Tài liệu tự học chủ đề số phức – Trần Quốc Nghĩa Toán 12

Tài liệu tự học chủ đề số phức – Trần Quốc Nghĩa Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

86 43 lượt tải Tải xuống

Chia sẻ Báo cáo tài liệu

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 1

SỐ PHỨC

Vấn đề 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC

1. Khái niệm số phức

 Định nghĩa 1. Một số phức là một biểu thức dạng

a bi



trong đó

là các số thực và số

i thỏa mãn

 

. Kí hiệu số phức là

và viết

z a bi

 

, trong đó:



được gọi là đơn vị ảo.



được gọi là phần thực.



được gọi là phần ảo.

 Chú ý: các trường hợp đặc biệt:

 Số phức

z a i

 

có phần ảo bằng

được coi là số thực và viết là:

a i a

 

 

 

 Số phức có phần thực bằng

được gọi là số ảo (còn gọi là thuần ảo):

0 ( )

z bi bi b

   



 Số

0 0 0 0

i i

  

vừa là số thực vứa là số ảo.

 Định nghĩa 2. Hai số phức

z a bi

 

và

z a b i

  

 

(







) bằng nhau khi và

chỉ khi

a a





và

b b





. Khi đó ta viết

z z





 Định nghĩa 3. Với mỗi số phức

z a bi

 

(a, b



) ta luôn có số phức

z a bi

   

(





) là số đối của số phức

2. Biểu diễn hình học của số phức

Mỗi số phức

z a bi

 

(





) được biểu diễn bởi điểm





;

M a b

. Khi đó, ta thường viết





M a bi

 hay





M z

. Gốc

biểu diễn số

Mặt phẳng tọa độ với việc biểu diễn số phức gọi là mặt phẳng phức:

 Trục

gọi là trục thực.

 Trục

gọi là trục ảo.

3. Phép cộng và phép trừ số phức

 Định nghĩa 4. Tổng hai số phức

1 1 1

z a b i

 

2 2 2

z a b i

 

với





1 1 2 2

, , ,a b a b 



là số

phức









1 2 1 2 1 2

z z z a a b b i

     

Như vậy để cộng hai số phức ta lấy thực cộng thực, ảo cộng ảo.

 Tính chất của phép cộng số phức:

 Kết hợp:









1 2 3 1 2 3

z z z z z z

     ,







 Giao hoán:

1 2 2 1

z z z z

  







 Cộng với

0 0

z z z

   

 



 Cộng với số đối:





– – 0

z z z z

   

 Định nghĩa 5.

Hiệu hai số phức

1 1 1

z a b i

 

2 2 2

z a b i

 

với





1 1 2 2

, , ,a b a b 



là tổng của

với

–

tức là:









1 2 1 2 1 2

z z z a a b b i

     

Như vậy để trừ hai số phức ta lấy thực trừ thực, ảo trừ ảo.

 Ý nghĩa hình học của phép cộng và phép trừ số phức:

Chủ đề

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 2

Mỗi số phức

1 1 1

z a b i

 

(





) được biểu diễn bởi điểm





;

M a b

cũng có nghĩa là

vectơ



Khi đó, nếu



theo thứ tự biểu diễn số phức

và

thì:



1 2

u u



 

biểu diễn số phức

1 2

z z





1 2

u u



 

biểu diễn số phức

1 2

–

z z

4. Phép nhân số phức

 Định nghĩa 6. Tích hai số phức

1 1 1

z a b i

 

2 2 2

z a b i

 

với





1 1 2 2

, , ,a b a b 



là số

phức:









1 2 1 2 1 2 1 2 2 1

z z z a a bb a b a b i

    

 Nhận xét:



 



, mọi số phức

a bi



(





), ta có





k a bi ka kbi

  



0 0



với mọi số phức

 Tính chất của phép nhân số phức:

 Kết hợp:









1 2 3 1 2 3

. . . .

z z z z z z

 ,







 Giao hoán:

1 2 2 1

. .

z z z z

 ,







 Nhân với

1. .1

z z z

 

 



 Phân phối:





1 2 3 1 2 1 3

. . .

z z z z z z z

   ,







5. Số phức liên hợp và môđun của số phức

 Định nghĩa 7. Số phức liên hợp của

z a bi

 

, (với

, )

a b





là

–

a bi

và được kí hiệu bởi

. Như vậy, ta có:

z a bi a bi

   

 Nhận xét:

 Số phức liên hợp của

lại là

, tức là

z z



. Vì thế người ta

còn nói

và

là hai số phức liên hợp với nhau.

 Hai số phức liên hợp nhau khi và chi khi các điểm biểu diễn

của chúng đối xứng nhau qua trục

 Tổng của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng hai lần phần thực của số phức đó.

 Tích của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng bình phương môđun của số phức đó.

 Tính chất:

 Với mọi





, ta có:

1 2 1 2

z z z z

  

;

1 2 1 2

. .

z z z z



 Với mọi





, số

z z

luôn là một số thực, và nếu

z a bi

 

, (với

, )

a b





thì:

2 2

zz a b

 

 Định nghĩa 8.

Môđun của số phức

z a bi

 

, (với

, )

a b





là số thực không

âm

2 2

a b



và được kí hiện là

z a bi

 

, (với

, )

a b





2 2

z OM z z a b



    



 Nhận xét:

 Nếu

là số thực thì môđun của

là giá trị tuyệt đối của số thực đó.





khi và chỉ khi



6. Phép chia cho số phức khác

 Định nghĩa 9. Số nghịch đảo của số phức

khác

là

z z



 .

z a bi

 

z a bi

 



GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 3

Thương



của phép chia số phức



cho số phức

khác

là tích của



với số phức

nghịch đảo của

, tức là

z z





 . Như vậy, nếu



thì

z z z

 

 .

 Chú ý: Có thể viết

. .

| | .

z z z z z

z z z z

  

 

nên để tính



ta chỉ việc nhân cả tử và mẫu với

và

để ý rằng

z z z

 .

 Nhận xét:

 Với



, ta có

1 1

z z

 

 

 Thương



là số phức

sao cho

zw z





. Từ đó, ta có thể nói phép chia (cho số phức

khác

) là phép toán ngược của phép nhân.

Dạng 1: Số phức và thuộc tính của nó

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Với số phức

z a bi

 

, các dạng câu hỏi thường được đặt ra:

1. Xác định phần thực và phần ảo của số phức

. Khi đó, ta có ngay:

 Phần thực bằng

 Phần ảo bằng

 Chú ý: Một câu hỏi ngược “Khi nào số phức

a bi



là số thực, số ảo hoặc bằng

”, khi đó, ta sử dụng kết quả trong phần chú ý sau định nghĩa 1.

2. Hãy biểu diễn hình học của số phức

Khi đó, ta sử dụng điểm





;

M a b

để biểu diễn số phức trên mặt phẳng tọa độ.

 Chú ý: Một câu hỏi ngược là “Xác định số phức được biểu diễn bởi điểm





;

M a b

”, khi đó, ta có ngay

z a bi

 

3. Tính môđun của số phức

, khi đó, ta có:

2 2

| |

z a b

 

4. Tìm số đối của số phức

, khi đó, ta có:

z a bi

   

5. Tìm số phức liên hợp của

, khi đó, ta có:

z a bi

 

Tìm số phức nghịch đảo của

, khi đó, ta có:

| |

z z





B. TOÁN MẪU

Ví dụ 1. Tìm phần thực, phần ảo, môđun, số phức liên hợp của số phức

, biết:

3 2

z i

  b)

z i



 

2 2

z 

z i

 

................................................................................................................................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 4

Ví dụ 2. Cho các số phức:

2 3



1 2





a) Biểu diễn các số đó trong mặt phẳng phức.

b) Viết số phức liên hợp của mỗi số đó và biểu diễn chúng trong mặt phẳng phức.

c) Viết số đối của mỗi số đó và biểu diễn chúng trong mặt phẳng phức.

..................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Tìm phần thực, phần ảo, môđun, số phức liên hợp của số phức

, biết:

1 2

z i

 

2 3

z i

   c)

z i

 d)



Bài 2. Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một tam giác đều có tâm là gốc tọa độ

trong mặt phẳng phức, biết rằng một đỉnh biểu diễn số

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 5

Dạng 2: Các phép toán về số phức

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Sử dụng định nghĩa cùng tính chất của các phép toán (cộng, trừ, nhân, chia) trên tập số

phức. Cần nhớ các hằng đẳng thức sau:









2 2 2 2

( ) .

a b a bi a bi a bi z z

      

 

2 2

a bi a b abi

   

 

2 2

a bi a b abi

   

 





3 2 3

3 3

a bi a a a b b i

    

 





3 2 3

3 3

a bi a a a b b i

    

B. TOÁN MẪU

Ví dụ 3. Tìm phần thực, phần ảo, môđun, số phức liên hợp của số phức

, biết:









2 3 2 3

z i i i i

    

     

4 2 3 5

z i i i

     

   

2 4 3 2

z i i i

     d)

   

2 2

1 1

z i i

   

   

2 3

z i i

   

     

5 2 3 1 2

z i i i

     

................................................................................................................................................................................

Ví dụ 4. Tính

. Từ đó nêu cách tính

với





................................................................................................................................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 6

Ví dụ 5. Cho hai số phức

2 3

z i

 

và

z i

 

. Tìm số phức

1 2

z z z

  .

.................................................................................................................................................................................

Ví dụ 6. Cho hai số phức

1 2

z i

 

và

3 4

z i

 

. Tìm phần thực và phần ảo của số phức:

1 2

z z

 ,

1 2

z z



   

2 2

1 2

z z

 

1 2

1 .

z z

 ,





.................................................................................................................................................................................

Ví dụ 7. Cho hai số phức

4 3

z i

 

và

1 3

z i

  . Tính:

1 2

A z z

  .

.................................................................................................................................................................................

Ví dụ 8. Cho hai số phức

z i

 

và

3 4

z i

 

. Tìm phần thực và phần ảo của số phức:

1 2

z z

 ,

1 2

z z



1 2

z z

.................................................................................................................................................................................

Ví dụ 9. Cho hai số phức

2 3

z i

 

và

3 4

z i

 

. Tính

  

1 2

A z z i

  

.................................................................................................................................................................................

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 7

Ví dụ 10. Cho hai số phức

z i

 

và

4 3

z i

 

. Tính

1 2

z z

 ,

1 2

z z



 

1 2

1 .

z z

 ,

................................................................................................................................................................................

Ví dụ 11. Tìm các số thực

biết:

   

1 2 3 5 1 3

i x y i i

    

















2 1

x i i x yi i x x y i

       

 

2 3

x i x yi

  

          

2 2

2 1 2 1 3 4 2

x i i y i x i y i i

          

................................................................................................................................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 8

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 3. Tìm phần thực, phần ảo. mođun và số phức liên hợp của số phức sau:

  

1 2 1

i i





 

1 2





















3 2 4 3 1 2

5 4

i i i

   





1 2



 



 



 

  

2 3 1 2

3 2

z i i



   



  

3 4

1 4 2 3

i i





 

Bài 4. Thực hiện các phép tính sau:









2 4 3 2

i i i

    b)









2 3 1 7

i i

     c)









3 5 2 4

i i

  









2 3 5 4

i i

   e)









4 3 5 7

i i

   f)









1 3 7

i i

  









2 3 2 3

i i

 









2 3

i i i

 









2 3 2 4

i i i

 









3 2 6 5

i i i

   

 

2 3

 l)





2 3



Bài 5. Thực hiện phép tính:

3 2





1 2

2 3



2 3



5 2



3 4



2 3



2 3





   

2 3

1 2

i i



 

5 4

4 3

3 6



 



Bài 6. Tìm nghịch đảo

của số phức

, biết:

1 2

z i

 

2 3

z i

 

z i



5 3

z i

 

Bài 7. Thực hiện phép tính:













3 2 2 3 2

i i i

   

 

 

   

2 2

1 1

i i

  

4 3



 



3 4 3

2 2

i i

 



 

5 4

4 3

3 6



 



   

2 3

1 2

i i



 

Đáp số: a) b)

23 14

5 5

 d)

4 1

5 5





219 153

45 45

 f)

32 16

5 5



Bài 8. Tìm các số thực

và

biết:

















3 2 2 1 1 5

x y i x y i

      









1 2 3 5 1 3

x i y i

    

















2 2 2 3 2 1

x y y x i x y y x i

        





2 1 2 5

x y x y i

    





3 2 1 2

x yi y x i

    

Đáp số: a)

3 4

2 3

x y

 

b) c)



x y

 

–1



Bài 9. Với giá trị thực nào của

và

thì các số phức

2 5

9 4 10

z y xi

   và

2 11

8 20

z y i

  là liên

hợp của nhau? Đáp số:









2;2 ; 2; 2

  

Bài 10. Phân tích ra thừa số phức:



2 2

4 9

a b

 c)

2 3



2 2

3 5

a b



GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 9

Dạng 3: Chứng minh tính chất của số phức

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Sử dụng các phép toán trên tập số phức cùng những tính chất của chúng.

B. TOÁN MẪU

Ví dụ 12. Chứng minh rằng:

1 2 1 2

z z z z

  

1 2 1 2

. .

z z z z

 c)

1 1

2 2

z z

 



 

 

2 2

z z



................................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 11. Cho

là những số phức. Chứng minh rằng mỗi cặp số sau là hai số phức liên hợp của

nhau:

x y



và

x y



x y

và

x y



và

x y



Bài 12. Cho

z a bi

 

. Chứng minh rằng:

 





2 2 2

z z a b

   b)

 

z z abi

  c)

 





2 2 2

z z a b

 

Bài 13. Chứng minh rằng với mọi số phức

và

ta có:

u v u v u v

    

. b)

u v u v u v

    

. c)

uv u v

 .

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 10

Dạng 4: Tập hợp điểm

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

I. Một số chú ý trong giải bài toán tìm tập hợp điểm.

1. Phương pháp tổng quát

Giả sử số phức

z x yi

 

được biểu diễn bởi điểm





;

M x y

. Tìm tập hợp các điểm

là tìm hệ thức giữa

và

thỏa mãn yêu cầu đề bài.

 Số phức

thỏa mãn biểu thức về độ dài (môđun). Khi đó, ta sử dụng công thức

2 2

z a b

 

 Số phức

là số thực (thực âm, thực dương), số ảo. Khi đó, ta sử dụng các kết

quả sau:

 Điều kiện để

là số thực là



 Điều kiện để

là số thực âm là











 Điều kiện để

là số thực dương là











 Điều kiện để

là số ảo



2. Giả sử các điểm

lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức

*) z a z b MA MB

     

thuộc đường trung trực của đoạn





, 0,

z a z b k k k k a b MA MB k

          







M E

  nhận

là hai tiêu điểm và có độ dài trục lớn bằng

3. Giả sử

và



lần lượt là điểm biểu diễn của số phức

và







w f z

Đặt

z x yi

 

và

w u vi

 

( , , , )

x y u v





Hệ thức





w f z

 tương đương với hai hệ thức liên hệ giữa

*) Nếu biết một hệ thức giữa

ta tìm được một hệ thức giữa

và suy ra

được tập hợp các điểm



*) Nếu biết một hệ thức giữa

ta tìm được một hệ thức giữa

và suy ra

được tập hợp điểm



II. Nhắc lại một số kiến thức về hình học giải tích trong mặt phẳng

1. Các dạng phương trình đường thẳng

- Dạng tổng quát:

ax by c

  

- Dạng đại số:

y ax b

 

- Dạng tham số:

x x at

y y bt

 





 



- Dạng chính tắc:

0 0

x x y y

a b

 



- Phương trình đoạn chắn

x y

a b

 

- Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm





0 0 0

;

M x y

biết hệ số góc





0 0

y k x x y

  

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 11

2. Phương trình đường tròn tâm I(a;b) bán kính R:

   

2 2

x a y b R

   

2 2

2 2 0

x y ax by c

     

với

2 2 2

c a b R

  

Lưu ý điều kiện để phương trình:

2 2

2 2 0

x y ax by c

    

là phương trình

đường tròn:

2 2

a b c

  

có tâm





I a b

 

và bán kính

2 2

R a b c

  

3. Phương trình Elip:

2 2

x y

a b

 

Với hai tiêu cự









1 2 1 2

;0 , ;0 , 2

F c F c F F c

 

Trục lớn

, trục nhỏ

và

2 2 2

a b c

 

B. TOÁN MẪU

Ví dụ 13. Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức

thỏa mãn điều kiện:



z i

 

1 2

 



và phần ảo của

bằng

1 1

 

1 1

z i

  

................................................................................................................................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 12

Ví dụ 14. Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức

thỏa mãn điều kiện:

a) Phần thực của

bằng

–2

b) Phần ảo của

bằng

c) Phần thực của

thuộc khoảng





–1;2

d) Phần ảo của

thuộc đoạn





–2;2

e) Phần thực thuộc





–1;2

, phần ảo thuộc





0;1

.................................................................................................................................................................................

Ví dụ 15. Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức

thỏa

z i z i

   

.................................................................................................................................................................................

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 13

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 14. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức

thoả mãn mỗi điều

kiện sau:

2 2

 

z z i z z i

   



z i

 

1 1 4

z z

   

2 2 3

z z

   

z i







3 4

z z i

  

z i





là một số thực dương,

z i



 

z z

 k)

2 2

z i z z i

   

 

. 4

z z z

 

3 1 2

z w i

  

với

là số phức tùy ý có



BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 1

Bài 15. Thực hiện các phép tính sau:













2 4 3 5 7 4 3

i i i

   

    

1 2 2 3 3 2

i i i

   

















2 3 3 2 3 3

i i i i

    

   

2 2

2 3 2 3

i i

  

   

4 5 4 3

i i

  

 

 





2 3

i

1 3

2 2

 

 

 

 

1 3

2 2

 



 

 

Bài 16. Thực hiện các phép tính sau:













2 1 4 3

3 2

i i i

   











3 4 1 2

4 3

1 2

i i

 

 











 

3 2 1 3

1 3

i i

 



2 2 1 2

1 2 2 2

i i

 



 

















1 2 1 2

2 2

i i i i

i i

   



 

 





   

2 3

3 2

1 2 1

3 2 2

i i

  

  

41 63 6 1

50 1 7

i i

  



Đs: a)

31 12

13 13

 b)

27 9

5 5



17 7 3 11 9 3

4 4

 

 d)

3 2

6 6

5 5



44 5

318 318

 h)

Bài 17. Thực hiện các phép tính sau:

 

2018

1 i b)

 

2018

1 i

Bài 18. Tìm các số thực

và

biết:

















2 3 1 2 3 2 2 4 3

x y x y i x y x y i

           ĐS:

9 4

11 11

x y

 









2 1 1 2 2 3 2

x y i x y i

       ĐS:

1 3

3 5

x y

 









4 3 3 2 1 3

x y i y x i

       ĐS:

7 6

11 11

x y

   

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 14









2 2 2 2

x y x y i x y x y i

       ĐS:

x y

 

Bài 19. Tìm nghịch đảo của số phức

, biết: a)

2 3

z i

  b)

1 5

3 2











3 2

z i 

Đáp số: a)

2 3

5 5

 b)

3 2 5 3 5 2

6 6

 

 c)

7 6 2

121 121



Bài 20. a) Cho số phức

. Chứng tỏ rằng

là số thực khi và chỉ khi:

z z



b) Chứng tỏ rằng số phức sau là một số thực

3 2 3 3 2 3

2 3 2 3

i i

  

  

 

Bài 21. Chứng minh rằng:

2 99 100

... 0

i i i i

    





  

2 1 1

2 2 2

i i i

  

 

Bài 22. Chứng tỏ rằng





là số thực khi và chỉ khi

là số thực khác

–1

Bài 23. Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức

thỏa mãn điều kiện:

z i

 

b) 2 2

z z

  

2 1 2 3

z i

   

3 4

z z

  

1 2

z z i

   









z i z

 

là số thực tùy ý

2 2

z i z z i

   









z i z

 

là số ảo tùy ý

Đáp số: a) Đường tròn tâm





0;1

I , bán kính



b) Nửa bên trái trục

không kể trục

c) Hình vành khăn:

   

2 2

4 1 2 9

x y

    

d) Hai đường thẳng



và

 

e) Hai đường thẳng

1 3



 và

1 3





f) Đường thẳng

y x

  

và

1 3



 g) Parabol

y 

h) Đường tròn tâm





1;1/ 2

I , bán kính

5 / 2

R 

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 15

Vấn đề 2. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC

VÀ PHƯƠNG TRÌNH

1. Căn bậc hai của số phức

 Định nghĩa 10. Cho số phức

. Mỗi số phức

thỏa mãn

z w



được gọi là một căn bậc

hai của

. Nói cách khác, mỗi căn bậc hai của

là một nghiệm của phương trình ẩn

z w

 

 Chú ý: Để tìm căn bậc hai của số phức

, ta có hai trường hợp:

 Trường hợp 1. Nếu

là số thực (tức

w a



Với



thì

có hai căn bậc hai là



Với



thì w có hai căn bậc hai là

i a

 

 Trường hợp 2. Nếu

w a bi

 

( ,a b





và



) thì

z x yi

 

( ,x y





) là căn bậc

hai của

khi và chỉ khi:

 

z w x yi a bi

    

 

2 2

x y a

x y xyi a bi

xy b



 

     







 Ghi nhớ về căn bậc hai của số phức





có đúng một căn bậc hai là







có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau (khác

)

 Số thực dương

có hai căn bậc hai là



 Số thực âm

có hai căn bậc hai là

i a

 

2. Phương trình bậc hai

Cho phương trình

Ax Bx C

  

, với

là những số phức và



. Xét

B AC

   , ta có các trường hợp sau:

 Trường hợp 1. Nếu

 

thì phương trình có hai nghiệm:



 

 và



 

 (với



 

)

Đặc biệt:

 Nếu



là số thực dương thì phương trình có hai nghiệm:

  

 và

  



 Nếu



là số thực âm thì phương trình có hai nghiệm:

B i

  

 và

B i

  



 Trường hợp 2. Nếu

 

phương trình có nghiệm kép:

1 2

z z



 

 Nhận xét:

 Mọi phương trình bậc hai với hệ số phức đều có hai nghiệm phức (có thể trùng nhau).

 Mọi phương trình bậc

1 2

0 1 2 1

... A 0

n n n

n n

A z A z A z A z

 



     

trong đó

, …,

là



số phức cho trước,



và

là một số nguyên dương

luôn có

nghiệm phức (không nhất thiết phải phân biệt).

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 16

Dạng 1: Căn bậc hai của số phức

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Sử dụng kiến thức trong phần căn bậc hai của số phức và lưu ý các trường hợp đặc biệt.

B. TOÁN MẪU

Ví dụ 16. Tìm các căn bậc hai phức của các số sau:

–7

;

–8

;

–12

;

–20

;

–121

;

–289

–

;

–4

;

1 4 3

 ;

4 6 5

 ;

1 2 6

  .

.................................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 24. Tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau:

3 4

w i

  

8 6

w i

 

5 12

w i

  

1 2 6

w i

  

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 17

Dạng 2: Phương trình

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Phương trình bậc nhất:

Để giải phương trình bậc nhất trên tập số phức, ta có thể lựa chọn một trong hai cách

Cách 1. Sử dụng các phép biến đổi đại số và các phép toán về số phức.

Cách 2. Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Giả sử số phức cần tìm là

z a bi

 

(

, y





)

Bước 2. Thay

vào phương trình và sử dụng tính chất hai số phức bằng nhau

của hai số phức để tìm

và

Bước 3. Kết luận về số phức cần tìm.

 Chú ý: nếu phương trình chỉ chứa

hay

ta giải trực triếp tìm

hay

2. Phương trình bậc hai:

Sử dụng kiến thức trong phần phương trình bậc hai.

 Chú ý: Trường hợp phương trình có



là số phức thì ta thực hiện các bước sau:

Bước 1. Tính

a bi

  

Bước 2. Tìm căn bậc hai của



(giả sử





Bước 3. Kết luận phương trình có hai nghiệm:



 

 và



 



3. Phương trình bậc cao:

a. Đối với một phương trình bậc cao thì ta cũng dùng phương pháp đoán nghiệm rồi

đưa về phương trình tích với các thừa số là các đa thứ có bậc không vượt quá 2.

b. Đối với phương trình bậc bốn đặc biệt (phương trình trùng phương).

B. TOÁN MẪU

Ví dụ 17. Giải các phương trình sau:









3 2 4 5 7 3

i z i i

    













1 3 2 5 2

i z i i z

    

 

2 3 5 2

4 3

i i

   











3 4 1 3 2 5

i z i i

    

................................................................................................................................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 18

Ví dụ 18. Giải các phương trình sau:

3 2 1 0

z z

   

7 3 2 0

z z

  

5 7 11 0

z z

  

z z

 

3 7 8 0

z z

  

2 13 0

z z

  

.................................................................................................................................................................................

Ví dụ 19. Tìm số phức

thoả mãn:

3 2 1 4

z z i

  

.................................................................................................................................................................................

Ví dụ 20. Giải các phương trình sau:

1 0

 

1 0

 

8 0

 

4 2

7 10 0

z z

  

4 3

8 8 1

z z z

  

4 0

 

.................................................................................................................................................................................

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 19

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 25. Tìm số phức

thoả mãn:

2 3 7 8

z i i

  









1 3 4 3 7 5

i z i i

    













1 2 1 3 2 3

i z i i i

     





1 3 2 4

i z i z

   

 

1 2 5 6

2 3

i i

   



2 3 5 4

iz z

  













2 4 1 2 4

i z i i

   





3 1 2 1 3

z i i z i

   









3 1 0

iz i iz

   

Bài 26. Tìm số phức

thoả mãn

3 2 2 3

z z i

  

3 4 2 2

z i z

  

4 2 5

z i z

  

z z

 

z z

 

z z

 

Bài 27. Giải phương trình sau trên tập hợp số phức:

6 34 0

z z

  

4 20 0

z z

  

3. 1 0

z z

  

2 3 5 0

z z

  

3 5 0

z z

   

3 2. 2 3. 2 0

z z

  

Bài 28. Giải phương trình sau trên tập hợp số phức

4 2

3 0

z z

  

4 2

3 4 0

z z

  

4 2

12 0

z z

  

8 0

 

1 0

 

1 0

 

Bài 29. Gọi

là hai nghiệm của phương trình:





2 3 5 0

z i z i

    

. Không giải phương trình,

hãy tính:

2 2

1 2

z z



Bài 30. Gọi

là hai nghiệm của phương trình:





1 2 0

z i z i

    

. Không giải phương trình,

hãy tính:

1 2

2 1

z z



2 2

1 2 2 1

. .

z z z z



Bài 31. Giải phương trình sau trên tập hợp số phức:









1 3 2 1 0

z i z i

    





2 1 4 0

z i z i

    





2 2 0

z i z i

   





3 4 1 5 0

z i z i

    





2 3 6 0

z i z i

   

1 0

 

Bài 32. Giải các phương trình sau:













2 3

1 1 0

z z z i

   









2 2

4 12 0

z z z z

    

4 3

1 0

z z z

    









2 2 2

3 6 2 3 6 3 0

z z z z z z

      

BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 2

Bài 33. Giải các phương trình sau:









4 7 5 2 6

i z i iz

    b)









3 2 4 7 2 5

i z i i

    









3 2 3 1 2 5 4

z i i i

    













7 3 2 3 5 4

i z i i z

    









5 2 3 4 1 3

iz i i

    f)













5 7 3 2 5 1 3

i z i i

    





2 3 2 3 2 2

i z i i

   













3 4 1 2 4

i z i i

   

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 20

2 3 5 4

iz z i

  









3 2 1 2 1 3

z i iz i i

    









1 2 4 5 7 3

i z i i

     

















3 2 6 1 2 1 5

i z iz i z i

     

Đs: a)

18 13

17 17

z i

  b)

22 6

13 13

z i

  c)

z i

  

7 4

5 5

z i

  

z i

 

12 8

3 3

z i

 

z i



42 19

25 25

z i

  i)

23 14

29 29

z i

  j)

23 19

89 89

z i

   k)

7 4

5 5

z i

  

z i

  

Bài 34. Giải các phương trình sau:

 

3 3 2 2 8

x i x ix



   



   

1 3 2 5 0

ix i x

    

Đáp số: a)

1,2

3 15

 

 b)

1,2

3 7





Bài 35. Giải các hệ phương trình sau:

1 2

2 1

3 2 3

z z i

z iz i

  





  



1 2

2 2

1 2

5 2

z z i

  





  



1 2

2 2

1 2

5 5

5 2

z z i

  





   



Đs: a)

x i

y i

 









3 1 2

1 2 3

x i x i

y i y i

   

 



 

   

 

2 1 3 2 1 3

1 3 2 1 3 2

x i x i x i x i

y i y i y i y i

         

   

  

   

         

   

Bài 36. a) Chứng minh rằng nếu ba số

thỏa mãn

1 2 3

z z z

   





  





thì một trong ba số đó

phải bằng

b) Giải các hệ phương trình sau:

1 2 3

z z z

   



  









Bài 37. Giải các phương trình sau trên tập số phức:

2 3 4 0

x x

  

3 2 7 0

x x

  

4 2

2 3 5 0

x x

  

8 0

 

3 3

3 4 0

2 2

iz iz

z i z i

 

 

  

 

 

 





 

1 3 0

z z

   

   

3 6 3 1 13 0

z i z

      

Bài 38. Tìm các số thực

để có phân tích









4 3 2 2 2

2 3 2 2 1

z z z z z z az b

       

từ đó giải

phương trình

4 3 2

2 3 2 2 0

z z z z

    

trên tập số phức.

Đáp số:



; các nghiệm

, , 1 , 1

i i i i

    

Bài 39. Tìm số phức

, biết:

z z



| | 3 4

z z i

  

Đáp số: a)

0 1

z z z i

      

7 / 6 4

z i

  

Bài 40. Tìm số phức

thỏa mãn hệ phương trình:

z i z

  





  





z i

 























z i

 























Đáp số: a)

z i

 

z i

 

2 2

z i

 

Bài 41. Biết

là hai nghiệm của phương trình

2 3 3 0

x x

  

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 21

2 2

1 2

z z



3 3

1 2

z z



4 4

1 2

z z



1 2

2 2

z z



Đáp số: a)

4 / 9



15 3 /8

9 /16

3/ 2

Bài 42. a) Chứng minh rằng hai số phức liên hợp

và

là hai nghiệm của một phương trình bậc hai

với hệ số thực.

b) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là:

1 2



và

1 2



ii)

3 2



và

3 2



Bài 43. Cho







là hai nghiệm của phương trình

az bz c

  

. Hãy tính

1 2

z z



và

1 2

z z

theo các hệ số

. Từ đó rút ra công thức Vi-ét về phương trình bậc hai

với hệ số phức.

Bài 44. Tìm các số thực

để phương trình (với ẩn

z bz c

  

nhận

z i

 

làm một

nghiệm.

Bài 45. Tìm các số thực

để phương trình:

3 2

z az bz c

   

(với ẩn z) nhận

z i

 

và z =

2 làm nghiệm.

Bài 46. Tìm các số thực

để có phân tích









3 2 2

2 9 14 5 2 1

z z z z z az b

      

từ đó giải

phương trình

3 2

2 9 14 5 0

z z z

   

trên tập số phức.

Bài 47. Tìm các số thực

để có phân tích









4 2 2 2

4 16 16 2 4

z z z z z z az b

       

từ đó giải

phương trình

4 2

4 16 16 0

z z z

   

trên tập số phức.

Bài 48. Tìm các số thực a, b để có phân tích













3 2 2

2 1 3 1 1

z i z iz i z z az b

        

từ đó giải

phương trình





3 2

2 1 3 1 0

z i z iz i

     

trên



TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 22

Vấn đề 3. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC

1. Số phức dưới dạng lượng giác

 Định nghĩa 11. Acgument của số phức.

Cho số phức



. Gọi

là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số

. Số đo (radian)

của mỗi góc lượng giác tia đầu

, tia cuối

được gọi là một acgument của

 Chú ý:

 Nếu



là một acgument của

thì mọi acgument của

có dạng 2 ,k k

 

 



 Hai số phức

và

(



là

0 l

 



) có cùng acgument.

 Định nghĩa 12. Dạng lượng giác của số phức.

Dạng





cos sin

z r i

 

  , trong đó



được gọi là dạng lượng giác của số phức



Còn dạng

z a bi

 

(





) được gọi là dạng đại số của số phức

Ta có

2 2

cos cos

sin

r a b

a r

b r

 







 



 



 

  

 

 













 

cos sinz r i

 

  

2. Nhân và chia số phức dưới dạng lược giác

 Định lí:

Nếu





cos sin

z r i

 

  và





cos sinz r i

 

   

  , với





thì:











cos sinzz rr i

   

   

   

 

 



   

cos sin

z r

   

 

   

 

 

 

khi





 Chú ý: Nếu các điểm



biểu diễn theo thứ tự các số phức



khác

thì acgument

của



là số đo góc lượng giác có tia đầu



, tia cuối

3. Công thức Moa-Vrơ (Moiver) và ứng dụng

 Công thức Moa-vrơ: Với mọi số nguyên dương

, ta có:

   

cos sin cos sinn

r i r n i

   

   

 

Khi



, ta được:

 

cos sin cos sin

i n i n

   

  

 Ứng dụng vào lượng giác, ta có:

 

cos sin cos3 sin3

i i

   

  

Mặc khác, sử dụng khai triển lũy thừa bậc 3 ta được:

     

3 2

3 2 3

cos sin cos 3cos sin 3cos sin sin

i i i

       

    

3 2 3

cos3 cos 3cos .sin 4cos 3cos

     

    

2 3 3

sin3 3cos .sin sin 3sin 4sin

     

   

 Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:

Số phức





cos sin

z r i

 

  ,



có hai căn bậc hai là:

 cos sin

2 2

r i

 

 



 

 



cos sin cos sin

2 2 2 2

r i r i

   

 

 

     

     

     

 

     

 





M z



GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 23

Dạng 1: Viết dạng lượng giác của số phức

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Để tìm dạng lượng giác





cos sin

r i

 

 của số phức

z a bi

 

, ta thực hiện các bước

Bước 1. Tìm r: là modun của

2 2

r a b

 

là khoảng cách từ gốc

đến điểm

biểu diễn số

trong mặt phẳng phức.

Bước 2. Tìm : là acgument của



là số thực sao cho cos





và sin





;



cũng

là góc lượng giác tia đầu

và tia cuối

Chúng ta tổng kết hai bước thực hiện trên bằng phép biến đổi:

2 2

2 2 2 2

a b

z a bi a b i

a b a b

 

    

 

 

 

 

cos sin

a b

z r i r i

r r

 

 

    

 

 

 Chú ý:







1 cos sinz z i

  

    



 Khi



thì

z r

 

nhưng acgument của

không xác định (đôi khi coi

acgument của

là số thực tùy ý và vẫn viết





0 0 cos sin

 

  )

Chú ý điều kiện



trong dạng lượng giác của số phức

B. TOÁN MẪU

Ví dụ 21. Hãy tìm dạng lượng giác của các số phức sau:

1 3

 b)







 

1 3 1

i i

 

1 3









2 3

i i



2 2



................................................................................................................................................................................





M z



TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 24

Ví dụ 22. Tìm một acgument của mỗi số phức sau:

2 2 3

  b)

cos sin

4 4

 

 c)

sin cos

8 8

 

  d) 1 sin cos 0



  

 

   

 

 

.................................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 49. Hãy tìm dạng lượng giác của các số phức sau:

z i

 





 

1 3 1

z i i

  

1 3











2 3

z i i

 

 f)

1 3







Bài 50. Xét các số phức:

6 2

z i

  ,

2 2

z i

  



a) Viết

dưới dạng lượng giác. b) Từ câu a), hãy tính

cos



sin



Đáp số: a)

5 5

2 2 cos sin

6 6

z i

 

 

  

 

 

2 2 cos sin

4 4

z i

 

 

  

 

 

7 7

cos sin

12 12

z i

 

  b)

7 2 6

cos

12 4





 ’

7 2 6

sin

12 4







Bài 51. Xét số phức:









6 2 6 2

z i   

a) Viết

dưới dạng đại số và lượng giác. b) Từ câu a), hãy suy ra dạng lượng giác của

Đáp số: a)

 

8 3 16 cos sin

6 6

i i

 

 

  

 

 

b) 4 cos sin

12 12

 

 



 

 

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 25

Dạng 2: Công thức Moivre

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI



Công th

ứ

c Moa

vrơ

: Với mọi số nguyên dương

, ta có:

   

cos sin cos sinn

r i r n i

   

   

 

Khi



, ta được:

 

cos sin cos sin

i n i n

   

  

 Ứng dụng vào lượng giác, ta có:

 

cos sin cos3 sin3

i i

   

  

Mặc khác, sử dụng khai triển lũy thừa bậc 3 ta được:

     

3 2

3 2 3

cos sin cos 3cos sin 3cos sin sin

i i i

       

    

3 2 3

cos3 cos 3cos .sin 4cos 3cos

     

    

2 3 3

sin3 3cos .sin sin 3sin 4sin

     

   

 Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:

Số phức





cos sin

z r i

 

  ,



có hai căn bậc hai là:

 cos sin

2 2

r i

 

 



 

 

cos sin cos sin

2 2 2 2

r i r i

   

 

 

     

     

     

 

     

 

B. TOÁN MẪU

Ví dụ 23. Tính giá trị: a)

, với











................................................................................................................................................................................

Ví dụ 24. Thực hiện phép tính a)

2020

 



 



 

5 3 3

1 2 3

 





 



 

................................................................................................................................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 26

Ví dụ 25. Hỏi với số nguyên dương

nào để số phức

3 3

 





 



 

là số thực, là số ảo?

.................................................................................................................................................................................

Ví dụ 26. Viết dạng lượng giác và tìm căn bậc hai của a)

2 2 3

z i

   b)

1 3

z i

 

.................................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 52. Tính:

2 cos sin

6 6

z i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 cos sin ,

z i n

 

   



365



 



 

 

 







với ,m n





 

3 cos sin

12 12

i i

 

 

 

 

 









2 2 2 2

z i   

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 27

BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 3

Bài 53. Hãy tìm dạng lượng giác của các số phức:

;



;

(





) trong các trường hợp sau:





cos sin ( 0)

z r i r

 

  

1 3

z i

 

Bài 54. Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:

 

cos sin 1 3

3 3

i i i

 

 

 

 

 

 





1 3

i i

 

 



2000

 biết rằng

 

Đáp số: a)

và

256

và

1/16



và



và

Bài 55. Tìm số phức

sao cho

z z

 

và một acgument của

– 2

bằng một acgument của



cộng với



. Đáp số:

1 3

z i

 

Bài 56. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức

sao cho





có

một acgument bằng

Đáp số: Đường tròn

2 16

x y

 

  

 

 

phần phía trên trục thực

Bài 57. Cho số phức

có môđun bằng

. Biết một acgument của

là



, hãy tìm một acgument của

mỗi số phức sau:

 c)

z z



z z



z z



z z



z z



Đáp số: a)



 







 



nếu phần thực dương,



nếu

nếu phần thực âm, không xác định nếu

là số ảo



nếu

cos 0











nếu

cos 0





, không xác định nếu

cos 0





 



nếu

sin 0





 



nếu

sin 0





, không xác định nếu

sin 0







nếu

cos 0











nếu

cos 0





, không xác định nếu

cos 0





Bài 58. Tìm số nguyên dương

để các số phức

4 3



 

 



 

là số thực, số ảo.

Đáp số: Số thực:

n k



(





), Số ảo:

4 2

n k

 

(





)

Bài 59. Cho

là bốn điển trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức:





4 3 3

 

;





2 3 3

 

;

1 3



;



. Chứng minh rằng bốn điểm đó cùng nằm trên một

đường tròn.

Bài 60. Biểu diễn hình học các số



và

239



rồi chứng minh rằng nếu các số thực

thỏa mãn

các điều kiện 0



 

, 0



 

và

tan



tan

239

b  thì 4

a b



 

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 28

Bài 61. Cho tam giác đều

OAB

trong mặt phẳng phức (

là gốc tọc độ). Chứng minh rằng nếu

theo thứ tự biểu diễn các số

thì

2 2

0 1 0 1

z z z z

  .

Bài 62. a) Cho

cos sin ( )

z i

  

  



. Chứng minh rằng với mọi số nguyên



, ta có:

2cos

z n



  ;

2 cos

z i n



 

b) Từ câu a), chứng minh rằng:

 

cos cos4 4cos2 3

  

  

ii)

 

sin sin5 5sin3 10sin

   

  

Bài 63. Tìm dạng lượng giác của các căn bậc hai của các số phức sau:

cos sin

 



sin cos

 



sin cos

 



với







cho trước.

Bài 64. a) Cho các số thực

sao cho

sin 0



. Với





, xét:













cos cos cos 2 ... cos

S b a b a b na b

       













sin sin sin 2 ... sin

T b a b a b na b

       

Tính

S iT



, từ đó suy ra

và

b) Chứng minh rằng với mỗi số thực

( )

a k k



 



và





 

sin

sin sin3 ... sin 2 1

sin

a a n a

     

 

 

sin2

cos cos3 ... cos 2 1

2sin

a a n a

     

 

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 29

Vấn đề 4. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 4

1 – DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC

Câu 1. [2D4-1] Cho số phức

5 4

z i

 

. Số phức



có

A. Phần thực bằng

và phần ảo bằng



. B. Phần thực bằng

và phần ảo bằng



C. Phần thực bằng

và phần ảo bằng



. D. Phần thực bằng



và phần ảo bằng

Câu 2. [2D4-1] Cho hai số phức

4 3

z i

 

và

7 3

z i

 

. Tìm số phức

1 2

z z z

 

3 6

z i

 

. B.



. C.

1 10

z i

  

. D.

3 6

z i

  

Câu 3. [2D4-1] Đẳng thức nào trong các đẳng thức sau là đúng?

 

1 16

  

. B.

 

1 16

 

. C.

 

1 16

i i

   . D.

 

1 16

i i

  .

Câu 4. [2D4-1] Cho số phức

1 3

2 2

z i



  . Số phức

z z

 

bằng

1 3

2 2



 . B.

2 3

 . C.

. D.

Câu 5. [2D4-1] Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

1 1

i i

 

  

 

 

      

10 6

1 3 2 3 2 1 13 40

i i i i i

        .

   

3 3

2 3 16 37

i i i

      .

 





   









1 3 2 3 1 2 1 5 2 3 3 3

i i i i i

          .

Câu 6. [2D4-2] Biểu thức

2017







có giá trị là

3 1

5 5



. B.

1 3

5 5



. C.

1 3

5 5



. D.

3 1

5 5



Câu 7. [2D4-2] Cho số phức

2 3 9

1 ...

z i i i i

     

. Khi đó

z i



. B.

z i

 

. C.

z i

 

. D.



Câu 8. [2D4-2] Tìm số phức

thỏa mãn hệ thức





1 1

i z z i

   

z i

 

. B.

z i

 

. C.

z i

 

. D.

z i

 

Câu 9. [2D4-2] Cho số phức

3 2

z i

 

. Tìm số phức

 

w z i z

  

3 5

w i

 

. B.

7 8

w i

 

. C.

3 5

w i

  

. D.

7 8

w i

  

Câu 10. [2D4-2] Tìm số phức

thỏa mãn









1 1 2 3 2 0

i z i i

     

4 3

z i

 

. B.

3 5

2 2

z i

 

. C.

5 3

2 2

z i

 

4 3

z i

 

Câu 11. [2D4-2] Tìm số phức

thỏa mãn









1 2 1 5 2 0

i z i

    

12 6

5 5

z i

 

. B.

6 12

5 5

z i

  . C.

6 12

5 5

z i

  . D.

1 12

5 5

z i

  .

Câu 12. [2D4-2] Rút gọn số phức

3 2 1

1 3 2

i i

 

 

 

ta được

55 15

26 26

z i

  . B.

75 15

26 26

z i

  . C.

75 11

26 26

z i

  . D.

55 11

26 26

z i

  .

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 30

Câu 13. [2D4-2] Tính

2017







1 3

2 2

z i

  B.

3 1

2 2

z i

  C.

1 3

2 2

z i

  D.

3 1

2 2

z i

 

Câu 14. [2D4-2] Tìm nghịch đảo

của số phức

5 3

z i

  .

5 3

  . B.

1 5 3

22 22

  . C.

1 5 3

28 28

  . D.

1 5 3

28 28

  .

Câu 15. [2D4-2] Tìm số phức

thỏa mãn

 

1 2

z i z

 

  

 

 

 

. B.

 

. C.



. D.



Câu 16. [2D4-2] Tổng phần thực và phần ảo của số phức









1 2 3

z i i

  

là

. B.

. C.

. D.

Câu 17. [2D4-2] Đẳng thức nào sau đây là đúng?

 

1 32.

i  B. .

 

1 32.

  

. C.

 

1 32 .

i i

  D.

 

1 32 .

i i

  

Câu 18. [2D4-2] Tính

2 3 2017

1009 2 3 ... 2017

S i i i i

     

S 2017 1009i.

 

1009 2017 .



2017 1009 .



1008 1009 .



Câu 19. [2D4-3] Cho số phức

2017



 



 



 

. Tính

5 6 7 8

z z z z

  

. B.

. C.

. D.

Câu 20. [2D4-3] Cho hai số phức

thoả mãn

1 2 1 2

z z z z

   

. Tính giá trị của biểu

thức

2 2

1 2

2 1

z z

   

 

   

   

P i

 

. B.

P i

  

. C.

 

. D.

P i

 

Câu 21. [2D4-3] Số phức

thỏa mãn

z z

 

Khi đó

là số thực nhỏ hơn hoặc bằng

. B.



C. Phần thực của

là số âm. D.

là số thuần ảo.

Câu 22. [2D4-3] Tìm số phức

thỏa mãn

2 4 4

zi z i

  

4 4

z i

 

. B.

3 4

z i

 

. C.

3 4

z i

 

4 4

z i

 

Câu 23. [2D4-1] Cho hai số phức

3 3

z i

 

và

1 2

z i

  

. Phần ảo của số phức

1 2

z z

  là



Câu 24. [2D4-1] Phần ảo của số phức

z i

 

là



2 .

Câu 25. [2D4-1] Cho

1 2

z i

 

. Phần thực của số phức

z z z



   bằng



. B.



. C.



. D.

Câu 26. [2D4-1] Cho hai số phức

1 2

z i

 

và

2 3

z i

 

. Phần thực và phần ảo của số phức

1 2

z z

 là

A. Phần thực bằng



và phần ảo bằng

. B. Phần thực bằng



và phần ảo bằng

C. Phần thực bằng



và phần ảo bằng



. D. Phần thực bằng

và phần ảo bằng

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 31

Câu 27. [2D4-1] Cho số phức

   

1 1 2

z i i

   . Số phức

có phần ảo là

. B.

. C.

. D.



Câu 28. [2D4-1] Cho số phức

1 2

z i

  . Tìm phần ảo của số phức



 . B.

. C.

 . D.

Câu 29. [2D4-1] Cho số phức

7 5

z i

  

. Phần ảo của số phức

là

. B.



. C.

. D.

Câu 30. [2D4-1] Cho số phức

7 5

z i

  . Tìm phần thực và phần ảo của số phức

A. Phần thực bằng

và phần ảo bằng

. B. Phần thực bằng



và phần ảo bằng

C. Phần thực bằng

và phần ảo bằng

. D. Phần thực bằng

và phần ảo bằng



Câu 31. [2D4-1] Kí hiệu

lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức

3 2 2

 . Tìm

3; 2

a b

 

. B.

3; 2 2

a b 

. C.

3; 2

a b 

. D.

3; 2 2

a b  

Câu 32. [2D4-1] Cho số phức

thỏa mãn









4 7 5 2 6

i z i iz

   

. Tìm phần ảo của số phức



. B.



. C.

. D.

Câu 33. [2D4-1] Tìm phần thực và phần ảo của số phức 1

z i



 

A. Phần thực là

và phần ảo là





. B. Phần thực là

và phần ảo là



C. Phần thực là

và phần ảo là





. D. Phần thực là



và phần ảo là





Câu 34. [2D4-1] Cho số phức

thỏa mãn





1 5 .

i z i

  

Tìm phần thực của

. B.

. C.

. D.

Câu 35. [2D4-1] Cho

là một số ảo khác 0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

z z



. B.

z z

 

là số thực. D. Phần ảo của

bằng 0.

Câu 36. [2D4-1] (THPT Quốc Gia 2017) Số phức nào dưới đây là số thuần ảo?

2 3 .

z i

  

3 .

z i



 

3 .

z i

 

Câu 37. [2D4-1] Cho số phức

z i i

  

. Tìm phần thực

và phần ảo

của

1, 2

a b

  

. B.

2, 1

a b

  

. C.

1, 0

a b

 

. D.

0, 1

a b

 

Câu 38. [2D4-1] Điểm

trong hình vẽ bên biểu diễn cho số phức

Tìm phần thực và phần ảo của số phức

A. Phần thực là



và phần ảo là

B. Phần thực là

và phần ảo là



C. Phần thực là

và phần ảo là

2 .



D. Phần thực là



và phần ảo là

2 .

Câu 39. [2D4-1] Cho số phức

3 2

z i

 

. Tìm phần thực và phần ảo của

A. Phần thực bằng



và phần ảo bằng



. B. Phần thực bằng

và phần ảo bằng

C. Phần thực bằng

và phần ảo bằng

. D. Phần thực bằng



và phần ảo bằng



Câu 40. [2D4-1] Phần thực và phần ảo của số phức

1 2

z i

 

lần lượt là

và

. B.

và

. C.

và

. D.

và

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 32

Câu 41. [2D4-1] Phần thực và phần ảo số phức





1 2

z i i

 

là

và



. B.

và

. C.



và

. D.

và

Câu 42. [2D4-1] Cho số phức

thỏa mãn điều kiện





2 3 5

z i z i

   

. Phần thực của số phức

là

. B.



. C.

. D.



Câu 43. [2D4-1] Cho số phức

z a bi

 

, b





. Tìm phần ảo của số phức

2 2

a b

2 2

2 .

a b

2 .

Câu 44. [2D4-1] Điểm

trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức

Tìm phần thực và phần ảo của số phức

A. Phần thực là



và phần ảo là

B. Phần thực là

và phần ảo là



C. Phần thực là

và phần ảo là



D. Phần thực là



và phần ảo là

Câu 45. [2D4-1] Tìm phần ảo của số phức

   

2 2

1 1

z i i

   

. B.



. C.

. D.

Câu 46. [2D4-1] Cho số phức

3 2

z i

 

. Tìm phần ảo của số phức liên hợp của

. B.



. C.

. D.



Câu 47. [2D4-2] Phần thực của số phức

 

z i

 

là

. B.



. C.

. D.

Câu 48. [2D4-2] Cho số phức

2 3

z i

 

. Tìm phần thực

của



. B.



. C.

 

. D.

 

Câu 49. [2D4-2] Với mọi số thuần ảo

, số

z z

 là

A. Số

. B. Số ảo khác

. C. Số thực dương. D. Số thực âm.

Câu 50. [2D4-2] Nếu số phức

thỏa mãn



thì phần thực của



bằng

. B.



. C.

. D. Một giá trị khác.

Câu 51. [2D4-2] Cho số phức

2 3

z i

 

. Tìm phần ảo của số phức









1 2

w i z i z

   



. B.



. C.



. D.



Câu 52. [2D4-2] Cho số phức









5 2 2 10

z i i

   

. Tìm phần thực và phần ảo của số phức

A. Phần thực bằng

và phần ảo bằng

. B. Phần thực bằng

và phần ảo bằng



C. Phần thực bằng

và phần ảo bằng



. D. Phần thực bằng

và phần ảo bằng

Câu 53. [2D4-2] Cho số phức

2 5

z i

 

. Số phức



có phần thực là

. B.

 . C.

. D.



Câu 54. [2D4-2] Phần thực

và phần ảo

của số phức

thỏa mãn điều kiện

 

3 2 2

i z i

   



là

122 12

;

221 221

x y    . B.

122 12

;

221 221

x y   .

122 12

;

221 221

x y   . D.

122 12

;

221 221

x y  .



GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 33

Câu 55. [2D4-2] Cho số phức

z x yi

 





,x y



. Khi đó phần thực

và phần ảo

của số phức

z i









là





 

2 1

x y

y x





 

 

2 2

y y x

y x

  



 

. B.





 

2 1

x y

y x

 



 

 

2 2

y y x

y x

  



 





 

2 1

x y

y x





 

 

2 2

y y x

y x

  



 

. D.





 

2 1

x y

y x

 



 

 

2 2

y y x

y x

  



 

Câu 56. [2D4-2] Cho các số phức

1 2 ,

z i

 

2 .

w i

 

Số phức

u z w

 có

A. Phần thực là

và phần ảo là

. B. Phần thực là

và phần ảo là

C. Phần thực là

và phần ảo là

. D. Phần thực là

và phần ảo là

Câu 57. [2D4-2] Nếu số phức



thỏa



thì phần thực của



bằng



Câu 58. [2D4-2] Cho hai số phức

1 3

z i

 

và

2 5

z i

  

. Tìm phần ảo

của số phức

1 2

z z z

 

. B.



. C.



. D.

 

Câu 59. [2D4-2] Cho số phức

 

1 ,

z i n

  



và thỏa mãn









4 4

log 3 log 9 3

n n

   

. Tìm phần

thực của số phức



 



Câu 60. [2D4-2] Cho số phức

thỏa mãn

1 2

 



. Phần thực của số phức

w z z

 

là



Câu 61. [2D4-2] Phần ảo và phần thực của số phức

 

z i

  lần lượt là

0; 32

. B.

0; 32

. C.

0; 32



. D.

32; 0

Câu 62. [2D4-2] Điểm

trong hình vẽ là điểm biểu diễn của số

phức

. Tìm phần thực và phần ảo của số phức

A. Phần thực là



và phần ảo là

B. Phần thực là

và phần ảo là



C. Phần thực là



và phần ảo là

2 .

D. Phần thực là

và phần ảo là

3 .



Câu 63. [2D4-2] Cho số phức

thỏa mãn điều kiện

   

3 2 2 4 .

i z i i

    

Tìm phần ảo của số

phức





w z z

 



. B.

. C.



. D.



Câu 64. [2D4-2] Cho số phức

   

2 2

2 1 3

z i i

   

. Tổng phần thực và phần ảo của

là



. B.



. C.

. D.

Câu 65. [2D4-3] Cho số phức

     

2 3 22

1 1 1

z i i i

       . Phần thực của số phức

là



. B.

2 2

 

. C.

2 2

 

. D.

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 34

Câu 66. [2D4-3] Cho

là một số phức tùy ý khác

. Khẳng định nào sau đây sai?

là số ảo. B.

z z



là số ảo. C.

z z

là số thực. D.

z z



là số thực.

Câu 67. [2D4-4] Cho các số phức

z w

khác

và thỏa mãn

2 .

z w z w

  

Phần thực của số phức



là



. B.



. C.



. D.

 

Câu 68. [2D4-1] Số phức liên hợp của số phức

1 5

z i

  

là

z i

 

. B.

1 5

z i

 

. C.

1 5

z i

 

. D.

1 5

z i

  

Câu 69. [2D4-1] Biết rằng nghịch đảo của số phức

bằng số phức liên hợp của nó, trong các kết luận

sau, kết luận nào đúng?



. B.





. C.



. D.

 

Câu 70. [2D4-1] Cho hai số phức

z i

 

và

3 2 .

z i

 

Tìm số phức liên hợp của số phức

1 2

2 3 .

w z z

 

13 4 .

w i

 

13 8 .

w i

 

13 8 .

w i

 

13 4 .

w i

 

Câu 71. [2D4-1] Số phức liên hợp của số phức

3 2

z i

 

là số phức:

3 2

z i

 

. B.

3 2

z i

  

. C.

2 3

z i

  

. D.

3 2

z i

  

Câu 72. [2D4-1] Biết rằng nghịch đảo của số phức

bằng số phức liên hợp của nó. Mệnh đề nào dưới

đây đúng?

 

. B.

là một số thuần ảo.

 

. D.



Câu 73. [2D4-1] Cho số phức

5 4

z i

 

. Số phức đối của

có điểm biểu diễn là





5;4



. B.





5; 4



. C.





5;4

. D.





5; 4

 

Câu 74. [2D4-1] Số phức liên hợp của số phức

3 2

z i

 

là số phức.

3 2 .



3 2 .

 

2 3 .

 

3 2 .

 

Câu 75. [2D4-1] Tìm số phức liên hợp của số phức





24 1

z i i

 

z i

  

. B.

z i

  

. C.

z i

 

. D.

z i

 

Câu 76. [2D4-1] Tìm số phức liên hợp của số phức

   

2 1

z i i

  

z i

  

. B.

z i

 

. C.

z i

  

. D.

z i

 

Câu 77. [2D4-1] Cho số phức

thoả:





1 2 4 3

z i i

  

. Tìm số phức liên hợp

của

2 11

5 5

z i



  B.

2 11

5 5

z i

  C.

2 11

5 5

z i

  . D.

2 11

5 5

z i



  .

Câu 78. [2D4-1] Tìm số phức liên hợp của số phức









1 3 2

z i i

  

z i

 

. B.

z i

 

. C.

z i

 

. D.

z i

 

Câu 79. [2D4-1] Số phức liên hợp

của số phức









3 2 3 4 2 1

z i i

   

là

z i

 

. B.

z i

 

. C.

10 3

z i

 

. D.

z i

 

Câu 80. [2D4-1] Tìm số phức liên hợp của số phức









3 2 3 4 2 1

z i i

   

2 .

z i

 

10 3 .

z i

 

10 .

z i

 

10 .

z i

 

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 35

Câu 81. [2D4-1] Tìm số phức liên hợp của số phức





3 1

z i i

 

z i

 

. B.

z i

  

. C.

z i

 

. D.

z i

  

Câu 82. [2D4-1] Tìm số phưc liên hợp của số phức









3 4 2 5 7

z i i i

     

3 4

z i

 

. B.

3 4

z i

  

. C.

3 4

z i

  

. D.

3 4

z i

 

Câu 83. [2D4-2] Cho số phức

thỏa mãn điều kiện









2 4 3 2

i z i z i

    

. Số phức liên hợp của

là

5 1

4 4

z i

 

. B.

5 1

4 4

z i

 

. C.

1 5

4 4

z i

  

. D.

1 5

4 4

z i

  

Câu 84. [2D4-2] Xác định số phức liên hợp

của số phức

biết





1 2

2 3

1 2

i z

 

 



7 5

2 2

z i

  

. B.

7 5

2 2

z i

 

. C.

7 5

2 2

z i

  

. D.

7 5

2 2

z i

 

Câu 85. [2D4-2] Tìm số phức liên hợp của số phức









2 3 4

z i i

   

1 3

z i

 

. B.

1 3

z i

  

. C.

1 3

z i

  

. D.

1 3

z i

 

Câu 86. [2D4-2] Cho hai số phức

5 2

z i

 

và

3 4

z i

 

. Tìm số phức liên hợp của số phức

1 2 1 2

2 .

w z z z z

   .

54 26

w i

  . B.

54 26

w i

   . C.

54 26

w i

  . D.

54 30

w i

  .

Câu 87. [2D4-2] Tìm số phức liên hợp của số phức









2 3

z i i

  

3 6

z i

  

. B.

3 6

z i

  

. C.

3 6

z i

 

. D.

3 6

z i

 

Câu 88. [2D4-2] Tìm số phức liên hợp của số phức

thỏa mãn





1 1 3

i z i

  

1 2 .

z i

  

1 2 .

z i

 

1 2 .

z i

  

1 2 .

z i

 

Câu 89. [2D4-1] Cho số phức

1 3

z i

 

và

3 4

z i

 

. Tính môđun của số phức

1 2

z z



. B.

. C.

. D.

Câu 90. [2D4-1] Tính môđun của số phức

4 3

z i

 

z 



z 

Câu 91. [2D4-1] Môđun của số phức

1 5

2 3

z i



  



là

170

z  . B.

170

z  . C.

170

z  . D.

170

z  .

Câu 92. [2D4-1] Cho số phức

 

2 3

z i

  . Khi đó mô đun của

bằng.

. B.

. C.

. D.

Câu 93. [2D4-1] Mệnh đề nào sau đây là sai:

A. Số phức

3 4

z i

  

có môđun bằng

B. Số phức

z i

 

có phần thực bằng

và phần ảo là



C. Số phức

z i



có số phức liên hợp là

z i

 

D. Tập số phức chứa tập số thực.

Câu 94. [2D4-1] Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. Số phức

5 3

z i

 

có phần thực là

, phần ảo



B. Điểm





1;2

M 

là điểm biểu diễn số phức

1 2

z i

  

C. Mô đun của số phức





,z a bi a b  



là

2 2

a b



D. Số phức

z i

 là số thuần ảo.

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 36

Câu 95. [2D4-1] Chỉ ra số mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

I. Mọi số phức đều là số thực.

II. Số ảo là số phức có phần thực bằng

và phần ảo khác

III. Cho số phức

z a bi

 

0 0, 0

z a b

   

IV. Cho số phức

bất kì. Ta có

luôn là số thực.

. B.

. C.

. D.

Câu 96. [2D4-1] Tính module của số phức

biết









4 3 1

z i i

  

25 2

z  . B.

7 2

z  . C.

5 2

z  . D.

z  .

Câu 97. [2D4-1] Cho hai số phức

2 3

z i

 

3 2

z i



 

. Tìm môđun của số phức

w z z





. B.



. C.



. D.

w  .

Câu 98. [2D4-1] Cho các mệnh đề sau.

(I) Trên tập hợp các số phức thì phương trình bậc hai luôn có nghiệm.

(II) Trên tập hợp các số phức thì số thực âm không có căn bậc hai.

(III) Môđun của một số phức là một số phức.

(IV) Môđun của một số phức là một số thực dương.

Trong bốn mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề đúng?

. B.

. C.

. D.

Câu 99. [2D4-1] Tính môđun của số phức

thỏa mãn





2 3

z i i z

  

z  B.

10.

z  C.

z  D.



Câu 100. [2D4-1] Tìm môđun của số phức





 

4 48 2

z i i

   

8 5

. B.

5 5

. C.

6 5

. D.

9 5

Câu 101. [2D4-1] Cho số phức

z i

 

. Tính



. B.



. C.



. D.

z  .

Câu 102. [2D4-1] Nếu môđun của số phức

bằng

( 0)

r r



thì môđun của số phức

 

i z

 bằng

. B.

. C.

. D.

Câu 103. [2D4-1] Số phức

 

z i

 

có môđun bằng

2 2

z  . B.

z  . C.



. D.

2 2

z   .

Câu 104. [2D4-1] Cho số phức

thỏa mãn





1 3







. Tìm môđun của

z iz



A. 8. B.

8 2

. C.

4 2

. D. 4.

Câu 105. [2D4-1] Cho số phức

thỏa mãn điều kiện









1 2 2

i z i z i

   

. Môđun của số phức

2 1

z z

 

 là

. B.



. C.

. D.

 .

Câu 106. [2D4-1] Tính môđun của số phức

4 3

z i

 

z  . B.



. C.



. D.



GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 37

Câu 107. [2D4-1] Tính môđun của số phức

thỏa mãn





2 13 1

z i i

  

z  . B.



. C.

5 34

z  . D.

z  .

Câu 108. [2D4-1] Tìm mô đun của số phức





2 4 2 1

z i i

   



. B.



. C.



. D.



Câu 109. [2D4-2] Cho số phức

z i

 

. Khi đó

bằng

. B.

2 2

. C.

. D.

Câu 110. [2D4-2] Cho hai số phức

2 3

z i

 

1 2

z i

 

. Tính môđun của số phức





1 2

z z z

 



. B.

5 5

z  . C.

z  . D.

137

z  .

Câu 111. [2D4-2] Cho số phức

thỏa mãn





1 3 1

i z i z

    

. Môđun của số phức

13 2

w z i

 

có giá

trị là



. B.

. C.

. D.



Câu 112. [2D4-2] Cho số phức

3 4

z i

  

. Tính môđun của số phức

w iz

 

. B.

. C.

. D.

Câu 113. [2D4-2] Cho số phức

thoả mãn





2 1 5 3

z i z i

   

. Tính



. B.

z  . C.



. D.



Câu 114. [2D4-2] Tính mô đun của số phức

thỏa

2 1 5

z i z i

  

z  . B.



. C.

170

z  . D.



Câu 115. [2D4-2] Cho số phức

thỏa mãn

 

1 14 2

z i i

   



. Tìm môđun của số phức

w z

 



8 14.

w   C.

9 2 14.

w   D.

3 2.

w 

Câu 116. [2D4-2] Cho số phức

thỏa mãn





1 2 5 3

i z iz i

   

. Tính

z  . B.

z  .



. D.



Câu 117. [2D4-2] Số phức

thỏa

 

2 3 5 2

4 3

i i

   



. Môđun của

bằng

5 10

z  . B.

10 2

z  . C.

250

z 

. D.

z  .

Câu 118. [2D4-2] Cho số phức

thỏa mãn













1 2 3 2 3 2

i z i i i

     

. Tính môđun của

. B.

. D.

2 3

Câu 119. [2D4-2] Cho số phức





1 3







. Tính môđun của số phức

z iz



được kết quả:

6 2

. B.

9 2

. C.

8 2

. D.

7 2

Câu 120. [2D4-2] Cho số phức

thỏa mãn

   

1 3 1 5

i z i z i

    

. Tính môđun của

z  B.

10.

z  C.

z  D.

z 

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 38

Câu 121. [2D4-2] Cho số phức

2 3

z i

 

. Tìm môđun của số phức





w i z z

  



. B.



. C.

 

. D.

w  .

Câu 122. [2D4-2] Cho số phức

thỏa mãn









2 3 1 2 7

i z i z i

    

. Tìm môđun của

z  . B.



. C.

z  . D.



Câu 123. [2D4-2] Tìm môđun của số phức









2 3 2 2

z i i i

   

z  . B.

z  . C.



. D.

z  .

Câu 124. [2D4-2] Cho số phức

thỏa mãn

3 3 4 4

iz i z

  

. Tính môđun của số phức

3 4.



25.

Câu 125. [2D4-2] Cho số phức

thỏa mãn





2 3

z i z

 

. Môđun của

là

z  B.



3 5

z  D.

3 5

z 

Câu 126. [2D4-2] Cho số phức

thỏa mãn













3 2 4 1 2

i z i i z

     . Mô đun của

là

. B.

. C.

. D.

Câu 127. [2D4-2] Cho số phức

thỏa mãn điều kiện

2 3

z z i

  

. Tính

2 1

A iz i

  

. B.

. C.

. D.

Câu 128. [2D4-2] Tính môđun của số phức

thỏa mãn





5 3 4

i i z

  

410

z  B.

410

z 

410

100

z 

410

z 

Câu 129. [2D4-2] Cho hai số phức

z i

 

và

2 3

z i

 

. Tính môđun của số phức

2 1

z iz



13.

Câu 130. [2D4-2] Cho số phức

thỏa mãn

1 3







Tìm môđun của số phức

. .

w i z z

 

w  B.

3 2.

w  C.

4 2.

w  D.

2 2.

w 

Câu 131. [2D4-2] Cho số phức

1 2

z i

 

và

2 2

z i

  

. Tìm môđun của số phức

1 2

z z



1 2

2 2

z z  . B.

1 2

z z

 

. C.

1 2

z z  . D.

1 2

z z

 

Câu 132. [2D4-3] Cho hai số phức

thỏa mãn

1 2

z z

 

1 2

z z  . Tính

1 2

z z



. B.

. C.

. D.

Câu 133. [2D4-3] Tính mô đun của số phức

thỏa mãn









1 3 2 6

i z i z i

    

z  . B.

z  . C.

z  . D.

z  .

Câu 134. [2D4-3] Cho số phức

có phần thực dương và thỏa





5 3

1 0



  

. Khi đó



. B.



. C.



. D.

z  .

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 39

Câu 135. [2D4-3] Cho hai số phức

thỏa mãn

1 2

, 0

z z



;

1 2

z z

 

và

1 2 1 2

1 1 2

z z z z

 



. Tính

. B.

. C.

2 3

. D.

Câu 136. [2D4-3] Cho hình vuông

ABCD

có tâm

và

lần lượt là điểm biểu diễn

cho các số phức

. Biết

a i

  

1 3

h i

 

và số phức

có phần ảo dương.

Khi đó, môđun của số phức

là

. B.

. C.

. D.

Câu 137. [2D4-3] Cho số phức

thỏa mãn

3 5

 

và

2 2 2

z i z i

   

. Tính



. B.

z  . C.

z  . D.



Câu 138. [2D4-3] Cho

2 3

z i

 

z i

 

. Tính

1 2

z z



. B.

. C.

. D.

Câu 139. [2D4-3] Xét số phức

thỏa mãn

 

1 2 2 .

i z i

   

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

 





1 3

2 2

 

Câu 140. [2D4-4] Cho hai số phức

thỏa mãn

1 2

z z

 

. Khi đó

2 2

1 2 1 2

z z z z

   bằng

. B.

. C.

. D.

Câu 141. [2D4-4] Xét số phức

và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là



. Số

phức





4 3

z i



và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là



. Biết rằng

MM N N

 

là một hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của

4 5

z i

 

. B.

. C.

. D.

Câu 142. [2D4-4] Cho số phức

thỏa mãn





. 3 4 4 3 5 2 0

z i z i

      

 

. Giá trị của

là

. B.

. C.

2 2

Câu 143. [2D4-1] Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là sai:



khi và chỉ khi



B. Tập hợp điểm biểu diễn số phức

thỏa điều kiện



là đường tròn tâm





0;0

và bán

kính



1 2

z z



khi và chỉ khi

1 2

z z



D. Hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực và phần ảo tương ứng bằng nhau.

Câu 144. [2D4-1] Phân tích biểu thức



thành thừa số phức. Hãy chọn biểu thức đúng.









2 2

z z i

 

. B. Không phân tích được.

 

z  . D.









2 2

z i z i

 

Câu 145. [2D4-1] Cho số phức

1 3 .

z i

  Khi đó

1 1 3

2 2

  B.

1 1 3

2 2

  C.

1 1 3

4 4

  D.

1 1 3

4 4

 

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 40

Câu 146. [2D4-1] Tìm các số thực

thỏa mãn:









2 3 6

x y x y i i

    

1; 4.

x y

  

1; 4.

x y

   

1; 4.

y x

  

1; 4.

x y

  

Câu 147. [2D4-1] Cho



là hai số phức



. Khẳng định nào sau đây là sai?

z z z z

 

  

. B.

z z

 

. C.

z z



. D.

z z



Câu 148. [2D4-1] Cho số phức

bất kỳ. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

z z

 B.

. .

z z z

 C.

z z



z z

 .

Câu 149. [2D4-2] Cho

, ,

a b c

là các số thực và

1 3

2 2

z i

   . Giá trị của









2 2

a bz cz a bz cz

   

bằng

a b c

 

. B.

2 2 2

a b c ab bc ca

    

2 2 2

a b c ab bc ca

    

. D.

Câu 150. [2D4-2] Cho

là các số phức thõa mãn

1 2 3

z z z

  

. Khẳng định nào sau đây

đúng?

1 2 3 1 2 2 3 3 1

z z z z z z z z z

    

. B.

1 2 3 1 2 2 3 3 1

z z z z z z z z z

    

1 2 3 1 2 2 3 3 1

z z z z z z z z z

    

. D.

1 2 3 1 2 2 3 3 1

z z z z z z z z z

    

Câu 151. [2D4-2] Giả sử

theo thứ tự là điểm biểu diễn của số phức

. Khi đó độ dài của



bằng

2 1

z z



. B.

2 1

z z



. C.

1 2

z z



. D.

1 2

z z



Câu 152. [2D4-2] Cho ba số phức

thỏa mãn:

31 2

1 2 3

zz z

z z z

   



  









. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Các điểm biểu diễn của

lập thành tam giác đều.

B. Hệ phương trình trên có nhiệm là hoán vị các phần tử của bộ ba





1; ;

i i



C. Hệ phương trình trên có nhiệm là hoán vị các phần tử của bộ ba

1 1 1 1

1; ;

2 2 2 2

i i

 

 

 

 

D. Một trong ba số

phải bằng

Câu 153. [2D4-2] Cho số phức





,z a bi a b  



thỏa mãn









3 2 2 2 2

i z i z i

    

. Khi đó

a b



bằng

Câu 154. [2D4-2] Cho hai số phức

z x yi

 

và

z a bi

 

. Giả sử



khi đó

được tính theo

là

2 2

x y







và

2 2

x y





. B.

2 2

x y





và

2 2

x y





2 2

x y





và

2 2

x y





. D.

2 2

x y





và

2 2

x y







Câu 155. [2D4-2] Tìm tất cả các số thực

sao cho

1 1 2 .

x yi i

    

2, 2.

x y

  

2, 2.

x y

 

0, 2.

x y

 

2, 2.

x y

  

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 41

Câu 156. [2D4-2] Cặp





;

x y

thỏa mãn biểu thức

















2 3 1 2 3 2 2 4 3

x y x y i x y x y i

          

là

9 4

;

11 11

 

 

 

. B.

9 4

;

11 11

 

 

 

 

. C.

9 4

;

11 11

 



 

 

. D.

9 4

;

11 11

 



 

 

Câu 157. [2D4-2] Cho số phức

z a bi

 

với

,a b





thỏa mãn









1 3 2 2 4

i z i z i

     

. Tính

P ab



. B.

 

. C.

 

. D.



Câu 158. [2D4-2] Cho số phức

thỏa mãn

2017



 



 



 

Tính

. B.

. C.



. D.



Câu 159. [2D4-2] Cho số phức





,z a bi a b  



thỏa mãn





1 2 3 2 .

i z z i

   

Tính

P a b

 



 

Câu 160. [2D4-3] Cho





P z

là một đa thức với hệ số thực. Nếu số phức

thỏa mãn





P z



thì





P z



. B.

 



 

 

. C.

 



 

 

. D.





P z



Câu 161. [2D4-3] Gọi

1 2 3

, ,

z z z

là ba số phức thỏa mãn

1 2 3

z z z

  

và

1 2 3

z z z

  

. Khẳng định

nào dưới đây là sai.

3 3 3

1 2 3 1 2 3

z z z z z z

     . B.

3 3 3

1 2 3 1 2 3

z z z z z z

     .

3 3 3

1 2 3 1 2 3

z z z z z z

     . D.

3 3 3

1 2 3 1 2 3

z z z z z z

     .

Câu 162. [2D4-3] Hỏi có bao nhiêu số phức

thỏa mãn đồng thời các điều kiện

z i

 

và

là số

thuần ảo?

. B.

. C.

. D.

Câu 163. [2D4-3] Cho ba số phức

thỏa mãn

1 2 3

z z z

  

và

1 2 3

z z z

  

. Mệnh đề nào

dưới đây đúng?

2 2 2

1 2 3 1 2 2 3 3 1

z z z z z z z z z

     B.

2 2 2

1 2 3 1 2 2 3 3 1

z z z z z z z z z

    

2 2 2

1 2 3 1 2 2 3 3 1

z z z z z z z z z

     D.

2 2 2

1 2 3 1 2 2 3 3 1

z z z z z z z z z

    

Câu 164. [2D4-3] Giả sử số phức

2 3 4 5 99 100 101

1 ...

z i i i i i i i i

          

. Lúc đó tổng phần thực và

phần ảo của

là

. B.



. C.

. D.

Câu 165. [2D4-3] Cho

là các số thực và

1 3

2 2

z i   Giá trị của









2 2

a bz cz a bz cz

   

bằng

a b c

 

2 2 2

a b c ab bc ca

    

2 2 2

a b c ab bc ca

    

Câu 166. [2D4-3] Cho

là các số phức thỏa mãn

1 2 3

z z z

  

và

1 2 3

z z z

  

Khẳng

định nào dưới đây là sai?

3 3 3 3 3 3

1 2 3 1 2 3

z z z z z z

     B.

3 3 3 3 3 3

1 2 3 1 2 3

z z z z z z

    

3 3 3 3 3 3

1 2 3 1 2 3

z z z z z z

     D.

3 3 3 3 3 3

1 2 3 1 2 3

z z z z z z

    

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 42

Câu 167. [2D4-3] Có bao nhiêu số phức

thỏa mãn:

z i  và

là số thuần ảo:

Câu 168. [2D4-3] Có bao nhiêu số phức

thỏa mãn

3 13

z i  và



là số thuần ảo?

A. Vô số. B.

. C.

. D.

Câu 169. [2D4-3] Cho số phức

thỏa mãn

| | 5



và

| 3| | 3 10 |

z z i

   

. Tìm số phức

4 3 .

w z i

  

3 8 .

w i

  

1 3 .

w i

 

1 7 .

w i

  

4 8 .

w i

  

Câu 170. [2D4-3] Cho số phức





, z a bi a b  



thoả mãn

z i z

  

. Tính 4

S a b

 



. B.



. C.

 

. D.

 

Câu 171. [2D4-3] Có bao nhiêu số phức

thỏa mãn

| 2 | 2 2

z i  

và

 



là số thuần ảo.

. B.

. C.

. D.

Câu 172. [2D4-3] Cho số phức

thỏa mãn



. Đặt

z i







. Mệnh đề nào sau đây đúng?



. B.



. C.



. D.



Câu 173. [2D4-3] Cho

5 12

z i

  

. Một căn bậc hai của

là.

2 3

 

. B.

2 3



. C.

4 3



. D.

3 2



Câu 174. [2D4-3] Cho số phức





,z a bi a b  



thỏa mãn điều kiện

2 .

z z

  Đặt





2 2

8 12.

aP b



 Mệnh đề nào dưới đây đúng?





P z 

. B.





P z 





P z 

. D.





P z 

Câu 175. [2D4-4] Cho





P z

là một đa thức với hệ số thực. Nếu số phức

thỏa mãn





P z



thì





P z



 



 

 

 



 

 





P z



Câu 176. [2D4-4] Cho số phức

z a bi

 





,a b



thỏa mãn phương trình









1 1

z iz

 





Tính

2 2

a b



3 2 2.

 B.

2 2 2.

 C.

3 2 2.

 D.

Câu 177. [2D4-4] Cho các số phức









thỏa mãn điều kiện

1 2 1 2

2 1 1

z z z

 



Tính giá trị của

biểu thức

1 2

2 1

z z

 

. B.

. C.



. D.

3 2

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 43

2 - PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ PHỨC

Câu 178. [2D4-1] Trên



, phương trình

 



có nghiệm là

z i

 

. B.

z i

 

. C.

1 2

z i

 

. D.

1 2

z i

 

Câu 179. [2D4-1] Cho số phức





,z a bi a b  



thỏa mãn









2 3 5 4 4

i z i i

    

. Tính tổng

P a b

 

P   B.



Câu 180. [2D4-1] Tìm số phức

thỏa mãn

2 3 3 2

z i i

   

1 5

z i

 

. B.

z i

 

. C.

5 5

z i

 

. D.

z i

 

Câu 181. [2D4-1] Cho số phức

z a bi

 

. Khi đó số

 

z z



là

A. Một số thực. B.

. C. Một số thuần ảo. D.

Câu 182. [2D4-1] Trên tập số phức, tìm nghiệm của phương trình

2 0

iz i

  

1 2

z i

 

. B.

z i

 

. C.

1 2

z i

 

. D.

4 3

z i

 

Câu 183. [2D4-2] Cho số phức

thỏa mãn:





1 14 2

i z i

  

. Tổng phần thực và phần ảo của

bằng



. B.

. C.

. D.



Câu 184. [2D4-2] Có bao nhiêu số phức

thỏa mãn đồng thời điều kiện

. 2

z z z

 

và



. B.

. C.

. D.

Câu 185. [2D4-2] Cho số phức

z a bi

 

( ,a b





) thỏa mãn





2 3 8 . 16 15

z i i z i

     . Tính

S a b

 



. B.



. C.



. D.



Câu 186. [2D4-2] Trên



, phương trình

 



có nghiệm là

z i

 

. B.

z i

 

. C.

1 2

z i

 

. D.

1 2

z i

 

Câu 187. [2D4-2] Cho hai số phức

z m i

 





2 1

z m i

   , với





. Tìm các giá trị của

để

1 2

z z

là số thực.



hoặc

 

. B.



hoặc

 



hoặc

 

. B.

 

hoặc

 

Câu 188. [2D4-2] Giải phương trình













1 3 2 3 0

iz z i z i

    

trên tập số phức.

2 3

z i

 





 



 



. B. 3

2 3

z i

 









 



. C.

2 3

z i

 





 



 



. D.

2 3

z i

 









 



Câu 189. [2D4-2] Trên tậpsố phức cho

















2 2 2 3 2 1

x y y x i x y y x i

         với ,x y





Tính giá trị của biểu thức

2 3

P x y

 



. B.



. C.



. D.



Câu 190. [2D4-2] Cho số phức

z a bi

 





,a b



thỏa mãn

3 5 5 5

z z i

  

Tính giá trị



. B.



. C.

P  . D.

P  .

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 44

Câu 191. [2D4-2] Cho số phức

( , )

z a bi a b

  



thỏa mãn





2 3 8 . 16 15 .

z i i z i

     Tính

S a b

 



Câu 192. [2D4-2] Cho số phức





,z a bi a b  



thỏa mãn





2 3 1 3

i z z i

    

. Tính giá trị biểu

thức

P a b

 



. B.

 

. C.



. D.



Câu 193. [2D4-4] Cho số phức

( , )

z a bi a b

  



thoả

(1 )(2 1) ( 1)(1 ) 2 2 .

i z z i i

      

Tính

P a b

 



. B.



. C.

 

. D.

 

Câu 194. [2D4-1] Gọi

là hai nghiệm phức của phương trình

2 2 8 0

z z

  

. Tính giá trị của

biểu thức

4 4

1 2

T z z

  .



. B.

128



. C.



. D.



Câu 195. [2D4-1] Gọi

là các nghiệm của phương trình

3 5 0

z z

  

. Tính giá trị biểu thức

4 4

1 2

z z

 .

. B.



. C.

. D.

Câu 196. [2D4-1] Tập hợp các nghiệm của phương trình

z i





là





1 .







0;1 .





0 .





0;1 .



Câu 197. [2D4-2] Phương trình

1 0

z iz

  

có bao nhiêu nghiệm trong tập số phức?

. B.

. C.

. D. Vô số.

Câu 198. [2D4-2] Gọi

là hai nghiệm phức của phương trình

1 0

z z

  

. Giá trị của

1 2

z z



bằng

Câu 199. [2D4-2] Tìm tất cả các số thực

sao cho số phức

8 16



là nghiệm của phương trình

8 64 0

z bz c

  







 



. B.











. C.

 





 



. D.

 









Câu 200. [2D4-2] Gọi

là hai nghiệm phức của phương trình

4 13 0

z z

  

. Tính giá trị của

2 2

1 2

P z z

  .



. B.

2 13

P  . C.



. D.

P  .

Câu 201. [2D4-2] Gọi

là nghiệm phức của phương trình

2 10 0.

z z

  

Tính giá trị của biểu

thức

2 2

1 2

z z



. B.

. C.

. D.

Lời giải

Câu 202. [2D4-2] Cho

là hai nghiệm phức của phương trình

2 4 0

z z

  

. Tính

1 2

z z

 .

2 3

4 3

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 45

Câu 203. [2D4-2] Gọi

là các nghiệm phức của phương trình

2 5 0

z z

  

. Tính

2 2

1 2

M z z

 

2 34

M  . B.

4 5

M  .



. D.



Câu 204. [2D4-2] Phương trình

1 0

z iz

  

có tập nghiệm là

1 5 1 5

; .

2 2

i i

 

   

 

 

 

 

1 5 1 5

; .

2 2

i i

 

 

 

 

 

 

1 5 1 5

; .

2 2

i i

 

   

 

 

 

 

1 5 1 5

; .

2 2

i i

 

 

 

 

 

 

Câu 205. [2D4-3] Gọi

là 2 nghiệm của phương trình

1 0

z z

  

. Tính giá trị

2017 2017

1 2

P z z  .



. B.

 

. C.



. D.



Câu 206. [2D4-1] Phương trình

2 26 0

z z

  

có hai nghiệm phức

. Xét các khẳng định sau:

(I).

1 2

. 26

z z



. (II).

là số phức liên hợp của

(III).

1 2

z z

  

. (IV).

1 2

z z

 .

Số khẳng định đúng là

. B.

. C.

. D.

Câu 207. [2D4-1] Cho phương trình

2 2 0

z z

  

. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. Phương trình đã cho không có nghiệm nào là số ảo.

B. Phương trình đã cho có

nghiệm phức.

C. Phương trình đã cho không có nghiệm phức.

D. Phương trình đã cho không có nghiệm thực.

Câu 208. [2D4-1] Gọi

và

là hai nghiệm của phương trình

2 5 0

z z

  

biết





1 2

z z

 có phần ảo

là số thực âm. Tìm phần thực của số phức

2 2

1 2

z z



 .



Câu 209. [2D4-2] Gọi

là hai nghiệm phức của phương trình

2 10 0

z z

  

. Tính giá trị của biểu

thức

2 2

1 2

A z z

  .

. B.

. C.

. D.

Câu 210. [2D4-2] Cho hai số phức

là các nghiệm của phương trình

4 13 0.

z z

  

Tính môđun

của số phức





1 2 1 2

w z z i z z

  



185.

w  C.

153.

w  D.

17.

w 

Câu 211. [2D4-2] Biết phương trình

z az b

  





,a b



có một nghiệm là

1 .

z i

 

Tính môđun

của số phức

w a bi

 

B. 2. C.

2 2.

D. 3.

Câu 212. [2D4-2] Gọi

là nghiệm phức có phần ảo là số dương của phương trình

2 0

x x

  

. Tìm số

phức

0 0

2 3

z x x

  

1 7

z i

  . B.

2 7

z i

  . C.

1 7



 . D.

3 7

 

 .

Câu 213. [2D4-2] Tìm tất cả các giá trị thực của

sao cho phương trình

2 2

2 0

z az a a

   

có hai

nghiệm phức có mô-đun bằng



1; 1.

a a

  

1 5

 

 D.

 

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 46

Câu 214. [2D4-2] Biết rằng phương trình

0 ( , )

z bz c b c   



có một nghiệm phức là

1 2 .

z i

 

Khi đó:

b c

 

. B.

b c

 

. C.

b c

 

. D.

b c

 

Câu 215. [2D4-2] Kí hiệu

1 2

;

z z

là hai nghiệm của phương trình

1 0

z z

  

. Tính

2 2

1 2 1 2

P z z z z

   là



 



Câu 216. [2D4-2] Trên trường số phức



, cho phương trình

az bz c

  





, , , 0

a b c a

 



Chọn khảng định sai:

A. Phương trình luôn có nghiệm. B. Tổng hai nghiệm bằng



C. Tích hai nghiệm bằng

. D.

4 0

b ac

   

thì phương trình vô nghiệm.

Câu 217. [2D4-2] Gọi

là hai nghiệm của phương trình

2 3 2 0

z z

  

trên tập số phức.Tính giá

trị biểu thức

2 2

1 1 2 2

P z z z z

  

P  . B.

P  . C.

3 3

P  . D.

P  .

Câu 218. [2D4-2] Gọi

là hai nghiệm phức của phương trình

1 0.

z z

  

Giá trị của

1 2

1 1

z z

 bằng

Câu 219. [2D4-2] Ký hiệu

là hai nghiệm phức của phương trình

6 0

z z

  

Tính

1 2

1 1

z z

 



. B.



. C.



 . D.



Câu 220. [2D4-2] Kí hiệu

là hai nghiệm phức của phương trình

3 1 0

z z

  

. Tính

1 2

P z z

  .

P  . B.



. C.

P  . D.

2 3

P  .

Câu 221. [2D4-2] Gọi

là hai nghiệm phức của phương trình:

2 0

z z

  

. Phần thực của số phức

  

2017

1 2

i z i z 

 

 

là

2016



. B.

1008



. C.

1008

. D.

2016

Câu 222. [2D4-2] Gọi

là hai nghiệm phức của phương trình

2 3 7 0

z z

  

. Tính giá trị của biểu

thức

1 2 1 2

z z z z

  .



. B.

. C.

. D.



Câu 223. [2D4-3] Cho số phức

thỏa mãn

1 2 3

z z z

  

và

1 2 3

z z z

  

. Tính

2 2 2

1 2 3

A z z z

  



. B.

A i

 

. C.

 

. D.



Câu 224. [2D4-3] Phương trình bậc hai

z Mz i

  

có tổng bình phương hai nghiệm bằng

. Khi

đó trên tập



, giá trị của

là

6 6

M i



  



  





. B.

6 6

M i



 



  





. C.

6 6

M i



  



 





. D.

6 6

M i



 



  





GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 47

Câu 225. [2D4-3] Cho

là số phức thỏa mãn

 

Tính giá trị của

2017





Câu 226. [2D4-3] Gọi

là các nghiệm của phương trình

4 5 0

z z

  

. Đặt

   

100 100

1 2

1 1w z z    . Khi đó

2 .

w i

 B.

2 .

 

2 .

w  D.

2 .

w i

 

Câu 227. [2D4-4] Gọi

là bốn nghiệm phức của phương trình

4 2

2 8 0

z z

  

. Trên mặt

phẳng tọa độ, gọi

lần lượt là bốn điểm biểu diễn bốn nghiệm

đó.

Tính giá trị của

P OA OB OC OD

   

, trong đó

là gốc tọa độ.



. B.

2 2

P   . C.

2 2

P  . D.

4 2 2

P   .

Câu 228. [2D4-2] Tìm số phức

, biết

thỏa mãn:

   

3 6 3 13 0

z i z i

      

z i



;

z i

 

. B.

z i



;

z i

 

z i

 

;

z i



. D.

3 2

z i

 

;

3 2

z i

 

Câu 229. [2D4-1] Tìm số phức

biết



và phần thực lớn hơn phần ảo một đơn vị.

4 3

z i

  

3 4 .

z i

 

1 2

4 3 ; 3 4 .

z i z i

    

3 4

z i

 

4 3 .

z i

 

4 3

z i

 

4 3 .

z i

  

Câu 230. [2D4-2] Biết phương trình





0 ,z az b a b   



có một nghiệm là

2 .

z i

  

Tính

a b



Câu 231. [2D4-2] Cho số phức

z a bi

 

với

là hai số thực khác

Một phương trình bậc hai với

hệ số thực nhận

làm nghiệm với mọi

là

2 2 2

2 .

z a b abi

   B.

2 2 2

z a b

 

2 2 2

2 0.

z az a b

   

2 2 2

2 0.

z az a b

   

Câu 232. [2D4-2] Có bao nhiêu số phức

thoả mãn

z z z

 

Câu 233. [2D4-3] Gọi

là hai điểm biểu diễn hai nghiệm phức của phương trình

2 10 0.

z z

  

Tính độ dài đoạn thẳng

12.

Câu 234. [2D4-2] Gọi

1 2

z z

là hai nghiệm của phương trình

3 6 0

z z

  

. Tính

3 3

1 2

A z z

 

3 54



. B.

3 54

 

. C.

3 54





. D.

3 54



3 – TẬP HỢP ĐIỂM

Câu 178. [2D4-1] Gọi

là điểm biểu diễn số phức

 

1 2

z i i

  . Tọa độ của điểm

là





4; 3

 

. B.





4; 3



. C.





4;3

M  . D.





4;3

M .

Câu 179. [2D4-1] Cho số phức

4 5

z i

  

. Gọi

là điểm biểu diễn cho số phức

. Tìm tung độ của

điểm



. B.



. C.

 

. D.

 

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 48

Câu 180. [2D4-1] Điểm

trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số

phức

. Tìm môđun của số phức



 

Câu 181. [2D4-1] Cho số phức

z i



.Hỏi điểm biểu diễn của

là điểm nào trong

các điểm

ở hình bên.

A. điểm

B. điểm

C. điểm

D. điểm

Câu 182. [2D4-1] Cho số phức

4 6

z i

  

. Gọi

là điểm biểu diễn số phức

. Tung độ của điểm

là

. B.

. C.



. D.



Câu 183. [2D4-1] Cho số phức

1 2

z i

 

. Hãy tìm tọa độ điểm biểu diễn số phức





1;2 .





1; 2 .







1; 2 .

 





1;2 .



Câu 184. [2D4-1] Gọi

và

tương ứng là điểm biểu diễn của số phức

3 2

z i

 

và

' 2 3

z i

 

. Khẳng

định nào sau đây đúng?

A. Hai điểm

và

đối xứng với nhau qua trục

B. Hai điểm

và

đối xứng với nhau qua đường thẳng

y x



C. Hai điểm

và

đối xứng với nhau qua trục

D. Hai điểm

và

đối xứng với nhau qua gốc tọa độ.

Câu 185. [2D4-1] Điểm M trong hình vẽ là điểm biểu diễn số phức

Khi đó phần thực và phần ảo của số phức

là

A. Phần thực bằng

và phần ảo bằng



B. Phần thực bằng



và phần ảo bằng

C. Phần thực bằng



và phần ảo bằng

D. Phần thực bằng

và phần ảo bằng

Câu 186. [2D4-1] Trong mặt phẳng phức, cho





2,1

A thì

đối xứng với

qua trục tung sẽ là điểm

biểu diễn của số phức nào sau đây:

z i

 

. B.

z i

 

. C.

z i

  

. D.

z i

  

Câu 187. [2D4-1] Trên mặt phẳng phức, cho điểm

biểu diễn số phức

3 2 ,



điểm

biểu diễn số

phức

1 6 .

 

Gọi

là trung điểm của

Khi đó điểm

biểu diễn số phức nào sau đây?

1 2 .



2 4 .



2 4 .



1 2 .



Câu 188. [2D4-1] Cho số phức

thỏa mãn





1 1 3 .

i z i

   

Hỏi điểm biểu diễn của

là điểm nào trong các điểm

ở hình bên?

A. Điểm

B. Điểm

C. Điểm

D. Điểm



GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 49

Câu 189. [2D4-1] Điểm biểu diễn của các số phức

z bi

 

với





, nằm trên đường thẳng có

phương trình là

y x

 

. B.



. C.



. D.

y x



Câu 190. [2D4-1]

ọi

là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình

2 3 0

z z

  

. Tọa độ điểm

biểu diễn số phức

là





1; 2

M i

 

. B.





1; 2

M  

. C.





1; 2

 

. D.





1;2

M  .

Câu 191. [2D4-1] Cho số phức

6 7

z i

 

. Điểm

biểu diễn cho số phức liên hợp của

trên mặt

phẳng

Oxy

là





6;7 .

M B.





6;7 .

M  C.





6; 7 .

 





6; 7 .



Câu 192. [2D4-1] Trong mặt phẳng phức, gọi

lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức

1 3

z i

  

1 5

z i

 

z i

 

. Tứ giác

ABCD

là một hình bình hành thì

là điểm biểu

diễn số phức nào?

2 .



5 6 .



2 .



3 4 .



Câu 193. [2D4-1] Tìm điểm

biểu diễn số phức

z i

 





1; 2 .







2;1 .

M C.





2; 1 .







2;1

M 

Câu 194. [2D4-1] Cho số phức

thỏa mãn

 

 là số thực. Tập hợp điểm

biểu diễn số phức

là

A. Đường tròn. B. Parabol. C. Hai đường thẳng. D. Đường thẳng.

Câu 195. [2D4-1] Cho số phức

4 2

z i

  

. Trong mặt phẳng phức, điểm biểu diễn của

có tọa độ là





2; 4 .







4 ;2 .

M i

 C.





4;2 .

M  D.





4;2 .

M i



Câu 196. [2D4-1] Kí hiệu

là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình

4 16 17 0

z z

  

Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức

w iz



 

 

 

. B.

 



 

 

. C.

 



 

 

. D.

 

 

 

Câu 197. [2D4-1] Giả sử

được cho ở hình vẽ bên là điểm

biểu diễn của các số phức

trên mặt phẳng tọa độ.

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Điểm

là điểm biểu diễn số phức

1 2 .

z i

 

B. Điểm

là điểm biểu diễn số phức

2 .

z i

 

C. Điểm

là điểm biểu diễn số phức

1 2 .

z i

  

D. Điểm

là điểm biểu diễn số phức

2 .

z i

 

Câu 198. [2D4-1] Trong mặt phẳng toạ độ, điểm





1; 2



là điểm biểu diễn của số phức nào trong các

số sau?

1 2

z i

  

. B.

1 2

z i

 

. C.

1 2

z i

 

. D.

z i

  

Câu 199. [2D4-2] Cho số phức

thỏa mãn

2 0

iz i

  

. Khoảng cách từ điểm biểu diễn của

trên mặt

phẳng tọa độ

Oxy

đến điểm





3; 4



là

2 5

. B.

. C.

2 10

. D.

2 2

Câu 200. [2D4-2] Kí hiệu

là nghiệm phức có phần thực và phần ảo đều âm của phương trình

2 5 0

z z

  

Trên mặt phẳng toạ độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức

w z i

 ?





2; 1 .







1;2 .

M  C.





2; 1 .

 





2;1 .



TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 50

Câu 201. [2D4-2] Cho số phức

thỏa mãn điều kiện





2 3 1 9

z i z i

   

. Số phức



có điểm biểu diễn là

điểm nào trong các điểm

ở hình bên?

A. Điểm

B. Điểm

C. Điểm

D. Điểm

Câu 202. [2D4-2] Cho các điểm

nằm trong mặt phẳng phức lần lượt biểu diễn các số phức

1 3



2 2

 

1 7



. Gọi

là điểm sao cho tứ giác

ABCD

là hình bình hành. Điểm

biểu

diễn số phức nào trong các số phức sau đây?

2 8

z i

  

. B.

4 6

z i

 

. C.

4 6

z i

 

. D.

2 8

z i

 

Câu 203. [2D4-2] Trong mặt phẳng phức, tìm điểm

biểu diễn số phức

2017

3 4





4 3

;

25 25

 



 

 

. B.

4 3

;

25 25

 

 

 

. C.

4 3

;

25 25

 

 

 

 

. D.

4 3

;

25 25

 



 

 

Câu 204. [2D4-2] Cho số phức

thỏa mãn điều kiện









2 2 3 2

i z i z i

    

. Tìm tọa độ điểm biểu

diễn của số phức liên hợp với

11 5

;

8 8

 



 

 

. B.

11 5

;

8 8

 



 

 

. C.

11 5

;

8 8

 

 

 

 

. D.

11 5

;

8 8

 

 

 

Câu 205. [2D4-2] Cho các số phức

1 2

z i

 

2 3

z i

 

. Khẳng định nào sau đây là sai về số phức

1 2

w z z

 ?

A. Môđun của

là

65.

B. Số phức liên hợp của

là



C. Điểm biểu diễn

là





8; 1

M D. Phần thực của

là

phần ảo là



Câu 206. [2D4-2] Trong mặt phẳng tọa độ, điểm

là điểm biểu diễn của

số phức

(như hình vẽ bên). Điểm nào trong hình vẽ là điểm biểu

diễn của số phức

A. Điểm

B. Điểm

C. Điểm

D. Điểm

Câu 207. [2D4-2] Cho ba số phức

có điểm biểu diễn lần lượt là các điểm





1;3

A  ,





5;7

B .





2; 22

C  . Tính

1 2 3

z z z

 

3 2

. B.

. C.

2 5

. D.

6 5

Câu 208. [2D4-2] Kí hiệu

là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình

6 12 7 0

z z

  

.Trên mặt

phẳng tọa độ, tìm điểm biểu diễn của số phức

w iz 





0; 1



. B.





1;1

. C.





0;1

. D.





(1;0

Câu 209. [2D4-2] Trong mặt phẳng phức gọi

là điểm biểu diễn cho số phức

z a bi

 





, , 0

a b ab

 





là diểm biểu diễn cho số phức

. Mệnh đề nào sau đây đúng?



đối xứng với

qua



đối xứng với

qua



đối xứng với

qua



đối xứng với

qua đường thẳng

y x



GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 51

Câu 210. [2D4-2] Trong mặt phẳng với hệ toạ độ

Oxy

cho các điểm





4;0 ,





1;4

B và





1; 1 .



Gọi

là trọng tâm của tam giác

ABC

Biết rằng

là điểm biểu diễn số phức

Mệnh đề nào sau

đây là đúng?

z i

 

. B.

z i

 

. C.

z i

 

. D.

z i

 

Câu 211. [2D4-2] Gọi

lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức



2 3



. Số phức

biểu diễn bởi điểm

sao cho

3 0

MN MQ

 

  

là

2 1

3 3

z i

 

. B.

2 1

3 3

z i

 

. C.

2 1

3 3

z i

  

. D.

2 1

3 3

z i

  

Câu 212. [2D4-2] Cho số phức

thỏa mãn

1 7

1 2

1 3

iz i



  



. Xác định điểm A biểu diễn số phức liên

hợp





1;3

A 

. B.





1; 3

 

. C.





1; 3



. D.





1;3

Câu 213. [2D4-2] Cho số phức





z m m i

  

, m





. Tìm

để điểm biểu diễn của số phức

nằm

trên đường phân giác của góc phần tư thứ hai và thứ tư.



. B.



. C.



. D.



Câu 214. [2D4-2] Cho số phức

có số phức liên hợp là

. Gọi

và



tương ứng, lần lượt là điểm

biểu diễn hình học của

và

. Hãy chọn mệnh đề đúng.

và



đối xứng qua trục thực. B.

và



trùng nhau.

và



đối xứng qua gốc tọa độ. D.

và



đối xứng qua trục ảo.

Câu 215. [2D4-2] Cho

2 10

z  . Số phức

được biểu diển bởi điểm nào trong hình bên:

. B.

. C.

. D.

Câu 216. [2D4-3] Tìm điểm biểu diễn số phức

thoả mãn









1 2 3

i z i z i

    





1; 1



. B.





1;2

. C.





1;1

. D.





1;1

 .

Câu 217. [2D4-3] Tìm tất cả các số phức

thỏa mãn

2 5

z i  và điểm biểu diễn của

thuộc đường

thẳng

:3 1 0

d x y

  

1 4

z i

 

. B.

2 1

1 4 ;

5 5

z i z i

    

2 1

5 5

z i

  

2 11

1 2 ;

5 5

z i z i

     .

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 52

Câu 218. [2D4-3] Gọi

là điểm biểu diễn số phức

z z

 

 , trong đó

là số phức thỏa mãn









1 2 2 3

i z i i z

    

. Gọi

là điểm trong mặt phẳng sao cho





, 2

Ox ON







, trong đó





Ox OM





 

là góc lượng giác tạo thành khi quay tia

tới vị trí tia



. Điểm

nằm

trong góc phần tư nào?

A. Góc phần tư thứ





. B. Góc phần tư thứ





C. Góc phần tư thứ





III

. D. Góc phần tư thứ





Câu 219. [2D4-3] Gọi

và

lần lượt là điểm biểu diễn của các số

phức

như hình vẽ bên. Khi đó khẳng định nào sau đây

sai?

1 2

z z MN

  B.

z OM



z ON

 D.

1 2

z z MN

 

Câu 220. [2D4-3] Hình bên ghi lại việc biểu diễn vài số phức trong mặt

phẳng số phức.Đường tròn đơn vị có tâm là gốc tọa độ. Một

trong số những số phức này là số nghịch đảo của

. Số đó là

số nào?

Câu 221. [2D4-3] Số phức

được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ như hình vẽ:

Hỏi hình nào biểu diễn cho số phức



A. B.

C. D.



GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 53

Câu 222. [2D4-3] Cho

, ,

A B C

lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức

4,4 , 3

i m i

 

. Với giá trị thực

nào của

thì

, ,

A B C

thẳng hàng?



. B.

 

. C.



. D.

 

Câu 223. [2D4-3] Cho số phức

thỏa mãn

z  và điểm

trong hình vẽ

bên là điểm biểu diễn của

. Biết rằng trong hình vẽ bên, điểm biểu

diễn của số phức



là một trong bốn điểm

. Khi

đó điểm biểu diễn của số phức

là

A. điểm

. B. điểm

C. điểm

. D. điểm

Câu 224. [2D4-4] Với hai số phức bất kỳ

1 2

, ,

z z

khẳng định nào sau đây đúng

1 2 1 2

z z z z

   B.

1 2 1 2

z z z z

  

1 2 1 2 1 2

z z z z z z

     D.

1 2 1 2

z z z z

  

Câu 225. [2D4-4] Gọi

là điểm biểu diễn số phức

3 4

z i

 

và điểm



là điểm biểu diễn số phức

z z





 . Tính diện tích tam giác

OMM



(

là gốc tọa độ).

. B.

. C.

. D.

Câu 226. [2D4-4] Số phức

được biểu diễn trên mặt phẳng như hình sau Hỏi hình nào biểu diễn cho số

phức

Câu 227. [2D4-1] Tìm tập hợp những điểm

biểu diễn số phức

trong mặt phẳng phức, biết số phức

thỏa mãn điều kiện

2 1

z i z

  

A. Tập hợp những điểm

là đường thẳng có phương trình

4 2 3 0

x y

  

B. Tập hợp những điểm

là đường thẳng có phương trình

4 2 3 0

x y

  

C. Tập hợp những điểm

là đường thẳng có phương trình

2 4 3 0

x y

  

D. Tập hợp những điểm

là đường thẳng có phương trình

2 4 3 0

x y

  

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 54

Câu 228. [2D4-2] Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức

thỏa mãn

2 2

z i z i

   

là đường thẳng

4 2 1 0

x y

  

. B.

4 6 1 0

x y

  

. C.

4 2 1 0

x y

  

. D.

4 2 1 0

x y

  

Câu 229. [2D4-2] Trên mặt phẳng tọa độ

Oxy

, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức

thỏa mãn

điều kiện số phức





2 3 5

w z i i

   

là số thuần ảo.

A. Đường tròn

2 2

x y

 

. B. Đường thẳng

2 3 5 0

x y

  

C. Đường tròn

   

2 2

3 2 5

x y

   

. D. Đường thẳng

3 2 1 0

x y

  

Câu 230. [2D4-2] Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

, tập hợp các điểm biểu diễn số phức

thỏa mãn

(1 )

z i



là số thực là

A. Đường tròn bán kính bằng

. B. Trục

C. Đường thẳng

y x

 

. D. Đường thẳng

y x



Câu 231. [2D4-2] Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức

thỏa mãn

z i







A. Hai đường thẳng

 

, trừ điểm





0; 1



B. Hình chữ nhật giới hạn bởi các đường thẳng

 

;

 

C. Đường tròn

   

2 2

1 1 1

x y

   

D. Trục

Câu 232. [2D4-2] Trong mặt phẳng phức tập hợp điểm





M z

thoả mãn

0 0

1 0

z z z z

  

với

z i

 

là

đường thẳng có phương trình

2 2 1 0

x y

   

. B.

2 2 1 0

x y

   

. C.

2 2 1 0

x y

  

. D.

2 2 1 0

x y

  

Câu 233. [2D4-3] Tập hợp điểm biểu diễn các số phức

thỏa mãn điều kiện





1 2

z i z i

   

là

đường nào sau đây?

A. Đường thẳng. B. Đường tròn. C. Elip. D. Parabol.

Câu 234. [2D4-3] Cho các số phức

thỏa mãn

1 2 .

z i z i

    Tập hợp các điểm biểu diễn số phức





2 1

w i z

  

trên mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng. Viết phương trình đường thẳng đó.

7 9 0.

x y

   

7 9 0.

x y

  

7 9 0.

x y

  

7 9 0.

x y

  

Câu 235. [2D4-3] Cho số phức

thỏa:

2 2 3 2 1 2

z i i z

    

. Tập hợp điểm biểu diễn cho số phức

là

A. một đường thẳng có phương trình:

20 16 47 0

x y

  

B. một đường thẳng có phương trình:

20 16 47 0

x y

  

C. một đường có phương trình:

3 20 2 20 0

y x y

   

D. một đường thẳng có phương trình:

20 32 47 0

x y

   

Câu 236. [2D4-3] Cho số phức

thoả mãn

z i







. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức

trong mặt

phẳng phức là

A. đường tròn. B. trục thực. C. trục ảo. D. một điểm

Câu 237. [2D4-1] Trong mặt phẳng Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức

thỏa mãn





1 1

z i z

   là

A. Đường tròn có tâm





1; 0

I  , bán kính

r 

B. Đường tròn có tâm





0;1

I , bán kính

r 

C. Đường tròn có tâm





1; 0

I , bán kính

r 

D. Đường tròn có tâm





0; 1



, bán kính

r 

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 55

Câu 238. [2D4-2] Với các số phức

thỏa mãn

| 2 | 4

z i

  

, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức

là

một đường tròn. Tìm bán kính

đường tròn đó



. B.



. C.



. D.



Câu 239. [2D4-2] Cho các số phức

thỏa mãn

z i

 

Biết rằng tập hợp điểm biểu diễn số phức

w iz i

  

là đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.

22.



20.



Câu 240. [2D4-2] Tập hợp tất cả các điểm biểu diển số phức

trên mặt phẳng tọa độ thỏa mãn

z i

 

là một đường tròn. Gọi

là tâm của đường tròn này, tọa độ

là





0; 1



. B.





0;1

I . C.





1;0

I . D.





1;0

I  .

Câu 241. [2D4-2] Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn số phức

thỏa mãn điều kiện

2 5 6

z i

  

là đường tròn có tâm và bán kính lần lượt là





2;5 , 6.

I R

 





2; 5 , 36.

I R  C.





2; 5 , 6.

I R

 





2;5 , 36.

I R 

Câu 242. [2D4-3] Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

, tập hợp điểm biểu diễn các số phức

thỏa mãn





z i i z

   là đường tròn có phương trình.

 

1 2

x y

  

. B.

 

1 2

x y

  

. C.

 

1 2

x y

  

. D.

 

1 2

x y

  

Câu 243. [2D4-3] Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức

thỏa mãn phần thực của

z i



bằng

là

đường tròn tâm

, bán kính

(trừ một điểm).

1 1 1

; ,

2 2

I R

 

  

 

 

. B.

1 1 1

; ,

2 2 2

I R

 

  

 

 

1 1 1

; ,

2 2 2

I R

 



 

 

. D.

1 1 1

; ,

2 2

I R

 



 

 

Câu 244. [2D4-3] Cho các số phức

thỏa mãn



. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số

phức





8 6 2

w i z i

  

là một đường tròn. Tính bán kính

của đường tròn đó.

122



. B.

120



. C.

24 7

r  . D.



Câu 245. [2D4-3] Tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức

thỏa mãn

3 5 4

z i

  

là một đường tròn. Tính chu vi

của đường tròn đó.





. B.





. C.





. D.





Câu 246. [2D4-3] Cho số phức

thỏa mãn









1 2

z z i

  là một số thuần ảo. Tập hợp điểm biểu diễn

số phức

là một đường tròn có diện tích bằng



. B.



. C.



. D.



Câu 247. [2D4-3] Cho các số phức

thỏa mãn

1 2

 

. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số

phức





1 3 2

w i z

  

là một đường tròn. Tính bán kính

của đường tròn đó.



. B.



. C.



. D.



Câu 248. [2D4-3] Cho thỏa mãn





thỏa mãn

 

2 1 2

i z i

   

. Biết tập hợp các điểm biểu

diễn cho số phức





3 4 1 2

w i z i

   

là đường tròn

, bán kính

. Khi đó.





1; 2

, 5

I R   B.





1;2 ,

I R  C.





1;2 , 5

I R

 





1; 2 , 5.

I R

 

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 56

Câu 249. [2D4-3] Cho số phức

thỏa mãn

2 1 2

iz i i

  

. Biết rằng trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

, tập

hợp các điểm biểu diễn số phức

là một đường tròn. Hãy xác định tọa độ tâm

của đường

tròn đó.





0;2

. B.





0; 2



. C.





2;0

I 

. D.





2;0

Câu 250. [2D4-3] Cho số phức

thỏa mãn điều kiện



Biết rằng tập hợp tất cả các điểm biểu diễn

số phức





3 2 2

w i i z

    là một đường tròn. Hãy tính bán kính của đường tròn đó.

3 2.

3 5.

3 3.

3 7.

Câu 251. [2D4-3] Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn của số phức

thỏa mãn

| 2 | | 2 |

z i z

  

2 2

;

3 3

 

 

 

;

R  . B.

2 2

;

3 3

 



 

 

;

R  .

2 2

;

3 3

 

 

 

 

;

R  . D.

2 2

;

3 3

 



 

 

;

R  .

Câu 252. [2D4-4] Cho số phức

thay đổi luôn có



Khi đó tập hợp điểm biểu diễn số phức





1 2 3

w i z i

  

là

A. Đường tròn

 

3 20

x y

  

. B. Đường tròn

 

3 2 5

x y   .

C. Đường tròn

 

3 20

x y

  

. D. Đường tròn

 

3 2 5

x y   .

Câu 253. [2D4-4] Cho số phức

thỏa mãn:

2 5

z m m

  

, với

là tham số thực thuộc



. Biết rằng

tập hợp các điểm biểu diễn các số phức





3 4 2

w i z i

  

là một đường tròn. Tính bán kính

nhỏ nhất của đường tròn đó.



. B.



. C.



. D.



Câu 254. [2D4-1] Trong mặt phẳng phức

Oxy

, số phức





,z a bi a b  



thỏa điều kiện nào thì có

điểm biểu diễn thuộc phần tô đậm trong hình vẽ (kể cả biên)?









3;2 2;3

a   và











3;2 2;3

a   và











3;2 2;3

a   và











3; 2 2;3

a    và



Câu 255. [2D4-2] Cho 3 điểm

lần lượt biểu diễn cho các số

phức

. Biết

1 2 3

z z z

  và

1 2

z z

 

. Khi đó

tam giác

ABC

là tam giác gì?

A. Tam giác

ABC

đều.

B. Tam giác

ABC

vuông tại

C. Tam giác

ABC

cân tại

D. Tam giác

ABC

vuông cân tại

Câu 256. [2D4-2] Phần gạch chéo trong hình bên là tập hợp các điểm biểu

diễn số phức

thỏa mãn điều kiện nào?

1 3.

 



1 3.

z  D.



-3

-2



GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 57

Câu 257. [2D4-3] Xét ba điểm

, ,

A B C

theo thứ tự trong mặt phẳng phức biểu diễn ba số phức phân biệt

1 2 3

, ,

z z z

thỏa mãn

1 2 3

z z z

 

. Biết

1 2 3

z z z

  

, khi đó tam giác

ABC

có tính chất gì?

A. Tù. B. Vuông. C. Cân. D. Đều

Câu 258. [2D4-3] Tập hợp các số phức





1 1

w i z

  

với

là số phức thỏa mãn

1 1

 

là hình tròn.

Tính diện tích hình tròn đó.



. B.



. C.



. D.



Câu 259. [2D4-4] Cho hai số thực

và





c c



. Kí hiệu

là hai điểm của mặt phẳng phức biểu

diễn hai nghiệm phức của phương trình

2 0

z bz c

  

. Tìm điều kiện của

và

để tam giác

OAB

là tam giác vuông (

là gốc tọa độ).

b c



. B.

c b

 . C.

b c



. D.

b c



Câu 260. [2D4-4] Gọi

là hai điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức

khác 0 thỏa mãn đẳng thức

2 2

1 2 1 2

z 0

z z z

  

, khi đó tam giác

OAB

(

là gốc tọa độ)

A. là tam giác đều. B. là tam giác vuông.

C. là tam giác cân, không đều. D. là tam giác tù.

Câu 261. [2D4-2] Xác định tập hợp các điểm

trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức

thỏa

mãn điều kiện

 

z z





A. Là đường Hyperbol:

 

: .

H y

 

B. Là đường Hyperbol:

 

: .

H y



C. Là đường tròn tâm





0;0

O bán kính



D. Là hai đường Hyperbol:

   

1 2

1 1

: ; : .

H y H y

x x

  

Câu 262. [2D4-2] Tìm tập hợp các điểm

biểu diễn hình học số phức

trong mặt phẳng phức, biết số

phức

thỏa mãn điều kiện:

4 4 10.

z z   

A. Tập hợp các điểm cần tìm là đường tròn có tâm





0;0

O và có bán kính



B. Tập hợp các điểm cần tìm là đường elip có phương trình

2 2

9 25

x y

 

C. Tập hợp các điểm cần tìm là những điểm





;

M x y

trong mặt phẳng

Oxy

thỏa mãn phương

trình

   

2 2

4 4 12.

x y x y     

D. Tập hợp các điểm cần tìm là đường elip có phương trình

2 2

25 9

x y

 

Câu 263. [2D4-2] Tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức

thoả mãn điều kiện:

2 2

z i z z i

   

là hình gì?

A. Một đường thẳng. B. Một đường Parabol.

C. Một đường Elip. D. Một đường tròn.

Câu 264. [2D4-3] Gọi

là điểm biểu diễn của số phức

thỏa mãn

3 2 3

z i z z i

   

. Tập hợp tất

cả những điểm

như vậy là

A. một parabol. B. một đường thẳng. C. một đường tròn. D. một elip.

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 58

Câu 265. [2D4-1] Tập hợp điểm biểu diễn số phức

2 3

z i

 

là đường tròn tâm

. Tất cả giá trị

thỏa

khoảng cách từ

đến đường thẳng

:3 4 0

d x y m

  

bằng

là

8; 8.

m m

  

8; 9.

m m

 

7; 9.

m m

  

7; 9.

m m

 

Câu 266. [2D4-2] Kí hiệu

là hai nghiệm của phương trình

4 0

 

. Gọi

lần lượt là điểm

biểu diển của

trên mặt phẳng tọa độ. Tính

T OM ON

 

với

là gốc tọa độ.

T 

. B.



. C.



. D.



Câu 267. [2D4-3] Cho

, ,

A B C

là các điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn

z i

 

. Tìm phát biểu sai:

A. Tam giác

ABC

đều.

B. Tam giác

ABC

có trọng tâm là





0;0 .

C. Tam giác

ABC

có tâm đường tròn ngoại tiếp là





0;0 .

3 3

ABC



 .

Câu 268. [2D4-3] Trên mặt phẳng tọa độ

Oxy

lấy

là điểm biểu diễn số phức









2 1

z i i

   

và

gọi



là góc tạo bởi chiều dương của trục hoành với véc tơ



Tính

sin2



. B.



. C.

. D.



4 - GIÁ TRỊ LỚN NHẤT NHỎ NHẤT CỦA MÔĐUN SỐ PHỨC

Câu 326. [2D4-2] Trong các số phức thỏa mãn

3 4

z z i

  

, số phức nào có mô đun nhỏ nhất.

3 4

z i

  

. B.

z i

 

. C.

3 4

z i

 

. D.

z i

 

Câu 327. [2D4-2] Cho số phức

thỏa mãn

2 2 1

z i

  

. Số phức

z i



có môđun nhỏ nhất là

5 1



. B.

5 1



. C.

5 2



. D.

5 2



Câu 328. [2D4-2] Cho các số phức

z i



1 3

z i

  

z m i

 

. Tập giá trị tham số

để số phức

có môđun nhỏ nhất trong 3 số phức đã cho là









; 5 5;

   

. B.





5; 5

 .

5; 5

 



 

. D.





5; 5

 .

Câu 329. [2D4-3] Cho số phức

thay đổi thỏa mãn

3 4 4

z i

  

. Tìm giá trị lớn nhất

max

của biểu

thức

P z



max



. B.

max



. C.

max



. D.

max



Câu 330. [2D4-3] Cho số phức

thỏa mãn 1

z z i

  

. Tìm môđun nhỏ nhất của số phức

2 2

w z i

  

2 2

. B.

3 2

. C.

3 2

Câu 331. [2D4-4] Cho số phức

thỏa mãn

z i

 

. Giá trị lớn nhất của

là

. B.

. C.

2 2

. D.

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 59

Câu 332. [2D4-3] Cho số phức

thoả mãn điều kiện

2 4 2

z i z i

   

. Tìm số phức

có môđun nhỏ

nhất.

z i

  

. B.

2 2

z i

  

. C.

2 2

z i

 

. D.

3 2

z i

 

Câu 333. [2D4-3] Cho số phức

thỏa mãn



và số phức

z i







Khi đó, kết luận nào sau đây

đúng?



. B.



. C.



. D.

1 2

 

Câu 334. [2D4-3] Cho số phức

thỏa mãn









2 5 1 2 3 1

z z z i z i

      

. Tính

min

, với

2 2

w z i

  

min



. B.

min 2



min 1



. D.

min



Câu 335. [2D4-3] Cho số phức

thỏa mãn điều kiện:

1 2 5

z i   và

w z i

  

có môđun lớn

nhất. Số phức

có môđun bằng

2 5

. B.

3 2

. C.

. D.

5 2

Câu 336. [2D4-3] Cho số phức

, tìm giá trị lớn nhất của

biết rằng

thỏa mãn điều kiện

2 3

1 1

3 2

 

 



. B.

. C.

. D.

Câu 337. [2D4-3] Cho số phức

thỏa mãn



. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

1 2 1

T z z

   

max 2 5

T  . B.

max 2 10

T  .

max 3 5

T  . D.

max 3 2

T  .

Câu 338. [2D4-3] Trong các số phức

thỏa

3 4 2

z i

  

, gọi

là số phức có mô đun nhỏ nhất. Khi

đó

A. Không tồn tại số phức

. B.



. D.



Câu 339. [2D4-3] Cho số phức

thỏa mãn

4 3 1

  

iz i

. Tìm giá trị nhỏ nhất của

. B.

. C.

. D.

Câu 340. [2D4-3] Trong các số phức

thỏa mãn điều kiện

2 3

z i

  

, tìm số phức có môđun nhỏ nhất.

26 3 13 78 9 13

13 26

z i

 

  B.

25 3 13 78 9 13

13 26

z i

 

 

26 3 13 78 9 13

13 26

z i

 

  D.

26 3 13 78 9 13

13 26

z i

 

 

Câu 341. [2D4-3] Biết rằng số phức

thỏa mãn:

 





3 1 3

z i z i



    

là một số thực.Tìm số phức z

để

đạt giá trị nhỏ nhất.

2 2

z i

 

. B.

2 2

z i

  

. C.

2 2

z i

  

. D.

2 2

z i

 

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 60

Câu 342. [2D4-3] Cho số phức

thỏa mãn

1 2 4

z i

  

. Gọi

lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ

nhất của

z i

 

. Tính

2 2

T M m

 



. B.



. C.



. D.



Câu 343. [2D4-4] Xét số phức

thỏa mãn

2 4 7 6 2

z i z i      . Gọi

lần lượt là giá trị nhỏ

nhất và giá trị lớn nhất của

z i

 

. Tính

P m M

 

13 73

P   . B.

5 2 2 73



 . C.

5 2 2 73

P   . D.

5 2 73



 .

Câu 344. [2D4-4] Cho hai số phức

1 2

z z

thỏa mãn

1 1 2 2

z z z z

 và nếu gọi

là điểm biểu diễn

trong mặt phẳng tọa độ thì tam giác giác

MON

có diện tích là 8. Tìm giá trị nhỏ nhất

của

1 2

z z



3 3

. B.

. C.

. D.

Câu 345. [2D4-4] Cho các số phức

z w

thỏa mãn

2 2 4

z i z i

   

w iz

 

. Giá trị nhỏ nhất của

là

. B.

2 2

. C.

. D.

3 2

Câu 346. [2D4-4] Với hai số phức

và

thỏa mãn

1 2

8 6

z z i

  

và

1 2

z z

 

. Tìm giá trị lớn nhất

của

1 2

P z z

 

5 3 5

P   . B.

2 26

P  . C.

4 6

P  . D.

34 3 2

P   .

Câu 347. [2D4-4] Cho số phức

thỏa mãn

2 3 1

z i

  

. Giá trị lớn nhất của

z i

 

là

13 2



. B.

. C.

. D.

13 1



Câu 348. [2D4-4] Cho số phức

thỏa mãn

3 3 8

z z

   

. Gọi

lần lượt giá trị lớn nhất và nhỏ

nhất

Khi đó

M m



bằng

4 7.

 B.

4 7.

 C.

4 5.



Câu 349. [2D4-4] Trong số các số phức

thỏa mãn điều kiện

4 3 3,

z i

  

gọi

là số phức có

môđun lớn nhất. Khi đó

là

Câu 350. [2D4-4] Cho số phức thỏa mãn

2 2 1

z i

  

. Giá trị lớn nhất của

là.

4 2 2



. B.

2 2 1



. C.

2 2

 . D.

3 2 1



GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 61

Vấn đề 5. SỐ PHỨC

TRONG CÁC ĐỀ THI ĐH – CĐ – THPTQG

PHẦN 1 - CÁC ĐỀ TỰ LUẬN TRƯỚC 2017

Bài 1. Gọi

là hai nghiệm phức của phương trình

2 10 0

z z

  

. Tính

2 2

1 2

A z z

  .

ĐH Khối A –09 (CB) ĐS: A = 20

Bài 2. Tìm số phức

thỏa





2 | 10

z i   và

. 25

z z



ĐH Khối B –09 (CB) ĐS: z = 3 + 4i



z = 5

Bài 3. Tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức

thoả mãn điều kiện





3 4 2

z i

  

ĐH D –09 ĐS: đường tròn tâm I(3; – 4 ), bk R = 2.

Bài 4. Cho số phức

     

1 2 8 1 2

i i z i i z

      . Xác định phần thực và phần ảo của

CĐ–09 (CB) ĐS: Phần thực – 2; Phần ảo 5.

Bài 5. Giải phương trình

4 3 7

z i

 

 



CĐ Khối A,B,D –09 (NC) ĐS:

1 2

x i

 

;

x i

 

Bài 6. Tìm phần ảo của z, biết:









2 1 2

z i i

   .

ĐH Khối A –10 (CB) ĐS:



Bài 7. Cho z:





1 3







. Tìm môđun của

z iz



ĐH Khối A –10 (NC) ĐS:

8 2

Bài 8. Trong mặt phẳng toạ độ

Oxy

, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức

thoả mãn điều kiện





z i i z

   .

ĐH Khối B –10 (CB) ĐS: đường tròn

 

1 2

x y

  

Bài 9. Tìm số phức

thoả

z  và

là số thuần ảo.

ĐH D –10 ĐS: z

1,2

= 1



i; z

3,4

= –1



Bài 10. Cho số phức

thỏa:

     

2 3 4 1 3

i z i z i

      . Xác định phần thực và phần ảo của

CĐ –10 (CB) ĐS: Phần thực – 2; Phần ảo 5.

Bài 11. Giải phương trình





1 6 3 0

z i z i

    

CĐ Khối A,B,D –10 (NC) ĐS:

1 2

x i

 

;

x i



Bài 12. Tìm tất cả các số phức

, biết:

z z z

 

ĐH A –11 (CB) ĐS:

0 1/2 i/2

z z

    

Bài 13. Tính môđun của số phức

, biết:

















2 1 1 1 1 2 2

z i z i i

      

ĐH Khối A –11 (NC) ĐS:

2 /3

z 

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 62

Bài 14. Tìm số phức

, biết:

5 3

1 0



  

ĐH B –11 (CB) ĐS:

0 1/2 i/2

z z

    

Bài 15. Tìm phần thực và phần ảo của:

1 3

 





 



 

ĐH Khối B –11 (NC) ĐS: Phần thực 2; Phần ảo 2.

Bài 16. Tìm số phức

, biết:





2 3 1 9

z i z i

   

ĐH Khối D –11 (CB) ĐS:

z i

 

Bài 17. Cho

 

1 2 4 20

i z z i

   

. Tính môđun của

CĐ Khối A, A1, B, D –11 (CB) ĐS:



Bài 18. Cho số phức

thỏa mãn





z i



 



. Tính môđun của số phức

w 1

z z

  

ĐH Khối A –12 (NC) ĐS:

z 

Bài 19. Cho số phức

thỏa mãn:





2 1 2 0

z i z i

   

. Tìm phần thực và phần ảo của

CĐ –11 (NC) ĐS: Phần thực –1/2; Phần ảo 1/2.

Bài 20. Gọi

và

là hai nghiệm phức của

2 3 4 0

z iz

  

. Viết dạng lượng giác của

và

ĐH Khối B –11 (NC) ĐS:

1 2

2 2

2 cos sin , 2 cos sin

3 3 3 3

z i z i

   

   

   

   

   

Bài 21. Cho số phức

thỏa mãn

 





2 1 2

2 7 8

i z i



   



. Tính môđun của số phức

w z i

  

ĐH Khối D –12 (CB) ĐS:



Bài 22. Giải phương trình





3 1 5 0

z i z i

   

ĐH Khối D –12 (NC) ĐS:

1 2 2

z i z i

      

Bài 23. Cho số phức

thỏa mãn:

   

1 2 3

i z i z



   



. Tìm tọa độ điểm biểu diễn của

trong

mặt phẳng tọa độ

Oxy

CĐ Khối A, A1, B, D – 2012 (CB) ĐS: M(1/10; 7/10)

Bài 24. Gọi

và

là hai nghiệm phức của phương trình

2 1 2 0

z z i

   

. Tính

1 2

z z

 .

CĐ Khối A, A1, B, D –11 (NC) ĐS:

1 2

1 5

z z   .

Bài 25. Cho số phức

1 3

z i

  . Viết dạng lượng giác của

. Tìm phần thực và phần ảo của





1 .

w i z

  .

ĐH Khối A,A1 –13 (NC) ĐS:





2 cos /3 sin / 3

z i

 

  Thực





16 1 3



; Ảo





16 1 3



Bài 26. Cho số phức

thỏa điều kiện









1 2 2

i z i z i

   

Tính môđun của số phức

2 1

z z

 

 .

ĐH Khối D –13 (CB) ĐS:

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 63

Bài 27. Cho số phức

thỏa:

   

3 2 2 4

i z i i

    

Tìm phần thực và phần ảo của số phức





w z z

  .

CĐ –13 (CB) ĐS: Phần thực 3; Phần ảo –1

Bài 28. Giải phương trình





2 3 1 3 0

z i z i

    

CĐ –13 (NC) ĐS:

1 2

1 2 ; 1

z i z i

     

Bài 29. Cho số phức

thỏa





2 3 5

z i z i

   

. Tìm phần thực và phần ảo của số phức

ĐH Khối A, A1 –14 ĐS: Phần thực 2; Phần ảo –3

Bài 30. Cho số phức

thỏa





2 3 1 1 9

z i z i

   

. Tính môđun của số phức

ĐH Khối B –14 ĐS:

Bài 31. Cho số phức

thỏa









3 1 5 8 1

z z i z i

    

. Tính môđun của số phức

ĐH Khối B –14 ĐS:

Bài 32. Cho số phức

thỏa mãn điều kiện

2 2 5

z iz i

  

. Tìm phần thực và phần ảo của số phức

CĐ Khối A,A1,B,D –14 ĐS: Phần thực 3; Phần ảo 4

Bài 33. Cho số phức

thỏa





1 1 5 0

i z i

   

. Tìm phần thực và phần ảo của z.

THPTQG – 15 ĐS: Thực: 3 Ảo: –2

Bài 34. Cho số phức

1 2

z i

 

. Tìm phần thực và phần ảo của số phức

w z z

 

THPTQG – 16 ĐS: Thực: 3 Ảo: 2

PHẦN 2. CÁC ĐỀ MINH HỌA, ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI THPTQG 2017+ ĐỀ MINH HỌA 2018

Câu 1. [2D4-1–MH1] Cho số phức

3 2

z i

 

. Tìm phần thực và phần ảo của số phức

A. Phần thực bằng



và phần ảo bằng



. B. Phần thực bằng



và phần ảo bằng



C. Phần thực bằng

và phần ảo bằng

. D. Phần thực bằng

và phần ảo bằng

Câu 2. [2D4-2–MH1] Cho hai số phức

z i

 

và

2 3

z i

 

. Tính môđun của số phức

1 2

z z



1 2

z z  . B.

1 2

z z  . C.

1 2

z z

 

. D.

1 2

z z

 

Câu 3. [2D4-2–MH1] Cho số phức

thỏa mãn





1 3 .

i z i

  

Hỏi điểm biểu

diễn của

là điểm nào trong các điểm

ở hình bên?

A. Điểm

. B. Điểm

C. Điểm

. D. Điểm

Câu 4. [2D4-2–MH1] Cho số phức

2 5 .

z i

 

Tìm số phức

w iz z

 

7 3

w i

 

. B.

3 3

w i

  

. C.

3 7 .

w i

 

. D.

7 7

w i

  

Câu 5. [2D4-3–MH1] Kí hiệu

và

là bốn nghiệm phức của phương trình

4 2

12 0

z z

  

Tính tổng

1 2 3 4

T z z z z

    .



. B.

2 3

T  . C.

4 2 3

T   . D.

2 2 3

T   .

Câu 6. [2D4-3–MH1] Cho các số phức

thỏa mãn



. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các

số phức





3 4

w i z i

  

là một đường tròn. Tính bán kính

của đường tròn đó.



. B.



. C.



. D.





TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 64

Câu 7. [2D4-1–MH2] Điểm

trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn

của số phức

. Tìm phần thực và phần ảo của số phức

A. Phần thực là



và phần ảo là

B. Phần thực là

và phần ảo là



C. Phần thực là

và phần ảo là



D. Phần thực là



và phần ảo là

Câu 8. [2D4-2–MH2] Tìm số phức liên hợp của số phức





3 1

 

z i i .

 

z i

. B.

  

z i

. C.

 

z i

. D.

  

z i

Câu 9. [2D4-2–MH2] Tính môđun của số phức

thỏa mãn





2 13 1

  

z i i

z . B.



z . C.

5 34

z . D.

z .

Câu 10. [2D4-3–MH2] Xét số phức

thỏa mãn

 

1 2 2 .

   

i z i

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

 

z B.



z C.



z D.

1 3

2 2

 

Câu 11. [2D4-3–MH2] Kí hiệu

là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình

4 16 17 0

  

z z

. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức



w iz

 

 

 

M . B.

 



 

 

M . C.

 



 

 

M . D.

 

 

 

M .

Câu 12. [2D4-3–MH2] Cho số phức





,  



z a bi a b thỏa mãn





1 2 3 2 .

   

i z z i

Tính

 

P a b



P B.



P C.

 

P D.

 

Câu 13. [2D4-1-MH3] Kí hiệu

lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức

3 2 2

 . Tìm

3; 2

a b

 

. B.

3; 2 2

a b 

. C.

3; 2

a b 

. D.

3; 2 2

a b  

Câu 14. [2D4-3–MH3] Hỏi có bao nhiêu số phức

thỏa mãn đồng thời các điều kiện

z i

 

và

là số thuần ảo?

. B.

. C.

. D.

Câu 15. [2D4-2–MH3] Tính môđun của số phức

biết









4 3 1

z i i

  

25 2

z  . B.

7 2

z  . C.

5 2

z  . D.

z  .

Câu 16. [2D4-3–MH3] Trong mặt phẳng tọa độ, điểm

là điểm biểu diễn

của số phức

(như hình vẽ bên). Điểm nào trong hình vẽ là điểm

biểu diễn của số phức

A. Điểm

B. Điểm

C. Điểm

D. Điểm

Câu 17. [2D4-4 -MH3] Xét số phức

thỏa mãn

2 4 7 6 2

z i z i      . Gọi

lần lượt là giá

trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của

z i

 

. Tính

P m M

 

13 73

P   . B.

5 2 2 73



 . C.

5 2 2 73

P   . D.

5 2 73



 .



GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 65

Câu 18. [2D4-3-MH3] Kí hiệu

1 2

;

z z

là hai nghiệm của phương trình

1 0

z z

  

. Tính

2 2

1 2 1 2

P z z z z

  



. B.



. C.

 

. D.



Câu 19. [2D4-1-101] Số phức nào dưới đây là số thuần ảo?

2 3

z i

  

. B.

z i



. C.

 

. D.

z i

 

Câu 20. [2D4-2-101] Cho hai số phức

5 7

 

z i

và

2 3

z i

 

. Tìm số phức

1 2

z z z

 

7 4

z i

 

. B.

2 5

z i

 

. C.

2 5

z i

  

. D.

3 10

z i

 

Câu 21. [2D4-2-101] Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức

1 2

 và

1 2

 là nghiệm?

2 3 0

z z

  

. B.

2 3 0

z z

  

. C.

2 3 0

z z

  

. D.

2 3 0

z z

  

Câu 22. [2D4-2 –101] Cho số phức

1 2

z i

 

. Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức

w iz



trên mặt phẳng tọa độ?





1;2 .

Q B.





2;1 .

N C.





1; 2 .







2;1 .

P 

Câu 23. [2D4-3 –101] Cho số phức

z a bi

 

( , )

a b





thỏa mãn

1 3 0

z i z i

   

. Tính

S a b

 



. B.

 

. C.



. D.

 

Câu 24. [2D4-3 –101] Có bao nhiêu số phức

thỏa mãn

3 5

z i

 

và



là số thuần ảo?

. B. Vô số. C.

. D.

Câu 25. [2D4-2 –102] Số phức nào sau đây có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là

điểm

như hình bên?

z i

 

. B.

1 2

z i

 

z i

  

. D.

1 2

z i

 

Câu 26. [2D4-2 –102] Cho hai số phức

4 3

z i

 

và

7 3

z i

 

. Tìm số phức

1 2

z z z

 



. B.

3 6

z i

 

. C.

1 10

z i

  

. D.

3 6 .

z i

  

Câu 27. [2D4-2 –102] Kí hiệu

là hai nghiệm phức của phương trình

3 1 0

z z

  

. Tính

1 2

P z z

  .

P  . B.

2 3

P  . C.



. D.

P  .

Câu 28. [2D4-2 –102] Cho số phức

z i i

  

. Tìm phần thực

và phần ảo

của

0, 1

a b

 

. B.

2, 1

a b

  

. C.

1, 0

a b

 

. D.

1, 2.

a b

  

Câu 29. [2D4-2 –102] Cho số phức

( , )

z a bi a b

  



thoả mãn 2

z i z

  

. Tính 4

S a b

 



. B.



. C.

 

. D.

 

Câu 30. [2D4-2 –102] Có bao nhiêu số phức

thỏa mãn

2 2 2

z i   và

 



là số thuần ảo.

. B.

. C.

. D.

Câu 31. [2D4-2-103] Cho hai số phức

1 3

z i

 

và

2 5

z i

  

. Tìm phần ảo

của số phức

1 2

z z z

 

. B.



. C.



. D.

 

Câu 32. [2D3-1-103] Cho số phức

2 3

z i

 

. Tìm phần thực

của



. B.



. C.

 

. D.

 

Câu 33. [2D4-2-103] Tìm tất cả các số thực

sao cho

1 1 2 .

x yi i

    

2, 2.

x y

  

2, 2.

x y

 

0, 2.

x y

 

2, 2.

x y

  



TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 66

Câu 34. [2D4-2-103] Ký hiệu

là hai nghiệm phức của phương trình

6 0

z z

  

Tính

1 2

1 1

z z

 



. B.



. C.





. D.



Câu 35. [2D4-3-103] Cho số phức

thỏa mãn

3 5

 

z và

2 2 2

   

z i z i

. Tính



z . B.

z . C.

z . D.



z .

Câu 36. [2D4-3-103] Có bao nhiêu số phức

thỏa mãn

3 13

z i  và



là số thuần ảo?

A. Vô số. B.

. C.

. D.

Câu 37. [2D4-1-104] Cho số phức

z i

 

. Tính



. B.



. C.



. D.

z  .

Câu 38. [2D4-1-104] Tìm số phức

thỏa mãn

2 3 3 2

z i i

   

1 5

z i

 

. B.

z i

 

. C.

5 5

z i

 

. D.

z i

 

Câu 39. [2D4-2-104] Cho số phức

1 2

z i

 

z i

  

. Tìm điểm biểu diễn của số phức

1 2

z z z

 

trên mặt phẳng tọa độ.





4; 3



. B.





2; 5



. C.





2; 1

 

. D.





1;7

Q  .

Câu 40. [2D4-2-104] Kí hiệu

là hai nghiệm của phương trình

4 0

 

. Gọi

lần lượt là

điểm biểu diễn của

trên mặt phẳng tọa độ. Tính

T OM ON

 

với

là gốc tọa độ.

T  . B.



. C.



. D.

Câu 41. [2D4-3-104] Cho số phức

thỏa mãn



và

3 3 10

z z i

    . Tìm số phức

4 3

w z i

  

3 8

w i

  

. B.

1 3

w i

 

. C.

1 7

w i

  

. D.

4 8

w i

  

Câu 42. [2D4-4-104] Gọi

là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số

để tồn tại duy nhất số phức

thỏa mãn

. 1

z z



và

z i m

  

. Tìm số phần tử của

. B.

. C.

. D.

Câu 43. [2D4-1-MH18] Điểm

trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức

z i

  

. B.

1 2

z i

 

z i

 

. D.

1 2

z i

 

Câu 44. [2D4-2-MH18] Gọi

và

là hai nghiệm phức của phương trình

4 4 3 0

  

z z

. Giá trị của

biểu thức

1 2



z z

bằng

3 2

. B.

2 3

. C.

. D.

Câu 45. [2D4-3-MH18] Cho số phức

z a bi

 





,a b



thỏa mãn





2 1 0

z i z i

    

và



Tính

P a b

 

 

. B.

 

. C.



. D.



Câu 46. [2D4-4-MH18] Xét các số phức

z a bi

 





,a b



thỏa mãn

4 3 5

z i   . Tính

P a b

 

khi

1 3 1

z i z i

    

đạt giá trị lớn nhất.



. B.



. C.



. D.





GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 67

Vấn đề 5. CÁC ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT

Đề 1 - THPT HERMANN GMEINER– ĐÀ NẴNG

Phần trắc nghiệm (6đ)

Câu 1. Cho số phức

thoả

1 5

 

và phần ảo gấp 2 lần phần thực. Môđun của

4 4

z i

 

4 4 100

z i   . B.

4 4 20

z i

  

. C.

4 4 10

z i

  

. D.

4 4 2 5

z i   .

Câu 2. Tìm quỹ tích các điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức

w iz

 

, biết

là số phức

thoả

 

2 1 32

z i  

A. Đường tròn tâm





3; 1



bán kính



. B. Đường tròn tâm





1; 2

 

bán kính



C. Đường tròn tâm





3; 1



bán kính



. D. Đường tròn tâm





1; 2

 

bán kính



Câu 3. Gọi

là nghiệm phức của phương trình

16 0

 

. Tính

1 2 3 4

M z z z z

   



. B.



. C.



. D.



Câu 4. Số phức

z a bi

 

có phần ảo dương thoả mãn





. 625

z z 

và

2 10

z i   . Khi đó

S a b

 



. B.



. C.



. D.



Câu 5. Gọi

và

là hai số thực dương thoả sốp hức

là số thực và

là số thuần ảo với

a i







và

w bi

 

. Tính tổng

S a b

 



. B.



. C.



. D.



Câu 6. Số nghiệm khác

trên

của phương trình









2 2

3 2 11 30 60

z z z z

    

. B.

. C.

. D.

Câu 7. Cho số phức

thoả

3 3 1

z i i

   

. Tính giá trị nhỏ nhất của



. B.

4 2

z  . C.

z  . D.

2 2

z  .

Câu 8. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ

Oxy

, tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức thoả mãn

điều kiện

1 2 3

z i

  

A. Đường tròn tâm





1; 2



bán kính



. B. Đường tròn tâm





1; 2

  

bán kính



C. Đường tròn tâm





1;2

I  bán kính



. D. Đường tròn tâm





1; 2



bán kính



Câu 9. Gọi

là hai nghiệm phức của phương trình:

2 17 0

z z

  

. Tính

1 2

1 1

z z

 

A  . B.

289

A  . C.



. D.

2 17

A  .

Câu 10. Cho số phức

thoả mãn





3 2 1 8 5 0

z z i

    

. Tính môđun của

121

z  . B.

z  . C.

101

z  . D.



TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 68

Câu 11. Trong mặt phẳng phức, gọi

lần lượt là các điể mbiểu diễn các số phức





2 3

z i i

  

z i



. Tính diện tích

của tam giác

ABC



. B.



. C.



. D.

S  .

Câu 12. Cho số phức

1 4

z i

  

. Tìm phần thực và phần ảo của số phức

A. Phần thực bằng

và phần ảo bằng

. B. Phần thực bằng



và phần ảo bằng

C. Phần thực bằng

và phần ảo bằng

. D. Phần thực bằng



và phần ảo bằng

Câu 13. Cặp số thực

thoả mãn

   

2 2

2017

3 1 2 13 9

x i y i i i

     

. Khi đó

P x y

 

 

. B.

 

. C.



. D.



Câu 14. Cho số phức

thoả

1 5

z i iz

  

. Phần ảo

của số phức





z z

 



b i

 

. B.

b i



. C.



. D.

 

Câu 15. Tìm điểm

biểu diễn số phức

 







1 1

;

4 4

 



 

 

. B.





1; 1



. C.





1;1

M  . D.

1 1

;

4 4

 



 

 

Phần tự luận (4đ)

Câu 16. (2đ).

a) Tìm số phức

biết

2 3 0

iz i

  

b) Cho các số phức

z i

 

z i

 

z i



. Tính

2 2

1 2

2 2

2 3

z z



c) Cho số phức

thoả





2 3 1 2 21 17

z i z i

    . Tìm phần ảo của số phức





1 1

z i z

z z

  



Câu 17. (1đ). Trong mặt phẳng toạ độ

Oxy

, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức

thoả mãn điều

kiện





3 4 1

z i z

   

Câu 18. (1đ). Giải phương trình









2 2 2

3 6 2 3 6 3 0

z z z z z z

      

trên tập số phức. .

Đề 2 - THPT CẦN ĐƯỚC – LONG AN

Câu 1. Cho số phức

biết 2

z i

  



. Phần nảo của số phức

là

. B.



. C.

. D.



Câu 2. Với mọi số ảo

, số

2 2

z z

 là

A. Số ảo khác

. B. Số thực âm. C. Số thực dương. D.

Câu 3. Điểm

trên hình vẽ bên là biểu diễn của số phức

. Tìm phần thực và phần ảo của

A. Phần thực là



và phần ảo là

. B. Phần thực là

và phần ảo là



C. Phần thực là



và phần ảo là

. D. Phần thực là

và phần ảo là



Câu 4. Phần thực của số phức

thoả mãn

     

1 2 8 1 2

i i z i i z

      là



. B.



. C.

. D.



GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 69

Câu 5. Cho số phức

thoả mãn điều kiện





2 3 1 1 9

z i z i

   

. Tìm môđun của

z  . B.



. C.

z  . D.



Câu 6. Trong các số phức

thoả mãn điều kiện

2 4 3 5

z i

  

. Tìm số phức

có môđun nhỏ nhất.

z i

 

. B.

z i

  

. C.

z i

  

. D.

z i

 

Câu 7. Cho số phức

thoả





1 3

i z i

  

. Hỏi điểm biểu diễn của

là điểm nào trong các điểm

ở hình bên?

A. Điểm

. B. Điểm

. C. Điểm

. D. Điểm

Câu 8. Cho số phức

tuỳ ý, thự chiện phép cộng

z z



ta có kết quả:

A. Số thực. B.



. C.

. D. Số ảo.

Câu 9. Số nào trong các số sau là số thực









2 5 2 5

i i

   . B.









3 2 3 2

i i

   . C.





1 3



. D.





Câu 10. Cho số phức

. Tìm mệnh đề sai

z z



. B.

z z z

 . C.

z z



là số thực. D.

z z



là số ảo.

Câu 11. Cho số phức

2 3

z i

 

. Tìm số phức

w iz z

 

8 7

w i

  

. B.

w i

  

. C.

5 7

w i

 

. D.

8 7

w i

  

Câu 12. Cho số phức

tuỳ ý. Xét số phức

 

w z z

  . Khi đó

. B.

là số thực. C.

. D.

là số ảo.

Câu 13. Cho số phức

tuỳ ý. Xét số phức





w z z i z z

  

. Khi đó

là số ảo. B.

. C.

. D.

là số thực.

Câu 14. Đẳng thức nào sau đây là đúng?

1977

 

. B.

2005



. C.

2006

i i

 

. D.

2345

i i



Câu 15. Biết nghịch đảo của số phức

bằng số phức liên hợp của nó, trong các kết luận sau, kết luận

nào là đúng?

là số ảo. B.





. C.



. D.



Câu 16. Tìm phần ảo và phần thực của số phức

thoả mãn









1 3 1 2 2 9 0

i z i z i

     



và



. B.



và



. C.



và

. D.

và



Câu 17. Cho số phức

z a bi

 

. Số phức

có phần thực là

a b



. B.

2 2

a b



. C.

a b



. D.

2 2

a b



Câu 18. Trong các kết luận sau, kế tluận nào là đúng?

A. Mo đun của số phức là một số phức.

B. Mo đun của số phức

và mo đun của nghịch đảo của

là bằng nhau.

C. Phần thực và phần arocuar số phức không lớn hơn mo đun của nó.

D. Mo đun của số phức là một số thực âm

Câu 19. Cho hai số phức

1 3

z i

 

;

3 4

z i

 

. Tìm Môđun của số phức

1 2

z z



là

. B.

. C.

. D.

Câu 20. Cho số phức

có



. Khi tính



ta có kết quả:

A. Lấy mọi giá trị thực. B. Lấy mọi giá trị phức. C. Là số ảo. D. Bằng

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 70

Đề 3 - THPT HOÀNG VĂN THỤ - HÒA BÌNH

Câu 1. Điểm nào trong các điểm sau đây là điểm biểu diễn hình học của số phức

5 4

z i

  

trong mặt

phẳng toạ độ

Oxy





5;4

A  . B.





5; 4



. C.





4; 5



. D.





4;5

D .

Câu 2. Tìm số phức liên hợp của số phức

1 9

z i

 

1 9

z i

  

. B.

1 9

z i

  

. C.

1 9

z i

 

. D.

1 9

z i

 

Câu 3. Cho hai số phức iên hợp của số phức

A. Phần thực của số phức

1 2

z z

là

ac bd



. B. Phần thực của số phức

1 2

z z

là

ac bd



C. Phần thực của số phức

1 2

z z

là

ad bc



D. Phần thực của số phức

1 2

z z

là

ad bc



Câu 4. Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm

biểu diễn số phức

thoả mãn:

1 3

z i

  

A. Hình tròn tâm





1; 1



, bán kính



. B. Đường tròn tâm





1;1

I  , bán kính



C. Hình tròn tâm





1;1

I  , bán kính



. D. Đường tròn tâm





1;1

I  , bán kính



Câu 5. Tìm ,b c





để phương trình:

2 0

z bz c

  

có hai nghiệm thuần ảo.











. B.











. C.







 



. D.











Câu 6. Tìm các số thực

thoả mãn:









2 2 2 7 4

x y x y i i

    

 



. B.

 

. C.



. D.



 

Câu 7. Cho số phức

2022

1 2



 



 



 

. TÌm phát biểu đúng.

là số thuần ảo. B.

là số thực.

có phần thực âm. D.

có phần thực dương.

Câu 8. Giả sử

là ha nghiệm của phương trình

2 5 0

z z

  

và

là các điểm biểu diễn

của

. Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng

là





0;1

. B.





1;0

. C.





0; 1



. D.





1;0

 .

Câu 9. Tìm số phức

thoả mãn:

2 . 10 6

i z i

  

3 5

z i

 

. B.

3 5

z i

  

. C.

3 5

z i

 

. D.

3 5

z i

  

Câu 10. Tính Môđun của số phức

1 2







z  . B.

z  . C.



. D.

z  .

Câu 11. Giải phương trình:

6 11 0

z z

  

, kế tquả nghiệm là

3 2

z i

  . B.

3 2

z i

  . C. Kết quả khác. D.

3 2

z i



 



 





Câu 12. Cho số phức

thoả mãn

1 2

 



. Phần thực

của số phức

w z z

 



. B.



. C.



. D.

 

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 71

Câu 13. Gọi

là hai nghiệm của phương trình

2 3 3 0

z z

  

. Tính giá trị biểu thức

1 2

2 1

z z

 

P i

  . B.

 

. C.

2 7

P  . D.

 

Câu 14. Trên mặ phẳng

Oxy

, tập hợp các điểm biểu diễn số phức

thoả mãn điều kiện

2 3 4

z i z i

    

là

A. Đường tròn

     

2 2

: 2 3 25

C x y

   

. B. Đường thẳng:

3 4 13 0

y x y

   

C. Đường thẳng:

4 12 7 0

x y

  

. D. Đường thẳng:

3 4 1 0

x y

  

Câu 15. Gọi

là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình

1 0

z z

  

. Toạ dộ điểm

biểu

diễn số phức

là





1; 1

 

. B.

1 3

;

2 2

 

 

 

 

. C.

1 3

;

2 2

 

 

 

 

. D.

1 3

;

2 2

 



 

 

Câu 16. Tập nghiệm của phương trình

4 2

2 8 0

z z

  

là





2; 2

 

. B.





2 ; 2

 

. C.





2 ; 4

 

. D.





2; 4

 

Câu 17. Tìm phần ảo và phần thực của số phức

thoả mãn









1 3 1 2 2 9 0

i z i z i

     

và

. B.

và



. C.

và

. D.



và



Câu 18. Cho số phức

thoả mãn:





1 3







. Tìm môđun của

z iz



8 2

. B.

4 2

. C.

. D.

Câu 19. Cho hai số phức

3 4

z i

  

;

1 7

z i

 

. Tìm Môđun của số phức

1 2

z z



là

1 2

z z  . B.

1 2

z z

 

. C.

1 2

5 2

z z  . D.

1 2

z z  .

Câu 20. Phương trình

4 2

3 4 0

z z

  

có bốn nghiệm

. Tính

1 2 3 4

1 1 1 1

z z z z

   





2; 2

 

. B.





2 ; 2

 

. C.





2 ; 4

 

. D.





2; 4

 

Câu 21. Cho số phức

z a bi

 





;a b



thoả mãn:









3 1 5 1 8

z z i z i

     

. Giá trị

P a b

 

là

. B.

. C.

. D.

Câu 22. Biết

z i

 

là nghiệm của phương trình

3 2

z az bz a

   

. Tìm

và

 

và



. B.



và

 

. C.



và

 

. D.



và

 

Câu 23. Cho số phức

5 3

z i

 

. Tìm số phức liên hợp của số phức

iz z



8 8

iz z i

   

. B.

8 8

iz z i

  

. C.

8 8

iz z i

   

. D.

8 8

iz z i

  

Câu 24. Môđun của số phức

 

5 2 1

z i i

   

là.

. B.

. C.

. D.

Câu 25. Tìm số phức

biết



và phần thực lớn hơn phần ảo một đơn vị.

3 4

z i

 

4 3

z i

  

. B.

4 3

z i

 

3 4

z i

  

4 3

z i

  

3 4

z i

 

. D.





2 3 1 2 3

z i

   ,





2 3 1 2 3

z i

    .

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 72

Đề 4 - CHÂU VĂN LIÊM - CẦN THƠ

Phần trắc nghiệm (6đ)

Câu 1. Điểm biểu diễn của số phức

2 3

z i

 

có tọa độ là





2;3

. B.





2; 3

 

. C.





2; 3



. D.





2;3

 .

Câu 2. Số phức liên hợp của số phức

2 3

z i

 

là

2 3

z i

  

. B.

3 2

z i

 

. C.

2 3

z i

 

. D.

3 2

z i

 

Câu 3. Cho số phức

1 3

z i

 

. Số phức

có phần thực là



. B.

. C.

. D.

8 6

 

Câu 4. Tìm

biết

  

1 2 1

z i i

  

2 5

. B.

2 3

. C.

4 2



. D.

Câu 5. Giá trị của biểu thức

2017

là

. B.



. C.

. D.



Câu 6. Cho số phức

z a bi

 

. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

z z bi

 

. B.

z z a

 

. C.

2 2

z z a b

 

. D.

z z a

 

Câu 7. Tìm số phức

có phần ảo khác 0, thỏa mãn





2 10

z i   và

. 25

z z



4 3

z i

 

. B.

4 3

z i

 

. C.

3 4

z i

 

. D.

3 4

z i

 

Câu 8. Cho số phức

z m ni

 







. Số phức



có phần thực là

m n



. B.

m n



. C.

2 2

m n



. D.

2 2

m n





Câu 9. Với giá trị nào của tham số

thì số phức

 

1 2 3

z m i

   là một số thực:

m i



 . B.



. C.



. D.



Câu 10. Cho số phức thỏa mãn





1 2 2 4

z i z i

   

. Tìm môđun của

w z z

 

. B.

. C.

. D.

2 5

Câu 11. Số phức





1 2

i z i

 

có điểm biểu diễn là





1; 1



. B.





1; 1

 

. C.





1;1

 . D.





1;1

Câu 12. Tìm số phức thuần ảo:

 

1 2



 



. B.

 

1 2



 



. C.

 

1 2



 



. D.



Câu 13. Cho số phức

2 2 2

1 2

z i i

  



. Tổng phần thực và phần ảo của

là



. B.

. C.

. D.

Câu 14. Tìm số phức







với









2 1

5 5

a i



 

  . B.





2 1

3 3

a i



 

  .





2 1

5 5

a i



 

  . D.





2 1

3 3

a i





  .

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 73

Câu 15. Tìm các số thực

x y

sao cho









2 1 1 2 2 3 2

x y i x y i

       .



;



. B.

 

;

 

. C.



;

 

. D.

 

;



Câu 16. Tập nghiệm của phương trình

 

trên tập số phức là





3 ;3

i i

 . B.





9 ;9

i i

 . C.





3;3

 . D.







Câu 17. Tập nghiệm của phương trình

4 6 0

z z

  

trên tập số phức là





2 2 ;2 2

S i i

  

. B.





2 2

S i

 





2 2

S i

 

. D.

 

Câu 18. Tổng các nghiệm của phương trình

2 5 0

z z

  

là

. B.



. C.



. D.

Câu 19. Gọi

và

là hai nghiệm của phương trình

2 2 0

z z

  

trên tập số phức. Tìm môđun của

số phức

   

2015 2016

1 2

1 1w z z    .

w  . B.

w  . C.



. D.

w  .

Câu 20. Trong mặt phẳng phức

Oxy

, gọi hai điểm

A B

lần lượt là các điểm biểu diễn hai số phức

1 2

z z

là nghiệm của phương trình

3 0

z z

  

. Tính

AB OA



. B.

. C.

. D.

Phần tự luận (2đ)

Câu 21. Cho số phức

z x yi

 





,x y



. Tìm phần thực và phần ảo của số phức

z i



Câu 22. Xác định tập hợp các điểm

trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức

thỏa mãn điều

kiện:

2 3

z i z i

   

Đề 5 - LÊ QUÝ ĐÔN - BẾN TRE

Câu 1. Cho số phức

thỏa điều kiện





2 3 5 0

z i z i

    

. Phần thực và phần ảo của

là



và

. B.



và



. C.

và

. D.

và



Câu 2. Cho số phức

20 17

z i

 

. Phần thực và phần ảo của

lần lượt là

và

. B.

và



. C.

và

. D.

và

Câu 3. Cho số phức

thỏa

   

2 3 3 5 2

i z i i

    

. Tổng phần thực và phần ảo của

bằng

153

. B.



. C.

. D.

139

Câu 4. Cho hai số phức

3 4

z i

 

z i



  

. Khi đó môđun của số phức

z z



bằng

. B.

. C.

. D.

Câu 5. Tìm số phức

, biết

8 4

z z i

  

3 7

z i

 

. B.

4 3

z i

 

. C.

5 2

z i

 

. D.

3 4

z i

 

Câu 6. Cho số phức

z a bi

 

; ,a b





thỏa điều kiện





1 2 3

i z z i

   

. Tính

P a b

 



. B.

 

. C.

 

. D.



TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 74

Câu 7. Cho số phức

có phần thực là số nguyên và thỏa điều kiện 3 11 6

z z i z

    

. Tính môđun

w z z

  

3 97

w  . B.

445

w  . C.

3 65

w  . D.

w  .

Câu 8. Gọi

là hai nghiệm thuần ảo của phương trình

4 2

3 28 0

z z

  

. Khi đó

1 2

z z



bằng

2 7

. B.

2 7

. C.

. D.

Câu 9. Gọi

là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình

2 4 0

z z

  

. Tìm môđun của số

phức

 

w z z

  .

. B.

. C.

. D.

Câu 10. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A. Số phức

z a bi

 

có môđun bằng

 

a bi

 .

B. Số phức

z a bi

 

có điểm biểu diễn là





;

M a b

C. Số phức

z a bi

 

có số phức liên hợp là

z a bi

 

D. Số phức

z a bi

 

có phần thực là

và phần ảo là

Câu 11. Cho số phức

thỏa điều kiện





2 1 2 9 2

z i z i

    

. Môđun

bằng

. B.

. C.

. D.

Câu 12. Gọi

, ,

A B C

lần lượt là các điểm biểu diễn số phức

1 2

z i

  

;

z i

  

4 3

z i

 

. Chọn

khẳng định đúng:

ABC



vuông tại

. B.

ABC



vuông tại

ABC



vuông tại

. D.

ABC



cân tại

Câu 13. Cho số phức

thỏa









1 3 2 2

z i i i

    

. Môđun của

là

. B.

. C.

. D.

2 7

Câu 14. Gọi

là các nghiệm của phương trình

4 2

6 27 0

z z

  

. Khi đó

1 2 3 4

P z z z z

   

3 10

. B.

. C.

6 2 3

 . D.

Câu 15. Trong mặt phẳng

Oxy

, tập hợp điểm biểu diễn số phức

z x yi

 

; ,x y





thỏa điều kiện

z i

 

là

A. Đường tròn

   

: 1 16

C x y

  

. B. Đường tròn

   

: 1 16

C x y

  

C. Đường tròn

   

: 1 4

C x y

  

. D. Đường tròn tâm





0; 1



, bán kính



Câu 16. Cho số phức

11 4

z i

 

. Số phức liên hợp của

có điểm biểu diễn là





4;11

. B.





11; 4



. C.





11;4

 . D.





11;4

Câu 17. Với giá trị nào của

x y

thì





3 2 6

x y yi x i

     .

 

. B.



 

. C.



. D.

 



Câu 18. Cho số phức

thỏa





2 3 2 4

i z i

  

. Khi đó số phức liên hợp của

là

2 16

13 13

z i

   . B.

2 5

z i

 

. C.

14 8

13 13

z i

  . D.

2 16

13 13

z i

  .

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 75

Câu 19. Cho số phức

1 3

2 2

z i

  . Tính số phức

w z z

  

2 3

w i

  . B.

1 3

w i

  . C.



. D.

w i

 

Câu 20. Gọi

và

là các nghiệm của phương trình

2 5 0

z z

   

. Tính

3 3

1 2

P z z

 

bằng

22 4

P i

  

. B.

P i

 

. C.

 

. D.

22 4

P i

  

Câu 21. Trong mặt phẳng

Oxy

, cho điểm





1; 2



biểu diễn cho số phức

, Tìm tọa độ điểm

biểu

diễn cho số phức

w i z







2;1

N . B.





2;1

N  . C.





1; 1



. D.





2; 1

 

Câu 22. Biết





2; 3







1;4

B lần lượt là hai điểm biểu diễn số phức

1 2

z z

trên mặt phẳng tọa độ

Oxy

, môđun của số phức

1 2

z z

 là

. B.

106

. C.

108

. D.

Câu 23. Cho số phức

thỏa điều kiện

 





2 1 2

2 7 8

i z i



   



. Tính môđun

w z i

  

w  . B.



. C.



. D.

w  .

Câu 24. Tìm số phức

, biết

1 2 4

3 3

i i

 

 

 

z i

  

. B.

6 3

5 5

z i

  

. C.

 

. D.

6 4

5 5

z i

  

Câu 25. Trong mặt phẳng

Oxy

, tập hợp điểm biểu diễn số phức

z x yi

 

; ,x y





thỏa điều kiện

z i z

  

là

A. Đường thẳng. B. Đoạn thẳng. C. Đường tròn. D. Parabol.

Đề 6 - NGUYỄN TRUNG TRỰC - BÌNH ĐỊNH

Câu 1. Tìm số phức

, biết:

3 4

z z i

  

7 4

z i

  

. B.

z i

  

. C.

z i

 

. D.

z i

  

Câu 2. Cho số phức

z a bi

 

. Tìm mệnh đề đúng:

z z a

 

. B.

z z bi

 

. C.

z z

 . D.

2 2

z z a b

 

Câu 3. Giả sử





M z

là điểm biểu diễn số phức

. Tập hợp các điểm





M z

thỏa mãn các điều kiện

sau đây:

1 2

z i

  

là một đường tròn:

A. Có tâm





1; 1



và bán kính là

. B. Có tâm





1;1

 và bán kính là

C. Có tâm





1; 1



và bán kính là

. D. Có tâm





1; 1

 

và bán kính là

Câu 4. Tìm mệnh đề sai:

A. Số phức

z a bi

 

được biểu diễn bằng điểm





;

M a b

trong mặt phẳng phức

Oxy

B. Số phức

z a bi

 

có số phức đối là

z a bi



 

C. Số phức

z a bi





   







D. Số phức

z a bi

 

có môđun là

2 2

a b



Câu 5. Tìm số phức

thỏa:









3 2 4 5 7 3

i z i i

    

z i

 

. B.

 

. C.

z i



. D.



TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 76

Câu 6. Số phức









1 3 2

z i i

  

có số phức liên hợp là:

5 5

z i

 

. B.

5 5

z i

 

. C.

5 5

z i

  

. D.

5 5

z i

  

Câu 7. Trong



, phương trình



có nghiệm là:



;

2 3



. B.



. C.



;

5 3



. D.



;

1 3



Câu 8. Số phức

3 4

z i



  



có số phức liên hợp là:

z i

 

. B.

 

. C.

3 3

z i

  

. D.

3 3

z i

  

Câu 9. Tính số phức sau:

 

z i

  .

128 128

z i

  

. B.

128 128

z i

 

. C.

128 128

z i

 

. D.

128 128

z i

  

Câu 10. Điểm biểu diễn của các số phức

z bi

 

với





, nằm trên đường thẳng có phương trình

là:



. B.



. C.

y x



. D.

y x

 

Câu 11. Tính

2017







1 3

5 5



. B.

1 3

5 5



. C.

3 1

5 5



. D.

3 1

5 5



Câu 12. Tìm số phức

biết

z  và phần thực gấp đôi phần ảo:

z i

 

z i

  

. B.

4 2

z i

 

4 2

z i

  

z i

  

z i

  

. D.

z i

 

z i

  

Câu 13. Môđun của số phức:

2 3

z i

 

. B.

. C.

. D.

Câu 14. Thu gọn số phức









2 3

i i i

 

, ta được:

. B.

2 5



. C.

1 7



. D.

Câu 15. Tìm hai số phức có tổng và tích lần lượt là



và

4 4



và

4 4



. B.

 

và

 

. C.

5 2

 

và

1 5

 

. D.

3 2

 

và

3 8

 

Câu 16. Cho hai số phức

z a bi

 

và

z a b i

  

 

. Điều kiện để



là một số thực là

ab a b

 

 

. B.

aa bb

 

 

. C.

aa bb

 

 

. D.

ab a b

 

 

Câu 17. Cho hai số phức:

1 2

z i

 

z i

  

. Khí đó giá trị

1 2

z z

là:

. B.

. C.

. D.

2 5

Câu 18. Trong



, cho phương trình bậc hai

az bz c

  











Gọi

b ac

   . Ta xét các mệnh đề:

+ Nếu



là số thực âm thì phường trình





vô nghiệm.

+ Nếu

 

thì phương trình có hai nghiệm số phân biệt.

+ Nếu

 

thì phương trình có một nghiệm kép.

Trong các mệnh đề trên:

A. Cả ba mệnh đề đều đúng. B. Không có mệnh đề nào đúng.

C. Có một mệnh đề đúng. D. Có hai mệnh đề đúng.

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 77

Câu 19. Cho số phức

z a bi

 

. Khi đó số

 

z z



là:

A. Một số thuần ảo. B.

. C.

. D.

Câu 20. Cho số phức





z m m i

  

. Xác định

để

z  .

2, 3

m m

  

. B.

2, 4

m m

 

. C.

1, 3

m m

 

. D.

3, 2

m m

 

Câu 21. Gọi

là điểm biểu diễn của số phức

2 5

z i

 

và

là điểm biểu diễn của số phức

2 5

z i



  

. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. Hai điểm

và

đối xứng với nhau qua đường thẳng

y x



B. Hai điểm

và

đối xứng với nhau qua trục hoành.

C. Hai điểm

và

đối xứng với nhau qua gốc tọa độ

D. Hai điểm

và

đối xứng với nhau qua trục tung.

Câu 22. Thu gọn số phức

3 2 1

1 3 2

i i

 

 

 

ta được:

15 55

26 26

z i

  . B.

23 63

26 26

z i

  . C.

2 6

13 13

z i

  . D.

21 61

26 26

z i

  .

Câu 23. Gọi

và

lần lượt là nghiệm của phương trình:

2 10 0

z z

  

. Tính

2 2

1 2

z z

 .

. B.

. C.

100

. D.

Câu 24. Cho

là các số thực. Hai số phức

z i

 

và





z x y yi



  

bằng nhau khi:



 

. B.



. C.



 

. D.



Câu 25. Cho số phức

1 3

2 2

  . Khi đó số phức

 

bằng:

1 3

2 2

  . B.



. C.

1 3

2 2

  . D.

1 3

 .

Đề 7 - PHẠM HỒNG THÁI - HÀ NỘI

Câu 1. Cho số phức

thoả mãn





z i



 



. Phần ảo của số phức liên hợp của

là

. B.



. C.

. D.



Câu 2. Cho số phức

   

1 1

1 2 3

z i i

i i



 

     

 



 

.Phần thực của số phức

là

. B.



. C.



. D.

Câu 3. Cho số phức

z a bi

 

. Khi đó số

 

z z



là

A. Một số thực. B.

. C.

. D. Một số thuần ảo.

Câu 4. Cho số phức

 

1 2

i m

m m i





 





m



. Giá trị của

để

lớn nhất là



. B.

 

. C.



. D.



Câu 5. Môđun của số phức

thoả mãn





2 3 5

z i z i

   

là

. B.

. C.

. D.

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 78

Câu 6. Toạ độ điểm

biểu diễn số phức

z i

 

là





2; 1

 

. B.





1; 2

 

. C.





2;1

M  . D.





2;1

M   .

Câu 7. Trong tập hợp số phức

, giá trị của biểu thức

2 3 2016

1 ...

S i i i i

      là

. B.



. C.

2017

. D.

2017



Câu 8. Số phức

thoả mãn



và phần thực của

bằng hai lần phần ảo của nó.

2 5 5

z i



 



  





. B.

2 5 5

z i



  



 





. C.

5 2 5

z i



 



  





. D.

5 2 5

z i



  



 





Câu 9. Giả sử

theo thứ tự là điểm biểu diễn của các số phức

1 1 1

z a b i

 

và

2 2 2

z a b i

 

. Khi đó

độ dài cảu véctơ



bằng

2 1

z z



. B.

1 2

z z

 . C.

1 2

z z

 . D.

2 1

z z



Câu 10. Cho số thực



để bình phương của số phức

k i







là số thực. Khi đó

log

A k

 bằng

. B.

. C.

. D.

Câu 11. Cho hai số phức

sao cho

1 2

z z

 

;

1 2

z z

 

. Môđun của số phức

1 2

z z



bằng

. B.

. C.

. D.

Câu 12. Trong mặt phẳng

Oxy

, tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức

thoả mãn

là một số ảo là

A. Trục hoành. B. Trục tung. C. Hai đường thẳng

y x

 

. D. Đường tròn

2 2

x y

 

Câu 13. Môđun của số phức

thoả mãn





2 3

i z



  

bằng

. B.

. C.

. D.

Câu 14. Biết nghịch đảo của số phức

là liên hợp của nó. Chọn mệnh đề đúng



. B.



. C.

là số thực. D.

là số thuần ảo.

Câu 15. Trong mặt phẳng phức, gọi

lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức

1 3

z i

  

1 5

z i

 

z i

 

. Số phức

có điểm biểu diễn là điểm

sao cho tứ giác

ABCD

là một hình bình hành

6 3

z i

 

. B.

z i

 

. C.

z i

 

. D.

6 3

z i

 

Câu 16. Môđun của số phức

thoả mãn

2 1 3

1 2

i i

  



 

là

. B.

. C.

2 5

. D.

3 5

Câu 17. Cho số phức

thoả mãn

1 2 3

z z i

   

. Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức

là:

A. Đường thẳng có phương trình

2 6 12 0

x y

  

B. Đường thẳng có phương trình

5 6 0

x y

  

C. Đường thẳng có phương trình

3 6 0

x y

  

. D. Đường tròn tâm





1;2

I bán kính



Câu 18. Cho số phức

thoả mãn

1 2 3

z z i

   

. Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức

là:

. B.

. C.

. D.

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 79

Câu 19. Trên mặt phẳng toạ độ, để tập hợp điểm biểu diễn các số phức

nằm trong phần gạch chéo (

kể cả biên ) ở hình vẽ bên thì điều kiện của

là:



và phần ảo thuộc đoạn

1 1

;

2 2



 

 

 

. B.



và phần ảo thuộc đoạn

1 1

;

2 2



 

 

 



và phần thực thuộc đoạn

1 1

;

2 2



 

 

 

. D.



và phần thực thuộc đoạn

1 1

;

2 2



 

 

 

Câu 20. Trong mặt phẳng

Oxy

, tập hợp các điểm biểu diễn số phức

thoả mãn điều kiện

1 2 4

z i

  

là





1; 2

 

. B.





2; 1



. C.





1;2

I . D.





1; 2



Câu 21. Trong tập hợp số phức

, cho phương trình

z az b

  





,a b



nhận số phức

z i

 

làm nghiệm. Khi đó

bằng

. B.



. C.

. D.



Câu 22. Cho số phức

thoả mãn

2 2 1

z i

  

. Tập hợp điểm biểu diễn số phức

z i



trong mặt phẳng

toạ độ là đường tròn có phương trình

   

2 1 1

x y



   

. B.

   

2 1 1

x y



   

   

2 2 1

x y



   

. D.

   

2 1 1

x y



   

Câu 23. Cho số phức

thoả mãn

1 3

 

. Giá trị nhỏ nhất của

là

. B.

. C.

. D.

Câu 24. Trong tập hợp số phức

, chọn phát biểu đúng

z z



là số thuần ảo. B.

1 2 1 2

z z z z

  

. C.

 

z z ab

  . D.

1 2 1 2

z z z z

   .

Câu 25. Gọi

là hai nghiệm phức của phương trình:

2 2 0

  

. Phần thực của số phức

  





2017

1 2

i z i z  là

2016



. B.

2016

. C.

1008

. D.

1008



TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 80

BẢNG ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM VẤN ĐỀ 4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

C D B D D C D D D B C D A C A B C C B C

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

A D A B C B A C D A D B A C B B A B C D

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

C A C C A C A A A A C C C C B A A B B C

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

D B C A C A C D C D A D A A A D D B A D

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

D A D A B C C C A C C D A C B C C D C A

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

D A A B A D A A B B D A A A D A A A C D

121

122

123

124

125

126

127

128

129

130

131

132

133

134

135

136

137

138

139

140

B A A B A A D C C B D A A D A D C A D B

141

142

143

144

145

146

147

148

149

150

151

152

153

154

155

156

157

158

159

160

C D C D D D C D B A B B A B C A A B C D

161

162

163

164

165

166

167

168

169

170

171

172

173

174

175

176

177

178

179

180

B C A C B D C D D D D A B D D A D B D B

181

182

183

184

185

186

187

188

189

190

191

192

193

194

195

196

197

198

199

200

A C B D D B A A D A D C A B C D A C D A

201

202

203

204

205

206

207

208

209

210

211

212

213

214

215

216

217

218

219

220

C B D A B C C D B D C C A B D D A C A D

221

222

223

224

225

226

227

228

229

230

231

232

233

234

235

236

237

238

239

240

C A D B C B D C B D C A A D A A B B A B

241

242

243

244

245

246

247

248

249

250

251

252

253

254

255

256

257

258

259

260

B A C D D B B D C D C C B A C C D D B B

261

262

263

264

265

266

267

268

269

270

271

272

273

274

275

276

277

278

279

280

D C C D C B D B D A A D C B C D A C B D

281

282

283

284

285

286

287

288

289

290

291

292

293

294

295

296

297

298

299

300

A B C C D B C D B A C A B A D D B A A D

301

302

303

304

305

306

307

308

309

310

311

312

313

314

315

316

317

318

319

320

B C B B C D B A A A D B A D B B A D D B

321

322

323

324

325

326

327

328

329

330

331

332

333

334

335

336

337

338

339

340

A D D D B B A D A C D C B C B C A D B D

341

342

343

344

345

346

347

348

349

350

C C B B A B D B D B

BẢNG ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM TRONG ĐỀ 2017

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

D A B B C C C D A D B C D C C C B D B A

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

C B B C C D B D D C B A C A C D D B C D

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

D A A D D A

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 81

GHI CHÉP

................................................................................................................................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 82

MỤC LỤC

SỐ PHỨC

Vấn đề 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC ................................................................................... 1

Dạng 1: Số phức và thuộc tính của nó ........................................................................................ 3

Dạng 2: Các phép toán về số phức.............................................................................................. 5

Dạng 3: Chứng minh tính chất của số phức .............................................................................. 9

Dạng 4: Tập hợp điểm ............................................................................................................... 10

BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 1 ............................................................................................. 13

Vấn đề 2. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH .......................................... 15

Dạng 1: Căn bậc hai của số phức .............................................................................................. 16

Dạng 2: Phương trình ................................................................................................................ 17

BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 2 ............................................................................................. 19

Vấn đề 3. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC ..................................................................... 22

Dạng 1: Viết dạng lượng giác của số phức............................................................................... 23

Dạng 2: Công thức Moivre ........................................................................................................ 25

BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 3 ............................................................................................. 27

Vấn đề 4. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 4 ........................................................................ 29

1 – DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC ......................................................................................... 29

2 - PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ PHỨC .......................................................................... 43

3 – TẬP HỢP ĐIỂM ................................................................................................................... 47

4 - GIÁ TRỊ LỚN NHẤT NHỎ NHẤT CỦA MÔĐUN SỐ PHỨC ........................................ 58

Vấn đề 5. SỐ PHỨC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐH – CĐ – THPTQG.......................................... 61

PHẦN 1 - CÁC ĐỀ TỰ LUẬN TRƯỚC 2017 .......................................................................... 61

PHẦN 2. CÁC ĐỀ MINH HỌA, ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI THPTQG 2017,18 2018 ........ 63

Vấn đề 5. CÁC ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT ......................................................................................... 67

Đề 1 - THPT HERMANN GMEINER– ĐÀ NẴNG ................................................................. 67

Đề 2 - THPT CẦN ĐƯỚC – LONG AN ................................................................................... 68

Đề 3 - THPT HOÀNG VĂN THỤ - HÒA BÌNH ..................................................................... 70

Đề 4 - CHÂU VĂN LIÊM - CẦN THƠ .................................................................................... 72

Đề 5 - LÊ QUÝ ĐÔN - BẾN TRE ............................................................................................... 73

Đề 6 - NGUYỄN TRUNG TRỰC - BÌNH ĐỊNH ...................................................................... 75

Đề 7 - PHẠM HỒNG THÁI - HÀ NỘI .................................................................................... 77

BẢNG ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM VẤN ĐỀ 4 ............................................................................. 80

BẢNG ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM TRONG ĐỀ 2017 ................................................................. 80

GHI CHÉP........................................................................................................................................ 81

MỤC LỤC ........................................................................................................................................ 82

Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/84

| | Tải xuống

Preview text:

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 1 Chủ đề 4 SỐ PHỨC
Vấn đề 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC
1. Khái niệm số phức
 Định nghĩa 1. Một số phức là một biểu thức dạng a  bi trong đó a , b là các số thực và số i thỏa mãn 2 i  1
 . Kí hiệu số phức là z và viết z  a  bi , trong đó:
 i được gọi là đơn vị ảo.
 a được gọi là phần thực.
 b được gọi là phần ảo.
 Chú ý: các trường hợp đặc biệt:
 Số phức z  a  0i có phần ảo bằng 0 được coi là số thực và viết là: a  0i  a , a    
 Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo (còn gọi là thuần ảo):
z  0  bi  bi (b  )
 Số 0  0  0i  0i vừa là số thực vứa là số ảo.
 Định nghĩa 2. Hai số phức z  a  bi và z  a  b i ( a , b , a , b  ) bằng nhau khi và
chỉ khi a  a và b  b . Khi đó ta viết z  z .
 Định nghĩa 3. Với mỗi số phức z  a  bi (a, b  ) ta luôn có số phức z  a  bi ( a ,
b   ) là số đối của số phức z .
2. Biểu diễn hình học của số phức
Mỗi số phức z  a  bi ( a , b   ) được biểu diễn bởi điểm M a;b . Khi đó, ta thường viết
M a  bi  hay M  z . Gốc O biểu diễn số 0 . y
Mặt phẳng tọa độ với việc biểu diễn số phức gọi là mặt phẳng phức: b M
 Trục Ox gọi là trục thực.
 Trục Oy gọi là trục ảo.
3. Phép cộng và phép trừ số phức O a x
 Định nghĩa 4. Tổng hai số phức z  a  b i , z  a  b i với a , b , a , b   là số 1 1 2 2  1 1 1 2 2 2
phức z  z  z  a  a  b  b i 1 2  1 2   1 2 
Như vậy để cộng hai số phức ta lấy thực cộng thực, ảo cộng ảo.
 Tính chất của phép cộng số phức:  Kết hợp:
 z  z  z  z  z  z ,  z , z , z   1 2  3 1  2 3  1 2 3  Giao hoán:
z  z  z  z ,  z , z   1 2 2 1 1 2  Cộng với 0 :
z  0  0  z  z , z     Cộng với số đối:
z   –z   – z  z  0  Định nghĩa 5.
Hiệu hai số phức z  a  b i , z  a  b i với a , b , a , b   là tổng của z với –z , 1 1 2 2  1 1 1 2 2 2 1 2
tức là: z  z  z  a  a  b  b i 1 2  1 2   1 2 
Như vậy để trừ hai số phức ta lấy thực trừ thực, ảo trừ ảo.
 Ý nghĩa hình học của phép cộng và phép trừ số phức:
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 2
Mỗi số phức z  a  b i ( a , b   ) được biểu diễn bởi điểm M a;b cũng có nghĩa là 1 1 1  vectơ OM .   y
Khi đó, nếu u , u theo thứ tự biểu diễn số phức z và z thì: 1 2 1 2 M   b
 u  u biểu diễn số phức z  z . 1 2 1 2  
 u  u biểu diễn số phức z – z . 1 2 1 2 O a x
4. Phép nhân số phức
 Định nghĩa 6. Tích hai số phức z  a  b i , z  a  b i với a , b , a , b   là số 1 1 2 2  1 1 1 2 2 2
phức: z  z z  a a  b b  a b  a b i 1 2  1 2 1 2   1 2 2 1   Nhận xét:  k
   , mọi số phức a  bi ( a , b   ), ta có k a  bi  ka  kbi
 0z  0 với mọi số phức z .
 Tính chất của phép nhân số phức:  Kết hợp:
 z .z .z  z . z .z ,  z , z , z   1 2  3 1  2 3  1 2 3  Giao hoán:
z .z  z .z ,  z , z   1 2 2 1 1 2  Nhân với 1: 1.z  .
z 1  z , z     Phân phối: z z  .z
 z .z  z .z ,  z , z , z   1  2 3  1 2 1 3 1 2 3
5. Số phức liên hợp và môđun của số phức
 Định nghĩa 7. Số phức liên hợp của z  a  bi , (với ,
a b  ) là a – bi và được kí hiệu bởi y
z . Như vậy, ta có: z  a  bi  a  bi .  Nhận xét: b
z  a  bi
 Số phức liên hợp của z lại là z , tức là z  z . Vì thế người ta
còn nói z và z là hai số phức liên hợp với nhau. O a x
 Hai số phức liên hợp nhau khi và chi khi các điểm biểu diễn b
z  a  bi
của chúng đối xứng nhau qua trục Ox
 Tổng của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng hai lần phần thực của số phức đó.
 Tích của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng bình phương môđun của số phức đó.  Tính chất:
 Với mọi z , z   , ta có: z  z  z  z ; z .z  z .z 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
 Với mọi z   , số .
z z luôn là một số thực, và nếu z  a  bi , (với , a b  ) thì: 2 2
zz  a  b .  Định nghĩa 8.
Môđun của số phức z  a  bi , (với ,
a b  ) là số thực không y âm 2 2
a  b và được kí hiện là z . b M 
z  a  bi , (với , a b  ) 2 2  z  OM  z.z  a  b  Nhận xét: O a x
 Nếu z là số thực thì môđun của z là giá trị tuyệt đối của số thực đó.
 z  0 khi và chỉ khi z  0 .
6. Phép chia cho số phức khác 0  1
 Định nghĩa 9. Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là 1 z  z . 2 z
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 3 z Thương
của phép chia số phức z cho số phức z khác 0 là tích của z với số phức z z z z .  z
nghịch đảo của z , tức là 1
 z .z . Như vậy, nếu z  0 thì  . z 2 z z z z .z z .z z
 Chú ý: Có thể viết   nên để tính
ta chỉ việc nhân cả tử và mẫu với z và 2 z | z | z.z z 2 để ý rằng . z z  z .  Nhận xét: 1
 Với z  0 , ta có 1  1  1.z  z z z  Thương
là số phức w sao cho zw  z . Từ đó, ta có thể nói phép chia (cho số phức z
khác 0 ) là phép toán ngược của phép nhân.
Dạng 1: Số phức và thuộc tính của nó
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Với số phức z  a  bi , các dạng câu hỏi thường được đặt ra:
1. Xác định phần thực và phần ảo của số phức z . Khi đó, ta có ngay:
 Phần thực bằng a .
 Phần ảo bằng b .
 Chú ý: Một câu hỏi ngược “Khi nào số phức a  bi là số thực, số ảo hoặc bằng
0 ”, khi đó, ta sử dụng kết quả trong phần chú ý sau định nghĩa 1.
2. Hãy biểu diễn hình học của số phức z .
Khi đó, ta sử dụng điểm M a;b để biểu diễn số phức trên mặt phẳng tọa độ.
 Chú ý: Một câu hỏi ngược là “Xác định số phức được biểu diễn bởi điểm
M a; b ”, khi đó, ta có ngay z  a  bi .
3. Tính môđun của số phức z , khi đó, ta có: 2 2 | z | a  b
4. Tìm số đối của số phức z , khi đó, ta có: z  a  bi
5. Tìm số phức liên hợp của z , khi đó, ta có: z  a  bi  1
Tìm số phức nghịch đảo của z , khi đó, ta có: 1 z  z 2 | z | B. TOÁN MẪU
Ví dụ 1. Tìm phần thực, phần ảo, môđun, số phức liên hợp của số phức z , biết:
a) z  3  2i
b) z  1  i c) z  2 2 d) z  7  i
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 4
Ví dụ 2. Cho các số phức: 2  3i , 1 2i , 2  i .
a) Biểu diễn các số đó trong mặt phẳng phức.
b) Viết số phức liên hợp của mỗi số đó và biểu diễn chúng trong mặt phẳng phức.
c) Viết số đối của mỗi số đó và biểu diễn chúng trong mặt phẳng phức.
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1.
Tìm phần thực, phần ảo, môđun, số phức liên hợp của số phức z , biết:
a) z  1 i 2
b) z   2  i 3 c) z  i 3 d) z  5 Bài 2.
Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một tam giác đều có tâm là gốc tọa độ O
trong mặt phẳng phức, biết rằng một đỉnh biểu diễn số i .
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 5
Dạng 2: Các phép toán về số phức
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Sử dụng định nghĩa cùng tính chất của các phép toán (cộng, trừ, nhân, chia) trên tập số
phức. Cần nhớ các hằng đẳng thức sau: 1. 2 2 2 2
a  b  a  (bi)  a  bi a  bi  z.z
2. a  bi2 2 2
 a  b  2abi
3. a  bi2 2 2
 a  b  2abi 3
4. a  bi 3
 a  a   2 3 3
3a b  b i 3
5. a  bi 3
 a  a   2 3 3
3a b  b i B. TOÁN MẪU
Ví dụ 3. Tìm phần thực, phần ảo, môđun, số phức liên hợp của số phức z , biết:
a) z  i 2  i3  i  2i  3
b) z    i    i    i 2 4 2 3 5 2 2 2
c) z  i  2  4i  3  2i
d) z  1 i  1 i 2 3 2
e) z  2  i  3  i
f) z  5  2i  3  i  1 2i
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................ Ví dụ 4. Tính 3 i , 4 i , 5 i , 6
i . Từ đó nêu cách tính n
i với n   .
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 6
Ví dụ 5. Cho hai số phức z  2  3i và z  1 i . Tìm số phức 2
z  z  2z . 1 2 1 2
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Ví dụ 6. Cho hai số phức z  1 2i và z  3  4i . Tìm phần thực và phần ảo của số phức: z  2z , 1 2 1 2 2 2 z 1
3z  z ,  z . z
,  z 1 .z , 1 1  1   2  1 2 2 z 1 2
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................. 2
Ví dụ 7. Cho hai số phức z  4  3i và z  1 3i . Tính: A  z  z . 1 2 1 2
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Ví dụ 8. Cho hai số phức z  3  i và z  3  4i . Tìm phần thực và phần ảo của số phức: z  3z , 1 2 1 2
1 , z  z , z .z . z 1 2 1 2 1
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Ví dụ 9. Cho hai số phức z  2  3i và z  3  4i . Tính A   z 1 z  i 1  2  1 2
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 7 z
Ví dụ 10. Cho hai số phức z  1 i và z  4  3i . Tính z  2z , z  z ,  z 1 .z , 2 . 1  1 2 1 2 1 2 2 z1
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
Ví dụ 11. Tìm các số thực x , y biết: 2
a) 1 2i x  3  5y i  1 3i b)  x  ii   x  yi i  x   x  2 y 1 i 2 2
c)  x  i2 2  3x  yi
d)  x  2ii  1 y2  i  x  
1 3  4i    y  i2  i
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 8
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 3.
Tìm phần thực, phần ảo. mođun và số phức liên hợp của số phức sau: 3  i 3 1 i
3  2i4  3i  1 2i a) z  b) z  c) z  d) z 
1 2i1 i 1 2i 1 i 5  4i 2  1 2i  4  i 3  4i e) z   
f) z  2  3i1 2i  g) z   1 i  3  2i
1 4i2  3i Bài 4.
Thực hiện các phép tính sau:
a) i  2  4i  3  2i b)  2
  3i  1 7i
c) 3  5i  2  4i
d) 2  3i  5  4i
e) 4  3i  5  7i f)  1
  i 3  7i
g) 2  3i 2  3i
h) i 2  i3  i
i) 2i 3  i2  4i
j) 3  2i  6  i5  i k)   3 2 3i l)   2 2 3i Bài 5. Thực hiện phép tính: 2  i 1 i 2 5i 5  2i a) b) c) d) 3  2i 2  i 3 2  3i i 2 3 3  4i 1 1 i
1 i 2i 5  4i e) f) g) h) i) 4  3i  4  i 2  3i 2  3i 2   i 3  6i 1 Bài 6. Tìm nghịch đảo
của số phức z , biết: z
a) z  1 2i
b) z  2  3i c) z  i
d) z  5  i 3 Bài 7. Thực hiện phép tính: 2 2
a) 3  2i 2  i  3  2i  
b) 1 i  1 i 2 3 1 i 3  i 4  3i 5  4i
1 i 2i c) 4  3i  d)  e) 4  3i  f) 2  i 2  i 2  i 3  6i 2   i 23 14 4  1 219 153 32  16
Đáp số: a) b) 4i c)  i d)  i e)  i f)  i 5 5 5 5 45 45 5 5 Bài 8.
Tìm các số thực x và y biết:
a) 3x  2  2y  
1 i   x  
1   y  5i
b) 1 2x  i 3  5  1 3y i
c) 2x  y  2y  x i   x  2y  3   y  2x   1 i
d) 2x  y 1   x  2 y  5i
e) 3x  yi  2 y  1 2  xi 3 4 Đáp số: a) x  , y 
b) c) x  0 , y  0 d) x  y  1 e) x  –1, y  3 2 3 Bài 9.
Với giá trị thực nào của x và y thì các số phức 2 5
z  9 y  4 10xi và 2 11
z  8 y  20i là liên 1 2 hợp của nhau? Đáp số:  2  ; 2; 2; 2   Bài 10.
Phân tích ra thừa số phức: a) 2 a 1 b) 2 2 4a  9b c) 2 2a  3 d) 2 2 3a  5b
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 9
Dạng 3: Chứng minh tính chất của số phức
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Sử dụng các phép toán trên tập số phức cùng những tính chất của chúng. B. TOÁN MẪU
Ví dụ 12. Chứng minh rằng:  z  z z z
a) z  z  z  z
b) z .z  z .z c) 1 1  d) 1 1  . 1 2 1 2 1 2 1 2   z z  z z 2  2 2 2
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 11.
Cho x , y là những số phức. Chứng minh rằng mỗi cặp số sau là hai số phức liên hợp của nhau:
a) x  y và x  y b) .
x y và x.y
c) x  y và x  y Bài 12.
Cho z  a  bi . Chứng minh rằng: 2 a) 2
z   z    2 2 2 a  b 
b) z   z 2 2  4abi c)      2 2 2 2 2 z z a b Bài 13.
Chứng minh rằng với mọi số phức u và v ta có:
a) u  v  u  v  u  v .
b) u  v  u  v  u  v .
c) uv  u . v .
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 10
Dạng 4: Tập hợp điểm
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
I. Một số chú ý trong giải bài toán tìm tập hợp điểm.
1. Phương pháp tổng quát
Giả sử số phức z  x  yi được biểu diễn bởi điểm M  ;
x y  . Tìm tập hợp các điểm
M là tìm hệ thức giữa x và y thỏa mãn yêu cầu đề bài.
 Số phức z thỏa mãn biểu thức về độ dài (môđun). Khi đó, ta sử dụng công thức 2 2 z  a  b .
 Số phức z là số thực (thực âm, thực dương), số ảo. Khi đó, ta sử dụng các kết quả sau:
 Điều kiện để z là số thực là b  0 a  0
 Điều kiện để z là số thực âm là  b  0  a  0
 Điều kiện để z là số thực dương là  b  0 
 Điều kiện để z là số ảo a  0
2. Giả sử các điểm M , A , B lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z , a , b
*) z  a  z  b  MA  MB  M thuộc đường trung trực của đoạn AB
*) z  a  z  b  k k  , k  0,k  a  b   MA  MB  k  M  E  nhận A ,
B là hai tiêu điểm và có độ dài trục lớn bằng k
3. Giả sử M và M lần lượt là điểm biểu diễn của số phức z và w  f z
Đặt z  x  yi và w  u  vi (x, y,u, v  )
Hệ thức w  f  z tương đương với hai hệ thức liên hệ giữa x , y , u , v
*) Nếu biết một hệ thức giữa x , y ta tìm được một hệ thức giữa u , v và suy ra
được tập hợp các điểm M  .
*) Nếu biết một hệ thức giữa u , v ta tìm được một hệ thức giữa x , y và suy ra
được tập hợp điểm M  .
II. Nhắc lại một số kiến thức về hình học giải tích trong mặt phẳng
1. Các dạng phương trình đường thẳng
- Dạng tổng quát: ax  by  c  0
- Dạng đại số: y  ax  b
x  x  at - Dạng tham số: 0 
y  y  bt  0 x  x y  y - Dạng chính tắc: 0 0  a b x y
- Phương trình đoạn chắn   1 a b
- Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm M x ; y
biết hệ số góc k : 0  0 0 
y  k  x  x  y 0  0
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 11
2. Phương trình đường tròn tâm I(a;b) bán kính R:   2    2 2 x a y b  R 2 2
 x  y  2ax  2by  c  0 với 2 2 2
c  a  b  R
Lưu ý điều kiện để phương trình: 2 2
x  y  2ax  2by  c  0 là phương trình đường tròn: 2 2
a  b  c  0 có tâm I a, b   và bán kính 2 2 R 
a  b  c 2 2 x y
3. Phương trình Elip:   1 2 2 a b
Với hai tiêu cự F  ; c 0 , F ;
c 0 , F F  2c 1   2   1 2
Trục lớn 2a , trục nhỏ 2b và 2 2 2
a  b  c B. TOÁN MẪU
Ví dụ 13. Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: a) z  1
b) z  i  2 c) 1  z  2
d) z  1 và phần ảo của z bằng 1 e) z 1  1
f) z 1 i  1.
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 12
Ví dụ 14. Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:
a) Phần thực của z bằng –2 .
b) Phần ảo của z bằng 3 .
c) Phần thực của z thuộc khoảng  –1;2 .
d) Phần ảo của z thuộc đoạn –2;2 .
e) Phần thực thuộc –1; 2 , phần ảo thuộc 0;  1 .
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Ví dụ 15. Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa z  i  z  i  4 .
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 13
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 14.
Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thoả mãn mỗi điều kiện sau: a) z  2  2
b) z z  i  z  z  2i c) z  3
d) z  i  2
e) z 1  z 1  4
f) z  2  z  2  3 z  i z  i g)  1
h) z  z  3  4i i)
là một số thực dương, z  i z  i z  i j)   2 2 z z
k) 2 z  i  z  z  2i
l) z   z z 2 2 .  4
k) z  3w 1 2i với w là số phức tùy ý có w  1.
BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 1 Bài 15.
Thực hiện các phép tính sau: 2
a) 2  4i3  5i  7 4  3i
b) 1 2i  2  3i3  2i 2 2
c) 2  3i3  i  2  3i3  i
d) 2  3i  2  3i
e)   i    i 3 4 5 4 3    f)   i 2 2 3 3 3  1 3   1 3  g)    i  h)   i   2 2      2 2   Bài 16.
Thực hiện các phép tính sau:
2  i  1 i4  3i
3 4i1 2i a) b)  4  3i 3  2i 1 2i
3  2i1 3i 2  i 2 1 i 2 c)  2  i d)  1 i 3 1 i 2 2  i 2  5
1 i 2  i 1 i 2  i 1 i e)  f) 2  i 2  i 1 i3
1 2i2  1 i3 41 63i 6i 1 g) h) 
3  2i3  2  i2 50 1 7i 31 12 27 9 17  7 3 11 9 3 3 2 6 6 44 5 Đs: a)  i b)  i c)  i d) i e)  i f) 2 g)  i h) i 13 13 5 5 4 4 2 5 5 318 318 Bài 17.
Thực hiện các phép tính sau: a)   2018 1 i b)   2018 1 i Bài 18.
Tìm các số thực x và y biết: 9 4
a) 2x  3y  
1  x  2yi  3x  2 y  2  4x  y  3i ĐS: x  , y  11 11 1 3
b) 2x 1 1 2yi  2  x  3y  2i ĐS: x  , y  3 5 7 6
c) 4x  3  3y  2 i  y 1  x  3i ĐS: x   , y   11 11
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 14
d) x  2 y  2x  yi  2x  y   x  2 y i
ĐS: x  y  0 1 i 5 Bài 19.
Tìm nghịch đảo của số phức z , biết: a) z  2  i 3 b) z 
c) z    i 2 3 2 3  2i 2 3 3  2 5 3 5  2 7 6 2 Đáp số: a)  i b)  i c)  i 5 5 6 6 121 121 Bài 20.
a) Cho số phức z . Chứng tỏ rằng z là số thực khi và chỉ khi: z  z . 3  2i 3 3  2i 3
b) Chứng tỏ rằng số phức sau là một số thực z    2  3i 2  3i Bài 21. Chứng minh rằng:
 2 i1i1i a) 2 99 100
i  i  ...  i  i  0 b)  2  2i 2 i z 1 Bài 22. Chứng tỏ rằng
là số thực khi và chỉ khi z là số thực khác –1. z  1 Bài 23.
Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:
a) z  i  1
b) 2  z  2  z
c) 2  z 1 2i  3
d) z  z  3  4
e) z  z  1 i  2
f) 2  zi  z  là số thực tùy ý
g) 2 z  i  z  z  2i
h) 2  zi  z  là số ảo tùy ý
Đáp số: a) Đường tròn tâm I 0; 
1 , bán kính R  1 b) Nửa bên trái trục Oy không kể trục Oy . 2 2
c) Hình vành khăn: 4   x  
1   y  2  9 1 7 1 3 1 3
d) Hai đường thẳng x  và x  
e) Hai đường thẳng y  và y  2 2 2 2 1 1 3 2 x
f) Đường thẳng y  
x  1 và y  g) Parabol y  2 2 4
h) Đường tròn tâm I 1;1/ 2 , bán kính R  5 / 2
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 15
Vấn đề 2. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH
1. Căn bậc hai của số phức
 Định nghĩa 10. Cho số phức w . Mỗi số phức z thỏa mãn 2
z  w được gọi là một căn bậc
hai của w . Nói cách khác, mỗi căn bậc hai của w là một nghiệm của phương trình ẩn z : 2
z  w  0 .
 Chú ý: Để tìm căn bậc hai của số phức w , ta có hai trường hợp:
 Trường hợp 1. Nếu w là số thực (tức w  a ):
Với a  0 thì w có hai căn bậc hai là  a
Với a  0 thì w có hai căn bậc hai là i a
 Trường hợp 2. Nếu w  a  bi ( ,
a b   và b  0 ) thì z  x  yi ( x, y   ) là căn bậc
hai của w khi và chỉ khi:     2 2 z w x yi  a  bi 2 2  
x  y  a 2 2
x  y   2xyi  a  bi   2xy  b 
 Ghi nhớ về căn bậc hai của số phức w :
 w  0 có đúng một căn bậc hai là z  0 .
 w  0 có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau (khác 0 )
 Số thực dương a có hai căn bậc hai là  a
 Số thực âm a có hai căn bậc hai là i a
2. Phương trình bậc hai Cho phương trình 2
Ax  Bx  C  0 , với A , B , C là những số phức và A  0 . Xét 2
  B  4 AC , ta có các trường hợp sau:
 Trường hợp 1. Nếu   0 thì phương trình có hai nghiệm: B   B   z  và z  (với 2    ) 1 2A 2 2 A Đặc biệt:
 Nếu  là số thực dương thì phương trình có hai nghiệm: B   B   z  và z  1 2 A 2 2A
 Nếu  là số thực âm thì phương trình có hai nghiệm:
B  i 
B  i  z  và z  1 2 A 2 2A B
 Trường hợp 2. Nếu   0 phương trình có nghiệm kép: z  z  1 2 2 A  Nhận xét:
 Mọi phương trình bậc hai với hệ số phức đều có hai nghiệm phức (có thể trùng nhau).
 Mọi phương trình bậc n : n n 1  n2 A z  A z  A z
 ...  A z  A  0 0 1 2 n 1  n
trong đó A , A , …, A là n 1 số phức cho trước, A  0 và n là một số nguyên dương 0 1 n 0
luôn có n nghiệm phức (không nhất thiết phải phân biệt).
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 16
Dạng 1: Căn bậc hai của số phức
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Sử dụng kiến thức trong phần căn bậc hai của số phức và lưu ý các trường hợp đặc biệt. B. TOÁN MẪU
Ví dụ 16. Tìm các căn bậc hai phức của các số sau: a) –7 ; –8 ; –12 ; –20 ; –121; –289 . b) –i ; 4i ; –4i ; 1 4 3i ; 4  6i 5 ; 1   2i 6 .
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 24.
Tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau:
a) w  3  4i
b) w  8  6i c) w  5   12i
d) w  1 2 6i
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 17
Dạng 2: Phương trình
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Phương trình bậc nhất:
Để giải phương trình bậc nhất trên tập số phức, ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1. Sử dụng các phép biến đổi đại số và các phép toán về số phức.
Cách 2. Thực hiện theo các bước sau:
Bước 1. Giả sử số phức cần tìm là z  a  bi ( x , y   )
Bước 2. Thay z vào phương trình và sử dụng tính chất hai số phức bằng nhau
của hai số phức để tìm a và b .
Bước 3. Kết luận về số phức cần tìm.
 Chú ý: nếu phương trình chỉ chứa z hay z ta giải trực triếp tìm z hay z .
2. Phương trình bậc hai:
Sử dụng kiến thức trong phần phương trình bậc hai.
 Chú ý: Trường hợp phương trình có  là số phức thì ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Tính   a  bi .
Bước 2. Tìm căn bậc hai của  (giả sử   ).
Bước 3. Kết luận phương trình có hai nghiệm: B   B   z  và z  1 2A 2 2 A
3. Phương trình bậc cao:
a. Đối với một phương trình bậc cao thì ta cũng dùng phương pháp đoán nghiệm rồi
đưa về phương trình tích với các thừa số là các đa thứ có bậc không vượt quá 2.
b. Đối với phương trình bậc bốn đặc biệt (phương trình trùng phương). B. TOÁN MẪU
Ví dụ 17. Giải các phương trình sau:
a) 3  2i z  4  5i  7  3i
b) 1 3i z  2  5i  2  i z z c)
 2  3i  5  2i
d) 3  4i z  1 3i  2  5i 4  3i
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 18
Ví dụ 18. Giải các phương trình sau: a) 2 3
 z  2z 1  0 b) 2
7z  3z  2  0 c) 2
5z  7z 11  0 d) 2 z  z 1 e) 2
3z  7z  8  0 f) 2
z  2z 13  0
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Ví dụ 19. Tìm số phức z thoả mãn: 3z  2z  1 4i
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Ví dụ 20. Giải các phương trình sau: a) 3 z 1  0 b) 4 z 1  0 c) 4 z  8  0 d) 4 2
z  7z 10  0 e) 4 3
8z  8z  z 1 f) 4 z  4  0
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 19
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 25.
Tìm số phức z thoả mãn:
a) 2z  3i  7  8i
b) 1 3i z  4  3i  7  5i
c) 1 i z  2  i1 3i  2  3i
d) 1 i z  3  2i  4z z e)
 1 2i  5  6i
f) 2iz  3  5z  4 2  3i
g) 2  4i z  1 2i 4  i
h) 3z 1  2i 1 i z  3i
i) iz  3  iiz   1  0 j) Bài 26.
Tìm số phức z thoả mãn
a) 3z  2z  2  3i
b) 3z  4i  2z  2
c) z  4i  2z  5 2 d) 2 z  z  0 e) 2 z  z  0 f) 2 z  z  0 Bài 27.
Giải phương trình sau trên tập hợp số phức: a) 2
z  6z  34  0 b) 2
z  4z  20  0 c) 2
z  3.z 1  0 d) 2
2z  3z  5  0 e) 2 3
 z  z  5  0 f) 2
3 2.z  2 3.z  2  0 Bài 28.
Giải phương trình sau trên tập hợp số phức a) 4 2
z  z  3  0 b) 4 2
z  3z  4  0 c) 4 2
z  z 12  0 d) 3 z  8  0 e) 3 z 1  0 f) 3 z 1  0 Bài 29.
Gọi z , z là hai nghiệm của phương trình: 2
z  2  i z  3  5i  0 . Không giải phương trình, 1 2 hãy tính: 2 2 z  z 1 2 Bài 30.
Gọi z , z là hai nghiệm của phương trình: 2
z  1 i z  2  i  0 . Không giải phương trình, 1 2 hãy tính: z z a) 1 2  b) 2 2
z .z  z .z z z 1 2 2 1 2 1 Bài 31.
Giải phương trình sau trên tập hợp số phức: a) 2
z  1 3i z  21 i  0 b) 2
z  2 1 i z  4  i  0 c) 2
z  2  i z  2i  0 d) 2
z  3  4i z 1 5i  0 e) 2
z  2  3i z  6i  0 f) 4 z 1  0 Bài 32.
Giải các phương trình sau: 2 a)  z   2 z   3 1
1 z  i  0 b)  2
z  z    2
4 z  z  12  0 2 z 2 c) 4 3 z  z   z 1  0 d)  2
z  z    z  2 z  z   2 3 6 2 3 6  3z  0 2
BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 2 Bài 33.
Giải các phương trình sau:
a) 4  7i z  5  2i  6iz
b) 3  2i z  4  7i  2  5i
c) 3z  2  3i1 2i   5  4i
d) 7  3i z  2  3i  5  4i  z
e) 5  2iz  3  4i1 3i
f) 5  7i  z 3  2  5i1 3i
g)  2  i 3 z  i 2  3  2i 2
h) 3  4i z  1 2i4  i
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 20
i) 2iz  3  5z  4i
j) 3z 2  i 1  2iz 1 i  3i
k) 1 2i z  4  5i  7  3i
l) 3  2i z  6iz  1 2i  z  1 5i 18 13 22 6 5 7 4 5 12 8 Đs: a) z   i b) z   i c) z  1   i d) z    i e) z   5i f) z   i 17 17 13 13 3 5 5 2 3 3 42 19 23 14 23 19 7 4 7
g) z  i h) z   i i) z   i j) z    i k) z    i l) z  2   i 25 25 29 29 89 89 5 5 2 Bài 34.
Giải các phương trình sau: 1 i 2
a) 3x  3 2i 2  3 2 x   ix 8
b) 1 ix  3  2i  x  5  0 1 i 3   15 3  7 Đáp số: a) x  b) x  1,2 6 1,2 2 Bài 35.
Giải các hệ phương trình sau:
z  2z  1 i
z  z  4  i z z  5   5i a) 1 2  b) 1 2  c) 1 2 
3z  iz  2  3i 2 2 2 2 
z  z  5  2i
z  z  5  2i 1 2  1 2  1 2 x  1 i x  3  i x  1 2i x  2  i x  1   3i x  2   i x  1 3i Đs: a)  b)    c)        y  i  y  1 2i y  3  i   y  1   3i y  2  i y  1 3i y  2  i     
 z  z  z  1 Bài 36.
a) Chứng minh rằng nếu ba số z , z , z thỏa mãn 1 2 3
thì một trong ba số đó 1 2 3 
z  z  z  1  1 2 3 phải bằng 1.
 z  z  z  1 1 2 3 
b) Giải các hệ phương trình sau: z  z  z  1 1 2 3 z z z  1 1 2 3  Bài 37.
Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) 2
2x  3x  4  0 b) 2
3x  2x  7  0 c) 4 2
2x  3x  5  0 d) 3 x  8  0 2  iz  3  iz  3 2 2 2 e)  3  4  0 2   f)  z  
1   z  3  0 g)  z  3  i  6 z  3   1 13  0  z  2i  z  2i Bài 38.
Tìm các số thực a , b để có phân tích 4 3 2
z  z  z  z    2 z   2 2 3 2 2
1 z  az  b từ đó giải phương trình 4 3 2
z  2z  3z  2z  2  0 trên tập số phức.
Đáp số: a  2 , b  2 ; các nghiệm i, i  , 1   i, 1   i Bài 39.
Tìm số phức z , biết: a) 3 z  z
b) | z |  z  3  4i
Đáp số: a) z  0  z  1
  z  i b) z  7  / 6  4i Bài 40.
Tìm số phức z thỏa mãn hệ phương trình:  z 1  z 1  1  1
 z  2i  z     z  i  z  3 a)  b)  c) 
z  i  z 1   z  3i  z  2i  1   2  z  i   z  i 
Đáp số: a) z  1 i b) z  1 i c) z  2  2i Bài 41.
Biết z , z là hai nghiệm của phương trình 2
2x  x 3  3  0 . 1 2
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 21 z z a) 2 2 z  z b) 3 3 z  z c) 4 4 z  z d) 1 2  1 2 1 2 1 2 z z 2 2 Đáp số: a) 4
 / 9 b) 15 3 / 8 c) 9 / 16 d) 3 / 2 Bài 42.
a) Chứng minh rằng hai số phức liên hợp z và z là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực.
b) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là:
i) 1 i 2 và 1 i 2
ii) 3  2i và 3  2i Bài 43.
Cho a , b , c   , a  0 , z , z là hai nghiệm của phương trình 2
az  bz  c  0 . Hãy tính 1 2
z  z và z .z theo các hệ số a , b , c . Từ đó rút ra công thức Vi-ét về phương trình bậc hai 1 2 1 2 với hệ số phức. Bài 44.
Tìm các số thực b , c để phương trình (với ẩn z ): 2
z  bz  c  0 nhận z  1 i làm một nghiệm. Bài 45.
Tìm các số thực a , b , c để phương trình: 3 2
z  az  bz  c  0 (với ẩn z) nhận z  1 i và z = 2 làm nghiệm. Bài 46.
Tìm các số thực a , b để có phân tích 3 2 z  z 
z    z   2 2 9 14 5 2
1 z  az  b từ đó giải phương trình 3 2
2z  9z 14z  5  0 trên tập số phức. Bài 47.
Tìm các số thực a , b để có phân tích 4 2 z  z  z    2
z  z   2 4 16 16 2 4
z  az  b từ đó giải phương trình 4 2
z  4z 16z 16  0 trên tập số phức. Bài 48.
Tìm các số thực a, b để có phân tích 3
z    i 2
z  iz   i   z   2 2 1 3 1
1 z  az  b từ đó giải phương trình 3
z    i 2 2 1
z  3iz 1 i  0 trên  .
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 22
Vấn đề 3. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC
1. Số phức dưới dạng lượng giác
 Định nghĩa 11. Acgument của số phức.
Cho số phức z  0 . Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số z . Số đo (radian)
của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox , tia cuối OM được gọi là một acgument của z .  Chú ý:
 Nếu  là một acgument của z thì mọi acgument của z có dạng   k2 , k  
 Hai số phức z và lz ( z  0 là 0  l   ) có cùng acgument.
 Định nghĩa 12. Dạng lượng giác của số phức.
Dạng z  r cos  i sin  , trong đó r  0 được gọi là dạng lượng giác của số phức z  0 .
Còn dạng z  a  bi ( a , b   ) được gọi là dạng đại số của số phức z .  y 2 2
r  a  b 2 2
r  a  b  a    Ta có M  z cos 
 a  r cos
 z  r cos  i sin  b r r  b   r sin  b    sin   a  O x r
2. Nhân và chia số phức dưới dạng lược giác  Định lí:
Nếu z  r cos  i sin  và z  rcos  i sin , với r , r  0 thì:
 zz  rr cos    i sin     z r  
cos    i sin   khi r  0 . z r    
 Chú ý: Nếu các điểm M , M  biểu diễn theo thứ tự các số phức z , z khác 0 thì acgument z của
là số đo góc lượng giác có tia đầu OM  , tia cuối OM . z
3. Công thức Moa-Vrơ (Moiver) và ứng dụng
 Công thức Moa-vrơ: Với mọi số nguyên dương n , ta có:   n
cos  sin   n r i
  r cos n  i sinn    n
Khi r  1, ta được: cos  i sin   cos n  i sin n
 Ứng dụng vào lượng giác, ta có:    i  3 cos sin
 cos 3  i sin 3
Mặc khác, sử dụng khai triển lũy thừa bậc 3 ta được:    i  3     i     i  2 3 2 3 cos sin cos 3cos sin 3cos sin  sin  3 2 3
 cos 3  cos   3cos.sin   4 cos   3cos 2 3 3
sin 3  3cos .sin   sin   3sin   4 sin 
 Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:
Số phức z  r cos  i sin  , r  0 có hai căn bậc hai là:      r cos  i sin    2 2               r cos  i sin  r cos
   i sin           2 2    2   2 
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 23
Dạng 1: Viết dạng lượng giác của số phức
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Để tìm dạng lượng giác r cos  i sin  của số phức z  a  bi , ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Tìm r: là modun của z , 2 2 r 
a  b , r là khoảng cách từ gốc O đến điểm M
biểu diễn số z trong mặt phẳng phức. a b
Bước 2. Tìm : là acgument của z ,  là số thực sao cho cos  và sin  ;  cũng r r
là góc lượng giác tia đầu Ox và tia cuối OM .
Chúng ta tổng kết hai bước thực hiện trên bằng phép biến đổi: y  a b  2 2
z  a  bi  a  b   i  2 2 2 2  a  b a  b  M  z b r  a b   z  r  i  r  
cos  i sin   r r  O a x  Chú ý:
 z  1  z  cos  i sin   
 Khi z  0 thì z  r  0 nhưng acgument của z không xác định (đôi khi coi
acgument của 0 là số thực tùy ý và vẫn viết 0  0 cos  i sin  )
Chú ý điều kiện r  0 trong dạng lượng giác của số phức z . B. TOÁN MẪU
Ví dụ 21. Hãy tìm dạng lượng giác của các số phức sau: 1 i 3 1
a) 1 i 3 b) 1 i
c) 1 i 31 i d)
e) 2i  3  i f) 1 i 2  2i
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 24
Ví dụ 22. Tìm một acgument của mỗi số phức sau:        a) 2   2 3i b) cos  i sin c)  sin  i cos
d) 1 sin   i cos 0      4 4 8 8  2 
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 49.
Hãy tìm dạng lượng giác của các số phức sau: 1 i 3
a) z  1 i
b) z  1 i 31 i c) z  1 i 1 1 i 3
d) z  2i  3  i e) z  f) z  22i 1 i 3 z Bài 50.
Xét các số phức: z  6  i 2 , z  2  2i , 1 z  . 1 2 3 z2 7 7
a) Viết z , z , z dưới dạng lượng giác.
b) Từ câu a), hãy tính cos , sin 1 2 3 12 12  5 5      Đáp số: a) z  2  2 cos  i sin , z  2  2 cos  i sin , 1   1    6 6   4 4  7 7 7 2  6 7 2  6 z  cos  i sin b) cos  ’ sin  1 12 12 12 4 12 4 Bài 51.
Xét số phức: z   6  2   i  6  2 . a) Viết 2
z dưới dạng đại số và lượng giác. b) Từ câu a), hãy suy ra dạng lượng giác của z .        
Đáp số: a) 8 3  i 16 cos  i sin   b) 4 cos  i sin    6 6   12 12 
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 25
Dạng 2: Công thức Moivre
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
 Công thức Moa-vrơ: Với mọi số nguyên dương n , ta có:   n
cos  sin   n r i
  r cos n  i sinn    n
Khi r  1, ta được: cos  i sin   cos n  i sin n
 Ứng dụng vào lượng giác, ta có:    i  3 cos sin
 cos 3  i sin 3
Mặc khác, sử dụng khai triển lũy thừa bậc 3 ta được:    i  3     i     i  2 3 2 3 cos sin cos 3cos sin 3cos sin  sin  3 2 3
 cos 3  cos   3cos.sin   4 cos   3cos 2 3 3
sin 3  3cos .sin   sin   3sin   4 sin 
 Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:
Số phức z  r cos  i sin  , r  0 có hai căn bậc hai là:      r cos  i sin    2 2              r cos  i sin  r cos
   i sin           2 2    2   2  B. TOÁN MẪU
Ví dụ 23. Tính giá trị: a) n
i , với n   b)   6 3 i
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................ 2020 21  i   5  3i 3 
Ví dụ 24. Thực hiện phép tính a) z    b) z     1 i   1 2i 3    
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 26 n  3  i 3 
Ví dụ 25. Hỏi với số nguyên dương n nào để số phức z  
 là số thực, là số ảo?  3 3i    
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Ví dụ 26. Viết dạng lượng giác và tìm căn bậc hai của a) z  2   2i 3
b) z  1 i 3
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 52. Tính: 7      n a) z  2 cos  i sin   
b) z  1 cos  i sin   , n     6 6  365 n  1 i  1 i c) z    d) z  với , m n   m  2  1 i      i  3  cos  i sin    12 12 e) z   f) z     i  8 2 2 2 2 1 i
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 27
BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 3 1 Bài 53.
Hãy tìm dạng lượng giác của các số phức: z ; z ;
; kz ( k   ) trong các trường hợp sau: z
a) z  r cos  i sin  (r  0)
b) z  1 3i Bài 54.
Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:     a)  i i     i7 5 cos sin 1 3 b)   i   i6 4 1 3  3 3  1 i10 1 1 c) d) 2000 z  biết rằng z   1  2000 3  i9 z z
Đáp số: a) 0 và 28 b) 256 và 0 c) 1
 / 16 và 0 d) 1  và 0 Bài 55.
Tìm số phức z sao cho z  z  2 và một acgument của z – 2 bằng một acgument của z  2  cộng với .
Đáp số: z  1 3i 2 z  2 Bài 56.
Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z sao cho có z  2 một acgument bằng 3 . 2  2  16
Đáp số: Đường tròn 2 x  y    
phần phía trên trục thực  3  3 Bài 57.
Cho số phức z có môđun bằng 1. Biết một acgument của z là  , hãy tìm một acgument của mỗi số phức sau: 1 z a) 2 2z b)  c) d) 2 z z 2z z e) z  z f) 2 z  z g) 2 z  z h) 2 z  z
Đáp số: a) 2 b)    c) 2
  d)   
e) 0 nếu phần thực dương,  nếu 0 nếu phần thực âm, không xác định nếu z là số ảo 3  3   f) nếu cos  0 ,
  nếu cos
 0 , không xác định nếu cos  0 2 2 2 2 2 3    3     g) nếu sin  0 , nếu sin
 0 , không xác định nếu sin  0 2 2 2 2 2  3  3 3 h) nếu cos  0 ,
  nếu cos
 0 , không xác định nếu cos  0 2 2 2 2 2 n  7  i  Bài 58.
Tìm số nguyên dương n để các số phức 
 là số thực, số ảo.  4  3i 
Đáp số: Số thực: n  4k ( k   * ), Số ảo: n  4k  2 ( k   * ) Bài 59.
Cho A , B , C , D là bốn điển trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức:
4  3 3i ; 2  3 3i ; 1 3i ; 3 i . Chứng minh rằng bốn điểm đó cùng nằm trên một đường tròn. Bài 60.
Biểu diễn hình học các số 5  i và 239  i rồi chứng minh rằng nếu các số thực a , b thỏa mãn   1 1 
các điều kiện 0  a  , 0  b  và tan a  , tan b 
thì 4a  b  . 2 2 5 239 4
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 28 Bài 61.
Cho tam giác đều OAB trong mặt phẳng phức ( O là gốc tọc độ). Chứng minh rằng nếu A , B
theo thứ tự biểu diễn các số z , z thì 2 2
z  z  z z . 0 1 0 1 0 1 Bài 62.
a) Cho z  cos  i sin (  ) . Chứng minh rằng với mọi số nguyên n  1, ta có: n 1 n 1 z 
 2 cos n ; z 
 2i cos n n z n z
b) Từ câu a), chứng minh rằng: 1 1 i) 4 cos  
cos 4  4cos 2  3 ii) 5 sin  
sin 5  5sin 3 10sin  8 16 Bài 63.
Tìm dạng lượng giác của các căn bậc hai của các số phức sau:
a) cos  i sin
b) sin  i cos
c) sin  i cos với    cho trước. a Bài 64.
a) Cho các số thực a , b sao cho sin
 0 . Với n   * , xét: 2
S  cos b  cos a  b  cos 2a  b  ...  cos na  b
T  sin b  sin a  b  sin 2a  b  ...  sin na  b
Tính S  iT , từ đó suy ra S và T .
b) Chứng minh rằng với mỗi số thực a  k (k  ) và n   * : 2 s in na
sin a  sin 3a  ...  sin   2n   1 a    sin a s in2na
cos a  cos 3a  ...  cos 2n   1 a    2sin a
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 29
Vấn đề 4. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 4
1 – DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC Câu 1.
[2D4-1] Cho số phức z  5  4i . Số phức z  2 có
A. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4  i .
B. Phần thực bằng 5 và phần ảo bằng 4  .
C. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4  .
D. Phần thực bằng 4
 và phần ảo bằng 3 . Câu 2.
[2D4-1] Cho hai số phức z  4  3i và z  7  3i . Tìm số phức z  z  z . 1 2 1 2
A. z  3  6i . B. z  11. C. z  1  10i . D. z  3   6i . Câu 3.
[2D4-1] Đẳng thức nào trong các đẳng thức sau là đúng? A.   i8 1  16 .
B.   i 8 1  16 . C.   i8 1  16i . D.   i8 1  16i . 1 3 Câu 4.
[2D4-1] Cho số phức z   i . Số phức 2
1 z  z bằng 2 2 1 3 A.  i . B. 2  3i . C. 1. D. 0 . 2 2 Câu 5.
[2D4-1] Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: 1  1  A. 7 i   1  . 7  2i  i  10 6
B. 1 i   3  2i3  2i  1 i  13  40i . 3 3
C. 2  i  3  i   16  37i . 3
D. 1 3i  2  3i1 2i  1 i  5  2 3  3 3i . 2017 1 i Câu 6.
[2D4-2] Biểu thức P  có giá trị là 2  i 3 1 1 3 1 3 3 1 A.  i . B.  i . C.  i . D.  i . 5 5 5 5 5 5 5 5 Câu 7.
[2D4-2] Cho số phức 2 3 9
z  1 i  i  i  ...  i . Khi đó
A. z  i .
B. z  1 i .
C. z  1 i . D. z  1. Câu 8.
[2D4-2] Tìm số phức z thỏa mãn hệ thức 1 i z  z 1 i .
A. z  2  i .
B. z  1 i .
C. z  2  i .
D. z  1 i . Câu 9.
[2D4-2] Cho số phức z  3  2i . Tìm số phức w  z   i2 1  z .
A. w  3  5i .
B. w  7  8i . C. w  3   5i . D. w  7   8i .
Câu 10. [2D4-2] Tìm số phức z thỏa mãn 1 i z 1 2i  3  2i  0 . 3 5 5 3
A. z  4  3i . B. z   i . C. z   i .
D. z  4  3i . 2 2 2 2
Câu 11. [2D4-2] Tìm số phức z thỏa mãn 1 2i z   1  5  2i  0 . 12 6 6 12 6 12 1 12 A. z   i . B. z   i . C. z   i . D. z   i . 5 5 5 5 5 5 5 5 3  2i 1 i
Câu 12. [2D4-2] Rút gọn số phức z   ta được 1 i 3  2i 55 15 75 15 75 11 55 11 A. z   i . B. z   i . C. z   i . D. z   i . 26 26 26 26 26 26 26 26
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 30 2  i
Câu 13. [2D4-2] Tính z  . 2017 1 i 1 3 3 1 1 3 3 1 A. z   . i B. z   . i C. z   . i D. z   . i 2 2 2 2 2 2 2 2 1
Câu 14. [2D4-2] Tìm nghịch đảo
của số phức z  5  i 3 . z 1 1 5 3 1 5 3 1 5 3 A.  5  i 3 . B.   i . C.   i . D.   i . z z 22 22 z 28 28 z 28 28
Câu 15. [2D4-2] Tìm số phức z thỏa mãn z  i2 1 1 2 z     . 3   3 3 3 3 A.   2i . B.   2i . C. 2  i . D. 2  i . 4 4 4 4
Câu 16. [2D4-2] Tổng phần thực và phần ảo của số phức z  1 2i 3  i là A. 6 . B. 10 . C. 5 . D. 0 .
Câu 17. [2D4-2] Đẳng thức nào sau đây là đúng?
A.   i 10 1  32.
B. .   i 10 1  32. .
C.   i10 1  32 . i
D.   i 10 1  32 . i Câu 18. [2D4-2] Tính 2 3 2017
S  1009  i  2i  3i  ...  2017i .
A. S  2017 1009i. B. 1009  2017 . i C. 2017 1009 . i D. 1008 1009 . i 2017  1 i 
Câu 19. [2D4-3] Cho số phức z    . Tính 5 6 7 8
z  z  z  z .  1 i  A. 4 . B. 0 . C. 4i . D. 2 .
Câu 20. [2D4-3] Cho hai số phức z , z thoả mãn z  z  z  z  1. Tính giá trị của biểu 1 2 1 2 1 2 2 2  z   z  thức 1 2 P       . z z  2   1 
A. P  1 i . B. P  1   i . C. P  1  .
D. P  1 i .
Câu 21. [2D4-3] Số phức z thỏa mãn z  z  0. Khi đó
A. z là số thực nhỏ hơn hoặc bằng 0 . B. z  1.
C. Phần thực của z là số âm.
D. z là số thuần ảo.
Câu 22. [2D4-3] Tìm số phức z thỏa mãn zi  2z  4  4i .
A. z  4  4i .
B. z  3  4i .
C. z  3  4i .
D. z  4  4i .
Câu 23. [2D4-1] Cho hai số phức z  3  3i và z  1 2i . Phần ảo của số phức w  z  2z là 1 2 1 2 A. 1. B. . 1  C. . 7  D. 7.
Câu 24. [2D4-1] Phần ảo của số phức z  1 i là A. 1. B. 1  . C. 2 . i D. i. 2
Câu 25. [2D4-1] Cho z  1 2i . Phần thực của số phức 3   z   z.z bằng z 3  3 3  1 3  2 32 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5
Câu 26. [2D4-1] Cho hai số phức z  1 2i và z  2  3i . Phần thực và phần ảo của số phức z  2z là 1 2 1 2
A. Phần thực bằng 3
 và phần ảo bằng 8i .
B. Phần thực bằng 3
 và phần ảo bằng 8 .
C. Phần thực bằng 3  và phần ảo bằng 8  .
D. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 8 .
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 31 2
Câu 27. [2D4-1] Cho số phức z  1 i 1 2i . Số phức z có phần ảo là A. 2 . B. 4 . C. 2i . D. 4  . 1
Câu 28. [2D4-1] Cho số phức z  1 2i . Tìm phần ảo của số phức P  . z 2 2 A.  2 . B. 2 . C.  . D. . 3 3
Câu 29. [2D4-1] Cho số phức z  7
  5i . Phần ảo của số phức z là A. 5i . B. 2  . C. 7 . D. 5 .
Câu 30. [2D4-1] Cho số phức z  7  i 5 . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z .
A. Phần thực bằng 7 và phần ảo bằng 5 .
B. Phần thực bằng 7
 và phần ảo bằng 5 .
C. Phần thực bằng 7 và phần ảo bằng i 5 .
D. Phần thực bằng 7 và phần ảo bằng  5 .
Câu 31. [2D4-1] Kí hiệu a , b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức 3  2 2i . Tìm a , b .
A. a  3;b  2 .
B. a  3;b  2 2 .
C. a  3;b  2 .
D. a  3;b  2 2 .
Câu 32. [2D4-1] Cho số phức z thỏa mãn 4  7i z  5  2i  6iz . Tìm phần ảo của số phức z ? 18 13 18 13 A.  . B.  . C. . D. . 17 17 17 17
Câu 33. [2D4-1] Tìm phần thực và phần ảo của số phức z  1  i .
A. Phần thực là 1 và phần ảo là   .
B. Phần thực là 1 và phần ảo là  .
C. Phần thực là 1 và phần ảo là   i . D. Phần thực là 1
 và phần ảo là   .
Câu 34. [2D4-1] Cho số phức z thỏa mãn 1 i z  5  .
i Tìm phần thực của z . 5 A. 3 . B. 3i . C. 2 . D. . 2
Câu 35. [2D4-1] Cho z là một số ảo khác 0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. z  z .
B. z  z  0 .
C. z là số thực.
D. Phần ảo của z bằng 0.
Câu 36. [2D4-1] (THPT Quốc Gia 2017) Số phức nào dưới đây là số thuần ảo? A. z  2   3 . i B. z  3 . i C. z  2  . D. z  3  . i
Câu 37. [2D4-1] Cho số phức 3
z  1  i  i . Tìm phần thực a và phần ảo b của z .
A. a  1, b  2 .
B. a  2, b  1 .
C. a  1, b  0 .
D. a  0, b  1 .
Câu 38. [2D4-1] Điểm A trong hình vẽ bên biểu diễn cho số phức z . y
Tìm phần thực và phần ảo của số phức z . A A. Phần thực là 3  và phần ảo là 2. 2
B. Phần thực là 3 và phần ảo là 2  .
C. Phần thực là 3 và phần ảo là 2  . i D. Phần thực là 3  và phần ảo là 2 . i O 3 x
Câu 39. [2D4-1] Cho số phức z  3  2i . Tìm phần thực và phần ảo của z .
A. Phần thực bằng 3  và phần ảo bằng 2  i .
B. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2i .
C. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2 .
D. Phần thực bằng 3  và phần ảo bằng 2  .
Câu 40. [2D4-1] Phần thực và phần ảo của số phức z  1 2i lần lượt là A. 2 và 1. B. 1 và 2i . C. 1 và i . D. 1 và 2 .
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 32
Câu 41. [2D4-1] Phần thực và phần ảo số phức z  1 2i i là A. 1 và 2  . B. 1 và 2 . C. 2  và 1. D. 2 và 1.
Câu 42. [2D4-1] Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  i z  3  5i . Phần thực của số phức z là A. 2 . B. 3  . C. 3 . D. 2  .
Câu 43. [2D4-1] Cho số phức z  a  bi , a , b   . Tìm phần ảo của số phức 2 z . A. 2 2 a b . B. 2 2 2a b . C. 2a . b D. a . b y
Câu 44. [2D4-1] Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z .
Tìm phần thực và phần ảo của số phức z . A. Phần thực là 4  và phần ảo là 3 . 3 O x
B. Phần thực là 3 và phần ảo là 4  i .
C. Phần thực là 3 và phần ảo là 4  . D. Phần thực là 4
 và phần ảo là 3i . 4  M 2 2
Câu 45. [2D4-1] Tìm phần ảo của số phức z  1 i  1 i A. 0 . B. 4  . C. 2 . D. 4 .
Câu 46. [2D4-1] Cho số phức z  3  2i . Tìm phần ảo của số phức liên hợp của z . A. 2i . B. 2  i . C. 2 . D. 2  .
Câu 47. [2D4-2] Phần thực của số phức z    i2 2 là A. 3 . B. 1  . C. 2 . D. 5 .
Câu 48. [2D4-2] Cho số phức z  2  3i . Tìm phần thực a của z . A. a  2 . B. a  3. C. a  3  . D. a  2  . 2
Câu 49. [2D4-2] Với mọi số thuần ảo z , số 2 z  z là A. Số 0 . B. Số ảo khác 0 .
C. Số thực dương. D. Số thực âm. 1
Câu 50. [2D4-2] Nếu số phức z thỏa mãn z  1 thì phần thực của bằng 1 z 1 1 A. . B.  . C. 2 .
D. Một giá trị khác. 2 2
Câu 51. [2D4-2] Cho số phức z  2  3i . Tìm phần ảo của số phức w  1 i z  2  i z . A. 9  i . B. 9  . C. 5  . D. 5  i .
Câu 52. [2D4-2] Cho số phức  z  5i  2 i  2  10 . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z .
A. Phần thực bằng 2 và phần ảo bằng 3i .
B. Phần thực bằng 2 và phần ảo bằng 3  i .
C. Phần thực bằng 2 và phần ảo bằng 3  .
D. Phần thực bằng 2 và phần ảo bằng 3 .
Câu 53. [2D4-2] Cho số phức z  2  5i . Số phức 1
z có phần thực là 5 2 A. 7 . B.  . C. . D. 3  . 29 29 1
Câu 54. [2D4-2] Phần thực x và phần ảo y của số phức z thỏa mãn điều kiện 3  2i z  2  i  là 4  i 122 12 122 12 A. x   ; y   . B. x  ; y   . 221 221 221 221 122 12 122 12 C. x   ; y  . D. x  ; y  . 221 221 221 221
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 33
Câu 55. [2D4-2] Cho số phức z  x  yi  x, y   . Khi đó phần thực a và phần ảo b của số phức z  i   là iz  2 x 2y   1 2 2
y  y  x  2
x 2 y   1 2 2
y  y  x  2 A. a  , b  . B. a  , b  .  2 2 y  22 2  x  y  2 2  x  y  22 2  x  y  2 2  x x 2y   1 2 2
y  y  x  2
x 2 y   1 2 2
y  y  x  2 C. a  , b  . D. a  , b  .  2 2 y  22 2  x  y  2 2  x  y  22 2  x  y  2 2  x
Câu 56. [2D4-2] Cho các số phức z  1  2i, w  2  .
i Số phức u  z.w có
A. Phần thực là 4 và phần ảo là 3 .
B. Phần thực là 0 và phần ảo là 3 .
C. Phần thực là 0 và phần ảo là 3i .
D. Phần thực là 4 và phần ảo là 3i . 1
Câu 57. [2D4-2] Nếu số phức z  1 thỏa z  1 thì phần thực của bằng 1 z 1 1 A. . B.  . C. 2. D. 2  . 2 2
Câu 58. [2D4-2] Cho hai số phức z  1 3i và z  2  5i . Tìm phần ảo b của số phức z  z  z . 1 2 1 2 A. b  2  . B. b  2 . C. b  3 . D. b  3  . n
Câu 59. [2D4-2] Cho số phức z  1 i , n   và thỏa mãn log n  3  log n  9  3. Tìm phần 4   4  
thực của số phức z . A. a  0. B. a  8. C. a  8  . D. a  7. z
Câu 60. [2D4-2] Cho số phức z thỏa mãn
 z  2 . Phần thực của số phức 2
w  z  z là 1 2i A. 3. B. 5  . C. 1. D. 2.
Câu 61. [2D4-2] Phần ảo và phần thực của số phức z    i10 1 lần lượt là A. 0; 32 . B. 0; 32i . C. 0;  32 . D. 32; 0 .
Câu 62. [2D4-2] Điểm M trong hình vẽ là điểm biểu diễn của số
phức z . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z . A. Phần thực là 3  và phần ảo là 2.
B. Phần thực là 2 và phần ảo là 3  . C. Phần thực là 3  và phần ảo là 2 . i
D. Phần thực là 2 và phần ảo là 3  . i
Câu 63. [2D4-2] Cho số phức z thỏa mãn điều kiện   i z    i2 3 2 2
 4  i. Tìm phần ảo của số
phức w  1 z  z . A. 2  . B. 0 . C. 1  . D. i . 2 2
Câu 64. [2D4-2] Cho số phức z  2i   1
 3  i . Tổng phần thực và phần ảo của z là A. 2  1. B. 1  . C. 1. D. 32 . 2 3 22
Câu 65. [2D4-3] Cho số phức z  1 i  1 i    1 i . Phần thực của số phức z là A. 11 2  . B. 11 2   2 . C. 11 2   2 . D. 11 2 .
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 34
Câu 66. [2D4-3] Cho z là một số phức tùy ý khác 0 . Khẳng định nào sau đây sai? z A. là số ảo.
B. z  z là số ảo. C. . z z là số thực.
D. z  z là số thực. z
Câu 67. [2D4-4] Cho các số phức z, w khác 0 và thỏa mãn z  w  2 z  w . Phần thực của số phức z u  là w 1 1 1 A. a  . B. a  1. C. a  . D. a   . 4 8 8
Câu 68. [2D4-1] Số phức liên hợp của số phức z  1   5i là
A. z  5  i .
B. z  1 5i .
C. z  1 5i . D. z  1   5i .
Câu 69. [2D4-1] Biết rằng nghịch đảo của số phức z bằng số phức liên hợp của nó, trong các kết luận
sau, kết luận nào đúng? A. z  0 . B. z   . C. z  1. D. z  1  .
Câu 70. [2D4-1] Cho hai số phức z  2  i và z  3  2 .
i Tìm số phức liên hợp của số phức 1 2
w  2z  3z . 1 2
A. w  13  4 . i
B. w  13  8 . i
C. w  13  8 . i
D. w  13  4 . i
Câu 71. [2D4-1] Số phức liên hợp của số phức z  3  2i là số phức:
A. z  3  2i .
B. z  3  2i .
C. z  2  3i .
D. z  3  2i .
Câu 72. [2D4-1] Biết rằng nghịch đảo của số phức z bằng số phức liên hợp của nó. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. z  1  .
B. z là một số thuần ảo. C. z  1  . D. z  1.
Câu 73. [2D4-1] Cho số phức z  5  4i . Số phức đối của z có điểm biểu diễn là A.  5  ; 4 . B. 5;4 . C. 5;4 . D.  5  ; 4 .
Câu 74. [2D4-1] Số phức liên hợp của số phức z  3  2i là số phức. A. 3  2 . i B. 3   2 . i C. 2   3 . i D. 3   2 . i
Câu 75. [2D4-1] Tìm số phức liên hợp của số phức z  i 24i   1
A. z  24  i .
B. z  24  i .
C. z  24  i .
D. z  24  i . 2
Câu 76. [2D4-1] Tìm số phức liên hợp của số phức z  2  i 1 i .
A. z  7  i .
B. z  7  i .
C. z  7  i .
D. z  7  i .
Câu 77. [2D4-1] Cho số phức z thoả: z 1 2i  4  3i . Tìm số phức liên hợp z của z. 2  11 2 11 2 11 2  11 A. z   i B. z   i C. z   i . D. z   i . 5 5 5 5 5 5 5 5
Câu 78. [2D4-1] Tìm số phức liên hợp của số phức z  1 i3  2i .
A. z  1 i .
B. z  5  i .
C. z  5  i .
D. z  1 i .
Câu 79. [2D4-1] Số phức liên hợp z của số phức z  32  3i  42i   1 là
A. z  10  i .
B. z  10  i .
C. z  10  3i .
D. z  2  i .
Câu 80. [2D4-1] Tìm số phức liên hợp của số phức z  32  3i  42i   1 : A. z  2  . i
B. z  10  3 . i
C. z  10  . i
D. z  10  . i
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 35
Câu 81. [2D4-1] Tìm số phức liên hợp của số phức z  i 3i   1 .
A. z  3  i . B. z  3   i .
C. z  3  i . D. z  3   i .
Câu 82. [2D4-1] Tìm số phưc liên hợp của số phức z   3
  4i2  i  5  7i .
A. z  3  4i . B. z  3   4i . C. z  3   4i .
D. z  3  4i .
Câu 83. [2D4-2] Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2  i z  4  i z  3  2i . Số phức liên hợp của z là 5 1 5 1 1 5 1 5 A. z   i . B. z   i . C. z    i . D. z    i . 4 4 4 4 4 4 4 4 i   1 z  2
Câu 84. [2D4-2] Xác định số phức liên hợp z của số phức z biết  2  3i . 1 2i 7 5 7 5 7 5 7 5 A. z    i . B. z   i . C. z    i . D. z   i . 2 2 2 2 2 2 2 2
Câu 85. [2D4-2] Tìm số phức liên hợp của số phức z  2  i  3  4i
A. z  1 3i .
B. z  1 3i . C. z  1   3i .
D. z  1 3i .
Câu 86. [2D4-2] Cho hai số phức z  5  2i và z  3  4i . Tìm số phức liên hợp của số phức 1 2
w  z  z  2z .z . 1 2 1 2
A. w  54  26i .
B. w  54  26i .
C. w  54  26i .
D. w  54  30i .
Câu 87. [2D4-2] Tìm số phức liên hợp của số phức z  2  i 3  i A. z  3   6i . B. z  3   6i .
C. z  3  6i .
D. z  3  6i .
Câu 88. [2D4-2] Tìm số phức liên hợp của số phức z thỏa mãn 1 i z 1 3i . A. z  1   2 . i
B. z  1 2 . i C. z  1   2 . i
D. z  1 2 . i
Câu 89. [2D4-1] Cho số phức z  1 3i và z  3  4i . Tính môđun của số phức z  z . 1 2 1 2 A. 17 . B. 15 . C. 4 . D. 8 .
Câu 90. [2D4-1] Tính môđun của số phức z  4  3i . A. z  5 2 . B. z  7. C. z  5. D. z  7. 1 5i
Câu 91. [2D4-1] Môđun của số phức z  2  3i  là 3  i 170 170 170 170 A. z  . B. z  . C. z  . D. z  . 7 4 5 3
Câu 92. [2D4-1] Cho số phức z    i2 2 3
. Khi đó mô đun của z bằng. A. 5 . B. 1. C. 13 . D. 13 .
Câu 93. [2D4-1] Mệnh đề nào sau đây là sai:
A. Số phức z  3
  4i có môđun bằng 1.
B. Số phức z 
2  i có phần thực bằng 2 và phần ảo là 1  .
C. Số phức z  3i có số phức liên hợp là z  3  i .
D. Tập số phức chứa tập số thực.
Câu 94. [2D4-1] Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. Số phức z  5  3i có phần thực là 5 , phần ảo 3  .
B. Điểm M  1
 ; 2 là điểm biểu diễn số phức z  1   2i .
C. Mô đun của số phức z  a  bi  a,b   là 2 2 a  b .
D. Số phức z  2i là số thuần ảo.
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 36
Câu 95. [2D4-1] Chỉ ra số mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: I.
Mọi số phức đều là số thực.
II. Số ảo là số phức có phần thực bằng 0 và phần ảo khác 0 .
III. Cho số phức z  a  bi , z  0  a  0,b  0 .
IV. Cho số phức z bất kì. Ta có zz luôn là số thực. A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Câu 96. [2D4-1] Tính module của số phức z biết z  4  3i1 i . A. z  25 2 . B. z  7 2 . C. z  5 2 . D. z  2 .
Câu 97. [2D4-1] Cho hai số phức z  2  3i , z  3  2i . Tìm môđun của số phức w  z.z . A. w  14 . B. w  12 . C. w  13 . D. w  13 .
Câu 98. [2D4-1] Cho các mệnh đề sau.
(I) Trên tập hợp các số phức thì phương trình bậc hai luôn có nghiệm.
(II) Trên tập hợp các số phức thì số thực âm không có căn bậc hai.
(III) Môđun của một số phức là một số phức.
(IV) Môđun của một số phức là một số thực dương.
Trong bốn mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề đúng? A. 3 . B. 1. C. 4 . D. 2 .
Câu 99. [2D4-1] Tính môđun của số phức z thỏa mãn z 2  3i  i  z 1 1 A. z  . B. z  10. C. z  . D. z  1. 10 10
Câu 100. [2D4-1] Tìm môđun của số phức z  4  i 482  i A. 8 5 . B. 5 5 . C. 6 5 . D. 9 5 .
Câu 101. [2D4-1] Cho số phức z  2  i . Tính z . A. z  3 . B. z  5 . C. z  2 . D. z  5 .
Câu 102. [2D4-1] Nếu môđun của số phức z bằng r (r  0) thì môđun của số phức   2 1 i z bằng A. 2r . B. r . C. r 2 . D. 4r .
Câu 103. [2D4-1] Số phức z    i3 1 có môđun bằng A. z  2 2 . B. z  2 . C. z  0 . D. z  2  2 .   i3 1 3
Câu 104. [2D4-1] Cho số phức z thỏa mãn z 
. Tìm môđun của z  iz . 1 i A. 8. B. 8 2 . C. 4 2 . D. 4.
Câu 105. [2D4-1] Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 1 i  z  i  2z  2i . Môđun của số phức z  2z 1 w  là 2 z A. 10 . B.  8 . C. 8 . D.  10 .
Câu 106. [2D4-1] Tính môđun của số phức z  4  3i . A. z  7 . B. z  7 . C. z  25 . D. z  5 .
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 37
Câu 107. [2D4-1] Tính môđun của số phức z thỏa mãn z 2  i 13i  1. 5 34 34 A. z  34 . B. z  34 . C. z  . D. z  . 3 3
Câu 108. [2D4-1] Tìm mô đun của số phức 10 z  2
 i  42i   1 . A. z  8 . B. z  10 . C. z  12 . D. z  4 .
Câu 109. [2D4-2] Cho số phức z  1 i . Khi đó 3 z bằng A. 2 . B. 2 2 . C. 4 . D. 1.
Câu 110. [2D4-2] Cho hai số phức z  2  3i , z  1 2i . Tính môđun của số phức z   z  2 z . 1  1 2 2 A. z  15 . B. z  5 5 . C. z  65 . D. z  137 .
Câu 111. [2D4-2] Cho số phức z thỏa mãn 1 3i z 1 i  z . Môđun của số phức w  13z  2i có giá trị là 26 4 A. 2  . B. . C. 10 . D.  . 13 13 25
Câu 112. [2D4-2] Cho số phức z  3
  4i . Tính môđun của số phức w  iz  z A. 2 . B. 2 . C. 5 . D. 5 .
Câu 113. [2D4-2] Cho số phức z thoả mãn 2z  1 i z  5  3i . Tính z . A. 2  . B. z  3 . C. z  3 . D. z  5 .
Câu 114. [2D4-2] Tính mô đun của số phức z thỏa z  2i z  1 5i . 170 A. z  10 . B. z  4 . C. z  . D. z  10 . 3 2
Câu 115. [2D4-2] Cho số phức z thỏa mãn z 1 i 
 14  2i . Tìm môđun của số phức w  z 1. 1 i A. w  3.
B. w  8  14 .
C. w  9  2 14 . D. w  3 2.
Câu 116. [2D4-2] Cho số phức z thỏa mãn 1 i z  2iz  5  3i . Tính z . A. z  97 . B. z  65 . C. z  97 . D. z  65 . z
Câu 117. [2D4-2] Số phức z thỏa
 2  3i  5  2i . Môđun của z bằng 4  3i A. z  5 10 . B. z  10 2 . C. z  250 . D. z  10 .
Câu 118. [2D4-2] Cho số phức z thỏa mãn 1 i z  2  3i  2  i3  2i . Tính môđun của z . A. 10 . B. 3 . C. 11 . D. 2 3 .  i 3 1 3
Câu 119. [2D4-2] Cho số phức z 
. Tính môđun của số phức z  iz được kết quả: 1 i A. 6 2 . B. 9 2 . C. 8 2 . D. 7 2 .
Câu 120. [2D4-2] Cho số phức z thỏa mãn   i  z    i 2 1 3 1
z  5  i . Tính môđun của z . 20 1 29 A. z  . B. z  10. C. z  . D. z  . 3 3 3
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 38
Câu 121. [2D4-2] Cho số phức z  2  3i . Tìm môđun của số phức w  1 i z  z . A. w  3 . B. w  5 . C. w  4  . D. w  7 .
Câu 122. [2D4-2] Cho số phức z thỏa mãn 2  3i z  1 2i z  7  i . Tìm môđun của z . A. z  5 . B. z  1. C. z  3 . D. z  2 .
Câu 123. [2D4-2] Tìm môđun của số phức z  2  i 3  2i  2i . A. z  65 . B. z  66 . C. z  8 . D. z  67 .
Câu 124. [2D4-2] Cho số phức z thỏa mãn 3iz  3  4i  4z . Tính môđun của số phức 3z  4. A. 5. B. 5. C. 25. D. 1.
Câu 125. [2D4-2] Cho số phức z thỏa mãn 2z  i  z  3. Môđun của z là 3 5 3 5 A. z  5. B. z  5. C. z  . D. z  . 4 2
Câu 126. [2D4-2] Cho số phức z thỏa mãn 3  2i z  41 i  2  i z . Mô đun của z là 3 A. 10 . B. . C. 5 . D. 3 . 4
Câu 127. [2D4-2] Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2z  z  3  i . Tính A  iz  2i 1 A. 5 . B. 2 . C. 1. D. 3 .
Câu 128. [2D4-2] Tính môđun của số phức z thỏa mãn 5i  i  3 z  4 . 410 410 410 410 A. z  . B. z  . C. z  . D. z  . 10 10 100 10
Câu 129. [2D4-2] Cho hai số phức z  1 i và z  2  3i . Tính môđun của số phức z  iz . 1 2 2 1 A. 3. B. 5. C. 5. D. 13. 1 3i
Câu 130. [2D4-2] Cho số phức z thỏa mãn z 
. Tìm môđun của số phức w  . i z  . z 1 i A. w  2. B. w  3 2. C. w  4 2. D. w  2 2.
Câu 131. [2D4-2] Cho số phức z  1 2i và z  2  2i . Tìm môđun của số phức z  z . 1 2 1 2
A. z  z  2 2 .
B. z  z  1.
C. z  z  17 .
D. z  z  5 . 1 2 1 2 1 2 1 2
Câu 132. [2D4-3] Cho hai số phức z , z thỏa mãn z  z  1, z  z  3 . Tính z  z . 1 2 1 2 1 2 1 2 A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Câu 133. [2D4-3] Tính mô đun của số phức z thỏa mãn 1 i z  3  i z  2  6i . A. z  13 . B. z  15 . C. z  5 . D. z  3 . 5 3i
Câu 134. [2D4-3] Cho số phức z có phần thực dương và thỏa z  1  0 . Khi đó z A. z  2 . B. z  3 . C. z  4 . D. z  7 .
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 39 1 1 2 z
Câu 135. [2D4-3] Cho hai số phức z , z thỏa mãn z , z  0 ; z  z  0 và   . Tính 1 1 2 1 2 1 2 z  z z z z 1 2 1 2 2 2 3 2 A. . B. . C. 2 3 . D. . 2 2 3
Câu 136. [2D4-3] Cho hình vuông ABCD có tâm H và A , B , C , D , H lần lượt là điểm biểu diễn
cho các số phức a , b , c , d , h . Biết a  2
  i , h  1 3i và số phức b có phần ảo dương.
Khi đó, môđun của số phức b là A. 13 . B. 10 . C. 26 . D. 37 .
Câu 137. [2D4-3] Cho số phức z thỏa mãn z  3  5 và z  2i  z  2  2i . Tính z . A. z  17 . B. z  17 . C. z  10 . D. z  10 . 3 z  z
Câu 138. [2D4-3] Cho z  2  3i , z  1 i . Tính 1 2 . 1 2 z  z 1 2 61 85 A. 85 . B. 85 . C. . D. . 5 25 10
Câu 139. [2D4-3] Xét số phức z thỏa mãn 1 2i z 
 2  i. Mệnh đề nào dưới đây đúng? z 3 1 1 3 A.  z  2. B. z  2. C. z  . D.  z  . 2 2 2 2 2 2
Câu 140. [2D4-4] Cho hai số phức z , z thỏa mãn z  z  1. Khi đó z  z  z  z bằng 1 2 1 2 1 2 1 2 A. 2 . B. 4 . C. 1. D. 0 .
Câu 141. [2D4-4] Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là M , M  . Số
phức z 4  3i và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là N , N . Biết rằng MM N  N
 là một hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của z  4i  5 . 5 2 1 4 A. . B. . C. . D. . 34 5 2 13
Câu 142. [2D4-4] Cho số phức z thỏa mãn z. 3  4i z  4  3i  5 2  0  
. Giá trị của z là A. 2 . B. 2 . C. 2 2 . D. 1.
Câu 143. [2D4-1] Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là sai:
A. z  0 khi và chỉ khi z  0 .
B. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện z  1 là đường tròn tâm O 0;0 và bán kính R  1 .
C. z  z khi và chỉ khi z  z . 1 2 1 2
D. Hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực và phần ảo tương ứng bằng nhau.
Câu 144. [2D4-1] Phân tích biểu thức 2
z  4 thành thừa số phức. Hãy chọn biểu thức đúng.
A.  z  2  z  2i .
B. Không phân tích được.
C.  z  2 2 .
D.  z  2i z  2i .
Câu 145. [2D4-1] Cho số phức z  1 3 . i Khi đó 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 3 A.   i. B.   i. C.   i. D.   i. z 2 2 z 2 2 z 4 4 z 4 4
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 40
Câu 146. [2D4-1] Tìm các số thực x , y thỏa mãn:  x  y  2x  yi  3  6i .
A. x  1; y  4.
B. x  1; y  4.
C. y  1; x  4.
D. x  1; y  4.
Câu 147. [2D4-1] Cho z , z là hai số phức  . Khẳng định nào sau đây là sai? 2
A. z  z  z  z .
B. z  z . C. 2 z  z .
D. z  z .
Câu 148. [2D4-1] Cho số phức z bất kỳ. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? 2 2 2 A. 2 z  z .
B. z.z  z .
C. z  z . D. 2 z  z . 1 3
Câu 149. [2D4-2] Cho a, b, c là các số thực và z    i . Giá trị của  2    2 a bz cz
a  bz  cz  2 2 bằng
A. a  b  c . B. 2 2 2
a  b  c  ab  bc  ca . C. 2 2 2
a  b  c  ab  bc  ca . D. 0 .
Câu 150. [2D4-2] Cho z , z , z là các số phức thõa mãn z  z  z  1. Khẳng định nào sau đây 1 2 3 1 2 3 đúng?
A. z  z  z  z z  z z  z z .
B. z  z  z  z z  z z  z z . 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 2 2 3 3 1
C. z  z  z  z z  z z  z z .
D. z  z  z  z z  z z  z z . 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 2 2 3 3 1 
Câu 151. [2D4-2] Giả sử A , B theo thứ tự là điểm biểu diễn của số phức z , z . Khi đó độ dài của AB 1 2 bằng
A. z  z .
B. z  z .
C. z  z .
D. z  z . 2 1 2 1 1 2 1 2
 z  z  z  1 1 2 3 
Câu 152. [2D4-2] Cho ba số phức z , z , z thỏa mãn: z  z  z  1
. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 2 3 1 2 3 z z z 1  1 2 3
A. Các điểm biểu diễn của z , z , z lập thành tam giác đều. 1 2 3
B. Hệ phương trình trên có nhiệm là hoán vị các phần tử của bộ ba 1; ; i i   .  1 1 1 1 
C. Hệ phương trình trên có nhiệm là hoán vị các phần tử của bộ ba 1;  i;  i   .  2 2 2 2 
D. Một trong ba số z , z , z phải bằng 1. 1 2 3
Câu 153. [2D4-2] Cho số phức z  a  bi a,b   thỏa mãn 3  2i z  2  i z  2  2i . Khi đó a  b bằng A. 2. B. 4. C. 3. D. 1. 1
Câu 154. [2D4-2] Cho hai số phức z  x  yi và z  a  bi . Giả sử z 
khi đó a , b được tính theo 1 2 2 z1 x , y là x y x y A. a  và b  . B. a  và b  . 2 2 x  y 2 2 x  y 2 2 x  y 2 2 x  y x y x  y C. a  và b  . D. a  và b  . 2 2 x  y 2 2 x  y 2 2 x  y 2 2 x  y
Câu 155. [2D4-2] Tìm tất cả các số thực x , y sao cho 2
x 1 yi  1 2 . i
A. x   2, y  2. B. x  2, y  2.
C. x  0, y  2. D. x  2, y  2.
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 41
Câu 156. [2D4-2] Cặp  ;
x y thỏa mãn biểu thức 2x  3y  
1  x  2 yi  3x  2y  2  4x  y  3i là  9 4   9 4   9 4   9 4  A. ;   . B.  ;    . C. ;    . D.  ;   .  11 11   11 11   11 11   11 11 
Câu 157. [2D4-2] Cho số phức z  a  bi với a, b   thỏa mãn 1 3i z  2  i z  2   4i . Tính P  ab : A. P  8 . B. P  4 . C. P  8  . D. P  4 . 2017  1 i 
Câu 158. [2D4-2] Cho số phức z thỏa mãn z  .   Tính 4 z .  1 i  A. i . B. 1. C. 1  . D. i .
Câu 159. [2D4-2] Cho số phức z  a  bi a,b   thỏa mãn 1 i z  2z  3  2 .i Tính P  a  . b 1 1 A. P  . B. P  1. C. P  1  . D. P   . 2 2
Câu 160. [2D4-3] Cho P  z là một đa thức với hệ số thực. Nếu số phức z thỏa mãn P z   0 thì  1   1 
A. P  z   0 .
B. P    0 . C. P  0   .
D. P  z  0 .  z   z 
Câu 161. [2D4-3] Gọi z , z , z là ba số phức thỏa mãn z  z  z  0 và z  z  z  1. Khẳng định 1 2 3 1 2 3 1 2 3
nào dưới đây là sai. 3 3 3 3 3 3 A. 3 3 3
z  z  z  z  z  z . B. 3 3 3
z  z  z  z  z  z . 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 3 3 3 3 3 B. 3 3 3
z  z  z  z  z  z . D. 3 3 3
z  z  z  z  z  z . 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
Câu 162. [2D4-3] Hỏi có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện z  i  5 và 2 z là số thuần ảo? A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 0 .
Câu 163. [2D4-3] Cho ba số phức z , z , z thỏa mãn z  z  z  0 và z  z  z  1. Mệnh đề nào 1 2 3 1 2 3 1 2 3 dưới đây đúng? A. 2 2 2
z  z  z  z z  z z  z z . B. 2 2 2
z  z  z  z z  z z  z z . 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 2 2 3 3 1 C. 2 2 2
z  z  z  z z  z z  z z . D. 2 2 2
z  z  z  z z  z z  z z . 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 2 2 3 3 1
Câu 164. [2D4-3] Giả sử số phức 2 3 4 5 99 100 101
z  1  i  i  i  i  i  ...  i  i  i
. Lúc đó tổng phần thực và
phần ảo của z là A. 2 . B. 1  . C. 0 . D. 1. 1 3
Câu 165. [2D4-3] Cho a , b , c là các số thực và z    i . Giá trị của  2    2 a bz cz
a  bz  cz  2 2 bằng
A. a  b  . c B. 2 2 2
a  b  c  ab  bc  c . a C. 2 2 2
a  b  c  ab  bc  c . a D. 0.
Câu 166. [2D4-3] Cho z , z , z là các số phức thỏa mãn z  z  z  0 và z  z  z  1. Khẳng 1 2 3 1 2 3 1 2 3
định nào dưới đây là sai? A. 3 3 3 3 3 3
z  z  z  z  z  z . B. 3 3 3 3 3 3
z  z  z  z  z  z . 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 C. 3 3 3 3 3 3
z  z  z  z  z  z . D. 3 3 3 3 3 3
z  z  z  z  z  z . 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 42
Câu 167. [2D4-3] Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn: z  i  2 và 2
z là số thuần ảo: A. 3. B. 1, C. 4. D. 2. z
Câu 168. [2D4-3] Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  3i  13 và là số thuần ảo? z  2 A. Vô số. B. 2 . C. 0 . D. 1.
Câu 169. [2D4-3] Cho số phức z thỏa mãn | z | 5 và | z  3 | |
 z  3 10i | . Tìm số phức w  z  4  3 . i A. w  3   8 . i
B. w  1 3 . i C. w  1   7 . i D. w  4   8 . i
Câu 170. [2D4-3] Cho số phức z  a  bi a, b   thoả mãn z  2  i  z . Tính S  4a  b . A. S  4 . B. S  2 . C. S  2  . D. S  4  .
Câu 171. [2D4-3] Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn | z  2  i | 2 2 và  z  2 1 là số thuần ảo. A. 0 . B. 2 . C. 4 . D. 3 . 2z  i
Câu 172. [2D4-3] Cho số phức z thỏa mãn z  1. Đặt A 
. Mệnh đề nào sau đây đúng? 2  iz A. A  1. B. A  1. C. A  1. D. A  1.
Câu 173. [2D4-3] Cho z  5
 12i . Một căn bậc hai của z là. A. 2   3i . B. 2  3i . C. 4  3i . D. 3  2i .
Câu 174. [2D4-3] Cho số phức z  a  bi a,b   thỏa mãn điều kiện 2
z  4  2 z . Đặt P   2 2
8 b  a  12. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. P   z  2 2 .
B. P   z  2 2 4 .
C. P   z  2 4 .
D. P   z  2 2 2 .
Câu 175. [2D4-4] Cho P  z là một đa thức với hệ số thực. Nếu số phức z thỏa mãn P z   0 thì  1 
A. P  z   0. B. P  0.    z   1  C. P  0.  
D. P  z   0.  z   z   1 1 iz 
Câu 176. [2D4-4] Cho số phức z  a  bi a,b   thỏa mãn phương trình  . i Tính 1 z  z 2 2 a  b . A. 3  2 2. B. 2  2 2. C. 3  2 2. D. 4 . 2 1 1
Câu 177. [2D4-4] Cho các số phức z  0 , z  0 thỏa mãn điều kiện   . Tính giá trị của 1 2 z z z  z 1 2 1 2 z z biểu thức 1 2 P   . z z 2 1 1 3 2 A. . B. 2 . C. P  2 . D. . 2 2
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 43
2 - PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ PHỨC 2
Câu 178. [2D4-1] Trên  , phương trình
 1 i có nghiệm là z 1
A. z  2  i .
B. z  2  i .
C. z  1 2i .
D. z  1 2i .
Câu 179. [2D4-1] Cho số phức z  a  bi a,b   thỏa mãn 2  i z  3  5i  4  4i . Tính tổng
P  a  b . 26 8 A. P   B. P  C. P  4 D. P  2 5 3
Câu 180. [2D4-1] Tìm số phức z thỏa mãn z  2  3i  3  2i .
A. z  1 5i .
B. z  1 i .
C. z  5  5i .
D. z  1 i . 1
Câu 181. [2D4-1] Cho số phức z  a  bi . Khi đó số  z  z  là 2 A. Một số thực. B. 2 .
C. Một số thuần ảo. D. i .
Câu 182. [2D4-1] Trên tập số phức, tìm nghiệm của phương trình iz  2  i  0 .
A. z  1 2i .
B. z  2  i .
C. z  1 2i .
D. z  4  3i .
Câu 183. [2D4-2] Cho số phức z thỏa mãn: 1 i z  14  2i . Tổng phần thực và phần ảo của z bằng A. 4  . B. 14 . C. 4 . D. 1  4 .
Câu 184. [2D4-2] Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời điều kiện z.z  z  2 và z  2 ? A. 2 . B. 4 . C. 3 . D. 1.
Câu 185. [2D4-2] Cho số phức z  a  bi ( ,
a b   ) thỏa mãn z 2i  3  8 .i z  1  6 15i . Tính
S  a  3b . A. S  4 . B. S  3 . C. S  6 . D. S  5 . 2
Câu 186. [2D4-2] Trên  , phương trình
 1 i có nghiệm là z 1
A. z  2  i .
B. z  2  i .
C. z  1 2i .
D. z  1 2i .
Câu 187. [2D4-2] Cho hai số phức z  m  3i , z  2  m 1 i , với m   . Tìm các giá trị của m để 2   1
z .z là số thực. 1 2
A. m  2 hoặc m  3 .
B. m  2 hoặc m  1.
C. m  1 hoặc m  2 .
B. m  2 hoặc m  3 .
Câu 188. [2D4-2] Giải phương trình iz  
1  z  3i z  2  3i   0 trên tập số phức.  z  i   z  i   z  i   z  2  i     A. z  3  i .
B. z  3i . C. z  3  i .
D. z  3i .    
 z  2  3i 
 z  2  3i 
 z  2  3i 
 z  2  3i 
Câu 189. [2D4-2] Trên tậpsố phức cho 2x  y  2y  xi   x  2 y  3   y  2x  
1 i với x, y   .
Tính giá trị của biểu thức P  2x  3y . A. P  7 . B. P  1 . C. P  4 . D. P  3 . a
Câu 190. [2D4-2] Cho số phức z  a  bi , a, b   thỏa mãn 3z  5z  5  5i Tính giá trị P  . b 1 25 16 A. P  . B. P  4 . C. P  . D. P  . 4 16 25
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 44
Câu 191. [2D4-2] Cho số phức z  a  bi (a,b  ) thỏa mãn z 2i  3  8 .iz  16 15i. Tính
S  a  3b . A. 4. B. 6. C. 5. D. 1  .
Câu 192. [2D4-2] Cho số phức z  a  bi a, b   thỏa mãn 2  i z  3z  1 3i . Tính giá trị biểu
thức P  a  b . A. P  5 . B. P  2 . C. P  3 . D. P  1 .
Câu 193. [2D4-4] Cho số phức z  a  bi(a, b  ) thoả (1 i)(2z 1)  (z 1)(1 i)  2  2 . i Tính P  a  . b 1 A. P  0 . B. P  1 . C. P  1. D. P   . 3
Câu 194. [2D4-1] Gọi z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2
z  2 2z  8  0 . Tính giá trị của 1 2 biểu thức 4 4
T  z  z . 1 2 A. T  16 . B. T  128 . C. T  32 . D. T  64 .
Câu 195. [2D4-1] Gọi z , z là các nghiệm của phương trình 2
z  3z  5  0 . Tính giá trị biểu thức 1 2 4 4 z  z . 1 2 A. 75 . B. 5  1. C. 50 . D. 25 . z
Câu 196. [2D4-1] Tập hợp các nghiệm của phương trình z  là z  i A. 1  i . B. 0;  1 . C.   0 . D. 0;1  i .
Câu 197. [2D4-2] Phương trình 2
z  iz 1  0 có bao nhiêu nghiệm trong tập số phức? A. 2 . B. 1. C. 0 . D. Vô số.
Câu 198. [2D4-2] Gọi z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2
z  z 1  0 . Giá trị của z  z 1 2 1 2 bằng A. 0. B. 1. C. 2. D. 4.
Câu 199. [2D4-2] Tìm tất cả các số thực b , c sao cho số phức 8 16i là nghiệm của phương trình 2
z  8bz  64c  0 . b   2 b   2 b   2 b   2 A.  . B.  . C.  . D.  . c  5   c  5  x  5   c  5 
Câu 200. [2D4-2] Gọi z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2
z  4z 13  0 . Tính giá trị của 1 2 2 2 P  z  z . 1 2 A. P  26 . B. P  2 13 . C. P  13 . D. P  26 .
Câu 201. [2D4-2] Gọi z , z là nghiệm phức của phương trình 2
z  2z 10  0. Tính giá trị của biểu 1 2 2 2 thức z  z . 1 2 A. 25 . B. 21 . C. 20 . D. 18 . Lời giải
Câu 202. [2D4-2] Cho z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2
z  2z  4  0 . Tính z  z . 1 2 1 2 A. 2 3. B. 4. C. 4 3. D. 5.
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 45
Câu 203. [2D4-2] Gọi z , z là các nghiệm phức của phương trình 2
z  2z  5  0 . Tính 2 2
M  z  z 1 2 1 2 A. M  2 34 . B. M  4 5 . C. M  12 . D. M  10 .
Câu 204. [2D4-2] Phương trình 2
z  iz 1  0 có tập nghiệm là   1   5 1   5   1    5 1 5   A.  i; i. B.  i; i. 2 2     2 2       1   i 5 1   i 5   1 
  i 5 1 i 5   C.  ; . D.  i; . 2 2     2 2    
Câu 205. [2D4-3] Gọi z , z là 2 nghiệm của phương trình 2
z  z 1  0 . Tính giá trị 2017 2017 P  z  z . 1 2 1 2 A. P  1 . B. P  1. C. P  0 . D. P  2 .
Câu 206. [2D4-1] Phương trình 2
z  2z  26  0 có hai nghiệm phức z , z . Xét các khẳng định sau: 1 2
(I). z .z  26 .
(II). z là số phức liên hợp của z . 1 2 1 2
(III). z  z  2 . (IV). z  z . 1 2 1 2
Số khẳng định đúng là A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Câu 207. [2D4-1] Cho phương trình 2
z  2z  2  0 . Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Phương trình đã cho không có nghiệm nào là số ảo.
B. Phương trình đã cho có 2 nghiệm phức.
C. Phương trình đã cho không có nghiệm phức.
D. Phương trình đã cho không có nghiệm thực.
Câu 208. [2D4-1] Gọi z và z là hai nghiệm của phương trình 2
z  2z  5  0 biết  z  z có phần ảo 1 2  1 2
là số thực âm. Tìm phần thực của số phức 2 2
w  2z  z . 1 2 A. 9  . B. 4. C. 9. D. 3  .
Câu 209. [2D4-2] Gọi z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2
z  2z 10  0 . Tính giá trị của biểu 1 2 2 2 thức A  z  z . 1 2 A. 15 . B. 20 . C. 19 . D. 17 .
Câu 210. [2D4-2] Cho hai số phức z , z là các nghiệm của phương trình 2
z  4z 13  0. Tính môđun 1 2
của số phức w   z  z i  z z . 1 2  1 2 A. w  3. B. w  185. C. w  153. D. w  17.
Câu 211. [2D4-2] Biết phương trình 2
z  az  b  0, a, b   có một nghiệm là z  1 .i Tính môđun
của số phức w  a  b . i A. 2. B. 2. C. 2 2. D. 3.
Câu 212. [2D4-2] Gọi x là nghiệm phức có phần ảo là số dương của phương trình 2
x  x  2  0 . Tìm số 0 phức 2
z  x  2x  3 . 0 0 1 7i 3  7i
A. z  1 7i . B. z  2  7i . C. z  . D. z  . 2 2
Câu 213. [2D4-2] Tìm tất cả các giá trị thực của a sao cho phương trình 2 2
z  az  2a  a  0 có hai
nghiệm phức có mô-đun bằng 1. 1   5 A. a  1.
B. a  1; a  1  . C. a  . D. a  1  . 2
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 46
Câu 214. [2D4-2] Biết rằng phương trình 2
z  bz  c  0 ( ,
b c  ) có một nghiệm phức là z  1 2 . i 1 Khi đó:
A. b  c  2 .
B. b  c  3 .
C. b  c  0 .
D. b  c  7 .
Câu 215. [2D4-2] Kí hiệu z ; z là hai nghiệm của phương trình 2
z  z 1  0 . Tính 2 2
P  z  z  z z là 1 2 1 2 1 2 A. P  1 B. P  2 C. P  1 D. P  0
Câu 216. [2D4-2] Trên trường số phức  , cho phương trình 2
az  bz  c  0 a,b, c  , a  0 . Chọn khảng định sai: b
A. Phương trình luôn có nghiệm.
B. Tổng hai nghiệm bằng  . a c
C. Tích hai nghiệm bằng . D. 2
  b  4ac  0 thì phương trình vô nghiệm. a
Câu 217. [2D4-2] Gọi z , z là hai nghiệm của phương trình 2
2z  3z  2  0 trên tập số phức.Tính giá 1 2 trị biểu thức 2 2 P 
z  z z  z . 1 1 2 2 5 5 3 3 3 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 2 2 4 4 1 1
Câu 218. [2D4-2] Gọi z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2
z  z 1  0. Giá trị của  bằng 1 2 z z 1 2 A. 0. B. 1. C. 2. D. 4. 1 1
Câu 219. [2D4-2] Ký hiệu z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2
z  z  6  0 Tính P   . 1 2 z z 1 2 1 1 1  A. P  . B. P  . C. P  . D. P  6 . 6 12 6
Câu 220. [2D4-2] Kí hiệu z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2
3z  z 1  0 . Tính P  z  z . 1 2 1 2 14 2 3 2 3 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 3 3 3 3
Câu 221. [2D4-2] Gọi z , z là hai nghiệm phức của phương trình: 2
z  z  2  0 . Phần thực của số phức 1 2
i  z i  z  2017  1 2   là A. 2016 2  . B. 1008 2  . C. 1008 2 . D. 2016 2 .
Câu 222. [2D4-2] Gọi z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2
2z  3z  7  0 . Tính giá trị của biểu 1 2
thức z  z  z z . 1 2 1 2 A. 2  . B. 2 . C. 5 . D. 5  .
Câu 223. [2D4-3] Cho số phức z , z , z thỏa mãn z  z  z  1 và z  z  z  0 . Tính 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 2
A  z  z  z . 1 2 3 A. A  1 .
B. A  1 i . C. A  1. D. A  0 .
Câu 224. [2D4-3] Phương trình bậc hai 2
z  Mz  i  0 có tổng bình phương hai nghiệm bằng 10i . Khi
đó trên tập  , giá trị của M là
M   6  6i
M  6  6i
M   6  6i
M  6  6i A.  . B.  . C.  . D.  .
M   6  6i 
M   6  6i 
M  6  6i 
M   6  6i 
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 47 1 1
Câu 225. [2D4-3] Cho z là số phức thỏa mãn z 
 1. Tính giá trị của 2017 z  . z 2017 z A. 2  . B. 1  . C. 1. D. 2. Câu 226. [2D4-3] Gọi z , z là các nghiệm của phương trình 2
z  4z  5  0 . Đặt 1 2
w  1 z 100  1 z 100 . Khi đó 1 2 A. 50 w  2 . i B. 51 w  2 . C. 51 w  2 . D. 50 w  2  . i
Câu 227. [2D4-4] Gọi z , z , z , z là bốn nghiệm phức của phương trình 4 2
z  2z  8  0 . Trên mặt 1 2 3 4
phẳng tọa độ, gọi A , B , C , D lần lượt là bốn điểm biểu diễn bốn nghiệm z , z , z , z đó. 1 2 3 4
Tính giá trị của P  OA  OB  OC  OD , trong đó O là gốc tọa độ. A. P  4 .
B. P  2  2 . C. P  2 2 .
D. P  4  2 2 . 2
Câu 228. [2D4-2] Tìm số phức z , biết z thỏa mãn:  z  3  i  6 z  3  i 13  0 .
A. z  2i ; z  2i .
B. z  i ; z  3i .
C. z  i ; z  3i .
D. z  3  2i ; z  3  2i .
Câu 229. [2D4-1] Tìm số phức z biết z  5 và phần thực lớn hơn phần ảo một đơn vị. A. z  4
  3i , z  3  4 . i
B. z  4  3 ; i z  3   4 . i 1 2 1 2
C. z  3  4i , z  4  3 . i
D. z  4  3i , z  4   3 . i 1 2 1 2
Câu 230. [2D4-2] Biết phương trình 2
z  az  b  0 a,b   có một nghiệm là z  2   . i Tính a  . b A. 9. B. 1. C. 4. D. 1  .
Câu 231. [2D4-2] Cho số phức z  a  bi với a , b là hai số thực khác 0. Một phương trình bậc hai với
hệ số thực nhận z làm nghiệm với mọi a , b là A. 2 2 2
z  a  b  2ab . i B. 2 2 2
z  a  b . C. 2 2 2
z  2az  a  b  0. D. 2 2 2
z  2az  a  b  0. 2
Câu 232. [2D4-2] Có bao nhiêu số phức z thoả mãn 2
z  z  z . A. 3. B. 2. C. 1. D. 4.
Câu 233. [2D4-3] Gọi A , B là hai điểm biểu diễn hai nghiệm phức của phương trình 2
z  2z 10  0.
Tính độ dài đoạn thẳng A . B A. 6. B. 2. C. 12. D. 4.
Câu 234. [2D4-2] Gọi z , z là hai nghiệm của phương trình 2
3z  z  6  0 . Tính 3 3
A  z  z . 1 2 1 2 3  54  3  54 3  54 3  54 A. . B. . C. . D. . 9 9 9  9
3 – TẬP HỢP ĐIỂM
Câu 178. [2D4-1] Gọi M là điểm biểu diễn số phức z  i   i2 1 2
. Tọa độ của điểm M là A. M  4  ; 3   . B. M 4; 3   . C. M  4  ;3 .
D. M 4;3 .
Câu 179. [2D4-1] Cho số phức z  4
  5i . Gọi M là điểm biểu diễn cho số phức z . Tìm tung độ của điểm M . A. y  5 . B. y  4 . C. y  4  . D. y  5  . M M M M
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 48
Câu 180. [2D4-1] Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số
phức z . Tìm môđun của số phức z . y A. z  3 . O 3 x B. z  5 . C. z  4 . D. z  4  . 4  M
Câu 181. [2D4-1] Cho số phức z  2i .Hỏi điểm biểu diễn của z là điểm nào trong y
các điểm M , N , P , Q ở hình bên. N Q 2 A. điểm M . B. điểm N . O M C. điểm P . 1 1 2 x D. điểm Q . 2 P
Câu 182. [2D4-1] Cho số phức z  4
  6i . Gọi M là điểm biểu diễn số phức z . Tung độ của điểm M là A. 6 . B. 4 . C. 4  . D. 6  .
Câu 183. [2D4-1] Cho số phức z  1 2i . Hãy tìm tọa độ điểm biểu diễn số phức z . A. 1;2. B. 1;2. C.  1  ; 2. D.  1  ; 2.
Câu 184. [2D4-1] Gọi A và B tương ứng là điểm biểu diễn của số phức z  3  2i và z '  2  3i . Khẳng
định nào sau đây đúng?
A. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục Oy .
B. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng y  x .
C. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục Ox .
D. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua gốc tọa độ. y
Câu 185. [2D4-1] Điểm M trong hình vẽ là điểm biểu diễn số phức z .
Khi đó phần thực và phần ảo của số phức z là
A. Phần thực bằng 4 và phần ảo bằng 2  . O 4
B. Phần thực bằng 2  và phần ảo bằng 4. x
C. Phần thực bằng 4  và phần ảo bằng 2. 2  M
D. Phần thực bằng 2 và phần ảo bằng 4.
Câu 186. [2D4-1] Trong mặt phẳng phức, cho A 2, 
1 thì B đối xứng với A qua trục tung sẽ là điểm
biểu diễn của số phức nào sau đây:
A. z  2  i .
B. z  2  i . C. z  2   i . D. z  2   i .
Câu 187. [2D4-1] Trên mặt phẳng phức, cho điểm A biểu diễn số phức 3  2i, điểm B biểu diễn số phức 1   6 .
i Gọi M là trung điểm của A .
B Khi đó điểm M biểu diễn số phức nào sau đây? A. 1 2i. B. 2  4i. C. 2  4 . i D. 1 2 . i
Câu 188. [2D4-1] Cho số phức z thỏa mãn 1 i z  1   3 . i
Hỏi điểm biểu diễn của z là điểm nào trong các điểm M , y N M
N , P , Q ở hình bên? A. Điểm N. x B. Điểm . Q 1  O 1 C. Điểm . P D. Điểm M . P Q
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 49
Câu 189. [2D4-1] Điểm biểu diễn của các số phức z  7  bi với b   , nằm trên đường thẳng có phương trình là
A. y  x  7 . B. x  7 . C. y  7 .
D. y  x .
Câu 190. [2D4-1] Gọi z là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 2
z  2z  3  0 . Tọa độ điểm 1
M biểu diễn số phức z là 1 A. M  1  ;  2i . B. M  1  ;  2 . C. M  1  ; 2   . D. M  1  ; 2 .
Câu 191. [2D4-1] Cho số phức z  6  7i . Điểm M biểu diễn cho số phức liên hợp của z trên mặt phẳng Oxy là A. M 6;7. B. M  6  ;7. C. M  6  ; 7. D. M 6; 7  .
Câu 192. [2D4-1] Trong mặt phẳng phức, gọi A , B , C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z  1
  3i , z  1 5i , z  4
 i . Tứ giác ABCD là một hình bình hành thì D là điểm biểu 1 2 3 diễn số phức nào? A. 2  i. B. 5  6 . i C. 2  . i D. 3  4 . i
Câu 193. [2D4-1] Tìm điểm M biểu diễn số phức z  i  2. A. M 1; 2  . B. M 2;  1 .
C. M 2;   1 . D. M  2  ;  1
Câu 194. [2D4-1] Cho số phức z thỏa mãn   2 1 z
là số thực. Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là A. Đường tròn. B. Parabol.
C. Hai đường thẳng. D. Đường thẳng.
Câu 195. [2D4-1] Cho số phức z  4
  2i . Trong mặt phẳng phức, điểm biểu diễn của z có tọa độ là A. M 2; 4  . B. M  4  i; 2. C. M  4  ; 2. D. M  4  ; 2i.
Câu 196. [2D4-1] Kí hiệu z là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 2
4z 16z 17  0 . 0
Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w  iz ? 0  1   1   1   1  A. M ; 2 . B. M  ; 2 . C. M  ;1 . D. M ;1 . 1   2   3   4    2   2   4   4 
Câu 197. [2D4-1] Giả sử M , N , P , Q được cho ở hình vẽ bên là điểm
biểu diễn của các số phức z , z , z , z trên mặt phẳng tọa độ. y 1 2 3 4 N 2 M
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Điểm Q là điểm biểu diễn số phức z  1 2 . i 4 x
B. Điểm M là điểm biểu diễn số phức z  2  . i 1  O 1 1
C. Điểm P là điểm biểu diễn số phức z  1   2 . i 3 P 2  Q
D. Điểm N là điểm biểu diễn số phức z  2  i. 2
Câu 198. [2D4-1] Trong mặt phẳng toạ độ, điểm A 1;  2 là điểm biểu diễn của số phức nào trong các số sau? A. z  1   2i .
B. z  1 2i .
C. z  1 2i . D. z  2   i .
Câu 199. [2D4-2] Cho số phức z thỏa mãn iz  2  i  0 . Khoảng cách từ điểm biểu diễn của z trên mặt
phẳng tọa độ Oxy đến điểm M 3;4 là A. 2 5 . B. 13 . C. 2 10 . D. 2 2 .
Câu 200. [2D4-2] Kí hiệu z là nghiệm phức có phần thực và phần ảo đều âm của phương trình 0 2
z  2z  5  0 . Trên mặt phẳng toạ độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức 3
w  z .i ? 0 A. M 2; 1 . B. M 1; 2 . C. M 2  ; 1  . D. M 2;1 . 3   4   1   2  
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 50 Câu 201. [2D4-2] Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 5
z  2  3i z  1 9i . Số phức w 
có điểm biểu diễn là iz
điểm nào trong các điểm A , B , C , D ở hình bên? A. Điểm D . B. Điểm C . C. Điểm B . D. Điểm A .
Câu 202. [2D4-2] Cho các điểm A , B , C nằm trong mặt phẳng phức lần lượt biểu diễn các số phức 1 3i , 2
  2i , 1 7i . Gọi D là điểm sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Điểm D biểu
diễn số phức nào trong các số phức sau đây? A. z  2   8i .
B. z  4  6i .
C. z  4  6i .
D. z  2  8i . 2017 i
Câu 203. [2D4-2] Trong mặt phẳng phức, tìm điểm M biểu diễn số phức z  . 3  4i  4 3   4 3   4 3   4 3  A. M  ;   . B. M ;   . C. M  ;    . D. M ;    .  25 25   25 25   25 25   25 25 
Câu 204. [2D4-2] Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2  2  i z  3  2i z  i . Tìm tọa độ điểm biểu
diễn của số phức liên hợp với z .  11 5   11 5   11 5   11 5  A. M ;    . B. M  ;   . C. M  ;    . D. M ;   .  8 8   8 8   8 8   8 8 
Câu 205. [2D4-2] Cho các số phức z  1 2i , z  2  3i . Khẳng định nào sau đây là sai về số phức 1 2
w  z .z ? 1 2
A. Môđun của w là 65.
B. Số phức liên hợp của w là 8  i .
C. Điểm biểu diễn w là M 8;  1
D. Phần thực của w là 8, phần ảo là 1  .
Câu 206. [2D4-2] Trong mặt phẳng tọa độ, điểm M là điểm biểu diễn của
số phức z (như hình vẽ bên). Điểm nào trong hình vẽ là điểm biểu
diễn của số phức 2z ? A. Điểm N. B. Điểm . Q C. Điểm E. D. Điểm . P
Câu 207. [2D4-2] Cho ba số phức z , z , z có điểm biểu diễn lần lượt là các điểm A 1;3 , B 5;7 . 1 2 3
C 2;22 . Tính z  z  z . 1 2 3 A. 3 2 . B. 10 . C. 2 5 . D. 6 5 .
Câu 208. [2D4-2] Kí hiệu z là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 2
6z 12z  7  0 .Trên mặt 1 1
phẳng tọa độ, tìm điểm biểu diễn của số phức w  iz  . 1 6 A. 0;  1  . B. 1;  1 . C. 0;  1 . D. (1;0 .
Câu 209. [2D4-2] Trong mặt phẳng phức gọi M là điểm biểu diễn cho số phức z  a  bi
a,b  , ab  0 , M  là diểm biểu diễn cho số phức z . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. M  đối xứng với M qua Oy .
B. M  đối xứng với M qua Ox .
C. M  đối xứng với M qua O .
D. M  đối xứng với M qua đường thẳng y  x .
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 51
Câu 210. [2D4-2] Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho các điểm A 4;0, B 1;4 và C 1;   1 . Gọi
G là trọng tâm của tam giác ABC. Biết rằng G là điểm biểu diễn số phức z. Mệnh đề nào sau đây là đúng? 3 3 A. z  3  i . B. z  3  i .
C. z  2  i .
D. z  2  i . 2 2
Câu 211. [2D4-2] Gọi M , N lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức 1 i , 2  3i . Số phức z   
biểu diễn bởi điểm Q sao cho MN  3MQ  0 là 2 1 2 1 2 1 2 1 A. z   i . B. z   i . C. z    i . D. z    i . 3 3 3 3 3 3 3 3 1 7i
Câu 212. [2D4-2] Cho số phức z thỏa mãn iz  1 2i 
. Xác định điểm A biểu diễn số phức liên 1 3i hợp z .
A. A1;3 . B. A 1  ; 3 . C. A1; 3   . D. A1;3 .
Câu 213. [2D4-2] Cho số phức z  m  m  3i , m  . Tìm m để điểm biểu diễn của số phức z nằm
trên đường phân giác của góc phần tư thứ hai và thứ tư. 3 1 2 A. m  . B. m  . C. m  . D. m  0 . 2 2 3
Câu 214. [2D4-2] Cho số phức z có số phức liên hợp là z . Gọi M và M  tương ứng, lần lượt là điểm
biểu diễn hình học của z và z . Hãy chọn mệnh đề đúng.
A. M và M  đối xứng qua trục thực.
B. M và M  trùng nhau.
C. M và M  đối xứng qua gốc tọa độ.
D. M và M  đối xứng qua trục ảo.
Câu 215. [2D4-2] Cho z  2 10 . Số phức z được biểu diển bởi điểm nào trong hình bên: A. P . B. M . C. N . D. Q .
Câu 216. [2D4-3] Tìm điểm biểu diễn số phức z thoả mãn 1 i z  2  i  z  3  i . A. 1;  1  . B. 1; 2 . C. 1;  1 . D.  1  ;  1 .
Câu 217. [2D4-3] Tìm tất cả các số phức z thỏa mãn z  2i  5 và điểm biểu diễn của z thuộc đường
thẳng d : 3x  y 1  0 . 2 1
A. z  1 4i .
B. z  1 4i; z    i . 5 5 2 1 2 11 C. z    i . D. z  1
  2i; z   i . 5 5 5 5
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 52 z  z 1
Câu 218. [2D4-3] Gọi M là điểm biểu diễn số phức w 
, trong đó z là số phức thỏa mãn 2 z 
1 i z  2i  2  i  3z . Gọi N là điểm trong mặt phẳng sao cho Ox,ON   2 , trong đó   
  Ox,OM  là góc lượng giác tạo thành khi quay tia Ox tới vị trí tia OM . Điểm N nằm trong góc phần tư nào?
A. Góc phần tư thứ  I  .
B. Góc phần tư thứ  IV  .
C. Góc phần tư thứ  III  .
D. Góc phần tư thứ  II  .
Câu 219. [2D4-3] Gọi M và N lần lượt là điểm biểu diễn của các số y
phức z , z như hình vẽ bên. Khi đó khẳng định nào sau đây N 1 2 sai? M
A. z  z  MN.
B. z  OM . 1 2 1
C. z  ON.
D. z  z  MN. 2 1 2 O x
Câu 220. [2D4-3] Hình bên ghi lại việc biểu diễn vài số phức trong mặt
phẳng số phức.Đường tròn đơn vị có tâm là gốc tọa độ. Một
trong số những số phức này là số nghịch đảo của E . Số đó là số nào? A. C . B. B . C. D . D. A .
Câu 221. [2D4-3] Số phức z được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ như hình vẽ: y 1 z 1 x O i
Hỏi hình nào biểu diễn cho số phức w  ? z y 1 y  1 x O 1 x O 1  A. B. y y 1 1  O O x 1 x 1  C. D.
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 53 Câu 222. [2D4-3] Cho ,
A B, C lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức 4, 4i, m  3i . Với giá trị thực nào của m thì ,
A B, C thẳng hàng? A. m  1. B. m  1  . C. m  2 . D. m  2  . 2
Câu 223. [2D4-3] Cho số phức z thỏa mãn z 
và điểm A trong hình vẽ y Q 2
bên là điểm biểu diễn của z . Biết rằng trong hình vẽ bên, điểm biểu 1
diễn của số phức w 
là một trong bốn điểm M , N , P , Q . Khi M A iz
đó điểm biểu diễn của số phức w là O x A. điểm Q . B. điểm M . N C. điểm N . D. điểm P .
Câu 224. [2D4-4] Với hai số phức bất kỳ z , z , khẳng định nào sau đây đúng 1 2 P
A. z  z  z  z .
B. z  z  z  z . 1 2 1 2 1 2 1 2
C. z  z  z  z  z  z .
D. z  z  z  z . 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
Câu 225. [2D4-4] Gọi M là điểm biểu diễn số phức z  3  4i và điểm M  là điểm biểu diễn số phức 1 i z 
z . Tính diện tích tam giác OMM  ( O là gốc tọa độ). 2 15 25 25 31 A. . B. . C. . D. . 2 4 2 4
Câu 226. [2D4-4] Số phức z được biểu diễn trên mặt phẳng như hình sau Hỏi hình nào biểu diễn cho số phức 2 z . y 1 z O 1 x y y 2 z 1 1 2 z A. B . O 1 x . O 1 x . y y 1 1 C. 2 2 D. z z O 1 x . O 1 x .
Câu 227. [2D4-1] Tìm tập hợp những điểm M biểu diễn số phức z trong mặt phẳng phức, biết số phức
z thỏa mãn điều kiện z  2i  z  1 .
A. Tập hợp những điểm M là đường thẳng có phương trình 4x  2 y  3  0 .
B. Tập hợp những điểm M là đường thẳng có phương trình 4x  2 y  3  0 .
C. Tập hợp những điểm M là đường thẳng có phương trình 2x  4 y  3  0 .
D. Tập hợp những điểm M là đường thẳng có phương trình 2x  4 y  3  0 .
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 54
Câu 228. [2D4-2] Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn z  2  i  z  2i là đường thẳng
A. 4x  2 y 1  0 .
B. 4x  6 y 1  0 .
C. 4x  2 y 1  0 .
D. 4x  2 y 1  0 .
Câu 229. [2D4-2] Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn
điều kiện số phức w  z 2  3i  5  i là số thuần ảo. A. Đường tròn 2 2 x  y  5 .
B. Đường thẳng 2x  3y  5  0 . 2 2
C. Đường tròn  x  3   y  2  5 .
D. Đường thẳng 3x  2 y 1  0 .
Câu 230. [2D4-2] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z(1 i) là số thực là
A. Đường tròn bán kính bằng 1. B. Trục Ox .
C. Đường thẳng y   x .
D. Đường thẳng y  x .
Câu 231. [2D4-2] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z  i 1. z  i
A. Hai đường thẳng y  1  , trừ điểm 0;  1  .
B. Hình chữ nhật giới hạn bởi các đường thẳng x  1  ; y  1  . 2 2
C. Đường tròn  x   1   y   1  1 . D. Trục Ox .
Câu 232. [2D4-2] Trong mặt phẳng phức tập hợp điểm M  z thoả mãn z z  z z 1  0 với z  1 i là 0 0 0
đường thẳng có phương trình A. 2
 x  2 y 1  0 . B. 2
 x  2 y 1  0 .
C. 2x  2 y 1  0 .
D. 2x  2 y 1  0 .
Câu 233. [2D4-3] Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z  1 i  z  2i là đường nào sau đây? A. Đường thẳng. B. Đường tròn. C. Elip. D. Parabol.
Câu 234. [2D4-3] Cho các số phức z thỏa mãn z  i  z 1 2i . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức
w  2  i z 1 trên mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng. Viết phương trình đường thẳng đó.
A. x  7 y  9  0.
B. x  7 y  9  0.
C. x  7 y  9  0.
D. x  7 y  9  0.
Câu 235. [2D4-3] Cho số phức z thỏa: 2 z  2  3i  2i 1 2z . Tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z là
A. một đường thẳng có phương trình: 20x 16 y  47  0 .
B. một đường thẳng có phương trình: 20x 16 y  47  0 .
C. một đường có phương trình: 2
3y  20x  2 y  20  0 .
D. một đường thẳng có phương trình: 20x  32 y  47  0 . z  i
Câu 236. [2D4-3] Cho số phức z thoả mãn
 1. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trong mặt z  i phẳng phức là A. đường tròn. B. trục thực. C. trục ảo. D. một điểm
Câu 237. [2D4-1] Trong mặt phẳng Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z 1  1 i z là
A. Đường tròn có tâm I  1
 ; 0 , bán kính r  2 .
B. Đường tròn có tâm I 0; 
1 , bán kính r  2 .
C. Đường tròn có tâm I 1; 0 , bán kính r  2 .
D. Đường tròn có tâm I 0;  
1 , bán kính r  2 .
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 55
Câu 238. [2D4-2] Với các số phức z thỏa mãn | z  2  i | 4 , tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là
một đường tròn. Tìm bán kính R đường tròn đó A. R  8 . B. R  16 . C. R  2 . D. R  4 .
Câu 239. [2D4-2] Cho các số phức z thỏa mãn z  i  5. Biết rằng tập hợp điểm biểu diễn số phức
w  iz  1 i là đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó. A. r  22. B. r  4. C. r  20. D. r  5.
Câu 240. [2D4-2] Tập hợp tất cả các điểm biểu diển số phức z trên mặt phẳng tọa độ thỏa mãn z  i  1
là một đường tròn. Gọi I là tâm của đường tròn này, tọa độ I là
A. I 0;  1 . B. I 0;  1 .
C. I 1;0 .
D. I 1;0 .
Câu 241. [2D4-2] Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện
z  2  5i  6 là đường tròn có tâm và bán kính lần lượt là
A. I 2;5, R  6.
B. I 2;5 , R  36.
C. I 2;5 , R  6.
D. I 2;5, R  36.
Câu 242. [2D4-3] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn
z  i  1 i z là đường tròn có phương trình.
A. x   y  2 2 1  2 .
B.  x  2 2 1  y  2 .
C. x   y  2 2 1  2 .
D.  x  2 2 1  y  2 . z 1
Câu 243. [2D4-3] Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn phần thực của bằng 0 là z  i
đường tròn tâm I , bán kính R (trừ một điểm).  1 1  1  1 1  1 A. I  ;  , R    . B. I  ;  , R    .  2 2  2  2 2  2  1 1  1  1 1  1 C. I ; , R    . D. I ; , R    .  2 2  2  2 2  2
Câu 244. [2D4-3] Cho các số phức z thỏa mãn z  12 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số
phức w  8  6i z  2i là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó. A. r  122 . B. r  120 . C. r  24 7 . D. r  12 .
Câu 245. [2D4-3] Tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn
z  3  5i  4 là một đường tròn. Tính chu vi C của đường tròn đó.
A. C  4 .
B. C  2 .
C. C  8 .
D. C  16 .
Câu 246. [2D4-3] Cho số phức z thỏa mãn  z  
1  z  2i là một số thuần ảo. Tập hợp điểm biểu diễn
số phức z là một đường tròn có diện tích bằng 5 5 A. 5 . B. . C. . D. 25 . 4 2
Câu 247. [2D4-3] Cho các số phức z thỏa mãn z 1  2 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số
phức w  1 i 3 z  2 là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó. A. r  16 . B. r  4 . C. r  25 . D. r  9 . 10
Câu 248. [2D4-3] Cho thỏa mãn z   thỏa mãn 2  i z 
1 2i . Biết tập hợp các điểm biểu z
diễn cho số phức w  3  4i z 1 2i là đường tròn I , bán kính R . Khi đó. A. I  1  ; 2
  , R  5. B. I 1; 2, R  . 5
C. I 1; 2 , R  5. D. I 1; 2  , R  5.
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 56
Câu 249. [2D4-3] Cho số phức z thỏa mãn iz  2i  1 2i . Biết rằng trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập
hợp các điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn. Hãy xác định tọa độ tâm I của đường tròn đó.
A. I 0;2 . B. I 0; 2   . C. I  2  ;0 .
D. I 2;0 .
Câu 250. [2D4-3] Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  3. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm biểu diễn
số phức w  3  2i  2  i z là một đường tròn. Hãy tính bán kính của đường tròn đó. A. 3 2. B. 3 5. C. 3 3. D. 3 7.
Câu 251. [2D4-3] Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn | 2  z | |
 i  2z | .  2 2  17  2 2  17 A. I ;   ; R  . B. I  ;   ; R  .  3 3  3  3 3  3  2 2  17  2 2  17 C. I  ;    ; R  . D. I ;    ; R  .  3 3  3  3 3  3
Câu 252. [2D4-4] Cho số phức z thay đổi luôn có z  2. Khi đó tập hợp điểm biểu diễn số phức
w  1 2i z  3i là
A. Đường tròn x   y  2 2 3  20 .
B. Đường tròn x   y  2 2 3  2 5 .
C. Đường tròn x   y  2 2 3  20 .
D. Đường tròn  x  2 2 3  y  2 5 .
Câu 253. [2D4-4] Cho số phức z thỏa mãn: 2
z  m  2m  5 , với m là tham số thực thuộc  . Biết rằng
tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w  3  4i z  2i là một đường tròn. Tính bán kính r
nhỏ nhất của đường tròn đó. A. r  20 . B. r  4 . C. r  22 . D. r  5 .
Câu 254. [2D4-1] Trong mặt phẳng phức Oxy , số phức z  a  bi a,b   thỏa điều kiện nào thì có
điểm biểu diễn thuộc phần tô đậm trong hình vẽ (kể cả biên)? y A. a  3
 ; 2 2;3 và z  3 . 2 B. a  3
 ; 2  2;3 và z  3. C. a  3
 ; 2 2;3 và z  3. -3 -2 O 2 3 x D. a  3  ; 2   2;  3 và z  3. -2
Câu 255. [2D4-2] Cho 3 điểm A , B , C lần lượt biểu diễn cho các số
phức z , z , z . Biết z  z  z và z  z  0 . Khi đó 1 2 3 1 2 3 1 2
tam giác ABC là tam giác gì? y
A. Tam giác ABC đều. 3
B. Tam giác ABC vuông tại C .
C. Tam giác ABC cân tại C .
D. Tam giác ABC vuông cân tại C .
Câu 256. [2D4-2] Phần gạch chéo trong hình bên là tập hợp các điểm biểu 3  1  1 3 x
diễn số phức z thỏa mãn điều kiện nào?
A. 1  z  3. B. z  3. 3 
C. 1  z  3. D. z  1.
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 57
Câu 257. [2D4-3] Xét ba điểm ,
A B, C theo thứ tự trong mặt phẳng phức biểu diễn ba số phức phân biệt
z , z , z thỏa mãn z  z  z . Biết z  z  z  0 , khi đó tam giác ABC có tính chất gì? 1 2 3 1 2 3 1 2 3 A. Tù. B. Vuông. C. Cân. D. Đều
Câu 258. [2D4-3] Tập hợp các số phức w  1 i z 1 với z là số phức thỏa mãn z 1  1 là hình tròn.
Tính diện tích hình tròn đó. A. 4 . B. 2 . C. 3 . D.  .
Câu 259. [2D4-4] Cho hai số thực b và c c  0 . Kí hiệu A , B là hai điểm của mặt phẳng phức biểu
diễn hai nghiệm phức của phương trình 2
z  2bz  c  0 . Tìm điều kiện của b và c để tam giác
OAB là tam giác vuông ( O là gốc tọa độ). A. 2 b  2c . B. 2 c  2b .
C. b  c . D. 2 b  c .
Câu 260. [2D4-4] Gọi A , B là hai điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức z , z 1 2
khác 0 thỏa mãn đẳng thức 2 2
z  z  z z  0 , khi đó tam giác OAB ( O là gốc tọa độ) 1 2 1 2
A. là tam giác đều.
B. là tam giác vuông.
C. là tam giác cân, không đều. D. là tam giác tù.
Câu 261. [2D4-2] Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa
mãn điều kiện z   z 2 2  4. 1
A. Là đường Hyperbol:  H : y   . 2  x 1
B. Là đường Hyperbol:  H : y  . 1  x
C. Là đường tròn tâm O 0;0 bán kính R  4. 1 1
D. Là hai đường Hyperbol:  H : y  ; H : y   . 1   2  x x
Câu 262. [2D4-2] Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn hình học số phức z trong mặt phẳng phức, biết số
phức z thỏa mãn điều kiện: z  4  z  4  10.
A. Tập hợp các điểm cần tìm là đường tròn có tâm O 0;0 và có bán kính R  4.. 2 2 x y
B. Tập hợp các điểm cần tìm là đường elip có phương trình   1. 9 25
C. Tập hợp các điểm cần tìm là những điểm M  ;
x y  trong mặt phẳng Oxy thỏa mãn phương 2 2 trình  x   2
 y   x   2 4 4  y  12. 2 2 x y
D. Tập hợp các điểm cần tìm là đường elip có phương trình   1. 25 9
Câu 263. [2D4-2] Tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện:
2 z  i  z  z  2i là hình gì?
A. Một đường thẳng.
B. Một đường Parabol.
C. Một đường Elip.
D. Một đường tròn.
Câu 264. [2D4-3] Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn 3 z  i  2z  z  3i . Tập hợp tất
cả những điểm M như vậy là A. một parabol.
B. một đường thẳng. C. một đường tròn. D. một elip.
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 58
Câu 265. [2D4-1] Tập hợp điểm biểu diễn số phức z  2i  3 là đường tròn tâm I . Tất cả giá trị m thỏa 1
khoảng cách từ I đến đường thẳng d : 3x  4 y  m  0 bằng là 5
A. m  8; m  8.
B. m  8; m  9.
C. m  7; m  9.
D. m  7; m  9.
Câu 266. [2D4-2] Kí hiệu z , z là hai nghiệm của phương trình 2
z  4  0 . Gọi M , N lần lượt là điểm 1 2
biểu diển của z , z trên mặt phẳng tọa độ. Tính T  OM  ON với O là gốc tọa độ. 1 2 A. T  2 . B. T  2 . C. T  8 . D. T  4 . Câu 267. [2D4-3] Cho ,
A B,C là các điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn 3
z  i  0 . Tìm phát biểu sai:
A. Tam giác ABC đều.
B. Tam giác ABC có trọng tâm là O 0;0.
C. Tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp là O 0;0. 3 3 D. S  . ABC 2
Câu 268. [2D4-3] Trên mặt phẳng tọa độ Oxy lấy M là điểm biểu diễn số phức z  2  i 1   i và 
gọi  là góc tạo bởi chiều dương của trục hoành với véc tơ OM . Tính sin 2 . 3 3 3 3 A. . B.  . C. . D.  . 5 5 10 10
4 - GIÁ TRỊ LỚN NHẤT NHỎ NHẤT CỦA MÔĐUN SỐ PHỨC
Câu 326. [2D4-2] Trong các số phức thỏa mãn z  z  3  4i , số phức nào có mô đun nhỏ nhất. 3 3
A. z  3  4i . B. z   2i .
C. z  3  4i . D. z   2i . 2 2
Câu 327. [2D4-2] Cho số phức z thỏa mãn z  2  2i  1 . Số phức z  i có môđun nhỏ nhất là A. 5 1. B. 5 1 . C. 5  2 . D. 5  2 .
Câu 328. [2D4-2] Cho các số phức z  3i , z  1
  3i , z  m  2i . Tập giá trị tham số m để số phức 1 2 3
z có môđun nhỏ nhất trong 3 số phức đã cho là 3 A.  ;
  5   5; . B.  5; 5. C.  5; 5  . D.  5; 5 .  
Câu 329. [2D4-3] Cho số phức z thay đổi thỏa mãn z  3  4i  4 . Tìm giá trị lớn nhất P của biểu max
thức P  z . A. P  9 . B. P  5 . C. P  12 . D. P  3 . max max max max
Câu 330. [2D4-3] Cho số phức z thỏa mãn z 1  z  i . Tìm môđun nhỏ nhất của số phức
w  2z  2  i . 3 3 2 3 A. . B. 3 2 . C. . D. . 2 2 2 2
Câu 331. [2D4-4] Cho số phức z thỏa mãn 2
z  i  1. Giá trị lớn nhất của z là A. 5 . B. 2 . C. 2 2 . D. 2 .
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 59
Câu 332. [2D4-3] Cho số phức z thoả mãn điều kiện z  2  4i  z  2i . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.
A. z  1 i .
B. z  2  2i .
C. z  2  2i .
D. z  3  2i . 2z  i
Câu 333. [2D4-3] Cho số phức z thỏa mãn z  1 và số phức w 
. Khi đó, kết luận nào sau đây 2  iz đúng? A. w  2 . B. w  1. C. w  2 .
D. 1  w  2 .
Câu 334. [2D4-3] Cho số phức z thỏa mãn 2
z  2z  5   z 1 2i z  3i  
1 . Tính min w , với
w  z  2  2i . 3 A. min w  .
B. min w  2 . 2 1 C. min w  1. D. min w  . 2
Câu 335. [2D4-3] Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: z 1 2i  5 và w  z  1 i có môđun lớn
nhất. Số phức z có môđun bằng A. 2 5 . B. 3 2 . C. 6 . D. 5 2 .
Câu 336. [2D4-3] Cho số phức z , tìm giá trị lớn nhất của z biết rằng z thỏa mãn điều kiện 2
  3i z 1 1. 3  2i A. 3 . B. 2 . C. 2 . D. 1.
Câu 337. [2D4-3] Cho số phức z thỏa mãn z  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T  z  1  2 z 1 .
A. max T  2 5 .
B. max T  2 10 .
C. max T  3 5 .
D. max T  3 2 .
Câu 338. [2D4-3] Trong các số phức z thỏa z  3  4i  2 , gọi z là số phức có mô đun nhỏ nhất. Khi 0 đó
A. Không tồn tại số phức z . B. z  2 . 0 0 C. z  7 . D. z  3 . 0 0
Câu 339. [2D4-3] Cho số phức z thỏa mãn iz  4  3i  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của z . A. 6 . B. 4 . C. 3 . D. 5 . 3
Câu 340. [2D4-3] Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  3i 
, tìm số phức có môđun nhỏ nhất. 2 26  3 13 78  9 13 25  3 13 78  9 13 A. z   . i B. z   i. 13 26 13 26 26  3 13 78  9 13 26  3 13 78  9 13 C. z   . i D. z   i. 13 26 13 26
Câu 341. [2D4-3] Biết rằng số phức z thỏa mãn:    z  3  i z 1 3i là một số thực.Tìm số phức z
để z đạt giá trị nhỏ nhất.
A. z  2  2i .
B. z  2  2i .
C. z  2  2i .
D. z  2  2i .
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 60
Câu 342. [2D4-3] Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i  4 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ
nhất của z  2  i . Tính 2 2
T  M  m . A. T  50 . B. T  64 . C. T  68 . D. T  16 .
Câu 343. [2D4-4] Xét số phức z thỏa mãn z  2  i  z  4  7i  6 2 . Gọi m , M lần lượt là giá trị nhỏ
nhất và giá trị lớn nhất của z 1 i . Tính P  m  M 5 2  2 73 5 2  73
A. P  13  73 . B. P 
. C. P  5 2  2 73 . D. P  . 2 2
Câu 344. [2D4-4] Cho hai số phức z , z thỏa mãn z z  4 z z và nếu gọi M , N là điểm biểu diễn 1 2 1 1 2 2
z , z trong mặt phẳng tọa độ thì tam giác giác MON có diện tích là 8. Tìm giá trị nhỏ nhất 1 2 của z  z . 1 2 A. 3 3 . B. 8 . C. 6 . D. 5 .
Câu 345. [2D4-4] Cho các số phức z, w thỏa mãn z  2  2i  z  4i , w  iz 1. Giá trị nhỏ nhất của w là 2 3 2 A. . B. 2 2 . C. 2 . D. . 2 2
Câu 346. [2D4-4] Với hai số phức z và z thỏa mãn z  z  8  6i và z  z  2 . Tìm giá trị lớn nhất 1 2 1 2 1 2
của P  z  z 1 2
A. P  5  3 5 . B. P  2 26 . C. P  4 6 .
D. P  34  3 2 .
Câu 347. [2D4-4] Cho số phức z thỏa mãn z  2  3i  1. Giá trị lớn nhất của z 1 i là A. 13  2 . B. 4 . C. 6 . D. 13 1 .
Câu 348. [2D4-4] Cho số phức z thỏa mãn z  3  z  3  8 . Gọi M , m lần lượt giá trị lớn nhất và nhỏ
nhất z . Khi đó M  m bằng A. 4  7. B. 4  7. C. 7. D. 4  5.
Câu 349. [2D4-4] Trong số các số phức z thỏa mãn điều kiện z  4  3i  3, gọi z là số phức có 0
môđun lớn nhất. Khi đó z là 0 A. 3. B. 4. C. 5. D. 8.
Câu 350. [2D4-4] Cho số phức thỏa mãn z  2  2i  1 . Giá trị lớn nhất của z là. A. 4 2  2 . B. 2 2 1. C. 2  2 . D. 3 2 1 .
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 61
Vấn đề 5. SỐ PHỨC
TRONG CÁC ĐỀ THI ĐH – CĐ – THPTQG
PHẦN 1 - CÁC ĐỀ TỰ LUẬN TRƯỚC 2017 2 2 Bài 1.
Gọi z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2
z  2z 10  0 . Tính A  z  z . 1 2 1 2
ĐH Khối A –09 (CB) ĐS: A = 20 Bài 2.
Tìm số phức z thỏa z  2  i | 10 và . z z  25
ĐH Khối B –09 (CB)
ĐS: z = 3 + 4i  z = 5 Bài 3.
Tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện z  3  4i  2 . ĐH D –09
ĐS: đường tròn tâm I(3; – 4 ), bk R = 2. 2 Bài 4.
Cho số phức z : 1 i 2  i z  8  i  1 2i z . Xác định phần thực và phần ảo của z . CĐ–09 (CB)
ĐS: Phần thực – 2; Phần ảo 5. 4z  3  7i Bài 5. Giải phương trình
 z  2i . z  i
CĐ Khối A,B,D –09 (NC)
ĐS: x  1 2i ; x  3  i . 1 2 2 Bài 6.
Tìm phần ảo của z, biết: z   2  i 1 2i .
ĐH Khối A –10 (CB) ĐS:  2   i3 1 3 Bài 7. Cho z: z 
. Tìm môđun của z  iz . 1 i
ĐH Khối A –10 (NC) ĐS: 8 2 Bài 8.
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện
z  i  1 i z .
ĐH Khối B –10 (CB)
ĐS: đường tròn x   y  2 2 1  2 Bài 9.
Tìm số phức z thoả z  2 và 2
z là số thuần ảo. ĐH D –10
ĐS: z1,2 = 1  i; z3,4 = –1 i Bài 10.
Cho số phức z thỏa:   i z    i z     i2 2 3 4 1 3
. Xác định phần thực và phần ảo của z . CĐ –10 (CB)
ĐS: Phần thực – 2; Phần ảo 5. Bài 11. Giải phương trình 2
z  1 i z  6  3i  0 .
CĐ Khối A,B,D –10 (NC)
ĐS: x  1 2i ; x  3i . 1 2 2 Bài 12.
Tìm tất cả các số phức z , biết: 2
z  z  z . ĐH A –11 (CB)
ĐS: z  0  z  1/2  i/2 Bài 13.
Tính môđun của số phức z , biết: 2z  
1 1 i   z  
1 1 i  2  2i .
ĐH Khối A –11 (NC)
ĐS: z  2 / 3
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 62 5  i 3 Bài 14.
Tìm số phức z , biết: z  1  0 . z ĐH B –11 (CB)
ĐS: z  0  z  1/2  i/2 3  1 i 3  Bài 15.
Tìm phần thực và phần ảo của: z    .  1 i    
ĐH Khối B –11 (NC)
ĐS: Phần thực 2; Phần ảo 2. Bài 16.
Tìm số phức z , biết: z  2  3i z  1 9i .
ĐH Khối D –11 (CB)
ĐS: z  2  i Bài 17.
Cho z :   i2 1 2
z  z  4i  20 . Tính môđun của z .
CĐ Khối A, A1, B, D –11 (CB) ĐS: z  5 5 z  i Bài 18.
Cho số phức z thỏa mãn
 2  i . Tính môđun của số phức 2
w  1 z  z . z 1
ĐH Khối A –12 (NC) ĐS: z  13 1 Bài 19.
Cho số phức z thỏa mãn: 2
z  2 1 i z  2i  0 . Tìm phần thực và phần ảo của . z CĐ –11 (NC)
ĐS: Phần thực –1/2; Phần ảo 1/2. Bài 20.
Gọi z và z là hai nghiệm phức của 2
z  2 3iz  4  0 . Viết dạng lượng giác của z và z . 1 2 1 2      2 2 
ĐH Khối B –11 (NC) ĐS: z  2 cos  i sin , z  2 cos  i sin 1   2    3 3   3 3  2 1 2i Bài 21.
Cho số phức z thỏa mãn 2  i z 
 7  8i . Tính môđun của số phức w  z  i 1. 1 i
ĐH Khối D –12 (CB) ĐS: z  5 Bài 22. Giải phương trình 2
z  31 i z  5i  0 .
ĐH Khối D –12 (NC) ĐS: z  1
  2i  z  2  i 1 2  i Bài 23.
Cho số phức z thỏa mãn: 1 2i z 
 3  i z . Tìm tọa độ điểm biểu diễn của z trong 1 i
mặt phẳng tọa độ Oxy .
CĐ Khối A, A1, B, D – 2012 (CB) ĐS: M(1/10; 7/10) Bài 24.
Gọi z và z là hai nghiệm phức của phương trình 2
z  2z 1 2i  0 . Tính z  z . 1 2 1 2
CĐ Khối A, A1, B, D –11 (NC)
ĐS: z  z  1 5 . 1 2 Bài 25.
Cho số phức z  1 3i . Viết dạng lượng giác của z . Tìm phần thực và phần ảo của
w    i 5 1 .z .
ĐH Khối A,A1 –13 (NC)
ĐS: z  2 cos / 3  i sin / 3 Thực 161 3 ; Ảo 161 3 z  2z 1 Bài 26.
Cho số phức z thỏa điều kiện 1 i z  i  2z  2i Tính môđun của số phức w  . 2 z
ĐH Khối D –13 (CB) ĐS: 10
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 63 Bài 27.
Cho số phức z thỏa:   i z    i2 3 2 2
 4  i Tìm phần thực và phần ảo của số phức
w  1 z z . CĐ –13 (CB)
ĐS: Phần thực 3; Phần ảo –1 Bài 28. Giải phương trình 2
z  2  3i z 1 3i  0 . CĐ –13 (NC) ĐS: z  1
  2i; z  1 i . 1 2 Bài 29.
Cho số phức z thỏa z  2  i z  3  5i . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z . ĐH Khối A, A1 –14
ĐS: Phần thực 2; Phần ảo –3 Bài 30.
Cho số phức z thỏa 2z  31 i z  1 9i . Tính môđun của số phức z . ĐH Khối B –14 ĐS: 13 Bài 31.
Cho số phức z thỏa 3z  z 1 i   5z  8i 1. Tính môđun của số phức z . ĐH Khối B –14 ĐS: 13 Bài 32.
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2z  iz  2  5i . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z .
CĐ Khối A,A1,B,D –14
ĐS: Phần thực 3; Phần ảo 4 Bài 33.
Cho số phức z thỏa 1 i z 1 5i  0 . Tìm phần thực và phần ảo của z. THPTQG – 15
ĐS: Thực: 3 Ảo: –2 Bài 34.
Cho số phức z  1 2i . Tìm phần thực và phần ảo của số phức w  2z  z THPTQG – 16 ĐS: Thực: 3 Ảo: 2
PHẦN 2. CÁC ĐỀ MINH HỌA, ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI THPTQG 2017+ ĐỀ MINH HỌA 2018 Câu 1.
[2D4-1–MH1] Cho số phức z  3  2i . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z .
A. Phần thực bằng 3  và phần ảo bằng 2  i .
B. Phần thực bằng 3  và phần ảo bằng 2  .
C. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2i .
D. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2 . Câu 2.
[2D4-2–MH1] Cho hai số phức z  1 i và z  2  3i . Tính môđun của số phức z  z . 1 2 1 2
A. z  z  13 .
B. z  z  5 .
C. z  z  1.
D. z  z  5 . 1 2 1 2 1 2 1 2 y N 2 M Câu 3.
[2D4-2–MH1] Cho số phức z thỏa mãn 1 i z  3  .i Hỏi điểm biểu
diễn của z là điểm nào trong các điểm M , N , P , Q ở hình bên? x A. Điểm P . B. Điểm Q . 1  O 1 C. Điểm M . D. Điểm N . P 2  Q Câu 4.
[2D4-2–MH1] Cho số phức z  2  5 .
i Tìm số phức w  iz  z .
A. w  7  3i . B. w  3   3i .
C. w  3  7i. .
D. w  7  7i . Câu 5.
[2D4-3–MH1] Kí hiệu z , z , z và z là bốn nghiệm phức của phương trình 4 2
z  z 12  0 . 1 2 3 4
Tính tổng T  z  z  z  z . 1 2 3 4 A. T  4 . B. T  2 3 .
C. T  4  2 3 .
D. T  2  2 3 . Câu 6.
[2D4-3–MH1] Cho các số phức z thỏa mãn z  4 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các
số phức w  3  4i z  i là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó. A. r  4 . B. r  5 . C. r  20 . D. r  22 .
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 64 Câu 7.
[2D4-1–MH2] Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn y
của số phức z . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z . A. Phần thực là 4  và phần ảo là 3 . 3
B. Phần thực là 3 và phần ảo là 4  i . O x
C. Phần thực là 3 và phần ảo là 4  . D. Phần thực là 4
 và phần ảo là 3i . 4  Câu 8.
[2D4-2–MH2] Tìm số phức liên hợp của số phức z  i 3i   1 . M
A. z  3  i .
B. z  3  i .
C. z  3  i .
D. z  3  i . Câu 9.
[2D4-2–MH2] Tính môđun của số phức z thỏa mãn z 2  i 13i  1. 5 34 34 A. z  34 . B. z  34 . C. z  . D. z  . 3 3 10
Câu 10. [2D4-3–MH2] Xét số phức z thỏa mãn 1 2i z 
 2  i. Mệnh đề nào dưới đây đúng? z 3 1 1 3 A.  z  2. B. z  2. C. z  . D.  z  . 2 2 2 2
Câu 11. [2D4-3–MH2] Kí hiệu z là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 0 2
4z 16z 17  0 . Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w  iz ? 0  1   1   1   1  A. M ; 2 . B. M  ; 2 . C. M  ;1 . D. M ;1 . 1   2   3   4    2   2   4   4 
Câu 12. [2D4-3–MH2] Cho số phức z  a  bi a,b   thỏa mãn 1 i z  2z  3  2 .i Tính P  a  . b 1 1 A. P  . B. P  1. C. P  1.
D. P   . 2 2
Câu 13. [2D4-1-MH3] Kí hiệu a , b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức 3  2 2i . Tìm a , b .
A. a  3;b  2 .
B. a  3;b  2 2 .
C. a  3;b  2 .
D. a  3;b  2 2 .
Câu 14. [2D4-3–MH3] Hỏi có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện z  i  5 và 2 z là số thuần ảo? A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 0 .
Câu 15. [2D4-2–MH3] Tính môđun của số phức z biết z  4  3i1 i . A. z  25 2 . B. z  7 2 . C. z  5 2 . D. z  2 .
Câu 16. [2D4-3–MH3] Trong mặt phẳng tọa độ, điểm M là điểm biểu diễn y
của số phức z (như hình vẽ bên). Điểm nào trong hình vẽ là điểm Q E M
biểu diễn của số phức 2z ?
A. Điểm N. O x
B. Điểm Q.
C. Điểm E. D. Điểm . P N P
Câu 17. [2D4-4 -MH3] Xét số phức z thỏa mãn z  2  i  z  4  7i  6 2 . Gọi m , M lần lượt là giá
trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của z 1 i . Tính P  m  M . 5 2  2 73 5 2  73
A. P  13  73 . B. P 
. C. P  5 2  2 73 . D. P  . 2 2
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 65
Câu 18. [2D4-3-MH3] Kí hiệu z ; z là hai nghiệm của phương trình 2
z  z 1  0 . Tính 1 2 2 2
P  z  z  z z . 1 2 1 2 A. P  1 . B. P  2 . C. P  1. D. P  0 .
Câu 19. [2D4-1-101] Số phức nào dưới đây là số thuần ảo? A. z  2   3i .
B. z  3i .
C. z  2 .
D. z  3  i .
Câu 20. [2D4-2-101] Cho hai số phức z  5  7i và z  2  3i . Tìm số phức z  z  z . 1 2 1 2
A. z  7  4i .
B. z  2  5i . C. z  2   5i .
D. z  3 10i .
Câu 21. [2D4-2-101] Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức 1 2i và 1 2i là nghiệm? A. 2
z  2z  3  0 . B. 2
z  2z  3  0 . C. 2
z  2z  3  0 . D. 2
z  2z  3  0 .
Câu 22. [2D4-2 –101] Cho số phức z  1 2i . Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w  iz
trên mặt phẳng tọa độ?
A. Q 1; 2. B. N 2;  1 . C. M 1; 2  . D. P  2  ;  1 .
Câu 23. [2D4-3 –101] Cho số phức z  a  bi (a, b  ) thỏa mãn z 1 3i  z i  0 . Tính S  a  3b 7 7 A. S  . B. S  5  . C. S  5 . D. S   . 3 3 z
Câu 24. [2D4-3 –101] Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  3i  5 và là số thuần ảo? z  4 A. 0 . B. Vô số. C. 1. D. 2 .
Câu 25. [2D4-2 –102] Số phức nào sau đây có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là y
điểm M như hình bên? M 1
A. z  2  i .
B. z  1 2i . 4 2 C. z  2   i .
D. z  1 2i . 3 1 2  O x
Câu 26. [2D4-2 –102] Cho hai số phức z  4  3i và z  7  3i . Tìm số phức z  z  z . 1 2 1 2 A. z  11.
B. z  3  6i . C. z  1  10i .
D. z  3  6 . i
Câu 27. [2D4-2 –102] Kí hiệu z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2
3z  z 1  0 . Tính 1 2
P  z  z . 1 2 3 2 3 2 14 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 3 3 3 3
Câu 28. [2D4-2 –102] Cho số phức 3
z  1 i  i . Tìm phần thực a và phần ảo b của z .
A. a  0, b  1 . B. a  2  , b  1 .
C. a  1, b  0 .
D. a  1, b  2.
Câu 29. [2D4-2 –102] Cho số phức z  a  bi (a, b  ) thoả mãn z  2  i  z . Tính S  4a  b .
A. S  4 .
B. S  2 . C. S  2  . D. S  4  .
Câu 30. [2D4-2 –102] Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  2  i  2 2 và  z  2 1 là số thuần ảo. A. 0 . B. 4 . C. 3 . D. 2 .
Câu 31. [2D4-2-103] Cho hai số phức z  1 3i và z  2
  5i . Tìm phần ảo b của số phức 1 2
z  z  z . 1 2
A. b  2 .
B. b  2 .
C. b  3 . D. b  3 .
Câu 32. [2D3-1-103] Cho số phức z  2  3i . Tìm phần thực a của z .
A. a  2 .
B. a  3 . C. a  3  . D. a  2  .
Câu 33. [2D4-2-103] Tìm tất cả các số thực x , y sao cho 2
x 1 yi  1   2 . i
A. x   2, y  2. B. x  2, y  2.
C. x  0, y  2. D. x  2, y  2.
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 66
Câu 34. [2D4-2-103] Ký hiệu z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2
z  z  6  0 Tính 1 2 1 1 P   . z z 1 2 1 1 1 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  6 . 6 12 6
Câu 35. [2D4-3-103] Cho số phức z thỏa mãn z  3  5 và z  2i  z  2  2i . Tính z . A. z  17 . B. z  17 . C. z  10 . D. z  10 . z
Câu 36. [2D4-3-103] Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  3i  13 và là số thuần ảo? z  2 A. Vô số. B. 2 . C. 0 . D. 1.
Câu 37. [2D4-1-104] Cho số phức z  2  i . Tính z .
A. z  3 .
B. z  5 .
C. z  2 .
D. z  5 .
Câu 38. [2D4-1-104] Tìm số phức z thỏa mãn z  2  3i  3  2i .
A. z  1 5i .
B. z  1 i .
C. z  5  5i .
D. z  1 i .
Câu 39. [2D4-2-104] Cho số phức z  1 2i , z  3  i . Tìm điểm biểu diễn của số phức z  z  z 1 2 1 2
trên mặt phẳng tọa độ.
A. N 4;3 . B. M 2; 5   . C. P  2  ;   1 .
D. Q 1;7 .
Câu 40. [2D4-2-104] Kí hiệu z , z là hai nghiệm của phương trình 2
z  4  0 . Gọi M , N lần lượt là 1 2
điểm biểu diễn của z , z trên mặt phẳng tọa độ. Tính T  OM  ON với O là gốc tọa độ. 1 2 A. T  2 . B. T  2 . C. T  8 . D. 4 .
Câu 41. [2D4-3-104] Cho số phức z thỏa mãn z  5 và z  3  z  3 10i . Tìm số phức
w  z  4  3i . A. w  3   8i .
B. w  1 3i . C. w  1   7i . D. w  4   8i .
Câu 42. [2D4-4-104] Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức
z thỏa mãn z.z  1 và z  3  i  m . Tìm số phần tử của S . A. 2 . B. 4 . C. 1. D. 3 . y
Câu 43. [2D4-1-MH18] Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức M 1 A. z  2   i .
B. z  1 2i .
C. z  2  i .
D. z  1  2i . O x 2 
Câu 44. [2D4-2-MH18] Gọi z và z là hai nghiệm phức của phương trình 2
4z  4z  3  0 . Giá trị của 1 2
biểu thức z  z bằng 1 2 A. 3 2 . B. 2 3 . C. 3 . D. 3 .
Câu 45. [2D4-3-MH18] Cho số phức z  a  bi a,b   thỏa mãn z  2  i  z 1 i  0 và z  1.
Tính P  a  b . A. P  1. B. P  5 . C. P  3 . D. P  7 .
Câu 46. [2D4-4-MH18] Xét các số phức z  a  bi a,b   thỏa mãn z  4  3i  5 . Tính
P  a  b khi z 1 3i  z 1 i đạt giá trị lớn nhất. A. P  10 . B. P  4 . C. P  6 . D. P  8 .
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 67
Vấn đề 5. CÁC ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT
Đề 1 - THPT HERMANN GMEINER– ĐÀ NẴNG
Phần trắc nghiệm (6đ) Câu 1.
Cho số phức z thoả z 1  5 và phần ảo gấp 2 lần phần thực. Môđun của z  4i  4 .
A. z  4i  4  100 .
B. z  4i  4  20 .
C. z  4i  4  10 .
D. z  4i  4  2 5 . Câu 2.
Tìm quỹ tích các điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức w  iz 1 , biết z là số phức
thoả  z  i  5 2 1  32
A. Đường tròn tâm I 3;   1 bán kính R  2 .
B. Đường tròn tâm I  1  ; 2
  bán kính R  4 .
C. Đường tròn tâm I 3;   1 bán kính R  4 .
D. Đường tròn tâm I  1  ; 2
  bán kính R  2 . Câu 3.
Gọi z , z , z , z là nghiệm phức của phương trình 4 z 16  0 . Tính 1 2 3 4
M  z  z  z  z 1 2 3 4 A. M  8 . B. M  16 . C. M  4 . D. M  0 . Câu 4.
Số phức z  a  bi có phần ảo dương thoả mãn  z z2 .
 625 và z  2  i  10 . Khi đó
S  a  b A. S  3 . B. S  8 . C. S  5 . D. S  7 . a  i Câu 5.
Gọi a và b là hai số thực dương thoả sốp hức 2
z là số thực và 2
w là số thuần ảo với z  1 i
và w  2  bi . Tính tổng S  a  b A. S  4 . B. S  2 . C. S  1 . D. S  3 . Câu 6.
Số nghiệm khác 0 trên C của phương trình  2
z  z   2 3 2
z 11z  30  60 . A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 1 . Câu 7.
Cho số phức z thoả z  3i  3  1 i . Tính giá trị nhỏ nhất của z A. z  6 . B. z  4 2 . C. z  2 . D. z  2 2 . Câu 8.
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức thoả mãn
điều kiện z 1 2i  3 .
A. Đường tròn tâm I 1;2 bán kính R  3 .
B. Đường tròn tâm I 1;   2 bán kính R  3 .
C. Đường tròn tâm I 1; 2 bán kính R  9 . D. Đường tròn tâm I 1;2 bán kính R  9 . 2 1 1 Câu 9.
Gọi z , z là hai nghiệm phức của phương trình: 2
z  2z 17  0 . Tính A   1 2 z z 1 2 2 4 A. A  . B. A  . C. A  68 . D. A  2 17 . 17 289
Câu 10. Cho số phức z thoả mãn 3z  2  z  
1  8  5i  0 . Tính môđun của z A. z  121 . B. z  11 . C. z  101 . D. z  11 .
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 68
Câu 11. Trong mặt phẳng phức, gọi A , B , C lần lượt là các điể mbiểu diễn các số phức
z  2  i i  3 , z  2i , z  2 . Tính diện tích S của tam giác ABC 1   2 3 A. S  2 . B. S  1 . C. S  4 . D. S  2 .
Câu 12. Cho số phức z  1 4i . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z .
A. Phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 4i .
B. Phần thực bằng 1
 và phần ảo bằng 4 .
C. Phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 4 .
D. Phần thực bằng 1
 và phần ảo bằng 4i . 2 2
Câu 13. Cặp số thực x , y thoả mãn x   i  y   i 2017 3 1 2  i
 13  9i . Khi đó 2
P  x  y A. P  5 . B. P  3 . C. P  5 . D. P  3 .  2
13  z  z 
Câu 14. Cho số phức z thoả z 1 5i  iz . Phần ảo b của số phức w  z
A. b  54i .
B. b  16i . C. b  16 . D. b  5  4 . 4i
Câu 15. Tìm điểm M biểu diễn số phức z  .   1 i  1 1   1 1  A. M ;    .
B. M 1;   1 . C. M  1  ;  1 . D. M  ;   .  4 4   4 4 
Phần tự luận (4đ) Câu 16. (2đ).
a) Tìm số phức z biết iz  2  3i  0 . 2 2 z  z
b) Cho các số phức z  1 i , z  1 i , z  2i . Tính 1 2 . 1 2 3 2 2 z  z 2 3 c) Cho số phức
z thoả 2z  31 2i z  2117i . Tìm phần ảo của số phức
 z   i 2 1 1  z w  . z z
Câu 17. (1đ). Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều
kiện z  3  4i  z 1 . 2
Câu 18. (1đ). Giải phương trình  2
z  z    z  2 z  z   2 3 6 2 3
6  3z  0 trên tập số phức. .
Đề 2 - THPT CẦN ĐƯỚC – LONG AN i Câu 1.
Cho số phức z biết z  2  i 
. Phần nảo của số phức 2 z là 1 i 5 5  5 5 A. . B. i . C. i . D.  . 2 2 2 2 Câu 2.
Với mọi số ảo z , số 2 2
z  z là A. Số ảo khác 0 . B. Số thực âm.
C. Số thực dương. D. 0 . Câu 3.
Điểm M trên hình vẽ bên là biểu diễn của số phức z . Tìm phần thực và phần ảo của z A. Phần thực là 4  và phần ảo là 3 .
B. Phần thực là 3 và phần ảo là 4  i . C. Phần thực là 4
 và phần ảo là 3i .
D. Phần thực là 3 và phần ảo là 4  . 2 Câu 4.
Phần thực của số phức z thoả mãn 1 i 2  i z  8  i  1 2i z là A. 6  . B. 3  . C. 2 . D. 1  .
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 69 Câu 5.
Cho số phức z thoả mãn điều kiện 2z  31 i z  1 9i . Tìm môđun của z A. z  3 . B. z  3 . C. z  13 . D. z  13 . Câu 6.
Trong các số phức z thoả mãn điều kiện 2 z  4  3i  5 . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất. 3 3 3 3 A. z  2  i . B. z  2   i . C. z  2   i . D. z  2  i . 2 2 2 2 Câu 7.
Cho số phức z thoả 1 i z  3  i . Hỏi điểm biểu diễn của z là điểm nào trong các điểm M ,
N , P , Q ở hình bên? A. Điểm P . B. Điểm Q . C. Điểm M . D. Điểm N . Câu 8.
Cho số phức z tuỳ ý, thự chiện phép cộng z  z ta có kết quả: A. Số thực. B. 1  . C. 0 . D. Số ảo. Câu 9.
Số nào trong các số sau là số thực 2  i
A. 2  5i  2  5i . B.  3  2i   3  2i . C.   2 1 3i . D. . 2  i
Câu 10. Cho số phức z . Tìm mệnh đề sai 2 z z 2 A.  .
B. z.z  z .
C. z  z là số thực.
D. z  z là số ảo. z z
Câu 11. Cho số phức z  2  3i . Tìm số phức w  2iz  z A. w  8   7i . B. w  8   i .
C. w  5  7i . D. w  8   7i .
Câu 12. Cho số phức z tuỳ ý. Xét số phức    2 2 w z z . Khi đó A. 0 .
B. w là số thực. C. 1.
D. w là số ảo.
Câu 13. Cho số phức z tuỳ ý. Xét số phức w  .
z z  i  z  z  . Khi đó
A. w là số ảo. B. 0 . C. 1.
D. w là số thực.
Câu 14. Đẳng thức nào sau đây là đúng? A. 1977 i  1  . B. 2005 i  1. C. 2006 i  i  . D. 2345 i  i .
Câu 15. Biết nghịch đảo của số phức z bằng số phức liên hợp của nó, trong các kết luận sau, kết luận nào là đúng?
A. z là số ảo. B. z   . C. z  1. D. z  0 .
Câu 16. Tìm phần ảo và phần thực của số phức z thoả mãn 1 3i z  1 2i z  2  9i  0 A. 1  0 và 4  . B. 8  và 1  0 . C. 3  và 4 . D. 4 và 5  .
Câu 17. Cho số phức z  a  bi . Số phức 2
z có phần thực là
A. a  b . B. 2 2 a  b .
C. a  b . D. 2 2 a  b .
Câu 18. Trong các kết luận sau, kế tluận nào là đúng?
A. Mo đun của số phức là một số phức.
B. Mo đun của số phức z và mo đun của nghịch đảo của z là bằng nhau.
C. Phần thực và phần arocuar số phức không lớn hơn mo đun của nó.
D. Mo đun của số phức là một số thực âm
Câu 19. Cho hai số phức z  1 3i ; z  3  4i . Tìm Môđun của số phức z  z là 1 2 1 2 A. 15 . B. 17 . C. 4 . D. 8 . 2 z 1
Câu 20. Cho số phức z có z  1. Khi tính ta có kết quả: z
A. Lấy mọi giá trị thực.
B. Lấy mọi giá trị phức.
C. Là số ảo. D. Bằng 0 .
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 70
Đề 3 - THPT HOÀNG VĂN THỤ - HÒA BÌNH Câu 1.
Điểm nào trong các điểm sau đây là điểm biểu diễn hình học của số phức z  5  4i trong mặt
phẳng toạ độ Oxy A. A 5  ; 4 . B. C 5; 4   . C. B 4; 5   .
D. D 4;5 . Câu 2.
Tìm số phức liên hợp của số phức z  1 9i . A. z  1   9i . B. z  1   9i .
C. z  1 9i .
D. z  1 9i . Câu 3.
Cho hai số phức iên hợp của số phức
A. Phần thực của số phức z .z là ac  bd .
B. Phần thực của số phức z .z là ac  bd 1 2 1 2
C. Phần thực của số phức z .z là ad  bc
D. Phần thực của số phức z .z là ad  bc 1 2 1 2 Câu 4.
Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn: z 1 i  3 .
A. Hình tròn tâm I 1; 
1 , bán kính R  3 .
B. Đường tròn tâm I  1  ; 
1 , bán kính R  9 .
C. Hình tròn tâm I  1  ; 
1 , bán kính R  3 .
D. Đường tròn tâm I  1  ; 
1 , bán kính R  3 . Câu 5. Tìm ,
b c   để phương trình: 2
2z  bz  c  0 có hai nghiệm thuần ảo. b   0 b   0 b   0 b   0 A.  . B.  . C.  . D.  . c  0  c  2  c  2   c  0  Câu 6.
Tìm các số thực x , y thoả mãn:  x  2y  2x  2 yi  7  4i . 11 1 11 1 A. x   , y  . B. x  1  , y  3  .
C. x  1 , y  3 . D. x  , y   . 3 3 3 3 2022  1 2i  Câu 7.
Cho số phức z   
. TÌm phát biểu đúng.  2  i 
A. z là số thuần ảo.
B. z là số thực.
C. z có phần thực âm.
D. z có phần thực dương. Câu 8.
Giả sử z , z là ha nghiệm của phương trình 2
z  2z  5  0 và A , B là các điểm biểu diễn 1 2
của z , z . Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng AB là 1 2 A. 0;  1 . B. 1;0 . C. 0;  1  . D.  1  ;0 . Câu 9.
Tìm số phức z thoả mãn: 2 .
i z  10  6i .
A. z  3  5i .
B. z  3  5i .
C. z  3  5i .
D. z  3  5i . 1 2i
Câu 10. Tính Môđun của số phức z  . 1 i 5 5 10 A. z  . B. z  10 . C. z  . D. z  . 2 2 2
Câu 11. Giải phương trình: 2
z  6z 11  0 , kế tquả nghiệm là
 z  3  2i
A. z  3  2i .
B. z  3  2i . C. Kết quả khác. D.  .
 z  3  2i  z
Câu 12. Cho số phức z thoả mãn
 z  2 . Phần thực a của số phức 2
w  z  z . 1 2i A. a  1. B. a  3 . C. a  2 . D. a  5  .
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 71
Câu 13. Gọi z , z là hai nghiệm của phương trình 2
2z  3z  3  0 . Tính giá trị biểu thức 1 2 z z 1 2 P   z z 2 1 7 8 2 7 3 A. P   i . B. P   . C. P  . D. P   . 2 3 3 2
Câu 14. Trên mặ phẳng Oxy , tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện
z  2  3i  z  4  i là 2 2
A. Đường tròn C  :  x  2   y  3  25 .
B. Đường thẳng: y  3x  4 y 13  0 .
C. Đường thẳng: 4x 12 y  7  0 .
D. Đường thẳng: 3x  4 y 1  0 .
Câu 15. Gọi z là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 2
z  z 1  0 . Toạ dộ điểm M biểu 1
diễn số phức z là 1  1 3   1 3   1 3 
A. M 1;   1 .
B. M   ;   .
C. M   ;  . D. M  ;  .    2 2        2 2   2 2  
Câu 16. Tập nghiệm của phương trình 4 2
z  2z  8  0 là A.  2; 2   i .
B.  2 ;i  2 . C.  2  i;   4 . D.  2  ; 4   i .
Câu 17. Tìm phần ảo và phần thực của số phức z thoả mãn 1 3i z  1 2i z  2  9i  0 A. 1 và 2 . B. 2 và 1  . C. 2 và 1. D. 1  và 2  .   i3 1 3
Câu 18. Cho số phức z thoả mãn: z 
. Tìm môđun của z  iz . 1 i A. 8 2 . B. 4 2 . C. 8 . D. 4 .
Câu 19. Cho hai số phức z  3
  4i ; z  1 7i . Tìm Môđun của số phức z  z là 1 2 1 2
A. z  z  13 .
B. z  z  5 .
C. z  z  5 2 .
D. z  z  26 . 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1
Câu 20. Phương trình 4 2
z  3z  4  0 có bốn nghiệm z , z , z , z . Tính S     1 2 3 4 z z z z 1 2 3 4 A.  2; 2   i .
B.  2 ;i  2 . C.  2  i;   4 . D.  2  ; 4   i .
Câu 21. Cho số phức z  a  bi a;b   thoả mãn: 3z  z 1 i  5z  1 8i . Giá trị P  a  b là A. 0 . B. 1. C. 5 . D. 6 .
Câu 22. Biết z  1 i là nghiệm của phương trình 3 2
z  az  bz  a  0 . Tìm a và b . 1
A. a  4 và b  6 .
B. a  4 và b  3 .
C. a  3 và b  4 .
D. a  4 và b  6 .
Câu 23. Cho số phức z  5  3i . Tìm số phức liên hợp của số phức i z  z .
A. i z  z  8  8i .
B. i z  z  8  8i .
C. i z  z  8  8i .
D. i z  z  8  8i .
Câu 24. Môđun của số phức z   i  i  3 5 2 1 là. A. 7 . B. 3 . C. 5 . D. 2 .
Câu 25. Tìm số phức z biết z  5 và phần thực lớn hơn phần ảo một đơn vị.
A. z  3  4i , z  4  3i .
B. z  4  3i , z  3  4i . 1 2 1 2 C. z  4
  3i , z  3  4i .
D. z  2 3 1  2 3i , z  2  3 1  2 3i . 2   1   1 2
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 72
Đề 4 - CHÂU VĂN LIÊM - CẦN THƠ
Phần trắc nghiệm (6đ) Câu 1.
Điểm biểu diễn của số phức z  2  3i có tọa độ là A. 2;3 . B.  2  ; 3   . C. 2; 3   . D.  2  ;3 . Câu 2.
Số phức liên hợp của số phức z  2  3i là
A. z  2  3i .
B. z  3  2i .
C. z  2  3i .
D. z  3  2i . Câu 3.
Cho số phức z  1 3i . Số phức 2
z có phần thực là A. 8  . B. 10 . C. 6 . D. 8   6i . Câu 4.
Tìm z biết z    i  i2 1 2 1 . A. 2 5 . B. 2 3 . C. 4  2i . D. 20 . Câu 5.
Giá trị của biểu thức 2017 i là A. i . B. i  . C. 1. D. 1  . Câu 6.
Cho số phức z  a  bi . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. z  z  2bi .
B. z  z  a . C. 2 2 .
z z  a  b .
D. z  z  2a . Câu 7.
Tìm số phức z có phần ảo khác 0, thỏa mãn z  2  i  10 và . z z  25 ?
A. z  4  3i .
B. z  4  3i .
C. z  3  4i .
D. z  3  4i . Câu 8.
Cho số phức z  m  ni  0 . Số phức 1
z có phần thực là m n
A. m  n .
B. m  n . C. . D. . 2 2 m  n 2 2 m  n Câu 9.
Với giá trị nào của tham số m thì số phức z    m  i3 1 2 3 là một số thực:  3 3 3i 3 A. m  i . B. m  . C. m  . D. m  . 2 4 2 2
Câu 10. Cho số phức thỏa mãn z  1 2i z  2  4i . Tìm môđun của 2
w  z  z ? A. 10 . B. 10 . C. 5 . D. 2 5 .
Câu 11. Số phức 1 i z  2i có điểm biểu diễn là A. 1;  1  . B.  1  ;   1 . C.  1  ;  1 . D. 1;  1 .
Câu 12. Tìm số phức thuần ảo:   i2 2   i2 2   i2 2 A. z  1. B. z   1 . C. z  1 . D. z  0 . 1 2i 1 2i 1 2i 2 2 2
Câu 13. Cho số phức z  i   i
. Tổng phần thực và phần ảo của z là 1 i 2 3 1 1 5 A.  . B. 2 . C. . D. . 3 2 3 ai 1
Câu 14. Tìm số phức z  với a   : 2  i 2   a 2a   1 i 2   a 2a   1 i A. z   . B. z   . 5 5 3 3 2   a 2a   1 i 2  a 2a   1 i C. z   . D. z   . 5 5 3 3
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 73
Câu 15. Tìm các số thực x, y sao cho 2x 1 1 2yi  2  x  3y  2i . 1 3 1 3 1 3 1 3 A. x  ; y  .
B. x   ; y   . C. x  ; y   .
D. x   ; y  . 3 5 3 5 3 5 3 5
Câu 16. Tập nghiệm của phương trình 2
z  9 trên tập số phức là A.  3  i;3  i .
B. 9i;9  i . C.  3  ;  3 . D.  3   i .
Câu 17. Tập nghiệm của phương trình 2
z  4z  6  0 trên tập số phức là
A. S  2  2i;2  2i.
B. S  2  2i .
C. S  2  2  i . D. S   .
Câu 18. Tổng các nghiệm của phương trình 2
z  2z  5  0 là A. 2 . B. 2  . C. 4  . D. 4 .
Câu 19. Gọi z và z là hai nghiệm của phương trình 2
z  2z  2  0 trên tập số phức. Tìm môđun của 1 2 2015 2016
số phức w   z 1  z 1 . 1   2  A. w  2 . B. w  5 . C. w  1. D. w  3 .
Câu 20. Trong mặt phẳng phức Oxy , gọi hai điểm ,
A B lần lượt là các điểm biểu diễn hai số phức 25
z , z là nghiệm của phương trình 2 z  3z 
 0 . Tính AB  OA . 1 2 4 13 5 15 A. . B. . C. . D. 5 . 2 2 2
Phần tự luận (2đ)
Câu 21. Cho số phức z  x  yi ,  x, y   . Tìm phần thực và phần ảo của số phức 2
z  4i .
Câu 22. Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
kiện: z  i  z  2  3i .
Đề 5 - LÊ QUÝ ĐÔN - BẾN TRE Câu 1.
Cho số phức z thỏa điều kiện z  2  i z  3  5i  0 . Phần thực và phần ảo của z là A. 3  và 2 . B. 2  và 3  . C. 2 và 3 . D. 2 và 3  . Câu 2.
Cho số phức z  20 17i . Phần thực và phần ảo của z lần lượt là A. 20 và 17i . B. 20 và 1  7 . C. 20 và 17 . D. 17 và 20 . Câu 3.
Cho số phức z thỏa   i z    i3 2 3 3
 5  2i . Tổng phần thực và phần ảo của z bằng 153 139 A. . B. 1  1. C. 11. D. . 13 13 Câu 4.
Cho hai số phức z  3  4i , z  1
  i . Khi đó môđun của số phức z  z bằng A. 25 . B. 5 . C. 41 . D. 5 . Câu 5.
Tìm số phức z , biết z  z  8  4i .
A. z  3  7i .
B. z  4  3i .
C. z  5  2i .
D. z  3  4i . Câu 6.
Cho số phức z  a  bi ; ,
a b   thỏa điều kiện 1 i z  2z  3  i . Tính P  a  b . A. P  5 . B. P  1. C. P  5 . D. P  15 .
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 74 Câu 7.
Cho số phức z có phần thực là số nguyên và thỏa điều kiện z  3z  11 6i  z . Tính môđun 2
w  z 1 z . A. w  3 97 . B. w  445 . C. w  3 65 . D. w  97 . Câu 8.
Gọi z , z là hai nghiệm thuần ảo của phương trình 4 2
z  3z  28  0 . Khi đó z  z bằng 1 2 1 2 A. 2 7i . B. 2 7 . C. 14 . D. 7 . Câu 9.
Gọi z là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 2
z  2z  4  0 . Tìm môđun của số
phức w  z   z 2 2 . A. 12 . B. 4 . C. 8 . D. 5 .
Câu 10. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:
A. Số phức z  a  bi có môđun bằng   2 2 a bi .
B. Số phức z  a  bi có điểm biểu diễn là M a;b .
C. Số phức z  a  bi có số phức liên hợp là z  a  bi .
D. Số phức z  a  bi có phần thực là a và phần ảo là b .
Câu 11. Cho số phức z thỏa điều kiện 2z  1 2i z  9
  2i . Môđun z bằng A. 5 . B. 13 . C. 13 . D. 85 . Câu 12. Gọi ,
A B,C lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z  1 2i ; z  4  i , z  4  3i . Chọn 1 2 3
khẳng định đúng: A. A
 BC vuông tại A . B. A
 BC vuông tại B . C. A
 BC vuông tại C . D. A
 BC cân tại A .
Câu 13. Cho số phức z thỏa z  1 3i2  i  2i . Môđun của z là A. 2 . B. 82 . C. 26 . D. 2 7 . Câu 14. Gọi
z , z , z , z là các nghiệm của phương trình 4 2
z  6z  27  0 . Khi đó 1 2 3 4
P  z  z  z  z . 1 2 3 4 A. 3 10 . B. 12 . C. 6  2 3 . D. 0 .
Câu 15. Trong mặt phẳng Oxy , tập hợp điểm biểu diễn số phức z  x  yi ; x, y   thỏa điều kiện
z  i  4 là
A. Đường tròn C  x   y  2 2 : 1  16 .
B. Đường tròn C   x  2 2 : 1  y  16 .
C. Đường tròn C  x   y  2 2 : 1  4 .
D. Đường tròn tâm I 0; 
1 , bán kính r  4 .
Câu 16. Cho số phức z  11 4i . Số phức liên hợp của z có điểm biểu diễn là A. 4;1  1 . B. 11;4 . C.  1  1; 4 . D. 11; 4 .
Câu 17. Với giá trị nào của x, y thì x  y  yi  3  2x  6i . A. x  1  , y  4  .
B. x  1 , y  4  .
C. x  1 , y  4 . D. x  1  , y  4 .
Câu 18. Cho số phức z thỏa 2  3i z  2i  4 . Khi đó số phức liên hợp của z là 2 16 14 8 2 16 A. z    i .
B. z  2  5i . C. z   i . D. z   i . 13 13 13 13 13 13
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 75 1 3
Câu 19. Cho số phức z   i . Tính số phức 2
w  2  z  z . 2 2
A. w  2  3i .
B. w  1 3i . C. w  1 .
D. w  1 i .
Câu 20. Gọi z và z là các nghiệm của phương trình 2
z  2z  5  0 . Tính 3 3
P  z  z bằng 1 2 1 2 A. P  2  2  4i .
B. P  4i .
C. P  22 .
D. P  22  4i .
Câu 21. Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm M 1;2 biểu diễn cho số phức z , Tìm tọa độ điểm N biểu
diễn cho số phức w  . i z . A. N 2;  1 . B. N  2  ;  1 .
C. N 1;   1 .
D. N 2;   1 .
Câu 22. Biết A2; 3
  , B 1;4 lần lượt là hai điểm biểu diễn số phức z , z trên mặt phẳng tọa độ 1 2
Oxy , môđun của số phức z  3z là 1 2 A. 26 . B. 106 . C. 108 . D. 10 . 2 1 2i
Câu 23. Cho số phức z thỏa điều kiện 2  i z 
 7  8i . Tính môđun w  z  1 i . 1 i A. w  5 . B. w  25 . C. w  5 . D. w  19 . 1 2i 4  i
Câu 24. Tìm số phức z , biết z   . 3  i 3  i 7 6 3 6 4 A. z  1   i . B. z    i . C. z  1. D. z    i . 5 5 5 5 5
Câu 25. Trong mặt phẳng Oxy , tập hợp điểm biểu diễn số phức z  x  yi ; x, y   thỏa điều kiện
z  i  z  3 là A. Đường thẳng. B. Đoạn thẳng. C. Đường tròn. D. Parabol.
Đề 6 - NGUYỄN TRUNG TRỰC - BÌNH ĐỊNH Câu 1.
Tìm số phức z , biết: z  z  3  4i . 7 7 7 A. z  7   4i . B. z    4i . C. z   4i . D. z    4i . 6 6 6 Câu 2.
Cho số phức z  a  bi . Tìm mệnh đề đúng: 2
A. z  z  2a .
B. z  z  2bi . C. 2 z  z . D. 2 2 .
z z  a  b . Câu 3.
Giả sử M  z là điểm biểu diễn số phức z . Tập hợp các điểm M  z thỏa mãn các điều kiện
sau đây: z 1 i  2 là một đường tròn: A. Có tâm 1;  1  và bán kính là 2 . B. Có tâm  1  ;  1 và bán kính là 2 . C. Có tâm 1;  1  và bán kính là 2 . D. Có tâm  1  ;   1 và bán kính là 2 . Câu 4. Tìm mệnh đề sai:
A. Số phức z  a  bi được biểu diễn bằng điểm M a;b trong mặt phẳng phức Oxy .
B. Số phức z  a  bi có số phức đối là z  a  bi . a  0
C. Số phức z  a  bi  0   . b  0 
D. Số phức z  a  bi có môđun là 2 2 a  b . Câu 5.
Tìm số phức z thỏa: 3  2i z  4  5i  7  3i .
A. z  i  . B. z  1.
C. z  i . D. z  1.
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 76 Câu 6.
Số phức z  1 3i 2  i có số phức liên hợp là:
A. z  5  5i .
B. z  5  5i .
C. z  5  5i .
D. z  5  5i . Câu 7. Trong  , phương trình 3
z 1 có nghiệm là: 2  i 3 5  i 3 1 i 3 A. 1  ; . B. 1  . C. 1  ; . D. 1  ; . 2 4 2 1 i Câu 8. Số phức z 
 3  4i có số phức liên hợp là: 1 i
A. z  3i . B. z  3  .
C. z  3  3i .
D. z  3  3i . Câu 9.
Tính số phức sau: z    i15 1 . A. z  1  28  128i .
B. z  128 128i .
C. z  128 128i . D. z  1  28 128i .
Câu 10. Điểm biểu diễn của các số phức z  7  bi với b   , nằm trên đường thẳng có phương trình là: A. x  7 . B. y  7 .
C. y  x .
D. y  x  7 . 2017 1 i
Câu 11. Tính z  . 2  i 1 3 1 3 3 1 3 1 A.  i . B.  i . C.  i . D.  i . 5 5 5 5 5 5 5 5
Câu 12. Tìm số phức z biết z 
20 và phần thực gấp đôi phần ảo:
A. z  2  i , z  2  i .
B. z  4  2i , z  4  2i . 1 2 1 2
C. z  2  i , z  2  i .
D. z  2  i , z  2  i . 1 2 1 2
Câu 13. Môđun của số phức: z  2  3i . A. 5 . B. 13 . C. 5 . D. 2 .
Câu 14. Thu gọn số phức i 2  i3  i , ta được: A. 6 . B. 2  5i . C. 1 7i . D. 7i .
Câu 15. Tìm hai số phức có tổng và tích lần lượt là 6  và 10 .
A. 4  4i và 4  4i . B. 3   i và 3   i . C. 5   2i và 1
  5i . D. 3   2i và 3   8i .
Câu 16. Cho hai số phức z  a  bi và z  a  b i
 . Điều kiện để zz là một số thực là
A. ab  a b   0 .
B. aa  bb  0 .
C. aa  bb  0 .
D. ab  a b   0 .
Câu 17. Cho hai số phức: z  1 2i , z  2  i . Khí đó giá trị z .z là: 1 2 1 2 A. 5 . B. 25 . C. 0 . D. 2 5 .
Câu 18. Trong  , cho phương trình bậc hai 2
az  bz  c  0 * a  0 . Gọi 2
  b  4ac . Ta xét các mệnh đề:
+ Nếu  là số thực âm thì phường trình * vô nghiệm.
+ Nếu   0 thì phương trình có hai nghiệm số phân biệt.
+ Nếu   0 thì phương trình có một nghiệm kép.
Trong các mệnh đề trên:
A. Cả ba mệnh đề đều đúng.
B. Không có mệnh đề nào đúng.
C. Có một mệnh đề đúng.
D. Có hai mệnh đề đúng.
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 77 1
Câu 19. Cho số phức z  a  bi . Khi đó số  z  z  là: 2
A. Một số thuần ảo. B. 2a . C. i . D. a .
Câu 20. Cho số phức z  m  m  
1 i . Xác định m để z  13 .
A. m  2, m  3  .
B. m  2, m  4 .
C. m  1, m  3 .
D. m  3, m  2 .
Câu 21. Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z  2  5i và B là điểm biểu diễn của số phức z  2
  5i . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng y  x .
B. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục hoành.
C. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua gốc tọa độ O .
D. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục tung. 3  2i 1 i
Câu 22. Thu gọn số phức z   ta được: 1 i 3  2i 15 55 23 63 2 6 21 61 A. z   i . B. z   i . C. z   i . D. z   i . 26 26 26 26 13 13 26 26 2 2
Câu 23. Gọi z và z lần lượt là nghiệm của phương trình: 2
z  2z 10  0 . Tính z  z . 1 2 1 2 A. 20 . B. 50 . C. 100 . D. 15 .
Câu 24. Cho x , y là các số thực. Hai số phức z  3  i và z   x  2 y  yi bằng nhau khi:
A. x  2 , y  1  .
B. x  1 , y  1 .
C. x  5 , y  1  .
D. x  3 , y  0 . 1 3
Câu 25. Cho số phức  
i . Khi đó số phức  2 z bằng: 2 2 1 3 1 3 A.   i . B. 3  i . C.   i . D. 1 3i . 2 2 2 2
Đề 7 - PHẠM HỒNG THÁI - HÀ NỘI 5 z  i Câu 1.
Cho số phức z thoả mãn
 2  i . Phần ảo của số phức liên hợp của z là z 1 A. 1. B. 1  . C. 2 . D. 2  . 33  1 i  10 1 Câu 2. Cho số phức z 
 1 i  2  3i   
.Phần thực của số phức z là  1 i  i A. 13 . B. 3  2 . C. 1  3 . D. 32 . 1 Câu 3.
Cho số phức z  a  bi . Khi đó số
z  z là 2i A. Một số thực. B. 0 . C. i .
D. Một số thuần ảo. i  m Câu 4. Cho số phức z 
m   . Giá trị của m để z lớn nhất là
1 m m  2i 1 A. m  1. B. m  1. C. m  . D. m  0 . 2 Câu 5.
Môđun của số phức z thoả mãn z  2  i z  3  5i là A. 17 . B. 15 . C. 13 . D. 14 .
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 78 Câu 6.
Toạ độ điểm M biểu diễn số phức z  i  2 là
A. M  2;   1 .
B. M  1;2 .
C. M  2;  1 . D. M   2  ;  1 . Câu 7.
Trong tập hợp số phức C , giá trị của biểu thức 2 3 2016
S  1 i  i  i  ...  i là A. 1. B. 1  . C. 2017 . D. 2  017 . Câu 8.
Số phức z thoả mãn z  5 và phần thực của z bằng hai lần phần ảo của nó.
 z  2 5  i 5  z  2  5  i 5
 z  5  2 5i
 z   5  2 5i A.  . B.  . C.  . D.  .  z  2  5  i 5 
 z  2 5  i 5 
 z   5  2 5i 
 z  5  2 5i  Câu 9.
Giả sử A , B theo thứ tự là điểm biểu diễn của các số phức z  a  b i và z  a  b i . Khi đó 1 1 1 2 2 2 
độ dài cảu véctơ AB bằng
A. z  z .
B. z  z .
C. z  z .
D. z  z . 2 1 1 2 1 2 2 1 k  9i
Câu 10. Cho số thực k  0 để bình phương của số phức z 
là số thực. Khi đó A  log k bằng 3 1 i 3 A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 6 .
Câu 11. Cho hai số phức z , z sao cho z  z  3 ; z  z  2 . Môđun của số phức z  z bằng 1 2 1 2 1 2 1 2 A. 5 . B. 3 . C. 7 . D. 1.
Câu 12. Trong mặt phẳng Oxy , tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z thoả mãn 2
z là một số ảo là A. Trục hoành. B. Trục tung.
C. Hai đường thẳng y   x . D. Đường tròn 2 2 x  y  1. 1 i 2  3i z
Câu 13. Môđun của số phức z thoả mãn 
 2  i bằng 2 z z A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 5 .
Câu 14. Biết nghịch đảo của số phức z là liên hợp của nó. Chọn mệnh đề đúng A. z  2 . B. z  1.
C. z là số thực.
D. z là số thuần ảo.
Câu 15. Trong mặt phẳng phức, gọi A , B , C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z  1
  3i , z  1 5i , z  4  i . Số phức z có điểm biểu diễn là điểm D sao cho tứ giác 1 2 3
ABCD là một hình bình hành
A. z  6  3i .
B. z  2  i .
C. z  2  i .
D. z  6  3i . 2  i 1 3i
Câu 16. Môđun của số phức z thoả mãn z  là 1 i 2  i 5 2 5 3 5 A. 5 . B. . C. . D. . 5 5 5
Câu 17. Cho số phức z thoả mãn z 1  z  2  3i . Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z là:
A. Đường thẳng có phương trình 2x  6 y 12  0
B. Đường thẳng có phương trình
x  5y  6  0 .
C. Đường thẳng có phương trình x  3y  6  0 .
D. Đường tròn tâm I 1; 2 bán kính R  1 .
Câu 18. Cho số phức z thoả mãn z 1  z  2  3i . Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z là: A. 5 . B. 3 . C. 7 . D. 1.
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 79
Câu 19. Trên mặt phẳng toạ độ, để tập hợp điểm biểu diễn các số phức z nằm trong phần gạch chéo (
kể cả biên ) ở hình vẽ bên thì điều kiện của z là:  1  1  1  1  1 
A. z  1 và phần ảo thuộc đoạn ;  . B. z 
và phần ảo thuộc đoạn ; . 2 2      2  2 2  1  1  1   1  1  C. z 
và phần thực thuộc đoạn ; .
D. z  1 và phần thực thuộc đoạn ; . 2  2 2      2 2 
Câu 20. Trong mặt phẳng Oxy , tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện
z 1 2i  4 là A. I  1  ; 2   .
B. I 2;  1 .
C. I 1; 2 . D. I 1; 2   .
Câu 21. Trong tập hợp số phức C , cho phương trình 2
z  az  b  0 a, b   nhận số phức z  1 i
làm nghiệm. Khi đó a , b bằng A. 2 . B. 2  . C. 4 . D. 4  .
Câu 22. Cho số phức z thoả mãn z  2  2i  1 . Tập hợp điểm biểu diễn số phức z  i trong mặt phẳng
toạ độ là đường tròn có phương trình 2  2 
A.  x  2   y   1  1 .
B.  x  2   y   1  1 . 2  2 
C.  x  2   y  2  1.
D.  x  2   y   1  1.
Câu 23. Cho số phức z thoả mãn iz 1  3 . Giá trị nhỏ nhất của z là A. 1. B. 3 . C. 2 . D. 4 .
Câu 24. Trong tập hợp số phức C , chọn phát biểu đúng
A. z  z là số thuần ảo. B. z  z  z  z .
C. z   z 2 2  4ab .
D. z  z  z  z . 1 2 1 2 1 2 1 2
Câu 25. Gọi z , z là hai nghiệm phức của phương trình: 2
z  2  2  0 . Phần thực của số phức 1 2
i  z i  z 2017 là 1 2 A. 2016 2  . B. 2016 2 . C. 1008 2 . D. 1008 2  .
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 80
BẢNG ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM VẤN ĐỀ 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C D B D D C D D D B C D A C A B C C B C
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A D A B C B A C D A D B A C B B A B C D
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 C A C C A C A A A A C C C C B A A B B C
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 D B C A C A C D C D A D A A A D D B A D
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 D A D A B C C C A C C D A C B C C D C A
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 D A A B A D A A B B D A A A D A A A C D
121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 B A A B A A D C C B D A A D A D C A D B
141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 C D C D D D C D B A B B A B C A A B C D
161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 B C A C B D C D D D D A B D D A D B D B
181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 A C B D D B A A D A D C A B C D A C D A
201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 C B D A B C C D B D C C A B D D A C A D
221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 C A D B C B D C B D C A A D A A B B A B
241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 B A C D D B B D C D C C B A C C D D B B
261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 D C C D C B D B D A A D C B C D A C B D
281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 A B C C D B C D B A C A B A D D B A A D
301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 B C B B C D B A A A D B A D B B A D D B
321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 A D D D B B A D A C D C B C B C A D B D
341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 C C B B A B D B D B
BẢNG ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM TRONG ĐỀ 2017 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D A B B C C C D A D B C D C C C B D B A
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 C B B C C D B D D C B A C A C D D B C D
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 D A A D D A
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 81 GHI CHÉP
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 82 MỤC LỤC SỐ PHỨC
Vấn đề 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC ................................................................................... 1
Dạng 1: Số phức và thuộc tính của nó ........................................................................................ 3
Dạng 2: Các phép toán về số phức.............................................................................................. 5
Dạng 3: Chứng minh tính chất của số phức .............................................................................. 9
Dạng 4: Tập hợp điểm ............................................................................................................... 10
BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 1 ............................................................................................. 13
Vấn đề 2. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH .......................................... 15
Dạng 1: Căn bậc hai của số phức .............................................................................................. 16
Dạng 2: Phương trình ................................................................................................................ 17
BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 2 ............................................................................................. 19
Vấn đề 3. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC ..................................................................... 22
Dạng 1: Viết dạng lượng giác của số phức............................................................................... 23
Dạng 2: Công thức Moivre ........................................................................................................ 25
BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 3 ............................................................................................. 27
Vấn đề 4. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 4 ........................................................................ 29
1 – DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC ......................................................................................... 29
2 - PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ PHỨC .......................................................................... 43
3 – TẬP HỢP ĐIỂM ................................................................................................................... 47
4 - GIÁ TRỊ LỚN NHẤT NHỎ NHẤT CỦA MÔĐUN SỐ PHỨC ........................................ 58
Vấn đề 5. SỐ PHỨC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐH – CĐ – THPTQG.......................................... 61
PHẦN 1 - CÁC ĐỀ TỰ LUẬN TRƯỚC 2017 .......................................................................... 61
PHẦN 2. CÁC ĐỀ MINH HỌA, ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI THPTQG 2017,18 2018 ........ 63
Vấn đề 5. CÁC ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT ......................................................................................... 67
Đề 1 - THPT HERMANN GMEINER– ĐÀ NẴNG ................................................................. 67
Đề 2 - THPT CẦN ĐƯỚC – LONG AN ................................................................................... 68
Đề 3 - THPT HOÀNG VĂN THỤ - HÒA BÌNH ..................................................................... 70
Đề 4 - CHÂU VĂN LIÊM - CẦN THƠ .................................................................................... 72
Đề 5 - LÊ QUÝ ĐÔN - BẾN TRE ............................................................................................... 73
Đề 6 - NGUYỄN TRUNG TRỰC - BÌNH ĐỊNH ...................................................................... 75
Đề 7 - PHẠM HỒNG THÁI - HÀ NỘI .................................................................................... 77
BẢNG ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM VẤN ĐỀ 4 ............................................................................. 80
BẢNG ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM TRONG ĐỀ 2017 ................................................................. 80
GHI CHÉP........................................................................................................................................ 81
MỤC LỤC ........................................................................................................................................ 82

Tài liệu tự học chủ đề số phức – Trần Quốc Nghĩa Toán 12

Thông tin :

Tài liệu liên quan:

Chuyên đề Số phức – Trung tâm LTĐH Vĩnh Viễn Toán 12

Các dạng bài tập cơ bản về Số phức – Đặng Việt Hùng Toán 12

600 câu hỏi trắc nghiệm chuyên đề số phức – Nhóm Toán

Bài tập trắc nghiệm chuyên đề số phức – Đặng Việt Đông Toán 12

4 đề trắc nghiệm chuyên đề số phức – Bùi Thế Việt Toán 12