Thể tích khối đa diện phức hợp (VDC) – Đặng Việt Đông Toán 12

Tài liệu gồm 52 trang, được tổng hợp bởi thầy Đặng Việt Đông, hướng dẫn giải bài toán thể tích khối đa diện phức hợp, đây là một lớp bài toán vận dụng cao (VDC) thường gặp trong đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán.Mời bạn đọc đón xem.

Chủ đề:

Chương 1: Khối đa diện 172 tài liệu

Môn:

Toán 12 3.8 K tài liệu

Thông tin:
53 trang 1 năm trước
Tác giả:
L
Lan Tường
docx.com.vn

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Thể tích khối đa diện phức hợp (VDC) – Đặng Việt Đông Toán 12

Tài liệu gồm 52 trang, được tổng hợp bởi thầy Đặng Việt Đông, hướng dẫn giải bài toán thể tích khối đa diện phức hợp, đây là một lớp bài toán vận dụng cao (VDC) thường gặp trong đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán.Mời bạn đọc đón xem.

37 19 lượt tải Tải xuống

Chủ đề: Chương 1: Khối đa diện 172 tài liệu

Môn: Toán 12 3.8 K tài liệu

Thông tin:

53 trang 1 năm trước

Tác giả:

Profile Lan Tường
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN PHỨC HỢP (VDC)
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Thể tích khối đa diện
- Thể tích khối chóp :
1
.
3
d
V S h
- Thể tích khối lăng trụ :
.
d
V S h
.
- Thể tích khối lập phương :
3
V a
, thể tích khối hộp chữ nhật :
V ab c
.
2. Thể tích khối đa diện được phân chia :
+) Khối chóp tam giác :
.
.
S ABC
S A B C
V
SA SB SC
V SA SB SC
+) Khối chóp tứ giác có đáy là hình hành :
. ' ' ' '
.
1 1 1 1 ' ' ' '
, , , ,
4
S A B C D
S ABCD
V
abcd SA SB SC SD
a b c d
V a b c d SA SB SC SD
1 1 1 1
a c b d
C'
B'
A'
C
B
A
S
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
+) Thể tích khối lăng trụ tam giác :
.
,
1
.
3
ABC MNP
ABC A B C
V
AM BN CP
V AA BB CC
+) Khối hộp :
.
,
1 1
.
4 2
ABCD MNPQ
ABCD A B C D
V
AM BN CP DQ AM CP
V AA BB CC DD AA CC
AM CP BN DQ
AA CC BB DD
D'
D
C'
B'
A'
C
B
A
S
P
N
M
C'
B'
A'
C
B
A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 3
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Khối đa diện cắt ra từ một khối chóp
Khối chóp cụt
Khối hình hộp khác
Khối lăng trụ khác
Khối da diện cắt ra từ khối lăng trụ
VÍ DỤ: (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Cho hình hộp
.
ABCD A B C D
có chiều cao bằng 8
và diện tích đáy bằng 9. Gọi
, ,
M N P
và
Q
lần lượt là tâm của các mặt bên
, ,
ABB A BCC B CDD C
và
DAA D
. Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm
, , , , , ,
A B C D M N P
và
Q
bằng
A.
27
. B.
30
. C.
18
. D.
36
.
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính thể tích khối đa diện.
2. HƯỚNG GIẢI:
B1:Tính thể tích khối .
B EMN
theo thể tích khối hộp với
E
là trung điểm cạnh
BB
.
B2:Hoàn toàn tương tự, tính thể tích 3 khối nhỏ là
. . .
; ;
C NFP D GPQ A MHQ
V V V .
B3: Thể tích khối đa diện cần tìm sẽ bằng thể tích khối .
EFGH ABCD
trừ đi thể tích 4 khối nhỏ bằng
nhau là
. . . .
; ; ;
B EMN C NFP D GPQ A MHQ
V V V V .
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn B
Q
D'
D
P
N
M
C'
B'
A'
C
B
A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 4
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Gọi
, , ,
E F G H
lần lượt là trung điểm của , ,
BB CC DD
và
AA
.
Ta có:
EMN A B C
3
.
.
. . .
.
1 1 1 1 1
.
2 8 8 6 24
B EMN
B EMN
B A B C ABCD A B C D ABCD A B C D
B A B C
V
V V V V
V
.
Hoàn toàn tương tự,
. . .
.
1
48
C NFP D GPQ A MHQ
ABCD A B C D
V V V V
.
Thể tích khối đa diện cần tìm sẽ bằng thể tích khối .
EFGH ABCD
trừ đi thể tích 4 khối nhỏ
bằng nhau là
. . . .
; ; ;
B EMN C NFP D GPQ A MHQ
V V V V .
Suy ra
.
. .
4 5
2 48 12
ABCD A B C D
MNPQABCD
ABCD A B C D ABCD A B C D
V
V V V
.
Mà
.
8.9 72
ABCD A B C D
V
nên
5
.72 30
12
MNPQABCD
V (đvtt).
Câu 1. Cho hình hộp .
ABCD A B C D
có diện tích đáy bằng
9
, chiều cao bằng 3. Gọi
, , , ,
Q M N P I
là những điểm thỏa mãn
1 1
, ,
3 3
AQ AB DM DA

1
3
CN CD
,
1 1
,
3 3
BP BC B I B D

. Thể
tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm
, , , ,
Q M N P I
bằng
A.
27
10
. B.
10
27
. C.
4
3
. D.
10
3
.
Lời giải
Chọn D
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 5
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Mặt phẳng
MNPQ
cắt hình hộp
ABCDA B C D
theo thiết diện là hình bình hành
EFGH
và
ta có
' ' ' ' ; 2 ;
d A B C D EFGH d EFGH ABCD
Ta có
' ' ' '.
2
3
A B C D E FGH O
V V
và
1 1 2. 2 1
. .sin . sin
2 2 3 3 9 9
EQM ABD ABCD
AB AD
S EQ EM E A S S
1 5
1 4
9 9
MNPQ ABCD
S S .
.
1 2 5 10 10
. .
3 3 9 81 3
I MNPQ ABCD o
V h S V
.
Câu 2. Cho hình lập phương .′′′′ có cạnh bằng 1. Gọi , lần lượt là trung điểm của
′′ và . Mặt phẳng
(

)
chia hình lập phương thành 2 phần. Gọi
là thể tích của phần
chứa đỉnh và
là thể tích của phần còn lại. Tỉ số
bằng
A.
. B.


. C.
. D.


.
Lời giải
Chọn D
Gọi =⋂, =⋂′, =⋂′, =′′⋂. Khi đó
(

)
cắt khối lập
phương theo thiết diện là ngũ giác .
Ta có:


=


=


=


=
⇒=
và ==1
j
I
M
H
N
G
P
F
Q
E
B
C
D
A
D'
C'
B'
A'
H
E
F
K
N
M
C'
D'
B'
D
A
B
C
A'
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 6
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Mà là trung điểm của  nên

󰆒
=


=
⇒

󰆒
=
hay =
.
Vì ′=′ nên
󰆒
󰆒
=
⇒′=
;
󰆒

=
󰆒

=
⇒′=
.
Thể tích khối tứ diện  là:
.
=
...=
.1.2.
=
.
Thể tích
=
.
−
(
.
+
.󰆒
)
=
−
󰇡1.
.
+
.
.
󰇢=


⇒
=


.
Vậy
=


.
Câu 3. Cho hình hộp .
ABCD A B C D
có chiều cao bằng
8
và diện tích đáy bằng
9
. Gọi
, , , ,
M N P Q R
và
S
lần lượt là tâm của các mặt
, , , ,
ABB A BCC B CDD C DAA D ABCD
và
A B C D
. Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm
, , , ,
M N P Q R
và
S
bằng
A.
3
. B.
24
. C.
9
. D.
1
3
.
Lời giải
Chọn A
Gọi
, , ,
I J K L
lần lượt là trung điểm các cạnh , , ,
AA BB CC DD
.
Do tam giác
MIQ
đồng dạng với tam giác
B A D
theo tỉ số
1
2
nên
1 1 9
4 8 8
MIQ B A D A B C D
S S S
. Suy ra
9 9
4 9 4.
8 2
MNPQ IJKL MIQ
S S S
.
Gọi
1 2
,
h h
lần lượt là chiều cao của hai hình chóp
1 2
. , . 8
R MNPQ S MNPQ h h
.
Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm
, , , ,
M N P Q R
và
S
bằng
1 2
1 1 9
.8. 3
3 3 8
MNPQ
V h h S
.
Phương án nhiễu B: nhầm
9
MNPQ IJKL
S S
.
Phương án nhiễu C: sử dụng công thức tìm thể tích hình chóp quên chia 3.
Phương án nhiễu D: chỉ tính
.
R MNPQ
V , không tính
.
S MNPQ
V .
Câu 4. Cho lăng trụ .
ABC A B C
có chiều cao bằng
8
và diện tích đáy bằng
9
. Gọi
,
M N
là hai điểm
thỏa mãn
. 1 , . 0
BM k BB k CN l CC l

. Thể tích của tứ diện
AA MN
bằng
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 7
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
A.
1
72
l k
. B.
24
. C.
72
. D.
1
210
l k
.
Lời giải
Chọn B
Theo giả thiết
. 1 , . 0
BM k BB k CN l CC l

suy ra ,
M BB N CC
(như hình vẽ)
Do
|| , ,
BM ACC A d M ANA d B ANA
.
Ta có
ANA ACA
S S
Có
1 1 1
, . , . , .
3 3 3
AA MN ANA ACA ACA
V d M ANA S d B ANA S d B ACA S
.
A ABC
V
1
.9.8 24
3
.
Phương án nhiễu A: Học sinh không biết cách tính, chọn lụi và nghĩ rằng đáp số phải có
,
k l
.
Phương án nhiễu C: sử dụng công thức tìm thể tích hình chóp quên chia 3.
Phương án nhiễu D: Học sinh không biết cách tính, chọn lụi và nghĩ rằng đáp số phải có
,
k l
,
nhưng vì hình tứ diện nên sẽ chia 3 .
Câu 5. Cho hình hộp chữ nhật .
ABCD A B C D
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
,
3
AA a
. Gọi
M
và
N
lần lượt là trung điểm của
A B
và
.
BC
Mặt phẳng
DMN
chia khối lập phương
đã cho thành hai khối đa diện. Gọi
là khối đa diện chứa đỉnh
,
A
H
là khối đa diện còn
lại. Tính tỉ số
'
H
H
V
V
.
A.
37
48
. B.
55
41
. C.
2
3
. D.
4
5
.
Lời giải
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 8
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Chọn B
Gọi
AB DN J
,
BB MJ K
,
AA JM E
và
ED A D I
.
Suy ra thiết diện là ngũ giác
DNKMI
.
Dễ thấy
BJ CD a
B K EA
.
Ta có:
2
1
2
2
BK a
BK B M
BK B K
B K EA a
B K BJ
3
1
4
3
1
3
4
ID a
IA EA
ID IA
ID AA
IA a
1 1 1
. . .
3 3 3
EADJ EA IM KBNJ ADJ IA M NBJ
H
V V V V EA S EA S KB S
3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 55
4 . .2 . . . .2 . . .
3 2 3 2 4 2 3 2 2 48
a a a a a a a a a a
2 3 3
.
55 41
.2
48 48
ABCD A B C D
H H
V V V a a a a
Suy ra:
55
41
H
H
V
V
.
Câu 6. Cho hình lăng trụ đứng .
ABC A B C
có đáy là tam giác
ABC
vuông cân tại
A
, cạnh
6
BC a
. Góc giữa mặt phẳng
AB C
và mặt phẳng
BCC B
bằng
60
. Tính thể tích
V
của khối đa diện
AB CA C
.
A.
3
3
a . B.
3
3 3
2
a
. C.
3
3
a
. D.
3
3
a
.
Lời giải
Chọn A
K
I
E
J
N
M
C'
B'
D'
A
B
D
C
A'
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 9
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Khối đa diện AB CA C
là hình chóp .B ACC A
có
A B ACC A
.
Từ giả thiết tam giác ABC vuông cân tại A , cạnh 6BC a ta suy ra 3AB AC a .
Gọi M là trung điểm của BC , suy ra AM BC và
6
2
a
AM .
Ta có
AM BC
AM BCC B AM B C
AM BB
(1).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên B C
, suy ra MH B C
(2).
Từ (1) và (2) ta suy ra
B C AMH
. Từ đó suy ra góc giữa mặt phẳng
AB C
và mặt phẳng
BCC B
là góc giữa AH và MH . Mà tam giác AMH vuông tại H nên
60AHM
.
6 1 2
.cot60 .
2 2
3
a a
MH AM .
Tam giác B BC
đồng dạng với tam giác MHC nên suy ra
2
1
2
sin
6 3
2
a
MH
HCM
MC
a
2
2
1 1 3 2
1 tan tan
1
2 2
1 sin
1
3
MCH MCH
MCH
2
.tan 6. 3
2
BB BC MCH a a
3
.
1 1
. . . 3. 3. 3 3
3 3
AB CA C B ACC A
V V B A AC AA a a a a
.
Câu 7. Cho hình hộp .ABCD A B C D
có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bằng a và
60BAC
.
Gọi I, J lần lượt là tâm của các mặt bên ,ABB A CDD C
. Biết
7
2
a
AI , 2AA a
và góc
giữa hai mặt phẳng
,ABB A A B C D
bằng
60
. Tính theo a thể tích khối tứ diện AOIJ.
A.
3
3 3
64
a
. B.
3
3
48
a
. C.
3
3
32
a
. D.
3
3
192
a
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 10
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Lời giải
Chọn C
Ta có
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 4 3 3
2 4
AA AB A B
AI A B AA AB AI a A B a
Do
2 2 2
A B AB AA
nên tam giác
A AB
vuông tại B
2
3
2
A AB
a
S
Tam giác ABC đều cạnh a nên
2
3
4
ABC
a
S
Theo đề góc giữa hai mặt phẳng
,
ABB A A B C D
bằng
60
, nên suy ra
3
2 . sin 60
3
3 8
A AB ABC
A ABC
S S
a
V
AB
3
1 1 1 1 1 1 3
; . . ; .
3 3 2 2 4 4 32
AOIJ IAJ B AD B ABD A ABC
a
V d O IAJ S d B B AD S V V
Bổ sung: Công thức tính nhanh thể tích tứ diện theo góc giữa hai mặt phẳng
Cho tứ diện ABCD có diện tích tam giác ABC bằng
1
S
, diện tích tam giác BCD là
2
S
và góc
giữa hai mặt phẳng (ABC) và (DBC) là
. Khi đó ta có:
1 2
2 .sin
3
ABCD
S S
V
BC
Chứng minh: Gọi H là hình chiếu của A lên (BCD), kẻ HI BC tại I thì AIBC và
; ;ABC DBC AI HI AIH
;
sin
AH AI
1 2
2 2
2
2 sin
1 1 1
. sin . .sin .
3 3 3 3
ABC
ABCD DBC
S S S
V AH S AI S S
BC BC
Câu 8. (THPTQG 2019-MĐ103-Câu 49) Cho lăng trụ .
ABC A B C
có chiều cao bằng 6 và đáy là
tam giác đều cạnh bằng 4. Gọi
, ,
M N P
lần lượt là tâm các mặt bên , ,
ABB A ACC A BCC B
.
Thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm
, , , , ,
A B C M N P
bằng
A.
9 3
. B.
10 3
. C.
7 3
. D.
12 3
.
Lời giải
O
J
I
D'
D
A
B
C
C'
B'
A'
φ
D
B
C
A
H
I
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 11
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Chọn A
Gọi
DEF
là thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng
MNP
.
Dễ chứng minh được
/ /
DEF ABC
và
, ,
D E F
lần lượt là trung điểm của các đoạn
thẳng , ,
AA BB CC
suy ra
. .
1
12 3
2
ABC DEF ABC A B C
V V
.
Ta có
.
ABCPNM ABC DEF ADMN BMPE CPMF
V V V V V .
Mặt khác
. .
1 3
9 3
12 4
ADMN BMPE CPMF ABC DEF ABCPNM ABC DEF
V V V V V V .
Câu 9. Cho lăng trụ đứng .
ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác đều cạnh
a
và
2
AA a
.Gọi
,
M N
lần lượt là trung điểm của ,
AA BB
và
G
là trọng tâm tam giác
ABC
. Mặt phẳng
MNG
cắt
,
BC CA
lần lượt tại
,
E F
. Thể tích khối đa diện có các đỉnh là các điểm
, , , , ,
A M E B N F
bằng
A.
3
3
9
a
. B.
3
2 3
9
a
. C.
3
3
27
a
. D.
3
2 3
27
a
.
Lời giải
Chọn D
F
E
D
P
N
M
C'
B'
A'
C
B
A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 12
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Gọi
P
là trung điểm
CC
và
K
là điểm đồng quy của ba đường thẳng
, ,
CC ME NF
, do
G
là
trọng tâm tam giác
ABC
nên
2 2 2
CK CF
CK NB a
NB FB
.
Theo giả thiết
2 3
.
3 3
2 .
4 2
ABC A B C
a a
V a
3
.
3
4
ABC MNP
a
V
.
Khối chóp .
K MNP
có thể tích là
2 3
.
1 1 3 3
. . .3 .
3 3 4 4
K MNP MNP
a a
V KP S a
.
ABC MNP
V
.
Vậy thể tích
V
của khối đa diện có các đỉnh là các điểm
, , , , ,
A M E B N F
bằng thể tích khối
chóp .
K CEF
và
2
3
.
2
3
1 1 2 3
3
. . .2 .
3 3 4 27
K CEF CEF
a
a
V V KC S a
.
Câu 10. Cho lăng trụ
. ' ' ' '
ABCD A B C D
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
2 ,
a
' ' ,
AA A D
hình chiếu
vuông góc của
'
A
thuộc hình vuông
,
ABCD
khoảng cách giữa hai đường thẳng
CD
và
'
AB
bằng
6
10
a
. Tính thể tích khối chóp '
A MNP
trong đó
, ,
M N P
lần lượt là trung điểm các cạnh
, ', '.
CD CC DD
A.
3
12
a
. B.
3
a
. C.
3
a
. D.
3
3
a
.
Lời giải
Chọn B
*) Gọi
H
là hình chiếu của
'
A
lên mặt phẳng
ABCD
;
,
I K
lần lượt là trung điểm của
,
AD BC
và
O
là tâm hình vuông
ABCD
.
Ta có ' , '
A H AD A K AD
(Do
'
A H ABCD
và
' '
A A A D
) nên
HK AD
Mà
OK AD
nên suy ra ba điểm
, ,
H O K
thẳng hàng và theo giải thiết ta được
H
thuộc
đoạn
.
IK
Theo giả thiết
H
thuộc hình vuông
ABCD
nên
H
trùng
K
hoặc
H
trùng
.
I
Trường hợp 1:
H
trùng với
.
K
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 13
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
*) Kẻ
'
HF AA
, với
F
thuộc đoạn
' .
A A
Dễ thấy:
2
BC
HA a
và
'
AB A AH AB HF
nên
' '
HF ABB A
, ' '
d H ABB A HF
.
Ta có
, ' , ' '
d CD AB d CD ABB A
(do
// ' '
CD ABB A
)
, ' '
d C ABB A
. , ' '
DA
d H ABB A
DH
2
HF
. Nên
3
10
a
HF
.
*) Xét tam giác
'
AA H
có
2 2 2
1 1 1
'
HF AH A H
2 2 2
1 1 1
'
A H HF AH
2 2 2
10 1 1
9 9
a a a
' 3 .
A H a
*) Ta có
2
3
. ' ' ' '
' . 3 . 2 12
ABCD A B CC D ABCD
V A H S a a a
Lại có
. ' ' ' ' ' '
', ' ' .
ABCD A B CC D CDD C
V d A CDD C S
4. ', ' ' .
MNP
d A CDD C S
(do
' '
4
CDD C MNP
S S
)
'
1
12. ', ' ' . 12
3
MNP A MNP
d A CDD C S V .
Từ đó suy ra
3 3
'MNP '
12 12 .
A A MNP
a V V a
Trường hợp 2:
H I
, tương tự trường hợp 1, kết quả
3
'
.
A MNP
V a
Câu 11. Cho khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng , là tâm của đáy. Gọi là
mặt phẳng đi qua , song song với và cách một khoảng bằng . Mặt phẳng
H
≡
K
I
P
N
M
O
D'
C'
B'
D
B
A
C
A'
F
H
≡
I
P
N
M
O
K
D'
C'
B'
D
B
A
C
A'
F
.
S ABCD
a
O
P
S
BD
A
3 10
10
a
P
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 14
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
chia khối chóp thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh có thể tích
và khối đa diện còn lại có thể tích . Biết mặt phẳng
cắt đoạn tại . Tỉ số
bằng:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có .
Đáy là hình vuông , từ đây suy ra .
Mà
.
Mặt khác , suy ra .
Gọi là hình chiếu vuông góc của trên
.
Ta có (áp dụng Pi-ta-go cho tam giác vuông ).
Đặt , .
(áp dụng Pi-ta-go cho tam giác vuông ).
Dễ thấy các tam giác vuông và đồng dạng (chung góc ).
(do ).
.
S ABCD
A
1
V
2
V
P
OC
I
1
2
V
V
5
6
7
8
SO ABCD
SO BD
ABCD
AC BD
BD SAC
//
P BD
P SAC
P AC I
P SAC SI
H
A
SI
AH P
,
AH d A P
3 10
10
a
2
AC
AO
2
2
a
2
2
a
SO
SOA
AI x
2
2
2
a
AO AI AC x a
2
2
a
OI x
2 2
2
SI a x ax
SOI
SOI
AHI
OIH
AH AI
SO SI
.
AH SI
AI
SO
2 2
3 10
. 2
10
2
2
a
a x ax
x
a
2 2
4 9 2 9 0
x a x a
3 2
2
3 2
4
a
x
a
x
3 2
4
a
x
2
2
2
a
x a
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 15
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
. Dễ thấy .
Từ kẻ đường thẳng song song với cắt , lần lượt tại và .
đồng dạng với theo tỉ số .
Vậy .
Khi đó .
Suy ra .
Vậy .
Câu 12. Cho hình lăng trụ đều .
ABC A B C
có tất cả các cạnh bằng
1
. Gọi
E
,
F
lần lượt là trung điểm
AA
và
BB
; đường thẳng
CE
cắt đường thẳng
C A
tại
E
, đường thẳng
CF
cắt đường thẳng
'
C B
tại
F
. Thể tích khối đa diện
EFA B E F
bằng
A.
3
6
. B.
3
2
. C.
3
3
. D.
3
12
.
Lời giải
Chọn A
Thể tích khối lăng trụ đều .
ABC A B C
là
.
3 3
. .1
4 4
ABC A B C ABC
V S AA
.
Gọi
M
là trung điểm
CM ABB A
và
3
2
CM . Do đó, thể tích khối chóp
.
C ABFE
là
. .
1
.
3
C ABFE C ABFE
V S CH
1 1 3 3
.1. .
3 2 2 12
.
Thể tích khối đa diện
A B C EFC
là
. .
A B C EFC ABC A B C C ABFE
V V V
3 3 3
4 12 6
.
Do
A
là trung điểm
C E
nên
, ' 2 , '
d E BCC B d A BCC B
3
2. 3
2
.
3 2
4
a
AI
CI AC AI
2
4
a
1
2
CI
CO
I
BD
BC
CD
M
N
CM
CB
CN
CD
MN
BD
1
2
CI
CO
CMN
CBD
1
2
2
1 1
2 4
CMN
CBD
S
S
1
4
CMN CBD
S S
1
4 2
ABCD
S
1
8
ABCD
S
2 .
S CMN
V V
1
. .
3
CMN
SO S
1 1
. .
3 8
ABCD
SO S
.
1
.
8
S ABCD
V
1 . 2 .
7
.
8
S ABCD S ABCD
V V V V
1
2
7
V
V
M
F'
E'
F
E
B
C
A'
C'
B'
A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 16
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
'
CC F F B F FB C C
S S S
1
FBC FB C C BCC B
S S S
.
Thể tích khối chóp .
E CC F
là
.
1
. , '
3
E CC F CC F
V S d E BCC B
1 3
.1. 3
3 3
.
Thể tích khối đa diện
EFA B E F
bằng
.
EFA B E F E CC F A B C EFC
V V V
3 3 3
3 6 6
.
Câu 13. Cho hình hộp .
ABCD A B C D
có chiều cao bằng 6, diện tích đáy bằng 8. Gọi
M
là trung
điểm
. Mặt phẳng
A C M
cắt
tại
N
. Tính thể tích của khối đa diện có các đỉnh là
, , , ,
D M N A C
.
A. 10. B. 18. C. 12. D. 24.
Lời giải
Chọn B
Trong
mp ABB A
gọi
'
I BB A M
Trong
mp BCC B
gọi
'
N BC IC
Gọi
,
S h
lần lượt là diện tích đáy và chiều cao của khối hộp .
ABCD A B C D
Ta có
.
1 1 1
. . .2 .
3 2 3
I A B C
V S h S h
và
.
1 1 1
. . . .
3 8 24
I BMN
V S h S h
Suy ra
1 . '
1 1 7 7
3 24 24 24
BMN B A C
V V Sh Sh Sh V
Ta có
2 .
1 1 1 1
. . . .
3 2 6 6
D D A C
V V S h S h V
;
3 .
1 1 1
. . .
3 4 12
A ADM
V V S h V
;
4 .
1 1 1
. . .
3 4 12
C DCN
V V S h V
Do đó
1 2 3 4
7 1 1 1 9
18
24 6 12 12 24
DMNC A
V V V V V V V V V V V V
N
A
B
D
C
D'
A'
C'
B'
I
M
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 17
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Câu 14. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành. Gọi
E
là điểm đối xứng với
C
qua
B
và
F
là điểm thỏa mãn:
2.
SF BF

. Mặt phẳng
DEF
chia khối chóp
.
S ABCD
thành 2 khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh
S
có thể tích
1
V
, khối đa diện
còn lại có thể tích
2
V
(tham khảo hình vẽ). Tính tỉ số
1
2
V
V
.
A.
3
5
. B.
1
5
. C.
7
5
. D.
12
7
.
Lời giải
Chọn C
Gọi
G
là giao điểm của
ED
và
AB
,
H
là giao điểm của
EF
và
SC
.
Vì
B
là trung điểm của
EC
và
2.
SF BF

nên
F
là trọng tâm
SEC
suy ra
H
là trung
điểm của
SC
, từ đó suy ra
. .
1
2
A HCD A SCD
V V
.
1
4
S ABCD
V
.
Ta có
2
EC AD
và
/ / AD
EC
do đó
. .
2
E HCD A HCD
V V
.
1
2
S ABCD
V
.
.
.H
. .
E FBG
E CD
V
EB EG EF
V EC ED EH
1 1 2
. .
2 2 3
1
6
. .H
1
6
E FBG E CD
V V
.
1
12
S ABCD
V
.
2 . .F
E HCD E BG
V V V
. .
1 1
2 12
S ABCD S ABCD
V V
.
5
12
S ABCD
V
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 18
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
1 . . .
5 7
12 12
S ABCD S ABCD S ABCD
V V V V
.
Vậy
1
2
7
5
V
V
.
Câu 15. Cho khối lăng trụ đứng có đáy là hình thoi cạnh bằng ,
chiều cao bằng ,
góc . Gọi là giao điểm của
và . Gọi các điểm ,
,
,
,
,
lần lượt đối xứng với qua các mặt phẳng ,
,
,
,
,
. Thể tích khối đa diện lồi tạo bởi các đỉnh ,
,
,
,
,
bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có ,
.
Lại có .
Tương tự
.
.
Mặt khác
mà ; ;
Dễ thấy
là mặt phẳng đối xứng của hình bát diện
.
.
ABC D A B C D
a
a
120
BAD
O
C A
AC
M
N
P
Q
R
S
O
ABCD
A B C D
CDD C
ABB A
BCC B
ADD A
M
N
P
Q
R
S
3
3 3
4
a
3
3 3
2
a
3
3
2
a
3
2 3
a
O
A
B
C
D
B'
C'
D'
A'
M
P
N
Q
S
R
PQ ABB A
RS BCB C
,
PQ RS
,
ABB A BCC B
, 60
BA BC
4. ,
PQ d O ABA B
1
4. . ,
2
d D ABA B
2. .sin 60
AD
3
2. . 3
2
a a
4 ,
RS d O ADA D
1
4. . ,
2
d B ADA D
2. .sin 60
AB
3
2. . 3
2
a a
1
. . .sin ,
2
QRPS
S QP RS QP RS
2
1 3 3 3.
. 3. 3.
2 2 4
a
a a
//
MN CC
CC C B
CC CD
MN RS
MN QRPS
QRPS
QRPSMN
.
2.
QRPSMN M QRPS
V V
1
2. .
3
QRPS
MO S
2 3
1 3 3 3
2. . .
3 4 2
a a
a
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 19
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Câu 16. Cho hình chóp .
S ABC
có chiều cao bằng
8
và diện tích đáy bằng
9
. Gọi
M
là trung điểm của
SA
,
,
E F
là điểm thỏa mãn
2 , 2
AE AB AF AC
. Mặt phẳng
MEF
cắt
,
SB SC
lần lượt tại
,
N P
. Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm
, , , ,
A B C M N
và
P
bằng
A.
9
8
. B.
56
5
. C.
56
3
. D.
18
.
Lời giải
Chọn C
Do
2 , 2
AE AB AF AC
suy ra
,
B C
lần lượt là trung điểm
,
AE AF
nên
//
BC EF
.
Có
,
MEF EF SBC BC
suy ra
, ,
MEF SBC NP N SB EM P SC FM
và
// //
NP BC EF
.
Ta có
.
1
.9.8 24
3
S ABC
V
.
Do
,
N P
lần lượt là trọng tâm các tam giác ,
SAE SAF
suy ra
2
3
SN SP
SB SC
.
Có
.
.
.
1 2 2 2 2 16
. . .24
2 3 3 9 9 3
S MNP
S MNP
S ABC
V
V
V
.
Suy ra Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm
, , , ,
A B C M N
và
P
bằng
16 56
24
3 3
.
Câu 17. Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật với cạnh 2
AD CD
. Biết hai mặt
phẳng
SAC
,
SBD
cùng vuông góc với mặt đáy và đoạn
6
BD
; góc giữa
SCD
và mặt
đáy bằng
60
. Hai điểm
,
M N
lần lượt là trung điểm của
,
SA SB
. Thể tích khối đa diện
ABCDMN
bằng
A.
128 15
15
. B.
16 15
15
. C.
18 15
5
. D.
108 15
25
.
Lời giải
Chọn C
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 20
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Gọi
O AC BD
. Do
,
SAC ABCD SBD ABCD
SO ABCD
.
Theo tính chất hình chữ nhật:
2 2 2
AD CD BD
2 2
6
5 6
5
CD CD
và
12
5
AD
.
Khi đó diện tích đáy:
72
.
5
ABCD
S AD CD .
Gọi
I
là trung điểm của
CD
. Do
,
CD SO CD OI CD SOI
CD SI
, , 60
SCD ABCD SI OI SIO
.
Trong tam giác
SOI
vuông tại
O
,
6
, 60
2
5
AD
OI SIO
có:
6 3
.tan 60
5
SO OI .
Thể tích .
S ABCD
là
1 1 72 6 3 144 15
. . . .
3 3 5 25
5
ABCD
V S SO .
Ta có
. .
2
S ABD S BCD
V
V V
.
Do
1
4
SMN SAB
S S
1 1
4 8
SMND SABD
V V V
.
Do
N
là trung điểm của
SB
1
, ,
2
d N SCD d B SCD
1 1
2 4
SCDN SBCD
V V V
.
Ta có:
.
3
S CDMN SMND SCDN
V V V V
3 5 18 15
8 8 5
ABCDMN
V V V V .
Câu 18. Cho khối lập phương .′′′′ có cạnh là 10cm, gọi tắt là khối
(
)
. Mặt phẳng
(
)
vuông góc với ′ và cắt cạnh  tại với <. Khi đó, nếu thiết diện của
(
)
và
(
)
có diện tích là 74
√
3cm
thì phần
(
)
nằm giữa
(
)
và
(
′
)
có thể tích là
A. 484cm
. B. 408cm
. C.

cm
. D.

cm
.
Lời giải
Chọn D
Hình 1
I
N
M
O
D
B
C
A
S
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 21
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Ta có ′⊥
(
′′
)
⇒′⊥′, ⊥
(
′′
)
⇒⊥′. Tức ′⊥
(
′
)
. Do
đó
(
)
≡
(
′
)
hoặc
(
)
//
(
′
)
.
a) Nếu ≡ thì
(
)
≡
(
′
)
. Lúc này không có phần
(
)
nằm giữa
(
)
và
(
′
)
.
b) Nếu khác thì
(
)
//
(
′
)
. Lúc này thiết diện của
(
)
và
(
)
là lục giác 
như Hình 1, trong đó
,//
,//′
,//′
.
Đặt =, điều kiện: 0<<5
(
∗
)
, ta được =10 −.
Do

󰆒
=

và


=


nên =
√
2 và =
(
10 −
)
√
2.
Tương tự, ta được ===
√
2 và ===
(
10 −
)
√
2.
Hình 2
Gọi là giao điểm của và , là giao điểm của  và  (tham khảo Hình 2) ta dễ
dàng thấy ,,, là các tam giác đều, =+ =10
√
2.
Do

=

+

−

−

=
󰇣
10
√
2
+
10
√
2
−
6
√
2
−
4
√
2
󰇤
.
√
3
4
=−
√
3 + 10
√
3 + 50
√
3
nên ta có phương trình −
√
3 + 10
√
3 + 50
√
3=74
√
3. Tìm được =4 ( =6 bị loại vì
không thỏa (*)).
Hình 3
Gọi
,
,
lần lượt là giao điểm của
(
)
và các tia ′,, (tham khảo Hình 3).
Xét tam giác ′
: Do ′
=90
,
=45
,′=4 nên ′
=4.
Tương tự, ta được 
=
=4.
Ta có: +
.′
=

.
+
󰆒.
=

(do ′,′,′
đôi một vuông góc với nhau và cùng bằng 4) .
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 22
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Tương tự, ta được
.

=
.
=

.
+
.
=

(do 
,
,
đôi một vuông góc với nhau và cùng bằng 14) .
Tóm lại, thể tích mà ta cần tính là =
.
−
.󰆒
−3.
󰆒.
=

( cm
) .
Câu 19. Cho hình hộp
có thể tích là . Trên cạnh lấy điểm
khác và
. Gọi là mặt phẳng đi qua và song song với mặt phẳng chia khối hộp
thành hai phần và cắt hình hộp theo một thiết diện có diện tích lớn nhất. Tính thể tích phần khối
hộp chứa cạnh .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Trong , qua
vẽ đường thẳng song song với
cắt ,
lần lượt tại ,
Trong qua
vẽ đường thẳng song song với
cắt tại
.
Trong , qua
vẽ đường thẳng song song với
cắt
,
lần lượt tại
và .
Trong , qua
vẽ đường thẳng song song với cắt tại .
Trong , qua
vẽ đường thẳng song song với cắt tại .
Thiết diện là lục giác .
Do các mặt đối diện của hình hộp song song nên các cạnh đối của lục giác thiết diện
song song và cặp cạnh đó lần lượt song song với các cạnh tam giác .
Các tam giác , , , , đồng dạng
và
Các tam giác , , bằng nhau, gọi diện tích của chúng là và gọi diện tích
các tam giác , lần lượt là , .
Đặt ; ta có điều kiện và có:
.
.
ABC D A B C D
2020
AB
M
A
B
P
M
ACD
DD
1010
2020
50 5
505
2
mp ABCD
M
A C
DB
BC
E
N
mp BDD B
E
D O
( )
O AC BD
B D
F
mp A B C D
F
A C
A D
D C
R
Q
mp AA D D
R
AD
AA
S
S
J
R
P
K
I
Q
F
E
N
O
C'
B'
A'
C
A
B
D
D'
M
mp CC D D
Q
CD
CC
P
MNPQRS
MNPQRS
3
ACD
JK I
ACD
RQI
JM S
N K P
MJ MA NC NK PC PK QD QI
MN MB NB NM PC PQ QC QP
MJ NK
PK QI
RQI
JM S
N K P
1
S
JK I
ACD
2
S
S
AM
k
AB
0 1
k
2 2 2 2
2
1
S JM KN KC AM
k
S AC NJ CD AB
2
1
S k S
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 23
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
.
Diện tích thiết diện:
(dấu bằng xảy ra )
lớn nhất là trung điểm của . Khi đó , , , , lần lượt là trung
điểm của các cạnh , , , , và .
Các khối chóp , , có thể tích bằng nhau ta gọi thể tích đó là .
Ta có:
.
Gọi
là thể tích phần khối lăng trụ chứa cạnh .
Do .
Câu 20. Cho khối lăng trụ tam giác đều .
ABC A B C
. Các mặt phẳng
ABC
và
A B C
chia khối
lăng trụ đã cho thành bốn khối đa diện. Kí hiệu
1
H
,
2
H
lần lượt là khối có thể tích lớn nhất và
nhỏ nhất trong bốn khối trên. Giá trị của
1
2
H
H
V
V
bằng
A.
5
. B.
3
. C.
2
. D.
4
.
Lời giải
Chọn A
+
AC A C E
,
BC B C F
.
+ Ta có:
. 1 2 3 4
ABC A B C EFBAA B EFABC EFA B C CEFC
V V V V V V V V V V
.
+)
.
1
3
C A B C
V V
.
2 2 2
2
2
1
S
JK JM MK JM MK
k
S AC AC AC AC
2
2
2 1 .
S k k S
2 1
3
td
S S S
2
2
1 3 1 3
2 ( ) 2
2 4 2 2
td
S
S S k k S k
1
2
k
S
1
2
k
M
AB
S
R
Q
P
N
AA
A D
D C
C C
CB
1
3
IR ID IQ
IJ ID IK
.
I RQD
.
A MSJ
.
C P N K
1
V
1 .
1 1 1 1 1 2020 505
; . . ; .
3 3 2 8 48 48 12
RQD A B C D ABCD A B C D
V d I RQD S d D A B C D S V
V
DD
.
.
1
27
I RQD
I DJK
V
V
1
1
1
3 27
V
V V
1
505
24 24. 1010
12
V V
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 24
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
+)
.
1 1 1
. .
2 2 4
CEFC
C A B C
V CE CF
V CA CB
4
1 1 1
.
4 3 12
CEFC
V V V V
.
+)
3 . .
3 3 1 1
. .
4 4 3 4
C EFB A C CA B
V V V V V
.
+)
2 . . 2 3
1
4
C ABFE C EFB A
V V V V V V
.
+)
1
1 1 1 5
12 4 4 12
EFBAA B
V V V V V V V
.
+) Suy ra
1
4
1
12
H
V V V ;
2
1
5
12
H
V V V .
+ Do đó
1
2
5
12
5.
1
12
H
H
V
V
V
V
Chọn đáp án A .
Câu 21. Cho hình lập phương .
ABCD A B C D có cạnh bằng 15, một mặt phẳng
cắt các cạnh
AA ,
BB ,
CC ,
DD lần lượt tại M , N , P , Q. Biết 5AM , 6CP . Thể tích khối đa
diện .A B C D MNPQ
là
A.
4275
2
. B.
2475
2
. C. 2250. D. 2475 .
Lời giải.
Chọn A
Gọi
,
O O
lần lượt là tâm hình vuông ABCD và A B C D
.
Dễ thấy tứ giác
MNPQ
là hình bình hành. Gọi I là tâm của
MNPQ
I thuộc đoạn thẳng
OO
.
Xét hình thang ACPM có:
11
2 2
AM CP
OI
.
Gọi
1
O là điểm đối xứng của O qua I
1
2 11 15OO OI nên
1
O thuộc đoạn OO
.
Gọi
P
là mặt phẳng qua
1
O và song song với
ABCD
.
Khi đó
P
cắt
, , ,AA BB CC DD
tại
1 1 1 1
, , ,A B C D . Khi đó I là tâm của hình hộp
1 1 1 1
.ABCD A B C D .
Vậy
1 1 1 1
2
. .
1 1 2475
.15 .11
2 2 2
ABCD MNPQ ABCD A B C D
V V
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 25
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Vậy
3
. . .
2475 4275
15
2 2
A B C D MNPQ ABCD A B C D ABCD MNPQ
V V V
.
Câu 22. Cho khối đa diện như hình vẽ bên. Trong đó
. ' ' '
ABC A B C
là khối lăng trụ tam giác đều có tất
cả các cạnh đều bằng
1
, .
S ABC
là khối chóp tam giác đều có cạnh bên
2
3
SA
. Mặt phẳng
' '
SA B
chia khối đa diện đã cho thành hai phần. Gọi
1
V
là thể tích phần khối đa diện chứa
đỉnh
A
,
2
V
là thể tích phần khối đa diện không chứa đỉnh
A
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
1 2
72 5
V V
. B.
1 2
3
V V
. C.
1 2
24 5
V V
. D.
1 2
4
V V
.
Lời giải
Chọn B
Dựng mặt phẳng
. '
S CC QP
như hình vẽ với
P
và
Q
là trung điểm
AB
và
' '
A B
Gọi
H
và
'
H
là chân đường cao hạn từ
S
xuống
ABC
và
' ' '
A B C
, khi đó
H
và
'
H
là
trọng tâm hai tam giác đáy.
Gọi
K
là giao điểm của
CP
và
SQ
, qua
K
kẻ đường thẳng song song với
AB
cắt
AC
và
BC
tại
M
và
N
.
Mặt phẳng
' '
SA B
cắt hình lăng trụ theo thiết diện là hình thang ' '
A B MN
.
Dễ dàng tính được:
1
3
SH
;
1 3
'
3 6
HP H Q CP
;
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 26
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
1 1 3 3
'
4 4 6 24
HK H Q
;
3 3 3
6 24 8
PK HP HK
;
3
4
MN
Gọi
V
là thể tích của toàn bộ khối đa diện ta có
. ' ' ' .
3 1 1 3 5 3
.1 . .
4 3 3 4 18
ABC A B C S ABC
V V V
'.
1 1 1 3 3 7 3
'. .1. (1 )
3 3 2 4 8 192
B ABMN ABMN
V BB S
'. ' '
1 1 3 1 1 3
d(B;(ACC'A')). . . .1.
3 3 2 2 4 48
B AA M AA M
V S
S.
1 1 1 1 3 3 7 3
SH. . . (1 )
3 3 3 2 4 8 576
ABNM ABNM
V S
1
7 3 3 7 3 5 3
192 48 576 72
V
2 1
5 3 5 3 5 3
18 72 24
V V V
Từ đó suy ra
1 2
3 .
V V
Câu 23. Cho khối đa diện lồi
H
gồm các đỉnh
, , , , ,
A B C M N P
trong đó hai mặt phẳng
ABC
và
MNP
song song với nhau,
ABC
và
MNP
là các tam giác đều. Gọi
, ,
M N P
lần lượt là
hình chiếu vuông góc của
, ,
M N P
lên mặt phẳng
ABC
.Biết
, ,
M N P
lần lượt là trung điểm
các cạnh
, ,
AB BC AC
,
,
45
MNN M BMN
,
MN a
. Thể tích của khối đa diện lồi
H
bằng?
A.
3
9
8
a
B.
3
9
16
a
C.
3
3
a
D.
3
3
a
Lời giải
Chọn A
P
N
M
M'
N'
P'
C
A
B
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 27
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Gọi
,
E F
lần lượt là trung điểm của ,
MN M N
.
Dễ dàng thấy được
, 45
MNN M BMN FEB
.
Suy ra:
1 1 3 3
.
2 2 2 2
AB a
FE FB MM BP
Thể tích của khối lăng trụ .
MNP M N P
là:
2 3
.
3 3 3
. .
2 4 8
MNP M N P MNP
a a a
V MM S
(đvtt).
Ta có:
. .
3
MNP M N P B MNN M
H
V V V
1
.
Đồng thời
. . .
2
3
B MNN M P MNN M MNP M N P
V V V
2
.
Từ
1 , 2
suy ra:
. . .
2
3. 3
3
MNP M N P MNP M N P MNP M N P
H
V V V V
.
Vậy
3 3
3 9
3.
8 8
H
a a
V (đvtt).
Câu 24. Cho hình chóp
.
S ABCD
có chiều cao bằng
12
và diện tích đáy bằng
27
. Đáy
ABCD
là hình
bình hành. Gọi
M
,
N
,
E
,
F
lần lượt là trọng tâm các tam giác
SAB
,
SBC
,
SCD
,
SAD
.
Tính thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm
M
,
N
,
E
,
F
,
A
,
B
,
C
,
D
.
A.
52
. B.
88
. C.
60
. D.
68
.
Lời giải
Chọn D
45°
F
P
N
M
M'
N'
P'
C
A
B
E
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 28
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Chiều cao khối chóp
.
S ABCD
là
12
h
và diện tích đáy là
27
S
. Gọi
A
,
B
,
C
,
D
lần
lượt là các điểm nằm trên các cạnh
SA
,
SB
,
SC
,
SD
sao cho
2
3
SA SB SC SD
SA SB SC SD
.
Diện tích hình bình hành
A B C D
là
2 2 4
. . .
3 3 9
S S S
.
Diện tích tam giác
B MN
bằng
1 1 4 1
.
8 8 9 18
S S S
.
Thể tích khối chóp
.
B B MN
là
1
1 1 1 1
. . .
3 18 3 162
V S h Sh
.
Thể tích khối chóp cụt
.
A B C D ABCD
là
1 1 4 2 19
. . .
3 3 9 3 81
V S h S h Sh
.
Thể tích khối đa diện lồi cần tìm là
1
19 1 17 17
4 4. .27.12 68
81 162 81 81
V V V Sh Sh Sh
.
Câu 25. Cho hình lăng trụ
.
ABC A B C
có thể tích
V
,
I
thuộc cạnh
CC
sao cho
4
CI IC
. Gọi
M
,
N
lần lượt là điểm đối xứng của
A
,
B
qua
I
. Tính theo
V
thể tích của khối đa diện
CABMNC
.
A.
10
3
V
. B.
9
5
V
. C.
V
. D.
8
5
V
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
CABMNC C CMN C CMB C CAB C CAN
V V V V V
C'
D'
B'
A'
F
E
N
M
C
A
D
B
S
M
N
C'
B'
A
C
B
A'
I
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 29
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Dễ thấy:
3
C CAB
V V
.
Do
I
là trung điểm
A M
nên
; ;
d M BCC d A BCC
, nên
1
; .
3
C CMB BCC
V d M BCC S
1
; .
3
BCC
d A BCC S
1
; .
3
d A BCC S
1
3
ABCC
V V
Tương tự:
3
C CAN
V V
Do tính đối xứng, ta có
IA B IMN
1 1
; . ; .
3 3
C CMN C IMN CIMN IMN IMN
V V V d C IMN S d C IMN S
1 1
; . ; .
3 3
IA B IA B
d C IA B S d C IA B S
1
C IA B CIA B CA B C
V V V V
Vậy
4
3
CABMNC C CMN C CMB C CAB C CAN
V V V V V V
Câu 26. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc đáy. Gọi , , , , , lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng ,
, , , và . Thể tích (tính theo ) của khối đa diện bằng bao nhiêu?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Dễ dàng chứng minh được và có .
.
S A BCD
ABCD
a
SAB
M
N
P
Q
R
T
AB
BC
CD
DA
SB
SC
a
MNPQRT
3
5 3
96
a
3
3
96
a
3
5
96
a
3
96
a
SM ABCD
3
2
a
SM
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 30
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Ta phân chia khối đa diện thành hai khối chóp và .
Xét :
Dễ thấy và (với
là độ dài đường cao kẻ từ của ).
Suy ra: .
Xét :
Dễ thấy:
theo giao tuyến , vẽ tại và
( vuông tại , đường cao ).
vuông tại và ( theo tỉ
số đồng dạng là ).
Suy ra: .
Kết luận: .
Câu 27. Cho hình hộp có thể tích , gọi , là hai điểm thỏa mãn ,
, đường thẳng cắt đường tại , đường thẳng cắt đường thẳng
tại . Gọi là thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm , , , , , .
Tính tỉ số .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có:
Theo giả thiết:
nằm trên đoạn và .
MNPQRT
.
T MNPQ
.
M NRT
.
T MNPQ
2
1
.
2 2
MNPQ ABCD
a
S S
;
1 3
2 2 4
;
T
T
d T ABCD
h
CT SM a
h
SM CSd S ABCD
T
h
T
.
T MNPQ
2 3
.
1 1 3 3
. . . .
3 3 2 4 24
T MNPQ MNPQ T
a a a
V S h
.
M NRT
SAB SBC
SB
MK SB
K
MK SBC NRT
2 2 2 2 2 2
1 1 1 4 4 16 3
3 3 4
a
MK
MK MB MS a a a
SM B
B
MK
SB C
B
2
2
1 1 1
. . .
2 4 2 8
NRT
NRT
SBC
S
a
S SB BC
S
NRT SCB
1
2
2 3
.
1 1 3 3
. . . .
3 3 8 4 96
M NRT NRT
a a a
V S MK
3 3 3
. .
3 3 5 3
24 96 96
MNPQRT T MNPQ M NRT
a a a
V V V
.
ABCD ABCD
V
M
N
2
DM MD
2
C N NC
AM
A D
P
B N
B C
Q
V
A
B
P
Q
M
N
V
V
1
4
3
3
4
5
4
. .
PMD QNC A D M B C N
V V V
2
DM MD
M
D D
2
3
D M D D
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 31
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
nằm trên đoạn và .
*) Ta có:
Trong qua kẻ vuông với , .
, .
.
.
Từ đó ta được: .
*) Tương tự: .
Khi đó: . Vậy .
Ghi chú: Có thể tính tỉ số theo cách khác như sau:
Từ
và suy ra
Câu 28. (THPTQG 2019-MĐ101-Câu 47) Cho lăng trụ
' ' '
ABC A B C
có chiều cao bằng
8
và đáy là tam
giác đều cạnh bằng
6
. Gọi
,
M N
và
P
lần lượt là tâm của các mặt bên
' '
ABB A
,
' '
ACC A
và
' '
BCC B
. Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm
, , , , ,
A B C M N P
bằng
A.
27 3
. B.
21 3
. C.
30 3
. D.
36 3
.
Lời giải
Chọn A
2
C N NC
N
C C
2
3
C N C C
.
, ' .
, ' ' .
PMD QNC NQC NQC
BCC B BCC B
V d D NQC S S
V d D BCC B S S
BB C C
N
HK
BC
B C
,
H BC K B C
// 2 2
NK NC
BC B C NK NH
NH NC
1
3
NH HK
// 2 2
QC C N
BC B C QC BC
BC CN
1 1 1 1 2
. .2 .2 4. . .
2 2 2 3 3
QNC BB C C
S NK QC NH BC HK BC S
.
.
2 2
3 3
PMD QNC
PMD QNC
V
V V
V
. ' '
' '
1 1 2 1
. .
2 2 2 3 3
A DM BC N AD M A D M
A DDA A D D
V S S DM
V S S D D
' ' . ' '
3
A D M B C N
V V
2 1
3 3
V V V V
1
V
V
NQC
BCC B
S
S
2
2 4 4
. .
3 9 5
QNC
QNC BB C N
QB B
S
QC QN
S S
S QB QB
1
' '
1 1 1 5
.
3 3 2 6
CBN
CBN BCC B BB CN
CBC
S CN
S S S SBB C
S CC
2
1
2
4 5 2
.
5 6 3
QNC
BB C C
S
S
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 32
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
/
Gọi
1 1 1
, ,A B C lần lượt là trung điểm của các cạnh ', ', 'AA BB CC .
Khối lăng trụ
1 1 1
.ABC A B C có chiều cao là 4 là tam giác đều cạnh 6 .
Ba khối chóp
1
.A A MN ,
1
BB MP ,
1
CC NP đều có chiều cao là 4 và cạnh là tam giác đều cạnh
3Ta có:
1 1 1 1 1 1
. . . . .ABC MNP ABC A B C A A MN B B MP C C NP
V V V V V
2
6 3 1 9 3
4 3 4 27 3
4 3 4
Câu 29. Cho hình lập phương .ABCD A B C D
có cạnh bằng 1. Gọi M , N , P , Q lần lượt là tâm các
hình vuông ABB A
, A B C D
, ADD A
và CDD C
. Tính thể tích tứ diện MNPR , với R là
trung điểm BQ .
A.
1
12
. B.
3
12
. C.
2
24
. D.
1
24
.
Lời giải
Chọn D
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, trong đó
0;0;0A O ,
1;0;0B ,
0;1;0D ,
0;0;1A
,
1;1;0C ,
1;0;1B
,
0;1;1D
,
1;1;1C
.
Theo giả thiết, ta có:
1 1
;0;
2 2
M
,
1 1
; ;1
2 2
N
,
1 1
0; ;
2 2
P
,
1 1
;1;
2 2
Q
,
3 1 1
; ;
4 2 4
R
.
Ta có
1 1
0; ;
2 2
MN
,
1 1
; ;0
2 2
MP
,
1 1 1
; ;
4 2 4
MR
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 33
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Suy ra
.
1 1
. ; .
6 24
M NPR
V MN MP MR

.
Câu 30. Cho hình lăng trụ tam giác đều
.
ABC A B C
có tất cả các cạnh bằng
1
. Gọi
E
,
F
lần lượt là
trung điểm các cạnh
AA
và
BB
; đường thẳng
CE
cắt đường thẳng
C A
tại
E
, đường thẳng
CF
cắt đường thẳng
C B
tại
F
. Thể tích khối đa diện
EFA B E F
bằng
A.
3
6
. B.
3
2
. C.
3
3
. D.
3
12
.
Lời giải
Chọn A
Thể tích khối lăng trụ tam giác đều
.
ABC A B C
là
.
3 3
. .1
4 4
ABC A B C ABC
V S AA
.
Gọi
M
là trung điểm
AB
. Suy ra
CM ABB A
và
3
2
CM
.
Thể tích khối chóp
.
C ABFE
là
.
1 1 1 3 3
. . .1. .
3 3 2 2 12
C ABFE ABFE
V S CM
.
Thể tích khối đa diện
A B C EFC
là
. .
3 3 3
4 12 6
A B C EFC ABC A B C C ABFE
V V V
.
Ta dễ dàng chứng minh được
A
và
B
lần lượt là trung điểm của
C E
và
C F
.
Thể tích khối chóp
.
C C E F
là
.
1 1 1 3 3
. . .4. . .4. .1
3 3 3 4 3
C C E F C E F C A B
V S CC S CC
.
Khi đó, thể tích khối đa diện
EFA B E F
là
C.
3 3 3
3 6 6
EFA B E F C E F A B C EFC
V V V
.
Câu 31. Cho lăng trụ
.
ABC A B C
có chiều cao bằng
8
và diện tích đáy bằng
9
. Gọi
, , ,
M N P Q
và
R
lần lượt là tâm của các mặt
, , ,
ABB A BCC B CAA C ABC
và
A B C
. Thể tích của khối đa
diện lồi có các đỉnh là các điểm
, , ,
M N P Q
và
R
bằng
A.
6
. B.
12
. C.
9
. D.
36
.
Lời giải
Chọn A
M
F'
E'
F
E
B
C
A'
C'
B'
A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 34
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Do tam giác
MNP
đồng dạng với tam giác
A C B
theo tỉ số
1
2
nên
1 9
4 4
MNP A C B
S S
.
Gọi
1 2
,h h lần lượt là chiều cao của hai hình chóp
1 2
. , . 8R MNP Q MNP h h .
Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm
, , ,M N P Q
và R bằng
1 2
1 1 9
.8. 6
3 3 4
MNP
V h h S
.
Câu 32. Cho lăng trụ đứng .ABCD A B C D
có đáy là hình thoi có cạnh bằng 4a,
8a, 120AA BAD
. Gọi , ,M N K lần lượt là trung điểm của , ,AB B C BD
. Tính thể tích
khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm , , , , ,A B C M N K là
A.
3
12 3a . B.
3
40 3
3
a
. C.
3
40 3
3
a
. D.
3
16 3a .
Lời giải
Chọn A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 35
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Vì ABCD là hình thoi có cạnh bằng 4a và
120BAD
nên ABC là tam giác đều có cạnh
bằng 4a .
Gọi , ,E F G lần lượt là trung điểm của , ,AB AC BC .
Ta có
BF EG
BF MNGE
BF EM
.
1 1
. .
3 2
B MNGE MNGE
V BF S
3
1 4 3 8 3
. .4 .2
6 2 3
a a
a a
.
Tương tự ta có
3
. . .
8 3
3
C KNGF B EGNM A EFKM
a
V V V
.
Ta có .MNK EFG là hình lăng trụ đều có chiều cao
1
4a
2
ME BB
và đáy là tam giác đều có
cạnh bằng
1
2
2
EG AC a
2
3
.
4 3
4 . 4 3.
4
MNK EFG
a
V a a
Gọi V là thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm , , , , ,A B C M N K . Khi đó
. . . .MNK EFG C KNGF B EGNM A EFKM
V V V V V
3 3
4 3 8 3a a
3
12 3a .
Câu 33. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M , N , P , Q lần lượt là trọng
tâm các tam giác SAB , SBC , SCD , SDA. Biết thể tích khối chóp .S MNPQ là V . Thể tích
của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A , B , C , D , M , N , P và Q bằng
A.
17
4
V
. B.
71
4
V
. C.
4
V
. D.
13
4
V
.
Lời giải
Chọn A
Kí hiệu
ABCD
B là diện tích tứ giác ABCD.
,d ABCD A B C D
là khoảng cách giữa hai mặt phẳng
,ABCD A B C D
.
Khi đó, ta có
. . . . . . .MNPQ ABCD S ABCD S A B C D A A MQ B B MN C C NP D D PQ
V V V V V V V
.
Trong đó
.
1
. , .
3
S ABCD ABCD
V d S ABCD B
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 36
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
.
1 3
. , .2
3 2
S ABCD M N P Q
V d S A B C D B
2
.
1 3 3
. , .2.
3 2 2
S ABCD MNPQ
V d S A B C D B
2
.
3 3 1
.2. . , .
2 2 3
S ABCD MNPQ
V d S A B C D B
Ta được:
.
27
1
4
S ABCD
V V .
.
1
. , .
3
S A B C D A B C D
V d S A B C D B
.
1
. , .2
3
S A B C D MNPQ
V d S MNPQ B
.
2 2
S A B C D
V V
.
. . . .
A A MQ B B MN C C NP D D PQ
V V V V
1
,
3
A MQ B MN C NP D PQ
d ABCD A B C D B B B B
. . . .
1 1
. ,
3 2
A A MQ B B MN C C NP D D PQ MNPQ
V V V V d S A B C D B
. . . .
1
3
2
A A MQ B B MN C C NP D D PQ
V V V V V
.
Từ
1
,
2
và
3
ta có
. .
27 1 17
2
4 2 4
MNPQ ABCD MNPQ ABCD
V V V V V V
.
Các khác.
Ta có
. . ' ' ' '
1
2
S MNPQ S A B C D
V V ( vì
' ' ' '
1
2
MNPQ A B C D
B B )
D'
C'
B'
A'
Q'
P'
Q
N'
P
N
M'
M
C
A
D
B
S
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 37
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Và
3
. ' ' ' ' .
2
3
S A B C D S ABCD
V V
( vì tỉ số đồng dạng của hai khối chóp là
2
3
)
Nên
. . . . .
1 8 4 27
.
2 27 27 4
S MNPQ S ABCD S MNPQ S ABCD S ABCD
V V V V V V
Ta có
. ' . ' . ' ' . ' ' .
1 1 8 4 4 1 1
. .
2 2 27 27 27 8 8
B B MN S B MN S BM N S BM N S ABCD
V V V V V V
Vậy
. . ' ' ' ' . ' . . '
8
4 1 4
27
MNPQ ABCD ABCD A B C D B B MN S ABCD B B MN
V V V V V
. . '
19 19 27 1 17
4 . 4.
27 27 4 8 4
S ABCD B B MN
V V V V
.
Câu 34. Cho lăng trụ ' ' ' 'ABCD A B C D có chiều cao bằng 10 và đáy là hình vuông có cạnh bằng 5.
Gọi , ,M N P và Q lần lượt là tâm của các mặt bên ' 'ABB A , ' 'BCC B , ' 'CDD C và ' 'ADD A .
Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm , , , , , , ,A B C D M N P Q bằng
A.
625
3
. B.
625
6
. C.
125
6
. D.
125
3
.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
. ' ' ' '
10.25 250 . . .
ABCD A B C D
V d v t t .
. ' ' ' '.ABCD MNPQ A B C D MNPQ
V V ,
' ' ' '
1 1 1 25 125
. . . . .10.
' ' 2 2 3 2 12
MQAA AA B D
AM AQ
V V
AB AD
.
Và ta có:
' ' ' 'MQAA MNBB NPCC PQDD
V V V V .
Suy ra:
. ' ' ' '. . ' ' ' ' ' ' ' 'ABCD MNPQ A B C D MNPQ ABCD A B C D MQAA MNBB NPCC PQDD
V V V V V V V
Hay:
.
125 625
2. 250 4.
12 3
ABCD MNPQ
V
.
625
6
ABCD MNPQ
V .
Câu 35. Cho hình lăng trụ đều có độ dài tất cả các cạnh bằng . Gọi là trung điểm
và là điểm thuộc cạnh sao cho . Thể tích của khối đa diện lồi có các
đỉnh là các điểm , , , , và bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Cách 1
.
ABC A B C
a
M
AB
N
AC
2
CN AN
A
M
N
A
B
C
3
5 3
12
a
3
3
36
a
3
5 3
36
a
3
3
12
a
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 38
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Gọi là thể tích của của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm , , , , và .
Khi đó ta có: .
Từ giả thiết ta có: ; ;
.
Gọi là trung điểm của thì và (do là tam giác đều
cạnh bằng ), suy ra .
Khi đó ta thu được các kết quả sau
.
.
.
Vậy .
Cách 2
Gọi là thể tích của của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm , , , , và .
Khi đó ta có: .
Ta có .
Suy ra .
H
M
C'
A'
A
C
B
B'
N
V
A
M
N
A
B
C
. . .
M A AN M A C N M A B C
V V V V
2
1 1
. . .
2 2 3 6
A AN
a a
S AA AN a
2
1 1
, . . .
2 2 2
A C N
a
S d N A C A C a a
2
1 3
. .sin60
2 4
A B C
a
S A B A C
H
AC
BH ACC A
3
2
a
BH
ABC
a
1 1 3
, ,
2 2 4
a
d M ACC A d B ACC A BH
2 3
.
1 1 3 3
, . . .
3 3 4 6 72
M A AN A AN
a a a
V d M ACC A S
2 3
.
1 1 3 3
, . . .
3 3 4 2 24
M A C N A C N
a a a
V d M ACC A S
2 3
.
1 1 3 3
, . . .
3 3 4 12
M A B C A B C
a a
V d M A B C S a
3 3 3 3
. . .
3 3 3 5 3
72 24 12 36
M A AN M A C N M A B C
a a a a
V V V V
V
A
M
N
A
B
C
. .
M AA C N M A B C
V V V
2
1 1 2
2 2 3 3
AA C N
a a
S AA AN A C a a
3 3
.
1 1 3 2 2 3
, . . .
3 3 4 3 36
M AA C N AA C N
a a a
V d M ACC A S
2 3
.
1 1 3 3
, . . .
3 3 4 12
M A B C A B C
a a
V d M A B C S a
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 39
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Vậy .
Cách 3
- Gọi là trung điểm của và là thể tích của của khối đa diện lồi có các đỉnh là các
điểm , , , , và . Khi đó .
- Dễ thấy nên là khối chóp cụt.
- Áp dụng công thức thể tích của khối chóp cụt có chiều cao , diện tích đáy nhỏ và đáy lớn
theo thứ tự là , thì ta có .
- Khi đó
.
- Mặt khác .
Vậy .
Câu 36. Cho lăng trụ tam giác đều có . Gọi , lần lượt là trung điểm
của hai cạnh và . Lấy điểm trên cạnh thỏa mãn . Mặt phẳng
chia lăng trụ đã cho thành 2 khối đa diện, thể tích của khối đa diện chứa đỉnh là:
A. . B. . C. . D.
.
Lời giải
Chọn B
3 3 3
. .
2 3 3 5 3
36 12 36
M AA C N M A B C
a a a
V V V
a
H
M
C'
A'
A
C
B
B'
N
H
AC
V
A
M
N
A
B
C
. .
AMH A B C M NHC
V V V
//
MH B C
.
AMH A B C
1
V
h
0
S
1
S
1 0 0 1 1
3
h
V S S S S
.
.
3
AMH A B C AMH AMH A B C A B C
AA
V S S S S
2 2 2 2
1 3 1 3 3 3
. . .
3 4 4 4 4 4 4
a a a a a
3
7 3
48
a
3
.
1 1 3 1 3
, . . . . .
3 3 4 2 6 144
M NHC NHC
a a a
V d M ACC A S a
3 3 3
. .
7 3 3 5 3
48 144 36
AMH A B C M NHC
a a a
V V V
.
ABC A B C
AB AA a
M
P
AC
B C
N
AB
5
7
AN AB
MNP
1
V
C
3
1
3057
3
23520
V a
3
1
2057
3
23520
V a
3
1
4057
3
23520
V a
3
1
5057
3
23520
V a
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 40
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Trong vẽ , áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ta có:
.
Trong :
Vẽ (dễ thấy )
Vẽ (dễ thấy ).
Trong vẽ (dễ thấy ).
Vậy thiết diện là ngũ giác .
(*)
Trong đó:
.
.
.
Thay vào (*) ta được: .
Câu 37. (THPTQG 2019-MĐ104-Câu 46) Cho lăng trụ .
ABC A B C
có chiều cao bằng 4 và đáy là
tam giác đều cạnh bằng 4. Gọi
,
M N
và
P
lần lượt là tâm của các mặt bên ,
ABB A ACC A
và
BCC B
. Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm
, , , , ,
A B C M N P
bằng
mp ABC
MN CB Q
ACB
2 5
. . 1 1. . 1
5 2
MA QC NB QC QC
MC QB NA QB QB
mp BB C C
QP BB E
1
3
2
2
4
3
B C
EB PB EB
EB QB EB
BC
QP CC F
3
7
FC EB CC
mp AA C C
MF A C K
3 3
10 20
KC MC AC
MNEPK
1 . . .
F MQC F KPC E NQB
V V V V
3
.
1 1 5 10 25 3
. .
3 3 6 7 252
F MQC MQC ABC
a
V S FC S CC
3
.
1 1 3 3 3 3
. .
3 3 40 7 1120
F KPC KPC ABC
a
V S FC S CC
3
.
1 1 4 4 4 3
. .
3 3 21 7 441
E NQB NQB ABC
a
V S EB S CC
3
1
2057
3
23520
V a
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 41
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
A.
14 3
3
. B.
8 3
. C.
6 3
. D.
20 3
3
.
Lời giải
Chọn C
Thể tích khối lăng trụ .
ABC A B C
là
2
4 . 3
4. 16 3
4
V .
Gọi thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm
, , , , ,
A B C M N P
là
1
V
.
Ta có:
1
AMNCB BMNP BNPC
V V V V .
Dễ thấy
3
A ABC
V V
và
3
4
AMNCB A ABC
V V
nên
1
4
AMNCB
V V
.
1
3
BA B C
V V
và
1
8
BMNP BA B C
V V
nên
1
24
BMNP
V V
.
3
A BCB A B CC
V V V
và
1
4
BNPC BA B C
V V
nên
1
12
BNPC
V V
.
Vậy
1
3
6 3
8
AMNCB BMNP BNPC
V V V V V .
Câu 38. (THPTQG 2019-MĐ102-Câu 49) Cho lăng trụ
. ' ' '
ABC A B C
có chiều cao bằng
8
và đáy là
tam giác đều cạnh bằng
4
. Gọi
,
M N
và
P
lần lượt là tâm các mặt bên
' ', ' '
ABB A ACC A
và
' '
BCC B
. Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm
, , , , ,
A B C M N P
bằng
A.
12 3
. B.
16 3
. C.
28 3
. D.
40 3
3
.
Lời giải.
Chọn A
N
P
M
A'
C'
B'
B
C
A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 42
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
.
Ta có:
2
. ' ' '
3
8. .4 32 3;
4
ABC A B C
V
'. . ' ' '
1
;
3
C ABC ABC A B C
V V
. ' ' . ' ' '
1
3
A BC B ABC A B C
V V .
Khối đa diện cần tìm
. . .
C ABPN P AMN P ABM
V V V V
.
Ta có
. '. . ' ' '
3 1
4 4
C ABPN C ABC ABC A B C
V V V
.
Ta có
' ' . ' ' '
1 1
8 24
PAMN ABC B ABC A B C
V V V
.
Ta có
' ' . ' ' '
1 1
4 12
PABM ABC B ABC A B C
V V V
.
Vậy thể tích khối cần tìm
. ' ' ' . ' ' ' . ' ' '
1 1 1
4 24 12
ABC A B C ABC A B C ABC A B C
V V V V
. ' ' '
3
12 3
8
ABC A B C
V .
Câu 39. Cho hình lập phương cạnh bằng 1. Gọi là trung điểm cạnh . Mặt
phẳng cắt cạnh tại . Tính tỷ số thể tích của khối đa diện và
khối lập phương.
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D
Gọi là trung điểm thì . Mà .
.
P
N
M
C
B
A'
C'
B'
A
.
ABC D A B C D
M
BB
MA D
BC
K
A B C D M KCD
7
.
24
7
.
17
1
.
24
17
.
24
K
BC
//
MK BC
//
B C A D
//
MK A D K MA D
3
D.
1 1
ABC A B C D
V
K
M
B'
A'
B
C'
D'
D
C
A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 43
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Ta có .
Nên .
Dễ thấy .
Suy ra:
.
Vậy .
Câu 40. Cho hình lập phương .ABCD A B C D
có cạnh bằng 2a . Gọi M là trung điểm của BB
và
P thuộc cạnh DD
sao cho
1
4
DP DD
. Mặt phẳng
AMP cắt CC
tại
N . Tính thể tích khối
đa diện AMNPBCD .
A.
3
2a
. B.
3
3a
. C.
3
9
4
a
. D.
3
11
3
a
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
// DD C
DD C
ABB A C
ABB A AMP AM
C AMP PN
với
1
; //
4
N CC PN AM C N CC
.
Gọi , ,E G F lần lượt là các điểm thuộc các cạnh , ,BB AA DD
sao cho
1 1 1
; ;
4 4 4
B E A G D F
B B A A D D
.
Gọi , ,h S V lần lượt là chiều cao, diện tích mặt đáy và thể tích của hình lập phương đã cho.
Khi đó, diện tích tứ giác AMEG là
4 4 2
S S S
S .
1
1 .1
.
3
2
2 2 4
A MBA
A A MB AB
S
.
1 1
. .
3
3 1
. .1
4
3
4
A MBAD A ABM
V S AD
.
.
1 1 1
. .
2 2 4
B MKD
B CB D
BM BK
B
V
B BCV
. .
1 1 1
. . .
4 4 3
B MKD B CB D DBC
S B
V
B
V
1 1 1 1 1 1 1
. . . . . ' . . .1.1.1
4 3 2 4 3 2 24
DC BC BB
. . .
. .
.A B C D MKCD ABCD A B C D D A ABM
ABCD A B C D ABCD A B C D
B MKD
V V V V
V V
1 1
1
17
4 24
1 24
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 44
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Suy ra thể tích của khối chóp .N AMEG là
.
1
.
3 2 6
N AMEG
S V
V h
Diện tích tứ giác APFG là
5
4 8 8
S S S
S .
Suy ra thể tích của khối chóp .N APFG là
.
1 5 5
.
3 8 24
N APFG
S V
V h .
Thể tích của khối hộp ABCD.GENF là
ABCD.
3
4
GENF
V
V .
Thể tích khối đa diện AMNPBCD là
3
3
. . .
3 5 9 9.8
3
4 6 24 24 24
AMNPBCD ABCD GENF N AMNE N APFG
V V V V a
V V V V a .
Câu 41. Cho khối lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại , 2C AB a và góc
tạo bởi hai mặt phẳng
'ABC và
ABC bằng 60. Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của
' 'A C và BC . Mặt phẳng
AMN chia khối lăng trụ thành hai phần. Thể tích của phần nhỏ
bằng
A.
3
7 3
24
a
. B.
3
3
3
a
. C.
3
7 6
24
a
. D.
3
6
6
a
.
Lời giải
Chọn A
*Cách 1:
Gọi
H
là trung điểm của AB CH AB .
Tam giác 'AC B cân tại ' 'C C H AB .
Mà
' , ' ' 60ABC ABC AB ABC ABC CHC .
ABC vuông cân tại C có 2 2;AB a AC CB a CH a .
'C CH vuông tại
' .tan ' 3 ' 'C CC CH CHC a AA BB .
Gọi 'N là trung điểm của ' 'B C ,
'M
là trung điểm của
' '/ /
' ' '/ / AN
'/ / ' '
A N AN
C N MM
MM A N
thiết diện của hình lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C cắt bởi mặt phẳng
AMN là hình thang
'AMM N hay mặt phẳng
AMN chia khối lăng trụ thành hai phần, trong đó phần nhỏ là
' 'ACNMC M .
Ta có:
3
' ' '
1 2 3
'.S 3. . 2.
2 2 2
ACNA C N ACN
a a
V AA a a
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 45
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
2
' ' ' ' ' ' ' '
1 2 1 2 2 3
. 2. . .
2 2 2 2 4 8
A MM N A C N MC M
a a a a
S S S a
.
2 3
. ' ' ' ' ' '
1 1 3 3
. '.S . 3.
3 3 8 8
A A MM N A MM N
a a
V AA a
.
3
. ' ' ' '
1 1 1 2 3
. . . 2. . 3.
3 3 2 4 12
A M N N M N N
a a
V AC S a a
.
Vậy
3 3 3 3
' ' ' ' ' . ' ' ' . ' '
3 3 3 7 3
2 8 12 24
ACNMC M ACNA C N A A MM N A M N N
a a a a
V V V V
.
Cách 2:
Kéo dài
' '
, ,AM CC NM cắt nhau tại D . Khi đó
' '
.
.
D ACN
ACNMCM D MCM
V V V .
Ta có:
' ' ' '
' '
1
2 2 2 3
2
DM DC DM MC CM
DC DC CC a
DA DC DN AC CN
.
3
.
1 1 1 2 3
. . .2a 3. . 2.
3 3 2 2 3
D ACN ACN
a a
V DC S a .
' ' '
3
'
.MCM
1 1 1 2 2 3
. . .a 3. . .
3 3 2 4 2 24
D MC M
a a a
V DC S
.
'
3 3 3
3 3 7 3
3 24 24
ACNMCM
a a a
V .
Câu 42. Cho hình chóp .. Đáy  là hình bình hành, là trung điểm , thuộc cạnh 
sao cho


=
, thuộc cạnh  sao cho


=
. Mặt phẳng () cắt ,, lần lượt tại
,,. Biết thể tích khối  bằng 1. Tính thể tích khối 
A.


B.


C.


D.

Lời giải
Chọn A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 46
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Dễ chứng minh được


=
và là trung điểm đoạn .
Gọi là thể tích khối chóp ..
Đặt =


,b=


,c=


,d=


Ta có =2,=
,=
Vì + =+ ⇒=

+)
.
=


=


⋅

⋅⋅
⋅
=

.
Vì

=1 nên =

.
+)

=

+
.
+
.
.
+)

=1 −

=1 −

=


+)
.
=
(,())
⋅(,())
⋅


=


⋅
⋅(,)⋅
(,)⋅
(,)⋅
=


⋅
⋅()

=


⋅
⋅󰇡


+


󰇢=
⋅
⋅󰇡
+ 1󰇢=

,(3).
+
.
=
.

.
=
(
,()
)
⋅
⋅
(
,()
)
⋅


=
⋅




=
⋅
=

Thế (2),(3),(4) vào (1) ta được

=


+

+

=


Suy ra

=


⋅V=


⋅

=


Nhận xét: Có thể đặc biệt hóa hình chóp với đáy là hình vuông. Khi đó tính

dễ hơn vì
đáy  là hình thang vuông.
Câu 43. Cho hình chóp SABC có diện tích đáy bằng 10, chiều cao bằng 9. Gọi
, ,M N P
lần lượt là
trọng tâm của tam giác
, ,SAB SBC SCA
. Thể tích của khối đa diện ABCMNP.
A. 60 B.
175
3
. C.
560
9
. D.
160
9
.
Lời giải
Chọn D
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 47
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Ta có
3
2 8
.
3 27
SIJK SABC SABC
V V V
19 19 1 190
. 9.10
27 27 3 9
IJKABC SABC
V V
. . . .
( )
ABC MNP ABCIJK B MNJ A MIP C NPK
V V V V V
mà
. . .
B MNJ A MIP C NPK
V V V
. .
3
ABC MNP ABCIJK B MNJ
V V V
Có
1
. .
3
BMNJ MNJ b
V S h
;
,
b
h d B IJK
4 4 40
.10
9 9 9
IJK ABC
S S
Mà
1 10
.
4 9
MNJ IJK
S S
;
1
3
3
b
h h
1 10 10
. .3
3 9 9
BMNJ
V
Vậy
190 10 160
3.
9 9 9
ABCMNP
V
+ Phương án nhiễu
A
: HS nhầm với
9.10 90
SABC
V Bh
+ Phương án nhiễu
B
: HS nhầm với
2
;
3
IJK ABC SABC
S S V Bh
+ Phương án nhiễu
C
: HS nhầm với
. .
ABC MNP ABCIJK B MNJ
V V V
Câu 44. Cho tứ diện đều
ABCD
có thể tích là
V
. Gọi
, , , ,
M N P Q R
lần lượt là trung điểm các cạnh
, , , ,
AB AD AC DC BD
và
G
là điểm đối xứng của
B
qua
PN
. Tính thể tích khối đa diện
lồi
GMNPQR
theo
V
A.
2
V
. B.
6
V
. C.
2
5
V
. D.
5
8
V
.
Lời giải
Chọn D
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 48
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Gọi I là trung điểm của PN thì I cũng là trung điểm của AQ .
Do ABCD là tứ diện đều nên BI NP .
G đối xứng với B qua NP I là trung điểm của BG .
. . .GMNPQR G MNP G NPQ N MPQR
V V V V
Do I là trung điểm của AQ và BG nên ABQG là hình bình hành nên
// //AG BQ MI
//AG PMN
, ,d G MNP d A MNP nên
. .
8
G MNP A MNP
V
V V .
I là trung điểm của BG nên
, ,d G PNQ d B PNQ
. .
1 1
, .
3 4
G PNQ B PNQ PQN
V V d B ACD S V .
Gọi J là trung điểm BC
.
1 1
2 2 2 4
N MPQR JPMRQN
V V
V V .
Vậy
. . .
5
8 4 4 8
MNPQRG G MNP G NPQ N MPQR
V V V V
V V V V .
Câu 45. Cho khối lăng trụ .ABC A B C
có thể tích bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng
AC và B C
. Gọi (P) là mặt phẳng qua M và song song với mặt phẳng ( )A NC
. Mặt phẳng (P) chia khối
lăng trụ .ABC A B C
thành hai khối đa diện, gọi (H) là khối đa diện chứa đỉnh Thể tích của khối đa
diện (H) bằng
A.
3
.
5
B.
1
.
3
C.
2
.
5
D.
1
.
2
Lời giải
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 49
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Chọn D
Gọi khối lăng trụ .
ABC A B C
có thể tích bằng
V
- Mặt phẳng (P) qua M và song song với mặt phẳng
( )
A NC
nên mặt phẳng (P) cắt các mặt
phẳng
( ),( ' ' ')
ABC A B C
lần lượt theo các giao tuyến
,
ME GF
(
( , ' ', ' ')
E BC G A B F B C
cùng song song
A N
- Mặt phẳng (P) cắt các mặt phẳng
( ' ' ),( ' ' )
AA C C BB C C
lần lượt theo các giao tuyến
MI
( ')
I AA
song song
'
A C
,
song song
.
CN
Ba đường thẳng
, , ' '
MI FG A C
đồng quy tại
,
K
ba đường thẳng
, , '
MI EF CC
đồng quy tại
.
J
- Mặt phẳng (P) chia khối lăng trụ .
ABC A B C
thành hai khối đa diện, gọi (T) là khối đa diện
không chứa đỉnh Thể tích của khối đa diện (T) bằng
1 . ' . . '
J C FK J CEM I A GK
V V V V
' '
1 1 1 9 1 1 1
. ' . . '
3 3 3 16 48 24 2
C FK CEM A GK
S JC S JC S IA V V V V
.
Câu 46. Cho lăng trụ .
ABC A B C
có chiều cao bằng 8 và đáy là tam giác đều cạnh bằng
2 3
. Gọi
, ,
M N P
lần lượt là tâm của các mặt bên ,
ABB A BCC B
và
ACC A
. Thể tích của khối đa diện
lồi có các đỉnh là các điểm
, , , , ,
A B C M N P
bằng:
A.
6 3
. B.
18 3
. C.
9 3
. D.
3 3
.
Lời giải.
I
A
B
C
A'
B'
C'
N
M
E
F
G
K
J
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 50
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Chọn C
Mặt phẳng
MNP
cắt các cạnh , ,
AA BB CC
lần lượt tại các điểm
1 1 1
, ,
A B C
.
Dễ thấy,
//
MNP ABC
và
MNP
chia khối lăng trụ thành hai phần có thể tích bằng nhau.
Gọi
V
là thể tích khối đa diện cần tìm. Khi đó:
1 1 1
.
1
2
ABC A B C AA MP CC PN BB MN
V V V V V
Mặt khác:
1 1
1
, .
3
AA MP A MP
V d A MNP S
.
1 1 1 1
. , .
3 2 4 24
A B C ABC A B C
d A A B C S V
Tương tự:
1 1
.
1
24
CC PN BB MN ABC A B C
V V V
Do đó:
2
. . .
2 3 3
1 3 3 3
. .8 9 3
2 24 8 8 4
ABC A B C ABC A B C ABC A B C
V V V V
Câu 47. Cho hình lập phương , là trung điểm của . Mặt phẳng chia
khối lập phương thành 2 phần. Tỉ số thể tích của phần bé và phần lớn là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
N
P
M
C
1
B
1
A
1
B
C
A'
C'
B'
A
. ' ' ' '
ABCD A B C D
I
BB
DIC
5
19
9
15
7
17
10
17
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 51
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Trong kẻ ,
Vì mặt phẳng cắt AB tại N. Do đó mặt phẳng
chia hình lập
phương thành 2 khối đa diện: khối có thể tích là
và phần còn lại có thể tích là .
Giả sử cạnh của hình lập phương bằng .
Ta có: .
Mà và
Phần còn lại có thể tích là .
Các cách giải khác:
Cách 1: Giả sử hình lập phương có cạnh bằng ta có .
,
Thể tích phần còn lại là . Tỉ số cần tính là .
Cách 2:
BAA B
//
IN AB
N AB
NA NB
//
AB DC
IDC
DIC
C INDCB
1
V
2
V
.
ABC D A B C D
a
C DAB IN
V
. .
C ADN C ANIB
V V
1 1
. .
3 3
ADN ANIB
CC S C B S
2
1
.
2 2 4
ADN
a a
S a
2
1
. .
2 2 2 8
IBN
a a a
S
2 2 3
2
1 3 5
2 8 8 24
ANIB C DAB IN
a a a
S a V
3 3
3
1
1 5 7
2 24 24
a a
V a
3 3
3
1
2
2
7 17 7
24 24 17
Va a
V a
V
a
3
.ABCD A B C D
V a
2
1
2
DCC
S a
2 2
1 1 1 1
. .
2 2 2 8
BIN
S a a
.
1
.
3
BIN BIN
BIN CC D CC D CC D
V BC S S S S
2 2 2
1
3 8 4 2
a a a
a
3
7
24
a
3 3
3
7 17
24 24
a a
a
7
17
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 52
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Gọi là giao điểm của và , ta có
.
.Suy ra .
Thể tích phần còn lại là .Tỉ số cần tính là .
Câu 48. Cho hình hộp .
ABCD A B C D
có chiều cao bằng
8
và diện tích đáy bằng
9
. Gọi
M
,
N
,
P
và
Q
lần lượt là tâm của các mặt bên
,
ABB A
,
BCC B
CDD C
và
DAA D
.
Thể tích của khối
đa diện lồi có các đỉnh là các điểm
, , , , , ,
A B C D M N P
và
Q
bằng
A.
27
. B.
30
. C.
18
. D.
36
.
Lời giải
Chọn B
Ký hiệu
V
và
V
lần lượt là thể tích của khối hộp .
ABCD A B C D
và khối đa diện lồi có các
đỉnh là các điểm
, , , , , ,
A B C D M N P
và
Q
ta có:
. . . . . .
A AB D C CB D B BMN D DPQ P QMB D P MNB
V V V V V V V V
Vì
8.9 72
V
E
CB
D N
. .
1
2.
3
E DCC ABB DCC
V V
.
1 1 1
2. .
3 2 3
ABCD A B C D
V V
.
1 1
.
3 8
E BNI
V V
.
1 1 7
3 24 24
BNI CDC
V V V V
7 17
24 24
V V V
7
17
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 53
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
. .
6
A AB D C CB D
V
V V
;
. . .
1 1
. .
2 2 24
B BMN D DPQ D DAC
V
V V V
. .
3
.
4 6 8
P QMB D A QMB D
V V
V V
và
. .
1 1 1 1
. . .
2 4 2 4 3 24
P MNB D ACB
V V
V V
Nên
1 1 1 1 1 1
1 .72 30
6 6 24 24 8 24
V
.
Cách khác:
Gọi
, , ,
H K L F
lần lượt là trung điểm của các cạnh bên , ,
AA BB CC
và
DD
ta có
. . . .
1 1 1 1 1 1
4 4. . 36 4. . .72 30
2 2 8 6 8 6
ABCDQMNP ABCD A B C D A HQM ABCD A B C D ABCD A B C D
V V V V V
| 1/53

Tài liệu khác của Toán 12

Preview text:

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN PHỨC HỢP (VDC)
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Thể tích khối đa diện 1
- Thể tích khối chóp : V S .h 3 d
- Thể tích khối lăng trụ : V S .h . d
- Thể tích khối lập phương : 3
V a , thể tích khối hộp chữ nhật : V  . a . b c .
2. Thể tích khối đa diện được phân chia : V SA SB SC
+) Khối chóp tam giác : S . ABCV
SASBSCS . A BC   S C' A' B' C A B
+) Khối chóp tứ giác có đáy là hình hành : V abcd  1 1 1 1  SA' SB ' SC ' SD '
S . A' B 'C ' D '     , a  , b  , c  , d    V 4  a b c d SA SB SC SD S. ABCD 1 1 1 1    a c b d
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 S D' A' C' B' A D B C V 1  AM BN CP
+) Thể tích khối lăng trụ tam giác : ABC .MNP  .     V 3  AABBCCABC , A BC    C B P A N M C' B' A' VABCD MNPQ 1  AM BN CP DQ  1  AM CP +) Khối hộp : .  .          V 4  AABBCCDD  2  AACCABCD, A BCD    AM CP BN DQ    AACCBBDD
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 A D B C M Q N P A' D' B' C'
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
 Khối đa diện cắt ra từ một khối chóp  Khối chóp cụt  Khối hình hộp khác  Khối lăng trụ khác
 Khối da diện cắt ra từ khối lăng trụ    
VÍ DỤ: (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Cho hình hộp ABC .
D A B C D có chiều cao bằng 8      
và diện tích đáy bằng 9. Gọi M , N , P và Q lần lượt là tâm của các mặt bên ABB A , BCC B ,CDD C và
DAAD . Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm ,
A B, C, D, M , N , P và Q bằng A. 27 . B. 30 . C. 18 . D. 36 .
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính thể tích khối đa diện. 2. HƯỚNG GIẢI:
B1:Tính thể tích khối .
B EMN theo thể tích khối hộp với E là trung điểm cạnh BB .
B2:Hoàn toàn tương tự, tính thể tích 3 khối nhỏ là V ;V ;V . C.NFP D.GPQ . A MHQ
B3: Thể tích khối đa diện cần tìm sẽ bằng thể tích khối EFGH.ABCD trừ đi thể tích 4 khối nhỏ bằng nhau là V ;V ;V ;V . B.EMN C .NFP D.GPQ . A MHQ
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn B
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 3
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
Gọi E, F , G, H lần lượt là trung điểm của BB ,
CC, DD và AA . Ta có: 3  V 1 1 1 1 1 EMN    AB C
   B.EMN      VV  . VV . B.EMN
B. AB C  
ABCD. AB CD   ABCD.     V 2 8 8 6 24 A B C D
B. AB C   Hoàn toàn tương tự, 1 VVVV . C. NFP D.GPQ A.MHQ ABCD.     48 A B C D
Thể tích khối đa diện cần tìm sẽ bằng thể tích khối EFGH.ABCD trừ đi thể tích 4 khối nhỏ bằng nhau là V ;V ;V ;V . B.EMN C .NFP D.GPQ . A MHQ V     4 5 Suy ra ABCD. A B C D V   VV . MNPQABCD
ABCD. AB CD   ABCD.     2 48 12 A B C D 5 Mà V  8.9  72 nên V  .72  30 (đvtt).
ABCD. AB CD   MNPQABCD 12
Câu 1. Cho hình hộp ABC . D AB CD
  có diện tích đáy bằng 9 , chiều cao bằng 3. Gọi , Q M , N, , P I
 1   1   1   1   1 
là những điểm thỏa mãn AQ AB ,  DM DA ,
CN CD , BP BC ,  B I   B D   . Thể 3 3 3 3 3
tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm , Q M , N, , P I bằng 27 10 4 10 A. . B. . C. . D. . 10 27 3 3 Lời giải Chọn D
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 4
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 B' C' I D' A' F G P j M N Q E H C B D A
Mặt phẳng  MNPQ cắt hình hộp ABCDAB CD
  theo thiết diện là hình bình hành EFGH và
ta có d  A' B 'C ' D '; EFGH   2d EFGH ; ABCD 2 Ta có VV và
A' B 'C ' D '.E FGH 3 O 1 1 AB 2.AD 2 1 1 5 SE . Q EM .sin E  . sin A SSS  1 4  S . EQM 2 2 3 3 9 ABD 9 ABCD MNPQ 9 9 ABCD 1 2 5 10 10 V  . . h SV  . I .MNPQ 3 3 9 ABCD 81 o 3
Câu 2. Cho hình lập phương
. ′ ′ ′ ′ có cạnh bằng 1. Gọi , lần lượt là trung điểm của ′ ′ và . Mặt phẳng (
) chia hình lập phương thành 2 phần. Gọi là thể tích của phần chứa đỉnh và
là thể tích của phần còn lại. Tỉ số bằng A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn D H K D' A' M B' C' F A D B N C E Gọi = ⋂ , = ⋂ ′, = ⋂ ′, = ′ ′⋂ . Khi đó ( ) cắt khối lập
phương theo thiết diện là ngũ giác . Ta có: = = = = ⇒ = và = = 1
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 5
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 Mà là trung điểm của nên = = ⇒ = hay = . Vì ′ = ′ nên = ⇒ ′ = ; = = ⇒ ′ = .
Thể tích khối tứ diện là: . = . . . = . 1.2. = . Thể tích = . − ( . + . ) = − 1. . + . . = ⇒ = . Vậy = .
Câu 3. Cho hình hộp ABC . D AB CD
  có chiều cao bằng 8 và diện tích đáy bằng 9 . Gọi M , N, , P ,
Q R và S lần lượt là tâm của các mặt ABB A  , BCC B  , CDD C
 , DAAD , ABCD và A BCD
  . Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm M , N, , P ,
Q R và S bằng 1 A. 3 . B. 24 . C. 9 . D. . 3 Lời giải Chọn A
Gọi I , J , K , L lần lượt là trung điểm các cạnh AA ,
BB , CC , DD . 1
Do tam giác MIQ đồng dạng với tam giác B A
 D theo tỉ số nên 2 1 1 9 9 9 SSS  . Suy ra SS  4S  9  4.  . MIQ 4 B AD   8 A BCD   8 MNPQ IJKL MIQ 8 2
Gọi h , h lần lượt là chiều cao của hai hình chóp .
R MNPQ, S.MNPQ h h  8 . 1 2 1 2
Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm M , N , P, Q, R và S bằng 1 1 9 V  h h S  .8.  3 . 1 2  3 MNPQ 3 8
Phương án nhiễu B: nhầm SS  9 . MNPQ IJKL
Phương án nhiễu C: sử dụng công thức tìm thể tích hình chóp quên chia 3.
Phương án nhiễu D: chỉ tính V , không tính V . R.MNPQ S .MNPQ
Câu 4. Cho lăng trụ ABC.A BC
  có chiều cao bằng 8 và diện tích đáy bằng 9 . Gọi M , N là hai điểm    
thỏa mãn BM k.BBk  
1 , CN l.CC l  0 . Thể tích của tứ diện AAMN bằng
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 6
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 l k 1 l k 1 A. . B. 24 . C. 72 . D. . 72 210 Lời giải Chọn B    
Theo giả thiết BM k.BBk  
1 , CN l.CC l  0 suy ra M BB , N CC (như hình vẽ)
Do BM ||  ACC A
   d M , ANA  d B, ANA. Ta có SSANAACA Có 1 Vd M ANASd B ANASd B ACASV AA MN  1 1 ,  . ANA  , . ACA  , .  3 3 3 ACAA . ABC 1  .9.8  24 . 3
Phương án nhiễu A: Học sinh không biết cách tính, chọn lụi và nghĩ rằng đáp số phải có k, l .
Phương án nhiễu C: sử dụng công thức tìm thể tích hình chóp quên chia 3.
Phương án nhiễu D: Học sinh không biết cách tính, chọn lụi và nghĩ rằng đáp số phải có k, l ,
nhưng vì hình tứ diện nên sẽ chia 3 .
Câu 5. Cho hình hộp chữ nhật ABC . D A BC 
D có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , AA  3a . Gọi
M và N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Mặt phẳng  DMN  chia khối lập phương
đã cho thành hai khối đa diện. Gọi  H  là khối đa diện chứa đỉnh ,
A H là khối đa diện còn VH  lại. Tính tỉ số . VH ' 37 55 2 4 A. . B. . C. . D. . 48 41 3 5 Lời giải
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 7
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 E A' M B' I C' D' K B J A N D C Chọn B
Gọi AB DN J , BB  MJ K , AA  JM E và ED AD I .
Suy ra thiết diện là ngũ giác DNKMI .
BJ CD a Dễ thấy  . B K   EA  BK B M  1 BK  2a Ta có:    BK  2B K    B KBJ 2 B K   EA  a   3 ID  a IA EA 1     4  
ID  3IA   IDAA 3 1 IA  a   4 1 1 1 VVVVE . A SEA .SKB.SH EADJ EAIM KBNJ    3 ADJ 3 IA M 3 NBJ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 55 3  4 . a . a 2a  . a . . a a  .2 . a . . a a a 3 2 3 2 4 2 3 2 2 48 55 41 2 3 3 VVVa .2a a aH 
ABCD. AB CD   H  48 48 VH 55 Suy ra:  . V 41  H
Câu 6. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A BC
  có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A , cạnh
BC a 6 . Góc giữa mặt phẳng  AB C
  và mặt phẳng  BCC B
  bằng 60 . Tính thể tích
V của khối đa diện AB CAC . 3 3a 3 3 a 3 3 a 3 A. 3 a 3 . B. . C. . D. . 2 2 3 Lời giải Chọn A
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 8
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 Khối đa diện AB C
AC là hình chóp B .ACC A
  có AB   ACC A   .
Từ giả thiết tam giác ABC vuông cân tại A , cạnh BC a 6 ta suy ra AB AC a 3 . a 6
Gọi M là trung điểm của BC , suy ra AM BC và AM  . 2  AM BC Ta có 
AM   BCC B
   AM B C  (1). AM BB 
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên B C
 , suy ra MH B C  (2).
Từ (1) và (2) ta suy ra B C
   AMH  . Từ đó suy ra góc giữa mặt phẳng  AB C   và mặt phẳng BCC B   
là góc giữa AH và MH . Mà tam giác AMH vuông tại H nên  AHM  60 . a 6 1 a 2
MH AM .cot 60  .  . 2 3 2 a 2  MH 1 Tam giác B B
C đồng dạng với tam giác MHC nên suy ra 2 sin HCM    MC a 6 3 2 1 1 3 2 2    1 tan MCH     tan MCH  2  1 1 sin MCH 2 2 1 3  2
BB  BC.tan MCH a 6.  a 3 2 1 1 3  VVB A
 .AC.AA  .a 3.a 3.a 3  a 3 . AB CA C   B .  ACC A   3 3 
Câu 7. Cho hình hộp ABC . D A BCD
  có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bằng a và BAC  60 . a 7
Gọi I, J lần lượt là tâm của các mặt bên ABB A  , CDD C   . Biết AI
, AA  2a và góc 2
giữa hai mặt phẳng  ABB A  , A BCD
  bằng 60 . Tính theo a thể tích khối tứ diện AOIJ. 3 3 3a 3 3a 3 3a 3 3a A. . B. . C. . D. . 64 48 32 192
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 9
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 Lời giải Chọn C A' D' C' B' I J D A O B C 2 2 2 AA  AB A B  Ta có 2 2 AI  
AB   2 2 AA  AB  2 2 2
 4 AI  3a AB a 3 2 4 2 a 3 Do 2 2 2
AB AB AA nên tam giác AAB vuông tại B  SA AB 2 2 a 3
Tam giác ABC đều cạnh a nên SABC 4
Theo đề góc giữa hai mặt phẳng  ABB A  , A BCD
  bằng 60 , nên suy ra  3 2S .S sin 60 a 3 A AB ABC V   A ABC 3AB 8 3 1 a Vd O IAJ Sd B B AD SVVAOIJ  1 1 1 1 1 3 ; . . IAJ  ; .    3 3 2 2 B AD 4 B ABD 4 A ABC 32
Bổ sung: Công thức tính nhanh thể tích tứ diện theo góc giữa hai mặt phẳng
Cho tứ diện ABCD có diện tích tam giác ABC bằng S , diện tích tam giác BCD là S và góc 1 2 2S S .sin
giữa hai mặt phẳng (ABC) và (DBC) là . Khi đó ta có: 1 2 VABCD 3BC A D B φ H I C
Chứng minh: Gọi H là hình chiếu của A lên (BCD), kẻ HI BC tại I thì AIBC và
 ABC DBC   AI HI   ; ;
AIH ; AH AI sin 1 1 1 2S 2S S sin ABC 1 2 VAH .S
AI sin .S  .sin .S ABCD DBC 2 2 3 3 3 BC 3BC
Câu 8. (THPTQG 2019-MĐ103-Câu 49) Cho lăng trụ ABC.A BC
  có chiều cao bằng 6 và đáy là
tam giác đều cạnh bằng 4. Gọi M , N , P lần lượt là tâm các mặt bên ABB A  , ACC A  , BCC B   .
Thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm ,
A B, C, M , N , P bằng A. 9 3 . B. 10 3 . C. 7 3 . D. 12 3 . Lời giải
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 10
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 Chọn A A' C' B' N D F M P E A C B
Gọi DEF là thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng MNP .
Dễ chứng minh được  DEF  / /  ABC  và D, E, F lần lượt là trung điểm của các đoạn 1 thẳng AA ,
BB ,CC suy ra VV  12 3 . ABC.DEF ABC . 2 A BC   Ta có VVVVV . ABCPNM ABC.DEF ADMN BMPE CPMF 1 3 Mặt khác VVVVVV  9 3 . ADMN BMPE CPMF ABC .DEF ABCPNM ABC. 12 4 DEF
Câu 9. Cho lăng trụ đứng ABC.AB C
  có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và AA  2a .Gọi
M , N lần lượt là trung điểm của AA ,
BB và G là trọng tâm tam giác ABC . Mặt phẳng
MNG cắt BC,CA lần lượt tại E, F . Thể tích khối đa diện có các đỉnh là các điểm ,
A M , E, B, N , F bằng 3 a 3 3 2a 3 3 a 3 3 2a 3 A. . B. . C. . D. . 9 9 27 27 Lời giải Chọn D
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 11
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
Gọi P là trung điểm CC và K là điểm đồng quy của ba đường thẳng CC ,
ME, NF , do G là CK CF
trọng tâm tam giác ABC nên 
 2  CK  2NB  2a . NB FB 2 3 a 3 a 3 3 a 3 Theo giả thiết V  2 . a   V  . ABC.A BC   4 2 ABC.MNP 4 2 3 1 1 a 3 a 3
Khối chóp K.MNP có thể tích là V  .K . P S  .3 . a   V . K .MNP 3 MNP 3 4 4 ABC.MNP
Vậy thể tích V của khối đa diện có các đỉnh là các điểm ,
A M , E, B, N , F bằng thể tích khối 2  2a  3   3 1 1  3  2a 3
chóp K.CEF và V V  .KC.S  .2 . a  . K .CEF 3 CEF 3 4 27
Câu 10. Cho lăng trụ ABC .
D A ' B 'C ' D ' có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, AA '  A ' D, hình chiếu
vuông góc của A ' thuộc hình vuông ABCD, khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và AB ' 6a bằng
. Tính thể tích khối chóp A ' MNP trong đó M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh 10
CD, CC ', DD '. A. 3 12a . B. 3 a . C. 3 2a . D. 3 3a . Lời giải Chọn B
*) Gọi H là hình chiếu của A ' lên mặt phẳng  ABCD ; I , K lần lượt là trung điểm của
AD, BC và O là tâm hình vuông ABCD .
Ta có A ' H AD, A ' K AD (Do A' H   ABCD và A ' A A ' D ) nên HK AD
Mà OK AD nên suy ra ba điểm H , O, K thẳng hàng và theo giải thiết ta được H thuộc đoạn IK.
Theo giả thiết H thuộc hình vuông ABCD nên H trùng K hoặc H trùng I.
Trường hợp 1: H trùng với K.
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 12
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 A' D' B' C' P F N H≡K A D O M B I C
*) Kẻ HF AA ' , với F thuộc đoạn A' . A BC Dễ thấy: HA   a và
AB   A' AH   AB HF nên 2
HF   ABB ' A'  d H , ABB ' A'  HF .
Ta có d CD, AB '  d CD, ABB ' A' (do CD//  ABB ' A' ) DA 3a
d C, ABB ' A' 
.d H , ABB ' A '  2HF . Nên HF  . DH 10 1 1 1 *) Xét tam giác AA ' H có   2 2 2 HF AH A ' H 1 1 1 10 1 1        A' H  3 . a 2 2 2 A ' H HF AH 2 2 2 9a a 9a *) Ta có V
A ' H .S  3 . a aa A B CC D ABCD 2 2 3 12 ABCD. ' ' ' ' Lại có V
d A ', CDD 'C ' .S
ABCD. A' B 'CC ' D '    CDD'C' 1
 4.d A',CDD 'C '.S (do S  4S
)  12. d A',CDD 'C '.S  12V . MNP CDD'C ' MNP ' 3 MNP A MNP Từ đó suy ra 3 3 12a  12VVa . A 'MNP A 'MNP
Trường hợp 2: H I , tương tự trường hợp 1, kết quả 3 Va . A' MNP A' D' B' C' P N K F A D O M B H≡I C
Câu 11. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a , O là tâm của đáy. Gọi  P là 3a 10
mặt phẳng đi qua S , song song với BD và cách A một khoảng bằng
. Mặt phẳng  P 10
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 13
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích V
V và khối đa diện còn lại có thể tích V . Biết mặt phẳng  P cắt đoạn OC tại I . Tỉ số 1 1 2 V2 bằng: A. 5. B. 6 . C. 7 . D. 8 . Lời giải Chọn C
Ta có SO   ABCD  SO BD .
Đáy ABCD là hình vuông  AC BD , từ đây suy ra BD  SAC.
Mà  P // BD   P  SAC  .
Mặt khác  P  AC I , suy ra   P SAC  SI .
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SI 3a 10
AH   P  AH d A,P  . 10 AC a 2 a 2 Ta có AO    SO
(áp dụng Pi-ta-go cho tam giác vuông SOA ). 2 2 2  a 2  a 2
Đặt AI x ,  AO AI AC
x a 2  OI x  .   2    2 2 2
SI a x ax 2 (áp dụng Pi-ta-go cho tam giác vuông SOI ). 
Dễ thấy các tam giác vuông SOI và AHI đồng dạng (chung góc OIH ). 3a 10 2 2 AH AI AH.SI
. a x ax 2    AI  10  x  2 2
 4x  9a 2x  9a  0 SO SI SO a 2 2  3a 2  x  2 3a 2 a 2    x  (do
x a 2 ).  3a 2 4 2  x   4
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 14
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 3a 2 a 2 CI 1  AI
CI AC AI  . Dễ thấy  . 4 4 CO 2
Từ I kẻ đường thẳng song song với BD cắt BC , CD lần lượt tại M và N . CM CN MN CI 1 1       C
MN đồng dạng với CBD theo tỉ số . CB CD BD CO 2 2 2 S  1  1 1 1 S 1 Vậy CMN    SS ABCD   S .   S CMN CBD  2  4 4 4 2 8 ABCD CBD 1 1 1 1 Khi đó V V  .S . O S  .S . O S  .V . 2 S .CMN 3 CMN 3 8 ABCD . 8 S ABCD 7 Suy ra V VV  .V . 1 S.ABCD 2 S. 8 ABCD V Vậy 1  7 . V2
Câu 12. Cho hình lăng trụ đều ABC.A BC
  có tất cả các cạnh bằng 1. Gọi E , F lần lượt là trung điểm
AA và BB ; đường thẳng CE cắt đường thẳng C A
  tại E , đường thẳng CF cắt đường thẳng C B
 ' tại F  . Thể tích khối đa diện EFA BEF   bằng 3 3 3 3 A. . B. . C. . D. . 6 2 3 12 Lời giải Chọn A A' C' E' E B' F' F C A M B
Thể tích khối lăng trụ đều ABC.A BC   là 3 3 VS .AA  .1  . ABC . A BC   ABC 4 4 3
Gọi M là trung điểm AB CM   ABB A   và CM
. Do đó, thể tích khối chóp 2 C.ABFE là 1 1 1 3 3 VS .CH  .1. .  . C. ABFE C. 3 ABFE 3 2 2 12
Thể tích khối đa diện A BCEFC là 3 3 3 VVV    . A BCEFC ABC . A BC   C . ABFE 4 12 6 3
Do A là trung điểm C E
  nên d E ,BCC B
 '  2d A ,BCC B  '  2.  3 . 2
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 15
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 SSSSSS  1. CC F   F B  'F FB CCFBC FB CCBCC B  
Thể tích khối chóp E .CC F   là 1 1 3 VS .d E ,  BCC B  '  .1. 3  . E .  CC F   CC F      3 3 3
Thể tích khối đa diện EFA BEF   bằng 3 3 3 VVV    . EFA BEF   E .  CC F   AB CEFC 3 6 6
Câu 13. Cho hình hộp ABC . D A BCD
  có chiều cao bằng 6, diện tích đáy bằng 8. Gọi M là trung
điểm AB . Mặt phẳng  AC M
 cắt BC tại N . Tính thể tích của khối đa diện có các đỉnh là
D, M , N , A ,  C . A. 10. B. 18. C. 12. D. 24. Lời giải Chọn B I A M B N D C B' A' D' C'
Trong mp ABB A
  gọi I BB  A' M
Trong mp BCC B
  gọi N BC IC '
Gọi S, h lần lượt là diện tích đáy và chiều cao của khối hộp ABCD.A BCD   1 1 1 1 1 1 Ta có V  . .S.2h
S.h và V  . .S.h S.h I . A BC   3 2 3 I .BMN 3 8 24 1 1 7 7
Suy ra  V VSh Sh Sh V 1
BMN .B ' A C   3 24 24 24 1 1 1 1 Ta có V V  . .S.h S.h V ; 2 D.D A  C 3 2 6 6 1 1 1 1 1 1 V V  . .S.h
V ; V V  . .S.h V 3 A .  ADM 3 4 12 4 C .  DCN 3 4 12 7 1 1 1 9 Do đó V
V V V V V V V V V V V  18 DMNC A   1 2 3 4 24 6 12 12 24
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 16
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E là điểm đối xứng với  
C qua B và F là điểm thỏa mãn: SF  2.BF . Mặt phẳng DEF chia khối chóp
S.ABCD thành 2 khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh S có thể tích V , khối đa diện 1 V
còn lại có thể tích V (tham khảo hình vẽ). Tính tỉ số 1 . 2 V2 3 1 7 12 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 7 Lời giải Chọn C
Gọi G là giao điểm của ED và AB , H là giao điểm của EF và SC .  
Vì B là trung điểm của EC và SF  2.BF nên F là trọng tâm SEC suy ra H là trung 1 1
điểm của SC , từ đó suy ra VVV . A.HCD . 2 A SCD . 4 S ABCD 1
Ta có EC  2 AD và EC / / AD do đó V  2VV . E.HCD . A HCD . 2 S ABCD V EB EG EF 1 1 2 1 1 1 E.FBG  . .  . .   VVV . V EC ED EH 2 2 3 6 E.FBG E.H 6 CD . 12 S ABCD E.H CD 1 1 5 V VVVVV . 2 E.HCD E.F BG S. ABCD S. 2 12 ABCD . 12 S ABCD
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 17
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 5 7 V VVV . 1 S. ABCD S .ABCD S . 12 12 ABCD V 7 Vậy 1  . V 5 2
Câu 15. Cho khối lăng trụ đứng A B C D .AB C D
  có đáy là hình thoi cạnh bằng a , chiều cao bằng a , góc 
BAD  120 . Gọi O là giao điểm của C A  và A C  . Gọi các điểm M , Q N , P , , R , S
lần lượt đối xứng với O qua các mặt phẳng  ABCD  ,  AB CD   , CDD C   ,  ABB A   , BCC B   , QADD A
  . Thể tích khối đa diện lồi tạo bởi các đỉnh M , N , P , , R , S bằng 3 3 3a 3 3 3a 3 a 3 A. . B. . C. . D. 3 2 3a . 4 2 2 Lời giải Chọn C M A D S B C P Q O A' D' B' R C' N
Ta có PQ   ABB A
  , RS   BCB C  
  PQ , RS    ABB A   ,  BCC B
    BA , BC   60 . 1 3
Lại có PQ  4.d O ,  ABAB  4. .d D , ABA B
   2.A D.sin 60  2. . aa 3 . 2 2 1 3
Tương tự RS  4d O ,  ADAD   2. . aa 3
 4. .d B ,  ADAD  2.AB.sin 60 . 2 2 2 1 1 3 3 3.aS
.QP.RS.sin QP RS  .a 3.a 3.  QRPS  ,  . 2 2 2 4
Mặt khác MN // CCCC CD
mà C C   C B ;
; MN RS MN  QRPS  Dễ thấy QRPS QRPSMN
là mặt phẳng đối xứng của hình bát diện 2 3 1 1 3 3a 3aV  2.V  2. MO.S  2. . . a  . QRPSMN M .QRPS 3 QRPS 3 4 2
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 18
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
Câu 16. Cho hình chóp S.ABC có chiều cao bằng 8 và diện tích đáy bằng 9 . Gọi M là trung điểm của    
SA , E, F là điểm thỏa mãn AE  2 AB, AF  2 AC . Mặt phẳng  MEF  cắt SB, SC lần lượt tại
N, P . Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm ,
A B, C, M , N và P bằng 9 56 56 A. . B. . C. . D. 18 . 8 5 3 Lời giải Chọn C    
Do AE  2 AB, AF  2 AC suy ra B,C lần lượt là trung điểm AE, AF nên BC//EF .
Có  MEF   EF , SBC   BC suy ra MEF   SBC   NP, N SB EM , P SC FM và
NP//BC//EF . 1 Ta có V  .9.8  24 . S . ABC 3 SN SP 2
Do N, P lần lượt là trọng tâm các tam giác SAE, SAF suy ra   . SB SC 3 V 1 2 2 2 2 16 Có S .MNP   . .   V  .24  . S . V 2 3 3 9 MNP 9 3 S. ABC
Suy ra Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm ,
A B, C, M , N và P bằng 16 56 24   . 3 3
Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với cạnh AD  2CD . Biết hai mặt
phẳng  SAC  ,  SBD cùng vuông góc với mặt đáy và đoạn BD  6 ; góc giữa  SCD và mặt
đáy bằng 60 . Hai điểm M , N lần lượt là trung điểm của S ,
A SB . Thể tích khối đa diện ABCDMN bằng 128 15 16 15 18 15 108 15 A. . B. . C. . D. . 15 15 5 25 Lời giải Chọn C
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 19
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 S N M B C O I A D
Gọi O AC BD . Do  SAC    ABCD, SBD   ABCD  SO   ABCD . 6 12
Theo tính chất hình chữ nhật: 2 2 2
AD CD BD 2 2
 5CD  6  CD  và AD  . 5 5 72
Khi đó diện tích đáy: SA . D CD  . ABCD 5
Gọi I là trung điểm của CD . Do CD S ,
O CD OI CD  SOI   CD SI
  SCD  ABCD  SI OI   , ,  SIO  60 . AD 6  6 3
Trong tam giác SOI vuông tại O , OI  
, SIO  60 có: SO OI.tan 60  . 2 5 5 1 1 72 6 3 144 15
Thể tích S.ABCD là V  .S .SO  . .  . 3 ABCD 3 5 5 25 V Ta có VV  . S . ABD S .BCD 2 1 1 1 Do SSVVV . SMN 4 SAB SMND 4 SABD 8 1 1 1
Do N là trung điểm của SB d N ,SCD  d B,SCD  VVV . 2 SCDN 2 SBCD 4 3 3 5 18 15 Ta có: VVVV V
V V V  . S .CDMN SMND SCDN 8 ABCDMN 8 8 5
Câu 18. Cho khối lập phương
. ′ ′ ′ ′ có cạnh là 10cm, gọi tắt là khối ( ). Mặt phẳng ( ) vuông góc với ′ và cắt cạnh tại với <
. Khi đó, nếu thiết diện của ( ) và ( )
có diện tích là 74√3cm thì phần ( ) nằm giữa ( ) và ( ′ ) có thể tích là A. 484cm . B. 408cm . C. cm . D. cm . Lời giải Chọn D Hình 1
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 20
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 Ta có ′ ⊥ ( ′ ′ ) ⇒ ′ ⊥ ′, ⊥ ( ′ ′ ) ⇒ ⊥ ′. Tức ′ ⊥ ( ′ ). Do đó ( ) ≡ ( ′ ) hoặc ( )//( ′ ). a) Nếu ≡ thì ( ) ≡ ( ′
). Lúc này không có phần ( ) nằm giữa ( ) và ( ′ ). b) Nếu khác thì ( )//( ′
). Lúc này thiết diện của ( ) và ( ) là lục giác , //
như Hình 1, trong đó , // ′ . , // ′ Đặt = , điều kiện: 0 < < 5(∗), ta được = 10 − . Do = và = nên = √2 và = (10 − )√2. Tương tự, ta được = = = √2 và = = = (10 − )√2. Hình 2 Gọi là giao điểm của và , là giao điểm của và
(tham khảo Hình 2) ta dễ dàng thấy , , , là các tam giác đều, = + = 10√2. Do = + − − √3 = 10√2 + 10√2 − 6√2 − 4√2 . 4 = − √3 + 10 √3 + 50√3
nên ta có phương trình −
√3 + 10 √3 + 50√3 = 74√3. Tìm được = 4 ( = 6 bị loại vì không thỏa (*)). Hình 3 Gọi , ,
lần lượt là giao điểm của ( ) và các tia ′, ,
(tham khảo Hình 3). Xét tam giác ′ : Do ′ = 90 , = 45 , ′ = 4 nên ′ = 4. Tương tự, ta được = = 4. Ta có: + . ′ = . + . = (do ′ , ′ , ′
đôi một vuông góc với nhau và cùng bằng 4) .
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 21
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 Tương tự, ta được . = . = . + . = (do , ,
đôi một vuông góc với nhau và cùng bằng 14) .
Tóm lại, thể tích mà ta cần tính là = . − . − 3. . = ( cm ) .
Câu 19. Cho hình hộp A B C D .AB C D
  có thể tích là 2 0 20 . Trên cạnh AB lấy điểm M khác A và
B . Gọi  P  là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng  ACD  chia khối hộp
thành hai phần và cắt hình hộp theo một thiết diện có diện tích lớn nhất. Tính thể tích phần khối
hộp chứa cạnh DD . 2020 505 A. 1010 . B. . C. 5 0 5 . D. . 3 2 Lời giải Chọn A
Trong mp ABCD  , qua M vẽ đường thẳng song song với A C cắt DB, BC lần lượt tại E , N
Trong mp BDD B
  qua E vẽ đường thẳng song song với D O
(O AC B ) D cắt B D   tại F .
Trong mp AB CD
  , qua F vẽ đường thẳng song song với A C cắt AD, D C  lần lượt tại R và Q.
Trong mp AAD D
  , qua R vẽ đường thẳng song song với AD cắt AA tại S . I D' Q C' R F A' P D B' C S K O A N E J M B Trong mp CC DD
  , qua Q vẽ đường thẳng song song với C D  cắt C C  tại P .
Thiết diện là lục giác MNPQRS .
Do các mặt đối diện của hình hộp song song nên các cạnh đối của lục giác thiết diện MNPQRS song song và
3 cặp cạnh đó lần lượt song song với các cạnh tam giác ACD .
 Các tam giác JK I , ACD , RQI , J M S , N K P đồng dạng MJ MA NC NK PC PK QDQI        
MJ NK và PK QI MN MB NB NM PCPQ QCQP
 Các tam giác RQI , J M S , N K P bằng nhau, gọi diện tích của chúng là S và gọi diện tích 1
các tam giác JK I , ACD lần lượt là S , S . 2 AM Đặt
k ; ta có điều kiện 0  k  1 và có: AB 2 2 2 2 1 SJM   KN   KC   AM  2  2          
  k S k S . 1 SAC   NJ   CD   AB
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 22
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 2 2 2 SJK
JM MK   JM MK  2      k  2 2 1
S  k k   S .       2 2 1 . SAC   AC   AC AC
 Diện tích thiết diện: S S  3S td 2 1 2 1  3 1    3S 2 1
S  2S( k
k  )  2S   k     
(dấu bằng xảy ra  k  ) td 2 4   2  2   2 1
S lớn nhất  k
M là trung điểm của AB . Khi đó S , R , Q, P , N lần lượt là trung 2 IR IDIQ 1
điểm của các cạnh A A , AD , D C  , C C  , CB và    . IJ ID IK 3
Các khối chóp I.RQD , A.MSJ , C .P N K có thể tích bằng nhau ta gọi thể tích đó là V . 1 Ta có: 1 1 1 1 1 2020 505 V
d I ; RQD .S  . d D ; A BCD   . SV   1    RQD    . AB CD   ABCD.     3 3 2 8 48 A B C D 48 12
Gọi V là thể tích phần khối lăng trụ chứa cạnh DD. V V 1 I RQD 1 505 Do .  1  
V  24V  24.  1010 . V 27 3V V 27 1 12 I .DJK 1
Câu 20. Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A BC
  . Các mặt phẳng  ABC và  AB C   chia khối
lăng trụ đã cho thành bốn khối đa diện. Kí hiệu H , H 1
2 lần lượt là khối có thể tích lớn nhất và VH1
nhỏ nhất trong bốn khối trên. Giá trị của bằng VH2 A. 5 . B. 3 . C. 2 . D. 4 . Lời giải Chọn A + AC  A C
E , BC  B C   F .
+ Ta có: V VVVVV
V V V V .
ABC. AB C   EFBAA B   EFABC EFA BC   CEFC  1 2 3 4 1 +) VV . C . A BC   3
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 23
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 V CE CF 1 1 1 1 1 1 +) CEFC  .  .   V V  . V V .  V CACB 2 2 4 4 CEFC 4 3 12
C. AB C   3 3 1 1 +) V V  .V  . V V . 3 C .  EFB A   C . 4  CAB 4 3 4 1 +) V VVV V V . 2 C . ABFE C .  EFB A   2 3 4 1 1 1 5 +) V VV
V V V V . 1 EFBAA B   12 4 4 12 1 5 +) Suy ra VV V ; VV V .  H 4 H 1 1  12  2  12 5 V VH1 + Do đó 12 
 5. Chọn đáp án A . V 1  H2  V 12
Câu 21. Cho hình lập phương ABC . D
A BCD có cạnh bằng 15 , một mặt phẳng  cắt các cạnh A
A , BB , CC  , DD  lần lượt tại M , N , P , Q . Biết AM  5 , CP  6 . Thể tích khối đa diện AB CD
 .MNPQ là 4275 2475 A. . B. . C. 2250 . D. 2475 . 2 2 Lời giải. Chọn A Gọi ,
O O lần lượt là tâm hình vuông ABCD và A BCD   .
Dễ thấy tứ giác MNPQ là hình bình hành. Gọi I là tâm của MNPQ I thuộc đoạn thẳng OO . AM CP 11
Xét hình thang ACPM có: OI   . 2 2
Gọi O là điểm đối xứng của O qua I OO  2OI  11  15 nên O thuộc đoạn OO . 1 1 1
Gọi  P  là mặt phẳng qua O và song song với  ABCD . 1
Khi đó  P  cắt AA , BB , CC , DD tại A , B , C , D . Khi đó I là tâm của hình hộp 1 1 1 1 ABC . D A B C D . 1 1 1 1 1 1 2475 Vậy 2 VV  .15 .11  ABCD.MNPQ ABCD. A B C D 1 1 1 1 2 2 2
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 24
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 2475 4275 Vậy 3 VVV  15   . A BCD  .  MNPQ ABCD. A BCD   ABC . D MNPQ 2 2
Câu 22. Cho khối đa diện như hình vẽ bên. Trong đó AB .
C A' B'C ' là khối lăng trụ tam giác đều có tất 2
cả các cạnh đều bằng 1, S.ABC là khối chóp tam giác đều có cạnh bên SA  . Mặt phẳng 3
SA' B ' chia khối đa diện đã cho thành hai phần. Gọi V là thể tích phần khối đa diện chứa 1
đỉnh A , V là thể tích phần khối đa diện không chứa đỉnh A . Mệnh đề nào sau đây đúng? 2
A. 72V  5V .
B. 3V V .
C. 24V  5V .
D. 4V V . 1 2 1 2 1 2 1 2 Lời giải Chọn B
Dựng mặt phẳng S.CC 'QP như hình vẽ với P và Q là trung điểm AB và A' B '
Gọi H và H ' là chân đường cao hạn từ S xuống  ABC  và A ' B 'C ' , khi đó H và H ' là
trọng tâm hai tam giác đáy.
Gọi K là giao điểm của CP và SQ , qua K kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC và BC
tại M và N .
Mặt phẳng  SA ' B ' cắt hình lăng trụ theo thiết diện là hình thang A' B' MN . 1 1 3
Dễ dàng tính được: SH
; HP H 'Q CP  ; 3 3 6
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 25
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 1 1 3 3 HK H 'Q   ; 4 4 6 24 3 3 3 3
PK HP HK    ; MN  6 24 8 4
Gọi V là thể tích của toàn bộ khối đa diện ta có 3 1 1 3 5 3 V VV  .1  . . 
ABC . A ' B 'C ' S . ABC 4 3 3 4 18 1 1 1 3 3 7 3 VBB '.S  .1. (1  )  B '. ABMN 3 ABMN 3 2 4 8 192 1 1 3 1 1 3 V  d(B; (ACC'A')).S  . . .1. 
B '. AA' M AA ' 3 M 3 2 2 4 48 1 1 1 1 3 3 7 3 V  SH .S  . . (1 )  S. ABNM 3 ABNM 3 3 2 4 8 576 7 3 3 7 3 5 3 V     1 192 48 576 72 5 3 5 3 5 3
V V V    2 1 18 72 24
Từ đó suy ra 3V V . 1 2
Câu 23. Cho khối đa diện lồi  H  gồm các đỉnh ,
A B, C, M , N , P trong đó hai mặt phẳng  ABC  và
MNP song song với nhau, ABC và M
NP là các tam giác đều. Gọi M ,
N , P lần lượt là
hình chiếu vuông góc của M , N , P lên mặt phẳng  ABC  .Biết M , N , P lần lượt là trung điểm
các cạnh AB, BC, AC ,  MNN M   BMN   , 45   
, MN a . Thể tích của khối đa diện lồi H  bằng? P N M C P' N' A M' B 3 9a 3 9a 3 a 3 3 a 3 A. B. C. D. 8 16 4 2 Lời giải Chọn A
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 26
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 P N E M 45° C P' N' F A M' B
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của MN , M N   .
Dễ dàng thấy được MNN M   BMN    , FEB 45     . 1 1 AB 3 a 3
Suy ra: FE FB MM   BP  .  2 2 2 2 2 3 a 3 a 3 3a
Thể tích của khối lăng trụ MN . P M NP   là: VMM .S  .  (đvtt). MNP.M NP   MNP 2 4 8 Ta có: VV  3V   1 .  H MNP.M NP   B.MNN M   2 Đồng thời VVV 2 . B.MNN M   P .  MNN M   MNP. 3 M NP   2 Từ   1 ,2 suy ra: VV  3. V  3V .  H MNP.M NP   MNP.M NP   MNP. 3 M NP   3 3 3a 9a Vậy V  3.  (đvtt).  H  8 8
Câu 24. Cho hình chóp S.ABCD có chiều cao bằng 12 và diện tích đáy bằng 27 . Đáy ABCD là hình
bình hành. Gọi M , N , E , F lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB , SBC , SCD , SAD .
Tính thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm M , N , E , F , A , B , C , D . A. 52 . B. 88 . C. 60 . D. 68 . Lời giải Chọn D
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 27
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 S A' F D' M E B' N C' D A B C
Chiều cao khối chóp S.ABCD là h  12 và diện tích đáy là S  27 . Gọi A, B, C , D lần SASBSCSD 2
lượt là các điểm nằm trên các cạnh SA , SB , SC , SD sao cho     . SA SB SC SD 3 2 2 4
Diện tích hình bình hành AB CD   là S  . .S  .S . 3 3 9 1 1 4 1
Diện tích tam giác B M
N bằng S  . S S . 8 8 9 18 1 1 1 1
Thể tích khối chóp B.B M
N là V  . S. h  .Sh . 1 3 18 3 162 1 1 4 2 19
Thể tích khối chóp cụt AB CD
 .ABCD là V  
S.h  . S. h Sh . 3 3 9 3 81 19 1 17 17
Thể tích khối đa diện lồi cần tìm là V V   4V Sh  4. Sh Sh  .27.12  68 . 1 81 162 81 81
Câu 25. Cho hình lăng trụ ABC.AB C
  có thể tích V , I thuộc cạnh CC sao cho CI  4IC . Gọi M ,
N lần lượt là điểm đối xứng của A , B qua I . Tính theo V thể tích của khối đa diện CABMNC . 10 9 4 8 A. V . B. V . C. V . D. V . 3 5 3 5 Lời giải Chọn C A C N B M I A' C' B' Ta có VVVVV CABMNCC CMN C CMB C CAB C CAN
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 28
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 1 Dễ thấy: VV . C CAB 3
Do I là trung điểm AM nên d M ; BCC  d A; BCC , nên 1 1 1 1 Vd M BCCS
d A; BCC.S
d A;BCC.SVV C CMB  ; .     3 BCC 3 BCC 3 BCC ABCC 3 1 Tương tự: VV C CAN 3
Do tính đối xứng, ta có IAB  IMN 1 VVVd CIMN Sd C IMN S C CMN C IMN CIMN  1 ; . IMN  ; . 3 3 IMN 1  d  1 C; IA B  .Sd C IA B   S IA B    ; .   3 3 IA B 1  VVVV C IA B   CIABCA BC   3 4 Vậy VVVVVV CABMNCC CMN C CMB C CAB C CAN 3
Câu 26. Cho hình chóp S . A B C D có đáy A BC D là hình vuông cạnh a , SAB đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc đáy. Gọi M , N , P , Q, R , T lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AB ,
BC , CD , DA , SB và SC . Thể tích (tính theo a ) của khối đa diện MNPQRT bằng bao nhiêu? 3 5a 3 3 a 3 3 5a 3 a A. . B. . C. . D. . 96 96 96 96 Lời giải Chọn A a 3
Dễ dàng chứng minh được SM   ABCD  và có SM  . 2
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 29
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
Ta phân chia khối đa diện MNPQRT thành hai khối chóp T.MNPQ và M .N RT .
Xét T.MNPQ: 2 1 a
d T; ABCD h CT 1 SM a 3 Dễ thấy S  .S  và T     h   (với MNPQ 2 ABCD 2
d S; ABCD SM CS 2 T 2 4
h là độ dài đường cao kẻ từ T của T.MNPQ). T 2 3 1 1 a a 3 a 3 Suy ra: V  .S .h  . .  . T .MNPQ 3 MNPQ T 3 2 4 24
Xét M .N RT : Dễ thấy:
SAB   SBC  theo giao tuyến SB , vẽ MK SB tại K MK  SBC    NRT  và 1 1 1 4 4 16 a 3       MK
(  SM B vuông tại B , đường cao MK ). 2 2 2 2 2 2 MK MB MS a 3a 3a 4 2 2 S  1  1 1 a
S B C vuông tại B và NRT   S  . .SB.BC
(  N R T   SC B theo tỉ   S  2 NRT  4 2 8 SBC 1 số đồng dạng là ). 2 2 3 1 1 a a 3 a 3 Suy ra: V  .S .MK  . .  . M .NRT 3 NRT 3 8 4 96 3 3 3 a 3 a 3 5a 3 Kết luận: VVV    . MNPQRT T .MNPQ M .NRT 24 96 96  
Câu 27. Cho hình hộp ABC . D A BCD
  có thể tích V , gọi M , N là hai điểm thỏa mãn D M   2MD ,   C N
  2NC , đường thẳng AM cắt đường A D
  tại P , đường thẳng B N cắt đường thẳng B C  
tại Q. Gọi V  là thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B, P , Q, M , N . V  Tính tỉ số . V 4 3 5 A. . 1 B. . C. . D. . 3 4 4 Lời giải Chọn A
Ta có: V   VPMD .QNC V   AD M  .B CN  Theo giả thiết:   2 D M
 2MD M nằm trên đoạn D D  và D M   D D  . 3
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 30
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020   2 C N
  2NC N nằm trên đoạn C C  và C N   C C  . 3  P V MD .QNC d
D ,NQC'.SNQC SNQC *) Ta có:   V
d D ,BCC 'B'.SBCC B S   BCC B   Trong BB CC
  qua N kẻ H K vuông với BC , B C
   H BC , K B C  . NK NC 1 BC // B C   
 2  NK  2NH , NH HK . NH NC 3 QC C NBC // B C   
 2  QC  2BC . BC CN 1 1 1 1 2 SNK.QC 
.2NH .2BC  4. . HK . BC S . QNC   2 2 2 3 3 BB C C VPMD.QNC 2 2 Từ đó ta được:  VV   . PMD . V 3 QNC 3 V S S 1 D M  1 2 1 1 *) Tương tự: A DM  .B CNA DMA'D 'M    .  .   VV . V S 2S 2 D D  2 3 3
A ' D ' M .B 'C ' N 3 A DDA A' D'D 2 1 V
Khi đó: V   V V V . Vậy  1. 3 3 V S
Ghi chú: Có thể tính tỉ số NQC theo cách khác như sau: SBCC B   2 SQNCQCQN  2  4 4  .    S  .S      1 S QBQB  3  9 QNC 5 BB C N QB BS CN 1 1 1 5 CBN    S  . SSSBB C     2 CBN BCC ' B ' BB C N S CC 3 3 2 6 CBCSQNC 4 5 2
Từ 1 và 2 suy ra  .  S 5 6 3 BB CC
Câu 28. (THPTQG 2019-MĐ101-Câu 47) Cho lăng trụ ABC A' B 'C ' có chiều cao bằng 8 và đáy là tam
giác đều cạnh bằng 6 . Gọi M , N và P lần lượt là tâm của các mặt bên ABB ' A ' , ACC ' A' và
BCC ' B ' . Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm ,
A B, C, M , N , P bằng A. 27 3 . B. 21 3 . C. 30 3 . D. 36 3 . Lời giải Chọn A
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 31
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 /
Gọi A , B ,C lần lượt là trung điểm của các cạnh AA', BB ',CC ' . 1 1 1
Khối lăng trụ ABC.A B C có chiều cao là 4 là tam giác đều cạnh 6 . 1 1 1 Ba khối chóp .
A A MN , BB MP , CC NP đều có chiều cao là 4 và cạnh là tam giác đều cạnh 1 1 1 2 6 3 1 9 3 3 Ta có: VVVVV   4  3   4  27 3 ABC .MNP ABC. 1 A 1 B 1 CA. 1AMN B. 1 B MP C . 1 C NP  4 3 4
Câu 29. Cho hình lập phương ABC . D A BCD
  có cạnh bằng 1. Gọi M , N , P , Q lần lượt là tâm các hình vuông ABB A   , A BCD   , ADD A   và CDD C
  . Tính thể tích tứ diện MNPR , với R là trung điểm BQ . 1 3 2 1 A. . B. . C. . D. . 12 12 24 24 Lời giải Chọn D
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, trong đó A O 0;0;0 , B 1;0;0 , D 0;1;0 , A0;0 
;1 , C 1;1;0 , B1;0  ;1 , D0;1;  1 , C1;1  ;1 .  1 1   1 1   1 1   1 1   3 1 1 
Theo giả thiết, ta có: M ; 0;   , N ; ;1   , P 0; ;   , Q ;1;   , R ; ;   .  2 2   2 2   2 2   2 2   4 2 4 
  1 1    1 1    1 1 1  Ta có MN  0; ;   , MP   ; ; 0   , MR  ; ;     2 2   2 2   4 2 4 
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 32
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 1
   1 Suy ra V
. MN; MP .MR  . M .NPR 6   24
Câu 30. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.AB C
  có tất cả các cạnh bằng 1. Gọi E , F lần lượt là
trung điểm các cạnh AA và BB ; đường thẳng CE cắt đường thẳng C A
  tại E , đường thẳng
CF cắt đường thẳng C B
  tại F  . Thể tích khối đa diện EFA BEF   bằng 3 3 3 3 A. . B. . C. . D. . 6 2 3 12 Lời giải Chọn A A' C' E' E B' F' F C A M B
Thể tích khối lăng trụ tam giác đều ABC.AB C   là 3 3 VS .AA  .1  . ABC . A BC   ABC 4 4 3
Gọi M là trung điểm AB . Suy ra CM   ABB A   và CM  . 2
Thể tích khối chóp C.ABFE là 1 1 1 3 3 V  .S .CM  .1. .  . C.ABFE 3 ABFE 3 2 2 12
Thể tích khối đa diện AB CEFC là 3 3 3 VVV    . A BCEFC
ABC.AB C   C.ABFE 4 12 6
Ta dễ dàng chứng minh được A và B lần lượt là trung điểm của C E   và C F   .
Thể tích khối chóp C .C EF   là 1 1 1 3 3 V  .S .CC  .4.S .CC  .4. .1 . C.C EF         3 C E F 3 C A B 3 4 3
Khi đó, thể tích khối đa diện EFA BEF   là 3 3 3 VVV    . EFA BEF   C.C EF   A BCEFC 3 6 6
Câu 31. Cho lăng trụ ABC. AB C
  có chiều cao bằng 8 và diện tích đáy bằng 9 . Gọi M , N, P,Q và
R lần lượt là tâm của các mặt ABB A  , BCC B  , CAA C
 , ABC và AB C
  . Thể tích của khối đa
diện lồi có các đỉnh là các điểm M , N , P,Q và R bằng A. 6 . B. 12 . C. 9 . D. 36 . Lời giải Chọn A
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 33
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 1 1 9
Do tam giác MNP đồng dạng với tam giác AC B   theo tỉ số nên SS  .    2 MNP 4 A C B 4
Gọi h , h lần lượt là chiều cao của hai hình chóp .
R MNP, Q.MNP h h  8 . 1 2 1 2
Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm M , N , P,Q và R bằng 1 1 9 V  h h S  .8.  6 . 1 2  3 MNP 3 4
Câu 32. Cho lăng trụ đứng ABC . D A BCD
  có đáy là hình thoi có cạnh bằng 4a , 
AA  8a, BAD  120 . Gọi M , N , K lần lượt là trung điểm của AB ,  B C
 , BD . Tính thể tích
khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm ,
A B, C, M , N , K là 40 3 40 3 A. 3 12 3a . B. 3 a . C. 3 a . D. 3 16 3a . 3 3 Lời giải Chọn A
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 34
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
Vì ABCD là hình thoi có cạnh bằng 4a và BAD  120 nên A
BC là tam giác đều có cạnh bằng 4a .
Gọi E, F , G lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC . BF EG Ta có 
BF   MNGE BF EM  1 1 3 1 4a 3 8a 3  V  . BF.S  . .4 . a 2a  . B.MNGE 3 2 MNGE 6 2 3 Tương tự ta có 3 8a 3 VVV  . C.KNGF B.EGNM A.EFKM 3 1
Ta có MNK.EFG là hình lăng trụ đều có chiều cao ME
BB  4a và đáy là tam giác đều có 2 1 2 4a 3 cạnh bằng EG AC  2a 3  V  4a.  4a 3. 2 MNK .EFG 4
Gọi V là thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm ,
A B, C, M , N , K . Khi đó V VVVV 3 3  4a 3  8a 3 3  12a 3 . MNK .EFG C .KNGF B.EGNM . A EFKM
Câu 33. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD . Gọi M , N , P , Q lần lượt là trọng
tâm các tam giác SAB , SBC , SCD , SDA . Biết thể tích khối chóp S.MNPQ là V . Thể tích
của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A , B , C , D , M , N , P và Q bằng 17V 71V V 13V A. . B. . C. . D. . 4 4 4 4 Lời giải Chọn A Kí hiệu B
là diện tích tứ giác ABCD . ABCD
d  ABCD , AB CD
  là khoảng cách giữa hai mặt phẳng  ABCD, AB CD   . Khi đó, ta có VVVV   VVVMNPQ. ABCD S . ABCD S . A BCD   A. A MQ B.B MN C.C NP D.D PQ   . 1 Trong đó V
 .d S, ABCD .B S . ABCD    3 ABCD
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 35
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 1 3  V
 . d S, AB CD   .2B S . ABCD    3 2 M NPQ   2 1 3  3   V
 . d S, AB CD   .2. B S . ABCD      3 2  2 MNPQ  2 3  3  1  V  .2. . d S, A BCD   .B S . ABCD      2  2  3 MNPQ S A' Q D' M P B' N C' Q' A D M' P' N' B C Ta được: 27 VV 1 . S . ABCD   4 1 V  .d S, A BCD   .B S . A BCD      3 A BCD   1  V
 .d S, MNPQ .2B S . A BCD      3 MNPQV  2V 2 . S . A BCD     VVVV . A A MQ B.B MN C .C NPD.D PQ 1 
d  ABCD, A BCD   BBBB  3 A MQ B MN C NP D PQ   1 1  VVVV  . d S, A BCD   B . A A MQ B.B MN C .C NP D.D PQ    3 2 MNPQ 1  VVVVV 3 . . A A MQ B.B MN C.C NP D.D PQ   2 27 1 17 Từ  
1 , 2 và 3 ta có V
V  2V V VV . MNPQ. ABCD MNPQ. 4 2 ABCD 4 Các khác. 1 1 Ta có VV ( vì BB ) S .MNPQ
S . A' B 'C ' D ' 2 MNPQ
A' B 'C ' D ' 2
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 36
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 3  2  2 Và VV
( vì tỉ số đồng dạng của hai khối chóp là )
S . A' B 'C ' D '   S .  3 ABCD  3 1 8 4 27 Nên V  . VVVVV S .MNPQ S . ABCD S .MNPQ S . ABCD S . 2 27 27 ABCD 4 1 1 8 4 4 1 1 Ta có VV  . VV  . VV B.B ' MN S .B ' MN
S .BM ' N '
S .BM ' N ' S . 2 2 27 27 27 8 ABCD 8  8  Vậy VV  4V  1 V  4V MNPQ. ABCD
ABCD. A' B 'C ' D ' B.B ' MN   S.ABCD B.B '  27 MN  19  19 27 1  17  V  4V  .  4. V V . S . ABCD B.B '   27 MN  27 4 8  4
Câu 34. Cho lăng trụ ABCDA' B 'C ' D' có chiều cao bằng 10 và đáy là hình vuông có cạnh bằng 5 .
Gọi M , N, P và Q lần lượt là tâm của các mặt bên ABB ' A' , BCC ' B ' , CDD'C ' và ADD ' A ' .
Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm ,
A B, C, D, M , N , P, Q bằng 625 625 125 125 A. . B. . C. . D. . 3 6 6 3 Lời giải Chọn B Ta có: V  10.25  250 d. . v t.t .
ABCD. A' B 'C ' D '   AM AQ 1 1 1 25 125 VV , V  . .V  . . .10.  . ABCD.MNPQ
A' B 'C ' D '.MNPQ MQAA'
AA ' B ' D ' AB ' AD ' 2 2 3 2 12 Và ta có: VVVV . MQAA' MNBB ' NPCC ' PQDD ' Suy ra: VVVVVVV ABCD.MNPQ
A' B 'C ' D '.MNPQ
ABCD.A ' B 'C ' D ' MQAA ' MNBB ' NPCC ' PQDD ' 125 625 625 Hay: 2.V  250  4.   V  . ABCD.MNPQ ABCD.MNPQ 12 3 6
Câu 35. Cho hình lăng trụ đều AB . C A BC
  có độ dài tất cả các cạnh bằng a . Gọi M là trung điểm
AB và N là điểm thuộc cạnh AC sao cho CN  2AN . Thể tích của khối đa diện lồi có các
đỉnh là các điểm A , M , N , A, B và C bằng 3 5 3a 3 3 3a 3 5 3a 3a A. . B. . C. . D. . 12 36 36 12 Lời giải Chọn C Cách 1
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 37
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 N H A C M B A' C' B'
Gọi V là thể tích của của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A , M , N , A, B và C.
Khi đó ta có: V VVV . M . A AN M . A CNM . A BC   2 1 1 a a 2 1 1 a
Từ giả thiết ta có: SAA .AN  . . a  ; S
d N ACA C    a a  A CN   , . . . ; AAN 2 2 3 6 2 2 2 2 1 a 3 SA B  .A C  .sin 60  . A BC   2 4 a 3
Gọi H là trung điểm của AC thì BH   ACC A   và BH
(do ABC là tam giác đều 2 1 1 a 3
cạnh bằng a ), suy ra d M , ACC A
   d B , ACC A
   BH  . 2 2 4
Khi đó ta thu được các kết quả sau 2 3 1 1 a 3 a a 3 Vd M , ACC A   .S  . .  M . A AN    .   3 A AN 3 4 6 72 2 3 1 1 a 3 a a 3 Vd M , ACC A   .S  . .  M . A CN     .    3 A C N 3 4 2 24 2 3 1 1 a 3 a 3 Vd M , A BC   .S  . . aM . A BC      .     3 A B C 3 4 12 3 3 3 3 a 3 a 3 a 3 5 3a Vậy V VVV     . M . A AN M .A CNM .A BC   72 24 12 36 Cách 2
Gọi V là thể tích của của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A , M , N , A, B và C.
Khi đó ta có: V VV .
M . AAC NM . A BC   2 1 1  a  2a Ta có S
AAAN AC  aa AA CN    .   2 2  3  3 3 3 1 1 a 3 2a 2 3a Suy ra Vd M , ACC A   .S  . .  M . AA CN     .   3 AA C N 3 4 3 36 2 3 1 1 a 3 a 3 Vd M , A BC   .S  .a.  M . A BC          3 A B C 3 4 12
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 38
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 3 3 3 2 3a a 3 5 3a Vậy V VV    . M . AA CNM . A BC   36 12 36 Cách 3 N H A C M a B A' C' B'
- Gọi H là trung điểm của AC và V là thể tích của của khối đa diện lồi có các đỉnh là các
điểm A , M , N , A, B và C. Khi đó V VV . AMH . A BC   M .NHC
- Dễ thấy MH // B C
  nên AMH.AB C
  là khối chóp cụt.
- Áp dụng công thức thể tích V của khối chóp cụt có chiều cao h , diện tích đáy nhỏ và đáy lớn 1 h
theo thứ tự là S , S thì ta có V
S S S S . 1  0 0 1 1  0 1 3 AA - Khi đó VSS .SS AMH . A BC    AMH AMH AB C   A BC    3  2 2 2 2 a 1 a 3 1 a 3 a 3 a 3  3 7a 3   .  . .    . 3  4 4 4 4 4 4  48   3 1 1 a 3 1 a a 3 - Mặt khác Vd M , ACC A   .S  . . . . aM . NHC    .  3 NHC 3 4 2 6 144 3 3 3 7a 3 a 3 5 3a Vậy V VV    . AMH . A BC   M .NHC 48 144 36
Câu 36. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.AB C
  có AB AA  a . Gọi M , P lần lượt là trung điểm 5
của hai cạnh AC và B C
  . Lấy điểm N trên cạnh AB thỏa mãn AN AB . Mặt phẳng 7
MNP chia lăng trụ đã cho thành 2 khối đa diện, thể tích V của khối đa diện chứa đỉnh C là: 1 3057 2057 4057 A. 3 V a 3 . B. 3 V a 3 . C. 3 V a 3 . D. 1 23520 1 23520 1 23520 5057 3 V a 3 . 1 23520 Lời giải Chọn B
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 39
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
Trong mp ABC  vẽ MN CB Q , áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ACB ta có: MA QC NB QC 2 QC 5 . .  1  1. .  1   . MC QB NA QB 5 QB 2
Trong mp BB CC   : 1 B C   EBPBEB 3
Vẽ QP BB  E (dễ thấy 2     ) EB QB EB 2 4 BC 3 3
Vẽ QP CC  F (dễ thấy FC  EB  CC ). 7 3 3
Trong mp AAC C
  vẽ MF AC  K (dễ thấy KC  MC AC ). 10 20
Vậy thiết diện là ngũ giác MNEPK .  V VVV (*) 1 F .MQC F .KPCE.NQB Trong đó: 3 1 1  5  10 25a 3 VS .FC S . CC  . F .MQC   3 MQC 3  6 ABC  7 252 3 1 1  3  3 3a 3 VS .FC  S . CC  . F .KPC    3 KPC 3  40 ABC  7 1120 3 1 1  4  4 4a 3 VS .EB S . CC  . E.NQB   3 NQB 3  21 ABC  7 441 2057 Thay vào (*) ta được: 3 V a 3 . 1 23520
Câu 37. (THPTQG 2019-MĐ104-Câu 46) Cho lăng trụ ABC.A BC
  có chiều cao bằng 4 và đáy là
tam giác đều cạnh bằng 4. Gọi M , N và P lần lượt là tâm của các mặt bên ABB A  , ACC A   và BCC B
  . Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm ,
A B, C, M , N , P bằng
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 40
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 14 3 20 3 A. . B. 8 3 . C. 6 3 . D. . 3 3 Lời giải Chọn C A' C' B' N P M A C B 2 4 . 3
Thể tích khối lăng trụ ABC.A BC   là V  4.  16 3 . 4
Gọi thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm ,
A B, C, M , N , P là V . 1 Ta có: V VVV . 1 AMNCB BMNP BNPC 1 3 1 Dễ thấy VV và VV nên VV . A ABC  3 AMNCB 4 A ABC AMNCB 4 1 1 1 VV và VV nên VV . BA BC      3 BMNP 8 BA B C BMNP 24 1 1 1 VVV và VV nên VV . ABCBA BCC   3 BNPC 4 BA B C BNPC 12 3 Vậy V VVVV  6 3 . 1 AMNCB BMNP BNPC 8
Câu 38. (THPTQG 2019-MĐ102-Câu 49) Cho lăng trụ ABC.A ' B 'C ' có chiều cao bằng 8 và đáy là
tam giác đều cạnh bằng 4 . Gọi M , N và P lần lượt là tâm các mặt bên ABB ' A', ACC ' A' và
BCC ' B ' . Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm , A ,
B C, M , N, P bằng 28 3 40 3 A. 12 3 . B. 16 3 . C. . D. . 3 3 Lời giải. Chọn A
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 41
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 A' C' B' N M P C A B . 3 1 1 Ta có: 2 V  8. .4  32 3; VV ; VV .
ABC.A' B'C ' 4 C '. ABC
ABC . A' B'C ' 3 . A BC ' B '
ABC . A' B 'C ' 3
Khối đa diện cần tìm V VVV . C.ABPN . P AMN . P ABM 3 1 Ta có VVV . C. ABPN C '. ABC
ABC.A' B 'C ' 4 4 1 1 Ta có VVV . PAMN ABC ' B '
ABC.A' B 'C ' 8 24 1 1 Ta có VVV . PABM ABC ' B '
ABC.A' B 'C ' 4 12 1 1 1 3
Vậy thể tích khối cần tìm V VVVV  12 3 .
ABC. A' B 'C '
ABC. A' B 'C '
ABC. A' B 'C ' 4 24 12 . ' ' ' 8 ABC A B C
Câu 39. Cho hình lập phương A B C D .AB C D
  cạnh bằng 1. Gọi M là trung điểm cạnh B B  . Mặt
phẳng  MAD  cắt cạnh BC tại K . Tính tỷ số thể tích của khối đa diện AB C DMK C D và khối lập phương. 7 7 1 17 A. . B. . C. . D. . 2 4 17 2 4 2 4 Lời giải Chọn D
Gọi K là trung điểm BC thì MK // B C  . Mà B C  // A D
  MK // AD K  MAD . 3 V  1  1 .
ABCD. AB CD   A' B' C' D' M B A K D C
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 42
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020  1  1 .1
A A MB.AB      2  3 Ta có S    . A MBA 2 2 4 1 1 3 1 Nên V  .S .AD  . .1  .
D. AABM  3 A MBA 3 4 4 V BM BK 1 1 1
Dễ thấy B.MKD  .  .  . V BBBC 2 2 4 . B CB D  Suy ra: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 VV  . .S .BB 
. . .DC.BC.BB '  . . .1.1.1  . B.MKD B.  4 CB D 4 3 DBC 4 3 2 4 3 2 24 1 1 1  V VVV 17 4 24 Vậy AB CD  .MKCD ABC . D A BCD   . D AABM B.MKD    . V V 1 24 ABCD.A BCD   ABC . D A BCD  
Câu 40. Cho hình lập phương ABC . D A BCD
  có cạnh bằng 2a . Gọi M là trung điểm của BB và 1
P thuộc cạnh DD sao cho DP
DD . Mặt phẳng  AMP cắt CC tại N . Tính thể tích khối 4
đa diện AMNPBCD . 3 9a 3 11a A. 3 2a . B. 3 3a . C. . D. . 4 3 Lời giải Chọn B   ABB A   //  D C D C     1 Ta có   ABB A
    AMP  AM với N CC ; PN // AM C N   CC .  4 CDD C
     AMP  PN
Gọi E, G, F lần lượt là các điểm thuộc các cạnh BB ,
AA , DD sao cho B E  1 AG 1 D F  1  ;  ;  . B B  4 A A  4 D D  4 Gọi ,
h S,V lần lượt là chiều cao, diện tích mặt đáy và thể tích của hình lập phương đã cho. S S S
Khi đó, diện tích tứ giác AMEG là S    . 4 4 2
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 43
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 1 S V
Suy ra thể tích của khối chóp N.AMEG là V  . hN . AMEG 3 2 6 S S 5S
Diện tích tứ giác APFG là S    . 4 8 8 1 5S 5V
Suy ra thể tích của khối chóp N.APFG là V  . h  . N . APFG 3 8 24 3V
Thể tích của khối hộp ABCD.GENF là V  . ABCD.GENF 4
Thể tích khối đa diện AMNPBCD là 3 3V V 5V 9V 9.8a 3 VVVV       3a . AMNPBCD ABCD.GENF N . AMNE N . APFG 4 6 24 24 24
Câu 41. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A' B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C, AB  2a và góc
tạo bởi hai mặt phẳng  ABC ' và  ABC  bằng 60 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của
A'C ' và BC . Mặt phẳng  AMN  chia khối lăng trụ thành hai phần. Thể tích của phần nhỏ bằng 3 7 3a 3 3a 3 7 6a 3 6a A. . B. . C. . D. . 24 3 24 6 Lời giải Chọn A *Cách 1:
Gọi H là trung điểm của AB CH AB .
Tam giác AC ' B cân tại C '  C ' H AB .
Mà  ABC    ABC   AB   ABC   ABC    ' , '  CHC '  60 .
ABC vuông cân tại C có AB  2a AC CB a 2;CH a .  C
 'CH vuông tại C CC '  CH.tan CHC '  a 3  AA'  BB ' .
A' N '/ / AN
Gọi N ' là trung điểm của B 'C ' , M ' là trung điểm của C ' N '    MM '/ / AN
MM '/ / A ' N ' 
 thiết diện của hình lăng trụ đứng ABC.A' B 'C ' cắt bởi mặt phẳng  AMN  là hình thang
AMM ' N hay mặt phẳng  AMN  chia khối lăng trụ thành hai phần, trong đó phần nhỏ là ACNMC ' M ' . 3 1 a 2 a 3 Ta có: VAA'.S  a 3. .a 2.  .
ACNA'C ' N ' ACN 2 2 2
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 44
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 2 1 a 2 1 a 2 a 2 3a SSS  .a 2.  . .  .
A' MM ' N ' A'C ' N ' MC ' M ' 2 2 2 2 4 8 2 3 1 1 3a a 3 V  .AA'.S  .a 3.  . .
A A' MM ' N '
A' MM ' N ' 3 3 8 8 3 1 1 1 a 2 a 3 V  .AC.S  .a 2. .a 3.  . .
A M ' N ' N M  ' N ' 3 N 3 2 4 12 3 3 3 3 a 3 a 3 a 3 7a 3 Vậy VVVV     . ACNMC ' M '
ACNA'C ' N ' .
A A' MM ' N ' .
A M ' N ' N 2 8 12 24 Cách 2: Kéo dài ' '
AM , CC , NM cắt nhau tại D . Khi đó VVV . ' ' D. ACN ACNMCM D.MCM ' ' ' ' DM DC DM MC CM 1 Ta có: ' '     
DC  2DC  2CC  2a 3 . DA DC DN AC CN 2 3 1 1 1 a 2 a 3  V  .DC.S  .2 a 3. .a 2.  . D. ACN 3 ACN 3 2 2 3 3 1 1 1 a 2 a 2 a 3 ' V  .DC .S  .a 3. . .  ' ' ' D.MCM 3 MC M 3 2 4 2 24 . 3 3 3 a 3 a 3 7a 3  V    . ' ACNMCM 3 24 24
Câu 42. Cho hình chóp . . Đáy
là hình bình hành, là trung điểm , thuộc cạnh sao cho = , thuộc cạnh sao cho = . Mặt phẳng ( ) cắt , , lần lượt tại
, , . Biết thể tích khối
bằng 1. Tính thể tích khối A. B. C. D. Lời giải Chọn A
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 45
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 Dễ chứng minh được
= và là trung điểm đoạn .
Gọi là thể tích khối chóp . . Đặt = , b = , c = , d = Ta có = 2, = , = Vì + = + ⇒ = +) . = = = . ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ Vì = 1 nên = . +) = + . + . . +) = 1 − = 1 − = ( ,( )) ⋅ ( , )⋅ ( , )⋅ +) . = ⋅ = ⋅ ⋅ ( ,( )) ( , )⋅ ⋅( ) = ⋅ = ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ + 1 = , (3). ( ,( )) + . = . = ⋅ = ⋅ = ⋅ = . ⋅ ⋅ ( ,( ))
Thế (2), (3), (4) vào (1) ta được = + + = Suy ra = ⋅ V = ⋅ =
Nhận xét: Có thể đặc biệt hóa hình chóp với đáy là hình vuông. Khi đó tính dễ hơn vì đáy là hình thang vuông.
Câu 43. Cho hình chóp SABC có diện tích đáy bằng 10 , chiều cao bằng 9 . Gọi M , N , P lần lượt là
trọng tâm của tam giác SAB, SBC , SCA . Thể tích của khối đa diện ABCMNP . 175 560 160 A. 60 B. . C. . D. . 3 9 9 Lời giải Chọn D
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 46
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 3  2  8 Ta có V  .VV SIJK    3 SABC  27 SABC 19 19 1 190  VV  . 9.10  IJKABC 27 SABC 27 3 9 VV  (VVV ) mà VVV ABC.MNP ABCIJK B.MNJ . A MIP C.NPK B.MNJ . A MIP C.NPKVV  3V ABC.MNP ABCIJK B.MNJ 1 Có V  .S
.h ; h d B, IJK b   BMNJ 3 MNJ b 4 4 40 SS  .10  IJK 9 ABC 9 9 1 10 1 Mà S  .S  ; h h  3 MNJ 4 IJK 9 b 3 1 10 10  V  . .3  BMNJ 3 9 9 190 10 160 Vậy V   3.  ABCMNP 9 9 9
+ Phương án nhiễu A : HS nhầm với VBh  9.10  90 SABC 2
+ Phương án nhiễu B : HS nhầm với SS ;VBh IJK 3 ABC SABC
+ Phương án nhiễu C : HS nhầm với VVV ABC.MNP ABCIJK . B MNJ
Câu 44. Cho tứ diện đều ABCD có thể tích là V . Gọi M , N , P,Q, R lần lượt là trung điểm các cạnh
AB, AD, AC, DC, BD và G là điểm đối xứng của B qua PN . Tính thể tích khối đa diện
lồi GMNPQR theo V V V 2V 5V A. . B. . C. . D. . 2 6 5 8 Lời giải Chọn D
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 47
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
Gọi I là trung điểm của PN thì I cũng là trung điểm của AQ .
Do ABCD là tứ diện đều nên BI NP .
G đối xứng với B qua NP I là trung điểm của BG . VVVV GMNPQR G.MNP G.NPQ N .MPQR Do I là trung điểm của AQ và BG nên ABQG là hình bình hành nên
AG//BQ//MI AG//  PMN V
d G, MNP  d  ,
A MNP nên VV  . G.MNP A.MNP 8
I là trung điểm của BG nên d G, PNQ  d B, PNQ 1 1  VV
d B, ACD .SV . G.PNQ B.PNQ    3 PQN 4 1 1 V V
Gọi J là trung điểm BC VV   . N .MPQR 2 JPMRQN 2 2 4 V V V 5V Vậy VVVV     . MNPQRG G.MNP G.NPQ N .MPQR 8 4 4 8
Câu 45. Cho khối lăng trụ ABC.AB C
  có thể tích bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AC và B C
 . Gọi (P) là mặt phẳng qua M và song song với mặt phẳng ( ANC) . Mặt phẳng (P) chia khối
lăng trụ ABC.AB C
  thành hai khối đa diện, gọi (H) là khối đa diện chứa đỉnh Thể tích của khối đa diện (H) bằng 3 1 2 1 A. . B. . C. . D. . 5 3 5 2 Lời giải
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 48
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 Chọn D K A' G B' F N C' I A B M E C J
Gọi khối lăng trụ ABC.AB C
  có thể tích bằng V
- Mặt phẳng (P) qua M và song song với mặt phẳng ( ANC) nên mặt phẳng (P) cắt các mặt
phẳng (ABC), (A' B 'C ') lần lượt theo các giao tuyến ME,GF ( (E BC,G A ' B ', F B 'C ')
cùng song song AN
- Mặt phẳng (P) cắt các mặt phẳng (AA'C 'C), (BB 'C 'C) lần lượt theo các giao tuyến MI
(I AA ') song song A'C , EF song song CN. Ba đường thẳng MI , FG, A 'C ' đồng quy tại
K , ba đường thẳng MI, EF ,CC ' đồng quy tại J .
- Mặt phẳng (P) chia khối lăng trụ ABC.AB C
  thành hai khối đa diện, gọi (T) là khối đa diện
không chứa đỉnh Thể tích của khối đa diện (T) bằng V VVV 1 J .C ' FK J .CEM I . A'GK 1 1 1 9 1 1 1  S .JC ' S .JC S .IA'  V V V V . C ' FK CEM A  ' 3 3 3 GK 16 48 24 2
Câu 46. Cho lăng trụ ABC.A BC
  có chiều cao bằng 8 và đáy là tam giác đều cạnh bằng 2 3 . Gọi
M , N , P lần lượt là tâm của các mặt bên ABB A  , BCC B   và ACC A
  . Thể tích của khối đa diện
lồi có các đỉnh là các điểm ,
A B, C, M , N , P bằng: A. 6 3 . B. 18 3 . C. 9 3 . D. 3 3 . Lời giải.
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 49
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 A C B P A1 C1 M N B1 A' C' B' Chọn C
Mặt phẳng MNP  cắt các cạnh AA , BB ,CC lần lượt tại các điểm A , B ,C . 1 1 1
Dễ thấy,  MNP  //  ABC  và MNP  chia khối lăng trụ thành hai phần có thể tích bằng nhau.
Gọi V là thể tích khối đa diện cần tìm. Khi đó: 1 V VVVV .    1 1 1 2 ABC A B C AA MP CC PN BB MN 1 Mặt khác: Vd , A MNP .S AA MPA MP 1    1 3 1 1  d  1 1 . , A A BC  . SV A BC   ABC. 3 2 4 24 AB C   1 Tương tự: VVV CC PN BB MN
ABC. AB C   1 1 24 2 32 3 1 3 3 3 Do đó: V VVV  . .8  9 3
ABC. AB C  
ABC. AB C   ABC.    2 24 8 A B C 8 4
Câu 47. Cho hình lập phương A B C D . A ' B 'C ' D ' , I là trung điểm của B B  . Mặt phẳng D IC  chia
khối lập phương thành 2 phần. Tỉ số thể tích của phần bé và phần lớn là 5 9 7 10 A. . B. . C. . D. . 19 15 17 17 Lời giải Chọn C
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 50
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
Trong  BAAB kẻ IN // AB, N AB N A N B
Vì AB // DC  mặt phẳng  IDC cắt AB tại N. Do đó mặt phẳng  DIC chia hình lập
phương thành 2 khối đa diện: khối C I
N DCB có thể tích là V và phần còn lại có thể tích là V . 1 2
Giả sử cạnh của hình lập phương A B C D .AB C D   bằng a . 1 1 Ta có: VVVCC .SC B  .S . C DAB IN C . ADN C .  ANIB  3 ADN 3 ANIB 2 1 a a 2 1 a a a Mà S  . aS  . .  ADN và 2 2 4 IBN 2 2 2 8 2 2 3 1 a 3a 5a 2 Sa   V   ANIB   2 8 8 C DAB IN 24 3 3 1 5a 7a 3 V   a   1 2 24 24 3 3 7a 17a V 7
Phần còn lại có thể tích là 3 1 V a     . 2 24 24 V 17 2 Các cách giải khác:
Cách 1: Giả sử hình lập phương có cạnh bằng a ta có 3 Va .
ABCD . AB C D   1 1 1 1 1 2 S  2 2    a , S . . a a DCC 2 BIN 2 2 2 8 3 1 2 2 2 1  a a a    7a V           BC S S .S S a BIN .CC DCC D CC D     3 BIN BIN 3  8 4 2  24 3 3 7a 17a 3
Thể tích phần còn lại là a   7 . Tỉ số cần tính là . 24 24 17 Cách 2:
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 51
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
Gọi E là giao điểm của CB và D N , ta có 1 1 1 1 V     2. V 2. . V     V . E .DCC ABB.  3 DCC ABCD. 3 2 A B C D 3 1 1 1 1 7 V
 . V .Suy ra V     V V V . E.BNI 3 8 BNI .CDC 3 24 24 7 17
Thể tích phần còn lại là V V  7
V .Tỉ số cần tính là . 24 24 17
Câu 48. Cho hình hộp ABC . D A BCD
  có chiều cao bằng 8 và diện tích đáy bằng 9 . Gọi M , N , P
và Q lần lượt là tâm của các mặt bên ABB A  , BCC B  , CDD C
  và DAAD . Thể tích của khối
đa diện lồi có các đỉnh là các điểm ,
A B, C, D, M , N , P và Q bằng A. 27 . B. 30 . C. 18 . D. 36 . Lời giải Chọn B
Ký hiệu V và V  lần lượt là thể tích của khối hộp ABC . D A BCD
  và khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm ,
A B, C, D, M , N , P và Q ta có:
V   V VVVVVV A .  AB D   C.CB D   B.BMN D.DPQ P.QMB D   P.MNB Vì V  8.9  72
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 52
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 V VV  ; A .  AB D   C .  CB D   6 1 1 V VV  . .VB .  BMN D .  DPQ D . 2 2  DAC 24 3 V V 1 1 1 1 V V VV  .  và V  . V  . .  P.QMB D   A .  QMB D   4 6 8 P.MNBD . 2 4  ACB 2 4 3 24  1 1 1 1 1 1  Nên V   1      .72  30   .  6 6 24 24 8 24  Cách khác:
Gọi H , K , L, F lần lượt là trung điểm của các cạnh bên AA ,
BB , CC và DD ta có 1 1 1 1 1 1 VV  4VV  4. . V  36  4. . .72  30 ABCDQMNP ABCD. A BCD   A.HQM ABCD. A BCD   ABCD. 2 2 8 6 A BCD   8 6
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 53
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông