ C’A’ đạt giá trị lớn nhất. 2 x + x +1
Câu 5 (1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y = . 2 x + 2x + 2
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 - ĐỀ SỐ 38 2017 Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm) x2 + x 2x + x Cho biểu thức: P = +1− với x > 0. x − x +1 x
a) Rút gọi biểu thức P. b) Tìm x để P = 0.
Câu 2 (2,0 điểm) a) Giải phương trình: x + 1 2 − x =1 6x + 6y = 5xy 
b) Giải hệ phương trình:  4 3 . − =1 x y
Câu 3 (2,0 điểm)
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 106
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
Cho phương trình: x2 - 2(m - 1)x + m + 1= 0. (1)
a) Giải phương trình khi m = - 1. x x
b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x 1 2 + = 1, x2 thoả mãn 4 . x x 2 1
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho  ABC cân tại A. Vẽ đường tròn (O; R) tiếp xúc với AB, AC tại B, C.
Đường thẳng qua điểm M trên BC vuông góc với OM cắt tia AB, AC tại D, E.
a) Chứng minh 4 điểm O, B, D, M cùng thuộc một đường tròn. b) MD = ME.
Câu 5 (1,0 điểm) Giải phương trình: x2 + 3x + 1 = (x + 3) 2 x +1
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 - ĐỀ SỐ 39 2017 Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm) a) Tính: 48 - 2 75 + 108    
b) Rút gọn biểu thức: P= 1 1 1 - . 1 - với x  1 và x >0     1 - x 1 + x   x 
Câu 2 (2,0 điểm)
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 107
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
a) Trên hệ trục tọa độ Oxy, đường thẳng y = ax + b đi qua 2 điểm M
(3; 2) và N (4; -1). Tìm hệ số a và b. 2x + 5y = 7
b) Giải hệ phương trình:  3  x - y = 2
Câu 3 (2,0 điểm) Cho phương trình: x2 - 2mx - 6m = 0 (1)
a) Giải phương trình (1) khi m = 2
b) Tìm m để phương trình (1) có 1 nghiệm gấp 2 lần nghiệm kia.
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O 2 sao cho AI =
AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I, gọi C là điểm tùy ý 3
thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E.
a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp .
b) Chứng minh hệ thức: AM2 = AE.AC.
c) Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất.
Câu 5 (3,0 điểm)
Cho x và y là hai số thỏa mãn đồng thời : x  0 , y  0, 2x + 3y  6 và 2x + y  4.
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức K = x 2 - 2x – y.
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 - ĐỀ SỐ 40 2017 Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 108
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm) Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình: 3x + 4y = 2.
a) Tìm hệ số góc của đường thẳng d.
b) Với giá trị nào của tham số m thì đường thẳng d1: y = (m2 -1)x + m
song song với đường thẳng d.
Câu 2 (2,0 điểm) ax + by = 3 x = 3
Tìm a, b biết hệ phương trình  có nghiệm  . bx − ay =11 y = 1 −
Câu 3 (2,0 điểm) Cho phương trình: 2
(1+ 3)x − 2x +1− 3 = 0 (1)
a) Chứng tỏ phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt.
b) Gọi 2 nghiệm của phương trình (1) là x , x . Lập một phương trình 1 2 bậc 2 có 2 nghiệm là 1 1 và . x x 1 2
Câu 4 (3,0 điểm)
Bên trong hình vuông ABCD vẽ tam giác đều ABE . Vẽ tia Bx thuộc
nửa mặt phẳng chứa điểm E, có bờ là đường thẳng AB sao cho Bx vuông
góc với BE. Trên tia Bx lấy điểm F sao cho BF = BE.
a) Tính số đo các góc của tam giác ADE.
b) Chứng minh 3 điểm: D, E, F thẳng hàng.
c) Đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác AEB cắt AD tại M. Chứng minh ME // BF.
Câu 5 (1,0 điểm) 3 2  + − + =
Hai số thực x, y thoả mãn hệ điều kiện x 2y 4y 3 0 (1) :  . 2 2 2 x + x y − 2y = 0 (2)
Tính giá trị biểu thức P = 2 2 x + y .
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 109
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 - ĐỀ SỐ 41 2017 Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút Đề thi có 01 trang
------------------------- x 3 6x − 4
Câu 1 (2,0 điểm) Cho biểu thức : P= + − 2 x −1 x +1 x −1
a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức P. b) Rút gọn P 2x + ay = 4 −
Câu 2 (2,0 điểm) Cho hệ phương trình :  ax − 3y = 5
a) Giải hệ phương trình với a =1
b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Câu 3 (2,0 điểm) Một hình chữ nhật có chiều rộng bằng một nửa chiều dài.
Biết rằng nếu giảm mỗi chiều đi 2m thì diện tích hình chữ nhật đã cho giảm
đi một nửa. Tính chiều dài hình chữ nhật đã cho.
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O;R) (điểm O cố định, giá trị R không đổi) và điểm
M nằm bên ngoài (O). Kẻ hai tiếp tuyến MB, MC (B,C là các tiếp điểm ) của
(O) và tia Mx nằm giữa hai tia MO và MC. Qua B kẻ đường thẳng song
song với Mx, đường thẳng này cắt (O) tại điểm thứ hai là A. Vẽ đường kính
BB’ của (O). Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với BB’,đường thẳng này
cắt MC và B’C lần lượt tại K và E. Chứng minh rằng:
a) 4 điểm M,B,O,C cùng nằm trên một đường tròn. b) Đoạn thẳng ME = R.
c) Khi điểm M di động mà OM = 2R thì điểm K di động trên một
đường tròn cố định, chỉ rõ tâm và bán kính của đường tròn đó.
Câu 5 (1,0 điểm) Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+ b + c =4.
Chứng minh rằng: 4 3 4 3 4 3
a + b + c  2 2
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 110
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 - ĐỀ SỐ 42 2017 Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm) x −1 a) Giải phương trình = x +1 . 3 x 3 −3 3 = 0
b) Giải hệ phương trình  . 3
 x + 2y =11
Câu 2 (1,0 điểm)  1 1  a + 1 Rút gọn biểu thức P = + :   với a > 0 và a  4 .  2 a - a 2 - a  a - 2 a
Câu 3 (1,0 điểm) Một tam giác vuông có chu vi là 30 cm, độ dài hai cạnh
góc vuông hơn kém nhau 7cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác vuông đó.
Câu 4 (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d): y = 2x -m +1 và parabol 1 (P): 2 y = x . 2
a) Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 3).
b) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ (x1; y1) và (x2; y x x y + y + 48 = 0 1 2 ( 1 2 ) 2) sao cho .
Câu 5 (3,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên đường tròn lấy điểm C sao
cho AC < BC (C  A). Các tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau ở điểm D,
AD cắt (O) tại E (E  A). a) Chứng minh BE2 = AE.DE.
b) Qua C kẻ đường thẳng song song với BD cắt AB tại H, DO cắt BC
tại F. Chứng minh tứ giác CHOF nội tiếp .
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 111
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
c) Gọi I là giao điểm của AD và CH. Chứng minh I là trung điểm của CH.
Câu 6 (1,0 điểm)
Cho 2 số dương a, b thỏa mãn 1 1
+ = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu a b thức 1 1 Q = + . 4 2 2 4 2 2
a + b + 2ab
b + a + 2ba
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 - ĐỀ SỐ 43 2017 Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút Đề thi có 01 trang
-------------------------
Bài 1 (2,5 điểm) x + 4 a) Cho biểu thức A =
. Tính giá trị của A khi x = 36 x + 2  x 4  x +16
b) Rút gọn biểu thức B =  +  : (với x  0; x  16 )   x + 4 x − 4 x + 2  
c) Với các của biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị của x
nguyên để giá trị của biểu thức B(A – 1) là số nguyên 12
Bài 2 (2,0 điểm) Hai người cùng làm chung một công việc trong giờ thì 5
xong. Nếu mỗi người làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc
trong ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải
làm trong bao nhiêu thời gian để xong công việc?
Bài 3 (1,5 điểm)
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 112
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972  2 1 + = 2 x y
a) Giải hệ phương trình:  6 2  − =1 x y
b) Cho phương trình: x2 – (4m – 1)x + 3m2 – 2m = 0 (ẩn x). Tìm m để
phương trình có hai nghiệm phân biệt x 2 2 + =
1, x2 thỏa mãn điều kiện : x x 7 1 2
Bài 4 (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Bán kính CO
vuông góc với AB, M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC (M khác A, C);
BM cắt AC tại H. Gọi K là hình chiếu của H trên AB.
a) Chứng minh CBKH là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh ACM = ACK
c) Trên đọan thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM. Chứng minh
tam giác ECM là tam giác vuông cân tại C
d) Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại điểm A; cho P là điểm nằm trên d
sao cho hai điểm P, C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và AP.MB = R . MA
Chứng minh đường thẳng PB đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK
Bài 5 (0,5 điểm). Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x  2y . 2 2 x + y
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = xy
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 - ĐỀ SỐ 44 2017 Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút Đề thi có 01 trang
------------------------- a +1 a −1  1
Câu 1 (2,0 điểm) Cho biểu thức : P =  − + 4 a  , (Với a >   a −1 a +1 2a a   0 , a 1)
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 113
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 2
a) Chứng minh rằng : P = a −1
b) Tìm giá trị của a để P = a
Câu 2 (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d) : y = 2x + 3
a) Chứng minh rằng (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt
b) Gọi A và B là các điểm chung của (d) và (P) . Tính diện tích tam giác OAB ( O là gốc toạ độ)
Câu 3 (2,0 điểm) Cho phương trình : x2 + 2mx + m2 - 2m + 4 = 0
a) Giải phương trình khi m = 4
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O) có đờng kính AB cố định, M là một điểm thuộc
(O) ( M khác A và B ) . Các tiếp tuyến của (O) tại A và M cắt nhau ở C.
Đường tròn (I) đi qua M và tiếp xúc với đường thẳng AC tại C. CD là đờng
kính của (I). Chứng minh rằng: 1. Ba điểm O, M, D thẳng hàng
a) Tam giác COD là tam giác cân
b) Đường thẳng đi qua D và vuông góc với BC luôn đi qua một điểm
cố định khi M di động trên đường tròn (O)
Câu 5 (1,0 điểm) Cho a,b,c là các số dương không âm thoả mãn : 2 2 2
a + b + c = 3 a b c 1 + +  Chứng minh rằng : 2 2 2 a + 2b + 3 b + 2c + 3 c + 2a + 3 2
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 - ĐỀ SỐ 45 2017 Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút Đề thi có 01 trang
-------------------------
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 114
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
Câu 1 (2,0 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau: a) 2
2x − x − 3 = 0 2x − 3y = 7 b)  3  x + 2y = 4 c) 4 2 x + x −12 = 0 d) 2
x − 2 2x − 7 = 0
Câu 2 (1,5 điểm) 1 1
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số 2 y =
x và đường thẳng (D): y = − x + 2 4 2
trên cùng một hệ trục toạ độ.
b) Tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (D) ở câu trên bằng phép tính.
Câu 3 (1,5 điểm) Thu gọn các biểu thức sau: 1 2 x 1 A = + −
với x > 0; x  1 x + x x −1 x − x
B = (2 − 3) 26 +15 3 − (2 + 3) 26 −15 3
Câu 4 (1,5 điểm) Cho phương trình 2
x − 2mx + m − 2 = 0 (x là ẩn số)
a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. −
Tìm m để biểu thức M = 24
đạt giá trị nhỏ nhất 2 2
x + x − 6x x 1 2 1 2
Câu 5 (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) có tâm O và điểm M nằm ngoài đường
tròn (O). Đường thẳng MO cắt (O) tại E và F (MEvà tiếp tuyến MC của (O) (C là tiếp điểm, A nằm giữa hai điểm M và B, A
và C nằm khác phía đối với đường thẳng MO).
a) Chứng minh rằng MA.MB = ME.MF
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm C lên đường thẳng MO.
Chứng minh tứ giác AHOB nội tiếp.
c) Trên nửa mặt phẳng bờ OM có chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn
đường kính MF; nửa đường tròn này cắt tiếp tuyến tại E của (O) ở K. Gọi S
là giao điểm của hai đường thẳng CO và KF. Chứng minh rằng đường thẳng
MS vuông góc với đường thẳng KC.
d) Gọi P và Q lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác EFS
và ABS và T là trung điểm của KS. Chứng minh ba điểm P, Q, T thẳng hàng.
----------HẾT----------
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 115
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 - ĐỀ SỐ 46 2017 Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,5 điểm) 1. Thực hiện phép tính: − − + ( − )2 + ( − )3 3 3 a) 2 10 36 64 b) 2 3 2 5 . 2 2a + 4 1 1 2. Cho biểu thức: P = − − 3 1 − a 1 + a 1 − a
a) Tìm điều kiện của a để P xác định
b) Rút gọn biểu thức P.
Câu 2 (1,5 điểm)
1. Cho hai hàm số bậc nhất y = -x + 2 và y = (m+3)x + 4. Tìm các giá
trị của m để đồ thị của hàm số đã cho là:
a) Hai đường thẳng cắt nhau
b) Hai đường thẳng song song.
2. Tìm các giá trị của a để đồ thị hàm số y = ax2 (a  0) đi qua điểm M(-1; 2).
Câu 3 (1,5 điểm)
a) Giải phương trình x 2 - 7x - 8 = 0
b) Cho phương trình x2 - 2x + m – 3 = 0 với m là tham số. Tìm các giá
trị của m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện 3 3 x x + x x = 6 − 1 2 1 2
Câu 4 (1,5 điểm) 3  x − 2y =1
a) Giải hệ phương trình  . −x + 3y = 2
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 116
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 2x − y = m −1
b) Tìm m để hệ phương trình  có nghiệm (x; y) thỏa 3  x + y = 4m +1
mãn điều kiện x + y > 1.
Câu 5 (3,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và tiếp
tuyến Ax cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên Ax kẻ
tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C là tiếp điểm). AC cắt OM tại
E; MB cắt nửa đường tròn (O) tại D (D khác B).
a) Chứng minh AMOC là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh AMDE là tứ giác nội tiếp đường tròn. c) Chứng mình ADE = ACO
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 - ĐỀ SỐ 47 2017 Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút Đề thi có 01 trang
-------------------------  x + 2 x − 2 
Câu 1 (2,0 điểm) Cho biểu thức Q =  −   (x + x ) , với x + 2 x +1 x −1   x  0, x  1 a) Rút gọn biểu thức Q
b) Tìm các giá trị nguyên của x để Q nhận giá trị nguyên. 2
Câu 2 (1,5 điểm) Cho phương trình x − 2(m +1)x + m − 2 = 0 , với x là ẩn số, mR
a) Giải phương trình đã cho khi m = - 2
b) Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x và x . Tìm 1 2
hệ thức liên hệ giữa x và x mà không phụ thuộc vào m. 1 2
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 117
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 (  m +1)x −(m +1)y = 4m
Câu 3 (2,0 điểm) Cho hệ phương trình  , với mR x  + (m − 2)y = 2
a) Giải hệ đã cho khi m = –3
b) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm duy nhất.
Tìm nghiệm duy nhất đó.
Câu 4 (2,0 điểm) Cho hàm số 2 y = x
− có đồ thị (P). Gọi d là đường thẳng đi
qua điểm M(0;1) và có hệ số góc k.
a) Viết phương trình của đường thẳng d
b) Tìm điều kiện của k để đt d cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt.
Câu 5 (2,5 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC < BC) nội tiếp trong đường tròn
(O). Gọi H là giao điểm của hai đường cao BD và CE của tam giác ABC (D  AC, E  AB)
a) Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp trong một đường tròn
b) Gọi I là điểm đối xứng với A qua O và J là trung điểm của BC.
Chứng minh rằng ba điểm H, J, I thẳng hàng
c) Gọi K, M lần lượt là giao điểm của AI với ED và BD. Chứng minh rằng 1 1 1 = + 2 2 2 DK DA DM
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 - ĐỀ SỐ 48 2017 Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (3,0 điểm) Học sinh không sử dụng máy tính bỏ túi
a) Giải phương trình: 2x – 5 = 0
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 118
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 y − x = 2
b) Giải hệ phương trình:  5  x − 3y =10 2 5 a − 3 3 a + 1 a + 2 a + 8
c) Rút gọn biểu thức A = + − với a  0, a  4 a − 2 a + 2 a − 4
d) Tính giá trị của biểu thức B = 4 + 2 3 + 7 − 4 3
Câu 2 (2,0 điểm)
Cho parabol (P) và đường thẳng (d) có phương trình lần lượt là 2
y = mx và y = (m − 2) x + m −1 (m là tham số, m  0).
a) Với m = –1 , tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P).
b) Chứng minh rằng với mọi m  0 đường thẳng (d) luôn cắt parabol
(P) tại hai điểm phân biệt.
Câu 3 (2,0 điểm)
Quãng đường từ Việt Trì đến Hà Nội dài 100 km. Cùng một lúc, một
xe máy khởi hành từ Việt Trì đi Hà Nội và một xe ô tô khởi hành từ Hà Nội
đi Việt Trì. Sau khi hai xe gặp nhau, xe máy đi 1 giờ 30 phút nữa mới đến
Hà Nội. Biết vận tốc hai xe không thay đổi trên suốt quãng đường đi và vận
tốc của xe máy kém vận tốc xe ô tô là 20 km/h. Tính vận tốc mỗi xe.
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Gọi C là trung điểm của
OA, qua C kẻ dây MN vuông góc với OA tại C. Gọi K là điểm tùy ý trên
cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK và MN.
a) Chứng minh tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh AK.AH = R2
Trên KN lấy điểm I sao cho KI = KM, chứng minh NI = KB.
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 - ĐỀ SỐ 49 2017 Môn Toán
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 119
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972
Thời gian làm bài: 120 phút Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,0 điểm) 1 a) Tính 2 2 1
b) Xác định giá trị của a,biết đồ thị hàm số y = ax - 1 đi qua điểm M(1;5)
Câu 2 (3,0 điểm) 1 2 a 3 a 2
a) Rút gọn biểu thức: A ( ).( 1) với a>0,a a 2 a 2 a a 2 4 2x 5y 9
b) Giải hệ phương trình: 3x y 5 c) Chứng minh rằng pt: 2 x mx m 1
0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
Giả sử x1,x2 là 2 nghiệm của pt đã cho,tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 B x x 4.(x x ) 1 2 1 2
Câu 3 (1,5 điểm) Một ôtô tải đi từ A đến B với vận tốc 40km/h. Sau 2 giờ
30 phút thì một ôtô taxi cũng xuất phát đi từ A đến B với vận tốc 60 km/h và
đến B cùng lúc với xe ôtô tải.Tính độ dài quãng đường AB.
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O) và một điểm A sao cho OA=3R. Qua A kẻ 2 tiếp
tuyến AP và AQ của đường tròn (O),với P và Q là 2 tiếp điểm.Lấy M thuộc
đường tròn (O) sao cho PM song song với AQ.Gọi N là giao điểm thứ 2 của
đường thẳng AM và đường tròn (O).Tia PN cắt đường thẳng AQ tại K.
a) Chứng minh APOQ là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh KA2=KN.KP
c) Kẻ đường kính QS của đường tròn (O).Chứng minh tia NS là tia
phân giác của góc PNM .
d) Gọi G là giao điểm của 2 đường thẳng AO và PK .Tính độ dài đoạn thẳng AG theo bán kính R.
Câu 5 (0,5 điểm) Cho a,b,c là 3 số thực khác không và thoả mãn: 2 2 2 a (b c) b (c a) c (a b) 2abc 0 2016 2016 2016 a b c 1
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 120
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 1 1 1
Hãy tính giá trị của biểu thức Q 2016 2016 2016 a b c
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
KỲ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2016 - ĐỀ SỐ 50 2017 Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút Đề thi có 01 trang
-------------------------
Câu 1 (2,5 điểm) x + 4 a) Cho biểu thức A =
. Tính giá trị của A khi x = 36 x + 2  x 4  x +16
b) Rút gọn biểu thức B =  +  : (với x  0; x  16 )   x + 4 x − 4 x + 2  
c) Với các của biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị của x
nguyên để giá trị của biểu thức B(A – 1) là số nguyên 12
Câu 2 (2,0 điểm) Hai người cùng làm chung một công việc trong giờ thì 5
xong. Nếu mỗi người làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc
trong ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải
làm trong bao nhiêu thời gian để xong công việc?
Câu 3 (1,5 điểm)  2 1 + = 2 x y
a) Giải hệ phương trình:  6 2  − =1 x y
b) Cho phương trình: x2 – (4m – 1)x + 3m2 – 2m = 0 (ẩn x). Tìm m để
phương trình có hai nghiệm phân biệt x 2 2 + =
1, x2 thỏa mãn điều kiện : x x 7 1 2
Câu 4 (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Bán kính CO
vuông góc với AB, M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC (M khác A, C);
BM cắt AC tại H. Gọi K là hình chiếu của H trên AB.
a) Chứng minh CBKH là tứ giác nội tiếp.
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 121
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 b) Chứng minh ACM = ACK
c) Trên đọan thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM. Chứng minh
tam giác ECM là tam giác vuông cân tại C
d) Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại điểm A; cho P là điểm nằm trên d
sao cho hai điểm P, C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và
AP.MB = R . Chứng minh đường thẳng PB đi qua trung điểm của đoạn thẳng MA HK
Câu 5 (0,5 điểm) Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x  2y , tìm 2 2 +
giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x y M = xy
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD:……………..
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 122