Tài liệu tự học chủ đề đạo hàm – Trần Quốc Nghĩa

Giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 tài liệu tự học chủ đề đạo hàm do thầy Trần Quốc Nghĩa biên soạn, tài liệu trình bày các lý thuyết cơ bản

GV. TRN QUC NGHĨA (Sưu tm và biên tp) 1
ĐẠO HÀM
Vấn đề 1. ĐO HÀM VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐO HÀM
M đầu
Nhiu bài toán ca toán hc, vt lí, hóa hc, sinh hc, kĩ thuật, đòi hi phi tìm gii hn
dng:
0
0
0
lim
x x
f x f x
x x
trong đó
f x
là mt hàm s đã cho của đối s
x
.
Qua Đại s và Gii tích 11, ta biết định nghĩa và kí hiu ca s gia đối s và s gia tương ứng
ca hàm s:
S gia đối s là
x x x
S gia tương ứng ca hàm s là
0
y f x f x
Ta s dùng khái nim và kí hiệu đó viết các gii hn trên:
0
0
0
0
lim lim
x x x
f x f x
y
x x x
Định nghĩa đạo hàm
Cho hàm s
y f x
, xác đnh trên
;
a b
0
;
x a b
Gii hn, nếu có, ca t s gia s gia ca hàm s và s gia của đối s ti
0
x
, khi s gia đối s
dn ti
0
, được gi là đạo hàm ca hàm s
y f x
tại đim
0
x
.
Đạo hàm ca hàm s
y f x
ti
0
x
được kí hiu là
0
y x
hoc
0
f x
:
0
0
0
0
lim
x x
f x f x
f x
x x
hoc
0
0
lim
x
y
y x
x
Đạo hàm mt bên
a. Đạo hàmn trái ca hàm s
y f x
tại điểm
0
x
, kí hiu
0
f x
được đnh nghĩa là
0
0
0
0
0
lim lim
x x x
f x f x
y
f x
x x x
trong đó
0
x x
được hiu
0
x x
x x
.
b. Đạo hàmn phi ca hàm s
y f x
tại điểm
0
x
, kí hiu là
0
f x
được đnh nghĩa là
0
0
0
0
0
lim lim
x x x
f x f x
y
f x
x x x
trong đó
0
x x
được hiu
0
x x
x x
.
Định lí: Hàm s
y f x
có đạo hàm ti điểm
0
x
thuc tập xác định ca nó, nếu và ch nếu
0
f x
0
f x
tn ti và bằng nhau. Khi đó ta có:
0 0 0
f x f x f x
.
Đạo hàm trên mt khong
Định nghĩa:
a. m s
y f x
được gi đạo hàm trên khong
;
a b
nếu đạo hàm ti mi
điểm trên khoảng đó.
2
Ch đề
TÀI LIU HC TP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 2
b. m s
y f x
được gọi là có đạo hàm trên đon
;
a b
nếu nó có đạo hàm trên khong
;
a b
và có đạo hàm bên phi ti
a
, đạo hàm bên trái ti
b
.
Qui ước: T nay, khi ta i hàm s
y f x
đạo hàm, mà không i trên khong nào,
t điều đó có nghĩa là đạo hàm tn ti vi mi giá tr thuc tập xác đnh ca hàm s đã cho.
Quan h gia s tn ti của đạo hàm và tính liên tc ca h.s
Định lí: Nếu hàm s
y f x
đạo hàm ti đim
0
x
thìliên tc tại điểm đó.
Chú ý: 1. Đảo lại không đúng, tc là mt hàm s liên tc tại đim
0
x
th không
đạo hàm tại điểm đó
2. Như vậy, hàm s không liên tc ti x
0
t không có đạo hàm ti điểm đó.
Ý nghĩa của đạo hàm
1. Ý nghĩa hình hc
a. Tiếp tuyến của đường cong phng:
Cho đường cong phng
C
mt đim c định
M
trên
C
, M là điểm di động trên
C
. Khi đó
0
M M
là mt cát
tuyến ca
C
.
Định nghĩa: Nếu t tuyến
0
M M
v t gii hn
0
M
T
khi điểm
M
di chuy
n trên
C
dn ti điểm
M
t đường thng
0
M
T
được gi tiếp tuyến của đườ
ng cong
C
tại điểm
M
. Điểm
M
được gi là tiếp đim.
b. Ý nghĩa hình hc của đạo hàm:
Cho hàm s
y f x
xác đnh trên khong
;
a b
đạo hàm ti
0
;
x a b
, gi
C
là đồ th hàm s đó.
Định 1: Đạo hàm ca hàm s
f x
tại đim
0
x
là
h s góc ca tiếp tuyến
0
M
T
ca
C
tại đim
0 0 0
;
M x f x
c. Phương trình ca tiếp tuyến:
Định 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ th
C
ca hàm s
y f x
tại điể
m
0 0 0
;
M x f x
0 0
y y f x x x
2. Ý nghĩa vt lí
a. Vn tc tc thi: t chuyn động thẳng xác đnh bởi phương trình:
s f t
, vi
f t
là m s đạo hàm. Khi đó, vận tc tc thi ca chất đim ti thời điểm
0
t
đạo hàm ca hàm s
s f t
ti
0
t
.
0 0 0
v t s t f t
b. Cường độ tc thi: Điện lưng
Q
truyn trong y dẫn xác đnh bởi phương
tnh:
Q f t
, vi
f t
là hàm s đạo hàm. Khi đó, cường độ tc thi ca dòng
điện ti thời điểm t
0
là đạo hàm ca hàm s
Q f t
ti
0
t
.
0 0 0
I t Q t f t
M
M
T
(C)
O
0
f(x )
0
f(x x)
y
x
x
0
x x
x
y
M
T
(C)
M
GV. TRN QUC NGHĨA (Sưu tầm và biên tp) 3
Dng 1. Tìm s gia ca hàm s
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Để tính s gia ca hàm s
y f x
tại điểm x
0
tương ứng vi s gia
x
cho trước ta áp
dng công thc tính sau:
0 0
y f x x f x
B. BÀI TP MU
VD 1. Tìm s gia ca hàm s
2
2 3 5
y x x
, tương ứng vi s biến thiên của đối s:
a) T
0
1
x
đến
0
2
x x
b) T
0
2
x
đến
0
0,9
x x
c) T
0
1
x
đến
1
x x
d) T
0
2
x
đến
2
x x
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
VD 2. Tính
y
y
x
ca hàm s sau theo x và
x
:
a)
3 5
y x
b)
2
3 7
y x
c)
2
2 4 1
y x x
d)
cos2
y x
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TP T LUYN
Bài 1. Tìm s gia ca hàm s
2
1
y x tại điểm
0
1
x
ng vi s gia
x
, biết:
a)
1
x
b)
–0,1
x
TÀI LIU HC TP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 4
Dạng 2. Tính đo hàm bằng đnh nghĩa
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Để tính đạo hàm ca hàm s
y f x
tại điểm
0
x
bằng định nghĩa ta làm như sau:
Cách 1:
Cho
0
x
mt s gia
x
và tìm s gia
0 0
y f x x f x
Tp t s
y
x
Tìm gii hn
0
lim
x
y
x
. Nếu:
0
lim
x
y
x
tn ti hu hn thì ti
0
x
hàm s có đạo hàm
0
0
lim
x
y
f x
x
0
lim
x
y
x
không tn ti hu hn t ti
0
x
hàm s không có đạo hàm.
Cách 2:
Tính
0
0
0
lim
x
f x f x
x x
Nếu
0
0
0
lim
x x
f x f x
x x
tn ti hu hn t ti
0
x
hàm s đạo hàm
0
0
0
0
lim
x x
f x f x
f x
x x
Nếu
0
0
0
lim
x x
f x f x
x x
không tn ti hu hn t ti
0
x
hàm s không có đạo
hàm.
B. BÀI TP MU
VD 3. nh đạo hàm ca hàm s
2
2 4
y x x
ti
0
2
x
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
VD 4. Cho hàm s
2
2 1
y f x x
a) Tìm đạo hàm ca hàm s ti
0
2
x
b) Suy ra giá tr
3 2 5 2 3
f f
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV. TRN QUC NGHĨA (Sưu tầm và biên tp) 5
VD 5. Cho
sin3 khi 0
3 2 khi 0
x x
y f x
x x
. Tính đạo hàm ca hàm s ti
0
0
x
bằng định nghĩa.
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TP T LUYN
Bài 2. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm ca mi hàm s sau tại điểm
0
x
:
a)
2 1
y x
ti
0
2
x
b)
2
y x x
ti
0
1
x
c)
1
1
x
y
x
ti
0
0
x
d)
2 7
y x
ti
0
1
x
Bài 3. Cho hàm s:
2
sin
khi 0
0 khi 0
x
x
y f x
x
x
a) Chng minh rng
f x
liên tc ti
0
0
x
.
b) Tính đạo hàm (nếu có) ca
f x
tại điểm
0
0
x
.
Bài 4. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm ca hàm s
2
1
cos khi 0
0 khi 0
x x
y f x
x
x
tại điểm
0
0
x
Bài 5. Chng minh rng hàm s:
2
2
1 khi 0
khi 0
x x
y f x
x x
không có đạo hàm ti điểm
0
0
x
nhưng có đạo hàm ti
0
2
x
.
Bài 6. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm ca hàm s
1
x
y
x
ti
0
0
x
.
i 7. Chng minh rng hàm s
2
2 3
3 1
x x
y
x
liên tc ti
–3
x
nhưng không có đo hàm ti đim y.
Bài 8. Tìm
a
,
b
để hàm s
2
khi 1
khi 1
x x
y f x
ax b x
có đạo hàm ti đim
1
x
.
Bài 9. Cho hàm s:
cos sin khi 0
1 khi 0
p x q x x
y f x
px q x
. Chng minh rng vi mi ch chn
p
,
q
hàm s không th đạo hàm tại điểm
0
x
.
Bài 10. Dùng đnh nghĩa, tính đạo hàm ca mi hàm s sau (
a
là hng s):
a)
3
y ax
b)
2
1
2
y ax
c)
1
2 1
y
x
vi
1
2
x
d) 3
y x
vi
3
x
TÀI LIU HC TP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 6
Dng 3. Quan h gia liên tục và đạo hàm
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Mi quan h gia liên tục và đạo hàm ta cn nh các kết lun sau:
f x
liên tc ti
0
x
0
0
0
lim lim 0
x x x
f x f x y
f x
có đạo hàm ti
0
x
f x
liên tc ti
0
x
f x
liên tc ti
0
x
chưa chắc
f x
có đạo hàm ti
0
x
B. BÀI TP MU
VD 6. Cho hàm s
2
2 1
x
y f x
x
.
a) Xét s liên tc ca hàm s ti
0
2
x
b) Xét xem ti
0
2
x
hàm s có đạo hàm không?
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
VD 7. Cho
2
2
2
3
sin khi 0
0 khi 0
x
x x
y f x
x
x
.
a) Xét s liên tc ca hàm s ti
0
0
x
b) Xét xem ti
0
0
x
hàm s có đạo hàm không?
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
C. BÀI TP T LUYN
i 11. CMR: hàm s
2
2 3
3 1
x x
y
x
liên tc ti
3
x
nhưng không có đo hàm tại đim y.
Bài 12. Cho hàm s:
2
1
sin khi 0
0 khi 0
x x
y f x
x
x
a) Tính đạo hàm ca hàm s ti mi
x
.
b) Chng t rằng đạo hàm
f x
không liên tc tại điểm
0
0
x
.
GV. TRN QUC NGHĨA (Sưu tầm và biên tp) 7
Dng 4. Ý nghĩa hình hc của đạo hàm:
Bài toán tiếp tuyến
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
S dng ý nghĩa hình hc của đạo hàm
H s góc
k
ca t tuyến
MN
với đường cong
:
C y f x
, biết
M
,
N
theo
th t có hoành độ là
M
x
,
N
x
được cho bi:
N M
N M
y y
y
k
x x x
vi
N M
x x
0
f x
là h sc ca tiếp tuyến vi đường cong
C
ti
0 0
;
M x f x
Tiếp tuyến của đồ th
1. Tiếp tuyến ti một điểm:
Phương trình tiếp tuyến với đồ th
:C
y f x
tại đim
0 0 0
;
M x y
:
0 0 0
y y f x x x
Trong đó: -
0 0 0
;
M x y
gi là tiếp điểm.
-
0
k f x
là h s c.
Các chú ý: - Nếu cho
0
x
t thế vào
y f x
tìm
y
.
- Nếu cho
y
t thế vào
y f x
tìm
0
x
.
2. Tiếp tuyến đi qua một điểm:
Để lập phương trình tiếp tuyến
d
vi
C
biết
d
đi qua
;
A A
A x y
:
Cách 1: - Gi
0 0 0
;
M x y
là tiếp đim.
- Phương trình đường thng
d
qua
M
vi h sc
0
k f x
:
0 0 0
y y f x x x
-
0 0 0
;
A A A A
A x y d y y f x x x
- Gii phương trình trên tìm
0
x
, tìm
0
f x
, thế vào
y f x
tìm
y
.
Cách 2: Dùng điều kin tiếp xúc (S hc lp 12)
3. Tiếp tuyến biết h s góc:
- Gii phương trình:
f x k
các hoành độ tiếp đim.
- Thế vào
y f x
để tìm tung độ.
- Viết tiếp tuyến:
0 0
.
y y k x x
Chú ý:
- tiếp tuyến // :
d y ax b k a
- tiếp tuyến
: . 1
d y ax b k a
-
tan
k
, vi
là góc gia
d
vi tia
Ox
.
x
y
d
d
TÀI LIU HC TP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 8
B. BÀI TP MU
VD 8. Cho đường cong
3
:
C y x
hai điểm
1; 1
A
1 ;1
B x y
trên
C
.
a) Tính h sc ca cát tuyến
AB
vi
x
ln lượt là
0,1
0,01
b) Tìm h s góc ca tiếp tuyến vi
C
ti
A
.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
VD 9. Cho hàm s
1
y f x
x
có đồ th
C
. Viết phương trình tiếp tuyến vi
C
, biết:
a) tiếp điểm hoành độ bng
2
b) Tiếp điểm có tung độ bng
3
c) H s góc ca tiếp tuyến
–4
k
. d) Tiếp tuyến song song vi
: 9 2018
d x y
e) Tiếp tuyến vuông góc vi
: 4 0
d x y
. f) Tiếp tuyến qua đim
8; 0
A
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV. TRN QUC NGHĨA (Sưu tầm và biên tp) 9
VD 10. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ th hàm s
3
y x
, biết:
a) Tiếp điểm có hoành độ bng
1
.
b) Tiếp điểm có tung độ bng
8
.
c) H s góc ca tiếp tuyến bng
3
.
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TP T LUYN
Bài 13. Cho Parabol
y x
hai điểm
2; 4
A 2 ; 4
( )
B x y
trên parabol đó.
a) Tính h sc ca cát tuyến
AB
biết
x
ln lưt bng
1
;
0,1
0,001
.
b) Tính h s góc ca tiếp tuyến của parabol đã cho ti điểm
A
.
Bài 14. m h s góc ca cát tuyến
MN
với đường cong
C
, biết:
a)
2
: 2
C y x x
hoành độ
,
M N
theo th t là
2, 1
M N
x x
.
b)
2
1
:
x x
C y
x
và hoành độ
,
M N
theo th t là
1, 3
M N
x x
.
TÀI LIU HC TP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 10
Bài 15. Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol
1
y
x
, biết:
a) Tại đim
1
; 2
2
.
b) Tiếp điểm có hoành độ bng
–1
.
c) H s góc ca tiếp tuyến bng
1
4
.
Bài 16. Cho đường cong
:
C y x
. Viết phương trình tiếp tuyến ca
C
:
a) Biết h s góc ca tiếp tuyến bng
1
.
b) Biết tiếp tuyến song song vi
: 4 3 0
x y
.
Bài 17. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ th hàm s:
a)
1
1
x
y
x
, biết hoành độ tiếp đim
0
0
x
.
b)
2
y x
, biết tung độ tiếp điểm
0
2
y
.
Bài 18. Cho hai m s
1
2
y
x
và
2
2
x
y . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ th ca mi hàm s
đã cho tại giao đim ca chúng. Tính góc gia hai tiếp tuyến k trên.
Bài 19. Cho parabol
2
:
P y x
. Gi
1
M
và
M
là hai điểm thuc
P
lần lượt hoành độ
1
–2
x
2
1
x
. Hãy tìm trên
P
một điểm
E
sao cho tiếp tuyến ti
E
song song vi cát tuyến
1 2
M M
. Viết phương trình tiếp tuyến đó.
Bài 20. Cho hàm s
3 2
3 2
y x x
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ th, biết rng tiếp tuyến
vuông góc với đưng thng
:3 5 2018 0
x y
.
Bài 21. Viết phương trình tiếp tuyến vi
2
:
P y x
, biết rng tiếp tuyến đó đi qua đim
0 ;–1
A .
Bài 22. Cho hàm s
3 2
3 2
y x x
. Viết phương trình tiếp tuyến ca
C
, biết rng tiếp tuyến đó đi
qua
0; 3
A .
Bài 23. Cho hàm s
4 2
: 1
m
C y f x x mx m
. Tìm tt c các giá tr ca tham s
m
để các
tiếp tuyến ca
m
C
ti
1; 0
A
–1; 0
B vuông góc vi nhau.
Bài 24. Cho h.s
2
cos sin
y x m x
(
m
là tham số) có đồ th
C
. Tìm
m
trong mi trường hp sau:
a) Tiếp tuyến ca
C
tại điểm
x
có h s góc bng
1
.
b) Tiếp tuyến ca
C
tạic điểmc hoành đ
4
x
và
3
x
song song hoc trùng nhau.
Bài 25. m giao điểm của hai đưng cong
2
: 1
P y x x
1
:
1
H y
x
. Chng minh rng hai
đường cong đó có tiếp tuyến chung ti giao điểm ca chúng.
Bài 26. Cho parabol
2
:
P y x
. Viết phương trình tiếp tuyến vi
P
, biết:
a) Tiếp tuyến song song với đường thng
: 4 3
d y x
.
b) Tiếp tuyến đi qua điểm
0; 1
A
.
GV. TRN QUC NGHĨA (Sưu tầm và biên tp) 11
Dng 5. Ý nghĩa Vt lí của đo hàm cp 1
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Cn nh các kết qu sau:
Nếu mt chất đim chuyển động với phương trình
s s t
t vn tc tc thi ca cht
điểm đó ti thời điểm
0
t
là
0 0
v t s t
.
Mt dòng điện điện lượng là
Q Q t
thì cường độ tc thi ca dòng đin ti thi
điểm
0
t
là
0 0
I t Q t
.
B. BÀI TP MU
VD 11. Mt chất điểm chuyển động có phương trình
2
2 3 s,m
s f t t t
a) Tính đạo hàm ca hàm s
f t
ti thời điểm
0
t
.
b) Tính vn tc tc thi ca chuyển động ti thi điểm
5
t
.
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
VD 12. Cho biết đin lưng trong mt dây dn theo thi gian biu th bi hàm s
5 3
Q t
(
t
tính
bng giây,
Q
tính bằng culông). Tính cường độ ca dòng điện trong dây dn ti
8
t
.
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TP T LUYN
Bài 27. Một viên đạn đưc bn lên t v t
M
cách mặt đất
1m
, theo phương thẳng đứng vi vn tc
ban đầu
0
196m/s
v (b qua sc cn ca không k)
a) Tìm thời điểm
0
t
mà tại đó vận tc của viên đạn bng
0
. Khi đó viên đạn cách mặt đất bao
nhiêu mét ?
b) Sau khong bao nhiêu giây (k t lúc bắn) viên đạn rơi xuống mặt đất ? (ly
2
9,8 m/s
g )
Bài 28. Mt vật rơi tự do có phương trình chuyển động
2
1
2
s gt
, trong đó
2
9,8 m/s
g
t
được tính
bng giây.
a) Tìm vn tc trung bình ca chuyển động trong khong thi gian t
t
đến
t t
với độ
chính xác đến
0,001
, biết
t
ln lượt nhn các giá tr
0,1
;
0,01
;
0,001
.
b) Tìm vn tc ti thời điểm
5
t
giây.
Bài 29. Mt chiếc xe chạy được quãng đường
km
s sau
t
(gi) được tính bi
2
3 2
s t t
. y
tính vn tc tc thi của xe đó sau khi chạy đưc
4
gi.
TÀI LIU HC TP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 12
Vấn đề 2. CÁC QUY TC TÍNH ĐO HÀM
Đạo hàm ca hàm tng, hiệu, tích thương, hàm hợp
1)
u v w u v w
2)
.
ku k u
, vi
k
là hng s.
3)
.
u v u v v u
4)
. .
u v w u vw uv w uvw
5)
2
' '
u u v v u
v v
6)
2
1 '
v
v v
7)
.
x u x
y y u
Bảng đạo hàm ca các hàm s sơ cấp cơ bản
Đạo hàm ca các hàm s sơ cấp cơ bản Đo hàm ca các hàm s hp
0
C
,
C
hng s
1
x
2
1 1
x x
2
1
u
u u
1
2
x
x
2
u
u
u
1
.
x x
1
. .
u u u
sin cos
x x
sin .cos
u u u
cos sin
x x
cos .sin
u u u
2
2
1
tan 1 tan
cos
x x
x
2
2
tan 1 tan
cos
u
u u u
u
2
2
1
cot 1 cot
sin
x x
x
2
2
cot 1 cot
sin
u
u u u
u
Dng 1. Tìm đo hàm ca tng, hiệu, tích, thương ca các hàm s
Đạo hàm ca hàm s hp
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
S dng các quy tc, các ng thức tính đạo hàm ca mt s hàm s trong phn m tt lí
thuyết để tính.
Chú ý: Mt s bài toán ta cn rút gọn trước để vic tính đạo hàm s đơn giản hơn.
Sau khi tính đạo hàm xong, rút gn để đưa về kết qu đjep hơn (nếu được).
B. BÀI TP MU
VD 13. Tính đạo hàm ca các hàm s sau:
a)
7 4 2
3 4 4 4
y x x x x
b)
4
3
2 10 25
y x x
x
c)
2 2
1 2 3 1
y x x x x
d)
2 1 4 3
y x x
e)
3 1
4 5
x
y
x
f)
2
2
2 3 7
2 3
x x
y
x x
GV. TRN QUC NGHĨA (Sưu tầm và biên tp) 13
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
VD 14. Tính đạo hàm ca các hàm s sau:
a)
2016
2
2 3y x x b)
3 2
4 3 2
y x x
c)
4
5
2 3
y
x
d)
21 23
2 3 4
y x x
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TP T LUYN
Bài 30. nh đạo hàm ca mi hàm s sau (
a
là hng s):
a)
4 3 2 3
1 1 1
4 3 2
y x x x x a
b)
5
2
1
1
y
x x
c)
5 2
3 8 3
y x x
d)
1 2 3
y x x x
e)
2
2
1
x
y
x
f)
2
5 3
1
x
y
x x
g)
1
y
x x
h)
2
1
x
y
x
i)
2
2 5
y x x
j)
2
1
y x x x
k)
1
1
x
y
x
l)
2 2
x
y
a x
TÀI LIU HC TP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 14
Dng 2. Tìm đo hàm ca các hàm s ng giác
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
S dng các quy tc, các ng thức tính đạo hàm ca mt s hàm s lượng giác trong phn
m tt thuyết để tính.
sin cos
x x
sin .cos
u u u
1
sin .sin . sin
n n
u n u u
cos sin
x x
cos .sin
u u u
1
cos .cos . cos
n n
u n u u
2
1
tan
cos
x
x
2
tan
cos
u
u
u
1
tan .tan . tan
n n
u n u u
2
1
cot
sin
x
x
2
cot
sin
u
u
u
1
cot .cot . cot
n n
u n u u
Chú ý: S dng công thức lượng giác để rút gnm kết qu sau khi tính (nếu được).
Có th rút gọn trước khi tính đạo hàm để vic tính toán d dàng hơn.
B. BÀI TP MU
VD 15. Tính đạo hàm ca các hàm s sau:
a)
2
2
2sin sin 2 sin 2sin sin
2
x
y x x x
x
b)
2 2
sin 2 3 1
y x x
c)
2
sin 4
y x x
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV. TRN QUC NGHĨA (Sưu tầm và biên tp) 15
VD 16. Tính đạo hàm ca các hàm s sau:
a)
sin
1 cos
x
y
x
b)
2
1 cos
2
x
y c)
20
2
2
1 tan
1 tan
x
y
x
d)
1 cos
1 cos
x
y
x
e)
sin cos
y x x x
f)
3 2
3tan tan3 tan tan
y x x x x
g)
2
cot 1
y x x
h)
3
cot 2 3cot 2
y x x
i)
sin cos
sin cos
x x
y
x x
j)
2 2
2 2
sin 2 4cos 4
sin 2 4cos
x x
y
x x
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
TÀI LIU HC TP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 16
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
C. BÀI TP T LUYN
Bài 31. nh đạo hàm ca mi hàm s sau:
a)
5sin 3cos
y x x
b)
2
sin 3 2
y x x
c)
cos 2 1
y x
d)
sin3 .cos5
y x x
e)
1 2tan
y x
f)
tan3 cot3
y x x
g)
4sin 3cos
y x x
h)
2 4
4sin 3cos
y x x
i)
1 cos
x
y
x
j)
1 sin
1 sin
x
y
x
k)
cos
sin 1
x
y
x
l)
2
2 cot
y x x x
m)
1 2tan
y x
n)
sin3 .cos4
y x x
o)
2
2cos sin 2 cos
2
x
y x x
p)
2 3
sin .cos
y x x
q)
3
tan 2
4
y x
r)
2 2
sin cos tan
y x
u)
2 2
cot 1
y x
v)
3 2
sin 1
y x
w)
2
sin cos3
y x
Bài 32. Cho hàm s
y f x x
4 sin
2
x
y g x x
. Tính tng
1 1
f g
?
Bài 33. nh đạo hàm ca hàm s sau:
1 1 1 1 1 1
cos
2 2 2 2 2 2
y x
, vi
0;
x
GV. TRN QUC NGHĨA (Sưu tầm và biên tp) 17
Dạng 3. Phương trình, bất phương trình cha đạo hàm
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Bài toán tờng được đặt ra dưới dng:
“Cho hàm s
y f x
, hãy giải phương trình
, 0
g y y
Khi đó, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1. Tính đạo hàm
y
.
Bước 2. Chuyn phương trình
, 0
g y y
v phương trình đại s thông tờng để gii.
Chú ý: Cho tam thc
2
(
0
)
,f x ax bx c a
1/
0
0,
0
a
f x x
2/
0
0,
0
a
f x x
3/
0
0,
0
a
f x x
4/
0
0,
0
a
f x x
B. BÀI TP MU
VD 17. Cho hàm s
3 2
3 2
y x x x
. Tìm
x
sao cho: a)
2
y
b)
10
y
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
VD 18. Gii các bt phương trình:
a)
0
y
vi
2
3 3
1
x x
y
x
b)
0
y
vi
2
2
1
1
x x
y
x x
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
TÀI LIU HC TP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 18
VD 19. a) Cho
sin2 2cos
y x x
. Hãy giải phương trình
0
y
.
b) Cho
3sin2 4cos 12
y x x x
. Hãy giải phương trình
2
y
.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
VD 20. Cho hàm s:
3 2
2 3
y f x x x mx
. Tìm
m
để:
a)
f x
là bình phương của mt nh thc bc nht.
b)
0,f x x
.
c)
0
f x
có hai nghim phân biệt đều dương.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
C. BÀI TP T LUYN
Bài 34. m các nghim của phương trình sau:
a)
0
f x
vi
3 2
1
2 6 1
3
f x x x x
. b)
–5
f x
vi
4 3 2
1 3
3
4 2
f x x x x
.
Bài 35. Cho hàm s
3 2
3 2
f x x x
. Hãy gii các bt phương trình sau: a)
0
f x
b)
3
f x
Bài 36. Gii phương trình
0
y
trong mi trường hp sau:
a)
sin2 2cos
y x x
b)
2
cos sin
y x x
c)
2
cos sin
y x x
d)
tan cot
y x x
e)
3cos 4sin 5
y x x x
f)
2
1 sin( ) 2cos
2
x
y x
Bài 37. Cho hàm s
3 2
5
y mx x x
. Tìm
m
để:
a)
y
bng bình phương của mt nh thc bc nht.
b)
y
có hai nghim ti du. c)
0
y
vi mi
x
.
GV. TRN QUC NGHĨA (Sưu tầm và biên tp) 19
Dng 4. S dng đạo hàm chng minh đẳng thc, bất đẳng thc
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Ta đã biết nếu mt hàm s không đổi trong khong
;
a b
t đạo hàm luôn trit tiêu
trong khoảng đó. Đảo lại ta có định lí sau:
Nếu hàm s
y f x
có đạo hàm trong khong
;
a b
0, ;
f x x a b
thì hàm s
y f x
không đổi trong khong
;
a b
T đó ta thực hin các dng toán:
Dng 1. Chng minh rng:
,
A x c x D
.
Ta thc hiện các bước:
Bước 1. Tính
A x
, ri khẳng định
0,
A x x D
.
Bước 2. Chn
0 0
x D A x c
.
Dng 2. Tìm điều kin ca tham s để
A x
không ph thuc vào
x
.
Ta thc hiện các bước:
Bước 1. Tính
A x
, ri tìm điều kiện để
0,
A x x
.
Bước 2. Kết lun.
B. BÀI TP MU
VD 21. Cho hai m s
4 4
sin cos
f x x x
1
cos4
4
g x x
.
Chng minh
f x g x
. Nhn xét ?
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
TÀI LIU HC TP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 20
VD 22. Chng minh rng hàm s
4 4
6 6 4
sin 3cos 1
sin cos 3cos 1
x x
y
x x x
có đạo hàm không ph thuc vào
x
.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
C. BÀI TP T LUYN
Bài 38. Chng minh rng:
a) m s
tan
y x
tha mãn h thc
2
1 0
y y
.
b) m s
cot2
y x
tha mãn h thc
2
2 2 0
y y
.
Bài 39. Chng minh vi mi
x
thuc tập xác định:
a) Nếu
2
2cos 4 1
f x x
thì
8
f x
. Tìm giá tr ca
x
để đẳng thc xy ra.
b) Nếu
tan3
f x x
t
3
f x
. Tìm giá tr ca
x
để đẳng thc xy ra.
Bài 40. Chng minh rng vi mi
x
ta đều có:
2 2 2
cos sin 2cos sin sin cos
x a x b x a x b a b a b
Bài 41. Chng minh rng biu thc
2 2 2
2 2
sin sin sin
3 3
A x x x
không ph thuc vào
x
.
Bài 42. Chng minh rng hàm s sau có đạo hàm không ph thuc
x
:
a)
6 6 2 2
sin cos 3sin .cos
y x x x x
b)
2 2 2 2 2
2 2
cos cos cos cos 2sin
3 3 3 3
y x x x x x
GV. TRN QUC NGHĨA (Sưu tầm và biên tp) 21
Vấn đề 3. VI PHÂN – ĐẠO HÀM CP CAO
A. VI PHÂN
Định nghĩa
Cho hàm s
y f x
xác định trên
;
a b
và có đạo hàm ti
;
x
a b
.
Cho s gia
x
ti
x
sao cho
;
x x a b
.
Ta gi tích
.
f x x
(hoc
.
y x
) là vi pn ca hàm s
y f x
ti x ng vi s gia
x
ký hiu là dy hoc
d
f x
. Như vậy, ta có:
d
y y x
hoc
d
f x f x x
Áp dng: Vi hàm s
y x
, ta được:
d 1.
x x x x x
Vy ta có:
d d
y y x
hoc
d d
f x f x x
.
ng dng ca vi phân vào phép tính gần đúng
Theo định nghĩa đạo hàm, ta có:
0
0
lim
x
y
f x
x
Do đó, với
x
đủ nh t:
0 0 0 0 0
y
f x y f x x f x x f x f x x
x
0 0 0
f x x f x f x x
Đó là ng thức tính gần đúng đơn giản nht.
B. ĐẠO HÀM CP CAO
Định nghĩa
Gi s hàm s
y f x
có đạo hàm
f x
.
Đạo hàm ca hàm s
f x
, nếu có, được gi đạo hàm cp hai ca hàm s
f x
.
hiu là
y
hay
f x
.
Tương tự, đạo hàm ca hàm s
f x
, nếu có, được gi đạo hàm cp ba ca hàm s
f x
.
hiu là
y
hay
f x
.
Đạo hàm ca hàm s
f x
, nếu có, được gi đạo hàm cp bn ca hàm s
f x
.
hiu là
4
y
hay
4
f x
.
Tng quát, đạo hàm của đạo hàm cp
1
n
được gọi đạo hàm cp
n
ca hàm s
y f x
.
Kí hiu là
n
y
hay
n
f x
.
Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cp hai
Xét chuyn động thẳng xác định bi phương trình:
s f t
vi
f t
là hàm s có đạo hàm.
Khi đó, gia tốc tc thi
ca chuyển động ti thời đim
t
là đạo hàm cp hai ca hàm s
s f t
ti
t
t f t
.
TÀI LIU HC TP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 22
Dng 1. Tìm vi phân ca hàm s
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Tính vi phân ca hàm s
f x
ti
0
x
cho trước:
Tính đạo hàm ca hàm s ti
0
x
Suy ra vi phân ca hàm s ti
0
x
ng vi s gia
x
0 0
d
f x f x x
Tính vi phân ca hàm s
f x
:
Tính đạo hàm ca hàm s
Suy ra vi phân ca hàm s là
d d d
y f x f x x
B. BÀI TP MU
VD 23. Cho hàm s
3 2
6 2 4 1
f x x x x
.
Tính vi phân ca hàm s tại điểm
0
1
x
, ng vi s gia
0,01
x
.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
VD 24. Tìm vi phân ca hàm s
sin3 .cos2
y f x x x
.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
VD 25. Bài 38. Chng minh
a)
1 d d 0
x y x
vi 2 1
y x
. b)
2 d d 0
x y x x y
vi
2
2
y x x
.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
C. BÀI TP T LUYN
Bài 43. nh vi phân ca hàm s
sin 2
y x
tại đim
3
x
ng vi a)
0,01
x
b)
0,001
x
Bài 44. nh vi phân ca mi hàm s sau:
a)
2
8
y x x x x
b)
y ax b
(vi
a
,
b
là hng s)
c)
2 2
tan 3 cot 3
y x x
d)
2
cos 2 1
y x
GV. TRN QUC NGHĨA (Sưu tầm và biên tp) 23
Dng 2. Tính gn đúng giá trị ca hàm s
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Để tính gần đúng gtrị ca hàm s
f x
tại điểm
0
x x
cho trước, ta áp dng công
thc:
0 0 0
.
f x x f x f x x
B. BÀI TP MU
VD 26. Tính gần đúng các giá trị:
a)
25,75
b)
8,99
c)
sin30 10
d)
cos46
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TP T LUYN
Bài 45. nh giá tr gn đúng của:
a)
1
0,9995
b)
cos45 30
c)
tan 29 30
d)
4,01
e)
1
20,3
f)
3
215
TÀI LIU HC TP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 24
Dng 3. Tính đo hàm cp cao ca hàm s
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Áp dng trc tiếp đnh nghĩa để tính đạo hàm cp cao:
1
; ; ;
n n
y y y y y y y y
   
B. BÀI TP MU
VD 27. Tính đạo hàm cp ba ca hàm s
sin cos
y x x x
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
VD 28. Cho hàm s
2 3
1
x
y
x
. Tìm
x
sao cho
10
y
.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
C. BÀI TP T LUYN
Bài 46. nh đạo hàm cp hai ca các hàm s sau:
a)
3 2
y ax bx cx d
b)
3
2
x
y
x
c)
2
1
1
x x
y
x
d)
.sin
y x x
e)
2
1
y x x
f)
2
cos
y x
g)
2
1
y x x
Bài 47. a) Cho
6
10
f x x . Tính
2
f
.
b) Cho
sin3
f x x
. Tính
2
f
,
0
f
,
18
f
Bài 48. nh đạo hàm ca mi hàm s sau đến cp cho m theo:
a)
4
4
cos2 ,
f x x x f x
b)
5
2
cos ,
f x x f x
c)
6
10 ,
n
f x x f x
d)
5
sin2 ,
f x x f x
GV. TRN QUC NGHĨA (Sưu tầm và biên tp) 25
Dng 4. Ý nghĩa của đo hàm cp hai
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Xét chuyển động thng xác định bởi phương trình:
s f t
vi
f t
là hàm s đạo
hàm. Khi đó, gia tc tc thi
a
ca chuyển động ti thời điểm
t
là đạo hàm cp hai
ca hàm s
s f t
ti
t
.
t t
a f
B. BÀI TP MU
VD 29. Tính gia tc tc thi ca chuyển động
s f t
ti thời điểm
0
t
trong các trường hp sau:
a)
3 2
0
3 7 2, 2
s f t t t t t
b)
0
3sin 2 2cos2 ,
4
s f t t t t
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TP T LUYN
Bài 49. Vn tc ca mt chất đim chuyển động được biu th bi ng thc
3 2
3 9 2
s f t t t t
, trong đó
0
t
,
t
tính bng giây
s
và
v t
tính bng
m/s
. Tìm
gia tc ca chất đim:
a) Ti thời điểm
4s
t
.
b) Ti thời điểm vn tc ca chuyn động bng
11
.
Bài 50. Vn tc ca mt cht đim chuyển động được biu th bi ng thc
2
8 3
v t t t
, vi
0
t
,
t
tính bng giây
s
v t
tính bng
m/s
.
a) Tính vn tc ti thời điểm
2s
t
.
b) Tính gia tc ti thời điểm
3s
t
.
c) Tính gia tc ti thời điểm vn tc bng
0
.
d) Tính vn tc ti thời điểm gia tc bng
0
.
TÀI LIU HC TP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 26
Dng 5. Tìm công thc đo hàm cp n
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Vi hàm s
y f x
, tìm được công thc
n
f x
ta thc hiện theo các bước sau:
Bước 1. Tính
f x
,
f x
đôi khi cn tính ti
f x
,
4
f x
.
Bước 2. D đoán công thức tng quát
n
f x
.
Bước 3. Chng minhng thc d đoán bằng phương pháp qui nạp.
B. BÀI TP MU
VD 30. Tính đạo hàm cp
n
ca hàm s:
sin
y x
, vi
*
n
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
VD 31. Tính đạo hàm cp
n
ca hàm s:
1
y
ax b
, vi
a
,
b
*
n
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
C. BÀI TP T LUYN
Bài 51. Chng minh rng: Vi mi
*
n
:
a) Nếu
cos
f x x
thì
4
cos
n
f x x
b) Nếu
sin
y x
thì
sin
2
n
y x n
c) Nếu
2
sin
y x
t
4 1
2 cos2
n
n
y x
d) Nếu
1
1
y
x
thì
1
!
1
1
n
n
n
n
y
x
Bài 52. nh đạo hàm cp
n
ca các hàm s sau:
a)
1
y
x
b)
2
1
3 2
y
x x
c)
3
sin
y x
d)
sin .sin
y ax bx
(
,
a b
là hng s)
GV. TRN QUC NGHĨA (Sưu tầm và biên tp) 27
Dng 6. Chứng minh đẳng thc có cha đạo hàm
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Tìm các đạo hàm đến cp cao nhất có trong đẳng thc cn chng minh
Thay thếi v trí tương ứng và biến đổi vế này cho bng vế kia. T đó suy ra đẳng thc
cn chng minh.
B. BÀI TP MU
VD 32. Cho hàm s
sin
y x x
. Chng minh
2 2sin
xy y xy x

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
VD 33. Cho hàm s
2
1
y x x
. Chng minh rng:
a)
2
2 1.
x y y
b)
2
4 1 4 0
x y xy y
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TP T LUYN
Bài 53. Chng minh rng:
a) Nếu
cot
y x
thì
sin tan 0
2
x
y y x
b) Nếu
2
2
cos
1 sin
x
y
x
thì
3 3
4 4
f f
c) Nếu
3
1
cot cot
3
y x x x
thì
4
cot
y x
d) Nếu
3
4
x
y
x
thì
2
2 1
y y y

TÀI LIU HC TP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 28
Vấn đề 4. SỬ DỤNG ĐO HÀM TRONG CÁC BÀI
TOÁN CÓ CHA
k
n
C
A. PHƯƠNG PP GII
ng thc khai trin nh thức Newtơn:
0 1 1 1 1 1
0
n
n
k n k k n n k n k k n n n n
n n n n n n
k
a b C a b C a C a b C a b C ab C b
0 1 1 1
0
1 1 1
n
n k k n
k n k k n n k n k k n n
n n n n n
k
a b C a b C a C a b C a b C b
Tính cht:
k n k
n n
C C
(0
)
k n
;
1
1
k k k
n n n
C C C
(0
)
k n
;
0
1
n
n n
C C
Phương pháp:
Viết khai trin Newton ca
n
ax b
.
Đạo hàm
2
vế mt s ln tch hp.
Chn giá tr
x
sao cho thay vào ta được đẳng thc phi chng minh.
B. BÀI TP MU
VD 34. Cho
n
là s nguyên dương. Chng minh các h thc sau:
a)
1 2 3 1
2. 3 ... .2
n n
n n n n
C C C nC n
b)
2 3 4 2
1.2 2.3 3.4 ... 1 1 .2
n n
n n n n
C C C n n C n n
c)
0 1 2 1
2. 3. 4 ... 2 4 .2
n n
n n n n
C C C n C n
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV. TRN QUC NGHĨA (Sưu tầm và biên tp) 29
VD 35. Cho
100
2 100
0 1 2 100
2
x a a x a x a x
. Tính:
a)
97
a
.
b)
0 1 2 3 100
S a a a a a
c)
1 2 3 100
2 3 100
S a a a a
(ĐH Hàng Hải – 1998)
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TP T LUYN
Bài 54. Rút gn biu thc:
a)
1 2 3 1
1
2 3 1
n n
n n n n n
S C C C n C nC
b)
2 1
1 2 3 1
2
2 3 1 1 1
n n
n n
n n n n n
S C C C n C n C
c)
0 1 2
3
3.2 4.3 5.4 3 2
n
n n n n
S C C C n n C
d)
2 3 4
4
1.2 2.3 3.4 1 1
n
n
n n n n
S C C C n n C
ê)
0 1 2
5
2.3 3.4 4.5 2 3
n
n n n n
S C C C n n C
f)
1 2 2 3 3 4 2 2 1
6 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2.2 3.2 4.2 (2 1).2
n n
n n n n n
S C C C C n C
Bài 55. Vi
n
nguyên dương, chứng minh rng:
a)
2 3 4 1
2 3 1 2 2
n n
n n n n
C C C n C n
b)
1 3 2 1 2 4 2
2 2 2 2 2 2
3 2 1 2 4 2
n n
n n n n n n
C C n C C C nC
c)
2 3 4 2
1.2 2.3 3.4 1 1 2
n n
n n n n
C C C n n C n n
d)
2 3 1 2 2 2
1 3 1 2 3 4 2.1.4 1 7
n n n n n n
n n n
n n C n n C C n n
e)
1 1 1 2 1 3 1
2 2.2 3.2 .3
n n n n n
n n n n
C C C nC n
f)
0 1 2 1 1
2 3 1 2 .2
n n n
n n n n n
C C C nC n C n
Bài 56. m s nguyên dương
n
sao cho:
1 2 2 3 3 4 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2.2 3.2 4.2 2 1 .2 2011
n n
n n n n n
C C C C n C
TÀI LIU HC TP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 30
Vấn đề 5. DÙNG ĐỊNH NGA ĐO HÀM
ĐỂ TÌM GIỚI HN
A. PHƯƠNG PHÁP GII
Bài toán 1. Ta có th s dụng đnh nghĩa của đạo hàm:
0
0
0
0
lim
x x
f x f
f x
x x
để tính
các gii hn có dạng vô định. Bng cách viết gii hn cn tìm thành dng
0
0
0
lim
x x
f x f
x x
,
sau đó tính đạo hàm ca hàm
f x
ti đim
0
x
ri áp dụng đnh nghĩa đạo hàm suy ra kết
qu ca gii hn.
Bài toán 2. Ta s dng các công thức lượng giác để biến đổi và s dng công thc
0
sin
lim 1
x x
u x
u x
vi
0
lim 0
x x
u x
B. BÀI TP MU
VD 36. Tính các gii hn sau
a)
3
0
1 4 1
lim
x
x
x
. b)
33 2
2
1
5 7
lim
1
x
x x
x
.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV. TRN QUC NGHĨA (Sưu tầm và biên tp) 31
VD 37. Tính các gii hn sau
a)
0
sin3
lim
sin 2
x
x
x
b)
0
tan 2
lim
sin5
x
x
x
c)
2
0
1 cos
lim
x
x
x
d)
2
2
1 sin
lim
2
x
x
x
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TP T LUYN
Bài 57. nh các gii hn sau
a)
2
1
...
lim
1
n
x
x x x n
x
. b)
2
1
1
lim
1
n
x
x nx n
x
.
c)
2
1
8 3
lim
2 3
x
x
x x
. d)
3 3
2
2
3 4 24 2 8 2 3
lim
4
x
x x x
x
.
e)
3
4
1
1
lim
1
x
x
x
. f)
0
1 2 1
lim
1 3 1
n
m
x
x
x
.
Bài 58. nh các gii hn sau
a)
2
0
1 cos
lim
x
x
x
. b)
2
2
1 sin
lim
2
x
x
x
. c)
3
0
1 cos
lim
sin
x
x
x x
.
d)
4
cos sin
lim
cos2
x
x x
x
. e)
4
lim tan 2 .tan
4
x
x x
. f)
4
sin
4
lim
1 2sin
x
x
x
.
TÀI LIU HC TP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 32
BÀI TP CƠ BN NÂNG CAO CHỦ Đ5
Bài 59. Xét s tn tại đạo hàm ca các hàm s sau trên
:
a)
2
2 khi 2
1
khi 2
1
x x x
y
x
x
b)
2
khi 1
2
khi 1
x x x
y
x
x
Bài 60. m
a
,
b
để hàm s sau có đạo hàm ti
1
x
:
a)
2
khi 1
khi 1
x x
y
ax b x
b)
2
2
2 khi 2 1
khi 1
x x
y
x ax b x
Bài 61. Chng minh rng hàm s
ax b
y
cx d
có đạo hàm
2
ad bc
y
cx d
Áp dng tính đạo hàm ca:
3 5
2
x
y
x
,
4
3 2
y
x
,
2
1 3
x
y
x
Bài 62. Chng minh rng hàm s
2
ax bx c
y
b x c
có đạo hàm
2
2
2
ab x ac x bc b c
y
b x c
Áp dng tính đạo hàm ca:
2
2 7
2
x x
y
x
,
2
1
3 2
x
y
x
,
2
2 1
5
x x
y
x
Bài 63. Chng minh hàm s
2
2
ax bx c
y
a x b x c
có đạo hàm
2
2
2
2
a b a c b c
x x
a b a c b c
y
a x b x c
Áp dng tính đạo hàm ca:
2
2
2 1
3 3
x x
y
x x
,
2
2
3 6 1
3 2
x x
y
x x
,
2
2
2 5 6
5
x x
y
x
Bài 64. nh đạo hàm ca các hàm s sau:
a)
3 2
5
3 2
x x
y x
b)
2 3 4
2 4 5 6
7
y
x x x x
c)
2
3 6 7
4
x x
y
x
d)
2
3 1
y x x
x
e)
1
1
x
y
x
f)
2
2
7 5
3
x x
y
x x
g)
7
y x x
h)
32
2
y x x i)
2
2 2
1
x x
y
x
j)
2
5 3
1
x
y
x x
k)
5
2
1
1
y
x x
l)
2
1
x
y
x
Bài 65. nh đạo hàm ca các hàm s sau:
a)
cos
2 sin
x
y x x
x
b)
3cos
2 1
x
y
x
c)
2
2cos
sin
x x
y
x
d)
2cos sin
3sin cos
x x
y
x x
e)
tan
sin 2
x
y
x
f)
cot
2 1
x
y
x
g)
2
sin 3 2
y x x
h)
cos 2 1
y x
i)
2sin3 cos5
y x x
j)
cos2
y x
k)
2
1
tan
x
y
x
l)
2
cot 1
y x
GV. TRN QUC NGHĨA (Sưu tầm và biên tp) 33
m)
3
tan cot2
y x x
n)
1 2tan
y x
o)
sin
sin
x x
y
x x
p)
2
sin
1 tan 2
x
y
x
q)
tan sin
y x
r)
2
2 cos 2 sin
y x x x x
s)
2
cos 2
4
y x
t)
sin3
y x x
u)
2 2
tan tan
y x x
Bài 66. nh đạo hàm ca các hàm s sau:
a)
5
2
4 1
y x x
b)
2
2 3 1
2 3
x x
y
x
c)
2
2
6 1
1
x x
y
x x
d)
2
3
2 1
x x
y
x
e)
1
1
x
y
x
f)
2
1 2
x
y
x
g)
2
2
1
1
x x
y
x x
h)
2
1
x
y
x
i)
2
1 1
y x x x
Bài 67. nh đạo hàm ca các hàm s sau:
a)
2
sin 1
y x
b)
2
sin cos3
y x
c)
2
cos 1 sin
y x x
d)
cos cos cos
y x
e)
2
1
cos
1
x
y
x
f)
2 2
sin tan
1 cot 1 tan
x x
y
x x
g)
sin cos
x
y
x x
h)
2
sin
cos
x
y
x
i)
2
1 cos
y x
Bài 68. Cho hàm s
2
2 24
y x x
. Gii bất phương trình
2
f x f x
.
Bài 69. Gii phương trình
0
y
trong mi trường hp sau:
a)
1
sin 2 sin 3
2
y x x
b)
sin2 2cos
y x x
c)
3sin2 4cos2 10
y x x x
d)
tan cot
y x x
e)
2 cos 3sin
y x x x
Bài 70. Gii bt phương trình
f x g x
, biết rng:
a)
3
2
f x x x
2
3 2
g x x x
b)
3 2
2 3
f x x x
2
3
3
2
x
g x x
Bài 71. Cho hàm s
2
2 12
y x x
. Gii bất phương trình
0
f x
. (TN THPT 2010)
Bài 72. nh đạo hàm đến cấp được kèm theo ca các hàm s sau (n N*):
a)
sin ,
y x y

, b)
4
sin sin 5 ,
y x x y
c)
5
4 ,
n
y x y
d)
1
,
2
n
y y
x
e)
1
,
2 1
n
y y
x
f)
2
2
cos ,
n
y x y
Bài 73. Chng minh rng hàm s:
a)
sin
y x x
tha h thc
2 sin 0
xy y x xy
.
b)
2
2
y x x
tha h thc
3
1 0
y y
.
c)
3
2
1
y x x
thỏa hệ thức
2
1 9 0
x y xy y
.
TÀI LIU HC TP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 34
d)
5
3y
x
thỏa hệ thức
3
xy y
.
e)
3
4
x
y
x
thỏa hệ thức
2
2 1
y y y

Bài 74. Viết phương trình tiếp tuyến ca:
a)
1
1
x
y
x
tại điểm
2;3
A .
b)
3 2
4 1
y x x
tại điểm có hoành độ
0
1
x
.
c)
2
4 4 4
y x x
tại điểm tung đ
0
1
y
.
d)
2 1
y x
tại điểm hoành độ
0
4
x
.
e)
2
2 15
3
x x
y
x
biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng
4
3
.
f)
4 2
2 1
y x x
biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng
24
.
g)
3 2
3 2
y x x
biết tiếp tuyến
: 3 15 0
d D x y
.
h)
3
3
y x x
tại điểm hoành độ
0
1
x
.
i)
2 1
1
x
y
x
tại điểm hoành độ
0
2
x
.
Bài 75. Cho
3 2
:
1
x
C y f x
x
. Lập phương trình tiếp tuyến ca đồ th
C
:
a) Tại đim có hoành độ bng
2
b) Tại điểm có tung độ bng
5
2
c)
// : 25
d D y x
d)
:4 2018
d x y
.
Bài 76. Gi
C
đồ th hàm s
4 2
2 1
y x x
. Viết phương trình tiếp tuyến ca
C
trong mi
trường hp sau:
a) Biết rng tiếp tuyến song song với đường thng
: –3 1
d y x
.
b) Biết rng tiếp tuyến vuông góc với đưng thng
: 7 2018
x y
.
c) Biết rng tiếp tuyến đi qua đim
0; 2
A
Bài 77. Gi
C
đồ th m s
3 2
5 2
y x x
. Viết phương trình tiếp tuyến ca
C
trong mi
trường hp sau:
a) Biết tung đ ca tiếp đim bng
2
.
b) Biết rng tiếp tuyến song song vi trc hoành.
c) Biết rng tiếp tuyến vng góc với đưng thng
: 8 2018 0
d x y
.
d) Biết rng tiếp tuyến đi qua điểm
0; –6
A .
Bài 78. [1D5-1] Cho hàm s
3
y x
. Viết tiếp tuyến của đồ th hàm s đã cho
a) Biết tiếp đim
1;1
M . b) Biết hoành độ tiếp điểm
2
c) Biết tung đ tiếp đim
5
Bài 79. [1D5-1] Cho hàm s
2
1
x
y
x
. Viết PTTT của đồ th hàm s biết:
a) Tiếp điểm
M
có tung độ bng
4
.
b) Tiếp đim
M
là giao của đồ th hàm s vi trc hoành
c) Tiếp điểm
M
là giao điểm của đồ th hàm s vi trc tung
GV. TRN QUC NGHĨA (Sưu tầm và biên tp) 35
Bài 80. [1D5-2] Cho hàm s
3 2
3 1
y x x
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ th hàm s tại điểm hoành độ
0
1.
x
b) CMR: trong các tiếp tuyến của đồ th hàm s thì tiếp tuyến câu a có h s góc nh nht.
Bài 81. [1D5-2] Cho hàm s
3 2
1
y x x x
a) Viết PTT ti
M
thuộc đồ th hàm s biết trung độ đim
M
bng
1.
b) CMR trên đồ th hàm s không tn ti nhng cặp điểm tiếp tuyến ti
2
điểm đó vng
góc vi nhau.
Bài 82. [1D5-3] Cho hàm s
3
y x
. Tìm các đim
M
trên đồ th hàm s (
M
gc tọa độ) sao cho
tiếp tuyến ti
M
to vi 2 trc tọa độ mt tam giác có din tích bng
6.
Bài 83. [1D5-3] Cho hàm s
2
1
x
y
x
. Tìm
M
trên đồ th hàm s sao cho tiếp tuyến ti
M
to vi 2
trc ta độ mt tam giác có din tích bng
1
.
4
Bài 84. [1D5-3] Cho hàm s
1
2
y
x
và
2
2
x
y . Gi
M
là giao đim của hai đồ th hàm s trên.
Viết pttt ca mi đồ th hàm s đã cho tại đim
M
. Tính c góc gia hai tiếp tuyến tìm đưc.
Bài 85. [1D5-2] Cho hàm s
3 2
3 1 1
y x mx m x
. Tìm
m
để tiếp tuyến của đồ th hàm s ti
điểm hoành độ
0
1
x
đi qua
1;2
A .
Bài 86. [1D5-3] Cho hàm s
2 1
;
1
x
y
x
1;2 .
I Tìm điểm
M
thuộc đồ th hàm s sao cho tiếp tuyến
d
của đồ th hàm s ti
M
vuông góc với đưng thng
.
IM
Bài 87. [1D5-3] Cho hàm s
3
;
1
x
y
x
1;1 .
I Tìm điểm
M
thuộc đồ th hàm s sao cho tiếp tuyến
d
của đồ th hàm s ti
M
to với đường thng
IM
mt góc
mà
3
cos .
5
Bài 88. [1D5-3] Cho hàm s
4 2
2 1.
y x x
Vi
M
là đim thuộc đồ th hàm s có hoành độ bng
2
,
2
hãy viết phương trình tiếp tuyến
d
của đ th hàm s ti
M
tìm hoành độ các giao
điểm ca
d
với đồ th hàm s đã cho.
Bài 89. [1D5-3] Cho hàm s
1
2 2
x
y
x
. Tìm
M
trên đ th hàm s sao cho tiếp tuyến với đồ th hàm
s ti
M
to vi 2 trc tọa độ
1
tam giác có trng tâm
G
nm trên đường thng
:4 0
x y
.
Bài 90. [1D5-3] Cho hàm s
2 1
1
x
y
x
Tìm hoành độ điểm
M
thuộc đ th hàm s biết tiếp tuyến ti
M
to với hai đường thng
1 2
;
d d
ln lượt có phương trình
1 0
x
2 0
y
mt tam giác
vuông cân.
Bài 91. [1D5-4] Cho hàm s .
2 3
2
x
y
x
.. Đường thng
1
: 2
d x
. Đường thng
2
: 2
d y
.
I
giao
điểm ca
1 2
&
d d
. Gi đường thng
d
là tiếp tuyến của đồ th hàm s tại điểm
M
tùy ý.
A
là
giao
1
&
d d
,
B
là giao đim ca
2
&
d d
. Viết pttt
d
biết độ dài
AB
nh nht.
TÀI LIU HC TP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 36
Bài 92. [1D5-4] Cho hàm s
2 1
.
2
x
y
x
Đường thng
1
: 2
d x
. Đường thng
2
: 2
d y
.
I
là giao
điểm ca
1 2
&
d d
. Gi đường thng
d
là tiếp tuyến của đồ th hàm s tại điểm
M
tùy ý.
A
là
giao
1
&
d d
,
B
là giao đim ca
2
&
d d
.
a) CMR:
M
là trung đim của đoạn thng
.
AB
b) Tìm
M
để
;
d I d
đạt giá tr ln nht.
Bài 93. [2D5-1] Cho hàm s
3 2
4 6 1.
y x x
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ th hàm s biết
Bài 94. [1D5-2] Cho hàm s
1
.
2 2
x
y
x
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ th hàm s biết tiếp tuyến
đi qua điểm
1
1; .
2
I
Bài 95. [1D5-3] Cho hàm s
2
1
.
1
x x
y
x
Chng minh rằng qua đim
1; 1
A
th k được hai
tiếp tuyến với đồ th hàm s và hai tiếp tuyến này vuông góc vi nhau.
Bài 96. [1D5-4] Cho hàm s
2
.
1
x
y
x
Hãy tìm
m
để t đim
0;
A m
k được hai trình tiếp tuyến vi
đồ th hàm s và hai tiếp điểm nm v hai phía ca trc hoành.
Bài 97. [1D5-4] Cho hàm s
2 2
.
5
x
y
x
Hãy tìm
m
để t điểm
;0
A m
a) K được hai tiếp tuyến với đồ th hàm s tích hai h s góc ca hai tiếp tuyến là
1
.
144
b) K được hai tiếp tuyến với đồ th hàm s và hai tiếp điểm nm v hai phía ca trc tung.
c) K được hai tiếp tuyến vi đồ th hàm s và hai tiếp điểm nm v hai phía của đường thng
1.
y
Bài 98. [1D5-1] Cho hàm s
3 2
1 1 4
2 .
3 2 3
y x x x
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ th hàm s
biết tiếp tuyến song song với đường thng
:4 2 0.
d x y
Bài 99. [1D5-1] Cho hàm s
2 3
.
1
x
y
x
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ th hàm s biết tiếp tuyến
vuông góc với đưng thng
: x y 2017 0.
d
Bài 100. [1D5-2] Cho hàm s
3 2
.
2
x
y
x
Viết phương trình tiếp tuyến
d
với đồ th hàm s biết
d
to
vi trc hoành mt góc
mà
1
cos .
17
Bài 101. [1D5-2] Cho hàm s
3
3
2.
2
y x x
Viết phương trình tiếp tuyến
d
vi đồ th hàm s biết
d
to với đường thng
: 7
y x
mt góc
mà
1
cos .
26
Bài 102. [1D5-2] Cho hàm s
3 2
3 ;
y x x C
đường thng
: 3 1.
d y x
Tìm điểm
M
trên đồ th
C
biết tiếp tuyến với đồ th hàm s ti
M
h s góc âm và to vi
d
mt góc
o
45 .
GV. TRN QUC NGHĨA (Sưu tầm và biên tp) 37
Bài 103. [1D5-4] Cho hàm s
3 2
3 1 .
y x x C
m hai điểm
,
A
B
trên đồ th m s sao cho tiếp
tuyến của đồ th
C
ti
,
A
B
song song vi nhau
4 2.
AB
Bài 104. [1D5-3] Cho hàm s
2 1
.
1
x
y C
x
Tìm điểm
M
trên đ th
C
biết tiếp tuyến với đồ th
hàm s ti
M
ct trc
ox,
oy
ln lượt ti
,
A
B
sao cho
82. .
AB OB
Bài 105. [1D5-2] Cho hàm s
2 1
.
1
x
y H
x
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ th hàm s biết rng
tiếp điểm ca tiếp tuyến đó với
H
cách điểm
0;1
A mt khong bng
2.
Bài 106. [1D5-2] Cho hàm s
3 2
2 1 1,
y x m x m
m
là tham s.Tìm
m
để đồ th ca hàm s đã
cho tiếp xúc với đường thng
2 1.
y mx m
Bài 107. [1D5-3] Cho hàm s
3 2
6 9 1 .
y x x x Viết phương trình tiếp tuyến với đồ th m s
1
biết tiếp tuyến to với đường thng
: 1 0
x y
mt góc
sao cho
4
cos
41
tiếp
điểm ta độ nguyên.
Bài 108. [1D5-4] Cho hàm s
2
.
1
x
y C
x
Viết phương trình tiếp tuyến
d
của đồ th hàm s
C
biết
tiếp tuyến to vi
1
: 1,
d x
2
: 1
d y
mt tam giác có bán kính đường tròn ni tiếp ln nht.
Bài 109. [1D5-3] Cho hàm s
3 2
3 1 .
y x x C
Tìm trên đường thng
3
y
các đim t đó kẻ
được ba tiếp tuyến phân biệt đến đồ th
.
C
Bài 110. [1D5-4] Cho hàm s
2 1
.
1
x
y C
x
Gi
d
là tiếp tuyến của đồ th hàm s
C
ti điểm
0;1
I .Tìm điểm
M C
có hoành độ lớn hơn
1
sao cho khong cách t
M
đến
d
nh nht.
Bài 111. [1D5-3] Cho hàm s
2
.
2 3
x
y C
x
Viết phương trình tiếp tuyến
d
của đồ th hàm s
C
biết
d
ct trc hoành ,trc tung lần lưt ti
,
A
B
sao cho
OAB
cân ti
.
O
Bài 112. [1D5-3] Cho hàm s
1
.
1
x
y C
x
Tìm
m
để đường thng
y mx m
ct
C
tại hai điểm
phân bit
,
A
B
sao cho tiếp tuyến ca
C
ti
A
B
song song vi nhau.
Bài 113. [1D5-4] Cho hàm s
3 2
3 1.
y x x
Đường thng
đi qua điểm
1;3
A có h sc
.
k
Tìm
các giá tr ca
k
để
ct
C
tại ba đim pn bit
,
A
,
D
.
E
Gi
1
,
d
2
d
lần lượt là các tiếp
tuyến ca
C
ti
,
D
.
E
Chng minh rng các khong cách t
A
đến
1
,
d
2
d
bng nhau.
Bài 114. [1D5-3] Cho hàm s
4 2
2 2 .
y x x C
Tìm điểm
M C
để qua đó kẻ được ba tiếp tuyến
đến
.
C
TÀI LIU HC TP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 38
Bài 115. [1D5-2] Cho hàm s
2 3
.
1
x
y C
x
Tìm điểm
M C
hai ta độ là s hu t sao cho tiếp
tuyến
d
của đồ th m s
C
ti
M
ct trc hoành ,trc tung lần lượt ti
,
A
B
sao cho
9
.
2
OAB
S
Bài 116. [1D5-1] Cho hàm s
1
.
2
x
y C
x
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ th hàm s
C
biết
tiếp tuyến đi qua đim
1;10 .
A
Bài 117. [1D5-1] Cho hàm s
4 3 2
4 10 12 6 .
y x x x x C
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ th
hàm s
C
biết tiếp tuyến vuông góc với đưng thng
1.
12
x
y
Bài 118. [1D5-2] Cho hàm s
2
.
1
x
y C
x
Chng minh rng mi tiếp tuyến của đồ th hàm s tại điểm
M C
đều to với hai đường thng
1
: 1
d x
và
2
: 1
d y
mt tam giác din tích không
đổi.
Bài 119. [1D5-3] Cho hàm s
4 2
8 1 .
y x x C
Viết phương trình tiêp tuyến của đồ th
C
biết tiếp
tuyến to với đường thng
:47 43 90 0
x y
mt góc
o
45
và to vi tia
ox
mt góc tù.
Bài 120. [1D5-3] Cho hàm s
3 2
2 1
y x mx đường thng
: 2 1,
d y mx m
trong đó
m
là
tham s.Tìm
m
để
d
cắt đồ th hàm s
1
tại ba điểm phân bit
1;1 ,
I m
,
A
B
sao cho tiếp
tuyến ti
A
B
có cùng h sc.
Bài 121. [1D5-2] Tìm trên trc hòanh điểm t đó thể k được ba tiếp tuyến đến đồ th hàm s
3
3 2 .
y x x C
Bài 122. [2D1-3] Cho hàm s
2 1
2
x
y C
x
điểm
9
;0 .
2
P
Tìm trên
C
cặp đim
,
A
B
sao cho
tiếp tuyến ca
C
ti
,
A
B
song song vi nhau và
PAB
cân ti
.
P
Bài 123. [1D5-3] Cho hàm s
3 2
3 1 .
y x x m x m Đường thng
d
đi qua điểm
1; 2
I h s
góc bng
m
cắt đồ th hàm s
1
tại ba điểm phân bit
,
A
,
B
.
I
Chng minh rng các tiếp
tuyến của đồ th hàm s
1
ti
A
B
song song vi nhau.
Bài 124. [1D5-3] Cho hàm s
.
1
x
y
x
Tìm nhng điểm trên đồ th hàm s mà tiếp tuyến tại đó to vi
hai đường thng
1
: 1,
d x
2
: 1
d y
mt tam giác có chu vi bng
4 2 2.
Bài 125. [1D5-4] Cho hàm s
4 2
2 1 ,
y x mx m
m
tham s.Biết
A
là đim thuc đồ th hàm s
1
hoành độ bng
1.
Tìm
m
để khong cách t
3
;1
4
B
đến tiếp tuyến của đồ th
1
ti
A
ln nht.
Bài 126. [1D5-2] Cho hàm s
4 2
6 5 .
y x x C
.Tìm
m
để đồ th ca hàm s đã cho tiếp xúc vi
đường thng
.
y mx m
GV. TRN QUC NGHĨA (Sưu tầm và biên tp) 39
Bài 127. [1D5-2] Cho hàm s
2 1
.
1
x
y C
x
Tìm
m
để đ th hàm s tiếp xúc với đường thng
5.
y mx
Bài 128. [1D5-2] Cho hàm s
2
1
.
2
x x
y
x
Chng minh rng mi tiếp tuyến của đồ th hàm s đều
không đi qua điểm
2;3 .
A
Bài 129. [1D5-3] Cho hàm s
3 2
1
1 4 3 1 .
3
m
y x m x m x C Tìm
m
để trên đồ th
m
C
tn
ti duy nhất đim
A
hoành độ âm mà tiếp tuyến ca
m
C
ti
A
vuông góc với đường thng
2 3 0.
x y
Bài 130. [1D5-4] Cho hàm s
1
.
2 1
x
y C
x
Chng minh rng vi mi
m
đường thng :
d y x m
luôn cắt đồ th
C
ti hai điểm phân bit
A
.
B
Khi đó gọi
1
,
k
2
k
lần lượt là h s góc ca
tiếp tuyến với đồ th
C
ti
A
,
B
tìm
m
để tng
1 2
k k
đạt giá tr ln nht
Bài 131. [1D5-4] Cho hàm s
3
3 2 .
y x x C
Vi
1
,
x
2
x
là hai nghim của phương trình
0.
y x
Gi
1 1
; ,
A x y x
2 2
; .
B x y x Tìm trên đồ th
C
điểm
M
sao cho tiếp tuyến vi
C
ti
M
cách đều hai điểm
A
.
B
Bài 132. [1D5-2] Cho hàm s
3 2
2 1 6 5 3 .
m
y x m x m x C Tìm
m
để đồ th hàm s tiếp
xúc vi trc hoành.
Bài 133. [1D5-4] Cho hàm s
3 2
3 1 1 .
m
y x mx m x C Chng minh rng trên đồ th hàm s
m
C
luôn tn tại hai điểm tiếp tuyến tại đó vuông c với đường thng
9 0.
x y
Tìm
m
để đường thng ni hai điểm đó đi qua điểm
0;4 .
I
Bài 134. [1D5-4] Cho hàm s
3 2
1 2
6 1 1
3 3
y x m x m x đồ th
.
m
C Tìm
m
để trên
m
C
hai điểm
1 1
;
M x y
2 2
;
N x y
sao cho tiếp tuyến ti mi điểm đó vuông góc với
đường thng
3 6 0
x y
1 2
2 3.
x x
Bài 135. [1D5-3] Cho hàm s
3 2
3 1 1
y x x m x đường thng
: 1.
d y
Tìm
m
để hai đồ th
hàm s ct nhau tại ba điểm phân bit
0;1 ,
C
,
D
E
sao cho tiếp tuyến của đồ th hàm s
1
ti
D
E
vuông góc vi nhau.
Bài 136. [1D5-3] Cho hàm s
3
3 2 1
y x m x vi
m
là tham s.Tìm
m
để đồ th hàm s
1
tiếp
tuyến to với đường thng
: 7 0
d x y
mt góc
1
cos .
26
Bài 137. y viết phương trình tiếp tuyến của đồ th hàm s
y f x
, biết tiếp tuyến qua điểm
A
:
a)
2
4
1
x x
y
x
, vi
1; 4
A . b)
4 2
2
y x x
, vi
0; 1
A .
c)
3
3 1
y x x
, vi
1;–6
A . d)
2
4 4
1
x x
y
x
, vi
–1; 0
A .
TÀI LIU HC TP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 40
Bài 138. Cho hàm s:
3 2
3 2
3 2
mx mx
y f x m x
. Tìm
m
để:
a)
0,f x x
.
b)
f x
có hai nghim phân bit cùng du.
c) Chng minh rng trong trường hp
f x
hai nghim (hai nghim có th trùng nhau) t
các nghim này tha mãn mt h thức độc lp vi
m
.
Bài 139. Tìm
m
để:
a)
3
y mx x
0,y x
.
b)
3 2
1
4 3
3
y x mx x
0,y x
.
c)
3 2
3 4
y x mx mx
0,y x
.
d)
3 2
3 2 1 2 5 2
y x m x m x
0,y x
.
e)
3 2
1
2 2
3
y x x mx
0,y x
.
f)
3 2
1
3
y x mx mx
0, 0;y x
.
Bài 140. Vi mi hàm s sau đây: Tìm TXĐ Tính
y
t du
y
, ch ra
0
y
,
0
y
trên
khong, các khong nào:
a)
3
3 1
y x x
b)
3 2
1
3 8 2
3
y x x x c)
2 1
2
x
y
x
d)
2
2
1
x x
y
x
e)
2
2 2
1
x x
y
x
f)
1
1
2
y
x
g)
4 2
4
y x x
h)
4 2
4 1
y x x
i) 4 1
1
1
y x
x
j)
4 3
y x x
k)
3 2
1
3 7 2
3
y x x x
l)
4 2
2 3
y x x
m)
3 2
5
y x x
n)
2
4
y x
o)
2
2
1
x x
y
x
p)
2
2
7 12
2 3
x x
y
x x
q)
2
3
y x x
r)
2
20
y x x
s)
2
8 9
5
x x
y
x
t)
1
2
1
y x
x
u)
2
2 3
y x x
GV. TRN QUC NGHĨA (Sưu tầm và biên tp) 41
BÀI TP TRC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 5
BÀI 1. ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
Câu 1. [1D5-1] Cho hàm s
f x
liên tục tại
0
x
. Đạo hàm của
f x
tại
0
x
là
A.
0
f x
.
B.
0 0
f x h f x
h
.
C.
0 0
0
lim
h
f x h f x
h
(nếu tn ti gii hn).
D.
0 0
0
( ) ( )
lim
h
f x h f x h
h
(nếu tn ti gii hn).
Câu 2. [1D5-1] Cho hàm s
3 2
1
3 7 2
3
y x x x
. Phương trình tiếp tuyến tại
0;2
A
A.
7 2
y x
. B.
7 2
y x
. C.
7 2
y x
. D.
7 2
y x
.
Câu 3. [1D5-1] Cho hàm s
y f x
xác định trên khoảng
;
a b
0
;
x a b
. Mệnh đề nào sau
đây là đúng?
A. Nếu tn ti gii hn (hu hn)
0
0
0
lim
x x
f x f x
x x
thì gii hn đó gọi là đạo hàm ca hàm
s
y f x
ti
0
x
.
B. Nếu tn ti gii hn (hu hn)
0
0
0
lim
x x
f x f x
x x
thì gii hạn đó gọi đạo hàm ca hàm
s
y f x
ti
0
x
.
C. Nếu tn ti gii hn (hu hn)
0
0
0
lim
x x
f x f x
x x
thì gii hn đó gọi là đạo hàm ca hàm
s
y f x
ti
0
x
.
D. Nếu tn ti gii hn (hu hn)
0
0
0
lim
x x
f x f x
x x
thì gii hn đó gọi là đạo hàm ca hàm
s
y f x
ti
0
x
.
Câu 4. [1D5-1] Số gia của hàm s
2
1
f x x
tại điểm
0
1
x
ứng với
0,1
x
là
A.
1,19
. B.
0,01
. C.
0,19
. D.
0,21
.
Câu 5. [1D5-1] Cho hàm s
2 5
y x
. Tìm biểu thức của
y
y
x
tính theo
x
x
.
A.
2 , 2
y
y x
x
. B.
10
10, 1
y
y x
x x
.
C.
10
2 10, 2
y
y x
x x
. D.
, 1
y
y x
x
.
Câu 6. [1D5-1] Tính giới hạn
0
sin 4
lim
x
x
x
.
A.
1
4
. B.
4
. C.
0
. D.
1
.
TÀI LIU HC TP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 42
Câu 7. [1D5-1] Gọi
d
là tiếp tuyến với đồ thị hàm s
2
1
:
1
C y
x
song song vi trục hoành. Tìm
hoành độ tiếp điểm
0
x
của
d
C
.
A.
0
1
x
. B.
0
2
x
. C.
0
1
x
. D.
0
0
x
.
Câu 8. [1D5-1] Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm s
3 2
2 2
f x x x
tại điểm hoành
độ
0
2
x
.
A.
20 22
y x
. B.
4 10
y x
. C.
10 11
y x
. D.
20 58
y x
.
Câu 9. [1D5-1] Tiếp tuyến của đồ thị hàm s
2
3 1
2 1
x x
y
x
tại đim
0; 1
M
có phương trình
A.
1
y x
. B.
5 1
y x
. C.
1
y x
. D.
5 1
y x
.
Câu 10. [1D5-1] Trong các mnh đề sau đây, mệnh đề nào sai:
A. Nếu hàm s
f x
liên tục tại đim
0
x
thì
f x
có đạo hàm ti
0
x
.
B. Nếu tiếp tuyến tại đim
0 0 0
;
M x f x
của đồ thị hàm s
y f x
song song vi trc
hoành t
0
0
f x
.
C. Nếu
0
0
f x
t tn ti tiếp tuyến ti đim
0 0 0
;
M x f x
của đồ thị hàm s
y f x
song song hoc trùng vi trc hoành.
D. Nếu hàm s
f x
đạo hàm ti đim
0
x
và đồ thị của hàm slà một đường cong
C
t
tiếp tuyến ca
C
tại điểm
0 0 0
;
M x f x
h s góc
0
k f x
.
Câu 11. [1D5-1] Xét các mnh đề sau
I
Nếu hàm s
y f x
có đạo hàm tại điểm
0
x
t liên tc ti điểm đó.
II
Nếu hàm s
y f x
gián đon ti đim
0
x
t nó không có đạo hàm tại điểm đó.
III
Nếu hàm s
y f x
liên tc tại điểm
0
x
t nó không có đạo hàm ti điểm đó.
Trong ba mệnh đề trên
A.
I
,
II
đúng. B. Có ba mnh đề đúng.
C. C ba mnh đề đều sai. D.
I
đúng.
Câu 12. [1D5-1] Gi sử
u x
,
v x
là các hàm s đạo hàm tại đim
x
thuộc khoảng xác định.
Trong các mnh đề sau mnh đề nào Sai?
A.
. . .
u x v x u x v x u x v x
. B.
2
u x u x v x u x v x
v x v x
.
C.
2
1
v x
v x v x
, (Vi
0
v x
). D.
u x v x u x v x
.
Câu 13. [1D5-2] Gọi
P
đồ thị của hàm s
2
3
2
x
y x
. Phương trình tiếp tuyến với
P
ti
điểm mà
P
cắt trục tung là
A.
3
y x
. B.
3
y x
. C.
4 1
y x
. D.
11 3
y x
.
Câu 14. [1D5-2] Đồ thị
C
của hàm s
3 1
1
x
y
x
cắt trục tung tại điểm
A
. Tiếp tuyến của
C
tại
điểm
A
phương trình là
A.
4 1
y x
. B.
4 1
y x
. C.
5 1
y x
. D.
5 1
y x
.
GV. TRN QUC NGHĨA (Sưu tầm và biên tp) 43
Câu 15. [1D5-2] Gọi
C
là đồ thị của hàm s
4
y
x
x
. Tiếp tuyến của
C
vuông c với đường
thng
: 5 0
d x y
có phương trình
A.
5 3
y x
. B.
3 5
y x
. C.
2 3
y x
. D.
4
y x
.
Câu 16. [1D5-2] Cho hàm s
f x
là hàm số trên
định bởi
2
f x x
0
x
. Chọn câu đúng.
A.
0 0
f x x
. B.
2
0 0
f x x
.
C.
0 0
2
f x x
. D.
0
f x
không tn ti.
Câu 17. [1D5-2] Cho hàm s
f x
xác định trên
0;

bởi
1
f x
x
. Đạo hàm của
f x
tại
0
2
x
A.
1
2
. B.
1
2
. C.
1
2
. D.
1
2
.
Câu 18. [1D5-2] Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm s
2
1 2
y x x tại điểm hoành độ
2
x
A.
–8 4
y x
. B.
9 18
y x
. C.
–4 4
y x
. D.
9 18
y x
.
Câu 19. [1D5-2] Phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm s
2
3
y x x
tại điểm hoành đ
2
x
A.
–3 8
y x
. B.
–3 6
y x
. C.
3 8
y x
. D.
3 6
y x
.
Câu 20. [1D5-2] Cho hàm s
3 2
6 7 5
y x x x
C
. Tìm trên
C
nhng điểm hệ số c tiếp
tuyến tại đim đó bằng
2
.
A.
–1;–9 ; 3;–1
. B.
1;7 ; 3;–1
. C.
1;7 ; –3;–97
. D.
1;7 ; –1;–9
.
Câu 21. [1D5-2] Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị
tan
y x
tại điểm có hoành độ
4
x
.
A.
1
k
. B.
1
2
k
. C.
2
2
k . D.
2
.
Câu 22. [1D5-2] Cho đường cong
2
:
C y x
. Phương trình tiếp tuyến của
C
tại đim
1;1
M là
A.
–2 1
y x
. B.
2 1
y x
. C.
–2 1
y x
. D.
2 1
y x
.
Câu 23. [1D5-2] Cho hàm s
2
2
x x
y
x
. Phương trình tiếp tuyến tại
1;–2
A
A.
–4 1 2
y x . B.
–5 1 2
y x
. C.
–5 1 2
y x . D.
–3 1 2
y x .
Câu 24. [1D5-2] Biểu thức của
y
của hàm s
2
1
y x
tính theo
x
x
là
A.
0
y
. B.
2
2
y x x x
.
C.
2
2 2
y x x x
. D.
2
1
y x
.
Câu 25. [1D5-2] Một vật i tdo theo phương trình
2
1
2
S t gt
vi
2
9,8m/s
g . Vn tc tức thời
ca vật tại thời đim
5
t
giây
A.
122,5m/s
. B.
61,5m/s
. C.
9,8m/s
. D.
49m/s
.
TÀI LIU HC TP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 44
Câu 26. [1D5-2] Một chất điểm chuyển động thẳng xác định bởi phương trình
3 2
2 4 1
S t t t t
,
trong đó
t
được tính bằng giây và
S
tính bằng mét. Gia tốc của chuyn động khi
2
t
giây
A.
2
12
m/s
. B.
8
m/s
. C.
9m/s
. D.
2
6
m/s
.
Câu 27. [1D5-2] Hsố góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm s
2 3
1
x
y
x
tại giao đim với trục hoành
bằng
A.
9
. B.
1
9
. C.
4
. D.
9
.
Câu 28. [1D5-2] S tiếp tuyến của đường cong
3 2
: 3 8 1
C y x x x
song song với đường
thng
: 28
y x
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Câu 29. [1D5-2] Tính giới hạn
0
tan3
lim
sin5
x
x
x
.
A.
3
5
. B.
1
. C.
5
3
. D.
1
5
.
Câu 30. [1D5-2] Cho hàm s
sin 2
y x C
. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị
C
tại điểm hoành
độ
2
x
bằng.
A.
2.
B.
2.
C.
0.
D.
1.
Câu 31. [1D5-2] Cho hàm s
3
3 1
y x x C
. Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị
C
và song song
với đường thẳng
:9 15 0
d x y
.
A.
2.
B.
1.
C.
0.
D.
3.
Câu 32. [1D5-2] Cho hàm s
2
1
y f x x x
. Số nghiệm của phương trình
0
f x
là
A.
1.
B.
2.
C.
3.
D.
0.
Câu 33. [1D5-2] Cho hàm s
2
2
y f x x x
.
0
f
có giá trị bằng
A.
2
. B.
2
C.
0
. D. Không tn tại đạo hàm ti
0
x
.
Câu 34. [1D5-3] Cho hàm s
2
2
x
y
x
. Phương trình tiếp tuyến của
C
cắt các trục
Ox
,
Oy
lần lượt
tại
A
B
sao cho
2
AB OA
A.
y x
. B.
4
y x
. C.
8
y x
. D.
8
y x
.
Câu 35. [1D5-3] Điểm
M
trên đồ thị hàm s
3 2
3 1
y x x mà tiếp tuyến tại đó có hsố góc
k
nht trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị thì
M
,
k
A.
1;–3
M ,
–3
k
. B.
1;3
M ,
–3
k
. C.
1;–3
M ,
3
k
. D.
1;–3
M ,
–3
k
.
Câu 36. [1D5-3] Cho hàm s
1
ax b
y
x
đồ thị cắt trục tung tại
0;–1
A , tiếp tuyến tại
A
hsố
góc
3
k
. Các giá trị của
a
,
b
là
A.
1
a
,
1
b
. B.
2
a
,
1
b
. C.
1
a
,
2
b
. D.
2
a
,
2
b
.
Câu 37. [1D5-3] Cho hàm s
2
3 1
2
x x
y
x
và xét các phương trình tiếp tuyến hệ số góc
2
k
của
đồ thị hàm s là
A.
2 1; 2 3
y x y x
. B.
2 5; 2 3
y x y x
.
C.
2 1; 2 5
y x y x
. D.
2 1; 2 5
y x y x
.
GV. TRN QUC NGHĨA (Sưu tầm và biên tp) 45
Câu 38. [1D5-3] Cho hàm s
2
3 3
2
x x
y
x
, tiếp tuyến của đồ thị hàm s vuông c với đường
thng
:3 6 0
d y x
A.
–3 3; –3 11
y x y x
. B.
–3 3; –3 11
y x y x
.
C.
–3 3; –3 11
y x y x
. D.
–3 3; 3 11
y x y x
.
Câu 39. [1D5-3] Tìm
m
để tiếp tuyến của đồ thị hàm s
4
5
2 1
4
y m x m
tại đim hoành độ
–1
x
vuông góc với đường thẳng
:2 3 0
d x y
.
A.
3
4
. B.
1
4
. C.
7
16
. D.
9
16
.
Câu 40. [1D5-3] Cho hàm s
2
2
x
y
x
, tiếp tuyến của đồ thị hàm số kẻ từ đim
–6;5
là
A.
1
y x
;
1 7
4 2
y x
. B.
1
y x
;
1 7
4 2
y x
.
C.
1
y x
;
1 7
4 2
y x
. D.
1
y x
;
1 7
4 2
y x
.
Câu 41. [1D5-3] Tiếp tuyến kẻ từ đim
2;3
ti đồ thị hàm s
3 4
1
x
y
x
A.
28 59
y x
;
1
y x
. B.
–24 51
y x
;
1
y x
.
C.
28 59
y x
. D.
28 59
y x
;
24 51
y x
.
Câu 42. [1D5-3] Cho hàm s
3 2
: 3 1
C y x mx m x m
. Gọi
A
là giao đim của đồ thị hàm s
với trục tung. Khi đó giá trị
m
để tiếp tuyến của đồ thị hàm s tại
A
vng góc với đường
thng
2 3
y x
là
A.
3
.
2
B.
1.
C.
3.
D.
1
.
2
Câu 43. [1D5-3] Một viên đạn được bắn lên tri tmt vị trí cách mặt đất
1000 m
theo phương thẳng
đứng với vận tốc ban đầu
0
245 m/s
v (bqua sức cản của không khí). Tại thời điểm viên đạn
đạt độ cao ln nhất cách mặt đất bao nhiêu mét?
A.
3062,5 m
. B.
4062,5
m
. C.
3461
m
. D.
4026,5
m
.
Câu 44. [1D5-4] Có bao nhiêu giá tr nguyên của tham số
m
để đồ thị hàm s
3
4 3
y x x
tiếp xúc
với đường thẳng
1
y mx
?
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Câu 45. [1D5-4] Cho hàm s
1
2 1
x
y
x
đồ thị là
C
. Gọi điểm
0 0
;
M x y
với
0
1
x
đim
thuộc
,
C
biết tiếp tuyến của
C
tại đim
M
cắt trục hoành, trục tung ln lượt tại hai điểm
phân biệt
,
A B
tam giác
OAB
trọng tâm
G
nằm trên đường thẳng
:4 0
d x y
. Hỏi g
tr của
0 0
2
x y
bằng bao nhiêu?
A.
7
2
. B.
1
. C.
5
2
. D.
5
2
.
TÀI LIU HC TP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 46
Câu 46. [1D5-4] Cho các hàm s
y f x
,
y g x
,
3
1
f x
y
g x
. Hsgóc của các tiếp tuyến của
các đồ thịc hàm số đã cho tại điểm có hoành độ
1
x
bằng nhau và khác
0
. Khẳng định nào
dưới đây là khẳng định đúng?
A.
11
1 .
4
f B.
11
1 .
4
f C.
11
1 .
4
f D.
11
1 .
4
f
Câu 47. [1D5-4] Cho hàm s
2
2
x mx m
y
x m
. Giá tr
m
để đồ thị hàm scắt trục
Ox
tại hai điểm và
tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm đó vuông góc là
A.
3
. B.
4
. C.
5
. D.
7
.
BÀI 2. QUI TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
Câu 48. [1D5-1] Đạo hàm cấp mt của hàm s
5
3
1
y x
là
A.
4
3
5 1
y x
. B.
5
2 3
15 1
y x x
. C.
3
4
3 1
y x
. D.
2 3
5 1
y x x
.
Câu 49. [1D5-1] Đạo hàm của hàm s
2
1
f x x
tại đim
1
x
là
A.
32
. B.
30
. C.
64
. D.
12
.
Câu 50. [1D5-1] Hàm s
2 1
1
x
y
x
có đạo hàm
A.
2
y
. B.
2
1
1
y
x
. C.
2
3
1
y
x
. D.
2
1
1
y
x
.
Câu 51. [1D5-1] Cho hàm s
3 2
3 9 5
xy x
x
. Phương trình
0
y
có nghiệm là
A.
1;2
. B.
1;3
. C.
0;4
. D.
1;2
.
Câu 52. [1D5-1] Cho hàm s
f x
xác định trên
bởi
2
2
1
f x x
. Giá tr
1
f
bằng
A.
2
. B.
6
. C.
4
. D.
3
.
Câu 53. [1D5-1] Cho hàm s
f x
xác định trên
\ 1
bởi
2
1
x
f x
x
. Giá trị của
1
f
bằng
A.
1
2
. B.
1
2
. C.
2
. D. Không tn ti.
Câu 54. [1D5-1] Cho hàm s
f x
xác định trên
bi
f x ax b
, với
a
,
b
là hai s thực đã cho.
Chọn câu đúng:
A.
f x a
. B.
f x a
. C.
f x b
. D.
f x b
.
Câu 55. [1D5-1] Tính đạo hàm của hàm s
4 2
1
3 3
2
y x x x
.
A.
4 2
1
4 6
2
y x x
. B.
3
1
4 6
2
y x x
. C.
3
7
4 6
2
y x x
. D.
3
1
4 6
4
y x x
.
Câu 56. [1D5-1] Tính đạo hàm của hàm s
2 1
3
x
y
x
.
A.
2
7
3
y
x
. B.
2
4 2
3
x
y
x
. C.
2
5
3
y
x
. D.
2
4 5
3
x
y
x
.
GV. TRN QUC NGHĨA (Sưu tầm và biên tp) 47
Câu 57. [1D5-1] Tính đạo hàm của hàm s
10
3 2
2
y x x
.
A.
9
2
10 3 4
y x x
. B.
2 3 2
10 3 2 2
y x x x x
.
C.
2 3 2
10 3 4 2
y x x x x
. D.
9
3 2
10 2
y x x
.
Câu 58. [1D5-1] Tính đạo hàm của hàm s
3 2
y ax bx cx d
, (Với , , ,a b c d
0
a
).
A.
2
3
y ax bx c
. B.
2
y ax bx c
.
C.
2
3 2
y ax bx c
. D.
2
y ax bx d
.
Câu 59. [1D5-2] Cho hàm s
2
2
x
y
x
x
đạo hàm của hàm số tại
1
x
là
A.
1 4
y
. B.
1 5
y
. C.
1 3
y
. D.
1 2
y
.
Câu 60. [1D5-2] Cho hàm s
2
.
4
x
y
x
0
y
bằng
A.
1
0
2
y
. B.
1
0
3
y
. C.
0 1
y
. D.
0 2
y
.
Câu 61. [1D5-2] Cho hàm s
f x
xác định trên
bởi
2
f x x
. Giá tr
0
f
bằng
A.
0
. B.
2
. C.
1
. D. Không tn ti.
Câu 62. [1D5-2] Hàm s
2
2
1
x
y
x
có đạo hàm
A.
2
2
1
2
x
x
y
x
. B.
2
2
2
1
x
x
y
x
. C.
2 2
y x
. D.
2
2
2
1
x
x
y
x
.
Câu 63. [1D5-3] Cho hàm s
2
1
1
x
y
x
. Đạo hàm của hàm s
f x
là
A.
3
2 1
1
x
f x
x
. B.
3
2 1
1
x
f x
x x
.
C.
2
2 1
1
x
f x
x x
. D.
2 1
1
x
f x
x
.
Câu 64. [1D5-3] Cho hàm s
f x
xác định trên
bởi
3
f x x
. Giá tr
8
f
bằng
A.
1
12
. B.
1
12
. C.
1
6
. D.
1
6
.
Câu 65. [1D5-2] Cho hàm s
f x
xác định bởi
2
1
khi 0
1
0 khi 0
x
x
f x
x
x
. Giá tr
0
f
bằng
A.
0
. B.
1
. C.
1
2
. D. Không tn ti.
Câu 66. [1D5-2] Cho hàm s
f x
c định trên
bi
2
2 3
f x x x
. m sđạo hàm
f x
bằng
A.
4 3
x
. B.
4 3
x
. C.
4 3
x
. D.
4 3
x
.
TÀI LIU HC TP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 48
Câu 67. [1D5-2] Cho hàm s
f x
c định trên
0;D

cho bởi
f x x x
đạo hàm
A.
1
2
f x x
. B.
3
2
f x x
. C.
1
2
x
f x
x
. D.
2
x
f x x
.
Câu 68. [1D5-2] Hàm s
2
1
f x x
x
xác định trên
0;D

. Có đạo hàm của
f x
A.
1
2
f x x
x
. B.
2
1
f x x
x
. C.
1
f x x
x
. D.
2
1
1f x
x
.
Câu 69. [1D5-2] Hàm s
3
1
f x x
x
xác định trên
0;D

. Đạo hàm của hàm
f x
là
A.
2
3 1 1 1
2
f x x
x x x x x
. B.
2
3 1 1 1
2
f x x
x x x x x
.
C.
2
3 1 1 1
2
f x x
x x x x x
. D.
3 1
3f x x x x
x x x
.
Câu 70. [1D5-2] Cho hàm s
4 3 2
4 3 2 1
f x x x x x
xác định trên
. Giá tr
1
f
bằng
A.
4
. B.
14
. C.
15
. D.
24
.
Câu 71. [1D5-2] Cho hàm s
2 1
1
x
f x
x
xác định
\ 1
. Đạo hàm của hàm s
f x
A.
2
2
1
f x
x
. B.
2
3
1
f x
x
. C.
2
1
1
f x
x
. D.
2
1
1
f x
x
.
Câu 72. [1D5-2] Cho hàm s
3
1
1f x
x
xác định
\ 0
. Đạo hàm của hàm s
f x
A.
3
1
.
3
f x x x
B.
3
1
.
3
f x x x
C.
3
1
.
3
f x
x x
D.
3
2
1
.
3
f x
x x
Câu 73. [1D5-3] Cho hàm s
3
f x k x x
( )
k
. Để
3
1
2
f
thì ta chọn:
A.
1
k
. B.
3
k
. C.
3
k
. D.
9
2
k
.
Câu 74. [1D5-2] Đạo hàm của
2
1
2 5
y
x x
là kết quả nào sau đây?
A.
1
2 2
y
x
. B.
2
2
2 2
2 5
x
y
x x
. C.
2
2
2 2
2 5
x
y
x x
. D.
2
2 2
2 5
x
y
x x
.
Câu 75. [1D5-2] Tính đạo hàm của hàm s
2 1
2
x
y
x
.
A.
2
5 2
2 1
2 1
x
y
x
x
. B.
2
1 5 2
2 2 1
2 1
x
y
x
x
.
C.
1 2
2 2 1
x
y
x
. D.
2
1 5 2
2 2 1
2
x
y
x
x
.`
Câu 76. [1D5-3] Cho hàm s
3
f x k x x
( )
k
. Để
3
1
2
f
thì ta chọn:
A.
1
k
. B.
3
k
. C.
3
k
. D.
9
2
k
.
GV. TRN QUC NGHĨA (Sưu tầm và biên tp) 49
Câu 77. [1D5-3] Với
2
2 5
1
x x
f x
x
. T
1
f
bằng
A.
1
. B.
3
. C.
5
. D.
0
.
Câu 78. [1D5-3] Cho hàm s
2
4
x
y f x
x
. Tính
0
y
bằng
A.
1
0
2
y
. B.
1
0
3
y
. C.
0 1
y
. D.
0 2
y
.
Câu 79. [1D5-3] Cho hàm s
2
2
x x
y
x
, đạo hàm của hàm số tại
1
x
A.
1 4
y
. B.
1 3
y
. C.
1 2
y
. D.
1 5
y
.
Câu 80. [1D5-3] Đạo hàm của hàm s
2
2 1
y x x x
là
A.
2
2
2
4 1
2
2
x
y x x
x x
. B.
2
2
2
4 1
2
x
y x x
x x
.
C.
2
2
2
4 1
2
2
x
y x x
x x
. D.
2
2
2
4 1
2
2
x
y x x
x x
.
Câu 81. [1D5-3] Đạo hàm của hàm s
1
1 1
y
x x
là
A.
2
1
1 1
y
x x
. B.
1
2 1 2 1
y
x x
.
C.
1 1
4 1 4 1
y
x x
. D.
1 1
2 1 2 1
y
x x
.
Câu 82. [1D5-3] Cho hàm s
2
5 14 9
f x x x
. Tập hợp các giá trị của
x
để
0
f x
A.
7 9
;
5 5
. B.
7
;
5

. C.
7
1;
5
. D.
7
;
5

.
Câu 83. [1D5-3] Cho hàm s
2
2
x x m
y
x
. Tìm
m
để phương trình
2
y
có hai nghiệm phân biệt.
A.
2
m
2
m
. B.
2
m
. C.
2
m
. D.
2.
m
Câu 84. [1D5-3] Cho hàm s
2
3 2 1 2
2
x m x m
y
x
. Tìm các giá trcủa
m
để
0
y
với mi
x
thuộc tập xác định.
A.
9
8
m
. B.
9
8
m
. C.
9
8
m
. D.
9
8
m
.
Câu 85. [1D5-3] Cho hàm s
2
3 2
2 2 1
3
m m
y x mx x m
. Vi g trị nào của
m
t
0 y x
?
A.
1 0.
m
B.
1
0.
3
m
C.
1
0.
3
m
D.
1
0.
3
m
Câu 86. [1D5-4] Cho hàm s
3 2
3 1 1
3
m
y x mx m x
. bao nhiêu gtr nguyên của tham số
m
thuộc
2018;2018
để 0,y x
.
A.
2019
. B.
2018
. C.
2017
. D.
2016
.
TÀI LIU HC TP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 50
Câu 87. [1D5-4] Cho hàm s
y f x
liên tục, đạo hàm trên
đồ thị
C
của đi qua các
điểm
0; 15
A ,
1; 13
B . Biết rằng
f x
là mt đa thức bậc bốn và có bng xét dấu là
x

1
0
1

f x
0
0
0
Hỏi điểm nào trong s bốn điểm dưới đây thuộc
C
?
A.
2; 1
Q
. B.
2; 71
M . C.
2; 41
N . D.
2; 41
P .
Câu 88. [1D5-4] Cho hàm s
3 2
3 4
y x x
đồ thị là
C
. Hai đường thẳng
1
d
,
2
d
hsố góc
âm, song song với nhau và ln lượt tiếp xúc với
C
tại
1
x
,
2
x
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
2 2
1 2
0 4
x x
. B.
2 2
1 2
4 6
x x
. C.
2 2
1 2
6 8
x x
. D.
2 2
1 2
8 16
x x
.
Câu 89. [1D5-4] Cho hàm s
3 2
3 1 9
y x m x x m
. Tìm m để phương trình
0
y
có 2 nghim
phân biệt
1
x
,
2
x
thỏa mãn điều kiện
1 2
2
x x
.
A.
3; 1 3 1 3;1
m
.
B.
3; 1 3 1 3;1
m
.
C.
1 3; 1 3
m
.
D.
3; 1 3
m
.
BÀI 3. ĐẠO HÀM CA HÀM S LƯỢNG GIÁC
Câu 90. [1D5-1] Trong các mnh đề sau mệnh đề nào đúng?
A.
sin cos
u u
, (vi
u u x
). B.
cos sin
u u
, (vi
u u x
).
C.
2
tan
cos
u
u
u
, (vi
u u x
). D.
2
cot
sin
u
u
u
, (vi
u u x
).
Câu 91. [1D5-1] Hàm s
sin
y x
có đạo hàm
A.
cos
y x
. B.
cos
y x
. C.
sin
y x
. D.
1
cos
y
x
.
Câu 92. [1D5-1] Hàm s
cos
y x
có đạo hàm
A.
sin
y x
. B.
sin
y x
. C.
cos
y x
. D.
1
sin
y
x
.
Câu 93. [1D5-1] Hàm s
tan
y x
có đạo hàm
A.
cot
y x
. B.
2
1
cos
y
x
. C.
2
1
sin
y
x
. D.
2
1 tan
y x
.
Câu 94. [1D5-1] Hàm s
cot
y x
có đạo hàm
A.
tan
y x
. B.
2
1
cos
y
x
. C.
2
1
sin
y
x
. D.
2
1 cot
y x
.
Câu 95. [1D5-1] Hàm s
2
1
1 tan
2
y x
có đạo hàm
A.
1 tan
y x
. B.
2
1 tan
y x
.
C.
2
1 tan 1 tan
y x x
. D.
2
1 tan
y x
.
Câu 96. [1D5-1] Tính đạo hàm của hàm s
5sin 3cos
y x x
.
A.
5sin 3cos
y x x
. B.
5sin 3cos
y x x
.
C.
5cos 3sin
y x x
. D.
5cos 3sin
y x x
.
GV. TRN QUC NGHĨA (Sưu tầm và biên tp) 51
Câu 97. [1D5-1] Tính đạo hàm của hàm s
cos 2 1
y x
.
A.
sin 2 1
2 2 1
x
y
x
. B.
sin 2 1
2 1
x
y
x
. C.
sin 2 1
2 1
x
y
x
. D.
sin 2 1
y x
.
Câu 98. [1D5-1] Tính đạo hàm của hàm s
sin 2
y x
A.
2 sin 2
y x
. B.
cos2
y x
. C.
2 cos 2
y x
. D.
2cos2
y x
.
Câu 99. [1D5-2] Cho hàm s
2
3sin 2
4
f x x
. Giá trị lớn nhất và nhnhất của
f x
lần lượt là
A.
1; 1.
B.
12; 12.
C.
6; 6.
D.
6 ; 6.
Câu 100. [1D5-2] Đạo hàm của hàm s
1
tan
2
x
y
là
A.
2
1
1
2cos
2
y
x
. B.
2
1
1
cos
2
y
x
. C.
2
1
1
2cos
2
y
x
. D.
2
1
1
cos
2
y
x
.
Câu 101. [1D5-2] Cho hàm s
sin 3 cos
y x x
. Tìm nghiệm của phương trình
0.
y
A.
,
3
x k k
. B.
,
6
x k k
.
C.
2 ,
6
x k k
. D.
,
6
x k k
.
Câu 102. [1D5-2] Tính đạo hàm của hàm s
2
sin 3 2
y x x
.
A.
2
cos 3 2
y x x
. B.
2
2 3 .sin 3 2
y x x x
.
C.
2
2 3 .cos 3 2
y x x x
. D.
2
2 3 .cos 3 2
y x x x
.
Câu 103. [1D5-2] Đạo hàm của hàm s
sin 2
2
y x
là
A.
2sin 2
x
. B.
cos 2
2
x
. C.
2sin 2
x
. D.
2cos 2
2
x
.
Câu 104. [1D5-2] Hàm snào sau đây đạo hàm là hàm s
cos2 sin
y x x
?
A.
sin2 cos
y x x
. B.
1
sin 2 cos
2
y x x
.
C.
sin2 cos
y x x
. D.
1
sin 2 cos
2
y x x
.
Câu 105. [1D5-2] Cho hàm s
sin cos 2
y f x x x x
. Nghiệm ơng nhỏ nhất của phương trình
0
f x
A.
5
4
B.
2
4
x k k
C.
3
4
x
D.
11
4
x
Câu 106. [1D5-2] Hàm s
sin
x
y
x
có đạo hàm
A.
2
cos sin
x x x
y
x
. B.
2
cos sin
x x x
y
x
. C.
2
sin cos
x x x
y
x
. D.
2
sin cos
x x x
y
x
.
TÀI LIU HC TP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 52
Câu 107. [1D5-2] Hàm s
2
.cos
y x x
có đạo hàm
A.
2
2 .cos sin
y x x x x
. B.
2
2 .cos sin
y x x x x
.
C.
2
2 .sin cos
y x x x x
. D.
2
2 .sin cos
y x x x x
.
Câu 108. [1D5-2] Hàm s
tan cot
y x x
có đạo hàm
A.
2
1
cos 2
y
x
. B.
2
4
sin 2
y
x
. C.
2
4
cos 2
y
x
. D.
2
1
sin 2
y
x
.
Câu 109. [1D5-3] Hàm s
2 sin 2 cos
y x x
có đạo hàm
A.
1 1
sin cos
y
x x
. B.
1 1
sin cos
y
x x
.
C.
cos sin
sin cos
x x
y
x x
. D.
cos sin
sin cos
x x
y
x x
.
Câu 110. [1D5-3] Hàm s
2
cos
y f x
x
3
f
bằng
A.
2
. B.
8
3
. C.
4 3
3
. D.
0
.
Câu 111. [1D5-3] Hàm s
2
tan
2
x
y có đạo hàm
A.
3
sin
2
cos
2
x
y
x
. B.
3
2sin
2
cos
2
x
y
x
. C.
3
sin
2
2cos
2
x
y
x
. D.
3
tan
2
x
y
.
Câu 112. [1D5-3] Hàm s
cot 2
y x
có đạo hàm
A.
2
1 cot 2
cot2
x
y
x
. B.
2
1 cot 2
cot 2
x
y
x
. C.
2
1 tan 2
cot 2
x
y
x
. D.
2
1 tan 2
cot2
x
y
x
.
Câu 113. [1D5-3] Cho hàm s
cos3 .sin2
y x x
. Tính
3
y
bằng
A.
1
3
y
. B.
1
3
y
. C.
1
3 2
y
. D.
1
3 2
y
.
Câu 114. [1D5-3] Cho hàm s
cos2
1 sin
x
y
x
. Tính
6
y
bằng
A.
1
6
y
. B.
1
6
y
. C.
3
6
y
. D.
3
6
y
.
Câu 115. [1D5-3] Xét hàm s
3
cos2
f x x
. Chọn đáp án sai:
A.
1
2
f
. B.
3 2
2sin 2
3. cos 2
x
f x
x
.
C.
1
2
f
. D.
2
3. . 2sin2 0
y y x
.
Câu 116. [1D5-3] Cho hàm s
sin cos
y f x x x
. Giá tr
2
16
f
bằng
A.
0
. B.
2
. C.
2
. D.
2 2
.
GV. TRN QUC NGHĨA (Sưu tầm và biên tp) 53
Câu 117. [1D5-3] Cho hàm s
tan cot
y f x x x
. Giá tr
4
f
bằng
A.
2
. B.
2
2
. C.
0
. D.
1
2
.
Câu 118. [1D5-3] Cho hàm s
1
sin
y f x
x
. Giá tr
2
f
bằng
A.
1
. B.
1
2
. C.
0
. D. Không tn ti.
Câu 119. [1D5-3] Xét hàm s
5
2sin
6
y f x x
. Tính giá tr
6
f
bằng
A.
1
. B.
0
. C.
2
. D.
2
.
Câu 120. [1D5-3] Cho hàm s
2
tan
3
y f x x
. Giá tr
0
f
bằng
A.
4
. B.
3
. C.
3
. D.
3
.
Câu 121. [1D5-3] Cho hàm s
2sin
y f x x
. Đạo hàm của hàm s
y
là
A.
2cos
y x
. B.
1
cos
y x
x
. C.
1
2 .cosy x
x
. D.
1
.cos
y
x x
.
Câu 122. [1D5-3] Cho hàm s
cos
1 sin
x
y
x
. Tính
6
y
bằng
A.
1
6
y
. B.
1
6
y
. C.
2
6
y
. D.
2
6
y
.
Câu 123. [1D5-3] Hàm s
2
sin .cos
y x x
có đạo hàm
A.
2
sin 3cos 1
y x x
. B.
2
sin 3cos 1
y x x
.
C.
2
sin cos 1
y x x
. D.
2
sin cos 1
y x x
.
Câu 124. [1D5-3] Đạo hàm của hàm s
2
cot cos sin
2
y x x
là
A.
2
1 cos
2cot cos
sin cos
2 sin
2
x
y x
x
x
.
B.
2
1 cos
2cot cos .sin
sin cos
2 sin
2
x
y x x
x
x
.
C.
2
1 cos
2cot cos
sin cos
sin
2
x
y x
x
x
.
D.
2
1 cos
2cot cos .sin
sin cos
sin
2
x
y x x
x
x
.
TÀI LIU HC TP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 54
Câu 125. [1D5-4] Cho hàm s
sin 2 2 1 2 cos2 2 1
f x x m x mx
. Với giá trị nào của tham số
m
t phương trình
0
f x
có nghiệm.
A.
m
. B.
1;1
m
C.
1 5
; ;
2 6
m

D.
1
;
3
m

Câu 126. [1D5-4] Cho hàm s
cos 2sin 3 1
f x m x x x
, tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để
phương trình
0
f x
có nghiệm.
A.
5
m
hoc
5
m . B.
5 5
m .
C.
5
m
. D.
5
m .
Câu 127. [1D5-4] Cho hàm s
2 2 2
sin tan 3cos
f x x x x
2 2
4sin tan
g x x x
. Khi đó:
A.
sin 2
f x g x x
. B.
3
f x g x
.
C.
1
f x g x
. D.
0
f x g x
.
Câu 128. [1D5-4] Cho hàm s
cos
, 0
x
y x
x
. Chọn đẳng thức đúng.
A.
2 cos 0
y x y x
. B.
2 cos 0
y x y x
.
C.
2 cos 0
y x y x
. D.
2 cos 0
y x y x
.
BÀI 4. VI PHÂN
Câu 129. [1D5-1] Cho hàm s
2
1
y f x x
. Biểu thức nào sau đây chỉ vi phân của hàm s
f x
?
A.
d 2 1 d
y x x
. B.
2
d 1 d
y x x
. C.
d 2 1
y x
. D.
d 2 1 d
y x x
.
Câu 130. [1D5-1] Cho hàm s
3
5 6
y x x
. Vi phân của hàm s là
A.
2
d 3 5 d
y x x
. B.
2
d 3 5 d
y x x
. C.
2
d 3 5 d
y x x
. D.
2
d 3 5 d
y x x
.
Câu 131. [1D5-1] Cho hàm s
2
1
x
y
x
. Vi phân của hàm s là
A.
2
d
d
1
x
y
x
. B.
2
3d
d
1
x
y
x
. C.
2
3d
d
1
x
y
x
. D.
2
d
d
1
x
y
x
.
Câu 132. [1D5-1] Cho hàm s
2
1
1
x x
y
x
. Vi phân của hàm s là
A.
2
2
2 2
d d
1
x x
y x
x
. B.
2
2 1
d d
1
x
y x
x
. C.
2
2 1
d d
1
x
y x
x
. D.
2
2
2 2
d d
1
x x
y x
x
.
Câu 133. [1D5-1] Cho hàm s
3 2
9 12 5
y x x x
. Vi phân của hàm s là
A.
2
d 3 18 12 d
y x x x
. B.
2
d 3 18 12 d
y x x x
.
C.
2
d 3 18 12 d
y x x x
. D.
2
d 3 18 12 d
y x x x
.
Câu 134. [1D5-1] Tìm vi phân của hàm s
3 2
3 2 4
y x x x
.
A.
2
d 3 6 2 d
y x x x
. B.
2
d 3 6 2d
y x x x
.
C.
2
d 3 6 2 d
y x x x
. D.
2
d 3 2 d
y x x x
.
Câu 135. [1D5-1] Vi phân của hàm s
cos
y x
A.
d cos d
y x x
. B.
d cos d
y x x
. C.
d sin d
y x x
. D.
d sin d
y x x
.
GV. TRN QUC NGHĨA (Sưu tầm và biên tp) 55
Câu 136. [1D5-2] Cho hàm s
3
1
3
y
x
. Vi phân của hàm s là
A.
1
d d
4
y x
. B.
4
1
d d
y x
x
. C.
4
1
d d
y x
x
. D.
4
d d
y x x
.
Câu 137. [1D5-2] Cho hàm s
sin 3cos
y x x
. Vi phân của hàm s là
A.
d cos 3sin d
y x x x
. B.
d cos 3sin d
y x x x
.
C.
d cos 3sin d
y x x x
. D.
d cos 3sin d
y x x x
.
Câu 138. [1D5-2] Cho hàm s
2
sin
y x
. Vi phân của hàm s là
A.
d sin2 d
y x x
. B.
d sin 2 d
y x x
. C.
d sin d
y x x
. D.
d 2cos d
y x x
.
Câu 139. [1D5-2] Hàm s
sin cos
y x x x
có vi phân là
A.
d cos sin d
y x x x x
. B.
d cos d
y x x x
.
C.
d cos sin d
y x x x
. D.
d sin d
y x x x
.
Câu 140. [1D5-2] Hàm s
2
1
y
x
x
. Có vi phân là
A.
2
2
2
d
1
d
1
x
y x
x
. B.
2
1
d
2
d
x
y x
x
. C.
2
2
1
1
d d
x
y x
x
. D.
2
2
1
1
d d
y x
x
.
Câu 141. [1D5-2] Cho hàm s
5sin2
y x
vi phân của hàm stại
3
x
là
A.
d 5d
y x
. B.
d 10cos2 d
y x x
. C.
d 10cos2 d
y x x
. D.
d 5d
y x
.
Câu 142. [1D5-2] Cho hàm s
3
1 2
x
y
x
, vi phân của hàm s tại
3
x
là
A.
1
d d
7
y x
. B.
d 7d
y x
. C.
1
d d
7
y x
. D.
d 7d
y x
.
Câu 143. [1D5-2] Cho hàm s
sin sin
y x
vi phân của hàm số tại
x
là
A.
d cos sin d
y x x
. B.
d sin cos d
y x x
.
C.
d cos sin .cos d
y x x x
. D.
d cos sin .sin d
y x x x
.
Câu 144. [1D5-2] Cho hàm s tan
y x
vi phân của hàm stại
x
là
A.
1
d d
2 .cos
y x
x x
. B.
2
1
d d
2 .cos
y x
x x
.
C.
2
1
d d
2 .cos
y x
x x
. D.
1
d d
2 .cos
y x
x x
.
Câu 145. [1D5-2] Cho hàm s
2
cos 2
y x
vi phân của hàm s tại
x
là
A.
d 4cos2 sin 2 d
y x x x
. B.
d 2cos2 sin 2 d
y x x x
.
C.
d 4cos2 sin2 d
y x x x
. D.
d 2cos2 sin2 d
y x x x
.
Câu 146. [1D5-2] Cho hàm s
2
2
1
1
x
y
x
vi phân của hàm stại
x
là
A.
2
2
4
d d
1
y x
x
. B.
2
2
4
d d
1
x
y x
x
. C.
2
2
d
d
1
x
y
x
. D.
2
4
d d
1
y x
x
.
Câu 147. [1D5-2] Cho hàm s
2
khi 0
2 khi 0
x x x
f x
x x
. Kết quả nào dưới đây là đúng?
A.
2
0
0 lim 0
x
f x x
. B.
2
0 0
0 lim lim 1 1
x x
x x
f x
x
.
C.
0
0 lim 2 0
x
f x
. D.
d 0 d
f x
.
TÀI LIU HC TP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 56
Câu 148. [1D5-2] Cho hàm s
sin khi 0
khi 0
x x
f x
x x
. Khẳng định nào dưới đây là sai?
A.
0 1
f
. B.
0 1
f
.
C.
d 0 d
f x
. D. Hàm s không có vi phân ti
0
x
.
Câu 149. [1D5-2] Hàm s
2
1
1
x x
y
x
có vi phân là
A.
2
2
2 2
d d
1
x x
y x
x
B.
2
2 1
d d
1
x
y x
x
C.
2
2 1
d d
1
x
y x
x
D.
2
2
2 2
d d
1
x x
y x
x
Câu 150. [1D5-2] Hàm s
2
1
x
y
x
có vi phân là
A.
2
2
2
1
d d
1
x
y x
x
. B.
2
2
d d
1
x
y x
x
. C.
2
2
1
d d
1
x
y x
x
. D.
2
2
1
d d
1
y x
x
.
Câu 151. [1D5-2] Vi phân của hàm s
2
5
y x x
bằng biểu thức nào sau đây?
A.
2
1
d d
2 5
y x
x x
. B.
2
2 5
d d
5
x
y x
x x
.
C.
2
2 5
d d
2 5
x
y x
x x
. D.
2
2 5
d d
2 5
x
y x
x x
.
Câu 152. [1D5-2] Biểu thức nào sau đây là vi phân của hàm s
2
1
x
y
x
?
A.
2
2
2
3 1
d
1
x
x
x
. B.
2
2
2
1
d
1
x
x
x
. C.
2
2
1
d
1
x
x
x
. D.
2
2
2
1
1
x
x
.
Câu 153. [1D5-3] Vi phân của hàm s
tan
x
y
x
là
A.
2
2
d d
4 cos
x
y x
x x x
. B.
2
sin 2
d d
4 cos
x
y x
x x x
.
C.
2
2 sin 2
d d
4 cos
x x
y x
x x x
. D.
2
2 sin 2
d d
4 cos
x x
y x
x x x
.
Câu 154. [1D5-3] Xét hàm s
2
1 cos 2
y f x x
. Chọn câu đúng:
A.
2
sin 4
d d
2 1 cos 2
x
f x x
x
. B.
2
sin 4
d d
1 cos 2
x
f x x
x
.
C.
2
cos2
d d
1 cos 2
x
f x x
x
. D.
2
sin 2
d d
2 1 cos 2
x
f x x
x
.
Câu 155. [1D5-4] Tính
d sin
d cos
x
x
.
A.
cot
x
. B.
tan
x
. C.
cot
x
. D.
tan
x
.
GV. TRN QUC NGHĨA (Sưu tầm và biên tp) 57
BÀI 5. ĐẠO HÀM CP CAO
Câu 156. [1D5-1] Hàm s
2
x
y
x
đạo hàm cp hai là
A.
0
y
. B.
2
1
2
y
x
. C.
2
4
2
y
x
. D.
3
4
2
y
x
.
Câu 157. [1D5-1] Hàm s
3
2
1
y x
có đạo hàm cp ba là
A.
2
12 1
y x
. B.
2
24 1
y x
.
C.
2
24 5 3
y x
. D.
2
12 1
y x
.
Câu 158. [1D5-1] Cho hàm s
3
1
f x x
. Giá tr
0
f
bng
A.
3
. B.
6
. C.
12
. D.
24
.
Câu 159. [1D5-2] Hàm s
2 5
y x
có đạo hàm cp hai bng
A.
1
2 5 2 5
y
x x
. B.
1
2 5
y
x
.
C.
1
2 5 2 5
y
x x
. D.
1
2 5
y
x
.
Câu 160. [1D5-2] Hàm s
2
1
1
x x
y
x
có đạo hàm cp
5
bng
A.
5
6
120
1
y
x
. B.
5
5
120
1
y
x
. C.
5
5
1
1
y
x
. D.
5
5
1
1
y
x
.
Câu 161. [1D5-2] Hàm s
2
1
y x x
có đạo hàm cp
2
bng
A.
3
2 2
2 3
1 1
x x
y
x x
. B.
2
2
2 1
1
x
y
x
.
C.
3
2 2
2 3
1 1
x x
y
x x
. D.
2
2
2 1
1
x
y
x
.
Câu 162. [1D5-2] Hàm s
5
2 5
y x đạo hàm cp
3
bng
A.
3
80 2 5
y x
. B.
2
480 2 5
y x
.
C.
2
480 2 5
y x
. D.
80 2 5
y x
.
Câu 163. [1D5-2] Hàm s
tan
y x
có đạo hàm cp
2
bng
A.
3
2sin
cos
x
y
x
. B.
2
1
cos
y
x
. C.
2
1
cos
y
x
. D.
3
2sin
cos
x
y
x
.
Câu 164. [1D5-2] Cho hàm s
sin
y x
. Chn câu sai.
A. sin
2
y x
. B.
siny x
. C.
3
sin
2
y x
. D.
4
sin 2
y x
.
Câu 165. [1D5-2] Hàm s
2
2 3
1
x x
y
x
có đạo hàm cp
2
bng
A.
2
1
2
1
y
x
. B.
3
2
1
y
x
. C.
3
2
1
y
x
. D.
4
2
1
y
x
.
TÀI LIU HC TP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 58
Câu 166. [1D5-2] Hàm s
cos 2
3
y f x x
. Phương trình
4
8
f x
có nghim
0;
2
x
là
A.
2
x
. B.
0
x
6
x
. C.
0
x
3
x
. D.
0
x
2
x
.
Câu 167. [1D5-2] Cho hàm s
sin2
y x
. Chn khẳng định đúng.
A.
4 0
y y
. B.
4 0
y y
. C.
tan2
y y x
. D.
2
2
4
y y
.
Câu 168. [1D5-2] Cho hàm s
1
y f x
x
. Xét hai mệnh đề:
3
2
:I y f x
x
.
4
6
:II y f x
x
.
Mệnh đề nào đúng?
A. Ch
I
đúng. B. Ch
II
đúng. C. C hai đều đúng. D. C hai đều sai.
Câu 169. [1D5-2] Nếu
3
2sin
cos
x
f x
x
t
f x
bng
A.
1
cos
x
. B.
1
cos
x
. C.
cot
x
. D.
tan
x
.
Câu 170. [1D5-2] Cho hàm s
2
2
1
x x
y f x
x
. Xét hai mệnh đề:
:
I y f x
2
2
1 0, 1
( 1)
x
x
.
:
II y f x
2
4
0, 1
( 1)
x
x
.
Mệnh đề nào đúng?
A. Ch
I
đúng. B. Ch
II
đúng. C. C hai đều đúng. D. C hai đều sai.
Câu 171. [1D5-2] Cho hàm s
3 2
sin
f x x x
. Giá tr
2
f
bng
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
5
.
Câu 172. [1D5-2] Cho hàm s
3
5 1 4 1
f x x x
. Tp nghim của phương trình
0
f x
là
A.
1;2
. B.
;0
 . C.
1
. D.
.
Câu 173. [1D5-2] Cho hàm s
1
3
y
x
. Khi đó:
A.
3
1
8
y
. B.
1
1
8
y
. C.
3
1
8
y
. D.
1
1
4
y
.
Câu 174. [1D5-2] Cho hàm s
y ax b
vi
a
,
b
là tham số. Khi đó:
A.
10
1 0
y
. B.
10
1 10
y a b
. C.
10
1 5
y a
. D.
10
1 10
y a
.
Câu 175. [1D5-2] Cho hàm s
2
sin 2
y x
. Tính
4
6
y
bng
A.
64
. B.
64
. C.
64 3
. D.
64 3
.
Câu 176. [1D5-2] Nếu
3 2
sin
f x x x
t
2
f
bng
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
5
.
GV. TRN QUC NGHĨA (Sưu tầm và biên tp) 59
Câu 177. [1D5-2] Cho hàm s
1
1
y
x
. Đạo hàm cp hai
y

ca hàm s đã cho là
A.
4
2
1
y
x
. B.
3
2
1
y
x
. C.
3
2
1
y
x
. D.
4
2
1
y
x
.
Câu 178. [1D5-2] Cho hàm s
2
cos
y x
. Đạo hàm cp hai
y
bng
A.
2cos 2
y x

. B.
4cos 2
y x

. C.
2cos 2
y x
. D.
4cos 2
y x
.
Câu 179. [1D5-2] Cho hàm s
1
f x x
. Giá tr ca
2
f
bng
A.
27
. B.
81
. C.
96
. D.
108
.
Câu 180. [1D5-2] Cho hàm s
3
sin
y x
. Giá tr biu thc
9
M y y
bng
A.
sin
x
. B.
6sin
x
. C.
6cos
x
. D.
6sin
x
.
Câu 181. [1D5-2] Cho hàm s
siny A x
. Tính
2
M y y
.
A.
1
M
. B.
1
M
. C.
2
cos 4
M x
. D.
0
M
.
Câu 182. [1D5-2] Cho hàm s
3
2
x
y
x
. Tính
y
.
A.
3
2
2
y
x
. B.
3
2
2
y
x
. C.
4
2
2
y
x
. D.
4
2
2
y
x
.
Câu 183. [1D5-2] Cho
sin
y x x
. Tính
y
.
A.
2sin cos
y x x x
. B.
2cos sin
y x x x
. C.
sin cos
y x x x
. D.
cos + sin
y x x x
.
Câu 184. [1D5-2] Cho
2
cos
y x
. Tính
y
.
A.
sin 2
y x
. B.
sin 2
y x
. C.
2cos2
y x
. D.
2cos2
y x
.
Câu 185. [1D5-2] Cho
3 2
y ax bx cx d
. Tính
y
.
A.
2
3 2
y ax bx c
. B.
2
3 2
y ax bx c
. C.
6 2
y ax b
. D.
6 2
y ax b
.
Câu 186. [1D5-2] Cho
10
f x x
. Giá tr ca
2
f bng
A.
622080
. B.
1492992
. C.
124416
. D.
103680
.
Câu 187. [1D5-2] Cho
sin3
f x x
. Giá tr ca
2
f
bng
A.
9
. B.
0
. C.
9
. D.
3
.
Câu 188. [1D5-2] Cho
sin3
f x x
. Giá tr ca
0
f
bng
A.
0
. B.
3
. C.
3
. D.
1
.
Câu 189. [1D5-2] Tính đạo hàm cp hai ca hàm s
3 2
1
f x x x
tại điểm
2
x
.
A.
2 14
f
. B.
2 1
f
. C.
2 10
f
. D.
2 28
f
.
Câu 190. [1D5-2] Tìm đo hàm cp hai ca hàm s
tan
y x
.
A.
4
1
cos
y
x
. B.
2tan
y x
.
C.
3
2
cos
y
x
. D.
2
2tan 1 tan
y x x
.
Câu 191. [1D5-2] Đạo hàm cp hai ca hàm s
1
2
x
y
x
là
A.
3
6
2
y
x
. B.
4
6
2
y
x
. C.
3
6
2
y
x
. D.
4
6
2
y
x
.
TÀI LIU HC TP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 60
Câu 192. [1D5-2] Tính đạo hàm cp hai ca m s
sin 2
y x
, biết đạo hàm cp mt ca hàm s là
2cos2
y x
.
A.
4sin 2
y x
. B.
4sin 2
y x
. C.
4cos2
y x
. D.
4cos2
y x
.
Câu 193. [1D5-2] Tính đạo hàm cp hai ca hàm s
2 cos
y x x
, biết đạo hàm cp mt ca hàm s là
2 sin
y x
A.
2 sin
y x
. B.
2 cos
y x
. C.
sin
y x
. D.
cos
y x
.
Câu 194. [1D5-2] Cho hàm s
2
cos
y x
. Đạo hàm cp hai
y
bng
A.
2cos2
y x
. B.
4cos2
y x
. C.
2cos2
y x
. D.
2sin
y x
.
Câu 195. [1D5-2] Cho hàm s
3 2
1
x
y
x
. Gii bất phương trình
0.
y
A.
1
x
. B.
1
x
. C.
1
x
. D. nghim.
Câu 196. [1D5-2] Cho hàm s
.sin
y x x
. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A.
2cos
y y x
. B.
1 sin
y y x x
.
C.
2cos
y y x
. D.
2cos
y y x
.
Câu 197. [1D5-2] Cho hàm s
2 1
1
x
y f x
x
. Phương trình
0
f x f x
có nghim là
A.
1
2
x
.
B.
3
2
x
. C.
1
2
x
. D.
3
2
x
.
Câu 198. [1D5-2] Cho hàm s
2
sin 2
y x
giá tr ca biu thc
2 2
1 1
4 64
M y y
bng
A.
1.
B.
1.
C.
4.
D.
3.
Câu 199. [1D5-3] Cho hàm s
4
3
x
y
x
. Giá tr biu thc
2
2 1 .
M y y y
bng
A.
0
M
. B.
1
M
. C.
1
4
M
x
. D.
2
2
4
x
M
x
.
Câu 200. [1D5-3] Cho hàm s
2
2
y x x
. Giá tr biu thc
3
. 1
M y y
bng
A.
2
. B.
0
. C.
1
. D.
2
1
2
x x
.
Câu 201. [1D5-3] Cho hàm s
2
1
1.
2
y x x
Giá tr biu thc
2
2 .
y y y
bng
A.
0
. B.
2
. C.
1
. D.
1
.
Câu 202. [1D5-3] Cho hàm s
sin .
y x x
Giá tr biu thc
2 sin x
xy y xy
bng
A.
1
. B.
0
. C.
2
. D.
sin
x
.
Câu 203. [1D5-3] Cho hàm s
.tan
y x x
. Tính
2 2 2
2 1
M x y x y y
.
A.
2
2
cos
x
x
. B.
1
. C.
2 2
tan
x x
. D.
0
.
Câu 204. [1D5-3] Cho chuyển động thẳng xác đnh bởi phương trình
3 2
3 9 2017
S t t t
(
t
tính bng
giây và
S
tính bng mét). Tính gia tc khi
3s
t
.
A.
2
15 m/s
. B.
2
9 m/s
. C.
2
12 m/s
. D.
6 m/s
.
Câu 205. [1D5-3] Cho hàm s
sin 2 cos2
y x x
. Giải phương trình
0
y
A. 2 ,
4
x k k
. B. ,
8 2
x k k
.
C. 2 ,
8
x k k
D. ,
2
x k k
.
GV. TRN QUC NGHĨA (Sưu tầm và biên tp) 61
Câu 206. [1D5-3] Cho hàm s
5 4
3 5 3 2
y x x x
. Gii bất phương trình
0
y

.
A.
;1 \ 0
x  . B.
1;x

. C.
1;1
x . D.
2;2
x .
Câu 207. [1D5-3] Cho hàm s
2
4 cos
2
x
y m x
. Tìm
m
sao cho
" 0
y
vi mi x
A.
3
m
. B.
2
m
. C.
3
m
. D.
3
m
.
Câu 208. [1D5-3] Cho hàm s
4 3 2
2 2 2 2 1
y m x x mx m
. Tìm
m
để phương trình
0
y
hai nghim phân bit
A.
1 3
; ; \ 2
2 2
m
 
. B.
3 1
; ; \ 2
2 2
m
 
.
C.
3 1
; ; \ 2
2 2
m
 
. D.
1 3
; ; \ 2
2 2
m
 
.
Câu 209. [1D5-3] Cho hàm s
3 2
1
x
y
x
. Gii bất phương trình
0
y
.
A.
1
x
. B.
1
x
. C.
1
x
. D. vô nghiệm.
Câu 210. [1D5-3] Cho hàm s
3
1
1
y
x
. Gii bất phương trình
0
y
.
A.
1
x
. B.
1
x
. C.
1
x
. D. vô nghiệm.
Câu 211. [1D5-3] Cho hàm s
2
1
1
x
y
x
. Giải phương trình
0
y
.
A.
1; 1 3
x x
. B.
1; 2 3
x x
.
C.
1; 1 3
x x
. D.
1; 3 3
x x
.
Câu 212. [1D5-3] Đạo hàm cp
2018
ca hàm s
cos
y x
là
A.
sin
x
. B.
sin
x
. C.
cos
x
. D.
cos
x
.
Câu 213. [1D5-3] Gi s
3
5 1 4 1
h x x x
. Tp nghim của phương trình
0
h x
là
A.
1;2
. B.
;0
 . C.
1
. D.
.
Câu 214. [1D5-3] Tính gia tc tc thi ca chuyển động
3 2
3 7 2
S f t t t t
ti thi điểm
0
2
t
bng
A.
6
. B.
7
. C.
7
. D.
6
.
Câu 215. [1D5-3] Tính gia tc tc thi ca chuyển động
3sin2 2cos2
s f t t t
ti thời điểm
0
4
t
bng
A.
12
. B.
12
. C.
20
. D.
20
.
Câu 216. [1D5-3] Cho hàm s
1
y
x
. Khi đó
n
y x
bng
A.
1
!
1
n
n
n
x
. B.
1
!
n
n
x
. C.
!
1 .
n
n
n
x
. D.
!
n
n
x
.
Câu 217. [1D5-4] Đạo hàm cp
n
, vi
n
ca hàm s
sin
y x
.
A.
sin
2
n
n
y x
. B.
!sin
n
y n x
.
C.
cos
2
n
n
y x
. D.
!cos
n
y n x
.
TÀI LIU HC TP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 62
C ĐỀ KIỂM TRA CƠNG 4
ĐỀ S 1 – THPT Chương M B, Hà Ni
I. PHN TRC NGHIỆM: ( 2,5 điểm).
Câu 1. [1D5-1] Cho hàm s
f x
xác định trên tập số thực
thỏa mãn
2
2
lim 3
2
x
f x f
f
. Kết
quả nào sau đây đúng?
A.
2
f x
. B.
2 3
f
. C.
3
f x
. D.
3 2
f
.
Câu 2. [1D5-1] Cho hàm s
f x
xác định trên tập sthực
, đạo hàm
1
x
. Định nghĩa v
đạo hàm o sau đây là đúng?
A.
1
1
lim 1
1
x
f x f
f
x

. B.
1
1
lim 1
1
x
f x f
f
x

.
C.
1
1
lim 1
1
x
f x f
f
x

. D.
1
1
lim
1
x
f x f
f x
x

.
Câu 3. [1D5-2] Đạo hàm của hàm s
2
1
y f x x
tại
2
x
bằng:
A.
3
. B.
2
. C.
4
. D.
1
.
Câu 4. [1D5-1] Cho hàm s
y f x
1 2
f
thì điều nào sau đây là đúng?
A.
2
lim 0
x
x
. B.
0
2
lim 2
x
x
x
. C.
0
2
lim 2
1
x
x
x
. D.
1
lim 2 2
x
x
.
Câu 5. [1D5-2] Tiếp tuyến của đồ thị hàm s
2
3
y x x
tại đim
1; 2
M
có hệ số góc
k
là:
A.
1
k
. B.
1
k
. C.
7
k
. D.
2
k
.
Câu 6. [1D5-2] Nếu tiếp tuyến của đồ thị hàm s
2
3
y x x
C
có tiếp tuyến song song với đường
thng
3 10
y x
thì s tiếp tuyến của
C
là:
A.
3
. B.
0
. C.
2
. D.
1
.
Câu 7. [1D5-2] Hàm s
3 2
2 4 5
y x x x
có đạo hàm :
A.
2
3 2 4
y x x
. B.
2
3 4 4
y x x
. C.
3 2 4
y x x
. D.
2
3 4 4 5
y x x
.
Câu 8. [1D5-2] Hàm s
2
1 2
y x
x x
có đạo hàm là:
A.
2 3
1 4
1y
x x
. B.
2 4
1 4
1y
x x
. C.
2 4
1 2
1y
x x
. D.
2 3
1 4
1y
x x
.
Câu 9. [1D5-2] Hàm s
1
2y x
x
có đạo hàm
4
y
là:
A.
17
2
. B.
5
2
. C.
31
16
. D.
17
4
.
Câu 10. [1D5-2] Hàm s
3 2
2 3 5
y x x
có đạo hàm
0
y
tại các điểm sau đây:
A.
0
x
hoc
1
x
. B.
1
x
hoc
5
2
x
.C.
1
x
hoc
5
2
x
. D.
0
x
.
GV. TRN QUC NGHĨA (Sưu tầm và biên tp) 63
Câu 11. [1D5-2] Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm s
1
1
x
y
x
tại đim
2;3
A là:
A.
2 1
y x
. B.
1
4
2
y x
. C.
2 1
y x
. D.
2 7
y x
.
Câu 12. [1D5-3] Tiếp tuyến của đồ thị hàm s
4 2
2
y x x m
(với
m
tham s) tại điểm hoành
độ
0
1
x
là đường thẳng có phương trình:
A.
1
x m
. B.
0
y
. C.
1
y m
. D.
3
y m
.
Câu 13. [1D5-2] Cho hàm s
2
f x x
. Giá tr
2 2 . 2
P f x f
là:
A.
2
2
4
x
. B.
2
2
2 2
x
x
. C.
2
2
2
x
. D.
2 2
x
.
Câu 14. [1D5-2] Hàm s
3
4
2 1
1
2
x
y x
x
có đạo hàm là:
A.
2
3 4
2
5
12 1
2
x x
x
. B.
2
4
2
5
3 1
2
x
x
.
C.
2
3 4
2
3
12 1
2
x x
x
. D.
3
3 4
5
4 1
2
x x
x
.
Câu 15. [1D5-2] Đạo hàm của biểu thức
2 2
3 2 4
f x x x x
là:
A.
2
2
2
1 3
2 2 4
2 4
x x
f x x x x
x x
. B.
2
2
1 3
2
2 4
x x
f x x
x x
.
C.
2
2
2
3
2 2 4
2 2 4
x
f x x x x
x x
. D.
2
2
2
1 3
2 3 2 4
2 4
x x
f x x x x
x x
.
Câu 16. [1D5-4] Cho hàm s
2 3 2
1
1 1 2 1
3
y m x m x x
. Giá tr
m
để
2 2 0
y x
vi mi
x
thuộc
.
A.
; 1 ; 1;
 
. B.
4
0;
5
. C. Không tn ti
m
. D.
4
1;0 ; ;1
5
.
Câu 17. [1D5-3] Cho hàm s
3 2
3 2
f x x x
. Nghiệm của bất phương trình
0
f x
là:
A.
0;2
. B.
;0
 . C.
2;

. D.
;0 2;
 
.
Câu 18. [1D5-2] Hàm s
sin3
f x x
có đạo hàm
f x
là:
A.
3cos3
x
. B.
cos3
x
. C.
3cos3
x
. D.
cos3
x
.
Câu 19. [1D5-2] Đạo hàm của hàm s
3sin 5cos
y x x
là:
A.
3cos 5sin
y x x
. B.
3cos 5sin
y x x
.
C.
3cos 5sin
y x x
. D.
3cos 5sin
y x x
.
Câu 20. [1D5-2] Đạo hàm của hàm s
cos sin 2
y x x x
là:
A.
sin cos 2
x x
. B.
sin cos 2
x x
. C.
sin cos 2
x x x
. D.
sin cos 2
x x
.
TÀI LIU HC TP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 64
Câu 21. [1D5-2] Tính
2
f
biết
cos
1 sin
x
f x
x
A.
0
. B.
1
2
. C.
1
2
. D.
2
.
Câu 22. [1D5-2] Đạo hàm của hàm s
cot
y x x
là:
A.
2
cot
sin
x
x
x
. B.
2
cot
sin
x
x
x
. C.
2
cot
cos
x
x
x
. D.
2
cot
cos
x
x
x
.
Câu 23. [1D5-2] Đạo hàm của hàm s
1 2tan
y x
:
A.
2
1
cos 1 2tan
y
x x
. B.
2
1
sin 1 2tan
y
x x
.
C.
1 2 tan
2 1 2 tan
x
y
x
. D.
1
2 1 2 tan
y
x
.
Câu 24. [1D5-4] Cho hàm s
2
2cos 4 1
f x x
. Miền giá tr của
f x
là:
A.
2 2
f x
. B.
4 4
f x
. C.
8 8
f x
. D.
16 16
f x
.
Câu 25. [1D5-4] Cho hàm s
2
cos 2
y x
. Số nghiệm của phương trình
0
y
trên
0;
2
là:
A.
4
. B.
3
. C.
2
. D. s nghim.
ĐỀ S 2THPT Hng Văn Th , Hòa Bình
I. PHN TRC NGHIM ( 7 điểm)
Câu 1. [1D5-1] Số gia của hàm s
2
1
f x x
biết
0
1
x
1
x
A.
2
. B.
3
. C.
4
. D.
5
.
Câu 2. [1D5-1] Đạo hàm của hàm s
5 3 2
4
2
x
y x x x
là
A.
4 2
1
5 12 2
4
x x x
. B.
5 2
1
5 12 2
2
x x x
.
C.
4 2
1
5 12 2
2
x x x
. D.
4 2
1
5 12 2
4
x x x
.
Câu 3. [1D5-2] Nghiệm của bất phương trình
0
f x
với
3 2
2 5
f x x x
là
A.
2
0
3
x x
. B.
2
0
3
x
. C.
4
0
3
x x
. D.
4
0
3
x
.
Câu 4. [1D5-2] Phương trình tiếp của đồ thị hàm s
2
2
x x
y
x
tại điểm
1; 2
A
là
A.
5 3
y x
. B.
2
. C.
9 7
y x
. D.
9 7
y x
.
Câu 5. [1D5-2] Tiếp tuyến với đồ thị hàm s
3 2
3 2
y x x
tại đim
1; 2
là
A.
9
. B.
5 3
y x
. C.
3 5
y x
. D.
5 7
y x
.
Câu 6. [1D5-3] Một vật rơi tự do theo phương trình
2
m
1
2
s gt với
2
9,8 m/s
g . Vận tc tức thời
của vật tại thời điểm
5 s
t
A.
122,5 m/s
. B.
29,5 m/s
. C.
10 m/s
. D.
49 m/s
.
GV. TRN QUC NGHĨA (Sưu tầm và biên tp) 65
Câu 7. [1D5-3] Cho hàm s
2
2 1
y x x
. Khi đó:
A.
2
2
2 1
x
y
x
. B.
2
2
2 2 1
1
x x
y
x
. C.
2
2 1
1
x
y
x
. D.
2
2
2 2 1
2 1
x x
y
x
.
Câu 8. [1D5-3] Đạo hàm của hàm s
10
3
1 2
y x
là
A.
9
2 3
10 1 2
x x
. B.
9
3 3
60 1 2
x x
.
C.
9
2 3
6 1 2
x x
. D.
9
2 3
60 1 2
x x
.
Câu 9. [1D5-3] Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm s
2
1
2 1
2
y x x
biết tiếp tuyến song song
với đường thẳng
2 3
y x
là
A.
2 7
y x
. B.
2 7
y x
. C.
3 5
y x
. D.
2 5
y x
.
Câu 10. [1D5-4] Cho hàm s
2
1
y x
. Hai điểm
0,5;1,25
A và
0,5 ;1,25
B x y
thuc đồ thị
hàm số. Hệ s góc của cát tuyến
AB
với
1,5
x
A.
2
. B.
2,5
. C.
3,5
. D.
5
.
Câu 11. [1D5-3] Cho hàm s
3 2
1
4 5 17
3
f x x x x
. Gọi
1
x
,
2
x
là hai nghiệm của phương trình
0
f x
thì
1 2
x x
có giá trbằng
A.
5
. B.
8
. C.
5
. D.
8
.
Câu 12. [1D5-3] Cho
2
2
y x x
ta có
y
y
bằng
A.
2
1
2
x
. B.
1
.
C.
2
1
2
x x
. D.
2
2
x
.
Câu 13. [1D5-3] Tiếp tuyến với đồ thị hàm s
5
2
f x
x
tại điểm có hoành độ
0
3
x
h số góc
A.
5
. B.
5
. C.
2
. D.
3
.
Câu 14. [1D5-3] Cho
2 2
sin cos
f x x x x
khi đó
f x
bằng
A.
1 sin .cos
x x
. B.
1 2sin 2
x
.
C.
1 2sin 2
x
. D.
1 2sin 2
x
.
II. T LUN (3 điểm)
Câu 15. Tính đạo hàm ca các hàm số sau:
1)[1D5-1]
5 3 2
4
2
3
y x x x
.
2)[1D5-2]
2
sin 2x 3
y x x
Câu 16. [1D5-3] Cho hàm s
3 2
3 2
y x x
đồ thị
C
. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
C
. Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
d
phương trình:
1
5
3
y x
.
TÀI LIU HC TP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 66
ĐỀ S 3 – THPT Vĩnh Lc, Huế
I - Phn trc nghim.
Câu 1. [1D5-1] Tính đạo hàm của hàm s
cot 2
y x
.
A.
2
2
sin
y
x
. B.
2
2
sin
y
x
. C.
2
2
sin 2
y
x
. D.
2
2
sin 2
y
x
.
Câu 2. [1D5-2] Tính đạo hàm của hàm s
2sin 2 3cot2
y x x
.
A.
2
3
4cos2
sin 2
y x
x
. B.
2
6
4cos2
sin 2
y x
x
.
C.
2
6
4cos2
sin 2
y x
x
. D.
2
2
4cos2
sin 2
y x
x
.
Câu 3. [1D5-2] Tính đạo hàm của hàm s
tan 4 4
y x x
.
A.
2tan4
tan 4 4
x
y
x x
. B.
2
2tan 4
tan 4 4
x
y
x x
. C.
2
tan 4
tan 4 4
x
y
x x
. D.
2 tan 4
tan 4 4
x
y
x x
.
Câu 4. [1D5-2] Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm s
2
5
f x x
tại đim
M
có tung độ
0
1
y
và hoành độ
0
0
x
.
A.
2 6 6 1
y x
. B.
2 6 6 1
y x
.
C.
2 6 6 1
y x
. D.
2 6 6 1
y x
.
Câu 5. [1D5-3] Cho hàm s
cos
y x x
. Biết rằng
tan
xy y k x x
với mi
2
x k k
.
Tìm giá tr của
k
.
A.
2
k
. B.
0
k
. C.
1
k
. D.
1
k
.
Câu 6. [1D5-1] Tính đạo hàm của hàm s
cos2
y x
.
A.
sin2
y x
. B.
2sin2
y x
. C.
sin2
y x
. D.
2sin 2
y x
.
Câu 7. [1D5-2] Tính đạo hàm của hàm s
4
5 7
y x
.
A.
3
20 5 7
y x
. B.
3
4 5 7
y x
. C.
28 7 5
y x
. D.
28 5 7
y x
.
Câu 8. [1D5-3] Cho hàm s
3 2
2 3
f x x x mx
. Tìm
m
để
f x
bằng bình phương của một
nh thức bậc nhất.
A.
4
3
m
. B.
4
9
m
.
C.
4
m
. D. Không có giá tr nào.
Câu 9. [1D5-1] Tại mi
x
dương. Tính đạo hàm của hàm s
y x
.
A.
1
x
x
. B.
1
2
x
x
. C.
x x
. D.
2
x x
.
Câu 10. [1D5-1] Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị
C
của hàm s
y f x
tại đim
0 0 0
;
M x f x
.
A.
0 0
y y f x x
, trong đó
0 0
y f x
. B.
0 0 0
y x f x x x
.
C.
0 0
y f x x x
. D.
0 0 0
y y f x x x
, trong đó
0 0
y f x
.
GV. TRN QUC NGHĨA (Sưu tầm và biên tp) 67
Câu 11. [1D5-1] Tính đạo hàm của hàm s
4 3
2 3 2
y x x x
.
A.
3 2
8 9 1
y x x
. B.
3
16 9 1
y x x
.
C.
3 2
8 27 1
y x x
. D.
3
8 9 1
y x x
.
Câu 12. [1D5-2] Cho hàm s
cos
1 sin
x
y
x
. Tính
6
y
.
A.
1
6
y
. B.
0
6
y
. C.
2
6
y
. D.
2
6
y
.
Câu 13. [1D5-1] Tính đạo hàm của hàm s
tan4
y x
.
A.
2
1 tan 4
y x
. B.
2
4
cos 4
y
x
. C.
2
1
cos 4
y
x
. D.
2
4 1 tan 4
y x
.
Câu 14. [1D5-2] Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm s
2
5
f x x
tại đim
M
có hoành độ
0
1
x
.
A.
2 1 6
y x
. B.
2 1 6
y x
. C.
2 1 6
y x
. D.
2 1 6
y x
.
Câu 15. [1D5-1] Chọn mnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây.
A. Hàm s
y f x
có đạo hàm tại
0
x
khi và chỉ khi hàm số này liên tục tại đim đó.
B. Nếu hàm s
y f x
có đạo hàm tại
0
x
thìliên tục tại điểm đó.
C. Nếu hàm s
y f x
không liên tục tại
0
x
thì nó vẫn thể có đạo hàm ti đim đó.
D. Nếu hàm s
y f x
liên tục tại
0
x
t đạo hàm tại điểm đó.
Câu 16. [1D5-2] Tính đạo hàm của hàm s
2
1 1
y
x
x
.
A.
3
1 2
2
y
x
x
. B.
3
1 2
2
y
x
x x
. C.
3
1 2
2
y
x
x x
. D.
3
1 2
2
y
x
x
.
Câu 17. [1D5-1] Tại mọi
x
. Tính đạo hàm của hàm s
, 1
n
y x n n
.
A.
1
.
n n
x n x
. B.
1
n n
x x
. C.
1
.
n n
x n x
. D.
.
n
x n x
.
Câu 18. [1D5-1] Cho hàm s
u u x
có đạo hàm trên
;
a b
. Tính đạo hàm của hàm
sin
y u
.
A.
cos
y u u
. B.
cos
y u u
. C.
cos
y u u
. D.
cos
y u u
.
Câu 19. [1D5-2] Tính số gia
y
của hàm s
f x x
tại
0
1
x
, với giả thiết
x
là số gia của đối số
tại
0
x
.
A. 1
y x x
. B. 1
y x
. C.
y x x
. D.
y x
.
Câu 20. [1D5-3] Cho hàm s
3
4 3
y x x
có đồ thị
C
. Tìm
m
để đường thẳng
: 1
d y mx
tiếp
xúc với
C
.
A.
0
m
. B.
6
m
. C.
2
m
. D.
3
m
.
II - Phn t lun
Bài 1: [1D5-2] Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
C
của hàm s
3 2
2 3
y f x x x
tại
điểm hoành độ
0
1
x
.
Bài 2: [1D5-3] Tính đạo hàm của hàm s
2
3 2
1
x x
y f x
x
,
1
x
.
TÀI LIU HC TP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 68
ĐỀ S 4 – THPT Nho Quan A, Ninh Bình
I. PHN TRC NGHIM
Câu 1. [1D5-2] Tiếp tuyến với đồ thị hàm s
4
1
f x
x
tại điểm hoành độ
0
1
x
có hsố góc
A.
1
. B.
2
. C.
2
. D.
1
.
Câu 2. [1D5-2] Một vật rơi tdo theo phương trình
2
1
m
2
s gt , với
2
9,8 m/s
g . Vận tốc tức
thời của vật tại thời điểm
5 s
t là
A.
122,5 m/s
. B.
29,5 m/s
. C.
10 m/s
. D.
49 m/s
.
Câu 3. [1D5-2] Hàm snào sau đây đạo hàm
2
2
2 15
1
x x
x
:
A.
2
4 9
1
x x
y
x
. B.
2
6 5
1
x x
y
x
. C.
2
6 9
1
x x
y
x
. D.
2
6 9
1
x x
y
x
.
Câu 4. [1D5-2] Cho
3 2
3 2
x x
f x x
. Tập nghiệm của bất phương trình
0
f x
A.
2;2
. B.
. C.
0;
. D.
.
Câu 5. [1D5-2] Phương trình tiếp tuyến của đồ hàm s
3
2
2 3 1
3
x
y x x
, biết tiếp tuyến song song
với đường thẳng
: 8 2
d y x
.
A.
2
8
3
y x
,
8
y x
. B.
1
8
3
y x
,
7
8
3
y x
.
C.
11
8
3
y x
,
97
8
3
y x
. D.
1 11
8 3
y x
,
1 97
8 3
y x .
Câu 6. [1D5-2] Tính đạo hàm của hàm s
6
9
x
y
x
.
A.
2
3
9
x
. B.
2
15
9
x
. C.
2
15
9
x
. D.
2
3
9
x
.
Câu 7. [1D5-2] Cho
2 2
sin cos
f x x x x
. Khi đó
f x
bằng
A.
1 2sin 2
x
. B.
1 sin .cos
x x
. C.
1 2sin 2
x
. D.
1 2sin 2
x
.
Câu 8. [1D5-2] Đạo hàm của hàm s
sin3
y x
là biểu thức nào sau đây?
A.
cos3
2 sin3
x
x
. B.
3cos3
2 sin3
x
x
. C.
cos3
2 sin3
x
x
. D.
3cos3
2 sin3
x
x
.
Câu 9. [1D5-2] Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm s
4
y f x x
ti đim hoành độ bằng
1
A.
4 3
y x
. B.
4 4
y x
. C.
4 5
y x
. D.
4 5
y x
.
Câu 10. [1D5-2] Cho
2
1
y x x
. Ta có
y
y
bằng
A.
2
1
1
x x
. B.
2
1
1
x
. C.
1
. D.
2
1
x
.
GV. TRN QUC NGHĨA (Sưu tầm và biên tp) 69
Câu 11. [1D5-2] Cho hàm s
2
2
4 1
2
x
y
x
. Chọn ra câu trả lời đúng:
A.
2 2 2
4 1 8
2
2 2 2
x x
y
x x x
. B.
2
2
4 1 8
2
2
2
x x
y
x
x
.
C.
2 2
4 1 8
2
2 2
x x
y
x x
. D.
2 2 2
4 1 8
2
2 2 2
x x
y
x x x
.
Câu 12. [1D5-2] Sgia
y
của hàm s
2
2
y x x
tại đim
0
1
x
là
A.
2
4
x x
. B.
2
2
x x
. C.
2
4
x x
. D.
2
2 3
x x
.
Câu 13. [1D5-2] Đạo hàm của hàm s
tan
y x
:
A.
2
1
sin
x
. B.
2
1
cos
x
. C.
2
1
sin
x
. D.
2
1
cos
x
.
II. PHN T LUN
Bài 1. Tính đạo hàm ca các hàm số sau:
a) [1D5-1]
5 3 2
4
2
3
y x x x
.
b) [1D5-1]
2
sin2 3
y x x x
.
Bài 2. [1D5-2] Cho hàm s
3
1
3
3
y x x
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
C
của hàm sbiết
tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
: 2017
d y x .
ĐỀ S 5 – THPT Nguyn Trung Trc, Bình Định
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM
Câu 1. [1D5-2] Cho hàm s
4 2
2 3
f x x x
. Tập các giá trị của
x
để
0
f x
là
A.
0
. B.
1;0
. C.
0;

. D.
; 1

.
Câu 2. [1D5-2] Cho hàm s
cos2
y x
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
d sin2 d
y x x
. B.
d 2sin2 d
y x x
. C.
d 2sin2 d
y x x
. D.
d sin 2 d
y x x
.
Câu 3. [1D5-2] Đạo hàm của hàm s
2
sin
y x
tại
0
2
x
bằng
A.
0
. B.
1
. C.
1
2
. D.
1
2
.
Câu 4. [1D5-2] Đạo hàm cấp 2 của hàm s
cos
y x
tại
0
0
x
bằng
A.
1
. B.
2
. C.
0
. D.
1
.
Câu 5. [1D5-2] Đạo hàm của hàm s
2 1
1
x
y
x
tại
0
2
x
bằng
A.
1
9
. B.
1
3
. C.
3
. D.
1
.
Câu 6. [1D5-2] Với mi
x
để các hàm sdưới đây xác định, mnh đề nào sai?
A.
2
1
tan
cos
x
x
. B.
sin cos
x x
. C.
cos sin
x x
. D.
2
1
cot
sin
x
x
.
TÀI LIU HC TP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 70
Câu 7. [1D5-2] Đạo hàm của hàm s 1
y x
tại
0
3
x
bằng
A.
1
4
. B.
1
2 2
. C.
2
. D.
1
2
.
Câu 8. [1D5-2] Cho hàm s
1
1
f x
x
. H số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm s tại điểm
0;1
M bằng
A.
2
. B.
1
. C.
0
. D.
1
.
Câu 9. [1D5-2] Đạo hàm của hàm s
cos
y x x
là
A.
sin
x
. B.
cos sin
x x x
. C.
cos sin
x x x
. D.
sin
x x
.
Câu 10. [1D5-2] Đạo hàm của hàm s
3
2
y x x
tại
0
1
x
bằng
A.
0
. B.
1
. C.
5
. D.
3
.
Câu 11. [1D5-2] Đạo hàm của hàm s
2 1
3 2
x
y
x
là
A.
2
5
3 2
y
x
. B.
2
7
3 2
y
x
. C.
2
5
3 2
y
x
. D.
2
7
3 2
y
x
.
Câu 12. [1D5-3] Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm s
2
2
y x
tại điểm
1; 1
A
là
A.
2 3
y x
. B.
2 1
y x
. C.
3 2
y x
. D.
2 3
y x
.
II. PHẦN TỰ LUẬN
Câu 13. [1D5-3] Cho hàm s
3 2
2 3
y x x
đồ thị
C
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
C
tại điểm có hoành độ
0
2
x
.
Câu 14. [1D5-3] Cho hai hàm s
3
2 3 5
f x x x
2
3 3 4
g x x x
. Giải bất phương trình
f x g x
.
ĐỀ S 6 – THPT Nguyn Khuyến, Bình Phưc
I. PHN TRC NGHIM
Câu 1. [1D5-1] Cho hàm s:
4
1
x
y
x
. Khi đó số gia
y
của hàm số tại
0
3
x
là:
A.
4
x
x
. B.
2
4
x
x
. C.
2
4
x
x
. D.
1
.
Câu 2. [1D5-3] Cho hàm s
2
3
2 , 1
2 , 1
x ax b x
f x
ax bx x
. Giá trị của
,
a b
để
f x
có đạo hàm ti
1
x
A.
1
; 1
2
a b
. B.
1
; 1
3
a b
. C.
1
; 0
2
a b
. D. Không có.
Câu 3. [1D5-2] Một đoàn tàu hỏa rời ga, chuyn động nhanh dần đều với gia tốc
2
0,1 /
m s
( bqua sức
cản của không khí). Vận tốc tức thời tại thời điểm tàu đã đi được đúng
500
m
là:
A.
10 /
m s
. B.
15 /
m s
. C.
12 /
m s
. D.
20 /
m s
.
GV. TRN QUC NGHĨA (Sưu tầm và biên tp) 71
Câu 4. [1D5-1] Hàm số có đạo hàm bng
2
1
2x
x
là:
A.
3
1
x
x
. B.
3
5 1
x x
x
. C.
2
3
3
x x
x
. D.
2
2 1
x x
x
.
Câu 5. [1D5-3] Cho hàm s
tan
y x
. Hãy tìm mệnh đề đúng:
A.
2
1 0
y y
. B.
2
1 0
y y
. C.
2
1 0
y y
. D.
2
1 0
y y
.
Câu 6. [1D5-1] Cho hàm s
2
4 5
y x x
. Đạo hàm của hàm s
y
bằng:
A.
2
4
4 5
x
x x
. B.
2
1
2 4 5
x x
. C.
2
2
4 5
x
x x
. D.
2
2 4
4 5
x
x x
.
Câu 7. [1D5-1] Cho hàm s
10
2 3
y x . Đạo hàm của hàm s
y
bằng:
A.
9
30 2 3
x . B.
10
10 2 3
x . C.
9
10 2 3
x . D.
9
20 2 3
x
.
Câu 8. [1D5-2] Cho hàm s
3
cos 2
y x
. Đạo hàm của hàm s
y
bằng:
A.
2
3cos 2 .sin2
x x
. B.
2
3cos 2 .sin2
x x
. C.
2
6cos 2 .sin2
x x
. D.
2
6cos 2 .sin2
x x
.
Câu 9. [1D5-1] Tiếp tuyến của đồ thị hàm s
3
2
3 2
3
x
y x
hệ số góc
9
k
, là:
A.
16 9 3
y x
. B.
16 9 3
y x
. C.
16 9 3
y x
. D.
9 3
y x
.
Câu 10. [1D5-1] Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm s
1
1
x
y
x
tại điểm
1;2
A bằng:
A.
2
. B.
1
2
. C.
1
2
. D.
1
.
Câu 11. [1D5-4] Ta độ điểm
M
trên đồ thị hàm s
1
1
y
x
sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các
trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng
2
là:
A.
1 4
;
4 3
. B.
1 4
;
4 5
. C.
3
; 4
4
. D.
3 4
;
4 7
.
Câu 12. [1D5-3] Cho hàm s
3 2
6 15 2
y x x x
. Giải bất phương trình
0
y
ta có nghiệm:
A.
1 5
x
. B.
5 1
x
. C.
5 1
x
. D.
1 5
x
.
Câu 13. [1D5-3] Cho hàm s
sin cos
y x x
. Tập nghiệm của phương trình
0
y
là:
A. ,
4
k k Z
. B. 2 ,
4
k k Z
. C. ,
4
k k Z
. D. 2 ,
4
k k Z
.
Câu 14. [1D5-3] Cho hàm s
2
4 3
y x x
. Nếu tiếp tuyến của đồ thị hàm stại điểm
M
song song
với đường thẳng:
8 2017 0
x y
. T hoành độ
0
x
của điểm
M
là
A.
0
1
x
. B.
0
5
x
. C.
0
12
x
. D.
0
6
x
.
II. PHN T LUN
Câu 15. [1D5-2] Tính đạo hàm các hàm ssau:
a.
4
3
3
2 2017
2
x
y x
x
. b.
2
2 cos3 3 .sin3
y x x x x
.
Câu 16. [1D5-2] Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm s
2
1
x
y f x
x
tại đim tung độ
bằng
4
.
Câu 17. [1D5-3] Cho hai m s
2
2 3 2
f x x x
3 2
2 5
3 2
g x x x
. y gii bất phương
tnh:
0
f x
g x
.
TÀI LIU HC TP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 72
BNG ĐÁP ÁN TRC NGHIỆM
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
C A B B A B D A A A A B A A A C B D A B
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
D C C B D B A B A A B D D D A B A A D B
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
C A B B A A C B C C B C B A B A C C B A
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
D A B A C B B D A D B C C B D C D A D C
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
C A D D D A B A A C A B B B C D C D D A
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
D C A B C B A 8 D D A B B D C A C C D A
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
B D A B A C D D A A C D A A C C C B B A
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
D A C C C B B D D A D B D B A D C B C A
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
C B D D B A B D D A B C C A C D B A D B
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
D A B C C A A A C D A A D A B C B A A B
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
C B D C B A A D B A B D C D A A A
GV. TRN QUC NGHĨA (Sưu tầm và biên tp) 73
Tài liu tham kho
[1] Trần Văn HạoĐại s và Gii tích 11 - Nhà xut bn Giáo Dc Vit Nam
[2] Trần Văn HạoBài tập Đại s và Gii tích 11 - Nhà xut bn Giáo Dc Vit Nam
[3] Trần Văn HạoHình hc 11 - Nhà xut bn Giáo Dc Vit Nam
[4] Trần Văn HoBài tp Hình hc11 - Nhà xut bn Giáo Dc Vit Nam
[5] Trần Văn HạoBài tập Đại s và Gii tích 11 - Nhà xut bn Giáo Dc Vit Nam
[6] Lê Hồng Đức – Bài ging trng tâm TOÁN 11 - Nhà xut bn ĐHQGHN
[7] Lê Hoành Phò – Phương pháp giải CÁC CH ĐỀ CĂN BẢN ĐẠI S 11 - NXB ĐHQGHN
[8] Lê Hoành Phò – Phương pháp giải CÁC CH ĐỀ CĂN BẢN HÌNH HC 11 - NXB ĐHQGHN
[9] Nguyn Duy Hiếu K thut gii nhanh bài toán hay & khó Gii tích 11 - NXB ĐHQGHN
[10] Nguyn Duy Hiếu – K thut gii nhanh bài toán hay & khó Hình hc 11 - NXB ĐHQGHN
[11] Lương Mậu Dũng Bài tp t lun và câu hi trc nghiệm Đại s và Gii tích 11 – NXB GD Vit Nam
[12] Phạm Đức QuangBài Tp Toán 11 – Phn Trc Nghim Khách Quan
[13] http://mathvn.com
[14] http://www.vnmath.com/
[15] http://k2pi.net.vn/
[16] http://forum.mathscope.org/index.php
[17] Và mt s tài liu trên Internet mà không rõ tác gi.
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
TÀI LIU HC TP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 74
MỤC LỤC
ĐẠO HÀM
Vấn đề 1. ĐẠO HÀM VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM ...................................................................... 1
Dạng 1. Tìm số gia của hàm s .......................................................................................................................................... 3
Dạng 2. Tính đạo hàm bằng định nghĩa ...................................................................................................................... 4
Dạng 3. Quan hệ giữa liên tục và đạo hàm................................................................................................................. 6
Dạng 4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Bài toán tiếp tuyến.............................................................................. 7
Dạng 5. Ý nghĩa Vật của đạo hàm cấp 1 .................................................................................................................. 11
Vấn đề 2. CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM .................................................................................... 12
Dạng 1. Tìm đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số Đạo hàm ca hàm số hợp ............ 12
Dạng 2. Tìm đạo hàm của các hàm số lượng giác ................................................................................................... 14
Dạng 3. Phương trình, bất phương trình chứa đạom .................................................................................... 17
Dạng 4. Sử dng đạo hàm chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức ..................................................................19
Vấn đề 3. VI PHÂN ĐẠO HÀM CẤP CAO ................................................................................... 21
Dạng 1. Tìm vi phân của hàm s .................................................................................................................................... 22
Dạng 2. Tính gần đúng giá trị của hàm s................................................................................................................ 23
Dạng 3. Tính đạo hàm cấp cao của hàm s .............................................................................................................. 24
Dạng 4. Ý nghĩa của đạo hàm cấp hai ....................................................................................................................... 25
Dạng 5. Tìm công thc đạo hàm cấp n ....................................................................................................................... 26
Dạng 6. Chứng minh đẳng thức có chứa đạo hàm ................................................................................................ 27
Vấn đề 4. SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN CÓ CHỨA
k
n
C
....................... 28
Vấn đề 5. DÙNG ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIỚI HẠN .............................................. 30
BÀI TẬP CƠ BẢN NÂNG CAO CHỦ ĐỀ 5 ......................................................................................32
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 5 .................................................................................................. 41
BÀI 1. ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM .................................................................... 41
BÀI 2. QUI TẮC TÍNH ĐẠO HÀM .............................................................................................................. 46
BÀI 3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC ........................................................................... 50
BÀI 4. VI PHÂN ........................................................................................................................................................... 54
BÀI 5. ĐẠO HÀM CẤP CAO ............................................................................................................................. 57
C ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 4 ........................................................................................................ 62
ĐỀ SỐ 1 THPT Chương Mỹ B, Hà Nội ................................................................................................................. 62
ĐỀ SỐ 2THPT Hoàng Văn Th , Hòa Bình ...................................................................................................... 64
ĐỀ SỐ 3 – THPT Vĩnh Lộc, Huế ................................................................................................................................. 66
ĐỀ SỐ 4 – THPT Nho Quan A, Ninh Bình ........................................................................................................... 68
ĐỀ SỐ 5 – THPT Nguyễn Trung Trực, Bình Định ............................................................................................. 69
ĐỀ SỐ 6 – THPT Nguyễn Khuyến, Bình Phước ................................................................................................. 70
BNG ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM ...........................................................................................................72
MỤC LỤC ...................................................................................................................................................... 74
| 1/76

Preview text:

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 1 Chủ đề 2 ĐẠO HÀM
Vấn đề 1. ĐẠO HÀM VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM Mở đầu
Nhiều bài toán của toán học, vật lí, hóa học, sinh học, kĩ thuật, … đòi hỏi phải tìm giới hạn dạng:
f x  f x0  lim xx0 x x0
trong đó f x là một hàm số đã cho của đối số x .
Qua Đại số và Giải tích 11, ta biết định nghĩa và kí hiệu của số gia đối số và số gia tương ứng của hàm số:
 Số gia đối số là x
  x x 0
 Số gia tương ứng của hàm số là y
  f x – f x 0 
f x  f x y  0 
Ta sẽ dùng khái niệm và kí hiệu đó viết các giới hạn trên: lim  lim xx x  0 0 x xx 0
Định nghĩa đạo hàm
Cho hàm số y f x , xác định trên a; b và x a; b 0  
Giới hạn, nếu có, của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại x , khi số gia đối số 0
dần tới 0 , được gọi là đạo hàm của hàm số y f x tại điểm x . 0
Đạo hàm của hàm số y f x tại x được kí hiệu là y x hoặc f  x : 0  0  0
f x  f xy 0 
f  x  lim
hoặc y x  lim 0  0  xxx0 0 x x x  0
Đạo hàm một bên
a. Đạo hàm bên trái của hàm số y f x tại điểm x , kí hiệu là f x 
được định nghĩa là 0  0   f   y f x f x x  lim  lim 0     0  x0 x x    0 x x x0 trong đó x x 
được hiểu là x x x x . 0 0 0
b. Đạo hàm bên phải của hàm số y f x tại điểm x , kí hiệu là f x 
được định nghĩa là 0  0   f   y f x f x x  lim  lim 0     0  x  0 xxx  0 x x0 trong đó 
x x được hiểu là x x x x . 0 0 0
Định lí: Hàm số y f x có đạo hàm tại điểm x thuộc tập xác định của nó, nếu và chỉ nếu 0 f x  và f x 
tồn tại và bằng nhau. Khi đó ta có: f  x f xf x  . 0   0   0  0  0 
Đạo hàm trên một khoảng Định nghĩa:
a. Hàm số y f x được gọi là có đạo hàm trên khoảng a; b nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng đó.
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 2
b. Hàm số y f x được gọi là có đạo hàm trên đoạn a; b nếu nó có đạo hàm trên khoảng
a; b và có đạo hàm bên phải tại a , đạo hàm bên trái tại b .
Qui ước: Từ nay, khi ta nói hàm số y f x có đạo hàm, mà không nói rõ trên khoảng nào,
thì điều đó có nghĩa là đạo hàm tồn tại với mọi giá trị thuộc tập xác định của hàm số đã cho.
Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của h.số
Định lí: Nếu hàm số y f x có đạo hàm tại điểm x thì nó liên tục tại điểm đó. 0
 Chú ý: 1. Đảo lại không đúng, tức là một hàm số liên tục tại điểm x có thể không có 0
đạo hàm tại điểm đó
2. Như vậy, hàm số không liên tục tại x0 thì không có đạo hàm tại điểm đó.
Ý nghĩa của đạo hàm (C)
1. Ý nghĩa hình học
a. Tiếp tuyến của đường cong phẳng: M
Cho đường cong phẳng C  và một điểm cố định M trên 0 T
C  , M là điểm di động trên C  . Khi đó M M là một cát M 0 0
tuyến của C  .
Định nghĩa: Nếu cát tuyến M M có vị trí giới hạn M T khi điểm M di chuyển trên 0 0
C  và dần tới điểm M thì đường thẳng M T được gọi là tiếp tuyến của đường cong 0 0
C  tại điểm M . Điểm M được gọi là tiếp điểm. 0 0 y (C)
b. Ý nghĩa hình học của đạo hàm: f (x  x) 0 M
Cho hàm số y f x xác định trên khoảng a; b và y 
có đạo hàm tại x a; b , gọi C  là đồ thị hàm số đó. M T 0   0 f (x ) 0
Định lí 1: Đạo hàm của hàm số f x tại điểm x là x x 0 O x x  x 
hệ số góc của tiếp tuyến M T của C  tại điểm 0 0 0 M x ; f x 0  0  0 
c. Phương trình của tiếp tuyến:
Định lí 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị C  của hàm số y f x tại điểm M x ; f x là 0  0  0 
y y f x x x 0   0  2. Ý nghĩa vật lí
a. Vận tốc tức thời: Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s f t  , với
f t  là hàm số có đạo hàm. Khi đó, vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t là 0
đạo hàm của hàm số s f t  tại t . 0
v t st f t 0   0   0 
b. Cường độ tức thời: Điện lượng Q truyền trong dây dẫn xác định bởi phương
trình: Q f t , với f t  là hàm số có đạo hàm. Khi đó, cường độ tức thời của dòng
điện tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số Q f t tại t . 0
I t Qt f t 0   0   0 
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 3
Dạng 1. Tìm số gia của hàm số
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Để tính số gia của hàm số y f x tại điểm x0 tương ứng với số gia x  cho trước ta áp
dụng công thức tính sau: y
  f x x   f x 0   0  B. BÀI TẬP MẪU VD 1. Tìm số gia của hàm số 2
y  2x  3x  5 , tương ứng với sự biến thiên của đối số:
a) Từ x  1 đến x x   2
b) Từ x  2 đến x x   0,9 0 0 0 0
c) Từ x  1 đến x  1 x
d) Từ x  2 đến x  2  x 0 0
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................ y VD 2. Tính y  và
của hàm số sau theo x và x  : x
a) y  3x  5 b) 2 y  3x  7 c) 2
y  2x  4x 1
d) y  cos 2x
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Tìm số gia của hàm số 2
y x – 1 tại điểm x  1 ứng với số gia x  , biết: 0 a) x   1 b) x   –0,1
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 4
Dạng 2. Tính đạo hàm bằng định nghĩa
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Để tính đạo hàm của hàm số y f x tại điểm x bằng định nghĩa ta làm như sau: 0  Cách 1:
 Cho x một số gia x  và tìm số gia y
  f x  x f x 0   0  0 y  Tập tỉ số x  y  Tìm giới hạn lim . Nếu: x0 x  yy  lim
tồn tại hữu hạn thì tại x hàm số có đạo hàm là f  x  lim 0  0 x0 x  x0 x  y  lim
không tồn tại hữu hạn thì tại x hàm số không có đạo hàm. 0 x0 x   Cách 2:
f x  f x0   Tính lim x0 x x0
f x  f x0   Nếu lim
tồn tại hữu hạn thì tại x hàm số có đạo hàm là 0 xx0 x x0
f x  f x0 
f  x  lim 0  xx0 x x0
f x  f x0   Nếu lim
không tồn tại hữu hạn thì tại x hàm số không có đạo 0 xx0 x x0 hàm. B. BÀI TẬP MẪU VD 3.
Tính đạo hàm của hàm số 2
y x  2x  4 tại x  2 0
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................. VD 4.
Cho hàm số y f x 2  2x 1
a) Tìm đạo hàm của hàm số tại x  2
b) Suy ra giá trị 3 f 2  5 f 2 3 0
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 5 s  in 3x khi x  0 VD 5.
Cho y f x  
. Tính đạo hàm của hàm số tại x  0 bằng định nghĩa. 3x  2 khi x  0 0 
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 2.
Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm x : 0
a) y  2x 1 tại x  2 b) 2
y x x tại x  1 0 0 x  1 c) y  tại x  0 d) y  2x  7 tại x  1 x 1 0 0 2 sin x  khi x  0 Bài 3.
Cho hàm số: y f x   x 0 khi x  0 
a) Chứng minh rằng f x liên tục tại x  0 . 0
b) Tính đạo hàm (nếu có) của f x tại điểm x  0 . 0  1 2 x cos khi x  0 Bài 4.
Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y f x   x tại điểm x  0 0 0 khi x  0     x  2 1 khi x  0 Bài 5.
Chứng minh rằng hàm số: y f x  
không có đạo hàm tại điểm x  0 2 0 x khi x  0 
nhưng có đạo hàm tại x  2 . 0 x Bài 6.
Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y  tại x  0 . 1 x 0 2 x  2 x  3 Bài 7.
Chứng minh rằng hàm số y
liên tục tại x  –3 nhưng không có đạo hàm tại điểm ấy. 3x 1 2 x khi x  1 Bài 8.
Tìm a , b để hàm số y f x  
có đạo hàm tại điểm x  1 . ax b khi x  1 
p cos x q sin x khi x  0 Bài 9.
Cho hàm số: y f x  
. Chứng minh rằng với mọi cách chọn px q 1 khi x  0 
p , q hàm số không thể có đạo hàm tại điểm x  0 . Bài 10.
Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau ( a là hằng số): 1 1 1
a) y ax  3 b) 2 y ax c) y  với x
d) y  3  x với x  3 2 2x 1 2
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 6
Dạng 3. Quan hệ giữa liên tục và đạo hàm
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Mối quan hệ giữa liên tục và đạo hàm ta cần nhớ các kết luận sau:
f x liên tục tại x  lim f x  f x  lim y   0 0  0 xx x  0 0
f x có đạo hàm tại x f x liên tục tại x 0 0
f x liên tục tại x chưa chắc f x có đạo hàm tại x 0 0 B. BÀI TẬP MẪU x  2 VD 6.
Cho hàm số y f x  . 2x 1
a) Xét sự liên tục của hàm số tại x  2
b) Xét xem tại x  2 hàm số có đạo hàm không? 0 0
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................. 2  x  3 2 x sin khi x  0 VD 7.
Cho y f x 2   x . 0 khi x  0 
a) Xét sự liên tục của hàm số tại x  0
b) Xét xem tại x  0 hàm số có đạo hàm không? 0 0
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 2 x  2 x  3 Bài 11. CMR: hàm số y
liên tục tại x  3
 nhưng không có đạo hàm tại điểm ấy. 3x 1  1 2 x sin khi x  0 Bài 12.
Cho hàm số: y f x   x 0 khi x  0 
a) Tính đạo hàm của hàm số tại mỗi x   .
b) Chứng tỏ rằng đạo hàm f  x không liên tục tại điểm x  0 . 0
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 7
Dạng 4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Bài toán tiếp tuyến
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Sử dụng ý nghĩa hình học của đạo hàm
Hệ số góc k của cát tuyến MN với đường cong C  : y f x , biết M , N theo y y y
thứ tự có hoành độ là x , x được cho bởi: N M k   với x x M Nx x x N M N M
f  x là hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong C  tại M x ; f x 0  0  0 
Tiếp tuyến của đồ thị
1. Tiếp tuyến tại một điểm:
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị C  : y f x tại điểm M x ; y : 0  0 0 
y y f x x x 0  0  0  Trong đó: - M x ; y gọi là tiếp điểm. 0  0 0  -
k f  x là hệ số góc. 0  Các chú ý: -
Nếu cho x thì thế vào y f x tìm y . 0 0 -
Nếu cho y thì thế vào y f x tìm x . 0 0
2. Tiếp tuyến đi qua một điểm:
Để lập phương trình tiếp tuyến d với C  biết d đi qua Ax ; y : A A
Cách 1: - Gọi M x ; y là tiếp điểm. 0  0 0 
- Phương trình đường thẳng d qua M với hệ số góc k f  x : 0  0
y y f x x x 0  0  0 
- A x ; y   d y y f x x x A A A 0  0  A 0 
- Giải phương trình trên tìm x , tìm f  x , thế vào y f x tìm y . 0  0 0
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc (Sẽ học ở lớp 12)
3. Tiếp tuyến biết hệ số góc:
- Giải phương trình: f  x  k  các hoành độ tiếp điểm.
- Thế vào y f x để tìm tung độ. y
- Viết tiếp tuyến: y y k. x x 0  0  dd  Chú ý:
- tiếp tuyến d // : y ax b k a x
- tiếp tuyến d   : y ax b k.a  1 
- k  tan , với là góc giữa d với tia Ox .
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 8 B. BÀI TẬP MẪU VD 8.
Cho đường cong C  3
: y x và hai điểm A 1;  1 và B 1  ;
x 1 y trên C  .
a) Tính hệ số góc của cát tuyến AB với x
 lần lượt là 0,1 và 0, 01
b) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với C  tại A .
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................. 1 VD 9.
Cho hàm số y f x 
có đồ thị C  . Viết phương trình tiếp tuyến với C  , biết: x
a) tiếp điểm có hoành độ bằng 2
b) Tiếp điểm có tung độ bằng 3
c) Hệ số góc của tiếp tuyến k  –4 .
d) Tiếp tuyến song song với d : x  9 y  2018
e) Tiếp tuyến vuông góc với d : x  4 y  0 .
f) Tiếp tuyến qua điểm A  8  ; 0
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 9 VD 10.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3
y x , biết:
a) Tiếp điểm có hoành độ bằng – 1 .
b) Tiếp điểm có tung độ bằng 8 .
c) Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3 .
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 13. Cho Parabol 2
y x và hai điểm A 2; 4 và B(2   ; x 4  y
 ) trên parabol đó.
a) Tính hệ số góc của cát tuyến AB biết x
 lần lượt bằng 1; 0,1 và 0, 001 .
b) Tính hệ số góc của tiếp tuyến của parabol đã cho tại điểm A . Bài 14.
Tìm hệ số góc của cát tuyến MN với đường cong C  , biết: a) C  2
: y x  2x và hoành độ M , N theo thứ tự là x  2, x  1. M N 2 x x 1
b) C  : y
và hoành độ M , N theo thứ tự là x  1, x  3 . x M N
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 10 1 Bài 15.
Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol y  , biết: x  1  a) Tại điểm ; 2   .  2 
b) Tiếp điểm có hoành độ bằng –1. 1
c) Hệ số góc của tiếp tuyến bằng  . 4 Bài 16.
Cho đường cong C  : y x . Viết phương trình tiếp tuyến của C  :
a) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1.
b) Biết tiếp tuyến song song với  : x – 4 y  3  0 . Bài 17.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: x 1 a) y
, biết hoành độ tiếp điểm là x  0 . x  1 0 b) y
x  2 , biết tung độ tiếp điểm là y  2 . 0 1 2 x Bài 18. Cho hai hàm số y  và y
. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của mội hàm số 2 x 2
đã cho tại giao điểm của chúng. Tính góc giữa hai tiếp tuyến kể trên. Bài 19. Cho parabol  P 2
: y x . Gọi M M là hai điểm thuộc  P lần lượt có hoành độ x  –2 1 2 1
x  1. Hãy tìm trên  P một điểm E sao cho tiếp tuyến tại E song song với cát tuyến 2
M M . Viết phương trình tiếp tuyến đó. 1 2 Bài 20. Cho hàm số 3 2
y x  3x  2 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị, biết rằng tiếp tuyến
vuông góc với đường thẳng  : 3x – 5 y – 2018  0 . Bài 21.
Viết phương trình tiếp tuyến với  P 2
: y x , biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm A 0 ; –  1 . Bài 22. Cho hàm số 3 2
y x – 3x  2 . Viết phương trình tiếp tuyến của C  , biết rằng tiếp tuyến đó đi qua A 0; 3 . Bài 23.
Cho hàm số C y f x 4 2 :
 – x mx m 1 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để các m
tiếp tuyến của C
tại A1; 0 và B  –1; 0 vuông góc với nhau. m Bài 24. Cho h.số 2
y  cos x m sin x ( m là tham số) có đồ thị C  . Tìm m trong mỗi trường hợp sau:
a) Tiếp tuyến của C  tại điểm có x có hệ số góc bằng 1.
b) Tiếp tuyến của C  tại các điểm có các hoành độ x   và x
song song hoặc trùng nhau. 4 3 1 Bài 25.
Tìm giao điểm của hai đường cong  P 2
: y x x 1 và  H  : y  . Chứng minh rằng hai x 1
đường cong đó có tiếp tuyến chung tại giao điểm của chúng. Bài 26. Cho parabol  P 2
: y x . Viết phương trình tiếp tuyến với  P , biết:
a) Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y  4x  3 .
b) Tiếp tuyến đi qua điểm A 0;   1 .
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 11
Dạng 5. Ý nghĩa Vật lí của đạo hàm cấp 1
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Cần nhớ các kết quả sau:
 Nếu một chất điểm chuyển động với phương trình s s t  thì vận tốc tức thời của chất
điểm đó tại thời điểm t v tst . 0 là  0   0 
 Một dòng điện có điện lượng là Q Q t  thì cường độ tức thời của dòng điện tại thời
điểm t I t Qt . 0   0  0 B. BÀI TẬP MẪU VD 11.
Một chất điểm chuyển động có phương trình là s f t  2
t  2t  3 s,m
a) Tính đạo hàm của hàm số f t  tại thời điểm t . 0
b) Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t  5 .
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................ VD 12.
Cho biết điện lượng trong một dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số Q  5t  3 ( t tính
bằng giây, Q tính bằng culông). Tính cường độ của dòng điện trong dây dẫn tại t  8 .
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 27.
Một viên đạn được bắn lên từ vị trí M cách mặt đất 1 m , theo phương thẳng đứng với vận tốc
ban đầu là v  196 m/s (bỏ qua sức cản của không khí) 0
a) Tìm thời điểm t mà tại đó vận tốc của viên đạn bằng 0 . Khi đó viên đạn cách mặt đất bao 0 nhiêu mét ?
b) Sau khoảng bao nhiêu giây (kể từ lúc bắn) viên đạn rơi xuống mặt đất ? (lấy 2 g  9,8 m/s ) 1 Bài 28.
Một vật rơi tự do có phương trình chuyển động 2 s gt , trong đó 2
g  9,8 m/s và t được tính 2 bằng giây.
a) Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t đến t t  với độ
chính xác đến 0, 001 , biết t
 lần lượt nhận các giá trị 0,1 ; 0, 01 ; 0, 001 .
b) Tìm vận tốc tại thời điểm t  5 giây. Bài 29.
Một chiếc xe chạy được quãng đường s km sau t (giờ) được tính bởi 2
s t  3t  2 . Hãy
tính vận tốc tức thời của xe đó sau khi chạy được 4 giờ.
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 12
Vấn đề 2. CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
Đạo hàm của hàm tổng, hiệu, tích thương, hàm hợp
1)  u v w  u – v  w
2) ku  k.u , với k là hằng số.
3) u.v  u v   v u  4) u. .
v w  u vw uv w   uvw  u  
u 'v v 'u 1    v ' 5)    6)  
7) y  y .u 2   x u xv v 2  v v
Bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản
Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản
Đạo hàm của các hàm số hợp
C   0 , C hằng số x  1 1    1  1   u       2    x x 2  u u    ux  1  u   2 x 2 u    x 1  .x  u 1
.u  .u
sin x  cos x
sin u  u .cosu
cos x  sin x
cosu  u .sin u 1 u tan x 2    1 tan x tan u   u  2 1 tan u 2  2 cos x cos u 1  u   cot x     2 1 cot x cot u   u   2 1 cot u 2  2  sin x sin u
Dạng 1. Tìm đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số
Đạo hàm của hàm số hợp
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Sử dụng các quy tắc, các công thức tính đạo hàm của một số hàm số trong phần tóm tắt lí thuyết để tính.
Chú ý:  Một số bài toán ta cần rút gọn trước để việc tính đạo hàm sẽ đơn giản hơn.
 Sau khi tính đạo hàm xong, rút gọn để đưa về kết quả đjep hơn (nếu được). B. BÀI TẬP MẪU VD 13.
Tính đạo hàm của các hàm số sau: 3 a) 7 4 2
y x  3x  4x  4 x  4 b) 4 y  2x  10x  25 x c) y   2
x x   2
1 2x  3x   1
d) y  2 x   1 4 x  3 3x 1 2 2x  3x  7 e) y  f) y  4x  5 2 x  2x  3
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 13
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
VD 14. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y   x x 2016 2 2 3 b) 3 2 y  4x  3x  2 5 21 23 c) y
d) y  2x  3  x  4 2 x 34
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 30.
Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau ( a là hằng số): 1 1 1 1 a) 4 3 2 3 y x x
x x a b) y  c) 5 y x  2 3 8  3x  4 3 2
x x  5 2 1 2x 5x  3
d) y   x  
1  x  2 x  3 e) y  f) y  2 x 1 2 x x  1 1 2 x 1 g) y  h) y  i) 2 y  2  5x x x x x 1 x x j) 2
y x x x  1 k) y  l) y  1 x 2 2 a x
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 14
Dạng 2. Tìm đạo hàm của các hàm số lượng giác
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Sử dụng các quy tắc, các công thức tính đạo hàm của một số hàm số lượng giác trong phần
tóm tắt lí thuyết để tính.  
sin x  cos x
sin u  u .cosu n un 1 sin . n sin  . u sin u   
cos x   sin x
cosu  u .sin u n un 1 cos . n cos  . u cos u  1 u tan x  tan u   n u n 1 tan . n tan  .
u  tan u  2 cos x 2 cos u 1  u cot x  cot u   n un 1 cot . n cot  . u cot u  2 sin x 2 sin u Chú ý:
 Sử dụng công thức lượng giác để rút gọnm kết quả sau khi tính (nếu được).
 Có thể rút gọn trước khi tính đạo hàm để việc tính toán dễ dàng hơn. B. BÀI TẬP MẪU VD 15.
Tính đạo hàm của các hàm số sau: x 2 a) 2
y  2 sin x  sin 2x  sin x  2sin  sin b) 2 y   2 sin
2x  3x   1 c) y   2 sin 4x x 2 x
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 15
VD 16. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 20 sin x x 2  1 tan x  1 cos x a) y  b) 2 y  1 cos c) y    d) y  1 cos x 2 2 1 tan x   1 cos x
e) y x sin x  cos x f) 3 2
y  3 tan x  tan 3x  tan x  tan x g) y x  2 cot x   1 sin x  cos x 2 2
sin 2x  4 cos x  4 h) 3
y  cot 2x  3cot 2x i) y  j) y  sin x  cos x 2 2
sin 2x  4 cos x
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 16
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 31.
Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau:
a) y  5sin x  3cos x b) y   2
sin x  3x  2
c) y  cos 2x 1 d) y  sin 3 . x cos 5x
e) y  1 2 tan x
f) y  tan 3x  cot 3x x
g) y  4sin x  3cos x h) 2 4
y  4 sin x  3cos x i) y  1 cos x 1 sin x cos x j) y  k) y  l) 2
y  2x cot x x 1 sin x sin x  1 x
m) y  1 2 tan x n) y  sin 3 . x cos 4x o) y   x   2 2 cos sin 2 cos x  2   p) 2 3 y  sin . x cos x q) 3 y  tan 2x  2 2  
r) y  sin cos tan x    4  u) 2 2 y  cot x 1 v) 3 2 y  sin x 1 w) 2
y  sin cos 3x x Bài 32. Cho hàm số    3 y
f x x y g x  4x  sin
. Tính tổng f   1  g  1 ? 2 1 1 1 1 1 1 Bài 33.
Tính đạo hàm của hàm số sau: y    
cos x , với x 0; 2 2 2 2 2 2
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 17
Dạng 3. Phương trình, bất phương trình chứa đạo hàm
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Bài toán thường được đặt ra dưới dạng:
“Cho hàm số y f x , hãy giải phương trình g y, y  0 ”
Khi đó, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1. Tính đạo hàm y .
Bước 2. Chuyển phương trình g y, y  0 về phương trình đại số thông thường để giải.
 Chú ý: Cho tam thức f x 2
ax bx c, (a  0) a  0 a  0
1/ f x  0, x     
2/ f x  0, x        0    0  a  0 a  0
3/ f x  0, x     
4/ f x  0, x        0    0  B. BÀI TẬP MẪU VD 17. Cho hàm số 3 2
y x  3x x  2 . Tìm x sao cho: a) y  2 b) y  10
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................ VD 18.
Giải các bất phương trình: 2 x  3x  3 2 x x 1
a) y  0 với y
b) y  0 với y x 1 2 x x 1
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 18 VD 19.
a) Cho y  sin 2x  2 cos x . Hãy giải phương trình y  0 .
b) Cho y  3sin 2x  4 cos x 12x . Hãy giải phương trình y  2 .
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................. VD 20.
Cho hàm số: y f x 3 2
x  2x mx  3. Tìm m để:
a) f  x là bình phương của một nhị thức bậc nhất.
b) f  x  0, x    .
c) f  x  0 có hai nghiệm phân biệt đều dương.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 34.
Tìm các nghiệm của phương trình sau: 1 1 3
a) f  x  0 với f x 3 2 
x  2x  6x 1.
b) f  x  –5 với f x 4 3 2  x x x  3 . 3 4 2 Bài 35.
Cho hàm số f x 3 2
x  3x  2 . Hãy giải các bất phương trình sau: a) f  x  0 b) f  x  3 Bài 36.
Giải phương trình y  0 trong mỗi trường hợp sau:
a) y  sin 2x  2 cos x b) 2
y  cos x  sin x c) 2
y  cos x  sin x
 2x
d) y  tan x  cot x
e) y  3cos x  4 sin x  5x f) y  1 sin(x)  2 cos    2  Bài 37. Cho hàm số 3 2
y mx x x  5 . Tìm m để:
a) y bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất.
b) y có hai nghiệm trái dấu.
c) y  0 với mọi x   .
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 19
Dạng 4. Sử dụng đạo hàm chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Ta đã biết nếu một hàm số không đổi trong khoảng a; b thì đạo hàm luôn triệt tiêu
trong khoảng đó. Đảo lại ta có định lí sau:
Nếu hàm số y f x có đạo hàm trong khoảng a; bf  x  0, x
  a; b
thì hàm số y f x không đổi trong khoảng a; b ”
Từ đó ta thực hiện các dạng toán:
Dạng 1. Chứng minh rằng: A x  ,
c x D .
Ta thực hiện các bước:
Bước 1. Tính A  x , rồi khẳng định A x  0, x D .
Bước 2. Chọn x D A xc . 0  0 
Dạng 2. Tìm điều kiện của tham số để Ax không phụ thuộc vào x .
Ta thực hiện các bước:
Bước 1. Tính A  x , rồi tìm điều kiện để A x  0, x  . Bước 2. Kết luận. B. BÀI TẬP MẪU 1 VD 21.
Cho hai hàm số f x 4 4
 sin x  cos x g x  cos 4x . 4
Chứng minh f  x  g x . Nhận xét ?
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 20 4 4
sin x  3cos x 1 VD 22.
Chứng minh rằng hàm số y
có đạo hàm không phụ thuộc vào x . 6 6 4
sin x  cos x  3cos x 1
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 38. Chứng minh rằng:
a) Hàm số y  tan x thỏa mãn hệ thức 2
y – y – 1  0 .
b) Hàm số y  cot 2x thỏa mãn hệ thức 2
y  2 y  2  0 . Bài 39.
Chứng minh với mọi x thuộc tập xác định:
a) Nếu f x 2  2 cos 4x  
1 thì f x  8 . Tìm giá trị của x để đẳng thức xảy ra.
b) Nếu f x  tan 3x thì f  x  3 . Tìm giá trị của x để đẳng thức xảy ra. Bài 40.
Chứng minh rằng với mọi x ta đều có: 2  x a 2 
x b   x a  x b a b 2 cos sin 2 cos sin sin
 cos a b  2  2Bài 41.
Chứng minh rằng biểu thức 2 2 2 A  sin x   sin x  sin x    
 không phụ thuộc vào x .  3   3  Bài 42.
Chứng minh rằng hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc x : a) 6 6 2 2
y  sin x  cos x  3sin . x cos x     2   2  b) 2 2 2 2 2 y  cos  x  cos  x  cos  x  cos  x  2sin x          3   3   3   3 
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 21
Vấn đề 3. VI PHÂN – ĐẠO HÀM CẤP CAO A. VI PHÂN
Định nghĩa
Cho hàm số y f x xác định trên a; b và có đạo hàm tại x  a; b . Cho số gia x
 tại x sao cho x x
  a; b .
Ta gọi tích f  x.x (hoặc y .x ) là vi phân của hàm số y f x tại x ứng với số gia x  và
ký hiệu là dy hoặc df x . Như vậy, ta có:
dy yx
 hoặc df x  f  xx
Áp dụng: Với hàm số y x , ta được: dx   x x
  1.x x
Vậy ta có: dy y d
x hoặc df x  f  xdx .
Ứng dụng của vi phân vào phép tính gần đúng y
Theo định nghĩa đạo hàm, ta có: f  x  lim 0  x0 x  Do đó, với x  đủ nhỏ thì: yf  x
 y f x x
  f x  x f x
f x x 0   0   0   0   0  x
f x  x f x f x x 0   0   0 
Đó là công thức tính gần đúng đơn giản nhất.
B. ĐẠO HÀM CẤP CAO
Định nghĩa
Giả sử hàm số y f x có đạo hàm f  x .
 Đạo hàm của hàm số f  x , nếu có, được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số f x .
Kí hiệu là y hay f  x .
 Tương tự, đạo hàm của hàm số f  x , nếu có, được gọi là đạo hàm cấp ba của hàm số f x .
Kí hiệu là y hay f  x .
 Đạo hàm của hàm số f  x , nếu có, được gọi là đạo hàm cấp bốn của hàm số f x . Kí hiệu là 4 y hay 4 fx .
 Tổng quát, đạo hàm của đạo hàm cấp n –1 được gọi là đạo hàm cấp n của hàm số
y f x .
Kí hiệu là ny hay nfx .
Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai
Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s f t  với f t  là hàm số có đạo hàm.
Khi đó, gia tốc tức thời  của chuyển động tại thời điểm t là đạo hàm cấp hai của hàm số
s f t  tại t t   f t  .
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 22
Dạng 1. Tìm vi phân của hàm số
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
 Tính vi phân của hàm số f x tại x cho trước: 0
 Tính đạo hàm của hàm số tại x 0
 Suy ra vi phân của hàm số tại x ứng với số gia x
 là df x f x x  0   0  0
 Tính vi phân của hàm số f x :
 Tính đạo hàm của hàm số
 Suy ra vi phân của hàm số là dy  df x  f  xdx B. BÀI TẬP MẪU VD 23.
Cho hàm số f x 3 2
 6x  2x  4x 1.
Tính vi phân của hàm số tại điểm x  1, ứng với số gia x   0, 01 . 0
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................. VD 24.
Tìm vi phân của hàm số y f x  sin 3 . x cos 2x .
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................. VD 25. Bài 38. Chứng minh
a) 1 xdy  dx  0 với y  2  1 x .
b)  x  2 y dx  d x y  0 với 2
y  2x x .
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 43.
Tính vi phân của hàm số y  sin 2x tại điểm x  ứng với a) x   0, 01 b) x   0, 001 3 Bài 44.
Tính vi phân của mỗi hàm số sau: a) 2
y x x x x  8 b) y
ax b (với a , b là hằng số) c) 2 y   x   2 tan 3 cot 3x  d) 2 y  cos 2x 1
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 23
Dạng 2. Tính gần đúng giá trị của hàm số
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Để tính gần đúng giá trị của hàm số f x tại điểm x x
 cho trước, ta áp dụng công 0 thức:
f x  x f x f x . x  0   0   0  B. BÀI TẬP MẪU VD 26.
Tính gần đúng các giá trị: a) 25, 75 b) 8,99 c) sin 30 1  0 d) cos 46
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 45.
Tính giá trị gần đúng của: 1 1 a) b) cos 4530 c) tan 2930 d) 4, 01 e) f) 3 215 0,9995 20,3
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 24
Dạng 3. Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Áp dụng trục tiếp định nghĩa để tính đạo hàm cấp cao:        
          1   ; ; ; n n y y y y y y y y   B. BÀI TẬP MẪU VD 27.
Tính đạo hàm cấp ba của hàm số y x sin x  cos x
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................. 2x  3 VD 28. Cho hàm số y
. Tìm x sao cho y  1  0 . x 1
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 46.
Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: x  3 2 x x 1 a) 3 2
y ax bx cx d b) y  c) y  d) y  . x sin x x  2 x 1 e) 2
y x 1 x f) 2 y  cos x g) 2
y x 1 x Bài 47.
a) Cho f x   x  6
10 . Tính f 2 .   
b) Cho f x  sin 3x . Tính f   
 , f 0 , f    2   18  Bài 48.
Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau đến cấp cho kèm theo: a) f x 4 4
x  cos 2x, fx b) f x 2 5  cos x, fx 6 c)     10   , n f x x fx d) f x 5  sin 2x, fx
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 25
Dạng 4. Ý nghĩa của đạo hàm cấp hai
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s f t  với f t  là hàm số có đạo
hàm. Khi đó, gia tốc tức thờia của chuyển động tại thời điểm t là đạo hàm cấp hai
của hàm số s f t  tại t .
a t   f t B. BÀI TẬP MẪU
VD 29. Tính gia tốc tức thời của chuyển động s f t  tại thời điểm t trong các trường hợp sau: 0
a) s f t 3 2
t  3t  7t  2, t  2
b) s f t   3sin 2t  2 cos 2t, t  0 0 4
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 49.
Vận tốc của một chất điểm chuyển động được biểu thị bởi công thức
s f t  3 2
t  3t  9t  2 , trong đó t  0 , t tính bằng giây  s và v t  tính bằng m/s . Tìm
gia tốc của chất điểm:
a) Tại thời điểm t  4s .
b) Tại thời điểm mà vận tốc của chuyển động bằng 11. Bài 50.
Vận tốc của một chất điểm chuyển động được biểu thị bởi công thức v t  2
 8t  3t , với t  0 ,
t tính bằng giây  s và v t  tính bằng m/s .
a) Tính vận tốc tại thời điểm t  2s .
b) Tính gia tốc tại thời điểm t  3s .
c) Tính gia tốc tại thời điểm vận tốc bằng 0 .
d) Tính vận tốc tại thời điểm gia tốc bằng 0 .
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 26
Dạng 5. Tìm công thức đạo hàm cấp n
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Với hàm số y f x , tìm được công thức nf
x ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1. Tính f  x , f  x đôi khi cần tính tới f  x , 4 fx .
Bước 2. Dự đoán công thức tổng quát nfx .
Bước 3. Chứng minh công thức dự đoán bằng phương pháp qui nạp. B. BÀI TẬP MẪU VD 30.
Tính đạo hàm cấp n của hàm số: y  sin x , với n   *
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................. 1 VD 31.
Tính đạo hàm cấp n của hàm số: y
, với a , b   và n   * ax b
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 51.
Chứng minh rằng: Với mọi n   * : 
a) Nếu f x  cos x thì 4nf
x  cos x
b) Nếu y  sin x thì ny  sin x n    2  1 n n n! c) Nếu 2
y  sin x thì n 4n 1 y 2    cos 2x d) Nếu y  thì   y    1 x  1   x  n 1 1 Bài 52.
Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau: 1 1 a) y  b) y  c) 3 y  sin x d) y  sin a . x sin bx ( ,
a b là hằng số) x 2 x  3x  2
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 27
Dạng 6. Chứng minh đẳng thức có chứa đạo hàm
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
 Tìm các đạo hàm đến cấp cao nhất có trong đẳng thức cần chứng minh
 Thay thế vài vị trí tương ứng và biến đổi vế này cho bằng vế kia. Từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh. B. BÀI TẬP MẪU VD 32.
Cho hàm số y x sin x . Chứng minh xy  2 y  xy  2  sin x
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................ VD 33. Cho hàm số 2 y x
x  1 . Chứng minh rằng: a) 2
2 x 1.y  y b)  2
4 1 x y  4xy  y  0
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 53. Chứng minh rằng: x 2 cos x 
a) Nếu y  cot x thì y y sin x  tan  0 b) Nếu y  thì f  3 f   3     2 2 1 sin x  4   4  1 x  3 2 c) Nếu 3
y   cot x  cot x x thì 4
y  cot x d) Nếu y
thì 2 y   y   1 y 3 x  4
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 28
Vấn đề 4. SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI
TOÁN CÓ CHỨA k C n
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
 Công thức khai triển nhị thức Newtơn: n
a bn k nk k 0 n 1 n 1  1 k nk k n 1  n 1  n nC a
b C a C a b   C a b   C abC b    n n n n n n k 0 n
a bn   k k nk k 0 n 1 n 1  1 k n 1 C a
b C a C a b     1 k nk k C a b        1 n n C b n n n n n k 0  Tính chất: k n k C C  
(0  k n) ; k 1  k k CC C
(0  k n) ; 0 n C C  1 n n n n n 1  n n Phương pháp:
 Viết khai triển Newton của   n ax b .
 Đạo hàm 2 vế một số lần thích hợp.
 Chọn giá trị x sao cho thay vào ta được đẳng thức phải chứng minh. B. BÀI TẬP MẪU VD 34.
Cho n là số nguyên dương. Chứng minh các hệ thức sau: a) 1 2 3 n n 1 C 2.C 3C ... nC . n 2       n n n n b) 2 3 4 C C C n n C n n         n n n   nn   n 2 1.2 2.3 3.4 ... 1 1 .2 c) 0 1 2 C C C n C n         n n n   nn   n 1 2. 3. 4 ... 2 4 .2
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 29 VD 35. Cho  x  2100 2 100
a a x a x   a x . Tính: 0 1 2 100 a) a . 97
b) S a a a a   a 0 1 2 3 100
c) S a  2a  3a  100a
(ĐH Hàng Hải – 1998) 1 2 3 100
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 54. Rút gọn biểu thức: a) 1 2 3 S C 2C 3Cn C         nC n n n   1 1 n n 1 n n n2 n 1  b) 1 2 3 S C 2C 3Cn C          n C n n n   1   n 1 1 1 n 2 n   n c) 0 1 2
S  3.2C  4.3C  5.4C   n  3 n  2 n C 3 n n n    n n d) 2 3 4
S  1.2C  2.3C  3.4C   n n 1 1 nC 4 n n n    n ê) 0 1 2
S  2.3C  3.4C  4.5C   n  2 n  3 n C 5 n n n    n f) 1 2 2 3 3 4 2 2 1 S C  2.2C  3.2 C  4.2 C
   (2n  1).2 n n C  6 2n 1  2 n 1  2 n 1  2 n 1  2n 1  Bài 55.
Với n nguyên dương, chứng minh rằng: a) 2 3 4 C C Cn C n         n n n   nn   n 1 2 3 1 2 2 b) 1 3 C 3Cn C       C C   nC n n 2  2n 1 2 4 2 1 2 4 2 n 2 2 2n 2 n 2n 2 n c) 2 3 4 C C Cn n C n n         n n n   nn   n 2 1.2 2.3 3.4 1 1 2 d) n nn2 n C n nC    C n n          n    n 3 n 1 n 2 2 n n   n 2 1 3 1 2 3 4 2.1.4 1 7 e) n 1  1 n 1  2 n 1  3 n n 1 2 C 2.2 C 3.2 CnC . n 3       n n n n f) 0 1 2 n 1 C C CnC n C n          n n n n   nn   n 1 2 3 1 2 .2 Bài 56.
Tìm số nguyên dương n sao cho: 1 2 2 3 3 4 C  2.2C  3.2 C  4.2 C   n C   nnnn  2  2n 2n 1 1 .2 2011 2 1 2 1 2 1 2 1 2 n 1 
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 30
Vấn đề 5. DÙNG ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM
ĐỂ TÌM GIỚI HẠN
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
f x  f 0
Bài toán 1. Ta có thể sử dụng định nghĩa của đạo hàm: f  x  lim để tính 0  xx0 x x0
f x  f 0
các giới hạn có dạng vô định. Bằng cách viết giới hạn cần tìm thành dạng lim , xx0 x x0
sau đó tính đạo hàm của hàm f x tại điểm x rồi áp dụng định nghĩa đạo hàm suy ra kết 0 quả của giới hạn.
Bài toán 2. Ta sử dụng các công thức lượng giác để biến đổi và sử dụng công thức sin u x lim
 1 với lim u x  0 xx xx 0 u x 0 B. BÀI TẬP MẪU VD 36. Tính các giới hạn sau 3 1 4x 1 3 3 2
5  x x  7 a) lim . b) lim . x0 x 2 x 1  x 1
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 31 VD 37. Tính các giới hạn sau sin 3x tan 2x 1 cos x 1 sin x a) lim b) lim c) lim d) lim 2 x0 sin 2x x0 sin 5x 2 x0 x x   2   x   2 
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 57. Tính các giới hạn sau 2 x x  ... nx n n
x nx n 1 a) lim . b) lim . x 1  x 1 x  x  2 1 1 x  8  3 3 3 3 4x  24 
x  2  8 2x  3 c) lim . d) lim . 2 x 1  x  2x  3 2 x2 4  x 3 x 1 n 1 2x 1 e) lim . f) lim . 4 x 1  x 1 0 m x 1 3x 1 Bài 58. Tính các giới hạn sau 1 cos x 1 sin x 3 1 cos x a) lim . b) lim . c) lim . 2 2 x0 x x0 x  x sin x 2   x   2    sin  x   cos x  sin x   4  d) lim . e) lim tan 2 . x tan  x   . f) lim . x cos 2x x  4  x 1 2 sin x 4 4 4
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 32
BÀI TẬP CƠ BẢN NÂNG CAO CHỦ ĐỀ 5 Bài 59.
Xét sự tồn tại đạo hàm của các hàm số sau trên  : 2
x x  2 khi x  2 2 x x khi x  1   a) y   1 b) y  2 khi x  2  khi x  1   x 1  x Bài 60.
Tìm a , b để hàm số sau có đạo hàm tại x  1 : x khi x  1 2   2  x khi  2  x  1 a) y   b) y  2  ax b khi x  1  2
x ax b khi x  1  ax b ad bc Bài 61.
Chứng minh rằng hàm số y
có đạo hàm là y  cx dcx d 2 3x  5 4 2x
Áp dụng tính đạo hàm của: y  , y  , y x  2 3x  2 1 3x 2
ax bx c 2 ab x   2ac x
  bc  b cBài 62.
Chứng minh rằng hàm số y
có đạo hàm là y  b x   c b x   c2 2 x  2x  7 2 x 1 2 2x x 1
Áp dụng tính đạo hàm của: y  , y  , y x  2 3x  2 x  5 a b a c b c 2 x  2 x  2
ax bx c abacbcBài 63.
Chứng minh hàm số y
có đạo hàm là y  2 a x   b x   c
a x  b x  c2 2 2 2x x 1 2 3x  6x 1 2 2x  5x  6
Áp dụng tính đạo hàm của: y  , y  , y  2 x  3x  3 2 x  3x  2 2 x  5 Bài 64.
Tính đạo hàm của các hàm số sau: 3 2 x x 2 4 5 6 2 3x  6x  7 a) y    x  5 b) y     c) y  3 2 2 3 4 x x x 7x 4x  2  1 x 2
x  7x  5 d) y   3x x    1 e) y  f) y   x  1 x 2 x  3x 2 x  2x  2 g)    2 7 y x x h)    32 2 y x x i) y x 1 5x  3 1 2 x 1 j) y  k) y  l) y  2 x x  1
x x  5 2 1 x Bài 65.
Tính đạo hàm của các hàm số sau: cos x 3cos x 2 x  2 cos x
a) y  2 x sin x  b) y  c) y x 2x 1 sin x
2 cos x  sin x tan x cot x d) y  e) y  f) y  3sin x  cos x sin x  2 2 x 1 g) y   2
sin x  3x  2
h) y  cos 2x 1
i) y  2sin 3x cos 5x x 1
j) y  cos 2x k) y  tan l) 2
y  cot x 1 2 x
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 33 sin x x m) 3
y  tan x  cot 2x
n) y  1 2 tan x o) y   x sin x 2 sin x p) y
q) y  tan sin x r) y   2
2  x cos x  2x sin x 1 tan 2x s) 2 y  cos  2x
t) y x sin 3x u) 2 2
y  tan x  tan x 4 Bài 66.
Tính đạo hàm của các hàm số sau: 2 2x  3x 1 2 x  6x 1
a) y   x x  5 2 4 1 b) y  c) y  2x  3 2 x x 1 2 x x  3 1 x 2  x d) y  e) y  f) y  2x 1 1 x 1 2 x 2 1 x x x g) y  h) y
i) y   x   2 1 x x 1 2 1 x x 2 x 1 Bài 67.
Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y   2 sin 1 x  b) 2
y  sin cos 3x c) 2
y  cos x 1 sin x  1 x  2 2 sin x tan x
d) y  cos cos cos x   e) 2 y  cos   f) y    1 x     1 cot x 1 tan x x 2 sin x g) y  h) y  i) 2
y  1 cos x sin x  cos x cos x Bài 68. Cho hàm số 2 y
x  2x  24 . Giải bất phương trình 2 f  x  f x . Bài 69.
Giải phương trình y  0 trong mỗi trường hợp sau: 1 a) y
sin 2x  sin x  3
b) y  sin 2x  2 cos x
c) y  3sin 2x  4 cos 2x 10x 2
d) y  tan x  cot x
e) y  2x  cos x  3 sin x Bài 70.
Giải bất phương trình f  x  g x , biết rằng: a) f x 3
x x  2 và g x 2
 3x x  2 2 x b) f x 3 2
 2x x  3 và g x 3  x   3 2 Bài 71. Cho hàm số 2
y x  2 x 12 . Giải bất phương trình f  x  0 . (TN THPT 2010) Bài 72.
Tính đạo hàm đến cấp được kèm theo của các hàm số sau (n  N*): 5
a) y  sin x, y , b) 4
y  sin x sin 5x, y c)  4     , n y x y 1 1 d) ny  , y e) ny  , y f) 2 2   cos , n y x y 2  x 2x 1 Bài 73.
Chứng minh rằng hàm số:
a) y x sin x
thỏa hệ thức xy  2  y  sin x  xy  0 . b) 2 y  2x x thỏa hệ thức 3
y y  1  0 .
c) y  x x  3 2 1 thỏa hệ thức  2
1 x y  xy  9 y  0 .
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 34 5 d) y  3 
thỏa hệ thức xy  y  3 . x x  3 2 e) y
thỏa hệ thức 2 y   y   1 y x  4 Bài 74.
Viết phương trình tiếp tuyến của: x  1 a) y
tại điểm A 2;3 . x 1 b) 3 2
y x  4x 1 tại điểm có hoành độ x  1  . 0 c) 2
y  4x  4x  4 tại điểm có tung độ y  1 . 0 d) y  2x 1
tại điểm có hoành độ x  4 . 0 2 x  2x 15 4 e) y
biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng . x  3 3 f) 4 2
y x  2x 1 biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 24 . g) 3 2
y x  3x  2 biết tiếp tuyến d D : x  3y 15  0 . h) 3
y x x  3
tại điểm có hoành độ x  1  . 0 2x 1 i) y
tại điểm có hoành độ x  2 . x 1 0 3x  2 Bài 75.
Cho C  : y f x 
. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị C  : x 1 5
a) Tại điểm có hoành độ bằng 2
b) Tại điểm có tung độ bằng 2
c) d // D : y  – x  25
d) d   : 4x y  2018 . Bài 76.
Gọi C  là đồ thị hàm số 4 2
y x  2x 1. Viết phương trình tiếp tuyến của C  trong mỗi trường hợp sau:
a) Biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y  –3x 1 .
b) Biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  : x – 7 y  2018 .
c) Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm A 0; 2 Bài 77.
Gọi C  là đồ thị hàm số 3 2
y x  5x  2 . Viết phương trình tiếp tuyến của C  trong mỗi trường hợp sau:
a) Biết tung độ của tiếp điểm bằng 2 .
b) Biết rằng tiếp tuyến song song với trục hoành.
c) Biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : x  8 y  2018  0 .
d) Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm A0; –6 . Bài 78. [1D5-1] Cho hàm số 3
y x . Viết tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho
a) Biết tiếp điểm là M 1; 
1 . b) Biết hoành độ tiếp điểm  2 c) Biết tung độ tiếp điểm  5 x  2 Bài 79.
[1D5-1] Cho hàm số y
. Viết PTTT của đồ thị hàm số biết: x 1
a) Tiếp điểm M có tung độ bằng 4 .
b) Tiếp điểm M là giao của đồ thị hàm số với trục hoành
c) Tiếp điểm M là giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 35 Bài 80. [1D5-2] Cho hàm số 3 2
y x  3x  1
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x  1. 0
b) CMR: trong các tiếp tuyến của đồ thị hàm số thì tiếp tuyến ở câu a có hệ số góc nhỏ nhất. Bài 81. [1D5-2] Cho hàm số 3 2
y x x x 1
a) Viết PTT tại M thuộc đồ thị hàm số biết trung độ điểm M bằng 1.
b) CMR trên đồ thị hàm số không tồn tại những cặp điểm mà tiếp tuyến tại 2 điểm đó vuông góc với nhau. Bài 82. [1D5-3] Cho hàm số 3
y x . Tìm các điểm M trên đồ thị hàm số ( M  gốc tọa độ) sao cho
tiếp tuyến tại M tạo với 2 trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 6. 2x Bài 83.
[1D5-3] Cho hàm số y
. Tìm M trên đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến tại M tạo với 2 x  1 1
trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng . 4 1 2 x Bài 84.
[1D5-3] Cho hàm số y  và y
. Gọi M là giao điểm của hai đồ thị hàm số trên. x 2 2
Viết pttt của mỗi đồ thị hàm số đã cho tại điểm M . Tính góc góc giữa hai tiếp tuyến tìm được. Bài 85. [1D5-2] Cho hàm số 3 2
y x  3mx  m  
1 x 1. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại
điểm có hoành độ x  1
 đi qua A 1;2 . 0 2x 1 Bài 86.
[1D5-3] Cho hàm số y
; I 1; 2. Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến x 1
d của đồ thị hàm số tại M vuông góc với đường thẳng IM . x  3 Bài 87.
[1D5-3] Cho hàm số y  ; I  1  ; 
1 . Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến x 1 3
d của đồ thị hàm số tại M tạo với đường thẳng IM một góc mà cos . 5 Bài 88. [1D5-3] Cho hàm số 4 2
y  x  2x 1. Với M là điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ bằng
2 , hãy viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số tại M và tìm hoành độ các giao 2
điểm của d với đồ thị hàm số đã cho. x 1 Bài 89.
[1D5-3] Cho hàm số y
. Tìm M trên đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến với đồ thị hàm 2x  2
số tại M tạo với 2 trục tọa độ 1 tam giác có trọng tâm G nằm trên đường thẳng  : 4x y  0 . 2x 1 Bài 90.
[1D5-3] Cho hàm số y
Tìm hoành độ điểm M thuộc đồ thị hàm số biết tiếp tuyến tại x 1
M tạo với hai đường thẳng d ; d lần lượt có phương trình x 1  0 và y  2  0 một tam giác 1 2 vuông cân. 2x  3 Bài 91.
[1D5-4] Cho hàm số . y
.. Đường thẳng d : x  2 . Đường thẳng d : y  2 . I là giao x  2 1 2
điểm của d & d . Gọi đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M tùy ý. A là 1 2
giao d & d , B là giao điểm của d & d . Viết pttt d  biết độ dài AB nhỏ nhất. 1 2
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 36 2x 1 Bài 92.
[1D5-4] Cho hàm số y
. Đường thẳng d : x  2 . Đường thẳng d : y  2 . I là giao x  2 1 2
điểm của d & d . Gọi đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M tùy ý. A là 1 2
giao d & d , B là giao điểm của d & d . 1 2
a) CMR: M là trung điểm của đoạn thẳng A . B
b) Tìm M để d I; d  đạt giá trị lớn nhất. Bài 93. [2D5-1] Cho hàm số 3 2
y  4x  6x 1. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết x  1 Bài 94.
[1D5-2] Cho hàm số y
. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến 2x  2  1   đi qua điểm I 1; .    2  2 x x 1 Bài 95.
[1D5-3] Cho hàm số y
.Chứng minh rằng qua điểm A 1;  1 có thể kẻ được hai x 1
tiếp tuyến với đồ thị hàm số và hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau. x  2 Bài 96.
[1D5-4] Cho hàm số y
. Hãy tìm m để từ điểm A0; m kẻ được hai trình tiếp tuyến với x 1
đồ thị hàm số và hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục hoành. 2x  2 Bài 97.
[1D5-4] Cho hàm số y
. Hãy tìm m để từ điểm A ; m 0 x  5 1
a) Kẻ được hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số tích hai hệ số góc của hai tiếp tuyến là . 144
b) Kẻ được hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số và hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục tung.
c) Kẻ được hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số và hai tiếp điểm nằm về hai phía của đường thẳng y  1. 1 1 4 Bài 98. [1D5-1] Cho hàm số 3 2 y x
x  2x  . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số 3 2 3
biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : 4x y  2  0. 2x  3 Bài 99.
[1D5-1] Cho hàm số y
. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến 1 x
vuông góc với đường thẳng d : x y 2017  0. 3x  2
Bài 100. [1D5-2] Cho hàm số y
. Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị hàm số biết d tạo x  2 1
với trục hoành một góc mà cos . 17 3
Bài 101. [1D5-2] Cho hàm số 3 y x
x  2. Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị hàm số biết d 2 1
tạo với đường thẳng  : y  x  7 một góc mà cos . 26
Bài 102. [1D5-2] Cho hàm số 3 2
y x  3x C ; đường thẳng d : y  3x 1. Tìm điểm M trên đồ thịC
biết tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại M có hệ số góc âm và tạo với d một góc o  45 .
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 37
Bài 103. [1D5-4] Cho hàm số 3 2
y x  3x 1 C . Tìm hai điểm ,
A B trên đồ thị hàm số sao cho tiếp
tuyến của đồ thị C  tại ,
A B song song với nhau và AB  4 2. 2x 1
Bài 104. [1D5-3] Cho hàm số y
C. Tìm điểm M trên đồ thịC  biết tiếp tuyến với đồ thị x 1
hàm số tại M cắt trục o x, oy lần lượt tại ,
A B sao cho AB  82 . . OB 2x 1
Bài 105. [1D5-2] Cho hàm số y
H . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết rằng x  1
tiếp điểm của tiếp tuyến đó với  H  cách điểm A0;  1 một khoảng bằng 2.
Bài 106. [1D5-2] Cho hàm số 3
y   x   m   2 2
1 x m 1, m là tham số.Tìm m để đồ thị của hàm số đã
cho tiếp xúc với đường thẳng y  2mx m 1.
Bài 107. [1D5-3] Cho hàm số 3 2
y x  6x  9x  
1 . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số   1 4
biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng  : x y 1  0 một góc sao cho cos và tiếp 41
điểm có tọa độ nguyên. x  2
Bài 108. [1D5-4] Cho hàm số y
C. Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số C  biết x 1
tiếp tuyến tạo với d : x  1, d : y  1 một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất. 1 2
Bài 109. [1D5-3] Cho hàm số 3 2
y  x  3x 1 C . Tìm trên đường thẳng y  3 các điểm mà từ đó kẻ
được ba tiếp tuyến phân biệt đến đồ thị C . 2x 1
Bài 110. [1D5-4] Cho hàm số y
C.Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số C  tại điểm  x 1 I 0; 
1 .Tìm điểm M  C  có hoành độ lớn hơn 1 sao cho khoảng cách từ M đến d nhỏ nhất. x  2
Bài 111. [1D5-3] Cho hàm số y
C .Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số C  biết 2x  3
d cắt trục hoành ,trục tung lần lượt tại , A B sao cho OAB cân tại . O x 1
Bài 112. [1D5-3] Cho hàm số y
C.Tìm m để đường thẳng y mx m cắt C  tại hai điểm x 1 phân biệt ,
A B sao cho tiếp tuyến của C  tại A B song song với nhau.
Bài 113. [1D5-4] Cho hàm số 3 2
y x  3x 1. Đường thẳng  đi qua điểm A 1;3 có hệ số góc k. Tìm
các giá trị của k để  cắt C  tại ba điểm phân biệt ,
A D, E. Gọi d , d lần lượt là các tiếp 1 2
tuyến của C  tại D, E. Chứng minh rằng các khoảng cách từ A đến d , d bằng nhau. 1 2
Bài 114. [1D5-3] Cho hàm số 4 2
y x  2x  2 C .Tìm điểm M  C  để qua đó kẻ được ba tiếp tuyến đến C .
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 38 2x  3
Bài 115. [1D5-2] Cho hàm số y
C.Tìm điểm M C có hai tọa độ là số hữu tỉ sao cho tiếp x 1
tuyến d của đồ thị hàm số C  tại M cắt trục hoành ,trục tung lần lượt tại , A B sao cho 9 S  . OAB 2 x 1
Bài 116. [1D5-1] Cho hàm số y
C.Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số C  biết x  2
tiếp tuyến đi qua điểm A 1;10.
Bài 117. [1D5-1] Cho hàm số 4 3 2
y x  4x 10x 12x  6 C . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị  x
hàm số C  biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y  1. 12 x  2
Bài 118. [1D5-2] Cho hàm số y
C.Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm x 1
M  C  đều tạo với hai đường thẳng d : x 1 và d : y  1 một tam giác có diện tích không 1 2 đổi.
Bài 119. [1D5-3] Cho hàm số 4 2
y x  8x 1 C .Viết phương trình tiêp tuyến của đồ thị C  biết tiếp
tuyến tạo với đường thẳng  : 47x  43y  90  0 một góc o
45 và tạo với tia ox một góc tù.
Bài 120. [1D5-3] Cho hàm số 3 2
y x mx  2  
1 và đường thẳng d : y  2mx m 1, trong đó m
tham số.Tìm m để d cắt đồ thị hàm số  
1 tại ba điểm phân biệt I 1;1 m , , A B sao cho tiếp
tuyến tại A B có cùng hệ số góc.
Bài 121. [1D5-2] Tìm trên trục hòanh điểm mà từ đó có thể kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị hàm số 3
y   x  3x  2 C . 2x 1  9  
Bài 122. [2D1-3] Cho hàm số y
C  và điểm P ; 0 . 
 Tìm trên C  cặp điểm , A B sao cho x  2  2 
tiếp tuyến của C  tại ,
A B song song với nhau và PAB cân tại . P
Bài 123. [1D5-3] Cho hàm số 3 2
y x  3x m x m  
1 . Đường thẳng d đi qua điểm I  1  ; 2 có hệ số
góc bằng m cắt đồ thị hàm số  
1 tại ba điểm phân biệt ,
A B, I. Chứng minh rằng các tiếp
tuyến của đồ thị hàm số  
1 tại A B song song với nhau. x
Bài 124. [1D5-3] Cho hàm số y
. Tìm những điểm trên đồ thị hàm số mà tiếp tuyến tại đó tạo với x 1
hai đường thẳng d : x  1, d : y  1 một tam giác có chu vi bằng 4  2 2. 1 2
Bài 125. [1D5-4] Cho hàm số 4 2
y x  2mx m  
1 , m là tham số.Biết A là điểm thuộc đồ thị hàm số  3   
1 và có hoành độ bằng 1. Tìm m để khoảng cách từ B ;1 
 đến tiếp tuyến của đồ thị   1 tại  4  A lớn nhất.
Bài 126. [1D5-2] Cho hàm số 4 2
y x  6x  5 C ..Tìm m để đồ thị của hàm số đã cho tiếp xúc với
đường thẳng y mx  . m
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 39 2x 1
Bài 127. [1D5-2] Cho hàm số y
C.Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng x 1 y mx  5. 2 x x 1
Bài 128. [1D5-2] Cho hàm số y
. Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số đều x  2
không đi qua điểm A2;3. 1
Bài 129. [1D5-3] Cho hàm số 3 y
x  m   2
1 x  4  3mx 1 C . Tìm m để trên đồ thị C tồn m  3 m
tại duy nhất điểm A có hoành độ âm mà tiếp tuyến của C
tại A vuông góc với đường thẳng m
x  2 y  3  0.  x 1
Bài 130. [1D5-4] Cho hàm số y
C . Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng d : y x m 2x 1
luôn cắt đồ thị C  tại hai điểm phân biệt A và .
B Khi đó gọi k , k lần lượt là hệ số góc của 1 2
tiếp tuyến với đồ thị C  tại A B, tìm m để tổng k k đạt giá trị lớn nhất 1 2
Bài 131. [1D5-4] Cho hàm số 3
y x  3x  2 C .Với x , x là hai nghiệm của phương trình y x  0. 1 2
Gọi A x ; y x
, B x ; y x
. Tìm trên đồ thị C  điểm M sao cho tiếp tuyến với C  tại 2  2  1  1 
M cách đều hai điểm A và . B
Bài 132. [1D5-2] Cho hàm số 3
y x   m   2 2
1 x  6m  5 x  3 C . Tìm m để đồ thị hàm số tiếp m xúc với trục hoành.
Bài 133. [1D5-4] Cho hàm số 3 2
y x  3mx  m  
1 x  1 C . Chứng minh rằng trên đồ thị hàm số m
C luôn tồn tại hai điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng x  9y  0. Tìm m m
để đường thẳng nối hai điểm đó đi qua điểm I 0; 4. 1 2
Bài 134. [1D5-4] Cho hàm số 3 2 y
x m x  6 m   1 x   
1 có đồ thị là C Tìm m để trên m  . 3 3
C có hai điểm M x ; y N x ; y sao cho tiếp tuyến tại mỗi điểm đó vuông góc với 2 2  1 1  m
đường thẳng x  3y  6  0 và x x  2 3. 1 2
Bài 135. [1D5-3] Cho hàm số 3 2
y x  3x m x 1  
1 và đường thẳng d : y  1. Tìm m để hai đồ thị
hàm số cắt nhau tại ba điểm phân biệt C 0; 
1 , D, E sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số   1
tại D E vuông góc với nhau.
Bài 136. [1D5-3] Cho hàm số 3
y x  3m x  2  
1 với m là tham số.Tìm m để đồ thị hàm số   1 có tiếp 1
tuyến tạo với đường thẳng d : x y  7  0 một góc mà cos . 26
Bài 137. Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x , biết tiếp tuyến qua điểm A : 2 4x x a) y
, với A1; – 4 . b) 4 2
y x  2x , với A0; –  1 . x 1 2 x  4x  4 c) 3
y x  3x 1, với A 1; –6 . d) y
, với A  –1; 0 . x 1
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 40 3 2 mx mx
Bài 138. Cho hàm số: y f x  
 3  mx  2 . Tìm m để: 3 2
a) f  x  0, x    .
b) f  x có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
c) Chứng minh rằng trong trường hợp f  x có hai nghiệm (hai nghiệm có thể trùng nhau) thì
các nghiệm này thỏa mãn một hệ thức độc lập với m .
Bài 139. Tìm m để: a) 3
y mx x y  0,x   . 1 b) 3 2 y
x mx  4x  3 có y  0,x   . 3 c) 3 2
y x – 3mx  4mx y  0,x   . d) 3 y xm   2 – 3 2
1 x  2m  5 x  2 có y  0,x   . 1 e) 3 2 y  –
x  2x mx  2 có y  0,x   . 3 1 f) 3 2 y
x mx mx y  0,x  0;   . 3
Bài 140. Với mỗi hàm số sau đây: Tìm TXĐ Tính y Xét dấu y , chỉ ra y  0 , y  0 trên khoảng, các khoảng nào: 1 2x 1 a) 3
y  – x  3x  1 b) 3 2 y
x – 3x  8x – 2 c) y  3 x  2 2 x x  2 2
x  2x  2 1 d) y  e) y  f) y  1 x 1 x 1 x  2 1 g) 4 2
y  – x  4x h) 4 2
y x  4x 1
i) y  4x 1 – x  1 1 j) 2
y  4  3x x k) 3 2 y
x  3x  7x  2 l) 4 2
y x  2x  3 3 2 x  2x m) 3 2
y   x x  5 n) 2 y  4  x o) y  1 x 2 x  7x 12 p) y  q) 2
y  3x x r) 2 y x x  20 2 x  2x  3 2 x  8x  9 1 s) y  t) y   2x u) 2 y x  2x  3 x  5 x 1
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 41
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 5
BÀI 1. ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM Câu 1.
[1D5-1] Cho hàm số f x liên tục tại x . Đạo hàm của f x tại x là 0 0
A. f x . 0 
f x h f x 0   0  B. . h
f x h f x 0   0  C. lim
(nếu tồn tại giới hạn). h0 h
f (x h)  f (x  ) h D. 0 0 lim
(nếu tồn tại giới hạn). h0 h 1 Câu 2. [1D5-1] Cho hàm số 3 2 y
x – 3x  7x  2 . Phương trình tiếp tuyến tại A0; 2 là 3
A. y  7x  2 .
B. y  7x  2 . C. y  7  x  2 . D. y  7  x  2 . Câu 3.
[1D5-1] Cho hàm số y f x xác định trên khoảng a;b và x a;b . Mệnh đề nào sau 0   đây là đúng?
f x  f x0 
A. Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) lim
thì giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm xx0 x x0
số y f x tại x . 0
f x  f x0 
B. Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) lim
thì giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm xx0 x x0
số y f x tại x . 0
f x  f x0 
C. Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) lim
thì giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm xx0 x x0
số y f x tại x . 0
f x  f x0 
D. Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) lim
thì giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm xx0 x x0
số y f x tại x . 0 Câu 4.
[1D5-1] Số gia của hàm số f x 2
x 1 tại điểm x  1 ứng với x   0,1 là 0 A. 1  ,19 . B. 0, 01 . C. 0  ,19 . D. 0, 21. y Câu 5.
[1D5-1] Cho hàm số y  2x  5 . Tìm biểu thức của y  và
tính theo x x  . xy  y 10 A. y   2x ,  2 . B. y   x 10 ,  1 . xx x  y 10 yC. y   2x 10 ,  2  . D. y   x ,  1. xx  x sin 4x Câu 6.
[1D5-1] Tính giới hạn lim . x 0 x 1 A. . B. 4 . C. 0 . D. 1. 4
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 42 1 Câu 7.
[1D5-1] Gọi d là tiếp tuyến với đồ thị hàm số C  : y
song song với trục hoành. Tìm 2 x 1
hoành độ tiếp điểm x của d và C  . 0 A. x  1. B. x  2 . C. x  1  . D. x  0 . 0 0 0 0 Câu 8.
[1D5-1] Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f x 3 2
x  2x  2 tại điểm có hoành độ x  2  . 0
A. y  20x  22 .
B. y  4x 10 .
C. y  10x 11.
D. y  20x  58 . 2 x  3x 1 Câu 9.
[1D5-1] Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y
tại điểm M 0;   1 có phương trình là 2x 1
A. y x 1.
B. y  5x 1.
C. y x 1.
D. y  5x 1 .
Câu 10. [1D5-1] Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai:
A. Nếu hàm số f x liên tục tại điểm x thì f x có đạo hàm tại x . 0 0
B. Nếu tiếp tuyến tại điểm M x ; f x
của đồ thị hàm số y f x song song với trục 0  0  0 
hoành thì f  x  0 . 0 
C. Nếu f  x  0 thì tồn tại tiếp tuyến tại điểm M x ; f x
của đồ thị hàm số y f x 0  0  0  0 
song song hoặc trùng với trục hoành.
D. Nếu hàm số f x có đạo hàm tại điểm x và đồ thị của hàm số là một đường cong C  thì 0
tiếp tuyến của C  tại điểm M x ; f x
có hệ số góc k f  x . 0  0  0  0 
Câu 11. [1D5-1] Xét các mệnh đề sau
I  Nếu hàm số y f x có đạo hàm tại điểm x thì nó liên tục tại điểm đó. 0
II  Nếu hàm số y f x gián đoạn tại điểm x thì nó không có đạo hàm tại điểm đó. 0
III  Nếu hàm số y f x liên tục tại điểm x thì nó không có đạo hàm tại điểm đó. 0 Trong ba mệnh đề trên
A. Có  I  ,  II  đúng.
B. Có ba mệnh đề đúng.
C. Cả ba mệnh đề đều sai.
D. Có  I  đúng.
Câu 12. [1D5-1] Giả sử u x , v x là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định.
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào Sai? 
u x 
u  xv x  u xv x
A. u x.v x  u x.v x  u x.v x . B.    .  vx 2  v x   1 v xC.  
, (Với v x  0 ).
D. u x  v x  u x  v x . v x 2 v x
Câu 13. [1D5-2] Gọi  P là đồ thị của hàm số 2
y  2x x  3 . Phương trình tiếp tuyến với  P tại
điểm mà  P cắt trục tung là
A. y  x  3 .
B. y  x  3 .
C. y  4x 1.
D. y  11x  3 . 3x 1
Câu 14. [1D5-2] Đồ thị C  của hàm số y
cắt trục tung tại điểm A . Tiếp tuyến của C  tại x 1
điểm A có phương trình là
A. y  4x 1 .
B. y  4x 1.
C. y  5x 1 .
D. y  5x 1 .
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 43
Câu 15. [1D5-2] Gọi C  là đồ thị của hàm số 4
y x x . Tiếp tuyến của C  vuông góc với đường
thẳng d : x  5 y  0 có phương trình là
A. y  5x  3 .
B. y  3x  5 .
C. y  2x  3 .
D. y x  4 .
Câu 16. [1D5-2] Cho hàm số f x là hàm số trên  định bởi   2
f x x x   . Chọn câu đúng. 0
A. f  x x .
B. f  x x . 0  2 0  0 0
C. f  x  2x .
D. f  x không tồn tại. 0  0  0 1
Câu 17. [1D5-2] Cho hàm số f x xác định trên 0; bởi f x 
. Đạo hàm của f x tại x x  2 là 0 1 1 1 1 A. . B.  . C. . D.  . 2 2 2 2 2
Câu 18. [1D5-2] Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y   x  
1  x – 2 tại điểm có hoành độ x  2 là
A. y  –8x  4 .
B. y  9x 18 .
C. y  –4x  4 .
D. y  9x 18 .
Câu 19. [1D5-2] Phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số y x x2 3 –
tại điểm có hoành độ x  2 là
A. y  –3x  8 .
B. y  –3x  6 .
C. y  3x – 8 .
D. y  3x – 6 .
Câu 20. [1D5-2] Cho hàm số 3 2
y x – 6x  7x  5 C  . Tìm trên C  những điểm có hệ số góc tiếp
tuyến tại điểm đó bằng 2  .
A.  –1; –9; 3; –  1 .
B. 1;7; 3; –  1 .
C. 1;7;  –3; –97 .
D. 1;7;  –1; –9 .
Câu 21. [1D5-2] Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị y  tan x tại điểm có hoành độ x  . 4 1 2 A. k  1. B. k  . C. k  . D. 2 . 2 2
Câu 22. [1D5-2] Cho đường cong C  2
: y x . Phương trình tiếp tuyến của C  tại điểm M  –1;  1 là
A. y  –2x 1 .
B. y  2x 1.
C. y  –2x –1 .
D. y  2x – 1. 2 x x
Câu 23. [1D5-2] Cho hàm số y
. Phương trình tiếp tuyến tại A 1; –2 là x  2
A. y  –4 x –  1 – 2 .
B. y  –5 x – 
1  2 . C. y  –5 x – 
1 – 2 . D. y  –3 x –  1 – 2 .
Câu 24. [1D5-2] Biểu thức của y  của hàm số 2
y x 1tính theo x x  là A. y   0 . B. y
  x2  2x x  . C. y
  xx   x  2 2  2 . D. y    x  2 1. 1
Câu 25. [1D5-2] Một vật rơi tự do theo phương trình S t  2  gt với 2
g  9,8 m/s . Vận tốc tức thời 2
của vật tại thời điểm t  5 giây là A. 122,5 m/s . B. 61,5 m/s . C. 9,8m/s . D. 49 m/s .
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 44
Câu 26. [1D5-2] Một chất điểm chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S t  3 2
t  2t  4t 1,
trong đó t được tính bằng giây và S tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi t  2 giây là A. 2 12 m/s . B. 2 8 m/s . C. 2 9m/s . D. 2 6 m/s . 2  3x
Câu 27. [1D5-2] Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y
tại giao điểm với trục hoành x 1 bằng 1 A. 9 . B. . C. 4 . D. 9  . 9
Câu 28. [1D5-2] Số tiếp tuyến của đường cong C  3 2
: y x  3x  8x 1 song song với đường
thẳng  : y x  28 là A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . tan 3x
Câu 29. [1D5-2] Tính giới hạn lim . x0 sin 5x 3 5 1 A. . B. 1. C. . D. . 5 3 5
Câu 30. [1D5-2] Cho hàm số y  sin 2x C  . Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị C  tại điểm có hoành độ x   bằng. 2 A. 2  . B. 2. C. 0. D. 1  .
Câu 31. [1D5-2] Cho hàm số 3
y x  3x 1 C  . Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị C  và song song
với đường thẳng d : 9x y 15  0 . A. 2. B. 1. C. 0. D. 3.
Câu 32. [1D5-2] Cho hàm số y f x 2
x x 1 . Số nghiệm của phương trình f  x  0 là A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
Câu 33. [1D5-2] Cho hàm số y f x 2
x  2x . f 0 có giá trị bằng A. 2 . B. 2  C. 0 .
D. Không tồn tại đạo hàm tại x  0 . 2x
Câu 34. [1D5-3] Cho hàm số y
. Phương trình tiếp tuyến của C  cắt các trục Ox , Oy lần lượt x  2
tại A B sao cho AB  2OA
A. y   x .
B. y  x  4 .
C. y  x  8 .
D. y  x  8 .
Câu 35. [1D5-3] Điểm M trên đồ thị hàm số 3 2
y x – 3x –1 mà tiếp tuyến tại đó có hệ số góc k
nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị thì M , k
A. M 1; –3 , k  –3 .
B. M 1;3 , k  –3 .
C. M 1; –3 , k  3.
D. M 1; –3 , k  –3 . ax b
Câu 36. [1D5-3] Cho hàm số y
có đồ thị cắt trục tung tại A0; – 
1 , tiếp tuyến tại A có hệ số x 1 góc k  3
 . Các giá trị của a , b
A. a  1, b  1 .
B. a  2 , b  1 .
C. a  1, b  2 .
D. a  2 , b  2 . 2 x  3x  1
Câu 37. [1D5-3] Cho hàm số y
và xét các phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k  2 của x  2 đồ thị hàm số là
A. y  2x –1; y  2x – 3 .
B. y  2x – 5; y  2x – 3 .
C. y  2x –1; y  2x – 5 .
D. y  2x –1; y  2x  5 .
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 45 2 x  3x  3
Câu 38. [1D5-3] Cho hàm số y
, tiếp tuyến của đồ thị hàm số vuông góc với đường x  2
thẳng d : 3y x  6  0 là
A. y  –3x – 3; y  –3x –11.
B. y  –3x – 3; y  –3x 11.
C. y  –3x  3; y  –3x –11.
D. y  –3x – 3; y  3x – 11 . 5
Câu 39. [1D5-3] Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  2m –  4 1 x m
tại điểm có hoành độ 4
x  –1 vuông góc với đường thẳng d : 2x y – 3  0 . 3 1 7 9 A. . B. . C. . D. . 4 4 16 16 x  2
Câu 40. [1D5-3] Cho hàm số y
, tiếp tuyến của đồ thị hàm số kẻ từ điểm  –6;5 là x  2 1 7 1 7
A. y  – x – 1 ; y x  .
B. y  – x – 1 ; y   x  . 4 2 4 2 1 7 1 7
C. y  – x 1 ; y   x  .
D. y  – x 1 ; y   x  . 4 2 4 2 3x  4
Câu 41. [1D5-3] Tiếp tuyến kẻ từ điểm 2;3 tới đồ thị hàm số y  là x 1
A. y  28x  59 ; y x 1.
B. y  –24x  51 ; y x 1.
C. y  28x  59 .
D. y  28x  59 ; y  24x  51.
Câu 42. [1D5-3] Cho hàm số C  3 2
: y x  3mx  m  
1 x m . Gọi A là giao điểm của đồ thị hàm số
với trục tung. Khi đó giá trị m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A vuông góc với đường
thẳng y  2x  3 là 3 1 A.  . B. 1. C. 3  . D.  . 2 2
Câu 43. [1D5-3] Một viên đạn được bắn lên trời từ một vị trí cách mặt đất 1000 m theo phương thẳng
đứng với vận tốc ban đầu v  245 m/s (bỏ qua sức cản của không khí). Tại thời điểm viên đạn 0
đạt độ cao lớn nhất cách mặt đất bao nhiêu mét? A. 3062, 5 m . B. 4062, 5m . C. 3461m . D. 4026, 5m .
Câu 44. [1D5-4] Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m   để đồ thị hàm số 3
y  4x  3x tiếp xúc
với đường thẳng y mx 1? A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . x 1
Câu 45. [1D5-4] Cho hàm số y
có đồ thị là C  . Gọi điểm M x ; y với x  1  là điểm 0 0  2  x   1 0
thuộc C  , biết tiếp tuyến của C  tại điểm M cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt ,
A B và tam giác OAB có trọng tâm G nằm trên đường thẳng d : 4x y  0 . Hỏi giá
trị của x  2 y bằng bao nhiêu? 0 0 7 5 5 A.  . B. 1. C. . D.  . 2 2 2
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 46 f x  3
Câu 46. [1D5-4] Cho các hàm số y f x , y g x , y
. Hệ số góc của các tiếp tuyến của g x 1
các đồ thị các hàm số đã cho tại điểm có hoành độ x  1 bằng nhau và khác 0 . Khẳng định nào
dưới đây là khẳng định đúng? 11 11 11 11 A. f   1   . B. f   1  . C. f   1   . D. f   1  . 4 4 4 4 2
x  2mx m
Câu 47. [1D5-4] Cho hàm số y
. Giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại hai điểm và x m
tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm đó vuông góc là A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 7 .
BÀI 2. QUI TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
Câu 48. [1D5-1] Đạo hàm cấp một của hàm số y    x 5 3 1 là 4
A. y    x 4 3 5 1 . B. y   x   x 5 2 3 15 1 . C. y  3   3
1 x  . D. y   x   x 4 2 3 5 1 .
Câu 49. [1D5-1] Đạo hàm của hàm số f x   x  4 2 1 tại điểm x  1  là A. 3  2 . B. 30 . C. 6  4 . D. 12 . 2x 1
Câu 50. [1D5-1] Hàm số y  có đạo hàm là x 1 1 3 1 A. y  2 . B. y   . C. y   . D. y  .  x  2 1  x  2 1  x  2 1
Câu 51. [1D5-1] Cho hàm số 3 2
y x  3x  9x  5 . Phương trình y  0 có nghiệm là A.  1  ;  2 . B. 1;  3 . C. 0;  4 . D. 1;  2 .
Câu 52. [1D5-1] Cho hàm số f x xác định trên  bởi f x 2
 2x 1. Giá trị f   1 bằng A. 2 . B. 6 . C. 4 . D. 3 . 2x
Câu 53. [1D5-1] Cho hàm số f x xác định trên  \  
1 bởi f x 
. Giá trị của f   1 bằng x 1 1 1 A. . B.  . C. 2 . D. Không tồn tại. 2 2
Câu 54. [1D5-1] Cho hàm số f x xác định trên  bởi f x  ax b , với a , b là hai số thực đã cho. Chọn câu đúng:
A. f   x  a .
B. f  x  a .
C. f  x  b .
D. f   x  b  . 1
Câu 55. [1D5-1] Tính đạo hàm của hàm số 4 2
y x  3x x  3 . 2 1 1 7 1 A. 4 2
y  4x  6x  . B. 3
y  4x  6x  . C. 3
y  4x  6x  . D. 3
y  4x  6x  . 2 2 2 4 2x 1
Câu 56. [1D5-1] Tính đạo hàm của hàm số y  . x  3 7 4x  2 5 4x  5 A. y   . B. y  . C. y   . D. y   .  x  32  x  32  x  32  x  32
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 47
Câu 57. [1D5-1] Tính đạo hàm của hàm số y   x x 10 3 2 2 . A. y   x x9 2 10 3 4 . B. y 
x xx x 9 2 3 2 10 3 2 2 . C. y 
x xx x 9 2 3 2 10 3 4 2 . D. y  x x 9 3 2 10 2 .
Câu 58. [1D5-1] Tính đạo hàm của hàm số 3 2
y ax bx cx d , (Với a, b, c, d   và a  0 ). A. 2
y  3ax bx c . B. 2
y  ax bx c . C. 2
y  3ax  2bx c . D. 2
y  ax bx d . 2 x x
Câu 59. [1D5-2] Cho hàm số y
đạo hàm của hàm số tại x  1 là x  2 A. y  1  4  . B. y  1  5  . C. y  1  3  . D. y  1  2  . x
Câu 60. [1D5-2] Cho hàm số y  . y0 bằng 2 4  x 1 1
A. y0  .
B. y0  .
C. y0  1 .
D. y0  2 . 2 3
Câu 61. [1D5-2] Cho hàm số f x xác định trên  bởi   2 f x
x . Giá trị f  0 bằng A. 0 . B. 2 . C. 1. D. Không tồn tại.  x  2 2
Câu 62. [1D5-2] Hàm số y  có đạo hàm là 1 x 2 x  2x 2 x  2x 2 x  2x A. y  . B. y  .
C. y  2  x  2 . D. y  .  2 2  x2 1 1 x 1 x 2  1 x
Câu 63. [1D5-3] Cho hàm số y  
 . Đạo hàm của hàm số f x là  1 x     2  1 x  21 x
A. f  x  .
B. f  x  . 1 x3 x 1 x 3 21 x  21 x
C. f  x  .
D. f  x  . x 1 x 2 1 x
Câu 64. [1D5-3] Cho hàm số f x xác định trên  bởi   3 f x
x . Giá trị f  8 bằng 1 1 1 1 A. . B.  . C. . D.  . 12 12 6 6 2  x 1 1  khi x  0
Câu 65. [1D5-2] Cho hàm số f x xác định bởi f x   x
. Giá trị f  0 bằng 0 khi x  0  1 A. 0 . B. 1. C. . D. Không tồn tại. 2
Câu 66. [1D5-2] Cho hàm số f x xác định trên  bởi f x 2
 2x  3x . Hàm số có đạo hàm f  x bằng A. 4  x  3 . B. 4  x  3 . C. 4x  3 . D. 4x  3 .
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 48
Câu 67. [1D5-2] Cho hàm số f x xác định trên D  0;  cho bởi f x  x x có đạo hàm là 1 3 1 x x
A. f  x  x .
B. f  x  x .
C. f  x  .
D. f  x  x  . 2 2 2 x 2 2  1 
Câu 68. [1D5-2] Hàm số f x  x  
 xác định trên D  0;  . Có đạo hàm của f x là  x  1 1 1 1
A. f  x  x   2 .
B. f  x  x  .
C. f  x  x
. D. f  x  1 . x 2 x x 2 x 3  1 
Câu 69. [1D5-2] Hàm số f x  x  
 xác định trên D  0;  . Đạo hàm của hàm f x là  x  3  1 1 1  3  1 1 1 
A. f  x  x     .
B. f  x  x    . 2    2  x x x x x  2 2  x x x x x  3  1 1 1  3 1
C. f  x   x     .
D. f  x  x x  3 x   . 2  2  x x x x x x x x
Câu 70. [1D5-2] Cho hàm số f x 4 3 2
 x  4x  3x  2x  1 xác định trên  . Giá trị f   1 bằng A. 4 . B. 14 . C. 15 . D. 24 . 2x 1
Câu 71. [1D5-2] Cho hàm số f x  xác định  \  
1 . Đạo hàm của hàm số f x là x 1 2 3 1 1 
A. f  x  .
B. f  x  .
C. f  x  .
D. f  x  .  x  2 1  x  2 1  x  2 1  x  2 1 1
Câu 72. [1D5-2] Cho hàm số f x  1 xác định  \  
0 . Đạo hàm của hàm số f x là 3 x 1 1 1 1
A. f  x 3   x x.
B. f  x 3  x x.
C. f  x   .
D. f   x   . 3 3 3 3x x 3 2 3x x 3
Câu 73. [1D5-3] Cho hàm số   3 f x k x
x (k  ) . Để f   1  thì ta chọn: 2 9 A. k  1. B. k  3  . C. k  3 . D. k  . 2 1
Câu 74. [1D5-2] Đạo hàm của y
là kết quả nào sau đây? 2 x  2x  5 1 2x  2 2x  2 2x  2 A. y  . B. y   . C. y 
. D. y   . 2x  2  2
x  2x  52 2
x  2x  52 2 x  2x  5 2x 1
Câu 75. [1D5-2] Tính đạo hàm của hàm số y  . x  2 5 x  2 1 5 x  2 A. y   . B. y    . 2x  2 1 2x 1 2 2x  2 1 2x 1 1 x  2 1 5 x  2 C. y   . D. y    .` 2 2x 1 2  x  22 2x 1 3
Câu 76. [1D5-3] Cho hàm số   3 f x k x
x (k  ) . Để f   1  thì ta chọn: 2 9 A. k  1. B. k  3  . C. k  3 . D. k  . 2
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 49 2 x  2x  5
Câu 77. [1D5-3] Với f x  . Thì f   1 bằng x 1 A. 1. B. 3  . C. 5  . D. 0 . x
Câu 78. [1D5-3] Cho hàm số y f x 
. Tính y0 bằng 2 4  x 1 1
A. y0  .
B. y0  .
C. y0  1 .
D. y0  2 . 2 3 2 x x
Câu 79. [1D5-3] Cho hàm số y
, đạo hàm của hàm số tại x  1 là x  2 A. y  1  4  . B. y  1  3  . C. y  1  2  . D. y  1  5  .
Câu 80. [1D5-3] Đạo hàm của hàm số y   x   2 2 1 x x là 2 4x 1 2 4x 1 A. 2
y  2 x x  . B. 2
y  2 x x  . 2 2 x x 2 x x 2 4x 1 2 4x  1 C. 2
y  2 x x  . D. 2
y  2 x x  . 2 2 x x 2 2 x x 1
Câu 81. [1D5-3] Đạo hàm của hàm số y  là
x 1  x 1 1 1 A. y   . B. y  .
x 1 x 12
2 x 1  2 x 1 1 1 1 1 C. y   . D. y   . 4 x 1 4 x 1 2 x 1 2 x 1
Câu 82. [1D5-3] Cho hàm số f x 2  5
x 14x  9 . Tập hợp các giá trị của x để f  x  0 là  7 9   7   7   7  A. ;   . B.  ;    . C. 1;   . D. ;    .  5 5   5   5   5  2
x x m
Câu 83. [1D5-3] Cho hàm số y
. Tìm m để phương trình y  2 có hai nghiệm phân biệt. x  2
A. m  2 và m  2  . B. m  2 . C. m  2 . D. m  2. 2
x  3m  2 x 1 2m
Câu 84. [1D5-3] Cho hàm số y
. Tìm các giá trị của m để y  0 với mọi x x  2 thuộc tập xác định. 9 9 9 9 A. m  . B. m  . C. m  . D. m  . 8 8 8 8  2 m m
Câu 85. [1D5-3] Cho hàm số 3 2 y
x  2mx x  2m 1. Với giá trị nào của m thì 3 y  0 x    ? 1 1 1 A. 1   m  0. B.   m  0. C.   m  0. D.   m  0. 3 3 3 m
Câu 86. [1D5-4] Cho hàm số 3 2 y
x mx  3m  
1 x 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số 3 m thuộc  2
 018; 2018 để y  0,x   . A. 2019 . B. 2018 . C. 2017 . D. 2016 .
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 50
Câu 87. [1D5-4] Cho hàm số y f x liên tục, có đạo hàm trên  và đồ thị C  của nó đi qua các
điểm A0; 15 , B 1; 13 . Biết rằng f  x là một đa thức bậc bốn và có bảng xét dấu là x  1  0 1  f x  0  0  0 
Hỏi điểm nào trong số bốn điểm dưới đây thuộc C  ?
A. Q 2;   1 . B. M 2; 7  1 . C. N 2; 4  1 .
D. P 2;  4  1 .
Câu 88. [1D5-4] Cho hàm số 3 2
y x  3x  4 có đồ thị là C  . Hai đường thẳng d , d có hệ số góc 1 2
âm, song song với nhau và lần lượt tiếp xúc với C  tại x , x . Khẳng định nào sau đây đúng? 1 2 A. 2 2
0  x x  4 . B. 2 2
4  x x  6 . C. 2 2
6  x x  8 . D. 2 2
8  x x  16 . 1 2 1 2 1 2 1 2
Câu 89. [1D5-4] Cho hàm số 3
y x  m   2 3
1 x  9x m . Tìm m để phương trình y  0 có 2 nghiệm
phân biệt x , x thỏa mãn điều kiện x x  2 . 1 2 1 2 A. m   3  ; 1 3 . B. m   3  ; 1 3    1   3;1 .   1   3;1     C. m  1   3; 1   3 .
D. m  3; 1 3 .  
BÀI 3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Câu 90. [1D5-1] Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
A. sin u  cos u , (với u u x ).
B. cos u  sin u , (với u u x ). uu
C.  tan u 
, (với u u x ).
D. cot u 
, (với u u x ). 2 cos u 2 sin u
Câu 91. [1D5-1] Hàm số y  sin x có đạo hàm là 1
A. y  cos x .
B. y   cos x .
C. y   sin x . D. y  . cos x
Câu 92. [1D5-1] Hàm số y  cos x có đạo hàm là 1
A. y  sin x .
B. y   sin x .
C. y   cos x . D. y  . sin x
Câu 93. [1D5-1] Hàm số y  tan x có đạo hàm là 1 1
A. y  cot x . B. y  . C. y  . D. 2
y  1 tan x . 2 cos x 2 sin x
Câu 94. [1D5-1] Hàm số y  cot x có đạo hàm là 1 1
A. y   tan x . B. y   . C. y   . D. 2
y  1 cot x . 2 cos x 2 sin x 1
Câu 95. [1D5-1] Hàm số y
1 tan x2 có đạo hàm là 2
A. y  1 tan x .
B. y    x2 1 tan .
C. y    x 2 1 tan 1 tan x . D. 2
y  1 tan x .
Câu 96. [1D5-1] Tính đạo hàm của hàm số y  5sin x  3cos x .
A. y  5sin x  3cos x .
B. y  5sin x  3cos x .
C. y  5 cos x  3sin x .
D. y  5 cos x  3sin x .
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 51
Câu 97. [1D5-1] Tính đạo hàm của hàm số y  cos 2x 1 . sin 2x 1 sin 2x 1 sin 2x 1 A. y   . B. y  . C. y  
. D. y   sin 2x 1 . 2 2x 1 2x 1 2x 1
Câu 98. [1D5-1] Tính đạo hàm của hàm số y  sin 2x A. y 2 sin 2x   .
B. y  cos 2x . C. y 2cos 2x   .
D. y  2 cos 2x . 
Câu 99. [1D5-2] Cho hàm số f x 2  3sin 2x  
 . Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f  x lần lượt là  4  A. 1; 1. B. 12; 12. C. 6  ; 6. D. 6 ; 6. x 1
Câu 100. [1D5-2] Đạo hàm của hàm số y  tan là 2 1 1 1 1 A. y  . B. y  . C. y  
. D. y   . x 1 x 1 x 1 x 1 2 2 cos 2 cos 2 2 cos 2 cos 2 2 2 2
Câu 101. [1D5-2] Cho hàm số y  sin x  3 cos x . Tìm nghiệm của phương trình y  0. A. x
k ,k   . B. x
k ,k   . 3 6 C. x
k 2,k   . D. x  
k ,k   . 6 6
Câu 102. [1D5-2] Tính đạo hàm của hàm số y   2
sin x  3x  2 . A. y   2
cos x  3x  2 .
B. y   x    2 2
3 .sin x  3x  2 .
C. y   x    2 2
3 .cos x  3x  2 .
D. y    x    2 2
3 .cos x  3x  2 . 
Câu 103. [1D5-2] Đạo hàm của hàm số y  sin  2x   là  2     A. 2  sin 2x . B. cos  2x   . C. 2sin 2x . D. 2 cos  2x   .  2   2 
Câu 104. [1D5-2] Hàm số nào sau đây có đạo hàm là hàm số y  cos 2x  sin x ? 1
A. y  sin 2x  cos x . B. y
sin 2x  cos x . 2 1
C. y  sin 2x  cos x . D. y
sin 2x  cos x . 2
Câu 105. [1D5-2] Cho hàm số y f x  sin x  cos x  2x . Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình
f  x  0 là 5 A. B. x  
k 2k   4 4 3 11 C. x D. x  4 4 sin x
Câu 106. [1D5-2] Hàm số y  có đạo hàm là x
x cos x  sin x
x cos x  sin x
x sin x  cos x
x sin x  cos x A. y  . B. y  . C. y  . D. y  . 2 x 2 x 2 x 2 x
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 52
Câu 107. [1D5-2] Hàm số 2
y x .cos x có đạo hàm là A. 2 y  2 .
x cos x x sin x . B. 2 y  2 .
x cos x x sin x . C. 2 y  2 .
x sin x x cos x . D. 2 y  2 .
x sin x x cos x .
Câu 108. [1D5-2] Hàm số y  tan x  cot x có đạo hàm là 1 4 4 1 A. y  . B. y  . C. y  . D. y  . 2 cos 2x 2 sin 2x 2 cos 2x 2 sin 2x
Câu 109. [1D5-3] Hàm số y  2 sin x  2 cos x có đạo hàm là 1 1 1 1 A. y   . B. y   . sin x cos x sin x cos x cos x sin x cos x sin x C. y   . D. y   . sin x cos x sin x cos x 2
Câu 110. [1D5-3] Hàm số y f x 
f  3 bằng cos  x 8 4 3 A. 2. B. . C. . D. 0 . 3 3 x
Câu 111. [1D5-3] Hàm số 2 y  tan có đạo hàm là 2 x x x sin 2 sin sin  x A. 2 y  . B. 2 y  . C. 2 y  . D. 3 y  tan . x x x   3  2 cos 3 cos 3 2 cos  2 2 2
Câu 112. [1D5-3] Hàm số y  cot 2x có đạo hàm là 2 2 2 1 cot 2x  1 cot 2x 2 1 tan 2x  1 tan 2xA. y  . B. y  . C. y  . D. y  . cot 2x cot 2x cot 2x cot 2x
Câu 113. [1D5-3] Cho hàm số y  cos 3 .
x sin 2x . Tính y  bằng  3        1   1 A. y  1   . B. y  1   . C. y     . D. y    .  3   3   3  2  3  2 cos 2x
Câu 114. [1D5-3] Cho hàm số y
. Tính y  bằng 1 sin x  6         A. y  1   . B. y  1   . C. y  3   . D. y   3   .  6   6   6   6 
Câu 115. [1D5-3] Xét hàm số f x 3 
cos 2x . Chọn đáp án sai:   2  sin 2x A. f  1    .
B. f  x  .  2  3 2 3. cos 2xC. f   1   . D. 2
3.y .y  2 sin 2x  0 .  2  2 
Câu 116. [1D5-3] Cho hàm số y f x  sin x  cos x . Giá trị f   bằng 16   2 2 2 A. 0 . B. 2 . C. . D. .
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 53
Câu 117. [1D5-3] Cho hàm số y f x  tan x  cot x . Giá trị f   bằng  4  2 1 A. 2 . B. . C. 0 . D. . 2 2 1 
Câu 118. [1D5-3] Cho hàm số y f x 
. Giá trị f    bằng sin x  2  1 A. 1. B. . C. 0 . D. Không tồn tại. 2  5  
Câu 119. [1D5-3] Xét hàm số y f x  2sin  x
 . Tính giá trị f    bằng  6   6  A. 1  . B. 0 . C. 2 . D. 2  .  2
Câu 120. [1D5-3] Cho hàm số y f x  tan x  
 . Giá trị f  0 bằng  3  A. 4 . B. 3 . C.  3 . D. 3 .
Câu 121. [1D5-3] Cho hàm số y f x  2sin x . Đạo hàm của hàm số y là 1 1 1
A. y  2 cos x . B. y  cos x .
C. y  2 x.cos . D. y  . x x x.cos x cos x
Câu 122. [1D5-3] Cho hàm số y
. Tính y  bằng 1 sin x  6         A. y  1   . B. y  1   . C. y  2   . D. y  2    .  6   6   6   6 
Câu 123. [1D5-3] Hàm số 2 y  sin .
x cos x có đạo hàm là A. y  x  2 sin 3cos x   1 . B. y  x  2 sin 3cos x   1 . C. y  x  2 sin cos x   1 . D. y  x  2 sin cos x   1 .
Câu 124. [1D5-3] Đạo hàm của hàm số 2
y  cot cos x  sin x  là 2 1 cos x
A. y  2 cot cos x  . 2 sin cos x 2 sin x  2 1 cos x
B. y  2 cot cos x .sin x  . 2 sin cos x 2 sin x  2 1 cos x
C. y  2 cot cos x  . 2 sin cos x sin x  2 1 cos x
D. y  2 cot cos x .sin x  . 2 sin cos x sin x  2
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 54
Câu 125. [1D5-4] Cho hàm số f x  sin 2x  21 2m cos 2x  2mx 1. Với giá trị nào của tham số
m thì phương trình f  x  0 có nghiệm. A. m   .
B. m 1;  1  1   5   1  C. m   ;   ;      D. m  ;     2   6   3 
Câu 126. [1D5-4] Cho hàm số f x  m cos x  2sin x  3x 1, tìm tất cả các giá trị của tham số m để
phương trình f  x  0 có nghiệm.
A. m   5 hoặc m  5 .
B.  5  m  5 .
C. m   5 . D. m  5 .
Câu 127. [1D5-4] Cho hàm số f x 2 2 2
 sin x tan x  3cos x g x 2 2
 4 sin x  tan x . Khi đó:
A. f  x  g x  sin 2x .
B. f  x  g x  3 .
C. f  x  g x  1.
D. f  x  g x  0 . cos x
Câu 128. [1D5-4] Cho hàm số y
, x  0 . Chọn đẳng thức đúng. x A. yx
  2 y  cos x  0 . B. yx
  2 y  cos x  0 . C. yx
  2 y  cos x  0 . D. yx
  2 y  cos x  0 . BÀI 4. VI PHÂN
Câu 129. [1D5-1] Cho hàm số y f x   x  2
1 . Biểu thức nào sau đây chỉ vi phân của hàm số f x ?
A. dy  2 x   1 dx .
B. y   x  2 d 1 dx .
C. dy  2 x   1 .
D. dy  2 x   1 dx .
Câu 130. [1D5-1] Cho hàm số 3
y x  5x  6 . Vi phân của hàm số là A. y   2 d 3x  5dx .
B. y    2 d
3x  5dx . C. y   2 d
3x  5dx . D. y   2 d 3x  5dx . x  2
Câu 131. [1D5-1] Cho hàm số y
. Vi phân của hàm số là x 1 dx 3dx 3dx dx A. dy  . B. dy  . C. dy  . D. dy   .  x  2 1  x  2 1  x  2 1  x  2 1 2 x x  1
Câu 132. [1D5-1] Cho hàm số y
. Vi phân của hàm số là x 1 2 x  2x  2 2x 1 2x 1 2 x  2x  2 A. dy  
dx . B. dy  dx . C. dy  
dx . D. dy  dx .  2 x  2 1  x  2 1  x  2 1  x   1
Câu 133. [1D5-1] Cho hàm số 3 2
y x  9x 12x  5 . Vi phân của hàm số là A. y   2 d
3x 18x 12dx . B. y   2 d 3
x 18x 12dx .
C. y    2 d
3x 18x 12dx . D. y   2 d 3
x 18x 12dx .
Câu 134. [1D5-1] Tìm vi phân của hàm số 3 2
y x  3x  2x  4 . A. y   2 d
3x  6x  2dx . B. 2
dy  3x  6x  2dx . C. y   2 d 3
x  6x  2dx . D. y   2 d
x  3x  2dx .
Câu 135. [1D5-1] Vi phân của hàm số y  cos x A. dy  cos d x x .
B. dy   cos d x x .
C. dy   sin d x x . D. dy  sin d x x .
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 55 1
Câu 136. [1D5-2] Cho hàm số y
. Vi phân của hàm số là 3 3x 1 1 1 A. dy  dx . B. dy  dx . C. dy   dx . D. 4
dy x dx . 4 4 x 4 x
Câu 137. [1D5-2] Cho hàm số y  sin x  3cos x . Vi phân của hàm số là
A. dy   cos x  3sin xdx .
B. dy   cos x  3sin x dx .
C. dy  cos x  3sin x dx .
D. dy   cos x  3sin xdx .
Câu 138. [1D5-2] Cho hàm số 2
y  sin x . Vi phân của hàm số là
A. dy  – sin 2x dx .
B. dy  sin 2x dx .
C. dy  sin x dx .
D. dy  2cosx dx .
Câu 139. [1D5-2] Hàm số y x sin x  cos x có vi phân là
A. dy   x cos x – sin x dx .
B. dy   x cos x dx .
C. dy  cos x – sin x dx .
D. dy   x sin x dx . x
Câu 140. [1D5-2] Hàm số y  . Có vi phân là 2 x 1 2 1 x 2x 2 1 x 1 A. dy  dx . B. dy  dx . C. dy  dx . D. dy  dx .  2 2 x  2 2 1 x   1 x   1 x  2 2 1
Câu 141. [1D5-2] Cho hàm số y  5sin 2x vi phân của hàm số tại x  là 3
A. dy  5dx .
B. dy  10 cos 2 d x x . C. dy  1  0 cos 2 d
x x . D. dy  5dx . x  3
Câu 142. [1D5-2] Cho hàm số y
, vi phân của hàm số tại x  3  là 1 2x 1 1 A. dy  dx .
B. dy  7dx .
C. dy   dx .
D. dy  7dx . 7 7
Câu 143. [1D5-2] Cho hàm số y  sin sin x vi phân của hàm số tại x
A. dy  cos sin x dx .
B. dy  sin cos x dx .
C. dy  cos sin x.cos d x x .
D. dy  cos sin x.sin d x x .
Câu 144. [1D5-2] Cho hàm số y  tan
x vi phân của hàm số tại x là 1 1 A. dy  dx . B. dy  dx . 2 x.cos x 2 2 x.cos x 1 1 C. dy  dx . D. dy  dx . 2 2 x.cos x 2 x.cos x
Câu 145. [1D5-2] Cho hàm số 2
y  cos 2x vi phân của hàm số tại x
A. dy  4 cos 2x sin 2 d x x .
B. dy  2 cos 2x sin 2 d x x . C. dy  4  cos 2x sin 2 d x x . D. dy  2  cos 2x sin 2 d x x . 2 1 x
Câu 146. [1D5-2] Cho hàm số y
vi phân của hàm số tại x là 2 1 x 4  4  x dx 4  A. dy  dx . B. dy  dx . C. dy  . D. dy  dx .  2 1 x 2 2 1 x 2 2 1 x 2 2 1 x 2 x x khi x  0
Câu 147. [1D5-2] Cho hàm số f x  
. Kết quả nào dưới đây là đúng? 2x khi x  0  2   x x
A. f 0   lim  2 x x  .
B. f 0   lim
 lim x 1  1 .   0 x0 x0 x0 x
C. f 0   lim 2x  0 .
D. df 0  dx . x0
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 56 sin x khi x  0
Câu 148. [1D5-2] Cho hàm số f x  
. Khẳng định nào dưới đây là sai? x khi x  0  A. f 0   1. B. f 0   1.
C. df 0  dx .
D. Hàm số không có vi phân tại x  0 . 2 x x 1
Câu 149. [1D5-2] Hàm số y  có vi phân là x 1 2 x  2x  2 2x 1 A. dy   dx B. dy  dx x  2 1  x  2 1 2x 1 2 x  2x  2 C. dy   dx D. dy  dx  2 x  2 1  x   1 x
Câu 150. [1D5-2] Hàm số y  có vi phân là 2 x 1 2 1 x 2x 2 1 x 1 A. dy  dx . B. dy  dx . C. dy  dx . D. dy  dx .  2 2 x  2 2 1 x   1 x   1 x  2 2 1
Câu 151. [1D5-2] Vi phân của hàm số 2 y
x  5x bằng biểu thức nào sau đây? 1 2x  5 A. dy  dx . B. dy  dx . 2 2 x  5x 2 x  5x 2x  5 2x  5 C. dy   dx . D. dy  dx . 2 2 x  5x 2 2 x  5x x
Câu 152. [1D5-2] Biểu thức nào sau đây là vi phân của hàm số y  ? 2 x 1 2 3x  1 2 x 1 2 x 1 2 x 1 A. dx . B. dx . C. dx . D. .  2 2 2 x  2 2 1  2 x   1 x 1  2 x   1 tan x
Câu 153. [1D5-3] Vi phân của hàm số y  là x 2 x sin 2 x A. dy  dx . B. dy  dx . 2 4x x cos x 2 4x x cos x
2 x  sin 2 x
2 x  sin 2 x C. dy  dx . D. dy   dx . 2 4x x cos x 2 4x x cos x
Câu 154. [1D5-3] Xét hàm số y f x 2
 1 cos 2x . Chọn câu đúng:  sin 4x  sin 4x
A. df x  dx .
B. df x  dx . 2 2 1 cos 2x 2 1 cos 2x cos 2x  sin 2x
C. df x  dx .
D. df x  dx . 2 1 cos 2x 2 2 1 cos 2x d sin x
Câu 155. [1D5-4] Tính . d cos xA.  cot x . B.  tan x . C. cot x . D. tan x .
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 57
BÀI 5. ĐẠO HÀM CẤP CAO x
Câu 156. [1D5-1] Hàm số y  có đạo hàm cấp hai là x  2 1 4 4
A. y  0 . B. y  .
C. y   . D. y  .  x  22  x  22  x  23
Câu 157. [1D5-1] Hàm số y   x  3 2
1 có đạo hàm cấp ba là
A. y   2 12 x   1 .
B. y   2 24 x   1 .
C. y   2 24 5x  3 .
D. y   2 –12 x   1 .
Câu 158. [1D5-1] Cho hàm số f x   x  3
1 . Giá trị f  0 bằng A. 3 . B. 6 . C. 12 . D. 24 .
Câu 159. [1D5-2] Hàm số y
2x  5 có đạo hàm cấp hai bằng 1 1 A. y  . B. y  .
2x  5 2x  5 2x  5 1 1
C. y   .
D. y   .
2x  5 2x  5 2x  5 2 x x  1
Câu 160. [1D5-2] Hàm số y
có đạo hàm cấp 5 bằng x  1 120 120 1 1 A. 5 y   . B. 5 y  . C. 5 y  . D. 5 y   .  5 5 5 x  6 1  x   1  x   1  x   1
Câu 161. [1D5-2] Hàm số 2
y x x 1 có đạo hàm cấp 2 bằng 3 2x  3x 2 2x 1 A. y   . B. y  .  2 1 x  2 1 x 2 1 x 3 2x  3x 2 2x 1 C. y  . D. y   .  2 1 x  2 1 x 2 1 x
Câu 162. [1D5-2] Hàm số y   x  5 2
5 có đạo hàm cấp 3 bằng A. y   x  3 80 2 5 . B. y   x  2 480 2 5 .
C. y    x  2 480 2 5 .
D. y    x  3 80 2 5 .
Câu 163. [1D5-2] Hàm số y  tan x có đạo hàm cấp 2 bằng 2 sin x 1 1 2sin x A. y   . B. y  . C. y   . D. y  . 3 cos x 2 cos x 2 cos x 3 cos x
Câu 164. [1D5-2] Cho hàm số y  sinx . Chọn câu sai.    3
A. y  sin x  4   .
B. y  sin  x  .
C. y  sin x    . D.   y
 sin 2x .  2   2  2 2x  3x
Câu 165. [1D5-2] Hàm số y
có đạo hàm cấp 2 bằng 1 x 1 2 2 2
A. y  2  . B. y  . C. y  . D. y  . 1 x2 1 x3 1 x3 1 x4
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 58  
Câu 166. [1D5-2] Hàm số y f x  cos 2x  4   . Phương trình   f
x  8 có nghiệm x  0;   là  3   2  A. x  .
B. x  0 và x  .
C. x  0 và x  .
D. x  0 và x  . 2 6 3 2
Câu 167. [1D5-2] Cho hàm số y  sin2x . Chọn khẳng định đúng.
A. 4 y y  0 .
B. 4 y y  0 .
C. y y tan 2x .
D. y   y2 2  4 . 1
Câu 168. [1D5-2] Cho hàm số y f x   . Xét hai mệnh đề: x 2 6
I  : y  f   x  .
II  : y  f  x   . 3 x 4 x Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ  I  đúng.
B. Chỉ  II  đúng.
C. Cả hai đều đúng.
D. Cả hai đều sai. 2sin x
Câu 169. [1D5-2] Nếu f   x 
thì f x bằng 3 cos x 1 1 A. . B.  . C. cot x . D. tan x . cos x cos x 2 x x  2
Câu 170. [1D5-2] Cho hàm số y f x  . Xét hai mệnh đề: x 1 2 4
I  : y  f  x  1    0, x   1.
II  : y  f   x   0, x   1 . 2 (x 1) 2 (x 1) Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ  I  đúng.
B. Chỉ  II  đúng.
C. Cả hai đều đúng.
D. Cả hai đều sai. 
Câu 171. [1D5-2] Cho hàm số f x 3 2
 sin x x . Giá trị f    bằng  2  A. 0 . B. 1  . C. 2  . D. 5 . 3
Câu 172. [1D5-2] Cho hàm số f x  5 x   1  4  x  
1 . Tập nghiệm của phương trình f   x  0 là A.  1  ; 2. B. ;0 . C.   1  . D.  . 1
Câu 173. [1D5-2] Cho hàm số y  . Khi đó: x  3 3 1 3 1
A. y  1  .
B. y  1  .
C. y  1   .
D. y  1   . 8 8 8 4
Câu 174. [1D5-2] Cho hàm số    5 y
ax b với a , b là tham số. Khi đó: A. 10 y   1  0 . B. 10 y  
1  10a b . C. 10 y   1  5a . D. 10 y   1  10a . 
Câu 175. [1D5-2] Cho hàm số 2
y  sin 2x . Tính 4 y   bằng  6  A. 64 . B. 6  4 . C. 64 3 . D. 6  4 3 . 
Câu 176. [1D5-2] Nếu f x 3 2
 sin x x thì f     bằng  2  A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 5 .
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 59 1
Câu 177. [1D5-2] Cho hàm số y
. Đạo hàm cấp hai y của hàm số đã cho là x  1 2 2 2  2 A. y  . B. y  . C. y  . D. y  .  x  4 1  x  3 1  x  3 1  x  4 1
Câu 178. [1D5-2] Cho hàm số 2
y  cos x . Đạo hàm cấp hai y bằng
A. y  2 cos 2 x .
B. y  4 cos 2 x .
C. y  2 cos 2x .
D. y  4 cos 2x .
Câu 179. [1D5-2] Cho hàm số f x   x  4
1 . Giá trị của f 2 bằng A. 27 . B. 81. C. 96 . D. 108 .
Câu 180. [1D5-2] Cho hàm số 3
y  sin x . Giá trị biểu thức M y  9 y bằng A. sin x . B. 6 sin x . C. 6 cos x . D. 6  sin x .
Câu 181. [1D5-2] Cho hàm số y Asin  x  . Tính 2
M y   y . A. M  1 . B. M  1 . C. 2
M  cos x  4 . D. M  0 . x  3
Câu 182. [1D5-2] Cho hàm số y  . Tính y . x  2 2  2 2  2 A. y  . B. y  . C. y  . D. y  .  x  23  x  23  x  24  x  24
Câu 183. [1D5-2] Cho y x sin x . Tính y .
A. y  2 sin x x cos x . B. y  2 cos x x sin x . C. y  sin x x cos x . D. y  cos x + x sin x . Câu 184. [1D5-2] Cho 2
y  cos x . Tính y .
A. y   sin 2x .
B. y  sin 2x .
C. y  2cos2x .
D. y  2cos2x . Câu 185. [1D5-2] Cho 3 2
y ax bx cx d . Tính y . A. 2
y  3ax  2bx c . B. 2
y  3ax  2bx c . C. y  6ax  2b .
D. y  6ax  2b .
Câu 186. [1D5-2] Cho f x   x  6
10 . Giá trị của f 2 bằng A. 622080 . B. 1492992 . C. 124416 . D. 103680 . 
Câu 187. [1D5-2] Cho f x  sin 3x . Giá trị của f     bằng  2  A. 9  . B. 0 . C. 9 . D. 3  .
Câu 188. [1D5-2] Cho f x  sin 3x . Giá trị của f 0 bằng A. 0 . B. 3 . C. 3  . D. 1.
Câu 189. [1D5-2] Tính đạo hàm cấp hai của hàm số f x 3 2
x x 1 tại điểm x  2 .
A. f 2  14 .
B. f  2  1.
C. f 2  10 .
D. f 2  28 .
Câu 190. [1D5-2] Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số y  tan x . 1 A. y   .
B. y  2 tan x . 4 cos x 2 C. y   . D. y  x  2 2 tan 1 tan x . 3 cos x x 1
Câu 191. [1D5-2] Đạo hàm cấp hai của hàm số y  là x  2 6 6 6 6 A. y  . B. y  . C. y  . D. y  .  x  23  x  24  x  23  x  24
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 60
Câu 192. [1D5-2] Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y  sin 2x , biết đạo hàm cấp một của hàm số là
y  2 cos 2x . A. y  4  sin 2x .
B. y  4 sin 2x .
C. y  4 cos 2x .
D. y  4 cos 2x .
Câu 193. [1D5-2] Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y  2x  cos x , biết đạo hàm cấp một của hàm số là
y  2  sin x
A. y  2  sin x .
B. y  2  cos x .
C. y   sin x .
D. y   cos x .
Câu 194. [1D5-2] Cho hàm số 2
y  cos x . Đạo hàm cấp hai y bằng
A. y  2 cos 2x .
B. y  4 cos 2x .
C. y  2 cos 2x .
D. y  2sinx . 3x  2
Câu 195. [1D5-2] Cho hàm số y
. Giải bất phương trình y  0. 1  x A. x  1 . B. x  1. C. x  1 . D. vô nghiệm.
Câu 196. [1D5-2] Cho hàm số y  .
x sin x . Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. y  y  2  cos x .
B. y  y    x   1 sin x .
C. y  y  2 cos x .
D. y  y  2  cos x . 2x  1
Câu 197. [1D5-2] Cho hàm số y f x 
. Phương trình f  x  f  x  0 có nghiệm là 1 x 1 3 1 3 A. x   . B. x  . C. x  . D. x   . 2 2 2 2 1 2 1 2
Câu 198. [1D5-2] Cho hàm số 2
y  sin 2x giá trị của biểu thức M   y   y bằng 4 64 A. 1. B. 1  . C. 4. D. 3. x  4 2
Câu 199. [1D5-3] Cho hàm số y
. Giá trị biểu thức M  2  y  1 y.y bằng x  3 1 2x A. M  0 . B. M  1 . C. M  . D. M  . x  4  x  42
Câu 200. [1D5-3] Cho hàm số 2
y  2x x . Giá trị biểu thức 3
M y .y 1 bằng 1 A. 2 . B. 0 . C. 1. D. . 2 2x x 1
Câu 201. [1D5-3] Cho hàm số 2 y
x x  1. Giá trị biểu thức 2 y  2 . y y bằng 2 A. 0 . B. 2 . C. 1. D. 1.
Câu 202. [1D5-3] Cho hàm số y x sin .
x Giá trị biểu thức xy  2 y  sin x  xy bằng A. 1. B. 0 . C. 2 . D. sin x .
Câu 203. [1D5-3] Cho hàm số y  . x tan x . Tính 2
M x y   2 2
2 x y 1 y . 2 x A. . B. 1. C. 2 2 x  tan x . D. 0 . 2 cos x
Câu 204. [1D5-3] Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình 3 2
S t  3t  9t  2017 ( t tính bằng
giây và S tính bằng mét). Tính gia tốc khi t  3s . A. 2 15 m/s . B. 2 9 m/s . C. 2 12 m/s . D. 2 6 m/s .
Câu 205. [1D5-3] Cho hàm số y  sin 2x  cos2 x . Giải phương trình y  0 A. x  
k 2, k   . B. x   k , k   . 4 8 2 C. x
k 2, k   D. x
k , k   . 8 2
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 61
Câu 206. [1D5-3] Cho hàm số 5 4
y  3x  5x  3x  2 . Giải bất phương trình y  0 .
A. x   ;1 \   0 .
B. x  1;  .
C. x  1  ;1 . D. x   2  ; 2 . 2 x
Câu 207. [1D5-3] Cho hàm số y  m  4
 cos x . Tìm m sao cho y "  0 với mọi x   2 A. m  3 . B. m  2 . C. m  3 . D. m  3 .
Câu 208. [1D5-3] Cho hàm số y    m 4 3 2 2 x 2
x  2mx  2m 1 . Tìm m để phương trình y  0 có hai nghiệm phân biệt  1   3   3   1  A. m   ;   ;  \       2 . B. m   ;   ;  \       2 .  2   2   2   2   3   1   1   3  C. m   ;    ;  \       2 . D. m   ;   ;  \       2 .  2   2   2   2  3x  2
Câu 209. [1D5-3] Cho hàm số y
. Giải bất phương trình y  0 . 1  x A. x  1 . B. x  1. C. x  1. D. vô nghiệm. 1
Câu 210. [1D5-3] Cho hàm số y
. Giải bất phương trình y  0 .  x  3 1 A. x  1  . B. x  1  . C. x  1. D. vô nghiệm. x 1
Câu 211. [1D5-3] Cho hàm số y
. Giải phương trình y  0 . 2 x 1
A. x  1; x  1 3 .
B. x  1; x  2  3 .
C. x  1; x  1 3 .
D. x  1; x  3  3 .
Câu 212. [1D5-3] Đạo hàm cấp 2018 của hàm số y  cos x A. sin x . B. sin x . C. cos x . D.  cos x . 3
Câu 213. [1D5-3] Giả sử h x  5 x   1  4  x  
1 . Tập nghiệm của phương trình h  x  0 là A.  1  ; 2 . B. ;0 . C.   1  . D. .
Câu 214. [1D5-3] Tính gia tốc tức thời của chuyển động S f t 3 2
t  3t  7t  2 tại thời điểm t  2 0 bằng A. 6  . B. 7 . C. 7  . D. 6 .
Câu 215. [1D5-3] Tính gia tốc tức thời của chuyển động s f t  3sin 2t  2cos 2t tại thời điểm t  bằng 0 4 A. 12 . B. 12 . C. 20 . D. 2  0 . 1
Câu 216. [1D5-3] Cho hàm số y  . Khi đó nyx bằng x n n! n! n n! n! A.   1 . B. . C.   1 . . D. . n 1 x n 1 x n x n x
Câu 217. [1D5-4] Đạo hàm cấp n , với *
n   của hàm số y  sin x .  n A. ny  sin x n   . B.   yn!sin x .  2   n C. ny  cos x n   . D.   yn!cos x .  2 
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 62
CÁC ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 4
ĐỀ SỐ 1 – THPT Chương Mỹ B, Hà Nội I.
PHẦN TRẮC NGHIỆM: ( 2,5 điểm).
f x  f 2 Câu 1.
[1D5-1] Cho hàm số f x xác định trên tập số thực  thỏa mãn lim  3 . Kết x2 f 2
quả nào sau đây đúng?
A. f  x  2 .
B. f 2  3 .
C. f  x  3 .
D. f 3  2 . Câu 2.
[1D5-1] Cho hàm số f x xác định trên tập số thực  , có đạo hàm x  1  . Định nghĩa về
đạo hàm nào sau đây là đúng?
f x  f   1
f x  f   1 A. lim  f   1 . B. lim  f    1 . x1 x 1 x1 x 1
f x  f   1
f x  f   1 C. lim  f    1 . D. lim
f   x . x1 x 1 x1 x 1 Câu 3.
[1D5-2] Đạo hàm của hàm số y f x 2
x 1 tại x  2  bằng: A. 3 . B. 2 . C. 4 . D. 1. Câu 4.
[1D5-1] Cho hàm số y f x và f  
1  2 thì điều nào sau đây là đúng? 2 xx   2
A. lim x  0 . B. lim  2 . C. lim  2 .
D. lim x  2  2 . x 2  x0 xx0 x   1 x1 Câu 5.
[1D5-2] Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2
y x  3x tại điểm M 1;2 có hệ số góc k là: A. k  1 . B. k  1 . C. k  7 . D. k  2 . Câu 6.
[1D5-2] Nếu tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2
y x  3x C  có tiếp tuyến song song với đường
thẳng y  3x 10 thì số tiếp tuyến của C  là: A. 3 . B. 0 . C. 2 . D. 1. Câu 7. [1D5-2] Hàm số 3 2
y x  2x  4x  5 có đạo hàm là: A. 2
y  3x  2x  4 . B. 2
y  3x  4x  4 .
C. y  3x  2x  4 . D. 2
y  3x  4x  4  5 . 1 2 Câu 8.
[1D5-2] Hàm số y x   có đạo hàm là: 2 x x 1 4 1 4 1 2 1 4 A. y  1  . B. y  1  . C. y  1  . D. y  1  . 2 3 x x 2 4 x x 2 4 x x 2 3 x x 1 Câu 9.
[1D5-2] Hàm số y  2x
có đạo hàm y4 là: x 17 5 31 17 A. . B. . C. . D. . 2 2 16 4
Câu 10. [1D5-2] Hàm số 3 2
y  2x  3x  5 có đạo hàm y  0 tại các điểm sau đây: 5 5
A. x  0 hoặc x  1 .
B. x  1 hoặc x  
.C. x  1 hoặc x  . D. x  0 . 2 2
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 63 x  1
Câu 11. [1D5-2] Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y
tại điểm A 2;3 là: x 1 1
A. y  2x 1. B. y x  4 .
C. y  2x 1. D. y  2  x  7 . 2
Câu 12. [1D5-3] Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 4 2
y x  2x m (với m là tham số) tại điểm có hoành độ x  1
 là đường thẳng có phương trình: 0
A. x m 1 . B. y  0 .
C. y m 1 .
D. y m  3 .
Câu 13. [1D5-2] Cho hàm số f x  x  2 . Giá trị P f 2   x  2. f 2 là: x  2  x  2  x  2 A. 2  . B. 2  . C. 2  . D. 2  x  2 . 4 2 x  2 2 2x 1
Câu 14. [1D5-2] Hàm số y   x  3 4 1  có đạo hàm là: x  2 2 5 2 5 A. 3 12x  4 x   1  . B. 3 4 x   1  .  2 x  22  x  2 2 3 3 5 C. 3 12x  4 x   1  . D. 3 4x  4 x   1  .  x  22  x  2
Câu 15. [1D5-2] Đạo hàm của biểu thức f x   2 x   2 3
x  2x  4 là: x   1  2 x  3  x   1  2 x  3 2 
A. f  x  2x x  2x  4  .
B. f  x  2x . 2 x  2x  4 2 x  2x  4  2 x  3 2 
C. f  x  2x x  2x  4  . D. 2 2 x  2x  4  x   1  2 x  3 2 
f  x  2x  3 x  2x  4  . 2 x  2x  4 1
Câu 16. [1D5-4] Cho hàm số y   2 m   3
1 x  m   2
1 x  2x  1. Giá trị m để y  2x  2  0 với mọi 3
x thuộc  .  4   4  A.  ;    1 ;1;  . B. 0;   .
C. Không tồn tại m . D.  1  ; 0; ;1   .  5   5 
Câu 17. [1D5-3] Cho hàm số f x 3 2
x  3x  2 . Nghiệm của bất phương trình f  x  0 là: A. 0; 2 . B.  ;  0 . C. 2;  . D.  ;
 0  2;  .
Câu 18. [1D5-2] Hàm số f x  sin 3x có đạo hàm f  x là: A. 3cos 3x . B. cos 3x . C. 3cos 3x . D.  cos 3x .
Câu 19. [1D5-2] Đạo hàm của hàm số y  3sin x  5 cos x là:
A. y  3cos x  5sin x .
B. y  3cos x  5sin x .
C. y  3cos x  5sin x .
D. y  3cos x  5sin x .
Câu 20. [1D5-2] Đạo hàm của hàm số y  cos x  sin x  2x là:
A. sin x  cos x  2 .
B.  sin x  cos x  2 . C.  sin x  cos x  2x . D.  sin x  cos x  2 .
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 64  cos x
Câu 21. [1D5-2] Tính f   biết f x   2  1 sin x 1 1 A. 0 . B.  . C. . D. 2 . 2 2
Câu 22. [1D5-2] Đạo hàm của hàm số y x cot x là: x x x x A. cot x  . B. cot x  . C. cot x  . D. cot x  . 2 sin x 2 sin x 2 cos x 2 cos x
Câu 23. [1D5-2] Đạo hàm của hàm số y  1 2 tan x là: 1 1 A. y  . B. y  . 2
cos x 1 2 tan x 2
sin x 1 2 tan x 1 2 tan x 1 C. y  . D. y  . 2 1 2 tan x 2 1 2 tan x
Câu 24. [1D5-4] Cho hàm số f x 2  2 cos 4x  
1 . Miền giá trị của f  x là: A. 2
  f   x  2 . B. 4
  f   x  4 . C. 8
  f  x  8 . D. 1
 6  f   x  16 . 
Câu 25. [1D5-4] Cho hàm số 2
y  cos 2x . Số nghiệm của phương trình y  0 trên 0;  là: 2    A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. Vô số nghiệm.
ĐỀ SỐ 2 – THPT Hoàng Văn Thụ , Hòa Bình
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM ( 7 điểm) Câu 1.
[1D5-1] Số gia của hàm số f x 2
x 1 biết x  1 và x  1 là 0 A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 . x Câu 2.
[1D5-1] Đạo hàm của hàm số 5 3 2
y x  4x x  là 2 1 1 A. 4 2
5x 12x  2x  . B. 5 2
5x 12x  2x  . 4 2 1 1 C. 4 2
5x 12x  2x  . D. 4 2
5x 12x  2x  . 2 4 Câu 3.
[1D5-2] Nghiệm của bất phương trình f  x  0 với f x 3 2
x  2x  5 là 2 2 4 4 A. x   x  0 . B. 0  x  . C. x   x  0 . D. 0  x  . 3 3 3 3 2 x x Câu 4.
[1D5-2] Phương trình tiếp của đồ thị hàm số y  tại điểm A1; 2   là x  2
A. y  5x  3 . B. 2 .
C. y  9x  7 .
D. y  9x  7 . Câu 5.
[1D5-2] Tiếp tuyến với đồ thị hàm số 3 2
y x  3x  2 tại điểm  1  ; 2   là A. 9 . B. y  5  x  3 .
C. y  3x  5 . D. y  5  x  7 . 1 Câu 6.
[1D5-3] Một vật rơi tự do theo phương trình 2 s
gt m với g   2
9,8 m/s  . Vận tốc tức thời 2
của vật tại thời điểm t  5s là A. 122, 5m/s . B. 29,5m/s . C. 10 m/s .
D. 49 m/s .
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 65 Câu 7.
[1D5-3] Cho hàm số y   x   2 2
x 1 . Khi đó: 2x 2 2x  2x 1 2  x 1 2 2x  2x 1 A. y  . B. y  . C. y  . D. y  . 2 2 x 1 2 x 1 2 x 1 2 2 x 1 Câu 8.
[1D5-3] Đạo hàm của hàm số y    x 10 3 1 2 là A. x   x 9 2 3 10 1 2 . B. x   x 9 3 3 60 1 2 .
C. x   x 9 2 3 6 1 2 . D. x   x 9 2 3 60 1 2 . 1 Câu 9.
[1D5-3] Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 y
x  2x 1 biết tiếp tuyến song song 2
với đường thẳng y  2x  3 là
A. y  2x  7 . B. y  2  x  7 .
C. y  3x  5 .
D. y  2x  5 .
Câu 10. [1D5-4] Cho hàm số 2
y x 1. Hai điểm A0,5;1, 25 và B 0,5   ;1 x , 25  y   thuộc đồ thị
hàm số. Hệ số góc của cát tuyến AB với x   1, 5 là A. 2 . B. 2,5 . C. 3,5 . D. 5 . 1
Câu 11. [1D5-3] Cho hàm số f x 3 2
  x  4x  5x 17 . Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình 3 1 2
f  x  0 thì x x có giá trị bằng 1 2 A. 5 . B. 8 . C. 5 . D. 8 . y Câu 12. [1D5-3] Cho 2 y x x  2 ta có bằng y 1 A. . B. 1. 2 x  2 1 C. . D. 2 x  2 . 2 x x  2 5
Câu 13. [1D5-3] Tiếp tuyến với đồ thị hàm số f x 
tại điểm có hoành độ x  3 có hệ số góc x  2 0 là A. 5 . B. 5 . C. 2 . D. 3 .
Câu 14. [1D5-3] Cho f x 2 2
 sin x  cos x x khi đó f  x bằng A. 1  sin . x cos x .
B. 1  2 sin 2x .
C. 1  2 sin 2 x .
D. 1 2sin 2x .
II. TỰ LUẬN (3 điểm)
Câu 15. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 4 1)[1D5-1] 5 3 2 y  2x x x . 3 2)[1D5-2] 2
y x sin 2 x x  3
Câu 16. [1D5-3] Cho hàm số 3 2
y x  3x  2 có đồ thị C . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị 1
C . Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d có phương trình: y x  5 . 3
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 66
ĐỀ SỐ 3 – THPT Vĩnh Lộc, Huế
I - Phần trắc nghiệm. Câu 1.
[1D5-1] Tính đạo hàm của hàm số y  cot 2x . 2 2 2 2 A. y  . B. y   . C. y  . D. y  . 2 sin x 2 sin x 2 sin 2x 2 sin 2x Câu 2.
[1D5-2] Tính đạo hàm của hàm số y  2 sin 2x  3cot 2x . 3 6
A. y  4 cos 2x  .
B. y  4 cos 2x  . 2 sin 2x 2 sin 2x 6 2
C. y  4 cos 2x  .
D. y  4 cos 2x  . 2 sin 2x 2 sin 2x Câu 3.
[1D5-2] Tính đạo hàm của hàm số y  tan 4x  4x . 2 tan 4x 2 2 tan 4x 2 tan 4x 2 tan 4x A. y  . B. y  . C. y  . D. y  . tan 4x  4x tan 4x  4x tan 4x  4x tan 4x  4x Câu 4.
[1D5-2] Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f x 2
 x  5 tại điểm M có tung độ y  1
 và hoành độ x  0 . 0 0
A. y  2 6 x  6  1.
B. y  2 6 x  6 1. C. y  2 
6  x  6  1.
D. y  2 6 x  6  1. Câu 5.
[1D5-3] Cho hàm số y x cos x . Biết rằng xy  y k x tan x với mọi x
k k  . 2
Tìm giá trị của k . A. k  2 . B. k  0 . C. k  1 . D. k  1 . Câu 6.
[1D5-1] Tính đạo hàm của hàm số y  cos 2x .
A. y   sin 2x .
B. y  2 sin 2x .
C. y  sin 2x . D. y  2  sin 2x . Câu 7.
[1D5-2] Tính đạo hàm của hàm số y    x4 5 7 . A. y    x3 20 5 7 .
B. y    x3 4 5 7 . C. y   x  3 28 7 5 . D. y    x3 28 5 7 . Câu 8.
[1D5-3] Cho hàm số f x 3 2
x  2x mx  3 . Tìm m để f  x bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất. 4 4 A. m  . B. m  . 3 9 C. m  4 .
D. Không có giá trị nào. Câu 9.
[1D5-1] Tại mọi x dương. Tính đạo hàm của hàm số y x .     A.   1 x  . B. x  1  .
C. x   x .
D. x   2 x . x 2 x
Câu 10. [1D5-1] Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị C của hàm số y f x tại điểm M x ; f x . 0  0  0 
A. y y f x
x , trong đó y f x .
B. y x f x x x . 0  0  0  0  0  0  0 
C. y f   x x x .
D. y y f x x x
, trong đó y f x . 0  0  0  0  0  0   0 
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 67
Câu 11. [1D5-1] Tính đạo hàm của hàm số 4 3 y  2
x  3x x  2 . A. 3 2
y  8x  9x 1 . B. 3 y  1
 6x  9x 1 . C. 3 2 y  8
x  27x 1. D. 3 y  8
x  9x 1 . cos x
Câu 12. [1D5-2] Cho hàm số y  . Tính y  . 1 sin x  6         A. y  1   . B. y  0   . C. y  2   . D. y  2   .  6   6   6   6 
Câu 13. [1D5-1] Tính đạo hàm của hàm số y  tan 4x . 4 1 A. 2
y  1 tan 4x . B. y   . C. y  . D. y   2 4 1 tan 4x . 2 cos 4x 2 cos 4x
Câu 14. [1D5-2] Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f x 2
x  5 tại điểm M có hoành độ x  1  . 0
A. y  2 x   1  6 .
B. y  2 x  
1  6 . C. y  2 x  
1  6 . D. y  2 x   1  6 .
Câu 15. [1D5-1] Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây.
A. Hàm số y f x có đạo hàm tại x khi và chỉ khi hàm số này liên tục tại điểm đó. 0
B. Nếu hàm số y f x có đạo hàm tại x thì nó liên tục tại điểm đó. 0
C. Nếu hàm số y f x không liên tục tại x thì nó vẫn có thể có đạo hàm tại điểm đó. 0
D. Nếu hàm số y f x liên tục tại x thì có đạo hàm tại điểm đó. 0 1 1
Câu 16. [1D5-2] Tính đạo hàm của hàm số y   . 2 x x 1  2 1 2 1  2 1  2 A. y   . B. y   . C. y   . D. y   . 3 2 x x 3 2x x x 3 2x x x 3 2 x x
Câu 17. [1D5-1] Tại mọi x   . Tính đạo hàm của hàm số n
y x n  ,  n   1 .     A. n x n 1  . n x  . B. n x n 1  x  . C. n  1  . n x n x  . D. n x   . n x .
Câu 18. [1D5-1] Cho hàm số u u x có đạo hàm trên  ;
a b . Tính đạo hàm của hàm y  sin u .
A. y  u cos u .
B. y  u cos u .
C. y  u   cos u .
D. y  u  cos u .
Câu 19. [1D5-2] Tính số gia y của hàm số f x  x tại x  1, với giả thiết x là số gia của đối số 0 tại x . 0 A. y   1 x   x . B. y   1 x . C. y   x x  . D. y   x .
Câu 20. [1D5-3] Cho hàm số 3
y  4x  3x có đồ thị C . Tìm m để đường thẳng d  : y mx 1 tiếp xúc với C . A. m  0 . B. m  6 . C. m  2 . D. m  3 .
II - Phần tự luận Bài 1:
[1D5-2] Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị C của hàm số y f x 3 2
x  2x  3 tại
điểm có hoành độ x  1. 0 2 x  3x  2 Bài 2:
[1D5-3] Tính đạo hàm của hàm số y f x  ,  x   1 . 1 x
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 68
ĐỀ SỐ 4 – THPT Nho Quan A, Ninh Bình
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM 4 Câu 1.
[1D5-2] Tiếp tuyến với đồ thị hàm số f x 
tại điểm có hoành độ x  1  có hệ số góc x 1 0 là A. 1  . B. 2 . C. 2 . D. 1. 1 Câu 2.
[1D5-2] Một vật rơi tự do theo phương trình 2 s
gt m , với g   2
9,8 m/s  . Vận tốc tức 2
thời của vật tại thời điểm t  5s là A. 122,5m/s . B. 29,5m/s . C. 10 m/s . D. 49m/s . 2 x  2x 15 Câu 3.
[1D5-2] Hàm số nào sau đây có đạo hàm là :  x  2 1 2 x  4x  9 2 x  6x  5 2 x  6x  9 2 x  6x  9 A. y  . B. y  . C. y  . D. y  . x 1 x 1 x 1 x 1 3 2 x x Câu 4.
[1D5-2] Cho f x  
x . Tập nghiệm của bất phương trình f  x  0 là 3 2 A. 2;2 . B.  . C. 0;   . D.  . 3 x Câu 5.
[1D5-2] Phương trình tiếp tuyến của đồ hàm số 2 y
 2x  3x 1, biết tiếp tuyến song song 3
với đường thẳng d : y  8x  2 . 2 1 7
A. y  8x  , y  8x .
B. y  8x  , y  8x  . 3 3 3 11 97 1 11 1 97
C. y  8x  , y  8x  . D. y   x
, y   x  . 3 3 8 3 8 3 x  6 Câu 6.
[1D5-2] Tính đạo hàm của hàm số y  . x  9 3 15 15 3 A. . B. . C.  . D.  .  x  92  x  92  x  92  x  92 Câu 7.
[1D5-2] Cho f x 2 2
 sin x  cos x x . Khi đó f  x bằng
A. 1  2sin 2x . B. 1  sin . x cos x .
C. 1  2 sin 2x .
D. 1 2 sin 2x . Câu 8.
[1D5-2] Đạo hàm của hàm số y  sin 3x là biểu thức nào sau đây? cos 3x 3cos 3x cos3x 3cos3x A. . B. . C.  . D.  . 2 sin 3x 2 sin 3x 2 sin 3x 2 sin 3x Câu 9.
[1D5-2] Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số    4 y
f x x tại điểm có hoành độ bằng 1  là
A. y  4x  3 . B. y  4  x  4 . C. y  4  x  5 . D. y  4  x  5 . y Câu 10. [1D5-2] Cho 2
y x x 1 . Ta có bằng y 1 1 A. . B. . C. 1. D. 2 x 1 . 2 x x 1 2 x  1
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 69 2  4x 1 
Câu 11. [1D5-2] Cho hàm số y  
 . Chọn ra câu trả lời đúng: 2  x  2   4x 1  8  x
 4x 1  8  x
A. y  2   . B. y  2  . 2 2  x  2   2 x  2 2 x  2 2 x  2  x  2 
 4x 1  8  x  4x 1  8  x
C. y  2   .
D. y  2   . 2 2 
x  2  x  2 2  x  2   2 x  2 2 x  2
Câu 12. [1D5-2] Số gia y  của hàm số 2
y x  2x tại điểm x  1 là 0 A. 2  x  4 x  . B. 2  x  2 x  . C. 2  x  4 x  . D. 2  x  2 x   3 .
Câu 13. [1D5-2] Đạo hàm của hàm số y  tan x : 1 1 1 1 A.  . B. . C. . D.  . 2 sin x 2 cos x 2 sin x 2 cos x II. PHẦN TỰ LUẬN Bài 1.
Tính đạo hàm của các hàm số sau: 4 a) [1D5-1] 5 3 2 y  2x x x . 3 b) [1D5-1] 2
y x sin 2x x  3 . 1 Bài 2. [1D5-2] Cho hàm số 3 y
x  3x . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C  của hàm số biết 3
tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d  : y  x  2017 .
ĐỀ SỐ 5 – THPT Nguyễn Trung Trực, Bình Định
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu 1.
[1D5-2] Cho hàm số f x 4 2
x  2x  3 . Tập các giá trị của x để f   x  0 là A.   0 . B. 1;0 . C. 0; . D.  ;    1 . Câu 2.
[1D5-2] Cho hàm số y  cos 2x . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. dy  sin 2 d x x .
B. dy  2sin 2 d x x . C. dy  2  sin 2 d x x .
D. dy   sin 2 d x x . Câu 3.
[1D5-2] Đạo hàm của hàm số 2
y  sin x tại x  bằng 0 2 1 1 A. 0 . B. 1. C.  . D. . 2 2 Câu 4.
[1D5-2] Đạo hàm cấp 2 của hàm số y  cos x tại x  0 bằng 0 A. 1. B. . C. 0 . D. 1  . 2 2x 1 Câu 5.
[1D5-2] Đạo hàm của hàm số y
tại x  2 bằng x  1 0 1 1 A. . B. . C. 3 . D. 1. 9 3 Câu 6.
[1D5-2] Với mọi x để các hàm số dưới đây xác định, mệnh đề nào sai? 1 1
A.  tan x  .
B. sin x  cos x .
C. cos x  sin x .
D. cot x   . 2 cos x 2 sin x
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 70 Câu 7.
[1D5-2] Đạo hàm của hàm số y  1 x tại x  3 bằng 0 1 1 1 A. . B. . C. 2 . D. . 4 2 2 2 1 Câu 8.
[1D5-2] Cho hàm số f x 
. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm x  1 M 0;  1 bằng A. 2 . B. 1. C. 0 . D. 1  . Câu 9.
[1D5-2] Đạo hàm của hàm số y x cos x A.  sin x .
B. cos x x sin x .
C. cos x x sin x .
D. x sin x .
Câu 10. [1D5-2] Đạo hàm của hàm số 3
y x  2x tại x  1  bằng 0 A. 0 . B. 1  . C. 5 . D. 3  . 2x 1
Câu 11. [1D5-2] Đạo hàm của hàm số y  là 3x  2 5  7 5 7 A. y  . B. y  . C. y  . D. y  . 3x  22 3x  22 3x  22 3x  22
Câu 12. [1D5-3] Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2
y x  2 tại điểm A1;   1 là
A. y  2x  3 .
B. y  2x 1 .
C. y  3  2x .
D. y  2x  3 . II. PHẦN TỰ LUẬN
Câu 13. [1D5-3] Cho hàm số 3 2
y x  2x  3 có đồ thị C . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
C tại điểm có hoành độ x  2. 0
Câu 14. [1D5-3] Cho hai hàm số f x 3
 2x  3x  5 và g x 2
 3x  3x  4 . Giải bất phương trình
f   x  g  x .
ĐỀ SỐ 6 – THPT Nguyễn Khuyến, Bình Phước
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM 4x Câu 1.
[1D5-1] Cho hàm số: y  . Khi đó số gia y
 của hàm số tại x  3 là: x 1 0 x 2x 2 xA. . B. . C. . D. 1. 4  x 4  x 4  x 2 
x ax  2b, x  1 Câu 2.
[1D5-3] Cho hàm số f x   . Giá trị của ,
a b để f x có đạo hàm tại x  1 3
ax  2bx, x  1  1 1 1
A. a   ;b  1.
B. a  ;b  1. C. a  ;b  0 . D. Không có. 2 3 2 Câu 3.
[1D5-2] Một đoàn tàu hỏa rời ga, chuyển động nhanh dần đều với gia tốc 2
0,1m / s ( bỏ qua sức
cản của không khí). Vận tốc tức thời tại thời điểm tàu đã đi được đúng 500 m là:
A. 10 m / s .
B. 15m / s .
C. 12 m / s .
D. 20 m / s .
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 71 1 Câu 4.
[1D5-1] Hàm số có đạo hàm bằng 2x  là: 2 x 3 2 x 1 3 x  5x 1 3 x x 2 2x x 1 A. . B. . C. . D. . x x 3 x x Câu 5.
[1D5-3] Cho hàm số y  tan x . Hãy tìm mệnh đề đúng: A. 2
y  y 1  0 . B. 2
y  y 1  0 . C. 2
y  y 1  0 . D. 2
y  y 1  0 . Câu 6. [1D5-1] Cho hàm số 2 y
x  4x  5 . Đạo hàm của hàm số y bằng: x  4 1 x  2 2x  4 A. . B. . C. . D. . 2 x  4x  5 2 2 x  4x  5 2 x  4x  5 2 x  4x  5 Câu 7.
[1D5-1] Cho hàm số y   x  10 2 3
. Đạo hàm của hàm số y bằng: A.x  9 30 2 3 . B.x  10 10 2 3 . C.x  9 10 2 3 . D.x  9 20 2 3 . Câu 8. [1D5-2] Cho hàm số 3
y  cos 2x . Đạo hàm của hàm số y bằng: A. 2 3  cos 2 . x sin 2x . B. 2 3cos 2 . x sin 2x . C. 2 6cos 2 . x sin 2x . D. 2 6  cos 2 . x sin 2x . 3 x Câu 9.
[1D5-1] Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 y
 3x  2 có hệ số góc k  9 , là: 3
A. y 16  9 x  3 . B. y 16  9 x  3 . C. y 16  9 x  3 . D. y  9 x  3 . x 1
Câu 10. [1D5-1] Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y
tại điểm A1;2 bằng: x 1 1 1 A. 2 . B.  . C. . D. 1  . 2 2 1
Câu 11. [1D5-4] Tọa độ điểm M trên đồ thị hàm số y
sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các x 1
trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2 là:  1 4   1 4   3   3 4  A. ;    . B.  ;    . C. ; 4   . D.  ;    .  4 3   4 5   4   4 7 
Câu 12. [1D5-3] Cho hàm số 3 2
y x  6x 15x  2 . Giải bất phương trình y  0 ta có nghiệm:
A. 1  x  5 .
B. 5  x  1 .
C. 5  x  1 .
D. 1  x  5 .
Câu 13. [1D5-3] Cho hàm số y  sin x  cos x . Tập nghiệm của phương trình y  0 là:        A. 
k , k Z  . B.   k 2, k Z  . C.   k , k Z  . D. 
k 2, k Z  .  4   4   4   4 
Câu 14. [1D5-3] Cho hàm số 2
y x  4x  3 . Nếu tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M song song với đường thẳng: 8
x y  2017  0 . Thì hoành độ x của điểm M là 0 A. x  1  . B. x  5 . C. x  12 . D. x  6 . 0 0 0 0 II. PHẦN TỰ LUẬN
Câu 15. [1D5-2] Tính đạo hàm các hàm số sau: 4 x 3 a. y    2x  2017 . b. y   2
2  x cos3x  3 . x sin 3x . 3 2 x 2x
Câu 16. [1D5-2] Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x  tại điểm có tung độ x 1 bằng 4 . 2 5
Câu 17. [1D5-3] Cho hai hàm số f x 2
 2x  3x  2 và g x 3 2  x
x . Hãy giải bất phương 3 2 f x trình:  0 . g  x
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 72
BẢNG ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C A B B A B D A A A A B A A A C B D A B
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 D C C B D B A B A A B D D D A B A A D B
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 C A B B A A C B C C B C B A B A C C B A
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 D A B A C B B D A D B C C B D C D A D C
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 C A D D D A B A A C A B B B C D C D D A
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 D C A B C B A 8 D D A B B D C A C C D A
121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 B D A B A C D D A A C D A A C C C B B A
141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 D A C C C B B D D A D B D B A D C B C A
161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 C B D D B A B D D A B C C A C D B A D B
181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 D A B C C A A A C D A A D A B C B A A B
201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 C B D C B A A D B A B D C D A A A
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 73 Tài liệu tham khảo [1]
Trần Văn Hạo – Đại số và Giải tích 11 - Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam [2]
Trần Văn Hạo – Bài tập Đại số và Giải tích 11 - Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam [3]
Trần Văn Hạo – Hình học 11 - Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam [4]
Trần Văn Hạo – Bài tập Hình học11 - Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam [5]
Trần Văn Hạo – Bài tập Đại số và Giải tích 11 - Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam [6]
Lê Hồng Đức – Bài giảng trọng tâm TOÁN 11 - Nhà xuất bản ĐHQGHN [7]
Lê Hoành Phò – Phương pháp giải CÁC CHỦ ĐỀ CĂN BẢN ĐẠI SỐ 11 - NXB ĐHQGHN [8]
Lê Hoành Phò – Phương pháp giải CÁC CHỦ ĐỀ CĂN BẢN HÌNH HỌC 11 - NXB ĐHQGHN [9]
Nguyễn Duy Hiếu – Kỹ thuật giải nhanh bài toán hay & khó Giải tích 11 - NXB ĐHQGHN
[10] Nguyễn Duy Hiếu – Kỹ thuật giải nhanh bài toán hay & khó Hình học 11 - NXB ĐHQGHN
[11] Lương Mậu Dũng – Bài tập tự luận và câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 – NXB GD Việt Nam
[12] Phạm Đức Quang – Bài Tập Toán 11 – Phần Trắc Nghiệm Khách Quan [13] http://mathvn.com
[14] http://www.vnmath.com/
[15] http://k2pi.net.vn/
[16] http://forum.mathscope.org/index.php
[17] Và một số tài liệu trên Internet mà không rõ tác giả.
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 74 MỤC LỤC ĐẠO HÀM
Vấn đề 1. ĐẠO HÀM VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM ...................................................................... 1
Dạng 1. Tìm số gia của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Dạng 2. Tính đạo hàm bằng định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Dạng 3. Quan hệ giữa liên tục và đạo hàm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Dạng 4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Bài toán tiếp tuyến. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Dạng 5. Ý nghĩa Vật lí của đạo hàm cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Vấn đề 2. CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM .................................................................................... 12
Dạng 1. Tìm đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số Đạo hàm của hàm số hợp . . . . . . 12
Dạng 2. Tìm đạo hàm của các hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Dạng 3. Phương trình, bất phương trình chứa đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Dạng 4. Sử dụng đạo hàm chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Vấn đề 3. VI PHÂN – ĐẠO HÀM CẤP CAO ................................................................................... 21
Dạng 1. Tìm vi phân của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Dạng 2. Tính gần đúng giá trị của hàm số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Dạng 3. Tính đạo hàm cấp cao của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Dạng 4. Ý nghĩa của đạo hàm cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Dạng 5. Tìm công thức đạo hàm cấp n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Dạng 6. Chứng minh đẳng thức có chứa đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Vấn đề 4. SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN CÓ CHỨA k
C ....................... 28 n
Vấn đề 5. DÙNG ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIỚI HẠN .............................................. 30
BÀI TẬP CƠ BẢN NÂNG CAO CHỦ ĐỀ 5 ......................................................................................32
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 5 .................................................................................................. 41
BÀI 1. ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
BÀI 2. QUI TẮC TÍNH ĐẠO HÀM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
BÀI 3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
BÀI 4. VI PHÂN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
BÀI 5. ĐẠO HÀM CẤP CAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
CÁC ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 4 ........................................................................................................ 62
ĐỀ SỐ 1 – THPT Chương Mỹ B, Hà Nội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
ĐỀ SỐ 2 – THPT Hoàng Văn Thụ , Hòa Bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
ĐỀ SỐ 3 – THPT Vĩnh Lộc, Huế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
ĐỀ SỐ 4 – THPT Nho Quan A, Ninh Bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
ĐỀ SỐ 5 – THPT Nguyễn Trung Trực, Bình Định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
ĐỀ SỐ 6 – THPT Nguyễn Khuyến, Bình Phước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
BẢNG ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM ...........................................................................................................72
MỤC LỤC ...................................................................................................................................................... 74