Tính khoảng cách trong hình học không gian bằng phương pháp thể tích – Nguyễn Tuấn Anh Toán 12

Tài liệu gồm 14 trang hướng dẫn giải bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian bằng phương pháp thể tích và các ví dụ minh họa.Mời các bạn đón xem.

46 23 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 1: Khối đa diện

Môn: Toán 12

Thông tin:

14 trang 7 tháng trước

Tác giả:

Profile Lan Tường
Nguyễn Tuấn Anh 1110004
1
Câu khoảng cách trong đề thi THPTQG
Câu khoảng cách của hình học không gian (thuần túy) trong đề thi THPTQG dù không là một câu khó
nhưng để có thể nhìn được chân đường cao hoặc đoạn vuông góc chung đối với học sinh trung bình yếu
không phải dễ. Bài viết mong muốn giúp các em tự tin hơn với câu này, dù là điểm 8,9,10 là khó lấy, nhưng
điểm 7 với các em thì hoàn toàn có thể. (Bài viết có tham khảo nhiều nguồn khác nhau nên khó lòng trích
dẫn các nguồn ở đây xin chân thành cám ơn các tác giả, các nguồn tài liệu đã tham khảo để viết bài này).
I) Ý tưởng: Ta có một hình chóp: .S ABC việc tính thể tích của khối chóp
này được thực hiện rất dễ dàng (đường cao hạ từ S xuống mặt đáy ( )
ABC
),
ta cần tính khoảng cách từ C đến ( )SAB tức tìm chiều cao CE . Vì thể của
hình chóp là không thay đổi dù ta có xem điểm nào đó ( , , , )S A B C là đỉnh
vì vậy nếu ta biết diện tích SAB∆ thì khoảng cách cần tìm đó
3
SAB
V
CE
S
∆
= . Có thể gọi là dùng thể tích 2 lần.
Chú ý: Khi áp dụng phương pháp này ta cần nhớ công thức tính diện tích của tam giác:
( )( )( )
ABC
S p p a p b p c
∆
= − − − với p là nửa chu vi và , ,a b c là kích thước của 3 cạnh.
II) Ví dụ minh họa:
VD1: (A-2013) Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác vuông tại
A
,
30
O
ABC
= ; SBC là tam giác đều
cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với mặt đáy. Tính theo a thể tích khối chóp .S ABC và khoảng cách từ
C đến ( )SAB .
Lời giải
Gọi E là trung điểm của BC khi đó ( )SE ABC⊥ và
3
2
a
SE = .
Ta có
3
;
2 2
a a
BC a AB AC= ⇒ = = vì vậy thể tích
Nguyễn Tuấn Anh 1110004
2
của khối chóp là:
3
.
1 3 1 3
. . . .
3 2 2 2 2 16
S ABC
a a a a
V = =
Để tính khoảng cách từ C đến ( )SAB ta cần tính diện tích SAB∆ .
Ta có
2
2
2 2
3 3
;
2 2 2
a a a
AB SB a SA SE EA a
= = = + = + =
, Áp dụng công thức Heron ta được:
2
3
39
2
( )( - )( - );
2 16
SAB
a
a a
S p p SA p SB p AB p a
∆
+ +
= − = =
Vậy
.
3
39
( ;( ))
13
S ABC
SAB
V
a
d C SAB
S
∆
= =
Nhận xét: Với cách tính trên khâu tính diện tích ta dùng máy tính hầu hết đều ra đẹp. So với cách tính
bằng tọa độ hóa thì cách tình này đơn giản hơn rất nhiều về tính toán và trình bày chỉ khó ở khâu tính diện
tích (nhưng máy tính đã đảm nhận), so với cách lùi về E để tính (đương nhiên phải kẻ thêm đường phụ ) với
học sinh trung bình yếu có thể nói đây là lựa chọ tốt nhất.
VD2: (B-2013) Cho hình chóp .S ABCD có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính theo a thể tích khối chóp .S ABCD và khoảng
cách từ
A
đến ( )SCD .
Lời giải
Gọi E là trung điểm của
AB
khi đó ( )SE ABC⊥ , và
3
2
a
SE = .
Vì vậy thể tích khối chóp cần tính là
3
2
.
1 3 3
3 2 6
S ABCD
a a
V a= =
Ta cần tính khoảng cách từ
A
đến ( )SCD , ta quan sát khối chóp .S ACD có thể tích là
3
2
.
1 3 1 3
3 2 2 12
S ACD
a a
V a= = vì vậy để tính được khoảng cách ta cần có diện tích của SCD∆ .
Nguyễn Tuấn Anh 1110004
3
Ta có
2 2 2 2 2
; 2CD a SD SC SE DE SE DA AE a= = = + = + + = , Áp dụng công thức Heron ta được:
2
2 2 7
( )( - )( - );
2 4
SCD
a a a
S p p CD p SD p SC p a
∆
+ +
= − = =
Vì vậy
( )
.
3
21
;( )
7
S ACD
SCD
V
d a SCD a
S
∆
= =
VD3: (A-2014) Cho hình chóp .S ABCD có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh a
3
2
a
SD = , hình chiếu vuông
góc của S lên mặt phẳng ( )
ABCD
trùng với trung điểm của cạnh
AB
. Tính theo a thể tích khối chóp
.S ABCD và khoảng cách từ
A
tới mặt phẳng ( )SBD .
Lời giải
Gọi E là trung điểm của
AB
khi đó ( )SE ABC⊥ , dùng định lý Pitago ta tính được: SE a= .
Từ đó
3
.
1
3
S ABCD
V a=
Ta cần tính khoảng cách từ
A
đến ( )SBD ta quan sát hình chóp .S ADB có thể tích là
2 3
1 1 1
. .
3 2 6
a a a= vậy
nên nếu ta tìm được diện tích tam giác SBD∆ bài toán sẽ được
giải quyết.
Ta có
3 5
2; ;
2 2
a
BD a SD SB a= = = Áp dụng công thức Heron
ta được:
2
3 5
2
3
2 2
( )( )( );
2 4
SBD
a
a a
S p p SB p SD p BD p a
∆
+ +
= − − − = =
Vậy
2
.
2
3.
3
2
6
( ;( ))
3
3
4
S ABD
SDB
a
V
a
d A SBD
a
S
∆
= = =
Nguyễn Tuấn Anh 1110004
4
VD4: (B-2014) Cho khối lăng trụ . ' ' '
có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của
'
A
lên ( )
ABC
là trung điểm của cạnh
AB
, góc giữa đường thẳng '
A C
và mặt đáy bằng 60
o
. Tính theo a
thể tích của khối lăng trụ . ' ' '
và khoảng cách từ B đến ( ' ')
ACC A
Lời giải
Gọi E là trung điểm
AB
, khi đó ' ( )
A E ABC
⊥ ,
( )
60 ' ;( ) '
o
A C ABC A CE
= = .
Ta có
3
2
a
CE = (đường cao trong tam giác đều)
vì vậy
0
3
' tan 60
2
a
A E CE= =
2 3
. ' ' '
3 3 3 3
.
2 4 8
ABC A B C
a a a
V⇒ = = .
Ta cần tính khoảng cách từ B đến ( ' ')
ACC A
tức từ B đến ( 'C)
AA
, ta quan sát khối chóp '.
A ABC
có thể
tích là
2 3
'.
1 3 3 3
. .
3 2 4 8
A ABC
a a a
V = = vì vậy ta cần tìm diện tích '
A AC
∆ (để dùng thể tích 2 lần).
Ta có
2 2
3 10
; ' ; ' 3
2 2 2 cos60
o
a a CE
AC a AA a A C a
= = + = = =
. Áp dụng công thức Heron ta được:
2
'
10
3
39
2
( ' )( - ' )( - );
2 8
A AC
a
a a
S p p A A p A C p AC p a
∆
+ +
= − = =
Vậy
( ) ( )
'.
'
3
3 13
;( ' ') ;( ' )
13
A ABC
A AC
V
d B ACC A d B A AC a
S
∆
= = =
Qua bốn VD ta thấy được việc áp dụng cách Thể tích 2 lần tỏ ra rất hiệu quả vì nó không cần suy nghĩ quá
nhiều (vì vậy người viết không khuyến khích các bạn khá giỏi làm theo cách này trừ khi bí). Trước khi ta xét
mức độ áp dụng của phương pháp với các đề thi thử năm nay (2015) cũng như các đề thi cũ, ta sẽ mở rộng
cách làm phục vụ cho yêu cầu tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau khi mà đoạn vuông góc chung rất
khó tìm.
Nguyễn Tuấn Anh 1110004
5
III) Các ví dụ khác áp dụng cách tính Thể tích 2 lần :
VD1: (A-2012) Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a hình chiếu vuông góc của S lên mặt
phẳng ( )
ABC
là điểm H thuộc
AB
sao cho 2HA HB= . Góc giữa đường SC và mặt phẳng ( )
ABC
bằng
60
o
. Tính theo a thể tích của khối chóp .S ABC và khoảng cách giữ hai đường thẳng SA và BC .
Lời giải
Ta có
( )
60 ;( )
O
SC ABC SCH= = mà
2
2
3 7
6 2 3
a a a
CH
= + =
nên ta được
21
tan 60 .
3
o
a
SH CH= = .
Do đó thể tích khối chóp là:
2 3
.
1 3 21 7
. .
3 4 3 12
S ABC
a a a
V = = .
Dựng hình bình hành
ABCD
(điều này cũng rất tự nhiên vì đây là cách tìm khoảng cách giữa hai đường
chéo nhau), khi đó ( ; ) ( ;( ))d SA BC d B SAD= . Ta quan sát khối chóp .S ABD khối chóp này có thể tích bằng
với thể tích của khối chóp .S ABC tức
3
.
7
12
S ABD
a
V = vì vậy để tính ( ;( ))d B SAD ta cần tính diện tích SAD∆
Ta có
2 2
5
;
3
a
AD a SA SH AH= = + = ,
2
2 2 2
19
2 cos120
9
o
a
DH AD AH ADAH= + − = do đó
2 10
3
a
SD =
Áp dụng công thức Heron ta được:
2
2 10 5
6
3 3
( )( - )( - );
2 3
SAD
a a
a
S p p SA p SD p AD p a
∆
+ +
= − = =
Vậy
.
3
42
( ;( ))
8
S ABD
SAD
V
a
d B SAD
S
∆
= =
VD2: (D-2008) Cho lăng trụ đứng . ' ' '
có đáy là tam giác vuông,
= = , cạnh bên
' 2
AA a
= . Gọi M là trung điểm của BC . Tính theo a thể tích khối lăng trụ . ' ' '
và khoảng
cách giữa
AM
và 'B C
Nguyễn Tuấn Anh 1110004
6
Lời giải
Theo giải thiết
ABC
∆ vuông cân tại B
vì vậy thể tích khối lăng trụ là:
2 3
. ' ' '
1 2
2
2 2
ABC A B C
V a a a= = .
Gọi D là trung điểm 'BB khi đó
( ; ' ) ( ' ;( )) ( ;( )) ( ;( ))d AM B C d B C ADM d C ADM d B ADM= = = .
Ta quan sát khối chóp .D ABM khối chóp này có thể tích là
3
.
1 2 1 2
. . .
3 2 2 2 24
D ABM
a a a
V a= = vậy nên để tính
khoảng cách từ B đến ( )
ADM
ta chỉ cần tính diện tích
ADM
∆ .
Ta có:
2 2
2 2
2 2
2 6 2 3 5
; ;AM
2 2 2 2 2 2 2
a a a a a a a
AD a DM a
= + = = + = = + =
Do đó diện tích
2
6 3 5
14
2 2 2
( )( - )( - );
2 8
AMD
a a a
S p p AM p MD p AD p a
∆
+ +
= − = =
Vậy
.
3
7
( ; ' ) ( ;( ))
7
D ABM
ADM
V
a
d AM B C d B ADM
S
∆
= = =
Nhận xét: Nếu biết cách linh hoạt ở các phương pháp thì bài toán khoảng cách này trở nên khá dễ và có
thể có nhiều lời giải hay!
VD3: (THTT- 452) Cho hình chóp .S ABCD có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh a . Hình chiếu vuông góc
của S lên mặt phẳng đáy là I thuộc
AB
sao cho 2BI AI= . Góc giữa mặt bên ( )SCD và mặt đáy bằng
60
o
. Tính theo a thể tích khối chóp .S ABCD và khoảng cách giữa
AD
và SC .
Lời giải
Gọi : 2E CD CE ED∈ = , dễ dàng chứng minh được
( )
60 (SCD);(ABCD)
O
SEI= = từ đó ta tính được
Nguyễn Tuấn Anh 1110004
7
tan 60 . 3
o
SI EI a= = . Vì vậy thể tích
3
2
.
1 3
3.
3 3
S ABCD
a
V a a= =
Ta thấy
/ /
AD BC
vì vậy ( ; ) ( ;( )) ( ;( ))d AD SC d AD SBC d D SBC= = ,
ta quan sát khối chóp .S BCD có thể tích là
2 3
.
1 3
. 3.
3 2 6
S BCD
a a
V a= =
vì vậy để tìm khoảng cách ( ;( ))d D SBC ta cần tìm diện tích SBC∆ .
Ta có:
( )
2
2
2 2 2
2 31 2 10
; 3 ;
3 3 3
a a a
BC a SB a SC SI CB BI
= = + = = + + =
Do đó diện tích
2
31 2 10
31
3 3
( )( - )( - );
2 6
SBC
a a
a
S p p SB p SC p BC p a
∆
+ +
= − = =
Vậy
.
3
3 93
( ; ) ( ;( ))
31
S BCD
SBC
V
d AD SC d D SBC a
S
∆
= = =
IV) Vận dụng phương pháp vào các đề thi đề thi thử 2015:
Chúng ta cần hoán triệt một tư tưởng sau: Khi tính diện tích của một tam giác (phục vụ cho cách tính
thể tích 2 lần) bài viết cố gắng dùng đúng một công thức là Heron với mục tiêu giảm nhẹ các kiến thức cần
nhớ nhất có thể (điều này là cần thiết với các em trung bình yếu). Vì vậy sẽ có những các tính nhanh hơn khi
tam giác đó đặc biệt (vuông, cân, đều…). Bạn đọc có thể tính theo nhiều hướng khác nhau nhưng đích đến
cuối cùng là tròn điểm câu hình này!
Bài tập 1: (Chuyên Nguyễn Quang Chiêu- Đồng Tháp) Cho hình chóp .S ABC có đáy
ABC
là tam giác
vuông tại
A
, 3
AB a
= , 5BC a= ; mặt phẳng ( )SAC vuông góc với mặt phẳng
( )
ABC
. Biết 2 3SA a= và
30
O
SAC = . Tính theo a thể tích của khối chóp .S ABC và khoảng cách từ điểm
A
đến mặt phẳng ( )SBC .
Lời giải
Nguyễn Tuấn Anh 1110004
8
Gọi E là chân đường vuông góc kẻ từ S xuống BC , dễ thấy ( )SE ABC⊥ . Do đó .sin 30 3
O
SE SA a= =
hơn nữa
2 2
4
AC BC AB a
= − = . Vậy thể tích
3
.
1 1
3. 3 .4 2 3
3 2
S ABC
V a a a a= = .
Để tính khoảng cách từ
A
đến ( )SBC ta cần tính diện tích SBC∆
Ta có:
2 2 2 2 2
5 ; 21BC a SB SE BE SE BA AE a= = + = + + =
2 2
2SC SE EC a= + = , do đó diện tích SBC∆ là:
2
5 21 2
( )( - )( - ); 21
2
SBC
a a a
S p p SB p SC p BC p a
∆
+ +
= − = =
Vậy
.
3
6 7
( ;( ))
7
S ABC
SBC
V
d A SBC a
S
∆
= =
Bài tập 2: (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Quảng Nam) Cho hình lăng trụ . ' ' '
có
3; 3 ; 30
O
AC a BC a ACB= = = . Cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 60
o
. Mặt phẳng ( ' ) ( )
A BC ABC
⊥ .
Điểm : 3H BC BC BH∈ = và mặt phẳng ( ' ) ( )
A AH ABC
⊥ . Tính theo a thể tích khối lăng trụ
. ' ' '
và khoảng cách từ B đến ( ' )
A AC
.
Lời giải
Ta có
( ' ) ( )
( ' ) ( ) ' ( )
( ' ) ( ' ) '
A AH ABC
A BC ABC A H ABC
A AH A BC A H
⊥
⊥ ⇒ ⊥
∩ =
khí đó góc giữa cạnh bên '
A A
và mặt đáy ( )
ABC
là
'
A AH
tức
' 60
o
A AH
= .
Ta lại có:
2 2
2 . .cos30
o
AH CH CA CH CA a
= + − =
do đó
0
' .tan 60 3
A H AH a
= = . Thể tích khối lăng trụ là:
3
0
. ' ' '
1 9
3. 3 . 3 .sin 30
2 4
ABC A B C
a
V a a a
= =
Nguyễn Tuấn Anh 1110004
9
Ta quan sát khối chóp '
A ABC
khối chóp này có thể tích là:
3
' . ' ' '
1 3
3 4
A ABC ABC A B C
a
V V= = vậy nên để tính
khoảng cách từ B đến ( ' )
A AC
ta cần tìm diện tích của '
A AC
∆ .
Ta có:
( )
2
2
0
3; ' 2 ;A'C (2 ) 3 7
cos60
AH
AC a A A a a a a
= = = = + = , diện tích '
A AC
∆ là:
2
'
3 2 7
( ' )( - ' )( - ); 3
2
A AC
a a a
S p p A A p A C p AC p a
∆
+ +
= − = =
Vậy
'
'
3
3 3
( ;( ' ))
4
A ABC
A AC
V
d B A AC a
S
∆
= =
Bài tập 3: (Chuyên ĐH Vinh lần 3) Cho hình hộp . ' ' ' '
ABCD A B C D
có đáy
ABCD
là hình thoi cạnh a ,
120
o
BCD = ;
7
'
2
a
A A = . Hình chiếu vuông góc của '
A
lên mặt phẳng ( )
ABCD
trùng với giao điểm của
AC
và BD . Tính theo a thể tích của khối hộp . ' ' ' '
ABCD A B C D
và khoảng cách từ 'D đến mặt phẳng
( ' ')
ABB A
.
Lời giải
Gọi E AC BD= ∩ ; ta có ' ( )
A E ABCD
⊥ và
2 2
' ' 2 3
A E A A AE a
= − = . Do đó thể tích của khối hộp
là:
3
. ' ' ' '
1 1
' . . . 2 3 . . . 3 3
2 2
ABCD A B C D
V A E AC BD a a a a= = = .
Ta có ( ';( ' ')) ( ;( ' '))d D ABB A d C ABB A= ,
ta quan sát khối chóp '.
A ABC
, khối chóp này có thể tích là:
3
'. . ' ' ' '
1
6 2
A ABC ABCD A B C D
a
V V= = ta cần tính diện tích '
A AB
∆
Ta có:
2 2
7 51
; ' ; ' '
2 2
a a
AB a A A A B A E BE= = = + = , diện tích '
A AB
∆ là:
Nguyễn Tuấn Anh 1110004
10
2
'
7 51
195
2 2
( ' )( - ' )( - );
2 8
A AB
a a
a
a
S p p A A p A B p AB p
∆
+ +
= − = =
Vậy
'.
'
3
4 195
( ';( ' ')) ( ;( ' '))
65
A ABC
A AB
V
a
d D ABB A d C ABB A
S
∆
= = =
Bài tập 4 : (Chuyên Lam Sơn) Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm I , có
; 3
AB a BC a
= = . Gọi H là trung điểm của
AI
. Biết ( )SH ABCD⊥ , tam giác SAC∆ vuông tại S . Tính
theo a thể tích của khối chóp .S ABCD và khoảng cách từ C đến ( )SBD .
Lời giải
Ta có
1
2
SE AC a= = vì vậy
2
2
3
2 2
a a
SH a
= − =
, thể tích .S ABCD là
3
.
1 3
. 3
3 2 2
S ABCD
a a
V a a= =
Ta quan sát khối chóp .S BCD khối chóp này có thể tích là
3
. .
1
2 4
S BCD S ABCD
a
V V= = vậy nên ta chỉ cần tính
diện tích SBD∆ .
Ta có:
2 2
2 2
3 3 6
2 ; ;
2 2 2
a a a
BD a SB HB SH
= = + = + =
2 2
2 2
7 3 10
2 2 2
a a a
SD HD SH
= + = + =
do đó diện tích SBD∆ là:
2
6 10
2
15
2 2
( )( - )( - );
2 4
SBD
a a
a
a
S p p SB p SD p BD p
∆
+ +
= − = =
Vậy
( )
.
3 15
;( )
15
S BCD
SBD
V a
d C SBD
S
∆
= =
Nguyễn Tuấn Anh 1110004
11
Bài toán 5: (THTT-455) Cho hình lăng trụ . ' ' '
có đáy là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông
góc của '
A
lên mặt đáy ( )
ABC
trùng với tâm O của
ABC
∆ , góc giữa ( ' ')
ABB A
và mặt đáy bằng 60
o
.
Tính theo a thể tích khối lăng trụ . ' ' '
và khoảng cách giữa hai đường thẳng
AB
và 'CC .
Lời giải
Gọi ;D E lần lượt là trung điểm của ;
AB BC
. Dễ thấy
( )
60 ( ' ');( ) '
O
ABB A ABC A DO
= = do đó
' tan 60 .
2
o
a
A O DO= = vậy nên thể tích của lăng trụ . ' ' '
là:
2 3
. ' ' '
3 3
2 4 8
ABC A B C
a a a
V = = .
Ta có:
( ) ( ) ( )
; ' ';( ' ) ;( ' )d AB CC d CC A AB d C A AB= = ,
ta quan sát khối chóp '.
A ABC
khối chóp này có thể tích là:
3
'. . ' ' '
1 3
3 24
A ABC ABC A B C
a
V V= = vậy nên nhiệm vụ
cuối cùng của ta là tính được diện tích '
A AB
∆ .
Ta có:
2 2
21
; ' ' '
6
a
AB a A A A B A O AO= = = + = nên diện tích '
A AB
∆ là:
2
'
21 21
3
6 6
( ' )( - ' )( - );
2 6
A AB
a a
a
a
S p p A A p A B p AB p
∆
+ +
= − = =
Vậy
( ) ( )
'.
'
3 3
; ' ;( ' )
4
A ABC
A AB
V a
d AB CC d C A AB
S
∆
= = =
Bài toán 6: (Chuyên Võ Nguyên Giáp) Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình thang cân ( / / )BC AD .
Biết đường cao SH a= với H là trung điểm
AD
, ; 2
AB BC CD a AD a
= = = = . Tính theo a thể tích của
khối chóp .S ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và
AD
.
Lời giải
Nguyễn Tuấn Anh 1110004
12
Thể tích khối chóp .S ABCD là:
2 3
.
1 1 3 3 3
. .
3 3 2 2
S ABCD ABCD
V SH S a a a= = =
Ta có
( ) ( ) ( )
; ;( ) ;( )d SB AD d AD SBC d A SBC= = ,
ta quan sát khối chóp .S ABC khối chóp này có thể tích là:
3
.
1 1 1 3 3
. . . .
3 3 2 2 12
S ABC ABC
a a
V SH S a a
∆
= = =
(đường cao hạ từ
A
xuống BC là
3
2
a
) , vậy nên ta chỉ cần tính diện tích của tam giác SBC∆ .
Ta có:
2 2
; 2BC a SC SB BH SH a= = = + = , do đó diện tích SBC∆ là:
2
2 2 7
( )( - )( - );
2 4
SBC
a a a a
S p p SB p SC p BC p
∆
+ +
= − = =
Vậy
( ) ( )
.
3
21
; ;( )
7
S ABC
SBC
V
a
d SB AD d A SBC
S
∆
= = =
Kết luận: Còn rất rất nhiều nữa các đề thi thử và chính thức có thể giải bằng phương pháp này, thiết nghĩ
có giải 1000 bài toán (cùng loại) cũng không bằng giải 10 bài nhưng mà nắm vững được phương pháp.
Người viết mong rằng bạn đọc có thể sử dụng phương pháp đến mức điêu luyện để khi bí quá (không nhìn
ra được chân đường cao hay đường phụ cần vẽ) có thể sử dụng. Phương pháp có một nhược điểm là tính
toán rất nhiều (nhưng đó là nhiệm vụ của máy tính
☺
) dễ xảy ra sai số ảnh hưởng kết quả, vì vậy một lời
khuyên cho phương pháp này là: Luyện tập phương pháp với khoảng 10 bài, khi tính toán thật tập trung và
kiểm tra lại các phép toán 1 lần trước khi chấm bút hết.
V) Bài tập đề nghị :
1) (Chuyên Vĩnh Phúc) Cho hình chóp .S ABC có
AB AC
= ; 3BC a=
120
O
BAC = . Gọi I là trung
điểm cạnh
AB
, hình chiếu của S lên mặt đáy là trung điểm H của CI , góc giữa SA và mặt phẳng đáy là
60
o
. Tính theo a thể tích khối chóp .S ABC và khoảng cách từ
A
đến ( )SBC
Nguyễn Tuấn Anh 1110004
13
ĐS :
3
.
3 3 37
;
16 37
S ABC
a a
V d= = .
2) (Đề minh họa của BGD &ĐT) Cho hình chóp .S ABC có đáy
ABC
là tam giác vuôn tại B ,
2 ; 30
O
AC a ACB= = . Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S xuống mặt ( )
ABC
trùng với trung điểm của
AC
; 2SH a= . Tính theo a thể tích của khối chóp .S ABC và khoảng cách từ điểm C đến ( )SAB .
ĐS :
3
.
6 2 66
;
6 11
S ABC
a
V d a= = .
3) (Chuyên Hà Tĩnh) Cho hình chóp .S ABCD có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh 2a ; tam giác SAC∆
vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, 3SC a= . Tính theo a thể tích của khối chóp
.S ABCD và khoảng cách từ B đến ( )SAD .
ĐS :
3
.
3 2 21
;
3 7
S ABCD
a
V d a= = .
4) (Chuyên Nguyễn Quang Chiêu- Đồng Tháp lần 1) Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình thoi cạnh
3a ;
120
o
BAD = và cạnh bên ( )SA ABCD⊥ . Biết rằng số đo của góc giữa hai mặt phẳng ( )SBC và
( )
ABCD
là 60
o
. Tính theo a thể tích của khối chóp .S ABCD và khoảng cách giữa BD và SC .
ĐS :
3
.
3 3 3 7
;
4 14
S ABCD
V a d a= = .
5) (Chuyên Hưng Yên) Cho lăng trụ đứng . ' ' '
có đáy là tam giác cân,
AB AC a
= = ,
120
o
BAC = . Mặt phẳng ( ' ')
AB C
tạo với đáy một góc 60
o
. Tính theo a thể tích của lăng trụ . ' ' '
và khoảng cách từ đường thẳng BC đến mặt phẳng ( ' ')
AB C
.
ĐS :
3
. ' ' '
3 3
;
8 4
ABC A B C
a a
V d= =
6) (Chuyên Lê Hồng Phong) Cho lăng trụ đứng . ' ' '
có đáy
ABC
là tam giác cân tại C , cạnh
6
AB a
= và góc
30
o
ABC
= . Góc giữa mặt phẳng ( ' )C AB và mặt đáy là 60
o
. Tính theo a thể tích của
lăng trụ . ' ' '
và khoảng cách giữa hai đường thẳng 'B C và
AB
.
Nguyễn Tuấn Anh 1110004
14
ĐS :
3
. ' ' '
3
9 3 ;
2
ABC A B C
a
V a d= = .
7) ( k2pi.net.vn lần 11) Cho lăng trụ đứng . ' ' '
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại B ,
' 6; 2
A C a AC a
= = . Gọi M là trung điểm của ' '
A C
và I là tâm của mặt bên ' '
ABB A
. Tính theo a thể
tích của lăng trụ . ' ' '
và khoảng cách giữa hai đường thẳng IM và '
A C
.
8) (B-2011) Cho hình lăng trụ . ' ' ' '
ABCD A B C D
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật, ; 3BA a AD a= = . Hình
chiếu của '
A
lên mặt phẳng ( )
ABCD
trùng với giao điểm của
AC
và BD . Góc giữa hai mặt phẳng
( ' ')
ADD A
và ( )
ABCD
bằng 60
o
. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm 'B đến mặt
phẳng ( ' )
A BD
.
ĐS :
3
. ' ' ' '
3 3
;
2 2
ABCD A B C D
a a
V d= =
.
9) (A-2011) Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác vuông cân, 2
AB BC a
= = . Hai mặt phẳng ( )SAB
và ( )SAC cùng vuông với mặt đáy ( )
ABC
; M là trung điểm của
AB
, mặt phẳng đi qua SM và song song
với BC cắt
AC
tại N . Góc giữa ( )SBC và ( )
ABC
là 60
o
. Tính theo a thể tích của .S BCNM và khoảng
cách giữa
AB
và SN .
ĐS :
3
.
2 39
3;
13
S BCNM
V a d a= = .
10) (Chuyên KHTN-ĐHKHTN) Cho lăng trụ đứng . ' ' ' '
ABCD A B C D
có đáy là hình thoi cạnh a
45
o
BAD = ,
2 2
'
2
a
AA
−
= , ; 'O O lần lượt là tâm của
ABCD
và ' ' ' '
A B C D
. Tính theo a
a) Thể tích của khối lăng trụ . ' ' ' '
ABCD A B C D
b) Khoảng cách từ C đến ( ' )
A BD
và khoảng cách giữa hai đường thẳng '
AO
và 'B O .
ĐS :
( ) ( )
3
. ' ' ' '
2 2 2 2 2
; ;( ' ) ; '; '
2 4 2
5 2 2
ABCD A B C D
a a a
V d C A BD d AO B O
− −
= = =
−
C
ầ
n
cù bù thông minh ☺
☺☺
☺
| 1/14
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Nguyễn Tuấn Anh 1110004
Câu khoảng cách trong đề thi THPTQG
Câu khoảng cách của hình học không gian (thuần túy) trong đề thi THPTQG dù không là một câu khó
nhưng để có thể nhìn được chân đường cao hoặc đoạn vuông góc chung đối với học sinh trung bình yếu
không phải dễ. Bài viết mong muốn giúp các em tự tin hơn với câu này, dù là điểm 8,9,10 là khó lấy, nhưng
điểm 7 với các em thì hoàn toàn có thể. (Bài viết có tham khảo nhiều nguồn khác nhau nên khó lòng trích
dẫn các nguồn ở đây xin chân thành cám ơn các tác giả, các nguồn tài liệu đã tham khảo để viết bài này).
I) Ý tưởng: Ta có một hình chóp: S.ABC việc tính thể tích của khối chóp
này được thực hiện rất dễ dàng (đường cao hạ từ S xuống mặt đáy (ABC) ),
ta cần tính khoảng cách từ C đến (SAB) tức tìm chiều cao CE . Vì thể của
hình chóp là không thay đổi dù ta có xem điểm nào đó (S, ,
A B,C) là đỉnh 3 vì v V
ậy nếu ta biết diện tích S
∆ AB thì khoảng cách cần tìm đó CE =
. Có thể gọi là dùng thể tích 2 lần. S S ∆ AB
Chú ý: Khi áp dụng phương pháp này ta cần nhớ công thức tính diện tích của tam giác: S =
p( p − a)( p − b)( p − c) với p là nửa chu vi và a, ,
b c là kích thước của 3 cạnh. ∆ABC
II) Ví dụ minh họa:
VD1: (A-2013) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, 30O ABC =
; SBC là tam giác đều
cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với mặt đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ
C đến (SAB) . Lời giải a 3
Gọi E là trung điểm của BC khi đó SE ⊥ ( ABC) và SE = . 2 a 3 Ta có = ⇒ = ; a BC a AB AC = vì vậy thể tích 2 2 1
Nguyễn Tuấn Anh 1110004 3 1 3a 1 a a 3 c a
ủa khối chóp là: V = . . . . = S . ABC 3 2 2 2 2 16
Để tính khoảng cách từ C đến (SAB) ta cần tính diện tích S ∆ AB . 2 2 a 3  a 3    Ta có 2 2 = = ; a AB SB a SA = SE + EA = 
 +   = a , Áp dụng công thức Heron ta được: 2 2  2     a 3  a + a +   39 2 2 S = p( p − )
SA ( p - SB)( p - AB); p = = a ∆SAB  2    16   3V a 39 Vậy S .
d (C;(SAB)) ABC = = S 13 ∆SAB
Nhận xét: Với cách tính trên khâu tính diện tích ta dùng máy tính hầu hết đều ra đẹp. So với cách tính
bằng tọa độ hóa thì cách tình này đơn giản hơn rất nhiều về tính toán và trình bày chỉ khó ở khâu tính diện
tích (nhưng máy tính đã đảm nhận), so với cách lùi về E để tính (đương nhiên phải kẻ thêm đường phụ ) với
học sinh trung bình yếu có thể nói đây là lựa chọ tốt nhất.
VD2: (B-2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng
cách từ A đến (SCD) . Lời giải a 3
Gọi E là trung điểm của AB khi đó SE ⊥ ( ABC) , và SE = . 2 3 1 a 3 a 3
Vì vậy thể tích khối chóp cần tính là 2 V = a = S . ABCD 3 2 6
Ta cần tính khoảng cách từ A đến (SCD) , ta quan sát khối chóp S.ACD có thể tích là 3 1 a 3 1 a 3 2 V = a =
vì vậy để tính được khoảng cách ta cần có diện tích của S ∆ CD . S . ACD 3 2 2 12 2
Nguyễn Tuấn Anh 1110004 Ta có 2 2 2 2 2 CD = ; a SD = SC = SE + DE =
SE + DA + AE = a 2 , Áp dụng công thức Heron ta được:  a a 2 a 2  + + 7 2 S =
p( p − CD)( p - SD)( p - SC); p =  = a ∆SCD  2  4 3V 21 Vì vậy d ( ; a (SCD)) S . ACD = = a S 7 S ∆ CD 3 VD3: (A-2014) a
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a SD = , hình chiếu vuông 2
góc của S lên mặt phẳng ( ABCD) trùng với trung điểm của cạnh AB . Tính theo a thể tích khối chóp
S.ABCD và khoảng cách từ A tới mặt phẳng (SBD) . Lời giải
Gọi E là trung điểm của AB khi đó SE ⊥ ( ABC) , dùng định lý Pitago ta tính được: SE = a . 1 Từ đó 3 V = a S . ABCD 3 1 1 1
Ta cần tính khoảng cách từ A đến (SBD) ta quan sát hình chóp S.ADB có thể tích là 2 3
. a .a = a vậy 3 2 6
nên nếu ta tìm được diện tích tam giác S
∆ BD bài toán sẽ được giải quyết. 3a 5
Ta có BD = a 2;SD = ; SB =
a Áp dụng công thức Heron 2 2  3a 5   a 2 + + a  3 ta 2 2 được: 2 S =
p( p − SB)( p − SD)( p − BD); p =  = a ∆SBD  2  4     2 3. 3 a V 2 V a S ABD 6 ậy . d ( ; A (SBD)) = = = 2 S 3a 3 S ∆ DB 4 3
Nguyễn Tuấn Anh 1110004
VD4: (B-2014) Cho khối lăng trụ ABC.A' B 'C ' có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của
A' lên ( ABC) là trung điểm của cạnh AB , góc giữa đường thẳng A'C và mặt đáy bằng 60o . Tính theo a
thể tích của khối lăng trụ ABC.A' B 'C ' và khoảng cách từ B đến ( ACC ' A') Lời giải
Gọi E là trung điểm AB , khi đó A' E ⊥ ( ABC) , 60o = ( A'C;(ABC)) = A'CE . a 3 Ta có CE =
(đường cao trong tam giác đều) 2 3 2 3 3a a 3 a 3 3 vì v a ậy 0
A' E = tan 60 CE = ⇒ V = . = . 2
ABC. A' B 'C ' 2 4 8
Ta cần tính khoảng cách từ B đến ( ACC ' A') tức từ B đến ( AA'C) , ta quan sát khối chóp A'.ABC có thể 2 3 1 3a a 3 a 3 tích là V = . . =
vì vậy ta cần tìm diện tích A
∆ ' AC (để dùng thể tích 2 lần). A'. ABC 3 2 4 8 2 2  a   3  a 10 Ta có = ; ' =   +   = ; ' CE AC a AA a A C =
= a 3 . Áp dụng công thức Heron ta được:  2   2  2 cos60oa 10   a + + a 3  39 2 2 S =
p( p − A' )(
A p - A'C)( p - AC); p =  = a ∆A' AC  2  8     3V 3 13 Vậy d ( ;
B ( ACC ' A')) = d ( ;
B ( A' AC)) A'. ABC = = a S 13 ∆A' AC
Qua bốn VD ta thấy được việc áp dụng cách Thể tích 2 lần tỏ ra rất hiệu quả vì nó không cần suy nghĩ quá
nhiều (vì vậy người viết không khuyến khích các bạn khá giỏi làm theo cách này trừ khi bí). Trước khi ta xét
mức độ áp dụng của phương pháp với các đề thi thử năm nay (2015) cũng như các đề thi cũ, ta sẽ mở rộng
cách làm phục vụ cho yêu cầu tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau khi mà đoạn vuông góc chung rất khó tìm. 4
Nguyễn Tuấn Anh 1110004
III) Các ví dụ khác áp dụng cách tính Thể tích 2 lần :
VD1: (A-2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a hình chiếu vuông góc của S lên mặt
phẳng ( ABC) là điểm H thuộc AB sao cho HA = 2HB . Góc giữa đường SC và mặt phẳng ( ABC) bằng
60o . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữ hai đường thẳng SA và BC . Lời giải 2 2 aa 3    a 7
Ta có 60O = ( SC;( ABC))
= SCH mà CH =   +   =  6   2  3 a o 21
nên ta được SH = tan 60 .CH = . 3 2 3 1 a 3 a 21 a 7
Do đó thể tích khối chóp là: V = . . = . S . ABC 3 4 3 12
Dựng hình bình hành ABCD (điều này cũng rất tự nhiên vì đây là cách tìm khoảng cách giữa hai đường
chéo nhau), khi đó d(S ; A BC) = d ( ;
B (SAD)) . Ta quan sát khối chóp S.ABD khối chóp này có thể tích bằng 3 a 7
với thể tích của khối chóp S.ABC tức V =
vì vậy để tính d( ;
B (SAD)) ta cần tính diện tích S ∆ AD S . ABD 12 5 2 a 2 10a o 19 Ta có 2 2 = ; a AD a SA = SH + AH = , 2 2 2
DH = AD + AH − 2 ADAH cos120 = do đó SD = 3 9 3  2 10a 5a   a + +  6 Áp d 3 3
ụng công thức Heron ta được: 2 S =
p( p − S )(
A p - SD)( p - AD); p =  = a ∆SAD  2  3     3V a 42 Vậy S .
d (B;(SAD)) ABD = = S 8 S ∆ AD
VD2: (D-2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A' B 'C ' có đáy là tam giác vuông, AB = BC = a , cạnh bên
AA' = a 2 . Gọi M là trung điểm của BC . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A' B 'C ' và khoảng
cách giữa AM và B 'C 5
Nguyễn Tuấn Anh 1110004 Lời giải Theo giải thiết A
∆ BC vuông cân tại B 1 2
vì vậy thể tích khối lăng trụ là: 2 3 V = a 2 a = a .
ABC . A' B 'C ' 2 2
Gọi D là trung điểm BB ' khi đó
d ( AM ; B 'C) = d (B 'C;( ADM )) = d (C;( ADM )) = d ( ; B ( ADM )) . 3 1 a 2 1 a a 2 Ta quan sát khối chóp .
D ABM khối chóp này có thể tích là V = . . . a = vậy nên để tính D. ABM 3 2 2 2 24
khoảng cách từ B đến (ADM ) ta chỉ cần tính diện tích ∆ADM . 2 2 2 2  a 2  a 6  a 2   a a 3  a a 5 Ta có: 2 2 AD =   + a = ; DM =   +   = ;AM = a +   = 2 2 2  2  2  2      2  a 6 a 3 a 5   + +  14 Do 2 2 2 đó diện tích 2 S =
p( p − AM )( p - MD)( p - AD); p =  = a ∆AMD  2  8     3V a 7 Vậy D.
d ( AM ; B 'C) = d ( ; B ( ADM )) ABM = = S 7 ∆ADM
Nhận xét: Nếu biết cách linh hoạt ở các phương pháp thì bài toán khoảng cách này trở nên khá dễ và có
thể có nhiều lời giải hay!
VD3: (THTT- 452) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Hình chiếu vuông góc
của S lên mặt phẳng đáy là I thuộc AB sao cho BI = 2 AI . Góc giữa mặt bên (SCD) và mặt đáy bằng
60o . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa AD và SC . Lời giải
Gọi E ∈ CD : CE = 2ED , dễ dàng chứng minh được 60O = ((SCD);(ABCD))
= SEI từ đó ta tính được 6
Nguyễn Tuấn Anh 1110004 3 1 a 3 = tan 60 . o SI
EI = a 3 . Vì vậy thể tích 2 V = a 3.a = S . ABCD 3 3
Ta thấy AD / /BC vì vậy d ( A ;
D SC) = d ( A ;
D (SBC)) = d ( ; D (SBC)) , 2 3 1 a a 3
ta quan sát khối chóp S.BCD có thể tích là V = .a 3. = S .BCD 3 2 6
vì vậy để tìm khoảng cách d( ;
D (SBC)) ta cần tìm diện tích S ∆ BC . 2 2  2a a 31 2 10 Ta có: = ; =   + ( 3) 2 2 2 = ; a BC a SB a SC =
SI + CB + BI =  3  3 3  a 31 2 10a   a + +  31 Do 3 3 đó diện tích 2 S =
p( p − SB)( p - SC)( p - BC); p =  = a ∆SBC  2  6     3V 3 93 Vậy S . d ( ; AD SC) = d ( ; D (SBC)) BCD = = a S 31 S ∆ BC
IV) Vận dụng phương pháp vào các đề thi đề thi thử 2015:
Chúng ta cần hoán triệt một tư tưởng sau: Khi tính diện tích của một tam giác (phục vụ cho cách tính
thể tích 2 lần) bài viết cố gắng dùng đúng một công thức là Heron với mục tiêu giảm nhẹ các kiến thức cần
nhớ nhất có thể (điều này là cần thiết với các em trung bình yếu). Vì vậy sẽ có những các tính nhanh hơn khi
tam giác đó đặc biệt (vuông, cân, đều…). Bạn đọc có thể tính theo nhiều hướng khác nhau nhưng đích đến
cuối cùng là tròn điểm câu hình này!
Bài tập 1: (Chuyên Nguyễn Quang Chiêu- Đồng Tháp) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác
vuông tại A , AB = 3a , BC = 5a ; mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) . Biết SA = 2 3a và 30O SAC =
. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) . Lời giải 7
Nguyễn Tuấn Anh 1110004
Gọi E là chân đường vuông góc kẻ từ S xuống BC , dễ thấy SE ⊥ ( ABC) . Do đó = .sin 30O SE SA = a 3 1 1 hơn nữa 2 2 AC =
BC − AB = 4a . Vậy thể tích 3 V = a 3. 3 .4 a a = 2 3a . S . ABC 3 2
Để tính khoảng cách từ A đến (SBC) ta cần tính diện tích SB ∆ C Ta có: 2 2 2 2 2 BC = 5 ; a SB = SE + BE =
SE + BA + AE = 21a 2 2 SC =
SE + EC = 2a , do đó diện tích SB ∆ C là:  5a 21a 2a  + + 2 S =
p( p − SB)( p - SC)( p - BC); p =  = 21a ∆SBC  2  3V 6 7 Vậy S . d ( ; A (SBC)) ABC = = a S 7 S ∆ BC
Bài tập 2: (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Quảng Nam) Cho hình lăng trụ ABC.A' B 'C ' có = 3; = 3 ; = 30O AC a BC a ACB
. Cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 60o . Mặt phẳng ( A' BC) ⊥ ( ABC) .
Điểm H ∈ BC : BC = 3BH và mặt phẳng ( A' AH ) ⊥ ( ABC) . Tính theo a thể tích khối lăng trụ
ABC.A' B 'C ' và khoảng cách từ B đến ( A' AC) . Lời giải
(A' AH ) ⊥ ( ABC) 
Ta có ( A' BC) ⊥ ( ABC)
⇒ A' H ⊥ (ABC) khí đó góc giữa cạnh bên A' A và mặt đáy (ABC) là 
( A' AH ) ∩ ( A' BC) = A' H A' AH tức ' 60o A AH = . Ta lại có: 2 2 = + − 2 . .cos30o AH CH CA CH CA = a do đó 0
A' H = AH .tan 60 = a 3 . Thể tích khối lăng trụ là: 3  1  9 0 = 3. 3 . 3 .sin 30 a V a a a  =
ABC . A' B 'C '  2  4 8
Nguyễn Tuấn Anh 1110004 3 1 3a
Ta quan sát khối chóp A' ABC khối chóp này có thể tích là: V = V = vậy nên để tính A' ABC
ABC. A' B 'C ' 3 4
khoảng cách từ B đến (A' AC) ta cần tìm diện tích của A ∆ ' AC . Ta có: = 3; ' AH AC a A A = = 2 ;
a A'C = (2a) + (a 3)2 2
= a 7 , diện tích A ∆ ' AC là: 0 cos60  a 3 2a a 7  + + 2 S =
p( p − A' )
A ( p - A'C)( p - AC); p =  = a 3 ∆A' AC  2  3V 3 3 Vậy A' d ( ;
B ( A' AC)) ABC = = a S 4 A ∆ ' AC
Bài tập 3: (Chuyên ĐH Vinh lần 3) Cho hình hộp ABC .
D A' B 'C ' D ' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , 7 120 a o BCD = ; A' A =
. Hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng ( ABCD) trùng với giao điểm của 2
AC và BD . Tính theo a thể tích của khối hộp ABC .
D A' B 'C ' D ' và khoảng cách từ D ' đến mặt phẳng
(ABB ' A') . Lời giải
Gọi E = AC ∩ BD ; ta có A' E ⊥ ( ABCD) và 2 2 A' E =
A' A − AE = 2 3a . Do đó thể tích của khối hộp 1 1 là: 3 V
= A' E. .AC.BD = 2 3 . a . .
a 3a = 3a .
ABCD. A' B 'C ' D ' 2 2
Ta có d (D ';( ABB ' A')) = d (C;( ABB ' A')) ,
ta quan sát khối chóp A'.ABC , khối chóp này có thể tích là: 3 1 a V = V =
ta cần tính diện tích ∆A' AB A'. ABC
ABCD. A' B 'C ' D ' 6 2 7a a 51 Ta có: 2 2 AB = ; a A' A =
; A' B = A' E + BE =
, diện tích ∆A' AB là: 2 2 9
Nguyễn Tuấn Anh 1110004  7a a 51   a + +  2 a 195 2 2 S =
p( p − A' )
A ( p - A' B)( p - AB); p =  = ∆A' AB  2  8     3V 4 195 V a ậy A'.
d (D ';( ABB ' A')) = d (C;( ABB ' A')) ABC = = S 65 ∆A' AB
Bài tập 4 : (Chuyên Lam Sơn) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm I , có AB = ;
a BC = a 3 . Gọi H là trung điểm của AI . Biết SH ⊥ ( ABCD) , tam giác S
∆ AC vuông tại S . Tính
theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ C đến (SBD) . Lời giải 1 2  a a 3 3 1 a 3 a Ta có SE =
AC = a vì vậy 2 SH = a −   =
, thể tích S.ABCD là V = . a a 3 = 2  2  2 S . ABCD 3 2 2 3 1 a
Ta quan sát khối chóp S.BCD khối chóp này có thể tích là V = V =
vậy nên ta chỉ cần tính S .BCD S . 2 ABCD 4 diện tích ∆ SBD . 2 2  a 3   a 3  a 6 Ta có: 2 2 BD = 2 ; a SB = HB + SH =   +   = ;  2   2  2 2 2  a 7   a 3  a 10 2 2 SD = HD + SH =   +   =  2   2  2  a 6 a 10   2a + +  2 a 15 do 2 2
đó diện tích ∆ SBD là: S =
p( p − SB)( p - SD)( p - BD); p =  = ∆ SBD  2  4     3V a 15
Vậy d (C;(SBD)) S .BCD = = S 15 ∆ SBD 10
Nguyễn Tuấn Anh 1110004
Bài toán 5: (THTT-455) Cho hình lăng trụ ABC.A' B 'C ' có đáy là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông
góc của A' lên mặt đáy ( ABC) trùng với tâm O của A
∆ BC , góc giữa ( ABB ' A') và mặt đáy bằng 60o .
Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A' B 'C ' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CC ' . Lời giải
Gọi D; E lần lượt là trung điểm của AB; BC . Dễ thấy 60O = (( ABB ' A');(ABC))
= A' DO do đó A'O = tan 60 . a o DO =
vậy nên thể tích của lăng trụ ABC.A' B 'C ' là: 2 2 3 a a 3 a 3 V = = .
ABC . A' B 'C ' 2 4 8 Ta có: d ( A ;
B CC ') = d (CC ';( A' AB)) = d (C;( A' AB)) , 3 1 a 3
ta quan sát khối chóp A'.ABC khối chóp này có thể tích là: V = V = vậy nên nhiệm vụ A'. ABC
ABC . A' B 'C ' 3 24
cuối cùng của ta là tính được diện tích ∆A' AB . a 21 Ta có: 2 2 AB = ;
a A' A = A' B =
A'O + AO =
nên diện tích ∆A' AB là: 6  a 21 a 21   a + +  2 a 3 6 6 S =
p( p − A' )
A ( p - A' B)( p - AB); p =  = ∆ A' AB  2  6     3V 3 V a ậy d ( A ;
B CC ') = d (C;( A' AB)) A'. ABC = = S 4 ∆ A' AB
Bài toán 6: (Chuyên Võ Nguyên Giáp) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang cân (BC / / AD) .
Biết đường cao SH = a với H là trung điểm AD , AB = BC = CD = ;
a AD = 2a . Tính theo a thể tích của
khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AD . Lời giải 11
Nguyễn Tuấn Anh 1110004 1 1 3 3 3
Thể tích khối chóp S.ABCD là: 2 3 V = SH .S = . a a = a S . ABCD 3 ABCD 3 2 2 Ta có d (S ;
B AD) = d ( A ;
D (SBC)) = d ( ; A (SBC)) ,
ta quan sát khối chóp S.ABC khối chóp này có thể tích là: 3 1 1 1 a 3 a 3 V = SH .S = . a . .a = S . ABC 3 ∆ABC 3 2 2 12 a 3
(đường cao hạ từ A xuống BC là
) , vậy nên ta chỉ cần tính diện tích của tam giác S ∆ BC . 2 Ta có: 2 2 BC = ; a SC = SB =
BH + SH = a 2 , do đó diện tích S ∆ BC là: 2  a a 2 a 2  + + a 7 S =
p( p − SB)( p - SC)( p - BC); p =  = ∆SBC  2  4 3V a 21
Vậy d (SB; AD) = d ( ; A (SBC)) S . ABC = = S 7 S ∆ BC
Kết luận: Còn rất rất nhiều nữa các đề thi thử và chính thức có thể giải bằng phương pháp này, thiết nghĩ
có giải 1000 bài toán (cùng loại) cũng không bằng giải 10 bài nhưng mà nắm vững được phương pháp.
Người viết mong rằng bạn đọc có thể sử dụng phương pháp đến mức điêu luyện để khi bí quá (không nhìn
ra được chân đường cao hay đường phụ cần vẽ) có thể sử dụng. Phương pháp có một nhược điểm là tính
toán rất nhiều (nhưng đó là nhiệm vụ của máy tính ☺) dễ xảy ra sai số ảnh hưởng kết quả, vì vậy một lời
khuyên cho phương pháp này là: Luyện tập phương pháp với khoảng 10 bài, khi tính toán thật tập trung và
kiểm tra lại các phép toán 1 lần trước khi chấm bút hết.
V) Bài tập đề nghị :
1) (Chuyên Vĩnh Phúc) Cho hình chóp S.ABC có AB = AC ; BC = a 3 120O BAC = . Gọi I là trung
điểm cạnh AB , hình chiếu của S lên mặt đáy là trung điểm H của CI , góc giữa SA và mặt phẳng đáy là
60o . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ A đến (SBC) 12
Nguyễn Tuấn Anh 1110004 3 a 3 3 37a ĐS : V = ;d = . S . ABC 16 37
2) (Đề minh họa của BGD &ĐT) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuôn tại B , = 2 ; = 30O AC a ACB
. Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S xuống mặt ( ABC) trùng với trung điểm của
AC ; SH = a 2 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến (SAB) . 3 a 6 2 66 ĐS : V = ;d = a . S . ABC 6 11
3) (Chuyên Hà Tĩnh) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a ; tam giác SA ∆ C
vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SC = a 3 . Tính theo a thể tích của khối chóp
S.ABCD và khoảng cách từ B đến (SAD) . 3 a 3 2 21 ĐS : V = ;d = a . S . ABCD 3 7
4) (Chuyên Nguyễn Quang Chiêu- Đồng Tháp lần 1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a 3 ; 120o BAD =
và cạnh bên SA ⊥ ( ABCD) . Biết rằng số đo của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và
(ABCD) là 60o . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa BD và SC . 3 3 3 7 ĐS : 3 V = a ; d = a . S . ABCD 4 14
5) (Chuyên Hưng Yên) Cho lăng trụ đứng ABC.A' B 'C ' có đáy là tam giác cân, AB = AC = a , 120o BAC =
. Mặt phẳng ( AB 'C ') tạo với đáy một góc 60o . Tính theo a thể tích của lăng trụ ABC.A' B 'C '
và khoảng cách từ đường thẳng BC đến mặt phẳng ( AB 'C ') . 3 3a a 3 ĐS : V = ;d =
ABC . A' B 'C ' 8 4
6) (Chuyên Lê Hồng Phong) Cho lăng trụ đứng ABC.A' B 'C ' có đáy ABC là tam giác cân tại C , cạnh
AB = 6a và góc 30o ABC =
. Góc giữa mặt phẳng (C ' AB) và mặt đáy là 60o . Tính theo a thể tích của
lăng trụ ABC.A' B 'C ' và khoảng cách giữa hai đường thẳng B 'C và AB . 13
Nguyễn Tuấn Anh 1110004 3a ĐS : 3 V = 9 3a ; d = .
ABC . A' B 'C ' 2
7) ( k2pi.net.vn lần 11) Cho lăng trụ đứng ABC.A' B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B ,
A'C = a 6; AC = 2a . Gọi M là trung điểm của A'C ' và I là tâm của mặt bên ABB ' A' . Tính theo a thể
tích của lăng trụ ABC.A' B 'C ' và khoảng cách giữa hai đường thẳng IM và A'C .
8) (B-2011) Cho hình lăng trụ ABC .
D A' B 'C ' D ' có đáy ABCD là hình chữ nhật, BA = a; AD = a 3 . Hình
chiếu của A' lên mặt phẳng ( ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD . Góc giữa hai mặt phẳng
(ADD ' A') và (ABCD) bằng 60o . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B ' đến mặt
phẳng ( A' BD) . 3 3a a 3 V = ;d =
ABCD. A' B 'C ' D ' ĐS : 2 2 .
9) (A-2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân, AB = BC = 2a . Hai mặt phẳng (SAB)
và (SAC) cùng vuông với mặt đáy ( ABC) ; M là trung điểm của AB , mặt phẳng đi qua SM và song song
với BC cắt AC tại N . Góc giữa (SBC) và ( ABC) là 60o . Tính theo a thể tích của S.BCNM và khoảng
cách giữa AB và SN . 2 39 ĐS : 3 V = a 3;d = a . S .BCNM 13
10) (Chuyên KHTN-ĐHKHTN) Cho lăng trụ đứng ABC .
D A' B 'C ' D ' có đáy là hình thoi cạnh a a 2 − 2 45o BAD = , AA' =
, O;O ' lần lượt là tâm của ABCD và A' B 'C ' D ' . Tính theo a 2
a) Thể tích của khối lăng trụ ABC .
D A' B 'C ' D '
b) Khoảng cách từ C đến ( A' BD) và khoảng cách giữa hai đường thẳng AO ' và B 'O . 3 a 2 − 2 a 2 a 2 − 2 ĐS :V =
;d C;(A' BD) =
;d AO '; B 'O =
ABCD. A' B 'C ' D ' ( ) ( ) 2 4 2 5 − 2 2
Cần cù bù thông minh ☺ 14