Tài liệu tự học chuyên đề đa diện và thể tích khối đa diện – Lê Minh Cường Toán 12

Tài liệu gồm 56 trang hướng dẫn tự học chuyên đề đa diện và thể tích khối đa diện (Chương 1 Hình học 12) thông qua hệ thông lý thuyết và bài tập có đáp án. Tài liệu được biên soạn bởi thầy Lê Minh Cường.Mời các bạn đón xem.

120 60 lượt tải Tải xuống

Chia sẻ Báo cáo tài liệu

GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231

LÊ MINH CƯỜNG

"Cuộc sống cũng giống như đạp xe đạp, muốn giữ thăng bằng, phải liên tục chuyển động"

- Albert Einstein

Tài liệu tự học

Chuyên đề 3: ĐA DIỆN VÀ THỂ

TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

(theo từng chuyên đề và có lời giải chi tiết)

TOÁN 12

Vol.2. CĐ3.HH

Sài Gòn, mùa Noel – 2017

Tài liệu lưu hành nội bộ

GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231

Lời nói đầu

Nhằm tạo nguồn tài liệu dồi dào, phong phú và thích hợp với xu hướng TỰ

HỌC của học sinh. Thầy cùng một số thầy/cô khác đã dày công biên soạn và

sưu tầm các dạng Toán TRẮC NGHIỆM lớp 12 và cho ra đời tập "TÀI LIỆU TỰ

HỌC - TOÁN 12, Vol.2." để đáp ứng nhu cầu học sinh cũng như làm t hỏa mãn

tính TỰ HỌC ở những bạn đã sớm ý thức được kỹ năng CẦN THIẾT này.

Trong quá trình biên soạn, mặc dù đã kiểm tra rất kỹ lưỡng không thể tránh

khỏi những sai sót ngoài ý muốn, bạn đọc và các em học sinh có thắc mắc hãy

thẳng thắn gửi mail về địa chỉ cuong11102@gmail.com hoặc gặp thầy Cường.

Chúc các em học tập thật tốt và đừng quên sự ủng hộ nhiệt tình của các em

sẽ là động lực để thầy hoàn thiện VOL.3. nhé.

? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 Thầy Lê Minh Cường - 016666 58231

GV. Lê Minh Cường - cuong11102@gmail.com - 01666658231

Mục lục

Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I

2 KHỐI ĐA DIỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2.1 Khái niệm khối đa diện 1

2.1.1 Tính chất, số cạnh, đỉnh, mặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2.1.2 Lý thuyết đa diện lồi và đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.3 Tính chất về cạnh – đỉnh – mặt của đa diện lồi và đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.4 Tính chất đối xứng của khối đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Công thức thể tích đơn giản 9

2.2.1 Khối chóp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.2 Khối lăng trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Thể tích có tính toán thêm một yếu tố 17

2.3.1 Khối chóp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3.2 Khối lăng trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4 Thể tích của khối có chứa góc 24

2.4.1 Khối chóp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4.2 Khối lăng trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.5 Tính thể tích và khoảng cách gián tiếp 32

2.5.1 Sử dụng tỷ lệ thể tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.5.2 Tính khoảng cách dựa vào công thức thể tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.6 Các bài toán tổng hợp 37

2.6.0.1 Khối chóp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37

2.6.0.2 Khối lăng trụ tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45

2.6.0.3 Khối hộp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46

2.6.1 Tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231

III

2.7 Vận dụng thực tế 50

? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 Thầy Lê Minh Cường - 016666 58231

GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231

2.1 Khái niệm khối đa diện 1

2.2 Công thức thể tích đơn giản 9

2.3 Thể tích có tính toán thêm một yếu tố17

2.4 Thể tích của khối có chứa góc 24

2.5 Tính thể tích và khoảng cách gián tiếp

2.6 Các bài toán tổng hợp 37

2.7 Vận dụng thực tế 50

Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN

2.1 Khái niệm khối đa diện

Lý thuyết đa diện

1. Hình đa diện

là hình được tạo thành bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn 2 tính

chất:

+ Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc một đỉnh chung,

hoặc một cạnh chung.

+ Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.

2. Khối đa diện

là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện kể cả hình đa

diện đó.

3. Phân chia và lắp ghép hai khối đa diện

: Nếu một khối đa diện là hợp của hai khối đa

diện mà không có điểm chung. Ta gọi khối đa diện đó được phân chia thành hai khối,

ngược lại được lắp ghép từ 2 khối.

2.1.1 Tính chất, số cạnh, đỉnh, mặt

Câu 2.1.1. Một hình lăng trụ có 24 đỉnh sẽ có bao nhiêu cạnh?

A. 36. B. 48. C. 24. D. 12.

Câu 2.1.2. Mỗi đỉnh của hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất của bao nhiêu mặt?

A. Năm mặt. B. Hai mặt. C. Ba mặt. D. Bốn mặt.

Câu 2.1.3. Mỗi đỉnh của hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất bao nhiêu cạnh?

A. Năm cạnh. B. Bốn cạnh. C. Ba cạnh. D. Hai cạnh.

Câu 2.1.4. Cho một đa diện n cạnh. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng.

A. n ≥ 6 . B. n > 6. C. n > 7. D. n ≤ 30.

Câu 2.1.5. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau.

A. Mỗi cạnh của khối đa diện là cạnh chung của đúng 2 mặt của khối đa diện.

B. Hai mặt bất kì của khối đa diện luôn có ít nhất một điểm chung.

GV. Lê Minh Cường - cuong11102@gmail.com - 01666658231

2 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN

C. Mỗi đỉnh của khối đa diện là đỉnh chung của ít nhất 3 mặt.

D. Mỗi mặt của khối đa diện có ít nhất ba cạnh.

Câu 2.1.6.

Một khối chóp có đáy là đa giác

cạnh. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào

đúng?

A. Số mặt và số đỉnh bằng nhau. B. Số đỉnh của khối chóp bằng 2n + 1.

C. Số cạnh của khối chóp bằng n + 1. D. Số mặt của khối chóp bằng 2n.

Câu 2.1.7. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Hình tạo bởi hai tứ diện đều ghép với nhau là một đa diện lồi.

B. Tứ diện là đa diện lồi.

C. Hình lập phương là đa điện lồi.

D. Hình hộp là đa diện lồi.

Câu 2.1.8.

Một hình chóp có

mặt (

là số nguyên lớn hơn 3). Hỏi hình chóp ấy có mấy cạnh?

A. 2n cạnh. B. 2

(

n − 1

)

cạnh. C. 2n −1 cạnh. D. 2n + 1 cạnh.

Câu 2.1.9. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng:

A. Mỗi hình đa diện có ít nhất bốn đỉnh .

B. Mỗi hình đa diện có ít nhất ba đỉnh.

C. Số đỉnh của một hình đa diện lớn hơn hoặc bằng số cạnh của nó.

D. Số mặt của một hình đa diện lớn hơn hoặc bằng số cạnh của nó.

Câu 2.1.10.

Một khối đa diện lồi được tạo thành bằng cách ghép mặt bên một hình hộp với mặt

đáy một hình chóp, biết mặt đáy hình chóp đúng bằng mặt bên của hình hộp. Khi đó khối đa diện

lồi được tạo t hành có:

A. 9 đỉnh, 20 cạnh, 9 mặt. B. 9 đỉnh, 16 cạnh, 11 mặt.

C. 13 đỉnh, 16 cạnh, 11 mặt. D. 9 đỉnh, 16 cạnh, 9 mặt.

Câu 2.1.11. Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. Mỗi cạnh của hình đa diện là cạnh chung của đúng hai mặt.

B. Hai mặt của một hình đa diện luôn có một đỉnh chung hoặc một cạnh chung.

C. Mỗi hình đa diện đều có ít nhất 6 cạnh.

D. Mỗi mặt của một hình đa diện là một đa giác.

Câu 2.1.12. Hình nào dưới đây không phải là hình đa diện?

A. B.

C. D.

Câu 2.1.13. Hình nào sau đây không phải là hình đa diện?

A. Hình trụ. B. Hình tứ diện. C. Hình lập phương. D. Hình chóp.

Thầy Lê Minh Cường - 016666 58231 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12

GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231

2.1 Khái niệm khối đa diện 3

Câu 2.1.14.

Cho khối chóp

ABCD

. Hỏi hai mặt phẳng

(SAC)

và

(SBD)

chia khối chóp

ABCD

thành mấy khối chóp nhỏ?

A. 4. B. 3. C. 2. D. 5.

2.1.2 Lý thuyết đa diện lồi và đều

1. Khối đa diện lồi

là khối đa diện mà nếu đoạn thẳng nối bất kỳ hai điểm của nó thì luôn nằm

trong nó.

2. Định nghĩa: Một khối đa diện đều là khối đa diện lồi thỏa mãn tính chất sau đây:

• Tất cả các mặt của nó là các đa giác đều, bằng nhau.

• Mỗi đỉnh là giao của một số mặt như nhau (cũng là giao của số cạnh như nhau).

3. Khối đa diện đều loại {p

;

là khối đa diện mà mỗi mặt của nó là một đa giác đều

cạnh

và mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt.

4. Định lý:

Có đúng năm loại khối đa diện đều là: loại

{

3; 3

}

khối tứ diện đều;

{

4; 3

}

khối lập

phương; {3; 4} khối bát diện đều; {5; 3} khối 12 mặt đều; {3; 5} khối 20 mặt đều.

Khối tứ diện đều

Khối lập phương

Khối bát diện đều

Khối mười hai mặt đều

Khối hai mươi mặt đều

Tên gọi Hình Loại Đỉnh Cạnh Mặt tâm đx trục đx mặt đx

Tứ diện đều {3; 3} 4 6 4 0 3 6

Lập phương {4; 3} 8 12 6 1 9 9

Bắt diện đều {3; 4} 6 12 8 1 3 3

Mười hai mặt đều {5; 3} 20 30 12 1

Hai mươi mặt đều {3; 5} 12 30 20 1

Công thức tính: pM = 2C = qD hoặc công thức Euler: D − C + M = 2.

2.1.3 Tính chất về cạnh – đỉnh – mặt của đa diện lồi và đều

Câu 2.1.15. Mỗi đỉnh của hình bát diện đều là cạnh chung của bao nhiêu cạnh?

A. 3. B. 8. C. 5. D. 4.

Câu 2.1.16. Khối 20 mặt đều thuộc loại

A. {3;5}. B. {3; 4}. C. {4; 3}. D. {4; 5}.

Câu 2.1.17. Hỏi hình mười hai mặt đều có bao nhiêu đỉnh?

A. Mười hai . B. Mười sáu. C. Hai mươi. D. Ba mươi.

? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 Thầy Lê Minh Cường - 016666 58231

GV. Lê Minh Cường - cuong11102@gmail.com - 01666658231

4 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN

Câu 2.1.18. Khối đa diện đều có 12 mặt thì có bao nhiêu cạnh?

A. 24. B. 12. C. 30. D. 60.

Câu 2.1.19. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

A. Hình

(

)

được tạo thành từ một số hữu hạn các miền đa giác thì

(

)

là hình đa diện.

Khối đa diện

(

)

gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của

(

)

luôn

thuộc

(

)

C. Khối chóp đều là khối đa diện đều.

D. Khối đa diện lồi

(

)

có tất cả các mặt là đa giác đều thì

(

)

là đa diện đều.

Câu 2.1.20. Khối đa diện đều loại {4; 3}có bao nhiêu cạnh?

A. 18 . B. 20 . C. 12 . D. 6 .

Câu 2.1.21. Khối chóp lục giác đều có bao nhiêu mặt?

A. 8 . B. 9 . C. 6 . D. 7 .

Câu 2.1.22. Mỗi đỉnh của một khối bát diện đều là đỉnh chung của bao nhiêu cạnh?

A. 7. B. 6. C. 5. D. 4.

Câu 2.1.23. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai ?

A. Hình lăng trụ đều có cạnh bên vuông góc với đáy.

B. Hình lăng trụ đều có các mặt bên là hình chữ nhật.

C. Hình lăng trụ đều có các cạnh bên bằng đường cao của lăng trụ.

D. Hình lăng trụ đều có tất cả các cạnh đều bằng nhau.

Câu 2.1.24. Khối đa diện đều nào sau đây có mặt không phải là tam giác đều?

A. Bát diện đều. B. Nhị thập diện đều. C. Thập nhị diện đều. D. Tứ diện đều.

Câu 2.1.25. Các khối đa diện đều nào có tất cả các mặt là hình vuông?

A. Hình tứ diện. B. Hình lập phương.

C. Hình bát diện đều. D. Hình nhị t hập diện đều.

Câu 2.1.26 (THTT Lần 5). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Mỗi khối đa diện đều là một khối đa diện lồi .

B. Hình chóp tam giác đều là hình chóp có bốn mặt là các tam giác đều .

C. Chỉ có năm loại khối đa diện đều .

D. Mỗi cạnh của hình đa diện là cạnh chung của đúng hai mặt.

Câu 2.1.27. Khối đa diện nào sau đây có các mặt không phải là tam giác đều?

A. Bát diện đều. B. Nhị thập diện đều. C. Tứ diện đều. D. Thập nhị diện đều.

Câu 2.1.28. Khối lập phương là khối đa diện đều loại

A. {5;3}. B. {3; 4}. C. {4; 3}. D. {3; 5}.

Câu 2.1.29. Có bao nhiêu loại khối đa điện đều mà mỗi mặt của nó là một tam giác đều?

A. 5. B. 3. C. 1. D. 2.

Câu 2.1.30. Cho hình đa diện đều 12 mặt thuộc loại {p, q}. Tính p − q.

A. −2. B. 1. C. 2. D. −1.

Câu 2.1.31. Khối đa diện đều loại {5; 3} có số mặt là

A. 10. B. 12. C. 8. D. 14.

Câu 2.1.32.

Trung điểm các cạnh của một hình tứ diện đều là các đỉnh của hình nào trong các hình

kể dưới đây?

A. Hình lục giác đều. B. Hình chóp tứ giác đều.

C. Hình bát diện đều. D. Hình tứ diện đều.

Thầy Lê Minh Cường - 016666 58231 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12

GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231

2.1 Khái niệm khối đa diện 5

Câu 2.1.33.

Biết hình đa diện đều hai mươi mặt là đa diện đều loại

{

3; 5

}

, hỏi hình này có bao

nhiêu đỉnh?

A. 60. B. 30. C. 20. D. 12.

Câu 2.1.34. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Chỉ có năm loại khối đa diện đều.

B. Hình chóp tam giác đều là hình chóp có bốn mặt là những tam giác đều.

C. Mỗi cạnh của hình đa diện là cạnh chung của đúng hai mặt.

D. Mỗi khối đa diện đều là một khối đa diện lồi.

Câu 2.1.35. Hình bát diện đều có số đỉnh, số cạnh, số mặt tương ứng là

A. 12; 8; 6. B. 12;6; 8. C. 6;12; 8. D. 8;6; 12.

Câu 2.1.36. Hình lăng trụ tứ giác đều là hình

A. lăng trụ đứng, đáy là hình vuông. B. lăng trụ đứng, tất cả các cạnh bằng nhau.

C. lăng trụ đứng, đáy là hình thoi. D. hình hộp chữ nhật.

Câu 2.1.37. Một hình chóp có tất cả 8 cạnh. Tính số đỉnh của hình chóp đó.

A. 5. B. 4. C. 6. D. 3.

Câu 2.1.38. Khối đa diện nào sau đây có các mặt không phải là các tam giác đều?

A. Khối mười hai mặt đều. B. Khối hai mươi mặt đều.

C. Khối tứ diện đều. D. Khối bát diện đều.

Câu 2.1.39

(THPTQG 2017)

Mặt phẳng

B C)

chia khối lăng trụ

ABC

thành các khối đa

diện nào?

A. Một khối chóp tam giác và một khối chóp ngũ giác.

B. Một khối chóp tam giác và một khối chóp tứ giác.

C. Hai khối chóp tam giác.

D. Hai khối chóp tứ giác.

Các phép dời hình - hai hình bằng nhau

1. Phép dời hình trong không gian

là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai

điểm tùy ý.

2. Các phép dời hình: Tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm, đối xứng mặt,...

3. Hai đa diện gọi là bằng nhau

nếu có phép dời hình biến đa diện này thành đa diện kia.

4. Hình H có tâm đối xứng là I

nếu mọi điểm thuộc hình

lấy đối xứng qua

ta cũng

thu được một điểm thuộc hình H.

Chú ý: Hình đa diện nói chung chỉ có nhiều nhất một tâm đối xứng và tâm đối xứng đó

nằm bên trong hình đa diện đó.

5. Hình H có tâm trục xứng là ∆

nếu mọi điểm thuộc hình

lấy đối xứng qua

∆

ta cũng

thu được một điểm thuộc hình H.

6. Hình H có mặt đối xứng là (α)

nếu mọi điểm thuộc hình

lấy đối xứng qua

(α)

cũng thu được một điểm thuộc hình H.

? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 Thầy Lê Minh Cường - 016666 58231

GV. Lê Minh Cường - cuong11102@gmail.com - 01666658231

6 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN

2.1.4 Tính chất đối xứng của khối đa diện

Câu 2.1.40 (THPTQG 2017). Hình lăng trụ tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

A. 4 mặt phẳng. B. 1 mặt phẳng. C. 2 mặt phẳng. D. 3 mặt phẳng.

Câu 2.1.41

(THPTQG 2017)

Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đôi một khác nhau có bao nhiêu

mặt phẳng đối xứng?

A. 4 mặt phẳng. B. 3 mặt phẳng. C. 6 mặt phẳng. D. 9 mặt phẳng.

Câu 2.1.42. Một hình lăng trụ lục giác đều có bao nhiêu trục đối xứng?

A. 5. B. 7. C. 3. D. 4.

Câu 2.1.43. Mỗi mặt của hình mười hai mặt đều là một đa giác đều có số cạnh là:

A. 6. B. 4. C. 5. D. 3.

Câu 2.1.44. Hình tứ diện đều có tất cả bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

A. 3. B. 4. C. 6. D. 2.

Câu 2.1.45. Số mặt phẳng đối xứng của khối tứ diện đều là:

A. 9. B. 2. C. 6. D. 3.

Câu 2.1.46.

Hình hộp chữ nhật (không phải là hình lập phương) có bao nhiêu mặt phẳng đối

xứng?

A. 3. B. 2. C. 1. D. 4.

Câu 2.1.47. Số mặt phẳng đối xứng của khối tứ diện đều là

A. 4. B. 5. C. 6. D. 3.

Câu 2.1.48. Một hình chóp tứ giác đều có mấy mặt đối xứng.

A. 3. B. 2. C. 1. D. 4.

Câu 2.1.49. Khối đa diện đều loại {3; 3} có bao nhiêu trục đối xứng?

A. 0. B. 4. C. 3. D. 6.

Câu 2.1.50 (ĐỀ MH 2017 Lần 2). Hình đa diện nào dưới đây không có tâm đối xứng?

A. Lăng trụ lục giác đều. B. Tứ diện đều.

C. Hình lập phương. D. Bát diện đều.

Câu 2.1.51. Hình tứ diện đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

A. Vô số. B. 3. C. 6. D. 9.

Câu 2.1.52. Một hình lăng trụ tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

A. 4. B. 2. C. 3. D. 6.

Câu 2.1.53. Trong không gian chỉ có 5 loại khối đa diện đều. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Mọi khối đa diện đều có số mặt là những số chia hết cho 4.

B. Khối lập phương và khối bát diện đều có cùng số cạnh.

C. Khối tứ diện đều và khối bát diện đều có 1 tâm đối xứng.

D. Khối mười hai mặt đều và khối hai mươi mặt đều có cùng số đỉnh.

Thầy Lê Minh Cường - 016666 58231 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12

GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231

2.1 Khái niệm khối đa diện 7

Câu 2.1.54

(THPTQG 2017)

Cho hình bát diện đều cạnh

. Gọi

là tổng diện tích tất cả các mặt

của hình bát diện đó. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. S = 4

√

. B. S =

√

. C. S = 2

√

. D. S = 8a

2.1.1. A | 2.1.2. C | 2.1.3. C | 2.1.4. A | 2.1.5. B | 2.1.6. A | 2.1.7. A | 2.1.8. B |

2.1.9. A | 2.1.10. D | 2.1.11. B | 2.1.12. C | 2.1.13. A | 2.1.14. A | 2.1.15. D | 2.1.16. A |

2.1.17. C | 2.1.18. C | 2.1.19. B | 2.1.20. C | 2.1.21. D | 2.1.22. D | 2.1.23. D | 2.1.24. C |

2.1.25. B | 2.1.26. B | 2.1.27. D | 2.1.28. C | 2.1.29. B | 2.1.30. C | 2.1.31. B | 2.1.32. C |

2.1.33. D | 2.1.34. B | 2.1.35. C | 2.1.36. A | 2.1.37. A | 2.1.38. A | 2.1.39. B | 2.1.40. A |

2.1.41. B | 2.1.42. B | 2.1.43. C | 2.1.44. C | 2.1.45. C | 2.1.46. A | 2.1.47. C | 2.1.48. D |

2.1.49. A | 2.1.50. B | 2.1.51. C | 2.1.52. A | 2.1.53. B | 2.1.54. C |

? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 Thầy Lê Minh Cường - 016666 58231

GV. Lê Minh Cường - cuong11102@gmail.com - 01666658231

8 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN

Ôn tập các hình cơ bản và công thức

Tam giác

Với S diện tích, h chiều cao, p =

a + b + c

nửa chu vi, r bán kính nội tiếp, R bán kính ngoại tiếp.

1. S =

<đáy> ×<cao>.

2. S =

absin C =

bcsin A =

acsin B.

3. S =

p(p − a)(p − b)(p − c).

4. S = pr.

5. S =

abc

6. AM =

√

+ 2c

− a

7. AD =

b + c

bcp(p − a).

8. Định lý Côsin a

= b

+ c

−2bc cos A.

Tam giác vuông

1. Pytago a

= b

+ c

2. S =

bc =

ah.

3. b

= c

a và b

= b

4. h

= b

6. R =

Hình 2.1.1. Tam giác vuông.

Tứ giác lồi

Diện tích tứ giác lồi khi biết độ dài hai đường chéo và góc giữa

hai đường chéo là S =

A C.BD sin α =

absin α

Hình 2.1.2. Tứ giác lồi.

Hình thang

1. Diện tích hình thang S =

AH(AB + CD).

2. Hai cạnh đáy song song với nhau.

Hình 2.1.3. Hình t hang.

Thầy Lê Minh Cường - 016666 58231 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12

GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231

2.2 Công thức thể tích đơn giản 9

Hình thoi

1. Hình thoi có tất cả các cạnh bằng nhau.

2. Các góc đối diện thì bằng nhau, góc kề thì bù nhau.

Hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm

mỗi đường.

4. Diện tích hình thoi S =

A C.BD = AB.AD sin

[

BAD.

Hình 2.1.4. Hình t hoi.

Hình vuông

1. Hình vuông có tất cả các cạnh bằng nhau.

Hai đường chéo vuông góc, bằng nhau và cắt nhau

tại trung điểm mỗi đường.

3. Độ dài đường chéo là a

√

4. Diện tích hình vuông S = a

Hình 2.1.5. Hình vuông.

2.2 Công thức thể tích đơn giản

Ký hiệu:

là đường cao;

là chu vi đáy;

là diện tích đáy;

là diện tích xung quang;

là

thể tích.

1. V

chóp

<diện tích đáy> × <chiều cao> =

Sh.

2. V

lăng trụ

= <diện tích đáy> ×<chiều cao> = S h.

3. V

hộp chữ nhật

= <dài> ×<rộng> ×<cao> = abc.

4. V

lập phương

= <cạnh>

= a

Các đa diện thường gặp

? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 Thầy Lê Minh Cường - 016666 58231

GV. Lê Minh Cường - cuong11102@gmail.com - 01666658231

10 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN

Tứ diện đều

Tứ diện đều thuộc

loại {3; 3}.

Tất cả các cạnh bằng

nhau, tất cả các mặt

là tam giác đều.

Đường cao

h =

a ×

√

4. Thể tích V =

√

Diện tích toàn phần

= 4S

đáy

= a

√

Hình 2.2.1. Tứ diện đều.

Lập phương

1. Thể tích khối lập phương V = a

2. Diện tích toàn phần S

= 6a

3. Độ dài đường chéo: a

√

Hình 2.2.2. Lập phương.

Chóp tứ giác đều

ABCD

là đa diện đều thuộc loại hình

chóp có đáy là hình vuông và SO⊥(ABCD).

Các cạnh đáy bằng nhau và các cạnh bên bằng nhau, các

mặt bên là những tam giác cân.

3. Không có tâm đối xứng.

4. Có 1 tr ục đối xứng.

5. Có 4 mặt phẳng đối xứng.

6. Thể tích V =

7. Diện tích toàn phần S

= a

+ 2a

−

Hình 2.2.3. Chóp tứ

giác đều.

Thầy Lê Minh Cường - 016666 58231 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12

GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231

2.2 Công thức thể tích đơn giản 11

Lăng trụ tam giác đều

Lăng trụ tam giác đều là lăng trụ đứng có đáy là

tam giác đều.

Các cạnh đáy bằng nhau và các cạnh bên bằng

nhau, các mặt bên là những hình chữ nhật.

3. Không có tâm đối xứng và trục đối xứng.

4. Có 4 mặt phẳng đối xứng.

5. Thể tích V =

√

6. Diện tích toàn phần S

√

3ah

Hình 2.2.4. Lăng trụ tam

giác đều.

Hộp chữ nhật

Hình hộp chữ nhật là lăng trụ đứng, có mặt đáy là

hình chữ nhât.

2. Tất cả các mặt đều là hình chữ nhật.

3. Không có tâm đối xứng

4. Có 3 tr ục đối xứng.

5. Có 3 mặt phẳng đối xứng.

6. Thể tích khối hộp chữ nhật V = abc.

7. Diện tích toàn phần S

= 2(ab + bc + ac).

8. Độ dài đường chéo

√

+ b

+ c

Hình 2.2.5. Hộp chữ nhật.

? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 Thầy Lê Minh Cường - 016666 58231

GV. Lê Minh Cường - cuong11102@gmail.com - 01666658231

12 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN

2.2.1 Khối chóp

Ví dụ 2.2.1 THPTQG 2017

Cho khối chóp

ABC

có

vuông góc với đáy,

SA =

AB =

B C =

10 và

CA =

8. Tính

thể tích V của khối chóp S.ABC.

A. V = 40. B. V = 192. C. V = 32. D. V = 24.

Lời giải.

Nửa chu vi của tam giác

ABC

là

p =

⇒ S

∆ABC

p(p −6)(p −10)(p −8) =

24 ⇒ V =

.24.4 = 32

Ví dụ 2.2.2

Cho hình chóp

ABC

có đáy

ABC

là tam giác vuông cân tại

AB = a

. Đường thẳng

vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a

√

3. Tính t hể tích V của khối chóp S.ABC.

A. V =

√

. B. V =

√

. C. V =

√

. D. V =

√

Lời giải.

Có S

∆ABC

Vậy V =

SA.S

∆ABC

√

Câu 2.2.1. Tính thể tích V của khối chóp có diện tích đáy là S và chiều cao là h.

A. V =

Sh. B. V =

Sh. C. V = Sh. D. V =

Sh.

Câu 2.2.2. Công thức nào sau đây là công thức sai:

A. Thể tích khối chóp có diện tích đáy là B, chiều cao h là: V =

Bh.

B. Thể tích khối hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là V =

abc.

C. Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy là B, chiều cao h là: V = Bh.

D. Thể tích khối lập phương có cạnh bằng a là V = a

Câu 2.2.3. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là khẳng định sai?

A. Hai khối chóp có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.

B. Hai khối hộp có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.

C. Hai khối lăng trụ có diện tích và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.

D. Hai khối lập phương có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.

Câu 2.2.4. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?

Thể tích của hai khối chóp có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau là bằng nhau.

B. Thể tích của khối lăng trụ bằng diện tích đáy nhân với chiều cao.

C. Hai khối lập phương có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.

D. Hai khối hộp chữ nhật có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.

Câu 2.2.5.

Cho hình chóp

ABC

có đáy

ABC

là tam giác vuông tại

AB = a

√

A C = a

. Cạnh

bên SA = 3a và vuông góc với đáy. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.

√

. B. a

. C. 2a

. D. 3a

Thầy Lê Minh Cường - 016666 58231 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12

GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231

2.2 Công thức thể tích đơn giản 13

Câu 2.2.6.

Cho khối chóp

ABC

có đáy

ABC

là tam giác đều cạnh

vuông góc với mặt phẳng

đáy và SA = 2a. Tính thể tích khối chóp S.ABC

√

. B.

√

. C.

√

. D.

√

Câu 2.2.7.

Cho hình chóp

ABCD

có đáy

ABCD

là hình vuông cạnh

. Cạnh bên

vuông góc

với mặt phẳng đáy, SD = 2a. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD .

. B.

. C.

. D. 2a

Câu 2.2.8.

Cho hình chóp

ABCD

có đáy là hình vuông cạnh

, cạnh bên

vuông góc với đáy,

SA = a

√

3. Tính t hể tích V của khối chóp S.ABCD.

A. V =

√

. B. V =

√

. C. V = a

. D. V =

Câu 2.2.9.

Cho khối lăng trụ tam giác

ABC

có thể tích bằng 1. Tính thể tích

của khối

chóp A

.ABC.

A. V = 3. B. V =

. C. V =

. D. V =

Câu 2.2.10.

Cho hình chóp

ABC

có

SA ⊥(ABC)

∆ABC

vuông cân tại

SA = BC = a

. Tính theo

a thể tích V của khối chóp S.ABC.

A. V =

. B. V =

. C. V = 2a

. D. V =

Câu 2.2.11.

Cho khối chóp

ABC

có đáy

ABC

là tam giác vuông tại

B C = AB = a

vuông

góc với mặt phẳng



ABC



và SA = 2a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC theo a.

A. V =

. B. V =

. C. V =

. D. V =

Câu 2.2.12. Tính thể tích V của khối chóp có đáy là hình vuông cạnh 2a và chiều cao là 3a.

A. V =

π a

. B. V = 2a

. C. V = 12a

. D. V = 4a

Câu 2.2.13.

Cho hình chóp

ABC

có

A C

đôi một vuông góc với nhau,

AB =

A C =

4a, SA = 6a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.

A. V = 8a

. B. V = 48a

. C. V = 72a

. D. V = 24a

Câu 2.2.14.

Cho một khối chóp có thể tích bằng

. Khi giảm diện tích đa giác đáy xuống

lần thì

thể tích khối chóp lúc đó bằng:

. B.

. C.

. D.

Câu 2.2.15.

Cho tứ diện

ABC

có

O C

đôi một vuông góc với nhau và

OA = a

OB =

O C = 3a. Thể tích của tứ diện O.ABC bằng

A. a

. B. 2a

. C. 3a

. D. 4a

Câu 2.2.16.

Cho hình chóp tứ giác đều có diện tích đáy bằng 4 và diện tích của một mặt bên bằng

√

2. Thể tích của hình chóp đó là

A. V =

√

. B. V =

√

. C.

. D. 4.

Câu 2.2.17.

Một kim tự tháp ở Ai Cập được xây dựng vào khoảng 2500 trước Công nguyên. Kim

tự tháp này là một khối chóp tứ giác đều có chiều cao 150

, cạnh đáy dài 220

. Diện tích xung

quanh của kim tự tháp này là:

A. 2200

√

346 (m

). B. 4400

√

346 (m

). C. 2420000 (m

). D. 1100

√

346 (m

? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 Thầy Lê Minh Cường - 016666 58231

GV. Lê Minh Cường - cuong11102@gmail.com - 01666658231

14 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN

Câu 2.2.18.

Một kim tự tháp ở Ai Cập được xây dựng vào khoảng 2500 năm trước công nguyên.

Kim tự tháp này là một khối chóp tứ giác đều có chiều cao là 154

; độ dài cạnh đáy 270

. Khi đó

thể tích của khối kim tự tháp này là

A. 3.742.200. B. 3.640.000. C. 3.500.000. D. 3.545.000.

Câu 2.2.19.

Kim tự tháp Kê - ốp ở Ai Cập được xây dựng vào khoảng 2500 năm trước Công nguyên.

Kim tự tháp này là một khối chóp tứ giác đều có chiều cao 147

, cạnh đáy dài 230

. Thể tích của

nó là:

A. 2952100m

. B. 7776300m

. C. 3888150cm

. D. 2592100m

Câu 2.2.20.

Cho hình chóp

ABCD

có đáy là hình vuông cạnh bằng

SA ⊥ (ABCD)

và

SA =

Khi đó thể tích của khối chóp S.ABCD bằng

A. a

. B.

. C. a

. D.

√

Câu 2.2.21.

Cho hình chóp

S.ABC

có đáy là tam giác

ABC

đều cạnh

vuông góc với đáy và

SA = a

√

3 . Thể tích khối chóp S.ABC là:

. B.

. C.

. D. a

Câu 2.2.22.

Cho hình chóp

ABCD

có đáy

ABCD

là hình vuông cạnh

, biết

SA⊥

(

ABCD

)

và

SA = a

√

3. Thể tích của khối chóp S.ABCD là:

√

. B.

. C. a

√

3. D.

√

Câu 2.2.23.

Cho tứ diện

ABCD

có

A C

đôi một vuông góc với nhau và có cùng độ dài

bằng a. Tính thể tích của khối tứ diện ABCD.

. B.

. C.

. D. a

Câu 2.2.24.

Cho hình chóp

ABCD

có đáy là hình thoi tâm

, cạnh

;

[

ABC =

◦

;

SO ⊥ (ABCD)

và SO =

√

. Thể tích của khối chóp là:

√

. B.

√

. C.

√

. D.

√

2.2.2 Khối lăng trụ

Ví dụ 2.2.3 THPTQG 2017

Cho khối lăng trụ đứng

ABC

có

= a

, đáy

ABC

là tam giác vuông cân tại

và

A C = a

√

2. Tính t hể tích V của khối lăng trụ đã cho.

A. V = a

. B. V =

. C. V =

. D. V =

Lời giải. Tam giác ABC vuông cân tại B và AC = a

√

2 do đó AB = BC = a.

Thể tích khối lăng trụ là V = BB

ABC

= a.

.a.a =

Ví dụ 2.2.4

Cho khối lăng trụ

(T)

có chiều cao bằng

và thể tích bằng 4

. Tính diện tích đáy

của

(T).

A. S = 4a

. B. S = 12a

. C. S =

. D. S = 2a

Thầy Lê Minh Cường - 016666 58231 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12

GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231

2.2 Công thức thể tích đơn giản 15

Lời giải. Ta có V = S.h =⇒ S =

= 4a

Câu 2.2.25.

Cho khối lăng trụ đứng

ABC

có đáy

ABC

là tam giác vuông tại

AB = BC =

2a, AA

= a

√

3. Tính t hể tích V của khối chóp A.BCC

theo a.

A. V =

√

. B. V = a

√

3. C. V =

√

. D. V = 2a

√

Câu 2.2.26.

Tính thể tích

của khối lăng trụ tam giác đều

ABC

có tất cả các cạnh bằng

2a.

A. V =

√

. B. V =

√

. C. V =

√

. D. V = 2a

√

Câu 2.2.27.

Một khối lăng trụ có chiều cao bằng 2

và diện tích đáy bằng 2

. Tính thể tích khối

lăng trụ.

A. V =

. B. V =

. C. V = 4a

. D. V =

Câu 2.2.28.

Cho hình lăng trụ đứng có diện tích đáy là

√

; độ dài cạnh bên

√

. Khi đó thể tích

khối lăng trụ là

A. a

√

6. B. a

√

3. C. a

√

2. D.

√

Câu 2.2.29. Cho khối lăng trụ ABC.A

có thể tích là V. Thể tích của khối chóp C

.ABC là:

. B.

. C. 2V. D.

Câu 2.2.30. Thể tích khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a là:

√

. B.

√

. C.

√

. D.

√

Câu 2.2.31.

Lăng trụ đứng

ABC

có đáy là tam giác vuông cân

AB = AC = a

C =

. Thể

tích khối lăng trụ là:

A. a

√

3. B.

√

. C.

√

. D.

√

Câu 2.2.32.

Cho lăng trụ đứng

ABC

, gọi

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC

Chiều cao của hình lăng trụ ABC.A

bằng:

A. A

O. B. CC

. C. A

C. D. A

Câu 2.2.33.

Lăng tr ụ đứng

ABC

có đáy là tam giác đều cạnh

, cạnh bên có độ dài

√

Thể tích khối lăng trụ là:

. B.

. C.

. D.

Câu 2.2.34.

Tính thể tích của khối hộp chữ nhật

ABCD

có

AB =

AD =

A. 12. B. 20. C. 10. D. 60.

Câu 2.2.35.

Cho khối hộp

ABCD

. Tỉ lệ thể tích của khối tứ diện

A CB

và khối hộp

bằng?

. B.

. C.

. D.

Câu 2.2.36.

Cho khối hộp chữ nhật có ba kích thước bằng 2

, 3

, với 0

< a ∈R

. Khi đó tính theo

a, thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng:

A. 2a

. B. a

. C. 6a

. D. 3a

? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 Thầy Lê Minh Cường - 016666 58231

GV. Lê Minh Cường - cuong11102@gmail.com - 01666658231

16 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN

Câu 2.2.37.

Một bể cá dạng hình hộp chữ nhật có thể tích 21000

và chiều dài 35

, chiều rộng

20cm. Tính chiều cao của bể cá.

A. 10cm. B. 20cm. C. 120cm. D. 30cm.

2.2.1. D | 2.2.2. B | 2.2.3. B | 2.2.4. D | 2.2.5. B | 2.2.6. A | 2.2.7. B | 2.2.8. B |

2.2.9. C | 2.2.10. A | 2.2.11. B | 2.2.12. D | 2.2.13. A | 2.2.14. C | 2.2.15. A | 2.2.16. C |

2.2.17. B | 2.2.18. A | 2.2.19. D | 2.2.20. C | 2.2.21. B | 2.2.22. A | 2.2.23. B | 2.2.24. C |

2.2.25. A | 2.2.26. D | 2.2.27. C | 2.2.28. A | 2.2.29. A | 2.2.30. D | 2.2.31. B | 2.2.32. B |

2.2.33. C | 2.2.34. D | 2.2.35. B | 2.2.36. C | 2.2.37. D |

Thầy Lê Minh Cường - 016666 58231 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12

GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231

2.2 Công thức thể tích đơn giản 17

2.3 Thể tích có tính toán thêm một yếu tố

Phương pháp.

Dựa vào các hệ thức lượng trong tam giác, định lý Pythagore, định lý Talet, ...

để tính toán các dữ kiện như chiều cao, diện tích đáy, ...

2.3.1 Khối chóp

Ví dụ 2.3.5 THPTQG 2017

Cho khối chóp tam giác đều

ABC

có cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng 2

. Tính thể tích

của khối chóp S.ABC.

A. V =

√

13a

. B. V =

√

11a

. C. V =

√

11a

. D. V =

√

11a

Lời giải.

Gọi H là trọng tâm tam giác ABC.

Khi đó SH là chiều cao của khối chóp.

Ta có: CH =

√

, SH =

√

S C

−CH

√

Do đó V =

√

11a

Ví dụ 2.3.6 THPTQG 2017

Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng

, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể tích

V của khối chóp đã cho.

A. V =

√

. B. V =

√

. C. V =

√

. D. V =

√

Lời giải.

Cạnh đáy AB = a ⇒ diện tích đáy S

ABCD

= a

Đường chéo AC = a

√

2 ⇒ HA =

√

Cạnh bên SA = 2AB = 2a ⇒ SH =

√

− HA

√

Vậy thể tích V =

√

Câu 2.3.1

(THPTQG 2017)

Cho khối chóp

ABCD

có đáy là hình vuông cạnh

vuông góc

với đáy và khoảng cách từ

đến mặt phẳng

(

SBC

)

bằng

√

. Tính thể tích

của khối chóp đã

cho.

A. V =

. B. V = a

. C. V =

√

. D. V =

Câu 2.3.2

(ĐỀ MH 2017 Lần 1)

Cho hình chóp tứ giác

ABCD

có đáy

ABCD

là hình vuông

cạnh

, cạnh bên

vuông góc với mặt phẳng đáy và

SA =

√

. Tính thể tích

của khối chóp

S.ABCD.

A. V =

√

. B. V =

√

. C. V =

√

. D. V =

√

? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 Thầy Lê Minh Cường - 016666 58231

GV. Lê Minh Cường - cuong11102@gmail.com - 01666658231

18 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN

Câu 2.3.3.

Cho hình chóp

ABC

có đáy

ABC

là tam giác đều cạnh

, cạnh bên

vuông góc với

mặt đáy. Biết thể tích khối chóp S.ABC là a

. Tính độ dài cạnh bên SA.

A. SA =

√

a. B. SA = 6a. C. SA =

√

a. D. SA = 4

√

3a.

Câu 2.3.4.

Cho hình chóp

ABC

có

vuông góc với mặt phẳng

(ABC)

. Tam giác

ABC

vuông

tại C, AB = a

√

3, AC = a . Tính thể tích khối chóp S.ABC biết rằng SC = a

√

. B.

√

. C.

√

. D.

√

Câu 2.3.5. Tính thể tích V của khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a

√

A. V =

√

. B. V =

√

. C. V =

√

. D. V =

√

Câu 2.3.6.

Cho khối chóp

SABC

có đáy

ABC

là tam giác đều cạnh

. Hai mặt bên

SAB

và

SAC

cùng vuông góc với đáy. Tính thể tích V của khối chóp biết SC = a

√

A. V =

√

. B. V =

√

. C. V =

√

. D. V =

√

Câu 2.3.7.

Cho khối chóp

ABC

có

SA ⊥ (ABC)

, tam giác

ABC

vuông tại

AB = a

A C = a

√

Tính thể tích V của khối chóp S.ABC biết rằng SB = a

√

A. V =

√

. B. V =

√

. C. V =

√

. D. V =

√

Câu 2.3.8.

Cho hình chóp tứ giác đều

ABCD

có tất cả các cạnh bằng

. Thể tích khối chóp

S.ABCD là:

√

. B.

√

. C.

. D.

Câu 2.3.9. Cho khối chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Thể tích khối chóp là

√

. B.

√

. C.

. D.

√

Câu 2.3.10.

Cho khối chóp tam giác đều

ABC

có cạnh đáy bằng

SA = a

√

. Tính thể tích

của

khối chóp S.ABC.

A. V =

√

. B. V =

√

. C. V =

√

. D. V =

√

35a

Câu 2.3.11.

Cho khối tứ diện

ABCD

có ba cạnh

A C

đôi một vuông góc và có thể tích

bằng

. Gọi

theo thứ tự là diện tích các tam giác

ABC

A CD

ADB

. Khi đó, khẳng định

nào dưới đây là khẳng định đúng?

A. V =

√

. B. V =

√

. C. V =

√

. D. V =

√

Câu 2.3.12. Thể tích của tứ diện đều có cạnh a

√

3 là

√

. B.

√

. C.

√

. D.

√

Câu 2.3.13.

Cho hình lập phương

ABCD

có cạnh bằng

, tâm

. Tính thể tích

của khối

tứ diện A.A

theo a.

A. V =

. B. V =

. C. V =

. D. V =

√

Câu 2.3.14. Một hình tứ diện đều có chiều cao bằng

√

thì thể tích của nó bằng bao nhiêu ?

A. V =

√

. B. V =

√

. C. V =

√

. D. V =

√

Thầy Lê Minh Cường - 016666 58231 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12

GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231

2.2 Công thức thể tích đơn giản 19

Câu 2.3.15.

Cho tứ diện

MNPQ

có

vuông góc với mặt phẳng

(NPQ )

, tam giác

NPQ

vuông

cân tại

MN = a

NQ = a

√

, với 0

< a ∈R

. Khi đó tính theo

, thể tích của khối tứ diện

MNPQ

bằng:

. B.

. C.

. D.

√

Câu 2.3.16.

Cho hình chóp

ABC

có tam giác

ABC

vuông cân tại

B C = a

, tam giác

SBC

đều và

nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính thể tích khối chóp S.ABC.

√

. B.

√

. C.

√

. D.

√

Câu 2.3.17.

Cho hình chóp

ABCD

có đáy

ABCD

là hình vuông,

AB = a

vuông góc với đáy

và

SA = a

. Gọi

và

lần lượt là hình chiếu vuông góc của

lên

S C

và

. Thể tích khối đa diện

AMNBC là:

. B.

. C.

. D.

Câu 2.3.18.

Cho khối chóp đều

ABCD

có cạnh đáy và cạnh bên cùng bằng

. Tính thể tích

của

khối chóp S.ABC.

A. V =

. B. V =

. C. V =

√

. D. V =

√

Câu 2.3.19.

Cho khối chóp

ABCD

có đáy

ABCD

là hình vuông, cạnh

vuông góc với

(ABCD)

và

√

S C

√

= a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

. B.

. C.

. D.

Câu 2.3.20.

Cho khối lăng trụ tam giác đều

ABC

có cạnh đáy bằng 2, diện tích tam giác

B C bằng 3. Tính thể tích của khối lăng trụ.

√

. B. 2

√

5. C.

√

2. D. 3

√

Câu 2.3.21.

Cho hình chóp

ABC

có mặt bên

SBC

là tam giác vuông cân tại

SB =

và khoảng

cách từ A đến mặt phẳng

(

SBC

)

bằng 3a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.

A. V = 6a

. B. V = 4a

. C. V = 2a

. D. V = 12a

Câu 2.3.22.

Cho tứ diện

ABCD

có

ABC

là tam giác vuông cân tại

và nằm trong mặt phẳng

vuông góc với mặt phẳng

(ABD)

. Tam giác

ABD

là tam giác đều và có cạnh bằng 2

. Tính thể tích

của khối tứ diện ABCD.

A. a

√

2. B.

√

. C.

√

. D. a

√

Câu 2.3.23.

Cho hình chóp

ABC

có

SA = a

, tam giác

ABC

đều, tam giác

SAB

vuông cân tại

và

nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Thể tích khối chóp S.ABC bằng

√

. B.

√

. C.

√

. D.

√

Câu 2.3.24.

Cho hình chóp

ABCD

có đáy

ABCD

là hình vuông, cạnh bên

SA = a

√

và

vuông

góc với mặt phẳng đáy, tam giác SBD là tam giác đều. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.

√

. B. 2

√

. C.

√

. D.

√

Câu 2.3.25.

Cho hình chóp tứ giác đều

ABCD

, đáy

ABCD

có diện tích 16

, diện tích một mặt

bên là 8

√

3cm

. Tính t hể tích V của khối chóp S.ABCD.

A. V =

√

. B. V =

√

. C. V =

√

. D. V =

√

? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 Thầy Lê Minh Cường - 016666 58231

GV. Lê Minh Cường - cuong11102@gmail.com - 01666658231

20 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN

Câu 2.3.26.

Cho hình chóp

ABC

có đáy

ABC

là tam giác vuông tại

AB = a

B C = a

√

. Tam

giác

SAB

là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo

thể tích

của

khối chóp S.ABC.

A. V =

√

. B. V =

√

. C. V =

√

. D. V =

√

Câu 2.3.27.

Cho khối đa diện như hình vẽ, biết ABCD.A

là khối lập

phương cạnh

ABCD

là khối chóp đều có cạnh bên

SA =

√

. Thể tích của khối đa diện là

. B.

. C.

√

. D. 2a

Câu 2.3.28.

Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng

và thể tích bằng

√

. Cạnh bên của

khối chóp đó bằng

√

. B.

. C.

√

. D.

√

2.3.2 Khối lăng trụ

Ví dụ 2.3.7

Diện tích ba mặt của một khối hộp chữ nhật

ABCD

lần lượt là

24 cm

, S

= 42 cm

. Tính t hể tích V của khối chóp D.AA

A. V = 56 cm

. B. V = 168 cm

. C. V = 112 cm

. D. V = 84 cm

Lời giải.

Gọi

là kích thước ba cạnh của hình hộp chữ nhật. Ta có:

ab = 24, bc = 28, ca = 42.

Vậy ta có: V

hộp

= abc =

√

24.28.42 = 168.

D.AA

= V

ADC.A

−V

hộp

−

hộp

Ví dụ 2.3.8

Cho hình lăng trụ

ABC

có đáy

ABC

là tam giác vuông tại

AB = AC = a

. Biết rằng

A = A

B = A

C = a. Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ ABC.A

A. V =

√

. B. V =

√

. C. V =

√

. D. V =

Lời giải.

Thầy Lê Minh Cường - 016666 58231 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12

GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231

2.2 Công thức thể tích đơn giản 21

Ta có các tam giác A

AB và A

A C là các tam giác đều.

Gọi

lần lượt là trung điểm của các cạnh

A C

và

B C

Khi đó ta chứng minh được A

O ⊥ (ABC).

Có A

O =

√

− HO

√

Mà S

∆ABC

. Vậy V

ABC.A

√

H K

Câu 2.3.29

(ĐỀ MH 2017 Lần 1)

Tính thể tích

của khối lập phương

ABCD

, biết

C = a

√

A. V = a

. B. V =

√

. C. V = 3

√

. D. V =

Câu 2.3.30.

Nếu khối lăng trụ đứng có đáy là hình vuông cạnh 2

và đường chéo mặt bên bằng 4

thì khối lăng trụ đó có thể tích bằng

A. 4a

. B. 6

√

. C. 8

√

. D. 12a

Câu 2.3.31.

Cho hình lăng trụ tứ giác đều

ABCD

có cạnh đáy bằng

. Biết đường chéo

của mặt bên là a

√

3. Khi đó t hể tích của khối lăng trụ bằng

A. a

√

3. B. a

√

2. C.

√

. D. 2a

Câu 2.3.32.

Một khối gỗ có dạng là lăng trụ, biết diện tích đáy và chiều cao lần lượt là 0,25

và

1, 2 m. Mỗi mét khối gỗ này trị giá 5 triệu đồng. Hỏi khối gỗ đó có giá bao nhiêu tiền?

A. 3 000 000 đồng. B. 500 000 đồng. C. 750 000 đồng. D. 1 500 000 đồng.

Câu 2.3.33.

Tổng diện tích sáu mặt của hình lập phương bằng 96

. Thể tích khối lập phương đó

là:

A. 91cm

. B. 84cm

. C. 48cm

. D. 64c m

Câu 2.3.34. Thể tích khối lập phương ABCD.A

biết AC = 2a là:

A. 2

√

. B.

. C.

√

. D. a

Câu 2.3.35

(THTT Lần 3)

Diện tích ba mặt của hình hộp chữ nhật bằng 20

, 28

, 35

. Thể

tích của khối hộp đó bằng:

A. 160cm

. B. 190cm

. C. 140cm

. D. 165cm

Câu 2.3.36.

Một hình lăng trụ tam giác đều có diện tích xung quanh bằng 192, tất cả các cạnh của

lăng trụ bằng nhau. Thể tích của khối lăng trụ này gần với số nào sau đây nhất ?

A. 234. B. 221. C. 229. D. 225.

Câu 2.3.37.

Tổng diện tích các mặt của một hình lập phương bằng 150. Tính t hể tích

của khối

lập phương đó.

A. V = 200. B. V = 625. C. V = 100. D. V = 125.

Câu 2.3.38.

Tính độ dài cạnh đáy

của lăng trụ tứ giác đều có chiều cao bằng

, thể tích bằng

A. x = 4a. B. x = 3a. C. x = a. D. x = 2a.

? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 Thầy Lê Minh Cường - 016666 58231

GV. Lê Minh Cường - cuong11102@gmail.com - 01666658231

22 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN

Câu 2.3.39.

Một khối lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy bằng 37, 13, 30 và diện tích xung

quanh của khối lăng trụ đó bằng 480. Khi đó thể tích của khối lăng trụ bằng

A. 2017. B. 2040. C. 1080. D. 1010.

Câu 2.3.40.

Một khối lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy bằng 37, 13, 30 và diện tích xung

quanh bằng 480. Tính thể tích V của khối lăng trụ.

A. V = 1080. B. V = 1010. C. V = 2010. D. V = 2040.

Câu 2.3.41

(THTT Lần 5)

Khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau và có thể tích là

thì độ dài mỗi cạnh bằng

√

243. B.

√

3. C. 3. D. Đáp số khác.

Câu 2.3.42.

Cho hình lăng tr ụ đứng tam giác

EFG

có đáy

EFG

là tam giác vuông tại

EF = a

EG =

= a

, với 0

< a ∈ R

. Khi đó tính theo

, thể tích của khối lăng trụ đứng tam

giác EFG.E

bằng:

. B. a

. C. 2a

. D.

Câu 2.3.43.

Lăng trụ đứng

ABC

có đáy

ABC

là tam giác vuông tại

AB =

A C =

40cm, B

A = 50cm. Tính diện tích toàn phần của khối lăng trụ là

A. 4800cm

. B. 5400cm

. C. 6000cm

. D. 7200cm

Câu 2.3.44.

Cho hình lăng trụ đứng

ABC

có tất cả các cạnh bằng

. Tính thể tích

của khối

lăng trụ ABC.A

A. V =

√

. B. V =

√

. C. V =

√

. D. V =

√

Câu 2.3.45 (THTT Lần 3). Cho hình lập phương AB CD.A

có cạnh bằng a. Xét 2 câu sau:

(I) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A

BD) là d =

√

(II) Hình lập phương AB CD.A

có 9 mặt phẳng đối xứng

A. Chỉ (I) đúng. B. Chỉ (II) đúng. C. Cả 2 đúng. D. Cả 2 sai.

Câu 2.3.46.

Diện tích toàn phần của một hình lập phương bằng 96. Thể tích của khối lập phương

đó là

A. 91. B. 64. C. 84. D. 48.

Câu 2.3.47.

Cho hình hộp chữ nhật

ABCD

có

A C =

√

A C

√

. Tính

thể tích V của khối hộp chữ nhật.

A. V = 2

√

15. B. V = 3

√

15. C. V = 4

√

15. D. V = 5

√

15.

Câu 2.3.48.

Nếu tăng ba kích thước của một khối hộp chữ nhật, mỗi kích thước lên

k >

0 lần thì

thể tích của khối hộp đó tăng lên bao nhiêu lần?

A. 3k lần. B. k lần. C. k

lần. D. 9k

lần.

Câu 2.3.49

(THTT Lần 5)

Cho

ABCD

là hình lập phương có cạnh

. Tính thể tích khối

tứ diện ACD

. B.

√

. C.

. D.

√

Câu 2.3.50.

Khi độ dài của một hình lập phương tăng thêm 2 cm thì thể tích của nó tăng thêm

98cm

. Cạnh của hình lập phương đã cho là:

A. 5 cm. B. 4 cm. C. 3 cm. D. 6 cm.

Thầy Lê Minh Cường - 016666 58231 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12

GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231

2.2 Công thức thể tích đơn giản 23

Câu 2.3.51.

Cho hình lăng trụ đứng tứ giác

MNPQ

có đáy

MNPQ

là hình thang vuông

tại

và

MN = a

NP = a

MQ =

= a

, với 0

< a ∈ R

. Khi đó tính theo

, thể tích của

khối lăng trụ đứng tứ giác MNPQ.M

bằng:

A. 4a

. B. a

. C. 2a

. D.

Câu 2.3.52.

Cho hình hộp đứng

EFGH

có đáy

EFGH

là hình thoi, biết

EG = a

FH =

= a, với 0 < a ∈ R. Khi đó tính theo a, thể tích của khối hộp đứng EFGH.E

bằng:

. B. a

. C. 2a

. D.

Câu 2.3.53.

Cho hình lập phương có độ dài đường chéo bằng 10

√

3cm

Thể tích của khối lập phương

là

A. 900cm

. B. 2700cm

. C. 1000cm

. D. 300cm

Câu 2.3.54. Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A

, biết AC = a

√

A. V =

. B. V = a

. C. V = 3

√

. D. V =

√

Câu 2.3.55. Tính theo a thể tích V của khối lập phương ABCD.A

, biết AC

= a.

A. V = 3

√

. B. V =

√

. C. V =

. D. V =

√

2.3.1. D | 2.3.2. D | 2.3.3. D | 2.3.4. C | 2.3.5. A | 2.3.6. B | 2.3.7. C | 2.3.8. B |

2.3.9. D | 2.3.10. B | 2.3.11. D | 2.3.12. A | 2.3.13. B | 2.3.14. A | 2.3.15. A | 2.3.16. A |

2.3.17. A | 2.3.18. D | 2.3.19. B | 2.3.20. D | 2.3.21. C | 2.3.22. B | 2.3.23. A | 2.3.24. A |

2.3.25. C | 2.3.26. D | 2.3.27. A | 2.3.28. C | 2.3.29. A | 2.3.30. C | 2.3.31. B | 2.3.32. D |

2.3.33. D | 2.3.34. A | 2.3.35. C | 2.3.36. B | 2.3.37. D | 2.3.38. D | 2.3.39. C | 2.3.40. A |

2.3.41. B | 2.3.42. B | 2.3.43. C | 2.3.44. D | 2.3.45. C | 2.3.46. B | 2.3.47. A | 2.3.48. C |

2.3.49. A | 2.3.50. C | 2.3.51. C | 2.3.52. B | 2.3.53. C | 2.3.54. B | 2.3.55. D |

? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 Thầy Lê Minh Cường - 016666 58231

GV. Lê Minh Cường - cuong11102@gmail.com - 01666658231

24 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN

2.4 Thể tích của khối có chứa góc

2.4.1 Khối chóp

Ví dụ 2.4.9

Cho hình chóp tứ giác đều

ABCD

có cạnh đáy bằng

, cạnh bên tạo với mặt đáy một góc

bằng 60

◦

. Tính t heo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.

A. V =

√

. B. V =

√

. C. V =

√

. D. V =

Lời giải.

Ta có S

ABCD

= a

SO = BOtan60

◦

√

3 =

√

Vậy V =

√

◦

Ví dụ 2.4.10 THPTQG 2017

Cho khối chóp

ABCD

có đáy là hình chữ nhật,

AB = a

AD = a

√

vuông góc với đáy

và mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 60

◦

. Tính t hể tích V của khối chóp S.ABCD.

A. V =

. B. V =

√

. C. V = a

. D. V = 3a

Lời giải.

Từ giả thiết ta có

[

SBA =

◦

suy ra

SH = AB

tan

◦

= a

√

. Vậy,

V =

√

3 =

Ví dụ 2.4.11 THPTQG 2017

Cho khối chóp

ABCD

có đáy là hình vuông cạnh

vuông góc với đáy và

S C

tạo với

mặt phẳng (SAB) một góc 30

◦

. Tính t hể tích V của khối chóp đã cho.

A. V =

√

. B. V =

√

. C. V =

. D. V =

√

Lời giải.

Từ giả thiết ta có góc

BSC =

◦

⇒ SB = a

√

3 ⇒ SA =

√

2a. Từ đó suy ra thể tích của khối chóp bằng

√

Câu 2.4.1

(THPTQG 2017)

Xét khối chóp

ABC

có đáy là tam giác vuông cân tại

vuông góc

với đáy, khoảng cách từ

đến mặt phẳng

(SBC)

bằng 3. Gọi

là góc giữa hai mặt phẳng

(SBC)

và (ABC). Tính cos α khi thể tích khối chóp S.ABC nhỏ nhất.

Thầy Lê Minh Cường - 016666 58231 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12

GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231

2.4 Thể tích của khối có chứa góc 25

A. cos α =

. B. cos α =

√

. C. cos α =

√

. D. cos α =

Câu 2.4.2.

Cho hình chóp tam giác đều

ABC

có cạnh đáy bằng 3

, góc giữa cạnh bên và mặt

phẳng đáy bằng 60

◦

. Tính t hể tích V của khối chóp S.ABC.

A. V =

√

. B. V =

√

. C. V =

√

. D. V =

√

Câu 2.4.3.

Một hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng

và cạnh bên tạo với đáy một góc

. Thể

tích khối chóp đó là:

cos

α sin α. B.

cos α sin

α. C.

√

cos α sin α. D.

√

cos

α sin α.

Câu 2.4.4.

Cho hình chóp tứ giác đều

ABCD

có đáy là hình vuông cạnh bằng 4. Mặt bên tạo với

đáy một góc bằng 60

◦

. Tính t hể tích V của khối chóp đó.

A. V =

√

. B. V =

√

. C. V =

√

. D. V =

√

Câu 2.4.5.

Cho hình chóp

ABCD

có đáy

ABCD

là hình vuông cạnh

vuông góc với mặt

phẳng đáy và cạnh bên

hợp với đáy một góc 60

◦

. Hỏi thể tích

của khối chóp

ABCD

bằng

bao nhiêu?

A. V =

√

. B. V =

√

. C. V =

√

. D. V = a

√

Câu 2.4.6.

Cho hình chóp đều

ABCD

có

A C =

, mặt bên

(SBC)

tạo với mặt đáy

(ABCD)

một

góc 45

◦

. Tính t hể tích V của khối chóp S.ABCD.

A. V =

√

. B. V = a

√

2. C. V =

√

. D. V =

Câu 2.4.7.

Cho hình chóp

ABCD

có đáy

ABCD

là hình chữ nhật, biết

AB = a

AD = a

√

. Hình

chiếu

lên đáy là trung điểm

của cạnh

; góc tạo bởi

và đáy là 60

◦

. Thể tích khối chóp

S.ABCD là:

A. a

. B.

√

. C.

√

. D.

Câu 2.4.8.

Cho hình chóp

ABCD

có đáy

ABCD

là hình vuông cạnh

, hai mặt phẳng

(SAC)

và

(SAB )

cùng vuông góc với

(ABCD)

. Góc giữa

(SCD)

và

(ABCD)

là 60

◦

. Thể tích của khối chóp

S.ABCD là:

√

. B.

√

. C.

√

. D.

√

Câu 2.4.9.

Một hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng

và cạnh bên tạo với đáy một góc

. Thể

tích khối chóp đó là:

tan α

. B.

cot α

. C.

tan α

. D.

tan α

Câu 2.4.10.

Cho hình chóp

ABCD

có đáy là hình chữ nhật với

AB = a

AD = a

√

. Cạnh bên

vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa

với mặt phẳng đáy bằng 45

. Tính thể tích khối chóp.

A. 3

√

. B.

√

. C. 2

√

. D.

√

Câu 2.4.11.

Cho hình chóp

ABC

có đáy là tam giác vuông tại

AB = a

√

B C = a

. Các cạnh

bên bằng nhau và cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 30

. Thể tích khối chóp SABC là:

. B.

. C.

. D. a

? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 Thầy Lê Minh Cường - 016666 58231

GV. Lê Minh Cường - cuong11102@gmail.com - 01666658231

26 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN

Câu 2.4.12.

Cho hình chóp tứ giác đều

ABCD

có cạnh đáy bằng

√

góc giữa cạnh bên và mặt

phẳng đáy bằng 60

. Thể tích khối chóp bằng:

√

. B.

√

. C. 3

√

. D.

√

Câu 2.4.13

(THTT Lần 3)

Cho hình chóp

ABC

, đáy

ABC

là tam giác đều cạnh

SA⊥(ABC)

và

SB hợp với đáy một góc 45

◦

. Xét hai câu sau:

(I) Thể tích khối chóp S.ABC là V =

√

(II) Tam giác SAB là tam giác cân.

Hãy chọn câu đúng.

A. Chỉ (I) đúng. B. Chỉ (II) đúng. C. Cả (I) và (II) đúng. D. Cả (I) và (II) sai.

Câu 2.4.14.

Cho tứ diện

ABCD

có

AB = CD =

. Gọi

và

lần lượt là trung điểm của

B C

và

AD, MN = a

√

3. Tính góc giữa AB và CD.

A. 30◦. B. 60

◦

. C. 90

◦

. D. 45

◦

Câu 2.4.15.

Một khối chóp tam giác có các cạnh đáy bằng 6, 8, 10. Một cạnh bên bằng 4 và tạo với

đáy một góc 60

◦

. Thể tích của khối chóp đó bằng

A. 16

√

3. B. 8

√

3. C. 16π. D.

√

Câu 2.4.16.

Một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng

, cạnh bên tạo với đáy một góc 60

◦

. Diện

tích toàn phần của hình nón ngoại tiếp hình chóp là

3π a

. B.

3π a

. C.

3π a

. D.

3π a

Câu 2.4.17.

Cho hình chóp

ABCD

có đáy là hình chữ nhật với

AB =

AD = a

. Tam giác

SAB

là tam giác cân tại

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa mặt phẳng

(SBC) và (ABCD) bằng 45

. Khi đó t hể tích khối chóp S.ABCD là

√

. B.

. C. 2a

. D.

Câu 2.4.18.

Cho hình chóp

ABCD

có đáy

ABCD

là hình chữ nhật; biết

AB = a

AD = a

√

. Hình

chiếu

lên đáy là trung điểm

của cạnh

; góc tạo bởi

và đáy là

◦

. Thể tích của khối chóp

S.ABCD là

. B.

√

. C.

√

. D.

√

Câu 2.4.19.

Cho hình chóp

ABC

có

[

ASB =

[

ASC =

BSC = 60

SA =

SB =

√

S C =

2. Thể tích

khối chóp S.ABC là:

. B.

. C.

√

. D.

√

Câu 2.4.20.

Cho hình chóp

ABC

có

[

ASB =

BSC =

[

CSA =

◦

SA =

SB =

S C =

5. Tính

khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB).

A. 5

√

2. B.

√

. C.

√

. D.

√

Câu 2.4.21.

Cho hình chóp

ABCD

có đáy

ABCD

là hình vuông cạnh

vuông góc với đáy,

S C tạo với đáy một góc bẳng 60

◦

Thể tích khối chóp S.ABCD bằng:

A. a

√

6. B.

√

. C.

√

. D.

√

Thầy Lê Minh Cường - 016666 58231 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12

GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231

2.4 Thể tích của khối có chứa góc 27

Câu 2.4.22.

Cho hình chóp

ABCD

là hình vuông cạnh 2

tâm

; hình chiếu của

lên

mặt phẳng đáy là trung điểm

của

. Biết góc giữa

và

(ABCD)

bẳng 30

◦

. Thể tích khối chóp

S. COD là

√

. B.

√

. C.

√

. D.

Câu 2.4.23.

Cho khối chóp

ABC

có đáy

ABC

là tam giác cân tại

AB = a

[

BAC =

120

◦

[

SBA =

[

S CA = 90

◦

. Biết góc giữa SB và đáy bằng 60

◦

. Tính t hể tích V của khối chóp S.ABC.

A. V =

. B. V =

√

. C. V =

√

. D. V =

Câu 2.4.24.

Cho hình chóp

ABCD

có đáy là hình vuông cạnh

, cạnh bên

SA = a

√

và vuông

góc với mặt đáy. Gọi

và

lần lượt là hình chiếu vuông góc của

lên

S C

. Tính côsin của góc

giữa cạnh bên SB với mặt phẳng (AHK) .

√

. B.

. C.

√

. D.

Câu 2.4.25.

Cho hình chóp

ABC

có

SA ⊥

(

ABC

)

, đáy

ABC

là tam giác vuông tại

. Biết rằng

AB =

B C =

và

S C

hợp với đáy

(

ABC

)

một góc

với

cos α =

. Tính thể tích khối chóp đã

cho.

A. 72a

. B. 24a

. C. 48a

. D. 12a

Câu 2.4.26.

Cho khối chóp tam giác đều có tổng diện tích các mặt bên bằng 2

√

, góc giữa mặt

bên và mặt đáy bằng 60

◦

. Tính t hể tích của khối chóp.

√

. B.

√

. C.

√

. D.

Câu 2.4.27.

Cho hình chóp

ABC

có đáy là tam giác vuông tại

, cạnh

vuông góc với đáy,

góc

[

A CB =

◦

B C = a

SA = a

√

. Gọi

là trung điểm của

. Tính thể tích

của khối tứ diện

MABC.

A. V =

. B. V =

. C. V =

. D. V =

Câu 2.4.28.

Cho hình chóp

ABCD

có đáy

ABCD

là hình vuông,

vuông góc với đáy, góc giữa

đường thẳng

S C

và mặt phẳng

(ABCD)

bằng 45

◦

. Biết rằng thể tích khối chóp

ABCD

bằng

√

. Tính t heo a khoảng cách d giữa hai đường thẳng SB và AC.

A. d =

√

. B. d =

√

. C. d =

√

. D. d =

√

Câu 2.4.29.

Cho hình chóp tứ giác đều

ABCD

có cạnh đáy bằng

. Góc giữa mặt phẳng

(SBC)

và (ABCD) bằng 60

◦

. Tính t hể tích V của khối chóp S.ABC theo a.

A. V =

√

. B. V =

√

. C. V =

√

. D. V =

√

Câu 2.4.30.

Hình chóp

ABC

có đáy là tam giác

ABC

vuông cân tại

A C =

√

; cạnh

vuông

góc với mặt đáy. Góc giữa mặt bên

(SBC)

và mặt đáy bằng 45

◦

. Tính theo

thể tích khối chóp

S.ABC.

√

. B.

. C.

√

. D.

Câu 2.4.31.

Cho hình chóp

ABC

có

SA =

SB =

S C =

[

ASB =

BSC =

◦

[

CSA =

◦

. Các

điểm

thỏa mãn đẳng thức

# »

AB =

# »

;

# »

B C =

# »

;

# »

CA =

# »

. Tính thể tích khối chóp

S.MNP.

128

√

. B.

. C.

245

. D.

√

? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 Thầy Lê Minh Cường - 016666 58231

GV. Lê Minh Cường - cuong11102@gmail.com - 01666658231

28 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN

Câu 2.4.32.

Hình chóp

ABCD

có đáy

ABCD

là hình thoi cạnh 1,

[

BAD =

◦

; các mặt phẳng

(SAD)

và

(SCD)

cùng vuông góc với mặt phẳng

(ABCD)

, góc giữa

S C

và mặt đáy

ABCD

bằng

◦

. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.BCD.

7π

. B.

7π

. C.

7π

. D.

7π

Câu 2.4.33.

Cho hình chóp đều

ABCD

có cạnh đáy bằng 2

. Mặt bên hình chóp tạo với đáy một

góc bằng 60

◦

. Mặt phẳng

(P)

chứa

đi qua trọng tâm

của tam giác

SAC

cắt

S C

lần lượt

tại M, N. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABMN.

A. V =

√

. B. V =

√

. C. V =

√

. D. V =

√

Câu 2.4.34.

Hình chóp

ABCD

có đáy là hình vuông cạnh

vuông góc với mặt đáy,

tạo

với mặt phẳng (SAD) một góc bằng 30

◦

. Tính t hể tích V của khối chóp S.ABCD.

A. V =

√

. B. V =

. C. V = 2a

√

3. D. V =

√

Câu 2.4.35. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, đỉnh S cách đều các điểm

. Biết

A C =

B C = a

, góc giữa

và mặt đáy bằng 60

◦

. Tính theo

thể tích

của khối

chóp S.ABC.

A. V =

√

. B. V =

√

. C. V =

. D. V =

√

Câu 2.4.36.

Cho hình chóp

ABCD

có đáy

ABCD

là hình vuông cạnh

. Cạnh

vuông góc với

mặt đáy, góc giữa

S C

và mặt đáy bằng 60

◦

. Gọi

là trung điểm của đoạn thẳng

. Tính theo

khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ADI).

√

. B. a

√

6. C.

√

. D. a

√

Câu 2.4.37.

Cho hình chóp

ABC

có đáy

ABC

là tam giác vuông cân tại

AB = a

. Đường thẳng

vuông góc với mặt phẳng

(ABC)

, góc giữa đường thẳng

và mặt phẳng

(ABC)

bằng 60

◦

Tính thể tích V của khối chóp M.ABC, với M là trung điểm của SB.

A. V =

√

. B. V =

√

. C. V =

√

. D. V =

√

Câu 2.4.38.

Cho hình chóp

ABC

có đáy

ABC

là tam giác vuông tại

AB = AC =

. Các tam

giác

SBA

và

S CA

lần lượt vuông tại

và

, góc giữa cạnh bên

và mặt phẳng đáy bằng 60

◦

Thể tích khối chóp SABC là

√

. B. 4a

√

6. C.

√

. D.

Câu 2.4.39.

Cho hình chóp

ABC

đáy

ABC

là tam giác vuông cân tại

, cạnh

B C = a

√

, cạnh

bên

vuông góc với đáy, mặt bên

(SBC)

tạo với đáy

(ABC)

một góc bằng 45

◦

. Tính theo

thể

tích V của khối chóp S.ABC.

A. V =

√

. B. V =

√

. C. V =

√

. D. V =

√

Câu 2.4.40.

Hình chóp tứ giác đều

ABCD

có góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là 45

◦

. Thể tích của

hình chóp là

. Hỏi cạnh hình vuông mặt đáy bằng bao nhiêu?

A. 2

√

2a. B. a . C. 2a. D. a

√

Câu 2.4.41.

Cho hình chóp

ABCD

có

vuông góc với mặt phẳng

(ABCD)

, đáy

ABCD

là hình

chữ nhật có

AB =

AD = a

. Cạnh bên

S C

tạo với mặt phẳng đáy một góc 60

◦

. Tính thể tích

của khối chóp S.ABD theo a.

A. V =

√

. B. V = 2a

√

15. C. V = a

√

15. D. V =

√

Thầy Lê Minh Cường - 016666 58231 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12

GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231

2.4 Thể tích của khối có chứa góc 29

2.4.2 Khối lăng trụ

Ví dụ 2.4.12

Cho hình hộp chữ nhật

ABCD

có đáy

ABCD

AB =

B C =

3 và góc giữa mặt

phẳng (ACD

) và đáy bằng 60

◦

. Tính t hể tích V của khối hộp chữ nhật đã cho.

√

. B.

144

√

. C. 24

√

3. D. 30

√

Lời giải.

Gọi

là hình chiếu của

lên

A C

. Ta tính được

DH =

, suy ra

√

. Vậy

thể tích cần tính là V =

144

√

Ví dụ 2.4.13

Cho hình lăng trụ

ABC

có tam giác

ABC

cân tại

B C

là tam giác đều cạnh

và

nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng

(ABC)

. Góc giữa đường thẳng

và mặt

phẳng (ABC) bằng 45

◦

. Tính t hể tích V của khối lăng trụ ABC.A

A. V =

. B. V =

√

. C. V =

. D. V =

√

Lời giải.

Gọi I là trung điểm của BC, ta có B

I =

√

=⇒ AI =

√

. Vậy S

∆ABC

√

Vậy V

ABC.A

◦

Ví dụ 2.4.14

Cho lăng trụ đứng

ABC

có đáy là tam giác vuông tại

A C = a

[

A CB =

◦

. Đường

chéo

B C

của mặt bên

(BCC

)

tạo với mặt phẳng

(AA

một góc

◦

. Tính thể tích

của khối lăng trụ theo a.

A. V = a

√

6. B. V =

√

. C. V =

√

. D. V =

√

? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 Thầy Lê Minh Cường - 016666 58231

GV. Lê Minh Cường - cuong11102@gmail.com - 01666658231

30 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN

Lời giải.

Dễ t hấy góc giữa

B C

với

A CC

chính là góc

[

A C

Ta tính được

AB = a

√

, rồi suy ra

A C

tan 30

◦

Sử dụng tính chất của tam giác vuông

A CC

tính được

đường cao của lăng trụ là

√

, từ đó suy ra thể

tích của lăng trụ bằng a

√

6. Vậy chọn phương án A.

◦

Câu 2.4.42.

Cho hình lăng trụ tất cả các cạnh đều bằng

, đáy là hình lục giác đều, góc tạo bởi cạnh

bên và đáy bằng 60

◦

. Tính t hể tích V của khối trụ.

A. V =

. B. V =

√

. C. V =

. D. V =

√

Câu 2.4.43.

Cho lăng trụ đứng

ABC

có đáy

ABC

là tam giác đều cạnh

, góc tạo bởi hai

mặt phẳng (ABC) và (A

B C) bằng 60

◦

. Tính t hể tích khối lăng trụ ABC.A

√

. B.

√

. C.

√

. D.

√

Câu 2.4.44.

Cho lăng trụ tam giác đều

ABC

có cạnh đáy bằng

, góc giữa đường t hẳng

và mặt phẳng

(

)

bằng 45

. Tính t hể tích V của khối lăng trụ ABC.A

A. V =

√

. B. V =

√

. C. V =

√

. D. V =

√

Câu 2.4.45.

Cho lăng trụ đứng tam giác

ABC

có đáy

ABC

là tam giác vuông cân tại

với

BA = BC = a, biết A

B hợp với đáy một góc 60

◦

. Tính t hể tích khối lăng trụ.

√

. B. 2a

. C.

√

. D.

Câu 2.4.46.

Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy lần lượt là 13 cm, 14 cm, 15 cm, độ dài cạnh

bên bằng 8 và tạo với đáy một góc 30

◦

. Khi đó t hể tích khối lăng trụ đó là:

A. 340 cm

. B. 274 cm

. C. 124 cm

. D. 336 cm

Câu 2.4.47.

Cho lăng trụ tam giác đều

ABC

có cạnh đáy là

, góc giữa

và

(BCC

)

bằng

. Tính t hể tích V của khối lăng trụ đó:

√

. B.

. C.

√

. D.

√

Câu 2.4.48.

Cho lăng trụ tam giác đều

ABC

có góc giữa hai mặt phẳng

B C)

và

(ABC)

bằng 60

, AB = a . Khi đó thể tích khối ABCC

bằng:

A. a

√

3. B.

. C.

√

. D.

√

Câu 2.4.49.

Cho khối hộp chữ nhật

ABCD

có t hể tích bằng

√

AB = AD

, góc giữa

hai mặt phẳng

(

B CD

)

và

(

ABCD

)

bằng 60

. Tính độ dài cạnh AA

A. AA

= 2a

√

3. B. AA

= a. C. AA

= a

√

3. D. AA

√

Thầy Lê Minh Cường - 016666 58231 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12

GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231

2.4 Thể tích của khối có chứa góc 31

Câu 2.4.50.

Cho lăng trụ đứng

ABC

có đáy là tam giác đều cạnh

. Mặt phẳng

(AB

)

tạo

với mặt đáy góc 60

◦

. Tính t hể tích lăng trụ ABC.A

A. V =

. B. V =

√

. C. V =

√

. D. V =

√

Câu 2.4.51.

Cho lăng trụ đứng

ABC

có

AB = AC = BB

= a

[

BAC =

120

◦

. Gọi

là tr ung

điểm của CC

. Tính cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC) và (AB

I).

√

. B.

√

. C.

√

. D.

√

Câu 2.4.52.

Cho lăng trụ

ABC

có tam giác

vuông tại

với

2. Biết

rằng hình chiếu vuông góc của

lên đáy

trùng với trọng tâm của tam giác

và góc

giữa mặt phẳng

(

)

với mặt phẳng đáy

(

)

bằng 60

◦

. Tính thể tích

của khối lăng trụ

ABC.A

A. V = 12

√

3. B. V = 8

√

3. C. V = 6

√

3. D. V = 9

√

Câu 2.4.53.

Cho hình chóp tứ giác đều

ABCD

có khoảng cách từ

đến

(SCD)

bằng 2

. Gọi

là

thể tích khối chóp S.ABCD, tính giá trị lớn nhất của V.

A. 2

√

. B.

√

. C. 4

√

. D.

√

2.4.1. B | 2.4.2. C | 2.4.3. D | 2.4.4. A | 2.4.5. C | 2.4.6. C | 2.4.7. C | 2.4.8. B |

2.4.9. C | 2.4.10. B | 2.4.11. A | 2.4.12. A | 2.4.13. C | 2.4.14. B | 2.4.15. A | 2.4.16. B |

2.4.17. D | 2.4.18. C | 2.4.19. A | 2.4.20. D | 2.4.21. D | 2.4.22. A | 2.4.23. C | 2.4.24. B |

2.4.25. B | 2.4.26. B | 2.4.27. D | 2.4.28. C | 2.4.29. D | 2.4.30. D | 2.4.31. B | 2.4.32. D |

2.4.33. C | 2.4.34. A | 2.4.35. C | 2.4.36. A | 2.4.37. C | 2.4.38. C | 2.4.39. B | 2.4.40. A |

2.4.41. A | 2.4.42. C | 2.4.43. A | 2.4.44. A | 2.4.45. C | 2.4.46. D | 2.4.47. A | 2.4.48. C |

2.4.49. C | 2.4.50. D | 2.4.51. D | 2.4.52. A | 2.4.53. A |

? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 Thầy Lê Minh Cường - 016666 58231

GV. Lê Minh Cường - cuong11102@gmail.com - 01666658231

32 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN

2.5 Tính thể tích và khoảng cách gián tiếp

2.5.1 Sử dụng tỷ lệ thể tích

Công thức tỷ lệ thể tích của tứ diện:

S.A

S.ABC

.SB

.SC

SA.SB.SC

Hình 2.5.1. Tỉ lệ thể tích chóp tam

giác.

Phương pháp.

Áp dụng công thức tỷ lệ t hể tích, đưa thể tính cần tính theo một tỷ lệ cho

trước với một thể tích dễ dàng tính được, từ đó tính được thể tích ban đầu.

Ví dụ 2.5.15

Cho khối hộp chữ nhật

ABCD

. Tỉ số thể tích của khối tứ diện

ABC

và khối hộp

chữ nhật ABCD.A

bằng.

. B.

. C.

. D.

Lời giải. Thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A

: V

ABCD.A

= S

ABCD

.h.

Thể tích khối tứ diện A

ABC:V

ABC

.h =

ABCD

Do đó:

BCD

ABCD.A

Ví dụ 2.5.16 THPTQG 2017

Cho tứ diện đều

ABCD

có các cạnh bằng

. Gọi

lần lượt là trung điểm của các cạnh

B C

và

là điểm đối xứng với

qua

. Mặt phẳng

(MNE)

chia khối tứ diện

ABCD

thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích V. Tính V.

A. V =

√

216

. B. V =

√

216

. C. V =

√

216

. D. V =

√

Lời giải.

Thầy Lê Minh Cường - 016666 58231 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12

GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231

2.5 Tính thể tích và khoảng cách gián tiếp 33

Ta có thể tích khối tứ diện

ABCD

bằng

√

Gọi

lần lượt là giao điểm của

với

và

ME với AD. Dễ thấy AQ = CP =

Ta dễ dàng tính được

E.BMN

. Áp dụng tỉ

số thể tích ta có

E.PQD

E.BMN

. Suy ra

E.PQD

E.BMN

⇒ V

BMNEQP

E.BMN

Tức là phần khối đa diện không chứa điểm

có thể tích bằng

, nên phần chứa điểm

có

thể tích là

X =

√

216

B E

Câu 2.5.1.

Cho hình chóp

ABC

có

theo thứ tự là trung điểm của

S C

. Tính giá trị

của

MNPABC

SABC

. B.

. C.

. D. 8.

Câu 2.5.2.

Cho hình chóp

ABC

. Gọi

lần lượt là trung điểm của các cạnh

. Tính tỉ số

thể tích

S.A

S.ABC

. B.

. C.

. D.

Câu 2.5.3.

Cho lăng trụ tam giác

ABC

có thể tích là

. Tính thể tích

của khối tứ diện

ABC theo V.

A. V

= V. B. V

V. C. V

V. D. V

Câu 2.5.4.

Cho hình chóp

ABC

. Gọi

lần lượt là trung điểm của

và

. Khi đó tỉ số thể

tích của hai khối chóp S.A

C và S.ABC bằng:

. B.

. C.

. D.

Câu 2.5.5.

Cho hình chóp

ABCD

có đáy

ABCD

là hình bình hành. Gọi

và

theo thứ tự là

trung điểm của SA và SB. Tỉ số thể tích

S.CDMN

S.CDAB

là:

. B.

. C.

. D.

Câu 2.5.6

(ĐỀ MH 2017 Lần 2)

Cho tứ diện

ABCD

có thể tích bằng 12 và

là trọng tâm tam giác

B CD. Tính thể tích V của khối chóp A.GBC.

A. V = 3. B. V = 4. C. V = 6. D. V = 5.

Câu 2.5.7. Biết thể tích khối lăng trụ ABC.A

bằng V.Thể tích tứ diện A

ABC

là:

. B. 2V. C.

. D.

Câu 2.5.8.

Cho hình lập phương

ABCD

cạnh

. Gọi

là trung điểm

là trung

điểm BC. Tính thể tích V của khối tứ diện ADMN.

A. V =

. B. V =

. C. V =

. D. V =

? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 Thầy Lê Minh Cường - 016666 58231

GV. Lê Minh Cường - cuong11102@gmail.com - 01666658231

34 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN

Câu 2.5.9.

Gọi

là thể tích của hình lập phương

ABCD

là thể tích của tứ diện

ABD. Hệ thức nào sau đây là đúng?

A. V = 6V

. B. V = 4V

. C. V = 3V

. D. V = 2V

Câu 2.5.10.

Cho khối lăng trụ

ABC

có thể tích bằng 6

và đáy

ABC

là tam giác đều cạnh

bằng 2a. Gọi G là trọng tâm của tam giác A

. Tính t hể tích V của khối chóp G.ABC.

A. V = 2a

. B. V = 3a

. C. V =

√

. D. V = a

Câu 2.5.11.

Cho hình hộp chữ nhật

ABCD

có

AB = a

AD =

. Diện tích tam giác

bằng

√

. Tính t hể tích của khối chóp A

.BC C

√

. B. 2a

. C. 3a

. D. 6a

Câu 2.5.12.

Cho khối tứ diện

OABC

với

O C

vuông góc từng đôi một và

OA = a

OB =

O C =

. Gọi

lần lượt là trung điểm của hai cạnh

A C

B C

. Thể tích của khối tứ diện

O CMN

theo a bằng

. B. a

. C.

. D.

Câu 2.5.13.

Cho hình chóp

ABC

. Trên ba cạnh

S C

lần lượt lấy ba điểm

sao cho

S C

. Gọi

và

lần lượt là thể tích của các khối chóp

ABC

và

S.A

. Khi đó tỉ số

là

A. 12. B.

. C. 24. D.

Câu 2.5.14.

Cho hình chóp

ABCD

có

ABCD

là hình thoi tâm

AB = a

√

A C =

SO =

√

Gọi

là trung điểm

S C

. Biết

vuông góc với mặt phẳng

(ABCD)

, tính thể tích của khối chóp

M.OBC.

A. 2

√

. B.

√

. C.

√

. D. 4a

Câu 2.5.15.

Cho hình lăng trụ

ABC

có thể tích bằng 48

theo thứ tự là trung

điểm các cạnh CC

, BC và B

, khi đó t hể tích khối chóp A

MNP là.

A. 24cm

. B.

. C. 16cm

. D. 8cm

Câu 2.5.16.

Cho khối lăng trụ đều

ABC

và

là trung điểm

. Mặt phẳng

chia

khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.

. B.

. C.

. D.

Câu 2.5.17.

Cho hình lập phương

ABCD

. Gọi

là điểm trên đường chéo

sao cho

# »

MC = −

# »

. Tính tỉ số giữa thể tích

của khối chóp

ABCD

và thể tích

của khối lập

phương.

. B.

. C.

. D.

Câu 2.5.18.

Cho khối chóp tứ giác đều

ABCD

. Gọi

là trung điểm của

S C

, mặt phẳng

(P)

chứa

và song song với

chia khối lập phương thành 2 khối đa diện, đặt

là thể tích khối đa

diện có chứa đỉnh S và V

là thể tích khối đa diện có chứa đáy ABCD. Tính

= 1. B.

. C.

. D.

Thầy Lê Minh Cường - 016666 58231 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12

GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231

2.5 Tính thể tích và khoảng cách gián tiếp 35

Câu 2.5.19.

Cho khối lăng trụ

ABC

có thể tích

. Gọi

lần lượt là trung điểm của

. Tính t hể tích khối đa diện AB CIKC

theo V.

. B.

. C.

. D.

Câu 2.5.20.

Cho khối lập phương

ABCD

. Gọi

lần lượt là trung điểm của

và

, mặt phẳng

MN)

chia khối lập phương thành 2 khối đa diện, đặt

là thể tích khối đa diện

có thể tích nhỏ và V

là thể tích khối đa diện có thể tích lớn. Tính

. B.

. C.

. D.

2.5.2 Tính khoảng cách dựa vào công thức thể tích

Phương pháp.

Từ công thức thể tích chóp ta có

V =

Bh ⇔ h =

. Vậy muốn tính khoảng

cách từ đỉnh hình chóp tới đáy, ta có thể đi tìm thể tích và đáy tương ứng, rồi thông qua công

thức trên để tìm được khoảng cách.

Ví dụ 2.5.17 ĐỀ MH 2017 Lần 2

Cho hình chóp

ABC

có đáy là tam giác đều cạnh 2

và thể tích bằng

. Tính chiều cao

của hình chóp đã cho.

A. h =

√

. B. h =

√

. C. h =

√

. D. h =

√

3a.

Lời giải. Ta có diện tích đáy là B =

(2a)

√

= a

√

3. Vậy h =

√

= a

√

Câu 2.5.21.

Tính chiều cao

của khối chóp có thể tích là 900 cm

và diện tích đáy bằng 100 cm

A. h = 9 cm. B. h = 6 cm. C. h = 27 cm. D. h = 3 cm.

Câu 2.5.22.

Khối chóp

ABC

có

vuông góc với

(ABC)

, đáy

ABC

là tam giác vuông tại

và

SB = 2a, BC = a. Thể tích khối chóp là a

. Khoảng cách từ A đến (SBC) là:

A. 3a. B. 6a. C.

. D.

√

Câu 2.5.23.

Cho khối chóp

ABCD

có thể tích bằng 9

và đáy

ABCD

là hình vuông cạnh

. Tính

độ dài đường cao h của khối chóp.

A. h = 3a. B. h = 6a. C. h = 9a. D. h = 27a.

Câu 2.5.24.

Một khối chóp tam giác đều có thể tích

V =

, cạnh đáy bằng 2

√

. Tính chiều cao

của khối chóp.

A. a

√

6. B.

√

. C.

√

. D.

Câu 2.5.25.

Cho hình chóp

ABCD

có đáy là hình thoi cạnh

[

ABC =

vuông góc với mặt

phẳng đáy, SA = a

√

3. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) bằng:

√

. B.

√

. C. 3a. D.

√

Câu 2.5.26.

Cho hình chóp

ABCD

, đáy

ABCD

là chữ nhật có

AB = a

; tam giác

SAD

đều cạnh

4a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ D đến (SAB) là:

A. a

√

3. B. 2a

√

3. C.

√

. D. 2a.

? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 Thầy Lê Minh Cường - 016666 58231

GV. Lê Minh Cường - cuong11102@gmail.com - 01666658231

36 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN

Câu 2.5.27.

Lăng trụ đứng

ABC

có đáy là tam giác vuông cân tại

, cạnh bên

= a

√

Biết thể tích khối trụ bằng 2

√

. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CC

bằng

A. a

√

2. B. 2a. C.

√

3a. D. 2

√

3a.

Câu 2.5.28.

Cho khối chóp

ABCD

có đáy

ABCD

là hình thang vuông tại

và

AB = a

B C = a

AD =

. Hình chiếu của

lên đáy trùng với trung điểm

của

và

SH =

√

. Tính khoảng

cách d từ B đến mặt phẳng (SCD).

A. d =

√

15a

. B. d =

√

. C. d = a. D. d =

√

Câu 2.5.29.

Cho hình chóp đều

ABCD

có cạnh đáy bằng

và thể tích

V =

√

. Tính khoảng

cách từ S đến (ABC).

√

. B.

. C.

. D.

Câu 2.5.30.

Cho hình chóp tam giác đều

ABC

có cạnh đáy bằng

và thể tích bằng

. Tính

khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC.

√

. B.

√

. C.

√

. D.

√

Câu 2.5.31.

Một viên gạch hình lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy 6 cm và thể tích của viên gạch đó

bằng 648

√

3 cm

. Tính chiều cao h của viên gạch đó

A. 12 cm . B. 4 cm . C. 6 cm . D. 72 cm .

Câu 2.5.32.

Cho hình chóp

ABC

có đáy là tam giác vuông tại

AB =

√

A C =

. Tam giác

SBC

cân và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Nếu thể tích của khối chóp

ABC

bằng

√

. Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB).

. B.

. C.

√

17a

. D.

√

17a

2.5.1. B | 2.5.2. C | 2.5.3. D | 2.5.4. D | 2.5.5. C | 2.5.6. B | 2.5.7. D | 2.5.8. C |

2.5.9. A | 2.5.10. A | 2.5.11. B | 2.5.12. D | 2.5.13. D | 2.5.14. C | 2.5.15. D | 2.5.16. B |

2.5.17. D | 2.5.18. B | 2.5.19. C | 2.5.20. D | 2.5.21. C | 2.5.22. A | 2.5.23. D | 2.5.24. C |

2.5.25. A | 2.5.26. B | 2.5.27. B | 2.5.28. D | 2.5.29. A | 2.5.30. A | 2.5.31. A | 2.5.32. D |

Thầy Lê Minh Cường - 016666 58231 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12

GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231

2.6 Các bài toán tổng hợp 37

2.6 Các bài toán tổng hợp

Ví dụ 2.6.18 THPTQG 2017

Xét khối tứ diện

ABCD

có cạnh

AB = x

và các cạnh còn lại đều bằng 2

√

. Tìm

để thể tích

khối tứ diện AB CD đạt giá trị lớn nhất.

A. x =

√

6. B. x =

√

14. C. x = 3

√

2. D. x = 2

√

Lời giải.

Gọi

lần lượt là trung điểm của

. Khi đó ta tính được

AM = BM =

suy ra MN =

9 −

- Gọi

là chiều cao của khối chóp hạ từ đỉnh

, ta có

h =

9 −

và

max

khi

x =

√

Câu 2.6.1

(ĐỀ MH 2017 Lần 1)

Cho hình chóp tứ giác

ABCD

có đáy là hình vuông cạnh bằng

√

. Tam giác

SAD

cân tại

và mặt bên

(SAD)

vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối

chóp S.ABCD bằng

. Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng (SCD).

A. h =

a. B. h =

a. C. h =

a. D. h =

Câu 2.6.2

(ĐỀ MH 2017 Lần 1)

Cho tứ diện

ABCD

có các cạnh

A C

và

đôi một vuông

góc với nhau;

AB =

A C =

và

AD =

. Gọi

tương ứng là trung điểm các cạnh

B C, CD, DB. Tính thể tích V của tứ diện AMNP.

A. V =

. B. V = 14a

. C. V =

. D. V = 7a

Câu 2.6.3

(ĐỀ MH 2017 Lần 2)

Cho lăng trụ tam giác

ABC

có đáy

ABC

là tam giác vuông

cân tại

, cạnh

A C =

√

. Biết

A C

tạo với mặt phẳng

(

ABC

)

một góc 60

◦

và

A C

4. Tính thể

tích V của khối đa diện ABCB

A. V =

. B. V =

. C. V =

√

. D. V =

√

2.6.0.1 Khối chóp

Câu 2.6.4.

Cho hình chóp

ABC

có cạnh bên

vuông góc với mặt đáy;

B C =

AB =

A C =

. Biết thể tích khối chóp

ABC

bằng 72

. Tính khoảng cách

từ điểm

đến mặt

phẳng (SBC).

A. h =

m. B. h =

m. C. h =

√

34 m. D. h =

Câu 2.6.5.

Cho hình chóp tứ giác

ABCD

có đáy là hình vuông; mặt bên

(SAB )

là tam giác đều

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy;

B C = a

√

. Tính khoảng cách

từ điểm

đến mặt

phẳng (SCD).

A. h =

√

. B. h =

√

a. C. h =

√

. D. h =

√

Câu 2.6.6.

Cho hình chóp

ABC

vuông góc mặt phẳng đáy,

SA = a

A C = a

√

AB =

. Gọi

là hình chiếu vuông góc của

lên các cạnh

S C

. Đặt

k =

SAMN

SABC

khi đó giá trị của

là

. B.

√

. C.

. D.

Câu 2.6.7.

Cho hình chóp

ABCD

có đáy là hình chữ nhật với độ dài các cạnh bằng

và

√

Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2 a. Khi đó thể tích khối chóp là:

√

. B.

√

. C. 2

√

. D.

√

? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 Thầy Lê Minh Cường - 016666 58231

GV. Lê Minh Cường - cuong11102@gmail.com - 01666658231

38 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN

Câu 2.6.8

(THTT Lần 3)

Cho hình chóp

ABCD

, đáy là hình chữ nhật

ABCD

có

B C =

SA⊥(ABCD)

và

là điểm trên cạnh

sao cho

AM = AB

. Gọi

lần lượt là thể tích của hai

khối chóp S.ABM và S.ABC thì

bằng:

. B.

. C.

. D.

Câu 2.6.9.

Cho hình chóp

ABCD

có đáy

ABCD

là hình thang vuông tại

và

. Độ dài các cạnh

AB = BC = a

AD = 2a

SD = a

√

, cạnh bên

vuông góc với mặt đáy. Gọi

là hình chiếu của

A lên cạnh SB. Tính khoảng cách d từ H đến mặt phẳng

(

S CD

)

A. d =

√

. B. d =

√

. C. d =

√

. D. d =

√

Câu 2.6.10.

Cho hình chóp tam giác

ABC

có cạnh đáy bằng

, các mặt bên luôn tạo với đáy một

góc 60

◦

. Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng

(

SBC

)

A. d =

. B. d =

√

. C. d = a

√

3. D. d =

√

Câu 2.6.11.

Cho hình chóp

ABC

, đáy

ABC

là tam giác đều cạnh

, cạnh bên

vuông góc với

mặt đáy, cạnh SB hợp với đáy một góc 45◦. Thể tích của khối chóp S.ABC là

A. V =

√

. B. V =

√

. C. V =

√

. D. V =

√

Câu 2.6.12.

Cho hình chóp tam giác đều

ABC

có độ dài cạnh đáy bằng 3

, cạnh bên bằng 2

Tính thể tích của khối chóp S.ABC.

A. V =

√

. B. V = a

√

3. C. V = 9a

√

3. D. V =

√

Câu 2.6.13.

Tứ diện

OABC

có

OA = OB = OC = a

và đôi một vuông góc. Gọi

lần lượt là

trung điểm AB, BC, CA. Thể tích tứ diện OMNP là

. B.

. C.

. D.

Câu 2.6.14.

Cho hình chóp

ABC

có

SA⊥(ABC)

SA = a

√

. Tam giác

ABC

vuông cân tại

A C = 2a. Thể tích khối chóp S.ABC là

√

. B. a

√

3 . C.

√

. D.

√

Câu 2.6.15.

Hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng

, cạnh bên bằng 2

. Cosin của góc giữa

cạnh bên và mặt đáy bằng

√

. B.

√

. C.

√

. D.

Câu 2.6.16.

Cho hình chóp tứ giác

ABCD

có đáy là hình vuông cạnh bằng

√

, tam giác

SAB

vuông cân tại

và mặt phẳng

(SAB )

vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ điểm

đến

mặt phẳng (SCD) là

√

. B.

√

. C. a

√

2 . D.

√

Câu 2.6.17.

Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng

, mặt bên tạo với mặt đáy một góc 45

Tính thể tích của khối chóp đều.

A. V =

. B. V =

. C. V =

. D. V =

Thầy Lê Minh Cường - 016666 58231 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12

GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231

2.6 Các bài toán tổng hợp 39

Câu 2.6.18.

Cho hình chóp

ABCD

có đáy

ABCD

là hình bình hành. Trên các cạnh

S C

lần

lượt lấy các điểm

sao cho

SA =

SB =

S C =

S C

. Mặt phẳng

)

cắt cạnh

tại

. Gọi

lần lượt là thể tích của hai khối chóp

và

ABCD

. Tính tỉ số

. B.

. C.

. D.

Câu 2.6.19.

Cho hình chóp

ABCD

có đáy

ABCD

là hình vuông cạnh bằng

, cạnh bên

vuông

góc với mặt phẳng đáy, cạnh

S C

tạo với mặt phẳng

(SAB )

một góc 30

. Tính thể tích khối chóp

S.ABCD.

√

. B.

√

. C.

√

. D.

√

Câu 2.6.20.

Cho khối chóp đều

ABCD

có cạnh đáy bằng

√

, cạnh bên bằng 2

. Khi đó thể tích

của khối chóp S.ABCD là:

A. V

S.ABCD

√

. B. V

S.ABCD

√

. C. V

S.ABCD

√

. D. V

S.ABCD

√

Câu 2.6.21.

Cho hình chóp

ABC

có

SA⊥

(

ABC

)

SA =

, đáy

ABC

là tam giác đều cạnh

. Kẻ

AH⊥SB, AK⊥SC . Thể tích của khối chóp S.AHK là:

A. V =

√

. B. V =

. C. V =

√

. D. V =

√

Câu 2.6.22.

Cho khối chóp

ABCD

có đáy

ABCD

là hình thang vuông tại

và

AB = AD =

CD = a

. Góc giữa hai mặt phẳng

(

SBC

)

và

(

ABCD

)

bằng 60

◦

. Gọi

là trung điểm của

. Biết

hai mặt phẳng

(

SBI

)

và

(

S CI

)

cùng vuông góc với mặt đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

A. V

S.ABCD

= 6a

√

3. B. V

S.ABCD

√

. C. V

S.ABCD

√

. D. V

S.ABCD

= 6a

Câu 2.6.23.

Cho khối chóp

ABC

có đáy

ABC

là tam giác vuông tại

với

AB =

B C =

4. Hai

mặt bên

(

SAB

)

và

(

SAC

)

cùng vuông góc với mặt đáy. Biết

S C

hợp với

(

ABC

)

góc 45

◦

. Thể tích

của khối cầu ngoại tiếp S.ABC là:

A. V =

5π

√

. B. V =

25π

√

. C. V =

125π

√

. D. V =

125π

√

Câu 2.6.24.

Cho hình chóp

ABCD

có mặt phẳng

(

SAB

)

vuông góc với mặt phẳng

(

ABCD

)

, đáy

ABCD

là hình vuông,

AB =

SA = a

√

SB = a

. Gọi

là trung điểm

. Thể tích của khối

chóp S.ABCM là:

A. V =

√

. B. V =

√

. C. V =

√

. D. V =

√

Câu 2.6.25.

Cho hình chóp

ABCD

có đáy

ABCD

là hình chữ nhật,

AB =

AD = a

. Hình chiếu

của

trên mặt phẳng

(

ABCD

)

là trung điểm

của

. Biết

S C

tạo với mặt đáy một góc

. Thể

tích của khối chóp S.ABCD là:

√

. B.

. C.

. D.

√

Câu 2.6.26.

Cho hình chóp

ABCD

, gọi

là trọng tâm tam giác

SAB

. Tính tỉ số thể tích của hai

khối chóp G.ABCD và S.ABCD.

G.ABCD

S.ABCD

. B.

G.ABCD

S.ABCD

. C.

G.ABCD

S.ABCD

. D.

G.ABCD

S.ABCD

Câu 2.6.27.

Cho hình chóp

ABC

vuông góc mặt phẳng đáy, tam giác

ABC

vuông cân tại

B C = 2

√

2a, SA = a. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

. B.

√

. C. 3a

. D.

? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 Thầy Lê Minh Cường - 016666 58231

GV. Lê Minh Cường - cuong11102@gmail.com - 01666658231

40 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN

Câu 2.6.28.

Cho khối chóp

ABC

có đáy

ABC

là tam giác đều cạnh

SA⊥(ABC)

. Cạnh bên

S C

hợp với mặt đáy một góc 45

. Tính t hể tích khối chóp S.ABC.

√

. B.

. C.

√

. D.

Câu 2.6.29.

Cho hình chóp

ABCD

có đáy

ABCD

là hình vuông có cạnh bằng

√

. Tam giác

SAB

cân tại

và mặt bên

(

SAB

)

vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối chóp

ABCD

bằng

. Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng

(

SBC

)

a. B.

a. C.

a. D.

Câu 2.6.30.

Cho hình chóp

ABC

có

SA ⊥ (ABC)

, tam giác

ABC

đều cạnh

√

, góc giữa mặt

bên (SBC) và (ABC) bằng 60

◦

. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) là:

√

. B.

. C.

√

. D. a

√

Câu 2.6.31.

Cho hình chóp

ABC

. Gọi

lần lượt là trung điểm của

S C

. Gọi

là thể

tích của khối chóp S.ABC . Khi đó thể tích của khối chóp S.MNP là:

. B.

. C.

. D.

Câu 2.6.32.

Cho hình chóp

ABC

có cạnh bên

vuông góc với mặt đáy có

SA = a

√

AB =

a, AC = a

√

3, BC = 2a. Thể tích khối chóp S.ABC là:

√

. B.

. C.

√

. D.

√

Câu 2.6.33.

Cho hình chóp tam giác đều

ABC

có

AB =

√

, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng

◦

. Thể tích khối chóp S.ABC là:

. B. 3a

. C. 9a

. D.

Câu 2.6.34.

Cho hình chóp

ABC

có đáy

ABC

là tam giác vuông cân tại

AB = a

. Gọi

là trung

điểm

A C

, tam giác

SAC

cân tại

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối

chóp S.ABC, biết góc giữa SB và mặt phẳng đáy bằng 45

√

. B.

√

. C.

√

. D.

√

Câu 2.6.35. Cho tứ diện đều có cạnh bằng a, thể tích khối tứ diện bằng:

√

. B.

√

. C.

√

. D.

√

Câu 2.6.36.

Cho hình chóp

ABC

có đáy

ABC

là tam giác đều cạnh bằng 2

SA ⊥ (ABC)

, góc

giữa hai mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABC) bằng 45

. Thể tích khối chóp S.ABC bằng:

A. a

. B. 3a

. C.

. D.

Câu 2.6.37.

Cho hình chóp tứ giác đều

ABCD

có đáy

ABCD

là hình vuông cạnh bằng

, góc

giữa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng 60

. Thể tích khối chóp S.ABCD bằng:

√

. B.

√

. C.

π a

√

. D.

π a

√

Câu 2.6.38.

Cho khối lăng trụ tam giác đều, độ dài tất cả các cạnh bằng

. Tính thể tích khối lăng

trụ đó.

√

. B.

. C.

. D.

√

Thầy Lê Minh Cường - 016666 58231 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12

GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231

2.6 Các bài toán tổng hợp 41

Câu 2.6.39.

Cho hình chóp tam giác đều

ABC

có cạnh đáy bằng

, cạnh bên bằng

. Tính thể

tích khối chóp S.ABC.

√

11a

. B.

√

11a

. C.

. D.

√

11a

Câu 2.6.40.

Cho hình chóp

ABCD

có đáy

ABCD

là hình chữ nhật, biết

AB = 2a

;

AD = a

. Hình

chiếu của

lên đáy là trung điểm

của cạnh

, góc tạo bởi

S C

và đáy là

. Tính thể tích khối

chóp S.ABCD.

√

. B.

. C.

. D.

√

Câu 2.6.41.

Cho hình chóp

ABCD

có đáy

ABCD

là hình vuông cạnh

;

SA⊥

(

ABCD

)

và

SB =

√

3a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD

√

. B.

√

. C.

√

. D.

√

Câu 2.6.42.

Cho hình chóp

ABC

có đáy

ABC

là tam giác vuông tại

B C = a

√

và

A C = a

√

;

cạnh bên

vuông góc với mặt phẳng

(

ABC

)

và

SA = a

√

. Khoảng cách từ điểm

đến

(

SBC

)

là bao nhiêu?

A. d =

√

. B. d =

√

. C. d =

√

. D. d = a.

Câu 2.6.43.

Cho hình chóp tam giác

ABC

có

[

ASB =

CSB =

◦

[

ASC =

◦

SA = SB =

S C =

Gọi M là điểm trên cạnh SC sao cho SM =

S C. Khi đó, thể tích của khối chóp S.ABM bằng

A. V =

√

. B. V =

√

. C. V =

√

. D. V =

√

Câu 2.6.44.

Cho hình chóp

ABC

có

ASB =

[

ASC =

CSB = 60

SA =

SB =

S C =

9. Tính

khoảng cách d từ C đến mặt phẳng

(

SAB

)

A. d = 9

√

6. B. d = 2

√

6. C. d =

√

. D. d = 3

√

Câu 2.6.45.

Cho hình chóp tứ giác đều

ABCD

có cạnh đáy là

√

và cạnh bên bằng

√

. Tính

theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.

A. V = 2a

√

3. B. V = 2a

√

2. C. V =

√

. D. V =

√

Câu 2.6.46.

Cho hình chóp

ABC

có đáy

ABC

là tam giác vuông tại

. Cạnh bên

vuông góc với

đáy

(ABC)

. Cho biết

AB = a

;

A C = a

√

;

SA = a

√

. Tính theo

thể tích

của khối chóp

ABC

A. V =

√

. B. V = a

√

2. C. V =

. D. V =

Câu 2.6.47.

Cho hình chóp

ABCD

có đáy

ABCD

là hình thoi cạnh

[

ABC = 60

SA = SB =

S C = a

√

3. Tính t heo a thể tích khối chóp S.ABCD.

√

. B. a

√

2 . C.

√

. D.

√

Câu 2.6.48.

Cho hình chóp

ABCD

có đáy là hình vuông cạnh

vuông góc với mặt phẳng

đáy

(

ABCD

)

và

SA = a

. Điểm

thuộc cạnh

sao cho

= k

. Xác định

sao cho mặt phẳng

(

BMC

)

chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau.

A. k =

−1 +

√

. B. k =

−1 +

√

. C. k =

−1 +

√

. D. k =

1 +

√

? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 Thầy Lê Minh Cường - 016666 58231

GV. Lê Minh Cường - cuong11102@gmail.com - 01666658231

42 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN

Câu 2.6.49.

Cho hình chóp

ABCD

có đáy là hình vuông cạnh

. Đường thẳng

vuông góc với

mặt phẳng đáy,

SA = a

. Gọi

là trung điểm của cạnh

. Tính khoảng cách từ

đến mặt phẳng

(

SAB

)

A. a

√

2 . B. 2a . C. a . D.

√

Câu 2.6.50.

Cho hình chóp

ABCD

có đáy là hình vuông cạnh 2

. Đường thẳng

vuông góc với

mặt phẳng đáy,

SA =

. Gọi

là trung điểm của

. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

SN và CD.

√

. B. a

√

5 . C. a

√

2 . D.

√

Câu 2.6.51.

Cho hình tứ diện

SABC

có

S C

đôi một vuông góc;

SA =

SB =

S C = a

Tính thể tích khối tứ diện SABC.

. B. 2a

. C. a

. D. 6a

Câu 2.6.52.

Cho tứ diện đều

ABCD

có cạnh bằng

là trọng tâm của tứ diện

ABCD

. Tính theo

khoảng cách từ G đến các mặt của tứ diện.

√

. B.

√

. C.

√

. D.

√

Câu 2.6.53.

Cho hình chóp

ABCD

có đáy là hình chữ nhật,

AB = a

B C =

vuông góc với

mặt phẳng đáy

(

ABCD

)

. Tính thể tích của khối chóp

ABCD

biết

tạo với mặt phẳng đáy

(

ABCD

)

một góc 60

√

. B. 2a

√

3. C.

√

. D.

√

Câu 2.6.54.

Cho hình chóp

ABC

có đáy

ABC

là tam giác vuông cân tại

B C =

vuông

góc với mặt phẳng đáy

(

ABC

)

. Tính thể tích khối chóp

ABC

biết

S C

tạo với mặt phẳng

(

SAB

)

một góc 30

√

. B.

√

. C.

√

. D.

√

Câu 2.6.55.

Cho hình chóp

ABCD

có đáy

ABCD

là hình vuông cạnh bằng 3

vuông góc với

mặt phẳng đáy

(

ABCD

)

và SA = 3a. Thể tích của khối chóp S.ABCD là:

A. 6a

. B. 9a

. C. 3a

. D. a

Câu 2.6.56.

Cho hình chóp

ABC

. Gọi

lần lượt là trung điểm của các cạnh

và

là

điểm trên cạnh

S C

sao cho

P C =

. Ký hiệu

lần lượt là thể tích của hai khối chóp

MNP

và S.ABC. Tính tỉ số

. B.

. C.

. D.

Câu 2.6.57.

Cho hình chóp

ABCD

có đáy

ABCD

là hình vuông canh

, cạnh bên

vuông góc

với mặt đáy. Cho biết SC = a

√

5. Tính t heo a thể tích V của khối chóp S.BCD.

A. V =

√

. B. V =

√

. C. V =

√

. D. V =

√

Câu 2.6.58.

Cho hình chóp

ABC

có

vuông góc với mặt đáy

(ABC)

, biết

AB = a

;

SA = a

√

Gọi

là hình chiếu vuông góc của

trên

và

là trung điểm của

S C

. Ký hiệu

lần lượt là

thể tích của hai khối chóp S.AHM và S.ABC. Tính tỉ số

. B.

. C.

. D.

Thầy Lê Minh Cường - 016666 58231 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12

GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231

2.6 Các bài toán tổng hợp 43

Câu 2.6.59.

Cho hình chóp

ABC

có đáy

ABC

là tam giác vuông tại

. Cạnh bên

vuông góc

với đáy

(ABC)

. Cho biết

AB = a

;

CA = a

√

;

SA = a

√

. Gọi

là trung điểm của

là điểm

trên cạnh SC sao cho SN =

NC. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.AMN.

A. V =

√

. B. V =

√

. C. V =

√

. D. V =

√

Câu 2.6.60.

Cho hình chóp

ABCD

có đáy

ABCD

là hình chữ nhật,

AB = a

AD =

. Cạnh

vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa

S C

và mặt phẳng đáy bằng 60

. Thể tích khối chóp

BDC

là:

√

. B.

√

. C. a

√

15 . D.

√

Câu 2.6.61.

Cho hình chóp

ABC

có đáy

ABC

là tam giác vuông tại

. Cạnh bên

vuông góc

với đáy

(ABC)

, biết

AB = a

;

A C = a

√

;

SA = a

√

. Gọi

là trung điểm của

là hình chiếu

vuông góc của A trên SC. Tính theo a thể tích V của khối chóp A.BCNM.

A. V =

√

. B. V =

√

. C. V =

√

. D. V =

√

Câu 2.6.62.

Cho hình chóp tứ giác đều

ABCD

có cạnh đáy bằng

và cạnh bên hợp với mặt đáy

một góc 60

. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

A. R =

√

. B. R =

√

. C. R =

√

. D. R =

√

Câu 2.6.63.

Cho hình chóp

ABCD

có đáy

ABCD

là hình vuông, mặt bên

SAD

là tam giác đều

cạnh

và mặt phẳng

(SAD)

vuông góc với đáy. Tính theo

thể tích

của khối chóp

ABCD

A. V =

√

. B. V =

√

. C. V =

√

. D. V =

√

Câu 2.6.64.

Cho hình chóp

ABC

có thể tích là

. Gọi

tương ứng là trung điểm của cạnh

SA, SB. Điểm P thuộc cạnh SC sao cho SP = 2PC. Thể tích khối S.MNP bằng:

. B.

. C.

. D.

Câu 2.6.65.

Cho hình chóp

ABC

có

S C

đôi một vuông góc và

SA =

(m)

SB =

(m)

S C = 3 (m) . Thể tích khối chóp S.ABC là:

A. 3 (m

) . B. 6(m

) . C. 2(m

) . D. 1(m

) .

Câu 2.6.66.

Cho hình chóp

ABC

có đáy là tam giác đều cạnh

. Các mặt bên

(SAB )

(SAC)

cùng

vuông góc với đáy (ABC); Góc giữa SB với (ABC) bằng 60

. Tính t hể tích khối chóp S.ABC.

. B.

. C.

. D.

Câu 2.6.67.

Cho hình chóp đều

ABC

có đáy

ABC

là tam giác đều cạnh

; Mặt bên tạo với đáy

một góc 60

. Khi đó khoảng cách từ A đến (SBC) là

√

. B.

√

. C. a

√

3. D.

Câu 2.6.68.

Cho hình chóp

ABC

có đáy là tam giác đều cạnh bằng

vuông góc với đáy,

SA = a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC bằng:

√

. B.

√

. C.

√

. D.

√

Câu 2.6.69.

Cho hình chóp

MNPQ

có đáy

MNPQ

là hình chữ nhật, hai mặt phẳng

(SMN)

và

(SMQ)

cùng vuông góc với mặt phẳng

(MNPQ)

, góc giữa đường thẳng

và mặt phẳng

(MNPQ)

bằng 60

, biết

MN = a

MQ =

, với

là số thực dương. Khi đó tính theo

, khoảng

cách giữa hai đường thẳng SP và NQ bằng:

√

. B.

√

. C.

√

. D.

√

? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 Thầy Lê Minh Cường - 016666 58231

GV. Lê Minh Cường - cuong11102@gmail.com - 01666658231

44 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN

Câu 2.6.70.

Cho hình chóp tam giác

MNP

có đáy

MNP

là tam giác đều cạnh bằng

vuông

góc với mặt phẳng

(MNP)

, biết

SM =

, với 0

< a ∈R

. Khi đó tính theo

, thể tích của khối chóp

tam giác S.MNP bằng:

√

. B.

√

. C.

√

. D.

√

Câu 2.6.71.

Cho hình chóp tứ giác

MNPQ

có đáy

MNPQ

là hình chữ nhật,

vuông góc với

mặt phẳng

(MNPQ)

, biết

MN = a

MQ =

SM = a

, với 0

< a ∈R

. Khi đó tính theo

, thể tích

của khối chóp tứ giác S.MNPQ bằng:

. B. 2a

. C.

. D.

Câu 2.6.72.

Cho hình chóp tứ giác đều

EFGH

có cạnh đáy bằng

và chiều cao bằng

, với

0 < a ∈ R. Khi đó tính theo a, thể tích của khối chóp tứ giác đều S.EFGH bằng:

. B. a

. C.

√

. D.

√

Câu 2.6.73.

Cho tứ diện

MNPQ

biết mặt phẳng

(MNP)

vuông góc với mặt phẳng

(NPQ )

, tam

giác

MNP

là tam giác đều, tam giác

NPQ

vuông cân tại

PQ =

√

, với 0

< a ∈ R

. Khi đó tính

theo a, thể tích của khối tứ diện MNPQ bằng:

√

. B. 2a

√

3. C.

√

. D.

√

Câu 2.6.74.

Cho hình chóp tứ giác

MNPQ

có đáy

MNPQ

là hình chữ nhật,

vuông góc

với mặt phẳng

(MNPQ)

MN = a

MQ =

(với 0

< a ∈ R

), góc giữa hai mặt phẳng

(SNP)

và

(MNPQ) bằng 60

. Khi đó tính theo a, thể tích của khối chóp tứ giác S.MNPQ bằng:

√

. B. 2a

√

3. C.

√

. D.

√

Câu 2.6.75.

Cho hình chóp

ABCD

có

ABCD

là hình vuông cạnh

vuông góc với đáy

(ABCD). Biết góc giữa SC và mặt phẳng (AB CD) bằng 60

◦

, tính thể tích khối chóp S.ABCD.

√

. B.

√

. C.

√

. D.

√

Câu 2.6.76.

Cho hình chóp

ABC

có đáy

ABC

là tam giác đều cạnh bằng 1,

SA =

2. Hai mặt phẳng

(SAB )

và

(SAC)

cùng vuông góc với mặt đáy. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

ABC

là:

13π

. B.

11π

. C.

16π

. D.

8π

Câu 2.6.77.

Cho hình chóp

ABC

có đáy là tam giác vuông cân tại

AB = a

vuông góc với

mặt đáy. Thể tích khối chóp

ABC

bằng

. Khi đó góc giữa hai mặt phẳng

(SBC)

và

(ABC)

bằng:

A. 45

. B. 120

. C. arctan2 . D. 60

Câu 2.6.78.

Cho hình chóp

ABC

có đáy là tam giác vuông tại

AB = a

vuông góc với mặt

phẳng đáy, SA = a

√

2, SC = a

√

3. Khoảng cách giữa SA và BC là:

√

. B.

√

. C. a . D.

√

Câu 2.6.79.

Cho hình chóp

ABC

có

SA =

(cm)

SB =

(cm)

S C =

(cm)

. Khối chóp

ABC

có thể tích lớn nhất bằng:

A. 3000 (cm

) . B. 6 (dm

) . C. 2000 (cm

) . D. 1000 (cm

) .

Thầy Lê Minh Cường - 016666 58231 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12

GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231

2.6 Các bài toán tổng hợp 45

2.6.0.2 Khối lăng trụ tam giác

Câu 2.6.80.

Cho hình lăng trụ

ABC

có đáy tam giác đều cạnh

. Hình chiếu vuông góc của

lên mặt phẳng

là trung điểm của

, góc giữa cạnh bên

và mặt phẳng đáy bằng

. Khi đó t hể tích khối lăng trụ là::

√

. B.

√

. C.

√

. D.

√

Câu 2.6.81

(THTT Lần 3)

Cho khối lăng trụ tam giác đều

ABC

có cạnh đáy bằng

√

và

mỗi mặt bên có diện tích bằng 4a

. Thể tích khối lăng trụ đó là:

A. 2a

√

6. B.

√

. C. a

√

6. D.

√

Câu 2.6.82.

Lăng trụ

ABC

có đáy là tam giác đều cạnh

. Hình chiếu vuông góc của

lên

(ABC)

là trung điểm của

B C

. Góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy là

. Khoảng cách từ điểm

đến mặt phẳng (ABB

) là

√

. B.

√

. C.

√

. D.

√

Câu 2.6.83.

Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có cạnh bên bằng

√

và cạnh đáy bằng

là:

. B.

. C.

. D. a

Câu 2.6.84.

Cho hình lăng trụ đứng tam giác

ABC

có diện tích các mặt bên

ABB

B CC

CAA

lần lượt bằng 63cm

, 84c m

, 105c m

. Tam giác ABC là tam giác gì ?

A. Tam giác có một góc bằng 60

◦

. B. Tam giác vuông tại B.

C. Tam giác vuông cân tại C. D. Tam giác cân tại A.

Câu 2.6.85.

Cho lăng trụ đứng

ABC

có đáy

ABC

là tam giác vuông cân tại

AB = AA

√

2. Thể tích khối lăng trụ bằng:

√

. B.

√

. C. a

√

2. D.

√

Câu 2.6.86.

Cho lăng trụ

ABCA

, đáy là tam giác đều cạnh bằng

, tứ giác

ABB

là hình

thoi,

A C = 60

C =

√

. Tính t hể tích lăng trụ ABCA

√

. B.

√

. C.

√

. D.

√

Câu 2.6.87.

Biết thể tích của hình chóp

ABC

là

S.ABC

. Thể tích của hình lăng trụ

SDE

ABC

là bao nhiêu ?

A. V

SDE.ABC

= 10a

. B. V

SDE.ABC

10a

. C. V

SDE.ABC

. D. V

SDE.ABC

= 15a

Câu 2.6.88.

Cho hình lăng trụ tam giác đều có các mặt bên là hình vuông, độ dài cạnh đáy bằng

Thể tích của khối lăng trụ đó là bao nhiêu?

A. V =

√

. B. V =

. C. V =

√

. D. V = a

Câu 2.6.89.

Tính theo

thể tích khối lăng trụ đứng

ABC

có đáy ABC là tam giác vuông cân

tại A, mặt bên BCC

là hình vuông cạnh 2a.

A. a

. B. a

√

2. C.

. D. 2a

Câu 2.6.90.

Cho lăng trụ tam giác đều

ABC

có tất cả các cạnh đều bằng

. Tính theo

thể

tích V của lăng trụ.

A. V =

√

. B. V =

√

. C. V =

√

. D. V =

√

? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 Thầy Lê Minh Cường - 016666 58231

GV. Lê Minh Cường - cuong11102@gmail.com - 01666658231

46 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN

Câu 2.6.91.

Cho lăng trụ

ABC

có đáy

ABC

là tam giác đều cạnh

, hình chiếu vuông góc

của

trên mặt đáy

(ABC)

là trọng tâm

của tam giác

ABC

. Cho biết cạnh bên bằng

√

. Tính

theo a thể tích V của khối tứ diện ABCC

A. V =

√

. B. V =

√

. C. V =

√

. D. V =

√

Câu 2.6.92.

Cho một hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều. Thể tích của hình lăng trụ là

Để diện tích toàn phần của hình lăng trụ nhỏ nhất thì cạnh đáy của lăng trụ là

√

4V. B.

√

V. C.

√

2V. D.

√

6V.

Câu 2.6.93.

Cho hình lăng trụ tam giác

EFG

có đáy

EFG

là tam giác đều cạnh bằng

(với

< a ∈R

), hình chiếu vuông góc của điểm

trên mặt phẳng

(EFG)

trùng với trung điểm

của

đoạn

, biết góc giữa đường thẳng

và mặt phẳng

(EFG)

bằng 60

. Khi đó tính theo

, thể

tích của khối lăng trụ tam giác EFG.E

bằng:

√

. B.

√

. C.

√

. D.

√

Câu 2.6.94.

Cho lăng trụ xiên

ABC

;

∆ABC

vuông tại

AB = a

A = BC =

. Biết

cách đều các đỉnh của ∆ABC. Thể tích khối lăng trụ đã cho là:

√

. B.

√

. C. a

√

3. D.

Câu 2.6.95.

Cho hình lăng trụ

ABC

và

là trung điểm của

. Gọi khối đa diện

(H)

là

phần còn lại của khối lăng trụ

ABC

sau khi cắt bỏ đi khối chóp

ABC

.Tỷ số thể tích của

(H) và khối chóp M.ABC là:

. B. 6. C.

. D. 5.

Câu 2.6.96.

Cho hình lăng trụ đứng

ABC

có cạnh bên bằng

, đáy là tam giác vuông tại

B C = 2a,AB = a

√

3. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A

B C) là:

√

. B.

√

. C.

√

. D.

√

Câu 2.6.97.

Cho hình lăng trụ đứng

ABC

có đáy

ABC

là tam giác đều cạnh

, khoảng cách

từ điểm A đến đường thẳng B

bằng 2a. Thể tích khối lăng trụ ABC.A

là:

√

. B.

√

. C.

. D.

√

2.6.0.3 Khối hộp

Câu 2.6.98.

Cho hình lăng trụ tứ giác đều

ABCD

có cạnh đáy bằng

, đường chéo

A C

tạo

với mặt phẳng

(BCC

)

một góc

α(

< α <

)

. Tính thể tích khối lăng trụ

ABCD

A. a

√

cot

α + 1. B. a

√

cot

α − 1. C. a

√

cot 2α. D. a

√

tan

α − 1.

Câu 2.6.99. Tính thể tích khối lập phương có đường chéo bằng 3a

27a

√

. B. a

√

3 . C. 3a

√

3 . D. a

Câu 2.6.100.

Cho một hình hộp với 6 mặt đều là các hình thoi cạnh

, góc nhọn bằng

. Khi đó

thể tích của khối hộp là:

A. V =

√

. B. V =

√

. C. V =

√

. D. V =

√

Câu 2.6.101.

Cho hình hộp

ABCD

. Gọi

là trung điểm của

là thể tích khối hộp

ABCD.A

, V

là thể tích khối chópM.ACD. Tính tỉ số

= 12. B.

= 4. C.

= 6. D.

= 8.

Thầy Lê Minh Cường - 016666 58231 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12

GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231

2.6 Các bài toán tổng hợp 47

Câu 2.6.102.

Tính thể tích khối lăng trụ đứng tứ giác

ABCD

có đáy

ABCD

là hình thoi

cạnh a, CC

= a, góc

[

ABC = 120

√

. B.

√

. C. a

√

3. D.

√

Câu 2.6.103.

Cho hình hộp chữ nhật

ABCD

AB =

B C =

. Tính thể tích

khối hộp chữ nhật ABCD.A

√

. B.

√

. C.

√

. D. 4

√

Câu 2.6.104.

Cho một hình lập phương. Biết rằng nếu cộng mỗi cạnh của hình lập phương thêm 5

cm thì thể tích của khối lập phương tăng thêm 2015

. Thể tích của khối lập phương tạo bởi hình

lập phương đã cho là:

A. 512cm

. B. 125cm

. C. 729cm

. D. 343cm

Câu 2.6.105.

Cho hình lập phương

ABCD

có cạnh bằng

. Tính thể tích của tứ diện

A CDB

√

. B.

√

. C.

. D.

Câu 2.6.106.

Diện tích ba mặt chung một đỉnh của một khối hộp chữ nhật lần lượt là 24

(cm

)

; 28

(cm

)

; 42

(cm

)

Tính thể tích V của khối hộp trên.

A. V = 94(cm

). B. V = 188(cm

). C. V = 168(cm

). D. V = 336(cm

Câu 2.6.107.

Cho lăng trụ đứng

ABCD

có đáy

ABCD

là hình chữ nhật,

= AB = a

khoảng cách giữa AA

và D

bằng

. Thể tích khối lăng trụ ABCD.A

là:

. B.

√

. C.

√

. D.

Câu 2.6.108.

Khi người ta gọt một khối lập phương bằng gỗ để lấy khối tám mặt đều nội tiếp nó (

tức là khối có các đỉnh là các tâm của các mặt khối lập phương). Biết các cạnh của khối lập phương

bằng a. Hãy tính thể tích của khối tám mặt đều đó.

. B.

. C.

. D.

Câu 2.6.109.

Cho hình hộp

MNPQ

có đáy

MNPQ

là hình vuông cạnh bằng

(với

< a ∈R

), hình chiếu vuông góc của điểm

trên mặt phẳng

(MNPQ)

trùng với tâm

của hình

vuông

MNPQ

, biết góc giữa hai mặt phẳng

(MM

và

(MNPQ)

bằng 60

. Khi đó tính theo

thể tích của khối hộp MNPQ.M

bằng:

√

. B.

√

. C. a

√

3. D.

√

Câu 2.6.110.

Cho hình lập phương

ABCD

có diện tích mặt chéo

A CC

bằng 2

√

Thể tích của khối lập phương là:

A. 2

√

. B. 2a

. C.

√

. D. a

2.6.1 Tổng hợp

Câu 2.6.111.

Cho hình chóp

ABC

có đáy là tam giác đều cạnh

SA =

và

vuông góc với

đáy

(ABC)

. Gọi

lần lượt là trung điểm của

và

là hình chiếu vuông góc của

lên

S C. Tính thể tích V của khối chóp S.MNP.

√

. B.

√

. C.

√

. D.

√

Câu 2.6.112.

Cho hình chóp

ABC

có

SA =

SB =

S C =

6, các góc ở đỉnh

của các mặt bên

bằng nhau và bằng 60

◦

. Tính t hể tích V của khối chóp.

A. V =

√

. B. V = 2

√

2. C. V =

√

. D. V = 4

√

? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 Thầy Lê Minh Cường - 016666 58231

GV. Lê Minh Cường - cuong11102@gmail.com - 01666658231

48 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN

Câu 2.6.113.

Cho biết thể tích của một khối hộp chữ nhật là

, đáy là hình vuông cạnh

. Khi đó

diện tích toàn phần của hình hộp bằng

A. 2



+ a



. B. 2



+ a



. C. 2



+ a



. D. 4



+ a



Câu 2.6.114.

Cho hình chóp

ABC

có thể tích

. Gọi

lần lượt là trung điểm của

và

S C

Tính thể tích của khối chóp S.AHK theo V.

A. V

S.AHK

V. B. V

S.AHK

V. C. V

S.AHK

V. D. V

S.AHK

Câu 2.6.115.

Cho khối lập phương

ABCD

có cạnh là

. Tính thể tích khối chóp tứ giác

D.ABC

. B.

√

. C.

√

. D.

Câu 2.6.116.

Cho khối chóp

ABCD

có đáy

ABCD

là hình chữ nhật,

AB =

AD =

vuông

góc với mặt phẳng đáy

(

ABCD

)

và

SA =

2. Điểm

trên cạnh

sao cho mặt phẳng

(

MBC

)

chia

khối chóp

ABCD

thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính diện tích

của tam giác

MAC

A. S =

√

5 −5

. B. S =

√

. C. S =

√

. D. S =

5 −

√

Câu 2.6.117.

Cho khối hộp

ABCD

. Gọi

thuộc cạnh

sao cho

MB =

. Mặt

phẳng (MB

) chia khối hộp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.

. B.

. C.

. D.

Câu 2.6.118.

Cho hình chóp tam giác đều

ABC

đỉnh

, có độ dài cạnh đáy bằng

, cạnh bên bằng

2a. Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Tính thể tích V của khối chóp S.ABI.

A. V =

√

. B. V =

√

. C. V =

√

. D. V =

√

Câu 2.6.119.

Với mỗi đỉnh của hình lập phương, xét tứ diện xác định bởi đỉnh ấy và các trung điểm

của ba cạnh cùng xuất phát từ đỉnh ấy. Khi ta cắt bỏ các khối tứ diện này thì tỉ số thể tích phần còn

lại so với khối lập phương bằng

. B.

. C.

. D.

Câu 2.6.120. Tính thể tích V của khối lăng tr ụ đều ABC.A

biết AB = a và AB

= 2a .

A. V =

√

. B. V =

√

. C. V =

√

. D. V =

Câu 2.6.121.

Cho hình chóp

ABCD

có đáy

ABCD

là hình vuông cạnh

, mặt bên

SAD

là tam

giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi

lần lượt là trung điểm các cạnh

SB, BC, CD. Tính thể tích V của khối tứ diện CMNP.

A. V =

√

. B. V =

√

. C. V =

√

. D. V =

√

Câu 2.6.122.

Cho hình chóp đều

ABCD

, cạnh đáy bằng

. Gọi

và

lần lượt là trung điểm của

và

S C

. Biết rằng

BM ⊥ DN

. Tính thể tích

của khối nón nội tiếp hình chóp đều

ABCD

A. V =

π a

. B. V =

√

. C. V =

√

. D. V =

Câu 2.6.123.

Cho khối chóp

ABCD

có thể tích là

và đáy là hình bình hành. Gọi

là trung

điểm của cạnh

là điểm nằm trên cạnh

sao cho

SN =

. Mặt phẳng

(α)

di động đi qua

các điểm

và cắt các cạnh

S C

lần lượt tại hai điểm phân biệt

. Tính giá trị lớn nhất

của thể tích khối chóp S.MNKQ theo V.

. B.

. C.

. D.

Thầy Lê Minh Cường - 016666 58231 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12

GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231

2.6 Các bài toán tổng hợp 49

Câu 2.6.124.

Cho hình chóp

ABCD

, đáy

ABCD

là hình thoi cạnh bằng

, mặt bên

SAB

là tam

giác vuông cân tại

và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết thể tích khối chóp

ABCD

bằng

√

. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) bằng

√

. B. a

√

3. C.

√

. D.

√

Câu 2.6.125.

Cho hình hộp chữ nhật

ABCD

có thể tích bằng

48. Tính thể tích phần chung của hai khối chóp

và

.BC

A. 10. B. 12. C. 8. D. 6.

Câu 2.6.126.

Cho hình lập phương

ABCD

, khoảng cách từ

đến

BD)

bằng

√

Tính theo a thể tích V của khối lập phương ABCD.A

A. V = 8a

. B. V = 3

√

. C. V = 8

√

. D. V = 216a

Câu 2.6.127.

Cho khối lăng trụ tam giác

ABC

có thể tích

. Gọi

là một điểm trên đường

thẳng AA

. Tính t hể tích khối chóp tứ giác P.BCC

theo V

. B.

. C.

. D.

Câu 2.6.128.

Cho hình lăng trụ đứng

ABC

có đáy

ABC

là tam giác vuông,

AB = AC = a

cạnh bên

= a

√

. Gọi

là trung điểm của

A C

. Khoảng cách giữa hai đường thẳng

và

là

√

. B.

√

. C.

√

. D.

√

Câu 2.6.129

(THPTQG 2017)

Cho khối lăng trụ đứng

ABC

có đáy

ABC

là tam giác cân với

AB = AC = a,

[

BAC = 120

◦

, mặt phẳng (AB

) tạo với đáy một góc 60

◦

. Tính thể tích V của khối

lăng trụ đã cho.

A. V =

. B. V =

. C. V =

. D. V =

2.6.1. B | 2.6.2. D | 2.6.3. D | 2.6.4. D | 2.6.5. A | 2.6.6. C | 2.6.7. A | 2.6.8. D |

2.6.9. A | 2.6.10. A | 2.6.11. A | 2.6.12. A | 2.6.13. C | 2.6.14. C | 2.6.15. B | 2.6.16. B |

2.6.17. D | 2.6.18. A | 2.6.19. D | 2.6.20. A | 2.6.21. A | 2.6.22. C | 2.6.23. D | 2.6.24. A |

2.6.25. A | 2.6.26. D | 2.6.27. D | 2.6.28. A | 2.6.29. A | 2.6.30. C | 2.6.31. A | 2.6.32. B |

2.6.33. B | 2.6.34. A | 2.6.35. C | 2.6.36. A | 2.6.37. B | 2.6.38. D | 2.6.39. D | 2.6.40. A |

2.6.41. C | 2.6.42. B | 2.6.43. C | 2.6.44. D | 2.6.45. C | 2.6.46. D | 2.6.47. C | 2.6.48. B |

2.6.49. C | 2.6.50. A | 2.6.51. C | 2.6.52. D | 2.6.53. D | 2.6.54. B | 2.6.55. B | 2.6.56. D |

2.6.57. C | 2.6.58. D | 2.6.59. D | 2.6.60. A | 2.6.61. B | 2.6.62. A | 2.6.63. C | 2.6.64. C |

2.6.65. D | 2.6.66. C | 2.6.67. D | 2.6.68. B | 2.6.69. D | 2.6.70. D | 2.6.71. D | 2.6.72. A |

2.6.73. D | 2.6.74. D | 2.6.75. D | 2.6.76. C | 2.6.77. A | 2.6.78. B | 2.6.79. D | 2.6.80. D |

2.6.81. C | 2.6.82. A | 2.6.83. B | 2.6.84. B | 2.6.85. A | 2.6.86. B | 2.6.87. D | 2.6.88. A |

2.6.89. D | 2.6.90. B | 2.6.91. A | 2.6.92. A | 2.6.93. C | 2.6.94. D | 2.6.95. C | 2.6.96. B |

2.6.97. D | 2.6.98. B | 2.6.99. C | 2.6.100. C | 2.6.101. C | 2.6.102.D | 2.6.103.D | 2.6.104. C |

2.6.105.D | 2.6.106. C | 2.6.107.A | 2.6.108. B | 2.6.109. B | 2.6.110.A | 2.6.111.A | 2.6.113.A |

2.6.114. B | 2.6.115.A | 2.6.116.A | 2.6.117. C | 2.6.118. B | 2.6.119. C | 2.6.120.D | 2.6.121. C |

2.6.122. B | 2.6.123. B | 2.6.124.A | 2.6.125. C | 2.6.126.A | 2.6.127.A | 2.6.128. B | 2.6.129.A |

? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 Thầy Lê Minh Cường - 016666 58231

GV. Lê Minh Cường - cuong11102@gmail.com - 01666658231

50 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN

2.7 Vận dụng thực tế

Câu 2.7.1.

Người ta muốn mạ vàng cho bề mặt phía ngoài của một hộp dạng hình hộp đứng không

nắp trên, có đáy là một hình vuông. Tìm chiều cao

của hình hộp để lượng vàng dùng để mạ là ít

nhất, biết rằng lớp mạ vàng ở mọi mặt là như nhau, giao giữa các mặt là không đáng kể và thể tích

khối hộp là 13, 5 dm

A. h = 3. B. h =

. C. h =

. D. h =

Câu 2.7.2.

Người ta muốn xây một bồn chứa nước dạng khối hộp

chữ nhật trong một phòng tắm. Biết chiều dài, chiều

rộng, chiều cao của khối hộp đó là 5

, 1

, 2

(hình vẽ

bên). Biết mỗi viên gạch có chiều dài 20

, chiều rộng

, chiều cao 5

. Hỏi người ta phải sử dụng ít nhất

bao nhiêu viên gạch để xây bồn đó và thể tích thực của

bình chứa bao nhiêu lít nước? (Giả sử xi măng và cát

không đáng kể).

1dm

A. 1182 viên , 8800 lít. B. 1180 viên ,8820 lít. C. 1180 viên , 8800 lít. D. 1182 viên , 8820 lít.

Câu 2.7.3.

Chiều dài bé nhất của cái thang

để có thể tựa vào tường

A C

và mặt đất

B C

, ngang

qua cột đỡ DH cao 4m, song song và cách tường CH = 0, 5m là:

A. Xấp xỉ 5, 602m. B. Xấp xỉ 6,5902m.

C. Xấp xỉ 5, 4902m. D. Xấp xỉ 5,5902m.

Câu 2.7.4.

Người ta cần xây một hồ bơi với dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích là

500

. Đáy hồ là một hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê công nhân để xây

hồ được tính theo mét vuông ( gồm đáy hồ và bốn mặt bên của hồ). Để chi phí thuê công nhân

thấp nhất thì cần xây bờ hồ có chiều rộng bằng bao nhiêu.

A. 5m. B. 4m. C. 10m. D. 12m.

Câu 2.7.5

(THTT Lần 5)

Một viên đá có dạng khối chóp tứ giác đều với tất cả các cạnh bằng nhau

và bằng

. Người ta cưa viên đá đó theo mặt phẳng song song với mặt đáy của khối chóp để chia

viên đá thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính diện tích thiết diện viên đá bị cưa bởi mặt

phẳng nói trên

√

. B.

√

. C.

√

. D. Kết quả khác.

Câu 2.7.6.

Cho một tấm nhôm hình chữ nhật

ABCD

có

AD =

. Ta gập tấm nhôm theo 2 cạnh

và

vào phía trong đến khi

và

trùng nhau như hình vẽ dưới đây để được một hình

lăng trụ đứng khuyết 2 đáy. Tìm x để thể tích khối lăng trụ là lớn nhất.

A. x = 25.

B. x = 40.

C. x = 30.

D. x = 32.

x x

Thầy Lê Minh Cường - 016666 58231 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12

GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231

2.7 Vận dụng thực tế 51

Câu 2.7.7.

Cho hình vẽ như hình bên. Một con quạ muốn uống nước trong

cốc có dạng hộp chữ nhật (không có nắp) với đáy là hình vuông

cạnh bằng 5

. Mực nước trong cốc đang có chiều cao 5

. Vì

vậy, con quạ chưa thể uống được. Để uống được nước thì con

quạ cần thả các viên bi đá vào cốc sao cho mực nước dâng cao

thêm 1

nữa. Biết rằng các viên bi là hình cầu có đường kính

, chìm hoàn toàn trong nước và có số lượng đủ dùng. Hỏi

con quạ cần thả ít nhất mấy viên bi vào cốc để có thể uống được

nước?

A. 48 viên. B. 6 viên. C. 76 viên. D. 24 viên.

Câu 2.7.8. Cho hai số phức z

= 4 −2i, z

= −2 + i. Mô-đun của số phức z

+ z

bằng

A. 3. B.

√

5. C.

√

3. D. 5.

Câu 2.7.9.

Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm. Người ta cắt ở bốn góc

của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có

cạnh bằng

(cm), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ bên để được một

cái hộp không nắp. Tìm

để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.

A. x = 2. B. x = 4. C. x = 6. D. x = 3.

Câu 2.7.10.

Nếu tăng độ dài cạnh hình lập phương gấp 4 lần thì được hình lập phương mới có thể

tích hơn thể tích hình lập phương ban đầu là 1701

. Cạnh của hình lập phương ban đầu bằng

√

576 m . B. 3 m . C. 3

√

3 m . D. 6 m .

Câu 2.7.11.

Cho một tấm nhôm hình chữ nhật

ABCD

có

AD =

. Ta gập tấm nhôm theo hai

cạnh

và

vào phía trong đến khi

và

trùng nhau, với

AN = PD

(như hình vẽ dưới

đây) để được một hình lăng trụ. Tìm độ dài đoạn AN để thể tích khối lăng trụ lớn nhất.

DN P

N P

A ≡ D

B ≡ C

60 cm

A. AN = 39 cm . B. AN = 20 cm . C. AN =

cm . D. AN = 15 cm .

Câu 2.7.12.

Một hộp nữ trang (xem hình vẽ) có mặt bên

ABCDE với ABCE là hình chữ nhật, cạnh cong CDE

là một cung của đường tròn có tâm là trung điểm M

của đoạn thẳng AB. Biết AB = 12

√

3 cm, BC = 6cm

và BQ = 8cm. Tính thể tích của hộp nữ trang.

A. 216(3

√

3 + 4π)cm

B. 216(3

√

3 −4π)cm

C. 261(3

√

3 + 4π)cm

D. 261(3

√

3 −4π)cm

√

? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 Thầy Lê Minh Cường - 016666 58231

GV. Lê Minh Cường - cuong11102@gmail.com - 01666658231

52 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN

Câu 2.7.13.

Bên cạnh con đường trước khi vào thành phố người ta

xây một ngọn tháp đèn lộng lẫy. Ngọn tháp hình chóp

tứ giác đều

ABCD

cạnh bên

SA =

600 m,

[

ASB =

◦

Do sự cố đường dây điện tại điểm

(là trung điểm đoạn

) bị hỏng, người ta tạo ra một con đường từ

đến

gồm bốn đoạn thẳng

(như hình vẽ).

Để tiết kiệm chi phí, kỹ sư đã nghiên cứu và có được

chiều dài con đường từ

đến

ngắn nhất. Tính tỷ số

k =

AM + MN

NP + PQ

A. k =

. B. k =

. C. k =

. D. k = 2.

Câu 2.7.14.

Một viên đá có hình dạng là khối chóp tứ giác đều với tất cả các cạnh bằng nhau và

bằng

. Người ta cắt khối đá đó bởi mặt phẳng song song với đáy của khối chóp để chia khối đá

thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính diện tích của thiết diện khối đá bị cưa bởi mặt phẳng

nói trên. (Giả thiết rằng tổng thể tích của hai khối đá sau vẫn bằng thể tích của khối đá ban đầu)

√

. B.

√

. C.

. D.

√

Câu 2.7.15.

Hai bạn X và Y có hai miếng bìa hình chữ nhật có chiều dài bằng

, chiều rộng bằng

Bạn X cuộn tấm bìa theo chiều dài cho hai mép sát nhau rồi dùng băng dính dán lại được một mặt

xung quanh của một hình trụ và khối trụ này có thể tích

(khi đó chiều rộng của tấm bìa là chiều

cao của hình trụ). Bạn Y cuộn tấm bìa theo chiều rộng theo cách tương tự trên để được một mặt

xung quanh hình trụ và khối trụ này có thể tích V

. Tính tỉ số

. B.

= 1. C.

= ab. D.

2.7.1. D | 2.7.2. B | 2.7.3. D | 2.7.4. A | 2.7.5. D | 2.7.6. C | 2.7.7. A | 2.7.8. B |

2.7.9. A | 2.7.10. B | 2.7.11. B | 2.7.12. A | 2.7.13. D | 2.7.14. D | 2.7.15. D |

Thầy Lê Minh Cường - 016666 58231 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12

Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/56

| | Tải xuống

Preview text:

LÊ MINH CƯỜNG
"Cuộc sống cũng giống như đạp xe đạp, muốn giữ thăng bằng, phải liên tục chuyển động"
- Albert Einstein GV . L ê Minh Cường Tài liệu tự học - fb.com/cuong.thayleminh.7
Chuyên đề 3: ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
(theo từng chuyên đề và có lời giải chi tiết) - 01666658231 TOÁN 12 Vol.2. CĐ3.HH
Sài Gòn, mùa Noel – 2017
Tài liệu lưu hành nội bộ I Lời nói đầu GV . L ê Minh
Nhằm tạo nguồn tài liệu dồi dào, phong phú và thích hợp với xu hướng TỰ
HỌC của học sinh. Thầy cùng một số thầy/cô khác đã dày công biên soạn và Cường
sưu tầm các dạng Toán TRẮC NGHIỆM lớp 12 và cho ra đời tập "TÀI LIỆU TỰ
HỌC - TOÁN 12, Vol.2." để đáp ứng nhu cầu học sinh cũng như làm thỏa mãn -
tính TỰ HỌC ở những bạn đã sớm ý thức được kỹ năng CẦN THIẾT này.
fb.com/cuong.thayleminh.7
Trong quá trình biên soạn, mặc dù đã kiểm tra rất kỹ lưỡng không thể tránh
khỏi những sai sót ngoài ý muốn, bạn đọc và các em học sinh có thắc mắc hãy
thẳng thắn gửi mail về địa chỉ cuong11102@gmail.com hoặc gặp thầy Cường.
Chúc các em học tập thật tốt và đừng quên sự ủng hộ nhiệt tình của các em
sẽ là động lực để thầy hoàn thiện VOL.3. nhé. - 01666658231
? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12
Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 01666658231 Mục lục -
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I 2
KHỐI ĐA DIỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2.1 Khái niệm khối đa diện 1 2.1.1
Tính chất, số cạnh, đỉnh, mặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2.1.2
Lý thuyết đa diện lồi và đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.1.3
Tính chất về cạnh – đỉnh – mặt của đa diện lồi và đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.1.4
Tính chất đối xứng của khối đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
cuong11102@gmail.com 2.2 Công thức thể tích đơn giản 9
- 2.2.1 Khối chóp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2.2
Khối lăng trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3
Thể tích có tính toán thêm một yếu tố 17
Cường 2.3.1 Khối chóp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3.2
Khối lăng trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4
Thể tích của khối có chứa góc 24
Minh 2.4.1 Khối chóp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ê
L 2.4.2 Khối lăng trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
. 2.5 Tính thể tích và khoảng cách gián tiếp 32
GV 2.5.1 Sử dụng tỷ lệ thể tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.5.2
Tính khoảng cách dựa vào công thức thể tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.6 Các bài toán tổng hợp 37 2.6.0.1
Khối chóp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37 2.6.0.2
Khối lăng trụ tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45 2.6.0.3
Khối hộp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46 2.6.1
Tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 III 2.7 Vận dụng thực tế 50 GV . L ê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231
? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12
Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 2.1 Khái niệm khối đa diện 1 2.2
Công thức thể tích đơn giản 9 2.3
Thể tích có tính toán thêm một yếu tố17 2.4
Thể tích của khối có chứa góc 24 2.5
Tính thể tích và khoảng cách gián tiếp 32 GV 2.6 Các bài toán tổng hợp 37 . 2.7 Vận dụng thực tế 50 L ê Minh Cường Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN - fb.com/cuong.thayleminh.7 2.1 Khái niệm khối đa diện Lý thuyết đa diện
1. Hình đa diện là hình được tạo thành bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn 2 tính chất:
+ Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc một đỉnh chung, hoặc một cạnh chung.
+ Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.
2. Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện kể cả hình đa diện đó.
3. Phân chia và lắp ghép hai khối đa diện: Nếu một khối đa diện là hợp của hai khối đa
diện mà không có điểm chung. Ta gọi khối đa diện đó được phân chia thành hai khối,
ngược lại được lắp ghép từ 2 khối. - 2.1.1
Tính chất, số cạnh, đỉnh, mặt 01666658231
Câu 2.1.1. Một hình lăng trụ có 24 đỉnh sẽ có bao nhiêu cạnh? A. 36. B. 48. C. 24. D. 12.
Câu 2.1.2. Mỗi đỉnh của hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất của bao nhiêu mặt? A. Năm mặt. B. Hai mặt. C. Ba mặt. D. Bốn mặt.
Câu 2.1.3. Mỗi đỉnh của hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất bao nhiêu cạnh? A. Năm cạnh. B. Bốn cạnh. C. Ba cạnh. D. Hai cạnh.
Câu 2.1.4. Cho một đa diện n cạnh. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng. A. n ≥ 6 . B. n > 6. C. n > 7. D. n ≤ 30.
Câu 2.1.5. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau.
A. Mỗi cạnh của khối đa diện là cạnh chung của đúng 2 mặt của khối đa diện.
B. Hai mặt bất kì của khối đa diện luôn có ít nhất một điểm chung. 2 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN
C. Mỗi đỉnh của khối đa diện là đỉnh chung của ít nhất 3 mặt.
D. Mỗi mặt của khối đa diện có ít nhất ba cạnh.
Câu 2.1.6. Một khối chóp có đáy là đa giác n cạnh. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?
A. Số mặt và số đỉnh bằng nhau.
B. Số đỉnh của khối chóp bằng 2n + 1.
C. Số cạnh của khối chóp bằng n + 1.
D. Số mặt của khối chóp bằng 2n.
Câu 2.1.7. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Hình tạo bởi hai tứ diện đều ghép với nhau là một đa diện lồi.
B. Tứ diện là đa diện lồi.
C. Hình lập phương là đa điện lồi.
D. Hình hộp là đa diện lồi.
Câu 2.1.8. Một hình chóp có n mặt (n là số nguyên lớn hơn 3). Hỏi hình chóp ấy có mấy cạnh? 01666658231 A. 2n cạnh. B. 2 (n − 1) cạnh. C. 2n − 1 cạnh. D. 2n + 1 cạnh.
- Câu 2.1.9. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng:
A. Mỗi hình đa diện có ít nhất bốn đỉnh .
B. Mỗi hình đa diện có ít nhất ba đỉnh.
C. Số đỉnh của một hình đa diện lớn hơn hoặc bằng số cạnh của nó.
D. Số mặt của một hình đa diện lớn hơn hoặc bằng số cạnh của nó.
Câu 2.1.10. Một khối đa diện lồi được tạo thành bằng cách ghép mặt bên một hình hộp với mặt
đáy một hình chóp, biết mặt đáy hình chóp đúng bằng mặt bên của hình hộp. Khi đó khối đa diện
lồi được tạo thành có:
A. 9 đỉnh, 20 cạnh, 9 mặt.
B. 9 đỉnh, 16 cạnh, 11 mặt.
C. 13 đỉnh, 16 cạnh, 11 mặt.
D. 9 đỉnh, 16 cạnh, 9 mặt.
Câu 2.1.11. Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. Mỗi cạnh của hình đa diện là cạnh chung của đúng hai mặt.
B. Hai mặt của một hình đa diện luôn có một đỉnh chung hoặc một cạnh chung. cuong11102@gmail.com
C. Mỗi hình đa diện đều có ít nhất 6 cạnh. -
D. Mỗi mặt của một hình đa diện là một đa giác.
Câu 2.1.12. Hình nào dưới đây không phải là hình đa diện? Cường Minh ê A. B. L . GV C. D.
Câu 2.1.13. Hình nào sau đây không phải là hình đa diện? A. Hình trụ. B. Hình tứ diện.
C. Hình lập phương. D. Hình chóp.
Thầy Lê Minh Cường - 01666658231
? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12
2.1 Khái niệm khối đa diện 3
Câu 2.1.14. Cho khối chóp S.ABCD. Hỏi hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) chia khối chóp S.ABCD
thành mấy khối chóp nhỏ? A. 4. B. 3. C. 2. D. 5. 2.1.2
Lý thuyết đa diện lồi và đều GV
1. Khối đa diện lồi là khối đa diện mà nếu đoạn thẳng nối bất kỳ hai điểm của nó thì luôn nằm trong nó. . L ê
2. Định nghĩa: Một khối đa diện đều là khối đa diện lồi thỏa mãn tính chất sau đây: Minh
• Tất cả các mặt của nó là các đa giác đều, bằng nhau.
• Mỗi đỉnh là giao của một số mặt như nhau (cũng là giao của số cạnh như nhau). Cường
3. Khối đa diện đều loại {p; q} là khối đa diện mà mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh
và mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt.
4. Định lý: Có đúng năm loại khối đa diện đều là: loại {3; 3} khối tứ diện đều; {4; 3} khối lập
phương; {3; 4} khối bát diện đều; {5; 3} khối 12 mặt đều; {3; 5} khối 20 mặt đều. - fb.com/cuong.thayleminh.7
Khối tứ diện đều Khối lập phương
Khối mười hai mặt đều
Khối hai mươi mặt đều
Khối bát diện đều Tên gọi Hình Loại Đỉnh Cạnh Mặt tâm đx trục đx mặt đx Tứ diện đều {3; 3} 4 6 4 0 3 6 Lập phương {4; 3} 8 12 6 1 9 9 Bắt diện đều {3; 4} 6 12 8 1 3 3 - Mười hai mặt đều {5; 3} 20 30 12 1 01666658231 Hai mươi mặt đều {3; 5} 12 30 20 1
Công thức tính: pM = 2C = qD hoặc công thức Euler: D − C + M = 2. 2.1.3
Tính chất về cạnh – đỉnh – mặt của đa diện lồi và đều
Câu 2.1.15. Mỗi đỉnh của hình bát diện đều là cạnh chung của bao nhiêu cạnh? A. 3. B. 8. C. 5. D. 4.
Câu 2.1.16. Khối 20 mặt đều thuộc loại A. {3; 5}. B. {3; 4}. C. {4; 3}. D. {4; 5}.
Câu 2.1.17. Hỏi hình mười hai mặt đều có bao nhiêu đỉnh? A. Mười hai . B. Mười sáu. C. Hai mươi. D. Ba mươi.
? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12
Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 4 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN
Câu 2.1.18. Khối đa diện đều có 12 mặt thì có bao nhiêu cạnh? A. 24. B. 12. C. 30. D. 60.
Câu 2.1.19. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
A. Hình (H) được tạo thành từ một số hữu hạn các miền đa giác thì (H) là hình đa diện.
B. Khối đa diện (H) gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của (H) luôn thuộc (H).
C. Khối chóp đều là khối đa diện đều.
D. Khối đa diện lồi (H) có tất cả các mặt là đa giác đều thì (H) là đa diện đều.
Câu 2.1.20. Khối đa diện đều loại {4; 3}có bao nhiêu cạnh? A. 18 . B. 20 . C. 12 . D. 6 .
Câu 2.1.21. Khối chóp lục giác đều có bao nhiêu mặt? A. 8 . B. 9 . C. 6 . D. 7 . 01666658231
- Câu 2.1.22. Mỗi đỉnh của một khối bát diện đều là đỉnh chung của bao nhiêu cạnh? A. 7. B. 6. C. 5. D. 4.
Câu 2.1.23. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai ?
A. Hình lăng trụ đều có cạnh bên vuông góc với đáy.
B. Hình lăng trụ đều có các mặt bên là hình chữ nhật.
C. Hình lăng trụ đều có các cạnh bên bằng đường cao của lăng trụ.
D. Hình lăng trụ đều có tất cả các cạnh đều bằng nhau.
Câu 2.1.24. Khối đa diện đều nào sau đây có mặt không phải là tam giác đều? A. Bát diện đều.
B. Nhị thập diện đều. C. Thập nhị diện đều. D. Tứ diện đều.
Câu 2.1.25. Các khối đa diện đều nào có tất cả các mặt là hình vuông? A. Hình tứ diện.
B. Hình lập phương.
C. Hình bát diện đều.
D. Hình nhị thập diện đều.
Câu 2.1.26 (THTT Lần 5). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? cuong11102@gmail.com
A. Mỗi khối đa diện đều là một khối đa diện lồi . -
B. Hình chóp tam giác đều là hình chóp có bốn mặt là các tam giác đều .
C. Chỉ có năm loại khối đa diện đều .
D. Mỗi cạnh của hình đa diện là cạnh chung của đúng hai mặt.
Câu 2.1.27. Khối đa diện nào sau đây có các mặt không phải là tam giác đều? Cường A. Bát diện đều.
B. Nhị thập diện đều. C. Tứ diện đều.
D. Thập nhị diện đều.
Câu 2.1.28. Khối lập phương là khối đa diện đều loại A. {5; 3}. B. {3; 4}. C. {4; 3}. D. {3; 5}.
Minh Câu 2.1.29. Có bao nhiêu loại khối đa điện đều mà mỗi mặt của nó là một tam giác đều? ê L A. 5. B. 3. C. 1. D. 2.
. Câu 2.1.30. Cho hình đa diện đều 12 mặt thuộc loại {p,q}. Tính p − q. GV A. −2. B. 1. C. 2. D. −1.
Câu 2.1.31. Khối đa diện đều loại {5; 3} có số mặt là A. 10. B. 12. C. 8. D. 14.
Câu 2.1.32. Trung điểm các cạnh của một hình tứ diện đều là các đỉnh của hình nào trong các hình kể dưới đây?
A. Hình lục giác đều.
B. Hình chóp tứ giác đều.
C. Hình bát diện đều.
D. Hình tứ diện đều.
Thầy Lê Minh Cường - 01666658231
? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12
2.1 Khái niệm khối đa diện 5
Câu 2.1.33. Biết hình đa diện đều hai mươi mặt là đa diện đều loại {3; 5}, hỏi hình này có bao nhiêu đỉnh? A. 60. B. 30. C. 20. D. 12.
Câu 2.1.34. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? GV
A. Chỉ có năm loại khối đa diện đều.
B. Hình chóp tam giác đều là hình chóp có bốn mặt là những tam giác đều. . L
C. Mỗi cạnh của hình đa diện là cạnh chung của đúng hai mặt. ê
D. Mỗi khối đa diện đều là một khối đa diện lồi. Minh
Câu 2.1.35. Hình bát diện đều có số đỉnh, số cạnh, số mặt tương ứng là A. 12; 8; 6. B. 12; 6; 8. C. 6; 12; 8. D. 8; 6; 12. Cường
Câu 2.1.36. Hình lăng trụ tứ giác đều là hình
A. lăng trụ đứng, đáy là hình vuông.
B. lăng trụ đứng, tất cả các cạnh bằng nhau.
C. lăng trụ đứng, đáy là hình thoi.
D. hình hộp chữ nhật. -
Câu 2.1.37. Một hình chóp có tất cả 8 cạnh. Tính số đỉnh của hình chóp đó.
fb.com/cuong.thayleminh.7 A. 5. B. 4. C. 6. D. 3.
Câu 2.1.38. Khối đa diện nào sau đây có các mặt không phải là các tam giác đều?
A. Khối mười hai mặt đều.
B. Khối hai mươi mặt đều.
C. Khối tứ diện đều.
D. Khối bát diện đều.
Câu 2.1.39 (THPTQG 2017). Mặt phẳng (A0BC) chia khối lăng trụ ABC.A0B0C0 thành các khối đa diện nào?
A. Một khối chóp tam giác và một khối chóp ngũ giác.
B. Một khối chóp tam giác và một khối chóp tứ giác.
C. Hai khối chóp tam giác.
D. Hai khối chóp tứ giác.
Các phép dời hình - hai hình bằng nhau
1. Phép dời hình trong không gian là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai - điểm tùy ý. 01666658231
2. Các phép dời hình: Tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm, đối xứng mặt,. . .
3. Hai đa diện gọi là bằng nhau nếu có phép dời hình biến đa diện này thành đa diện kia.
4. Hình H có tâm đối xứng là I nếu mọi điểm thuộc hình H lấy đối xứng qua I ta cũng
thu được một điểm thuộc hình H.
Chú ý: Hình đa diện nói chung chỉ có nhiều nhất một tâm đối xứng và tâm đối xứng đó
nằm bên trong hình đa diện đó.
5. Hình H có tâm trục xứng là ∆ nếu mọi điểm thuộc hình H lấy đối xứng qua ∆ ta cũng
thu được một điểm thuộc hình H.
6. Hình H có mặt đối xứng là (α) nếu mọi điểm thuộc hình H lấy đối xứng qua (α) ta
cũng thu được một điểm thuộc hình H.
? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12
Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 6 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN 2.1.4
Tính chất đối xứng của khối đa diện
Câu 2.1.40 (THPTQG 2017). Hình lăng trụ tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 4 mặt phẳng. B. 1 mặt phẳng. C. 2 mặt phẳng. D. 3 mặt phẳng.
Câu 2.1.41 (THPTQG 2017). Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đôi một khác nhau có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 4 mặt phẳng. B. 3 mặt phẳng. C. 6 mặt phẳng. D. 9 mặt phẳng.
Câu 2.1.42. Một hình lăng trụ lục giác đều có bao nhiêu trục đối xứng? A. 5. B. 7. C. 3. D. 4.
Câu 2.1.43. Mỗi mặt của hình mười hai mặt đều là một đa giác đều có số cạnh là: A. 6. B. 4. C. 5. D. 3.
Câu 2.1.44. Hình tứ diện đều có tất cả bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? 01666658231 - A. 3. B. 4. C. 6. D. 2.
Câu 2.1.45. Số mặt phẳng đối xứng của khối tứ diện đều là: A. 9. B. 2. C. 6. D. 3.
Câu 2.1.46. Hình hộp chữ nhật (không phải là hình lập phương) có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 3. B. 2. C. 1. D. 4.
Câu 2.1.47. Số mặt phẳng đối xứng của khối tứ diện đều là A. 4. B. 5. C. 6. D. 3.
Câu 2.1.48. Một hình chóp tứ giác đều có mấy mặt đối xứng. A. 3. B. 2. C. 1. D. 4.
Câu 2.1.49. Khối đa diện đều loại {3; 3} có bao nhiêu trục đối xứng? A. 0. B. 4. C. 3. D. 6.
cuong11102@gmail.com Câu 2.1.50 (ĐỀ MH 2017 Lần 2). Hình đa diện nào dưới đây không có tâm đối xứng? - Cường
A. Lăng trụ lục giác đều. B. Tứ diện đều. Minh
C. Hình lập phương. D. Bát diện đều. ê
L Câu 2.1.51. Hình tứ diện đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? . A. Vô số. B. 3. C. 6. D. 9.
GV Câu 2.1.52. Một hình lăng trụ tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 4. B. 2. C. 3. D. 6.
Câu 2.1.53. Trong không gian chỉ có 5 loại khối đa diện đều. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Mọi khối đa diện đều có số mặt là những số chia hết cho 4.
B. Khối lập phương và khối bát diện đều có cùng số cạnh.
C. Khối tứ diện đều và khối bát diện đều có 1 tâm đối xứng.
D. Khối mười hai mặt đều và khối hai mươi mặt đều có cùng số đỉnh.
Thầy Lê Minh Cường - 01666658231
? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12
2.1 Khái niệm khối đa diện 7
Câu 2.1.54 (THPTQG 2017). Cho hình bát diện đều cạnh a. Gọi S là tổng diện tích tất cả các mặt
của hình bát diện đó. Mệnh đề nào dưới đây đúng? √ √ √ A. S = 4 3a2. B. S = 3a2. C. S = 2 3a2. D. S = 8a2. 2.1.1. A | 2.1.2. C | 2.1.3. C | 2.1.4. A | 2.1.5. B | 2.1.6. A | 2.1.7. A | 2.1.8. B | 2.1.9.
A | 2.1.10. D | 2.1.11. B | 2.1.12. C | 2.1.13. A | 2.1.14. A | 2.1.15. D | 2.1.16. A | GV
2.1.17. C | 2.1.18. C | 2.1.19. B | 2.1.20. C | 2.1.21. D | 2.1.22. D | 2.1.23. D | 2.1.24. C | .
2.1.25. B | 2.1.26. B | 2.1.27. D | 2.1.28. C | 2.1.29. B | 2.1.30. C | 2.1.31. B | 2.1.32. C | L
2.1.33. D | 2.1.34. B | 2.1.35. C | 2.1.36. A | 2.1.37. A | 2.1.38. A | 2.1.39. B | 2.1.40. A | ê
2.1.41. B | 2.1.42. B | 2.1.43. C | 2.1.44. C | 2.1.45. C | 2.1.46. A | 2.1.47. C | 2.1.48. D | Minh
2.1.49. A | 2.1.50. B | 2.1.51. C | 2.1.52. A | 2.1.53. B | 2.1.54. C | Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231
? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12
Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 8 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN
Ôn tập các hình cơ bản và công thức Tam giác a + b + c
Với S diện tích, h chiều cao, p =
nửa chu vi, r bán kính nội tiếp, R bán kính ngoại tiếp. 2 1 abc 1. S = <đáy> × . 5. S = . 2 4R √ 1 1 1 1
2. S = ab sin C = bc sin A = ac sin B. 6. AM = 2b2 + 2c2 − a2. 2 2 2 2 01666658231 2 - p
3. S = pp(p − a)(p − b)(p − c). 7. AD = bcp(p − a). b + c 4. S = pr.
8. Định lý Côsin a2 = b2 + c2 − 2bc cos A. Tam giác vuông A 1. Pytago a2 = b2 + c2. 4. h2 = b0c0. c b h 1 1 1 1 1 2. S = bc = ah. 5. = + . 2 2 h2 b2 c2 c0 b0 C a B H a 3. b2 = c0a và b2 = b0a. 6. R = . 2
Hình 2.1.1. Tam giác vuông. cuong11102@gmail.com - Tứ giác lồi A B Cường b a
1. Diện tích tứ giác lồi khi biết độ dài hai đường chéo và góc giữa α C 1 1
hai đường chéo là S = AC.BD sin α = ab sin α D Minh 2 2 ê
Hình 2.1.2. Tứ giác lồi. L . GV Hình thang A B 1
1. Diện tích hình thang S = AH(AB + CD). 2 D C H
2. Hai cạnh đáy song song với nhau.
Hình 2.1.3. Hình thang.
Thầy Lê Minh Cường - 01666658231
? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12
2.2 Công thức thể tích đơn giản 9 Hình thoi B
1. Hình thoi có tất cả các cạnh bằng nhau. GV
2. Các góc đối diện thì bằng nhau, góc kề thì bù nhau. O A C .
3. Hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm L mỗi đường. ê D Minh 1
4. Diện tích hình thoi S = AC.BD = AB.AD sin [ BAD. 2
Hình 2.1.4. Hình thoi. Cường Hình vuông A B - fb.com/cuong.thayleminh.7
1. Hình vuông có tất cả các cạnh bằng nhau.
2. Hai đường chéo vuông góc, bằng nhau và cắt nhau O
tại trung điểm mỗi đường. √
3. Độ dài đường chéo là a 2. D C
4. Diện tích hình vuông S = a2.
Hình 2.1.5. Hình vuông. 2.2
Công thức thể tích đơn giản -
Ký hiệu: h là đường cao; P là chu vi đáy; S là diện tích đáy; Sxq là diện tích xung quang; V là 01666658231 thể tích. 1 1 1. Vchóp = × = Sh. 3 3 2. Vlăng trụ = × = Sh.
3. Vhộp chữ nhật = × × = abc. 4. Vlập phương = 3 = a3.
Các đa diện thường gặp
? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12
Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 10 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN Tứ diện đều S √ 1. Tứ diện đều thuộc a × 6 . loại {3; 3}. 3 √
2. Tất cả các cạnh bằng a3 2 4. Thể tích V = . nhau, tất cả các mặt 12 A B là tam giác đều. G 5. Diện tích toàn phần √ 3. Đường cao h = S C tp = 4Sđáy = a2 3.
Hình 2.2.1. Tứ diện đều. 01666658231 - Lập phương D0 C0 A0 B0
1. Thể tích khối lập phương V = a3.
2. Diện tích toàn phần Stp = 6a2. √ D C
3. Độ dài đường chéo: a 3. A B
Hình 2.2.2. Lập phương. Chóp tứ giác đều
1. Chóp tứ giác đều S.ABCD là đa diện đều thuộc loại hình
chóp có đáy là hình vuông và S SO⊥(ABCD). cuong11102@gmail.com
2. Các cạnh đáy bằng nhau và các cạnh bên bằng nhau, các -
mặt bên là những tam giác cân.
3. Không có tâm đối xứng.
4. Có 1 trục đối xứng. Cường D
5. Có 4 mặt phẳng đối xứng. C O 1 A B 6. Thể tích V = a2h. 3 Minh Hình 2.2.3. Chóp tứ ê r a2 giác đều. L
7. Diện tích toàn phần Stp = a2 + 2a b2 − . . 4 GV
Thầy Lê Minh Cường - 01666658231
? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12
2.2 Công thức thể tích đơn giản 11 Lăng trụ tam giác đều
1. Lăng trụ tam giác đều là lăng trụ đứng có đáy là A0 B0 tam giác đều. C0 GV
2. Các cạnh đáy bằng nhau và các cạnh bên bằng
nhau, các mặt bên là những hình chữ nhật. . L
3. Không có tâm đối xứng và trục đối xứng. ê Minh
4. Có 4 mặt phẳng đối xứng. A B √ a2 3 C 5. Thể tích V = h. 4 Cường √
Hình 2.2.4. Lăng trụ tam a2 3 3ah
6. Diện tích toàn phần Stp = + . giác đều. 2 2 Hộp chữ nhật - fb.com/cuong.thayleminh.7
1. Hình hộp chữ nhật là lăng trụ đứng, có mặt đáy là hình chữ nhât. D0 C0
2. Tất cả các mặt đều là hình chữ nhật. A0 B0
3. Không có tâm đối xứng
4. Có 3 trục đối xứng.
5. Có 3 mặt phẳng đối xứng. D C
6. Thể tích khối hộp chữ nhật V = abc. A B
7. Diện tích toàn phần Stp = 2(ab + bc + ac). √
Hình 2.2.5. Hộp chữ nhật. 8. Độ dài đường chéo a2 + b2 + c2. - 01666658231
? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12
Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 12 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN 2.2.1 Khối chóp
Ví dụ 2.2.1 THPTQG 2017
Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, SA = 4, AB = 6, BC = 10 và CA = 8. Tính
thể tích V của khối chóp S.ABC. A. V = 40. B. V = 192. C. V = 32. D. V = 24.
Lời giải. Nửa chu vi của tam giác ABC là p = 12 ⇒ S∆ABC = pp(p − 6)(p − 10)(p − 8) = 1 24 ⇒ V = .24.4 = 32 3 Ví dụ 2.2.2
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a. Đường thẳng SA √
vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a 3. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. √ √ √ √ 01666658231 2a3 2a3 3a3 3a3 - A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 6 2 3 6 Lời giải. S a2 Có S∆ABC = . 2 √ 1 3a3 Vậy V = SA.S∆ . C 3 ABC = 6 A B
Câu 2.2.1. Tính thể tích V của khối chóp có diện tích đáy là S và chiều cao là h. 2 1 1 A. V = Sh. B. V = Sh. C. V = Sh. D. V = Sh. 3 2 3
Câu 2.2.2. Công thức nào sau đây là công thức sai: 1 cuong11102@gmail.com
A. Thể tích khối chóp có diện tích đáy là B, chiều cao h là: V = Bh. 3 - 1
B. Thể tích khối hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là V = abc. 3
C. Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy là B, chiều cao h là: V = Bh.
D. Thể tích khối lập phương có cạnh bằng a là V = a3.
Cường Câu 2.2.3. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là khẳng định sai?
A. Hai khối chóp có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.
B. Hai khối hộp có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau. Minh
C. Hai khối lăng trụ có diện tích và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau. ê
D. Hai khối lập phương có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau. L
. Câu 2.2.4. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?
A. Thể tích của hai khối chóp có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau là bằng nhau. GV
B. Thể tích của khối lăng trụ bằng diện tích đáy nhân với chiều cao.
C. Hai khối lập phương có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.
D. Hai khối hộp chữ nhật có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau. √
Câu 2.2.5. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, AB = a 5, AC = a. Cạnh
bên SA = 3a và vuông góc với đáy. Tính thể tích của khối chóp S.ABC. √5 A. a3. B. a3. C. 2a3. D. 3a3. 2
Thầy Lê Minh Cường - 01666658231
? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12
2.2 Công thức thể tích đơn giản 13
Câu 2.2.6. Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA vuông góc với mặt phẳng
đáy và SA = 2a. Tính thể tích khối chóp S.ABC √ √ √ √ a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 6 2 3 12
Câu 2.2.7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SD vuông góc GV
với mặt phẳng đáy, SD = 2a. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. . a3 2a3 a3 A. . B. . C. . D. 2a3. L 3 3 2 ê
Câu 2.2.8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, Minh √
SA = a 3. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. √ √ 3 1 A. V = 3a3. B. V = a3. C. V = a3. D. V = a3. 3 3 Cường
Câu 2.2.9. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0 có thể tích bằng 1. Tính thể tích V của khối chóp A0.ABC. 1 1 1 A. V = 3. B. V = . C. V = . D. V = . 4 3 2 - fb.com/cuong.thayleminh.7
Câu 2.2.10. Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), ∆ABC vuông cân tại a, SA = BC = a. Tính theo
a thể tích V của khối chóp S.ABC. a3 a3 a3 A. V = . B. V = . C. V = 2a3. D. V = . 12 4 2
Câu 2.2.11. Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC = AB = a, SA vuông
góc với mặt phẳng ABC và SA = 2a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC theo a. a3 a3 a3 a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 4 3 2 6
Câu 2.2.12. Tính thể tích V của khối chóp có đáy là hình vuông cạnh 2a và chiều cao là 3a. 4 A. V = πa3. B. V = 2a3. C. V = 12a3. D. V = 4a3. 3
Câu 2.2.13. Cho hình chóp S.ABC có AB, AC, SA đôi một vuông góc với nhau, AB = 2a, AC =
4a, SA = 6a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. A. V = 8a3. B. V = 48a3. C. V = 72a3. D. V = 24a3. 1
Câu 2.2.14. Cho một khối chóp có thể tích bằng V. Khi giảm diện tích đa giác đáy xuống lần thì 3 -
thể tích khối chóp lúc đó bằng: 01666658231 V V V V A. . B. . C. . D. . 27 6 3 9
Câu 2.2.15. Cho tứ diện O.ABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau và OA = a, OB = 2a,
OC = 3a. Thể tích của tứ diện O.ABC bằng A. a3. B. 2a3. C. 3a3. D. 4a3.
Câu 2.2.16. Cho hình chóp tứ giác đều có diện tích đáy bằng 4 và diện tích của một mặt bên bằng
√2. Thể tích của hình chóp đó là √ √ 4 2 4 3 4 A. V = . B. V = . C. . D. 4. 3 3 3
Câu 2.2.17. Một kim tự tháp ở Ai Cập được xây dựng vào khoảng 2500 trước Công nguyên. Kim
tự tháp này là một khối chóp tứ giác đều có chiều cao 150m, cạnh đáy dài 220m. Diện tích xung
quanh của kim tự tháp này là: √ √ √ A. 2200 346 (m2). B. 4400 346 (m2). C. 2420000 (m3). D. 1100 346 (m2).
? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12
Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 14 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN
Câu 2.2.18. Một kim tự tháp ở Ai Cập được xây dựng vào khoảng 2500 năm trước công nguyên.
Kim tự tháp này là một khối chóp tứ giác đều có chiều cao là 154m; độ dài cạnh đáy 270m. Khi đó
thể tích của khối kim tự tháp này là A. 3.742.200. B. 3.640.000. C. 3.500.000. D. 3.545.000.
Câu 2.2.19. Kim tự tháp Kê - ốp ở Ai Cập được xây dựng vào khoảng 2500 năm trước Công nguyên.
Kim tự tháp này là một khối chóp tứ giác đều có chiều cao 147m, cạnh đáy dài 230m. Thể tích của nó là: A. 2952100m3. B. 7776300m3. C. 3888150cm3. D. 2592100m3.
Câu 2.2.20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a, SA ⊥ (ABCD) và SA = 3a.
Khi đó thể tích của khối chóp S.ABCD bằng √ a3 a3 3 A. a4. B. . C. a3. D. . 3 3
01666658231 Câu 2.2.21. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a, SA vuông góc với đáy và √
- SA = a 3 . Thể tích khối chóp S.ABC là: 2a3 a3 3 A. . B. . C. a3. D. a3. 3 4 4
Câu 2.2.22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, biết SA⊥ (ABCD) và √
SA = a 3. Thể tích của khối chóp S.ABCD là: √ √ a3 3 a3 √ a3 3 A. . B. . C. a3 3. D. . 3 4 12
Câu 2.2.23. Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau và có cùng độ dài
bằng a. Tính thể tích của khối tứ diện ABCD. a3 a3 2a3 A. . B. . C. . D. a3. 3 6 3
Câu 2.2.24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, cạnh a; [ ABC = 30◦; SO ⊥ (ABCD) √ 3a 3 và SO =
. Thể tích của khối chóp là: √ 4 cuong11102@gmail.com √ √ √ a3 2 a3 2 a3 3 a3 3 - A. . B. . C. . D. . 8 4 8 4 2.2.2 Khối lăng trụ Cường
Ví dụ 2.2.3 THPTQG 2017
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có BB0 = a, đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và √
AC = a 2. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. Minh a3 a3 a3 A. V = a3. B. V = . C. V = . D. V = . ê 3 √ 6 2 L
Lời giải. Tam giác ABC vuông cân tại B và AC = a 2 do đó AB = BC = a. . 1 a3
Thể tích khối lăng trụ là V = BB0.SABC = a. .a.a = . GV 2 2 Ví dụ 2.2.4
Cho khối lăng trụ (T) có chiều cao bằng a và thể tích bằng 4a3. Tính diện tích đáy S của (T). a2 A. S = 4a2. B. S = 12a2. C. S = . D. S = 2a2. 4
Thầy Lê Minh Cường - 01666658231
? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12
2.2 Công thức thể tích đơn giản 15 V 4a3
Lời giải. Ta có V = S.h =⇒ S = = = 4a2. h a
Câu 2.2.25. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = BC = √ GV
2a, AA0 = a 3. Tính thể tích V của khối chóp A.BCC0B0 theo a. √ √ 4a3 3 √ 2a3 3 √ . A. V = . B. V = a3 3. C. V = . D. V = 2a3 3. L 3 3 ê
Câu 2.2.26. Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều ABC.A0B0C0 có tất cả các cạnh bằng Minh 2a. √ √ √ a3 3 a3 3 2a3 3 √ A. V = . B. V = . C. V = . D. V = 2a3 3. 2 6 3 Cường
Câu 2.2.27. Một khối lăng trụ có chiều cao bằng 2a và diện tích đáy bằng 2a2. Tính thể tích khối lăng trụ. 4a3 2a3 4a2 A. V = . B. V = . C. V = 4a3. D. V = . 3 3 3 √ √ -
Câu 2.2.28. Cho hình lăng trụ đứng có diện tích đáy là a2 3; độ dài cạnh bên a 2. Khi đó thể tích
fb.com/cuong.thayleminh.7 khối lăng trụ là √ √ √ √ a3 6 A. a3 6. B. a3 3. C. a3 2. D. . 3
Câu 2.2.29. Cho khối lăng trụ ABC.A0B0C0 có thể tích là V. Thể tích của khối chóp C0.ABC là: V V V A. . B. . C. 2V. D. . 3 2 6
Câu 2.2.30. Thể tích khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a là: √ √ √ √ a3 2 a3 2 a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 3 4 2 4
Câu 2.2.31. Lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy là tam giác vuông cân AB = AC = a, A0C = 2a. Thể tích khối lăng trụ là: √ √ √ √ a3 3 a3 3 a3 3 A. a3 3. B. . C. . D. . 2 3 6
Câu 2.2.32. Cho lăng trụ đứng ABC.A0B0C0, gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Chiều cao của hình lăng trụ ABC.A0B0C0 bằng: A. A0O. B. CC0. C. A0C. D. A0B. - √ 01666658231
Câu 2.2.33. Lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên có độ dài a 3.
Thể tích khối lăng trụ là: 4a3 3a3 3a3 a3 A. . B. . C. . D. . 3 2 4 4
Câu 2.2.34. Tính thể tích của khối hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 có AB = 3, AD = 4, AA0 = 5. A. 12. B. 20. C. 10. D. 60.
Câu 2.2.35. Cho khối hộp ABCD.A0B0C0D0. Tỉ lệ thể tích của khối tứ diện ACB0D0 và khối hộp bằng? 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 6 3 2 4
Câu 2.2.36. Cho khối hộp chữ nhật có ba kích thước bằng 2a, 3a, a, với 0 < a ∈ R. Khi đó tính theo
a, thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng: A. 2a3. B. a3. C. 6a3. D. 3a3.
? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12
Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 16 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN
Câu 2.2.37. Một bể cá dạng hình hộp chữ nhật có thể tích 21000cm3 và chiều dài 35cm, chiều rộng
20cm. Tính chiều cao của bể cá. A. 10cm. B. 20cm. C. 120cm. D. 30cm. 2.2.1. D | 2.2.2. B | 2.2.3. B | 2.2.4. D | 2.2.5. B | 2.2.6. A | 2.2.7. B | 2.2.8. B | 2.2.9.
C | 2.2.10. A | 2.2.11. B | 2.2.12. D | 2.2.13. A | 2.2.14. C | 2.2.15. A | 2.2.16. C |
2.2.17. B | 2.2.18. A | 2.2.19. D | 2.2.20. C | 2.2.21. B | 2.2.22. A | 2.2.23. B | 2.2.24. C |
2.2.25. A | 2.2.26. D | 2.2.27. C | 2.2.28. A | 2.2.29. A | 2.2.30. D | 2.2.31. B | 2.2.32. B |
2.2.33. C | 2.2.34. D | 2.2.35. B | 2.2.36. C | 2.2.37. D | 01666658231 - cuong11102@gmail.com - Cường Minh ê L . GV
Thầy Lê Minh Cường - 01666658231
? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12
2.2 Công thức thể tích đơn giản 17 2.3
Thể tích có tính toán thêm một yếu tố
Phương pháp. Dựa vào các hệ thức lượng trong tam giác, định lý Pythagore, định lý Talet, ...
để tính toán các dữ kiện như chiều cao, diện tích đáy, ... GV . 2.3.1 Khối chóp L ê
Ví dụ 2.3.5 THPTQG 2017 Minh
Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. √ √ √ √ 13a3 11a3 11a3 11a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . Cường 12 12 6 4 Lời giải. S
Gọi H là trọng tâm tam giác ABC.
Khi đó SH là chiều cao của khối chóp. √ √ √ - a 3 33 Ta có: CH = , SH = SC2 − CH2 = . A
fb.com/cuong.thayleminh.7 3√ √ √ 3 C 1 a2 3 33 11a3 H Do đó V = . . = . 3 4 3 12 B
Ví dụ 2.3.6 THPTQG 2017
Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể tích V của khối chóp đã cho. √ √ √ √ a3 2 a3 2 a3 14 a3 14 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 2 6 2 6 Lời giải. S
Cạnh đáy AB = a ⇒ diện tích đáy SABCD = a2. √ √ a 2
Đường chéo AC = a 2 ⇒ HA = . 2 √ √ a 14
Cạnh bên SA = 2AB = 2a ⇒ SH = SA2 − H A2 = . B C √ √ 2 1 a 14 a3 14 H - Vậy thể tích V = .a2. = . A D 01666658231 3 2 6
Câu 2.3.1 (THPTQG 2017). Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc √ a 2
với đáy và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng
. Tính thể tích V của khối chóp đã 2 cho. √ a3 3a3 a3 A. V = . B. V = a3. C. V = . D. V = . 2 9 3
Câu 2.3.2 (ĐỀ MH 2017 Lần 1). Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông √
cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA =
2a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. √ √ √ 2a3 2a3 √ 2a3 A. V = . B. V = . C. V = 2a3. D. V = . 6 4 3
? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12
Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 18 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN
Câu 2.3.3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với
mặt đáy. Biết thể tích khối chóp S.ABC là a3. Tính độ dài cạnh bên SA. √ √ 4 3 2 3 √ A. SA = a. B. SA = 6a. C. SA = a. D. SA = 4 3a. 3 3
Câu 2.3.4. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tam giác ABC vuông √ √
tại C, AB = a 3, AC = a. Tính thể tích khối chóp S.ABC biết rằng SC = a 5. √ √ √ √ a3 6 a3 6 a3 2 a3 10 A. . B. . C. . D. . 6 4 3 6 √
Câu 2.3.5. Tính thể tích V của khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a 2. √ √ √ √ a3 6 a3 3 a3 6 a3 2 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 6 6 2 3
Câu 2.3.6. Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hai mặt bên SAB và SAC √
01666658231 cùng vuông góc với đáy. Tính thể tích V của khối chóp biết SC = a 3. - √ √ √ √ 2a3 6 a3 6 a3 3 a3 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 9 12 2 4 √
Câu 2.3.7. Cho khối chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), tam giác ABC vuông tại B, AB = a, AC = a 3. √
Tính thể tích V của khối chóp S.ABC biết rằng SB = a 5. √ √ √ √ a3 6 a3 6 a3 2 a3 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 4 6 3 2
Câu 2.3.8. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Thể tích khối chóp S.ABCD là: √ √ a3 2 a3 2 a3 a3 A. . B. . C. . D. . 2 6 4 3
Câu 2.3.9. Cho khối chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Thể tích khối chóp là √ √ √ a3 3 a3 3 a3 a3 2 A. . B. . C. . D. . 6 3 3 6 √
Câu 2.3.10. Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, SA = a 3. Tính thể tích V của cuong11102@gmail.com - khối chóp S.ABC. √ √ √ √ 2a3 2a3 3a3 35a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 2 6 6 24
Câu 2.3.11. Cho khối tứ diện ABCD có ba cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc và có thể tích
Cường bằng V. Gọi S1, S2, S3 theo thứ tự là diện tích các tam giác ABC, ACD, ADB. Khi đó, khẳng định
nào dưới đây là khẳng định đúng? √ √ √ √ S S 2S 2S A. V = 1S2S3 . B. V = 1S2S3 . C. V = 1S2S3 . D. V = 1S2S3 . 6 3 6 3 Minh √
Câu 2.3.12. Thể tích của tứ diện đều có cạnh a ê 3 là √ √ √ √ L a2 6 a2 6 a2 3 a2 2 A. . B. . C. . D. . . 4 12 4 12
GV Câu 2.3.13. Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 có cạnh bằng a, tâm O. Tính thể tích V của khối tứ diện A.A0B0O0 theo a. √ a3 a3 a3 a3 2 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 8 12 9 3 √6
Câu 2.3.14. Một hình tứ diện đều có chiều cao bằng
thì thể tích của nó bằng bao nhiêu ? √ √ 3 √ √ 2 3 2 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 12 12 4 4
Thầy Lê Minh Cường - 01666658231
? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12
2.2 Công thức thể tích đơn giản 19
Câu 2.3.15. Cho tứ diện MNPQ có MN vuông góc với mặt phẳng (NPQ), tam giác NPQ vuông √
cân tại P, MN = a, NQ = a 2, với 0 < a ∈ R. Khi đó tính theo a, thể tích của khối tứ diện MNPQ bằng: √ a3 2a3 a3 a3 2 A. . B. . C. . D. . 6 3 2 6 GV
Câu 2.3.16. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại A, BC = a, tam giác SBC đều và .
nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính thể tích khối chóp S.ABC. √ √ √ L 3a3 √ 3a3 6a3 ê A. . B. 3a3. C. . D. . 24 4 8 Minh
Câu 2.3.17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, AB = a, SA vuông góc với đáy
và SA = a . Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SC và SB. Thể tích khối đa diện AMNBC là: 5 5 5 5 Cường A. a3. B. a3. C. a3. D. a3. 36 12 18 6
Câu 2.3.18. Cho khối chóp đều S.ABCD có cạnh đáy và cạnh bên cùng bằng a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. √ √ - a3 a3 a3 11 a3 2 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = .
fb.com/cuong.thayleminh.7 12 4 12 12
Câu 2.3.19. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh SA vuông góc với (ABCD) SB SC
và √ = √ = a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. 2 3 a3 a3 a3 a3 A. . B. . C. . D. . 2 3 6 12
Câu 2.3.20. Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A0B0C0 có cạnh đáy bằng 2, diện tích tam giác
A0BC bằng 3. Tính thể tích của khối lăng trụ. √ 2 5 √ √ √ A. . B. 2 5. C. 2. D. 3 2. 3
Câu 2.3.21. Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác vuông cân tại S, SB = 2a và khoảng
cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 3a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. A. V = 6a3. B. V = 4a3. C. V = 2a3. D. V = 12a3.
Câu 2.3.22. Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác vuông cân tại C và nằm trong mặt phẳng
vuông góc với mặt phẳng (ABD). Tam giác ABD là tam giác đều và có cạnh bằng 2a. Tính thể tích của khối tứ diện ABCD. √ √ - √ a3 3 a3 3 √ 01666658231 A. a3 2. B. . C. . D. a3 3. 3 9
Câu 2.3.23. Cho hình chóp S.ABC có SA = a, tam giác ABC đều, tam giác SAB vuông cân tại S và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Thể tích khối chóp S.ABC bằng √ √ √ √ a3 6 a3 6 a3 6 a3 6 A. . B. . C. . D. . 12 4 8 24 √
Câu 2.3.24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA = a 2 và SA vuông
góc với mặt phẳng đáy, tam giác SBD là tam giác đều. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. √ √ 2 2a3 √ 2a3 √ A. . B. 2 2a3. C. . D. 2a3. 3 3
Câu 2.3.25. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy ABCD có diện tích 16cm2, diện tích một mặt √
bên là 8 3cm2. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. √ √ √ √ 32 2 32 13 32 11 32 15 A. V = cm3. B. V = cm3. C. V = cm3. D. V = cm3. 3 3 3 3
? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12
Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 20 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN √
Câu 2.3.26. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, BC = a 3. Tam
giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC. √ √ √ √ 2 6a3 6a3 6a3 6a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 3 4 6 12 Câu 2.3.27. S
Cho khối đa diện như hình vẽ, biết ABCD.A0B0C0D0 là khối lập
phương cạnh a, S.ABCD là khối chóp đều có cạnh bên SA = √ a 3 D C
. Thể tích của khối đa diện là 2 √ 01666658231 A B 7a3 3a3 a3 6 - A. . B. . C. . D. 2a3. D0 C0 6 2 2 A0 B0 √ a3 3
Câu 2.3.28. Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và thể tích bằng . Cạnh bên của 12 khối chóp đó bằng √ √ √ 5 a 3a a 11 a 35 A. . B. . C. . D. . 12 4 4 4 2.3.2 Khối lăng trụ Ví dụ 2.3.7 cuong11102@gmail.com -
Diện tích ba mặt của một khối hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 lần lượt là S1 = 24 cm2, S2 = 28
cm2, S3 = 42 cm2. Tính thể tích V của khối chóp D.AA0C0C. A. V = 56 cm3. B. V = 168 cm3. C. V = 112 cm3. D. V = 84 cm3. Lời giải. Cường
Gọi a, b, c là kích thước ba cạnh của hình hộp chữ nhật. Ta có: A0 B0 ab = 24, bc = 28, ca = 42. D0 √ C0
Vậy ta có: Vhộp = abc = 24.28.42 = 168. Vhộp Vhộp Vhộp Minh
VD.AA0C0C = VADC.A0C0D0 − VDD0A0C0 = − = = 56 2 6 3 A B ê cm3. D C L . GV Ví dụ 2.3.8
Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = AC = a. Biết rằng
A0 A = A0B = A0C = a. Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ ABC.A0B0C0. √ √ √ 2a3 3a3 2a3 a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 12 4 4 2 Lời giải.
Thầy Lê Minh Cường - 01666658231
? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12
2.2 Công thức thể tích đơn giản 21 B0 C0
Ta có các tam giác A0 AB và A0 AC là các tam giác đều. A0
Gọi H, K,O lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC và BC.
Khi đó ta chứng minh được A0O ⊥ (ABC). √ GV √ a 2 Có A0O = A0 H2 − HO2 = . . 2 √ L a2 2a3 ê Mà S∆ABC = . Vậy V . 2 ABC.A0B0C0 = 4 B O C Minh H K A Cường
Câu 2.3.29 (ĐỀ MH 2017 Lần 1). Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A0B0C0D0, biết √ A0C = a 3. √ 3 6a3 √ 1 A. V = a3. B. V = . C. V = 3 3a3. D. V = a3. 4 3 -
Câu 2.3.30. Nếu khối lăng trụ đứng có đáy là hình vuông cạnh 2a và đường chéo mặt bên bằng 4a
fb.com/cuong.thayleminh.7
thì khối lăng trụ đó có thể tích bằng √ √ A. 4a3. B. 6 3a3. C. 8 3a3. D. 12a3.
Câu 2.3.31. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A0B0C0D0 có cạnh đáy bằng a. Biết đường chéo √
của mặt bên là a 3. Khi đó thể tích của khối lăng trụ bằng √ √ √ a3 2 A. a3 3. B. a3 2. C. . D. 2a3. 3
Câu 2.3.32. Một khối gỗ có dạng là lăng trụ, biết diện tích đáy và chiều cao lần lượt là 0, 25 m2 và
1, 2 m. Mỗi mét khối gỗ này trị giá 5 triệu đồng. Hỏi khối gỗ đó có giá bao nhiêu tiền? A. 3 000 000 đồng. B. 500 000 đồng. C. 750 000 đồng. D. 1 500 000 đồng.
Câu 2.3.33. Tổng diện tích sáu mặt của hình lập phương bằng 96cm2. Thể tích khối lập phương đó là: A. 91cm3. B. 84cm3. C. 48cm3. D. 64cm3.
Câu 2.3.34. Thể tích khối lập phương ABCD.A0B0C0D0 biết AC = 2a là: √ √ a3 2 2a3 A. 2 2a3. B. . C. . D. a3. - 3 3 01666658231
Câu 2.3.35 (THTT Lần 3). Diện tích ba mặt của hình hộp chữ nhật bằng 20cm2, 28cm2, 35cm2. Thể
tích của khối hộp đó bằng: A. 160cm3. B. 190cm3. C. 140cm3. D. 165cm3.
Câu 2.3.36. Một hình lăng trụ tam giác đều có diện tích xung quanh bằng 192, tất cả các cạnh của
lăng trụ bằng nhau. Thể tích của khối lăng trụ này gần với số nào sau đây nhất ? A. 234. B. 221. C. 229. D. 225.
Câu 2.3.37. Tổng diện tích các mặt của một hình lập phương bằng 150. Tính thể tích V của khối lập phương đó. A. V = 200. B. V = 625. C. V = 100. D. V = 125.
Câu 2.3.38. Tính độ dài cạnh đáy x của lăng trụ tứ giác đều có chiều cao bằng a, thể tích bằng 4a3. A. x = 4a. B. x = 3a. C. x = a. D. x = 2a.
? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12
Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 22 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN
Câu 2.3.39. Một khối lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy bằng 37, 13, 30 và diện tích xung
quanh của khối lăng trụ đó bằng 480. Khi đó thể tích của khối lăng trụ bằng A. 2017. B. 2040. C. 1080. D. 1010.
Câu 2.3.40. Một khối lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy bằng 37, 13, 30 và diện tích xung
quanh bằng 480. Tính thể tích V của khối lăng trụ. A. V = 1080. B. V = 1010. C. V = 2010. D. V = 2040.
Câu 2.3.41 (THTT Lần 5). Khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau và có thể tích là
9 thì độ dài mỗi cạnh bằng 4 √ √ A. 6 243. B. 3. C. 3. D. Đáp số khác.
Câu 2.3.42. Cho hình lăng trụ đứng tam giác EFG.E0F0G0 có đáy EFG là tam giác vuông tại E,
EF = a, EG = 2a, EE0 = a, với 0 < a ∈ R. Khi đó tính theo a, thể tích của khối lăng trụ đứng tam
01666658231 giác EFG.E0F0G0 bằng: - a3 2a3 A. . B. a3. C. 2a3. D. . 3 3
Câu 2.3.43. Lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = 30cm, AC =
40cm, B0 A = 50cm. Tính diện tích toàn phần của khối lăng trụ là A. 4800cm2. B. 5400cm2. C. 6000cm2. D. 7200cm2.
Câu 2.3.44. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có tất cả các cạnh bằng a. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A0B0C0. √ √ √ √ a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 5 3 2 4
Câu 2.3.45 (THTT Lần 3). Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 có cạnh bằng a. Xét 2 câu sau: √ a 3
(I) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A0BD) là d = . 3
(II) Hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 có 9 mặt phẳng đối xứng cuong11102@gmail.com - A. Chỉ (I) đúng. B. Chỉ (II) đúng. C. Cả 2 đúng. D. Cả 2 sai.
Câu 2.3.46. Diện tích toàn phần của một hình lập phương bằng 96. Thể tích của khối lập phương đó là A. 91. B. 64. C. 84. D. 48. Cường √ √ √
Câu 2.3.47. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 có AC = 5, AC0 = 15, AD0 = 13. Tính
thể tích V của khối hộp chữ nhật. √ √ √ √ A. V = 2 15. B. V = 3 15. C. V = 4 15. D. V = 5 15. Minh
ê Câu 2.3.48. Nếu tăng ba kích thước của một khối hộp chữ nhật, mỗi kích thước lên k > 0 lần thì
L thể tích của khối hộp đó tăng lên bao nhiêu lần? . A. 3k lần. B. k lần. C. k3 lần. D. 9k3 lần.
GV Câu 2.3.49 (THTT Lần 5). Cho ABCD.A0B0C0D0 là hình lập phương có cạnh a. Tính thể tích khối tứ diện ACD0B0. √ √ 1 a3 2 a3 a3 6 A. a3. B. . C. . D. . 3 3 4 4
Câu 2.3.50. Khi độ dài của một hình lập phương tăng thêm 2 cm thì thể tích của nó tăng thêm
98cm3. Cạnh của hình lập phương đã cho là: A. 5 cm. B. 4 cm. C. 3 cm. D. 6 cm.
Thầy Lê Minh Cường - 01666658231
? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12
2.2 Công thức thể tích đơn giản 23
Câu 2.3.51. Cho hình lăng trụ đứng tứ giác MNPQ.M0N0P0Q0 có đáy MNPQ là hình thang vuông
tại M và N, MN = a, NP = a, MQ = 3a, MM0 = a, với 0 < a ∈ R. Khi đó tính theo a, thể tích của
khối lăng trụ đứng tứ giác MNPQ.M0N0P0Q0 bằng: a3 A. 4a3. B. a3. C. 2a3. D. . 3 GV
Câu 2.3.52. Cho hình hộp đứng EFGH.E0F0G0 H0 có đáy EFGH là hình thoi, biết EG = a, FH = 2a, .
EE0 = a, với 0 < a ∈ R. Khi đó tính theo a, thể tích của khối hộp đứng EFGH.E0F0G0H0 bằng: L 2a3 a3 ê A. . B. a3. C. 2a3. D. . 3 3 Minh √
Câu 2.3.53. Cho hình lập phương có độ dài đường chéo bằng 10 3cm Thể tích của khối lập phương là A. 900cm3. B. 2700cm3. C. 1000cm3. D. 300cm3. Cường √
Câu 2.3.54. Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A0B0C0D0, biết AC = a 2.√ 1 √ 3 6a3 A. V = a3. B. V = a3. C. V = 3 3a3. D. V = . 3 4 -
Câu 2.3.55. Tính theo a thể tích V của khối lập phương ABCD.A0B0C0D0, biết AC0 = a. √ √
fb.com/cuong.thayleminh.7 √ 3a3 a3 3a3 A. V = 3 3a3. B. V = . C. V = . D. V = . 3 27 9 2.3.1. D | 2.3.2. D | 2.3.3. D | 2.3.4. C | 2.3.5. A | 2.3.6. B | 2.3.7. C | 2.3.8. B | 2.3.9.
D | 2.3.10. B | 2.3.11. D | 2.3.12. A | 2.3.13. B | 2.3.14. A | 2.3.15. A | 2.3.16. A |
2.3.17. A | 2.3.18. D | 2.3.19. B | 2.3.20. D | 2.3.21. C | 2.3.22. B | 2.3.23. A | 2.3.24. A |
2.3.25. C | 2.3.26. D | 2.3.27. A | 2.3.28. C | 2.3.29. A | 2.3.30. C | 2.3.31. B | 2.3.32. D |
2.3.33. D | 2.3.34. A | 2.3.35. C | 2.3.36. B | 2.3.37. D | 2.3.38. D | 2.3.39. C | 2.3.40. A |
2.3.41. B | 2.3.42. B | 2.3.43. C | 2.3.44. D | 2.3.45. C | 2.3.46. B | 2.3.47. A | 2.3.48. C |
2.3.49. A | 2.3.50. C | 2.3.51. C | 2.3.52. B | 2.3.53. C | 2.3.54. B | 2.3.55. D | - 01666658231
? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12
Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 24 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN 2.4
Thể tích của khối có chứa góc 2.4.1 Khối chóp Ví dụ 2.4.9
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên tạo với mặt đáy một góc
bằng 60◦. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD. √ √ √ 6a3 6a3 6a3 a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 6 2 3 3 Lời giải. S Ta có SABCD = a2, √ √ a 2 √ a 6 01666658231 SO = BO tan 60◦ = 3 = . √ 2 2 - a3 6 A Vậy V = . D 6 O 60◦ B C
Ví dụ 2.4.10 THPTQG 2017 √
Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 3, SA vuông góc với đáy
và mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 60◦. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. √ a3 3a3 A. V = . B. V = . C. V = a3. D. V = 3a3. 3 3 √ 1 √ √
Lời giải. Từ giả thiết ta có [
SBA = 60◦ suy ra SH = AB. tan 60◦ = a 3. Vậy, V = .a 3.a2 3 = 3 a3.
Ví dụ 2.4.11 THPTQG 2017 cuong11102@gmail.com -
Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và SC tạo với
mặt phẳng (SAB) một góc 30◦. Tính thể tích V của khối chóp đã cho. √ √ 6a3 2a3 2a3 √ A. V = . B. V = . C. V = . D. V = 2a3. 3 3 3 Cường Lời giải. S Minh √ ê
Từ giả thiết ta có góc d
BSC = 30◦ ⇒ SB = a 3 ⇒ SA = √ L √ a3 2 D .
2a. Từ đó suy ra thể tích của khối chóp bằng . A 3 GV B C
Câu 2.4.1 (THPTQG 2017). Xét khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, SA vuông góc
với đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 3. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (SBC)
và (ABC). Tính cos α khi thể tích khối chóp S.ABC nhỏ nhất.
Thầy Lê Minh Cường - 01666658231
? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12
2.4 Thể tích của khối có chứa góc 25 √ √ 1 3 2 2 A. cos α = . B. cos α = . C. cos α = . D. cos α = . 3 3 2 3
Câu 2.4.2. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, góc giữa cạnh bên và mặt
phẳng đáy bằng 60◦. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. √ √ √ √ 3a3 3a3 9 3a3 4 3a3 GV A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 12 4 4 9 . L
Câu 2.4.3. Một hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng b và cạnh bên tạo với đáy một góc α. Thể ê tích khối chóp đó là: √ √ Minh 3 3 3 3
A. b3 cos2 α sin α.
B. b3 cos α sin2 α. C.
b3 cos α sin α. D.
b3 cos2 α sin α. 4 4 4 4
Câu 2.4.4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 4. Mặt bên tạo với Cường
đáy một góc bằng 60◦. Tính thể tích V của khối chóp đó. √ √ √ √ 32 3 27 3 9 3 32 6 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 3 2 2 3
Câu 2.4.5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt -
phẳng đáy và cạnh bên SD hợp với đáy một góc 60◦. Hỏi thể tích V của khối chóp S.ABCD bằng
fb.com/cuong.thayleminh.7 bao nhiêu? √ √ √ 2a3 3 a3 3 a3 3 √ A. V = . B. V = . C. V = . D. V = a3 3. 3 6 3
Câu 2.4.6. Cho hình chóp đều S.ABCD có AC = 2a, mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABCD) một
góc 45◦. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. √ √ 2a3 3 √ a3 2 a3 A. V = . B. V = a3 2. C. V = . D. V = . 3 3 2 √
Câu 2.4.7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết AB = a, AD = a 3. Hình
chiếu S lên đáy là trung điểm H của cạnh AB; góc tạo bởi SD và đáy là 60◦. Thể tích khối chóp S.ABCD là: √ √ a3 5 a3 13 a3 A. a3. B. . C. . D. . 5 2 2
Câu 2.4.8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hai mặt phẳng (SAC) và
(SAB) cùng vuông góc với (ABCD). Góc giữa (SCD) và (ABCD) là 60◦. Thể tích của khối chóp S.ABCD √là: √ √ √ a3 6 a3 3 a3 3 a3 6 - A. . B. . C. . D. . 01666658231 3 3 6 6
Câu 2.4.9. Một hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với đáy một góc α. Thể tích khối chóp đó là: a2 tan α a3 cot α a3 tan α a3 tan α A. . B. . C. . D. . 12 12 12 4 √
Câu 2.4.10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = a 3. Cạnh bên SD
vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SB với mặt phẳng đáy bằng 45o. Tính thể tích khối chóp. √ √ √ 2 3a3 √ 6a3 A. 3 2a3. B. . C. 2 3a3. D. . 3 3 √
Câu 2.4.11. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB = a 3, BC = a. Các cạnh
bên bằng nhau và cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 30o. Thể tích khối chóp SABC là: a3 a3 a3 A. . B. . C. . D. a3. 6 9 2
? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12
Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 26 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN √
Câu 2.4.12. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a 3 góc giữa cạnh bên và mặt
phẳng đáy bằng 60o. Thể tích khối chóp bằng: √ √ √ 3 2a3 2 2a3 √ 9 2a3 A. . B. . C. 3 2a3. D. . 2 2 2
Câu 2.4.13 (THTT Lần 3). Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA⊥(ABC) và
SB hợp với đáy một góc 45◦. Xét hai câu sau: √ a3 3
(I) Thể tích khối chóp S.ABC là V = 12
(II) Tam giác SAB là tam giác cân. Hãy chọn câu đúng. A. Chỉ (I) đúng. B. Chỉ (II) đúng.
C. Cả (I) và (II) đúng.
D. Cả (I) và (II) sai. 01666658231
- Câu 2.4.14. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và √
AD, MN = a 3. Tính góc giữa AB và CD. A. 30◦. B. 60◦. C. 90◦. D. 45◦.
Câu 2.4.15. Một khối chóp tam giác có các cạnh đáy bằng 6, 8, 10. Một cạnh bên bằng 4 và tạo với
đáy một góc 60◦. Thể tích của khối chóp đó bằng √ √ √ 16 2 A. 16 3. B. 8 3. C. 16π. D. . 3
Câu 2.4.16. Một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên tạo với đáy một góc 60◦. Diện
tích toàn phần của hình nón ngoại tiếp hình chóp là 3πa2 3πa2 3πa2 3πa2 A. . B. . C. . D. . 6 2 8 4
Câu 2.4.17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = 2a, AD = a. Tam giác SAB
là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa mặt phẳng
(SBC) và (ABCD) bằng 450. Khi đó thể tích khối chóp S.ABCD là √ cuong11102@gmail.com 3 1 2 A. a3. B. a3. C. 2a3. D. a3. - 3 3 3 √
Câu 2.4.18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật; biết AB = a, AD = a 3. Hình
chiếu S lên đáy là trung điểm H của cạnh AB; góc tạo bởi SD và đáy là 60◦. Thể tích của khối chóp S.ABCD là √ √ √ Cường a3 a3 5 a3 13 a3 5 A. . B. . C. . D. . 2 3 2 5 √
Câu 2.4.19. Cho hình chóp S.ABC có [ ASB = [ ASC = d BSC = 60o, SA = 1, SB = 2, SC = 2. Thể tích
Minh khối chóp S.ABC là: √ √ ê 1 1 6 2 L A. . B. . C. . D. . . 3 2 6 3
GV Câu 2.4.20. Cho hình chóp S.ABC có [ ASB = d BSC = [
CSA = 60◦, SA = 3, SB = 4, SC = 5. Tính
khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB). √ √ √ √ 5 2 3 5 6 A. 5 2. B. . C. . D. . 3 3 3
Câu 2.4.21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy,
SC tạo với đáy một góc bẳng 60◦ Thể tích khối chóp S.ABCD bằng: √ √ √ √ 6a3 6a3 6a3 A. a3 6. B. . C. . D. . 12 9 3
Thầy Lê Minh Cường - 01666658231
? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12
2.4 Thể tích của khối có chứa góc 27
Câu 2.4.22. Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình vuông cạnh 2a tâm O; hình chiếu của S lên
mặt phẳng đáy là trung điểm I của AD. Biết góc giữa SD và (ABCD) bẳng 30◦. Thể tích khối chóp S.COD là √ √ √ a3 3 a3 3 2 2a3 a3 A. . B. . C. . D. . 9 3 3 3 GV
Câu 2.4.23. Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, AB = a, [ BAC = 120◦, [ SBA = [ .
SCA = 90◦. Biết góc giữa SB và đáy bằng 60◦. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. √ √ L a3 3 3a3 3a3 3a3 ê A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 4 4 4 4 Minh √
Câu 2.4.24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a 2 và vuông
góc với mặt đáy. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SC, SD. Tính côsin của góc
giữa cạnh bên SB với mặt phẳng (AHK). √ √ Cường 3 1 3 2 A. . B. . C. . D. . 2 2 5 5
Câu 2.4.25. Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), đáy ABC là tam giác vuông tại B. Biết rằng 5
AB = 3a, BC = 4a và SC hợp với đáy (ABC) một góc α với cos α =
. Tính thể tích khối chóp đã - 13 cho.
fb.com/cuong.thayleminh.7 A. 72a3 . B. 24a3 . C. 48a3 . D. 12a3 . √
Câu 2.4.26. Cho khối chóp tam giác đều có tổng diện tích các mặt bên bằng 2 3a2, góc giữa mặt
bên và mặt đáy bằng 60◦. Tính thể tích của khối chóp. √ 2a3 a3 a3 3 a3 A. √ . B. √ . C. . D. . 3 3 6 3
Câu 2.4.27. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, cạnh SA vuông góc với đáy, √ góc [
ACB = 60◦, BC = a, SA = a 3. Gọi M là trung điểm của SB. Tính thể tích V của khối tứ diện MABC. a3 a3 a3 a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 2 3 6 4
Câu 2.4.28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với đáy, góc giữa
đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 45◦. Biết rằng thể tích khối chóp S.ABCD bằng √
a3 2. Tính theo a khoảng cách d giữa hai đường thẳng SB và AC. 3 √ √ √ √ a 6 a 3 a 10 a 2 A. d = . B. d = . C. d = . D. d = . 3 2 5 2 -
Câu 2.4.29. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Góc giữa mặt phẳng (SBC) 01666658231
và (ABCD) bằng 60◦. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC theo a. √ √ √ √ a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 4 36 6 12 √ a 2
Câu 2.4.30. Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, AC = ; cạnh SA vuông 2
góc với mặt đáy. Góc giữa mặt bên (SBC) và mặt đáy bằng 45◦. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC.√ √ a3 3 a3 a3 2 a3 A. . B. . C. . D. . 48 48 48 48
Câu 2.4.31. Cho hình chóp S.ABC có SA = 4, SB = 5, SC = 6; [ ASB = d BSC = 45◦, [ CSA = 60◦. Các # » # » # » # » # » # »
điểm M, N, P thỏa mãn đẳng thức AB = 4AM; BC = 4BN; CA = 4CP. Tính thể tích khối chóp S.MNP. √ √ 128 2 35 245 35 2 A. . B. . C. . D. . 3 8 32 8
? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12
Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 28 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN
Câu 2.4.32. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 1, [
BAD = 60◦; các mặt phẳng
(SAD) và (SCD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa SC và mặt đáy ABCD bằng
45◦. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.BCD. 7π 7π 7π 7π A. . B. . C. . D. . 2 4 6 3
Câu 2.4.33. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a. Mặt bên hình chóp tạo với đáy một
góc bằng 60◦. Mặt phẳng (P) chứa AB đi qua trọng tâm G của tam giác SAC cắt SC, SD lần lượt
tại M, N. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABMN. √ √ √ √ 3 3 3 3 A. V = 3a3. B. V = a3. C. V = a3. D. V = a3. 4 2 2
Câu 2.4.34. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy, SB tạo
với mặt phẳng (SAD) một góc bằng 30◦. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. √ √ a3. 3 2a3 √ a3. 3 A. V = . B. V = . C. V = 2a3. 3. D. V = . 01666658231 3 3 6
- Câu 2.4.35. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, đỉnh S cách đều các điểm
A, B, C. Biết AC = 2a, BC = a, góc giữa SB và mặt đáy bằng 60◦. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC. √ √ √ 6a3 6a3 a3 6a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 4 6 2 12
Câu 2.4.36. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh SA vuông góc với
mặt đáy, góc giữa SC và mặt đáy bằng 60◦. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng SB. Tính theo a
khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ADI). √ √ a 42 √ a 7 √ A. . B. a 6. C. . D. a 7. 7 2
Câu 2.4.37. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a. Đường thẳng
SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng 60◦.
Tính thể tích V của khối chóp M.ABC, với M là trung điểm của SB. √ √ √ √ 3a3 3a3 3a3 3a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . cuong11102@gmail.com 2 4 12 6
- Câu 2.4.38. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = AC = 2a. Các tam
giác SBA và SCA lần lượt vuông tại B và C, góc giữa cạnh bên SA và mặt phẳng đáy bằng 60◦.
Thể tích khối chóp SABC là √ √ 4a3 3 √ 4a3 6 4a3 A. . B. 4a3 6. C. . D. . Cường 3 3 3 √
Câu 2.4.39. Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC = a 2, cạnh
bên SA vuông góc với đáy, mặt bên (SBC) tạo với đáy (ABC) một góc bằng 45◦. Tính theo a thể
Minh tích V của khối chóp S.ABC. √ √ √ √ ê a3 3 a3 2 a3 6 3a3 6 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . L 12 12 12 4
. Câu 2.4.40. Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là 45◦. Thể tích của GV 16 hình chóp là
a3. Hỏi cạnh hình vuông mặt đáy bằng bao nhiêu? √ 3 √ A. 2 2a. B. a. C. 2a. D. a 2.
Câu 2.4.41. Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), đáy ABCD là hình
chữ nhật có AB = 2a, AD = a. Cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 60◦. Tính thể tích V
của khối chóp S.ABD theo a. √ √ a3 15 √ √ 2a3 15 A. V = . B. V = 2a3 15. C. V = a3 15. D. V = . 3 3
Thầy Lê Minh Cường - 01666658231
? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12
2.4 Thể tích của khối có chứa góc 29 2.4.2 Khối lăng trụ Ví dụ 2.4.12 GV
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 có đáy ABCD, AB = 4, BC = 3 và góc giữa mặt .
phẳng (ACD0) và đáy bằng 60◦. Tính thể tích V của khối hộp chữ nhật đã cho. √ √ L 72 3 144 3 √ √ ê A. . B. . C. 24 3. D. 30 3. 5 5 √ Minh 12 12 3
Lời giải. Gọi H là hình chiếu của D lên AC. Ta tính được DH = , suy ra DD0 = . Vậy √ 5 5 144 3
thể tích cần tính là V = . Cường 5 - fb.com/cuong.thayleminh.7 Ví dụ 2.4.13
Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0 có tam giác ABC cân tại A, B0BC là tam giác đều cạnh a và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Góc giữa đường thẳng B0 A và mặt
phẳng (ABC) bằng 45◦. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A0B0C0. √ √ 3a3 3a3 a3 3a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 8 8 8 24 Lời giải. A0 C0 √ B0 a 3
Gọi I là trung điểm của BC, ta có B0 I = √ √ 2 a 3 3a2 =⇒ AI = . Vậy S∆ . 2 ABC = 4 3a3 Vậy VABC.A0B0C0 = . 8 A 45◦ C - I 01666658231 B Ví dụ 2.4.14
Cho lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy là tam giác vuông tại A, AC = a, [ ACB = 60◦. Đường
chéo BC0 của mặt bên (BCC0B0) tạo với mặt phẳng (AA0C0C) một góc 30◦. Tính thể tích V
của khối lăng trụ theo a. √ √ √ √ a3 6 a3 6 2a3 6 A. V = a3 6. B. V = . C. V = . D. V = . 3 2 3
? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12
Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 30 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN C B 60◦
Dễ thấy góc giữa BC0 với ACC0 A0 chính là góc [ AC0B. A √ AB
Ta tính được AB = a 3, rồi suy ra AC0 = = 3a. Lời giải. tan 30◦
Sử dụng tính chất của tam giác vuông ACC0 tính được √ 30◦
đường cao của lăng trụ là CC0 = 2 2a, từ đó suy ra thể √
tích của lăng trụ bằng a3 6. Vậy chọn phương án A. C0 B0 A0 01666658231
- Câu 2.4.42. Cho hình lăng trụ tất cả các cạnh đều bằng a, đáy là hình lục giác đều, góc tạo bởi cạnh
bên và đáy bằng 60◦. Tính thể tích V của khối trụ. √ √ 3 3 9 3 3 A. V = a3. B. V = a3. C. V = a3. D. V = a3. 4 4 4 2
Câu 2.4.43. Cho lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, góc tạo bởi hai
mặt phẳng (ABC) và (A0BC) bằng 60◦. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0. √ √ √ √ 3a3 3 3a3 3 a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 8 4 6 24
Câu 2.4.44. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A0B0C0 có cạnh đáy bằng a, góc giữa đường thẳng AB0
và mặt phẳng (A0B0C0) bằng 45o. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A0B0C0. √ √ √ √ 3a3 3a3 3a3 3a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 4 6 12 2
Câu 2.4.45. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với
cuong11102@gmail.com BA = BC = a, biết A0B hợp với đáy một góc 60◦. Tính thể tích khối lăng trụ. - √ √ a3 3 a3 3 a3 A. . B. 2a3. C. . D. . 6 2 2
Câu 2.4.46. Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy lần lượt là 13 cm, 14 cm, 15 cm, độ dài cạnh
Cường bên bằng 8 và tạo với đáy một góc 30◦. Khi đó thể tích khối lăng trụ đó là: A. 340 cm3. B. 274 cm3. C. 124 cm3. D. 336 cm3.
Câu 2.4.47. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A0B0C0 có cạnh đáy là a, góc giữa AB0 và (BCC0) bằng
Minh 300. Tính thể tích V của khối lăng trụ đó: √ √ √ ê a3 6 a3 a3 6 a3 6 L A. . B. . C. . D. . 4 4 12 2
. Câu 2.4.48. Cho lăng trụ tam giác đều ABC GV
.A0B0C0 có góc giữa hai mặt phẳng (A0BC) và (ABC)
bằng 600, AB = a. Khi đó thể tích khối ABCC0B0 bằng: √ √ √ 3a3 a3 3 3a3 3 A. a3 3. B. . C. . D. . 4 4 4 √
Câu 2.4.49. Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 có thể tích bằng 3a3, AB = AD, góc giữa
hai mặt phẳng (A0BCD0) và (ABCD) bằng 60o. Tính độ dài cạnh AA0. √ √ √ a 3 A. AA0 = 2a 3. B. AA0 = a. C. AA0 = a 3. D. AA0 = . 2
Thầy Lê Minh Cường - 01666658231
? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12
2.4 Thể tích của khối có chứa góc 31
Câu 2.4.50. Cho lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy là tam giác đều cạnh a. Mặt phẳng (AB0C0) tạo
với mặt đáy góc 60◦. Tính thể tích lăng trụ ABC.A0B0C0. √ √ √ 3a3 a3 3 a3 3 3a3 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 4 12 8 8
Câu 2.4.51. Cho lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có AB = AC = BB0 = a, [
BAC = 120◦. Gọi I là trung GV
điểm của CC0. Tính cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC) và (AB0 I). √ √ √ √ . 3 2 3 5 30 L A. . B. . C. . D. . 2 2 12 10 ê Minh
Câu 2.4.52. Cho lăng trụ ABC.A0B0C0 có tam giác AB0C0 vuông tại B0 với AB0 = 4, B0C0 = 2. Biết
rằng hình chiếu vuông góc của A lên đáy A0B0C0 trùng với trọng tâm của tam giác A0B0C0 và góc
giữa mặt phẳng (AB0C0) với mặt phẳng đáy (A0B0C0) bằng 60◦. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A0B0C0.√ √ √ √ Cường A. V = 12 3. B. V = 8 3. C. V = 6 3. D. V = 9 3.
Câu 2.4.53. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có khoảng cách từ A đến (SCD) bằng 2a. Gọi V là
thể tích khối chóp S.ABCD, tính giá trị lớn nhất của V. √ √ √ √ 2 3a3 - A. 2 3a3. B. 3a3. C. 4 3a3. D. .
fb.com/cuong.thayleminh.7 3 2.4.1. B | 2.4.2. C | 2.4.3. D | 2.4.4. A | 2.4.5. C | 2.4.6. C | 2.4.7. C | 2.4.8. B | 2.4.9.
C | 2.4.10. B | 2.4.11. A | 2.4.12. A | 2.4.13. C | 2.4.14. B | 2.4.15. A | 2.4.16. B |
2.4.17. D | 2.4.18. C | 2.4.19. A | 2.4.20. D | 2.4.21. D | 2.4.22. A | 2.4.23. C | 2.4.24. B |
2.4.25. B | 2.4.26. B | 2.4.27. D | 2.4.28. C | 2.4.29. D | 2.4.30. D | 2.4.31. B | 2.4.32. D |
2.4.33. C | 2.4.34. A | 2.4.35. C | 2.4.36. A | 2.4.37. C | 2.4.38. C | 2.4.39. B | 2.4.40. A |
2.4.41. A | 2.4.42. C | 2.4.43. A | 2.4.44. A | 2.4.45. C | 2.4.46. D | 2.4.47. A | 2.4.48. C |
2.4.49. C | 2.4.50. D | 2.4.51. D | 2.4.52. A | 2.4.53. A | - 01666658231
? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12
Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 32 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN 2.5
Tính thể tích và khoảng cách gián tiếp 2.5.1
Sử dụng tỷ lệ thể tích V SA0.SB0.SC0 Công thức tỷ lệ thể tích của tứ diện: S.A0B0C0 = . VS.ABC SA.SB.SC S A0 C0 B0 01666658231 B A - C
Hình 2.5.1. Tỉ lệ thể tích chóp tam giác.
Phương pháp. Áp dụng công thức tỷ lệ thể tích, đưa thể tính cần tính theo một tỷ lệ cho
trước với một thể tích dễ dàng tính được, từ đó tính được thể tích ban đầu. Ví dụ 2.5.15
Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0. Tỉ số thể tích của khối tứ diện A0 ABC và khối hộp cuong11102@gmail.com
chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 bằng. - 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 4 6 2 3
Lời giải. Thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0: VABCD.A0B0C0D0 = SABCD.h. 1 1
Thể tích khối tứ diện A0 ABC:VA0ABC = S S 3 ABC.h = 6 ABCD.h Cường V 1 Do đó: A0BCD = . VABCD.A0B0C0D0 6 Minh ê L . GV
Ví dụ 2.5.16 THPTQG 2017
Cho tứ diện đều ABCD có các cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB, BC và E là điểm đối xứng với B qua D. Mặt phẳng (MNE) chia khối tứ diện ABCD
thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích V. Tính V. √ √ √ √ 7 2a3 11 2a3 13 2a3 2a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 216 216 216 18 Lời giải.
Thầy Lê Minh Cường - 01666658231
? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12
2.5 Tính thể tích và khoảng cách gián tiếp 33 √ a3 2
Ta có thể tích khối tứ diện ABCD bằng = 12 X. A
Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của NE với CD và 2
ME với AD. Dễ thấy AQ = CP = a. GV 3 M 1 Q .
Ta dễ dàng tính được VE.BMN = X. Áp dụng tỉ 2 L VE.PQD 2 ê số thể tích ta có = . Suy ra V V E.PQD = B D E E.BMN 9 Minh 2 7 7 .V .V .X
9 E.BMN ⇒ VBMNEQP = 9 E.BMN = 18 N P
Tức là phần khối đa diện không chứa điểm A 7 Cường có thể tích bằng
X, nên phần chứa điểm A có 18 √ C 11 11 2a3 thể tích là X = . 18 216 -
Câu 2.5.1. Cho hình chóp S.ABC có M, N, P theo thứ tự là trung điểm của SA, SB, SC. Tính giá trị
fb.com/cuong.thayleminh.7 V của MNPABC . VSABC 8 7 1 A. . B. . C. . D. 8. 7 8 8
Câu 2.5.2. Cho hình chóp S.ABC. Gọi A0, B0 lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB. Tính tỉ số V thể tích S.A0B0C . VS.ABC 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2 3 4 8
Câu 2.5.3. Cho lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0 có thể tích là V. Tính thể tích V1 của khối tứ diện A0 ABC theo V. 1 2 1 A. V1 = V. B. V1 = V. C. V V. D. V V. 2 1 = 3 1 = 3
Câu 2.5.4. Cho hình chóp S.ABC. Gọi A0, B0 lần lượt là trung điểm của SA và SB. Khi đó tỉ số thể
tích của hai khối chóp S.A0B0C và S.ABC bằng: 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 3 2 8 4 -
Câu 2.5.5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M và N theo thứ tự là 01666658231 V
trung điểm của SA và SB. Tỉ số thể tích S.CDMN là: VS.CDAB 5 1 3 1 A. . B. . C. . D. . 8 4 8 2
Câu 2.5.6 (ĐỀ MH 2017 Lần 2). Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12 và G là trọng tâm tam giác
BCD. Tính thể tích V của khối chóp A.GBC. A. V = 3. B. V = 4. C. V = 6. D. V = 5.
Câu 2.5.7. Biết thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0 bằng V.Thể tích tứ diện A0 ABC0 là: V V V A. . B. 2V. C. . D. . 4 2 3
Câu 2.5.8. Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 cạnh a. Gọi M là trung điểm A0B0, N là trung
điểm BC. Tính thể tích V của khối tứ diện ADMN. a3 a3 a3 a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 3 12 6 2
? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12
Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 34 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN
Câu 2.5.9. Gọi V là thể tích của hình lập phương ABCD.A0B0C0D0. V1 là thể tích của tứ diện
A0 ABD. Hệ thức nào sau đây là đúng? A. V = 6V1. B. V = 4V1. C. V = 3V1. D. V = 2V1.
Câu 2.5.10. Cho khối lăng trụ ABC.A0B0C0 có thể tích bằng 6a3 và đáy ABC là tam giác đều cạnh
bằng 2a. Gọi G là trọng tâm của tam giác A0B0C0. Tính thể tích V của khối chóp G.ABC. √ A. V = 2a3. B. V = 3a3. C. V = 3a3. D. V = a3.
Câu 2.5.11. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 có AB = a, AD = 2a. Diện tích tam giác A0DC √ a2 13 bằng
. Tính thể tích của khối chóp A0.BCC0B0. 2 √ 8a3 13 A. . B. 2a3. C. 3a3. D. 6a3. 39
Câu 2.5.12. Cho khối tứ diện OABC với OA,OB,OC vuông góc từng đôi một và OA = a, OB = 2a,
01666658231 OC = 3a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AC,BC. Thể tích của khối tứ diện OCMN - theo a bằng 3a3 2a3 a3 A. . B. a3. C. . D. . 4 3 4
Câu 2.5.13. Cho hình chóp S.ABC. Trên ba cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A0, B0, C0 sao cho 1 1 1
SA0 = SA, SB0 = SB, SC0 = SC. Gọi V và V0 lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABC và 3 4 2 V0 S.A0B0C0. Khi đó tỉ số là V 1 1 A. 12. B. . C. 24. D. . 12 24 √ √
Câu 2.5.14. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi tâm O, AB = a 5, AC = 4a, SO = 2 2a.
Gọi M là trung điểm SC. Biết SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích của khối chóp M.OBC. √ √ √ 2a3 A. 2 2a3. B. 2a3. C. . D. 4a3. 3 cuong11102@gmail.com
- Câu 2.5.15. Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0 có thể tích bằng 48cm3, M, N, P theo thứ tự là trung
điểm các cạnh CC0, BC và B0C0, khi đó thể tích khối chóp A0 MNP là. 16 A. 24cm3. B. cm3. C. 16cm3. D. 8cm3. 3
Cường Câu 2.5.16. Cho khối lăng trụ đều ABC.A0B0C0 và M là trung điểm AB. Mặt phẳng (B0C0M) chia
khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó. 6 7 1 3 A. . B. . C. . D. . 5 5 4 8 Minh
ê Câu 2.5.17. Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0. Gọi M là điểm trên đường chéo CA0 sao cho # » L # »
MC = −3MA0. Tính tỉ số giữa thể tích V .
1 của khối chóp M.ABCD và thể tích V2 của khối lập phương. GV V 1 V 3 V 1 V 1 A. 1 = . B. 1 = . C. 1 = . D. 1 = . V2 3 V2 4 V2 9 V2 4
Câu 2.5.18. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi M là trung điểm của SC, mặt phẳng (P) chứa
AM và song song với BD chia khối lập phương thành 2 khối đa diện, đặt V1 là thể tích khối đa V
diện có chứa đỉnh S và V 1
2 là thể tích khối đa diện có chứa đáy ABCD. Tính . V2 V V 1 V 2 V 1 A. 1 = 1. B. 1 = . C. 1 = . D. 1 = . V2 V2 2 V2 3 V2 3
Thầy Lê Minh Cường - 01666658231
? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12
2.5 Tính thể tích và khoảng cách gián tiếp 35
Câu 2.5.19. Cho khối lăng trụ ABC.A0B0C0 có thể tích V. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AA0,
BB0. Tính thể tích khối đa diện ABCIKC0 theo V. 3V V 2V 4V A. . B. . C. . D. . 5 3 3 5
Câu 2.5.20. Cho khối lập phương ABCD.A0B0C0D0. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và GV
AD, mặt phẳng (C0 MN) chia khối lập phương thành 2 khối đa diện, đặt V1 là thể tích khối đa diện V1 .
có thể tích nhỏ và V2 là thể tích khối đa diện có thể tích lớn. Tính . V L 2 ê V 1 V 13 V 1 V 25 A. 1 = . B. 1 = . C. 1 = . D. 1 = . Minh V2 3 V2 23 V2 2 V2 47 2.5.2
Tính khoảng cách dựa vào công thức thể tích Cường 1 3V
Phương pháp. Từ công thức thể tích chóp ta có V = Bh ⇔ h = . Vậy muốn tính khoảng 3 B
cách từ đỉnh hình chóp tới đáy, ta có thể đi tìm thể tích và đáy tương ứng, rồi thông qua công
thức trên để tìm được khoảng cách. - fb.com/cuong.thayleminh.7
Ví dụ 2.5.17 ĐỀ MH 2017 Lần 2
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a và thể tích bằng a3. Tính chiều cao h của hình chóp đã cho. √ √ √ 3a 3a 3a √ A. h = . B. h = . C. h = . D. h = 3a. 6 2 √ 3 (2a)2 3 √ 3V 3a3 √
Lời giải. Ta có diện tích đáy là B = = a2 3. Vậy h = = √ = a 3. 4 B a2 3
Câu 2.5.21. Tính chiều cao h của khối chóp có thể tích là 900 cm3 và diện tích đáy bằng 100 cm2. A. h = 9 cm. B. h = 6 cm. C. h = 27 cm. D. h = 3 cm.
Câu 2.5.22. Khối chóp S.ABC có SA vuông góc với (ABC), đáy ABC là tam giác vuông tại B và
SB = 2a, BC = a. Thể tích khối chóp là a3. Khoảng cách từ A đến (SBC) là: √ 3a a 3 A. 3a. B. 6a. C. . D. . 2 4
Câu 2.5.23. Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 9a3 và đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tính -
độ dài đường cao h của khối chóp. 01666658231 A. h = 3a. B. h = 6a. C. h = 9a. D. h = 27a. √
Câu 2.5.24. Một khối chóp tam giác đều có thể tích V = 2a3, cạnh đáy bằng 2a 3. Tính chiều cao của khối chóp. √ √ √ a 6 2a 3 a A. a 6. B. . C. . D. . 3 3 3
Câu 2.5.25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, [
ABC = 60o, SA vuông góc với mặt √
phẳng đáy, SA = a 3. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) bằng: √ √ √ a 15 a 15 a 3 A. . B. . C. 3a. D. . 5 3 2
Câu 2.5.26. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là chữ nhật có AB = a; tam giác SAD đều cạnh
4a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ D đến (SAB) là: √ √ √ a 3 A. a 3. B. 2a 3. C. . D. 2a. 2
? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12
Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 36 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN √
Câu 2.5.27. Lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy là tam giác vuông cân tại B, cạnh bên CC0 = a 3. √
Biết thể tích khối trụ bằng 2 3a3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CC0 bằng √ √ √ A. a 2. B. 2a. C. 3a. D. 2 3a.
Câu 2.5.28. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB = a, BC = a, √ a 6
AD = 2a. Hình chiếu của S lên đáy trùng với trung điểm H của AD và SH = . Tính khoảng 2
cách d từ B đến mặt phẳng (SCD). √ √ √ 15a 6a 6a A. d = . B. d = . C. d = a. D. d = . 5 8 4 √ a3 3
Câu 2.5.29. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và thể tích V = . Tính khoảng 4 cách từ S đến (ABC). √ 01666658231 3a 3 3a a a A. . B. . C. . D. . - 4 2 6 2 a3
Câu 2.5.30. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và thể tích bằng . Tính 12
khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC. √ √ √ √ a 6 a 3 a 3 a 10 A. . B. . C. . D. . 4 4 5 20
Câu 2.5.31. Một viên gạch hình lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy 6 cm và thể tích của viên gạch đó √
bằng 648 3 cm3. Tính chiều cao h của viên gạch đó A. 12 cm . B. 4 cm . C. 6 cm . D. 72 cm . √ a 3 a
Câu 2.5.32. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AB = , AC = . Tam giác 2 2
SBC cân và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Nếu thể tích của khối chóp S.ABC bằng √
a3 3. Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB). 24 √ √ cuong11102@gmail.com 2a a 17a 2 17a A. . B. . C. . D. . - 17 17 17 17 2.5.1. B | 2.5.2. C | 2.5.3. D | 2.5.4. D | 2.5.5. C | 2.5.6. B | 2.5.7. D | 2.5.8. C | 2.5.9.
A | 2.5.10. A | 2.5.11. B | 2.5.12. D | 2.5.13. D | 2.5.14. C | 2.5.15. D | 2.5.16. B |
2.5.17. D | 2.5.18. B | 2.5.19. C | 2.5.20. D | 2.5.21. C | 2.5.22. A | 2.5.23. D | 2.5.24. C |
Cường 2.5.25. A | 2.5.26. B | 2.5.27. B | 2.5.28. D | 2.5.29. A | 2.5.30. A | 2.5.31. A | 2.5.32. D | Minh ê L . GV
Thầy Lê Minh Cường - 01666658231
? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12
2.6 Các bài toán tổng hợp 37 2.6 Các bài toán tổng hợp
Ví dụ 2.6.18 THPTQG 2017 √
Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB = x và các cạnh còn lại đều bằng 2 3. Tìm x để thể tích
khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất. √ √ √ √ GV A. x = 6. B. x = 14. C. x = 3 2. D. x = 2 3. .
Lời giải. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD, AB. Khi đó ta tính được AM = BM = 3, r L x2 ê suy ra MN = 9 − . 4 Minh r x2 x. 9 − √
- Gọi h là chiều cao của khối chóp hạ từ đỉnh A, ta có h = 4 và h 2. 3 max khi x = 3 Cường
Câu 2.6.1 (ĐỀ MH 2017 Lần 1). Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng
√2a. Tam giác SAD cân tại S và mặt bên (SAD) vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối 4
chóp S.ABCD bằng a3. Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng (SCD). 3 - 2 4 8 3
fb.com/cuong.thayleminh.7 A. h = a. B. h = a. C. h = a. D. h = a. 3 3 3 4
Câu 2.6.2 (ĐỀ MH 2017 Lần 1). Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi một vuông
góc với nhau; AB = 6a, AC = 7a và AD = 4a. Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm các cạnh
BC, CD, DB. Tính thể tích V của tứ diện AMNP. 7 28 A. V = a3. B. V = 14a3. C. V = a3. D. V = 7a3. 2 3
Câu 2.6.3 (ĐỀ MH 2017 Lần 2). Cho lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác vuông √
cân tại A, cạnh AC = 2 2. Biết AC0 tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 60◦ và AC0 = 4. Tính thể
tích V của khối đa diện ABCB0C0. √ √ 8 16 8 3 16 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 3 3 3 3 2.6.0.1 Khối chóp
Câu 2.6.4. Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy;BC = 9m, AB = 10m,
AC = 17m. Biết thể tích khối chóp S.ABC bằng 72m3. Tính khoảng cách h từ điểm A đến mặt phẳng (SBC). 42 18 √ 24 A. h = m. B. h = m. C. h = 34 m. D. h = m. - 5 5 5 01666658231
Câu 2.6.5. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông; mặt bên (SAB) là tam giác đều √
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy; BC = a 3. Tính khoảng cách h từ điểm A đến mặt phẳng (SCD). √ √ √ 3a 2 6a a 21 A. h = √ . B. h = a. C. h = . D. h = . 7 3 3 7 √
Câu 2.6.6. Cho hình chóp S.ABC, SA vuông góc mặt phẳng đáy, SA = a, AC = a 2, AB = 3a. Gọi V
M, N là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh SB, SC. Đặt k = SAMN khi đó giá trị của k là VSABC 1 1 1 1 A. . B. √ . C. . D. . 3 30 30 2 √
Câu 2.6.7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với độ dài các cạnh bằng a và a 3.
Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a. Khi đó thể tích khối chóp là: √ √ 2 3a3 3a3 √ √ A. . B. . C. 2 3a3. D. 3a3. 3 3
? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12
Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 38 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN
Câu 2.6.8 (THTT Lần 3). Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình chữ nhật ABCD có BC = 2AB,
SA⊥(ABCD) và M là điểm trên cạnh AD sao cho AM = AB. Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích của hai V
khối chóp S.ABM và S.ABC thì 1 bằng: V2 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 8 6 4 2
Câu 2.6.9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. Độ dài các cạnh √
AB = BC = a, AD = 2a, SD = a 5, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Gọi H là hình chiếu của
A lên cạnh SB. Tính khoảng cách d từ H đến mặt phẳng (SCD). √ √ √ √ a 6 a 6 a 6 a 6 A. d = . B. d = . C. d = . D. d = . 12 6 3 24
Câu 2.6.10. Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy bằng a, các mặt bên luôn tạo với đáy một
01666658231 góc 60◦. Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SBC). √ √ - 3a a 2 √ a 3 A. d = . B. d = . C. d = a 3. D. d = . 4 2 2
Câu 2.6.11. Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với
mặt đáy, cạnh SB hợp với đáy một góc 45◦. Thể tích của khối chóp S.ABC là √ √ √ √ a3 3 a3 3 a3 6 a3 6 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 12 24 12 24
Câu 2.6.12. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a.
Tính thể tích của khối chóp S.ABC. √ √ 3a3 3 √ √ a3 3 A. V = . B. V = a3 3. C. V = 9a3 3. D. V = . 4 3
Câu 2.6.13. Tứ diện OABC có OA = OB = OC = a và đôi một vuông góc. Gọi M, N, P lần lượt là
trung điểm AB, BC, CA. Thể tích tứ diện OMNP là a3 a3 a3 a3 A. . B. . C. . D. . cuong11102@gmail.com 4 12 24 6 - √
Câu 2.6.14. Cho hình chóp S.ABC có SA⊥(ABC), SA = a 3. Tam giác ABC vuông cân tại B,
AC = 2a. Thể tích khối chóp S.ABC là √ √ √ 2a3 3 √ a3 3 a3 3 A. . B. a3 3 . C. . D. . Cường 3 3 6
Câu 2.6.15. Hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Cosin của góc giữa
cạnh bên và mặt đáy bằng √ √ √ Minh 2 5 3 33 1 A. . B. . C. . D. . ê 15 6 6 4 L √
. Câu 2.6.16. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a 2, tam giác SAB
vuông cân tại S và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ điểm A đến
GV mặt phẳng (SCD) là √ √ √ a 6 a 10 √ a 2 A. . B. . C. a 2 . D. . 3 5 2
Câu 2.6.17. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với mặt đáy một góc 450.
Tính thể tích của khối chóp đều. a3 2a3 a3 a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 9 9 3 6
Thầy Lê Minh Cường - 01666658231
? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12
2.6 Các bài toán tổng hợp 39
Câu 2.6.18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trên các cạnh SA, SB, SC lần
lượt lấy các điểm A0, B0, C0 sao cho SA = 2SA0, SB = 3SB0, SC = 4SC0. Mặt phẳng (A0B0C0) cắt cạnh V SD tại D0. Gọi V 1
1, V2 lần lượt là thể tích của hai khối chóp S.A0 B0C0 D0 và S.ABCD. Tính tỉ số . V2 1 1 7 7 A. . B. . C. . D. . 24 12 12 24 GV
Câu 2.6.19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, cạnh bên SA vuông .
góc với mặt phẳng đáy, cạnh SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 300. Tính thể tích khối chóp L ê S.ABCD. √ √ √ √ a3 3 a3 2 a3 2 a3 2 Minh A. . B. . C. . D. . 3 4 2 3 √
Câu 2.6.20. Cho khối chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a 3, cạnh bên bằng 2a. Khi đó thể tích của khối chóp S.ABCD là: Cường √ √ √ √ a3 10 a3 10 a3 3 a3 3 A. VS.ABCD = . B. V . C. V . D. V . 2 S.ABCD = 4 S.ABCD = 6 S.ABCD = 12
Câu 2.6.21. Cho hình chóp S.ABC có SA⊥ (ABC) , SA = 2a, đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Kẻ -
AH⊥SB, AK⊥SC. Thể tích của khối chóp S.AHK là: √ √ √
fb.com/cuong.thayleminh.7 8a3 3 8a3 5a3 8 9a3 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 75 15 25 75
Câu 2.6.22. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = 2a,
CD = a. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60◦. Gọi I là trung điểm của AD. Biết
hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. √ √ √ 6a3 15 3a3 15 A. VS.ABCD = 6a3 3. B. VS.ABCD = . C. V . D. V 5 S.ABCD = 5 S.ABCD = 6a3.
Câu 2.6.23. Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B với AB = 3, BC = 4. Hai
mặt bên (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt đáy. Biết SC hợp với (ABC) góc 45◦. Thể tích
của khối cầu ngoại tiếp S.ABC là: √ √ √ √ 5π 2 25π 2 125π 3 125π 2 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 3 3 3 3
Câu 2.6.24. Cho hình chóp S.ABCD có mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD), đáy √
ABCD là hình vuông, AB = 2a, SA = a 3, SB = a. Gọi M là trung điểm CD. Thể tích của khối chóp S.ABCM là: √ √ √ √ a3 3 2a3 2 3a3 3 a3 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . - 2 3 2 4 01666658231
Câu 2.6.25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a, AD = a. Hình chiếu
của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của AB. Biết SC tạo với mặt đáy một góc 450. Thể
tích của khối chóp S.ABCD là: √ √ 2a3 2 a3 2a3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 2
Câu 2.6.26. Cho hình chóp S.ABCD, gọi G là trọng tâm tam giác SAB. Tính tỉ số thể tích của hai
khối chóp G.ABCD và S.ABCD. V 3 V 1 V 2 V 1 A. G.ABCD = . B. G.ABCD = . C. G.ABCD = . D. G.ABCD = . VS.ABCD 4 VS.ABCD 2 VS.ABCD 3 VS.ABCD 3
Câu 2.6.27. Cho hình chóp S.ABC, SA vuông góc mặt phẳng đáy, tam giác ABC vuông cân tại A, √
BC = 2 2a, SA = a. Tính thể tích khối chóp S.ABC. √ a3 3 2a3 A. . B. a3. C. 3a3. D. . 4 3 3
? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12
Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 40 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN
Câu 2.6.28. Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a,SA⊥(ABC). Cạnh bên SC
hợp với mặt đáy một góc 450. Tính thể tích khối chóp S.ABC. √ √ a3 3 a3 a3 2 a3 A. . B. . C. . D. . 12 6 2 3 √
Câu 2.6.29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng a 2. Tam giác SAB
cân tại S và mặt bên (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng
4 a3. Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC). 3 4 2 8 3 A. a. B. a. C. a. D. a. 3 3 3 4 √ 2 3a
Câu 2.6.30. Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), tam giác ABC đều cạnh , góc giữa mặt 3
bên (SBC) và (ABC) bằng 60◦. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) là: √ √ 01666658231 a 6 a a 3 √ - A. . B. . C. . D. a 3. 3 2 2
Câu 2.6.31. Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC. Gọi V là thể
tích của khối chóp S.ABC. Khi đó thể tích của khối chóp S.MNP là: V V V V A. . B. . C. . D. . 8 9 6 3 √
Câu 2.6.32. Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy có SA = a 3, AB = √
a, AC = a 3, BC = 2a. Thể tích khối chóp S.ABC là: √ √ √ a3 3 a3 a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 2 2 6 4 √
Câu 2.6.33. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có AB = 2a 3, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
60◦. Thể tích khối chóp S.ABC là: 9a3 3a3 A. . B. 3a3. C. 9a3. D. . 2 2
Câu 2.6.34. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a. Gọi I là trung
cuong11102@gmail.com điểm AC, tam giác SAC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối
- chóp S.ABC, biết góc giữa SB và mặt phẳng đáy bằng 450. √ √ √ √ 2a3 3a3 2a3 3a3 A. . B. . C. . D. . 12 12 4 4
Cường Câu 2.6.35. Cho tứ diện đều có cạnh bằng a, thể tích khối tứ diện bằng: √ √ √ √ a3 3 a3 3 a3 2 a3 2 A. . B. . C. . D. . 12 4 12 4
Câu 2.6.36. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 2a, SA ⊥ (ABC), góc
Minh giữa hai mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABC) bằng 450. Thể tích khối chóp S.ABC bằng: ê L a3 3a3 A. a3. B. 3a3. C. . D. . . 8 8
GV Câu 2.6.37. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, góc
giữa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng 600. Thể tích khối chóp S.ABCD bằng: √ √ √ √ a3 3 a3 3 πa3 3 πa3 3 A. . B. . C. . D. . 2 6 6 2
Câu 2.6.38. Cho khối lăng trụ tam giác đều, độ dài tất cả các cạnh bằng a. Tính thể tích khối lăng trụ đó.√ √ 2 2a3 a3 2a3 3a3 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 4
Thầy Lê Minh Cường - 01666658231
? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12
2.6 Các bài toán tổng hợp 41
Câu 2.6.39. Cho hình chóp tam giác đều S.ABCcó cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích khối chóp S.ABC. √ √ √ 11a3 11a3 a3 11a3 A. . B. . C. . D. . 96 4 3 12
Câu 2.6.40. Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD là hình chữ nhật, biết AB = 2a; AD = a. Hình GV
chiếu của S lên đáy là trung điểm H của cạnh AB, góc tạo bởi SC và đáy là 450. Tính thể tích khối . chóp S.ABCD. √ √ L 2 2a3 a3 2a3 3a3 ê A. . B. . C. . D. . 3 3 3 2 Minh
Câu 2.6.41. Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA⊥ (ABCD) và SB =
√3a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD √ √ √ 2a3 √ 2a3 2a3 Cường A. . B. 2a3 . C. . D. . 2 3 6 √ √
Câu 2.6.42. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC = a 2 và AC = a 3; √
cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a 2. Khoảng cách từ điểm A đến (SBC) - là bao nhiêu?
fb.com/cuong.thayleminh.7 2a 2a 2a A. d = √ . B. d = √ . C. d = √ . D. d = a. 7 6 5
Câu 2.6.43. Cho hình chóp tam giác S.ABC có [ ASB = d CSB = 60◦, [
ASC = 90◦, SA = SB = 1, SC = 3. 1
Gọi M là điểm trên cạnh SC sao cho SM = SC. Khi đó, thể tích của khối chóp S.ABM bằng √ √ 3 √ √ 6 3 2 2 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 36 36 12 4
Câu 2.6.44. Cho hình chóp S.ABC có d ASB = [ ASC = d
CSB = 600, SA = 3, SB = 6, SC = 9. Tính
khoảng cách d từ C đến mặt phẳng (SAB). √ √ √ 27 2 √ A. d = 9 6. B. d = 2 6. C. d = . D. d = 3 6. 2 √ √
Câu 2.6.45. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a 2 và cạnh bên bằng a 3. Tính
theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD. √ √ √ √ 2a3 2 a3 10 A. V = 2a3 3. B. V = 2a3 2. C. V = . D. V = . 3 6 -
Câu 2.6.46. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. Cạnh bên SA vuông góc với √ √ 01666658231
đáy (ABC). Cho biết AB = a; AC = a 3; SA = a 2. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC. √ a3 6 √ a3 a3 A. V = . B. V = a3 2. C. V = . D. V = . 3 4 3
Câu 2.6.47. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, [ ABC = 60o, SA = SB = √
SC = a 3. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD. √ √ √ a3 33 √ a3 2 a3 2 A. . B. a3 2 . C. . D. . 12 3 6
Câu 2.6.48. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng SM
đáy (ABCD) và SA = a. Điểm M thuộc cạnh SA sao cho
= k. Xác định k sao cho mặt phẳng SA
(BMC) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau. √ √ √ √ −1 + 3 −1 + 5 −1 + 2 1 + 5 A. k = . B. k = . C. k = . D. k = . 2 2 2 4
? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12
Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 42 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN
Câu 2.6.49. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với
mặt phẳng đáy, SA = a. Gọi M là trung điểm của cạnh CD. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SAB). √ √ a 2 A. a 2 . B. 2a . C. a . D. . 2
Câu 2.6.50. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a. Đường thẳng SA vuông góc với
mặt phẳng đáy, SA = 2a. Gọi N là trung điểm của AD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SN và CD. 2a √ √ 2a A. √ . B. a 5 . C. a 2 . D. √ . 5 3
Câu 2.6.51. Cho hình tứ diện SABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc; SA = 3a, SB = 2a, SC = a.
Tính thể tích khối tứ diện SABC. a3 01666658231 A. . B. 2a3 . C. a3 . D. 6a3 . 2
- Câu 2.6.52. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a, G là trọng tâm của tứ diện ABCD. Tính theo a
khoảng cách từ G đến các mặt của tứ diện. √ √ √ √ a 6 a 6 a 6 a 6 A. . B. . C. . D. . 9 6 3 12
Câu 2.6.53. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a, SA vuông góc với
mặt phẳng đáy (ABCD). Tính thể tích của khối chóp S.ABCD biết SB tạo với mặt phẳng đáy (ABCD) một góc 60o. √ √ 2a3 √ a3 3 2a3 3 A. √ . B. 2a3 3. C. . D. . 3 3 3 3
Câu 2.6.54. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BC = 2a, SA vuông
góc với mặt phẳng đáy (ABC). Tính thể tích khối chóp S.ABC biết SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 30o. √ √ √ √ a3 6 a3 6 2a3 6 a3 6 A. . B. . C. . D. . 9 3 3 6 cuong11102@gmail.com
- Câu 2.6.55. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 3a, SA vuông góc với
mặt phẳng đáy (ABCD) và SA = 3a. Thể tích của khối chóp S.ABCD là: A. 6a3. B. 9a3. C. 3a3. D. a3.
Câu 2.6.56. Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB và P là
Cường điểm trên cạnh SC sao cho PC = 2SP. Ký hiệu V1,V2 lần lượt là thể tích của hai khối chóp S.MNP V và S.ABC. Tính tỉ số 1 . V2 V1 4 V1 1 V1 1 V1 1 Minh A. = . B. = . C. = . D. = . V2 3 V2 8 V2 6 V2 12 ê
L Câu 2.6.57. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông canh a, cạnh bên SA vuông góc . √
với mặt đáy. Cho biết SC = a 5. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.BCD. √ √ √ √ GV a3 5 a3 3 a3 3 a3 5 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 3 3 6 6 √
Câu 2.6.58. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy (ABC), biết AB = a; SA = a 3.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB và M là trung điểm của SC. Ký hiệu V1, V2 lần lượt là V
thể tích của hai khối chóp S.AHM và S.ABC. Tính tỉ số 1 . V2 V 4 V 5 V 5 V 3 A. 1 = . B. 1 = . C. 1 = . D. 1 = . V2 9 V2 12 V2 8 V2 8
Thầy Lê Minh Cường - 01666658231
? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12
2.6 Các bài toán tổng hợp 43
Câu 2.6.59. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Cạnh bên SA vuông góc √ √
với đáy (ABC). Cho biết AB = a; CA = a 3; SA = a 2. Gọi M là trung điểm của SB, N là điểm 1
trên cạnh SC sao cho SN = NC. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.AMN. √ 3 √ √ √ a3 2 a3 3 a3 6 a3 6 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . GV 16 36 36 48
Câu 2.6.60. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a. Cạnh SA .
vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SC và mặt phẳng đáy bằng 60o. Thể tích khối chóp S.BDC L ê là: √ √ √ a3 15 2a3 15 √ a3 15 Minh A. . B. . C. a3 15 . D. . 3 3 9
Câu 2.6.61. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Cạnh bên SA vuông góc √ √
với đáy (ABC), biết AB = a; AC = a 3; SA = a 2. Gọi M là trung điểm của SB, N là hình chiếu Cường
vuông góc của A trên SC. Tính theo a thể tích V của khối chóp A.BCNM. √ √ √ √ a3 6 2a3 6 a3 6 a3 6 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 30 15 12 8
Câu 2.6.62. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên hợp với mặt đáy -
một góc 600. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. √ √ √ √
fb.com/cuong.thayleminh.7 a 6 a 6 a 6 a 6 A. R = . B. R = . C. R = . D. R = . 3 4 6 2
Câu 2.6.63. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, mặt bên SAD là tam giác đều
cạnh a và mặt phẳng (SAD) vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD. √ √ √ √ a3 3 a3 3 a3 3 a3 6 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 9 4 6 4
Câu 2.6.64. Cho hình chóp S.ABC có thể tích là V. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của cạnh
SA, SB. Điểm P thuộc cạnh SC sao cho SP = 2PC. Thể tích khối S.MNP bằng: V V V V A. . B. . C. . D. . 5 4 6 3
Câu 2.6.65. Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = 1 (m), SB = 2 (m),
SC = 3 (m). Thể tích khối chóp S.ABC là: A. 3(m3) . B. 6(m3) . C. 2(m3) . D. 1(m3) .
Câu 2.6.66. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Các mặt bên (SAB), (SAC) cùng
vuông góc với đáy (ABC); Góc giữa SB với (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC. 3a3 a3 a3 a3 A. . B. . C. . D. . - 4 2 4 12 01666658231
Câu 2.6.67. Cho hình chóp đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a; Mặt bên tạo với đáy
một góc 600. Khi đó khoảng cách từ A đến (SBC) là √ √ a 3 a 2 √ 3a A. . B. . C. a 3. D. . 2 2 4
Câu 2.6.68. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, SA vuông góc với đáy,
SA = a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC bằng: √ √ √ √ 2a 21 a 21 a 14 2a 21 A. . B. . C. . D. . 7 7 7 7
Câu 2.6.69. Cho hình chóp S.MNPQ có đáy MNPQ là hình chữ nhật, hai mặt phẳng (SMN)
và (SMQ) cùng vuông góc với mặt phẳng (MNPQ), góc giữa đường thẳng SN và mặt phẳng
(MNPQ) bằng 600, biết MN = a, MQ = 2a, với a là số thực dương. Khi đó tính theo a, khoảng
cách giữa hai đường thẳng SP và NQ bằng: √ √ √ √ a 93 2a 57 a 93 2a 93 A. . B. . C. . D. . 62 19 31 31
? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12
Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 44 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN
Câu 2.6.70. Cho hình chóp tam giác S.MNP có đáy MNP là tam giác đều cạnh bằng a, SM vuông
góc với mặt phẳng (MNP), biết SM = 3a, với 0 < a ∈ R. Khi đó tính theo a, thể tích của khối chóp tam giác S.MNP bằng: √ √ √ √ a3 3 a3 3 3a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 2 12 4 4
Câu 2.6.71. Cho hình chóp tứ giác S.MNPQ có đáy MNPQ là hình chữ nhật, SM vuông góc với
mặt phẳng (MNPQ), biết MN = a, MQ = 2a, SM = a, với 0 < a ∈ R. Khi đó tính theo a, thể tích
của khối chóp tứ giác S.MNPQ bằng: a3 4a3 2a3 A. . B. 2a3. C. . D. . 3 3 3
Câu 2.6.72. Cho hình chóp tứ giác đều S.EFGH có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng a, với
0 < a ∈ R. Khi đó tính theo a, thể tích của khối chóp tứ giác đều S.EFGH bằng: √ √ 01666658231 a3 a3 2 a3 2 - A. . B. a3. C. . D. . 3 6 3
Câu 2.6.73. Cho tứ diện MNPQ biết mặt phẳng (MNP) vuông góc với mặt phẳng (NPQ), tam √
giác MNP là tam giác đều, tam giác NPQ vuông cân tại N, PQ = 2a 2, với 0 < a ∈ R. Khi đó tính
theo a, thể tích của khối tứ diện MNPQ bằng: √ √ √ a3 6 √ a3 3 2a3 3 A. . B. 2a3 3. C. . D. . 6 12 3
Câu 2.6.74. Cho hình chóp tứ giác S.MNPQ có đáy MNPQ là hình chữ nhật, SM vuông góc
với mặt phẳng (MNPQ), MN = a, MQ = 2a (với 0 < a ∈ R), góc giữa hai mặt phẳng (SNP) và
(MNPQ) bằng 600. Khi đó tính theo a, thể tích của khối chóp tứ giác S.MNPQ bằng: √ √ √ 2a3 3 √ a3 3 2a3 3 A. . B. 2a3 3. C. . D. . 9 3 3
Câu 2.6.75. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy
(ABCD). Biết góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 60◦, tính thể tích khối chóp S.ABCD. √ √ √ cuong11102@gmail.com 3a3 √ 2a3 6a3 - A. . B. 3a3. C. . D. . 6 3 3
Câu 2.6.76. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, SA = 2. Hai mặt phẳng
(SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt đáy. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là: 13π 11π 16π 8π Cường A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3
Câu 2.6.77. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB = a, SA vuông góc với a3
Minh mặt đáy. Thể tích khối chóp S.ABC bằng . Khi đó góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) 6 ê bằng: L . A. 45o . B. 120o . C. arctan 2 . D. 60o .
GV Câu 2.6.78. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AB = a, SA vuông góc với mặt √ √
phẳng đáy, SA = a 2, SC = a 3. Khoảng cách giữa SA và BC là: √ √ √ a 3 a 2 a 2 A. . B. . C. a . D. . 2 2 3
Câu 2.6.79. Cho hình chóp S.ABC có SA = 20(cm), SB = 10(cm), SC = 30(cm). Khối chóp S.ABC
có thể tích lớn nhất bằng: A. 3000 (cm3) . B. 6 (dm3) . C. 2000 (cm3) . D. 1000 (cm3) .
Thầy Lê Minh Cường - 01666658231
? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12
2.6 Các bài toán tổng hợp 45 2.6.0.2 Khối lăng trụ tam giác
Câu 2.6.80. Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0 có đáy tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của
C lên mặt phẳng A0B0C0 là trung điểm của B0C0, góc giữa cạnh bên CC0 và mặt phẳng đáy bằng
45o. Khi đó thể tích khối lăng trụ là:: √ √ √ √ a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . GV 24 12 8 4 √ .
Câu 2.6.81 (THTT Lần 3). Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A0B0C0 có cạnh đáy bằng a 2 và L
mỗi mặt bên có diện tích bằng 4a2. Thể tích khối lăng trụ đó là: √ √ ê √ 2a3 6 √ a3 6 Minh A. 2a3 6. B. . C. a3 6. D. . 3 2
Câu 2.6.82. Lăng trụ ABC.A0B0C0 có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A0 lên
(ABC) là trung điểm của BC. Góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy là 600. Khoảng cách từ điểm C0 Cường
đến mặt phẳng (ABB0 A0) là √ √ √ √ 3a 13 3a 13 3a 10 a 3 A. . B. . C. . D. . 13 26 20 2 √
Câu 2.6.83. Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có cạnh bên bằng a 3 và cạnh đáy bằng a - là:
fb.com/cuong.thayleminh.7 a3 3a3 a3 A. . B. . C. . D. a3. 4 4 3
Câu 2.6.84. Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A0B0C0 có diện tích các mặt bên ABB0 A0, BCC0B0, CAA0C0
lần lượt bằng 63cm2, 84cm2, 105cm2. Tam giác ABC là tam giác gì ?
A. Tam giác có một góc bằng 60◦.
B. Tam giác vuông tại B.
C. Tam giác vuông cân tại C.
D. Tam giác cân tại A.
Câu 2.6.85. Cho lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C, AB = AA0 = √
a 2. Thể tích khối lăng trụ bằng: √ √ √ a3 2 a3 2 √ a3 2 A. . B. . C. a3 2. D. . 2 4 6
Câu 2.6.86. Cho lăng trụ ABCA0B0C0, đáy là tam giác đều cạnh bằng a, tứ giác ABB0 A0 là hình √ a 3 thoi, \ A0 AC = 600,B0C =
. Tính thể tích lăng trụ ABCA0B0C0 √ 2 √ √ √ 3a3 3 3a3 3a3 3 3a3 A. . B. . C. . D. . 16 16 4 4
Câu 2.6.87. Biết thể tích của hình chóp S.ABC là VS.ABC = 5a3. Thể tích của hình lăng trụ SDE.ABC - là bao nhiêu ? 01666658231 10a3 5a3 A. VSDE.ABC = 10a3. B. VSDE.ABC = . C. V . D. V 3 SDE.ABC = 3 SDE.ABC = 15a3.
Câu 2.6.88. Cho hình lăng trụ tam giác đều có các mặt bên là hình vuông, độ dài cạnh đáy bằng a.
Thể tích của khối lăng trụ đó là bao nhiêu? √ √ a3 3 a3 a3 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = a3. 4 4 12
Câu 2.6.89. Tính theo a thể tích khối lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân
tại A, mặt bên BCC0B0 là hình vuông cạnh 2a. √ 2a3 A. a3. B. a3 2. C. . D. 2a3. 3
Câu 2.6.90. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A0B0C0 có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính theo a thể tích V của lăng trụ. √ √ √ √ a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 2 4 6 12
? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12
Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 46 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN
Câu 2.6.91. Cho lăng trụ ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc √
của A0 trên mặt đáy (ABC) là trọng tâm G của tam giác ABC. Cho biết cạnh bên bằng a 3. Tính
theo a thể tích V của khối tứ diện ABCC0. √ √ √ √ a3 2 a3 2 a3 2 a3 2 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 6 4 3 2
Câu 2.6.92. Cho một hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều. Thể tích của hình lăng trụ là V.
Để diện tích toàn phần của hình lăng trụ nhỏ nhất thì cạnh đáy của lăng trụ là √ √ √ √ A. 3 4V. B. 3 V. C. 3 2V. D. 3 6V.
Câu 2.6.93. Cho hình lăng trụ tam giác EFG.E0F0G0 có đáy EFG là tam giác đều cạnh bằng a (với
0 < a ∈ R), hình chiếu vuông góc của điểm E0 trên mặt phẳng (EFG) trùng với trung điểm H của
đoạn FG, biết góc giữa đường thẳng EE0 và mặt phẳng (EFG) bằng 600. Khi đó tính theo a, thể
tích của khối lăng trụ tam giác EFG.E0F0G0 bằng: √ √ √ √ a3 3 3a3 3 3a3 3 a3 3 01666658231 A. . B. . C. . D. . - 8 4 8 4
Câu 2.6.94. Cho lăng trụ xiên ABC.A0B0C0; ∆ABC vuông tại A, AB = a, A0 A = BC = 2a. Biết A0
cách đều các đỉnh của ∆ABC. Thể tích khối lăng trụ đã cho là: √ √ 3 5a3 3a3 √ 3a3 A. . B. . C. a3 3. D. . 2 2 2
Câu 2.6.95. Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0 và M là trung điểm của CC0. Gọi khối đa diện (H) là
phần còn lại của khối lăng trụ ABC.A0B0C0 sau khi cắt bỏ đi khối chóp M.ABC.Tỷ số thể tích của
(H) và khối chóp M.ABC là: 1 1 A. . B. 6. C. . D. 5. 6 5
Câu 2.6.96. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có cạnh bên bằng a, đáy là tam giác vuông tại A, √
BC = 2a,AB = a 3. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A0BC) là: √ √ √ √ a 7 a 21 a 21 a 3 A. . B. . C. . D. . 21 7 21 7
Câu 2.6.97. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, khoảng cách cuong11102@gmail.com
- từ điểm A đến đường thẳng B0C0 bằng 2a. Thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0 là: √ √ √ a3 39 a3 13 3a3 a3 39 A. . B. . C. . D. . 24 8 4 8 2.6.0.3 Khối hộp
Cường Câu 2.6.98. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A0B0C0D0 có cạnh đáy bằng a, đường chéo AC0 tạo
với mặt phẳng (BCC0B0) một góc α(00 < α < 450). Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A0B0C0D0. √ √ √ √
A. a3 cot2 α + 1.
B. a3 cot2 α − 1. C. a3 cot 2α.
D. a3 tan2 α − 1.
Minh Câu 2.6.99. Tính thể tích khối lập phương có đường chéo bằng 3a √ ê 27a3 2 √ √ L A. . B. a3 3 . C. 3a3 3 . D. a3 . 4
. Câu 2.6.100. Cho một hình hộp với 6 mặt đều là các hình thoi cạnh a, góc nhọn bằng 600. Khi đó
GV thể tích của khối hộp là: √ √ √ √ a3 3 a3 2 a3 3 a3 2 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 3 3 2 2
Câu 2.6.101. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Gọi M là trung điểm của A0B0, Vlà thể tích khối hộp V
ABCD.A0B0C0D0, V0 là thể tích khối chópM.ACD. Tính tỉ số . V0 V V V V A. = 12. B. = 4. C. = 6. D. = 8. V0 V0 V0 V0
Thầy Lê Minh Cường - 01666658231
? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12
2.6 Các bài toán tổng hợp 47
Câu 2.6.102. Tính thể tích khối lăng trụ đứng tứ giác ABCD.A0B0C0D0 có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, CC0 = a, góc [ ABC = 120o. √ √ √ a3 3 a3 3 √ a3 3 A. . B. . C. a3 3. D. . 3 4 2
Câu 2.6.103. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0, AB = 2BC = 2a, AB0 = 4a. Tính thể tích GV
khối hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0. √ √ . 6 3 √ √ A. a3. B. a3. C. 6a3. D. 4 3a3. L 3 3 ê
Câu 2.6.104. Cho một hình lập phương. Biết rằng nếu cộng mỗi cạnh của hình lập phương thêm 5 Minh
cm thì thể tích của khối lập phương tăng thêm 2015cm3. Thể tích của khối lập phương tạo bởi hình lập phương đã cho là: A. 512cm3. B. 125cm3. C. 729cm3. D. 343cm3. Cường
Câu 2.6.105. Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh bằng a. Tính thể tích của tứ diện ACDB √ √ 6a3 2a3 a3 a3 A. . B. . C. . D. . 4 3 4 3
Câu 2.6.106. Diện tích ba mặt chung một đỉnh của một khối hộp chữ nhật lần lượt là 24(cm2); 28(cm2); -fb.com/cuong.thayleminh.742(cm2).
Tính thể tích V của khối hộp trên. A. V = 94(cm3). B. V = 188(cm3). C. V = 168(cm3). D. V = 336(cm3).
Câu 2.6.107. Cho lăng trụ đứng ABCD.A0B0C0D0 có đáy ABCD là hình chữ nhật, AA0 = AB = a, a
khoảng cách giữa AA0 và D0C0 bằng . Thể tích khối lăng trụ ABCD.A0B0C0D0 là: √ 2 √ a3 a3 3 a3 3 a3 A. . B. . C. . D. . 2 2 3 6
Câu 2.6.108. Khi người ta gọt một khối lập phương bằng gỗ để lấy khối tám mặt đều nội tiếp nó (
tức là khối có các đỉnh là các tâm của các mặt khối lập phương). Biết các cạnh của khối lập phương
bằng a. Hãy tính thể tích của khối tám mặt đều đó. a3 a3 a3 a3 A. . B. . C. . D. . 8 12 4 6
Câu 2.6.109. Cho hình hộp MNPQ.M0N0P0Q0 có đáy MNPQ là hình vuông cạnh bằng a (với
0 < a ∈ R), hình chiếu vuông góc của điểm M0 trên mặt phẳng (MNPQ) trùng với tâm I của hình
vuông MNPQ, biết góc giữa hai mặt phẳng (MM0Q0Q) và (MNPQ) bằng 600. Khi đó tính theo a,
thể tích của khối hộp MNPQ.M0N0P0Q0 bằng: √ √ √ a3 3 a3 3 √ a3 6 A. . B. . C. a3 3. D. . - 6 2 2 01666658231 √
Câu 2.6.110. Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 có diện tích mặt chéo ACC0 A0 bằng 2 2a2.
Thể tích của khối lập phương là: √ √ A. 2 2a3. B. 2a3. C. 2a3. D. a3. 2.6.1 Tổng hợp
Câu 2.6.111. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với
đáy (ABC). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB và P là hình chiếu vuông góc của A lên
SC. Tính thể tích V của khối chóp S.MNP. √ √ √ √ 3 3 3 3 A. a3. B. a3. C. a3. D. a3. 30 6 15 10
Câu 2.6.112. Cho hình chóp S.ABC có SA = 2, SB = 4, SC = 6, các góc ở đỉnh S của các mặt bên
bằng nhau và bằng 60◦. Tính thể tích V của khối chóp. √ √ 4 2 √ 2 √ A. V = . B. V = 2 2. C. V = . D. V = 4 2. 3 9
? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12
Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 48 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN
Câu 2.6.113. Cho biết thể tích của một khối hộp chữ nhật là V, đáy là hình vuông cạnh a. Khi đó
diện tích toàn phần của hình hộp bằng 2V V 2V V A. 2 + a2 . B. 2 + a2 . C. 2 + a . D. 4 + a2 . a a a2 a
Câu 2.6.114. Cho hình chóp S.ABC có thể tích V. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của SB và SC.
Tính thể tích của khối chóp S.AHK theo V. 1 1 1 1 A. VS.AHK = V. B. V V. C. V V. D. V V. 2 S.AHK = 4 S.AHK = 12 S.AHK = 6
Câu 2.6.115. Cho khối lập phương ABCD.A0B0C0D0 có cạnh là a. Tính thể tích khối chóp tứ giác D.ABC0D0. √ √ a3 a3 2 a3 2 a3 A. . B. . C. . D. . 3 6 3 4
Câu 2.6.116. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 1, AD = 2, SA vuông 01666658231
- góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SA = 2. Điểm M trên cạnh SA sao cho mặt phẳng (MBC) chia
khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính diện tích S của tam giác MAC. √ √ √ √ 3 5 − 5 5 5 5 − 5 A. S = . B. S = . C. S = . D. S = . 2 2 3 4
Câu 2.6.117. Cho khối hộp ABCD.A0B0C0D0. Gọi M thuộc cạnh AB sao cho MB = 2MA. Mặt
phẳng (MB0D0) chia khối hộp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó. 5 7 13 5 A. . B. . C. . D. . 12 17 41 17
Câu 2.6.118. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng
2a. Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Tính thể tích V của khối chóp S.ABI. √ √ √ √ a3 11 a3 11 a3 11 a3 11 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 12 24 8 6
Câu 2.6.119. Với mỗi đỉnh của hình lập phương, xét tứ diện xác định bởi đỉnh ấy và các trung điểm
của ba cạnh cùng xuất phát từ đỉnh ấy. Khi ta cắt bỏ các khối tứ diện này thì tỉ số thể tích phần còn
lại so với khối lập phương bằng cuong11102@gmail.com 3 39 5 4 - A. . B. . C. . D. . 4 50 6 5
Câu 2.6.120. Tính thể tích V của khối lăng trụ đều ABC.A0B0C0 biết AB = a và AB0 = 2a. √ √ √ a3 3 a3 3 a3 3 3a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 12 4 2 4
Cường Câu 2.6.121. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh
SB, BC, CD. Tính thể tích V của khối tứ diện CMNP. √ √ √ √ Minh a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . ê 72 54 96 48 L
. Câu 2.6.122. Cho hình chóp đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của
SA và SC. Biết rằng BM ⊥ DN . Tính thể tích V của khối nón nội tiếp hình chóp đều S.ABCD. √ √ GV 1 a3π 10 a3π 10 a3π A. V = πa3. B. V = . C. V = . D. V = . 3 24 8 24
Câu 2.6.123. Cho khối chóp S.ABCD có thể tích là V và đáy là hình bình hành. Gọi M là trung
điểm của cạnh SA, N là điểm nằm trên cạnh SB sao cho SN = 2NB. Mặt phẳng (α) di động đi qua
các điểm M, N và cắt các cạnh SC, SD lần lượt tại hai điểm phân biệt K, Q. Tính giá trị lớn nhất
của thể tích khối chóp S.MNKQ theo V. V V 3V 2V A. . B. . C. . D. . 2 3 4 3
Thầy Lê Minh Cường - 01666658231
? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12
2.6 Các bài toán tổng hợp 49
Câu 2.6.124. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a, mặt bên SAB là tam
giác vuông cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng √
a3 3. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) bằng 12 √ √ √ a 3 √ 2a 3 a 3 A. . B. a 3. C. . D. . GV 2 3 4 Câu 2.6.125. . A0 D0 L ê Minh
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 có thể tích bằng C0 B0
48. Tính thể tích phần chung của hai khối chóp A.B0CD0 và A0.BC0D. A. 10. B. 12. C. 8. D. 6. A D Cường B C √ 4a 3 -
Câu 2.6.126. Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0, khoảng cách từ C0 đến (A0BD) bằng . 2
fb.com/cuong.thayleminh.7
Tính theo a thể tích V của khối lập phương ABCD.A0B0C0D0. √ √ A. V = 8a3. B. V = 3 3a3. C. V = 8 3a3. D. V = 216a3.
Câu 2.6.127. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0 có thể tích V0. Gọi P là một điểm trên đường
thẳng AA0. Tính thể tích khối chóp tứ giác P.BCC0B0 theo V0. 2V V V V A. 0 . B. 0 . C. 0 . D. 0 . 3 2 3 4
Câu 2.6.128. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác vuông, AB = AC = a, √
cạnh bên BB0 = a 2. Gọi M là trung điểm của AC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng A0C và BM là 4a a 3a 2a A. √ . B. √ . C. √ . D. √ . 7 7 7 7
Câu 2.6.129 (THPTQG 2017). Cho khối lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a, [
BAC = 120◦, mặt phẳng (AB0C0) tạo với đáy một góc 60◦. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. 3a3 9a3 a3 3a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 8 8 8 4 - 2.6.1. B | 2.6.2. D | 2.6.3. D | 2.6.4. D | 2.6.5. A | 2.6.6. C | 2.6.7. A | 2.6.8. D | 01666658231 2.6.9.
A | 2.6.10. A | 2.6.11. A | 2.6.12. A | 2.6.13. C | 2.6.14. C | 2.6.15. B | 2.6.16. B |
2.6.17. D | 2.6.18. A | 2.6.19. D | 2.6.20. A | 2.6.21. A | 2.6.22. C | 2.6.23. D | 2.6.24. A |
2.6.25. A | 2.6.26. D | 2.6.27. D | 2.6.28. A | 2.6.29. A | 2.6.30. C | 2.6.31. A | 2.6.32. B |
2.6.33. B | 2.6.34. A | 2.6.35. C | 2.6.36. A | 2.6.37. B | 2.6.38. D | 2.6.39. D | 2.6.40. A |
2.6.41. C | 2.6.42. B | 2.6.43. C | 2.6.44. D | 2.6.45. C | 2.6.46. D | 2.6.47. C | 2.6.48. B |
2.6.49. C | 2.6.50. A | 2.6.51. C | 2.6.52. D | 2.6.53. D | 2.6.54. B | 2.6.55. B | 2.6.56. D |
2.6.57. C | 2.6.58. D | 2.6.59. D | 2.6.60. A | 2.6.61. B | 2.6.62. A | 2.6.63. C | 2.6.64. C |
2.6.65. D | 2.6.66. C | 2.6.67. D | 2.6.68. B | 2.6.69. D | 2.6.70. D | 2.6.71. D | 2.6.72. A |
2.6.73. D | 2.6.74. D | 2.6.75. D | 2.6.76. C | 2.6.77. A | 2.6.78. B | 2.6.79. D | 2.6.80. D |
2.6.81. C | 2.6.82. A | 2.6.83. B | 2.6.84. B | 2.6.85. A | 2.6.86. B | 2.6.87. D | 2.6.88. A |
2.6.89. D | 2.6.90. B | 2.6.91. A | 2.6.92. A | 2.6.93. C | 2.6.94. D | 2.6.95. C | 2.6.96. B |
2.6.97. D | 2.6.98. B | 2.6.99. C | 2.6.100. C | 2.6.101. C | 2.6.102. D | 2.6.103. D | 2.6.104. C |
2.6.105. D | 2.6.106. C | 2.6.107. A | 2.6.108. B | 2.6.109. B | 2.6.110. A | 2.6.111. A | 2.6.113. A |
2.6.114. B | 2.6.115. A | 2.6.116. A | 2.6.117. C | 2.6.118. B | 2.6.119. C | 2.6.120. D | 2.6.121. C |
2.6.122. B | 2.6.123. B | 2.6.124. A | 2.6.125. C | 2.6.126. A | 2.6.127. A | 2.6.128. B | 2.6.129. A |
? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12
Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 50 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN 2.7 Vận dụng thực tế
Câu 2.7.1. Người ta muốn mạ vàng cho bề mặt phía ngoài của một hộp dạng hình hộp đứng không
nắp trên, có đáy là một hình vuông. Tìm chiều cao h của hình hộp để lượng vàng dùng để mạ là ít
nhất, biết rằng lớp mạ vàng ở mọi mặt là như nhau, giao giữa các mặt là không đáng kể và thể tích khối hộp là 13, 5 dm3. 1 27 3 A. h = 3. B. h = . C. h = . D. h = . 2 2 2 Câu 2.7.2.
Người ta muốn xây một bồn chứa nước dạng khối hộp 1dm
chữ nhật trong một phòng tắm. Biết chiều dài, chiều
rộng, chiều cao của khối hộp đó là 5m, 1m, 2m (hình vẽ 1dm VH
bên). Biết mỗi viên gạch có chiều dài 20cm, chiều rộng VH
10cm, chiều cao 5cm. Hỏi người ta phải sử dụng ít nhất 2m
01666658231 bao nhiêu viên gạch để xây bồn đó và thể tích thực của
- bình chứa bao nhiêu lít nước? (Giả sử xi măng và cát 1m không đáng kể). 5m
A. 1182 viên , 8800 lít. B. 1180 viên , 8820 lít.
C. 1180 viên , 8800 lít.
D. 1182 viên , 8820 lít.
Câu 2.7.3. Chiều dài bé nhất của cái thang AB để có thể tựa vào tường AC và mặt đất BC, ngang
qua cột đỡ DH cao 4m, song song và cách tường CH = 0, 5m là: A. Xấp xỉ 5, 602m. B. Xấp xỉ 6, 5902m. C. Xấp xỉ 5, 4902m. D. Xấp xỉ 5, 5902m.
Câu 2.7.4. Người ta cần xây một hồ bơi với dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích là
500 m3. Đáy hồ là một hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê công nhân để xây 3
hồ được tính theo mét vuông ( gồm đáy hồ và bốn mặt bên của hồ). Để chi phí thuê công nhân cuong11102@gmail.com
- thấp nhất thì cần xây bờ hồ có chiều rộng bằng bao nhiêu. A. 5m. B. 4m. C. 10m. D. 12m.
Câu 2.7.5 (THTT Lần 5). Một viên đá có dạng khối chóp tứ giác đều với tất cả các cạnh bằng nhau
và bằng a. Người ta cưa viên đá đó theo mặt phẳng song song với mặt đáy của khối chóp để chia
viên đá thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính diện tích thiết diện viên đá bị cưa bởi mặt
Cường phẳng nói trên a2 a2 a2 A. √ . B. √ . C. √ . D. Kết quả khác. 3 3 2 3 4
Minh Câu 2.7.6. Cho một tấm nhôm hình chữ nhật ABCD có AD = 90cm. Ta gập tấm nhôm theo 2 cạnh
ê MN và PQ vào phía trong đến khi AB và DC trùng nhau như hình vẽ dưới đây để được một hình L
. lăng trụ đứng khuyết 2 đáy. Tìm x để thể tích khối lăng trụ là lớn nhất. B M Q C M Q GV A. x = 25. B C B. x = 40. C. x = 30. D. x = 32. x x N P A N P D A D
Thầy Lê Minh Cường - 01666658231
? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 2.7 Vận dụng thực tế 51 Câu 2.7.7.
Cho hình vẽ như hình bên. Một con quạ muốn uống nước trong
cốc có dạng hộp chữ nhật (không có nắp) với đáy là hình vuông
cạnh bằng 5 cm. Mực nước trong cốc đang có chiều cao 5 cm. Vì
vậy, con quạ chưa thể uống được. Để uống được nước thì con
quạ cần thả các viên bi đá vào cốc sao cho mực nước dâng cao GV
thêm 1 cm nữa. Biết rằng các viên bi là hình cầu có đường kính .
1 cm, chìm hoàn toàn trong nước và có số lượng đủ dùng. Hỏi L
con quạ cần thả ít nhất mấy viên bi vào cốc để có thể uống được ê nước? Minh A. 48 viên. B. 6 viên. C. 76 viên. D. 24 viên.
Câu 2.7.8. Cho hai số phức z1 = 4 − 2i, z2 = −2 + i. Mô-đun của số phức z1 + z2 bằng √ √ A. 3. B. 5. C. 3. D. 5. Cường Câu 2.7.9.
Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm. Người ta cắt ở bốn góc
của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có - fb.com/cuong.thayleminh.7
cạnh bằng x (cm), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ bên để được một
cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất. A. x = 2. B. x = 4. C. x = 6. D. x = 3.
Câu 2.7.10. Nếu tăng độ dài cạnh hình lập phương gấp 4 lần thì được hình lập phương mới có thể
tích hơn thể tích hình lập phương ban đầu là 1701 m3. Cạnh của hình lập phương ban đầu bằng √ √ A. 3 576 m . B. 3 m . C. 3 3 m . D. 6 m .
Câu 2.7.11. Cho một tấm nhôm hình chữ nhật ABCD có AD = 60 cm. Ta gập tấm nhôm theo hai
cạnh MN và PQ vào phía trong đến khi AB và DC trùng nhau, với AN = PD (như hình vẽ dưới
đây) để được một hình lăng trụ. Tìm độ dài đoạn AN để thể tích khối lăng trụ lớn nhất. B M Q C M Q B ≡ C A N P D N P - 01666658231 60 cm A ≡ D 15 A. AN = 39 cm . B. AN = 20 cm . C. AN = cm . D. AN = 15 cm . 2 Câu 2.7.12.
Một hộp nữ trang (xem hình vẽ) có mặt bên
ABCDE với ABCE là hình chữ nhật, cạnh cong CDE
là một cung của đường tròn có tâm là trung điểm M √ D
của đoạn thẳng AB. Biết AB = 12 3 cm, BC = 6cm Q
và BQ = 8cm. Tính thể tích của hộp nữ trang. √ E C
A. 216(3 3 + 4π)cm3. √ 6 18
B. 216(3 3 − 4π)cm3. √
C. 261(3 3 + 4π)cm3. √ A M B D. 261(3 3 − 4 √ π)cm3. 12 3
? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12
Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 52 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN Câu 2.7.13.
Bên cạnh con đường trước khi vào thành phố người ta S
xây một ngọn tháp đèn lộng lẫy. Ngọn tháp hình chóp
tứ giác đều S.ABCD cạnh bên SA = 600 m, [ ASB = 15◦.
Do sự cố đường dây điện tại điểm Q (là trung điểm đoạn Q
SA) bị hỏng, người ta tạo ra một con đường từ A đến P
Q gồm bốn đoạn thẳng AM, MN, NP, PQ (như hình vẽ).
Để tiết kiệm chi phí, kỹ sư đã nghiên cứu và có được A
chiều dài con đường từ A đến Q ngắn nhất. Tính tỷ số D N AM + MN k = . NP + PQ M 3 4 5 C A. k = . B. k = . C. k = . D. k = 2. B 2 3 3
Câu 2.7.14. Một viên đá có hình dạng là khối chóp tứ giác đều với tất cả các cạnh bằng nhau và 01666658231
- bằng a. Người ta cắt khối đá đó bởi mặt phẳng song song với đáy của khối chóp để chia khối đá
thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính diện tích của thiết diện khối đá bị cưa bởi mặt phẳng
nói trên. (Giả thiết rằng tổng thể tích của hai khối đá sau vẫn bằng thể tích của khối đá ban đầu) 2a2 a2 a2 a2 A. √ . B. √ . C. . D. √ . 3 3 2 4 3 4
Câu 2.7.15. Hai bạn X và Y có hai miếng bìa hình chữ nhật có chiều dài bằng a, chiều rộng bằng b.
Bạn X cuộn tấm bìa theo chiều dài cho hai mép sát nhau rồi dùng băng dính dán lại được một mặt
xung quanh của một hình trụ và khối trụ này có thể tích V1 (khi đó chiều rộng của tấm bìa là chiều
cao của hình trụ). Bạn Y cuộn tấm bìa theo chiều rộng theo cách tương tự trên để được một mặt V
xung quanh hình trụ và khối trụ này có thể tích V 1 2. Tính tỉ số . V2 V b V V V a A. 1 = . B. 1 = 1. C. 1 = ab. D. 1 = . V2 a V2 V2 V2 b 2.7.1. D | 2.7.2. B | 2.7.3. D | 2.7.4. A | 2.7.5. D | 2.7.6. C | 2.7.7. A | 2.7.8. B | 2.7.9.
A | 2.7.10. B | 2.7.11. B | 2.7.12. A | 2.7.13. D | 2.7.14. D | 2.7.15. D | cuong11102@gmail.com - Cường Minh ê L . GV
Thầy Lê Minh Cường - 01666658231
? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12
Document Outline

Li nói u
KHI ÐA DIN
- Khái nim khi a din
- Công thc th tích n gian
- Th tích có tính toán thêm mt yu t
- Th tích cua khi có cha góc
- Tính th tích và khoang cách gián tip
- Các bài toán tng hp
- Vn dung thc t

Tài liệu tự học chuyên đề đa diện và thể tích khối đa diện – Lê Minh Cường Toán 12

Thông tin :

Tài liệu liên quan:

Chuyên Đề Thể Tích Khối Đa Diện Có Yếu Tố Góc Ôn Thi Tốt Nghiệp THPT Có Đáp Án Và Lời Giải

10 Đề Trắc Nghiệm Ôn Tập Chương Khối Đa Diện Hình 12 Có Đáp Án

TOP 600 bài tập chọn lọc khối tròn xoay – Lê Minh Tâm Toán 12

Phương pháp giải các bài toán HH không gian trong đề thi Quốc gia Toán 12

Các bài tập khối đa diện trong đề thi Đại học Toán 12