Tài liệu tự học chủ đề đạo hàm – Trần Quốc Nghĩa

Giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 tài liệu tự học chủ đề đạo hàm do thầy Trần Quốc Nghĩa biên soạn, tài liệu trình bày các lý thuyết cơ bản

175 88 lượt tải Tải xuống

Chia sẻ Báo cáo tài liệu

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 1

ĐẠO HÀM

Vấn đề 1. ĐẠO HÀM VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM

 Mở đầu

Nhiều bài toán của toán học, vật lí, hóa học, sinh học, kĩ thuật, … đòi hỏi phải tìm giới hạn

dạng:









lim

x x

f x f x

x x





trong đó





f x

là một hàm số đã cho của đối số

Qua Đại số và Giải tích 11, ta biết định nghĩa và kí hiệu của số gia đối số và số gia tương ứng

của hàm số:

 Số gia đối số là

–

x x x

 

 Số gia tương ứng của hàm số là









–

y f x f x

 

Ta sẽ dùng khái niệm và kí hiệu đó viết các giới hạn trên:









lim lim

x x x

f x f x

x x x

  







 

 Định nghĩa đạo hàm

Cho hàm số





y f x

 , xác định trên





;

a b

và





;

x a b



Giới hạn, nếu có, của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại

, khi số gia đối số

dần tới

, được gọi là đạo hàm của hàm số





y f x

 tại điểm

Đạo hàm của hàm số





y f x

 tại

được kí hiệu là





y x



hoặc





f x



 









lim

x x

f x f x

f x

x x











hoặc

 

lim

y x

 









 Đạo hàm một bên

a. Đạo hàm bên trái của hàm số





y f x

 tại điểm

, kí hiệu là





f x





được định nghĩa là

 









lim lim

x x x

f x f x

f x

x x x

 



  







 

 

trong đó

x x



 được hiểu là

x x

 và



x x

b. Đạo hàm bên phải của hàm số





y f x

 tại điểm

, kí hiệu là





f x





được định nghĩa là

 









lim lim

x x x

f x f x

f x

x x x

 



  







 

 

trong đó





x x

được hiểu là 

x x

và



x x

Định lí: Hàm số





y f x

 có đạo hàm tại điểm

thuộc tập xác định của nó, nếu và chỉ nếu





f x





và





f x





tồn tại và bằng nhau. Khi đó ta có:













0 0 0

f x f x f x

 



  

 .

 Đạo hàm trên một khoảng

Định nghĩa:

a. Hàm số





y f x

 được gọi là có đạo hàm trên khoảng





;

a b

nếu nó có đạo hàm tại mọi

điểm trên khoảng đó.

Chủ đề

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 2

b. Hàm số





y f x

 được gọi là có đạo hàm trên đoạn





;

a b

nếu nó có đạo hàm trên khoảng





;

a b

và có đạo hàm bên phải tại

, đạo hàm bên trái tại

Qui ước: Từ nay, khi ta nói hàm số





y f x

 có đạo hàm, mà không nói rõ trên khoảng nào,

thì điều đó có nghĩa là đạo hàm tồn tại với mọi giá trị thuộc tập xác định của hàm số đã cho.

 Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của h.số

Định lí: Nếu hàm số





y f x

 có đạo hàm tại điểm

thì nó liên tục tại điểm đó.

 Chú ý: 1. Đảo lại không đúng, tức là một hàm số liên tục tại điểm

có thể không có

đạo hàm tại điểm đó

2. Như vậy, hàm số không liên tục tại x

thì không có đạo hàm tại điểm đó.

 Ý nghĩa của đạo hàm

1. Ý nghĩa hình học

a. Tiếp tuyến của đường cong phẳng:

Cho đường cong phẳng





và một điểm cố định

trên





, M là điểm di động trên





. Khi đó

M M

là một cát

tuyến của





Định nghĩa: Nếu cát tuyến

M M

có vị trí giới hạn

khi điểm

di chuyể

n trên





và dần tới điểm

thì đường thẳng

được gọi là tiếp tuyến của đườ

ng cong





tại điểm

. Điểm

được gọi là tiếp điểm.

b. Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

Cho hàm số





y f x

 xác định trên khoảng





;

a b

và

có đạo hàm tại





;

x a b

 , gọi





là đồ thị hàm số đó.

Định lí 1: Đạo hàm của hàm số





f x

tại điểm

là

hệ số góc của tiếp tuyến

của





tại điểm









0 0 0

;

M x f x

c. Phương trình của tiếp tuyến:

Định lí 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị





của hàm số





y f x

 tại điể









0 0 0

;

M x f x

là

  

0 0

– –

y y f x x x





2. Ý nghĩa vật lí

a. Vận tốc tức thời: Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình:





s f t

 , với





f t

là hàm số có đạo hàm. Khi đó, vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm

là

đạo hàm của hàm số





s f t

 tại













0 0 0

v t s t f t

 

 

b. Cường độ tức thời: Điện lượng

truyền trong dây dẫn xác định bởi phương

trình:





Q f t

 , với





f t

là hàm số có đạo hàm. Khi đó, cường độ tức thời của dòng

điện tại thời điểm t

là đạo hàm của hàm số





Q f t

 tại













0 0 0

I t Q t f t

 

 

(C)

f(x )

f(x x)

 

x x

 



(C)

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 3

Dạng 1. Tìm số gia của hàm số

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Để tính số gia của hàm số





y f x

 tại điểm x

tương ứng với số gia



cho trước ta áp

dụng công thức tính sau:

   

0 0

y f x x f x

    

B. BÀI TẬP MẪU

VD 1. Tìm số gia của hàm số

2 3 5

y x x

  

, tương ứng với sự biến thiên của đối số:

a) Từ



đến

x x

  

b) Từ



đến

0,9

x x  

c) Từ



đến

x x

  

d) Từ



đến

x x

  

................................................................................................................................................................................

VD 2. Tính



và



của hàm số sau theo x và



3 5

y x

 

3 7

y x

 

2 4 1

y x x

  

cos2

y x



................................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Tìm số gia của hàm số

–1

y x tại điểm



ứng với số gia



, biết:

 

–0,1

 

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 4

Dạng 2. Tính đạo hàm bằng định nghĩa

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Để tính đạo hàm của hàm số





y f x

 tại điểm

bằng định nghĩa ta làm như sau:

 Cách 1:

 Cho

một số gia



và tìm số gia









0 0

y f x x f x

    

 Tập tỉ số



 Tìm giới hạn

lim

 



. Nếu:



lim

 



tồn tại hữu hạn thì tại

hàm số có đạo hàm là

 

lim

f x

 











lim

 



không tồn tại hữu hạn thì tại

hàm số không có đạo hàm.

 Cách 2:

 Tính









lim

f x f x

x x

 



 Nếu









lim

x x

f x f x

x x





tồn tại hữu hạn thì tại

hàm số có đạo hàm là

 









lim

x x

f x f x

f x

x x











 Nếu









lim

x x

f x f x

x x





không tồn tại hữu hạn thì tại

hàm số không có đạo

hàm.

B. BÀI TẬP MẪU

VD 3. Tính đạo hàm của hàm số

2 4

y x x

  

tại



.................................................................................................................................................................................

VD 4. Cho hàm số

 

2 1

y f x x

  

a) Tìm đạo hàm của hàm số tại



b) Suy ra giá trị

 





3 2 5 2 3

f f

 



.................................................................................................................................................................................

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 5

VD 5. Cho

 

sin3 khi 0

3 2 khi 0

x x

y f x

x x





 



 



. Tính đạo hàm của hàm số tại



bằng định nghĩa.

................................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 2. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm

2 1

y x

 

tại



y x x

 

tại









tại



2 7

y x

 

tại



Bài 3. Cho hàm số:

 

sin

khi 0

0 khi 0

y f x







 









a) Chứng minh rằng





f x

liên tục tại



b) Tính đạo hàm (nếu có) của





f x

tại điểm



Bài 4. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số

 

cos khi 0

0 khi 0

x x

y f x







 









tại điểm



Bài 5. Chứng minh rằng hàm số:

 

1 khi 0

khi 0

x x

y f x

x x



 



 



 





không có đạo hàm tại điểm



nhưng có đạo hàm tại



Bài 6. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số





tại



Bài 7. Chứng minh rằng hàm số

2 3

3 1

x x

 





liên tục tại

–3



nhưng không có đạo hàm tại điểm ấy.

Bài 8. Tìm

để hàm số

 

khi 1

x x

y f x

ax b x





 



 



có đạo hàm tại điểm



Bài 9. Cho hàm số:

 

cos sin khi 0

1 khi 0

p x q x x

y f x

px q x

 



 



  



. Chứng minh rằng với mọi cách chọn

hàm số không thể có đạo hàm tại điểm



Bài 10. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau (

là hằng số):

y ax

 

y ax



2 1





với



d) 3

y x

 

với



TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 6

Dạng 3. Quan hệ giữa liên tục và đạo hàm

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Mối quan hệ giữa liên tục và đạo hàm ta cần nhớ các kết luận sau:







f x

liên tục tại









lim lim 0

x x x

f x f x y

  

    







f x

có đạo hàm tại







f x

liên tục tại







f x

liên tục tại

chưa chắc





f x

có đạo hàm tại

B. BÀI TẬP MẪU

VD 6. Cho hàm số

 

2 1

y f x



 



a) Xét sự liên tục của hàm số tại



b) Xét xem tại



hàm số có đạo hàm không?

..................................................................................................................................................................

VD 7. Cho

 

sin khi 0

0 khi 0

x x

y f x









 









a) Xét sự liên tục của hàm số tại



b) Xét xem tại



hàm số có đạo hàm không?

..................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 11. CMR: hàm số

2 3

3 1

x x

 





liên tục tại

 

nhưng không có đạo hàm tại điểm ấy.

Bài 12. Cho hàm số:

 

sin khi 0

0 khi 0

x x

y f x







 









a) Tính đạo hàm của hàm số tại mỗi





b) Chứng tỏ rằng đạo hàm





f x



không liên tục tại điểm



GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 7

Dạng 4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

Bài toán tiếp tuyến

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 Sử dụng ý nghĩa hình học của đạo hàm

 Hệ số góc

của cát tuyến

với đường cong









C y f x

 , biết

theo

thứ tự có hoành độ là

được cho bởi:

N M

y y

x x x



 

 

với

N M

x x









f x



là hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong





tại









0 0

;

M x f x

 Tiếp tuyến của đồ thị

1. Tiếp tuyến tại một điểm:

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị









y f x

 tại điểm





0 0 0

;

M x y

  

0 0 0

y y f x x x



  

Trong đó: -





0 0 0

;

M x y

gọi là tiếp điểm.





k f x



 là hệ số góc.

Các chú ý: - Nếu cho

thì thế vào





y f x

 tìm

- Nếu cho

thì thế vào





y f x

 tìm

2. Tiếp tuyến đi qua một điểm:

Để lập phương trình tiếp tuyến

với





biết

đi qua





;

A A

A x y

Cách 1: - Gọi





0 0 0

;

M x y

là tiếp điểm.

- Phương trình đường thẳng

qua

với hệ số góc





k f x



 :









0 0 0

– –

y y f x x x

















0 0 0

; – –

A A A A

A x y d y y f x x x



 

- Giải phương trình trên tìm

, tìm





f x



, thế vào





y f x

 tìm

Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc (Sẽ học ở lớp 12)

3. Tiếp tuyến biết hệ số góc:

- Giải phương trình:





f x k





 các hoành độ tiếp điểm.

- Thế vào





y f x

 để tìm tung độ.

- Viết tiếp tuyến:





0 0

– . –

y y k x x



 Chú ý:

- tiếp tuyến // :

d y ax b k a

    

- tiếp tuyến

: . 1

d y ax b k a

      

tan





, với



là góc giữa

với tia





TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 8

B. BÀI TẬP MẪU

VD 8. Cho đường cong





C y x



và hai điểm





1; 1

A và





1 ;1

B x y

   

trên





a) Tính hệ số góc của cát tuyến

với



lần lượt là

0,1

và

0,01

b) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với





tại

.................................................................................................................................................................................

VD 9. Cho hàm số

 

y f x

 

có đồ thị





. Viết phương trình tiếp tuyến với





, biết:

a) tiếp điểm có hoành độ bằng

b) Tiếp điểm có tung độ bằng

c) Hệ số góc của tiếp tuyến

–4



. d) Tiếp tuyến song song với

: 9 2018

d x y

 

e) Tiếp tuyến vuông góc với

: 4 0

d x y

 

. f) Tiếp tuyến qua điểm





8; 0

A 

.................................................................................................................................................................................

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 9

VD 10. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y x



, biết:

a) Tiếp điểm có hoành độ bằng

– 1

b) Tiếp điểm có tung độ bằng

c) Hệ số góc của tiếp tuyến bằng

................................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 13. Cho Parabol

y x



và hai điểm





2; 4

A và 2 ; 4

( )

B x y

   

trên parabol đó.

a) Tính hệ số góc của cát tuyến

biết



lần lượt bằng

;

0,1

và

0,001

b) Tính hệ số góc của tiếp tuyến của parabol đã cho tại điểm

Bài 14. Tìm hệ số góc của cát tuyến

với đường cong





, biết:





: 2

C y x x

 

và hoành độ

M N

theo thứ tự là

2, 1

M N

x x

 

 

x x

C y

 

 và hoành độ

M N

theo thứ tự là

1, 3

M N

x x

 

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 10

Bài 15. Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol



, biết:

a) Tại điểm

; 2

 

 

 

b) Tiếp điểm có hoành độ bằng

–1

c) Hệ số góc của tiếp tuyến bằng



Bài 16. Cho đường cong





C y x

 . Viết phương trình tiếp tuyến của





a) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng

b) Biết tiếp tuyến song song với

: – 4 3 0

x y

  

Bài 17. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:







, biết hoành độ tiếp điểm là



y x

 

, biết tung độ tiếp điểm là



Bài 18. Cho hai hàm số



và

y  . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của mội hàm số

đã cho tại giao điểm của chúng. Tính góc giữa hai tiếp tuyến kể trên.

Bài 19. Cho parabol





P y x



. Gọi

và

là hai điểm thuộc





lần lượt có hoành độ

–2



và



. Hãy tìm trên





một điểm

sao cho tiếp tuyến tại

song song với cát tuyến

1 2

M M

. Viết phương trình tiếp tuyến đó.

Bài 20. Cho hàm số

3 2

y x x

  

. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị, biết rằng tiếp tuyến

vuông góc với đường thẳng

:3 – 5 – 2018 0

x y

 

Bài 21. Viết phương trình tiếp tuyến với





P y x



, biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm





0 ;–1

A .

Bài 22. Cho hàm số

3 2

– 3 2

y x x

 

. Viết phương trình tiếp tuyến của





, biết rằng tiếp tuyến đó đi

qua





0; 3

A .

Bài 23. Cho hàm số









4 2

: – – 1

C y f x x mx m

   

. Tìm tất cả các giá trị của tham số

để các

tiếp tuyến của





tại





1; 0

A và





–1; 0

B vuông góc với nhau.

Bài 24. Cho h.số

cos sin

y x m x

  (

là tham số) có đồ thị





. Tìm

trong mỗi trường hợp sau:

a) Tiếp tuyến của





tại điểm có





có hệ số góc bằng

b) Tiếp tuyến của





tại các điểm có các hoành độ



 

và





song song hoặc trùng nhau.

Bài 25. Tìm giao điểm của hai đường cong





: 1

P y x x

  

và

 

H y





. Chứng minh rằng hai

đường cong đó có tiếp tuyến chung tại giao điểm của chúng.

Bài 26. Cho parabol





P y x



. Viết phương trình tiếp tuyến với





, biết:

a) Tiếp tuyến song song với đường thẳng

: 4 3

d y x

 

b) Tiếp tuyến đi qua điểm





0; 1



GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 11

Dạng 5. Ý nghĩa Vật lí của đạo hàm cấp 1

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Cần nhớ các kết quả sau:

 Nếu một chất điểm chuyển động với phương trình





s s t

 thì vận tốc tức thời của chất

điểm đó tại thời điểm

là









0 0

v t s t



 .

 Một dòng điện có điện lượng là





Q Q t

 thì cường độ tức thời của dòng điện tại thời

điểm

là









0 0

I t Q t



 .

B. BÀI TẬP MẪU

VD 11. Một chất điểm chuyển động có phương trình là









2 3 s,m

s f t t t   

a) Tính đạo hàm của hàm số





f t

tại thời điểm

b) Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm



................................................................................................................................................................................

VD 12. Cho biết điện lượng trong một dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số

5 3

Q t

 

(

tính

bằng giây,

tính bằng culông). Tính cường độ của dòng điện trong dây dẫn tại



................................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 27. Một viên đạn được bắn lên từ vị trí

cách mặt đất

, theo phương thẳng đứng với vận tốc

ban đầu là

196m/s

v  (bỏ qua sức cản của không khí)

a) Tìm thời điểm

mà tại đó vận tốc của viên đạn bằng

. Khi đó viên đạn cách mặt đất bao

nhiêu mét ?

b) Sau khoảng bao nhiêu giây (kể từ lúc bắn) viên đạn rơi xuống mặt đất ? (lấy

9,8 m/s

g  )

Bài 28. Một vật rơi tự do có phương trình chuyển động

s gt

 , trong đó

9,8 m/s

g  và

được tính

bằng giây.

a) Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ

đến

t t

 

với độ

chính xác đến

0,001

, biết



lần lượt nhận các giá trị

0,1

;

0,01

;

0,001

b) Tìm vận tốc tại thời điểm



giây.

Bài 29. Một chiếc xe chạy được quãng đường





s sau

(giờ) được tính bởi

3 2

s t t

  

. Hãy

tính vận tốc tức thời của xe đó sau khi chạy được

giờ.

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 12

Vấn đề 2. CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM

 Đạo hàm của hàm tổng, hiệu, tích thương, hàm hợp

 

– –

u v w u v w

 





 

 

ku k u



 , với

là hằng số.

 

u v u v v u







 4)

 

. .

u v w u vw uv w uvw

  

  



' '

u u v v u

v v





 



 

 

1 '

v v



 

 

 

 

x u x

y y u

  



 Bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản

Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm của các hàm số hợp

 





hằng số

 





1 1

x x



 

 

 

 

u u



 

 

 

 

 





 





 

x x

 









 

. .

u u u

 









 

sin cos

x x





 

sin .cos

u u u





 

cos sin

x x



 

 

cos .sin

u u u



 

 

tan 1 tan

cos

x x



  

 

tan 1 tan

cos

u u u



  

 

cot 1 cot

sin

x x





   

 

cot 1 cot

sin

u u u







   

Dạng 1. Tìm đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số

Đạo hàm của hàm số hợp

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Sử dụng các quy tắc, các công thức tính đạo hàm của một số hàm số trong phần tóm tắt lí

thuyết để tính.

 Chú ý:  Một số bài toán ta cần rút gọn trước để việc tính đạo hàm sẽ đơn giản hơn.

 Sau khi tính đạo hàm xong, rút gọn để đưa về kết quả đjep hơn (nếu được).

B. BÀI TẬP MẪU

VD 13. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

7 4 2

3 4 4 4

y x x x x

    

2 10 25

y x x

   









2 2

1 2 3 1

y x x x x

     









2 1 4 3

y x x

  

3 1

4 5







2 3 7

2 3

x x

 



 

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 13

................................................................................................................................................................................

VD 14. Tính đạo hàm của các hàm số sau:





2016

2 3y x x  b)

3 2

4 3 2

y x x

  

 

2 3





   

21 23

2 3 4

y x x  

................................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 30. Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau (

là hằng số):

4 3 2 3

1 1 1

4 3 2

y x x x x a

    

 

x x



 





5 2

3 8 3

y x x

 













1 2 3

y x x x

   





5 3

x x





 

x x





 i)

2 5

y x x

  

y x x x

  







2 2

a x





TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 14

Dạng 2. Tìm đạo hàm của các hàm số lượng giác

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Sử dụng các quy tắc, các công thức tính đạo hàm của một số hàm số lượng giác trong phần

tóm tắt lí thuyết để tính.

 

sin cos

x x





 

sin .cos

u u u





 

sin .sin . sin

n n

u n u u







 

cos sin

x x



 

 

cos .sin

u u u



 

 

cos .cos . cos

n n

u n u u







 

tan

cos





 

tan

cos





 

tan .tan . tan

n n

u n u u







 

cot

sin







 

cot

sin









 

cot .cot . cot

n n

u n u u







Chú ý:  Sử dụng công thức lượng giác để rút gọnm kết quả sau khi tính (nếu được).

 Có thể rút gọn trước khi tính đạo hàm để việc tính toán dễ dàng hơn.

B. BÀI TẬP MẪU

VD 15. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

2sin sin 2 sin 2sin sin

y x x x

     b)





2 2

sin 2 3 1

y x x

  





sin 4

y x x

 

.................................................................................................................................................................................

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 15

VD 16. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

sin

1 cos





1 cos

y   c)

1 tan

 





 



 

1 cos







sin cos

y x x x

 

3 2

3tan tan3 tan tan

y x x x x

    g)





cot 1

y x x

 

cot 2 3cot 2

y x x

  i)

sin cos

x x







2 2

sin 2 4cos 4

sin 2 4cos

x x

 





................................................................................................................................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 16

.................................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 31. Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau:

5sin 3cos

y x x

 





sin 3 2

y x x

  

cos 2 1

y x

 

sin3 .cos5

y x x



1 2tan

y x

  f)

tan3 cot3

y x x

 

4sin 3cos

y x x

 

2 4

4sin 3cos

y x x

  i)

1 cos





1 sin







cos

sin 1





2 cot

y x x x

 

1 2tan

y x

  n)

sin3 .cos4

y x x



 

2cos sin 2 cos

y x x

  

2 3

sin .cos

y x x

 q)

tan 2

y x



 

 

 

 





2 2

sin cos tan

y x

 



 

2 2

cot 1

y x

 

3 2

sin 1

y x

 





sin cos3

y x



Bài 32. Cho hàm số





y f x x

 

và

 

4 sin

y g x x



   . Tính tổng









1 1

f g

 

 ?

Bài 33. Tính đạo hàm của hàm số sau:

1 1 1 1 1 1

cos

2 2 2 2 2 2

y x

   

, với









GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 17

Dạng 3. Phương trình, bất phương trình chứa đạo hàm

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Bài toán thường được đặt ra dưới dạng:

“Cho hàm số





y f x

 , hãy giải phương trình





, 0

g y y





”

Khi đó, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Tính đạo hàm



Bước 2. Chuyển phương trình





, 0

g y y





về phương trình đại số thông thường để giải.

 Chú ý: Cho tam thức





(

)

,f x ax bx c a

   

 

f x x





   



 





 

f x x





   



 





 

f x x





   



 





 

f x x





   



 





B. BÀI TẬP MẪU

VD 17. Cho hàm số

3 2

y x x x

   

. Tìm

sao cho: a)



 





................................................................................................................................................................................

VD 18. Giải các bất phương trình:





với

3 3

x x

 









với

x x

 



 

................................................................................................................................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 18

VD 19. a) Cho

sin2 2cos

y x x

 

. Hãy giải phương trình





b) Cho

3sin2 4cos 12

y x x x

  

. Hãy giải phương trình





.................................................................................................................................................................................

VD 20. Cho hàm số:





3 2

2 3

y f x x x mx

    

. Tìm

để:





f x



là bình phương của một nhị thức bậc nhất.





0,f x x



 







f x





có hai nghiệm phân biệt đều dương.

.................................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 34. Tìm các nghiệm của phương trình sau:





f x





với

 

3 2

2 6 1

f x x x x

   

. b)





–5

f x





với

 

4 3 2

1 3

4 2

f x x x x

   

Bài 35. Cho hàm số





3 2

f x x x

  

. Hãy giải các bất phương trình sau: a)





f x









f x





Bài 36. Giải phương trình





trong mỗi trường hợp sau:

sin2 2cos

y x x

 

cos sin

y x x

  c)

cos sin

y x x

 

tan cot

y x x

 

3cos 4sin 5

y x x x

  

1 sin( ) 2cos

y x





 

   

 

 

Bài 37. Cho hàm số

3 2

y mx x x

   

. Tìm

để:



bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất.



có hai nghiệm trái dấu. c)





với mọi





GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 19

Dạng 4. Sử dụng đạo hàm chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Ta đã biết nếu một hàm số không đổi trong khoảng





;

a b

thì đạo hàm luôn triệt tiêu

trong khoảng đó. Đảo lại ta có định lí sau:

“Nếu hàm số





y f x

 có đạo hàm trong khoảng





;

a b

và









0, ;

f x x a b



  

thì hàm số





y f x

 không đổi trong khoảng





;

a b

”

Từ đó ta thực hiện các dạng toán:

Dạng 1. Chứng minh rằng:





A x c x D

  

Ta thực hiện các bước:

Bước 1. Tính





A x



, rồi khẳng định





A x x D



  

Bước 2. Chọn





0 0

x D A x c





Dạng 2. Tìm điều kiện của tham số để





A x

không phụ thuộc vào

Ta thực hiện các bước:

Bước 1. Tính





A x



, rồi tìm điều kiện để





A x x



 

Bước 2. Kết luận.

B. BÀI TẬP MẪU

VD 21. Cho hai hàm số





4 4

sin cos

f x x x

  và

 

cos4

g x x

 .

Chứng minh









f x g x

 

 . Nhận xét ?

................................................................................................................................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 20

VD 22. Chứng minh rằng hàm số

4 4

6 6 4

sin 3cos 1

sin cos 3cos 1

x x

x x x

 



  

có đạo hàm không phụ thuộc vào

.................................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 38. Chứng minh rằng:

a) Hàm số

tan

y x



thỏa mãn hệ thức

– –1 0

y y





b) Hàm số

cot2

y x



thỏa mãn hệ thức

2 2 0

y y



  

Bài 39. Chứng minh với mọi

thuộc tập xác định:

a) Nếu









2cos 4 1

f x x

 

thì





f x



. Tìm giá trị của

để đẳng thức xảy ra.

b) Nếu





tan3

f x x

 thì





f x





. Tìm giá trị của

để đẳng thức xảy ra.

Bài 40. Chứng minh rằng với mọi

ta đều có:

























2 2 2

cos sin 2cos sin sin cos

x a x b x a x b a b a b

        

Bài 41. Chứng minh rằng biểu thức

2 2 2

2 2

sin sin sin

3 3

A x x x

 

   

    

   

   

không phụ thuộc vào

Bài 42. Chứng minh rằng hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc

6 6 2 2

sin cos 3sin .cos

y x x x x

  

2 2 2 2 2

2 2

cos cos cos cos 2sin

3 3 3 3

y x x x x x

   

       

        

       

       

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 21

Vấn đề 3. VI PHÂN – ĐẠO HÀM CẤP CAO

A. VI PHÂN

 Định nghĩa

Cho hàm số





y f x

 xác định trên





;

a b

và có đạo hàm tại





;

a b

 .

Cho số gia



tại

sao cho





;

x x a b

   .

Ta gọi tích





f x x





(hoặc

y x





) là vi phân của hàm số





y f x

 tại x ứng với số gia



và

ký hiệu là dy hoặc





f x

. Như vậy, ta có:

y y x



 

hoặc









f x f x x







Áp dụng: Với hàm số

y x



, ta được:

 

d 1.

x x x x x

  

 



Vậy ta có:

d d

y y x





hoặc









d d

f x f x x



 .

 Ứng dụng của vi phân vào phép tính gần đúng

Theo định nghĩa đạo hàm, ta có:

 

lim

f x

 









Do đó, với



đủ nhỏ thì:

         

0 0 0 0 0

f x y f x x f x x f x f x x



  

          

















0 0 0

f x x f x f x x



    

Đó là công thức tính gần đúng đơn giản nhất.

B. ĐẠO HÀM CẤP CAO

 Định nghĩa

Giả sử hàm số





y f x

 có đạo hàm





f x



 Đạo hàm của hàm số





f x



, nếu có, được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số





f x

Kí hiệu là



hay





f x



 Tương tự, đạo hàm của hàm số





f x



, nếu có, được gọi là đạo hàm cấp ba của hàm số





f x

Kí hiệu là



hay





f x



 Đạo hàm của hàm số





f x



, nếu có, được gọi là đạo hàm cấp bốn của hàm số





f x

Kí hiệu là





hay









f x

 Tổng quát, đạo hàm của đạo hàm cấp

–1

được gọi là đạo hàm cấp

của hàm số





y f x

 .

Kí hiệu là





hay









f x

 Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình:





s f t

 với





f t

là hàm số có đạo hàm.

Khi đó, gia tốc tức thời







của chuyển động tại thời điểm

là đạo hàm cấp hai của hàm số





s f t

 tại

là









t f t





 .

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 22

Dạng 1. Tìm vi phân của hàm số

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 Tính vi phân của hàm số





f x

tại

cho trước:

 Tính đạo hàm của hàm số tại

 Suy ra vi phân của hàm số tại

ứng với số gia



là

   

0 0

f x f x x



 

 Tính vi phân của hàm số





f x

 Tính đạo hàm của hàm số

 Suy ra vi phân của hàm số là

   

d d d

y f x f x x



 

B. BÀI TẬP MẪU

VD 23. Cho hàm số





3 2

6 2 4 1

f x x x x

   

Tính vi phân của hàm số tại điểm



, ứng với số gia

0,01

 

.................................................................................................................................................................................

VD 24. Tìm vi phân của hàm số





sin3 .cos2

y f x x x

  .

.................................................................................................................................................................................

VD 25. Bài 38. Chứng minh

1 d d 0

x y x

  

với 2 1

y x

  

. b)





2 d d 0

x y x x y

  

với

y x x

 

.................................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 43. Tính vi phân của hàm số

sin 2

y x



tại điểm





ứng với a)

0,01

 

0,001

 

Bài 44. Tính vi phân của mỗi hàm số sau:

y x x x x

   

y ax b

 

(với

là hằng số)









2 2

tan 3 cot 3

y x x

  d)

cos 2 1

y x

 

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 23

Dạng 2. Tính gần đúng giá trị của hàm số

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Để tính gần đúng giá trị của hàm số





f x

tại điểm

x x

 

cho trước, ta áp dụng công

thức:

     

0 0 0

f x x f x f x x



    

B. BÀI TẬP MẪU

VD 26. Tính gần đúng các giá trị:

25,75

8,99

sin30 10





cos46



................................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 45. Tính giá trị gần đúng của:

0,9995

cos45 30





tan 29 30





4,01

20,3

215

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 24

Dạng 3. Tính đạo hàm cấp cao của hàm số

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Áp dụng trục tiếp định nghĩa để tính đạo hàm cấp cao:

     

   

 

; ; ;

n n

y y y y y y y y





  

     

   

B. BÀI TẬP MẪU

VD 27. Tính đạo hàm cấp ba của hàm số

sin cos

y x x x

 

.................................................................................................................................................................................

VD 28. Cho hàm số

2 3







. Tìm

sao cho



 

.................................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 46. Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

3 2

y ax bx cx d

   







x x

 





.sin

y x x



y x x

 

cos

y x

 g)

y x x

 

Bài 47. a) Cho

   

f x x  . Tính







b) Cho





sin3

f x x

 . Tính



 





 

 









 



 

 

Bài 48. Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau đến cấp cho kèm theo:













cos2 ,

f x x x f x

  b)













cos ,

f x x f x



   

 

10 ,

f x x f x

  d)













sin2 ,

f x x f x



GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 25

Dạng 4. Ý nghĩa của đạo hàm cấp hai

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình:





s f t

 với





f t

là hàm số có đạo

hàm. Khi đó, gia tốc tức thời





của chuyển động tại thời điểm

là đạo hàm cấp hai

của hàm số





s f t

 tại









t t

a f





B. BÀI TẬP MẪU

VD 29. Tính gia tốc tức thời của chuyển động





s f t

 tại thời điểm

trong các trường hợp sau:





3 2

3 7 2, 2

s f t t t t t

     

 

3sin 2 2cos2 ,

s f t t t t



   

................................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 49. Vận tốc của một chất điểm chuyển động được biểu thị bởi công thức





3 2

3 9 2

s f t t t t

    

, trong đó



tính bằng giây





và





v t

tính bằng

m/s

. Tìm

gia tốc của chất điểm:

a) Tại thời điểm



b) Tại thời điểm mà vận tốc của chuyển động bằng

Bài 50. Vận tốc của một chất điểm chuyển động được biểu thị bởi công thức





8 3

v t t t

  , với



tính bằng giây





và





v t

tính bằng

m/s

a) Tính vận tốc tại thời điểm



b) Tính gia tốc tại thời điểm



c) Tính gia tốc tại thời điểm vận tốc bằng

d) Tính vận tốc tại thời điểm gia tốc bằng

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 26

Dạng 5. Tìm công thức đạo hàm cấp n

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Với hàm số





y f x

 , tìm được công thức









f x

ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Tính





f x







f x



đôi khi cần tính tới





f x











f x

Bước 2. Dự đoán công thức tổng quát









f x

Bước 3. Chứng minh công thức dự đoán bằng phương pháp qui nạp.

B. BÀI TẬP MẪU

VD 30. Tính đạo hàm cấp

của hàm số:

sin

y x



, với





.................................................................................................................................................................................

VD 31. Tính đạo hàm cấp

của hàm số:

ax b





, với





và





.................................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 51. Chứng minh rằng: Với mọi





a) Nếu





cos

f x x

 thì









cos

f x x

 b) Nếu

sin

y x



thì

 

sin

y x n



 

 

 

 

c) Nếu

sin

y x

 thì





4 1

2 cos2

y x



  d) Nếu





thì

 



 



Bài 52. Tính đạo hàm cấp

của các hàm số sau:



3 2

x x



 

sin

y x

 d)

sin .sin

y ax bx



(

a b

là hằng số)

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 27

Dạng 6. Chứng minh đẳng thức có chứa đạo hàm

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 Tìm các đạo hàm đến cấp cao nhất có trong đẳng thức cần chứng minh

 Thay thế vài vị trí tương ứng và biến đổi vế này cho bằng vế kia. Từ đó suy ra đẳng thức

cần chứng minh.

B. BÀI TẬP MẪU

VD 32. Cho hàm số

sin

y x x



. Chứng minh

2 2sin

xy y xy x

 

   

................................................................................................................................................................................

VD 33. Cho hàm số

y x x

  

. Chứng minh rằng:

2 1.

x y y



 





4 1 4 0

x y xy y

 

   

................................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 53. Chứng minh rằng:

a) Nếu

cot

y x



thì

sin tan 0

y y x



  

b) Nếu

cos

1 sin





thì

3 3

4 4

f f

 

   



 

   

   

c) Nếu

cot cot

y x x x

   

thì

cot

y x



 d) Nếu







thì

   

2 1

y y y

 

 

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 28

Vấn đề 4. SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI

TOÁN CÓ CHỨA

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 Công thức khai triển nhị thức Newtơn:

 

0 1 1 1 1 1

k n k k n n k n k k n n n n

n n n n n n

a b C a b C a C a b C a b C ab C b

    



        



 

       

0 1 1 1

1 1 1

n k k n

k n k k n n k n k k n n

n n n n n

a b C a b C a C a b C a b C b

  



          



 

 Tính chất:

k n k

n n

C C



 (0

)

k n

 

;

k k k

n n n

C C C





  (0

)

k n

 

;

n n

C C

 

Phương pháp:

 Viết khai triển Newton của

 

ax b

 .

 Đạo hàm

vế một số lần thích hợp.

 Chọn giá trị

sao cho thay vào ta được đẳng thức phải chứng minh.

B. BÀI TẬP MẪU

VD 34. Cho

là số nguyên dương. Chứng minh các hệ thức sau:

1 2 3 1

2. 3 ... .2

n n

n n n n

C C C nC n



    









2 3 4 2

1.2 2.3 3.4 ... 1 1 .2

n n

n n n n

C C C n n C n n



      









0 1 2 1

2. 3. 4 ... 2 4 .2

n n

n n n n

C C C n C n



      

.................................................................................................................................................................................

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 29

VD 35. Cho

 

100

2 100

0 1 2 100

x a a x a x a x

      . Tính:

0 1 2 3 100

S a a a a a

    

1 2 3 100

2 3 100

S a a a a

    (ĐH Hàng Hải – 1998)

................................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 54. Rút gọn biểu thức:





1 2 3 1

2 3 1

n n

n n n n n

S C C C n C nC



      



    

2 1

1 2 3 1

2 3 1 1 1

n n

n n n n n

S C C C n C n C

 



        









0 1 2

3.2 4.3 5.4 3 2

n n n n

S C C C n n C

      



  

2 3 4

1.2 2.3 3.4 1 1

n n n n

S C C C n n C

      

ê)









0 1 2

2.3 3.4 4.5 2 3

n n n n

S C C C n n C

      



1 2 2 3 3 4 2 2 1

6 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

2.2 3.2 4.2 (2 1).2

n n

n n n n n

S C C C C n C



    

      



Bài 55. Với

nguyên dương, chứng minh rằng:









2 3 4 1

2 3 1 2 2

n n

n n n n

C C C n C n



      







1 3 2 1 2 4 2

2 2 2 2 2 2

3 2 1 2 4 2

n n

n n n n n n

C C n C C C nC



       

 









2 3 4 2

1.2 2.3 3.4 1 1 2

n n

n n n n

C C C n n C n n



      



















2 3 1 2 2 2

1 3 1 2 3 4 2.1.4 1 7

n n n n n n

n n n

n n C n n C C n n

    

       



1 1 1 2 1 3 1

2 2.2 3.2 .3

n n n n n

n n n n

C C C nC n

   

    











0 1 2 1 1

2 3 1 2 .2

n n n

n n n n n

C C C nC n C n

 

       



Bài 56. Tìm số nguyên dương

sao cho:





1 2 2 3 3 4 2 2 1

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

2.2 3.2 4.2 2 1 .2 2011

n n

n n n n n

C C C C n C



    

      



TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 30

Vấn đề 5. DÙNG ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM

ĐỂ TÌM GIỚI HẠN

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 Bài toán 1. Ta có thể sử dụng định nghĩa của đạo hàm:

 









lim

x x

f x f

f x

x x











để tính

các giới hạn có dạng vô định. Bằng cách viết giới hạn cần tìm thành dạng









lim

x x

f x f

x x





sau đó tính đạo hàm của hàm





f x

tại điểm

rồi áp dụng định nghĩa đạo hàm suy ra kết

quả của giới hạn.

 Bài toán 2. Ta sử dụng các công thức lượng giác để biến đổi và sử dụng công thức





 

sin

lim 1

x x

u x





với





lim 0

x x

u x





B. BÀI TẬP MẪU

VD 36. Tính các giới hạn sau

1 4 1

lim



 

. b)

33 2

5 7

lim

x x



  



.................................................................................................................................................................................

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 31

VD 37. Tính các giới hạn sau

sin3

lim

sin 2



tan 2

lim

sin5



1 cos

lim





1 sin

lim







 



 

 

................................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 57. Tính các giới hạn sau

...

lim

x x x n



   



. b)

 

lim

x nx n



  



8 3

lim

2 3

x x



 

. d)

3 3

3 4 24 2 8 2 3

lim

x x x



    



lim





. f)

1 2 1

lim

1 3 1



 

Bài 58. Tính các giới hạn sau

1 cos

lim





. b)

1 sin

lim







 



 

 

. c)

1 cos

lim

sin

x x





cos sin

lim

cos2

x x







. e)

lim tan 2 .tan

x x





 



 

 

. f)

sin

lim

1 2sin





 



 

 



TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 32

BÀI TẬP CƠ BẢN NÂNG CAO CHỦ ĐỀ 5

Bài 59. Xét sự tồn tại đạo hàm của các hàm số sau trên



2 khi 2

khi 2

x x x



  















khi 1

x x x



 













Bài 60. Tìm

để hàm số sau có đạo hàm tại



khi 1

x x

ax b x









 



2 khi 2 1

khi 1

x x

x ax b x





   





  





Bài 61. Chứng minh rằng hàm số

ax b

cx d







có đạo hàm là

 

ad bc

cx d









Áp dụng tính đạo hàm của:

3 5







3 2





1 3





Bài 62. Chứng minh rằng hàm số

ax bx c

b x c

 



 



có đạo hàm là

 

ab x ac x bc b c

b x c

   

  





 



Áp dụng tính đạo hàm của:

2 7

x x

 





3 2







2 1

x x

 





Bài 63. Chứng minh hàm số

ax bx c

a x b x c

 



  

 

có đạo hàm là

 

a b a c b c

x x

a b a c b c

a x b x c

 

     





  

 

Áp dụng tính đạo hàm của:

2 1

3 3

x x

 



 

3 6 1

3 2

x x

 



 

2 5 6

x x

 



 

Bài 64. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

3 2

x x

y x

   

2 3 4

2 4 5 6

x x x x

    c)

3 6 7

x x

 



 

3 1

y x x

 

  

 

 







7 5

x x

  









y x x

  h)





y x x  i)

2 2

x x

 





5 3

x x





 

 

x x



 





Bài 65. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

cos

2 sin

y x x

  b)

3cos

2 1





2cos

sin

x x





2cos sin

3sin cos

x x







tan

sin 2





cot

2 1









sin 3 2

y x x

  

cos 2 1

y x

 

2sin3 cos5

y x x



cos2

y x

 k)

tan



 l)

cot 1

y x

 

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 33

tan cot2

y x x

  n)

1 2tan

y x

  o)

sin

x x

 

sin

1 tan 2









tan sin

y x

 r)





2 cos 2 sin

y x x x x

  

cos 2

y x



  t)

sin3

y x x

 u)

2 2

tan tan

y x x

 

Bài 66. Tính đạo hàm của các hàm số sau:





4 1

y x x

  

2 3 1

2 3

x x

 





6 1

x x

  



 

2 1

x x

 











1 2







x x

 



 





 

1 1

y x x x

   

Bài 67. Tính đạo hàm của các hàm số sau:





sin 1

y x

  b)





sin cos3

y x

 c)

cos 1 sin

y x x

 





cos cos cos

y x



 

 

cos

 





 



 

2 2

sin tan

1 cot 1 tan

x x

 

 

sin cos

x x





sin

cos

 i)

1 cos

y x

 

Bài 68. Cho hàm số

2 24

y x x

  

. Giải bất phương trình









f x f x



 .

Bài 69. Giải phương trình





trong mỗi trường hợp sau:

sin 2 sin 3

y x x

  

sin2 2cos

y x x

 

3sin2 4cos2 10

y x x x

  

tan cot

y x x

 

2 cos 3sin

y x x x

  

Bài 70. Giải bất phương trình









f x g x

 

 , biết rằng:





f x x x   và





3 2

g x x x  





3 2

2 3

f x x x   và

 

g x x  

Bài 71. Cho hàm số

2 12

y x x

  

. Giải bất phương trình





f x





. (TN THPT 2010)

Bài 72. Tính đạo hàm đến cấp được kèm theo của các hàm số sau (n  N*):

sin ,

y x y





, b)





sin sin 5 ,

y x x y

 c)

 

4 ,

y x y

 

 

y y





 

2 1

y y









cos ,

y x y



Bài 73. Chứng minh rằng hàm số:

sin

y x x



thỏa hệ thức





2 sin 0

xy y x xy

 

   

y x x

 

thỏa hệ thức

1 0

y y



 





y x x

  

thỏa hệ thức





1 9 0

x y xy y

 

   

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 34

 

thỏa hệ thức

xy y



 







thỏa hệ thức

   

2 1

y y y

 

 

Bài 74. Viết phương trình tiếp tuyến của:







tại điểm





2;3

A .

3 2

4 1

y x x

  

tại điểm có hoành độ

 

4 4 4

y x x

  

tại điểm có tung độ



2 1

y x

 

tại điểm có hoành độ



2 15

x x

 





biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng

4 2

2 1

y x x

  

biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng

3 2

y x x

  

biết tiếp tuyến

: 3 15 0

d D x y

   

y x x

  

tại điểm có hoành độ

 

2 1







tại điểm có hoành độ



Bài 75. Cho

   

3 2

C y f x



 



. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị





a) Tại điểm có hoành độ bằng

b) Tại điểm có tung độ bằng

// : – 25

d D y x

 

:4 – 2018

d x y

  

Bài 76. Gọi





là đồ thị hàm số

4 2

2 1

y x x

  

. Viết phương trình tiếp tuyến của





trong mỗi

trường hợp sau:

a) Biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng

: –3 1

d y x

 

b) Biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

: – 7 2018

x y

 

c) Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm





0; 2

Bài 77. Gọi





là đồ thị hàm số

3 2

5 2

y x x

  

. Viết phương trình tiếp tuyến của





trong mỗi

trường hợp sau:

a) Biết tung độ của tiếp điểm bằng

b) Biết rằng tiếp tuyến song song với trục hoành.

c) Biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

: 8 2018 0

d x y

  

d) Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm





0; –6

A .

Bài 78. [1D5-1] Cho hàm số

y x



. Viết tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho

a) Biết tiếp điểm là





1;1

M . b) Biết hoành độ tiếp điểm



c) Biết tung độ tiếp điểm



Bài 79. [1D5-1] Cho hàm số







. Viết PTTT của đồ thị hàm số biết:

a) Tiếp điểm

có tung độ bằng

b) Tiếp điểm

là giao của đồ thị hàm số với trục hoành

c) Tiếp điểm

là giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 35

Bài 80. [1D5-2] Cho hàm số

3 2

3 1

y x x

  

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ



b) CMR: trong các tiếp tuyến của đồ thị hàm số thì tiếp tuyến ở câu a có hệ số góc nhỏ nhất.

Bài 81. [1D5-2] Cho hàm số

3 2

y x x x

   

a) Viết PTT tại

thuộc đồ thị hàm số biết trung độ điểm

bằng

b) CMR trên đồ thị hàm số không tồn tại những cặp điểm mà tiếp tuyến tại

điểm đó vuông

góc với nhau.

Bài 82. [1D5-3] Cho hàm số

y x



. Tìm các điểm

trên đồ thị hàm số (



gốc tọa độ) sao cho

tiếp tuyến tại

tạo với 2 trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng

Bài 83. [1D5-3] Cho hàm số





. Tìm

trên đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến tại

tạo với 2

trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng

Bài 84. [1D5-3] Cho hàm số



và

y  . Gọi

là giao điểm của hai đồ thị hàm số trên.

Viết pttt của mỗi đồ thị hàm số đã cho tại điểm

. Tính góc góc giữa hai tiếp tuyến tìm được.

Bài 85. [1D5-2] Cho hàm số





3 2

3 1 1

y x mx m x

    

. Tìm

để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại

điểm có hoành độ

 

đi qua





1;2

A .

Bài 86. [1D5-3] Cho hàm số

2 1

;











1;2 .

I Tìm điểm

thuộc đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến

của đồ thị hàm số tại

vuông góc với đường thẳng

Bài 87. [1D5-3] Cho hàm số

;











1;1 .

I  Tìm điểm

thuộc đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến

của đồ thị hàm số tại

tạo với đường thẳng

một góc



mà

cos .





Bài 88. [1D5-3] Cho hàm số

4 2

2 1.

y x x

   

Với

là điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ bằng

hãy viết phương trình tiếp tuyến

của đồ thị hàm số tại

và tìm hoành độ các giao

điểm của

với đồ thị hàm số đã cho.

Bài 89. [1D5-3] Cho hàm số

2 2







. Tìm

trên đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến với đồ thị hàm

số tại

tạo với 2 trục tọa độ

tam giác có trọng tâm

nằm trên đường thẳng

:4 0

x y

  

Bài 90. [1D5-3] Cho hàm số

2 1







Tìm hoành độ điểm

thuộc đồ thị hàm số biết tiếp tuyến tại

tạo với hai đường thẳng

1 2

;

d d

lần lượt có phương trình

1 0

 

và

2 0

 

một tam giác

vuông cân.

Bài 91. [1D5-4] Cho hàm số .

2 3







.. Đường thẳng

: 2

d x



. Đường thẳng

: 2

d y



là giao

điểm của

1 2

d d

. Gọi đường thẳng

là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm

tùy ý.

là

giao

d d

là giao điểm của

d d

. Viết pttt





biết độ dài

nhỏ nhất.

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 36

Bài 92. [1D5-4] Cho hàm số

2 1







Đường thẳng

: 2

d x



. Đường thẳng

: 2

d y



là giao

điểm của

1 2

d d

. Gọi đường thẳng

là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm

tùy ý.

là

giao

d d

là giao điểm của

d d

a) CMR:

là trung điểm của đoạn thẳng

b) Tìm

để





;

d I d

đạt giá trị lớn nhất.

Bài 93. [2D5-1] Cho hàm số

3 2

4 6 1.

y x x

  

Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết

Bài 94. [1D5-2] Cho hàm số

2 2







Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến

đi qua điểm

1; .



 

 

 

Bài 95. [1D5-3] Cho hàm số

x x

 





Chứng minh rằng qua điểm





1; 1



có thể kẻ được hai

tiếp tuyến với đồ thị hàm số và hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau.

Bài 96. [1D5-4] Cho hàm số







Hãy tìm

để từ điểm





A m

kẻ được hai trình tiếp tuyến với

đồ thị hàm số và hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục hoành.

Bài 97. [1D5-4] Cho hàm số

2 2







Hãy tìm

để từ điểm





A m

a) Kẻ được hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số tích hai hệ số góc của hai tiếp tuyến là

144

b) Kẻ được hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số và hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục tung.

c) Kẻ được hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số và hai tiếp điểm nằm về hai phía của đường thẳng



Bài 98. [1D5-1] Cho hàm số

3 2

1 1 4

2 .

3 2 3

y x x x

   

Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số

biết tiếp tuyến song song với đường thẳng

:4 2 0.

d x y

  

Bài 99. [1D5-1] Cho hàm số

2 3







Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến

vuông góc với đường thẳng

: x y 2017 0.

  

Bài 100. [1D5-2] Cho hàm số

3 2







Viết phương trình tiếp tuyến

với đồ thị hàm số biết

tạo

với trục hoành một góc



mà

cos .





Bài 101. [1D5-2] Cho hàm số

y x x

  

Viết phương trình tiếp tuyến

với đồ thị hàm số biết

tạo với đường thẳng

: 7

y x

   

một góc



mà

cos .





Bài 102. [1D5-2] Cho hàm số





3 2

3 ;

y x x C

  đường thẳng

: 3 1.

d y x

 

Tìm điểm

trên đồ thị





biết tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại

có hệ số góc âm và tạo với

một góc

45 .





GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 37

Bài 103. [1D5-4] Cho hàm số





3 2

3 1 .

y x x C

   Tìm hai điểm

trên đồ thị hàm số sao cho tiếp

tuyến của đồ thị





tại

song song với nhau và

4 2.

AB 

Bài 104. [1D5-3] Cho hàm số

 

2 1

y C







Tìm điểm

trên đồ thị





biết tiếp tuyến với đồ thị

hàm số tại

cắt trục

ox,

lần lượt tại

sao cho

82. .

AB OB



Bài 105. [1D5-2] Cho hàm số

 

2 1

y H







Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết rằng

tiếp điểm của tiếp tuyến đó với





cách điểm





0;1

A một khoảng bằng

Bài 106. [1D5-2] Cho hàm số





3 2

2 1 1,

y x m x m

     

là tham số.Tìm

để đồ thị của hàm số đã

cho tiếp xúc với đường thẳng

2 1.

y mx m

  

Bài 107. [1D5-3] Cho hàm số





3 2

6 9 1 .

y x x x   Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số





biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng





: 1 0

x y

   

một góc



sao cho

cos





và tiếp

điểm có tọa độ nguyên.

Bài 108. [1D5-4] Cho hàm số

 

y C







Viết phương trình tiếp tuyến

của đồ thị hàm số





biết

tiếp tuyến tạo với

: 1,

d x



: 1

d y



một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất.

Bài 109. [1D5-3] Cho hàm số





3 2

3 1 .

y x x C

    Tìm trên đường thẳng



các điểm mà từ đó kẻ

được ba tiếp tuyến phân biệt đến đồ thị





Bài 110. [1D5-4] Cho hàm số

 

2 1

y C





 

Gọi

là tiếp tuyến của đồ thị hàm số





tại điểm





0;1

I .Tìm điểm





M C

 có hoành độ lớn hơn

sao cho khoảng cách từ

đến

nhỏ nhất.

Bài 111. [1D5-3] Cho hàm số

 

2 3

y C







Viết phương trình tiếp tuyến

của đồ thị hàm số





biết

cắt trục hoành ,trục tung lần lượt tại

sao cho

OAB



cân tại

Bài 112. [1D5-3] Cho hàm số

 

y C







Tìm

để đường thẳng

y mx m

 

cắt





tại hai điểm

phân biệt

sao cho tiếp tuyến của





tại

và

song song với nhau.

Bài 113. [1D5-4] Cho hàm số

3 2

3 1.

y x x

  

Đường thẳng



đi qua điểm





1;3

A  có hệ số góc

Tìm

các giá trị của

để



cắt





tại ba điểm phân biệt

Gọi

lần lượt là các tiếp

tuyến của





tại

Chứng minh rằng các khoảng cách từ

đến

bằng nhau.

Bài 114. [1D5-3] Cho hàm số





4 2

2 2 .

y x x C

   Tìm điểm





M C

 để qua đó kẻ được ba tiếp tuyến

đến





TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 38

Bài 115. [1D5-2] Cho hàm số

 

2 3

y C







Tìm điểm





M C

 có hai tọa độ là số hữu tỉ sao cho tiếp

tuyến

của đồ thị hàm số





tại

cắt trục hoành ,trục tung lần lượt tại

sao cho

OAB



Bài 116. [1D5-1] Cho hàm số

 

y C







Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số





biết

tiếp tuyến đi qua điểm





1;10 .

Bài 117. [1D5-1] Cho hàm số





4 3 2

4 10 12 6 .

y x x x x C

     Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị

hàm số





biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng



 

Bài 118. [1D5-2] Cho hàm số

 

y C







Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm





M C

 đều tạo với hai đường thẳng

: 1

d x



và

: 1

d y



một tam giác có diện tích không

đổi.

Bài 119. [1D5-3] Cho hàm số





4 2

8 1 .

y x x C

   Viết phương trình tiêp tuyến của đồ thị





biết tiếp

tuyến tạo với đường thẳng

:47 43 90 0

x y

   

một góc

và tạo với tia

một góc tù.

Bài 120. [1D5-3] Cho hàm số





3 2

2 1

y x mx   và đường thẳng

: 2 1,

d y mx m

  

trong đó

là

tham số.Tìm

để

cắt đồ thị hàm số





tại ba điểm phân biệt





1;1 ,

I m



sao cho tiếp

tuyến tại

và

có cùng hệ số góc.

Bài 121. [1D5-2] Tìm trên trục hòanh điểm mà từ đó có thể kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị hàm số





3 2 .

y x x C

   

Bài 122. [2D1-3] Cho hàm số

 

2 1

y C







và điểm

;0 .



 

 

 

Tìm trên





cặp điểm

sao cho

tiếp tuyến của





tại

song song với nhau và

PAB



cân tại

Bài 123. [1D5-3] Cho hàm số





3 2

3 1 .

y x x m x m    Đường thẳng

đi qua điểm





1; 2

I  có hệ số

góc bằng



cắt đồ thị hàm số





tại ba điểm phân biệt

Chứng minh rằng các tiếp

tuyến của đồ thị hàm số





tại

và

song song với nhau.

Bài 124. [1D5-3] Cho hàm số





Tìm những điểm trên đồ thị hàm số mà tiếp tuyến tại đó tạo với

hai đường thẳng

: 1,

d x



: 1

d y



một tam giác có chu vi bằng

4 2 2.



Bài 125. [1D5-4] Cho hàm số





4 2

2 1 ,

y x mx m  

là tham số.Biết

là điểm thuộc đồ thị hàm số





và có hoành độ bằng

Tìm

để khoảng cách từ

 

 

 

đến tiếp tuyến của đồ thị





tại

lớn nhất.

Bài 126. [1D5-2] Cho hàm số





4 2

6 5 .

y x x C

   .Tìm

để đồ thị của hàm số đã cho tiếp xúc với

đường thẳng

y mx m

 

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 39

Bài 127. [1D5-2] Cho hàm số

 

2 1

y C







Tìm

để đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng

y mx

 

Bài 128. [1D5-2] Cho hàm số

x x

 





Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số đều

không đi qua điểm





2;3 .

Bài 129. [1D5-3] Cho hàm số

     

3 2

1 4 3 1 .

y x m x m x C      Tìm

để trên đồ thị





tồn

tại duy nhất điểm

có hoành độ âm mà tiếp tuyến của





tại

vuông góc với đường thẳng

2 3 0.

x y

  

Bài 130. [1D5-4] Cho hàm số

 

2 1

y C

 





Chứng minh rằng với mọi

đường thẳng :

d y x m

 

luôn cắt đồ thị





tại hai điểm phân biệt

và

Khi đó gọi

lần lượt là hệ số góc của

tiếp tuyến với đồ thị





tại

và

tìm

để tổng

1 2

k k



đạt giá trị lớn nhất

Bài 131. [1D5-4] Cho hàm số





3 2 .

y x x C

   Với

là hai nghiệm của phương trình





y x





Gọi









1 1

; ,

A x y x









2 2

; .

B x y x Tìm trên đồ thị





điểm

sao cho tiếp tuyến với





tại

cách đều hai điểm

và

Bài 132. [1D5-2] Cho hàm số













3 2

2 1 6 5 3 .

y x m x m x C      Tìm

để đồ thị hàm số tiếp

xúc với trục hoành.

Bài 133. [1D5-4] Cho hàm số









3 2

3 1 1 .

y x mx m x C     Chứng minh rằng trên đồ thị hàm số





luôn tồn tại hai điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng

9 0.

x y

 

Tìm

để đường thẳng nối hai điểm đó đi qua điểm





0;4 .

Bài 134. [1D5-4] Cho hàm số

   

3 2

1 2

6 1 1

3 3

y x m x m x     có đồ thị là





C Tìm

để trên





có hai điểm





1 1

;

M x y

và





2 2

;

N x y

sao cho tiếp tuyến tại mỗi điểm đó vuông góc với

đường thẳng

3 6 0

x y

  

và

1 2

2 3.

x x 

Bài 135. [1D5-3] Cho hàm số





3 2

3 1 1

y x x m x    và đường thẳng

: 1.

d y



Tìm

để hai đồ thị

hàm số cắt nhau tại ba điểm phân biệt





0;1 ,

sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số





tại

và

vuông góc với nhau.

Bài 136. [1D5-3] Cho hàm số





3 2 1

y x m x   với

là tham số.Tìm

để đồ thị hàm số





có tiếp

tuyến tạo với đường thẳng

: 7 0

d x y

  

một góc



mà

cos .





Bài 137. Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số





y f x

 , biết tiếp tuyến qua điểm

x x







, với





1; – 4

A . b)

4 2

y x x

  , với





0; –1

A .

3 1

y x x

  

, với





1;–6

A . d)

4 4

x x

 





, với





–1; 0

A .

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 40

Bài 138. Cho hàm số:

   

3 2

mx mx

y f x m x

     

. Tìm

để:





0,f x x



 







f x



có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.

c) Chứng minh rằng trong trường hợp





f x



có hai nghiệm (hai nghiệm có thể trùng nhau) thì

các nghiệm này thỏa mãn một hệ thức độc lập với

Bài 139. Tìm

để:

–

y mx x

 có 0,y x



  



3 2

4 3

y x mx x

   

có 0,y x



  



3 2

– 3 4

y x mx mx

  có 0,y x



  











3 2

– 3 2 1 2 5 2

y x m x m x

    

có 0,y x



  



3 2

– 2 – 2

y x x mx

  

có 0,y x



  



3 2

– –

y x mx mx

 có





0, 0;y x



    

Bài 140. Với mỗi hàm số sau đây: ① Tìm TXĐ ② Tính



③ Xét dấu



, chỉ ra









trên

khoảng, các khoảng nào:

– 3 1

y x x

  

3 2

–3 8 – 2

y x x x  c)

2 1







x x

 





2 2

x x

  





 



4 2

– 4

y x x

  h)

4 2

4 1

y x x

  

i) 4 1–

y x

 



4 3 –

y x x

 

3 2

3 7 2

y x x x

   

4 2

2 3

y x x

  

3 2

y x x

   

y x

 

x x







7 12

2 3

x x

 



 

y x x

 

y x x

  

8 9

x x

 





y x

 



2 3

y x x

  

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 41

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 5

BÀI 1. ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM

Câu 1. [1D5-1] Cho hàm số





f x

liên tục tại

. Đạo hàm của





f x

tại

là





f x









0 0

f x h f x

 









0 0

lim

f x h f x



 

(nếu tồn tại giới hạn).

0 0

( ) ( )

lim

f x h f x h



  

(nếu tồn tại giới hạn).

Câu 2. [1D5-1] Cho hàm số

3 2

–3 7 2

y x x x

  

. Phương trình tiếp tuyến tại





0;2

A là

7 2

y x

 

. B.

7 2

y x

 

. C.

7 2

y x

  

. D.

7 2

y x

  

Câu 3. [1D5-1] Cho hàm số





y f x

 xác định trên khoảng





;

a b

và





;

x a b

 . Mệnh đề nào sau

đây là đúng?

A. Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)









lim

x x

f x f x

x x







thì giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm

số





y f x

 tại

B. Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)









lim

x x

f x f x

x x





thì giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm

số





y f x

 tại

C. Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)









lim

x x

f x f x

x x







thì giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm

số





y f x

 tại

D. Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)









lim

x x

f x f x

x x





thì giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm

số





y f x

 tại

Câu 4. [1D5-1] Số gia của hàm số





f x x

 

tại điểm



ứng với

0,1

  

là

1,19



. B.

0,01

. C.

0,19



. D.

0,21

Câu 5. [1D5-1] Cho hàm số

2 5

y x

 

. Tìm biểu thức của



và



tính theo

và



2 , 2

y x



   



. B.

10, 1

y x

x x



     

 

2 10, 2

y x

x x



     

 

. D.

, 1

y x



   



Câu 6. [1D5-1] Tính giới hạn

sin 4

lim



. B.

. C.

. D.

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 42

Câu 7. [1D5-1] Gọi

là tiếp tuyến với đồ thị hàm số

 

C y





song song với trục hoành. Tìm

hoành độ tiếp điểm

của

và







. B.



. C.

 

. D.



Câu 8. [1D5-1] Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số





3 2

2 2

f x x x

  

tại điểm có hoành

độ

 

20 22

y x

 

. B.

4 10

y x

 

. C.

10 11

y x

 

. D.

20 58

y x

 

Câu 9. [1D5-1] Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

3 1

2 1

x x

 





tại điểm





0; 1



có phương trình là

y x

 

. B.

5 1

y x

 

. C.

y x

 

. D.

5 1

y x

 

Câu 10. [1D5-1] Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai:

A. Nếu hàm số





f x

liên tục tại điểm

thì





f x

có đạo hàm tại

B. Nếu tiếp tuyến tại điểm









0 0 0

;

M x f x

của đồ thị hàm số





y f x

 song song với trục

hoành thì





f x





C. Nếu





f x





thì tồn tại tiếp tuyến tại điểm









0 0 0

;

M x f x

của đồ thị hàm số





y f x



song song hoặc trùng với trục hoành.

D. Nếu hàm số





f x

có đạo hàm tại điểm

và đồ thị của hàm số là một đường cong





thì

tiếp tuyến của





tại điểm









0 0 0

;

M x f x

có hệ số góc





k f x



 .

Câu 11. [1D5-1] Xét các mệnh đề sau





Nếu hàm số





y f x

 có đạo hàm tại điểm

thì nó liên tục tại điểm đó.





Nếu hàm số





y f x

 gián đoạn tại điểm

thì nó không có đạo hàm tại điểm đó.





III

Nếu hàm số





y f x

 liên tục tại điểm

thì nó không có đạo hàm tại điểm đó.

Trong ba mệnh đề trên

A. Có









đúng. B. Có ba mệnh đề đúng.

C. Cả ba mệnh đề đều sai. D. Có





đúng.

Câu 12. [1D5-1] Giả sử





u x





v x

là các hàm số có đạo hàm tại điểm

thuộc khoảng xác định.

Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào Sai?

   

 

       

. . .

u x v x u x v x u x v x



 

  . B.

 

       

 

u x u x v x u x v x

v x v x



 

 





 

 

 





 

v x

v x v x



  , (Với





v x



). D.

   

 

   

u x v x u x v x



 

   .

Câu 13. [1D5-2] Gọi





là đồ thị của hàm số

y x

 

. Phương trình tiếp tuyến với





tại

điểm mà





cắt trục tung là

y x

  

. B.

y x

  

. C.

4 1

y x

 

. D.

11 3

y x

 

Câu 14. [1D5-2] Đồ thị





của hàm số

3 1







cắt trục tung tại điểm

. Tiếp tuyến của





tại

điểm

có phương trình là

4 1

y x

  

. B.

4 1

y x

 

. C.

5 1

y x

 

. D.

5 1

y x

  

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 43

Câu 15. [1D5-2] Gọi





là đồ thị của hàm số

x



. Tiếp tuyến của





vuông góc với đường

thẳng

: 5 0

d x y

 

có phương trình là

5 3

y x

 

. B.

3 5

y x

 

. C.

2 3

y x

 

. D.

y x

 

Câu 16. [1D5-2] Cho hàm số





f x

là hàm số trên



định bởi





f x x



và





. Chọn câu đúng.





0 0

f x x





. B.





0 0

f x x









0 0

f x x



 . D.





f x



không tồn tại.

Câu 17. [1D5-2] Cho hàm số





f x

xác định trên







bởi

 

f x



. Đạo hàm của





f x

tại

x  là

. B.



. C.

. D.

 .

Câu 18. [1D5-2] Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

   

1 – 2

y x x  tại điểm có hoành độ



là

–8 4

y x

 

. B.

9 18

y x

 

. C.

–4 4

y x

 

. D.

9 18

y x

 

Câu 19. [1D5-2] Phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số

 

3–

y x x

 tại điểm có hoành độ



là

–3 8

y x

 

. B.

–3 6

y x

 

. C.

3 – 8

y x



. D.

3 – 6

y x



Câu 20. [1D5-2] Cho hàm số

3 2

– 6 7 5

y x x x

  





. Tìm trên





những điểm có hệ số góc tiếp

tuyến tại điểm đó bằng











–1;–9 ; 3;–1

. B.









1;7 ; 3;–1

. C.









1;7 ; –3;–97

. D.









1;7 ; –1;–9

Câu 21. [1D5-2] Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị

tan

y x



tại điểm có hoành độ





. B.



. C.

k  . D.

Câu 22. [1D5-2] Cho đường cong





C y x



. Phương trình tiếp tuyến của





tại điểm





–1;1

M là

–2 1

y x

 

. B.

2 1

y x

 

. C.

–2 –1

y x



. D.

2 –1

y x



Câu 23. [1D5-2] Cho hàm số

x x







. Phương trình tiếp tuyến tại





1;–2

A là





–4 –1 – 2

y x . B.





–5 –1 2

y x

 

. C.





–5 –1 – 2

y x . D.





–3 –1 – 2

y x .

Câu 24. [1D5-2] Biểu thức của



của hàm số

y x

 

tính theo

và



là

 

. B.

 

y x x x

    

 

2 2

y x x x

     

. D.

 

y x

   

Câu 25. [1D5-2] Một vật rơi tự do theo phương trình

 

S t gt



với

9,8m/s

g  . Vận tốc tức thời

của vật tại thời điểm



giây là

122,5m/s

. B.

61,5m/s

. C.

9,8m/s

. D.

49m/s

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 44

Câu 26. [1D5-2] Một chất điểm chuyển động thẳng xác định bởi phương trình





3 2

2 4 1

S t t t t

   

trong đó

được tính bằng giây và

tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi



giây là

m/s

. B.

m/s

. C.

9m/s

. D.

m/s

Câu 27. [1D5-2] Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số

2 3







tại giao điểm với trục hoành

bằng

. B.

. C.

. D.



Câu 28. [1D5-2] Số tiếp tuyến của đường cong





3 2

: 3 8 1

C y x x x

   

song song với đường

thẳng

: 28

y x

  

là

. B.

. C.

. D.

Câu 29. [1D5-2] Tính giới hạn

tan3

lim

sin5



. B.

. C.

. D.

Câu 30. [1D5-2] Cho hàm số





sin 2

y x C

 . Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị





tại điểm có hoành

độ



 

bằng.



Câu 31. [1D5-2] Cho hàm số





3 1

y x x C

   . Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị





và song song

với đường thẳng

:9 15 0

d x y

  

Câu 32. [1D5-2] Cho hàm số

 

y f x x x

  

. Số nghiệm của phương trình





f x





là

Câu 33. [1D5-2] Cho hàm số





y f x x x

   .







có giá trị bằng

. B.



. D. Không tồn tại đạo hàm tại



Câu 34. [1D5-3] Cho hàm số





. Phương trình tiếp tuyến của





cắt các trục

lần lượt

tại

và

sao cho

AB OA



là

y x

 

. B.

y x

  

. C.

y x

  

. D.

y x

  

Câu 35. [1D5-3] Điểm

trên đồ thị hàm số

3 2

– 3 –1

y x x mà tiếp tuyến tại đó có hệ số góc

bé

nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị thì

là





1;–3

M ,

–3



. B.





1;3

M ,

–3



. C.





1;–3

M ,



. D.





1;–3

M  ,

–3



Câu 36. [1D5-3] Cho hàm số

ax b







có đồ thị cắt trục tung tại





0;–1

A , tiếp tuyến tại

có hệ số

góc

 

. Các giá trị của

là



. B.



. C.



. D.



Câu 37. [1D5-3] Cho hàm số

3 1

x x

 





và xét các phương trình tiếp tuyến có hệ số góc



của

đồ thị hàm số là

2 –1; 2 –3

y x y x

 

. B.

2 – 5; 2 – 3

y x y x

 

2 –1; 2 –5

y x y x

 

. D.

2 –1; 2 5

y x y x

  

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 45

Câu 38. [1D5-3] Cho hàm số

3 3

x x

 





, tiếp tuyến của đồ thị hàm số vuông góc với đường

thẳng

:3 – 6 0

d y x

 

là

–3 – 3; –3 –11

y x y x

 

. B.

–3 – 3; –3 11

y x y x

  

–3 3; –3 –11

y x y x

  

. D.

–3 – 3; 3 –11

y x y x

 

Câu 39. [1D5-3] Tìm

để tiếp tuyến của đồ thị hàm số

 

2 –1 –

y m x m

 

tại điểm có hoành độ

–1



vuông góc với đường thẳng

:2 – –3 0

d x y



. B.

. C.

. D.

Câu 40. [1D5-3] Cho hàm số







, tiếp tuyến của đồ thị hàm số kẻ từ điểm





–6;5

là

– –1

y x



;

1 7

4 2

y x



. B.

– –1

y x



;

1 7

4 2

y x



 .

– 1

y x

 

;

1 7

4 2

y x



 . D.

– 1

y x

 

;

1 7

4 2

y x



 .

Câu 41. [1D5-3] Tiếp tuyến kẻ từ điểm





2;3

tới đồ thị hàm số

3 4







là

28 59

y x

  

;

y x

 

. B.

–24 51

y x

 

;

y x

 

28 59

y x

  

. D.

28 59

y x

  

;

24 51

y x

  

Câu 42. [1D5-3] Cho hàm số









3 2

: 3 1

C y x mx m x m

    

. Gọi

là giao điểm của đồ thị hàm số

với trục tung. Khi đó giá trị

để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại

vuông góc với đường

thẳng

2 3

y x

 

là



Câu 43. [1D5-3] Một viên đạn được bắn lên trời từ một vị trí cách mặt đất

1000 m

theo phương thẳng

đứng với vận tốc ban đầu

245 m/s

v  (bỏ qua sức cản của không khí). Tại thời điểm viên đạn

đạt độ cao lớn nhất cách mặt đất bao nhiêu mét?





3062,5 m

. B.





4062,5

. C.





3461

. D.





4026,5

Câu 44. [1D5-4] Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số





để đồ thị hàm số

4 3

y x x

 

tiếp xúc

với đường thẳng

y mx

 

. B.

. C.

. D.

Câu 45. [1D5-4] Cho hàm số

 

2 1







có đồ thị là





. Gọi điểm





0 0

;

M x y

với

 

là điểm

thuộc





biết tiếp tuyến của





tại điểm

cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm

phân biệt

A B

và tam giác

OAB

có trọng tâm

nằm trên đường thẳng

:4 0

d x y

 

. Hỏi giá

trị của

0 0

x y

 bằng bao nhiêu?



. B.

. C.

. D.



TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 46

Câu 46. [1D5-4] Cho các hàm số





y f x

 ,





y g x

 ,





 

f x

g x







. Hệ số góc của các tiếp tuyến của

các đồ thị các hàm số đã cho tại điểm có hoành độ



bằng nhau và khác

. Khẳng định nào

dưới đây là khẳng định đúng?

 

1 .

f   B.

 

1 .

f  C.

 

1 .

f   D.

 

1 .

f 

Câu 47. [1D5-4] Cho hàm số

x mx m

x m

 





. Giá trị

để đồ thị hàm số cắt trục

tại hai điểm và

tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm đó vuông góc là

. B.

. C.

. D.

BÀI 2. QUI TẮC TÍNH ĐẠO HÀM

Câu 48. [1D5-1] Đạo hàm cấp một của hàm số





y x

  là





5 1

y x



  . B.





2 3

15 1

y x x



   . C.





3 1

y x



   . D.





2 3

5 1

y x x



   .

Câu 49. [1D5-1] Đạo hàm của hàm số

 





f x x



tại điểm

 

là



. B.

. C.



. D.

Câu 50. [1D5-1] Hàm số

2 1







có đạo hàm là





. B.

 



 



. C.

 



 



. D.

 







Câu 51. [1D5-1] Cho hàm số

3 2

3 9 5

xy x

  

 . Phương trình





có nghiệm là





1;2

 . B.





1;3

 . C.





0;4

. D.





1;2

Câu 52. [1D5-1] Cho hàm số





f x

xác định trên



bởi





f x x



. Giá trị









bằng

. B.

. C.



. D.

Câu 53. [1D5-1] Cho hàm số





f x

xác định trên





\ 1



bởi

 

f x





. Giá trị của









bằng

. B.



. C.



. D. Không tồn tại.

Câu 54. [1D5-1] Cho hàm số





f x

xác định trên



bởi





f x ax b

 

, với

là hai số thực đã cho.

Chọn câu đúng:





f x a





. B.





f x a



 

. C.





f x b





. D.





f x b



 

Câu 55. [1D5-1] Tính đạo hàm của hàm số

4 2

3 3

y x x x

   

4 2

4 6

y x x



  

. B.

4 6

y x x



  

. C.

4 6

y x x



  

. D.

4 6

y x x



  

Câu 56. [1D5-1] Tính đạo hàm của hàm số

2 1







 



 



. B.

 

4 2









. C.

 



 



. D.

 

4 5





 



GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 47

Câu 57. [1D5-1] Tính đạo hàm của hàm số





3 2

y x x

  .





10 3 4

y x x



  . B.









2 3 2

10 3 2 2

y x x x x



   .









2 3 2

10 3 4 2

y x x x x



   . D.





3 2

10 2

y x x



  .

Câu 58. [1D5-1] Tính đạo hàm của hàm số

3 2

y ax bx cx d

   

, (Với , , ,a b c d





và



y ax bx c



  

. B.

y ax bx c



  

3 2

y ax bx c



  

. D.

y ax bx d



  

Câu 59. [1D5-2] Cho hàm số







đạo hàm của hàm số tại



là





1 4



 

. B.





1 5



 

. C.





1 3



 

. D.





1 2



 

Câu 60. [1D5-2] Cho hàm số











bằng

 





. B.

 





. C.





0 1





. D.





0 2





Câu 61. [1D5-2] Cho hàm số





f x

xác định trên



bởi

 

f x x

 . Giá trị







bằng

. B.

. C.

. D. Không tồn tại.

Câu 62. [1D5-2] Hàm số

 







có đạo hàm là

 











. B.

 









. C.





2 2

y x



  

. D.

 









Câu 63. [1D5-3] Cho hàm số

 





 



 

. Đạo hàm của hàm số





f x

là

 





 

2 1

f x

 







. B.

 





 

2 1

f x

x x

 







 





 

2 1

f x

x x









. D.

 





2 1

f x









Câu 64. [1D5-3] Cho hàm số





f x

xác định trên



bởi





f x x

 . Giá trị









bằng

. B.



. C.

. D.



Câu 65. [1D5-2] Cho hàm số





f x

xác định bởi

 

khi 0

0 khi 0

f x





















. Giá trị







bằng

. B.

. C.

. D. Không tồn tại.

Câu 66. [1D5-2] Cho hàm số





f x

xác định trên



bởi





2 3

f x x x

  

. Hàm số có đạo hàm





f x



bằng

4 3

 

. B.

4 3

 

. C.

4 3



. D.

4 3



TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 48

Câu 67. [1D5-2] Cho hàm số





f x

xác định trên





0;D

 

cho bởi





f x x x

 có đạo hàm là

 

f x x



 . B.

 

f x x



 . C.

 

f x



 . D.

 

f x x



  .

Câu 68. [1D5-2] Hàm số

 

f x x

 

 

 

 

xác định trên





0;D

 

. Có đạo hàm của





f x

là

 

f x x



  

. B.

 

f x x



  . C.

 

f x x



  . D.

 

1f x



 

Câu 69. [1D5-2] Hàm số

 

f x x

 

 

 

 

xác định trên





0;D

 

. Đạo hàm của hàm





f x

là

 

3 1 1 1

f x x

x x x x x

 



   

 

 

. B.

 

3 1 1 1

f x x

x x x x x

 



   

 

 

 

3 1 1 1

f x x

x x x x x

 



    

 

 

. D.

 

3 1

3f x x x x

x x x



    .

Câu 70. [1D5-2] Cho hàm số





4 3 2

4 3 2 1

f x x x x x

     

xác định trên



. Giá trị









bằng

. B.

. C.

. D.

Câu 71. [1D5-2] Cho hàm số

 

2 1

f x







xác định





\ 1



. Đạo hàm của hàm số





f x

là

 

f x







. B.

 

f x







. C.

 

f x







. D.

 

f x









Câu 72. [1D5-2] Cho hàm số

 

1f x

   xác định





\ 0



. Đạo hàm của hàm số





f x

là

 

f x x x



  B.

 

f x x x



 C.

 

f x

x x



  D.

 

f x

x x



 

Câu 73. [1D5-3] Cho hàm số





f x k x x

 

( )





. Để

 





thì ta chọn:



. B.

 

. C.



. D.



Câu 74. [1D5-2] Đạo hàm của

2 5

x x



 

là kết quả nào sau đây?

2 2







. B.

 

2 2

2 5

x x





 

 

. C.

 

2 2

2 5

x x







 

. D.

2 2

2 5

x x





 

 

Câu 75. [1D5-2] Tính đạo hàm của hàm số

2 1







 

5 2

2 1





 



. B.

 

1 5 2

2 2 1

2 1





  



1 2

2 2 1





 



. D.

 

1 5 2

2 2 1





  





Câu 76. [1D5-3] Cho hàm số





f x k x x

 

( )





. Để

 





thì ta chọn:



. B.

 

. C.



. D.



GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 49

Câu 77. [1D5-3] Với

 

2 5

x x

f x

 





. Thì









bằng

. B.



. C.



. D.

Câu 78. [1D5-3] Cho hàm số

 

y f x

 



. Tính







bằng

 





. B.

 





. C.





0 1





. D.





0 2





Câu 79. [1D5-3] Cho hàm số

x x







, đạo hàm của hàm số tại



là





1 4



 

. B.





1 3



 

. C.





1 2



 

. D.





1 5



 

Câu 80. [1D5-3] Đạo hàm của hàm số

 

2 1

y x x x

  

là

4 1

y x x

x x





  



. B.

4 1

y x x

x x





  



4 1

y x x

x x





  



. D.

4 1

y x x

x x





  



Câu 81. [1D5-3] Đạo hàm của hàm số

1 1

x x



  

là

 

1 1

x x



 

  

. B.

2 1 2 1

x x





  

1 1

4 1 4 1

x x



 

 

. D.

1 1

2 1 2 1

x x



 

 

Câu 82. [1D5-3] Cho hàm số

 

5 14 9

f x x x

   

. Tập hợp các giá trị của

để





f x





là

7 9

;

5 5

 

 

 

. B.

;

 



 

 

. C.

 

 

 

. D.

;

 



 

 

Câu 83. [1D5-3] Cho hàm số

x x m

 





. Tìm

để phương trình





có hai nghiệm phân biệt.



và

 

. B.

 

. C.

 

. D.

 

Câu 84. [1D5-3] Cho hàm số





3 2 1 2

x m x m

   





. Tìm các giá trị của

để





với mọi

thuộc tập xác định.



. B.



. C.



. D.



Câu 85. [1D5-3] Cho hàm số





3 2

2 2 1

m m

y x mx x m



    

. Với giá trị nào của

thì

0 y x



  



1 0.

  

  

  

  

Câu 86. [1D5-4] Cho hàm số

 

3 2

3 1 1

y x mx m x

    

. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

thuộc





2018;2018

 để 0,y x



  



2019

. B.

2018

. C.

2017

. D.

2016

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 50

Câu 87. [1D5-4] Cho hàm số





y f x

 liên tục, có đạo hàm trên



và đồ thị





của nó đi qua các

điểm





0; 15

A ,





1; 13

B . Biết rằng





f x



là một đa thức bậc bốn và có bảng xét dấu là











f x







Hỏi điểm nào trong số bốn điểm dưới đây thuộc









2; 1



. B.





2; 71

M . C.





2; 41

N . D.





2; 41

P  .

Câu 88. [1D5-4] Cho hàm số

3 2

3 4

y x x

  

có đồ thị là





. Hai đường thẳng

có hệ số góc

âm, song song với nhau và lần lượt tiếp xúc với





tại

. Khẳng định nào sau đây đúng?

2 2

1 2

0 4

x x

  

. B.

2 2

1 2

4 6

x x

  

. C.

2 2

1 2

6 8

x x

  

. D.

2 2

1 2

8 16

x x

  

Câu 89. [1D5-4] Cho hàm số





3 2

3 1 9

y x m x x m

    

. Tìm m để phương trình





có 2 nghiệm

phân biệt

thỏa mãn điều kiện

1 2

x x

 





3; 1 3 1 3;1

 

      

 

3; 1 3 1 3;1

   

      

   





1 3; 1 3

m    



3; 1 3



   



BÀI 3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Câu 90. [1D5-1] Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

 

sin cos

u u



 , (với





u u x

 ). B.

 

cos sin

u u



 , (với





u u x

 ).

 

tan

cos



 , (với





u u x

 ). D.

 

cot

sin



 , (với





u u x

 ).

Câu 91. [1D5-1] Hàm số

sin

y x



có đạo hàm là

cos

y x





. B.

cos

y x



 

. C.

sin

y x



 

. D.

cos



 .

Câu 92. [1D5-1] Hàm số

cos

y x



có đạo hàm là

sin

y x





. B.

sin

y x



 

. C.

cos

y x



 

. D.

sin



 .

Câu 93. [1D5-1] Hàm số

tan

y x



có đạo hàm là

cot

y x





. B.

cos



 . C.

sin



 . D.

1 tan

y x



  .

Câu 94. [1D5-1] Hàm số

cot

y x



có đạo hàm là

tan

y x



 

. B.

cos



  . C.

sin



  . D.

1 cot

y x



  .

Câu 95. [1D5-1] Hàm số

 

1 tan

y x

  có đạo hàm là

1 tan

y x



 

. B.

 

1 tan

y x



  .









1 tan 1 tan

y x x



   . D.

1 tan

y x



  .

Câu 96. [1D5-1] Tính đạo hàm của hàm số

5sin 3cos

y x x

 

5sin 3cos

y x x



  

. B.

5sin 3cos

y x x



  

5cos 3sin

y x x



 

. D.

5cos 3sin

y x x



 

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 51

Câu 97. [1D5-1] Tính đạo hàm của hàm số

cos 2 1

y x

 

sin 2 1

2 2 1





 



. B.

sin 2 1

2 1









. C.

sin 2 1

2 1





 



. D.

sin 2 1

y x



  

Câu 98. [1D5-1] Tính đạo hàm của hàm số

sin 2

y x



 

2 sin 2

y x



 . B.

cos2

y x





. C.

 

2 cos 2

y x



 . D.

2cos2

y x





Câu 99. [1D5-2] Cho hàm số

 

3sin 2

f x x



 

 

 

 

. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của





f x



lần lượt là

1; 1.



12; 12.



6; 6.



6 ; 6.



Câu 100. [1D5-2] Đạo hàm của hàm số

tan





là

2cos







. B.

cos







. C.

2cos



 



. D.

cos



 



Câu 101. [1D5-2] Cho hàm số

sin 3 cos

y x x

  . Tìm nghiệm của phương trình





 

x k k



  



. B.

 

x k k



  



 

2 ,

x k k



  



. D.

 

x k k



   



Câu 102. [1D5-2] Tính đạo hàm của hàm số





sin 3 2

y x x

  





cos 3 2

y x x



  

. B.









2 3 .sin 3 2

y x x x



   









2 3 .cos 3 2

y x x x



   

. D.









2 3 .cos 3 2

y x x x



    

Câu 103. [1D5-2] Đạo hàm của hàm số

sin 2

y x



 

 

 

 

là

2sin 2



. B.

cos 2



 



 

 

. C.

2sin 2

. D.

2cos 2



 



 

 

Câu 104. [1D5-2] Hàm số nào sau đây có đạo hàm là hàm số

cos2 sin

y x x

 

sin2 cos

y x x

 

. B.

sin 2 cos

y x x

  .

sin2 cos

y x x

 

. D.

sin 2 cos

y x x

  .

Câu 105. [1D5-2] Cho hàm số





sin cos 2

y f x x x x

    . Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình





f x





là



 

x k k



   





 D.





Câu 106. [1D5-2] Hàm số

sin

 có đạo hàm là

cos sin

x x x





 . B.

cos sin

x x x





 . C.

sin cos

x x x





 . D.

sin cos

x x x





 .

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 52

Câu 107. [1D5-2] Hàm số

.cos

y x x

 có đạo hàm là

2 .cos sin

y x x x x



  . B.

2 .cos sin

y x x x x



  .

2 .sin cos

y x x x x



  . D.

2 .sin cos

y x x x x



  .

Câu 108. [1D5-2] Hàm số

tan cot

y x x

 

có đạo hàm là

cos 2



 . B.

sin 2



 . C.

cos 2



 . D.

sin 2



 .

Câu 109. [1D5-3] Hàm số

2 sin 2 cos

y x x

 

có đạo hàm là

1 1

sin cos

x x



  . B.

1 1

sin cos

x x



  .

cos sin

sin cos

x x



  . D.

cos sin

sin cos

x x



  .

Câu 110. [1D5-3] Hàm số

 

cos

y f x



  có







bằng



. B.



. C.

4 3

. D.

Câu 111. [1D5-3] Hàm số

tan

y  có đạo hàm là

sin

cos



 . B.

2sin

cos



 . C.

sin

2cos



 . D.

tan

 





 

 

Câu 112. [1D5-3] Hàm số

cot 2

y x



có đạo hàm là

1 cot 2

cot2





 . B.





1 cot 2

cot 2

 





. C.

1 tan 2

cot 2





 . D.





1 tan 2

cot2

 





Câu 113. [1D5-3] Cho hàm số

cos3 .sin2

y x x



. Tính



 



 

 

bằng



 



 

 

 

. B.



 





 

 

. C.

3 2



 



 

 

 

. D.

3 2



 





 

 

Câu 114. [1D5-3] Cho hàm số

cos2

1 sin





. Tính



 



 

 

bằng



 





 

 

. B.



 



 

 

 

. C.



 





 

 

. D.



 



 

 

 

Câu 115. [1D5-3] Xét hàm số





cos2

f x x

 . Chọn đáp án sai:



 

 

 

 

. B.

 

3 2

2sin 2

3. cos 2

f x









 





 

 

. D.

3. . 2sin2 0

y y x



 

Câu 116. [1D5-3] Cho hàm số





sin cos

y f x x x

   . Giá trị



 



 

 

bằng

. B.

. C.



. D.

2 2



GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 53

Câu 117. [1D5-3] Cho hàm số





tan cot

y f x x x

   . Giá trị



 



 

 

bằng

. B.

. C.

. D.

Câu 118. [1D5-3] Cho hàm số

 

sin

y f x

  . Giá trị



 



 

 

bằng

. B.

. C.

. D. Không tồn tại.

Câu 119. [1D5-3] Xét hàm số

 

2sin

y f x x



 

  

 

 

. Tính giá trị



 



 

 

bằng



. B.

. C.

. D.



Câu 120. [1D5-3] Cho hàm số

 

tan

y f x x



 

  

 

 

. Giá trị







bằng

. B.

. C.



. D.

Câu 121. [1D5-3] Cho hàm số





2sin

y f x x

  . Đạo hàm của hàm số

là

2cos

y x





. B.

cos

y x



 . C.

2 .cosy x



 . D.

.cos

x x



 .

Câu 122. [1D5-3] Cho hàm số

cos

1 sin





. Tính



 



 

 

bằng



 





 

 

. B.



 



 

 

 

. C.



 





 

 

. D.



 



 

 

 

Câu 123. [1D5-3] Hàm số

sin .cos

y x x

 có đạo hàm là





sin 3cos 1

y x x



 

. B.





sin 3cos 1

y x x



 





sin cos 1

y x x



 

. D.





sin cos 1

y x x



 

Câu 124. [1D5-3] Đạo hàm của hàm số

 

cot cos sin

y x x



  

là

 

1 cos

2cot cos

sin cos

2 sin

y x





  



 

1 cos

2cot cos .sin

sin cos

2 sin

y x x





 



 

1 cos

2cot cos

sin cos

sin

y x





  



 

1 cos

2cot cos .sin

sin cos

sin

y x x





 



TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 54

Câu 125. [1D5-4] Cho hàm số









sin 2 2 1 2 cos2 2 1

f x x m x mx

    

. Với giá trị nào của tham số

thì phương trình





f x





có nghiệm.





. B.





1;1

m 

1 5

; ;

2 6

   

   

   

   

;

 

 

 

 

Câu 126. [1D5-4] Cho hàm số





cos 2sin 3 1

f x m x x x

   

, tìm tất cả các giá trị của tham số

để

phương trình





f x





có nghiệm.

 

hoặc

m  . B.

5 5

m   .

 

. D.

m  .

Câu 127. [1D5-4] Cho hàm số





2 2 2

sin tan 3cos

f x x x x

  và





2 2

4sin tan

g x x x

  . Khi đó:









sin 2

f x g x x

 

  . B.









f x g x

 

 









f x g x

 

 

. D.









f x g x

 

 

Câu 128. [1D5-4] Cho hàm số

cos

, 0

y x

 

. Chọn đẳng thức đúng.

2 cos 0

y x y x

 

  

. B.

2 cos 0

y x y x

 

  

2 cos 0

y x y x

 

  

. D.

2 cos 0

y x y x

 

  

BÀI 4. VI PHÂN

Câu 129. [1D5-1] Cho hàm số

   

y f x x

  

. Biểu thức nào sau đây chỉ vi phân của hàm số





f x





d 2 1 d

y x x

  . B.

 

d 1 d

y x x

  . C.





d 2 1

y x

 

. D.





d 2 1 d

y x x

  .

Câu 130. [1D5-1] Cho hàm số

5 6

y x x

  

. Vi phân của hàm số là





d 3 5 d

y x x

  . B.





d 3 5 d

y x x

   . C.





d 3 5 d

y x x

  . D.





d 3 5 d

y x x

  .

Câu 131. [1D5-1] Cho hàm số







. Vi phân của hàm số là

 





. B.

 





. C.

 







. D.

 

 



Câu 132. [1D5-1] Cho hàm số

x x

 





. Vi phân của hàm số là

 

2 2

d d

x x

y x

 

 



. B.

 

2 1

d d

y x







. C.

 

2 1

d d

y x



 



. D.

 

2 2

d d

x x

y x

 





Câu 133. [1D5-1] Cho hàm số

3 2

9 12 5

y x x x

   

. Vi phân của hàm số là





d 3 18 12 d

y x x x

   . B.





d 3 18 12 d

y x x x

    .





d 3 18 12 d

y x x x

    . D.





d 3 18 12 d

y x x x

    .

Câu 134. [1D5-1] Tìm vi phân của hàm số

3 2

3 2 4

y x x x

   





d 3 6 2 d

y x x x

   . B.

d 3 6 2d

y x x x

   .





d 3 6 2 d

y x x x

    . D.





d 3 2 d

y x x x

   .

Câu 135. [1D5-1] Vi phân của hàm số

cos

y x



là

d cos d

y x x



. B.

d cos d

y x x

 

. C.

d sin d

y x x

 

. D.

d sin d

y x x



GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 55

Câu 136. [1D5-2] Cho hàm số

 . Vi phân của hàm số là

d d

y x

 . B.

d d

y x

 . C.

d d

y x

  . D.

d d

y x x

 .

Câu 137. [1D5-2] Cho hàm số

sin 3cos

y x x

 

. Vi phân của hàm số là





d cos 3sin d

y x x x

   . B.





d cos 3sin d

y x x x

   .





d cos 3sin d

y x x x

  . D.





d cos 3sin d

y x x x

   .

Câu 138. [1D5-2] Cho hàm số

sin

y x

 . Vi phân của hàm số là

d –sin2 d

y x x



. B.

d sin 2 d

y x x



. C.

d sin d

y x x



. D.

d 2cos d

y x x



Câu 139. [1D5-2] Hàm số

sin cos

y x x x

 

có vi phân là





d cos –sin d

y x x x x

 . B.





d cos d

y x x x

 .





d cos – sin d

y x x x

 . D.





d sin d

y x x x

 .

Câu 140. [1D5-2] Hàm số





. Có vi phân là

 

y x







. B.

 

y x





. C.

 

d d

y x







. D.

 

d d

y x





Câu 141. [1D5-2] Cho hàm số

5sin2

y x



vi phân của hàm số tại





là

d 5d

y x



. B.

d 10cos2 d

y x x



. C.

d 10cos2 d

y x x

 

. D.

d 5d

y x

 

Câu 142. [1D5-2] Cho hàm số

1 2







, vi phân của hàm số tại

 

là

d d

y x

 . B.

d 7d

y x



. C.

d d

y x

  . D.

d 7d

y x

 

Câu 143. [1D5-2] Cho hàm số





sin sin

y x

 vi phân của hàm số tại

là





d cos sin d

y x x

 . B.





d sin cos d

y x x

 .





d cos sin .cos d

y x x x

 . D.





d cos sin .sin d

y x x x

 .

Câu 144. [1D5-2] Cho hàm số tan

y x

 vi phân của hàm số tại

là

d d

2 .cos

y x

x x



. B.

d d

2 .cos

y x

x x



d d

2 .cos

y x

x x



. D.

d d

2 .cos

y x

x x



Câu 145. [1D5-2] Cho hàm số

cos 2

y x

 vi phân của hàm số tại

là

d 4cos2 sin 2 d

y x x x



. B.

d 2cos2 sin 2 d

y x x x



d 4cos2 sin2 d

y x x x

 

. D.

d 2cos2 sin2 d

y x x x

 

Câu 146. [1D5-2] Cho hàm số







vi phân của hàm số tại

là

 

d d

y x







. B.

 

d d

y x







. C.

 







. D.

d d

y x







Câu 147. [1D5-2] Cho hàm số

 

khi 0

2 khi 0

x x x

f x

x x



 









. Kết quả nào dưới đây là đúng?









0 lim 0

f x x







  

. B.

 

0 0

0 lim lim 1 1

x x

f x

 



 





    





0 lim 2 0

f x







 

. D.





d 0 d

f x

 

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 56

Câu 148. [1D5-2] Cho hàm số

 

sin khi 0

khi 0

x x

f x

x x













. Khẳng định nào dưới đây là sai?





0 1







. B.





0 1











d 0 d

f x



. D. Hàm số không có vi phân tại



Câu 149. [1D5-2] Hàm số

x x

 





có vi phân là

 

2 2

d d

x x

y x

 

 



 

2 1

d d

y x







 

2 1

d d

y x



 



 

2 2

d d

x x

y x

 





Câu 150. [1D5-2] Hàm số





có vi phân là

 

d d

y x







. B.

 

d d

y x





. C.

 

d d

y x







. D.

 

d d

y x





Câu 151. [1D5-2] Vi phân của hàm số

y x x

 

bằng biểu thức nào sau đây?

d d

2 5

y x

x x





. B.

2 5

d d

y x

x x







2 5

d d

2 5

y x

x x



 



. D.

2 5

d d

2 5

y x

x x







Câu 152. [1D5-2] Biểu thức nào sau đây là vi phân của hàm số





 

3 1



. B.

 

 



. C.

 



. D.

 

 



Câu 153. [1D5-3] Vi phân của hàm số

tan

 là

d d

4 cos

y x

x x x

 . B.





sin 2

d d

4 cos

y x

x x x

 .





2 sin 2

d d

4 cos

x x

y x

x x x



 . D.





2 sin 2

d d

4 cos

x x

y x

x x x



  .

Câu 154. [1D5-3] Xét hàm số

 

1 cos 2

y f x x

   . Chọn câu đúng:

 

sin 4

d d

2 1 cos 2

f x x







. B.

 

sin 4

d d

1 cos 2

f x x







 

cos2

d d

1 cos 2

f x x





. D.

 

sin 2

d d

2 1 cos 2

f x x







Câu 155. [1D5-4] Tính





 

d sin

d cos

cot



. B.

tan



. C.

cot

. D.

tan

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 57

BÀI 5. ĐẠO HÀM CẤP CAO

Câu 156. [1D5-1] Hàm số





có đạo hàm cấp hai là





. B.

 







. C.

 



 



. D.

 







Câu 157. [1D5-1] Hàm số





y x 

có đạo hàm cấp ba là





12 1

y x



 

. B.





24 1

y x



 





24 5 3

y x



  . D.





–12 1

y x



 

Câu 158. [1D5-1] Cho hàm số

   

f x x

 

. Giá trị







bằng

. B.

. C.

. D.

Câu 159. [1D5-2] Hàm số

2 5

y x



có đạo hàm cấp hai bằng

 

2 5 2 5

x x





 

. B.

2 5







 

2 5 2 5

x x



 

 

. D.

2 5



 



Câu 160. [1D5-2] Hàm số

x x

 





có đạo hàm cấp

bằng

 

120

 



. B.

 

120





. C.

 





. D.

 

 



Câu 161. [1D5-2] Hàm số

y x x

 

có đạo hàm cấp

bằng

 

2 2

2 3

1 1

x x





 

 

. B.

2 1









 

2 2

2 3

1 1

x x







 

. D.

2 1





 



Câu 162. [1D5-2] Hàm số

 

2 5

y x  có đạo hàm cấp

bằng

 

80 2 5

y x



 

. B.

 

480 2 5

y x



  .

 

480 2 5

y x



   . D.

 

80 2 5

y x



   .

Câu 163. [1D5-2] Hàm số

tan

y x



có đạo hàm cấp

bằng

2sin

cos



  . B.

cos



 . C.

cos



  . D.

2sin

cos



 .

Câu 164. [1D5-2] Cho hàm số

sin

y x



. Chọn câu sai.

A. sin

y x



 



 

 

 

. B.





siny x





 

. C.

sin

y x



 



 

 

 

. D.









sin 2

y x



 

Câu 165. [1D5-2] Hàm số

2 3

x x

 





có đạo hàm cấp

bằng

 



 



. B.

 







. C.

 









. D.

 







TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 58

Câu 166. [1D5-2] Hàm số

 

cos 2

y f x x



 

  

 

 

. Phương trình









f x

 

có nghiệm



 



 

 

là





. B.



và





. C.



và





. D.



và





Câu 167. [1D5-2] Cho hàm số

sin2

y x



. Chọn khẳng định đúng.

4 0

y y



 

. B.

4 0

y y



 

. C.

tan2

y y x





. D.

 

y y



 

Câu 168. [1D5-2] Cho hàm số

 

y f x

  

. Xét hai mệnh đề:

   

:I y f x

 

  .

   

:II y f x

 

  

Mệnh đề nào đúng?

A. Chỉ





đúng. B. Chỉ





đúng. C. Cả hai đều đúng. D. Cả hai đều sai.

Câu 169. [1D5-2] Nếu

 

2sin

cos

f x



 thì





f x

bằng

cos

. B.

cos

 . C.

cot

. D.

tan

Câu 170. [1D5-2] Cho hàm số

 

x x

y f x

  

 



. Xét hai mệnh đề:









I y f x

 



1 0, 1

( 1)

     











II y f x

 



0, 1

( 1)

   



Mệnh đề nào đúng?

A. Chỉ





đúng. B. Chỉ





đúng. C. Cả hai đều đúng. D. Cả hai đều sai.

Câu 171. [1D5-2] Cho hàm số





3 2

sin

f x x x

 

. Giá trị



 



 

 

bằng

. B.



. C.



. D.

Câu 172. [1D5-2] Cho hàm số

     

5 1 4 1

f x x x

   

. Tập nghiệm của phương trình





f x





là





1;2

 . B.





 . C.







. D.



Câu 173. [1D5-2] Cho hàm số





. Khi đó:

 





. B.

 





. C.

 



 

. D.

 



 

Câu 174. [1D5-2] Cho hàm số

 

y ax b

  với

là tham số. Khi đó:









1 0



. B.









1 10

y a b

 

. C.









1 5

y a



. D.









1 10

y a

 .

Câu 175. [1D5-2] Cho hàm số

sin 2

y x

 . Tính

 



 

 

 

bằng

. B.



. C.

64 3

. D.

64 3

 .

Câu 176. [1D5-2] Nếu





3 2

sin

f x x x

 

thì



 





 

 

bằng

. B.

. C.



. D.

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 59

Câu 177. [1D5-2] Cho hàm số





. Đạo hàm cấp hai



của hàm số đã cho là

 







. B.

 







. C.

 









. D.

 









Câu 178. [1D5-2] Cho hàm số

cos

y x

 . Đạo hàm cấp hai



bằng

2cos 2

y x



 

. B.

4cos 2

y x



 

. C.

2cos 2

y x





. D.

4cos 2

y x





Câu 179. [1D5-2] Cho hàm số

   

f x x

 

. Giá trị của







bằng

. B.

. C.

. D.

108

Câu 180. [1D5-2] Cho hàm số

sin

y x

 . Giá trị biểu thức

M y y



 

bằng

sin

. B.

6sin

. C.

6cos

. D.

6sin



Câu 181. [1D5-2] Cho hàm số





siny A x

 

 

. Tính

M y y





  .



. B.

 

. C.





cos 4

M x



 

. D.



Câu 182. [1D5-2] Cho hàm số







. Tính



 







. B.

 





. C.

 







. D.

 





Câu 183. [1D5-2] Cho

sin

y x x



. Tính



2sin cos

y x x x

 

. B.

2cos sin

y x x x

 

. C.

sin cos

y x x x

 

. D.

cos + sin

y x x x



Câu 184. [1D5-2] Cho

cos

y x

 . Tính



sin 2

y x

 

. B.

sin 2

y x



. C.

2cos2

y x

 

. D.

2cos2

y x



Câu 185. [1D5-2] Cho

3 2

y ax bx cx d

   

. Tính



3 2

y ax bx c

  

. B.

3 2

y ax bx c

  

. C.

6 2

y ax b

 

. D.

6 2

y ax b



 

Câu 186. [1D5-2] Cho

   

f x x 

. Giá trị của







f bằng

622080

. B.

1492992

. C.

124416

. D.

103680

Câu 187. [1D5-2] Cho





sin3

f x x

 . Giá trị của



 





 

 

bằng



. B.

. C.

. D.



Câu 188. [1D5-2] Cho





sin3

f x x

 . Giá trị của







bằng

. B.

. C.



. D.

Câu 189. [1D5-2] Tính đạo hàm cấp hai của hàm số





3 2

f x x x

  

tại điểm







2 14





. B.





2 1





. C.





2 10





. D.





2 28





Câu 190. [1D5-2] Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số

tan

y x



cos



  . B.

2tan

y x





cos



  . D.





2tan 1 tan

y x x



  .

Câu 191. [1D5-2] Đạo hàm cấp hai của hàm số







là

 







. B.

 









. C.

 









. D.

 







TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 60

Câu 192. [1D5-2] Tính đạo hàm cấp hai của hàm số

sin 2

y x



, biết đạo hàm cấp một của hàm số là

2cos2

y x





4sin 2

y x



 

. B.

4sin 2

y x





. C.

4cos2

y x



 

. D.

4cos2

y x





Câu 193. [1D5-2] Tính đạo hàm cấp hai của hàm số

2 cos

y x x

 

, biết đạo hàm cấp một của hàm số là

2 sin

y x



 

2 sin

y x



 

. B.

2 cos

y x



 

. C.

sin

y x



 

. D.

cos

y x



 

Câu 194. [1D5-2] Cho hàm số

cos

y x

 . Đạo hàm cấp hai



bằng

2cos2

y x



 

. B.

4cos2

y x



 

. C.

2cos2

y x





. D.

2sin

y x



 

Câu 195. [1D5-2] Cho hàm số

3 2







. Giải bất phương trình





. B.



. C.



. D. vô nghiệm.

Câu 196. [1D5-2] Cho hàm số

.sin

y x x



. Đẳng thức nào sau đây đúng?

2cos

y y x



  

. B.





1 sin

y y x x



    .

2cos

y y x



 

. D.

2cos

y y x



  

Câu 197. [1D5-2] Cho hàm số

 

2 1

y f x



 



. Phương trình









f x f x

 

 

có nghiệm là

 



. C.



. D.

 

Câu 198. [1D5-2] Cho hàm số

sin 2

y x

 giá trị của biểu thức

   

2 2

1 1

4 64

M y y

 

  bằng



Câu 199. [1D5-3] Cho hàm số







. Giá trị biểu thức

   

2 1 .

M y y y

 

   bằng



. B.



. C.





. D.

 





Câu 200. [1D5-3] Cho hàm số

y x x

 

. Giá trị biểu thức

. 1

M y y



 

bằng



. B.

. C.



. D.

x x



Câu 201. [1D5-3] Cho hàm số

y x x

  

Giá trị biểu thức

2 .

y y y

 

 bằng

. B.

. C.



. D.

Câu 202. [1D5-3] Cho hàm số

sin .

y x x



Giá trị biểu thức





2 sin x

xy y xy

 

   bằng

. B.

. C.

. D.

sin

Câu 203. [1D5-3] Cho hàm số

.tan

y x x



. Tính









2 2 2

2 1

M x y x y y



   

cos

. B.

. C.

2 2

tan

x x



. D.

Câu 204. [1D5-3] Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình

3 2

3 9 2017

S t t t   

(

tính bằng

giây và

tính bằng mét). Tính gia tốc khi



15 m/s

. B.

9 m/s

. C.

12 m/s

. D.

6 m/s

Câu 205. [1D5-3] Cho hàm số

sin 2 cos2

y x x

 

. Giải phương trình





A. 2 ,

x k k



   



. B. ,

8 2

x k k

 

  



C. 2 ,

x k k



  



D. ,

x k k



  



GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 61

Câu 206. [1D5-3] Cho hàm số

5 4

3 5 3 2

y x x x

   

. Giải bất phương trình













;1 \ 0

x  . B.





1;x

 

. C.





1;1

x  . D.





2;2

x  .

Câu 207. [1D5-3] Cho hàm số

 

4 cos

y m x

   . Tìm

sao cho

" 0



với mọi x







. B.



. C.



. D.



Câu 208. [1D5-3] Cho hàm số





4 3 2

2 2 2 2 1

y m x x mx m

     

. Tìm

để phương trình





có

hai nghiệm phân biệt

 

1 3

; ; \ 2

2 2

   

   

 

 

   

. B.

 

3 1

; ; \ 2

2 2

   

   

   

   

 

3 1

; ; \ 2

2 2

   

    

   

   

. D.

 

1 3

; ; \ 2

2 2

   

   

   

   

Câu 209. [1D5-3] Cho hàm số

3 2







. Giải bất phương trình





. B.



. C.



. D. vô nghiệm.

Câu 210. [1D5-3] Cho hàm số

 





. Giải bất phương trình





 

. B.

 

. C.



. D. vô nghiệm.

Câu 211. [1D5-3] Cho hàm số







. Giải phương trình





1; 1 3

x x  

. B.

1; 2 3

x x   

1; 1 3

x x   

. D.

1; 3 3

x x   

Câu 212. [1D5-3] Đạo hàm cấp

2018

của hàm số

cos

y x



là

sin

. B.

sin



. C.

cos

. D.

cos



Câu 213. [1D5-3] Giả sử

     

5 1 4 1

h x x x

   

. Tập nghiệm của phương trình





h x





là





1;2

 . B.





 . C.







. D.



Câu 214. [1D5-3] Tính gia tốc tức thời của chuyển động





3 2

3 7 2

S f t t t t

    

tại thời điểm



bằng



. B.

. C.



. D.

Câu 215. [1D5-3] Tính gia tốc tức thời của chuyển động





3sin2 2cos2

s f t t t

   tại thời điểm





bằng



. B.

. C.

. D.



Câu 216. [1D5-3] Cho hàm số



. Khi đó









y x

bằng

 



 . B.



. C.

 

1 .

 . D.

Câu 217. [1D5-4] Đạo hàm cấp

, với

n



của hàm số

sin

y x



 

sin

y x



 

 

 

 

. B.





!sin

y n x

 .

 

cos

y x



 

 

 

 

. D.





!cos

y n x

 .

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 62

CÁC ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 4

ĐỀ SỐ 1 – THPT Chương Mỹ B, Hà Nội

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM: ( 2,5 điểm).

Câu 1. [1D5-1] Cho hàm số





f x

xác định trên tập số thực



thỏa mãn









 

lim 3

f x f







. Kết

quả nào sau đây đúng?





f x





. B.





2 3





. C.





f x





. D.





3 2





Câu 2. [1D5-1] Cho hàm số





f x

xác định trên tập số thực



, có đạo hàm

 

. Định nghĩa về

đạo hàm nào sau đây là đúng?









 

lim 1

f x f



 



 



. B.









 

lim 1

f x f







 











 

lim 1

f x f



 



 



. D.









 

lim

f x f

f x



 







Câu 3. [1D5-2] Đạo hàm của hàm số





y f x x

  

tại

 

bằng:



. B.



. C.



. D.



Câu 4. [1D5-1] Cho hàm số





y f x

 và





1 2



 

thì điều nào sau đây là đúng?





lim 0

 

 

. B.

lim 2

 







. C.

lim 2

 

 



 

. D.





lim 2 2

 

  

Câu 5. [1D5-2] Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y x x

 

tại điểm





1; 2



có hệ số góc

là:

 

. B.



. C.

 

. D.

 

Câu 6. [1D5-2] Nếu tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y x x

 





có tiếp tuyến song song với đường

thẳng

3 10

y x

 

thì số tiếp tuyến của





là:

. B.

. C.

. D.

Câu 7. [1D5-2] Hàm số

3 2

2 4 5

y x x x

   

có đạo hàm là:

3 2 4

y x x

  

. B.

3 4 4

y x x



  

. C.

3 2 4

y x x

  

. D.

3 4 4 5

y x x

   

Câu 8. [1D5-2] Hàm số

1 2

y x

x x

  

có đạo hàm là:

2 3

1 4

x x



  

. B.

2 4

1 4

x x



   . C.

2 4

1 2

x x



  

. D.

2 3

1 4

x x



  

Câu 9. [1D5-2] Hàm số

2y x

 

có đạo hàm







là:

. B.

. C.

. D.

Câu 10. [1D5-2] Hàm số

3 2

2 3 5

y x x

  

có đạo hàm





tại các điểm sau đây:



hoặc



. B.

 

hoặc

 

.C.



hoặc



. D.



GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 63

Câu 11. [1D5-2] Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số







tại điểm





2;3

A là:

2 1

y x

 

. B.

y x

 

. C.

2 1

y x

  

. D.

2 7

y x

  

Câu 12. [1D5-3] Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

4 2

y x x m

  

(với

là tham số) tại điểm có hoành

độ

 

là đường thẳng có phương trình:

x m

 

. B.



. C.

y m

 

. D.

y m

 

Câu 13. [1D5-2] Cho hàm số





f x x

 

. Giá trị













2 2 . 2

P f x f



   là:







. B.





2 2



. C.







. D.

2 2

 

Câu 14. [1D5-2] Hàm số

 

2 1

y x



  



có đạo hàm là:

 

3 4

12 1

x x

 



. B.

 

3 1

 



 

3 4

12 1

x x

 



. D.

 

3 4

4 1

x x

 



Câu 15. [1D5-2] Đạo hàm của biểu thức

 





2 2

3 2 4

f x x x x

   

là:

 









1 3

2 2 4

2 4

x x

f x x x x

x x

 



   

 

. B.

 









1 3

2 4

x x

f x x

x x

 





 

 





2 2 4

f x x x x

x x





   

 

. D.

   









1 3

2 3 2 4

2 4

x x

f x x x x

x x

 



    

 

Câu 16. [1D5-4] Cho hàm số

 

2 3 2

1 1 2 1

y m x m x x

     

. Giá trị

để

2 2 0

y x



  

với mọi

thuộc











; 1 ; 1;

  

. B.

 

 

 

. C. Không tồn tại

. D.

 

1;0 ; ;1

 



 

 

Câu 17. [1D5-3] Cho hàm số





3 2

f x x x

  

. Nghiệm của bất phương trình





f x





là:





0;2

. B.





 . C.







. D.









;0 2;

  

Câu 18. [1D5-2] Hàm số





sin3

f x x

 có đạo hàm





f x



là:

3cos3

. B.

cos3

. C.

3cos3



. D.

cos3



Câu 19. [1D5-2] Đạo hàm của hàm số

3sin 5cos

y x x

 

là:

3cos 5sin

y x x



 

. B.

3cos 5sin

y x x



  

3cos 5sin

y x x



  

. D.

3cos 5sin

y x x



 

Câu 20. [1D5-2] Đạo hàm của hàm số

cos sin 2

y x x x

  

là:

sin cos 2

x x

 

. B.

sin cos 2

x x

  

. C.

sin cos 2

x x x

  

. D.

sin cos 2

x x

  

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 64

Câu 21. [1D5-2] Tính



 



 

 

biết

 

cos

1 sin

f x





. B.



. C.

. D.



Câu 22. [1D5-2] Đạo hàm của hàm số

cot

y x x



là:

cot

sin

 . B.

cot

sin

 . C.

cot

cos



. D.

cot

cos



Câu 23. [1D5-2] Đạo hàm của hàm số

1 2tan

y x

  là:

cos 1 2tan

x x







. B.

sin 1 2tan

x x







1 2 tan

2 1 2 tan









. D.

2 1 2 tan







Câu 24. [1D5-4] Cho hàm số









2cos 4 1

f x x

 

. Miền giá trị của





f x



là:





2 2

f x



  

. B.





4 4

f x



  

. C.





8 8

f x



  

. D.





16 16

f x



  

Câu 25. [1D5-4] Cho hàm số

cos 2

y x

 . Số nghiệm của phương trình





trên



 

 

 

là:

. B.

. C.

. D. Vô số nghiệm.

ĐỀ SỐ 2 – THPT Hoàng Văn Thụ , Hòa Bình

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM ( 7 điểm)

Câu 1. [1D5-1] Số gia của hàm số





f x x

 

biết



và

 

là

. B.

. C.

. D.

Câu 2. [1D5-1] Đạo hàm của hàm số

5 3 2

y x x x

   

là

4 2

5 12 2

x x x

  

. B.

5 2

5 12 2

x x x

  

4 2

5 12 2

x x x

  

. D.

4 2

5 12 2

x x x

  

Câu 3. [1D5-2] Nghiệm của bất phương trình





f x





với





3 2

2 5

f x x x

  

là

x x

  

. B.

 

. C.

x x

  

. D.

 

Câu 4. [1D5-2] Phương trình tiếp của đồ thị hàm số

x x







tại điểm





1; 2



là

5 3

y x

 

. B.



. C.

9 7

y x

 

. D.

9 7

y x

 

Câu 5. [1D5-2] Tiếp tuyến với đồ thị hàm số

3 2

y x x

  

tại điểm





1; 2

 

là

. B.

5 3

y x

  

. C.

3 5

y x

 

. D.

5 7

y x

  

Câu 6. [1D5-3] Một vật rơi tự do theo phương trình

 

s gt với





9,8 m/s

g  . Vận tốc tức thời

của vật tại thời điểm





5 s

t  là





122,5 m/s

. B.





29,5 m/s

. C.





10 m/s

. D.





49 m/s

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 65

Câu 7. [1D5-3] Cho hàm số

 

2 1

y x x

  

. Khi đó:

2 1







. B.

2 2 1

x x

 





. C.

2 1

 





. D.

2 2 1

2 1

x x

 





Câu 8. [1D5-3] Đạo hàm của hàm số





1 2

y x

 

là





2 3

10 1 2

x x



. B.





3 3

60 1 2

x x

 





2 3

6 1 2

x x

 

. D.





2 3

60 1 2

x x

 

Câu 9. [1D5-3] Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

2 1

y x x

  

biết tiếp tuyến song song

với đường thẳng

2 3

y x

 

là

2 7

y x

 

. B.

2 7

y x

  

. C.

3 5

y x

 

. D.

2 5

y x

 

Câu 10. [1D5-4] Cho hàm số

y x

 

. Hai điểm





0,5;1,25

A và





0,5 ;1,25

B x y

   

thuộc đồ thị

hàm số. Hệ số góc của cát tuyến

với

1,5

 

là

. B.

2,5

. C.

3,5

. D.

Câu 11. [1D5-3] Cho hàm số

 

3 2

4 5 17

f x x x x

    

. Gọi

là hai nghiệm của phương trình





f x





thì

1 2

x x



có giá trị bằng

. B.

. C.



. D.



Câu 12. [1D5-3] Cho

y x x

  

ta có



bằng



. B.

x x

 

. D.



Câu 13. [1D5-3] Tiếp tuyến với đồ thị hàm số

 

f x





tại điểm có hoành độ



có hệ số góc

là



. B.

. C.

. D.

Câu 14. [1D5-3] Cho





2 2

sin cos

f x x x x

  

khi đó





f x



bằng

1 sin .cos

x x



. B.

1 2sin 2



1 2sin 2



. D.

1 2sin 2

 

II. TỰ LUẬN (3 điểm)

Câu 15. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

1)[1D5-1]

5 3 2

y x x x

  

2)[1D5-2]

sin 2x 3

y x x

  

Câu 16. [1D5-3] Cho hàm số

3 2

y x x

  

có đồ thị





. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị





. Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

có phương trình:

y x

 

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 66

ĐỀ SỐ 3 – THPT Vĩnh Lộc, Huế

I - Phần trắc nghiệm.

Câu 1. [1D5-1] Tính đạo hàm của hàm số

cot 2

y x



sin



 . B.

sin



  . C.

sin 2





 . D.

sin 2



 .

Câu 2. [1D5-2] Tính đạo hàm của hàm số

2sin 2 3cot2

y x x

 

4cos2

sin 2

y x



  . B.

4cos2

sin 2

y x



  .

4cos2

sin 2

y x



  . D.

4cos2

sin 2

y x



  .

Câu 3. [1D5-2] Tính đạo hàm của hàm số

tan 4 4

y x x

  .

2tan4

tan 4 4

x x







. B.

2tan 4

tan 4 4

x x







. C.

tan 4

tan 4 4

x x







. D.

2 tan 4

tan 4 4

x x







Câu 4. [1D5-2] Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số





f x x

  

tại điểm

có tung độ

 

và hoành độ







2 6 6 1

y x

  

. B.





2 6 6 1

y x

  





2 6 6 1

y x

   

. D.





2 6 6 1

y x

  

Câu 5. [1D5-3] Cho hàm số

cos

y x x



. Biết rằng





tan

xy y k x x



  với mọi

 

x k k



  



Tìm giá trị của



. B.



. C.

 

. D.



Câu 6. [1D5-1] Tính đạo hàm của hàm số

cos2

y x



sin2

y x



 

. B.

2sin2

y x





. C.

sin2

y x





. D.

2sin 2

y x



 

Câu 7. [1D5-2] Tính đạo hàm của hàm số

 

5 7

y x

  .

 

20 5 7

y x



  . B.

 

4 5 7

y x



  . C.

 

28 7 5

y x



  . D.

 

28 5 7

y x



  .

Câu 8. [1D5-3] Cho hàm số





3 2

2 3

f x x x mx

   

. Tìm

để





f x



bằng bình phương của một

nhị thức bậc nhất.



. B.



. D. Không có giá trị nào.

Câu 9. [1D5-1] Tại mọi

dương. Tính đạo hàm của hàm số

y x

 .

 



 . B.

 



 . C.

 

x x





. D.

 

x x





Câu 10. [1D5-1] Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị





của hàm số





y f x

 tại điểm









0 0 0

;

M x f x





0 0

y y f x x



  , trong đó





0 0

y f x

 . B.









0 0 0

y x f x x x



   .









0 0

y f x x x



  . D.









0 0 0

y y f x x x



   , trong đó





0 0

y f x

 .

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 67

Câu 11. [1D5-1] Tính đạo hàm của hàm số

4 3

2 3 2

y x x x

    

3 2

8 9 1

y x x



   

. B.

16 9 1

y x x



   

3 2

8 27 1

y x x



   

. D.

8 9 1

y x x



   

Câu 12. [1D5-2] Cho hàm số

cos

1 sin





. Tính



 



 

 



 





 

 

. B.



 





 

 

. C.



 





 

 

. D.



 



 

 

 

Câu 13. [1D5-1] Tính đạo hàm của hàm số

tan4

y x



1 tan 4

y x



  . B.

cos 4



  . C.

cos 4



 . D.





4 1 tan 4

y x



  .

Câu 14. [1D5-2] Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số





f x x

 

tại điểm

có hoành độ

 





2 1 6

y x

  

. B.





2 1 6

y x

   

. C.





2 1 6

y x

   

. D.





2 1 6

y x

   

Câu 15. [1D5-1] Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây.

A. Hàm số





y f x

 có đạo hàm tại

khi và chỉ khi hàm số này liên tục tại điểm đó.

B. Nếu hàm số





y f x

 có đạo hàm tại

thì nó liên tục tại điểm đó.

C. Nếu hàm số





y f x

 không liên tục tại

thì nó vẫn có thể có đạo hàm tại điểm đó.

D. Nếu hàm số





y f x

 liên tục tại

thì có đạo hàm tại điểm đó.

Câu 16. [1D5-2] Tính đạo hàm của hàm số

1 1

 

1 2





 

. B.

1 2

x x



 

. C.

1 2

x x





 

. D.

1 2





 

Câu 17. [1D5-1] Tại mọi





. Tính đạo hàm của hàm số





, 1

y x n n

  



 

n n

x n x





 . B.

 

n n

x x





 . C.

 

n n

x n x





 . D.

 

x n x



 .

Câu 18. [1D5-1] Cho hàm số





u u x

 có đạo hàm trên





;

a b

. Tính đạo hàm của hàm

sin

y u



cos

y u u

 



. B.

cos

y u u





. C.

cos

y u u

 

 

. D.

cos

y u u



 

Câu 19. [1D5-2] Tính số gia



của hàm số





f x x



tại



, với giả thiết



là số gia của đối số

tại

A. 1

y x x

    

. B. 1

y x

   

. C.

y x x

   

. D.

y x

  

Câu 20. [1D5-3] Cho hàm số

4 3

y x x

 

có đồ thị





. Tìm

để đường thẳng





: 1

d y mx

 

tiếp

xúc với







. B.

 

. C.



. D.

 

II - Phần tự luận

Bài 1: [1D5-2] Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị





của hàm số





3 2

2 3

y f x x x

   

tại

điểm có hoành độ



Bài 2: [1D5-3] Tính đạo hàm của hàm số

 

3 2

x x

y f x

 

 









TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 68

ĐỀ SỐ 4 – THPT Nho Quan A, Ninh Bình

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu 1. [1D5-2] Tiếp tuyến với đồ thị hàm số

 

f x





tại điểm có hoành độ

 

có hệ số góc

là



. B.



. C.

. D.

Câu 2. [1D5-2] Một vật rơi tự do theo phương trình

 

s gt , với





9,8 m/s

g  . Vận tốc tức

thời của vật tại thời điểm





5 s

t  là





122,5 m/s

. B.





29,5 m/s

. C.





10 m/s

. D.





49 m/s

Câu 3. [1D5-2] Hàm số nào sau đây có đạo hàm là

 

2 15

x x

 



4 9

x x

 





. B.

6 5

x x

 





. C.

6 9

x x

 





. D.

6 9

x x

 





Câu 4. [1D5-2] Cho

 

3 2

x x

f x x

  

. Tập nghiệm của bất phương trình





f x





là





2;2

 . B.



. C.





 

. D.



Câu 5. [1D5-2] Phương trình tiếp tuyến của đồ hàm số

2 3 1

y x x

   

, biết tiếp tuyến song song

với đường thẳng

: 8 2

d y x

 

y x

 

y x



. B.

y x

 

y x

 

y x

 

y x

 

. D.

1 11

8 3

y x

  

1 97

8 3

y x   .

Câu 6. [1D5-2] Tính đạo hàm của hàm số







 

x 

. B.

 

x 

. C.

 





. D.

 





Câu 7. [1D5-2] Cho





2 2

sin cos

f x x x x

  

. Khi đó





f x



bằng

1 2sin 2



. B.

1 sin .cos

x x



. C.

1 2sin 2



. D.

1 2sin 2

 

Câu 8. [1D5-2] Đạo hàm của hàm số

sin3

y x



là biểu thức nào sau đây?

cos3

2 sin3

. B.

3cos3

2 sin3

. C.

cos3

2 sin3



. D.

3cos3

2 sin3



Câu 9. [1D5-2] Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số





y f x x

 

tại điểm có hoành độ bằng



là

4 3

y x

  

. B.

4 4

y x

  

. C.

4 5

y x

  

. D.

4 5

y x

  

Câu 10. [1D5-2] Cho

y x x

  

. Ta có



bằng

x x

 

. B.



. C.

. D.



GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 69

Câu 11. [1D5-2] Cho hàm số

4 1

 





 



 

. Chọn ra câu trả lời đúng:

 

2 2 2

4 1 8

2 2 2

x x

x x x

 

 





 

  

 

. B.

4 1 8

x x

 

 





 



 

2 2

4 1 8

2 2

x x

 

 





 

 

 

. D.

 

2 2 2

4 1 8

2 2 2

x x

x x x

 

 





 

  

 

Câu 12. [1D5-2] Số gia



của hàm số

y x x

 

tại điểm



là

x x

  

. B.

x x

  

. C.

x x

  

. D.

2 3

x x

   

Câu 13. [1D5-2] Đạo hàm của hàm số

tan

y x



sin

 . B.

cos

. C.

sin

. D.

cos

 .

II. PHẦN TỰ LUẬN

Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) [1D5-1]

5 3 2

y x x x

  

b) [1D5-1]

sin2 3

y x x x

  

Bài 2. [1D5-2] Cho hàm số

y x x

 

. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị





của hàm số biết

tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng





: 2017

d y x   .

ĐỀ SỐ 5 – THPT Nguyễn Trung Trực, Bình Định

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu 1. [1D5-2] Cho hàm số





4 2

2 3

f x x x

  

. Tập các giá trị của

để





f x





là





. B.





1;0

 . C.







. D.





; 1

 

Câu 2. [1D5-2] Cho hàm số

cos2

y x



. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

d sin2 d

y x x



. B.

d 2sin2 d

y x x



. C.

d 2sin2 d

y x x

 

. D.

d sin 2 d

y x x

 

Câu 3. [1D5-2] Đạo hàm của hàm số

sin

y x

 tại





bằng

. B.

. C.



. D.

Câu 4. [1D5-2] Đạo hàm cấp 2 của hàm số

cos

y x



tại



bằng

. B.



. C.

. D.



Câu 5. [1D5-2] Đạo hàm của hàm số

2 1







tại



bằng

. B.

. C.

. D.

Câu 6. [1D5-2] Với mọi

để các hàm số dưới đây xác định, mệnh đề nào sai?

 

tan

cos



 . B.

 

sin cos

x x



 . C.

 

cos sin

x x



 . D.

 

cot

sin



  .

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 70

Câu 7. [1D5-2] Đạo hàm của hàm số 1

y x

 

tại



bằng

. B.

2 2

. C.

. D.

Câu 8. [1D5-2] Cho hàm số

 

f x





. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm





0;1

M bằng

. B.

. C.

. D.



Câu 9. [1D5-2] Đạo hàm của hàm số

cos

y x x



là

sin



. B.

cos sin

x x x



. C.

cos sin

x x x



. D.

sin

x x

Câu 10. [1D5-2] Đạo hàm của hàm số

y x x

 

tại

 

bằng

. B.



. C.

. D.



Câu 11. [1D5-2] Đạo hàm của hàm số

2 1

3 2







là

 

3 2









. B.

 

3 2







. C.

 

3 2







. D.

 

3 2









Câu 12. [1D5-3] Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y x

 

tại điểm





1; 1



là

2 3

y x

 

. B.

2 1

y x

 

. C.

3 2

y x

 

. D.

2 3

y x

 

II. PHẦN TỰ LUẬN

Câu 13. [1D5-3] Cho hàm số

3 2

2 3

y x x

  

có đồ thị





. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị





tại điểm có hoành độ



Câu 14. [1D5-3] Cho hai hàm số





2 3 5

f x x x

  

và





3 3 4

g x x x

  

. Giải bất phương trình









f x g x



 

ĐỀ SỐ 6 – THPT Nguyễn Khuyến, Bình Phước

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu 1. [1D5-1] Cho hàm số:





. Khi đó số gia



của hàm số tại



là:



 

. B.



 

. C.

 

 

. D.

Câu 2. [1D5-3] Cho hàm số

 

2 , 1

x ax b x

f x

ax bx x



  







 





. Giá trị của

a b

để





f x

có đạo hàm tại



; 1

a b

  

. B.

; 1

a b

 

. C.

; 0

a b

 

. D. Không có.

Câu 3. [1D5-2] Một đoàn tàu hỏa rời ga, chuyển động nhanh dần đều với gia tốc

0,1 /

m s

( bỏ qua sức

cản của không khí). Vận tốc tức thời tại thời điểm tàu đã đi được đúng

500

là:





10 /

m s

. B.





15 /

m s

. C.





12 /

m s

. D.





20 /

m s

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 71

Câu 4. [1D5-1] Hàm số có đạo hàm bằng



là:



. B.

5 1

x x

 

. C.





x x



. D.

2 1

x x

 

Câu 5. [1D5-3] Cho hàm số

tan

y x



. Hãy tìm mệnh đề đúng:

1 0

y y



  

. B.

1 0

y y



  

. C.

1 0

y y



  

. D.

1 0

y y



  

Câu 6. [1D5-1] Cho hàm số

4 5

y x x

  

. Đạo hàm của hàm số



bằng:

4 5

x x



 

. B.

2 4 5

x x

 

. C.

4 5

x x



 

. D.

2 4

4 5

x x



 

Câu 7. [1D5-1] Cho hàm số

 

2 3

y x  . Đạo hàm của hàm số



bằng:

 

30 2 3

x  . B.

 

10 2 3

x  . C.

 

10 2 3

x  . D.

 

20 2 3



Câu 8. [1D5-2] Cho hàm số

cos 2

y x

 . Đạo hàm của hàm số



bằng:

3cos 2 .sin2

x x

 . B.

3cos 2 .sin2

x x

. C.

6cos 2 .sin2

x x

. D.

6cos 2 .sin2

x x

 .

Câu 9. [1D5-1] Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

3 2

y x

  

có hệ số góc

 

, là:





16 9 3

y x

   

. B.





16 9 3

y x

   

. C.





16 9 3

y x

   

. D.





9 3

y x

  

Câu 10. [1D5-1] Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số







tại điểm





1;2

A bằng:



. B.



. C.

. D.



Câu 11. [1D5-4] Tọa độ điểm

trên đồ thị hàm số





sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các

trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng

là:

1 4

;

4 3

 



 

 

. B.

1 4

;

4 5

 

 

 

 

. C.

; 4

 



 

 

. D.

3 4

;

4 7

 

 

 

 

Câu 12. [1D5-3] Cho hàm số

3 2

6 15 2

y x x x

   

. Giải bất phương trình





ta có nghiệm:

1 5

 

. B.

5 1

   

. C.

5 1

  

. D.

1 5

  

Câu 13. [1D5-3] Cho hàm số

sin cos

y x x

 

. Tập nghiệm của phương trình





là:

A. ,

k k Z



 

  

 

 

. B. 2 ,

k k Z



 

 

 

 

. C. ,

k k Z



 

 

 

 

. D. 2 ,

k k Z



 

  

 

 

Câu 14. [1D5-3] Cho hàm số

4 3

y x x

  

. Nếu tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm

song song

với đường thẳng:

8 2017 0

x y

   

. Thì hoành độ

của điểm

là

 

. B.



. C.



. D.



II. PHẦN TỰ LUẬN

Câu 15. [1D5-2] Tính đạo hàm các hàm số sau:

2 2017

y x

    . b.





2 cos3 3 .sin3

y x x x x

   .

Câu 16. [1D5-2] Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

 

y f x

 



tại điểm có tung độ

bằng

Câu 17. [1D5-3] Cho hai hàm số

 

2 3 2

f x x x

  

và

 

3 2

2 5

3 2

g x x x

 

. Hãy giải bất phương

trình:





 

f x

g x





TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 72

BẢNG ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

C A B B A B D A A A A B A A A C B D A B

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

D C C B D B A B A A B D D D A B A A D B

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

C A B B A A C B C C B C B A B A C C B A

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

D A B A C B B D A D B C C B D C D A D C

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

C A D D D A B A A C A B B B C D C D D A

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

D C A B C B A 8 D D A B B D C A C C D A

121

122

123

124

125

126

127

128

129

130

131

132

133

134

135

136

137

138

139

140

B D A B A C D D A A C D A A C C C B B A

141

142

143

144

145

146

147

148

149

150

151

152

153

154

155

156

157

158

159

160

D A C C C B B D D A D B D B A D C B C A

161

162

163

164

165

166

167

168

169

170

171

172

173

174

175

176

177

178

179

180

C B D D B A B D D A B C C A C D B A D B

181

182

183

184

185

186

187

188

189

190

191

192

193

194

195

196

197

198

199

200

D A B C C A A A C D A A D A B C B A A B

201

202

203

204

205

206

207

208

209

210

211

212

213

214

215

216

217

218

219

220

C B D C B A A D B A B D C D A A A

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 73

Tài liệu tham khảo

[1] Trần Văn Hạo – Đại số và Giải tích 11 - Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam

[2] Trần Văn Hạo – Bài tập Đại số và Giải tích 11 - Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam

[3] Trần Văn Hạo – Hình học 11 - Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam

[4] Trần Văn Hạo – Bài tập Hình học11 - Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam

[5] Trần Văn Hạo – Bài tập Đại số và Giải tích 11 - Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam

[6] Lê Hồng Đức – Bài giảng trọng tâm TOÁN 11 - Nhà xuất bản ĐHQGHN

[7] Lê Hoành Phò – Phương pháp giải CÁC CHỦ ĐỀ CĂN BẢN ĐẠI SỐ 11 - NXB ĐHQGHN

[8] Lê Hoành Phò – Phương pháp giải CÁC CHỦ ĐỀ CĂN BẢN HÌNH HỌC 11 - NXB ĐHQGHN

[9] Nguyễn Duy Hiếu – Kỹ thuật giải nhanh bài toán hay & khó Giải tích 11 - NXB ĐHQGHN

[10] Nguyễn Duy Hiếu – Kỹ thuật giải nhanh bài toán hay & khó Hình học 11 - NXB ĐHQGHN

[11] Lương Mậu Dũng – Bài tập tự luận và câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 – NXB GD Việt Nam

[12] Phạm Đức Quang – Bài Tập Toán 11 – Phần Trắc Nghiệm Khách Quan

[13] http://mathvn.com

[14] http://www.vnmath.com/

[15] http://k2pi.net.vn/

[16] http://forum.mathscope.org/index.php

[17] Và một số tài liệu trên Internet mà không rõ tác giả.

...........................................................................................................................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 74

MỤC LỤC

ĐẠO HÀM

Vấn đề 1. ĐẠO HÀM VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM ...................................................................... 1

Dạng 1. Tìm số gia của hàm số .......................................................................................................................................... 3

Dạng 2. Tính đạo hàm bằng định nghĩa ...................................................................................................................... 4

Dạng 3. Quan hệ giữa liên tục và đạo hàm................................................................................................................. 6

Dạng 4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Bài toán tiếp tuyến.............................................................................. 7

Dạng 5. Ý nghĩa Vật lí của đạo hàm cấp 1 .................................................................................................................. 11

Vấn đề 2. CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM .................................................................................... 12

Dạng 1. Tìm đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số Đạo hàm của hàm số hợp ............ 12

Dạng 2. Tìm đạo hàm của các hàm số lượng giác ................................................................................................... 14

Dạng 3. Phương trình, bất phương trình chứa đạo hàm .................................................................................... 17

Dạng 4. Sử dụng đạo hàm chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức ..................................................................19

Vấn đề 3. VI PHÂN – ĐẠO HÀM CẤP CAO ................................................................................... 21

Dạng 1. Tìm vi phân của hàm số .................................................................................................................................... 22

Dạng 2. Tính gần đúng giá trị của hàm số................................................................................................................ 23

Dạng 3. Tính đạo hàm cấp cao của hàm số .............................................................................................................. 24

Dạng 4. Ý nghĩa của đạo hàm cấp hai ....................................................................................................................... 25

Dạng 5. Tìm công thức đạo hàm cấp n ....................................................................................................................... 26

Dạng 6. Chứng minh đẳng thức có chứa đạo hàm ................................................................................................ 27

Vấn đề 4. SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN CÓ CHỨA

....................... 28

Vấn đề 5. DÙNG ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIỚI HẠN .............................................. 30

BÀI TẬP CƠ BẢN NÂNG CAO CHỦ ĐỀ 5 ......................................................................................32

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 5 .................................................................................................. 41

BÀI 1. ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM .................................................................... 41

BÀI 2. QUI TẮC TÍNH ĐẠO HÀM .............................................................................................................. 46

BÀI 3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC ........................................................................... 50

BÀI 4. VI PHÂN ........................................................................................................................................................... 54

BÀI 5. ĐẠO HÀM CẤP CAO ............................................................................................................................. 57

CÁC ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 4 ........................................................................................................ 62

ĐỀ SỐ 1 – THPT Chương Mỹ B, Hà Nội ................................................................................................................. 62

ĐỀ SỐ 2 – THPT Hoàng Văn Thụ , Hòa Bình ...................................................................................................... 64

ĐỀ SỐ 3 – THPT Vĩnh Lộc, Huế ................................................................................................................................. 66

ĐỀ SỐ 4 – THPT Nho Quan A, Ninh Bình ........................................................................................................... 68

ĐỀ SỐ 5 – THPT Nguyễn Trung Trực, Bình Định ............................................................................................. 69

ĐỀ SỐ 6 – THPT Nguyễn Khuyến, Bình Phước ................................................................................................. 70

BẢNG ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM ...........................................................................................................72

MỤC LỤC ...................................................................................................................................................... 74

Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/76

| | Tải xuống

Preview text:

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 1 Chủ đề 2 ĐẠO HÀM
Vấn đề 1. ĐẠO HÀM VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM  Mở đầu
Nhiều bài toán của toán học, vật lí, hóa học, sinh học, kĩ thuật, … đòi hỏi phải tìm giới hạn dạng:
f  x  f  x0  lim xx0 x  x0
trong đó f  x là một hàm số đã cho của đối số x .
Qua Đại số và Giải tích 11, ta biết định nghĩa và kí hiệu của số gia đối số và số gia tương ứng của hàm số:
 Số gia đối số là x
  x – x 0
 Số gia tương ứng của hàm số là y
  f  x – f  x 0 
f  x  f  x y  0 
Ta sẽ dùng khái niệm và kí hiệu đó viết các giới hạn trên: lim  lim xx x  0 0 x  x x 0
 Định nghĩa đạo hàm
Cho hàm số y  f  x , xác định trên a; b và x  a; b 0  
Giới hạn, nếu có, của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại x , khi số gia đối số 0
dần tới 0 , được gọi là đạo hàm của hàm số y  f  x tại điểm x . 0
Đạo hàm của hàm số y  f  x tại x được kí hiệu là y x hoặc f  x : 0  0  0
f  x  f  x y 0 
f  x  lim
hoặc y x  lim 0  0  xx x0 0 x  x x  0
 Đạo hàm một bên
a. Đạo hàm bên trái của hàm số y  f  x tại điểm x , kí hiệu là f  x 
được định nghĩa là 0  0   f   y f x f x x  lim  lim 0     0  x0 x x    0 x x  x0 trong đó x x 
được hiểu là x  x và x  x . 0 0 0
b. Đạo hàm bên phải của hàm số y  f  x tại điểm x , kí hiệu là f  x 
được định nghĩa là 0  0   f   y f x f x x  lim  lim 0     0  x  0 xx x  0 x  x0 trong đó 
x  x được hiểu là x  x và x  x . 0 0 0
Định lí: Hàm số y  f  x có đạo hàm tại điểm x thuộc tập xác định của nó, nếu và chỉ nếu 0 f  x  và f  x 
tồn tại và bằng nhau. Khi đó ta có: f  x  f  x f  x  . 0   0   0  0  0 
 Đạo hàm trên một khoảng Định nghĩa:
a. Hàm số y  f  x được gọi là có đạo hàm trên khoảng a; b nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng đó.
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 2
b. Hàm số y  f  x được gọi là có đạo hàm trên đoạn a; b nếu nó có đạo hàm trên khoảng
a; b và có đạo hàm bên phải tại a , đạo hàm bên trái tại b .
Qui ước: Từ nay, khi ta nói hàm số y  f  x có đạo hàm, mà không nói rõ trên khoảng nào,
thì điều đó có nghĩa là đạo hàm tồn tại với mọi giá trị thuộc tập xác định của hàm số đã cho.
 Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của h.số
Định lí: Nếu hàm số y  f  x có đạo hàm tại điểm x thì nó liên tục tại điểm đó. 0
 Chú ý: 1. Đảo lại không đúng, tức là một hàm số liên tục tại điểm x có thể không có 0
đạo hàm tại điểm đó
2. Như vậy, hàm số không liên tục tại x0 thì không có đạo hàm tại điểm đó.
 Ý nghĩa của đạo hàm (C)
1. Ý nghĩa hình học
a. Tiếp tuyến của đường cong phẳng: M
Cho đường cong phẳng C  và một điểm cố định M trên 0 T
C  , M là điểm di động trên C  . Khi đó M M là một cát M 0 0
tuyến của C  .
Định nghĩa: Nếu cát tuyến M M có vị trí giới hạn M T khi điểm M di chuyển trên 0 0
C  và dần tới điểm M thì đường thẳng M T được gọi là tiếp tuyến của đường cong 0 0
C  tại điểm M . Điểm M được gọi là tiếp điểm. 0 0 y (C)
b. Ý nghĩa hình học của đạo hàm: f (x  x) 0 M
Cho hàm số y  f  x xác định trên khoảng a; b và y 
có đạo hàm tại x  a; b , gọi C  là đồ thị hàm số đó. M T 0   0 f (x ) 0
Định lí 1: Đạo hàm của hàm số f  x tại điểm x là x x 0 O x x  x 
hệ số góc của tiếp tuyến M T của C  tại điểm 0 0 0 M x ; f x 0  0  0 
c. Phương trình của tiếp tuyến:
Định lí 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị C  của hàm số y  f  x tại điểm M x ; f x là 0  0  0 
y – y  f  x x – x 0   0  2. Ý nghĩa vật lí
a. Vận tốc tức thời: Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s  f t  , với
f t  là hàm số có đạo hàm. Khi đó, vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t là 0
đạo hàm của hàm số s  f t  tại t . 0
v t  s t  f  t 0   0   0 
b. Cường độ tức thời: Điện lượng Q truyền trong dây dẫn xác định bởi phương
trình: Q  f t , với f t  là hàm số có đạo hàm. Khi đó, cường độ tức thời của dòng
điện tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số Q  f t tại t . 0
I t  Q t  f  t 0   0   0 
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 3
Dạng 1. Tìm số gia của hàm số
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Để tính số gia của hàm số y  f  x tại điểm x0 tương ứng với số gia x  cho trước ta áp
dụng công thức tính sau: y
  f  x  x   f x 0   0  B. BÀI TẬP MẪU VD 1. Tìm số gia của hàm số 2
y  2x  3x  5 , tương ứng với sự biến thiên của đối số:
a) Từ x  1 đến x  x   2
b) Từ x  2 đến x  x   0,9 0 0 0 0
c) Từ x  1 đến x  1 x
d) Từ x  2 đến x  2  x 0 0
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................ y VD 2. Tính y  và
của hàm số sau theo x và x  : x 
a) y  3x  5 b) 2 y  3x  7 c) 2
y  2x  4x 1
d) y  cos 2x
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Tìm số gia của hàm số 2
y  x – 1 tại điểm x  1 ứng với số gia x  , biết: 0 a) x   1 b) x   –0,1
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 4
Dạng 2. Tính đạo hàm bằng định nghĩa
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Để tính đạo hàm của hàm số y  f  x tại điểm x bằng định nghĩa ta làm như sau: 0  Cách 1:
 Cho x một số gia x  và tìm số gia y
  f  x  x  f x 0   0  0 y  Tập tỉ số x  y  Tìm giới hạn lim . Nếu: x0 x  y y  lim
tồn tại hữu hạn thì tại x hàm số có đạo hàm là f  x  lim 0  0 x0 x  x0 x  y  lim
không tồn tại hữu hạn thì tại x hàm số không có đạo hàm. 0 x0 x   Cách 2:
f  x  f  x0   Tính lim x0 x  x0
f  x  f  x0   Nếu lim
tồn tại hữu hạn thì tại x hàm số có đạo hàm là 0 xx0 x  x0
f  x  f  x0 
f  x  lim 0  xx0 x  x0
f  x  f  x0   Nếu lim
không tồn tại hữu hạn thì tại x hàm số không có đạo 0 xx0 x  x0 hàm. B. BÀI TẬP MẪU VD 3.
Tính đạo hàm của hàm số 2
y  x  2x  4 tại x  2 0
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................. VD 4.
Cho hàm số y  f  x 2  2x 1
a) Tìm đạo hàm của hàm số tại x  2
b) Suy ra giá trị 3 f 2  5 f 2 3 0
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 5 s  in 3x khi x  0 VD 5.
Cho y  f  x  
. Tính đạo hàm của hàm số tại x  0 bằng định nghĩa. 3x  2 khi x  0 0 
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 2.
Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm x : 0
a) y  2x 1 tại x  2 b) 2
y  x  x tại x  1 0 0 x  1 c) y  tại x  0 d) y  2x  7 tại x  1 x 1 0 0 2 sin x  khi x  0 Bài 3.
Cho hàm số: y  f  x   x 0 khi x  0 
a) Chứng minh rằng f  x liên tục tại x  0 . 0
b) Tính đạo hàm (nếu có) của f  x tại điểm x  0 . 0  1 2 x cos khi x  0 Bài 4.
Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y  f  x   x tại điểm x  0 0 0 khi x  0     x  2 1 khi x  0 Bài 5.
Chứng minh rằng hàm số: y  f  x  
không có đạo hàm tại điểm x  0 2 0 x khi x  0 
nhưng có đạo hàm tại x  2 . 0 x Bài 6.
Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y  tại x  0 . 1 x 0 2 x  2 x  3 Bài 7.
Chứng minh rằng hàm số y 
liên tục tại x  –3 nhưng không có đạo hàm tại điểm ấy. 3x 1 2 x khi x  1 Bài 8.
Tìm a , b để hàm số y  f  x  
có đạo hàm tại điểm x  1 . ax  b khi x  1 
 p cos x  q sin x khi x  0 Bài 9.
Cho hàm số: y  f  x  
. Chứng minh rằng với mọi cách chọn px  q 1 khi x  0 
p , q hàm số không thể có đạo hàm tại điểm x  0 . Bài 10.
Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau ( a là hằng số): 1 1 1
a) y  ax  3 b) 2 y  ax c) y  với x 
d) y  3  x với x  3 2 2x 1 2
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 6
Dạng 3. Quan hệ giữa liên tục và đạo hàm
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Mối quan hệ giữa liên tục và đạo hàm ta cần nhớ các kết luận sau:
 f  x liên tục tại x  lim f  x  f  x  lim y   0 0  0 xx x  0 0
 f  x có đạo hàm tại x  f  x liên tục tại x 0 0
 f  x liên tục tại x chưa chắc f  x có đạo hàm tại x 0 0 B. BÀI TẬP MẪU x  2 VD 6.
Cho hàm số y  f  x  . 2x 1
a) Xét sự liên tục của hàm số tại x  2
b) Xét xem tại x  2 hàm số có đạo hàm không? 0 0
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................. 2  x  3 2 x sin khi x  0 VD 7.
Cho y  f  x 2   x . 0 khi x  0 
a) Xét sự liên tục của hàm số tại x  0
b) Xét xem tại x  0 hàm số có đạo hàm không? 0 0
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 2 x  2 x  3 Bài 11. CMR: hàm số y 
liên tục tại x  3
 nhưng không có đạo hàm tại điểm ấy. 3x 1  1 2 x sin khi x  0 Bài 12.
Cho hàm số: y  f  x   x 0 khi x  0 
a) Tính đạo hàm của hàm số tại mỗi x   .
b) Chứng tỏ rằng đạo hàm f  x không liên tục tại điểm x  0 . 0
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 7
Dạng 4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Bài toán tiếp tuyến
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
 Sử dụng ý nghĩa hình học của đạo hàm
 Hệ số góc k của cát tuyến MN với đường cong C  : y  f  x , biết M , N theo y y  y
thứ tự có hoành độ là x , x được cho bởi: N M k   với x  x M N x x  x N M N M
 f  x là hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong C  tại M  x ; f x 0  0  0 
 Tiếp tuyến của đồ thị
1. Tiếp tuyến tại một điểm:
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị C  : y  f  x tại điểm M x ; y : 0  0 0 
y  y  f  x x  x 0  0  0  Trong đó: - M x ; y gọi là tiếp điểm. 0  0 0  -
k  f  x là hệ số góc. 0  Các chú ý: -
Nếu cho x thì thế vào y  f  x tìm y . 0 0 -
Nếu cho y thì thế vào y  f  x tìm x . 0 0
2. Tiếp tuyến đi qua một điểm:
Để lập phương trình tiếp tuyến d với C  biết d đi qua A x ; y : A A 
Cách 1: - Gọi M x ; y là tiếp điểm. 0  0 0 
- Phương trình đường thẳng d qua M với hệ số góc k  f  x : 0  0
y – y  f  x x – x 0  0  0 
- A  x ; y   d  y – y  f  x x – x A A A 0  0  A 0 
- Giải phương trình trên tìm x , tìm f  x , thế vào y  f  x tìm y . 0  0 0
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc (Sẽ học ở lớp 12)
3. Tiếp tuyến biết hệ số góc:
- Giải phương trình: f  x  k  các hoành độ tiếp điểm.
- Thế vào y  f  x để tìm tung độ. y
- Viết tiếp tuyến: y – y  k. x – x 0  0  d d  Chú ý:  
- tiếp tuyến d // : y  ax  b  k  a x
- tiếp tuyến d   : y  ax  b  k.a  1 
- k  tan  , với  là góc giữa d với tia Ox .
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 8 B. BÀI TẬP MẪU VD 8.
Cho đường cong C  3
: y  x và hai điểm A 1;  1 và B 1  ;
x 1 y trên C  .
a) Tính hệ số góc của cát tuyến AB với x
 lần lượt là 0,1 và 0, 01
b) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với C  tại A .
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................. 1 VD 9.
Cho hàm số y  f  x 
có đồ thị C  . Viết phương trình tiếp tuyến với C  , biết: x
a) tiếp điểm có hoành độ bằng 2
b) Tiếp điểm có tung độ bằng 3
c) Hệ số góc của tiếp tuyến k  –4 .
d) Tiếp tuyến song song với d : x  9 y  2018
e) Tiếp tuyến vuông góc với d : x  4 y  0 .
f) Tiếp tuyến qua điểm A  8  ; 0
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 9 VD 10.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3
y  x , biết:
a) Tiếp điểm có hoành độ bằng – 1 .
b) Tiếp điểm có tung độ bằng 8 .
c) Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3 .
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 13. Cho Parabol 2
y  x và hai điểm A 2; 4 và B(2   ; x 4  y
 ) trên parabol đó.
a) Tính hệ số góc của cát tuyến AB biết x
 lần lượt bằng 1; 0,1 và 0, 001 .
b) Tính hệ số góc của tiếp tuyến của parabol đã cho tại điểm A . Bài 14.
Tìm hệ số góc của cát tuyến MN với đường cong C  , biết: a) C  2
: y  x  2x và hoành độ M , N theo thứ tự là x  2, x  1. M N 2 x  x 1
b) C  : y 
và hoành độ M , N theo thứ tự là x  1, x  3 . x M N
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 10 1 Bài 15.
Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol y  , biết: x  1  a) Tại điểm ; 2   .  2 
b) Tiếp điểm có hoành độ bằng –1. 1
c) Hệ số góc của tiếp tuyến bằng  . 4 Bài 16.
Cho đường cong C  : y  x . Viết phương trình tiếp tuyến của C  :
a) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1.
b) Biết tiếp tuyến song song với  : x – 4 y  3  0 . Bài 17.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: x 1 a) y 
, biết hoành độ tiếp điểm là x  0 . x  1 0 b) y 
x  2 , biết tung độ tiếp điểm là y  2 . 0 1 2 x Bài 18. Cho hai hàm số y  và y 
. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của mội hàm số 2 x 2
đã cho tại giao điểm của chúng. Tính góc giữa hai tiếp tuyến kể trên. Bài 19. Cho parabol  P 2
: y  x . Gọi M và M là hai điểm thuộc  P lần lượt có hoành độ x  –2 1 2 1
và x  1. Hãy tìm trên  P một điểm E sao cho tiếp tuyến tại E song song với cát tuyến 2
M M . Viết phương trình tiếp tuyến đó. 1 2 Bài 20. Cho hàm số 3 2
y  x  3x  2 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị, biết rằng tiếp tuyến
vuông góc với đường thẳng  : 3x – 5 y – 2018  0 . Bài 21.
Viết phương trình tiếp tuyến với  P 2
: y  x , biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm A 0 ; –  1 . Bài 22. Cho hàm số 3 2
y  x – 3x  2 . Viết phương trình tiếp tuyến của C  , biết rằng tiếp tuyến đó đi qua A 0; 3 . Bài 23.
Cho hàm số C  y  f  x 4 2 :
 – x – mx  m 1 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để các m
tiếp tuyến của C
tại A1; 0 và B  –1; 0 vuông góc với nhau. m  Bài 24. Cho h.số 2
y  cos x  m sin x ( m là tham số) có đồ thị C  . Tìm m trong mỗi trường hợp sau:
a) Tiếp tuyến của C  tại điểm có x   có hệ số góc bằng 1.  
b) Tiếp tuyến của C  tại các điểm có các hoành độ x   và x 
song song hoặc trùng nhau. 4 3 1 Bài 25.
Tìm giao điểm của hai đường cong  P 2
: y  x  x 1 và  H  : y  . Chứng minh rằng hai x 1
đường cong đó có tiếp tuyến chung tại giao điểm của chúng. Bài 26. Cho parabol  P 2
: y  x . Viết phương trình tiếp tuyến với  P , biết:
a) Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y  4x  3 .
b) Tiếp tuyến đi qua điểm A 0;   1 .
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 11
Dạng 5. Ý nghĩa Vật lí của đạo hàm cấp 1
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Cần nhớ các kết quả sau:
 Nếu một chất điểm chuyển động với phương trình s  s t  thì vận tốc tức thời của chất
điểm đó tại thời điểm t v t  s t . 0 là  0   0 
 Một dòng điện có điện lượng là Q  Q t  thì cường độ tức thời của dòng điện tại thời
điểm t là I t  Q t . 0   0  0 B. BÀI TẬP MẪU VD 11.
Một chất điểm chuyển động có phương trình là s  f t  2
 t  2t  3 s,m
a) Tính đạo hàm của hàm số f t  tại thời điểm t . 0
b) Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t  5 .
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................ VD 12.
Cho biết điện lượng trong một dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số Q  5t  3 ( t tính
bằng giây, Q tính bằng culông). Tính cường độ của dòng điện trong dây dẫn tại t  8 .
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 27.
Một viên đạn được bắn lên từ vị trí M cách mặt đất 1 m , theo phương thẳng đứng với vận tốc
ban đầu là v  196 m/s (bỏ qua sức cản của không khí) 0
a) Tìm thời điểm t mà tại đó vận tốc của viên đạn bằng 0 . Khi đó viên đạn cách mặt đất bao 0 nhiêu mét ?
b) Sau khoảng bao nhiêu giây (kể từ lúc bắn) viên đạn rơi xuống mặt đất ? (lấy 2 g  9,8 m/s ) 1 Bài 28.
Một vật rơi tự do có phương trình chuyển động 2 s  gt , trong đó 2
g  9,8 m/s và t được tính 2 bằng giây.
a) Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t đến t  t  với độ
chính xác đến 0, 001 , biết t
 lần lượt nhận các giá trị 0,1 ; 0, 01 ; 0, 001 .
b) Tìm vận tốc tại thời điểm t  5 giây. Bài 29.
Một chiếc xe chạy được quãng đường s km sau t (giờ) được tính bởi 2
s  t  3t  2 . Hãy
tính vận tốc tức thời của xe đó sau khi chạy được 4 giờ.
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 12
Vấn đề 2. CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
 Đạo hàm của hàm tổng, hiệu, tích thương, hàm hợp
1)  u – v  w  u – v  w
2) ku  k.u , với k là hằng số.
3) u.v  u v   v u  4) u. .
v w  u v  w  uv w   uvw  u  
u 'v  v 'u 1    v ' 5)    6)  
7) y  y .u 2   x u x  v  v 2  v  v
 Bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản
Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản
Đạo hàm của các hàm số hợp 
C   0 , C hằng số  x  1 1    1  1   u       2    x  x 2  u  u    u x  1   u   2 x 2 u    x   1  .x  u   1
 .u  .u
sin x  cos x
sin u  u .cosu
cos x  sin x
cosu  u .sin u 1 u tan x 2    1 tan x tan u   u  2 1 tan u 2  2 cos x cos u 1  u   cot x     2 1 cot x cot u   u   2 1 cot u 2  2  sin x sin u
Dạng 1. Tìm đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số
Đạo hàm của hàm số hợp
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Sử dụng các quy tắc, các công thức tính đạo hàm của một số hàm số trong phần tóm tắt lí thuyết để tính.
 Chú ý:  Một số bài toán ta cần rút gọn trước để việc tính đạo hàm sẽ đơn giản hơn.
 Sau khi tính đạo hàm xong, rút gọn để đưa về kết quả đjep hơn (nếu được). B. BÀI TẬP MẪU VD 13.
Tính đạo hàm của các hàm số sau: 3 a) 7 4 2
y  x  3x  4x  4 x  4 b) 4 y  2x  10x  25 x c) y   2
x  x   2
1 2x  3x   1
d) y  2 x   1 4 x  3 3x 1 2 2x  3x  7 e) y  f) y  4x  5 2 x  2x  3
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 13
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
VD 14. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y   x  x 2016 2 2 3 b) 3 2 y  4x  3x  2 5 21 23 c) y 
d) y  2x  3  x  4 2 x 34
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 30.
Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau ( a là hằng số): 1 1 1 1 a) 4 3 2 3 y  x  x 
x  x  a b) y  c) 5 y  x  2 3 8  3x  4 3 2
x  x  5 2 1 2x 5x  3
d) y   x  
1  x  2 x  3 e) y  f) y  2 x 1 2 x  x  1 1 2 x 1 g) y  h) y  i) 2 y  2  5x  x x x x 1 x x j) 2
y  x  x x  1 k) y  l) y  1 x 2 2 a  x
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 14
Dạng 2. Tìm đạo hàm của các hàm số lượng giác
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Sử dụng các quy tắc, các công thức tính đạo hàm của một số hàm số lượng giác trong phần
tóm tắt lí thuyết để tính.  
sin x  cos x
sin u  u .cosu  n u n 1 sin . n sin  . u sin u   
cos x   sin x
cosu  u .sin u  n u n 1 cos . n cos  . u cos u  1 u tan x  tan u   n  u  n 1 tan . n tan  .
u  tan u  2 cos x 2 cos u 1  u cot x  cot u   n  u n 1 cot . n cot  . u cot u  2 sin x 2 sin u Chú ý:
 Sử dụng công thức lượng giác để rút gọnm kết quả sau khi tính (nếu được).
 Có thể rút gọn trước khi tính đạo hàm để việc tính toán dễ dàng hơn. B. BÀI TẬP MẪU VD 15.
Tính đạo hàm của các hàm số sau: x 2 a) 2
y  2 sin x  sin 2x  sin x  2sin  sin b) 2 y   2 sin
2x  3x   1 c) y   2 sin 4x  x 2 x
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 15
VD 16. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 20 sin x x 2  1 tan x  1 cos x a) y  b) 2 y  1 cos c) y    d) y  1 cos x 2 2 1 tan x   1 cos x
e) y  x sin x  cos x f) 3 2
y  3 tan x  tan 3x  tan x  tan x g) y  x  2 cot x   1 sin x  cos x 2 2
sin 2x  4 cos x  4 h) 3
y  cot 2x  3cot 2x i) y  j) y  sin x  cos x 2 2
sin 2x  4 cos x
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 16
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 31.
Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau:
a) y  5sin x  3cos x b) y   2
sin x  3x  2
c) y  cos 2x 1 d) y  sin 3 . x cos 5x
e) y  1 2 tan x
f) y  tan 3x  cot 3x x
g) y  4sin x  3cos x h) 2 4
y  4 sin x  3cos x i) y  1 cos x 1 sin x cos x j) y  k) y  l) 2
y  2x cot x  x 1 sin x sin x  1 x
m) y  1 2 tan x n) y  sin 3 . x cos 4x o) y   x   2 2 cos sin 2 cos x  2    p) 2 3 y  sin . x cos x q) 3 y  tan 2x  2 2  
r) y  sin cos tan x    4  u) 2 2 y  cot x 1 v) 3 2 y  sin x 1 w) 2
y  sin cos 3x  x Bài 32. Cho hàm số    3 y
f x  x và y  g  x  4x  sin
. Tính tổng f   1  g  1 ? 2 1 1 1 1 1 1 Bài 33.
Tính đạo hàm của hàm số sau: y    
cos x , với x 0;  2 2 2 2 2 2
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 17
Dạng 3. Phương trình, bất phương trình chứa đạo hàm
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Bài toán thường được đặt ra dưới dạng:
“Cho hàm số y  f  x , hãy giải phương trình g  y, y  0 ”
Khi đó, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1. Tính đạo hàm y .
Bước 2. Chuyển phương trình g  y, y  0 về phương trình đại số thông thường để giải.
 Chú ý: Cho tam thức f  x 2
 ax  bx  c, (a  0) a  0 a  0
1/ f  x  0, x     
2/ f  x  0, x        0    0  a  0 a  0
3/ f  x  0, x     
4/ f  x  0, x        0    0  B. BÀI TẬP MẪU VD 17. Cho hàm số 3 2
y  x  3x  x  2 . Tìm x sao cho: a) y  2 b) y  10
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................ VD 18.
Giải các bất phương trình: 2 x  3x  3 2 x  x 1
a) y  0 với y 
b) y  0 với y  x 1 2 x  x 1
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 18 VD 19.
a) Cho y  sin 2x  2 cos x . Hãy giải phương trình y  0 .
b) Cho y  3sin 2x  4 cos x 12x . Hãy giải phương trình y  2 .
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................. VD 20.
Cho hàm số: y  f  x 3 2
 x  2x  mx  3. Tìm m để:
a) f  x là bình phương của một nhị thức bậc nhất.
b) f  x  0, x    .
c) f  x  0 có hai nghiệm phân biệt đều dương.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 34.
Tìm các nghiệm của phương trình sau: 1 1 3
a) f  x  0 với f  x 3 2 
x  2x  6x 1.
b) f  x  –5 với f  x 4 3 2  x  x  x  3 . 3 4 2 Bài 35.
Cho hàm số f  x 3 2
 x  3x  2 . Hãy giải các bất phương trình sau: a) f  x  0 b) f  x  3 Bài 36.
Giải phương trình y  0 trong mỗi trường hợp sau:
a) y  sin 2x  2 cos x b) 2
y  cos x  sin x c) 2
y  cos x  sin x
 2  x 
d) y  tan x  cot x
e) y  3cos x  4 sin x  5x f) y  1 sin(  x)  2 cos    2  Bài 37. Cho hàm số 3 2
y  mx  x  x  5 . Tìm m để:
a) y bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất.
b) y có hai nghiệm trái dấu.
c) y  0 với mọi x   .
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 19
Dạng 4. Sử dụng đạo hàm chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Ta đã biết nếu một hàm số không đổi trong khoảng a; b thì đạo hàm luôn triệt tiêu
trong khoảng đó. Đảo lại ta có định lí sau:
“Nếu hàm số y  f  x có đạo hàm trong khoảng a; b và f  x  0, x
  a; b
thì hàm số y  f  x không đổi trong khoảng a; b ”
Từ đó ta thực hiện các dạng toán:
Dạng 1. Chứng minh rằng: A  x  ,
c x  D .
Ta thực hiện các bước:
Bước 1. Tính A  x , rồi khẳng định A x  0, x  D .
Bước 2. Chọn x  D  A x  c . 0  0 
Dạng 2. Tìm điều kiện của tham số để A x không phụ thuộc vào x .
Ta thực hiện các bước:
Bước 1. Tính A  x , rồi tìm điều kiện để A x  0, x  . Bước 2. Kết luận. B. BÀI TẬP MẪU 1 VD 21.
Cho hai hàm số f  x 4 4
 sin x  cos x và g  x  cos 4x . 4
Chứng minh f  x  g x . Nhận xét ?
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 20 4 4
sin x  3cos x 1 VD 22.
Chứng minh rằng hàm số y 
có đạo hàm không phụ thuộc vào x . 6 6 4
sin x  cos x  3cos x 1
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 38. Chứng minh rằng:
a) Hàm số y  tan x thỏa mãn hệ thức 2
y – y – 1  0 .
b) Hàm số y  cot 2x thỏa mãn hệ thức 2
y  2 y  2  0 . Bài 39.
Chứng minh với mọi x thuộc tập xác định:
a) Nếu f  x 2  2 cos 4x  
1 thì f  x  8 . Tìm giá trị của x để đẳng thức xảy ra.
b) Nếu f  x  tan 3x thì f  x  3 . Tìm giá trị của x để đẳng thức xảy ra. Bài 40.
Chứng minh rằng với mọi x ta đều có: 2  x  a 2 
 x  b   x  a  x  b a  b 2 cos sin 2 cos sin sin
 cos a  b  2   2  Bài 41.
Chứng minh rằng biểu thức 2 2 2 A  sin x   sin x  sin x    
 không phụ thuộc vào x .  3   3  Bài 42.
Chứng minh rằng hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc x : a) 6 6 2 2
y  sin x  cos x  3sin . x cos x        2   2  b) 2 2 2 2 2 y  cos  x  cos  x  cos  x  cos  x  2sin x          3   3   3   3 
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 21
Vấn đề 3. VI PHÂN – ĐẠO HÀM CẤP CAO A. VI PHÂN
 Định nghĩa
Cho hàm số y  f  x xác định trên a; b và có đạo hàm tại x  a; b . Cho số gia x
 tại x sao cho x  x
  a; b .
Ta gọi tích f  x.x (hoặc y .x ) là vi phân của hàm số y  f  x tại x ứng với số gia x  và
ký hiệu là dy hoặc df  x . Như vậy, ta có:
dy  y x
 hoặc df  x  f  x x 
Áp dụng: Với hàm số y  x , ta được: dx   x x
  1.x  x 
Vậy ta có: dy  y d
 x hoặc df  x  f  xdx .
 Ứng dụng của vi phân vào phép tính gần đúng y
Theo định nghĩa đạo hàm, ta có: f  x  lim 0  x0 x  Do đó, với x  đủ nhỏ thì: y  f  x 
 y  f  x x
  f x  x  f x
 f  x x 0   0   0   0   0  x
 f  x  x  f x  f  x x 0   0   0 
Đó là công thức tính gần đúng đơn giản nhất.
B. ĐẠO HÀM CẤP CAO
 Định nghĩa
Giả sử hàm số y  f  x có đạo hàm f  x .
 Đạo hàm của hàm số f  x , nếu có, được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số f  x .
Kí hiệu là y hay f  x .
 Tương tự, đạo hàm của hàm số f  x , nếu có, được gọi là đạo hàm cấp ba của hàm số f  x .
Kí hiệu là y hay f  x .
 Đạo hàm của hàm số f  x , nếu có, được gọi là đạo hàm cấp bốn của hàm số f  x . Kí hiệu là 4 y hay 4 f  x .
 Tổng quát, đạo hàm của đạo hàm cấp n –1 được gọi là đạo hàm cấp n của hàm số
y  f  x .
Kí hiệu là n y hay n f  x .
 Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai
Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s  f t  với f t  là hàm số có đạo hàm.
Khi đó, gia tốc tức thời   của chuyển động tại thời điểm t là đạo hàm cấp hai của hàm số
s  f t  tại t là  t   f t  .
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 22
Dạng 1. Tìm vi phân của hàm số
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
 Tính vi phân của hàm số f  x tại x cho trước: 0
 Tính đạo hàm của hàm số tại x 0
 Suy ra vi phân của hàm số tại x ứng với số gia x
 là df  x  f  x x  0   0  0
 Tính vi phân của hàm số f  x :
 Tính đạo hàm của hàm số
 Suy ra vi phân của hàm số là dy  df  x  f  xdx B. BÀI TẬP MẪU VD 23.
Cho hàm số f  x 3 2
 6x  2x  4x 1.
Tính vi phân của hàm số tại điểm x  1, ứng với số gia x   0, 01 . 0
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................. VD 24.
Tìm vi phân của hàm số y  f  x  sin 3 . x cos 2x .
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................. VD 25. Bài 38. Chứng minh
a) 1 xdy  dx  0 với y  2  1 x .
b)  x  2 y dx  d x y  0 với 2
y  2x  x .
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN  Bài 43.
Tính vi phân của hàm số y  sin 2x tại điểm x  ứng với a) x   0, 01 b) x   0, 001 3 Bài 44.
Tính vi phân của mỗi hàm số sau: a) 2
y  x  x x  x  8 b) y 
ax  b (với a , b là hằng số) c) 2 y   x   2 tan 3 cot 3x  d) 2 y  cos 2x 1
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 23
Dạng 2. Tính gần đúng giá trị của hàm số
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Để tính gần đúng giá trị của hàm số f  x tại điểm x  x
 cho trước, ta áp dụng công 0 thức:
f  x  x  f x  f  x . x  0   0   0  B. BÀI TẬP MẪU VD 26.
Tính gần đúng các giá trị: a) 25, 75 b) 8,99 c) sin 30 1  0 d) cos 46
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 45.
Tính giá trị gần đúng của: 1 1 a) b) cos 4530 c) tan 2930 d) 4, 01 e) f) 3 215 0,9995 20,3
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 24
Dạng 3. Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Áp dụng trục tiếp định nghĩa để tính đạo hàm cấp cao:        
          1   ; ; ; n n y y y y y y y y   B. BÀI TẬP MẪU VD 27.
Tính đạo hàm cấp ba của hàm số y  x sin x  cos x
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................. 2x  3 VD 28. Cho hàm số y 
. Tìm x sao cho y  1  0 . x 1
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 46.
Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: x  3 2 x  x 1 a) 3 2
y  ax  bx  cx  d b) y  c) y  d) y  . x sin x x  2 x 1 e) 2
y  x 1 x f) 2 y  cos x g) 2
y  x 1 x Bài 47.
a) Cho f  x   x  6
10 . Tính f 2 .      
b) Cho f  x  sin 3x . Tính f   
 , f 0 , f    2   18  Bài 48.
Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau đến cấp cho kèm theo: a) f  x 4 4
 x  cos 2x, f  x b) f  x 2 5  cos x, f  x 6 c)     10   , n f x x f  x d) f  x 5  sin 2x, f  x
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 25
Dạng 4. Ý nghĩa của đạo hàm cấp hai
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s  f t  với f t  là hàm số có đạo
hàm. Khi đó, gia tốc tức thời a của chuyển động tại thời điểm t là đạo hàm cấp hai
của hàm số s  f t  tại t .
a t   f t  B. BÀI TẬP MẪU
VD 29. Tính gia tốc tức thời của chuyển động s  f t  tại thời điểm t trong các trường hợp sau: 0 
a) s  f t 3 2
 t  3t  7t  2, t  2
b) s  f t   3sin 2t  2 cos 2t, t  0 0 4
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 49.
Vận tốc của một chất điểm chuyển động được biểu thị bởi công thức
s  f t  3 2
 t  3t  9t  2 , trong đó t  0 , t tính bằng giây  s và v t  tính bằng m/s . Tìm
gia tốc của chất điểm:
a) Tại thời điểm t  4s .
b) Tại thời điểm mà vận tốc của chuyển động bằng 11. Bài 50.
Vận tốc của một chất điểm chuyển động được biểu thị bởi công thức v t  2
 8t  3t , với t  0 ,
t tính bằng giây  s và v t  tính bằng m/s .
a) Tính vận tốc tại thời điểm t  2s .
b) Tính gia tốc tại thời điểm t  3s .
c) Tính gia tốc tại thời điểm vận tốc bằng 0 .
d) Tính vận tốc tại thời điểm gia tốc bằng 0 .
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 26
Dạng 5. Tìm công thức đạo hàm cấp n
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Với hàm số y  f  x , tìm được công thức n f
 x ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1. Tính f  x , f  x đôi khi cần tính tới f  x , 4 f  x .
Bước 2. Dự đoán công thức tổng quát n f  x .
Bước 3. Chứng minh công thức dự đoán bằng phương pháp qui nạp. B. BÀI TẬP MẪU VD 30.
Tính đạo hàm cấp n của hàm số: y  sin x , với n   *
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................. 1 VD 31.
Tính đạo hàm cấp n của hàm số: y 
, với a , b   và n   * ax  b
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 51.
Chứng minh rằng: Với mọi n   * :   
a) Nếu f  x  cos x thì 4n f
 x  cos x
b) Nếu y  sin x thì n y  sin x  n    2  1 n n n! c) Nếu 2
y  sin x thì n 4n 1 y 2    cos 2x d) Nếu y  thì   y    1 x  1   x  n 1 1 Bài 52.
Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau: 1 1 a) y  b) y  c) 3 y  sin x d) y  sin a . x sin bx ( ,
a b là hằng số) x 2 x  3x  2
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 27
Dạng 6. Chứng minh đẳng thức có chứa đạo hàm
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
 Tìm các đạo hàm đến cấp cao nhất có trong đẳng thức cần chứng minh
 Thay thế vài vị trí tương ứng và biến đổi vế này cho bằng vế kia. Từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh. B. BÀI TẬP MẪU VD 32.
Cho hàm số y  x sin x . Chứng minh xy  2 y  xy  2  sin x
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................ VD 33. Cho hàm số 2 y  x 
x  1 . Chứng minh rằng: a) 2
2 x 1.y  y b)  2
4 1 x  y  4xy  y  0
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 53. Chứng minh rằng: x 2 cos x      
a) Nếu y  cot x thì y  y sin x  tan  0 b) Nếu y  thì f  3 f   3     2 2 1 sin x  4   4  1 x  3 2 c) Nếu 3
y   cot x  cot x  x thì 4
y  cot x d) Nếu y 
thì 2 y   y   1 y 3 x  4
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 28
Vấn đề 4. SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI
TOÁN CÓ CHỨA k C n
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
 Công thức khai triển nhị thức Newtơn: n
a  bn k nk k 0 n 1 n 1  1 k nk k n 1  n 1  n n  C a
b  C a  C a b   C a b   C ab  C b    n n n n n n k 0 n
a  bn   k k nk k 0 n 1 n 1  1 k n 1 C a
b  C a  C a b     1 k nk k C a b        1 n n C b n n n n n k 0  Tính chất: k n k C C  
(0  k  n) ; k 1  k k C  C  C
(0  k  n) ; 0 n C  C  1 n n n n n 1  n n Phương pháp:
 Viết khai triển Newton của   n ax b .
 Đạo hàm 2 vế một số lần thích hợp.
 Chọn giá trị x sao cho thay vào ta được đẳng thức phải chứng minh. B. BÀI TẬP MẪU VD 34.
Cho n là số nguyên dương. Chứng minh các hệ thức sau: a) 1 2 3 n n 1 C 2.C 3C ... nC . n 2       n n n n b) 2 3 4 C C C n n C n n         n n n   nn   n 2 1.2 2.3 3.4 ... 1 1 .2 c) 0 1 2 C C C n C n         n n n   nn   n 1 2. 3. 4 ... 2 4 .2
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 29 VD 35. Cho  x  2100 2 100
 a  a x  a x   a x . Tính: 0 1 2 100 a) a . 97
b) S  a  a  a  a   a 0 1 2 3 100
c) S  a  2a  3a  100a
(ĐH Hàng Hải – 1998) 1 2 3 100
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 54. Rút gọn biểu thức: a) 1 2 3 S C 2C 3C  n C         nC n n n   1 1 n n 1 n n n2 n 1  b) 1 2 3 S C 2C 3C  n C          n  C n n n   1   n 1 1 1 n 2 n   n c) 0 1 2
S  3.2C  4.3C  5.4C   n  3 n  2 n C 3 n n n    n n d) 2 3 4
S  1.2C  2.3C  3.4C   n n 1 1 n  C 4 n n n    n ê) 0 1 2
S  2.3C  3.4C  4.5C   n  2 n  3 n C 5 n n n    n f) 1 2 2 3 3 4 2 2 1 S  C  2.2C  3.2 C  4.2 C
   (2n  1).2 n n C  6 2n 1  2 n 1  2 n 1  2 n 1  2n 1  Bài 55.
Với n nguyên dương, chứng minh rằng: a) 2 3 4 C C C  n C n         n n n   nn   n 1 2 3 1 2 2 b) 1 3 C 3C  n C       C  C   nC n n 2  2n 1 2 4 2 1 2 4 2 n 2 2 2n 2 n 2n 2 n c) 2 3 4 C C C  n n C n n         n n n   nn   n 2 1.2 2.3 3.4 1 1 2 d) n n  n2 n C n n  C    C n n          n    n 3 n 1 n 2 2 n n   n 2 1 3 1 2 3 4 2.1.4 1 7 e) n 1  1 n 1  2 n 1  3 n n 1 2 C 2.2 C 3.2 C  nC . n 3       n n n n f) 0 1 2 n 1 C C C  nC  n C n          n n n n   nn   n 1 2 3 1 2 .2 Bài 56.
Tìm số nguyên dương n sao cho: 1 2 2 3 3 4 C  2.2C  3.2 C  4.2 C   n  C   n n n n  2  2n 2n 1 1 .2 2011 2 1 2 1 2 1 2 1 2 n 1 
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 30
Vấn đề 5. DÙNG ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM
ĐỂ TÌM GIỚI HẠN
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
f  x  f 0
 Bài toán 1. Ta có thể sử dụng định nghĩa của đạo hàm: f  x  lim để tính 0  xx0 x  x0
f  x  f 0
các giới hạn có dạng vô định. Bằng cách viết giới hạn cần tìm thành dạng lim , xx0 x  x0
sau đó tính đạo hàm của hàm f  x tại điểm x rồi áp dụng định nghĩa đạo hàm suy ra kết 0 quả của giới hạn.
 Bài toán 2. Ta sử dụng các công thức lượng giác để biến đổi và sử dụng công thức sin u  x lim
 1 với lim u  x  0 xx xx 0 u  x 0 B. BÀI TẬP MẪU VD 36. Tính các giới hạn sau 3 1 4x 1 3 3 2
5  x  x  7 a) lim . b) lim . x0 x 2 x 1  x 1
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 31 VD 37. Tính các giới hạn sau sin 3x tan 2x 1 cos x 1 sin x a) lim b) lim c) lim d) lim 2 x0 sin 2x x0 sin 5x 2 x0 x  x    2   x   2 
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 57. Tính các giới hạn sau 2 x  x  ... n  x  n n
x  nx  n 1 a) lim . b) lim . x 1  x 1 x  x  2 1 1 x  8  3 3 3 3 4x  24 
x  2  8 2x  3 c) lim . d) lim . 2 x 1  x  2x  3 2 x2 4  x 3 x 1 n 1 2x 1 e) lim . f) lim . 4 x 1  x 1 0 m x 1 3x 1 Bài 58. Tính các giới hạn sau 1 cos x 1 sin x 3 1 cos x a) lim . b) lim . c) lim . 2 2 x0 x  x0 x    x sin x 2   x   2     sin  x   cos x  sin x     4  d) lim . e) lim tan 2 . x tan  x   . f) lim .    x cos 2x x  4  x 1 2 sin x 4 4 4
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 32
BÀI TẬP CƠ BẢN NÂNG CAO CHỦ ĐỀ 5 Bài 59.
Xét sự tồn tại đạo hàm của các hàm số sau trên  : 2
x  x  2 khi x  2 2 x  x khi x  1   a) y   1 b) y  2 khi x  2  khi x  1   x 1  x Bài 60.
Tìm a , b để hàm số sau có đạo hàm tại x  1 : x khi x  1 2   2  x khi  2  x  1 a) y   b) y  2  ax  b khi x  1  2
x  ax  b khi x  1  ax  b ad  bc Bài 61.
Chứng minh rằng hàm số y 
có đạo hàm là y  cx  d cx  d 2 3x  5 4 2x
Áp dụng tính đạo hàm của: y  , y  , y  x  2 3x  2 1 3x 2
ax  bx  c 2 ab x   2ac x
  bc  b c  Bài 62.
Chứng minh rằng hàm số y 
có đạo hàm là y  b x   c b x   c2 2 x  2x  7 2 x 1 2 2x  x 1
Áp dụng tính đạo hàm của: y  , y  , y  x  2 3x  2 x  5 a b a c b c 2 x  2 x  2
ax  bx  c a b a c b c Bài 63.
Chứng minh hàm số y 
có đạo hàm là y  2 a x   b x   c
a x  b x  c2 2 2 2x  x 1 2 3x  6x 1 2 2x  5x  6
Áp dụng tính đạo hàm của: y  , y  , y  2 x  3x  3 2 x  3x  2 2 x  5 Bài 64.
Tính đạo hàm của các hàm số sau: 3 2 x x 2 4 5 6 2 3x  6x  7 a) y    x  5 b) y     c) y  3 2 2 3 4 x x x 7x 4x  2  1 x 2
x  7x  5 d) y   3x  x    1 e) y  f) y   x  1 x 2 x  3x 2 x  2x  2 g)    2 7 y x x h)    32 2 y x x i) y  x 1 5x  3 1 2 x 1 j) y  k) y  l) y  2 x  x  1
x  x  5 2 1 x Bài 65.
Tính đạo hàm của các hàm số sau: cos x 3cos x 2 x  2 cos x
a) y  2 x sin x  b) y  c) y  x 2x 1 sin x
2 cos x  sin x tan x cot x d) y  e) y  f) y  3sin x  cos x sin x  2 2 x 1 g) y   2
sin x  3x  2
h) y  cos 2x 1
i) y  2sin 3x cos 5x x 1
j) y  cos 2x k) y  tan l) 2
y  cot x 1 2 x
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 33 sin x x m) 3
y  tan x  cot 2x
n) y  1 2 tan x o) y   x sin x 2 sin x p) y 
q) y  tan sin x r) y   2
2  x cos x  2x sin x 1 tan 2x  s) 2 y  cos  2x
t) y  x sin 3x u) 2 2
y  tan x  tan x 4 Bài 66.
Tính đạo hàm của các hàm số sau: 2 2x  3x 1 2 x  6x 1
a) y   x  x  5 2 4 1 b) y  c) y  2x  3 2 x  x 1 2 x  x  3 1 x 2  x d) y  e) y  f) y  2x 1 1 x 1 2 x 2 1 x  x x g) y  h) y 
i) y   x   2 1 x  x 1 2 1 x  x 2 x 1 Bài 67.
Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y   2 sin 1 x  b) 2
y  sin cos 3x c) 2
y  cos x 1 sin x  1 x  2 2 sin x tan x
d) y  cos cos cos x   e) 2 y  cos   f) y    1 x     1 cot x 1 tan x x 2 sin x g) y  h) y  i) 2
y  1 cos x sin x  cos x cos x Bài 68. Cho hàm số 2 y 
x  2x  24 . Giải bất phương trình 2 f  x  f  x . Bài 69.
Giải phương trình y  0 trong mỗi trường hợp sau: 1 a) y 
sin 2x  sin x  3
b) y  sin 2x  2 cos x
c) y  3sin 2x  4 cos 2x 10x 2
d) y  tan x  cot x
e) y  2x  cos x  3 sin x Bài 70.
Giải bất phương trình f  x  g x , biết rằng: a) f  x 3
 x  x  2 và g  x 2
 3x  x  2 2 x b) f  x 3 2
 2x  x  3 và g  x 3  x   3 2 Bài 71. Cho hàm số 2
y  x  2 x 12 . Giải bất phương trình f  x  0 . (TN THPT 2010) Bài 72.
Tính đạo hàm đến cấp được kèm theo của các hàm số sau (n  N*): 5
a) y  sin x, y , b) 4
y  sin x sin 5x, y c)  4     , n y x y 1 1 d) n y  , y e) n y  , y f) 2 2   cos , n y x y 2  x 2x 1 Bài 73.
Chứng minh rằng hàm số:
a) y  x sin x
thỏa hệ thức xy  2  y  sin x  xy  0 . b) 2 y  2x  x thỏa hệ thức 3
y y  1  0 .
c) y  x  x  3 2 1 thỏa hệ thức  2
1 x  y  xy  9 y  0 .
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 34 5 d) y  3 
thỏa hệ thức xy  y  3 . x x  3 2 e) y 
thỏa hệ thức 2 y   y   1 y x  4 Bài 74.
Viết phương trình tiếp tuyến của: x  1 a) y 
tại điểm A 2;3 . x 1 b) 3 2
y  x  4x 1 tại điểm có hoành độ x  1  . 0 c) 2
y  4x  4x  4 tại điểm có tung độ y  1 . 0 d) y  2x 1
tại điểm có hoành độ x  4 . 0 2 x  2x 15 4 e) y 
biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng . x  3 3 f) 4 2
y  x  2x 1 biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 24 . g) 3 2
y  x  3x  2 biết tiếp tuyến d  D : x  3y 15  0 . h) 3
y  x  x  3
tại điểm có hoành độ x  1  . 0 2x 1 i) y 
tại điểm có hoành độ x  2 . x 1 0 3x  2 Bài 75.
Cho C  : y  f  x 
. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị C  : x 1 5
a) Tại điểm có hoành độ bằng 2
b) Tại điểm có tung độ bằng 2
c) d // D : y  – x  25
d) d   : 4x – y  2018 . Bài 76.
Gọi C  là đồ thị hàm số 4 2
y  x  2x 1. Viết phương trình tiếp tuyến của C  trong mỗi trường hợp sau:
a) Biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y  –3x 1 .
b) Biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  : x – 7 y  2018 .
c) Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm A 0; 2 Bài 77.
Gọi C  là đồ thị hàm số 3 2
y  x  5x  2 . Viết phương trình tiếp tuyến của C  trong mỗi trường hợp sau:
a) Biết tung độ của tiếp điểm bằng 2 .
b) Biết rằng tiếp tuyến song song với trục hoành.
c) Biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : x  8 y  2018  0 .
d) Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm A0; –6 . Bài 78. [1D5-1] Cho hàm số 3
y  x . Viết tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho
a) Biết tiếp điểm là M 1; 
1 . b) Biết hoành độ tiếp điểm  2 c) Biết tung độ tiếp điểm  5 x  2 Bài 79.
[1D5-1] Cho hàm số y 
. Viết PTTT của đồ thị hàm số biết: x 1
a) Tiếp điểm M có tung độ bằng 4 .
b) Tiếp điểm M là giao của đồ thị hàm số với trục hoành
c) Tiếp điểm M là giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 35 Bài 80. [1D5-2] Cho hàm số 3 2
y  x  3x  1
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x  1. 0
b) CMR: trong các tiếp tuyến của đồ thị hàm số thì tiếp tuyến ở câu a có hệ số góc nhỏ nhất. Bài 81. [1D5-2] Cho hàm số 3 2
y  x  x  x 1
a) Viết PTT tại M thuộc đồ thị hàm số biết trung độ điểm M bằng 1.
b) CMR trên đồ thị hàm số không tồn tại những cặp điểm mà tiếp tuyến tại 2 điểm đó vuông góc với nhau. Bài 82. [1D5-3] Cho hàm số 3
y  x . Tìm các điểm M trên đồ thị hàm số ( M  gốc tọa độ) sao cho
tiếp tuyến tại M tạo với 2 trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 6. 2x Bài 83.
[1D5-3] Cho hàm số y 
. Tìm M trên đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến tại M tạo với 2 x  1 1
trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng . 4 1 2 x Bài 84.
[1D5-3] Cho hàm số y  và y 
. Gọi M là giao điểm của hai đồ thị hàm số trên. x 2 2
Viết pttt của mỗi đồ thị hàm số đã cho tại điểm M . Tính góc góc giữa hai tiếp tuyến tìm được. Bài 85. [1D5-2] Cho hàm số 3 2
y  x  3mx  m  
1 x 1. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại
điểm có hoành độ x  1
 đi qua A 1;2 . 0 2x 1 Bài 86.
[1D5-3] Cho hàm số y 
; I 1; 2. Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến x 1
d của đồ thị hàm số tại M vuông góc với đường thẳng IM . x  3 Bài 87.
[1D5-3] Cho hàm số y  ; I  1  ; 
1 . Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến x 1 3
d của đồ thị hàm số tại M tạo với đường thẳng IM một góc  mà cos  . 5 Bài 88. [1D5-3] Cho hàm số 4 2
y  x  2x 1. Với M là điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ bằng
2 , hãy viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số tại M và tìm hoành độ các giao 2
điểm của d với đồ thị hàm số đã cho. x 1 Bài 89.
[1D5-3] Cho hàm số y 
. Tìm M trên đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến với đồ thị hàm 2x  2
số tại M tạo với 2 trục tọa độ 1 tam giác có trọng tâm G nằm trên đường thẳng  : 4x  y  0 . 2x 1 Bài 90.
[1D5-3] Cho hàm số y 
Tìm hoành độ điểm M thuộc đồ thị hàm số biết tiếp tuyến tại x 1
M tạo với hai đường thẳng d ; d lần lượt có phương trình x 1  0 và y  2  0 một tam giác 1 2 vuông cân. 2x  3 Bài 91.
[1D5-4] Cho hàm số . y 
.. Đường thẳng d : x  2 . Đường thẳng d : y  2 . I là giao x  2 1 2
điểm của d & d . Gọi đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M tùy ý. A là 1 2
giao d & d , B là giao điểm của d & d . Viết pttt d  biết độ dài AB nhỏ nhất. 1 2
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 36 2x 1 Bài 92.
[1D5-4] Cho hàm số y 
. Đường thẳng d : x  2 . Đường thẳng d : y  2 . I là giao x  2 1 2
điểm của d & d . Gọi đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M tùy ý. A là 1 2
giao d & d , B là giao điểm của d & d . 1 2
a) CMR: M là trung điểm của đoạn thẳng A . B
b) Tìm M để d  I; d  đạt giá trị lớn nhất. Bài 93. [2D5-1] Cho hàm số 3 2
y  4x  6x 1. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết x  1 Bài 94.
[1D5-2] Cho hàm số y 
. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến 2x  2  1   đi qua điểm I 1; .    2  2 x  x 1 Bài 95.
[1D5-3] Cho hàm số y 
.Chứng minh rằng qua điểm A 1;  1 có thể kẻ được hai x 1
tiếp tuyến với đồ thị hàm số và hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau. x  2 Bài 96.
[1D5-4] Cho hàm số y 
. Hãy tìm m để từ điểm A0; m kẻ được hai trình tiếp tuyến với x 1
đồ thị hàm số và hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục hoành. 2x  2 Bài 97.
[1D5-4] Cho hàm số y 
. Hãy tìm m để từ điểm A ; m 0 x  5 1
a) Kẻ được hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số tích hai hệ số góc của hai tiếp tuyến là . 144
b) Kẻ được hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số và hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục tung.
c) Kẻ được hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số và hai tiếp điểm nằm về hai phía của đường thẳng y  1. 1 1 4 Bài 98. [1D5-1] Cho hàm số 3 2 y  x 
x  2x  . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số 3 2 3
biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : 4x  y  2  0. 2x  3 Bài 99.
[1D5-1] Cho hàm số y 
. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến 1 x
vuông góc với đường thẳng d : x y 2017  0. 3x  2
Bài 100. [1D5-2] Cho hàm số y 
. Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị hàm số biết d tạo x  2 1
với trục hoành một góc  mà cos  . 17 3
Bài 101. [1D5-2] Cho hàm số 3 y  x 
x  2. Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị hàm số biết d 2 1
tạo với đường thẳng  : y  x  7 một góc  mà cos  . 26
Bài 102. [1D5-2] Cho hàm số 3 2
y  x  3x C ; đường thẳng d : y  3x 1. Tìm điểm M trên đồ thịC 
biết tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại M có hệ số góc âm và tạo với d một góc o   45 .
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 37
Bài 103. [1D5-4] Cho hàm số 3 2
y  x  3x 1 C . Tìm hai điểm ,
A B trên đồ thị hàm số sao cho tiếp
tuyến của đồ thị C  tại ,
A B song song với nhau và AB  4 2. 2x 1
Bài 104. [1D5-3] Cho hàm số y 
C. Tìm điểm M trên đồ thịC  biết tiếp tuyến với đồ thị x 1
hàm số tại M cắt trục o x, oy lần lượt tại ,
A B sao cho AB  82 . . OB 2x 1
Bài 105. [1D5-2] Cho hàm số y 
 H . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết rằng x  1
tiếp điểm của tiếp tuyến đó với  H  cách điểm A0;  1 một khoảng bằng 2.
Bài 106. [1D5-2] Cho hàm số 3
y   x   m   2 2
1 x  m 1, m là tham số.Tìm m để đồ thị của hàm số đã
cho tiếp xúc với đường thẳng y  2mx  m 1.
Bài 107. [1D5-3] Cho hàm số 3 2
y  x  6x  9x  
1 . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số   1 4
biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng  : x  y 1  0 một góc  sao cho cos  và tiếp 41
điểm có tọa độ nguyên. x  2
Bài 108. [1D5-4] Cho hàm số y 
C. Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số C  biết x 1
tiếp tuyến tạo với d : x  1, d : y  1 một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất. 1 2
Bài 109. [1D5-3] Cho hàm số 3 2
y  x  3x 1 C . Tìm trên đường thẳng y  3 các điểm mà từ đó kẻ
được ba tiếp tuyến phân biệt đến đồ thị C . 2x 1
Bài 110. [1D5-4] Cho hàm số y 
C.Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số C  tại điểm  x 1 I 0; 
1 .Tìm điểm M  C  có hoành độ lớn hơn 1 sao cho khoảng cách từ M đến d nhỏ nhất. x  2
Bài 111. [1D5-3] Cho hàm số y 
C .Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số C  biết 2x  3
d cắt trục hoành ,trục tung lần lượt tại , A B sao cho O  AB cân tại . O x 1
Bài 112. [1D5-3] Cho hàm số y 
C.Tìm m để đường thẳng y  mx  m cắt C  tại hai điểm x 1 phân biệt ,
A B sao cho tiếp tuyến của C  tại A và B song song với nhau.
Bài 113. [1D5-4] Cho hàm số 3 2
y  x  3x 1. Đường thẳng  đi qua điểm A 1;3 có hệ số góc k. Tìm
các giá trị của k để  cắt C  tại ba điểm phân biệt ,
A D, E. Gọi d , d lần lượt là các tiếp 1 2
tuyến của C  tại D, E. Chứng minh rằng các khoảng cách từ A đến d , d bằng nhau. 1 2
Bài 114. [1D5-3] Cho hàm số 4 2
y  x  2x  2 C .Tìm điểm M  C  để qua đó kẻ được ba tiếp tuyến đến C .
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 38 2x  3
Bài 115. [1D5-2] Cho hàm số y 
C.Tìm điểm M C có hai tọa độ là số hữu tỉ sao cho tiếp x 1
tuyến d của đồ thị hàm số C  tại M cắt trục hoành ,trục tung lần lượt tại , A B sao cho 9 S  . OAB 2 x 1
Bài 116. [1D5-1] Cho hàm số y 
C.Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số C  biết x  2
tiếp tuyến đi qua điểm A 1;10.
Bài 117. [1D5-1] Cho hàm số 4 3 2
y  x  4x 10x 12x  6 C . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị  x
hàm số C  biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y  1. 12 x  2
Bài 118. [1D5-2] Cho hàm số y 
C.Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm x 1
M  C  đều tạo với hai đường thẳng d : x 1 và d : y  1 một tam giác có diện tích không 1 2 đổi.
Bài 119. [1D5-3] Cho hàm số 4 2
y  x  8x 1 C .Viết phương trình tiêp tuyến của đồ thị C  biết tiếp
tuyến tạo với đường thẳng  : 47x  43y  90  0 một góc o
45 và tạo với tia ox một góc tù.
Bài 120. [1D5-3] Cho hàm số 3 2
y  x  mx  2  
1 và đường thẳng d : y  2mx  m 1, trong đó m là
tham số.Tìm m để d cắt đồ thị hàm số  
1 tại ba điểm phân biệt I 1;1 m , , A B sao cho tiếp
tuyến tại A và B có cùng hệ số góc.
Bài 121. [1D5-2] Tìm trên trục hòanh điểm mà từ đó có thể kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị hàm số 3
y   x  3x  2 C . 2x 1  9  
Bài 122. [2D1-3] Cho hàm số y 
C  và điểm P ; 0 . 
 Tìm trên C  cặp điểm , A B sao cho x  2  2 
tiếp tuyến của C  tại ,
A B song song với nhau và P  AB cân tại . P
Bài 123. [1D5-3] Cho hàm số 3 2
y  x  3x  m x  m  
1 . Đường thẳng d đi qua điểm I  1  ; 2 có hệ số
góc bằng m cắt đồ thị hàm số  
1 tại ba điểm phân biệt ,
A B, I. Chứng minh rằng các tiếp
tuyến của đồ thị hàm số  
1 tại A và B song song với nhau. x
Bài 124. [1D5-3] Cho hàm số y 
. Tìm những điểm trên đồ thị hàm số mà tiếp tuyến tại đó tạo với x 1
hai đường thẳng d : x  1, d : y  1 một tam giác có chu vi bằng 4  2 2. 1 2
Bài 125. [1D5-4] Cho hàm số 4 2
y  x  2mx  m  
1 , m là tham số.Biết A là điểm thuộc đồ thị hàm số  3   
1 và có hoành độ bằng 1. Tìm m để khoảng cách từ B ;1 
 đến tiếp tuyến của đồ thị   1 tại  4  A lớn nhất.
Bài 126. [1D5-2] Cho hàm số 4 2
y  x  6x  5 C ..Tìm m để đồ thị của hàm số đã cho tiếp xúc với
đường thẳng y  mx  . m
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 39 2x 1
Bài 127. [1D5-2] Cho hàm số y 
C.Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng x 1 y  mx  5. 2 x  x 1
Bài 128. [1D5-2] Cho hàm số y 
. Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số đều x  2
không đi qua điểm A2;3. 1
Bài 129. [1D5-3] Cho hàm số 3 y 
x  m   2
1 x  4  3m x 1 C . Tìm m để trên đồ thị C tồn m  3 m
tại duy nhất điểm A có hoành độ âm mà tiếp tuyến của C
tại A vuông góc với đường thẳng m 
x  2 y  3  0.  x 1
Bài 130. [1D5-4] Cho hàm số y 
C . Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng d : y  x  m 2x 1
luôn cắt đồ thị C  tại hai điểm phân biệt A và .
B Khi đó gọi k , k lần lượt là hệ số góc của 1 2
tiếp tuyến với đồ thị C  tại A và B, tìm m để tổng k  k đạt giá trị lớn nhất 1 2
Bài 131. [1D5-4] Cho hàm số 3
y  x  3x  2 C .Với x , x là hai nghiệm của phương trình y x  0. 1 2
Gọi A  x ; y x
, B  x ; y x
. Tìm trên đồ thị C  điểm M sao cho tiếp tuyến với C  tại 2  2  1  1 
M cách đều hai điểm A và . B
Bài 132. [1D5-2] Cho hàm số 3
y  x   m   2 2
1 x  6m  5 x  3 C . Tìm m để đồ thị hàm số tiếp m xúc với trục hoành.
Bài 133. [1D5-4] Cho hàm số 3 2
y  x  3mx  m  
1 x  1 C . Chứng minh rằng trên đồ thị hàm số m
C luôn tồn tại hai điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng x  9y  0. Tìm m m 
để đường thẳng nối hai điểm đó đi qua điểm I 0; 4. 1 2
Bài 134. [1D5-4] Cho hàm số 3 2 y 
x  m x  6 m   1 x   
1 có đồ thị là C Tìm m để trên m  . 3 3
C có hai điểm M  x ; y và N  x ; y sao cho tiếp tuyến tại mỗi điểm đó vuông góc với 2 2  1 1  m 
đường thẳng x  3y  6  0 và x  x  2 3. 1 2
Bài 135. [1D5-3] Cho hàm số 3 2
y  x  3x  m x 1  
1 và đường thẳng d : y  1. Tìm m để hai đồ thị
hàm số cắt nhau tại ba điểm phân biệt C 0; 
1 , D, E sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số   1
tại D và E vuông góc với nhau.
Bài 136. [1D5-3] Cho hàm số 3
y  x  3m x  2  
1 với m là tham số.Tìm m để đồ thị hàm số   1 có tiếp 1
tuyến tạo với đường thẳng d : x  y  7  0 một góc  mà cos  . 26
Bài 137. Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x , biết tiếp tuyến qua điểm A : 2 4x  x a) y 
, với A1; – 4 . b) 4 2
y  x  2x , với A0; –  1 . x 1 2 x  4x  4 c) 3
y  x  3x 1, với A 1; –6 . d) y 
, với A  –1; 0 . x 1
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 40 3 2 mx mx
Bài 138. Cho hàm số: y  f  x  
 3  m x  2 . Tìm m để: 3 2
a) f  x  0, x    .
b) f  x có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
c) Chứng minh rằng trong trường hợp f  x có hai nghiệm (hai nghiệm có thể trùng nhau) thì
các nghiệm này thỏa mãn một hệ thức độc lập với m .
Bài 139. Tìm m để: a) 3
y  mx – x có y  0,x   . 1 b) 3 2 y 
x  mx  4x  3 có y  0,x   . 3 c) 3 2
y  x – 3mx  4mx có y  0,x   . d) 3 y  x  m   2 – 3 2
1 x  2m  5 x  2 có y  0,x   . 1 e) 3 2 y  –
x  2x – mx  2 có y  0,x   . 3 1 f) 3 2 y 
x – mx – mx có y  0,x  0;   . 3
Bài 140. Với mỗi hàm số sau đây: ① Tìm TXĐ ② Tính y ③ Xét dấu y , chỉ ra y  0 , y  0 trên khoảng, các khoảng nào: 1 2x 1 a) 3
y  – x  3x  1 b) 3 2 y 
x – 3x  8x – 2 c) y  3 x  2 2 x  x  2 2
x  2x  2 1 d) y  e) y  f) y  1 x 1 x 1 x  2 1 g) 4 2
y  – x  4x h) 4 2
y  x  4x 1
i) y  4x 1 – x  1 1 j) 2
y  4  3x – x k) 3 2 y 
x  3x  7x  2 l) 4 2
y  x  2x  3 3 2 x  2x m) 3 2
y   x  x  5 n) 2 y  4  x o) y  1 x 2 x  7x 12 p) y  q) 2
y  3x  x r) 2 y  x  x  20 2 x  2x  3 2 x  8x  9 1 s) y  t) y   2x u) 2 y  x  2x  3 x  5 x 1
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 41
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 5
BÀI 1. ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM Câu 1.
[1D5-1] Cho hàm số f  x liên tục tại x . Đạo hàm của f  x tại x là 0 0
A. f  x . 0 
f  x  h  f x 0   0  B. . h
f  x  h  f x 0   0  C. lim
(nếu tồn tại giới hạn). h0 h
f (x  h)  f (x  ) h D. 0 0 lim
(nếu tồn tại giới hạn). h0 h 1 Câu 2. [1D5-1] Cho hàm số 3 2 y 
x – 3x  7x  2 . Phương trình tiếp tuyến tại A0; 2 là 3
A. y  7x  2 .
B. y  7x  2 . C. y  7  x  2 . D. y  7  x  2 . Câu 3.
[1D5-1] Cho hàm số y  f  x xác định trên khoảng a;b và x  a;b . Mệnh đề nào sau 0   đây là đúng?
f  x  f  x0 
A. Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) lim
thì giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm xx0 x  x0
số y  f  x tại x . 0
f  x  f  x0 
B. Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) lim
thì giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm xx0 x  x0
số y  f  x tại x . 0
f  x  f  x0 
C. Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) lim
thì giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm xx0 x  x0
số y  f  x tại x . 0
f  x  f  x0 
D. Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) lim
thì giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm xx0 x  x0
số y  f  x tại x . 0 Câu 4.
[1D5-1] Số gia của hàm số f  x 2
 x 1 tại điểm x  1 ứng với x   0,1 là 0 A. 1  ,19 . B. 0, 01 . C. 0  ,19 . D. 0, 21. y Câu 5.
[1D5-1] Cho hàm số y  2x  5 . Tìm biểu thức của y  và
tính theo x và x  . x  y  y 10 A. y   2x ,  2 . B. y   x 10 ,  1 . x x x  y 10 y  C. y   2x 10 ,  2  . D. y   x ,  1. x  x  x sin 4x Câu 6.
[1D5-1] Tính giới hạn lim . x 0 x 1 A. . B. 4 . C. 0 . D. 1. 4
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 42 1 Câu 7.
[1D5-1] Gọi d là tiếp tuyến với đồ thị hàm số C  : y 
song song với trục hoành. Tìm 2 x 1
hoành độ tiếp điểm x của d và C  . 0 A. x  1. B. x  2 . C. x  1  . D. x  0 . 0 0 0 0 Câu 8.
[1D5-1] Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f  x 3 2
 x  2x  2 tại điểm có hoành độ x  2  . 0
A. y  20x  22 .
B. y  4x 10 .
C. y  10x 11.
D. y  20x  58 . 2 x  3x 1 Câu 9.
[1D5-1] Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 
tại điểm M 0;   1 có phương trình là 2x 1
A. y  x 1.
B. y  5x 1.
C. y  x 1.
D. y  5x 1 .
Câu 10. [1D5-1] Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai:
A. Nếu hàm số f  x liên tục tại điểm x thì f  x có đạo hàm tại x . 0 0
B. Nếu tiếp tuyến tại điểm M x ; f x
của đồ thị hàm số y  f  x song song với trục 0  0  0 
hoành thì f  x  0 . 0 
C. Nếu f  x  0 thì tồn tại tiếp tuyến tại điểm M x ; f x
của đồ thị hàm số y  f  x 0  0  0  0 
song song hoặc trùng với trục hoành.
D. Nếu hàm số f  x có đạo hàm tại điểm x và đồ thị của hàm số là một đường cong C  thì 0
tiếp tuyến của C  tại điểm M x ; f x
có hệ số góc k  f  x . 0  0  0  0 
Câu 11. [1D5-1] Xét các mệnh đề sau
I  Nếu hàm số y  f  x có đạo hàm tại điểm x thì nó liên tục tại điểm đó. 0
II  Nếu hàm số y  f  x gián đoạn tại điểm x thì nó không có đạo hàm tại điểm đó. 0
III  Nếu hàm số y  f  x liên tục tại điểm x thì nó không có đạo hàm tại điểm đó. 0 Trong ba mệnh đề trên
A. Có  I  ,  II  đúng.
B. Có ba mệnh đề đúng.
C. Cả ba mệnh đề đều sai.
D. Có  I  đúng.
Câu 12. [1D5-1] Giả sử u  x , v  x là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định.
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào Sai? 
 u  x 
u  x v  x  u  x v x
A. u  x.v  x  u x.v  x  u  x.v x . B.    .  vx 2  v  x   1 v x C.  
, (Với v  x  0 ).
D. u  x  v  x  u x  v x . v  x 2 v  x
Câu 13. [1D5-2] Gọi  P là đồ thị của hàm số 2
y  2x  x  3 . Phương trình tiếp tuyến với  P tại
điểm mà  P cắt trục tung là
A. y  x  3 .
B. y  x  3 .
C. y  4x 1.
D. y  11x  3 . 3x 1
Câu 14. [1D5-2] Đồ thị C  của hàm số y 
cắt trục tung tại điểm A . Tiếp tuyến của C  tại x 1
điểm A có phương trình là
A. y  4x 1 .
B. y  4x 1.
C. y  5x 1 .
D. y  5x 1 .
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 43
Câu 15. [1D5-2] Gọi C  là đồ thị của hàm số 4
y  x  x . Tiếp tuyến của C  vuông góc với đường
thẳng d : x  5 y  0 có phương trình là
A. y  5x  3 .
B. y  3x  5 .
C. y  2x  3 .
D. y  x  4 .
Câu 16. [1D5-2] Cho hàm số f  x là hàm số trên  định bởi   2
f x  x và x   . Chọn câu đúng. 0
A. f  x  x .
B. f  x  x . 0  2 0  0 0
C. f  x  2x .
D. f  x không tồn tại. 0  0  0 1
Câu 17. [1D5-2] Cho hàm số f  x xác định trên 0; bởi f  x 
. Đạo hàm của f  x tại x x  2 là 0 1 1 1 1 A. . B.  . C. . D.  . 2 2 2 2 2
Câu 18. [1D5-2] Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y   x  
1  x – 2 tại điểm có hoành độ x  2 là
A. y  –8x  4 .
B. y  9x 18 .
C. y  –4x  4 .
D. y  9x 18 .
Câu 19. [1D5-2] Phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số y  x  x2 3 –
tại điểm có hoành độ x  2 là
A. y  –3x  8 .
B. y  –3x  6 .
C. y  3x – 8 .
D. y  3x – 6 .
Câu 20. [1D5-2] Cho hàm số 3 2
y  x – 6x  7x  5 C  . Tìm trên C  những điểm có hệ số góc tiếp
tuyến tại điểm đó bằng 2  .
A.  –1; –9; 3; –  1 .
B. 1;7; 3; –  1 .
C. 1;7;  –3; –97 .
D. 1;7;  –1; –9 . 
Câu 21. [1D5-2] Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị y  tan x tại điểm có hoành độ x  . 4 1 2 A. k  1. B. k  . C. k  . D. 2 . 2 2
Câu 22. [1D5-2] Cho đường cong C  2
: y  x . Phương trình tiếp tuyến của C  tại điểm M  –1;  1 là
A. y  –2x 1 .
B. y  2x 1.
C. y  –2x –1 .
D. y  2x – 1. 2 x  x
Câu 23. [1D5-2] Cho hàm số y 
. Phương trình tiếp tuyến tại A 1; –2 là x  2
A. y  –4 x –  1 – 2 .
B. y  –5 x – 
1  2 . C. y  –5 x – 
1 – 2 . D. y  –3 x –  1 – 2 .
Câu 24. [1D5-2] Biểu thức của y  của hàm số 2
y  x 1tính theo x và x  là A. y   0 . B. y
  x2  2x x  . C. y
  xx   x  2 2  2 . D. y    x  2 1. 1
Câu 25. [1D5-2] Một vật rơi tự do theo phương trình S t  2  gt với 2
g  9,8 m/s . Vận tốc tức thời 2
của vật tại thời điểm t  5 giây là A. 122,5 m/s . B. 61,5 m/s . C. 9,8m/s . D. 49 m/s .
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 44
Câu 26. [1D5-2] Một chất điểm chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S t  3 2
 t  2t  4t 1,
trong đó t được tính bằng giây và S tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi t  2 giây là A. 2 12 m/s . B. 2 8 m/s . C. 2 9m/s . D. 2 6 m/s . 2  3x
Câu 27. [1D5-2] Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 
tại giao điểm với trục hoành x 1 bằng 1 A. 9 . B. . C. 4 . D. 9  . 9
Câu 28. [1D5-2] Số tiếp tuyến của đường cong C  3 2
: y  x  3x  8x 1 song song với đường
thẳng  : y  x  28 là A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . tan 3x
Câu 29. [1D5-2] Tính giới hạn lim . x0 sin 5x 3 5 1 A. . B. 1. C. . D. . 5 3 5
Câu 30. [1D5-2] Cho hàm số y  sin 2x C  . Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị C  tại điểm có hoành  độ x   bằng. 2 A. 2  . B. 2. C. 0. D. 1  .
Câu 31. [1D5-2] Cho hàm số 3
y  x  3x 1 C  . Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị C  và song song
với đường thẳng d : 9x  y 15  0 . A. 2. B. 1. C. 0. D. 3.
Câu 32. [1D5-2] Cho hàm số y  f  x 2
 x x 1 . Số nghiệm của phương trình f  x  0 là A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
Câu 33. [1D5-2] Cho hàm số y  f  x 2
 x  2x . f 0 có giá trị bằng A. 2 . B. 2  C. 0 .
D. Không tồn tại đạo hàm tại x  0 . 2x
Câu 34. [1D5-3] Cho hàm số y 
. Phương trình tiếp tuyến của C  cắt các trục Ox , Oy lần lượt x  2
tại A và B sao cho AB  2OA là
A. y   x .
B. y  x  4 .
C. y  x  8 .
D. y  x  8 .
Câu 35. [1D5-3] Điểm M trên đồ thị hàm số 3 2
y  x – 3x –1 mà tiếp tuyến tại đó có hệ số góc k bé
nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị thì M , k là
A. M 1; –3 , k  –3 .
B. M 1;3 , k  –3 .
C. M 1; –3 , k  3.
D. M 1; –3 , k  –3 . ax  b
Câu 36. [1D5-3] Cho hàm số y 
có đồ thị cắt trục tung tại A0; – 
1 , tiếp tuyến tại A có hệ số x 1 góc k  3
 . Các giá trị của a , b là
A. a  1, b  1 .
B. a  2 , b  1 .
C. a  1, b  2 .
D. a  2 , b  2 . 2 x  3x  1
Câu 37. [1D5-3] Cho hàm số y 
và xét các phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k  2 của x  2 đồ thị hàm số là
A. y  2x –1; y  2x – 3 .
B. y  2x – 5; y  2x – 3 .
C. y  2x –1; y  2x – 5 .
D. y  2x –1; y  2x  5 .
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 45 2 x  3x  3
Câu 38. [1D5-3] Cho hàm số y 
, tiếp tuyến của đồ thị hàm số vuông góc với đường x  2
thẳng d : 3y – x  6  0 là
A. y  –3x – 3; y  –3x –11.
B. y  –3x – 3; y  –3x 11.
C. y  –3x  3; y  –3x –11.
D. y  –3x – 3; y  3x – 11 . 5
Câu 39. [1D5-3] Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  2m –  4 1 x – m 
tại điểm có hoành độ 4
x  –1 vuông góc với đường thẳng d : 2x – y – 3  0 . 3 1 7 9 A. . B. . C. . D. . 4 4 16 16 x  2
Câu 40. [1D5-3] Cho hàm số y 
, tiếp tuyến của đồ thị hàm số kẻ từ điểm  –6;5 là x  2 1 7 1 7
A. y  – x – 1 ; y  x  .
B. y  – x – 1 ; y   x  . 4 2 4 2 1 7 1 7
C. y  – x 1 ; y   x  .
D. y  – x 1 ; y   x  . 4 2 4 2 3x  4
Câu 41. [1D5-3] Tiếp tuyến kẻ từ điểm 2;3 tới đồ thị hàm số y  là x 1
A. y  28x  59 ; y  x 1.
B. y  –24x  51 ; y  x 1.
C. y  28x  59 .
D. y  28x  59 ; y  24x  51.
Câu 42. [1D5-3] Cho hàm số C  3 2
: y  x  3mx  m  
1 x  m . Gọi A là giao điểm của đồ thị hàm số
với trục tung. Khi đó giá trị m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A vuông góc với đường
thẳng y  2x  3 là 3 1 A.  . B. 1. C. 3  . D.  . 2 2
Câu 43. [1D5-3] Một viên đạn được bắn lên trời từ một vị trí cách mặt đất 1000 m theo phương thẳng
đứng với vận tốc ban đầu v  245 m/s (bỏ qua sức cản của không khí). Tại thời điểm viên đạn 0
đạt độ cao lớn nhất cách mặt đất bao nhiêu mét? A. 3062, 5 m . B. 4062, 5m . C. 3461m . D. 4026, 5m .
Câu 44. [1D5-4] Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m   để đồ thị hàm số 3
y  4x  3x tiếp xúc
với đường thẳng y  mx 1? A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . x 1
Câu 45. [1D5-4] Cho hàm số y 
có đồ thị là C  . Gọi điểm M  x ; y với x  1  là điểm 0 0  2  x   1 0
thuộc C  , biết tiếp tuyến của C  tại điểm M cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt ,
A B và tam giác OAB có trọng tâm G nằm trên đường thẳng d : 4x  y  0 . Hỏi giá
trị của x  2 y bằng bao nhiêu? 0 0 7 5 5 A.  . B. 1. C. . D.  . 2 2 2
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 46 f  x  3
Câu 46. [1D5-4] Cho các hàm số y  f  x , y  g  x , y 
. Hệ số góc của các tiếp tuyến của g  x 1
các đồ thị các hàm số đã cho tại điểm có hoành độ x  1 bằng nhau và khác 0 . Khẳng định nào
dưới đây là khẳng định đúng? 11 11 11 11 A. f   1   . B. f   1  . C. f   1   . D. f   1  . 4 4 4 4 2
x  2mx  m
Câu 47. [1D5-4] Cho hàm số y 
. Giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại hai điểm và x  m
tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm đó vuông góc là A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 7 .
BÀI 2. QUI TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
Câu 48. [1D5-1] Đạo hàm cấp một của hàm số y    x 5 3 1 là 4
A. y    x 4 3 5 1 . B. y   x   x 5 2 3 15 1 . C. y  3   3
1 x  . D. y   x   x 4 2 3 5 1 .
Câu 49. [1D5-1] Đạo hàm của hàm số f  x   x  4 2 1 tại điểm x  1  là A. 3  2 . B. 30 . C. 6  4 . D. 12 . 2x 1
Câu 50. [1D5-1] Hàm số y  có đạo hàm là x 1 1 3 1 A. y  2 . B. y   . C. y   . D. y  .  x  2 1  x  2 1  x  2 1
Câu 51. [1D5-1] Cho hàm số 3 2
y  x  3x  9x  5 . Phương trình y  0 có nghiệm là A.  1  ;  2 . B. 1;  3 . C. 0;  4 . D. 1;  2 .
Câu 52. [1D5-1] Cho hàm số f  x xác định trên  bởi f  x 2
 2x 1. Giá trị f   1 bằng A. 2 . B. 6 . C. 4 . D. 3 . 2x
Câu 53. [1D5-1] Cho hàm số f  x xác định trên  \  
1 bởi f  x 
. Giá trị của f   1 bằng x 1 1 1 A. . B.  . C. 2 . D. Không tồn tại. 2 2
Câu 54. [1D5-1] Cho hàm số f  x xác định trên  bởi f  x  ax  b , với a , b là hai số thực đã cho. Chọn câu đúng:
A. f   x  a .
B. f  x  a .
C. f  x  b .
D. f   x  b  . 1
Câu 55. [1D5-1] Tính đạo hàm của hàm số 4 2
y  x  3x  x  3 . 2 1 1 7 1 A. 4 2
y  4x  6x  . B. 3
y  4x  6x  . C. 3
y  4x  6x  . D. 3
y  4x  6x  . 2 2 2 4 2x 1
Câu 56. [1D5-1] Tính đạo hàm của hàm số y  . x  3 7 4x  2 5 4x  5 A. y   . B. y  . C. y   . D. y   .  x  32  x  32  x  32  x  32
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 47
Câu 57. [1D5-1] Tính đạo hàm của hàm số y   x  x 10 3 2 2 . A. y   x  x9 2 10 3 4 . B. y 
 x  xx  x 9 2 3 2 10 3 2 2 . C. y 
 x  xx  x 9 2 3 2 10 3 4 2 . D. y  x  x 9 3 2 10 2 .
Câu 58. [1D5-1] Tính đạo hàm của hàm số 3 2
y  ax  bx  cx  d , (Với a, b, c, d   và a  0 ). A. 2
y  3ax  bx  c . B. 2
y  ax  bx  c . C. 2
y  3ax  2bx  c . D. 2
y  ax  bx  d . 2 x  x
Câu 59. [1D5-2] Cho hàm số y 
đạo hàm của hàm số tại x  1 là x  2 A. y  1  4  . B. y  1  5  . C. y  1  3  . D. y  1  2  . x
Câu 60. [1D5-2] Cho hàm số y  . y0 bằng 2 4  x 1 1
A. y0  .
B. y0  .
C. y0  1 .
D. y0  2 . 2 3
Câu 61. [1D5-2] Cho hàm số f  x xác định trên  bởi   2 f x 
x . Giá trị f  0 bằng A. 0 . B. 2 . C. 1. D. Không tồn tại.  x  2 2
Câu 62. [1D5-2] Hàm số y  có đạo hàm là 1 x 2 x  2x 2 x  2x 2 x  2x A. y  . B. y  .
C. y  2  x  2 . D. y  .  2 2  x2 1 1 x 1 x 2  1 x 
Câu 63. [1D5-3] Cho hàm số y  
 . Đạo hàm của hàm số f  x là  1 x     2  1 x  21 x 
A. f  x  .
B. f  x  . 1 x3 x 1 x 3 21 x  21 x 
C. f  x  .
D. f  x  . x 1 x 2 1 x
Câu 64. [1D5-3] Cho hàm số f  x xác định trên  bởi   3 f x 
x . Giá trị f  8 bằng 1 1 1 1 A. . B.  . C. . D.  . 12 12 6 6 2  x 1 1  khi x  0
Câu 65. [1D5-2] Cho hàm số f  x xác định bởi f  x   x
. Giá trị f  0 bằng 0 khi x  0  1 A. 0 . B. 1. C. . D. Không tồn tại. 2
Câu 66. [1D5-2] Cho hàm số f  x xác định trên  bởi f  x 2
 2x  3x . Hàm số có đạo hàm f  x bằng A. 4  x  3 . B. 4  x  3 . C. 4x  3 . D. 4x  3 .
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 48
Câu 67. [1D5-2] Cho hàm số f  x xác định trên D  0;  cho bởi f  x  x x có đạo hàm là 1 3 1 x x
A. f  x  x .
B. f  x  x .
C. f  x  .
D. f  x  x  . 2 2 2 x 2 2  1 
Câu 68. [1D5-2] Hàm số f  x  x  
 xác định trên D  0;  . Có đạo hàm của f  x là  x  1 1 1 1
A. f  x  x   2 .
B. f  x  x  .
C. f  x  x 
. D. f  x  1 . x 2 x x 2 x 3  1 
Câu 69. [1D5-2] Hàm số f  x  x  
 xác định trên D  0;  . Đạo hàm của hàm f  x là  x  3  1 1 1  3  1 1 1 
A. f  x  x     .
B. f  x  x    . 2    2  x x x x x  2 2  x x x x x  3  1 1 1  3 1
C. f  x   x     .
D. f  x  x x  3 x   . 2  2  x x x x x  x x x
Câu 70. [1D5-2] Cho hàm số f  x 4 3 2
 x  4x  3x  2x  1 xác định trên  . Giá trị f   1 bằng A. 4 . B. 14 . C. 15 . D. 24 . 2x 1
Câu 71. [1D5-2] Cho hàm số f  x  xác định  \  
1 . Đạo hàm của hàm số f  x là x 1 2 3 1 1 
A. f  x  .
B. f  x  .
C. f  x  .
D. f  x  .  x  2 1  x  2 1  x  2 1  x  2 1 1
Câu 72. [1D5-2] Cho hàm số f  x  1 xác định  \  
0 . Đạo hàm của hàm số f  x là 3 x 1 1 1 1
A. f  x 3   x x.
B. f  x 3  x x.
C. f  x   .
D. f   x   . 3 3 3 3x x 3 2 3x x 3
Câu 73. [1D5-3] Cho hàm số   3 f x  k x 
x (k  ) . Để f   1  thì ta chọn: 2 9 A. k  1. B. k  3  . C. k  3 . D. k  . 2 1
Câu 74. [1D5-2] Đạo hàm của y 
là kết quả nào sau đây? 2 x  2x  5 1 2x  2 2x  2 2x  2 A. y  . B. y   . C. y 
. D. y   . 2x  2  2
x  2x  52 2
x  2x  52 2 x  2x  5 2x 1
Câu 75. [1D5-2] Tính đạo hàm của hàm số y  . x  2 5 x  2 1 5 x  2 A. y   . B. y    . 2x  2 1 2x 1 2 2x  2 1 2x 1 1 x  2 1 5 x  2 C. y   . D. y    .` 2 2x 1 2  x  22 2x 1 3
Câu 76. [1D5-3] Cho hàm số   3 f x  k x 
x (k  ) . Để f   1  thì ta chọn: 2 9 A. k  1. B. k  3  . C. k  3 . D. k  . 2
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 49 2 x  2x  5
Câu 77. [1D5-3] Với f  x  . Thì f   1 bằng x 1 A. 1. B. 3  . C. 5  . D. 0 . x
Câu 78. [1D5-3] Cho hàm số y  f  x 
. Tính y0 bằng 2 4  x 1 1
A. y0  .
B. y0  .
C. y0  1 .
D. y0  2 . 2 3 2 x  x
Câu 79. [1D5-3] Cho hàm số y 
, đạo hàm của hàm số tại x  1 là x  2 A. y  1  4  . B. y  1  3  . C. y  1  2  . D. y  1  5  .
Câu 80. [1D5-3] Đạo hàm của hàm số y   x   2 2 1 x  x là 2 4x 1 2 4x 1 A. 2
y  2 x  x  . B. 2
y  2 x  x  . 2 2 x  x 2 x  x 2 4x 1 2 4x  1 C. 2
y  2 x  x  . D. 2
y  2 x  x  . 2 2 x  x 2 2 x  x 1
Câu 81. [1D5-3] Đạo hàm của hàm số y  là
x 1  x 1 1 1 A. y   . B. y  .
 x 1 x 12
2 x 1  2 x 1 1 1 1 1 C. y   . D. y   . 4 x 1 4 x 1 2 x 1 2 x 1
Câu 82. [1D5-3] Cho hàm số f  x 2  5
 x 14x  9 . Tập hợp các giá trị của x để f  x  0 là  7 9   7   7   7  A. ;   . B.  ;    . C. 1;   . D. ;    .  5 5   5   5   5  2
x  x  m
Câu 83. [1D5-3] Cho hàm số y 
. Tìm m để phương trình y  2 có hai nghiệm phân biệt. x  2
A. m  2 và m  2  . B. m  2 . C. m  2 . D. m  2. 2
x  3m  2 x 1 2m
Câu 84. [1D5-3] Cho hàm số y 
. Tìm các giá trị của m để y  0 với mọi x x  2 thuộc tập xác định. 9 9 9 9 A. m  . B. m  . C. m  . D. m  . 8 8 8 8  2 m  m
Câu 85. [1D5-3] Cho hàm số 3 2 y 
x  2mx  x  2m 1. Với giá trị nào của m thì 3 y  0 x    ? 1 1 1 A. 1   m  0. B.   m  0. C.   m  0. D.   m  0. 3 3 3 m
Câu 86. [1D5-4] Cho hàm số 3 2 y 
x  mx  3m  
1 x 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số 3 m thuộc  2
 018; 2018 để y  0,x   . A. 2019 . B. 2018 . C. 2017 . D. 2016 .
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 50
Câu 87. [1D5-4] Cho hàm số y  f  x liên tục, có đạo hàm trên  và đồ thị C  của nó đi qua các
điểm A0; 15 , B 1; 13 . Biết rằng f  x là một đa thức bậc bốn và có bảng xét dấu là x  1  0 1  f  x  0  0  0 
Hỏi điểm nào trong số bốn điểm dưới đây thuộc C  ?
A. Q 2;   1 . B. M 2; 7  1 . C. N 2; 4  1 .
D. P 2;  4  1 .
Câu 88. [1D5-4] Cho hàm số 3 2
y  x  3x  4 có đồ thị là C  . Hai đường thẳng d , d có hệ số góc 1 2
âm, song song với nhau và lần lượt tiếp xúc với C  tại x , x . Khẳng định nào sau đây đúng? 1 2 A. 2 2
0  x  x  4 . B. 2 2
4  x  x  6 . C. 2 2
6  x  x  8 . D. 2 2
8  x  x  16 . 1 2 1 2 1 2 1 2
Câu 89. [1D5-4] Cho hàm số 3
y  x  m   2 3
1 x  9x  m . Tìm m để phương trình y  0 có 2 nghiệm
phân biệt x , x thỏa mãn điều kiện x  x  2 . 1 2 1 2 A. m   3  ; 1 3 . B. m   3  ; 1 3    1   3;1 .   1   3;1     C. m  1   3; 1   3 .
D. m  3; 1 3 .  
BÀI 3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Câu 90. [1D5-1] Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
A. sin u  cos u , (với u  u  x ).
B. cos u  sin u , (với u  u  x ). u u
C.  tan u 
, (với u  u  x ).
D. cot u 
, (với u  u  x ). 2 cos u 2 sin u
Câu 91. [1D5-1] Hàm số y  sin x có đạo hàm là 1
A. y  cos x .
B. y   cos x .
C. y   sin x . D. y  . cos x
Câu 92. [1D5-1] Hàm số y  cos x có đạo hàm là 1
A. y  sin x .
B. y   sin x .
C. y   cos x . D. y  . sin x
Câu 93. [1D5-1] Hàm số y  tan x có đạo hàm là 1 1
A. y  cot x . B. y  . C. y  . D. 2
y  1 tan x . 2 cos x 2 sin x
Câu 94. [1D5-1] Hàm số y  cot x có đạo hàm là 1 1
A. y   tan x . B. y   . C. y   . D. 2
y  1 cot x . 2 cos x 2 sin x 1
Câu 95. [1D5-1] Hàm số y 
1 tan x2 có đạo hàm là 2
A. y  1 tan x .
B. y    x2 1 tan .
C. y    x 2 1 tan 1 tan x . D. 2
y  1 tan x .
Câu 96. [1D5-1] Tính đạo hàm của hàm số y  5sin x  3cos x .
A. y  5sin x  3cos x .
B. y  5sin x  3cos x .
C. y  5 cos x  3sin x .
D. y  5 cos x  3sin x .
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 51
Câu 97. [1D5-1] Tính đạo hàm của hàm số y  cos 2x 1 . sin 2x 1 sin 2x 1 sin 2x 1 A. y   . B. y  . C. y  
. D. y   sin 2x 1 . 2 2x 1 2x 1 2x 1
Câu 98. [1D5-1] Tính đạo hàm của hàm số y  sin 2x A. y 2 sin 2x   .
B. y  cos 2x . C. y 2cos 2x   .
D. y  2 cos 2x .   
Câu 99. [1D5-2] Cho hàm số f  x 2  3sin 2x  
 . Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f  x lần lượt là  4  A. 1; 1. B. 12; 12. C. 6  ; 6. D. 6 ; 6. x 1
Câu 100. [1D5-2] Đạo hàm của hàm số y  tan là 2 1 1 1 1 A. y  . B. y  . C. y  
. D. y   . x 1 x 1 x 1 x 1 2 2 cos 2 cos 2 2 cos 2 cos 2 2 2 2
Câu 101. [1D5-2] Cho hàm số y  sin x  3 cos x . Tìm nghiệm của phương trình y  0.   A. x 
 k ,k   . B. x 
 k ,k   . 3 6   C. x 
 k 2 ,k   . D. x  
 k ,k   . 6 6
Câu 102. [1D5-2] Tính đạo hàm của hàm số y   2
sin x  3x  2 . A. y   2
cos x  3x  2 .
B. y   x    2 2
3 .sin x  3x  2 .
C. y   x    2 2
3 .cos x  3x  2 .
D. y    x    2 2
3 .cos x  3x  2 .   
Câu 103. [1D5-2] Đạo hàm của hàm số y  sin  2x   là  2        A. 2  sin 2x . B. cos  2x   . C. 2sin 2x . D. 2 cos  2x   .  2   2 
Câu 104. [1D5-2] Hàm số nào sau đây có đạo hàm là hàm số y  cos 2x  sin x ? 1
A. y  sin 2x  cos x . B. y 
sin 2x  cos x . 2 1
C. y  sin 2x  cos x . D. y 
sin 2x  cos x . 2
Câu 105. [1D5-2] Cho hàm số y  f  x  sin x  cos x  2x . Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình
f  x  0 là 5  A. B. x  
 k 2 k   4 4 3 11 C. x  D. x  4 4 sin x
Câu 106. [1D5-2] Hàm số y  có đạo hàm là x
x cos x  sin x
x cos x  sin x
x sin x  cos x
x sin x  cos x A. y  . B. y  . C. y  . D. y  . 2 x 2 x 2 x 2 x
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 52
Câu 107. [1D5-2] Hàm số 2
y  x .cos x có đạo hàm là A. 2 y  2 .
x cos x  x sin x . B. 2 y  2 .
x cos x  x sin x . C. 2 y  2 .
x sin x  x cos x . D. 2 y  2 .
x sin x  x cos x .
Câu 108. [1D5-2] Hàm số y  tan x  cot x có đạo hàm là 1 4 4 1 A. y  . B. y  . C. y  . D. y  . 2 cos 2x 2 sin 2x 2 cos 2x 2 sin 2x
Câu 109. [1D5-3] Hàm số y  2 sin x  2 cos x có đạo hàm là 1 1 1 1 A. y   . B. y   . sin x cos x sin x cos x cos x sin x cos x sin x C. y   . D. y   . sin x cos x sin x cos x 2
Câu 110. [1D5-3] Hàm số y  f  x 
có f  3 bằng cos  x 8 4 3 A. 2 . B. . C. . D. 0 . 3 3 x
Câu 111. [1D5-3] Hàm số 2 y  tan có đạo hàm là 2 x x x sin 2 sin sin  x  A. 2 y  . B. 2 y  . C. 2 y  . D. 3 y  tan . x x x   3  2 cos 3 cos 3 2 cos  2 2 2
Câu 112. [1D5-3] Hàm số y  cot 2x có đạo hàm là 2 2 2 1 cot 2x  1 cot 2x 2 1 tan 2x  1 tan 2x A. y  . B. y  . C. y  . D. y  . cot 2x cot 2x cot 2x cot 2x   
Câu 113. [1D5-3] Cho hàm số y  cos 3 .
x sin 2x . Tính y  bằng  3           1    1 A. y  1   . B. y  1   . C. y     . D. y    .  3   3   3  2  3  2 cos 2x   
Câu 114. [1D5-3] Cho hàm số y 
. Tính y  bằng 1 sin x  6              A. y  1   . B. y  1   . C. y  3   . D. y   3   .  6   6   6   6 
Câu 115. [1D5-3] Xét hàm số f  x 3 
cos 2x . Chọn đáp án sai:    2  sin 2x A. f  1    .
B. f  x  .  2  3 2 3. cos 2x    C. f   1   . D. 2
3.y .y  2 sin 2x  0 .  2  2   
Câu 116. [1D5-3] Cho hàm số y  f  x  sin x  cos x . Giá trị f   bằng 16   2 2 2 A. 0 . B. 2 . C. . D. .  
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 53   
Câu 117. [1D5-3] Cho hàm số y  f  x  tan x  cot x . Giá trị f   bằng  4  2 1 A. 2 . B. . C. 0 . D. . 2 2 1   
Câu 118. [1D5-3] Cho hàm số y  f  x 
. Giá trị f    bằng sin x  2  1 A. 1. B. . C. 0 . D. Không tồn tại. 2  5    
Câu 119. [1D5-3] Xét hàm số y  f  x  2sin  x 
 . Tính giá trị f    bằng  6   6  A. 1  . B. 0 . C. 2 . D. 2  .  2 
Câu 120. [1D5-3] Cho hàm số y  f  x  tan x  
 . Giá trị f  0 bằng  3  A. 4 . B. 3 . C.  3 . D. 3 .
Câu 121. [1D5-3] Cho hàm số y  f  x  2sin x . Đạo hàm của hàm số y là 1 1 1
A. y  2 cos x . B. y  cos x .
C. y  2 x.cos . D. y  . x x x.cos x cos x   
Câu 122. [1D5-3] Cho hàm số y 
. Tính y  bằng 1 sin x  6              A. y  1   . B. y  1   . C. y  2   . D. y  2    .  6   6   6   6 
Câu 123. [1D5-3] Hàm số 2 y  sin .
x cos x có đạo hàm là A. y  x  2 sin 3cos x   1 . B. y  x  2 sin 3cos x   1 . C. y  x  2 sin cos x   1 . D. y  x  2 sin cos x   1 . 
Câu 124. [1D5-3] Đạo hàm của hàm số 2
y  cot cos x  sin x  là 2 1 cos x
A. y  2 cot cos x  . 2 sin cos x  2 sin x  2 1 cos x
B. y  2 cot cos x .sin x  . 2 sin cos x  2 sin x  2 1 cos x
C. y  2 cot cos x  . 2 sin cos x  sin x  2 1 cos x
D. y  2 cot cos x .sin x  . 2 sin cos x  sin x  2
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 54
Câu 125. [1D5-4] Cho hàm số f  x  sin 2x  21 2m cos 2x  2mx 1. Với giá trị nào của tham số
m thì phương trình f  x  0 có nghiệm. A. m   .
B. m 1;  1  1   5   1  C. m   ;   ;      D. m  ;     2   6   3 
Câu 126. [1D5-4] Cho hàm số f  x  m cos x  2sin x  3x 1, tìm tất cả các giá trị của tham số m để
phương trình f  x  0 có nghiệm.
A. m   5 hoặc m  5 .
B.  5  m  5 .
C. m   5 . D. m  5 .
Câu 127. [1D5-4] Cho hàm số f  x 2 2 2
 sin x tan x  3cos x và g  x 2 2
 4 sin x  tan x . Khi đó:
A. f  x  g x  sin 2x .
B. f  x  g x  3 .
C. f  x  g x  1.
D. f  x  g x  0 . cos x
Câu 128. [1D5-4] Cho hàm số y 
, x  0 . Chọn đẳng thức đúng. x A. yx
  2 y  cos x  0 . B. yx
  2 y  cos x  0 . C. yx
  2 y  cos x  0 . D. yx
  2 y  cos x  0 . BÀI 4. VI PHÂN
Câu 129. [1D5-1] Cho hàm số y  f  x   x  2
1 . Biểu thức nào sau đây chỉ vi phân của hàm số f  x ?
A. dy  2 x   1 dx .
B. y   x  2 d 1 dx .
C. dy  2 x   1 .
D. dy  2 x   1 dx .
Câu 130. [1D5-1] Cho hàm số 3
y  x  5x  6 . Vi phân của hàm số là A. y   2 d 3x  5dx .
B. y    2 d
3x  5dx . C. y   2 d
3x  5dx . D. y   2 d 3x  5dx . x  2
Câu 131. [1D5-1] Cho hàm số y 
. Vi phân của hàm số là x 1 dx 3dx 3dx dx A. dy  . B. dy  . C. dy  . D. dy   .  x  2 1  x  2 1  x  2 1  x  2 1 2 x  x  1
Câu 132. [1D5-1] Cho hàm số y 
. Vi phân của hàm số là x 1 2 x  2x  2 2x 1 2x 1 2 x  2x  2 A. dy  
dx . B. dy  dx . C. dy  
dx . D. dy  dx .  2 x  2 1  x  2 1  x  2 1  x   1
Câu 133. [1D5-1] Cho hàm số 3 2
y  x  9x 12x  5 . Vi phân của hàm số là A. y   2 d
3x 18x 12dx . B. y   2 d 3
 x 18x 12dx .
C. y    2 d
3x 18x 12dx . D. y   2 d 3
 x 18x 12dx .
Câu 134. [1D5-1] Tìm vi phân của hàm số 3 2
y  x  3x  2x  4 . A. y   2 d
3x  6x  2dx . B. 2
dy  3x  6x  2dx . C. y   2 d 3
 x  6x  2dx . D. y   2 d
x  3x  2dx .
Câu 135. [1D5-1] Vi phân của hàm số y  cos x là A. dy  cos d x x .
B. dy   cos d x x .
C. dy   sin d x x . D. dy  sin d x x .
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 55 1
Câu 136. [1D5-2] Cho hàm số y 
. Vi phân của hàm số là 3 3x 1 1 1 A. dy  dx . B. dy  dx . C. dy   dx . D. 4
dy  x dx . 4 4 x 4 x
Câu 137. [1D5-2] Cho hàm số y  sin x  3cos x . Vi phân của hàm số là
A. dy   cos x  3sin xdx .
B. dy   cos x  3sin x dx .
C. dy  cos x  3sin x dx .
D. dy   cos x  3sin xdx .
Câu 138. [1D5-2] Cho hàm số 2
y  sin x . Vi phân của hàm số là
A. dy  – sin 2x dx .
B. dy  sin 2x dx .
C. dy  sin x dx .
D. dy  2cosx dx .
Câu 139. [1D5-2] Hàm số y  x sin x  cos x có vi phân là
A. dy   x cos x – sin x dx .
B. dy   x cos x dx .
C. dy  cos x – sin x dx .
D. dy   x sin x dx . x
Câu 140. [1D5-2] Hàm số y  . Có vi phân là 2 x 1 2 1 x 2x 2 1 x 1 A. dy  dx . B. dy  dx . C. dy  dx . D. dy  dx .  2 2 x  2 2 1 x   1 x   1 x  2 2 1 
Câu 141. [1D5-2] Cho hàm số y  5sin 2x vi phân của hàm số tại x  là 3
A. dy  5dx .
B. dy  10 cos 2 d x x . C. dy  1  0 cos 2 d
x x . D. dy  5dx . x  3
Câu 142. [1D5-2] Cho hàm số y 
, vi phân của hàm số tại x  3  là 1 2x 1 1 A. dy  dx .
B. dy  7dx .
C. dy   dx .
D. dy  7dx . 7 7
Câu 143. [1D5-2] Cho hàm số y  sin sin x vi phân của hàm số tại x là
A. dy  cos sin x dx .
B. dy  sin cos x dx .
C. dy  cos sin x.cos d x x .
D. dy  cos sin x.sin d x x .
Câu 144. [1D5-2] Cho hàm số y  tan
x vi phân của hàm số tại x là 1 1 A. dy  dx . B. dy  dx . 2 x.cos x 2 2 x.cos x 1 1 C. dy  dx . D. dy  dx . 2 2 x.cos x 2 x.cos x
Câu 145. [1D5-2] Cho hàm số 2
y  cos 2x vi phân của hàm số tại x là
A. dy  4 cos 2x sin 2 d x x .
B. dy  2 cos 2x sin 2 d x x . C. dy  4  cos 2x sin 2 d x x . D. dy  2  cos 2x sin 2 d x x . 2 1 x
Câu 146. [1D5-2] Cho hàm số y 
vi phân của hàm số tại x là 2 1 x 4  4  x dx 4  A. dy  dx . B. dy  dx . C. dy  . D. dy  dx .  2 1 x 2 2 1 x 2 2 1 x 2 2 1 x 2 x  x khi x  0
Câu 147. [1D5-2] Cho hàm số f  x  
. Kết quả nào dưới đây là đúng? 2x khi x  0  2   x x
A. f 0   lim  2 x  x  .
B. f 0   lim
 lim x 1  1 .   0 x0 x0 x0 x 
C. f 0   lim 2x  0 .
D. df 0  dx . x0
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 56 sin x khi x  0
Câu 148. [1D5-2] Cho hàm số f  x  
. Khẳng định nào dưới đây là sai? x khi x  0  A. f 0   1. B. f 0   1.
C. df 0  dx .
D. Hàm số không có vi phân tại x  0 . 2 x  x 1
Câu 149. [1D5-2] Hàm số y  có vi phân là x 1 2 x  2x  2 2x 1 A. dy   dx B. dy  dx  x  2 1  x  2 1 2x 1 2 x  2x  2 C. dy   dx D. dy  dx  2 x  2 1  x   1 x
Câu 150. [1D5-2] Hàm số y  có vi phân là 2 x 1 2 1 x 2x 2 1 x 1 A. dy  dx . B. dy  dx . C. dy  dx . D. dy  dx .  2 2 x  2 2 1 x   1 x   1 x  2 2 1
Câu 151. [1D5-2] Vi phân của hàm số 2 y 
x  5x bằng biểu thức nào sau đây? 1 2x  5 A. dy  dx . B. dy  dx . 2 2 x  5x 2 x  5x 2x  5 2x  5 C. dy   dx . D. dy  dx . 2 2 x  5x 2 2 x  5x x
Câu 152. [1D5-2] Biểu thức nào sau đây là vi phân của hàm số y  ? 2 x 1 2 3x  1 2 x 1 2 x 1 2 x 1 A. dx . B. dx . C. dx . D. .  2 2 2 x  2 2 1  2 x   1 x 1  2 x   1 tan x
Câu 153. [1D5-3] Vi phân của hàm số y  là x 2 x sin 2 x  A. dy  dx . B. dy  dx . 2 4x x cos x 2 4x x cos x
2 x  sin 2 x 
2 x  sin 2 x  C. dy  dx . D. dy   dx . 2 4x x cos x 2 4x x cos x
Câu 154. [1D5-3] Xét hàm số y  f  x 2
 1 cos 2x . Chọn câu đúng:  sin 4x  sin 4x
A. df  x  dx .
B. df  x  dx . 2 2 1 cos 2x 2 1 cos 2x cos 2x  sin 2x
C. df  x  dx .
D. df  x  dx . 2 1 cos 2x 2 2 1 cos 2x d sin x
Câu 155. [1D5-4] Tính . d cos x A.  cot x . B.  tan x . C. cot x . D. tan x .
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 57
BÀI 5. ĐẠO HÀM CẤP CAO x
Câu 156. [1D5-1] Hàm số y  có đạo hàm cấp hai là x  2 1 4 4
A. y  0 . B. y  .
C. y   . D. y  .  x  22  x  22  x  23
Câu 157. [1D5-1] Hàm số y   x  3 2
1 có đạo hàm cấp ba là
A. y   2 12 x   1 .
B. y   2 24 x   1 .
C. y   2 24 5x  3 .
D. y   2 –12 x   1 .
Câu 158. [1D5-1] Cho hàm số f  x   x  3
1 . Giá trị f  0 bằng A. 3 . B. 6 . C. 12 . D. 24 .
Câu 159. [1D5-2] Hàm số y 
2x  5 có đạo hàm cấp hai bằng 1 1 A. y  . B. y  .
2x  5 2x  5 2x  5 1 1
C. y   .
D. y   .
2x  5 2x  5 2x  5 2 x  x  1
Câu 160. [1D5-2] Hàm số y 
có đạo hàm cấp 5 bằng x  1 120 120 1 1 A. 5 y   . B. 5 y  . C. 5 y  . D. 5 y   .  5 5 5 x  6 1  x   1  x   1  x   1
Câu 161. [1D5-2] Hàm số 2
y  x x 1 có đạo hàm cấp 2 bằng 3 2x  3x 2 2x 1 A. y   . B. y  .  2 1 x  2 1 x 2 1 x 3 2x  3x 2 2x 1 C. y  . D. y   .  2 1 x  2 1 x 2 1 x
Câu 162. [1D5-2] Hàm số y   x  5 2
5 có đạo hàm cấp 3 bằng A. y   x  3 80 2 5 . B. y   x  2 480 2 5 .
C. y    x  2 480 2 5 .
D. y    x  3 80 2 5 .
Câu 163. [1D5-2] Hàm số y  tan x có đạo hàm cấp 2 bằng 2 sin x 1 1 2sin x A. y   . B. y  . C. y   . D. y  . 3 cos x 2 cos x 2 cos x 3 cos x
Câu 164. [1D5-2] Cho hàm số y  sinx . Chọn câu sai.     3 
A. y  sin x  4   .
B. y  sin  x    .
C. y  sin x    . D.   y
 sin 2  x .  2   2  2 2x  3x
Câu 165. [1D5-2] Hàm số y 
có đạo hàm cấp 2 bằng 1 x 1 2 2 2
A. y  2  . B. y  . C. y  . D. y  . 1 x2 1 x3 1 x3 1 x4
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 58      
Câu 166. [1D5-2] Hàm số y  f  x  cos 2x  4   . Phương trình   f
 x  8 có nghiệm x  0;   là  3   2      A. x  .
B. x  0 và x  .
C. x  0 và x  .
D. x  0 và x  . 2 6 3 2
Câu 167. [1D5-2] Cho hàm số y  sin2x . Chọn khẳng định đúng.
A. 4 y  y  0 .
B. 4 y  y  0 .
C. y  y tan 2x .
D. y   y2 2  4 . 1
Câu 168. [1D5-2] Cho hàm số y  f  x   . Xét hai mệnh đề: x 2 6
I  : y  f   x  .
II  : y  f  x   . 3 x 4 x Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ  I  đúng.
B. Chỉ  II  đúng.
C. Cả hai đều đúng.
D. Cả hai đều sai. 2sin x
Câu 169. [1D5-2] Nếu f   x 
thì f  x bằng 3 cos x 1 1 A. . B.  . C. cot x . D. tan x . cos x cos x 2 x  x  2
Câu 170. [1D5-2] Cho hàm số y  f  x  . Xét hai mệnh đề: x 1 2 4
I  : y  f  x  1    0, x   1.
II  : y  f   x   0, x   1 . 2 (x 1) 2 (x 1) Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ  I  đúng.
B. Chỉ  II  đúng.
C. Cả hai đều đúng.
D. Cả hai đều sai.   
Câu 171. [1D5-2] Cho hàm số f  x 3 2
 sin x  x . Giá trị f    bằng  2  A. 0 . B. 1  . C. 2  . D. 5 . 3
Câu 172. [1D5-2] Cho hàm số f  x  5 x   1  4  x  
1 . Tập nghiệm của phương trình f   x  0 là A.  1  ; 2. B. ;0 . C.   1  . D.  . 1
Câu 173. [1D5-2] Cho hàm số y  . Khi đó: x  3 3 1 3 1
A. y  1  .
B. y  1  .
C. y  1   .
D. y  1   . 8 8 8 4
Câu 174. [1D5-2] Cho hàm số    5 y
ax b với a , b là tham số. Khi đó: A. 10 y   1  0 . B. 10 y  
1  10a  b . C. 10 y   1  5a . D. 10 y   1  10a .   
Câu 175. [1D5-2] Cho hàm số 2
y  sin 2x . Tính 4 y   bằng  6  A. 64 . B. 6  4 . C. 64 3 . D. 6  4 3 .   
Câu 176. [1D5-2] Nếu f  x 3 2
 sin x  x thì f     bằng  2  A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 5 .
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 59 1
Câu 177. [1D5-2] Cho hàm số y 
. Đạo hàm cấp hai y của hàm số đã cho là x  1 2 2 2  2 A. y  . B. y  . C. y  . D. y  .  x  4 1  x  3 1  x  3 1  x  4 1
Câu 178. [1D5-2] Cho hàm số 2
y  cos x . Đạo hàm cấp hai y bằng
A. y  2 cos 2 x .
B. y  4 cos 2 x .
C. y  2 cos 2x .
D. y  4 cos 2x .
Câu 179. [1D5-2] Cho hàm số f  x   x  4
1 . Giá trị của f 2 bằng A. 27 . B. 81. C. 96 . D. 108 .
Câu 180. [1D5-2] Cho hàm số 3
y  sin x . Giá trị biểu thức M  y  9 y bằng A. sin x . B. 6 sin x . C. 6 cos x . D. 6  sin x .
Câu 181. [1D5-2] Cho hàm số y  Asin  x    . Tính 2
M  y   y . A. M  1 . B. M  1 . C. 2
M  cos x  4 . D. M  0 . x  3
Câu 182. [1D5-2] Cho hàm số y  . Tính y . x  2 2  2 2  2 A. y  . B. y  . C. y  . D. y  .  x  23  x  23  x  24  x  24
Câu 183. [1D5-2] Cho y  x sin x . Tính y .
A. y  2 sin x  x cos x . B. y  2 cos x  x sin x . C. y  sin x  x cos x . D. y  cos x + x sin x . Câu 184. [1D5-2] Cho 2
y  cos x . Tính y .
A. y   sin 2x .
B. y  sin 2x .
C. y  2cos2x .
D. y  2cos2x . Câu 185. [1D5-2] Cho 3 2
y  ax  bx  cx  d . Tính y . A. 2
y  3ax  2bx  c . B. 2
y  3ax  2bx  c . C. y  6ax  2b .
D. y  6ax  2b .
Câu 186. [1D5-2] Cho f  x   x  6
10 . Giá trị của f 2 bằng A. 622080 . B. 1492992 . C. 124416 . D. 103680 .   
Câu 187. [1D5-2] Cho f  x  sin 3x . Giá trị của f     bằng  2  A. 9  . B. 0 . C. 9 . D. 3  .
Câu 188. [1D5-2] Cho f  x  sin 3x . Giá trị của f 0 bằng A. 0 . B. 3 . C. 3  . D. 1.
Câu 189. [1D5-2] Tính đạo hàm cấp hai của hàm số f  x 3 2
 x  x 1 tại điểm x  2 .
A. f 2  14 .
B. f  2  1.
C. f 2  10 .
D. f 2  28 .
Câu 190. [1D5-2] Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số y  tan x . 1 A. y   .
B. y  2 tan x . 4 cos x 2 C. y   . D. y  x  2 2 tan 1 tan x . 3 cos x x 1
Câu 191. [1D5-2] Đạo hàm cấp hai của hàm số y  là x  2 6 6 6 6 A. y  . B. y  . C. y  . D. y  .  x  23  x  24  x  23  x  24
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 60
Câu 192. [1D5-2] Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y  sin 2x , biết đạo hàm cấp một của hàm số là
y  2 cos 2x . A. y  4  sin 2x .
B. y  4 sin 2x .
C. y  4 cos 2x .
D. y  4 cos 2x .
Câu 193. [1D5-2] Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y  2x  cos x , biết đạo hàm cấp một của hàm số là
y  2  sin x
A. y  2  sin x .
B. y  2  cos x .
C. y   sin x .
D. y   cos x .
Câu 194. [1D5-2] Cho hàm số 2
y  cos x . Đạo hàm cấp hai y bằng
A. y  2 cos 2x .
B. y  4 cos 2x .
C. y  2 cos 2x .
D. y  2sinx . 3x  2
Câu 195. [1D5-2] Cho hàm số y 
. Giải bất phương trình y  0. 1  x A. x  1 . B. x  1. C. x  1 . D. vô nghiệm.
Câu 196. [1D5-2] Cho hàm số y  .
x sin x . Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. y  y  2  cos x .
B. y  y    x   1 sin x .
C. y  y  2 cos x .
D. y  y  2  cos x . 2x  1
Câu 197. [1D5-2] Cho hàm số y  f  x 
. Phương trình f  x  f  x  0 có nghiệm là 1 x 1 3 1 3 A. x   . B. x  . C. x  . D. x   . 2 2 2 2 1 2 1 2
Câu 198. [1D5-2] Cho hàm số 2
y  sin 2x giá trị của biểu thức M   y   y bằng 4 64 A. 1. B. 1  . C. 4. D. 3. x  4 2
Câu 199. [1D5-3] Cho hàm số y 
. Giá trị biểu thức M  2  y  1 y.y bằng x  3 1 2x A. M  0 . B. M  1 . C. M  . D. M  . x  4  x  42
Câu 200. [1D5-3] Cho hàm số 2
y  2x  x . Giá trị biểu thức 3
M  y .y 1 bằng 1 A. 2 . B. 0 . C. 1. D. . 2 2x  x 1
Câu 201. [1D5-3] Cho hàm số 2 y 
x  x  1. Giá trị biểu thức 2 y  2 . y y bằng 2 A. 0 . B. 2 . C. 1. D. 1.
Câu 202. [1D5-3] Cho hàm số y  x sin .
x Giá trị biểu thức xy  2 y  sin x  xy bằng A. 1. B. 0 . C. 2 . D. sin x .
Câu 203. [1D5-3] Cho hàm số y  . x tan x . Tính 2
M  x y   2 2
2 x  y 1 y . 2 x A. . B. 1. C. 2 2 x  tan x . D. 0 . 2 cos x
Câu 204. [1D5-3] Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình 3 2
S  t  3t  9t  2017 ( t tính bằng
giây và S tính bằng mét). Tính gia tốc khi t  3s . A. 2 15 m/s . B. 2 9 m/s . C. 2 12 m/s . D. 2 6 m/s .
Câu 205. [1D5-3] Cho hàm số y  sin 2x  cos2 x . Giải phương trình y  0    A. x  
 k 2 , k   . B. x   k , k   . 4 8 2   C. x 
 k 2 , k   D. x 
 k , k   . 8 2
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 61
Câu 206. [1D5-3] Cho hàm số 5 4
y  3x  5x  3x  2 . Giải bất phương trình y  0 .
A. x   ;1 \   0 .
B. x  1;  .
C. x  1  ;1 . D. x   2  ; 2 . 2 x
Câu 207. [1D5-3] Cho hàm số y  m  4
 cos x . Tìm m sao cho y "  0 với mọi x   2 A. m  3 . B. m  2 . C. m  3 . D. m  3 .
Câu 208. [1D5-3] Cho hàm số y    m 4 3 2 2 x 2
 x  2mx  2m 1 . Tìm m để phương trình y  0 có hai nghiệm phân biệt  1   3   3   1  A. m   ;   ;  \       2 . B. m   ;   ;  \       2 .  2   2   2   2   3   1   1   3  C. m   ;    ;  \       2 . D. m   ;   ;  \       2 .  2   2   2   2  3x  2
Câu 209. [1D5-3] Cho hàm số y 
. Giải bất phương trình y  0 . 1  x A. x  1 . B. x  1. C. x  1. D. vô nghiệm. 1
Câu 210. [1D5-3] Cho hàm số y 
. Giải bất phương trình y  0 .  x  3 1 A. x  1  . B. x  1  . C. x  1. D. vô nghiệm. x 1
Câu 211. [1D5-3] Cho hàm số y 
. Giải phương trình y  0 . 2 x 1
A. x  1; x  1 3 .
B. x  1; x  2  3 .
C. x  1; x  1 3 .
D. x  1; x  3  3 .
Câu 212. [1D5-3] Đạo hàm cấp 2018 của hàm số y  cos x là A. sin x . B. sin x . C. cos x . D.  cos x . 3
Câu 213. [1D5-3] Giả sử h  x  5 x   1  4  x  
1 . Tập nghiệm của phương trình h  x  0 là A.  1  ; 2 . B. ;0 . C.   1  . D. .
Câu 214. [1D5-3] Tính gia tốc tức thời của chuyển động S  f t 3 2
 t  3t  7t  2 tại thời điểm t  2 0 bằng A. 6  . B. 7 . C. 7  . D. 6 .
Câu 215. [1D5-3] Tính gia tốc tức thời của chuyển động s  f t  3sin 2t  2cos 2t tại thời điểm  t  bằng 0 4 A. 12 . B. 12 . C. 20 . D. 2  0 . 1
Câu 216. [1D5-3] Cho hàm số y  . Khi đó n y  x bằng x n n! n! n n! n! A.   1 . B. . C.   1 . . D. . n 1 x  n 1 x  n x n x
Câu 217. [1D5-4] Đạo hàm cấp n , với *
n   của hàm số y  sin x .  n  A. n y  sin x  n   . B.   y  n!sin x .  2   n  C. n y  cos x  n   . D.   y  n!cos x .  2 
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 62
CÁC ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 4
ĐỀ SỐ 1 – THPT Chương Mỹ B, Hà Nội I.
PHẦN TRẮC NGHIỆM: ( 2,5 điểm).
f  x  f 2 Câu 1.
[1D5-1] Cho hàm số f  x xác định trên tập số thực  thỏa mãn lim  3 . Kết x2 f 2
quả nào sau đây đúng?
A. f  x  2 .
B. f 2  3 .
C. f  x  3 .
D. f 3  2 . Câu 2.
[1D5-1] Cho hàm số f  x xác định trên tập số thực  , có đạo hàm x  1  . Định nghĩa về
đạo hàm nào sau đây là đúng?
f  x  f   1
f  x  f   1 A. lim  f   1 . B. lim  f    1 . x1 x 1 x1 x 1
f  x  f   1
f  x  f   1 C. lim  f    1 . D. lim
 f   x . x1 x 1 x1 x 1 Câu 3.
[1D5-2] Đạo hàm của hàm số y  f  x 2
 x 1 tại x  2  bằng: A. 3 . B. 2 . C. 4 . D. 1. Câu 4.
[1D5-1] Cho hàm số y  f  x và f  
1  2 thì điều nào sau đây là đúng? 2 x  x   2
A. lim x  0 . B. lim  2 . C. lim  2 .
D. lim x  2  2 . x 2  x0 x x0 x   1 x1 Câu 5.
[1D5-2] Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2
y  x  3x tại điểm M 1;2 có hệ số góc k là: A. k  1 . B. k  1 . C. k  7 . D. k  2 . Câu 6.
[1D5-2] Nếu tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2
y  x  3x C  có tiếp tuyến song song với đường
thẳng y  3x 10 thì số tiếp tuyến của C  là: A. 3 . B. 0 . C. 2 . D. 1. Câu 7. [1D5-2] Hàm số 3 2
y  x  2x  4x  5 có đạo hàm là: A. 2
y  3x  2x  4 . B. 2
y  3x  4x  4 .
C. y  3x  2x  4 . D. 2
y  3x  4x  4  5 . 1 2 Câu 8.
[1D5-2] Hàm số y  x   có đạo hàm là: 2 x x 1 4 1 4 1 2 1 4 A. y  1  . B. y  1  . C. y  1  . D. y  1  . 2 3 x x 2 4 x x 2 4 x x 2 3 x x 1 Câu 9.
[1D5-2] Hàm số y  2x 
có đạo hàm y4 là: x 17 5 31 17 A. . B. . C. . D. . 2 2 16 4
Câu 10. [1D5-2] Hàm số 3 2
y  2x  3x  5 có đạo hàm y  0 tại các điểm sau đây: 5 5
A. x  0 hoặc x  1 .
B. x  1 hoặc x  
.C. x  1 hoặc x  . D. x  0 . 2 2
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 63 x  1
Câu 11. [1D5-2] Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 
tại điểm A 2;3 là: x 1 1
A. y  2x 1. B. y  x  4 .
C. y  2x 1. D. y  2  x  7 . 2
Câu 12. [1D5-3] Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 4 2
y  x  2x  m (với m là tham số) tại điểm có hoành độ x  1
 là đường thẳng có phương trình: 0
A. x  m 1 . B. y  0 .
C. y  m 1 .
D. y  m  3 .
Câu 13. [1D5-2] Cho hàm số f  x  x  2 . Giá trị P  f 2   x  2. f 2 là:  x  2  x  2  x  2 A. 2  . B. 2  . C. 2  . D. 2  x  2 . 4 2 x  2 2 2x 1
Câu 14. [1D5-2] Hàm số y   x  3 4 1  có đạo hàm là: x  2 2 5 2 5 A. 3 12x  4 x   1  . B. 3 4 x   1  .  2 x  22  x  2 2 3 3 5 C. 3 12x  4 x   1  . D. 3 4x  4 x   1  .  x  22  x  2
Câu 15. [1D5-2] Đạo hàm của biểu thức f  x   2 x   2 3
x  2x  4 là:  x   1  2 x  3  x   1  2 x  3 2 
A. f  x  2x x  2x  4  .
B. f  x  2x . 2 x  2x  4 2 x  2x  4  2 x  3 2 
C. f  x  2x x  2x  4  . D. 2 2 x  2x  4  x   1  2 x  3 2 
f  x  2x  3 x  2x  4  . 2 x  2x  4 1
Câu 16. [1D5-4] Cho hàm số y   2 m   3
1 x  m   2
1 x  2x  1. Giá trị m để y  2x  2  0 với mọi 3
x thuộc  .  4   4  A.  ;    1 ;1;  . B. 0;   .
C. Không tồn tại m . D.  1  ; 0; ;1   .  5   5 
Câu 17. [1D5-3] Cho hàm số f  x 3 2
 x  3x  2 . Nghiệm của bất phương trình f  x  0 là: A. 0; 2 . B.  ;  0 . C. 2;  . D.  ;
 0  2;  .
Câu 18. [1D5-2] Hàm số f  x  sin 3x có đạo hàm f  x là: A. 3cos 3x . B. cos 3x . C. 3cos 3x . D.  cos 3x .
Câu 19. [1D5-2] Đạo hàm của hàm số y  3sin x  5 cos x là:
A. y  3cos x  5sin x .
B. y  3cos x  5sin x .
C. y  3cos x  5sin x .
D. y  3cos x  5sin x .
Câu 20. [1D5-2] Đạo hàm của hàm số y  cos x  sin x  2x là:
A. sin x  cos x  2 .
B.  sin x  cos x  2 . C.  sin x  cos x  2x . D.  sin x  cos x  2 .
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 64    cos x
Câu 21. [1D5-2] Tính f   biết f  x   2  1 sin x 1 1 A. 0 . B.  . C. . D. 2 . 2 2
Câu 22. [1D5-2] Đạo hàm của hàm số y  x cot x là: x x x x A. cot x  . B. cot x  . C. cot x  . D. cot x  . 2 sin x 2 sin x 2 cos x 2 cos x
Câu 23. [1D5-2] Đạo hàm của hàm số y  1 2 tan x là: 1 1 A. y  . B. y  . 2
cos x 1 2 tan x 2
sin x 1 2 tan x 1 2 tan x 1 C. y  . D. y  . 2 1 2 tan x 2 1 2 tan x
Câu 24. [1D5-4] Cho hàm số f  x 2  2 cos 4x  
1 . Miền giá trị của f  x là: A. 2
  f   x  2 . B. 4
  f   x  4 . C. 8
  f  x  8 . D. 1
 6  f   x  16 .   
Câu 25. [1D5-4] Cho hàm số 2
y  cos 2x . Số nghiệm của phương trình y  0 trên 0;  là: 2    A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. Vô số nghiệm.
ĐỀ SỐ 2 – THPT Hoàng Văn Thụ , Hòa Bình
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM ( 7 điểm) Câu 1.
[1D5-1] Số gia của hàm số f  x 2
 x 1 biết x  1 và x  1 là 0 A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 . x Câu 2.
[1D5-1] Đạo hàm của hàm số 5 3 2
y  x  4x  x  là 2 1 1 A. 4 2
5x 12x  2x  . B. 5 2
5x 12x  2x  . 4 2 1 1 C. 4 2
5x 12x  2x  . D. 4 2
5x 12x  2x  . 2 4 Câu 3.
[1D5-2] Nghiệm của bất phương trình f  x  0 với f  x 3 2
 x  2x  5 là 2 2 4 4 A. x   x  0 . B. 0  x  . C. x   x  0 . D. 0  x  . 3 3 3 3 2 x  x Câu 4.
[1D5-2] Phương trình tiếp của đồ thị hàm số y  tại điểm A1; 2   là x  2
A. y  5x  3 . B. 2 .
C. y  9x  7 .
D. y  9x  7 . Câu 5.
[1D5-2] Tiếp tuyến với đồ thị hàm số 3 2
y  x  3x  2 tại điểm  1  ; 2   là A. 9 . B. y  5  x  3 .
C. y  3x  5 . D. y  5  x  7 . 1 Câu 6.
[1D5-3] Một vật rơi tự do theo phương trình 2 s 
gt m với g   2
9,8 m/s  . Vận tốc tức thời 2
của vật tại thời điểm t  5s là A. 122, 5m/s . B. 29,5m/s . C. 10 m/s .
D. 49 m/s .
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 65 Câu 7.
[1D5-3] Cho hàm số y   x   2 2
x 1 . Khi đó: 2x 2 2x  2x 1 2  x 1 2 2x  2x 1 A. y  . B. y  . C. y  . D. y  . 2 2 x 1 2 x 1 2 x 1 2 2 x 1 Câu 8.
[1D5-3] Đạo hàm của hàm số y    x 10 3 1 2 là A. x   x 9 2 3 10 1 2 . B.  x   x 9 3 3 60 1 2 .
C.  x   x 9 2 3 6 1 2 . D.  x   x 9 2 3 60 1 2 . 1 Câu 9.
[1D5-3] Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 y 
x  2x 1 biết tiếp tuyến song song 2
với đường thẳng y  2x  3 là
A. y  2x  7 . B. y  2  x  7 .
C. y  3x  5 .
D. y  2x  5 .
Câu 10. [1D5-4] Cho hàm số 2
y  x 1. Hai điểm A0,5;1, 25 và B 0,5   ;1 x , 25  y   thuộc đồ thị
hàm số. Hệ số góc của cát tuyến AB với x   1, 5 là A. 2 . B. 2,5 . C. 3,5 . D. 5 . 1
Câu 11. [1D5-3] Cho hàm số f  x 3 2
  x  4x  5x 17 . Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình 3 1 2
f  x  0 thì x  x có giá trị bằng 1 2 A. 5 . B. 8 . C. 5 . D. 8 . y Câu 12. [1D5-3] Cho 2 y  x  x  2 ta có bằng y 1 A. . B. 1. 2 x  2 1 C. . D. 2 x  2 . 2 x  x  2 5
Câu 13. [1D5-3] Tiếp tuyến với đồ thị hàm số f  x 
tại điểm có hoành độ x  3 có hệ số góc x  2 0 là A. 5 . B. 5 . C. 2 . D. 3 .
Câu 14. [1D5-3] Cho f  x 2 2
 sin x  cos x  x khi đó f  x bằng A. 1  sin . x cos x .
B. 1  2 sin 2x .
C. 1  2 sin 2 x .
D. 1 2sin 2x .
II. TỰ LUẬN (3 điểm)
Câu 15. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 4 1)[1D5-1] 5 3 2 y  2x  x  x . 3 2)[1D5-2] 2
y  x sin 2 x x  3
Câu 16. [1D5-3] Cho hàm số 3 2
y  x  3x  2 có đồ thị C . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị 1
C . Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d có phương trình: y  x  5 . 3
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 66
ĐỀ SỐ 3 – THPT Vĩnh Lộc, Huế
I - Phần trắc nghiệm. Câu 1.
[1D5-1] Tính đạo hàm của hàm số y  cot 2x . 2 2 2 2 A. y  . B. y   . C. y  . D. y  . 2 sin x 2 sin x 2 sin 2x 2 sin 2x Câu 2.
[1D5-2] Tính đạo hàm của hàm số y  2 sin 2x  3cot 2x . 3 6
A. y  4 cos 2x  .
B. y  4 cos 2x  . 2 sin 2x 2 sin 2x 6 2
C. y  4 cos 2x  .
D. y  4 cos 2x  . 2 sin 2x 2 sin 2x Câu 3.
[1D5-2] Tính đạo hàm của hàm số y  tan 4x  4x . 2 tan 4x 2 2 tan 4x 2 tan 4x 2 tan 4x A. y  . B. y  . C. y  . D. y  . tan 4x  4x tan 4x  4x tan 4x  4x tan 4x  4x Câu 4.
[1D5-2] Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f  x 2
 x  5 tại điểm M có tung độ y  1
 và hoành độ x  0 . 0 0
A. y  2 6 x  6  1.
B. y  2 6 x  6 1. C. y  2 
6  x  6  1.
D. y  2 6 x  6  1.  Câu 5.
[1D5-3] Cho hàm số y  x cos x . Biết rằng xy  y k  x tan x với mọi x 
 k k  . 2
Tìm giá trị của k . A. k  2 . B. k  0 . C. k  1 . D. k  1 . Câu 6.
[1D5-1] Tính đạo hàm của hàm số y  cos 2x .
A. y   sin 2x .
B. y  2 sin 2x .
C. y  sin 2x . D. y  2  sin 2x . Câu 7.
[1D5-2] Tính đạo hàm của hàm số y    x4 5 7 . A. y    x3 20 5 7 .
B. y    x3 4 5 7 . C. y   x  3 28 7 5 . D. y    x3 28 5 7 . Câu 8.
[1D5-3] Cho hàm số f  x 3 2
 x  2x  mx  3 . Tìm m để f  x bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất. 4 4 A. m  . B. m  . 3 9 C. m  4 .
D. Không có giá trị nào. Câu 9.
[1D5-1] Tại mọi x dương. Tính đạo hàm của hàm số y  x .     A.   1 x  . B.  x  1  .
C.  x   x .
D.  x   2 x . x 2 x
Câu 10. [1D5-1] Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị C của hàm số y  f  x tại điểm M x ; f x . 0  0  0 
A. y  y  f  x
x , trong đó y  f x .
B. y  x  f  x x  x . 0  0  0  0  0  0  0 
C. y  f   x x  x .
D. y  y  f  x x  x
, trong đó y  f x . 0  0  0  0  0  0   0 
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 67
Câu 11. [1D5-1] Tính đạo hàm của hàm số 4 3 y  2
 x  3x  x  2 . A. 3 2
y  8x  9x 1 . B. 3 y  1
 6x  9x 1 . C. 3 2 y  8
 x  27x 1. D. 3 y  8
 x  9x 1 . cos x   
Câu 12. [1D5-2] Cho hàm số y  . Tính y  . 1 sin x  6              A. y  1   . B. y  0   . C. y  2   . D. y  2   .  6   6   6   6 
Câu 13. [1D5-1] Tính đạo hàm của hàm số y  tan 4x . 4 1 A. 2
y  1 tan 4x . B. y   . C. y  . D. y   2 4 1 tan 4x . 2 cos 4x 2 cos 4x
Câu 14. [1D5-2] Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f  x 2
 x  5 tại điểm M có hoành độ x  1  . 0
A. y  2 x   1  6 .
B. y  2 x  
1  6 . C. y  2 x  
1  6 . D. y  2 x   1  6 .
Câu 15. [1D5-1] Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây.
A. Hàm số y  f  x có đạo hàm tại x khi và chỉ khi hàm số này liên tục tại điểm đó. 0
B. Nếu hàm số y  f  x có đạo hàm tại x thì nó liên tục tại điểm đó. 0
C. Nếu hàm số y  f  x không liên tục tại x thì nó vẫn có thể có đạo hàm tại điểm đó. 0
D. Nếu hàm số y  f  x liên tục tại x thì có đạo hàm tại điểm đó. 0 1 1
Câu 16. [1D5-2] Tính đạo hàm của hàm số y   . 2 x x 1  2 1 2 1  2 1  2 A. y   . B. y   . C. y   . D. y   . 3 2 x x 3 2x x x 3 2x x x 3 2 x x
Câu 17. [1D5-1] Tại mọi x   . Tính đạo hàm của hàm số n
y  x n  ,  n   1 .     A.  n x  n 1  . n x  . B.  n x  n 1  x  . C.  n  1  . n x n x  . D.  n x   . n x .
Câu 18. [1D5-1] Cho hàm số u  u  x có đạo hàm trên  ;
a b . Tính đạo hàm của hàm y  sin u .
A. y  u cos u .
B. y  u cos u .
C. y  u   cos u .
D. y  u  cos u .
Câu 19. [1D5-2] Tính số gia y của hàm số f  x  x tại x  1, với giả thiết x là số gia của đối số 0 tại x . 0 A. y   1 x   x . B. y   1 x . C. y   x  x  . D. y   x .
Câu 20. [1D5-3] Cho hàm số 3
y  4x  3x có đồ thị C . Tìm m để đường thẳng d  : y  mx 1 tiếp xúc với C . A. m  0 . B. m  6 . C. m  2 . D. m  3 .
II - Phần tự luận Bài 1:
[1D5-2] Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị C của hàm số y  f  x 3 2
 x  2x  3 tại
điểm có hoành độ x  1. 0 2 x  3x  2 Bài 2:
[1D5-3] Tính đạo hàm của hàm số y  f  x  ,  x   1 . 1 x
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 68
ĐỀ SỐ 4 – THPT Nho Quan A, Ninh Bình
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM 4 Câu 1.
[1D5-2] Tiếp tuyến với đồ thị hàm số f  x 
tại điểm có hoành độ x  1  có hệ số góc x 1 0 là A. 1  . B. 2 . C. 2 . D. 1. 1 Câu 2.
[1D5-2] Một vật rơi tự do theo phương trình 2 s 
gt m , với g   2
9,8 m/s  . Vận tốc tức 2
thời của vật tại thời điểm t  5s là A. 122,5m/s . B. 29,5m/s . C. 10 m/s . D. 49m/s . 2 x  2x 15 Câu 3.
[1D5-2] Hàm số nào sau đây có đạo hàm là :  x  2 1 2 x  4x  9 2 x  6x  5 2 x  6x  9 2 x  6x  9 A. y  . B. y  . C. y  . D. y  . x 1 x 1 x 1 x 1 3 2 x x Câu 4.
[1D5-2] Cho f  x  
 x . Tập nghiệm của bất phương trình f  x  0 là 3 2 A. 2;2 . B.  . C. 0;   . D.  . 3 x Câu 5.
[1D5-2] Phương trình tiếp tuyến của đồ hàm số 2 y 
 2x  3x 1, biết tiếp tuyến song song 3
với đường thẳng d : y  8x  2 . 2 1 7
A. y  8x  , y  8x .
B. y  8x  , y  8x  . 3 3 3 11 97 1 11 1 97
C. y  8x  , y  8x  . D. y   x 
, y   x  . 3 3 8 3 8 3 x  6 Câu 6.
[1D5-2] Tính đạo hàm của hàm số y  . x  9 3 15 15 3 A. . B. . C.  . D.  .  x  92  x  92  x  92  x  92 Câu 7.
[1D5-2] Cho f  x 2 2
 sin x  cos x  x . Khi đó f  x bằng
A. 1  2sin 2x . B. 1  sin . x cos x .
C. 1  2 sin 2x .
D. 1 2 sin 2x . Câu 8.
[1D5-2] Đạo hàm của hàm số y  sin 3x là biểu thức nào sau đây? cos 3x 3cos 3x cos3x 3cos3x A. . B. . C.  . D.  . 2 sin 3x 2 sin 3x 2 sin 3x 2 sin 3x Câu 9.
[1D5-2] Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số    4 y
f x  x tại điểm có hoành độ bằng 1  là
A. y  4x  3 . B. y  4  x  4 . C. y  4  x  5 . D. y  4  x  5 . y Câu 10. [1D5-2] Cho 2
y  x  x 1 . Ta có bằng y 1 1 A. . B. . C. 1. D. 2 x 1 . 2 x  x 1 2 x  1
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 69 2  4x 1 
Câu 11. [1D5-2] Cho hàm số y  
 . Chọn ra câu trả lời đúng: 2  x  2   4x 1  8  x
 4x 1  8  x
A. y  2   . B. y  2  . 2 2  x  2   2 x  2 2 x  2 2 x  2  x  2 
 4x 1  8  x  4x 1  8  x
C. y  2   .
D. y  2   . 2 2 
x  2  x  2 2  x  2   2 x  2 2 x  2
Câu 12. [1D5-2] Số gia y  của hàm số 2
y  x  2x tại điểm x  1 là 0 A. 2  x  4 x  . B. 2  x  2 x  . C. 2  x  4 x  . D. 2  x  2 x   3 .
Câu 13. [1D5-2] Đạo hàm của hàm số y  tan x : 1 1 1 1 A.  . B. . C. . D.  . 2 sin x 2 cos x 2 sin x 2 cos x II. PHẦN TỰ LUẬN Bài 1.
Tính đạo hàm của các hàm số sau: 4 a) [1D5-1] 5 3 2 y  2x  x  x . 3 b) [1D5-1] 2
y  x sin 2x  x  3 . 1 Bài 2. [1D5-2] Cho hàm số 3 y 
x  3x . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C  của hàm số biết 3
tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d  : y  x  2017 .
ĐỀ SỐ 5 – THPT Nguyễn Trung Trực, Bình Định
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu 1.
[1D5-2] Cho hàm số f  x 4 2
 x  2x  3 . Tập các giá trị của x để f   x  0 là A.   0 . B. 1;0 . C. 0; . D.  ;    1 . Câu 2.
[1D5-2] Cho hàm số y  cos 2x . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. dy  sin 2 d x x .
B. dy  2sin 2 d x x . C. dy  2  sin 2 d x x .
D. dy   sin 2 d x x .  Câu 3.
[1D5-2] Đạo hàm của hàm số 2
y  sin x tại x  bằng 0 2 1 1 A. 0 . B. 1. C.  . D. . 2 2 Câu 4.
[1D5-2] Đạo hàm cấp 2 của hàm số y  cos x tại x  0 bằng 0  A. 1. B. . C. 0 . D. 1  . 2 2x 1 Câu 5.
[1D5-2] Đạo hàm của hàm số y 
tại x  2 bằng x  1 0 1 1 A. . B. . C. 3 . D. 1. 9 3 Câu 6.
[1D5-2] Với mọi x để các hàm số dưới đây xác định, mệnh đề nào sai? 1 1
A.  tan x  .
B. sin x  cos x .
C. cos x  sin x .
D. cot x   . 2 cos x 2 sin x
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 70 Câu 7.
[1D5-2] Đạo hàm của hàm số y  1 x tại x  3 bằng 0 1 1 1 A. . B. . C. 2 . D. . 4 2 2 2 1 Câu 8.
[1D5-2] Cho hàm số f  x 
. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm x  1 M 0;  1 bằng A. 2 . B. 1. C. 0 . D. 1  . Câu 9.
[1D5-2] Đạo hàm của hàm số y  x cos x là A.  sin x .
B. cos x  x sin x .
C. cos x  x sin x .
D. x sin x .
Câu 10. [1D5-2] Đạo hàm của hàm số 3
y  x  2x tại x  1  bằng 0 A. 0 . B. 1  . C. 5 . D. 3  . 2x 1
Câu 11. [1D5-2] Đạo hàm của hàm số y  là 3x  2 5  7 5 7 A. y  . B. y  . C. y  . D. y  . 3x  22 3x  22 3x  22 3x  22
Câu 12. [1D5-3] Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2
y  x  2 tại điểm A1;   1 là
A. y  2x  3 .
B. y  2x 1 .
C. y  3  2x .
D. y  2x  3 . II. PHẦN TỰ LUẬN
Câu 13. [1D5-3] Cho hàm số 3 2
y  x  2x  3 có đồ thị C . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
C tại điểm có hoành độ x  2. 0
Câu 14. [1D5-3] Cho hai hàm số f  x 3
 2x  3x  5 và g  x 2
 3x  3x  4 . Giải bất phương trình
f   x  g  x .
ĐỀ SỐ 6 – THPT Nguyễn Khuyến, Bình Phước
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM 4x Câu 1.
[1D5-1] Cho hàm số: y  . Khi đó số gia y
 của hàm số tại x  3 là: x 1 0 x 2x 2 x  A. . B. . C. . D. 1. 4  x 4  x 4  x 2 
x  ax  2b, x  1 Câu 2.
[1D5-3] Cho hàm số f  x   . Giá trị của ,
a b để f  x có đạo hàm tại x  1 3
ax  2bx, x  1  1 1 1
A. a   ;b  1.
B. a  ;b  1. C. a  ;b  0 . D. Không có. 2 3 2 Câu 3.
[1D5-2] Một đoàn tàu hỏa rời ga, chuyển động nhanh dần đều với gia tốc 2
0,1m / s ( bỏ qua sức
cản của không khí). Vận tốc tức thời tại thời điểm tàu đã đi được đúng 500 m là:
A. 10 m / s .
B. 15m / s .
C. 12 m / s .
D. 20 m / s .
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 71 1 Câu 4.
[1D5-1] Hàm số có đạo hàm bằng 2x  là: 2 x 3 2 x 1 3 x  5x 1 3 x  x 2 2x  x 1 A. . B. . C. . D. . x x 3 x x Câu 5.
[1D5-3] Cho hàm số y  tan x . Hãy tìm mệnh đề đúng: A. 2
y  y 1  0 . B. 2
y  y 1  0 . C. 2
y  y 1  0 . D. 2
y  y 1  0 . Câu 6. [1D5-1] Cho hàm số 2 y 
x  4x  5 . Đạo hàm của hàm số y bằng: x  4 1 x  2 2x  4 A. . B. . C. . D. . 2 x  4x  5 2 2 x  4x  5 2 x  4x  5 2 x  4x  5 Câu 7.
[1D5-1] Cho hàm số y   x  10 2 3
. Đạo hàm của hàm số y bằng: A.  x  9 30 2 3 . B.  x  10 10 2 3 . C.  x  9 10 2 3 . D.  x  9 20 2 3 . Câu 8. [1D5-2] Cho hàm số 3
y  cos 2x . Đạo hàm của hàm số y bằng: A. 2 3  cos 2 . x sin 2x . B. 2 3cos 2 . x sin 2x . C. 2 6cos 2 . x sin 2x . D. 2 6  cos 2 . x sin 2x . 3 x Câu 9.
[1D5-1] Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 y 
 3x  2 có hệ số góc k  9 , là: 3
A. y 16  9 x  3 . B. y 16  9 x  3 . C. y 16  9 x  3 . D. y  9 x  3 . x 1
Câu 10. [1D5-1] Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 
tại điểm A1;2 bằng: x 1 1 1 A. 2 . B.  . C. . D. 1  . 2 2 1
Câu 11. [1D5-4] Tọa độ điểm M trên đồ thị hàm số y 
sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các x 1
trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2 là:  1 4   1 4   3   3 4  A. ;    . B.  ;    . C. ; 4   . D.  ;    .  4 3   4 5   4   4 7 
Câu 12. [1D5-3] Cho hàm số 3 2
y  x  6x 15x  2 . Giải bất phương trình y  0 ta có nghiệm:
A. 1  x  5 .
B. 5  x  1 .
C. 5  x  1 .
D. 1  x  5 .
Câu 13. [1D5-3] Cho hàm số y  sin x  cos x . Tập nghiệm của phương trình y  0 là:           A. 
 k , k  Z  . B.   k 2 , k  Z  . C.   k , k  Z  . D. 
 k 2 , k  Z  .  4   4   4   4 
Câu 14. [1D5-3] Cho hàm số 2
y  x  4x  3 . Nếu tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M song song với đường thẳng: 8
 x  y  2017  0 . Thì hoành độ x của điểm M là 0 A. x  1  . B. x  5 . C. x  12 . D. x  6 . 0 0 0 0 II. PHẦN TỰ LUẬN
Câu 15. [1D5-2] Tính đạo hàm các hàm số sau: 4 x 3 a. y    2x  2017 . b. y   2
2  x cos3x  3 . x sin 3x . 3 2 x 2x
Câu 16. [1D5-2] Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  tại điểm có tung độ x 1 bằng 4 . 2 5
Câu 17. [1D5-3] Cho hai hàm số f  x 2
 2x  3x  2 và g  x 3 2  x 
x . Hãy giải bất phương 3 2 f  x trình:  0 . g  x
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 72
BẢNG ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C A B B A B D A A A A B A A A C B D A B
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 D C C B D B A B A A B D D D A B A A D B
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 C A B B A A C B C C B C B A B A C C B A
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 D A B A C B B D A D B C C B D C D A D C
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 C A D D D A B A A C A B B B C D C D D A
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 D C A B C B A 8 D D A B B D C A C C D A
121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 B D A B A C D D A A C D A A C C C B B A
141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 D A C C C B B D D A D B D B A D C B C A
161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 C B D D B A B D D A B C C A C D B A D B
181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 D A B C C A A A C D A A D A B C B A A B
201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 C B D C B A A D B A B D C D A A A
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 73 Tài liệu tham khảo [1]
Trần Văn Hạo – Đại số và Giải tích 11 - Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam [2]
Trần Văn Hạo – Bài tập Đại số và Giải tích 11 - Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam [3]
Trần Văn Hạo – Hình học 11 - Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam [4]
Trần Văn Hạo – Bài tập Hình học11 - Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam [5]
Trần Văn Hạo – Bài tập Đại số và Giải tích 11 - Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam [6]
Lê Hồng Đức – Bài giảng trọng tâm TOÁN 11 - Nhà xuất bản ĐHQGHN [7]
Lê Hoành Phò – Phương pháp giải CÁC CHỦ ĐỀ CĂN BẢN ĐẠI SỐ 11 - NXB ĐHQGHN [8]
Lê Hoành Phò – Phương pháp giải CÁC CHỦ ĐỀ CĂN BẢN HÌNH HỌC 11 - NXB ĐHQGHN [9]
Nguyễn Duy Hiếu – Kỹ thuật giải nhanh bài toán hay & khó Giải tích 11 - NXB ĐHQGHN
[10] Nguyễn Duy Hiếu – Kỹ thuật giải nhanh bài toán hay & khó Hình học 11 - NXB ĐHQGHN
[11] Lương Mậu Dũng – Bài tập tự luận và câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 – NXB GD Việt Nam
[12] Phạm Đức Quang – Bài Tập Toán 11 – Phần Trắc Nghiệm Khách Quan [13] http://mathvn.com
[14] http://www.vnmath.com/
[15] http://k2pi.net.vn/
[16] http://forum.mathscope.org/index.php
[17] Và một số tài liệu trên Internet mà không rõ tác giả.
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 74 MỤC LỤC ĐẠO HÀM
Vấn đề 1. ĐẠO HÀM VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM ...................................................................... 1
Dạng 1. Tìm số gia của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Dạng 2. Tính đạo hàm bằng định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Dạng 3. Quan hệ giữa liên tục và đạo hàm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Dạng 4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Bài toán tiếp tuyến. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Dạng 5. Ý nghĩa Vật lí của đạo hàm cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Vấn đề 2. CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM .................................................................................... 12
Dạng 1. Tìm đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số Đạo hàm của hàm số hợp . . . . . . 12
Dạng 2. Tìm đạo hàm của các hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Dạng 3. Phương trình, bất phương trình chứa đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Dạng 4. Sử dụng đạo hàm chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Vấn đề 3. VI PHÂN – ĐẠO HÀM CẤP CAO ................................................................................... 21
Dạng 1. Tìm vi phân của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Dạng 2. Tính gần đúng giá trị của hàm số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Dạng 3. Tính đạo hàm cấp cao của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Dạng 4. Ý nghĩa của đạo hàm cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Dạng 5. Tìm công thức đạo hàm cấp n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Dạng 6. Chứng minh đẳng thức có chứa đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Vấn đề 4. SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN CÓ CHỨA k
C ....................... 28 n
Vấn đề 5. DÙNG ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIỚI HẠN .............................................. 30
BÀI TẬP CƠ BẢN NÂNG CAO CHỦ ĐỀ 5 ......................................................................................32
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 5 .................................................................................................. 41
BÀI 1. ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
BÀI 2. QUI TẮC TÍNH ĐẠO HÀM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
BÀI 3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
BÀI 4. VI PHÂN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
BÀI 5. ĐẠO HÀM CẤP CAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
CÁC ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 4 ........................................................................................................ 62
ĐỀ SỐ 1 – THPT Chương Mỹ B, Hà Nội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
ĐỀ SỐ 2 – THPT Hoàng Văn Thụ , Hòa Bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
ĐỀ SỐ 3 – THPT Vĩnh Lộc, Huế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
ĐỀ SỐ 4 – THPT Nho Quan A, Ninh Bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
ĐỀ SỐ 5 – THPT Nguyễn Trung Trực, Bình Định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
ĐỀ SỐ 6 – THPT Nguyễn Khuyến, Bình Phước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
BẢNG ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM ...........................................................................................................72
MỤC LỤC ...................................................................................................................................................... 74

Tài liệu tự học chủ đề đạo hàm – Trần Quốc Nghĩa

Thông tin :

Tài liệu liên quan:

Toán 11 Bài 33: Đạo hàm cấp hai - sách Kết Nối Tri Thức

Toán 11 Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm - Sách Kết Nối Tri Thức

Chuyên đề đạo hàm – Lư Sĩ Pháp

Top 7 chuyên đề đạo hàm

Các dạng toán trắc nghiệm đạo hàm thường gặp – Nguyễn Bảo Vương