Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán – Lư Sĩ Pháp

Tài liệu gồm 63 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Lư Sĩ Pháp, tóm tắt lý thuyết và tuyển chọn các dạng bài tập giúp học sinh ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán.

108 54 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu ôn thi vào 10 môn Toán

Môn: Môn Toán

Thông tin:

63 trang 7 tháng trước

Tác giả:

Profile Nguyễn Vân
TOAÙN OÂN THI
TUYEÅN
SINH 10
Vấn đề 1. RÚT GỌN, CHỨNG MINH BIỂU THỨC
Vấn đề 2. PHƯƠNG TRÌNH
Vấn đề 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Vấn đề 4. ỨNG DỤNG ĐỊNH LÍ VI - ÉT
Vấn đề 5. ĐƯỜNG THẲNG
Vấn đề 6. PARABOL
Vấn đề 7. GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PT, HPT
Vấn đề 8. HÌNH HỌC
Vấn đề 9. MỘT SỐ ĐỀ THAM KHẢO
I Love Math
2021 - 2022
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
1
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
TRỌNG TÂM ÔN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
NĂM HỌC: 2021 – 2022
ẤN ĐỀ 1. Rút gọn, đơn giản biểu thức, chứng minh đẳng thức.
Phương pháp: Khai căn bậc 2, bậc 3. Tính chất của căn bậc 2, bậc 3
Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ
Quy đồng, trục căn thức
Căn
H
ằ
ẳ
ng th
ứ
c
Tr
ụ
c căn th
ứ
c
, 0
, 0
A A
A A
A A
≥
= =
− <
. ; , 0
A B AB A B
= ≥
, 0, 0
A A
A B
B
B
= ≥ >
2
, 0
A B A B B
= ≥
2
; , 0
A B A B A B
= ≥
2
; 0, 0
A B A B A B
= − < ≥
( )
2
2 2
2
a b a ab b
+ = + +
( )
2
2 2
2
a b a ab b
− = − +
(
)
(
)
2 2
a b a b a b
− = − +
( )
3
3 2 2 3
3 3
a b a a b ab b
+ = + + +
( )
3
3 2 2 3
3 3
a b a a b ab b
− = − + −
(
)
(
)
3 3 2 2
a b a b a ab b
+ = + − +
(
)
(
)
3 3 2 2
a b a b a ab b
− = − + +
, 0, 0
A AB
AB B
B B
= ≥ ≠
, 0
A A B
B
B
B
= >
(
)
( )
2
C A B
C
A B
A B
=
±
−
∓
(
)
( )
C A B
C
A B
A B
=
−
±
∓
Bài 1.
Rút g
ọ
n các bi
ể
u th
ứ
c sau
a.
(
)
11 2 44 3 99 : 11
A = − +
b.
(
)
27 2 12 75 : 2 3
B = − −
HD Giải
(
)
( )
a. 11 2 44 3 99 : 11
11 4 11 9 11 : 11
6 11: 11
6
A = − +
= − +
=
=
(
)
( )
( )
b. 27 2 12 75 : 2 3
3 3 4 3 5 3 : 2 3
3 3 : 2 3
3
2
B = − −
= − −
= −
= −
Bài tập làm tương tự
Bài 2.
Rút g
ọ
n các bi
ể
u th
ứ
c sau
a.
(
)
3 5 2 3 . 5 60
A = − +
b.
(
)
28 2 3 7 . 7 84
B = − + +
c.
(
)
27 12 2 6 : 3 3
C = − +
d.
(
)
2
6 5 120
D = + −
e.
(
)
2
14 3 2 6 28
E = − +
f.
1 2 1 2
: 72
1 2 1 2
F
− +
= −
+ −
Bài 3.
Rút g
ọ
n các bi
ể
u th
ứ
c sau
a.
6 12 20 2 27 125
A = − − +
b.
3 2 8 50 4 32
B = − + −
c.
20 2 45 3 80 125
C = − − +
d.
27 2 3 2 48 3 75
D = − + −
e.
2 18 3 80 5 147 5 245 3 98
E = − − + −
f.
4 24 2 54 3 6 150
F = − + −
Bài 4.
Rút g
ọ
n các bi
ể
u th
ứ
c sau
a.
1 1
3 7 3 7
A = −
− +
b.
1 1
6 35 6 35
B = +
+ −
c.
(
)
(
)
3 2 2 3 2 2
C = − +
d.
8 18 32 50
D = + + +
e.
(
)
6 3 . 3 3 2
E = + −
f.
(
)
6 2 . 2 16 12
F = + + −
Bài 5.
Rút g
ọ
n các bi
ể
u th
ứ
c sau
V
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
2
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
a.
3 13 6
2 3 4 3 3
A = + +
+ −
b.
4 2 3
6 2
B
−
=
−
c.
(
)
3 2 6 6 3 3
C = + −
d.
3 4
5 2 6 2
D = +
− +
e.
3 1 3 1
3 1 3 1
F
+ −
= +
− +
f.
17 4 9 4 5
F = − +
g.
( )
2
4
3 45 5 1
5 1
G = − + −
−
h.
( )
2
1
12 2 1
3 2
H = + − −
−
Bài 6.
Rút g
ọ
n các bi
ể
u th
ứ
c sau
a.
1
:
a b b a
A
ab a b
−
=
+
v
ớ
i
0, 0
a b
> >
. b.
1 1
:
1
x
B
x x x x
= +
+ +
v
ớ
i
0
x
>
HD Giải
a. V
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n
0, 0
a b
> >
. Ta có:
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 1
: : .
ab a b
a b b a
A a b a b a b a b
ab a b ab a b
−
−
= = = − + = − = −
+ +
b. V
ớ
i
0
x
>
. Ta có:
( ) ( )
1 1 1 2 1
: :
1
1 1
x x x x x
B
x x x x x
x x x x
+ + +
= + = =
+ +
+ +
Bài 7.
Cho bi
ể
u th
ứ
c
2
1 : 1
1 2
a a a a
H
a a
− +
= + −
− +
v
ớ
i
0
a
≥
và
1
a
≠
a. Rút g
ọ
n bi
ể
u th
ứ
c
đ
ã cho b. Tìm t
ấ
t c
ả
các giá tr
ị
nguyên c
ủ
a
a
để
bi
ể
u th
ứ
c
H
nguyên
HD Giải
a. V
ớ
i
0
a
≥
và
1
a
≠
. Ta có:
(
)
(
)
1 2
2 1
1 : 1 1 : 1
1 2 1 2 1
a a a a
a a a a a
H
a a a a a
− +
− + +
= + − = + − =
− + − + −
b. Ta có
1 1 2 2
1
1 1 1
a a
H
a a a
+ − +
= = = + ∈ ⇔
− − −
ℤ
(
)
1
a
−
là
ướ
c s
ố
c
ủ
a 2
0
0
1 1
2 4
1 2
9
3
a
a
a
a a
a
a
a
=
=
− = ±
⇔ ⇔ = ⇔ =
− = ±
=
=
. V
ậ
y
{
}
0;4;9 .
a
∈
Bài tập làm tương tự
Bài 8.
Rút g
ọ
n các bi
ể
u th
ứ
c sau
a.
1 1
:
4
2 2
a
A
a
a a
= +
−
+ −
v
ớ
i
0, 4
a a
> ≠
.
b.
2
a b b
B
a b
a b a b
= − −
−
− +
v
ớ
i
0, 0,
a b a b
> > ≠
.
c.
2
.
a a b b a b
C ab
a b
a b
+ +
= −
−
+
v
ớ
i
0, 0,
a b a b
> > ≠
.
d.
2 . 2
1 1
a a a a
D
a a
− +
= + −
− +
v
ớ
i
0, 1
a a
≥ ≠
.
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
3
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
e.
5 4 3 2 2
5 4 4 1
x x x
E
x x x x
+ − +
= − +
− + − −
v
ớ
i
0, 16; 1.
x x x
≥ ≠ ≠
f.
3 2 2 3
a b b a a a b ab b
F
a b a b
+ − + −
= −
+ −
v
ớ
i
0, 0,
a b a b
> > ≠
.
g.
2
.
ab a b
G a
a b b a
= + −
+
v
ớ
i
. 0.
a b
>
h.
2
1 1
.
1
1
a a a
H a
a
a
+ +
= −
−
+
v
ớ
i
0, 1.
a a
≥ ≠
i.
(
)
( )
3
3
3 32 2 2 2
3
3 32 2 2 2
2
2
a b a b
I
a b a b
− − +
=
− − +
v
ớ
i
a
và
b
không
đồ
ng th
ờ
i b
ằ
ng không.
j.
1 1 3
.
3 3
x
J
x x x
+
= −
− +
, (v
ớ
i
0; 9
> ≠
x x
). Rút g
ọ
n bi
ể
u th
ứ
c và tìm t
ấ
t c
ả
các giá tr
ị
nguyên c
ủ
a
x
để
1
2
J
>
.
k.
2
1 1
1
1
a a a
K a
a
a
− −
= +
−
−
v
ớ
i
0
a
≥
và
1
a
≠
l.
1 1 1
2
2 1 1
a a a
L
a a a
− +
= − −
+ −
v
ớ
i
0
a
>
và
1
a
≠
Bài 9.
Cho bi
ể
u th
ứ
c
2
2 3
( ) ,
1
a a
P a a a
a
−
= + +
+
v
ớ
i
a
là s
ố
th
ự
c không âm.
a. Rút g
ọ
n
( ).
P a
b. Tìm
a
th
ỏ
a mãn
2
0.
a a P
+ − =
Bài 10.
Cho bi
ể
u th
ứ
c
( )
3
2 1 2
( ) :
2 2
4
a
P a
a a a
a a a
+
= +
− −
+ −
v
ớ
i
0, 4
a a
> ≠
a. Rút g
ọ
n bi
ể
u th
ứ
c
( ).
P a
b. Tìm
a
để
( ) 1.
P a
=
c. Tìm s
ố
nguyên
a
là s
ố
nguyên. c. Tìm giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
(
)
( ) 3 . ( ).
Q a a P a
= −
Bài 11.
Cho hai bi
ể
u th
ứ
c
(
)
2
4
x y xy
P
x y
− +
=
+
và
x y y x
Q
xy
−
=
v
ớ
i
0, 0.
x y
> >
a. Rút g
ọ
n bi
ể
u th
ứ
c
P
và
.
Q
b. Tính
.
P Q
bi
ế
t
2 3, 3
x y= =
Bài 12.
Cho bi
ể
u th
ứ
c
( )
2
2
3 3 7
4
x x
M
x
− + −
=
−
v
ớ
i
2.
x
≠ ±
a. Rút g
ọ
n bi
ể
u th
ứ
c
.
M
b. Tìm các giá tr
ị
c
ủ
a
x
để
1
.
3
M
=
Bài 13.
Cho bi
ể
u th
ứ
c
2
2 2 6
1 :
2
2 2
x
P
x
x x
−
= − +
−
− +
v
ớ
i
2.
x ≠ ±
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
4
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
a. Rút g
ọ
n bi
ể
u th
ứ
c
.
P
b. Tính
(10).
P
Bài 14.
Cho bi
ể
u th
ứ
c
1 1 1
: 1
1
1 1
a
Q
a
a a a a
+
= + +
−
+ + − −
v
ớ
i
1.
a
>
a. Rút g
ọ
n bi
ể
u th
ứ
c
.
Q
b. Tính
(5).
Q
Bài 15.
Cho hai bi
ể
u th
ứ
c
(
)
4 1
25
+
=
−
x
A
x
và
15 2 1
:
25
5 5
− +
= +
−
+ −
x x
B
x
x x
v
ớ
i
0; 25
≥ ≠
x x
.
a. Tìm giá tr
ị
c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
A
khi
9
x
=
.
b. Rút g
ọ
n bi
ể
u th
ứ
c
B
.
c. Tìm t
ấ
t c
ả
các giá tr
ị
nguyên c
ủ
a
x
để
bi
ể
u th
ứ
c
.
=
P A B
đạ
t giá tr
ị
nguyên l
ớ
n nh
ấ
t
ẤN ĐỀ 2. Giải phương trình
I. Phương trình bậc hai:
Ph
ươ
ng trình có d
ạ
ng
2
0, 0 (1)
ax bx c a+ + = ≠
Cách giải:
Tính
2
4
b ac
∆ = −
ho
ặ
c
2
b ac
′
∆ = −
trong
đ
ó
2
b
b
′
=
Nh
ậ
n
đị
nh t
ừ
bi
ệ
t th
ứ
c
∆
0
∆ <
suy ra ph
ươ
ng trình (1) vô nghi
ệ
m
0
∆ =
suy ra ph
ươ
ng trình (1) có nghi
ệ
m kép
1 2
2
b
x x
a
= = −
0
∆ >
suy ra ph
ươ
ng trình (1) có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
1 2
,
2 2
b b
x x
a a
− + ∆ − − ∆
= =
K
ế
t lu
ậ
n
Cách khác:
Nhận thấy:
0
a b c
+ + =
suy ra ph
ươ
ng trình (1) có nghi
ệ
m là
1 2
1,
c
x x
a
= =
0
a b c
− + =
suy ra ph
ươ
ng trình (1) có nghi
ệ
m là
1 2
1,
c
x x
a
= − = −
Lưu ý:
Ph
ươ
ng trình tích
. 0 0
A B A
= ⇔ =
ho
ặ
c
0
B
=
Bài 1.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
a.
2
3 10 0
x x
− − =
b.
2
12 0
x x
− − =
c.
2
6 2 0
x x
− − =
d.
2
9 30 25 0
x x
− + − =
HD Giải
a.
2
3 10 0
x x
− − =
. (Xác
đị
nh các h
ệ
s
ố
1, 3, 10
a b c
= = − = −
,
Lưu ý:
Tr
ướ
c khi gi
ả
i các em có th
ể
s
ử
d
ụ
ng máy tính ki
ể
m tra nghi
ệ
m tr
ướ
c)
Ta có:
2 2
4 ( 3) 4.1.( 10) 49 0
b ac
∆ = − = − − − = >
Do
đ
ó ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có hai nghi
ệ
m
1 2
( 3) 49 ( 3) 49
5; 2
2.1 2.1
x x
− − + − − −
= = = = −
b.
2
12 0
x x
− − =
. Ta có:
2 2
4 ( 1) 4.1.( 12) 49 0
b ac
∆ = − = − − − = >
Do
đ
ó ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có hai nghi
ệ
m
1 2
( 1) 49 ( 1) 49
4; 3
2.1 2.1
x x
− − + − − −
= = = = −
c.
2
6 2 0
x x
− − =
. Ta có:
2 2
4 ( 1) 4.6.( 2) 49 0
b ac
∆ = − = − − − = >
Do
đ
ó ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có hai nghi
ệ
m
1 2
( 1) 49 2 ( 1) 49 1
;
2.6 3 2.6 2
x x
− − + − − −
= = = = −
d.
2
9 30 25 0
x x
− + − =
. Ta có:
2 2
4 30 4.( 9).( 25) 0
b ac
∆ = − = − − − =
Do
đ
ó ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có nghi
ệ
m
30 5
2 2.( 9) 3
b
x
a
= − = − =
−
V
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
5
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
Ho
ặ
c gi
ả
i nh
ư
sau: Ta có:
( )
2
2 2
5
9 30 25 0 9 30 25 0 3 5 0 .
3
x x x x x x
− + − = ⇔ − + = ⇔ − = ⇔ =
Bài tập tương tự
Bài 2.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
a.
2
4 7 4 0
x x
− + =
b.
2
2 8 0
x x
− =
c.
2
7 6 0
x x
− + =
d.
2
10 21 0
x x
+ + =
e.
2
14 48 0
x x
− + =
f.
2
2 5 2 0
x x
− + =
g.
2
2 7 0
x x
+ + =
h.
2
6 9 0
x x
+ + =
II. Phương trình trùng phương:
Ph
ươ
ng trình có d
ạ
ng
4 2
0, 0 (2)
ax bx c a+ + = ≠
Cách giải:
Đặ
t
2
,( 0)
t x t
= ≥
, ph
ươ
ng trình (2) tr
ở
thành:
2
0 (2 )
at bt c
′
+ + =
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
(2')
là ph
ươ
ng trình b
ậ
c hai theo bi
ế
n
t
, l
ư
u ý
đ
i
ề
u ki
ệ
n
0
t
≥
K
ế
t lu
ậ
n
Ph
ươ
ng trình
(2 )
′
vô nghi
ệ
m suy ra ph
ươ
ng trình
(2)
vô nghi
ệ
m
Ph
ươ
ng trình
(2 )
′
có 1 nghi
ệ
m suy ra ph
ươ
ng trình
(2)
có 2 nghi
ệ
m
Ph
ươ
ng trình
(2 )
′
có 2 nghi
ệ
m suy ra ph
ươ
ng trình
(2)
có 4 nghi
ệ
m
Bài 3.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
a.
4 2
16 0
x x
− =
b.
4 2
5 4 0
x x
− + =
c.
4 2
5 6 0
x x
+ + =
d.
4 2
7 18 0
x x
− − =
HD Giải
a.
( )
2
4 2 2 2
2
0 0
16 0 16 0
4
16 0
x x
x x x x
x
x
= =
− = ⇔ − = ⇔ ⇔
= ±
− =
.
V
ậ
y ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có t
ậ
p nghi
ệ
m là
{
}
4;0;4
S
= −
b.
Đặ
t
2
, 0
t x t
= ≥
. Ph
ươ
ng trình
đ
ã cho tr
ở
thành:
2
1
5 4 0
4
t
t t
t
=
− + = ⇔
=
(th
ỏ
a
đ
i
ề
u ki
ệ
n)
V
ớ
i
1
t
=
, ta có:
2
1 1
x x
= ⇔ = ±
V
ớ
i
4,
t
=
ta có:
2
4 2
x x
= ⇔ = ±
V
ậ
y ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có t
ậ
p nghi
ệ
m là
{
}
2; 1;1;2
S
= − −
c.
Đặ
t
2
, 0
t x t
= ≥
. Ph
ươ
ng trình
đ
ã cho tr
ở
thành:
2
2
5 6 0
3
t
t t
t
= −
+ + = ⇔
= −
( không th
ỏ
a
đ
i
ề
u ki
ệ
n)
V
ậ
y ph
ươ
ng trình
đ
ã cho vô nghi
ệ
m
d.
Đặ
t
2
, 0
t x t
= ≥
. Ph
ươ
ng trình
đ
ã cho tr
ở
thành:
2
2
7 18 0
9
t
t t
t
= −
− + − = ⇔
=
(th
ỏ
a
đ
i
ề
u ki
ệ
n)
V
ớ
i
2:
t
= −
không th
ỏ
a
đ
i
ề
u ki
ệ
n
V
ớ
i
9,
t
=
ta có:
2
9 3
x x
= ⇔ = ±
V
ậ
y ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có t
ậ
p nghi
ệ
m là
{
}
3;3
S
= −
Bài tập làm tương tự
Bài 4.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
a.
4 2
4 7 2 0
x x
+ − =
b.
4 2
3 10 3 0
x x
+ + =
c.
4 2
9 40 16 0
x x
− + =
d.
4 2
4 12 0
x x
− − =
e.
4 2
6 0
x x
− − =
f.
4 2
2 5 2 0
x x
− + =
g.
4 2
10 21 0
x x
+ + =
h.
4 2
3 18 0
x x
− =
III. Một số phương trình khác
Phương pháp chung:
Đư
a các ph
ươ
ng trình b
ậ
c nh
ấ
t
0
ax b
+ =
ho
ặ
c b
ậ
c hai
2
0
ax bx c
+ + =
ho
ặ
c
ph
ươ
ng trình tích.
1. Ph
ươ
ng trình ch
ứ
a
ẩ
n
ở
m
ẫ
u
M
ẫ
u có ch
ứ
a bi
ế
n thì ta c
ầ
n l
ấ
y
đ
i
ề
u ki
ệ
n.
Quy
đồ
ng b
ỏ
m
ẫ
u và gi
ả
i ph
ươ
ng trình m
ớ
i tìm
đượ
c
K
ế
t lu
ậ
n nghi
ệ
m c
ầ
n so v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n
để
nh
ậ
n lo
ạ
i nghi
ệ
m
2. Ph
ươ
ng trình ch
ứ
a d
ấ
u c
ă
n có các d
ạ
ng c
ơ
b
ả
n
2
0
B
A B
A B
≥
= ⇔
=
0 ( 0)
B hay A
A B
A B
≥ ≥
= ⇔
=
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
6
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
0
0 ( 0)
2
A
A B C B C
A B AB C
≥
+ = ⇔ ≥ ≥
+ + =
đư
a v
ề
d
ạ
ng
.
3. Ph
ươ
ng trình ch
ứ
a d
ấ
u giá tr
ị
tuy
ệ
t
đố
i có các d
ạ
ng c
ơ
b
ả
n
2 2
0
B
A B
A B
≥
= ⇔
=
A B
A B
A B
=
= ⇔
= −
4. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình b
ằ
ng cách
đặ
t
ẩ
n ph
ụ
Ch
ọ
n bi
ế
n hay hàm phù h
ợ
p
để
đặ
t và l
ư
u ý
đ
i
ề
u ki
ệ
n
Đư
a ph
ươ
ng trình
đ
ã cho v
ề
ph
ươ
ng trình theo
ẩ
n ph
ụ
Gi
ả
i, so v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n nh
ậ
n lo
ạ
i nghi
ệ
m cho phù h
ợ
p
Bài 5.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
a.
1 3
2 2 1 10
x
x x
− =
+ +
b.
2
2 1 1
1
x
x x x x
−
= −
− −
c.
(
)
2
4 . 3 0
x x x
− − =
d.
2 6
1 0
1
x
x x
x
−
+ − =
−
e.
3 4 0
x x
− − =
f.
2 1 2
x x
− = −
g.
5 1 1 0
x x
+ − + =
h.
(
)
( )
2
2
2
2 1 5 0
x x x
+ − + − =
i.
( 1)( 2)( 3) 24
x x x x
+ + + =
HD Giải
a.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
2
x
≠ −
và
1
2
x
≠ −
.
Ta có:
1 3
10 (2 1) 10( 2) 3( 2)(2 1)
2 2 1 10
x
x x x x x
x x
− = ⇔ + − + = + +
+ +
2
14 15 26 0 2
x x x
⇔ − − = ⇔ =
ho
ặ
c
13
14
x
= −
(th
ỏ
a
đ
i
ề
u ki
ệ
n)
V
ậ
y t
ậ
p nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình là
13
2; .
14
S
= −
b.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
0
x
≠
và
1
x
≠
.
Ta có:
2
2
1
2 1 1
( 2) ( 1) 1 3 2 0
2
1
x
x
x x x x x
x
x x x x
=
−
= − ⇔ − = − − ⇔ − + = ⇔
=
− −
So v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n, V
ậ
y t
ậ
p nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình là
{
}
2 .
S
=
c.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
3.
x
≥
Ta có:
( )
2
2
0
4 0
4 . 3 0 4
3 0
3
x
x x
x x x x
x
x
=
− =
− − = ⇔ ⇔ =
− =
=
So v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n, V
ậ
y t
ậ
p nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình là
{
}
3;4 .
S
=
d.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
1.
x
>
Ta có:
2
2
2 6
1 0 2 6 ( 1) 0 6 0
3
1
x
x
x x x x x x x
x
x
=
−
+ − = ⇔ − + − = ⇔ + − = ⇔
= −
−
So v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n, ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có nghi
ệ
m là
2
x
=
e.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
0.
x
≥
Đặ
t
, 0.
t x t
= ≥
Ph
ươ
ng trình
đ
ã cho tr
ở
thành:
= −
− − = ⇔
=
2
1(loaïi)
3 4 0
4 (nhaän)
t
t t
t
V
ớ
i
=
4
t
, ta có:
= ⇔ =
4 16
x x
. V
ậ
y ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có nghi
ệ
m là
=
16.
x
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
7
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
f. Ta có:
2 2
2
2 0 2
2 1 2 5.
1
2 1 ( 2) 6 5 0
5
x
x x
x x x
x
x x x x
x
≥
− ≥ ≥
− = − ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =
=
− = − − + =
=
V
ậ
y ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có nghi
ệ
m là
=
5.
x
g.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
≥ −
1
.
5
x
Ta có:
2 2
0
5 1 1 0 5 1 1 5 1 ( 1) 3 0
3
x
x x x x x x x x
x
=
+ − + = ⇔ + = + ⇔ + = + ⇔ − = ⇔
=
h. Ta có:
(
)
( )
(
)
(
)
2 2
2
2 2 2
2 1 5 0 2 2 6 0 (*)
x x x x x x x
+ − + − = ⇔ + − + − =
Đặ
t
= +
2
2 .
t x x
Ph
ươ
ng trình (*) tr
ở
thành:
= −
− − = ⇔
=
2
2
6 0
3
t
t t
t
V
ớ
i
= −
2,
t
ta có
+ = − ⇔ + + =
2 2
2 2 2 2 0
x x x x
vô nghi
ệ
m
V
ớ
i
=
3,
t
ta có
=
+ = ⇔ + − = ⇔
= −
2 2
1
2 3 2 3 0
3
x
x x x x
x
V
ậ
y t
ậ
p nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
đ
ã cho là
{
}
3;1 .
S
= −
So v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n, V
ậ
y t
ậ
p nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
đ
ã cho là
{
}
0;3 .
S
=
i. Ta có:
[
]
[
]
( 1)( 2)( 3) 24 ( 3) ( 1)( 2) 24
x x x x x x x x
+ + + = ⇔ + + + =
(
)
(
)
2 2
3 3 2 24
x x x x
⇔ + + + =
(*)
Đặ
t
= +
2
3
t x x
, Ph
ươ
ng trình (*) tr
ở
thành:
=
+ = ⇔ + − = ⇔
= −
2
4
( 2) 24 2 24 0
6
t
t t t t
t
V
ớ
i
=
4,
t
ta có
=
+ = ⇔ + − = ⇔
= −
2 2
1
3 4 3 4 0
4
t
x x x x
r
V
ớ
i
= −
6,
t
ta có
+ = − ⇔ + + =
2 2
3 6 2 4 0
x x x x
: Ph
ươ
ng trình vô nghi
ệ
m
V
ậ
y t
ậ
p nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
đ
ã cho là
{
}
4;1 .
S
= −
Bài tập làm tương tự
Bài 6.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
a.
+ =
+ + +
1 1 1
2 3 4
x x x
b.
− +
=
− − +
2
2 5 10
1 ( 1)( 2)
x x x
x x x
c.
(
)
(
)
(
)
(
)
+ + + + =
1 2 3 4 24
x x x x
d.
− − = −
2
2 3 2
x x x
e.
(
)
(
)
− + − + =
2 2
5 6 5 6 24
x x x x
f.
(
)
(
)
(
)
+ + + =
2
2 3 1 2 18
x x x
Bài 7.
Cho ph
ươ
ng trình:
2
( 1) 0
x m x m
− − − =
. Tìm
m
để
ph
ươ
ng trình trên có m
ộ
t nghi
ệ
m
b
ằ
ng
2
. Tính nghi
ệ
m còn l
ạ
i.
ấn đề 3. Hệ phương trình
1. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
H
ệ
ph
ươ
ng trình b
ậ
c nh
ấ
t hai
ẩ
n có d
ạ
ng t
ổ
ng quát là
( )
1 1 1
2 2 2
1
a x b y c
a x b y c
+ =
+ =
Trong
đ
ó
,
là hai
ẩ
n; các ch
ữ
s
ố
còn l
ạ
i là h
ệ
s
ố
.
N
ế
u c
ặ
p s
ố
(
)
0 0
;
x y
đồ
ng th
ờ
i là nghi
ệ
m c
ủ
a c
ả
hai ph
ươ
ng trình c
ủ
a h
ệ
thì
(
)
0 0
;
x y
đượ
c g
ọ
i là m
ộ
t
nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng trình
(
)
1 .
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
(
)
1
là tìm t
ậ
p nghi
ệ
m c
ủ
a nó.
Cách giải:
Có hai cách gi
ả
i quen thu
ộ
c và s
ử
d
ụ
ng h
ổ
tr
ợ
máy tính b
ỏ
túi.
V
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
8
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
Cách 1
.
Phương pháp thế
: T
ừ
m
ộ
t ph
ươ
ng trình nào
đ
ó c
ủ
a h
ệ
, bi
ể
u th
ị
m
ộ
t
ẩ
n qua
ẩ
n kia r
ồ
i th
ế
vào
ph
ươ
ng trình còn l
ạ
i
để
đượ
c ph
ươ
ng trình b
ậ
c nh
ấ
t m
ộ
t
ẩ
n.
Cách 2
.
Phương pháp cộng đại số
: Bi
ế
n
đổ
i cho h
ệ
s
ố
c
ủ
a m
ộ
t
ẩ
n nào
đ
ó trong hai ph
ươ
ng trình là hai
s
ố
đố
i nhau r
ồ
i c
ộ
ng t
ừ
ng v
ế
hai ph
ươ
ng trình l
ạ
i
để
đượ
c ph
ươ
ng trình b
ậ
c nh
ấ
t m
ộ
t
ẩ
n.
Cách 3.
S
ử
d
ụ
ng máy tính b
ỏ
túi.
Bài 1.
Gi
ả
i các h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
a.
+ = −
− = −
2 4
3 4 17
x y
x y
b.
+ =
+ =
3 5 1
5 2 9
x y
x y
HD Giải
Cách 1. Phương pháp thế
a.
+ = − = − − = − = −
⇔ ⇔ ⇔
− = − − − − = − = − − =
2 4 4 2 11 33 3
3 4 17 3 4( 4 2 ) 17 4 2 2
x y y x x x
x y x x y x y
V
ậ
y h
ệ
đ
ã cho có nghi
ệ
m là
(
)
(
)
= −
; 3;2 .
x y
b.
( )
( )
( )
= − = − =
+ =
⇔ ⇔ ⇔
+ =
− + = − + = − = −
1 1 43
1 5 1 5
3 5 1
3 3 19
5 2 9 1 25 5 22
5. 1 5 2 9 2 9
3 3 3 19
x y x y x
x y
x y
y y y y y
V
ậ
y h
ệ
đ
ã cho có nghi
ệ
m là
( )
= −
43 22
; ; .
19 19
x y
Cách 2. Phươn pháp cộng đại số
a.
= −
+ = − + = − = − = −
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
+
− = − − = − − = − =
=
3
2 4 8 4 16 11 33 3
3 17
3 4 17 3 4 17 3 4 17 2
4
x
x y x y x x
x
x y x y x y y
y
V
ậ
y h
ệ
đ
ã cho có nghi
ệ
m là
(
)
(
)
= −
; 3;2 .
x y
b.
=
=
+ = − − = −
⇔ ⇔ ⇔
−
+ = + =
=
= −
43
19 43
3 5 1 6 10 2
19
9 5
5 2 9 25 10 45 22
2
19
x
x
x y x
x
x y x y
y
y
V
ậ
y h
ệ
đ
ã cho có nghi
ệ
m là
( )
= −
43 22
; ; .
19 19
x y
Bài tập làm tương tự (chọn hợp lý một trong 2 cách để giải)
Bài 2.
Gi
ả
i các h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
a.
− =
− + =
3 4 2
6 8 1
x y
x y
b.
− =
− + = −
5 2
2 10 4
x y
x y
c.
− =
+ = −
3 4 18
2 3 5
x y
x y
d.
+ = −
+ = −
6 9 5
2 3 2
x y
x y
e.
− =
− + = −
4 5
8 2 10
x y
x y
f.
+ =
− =
3 2 4
2 4
x y
x y
g.
+ =
− =
3 17
2 1
x y
x y
h.
+ = −
− =
2 5 8
3 5
x y
x y
Bài 3.
Gi
ả
i các h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
a.
+ =
− =
2 3 8
2 4 1
x y
x y
b.
+ =
− =
2
2 4
x y
x y
c.
− =
+ = −
5 2 11
2
x y
x y
d.
+ =
− =
2 4
3 1
x y
x y
e.
− =
+ =
2 5
3 4 8
x y
x y
f.
+ =
− = −
2 3 8
3 4 5
x y
x y
g.
− = −
+ =
5 2 11
3 2 3
x y
x y
h.
+ =
+ =
2 5
3 4 5
x y
x y
2. Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc cao
a.
Đị
nh ngh
ĩ
a
H
ệ
ph
ươ
ng trình g
ồ
m m
ộ
t ph
ươ
ng trình b
ậ
c nh
ấ
t và m
ộ
t ph
ươ
ng trình b
ậ
c cao có d
ạ
ng
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
9
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
0 (1)
( ; ) 0 (2)
ax by c
f x y
+ + =
=
. Trong
đ
ó
( ; ) 0
f x y
=
là m
ộ
t ph
ươ
ng trình b
ậ
c cao theo hai
ẩ
n
x
và
y
.
b. Ph
ươ
ng pháp gi
ả
i
-
T
ừ
ph
ươ
ng trình (1) rút
ẩ
n
x
ho
ặ
c
ẩ
n
y
theo
ẩ
n còn l
ạ
i;
-
Th
ế
vào ph
ươ
ng trình (2),
để
đư
ph
ươ
ng trình (2) v
ề
ph
ươ
ng trình m
ộ
t
ẩ
n.
Bài 4.
Gi
ả
i các h
ệ
ph
ươ
ng trình sau:
a.
2 2
2 5
2 2 5
x y
x y xy
+ =
+ − =
b.
2 2
0
1
x y
x y xy
− =
− + =
c.
2 2
2
164
x y
x y
− =
+ =
d.
2 2
2 1
5 7
x y
x y xy
+ =
+ − =
HD Giải
a.
2 2 2
5 2
2 5 5 2
1
2 2 5 3 2 0
2
x y
x y x y
y
x y xy y y
y
= −
+ = = −
⇔ ⇔
=
+ − = − + =
=
V
ậ
y h
ệ
ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có nghi
ệ
m là
(
)
3;1
và
(
)
1; 2
b.
2 2 2
0
1
1 1
1
x y
x y x y
x
x y xy x
x
=
− = =
⇔ ⇔
=
− + = =
= −
V
ậ
y h
ệ
ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có nghi
ệ
m là
(
)
1;1
và
(
)
1; 1
− −
c.
2 2 2
2
2 2
164 2 80 0
10
x y
x y x y
y
x y y y
y
= +
− = = +
⇔ ⇔
=
+ = + − =
= −
V
ậ
y h
ệ
ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có nghi
ệ
m là
(
)
10;8
và
(
)
8; 10
− −
d.
2 2 2
1 2
2 1 1 2
1
5 7 5 6 11 0
11
5
y x
x y y x
x
x y xy x x
x
= −
+ = = −
=
⇔ ⇔
+ − = + − =
= −
V
ậ
y h
ệ
ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có nghi
ệ
m là
(
)
1; 1
−
và
11 22
;
5 5
−
Bài tập làm tương tự
Bài 5.
Gi
ả
i các h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
a.
2
2 0
4
x y
x xy
− + =
+ =
b.
2
2 3 1
24
x y
x xy
− =
− =
c.
2
4 9 6
3 2 3 0
x y
x xy x y
+ =
+ − + =
d.
2 2
7 0
2 2 4 0
x y
x y x y
− − =
− + + + =
e.
2 2
( 2)(2 2 1) 0
3 32 5 0
x y x y
x y
+ + + − =
− + =
f.
2
( 2 1)( 2 2) 0
3 1 0
x y x y
xy y y
+ + + + =
+ + + =
g.
3 3
1x y
x y x y
+ =
− = −
3. Hệ phương trình đối xứng loại 1
a.
Đị
nh ngh
ĩ
a
H
ệ
( ; ) 0
( ; ) 0
f x y
g x y
=
=
đượ
c g
ọ
i là h
ệ
đố
i x
ứ
ng l
ạ
i I n
ế
u khi thay
x
b
ở
i
y
và ng
ượ
c l
ạ
i thì m
ỗ
i ph
ươ
ng trình
trong h
ệ
không thay
đổ
i.
b. Ph
ươ
ng pháp gi
ả
i
-
Đặ
t
; .
S x y P x y
= + =
-
Đư
a h
ệ
đ
ã cho v
ề
h
ệ
có hai
ẩ
n
;
S P
-
Tìm
;
S P
. Khi
đ
ó
;
x y
là nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
2
0
X SX P
− + =
c. Chú ý
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
10
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
-
Đ
i
ề
u ki
ệ
n có nghi
ệ
m
2
4 0
S P
− ≥
-
N
ế
u
( ; )
x y
là m
ộ
t nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
, thì
( ; )
y x
c
ũ
ng là m
ộ
t nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
-
Cách bi
ế
n
đổ
i:
•
( )
2
2 2 2
2 2
x y x y xy S P
+ = + − = −
•
(
)
3 3 2
3
x y S S P
+ = −
•
(
)
2
4 4 2 2
2 2
x y S P P
+ = − −
Bài 6.
Gi
ả
i các h
ệ
ph
ươ
ng trình sau:
a.
2 2
4
2
x xy y
x xy y
+ + =
+ + =
b.
2 2
8
5
x x y y
x xy y
+ + + =
+ + =
c.
2 2
102
69
x y x y
x xy y
+ − − =
+ + =
d.
2 2
160
3( )
x y
x y xy
+ =
+ =
HD Giải
a. HD:
Đặ
t
; .
S x y P x y
= + =
. Khi
đ
ó:
2 2 2 2
2
2
0
4 4 6 0
3
2 2 2
3
2
5
S
S
P
x xy y S P S S
S
x xy y S P P S
S
P S
P
=
=
=
+ + = − = + − =
⇔ ⇔ ⇔
= −
+ + = + = = −
= −
= −
=
V
ớ
i
2
,
0
S
x y
P
=
=
là nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình:
2
0
2 0
2
X
X X
X
=
− = ⇔
=
Suy ra h
ệ
có nghi
ệ
m là
(2;0);(0;2)
V
ớ
i
3
,
5
S
x y
P
= −
=
là nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình:
2
3 5 0
X X
− + =
ph
ươ
ng trình vô nghi
ệ
m.
V
ậ
y h
ệ
đ
ã cho có nghi
ệ
m là
(2;0);(0;2)
.
b)
(1;2);(2;1)
c)
(6;9);(9;6)
d)
(
)
(
)
5 55; 5 55 ; 5 55; 5 55
− − − + − + − −
ấn đề 4. Ứng dụng định lý Vi_ét
Cho ph
ươ
ng trình
+ + = ≠
2
0, 0
ax bx c a
(*)
N
ế
u
1 2
,
x x
là hai nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình (*) thì
= + = −
= =
1 2
1 2
.
b
S x x
a
c
P x x
a
N
ế
u
+ + =
0
a b c
thì ph
ươ
ng trình (*) có hai nghi
ệ
m
= =
1 2
1;
c
x x
a
N
ế
u
− + =
0
a b c
thì ph
ươ
ng trình (*) có hai nghi
ệ
m
= − = −
1 2
1;
c
x x
a
N
ế
u
<
. 0 ( ,
a c a c
trái d
ấ
u) thì ph
ươ
ng trình (*) có hai nghi
ệ
m trái d
ấ
u
N
ế
u
1 2
,
x x
là hai nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình (*) thì
(
)
(
)
+ + = − −
2
1 2
ax bx c a x x x x
Xét hai s
ố
,
u v
th
ỏ
a
= + =
, .
S u v P u v
và
− ≥
2
4 0
S P
.
Khi
đ
ó
,
u v
là các nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
− + =
2
0
X SX P
Lưu ý:
H
ệ
th
ứ
c liên h
ệ
gi
ữ
a
1 2
,
x x
( )
2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 2
x x x x x x S P
+ = + − = −
(
)
(
)
− = + − = −
2 2
2
1 2 1 2 1 2
4 4
x x x x x x S P
(
)
(
)
(
)
3 3 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2
3
x x x x x x x x S S P
+ = + − + = −
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2
4 4 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2
x x x x x x x x S P P
+ = + = + − = − −
V
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
11
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
+
+ = =
1 2
1 2 1 2
1 1
x x
S
x x x x P
( )
+
−
+ = =
2 2
2
1 2
2 2 2 2
1 2
1 2
1 1 2
x x
S P
x x S
x x
Bài 1.
G
ọ
i
1 2
,
x x
là các nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
− − =
2
3 7 6 0
x x
. Không gi
ả
i ph
ươ
ng trình, hãy tính giá
tr
ị
c
ủ
a các bi
ể
u th
ứ
c sau:
a.
= +
2 2
1 2 1 2
A x x x x
b.
= +
3 3
1 2
B x x
c.
= −
1 2
C x x
HD Giải
Theo h
ệ
th
ứ
c Vi_ét, ta có:
= + = − = = = = −
1 2 1 2
7
; 2
3
b c
S x x P x x
a a
a.
( )
= + = + = − = −
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
7 14
2.
3 3
A x x x x x x x x
b.
( )
( ) ( )
= + = + − + = − = − − =
2
3 3 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2
7 7 721
3 3.( 2)
3 3 27
B x x x x x x x x S S P
c.
( ) ( )
= − = − = + − = − = − − =
2
2 2 2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
7 121
4 4 4( 2)
3 9
C x x x x x x x x S P
.
Suy ra
=
11
3
C
vì
= − ≥
1 2
0
C x x
.
Bài tập làm tương tự
Bài 2.
G
ọ
i
1 2
,
x x
là các nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
− + =
2
2 9 2 0
x x
. Không gi
ả
i ph
ươ
ng trình, hãy tính giá
tr
ị
c
ủ
a các bi
ể
u th
ứ
c sau:
a.
= +
2 2
1 2
A x x
b.
= +
1 2
1 1
B
x x
c.
= +
3 3
1 2
C x x
d.
= +
4 4
1 2
D x x
e.
= −
1 2
2
E x x
Bài 3.
Cho ph
ươ
ng trình
− + − + =
2 2
2 1 0,
x mx m m
v
ớ
i
m
là tham s
ố
. Tìm các giá tr
ị
c
ủ
a tham s
ố
m
trong các tr
ườ
ng h
ợ
p sau
a. Ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m
b. Ph
ươ
ng trình có hai nghi
ệ
m
1 2
,
x x
th
ỏ
a mãn
+ − =
2 2
1 2 1 2
3 1
x x x x
HD Giải
Ph
ươ
ng trình
− + − + =
2 2
2 1 0
x mx m m
(1). Ta có:
(
)
′
∆ = − − − + = −
2 2
( ) 1. 1 1
m m m m
a. Ph
ươ
ng trình (1) có nghi
ệ
m
⇔ ∆ ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥
0 1 0 1.
m m
V
ậ
y
≥
1
m
thì th
ỏ
a yêu c
ầ
u bài toán.
b. Ph
ươ
ng trình (1) có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
1 2
,
x x
′
⇔ ∆ > ⇔ >
0 1 (*)
m
Theo h
ệ
th
ứ
c Vi_ét, ta có:
+ = − =
1 2
2
b
x x m
a
và
= = − +
2
1 2
. 1
c
x x m m
a
Ta có:
(
)
+ − = ⇔ + − =
2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
3 1 5 1
x x x x x x x x
(
)
(
)
⇔ − − + =
2
2
2 5 1 1
m m m
=
⇔ − + − = ⇔
=
2
2
5 6 0
3
m
m m
m
(th
ỏ
a (*))
V
ậ
y
{
}
∈
2;3
m
th
ỏ
a yêu c
ầ
u bài toán.
Bài 4.
Tìm t
ấ
t c
ả
giá tr
ị
c
ủ
a tham s
ố
m
để
ph
ươ
ng trình
− + − =
2 2
2 1 0
x mx m
có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
1 2
,
x x
th
ỏ
a mãn
< <
1 2
1 .
x x
HD Giải
Ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có
(
)
(
)
′
∆ = − − − = >
2
2
1 1 0
m m
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
12
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
Do
đ
ó ph
ươ
ng trình có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
′ ′ ′ ′
− − ∆ − + ∆
= = − = = +
1 2
1, 1
b b
x m x m
a a
<
1 2
( )
x x
Theo gi
ả
thi
ế
t, ta có
− < <
< < ⇔ ⇔ ⇔ < <
+ > >
1 2
1 1 0
1 0 2
1 1 0
m m
x x m
m m
V
ậ
y:
(
)
∈
0;2
m
thì th
ỏ
a yêu c
ầ
u bài toán.
Bài tập làm tương tự
Bài 5.
Cho ph
ươ
ng trình
(
)
− + + − =
2
2 3 2 3 0,
x m x m
v
ớ
i
m
là tham s
ố
.
a. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng ph
ươ
ng trình luôn có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
1 2
,
x x
v
ớ
i m
ọ
i
m
.
b. Tìm h
ệ
th
ứ
c gi
ữ
a
1 2
,
x x
độ
c l
ậ
p
đố
i v
ớ
i
m
c. Tìm t
ấ
t c
ả
giá tr
ị
c
ủ
a
m
để
−
1 2
x x
đạ
t giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t
Bài 6.
Cho ph
ươ
ng trình
(
)
− + + − =
2
2 1 3 0,
mx m x m
v
ớ
i
m
là tham s
ố
.
a. Tìm t
ấ
t c
ả
giá tr
ị
c
ủ
a
m
để
ph
ươ
ng trình vô nghi
ệ
m
b. Tìm t
ấ
t c
ả
giá tr
ị
c
ủ
a
m
để
ph
ươ
ng trình có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
1 2
,
x x
th
ỏ
a mãn
+ =
1 2
3 8
x x
Bài 7.
Cho ph
ươ
ng trình
(
)
− − + + − =
2 2
2 1 2 8 0,
x m x m m
v
ớ
i
m
là tham s
ố
.
a. V
ớ
i giá tr
ị
nào c
ủ
a
m
thì ph
ươ
ng trình
đ
ã cho vô nghi
ệ
m?
b. V
ớ
i giá tr
ị
nào c
ủ
a
m
thì ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t?
c. V
ớ
i giá tr
ị
nào c
ủ
a
m
thì ph
ươ
ng trình
đ
ã cho hai nghi
ệ
m d
ươ
ng phân bi
ệ
t?
d. V
ớ
i giá tr
ị
nào c
ủ
a
m
thì ph
ươ
ng trình
đ
ã cho hai nghi
ệ
m trái d
ấ
u?
Bài 8.
Cho ph
ươ
ng trình
(
)
(
)
(
)
− + + + − =
2
3 14 4 12 2 0,
x m x m m
v
ớ
i
m
là tham s
ố
.
a.
Đị
nh giá tr
ị
c
ủ
a v
ớ
i
m
để
ph
ươ
ng trình có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
b. G
ọ
i
1 2
,
x x
là hai nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình.
Đị
nh giá tr
ị
c
ủ
a
m
để
bi
ể
u th
ứ
c
=
1 2
.
P x x
đạ
t giá tr
ị
l
ớ
n
nh
ấ
t.
Bài 9.
Cho ph
ươ
ng trình
(
)
− + − + =
2
1 3 2 0,
x m x m
v
ớ
i
m
là tham s
ố
. Tìm t
ấ
t c
ả
các giá tr
ị
c
ủ
a
m
để
ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có hai nghi
ệ
m
1 2
,
x x
th
ỏ
a mãn
+ =
1 2
3 2 5
x x
Bài 10.
Cho ph
ươ
ng trình
(
)
− + + + =
2
2 1 2 0,
x m x m
v
ớ
i
m
là tham s
ố
. Tìm t
ấ
t c
ả
các giá tr
ị
c
ủ
a
m
để
ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có hai nghi
ệ
m
1 2
,
x x
th
ỏ
a mãn
− =
1 2
3
x x
Bài 11.
Cho ph
ươ
ng trình b
ậ
c hai
(
)
2
2 2 0
x m x m
− + + =
(
∗
) (
m
là tham s
ố
)
a. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng ph
ươ
ng trình (
∗
) luôn có
nghiêm v
ớ
i moi s
ố
m
.
b. Tìm các giá tr
ị
c
ủ
a
m
để
ph
ươ
ng trình (
∗
) có hai nghi
ệ
m
;
x x
th
ỏ
a mãn
(
)
1 2
1 2
2
1 1
.
x x
x x
+
− ≤ ≤
Bài 12.
Cho ph
ươ
ng trình:
2
2 0
x ax b
+ + + =
(
,
a b
là tham s
ố
). Tìm các giá tr
ị
c
ủ
a tham s
ố
,
a b
để
ph
ươ
ng
trình trên có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
1 2
,
x x
tho
ả
đ
i
ề
u ki
ệ
n:
1 2
3 3
1 2
4
28
x x
x x
− =
− =
Bài 13.
Cho ph
ươ
ng trình
2
( 2) 8 0
− + + + =
x m x m (1) v
ớ
i
m
là tham s
ố
.
a. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình (1) khi
8
= −
m .
b. Tìm các giá tr
ị
c
ủ
a
m
để
ph
ươ
ng trình (1) có hai nghi
ệ
m d
ươ
ng phân bi
ệ
t
1 2
;
x x
th
ỏ
a
3 3
1 2
0
x x
− =
.
Bài 14.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
độ
Oxy
, cho
đườ
ng th
ẳ
ng
2
( ) : 2 1
= − +
d y mx m
và parabol
2
( ) :
=
P y x
a. Ch
ứ
ng minh
( )
d
luôn c
ắ
t
( )
P
t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
13
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
b. Tìm t
ấ
t c
ả
giá tr
ị
c
ủ
a m
để
( )
d
c
ắ
t
( )
P
t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t có hoành
độ
1 2
,
x x
th
ỏ
a mãn
1 2 1 2
1 1 2
1
−
+ = +
x x x x
Bài 15.
Cho parabol
(
)
P
:
2
y x
=
và
đườ
ng th
ẳ
ng
2
( ) : 2( 1) 2
d y m x m m
= − + +
(
m
là tham s
ố
,
m
∈
ℝ
).
a. Xác
đị
nh t
ấ
t c
ả
các giá tr
ị
c
ủ
a m
để
đườ
ng th
ẳ
ng
(
)
d
đ
i qua
đ
i
ể
m
(
)
1;3 .
I
b. Tìm m
để
parabol
(
)
P
c
ắ
t
đườ
ng th
ẳ
ng
(
)
d
t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t
, .
A B
G
ọ
i
1 2
,
x x
là hoành
độ
hai
đ
i
ể
m
,
A B
; tìm
m
sao cho
2 2
1 2 1 2
6 2020
x x x x+ + = .
Bài 16.
Cho ph
ươ
ng trình
2
3 11 0
x x m
− + − =
(
)
1
(v
ớ
i
m
là tham s
ố
)
a. V
ớ
i giá tr
ị
nào c
ủ
a
m
thì ph
ươ
ng trình
(
)
1
có nghi
ệ
m kép
b. Tìm
m
để
ph
ươ
ng trình
(
)
1
có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
1 2
,
x x
sao cho
1 2
2017 2018 2019
x x
+ =
Bài 17.
Cho ph
ươ
ng trình
2 2
( )
2 1 1 0
x m x m
− + + + =
(
m
là tham s
ố
). Tìm giá tr
ị
nguyên c
ủ
a
m
để
ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
1 2
;
x x
sao cho bi
ể
u th
ứ
c
1 2
1 2
.
x x
P
x x
=
+
có giá tr
ị
nguyên.
ấn đề 5. Phương trình đường thẳng
1. Hàm số bậc nhất
a. Định nghĩa:
Hàm s
ố
b
ậ
c nh
ấ
t là hàm s
ố
cho b
ở
i công th
ứ
c
= +
y ax b
v
ớ
i
≠ ∈
ℝ
0, ,
a a b
b. Tính chất:
Hàm s
ố
b
ậ
c nh
ấ
t
= +
y ax b
có tính ch
ấ
t sau:
Xác
đị
nh m
ọ
i giá tr
ị
c
ủ
a
x
thu
ộ
c
ℝ
.
Đồ
ng bi
ế
n trên
ℝ
khi
>
0
a
Ngh
ị
ch bi
ế
n trên
ℝ
khi
<
0
a
c. Đồ thị:
Trên m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
độ
,
Oxy
đồ
th
ị
hàm s
ố
= +
y ax b
≠
( 0)
a
là m
ộ
t
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua hai
đ
i
ể
m
( )
−
0; , ;0
b
A b B
a
2. Đường thẳng
= +
y ax b
≠
( 0)
a
Đồ
thi hàm s
ố
= +
y ax b
≠
( 0)
a
còn g
ọ
i là
đườ
ng th
ẳ
ng
= +
:
d y ax b
,
a
đượ
c g
ọ
i là h
ệ
s
ố
góc;
b
đượ
c g
ọ
i là tung
độ
g
ố
c c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng.
Đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua
đ
i
ể
m
(
)
0 0
;
M x y
v
ớ
i h
ệ
s
ố
góc
≠
0
k
cho tr
ướ
c có ph
ươ
ng trình
= − +
0 0
( )
y k x x y
Đườ
ng th
ẳ
ng
d
t
ạ
o v
ớ
i các tr
ụ
c t
ọ
a
độ
m
ộ
t góc là
α
, ta có:
α
=
tan
k
.
3. Phương trình tổng quát của đường thẳng
Ph
ươ
ng trình có d
ạ
ng
+ =
ax by c
,
∈
ℝ
, , , ,
a b c a b
không
đồ
ng th
ờ
i b
ằ
ng 0.
Ta có:
+ = ⇔ = − + = +
a c
ax by c y x kx m
b b
hay
đư
a v
ề
d
ạ
ng hàm s
ố
= +
y ax b
4. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Cho hai
đườ
ng th
ẳ
ng
= +
1 1 1
:
d y a x b
và
= +
2 2 2
:
d y a x b
=
⇔
≠
1 2
1 2
1 2
/ /
a a
d d
b b
=
≡ ⇔
=
1 2
1 2
1 2
a a
d d
b b
1
d
c
ắ
t
2
d
⇔ ≠
1 2
a a
⊥ ⇔ = −
1 2 1 2
. 1
d d a a
Bài 1.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
= +
:
d y ax b
bi
ế
t
d
:
a.
Đ
i qua
(
)
(
)
4;3 , 2; 1
A B
−
b.
Đ
i qua
đ
i
ể
m
(
)
1; 1
C
−
và song song v
ớ
i tr
ụ
c
Ox
c.
Đ
i qua
đ
i
ể
m
(
)
−
5;4
D
và song song v
ớ
i tr
ụ
c
Oy
V
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
14
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
d. Song song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
3 2
y x
= −
và
đ
i qua
đ
i
ể
m
(
)
2;3
E
e.
Đ
i qua
đ
i
ể
m
(
)
−
3; 2
F
và vuông góc
đườ
ng th
ẳ
ng
(
)
=
: 3 –4
d y x
HD Giải
a.
Đườ
ng th
ẳ
ng
y ax b
= +
đ
i qua
đ
i
ể
m A và B, nên ta có
4 3 2
2. 1 5
a b a
a b b
+ = =
⇔
+ = − = −
. V
ậ
y
2 5
y x
= −
b.
Đườ
ng th
ẳ
ng
y ax b
= +
đ
i qua
đ
i
ể
m C và song song v
ớ
i tr
ụ
c
Ox
, nên ta có ph
ươ
ng trình c
ầ
n tìm là
1
y b
= = −
c.
Đườ
ng th
ẳ
ng
y ax b
= +
đ
i qua
đ
i
ể
m D và song song v
ớ
i tr
ụ
c
Oy
, nên ta có ph
ươ
ng trình c
ầ
n tìm là
5
x a
= = −
d.
Đườ
ng th
ẳ
ng
y ax b
= +
đ
i qua
đ
i
ể
m E và song song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
3 2
y x
= −
, nên ta có
2 3 3
' 3 3
a b a
a a b
+ = =
⇔
= = = −
. V
ậ
y
3 3
y x
= −
.
e.
Đườ
ng th
ẳ
ng
y ax b
= +
đ
i qua
đ
i
ể
m F và vuông góc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
3 4
y x
= −
, nên ta có
1
3 2
3
. ' 1
1
a b
a
a a
b
+ = −
= −
⇔
= −
= −
. V
ậ
y
1
1
3
y x
= − −
Bài tập làm tương tự
Bài 2.
Đị
nh
a
và
b
sao cho
đồ
th
ị
hàm s
ố
= +
y ax b
:
a.
Đ
i qua hai
đ
i
ể
m
(
)
2;8
A
và
(
)
–1;0
B
b.
Đ
i qua
đ
i
ể
m
(
)
5;3
C
và song song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
(
)
= +
: –2 8
d y x
c.
Đ
i qua
đ
i
ể
m
(
)
3;–2
D
và vuông góc
đườ
ng th
ẳ
ng
(
)
= +
: –3 4
d y x
d.
Đ
i qua
đ
i
ể
m
(
)
1;–2
E
và có h
ệ
s
ố
góc là
0,5
Bài 3.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng
= +
y ax b
tho
ả
:
a.
Đ
i qua hai
đ
i
ể
m
(
)
5;3
A
và
(
)
−
3; 4
B
b.
Đ
i qua hai
đ
i
ể
m
(
)
–1;3
C
và
(
)
1;2
D
c.
Đ
i qua
đ
i
ể
m
(
)
–5;4
E
và song song v
ớ
i tr
ụ
c
Oy
d.
Đ
i qua
đ
i
ể
m
(
)
2;1
F
và song song v
ớ
i tr
ụ
c
Ox
Bài 4.
Cho hai hàm s
ố
(
)
= − +
1 15
y m x
và
(
)
= − −
3 4 17
y m x
,
m
là tham s
ố
. V
ớ
i giá tr
ị
nào c
ủ
a
m
thì
đồ
th
ị
c
ủ
a hai hàm s
ố
đ
ã cho là nh
ữ
ng
đườ
ng th
ẳ
ng:
a. C
ắ
t nhau b. Song song c. Trùng nhau d. Vuông góc
HD Giải
a.
Đồ
th
ị
hai hàm s
ố
c
ắ
t nhau
⇔ − ≠ − ⇔ ≠
4
1 3 4
5
m m m
b.
Đồ
th
ị
hai hàm s
ố
song song v
ớ
i nhau
− = −
⇔ ⇔ =
≠ −
1 3 4
4
5
15 17
m m
m
c.
Đồ
th
ị
hài hàm s
ố
trùng nhau
− = −
⇔
= −
1 3 4
15 17
m m
. Không có giá tr
ị
m
th
ỏ
a mãn YCBT.
d.
Đồ
th
ị
hai hàm s
ố
vuông góc nhau
( )( )
±
⇔ − − = − ⇔ − + − = ⇔ =
2
7 17
1 3 4 1 4 7 2 0
8
m m m m m
Bài 5.
Cho
đườ
ng th
ẳ
ng
(
)
= − + +
( ): 2 3 2 1
d y m x m
,
m
là tham s
ố
.
a. V
ớ
i giá tr
ị
nào c
ủ
a
m
thì
( )
d
không
đ
i qua g
ố
c t
ọ
a
độ
?
b. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
( )
d
luôn
đ
i qua m
ộ
t
đ
i
ể
m c
ố
đị
nh v
ớ
i m
ọ
i
m
. Tìm t
ọ
a
độ
đ
i
ể
m
đ
ó.
HD Giải
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
15
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
a.
Đườ
ng th
ẳ
ng
( )
d
không
đ
i qua g
ố
c t
ọ
a
độ
( )
⇔ − + + ≠ ⇔ ≠ −
1
2 3 .0 2 1 0 .
2
m m m
b. G
ọ
i
(
)
0 0
;
M x y
là
đ
i
ể
m c
ố
đị
nh
Đườ
ng th
ẳ
ng
( )
d
luôn qua
M
v
ớ
i m
ọ
i
m
(
)
⇔ − + + =
0 0
2 3 2 1
m x m y
v
ớ
i m
ọ
i
m
(
)
⇔ − = − +
0 0 0
3 1 2 1
x m x y
v
ớ
i m
ọ
i
m
=
− =
⇔ ⇔
− + =
=
0
0
0 0
0
2
3 2 0
3
2 1 0 7
3
x
x
x y
y
V
ậ
y
( )
d
luôn
đ
i qua
đ
i
ể
m c
ố
đị
nh
2 7
;
3 3
M
v
ớ
i m
ọ
i
m
.
Bài tập làm tương tự
Bài 6.
V
ớ
i giá tr
ị
nào c
ủ
a tham s
ố
m
thì hàm s
ố
a.
(
)
= − + −
2 5 2
y m x m
đồ
ng bi
ế
n trên
ℝ
? b.
(
)
= − + − +
2
2 2 3
y m m x
ngh
ị
ch bi
ế
n trên
ℝ
?
c.
(
)
= − +
2
16 3
y m x
vuông góc v
ớ
i tr
ụ
c tung? d.
(
)
= − +
2
y m x m
đ
i qua
đ
i
ể
m
(
)
−
2;3
A
?
Bài 7.
V
ớ
i giá tr
ị
nào c
ủ
a tham s
ố
m
thì hàm s
ố
hai
đườ
ng th
ẳ
ng
= + −
1
( ): 2 5 3
d y x m
và
= − +
2
( ): 2
d y x m
c
ắ
t nhau t
ạ
i m
ộ
t
đ
i
ể
m n
ằ
m trên tr
ụ
c tung?
Bài 8.
Cho hai
đườ
ng th
ẳ
ng
(
)
= − +
1
( ) : 2 2
d y m x m
và
(
)
= − + −
2
( ) : 2 3 1
d y m x m
,
m
là tham s
ố
. Tìm
giá tr
ị
c
ủ
a
m
trong m
ỗ
i tr
ườ
ng h
ợ
p sau
a.
1
( )
d
và
2
( )
d
c
ắ
t nhau b.
1
( )
d
và
2
( )
d
song song nhau c.
1
( )
d
và
2
( )
d
vuông góc nhau
Bài 9.
Cho hai
đườ
ng th
ẳ
ng
= −
1
( ): 3
d y mx
và
(
)
= − − −
2
2
( ): 2 1
d y m x m
,
m
là tham s
ố
. Tìm giá tr
ị
c
ủ
a
m
trong m
ỗ
i tr
ườ
ng h
ợ
p sau
a.
1
( )
d
và
2
( )
d
c
ắ
t nhau b.
1
( )
d
và
2
( )
d
song song nhau c.
1
( )
d
và
2
( )
d
trùng nhau
Bài 10.
Tìm giá tr
ị
c
ủ
a tham s
ố
m
để
đườ
ng th
ẳ
ng
(
)
= − + + + +
2
( ) : 3 12 5 2 1
d y m m x m
có h
ệ
s
ố
góc l
ớ
n
nh
ấ
t.
Bài 11.
Tìm giá tr
ị
c
ủ
a tham s
ố
m
để
đườ
ng th
ẳ
ng
(
)
= − + −
2
( ) : 3 2
d y m x m
t
ạ
o v
ớ
i hai tr
ụ
c t
ọ
a
độ
m
ộ
t
tam giác vuông cân.
Bài 12.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
độ
Oxy
cho ba
đườ
ng th
ẳ
ng
1 2 3
: :
2 1; ; 2.
: 3d x y d xy x yd
= − = = − +
Tìm hàm s
ố
có
đồ
th
ị
là
đườ
ng th
ẳ
ng
d
song song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
3
d
đồ
ng th
ờ
i
đ
i qua giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
hai
đườ
ng th
ẳ
ng
1
d
và
2
d
.
Bài 13.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
độ
Oxy
,cho Parabol
(
)
2
2
P : y x
=
và
đườ
ng th
ẳ
ng
(
)
2 4
d : y x
= +
a. V
ẽ
Parabol
(
)
P
và
đườ
ng th
ẳ
ng
(
)
d
trên cùng m
ộ
t m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
độ
Oxy
.
b. Tìm t
ọ
a
độ
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a Parabol
(
)
P
và
đườ
ng th
ẳ
ng
(
)
d
b
ằ
ng phép tính.
c. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng
(
)
d ' : y ax b
= +
. Bi
ế
t r
ằ
ng
(
)
d '
song song v
ớ
i
(
)
d
và
(
)
1
d
và
đ
i qua
đ
i
ể
m
(
)
2 3
N ;
.
Bài 14.
Xác
đị
nh h
ệ
s
ố
a
và
b
c
ủ
a hàm s
ố
y ax b
= +
bi
ế
t
đồ
th
ị
c
ủ
a nó là
đườ
ng th
ẳ
ng (d) song song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
3 2019
y x
= − +
và
đ
i qua
đ
i
ể
m
(
)
2;1
M
.
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
16
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
ấn đề 6. Parabol
= ≠
2
( ): , 0P y ax a
1. Cách vẽ đồ thị hàm số
= ≠
2
( ): , 0P y ax a
Lấy 5 điểm như sau: Điểm
1
x
đối với
3
x
và
2
x
đối với
4
x
Ta có bảng biến thiên:
=
4 3 1 2
2
2 1 1 2
0
0
x x x x x
y ax y y y y
Vẽ đồ thị đi qua 5 điểm trên
2. Tương giao giữa parabol
= ≠
2
( ): , 0P y ax a
và đường thẳng
= +( ):d y mx n
Lập phương trình hoành độ giao điểm của
( )P
và
( )d
:
− − =
2
0 (*)ax mx n
Giải phương trình (*) và đưa ra kết luận
Phương trình (*) vô nghiệm. Khi đó
( )d
và
( )P
không có điểm chung
Phương trình (*) có nghiệm kép. Khi đó
( )d
và
( )P
có một điểm chung
Phương trình (*) có hai phân biệt nghiệm. Khi đó
( )d
và
( )P
có hai điểm chung
Bài 1. Cho parabol
=
2
( ): 2P y x
và đường thẳng
= −( ): 6d y x
.
a. Vẽ
( )P
và
( )d
trên cùng mặt phẳng tọa độ
b. Tìm tọa độ giao điểm của
( )P
và
( )d
bằng phép tính
HD Giải
a. Vẽ
( )P
và
( )d
Ta có:
− −
=
2
2 1 0 1 2
2 8 2 0 2 8
x
y x
= −
6 0
6 0 6
x
y x
b. Phương trình hoành độ giao điểm của
( )P
và
( )d
là:
= −
= − ⇔ + − = ⇔
=
2 2
2
2 6 2 6 0
3
2
x
x x x x
x
Vậy
( )d
cắt
( )P
tại hai điểm
( )
−2;8A
và
3 9
;
2 2
B
.
Bài 2.
a. Vẽ đồ thị của hàm số
2
y x=
trên mặt phẳng tọa độ
.Oxy
a > 0
y
2
y
1
x
4
x
3
x
2
x
1
y
x
O
a < 0
y
2
y
1
x
4
x
3
x
2
x
1
y
x
O
(d)
(
P
)
8
2
-2
-1
21
y
x
O
V
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
17
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
b. Cho hàm số
2 6y x m= + −
có đồ thị là (d). Tìm tham số m để
2
( ) :P y x=
cắt (d) tại hai điểm phân biệt
có hoành độ dương.
HD Giải
a. HS tự vẽ
b. Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:
2
2 6x x m= + −
2
2 6 0x x m⇔ − − + =
Ta có:
( ) ( )
2
Δ 2 4 6 4 4 24 4 20m m m= − − − + = + − = −
Để (P) cắt
( ) : 2 6d y x m= + −
tại hai điểm phân biệt có các
hoành độ dương thì phương trình phải có hai
nghiệm phân biệt dương
⇔
1 2
1 2
0 4 20 0
5
0 2 0 5 6
6
6 0
. 0
m
m
x x m
m
m
x x
∆ > − >
>
+ > ⇔ > ⇔ ⇔ < <
<
− + >
>
Vậy
5 6m< <
thì (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương
Bài 3. Cho hàm số
2
1
2
=y x
có đồ thị
( ).P
a. Vẽ đồ thị
( )P
trên mặt phẳng tọa độ
.Oxy
b. Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để đường thẳng
2
( ) : = +d y x m
và
( )P
cắt
nhau tại hai điểm có hoành độ các giao điểm là
1 2
,x x th
ỏ
a mãn
2 2
1 2 1 2
8.+ + ≥x x x x
HD Giải
a. HS t
ự
v
ẽ
b. Ph
ươ
ng trình hoành
độ
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
( )P
và
( )d
là:
2 2 2 2
1
2 2 0
2
x x m x x m= + ⇔ − − =
Ta có
2 2 2
( 1) 1.( 2 ) 2 1 0
'
m m
∆ = − − − = + > v
ớ
i m
ọ
i
m
V
ậ
y
( )d
luôn c
ắ
t
( )P
t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t.
Theo h
ệ
th
ứ
c Vi-ét, ta có:
1 2
2
1 2
2
. 2
x x
x x m
+ =
= −
Theo gi
ả
thi
ế
t:
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
8 ( ) 8x x x x x x x x+ + ≥ ⇔ + − ≥
2 2
4 2 8 2m m⇔ + ≥ ⇔ ≥
2m
⇔ ≥ ho
ặ
c
2m
≤ −
Bài 4.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
độ
.Oxy
a. V
ẽ
đồ
th
ị
( )P
c
ủ
a hàm s
ố
2
.
2
x
y =
b. Ch
ứ
ng minh
đườ
ng th
ẳ
ng
: 1,d y mx m= − +
v
ớ
i
m
là tham s
ố
, luôn c
ắ
t
( )P
t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t
1 1
( ; ),A x y
2 2
( ; )B x y
v
ớ
i m
ọ
i giá tr
ị
c
ủ
a
.m
Tính
1 2
y y+
theo
.m
HD Giải
a. Ta có:
x
2
−
1
−
0
1
2
2
2
x
y =
2
2
0
1
2
2
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
18
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
b. Ph
ươ
ng trình hoành
độ
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
d
và
( )
P
là:
2
2
1 2 2( 1) 0
2
x
mx m x mx m
= − + ⇔ − + − =
(*)
Ph
ươ
ng trình (*) có
2 2 2
' ( ) 2( 1) 2 2 ( 1) 1 0, .
m m m m m m
∆ = − − − = − + = − + > ∀ ∈
ℝ
Do
đ
ó (*) luôn có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
1 2
,
x x
v
ớ
i m
ọ
i
.
m
Suy ra
d
luôn c
ắ
t
( )
P
t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t
1 1
( ; )
A x y
và
2 2
( ; ),
B x y
Trong
đ
ó
1 1
1,
y mx m
= − +
2 2
1.
y mx m
= − +
Suy ra
2
1 2 1 2
( ) 2 2 .(2 ) 2 2 2 2 2.
y y m x x m m m m m m
+ = + − + = − + = − +
Bài tập làm tương tự
Bài 5.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
độ
.
Oxy
a. V
ẽ
đồ
th
ị
( )
P
c
ủ
a hàm s
ố
2
.
=
y x
b. Cho hàm s
ố
y mx n
= +
có
đồ
th
ị
là
đườ
ng th
ẳ
ng
( )
d
. Tìm
m
và
n
bi
ế
t
( )
d
song song v
ớ
i
đườ
ng
th
ẳ
ng
( ): 3
d y x
′
= +
và
đ
i qua
đ
i
ể
m
(2;4)
M
.
Bài 6.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
độ
.
Oxy
a. V
ẽ
đồ
th
ị
( )
P
c
ủ
a hàm s
ố
2
2 .
=
y x
b. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
đườ
ng th
ẳ
ng
( ): 1
d y kx
= +
luôn c
ắ
t
đồ
th
ị
( )
P
t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t v
ớ
i m
ọ
i
.
k
Bài 7.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
độ
.
Oxy
a. V
ẽ
đồ
th
ị
( )
P
c
ủ
a hàm s
ố
2
.
2
=
x
y
b. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng khi
m
thay
đổ
i, các
đườ
ng th
ẳ
ng
( )
1
4 1
8
y mx m
= − −
luôn
đ
i qua
đ
i
ể
m c
ố
đị
nh n
ằ
m
trên
( ).
P
Bài 8.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
độ
.
Oxy
a. V
ẽ
đồ
th
ị
( )
P
c
ủ
a hàm s
ố
2
.
=
y x
b. Tìm tham s
ố
m
để
đườ
ng th
ẳ
ng
( ): 2
d y x m
= −
c
ắ
t
( )
P
t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t.
Bài 9.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
độ
.
Oxy
a. V
ẽ
đồ
th
ị
( )
P
c
ủ
a hàm s
ố
2
1
.
4
=
y x
b. Cho
đ
i
ể
m
A
thu
ộ
c
( )
P
và có hoành
độ
b
ằ
ng 4. Tìm tham s
ố
m
để
đườ
ng th
ẳ
ng
( ):
d y x m
= −
đ
i qua
.
A
Bài 10.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
độ
.
Oxy
a. V
ẽ
đồ
th
ị
( )
P
c
ủ
a hàm s
ố
2
1
.
4
=
y x
b.
Đườ
ng th
ẳ
ng
5
( ):
4
d y x
= +
c
ắ
t
( )
P
t
ạ
i
M
và
.
N
Tính di
ệ
n tích tam giác
.
OMN
Bài 11.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
độ
.
Oxy
a. V
ẽ
đồ
th
ị
( )
P
c
ủ
a hàm s
ố
2
1
.
4
=
y x
b. Tìm t
ấ
t c
ả
các giá tr
ị
c
ủ
a tham s
ố
m
để
đườ
ng th
ẳ
ng
( ): 1
d y mx m
= − +
c
ắ
t
( )
P
t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t
có hoành
độ
là
1
x
và
2
x
sao cho
2 2
1 2 1 2
6.
x x x x
+ + =
Bài 12.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
độ
.
Oxy
a. V
ẽ
đồ
th
ị
( )
P
c
ủ
a hàm s
ố
2
.
=
y x
b. Tìm tham s
ố
m
để
đườ
ng th
ẳ
ng
(
)
2 2
( ): 4 3
d y m x m
= − + −
c
ắ
t
( )
P
t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t.
Bài 13.
Cho parabol
2
( ):
P y x
=
và
đườ
ng th
ẳ
ng
( ): 2
d y mx
= +
, v
ớ
i
m
là tham s
ố
.
a. Khi
1
m
=
, tìm t
ọ
a
độ
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
( )
P
và
( )
d
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
19
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
b. Ch
ứ
ng minh
( )
d
luôn c
ắ
t
( )
P
t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t
(
)
(
)
1 1 2 2
; , ;
A x y B x y
v
ớ
i m
ọ
i
m
.
c. Tìm
m
để
1 2 1 2
x x y y
+ +
đạ
t giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t
Bài 14.
Cho parabol
2
( ) :
P y x
=
và
đườ
ng th
ẳ
ng
( ): 2
d y mx
= +
, v
ớ
i
m
là tham s
ố
. Tìm giá tr
ị
c
ủ
a
m
trong các tr
ườ
ng h
ợ
p sau
a.
( )
d
và
( )
P
không có
đ
i
ể
m chung b.
( )
d
và
( )
P
ti
ế
p xúc v
ớ
i nhau
c.
( )
d
c
ắ
t
( )
P
t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t d.
( )
d
song song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
2 4 0
x y
− + =
Bài 15.
Cho parabol
2
( ):
P y x
= −
và
đườ
ng th
ẳ
ng
(
)
( ) :
d y m x m
= − −
, v
ớ
i
m
là tham s
ố
.
a. Khi
3
m
=
, hãy v
ẽ
( )
P
và
( )
d
trên cùng m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
độ
.
Oxy
Tìm t
ọ
a
độ
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
( )
P
và
( )
d
b
ằ
ng ph
ươ
ng pháp tính.
b. Tìm
m
để
( )
d
c
ắ
t
( )
P
t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t n
ằ
m trên cùng m
ộ
t phía
đố
i v
ớ
i tr
ụ
c tung.
Bài 16.
Cho Parabol (P):
2
2
y x
= −
và
đườ
ng th
ẳ
ng (d):
y x m
= −
(v
ớ
i m là tham s
ố
).
a. V
ẽ
parabol (P).
b. Tìm t
ấ
t c
ả
các giá tr
ị
c
ủ
a tham s
ố
m
để
đườ
ng th
ẳ
ng (d) c
ắ
t (P) t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t có hoành
độ
1 2
,
x x
th
ỏ
a mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n
1 2 1 2
.
x x x x
+ =
Bài 17.
Cho ph
ươ
ng trình
2
2 2 1 0
x mx m
− − − =
(
)
1
v
ớ
i
m
là tham s
ố
. Tìm
m
để
ph
ươ
ng trình
(
)
1
có hai
nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
1 2
,
x x
sao cho
1 2 1 2
3 2 1
x x x x m
+ + + = +
.
Bài 18.
Cho Parabol
2
1
( ) :
2
P y x
=
và
đườ
ng th
ẳ
ng
( ) : 1
d y x m
= + −
(
m
là tham s
ố
)
a. V
ẽ
đồ
th
ị
(
)
.
P
b. G
ọ
i
(
)
(
)
; , ;
A B B
A
A x y B x y
là hai giao
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t c
ủ
a
(
)
d
và
(
)
.
P
Tìm t
ấ
t c
ả
các giá tr
ị
c
ủ
a tham
s
ố
m
để
0
A
x
>
và
0.
B
x
>
Bài 19.
Cho parabol
2
1
( ) :
2
=
P y x
và
đườ
ng th
ẳ
ng
( ) : 2
= +
d y x
.
a. V
ẽ
parabol
( )
P
và
đườ
ng th
ẳ
ng
( )
d
trên cùng h
ệ
tr
ụ
c t
ọ
a
độ
Oxy
.
b. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng
1
( ) :
= +
d y ax b
song song v
ớ
i
( )
d
và c
ắ
t
( )
P
t
ạ
i
đ
i
ể
m
A
có hoành
độ
b
ằ
ng
2
−
.
Bài 20.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng to
ạ
độ
,
Oxy
cho parabol
(
)
2
:
P y x
=
và
đườ
ng th
ẳ
ng
(
)
2
: 2 4 8 3
d y x m m
= + − +
(
m
là tham s
ố
th
ự
c). Tìm các giá tr
ị
c
ủ
a
m
để
(
)
d
và
(
)
P
c
ắ
t nhau t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t
(
)
(
)
1 1 2 2
; , ;
A x y B x y
tho
ả
mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n
1 2
10.
y y
+ =
Bài 21.
Cho Parapol
2
( ) :
P y x
=
và
đườ
ng th
ẳ
ng
( ) : 2 3
d y x
= +
.
a. V
ẽ
Parapol
2
( ) :
P y x
=
và
đườ
ng th
ẳ
ng
( ) : 2 3
d y x
= +
trên cùng m
ộ
t m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
độ
.
b. Tìm t
ọ
a
độ
giao
đ
i
ể
m (n
ế
u có) c
ủ
a
(
)
P
và
(
)
d
.
Bài 22.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
độ
Oxy
cho parabol
(
)
P
có ph
ươ
ng trình
2
1
2
=
y x
và
đườ
ng th
ẳ
ng
(
)
d
có
ph
ươ
ng trình
3
= − + −
y mx m
(v
ớ
i m là tham s
ố
).
a. Tìm t
ọ
a
độ
đ
i
ể
m
M
thu
ộ
c parabol
(
)
P
, bi
ế
t
đ
i
ể
m
M
có hoành
độ
b
ằ
ng 4.
b. Ch
ứ
ng minh
đườ
ng th
ẳ
ng
(
)
d
luôn c
ắ
t parabol
(
)
P
t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t. G
ọ
i
1 2
,
x x
l
ầ
n l
ượ
t là hoành
độ
c
ủ
a hai
đ
i
ể
m
,
A B
. Tìm m
để
2 2
1 2 1 2
2 20
+ = +
x x x x
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
20
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
ấn đề 7. Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình
Phương pháp chung:
Ch
ọ
n
ẩ
n,
đơ
n v
ị
cho
ẩ
n và
đ
i
ề
u ki
ệ
n thích h
ợ
p cho
ẩ
n.
Bi
ể
u
đạ
t các
đạ
i l
ượ
ng khác theo
ẩ
n
đ
ã g
ọ
i, l
ư
u ý th
ố
ng nh
ấ
t
đơ
n v
ị
D
ự
a vào d
ữ
ki
ệ
n,
đ
i
ề
u ki
ệ
n c
ủ
a bài toán
để
l
ậ
p ph
ươ
ng trình ho
ặ
c h
ệ
ph
ươ
ng trình
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình ho
ặ
c h
ệ
ph
ươ
ng trình, so sánh
đ
i
ề
u ki
ệ
n c
ủ
a
ẩ
n
đư
a ra k
ế
t qu
ả
bài toán yêu
c
ầ
u và k
ế
t lu
ậ
n.
Bài 1.
L
ớ
p 9A có 40 h
ọ
c sinh
đượ
c chia thành m
ộ
t s
ố
t
ổ
. N
ế
u t
ă
ng thêm 1 t
ổ
thì m
ỗ
i t
ổ
lúc này s
ẽ
có ít
h
ơ
n 2 h
ọ
c sinh so v
ớ
i lúc ch
ư
a t
ă
ng. Tính s
ố
t
ổ
lúc
đầ
u c
ủ
a l
ớ
p 9A (bi
ế
t r
ằ
ng s
ố
h
ọ
c sinh
ở
m
ỗ
i t
ổ
luôn
b
ằ
ng nhau).
HD Giải
G
ọ
i s
ố
t
ổ
lúc
đầ
u c
ủ
a l
ớ
p 9A là
x
(
x
nguyên d
ươ
ng).
S
ố
h
ọ
c sinh chia theo t
ổ
là :
40
x
(h
ọ
c sinh)
T
ă
ng thêm 1 t
ổ
, s
ố
h
ọ
c sinh chia theo t
ổ
là
40
1
x
+
(h
ọ
c sinh)
Theo
đề
bài ta có:
40 40
2
1
x x
− =
+
( ) ( )
2
4 ( )
40 1 2 1 40 2 2 40 0
5 (loaïi)
x nhaän
x x x x x x
x
=
⇔ + − + = ⇔ − − + = ⇔
= −
V
ậ
y s
ố
t
ổ
lúc
đầ
u c
ủ
a l
ớ
p 9A là 4 t
ổ
.
Bài 2.
Anh Nam tr
ồ
ng cây trên m
ộ
t m
ả
nh
đấ
t hình ch
ữ
nh
ậ
t. Anh d
ự
d
ị
nh tr
ồ
ng theo t
ừ
ng hàng và m
ỗ
i
hàng có s
ố
cây b
ằ
ng nhau. N
ế
u t
ă
ng thêm 1 hàng và m
ỗ
i hàng b
ớ
t
đ
i 1 cây thì s
ố
cây ph
ả
i tr
ồ
ng t
ă
ng
thêm 7 cây. N
ế
u b
ớ
t
đ
i 1 hàng và t
ă
ng thêm m
ỗ
i hàng 5 cây thì s
ố
cây ph
ả
i tr
ồ
ng t
ă
ng thêm 11 cây. H
ỏ
i
s
ố
l
ượ
ng cây mà Anh Nam d
ự
đị
nh tr
ồ
ng là bao nhiêu ?
HD Giải
G
ọ
i
x
(hàng) là s
ố
hàng d
ự
đị
nh tr
ồ
ng và
y
(cây) là s
ố
cây d
ự
đị
nh tr
ồ
ng trên m
ỗ
i hàng
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
*
,x y
∈
ℕ
. Khi
đ
ó s
ố
cây d
ự
đị
nh tr
ố
ng là
.
x y
(cây)
N
ế
u t
ă
ng thêm 1 hàng và m
ỗ
i hàng b
ớ
t
đ
i 1 cây thì s
ố
cây ph
ả
i tr
ồ
ng t
ă
ng thêm 7 cây , ta có ph
ươ
ng trình
là:
(
)
(
)
1 1 7 (1)
x y xy
+ − = +
N
ế
u b
ớ
t
đ
i 1 hàng và t
ă
ng thêm m
ỗ
i hàng 5 cây thì s
ố
cây ph
ả
i tr
ồ
ng t
ă
ng thêm 15 cây, ta có ph
ươ
ng
trình là:
(
)
(
)
1 5 15 (2)
x y xy
− + = +
Do
đ
ó, t
ừ
(1) và (2) ta có h
ệ
ph
ươ
ng trình :
(
)
(
)
( )( )
1 1 7
8 7
5 20 15
1 5 15
x y xy
x y x
x y y
x y xy
+ − = +
− = − =
⇔ ⇔
− = =
− + = +
V
ậ
y s
ố
cây mà anh Nam d
ự
đị
nh tr
ồ
ng là :
7.15 105
=
cây
Bài 3. Để
th
ự
c hi
ệ
n ch
ươ
ng trình khuy
ế
n mãi nhân k
ỉ
ni
ệ
m ngày thành l
ậ
p, m
ộ
t công ty
đ
i
ệ
n t
ử
th
ự
c hi
ệ
n
gi
ả
m giá 20% trên m
ộ
t tivi cho lô hàng g
ồ
m có 30 cái tivi v
ớ
i giá bán l
ẻ
m
ỗ
i cái tr
ướ
c
đ
ó là 6200000VN
Đ
.
Ngày th
ứ
nh
ấ
t công ty
đ
ã bán
đượ
c 20 cái. Qua ngày th
ứ
2, công ty quy
ế
t
đị
nh gi
ả
m giá thêm x% trên m
ộ
t
tivi cho các tivi còn l
ạ
i, v
ớ
i
x
là s
ố
nguyên d
ươ
ng.
a. Cho
10,
x
=
tính s
ố
ti
ề
n mà công ty thu
đượ
c n
ế
u bán h
ế
t lô hàng khuy
ế
n mãi.
b. Bi
ế
t giá v
ố
n c
ủ
a m
ỗ
i chi
ế
c tivi là 4500000VN
Đ
. Tìm giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a
x
để
công ty không b
ị
l
ỗ
.
HD Giải
a. S
ố
ti
ề
n thu
đượ
c c
ủ
a công ty ngày th
ứ
nh
ấ
t:
20.0,8.6200000 99200000
=
VN
Đ
S
ố
ti
ề
n thu
đượ
c c
ủ
a công ty ngày th
ứ
hai:
10.0,7.6200000 43400000
=
VN
Đ
V
ậ
y t
ổ
ng s
ố
ti
ề
n mà công ty thu
đượ
c khi bán h
ế
t lô hàng khuy
ế
n mãi là
142600000
VN
Đ
b. T
ổ
ng giá v
ố
n c
ủ
a 30 cái ti vi là
30.4500000 135000000
=
VN
Đ
V
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
21
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
T
ổ
ng s
ố
ti
ề
n mà công ty thu
đượ
c khi bán h
ế
t lô hàng khuy
ế
n mãi là
20
20.0,8.6200000 10. 1 .6200000 148800000 62000
0
100
x
x
+
+ − = −
Công ty không l
ỗ
khi:
690
148800000 620000 135000000 62 1380 22,258
31
x x x− ≥ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ≈
V
ậ
y
22
x
=
th
ỏ
a mãn yêu c
ầ
u bài toán.
Bài 4.
M
ộ
t ng
ườ
i
đ
i xe máy t
ừ
A
đế
n
B
cách nhau
150
km
v
ớ
i v
ậ
n t
ố
c d
ự
đị
nh. Khi
đ
i
đượ
c
2
3
quãng
đườ
ng
AB
, ng
ườ
i
đ
ó d
ừ
ng xe ngh
ỉ
15 phút.
Để
đả
m b
ả
o
đế
n
B
đ
úng th
ờ
i gian d
ự
đị
nh, ng
ườ
i
đ
ó
đ
ã t
ă
ng
t
ố
c thêm
10 /
km h
trên quãng
đườ
ng còn l
ạ
i. Tính v
ậ
n t
ố
c d
ự
đị
nh c
ủ
a ng
ườ
i
đ
i xe máy.
HD Giải
G
ọ
i
(
)
/
x km h
là v
ậ
n t
ố
c d
ự
đị
nh
( 0)
x
.
Th
ờ
i gian d
ự
đị
nh
đ
i t
ừ
A
đế
n
B
là
150
( )
h
x
Th
ờ
gian
đ
i
2
3
quãng
đườ
ng là
100
( )
h
x
Th
ờ
i gian
đ
i h
ế
t
1
3
quãng
đườ
ng còn l
ạ
i là
50
( )
10
h
x
+
Theo
đề
bài ta có:
150 100 50 1
10 4
x x x
− + =
+
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình, ta
đượ
c
40( / )
x km h
=
Bài 5.
Quãng
đườ
ng
AB
dài
120
km
. Hai ô tô kh
ở
i hành cùng m
ộ
t lúc t
ừ
A
đế
n
B
. M
ỗ
i gi
ờ
ô tô th
ứ
nh
ấ
t
ch
ạ
y nhanh h
ơ
n ô tô th
ứ
hai
12
km
nên
đế
n
B
tr
ướ
c ô tô th
ứ
hai 30 phút. Tính v
ậ
n t
ố
c c
ủ
a ô tô th
ứ
nh
ấ
t.
HD Giải
G
ọ
i v
ậ
n t
ố
c ô tô th
ứ
nh
ấ
t là
( / )
x km h
.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
12
x
>
V
ậ
n t
ố
c ô tô th
ứ
hai là
12 ( / )
x km h
−
Th
ờ
i gian ô tô th
ứ
nh
ấ
t
đ
i t
ừ
A
đế
n
B
là
120
( )
h
x
Th
ờ
i gian ô tô th
ứ
hai
đ
i t
ừ
A
đế
n
B
là
120
( )
12
h
x
−
Theo
đề
bài, ta có:
2
120 1 120
12 2880 0 60
2 12
x x x
x x
+ = ⇔ − − = ⇔ =
−
(nh
ậ
n) ho
ặ
c
48
x
= −
(lo
ạ
i)
V
ậ
y v
ậ
n t
ố
c ô tô th
ứ
nh
ấ
t là
60 ( / )
km h
Bài 6.
M
ộ
t nhóm h
ọ
c sinh có k
ế
ho
ạ
ch nh
ậ
n tr
ồ
ng 200 cây tràm giúp cho gia
đ
ình b
ạ
n An. Vì có 2 h
ọ
c
sinh b
ị
b
ệ
nh không tham gia
đượ
c nên m
ỗ
i h
ọ
c sinh còn l
ạ
i ph
ả
i tr
ồ
ng thêm 5 cây so v
ớ
i d
ự
đị
nh
để
hoàn
thành k
ế
ho
ạ
ch (Bi
ế
t s
ố
cây m
ỗ
i h
ọ
c sinh tr
ồ
ng là nh
ư
nhau). Tính s
ố
h
ọ
c sinh th
ự
c t
ế
tham gia tr
ồ
ng cây.
HD Giải
G
ọ
i
x
là s
ố
h
ọ
c sinh th
ự
c t
ế
tham gia tr
ồ
ng cây
(
)
0
x
>
S
ố
h
ọ
c sinh tham gia tr
ồ
ng cây theo d
ự
đị
nh là
2
x
+
Theo
đề
bài, ta có:
2
200 200
5 5 10 400 0 8
2
x x x
x x
− = ⇔ + − = ⇔ =
+
(nh
ậ
n) ho
ặ
c
10
x
= −
(lo
ạ
i)
V
ậ
y s
ố
h
ọ
c sinh th
ự
c t
ế
tham gia tr
ồ
ng cây là 8 h
ọ
c sinh.
Bài 7.
Trong m
ộ
t bu
ổ
i l
ẻ
t
ổ
ng k
ế
t cu
ố
i n
ă
m, l
ớ
p 9A1 có m
ờ
i thêm 15 b
ạ
n l
ớ
p khác
đế
n d
ự
. Vì l
ớ
p
đ
ã có
45 h
ọ
c sinh nên ph
ả
i kê thêm 1 dãy gh
ế
n
ữ
a và m
ỗ
i dãy ph
ả
i ng
ồ
i thêm 1 h
ọ
c sinh m
ớ
i
đủ
ch
ỗ
. Bi
ế
t r
ằ
ng
m
ỗ
i dãy gh
ế
có s
ố
h
ọ
c sinh ng
ồ
i nh
ư
nhau và không th
ể
ng
ồ
i quá 6 em. H
ỏ
i l
ớ
p 9A1 ban
đầ
u có bao
nhiêu dãy gh
ế
?
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
22
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
HD Giải
G
ọ
i
x
là s
ố
dãy gh
ế
lúc
đầ
u
*
( )
x
∈
ℕ
. Khi
đ
ó s
ố
dãy gh
ế
lúc sau là
1
x
+
S
ố
h
ọ
c sinh lúc ban
đầ
u ng
ồ
i m
ỗ
i dãy gh
ế
là
45
x
(h
ọ
c sinh)
S
ố
h
ọ
c sinh lúc sau ng
ồ
i m
ỗ
i dãy gh
ế
là
60
1
x
+
(h
ọ
c sinh)
Theo
đề
bài, ta có ph
ươ
ng trình:
2
45 60
1 14 45 0 5
1
x x x
x x
+ = ⇔ − + = ⇔ =
+
ho
ặ
c
9
x
=
Th
ử
l
ạ
i: V
ớ
i
5
x
=
s
ố
h
ọ
c sinh ng
ồ
i m
ỗ
i dãy gh
ế
là
45
9
5
=
h
ọ
c sinh(vi ph
ạ
m
đ
i
ề
u ki
ệ
n không th
ể
ng
ồ
i
quá 6 h
ọ
c sinh)
V
ậ
y l
ớ
p 9A1 lúc
đầ
u có 9 dãy gh
ế
.
Bài 8.
M
ộ
t t
ổ
tr
ồ
ng cây c
ủ
a tr
ườ
ng nh
ậ
n k
ế
ho
ạ
ch tr
ồ
ng 200 cây. Vì 2 t
ổ
viên
đượ
c
đ
i
ề
u sang làm vi
ệ
c
khác nên m
ỗ
i t
ổ
viên còn l
ạ
i nh
ậ
n tr
ồ
ng thêm 5 cây so v
ớ
i d
ự
đị
nh lúc
đầ
u
để
hoàn thành k
ế
ho
ạ
ch. Bi
ế
t
s
ố
cây m
ỗ
i ng
ườ
i tr
ồ
ng nh
ư
nhau. Tìm s
ố
t
ổ
viên lúc
đầ
u.
HD Giải
G
ọ
i
x
là s
ố
t
ổ
viên lúc
đầ
u
( 2, )
x x
> ∈
ℕ
. S
ố
t
ổ
viên lúc sau là
2.
x
−
S
ố
cây m
ỗ
i ng
ườ
i tr
ồ
ng theo d
ự
tính là
200
x
(cây)
S
ố
cây th
ự
c m
ỗ
i ng
ườ
i tr
ồ
ng là
200
2
x
−
(cây)
Theo
đề
bài, ta có ph
ươ
ng trình:
2
200 200
5 2 80 0 10
2
x x x
x x
+ = ⇔ − − = ⇔ =
−
(nh
ậ
n) ho
ặ
c
8
x
= −
(lo
ạ
i)
V
ậ
y s
ố
t
ổ
viên lúc
đầ
u là 10 ng
ườ
i.
Bài 9.
M
ộ
t ng
ườ
i
đ
i xe g
ắ
n máy t
ừ
A
đế
n
B
cách nhau
90
km
. Sau khi
đ
i
đượ
c 2 gi
ờ
, xe b
ị
h
ỏ
ng, ng
ườ
i
ấ
y ph
ả
i d
ừ
ng l
ạ
i 15 phút
để
s
ữ
a r
ồ
i ti
ế
p t
ụ
c
đ
i v
ớ
i v
ậ
n t
ố
c t
ă
ng thêm
10 /
km h
và
đ
i
đế
n
B
đ
úng gi
ờ
đ
ã
đị
nh. Tìm v
ậ
n t
ố
c ban
đầ
u c
ủ
a xe g
ắ
n máy.
HD Giải
G
ọ
i
(
)
/
x km h
là v
ậ
n t
ố
c ban
đầ
u c
ủ
a xe g
ắ
n máy
( 0)
x
. V
ậ
n t
ố
c lúc sau là
(
)
10 /
x km h
+
Quãng
đườ
ng
đ
i sau 2 gi
ờ
đầ
u là
2
x km
Quãng
đườ
ng
đ
i sau khi s
ử
a xe là
90 2 ( )
x km
−
Theo
đề
bài, ta có ph
ươ
ng trình:
2
90 1 90 2
2 90 3600 0 30
4 10
x
x x x
x x
−
= + + ⇔ + − = ⇔ =
+
(nh
ậ
n) ho
ặ
c
120
x
= −
(lo
ạ
i)
V
ậ
y v
ậ
n t
ố
c ban
đầ
u c
ủ
a xe g
ắ
n máy là
30 /
km h
Bài 10.
M
ộ
t phòng h
ọ
p có 120 gh
ế
đượ
c x
ế
p
đề
u thành các dãy. N
ế
u mu
ố
n b
ớ
t
đ
i 2 dãy thì ph
ả
i x
ế
p thêm
3 gh
ế
vào m
ỗ
i dãy còn l
ạ
i. H
ỏ
i phòng h
ọ
p có bao nhiêu dãy gh
ế
và m
ỗ
i dãy có bao nhiêu gh
ế
?
HD Giải
G
ọ
i
x
là s
ố
gh
ế
trên m
ỗ
i dãy
*
( )
x
∈
ℕ
S
ố
dãy gh
ế
lúc
đầ
u là
120
x
. S
ố
dãy gh
ế
lúc sau là
120
3
x
+
Theo
đề
bài, ta có ph
ươ
ng trình:
2
120 120
2 3 180 0 12
3
x x x
x x
= + ⇔ + − = ⇔ =
+
(nh
ậ
n) ho
ặ
c
15
x
= −
(lo
ạ
i)
V
ậ
y m
ỗ
i dãy gh
ế
có 12 chi
ế
c và s
ố
dãy gh
ế
là
120
10
12
=
(dãy).
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
23
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
Bài 11.
M
ộ
t
đơ
n v
ị
theo k
ế
ho
ạ
ch ph
ả
i s
ả
n xu
ấ
t 20 chi ti
ế
t máy trong m
ộ
t th
ờ
i gian
đ
ã
đị
nh, nh
ư
ng sau
đ
ó
đơ
n v
ị
t
ă
ng n
ă
ng su
ấ
t thêm 10 chi ti
ế
t máy m
ỗ
i ngày nên
đ
ã hoàn thành k
ế
ho
ạ
ch s
ớ
m
đượ
c 1 ngày.
H
ỏ
i n
ă
ng su
ấ
t d
ự
đị
nh c
ủ
a
đơ
n v
ị
là bao nhiêu chi ti
ế
t máy m
ỗ
i ngày?
HD Giải
G
ọ
i n
ă
ng su
ấ
t d
ự
đị
nh là
*
( ).
x x ∈
ℕ
N
ă
ng su
ấ
t th
ự
c làm là
10.
x
+
S
ố
ngày d
ự
đị
nh làm là
200
.
x
S
ố
ngày th
ự
c làm là
200
.
10
x
+
Theo
đề
bài ta có ph
ươ
ng trình:
2
200 200
1 10 2000 0 40
10
x x x
x x
= + ⇔ + − = ⇔ =
+
(nh
ậ
n) ho
ặ
c
50
x
= −
(lo
ạ
i)
V
ậ
y n
ă
ng su
ấ
t d
ự
đị
nh là 40 chi ti
ế
t máy m
ỗ
i ngày.
Bài 12.
M
ộ
t t
ổ
s
ả
n xu
ấ
t, theo k
ế
ho
ạ
ch ph
ả
i s
ả
n xu
ấ
t 180 t
ấ
n d
ụ
ng c
ụ
trong m
ộ
t th
ờ
i gian
đ
ã
đị
nh. Sau khi
th
ự
c
đượ
c
2
3
k
ế
ho
ạ
ch thì t
ổ
đượ
c b
ổ
sung thêm ng
ườ
i nên n
ă
ng su
ấ
t h
ằ
ng c
ủ
a t
ổ
t
ă
ng thêm 2 t
ấ
n. Nh
ờ
v
ậ
y t
ổ
đ
ã hoàn thành k
ế
ho
ạ
ch tr
ướ
c th
ờ
i h
ạ
n 1 ngày. H
ỏ
i n
ă
ng su
ấ
t m
ỗ
i ngày lúc
đầ
u c
ủ
a t
ổ
là bao nhiêu
t
ấ
n?
HD Giải
G
ọ
i
x
(t
ấ
n/ngày) là n
ă
ng su
ấ
t ban
đầ
u c
ủ
a t
ổ
( 0)
x
Nh
ư
v
ậ
y
2
3
k
ế
ho
ạ
ch ngh
ĩ
a là th
ự
c hi
ệ
n
đượ
c là
2
180. 120
3
=
(t
ấ
n)
Th
ờ
i gian hoàn thành k
ế
ho
ạ
ch d
ự
đị
nh là
180
x
Th
ờ
i gian th
ự
c hi
ệ
n
2
3
k
ế
ho
ạ
ch
đầ
u là
120
x
Th
ờ
i gian th
ự
c hi
ệ
n
1
3
k
ế
ho
ạ
ch
đầ
u là
60
2
x
+
Theo
đề
bài, ta có ph
ươ
ng trình:
2
180 120 60
1 2 120 0 10
2
x x x
x x x
= + + ⇔ + − = ⇔ =
+
(nh
ậ
n) ho
ặ
c
12
x
= −
(lo
ạ
i)
V
ậ
y n
ă
ng su
ấ
t ban
đầ
u c
ủ
a t
ổ
là 10 t
ấ
n/ngày
Bài 13.
Cô Lan t
ậ
p th
ể
d
ụ
c m
ỗ
i sáng trong 40 phút. Cô Lan th
ự
c hi
ệ
n s
ự
k
ế
t h
ợ
p c
ủ
a th
ể
d
ụ
c nh
ị
p
đ
i
ệ
u
đố
t cháy 11 calo m
ỗ
i phút và kéo c
ă
ng c
ơ
th
ể
đố
t cháy 4 calo m
ỗ
i phút. M
ụ
c tiêu c
ủ
a cô Lan là
đố
t cháy
335 calo trong quá trình t
ậ
p luyên c
ủ
a mình. H
ỏ
i cô Lan c
ầ
n th
ự
c hi
ệ
n m
ỗ
i ho
ạ
t
độ
ng trong bao lâu?
HD Giải
G
ọ
i
x
(phút),
y
(phút) l
ầ
n l
ượ
t là th
ờ
i gian cô Lan t
ậ
p th
ể
d
ụ
c nh
ị
p
đ
i
ệ
u và kéo c
ă
n c
ơ
th
ể
(0 , 40)
x y
< <
Theo
đề
bai ta có h
ệ
ph
ươ
ng trình:
40 25
11 4 335 15
x y x
x y y
+ = =
⇔
+ = =
V
ậ
y cô Lan dành 25 phút
để
t
ậ
p th
ể
d
ụ
c nh
ị
p
đ
i
ệ
u và 15 phút kéo c
ă
ng c
ơ
th
ể
.
Bài 14.
H
ưở
ng
ứ
ng Ngày Ch
ủ
nh
ậ
t xanh do UBND huy
ệ
n phát
độ
ng v
ớ
i ch
ủ
đề
“Hãy hành
độ
ng
để
Tuy
Phong thêm Xanh, S
ạ
ch, Sáng”, m
ộ
t tr
ườ
ng THCS Nguy
ễ
n B
ỉ
nh Khiêm
đ
ã c
ử
h
ọ
c sinh c
ủ
a hai l
ớ
p 9A1
và 9A2 cùng tham gia làm t
ổ
ng v
ệ
sinh m
ộ
t con
đườ
ng, sau
35
12
gi
ờ
thì làm xong công vi
ệ
c. N
ế
u làm
riêng t
ừ
ng l
ớ
p thì th
ờ
i gian h
ọ
c sinh l
ớ
p 9A1 làm xong công vi
ệ
c ít h
ơ
n th
ờ
i gian h
ọ
c sinh l
ớ
p 9A2 là 2
gi
ờ
. H
ỏ
i n
ế
u m
ỗ
i l
ớ
p làm riêng thì sau bao nhiêu gi
ờ
s
ẽ
làm xong công vi
ệ
c?
HD Giải
G
ọ
i th
ờ
i gian l
ớ
p 9A1 làm m
ộ
t mình xong công vi
ệ
c là
x
(gi
ờ
)
35
x
>
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
24
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
G
ọ
i th
ờ
i gian l
ớ
p 9A2 làm m
ộ
t mình xong công vi
ệ
c là
y
(gi
ờ
)
(
)
2
y
>
M
ỗ
i gi
ờ
l
ớ
p 9A1 làm
đượ
c ph
ầ
n công vi
ệ
c là:
1
x
(công vi
ệ
c)
M
ỗ
i gi
ờ
l
ớ
p 9A2 làm
đượ
c ph
ầ
n công vi
ệ
c là:
1
y
(công vi
ệ
c)
M
ỗ
i gi
ờ
l
ớ
p c
ả
hai
ớ
p 9A1, 9A2 làm
đượ
c ph
ầ
n công vi
ệ
c là:
1 1
x y
+
(công vi
ệ
c)
Theo
đề
bài, hai l
ớ
p cùng làm chung công vi
ệ
c trong
35
12
gi
ờ
thì xong công vi
ệ
c nên ta có ph
ươ
ng trình:
1 1 35
1:
12
x y
+ =
⇔
1 1 12
35
x y
+ =
(1)
N
ế
u làm riêng t
ừ
ng l
ớ
p thì th
ờ
i gian h
ọ
c sinh l
ớ
p 9A1 làm xong công vi
ệ
c ít h
ơ
n th
ờ
i gian l
ớ
p 9A2 là 2 gi
ờ
nên ta có ph
ươ
ng trình:
2
y x
= +
(2)
Th
ế
ph
ươ
ng trình (2) vào ph
ươ
ng trình (1) ta
đượ
c:
1 1 12
(1) 35( 2) 35 12 ( 2)
2 35
x x x x
x x
⇔ + = ⇔ + + = +
+
2 2
2
35 70 35 12 24 12 46 70 0
12 60 14 70 0 12 ( 5) 14( 5) 0
x x x x x x
x x x x x x
⇔ + + = + ⇔ − − =
⇔ − + − = ⇔ − + − =
5 ( )
5 0
( 5)(12 14) 0
7
12 14 0
( )
6
x tm
x
x x
x
x Ktm
=
− =
⇔ − + = ⇔ ⇔
+ =
= −
V
ậ
y n
ế
u làm m
ộ
t mình thì l
ớ
p 9A1 làm xong công vi
ệ
c trong 5 gi
ờ
, l
ớ
p 9A2 làm xong công vi
ệ
c trong
5 2 7
+ =
gi
ờ
Bài tập làm tương tự
Bài 15.
M
ộ
t m
ả
nh
đấ
t hình thang vuông có di
ệ
n tích là
2
70
m
; chi
ề
u dài
đ
áy nh
ỏ
g
ấ
p 4 l
ầ
n chi
ề
u cao và
ng
ắ
n h
ơ
n
đ
áy l
ớ
n
3
m
. Tính chu vi c
ủ
a m
ả
nh
đấ
t trên. (
Đ
áp s
ố
: Chi
ề
u cao b
ằ
ng 4m, chu vi là 44 m)
Bài 16.
Phòng h
ọ
p c
ủ
a công ty có 240 gh
ế
ng
ồ
i
đượ
c x
ế
p thành t
ừ
ng dãy ngang song song v
ớ
i nhau. S
ố
gh
ế
trên m
ỗ
i dãy nh
ư
nhau và
đượ
c s
ắ
p x
ế
p cách
đề
u nhau. Ban giám
đố
c
đị
nh m
ờ
i 320 ng
ườ
i d
ự
l
ễ
t
ổ
ch
ứ
c k
ỉ
ni
ệ
m thành l
ậ
p công ty.
Để
đả
m b
ả
o
đủ
s
ố
gh
ế
ng
ồ
i cho khách m
ờ
i, ban t
ổ
ch
ứ
c ph
ả
i kê thêm 4
dãy gh
ế
và m
ỗ
i dãy gh
ế
ph
ả
i b
ố
trí thêm 1 gh
ế
sao cho s
ố
gh
ế
trong t
ấ
t c
ả
các dãy nh
ư
nhau. Bi
ế
t r
ằ
ng
phòng h
ọ
p ch
ỉ
có th
ể
b
ố
trí t
ố
i
đ
a 20 dãy gh
ế
. H
ỏ
i lúc
đầ
u phòng h
ọ
p có bao nhiêu dãy gh
ế
và m
ỗ
i dãy
gh
ế
có bao nhiêu gh
ế
? (
Đ
áp s
ố
: 16 dãy gh
ế
và 15 gh
ế
)
Bài 17.
Hai
độ
i xây d
ự
ng làm chung m
ộ
t công vi
ệ
c và d
ự
đị
nh hoàn thành trong 30 ngày. Nh
ư
ng khi làm
chung
đượ
c 20 ngày thì
độ
i I
đượ
c
đ
i
ề
u
độ
ng
đ
i làm vi
ệ
c khác. Tuy ch
ỉ
còn
độ
i II làm vi
ệ
c, nh
ư
ng do c
ả
i
ti
ế
n cách làm, n
ă
ng su
ấ
t
độ
i II t
ă
ng g
ấ
p
đ
ôi, nên h
ọ
làm xong ph
ầ
n vi
ệ
c còn l
ạ
i trong 8 ngày. H
ỏ
i v
ớ
i
n
ă
ng su
ấ
t ban
đầ
u, n
ế
u m
ỗ
i
độ
i làm riêng thì ph
ả
i làm trong bao nhiêu ngày m
ớ
i xong công vi
ệ
c trên?
(
Đ
áp s
ố
:
Độ
i I là 80;
độ
i II là 48)
Bài 18.
Cô Bông là ch
ủ
cho thuê c
ă
n h
ộ
lo
ạ
i 2 và 3 phòng ng
ủ
v
ớ
i giá m
ỗ
i phòng l
ầ
n l
ượ
t là 6 tri
ệ
u
đồ
ng
và 8 tri
ệ
u
đồ
ng m
ỗ
i tháng. Tháng tr
ướ
c cô Bông có 6 c
ă
n h
ộ
không có ai thuê và th
ấ
t thu 40 tri
ệ
u
đồ
ng.
H
ỏ
i có bao nhiêu c
ă
n h
ộ
2 phòng ng
ủ
không có ng
ườ
i thuê? (
Đ
áp s
ố
: 4 c
ă
n h
ộ
2 phòng ng
ủ
)
Bài 19.
Trong k
ỳ
thi Tuy
ể
n sinh vào l
ớ
p 10 THPT n
ă
m 2019, t
ổ
ng ch
ỉ
tiêu tuy
ể
n sinh c
ủ
a Tr
ườ
ng THPT
A và tr
ườ
ng THPT B là 900 h
ọ
c sinh. Do c
ả
hai tr
ườ
ng
đề
u có ch
ấ
t l
ượ
ng giáo d
ụ
c r
ấ
t t
ố
t nên sau khi h
ế
t
h
ạ
n th
ờ
i gian
đ
i
ề
u ch
ỉ
nh nguyên v
ọ
ng thì s
ố
l
ượ
ng thí sinh
đă
ng ký d
ự
tuy
ể
n vào Tr
ườ
ng THPT A và
Tr
ườ
ng THPT B t
ă
ng l
ầ
n l
ượ
t là 15% và 10% so v
ớ
i ch
ỉ
tiêu ban
đầ
u. Vì v
ậ
y, t
ổ
ng s
ố
thí sinh
đă
ng ký d
ự
tuy
ể
n c
ủ
a c
ả
hai tr
ườ
ng là 1010. H
ỏ
i s
ố
l
ượ
ng thí sinh
đă
ng ký d
ự
tuy
ể
n c
ủ
a m
ỗ
i tr
ườ
ng là bao nhiêu?
(
Đ
áp s
ố
: 400 và 500)
Bài 20.
Bác
B
vay
ở
m
ộ
t ngân hàng 100 tri
ệ
u
đồ
ng
để
s
ả
n xu
ấ
t trong th
ờ
i h
ạ
n 1 n
ă
m. L
ẽ
ra
đ
úng 1 n
ă
m
sau bác ph
ả
i tr
ả
c
ả
ti
ề
n v
ố
n l
ẫ
n ti
ề
n lãi, song bác
đ
ã
đượ
c ngân hàng cho kéo dài th
ờ
i h
ạ
n thêm 1 n
ă
m
n
ữ
a, s
ố
ti
ề
n lãi c
ủ
a n
ă
m
đầ
u
đượ
c g
ộ
p vào v
ớ
i ti
ề
n v
ố
n
để
tính lãi n
ă
m sau và lãi su
ấ
t v
ẫ
n nh
ư
c
ũ
. H
ế
t 2
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
25
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
n
ă
m bác
B
ph
ả
i tr
ả
t
ấ
t c
ả
121 tri
ệ
u
đồ
ng. H
ỏ
i lãi su
ấ
t cho vay c
ủ
a ngân hàng
đ
ó là bao nhiêu ph
ầ
n tr
ă
m
trong 1 n
ă
m? (
Đ
áp s
ố
: 10%/n
ă
m)
Bài 21.
M
ộ
t công ty v
ậ
n t
ả
i d
ự
đị
nh dùng lo
ạ
i xe l
ớ
n
để
v
ậ
n chuy
ể
n 20 t
ấ
n hàng hóa theo m
ộ
t h
ợ
p
đồ
ng.
Nh
ư
ng khi vào vi
ệ
c, công ty không còn xe l
ớ
n nên ph
ả
i thay b
ằ
ng nh
ữ
ng xe nh
ỏ
. M
ỗ
i xe nh
ỏ
v
ậ
n chuy
ể
n
đượ
c kh
ố
i l
ượ
ng ít h
ơ
n 1 l
ầ
n so v
ớ
i m
ỗ
i xe lên theo d
ự
đị
nh.
Để
đả
m b
ả
o th
ờ
i gian
đ
ã h
ợ
p
đồ
ng, công ty
ph
ả
i dùng m
ộ
t s
ố
l
ượ
ng xe nhi
ề
u h
ơ
n s
ố
xe d
ự
đị
nh là 1 xe. H
ỏ
i m
ỗ
i xe nh
ỏ
v
ậ
n chuy
ể
n bao nhiêu t
ấ
n
hàng hóa? (Bi
ế
t các xe cùng lo
ạ
i thi có kh
ố
i l
ượ
ng v
ậ
n chuy
ể
n nh
ư
nhau).(
Đ
áp s
ố
: 4 t
ấ
n)
Bài 22.
Bác Bình dự định trồng 300 cây cam theo nguyên tắc trồng thành các hang, mỗi hang có
số cây bằng nhau. Nhưng khi thực hiện bác Bình đã trồng thêm 2 hàng, mỗi hang thêm 3 cây so
với dự kiến ban đầu nên trồng được tất cả 391 cây. Tính số cây trên 1 hàng mà bác Bình dự kiến
trồng ban đầu.(Đáp số: 20 cây, 15 cây)
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
26
Tr
ọ
ng tâm ôn thi tuy
ể
n sinh 10
I Love Math _0916620899
ấn đề 8. Hình học
Các dạng toán thường gặp trong kì thi tuyển sinh vào lớp 10
Dạng 1. Chứng minh tứ giác nội tiếp
Phương pháp cơ bản:
Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối bằng
0
180
.
Chứng minh tứ giác có bốn điểm của tứ giác cách đều một điểm nào đó.
Chứng minh từ hai đỉnh cùng kề một cạnh của tứ giác, cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau
Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối bằng nhau thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn
Chứng minh tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó
Dạng 2. Tam giác đồng dạng và ứng dụng của nó.
Phương pháp cơ bản:
Hai tam giác có hai góc tương ứng bằng nhau (g – g)
2 cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau – góc xen giữa hai cạnh bằng nhau(c – g – c)
3 cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau (c – c – c)
Định lí Talet – Hai đường thẳng song song
Lưu ý: Các định lí đồng dạng của hai tam giác vuông
1. Định lí 1 (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Nếu cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác
kia thì hai tam giác đồng dạng.
2. Định lí 2 (hai cạnh góc vuông).
Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác
đồng dạng.
3. Định lí 3 ( góc).
Nếu góc nhọn của tam giác này bằng góc nhọn của tam giác kia thì hai tam giác đồng dạng.
Dạng 3. Chứng minh ba đường thẳng đồng quy
Phương pháp cớ bản:
Chứng minh có một điểm đồng thời thuộc cả ba đường thẳng đó.
Chứng minh giao điểm của 2 đường thẳng này nằm trên đường thẳng thứ ba.
Chứng minh giao điểm của 2 đường thẳng thứ nhất và thứ hai trùng với giao điểm của hai đường thẳng
thứ hai và thứ ba.
Sử dụng tính chất đồng quy của ba đường trung tuyến, đường cao, phân giác, trung trực trong tam giác.
Sử dụng tính chất của đường chéo của các tứ giác đặc biệt.
Dạng 4. Chứng minh ba điểm thẳng hàng
Phương pháp cơ bản:
Sử dụng tính chất góc bẹt
Chứng minh hai đoạn thẳng tạo từ ba điểm đã cho cùng song song với một đường thằng ( Sử dụng tiên
đề Ơclit)
Sử dụng tính chất của hai đường thẳng vuông góc
Sử dụng tích chất đường trung trực của đoạn thẳng
Sử dụng tính duy nhất của tia phân giác của một góc khác góc bẹt
Sử dụng tính chất đồng quy của tam giác
Dạng 5. Tính
Dạng này thực hiện tính: Số đo (độ dài) cạnh; góc; diện tích tam giác; diện tích xung quanh, diện tích toàn
phần và thể tích tương ứng của hình nòn, trụ và cầu.
Cần nắm lại các kiến thức sau
1. Hệ thức lượng trong tam giác:
Cho ∆ABC vuông tại A, có đường cao AH.
+ =
2 2 2
AB AC BC
=
2
.AB BC BH
=
2
.AC BC CH
= +
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
= =.sin .cosAB BC C BC B
= =.tan .cotAB AC C AC B
c
b
a
H
C
B
A
V
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
27
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
Tỉ số lượng giác của góc nhọn:
0 sin 1;0 cos 1
α α
< < < <
. Ta có:
sin
tan
cos
α
α
α
=
cos
cot
sin
α
α
α
=
2 2
sin cos 1
α α
+ =
tan .cot 1
α α
=
2
2
1
1 tan
cos
α
α
+ =
2
2
1
1 cot
sin
α
α
+ =
2. Các công thức tính diện tích:
a) Tam giác:
= = =
1 1 1
. . .
2 2 2
a b c
S a h b h c h
= = =
1 1 1
sin .sin sin
2 2 2
S bc A ca B ab C
=S pr
;
2
a b c
p
+ +
=
;
=
4
abc
S
R
(
)
(
)
(
)
= − − −S p p a p b p c
∆ABC đều, cạnh a:
=
2
3
4
a
S
, đường cao
a
AH
3
2
=
∆ABC vuông tại A:
= =
1 1
. . . .
2 2
S AB AC BC AH
b) Hình vuông: S = a
2
(a: cạnh hình vuông)
c) Hình chữ nhật: S = a.b (a, b: hai kích thước)
d) Hình bình hành: S = đáy
×
cao =
. .AB AD sinBAD
e) Hình thoi:
= =
1
. . .
2
S AB AD sinBAD AC BD
f) Hình thang:
( )
= +
1
.
2
S a b h
(a, b: hai đáy, h: chiều cao)
g) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc:
=
1
.
2
S AC BD
3. Hình tròn
Hình Tính chất Tính
- Cách xác định: Qua ba điểm
không thẳng hàng ta vẽ được
một và chỉ một đường tròn.
- Tâm đối xứng, trục đối xứng
: Đường tròn có một tâm đối
xứng; có vô số trục đối xứng.
Đường tròn tâm
,
O
bán
kính
R OM OA= =
2
AB
OB= =
. Kí hiệu
( )
;
O R
Đường kính
d AB=
đi
qua tâm
O
.
Góc
0
90AMB =
;
MOB sñ MB=
;
MOA sñ MA=
;
1
2
MAB sñ MB=
;
1
2
MBA sñ MA=
Độ dài đường tròn:
2
C R d
π π
= =
Độ dài cung tròn
0
n
:
0
0
180
Rn
l
π
=
Diện tích hình tròn:
2
S R
π
=
Diện tích hình quạt tròn:
2 0
0
2
360
R n lR
S
π
= =
- Quan hệ vuông góc giữa đường kính
và dây. Trong một đường tròn
+ Đường kính vuông góc với một dây thì
đi qua trung điểm của dây ấy
+ Đường kính đi qua trung điểm của
một dây không đi qua tâm thì vuông
góc với dây ấy.
4. Diện tích – Thể tích hình nón, hình trụ và hình cầu
Hình Diện tích Thể tích
Cho hình nón N có chiều cao h, đường sinh l
và bán kính đáy bằng r.
xq
S rl
π
=
d
R
M
O
B
A
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
28
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
tp xq ñaùy
S S S= +
π
=
ñaùy
S r
2
2
1
3
N
V r h
π
=
Cho hình trụ có chiều cao h, đường sinh l và
bán kính đáy bằng r.
2
xq
S rl
π
=
2
tp xq ñaùy
S S S= +
π
=
ñaùy
S r
2
2
T
V r h
π
=
Mặt cầu bán kính bằng
R
.
Gọi
C
S
là diện tích mặt cầu và
C
V
là thể tích
khối cầu
π
=
2
4
C
S R
π
=
3
4
3
C
V R
Bài 1. Cho đường tròn
( )
;
O R
và điểm A sao cho OA = 2R. Từ điểm A vẽ tiếp tuyến AB đến (O) (B là tiếp
điểm). Kẻ đường kính BC của (O), gọi M là trung điểm của đoạn thẳng OB, kẻ MN vuông góc với AC tại
N.
a. Chứng minh tứ giác ABMN nội tiếp.
b. Kẻ BH vuông góc với OA tại H. Cho
3 ,=R cm
tính
BOA
và cạnh BH.
c. Đường thẳng vuông góc với OA tại O cắt tia AB tại E. Chứng minh ba điểm E, M, N thẳng hàng.
HD Giải
a. Chứng minh tứ giác ABMN nội tiếp
Xét tứ giác ABMN ta có:
90
o
MBA MNA= =
(gt)
180
o
MBA MNA + =
Vậy tứ giác ABMN nội tiếp
b. Tính
BOA
và cạnh BH
OBA∆
vuông tại B
3
cos
2 6
OB R
BOA
OA R
= = =
60
BOA = °
Xét
OBH∆
vuông tại H, ta có
B
A
H
M
E
N
C
O
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
29
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
3 3
3 60
2
BH OBSinBOH Sin cm= = ° =
c. Chứng minh ba điểm E, M, N thẳng hàng
Xét
∆OAE
vuông tại O, ta có
⊥OB AE
OB
2
= AB.BE
1
2 . . .
2
⋅ = ⇔ =
BM BC AB BE BM BC AB BE
hay
=
AB BC
BM BE
Mặt khác, ta có:
∆ ∆∼ABC MBE
(c-g-c) (do
90= = °ABC MBE
và
=
AB BC
BM BE
)
=BME BAC
mà
=CMN BAC
(do tứ giác ABMN nội tiếp)
=BME CMN
mà
180+ = °
BMN CMN
(kề bù) nên
180+ = °
BMN BME
Ba điểm E, M, N thẳng hàng.
Bài 2. Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R, C là một điểm tùy ý trên đường tròn (C khác A và B);
các tiếp tuyến với đường tròn tại A và C cắt nhau tại M, BM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D.
a. Chứng minh tứ giác
OAMC
nội tiếp đường tròn;
b. Chứng minh:
2
.MC MD MB=
;
c. Cho
2OM R=
. Tính diện tích phần tam giác
AMC
nằm ngoài đường tròn (O) theo R.
HD Giải
a. Chứng minh tứ giác OAMC nội tiếp đường tròn
Xét tứ giác
OAMC
, Tacó
0
90=OAM
và
0
90=OCM
(Vì
,MA MC
là tiếp tuyến)
Nên
0 0 0
90 90 180OAM OCM+ = + =
Vậy tứ giác
OAMC
nội tiếp
b. Chứng minh:
2
.MC MD MB=
Xét
MCD∆
và
∆ MBC
, ta có
BMC
là góc chung và
=MCD MBC
( cùng chắn cung
DC
)
Suy ra :
( )∆ ∆ −MCD MBC g g
2
.M
=
=
MC MD
MC MD B
MB MC
c. Tính diện tích phần tam giác
AMC
nằm ngoài đường tròn (O) theo R
Ta có :
2 2 2 2
4 3= − = − =
AM OM OA R R R
0
1
cos 60
2
= =
=
OA
AOM
AOM
OM
2
2. . 3= = =
OAMC OAM
S S OA AM R
2
3
quaït OAC
R
S
π
=
Vậy diện tích cần tìm là :
( )
2
2
2
3 3
3
3 3
OAMC quaït OAC
R
R
S S S R
π
π
−
= − = − =
( đvdt)
Bài 3. Cho tam giác
ABC
vuông tại
.A
Trên cạnh
AC
lấy một điểm
M
không trùng với
A
và
.C
Gọi
( )C
là đường tròn đường kính
.MC
Các đường thẳng
BM
và
BC
cắt
( )C
tại các điểm thứ hai lần lượt
tại
D
và
.E
Chứng minh rằng
a. Hai đường thẳng
BM
và
CD
vuông góc với nhau; b.
.MED MBA=
D
M
C
O
B
A
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
30
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
HD Giải
a. Chứng minh rằng hai đường thẳng
BM
và
CD
vuông góc với nhau
Ta có
90BDC MDC= = °
(góc nội tiếp chắn nửa
đường tròn)
Suy ra
.BM CD⊥
b. Chứng minh rằng
.MED MBA=
Ta có:
90CAB BDC= = °
nên tứ giác
ABCD
nội tiếp được đường tròn.
Do đó:
.
MBA MCD
=
Mặt khác ta có:
MCD MED=
(vì cùng chắn cung
MD
trong
( )C
)
Suy ra:
.MED MBA=
Bài 4. Cho tam gia
(
c
ABC
vuông tại
A
có
4 , 3= =AB cm AC cm
. Lâ(y điêm
,
D
thuộc cạnh
AB
( )
<AB AD
. Đường tròn
( )
O
đường kính
BD
cắt
CB
tại
E
, kéo dài
CD
cắt đường tròn
( )
O
tại
F
.
a. Chứng minh rằng
ACED
là tứ giác nội tiếp.
b. Biết
3=BF cm
. Tính
BC
và diện tích tam giác
BFC
.
c. Kéo dài
AF
cắt đường tròn
( )
O
tại điểm
G
. Chứng minh rằng
BA
là tia phân giác của góc
CBG
.
HD Giải
a. Chứng minh rằng
ACED
là tứ giác nội tiếp.
Ta có:
0
90=CAD
(giả thiết)
0
90=CED
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Bốn điểm
, , ,C D A E
cùng nằm trên đường tròn đường kính
CD
.
Vậy tứ giác
ACED
là tứ giác nội tiếp.
b. Biết
3=BF cm
. Tính
BC
và diện tích tam giác
BFC
.
∆ABC
vuông tại
A
, ta có:
2 2 2 2 2
4 3 25= + = + =AB AC
BC
5 =BC cm
∆BFC
vuông tại
F
, ta có:
2 2 2 2 2
5 3 16= − = − =CF BC BF 4 =CF cm
Vậy:
2
1 1
. . .3.4 6 ( )
2 2
= = =
BFC
S BF CF cm
c. Chứng minh rằng
BA
là tia phân giác của góc
CBG
.
Tứ giác
ACBF
nội tiếp đường tròn ( do
0
90= =CAB CFB
) nên
=ABC AFC
(cùng chắn cung
AC
)
Mà
=ABG AFC
(cùng bù với
DFG
)
=ABC ABG
. Vậy
BA
là tia phân giác của
CBG
Bài 5. Cho đường tròn
( )
,
O R
và điểm
M
ở ngoài đường tròn. Từ
M
, kẻ hai tiếp tuyến
,MA MB
( ,A B
là hai tiếp điểm) và cát tuyến
.MCD
a. Chứng minh tứ giác
OAMB
nội tiếp
b. Chứng minh rằng khi cát tuyến
MCD
thay đổi, ta luôn có
2 2
.= =MA MB MC MD
c. Trong trường hợp
0
60
=AMB
, tính theo
R
độ dài cung
AOB
của đường tròn ngoại tiếp tứ giác
OAMB
và diện tích phần tứ giác
OAMB
nằm tron đường tròn
( )
,
O R
G
F
D
E
C
O
B
A
A
B
C
M D
E
N
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
31
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
HD Giải
a. Chứng minh tứ giác
OAMB
nội tiếp
Ta có:
0
90= =OAM OBM
(tính chất tiếp tuyến)
Suy ra:
0
180+ =OAM OBM
Vậy tứ giác
OAMB
nội tiếp đường tròn đường kính
OM
b. Chứng minh:
2 2
.= =MA MB MC MD
Xét
∆MAC
và
∆
MDA
. Ta có:
(
)
( )
cuøngchaén
AMC DMA
MAC MDA g g
MAC MDA AC
=
∆ ∆ −
=
2
.
MA MC
MA MC MD
MD MA
= =
Vì
MA MB=
(hai tiếp tuyến cắt nhau) nên
2 2
.= =MA MB MC MD
c. Tính theo
R
độ dài cung
AOB
của đường tròn ngoại tiếp tứ giác
OAMB
và diện tích phần tứ giác
OAMB
nằm tron đường tròn
( )
,
O R
Ta có:
0 0
2 2.60 120AOB AMB= = =
. Độ dài cung
AOB
là
0
0
120 2
3
180
R R
l
π π
= =
Ta lại có:
0 0 0 2 2
1 1
.60 30 .sin30 2 ; 3
2 2
AMO AMB OM OA R AM OM OA R= = = = = = − =
Mặt khác, ta có:
,A B
đối xứng qua
OM
nên
2
2 . 3
OAMB OAM
S S OA AM R
∆
= = =
Tứ giác
OAMB
nội tiếp và có
0
60AMB =
nên
0
120AOB =
Diện tích hình quạt
OAB
là
2 0 2
0
120
3
360
quaït OAB
R R
S
π π
= =
Diện tích phần tứ giác
OAMB
nằm ngoài đường tròng
( )
,
O R
là
2
3
3
OAMB quaït OAB
S S S R
π
∆
= − = −
Bài 6. Cho tam giác
ABC
vuông tại
C
nội tiếp trong đường tròn tâm
O
, đường kính
2AB R
=
,
0
60ABC =
. Gọi
H
là chân đường cao hạ từ
C
xuống
,AB K
là trung điểm đoạn thẳng
AC
. Tiếp tuyến tại
B
của
đường tròn tâm
O
cắt
AC
kéo dài tại điểm
.D
a. Chứng minh tứ giác
CHOK
nội tiếp trong một đường tròn
b. Chứng minh rằng
2
. 4AC AD R=
.
c. Tính theo
R
diện tích của phần tam giác
ABD
nằm ngoài hình tròn tâm
O
.
HD Giải
a) Chứng minh tứ giác
CHOK
nội tiếp trong một đường tròn
Vì
K
là trung điểm của dây cung
AC
nên
OK AC⊥
0
90CKO =
Xét tứ giác
CHOK
có :
0
90CKO =
(cmt);
0
90CHO =
(vì
CH AB⊥
)
0 0 0
90 90 180
+ = + =CKO CHO
nên tứ giác
CHOK
nội tiếp
O
D
M
C
B
A
60
0
D
K
H
C
B
O
A
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
32
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
b) Chứng minh rằng
2
. 4
AC AD R
=
.
Xét
∆
ACB
và
∆
ABD
ta có :
0
90
laø goùc chung
ACB ABD
BAD
= =
Vậy
∆ ∆
ACB ABD
( )
2
2 2
. 2 4
= = == ⇔ AC AD A
B
B R
AC
AB AD
R
A
(đpcm)
c) Tính theo
R
diện tích của phần tam giác
ABD
nằm ngoài hình tròn tâm
O
.
Gọi
S
là diện tích của phần tam giác
ABD
nằm ngoài hình tròn tâm
O
. Khi đó :
ABD ABC vp
S S S S
∆ ∆
= − −
Ta có :
= =
OB OC R
và
0
60
ABC =
∆
OBC
là tam giác đều
= = =
OB OC BC R
và
0
60
BOC =
Lại có
⊥
CH AB
H
là trung điểm
OB
3
2 2
= =
R R
BH AH
Trong
∆
CHB
vuông tại
H
ta có :
2
2 2 2 2 2 2
3
4 2
+ = = − = − =
R R
CH BH BC CH BC HB R
Vì
/ /
CH BD
(cùng vuông góc với
AB
) nên
3
2 .
. 2 3
2
3
3
2
= = = =
R
R
AH CH AB CH R
BD
R
AB BD AH
Khi
đ
ó :
2
1 1 2 3 2 3
. .2 .
2 2 3 3
ABD
R R
S AB BD R
∆
= = =
2
1 1 3 3
. . .2
2 2 2 2
ABC
R R
S CH AB R
∆
= = =
2 0 2 2 2
0
. .60 1 1 3 3
. . .
360 2 6 2 2 6 4
∆
π π π
= − = − = − = −
vp qBOC BOC
R R R R R
S S S OB CH R
V
ậ
y di
ệ
n tích ph
ầ
n tam giác
ABD
n
ằ
m ngoài hình tròn tâm
O
là :
ABD ABC vp
S S S S
∆ ∆
= − −
=
(
)
2
2 2 2 2
10 3
2 3 3 3
3 2 6 4 12
R
R R R R
− π
π
− − − =
(
đ
vdt)
Bài 7.
Cho đường tròn
(
)
;
O R
. Từ một điểm
M
ở ngoài đường tròn
(
)
;
O R
sao cho
2
OM R
=
, vẽ
hai tiếp tuyến
,
MA MB
với
(
)
O
(
,
A B
là hai tiếp điểm). Lấy một điểm
N
tuỳ ý trên cung nhỏ
.
Gọi
, ,
I H K
lần lượt là hình chiếu vuông góc của
N
trên
, , .
AB AM BM
a. Tính diện tích tứ giác
MAOB
theo
.
R
b. Chứng minh:
.
NIH NBA
=
c. G
ọ
i
E
là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
AN
và
,
F
là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
BN
và
IK
. Ch
ứ
ng minh t
ứ
giác
IENF
n
ộ
i ti
ế
p
đượ
c trong
đườ
ng tròn.
d. Gi
ả
s
ử
, ,
O N M
th
ẳ
ng hàng. Ch
ứ
ng minh:
2 2 2
2
NA NB R
+ =
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
33
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
HD Giải
a. Tính di
ệ
n tích t
ứ
giác
MAOB
theo
R
.
Xét tam giác
OAM
và tam giác
OBM
ta có:
( )
;
= =OA OB R
;OM chung
=MA MB
(Tính ch
ấ
t 2 ti
ế
p tuy
ế
n c
ắ
t nhau);
∆ = ∆OAM OBM
(c.c.c)
∆ ∆
=
OAM OBM
S S
2
∆ ∆ ∆
= + =
MAOB OAM OBM OBM
S S S S
Áp d
ụ
ng
đị
nh lí Pytago trong tam giác vuông
OAM
ta có:
( )
2
2 2 2 2 2
2 3
= − = − =
AM OM OA R R R
3 =AM R
.
2
1
2 2. . . . 3 3
2
∆
= = = =
MAOB OAM
S S OA AM R R R
(
đ
vdt).
b. Ch
ứ
ng minh
=NIH NBA
Xét t
ứ
giác
AINH
có:
0 0 0
90 90 180+ = + =AIN AHN
T
ứ
giác
AINH
là t
ứ
giác n
ộ
i ti
ế
p (T
ứ
giác có
t
ổ
ng hai góc
đố
i b
ằ
ng
0
180
).
=NIH NAH
(hai góc n
ộ
i ti
ế
p cùng ch
ắ
n cung
HN
).
Mà
=NAH NBA
(góc t
ạ
o b
ở
i ti
ế
p tuy
ế
n và dây cung và góc n
ộ
i ti
ế
p cùng ch
ắ
n cung
AN
c
ủ
a
( )
O
)
( )
= =NIH NBA NAH
(
đ
pcm).
c.
Ch
ứ
ng minh t
ứ
giác
IENF
n
ộ
i ti
ế
p
đượ
c trong
đườ
ng tròn.
Xét t
ứ
giác
NIBK
ta có
90 90 180
° ° °
+ = + =NIB NKB
Mà hai góc này là hai góc
đố
i di
ệ
n
NIBK
là t
ứ
giác n
ộ
i ti
ế
p
=KBN NIK
Xét
đườ
ng tròn
( )
O
ta có:
=KBN NAB
( )
= =
NIK NAB KBN
Xét
∆ANB
ta có:
180
°
+ + =ANB NAB NBA
L
ạ
i có:
;
= =
NIH NAB NIE
= =NIK NAB NIF
;
=ANB ENF
180
°
+ + = + =ENF EIN NIF ENF EIF
Mà
,ENF EIF
là hai góc
đố
i di
ệ
n
T
ứ
giác
NEIF
là t
ứ
giác n
ộ
i ti
ế
p
d.
Chứng minh:
2 2 2
2
NA NB R
+ =
Theo
đề
bài ta có:
, ,O N M
th
ẳ
ng hàng
1
2
= =ON R OM
N
là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
.OM
Ta có:
{ }
⊥ =
ON AB I
I
là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
AB
.
L
ạ
i có:
= = OA OB R ON
là
đườ
ng trung tr
ự
c c
ủ
a
AB
=NA NB
Xét
∆MAO
ta có:
1
cos 60
2 2
°
= = = = =
OA R
AOM AOM AON
OM R
Xét
∆AON
có:
60
°
= =
=
OA ON R
AON
∆AON
là tam giác
đề
u.
= = = =
NA ON OA R NB
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
34
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
2 2 2 2 2
2 + = + =NA NB R R R
(
đ
pcm)
Bài 8.
Cho
đườ
ng tròn tâm
O
đườ
ng kính
AB
. Trên
đườ
ng tròn
( )
O
l
ấ
y
đ
i
ể
m
C
không trùng
B
sao cho
AC BC>
. Các ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đườ
ng tròn
( )
O
t
ạ
i
A
và t
ạ
i
C
c
ắ
t nhau t
ạ
i
D
. G
ọ
i
H
là hình chi
ế
u vuông
góc c
ủ
a
C
trên
AB
,
E
là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng
OD
và
AC
.
a. Ch
ứ
ng minh
OECH
là t
ứ
giác n
ộ
i ti
ế
p.
b. G
ọ
i
F
là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng
CD
và
AB
. Ch
ứ
ng minh
2 90BCF CFB+ = °
c. G
ọ
i
M
là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng
BD
và
CH
. Ch
ứ
ng minh hai
đườ
ng th
ẳ
ng
EM
và
AB
song
song v
ớ
i nhau.
HD Giải
a. Ch
ứ
ng minh
OECH
là t
ứ
giác n
ộ
i ti
ế
p.
Ta có:
DC DA=
(tính ch
ấ
t hai ti
ế
p tuy
ế
n c
ắ
t nhau)
OA OC=
(bán kính)
Do
đ
ó OD là
đườ
ng trung tr
ự
c c
ủ
a
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng AC
OD AC⊥
T
ứ
giác
OECH
có
90 90 180CEO CHO+ = °+ ° = °
T
ứ
giác
OECH
là t
ứ
giác n
ộ
i ti
ế
p.
b. Ch
ứ
ng minh
2 90BCF CFB+ = °
Xét
( )
O
có:
BCF BAC=
(góc n
ộ
i ti
ế
p và góc t
ạ
o b
ở
i tia ti
ế
p
tuy
ế
n v
à dây cung cùng ch
ắ
n cung BC)
(1)
HCB BAC=
(Cùng ph
ụ
CBA
) (2)
T
ừ
(1) và (2) suy ra
BCF HCB=
CB
là tia phân giác c
ủ
a
HCF
2.HCF BCF=
Ta l
ạ
i có:
CHF∆
vuông t
ạ
i
H
nên
90HCF CFB+ = °
hay
2. 90BCF CFB+ = °
c. Ch
ứ
ng minh hai
đườ
ng th
ẳ
ng
EM
và
AB
song song v
ớ
i nhau.
G
ọ
i
K
là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
DB
và
AC
.
Xét
( )
O
ta có:
ABC ACD=
(góc n
ộ
i ti
ế
p và góc t
ạ
o b
ở
i tia ti
ế
p tuy
ế
n và dây cung cùng ch
ắ
n
AC
) (3)
Ta có
ACH∆
vuông t
ạ
i
H
có
90ACH CAH= °−
ABC∆
vuông t
ạ
i
C
có
90CBA CAB= °−
ACH ABC=
(Cùng ph
ụ
CAH
) (4)
T
ừ
(3) và (4) suy ra
ACH ACD=
CA
là tia phân giác trong c
ủ
a tam giác
BCD∆
Theo tính ch
ấ
t tia phân giác trong
BCD∆
ta có:
KM BM CM
KD BD CD
= =
KM BM CM
KD BD AD
= =
(Do
DC DA=
)
M
ặ
t khác ta có:
/ /CH AD
(cùng vuông góc
AB
)
HM BM
AD BD
=
(
Đị
nh lý Ta lét)
HM BM CM
AD BD AD
= =
HM CM
AD AD
=
HM CM=
Mà
CE AE=
(Do
OD
là
đườ
ng trung tr
ự
c c
ủ
a
AB
) nên
ME
là
đườ
ng trung bình c
ủ
a
CAH∆
/ /ME AH
hay
/ /ME AB
Bài 9.
Cho tam giác
ABC
có ba góc nh
ọ
n (
<AB AC
) n
ộ
i ti
ế
p
đườ
ng tròn
( )
O
. Hai
đườ
ng cao
BE
và
CF
c
ủ
a tam giác
ABC
c
ắ
t nhau t
ạ
i
đ
i
ể
m
H
.
a. Ch
ứ
ng minh b
ố
n
đ
i
ể
m
B
,
C
,
E
,
F
cùng thu
ộ
c m
ộ
t
đườ
ng tròn.
b. Ch
ứ
ng minh
đườ
ng th
ẳ
ng
OA
vuông góc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
EF
.
M
H
K
E
F
D
A
O
B
C
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
35
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
c. G
ọ
i
K
là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng
BC
.
Đườ
ng th
ẳ
ng
AO
c
ắ
t
đườ
ng th
ẳ
ng
BC
t
ạ
i
đ
i
ể
m
I
,
đườ
ng th
ẳ
ng
EF
c
ắ
t
đườ
ng th
ẳ
ng
AH
t
ạ
i
đ
i
ể
m
P
. Ch
ứ
ng minh tam giác
APE
đồ
ng d
ạ
ng v
ớ
i tam giác
AIB
và
đườ
ng th
ẳ
ng
KH
song song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
IP
.
HD Giải
a. Ch
ứ
ng minh b
ố
n
đ
i
ể
m
B
,
C
,
E
,
F
cùng thu
ộ
c m
ộ
t
đườ
ng tròn.
Xét t
ứ
giác
BCEF
ta có :
90= °BEC
(
BE
là
đườ
ng cao)
90= °BFC
(
CF
là
đườ
ng cao)
BCEF
là t
ứ
giác n
ộ
i ti
ế
p (
đỉ
nh
E
,
F
cùng nhìn c
ạ
nh
BC
d
ướ
i m
ộ
t góc vuông).
b. Ch
ứ
ng minh
đườ
ng th
ẳ
ng
OA
vuông góc v
ớ
i
đườ
ng
th
ẳ
ng
.EF
V
ẽ
ti
ế
p tuy
ế
n
Ax
nh
ư
hình v
ẽ
=BAF ACB
(tính
ch
ấ
t gi
ữ
a
đườ
ng ti
ế
p tuy
ế
n và dây cung).
Do t
ứ
giác
BCEF
n
ộ
i ti
ế
p
. =AFE ACB
Ta suy ra
//= BAF AFE EF Ax
(do hai góc so le trong) . L
ạ
i có
⊥ ⊥Ax OA OA EF
(
đ
pcm).
c. Ch
ứ
ng minh
∆ ∆APE ABI
∽
Ta có :
AEB ABI
=
( Vì
180
AEB EFC ABI EFC
+ = + = °
)
M
ặ
t khác
90APE PAI+ = °
(vì
AI PE⊥
)
90AIB PAI+ = °
( Vì
AH BC⊥
)
APE AIB =
V
ậ
y
∆APE ABI
∽
( g-g).
* Ch
ứ
ng minh
//KH PI
G
ọ
i
M
là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
AO
và
EF
, dung
đườ
ng kính
AS
Ta có
/ /BE CS
cùng vuông góc
AC
/ /BS CF
cùng vuông góc
AB
BHCS
là hình bình hành nên
, ,
H K S
th
ẳ
ng hàng
Ta có
. .AE AC AH AD=
và
. .AE AC AM AS=
. .
AH AM
AH AD AM AS AHM ASD AHM ASD
AS AD
= = ∆ ∆ = ∆
∼
HMSD
N
ộ
i ti
ế
p
đườ
ng tròn. K
ế
t h
ợ
p
PMID
n
ộ
i ti
ế
p
đườ
ng tròn
PIM PDM HSM = = //HS PI
.
Bài 10.
Cho tam giác
ABC
có
<AB AC
n
ộ
i ti
ế
p
đườ
ng tròn
( )O
. Hai
đườ
ng tròn
BD
và
CE
c
ủ
a tam
giác
ABC
c
ắ
t nhau t
ạ
i
.H
Đườ
ng th
ẳ
ng
AH
c
ắ
t
BC
và
( )O
l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i
F
và
K
(
≠K A
). G
ọ
i
L
là
hình chi
ế
u c
ủ
a
D
lên
.AB
a. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng t
ứ
giác
BEDC
n
ộ
i ti
ế
p và
2
.
= ⋅
BD BL BA
b. G
ọ
i
J
là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
KD
và
( ),O ( ).≠J K
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
.=BJK BDE
c. G
ọ
i
I
là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
BJ
và
.ED
Ch
ứ
ng minh t
ứ
giác
ALIJ
n
ộ
i ti
ế
p và
I
là trung
đ
i
ể
m
.ED
HD Giải
a. Ta có
90= = °BEC BDC
nên các
đ
i
ể
m
,E D
cùng n
ằ
m trên
đườ
ng tròn
đườ
ng kính
.BC
Do
đ
ó t
ứ
giác
BEDC
n
ộ
i ti
ế
p.
Xét tam giác
ABD
vuông
ở
D
có
DL
là
đườ
ng cao nên theo h
ệ
th
ứ
c l
ượ
ng, ta có
2
.
= ⋅
BD BL BA
b. Ta th
ấ
y
H
là tr
ự
c tâm tam giác
ABC
nên
AF
c
ũ
ng là
đườ
ng cao c
ủ
a tam giác và
.⊥AF BC
Xét
đườ
ng tròn
( )O
có
=BJK BAK
, cùng ch
ắ
n cung
BK
.
x
M
D
S
I
P
K
H
E
F
O
B
C
A
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
36
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
T
ứ
giác
ADHE
có
90 90 180+ = °+ ° = °ADH AEH
nên n
ộ
i ti
ế
p.
Suy ra
=
HAE HDE
nên
=
BAK BDE
.
T
ứ
các k
ế
t qu
ả
trên, ta suy ra
=
BJK BDE
.
c. Xét hai tam giác
BID
và
BDJ
Ta có:
=BDI BJD
(theo câu b) và
DBI
chung.
Suy ra
( )∆ ∆ − =
BI BD
BID BDJ g g
BD BJ
hay
2
.
= ⋅
BD BI BJ
Theo câu a, ta có
2
= ⋅
BD BL BA
nên
⋅ = ⋅BL BA BI BJ
nên
.=
BL BJ
BI BA
L
ạ
i xét hai tam giác
BIL
và
BAJ
có góc
B
chung và
.
=
BL BJ
BI BA
Do
đ
ó:
180= + = °BIL BAJ LAI LID
. Suy ra t
ứ
giác
ALIJ
n
ộ
i ti
ế
p.
T
ừ
đ
ó, ta suy ra
.=ILE IJA
Mà
= =JJA BJA BCA
(cùng ch
ắ
n cung
BA
)
Theo câu a, t
ứ
giác
BEDC
n
ộ
i ti
ế
p nên
= =LEI AED BCA
do
đ
ó
=
LEI ELI
.
T
ừ
đ
ó ta có tam giác
LEI
cân và
.=IE IL
Do
đ
ó
90 90= °− = °− =ILD ILE LED LDI
nên tam giác
LID
c
ũ
ng cân và
.
=
ID IL
T
ừ
các
đ
i
ề
u trên, ta có
đượ
c
=ID IE
nên
đ
i
ể
m
I
chính là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
.DE
Bài 11.
Cho
đườ
ng tròn tâm
O
,
đườ
ng kính
AB
và
C
là
đ
i
ể
m n
ằ
m trên
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng
OB
( v
ớ
i
C
khác
B
).
K
ẻ
dây
DE
c
ủ
a
đườ
ng tròn (
O
) vuông góc v
ớ
i
AC
t
ạ
i trung
đ
i
ể
m
H
c
ủ
a
AC
. G
ọ
i
K
là giao
đ
i
ể
m th
ứ
hai
c
ủ
a
BD
v
ớ
i
đườ
ng tròn
đườ
ng kính
BC
.
a. Ch
ứ
ng minh t
ứ
giác
DHCK
là t
ứ
giác n
ộ
i ti
ế
p.
b. Ch
ứ
ng minh
CE
song song v
ớ
i
AD
và ba
đ
i
ể
m
, ,E C K
th
ẳ
ng hàng.
c.
Đườ
ng th
ẳ
ng qua
K
vuông góc v
ớ
i
DE
c
ắ
t
đườ
ng tròn (
O
) t
ạ
i hai
đ
i
ể
m
M
và
N
( v
ớ
i
M
thu
ộ
c cung
nh
ỏ
AD
). Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
2 2 2
EM DN AB
+ =
HD Giải
a. Ch
ứ
ng minh t
ứ
giác
DHCK
là t
ứ
giác n
ộ
i ti
ế
p
Ta có:
( )
0
90
DHC gt=
0
90BKC =
( góc n
ộ
i ti
ế
p ch
ắ
n n
ử
a
đườ
ng tròn
đườ
ng kính
BC
)
0
90DKC =
( Kè bù v
ớ
i
BKC
)
Xét t
ứ
giác
DHKC
ta có:
0
180
DKC DHC+ =
Mà
DKC
và
DHC
đố
i nhau
Suy ra
DHKC
là t
ứ
giác n
ộ
i ti
ế
p.
b.
Ch
ứ
ng minh
CE
song song v
ớ
i
AD
Ta có:
OA DE⊥
H
là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
DE
( quan h
ệ
vuông
góc gi
ữ
a
đườ
ng kính và dây cung).
T
ứ
giác
ADCE
có
H
là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
AC
,
DE
và
AC DE
⊥
Nên
ADCE
là hình thoi
/ /AD CE
.
Ch
ứ
ng minh ba
đ
i
ể
m
, ,E C K
th
ẳ
ng hàng
Ta có:
0
90ADB =
( góc n
ộ
i ti
ế
p ch
ắ
n n
ử
a
đườ
ng tròn
đườ
ng
kính
AB
)
CE BD⊥
Mà
CK BD⊥
(cmt)
hai
đườ
ng th
ẳ
ng
CE
và
CK
trùng nhau
, ,E C K
th
ẳ
ng
hàng.
J
I
L
E
D
K
F
H
O
C
B
A
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
37
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
c. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
2 2 2
EM DN AB
+ =
V
ẽ
đườ
ng kính
MI
c
ủ
a
đườ
ng tròn
O
. Ta có
0
90MNI =
( góc n
ộ
i ti
ế
p ch
ắ
n n
ử
a
đườ
ng tròn
đườ
ng kính
MI
)
NI MN⊥
Mà
DE MN⊥
NI // DE ( cùng vuông góc v
ớ
i
MN
)
DN EI=
(hai dây song song ch
ắ
n hai cung b
ằ
ng nhau)
Ta l
ạ
i có
0
90MEI =
( góc n
ộ
i ti
ế
p ch
ắ
n n
ử
a
đườ
ng tròn
đườ
ng kính MI)
MEI∆
vuông t
ạ
i E, ta có:
2 2 2
EM EI MI+ =
(
Đị
nh lý py-ta-go)
Mà
DN EI=
và
2
MI AB R= =
2 2 2
EM DN AB
+ =
Bài 12.
Cho
đườ
ng tròn tâm
O
, bán kính
R
và m
ộ
t
đườ
ng th
ẳ
ng
d
không c
ắ
t
đườ
ng tròn
( )O
. D
ự
ng
đườ
ng th
ẳ
ng
OH
vuông góc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
d
t
ạ
i
đ
i
ể
m
H
. Trên
đườ
ng th
ẳ
ng
d
l
ấ
y
đ
i
ể
m
K
(khác
đ
i
ể
m
H
), qua
K
v
ẽ
hai ti
ế
p tuy
ế
n
KA
và
KB
v
ớ
i
đườ
ng tròn
( )O
, (
A
và
B
là các ti
ế
p
đ
i
ể
m) sao cho
A
và
H
n
ằ
m v
ề
hai phía c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng
OK
.
a. Ch
ứ
ng minh t
ứ
giác
KAOH
n
ộ
i ti
ế
p
đượ
c trong
đườ
ng tròn.
b.
Đườ
ng th
ẳ
ng
AB
c
ắ
t
đườ
ng th
ẳ
ng
OH
t
ạ
i
đ
i
ể
m
I
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
IA IB IH IO⋅ = ⋅
và
I
là
đ
i
ể
m
c
ố
đị
nh khi
đ
i
ể
m
K
ch
ạ
y trên
đườ
ng th
ẳ
ng
d
c
ố
đị
nh.
c. Khi
2 , 3OK R OH R= = . Tính di
ệ
n tích tam giác KAI theo R .
HD Giải
a. Ta có
90 ( )KAO KA AO
°
= ⊥
,
90 ( )KHO OH KH
°
= ⊥
Xét t
ứ
giác
KAOH
có
180KAO KBO
°
+ =
nên là t
ứ
giác n
ộ
i
ti
ế
p.
b. Ta có
180KBO KAO
°
+ =
nên
KAOB
là t
ứ
giác n
ộ
i ti
ế
p
và
đỉ
nh
, ,H B A
cùng nhìn c
ạ
nh
OK
d
ướ
i m
ộ
t góc vuông
nên n
ă
m
đ
i
ể
m
, , , ,K A B O H
cùng thu
ộ
c
đườ
ng tròn
đườ
ng
kính
OK
Xét tam giác IAH và tam giác
IOB
có
HIA BIO=
(
đố
i
đỉ
nh) và
AHI ABO=
(hai góc n
ộ
i ti
ế
p cùng
ch
ắ
n cung
AO
).
Do
đ
ó
( . )
IA IO
IAH IOB g g IA IB IH IO
IH IB
∆ ∆ = ⋅ = ⋅
∽
Xét t
ứ
giác
AOBH
có
OHB
là góc n
ộ
i ti
ế
p ch
ắ
n cung OB,
OBA
là góc n
ộ
i ti
ế
p ch
ắ
n cung OA; Mà
OA OB R= =
nên
OHB OBA=
.
Xét
OIB∆
và
OBH∆
có
BOH
góc chung và
OHB OBA
=
(cmt).
Do
đ
ó
2 2
( . )
OI OB OB R
OIB OBH g g OI
OB OH OH OH
∆ ∆ = = =
∽
.
Ta l
ạ
i có
đườ
ng th
ẳ
ng
d
c
ố
đị
nh nên OH không
đổ
i (
OH d⊥
).
V
ậ
y
đ
i
ể
m
I
c
ố
đị
nh khi
K
ch
ạ
y trên
đườ
ng th
ẳ
ng
d
c
ố
đị
nh.
c. G
ọ
i
M
là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
OK
và
AB
. Theo tính ch
ấ
t ti
ế
p tuy
ế
n ta có:
KA KB=
;
L
ạ
i có
OA OB R= =
nên
OK
là
đườ
ng trung tr
ự
c c
ủ
a
AB
, suy ra
AB OK⊥
t
ạ
i
M
và
MA MB=
.
Theo câu b) ta có
2 2
3 3
R R R
OI
OH
R
= = =
.
Xét
OAK∆
vuông t
ạ
i
A
, ta có
2 2
2
2 2
OA R R
OA OM OK OM
OK R
= ⋅ ⇔ = = =
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
38
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
Suy ra:
3
2
2 2
R R
KM OK OM R= − = − =
;
2
2
3 3 3
2 2 4 2
R R R R
AM OM KM AM
= ⋅ = ⋅ =
=
Xét
OMI∆
vuông t
ạ
i M , có
2
2
2 2
3
2 6
3
R R R
MI OI OM
= − = − =
Suy ra
3 3 2 3
2 6 3
R R R
AI AM MI
= + = + =
Di
ệ
n tích AKI
∆
là
2
1 1 3 2 3 3
2 2 2 3 2
R R R
S AI KM
= ⋅ = ⋅ ⋅ =
.
Bài 13.
Cho tam giác nh
ọ
n
ABC
( )
AB AC>
n
ộ
i ti
ế
p
đườ
ng tròn tâm
.O
Các
đườ
ng cao
BD
và
CE
c
ắ
t
nhau t
ạ
i
H
(
D
thu
ộ
c
,AC E
thu
ộ
c
)
.AB
G
ọ
i
,
M N
l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a các c
ạ
nh
AB
và
.AC
a. Ch
ứ
ng minh các t
ứ
giác
BCDE
và
AMON
n
ộ
i ti
ế
p.
b. Ch
ứ
ng minh
. . .AE AM AD AN=
c.
G
ọ
i
K
là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
ED
và
,
MN F
là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
AO
và
,
MN I
là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
ED
và
.AH
Ch
ứ
ng minh
F
là tr
ự
c tâm c
ủ
a tam giác
.KAI
HD Giải
a. Ta có:
90 , 90 BEC BDC= ° = °
,
E D
thu
ộ
c
đườ
ng tròn
đườ
ng kính
.BC
T
ứ
giác
BCDE
n
ộ
i ti
ế
p
đườ
ng tròn
đườ
ng kính
.
BC
Do
,
M N
l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể
m
AB
và
AC
,
OM AB ON AC
⊥ ⊥
90 , 90 OMA ONA = ° = °
T
ứ
giác
AMON
có:
90 90 180
OMA ONA+ = °+ ° = °
mà
OMA
và
ONA
là hai
góc
đố
i nhau
AMON
là t
ứ
giác n
ộ
i ti
ế
p.
b. Cách 1:
,
M N
là l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
,
AB AC
MN
là
đườ
ng trung bình c
ủ
a
ABC∆
//
MN BC
ANM ACB =
(so le trong)
( )
1
M
ặ
t khác, ta có:
180ACB BED DCB BED+ = + = °
(t
ứ
giác
BCDE
n
ộ
i ti
ế
p)
180AED BED+ = °
(k
ề
bù)
ACB AED =
( )
2
T
ừ
( )
1
và
( )
2
.ANM AED =
Xét
AMN∆
và
ADE∆
có:
:A
góc chung và
.ANM AED=
AMN ADE ∆ ∆
. .
AM AN
AE AM AD AN
AD AE
= ⇔ =
Cách 2:
Xét
ABD∆
và
ACE∆
có:
:A
góc chung và
90ADB AEC= = °
2
. .
2
AB AD AM AD AM AD
ABD ACE AE AM AD AN
AC AE AN AE AN AE
∆ ∆ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
c)
H
là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
BD
và
CD
H
là tr
ự
c tâm c
ủ
a
ABC∆
AH BC ⊥
mà
// MN BC
nên
( )
3 AH MN KN AI⊥ ⊥
G
ọ
i
J
là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
AF
và
DE
. Trong
đườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p t
ứ
giác
AMON
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
39
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
Ta có:
EAJ EAO MNO= =
(góc n
ộ
i ti
ế
p cùng ch
ắ
n cung
OM
)
Xét
AJE∆
có:
90AEJ EAJ AED EAJ ANM MNO ONA+ = + = + = = °
( )
90 4 AJE AJ JE AJ KI
= °
⊥
⊥
KN
c
ắ
t
AJ
t
ạ
i
F
( )
5
T
ừ
( ) ( ) ( )
3 , 4 , 5 F
là tr
ự
c tâm c
ủ
a
.KAI∆
Bài 14.
Tính th
ể
tích c
ủ
a m
ộ
t hình nón có bán kính
đ
áy
4r =
cm,
độ
dài
đườ
ng sinh
5l =
cm.
HD Giải
Ta có
2 2
4 ; 5 9 3
AH r cm AO l cm OH AO AH cm
= = = =
= − = =
Th
ể
tích hình nón là
( )
2 3
1
. . . 16
3
V OH r cm
π π
= =
.
Bài 15.
Ng
ườ
i ta mu
ố
n t
ạ
o m
ộ
t cái khuôn
đ
úc d
ạ
ng hình tr
ụ
, có chi
ề
u cao b
ằ
ng 16 cm, bán kính
đ
áy b
ằ
ng
8cm, m
ặ
t
đ
áy trên lõm xu
ố
ng d
ạ
ng hình nón và kho
ả
ng cách t
ừ
đỉ
nh hình nón
đế
n m
ặ
t
đ
áy d
ướ
i hình tr
ụ
b
ằ
ng 10cm. Tính di
ệ
n tích toàn b
ộ
m
ặ
t khuôn (l
ấ
y
3,14
π
=
).
HD Giải
Hình tr
ụ
có bán kính
8
r cm
=
và chi
ề
u cao
16
h cm
=
nên di
ệ
n tích xung
quanh hình tr
ụ
là
( )
2 2
1
2 2 .8.16 256S rh cm
π π π
= = =
Di
ệ
n tích 1 m
ặ
t
đ
áy c
ủ
a hình tr
ụ
là
( )
2 2 2
2
.8 64S r cm
π π π
= = =
Ph
ầ
n hình nón b
ị
lõm xu
ố
ng có chi
ề
u cao
1
16 10 6h cm= − =
và bán
kính
đ
áy
8r cm=
Đườ
ng sinh c
ủ
a hình nón là
2 2 2 2
8 6 10l r h cm= + = + =
Di
ệ
n tích xung quanh c
ủ
a hình nón là:
( )
2
3
.8.10 80S rl cm
π π π
= = =
Di
ệ
n tích toàn b
ộ
m
ặ
t khuôn là:
( )
2
1 2 3
256 64 80 400 1256S S S S cm
π π π π
= + + = + + = =
V
ậ
y di
ệ
n tích toàn b
ộ
m
ặ
t khuôn là
( )
2
1256 cm
Bài 16.
a. M
ộ
t b
ồ
n n
ướ
c inox có d
ạ
ng m
ộ
t hình tr
ụ
v
ớ
i chi
ề
u cao
1 75, m
và di
ệ
n tích
đ
áy là
2
0 32, m
. H
ỏ
i b
ồ
n
n
ướ
c này
đự
ng
đầ
y
đượ
c bao nhiêu mét kh
ố
i n
ướ
c ? (B
ỏ
qua b
ề
dày c
ủ
a b
ồ
n n
ướ
c).
b. M
ộ
t hình tr
ụ
có di
ệ
n tích xung quanh
( )
2
140 cm
π
và chi
ề
u cao
7 .h cm=
Tính th
ể
tích hình tr
ụ
đ
ó.
HD Giải
a. S
ố
mét kh
ố
i n
ướ
c
đự
ng
đượ
c c
ủ
a b
ồ
n chính là th
ể
tích c
ủ
a b
ồ
n ch
ứ
a. Nh
ư
v
ậ
y s
ố
mét kh
ố
i
đự
ng
đượ
c
c
ủ
a b
ồ
n s
ẽ
là :
( )
3
0,32.1,75 0,56 .V m= =
b. Theo bài ra ta có:
2 140 10rh r cm
π π
= =
. Áp d
ụ
ng công th
ứ
c tính th
ể
tích hình tr
ụ
, ta có:
( )
2 2 3
. . .10 .7 700V r h cm
π π π
= = =
Bài 17.
M
ộ
t h
ộ
p s
ữ
a hình tr
ụ
có chi
ề
u cao 12cm và bán kính
đ
áy 5cm. M
ặ
t xung quanh h
ộ
p s
ữ
a
đượ
c bao
ph
ủ
b
ằ
ng gi
ấ
y in các thông tin v
ề
h
ộ
p s
ữ
a
ấ
y. Do giáp mí, di
ệ
n tích gi
ấ
y s
ử
d
ụ
ng b
ằ
ng 105% di
ệ
n tích
m
ặ
t xung quanh h
ộ
p s
ữ
a. Gi
ả
s
ử
độ
dày c
ủ
a gi
ấ
y in và v
ỏ
h
ộ
p không
đ
áng k
ể
, hãy tính di
ệ
n tích ph
ầ
n
gi
ấ
y trên (l
ấ
y
3,14;
π
≈
k
ế
t qu
ả
làm tròn
đế
n ch
ữ
s
ố
th
ậ
p phân th
ứ
hai).
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
40
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
HD Giải
Di
ệ
n tích ph
ầ
n gi
ấ
y in c
ầ
n dùng là:
105%.2S rh
π
=
V
ậ
y:
( )
2
105%.2.3,14.5.12 395,64S cm≈ =
Bài 18.
Một cái mũ bằng vải của nhà ảo thuật có ống mũ hình trụ, vành mũ hình vành khăn với kích
thuớc như hình bên. Hãy tính tổng diện tích vải cần để làm cái mũ này biết rằng mũ được may hai
lớp vải và diện tích vải dùng may một lớp vành mũ bằng 110% diện tích hình vành khăn tương ứng.
HD Giải
Ố
ng m
ũ
hình tr
ụ
v
ớ
i chi
ề
u cao h = 30cm
Bán kính
đ
áy là:
35 10.2
7,5(cm)
2
R
−
= =
Di
ệ
n tích v
ả
i
để
làm 1 l
ớ
p
ố
ng m
ũ
là :
2 2 2
1
2 2 .7,5.30 .7,5 506,25 ( )S Rh R cm
π π π π π
= + = + =
Di
ệ
n tích hình vành kh
ă
n là :
2
2 2 2 2
2
35
(17,5 7,5 ) 250 ( )
2
S R cm
π π π
= − = − =
Di
ệ
n tích v
ả
i dùng may m
ộ
t l
ớ
p vành m
ũ
là
2
3 2
110%. 110%.250 275 ( )S S cm
π π
= = =
T
ổ
ng di
ệ
n tích v
ả
i
để
làm m
ũ
là
( )
2
1 3
2 2.(506,25 275 ) 1562,5 ( )S S S cm
π π π
= + = + =
Bài 19.
T
ừ
m
ộ
t t
ấ
m tôn hình ch
ữ
nh
ậ
t kích th
ướ
c
50 240 ,cm cm×
ng
ườ
i ta gò thành m
ặ
t xung quanh c
ủ
a
các thùng
đự
ng n
ướ
c hình tr
ụ
có chi
ề
u cao b
ằ
ng
50cm
theo hai cách sau (xem hình minh h
ọ
a):
Cách 1: Gò t
ấ
m tôn ban
đầ
u thành m
ặ
t xung quanh c
ủ
a thùng.
Cách 2: C
ắ
t t
ấ
m tôn ban
đầ
u thành hai t
ấ
m b
ằ
ng nhau, m
ỗ
i t
ấ
m gò thành m
ặ
t xung quanh c
ủ
a m
ộ
t thùng.
H
ỏ
i cách làm nào ch
ứ
a
đượ
c l
ượ
ng n
ướ
c t
ố
i
đ
a nhi
ề
u h
ơ
n? Vì sao?
HD Giải
Theo cách 1, thùng n
ướ
c t
ạ
o thành là hình tr
ụ
có chi
ề
u cao
50 ,h cm
=
bán kính
1
240 120
2
R cm
π π
= =
. Khi
đ
ó, th
ể
tích n
ướ
c (t
ố
i
đ
a) có th
ể
ch
ứ
a là
2
2
2 3
1 1
120 120 h
V πR h π h cm
π π
= = =
(1)
Theo cách 2, m
ỗ
i thùng n
ướ
c t
ạ
o thành là hình tr
ụ
có chi
ề
u cao
50 ,h cm
=
bán kính
2
120 60
2
R cm
π π
= =
.
Khi
đ
ó, th
ể
tích n
ướ
c (t
ố
i
đ
a) có th
ể
ch
ứ
a
ở
c
ả
hai thùng là
2
2
2 2 3
2 2 2
60 2.60
2
h
V
πR h πR h π h cm
π π
= + = =
(2). T
ừ
(1) và (2) ta có
1 2
2 .V V=
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
41
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
V
ậ
y cách gò tôn theo cách 1 s
ẽ
ch
ứ
a
đượ
c l
ượ
ng n
ướ
c t
ố
i
đ
a nhi
ề
u h
ơ
n.
Bài 20.
M
ộ
t chi
ế
c c
ố
c th
ủ
y tinh có d
ạ
ng hình tr
ụ
ch
ứ
a
đầ
y n
ướ
c, có chi
ề
u cao b
ằ
ng
6
cm
, bán kính
đ
áy
b
ằ
ng
1
cm
. Ng
ườ
i ta th
ả
t
ừ
t
ừ
l
ầ
n l
ượ
t vào c
ố
c n
ướ
c m
ộ
t viên bi hình c
ầ
u và m
ộ
t v
ậ
t có d
ạ
ng hình nón
đề
u b
ằ
ng th
ủ
y tinh (v
ừ
a khít nh
ư
hình v
ẽ
) thì th
ấ
y n
ướ
c trong chi
ế
c c
ố
c tràn ra ngoài. Tính th
ể
tích c
ủ
a
l
ượ
ng n
ướ
c còn l
ạ
i trong chi
ế
c c
ố
c (bi
ế
t r
ằ
ng
đườ
ng kính c
ủ
a viên bi,
đườ
ng kính c
ủ
a
đ
áy hình nón và
đườ
ng kính c
ủ
a
đ
áy c
ố
c n
ướ
c xem nh
ư
b
ằ
ng nhau; b
ỏ
qua b
ề
dày c
ủ
a l
ớ
p v
ỏ
th
ủ
y tinh).
HD Giải
Chi
ề
u cao hình tr
ụ
là:
(
)
6
t
h cm
=
Th
ể
tích hình tr
ụ
là:
t
V
=
(
)
2 3
.1 .6 6
cm
π π
=
Bán kính hình c
ầ
u và hình tr
ụ
là:
(
)
1
r cm
=
Th
ể
tích hình c
ầ
u là:
( )
3 3 3
4 4 4
.1
3 3 3
c
V r cm
π π π
= = =
Chi
ề
u cao hình nón là:
(
)
2 6 2.1 4
t
h h r cm
= − = − =
Th
ể
tích hình nón là:
( )
2 2 3
1 1 4
. .1 .4
3 3 3
n n
V r h cm
π π π
= = =
Th
ể
tích l
ượ
ng n
ướ
c còn trong chi
ế
c c
ố
c là:
( )
3
4 4 10
6
3 3 3
t n c
V V V V cm
π π π π
= − − = − − =
Bài tập làm tương tự
Bài 21.
Cho m
ộ
t
đ
i
ể
m
M
n
ằ
m bên ngoài
đườ
ng tròn
(
)
;6
O cm
. K
ẻ
hai ti
ế
p tuy
ế
n
,
MN MP
(
,
N P
là hai
ti
ế
p
đ
i
ể
m) c
ủ
a
đườ
ng tròn
(
)
O
. V
ẽ
cát tuy
ế
n
MAB
c
ủ
a
đườ
ng tròn
(
)
O
sao cho
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng
6
AB cm
=
v
ớ
i
,
A B
thu
ộ
c
đườ
ng tròn
(
)
O
,
A
n
ằ
m gi
ữ
a
M
và
B
.
a. Ch
ứ
ng minh t
ứ
giác
OPMN
n
ộ
i ti
ế
p
đườ
ng tròn.
b. G
ọ
i
H
là trung
đ
i
ể
m
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng
AB
. So sánh góc
MON
và góc
MHN
.
c. Tính di
ệ
n tích hình viên phân gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i cung nh
ỏ
AB
và dây
AB
c
ủ
a hình tròn tâm
(
)
O
.
Bài 22.
Cho tam giác
ABC
n
ộ
i ti
ế
p
đườ
ng tròn
(
)
O
có hai
đườ
ng cao
BD
và
CE
c
ắ
t nhau t
ạ
i tr
ự
c tâm
H
. Bi
ế
t ba góc
, ,
CAB ABC BCA
đề
u là góc nh
ọ
n.
a. Ch
ứ
ng minh b
ố
n
đ
i
ể
m
, , ,
B C D E
cùng thu
ộ
c m
ộ
t
đườ
ng tròn.
b. Ch
ứ
ng minh
DE
vuông góc v
ớ
i
.
OA
c. Cho
,
M N
l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a hai
đ
o
ạ
n
,
BC AH
. Cho
,
K L
l
ầ
n l
ượ
t là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng
OM
và
CE
,
MN
và
BD
. Ch
ứ
ng minh
KL
song song v
ớ
i
AC
.
Bài 23.
Cho tam giác
ABC
có ba góc nh
ọ
n (
AB AC
<
) và
đườ
ng cao
AH
(
K BC
∈
).
V
ẽ
đườ
ng tròn (
O
)
đườ
ng kính
BC
. T
ừ
A
k
ẻ
các ti
ế
p tuy
ế
n
,
AM AN
v
ớ
i
đườ
ng tròn (
O
) ( v
ớ
i
,
M N
là
các ti
ế
p
đ
i
ể
m,
M
và
B
n
ằ
m trên n
ữ
a m
ặ
t ph
ẳ
ng có b
ờ
là
đườ
ng th
ẳ
ng
AO
). G
ọ
i
H
là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng
AN
và
.
AK
a. Ch
ứ
ng minh t
ứ
giác
AMKO
là t
ứ
giác n
ộ
i ti
ế
p
b. Ch
ứ
ng minh
KA
là tia phân giác góc
AKN
c. Ch
ứ
ng minh
2
.
AN AK AH
=
Bài 24.
Cho n
ử
a
đườ
ng tròn
(
)
;
O R
đườ
ng kính
AB
. Trên cùng n
ử
a m
ặ
t ph
ẳ
ng b
ờ
AB
ch
ứ
a n
ử
a
đườ
ng
tròn
(
)
;
O R
v
ẽ
các ti
ế
p tuy
ế
n
,
Ax By
v
ớ
i n
ử
a
đườ
ng tròn
đ
ó. G
ọ
i
M
là m
ộ
t
đ
i
ể
m b
ấ
t kì trên n
ử
a
đườ
ng
tròn
(
)
;
O R
(v
ớ
i
M
khác
A
,
M
khác
B
), ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a n
ử
a
đườ
ng tròn t
ạ
i M c
ắ
t
,
Ax By
l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i
C
và
D
.
a. Ch
ứ
ng minh t
ứ
giác
ACMO
n
ộ
i ti
ế
p.
b. Ch
ứ
ng minh tam giác
COD
vuông t
ạ
i
O
.
c. Ch
ứ
ng minh
2
.
=
AC BD R
.
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
42
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
d. K
ẻ
(
)
,⊥ ∈
MN AB N AB
;
BC
c
ắ
t
MN
t
ạ
i
I
. Ch
ứ
ng minh
I
là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
MN
.
Bài 25.
Từ điểm
A
nằm ngoài đường tròn
(
)
O
vẽ hai tiếp tuyến
,
AD AE
(
,
D E
là các tiếp điểm).
Vẽ cát tuyến
ABC
của đường tròn
(
)
O
sao cho điểm
B
nằm giữa hai điểm
A
và
;
C
tia
AC
nằm
giữa hai tia
AD
và
.
AO
Từ điểm
O
kẻ
OI AC
⊥
tại
.
I
a. Chứng minh năm điểm
, , , ,
A D I O E
cùng nằm trên một đường tròn.
b. Chứng minh
IA
là tia phân giác của
DIE
và
2
. .
AB AC AD
=
c. Gọi
K
và
F
lần lượt là giao điểm của
ED
với
AC
và
.
OI
Qua điểm
D
vẽ đường thẳng song
song với
IE
cắt
OF
và
AC
lần lượt tại
H
và
.
P
Chứng minh
D
là trung điểm của
.
HP
Bài 26.
Cho
đườ
ng tròn
(O)
đườ
ng kính
AB
và
đ
i
ể
m
M
b
ấ
t kì thu
ộ
c
đườ
ng tròn sao cho
MA MB
<
(
)
M A
≠
. K
ẻ
ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i
A
c
ủ
a
đườ
ng tròn, ti
ế
p tuy
ế
n này c
ắ
t tia
BM
ở
N
. Ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đườ
ng tròn
t
ạ
i
M
c
ắ
t
CN
ở
D
.
a. Ch
ứ
ng minh b
ố
n
đ
i
ể
m
A, D, M, O
cùng thu
ộ
c m
ộ
t
đườ
ng tròn.
b. Ch
ứ
ng minh
OD
song song
BM
.
c. Qua O k
ẻ
đườ
ng th
ẳ
ng vuông góc v
ớ
i AB và c
ắ
t
đườ
ng th
ẳ
ng
BM
t
ạ
i
I
. G
ọ
i giao
đ
i
ể
m
c
ủ
a
AI
và
BD
là
G
. Ch
ứ
ng minh ba
đ
i
ể
m
N, G, O
th
ẳ
ng hàng.
Bài 27.
Cho
đườ
ng tròn tâm
O
đườ
ng kính
AB
. K
ẻ
dây cung
CD
vuông góc v
ớ
i
AB
t
ạ
i
H
(
H
n
ằ
m gi
ữ
a
A
và
O
,
H
khác
A
và
O
). L
ấ
y
đ
i
ể
m
G
thu
ộ
c
CH
(
G
khác
C
và
H
), tia
AG
c
ắ
t
đườ
ng tròn t
ạ
i
E
khác
A
.
a. Ch
ứ
ng minh t
ứ
giác
BEGH
là t
ứ
giác n
ộ
i ti
ế
p.
b. G
ọ
i
K
là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng
BE
và
CD
. Ch
ứ
ng minh:
. .
=
KC KD KE KB
.
c.
Đ
o
ạ
n th
ẳ
ng
AK
c
ắ
t
đườ
ng tròn
O
t
ạ
i
F
khác
A
. Ch
ứ
ng minh
G
là tâm
đườ
ng tròn n
ộ
i ti
ế
p tam
giác
HEF
.
d. G
ọ
i
M
,
N
l
ầ
n l
ượ
t là hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a
A
và
B
lên
đườ
ng th
ẳ
ng
EF
. Ch
ứ
ng minh
+ =
HE H F MN
Bài 28.
Cho
đườ
ng tròn (
O
) có hai
đườ
ng kính
AB
và
vuông góc v
ớ
i nhau. Trên tia
đố
i c
ủ
a tia
MA
l
ấ
y
đ
i
ể
m
C
khác
đ
i
ể
m
M
. K
ẻ
MH
vuông góc v
ớ
i
BC
(
H BC
∈
).
a. Ch
ứ
ng minh
BOMH
là t
ứ
giác n
ộ
i ti
ế
p.
b.
MB
c
ắ
t
OH
t
ạ
i
E
. Ch
ứ
ng minh
. .
ME MH BE HC
=
.
c. G
ọ
i giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
đườ
ng tròn (
O
) v
ớ
i
đườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p
MHC
∆
là
K
. Ch
ứ
ng minh 3
đ
i
ể
m
, ,
C K E
th
ẳ
ng hàng.
Bài 29.
M
ộ
t hình tr
ụ
có chi
ề
u cao b
ằ
ng
5
m
và di
ệ
n tích xung quanh b
ằ
ng
2
20
m
π
. Tính th
ể
tích c
ủ
a
hình tr
ụ
.
Bài 30.
M
ộ
t hình tr
ụ
có di
ệ
n tích xung quanh
2
140 ( )
cm
π
và chi
ề
u cao là
7( ).
h cm
=
Tính th
ể
tích c
ủ
a
hình tr
ụ
đ
ó.
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
43
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
ấn đề 9. Một số đề luyện tập và hướng dẫn giải
ĐỀ 1
Bài 1 (1,5 điểm). Giải phương trình và hệ phương trình sau:
a)
2
3 10 0.
x x
− − =
b)
3 2 4
.
2 4
x y
x y
+ =
− =
Bài 2 (1,5 điểm).
Rút g
ọ
n các bi
ể
u th
ứ
c sau:
a)
(
)
11 2 44 3 99 : 11.
A = − +
b)
1 1
:
4
2 2
a
B
a
a a
= +
−
+ −
, v
ớ
i
0
a
>
và
4
a
≠
.
Bài 3 (2,0 điểm).
Cho hàm s
ố
2
1
2
y x
=
có
đồ
th
ị
( ).
P
a) V
ẽ
đồ
th
ị
( )
P
trên m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
độ
.
Oxy
b) Tìm t
ấ
t c
ả
các giá tr
ị
c
ủ
a tham s
ố
m
để
đườ
ng th
ẳ
ng
2
( ) :
d y x m
= +
và
( )
P
c
ắ
t
nhau t
ạ
i hai
đ
i
ể
m có hoành
độ
các giao
đ
i
ể
m là
1 2
,
x x
th
ỏ
a mãn
2 2
1 2 1 2
8.
x x x x
+ + ≥
Bài 4
(1,0 điểm).
L
ớ
p 9A có 40 h
ọ
c sinh
đượ
c chia thành m
ộ
t s
ố
t
ổ
. N
ế
u t
ă
ng thêm 1 t
ổ
thì m
ỗ
i t
ổ
lúc này s
ẽ
có ít
h
ơ
n 2 h
ọ
c sinh so v
ớ
i lúc ch
ư
a t
ă
ng. Tính s
ố
t
ổ
lúc
đầ
u c
ủ
a l
ớ
p 9A (bi
ế
t r
ằ
ng s
ố
h
ọ
c sinh
ở
m
ỗ
i t
ổ
luôn b
ằ
ng nhau).
Bài 5 (1,0 điểm).
M
ộ
t h
ộ
p s
ữ
a hình tr
ụ
có chi
ề
u cao 12cm và bán kính
đ
áy 5cm. M
ặ
t xung quanh h
ộ
p s
ữ
a
đượ
c
bao ph
ủ
b
ằ
ng gi
ấ
y in các thông tin v
ề
h
ộ
p s
ữ
a
ấ
y. Do giáp mí, di
ệ
n tích gi
ấ
y s
ử
d
ụ
ng b
ằ
ng 105%
di
ệ
n tích m
ặ
t xung quanh h
ộ
p s
ữ
a. Gi
ả
s
ử
độ
dày c
ủ
a gi
ấ
y in và v
ỏ
h
ộ
p không
đ
áng k
ể
, hãy tính
di
ệ
n tích ph
ầ
n gi
ấ
y trên (l
ấ
y
3,14;
π
≈
k
ế
t qu
ả
làm tròn
đế
n ch
ữ
s
ố
th
ậ
p phân th
ứ
hai).
Bài 6 (2,5 điểm).
Cho
đườ
ng tròn
(
)
;
O R
và
đ
i
ể
m A sao cho OA = 2R. T
ừ
đ
i
ể
m A v
ẽ
ti
ế
p tuy
ế
n AB
đế
n (O) (B là
ti
ế
p
đ
i
ể
m). K
ẻ
đườ
ng kính BC c
ủ
a (O), g
ọ
i M là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng OB, k
ẻ
MN vuông góc
v
ớ
i AC t
ạ
i N.
a) Ch
ứ
ng minh t
ứ
giác ABMN n
ộ
i ti
ế
p.
b) K
ẻ
BH vuông góc v
ớ
i OA t
ạ
i H. Cho
3 ,
R cm
=
tính
BOA
∧
và c
ạ
nh
BH.
c)
Đườ
ng th
ẳ
ng vuông góc v
ớ
i
OA
t
ạ
i
O
c
ắ
t tia
AB
t
ạ
i
E
. Ch
ứ
ng minh ba
đ
i
ể
m
E, M, N
th
ẳ
ng
hàng.
Bài 7 (0,5 điểm)
Trong hình vuông bên, t
ổ
ng các s
ố
trên m
ỗ
i hàng, m
ỗ
i c
ộ
t và m
ỗ
i
đườ
ng chéo
đề
u b
ằ
ng 15. Hình vuông
đặ
c bi
ệ
t này g
ọ
i là m
ộ
t
ma
ph
ươ
ng
3x3 (vì m
ỗ
i c
ạ
nh có 3 ô); 3 g
ọ
i là
b
ậ
c
c
ủ
a ma ph
ươ
ng và 15 g
ọ
i
là
h
ằ
ng s
ố
c
ủ
a ma ph
ươ
ng
.
Gi
ả
s
ử
em có m
ộ
t ma ph
ươ
ng 4x4 mà m
ỗ
i ô
đượ
c
đ
i
ề
n m
ộ
t s
ố
t
ự
nhiên khác nhau t
ừ
1
đế
n 16. Không c
ầ
n v
ẽ
ma ph
ươ
ng này ra, em hãy
cho bi
ế
t h
ằ
ng s
ố
c
ủ
a ma ph
ươ
ng 4x4 này và gi
ả
i thích vì sao em bi
ế
t
đượ
c h
ằ
ng s
ố
đ
ó.
------------------
HẾT
-----------------
V
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
44
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 1
Bài Ý Nội Dung Điểm
1
(1,5đ)
a
Giải phương trình
2
3 10 0.
x x
− − =
0,75
2 2
Δ = b - 4ac = (-3) - 4.1.(-10) = 49 > 0 Δ = 49 = 7
0,25
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt:
1
5
x
=
;
2
2
x
= −
0,50
b
Giải hệ phương trình
3 2 4
.
2 4
x y
x y
+ =
− =
0,75
4 8
3 2 4
x
x y
=
⇔
+ =
0,25
2
3.2 2 4
x
y
=
⇔
+ =
0,25
2
1
x
y
=
⇔
= −
Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất: (x; y) = (2; -1)
0,25
2
(1,5đ)
a
Rút gọn:
(
)
11 2 44 3 99 : 11.
A
= − +
0,75
(
)
11 4 11 9 11 : 11
A = − +
0,50
6 11 : 11 6
A
= =
0,25
b
Rút gọn:
1 1
:
4
2 2
a
B
a
a a
= +
−
+ −
, với a > 0 và
4
a
≠
.
0,75
2 2 4
4
a a a
B
a
a
− + + −
= ⋅
−
0,25
2 4
4
a a
B
a
a
−
= ⋅
−
0,25
2
B
=
3
(2,0đ)
a
Cho hàm số
2
1
2
y x
=
có đồ thị
( ).
P
Vẽ đồ thị
( ).
P
trên m
ặt phẳng tọa
độ
.
Oxy
1,0
x
-
2
-
1
0
1
2
2
1
2
y x
=
2 0,5 0 0,5 2
0,50
b Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để đường thẳng
2
( ) :
d y x m
= +
và
( )
P
cắt nhau tại hai điểm có hoành
độ các giao điểm là
1 2
,
x x
thỏa mãn
2 2
1 2 1 2
8.
x x x x
+ + ≥
1,0
O
(P)
y
x
2
1
0,5
-2 -1 2
1
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
45
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
Ph
ươ
ng trình hoành
độ
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
( )
P
và
( )
d
là:
2 2 2 2
1
2 2 0
2
x x m x x m
= + ⇔ − − =
Có
2 2 2
( 1) 1.( 2 ) 2 1 0
'
m m
∆ = − − − = + >
v
ớ
i m
ọ
i
m
0,25
V
ậ
y
( )
d
luôn c
ắ
t
( )
P
t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t.
Theo h
ệ
th
ứ
c Vi-ét
1 2
2
1 2
2
. 2
x x
x x m
+ =
= −
0,25
Ta có
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
8 ( ) 8
x x x x x x x x
+ + ≥ ⇔ + − ≥
2 2
Hay 4 2 8 2
m m
+ ≥ ⇔ ≥
0,25
2
m⇔ ≥
ho
ặ
c
2
m
≤ −
0,25
4
(1,0đ)
Lớp 9A có 40 học sinh được chia thành một số tổ. Nếu tăng thêm 1 t
ổ
thì mỗi tổ lúc này sẽ có ít hơn 2 học sinh so với lúc chưa tăng. Tính s
ố tổ
lúc đầu của lớp 9A (biết rằng số học sinh ở mỗi tổ luôn bằng nhau).
1,0
G
ọ
i s
ố
t
ổ
lúc
đầ
u c
ủ
a l
ớ
p 9A là
x
(x nguyên d
ươ
ng).
0,25
Theo
đề
bài ta có:
40 40
2
1
x x
− =
+
0,25
( ) ( )
2
4 ( )
40 1 2 1 40 2 2 40 0
5 ( )
x
x x x x x x
x
=
+ − + = ⇔ − − + = ⇔
= −
nhaän
loaïi
0,25
V
ậ
y s
ố
t
ổ
lúc
đầ
u c
ủ
a l
ớ
p 9A là 4 t
ổ
.
0,25
5
(1,0đ)
Một hộp sữa hình trụ có chiều cao 12cm và bán kính đáy 5cm. M
ặt
xung quanh hộp sữa đư
ợc bao phủ bằng giấy in các thông tin về hộp sữa
ấy. Do giáp mí, di
ện tích giấy sử dụng bằng 105% diện tích mặt xung
quanh hộp sữa. Giả sử độ dày của giấy in và vỏ hộp không đáng kể, hãy
tính diện tích phần giấy trên (lấy
3,14;
π
≈
kết quả làm tròn đ
ến chữ số
thập phân thứ hai).
1,0
Di
ệ
n tích ph
ầ
n gi
ấ
y in c
ầ
n dùng là:
105%.2
S rh
π
=
0,5
S ≈ 105%. 2. 3,14. 5. 12 = 395,64 (cm
2
)
0,5
Bài Ý Nội Dung Điểm
6
(2,5đ)
Hình
vẽ
B
A
H
M
E
N
C
O
Hình v
ẽ
đ
úng
đế
n câu a cho 0,25
đ
.
0,25
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
46
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
a
Chứng minh tứ giác ABMN nội tiếp. 0,75
Xét t
ứ
giác ABMN có:
90
o
MBA MNA= =
(gt)
0,50
180
o
MBA MNA
+ =
V
ậ
y t
ứ
giác ABMN n
ộ
i ti
ế
p
0,25
b
Kẻ BH vuông góc với OA tại H. Cho
3 ,
R cm
=
tính
BOA
và cạnh
BH.
0,75
OBA
∆
vuông t
ạ
i B
3
cos
2 6
OB R
BOA
OA R
= = =
0,25
60
BOA
= °
0,25
OBH
∆
vuông t
ạ
i H
3 3
3 60
2
BH OBSinBOH Sin cm
= = ° =
0,25
c
Đường thẳng vuông góc với OA tại O cắt tia AB tại E. Chứng
minh ba điểm E, M, N thẳng hàng.
0,75
OAE
∆
vuông t
ạ
i O có
OB AE
⊥
OB
2
= AB.BE
1
2 . . .
2
BM BC AB BE BM BC AB BE
⋅ = ⇔ =
hay
AB BC
BM BE
=
ABC
∆
MBE
∆
(c-g-c) (do
90
ABC MBE
= = °
và
AB BC
BM BE
=
)
BME BAC
=
mà
CMN BAC
=
(do t
ứ
giác ABMN n
ộ
i ti
ế
p)
BME CMN
=
mà
180
BMN CMN
+ = °
(k
ề
bù)
nên
180
BMN BME
+ = °
Ba
đ
i
ể
m E, M, N th
ẳ
ng hàng.
0,25
Bài Ý Nội Dung Điểm
7
(0,5đ)
Trong hình vuông bên, tổng các số trên m
ỗi
hàng, mỗi cột và mỗi đư
ờng chéo đều bằng 15.
Hình vuông đặc biệt này gọi là một ma phương
3x3 (vì mỗi cạnh có 3 ô); 3 gọi là bậc c
ủa ma
phương và 15 gọi là hằng số của ma phương.
Giả sử em có một ma phương 4x4 mà m
ỗi ô
được điền một số tự nhiên khác nhau t
ừ 1 đến 16.
Không cần vẽ ma phương này ra, em hãy cho bi
ết
hằng số của ma phương 4x4 này và giải thích v
ì
sao em biết được hằng số đó.
0,5
G
ọ
i S là t
ổ
ng các s
ố
t
ự
nhiên t
ừ
1
đế
n 16. Ta có:
S = 1 + 2 + … + 15 + 16
S = 16 + 15 + … + 2 + 1
C
ộ
ng hai
đẳ
ng th
ứ
c trên v
ế
theo v
ế
, ta
đượ
c:
2S = 17. 16 = 272
S = 272 : 2 = 136
0,25
M
ặ
t khác, S c
ũ
ng là t
ổ
ng các s
ố
trên 4 hàng (c
ộ
t). Do t
ổ
ng các s
ố
trên m
ỗ
i h
àng
(c
ộ
t)
đề
u b
ằ
ng nhau nên t
ổ
ng các s
ố
trên m
ộ
t hàng (c
ộ
t) là:
136 : 4 = 34
T
heo
đ
ị
nh ngh
ĩ
a, h
ằ
ng s
ố
c
ủ
a ma ph
ươ
ng 4x4 là 34.
0,25
Lưu ý: Thí sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho vẫn cho điểm tối đa
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
47
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
ĐỀ 2
Bài 1. (2,0 điểm)
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình và h
ệ
ph
ươ
ng trình sau:
a)
2
0;
12
x x
− − =
b)
3 17
.
2 1
x y
x y
+ =
− =
Bài 2. (1,0 điểm)
Rút g
ọ
n bi
ể
u th
ứ
c
5 4 3 2 2
5 4 4 1
x x x
A
x x x x
+ − +
= − +
− + − −
v
ớ
i
0, 16; 1.
x x x
≥ ≠ ≠
Bài 3 .(2,0 điểm)
a) V
ẽ
đồ
th
ị
c
ủ
a hàm s
ố
2
y x
=
trên m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
độ
.
Oxy
b) Cho hàm s
ố
2 6
y x m
= + −
có
đồ
th
ị
là (
d
). Tìm tham s
ố
m
để
2
( ) :
P y x
=
c
ắ
t (
d
) t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t có hoành
độ
d
ươ
ng.
Bài 4. ( 1,0 điểm )
Anh Nam tr
ồ
ng cây trên m
ộ
t m
ả
nh
đấ
t hình ch
ữ
nh
ậ
t. Anh d
ự
d
ị
nh tr
ồ
ng theo
t
ừ
ng hàng và m
ỗ
i hàng có s
ố
cây b
ằ
ng nhau. N
ế
u t
ă
ng thêm 1 hàng và m
ỗ
i hàng b
ớ
t
đ
i 1 cây thì s
ố
cây ph
ả
i tr
ồ
ng t
ă
ng thêm 7 cây. N
ế
u b
ớ
t
đ
i 1 hàng và t
ă
ng thêm m
ỗ
i hàng 5 cây thì s
ố
cây ph
ả
i
tr
ồ
ng t
ă
ng thêm 11 cây. H
ỏ
i s
ố
l
ượ
ng cây mà Anh Nam d
ự
đị
nh tr
ồ
ng là bao nhiêu ?
Bài 5.(1,0 điểm)
M
ộ
t cái m
ũ
b
ằ
ng v
ả
i c
ủ
a nhà
ả
o thu
ậ
t có
ố
ng m
ũ
hình tr
ụ
, vành m
ũ
hình vành kh
ă
n v
ớ
i kích thu
ớ
c nh
ư
hình bên. Hãy
tính t
ổ
ng di
ệ
n tích v
ả
i c
ầ
n
để
làm cái m
ũ
này bi
ế
t r
ằ
ng m
ũ
đượ
c
may hai l
ớ
p v
ả
i và di
ệ
n tích v
ả
i dùng may m
ộ
t l
ớ
p vành m
ũ
b
ằ
ng
110% di
ệ
n tích hình vành kh
ă
n t
ươ
ng
ứ
ng.
Bài 6.
(2,5 điểm)
Cho
đườ
ng tròn tâm
O
đườ
ng kính
AB
= 2
R
,
C
là
m
ộ
t
đ
i
ể
m tùy ý trên
đườ
ng tròn (
C
khác
A
và
B
); các ti
ế
p tuy
ế
n
v
ớ
i
đườ
ng tròn t
ạ
i
A
và
C
c
ắ
t nhau t
ạ
i
M
.
BM
c
ắ
t
đườ
ng tròn (
O
)
t
ạ
i
đ
i
ể
m th
ứ
hai là
D
.
a) Ch
ứ
ng minh t
ứ
giác
OAMC
n
ộ
i ti
ế
p
đườ
ng tròn;
b) Ch
ứ
ng minh:
MC
2
=
MD.MB
;
c) Cho
OM
= 2
R
. Tính di
ệ
n tích ph
ầ
n tam giác
AMC
n
ằ
m ngoài
đườ
ng tròn (
O
) theo
R
.
Bài 7
(
0,5 điểm
). B
ố
n h
ọ
c sinh A, B, C, D cùng tham gia vòng chung k
ế
t cu
ộ
c thi
Giai
đ
i
ệ
u tu
ổ
i
h
ồ
ng
và
đạ
t 4 gi
ả
i khác nhau nh
ấ
t, nhì, ba, t
ư
. Trong m
ỗ
i câu g
ồ
m 2 ý d
ướ
i
đ
ây, m
ộ
t ý là
đ
úng, m
ộ
t
ý là sai:
a) A gi
ả
i nhì, D gi
ả
i ba.
b) A gi
ả
i nh
ấ
t, B gi
ả
i nhì.
c) C gi
ả
i nhì, D gi
ả
i t
ư
.
D
ự
a vào các thông tin trên, em hãy cho bi
ế
t m
ỗ
i h
ọ
c sinh A, B, C, D
đạ
t gi
ả
i gì.
----------
HẾT
----------
H
ọ
và tên thí sinh:……………………………..S
ố
báo danh:………….
(Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm)
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
48
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
ĐÁP ÁN ĐỀ 2
Bài ĐÁP ÁN Điểm
1a
2
12 0
x x
− − =
Dùng công th
ứ
c nghi
ệ
m
để
gi
ả
i ph
ươ
ng trình , có 2 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t :
1 2
4; 3
x x
= = −
1
đ
1b
3 17 3 17 7 14 2
2 1 3 6 3 2 1 5
x y x y y y
x y x y x y x
+ = + = = =
⇔ ⇔ ⇔
− = − = − = =
V
ậ
y h
ệ
ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t (5;2)
1
đ
2
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
5 4 3 2 2
5 4 4 1
5 4 3 2 1 2 4
4 1
3 2 1
4 1
1 3 1
4 1
3 1
4
x x x
A
x x x x
x x x x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x
+ − +
= − +
− + − −
+ − − − + + −
=
− −
− −
=
− −
− +
=
− −
+
=
−
0,25
0,25
0,25
0,25
3a
L
ậ
p
đ
úng b
ả
ng giá tr
ị
V
ẽ
đ
úng
đồ
th
ị
0,5
đ
0,5
đ
3b
*Ph
ươ
ng trình hoành
độ
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a (
P
) và (
d
) là:
2
2 6
x x m
= + −
2
2 6 0
x x m
⇔ − − + =
( ) ( )
2
2 4 6 4 4 24 4 20
m m m
∆ = − − − + = + − = −
Để
(
P
) c
ắ
t
( ) : 2 6
d y x m
= + −
t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t có các
hoành
độ
d
ươ
ng thì
ph
ươ
ng trình ph
ả
i có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t d
ươ
ng
Hay
1 2
1 2
0 4 20 0
5
0 2 0 5 6
6
6 0
. 0
m
m
x x m
m
m
x x
∆ > − >
>
+ > ⇔ > ⇔ ⇔ < <
<
− + >
>
V
ậ
y
5 6
m
< <
thì (
P
) c
ắ
t (
d
) t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t có hoành
độ
d
ươ
ng
0,25
đ
0,25
đ
0,25
đ
0,25
đ
4
G
ọ
i
x
(hàng) là s
ố
hàng d
ự
đị
nh tr
ồ
ng và
y
(cây) là s
ố
cây d
ự
đị
nh tr
ồ
ng trên m
ỗ
i
hàng
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
49
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
Khi
đ
ó s
ố
cây d
ự
đị
nh tr
ố
ng là
.
x y
(cây)
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
*
,
x y
∈
ℕ
N
ế
u t
ă
ng thêm 1 hàng và m
ỗ
i hàng b
ớ
t
đ
i 1 cây thì s
ố
cây ph
ả
i tr
ồ
ng t
ă
ng thêm
7 cây , ta có ph
ươ
ng trình :
(
)
(
)
1 1 7(1)
x y xy+ − = +
N
ế
u b
ớ
t
đ
i 1 hàng và t
ă
ng thêm m
ỗ
i hàng 5 cây thì s
ố
cây ph
ả
i tr
ồ
ng t
ă
ng thêm
15 cây, ta có ph
ươ
ng trình :
(
)
(
)
1 5 15(2)
x y xy− + = +
Do
đ
ó,t
ừ
(1) và (2) ta có h
ệ
ph
ươ
ng trình :
(
)
(
)
( )( )
1 1 7
8 7
5 20 15
1 5 15
x y xy
x y x
x y y
x y xy
+ − = +
− = − =
⇔ ⇔
− = =
− + = +
V
ậ
y s
ố
cây mà anh Nam d
ự
đị
nh tr
ồ
ng là : 7 . 15 = 105 cây
0,25
đ
0,25
đ
0,25
đ
0,25
đ
5
Ố
ng m
ũ
hình tr
ụ
v
ớ
i chi
ề
u cao
h
= 30cm
Bán kính
đ
áy là:
35 10.2
7,5(cm)
2
R
−
= =
Di
ệ
n tích v
ả
i
để
làm 1 l
ớ
p
ố
ng m
ũ
là :
2 2 2
1
2 2 .7,5.30 .7,5 506, 25 ( )
S Rh R cm
π π π π π
= + = + =
Di
ệ
n tích hình vành kh
ă
n là :
2
2 2 2 2
2
35
(17,5 7,5 ) 250 ( )
2
S R cm
π π π
= − = − =
Di
ệ
n tích v
ả
i dùng may m
ộ
t l
ớ
p vành m
ũ
là
2
3 2
110%. 110%.250 275 ( )
S S cm
π π
= = =
T
ổ
ng di
ệ
n tích v
ả
i
để
làm m
ũ
là :
(
)
2
1 3
2 2.(506,25 275 ) 1562,5 ( )
S S S cm
π π π
= + = + =
0,25
đ
0,25
đ
0,25
đ
0,25
đ
6
Hình vẽ đúng, đủ ( 0,5đ)
0,5
đ
A
B
O
M
C
D
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
50
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
6a
Chứng minh rằng tứ giác OAMC nội tiếp
Xét t
ứ
giác
OAMC
Ta có
0 0
90 ; 90
OAM OCM= =
(Vì
MA
,
MC
là ti
ế
p tuy
ế
n )
0,25
đ
Nên
0 0 0
90 90 180
OAM OCM+ = + =
V
ậ
y t
ứ
giác
OAMC
n
ộ
i ti
ế
p
0,25
đ
6b
Chứng minh:
2
.
MC MD MB
=
xét
∆
MCD
và
∆
MBC
, ta có
BMC
là góc chung
MCD MBC
=
( cùng ch
ắ
n cung
DC
)
Suy ra :
( )
MCD MBC g g
∆ ∆ −
∼
2
.M
MC MD
MB MC
MC MD B
=
=
0,25
đ
0,25
đ
0,25
đ
6c
Diện tích phần tam giác AMC nằm ngoài đường tròn (O) theo R
Ta có :
2 2 2 2
4 3
1
ˆ
cos
2
AM OM OA R R R
OA
AOM
OM
= − = − =
= =
0
0
60
120
AOM
AOM
=
=
2
2
2. . 3
3
OAMC OAM
quatOAC
S S OA AM R
R
S
π
= = =
=
Di
ệ
n tích c
ầ
n tìm là :
(
)
2
2
2
3 3
3
3 3
OAMC quatOAC
R
R
S S S R
π
π
−
= − = − =
(
đ
vdt)
0,25
đ
0,25
đ
0,25
đ
7
N
ế
u “A
đạ
t gi
ả
i nhì” là
đ
úng thì “B
đạ
t gi
ả
i nhì” là sai nên “A
đạ
t gi
ả
i nh
ấ
t” là
đ
úng, mâu thu
ẫ
n v
ớ
i “A
đạ
t gi
ả
i nhì”. V
ậ
y “A
đạ
t gi
ả
i nhì” là sai nên “D
đạ
t gi
ả
i
ba” là
đ
úng. Suy ra “D
đạ
t gi
ả
i t
ư
” là sai nên “C
đạ
t gi
ả
i nhì” là
đ
úng, “B
đạ
t gi
ả
i
nhì” là sai nên “A
đạ
t gi
ả
i nh
ấ
t” là
đ
úng.
Tóm l
ạ
i: A
đạ
t gi
ả
i nh
ấ
t, C
đạ
t gi
ả
i nhì, D
đạ
t gi
ả
i ba và B
đạ
t gi
ả
i t
ư
.
0,5
đ
* M
ọ
i cách gi
ả
i khác
đ
úng; chính xác; l
ậ
p lu
ậ
n h
ợ
p lý, lôgic
đề
u
đượ
c
đ
i
ể
m t
ố
i
đ
a
*
Đ
i
ể
m toàn bài làm tròn
đế
n m
ộ
t ch
ữ
s
ố
th
ậ
p phân
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
51
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
ĐỀ 3
Bài 1.
(2,0 điểm)
Không dùng máy tính c
ầ
m tay, gi
ả
i ph
ươ
ng trình và h
ệ
ph
ươ
ng trình sau:
a)
4 2
6 0.
x x
− − =
b)
2 5 8
.
3 5
x y
x y
+ = −
− =
Bài 2.
(1,5 điểm)
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
độ
.
Oxy
a) V
ẽ
đồ
th
ị
( )
P
c
ủ
a hàm s
ố
2
.
2
x
y =
b) Ch
ứ
ng minh
đườ
ng th
ẳ
ng
: 1,
d y mx m
= − +
v
ớ
i
m
là tham s
ố
, luôn c
ắ
t
( )
P
t
ạ
i hai
đ
i
ể
m
phân bi
ệ
t
1 1
( ; ),
A x y
2 2
( ; )
B x y
v
ớ
i m
ọ
i giá tr
ị
c
ủ
a
.
m
Tính
1 2
y y
+
theo
.
m
Bài 3. (1,5 điểm)
Cho bi
ể
u th
ứ
c
2
2 3
,
1
a a
P a a
a
−
= + +
+
v
ớ
i
a
là s
ố
th
ự
c không âm.
a) Rút g
ọ
n
.
P
b) Tìm
a
th
ỏ
a mãn
2
0.
a a P
+ − =
Bài 4.
(1,0 điểm)
Để
th
ự
c hi
ệ
n ch
ươ
ng trình khuy
ế
n mãi nhân k
ỉ
ni
ệ
m ngày thành l
ậ
p, m
ộ
t công ty
đ
i
ệ
n t
ử
th
ự
c hi
ệ
n gi
ả
m giá 20% trên m
ộ
t tivi cho lô hàng g
ồ
m có 30 cái tivi v
ớ
i giá bán l
ẻ
m
ỗ
i cái tr
ướ
c
đ
ó
là 6200000VN
Đ
. Ngày th
ứ
nh
ấ
t công ty
đ
ã bán
đượ
c 20 cái. Qua ngày th
ứ
2, công ty quy
ế
t
đị
nh
gi
ả
m giá thêm x% trên m
ộ
t tivi cho các tivi còn l
ạ
i, v
ớ
i
x
là s
ố
nguyên d
ươ
ng.
a) Cho
10,
x
=
tính s
ố
ti
ề
n mà công ty thu
đượ
c n
ế
u bán h
ế
t lô hàng khuy
ế
n mãi.
b) Bi
ế
t giá v
ố
n c
ủ
a m
ỗ
i chi
ế
c tivi là 4500000VN
Đ
. Tìm giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a
x
để
công ty
không b
ị
l
ỗ
.
Bài 5.
(2,0 điểm)
Cho tam giác
ABC
vuông t
ạ
i
.
A
Trên c
ạ
nh
AC
l
ấ
y m
ộ
t
đ
i
ể
m
M
không trùng v
ớ
i
A
và
.
C
G
ọ
i
( )
C
là
đườ
ng tròn
đườ
ng kính
.
MC
Các
đườ
ng th
ẳ
ng
và
BC
c
ắ
t
( )
C
t
ạ
i các
đ
i
ể
m
th
ứ
hai l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i
D
và
.
E
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
a) Hai
đườ
ng th
ẳ
ng
và
CD
vuông góc v
ớ
i nhau;
b)
.
MED MBA
=
Bài 6. (1,0 điểm)
T
ừ
m
ộ
t t
ấ
m tôn hình ch
ữ
nh
ậ
t kích th
ướ
c
50 240 ,
cm cm
×
ng
ườ
i ta gò thành m
ặ
t xung quanh
c
ủ
a các thùng
đự
ng n
ướ
c hình tr
ụ
có chi
ề
u cao b
ằ
ng
50
cm
theo hai cách sau (xem hình minh h
ọ
a):
Cách 1: Gò t
ấ
m tôn ban
đầ
u thành m
ặ
t xung quanh c
ủ
a thùng.
Cách 2: C
ắ
t t
ấ
m tôn ban
đầ
u thành hai t
ấ
m b
ằ
ng nhau, m
ỗ
i t
ấ
m gò thành m
ặ
t xung quanh
c
ủ
a m
ộ
t thùng.
H
ỏ
i cách làm nào ch
ứ
a
đượ
c l
ượ
ng n
ướ
c t
ố
i
đ
a nhi
ề
u h
ơ
n? Vì sao?
Bài 7. (1,0 điểm)
T
ừ
5 mi
ế
ng g
ỗ
có hình d
ạ
ng nh
ư
sau:
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
52
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
hãy ghép thành hình có d
ạ
ng:
Ghi chú: Thí sinh vẽ lại hình và dùng các đường liền nét để biểu diễn cách ghép.
----------HẾT----------
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
53
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 3
Bài Ý Nội dung Điểm
1 2.0
a
4 2
6 0
x x
− − =
(*)
Đặ
t
2
, 0.
t x t
= ≥
Ph
ươ
ng trình
đ
ã cho tr
ở
thành:
2
6 0
t t
− − =
0.25
0.25
3
t
⇔ =
ho
ặ
c
2
t
= −
(lo
ạ
i)
0.25
V
ớ
i
3,
t
=
ta có
2
3 3.
x x= ⇔ = ±
V
ậ
y ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có hai nghi
ệ
m
3.
x = ±
0.25
b
2 5 8 (1)
.
3 5 (2)
x y
x y
+ = −
− =
T
ừ
(2) ta có
3 5.
y x
= −
0.25
Thay
3 5
y x
= −
vào (1) ta
đượ
c:
2 5(3 5) 8 1.
x x x
+ − = − ⇔ =
0.25
V
ậ
y h
ệ
ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có nghi
ệ
m
1
.
2
x
y
=
= −
0.5
2 1.5
a
V
ẽ
đồ
th
ị
( )
P
c
ủ
a hàm s
ố
2
.
2
x
y =
x
2
−
1
−
0
1
2
2
2
x
y =
2
1
2
0
1
2
2
0.25
0.25
b
Ph
ươ
ng trình hoành
độ
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
d
và
( )
P
là
2
2
1 2 2( 1) 0
2
x
mx m x mx m
= − + ⇔ − + − =
(*)
0.25
Ph
ươ
ng trình (*) có
2 2 2
' ( ) 2( 1) 2 2 ( 1) 1 0, .
m m m m m m
∆ = − − − = − + = − + > ∀ ∈
ℝ
Do
đ
ó (*) luôn có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
1 2
,
x x
v
ớ
i m
ọ
i
.
m
0.25
Suy ra
d
luôn c
ắ
t
( )
P
t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t
1 1
( ; )
A x y
và
2 2
( ; ),
B x y
Trong
đ
ó
1 1
1,
y mx m
= − +
2 2
1.
y mx m
= − +
0.25
Suy ra
2
1 2 1 2
( ) 2 2 .(2 ) 2 2 2 2 2.
y y m x x m m m m m m
+ = + − + = − + = − +
0.25
3
2
2 3
,
1
a a
P a a
a
−
= + +
+
1.5
a
Ta có
( 1)
1
a a
P a a a
a
−
= + +
+
0.25
(
)
1 2 .
a a a a a a a
= + + − =
0.5
b
Ta có
2 2
0 2 0
a a P a a a a
+ − = ⇔ − + =
0.25
(
)
2
0
a a
⇔ − =
0.25
1
2
x
y
1
−
2
−
2
0.5
O
2
2
x
y =
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
54
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
a a
⇔ =
2
a a
⇔ =
(vì
0
a
≥
)
0
a
⇔ =
ho
ặ
c
1.
a
=
0.25
4 1.0
a
S
ố
ti
ề
n thu
đượ
c c
ủ
a công ty ngày th
ứ
nh
ấ
t:
20.0,8.6200000 99200000
=
VN
Đ
S
ố
ti
ề
n thu
đượ
c c
ủ
a công ty ngày th
ứ
hai:
10.0,7.6200000 43400000
=
VN
Đ
0.25
V
ậ
y t
ổ
ng s
ố
ti
ề
n mà công ty thu
đượ
c khi bán h
ế
t lô hàng khuy
ế
n mãi là
142600000
VN
Đ
0.25
b
T
ổ
ng giá v
ố
n c
ủ
a 30 cái ti vi là
30.4500000 135000000
=
VN
Đ
T
ổ
ng s
ố
ti
ề
n mà công ty thu
đượ
c khi bán h
ế
t lô hàng khuy
ế
n mãi là
20
20.0,8.6200000 10. 1 .6200000 148800000 62000
0
100
x
x
+
+ − = −
0.25
Công ty không l
ỗ
khi:
690
148800000 620000 135000000 62 1380 22, 258
31
x x x− ≥ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ≈
V
ậ
y
22
x
=
th
ỏ
a mãn yêu c
ầ
u bài toán.
0.25
5 3.0
Hình v
ẽ
đế
n câu a)
0.5
a
Ta có
90
BDC MDC
= = °
(góc n
ộ
i ti
ế
p ch
ắ
n n
ử
a
đườ
ng tròn)
0.25
Suy ra
.
BM CD
⊥
0.25
b
Ta có
90
CAB BDC
= = °
nên t
ứ
giác
ABCD
n
ộ
i ti
ế
p
đượ
c
đườ
ng tròn.
0.25
Do
đ
ó
.
MBA MCD
=
0.25
M
ặ
t khác
MCD MED
=
(vì cùng ch
ắ
n cung
MD
trong
( )
C
)
0.25
Suy ra
.
MED MBA
=
0.25
6
1.0
Theo cách 1, thùng n
ướ
c t
ạ
o thành là hình tr
ụ
có chi
ề
u cao
50 ,
h cm
=
bán
kính
1
240 120
2
R cm
π π
= =
. Khi
đ
ó, th
ể
tích n
ướ
c (t
ố
i
đ
a) có th
ể
ch
ứ
a là
2
2
2 3
1 1
120 120 h
V R h h cm
π π
π π
= = =
(1)
0.25
Theo cách 2, m
ỗ
i thùng n
ướ
c t
ạ
o thành là hình tr
ụ
có chi
ề
u cao
50 ,
h cm
=
bán kính
2
120 60
2
R cm
π π
= = . Khi
đ
ó, th
ể
tích n
ướ
c (t
ố
i
đ
a) có th
ể
ch
ứ
a
ở
c
ả
hai thùng là
2
2
2 2 3
2 2 2
60 2.60
2
h
V R h R h h cm
π π π
π π
= + = =
(2)
0.25
A
B
C
M D
E
N
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
55
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
T
ừ
(1) và (2) ta có
1 2
2 .
V V
=
V
ậ
y cách g
ò tôn theo cách 1 s
ẽ
ch
ứ
a
đ
ư
ợ
c l
ư
ợ
ng n
ư
ớ
c t
ố
i
đ
a nhi
ề
u h
ơ
n.
0.5
7 1.0
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
56
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
ĐỀ 4
Câu 1. (2,0 điểm)
Cho parabol
2
1
( ) :
2
P y x
−
= và đường thẳng
( ) : 4d y x= −
.
a. Vẽ
( )P
và
( )d
trên cùng hệ trục tọa độ.
b. Tìm tọa độ giao điểm của
( )P
và
( )d
bằng phép tính.
Câu 2. (1,0 điểm)
Cho phương trình:
2
2 3 1 0x x− − =
có hai nghiệm
1 2
,x x
. Không giải phương trình, hãy tính giá trị
của biểu thức:
1 2
2 1
1 1
1 1
x x
A
x x
− −
= +
+ +
.
Câu 3. (0,75điểm)
Quy tắc sau đây cho ta biết được ngày thứ
n
, tháng
t
, năm
2019
là ngày thứ mấy trong tuần.
Đầu tiên, ta tính giá trị của biểu thức
T n H= +
, ở đây
H
được xác định bởi bảng sau:
Tháng
t
8
2; 3; 11
6
9; 12
4; 7
1; 10
5
H
3
−
2−
1−
0
1
2
3
Sau đó, lấy
T
chia cho
7
ta được số dư
r (0 6)r≤ ≤
.
Nếu
0r =
thì ngày đó là ngày thứ Bảy.
Nếu
1r =
thì ngày đó là ngày Chủ Nhật.
Nếu
2r =
thì ngày đó là ngày thứ Hai.
Nếu
3r =
thì ngày đó là ngày thứ Ba.
…
Nếu
6r =
thì ngày đó là ngày thứ Sáu.
Ví dụ:
Ngày
31/12 / 2019
có
31, 12, 0 31 0 31n t H T n H= = = = + = + =
. Số
31
chia cho
7
có số dư là
3
nên ngày đó là thứ Ba.
a. Em hãy sử dụng quy tắc trên để xác định các ngày
02 / 09 / 2019
và
20 /11/ 2019
là ngày thứ
mấy?
b. Bạn Hằng tổ chức sinh nhật của mình trong tháng
10 / 2019
. Hỏi ngày sinh nhật của Hằng là
ngày mấy? Biết rằng ngày sinh nhật của Hằng là một bội số của
3
và là thứ Hai.
Câu 4.(3,0 điểm)
Tại bề mặt đại dương, áp suất nước bằng áp suất khí quyển và là 1 atm (atmosphere). Bên dưới
mặt nước, áp suất nước tăng thêm 1 atm cho mỗi 10 mét sâu xuống. Biết rằng mối liên hệ giữa áp
suất
( )y atm
và độ sâu
( )x m
dưới mặt nước là một hàm số bậc nhất
y ax b= +
.
a. Xác định các hệ số a và b.
b. Một người thợ lặn đang ở độ sâu bao nhiêu nếu người ấy chịu một áp suất là 2,85atm?
Câu 5. (1,0 điểm)
Một nhóm gồm
31
học sinh tổ chức một chuyến du lịch (chi phí chuyến đi được chia đều cho các
bạn tham gia). Sau khi đã hợp đồng xong, vào giờ chót có
3
bạn bận việc đột xuất không đi được
nên họ không đóng tiền. Cả nhóm thống nhất mỗi bạn còn lại sẽ đóng thêm
18000
đồng so với dự
kiến ban đầu để bù lại cho
3
bạn không tham gia. Hỏi tổng chi phí mỗi chuyến đi là bao nhiêu?
Câu 6. (1,0 điểm)
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
57
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
Cuối năm học, các bạn lớp 9A chia làm hai
nhóm, mỗi nhóm chọn một khu vườn sinh thái ở
Bắc bán cầu để tham quan. Khi mở hệ thống định
vị GPS, họ phát hiện một sự trùng hợp khá thú vị
là hai vị trí mà hai nhóm chọn đều nằm trên cùng
một kinh tuyến và lần lượt ở các vĩ tuyến
47
o
và
72
o
.
a. Tính khoảng cách (làm tròn đến hàng trăm)
giữa hai vị trí đó, biết rằng kinh tuyến là một
cung tròn nối liền hai cực của trái đất và có độ
dài khoảng 20 000km.
b. Tính (làm tròn đến hàng trăm) độ dài bán kính
và đường xích đạo của trái đất. Từ kết quả của
bán kính (đã làm tròn), hãy tính thể tích của trái đất, biết rằng trái đất có dạng hình cầu và thể tích
của hình cầu được tính theo công thức
3
4
.3,14.
3
V R= với R là bán kính hình cầu.
Câu 7. (1,0 điểm) Bạn Dũng trung bình tiêu thụ
15
ca-lo cho mỗi phút bơi và
10
ca-lo cho mỗi
phút chạy bộ. Hôm nay, Dũng mất
1,5
giờ cho cả hai hoạt động trên và tiêu thụ hết
1200
ca-lo. Hỏi
hôm nay, bạn Dũng đã mất bao nhiêu thời gian cho mỗi hoạt động này?
Câu 8. (3,0 điểm)
Cho tam giác
ABC
có
AB AC<
nội tiếp đường tròn
( )O
. Hai đường tròn
BD
và
CE
của tam
giác
ABC
cắt nhau tại
.H
Đường thẳng
AH
cắt
BC
và
( )O
lần lượt tại
F
và
K
(
K A≠
). Gọi
L
là hình chiếu của
D
lên
.AB
a) Chứng minh rằng tứ giác
BEDC
nội tiếp và
2
.BD BL BA= ⋅
b) Gọi
J
là giao điểm của
KD
và
( ),O ( ).J K≠
Chứng minh rằng
.BJK BDE=
c) Gọi
I
là giao điểm của
BJ
và
.ED
Chứng minh tứ giác
ALIJ
nội tiếp và
I
là trung điểm
.ED
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
58
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 4
Câu 1. (2,0 điểm)
Cho parabol
2
1
( ) :
2
P y x
−
= và đường thẳng
( ) : 4d y x= −
.
a. Vẽ
( )P
và
( )d
trên cùng hệ trục tọa độ.
b. Tìm tọa độ giao điểm của
( )P
và
( )d
bằng phép tính.
Lời giải:
a. Hàm số
2
1
2
y x
−
= có tập xác định
D R=
Bảng giá trị
x
-4 -2 0 2 4
y
-8 -2 0 -2 -8
* Hàm số
4y x= −
có tập xác định:
D R=
Bảng giá trị
x
4 5
y
0 1
Hình vẽ:
b.Phương trình hoành độ gia điểm của (P) và (d):
2 2
2 2
1 1
4 4 0
4 8
2 2
x y
x x x x
x y
= = −
− = − ⇔ − − + = ⇔
= − = −
Vậy
( )
P
cắt
d
tại hai điểm có tọa độ lần lượt là
( )
2; 2−
và
( )
4; 8− −
.
Câu 2. (1,0 điểm)
Cho phương trình:
2
2 3 1 0x x− − =
có hai nghiệm
1 2
,x x
. Không giải phương trình, hãy tính giá trị
của biểu thức:
1 2
2 1
1 1
1 1
x x
A
x x
− −
= +
+ +
.
Lời giải:
Theo hệ thức Vi – ét, ta có
1 2
1 2
3
2
1
2
S x x
P x x
= + =
= = −
.
Theo gi
ả
i thi
ế
t, ta có:
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
59
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
( )( )
2
2 2 2
1 2 1 2
2 1 1 2
3 1
2. 2
1 1 1 1
2 2 5
2 2
3 1
1 1 1 1 1 8
1
2 2
x x x x S P
A
x x x x S P
− − −
− − − + − − −
= + = = = =
+ + + + + +
− +
Câu 3.
(0,75
đ
i
ể
m)
Quy t
ắ
c sau
đ
ây cho ta bi
ế
t
đượ
c ngày th
ứ
n
, tháng
t
, n
ă
m
2019
là ngày th
ứ
m
ấ
y trong tu
ầ
n.
Đầ
u tiên, ta tính giá tr
ị
c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
T n H
= +
,
ở
đ
ây
H
đượ
c xác
đị
nh b
ở
i b
ả
ng sau:
Tháng
t
8
2; 3; 11
6
9; 12
4; 7
1; 10
5
H
3
−
2
−
1
−
0
1
2
3
Sau
đ
ó, l
ấ
y
T
chia cho
7
ta
đượ
c s
ố
d
ư
r
(0 6)
r
≤ ≤
.
N
ế
u
0
r
=
thì ngày
đ
ó là ngày th
ứ
B
ả
y.
N
ế
u
1
r
=
thì ngày
đ
ó là ngày Ch
ủ
Nh
ậ
t.
N
ế
u
2
r
=
thì ngày
đ
ó là ngày th
ứ
Hai.
N
ế
u
3
r
=
thì ngày
đ
ó là ngày th
ứ
Ba.
…
N
ế
u
6
r
=
thì ngày
đ
ó là ngày th
ứ
Sáu.
Ví d
ụ
:
Ngày
31/12 / 2019
có
31, 12, 0 31 0 31
n t H T n H
= = =
= + = + =
. S
ố
31
chia cho
7
có s
ố
d
ư
là
3
nên ngày
đ
ó là th
ứ
Ba.
a. Em hãy s
ử
d
ụ
ng quy t
ắ
c trên
để
xác
đị
nh các ngày
02 / 09 / 2019
và
20 /11/ 2019
là ngày th
ứ
m
ấ
y?
b. B
ạ
n H
ằ
ng t
ổ
ch
ứ
c sinh nh
ậ
t c
ủ
a mình trong tháng
10 / 2019
. H
ỏ
i ngày sinh nh
ậ
t c
ủ
a H
ằ
ng là
ngày m
ấ
y? Bi
ế
t r
ằ
ng ngày sinh nh
ậ
t c
ủ
a H
ằ
ng là m
ộ
t b
ộ
i s
ố
c
ủ
a
3
và là th
ứ
Hai.
Lời giải:
a. Ngày
02 / 09 / 2019
, có
2, 9, 0
n t H
= = =
. Do
đ
ó
2 0 2
T n H
= + = + =
.
S
ố
2
chia cho
7
có s
ố
d
ư
là
2
nên ngày này là th
ứ
Hai.
Ngày
20 /11/ 2019
có
20, 11, 2
n t H
= = = −
. Do
đ
ó
20 2 18
T n H
= + = − =
.
S
ố
18
chia cho
7
có s
ố
d
ư
là
4
nên ngày này là th
ứ
T
ư
.
b. Do ngày sinh nh
ậ
t c
ủ
a H
ằ
ng là vào th
ứ
Hai nên
2
r
=
. Do
đ
ó
7 2
T q
= +
.
M
ặ
t khác
2 2 7 2 2 7
T n n T q q
= +
= − = + − =
.
Bi
ệ
n lu
ậ
n
q
1
2
3
4
5
n
7
14
21
28
35
Do
n
là b
ộ
i c
ủ
a
3
nên ch
ọ
n
21
n
=
.
V
ậ
y sinh nh
ậ
t c
ủ
a ngày vào ngày
21/10 / 2019
.
Câu 4.
(3,0
đ
i
ể
m)
T
ạ
i b
ề
m
ặ
t
đạ
i d
ươ
ng, áp su
ấ
t n
ướ
c b
ằ
ng áp su
ấ
t khí quy
ể
n và là 1 atm (atmosphere). Bên d
ướ
i
m
ặ
t n
ướ
c, áp su
ấ
t n
ướ
c t
ă
ng thêm 1 atm cho m
ỗ
i 10 mét sâu xu
ố
ng. Bi
ế
t r
ằ
ng m
ố
i liên h
ệ
gi
ữ
a áp
su
ấ
t
( )
y atm
và
độ
sâu
( )
x m
d
ướ
i m
ặ
t n
ướ
c là m
ộ
t hàm s
ố
b
ậ
c nh
ấ
t
y ax b
= +
.
a. Xác
đị
nh các h
ệ
s
ố
a và b.
b. M
ộ
t ng
ườ
i th
ợ
l
ặ
n
đ
ang
ở
độ
sâu bao nhiêu n
ế
u ng
ườ
i
ấ
y ch
ị
u m
ộ
t áp su
ấ
t là 2,85atm?
Lời giải:
a. Do áp su
ấ
t t
ạ
i b
ề
m
ặ
t
đạ
i d
ươ
ng là 1atm, nên
1, 0
y x
= =
, thay vào hàm s
ố
b
ậ
c nh
ấ
t ta
đượ
c:
1 .0 1
a b b
= + ⇔ =
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
60
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
Do c
ứ
xu
ố
ng sâu thêm 10m thì áp xu
ấ
t n
ướ
c t
ă
ng lên 1atm, nên t
ạ
i
độ
sau 10m thì áp su
ấ
t n
ướ
c là
2atm (
2, 10y x= =
), thay vào hàm s
ố
b
ậ
c nh
ấ
t ta
đượ
c:
2 .10a b= +
Do
1b =
nên thay vào ta
đượ
c
1
10
a =
.
Vì v
ậ
y, các h
ệ
s
ố
1
10
a =
,
1b =
.
b.T
ừ
câu a, ta có hàm s
ố
1
1
10
y x= +
Thay
2,85y =
vào hàm s
ố
, ta
đượ
c:
1
2,85 1 18,5
10
x x m= +
=
V
ậ
y khi ng
ườ
i th
ợ
n
ặ
n ch
ị
u m
ộ
t áp su
ấ
t là 2,85atm thì ng
ườ
i
đ
ó
đ
ang
ở
độ
sâu 18,5m.
Câu 5.
(1,0
đ
i
ể
m)
M
ộ
t nhóm g
ồ
m
31
h
ọ
c sinh t
ổ
ch
ứ
c m
ộ
t chuy
ế
n du l
ị
ch (chi phí chuy
ế
n
đ
i
đượ
c chia
đề
u cho các
b
ạ
n tham gia). Sau khi
đ
ã h
ợ
p
đồ
ng xong, vào gi
ờ
chót có
3
b
ạ
n b
ậ
n vi
ệ
c
độ
t xu
ấ
t không
đ
i
đượ
c
nên h
ọ
không
đ
óng ti
ề
n. C
ả
nhóm th
ố
ng nh
ấ
t m
ỗ
i b
ạ
n còn l
ạ
i s
ẽ
đ
óng thêm
18000
đồ
ng so v
ớ
i d
ự
ki
ế
n ban
đầ
u
để
bù l
ạ
i cho
3
b
ạ
n không tham gia. H
ỏ
i t
ổ
ng chi phí m
ỗ
i chuy
ế
n
đ
i là bao nhiêu?
Lời giải:
S
ố
ti
ề
n c
ả
l
ớ
p ph
ả
i
đ
óng bù:
( )
31 3 18.000 504.000− × =
ngàn
S
ố
ti
ề
n m
ỗ
i h
ọ
c sinh ph
ả
i
đ
óng:
504.000 3 168.000÷ =
ngàn
T
ổ
ng chi phí ban
đầ
u là:
168.000 31 5.208.000× =
ngàn
Câu 6.
(1,0
đ
i
ể
m)
Cu
ố
i n
ă
m h
ọ
c, các b
ạ
n l
ớ
p 9A chia làm hai
nhóm, m
ỗ
i nhóm ch
ọ
n m
ộ
t khu v
ườ
n sinh thái
ở
B
ắ
c bán c
ầ
u
để
tham quan. Khi m
ở
h
ệ
th
ố
ng
đị
nh
v
ị
GPS, h
ọ
phát hi
ệ
n m
ộ
t s
ự
trùng h
ợ
p khá thú v
ị
là hai v
ị
trí mà hai nhóm ch
ọ
n
đề
u n
ằ
m trên cùng
m
ộ
t kinh tuy
ế
n và l
ầ
n l
ượ
t
ở
các v
ĩ
tuy
ế
n
47
o
và
72
o
.
a. Tính kho
ả
ng cách (làm tròn
đế
n hàng tr
ă
m)
gi
ữ
a hai v
ị
trí
đ
ó, bi
ế
t r
ằ
ng kinh tuy
ế
n là m
ộ
t
cung tròn n
ố
i li
ề
n hai c
ự
c c
ủ
a trái
đấ
t và có
độ
dài kho
ả
ng 20 000km.
b. Tính (làm tròn
đế
n hàng tr
ă
m)
độ
dài bán kính
và
đườ
ng xích
đạ
o c
ủ
a trái
đấ
t. T
ừ
k
ế
t qu
ả
c
ủ
a
bán kính (
đ
ã làm tròn), hãy tính th
ể
tích c
ủ
a trái
đấ
t, bi
ế
t r
ằ
ng trái
đấ
t có d
ạ
ng hình c
ầ
u và th
ể
tích
c
ủ
a hình c
ầ
u
đượ
c tính theo công th
ứ
c
3
4
.3,14.
3
V R=
v
ớ
i R là bán kính hình c
ầ
u.
Lời giải:
a)
0 0 0
72 47 25AOB BOX AOX= − = − =
.
Độ
dài
AB
là:
25 25000
20000. 2800( )
180 9
km
= ≈
b) G
ọ
i
R
là bán kính c
ủ
a Trái
Đấ
t.
Ta có:
20000
20000 6400( )
R R km
π
π
= ⇔ = ≈
Độ
dài
đườ
ng xích
đạ
o là:
2 40000( )R km
π
≈
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
61
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
Th
ể
tích c
ủ
a Trái
Đấ
t là:
3 3 12
4 4
3,14 3,14 6400 1,082.10 ( )
3 3
R km
× × = × ≈
Câu 7.
(1,0
đ
i
ể
m) B
ạ
n D
ũ
ng trung bình tiêu th
ụ
15
ca-lo cho m
ỗ
i phút b
ơ
i và
10
ca-lo cho m
ỗ
i
phút ch
ạ
y b
ộ
. Hôm nay, D
ũ
ng m
ấ
t
1,5
gi
ờ
cho c
ả
hai ho
ạ
t
độ
ng trên và tiêu th
ụ
h
ế
t
1200
ca-lo. H
ỏ
i
hôm nay, b
ạ
n D
ũ
ng
đ
ã m
ấ
t bao nhiêu th
ờ
i gian cho m
ỗ
i ho
ạ
t
độ
ng này?
Lời giải:
Đổ
i: 1,5 gi
ờ
= 90 phút.
G
ọ
i
x
(phút) là th
ơ
i gian D
ũ
ng b
ơ
i
y
(phút) là th
ờ
i gian D
ũ
ng ch
ạ
y b
ộ
Theo gi
ả
i thi
ế
t ta có h
ệ
ph
ươ
ng trình :
15 10 1200 60
90 30
x y x
x y y
+ = =
⇔
+ = =
V
ậ
y D
ũ
ng m
ấ
t 60 phút
để
b
ơ
i và 30 phút
để
ch
ạ
y b
ộ
để
tiêu th
ụ
h
ế
t 1200 ca-lo.
Câu 8.
(3,0
đ
i
ể
m)
Cho tam giác
ABC
có
AB AC<
n
ộ
i ti
ế
p
đườ
ng tròn
( )O
. Hai
đườ
ng tròn
BD
và
CE
c
ủ
a tam
giác
ABC
c
ắ
t nhau t
ạ
i
.H
Đườ
ng th
ẳ
ng
AH
c
ắ
t
BC
và
( )
O
l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i
F
và
K
(
K A≠
). G
ọ
i
L
là hình chi
ế
u c
ủ
a
D
lên
.AB
a) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng t
ứ
giác
BEDC
n
ộ
i ti
ế
p và
2
.BD BL BA= ⋅
b) G
ọ
i
J
là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
KD
và
( ),O ( ).J K≠
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
.BJK BDE=
c) G
ọ
i
I
là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
BJ
và
.
ED
Ch
ứ
ng minh t
ứ
giác
ALIJ
n
ộ
i ti
ế
p và
I
là trung
đ
i
ể
m
.
ED
Lời giải:
a) Ta có
90BEC BDC= = °
nên các
đ
i
ể
m
,E D
cùng n
ằ
m trên
đườ
ng tròn
đườ
ng kính
.BC
Do
đ
ó t
ứ
giác
BEDC
n
ộ
i ti
ế
p.
Xét tam giác
ABD
vuông
ở
D
có
DL
là
đườ
ng cao nên theo h
ệ
th
ứ
c l
ượ
ng,
Ta có
2
.BD BL BA= ⋅
b) Ta th
ấ
y
H
là tr
ự
c tâm tam giác
ABC
nên
AF
c
ũ
ng là
đườ
ng cao c
ủ
a tam giác và
.AF BC⊥
Xét
đườ
ng tròn
( )O
có
BJK BAK=
, cùng ch
ắ
n cung
BK
.
J
I
L
E
D
K
F
H
O
C
B
A
Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
62
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10 I Love Math _0916620899
T
ứ
giác
ADHE
có
90 90 180
ADH AEH
+ = °+ ° = °
nên n
ộ
i ti
ế
p.
Suy ra:
HAE HDE
=
nên
BAK BDE
=
. T
ứ
các k
ế
t qu
ả
trên, ta suy ra
BJK BDE
=
.
c) Xét hai tam giác
BID
và
BDJ
có
BDI BJD
=
(theo câu b) và
DBI
chung.
Suy ra
( . )
BI BD
BID BDJ g g
BD BJ
=△ ∼△
hay
2
.
BD BI BJ
= ⋅
Theo câu a, ta có
2
BD BL BA
= ⋅
nên
BL BA BI BJ
⋅ = ⋅
nên
.
BL BJ
BI BA
=
L
ạ
i xét hai tam giác
BIL
và
BAJ
có góc
B
chung và
.
BL BJ
BI BA
=
Do
đ
ó:
180
BIL BAJ LAI LID
=
+ = °
. Suy ra t
ứ
giác
ALIJ
n
ộ
i ti
ế
p.
T
ừ
đ
ó, ta suy ra
.
ILE IJA
=
Mà
JJA BJA BCA
= =
(cùng ch
ắ
n cung
BA
) mà theo câu a, vì
BEDC
n
ộ
i ti
ế
p nên
LEI AED BCA
= =
do
đ
ó
LEI ELI
=
.
T
ừ
đ
ó ta có tam giác
LEI
cân và
.
IE IL
=
Do
đ
ó
90 90
ILD ILE LED LDI
= ° − = °− =
nên tam giác
LID
c
ũ
ng cân và
.
ID IL
=
T
ừ
các
đ
i
ề
u trên, ta có
đượ
c
ID IE
=
nên
đ
i
ể
m
I
chính là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
.
| 1/63
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

I Lo ve Math TOAÙN OÂN THI TUYEÅN SINH 10
Vấn đề 1. RÚT GỌN, CHỨNG MINH BIỂU THỨC
Vấn đề 2. PHƯƠNG TRÌNH
Vấn đề 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Vấn đề 4. ỨNG DỤNG ĐỊNH LÍ VI - ÉT
Vấn đề 5. ĐƯỜNG THẲNG Vấn đề 6. PARABOL
Vấn đề 7. GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PT, HPT
Vấn đề 8. HÌNH HỌC
Vấn đề 9. MỘT SỐ ĐỀ THAM KHẢO 2021 - 2022 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
TRỌNG TÂM ÔN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
NĂM HỌC: 2021 – 2022
ẤN ĐỀ 1. Rút gọn, đơn giản biểu thức, chứng minh đẳng thức.
VPhương pháp: Khai căn bậc 2, bậc 3. Tính chất của căn bậc 2, bậc 3
Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ
Quy đồng, trục căn thức Căn Hằng đẳng thức Trục căn thức  , A A ≥ 0  (a + b)2 2 2
= a + 2ab + b A AB A = A =  =
, AB ≥ 0, B ≠ 0 − , A A < 0  (a − b)2 2 2
= a − 2ab + b B B
A. B = AB; , A B ≥ 0 A A B  2 2
a − b = (a − b)(a + b) = , B > 0 B B A A =
, A ≥ 0, B > 0  (a + b)3 3 2 2 3
= a + 3a b + 3ab + b B B
C ( A ∓ B C ) − = − + − = 2  (a b)3 3 2 2 3 a 3a b 3ab b
A B = A B, B ≥ 0 A ± B A − ( B)2  3 3 + = ( + )( 2 2 a b a b
a − ab + b ) 2 A B = A B; , A B ≥ 0
C ( A ∓ B C )  3 3 − = ( − )( 2 2 a b a b
a + ab + b ) = 2
A B = − A B; A < 0, B ≥ 0 A ± B A − (B)
Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau
a. A = ( 11 − 2 44 + 3 99): 11
b. B = ( 27 − 2 12 − 75): 2 3 HD Giải
b. B = ( 27 − 2 12 − 75): 2 3
a. A = ( 11− 2 44 +3 99): 11 = (3 3 − 4 3 −5 3):2 3 = ( 11−4 11+9 11) : 11 = ( 3 − 3):2 3 = 6 11 : 11 = 6 3 = − 2
Bài tập làm tương tự
Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau
a. A = (3 5 − 2 3). 5 + 60
b. B = ( 28 − 2 3 + 7). 7 + 84
c. C = ( 27 − 12 + 2 6):3 3 d. D = ( + )2 6 5 − 120  1 2 1 2  − + e. E = ( − )2 14 3 2 + 6 28 f. F =  −  : 72   1 2 1 2  + − 
Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau
a. A = 6 12 − 20 − 2 27 + 125
b. B = 3 2 − 8 + 50 − 4 32
c. C = 20 − 2 45 − 3 80 + 125
d. D = 27 − 2 3 + 2 48 − 3 75
e. E = 2 18 − 3 80 − 5 147 + 5 245 − 3 98
f. F = 4 24 − 2 54 + 3 6 − 150
Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau 1 1 1 1 a. A = − b. B = + 3 − 7 3 + 7 6 + 35 6 − 35
c. C = (3− 2 2)(3+ 2 2)
d. D = 8 + 18 + 32 + 50
e. E = ( 6 + 3). 3 −3 2
f. F = ( 6 + 2). 2 + 16 − 12
Bài 5. Rút gọn các biểu thức sau 1
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp 3 13 6 4 − 2 3 a. A = + + b. B = 2 + 3 4 − 3 3 6 − 2 3 4
c. C = (3 2 + 6) 6 −3 3 d. D = + 5 − 2 6 + 2 3 +1 3 −1 e. F = +
f. F = 17 − 4 9 + 4 5 3 −1 3 +1 g. G = − + ( − )2 4 3 45 5 1 h. H = + ( − )2 1 12 2 1 − 5 −1 3 − 2
Bài 6. Rút gọn các biểu thức sau a b − b a 1  1 1  a. x A = :
với a > 0,b > 0 . b. B =  +  : với x > 0 ab a + bx
x +1  x + x HD Giải
a. Với điều kiện a > 0,b > 0 . Ta có: ab − ( a − b a b b a ) A = =
= ( a − b) ( a + b) = ( a)2 −( b)2 1 1 : : . = a − b ab a + b ab a + b
b. Với x > 0 . Ta có:  1 1  x x +1+ x x 2 x +1 B =  +  : = =  x
x +  x + x x ( x + ) : 1 1 x ( x + ) 1 xa a   a 2  − +
Bài 7. Cho biểu thức =  +1 : a H  −1   
 với a ≥ 0 và a ≠ 1  a −1   a + 2 
a. Rút gọn biểu thức đã cho
b. Tìm tất cả các giá trị nguyên của a để biểu thức H nguyên HD Giải
a. Với a ≥ 0 và a ≠ 1. Ta có:      a    a − a a + a  ( a − )1 a   ( a +2 2 ) a  +1 H =  +1 : −1 = +1 : −1 =      a 1   a 2   a 1   a 2  − + − + a −1     a +1 a −1+ 2 2 b. Ta có H = = =1+
∈ℤ ⇔ ( a − )1 là ước số của 2 a −1 a −1 a −1  a = 0 a = 0  a −1 = 1  ±  ⇔ 
⇔  a = 2 ⇔ a = 4  . Vậy a ∈{0;4; } 9 .  a −1 = 2 ±  a  =  = 9 a 3 
Bài tập làm tương tự
Bài 8. Rút gọn các biểu thức sau  1 1  a. =  +  : a A
với a > 0, a ≠ 4 .  a + 2
a − 2  a − 4 a b 2 b. b B = − −
với a > 0,b > 0,a ≠ b . a − b a + b a − b 2     + + c. a a b b =  − . a b C ab     
 với a > 0,b > 0, a ≠ b .  a + b a   − b      − + d. a a =  + 2. 2 a a D −    
 với a ≥ 0, a ≠ 1.  a −1   1+ a 2
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp 5 x + 4 3 − 2 x x + 2 e. E = − +
với x ≥ 0, x ≠ 16; x ≠ 1. x − 5 x + 4 x − 4 x −1 3 2 2 3 + − + − f. a b b a a a b ab b F = −
với a > 0,b > 0, a ≠ b . a + b a − b 2   g. ab = . a b G a +  −    với . a b > 0. a + b b a   2  1 a a   1  + + h. =  − . a H a   
với a ≥ 0, a ≠ 1.  1    + a 1   − a    2 2a  − ( 2 2 b − a ) 3 3 3 3 2 + b  i. I = 
 với a và b không đồng thời bằng không. 2  a −  ( 2 2 b − a )3 3 3 2 + 2b   1 1  3 + j. =  − . x J
, (với x > 0; x ≠ 9 ). Rút gọn biểu thức và tìm tất cả các giá trị
 3 − x 3 + x x 1
nguyên của x để J > . 2 2  1 a a   1  − − k. a K =  + a   
với a ≥ 0 và a ≠ 1  1    − a 1   − a   a 1  a 1 a 1  − + l. L =  −  −  
với a > 0 và a ≠ 1 2  2   a  a +1 a −1  2 −
Bài 9. Cho biểu thức 2 3 ( ) a a
P a = a + a +
, với a là số thực không âm. a +1
a. Rút gọn P(a).
b. Tìm a thỏa mãn 2
a + a − P = 0.  2 1  a + 2
Bài 10. Cho biểu thức P(a) =  +  :
với a > 0, a ≠ 4 3  a − 2 a a − 2 
a + 4 ( a − a)
a. Rút gọn biểu thức P(a).
b. Tìm a để P(a) =1.
c. Tìm số nguyên a là số nguyên.
c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q(a) = ( a −3).P(a).
( x − y)2 +4 xy − Bài 11. x y y x
Cho hai biểu thức P = và Q =
với x > 0, y > 0. x + y xy
a. Rút gọn biểu thức P và . Q b. Tính .
P Q biết x = 2 3, y = 3
(x −3)2 +3x −7
Bài 12. Cho biểu thức M = với x ≠ 2 ± . 2 x − 4 1
a. Rút gọn biểu thức M .
b. Tìm các giá trị của x để M = . 3  2 2  x − 6
Bài 13. Cho biểu thức P = 1− +  :   với x ≠ ± 2. 2  x − 2 x + 2 x  − 2 3
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp a. Rút gọn biểu thức . P b. Tính P(10).  1 1   a 1  +
Bài 14. Cho biểu thức Q =  +  : 1+    với a > 1.  a + a +1 a − a −1  a  −1  a. Rút gọn biểu thức . Q b. Tính Q(5). 4( x + ) 1  15 x 2  − x +1
Bài 15. Cho hai biểu thức A = và B =  +  :
với x ≥ 0; x ≠ 25 . 25 −   xx − 25 x + 5  x − 5
a. Tìm giá trị của biểu thức A khi x = 9 .
b. Rút gọn biểu thức B .
c. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức P = .
A B đạt giá trị nguyên lớn nhất
ẤN ĐỀ 2. Giải phương trình
VI. Phương trình bậc hai: Phương trình có dạng 2ax+bx+c=0,a≠0 (1) Cách giải: b  Tính 2
∆ = b − 4ac hoặc 2
∆ = b′ − ac trong đó b′ = 2
 Nhận định từ biệt thức ∆
∆ < 0 suy ra phương trình (1) vô nghiệm
∆ = 0 suy ra phương trình (1) có nghiệm kép b = = − 1 x 2 x 2a − + ∆ − − ∆
∆ > 0 suy ra phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt b x = , b = 1 2 x 2a 2a  Kết luận Cách khác: Nhận thấy:
a + b + c = 0 suy ra phương trình (1) có nghiệm là x =1, c = 1 2 x a
a − b + c = 0 suy ra phương trình (1) có nghiệm là x = 1 − , c = − 1 2 x a
Lưu ý: Phương trình tích .
A B = 0 ⇔ A = 0 hoặc B = 0
Bài 1. Giải các phương trình sau a. 2
x − 3x −10 = 0 b. 2
x − x −12 = 0 c. 2
6x − x − 2 = 0 d. 2 9
− x + 30x − 25 = 0 HD Giải a. 2
x − 3x −10 = 0 . (Xác định các hệ số a = 1,b = 3 − ,c = 1
− 0, Lưu ý: Trước khi giải các em có thể sử
dụng máy tính kiểm tra nghiệm trước) Ta có: 2 2
∆ = b − 4ac = ( 3 − ) − 4.1.( 1 − 0) = 49 > 0 −(−3) + 49 −( 3 − ) − 49
Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm x = = 5; x = = 2 − 1 2 2.1 2.1 b. 2
x − x −12 = 0 . Ta có: 2 2
∆ = b − 4ac = ( 1 − ) − 4.1.( 1 − 2) = 49 > 0 −( 1 − ) + 49 −( 1 − ) − 49
Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm x = = 4; x = = 3 − 1 2 2.1 2.1 c. 2
6x − x − 2 = 0 . Ta có: 2 2
∆ = b − 4ac = ( 1 − ) − 4.6.( 2 − ) = 49 > 0 −(−1) + 49 2 −( 1 − ) − 49 1
Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm x = = ; = = − 1 2 x 2.6 3 2.6 2 d. 2 9
− x + 30x − 25 = 0 . Ta có: 2 2
∆ = b − 4ac = 30 − 4.( 9 − ).( 2 − 5) = 0 b 30 5
Do đó phương trình đã cho có nghiệm x = − = − = 2a 2.( 9 − ) 3 4
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp 5
Hoặc giải như sau: Ta có: −9x + 30x − 25 = 0 ⇔ 9x − 30x + 25 = 0 ⇔ (3x −5)2 2 2 = 0 ⇔ x = . 3 Bài tập tương tự
Bài 2. Giải các phương trình sau a. 2
4x − 7x + 4 = 0 b. 2 2x −8x = 0 c. 2
x − 7x + 6 = 0 d. 2 x +10x + 21 = 0 e. 2
x −14x + 48 = 0 f. 2
2x − 5x + 2 = 0 g. 2 x + 2x + 7 = 0 h. 2 x + 6x + 9 = 0
II. Phương trình trùng phương: Phương trình có dạng 4 2
ax + bx + c = 0, a ≠ 0 (2) Cách giải:  Đặt 2
t = x , (t ≥ 0) , phương trình (2) trở thành: 2
at + bt + c = 0 (2 ) ′
 Giải phương trình (2 ') là phương trình bậc hai theo biến t , lưu ý điều kiện t ≥ 0  Kết luận Phương trình (2 )
′ vô nghiệm suy ra phương trình (2) vô nghiệm Phương trình (2 )
′ có 1 nghiệm suy ra phương trình (2) có 2 nghiệm Phương trình (2 )
′ có 2 nghiệm suy ra phương trình (2) có 4 nghiệm
Bài 3. Giải các phương trình sau a. 4 2 x −16x = 0 b. 4 2
x − 5x + 4 = 0 c. 4 2 x + 5x + 6 = 0 d. 4 2
x − 7x −18 = 0 HD Giải x = 0 x = 0
a. x −16x = 0 ⇔ x (x −16) 2 4 2 2 2 = 0 ⇔  ⇔  . 2 x −16 = 0 x = 4 ±
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {−4;0; } 4 t = 1 b. Đặt 2
t = x , t ≥ 0 . Phương trình đã cho trở thành: 2
t − 5t + 4 = 0 ⇔  (thỏa điều kiện) t = 4 Với t = 1, ta có: 2 x = 1 ⇔ x = 1 ± Với t = 4, ta có: 2 x = 4 ⇔ x = 2 ±
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {−2;−1;1; } 2 t = 2 − c. Đặt 2
t = x , t ≥ 0 . Phương trình đã cho trở thành: 2
t + 5t + 6 = 0 ⇔ 
( không thỏa điều kiện) t = 3 −
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm t = −2 d. Đặt 2
t = x , t ≥ 0 . Phương trình đã cho trở thành: 2 t − 7t + 1 − 8 = 0 ⇔  (thỏa điều kiện) t = 9 Với t = 2
− : không thỏa điều kiện Với t = 9, ta có: 2 x = 9 ⇔ x = 3 ±
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {−3; } 3
Bài tập làm tương tự
Bài 4. Giải các phương trình sau a. 4 2
4x + 7x − 2 = 0 b. 4 2 3x +10x + 3 = 0 c. 4 2
9x − 40x +16 = 0 d. 4 2
x − 4x −12 = 0 e. 4 2
x − x − 6 = 0 f. 4 2
2x − 5x + 2 = 0 g. 4 2 x +10x + 21 = 0 h. 4 2 3x −18x = 0
III. Một số phương trình khác
Phương pháp chung: Đưa các phương trình bậc nhất ax + b = 0 hoặc bậc hai 2
ax + bx + c = 0 hoặc phương trình tích.
1. Phương trình chứa ẩn ở mẫu
 Mẫu có chứa biến thì ta cần lấy điều kiện.
 Quy đồng bỏ mẫu và giải phương trình mới tìm được
 Kết luận nghiệm cần so với điều kiện để nhận loại nghiệm
2. Phương trình chứa dấu căn có các dạng cơ bản B ≥ 0
B ≥ 0 (hay A ≥ 0)
A = B ⇔ 
A = B ⇔  2  A = BA = B 5
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp A ≥ 0 
A + B = C ⇔ B ≥ 0 (C ≥ 0) đưa về dạng . 
A + B + 2 AB = C
3. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối có các dạng cơ bản B ≥ 0  A = B
A = B ⇔   A = B ⇔ 2 2   A = BA = −B
4. Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ
 Chọn biến hay hàm phù hợp để đặt và lưu ý điều kiện
 Đưa phương trình đã cho về phương trình theo ẩn phụ
 Giải, so với điều kiện nhận loại nghiệm cho phù hợp
Bài 5. Giải các phương trình sau x 1 3 x − 2 1 1 a. − = b. = − c. ( 2
x − 4x). x − 3 = 0 x + 2 2x +1 10 2 x −1 x x − x 2x − 6 d. + x x −1 = 0
e. x − 3 x − 4 = 0
f. 2x −1 = x − 2 x −1 2 g. 5 2
x +1 − x +1 = 0 h. ( 2
x + 2x) − ( x + ) 1 − 5 = 0
i. x(x +1)(x + 2)(x + 3) = 24 HD Giải 1
a. Điều kiện: x ≠ 2 − và x ≠ − . 2 x 1 3 Ta có: − =
⇔ 10x(2x +1) −10(x + 2) = 3(x + 2)(2x +1) x + 2 2x +1 10 13 2
⇔ 14x −15x − 26 = 0 ⇔ x = 2 hoặc x = − (thỏa điều kiện) 14  13
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 2;− .  14
b. Điều kiện: x ≠ 0 và x ≠ 1. x − 2 1 1 x = 1 Ta có: 2 = −
⇔ x(x − 2) = (x −1) −1 ⇔ x − 3x + 2 = 0 ⇔ 2  x −1 x x − xx = 2
So với điều kiện, Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { } 2 . x = 0 x − 4x = 0 c. Điều kiện: 
x ≥ 3. Ta có: ( x − 4x) 2 2 . x − 3 = 0 ⇔  ⇔ x = 4   x − 3 = 0 x = 3
So với điều kiện, Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {3; } 4 . 2x − 6 x = 2
d. Điều kiện: x > 1. Ta có: 2
+ x x −1 = 0 ⇔ 2x − 6 + x(x −1) = 0 ⇔ x + x − 6 = 0 ⇔  x −1 x = 3 −
So với điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm là x = 2
e. Điều kiện x ≥ 0. Đặt t = x, t ≥ 0. t 1(loaïi) 2 = −
Phương trình đã cho trở thành: t − 3t − 4 = 0 ⇔  t = 4 (nhaän)
Với t = 4 , ta có: x = 4 ⇔ x = 16 . Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 16. 6
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp x ≥ 2 x − 2 ≥ 0 x ≥ 2 
f. Ta có: 2x −1 = x − 2 ⇔  ⇔ 
⇔ x =1 ⇔ x = 5. 2 2
2x −1 = (x − 2)
x − 6x + 5 = 0  x = 5
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 5. 1
g. Điều kiện: x ≥ − . 5 x = 0 Ta có: 2 2
5x +1 − x +1 = 0 ⇔ 5x +1 = x +1 ⇔ 5x +1 = (x +1) ⇔ x − 3x = 0 ⇔  x = 3 2 2
h. Ta có: (x + x) −(x + )2 2
− = ⇔ ( 2x + x) −( 2 2 1 5 0 2
x + 2x) − 6 = 0 (*) t 2 2 = − Đặt t = 2
x + 2x. Phương trình (*) trở thành: t − t − 6 = 0 ⇔  t = 3
Với t = −2, ta có 2
x + x = − ⇔ 2 2 2
x + 2x + 2 = 0 vô nghiệm x 1 2 2 =
Với t = 3, ta có x + 2x = 3 ⇔ x + 2x − 3 = 0 ⇔  x = −3
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {−3; } 1 .
So với điều kiện, Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {0; } 3 .
i. Ta có: x(x +1)(x + 2)(x + 3) = 24 ⇔ [x(x + 3)][(x +1)(x + 2)] = 24 ⇔ ( 2 x + x)( 2 3
x + 3x + 2) = 24 (*) t 4 2 = Đặt t = 2
x + 3x , Phương trình (*) trở thành: t(t + 2) = 24 ⇔ t + 2t − 24 = 0 ⇔  t = −6 t 1 2 2 =
Với t = 4, ta có x + 3x = 4 ⇔ x + 3x − 4 = 0 ⇔  r = −4
Với t = −6, ta có 2
x + x = − ⇔ 2 3 6
x + 2x + 4 = 0 : Phương trình vô nghiệm
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {−4; } 1 .
Bài tập làm tương tự
Bài 6. Giải các phương trình sau 1 1 1 2 2x x − 5x +10 a. + = b. = c. (x + )
1 (x + 2)(x + 3)(x + 4) = 24 x + 2 x + 3 x + 4
x −1 (x −1)(x + 2) 2 d. 2
2x − x − 3 = 2 − x e. ( 2 x − x + )( 2 5
6 x − 5x + 6) = 24 f. (2x +3) (x + )1(x +2) =18
Bài 7. Cho phương trình: 2
x − (m −1)x − m = 0 . Tìm m để phương trình trên có một nghiệm
bằng 2 . Tính nghiệm còn lại.
ấn đề 3. Hệ phương trình
V1. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
a x + b y = c
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là 1 1 1  ( )1 a + = 2 x 2 b y 2 c
Trong đó x, y là hai ẩn; các chữ số còn lại là hệ số. Nếu cặp số (x ;
đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ thì (x ; được gọi là một 0 0 y ) 0 0 y )
nghiệm của hệ phương trình ( )
1 . Giải hệ phương trình ( )
1 là tìm tập nghiệm của nó.
Cách giải: Có hai cách giải quen thuộc và sử dụng hổ trợ máy tính bỏ túi. 7
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
Cách 1. Phương pháp thế: Từ một phương trình nào đó của hệ, biểu thị một ẩn qua ẩn kia rồi thế vào
phương trình còn lại để được phương trình bậc nhất một ẩn.
Cách 2. Phương pháp cộng đại số: Biến đổi cho hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình là hai
số đối nhau rồi cộng từng vế hai phương trình lại để được phương trình bậc nhất một ẩn.
Cách 3. Sử dụng máy tính bỏ túi.
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau 2x + y = −4 3x + 5y = 1 a.  b. 
3x − 4y = −17 5x + 2y = 9 HD Giải
Cách 1. Phương pháp thế 2x + y = −4
y = −4 − 2x 11x = −33 x = −3 a.  ⇔  ⇔  ⇔ 
3x − 4y = −17
3x − 4(−4 − 2x) = −17
y = −4 − 2xy = 2
Vậy hệ đã cho có nghiệm là (x;y) = (−3;2).  1 1 43 x 1 5y x 1 5 3x 5y 1 ( )   ( y)  = − = − x = + =  3  3  b. 19  ⇔  ⇔  ⇔  5x + 2y = 9  1 ( 5y)  25 5  22 5. 1− + 2y = 9 − y + 2y = 9 − y = −   3   3 3  19 43 22
Vậy hệ đã cho có nghiệm là (x;y)   =  ;− .  19 19 
Cách 2. Phươn pháp cộng đại số x = −3 2x + y = −4
8x + 4y = −16 11x = −33  x = −3 a.  ⇔  ⇔  ⇔  3x 17 ⇔  +
3x − 4y = −17
3x − 4y = −17
3x − 4y = −17 y = y = 2  4
Vậy hệ đã cho có nghiệm là (x;y) = (−3;2).  43 19x = 43 x = 3x + 5y = 1 −6x −10 = −2   19 b.  ⇔  ⇔  9 5x ⇔  − 5x + 2y = 9 25x +10y = 45 y =  22  2 y = −  19 43 22
Vậy hệ đã cho có nghiệm là (x;y)   =  ;− .  19 19 
Bài tập làm tương tự (chọn hợp lý một trong 2 cách để giải)
Bài 2. Giải các hệ phương trình sau 3x − 4y = 2 x − 5y = 2
3x − 4y = 18
6x + 9y = −5 a.  b.  c.  d. 
−6x + 8y = 1
−2x +10y = −4
2x + 3y = −5
2x + 3y = −2 4x − y = 5 3x + 2y = 4 3x + y = 17
2x + 5y = −8 e.  f.  g.  h. 
−8x + 2y = −10 x − 2y = 4 x − 2y = 1 3x − y = 5
Bài 3. Giải các hệ phương trình sau 2x + 3y = 8 x + y = 2
5x − 2y = 11 2x + y = 4 a.  b.  c.  d.  2x − 4y = 1 2x − y = 4 x + y = −2 3x − y = 1 2x − y = 5 2x + 3y = 8
5x − 2y = −11 x + 2y = 5 e.  f.  g.  h.  3x + 4y = 8
3x − 4y = −5 3x + 2y = 3 3x + 4y = 5
2. Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc cao a. Định nghĩa
Hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc cao có dạng 8
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
ax + by + c = 0 (1)  . Trong đó f ( ;
x y) = 0 là một phương trình bậc cao theo hai ẩn x và y .  f ( ; x y) = 0 (2) b. Phương pháp giải
- Từ phương trình (1) rút ẩn x hoặc ẩn y theo ẩn còn lại;
- Thế vào phương trình (2), để đư phương trình (2) về phương trình một ẩn.
Bài 4. Giải các hệ phương trình sau: x + 2y = 5 x − y = 0 x − y = 2 2x + y = 1 a.  b.  c.  d.  2 2
x + 2 y − 2xy = 5 2 2
x − y + xy = 1 2 2 x + y = 164 2 2
x + y − 5xy = 7 HD Giải x = 5 − 2yx + 2y = 5 x = 5 − 2y  a.  ⇔  ⇔  y =1 2 2 2
x + 2 y − 2xy = 5
y − 3y + 2 = 0   y = 2
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (3; ) 1 và (1;2) x = yx − y = 0 x = y  b.  ⇔  ⇔ x =1 2 2 2
x − y + xy = 1 x = 1  x = 1 −
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (1; ) 1 và (−1;− ) 1 x = 2 + yx − y = 2 x = 2 + y  c.  ⇔  ⇔  y = 8 2 2 2 x + y = 164
y + 2 y − 80 = 0   y = −10
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (10;8) và (−8;−10)  y = 1− 2x 2  x + y = 1  y = 1− 2x x = 1 d.  ⇔  ⇔  2 2 2 
x + y − 5xy = 7
5x + 6x −11 = 0  11 x = −  5  11 22 
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (1;− ) 1 và  − ;   5 5 
Bài tập làm tương tự
Bài 5. Giải các hệ phương trình sau
x − y + 2 = 0 2x − 3y = 1 4x + 9y = 6
x − y − 7 = 0 a.  b.  c.  d.  2 x + xy = 4 2 x − xy = 24 2 3
x + 2xy − x + 3y = 0 2 2
x − y + 2x + 2 y + 4 = 0
(x + y + 2)(2x + 2 y −1) = 0
(x + 2y +1)(x + 2y + 2) = 0 x + y = 1 e.  f.  g.  2 2 3
x − 32 y + 5 = 0 2
xy + y + 3y +1 = 0 3 3
x − y = x − y
3. Hệ phương trình đối xứng loại 1 a. Định nghĩa  f ( ; x y) = 0 Hệ 
được gọi là hệ đối xứng lại I nếu khi thay x bởi y và ngược lại thì mỗi phương trình g( ; x y) = 0
trong hệ không thay đổi. b. Phương pháp giải
- Đặt S = x + y; P = . x y
- Đưa hệ đã cho về hệ có hai ẩn ; S P - Tìm ;
S P . Khi đó x; y là nghiệm của phương trình 2
X − SX + P = 0 c. Chú ý 9
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
- Điều kiện có nghiệm 2 S − 4P ≥ 0 - Nếu ( ;
x y) là một nghiệm của hệ, thì ( ;
y x) cũng là một nghiệm của hệ - Cách biến đổi:
• x + y = (x + y)2 2 2 2
− 2xy = S − 2P • 3 3
x + y = S ( 2 S − 3P )
• x + y = (S − P)2 4 4 2 2 2 − 2P
Bài 6. Giải các hệ phương trình sau: 2 2
x + xy + y = 4 2 2
x + x + y + y = 8 2 2
x + y − x − y =102 2 2 x + y =160 a.  b.  c.  d. 
x + xy + y = 2
x + xy + y = 5
x + xy + y = 69 3
 (x + y) = xy HD Giải
a. HD: Đặt S = x + y; P = . x y . Khi đó: S = 2 S = 2  2 2 2 2
x + xy + y = 4 S − P = 4
S + S − 6 = 0  P = 0    ⇔  ⇔ S = 3 − ⇔ 
x + xy + y = 2 S + P = 2 P = 2 − S   S = 3 − P 2 S  = −  P = 5 S = 2  X = 0  Với 
x, y là nghiệm của phương trình: 2
X − 2 X = 0 ⇔  P = 0  X = 2
Suy ra hệ có nghiệm là (2;0);(0;2) S = 3 −  Với 
x, y là nghiệm của phương trình: 2
X − 3X + 5 = 0  phương trình vô nghiệm. P = 5
Vậy hệ đã cho có nghiệm là (2;0);(0; 2) . b) (1; 2);(2;1) c) (6;9);(9;6)
d) (−5− 55;−5+ 55);(−5+ 55;−5− 55)
ấn đề 4. Ứng dụng định lý Vi_ét
VCho phương trình 2ax+bx+c=0,a≠0 (*)  bS = x x 1 + 2 = −  a
 Nếu x , x là hai nghiệm của phương trình (*) thì 1 2   = . c P x x 1 2 =  a
 Nếu a + b + c = 0 thì phương trình (*) có hai nghiệm 1; c x x 1 = 2 = a
 Nếu a − b + c = 0 thì phương trình (*) có hai nghiệm 1; c x x 1 = − 2 = − a  Nếu . a c < 0 ( ,
a c trái dấu) thì phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu  Nếu x , 2
ax + bx + c = a x − x x x 1 −
1 x là hai nghiệm của phương trình (*) thì ( )( 2 ) 2  Xét hai số ,
u v thỏa S = u + v, P = . u v và 2
S − 4P ≥ 0 . Khi đó ,
u v là các nghiệm của phương trình 2
X − SX + P = 0
Lưu ý: Hệ thức liên hệ giữa x , 1 x 2 2 2  2
x + x = ( x + x )2 2 2 2
− 2x x = S − 2 x x x x 4x x S 4P 1 − 2 = 1 + 2 − 1 2 = − 1 2 1 2 1 2 P  ( ) ( )  3 3
x + x = ( x + x )( 2 2
x − x x + x ) = S ( 2 S − 3 1 2 1 2 1 1 2 2 P ) 2 2 2 2  4 4 x + x = ( 2 x ) + ( 2 x ) = ( 2 2 x + x ) 2 2 − 2x x = ( 2 S − 2P) 2 − 2 1 2 1 2 1 2 1 2 P 10
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp 1 1 x x 2 1 1 x x S 2 1 + 2 2 1 + S 2 − P  + = 2 =  + = = x x x x P 2 2 2 2 1 2 1 2 x x S 1 2 (x x12)
Bài 1. Gọi x , x là các nghiệm của phương trình 2
3x − 7x − 6 = 0 . Không giải phương trình, hãy tính giá 1 2
trị của các biểu thức sau: a. A = 2 x x + 2 x x b. B = 3 x x c. C = x x 1 − 1 + 3 1 2 1 2 2 2 HD Giải b 7 c
Theo hệ thức Vi_ét, ta có: S = x x ; P x x 2 1 + 2 = − = = 1 2 = = − a 3 a 7 14 a. A = 2 x x + 2 x x x x x x 2. 1 2 1 2 = 1 2 ( 1 + 2 ) = − = − 3 3 2 7 7 721 b. 3 3 B x x (x x )( 2 2 x x x x ) S( 2 S 3P 3.( 2) 1 2 1 2 1 1 2 2 )       = + = + − + = − =   − − = 3  3    27   2 2 2 2 7 121 c. 2 C x x (x x ) (x x )   = − = − = + − 4x x = 2 S 4P 4( 2) . 1 2 1 2 1 2 1 2 − =   − − =  3  9 11 Suy ra C = vì C = x x 0 . 1 − 2 ≥ 3
Bài tập làm tương tự
Bài 2. Gọi x , x là các nghiệm của phương trình 2
2x − 9x + 2 = 0 . Không giải phương trình, hãy tính giá 1 2
trị của các biểu thức sau: 1 1 a. A = 2 x + 2 x b. B = + c. C = 3 x x d. D = 4 x
x e. E = 2 x x 1 − 1 + 4 1 + 3 1 2 x x 2 2 2 1 2
Bài 3. Cho phương trình 2 x − mx + 2 2
m − m +1 = 0, với m là tham số. Tìm các giá trị của tham số m
trong các trường hợp sau
a. Phương trình có nghiệm
b. Phương trình có hai nghiệm x , x thỏa mãn 2 x + 2 x 3x x 1 1 2 − 1 2 = 1 2 HD Giải Phương trình 2 x − mx + 2 2
m − m +1 = 0 (1). Ta có: ∆′ = − 2 m − ( 2 (
) 1. m − m + )1 = m −1
a. Phương trình (1) có nghiệm ⇔ ∆ ≥ 0 ⇔ m −1 ≥ 0 ⇔ m ≥ 1.
Vậy m ≥ 1 thì thỏa yêu cầu bài toán.
b. Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x , x ⇔ ′
∆ > 0 ⇔ m >1 (*) 1 2 b c
Theo hệ thức Vi_ét, ta có: x x
2m và x .x = = 2 m m 1 1 2 − + 1 + 2 = − = a a 2 Ta có: 2 x + 2 x 3x x 1 x x 5x x 1 1 2 − 1 2 = ⇔ ( 1 + 2 ) − 1 2 = 2 m 2 2 = ⇔ ( m) − ( 2 2
5 m − m + )1 =1 ⇔ −m + 5m −6 = 0 ⇔  (thỏa (*)) m = 3 Vậy m ∈{2; }
3 thỏa yêu cầu bài toán.
Bài 4. Tìm tất cả giá trị của tham số m để phương trình 2 x − mx + 2 2
m −1 = 0 có hai nghiệm phân biệt
x , x thỏa mãn x 1 x . 1 < < 1 2 2 HD Giải 2
Phương trình đã cho có ∆′ = (−m) −( 2 m − ) 1 = 1 > 0 11
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp − ′ b − ∆′ − ′ b + ∆′
Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x m 1, x m 1 (x x ) 1 < 1 = = − 2 = = + a a 2 m −1 < 1 m < 0
Theo giả thiết, ta có x 1 x 0 m 2 1 < < 2 ⇔  ⇔  ⇔ < < m +1 > 1 m > 0
Vậy: m ∈(0;2) thì thỏa yêu cầu bài toán.
Bài tập làm tương tự
Bài 5. Cho phương trình 2
2x − (m +3) x + 2m −3 = 0, với m là tham số.
a. Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x , x với mọi 1 2 m .
b. Tìm hệ thức giữa x , x độc lập đối với 1 2 m
c. Tìm tất cả giá trị của m để x
x đạt giá trị nhỏ nhất 1 − 2
Bài 6. Cho phương trình 2 mx − 2 (m + )
1 x + m − 3 = 0, với m là tham số.
a. Tìm tất cả giá trị của m để phương trình vô nghiệm
b. Tìm tất cả giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn x 3x 8 1 + 2 = 1 2
Bài 7. Cho phương trình 2
x − (m − ) x + 2 2 1
m + 2m − 8 = 0, với m là tham số.
a. Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho vô nghiệm?
b. Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt?
c. Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho hai nghiệm dương phân biệt?
d. Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho hai nghiệm trái dấu?
Bài 8. Cho phương trình 2
x − (3m +14) x + (4m +12)(2 − m) = 0, với m là tham số.
a. Định giá trị của với m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
b. Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình. Định giá trị của P
x .x đạt giá trị lớn 1 2 m để biểu thức = 1 2 nhất.
Bài 9. Cho phương trình 2 x − (m + )
1 x − 3m + 2 = 0, với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của m để
phương trình đã cho có hai nghiệm x , x thỏa mãn 3x 2x 5 1 + 2 = 1 2
Bài 10. Cho phương trình 2 x − (2m + )
1 x + m + 2 = 0, với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của m để
phương trình đã cho có hai nghiệm x , x thỏa mãn x x 3 1 − 2 = 1 2
Bài 11. Cho phương trình bậc hai 2
x − (m + 2) x + 2m = 0 (∗) ( m là tham số)
a. Chứ ng minh rằng phương trình (∗) luôn có nghiêm với moi số m . 2( + 1 x 2 x )
b. Tìm các giá trị của m để phương trình (∗) có hai nghiệm x ; 1 − ≤ ≤1 1 2 x thỏa mãn x . 1 2 x
Bài 12. Cho phương trình: 2
x + ax + b + 2 = 0 ( a,b là tham số). Tìm các giá trị của tham số a,b để phương x − x = 4
trình trên có hai nghiệm phân biệt x , 1 2
x thoả điều kiện: 1 2  3 3 x − x = 28 1 2
Bài 13. Cho phương trình 2
x − (m + 2)x + m + 8 = 0 (1) với m là tham số.
a. Giải phương trình (1) khi m = 8 − .
b. Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt x ; x − x = 0 . 1 2 x thỏa 3 3 1 2
Bài 14. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng 2
(d) : y = 2mx − m +1 và parabol 2
(P) : y = x
a. Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt 12
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
b. Tìm tất cả giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x , 1 2 x thỏa mãn 1 1 −2 + = +1 1 x 2 x 1 x 2 x
Bài 15. Cho parabol (P) : 2
y = x và đường thẳng 2
(d) : y = 2(m −1)x + m + 2m ( m là tham số, m ∈ ℝ ).
a. Xác định tất cả các giá trị của m để đường thẳng (d )đi qua điểm I (1;3).
b. Tìm m để parabol (P) cắt đường thẳng (d ) tại hai điểm phân biệt , A . B Gọi x , 1 2
x là hoành độ hai điểm ,
A B ; tìm m sao cho 2 2
x + x + 6x x = 2020 . 1 2 1 2
Bài 16. Cho phương trình 2
x − x + 3m −11 = 0 ( )
1 (với m là tham số)
a. Với giá trị nào của m thì phương trình ( ) 1 có nghiệm kép
b. Tìm m để phương trình ( )
1 có hai nghiệm phân biệt x ,
2017x + 2018x = 2019 1 2 x sao cho 1 2
Bài 17. Cho phương trình 2 2 x − (2m + )
1 x + m +1 = 0 ( m là tham số). Tìm giá trị nguyên của m để x .
phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x x ; =
có giá trị nguyên. 1 2
x sao cho biểu thức 1 2 P + 1 x 2 x
ấn đề 5. Phương trình đường thẳng
V1. Hàm số bậc nhất
a. Định nghĩa: Hàm số bậc nhất là hàm số cho bởi công thức y = ax + b với a ≠ 0, , a b ∈ ℝ
b. Tính chất: Hàm số bậc nhất y = ax + b có tính chất sau:
Xác định mọi giá trị của x thuộc ℝ.
Đồng biến trên ℝ khi a > 0
Nghịch biến trên ℝ khi a < 0
c. Đồ thị: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) là một đường thẳng đi qua hai b
điểm A(0;b)   , B  − ;0  a
2. Đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0)
Đồ thi hàm số y = ax + b (a ≠ 0) còn gọi là đường thẳng d :y = ax + b , a được gọi là hệ số góc; b
được gọi là tung độ gốc của đường thẳng.
Đường thẳng đi qua điểm M (x ;y với hệ số góc k ≠ 0 cho trước có phương trình y = k(x − x ) y 0 + 0 0 ) 0
Đường thẳng d tạo với các trục tọa độ một góc là α , ta có: k = tanα .
3. Phương trình tổng quát của đường thẳng
Phương trình có dạng ax + by = c , , a , b c ∈ ℝ, ,
a b không đồng thời bằng 0. a c
Ta có: ax + by = c ⇔ y = − x + = kx + m hay đưa về dạng hàm số y = ax + b b b
4. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng d : y a x b và d : y a x b 2 = 2 + 1 = 1 + 1 2 a a a a 1 = 1 =
d / /d ⇔  2 d d 1 ≡ 2 ⇔ 2 1 2   b b b b 1 = 1 ≠ 2 2
d cắt d ⇔ a a d d a .a 1 1 ≠ 1 2 2  1 ⊥ 2 ⇔ 1 2 = −
Bài 1. Viết phương trình d : y = ax + b biết d :
a. Đi qua A(4;3), B(2;− ) 1
b. Đi qua điểm C (1;− )
1 và song song với trục Ox
c. Đi qua điểm D (−5;4)và song song với trục Oy 13
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
d. Song song với đường thẳng y = 3x − 2 và đi qua điểm E (2;3)
e. Đi qua điểm F (3;−2) và vuông góc đường thẳng (d) : y = 3x –4 HD Giải 4a + b = 3 a = 2
a. Đường thẳng y = ax + b đi qua điểm A và B, nên ta có  ⇔ 
. Vậy y = 2x − 5 2.a + b = 1 − b  = 5 −
b. Đường thẳng y = ax + b đi qua điểm C và song song với trục Ox , nên ta có phương trình cần tìm là y = b = 1 −
c. Đường thẳng y = ax + b đi qua điểm D và song song với trụcOy , nên ta có phương trình cần tìm là x = a = 5 −
d. Đường thẳng y = ax + b đi qua điểm E và song song với đường thẳng y = 3x − 2 , nên ta có 2a + b = 3 a = 3  ⇔ 
. Vậy y = 3x − 3. a = a ' = 3 b  = 3 −
e. Đường thẳng y = ax + b đi qua điểm F và vuông góc với đường thẳng y = 3x − 4 , nên ta có  1 3  a + b = 2 − a = − 1  ⇔ 
3 . Vậy y = − x −1  . a a ' = 1 − 3 b  = 1 −
Bài tập làm tương tự
Bài 2. Định a và b sao cho đồ thị hàm số y = ax + b :
a. Đi qua hai điểm A (2;8) và B(–1;0)
b. Đi qua điểm C (5;3) và song song với đường thẳng (d) : y = –2x + 8
c. Đi qua điểm D (3;–2) và vuông góc đường thẳng (d) : y = –3x + 4
d. Đi qua điểm E (1;–2)và có hệ số góc là 0,5
Bài 3. Viết phương trình đường thẳng y = ax + b thoả :
a. Đi qua hai điểm A (5;3) và B(3;−4)
b. Đi qua hai điểm C (–1;3) và D (1;2)
c. Đi qua điểm E (–5;4) và song song với trụcOy d. Đi qua điểm F ( 2; )1 và song song với trục Ox
Bài 4. Cho hai hàm số y = (m − )
1 x +15 và y = (3− 4m) x −17, m là tham số. Với giá trị nào của m thì
đồ thị của hai hàm số đã cho là những đường thẳng: a. Cắt nhau b. Song song c. Trùng nhau d. Vuông góc HD Giải 4
a. Đồ thị hai hàm số cắt nhau ⇔ m −1 ≠ 3 − 4m ⇔ m ≠ 5
m −1 = 3 − 4m 4
b. Đồ thị hai hàm số song song với nhau ⇔  ⇔ m = 15 ≠ −17 5
m −1 = 3 − 4m
c. Đồ thị hài hàm số trùng nhau ⇔ 
. Không có giá trị m thỏa mãn YCBT. 15 = −17 7 17
d. Đồ thị hai hàm số vuông góc nhau (m )1(3 4m) 2 ± ⇔ − −
= −1 ⇔ −4m + 7m − 2 = 0 ⇔ m = 8
Bài 5. Cho đường thẳng (d) : y = (2 − 3m) x + 2m +1, m là tham số.
a. Với giá trị nào của m thì (d) không đi qua gốc tọa độ?
b. Chứng minh rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi m . Tìm tọa độ điểm đó. HD Giải 14
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp 1
a. Đường thẳng (d) không đi qua gốc tọa độ ⇔ (2 −3m).0 + 2m +1≠ 0 ⇔ m ≠ − . 2
b. Gọi M (x ;y là điểm cố định 0 0 )
Đường thẳng (d) luôn qua M với mọi m ⇔ (2 −3m) x 2m 1 y với mọi m 0 + + = 0
⇔ (3x 1 m 2x y 1 với mọi m 0 − ) = 0 − 0 +  2   3x 2 0 x0 =  0 − =  ⇔ 3  ⇔  2x y 1 0 7 0 − 0 + = y0 =  3  2 7 
Vậy (d) luôn đi qua điểm cố định M  ;  với mọi m .  3 3 
Bài tập làm tương tự
Bài 6. Với giá trị nào của tham số m thì hàm số
a. y = (2m − 5) x + m − 2 đồng biến trên 2 ℝ ?
b. y = (−m + 2m − 2) x + 3 nghịch biến trên ℝ ? c. y = ( 2
m −16) x + 3 vuông góc với trục tung?
d. y = (m − 2) x + m đi qua điểm A(−2;3) ?
Bài 7. Với giá trị nào của tham số m thì hàm số hai đường thẳng (d ) : y 2x 5m 3 và 1 = + − (d ) : y
x 2m cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung? 2 = − +
Bài 8. Cho hai đường thẳng (d ) : y
m 2 x 2m và (d ) : y
2 3m x m 1, m là tham số. Tìm 2 = ( − ) + − 1 = ( − ) +
giá trị của m trong mỗi trường hợp sau
a. (d ) và (d ) cắt nhau
b. (d ) và (d ) song song nhau
c. (d ) và (d ) vuông góc nhau 1 2 1 2 1 2
Bài 9. Cho hai đường thẳng (d ) : y mx 3 và (d ) : y = ( 2 m
2 x m 1, m là tham số. Tìm giá trị 2 − ) − − 1 = −
của m trong mỗi trường hợp sau
a. (d ) và (d ) cắt nhau
b. (d ) và (d ) song song nhau
c. (d ) và (d ) trùng nhau 1 2 1 2 1 2
Bài 10. Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng d y = (− 2 ( ) :
3m +12m + 5) x + 2m +1 có hệ số góc lớn nhất.
Bài 11. Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng d y = ( 2 ( ) :
m − 3) x + 2 − m tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân.
Bài 12. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba đường thẳng d : y = 2x −1; d : y = ;
x d : y = 3 − x + 2. 1 2 3
Tìm hàm số có đồ thị là đường thẳng d song song với đường thẳng d đồng thời đi qua giao điểm của 3 hai đường thẳng 1 d và d . 2
Bài 13. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,cho Parabol (P) 2
: y = 2x và đường thẳng (d ) : y = 2x + 4
a. Vẽ Parabol (P) và đường thẳng (d ) trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy .
b. Tìm tọa độ giao điểm của Parabol (P) và đường thẳng (d ) bằng phép tính.
c. Viết phương trình đường thẳng (d' ) : y = ax + b . Biết rằng (d') song song với (d ) và ( và đi qua 1 d )
điểm N (2;3) .
Bài 14. Xác định hệ số a và b của hàm số y = ax + b biết đồ thị của nó là đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = 3
− x + 2019 và đi qua điểm M (2; ) 1 . 15
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
ấn đề 6. Parabol P y = 2 ( ) :
ax , a ≠ 0
V1. Cách vẽ đồ thị hàm số P y= 2 ( ) :
ax , a ≠ 0
 Lấy 5 điểm như sau: Điểm x đối với x và x đối với x 1 3 2 4 x x x 0 x x Ta có bảng biến thiên: 4 3 1 2 y = 2 ax y y 0 y y 2 1 1 2
 Vẽ đồ thị đi qua 5 điểm trên y y a < 0 a > 0 y2 x x1 x 4 x3 2 O x y1 y1 y2 x x O 4 3 x x 1 2 x
2. Tương giao giữa parabol P y = 2 ( ) :
ax , a ≠ 0 và đường thẳng (d) : y = mx + n
 Lập phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) : 2
ax − mx − n = 0 (*)
 Giải phương trình (*) và đưa ra kết luận
Phương trình (*) vô nghiệm. Khi đó (d) và (P) không có điểm chung
Phương trình (*) có nghiệm kép. Khi đó (d) và (P) có một điểm chung
Phương trình (*) có hai phân biệt nghiệm. Khi đó (d) và (P) có hai điểm chung
Bài 1. Cho parabol P y = 2 ( ) :
2x và đường thẳng (d) : y = 6 − x .
a. Vẽ (P) và (d) trên cùng mặt phẳng tọa độ
b. Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính HD Giải
a. Vẽ (P) và (d) y Ta có: 8 x −2 −1 0 1 2 y = 2 2x 8 2 0 2 8 (P) x 6 0 y = 6 − x 0 6 2 (d) x -2 -1 O 1 2 x = −2
b. Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: 2 2 
2x = 6 − x ⇔ 2x + x − 6 = 0 ⇔  3 x =  2  3 9 
Vậy (d) cắt (P) tại hai điểm A (−2;8) và B ;  .  2 2  Bài 2.
a. Vẽ đồ thị của hàm số 2
y = x trên mặt phẳng tọa độ Ox . y 16
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
b. Cho hàm số y = 2x + m − 6 có đồ thị là (d). Tìm tham số m để 2
(P) : y = x cắt (d) tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương. HD Giải a. HS tự vẽ
b. Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: 2
x = 2x + m − 6 2
⇔ x − 2x − m + 6 = 0 Ta có: = (− )2 Δ
2 − 4(−m + 6) = 4 + 4m − 24 = 4m − 20
Để (P) cắt (d ) : y = 2x + m − 6 tại hai điểm phân biệt có các hoành độ dương thì phương trình phải có hai ∆ > 0 4m − 20 > 0   m > 5
nghiệm phân biệt dương ⇔ x + x > 0 ⇔ 2 > 0 ⇔  ⇔ 5 < m < 6 1 2   m < 6 x .x > 0 −m + 6 > 0 1 2
Vậy 5 < m < 6 thì (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương 1 Bài 3. Cho hàm số 2 y =
x có đồ thị (P). 2
a. Vẽ đồ thị (P) trên mặt phẳng tọa độ Ox . y
b. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng 2
(d) : y = x + m và (P) cắt
nhau tại hai điểm có hoành độ các giao điểm là x ,
x + x + x x ≥ 8. 1 2 x thỏa mãn 2 2 1 2 1 2 HD Giải a. HS tự vẽ 1
b. Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: 2 2 2 2
x = x + m ⇔ x − 2x − 2m = 0 2 Ta có 2 2 2 ∆' = ( 1
− ) −1.(−2m ) = 2m +1 > 0 với mọi m
Vậy (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. x + x = 2
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 1 2  2 x .x = 2 − m 1 2 Theo giả thiết: 2 2 2
x + x + x x ≥ 8 ⇔ ( x + x ) − x x ≥ 8 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2
⇔ 4 + 2m ≥ 8 ⇔ m ≥ 2 ⇔ m ≥ 2 hoặc m ≤ − 2
Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Ox . y 2 a. Vẽ đồ thị ( x
P) của hàm số y = . 2
b. Chứng minh đường thẳng d : y = mx − m +1, với m là tham số, luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt (
A x ; y ), B(x ; y ) với mọi giá trị của . + theo . 1 1 2 2 m Tính 1 y y2 m HD Giải a. Ta có: x 2 − −1 0 1 2 2 x 1 1 y = 2 0 2 2 2 2 17
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp 2 x
b. Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) là: 2
= mx − m +1 ⇔ x − 2mx + 2(m −1) = 0 (*) 2 Phương trình (*) có 2 2 2
∆' = (−m) − 2(m −1) = m − 2m + 2 = (m −1) +1 > 0, m ∀ ∈ . ℝ
Do đó (*) luôn có hai nghiệm phân biệt x , x với mọi m. 1 2
Suy ra d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A(x ; y ) và B(x ; y ), 1 1 2 2
Trong đó y = mx − m +1, y = mx − m +1. 1 1 2 2 Suy ra 2
y + y = m(x + x ) − 2m + 2 = .
m (2m) − 2m + 2 = 2m − 2m + 2. 1 2 1 2
Bài tập làm tương tự
Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Ox . y
a. Vẽ đồ thị (P) của hàm số 2 y = x .
b. Cho hàm số y = mx + n có đồ thị là đường thẳng (d) . Tìm m và n biết (d) song song với đường thẳng (d )
′ : y = x + 3 và đi qua điểm M(2;4) .
Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ Ox . y
a. Vẽ đồ thị (P) của hàm số 2 y = 2x .
b. Chứng minh rằng đường thẳng (d) : y = kx +1 luôn cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt với mọi k.
Bài 7. Trong mặt phẳng tọa độ Ox . y 2
a. Vẽ đồ thị (P) của hàm số = x y . 2 1
b. Chứng minh rằng khi m thay đổi, các đường thẳng y = mx − (4m − )
1 luôn đi qua điểm cố định nằm 8 trên (P).
Bài 8. Trong mặt phẳng tọa độ Ox . y
a. Vẽ đồ thị (P) của hàm số 2 y = x .
b. Tìm tham số m để đường thẳng (d) : y = 2x − m cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
Bài 9. Trong mặt phẳng tọa độ Ox . y 1
a. Vẽ đồ thị (P) của hàm số 2 y = x . 4
b. Cho điểm A thuộc (P) và có hoành độ bằng 4. Tìm tham số m để đường thẳng (d) : y = x − m đi qua . A
Bài 10. Trong mặt phẳng tọa độ Ox . y 1
a. Vẽ đồ thị (P) của hàm số 2 y = x . 4 5
b. Đường thẳng (d) : y = x + cắt (P) tại M và N. Tính diện tích tam giác OMN. 4
Bài 11. Trong mặt phẳng tọa độ Ox . y 1
a. Vẽ đồ thị (P) của hàm số 2 y = x . 4
b. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng (d) : y = mx − m +1 cắt (P) tại hai điểm phân biệt
có hoành độ là x và x sao cho 2 2
x + x + x x = 6. 1 2 1 2 1 2
Bài 12. Trong mặt phẳng tọa độ Ox . y
a. Vẽ đồ thị (P) của hàm số 2 y = x .
b. Tìm tham số m để đường thẳng d y = ( 2 m − ) 2 ( ) :
4 x + m − 3 cắt (P) tại hai điểm phân biệt. Bài 13. Cho parabol 2
(P) : y = x và đường thẳng (d) : y = mx + 2, với m là tham số.
a. Khi m = 1, tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) 18
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
b. Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A (x ; y , B x ;y với mọi m . 1 1 ) ( 2 2)
c. Tìm m để x x + y + y đạt giá trị nhỏ nhất 1 2 1 2 Bài 14. Cho parabol 2
(P) : y = x và đường thẳng (d) : y = mx + 2, với m là tham số. Tìm giá trị của m
trong các trường hợp sau
a. (d) và (P) không có điểm chung
b. (d) và (P) tiếp xúc với nhau
c. (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
d. (d) song song với đường thẳng 2x − y + 4 = 0 Bài 15. Cho parabol 2
(P) : y = −x và đường thẳng (d) : y = (m −) x − m, với m là tham số.
a. Khi m = 3, hãy vẽ (P) và (d) trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy. Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phương pháp tính.
b. Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm trên cùng một phía đối với trục tung.
Bài 16. Cho Parabol (P): 2 y = 2
− x và đường thẳng (d): y = x − m (với m là tham số). a. Vẽ parabol (P).
b. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x ,
x + x = x . 1 2
x thỏa mãn điều kiện 1 2 1 2 x
Bài 17. Cho phương trình 2
x − 2mx − 2m −1 = 0 ( )
1 với m là tham số. Tìm m để phương trình ( ) 1 có hai
nghiệm phân biệt x ,
x + x + 3 + x x = 2m +1. 1 2 x sao cho 1 2 1 2 1 Bài 18. Cho Parabol 2
(P) : y = x và đường thẳng (d) : y = x + m −1 ( m là tham số) 2
a. Vẽ đồ thị (P).
b. Gọi A( x ; y B x y
là hai giao điểm phân biệt của (d ) và (P). Tìm tất cả các giá trị của tham A ) , ( ; A B B )
số m để x > 0 và x > 0. A B 1 Bài 19. Cho parabol 2
(P) : y = x và đường thẳng (d) : y = x + 2 . 2
a. Vẽ parabol (P) và đường thẳng (d) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy .
b. Viết phương trình đường thẳng (d ) : y = ax +
và cắt (P) tại điểm 1
b song song với (d ) A có hoành độ bằng −2 .
Bài 20. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho parabol (P) 2
: y = x và đường thẳng (d ) 2
: y = 2x + 4m − 8m + 3 ( m là tham số thực). Tìm các giá trị của m để (d ) và (P) cắt nhau tại hai
điểm phân biệt A( x ; y , B x ; y + y = 10. 1 1 )
( 2 y thoả mãn điều kiện 2 ) 1 2 Bài 21. Cho Parapol 2
(P) : y = x và đường thẳng (d) : y = 2x + 3 . a. Vẽ Parapol 2
(P) : y = x và đường thẳng (d) : y = 2x + 3 trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
b. Tìm tọa độ giao điểm (nếu có) của (P) và (d ). 1
Bài 22. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) có phương trình 2 y =
x và đường thẳng (d ) có 2
phương trình y = −mx + 3 − m (với m là tham số).
a. Tìm tọa độ điểm M thuộc parabol (P) , biết điểm M có hoành độ bằng 4.
b. Chứng minh đường thẳng (d ) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt. Gọi x ,1 2
x lần lượt là hoành độ của hai điểm , A B . Tìm m để 2 2
x + x = 2x x + 20 1 2 1 2 19
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
ấn đề 7. Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình VPhương pháp chung:
 Chọn ẩn, đơn vị cho ẩn và điều kiện thích hợp cho ẩn.
 Biểu đạt các đại lượng khác theo ẩn đã gọi, lưu ý thống nhất đơn vị
 Dựa vào dữ kiện, điều kiện của bài toán để lập phương trình hoặc hệ phương trình
 Giải phương trình hoặc hệ phương trình, so sánh điều kiện của ẩn đưa ra kết quả bài toán yêu cầu và kết luận.
Bài 1. Lớp 9A có 40 học sinh được chia thành một số tổ. Nếu tăng thêm 1 tổ thì mỗi tổ lúc này sẽ có ít
hơn 2 học sinh so với lúc chưa tăng. Tính số tổ lúc đầu của lớp 9A (biết rằng số học sinh ở mỗi tổ luôn bằng nhau). HD Giải
Gọi số tổ lúc đầu của lớp 9A là x ( x nguyên dương). 40
Số học sinh chia theo tổ là : (học sinh) x 40
Tăng thêm 1 tổ, số học sinh chia theo tổ là (học sinh) x +1 40 40 Theo đề bài ta có: − 2 = x x +1
x = 4 (nhaän) ⇔ 40(x + ) 1 − 2x (x + ) 2 1 = 40x ⇔ 2
− x − 2x + 40 = 0 ⇔  x = 5 − (loaïi)
Vậy số tổ lúc đầu của lớp 9A là 4 tổ.
Bài 2. Anh Nam trồng cây trên một mảnh đất hình chữ nhật. Anh dự dịnh trồng theo từng hàng và mỗi
hàng có số cây bằng nhau. Nếu tăng thêm 1 hàng và mỗi hàng bớt đi 1 cây thì số cây phải trồng tăng
thêm 7 cây. Nếu bớt đi 1 hàng và tăng thêm mỗi hàng 5 cây thì số cây phải trồng tăng thêm 11 cây. Hỏi
số lượng cây mà Anh Nam dự định trồng là bao nhiêu ? HD Giải
Gọi x (hàng) là số hàng dự định trồng và y (cây) là số cây dự định trồng trên mỗi hàng Điều kiện *
x, y ∈ ℕ . Khi đó số cây dự định trống là x.y (cây)
Nếu tăng thêm 1 hàng và mỗi hàng bớt đi 1 cây thì số cây phải trồng tăng thêm 7 cây , ta có phương trình là: (x + ) 1 (y − ) 1 = xy + 7 (1)
Nếu bớt đi 1 hàng và tăng thêm mỗi hàng 5 cây thì số cây phải trồng tăng thêm 15 cây, ta có phương trình là: (x − )
1 (y + 5) = xy +15 (2)
(x + )1(y− )1 = xy+7 x − y = 8 − x = 7
Do đó, từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : ( ⇔  ⇔   x − 
)1(y+5) = xy+15 5x− y = 20 y =15
Vậy số cây mà anh Nam dự định trồng là : 7.15 = 105 cây
Bài 3. Để thực hiện chương trình khuyến mãi nhân kỉ niệm ngày thành lập, một công ty điện tử thực hiện
giảm giá 20% trên một tivi cho lô hàng gồm có 30 cái tivi với giá bán lẻ mỗi cái trước đó là 6200000VNĐ.
Ngày thứ nhất công ty đã bán được 20 cái. Qua ngày thứ 2, công ty quyết định giảm giá thêm x% trên một
tivi cho các tivi còn lại, với x là số nguyên dương.
a. Cho x = 10, tính số tiền mà công ty thu được nếu bán hết lô hàng khuyến mãi.
b. Biết giá vốn của mỗi chiếc tivi là 4500000VNĐ. Tìm giá trị lớn nhất của x để công ty không bị lỗ. HD Giải
a. Số tiền thu được của công ty ngày thứ nhất: 20.0,8.6200000 = 99200000 VNĐ
Số tiền thu được của công ty ngày thứ hai: 10.0, 7.6200000 = 43400000 VNĐ
Vậy tổng số tiền mà công ty thu được khi bán hết lô hàng khuyến mãi là 142600000 VNĐ
b. Tổng giá vốn của 30 cái ti vi là 30.4500000 =135000000 VNĐ 20
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
Tổng số tiền mà công ty thu được khi bán hết lô hàng khuyến mãi là  20 +  20.0,8.6200000 +10.1 x −
.6200000 = 148800000 − 620000x  100  690
Công ty không lỗ khi: 148800000 − 620000x ≥ 135000000 ⇔ 62x ≤ 1380 ⇔ x ≤ ≈ 22,258 31
Vậy x = 22 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2
Bài 4. Một người đi xe máy từ A đến B cách nhau 150km với vận tốc dự định. Khi đi được quãng 3
đường AB , người đó dừng xe nghỉ 15 phút. Để đảm bảo đến B đúng thời gian dự định, người đó đã tăng
tốc thêm 10km / h trên quãng đường còn lại. Tính vận tốc dự định của người đi xe máy. HD Giải
Gọi x (km / h) là vận tốc dự định (x > 0). 150
Thời gian dự định đi từ A đến B là (h) x 2 100
Thờ gian đi quãng đường là (h) 3 x 1 50
Thời gian đi hết quãng đường còn lại là (h) 3 x +10 150 100 50  1 Theo đề bài ta có: −  +  =
. Giải phương trình, ta được x = 40(km / ) h xx x +10  4
Bài 5. Quãng đường AB dài 120km . Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ A đến B . Mỗi giờ ô tô thứ nhất
chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 12 km nên đến B trước ô tô thứ hai 30 phút. Tính vận tốc của ô tô thứ nhất. HD Giải
Gọi vận tốc ô tô thứ nhất là x (km / )
h . Điều kiện x > 12
Vận tốc ô tô thứ hai là x −12 (km / ) h 120
Thời gian ô tô thứ nhất đi từ A đến B là (h) x 120
Thời gian ô tô thứ hai đi từ A đến B là (h) x −12 120 1 120 Theo đề bài, ta có: 2 + =
⇔ x −12x − 2880 = 0 ⇔ x = 60 (nhận) hoặc x = 4 − 8(loại) x 2 x −12
Vậy vận tốc ô tô thứ nhất là 60 (km / ) h
Bài 6. Một nhóm học sinh có kế hoạch nhận trồng 200 cây tràm giúp cho gia đình bạn An. Vì có 2 học
sinh bị bệnh không tham gia được nên mỗi học sinh còn lại phải trồng thêm 5 cây so với dự định để hoàn
thành kế hoạch (Biết số cây mỗi học sinh trồng là như nhau). Tính số học sinh thực tế tham gia trồng cây. HD Giải
Gọi x là số học sinh thực tế tham gia trồng cây (x > 0)
Số học sinh tham gia trồng cây theo dự định là x + 2 200 200 Theo đề bài, ta có: 2 −
= 5 ⇔ 5x +10x − 400 = 0 ⇔ x = 8 (nhận) hoặc x = 1 − 0 (loại) x x + 2
Vậy số học sinh thực tế tham gia trồng cây là 8 học sinh.
Bài 7. Trong một buổi lẻ tổng kết cuối năm, lớp 9A1 có mời thêm 15 bạn lớp khác đến dự. Vì lớp đã có
45 học sinh nên phải kê thêm 1 dãy ghế nữa và mỗi dãy phải ngồi thêm 1 học sinh mới đủ chỗ. Biết rằng
mỗi dãy ghế có số học sinh ngồi như nhau và không thể ngồi quá 6 em. Hỏi lớp 9A1 ban đầu có bao nhiêu dãy ghế? 21
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp HD Giải
Gọi x là số dãy ghế lúc đầu *
(x ∈ ℕ ). Khi đó số dãy ghế lúc sau là x +1 45
Số học sinh lúc ban đầu ngồi mỗi dãy ghế là (học sinh) x 60
Số học sinh lúc sau ngồi mỗi dãy ghế là (học sinh) x +1 45 60
Theo đề bài, ta có phương trình: 2 +1 =
⇔ x −14x + 45 = 0 ⇔ x = 5 hoặc x = 9 x x +1 45
Thử lại: Với x = 5 số học sinh ngồi mỗi dãy ghế là
= 9 học sinh(vi phạm điều kiện không thể ngồi 5 quá 6 học sinh)
Vậy lớp 9A1 lúc đầu có 9 dãy ghế.
Bài 8. Một tổ trồng cây của trường nhận kế hoạch trồng 200 cây. Vì 2 tổ viên được điều sang làm việc
khác nên mỗi tổ viên còn lại nhận trồng thêm 5 cây so với dự định lúc đầu để hoàn thành kế hoạch. Biết
số cây mỗi người trồng như nhau. Tìm số tổ viên lúc đầu. HD Giải
Gọi x là số tổ viên lúc đầu (x > 2, x ∈ ℕ). Số tổ viên lúc sau là x − 2. 200
Số cây mỗi người trồng theo dự tính là (cây) x 200
Số cây thực mỗi người trồng là (cây) x − 2 200 200
Theo đề bài, ta có phương trình: 2 + 5 =
⇔ x − 2x − 80 = 0 ⇔ x = 10 (nhận) hoặc x = 8 − (loại) x x − 2
Vậy số tổ viên lúc đầu là 10 người.
Bài 9. Một người đi xe gắn máy từ A đến B cách nhau 90km . Sau khi đi được 2 giờ, xe bị hỏng, người
ấy phải dừng lại 15 phút để sữa rồi tiếp tục đi với vận tốc tăng thêm 10km / h và đi đến B đúng giờ đã
định. Tìm vận tốc ban đầu của xe gắn máy. HD Giải
Gọi x (km / h) là vận tốc ban đầu của xe gắn máy (x > 0). Vận tốc lúc sau là x +10 (km / h)
Quãng đường đi sau 2 giờ đầu là 2x km
Quãng đường đi sau khi sửa xe là 90 − 2x (km) 90 1 90 − 2x
Theo đề bài, ta có phương trình: 2 = 2 + +
⇔ x + 90x − 3600 = 0 ⇔ x = 30 (nhận) hoặc x 4 x +10 x = 1 − 20 (loại)
Vậy vận tốc ban đầu của xe gắn máy là 30 km / h
Bài 10. Một phòng họp có 120 ghế được xếp đều thành các dãy. Nếu muốn bớt đi 2 dãy thì phải xếp thêm
3 ghế vào mỗi dãy còn lại. Hỏi phòng họp có bao nhiêu dãy ghế và mỗi dãy có bao nhiêu ghế? HD Giải
Gọi x là số ghế trên mỗi dãy * (x ∈ ℕ ) 120 120
Số dãy ghế lúc đầu là
. Số dãy ghế lúc sau là x x + 3 120 120
Theo đề bài, ta có phương trình: 2 =
+ 2 ⇔ x + 3x −180 = 0 ⇔ x = 12 (nhận) hoặc x = 1 − 5 x x + 3 (loại) 120
Vậy mỗi dãy ghế có 12 chiếc và số dãy ghế là = 10 (dãy). 12 22
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
Bài 11. Một đơn vị theo kế hoạch phải sản xuất 20 chi tiết máy trong một thời gian đã định, nhưng sau
đó đơn vị tăng năng suất thêm 10 chi tiết máy mỗi ngày nên đã hoàn thành kế hoạch sớm được 1 ngày.
Hỏi năng suất dự định của đơn vị là bao nhiêu chi tiết máy mỗi ngày? HD Giải
Gọi năng suất dự định là *
x (x ∈ ℕ ). Năng suất thực làm là x +10. 200 200
Số ngày dự định làm là . Số ngày thực làm là . x x +10 200 200
Theo đề bài ta có phương trình: 2 = 1+
⇔ x +10x − 2000 = 0 ⇔ x = 40 (nhận) hoặc x = 5 − 0 x x +10 (loại)
Vậy năng suất dự định là 40 chi tiết máy mỗi ngày.
Bài 12. Một tổ sản xuất, theo kế hoạch phải sản xuất 180 tấn dụng cụ trong một thời gian đã định. Sau khi 2
thực được kế hoạch thì tổ được bổ sung thêm người nên năng suất hằng của tổ tăng thêm 2 tấn. Nhờ 3
vậy tổ đã hoàn thành kế hoạch trước thời hạn 1 ngày. Hỏi năng suất mỗi ngày lúc đầu của tổ là bao nhiêu tấn? HD Giải
Gọi x (tấn/ngày) là năng suất ban đầu của tổ (x > 0) 2 2
Như vậy kế hoạch nghĩa là thực hiện được là 180. = 120 (tấn) 3 3 180
Thời gian hoàn thành kế hoạch dự định là x 2 120
Thời gian thực hiện kế hoạch đầu là 3 x 1 60
Thời gian thực hiện kế hoạch đầu là 3 x + 2 180 120 60
Theo đề bài, ta có phương trình: 2 = +
+1 ⇔ x + 2x −120 = 0 ⇔ x = 10 (nhận) hoặc x x x + 2 x = 1 − 2 (loại)
Vậy năng suất ban đầu của tổ là 10 tấn/ngày
Bài 13. Cô Lan tập thể dục mỗi sáng trong 40 phút. Cô Lan thực hiện sự kết hợp của thể dục nhịp điệu
đốt cháy 11 calo mỗi phút và kéo căng cơ thể đốt cháy 4 calo mỗi phút. Mục tiêu của cô Lan là đốt cháy
335 calo trong quá trình tập luyên của mình. Hỏi cô Lan cần thực hiện mỗi hoạt động trong bao lâu? HD Giải
Gọi x (phút), y (phút) lần lượt là thời gian cô Lan tập thể dục nhịp điệu và kéo căn cơ thể (0 < x, y < 40) x + y = 40 x = 25
Theo đề bai ta có hệ phương trình:  ⇔  1
 1x + 4y = 335 y = 15
Vậy cô Lan dành 25 phút để tập thể dục nhịp điệu và 15 phút kéo căng cơ thể.
Bài 14. Hưởng ứng Ngày Chủ nhật xanh do UBND huyện phát động với chủ đề “Hãy hành động để Tuy
Phong thêm Xanh, Sạch, Sáng”, một trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm đã cử học sinh của hai lớp 9A1 35
và 9A2 cùng tham gia làm tổng vệ sinh một con đường, sau
giờ thì làm xong công việc. Nếu làm 12
riêng từng lớp thì thời gian học sinh lớp 9A1 làm xong công việc ít hơn thời gian học sinh lớp 9A2 là 2
giờ. Hỏi nếu mỗi lớp làm riêng thì sau bao nhiêu giờ sẽ làm xong công việc? HD Giải  35 
Gọi thời gian lớp 9A1 làm một mình xong công việc là x (giờ)  x >   12  23
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
Gọi thời gian lớp 9A2 làm một mình xong công việc là y (giờ) ( y > 2) 1
Mỗi giờ lớp 9A1 làm được phần công việc là: (công việc) x 1
Mỗi giờ lớp 9A2 làm được phần công việc là: (công việc) y 1 1
Mỗi giờ lớp cả hai ớp 9A1, 9A2 làm được phần công việc là: + (công việc) x y 35
Theo đề bài, hai lớp cùng làm chung công việc trong
giờ thì xong công việc nên ta có phương trình: 12 1 1 35 + = 1 1 12 1: ⇔ + = (1) x y 12 x y 35
Nếu làm riêng từng lớp thì thời gian học sinh lớp 9A1 làm xong công việc ít hơn thời gian lớp 9A2 là 2 giờ
nên ta có phương trình: y = x + 2 (2)
Thế phương trình (2) vào phương trình (1) ta được: 1 1 12 (1) ⇔ + =
⇔ 35(x + 2) + 35x = 12x(x + 2) x x + 2 35 2 2
⇔ 35x + 70 + 35x =12x + 24x ⇔ 12x − 46x − 70 = 0 2
⇔ 12x − 60x +14x − 70 = 0 ⇔ 12x(x − 5) +14(x − 5) = 0 x = 5 (tm) x − 5 = 0 ( 
⇔ x − 5)(12x +14) = 0 ⇔  ⇔ 7 1  2x 14 0  + = x = − (Ktm)  6
Vậy nếu làm một mình thì lớp 9A1 làm xong công việc trong 5 giờ, lớp 9A2 làm xong công việc trong 5 + 2 = 7 giờ
Bài tập làm tương tự
Bài 15. Một mảnh đất hình thang vuông có diện tích là 2
70m ; chiều dài đáy nhỏ gấp 4 lần chiều cao và
ngắn hơn đáy lớn 3m . Tính chu vi của mảnh đất trên. (Đáp số: Chiều cao bằng 4m, chu vi là 44 m)
Bài 16. Phòng họp của công ty có 240 ghế ngồi được xếp thành từng dãy ngang song song với nhau. Số
ghế trên mỗi dãy như nhau và được sắp xếp cách đều nhau. Ban giám đốc định mời 320 người dự lễ tổ
chức kỉ niệm thành lập công ty. Để đảm bảo đủ số ghế ngồi cho khách mời, ban tổ chức phải kê thêm 4
dãy ghế và mỗi dãy ghế phải bố trí thêm 1 ghế sao cho số ghế trong tất cả các dãy như nhau. Biết rằng
phòng họp chỉ có thể bố trí tối đa 20 dãy ghế. Hỏi lúc đầu phòng họp có bao nhiêu dãy ghế và mỗi dãy
ghế có bao nhiêu ghế? (Đáp số: 16 dãy ghế và 15 ghế)
Bài 17. Hai đội xây dựng làm chung một công việc và dự định hoàn thành trong 30 ngày. Nhưng khi làm
chung được 20 ngày thì đội I được điều động đi làm việc khác. Tuy chỉ còn đội II làm việc, nhưng do cải
tiến cách làm, năng suất đội II tăng gấp đôi, nên họ làm xong phần việc còn lại trong 8 ngày. Hỏi với
năng suất ban đầu, nếu mỗi đội làm riêng thì phải làm trong bao nhiêu ngày mới xong công việc trên?
(Đáp số: Đội I là 80; đội II là 48)
Bài 18. Cô Bông là chủ cho thuê căn hộ loại 2 và 3 phòng ngủ với giá mỗi phòng lần lượt là 6 triệu đồng
và 8 triệu đồng mỗi tháng. Tháng trước cô Bông có 6 căn hộ không có ai thuê và thất thu 40 triệu đồng.
Hỏi có bao nhiêu căn hộ 2 phòng ngủ không có người thuê? (Đáp số: 4 căn hộ 2 phòng ngủ)
Bài 19. Trong kỳ thi Tuyển sinh vào lớp 10 THPT năm 2019, tổng chỉ tiêu tuyển sinh của Trường THPT
A và trường THPT B là 900 học sinh. Do cả hai trường đều có chất lượng giáo dục rất tốt nên sau khi hết
hạn thời gian điều chỉnh nguyên vọng thì số lượng thí sinh đăng ký dự tuyển vào Trường THPT A và
Trường THPT B tăng lần lượt là 15% và 10% so với chỉ tiêu ban đầu. Vì vậy, tổng số thí sinh đăng ký dự
tuyển của cả hai trường là 1010. Hỏi số lượng thí sinh đăng ký dự tuyển của mỗi trường là bao nhiêu? (Đáp số: 400 và 500)
Bài 20. Bác B vay ở một ngân hàng 100 triệu đồng để sản xuất trong thời hạn 1 năm. Lẽ ra đúng 1 năm
sau bác phải trả cả tiền vốn lẫn tiền lãi, song bác đã được ngân hàng cho kéo dài thời hạn thêm 1 năm
nữa, số tiền lãi của năm đầu được gộp vào với tiền vốn để tính lãi năm sau và lãi suất vẫn như cũ. Hết 2 24
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
năm bác B phải trả tất cả 121 triệu đồng. Hỏi lãi suất cho vay của ngân hàng đó là bao nhiêu phần trăm
trong 1 năm? (Đáp số: 10%/năm)
Bài 21. Một công ty vận tải dự định dùng loại xe lớn để vận chuyển 20 tấn hàng hóa theo một hợp đồng.
Nhưng khi vào việc, công ty không còn xe lớn nên phải thay bằng những xe nhỏ. Mỗi xe nhỏ vận chuyển
được khối lượng ít hơn 1 lần so với mỗi xe lên theo dự định. Để đảm bảo thời gian đã hợp đồng, công ty
phải dùng một số lượng xe nhiều hơn số xe dự định là 1 xe. Hỏi mỗi xe nhỏ vận chuyển bao nhiêu tấn
hàng hóa? (Biết các xe cùng loại thi có khối lượng vận chuyển như nhau).(Đáp số: 4 tấn)
Bài 22. Bác Bình dự định trồng 300 cây cam theo nguyên tắc trồng thành các hang, mỗi hang có
số cây bằng nhau. Nhưng khi thực hiện bác Bình đã trồng thêm 2 hàng, mỗi hang thêm 3 cây so
với dự kiến ban đầu nên trồng được tất cả 391 cây. Tính số cây trên 1 hàng mà bác Bình dự kiến
trồng ban đầu.(Đáp số: 20 cây, 15 cây) 25
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
ấn đề 8. Hình học
VCác dạng toán thường gặp trong kì thi tuyển sinh vào lớp 10
Dạng 1. Chứng minh tứ giác nội tiếp Phương pháp cơ bản:
 Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối bằng 0 180 .
 Chứng minh tứ giác có bốn điểm của tứ giác cách đều một điểm nào đó.
 Chứng minh từ hai đỉnh cùng kề một cạnh của tứ giác, cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau
 Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối bằng nhau thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn
 Chứng minh tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó
Dạng 2. Tam giác đồng dạng và ứng dụng của nó. Phương pháp cơ bản:
 Hai tam giác có hai góc tương ứng bằng nhau (g – g)
 2 cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau – góc xen giữa hai cạnh bằng nhau(c – g – c)
 3 cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau (c – c – c)
 Định lí Talet – Hai đường thẳng song song
Lưu ý: Các định lí đồng dạng của hai tam giác vuông
1. Định lí 1 (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Nếu cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác
kia thì hai tam giác đồng dạng.
2. Định lí 2 (hai cạnh góc vuông).
Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác đồng dạng. 3. Định lí 3 ( góc).
Nếu góc nhọn của tam giác này bằng góc nhọn của tam giác kia thì hai tam giác đồng dạng.
Dạng 3. Chứng minh ba đường thẳng đồng quy Phương pháp cớ bản:
 Chứng minh có một điểm đồng thời thuộc cả ba đường thẳng đó.
 Chứng minh giao điểm của 2 đường thẳng này nằm trên đường thẳng thứ ba.
 Chứng minh giao điểm của 2 đường thẳng thứ nhất và thứ hai trùng với giao điểm của hai đường thẳng thứ hai và thứ ba.
 Sử dụng tính chất đồng quy của ba đường trung tuyến, đường cao, phân giác, trung trực trong tam giác.
 Sử dụng tính chất của đường chéo của các tứ giác đặc biệt.
Dạng 4. Chứng minh ba điểm thẳng hàng Phương pháp cơ bản:
 Sử dụng tính chất góc bẹt
 Chứng minh hai đoạn thẳng tạo từ ba điểm đã cho cùng song song với một đường thằng ( Sử dụng tiên đề Ơclit)
 Sử dụng tính chất của hai đường thẳng vuông góc
 Sử dụng tích chất đường trung trực của đoạn thẳng
 Sử dụng tính duy nhất của tia phân giác của một góc khác góc bẹt
 Sử dụng tính chất đồng quy của tam giác Dạng 5. Tính
Dạng này thực hiện tính: Số đo (độ dài) cạnh; góc; diện tích tam giác; diện tích xung quanh, diện tích toàn
phần và thể tích tương ứng của hình nòn, trụ và cầu.
Cần nắm lại các kiến thức sau
1. Hệ thức lượng trong tam giác:
Cho ∆ABC vuông tại A, có đường cao AH.  2 + 2 = 2 AB AC BC AB = A .
C tanC = A . C cot B  2
AB = BC.BH A  2
AC = BC.CH c b 1 1 1  = + 2 2 2 B H a C AH AB AC
AB = BC.sin C = BC.cos B 26
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
Tỉ số lượng giác của góc nhọn: 0 < sinα < 1;0 < cosα <1. Ta có: sinα cosα 2 2 tanα = cotα = sin α + cos α =1 cosα sinα tanα.cotα =1 1 1 2 1+ tan α = 2 1+ cot α = 2 cos α 2 sin α
2. Các công thức tính diện tích: a) Tam giác: 1 1 1 1 1 1 S = . a h = . b h = . c h
S = bc sin A = c .
a sin B = absinC 2 a 2 b 2 c 2 2 2 a + b + c abc
S = pr ; p = ; S =
S = p( p − a)( p − b)( p − c) 2 4R 2 a 3 3 1 1 ∆ a
ABC đều, cạnh a: S = , đường cao AH =
∆ABC vuông tại A: S = .A .
B AC = .BC.AH 4 2 2 2 b) Hình vuông: S = a2
(a: cạnh hình vuông) c) Hình chữ nhật: S = a.b
(a, b: hai kích thước) d) Hình bình hành:
S = đáy × cao = AB.AD.sinBAD 1 e) Hình thoi:
S = AB.AD.sinBAD = AC.BD 2 1
f) Hình thang: S = (a + b).h 2
(a, b: hai đáy, h: chiều cao) 1
g) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc:
S = AC.BD 2 3. Hình tròn Hình Tính chất Tính
Đường tròn tâm O, bán
 Độ dài đường tròn: C = 2π R = π d M
kính R = OM = OA 0 π Rn  Độ dài cung tròn 0 n : l = R AB 0 = 180 OB = . Kí hiệu d (O;R) A 2 B  Diện tích hình tròn: 2 S = π R O
Đường kính d = AB đi
 Diện tích hình quạt tròn: qua tâm O . 2 0 π R n lR S = = Góc 0 AMB = 90 ; 0 360 2
- Cách xác định: Qua ba điểm = ;
- Quan hệ vuông góc giữa đường kính
không thẳng hàng ta vẽ được MOB sñ MB
và dây. Trong một đường tròn
một và chỉ một đường tròn. MOA = sñ MA ;
+ Đường kính vuông góc với một dây thì
- Tâm đối xứng, trục đối xứng 1
đi qua trung điểm của dây ấy
: Đường tròn có một tâm đối MAB = sñ MB ;
+ Đường kính đi qua trung điểm của
xứng; có vô số trục đối xứng. 2 1
một dây không đi qua tâm thì vuông MBA = sñ MA góc với dây ấy. 2
4. Diện tích – Thể tích hình nón, hình trụ và hình cầu Hình Diện tích Thể tích
Cho hình nón N có chiều cao h, đường sinh l
và bán kính đáy bằng r. S = πrl xq 27
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
S = S + S 1 tp xq ñaùy 2
V = πr h N 3 S = πr2 ñaùy
Cho hình trụ có chiều cao h, đường sinh l và
bán kính đáy bằng r. S = 2πrl xq 2 = π
S = S + 2S V r h T tp xq ñaùy S = πr2 ñaùy
Mặt cầu bán kính bằng R .
Gọi S là diện tích mặt cầu và V là thể tích C C khối cầu 4 V = π 3 R S = π 2 4 R C 3 C
Bài 1. Cho đường tròn (O; R) và điểm A sao cho OA = 2R. Từ điểm A vẽ tiếp tuyến AB đến (O) (B là tiếp
điểm). Kẻ đường kính BC của (O), gọi M là trung điểm của đoạn thẳng OB, kẻ MN vuông góc với AC tại N.
a. Chứng minh tứ giác ABMN nội tiếp.
b. Kẻ BH vuông góc với OA tại H. Cho R = 3c ,
m tính BOA và cạnh BH.
c. Đường thẳng vuông góc với OA tại O cắt tia AB tại E. Chứng minh ba điểm E, M, N thẳng hàng. HD Giải
a. Chứng minh tứ giác ABMN nội tiếp E
Xét tứ giác ABMN ta có: B = = 90o MBA MNA (gt)  + = 180o MBA MNA M
Vậy tứ giác ABMN nội tiếp
b. Tính BOA và cạnh BH O A H O
∆ BA vuông tại B OB R 3  cos BOA = = =  BOA = 60° N OA 2R 6 Xét O
∆ BH vuông tại H, ta có C 28
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp 3 3
BH = OBSinBOH = 3Sin60° = cm 2
c. Chứng minh ba điểm E, M, N thẳng hàng
Xét ∆OAE vuông tại O, ta có OB ⊥ AE OB2 = AB.BE 1  2 AB BC
BM ⋅ BC = A .
B BE ⇔ BM .BC = A . B BE hay = 2 BM BE Mặt khác, ta có: ∆ AB BC
ABC ∼ ∆MBE (c-g-c) (do ABC = MBE = 90° và = ) BM BE
BME = BAC mà CMN = BAC (do tứ giác ABMN nội tiếp)
BME = CMN mà BMN + CMN = 180° (kề bù) nên BMN + BME = 180°
 Ba điểm E, M, N thẳng hàng.
Bài 2. Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R, C là một điểm tùy ý trên đường tròn (C khác A và B);
các tiếp tuyến với đường tròn tại A và C cắt nhau tại M, BM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D.
a. Chứng minh tứ giác OAMC nội tiếp đường tròn; b. Chứng minh: 2
MC = MD.MB ;
c. ChoOM = 2R . Tính diện tích phần tam giác AMC nằm ngoài đường tròn (O) theo R. HD Giải
a. Chứng minh tứ giác OAMC nội tiếp đường tròn
Xét tứ giác OAMC , Tacó 0 M OAM = 90 và 0
OCM = 90 (Vì M ,
A MC là tiếp tuyến) Nên 0 0 0
OAM + OCM = 90 + 90 = 180 D C
Vậy tứ giác OAMC nội tiếp b. Chứng minh: 2
MC = MD.MB
Xét ∆ MCD và ∆ MBC , ta có A B O
BMC là góc chung và MCD = MBC ( cùng chắn cung DC )
Suy ra : ∆MCD ∆MBC(g − g) MC MD 2  =  MC = M . D M B MB MC
c. Tính diện tích phần tam giác AMC nằm ngoài đường tròn (O) theo R Ta có : 2 2 2 2
AM = OM − OA = 4R − R = R 3 OA 1 0 cos AOM = =  AOM = 60 OM 2 2 S S OA AM R OAMC = 2. OAM = . = 3 2 π R S = quaït OAC 3 2 2 R 3 3 − π 2 π R ( )
Vậy diện tích cần tìm là : S = S − S = R 3 − = ( đvdt) OAMC quaït OAC 3 3
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại .
A Trên cạnh AC lấy một điểm M không trùng với A và C. Gọi
(C) là đường tròn đường kính M .
C Các đường thẳng BM và BC cắt (C ) tại các điểm thứ hai lần lượt
tại D và E. Chứng minh rằng
a. Hai đường thẳng BM và CD vuông góc với nhau; b. MED = MB . A 29
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp HD Giải
a. Chứng minh rằng hai đường thẳng BM và CD C vuông góc với nhau
Ta có BDC = MDC = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Suy ra E BM ⊥ C . D D M N A B
b. Chứng minh rằng MED = MB . A
Ta có: CAB = BDC = 90° nên tứ giác ABCD nội tiếp được đường tròn.
Do đó: MBA = MC . D
Mặt khác ta có: MCD = MED (vì cùng chắn cung MD trong (C) )
Suy ra: MED = MB . A
Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 4c ,
m AC = 3cm . Lấy điêm ̉
D thuộc cạnh AB
( AB < AD). Đường tròn (O) đường kính BD cắt CB tại E , kéo dài CD cắt đường tròn (O) tại F .
a. Chứng minh rằng ACED là tứ giác nội tiếp.
b. Biết BF = 3cm . Tính BC và diện tích tam giác BFC .
c. Kéo dài AF cắt đường tròn (O) tại điểm G . Chứng minh rằng BA là tia phân giác của góc CBG . HD Giải
a. Chứng minh rằng ACED là tứ giác nội tiếp. C Ta có: 0
CAD = 90 (giả thiết) E 0
CED = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
 Bốn điểm C, D, ,
A E cùng nằm trên đường tròn đường kính CD .
Vậy tứ giác ACED là tứ giác nội tiếp. A D B O
b. Biết BF = 3cm . Tính BC và diện tích tam giác BFC .
∆ABC vuông tại A, ta có: 2 2 2 2 2
BC = AB + AC = 4 + 3 = 25 F GBC = 5cm
∆BFC vuông tại F , ta có: 2 2 2 2 2
CF = BC − BF = 5 − 3 = 16  CF = 4 cm 1 1 Vậy: 2 S BF CF cm BFC = . . = .3.4 = 6 ( ) 2 2
c. Chứng minh rằng BA là tia phân giác của góc CBG .
Tứ giác ACBF nội tiếp đường tròn ( do 0
CAB = CFB = 90 ) nên ABC = AFC (cùng chắn cung AC )
Mà ABG = AFC (cùng bù với DFG ) ABC = ABG . Vậy BA là tia phân giác của CBG
Bài 5. Cho đường tròn (O, R) và điểm M ở ngoài đường tròn. Từ M , kẻ hai tiếp tuyến M , A MB ( , A B
là hai tiếp điểm) và cát tuyến MC . D
a. Chứng minh tứ giác OAMB nội tiếp
b. Chứng minh rằng khi cát tuyến MCD thay đổi, ta luôn có 2 2
MA = MB = MC.MD c. Trong trường hợp 0
AMB = 60 , tính theo R độ dài cung AOB của đường tròn ngoại tiếp tứ giác
OAMB và diện tích phần tứ giác OAMB nằm tron đường tròn (O, R) 30
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp HD Giải
a. Chứng minh tứ giác OAMB nội tiếp A Ta có: 0
OAM = OBM = 90 (tính chất tiếp tuyến) Suy ra: 0 OAM + OBM = 180 D
Vậy tứ giác OAMB nội tiếp đường tròn đường kính OM C O M b. Chứng minh: 2 2
MA = MB = MC.MD
Xét ∆MAC và ∆MDA . Ta có: AMC  = DMA B   ∆ ∆ − MAC = MDA  ( AC) MAC MD ( A g g) cuøngchaén MA MC 2  =
MA = MC.MD MD MA
Vì MA = MB (hai tiếp tuyến cắt nhau) nên 2 2
MA = MB = MC.MD
c. Tính theo R độ dài cung AOB của đường tròn ngoại tiếp tứ giác OAMB và diện tích phần tứ giác
OAMB nằm tron đường tròn (O, R) 0 π 1 R 20 2π R Ta có: 0 0
AOB = 2AMB = 2.60 = 120 . Độ dài cung AOB là l = = 0 180 3 1 1 Ta lại có: 0 0 0 2 2
AMO = AMB = .60 = 30  OM = O . A s in30 = 2 ;
R AM = OM − OA = R 3 2 2 Mặt khác, ta có: ,
A B đối xứng qua OM nên 2 S = 2S = O . A AM = R 3 OAMB ∆OAM
Tứ giác OAMB nội tiếp và có 0 AMB = 60 nên 0 AOB = 120 2 0 2 π R 120 π R
Diện tích hình quạt OAB là S = = quaït OAB 0 360 3  π 
Diện tích phần tứ giác OAMB nằm ngoài đường tròng (O, R) là 2 S = S − S = R  3 −  O ∆ AMB quaït OAB  3 
Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại C nội tiếp trong đường tròn tâmO , đường kính AB = 2R , 0 ABC = 60
. Gọi H là chân đường cao hạ từ C xuống AB, K là trung điểm đoạn thẳng AC . Tiếp tuyến tại B của
đường tròn tâm O cắt AC kéo dài tại điểm D.
a. Chứng minh tứ giác CHOK nội tiếp trong một đường tròn b. Chứng minh rằng 2
AC.AD = 4R .
c. Tính theo R diện tích của phần tam giác ABD nằm ngoài hình tròn tâm O . HD Giải
a) Chứng minh tứ giác CHOK nội tiếp trong một đường tròn D C
Vì K là trung điểm của dây cung AC nên OK ⊥ AC  0 CKO = 90 K
Xét tứ giác CHOK có : 600 A 0 B CKO = 90 (cmt); 0
CHO = 90 (vì CH ⊥ AB ) O H 0 0 0
CKO + CHO = 90 + 90 =180 nên tứ giác CHOK nội tiếp 31
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp b) Chứng minh rằng 2
AC.AD = 4R .  0
ACB = ABD = 90
Xét ∆ ACB và ∆ABD ta có : 
BAD laø goùc chung Vậy ∆ AC B A ACB ∆ABD  =
⇔ AC AD = AB = ( R)2 2 2 . 2 = 4R (đpcm) AB AD
c) Tính theo R diện tích của phần tam giác ABD nằm ngoài hình tròn tâmO .
Gọi S là diện tích của phần tam giác ABD nằm ngoài hình tròn tâm O . Khi đó : S = S − S − S A ∆ BD A ∆ BC vp
Ta có : OB = OC = R và 0
ABC = 60  ∆ OBC là tam giác đều  OB = OC = BC = R và 0 BOC = 60 R 3 Lại có R
CH ⊥ AB H là trung điểm OB BH =  AH = 2 2 2 R R
Trong ∆ CHB vuông tại 2 2 2 2 2 2 3
H ta có : CH + BH = BC CH = BC − HB = R − = 4 2 R 3 2 . . R AH CH AB CH 2R 3
Vì CH / /BD (cùng vuông góc với 2 AB ) nên =  BD = = = AB BD AH 3R 3 2 2 1 1 2R 3 2R 3 Khi đó : S = A . B BD = .2 . R = A ∆ BD 2 2 3 3 2 1 1 R 3 R 3 S = CH.AB = . .2R = A ∆ BC 2 2 2 2 2 0 2 2 2 . π R .60 1 πR 1 R 3 πR R 3 S S S OB CH R vp = qBOC − BOC = − . . = − . = − ∆ 0 360 2 6 2 2 6 4
Vậy diện tích phần tam giác ABD nằm ngoài hình tròn tâm O là : 2 2 2 2 2   R R R R π R (10 3 2 3 3 3 − π) S = S − S − S = − −  −  = (đvdt) A ∆ BD A ∆ BC vp 3 2  6 4  12  
Bài 7. Cho đường tròn ( ;
O R) . Từ một điểm M ở ngoài đường tròn ( ;
O R) sao cho OM = 2R , vẽ hai tiếp tuyến M ,
A MB với (O) ( ,
A B là hai tiếp điểm). Lấy một điểm N tuỳ ý trên cung nhỏ A . B
Gọi I , H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của N trên AB, AM , BM .
a. Tính diện tích tứ giác MAOB theo . R
b. Chứng minh: NIH = NB . A
c. Gọi E là giao điểm của AN và IH , F là giao điểm của BN và IK . Chứng minh tứ giác IENF
nội tiếp được trong đường tròn.
d. Giả sử O, N, M thẳng hàng. Chứng minh: 2 2 2
NA + NB = 2R 32
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp HD Giải
a. Tính diện tích tứ giác MAOB theo R .
Xét tam giác OAM và tam giác OBM ta có:
OA = OB (= R); OM chung;
MA = MB (Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau);
 ∆OAM = ∆OBM (c.c.c) S S OAM = ∆ ∆OBMS S S S MAOB = OAM + OBM = 2 ∆ ∆ ∆OBM
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông OAM ta có: AM = OM − OA = ( R)2 2 2 2 2 2 2 − R = 3R AM = R 3 . 1 2  S S OA AM R R R (đvdt). MAOB = 2 OAM = 2. . . = . 3 = 3 ∆ 2
b. Chứng minh NIH = NBA
Xét tứ giác AINH có: 0 0 0
AIN + AHN = 90 + 90 = 180  Tứ giác AINH là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 0 180 ).
NIH = NAH (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HN ).
Mà NAH = NBA (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AN của (O) )
NIH = NBA(= NAH ) (đpcm).
c. Chứng minh tứ giác IENF nội tiếp được trong đường tròn.
Xét tứ giác NIBK ta có NIB NKB 90° 90° 180° + = + =
Mà hai góc này là hai góc đối diện
NIBK là tứ giác nội tiếp  KBN = NIK
Xét đường tròn (O) ta có: KBN = NAB NIK = NAB(= KBN)
Xét ∆ANB ta có: ANB NAB NBA 180° + + =
Lại có: NIH = NAB = NIE; NIK = NAB = NIF ; ANB = ENF ENF EIN NIF ENF EIF 180°  + + = + =
Mà ENF, EIF là hai góc đối diện  Tứ giác NEIF là tứ giác nội tiếp d. Chứng minh: 2 2 2
NA + NB = 2R 1 Theo đề bài ta có: ,
O N, M thẳng hàng  ON = R = OM 2
N là trung điểm của OM.
Ta có: ON ⊥ AB = {I}  I là trung điểm của AB .
Lại có: OA = OB = R ON là đường trung trực của AB NA = NB Xét ∆MAO ta có: OA R 1 cos AOM AOM 60° = = =  = = AON OM 2R 2
OA = ON = R Xét ∆AON có: 
 ∆AON là tam giác đều. AON = 60°
NA = ON = OA = R = NB 33
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp 2 2 2 2 2
NA + NB = R + R = 2R (đpcm)
Bài 8. Cho đường tròn tâm O đường kính AB . Trên đường tròn (O) lấy điểm C không trùng B sao cho
AC > BC . Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và tại C cắt nhau tại D . Gọi H là hình chiếu vuông
góc của C trên AB , E là giao điểm của hai đường thẳng OD và AC .
a. Chứng minh OECH là tứ giác nội tiếp.
b. Gọi F là giao điểm của hai đường thẳng CD và AB . Chứng minh 2BCF + CFB = 90°
c. Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng BD và CH . Chứng minh hai đường thẳng EM và AB song song với nhau. HD Giải
a. Chứng minh OECH là tứ giác nội tiếp. D
Ta có: DC = DA (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
OA = OC (bán kính) C
Do đó OD là đường trung trực của đoạn thẳng AC  OD ⊥ AC E K M
Tứ giác OECH có CEO + CHO = 90° + 90° =180°
 Tứ giác OECH là tứ giác nội tiếp. A H O B F
b. Chứng minh 2BCF + CFB = 90°
Xét (O) có: BCF = BAC (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp
tuyến và dây cung cùng chắn cung BC) (1)
HCB = BAC (Cùng phụ CBA ) (2)
Từ (1) và (2) suy ra BCF = HCB CB là tia phân giác của HCF HCF = 2.BCF
Ta lại có: ∆CHF vuông tại H nên HCF + CFB = 90° hay 2.BCF + CFB = 90°
c. Chứng minh hai đường thẳng EM và AB song song với nhau.
Gọi K là giao điểm của DB và AC .
Xét (O) ta có: ABC = ACD (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn AC ) (3)
Ta có ∆ACH vuông tại H có ACH = 90° − CAH
∆ABC vuông tại C có CBA = 90° − CAB
ACH = ABC (Cùng phụ CAH ) (4)
Từ (3) và (4) suy ra ACH = ACD CA là tia phân giác trong của tam giác ∆BCD
Theo tính chất tia phân giác trong ∆BCD ta có: KM BM CM = = KD BD CDKM BM CM = = (Do DC = DA ) KD BD AD
Mặt khác ta có: CH / / AD (cùng vuông góc AB )  HM BM =
(Định lý Ta lét) HM BM CM = =  HM CM =  HM = CM AD BD AD BD AD AD AD
Mà CE = AE (Do OD là đường trung trực của AB ) nên ME là đường trung bình của ∆CAH
ME / / AH hay ME / / AB
Bài 9. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O) . Hai đường cao BE và
CF của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H .
a. Chứng minh bốn điểm B , C , E , F cùng thuộc một đường tròn.
b. Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng EF . 34
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
c. Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC . Đường thẳng AO cắt đường thẳng BC tại điểm I ,
đường thẳng EF cắt đường thẳng AH tại điểm P . Chứng minh tam giác APE đồng dạng với tam giác
AIB và đường thẳng KH song song với đường thẳng IP . HD Giải
a. Chứng minh bốn điểm B , C , E , F cùng thuộc một đường tròn. Xét tứ giác A BCEF ta có :
BEC = 90° ( BE là đường cao) E x M P
BFC = 90° ( CF là đường cao) F H
BCEF là tứ giác nội tiếp (đỉnh E , F cùng nhìn cạnh O
BC dưới một góc vuông).
b. Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường B D K I C thẳng EF .
Vẽ tiếp tuyến Ax như hình vẽ  BAF = ACB (tính S
chất giữa đường tiếp tuyến và dây cung).
Do tứ giác BCEF nội tiếp  AFE = AC . B
Ta suy ra BAF = AFE EF //Ax (do hai góc so le trong) . Lại có Ax ⊥ OA OA ⊥ EF (đpcm).
c. Chứng minh ∆APE ∽ ∆ABI
Ta có : AEB = ABI ( Vì AEB + EFC = ABI + EFC =180°)
Mặt khác APE + PAI = 90° (vì AI ⊥ PE )
AIB + PAI = 90° ( Vì AH ⊥ BC )  APE = AIB
Vậy ∆APE ∽ ABI ( g-g).
* Chứng minh KH //PI
Gọi M là giao điểm của AO và EF , dung đường kính AS
Ta có BE / /CS cùng vuông góc AC
BS / /CF cùng vuông góc AB BHCS là hình bình hành nên H , K, S thẳng hàng Ta có A .
E AC = AH.AD và A .
E AC = AM .AS  . = . AH AM AH AD AM AS  =  A
∆ HM ∼ ∆ASD AHM = A ∆ SD AS AD
HMSD Nội tiếp đường tròn. Kết hợp PMID nội tiếp đường tròn  PIM = PDM = HSM HS//PI .
Bài 10. Cho tam giác ABC có AB < AC nội tiếp đường tròn (O) . Hai đường tròn BD và CE của tam
giác ABC cắt nhau tại H. Đường thẳng AH cắt BC và (O) lần lượt tại F và K ( K ≠ A ). Gọi L là
hình chiếu của D lên A . B
a. Chứng minh rằng tứ giác BEDC nội tiếp và 2
BD = BL ⋅ B . A
b. Gọi J là giao điểm của KD và (O), (J ≠ K). Chứng minh rằng BJK = BD . E
c. Gọi I là giao điểm của BJ và E .
D Chứng minh tứ giác ALIJ nội tiếp và I là trung điểm E . D HD Giải
a. Ta có BEC = BDC = 90° nên các điểm E, D cùng nằm trên đường tròn đường kính BC. Do đó tứ giác BEDC nội tiếp.
Xét tam giác ABD vuông ở D có DL là đường cao nên theo hệ thức lượng, ta có 2
BD = BL ⋅ B . A
b. Ta thấy H là trực tâm tam giác ABC nên AF cũng là đường cao của tam giác và AF ⊥ BC. Xét
đường tròn (O) có BJK = BAK , cùng chắn cung BK . 35
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
Tứ giác ADHE có ADH + AEH = 90° + 90° =180° nên nội tiếp. J A
Suy ra HAE = HDE nên BAK = BDE .
Tứ các kết quả trên, ta suy ra BJK = BDE . L c. Xét hai tam giác D BID và BDJ
Ta có: BDI = BJD (theo câu b) và DBI chung. I E O Suy ra ∆ ∆
( − )  BI = BD BID BDJ g g hay 2
BD = BI ⋅ BJ. BD BJ H Theo câu a, ta có 2
BD = BL ⋅ BA nên BL ⋅ BA = BI ⋅ BJ nên B C BL F = BJ . BI BA Lại xét hai tam giác BL BJ K
BIL và BAJ có góc B chung và = . BI BA
Do đó: BIL = BAJ LAI + LID =180° . Suy ra tứ giác ALIJ nội tiếp.
Từ đó, ta suy ra ILE = IJ .
A Mà JJA = BJA = BCA (cùng chắn cung BA )
Theo câu a, tứ giác BEDC nội tiếp nên LEI = AED = BCA do đó LEI = ELI .
Từ đó ta có tam giác LEI cân và IE = I .
L Do đó ILD = 90° − ILE = 90° − LED = LDI nên tam giác LID
cũng cân và ID = I . L
Từ các điều trên, ta có được ID = IE nên điểm I chính là trung điểm của DE.
Bài 11. Cho đường tròn tâm O , đường kính AB và C là điểm nằm trên đoạn thẳng OB ( với C khác B ).
Kẻ dây DE của đường tròn (O ) vuông góc với AC tại trung điểm H của AC . Gọi K là giao điểm thứ hai
của BD với đường tròn đường kính BC .
a. Chứng minh tứ giác DHCK là tứ giác nội tiếp.
b. Chứng minh CE song song với AD và ba điểm E,C, K thẳng hàng.
c. Đường thẳng qua K vuông góc với DE cắt đường tròn ( O ) tại hai điểm M và N ( với M thuộc cung
nhỏ AD ). Chứng minh rằng 2 2 2
EM + DN = AB HD Giải
a. Chứng minh tứ giác DHCK là tứ giác nội tiếp Ta có: 0 DHC = 90 ( gt ) 0
BKC = 90 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính BC ) 0
DKC = 90 ( Kè bù với BKC )
Xét tứ giác DHKC ta có: 0 DKC + DHC = 180
Mà DKC và DHC đối nhau
Suy ra DHKC là tứ giác nội tiếp.
b. Chứng minh CE song song với AD
Ta có: OA ⊥ DE H là trung điểm của DE ( quan hệ vuông
góc giữa đường kính và dây cung).
Tứ giác ADCE có H là trung điểm của AC , DE và AC ⊥ DE
Nên ADCE là hình thoi AD / /CE .
Chứng minh ba điểm E,C, K thẳng hàng Ta có: 0
ADB = 90 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường
kính AB )  CE ⊥ BD
Mà CK ⊥ BD (cmt)
 hai đường thẳng CE và CK trùng nhau  E,C, K thẳng hàng. 36
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp c. Chứng minh rằng 2 2 2
EM + DN = AB
Vẽ đường kính MI của đường tròn O . Ta có 0
MNI = 90 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính
MI )  NI ⊥ MN
Mà DE ⊥ MN  NI // DE ( cùng vuông góc với MN )
DN = EI (hai dây song song chắn hai cung bằng nhau) Ta lại có 0
MEI = 90 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính MI)
 ∆MEI vuông tại E, ta có: 2 2 2
EM + EI = MI ( Định lý py-ta-go)
Mà DN = EI và MI = AB = 2R  2 2 2
EM + DN = AB
Bài 12. Cho đường tròn tâm O , bán kính R và một đường thẳng d không cắt đường tròn (O) . Dựng
đường thẳng OH vuông góc với đường thẳng d tại điểm H . Trên đường thẳng d lấy điểm K (khác
điểm H ), qua K vẽ hai tiếp tuyến KA và KB với đường tròn (O) , ( A và B là các tiếp điểm) sao cho
A và H nằm về hai phía của đường thẳng OK .
a. Chứng minh tứ giác KAOH nội tiếp được trong đường tròn.
b. Đường thẳng AB cắt đường thẳng OH tại điểm I . Chứng minh rằng IA⋅ IB = IH ⋅ IO và I là điểm
cố định khi điểm K chạy trên đường thẳng d cố định.
c. Khi OK = 2R, OH = R 3 . Tính diện tích tam giác KAI theo R . HD Giải a. Ta có KAO 90° = (KA ⊥ AO) , KHO 90° = (OH ⊥ KH )
Xét tứ giác KAOH có KAO KBO 180° + = nên là tứ giác nội tiếp. b. Ta có KBO KAO 180° + =
nên KAOB là tứ giác nội tiếp
và đỉnh H , B, A cùng nhìn cạnh OK dưới một góc vuông nên năm điểm K , ,
A B, O, H cùng thuộc đường tròn đường kính OK
Xét tam giác IAH và tam giác IOB có HIA = BIO (đối đỉnh) và AHI = ABO (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AO ). Do đó ∆ ∽ ∆ ( . ) IA IO IAH IOB g g  =
IA⋅ IB = IH ⋅ IO IH IB
Xét tứ giác AOBH có OHB là góc nội tiếp chắn cung OB, OBA là góc nội tiếp chắn cung OA; Mà
OA = OB = R nên OHB = OBA . Xét O ∆ IB và O
∆ BH có BOH góc chung và OHB = OBA (cmt). 2 2 Do đó ∆ ∽ ∆ ( . ) OI OB OB R OIB OBH g g  =  OI = = . OB OH OH OH
Ta lại có đường thẳng d cố định nên OH không đổi (OH ⊥ d ).
Vậy điểm I cố định khi K chạy trên đường thẳng d cố định.
c. Gọi M là giao điểm của OK và AB . Theo tính chất tiếp tuyến ta có: KA = KB ;
Lại có OA = OB = R nên OK là đường trung trực của AB , suy ra AB ⊥ OK tại M và MA = MB . 2 2 Theo câu b) ta có R R R OI = = = . OH R 3 3 2 2 Xét OA R R O
∆ AK vuông tại A , ta có 2
OA = OM ⋅ OK ⇔ OM = = = OK 2R 2 37
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp R 3 2 Suy ra: = − = R R R R 2 R KM OK OM R − = ; 2 3 3 3
AM = OM ⋅ KM = ⋅ =  AM = 2 2 2 2 4 2 2 2     Xét R R R O
∆ MI vuông tại M , có 2 2 3
MI = OI − OM =   −   =  3   2  6 R 3 R 3 2R 3
Suy ra AI = AM + MI = + = 2 6 3 2 1 1 3R 2R 3 R 3 Diện tích A
∆ KI là S = AI ⋅ KM = ⋅ ⋅ = . 2 2 2 3 2
Bài 13. Cho tam giác nhọn ABC ( AB > AC ) nội tiếp đường tròn tâm .
O Các đường cao BD và CE cắt
nhau tại H (D thuộc AC, E thuộc AB). Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC.
a. Chứng minh các tứ giác BCDE và AMON nội tiếp.
b. Chứng minh AE.AM = A . D AN.
c. Gọi K là giao điểm của ED và MN , F là giao điểm của AO và MN , I là giao điểm của ED và
AH . Chứng minh F là trực tâm của tam giác KAI. HD Giải a. Ta có: BEC = 90 , ° BDC = 90°
E, D thuộc đường tròn đường kính BC.
 Tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn đường kính BC.
Do M , N lần lượt là trung điểm AB và AC
OM ⊥ AB, ON ⊥ AC OMA = 90 , ° ONA = 90° Tứ giác AMON có:
OMA + ONA = 90° + 90° = 180° mà OMA và ONA là hai góc đối nhau
AMON là tứ giác nội tiếp. b. Cách 1:
M , N là lần lượt là trung điểm của AB, AC MN là đường trung bình của ∆ABC
MN // BC ANM = ACB (so le trong) ( ) 1 Mặt khác, ta có:
ACB + BED = DCB + BED = 180° (tứ giác BCDE nội tiếp)
AED + BED = 180° (kề bù)  ACB = AED (2) Từ ( )
1 và (2)  ANM = AE . D
Xét ∆AMN và A ∆ DE có:
A: góc chung và ANM = AE . D  ∆ AM AN AMN ∆ADE  =
⇔ AE.AM = A . D AN AD AE Cách 2: Xét A
∆ BD và ∆ACE có:
A: góc chung và ADB = AEC = 90° 2  ∆ AB AD AM AD AM AD ABD ∆ACE  = ⇔ = ⇔ =
⇔ AE.AM = AD.AN AC AE 2AN AE AN AE
c) H là giao điểm của BD và CD H là trực tâm của ∆ABC
AH ⊥ BC mà MN // BC nên AH ⊥ MN KN ⊥ AI (3)
Gọi J là giao điểm của AF và DE . Trong đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMON 38
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
Ta có: EAJ = EAO = MNO (góc nội tiếp cùng chắn cung OM )
Xét ∆AJE có: AEJ + EAJ = AED + EAJ = ANM + MNO = ONA = 90°
AJE = 90°  AJ ⊥ JE AJ ⊥ KI (4)
KN cắt AJ tại F (5)
Từ (3), (4), (5)  F là trực tâm của ∆KAI.
Bài 14. Tính thể tích của một hình nón có bán kính đáy r = 4 cm, độ dài đường sinh l = 5 cm. HD Giải Ta có 2 2
AH = r = 4c ;
m AO = l = 5cm OH =
AO − AH = 9 = 3cm 1 Thể tích hình nón là 2
V = .OH .π .r = 16π ( 3 cm ) . 3
Bài 15. Người ta muốn tạo một cái khuôn đúc dạng hình trụ, có chiều cao bằng 16 cm, bán kính đáy bằng
8cm, mặt đáy trên lõm xuống dạng hình nón và khoảng cách từ đỉnh hình nón đến mặt đáy dưới hình trụ
bằng 10cm. Tính diện tích toàn bộ mặt khuôn (lấy π = 3,14 ). HD Giải
Hình trụ có bán kính r = 8cm và chiều cao h =16cm nên diện tích xung quanh hình trụ là 2
S = 2π rh = 2π .8.16 = 256π ( 2 1 cm )
Diện tích 1 mặt đáy của hình trụ là 2 2
S = π r = π .8 = 64π ( 2 2 cm )
Phần hình nón bị lõm xuống có chiều cao h = 16 −10 = 6 và bán 1 cm
kính đáy r = 8cm
Đường sinh của hình nón là 2 2 2 2
l = r + h = 8 + 6 = 10cm
Diện tích xung quanh của hình nón là: S = π rl = π .8.10 = 80π ( 2 3 cm )
Diện tích toàn bộ mặt khuôn là:
S = S + S + S = 256π + 64π + 80π = 400π = 1256 ( 2 1 2 3 cm )
Vậy diện tích toàn bộ mặt khuôn là ( 2 1256 cm ) Bài 16.
a. Một bồn nước inox có dạng một hình trụ với chiều cao 1,75 m và diện tích đáy là 2
0,32 m . Hỏi bồn
nước này đựng đầy được bao nhiêu mét khối nước ? (Bỏ qua bề dày của bồn nước).
b. Một hình trụ có diện tích xung quanh π ( 2 140
cm ) và chiều cao h = 7c .
m Tính thể tích hình trụ đó. HD Giải
a. Số mét khối nước đựng được của bồn chính là thể tích của bồn chứa. Như vậy số mét khối đựng được
của bồn sẽ là : V = = ( 3 0,32.1, 75 0,56 m ).
b. Theo bài ra ta có: 2π rh =140π  r =10cm . Áp dụng công thức tính thể tích hình trụ, ta có: 2 2 V =π r h = π = π ( 3 . . .10 .7 700 cm )
Bài 17. Một hộp sữa hình trụ có chiều cao 12cm và bán kính đáy 5cm. Mặt xung quanh hộp sữa được bao
phủ bằng giấy in các thông tin về hộp sữa ấy. Do giáp mí, diện tích giấy sử dụng bằng 105% diện tích
mặt xung quanh hộp sữa. Giả sử độ dày của giấy in và vỏ hộp không đáng kể, hãy tính diện tích phần
giấy trên (lấy π ≈ 3,14; kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai). 39
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp HD Giải
Diện tích phần giấy in cần dùng là: S =105%.2π rh Vậy: S ≈ = ( 2
105%.2.3,14.5.12 395, 64 cm )
Bài 18. Một cái mũ bằng vải của nhà ảo thuật có ống mũ hình trụ, vành mũ hình vành khăn với kích
thuớc như hình bên. Hãy tính tổng diện tích vải cần để làm cái mũ này biết rằng mũ được may hai
lớp vải và diện tích vải dùng may một lớp vành mũ bằng 110% diện tích hình vành khăn tương ứng. HD Giải
Ống mũ hình trụ với chiều cao h = 30cm 35 −10.2
Bán kính đáy là: R = = 7,5(cm) 2
Diện tích vải để làm 1 lớp ống mũ là : 2 2 2
S = 2π Rh + π R = 2π.7,5.30 + π.7,5 = 506,25π (cm ) 1
Diện tích hình vành khăn là : 2  35    2 2 2 2 S = π  
 − R  = (17,5 − 7,5 )π = 250π (cm ) 2  2     
Diện tích vải dùng may một lớp vành mũ là 2
S =110%.S =110%.250π = 275π (cm ) 3 2
Tổng diện tích vải để làm mũ là
S = 2(S + S ) 2
= 2.(506,25π + 275π ) =1562,5π (cm ) 1 3
Bài 19. Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50cm× 240c ,
m người ta gò thành mặt xung quanh của
các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50cm theo hai cách sau (xem hình minh họa):
Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.
Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, mỗi tấm gò thành mặt xung quanh của một thùng.
Hỏi cách làm nào chứa được lượng nước tối đa nhiều hơn? Vì sao? HD Giải 240 120
Theo cách 1, thùng nước tạo thành là hình trụ có chiều cao h = 50cm, bán kính = = . Khi 1 R cm 2π π 2 2  120  120
đó, thể tích nước (tối đa) có thể chứa là 2 h 3 = =   = (1) 1 V π 1 R h π h cmπ π 120 60
Theo cách 2, mỗi thùng nước tạo thành là hình trụ có chiều cao h = 50cm, bán kính = = . 2 R cm 2π π 2 2  60  2.60
Khi đó, thể tích nước (tối đa) có thể chứa ở cả hai thùng là 2 2 3
V = πR h + πR h = 2 h π   = 2 2 2 h cmπ π
(2). Từ (1) và (2) ta có V = 2V . 1 2 40
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
Vậy cách gò tôn theo cách 1 sẽ chứa được lượng nước tối đa nhiều hơn.
Bài 20. Một chiếc cốc thủy tinh có dạng hình trụ chứa đầy nước, có chiều cao bằng 6cm , bán kính đáy
bằng 1cm . Người ta thả từ từ lần lượt vào cốc nước một viên bi hình cầu và một vật có dạng hình nón
đều bằng thủy tinh (vừa khít như hình vẽ) thì thấy nước trong chiếc cốc tràn ra ngoài. Tính thể tích của
lượng nước còn lại trong chiếc cốc (biết rằng đường kính của viên bi, đường kính của đáy hình nón và
đường kính của đáy cốc nước xem như bằng nhau; bỏ qua bề dày của lớp vỏ thủy tinh). HD Giải
Chiều cao hình trụ là: h = 6 cm t ( )
Thể tích hình trụ là: V = 2 π = π ( 3 .1 .6 6 cm ) t
Bán kính hình cầu và hình trụ là: r =1(cm) 4 4 4 Thể tích hình cầu là: 3 3 V =
π r = π.1 = π cm c ( 3) 3 3 3
Chiều cao hình nón là: h = h − 2r = 6 − 2.1 = 4 cm t ( ) 1 1 4 Thể tích hình nón là: 2 2
V = π r .h = π .1 .4 = π cm n n ( 3) 3 3 3 4 4 10
Thể tích lượng nước còn trong chiếc cốc là: V = V −V −V = 6π − π − π = π cm t n c ( 3) 3 3 3
Bài tập làm tương tự
Bài 21. Cho một điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O;6cm) . Kẻ hai tiếp tuyến MN, MP ( N, P là hai
tiếp điểm) của đường tròn (O) . Vẽ cát tuyến MAB của đường tròn(O) sao cho đoạn thẳng AB = 6cm với ,
A B thuộc đường tròn (O) , A nằm giữa M và B .
a. Chứng minh tứ giác OPMN nội tiếp đường tròn.
b. Gọi H là trung điểm đoạn thẳng AB . So sánh góc MON và góc MHN .
c. Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung nhỏ AB và dây AB của hình tròn tâm (O) .
Bài 22. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại trực tâm
H . Biết ba góc CAB, ABC , BCA đều là góc nhọn.
a. Chứng minh bốn điểm B,C , D, E cùng thuộc một đường tròn.
b. Chứng minh DE vuông góc với O . A
c. Cho M, N lần lượt là trung điểm của hai đoạn BC , AH . Cho K , L lần lượt là giao điểm của hai
đường thẳng OM và CE , MN và BD . Chứng minh KL song song với AC .
Bài 23. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ( AB < AC ) và đường cao AH ( K ∈ BC ).
Vẽ đường tròn ( O ) đường kính BC . Từ A kẻ các tiếp tuyến AM , AN với đường tròn ( O ) ( với M , N là
các tiếp điểm, M và B nằm trên nữa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AO ). Gọi H là giao điểm của hai
đường thẳng AN và AK.
a. Chứng minh tứ giác AMKO là tứ giác nội tiếp
b. Chứng minh KA là tia phân giác góc AKN c. Chứng minh 2
AN = AK.AH
Bài 24. Cho nửa đường tròn ( ;
O R) đường kính AB . Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn ( ;
O R) vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn đó. Gọi M là một điểm bất kì trên nửa đường tròn ( ;
O R) (với M khác A , M khác B ), tiếp tuyến của nửa đường tròn tại M cắt Ax, By lần lượt tại C và D .
a. Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp.
b. Chứng minh tam giác COD vuông tại O . c. Chứng minh 2
AC.BD = R . 41
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
d. Kẻ MN ⊥ AB,(N ∈ AB) ; BC cắt MN tại I . Chứng minh I là trung điểm của MN .
Bài 25. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AD, AE ( D, E là các tiếp điểm).
Vẽ cát tuyến ABC của đường tròn (O) sao cho điểm B nằm giữa hai điểm A và C; tia AC nằm
giữa hai tia AD và A .
O Từ điểm O kẻ OI ⊥ AC tại I. a. Chứng minh năm điểm ,
A D, I , O, E cùng nằm trên một đường tròn.
b. Chứng minh IA là tia phân giác của DIE và 2 A . B AC = AD .
c. Gọi K và F lần lượt là giao điểm của ED với AC và OI. Qua điểm D vẽ đường thẳng song
song với IE cắt OF và AC lần lượt tại H và .
P Chứng minh D là trung điểm của H . P
Bài 26. Cho đường tròn (O) đường kính AB và điểm M bất kì thuộc đường tròn sao cho MA < MB
(M ≠ A). Kẻ tiếp tuyến tại A của đường tròn, tiếp tuyến này cắt tia BM ở N. Tiếp tuyến của đường tròn
tại M cắt CN ở D.
a. Chứng minh bốn điểm A, D, M, O cùng thuộc một đường tròn.
b. Chứng minh OD song song BM.
c. Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với AB và cắt đường thẳng BM tại I. Gọi giao điểm
của AI và BD là G. Chứng minh ba điểm N, G, O thẳng hàng.
Bài 27. Cho đường tròn tâm O đường kính AB . Kẻ dây cung CD vuông góc với AB tại H ( H
nằm giữa A và O , H khác A và O ). Lấy điểm G thuộc CH ( G khác C và H ), tia AG cắt
đường tròn tại E khác A .
a. Chứng minh tứ giác BEGH là tứ giác nội tiếp.
b. Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng BE và CD . Chứng minh: KC.KD = KE.KB .
c. Đoạn thẳng AK cắt đường tròn O tại F khác A . Chứng minh G là tâm đường tròn nội tiếp tam giác HEF .
d. Gọi M , N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B lên đường thẳng EF . Chứng minh
HE + H F = MN
Bài 28. Cho đường tròn ( O ) có hai đường kính AB và MN vuông góc với nhau. Trên tia đối của tia MA
lấy điểm C khác điểm M . Kẻ MH vuông góc với BC ( H ∈ BC ).
a. Chứng minh BOMH là tứ giác nội tiếp.
b. MB cắt OH tại E . Chứng minh ME.MH = BE.HC .
c. Gọi giao điểm của đường tròn ( O ) với đường tròn ngoại tiếp ∆ MHC là K . Chứng minh 3 điểm
C, K, E thẳng hàng.
Bài 29. Một hình trụ có chiều cao bằng 5mvà diện tích xung quanh bằng 2
20πm . Tính thể tích của hình trụ.
Bài 30. Một hình trụ có diện tích xung quanh 2
140π (cm ) và chiều cao là h = 7 (cm). Tính thể tích của hình trụ đó. 42
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
ấn đề 9. Một số đề luyện tập và hướng dẫn giải V ĐỀ 1
Bài 1 (1,5 điểm). Giải phương trình và hệ phương trình sau: 3  x + 2y = 4 a) 2
x − 3x −10 = 0. b)  . x − 2 y = 4
Bài 2 (1,5 điểm). Rút gọn các biểu thức sau:
a) A = ( 11 − 2 44 + 3 99): 11.  1 1  a b) B =  +  :
, với a > 0 và a ≠ 4 . a + 2
a − 2  a − 4 Bài 3 ( 1
2,0 điểm). Cho hàm số 2 y =
x có đồ thị (P). 2
a) Vẽ đồ thị (P) trên mặt phẳng tọa độ Ox . y
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng 2
(d ) : y = x + m và (P) cắt
nhau tại hai điểm có hoành độ các giao điểm là x , x thỏa mãn 2 2
x + x + x x ≥ 8. 1 2 1 2 1 2
Bài 4 (1,0 điểm).
Lớp 9A có 40 học sinh được chia thành một số tổ. Nếu tăng thêm 1 tổ thì mỗi tổ lúc này sẽ có ít
hơn 2 học sinh so với lúc chưa tăng. Tính số tổ lúc đầu của lớp 9A (biết rằng số học sinh ở mỗi tổ luôn bằng nhau).
Bài 5 (1,0 điểm).
Một hộp sữa hình trụ có chiều cao 12cm và bán kính đáy 5cm. Mặt xung quanh hộp sữa được
bao phủ bằng giấy in các thông tin về hộp sữa ấy. Do giáp mí, diện tích giấy sử dụng bằng 105%
diện tích mặt xung quanh hộp sữa. Giả sử độ dày của giấy in và vỏ hộp không đáng kể, hãy tính
diện tích phần giấy trên (lấy π ≈ 3,14; kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Bài 6 (2,5 điểm).
Cho đường tròn (O; R) và điểm A sao cho OA = 2R. Từ điểm A vẽ tiếp tuyến AB đến (O) (B là
tiếp điểm). Kẻ đường kính BC của (O), gọi M là trung điểm của đoạn thẳng OB, kẻ MN vuông góc
với AC tại N.
a) Chứng minh tứ giác ABMN nội tiếp. ∧
b) Kẻ BH vuông góc với OA tại H. Cho R = 3cm, tính BOA và cạnh BH.
c) Đường thẳng vuông góc với OA tại O cắt tia AB tại E. Chứng minh ba điểm E, M, N thẳng hàng.
Bài 7 (0,5 điểm)
Trong hình vuông bên, tổng các số trên mỗi hàng, mỗi cột và mỗi
đường chéo đều bằng 15. Hình vuông đặc biệt này gọi là một ma
phương 3x3 (vì mỗi cạnh có 3 ô); 3 gọi là bậc của ma phương và 15 gọi
là hằng số của ma phương.
Giả sử em có một ma phương 4x4 mà mỗi ô được điền một số tự
nhiên khác nhau từ 1 đến 16. Không cần vẽ ma phương này ra, em hãy
cho biết hằng số của ma phương 4x4 này và giải thích vì sao em biết được hằng số đó.
------------------ HẾT ----------------- 43
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 1 Bài Ý Nội Dung Điểm 1
a Giải phương trình 2
x − 3x −10 = 0. 0,75 (1,5đ) 2 2
Δ = b - 4ac = (-3) - 4.1.(-10) = 49 > 0  Δ = 49 = 7 0,25
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: x = 5 ; x = − 2 0,50 1 2 b 3  x + 2y = 4 0,75
Giải hệ phương trình  . x − 2 y = 4 4x = 8 ⇔  3  x + 2 y = 4 0,25 x = 2 ⇔  0,25 3  .2 + 2 y = 4 x = 2 ⇔   y = 1 − 0,25
Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất: (x; y) = (2; -1) 2
a Rút gọn: A = ( 11−2 44 +3 99): 11. 0,75 (1,5đ)
A = ( 11 − 4 11 + 9 11): 11 0,50 A = 6 11 : 11 = 6 0,25 b   Rút gọn: 1 1 a B =  +  :
, với a > 0 và a ≠ 4 . 0,75 a + 2
a − 2  a − 4  a 2 a 2  − + + a − 4 0,25 B =   ⋅   a  − 4  a 2 a a − 4 B = ⋅ 0,25 a − 4 a B = 2 0,25 3 a 1 (2,0đ) Cho hàm số 2 y =
x có đồ thị (P). Vẽ đồ thị (P). trên mặt phẳng tọa 2 1,0 độ Ox . y 0,50 x -2 -1 0 1 2 1 2 y = x 2 0,5 0 0,5 2 2 y (P) 2 1 0,5 0,50
b Tìm tất cả các giá t-r 2 ị của - 1 tham
O số m đ 1 ể đư 2 ờng thẳng x 2
(d ) : y = x + m và (P) cắt nhau tại hai điểm có hoành 1,0
độ các giao điểm là x , x thỏa mãn 2 2
x + x + x x ≥ 8. 1 2 1 2 1 2 44
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d ) là: 1 2 2 2 2
x = x + m ⇔ x − 2x − 2m = 0 0,25 2 Có 2 2 2 ∆ ' = ( 1
− ) −1.(−2m ) = 2m +1 > 0 với mọi m
Vậy (d ) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. x + x = 2 1 2 0,25 Theo hệ thức Vi-ét  2
x .x = −2m 1 2 Ta có 2 2 2
x + x + x x ≥ 8 ⇔ ( x + x ) − x x ≥ 8 1 2 1 2 1 2 1 2 0,25 2 2
Hay 4 + 2m ≥ 8 ⇔ m ≥ 2
⇔ m ≥ 2 hoặc m ≤ − 2 0,25 4
Lớp 9A có 40 học sinh được chia thành một số tổ. Nếu tăng thêm 1 tổ (1,0đ)
thì mỗi tổ lúc này sẽ có ít hơn 2 học sinh so với lúc chưa tăng. Tính số tổ 1,0
lúc đầu của lớp 9A (biết rằng số học sinh ở mỗi tổ luôn bằng nhau).
Gọi số tổ lúc đầu của lớp 9A là x (x nguyên dương). 0,25 40 40 Theo đề bài ta có: − 2 = 0,25 x x +1 x = nhaän  40(x + ) 1 − 2x ( x + ) 4 ( ) 2
1 = 40x ⇔ −2x − 2x + 40 = 0 ⇔ x = 5 − (loaïi 0,25 )
Vậy số tổ lúc đầu của lớp 9A là 4 tổ. 0,25 5
Một hộp sữa hình trụ có chiều cao 12cm và bán kính đáy 5cm. Mặt (1,0đ)
xung quanh hộp sữa được bao phủ bằng giấy in các thông tin về hộp sữa
ấy. Do giáp mí, diện tích giấy sử dụng bằng 105% diện tích mặt xung
quanh hộp sữa. Giả sử độ dày của giấy in và vỏ hộp không đáng kể, hãy 1,0
tính diện tích phần giấy trên (lấy π ≈ 3,14; kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Diện tích phần giấy in cần dùng là:
S = 105%.2π rh 0,5
S ≈ 105%. 2. 3,14. 5. 12 = 395,64 (cm2) 0,5 Bài Ý Nội Dung Điểm E B 0,25 Hình vẽ M 6 O A (2,5đ) H N C
Hình vẽ đúng đến câu a cho 0,25đ. 45
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
Chứng minh tứ giác ABMN nội tiếp. 0,75 a
Xét tứ giác ABMN có: = = 90o MBA MNA (gt) 0,50  + =180o MBA MNA 0,25
Vậy tứ giác ABMN nội tiếp
Kẻ BH vuông góc với OA tại H. Cho 0,75
R = 3cm, tính BOA và cạnh BH. O
∆ BAvuông tại B b OB R 3  cos BOA = = = OA 2R 6 0,25  BOA = 60° 0,25 3 3 O
∆ BH vuông tại HBH = OBSinBOH = 3Sin60° = cm 0,25 2
Đường thẳng vuông góc với OA tại O cắt tia AB tại E. Chứng 0,75
minh ba điểm E, M, N thẳng hàng. O
∆ AE vuông tại O có OB ⊥ AE OB2 = AB.BE 1  AB BC
2BM ⋅ BC = A .
B BE ⇔ BM .BC = A . B BE hay = 2 BM BE 0,25 c AB BC A
∆ BC ∆MBE (c-g-c) (do ABC = MBE = 90° và = ) BM BE
BME = BAC mà CMN = BAC (do tứ giác ABMN nội tiếp) 0,25
BME = CMN mà BMN + CMN =180° (kề bù) 0,25
nên BMN + BME = 180°  Ba điểm E, M, N thẳng hàng. Bài Ý Nội Dung Điểm 7
Trong hình vuông bên, tổng các số trên mỗi (0,5đ)
hàng, mỗi cột và mỗi đường chéo đều bằng 15.
Hình vuông đặc biệt này gọi là một ma phương
3x3 (vì mỗi cạnh có 3 ô); 3 gọi là bậc của ma
phương và 15 gọi là hằng số của ma phương.
Giả sử em có một ma phương 4x4 mà mỗi ô 0,5
được điền một số tự nhiên khác nhau từ 1 đến 16.
Không cần vẽ ma phương này ra, em hãy cho biết
hằng số của ma phương 4x4 này và giải thích vì
sao em biết được hằng số đó.
Gọi S là tổng các số tự nhiên từ 1 đến 16. Ta có:
S = 1 + 2 + … + 15 + 16
S = 16 + 15 + … + 2 + 1
Cộng hai đẳng thức trên vế theo vế, ta được: 0,25
2S = 17. 16 = 272  S = 272 : 2 = 136
Mặt khác, S cũng là tổng các số trên 4 hàng (cột). Do tổng các số trên mỗi hàng
(cột) đều bằng nhau nên tổng các số trên một hàng (cột) là: 0,25 136 : 4 = 34
Theo định nghĩa, hằng số của ma phương 4x4 là 34.
Lưu ý: Thí sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho vẫn cho điểm tối đa 46
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp ĐỀ 2
Bài 1. (2,0 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình sau: 3  x + y = 17 a) 2
x − x −12 = 0; b)  . x − 2 y = 1
Bài 2. (1,0 điểm) Rút gọn biểu thức 5 x + 4 3 − 2 x x + 2 A = − +
với x ≥ 0, x ≠ 16; x ≠ 1. x − 5 x + 4 x − 4 x −1
Bài 3 .(2,0 điểm)
a) Vẽ đồ thị của hàm số 2
y = x trên mặt phẳng tọa độ Ox . y
b) Cho hàm số y = 2x + m − 6 có đồ thị là (d). Tìm tham số m để 2
(P) : y = x cắt (d) tại hai
điểm phân biệt có hoành độ dương.
Bài 4. ( 1,0 điểm ) Anh Nam trồng cây trên một mảnh đất hình chữ nhật. Anh dự dịnh trồng theo
từng hàng và mỗi hàng có số cây bằng nhau. Nếu tăng thêm 1 hàng và mỗi hàng bớt đi 1 cây thì số
cây phải trồng tăng thêm 7 cây. Nếu bớt đi 1 hàng và tăng thêm mỗi hàng 5 cây thì số cây phải
trồng tăng thêm 11 cây. Hỏi số lượng cây mà Anh Nam dự định trồng là bao nhiêu ?
Bài 5.(1,0 điểm) Một cái mũ bằng vải của nhà ảo thuật có ống mũ
hình trụ, vành mũ hình vành khăn với kích thuớc như hình bên. Hãy
tính tổng diện tích vải cần để làm cái mũ này biết rằng mũ được
may hai lớp vải và diện tích vải dùng may một lớp vành mũ bằng
110% diện tích hình vành khăn tương ứng.
Bài 6. (2,5 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R, C là
một điểm tùy ý trên đường tròn (C khác A và B); các tiếp tuyến
với đường tròn tại A và C cắt nhau tại M. BM cắt đường tròn (O)
tại điểm thứ hai là D.
a) Chứng minh tứ giác OAMC nội tiếp đường tròn;
b) Chứng minh: MC2 = MD.MB;
c) Cho OM = 2R. Tính diện tích phần tam giác AMC nằm ngoài đường tròn (O) theo R.
Bài 7 (0,5 điểm). Bốn học sinh A, B, C, D cùng tham gia vòng chung kết cuộc thi Giai điệu tuổi
hồng và đạt 4 giải khác nhau nhất, nhì, ba, tư. Trong mỗi câu gồm 2 ý dưới đây, một ý là đúng, một ý là sai:
a) A giải nhì, D giải ba.
b) A giải nhất, B giải nhì.
c) C giải nhì, D giải tư.
Dựa vào các thông tin trên, em hãy cho biết mỗi học sinh A, B, C, D đạt giải gì.
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh:……………………………..Số báo danh:………….
(Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm) 47
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp ĐÁP ÁN ĐỀ 2 Bài ĐÁP ÁN Điểm 2
x − x − 12 = 0
1a Dùng công thức nghiệm để giải phương trình , có 2 nghiệm phân biệt : 1 đ x = 4; x = 3 − 1 2 3  x + y = 17 3  x + y = 17 7 y = 14  y = 2  ⇔  ⇔  ⇔  1b x − 2 y = 1 3
x − 6 y = 3 x − 2 y = 1 x = 5 1 đ
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (5;2) 5 x + 4 3 − 2 x x + 2 A = − + x − 5 x + 4 x − 4 x −1
5 x + 4 − (3− 2 x )( x − )
1 + ( x + 2)( x − 4) = 0,25
( x −4)( x − )1 3x − 2 x −1 2 = ( 0,25
x − 4)( x − ) 1 0,25
( x − )1(3 x + )1 =
( x −4)( x − )1 0,25 3 x +1 = x − 4
Lập đúng bảng giá trị 0,5đ
3a Vẽ đúng đồ thị 0,5đ
*Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: 2
x = 2x + m − 6 0,25đ 2
⇔ x − 2x − m + 6 = 0 ∆ = (− )2 0,25đ 2
− 4(−m + 6) = 4 + 4m − 24 = 4m − 20
Để (P) cắt (d) : y = 2x + m − 6 tại hai điểm phân biệt có các hoành độ dương thì 3b 0,25đ
phương trình phải có hai nghiệm phân biệt dương Hay ∆ > 0 4m − 20 > 0   m > 5
x + x > 0 ⇔ 2 > 0 ⇔  ⇔ 5 < m < 6 0,25đ 1 2   m < 6 x .x > 0 −m + 6 > 0 1 2
Vậy 5 < m < 6 thì (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương 4
Gọi x (hàng) là số hàng dự định trồng và y (cây) là số cây dự định trồng trên mỗi hàng 48
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
Khi đó số cây dự định trống là .xy (cây) 0,25đ Điều kiện * x, y ∈ ℕ 0,25đ
Nếu tăng thêm 1 hàng và mỗi hàng bớt đi 1 cây thì số cây phải trồng tăng thêm
7 cây , ta có phương trình : ( x + ) 1 ( y − ) 1 = xy + 7(1)
Nếu bớt đi 1 hàng và tăng thêm mỗi hàng 5 cây thì số cây phải trồng tăng thêm
15 cây, ta có phương trình : ( x − )
1 ( y + 5) = xy +15(2)
Do đó,từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : 0,25đ (  x + ) 1 ( y − ) 1 = xy + 7 x − y = 8 − x = 7 ( ⇔  ⇔   x 0,25đ  − )
1 ( y + 5) = xy +15 5  x − y = 20  y = 15
Vậy số cây mà anh Nam dự định trồng là : 7 . 15 = 105 cây
Ống mũ hình trụ với chiều cao h = 30cm 35 −10.2
Bán kính đáy là: R = = 7,5(cm) 2
Diện tích vải để làm 1 lớp ống mũ là : 2 2 2
S = 2π Rh + π R = 2π .7,5.30 + π .7,5 = 506, 25π (cm ) 1 0,25đ
Diện tích hình vành khăn là : 2   5  35  2 2 2 2 S = π  
 − R  = (17,5 − 7, 5 )π = 250π (cm ) 2  2      0,25đ
Diện tích vải dùng may một lớp vành mũ là 2
S = 110%.S = 110%.250π = 275π (cm ) 3 2 0,25đ
Tổng diện tích vải để làm mũ là :
S = 2(S + S ) 2
= 2.(506,25π + 275π ) =1562,5π (cm ) 1 3 0,25đ
Hình vẽ đúng, đủ ( 0,5đ) M D C 6 A B O 0,5đ 49
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
Chứng minh rằng tứ giác OAMC nội tiếp Xét tứ giác OAMC Ta có 0,25đ 6a 0 0
OAM = 90 ;OCM = 90 (Vì MA , MC là tiếp tuyến ) Nên 0 0 0
OAM + OCM = 90 + 90 = 180
Vậy tứ giác OAMC nội tiếp 0,25đ Chứng minh: 2 MC = M . D MB
xét ∆ MCD và ∆ MBC , ta có BMC là góc chung 0,25đ 6b
MCD = MBC ( cùng chắn cung DC ) 0,25đ Suy ra : M
∆ CD ∼ ∆MBC(g − g) MC MD  = 0,25đ MB MC 2  MC = M . D M B
Diện tích phần tam giác AMC nằm ngoài đường tròn (O) theo R Ta có : 2 2 2 2
AM = OM − OA = 4R − R = R 3 OA 1 ˆ 0,25đ cos AOM = = OM 2 0  AOM = 60 6c 0  AOM =120 0,25đ 2 S = 2.S = O . A AM = R 3 OAMC OAM 2 π R S = quatOAC 3 Diện tích cần tìm là : 0,25đ 2 2 R 3 3 − π π R 2 ( ) S = S − S = R 3 − = OAMC quatOAC ( đvdt) 3 3
Nếu “A đạt giải nhì” là đúng thì “B đạt giải nhì” là sai nên “A đạt giải nhất” là
đúng, mâu thuẫn với “A đạt giải nhì”. Vậy “A đạt giải nhì” là sai nên “D đạt giải 7
ba” là đúng. Suy ra “D đạt giải tư” là sai nên “C đạt giải nhì” là đúng, “B đạt giải
nhì” là sai nên “A đạt giải nhất” là đúng. 0,5đ
Tóm lại: A đạt giải nhất, C đạt giải nhì, D đạt giải ba và B đạt giải tư.
* Mọi cách giải khác đúng; chính xác; lập luận hợp lý, lôgic đều được điểm tối đa
* Điểm toàn bài làm tròn đến một chữ số thập phân 50
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp ĐỀ 3
Bài 1. (2,0 điểm) Không dùng máy tính cầm tay, giải phương trình và hệ phương trình sau: a) 4 2
x − x − 6 = 0. 2x + 5y = 8 − b)  . 3  x − y = 5
Bài 2. (1,5 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Ox . y 2 x
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = . 2
b) Chứng minh đường thẳng d : y = mx − m +1, với m là tham số, luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt (
A x ; y ), B(x ; y ) với mọi giá trị của .
m Tính y + y theo . m 1 1 2 2 1 2 2 − Bài 3. ( a a
1,5 điểm) Cho biểu thức 2 3
P = a + a +
, với a là số thực không âm. a +1 a) Rút gọn . P
b) Tìm a thỏa mãn 2
a + a − P = 0.
Bài 4. (1,0 điểm)
Để thực hiện chương trình khuyến mãi nhân kỉ niệm ngày thành lập, một công ty điện tử
thực hiện giảm giá 20% trên một tivi cho lô hàng gồm có 30 cái tivi với giá bán lẻ mỗi cái trước đó
là 6200000VNĐ. Ngày thứ nhất công ty đã bán được 20 cái. Qua ngày thứ 2, công ty quyết định
giảm giá thêm x% trên một tivi cho các tivi còn lại, với x là số nguyên dương.
a) Cho x = 10, tính số tiền mà công ty thu được nếu bán hết lô hàng khuyến mãi.
b) Biết giá vốn của mỗi chiếc tivi là 4500000VNĐ. Tìm giá trị lớn nhất của x để công ty không bị lỗ.
Bài 5. (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại .
A Trên cạnh AC lấy một điểm M không trùng với A và
C. Gọi (C ) là đường tròn đường kính MC. Các đường thẳng BM và BC cắt (C ) tại các điểm
thứ hai lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng
a) Hai đường thẳng BM và CD vuông góc với nhau; b) MED = MB . A
Bài 6. (1,0 điểm)
Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50cm × 240cm, người ta gò thành mặt xung quanh
của các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50cm theo hai cách sau (xem hình minh họa):
Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.
Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, mỗi tấm gò thành mặt xung quanh của một thùng.
Hỏi cách làm nào chứa được lượng nước tối đa nhiều hơn? Vì sao?
Bài 7. (1,0 điểm)
Từ 5 miếng gỗ có hình dạng như sau: 51
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
hãy ghép thành hình có dạng:
Ghi chú: Thí sinh vẽ lại hình và dùng các đường liền nét để biểu diễn cách ghép.
----------HẾT---------- 52
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 3 Bài Ý Nội dung Điểm 1 2.0 a 4 2
x − x − 6 = 0 (*) Đặt 2
t = x , t ≥ 0. 0.25
Phương trình đã cho trở thành: 2
t − t − 6 = 0 0.25
⇔ t = 3 hoặc t = −2 (loại) 0.25 Với t = 3, ta có 2
x = 3 ⇔ x = ± 3. 0.25
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = ± 3. b
2x + 5y = −8 (1)  . 3  x − y = 5 (2)
Từ (2) ta có y = 3x − 5. 0.25
Thay y = 3x − 5 vào (1) ta được: 2x + 5(3x − 5) = −8 ⇔ x = 1. 0.25 x = 1
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm  . 0.5  y = −2 2 1.5 a 2 x
Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = . 2 x 2 − −1 0 1 2 2 x 1 1 0.25 y = 2 0 2 2 2 2 y 2 x y = 2 2 0.25 0.5 1 2 − − x O 1 2 b
Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) là 2 x 0.25 2
= mx − m +1 ⇔ x − 2mx + 2(m −1) = 0 (*) 2 Phương trình (*) có 2 2 2
∆ ' = (−m) − 2(m −1) = m − 2m + 2 = (m −1) +1 > 0, m ∀ ∈ . ℝ 0.25
Do đó (*) luôn có hai nghiệm phân biệt x , x với mọi . m 1 2
Suy ra d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt (
A x ; y ) và B(x ; y ), 1 1 2 2 0.25
Trong đó y = mx − m +1, y = mx − m +1. 1 1 2 2 Suy ra 2
y + y = m(x + x ) − 2m + 2 = .
m (2m) − 2m + 2 = 2m − 2m + 2. 0.25 1 2 1 2 3 2 a − a 2 3
P = a + a + , 1.5 a +1 a a(a −1)
Ta có P = a + a a + 0.25 a +1
= a + a a + a ( a − ) 1 = 2a a. 0.5 b Ta có 2 2
a + a − P = 0 ⇔ a − 2a a + a = 0 0.25
⇔ (a − a )2 = 0 0.25 53
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp ⇔ a = a 2
⇔ a = a (vì a ≥ 0 ) 0.25
⇔ a = 0 hoặc a = 1. 4 1.0 a
Số tiền thu được của công ty ngày thứ nhất:
20.0,8.6200000 = 99200000 VNĐ 0.25
Số tiền thu được của công ty ngày thứ hai:
10.0, 7.6200000 = 43400000 VNĐ
Vậy tổng số tiền mà công ty thu được khi bán hết lô hàng khuyến mãi là 0.25 142600000 VNĐ b
Tổng giá vốn của 30 cái ti vi là 30.4500000 = 135000000 VNĐ
Tổng số tiền mà công ty thu được khi bán hết lô hàng khuyến mãi là  20 + x  0.25 20.0,8.6200000 +10.1−
.6200000 = 148800000 − 620000x  100  Công ty không lỗ khi: 690
148800000 − 620000x ≥ 135000000 ⇔ 62x ≤ 1380 ⇔ x ≤ ≈ 22,258 0.25 31
Vậy x = 22 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 5 3.0 Hình vẽ đến câu a) C E 0.5 D M N A B a
Ta có BDC = MDC = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 0.25
Suy ra BM ⊥ C . D 0.25 b
Ta có CAB = BDC = 90° nên tứ giác ABCD nội tiếp được đường tròn. 0.25
Do đó MBA = MC . D 0.25
Mặt khác MCD = MED (vì cùng chắn cung MD trong (C ) ) 0.25
Suy ra MED = MB . A 0.25 6 1.0
Theo cách 1, thùng nước tạo thành là hình trụ có chiều cao h = 50cm, bán 240 120 kính R = =
cm . Khi đó, thể tích nước (tối đa) có thể chứa là 1 2π π 0.25 2 2  120  120 h 2 3
V = π R h = π   h = cm (1) 1 1  π  π
Theo cách 2, mỗi thùng nước tạo thành là hình trụ có chiều cao h = 50cm, 120 60 bán kính R = =
cm . Khi đó, thể tích nước (tối đa) có thể chứa ở 2 2π π cả hai thùng là 0.25 2 2  60  2.60 h 2 2 3
V = π R h + π R h = 2π   h = cm (2) 2 2 2  π  π 54
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
Từ (1) và (2) ta có V = 2V . 1 2 0.5
Vậy cách gò tôn theo cách 1 sẽ chứa được lượng nước tối đa nhiều hơn. 7 1.0 55
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp ĐỀ 4
Câu 1. (2,0 điểm) −1 Cho parabol 2 (P) : y =
x và đường thẳng (d ) : y = x − 4 . 2
a. Vẽ (P) và (d ) trên cùng hệ trục tọa độ.
b. Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d ) bằng phép tính.
Câu 2. (1,0 điểm) Cho phương trình: 2
2x − 3x −1 = 0 có hai nghiệm x , x . Không giải phương trình, hãy tính giá trị 1 2 x −1 x −1 của biểu thức: 1 2 A = + . x +1 x +1 2 1
Câu 3. (0,75điểm)
Quy tắc sau đây cho ta biết được ngày thứ n , tháng t , năm 2019 là ngày thứ mấy trong tuần.
Đầu tiên, ta tính giá trị của biểu thức T = n + H , ở đây H được xác định bởi bảng sau: Tháng t 8 2; 3; 11 6 9; 12 4; 7 1; 10 5 H −3 −2 −1 0 1 2 3
Sau đó, lấy T chia cho 7 ta được số dư r (0 ≤ r ≤ 6) .
Nếu r = 0 thì ngày đó là ngày thứ Bảy.
Nếu r = 1 thì ngày đó là ngày Chủ Nhật.
Nếu r = 2 thì ngày đó là ngày thứ Hai.
Nếu r = 3 thì ngày đó là ngày thứ Ba. …
Nếu r = 6 thì ngày đó là ngày thứ Sáu. Ví dụ:
Ngày 31/12 / 2019 có n = 31,t = 12, H = 0 T = n + H = 31+ 0 = 31. Số 31 chia cho 7 có số dư là
3 nên ngày đó là thứ Ba.
a. Em hãy sử dụng quy tắc trên để xác định các ngày 02 / 09 / 2019 và 20 /11/ 2019 là ngày thứ mấy?
b. Bạn Hằng tổ chức sinh nhật của mình trong tháng 10 / 2019 . Hỏi ngày sinh nhật của Hằng là
ngày mấy? Biết rằng ngày sinh nhật của Hằng là một bội số của 3 và là thứ Hai.
Câu 4.(3,0 điểm)
Tại bề mặt đại dương, áp suất nước bằng áp suất khí quyển và là 1 atm (atmosphere). Bên dưới
mặt nước, áp suất nước tăng thêm 1 atm cho mỗi 10 mét sâu xuống. Biết rằng mối liên hệ giữa áp suất y(at )
m và độ sâu x( )
m dưới mặt nước là một hàm số bậc nhất y = ax + b .
a. Xác định các hệ số a và b.
b. Một người thợ lặn đang ở độ sâu bao nhiêu nếu người ấy chịu một áp suất là 2,85atm?
Câu 5. (1,0 điểm)
Một nhóm gồm 31 học sinh tổ chức một chuyến du lịch (chi phí chuyến đi được chia đều cho các
bạn tham gia). Sau khi đã hợp đồng xong, vào giờ chót có 3 bạn bận việc đột xuất không đi được
nên họ không đóng tiền. Cả nhóm thống nhất mỗi bạn còn lại sẽ đóng thêm 18000 đồng so với dự
kiến ban đầu để bù lại cho 3 bạn không tham gia. Hỏi tổng chi phí mỗi chuyến đi là bao nhiêu?
Câu 6. (1,0 điểm) 56
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
Cuối năm học, các bạn lớp 9A chia làm hai
nhóm, mỗi nhóm chọn một khu vườn sinh thái ở
Bắc bán cầu để tham quan. Khi mở hệ thống định
vị GPS, họ phát hiện một sự trùng hợp khá thú vị
là hai vị trí mà hai nhóm chọn đều nằm trên cùng
một kinh tuyến và lần lượt ở các vĩ tuyến 47o và 72o .
a. Tính khoảng cách (làm tròn đến hàng trăm)
giữa hai vị trí đó, biết rằng kinh tuyến là một
cung tròn nối liền hai cực của trái đất và có độ dài khoảng 20 000km.
b. Tính (làm tròn đến hàng trăm) độ dài bán kính
và đường xích đạo của trái đất. Từ kết quả của
bán kính (đã làm tròn), hãy tính thể tích của trái đất, biết rằng trái đất có dạng hình cầu và thể tích 4
của hình cầu được tính theo công thức 3
V = .3,14.R với R là bán kính hình cầu. 3
Câu 7. (1,0 điểm) Bạn Dũng trung bình tiêu thụ 15 ca-lo cho mỗi phút bơi và 10 ca-lo cho mỗi
phút chạy bộ. Hôm nay, Dũng mất 1,5 giờ cho cả hai hoạt động trên và tiêu thụ hết 1200 ca-lo. Hỏi
hôm nay, bạn Dũng đã mất bao nhiêu thời gian cho mỗi hoạt động này?
Câu 8. (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có AB < AC nội tiếp đường tròn (O) . Hai đường tròn BD và CE của tam
giác ABC cắt nhau tại H. Đường thẳng AH cắt BC và (O) lần lượt tại F và K ( K ≠ A ). Gọi L
là hình chiếu của D lên A . B
a) Chứng minh rằng tứ giác BEDC nội tiếp và 2
BD = BL ⋅ B . A
b) Gọi J là giao điểm của KD và (O), (J ≠ K ). Chứng minh rằng BJK = BDE.
c) Gọi I là giao điểm của BJ và E .
D Chứng minh tứ giác ALIJ nội tiếp và I là trung điểm E . D 57
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 4
Câu 1. (2,0 điểm) −1 Cho parabol 2 (P) : y =
x và đường thẳng (d ) : y = x − 4 . 2
a. Vẽ (P) và (d ) trên cùng hệ trục tọa độ.
b. Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d ) bằng phép tính. Lời giải: 1 − a. Hàm số 2 y =
x có tập xác định D = R 2 Bảng giá trị x -4 -2 0 2 4 y -8 -2 0 -2 -8
* Hàm số y = x − 4 có tập xác định: D = R Bảng giá trị x 4 5 y 0 1 Hình vẽ:
b.Phương trình hoành độ gia điểm của (P) và (d): 1 1
x = 2  y = −2 2 2
− x = x − 4 ⇔ − x − x + 4 = 0 ⇔  2 2 x = 4 −  y = 8 −
Vậy ( P) cắt d tại hai điểm có tọa độ lần lượt là (2; −2) và (−4;−8) .
Câu 2. (1,0 điểm) Cho phương trình: 2
2x − 3x −1 = 0 có hai nghiệm x , x . Không giải phương trình, hãy tính giá trị 1 2 x −1 x −1 của biểu thức: 1 2 A = + . x +1 x +1 2 1 Lời giải:  3 S  = x + x = 1 2  2
Theo hệ thức Vi – ét, ta có  . 1 P = x x = − 1 2  2 Theo giải thiết, ta có: 58
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp 2  3   1 
  − 2. −  − 2 2 2 2 x −1 x −1 x −1+ x −1 S − 2P − 2  2   2  5 1 2 1 2 A = + = = = = x +1 x +1 x +1 x +1 S + P +1 3 1 8 2 1 ( 1 )( 2 ) − +1 2 2
Câu 3. (0,75điểm)
Quy tắc sau đây cho ta biết được ngày thứ n , tháng t , năm 2019 là ngày thứ mấy trong tuần.
Đầu tiên, ta tính giá trị của biểu thức T = n + H , ở đây H được xác định bởi bảng sau: Tháng t 8 2; 3; 11 6 9; 12 4; 7 1; 10 5 H 3 − −2 1 − 0 1 2 3
Sau đó, lấy T chia cho 7 ta được số dư r (0 ≤ r ≤ 6) .
Nếu r = 0 thì ngày đó là ngày thứ Bảy.
Nếu r = 1 thì ngày đó là ngày Chủ Nhật.
Nếu r = 2 thì ngày đó là ngày thứ Hai.
Nếu r = 3 thì ngày đó là ngày thứ Ba. …
Nếu r = 6 thì ngày đó là ngày thứ Sáu. Ví dụ:
Ngày 31/ 12 / 2019 có n = 31,t = 12, H = 0 T = n + H = 31+ 0 = 31. Số 31 chia cho 7 có số dư là
3 nên ngày đó là thứ Ba.
a. Em hãy sử dụng quy tắc trên để xác định các ngày 02 / 09 / 2019 và 20 / 11/ 2019 là ngày thứ mấy?
b. Bạn Hằng tổ chức sinh nhật của mình trong tháng 10 / 2019 . Hỏi ngày sinh nhật của Hằng là
ngày mấy? Biết rằng ngày sinh nhật của Hằng là một bội số của 3 và là thứ Hai. Lời giải:
a. Ngày 02 / 09 / 2019 , có n = 2, t = 9, H = 0 . Do đó T = n + H = 2 + 0 = 2 .
Số 2 chia cho 7 có số dư là 2 nên ngày này là thứ Hai.
Ngày 20 / 11/ 2019 có n = 20, t = 11, H = 2
− . Do đó T = n + H = 20 − 2 =18 .
Số 18 chia cho 7 có số dư là 4 nên ngày này là thứ Tư.
b. Do ngày sinh nhật của Hằng là vào thứ Hai nên r = 2 . Do đó T = 7q + 2 .
Mặt khác T = n + 2  n = T − 2 = 7q + 2 − 2 = 7q . Biện luận q 1 2 3 4 5 n 7 14 21 28 35
Do n là bội của 3 nên chọn n = 21.
Vậy sinh nhật của ngày vào ngày 21/ 10 / 2019 .
Câu 4.(3,0 điểm)
Tại bề mặt đại dương, áp suất nước bằng áp suất khí quyển và là 1 atm (atmosphere). Bên dưới
mặt nước, áp suất nước tăng thêm 1 atm cho mỗi 10 mét sâu xuống. Biết rằng mối liên hệ giữa áp suất y(at )
m và độ sâu x(m) dưới mặt nước là một hàm số bậc nhất y = ax + b .
a. Xác định các hệ số a và b.
b. Một người thợ lặn đang ở độ sâu bao nhiêu nếu người ấy chịu một áp suất là 2,85atm? Lời giải:
a. Do áp suất tại bề mặt đại dương là 1atm, nên y = 1, x = 0 , thay vào hàm số bậc nhất ta được: 1 = .
a 0 + b ⇔ b = 1 59
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
Do cứ xuống sâu thêm 10m thì áp xuất nước tăng lên 1atm, nên tại độ sau 10m thì áp suất nước là
2atm ( y = 2, x = 10 ), thay vào hàm số bậc nhất ta được: 2 = . a 10 + b 1
Do b = 1 nên thay vào ta được a = . 10 1
Vì vậy, các hệ số a = , b = 1. 10 1
b.Từ câu a, ta có hàm số y = x +1 10
Thay y = 2,85 vào hàm số, ta được: 1 2,85 =
x +1  x = 18,5m 10
Vậy khi người thợ nặn chịu một áp suất là 2,85atm thì người đó đang ở độ sâu 18,5m.
Câu 5. (1,0 điểm)
Một nhóm gồm 31 học sinh tổ chức một chuyến du lịch (chi phí chuyến đi được chia đều cho các
bạn tham gia). Sau khi đã hợp đồng xong, vào giờ chót có 3 bạn bận việc đột xuất không đi được
nên họ không đóng tiền. Cả nhóm thống nhất mỗi bạn còn lại sẽ đóng thêm 18000 đồng so với dự
kiến ban đầu để bù lại cho 3 bạn không tham gia. Hỏi tổng chi phí mỗi chuyến đi là bao nhiêu? Lời giải:
Số tiền cả lớp phải đóng bù: (31− 3)×18.000 = 504.000 ngàn
Số tiền mỗi học sinh phải đóng: 504.000 ÷ 3 = 168.000 ngàn
Tổng chi phí ban đầu là: 168.000× 31 = 5.208.000 ngàn
Câu 6. (1,0 điểm)
Cuối năm học, các bạn lớp 9A chia làm hai
nhóm, mỗi nhóm chọn một khu vườn sinh thái ở
Bắc bán cầu để tham quan. Khi mở hệ thống định
vị GPS, họ phát hiện một sự trùng hợp khá thú vị
là hai vị trí mà hai nhóm chọn đều nằm trên cùng
một kinh tuyến và lần lượt ở các vĩ tuyến 47o và 72o .
a. Tính khoảng cách (làm tròn đến hàng trăm)
giữa hai vị trí đó, biết rằng kinh tuyến là một
cung tròn nối liền hai cực của trái đất và có độ dài khoảng 20 000km.
b. Tính (làm tròn đến hàng trăm) độ dài bán kính
và đường xích đạo của trái đất. Từ kết quả của
bán kính (đã làm tròn), hãy tính thể tích của trái đất, biết rằng trái đất có dạng hình cầu và thể tích 4
của hình cầu được tính theo công thức 3
V = .3,14.R với R là bán kính hình cầu. 3 Lời giải: a) 0 0 0
AOB = BOX − AOX = 72 − 47 = 25 . Độ 25 25000 dài AB là: 20000. = ≈ 2800(km) 180 9
b) Gọi R là bán kính của Trái Đất. 20000
Ta có: π R = 20000 ⇔ R = ≈ 6400(km) π
Độ dài đường xích đạo là: 2π R ≈ 40000(km) 60
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp 4 4
Thể tích của Trái Đất là: 3 3 12
×3,14× R = 3,14×6400 ≈1,082.10 (km) 3 3
Câu 7. (1,0 điểm) Bạn Dũng trung bình tiêu thụ 15 ca-lo cho mỗi phút bơi và 10 ca-lo cho mỗi
phút chạy bộ. Hôm nay, Dũng mất 1,5 giờ cho cả hai hoạt động trên và tiêu thụ hết 1200 ca-lo. Hỏi
hôm nay, bạn Dũng đã mất bao nhiêu thời gian cho mỗi hoạt động này?
Lời giải: Đổi: 1,5 giờ = 90 phút.
Gọi x (phút) là thơi gian Dũng bơi
y (phút) là thời gian Dũng chạy bộ
Theo giải thiết ta có hệ phương trình : 1
 5x +10y = 1200 x = 60  ⇔   x + y = 90  y = 30
Vậy Dũng mất 60 phút để bơi và 30 phút để chạy bộ để tiêu thụ hết 1200 ca-lo.
Câu 8. (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có AB < AC nội tiếp đường tròn (O) . Hai đường tròn BD và CE của tam
giác ABC cắt nhau tại H. Đường thẳng AH cắt BC và (O) lần lượt tại F và K ( K ≠ A ). Gọi L
là hình chiếu của D lên A . B
a) Chứng minh rằng tứ giác BEDC nội tiếp và 2
BD = BL ⋅ B . A
b) Gọi J là giao điểm của KD và (O), (J ≠ K ). Chứng minh rằng BJK = BDE.
c) Gọi I là giao điểm của BJ và E .
D Chứng minh tứ giác ALIJ nội tiếp và I là trung điểm E . D Lời giải: J A L D I E O H B F C K
a) Ta có BEC = BDC = 90° nên các điểm E, D cùng nằm trên đường tròn đường kính BC.
Do đó tứ giác BEDC nội tiếp.
Xét tam giác ABD vuông ở D có DL là đường cao nên theo hệ thức lượng, Ta có 2
BD = BL ⋅ B . A
b) Ta thấy H là trực tâm tam giác ABC nên AF cũng là đường cao của tam giác và AF ⊥ BC.
Xét đường tròn (O) có BJK = BAK , cùng chắn cung BK . 61
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899 Ôn thi vào lớp 10 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
Tứ giác ADHE có ADH + AEH = 90° + 90° = 180° nên nội tiếp.
Suy ra: HAE = HDE nên BAK = BDE . Tứ các kết quả trên, ta suy ra BJK = BDE .
c) Xét hai tam giác BID và BDJ có BDI = BJD (theo câu b) và DBI chung. BI BD
Suy ra △BID ∼△BDJ (g.g)  = hay 2
BD = BI ⋅ BJ. BD BJ BL BJ Theo câu a, ta có 2
BD = BL ⋅ BA nên BL ⋅ BA = BI ⋅ BJ nên = . BI BA BL BJ
Lại xét hai tam giác BIL và BAJ có góc B chung và = . BI BA
Do đó: BIL = BAJ LAI + LID = 180° . Suy ra tứ giác ALIJ nội tiếp.
Từ đó, ta suy ra ILE = IJ .
A Mà JJA = BJA = BCA (cùng chắn cung BA ) mà theo câu a, vì BEDC
nội tiếp nên LEI = AED = BCA do đó LEI = ELI .
Từ đó ta có tam giác LEI cân và IE = I .
L Do đó ILD = 90° − ILE = 90° − LED = LDI nên tam giác
LID cũng cân và ID = I . L
Từ các điều trên, ta có được ID = IE nên điểm I chính là trung điểm của DE. 62
Trọng tâm ôn thi tuyển sinh 10
I Love Math _0916620899