Tính giá trị của tích phân khi biết một hay nhiều tích phân với điều kiện cho trước Toán 12

Tính giá trị của tích phân khi biết một hay nhiều tích phân với điều kiện cho trước Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

50 25 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Môn: Toán 12

Thông tin:

20 trang 6 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa
Cho
f
làhàmsốliêntụctrênđoạn
[ ; ].a b
Giảsử
F
làmộtnguyênhàmcủa
f
trên
[ ; ].a b
Hiệusố
( ) ( )F b F a
được gọilàtích phân từađếnb(haytíchphân xác địnhtrên đoạn
[ ; ]a b
củahàmsố
( ),f x
kíhiệulà
( )d .
b
a
f x x
Tadùngkíhiệu
( ) ( ) ( )
b
a
F x F b F a
đểchỉhiệusố
( ) ( )F b F a
.
Vậy
( )d ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x x F x F b F a
.
Nhận xét: Tíchphâncủahàmsố
f
từađếnbcóthểkíhiệubởi
( )d
b
a
f x x
hay
b
a
Tíchphânđó
chỉphụthuộcvàofvàcáccậna,bmàkhôngphụthuộcvàocáchghibiếnsố.
Ý nghĩa hình học của tích phân:Nếuhàmsố
f
liêntụcvàkhôngâmtrênđoạn
[ ; ]a b
thìtíchphân
( )d
b
a
f x x
làdiệntíchScủahìnhthangconggiớihạnbởiđồthịhàmsố
( )y f x
,trụcOxvàhaiđường
thẳng
, .x a x b
Vậy
( )d .
b
a
S f x x
2. Tính chất của tích phân
1.
( )d 0
a
a
f x x
2.
( )d ( )d
b a
a b
f x x f x x
3.
( )d ( )d ( )d
b c c
a b a
f x x f x x f x x
(
a b c
)
4.
. ( )d . ( )d ( )
b b
a a
k f x x k f x x k
5.
[ ( ) ( )]d ( )d ( )d
b b b
a a a
f x g x x f x x g x x
.
Lưu ý:
1)
f x
làhàmsốchẵnvàliêntụctrênđoạn
;a a
,
0
a
thì
0
( )d 2 ( )d
a a
a
f x x f x x
2)
f x
làhàmsốlẻvàliêntụctrênđoạn
;a a
,
0
a
thì
( )d 0
a
a
f x x
CHUYÊN ĐỀ
BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH GIÁ TRỊ CỦA TÍCH PHÂN KHI
BIẾT MỘT HAY NHIỀU TÍCH PHÂN
VỚI ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
3)
f x
làhàmsốliêntục,tuầnhoànvớichukìTthì
( )d
a T
a
f x x
0
( )d
T
f x x
2
2
( )d ,
T
T
f x x a R
B. BÀI TẬP
Câu 1. Chohàmsố
f x
cóđạohàmliêntụctrên
0;
2
thỏamãn
0 0
f
và
2 2
2
0 0
d sin d
4
f x x xf x x
.Tínhtíchphân
2
0
df x x
.
Lời giải
Bằng công thức tích phân từng phần ta có
2 2
2
0
0 0
sin d cos cos dxf x x xf x x f x x
.Suyra
2
0
cos d
4
x f x x
.
Hơnnữatatínhđược
2 2
2
2
0 0
0
1 cos 2 2 sin 2
cos d d
2 4 4
x x x
x x x
.
Dođó
2 2 2 2
2 2
2
0 0 0 0
d 2. cos d cos d 0 cos d 0
f x x x f x x x x f x x x
.
Suyra
cos
f x x
,dođó
sin
f x x C
.Vì
0 0
f
nên
0
C
.
Tađược
2 2
0 0
d sin d 1f x x x x
.
Câu 2. Chohàmsố
f x
cóđạohàmliêntụctrên
0;1
thỏamãn,
1 0
f
,
1 1
2
2
0 0
1
d 1 d
4
x
e
f x x x e f x x
.Tínhtíchphân
1
0
df x x
.
Lời giải
Bằng công thức tích phân từng phần ta có
1 1
0 0
1 d d
x x
x e f x x f x xe
1
1
0
0
d
x x
xe f x xe f x x
1
0
d
x
xe f x x
.
Suyra
2
1
0
1
d
4
x
e
xe f x x
.
Hơnnữatatínhđược
1 1
2
2 2
0 0
d d
x x
xe x x e x
2
1
4
e
.
Dođó
1 1 1
2
2
0 0 0
d 2 d d 0
x x
f x x xe f x x xe x
1
2
0
d 0
x
f x xe x
.Suyra
x
f x xe
,dođó
1
x
f x x e C
.
Vì
1 0
f
nên
0
C
.
Tađược
1 1
0 0
1 2
x
f x dx x e dx e
.
Câu 3. Chohàmsố
f x
cóđạohàmliêntụctrên
0;1
thỏamãn
0 1
f
,
1
2
0
1
d
30
f x x
,
1
0
1
2 1 d
30
x f x x
.Tínhtíchphân
1
0
df x x
.
Lời giải
Bằng công thức tích phân từng phần ta có
1 1
2
0 0
2 1 d d
x f x x f x x x
1
1
2 2
0
0
dx x f x x x f x x
1
2
0
dx x f x x
.
Suyra
1
2
0
1
d
30
x x f x x
.
Hơnnữatatínhđược
1 1
2
2 4 3 2
0 0
1
d 2 d
30
x x x x x x x
.
Dođó
1 1 1 1
2
2
2
2 2 2
0 0 0 0
d 2 d d 0 d 0
f x x x x f x x x x x f x x x x
.
Suyra
2
f x x x
,dođó
3 2
3 2
x x
f x C
.Vì
0 1
f
nên
1
C
.
Tađược
1
0
df x x
1
3 2
0
11
1 d
3 2 12
x x
x
.
Câu 4. Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên
0;1
thỏa mãn
1 0
f
,
1
2
0
1
d
9
f x x
và
1
3
0
1
d
36
x f x x
.Tínhtíchphân
1
0
df x x
.
Lời giải
Bằng công thức tích phân từng phần ta có
1 1
3 4
0 0
4 d d
x f x x f x x
1
1
4 4
0
0
dx f x x f x x
1
4
0
dx f x x
.
Suyra
1
4
0
1
d
9
x f x x
.Hơnnữatatínhđược
1 1
2
4 8
0 0
1
d d
9
x x x x
.
Dođó
1 1 1 1
2
2
2
4 4 4
0 0 0 0
d 2 d d 0 d 0
f x x x f x x x x f x x x
.
Suyra
4
f x x
,dođó
5
5
x
f x C
.Vì
1 0
f
nên
1
5
C
.
Tađược
1 1
5
0 0
1 1
d d
5 6
x
f x x x
.
Câu 5. Chohàmsố
f x
cóđạohàmliêntụctrên
1;e
thỏamãn
0
f e
,
2
1
d 2
e
f x x e
và
1
d 2
e
f x
x e
x
.Tíchphân
1
d
e
f x x
bằng
Lời giải
Bằng công thức tích phân từng phần ta có
1
1 0
d d ln
e
f x
x f x x
x
1
1
0
ln ln d
e
xf x xf x x
1
ln d
e
xf x x
.
1
ln d 2
e
xf x x e
Suyra
2 2
1 1
1
ln d ln 2 ln d
e
e e
x x x x x x
2
e
.
Dođó
2 2
2
1 1 1 1
d 2 ln d ln d 0 ln d 0
e e e e
f x x x f x x x x f x x x
.
Suyra
lnf x x
,dođó
ln
f x x x x C
.Vì
0
f e
nên
0
C
.
Tađược
2
1 1
3
d 1 ln d
4
e e
e
f x x x x x
.
Câu 6. Chohàmsố
f x
cóđạohàmliêntụctrên
0;
2
thỏamãn
0
2
f
,
3
2
0
sin cos d
48 8
x x x f x x
và
3
2
2
0
d
48 8
f x x
.Tínhtíchphân
2
0
df x x
.
Lời giải
Bằng công thức tích phân từng phần ta có
2 2
2
0
0 0
sin cos d sin sin dx x x f x x x x f x x x f x x
.
Suyra
3
2
0
sin d
48 8
x x f x x
.
Tacó
2
2 2 2
2
2 2
0 0 0
1 cos 2
sin d sin d d
2
x x
x x x x x x x
2
2 2
2 2 2
0 0 0
1 cos 2
cos 2
d d d
2 2 2
x x
x x x
x x x
3
48 8
.
Dođó
2 2 2 2
2 2
2
0 0 0 0
d 2 sin d sin d 0 sin d 0
f x x x x f x x x x x f x x x x
.
Suyra
sin
f x x x
,dođó
sin cos
f x x x x C
.Vì
0
2
f
nên
1
C
.
Tađược
2 2
0 0
d sin cos 1 d 2f x x x x x x
.
Câu 7. Chohàmsố
f x
cóđạohàmliêntụctrên
0;1
thỏamãn
1 0
f
,
1
2
0
3
d 2ln 2
2
f x x
và
1
2
0
3
d 2ln 2
2
1
f x
x
x
.Tínhtíchphân
1
0
df x x
.
Lời giải
Bằng công thức tích phân từng phần ta có
1
1 1 1
2
0 0 0
0
1 1 1
d d 1 1 1 d
1 1 1
1
f x
x f x f x f x x
x x x
x
.
Suyra
1
0
1 3
1 d 2ln 2
1 2
f x x
x
.
Lạicó
1
2
1 1
2
0 0
0
1 1 1 1 3
1 d 1 2 d 2ln 1 2ln 2
1 1 1 2
1
x x x x
x x x
x
.
Dođó
2 2
1 1 1 3
2
0 0 0 0
1 1 1
d 2 1 d 1 d 0 1 d 0
1 1 1
f x x f x x x f x x
x x x
.
Suyra
1
1
1
f x
x
,dođó
ln 1
f x x x C
.Vì
1 0
f
nên
ln 2 1
C
.
Tađược
1 1
0 0
1
d ln 1 ln 2 1 d ln2
2
f x x x x x
.
Câu 8. Chohàmsố
f x
cóđạohàmliêntụctrên
0;1
thỏamãn
1 0
f
,
1
2
0
1
d
11
f x x
và
1
4
0
1
d
55
x f x x
.Tínhtíchphân
1
0
df x x
.
Lời giải
Bằng công thức tích phân từng phần ta có
1
1 1
5 5
4
0 0
0
d d
5 5
x x
x f x x f x f x x
.Suyra
1
5
0
1
d
11
x f x x
.
Lạicó:
1
2
5
0
1
d
11
x x
.
Dođó
1 1 1
2
2
5 5
0 0 0
d 2 d d 0
f x x x f x x x x
1
2
5
0
d 0
f x x x
.Suyra
5
f x x
,dođó
6
1
6
f x x C
.
Vì
1 0
f
nên
1
6
C
.
Tađược
1 1
6
0 0
1 1
d d
6 7
x
f x x x
.
Câu 9. Chohàmsố
y f x
liêntụctrên
vàthỏamãn
4
f x f x
.Biết
3
1
d 5
xf x x
.Tính
3
1
dI f x x
.
Lời giải
Đặt
4
t x
.Tacó
3 3 3 3 3
1 1 1 1 1
d 4 d 4 d 4 d . dxf x x xf x x t f t t f t t t f t t
3 3
1 1
5
5 4 d 5 d
2
f t t f t t
.
Câu 10. Biết
1
3 2
0
2 3 1 3
d ln
2 2
x x
x b
x a
, 0
a b
.Tìmcácgiátrịcủa
k
để
2
8
1 2017
d lim
2018

ab
x
k x
x
x
.
Lời giải
Tacó:
1 1
3 2
2
0 0
2 3 3
d d
2 2
x x
x x x
x x
1
3
0
1 1 3
3ln 2 3ln
3 3 2
x x
3
3
a
b
9
8 8
d d 1
ab
x x
Mà
2
8
1 2017
d lim
2018

ab
x
k x
x
x
2
1 2017
1 lim
2018

x
k x
x
Mặtkháctacó
2
2
1 2017
lim 1
2018
x
k x
k
x

.
Vậyđể
2
8
1 2017
d lim
2018

ab
x
k x
x
x
thì
2
1 1
k
2
0
k
0
k
.
Câu 11. Cho hàm số
y f x
là hàm lẻ và liên tục trên
4;4
biết
0
2
d 2
f x x
và
2
1
2 d 4
f x x
.Tính
4
0
dI f x x
.
Lời giải
Xéttíchphân
0
2
d 2
f x x
.
Đặt
x t
d dt
x
.
Đổicận:khi
2
x
thì
2t
;khi
0
x
thì
0t
Dođó
0 0
2 2
d dtf x x f t
2
0
dtf t
2
0
dt 2
f t
2
0
d 2
f x x
.
Dohàmsố
y f x
làhàmsốlẻnên
2 2f x f x
.
Dođó
2 2
1 1
2 d 2 df x x f x x
2
1
2 d 4
f x x
.
Xét
2
1
2 df x x
.
Đặt
2
x t
1
d dt
2
x
.
Đổicận:khi
1x
thì
2t
;khi
2
x
thì
4t
Dođó
2 4
1 2
1
2 d dt 4
2
f x x f t
4
2
dt 8
f t
4
2
d 8
f x x
.
Do
4
0
dI f x x
2 4
0 2
d df x x f x x
2 8 6
.
Câu 12. Chohàmsố
f x
xáđịnhtrên
0;
2
thỏamãn
2
2
0
2
2 2 sin d
4 2
f x f x x x
.
Tínhtíchphân
2
0
df x x
.
Lời giải
Tacó:
2
2
0
2sin d
4
x x
2
0
1 cos 2 d
2
x x
2
0
1 sin 2 dx x
2
0
1
cos2
2
x x
2
2
.
Dođó:
2
2
0
2 2 sin d
4
f x f x x x
2
2
0
2sin d
4
x x
2 2
0
2 2
2
2 2
0
2 2 sin 2sin d 0
4 4
f x f x x x x
2
2
0
2 sin d 0
4
f x x x
Suyra
2 sin 0
4
f x x
,hay
2 sin
4
f x x
.
Vậy:
2 2
0 0
d 2 sin d
4
f x x x x
2
0
2 cos 0
4
x
.
Câu 13. Chohàmsố
y f x
thỏamãn
2
0
sin . d 0
x f x x f
1
. Tính
2
0
cos . dI x f x x
.
Lời giải
Đặt
d ( )d
d sin d cos
u f x u f x x
v x x v x
2 2
2
0
0 0
sin . d cos . cos . dx f x x x f x x f x x
.
2
0
cos . dI x f x x
2
2
0
0
sin . d cos .x f x x x f x
1 1
0
.
Câu 14. Cho số thực
0
a
. Giảsửhàm số
( )f x
liên tụcvàluôn dươngtrênđoạn
0;a
thỏamãn
( ). ( ) 1
f x f a x
.Tínhtíchphân
0
1
d
1
a
I x
f x
?
Lời giải
Đặt
d dt a x t x
.
Thayvàotađược
0
1
d
1
a
I x
f x
0
1
dt
1
a
f a t
0
1
d
1
a
x
f a x
.
Suyra
0
0 d
1 1
a
f a x f x
x
f x f a x
Dohàmsố
( )f x
liêntụcvàluôndươngtrênđoạn
0;a
.Suyra
f a x f x
.
Mà
( ). ( ) 1
f x f a x
1
f x
.
Vậy
0
1
d
2 2
a
a
I x
.
Câu 15. Chohàmsố
y f x
liêntục,luôndươngtrên
0;3
vàthỏamãn
3
0
d 4
I f x x
.Tínhgiá
trịcủatíchphân
3
1 ln
0
4 d
f x
K e x
Lời giải
Tacó
3 3 3 3 3
3
1 ln 1 ln
0
0 0 0 0 0
e 4 d e d 4d e. d 4d 4e 4 4e 12
|
f x f x
K x x x f x x x x
.
Vậy
4e 12
K
.
Câu 16. Cho hàm số
f x
liên tục trên
thỏa
2018
0
d 2
f x x
. Tính tích phân
2018
e 1
2
2
0
ln 1 d
1
x
f x x
x
.
Lời giải
Đặt
2018
e 1
2
2
0
ln 1 d
1
x
I f x x
x
.
Đặt
2
ln 1
t x
2
2
d d
1
x
t x
x
.
Đổicận:
0
x
0
t
;
2018
e 1
x
2018
t
.
Vậy
2018
0
1
d
2
I f t t
2018
0
1
. d 1
2
f x x
.
Câu 17. Cho
f x
làhàmliêntụctrên
thỏa
1 1
f
và
1
0
1
dt
3
f t
,tính
2
0
sin 2 . sin dI x f x x
Lời giải
Đặt
sin sin cos . sin d dx t f x f t x f x x f t t
Đổicận:khi
0 0x t
;
1
2
x t
.
1
2 2
0 0 0
sin 2 . sin d 2sin .cos . sin d 2 . dI x f x x x x f x x t f t t
Đặt:
d d
d d
u t u t
v f t t v f t
.
1
0
1
1 4
2 . d 2 1
0
3 3
I t f t f t t
.
Câu 18. Cho
f x
là hàm số liên tục trên
và
1
0
d 4
f x x
,
3
0
d 6
f x x
. Tính
1
1
2 1 dI f x x
.
Lời giải
Đặt
2 1u x
1
d d
2
x u
.
1
x
1
u
.
1x
3
u
.
Nên
3
1
1
d
2
I f u u
0 3
1 0
1
d d
2
f u u f u u
0 3
1 0
1
d d
2
f u u f u u
.
Xét
1
0
d 4
f x x
.Đặt
x u
d dx u
.
Khi
0
x
thì
0
u
.Khi
1x
thì
1
u
.
Nên
1
0
4 d
f x x
1
0
df u u
0
1
df u u
.
Tacó
3
0
d 6
f x x
3
0
d 6
f u u
.
Nên
0 3
1 0
1
d d
2
I f u u f u u
1
4 6 5
2
.
Câu 19. Cho
2
1
d 2
f x x
và
2
1
d 1
g x x
.Tính
2
1
2 3 dI x f x g x x
Lời giải
Tacó:
2
1
2 3 dI x f x g x x
2 2 2
1 1 1
xd 2 f d 3 g dx x x x x
2
2
1
17
4 3
2 2
x
.
Câu 20. Chohàmsố
y f x
liêntụctrên
,biết
2
2
0
. d 2
x f x x
.Tính
4
0
dI f x x
Lời giải
Xéttíchphân
2
2
0
. d 2
x f x x
Đặt
2
x t
d
d
2
t
x x
.
Đổicận:Khi
0
x
thì
0t
;khi
2
x
thì
4t
.
Dođó
2
2
0
. d 2
x f x x
4
0
1
dt 2
2
f t
4
0
dt 4
f t
4
0
d 4
f x x
Vậy
4I
.
Câu 21. Cho
f
,
g
làhaihàmliêntụctrên
1;3
thỏa:
3
1
3 d 10
f x g x x
.
3
1
2 d 6
f x g x x
.Tính
3
1
df x g x x
.
Lời giải
Tacó
3 3 3
1 1 1
3 d 10 d 3 d 10
f x g x x f x x g x x
.
Tươngtự
3 3 3
1 1 1
2 d 6 2 d d 6
f x g x x f x x g x x
.
Xéthệphươngtrình
3 10 4
2 6 2
u v u
u v v
,trongđó
3
1
du f x x
,
3
1
dv g x x
.
Khiđó
3 3 3
1 1 1
d d d 4 2 6
f x g x x f x x g x x
.
Câu 22. Chohàmsố
( )y f x
liêntụcvàcóđạohàmtrên
thỏamãn
(2) 2
f
,
2
0
( )d 1f x x
.
Tínhtíchphân
4
0
dI f x x
.
Lời giải
Đặt
d 2 dx t x t t
.
Đổicận:
0;4 0;2
x t
.
2
0
2 . '( )dI t f t t
.
Sửdụngphươngpháptínhtíchphântừngphầntađược:
2
2
0
0
2 ( ) ( ).d 10.
I tf t f t t
Câu 23. Cho hàm số
( )y f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn
0;
2
. Đồng thời thỏa mãn
2
2
0
( )d 3
f x x
,
0
sin ( )d 6
2
x
x x f x
và
( ) 0
2
f
.Tíchphân
2
3
0
( ) df x x
Lời giải
2
0 0
6 sin 2 ( )d sin 2 2 ( )d
2 2
x x
x x f x x f x x
2
2
0
0
sin 2 2 ( ) sin 2 2 ( )dx x f x x x f x x
2 2 2
2 2
0 0 0
3
2 1 cos 2 ( )d 4 sin ( )d sin ( )d
4
x f x x xf x x xf x x
Cách 1:
Tacó
2
2
0
d 3
f x x
,
2
2
0
3
sin d
4
xf x x
,
2
4 2
0
3
sin d
16
xf x x
Dođó
2 2 2 2
2 2 4 2
0 0 0 0
( )d 8 sin d 16 sin d ( ) 4sin d 0
f x x x x x x f x x x
.
Vậy
2
( ) 4sin
f x x
.
Cách 2: Sửdụngbấtđẳngthức
2
2 2
2 2 2
2 4 2
0 0 0
9 9
sin d sin d . d
16 16
xf x x x x f x x
.
Dấu
'' ''
xảyrakhi
2
( ) sin
f x k x
mà
2
2
0
3
sin d
16
xf x x
2
4
0
3
sin d
16
k x x
nên
2
( ) 4sin
f x x
.
Vậy
2
( ) 4sin 2 2cos2
f x x x
nên
( ) 8cos 2f x x
nên
2 2
3
3
0 0
d 512 cos 2 d 0
f x x x x
.
Câu 24. Chohàmsố
f x
cóđạohàmliêntụctrên
1;8
thỏamãn:
2 2 8 2
2
2
3 3 2
1 1 1 1
2
d 2 d d 1 d .
3
f x x f x x f x x x x
Tínhtíchphân
2
3
1
' df x x
Lời giải
Đặt
3 2
d 3 .dx t x t t
.
Với
1 1; 8 2.
x t x t
Tađược:
8 2 2
2 3 2 3
1 1 1
2
d 2 d 2 d .
3
f x x t f t t x f x x
Thayvàogiảthiếttađược:
2 2 2 2
2
2
3 3 2 3 2
1 1 1 1
d 2 d 2 d 1 df x x f x x x f x x x x
2 2 2 2
2
2
3 3 2 3 2
1 1 1 1
d 2 d 2 d 1 d 0
f x x f x x x f x x x x
2
2
2
3 3 2 2
1
2 . 1 1 d 0
f x f x x x x
2
2
3 2
1
1 d 0
f x x x
2
3 2
1 0
f x x
3 2
1
f x x
3
2
1
f x x
3
2 1
.
3
f x
x
Dođó:
2 2
3 2
1
1 1
8 1 8 8.ln 2
d d . ln
27 27 27
f x x x x
x
.
Câu 25. Cho hàm số
f x
liên tục trên
và thỏa mãn
1
5
d 9
f x x
. Tính tích phân
2
0
1 3 9 df x x
.
Lời giải
Đặt
1 3t x
d 3dt x
.
Với
0 1x t
và
2 5
x t
.
Tacó
2
0
1 3 9 df x x
2 2
0 0
1 3 d 9df x x x
5
2
0
1
d
9
3
t
f t x
1
5
1
d 18
3
f x x
1
.9 18 21
3
.
Câu 26. Cho hàm số
f x
có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn
0;1
thỏa mãn
0 1
f
và
1 1
2
0 0
1
3 d 2 d
9
f x f x x f x f x x
.Tínhtíchphân
1
3
0
df x x
:
Lời giải
Từgiảthiếtsuyra:
1
2
0
3 2.3 1 d 0
f x f x f x f x x
1
2
0
3 1 d 0
f x f x x
.
Suyra
3 1 0
f x f x
1
3
f x f x
2
1
.
9
f x f x
.
Vì
3 2
3.
f x f x f x
nênsuyra
3
1
3
f x
3
1
3
f x x C
.
Vì
0 1
f
nên
3
0 1
f
1
C
.
Vậy
3
1
1
3
f x x
.
Suyra
1
3
0
df x x
1
0
1 7
1 d
3 6
x x
.
Câu 27. Cho
a
làhằngsốthựcvàhàmsố
f x
liêntụctrên
thỏamãn
2
1
d 2017
f x a x
.Tính
giátrịcủatíchphân
2
1
d
a
a
I f x x
Lời giải
Xét
2
1
d 2017
f x a x
.
Đặt
t x a
d dt x
Đổicận:
+
1 1x t a
+
2 2
x t a
Khiđó
2
1
df x a x
2
1
d
a
a
f t t
2
1
d 2017
a
a
f x x
.
Câu 28. Cho hàmsố
y f x
có đạohàm liêntục trênđoạn
0;5
và
5 10
f
,
5
0
d 30
xf x x
.
Tính
5
0
df x x
.
Lời giải
Đặt
d d
d d
u x u x
v f x x v f x
5 5
5
0
0 0
. d . dx f x x x f x f x x
5
0
30 5 5 df f x x
5
0
d 5 5 30 20
f x x f
.
Câu 29. Kí hiệu
F x
là một nguyên hàm của
f x
. Biết
3 3
F
và
2
1
1 d 1F x x
. Tính
3
0
dI xf x x
Lời giải
Đặt
1 d dt x t x
.Đổicận:
1 0
2 3
x t
x t
Khiđó
2 3 3
1 0 0
1 1 d d dF x x F t t F x x
Xéttíchphân
3
0
dI xf x x
Đặt
d d
d d
u x u x
v f x x v F x
.
Suyra
3 3
3
0
0 0
d d 3 3 1 8
I xf x x xF x F x x F
.
Câu 30. Cho
4
2
0
tan . cos d 1x f x x
và
2
2
ln
d 1
ln
e
e
f x
x
x x
.Tínhtíchphân
2
1
4
2
d
f x
I x
x
Lời giải
● Xét
4
2
0
tan . cos d 1A x f x x
.
Đặt
2
cost x
2
d 2sin cos d 2cos tan d 2 .tan dt x x x x x x t x x
d
tan d
2
t
x x
t
Đổicận:
0 1
1
4 2
x t
x t
Khiđó
1
1
2
1
1
2
d 1
d 1
2 2
f t
t
A f t t
t t
1
1
2
d 2
f t
t
t
● Xét
2
2
ln
d 1
ln
e
e
f x
B x
x x
.
Đặt
2
2
2ln 2ln 2 d d
ln d d d d
ln ln ln 2
x x t x t
t x t x x x
x x x x x x x t
Đổicận:
2
1
4
x e t
x e t
Khiđó
4 4
1 1
d 1
d 1
2 2
f t
t
B f t t
t t
4
1
d 2
f t
t
t
● Xét
2
1
2
2
d
f x
I x
x
Đặt
d
d
2
2
2
t
x
t x
t
x
.
Đổicận:
1 1
4 2
2 4
x t
x t
Khiđó
4 1 4
1 1
1
2 2
d d d 2 2 4
f t f t f t
I t t t
t t t
.
Câu 31. Chohàmsố
y f x
cóđạohàm
f x
liêntụctrênđoạn
1;2
thỏamãn
2
1
d 1xf x x
và
1 4 2 .
f f
Tính
2
2
1
dx f x x
Lời giải
Đặt
2
d d
1
d d
2
u f x x
u f x
v x x
v x
.
Khiđó
2 2
2
2 2
1
1 1
1 1
1 d d
2 2
xf x x x f x x f x x
2
2
1
1 1
1 . 4 2 1 d
2 2
f f x f x x
.
Theogiảthiết
1 4 2
f f nên
2
2
1
1 1
1 .0 d
2 2
x f x x
2
2
1
d 2
x f x x
.
Câu 32. Cho
f x
,
g x
là các hàm số có đạo hàm liên tục trên
0;1
và thỏa mãn điều kiện
1
0
. d 1
g x f x x
,
1
0
. d 2
g x f x x
.Tínhtíchphân
1
0
. dI f x g x x
.
Lời giải
Tacó
. . .
f x g x f x g x g x f x
.
Vàđặt
1 1
1 2
0 0
. d 1; . d 2
I g x f x x I g x f x x
Khiđó
1
1 2
0
. d 1 2 1.
I f x g x x I I
.
Câu 33. Chobiết
2
2
0
d 4
xf x x
,
3
2
d 2
f z z
,
16
9
d 3
f t
t
t
.Tính
4
0
( )dI f x x
.
Lời giải
2
2 2
2
2
0
0 0
d 4 d 8 d 8
t x
xf x x f t t f x x

.
3 3
2 2
( )d 2 (x)d 2
f z z f x
.
4
16
9
3
3
d 3 d
2
x t
f t
t f x x
t

.
Vậy
3 23
8 2
2 2
I
.
Câu 34. Chohàmsố
f x
cóđạohàmliêntụctrên
0;1
vàthỏamãn:
1
0
2 d 1x f x x f
.Tính
giátrịcủa
1
0
dI f x x
.
Lời giải
Đặt
d
d 2 d
2
u x
du x
v f x x
v f x x
1
0
2 d 1x f x x f
1
1
0
0
2 ( 2 )d 1x f x x f x x x f
Vậy
1I
.
Câu 35. [THPT Nguyễn Khuyến Tp HCM 2017] Cho biết
5
1
( )d 15
f x x
. Tính giá trị của
2
0
[ (5 3 ) 7]dx
P f x
.
Lời giải
Đểtỉnh
P
tađặt
d
5 3 d
3
t
t x x
0 5x t
2 1
x t
1
5
d
[ ( ) 7]( )
3
t
P f t
5 5 5
1 1 1
1 1
[ ( ) 7]d ( )d 7 d
3 3
f t t f t t t
1 1
.15 .7.(6) 19
3 3
.
Câu 36. [THPT Lạng Giang số 1-2017]Giảsử
1
0
d 3
f x x
và
5
0
d 9
f z z
.
Tínhtổng
3 5
1 3
d df t t f t t
.
Lời giải
Tacó
1 1
0 0
d 3 d 3f x x f t t
;
5 5
0 0
d 9 d 9f z z f t t
5 1 3 5 3 5
0 0 1 3 1 3
9 d d d d 3 d df t t f t t f t t f t t f t t f t t
3 5
1 3
d d 6f t t f t t
.
Câu 37. [Sở GD&ĐT Hà Nội 2017]Cho
y f x
làhàmsốchẵn,cóđạohàmtrênđoạn
6;6
.Biết
rằng
2
1
d 8
f x x
và.
3
1
2 d 3
f x x
.Tính
6
1
dI f x x
.
Lời giải
Vì
y f x
làhàmsốchẵnnên
2 2
1 1
d d 8f x x f x x
,
3 3
1 1
2 d 2 d 3f x x f x x
.
Xéttíchphân
3
1
2 d 3K f x x
Đặt
2 d 2du x u x
.
Đổicận:
1 2
x u
,
3 6
x u
.
6 6
2 2
1 1
d d 3
2 2
K f u u f x x
6
2
d 6f x x
Vậy.
6 2 6
1 1 2
d d d 8 6 14
I f x x f x x f x x
.
Câu 38. [Chuyên Quang Trung-Bình Phước 2017] Cho
f
,
g
là hai hàm liên tục trên
1;3
thỏa:
3
1
3 d 10
f x g x x
,
3
1
2 d 6
f x g x x
.Tính
3
1
df x g x x
.
Lời giải
Tacó
3 3 3
1 1 1
3 d 10 d 3 d 10
f x g x x f x x g x x
.
Tươngtự
3 3 3
1 1 1
2 d 6 2 d d 6
f x g x x f x x g x x
.
Xéthệphươngtrình
3 10 4
2 6 2
u v u
u v v
,trongđó
3
1
du f x x
,
3
1
dv g x x
.
Khiđó
3 3 3
1 1 1
d d d 4 2 6
f x g x x f x x g x x
.
Câu 39. [Chuyên Đại học Vinh–2018]Chohàmsố
f x
thỏamãn
2
4
. 15 12 ,
f x f x f x x x x R
và
0 0 1
f f
.Tínhgiátrịcủa
2
1
f
.
Lời giải
2
4
. d 15 12 df x f x f x x x x x
(1)
Đặt
d d
d d
u f x
u x
v f x
v f x x
(1)
2 2
5 2
d . d 3 6
f x x f x f x f x x x x C
5 2
. 3 6
f x f x x x C
Tacó
0 .f 0 1
f C C
Tacó
1 1 1
6
5 2 3
0 0 0
1
7
. d 3 6 1 d .d 2
0
2 2
x
f x f x x x x x f x f x x x
.
Suyra
2
1
7
0
2 2
f x
2 2
1 0 7
f f
2
1 8
f
.
Câu 40. [Sở GD&ĐT Phú Thọ 2018] Cho hàm số
f x
xác định trên
\ 1;1
thỏa mãn
2
2
1
f x
x
,
2 2 0
f f
và
1 1
2
2 2
f f
.Tính
3 0 4
f f f
.
Lời giải
Tacó
df x f x x
2
2
1
dx
x
1 1
1 1
dx
x x
1
2
3
1
ln 1
1
1
ln 1 1
1
1
ln 1
1
khi
khi
khi
x
C x
x
x
C x
x
x
C x
x
.
Khiđó
1 3
1 3
2
2 2
1
2 2 0
ln3 ln 0
0
3
1 1
1 1
2
ln3 ln 2
2 2
3
f f
C C
C C
C
f f
C C
Dođó
1 2 3
3 6
3 0 4 ln 2 ln ln 1
5 5
f f f C C C
.
Câu 41. [PTNK ĐHQG HCM 2018]Chohaihàmsố
f x
và
g x
cóđạohàmtrênđoạn
1;4
và
thỏamãnhệthức
1 1 4
. ; .
f g
g x x f x f x x g x
.Tính
4
1
dI f x g x x
.
Lời giải
Cách 1:
Tacó
f x g x x f x g x
1
f x g x
f x g x x
1
d d
f x g x
x x
f x g x x
ln
f x g x
ln
x C
Theogiảthiếttacó
ln 1 ln 1 1
C f g
ln 4
C
.
Suyra
4
4
f x g x
x
f x g x
x
,vì
1 1 4
f g
nên
4
f x g x
x
4
1
d 8ln 2
I f x g x x
.
Cách 2:
Tacó
f x g x x f x g x
d df x g x x x f x g x x
.
d df x g x x x f x g x f x g x x
.
C
x f x g x C f x g x
x
.Vì
1 1 4
f g C C
Dođó
4
f x g x
x
.Vậy
4
1
d 8ln 2
I f x g x x
.
Câu 42. [ĐTK Bộ GD&ĐT 2018] Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên
0;1
thỏa mãn
1 0
f
,
1
2
0
d 7
f x x
và
1
2
0
1
d
3
x f x x
.Tíchphân
1
0
df x x
.
Lời giải
Bằngcôngthứctíchphântừngphầntacó
1
1 1
3 3
2
0 0
0
d d
3 3
x x
x f x x f x f x x
.
Suyra
1
3
0
1
d
3 3
x
f x x
.
Mặtkhác
1
6
0
1
d
9 63
x
x
.
Dođó
1 1 1
3 6
2
2
0 0 0
d 2.21 d 21 d 0
3 9
x x
f x x f x x x
1
2
3
0
7 d 0
f x x x
.
Suyra
3
7
f x x
,dođó
4
7
4
f x x C
.
1 0
f
7
4
C
.
4
7 7
4 4
f x x
Tađược
1 1
4
0 0
7 7
d 1 d
4 5
f x x x x
.
Câu 43. [HSG Phú Thọ 2018]Chohàmsố
f x
liêntụctrênđoạn
0;1
thoảmãn
2 3
3
6 .
3 1
f x x f x
x
Tính
1
0
df x x
Lời giải
1 1 1 1
2 3 3 3
0 0 0 0
d 3 1
3
6 d 2 dx
3 1 3 1
x
I f x dx x f x x f x
x x
1
0
1
2 d 2 3 1
0
I f t t x
1
0
2 d 2
f x x
Vậy
1
0
d 2
f x x
.
Câu 44. [THTT-12-2017]Cho hàm số
f x
liên tục trên
thỏa mãn
4
tan cos
f x x
,
x
.
Tính
1
0
d
I f x x
.
Lời giải
Đặt
tant x
.
Tacó
2 2
2
1
1 tan 1
cos
x t
x
4
2
2
1
cos
1
x
t
2
2
1
1
f t
t
1 1
2
2
0 0
1
d d
1
I f x x x
x
.
Đặt
tan d 1 tan d
x u x u u
.
Đổicận:
0 0
x u
;
1
4
x u
.
4 4 4
4
2
2 2
2
2
0 0 0
0
2
1 1 1 1 1 2
d tan . d cos d sin 2
cos 2 4 8
1
1 tan
cos
I u u u u u u
u
u
u
.
Câu 45. Cho hàmsố
f x
có đạohàm liên tụctrên
0;3
thỏa mãn
3 0
f
,
3
2
0
7
d
6
f x x
và
3
0
7
d
3
1
f x
x
x
.Tínhtíchphân
3
0
df x x
.
Lời giải
Bằng công thức tích phân từng phần ta có
3 3 3
3
0
0 0 0
d 2 d 1 1 2 1 1 2 1 1 d
1
f x
x f x x x f x x f x x
x
.
Suyra
3
0
7
1 1 d
6
x f x x
.
Lạicó
3 3
2
0 0
7
1 1 d 2 2 1 d
6
x x x x x
.
Dođó
3 3 3 3
2
2
2
0 0 0 0
d 2. 1 1 d 1 1 d 0 1 1 d 0
f x x x f x x x x f x x x
.
Suyra
1 1
f x x
,dođó
2
1 1
3
f x x x x C
.Vì
3 0
f
nên
7
3
C
.
Tađược
3 3
0 0
2 7 97
d 1 1 d
3 3 30
f x x x x x x
.
_______________ TOANMATH.com _______________
| 1/20
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CHUYÊN ĐỀ
BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH GIÁ TRỊ CỦA TÍCH PHÂN KHI
BIẾT MỘT HAY NHIỀU TÍCH PHÂN
VỚI ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa
Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử F là một nguyên hàm của f trên [a;b]. Hiệu số
F (b)  F (a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a;b] của hàm số b
f (x), kí hiệu là f (x)d . xa Ta dùng kí hiệu b
F (x)  F (b)  F (a) để chỉ hiệu số F (b)  F (a) . a b Vậy b
f (x)dx F (x)  F (b)  F (a)  . a a b b
Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi f (x)dx
hay f (t)dt.  Tích phân đó a a
chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.
Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f liên tục và không âm trên đoạn [a;b] thì tích phân b f (x)dx
là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y f (x) , trục Ox và hai đường a b
thẳng x a, x  . b Vậy S f (x)d . x a
2. Tính chất của tích phân a 1.
f (x)dx  0  a b a 2.
f (x)dx   f (x)dx   a b b c c 3.
f (x)dx f (x)dx f (x)dx   
( a b c ) a b a b b 4.
k. f (x)dx k. f (x)dx (k  )    a a b b b
5. [ f (x)  g(x)]dx f (x)dx g(x)dx    . a a a Lưu ý: a a 1)
f x là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn a;a , a  0 thì
f (x)dx  2 f (x)dx   a 0 a 2)
f x là hàm số lẻ và liên tục trên đoạn a;a , a  0 thì
f (x)dx  0 a 3)
f x là hàm số liên tục, tuần hoàn với chu kì T thì T a TT 2 f (x)dx   f (x)dx  
f (x)dx, a   Ra 0 T  2 B. BÀI TẬP    Câu 1.
Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0; 
thỏa mãn f 0  0 2       2 2 2 2 
và  f  x dx  sin xf x dx      . Tính tích phân
f x dx  . 4 0 0 0 Lời giải
Bằng công thức tích phân từng phần ta có    2  2 2 
sin xf x dx   cos xf x 2 
 cos x f  x dx    
. Suy ra cos x f  x dx   . 0 4 0 0 0    2 2 2 1 cos 2x
 2x  sin 2x   Hơn nữa ta tính được 2 cos d x x  dx     . 2  4    4 0 0 0 Do đó     2 2 2 2
f  x 2
 dx  2. cos x f  x dx  cos d
x x  0   f  x 2 2
 cos x dx  0         . 0 0 0 0
Suy ra f  x  cos x , do đó f x  sin x C . Vì f 0  0 nên C  0 .   2 2 Ta được
f x dx  sin d x x  1   . 0 0 Câu 2.
Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0; 
1 thỏa mãn, f   1  0 , 1 1 2 e  1 x 1
f  x 2
 dx   x  
1 e f x dx      . Tính tích phân
f x dx  . 4 0 0 0 Lời giải
Bằng công thức tích phân từng phần ta có 1 1 1  1 1   1 x   d   d    x x e f x x f x
xe    x   x xe f x
xe f  x dxx  
xe f  x dx  . 0 0 0 0 0 2 1 e x 1 Suy ra
xe f  x dx    . 0 4 2 1 2 1 e 1
Hơn nữa ta tính được   x  2 2 d x xe x x e dx   . 0 0 4 1 1 1 2 2
Do đó    d  2 x   d       x f x x xe f x x xe  dx  0 0 0 0 1 2     x f
x xe  dx  0  x  
. Suy ra     x f x
xe , do đó f x   x   1 e C . 0 Vì f   1  0 nên C  0 . 1 1 Ta được        1   2   x f x dx x e dx e . 0 0 1 2 1 Câu 3.
Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0; 
1 thỏa mãn f 0 1,
f  x dx     , 30 0 1 1 1 2x  
1 f x dx   
. Tính tích phân f x dx  . 30 0 0 Lời giải
Bằng công thức tích phân từng phần ta có 1 1 1  1 2x  
1 f x dx f xd    2
x x   2
x xf x    2
x xf  xdx 0 0 0 0 1    2
x xf  xdx . 0 1 1 Suy ra  2
x x f  xdx   . 0 30 1 2 1 1 Hơn nữa ta tính được  2
x x dx   4 3 2
x  2x x dx    . 0 0 30 1 1 1 1 2 2 2
Do đó  f  x dx  2     2
x xf  xdx   2
x x dx  0   f  x    2
x x dx  0   . 0 0 0 0 3 2 x x
Suy ra f x 2 
x x , do đó f x  
C . Vì f 0  1 nên C  1. 3 2 1 1 3 2  x x  11 Ta được
f x dx    1 dx    . 3 2 12 0 0   1 2 1 Câu 4.
Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;  1 thỏa mãn f  
1  0 ,  f  x dx     9 0 1 1 1 và 3
x f x dx    . Tính tích phân
f x dx  . 36 0 0 Lời giải
Bằng công thức tích phân từng phần ta có 1 1 1 1 3 1
4x f x dx f x d    4 x    4 x f x 4 
x f  x dx  4  
x f  x dx  . 0 0 0 0 0 1 1 1 2 1 1 Suy ra 4
x f  x dx  
. Hơn nữa ta tính được  4 x  8 dx x dx    . 0 9 0 0 9 1 1 1 1 2 2 2
Do đó  f  x 4
 dx  2 x f  x dx       4
x  dx  0   f  x 4
x  dx  0    . 0 0 0 0 5 x 1 Suy ra   4 f
x x , do đó f x 
C . Vì f   1  0 nên C   . 5 5 1 1 5 x 1 1 Ta được
f x dx  dx     . 5 6 0 0 e Câu 5.
Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 1;e thỏa mãn f e  0 ,  f  x 2
 dx e  2    và 1 e f xe dx  2  e  . Tích phân
f x dx  bằng x 1 1 Lời giải
Bằng công thức tích phân từng phần ta có e f x 1 e 1 e dx
f x dln x  
 ln xf x  ln xf  x dx   
ln xf  x dx  . x 1 0 1 1 0 e
ln xf  x dx e  2  1 e e 2 2 e Suy ra
ln x dx xln x    2 ln d x x    e  2 . 1   1 1 e e e e 2 2 2
Do đó  f  x dx  2 ln x f  x dx  ln x dx  0   f  x  ln x dx  0         . 1 1 1 1
Suy ra f   x  ln x , do đó f x  x ln x x C . Vì f e  0 nên C  0 . e e 2 3  e Ta được
f x dx   x   1 ln x dx    . 4 1 1       Câu 6.
Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;  thỏa mãn f  0   , 2     2     2 3   2 3 2 2  
sin x x cos xf xdx    
và  f  x dx      . Tính tích phân
f x dx  . 48 8 48 8 0 0 0 Lời giải
Bằng công thức tích phân từng phần ta có   2  2
sin x x cos xf xdx   xsin xf x 2 
  x sin xf  x dx     . 0 0 0  2 3  
Suy ra  x sin xf  x dx    . 48 8 0    2 2 2 2 2 x 1 cos 2x
Ta có  x sin x dx     2 2 x sin x   dx  dx  2 0 0 0    2 2
x 1 cos 2x 2 2 2 2 x x cos 2x 3    dx  dx  dx      . 2 2 2 48 8 0 0 0 Do đó     2 2 2 2
f  x 2
 dx  2  x sin xf  x dx   x sin x2dx  0   f  x 2
x sin x dx  0         . 0 0 0 0   
Suy ra f  x  x sin x , do đó f x  sin x x cos x C . Vì f  0   nên C  1  .  2    2 2 Ta được
f x dx  sin x x cos x   1 dx  2     . 0 0 1 2 3 Câu 7.
Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;  1 thỏa mãn f   1  0 ,
f  x dx   2 ln 2    2 0 1 f x 3 1 và dx  2 ln 2   . Tính tích phân
f x dx  .  x  2 1 2 0 0 Lời giải
Bằng công thức tích phân từng phần ta có f x 1 1 1 1  1   1    1 
dx f x d 1  1 f x  1
f x dx  . 2               x 1  x 1  x 1     x 1 0   0 0 0 1  1  3 Suy ra 1 f   
xdx   2ln 2 .  x 1  2 0 1 1 2 1 1  1 1   1    3 Lại có 1 dx  1 2   dx   
x  2 ln x 1     2 ln 2  .  x 1   x 1  x  2 1  x 1 2 0 0       0 Do đó 1 1 1 2 3 2  1   1   1 
f  x 2  dx  2 1 f      
xdx  1 dx  0  f     x  1 dx  0  .  x 1  x 1    x 1      0 0 0 0 1
Suy ra f  x  1
, do đó f x  x  ln  x  
1  C . Vì f  
1  0 nên C  ln 2 1. x 1 1 1 1 Ta được
f x dx  x  ln  x  
1  ln 2 1 dx   ln 2     . 2 0 0 1 2 1 Câu 8.
Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;  1 thỏa mãn f   1  0 ,
f  x dx     và 11 0 1 1 1 4
x f xdx   
. Tính tích phân f x dx  . 55 0 0 Lời giải
Bằng công thức tích phân từng phần ta có 1 1 5 1 5  xx 1 1 4
x f x dx f  5   x  f    xdx
. Suy ra x f  x dx   . 5 5 11 0   0 0 0 1 2 1 Lại có:  5 x  dx   . 11 0 1 1 1 2 2
Do đó  f  x 5
 dx  2 x f  x dx       5 x  dx  0 0 0 0 1 2 1
  f  x 5
x  dx  0    . Suy ra   5 f
x x , do đó f x 6  x C . 6 0 1 Vì f   1  0 nên C   . 6 1 1 6 x 1 1  Ta được
f xdx  dx    . 6 7 0 0 3 Câu 9.
Cho hàm số y f x liên tục trên  và thỏa mãn f 4  x  f x . Biết xf x dx  5  . Tính 1 3 I
f x dx  . 1 Lời giải 3 3 3 3 3
Đặt t  4  x . Ta có xf x dx xf 4  x dx  4  t f t  dt  4 f t  dt t. f t  dt      1 1 1 1 1 3 3 5
 5  4 f t  dt  5  f t  dt    . 2 1 1 1 3 2 x  2x  3 1 3 Câu 10. Biết dx   b ln 
a,b  0 . Tìm các giá trị của k để x  2 a 2 0 ab  2 k   1 x  2017 dx  lim  . x x  2018 8 Lời giải 1 3 2 1 1 x  2x  3  3  1 1 3 Ta có: 2 dx x  d   3   x
x  3ln x  2   3ln x  2  x  2  3 3 2 0 0 0 a  3 ab 9    dx  dx  1   b  3  8 8 ab  2 k   1 x  2017  2 k   1 x  2017 Mà dx  lim   1  lim x x  2018 x x  2018 8  2 k   1 x  2017 Mặt khác ta có 2 lim  k 1 . x x  2018 ab  2 k   1 x  2017
Vậy để dx  lim  thì 2 1  k  1 2
k  0  k  0 . x x  2018 8 0
Câu 11. Cho hàm số y f x là hàm lẻ và liên tục trên  4  ; 4 biết
f x dx  2  và 2  2 4 f  2
x dx  4  . Tính I
f x dx  . 1 0 Lời giải 0 Xét tích phân
f x dx  2  . 2 
Đặt x t  dx  dt .
Đổi cận: khi x  2
 thì t  2 ; khi x  0 thì t  0 0 0 2 2 2 Do đó
f x dx   f t  dt    f t  dt  
f t  dt  2  
f x dx  2  . 2 2 0 0 0
Do hàm số y f x là hàm số lẻ nên f  2
x   f 2x . 2 2 2 Do đó
f 2x dx   f 2x dx   
f 2x dx  4   . 1 1 1 2 Xét
f 2xdx  . 1 1
Đặt 2x t  dx  dt . 2
Đổi cận: khi x  1 thì t  2 ; khi x  2 thì t  4 2 4 1 Do đó
f 2x dx
f t  dt  4    2 1 2 4 4 
f t  dt  8  
f x dx  8  . 2 2 4 2 4 Do I
f x dx  
f x dx f x dx    2  8  6  . 0 0 2     2     2  
Câu 12. Cho hàm số f x xá định trên 0; 2  thỏa mãn
f x  2 2 f xsin x  dx      . 2      4  2 0   2 Tính tích phân
f x dx  . 0 Lời giải Ta có:    2   2     2 2  2 sin x  d x     1 cos 2x  d x    
 1 sin 2x d x   4    2  0 0  0  2  1    2  x  cos 2x    .  2  2 0 Do đó:   2     2   2     2 2 
f x  2 2 f xsin x  d x  2     2 sin x  d x       0 4      4  2 2 0  0  2        2 
f x  2 2 f x 2 sin x   2 sin x  d x  0       4 4       0   2 2     
f x  2 sin x  d x  0     4     0       
Suy ra f x  2 sin x   0  
, hay f x  2 sin x    .  4   4     2 2    2    Vậy:
f x d x  2 sin x  d x       2 cos x   0   .  4   4  0 0 0   2 2
Câu 13. Cho hàm số y f x thỏa mãn sin .
x f x dx f 0 
 1 . Tính I  cos .
x f  x dx  . 0 0 Lời giải
u f x  du f (  x)dx
Đặt dv  sin dxx v  cos  x   2  2  sin .
x f x dx   cos .
x f x 2  cos .
x f  x dx  . 0 0 0   2 2   I  cos .
x f  x dx   sin .
x f x dx  cos . x f x 2   11  0 . 0 0 0
Câu 14. Cho số thực a  0 . Giả sử hàm số f (x) liên tục và luôn dương trên đoạn 0;a thỏa mãn a 1
f (x). f (a x)  1 . Tính tích phân I  dx  ? 1 f x 0   Lời giải
Đặt t a x  dt  dx . a 1 a 1 a 1
Thay vào ta được I  dx   dt   dx  . 1 f x 1 f a t 1 f a x 0   0   0   a
f a x  f x  Suy ra 0    dx  1 f x 1 f a x 0        
Do hàm số f (x) liên tục và luôn dương trên đoạn 0;a . Suy ra f a x  f x .
Mà f (x). f (a x)  1  f x  1. a 1 a Vậy I  dx   . 2 2 0 3
Câu 15. Cho hàm số y f x liên tục, luôn dương trên 0;  3 và thỏa mãn I
f x dx  4  . Tính giá 0 3 trị của tích phân
1ln f x K  e  4dx 0 Lời giải 3 3 3 3 3 3 Ta có
1ln f x K  e  4
1ln f x dx  e
dx  4dx  e. f x dx  4dx  4e  4x  4e 12     | . 0 0 0 0 0 0 Vậy K  4e 12 . 2018 Câu 16. Cho hàm số
f x liên tục trên  thỏa
f x dx  2  . Tính tích phân 0 2018 e 1  x f
ln 2x 1 dx. 2  x 1 0 Lời giải 2018 e 1  x Đặt I f
ln 2x 1 dx . 2  x 1 0 2x Đặt t   2 ln x   1  dt  dx . 2 x 1
Đổi cận: x  0  t  0 ; 2018 x  e 1  t  2018 . 2018 1 2018 1 Vậy I
f t  dt   .
f x dx  1  . 2 2 0 0  1 1 2
Câu 17. Cho f x là hàm liên tục trên thỏa f  
1  1 và f t  dt   , tính I  sin 2 .
x f sin x dx  3 0 0 Lời giải
Đặt sin x t f sin x  f t   cos .
x f sin x dx f t  dt
Đổi cận: khi x  0  t  0 ; x   t  1 . 2   2 2 1 I  sin 2 .
x f sin x dx  2sin . x cos .
x f sin x dx  2 t. f t  dt    0 0 0 u   t  du  dt  Đặt:    . dv f   tdt v f   t  1  1    I   1 4 2
t. f t   f tdt  2 1       . 0  3  3  0  1 3 Câu 18. Cho
f x là hàm số liên tục trên  và
f x d x  4  ,
f x d x  6  . Tính 0 0 1 I f
  2x 1 d x . 1  Lời giải 1
Đặt u  2x 1  d x  d u . 2 x  1   u  1  .
x  1  u  3 . 3 1 0 3 1   0 3 1   Nên I f
  u du   f
  u du f
  u du   f u
  d u f u d u    . 2 2 2 1  1  0   1  0  1 Xét
f x d x  4  . Đặt x u
  d x   d u . 0
Khi x  0 thì u  0 . Khi x  1 thì u  1  . 1 1 0 Nên 4 
f x d x    f u   d u  
f u d u  . 0 0 1 3 3 Ta có
f x d x  6  
f u d u  6  . 0 0 0 3 1   1 Nên I   f u
  d u f u d u     4  6  5 . 2  2 1  0  2 2 2 Câu 19. Cho
f x dx  2 
và g x dx  1  . Tính I
x  2 f x  3g x dx    1 1 1 Lời giải 2 2 2 2 2 2 x 17 Ta có: I
x  2 f x  3g x dx    
xdx  2 f  x dx  3 g  x dx      4  3  . 2 2 1 1 1  1  1 2 4
Câu 20. Cho hàm số y f x liên tục trên  , biết . x f   2
x dx  2 . Tính I f xdx  0 0 Lời giải 2 Xét tích phân . x f   2 x dx  2 0 dt Đặt 2 x t  d x x  . 2
Đổi cận: Khi x  0 thì t  0 ; khi x  2 thì t  4 . 2 4 1 4 4 Do đó . x f   2
x dx  2 
f t  dt  2  
f t  dt  4  
f x dx  4  2 0 0 0 0 Vậy I  4 . 3
Câu 21. Cho f , g là hai hàm liên tục trên 1; 
3 thỏa:  f x  3g x dx  10    . 1 3 3
2 f x  g x dx  6    . Tính
f x  g x dx    . 1 1 Lời giải 3 3 3
Ta có  f x  3g x dx  10  f x dx  3 g x dx  10      . 1 1 1 3 3 3
Tương tự 2 f x  g x dx  6  2 f x dx g x dx  6      . 1 1 1 u   3v  10 u   4 3 3 Xét hệ phương trình    , trong đó u
f x dx
, v g x dx  . 2u v  6 v  2   1 1 3 3 3
Khi đó  f x  g x dx f x dx g x dx  4  2  6      . 1 1 1 2
Câu 22. Cho hàm số y f (x) liên tục và có đạo hàm trên  thỏa mãn f (2)  2 ,
f (x)dx  1  . 0 4 Tính tích phân I f
  x dx . 0 Lời giải
Đặt x t  dx  2tdt .
Đổi cận: x 0; 4  t 0; 2 . 2
I  2 t. f '(t)dt  . 0
Sử dụng phương pháp tính tích phân từng phần ta được: 2  2 
I  2 tf (t) 
f (t).dt  10  .    0  0    
Câu 23. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;  . Đồng thời thỏa mãn 2      2  x  2 2 3
f (x)dx  3 
, sin x xf (  )dx  6 
và f ( )  0 . Tích phân  f  (  x) dx  2 2 0 0 0 Lời giải   2 xx
6  sin x x 2 f (  )d    
sin 2x  2xf (x)dx  2  2  0 0   2 sin 2x 2x 2 f (x)
sin 2x 2x     f (x)dx  0 0    2 2 2 3  2 1 cos 2x 2 2
f (x)dx  4 sin xf (x)dx  sin xf (x)dx     4 0 0 0 Cách 1:    2 2 3 2 3 Ta có 2
f x dx  3  , 2
sin xf x dx   , 4 2
sin xf x dx   4 16 0 0 0     2 2 2 2 Do đó 2 2
f (x)dx  8 sin d x x 4 2 16 sin d
x x   f (x)  4 sin x dx  0       . 0 0 0 0 Vậy 2
f (x)  4sin x . 2      2 2 2 2 2 9   9
Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức 2  sin xf x 4 2 dx  sin d x . x
f x dx     . 16   16 0 0 0       2 3 2 3 Dấu '  ' 2 4 xảy ra khi 2
f (x)  k sin x mà sin xf x dx    k sin d x x   16 16 0 0 nên 2
f (x)  4sin x . Vậy 2
f (x)  4sin x  2  2 cos 2x nên f  (
x)  8 cos 2x nên   2 2
 f x3 dx  512 cos 2x3 dx  0  . 0 0
Câu 24. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 1;  8 thỏa mãn: 2 2 8 2 2 3  f  x  2  dx  2 f  x  2 2 3 3 dx
f x dx    2 x   1 d . x Tính tích phân
f ' x dx    3   1 1 1 1 1 Lời giải Đặt 3 2
x t  dx  3t .dt .
Với x  1  t  1; x  8  t  2. 8 2 2 2 Ta được: f x 2 dx  2 t f    3t 2 dt  2 x f   3 x d . x 3 1 1 1
Thay vào giả thiết ta được: 2 2 2 2  f  x  2  dx  2 f
 x dx  2 x f
x dx  x  2 3 3 2 3 2 1 dx   1 1 1 1 2 2 2 2   f  x  2  dx  2 f
 x dx  2 x f
x dx  1 x 2 3 3 2 3 2 dx  0   1 1 1 1 2
  f x  2  2 f x .1 x  1 x 2 3 3 2 2   dx  0 1 2
  f x   1 x 2 3 2
dx  0   f x     x 2 3 2 1  0  f  3 x  2
x 1  f x 3 2  x 1 1 2 1
f  x  . 3 3 x 2 2 3 8 1 8 2 8.ln 2
Do đó :  f  x dx  dx  .ln x      . 1 27 x 27 27 1 1 1
Câu 25. Cho hàm số f x liên tục trên  và thỏa mãn
f x dx  9  . Tính tích phân 5  2
f 1 3x  9 dx    . 0 Lời giải
Đặt t  1 3x  dt  3  dx .
Với x  0  t  1 và x  2  t  5  . 2 2 2 5  dt 1 1
Ta có  f 1 3x  9 dx  2   
f 1 3x dx  9dx   
f t   9x    
f x dx 18 0  3 3   0 0 0 1 5 1  .9 18  21. 3
Câu 26. Cho hàm số f x có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn 0 
;1 thỏa mãn f 0  1 và 1 1 1  1  3 3
f  x  f x 2   dx  2
f  xf x dx     
. Tính tích phân  f x dx  : 9      0 0 0 Lời giải Từ giả thiết suy ra: 1 1  2   
3 f  xf x   2 
3 f  xf x  2.3 f  xf x 1 dx  0  1 dx  0  .     0 0 1 1
Suy ra 3 f  xf x 1  0 
f  xf x 
f  x 2 . f x  . 3 9   1 1 Vì 3  f x 2
  3. f xf  x 3 3  
nên suy ra  f x   
f x  x C . 3 3
Vì f 0  1 nên 3
f 0  1  C  1. 1 Vậy 3
f x  x 1. 3 1 1 3  1  7
Suy ra  f x dx     x 1 dx    .  3  6 0 0 2
Câu 27. Cho a là hằng số thực và hàm số f x liên tục trên  thỏa mãn f x a dx  2017  . Tính 1 2a
giá trị của tích phân I
f x dx  1a Lời giải 2 Xét
f x a dx  2017  . 1
Đặt t x a  dt  dx Đổi cận:
+ x  1  t  1 a
+ x  2  t  2  a 2 2a 2a Khi đó
f x a dx  
f t  dt  
f x dx  2017  . 1 1a 1a 5
Câu 28. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;5 và f 5  10 ,
xf  x dx  30  . 0 5 Tính
f x dx  . 0 Lời giải
u x  du  dx
Đặt dv f  
xdx v f x  5 5 5 5 .
x f  x dx    .
x f x  f x dx
 30  5 f 5  f x dx  0 0 0 0 5 
f x dx  5 f 5  30  20  . 0 2
Câu 29. Kí hiệu F x là một nguyên hàm của f x . Biết F 3  3 và F x   1 dx  1  . Tính 1  3
I xf x dx 0 Lời giải x  1   t  0
Đặt t x 1  dt  dx . Đổi cận: x  2  t  3  2 3 3 Khi đó 1  F x  
1 dx F t  dt F x dx    1 0 0 3 u   x  du  dx
Xét tích phân I xf x dx  Đặt    . dv f   xdx v F    x 0  3 3 3
Suy ra I xf x dx xF x  F x dx  3F 3 1  8   . 0 0 0  2 4 e f  2 ln x 2 f 2xCâu 30. Cho tan . x f   2
cos xdx  1 và dx  1 
. Tính tích phân I  dxx ln x x 0 e 1 4 Lời giải  4 ● Xét A  tan . x f   2
cos xdx  1. 0 dt Đặt 2 t  cos x 2  dt  2  sin x cos d
x x  2 cos x tan d
x x  2t.tan d x x  tan d x x   2t
x  0  t  1  Đổi cận:   1 x   t    4 2 1 2 1 dt 1 f t  1 f t
Khi đó A   f t   dt  1    dt  2  2t 2 t t 1 1 1 2 2 2 e f  2 ln x ● Xét B  dx  1  . x ln x e 2 2 ln x 2 ln x 2t dx dt Đặt 2
t  ln x  dt  dx  dx  dx   x x ln x x ln x x ln x 2t
x e t  1 Đổi cận:  2
x e t  4  4 4 dt 1 f t  4 f t  Khi đó B f t   dt  1    dt  2  2t 2 t t 1 1 1 2 f 2x ● Xét I  dxx 1 2  dt dx    2
Đặt t  2x   . tx    2  1 1 x   t  Đổi cận:  4 2
x  2  t  4  4 f t  1 f t  4 f t Khi đó I  dt  dt  dt  2  2  4    . t t t 1 1 1 2 2 2
Câu 31. Cho hàm số y f x có đạo hàm f  x liên tục trên đoạn1; 2 thỏa mãn xf x dx  1  và 1 2 f  
1  4 f 2. Tính 2
x f  x dx  1 Lời giải         du
f x dx u f x  Đặt    1 . 2 dv  d x x v x    2 2 2 2 1 1 2 1 1
Khi đó 1  xf x 2 dx x f x 2 
x f  x dx    1 
.4 f 2  f   2 1  
x f  x dx 2    . 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2
Theo giả thiết f   1  4 f 2 nên 2 1  .0 
x f  x dx  2
x f  x dx  2  . 2 2 1 1
Câu 32. Cho f x , g x là các hàm số có đạo hàm liên tục trên 0 
;1 và thỏa mãn điều kiện 1 1 1
g x. f  xdx  1 
, g x. f xdx  2  . Tính tích phân I
f x.g x     dx    . 0 0 0 Lời giải
Ta có  f x.g x 
  f  x.g x  g x. f x   . 1 1
Và đặt I g x . f x dx  1; I gx . f x dx  2 1     2       0 0 1 Khi đó I
f x.g x  
 dx I I  1 2  1.    . 1 2 0 2 3 16 f t  4 Câu 33. Cho biết xf   2
x dx  4 , f zdz  2  , dt  3  . Tính I f (x)dx  . t 0 0 2 9 Lời giải 2 2 2   2  2 d  4 t x xf x x 
f t  dt  8  f x dx  8   . 0 0 0 3 3
f (z)dz  2  f (x)dx  2   . 2 2 f t  4 16 xt 3 dt  3 
f x dx    . 9 t 2 3 3 23 Vậy I  8  2   . 2 2 1
Câu 34. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0  ;1 và thỏa mãn: x
  f  x  2dx f   1 . Tính 0 1 giá trị của I
f x dx  . 0 Lời giải u x   du  dx Đặt    dv   f  
x  2 dx v f     x  2x  1 1 1 x
  f  x  2dx f  
1  x f x  2x  ( f x  2x)dx f   1  0 0 0 Vậy I  1  . 5
Câu 35. [THPT Nguyễn Khuyến Tp HCM 2017] Cho biết
f (x)dx  15  . Tính giá trị của 1  2
P  [f (5  3x)  7]dx  . 0 Lời giải dt
Để tỉnh P ta đặt t  5  3x  dx   3
x  0  t  5
x  2  t  1  1 dt 5 5 5 1 1   1 1
P  [f (t)  7]( )  
[f (t)  7]dt  
f (t)dt  7 dt      .15  .7.(6)  19 . 3 3 3 3 3 5 1   1  1  1 5
Câu 36. [THPT Lạng Giang số 1-2017] Giả sử
f x dx  3  và
f z dz  9  . 0 0 3 5 Tính tổng
f t  dt f t  dt   . 1 3 Lời giải 1 1 5 5 Ta có
f x dx  3  f t  dt  3   ;
f z dz  9  f t  dt  9   0 0 0 0 5 1 3 5 3 5 9 
f t  dt f t  dt f t  dt f t  dt  3  f t  dt f t  dt       0 0 1 3 1 3 3 5 
f t  dt f t  dt  6   . 1 3
Câu 37. [Sở GD&ĐT Hà Nội 2017] Cho y f x là hàm số chẵn, có đạo hàm trên đoạn 6;6 . Biết 2 3 6 rằng
f x dx  8  và. f  2
x dx  3  . Tính I
f x dx  . 1  1 1 Lời giải 2 2 3 3
Vì y f x là hàm số chẵn nên
f x dx
f x dx 8    , f  2
x dx f 2x dx 3   . 1  1  1 1 3 Xét tích phân K
f 2x dx 3 1
Đặt u  2x  du  2dx .
Đổi cận: x  1  u  2 , x  3  u  6 . 6 6 1 1 6 K
f u du
f x dx 3   
f x dx 6  2 2 2 2 2 6 2 6 Vậy. I
f x dx f x dx f x dx  8 6  14    . 1 1  2
Câu 38. [Chuyên Quang Trung-Bình Phước 2017] Cho f , g là hai hàm liên tục trên 1;  3 3 3 3
thỏa:  f x  3g x dx  10    ,
2 f x  g x dx  6    . Tính
f x  g x dx    . 1 1 1 Lời giải 3 3 3
Ta có  f x  3g x dx  10  f x dx  3 g x dx  10      . 1 1 1 3 3 3
Tương tự 2 f x  g x dx  6  2 f x dx g x dx  6      . 1 1 1 u   3v  10 u   4 3 3 Xét hệ phương trình    , trong đó u
f x dx
, v g x dx  . 2u v  6 v  2   1 1 3 3 3
Khi đó  f x  g x dx f x dx g x dx  4  2  6      . 1 1 1
Câu 39. [Chuyên Đại học Vinh–2018] Cho hàm số f x thỏa mãn
f x2  f xf x 4 .  15x  12x, x
  R và f 0  f 0  1 . Tính giá trị của 2 f   1 . Lời giải
  f x2  f xf x   x   4 . d
15x 12xdx (1)   u   f   x du  dx  Đặt    dv f    xdx v f    x   2 2 (1)  
  f x  x f xf x 
   f x 5 2 d .    
dx  3x  6x C    
f xf  x 5 2 .
 3x  6x C
Ta có f 0.f 0  C C  1 1 1 1 6  x  1 7 Ta có
f x. f  x dx    5 2
3x  6x   1 dx
f x.d f x 3   2x x     . 2 0 2 0 0 0   2 f x 1 7 Suy ra  2  f   2 1  f 0  7 2  f   1  8 . 2 0 2
Câu 40. [Sở GD&ĐT Phú Thọ 2018] Cho hàm số f x xác định trên  \  1   ;1 thỏa mãn 2  1   1 
f  x  , f  2
   f 2  0 và f   f  2 . Tính f  3
   f 0  f 4 . 2     x 1  2   2  Lời giảix 1 ln
C khi x  1   1 x 1  2  1 1   x 1
Ta có f x  f  x dx   dx    dx  ln
C khi 1  x  1. 2   x 1 2  x 1 x 1  x 1   x 1 ln
C khi x  1 3 x 1 
f    f    1 2 2  0 ln 3  C  ln  C  0 1 3    C C  0 3 Khi đó 1 3   1   1      f   f  2 1 C  1        2 ln 3  C  ln  C  2   2   2  2 2   3 3 6
Do đó f 3  f 0  f 4  ln 2  C C  ln  C  ln 1 . 1 2 3 5 5
Câu 41. [PTNK ĐHQG HCM 2018] Cho hai hàm số f x và g x có đạo hàm trên đoạn 1; 4 và  f 4    1  g   1  4 thỏa mãn hệ thức 
. Tính I   f x  g x dx    . g   x   .
x f  x; f x   . x g x  1 Lời giải Cách 1:
Ta có f x  g x  x f  x  g x  
f  x  g x 1
f  x  g x 1     dx   dx  
 ln f x  g x   ln x C
f x  g xx
f x  g xx
Theo giả thiết ta có C  ln 1  ln f   1  g   1  C  ln 4 .  4
f x  g x   x 4 Suy ra  , vì f   1  g  
1  4 nên f x  g x  4  x
f x  g x    x 4
I   f x  g x dx  8ln 2    . 1 Cách 2:
Ta có f x  g x  x f  x  g x 
   f x  g x dx   x f  x  g x dx       .
  f x  g x dx  x f x  g x   f x  g x dx         . C
 x f x  g x  C f x  g x     . Vì f   1  g  
1  C C  4  x 4 4
Do đó f x  g x 
. Vậy I   f x  g x dx  8ln 2  . x   1
Câu 42. [ĐTK Bộ GD&ĐT 2018] Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;  1 thỏa mãn 1 1 1 2 1 f  
1  0 ,  f  x dx  7  2  
và x f x dx   . Tích phân
f xdx  . 3 0 0 0 Lời giải
Bằng công thức tích phân từng phần ta có 1 1 3 1 3  xx 2
x f x dx f    x  f    xdx  . 3 3 0   0 0 1 3 x 1 Suy ra
f  x dx    . 3 3 0 1 6 x 1 Mặt khác dx   . 9 63 0 1 1 3 1 6 1 2 x x 2
Do đó  f  x dx  2.21 f  x 2 dx  21 dx  0  3    
  f  x  7x  dx  0  . 3 9   0 0 0 0 7
Suy ra f  x 3
 7x , do đó f x 4   x C . 4 7 7 7 f   1  0  C  .  f x 4   x  4 4 4 1 1 7 7 Ta được
f xdx    4 x   1 dx    . 4 5 0 0
Câu 43. [HSG Phú Thọ 2018] Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 0;  1 thoả mãn 3 1 f x 2  6x f  3 x   . Tính
f x dx  3x 1 0 Lời giải 1 1 1 1  3  d 3x 1 I f x 2 dx  6x f    3 x   dx  2 f   3 x  3   dx      3x 1  3x 1 0 0 0 0 1 1 1
I  2 f t  dt  2 3x 1  
2 f x dx  2  0 0 0 1 Vậy
f x dx  2  . 0
Câu 44. [THTT-12-2017]Cho hàm số f x liên tục trên  thỏa mãn f x 4 tan
 cos x , x   . 1 Tính I f x d  x . 0 Lời giải
Đặt t  tan x . 1 Ta có 2 2
 1 tan x  1 t 2 cos x 1 1 4  cos x
f t   1 t 2 2 1 t 2 2 1 1 1 I
f x dx  d   x . 1 x 2 2 0 0
Đặt x  tan u  dx  1 tan u du . 
Đổi cận: x  0  u  0 ; x  1  u  . 4     4 4 4 4 1 1 1  1 1  2   I  d tan u  . du  cos d u u u  sin 2u   . 2   2     1 tan u 2 2 2  1 cos u   2 4  8 0 0 0 0  2   cos u  3 2 7
Câu 45. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0; 
3 thỏa mãn f 3  0 ,  f  x dx     và 6 0 3 f x 7 3 dx    . Tính tích phân
f x dx  . x 1 3 0 0 Lời giải
Bằng công thức tích phân từng phần ta có 3 f x 3 3 3
dx  2 f x d    x 1 1 
 2  x 1  
1 f x  2 x 1  
1 f  x dx . x 1    0 0 0 0 3 7
Suy ra  x 1  
1 f  x dx   . 6 0 3 3 2 7
Lại có  x 1  
1 dx   x  2  2 x 1dx    . 6 0 0 Do đó 3 3 3 3 2 2
f  x 2  dx  2.     x 1  
1 f  x dx   x 1  
1 dx  0   f  x  x 1 1 dx  0  .   0 0 0 0 2 7
Suy ra f  x  x 1 1 , do đó f x   x   1
x 1  x C . Vì f 3  0 nên C   . 3 3 3 3 2 7  97 Ta được
f xdx   x   1 x 1  x  dx      . 3 3   30 0 0
_______________ TOANMATH.com _______________