Toán 12 Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian
Tổng hợp lý thuyết, Câu hỏi trắc nghiệm ôn tập Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian giúp bạn củng cố kiến thức và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Mời bạn đọc đón xem!
Chủ đề: Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian
Môn: Toán 12
Thông tin:
Tác giả:
Thông tin :
Chủ đề:
Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian
Môn:
Tác giả:
Tài liệu liên quan:
Preview text:
Phương pháp tọa độ trong không gian Chủ đề I
I. Hệ tọa độ trong không gian
1. Hệ trục tọa độ trong không gian
Trong không gian, cho ba trục x 'O , x y 'O ,
y z 'Oz vuông góc với nhau từng đôi
Vấn đề cần nắm:
một. Gọi i, j, k lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục x 'O , x y 'O , y z 'Oz . Định nghĩa I. Lí thuyết về hệ tọa độ trong
Hệ gồm ba trục x 'O , x y 'O ,
y z 'Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ không gian
Đề các (Descartes) vuông góc Oxyz trong không gian (hình 7.1). II. Phương trình mặt phẳng
Điểm O được gọi là gốc tọa độ. III. Phương trình
Các mặt phẳng (Oxy),(Oyz),(Oxz) đôi một vuông góc với nhau được gọi là các đường thẳng IV. Các dạng toán
mặt phẳng tọa độ. mặt cầu
Không gian với hệ tọa độ Oxyz được gọi là không gian Oxyz 2 2 2
Nhận xét: i = j = k = 1 và .
i j = j.k = k.i = 0
2. Tọa độ của vectơ
Trong không gian Oxyz với các vectơ đơn vị i, j, k trên các trục Ox, Oy, Oz, cho
một vectơ u . Khi đó tồn tại duy nhất bộ ba số thực ( x, y, z ) sao cho u = . x i + .
y j + z.k
Bộ ba số thực ( x, y, z ) thỏa mãn hệ thức trên được gọi là tọa độ của vectơ u đối
với hệ trục Oxyz. Kí hiệu u = ( ;
x y; z ) hoặc u ( ;
x y; z ) , trong đó x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ của vectơ u . Tính chất
Cho các vectơ u = (u ;u ;u ,v = v ;v ;v . Khi đó 1 2 3 ) ( 1 2 3)
a. u = v u = v ,u = v ,u = v . 1 1 2 2 3 3
b. u + v = (u + v ;u + v ;u + v . 1 1 2 2 3 3 )
c. k.u = (ku ; ku ; ku với mọi số thực k. 1 2 3 ) d. .
u v = u .v + u v + u .v 1 1 2 2 3 3 e. 2 2 2
u = u + u + u 1 2 3
f. Hai vectơ u; v (v 0) có phương trình vuông góc với nhau khi và chỉ khi
u v + u v + u v = 0 1 1 2 2 3 3
g. Hai vectơ u, v cùng phương với nhau khi và chỉ khi có một số thực k sao cho u = k . v
3. Tọa độ của một điểm
Chủ đề 7: Phương pháp tọa độ trong không gian Thuvienhoclieu.com Nếu ( ;
x y; z ) là tọa độ của vectơ OM thì ta cũng nói ( ;
x y; z ) là tọa độ của điểm
M với hệ tọa độ Oxyz (hình 7.2). Kí hiệu M = ( ;
x y; z ) hay M ( ; x y; z ).
Trong đó x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ của điểm M.
4. Liên hệ giữa tọa độ của vectơ và tọa độ của hai điểm đầu mút
Trong không gian Oxyz cho hai điểm M ( x ; y ; z và N ( x ; y ; z thì khi đó tọa 2 2 2 ) 1 1 1 )
độ của vectơ MN và độ dài của nó là:
MN = ( x − x )2 + ( y − y )2 + ( z − z )2 2 1 2 1 2 1
5. Tích có hướng của hai vectơ Định nghĩa
Tích có hướng của hai vectơ u và v , kí hiệu u;v
là vectơ a xách định bởi
i. a có phương vuông góc với u và v
ii. Bộ ba ( u, v, a) là bộ ba vectơ thuần (đọc thêm vì trong SGK cơ bản không
giải thích vấn đề này) STUDY TIP
iii. a = u . v .sin , tỏng đó là góc giữa hai vectơ u và v Định lý
Trong không gian Oxyz cho hai vectơ u = (u ;u ;u và v = (v ;v ;v . Khi đó 1 2 3 ) 1 2 3 ) u u u u u u 2 3 3 1 1 2 u;v = ; ;
= (u v − u v ;u v − u v ;u v − u v 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 ) v v v v v v 2 3 3 1 1 2
Một vài mẹo để tính nhanh tích có hướng cảu hai vectơ.
Cách 1: Viết hai tọa độ của hai vectơ song song sau đó nhớ nhanh như sau:
Ví dụ hai vectơ u = (u ;u ;u và v = (v ;v ;v ta viết tọa độ của hai vectơ song 1 2 3 ) 1 2 3 )
song và ghép các định thức theo chiều tam giác mũi tên từ giữa sang phải rồi trái
như ở STUDY TIPS. Cách nhớ mẹo này để độc giả dùng khi không nhớ công thức.
Đến đây ta tìm được công thức tính tích có hướng
u;v = (u v −u v ;u v −u v ;u v −u v 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 )
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.
Tôi xin nhắc lại cách tính tích có hướng bằng máy tính fx − 570 VN Plus mà tôi đã
giới thiệu trong cuốn “Bộ đề tinh túy môn toán” như sau:
1. Vào MODE → 8:VECTƠ (để chuyển máy tính sang chế độ tính toán với vectơ).
2. Khi máy hiện như ở góc trái chọn 1: VctA để nhập tọa độ vectơ thứ nhất, tiếp
theo máy hiện VctA(m), ta chọn 1:3 để nhập tọa độ vectơ có hoành độ, tung độ, cao độ.
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB
3. Tiếp theo, máy hiện như bên, ta sẽ nhập tọa độ vectơ thứ nhất vào.
4. Sau khi đã nhập tọa độ vectơ thứ nhất, ấn AC để xóa màn hình. Tiếp tục thực
hiện nhập vectơ thứ hai như các bước trên, tuy nhiên ở bước 2, ta không chọn 1
nữa bởi 1: VctA đã có tọa độ, nên ta chọm 2: VctB và tiếp tục thực hiện gán tọa độ vectơ thứ hai.
5. Tiếp tục ấn AC để xóa màn hình.
6. Ấn SHIFT 5 máy hiện như bên, chọn 3 để hiện VctA, ấn nút nhân tiếp tục lần
nữa chọn 4 để hiện VctB. Máy hiện như bên.
7. Ấn = để nhận kết quả. Tính chất
1. u; v = 0 u || v
2. u; v = − ; v u
3. (ku);v = u;
(kv) = k u;v , k
4. (u + v), = u; + ;
v ; u,
(v + ) = u;v + u; Hệ quả
1. Ba vectơ u; v và đồng phẳng khi và chỉ khi u, v . = 0 (tích hỗn tạp). 1
2. Diện tích hình bình hành ABCD là S = AB, AD và S = AB, AD ABD 2 3. Nếu ABC .
D A' B 'C ' D' là hình hộp có thể tích V thì V = AB, AD .AA' và do đó 1 V
= AB, AD.AA' . ABDA' 6
Từ hệ quả trên, ta có thể tính nhanh các thể tích, diện tích mà không cần tìm các độ dài.
II. Phương trình mặt phẳng
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Vectơ n 0 được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) nếu giá của n
vuông góc với mặt phẳng ( P) (hình 7.4). Chú ý
Nếu n là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P) k.n (k 0) cũng là một vectơ pháp
tuyến của mặt phẳng ( P) .
Cho mặt phẳng ( P) đi qua điểm M x ; y ; z và có vectơ pháp tuyến 0 ( 0 0 0 ) n = ( ; a ;
b c) 0. Khi đó phương trình mặt phẳng ( P) có dạng
(P):a(x − x +b y − y + c z − z = 0 0 ) ( 0 ) ( 0 )
Chủ đề 7: Phương pháp tọa độ trong không gian Thuvienhoclieu.com Định nghĩa
Phương trình có dạng Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A, B, C không đồng thời
bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng. Nhận xét
i. Nếu mặt phẳng ( P) có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 thì nó
có vectơ pháp tuyến n = ( ; A ; B C ) .
ii. Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M x ; y ; z nhận vectơ n( ; A B;C ) 0 ( 0 0 0 )
khác 0 làm vectơ pháp tuyến có dạng A( x − x + B y − y + C z − z = 0. 0 ) ( 0 ) ( 0 )
Các trường hợp đặc biệt
Trong không gian Oxyz, xét mặt phẳng ( P) : ax + by + cz + d = 0 với 2 2 2
a + b + c = 0
1. Trường hợp d = 0 thì mặt phẳng ( P) đi qua gốc tọa độ.
2. Trường hợp d 0 thì mặt phẳng ( P) có vtpt n = (0; ;
b c) khi đó mặt phẳng
(P) song song hoặc chứa trục Ox. Khi đó mặt phẳng (P) chứa trục Ox khi và chỉ
khi ( P) đi qua gốc tọa độ O, hay d = 0. 3. Trường hợp
b = 0 , mặt phẳng ( P) song song hoặc chứa trục Oy.
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB
4. Trường hợp c = 0 , mặt phẳng ( P) song song hoặc chứa trục Oz.
5. Trường hợp a = b = 0, c 0. Khi đó mặt phẳng ( P) có vtpt n = (0;0;c) . Trong
trường hợp này, mặt phẳng (P) song song hoặc trùng với mặt phẳng (Oxy) . Khi
đó (P) (Oxy) khi và chỉ khi (P) đi qua gốc tọa độ O, hay d = 0.
6. Trường hợp a = c = 0,b 0 , mặt phẳng ( P) song song hoặc trùng với mặt phẳng (Oxz ) .
Chủ đề 7: Phương pháp tọa độ trong không gian Thuvienhoclieu.com
7. Trường hợp b = c = 0, a 0, mặt phẳng ( P) song song hoặc trùng với mặt phẳng (Oyz ). d d d
8. Trường hợp abcd 0 . Đặt = − , = − , = −
, phương tình mặt phẳng a b c được đưa về x y z dạng + + = 1
. Mặt phẳng lần lượt cắt các trục tọa độ O , x O ,
y Oz tại các điểm A(;0;0), B (0; ;0), C (0;0; ) và phương trình mặt
phẳng viết dưới dạng này được gọi phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.
Đến đây ta có bài toán tổng quát:
Mặt phẳng ( P) (hình 7.5) đi qua ba điểm M ( ; a 0; 0), N (0; ;
b 0), P (0;0;c) có
phương trình ( ) x y z P : + + =1 a b c
2. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng ( P ; P lần lượt có phương trình 1 ) ( 2 )
(P :a x +b y + c z + d = 0, P :a x +b y +c z + d = 0, 1 ) 1 1 1 ( 2) 2 2 2 với 2 2 2
a + b + c 0 i = 1; 2 . Khi đó 1 1 1 ( ) ( n = kn
a ;b ;c = k a ;b ;c P // P 1 ) ( 2) 1 2 ( 1 1 1) ( 2 2 2 ) d kd d kd 1 2 1 2 ( n = kn
a ;b ;c = k a ;b ;c P P 1 ) ( 2) 1 2 ( 1 1 1) ( 2 2 2 ) d = kd d = kd 1 2 1 2
(P cắt (P n kn a ;b ;c k a ;b ;c 2 ) 1 2 ( 1 1 1) ( 2 2 2 ) 1 )
(P) ⊥ (P a a +bb + c c = 0 2 ) 1 2 1 2 1 2
3. Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( P) : ax + by + cz + d = 0 , với 2 2 2
a + b + c 0 và điểm M ( x ; y ; z . Khi đó khoảng cách từ M đến mặt phẳng 0 0 0 )
(P) là độ dài đoạn MH, với MH là đoạn thẳng vuông góc với (P) tại H (hình 7.6).
ax + by + cz + d
Độ dài MH được tính bằng công thức d (M;(P)) 0 0 0 = MH = 2 2 2 a + b + c Hệ quả
Với ( P) : ax + by + cz + d = 0 và
( P ) ax + by + cz + d = ( 2 2 2 ' : '
0 a + b + c 0; d d ') là hai mặt phẳng song song thì khoảng cách giữa
(P) và (P')được tính bằng công thức: −
d ((P) (P )) d d ' ; ' = 2 2 2 a + b + c
4. Góc giữa hai mặt phẳng.
Góc giữa hai mặt phẳng ( P) và (Q) , kí hiệu ((P),(Q)) là góc giữa hai đường
thẳng a và b mà a ⊥ ( P) và b ⊥ (Q) .
Từ đó suy ra 0 ((P),(Q)) . 2 n .n P Q
Từ đây ta có cos (( P);(Q)) = cos(n ,n = P Q ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( n n P) . (Q)
Chủ đề 7: Phương pháp tọa độ trong không gian Thuvienhoclieu.com
Dạng toán viết phương trình mặt phẳng
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz.
Dạng 1: Cho mặt phẳng ( ) đi qua M ( x ; y ; z và = 0 0 0 ) n a, b
là vectơ pháp tuyến của ( ) .
chứa hai đường thẳng phân biệt (không cùng phương)
có vectơ chỉ phương lần lượt là a và b
Dạng 2: Cho mặt phẳng ( ) đi qua M ( x ; y ; z và ( ) : a ( x − x + b y − y + c z − z = 0 . 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 0 0 0 )
song song với mặt phẳng ( ) : ax + by + cz + d = 0.
Dạng 3: Cho mặt phẳng ( ) đi qua ba điểm A; B; C n = AB, AC
là vectơ pháp tuyến của ( ) . không thẳng hàng.
Dạng 4: Cho mặt phẳng ( ) đi qua điểm M và một Trên d lấy điểm A và tìm vectơ chỉ phương của d là đườ =
ng thẳng d không chứa M. u n AM ,u
là một vectơ pháp tuyến của ( )
Dạng 5: Cho mặt phẳng ( ) đi qua M và vuông góc vectơ chỉ phương của đường thẳng d là vectơ pháp
với đường thẳng d. tuyến của ( ) .
Dạng 6: Cho mặt phẳng ( ) đi qua 2 đường thẳng cắt - Xác định các vtcp a;b của d ; d . 1 2 nhau d ; d . 1 2
- vtpt của ( ) là n = a,b.
- Lấy một điểm M thuộc một trong hai đường thẳng
trên từ đó viết phương trình mặt phẳng ( )
Dạng 7: Cho mặt phẳng ( ) chứa d và song song - Xác định các vtcp a;b của d ; d . 1 1 2
với d (hai đường thẳng này chéo nhau). 2
- vtpt của ( ) là n = a,b .
- Lấy một điểm M d (Vì d không nằm trong ( ) 1 2 ).
Dạng 8: Cho mặt phẳng ( ) song song với hai đường - Xác định các vtcp a;b của d ; d . 1 2
thẳng d ; d chéo nhau và đi qua điểm M. 1 2
- vtpt của ( ) là n = a,b .
- Viết phương trình ( ) đi qua M và có vtpt n .
Dạng 9: Cho mặt phẳng ( ) song song với hai đường - Xác định vtcp u của d và vtpt n của ( ).
thẳng d và vuông góc với mặt phẳng ( ) .
- Một vtpt của ( ) là n = u, n .
- Lấy M d và viết phương trình mặt phẳng ( ) .
Dạng 10: Cho mặt phẳng ( ) đi qua M và vuông góc - Xác định ctpt của ( ) và ( ) lần lượt là n ; n .
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB
với hai mặt phẳng cắt nhau ( );( ) .
- Một vtpt của ( ) là n = n ; n .
Dạng 11: Cho mặt phẳng ( ) đi qua đường thẳng d - Giả sử ( ) có phương trình
cho trước và cách điểm M cho trước một khoảng k.
ax + by + cz + d = ( 2 2 2
0, a + b + c 0). - Lấy hai điểm ; A B d ;
A B ( ) ta được hai phương trình (1);(2).
- Từ điều kiện khoảng cách ta được phương trình (3).
- Giải hệ phương trình ta được a; b; c; d.
Dạng 12: Cho mặt phẳng ( ) tiếp xúc với mặt cầu
Vtpt của ( ) : n = I . A
S ( I; R) tại điểm A.
Chủ đề 7: Phương pháp tọa độ trong không gian Thuvienhoclieu.com
III. Phương trình đường thẳng
1. Hai dạng biểu diễn của phương tình đường thẳng trong không gian
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng đi qua điểm M ( x ; y ; z và có vectơ 0 0 0 ) chỉ phương u = ( ; a ;
b c) (do u = 0 nên 2 2 2
a + b + c 0 ), Khi đó phương trình tham
x = x + at 0
số của đường thẳng có dạng y = y + bt với t là tham số. 0
z = z + ct 0 x − x y − y z − z
Khi abc 0 , khử t từ hệ ta được : 0 0 0 = = a b c
Phương trình trên được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng .
2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng đi qua M có vectơ chỉ phương u và 1 1 1
đường thẳng đi qua M có vectơ chỉ phương u . 2 2 2
1. khi và chỉ khi ba vectơ u ;u ; M M đôi một cùng phương, tức là 1 2 1 2 1 2
u ,u = u , M M 1 2 1 1 2 =0 (hình 7.7).
2. // khi và chỉ khi u //u nhưng không cùng phương với M M , tức là 1 2 1 2 1 2
u ,u = 0 1 2 (hình 7.8)
u , M M 0 1 1 2
3. và cắt nhau khi và chỉ khi u không cùng phương với u , đồng thời 1 2 1 2
u ,u 0 1 2
ba vectơ u , u và M M đồng phẳng, tức là (hình 7.9) 1 2 1 2
u ,u .M M = 0 1 2 1 2
4. và chéo nhau khi và chỉ khi ba vectơ u , u và M M không đồng 1 2 1 2 1 2
phẳng, tức là u , u .M M 0 1 2 1 2 (hình 7.10)
Ta cũng có thể xét tính tương đối của hai đường thẳng dựa trên hệ phương trình hai
x + ta = x '+ t 'a ' 0 1 0 1
ẩn như sau: y + ta = y '+ t 'a (1) 0 2 0 2
z +ta = z '+t 'a ' 0 3 0 3
1. Hai đường thẳng d và d ' cắt nhau khi và chỉ khi hệ phương trình (1) có đúng một nghiệm.
2. Hai đường thẳng d và d ' chéo nhau khi và chỉ khi hệ phương trình (1) vô
nghiệm và u không cùng phương với u . 1 2
3. Hai đường thẳng d và d ' song song khi hệ phương trình (l) vô nghiệm và
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB
u cùng phương với u . 1 2
4. Hai đường thẳng d và d ' trùng nhau khi hệ (l) có vô số nghiệm.
3. Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng. Khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau
a. Khoảng cách từ mọi điểm đến một đường thẳng
Trong không gian cho điểm M và đường thẳng đi qua điểm N, với vectơ chỉ
phương u . Khoảng cách từ M đến là độ dài đoạn vuông góc MH kẻ từ M đến (hình 7.11)
Cách 1: Lấy điểm P trên sao cho NP = u . Khi đó MH là độ dài đường cao kẻ từ STUDY TIP 2S u NM
M của tam giác MNP. Vì MNP MH = nên d (M ) . ; = Khoảng cách giữa điểm NP u
M đến đường thẳng trong không gian được
Cách 2: Để tính khoảng cách từ M đến đường thẳng , ta có thể xác định tọa độ tính bằng công thức
hình chiếu H của M trên rồi tính độ dài MH.
Chú ý: Ở cách 2, để tính được tọa độ điểm H ta phải đưa phương trình đường
thẳng về dạng tham số, từ đó tham số hóa tọa độ điểm H.
Dựa vào dữ kiện MH ⊥ ta sẽ tìm được tọa độ điểm H.
Trong đó N là một điểm
Ví dụ: Tính khoảng cách từ điểm A(1; 2; )
1 đến đường thẳng (d ) : thuộc x y −1 = = z + 3. 3 4 Lời giải
Cách 1: Lấy điểm B (0;1; 3
− ) trên (d ) . Khi đó khoảng cách từ điểm A đến đường u BA STUDY TIP
thẳng (d ) được tính bằng công thức: d ( A (d )) ; ; = . u
Cả hai cách làm đều khá là nhanh, tùy theo lựa
Ta có BA = (1;1; 4) . Khi đó u; BA = (15; 11 − ;− ) 1
chọn của độc giả mà áp
dụng, tuy nhiên để nhớ 2 2 + − + − công thức nhanh, cần d ( 2 A (d )) 15 ( 1 ) 1 ( ) 1 347 ; = = . 2 2 2 nắm vững cách để suy 3 + 4 +1 26 luận ra công thức đó.
Cách 2: Gọi H là hình chiếu của A lên (d ) . Khi đó H (3t;1+ 4t; 3 − + t)
AH = (3t −1;4t −1;t − 4)
Mà AH ⊥ (d ) , do vậy −
( t − ) + ( t − ) 11 7 9 93 3 1 .3 4
1 .4 + t − 4 = 0 t = AH = ; ; . 26 26 13 26 Khi đó 347 AH = . 26
b. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Chủ đề 7: Phương pháp tọa độ trong không gian Thuvienhoclieu.com
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và là độ dài đoạn vuông góc 1 2 chung của chúng.
Lấy điểm A thuộc , điểm B thuộc . 1 2
Gọi u ;u lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng và . 1 2 1 2
Trên và lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho AM = u ; BN = u . Khi đó 1 2 1 2
khoảng cách giữa và là khoảng cách giữa hai đáy của hình hộp đựng trên ba 1 2 STUDY TIP
cạnh MA, AB, BN (hình 7.12). Khoảng cách giữa hai
Mặt khác ở phần hệ quả của bài hệ tọa độ trong không gian ta có công thức của đường thẳng và trong không gian được
u ,u .AB 1
hình hộp bằng u , u . B A . d ; = 1 2 tính bằng công thức Do vậy ( ) 2 1 2 u ,u 1 2
4. Góc giữa hai đường thẳng. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
a. Góc giữa hai đường thẳng
Góc giữa hai đường thẳng d , d được kí hiệu là
trong đó A, B là hai
(d ,d , được xác định bởi các 1 2 ) 1 2 điểm lần lượt thuộc trường hợp: và .
- Nếu d cùng phương với d thì (d ,d = 0. 1 2 ) 1 2
- Nếu d và d cắt nhau tại I thì (d , d bằng số đo góc nhỏ nhất tròn bốn góc tạo 1 2 ) 1 2 thành.
- Nếu d và d chéo nhua thì (d ,d = a,b trong đó a//d ,b//d và a b = 1 . 1 2 ) ( ) 1 2 1 2 (Hình 7.13)
Do góc giữa hai đường thằng là số đo góc nhỏ nhất trong bốn góc tạo được.
Do vậy 0 (d ,d . Do vạy nếu đặt (d ,d = thì ta có 1 2 ) 1 2 ) 2 u u
cos = cos (d ,d ) , 1 2 = 1 2 u . u 1 2
b. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
Góc giữa hai đường thẳng d và mặt phẳng ( P) , kí hiệu là (d,(P)) , xác định bởi:
- Nếu d ⊥ ( P) thì (d,(P)) = 90.
- Nếu d không vuông góc với ( P) thì (d,(P)) bằng góc giữa d và hình chiếu của
d trên ( P) (hình 7.14).
Ta có 0 (d,(P)) 2
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB
Gọi u, n lần lượt là vectơ chỉ phương của d và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
(P) . Khi đó nếu đặt (d,(P)) = thì = (u n) u,n sin cos , = u . n
Chủ đề 7: Phương pháp tọa độ trong không gian Thuvienhoclieu.com
Dạng toán viết phương trình đường thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz.
Dạng 1: Cho đường thẳng d đi qua hai điểm A; B.
- Vtcp của d là u = AB
Dạng 2: Cho đường thẳng d đi qua M ( x ; y ; z và - Vì d // nên vtco của cũng là vtcp của d. 0 0 0 ) song song với
Dạng 3: Cho đường thẳng d đi qua M ( x ; y ; z và - Vì d ⊥ nên vtpt của ( P) cũng là vtcp của d. 0 0 0 )
vuông góc với mặt phẳng cho trước.
Dạng 4: Cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt - Cách 1: Tìm 1 điểm và 1 vtcp
phẳng ( P);(Q).
+ Tìm một điểm A trên d bằng cách giải hệ phương ( P ) trình ( Q )
+ Tìm 1 vtcp của d: u = n , n . P Q
- Cách 2: Tìm hai điểm ;
A B d , rồi viết phương
trình đường thẳng đi qua 2 điểm đó.
Dạng 5: Cho đường thẳng d đi qua điểm - Vì d ⊥ d ;d ⊥ d nên một vtcp của d là 1 2
M ( x ; y ; z và vuông góc với 2 đường thẳng d ; d . 0 0 0 ) 1 2
u = u , u . 1 d d2
Dạng 6: Cho đường thẳng d đi qua điểm - Gọi H là hình chiếu của M trên d . 1
M ( x ; y ; z , vuông góc và cắt đường thẳng d . 0 0 0 ) 1
Khi đó d là đường thẳng đi qua M; H.
Dạng 7: Cho đường thẳng d đi qua điểm - Cách 1: Gọi M d ; M d . Từ điều kiện 1 1 2 2
M ( x ; y ; z và cắt 2 đường thẳng d ; d . 0 0 0 ) 1 2
M; M ; M thẳng hàng ta tìm được M ; M 1 2 1 2 phương trình d.
- Cách 2: Gọi ( P) = (M , d ; Q = M ; d . Khi đó 1 ) ( ) ( 2 )
d = ( P) (Q). Do đó u = n , n . d P Q
Dạng 8: Cho đường thẳng d nằm trong mặt phẳng A = d P ; B = d P d đi qua A;B. 1 ( ) 2 ( )
(P) và cắt hai đường thẳng d ;d . 1 2
Dạng 9: Cho đường thẳng d // và cắt hai đường Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa và d , mặt 1
thẳng d ; d . (Biết luôn cắt d ; d ) 1 2 1 2
phẳng (Q) chứa và d . Khi đó d = ( P) (Q). 2
Dạng 10: Cho đường thẳng d là đường thẳng vuông Cách 1: Gọi M d ; M d . Từ điều kiện 1 1 2 2
góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d ; d . 1 2 M M ⊥ d 1 2 1
ta tìm được M ; M . Khi đó d là đường M M ⊥ d 1 2 1 2 2 thẳng M M . 1 2
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB
Cách 2: - Vì d ⊥ d ; d ⊥ d nên có một vtcp là 1 2
u = u , u . 1 d d2
- Lập phương trình mặt phẳng ( P) chứa d và d : 1
+ Lấy một điểm A trên d . 1
+Một vtcp của ( P) là n = u,u . P 1 d
- Lập phương trình mặt phẳng (Q) và chứa d . 2
- Khi đó d = ( P) (Q).
Dạng 11: Cho đường thẳng d là hình chiếu của đường - Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa () và
thẳng lên mặt phẳng ( P) .
vuông góc với ( P) . + Lấy M .
+ Vì (Q) chứa và vuông góc với ( P) nên
n = u , u . Q P
- Khi đó d = ( P) (Q).
Dạng 12: Cho đường thẳng d đi qua M, vuông góc với - Cách 1: Gọi N là giao điểm của d và d . Từ điều 2
d và cắt d . 1 2
kiện MN ⊥ d , ta tìm được N. Khi đó d là đường 1 thẳng MN. - Cách 2:
+ Viết phương trình mặt phẳng ( P) đi qua M và vuông góc với d 1
+ Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa M và d . 2
Khi đó d = (P) (Q) .
Chủ đề 7: Phương pháp tọa độ trong không gian Thuvienhoclieu.com
Đọc thêm: Bài toán cực trị trong không gian
1. Bài toán cực trị về mặt phẳng, đường thẳng quanh xung quanh một điểm cố định
Bài toán 1: Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm vị trí của mặt phẳng ( ) chứa B
và cách A một khoảng lớn nhất. Lời giải
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng ( ) . Khi đó tam giác ABH
vuông tại H và d ( ;
A ( )) = AH A .
B Vậy khoảng cách đó lớn nhất khi H trùng B,
khi đó ( ) là mặt phẳng đi qua B và vuông góc với AB.
Bài toán tương tự là tìm đường thẳng qua B và cách A một khoảng lớn nhất.
2. Bài toán cực trị về mặt phẳng quay xung quanh một đường thẳng cố định
Bài toán 2: Cho điểm A và đường thẳng không đi qua A. Tìm vị trí của mặt
phẳng ( ) chứa sao cho khoảng cách từ A đến mặt phẳng đó là lớn nhất. Lời giải
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên ( ) , K là hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng . Ta thấy d ( ;
A ( )) = AH AK (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên). Vậy d ( ;
A ( )) lớn nhất khi và chỉ khi H K , hay vị trí mặt phẳng ( ) cần tìm
là ( ) chứa và vuông góc với AK.
Lúc này mặt phẳng cần tìm có vectơ pháp tuyến n = u , MA ,u trong đó M .
Ví dụ 1: Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng x = 1+ 2t
d : y = t
(t ) và cách A(1;2;5) một khoảng lớn nhất là z = −2 −t A. (10;17;37) B. (9; 14 − ;4) C. (10; 17
− ;37) D. (9;14;4) Đáp án A. Lời giải Ta có u = (2;1; − ) 1 , M (1;0; 2
− ) MA = (0;2;7). Vậy áp dụng công thức vừa d
chứng minh ta có n = u , MA ,u = (10;17;37). d d Bài tập áp dụng x −1 y z + 2
1. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d : = = cách 2 1 1 − M (2;1; )
1 một khoảng lớn nhất.
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB
A. ( ) : x + y + 3z + 5 = 0
B. ( ) : 4x − 7 y + z = 0
C. ( ) : 6x + 6 y +18z + 5 = 0 D. ( ) : 4
− x + 7 y − z = 0
2. Viết phương trình mặt phẳng ( P) đi qua gốc tọa độ và vuông góc với mặt phẳng
(Q):2x − y + z −1= 0 và cách điểm M (1;0; )1 một khoảng lớn nhất.
A. x − 2y + z = 0
B. y + z = 0
C. x + y − z = 0
D. x − y + z = 0
Đáp án: 1.A; 2.B
Bài toán 3*: Cho hai đường thẳng , phân biệt và không song song với nhau. 1 2
Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa và tạo với một góc lớn nhất. 1 Lời giải
Vẽ một đường thẳng bất kì song song với và cắt tại K. Gọi A là điểm cố 3 2 1
định trên và H là hình chiếu của A trên mặt phẳng ( ) . Ta có góc giữa và 3 2
( ) chính là góc AKH. kẻ AT ⊥ T . 1 ( 1 ) Khi đó HK KT H
KT vuông tại T, nên: cos AKH = (không đổi). AK AK
Vậy góc AKH lớn nhất khi và chỉ khi HK = KT hay H T .
Góc lớn nhất đó chính bằng góc AKH = ( , 1 2 )
Khi đó mặt phẳng ( ) cần tìm chứa và vuông góc với mặt phẳng ( , hay 1 3 ) 1
nó có một vectơ chỉ phương là u , u . 1 2
Do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) là n = u , u ,u 1 1 2 x −1 y +1 z − 2
Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng ( P) chứa d : = = và tạo với 2 1 2 + − đườ x 1 y z 1 ng thẳng d ' : = = một góc lớn nhất. 1 2 1
A. x − 4y + z − 7 = 0
B. x + 4y − z + 7 = 0
C. 2x + 5y −10 = 0
D. 2x − 5y +10 = 0 Đáp án A. Lời giải
Ta có n = u ,u u = 3; 1 − 2;3 . d d ' d ( )
3. Bài toán cực trị về họ đường thẳng quay xung quanh một điểm cố định
trong mặt phẳng cố định
Chủ đề 7: Phương pháp tọa độ trong không gian Thuvienhoclieu.com
Bài toán 4*: Cho mặt phẳng ( ) và điểm A thuộc ( ) , điểm B khác A. Tìm
đường thẳng nằm trong ( ) đi qua A và cách B một khoảng nhỏ nhất, lớn nhất. Lời giải
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên .
Ta thấy d ( B; ) = BH . AB
Vậy khoảng cách đó lớn nhất khi và chỉ khi H A.
Khi đó là đường thẳng qua A và có một vectơ chỉ phương là u = n ; AB .
Gọi T là hình chiếu của B trên ( ) . Ta thấy BH BT.
Vậy khoảng cách BH nhỏ nhất bằng BT khi và chỉ khi H A hay đường thẳng
đi qua A và T.
Để viết phương trình đường thẳng ta có 2 cách:
- Tìm hình chiếu vuông góc T của B trên , từ đó viết phương trình đường thẳng
đi qua A và T.
- Tìm tọa độ một vectơ chỉ phương của đường thẳng : u = n , n , AB .
Bài toán 5*: Cho mặt phẳng ( ) và điểm A thuộc ( ) , đường thẳng d không
song song với ( ) , khồn nằm trên ( ) , không đi qua A. Tìm đường thẳng nằm
trong mặt phẳng ( ) đi qua A sao cho khoảng cách giữa và đường thẳng d là lớn nhất. Lời giải
Gọi d ' là đường thẳng qua A và song song với d và B là giao điểm của d với mặt
phẳng ( ) . Gọi H là hình chiếu vuông góc vủa B trên mặt phẳn (d '; ) . Khoảng
cách giữa d và bằng BH. Gọi C là hình chiếu vuông góc của B trên d ' .
Ta thấy BH BC , nên BH lớn nhất khi và chỉ khi H . C
Khi đó đường thẳng có một vectơ chỉ phương u = n , BC.
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB
Bài tập rèn luyện kỹ năng
lần lượt cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C khác O.
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho
Giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện OABC là hai điểm A(1;2; ) 1 , B (3;0; − ) 1 và mặt phẳng A. 54 B. 6 C. 9 D. 18
(P): x + y − z −1= 0. Gọi M và N lần lượt là hình
Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho x − 2 y z
chiếu của A và B trên ( P). Độ dài đoạn thẳng MN đường thẳng d : = = và mặt cầu 2 1 − 4 là
(S) (x − )2 +( y − )2 + (z − )2 : 1 2 1 = 2 . Hai mặt phẳng 4 2 2 (P) A. 2 3 B. C. D. 4
và (Q) chứa d và tiếp xúc với ( S ) . Gọi M và 3 3
N là tiếp điểm. Độ dài đoạn thẳng MN là
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 4 điểm A(1;2; ) 1 và mặt phẳng A. 2 2 B. C. 6 D. 4 3
(P): x + 2y − 2z −1= 0.
Câu 8: Cho hai điểm A(3;3; ) 1 , B (0; 2; ) 1 và mặt
Gọi B là điểm đối xứng với A qua ( P) . Độ dài
phẳng ( P) : x + y + z − 7 = 0. Đường thẳng d nằm đoạn thẳng AB là
trên ( P) sao cho mọi điểm của d và cách đều hai 4 2
điểm A,B có phương trình là A. 2 B. C. D. 4 3 3 x = t x = t
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
A. y = 7 − 3t (t ) B. y = 7 + 3t (t ) a = (1; 2 )
;1 , b = (−2;3; 4) , c = (0;1; 2) và z = 2t z = 2t
d = (4; 2;0) . Biết d = xa + yb + zc . Tổng x + y + z x = t − x = 2t là
C. y = 7 − 3t (t ) D. y = 7 − 3t (t ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 4 z = 2t z = t
Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ, cho điểm
Câu 9: Cho bốn điểm A(a; 1 − ;6), B( 3 − ; 1 − ; 4 − ), x +1 y − 2 z A(1; 2; )
1 và đường thẳng d : = + . 1 1 − 1 C (5; 1 − ;0), D(1;2; )
1 và thể tích của tứ diện ABCD
Phương trình mặt phẳng chứa A và vuông góc với d
bằng 30. Giá trị của a là: là A. 1 B. 2
A. x − y + z −1 = 0
B. x − y + z +1 = 0 C. 2 hoặc 32 D. 32
C. x − y + z = 0
D. x − y + z − 2 = 0
Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
mặt phẳng ( P) : x − 2 y + z − 5 = 0 . Điểm nào dưới hai mặt phẳng
(P):2x + y − z −1= 0 và đây thuộc (P) ?
(Q): x − 2y + z −5 = 0 . Khi đó giao tuyến của (P) A. Q (2; −1; 5 − ) B. P (0;0; 5 − )
và (Q) có một vectơ chỉ phương là C. N ( 5 − ;0;0) D. M (1;1;6) A. u = (1;3;5)
B. u = (−1;3; −5)
C. u = (2;1; − ) 1 D. u = (1; 2 − ; ) 1
Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (1;2; )
1 . Mặt phẳng ( P) thay đổi đi qua M
Chủ đề 7: Phương pháp tọa độ trong không gian The best or nothing x = 2 +1
Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
Câu 11: Cho hai đường thẳng d : y = 1− t t điểm M (2;6; 3
− ) và ba mặt phẳng (P) : x − 2 = 0; 1 ( ) z = 2t
(Q): y −6 = 0;(R): z +3 = 0. Trong các mệnh đề x = 2 − 2t sau, mệnh đều sai là
và d : y = 3 t
. Mặt phẳng cách đều hai 1 ( )
A. ( P) đi qua M
B. (Q) // (Oxz ) z = t
C. ( R) //Oz
D. ( P) ⊥ (Q)
đường thẳng d và d có phương trình là 1 2
Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
A. x + 5y + 2z +12 = 0
d là đường thẳng qua M (1; 2;3) và vuông góc với
B. x + 5y − 2z +12 = 0
(Q):4x +3y −7z +1= 0 . Phương trình tham số của
C. x − 5y + 2z −12 = 0 d là
D. x + 5y + 2z −12 = 0 x =1+ 4t x =1+ 4t x −1 y +1 z − 2 = + = +
Câu 12: Cho đường thẳng d : = = . A. y 2 3t (t
) B. y 2 3t(t ) 2 1 1 z = 3 − 7t z = 3 − 7t
Hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng (Oxy) x = 4 + t là
C. y = 3 + 2t (t ) D. Đáp số khác x = 0 x =1+ 2t z = 7 − + 3t
A. y = 1− t (t ) B. y = 1
− + t (t ) z = 0
Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho z = 0 hai điểm A(2; 3 − ;− ) 1 ; B (4; 1 − ;2) . Phương trình x = 1 − + 2t x = 1 − + 2t
mặt phẳng trung trực của AB là
C. y = 1+ t
(t ) D. y = 1
− + t (t )
A. 4x + 4y + 6z − 7 = 0 z = 0 z = 0
B. 2x + 3y + 3z − 5 = 0 Câu 13: Cho A(2;1; − ) 1 , B (3;0; ) 1 , C (2; 1 − ;3) ,
C. 4x − 4y + 6z − 23 = 0
điểm D nằm trên trục Oy và thể tích của tứ diện
D. 2x − 3y − z − 9 = 0
ABCD bằng 5. Tọa độ của D là
Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A. (0; −7;0) hai mặt phẳng
( ):3x − y + mz −3 = 0 và
B. (0; −7;0) hoặc (0;8; 0)
( ):2x + ny + 2z − 2 = 0. Giá trị của m và n để hai C. (0;8; 0)
mặt phẳng ( ) và ( ) song song với nhau là
D. (0;7;0) hoặc (0;8; 0) 2 A. m = 3; − n = 3
Câu 14: Cho A(5;1;3), B ( 5 − ;1;− ) 1 , C (1; 3 − ;0) ,
B. Không có giá trị của m và n D (3; 6
− ;2) . Tọa độ của điểm A đối xứng với A qua 2 = = −
mặt phẳng ( BCD) là C. m 3; n 3 A. (−1; 7;5) B. (1;7;5) 2
D. m = 3; n = 3 C. (1; 7 − ; 5 − ) D. (1; −7;5)
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB
Câu 19: Cho điểm M (1;0;0) và đường thẳng x y z x y z C. + + = 1 D. + + = 1 − − x −1 y z 1 3 4 4 3 1 d :
= = . Gọi M '(a; ;
b c) là điểm đối xứng 1 2 1
Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết
với M qua d. Giá trị của a − b + c là
phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A. 1 − B. 2 − C. 1 D. 3 A(2;1; )
1 .B (3; 2; 2) và vuông góc với mặt phẳng
Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
x + 2y − 5z − 3 = 0 .
mặt phẳng ( P) : 2x − y + z + 2 = 0 và
A. ( P) : 7x − 6 y − z − 7 = 0
(Q): x + y + 2z −1= 0. Góc giữa (P) và (Q) là
B. ( P) : 7x − 6 y − z + 7 = 0 A. 45 B. 90 C. 30 D. 60
C. ( P) : x − 3y − z + 2 = 0
Câu 21: Cho điểm M ( 3
− ;2;4), gọi A, B, C lần
lượt là hình chiếu của M trên trục Ox, Oy, Oz.
D. ( P) : x − 3y − z + 5 = 0
Trong các mặt phẳng sau, tìm mặt phẳng song song
Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
với mặt phẳng ( ABC ) . ba điểm A( ; a 0; 0), B (0; ;
b 0),C (0;0; c) với a, b, c
A. 6x − 4y − 3z −12 = 0 là những số dương thay đổi sao cho 2 2 2
B. 3x − 6y − 4z +12 = 0
a + 4b +16c = 49 . Tính tổng 2 2 2
F = a + b + c
sao cho khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( ABC ) là
C. 4x − 6y − 3z +12 = 0 lớn nhất.
D. 4x − 6y − 3z −12 = 0 49 49
Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A. F = B. F = 4 5
điểm A(−4;−2;4) và đường thẳng 51 51 x + 3 y −1 z +1 C. F = D. F = d : = =
. Viết phương trình đường 4 5 2 1 − 4
Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
thẳng đi qua A, cắt và vuông góc với đường hai điểm A( 3 − ;5; 5 − ), B(5; 3 − ;7) và mặt phẳng thẳng d. (P) + + = x + 4 y + 2 z − 4 : x y z
0 . Tính độ dài đoạn thẳng OM, biết A. : = = 4 − 4 − 1
rằng điểm M thuộc ( P) sao cho 2 2 MA + MB đạt x + 4 y + 2 z − 4 giá trị nhỏ nhất? B. : = = 1 − 2 1 A. OM = 3 B. OM = 1 x + 4 y + 2 z − 4 C. : = = 2 2 − 1 − C. OM = 0 D. OM = 10 x + 4 y + 2 z − 4
Câu 27: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết D. : = = 3 2 1 −
phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm
Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho H (3; 4 − ; )
1 và cắt các trục tọa độ tại các điểm M, N,
ba điểm A(1;0;0), B (0;3;0) và C (0;0; 4 − ) .
P sao cho H là trực tâm của tam giác MNP.
Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt
A. 3x − 4y + z − 26 = 0 phẳng ( ABC ) ?
B. 2x + y − z −1 = 0 x y z x y z − − + = A. + + = 1 B. + + = 1 C. 4x 3y z 1 0 3 1 4 − 1 4 − 3
D. x + 2y − z + 6 = 0
Chủ đề 7: Phương pháp tọa độ trong không gian The best or nothing
Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho x y z B. + + = 1
ba vectơ a (5;7;2),b(3;0;4),c( 6 − ;1;− ) 1 . Tìm tọa 2 1 − 3 độ − + − =
của vectơ m = 3a − 2b + c .
C. 3x 6y 2z 12 0
D. 3x − 6y + 2z −1 = 0 A. m = ( 3 − ;22; 3
− ) B. m = (3;22; 3 − )
Câu 33: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,
C. m = (3; 22;3) D. m = (3; 2 − 2;3)
cho mặt phẳng ( P) : x − y + z + 3 = 0 và ba điểm
Câu 29: Cho điểm M (3; 2; )
1 . Mặt phẳng ( P) đi
A(0;1; 2), B (1;1; ) 1 , C (2; 2
− ;3) . Tọa độ điểm M
qua điểm M và cắt trục tọa độ Ox. Oy, Oz tại A, B,
thuộc ( P) sao cho MA + MB + MC nhỏ nhất là
C sao cho M là trực tâm tam giác ABC. Phương
trình mặt phẳng ( P) là A. (4; 2 − ; 4 − ) B. (−1; 2;0) x y z − − − A. + + = 0
B. x + y + z − 6 = 0 C. (3; 2; 8) D. (1; 2; 2) 3 2 1
Câu 34: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, x y z
C. 3x + 2y + z −14 = 0 D. + + = 1 x = 2 + t 3 2 1
cho đường thẳng d : y =1+ mt (t ) và mặt cầu
Câu 30: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho z = 2 − t A( ;
a 0; 0), B(0; b;0),C (0;0; c) với a, b, c dương. (S) 2 2 2
: x + y + z − 2x + 6 y − 4z +13 = 0 . Có bao
Biết A, B, C di động trên các tia Ox, Oy, Oz sao cho
a + b + c = 2 . Biết rằng khi a, b, c thay đổi thì qũy
nhiêu giá trị nguyên của m để d cắt ( S ) tại hai
tích tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC thuộc điểm phân biệt?
mặt phẳng ( P) cố định. Tính khoảng cách từ A. 5 B. 3 C. 2 D. 1
M (2016;0;0) tới mặt phẳng ( P) .
Câu 35: Viết phương trình đường thẳng d qua M (1; 2 − ;3) 2014 2016 2015
và vuông góc với hai đường thẳng A. 2017 B. C. D. 3 3 3 x =1− t x y −1 z +1
Câu 31: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, d : = =
, d : y = 2 + t t . 1 2 ( ) 1 1 − 3 x = 1+ 2t z = 1+ 3t
cho đường thẳng d : y = t (t ) và mặt = + = + x 1 t x 1 3t z = 2 − − 3t A. y = 2
− + t (t ) B. y = 2
− + t (t )
phẳng ( P) : 2x + y + z − 2 = 0 . Giao điểm M của d z = 3 z = 3 + t
và ( P) có tọa độ là x =1+ t x =1 A. M (3;1; 5 − ) B. M (2;1; 7 − )
C. y = 1− 2t (t ) D. y = 2
− + t (t ) z = 3t z = 3 + t C. M (4;3;5) D. M (1;0;0)
Câu 36: Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa
Câu 32: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, x − 2 y + 3 z − 4
gọi ( ) là mặt phẳng cắt ba trục tọa độ tại ba điểm. đường thẳng d : = = và vuông góc 2 3 1
Phương trình của ( ) là
với mặt phẳng Oyz. x y z
A. x + y − 2z + 4 = 0 B. y − 3z +15 = 0 A. + + = 0 4 2 − 6
C. x + 4y − 7 = 0
D. 3x + y − z + 2 = 0
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB
Câu 37: Cho mặt phẳng ( P) : x + y + z + 3 = 0 và
A. m = 1 B. m = 2 C. m = 3 `D. m = 4 − +
Câu 42: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đườ x 1 y 1 z ng thẳng d : = = . Phương trình 3 1 − 1 − ba vectơ a = (1; ;
m 2);b = (m +1; 2; 2);c (0; m − 2; 2) .
đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) , cắt
Giá trị của m để a, b, c đồng phẳng là
đường thẳng d và vuông góc với u (1;2;3) là 2 2 1 A. B. − C. D. 1 x +1 y +1 z +1 5 5 5 A. = = 1 2 − 1
Câu 43: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho x + 8 y − 2 z − 3
mặt phẳng ( P) đi qua điểm M (9;1; ) 1 cắt các tia B. = = 1 2 − 1
Ox,Oy,Oz tại A,B,C (A,B,C không trùng với gốc tọa x y − 2 z − 3
độ). Thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhát là C. = = 1 2 − 1 81 243 81 A. B. C. 243 D. x + 8 y − 2 z − 3 6 2 2 D. = = 1 2 1
Câu 44: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho P
x + y + z + =
Câu 38: Cho mặt phẳng ( P) đi qua các điểm ba mặt phẳng ( ): 2 1 0 , (Q) + − + = − + = A( 2
− ;0;0), B(0;3;0),C (0;0; 3 − ) : x y z 2 0 R x y . Mặt phẳng ( P) , ( ) : 5 0 . Trong các
vuông góc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng
mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? sau:
A. (Q) ⊥ ( R)
B. ( P) ⊥ (Q)
A. x + y + z +1 = 0
B. 2x + 2y − z −1 = 0
C. ( P) // ( R)
D. ( P) ⊥ ( R)
C. x − 2y − z − 3 = 0 D. 2x + 3y + z −1 = 0
Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho
Câu 39: Cho tam giác ABC có A(1; 2;3) ,
mặt phẳng ( P) , cắt trục tọa độ tại M (8;0;0) , B ( 3 − ;0; ) 1 , C ( 1
− ; y; z) . Trọng tâm của tam giác
N (0; 2;0), P (0;0; 4) . Phương trình mặt phẳng ( P)
ABC thuộc trục Ox khi cặp ( y; z ) là là:
A. x + 4y + 2z −8 = 0 B. x + 4y + 2z + 8 = 0 A. (1; 2) B. (2; 4) x y z x y z
C. (−1; −2)
D. (−2; −4) C. + + = 1 D. + + = 0 4 1 2 8 2 4
Câu 40: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
Câu 46: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz cho
phương trình nào dưới đây là phương trình mặt
mặt phẳng ( P) đi qua gốc tọa độ O và vuông góc
phẳng đi qua điểm M (3; −1; ) 1 và vuông góc với với hai mặt phẳng
(Q):2x − y +3z −1= 0; − + − đường thăng x 1 y 2 z 3 : = = ?
(R): x+ 2y+ z = 0. Phương trình mặt phẳng (P) là 3 2 − 1
A. 3x − 2y + z +12 = 0
A. 7x + y − 5z = 0
B. 7x − y − 5z = 0
B. 3x + 2y + z − 8 = 0
C. 7x + y + 5z = 0
D. 7x − y + 5z = 0
C. 3x − 2y + z −12 = 0
Câu 47: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điể
A 1;1; 2 , B 3; 1 − ;1 D. m ( ) ( ) và mặt phẳng
x − 2y + 3z + 3 = 0
(P): x − 2y + z −1= 0. Mặt phẳng (Q) chứa A,B và Câu 41: Cho ABC có 3 đỉnh A( ; m 0; 0) ,
vuông góc với mặt phẳng ( P) có phương trình là 35
B (2;1; 2),C (0; 2; ) 1 . Để S = thì ABC 2
A. 4x + 3y + 2z = 0
Chủ đề 7: Phương pháp tọa độ trong không gian The best or nothing
B. 2x − 2y − z + 4 = 0
Câu 53: Cho điểm M (1; 2; − ) 1 . Viết phương trình
C. 4x + 3y + 2z +11 = 0
mặt phẳng ( ) đi qua gốc tọa độ O (0;0;0) và
D. 4x + 3y + 2z −11 = 0
cách M một khoảng lớn nhất.
Câu 48: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho x y z
A. x + 2y − z = 0 B. + + = 1
các điểm A(1;−1; ) 1 , B (0;1; 2
− ) và điểm M thay đổi 1 2 1 − C. − − = D. + + − =
trên mặt phẳng tọa độ (Oxy) . Giá trị lớn nhất của x y z 0 x y z 2 0
Câu 54: Tìm điểm M trên đường thẳng
biểu thức T = MA − MB là x = 1+ t A. 6 B. 12 C. 14 D. 8
d : y = 1− t (t ) sao cho AM = 6 , với
Câu 49: Cho ba điểm
A(1;6; 2), B (5;1;3) , z = 2t
C (4;0;6) , khi đó phương trình mặt phẳng ( ABC ) A(0; 2; 2 − ). là:
A. M (1;1;0) hoặc M (2;1; − ) 1
A. 14x +13y + 9z +110 = 0
B. M (1;1;0) hoặc M ( 1 − ;3; 4 − )
B. 14x +13y − 9z −110 = 0 C. M ( 1 − ;3; 4
− ) hoặc M (2;1;− ) 1
C. 14x −13y + 9z −110 = 0 D.
D. Không có điểm M nào thỏa mãn.
14x +13y + 9z −110 = 0
Câu 55: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, vị trí tương đố hai điểm A(1;2;− )
1 , B (0; 4;0) và mặt phẳng ( P) i của hai đường thẳng − − + =
có phương trình 2x y 2z 2015 0. Gọi là x = 1+ 2t x = 7 + 3m d : y = 2 − − 3t t Q và d y = 2 − + 2m m
góc nhỏ nhất mà mặt phẳng ( ) đi qua hai điểm A, 2 ( ) 1 ( ) z = 5 + 4t z = 1− 2m
B tạo với mặt phẳng ( P) . Giá trị của cos là là: 1 1 2 1 A. B. C. D. A. Chéo nhau B. Cắt nhau 9 6 3 3 C. Song song D. Trùng nhau
Câu 56: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
Câu 51: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho − + đườ x 1 y z 1 ng thẳng d : = = và điểm ba điểm A( 2 − ;1;0), B( 3
− ;0;4),C (0;7;3) . Khi đó 2 1 1 − A(2;0; − )
1 . Mặt phẳng ( P) đi qua điểm A và
cos ( AB, BC) bằng
vuông góc với đường thẳng d có phương trình là 14 118 7 118 A. + − + = B. + + + = A. B. − 2x y z 5 0 2x y z 5 0 354 177
C. 2x + y − z − 5 = 0 D. 2x + y + z − 5 = 0 798 798 C. D. −
Câu 57: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 57 57 + − đườ x 2 y 2 z ng thẳng : = = và mặt phẳng
Câu 52: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho tứ 1 1 1 −
diện ABCD có A(2;3; ) 1 , B (4;1; 2 − ),C (6;3;7) ,
(P): x + 2y −3z + 4 = 0 . Đường thẳng d nằm trong
D (−5; −4;8) . Độ dài đường cao kẻ từ D của tứ diện
mặt phẳng ( P) sao cho d cắt và vuông góc với là có phương trình là 45 5 4 3 x + 3 y −1 z −1 A. 11 B. C. D. A. = = 7 5 3 1 1 − 2
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB x +1 y − 3 z +1
Câu 62: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết B. = = 1 − 2 1
phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;2;0) x − 3 y +1 z +1 x −1 y z +1 C. = =
và vuông góc với đường thẳng d : = = . 1 1 − 2 2 1 1 − x + 3 y −1 z −1
A. x + 2y − 5 = 0
B. 2x + y − z + 4 = 0 D. = = 1 − 2 1 C. 2
− x − y + z − 4 = 0 D. 2
− x − y + z + 4 = 0
Câu 58: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho − +
Câu 63: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt đườ x y z
ng thẳng có phương trình 1 1 = =
phẳng chứa 2 điểm A(1; 0; ) 1 và B ( 1 − ;2;2) và 2 2 1 −
và mặt phẳng ( P) : 2x − y + 2z −1 = 0 . Viết phương
song song với trục Ox có phương trình là
A. x + y − z = 0
B. 2y − z +1 = 0
trình mặt phẳng (Q) chứa và tạo với ( P) một − + = + − = góc nhỏ nhất. C. y 2z 2 0 D. x 2z 3 0
A. 2x − y + 2z −1 = 0
Câu 64: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho y − 2 z − 4
B. 10x − 7 y +13z + 3 = 0
đường thẳng d : x −1 = = và mặt phẳng 2 3
C. 2x + y − z = 0
(P): x + 4y +9z −9 = 0 . Giao điểm I của d và (P)
D. −x + 6y + 4z + 5 = 0 là
Câu 59: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tính
A. I (2; 4; − ) 1 B. I (1; 2; 0) x y +1 z −1
góc giữa hai đường thẳng d : = = và 1 1 1 − 2 C. I (1; 0; 0) D. I (0; 0; ) 1 x +1 y z − 3 d : = = .
Câu 65: Trong không gian với hệ trục Oxyz, mặt 2 1 − 1 1
phẳng đi qua điểm A(1;3; 2
− ) và song song với mặt A. 45 B. 30 C. 60 D. 90
phẳng ( P) : 2x − y + 3z + 4 = 0 là
Câu 60: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết − + + = phương trình mặ A. 2x y 3z 7 0
t phẳng ( P) chứa đường thẳng + − + = x −1 y z +1 B. 2x y 3z 7 0 d : = =
và vuông góc với mặt phẳng 2 1 3
C. 2x + y + 3z + 7 = 0
(Q):2x + y − z + 0.
D. 2x − y + 3z − 7 = 0
A. x + 2y + z = 0
B. x − 2y −1 = 0
Câu 66: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
C. x + 2y −1 = 0
D. x − 2y + z = 0
A(2;0;0); B (0;3; ) 1 ;C ( 3
− ;6;4) . Gọi M là điểm =
Câu 61: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
nằm trên đoạn BC sao cho MC 2MB . Độ dài đườ đoạn AM là: ng thẳng
(d ) có phương trình x −1 y + 2 z − 3 A. 2 7 B. 29 C. 3 3 D. 30 = =
. Điểm nào sau đây không 3 2 4 −
Câu 67: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
thuộc đường thẳng (d ) ?
tứ diện ABCD với A( 1 − ;2; ) 1 , B (0;0; 2 − ),C(1;0; ) 1 , D (2;1; − ) A. N (4;0; − ) 1 B. M (1; 2 − ;3)
1 . Tính thể tích tứ diện ABCD. C. P (7; 2; ) 1
D. Q (−2; −4;7) 1 2 4 8 A. B. C. D. 3 3 3 3
Chủ đề 7: Phương pháp tọa độ trong không gian The best or nothing
Câu 68: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết
Câu 73: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
phương trình mặt phẳng (P) song song và cách điểm M (2;−3; ) 1 và đường thẳng đều 2 đường thẳng x +1 y + 2 z : = = . x − 2 y z x y −1 z − 2 2 1 − 2 d : = = và d : = = . 1 1 − 1 1 2 2 1 − 1 −
Tìm tọa độ điểm M ' đối xứng với M qua .
A. ( P) : 2x − 2z +1 = 0
A. M '(3; −3;0) B. M '(1; 3 − ;2)
B. ( P) : 2 y − 2z +1 = 0 C. M '(0; 3 − ;3)
D. M '(−1; −2;0)
C. ( P) : 2x − 2 y +1 = 0
Câu 74: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S ) 2 2 2
: x + y + z − 2x − 4 y + 4z −16 = 0 và
D. ( P) : 2 y − 2z −1 = 0 x −1 y + 3 z
Câu 69: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = . Mặt phẳng nào 1 2 2 hình hộp ABC .
D A' B 'C ' D' có A(1; 2; − ) 1 ,
trong các mặt phẳng sau chứa d và tiếp xúc với mặt B'(2; 1 − ;3),C (3; 4 − ; )
1 và D '(0;3;5) . Giả sử tọa độ cầu ( S ) . D ( ;
x y; z ) thì giá trị của x + 2y − 3z là kết quả nào
A. ( P) : 2x − 2 y + z − 8 = 0 dưới đây? B. ( P) : 2
− x +11y −10z −105 = 0 A. 1 B. 0 C. 2 D. 3
Câu 70: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
C. ( P) : 2x −11y +10z − 35 = 0
mặt phẳng ( P) : 2x + 2 y − z + 3 = 0 và đường thẳng D. ( P) : 2
− x + 2y − z +11 = 0
( ) x −1 y +3 z d : =
= . Gọi A là giao điểm của (d )
Câu 75: Trogn không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, 1 2 2 cho hai điểm M ( 2 − ; 2 − ; ) 1 , A(1; 2; 3 − ) và đường
và ( P) ; gọi M là điểm thuộc (d ) thỏa mãn điều x +1 y − 5 z
kiện MA = 2 . Tính khoảng cách từ M đến mặt thẳng d : = = . Tìm vectơ chỉ phương 1 2 1 − phẳng ( P) .
u của đường thẳng đi qua M, vuông góc với 4 8 8 2 đườ A. B. C. D.
ng thẳng d đồng thời cách điểm A một khoảng 9 3 9 9 bé nhất.
Câu 71: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A. u = (2;1;6) B. u = (1;0; 2) − + + hai đườ x 2 y 2 z 1 ng thẳng d : = = và 3 − 1 2 − C. u = (3; 4; 4 − )
D. u = (2; 2; − ) 1 x y − 2 z − 2 d ' : = =
. Mệnh đề nao sau đây là
Câu 76: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 6 2 − 4 x − y + z + đúng? đường thẳng (d ) 3 1 1 : = = . Viết phương 2 − 1 1
A. d //d '
B. d d '
trình mặt phẳng qua điểm A(3;1;0) và chứa đường
C. d và d ' cắt nhau
D. d và d ' chéo nhau thẳng (d ) .
Câu 72: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho các
A. x + 2y + 4z −1 = 0 B. x − 2y + 4z −1 = 0 điểm A( 1 − ;2;4), B( 1
− ;1;4),C (0;0;4) . Tìm số đo
C. x − 2y + 4z +1 = 0 D. x − 2y − 4z −1 = 0 của ABC .
Câu 77: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A. 135 B. 45 C. 60 D. 120
đường thẳng có phương trình:
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB x − 4 y −1 z − 2
tọa độ âm thuộc d sao cho khoảng cách từ M đến d : = = 2 1 1 (P) bằng 2.
Xét mặt phẳng ( P) : x − 3y + 2mz − 4 = 0 , với m là
A. M (−2; −3; − ) 1
B. M (−1; −3; −5)
tham số thực. Tìm m sao cho đường thẳng d song
C. M (−2; −5; 8 − )
D. M (−1; −5; −7)
song với mặt phẳng ( P) .
Câu 83: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 1 1 A. m = B. m =
C. m = 1 D. m = 2
ba điểm A(1;3;5),B(2;0; )
1 , C (0;9;0) . Tìm trọng 2 3
Câu 78: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
tâm G của tam giác ABC. hai điểm A( 1 − ;1;0) và B(3;1; 2 − ) . Viết phương A. G (3;12;6) B. G (1;5; 2)
trình mặt phẳng ( P) đi qua trung điểm I của cạnh C. G (1;0;5) D. G (1; 4; 2)
AB và vuông góc với đường thẳng AB.
Câu 84: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
A. −x + 2z + 3 = 0
B. 2x − z −1 = 0 x y z −1 : = = và điểm M (0;3; 2 − ) . Phương
C. 2y − z − 3 = 0
D. 2x − z − 3 = 0 1 1 4
Câu 79: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
trình của mặt phẳng ( P) đi qua M và là điểm A(1; 1
− ;3) và hai đường thẳng:
A. 5x − y − z +1 = 0 B. 5x + y − z −1 = 0 x − 4 y + 2 z −1 x − 2 y +1 z −1
C. 5x + y − z +1 = 0
D. 5x − y + z −1 = 0 d : = = , d : = = 1 2 1 4 2 − 1 1 − 1
Câu 85: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A, x y z −1 : = = và điểm M (0;3; 2 − ) . Phương
vuông góc với đường thẳng d và cắt đường thẳng 1 1 4 1 d .
trình của mặt phẳng (Q) đi qua M , song song với 2 x −1 y +1 z − 3
và cách một khoảng bằng 3 là A. d : = = 4 1 4
A. 4x −8y + z + 26 = 0 x −1 y +1 z − 3
B. 4x −8y + z − 26 = 0 B. d : = = 2 1 3
C. 2x − 2y + z −8 = 0 x −1 y +1 z − 3 C. d : = = ,
D. 2x + 2y − z −8 = 0 2 1 − 1 −
Câu 86: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz x −1 y +1 z − 3 D. d : = =
cho các điểm A(0;1;0), B (2;2;2) và đường thẳng 2 − 2 3 x − y + z −
Câu 81: Cho tọa độ các điểm A(2; 2;3), B (1;3;3) , (d) 1 2 3 : = = . Tìm tọa độ điểm 2 1 − 2
C (1; 2; 4) . Chọn phát biểu đúng?
N (d ) sao cho diện tích tam giác ABN nhỏ nhất.
A. Tam giác ABC là tam giác đều A. (1; 0; −4) B. (3; −1; 4)
B. Tam giác ABC là tam giác vuông C. (−1; 0; 4) D. (−3;0; ) 1
C. Các điểm A, B, C thẳng hàng
D. Tam giác ABC là tam giác vuông cân
Câu 87: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,
Câu 82: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
cho tam giác BCD có B (−1;0;3),C (2; 2 − ;0) , + + đườ x y 1 z 2 D ( 3 − ;2; ) ng thẳng d : = = và mặt phẳng
1 . Tính diện tích tam giác BCD. 1 2 3
(P): x + 2y − 2z +3 = 0. Tìm tọa độ điểm M có các
Chủ đề 7: Phương pháp tọa độ trong không gian The best or nothing 23 x −1 y z + 2 A. 26 B. 62 C. D. 2 61 : = =
. Tọa độ điểm M trên sao 4 3 2 1
cho MA = MB là
Câu 88: Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm
M (1;0; 2), N ( 3 − ; 4 − ; )
1 , P (2;5;3) . Phương trình 15 19 43 15 19 43 A. − ; − ; − B. ; ; 4 6 12 4 6 12
mặt phẳng ( MNP) là C. (45; 28; 43) D. (−45; 2 − 8; 4 − 3)
A. x + 3y −16z + 33 = 0 H 3; 1 − ;0 B.
Câu 93: Đường thẳng d đi qua ( ) và
x + 3y −16z + 31 = 0 Oxz C. vuông góc với ( ) có phương trình là
x + 3y +16z + 33 = 0
D. x − 3y −16z + 31 = 0 x = 3 x = 3
y = −1 t = − +
Câu 89: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu A. (
) B. y 1 t(t ) ( z = t z = 0 S ) 2 2 2
: x + y + z − 2x + 4 y − 2z − 3 = 0 = + = + x 3 t x 3 đườ x y 1 ng thẳng : =
= z . Mặt phẳng (P) C. y = 1
− (t ) D. y = 1
− + t (t ) 2 2 − = =
vuông góc với và tiếp xúc với ( S ) có phương z 0 z t trình là
Câu 94: Trong hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A( 1 − ;1;0), B( 2 − ;3;0)
A. 2x − 2y + z + 2 = 0 và 2x − 2y + z −16 = 0
. Tìm tọa độ của điểm M
thuộc trục Oy sao cho MA + MB nhỏ nhất.
B. 2x − 2 y + 3 8 − 6 = 0 và A. M (0; 2;0) B. M (0; 1 − ;0)
2x − 2 y − 3 8 − 6 = 0 5
C. 2x − 2 y − 3 8 + 6 = 0 và C. M 0; ; 0 D. M (0;1;0) 3
2x − 2 y − 3 8 − 6 = 0
Câu 95: Trong hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm
D. 2x + 2y − z + 2 = 0 và 2x + 2y − z −16 = 0 A(1; 2; )
1 , B(1;1;0),C (1;0; 2) . Tìm tọa độ điểm D để
Câu 90: Trong không gian Oxyz, cho A(4; 2 − ;3) ,
ABCD là hình bình hành. − − x = 2 + 3t A. ( 1;1; ) 1 B. (1; 1; ) 1 y = 4
(t ), đường thẳng d đ qua A cắt và C. (1;1;3) D. (1; 2 − ; 3 − ) z =1−t
Câu 96: Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba
vuông góc có vectơ chỉ phương là
điểm A(1;0;0), B(0;2;0),C (0;0;3). A. ( 2 − ; 15 − ;6) B. ( 3 − ;0;− ) 1
A. 6x + 3y + 2z − 6 = 0 C. ( 2 − ;15; 6 − ) C. (3; 0; − ) 1
B. x − y + z − 2 = 0
Câu 91: Trong không gian Oxyz, cho 2 mặt phẳng
C. x + 2y − 3z +16 = 0
(P): x − y + 4z − 2 = 0 và (Q):2x − 2z + 7 = 0 . Góc
D. x − y + 2z = 0
giữa 2 mặt phẳng ( P) và (Q) là
Câu 97: Nếu mặt phẳng ( P) : x − 2 y + mz + 5 = 0 A. 60 B. 45 C. 30 D. 90
song song với mặt phẳng (Q) : 2x − ny + 3z + 3 = 0
Câu 92: Trong không gian Oxyz, cho 2 điểm
thì các giá trị của m và n là A(1; 2;0), B ( 2 − ;3; ) 1 , đường thẳng
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB 3 3 3 1 5 A. m = ; n = 4
B. m = − ; n = 4 C. I 2; ; 1 − D. I 1 − ;− : 2 2 2 2 2 3 3
C. m = − ; n = −4 D. m = 4; − n =
Câu 102: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, 2 2 x = t
Câu 98: Phương trình chính tắc của đường thẳng đi
cho đường thẳng d : y = 2 − t (t ) . Vectơ nào qua điểm M ( 2
− ;1;3) và vuông góc với mặt phẳng z = 4+t
(P): x + 2y − 2z +1= 0 là
dưới đây là vectơ chỉ phương của d? x + 2 y −1 z − 3 A. u = (0; 2; 4 B. u = (2; 1 − ;0 d ) d ) A. = = 1 2 2 − C. u = (1; 1 − ; ) 1
D. u = (−2;3;5 d ) d x − 2 y +1 z + 3 B. = = 1 2 2 −
Câu 103: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
cho ba điểm A(4;2;5), B(3;1;3),C (2;6; ) 1 . Phương x −1 y − 2 z + 2 C. = = 2 − 1 3
trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng ( ABC) x +1 y + 2 z − 2 ? D. = = 2 − 1 3
A. 2x − z − 3 = 0
B. 2x + y + z − 3 = 0
Câu 99: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm
C. 4x − y − 5z +13 = 0 D. 9x − y + z −16 = 0
tọa độ điểm N thuộc trục Oz sao cho khoảng cách
Câu 104: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
từ N đến M (2;3; 4) bằng khoảng cách từ N đến mặt cho điểm A(2; 2; ) 1 và đường thẳng
phẳng ( P) : 2 x+ 3 y+ z−17 = 0 ? x y −1 z − 2 d : = =
. Phương trình đường thẳng d A. N (0;0;3) B. N (0;0; 4) 1 2 1 2
đi qua A, vuông góc với d và cắt d là 1 2 C. N (2;3;0)
D. không tồn tại điểm N x − 2 y − 2 z −1
Câu 100: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, A. d : = = 1 3 − 5 − cho điểm A(1; 2 − ;3) và hai mặt phẳng x −1 y z − 2 ( B. d : = =
P) : x + y + z +1 = 0;(Q) : x − y + z − 2 = 0 . Phương 2 3 4 −
trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi x = 2 + t
qua A, song song với ( P) và (Q) ?
C. d : y = 2 (t ) x = −1+ t x =1 z = 1− t A. y = 2
(t ) B. y = 2 − (t ) x − 2 y − 2 z −1 D. d : = = z = 3 − − t z = 3 − 2t 1 − 2 3 − x = 1+ 2t x =1+ t
Câu 105: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, x y −1 z − 2 C. y = −2
(t ) D. y = 2 − (t ) cho đường thẳng : = = và mặt phẳng 1 1 1 − z = 3 + 2t z = 3 − t
(P): x + 2y + 2z − 4 = 0 . Phương trình đường thẳng
Câu 101: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
d nằm trong ( P) sao cho d cắt và vuông góc với
cho hai điểm A(3;3;2) và B (5;1;4) . Tìm tọa độ đường thẳng là
trung bình I của đoạn thẳng AB. 7 5 A. I ;3; − B. I (4; 2;3) 2 2
Chủ đề 7: Phương pháp tọa độ trong không gian The best or nothing x = −3 + t
(P): x −3y + 2z −5 = 0. Viết phương trình mặt
A. d : y = 1− 2t (t ) Q
phẳng ( ) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với z = 1− t mặt phẳng ( P) . x = 3t
A. 2x + 3z −11 = 0
B. y − 2z −1 = 0
B. d : y = 2 + t (t ) C. 2
− y + 3z −11= 0 D. 2x + 3y −11= 0 z = 2 + 2t
Câu 109: Trong không gian Oxyz, cho các điểm x = 2 − − 4t A(3; 4
− ;0); B(0;2;4);C (4;2; )
1 . Tọa độ điểm D
C. d : y = 1
− + 3t (t )
trên trục Ox sao cho AD = BC là z = 4 − t D(0;0;0) D(0;0;2) x = 1 − − t A. B. D (6;0;0) D (8;0;0)
D. d : y = 3 − 3t (t ) z = 3− 2t D(2;0;0) D(0;0;0) C. D. D (6;0;0) D ( 6 − ;0;0)
Câu 106: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
phương trình nào dưới đây là phương trình của
Câu 110: Trong không gian Oxyz, cho A(0;1;0) ,
đường thẳng đi qua điểm A(2;3;0) và vuông góc
B (2; 2; 2),C ( 2 − ;3; ) 1 và đường thẳng
với mặt phẳng ( P) : x + 3y − z + 5 = 0 ? x −1 y + 2 z − 3 d : = =
. Tìm điểm M thuộc d để thể x =1+ 3t x = 1+ t 2 1 − 2
A. y = 3t
(t ) B. y = 3t (t )
tích tứ diện MABC bằng 3. z = 1− t z = 1− t 3 3 1 15 9 1 − 1 A. M − ; − ; ; M − ; ; 2 4 2 2 4 2 x =1+ t x =1+ 3t
C. y = 1+ 3t (t ) D. y = 3t (t ) 3 3 1 15 9 11 B. M − ; − ; ; M − ; ; 5 4 2 2 4 2 z = 1− t z = 1+ t 3 3 1 15 9 11
Câu 107: Mặt phẳng ( P) song song với mặt phẳng C. M ; − ; ; M ; ; 2 4 2 2 4 2
(Q): x + 2y + z = 0 và cách D(1;0;3) một khoảng 3 3 1 15 9 11 D. M ; − ; ; M ; ;
bằng 6 thì ( P) có phương trình là: 5 4 2 2 4 2
x + 2y + z + 2 = 0
Câu 111: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A.
x + 2y + z − 2 = 0 A(3;0; ) 1 , B (6; 2 − ; )
1 . Viết phương trình mặt phẳng (P)
x + 2 y − z −10 = 0
đi qua A, B và ( P) tạo với mặt phẳng (Oyz ) B.
x + 2y + z − 2 = 0 2 góc thỏa mãn cos = ? 7
x + 2y + z + 2 = 0 C. − + − = − 2x 3y 6z 12 0
x − 2 y − z −10 = 0 A.
2x − 3y − 6z = 0
x + 2y + z + 2 = 0 D. + + + = 2x 3y 6z 12 0
x + 2 y + z −10 = 0 B.
2x + 3y − 6z −1 = 0
Câu 108: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điể + + − = m A(2; 4; ) 1 ; B ( 1 − ;1;3) và mặt phẳng 2x 3y 6z 12 0 C.
2x + 3y − 6z = 0
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB
2x − 3y + 6z −12 = 0
Câu 115: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, D.
2x − 3y − 6z +1 = 0 x =1+ 3t
cho hai đường thẳng d y = 2 − + t t , 1 ( )
Câu 112: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( z = 2
P) : 2x + y − 2z +1 = 0 và hai điểm A(1; 2 − ;3) ; x −1 y + 2 z B (3; 2; − )
1 . Phương trình mặt phẳng (Q) qua A,B d : = = và mặt phẳng 2 2 1 − 2
và vuông góc với ( P) là
(P): 2x + 2y −3z = 0 . Phương trình nào dưới đây
A. (Q) : 2x + 2 y + 3z − 7 = 0
là phương tình mặt phẳng đi qua giao điểm của d 1
và ( P) , đồng thời vuông góc với đường thẳng d?
B. (Q) : 2x − 2 y + 3z − 7 = 0
A. 2x − y + 2z + 22 = 0
C. (Q) : 2x + 2 y + 3z − 9 = 0
B. 2x − y + 2z +13 = 0
D. (Q) : x + 2 y + 3z − 7 = 0
C. 2x − y + 2z −13 = 0
Câu 113: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
D. 2x + y + 2z − 22 = 0 cho điểm M ( 1
− ;1;3) và hai đường thẳng
Câu 116: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho x −1 y + 3 z −1 x +1 y z : = = ; : = = . Phương A(1; 2 − ; ) 1 , B ( 2 − ;2; ) 1 , C (1; 2 − ;2) . Đường phân 3 2 1 1 3 2 −
trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi
giác trong góc A của tam giác ABC cắt mặt phẳng
qua M, vuông góc với và '
Oyz tại điểm nào trong các điểm sau đây? x = −1− t x = t − 4 2 2 4 A. 0; − ; B. 0; − ;
A. y = 1+ t (t ) B. y = 1+ t (t ) 3 3 3 3 z = 1+ 3t z = 3 + t 2 8 2 8 C. 0; − ; D. 0; ; − 3 3 3 3 x = −1− t x = −1− t
Câu 117: Trong không gian với hệ trục tọa độ
C. y = 1− t (t ) D. y = 1+ t (t )
A 1; 0; 2 , B 1;1;1 , C 2;3; 0 z = 3 + t z = 3 + t Oxyz, cho ( ) ( ) ( ). Viết
phương trình mặt phẳng ( ABC ) .
Câu 114: Cho hai đường thẳng + − + = − − + = x = 1− t A. x y z 1 0 B. x y z 1 0 x − 2 y + 2 z − 3 d : = =
; d : y = 1+ 2t t
C. x + y − 2z − 3 = 0 D. x + y + z − 3 = 0 2 ( ) 1 2 1 − 1 z = −1+ t
Câu 118: Trong không gian với hệ trục tọa độ và điể
Oxyz, cho A(1; 2;0), B (3; 1 − ; ) 1 , C (1;1; ) 1 . Tính diện
m A(1; 2;3) . Đường thẳng đi qua A, vuông
tích S của tam giác ABC.
góc với d và cắt d có phương trình là 1 2 A. S = 3 B. S = 2 x −1 y − 2 z − 3 A. = = 1 − 3 − 5 − 1 C. S = D. S = 1 2 x y +1 z −1 B. = = 2 1 1
Câu 119: Trong không gian với hệ trục tọa độ x −1 y − 2 z − 3
Oxyz, cho M (1; 2; )
1 . Viết phương trình mặt phẳng C. = = 1 3 5
(P) qua M cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, x −1 y − 2 z − 3 1 1 1 D. = = C sao cho + +
đạt giá trị nhỏ nhất. 1 3 − 5 − 2 2 2 OA OB OC
Chủ đề 7: Phương pháp tọa độ trong không gian The best or nothing
A. x + 2y + 3z −8 = 0 B. x + y + z − 4 = 0
góc của A trên d. Biết rằng khi d thay đổi thì H
thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính R của x y z
C. x + 2y + z − 6 = 0 D. + + = 1 đường tròn đó. 1 2 1
Câu 120: Trong không gian với hệ trục tọa độ A. R =
6 B. R = 2 C. R =1 D. R = 3
Oxyz, cho G (1; 2;3) . Viết phương trình mặt phẳng
Câu 125: Trong không gian với hệ trục tọa độ (
Oxyz, cho hai điểm A(4;0; ) 1 và B ( 2 − ;2;3) .
P) đi qua điểm G và cắt các trục tọa độ tại ba điể
Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt
m phân biệt A, B, C sao cho G là trọng tâm tam
phẳng trung trực của đoạn thẳng AB? giác ABC.
A. 3x − y − z = 0
B. 3x + y + z − 6 = 0 x y z y z A. + + = 1 B. x + + = 3 3 6 9 2 3
C. 3x − y − z +1 = 0
D. 6x − 2y − 2z −1 = 0
C. x + y + z − 6 = 0
D. x + 2y + 3z −14 = 0
Câu 121: Cho ba điểm A(1;1;0), B (3; 1 − ;2), C ( 1
− ;6;7) . Tìm điểm M (Oxz) sao cho 2 2 2
MA + MB + MC nhỏ nhất? A. M (3;0; − ) 1 B. M (1;0;0) C. M (1;0;3) D. M (1;1;3)
Câu 122: Cho mặt phẳng ( ) : 3x − 2 y − z + 5 = 0 − − − và đườ x y z ng thẳng (d ) 1 7 3 : = = . Gọi ( ) 2 1 4
là mặt phẳng chứa d và song song với ( ) . Khoảng
cách giữa ( ) và ( ) là 9 3 9 3 A. B. C. D. 14 14 14 14
Câu 123: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, − − cho đườ x 1 y z 2 ng thẳng d : = = , điểm 2 1 2
A(2;5;3) . Phương trình mặt phẳng ( P) chứa d sao
cho khoảng cách từ A đến ( P) là lớn nhất là
A. 2x + y − 2z −10 = 0
B. 2x + y − 2z −12 = 0
C. x − 2y − z −1 = 0
D. x − 4y + z − 3 = 0
Câu 124: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
cho hai điểm A(4;6;2); B (2;−2;0) và mặt phẳng
(P): x + y + z = 0. Xét đường thẳng d thay đổi
thuộc ( P) và đi qua B, gọi H là hình chiếu vuông
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB
Hướng dẫn giải chi tiết Câu 1: Đáp án B Câu 2: Đáp án B Cách 1: Ta có Ta có:
B là điểm đối xứng với A qua ( P) nên: 1+ 2.2 − 2.1−1 2 4 AB = 2.d( = 2. = 2. = A,(P)) + + (− )2 2 2 3 3 1 2 2
Vậy đáp án đúng là B. Câu 3: Đáp án A
d = xa + yb + zc
(4; 2;0) = x (1; 2; ) 1 + y ( 2 − ;3;4) + z (0;1;2) − = = 2 x 2 y 4 x 2 2 MN = AB − d − d A/(P) B/( P)
2x + 3y + z = 2 y = −1 x + y + z = 2 1+ 2 −1−1 + + = = 1 x 4 y 2z 0 z 1 d( = = A,( P)) + + (− )2 2 2 3 1 1 1
Vậy đáp án đúng là A. Câu 4: Đáp án C 3 + 0 − (− ) 1 −1 3 d( = = B,(P)) + + (− ) d 2 Ta có: u = −
. Đường thẳng ( ) vuông góc d (1; 1; ) 1 2 2 3 1 1 1
với mặt phẳng ( P) nên: n = n = (1; 1 − ) ;1 . Dó đó P d 1 3 2 d( − d = − =
(P) có dạng: (P): x − y + z + m = 0. Vì (P) đi qua A,(P)) (B,(P)) 3 3 3 A(1; 2; )
1 nên: 1− 2 +1+ m = 0 m = 0 .
AB = ( − )2 + ( − )2 + (− − )2 3 1 0 2 1 1 = 2 3
Do đó, đáp án đúng là C. 2 4 4 2 Câu 5: Đáp án A 2
MN = AB − d( − d = 12 − = A,(P)) (B,(P)) 3 3
Cách 1: Giao tuyến của ( P) và (Q) là nghiệm của
Vậy đáp án đúng là B. hệ phương trình:
Cách 2: Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông 1
2x + y − z −1 = 0
2x + y = z +1
góc với mặt phẳng ( P) . Lúc này M = d P . 1 ( )
x − 2y + z − 5 = 0
x − 2y = −z + 5 x =1+ t 2 ( z + ) 1 + (−z + 5) + 1 z 7 = = x
d : y = 2 + t M 1+ t ;2 + t ;1− t . 1 1 ( 1 1 1 ) 5 5 z = 1− t (z + ) 1 − 2 (−z + 5) 3z − 9 1 y = = 5 5
Mà M ( P) (1+ t + 2 + t − 1− t −1 = 0 1 ) ( 1 ) ( 1) x − 2 y z − 3 = = 1 2 5 4 1 3 5 t = − M ; ; . 1 3 3 3 3
Do đó, đáp án đúng là A.
Tương tự ta tìm được N (2;−1;0) .
Cách 2: u = n , n = (1;3;5 d p Q ) 4 2 Câu 6: Đáp án C MN = . Chọn B. 3
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Giả sử A( ; a 0; 0); B (0; ;
b 0);C (0;0; c) . Do cắt các
Gọi K là điểm bất kì trên (d ) . Theo giả thiết: tia nên: ; a ;
b c 0 . Khi đó, phương trình mặt phẳng
KA = KB tức là tam giác KAB cân, điều này chỉ ( x y z
xảy ra khi (d ) nằm trên mặt phẳng (Q) là mặt
P) là : ( P) : +
+ =1. (P) đi qua M (1;2; ) 1 a b c
phẳng trung trực của AB. Ta đi xác định (Q) : 1 2 1 nên:
+ + =1. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy a b c
Gọi M là trung điểm AB thì: ta có: 3+ 0 3+ 2 1+1 3 5 M ; ; M ; ;1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 3 3 1 = + + 3. . . = 3. a b c a b c 6V
Mặt phẳng (Q) đi qua M và vuông góc với AB tức V 9 là nhận AB = ( 3 − ; 1
− ;0) là vectơ pháp tuyến. Dó 1 2 1 1 Dấu " = " xảy ra khi: = = = đó: a b c 3 ( Q) 3 5 : 3 − x − −1 y − + 0 (z − ) =
Vậy đáp án đúng là C. 1 0 2 2 Câu 7: Đáp án B
(Q):3x + y − 7 = 0
Mặt cầu ( S ) có tâm là I (1; 2; ) 1 và bán kính
Do đó, (d ) là giao tuyến của (P) và (Q) nên là R = 2 nghiệm của hệ:
Gọi H ( x ; y ; z
là hình chiếu của I lên (d ) . H H H ) x = t + + − = Khi đó, ta có: x y z 7 0
y = 7 −3t (t ). 3
x + y − 7 = 0 − = z 2t H (d) x 2 y z H H H = = = k − IH ⊥ (d) 2 1 4
Vậy đáp án đúng là A. IH.u = 0 d Câu 9: Đáp án C
H (2k + 2;−k;4k ) IH = (2k +1;−k − 2;4k − ) 1
BA = (a + 3;0;10) u = − d (2; 1;4)
BC = (8;0; 4); BD = (4;3;5) IH.u k + + −k − − + k − = d (2 ) 1 .2 ( 2).( ) 1 (4 ) 1 .4 0 1 = V BA BC; BD
k = 0 H (2;0;0) 6 IH = (2 − )2 1 + (0 − 2)2 + (0 − )2 1 = 6 1 = . (a + 3;0;10).( 12 − ; 24 − ;24) 6
Gọi K là giao điểm của IH và MN. Áp dụng hệ thức 1
lượng trong tam giác vuông MIH có: = 12 − (a + 3) +10.24 = 2 − a + 34 6 2 2
MK.IH = MI.MH = MI. IH − IM
V = 30 a = 2; a = 32 2 2
IM . IH − IM
Vậy đáp án đúng là C. MN = 2.MK = 2. IH Câu 10: Đáp án D 2. 6 − 2 4 MN = 2. = Đặt f ( ;
x y; z ) = x − 2 y + z − 5 . 6 3
Với phương án A: Ta có
Vậy đáp án đúng là B. f (2; 1
− ;5) = 2 − 2(− ) + − = Câu 8: Đáp án 1 5 5 4 0 nên điểm A Q (2; 1
− ;5) không thuộc mặt phẳng (P) . LOVEBOOK.VN|34
Chủ đề 7: Phương pháp tọa độ trong không gian The best or nothing Với phương án B: Câu 12: Đáp án B f (0;0; 5 − ) = 0.− 2.0 + ( 5 − ) − 5 = 10 − 0 nên điểm
Giao điểm A( x ; y ; z của (d ) với mặt phẳng A A A ) P (0;0; 5
− ) không thuộc mặt phẳng (P) . (Oxy) là: Với phương án C:
x −1 y +1 z − 2 A A A = = 2 1 1 A( 3 − ; 3 − ;0) f ( 5 − ;0;0) = 5 − − 2.0 + 0 − 5 = 10 − 0 nên điểm z = 0 N ( 5 − ;0;0) A
không thuộc mặt phẳng ( P) .
Dễ thấy điểm M (1; 1
− ;2)(d ) . Hình chiếu B của
Với phương án D: f (1;1;6) = 1− 2.1+ 6 − 5 = 0 nên
M lên mặt phẳng (Oxy) là: B (1; 1 − ;0) . Phương
điểm M (1;1;6) nằm trên mặt phẳng (P) .
trình đường thẳng cần tìm chính là phương trình Câu 11: Đáp án D x =1+ 2t
Dễ dang nhận thấy hai đường thẳng (d ; d chéo
đường thẳng AB và là: y = 1 − + t . 1 ) ( 2 ) nhau. Ý tưở =
ng ở đây là tìm hai điểm H d ; z 0 1 ( 1) H d
sao cho H H là đường vuông góc
Vậy đáp án đúng là B. 2 ( 2) 1 2 Câu 13: Đáp án
chung của (d ; d . B 1 ) ( 2 )
D Oy D (0; y;0)
H 2 + a;1− ; a 2a 1 ( )
H d ; H d A(2;1; − ) 1 , B (3;0 ) ;1 , C (2; 1 − ;3) 1
( 1) 2 ( 2 ) H 2−2 ;b3;b 2 ( ) AB = (1; 1 − ;2); AC = (0; 2 − ;4) H H = 2
− b − a;a + 2;b − 2a 1 2 ( ) AD = ( 2 − ; y −1 ) ;1 u = − u = − d (1; 1;2); d ( 2;0; )1 1 2 1 V = A .
D AB; AC H H ⊥ d H H .u = 0 1 2 6 1 2 1 d1 H H ⊥ d = 1 1 2 2 H H .u 0 = ( 2 − ; y −1 ) ;1 .(0; 4 − ; 2 − ) 1 2 d2 ( 6 2 − b − a
)−(a + 2)+ 2(b − 2a) = 0 1
= − ( y − ) + (− ) 1 4 1 1 2 = 2 y −1 2. − ( 2
− b − a) + 0(a + 2) + (b − 2a) = 0 6 3 = = − = 1 − V 5 y 7; y 8 6 − a − = = 2 0 a 3
Vậy đáp án đúng là B. 5 b = 0 b = 0 Câu 14: Đáp án C 5 4 2 − H ; ; ; H 2;3; 0
Mặt phẳng ( BCD) : ax + by + cz + d = 0 nên có: 1 2 ( ) 3 3 3 a ( 5 − ) + .1 b + . c (− ) 1 + d = 0
Mặt phẳng cần tìm ( P) đi qua trung điểm M của .1 a + . b ( 3 − ) + .0 c + d = 0
H H và vuông góc với H H nên: 1 2 1 2 .3 a + . b ( 6 − ) + .2 c + d = 0 11 13 1 − M ; ; (P) d 6 6 3 a = 5 1 5 2 2d ( n = H H = P) ; ; 1 2 b = (BCD) + + + = 3 3 3 : x 2 y 2z 5 0 5
(P) : x + 5y + 2z −12 = 0 2d c = 5
Vậy đáp án đúng là D. LOVEBOOK.VN|35
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB
Gọi H ( x ; y ; z
là hình chiếu của A lên ( BCD)
Phương trình mặt phẳng trung trực AB nhận H H H ) AB = (2; 2;3) , ta có:
là vecto pháp tuyến và đi qua điểm M nên nó có dạng: H (P)
x + 2y + 2z + 5 = 0 H H H AH ⊥ (P) AH = k.n = k.
2 ( x − 3) + 2( y + 2) 1 + − = P (1;2;2) ( ) 3 z 0 2
x + 2y + 2z + 5 = 0 H H H + + − =
4x 4y 6z 7 0 x − 5 y −1 z − 3 H H H = = = k 1 2 2
Vậy đáp án đúng là A.
x = k + 5; y = 2k +1; z = 2k + 3 H H H
Cách 2: n = (2; 2;3) loại C; D.
(k + 5) + 2(2k + ) 1 + 2 (2k + 3) + 5 = 0
Thay tọa độ điểm I vào đáp án (I là trung điểm của
9k +18 = 0 k = 2 − AB) ta chọn A. H (3; 3 − ;− ) 1 Câu 18: Đáp án C
Khi đó, A' đối xứng với A qua ( BCD) khi và chỉ
()//( ) n = k.n − =
(3; 1;m) k.(2; ;n2) ( ) ( )
khi H là trung điểm AA' . Do đó ta có: 3 1 − m 2 = =
m = 3;n = − A'(2.3 − 5;2.( 3 − ) −1;2.(− ) 1 − 3) 2 n 2 3 A'(1; 7 − ; 5 − )
Vậy đáp án đúng là C. Câu 19: Đáp án A
Vậy đáp án đúng là C. Câu 15: Đáp án Ta có: u =
. Mặt phẳng ( P) đi qua M và d (1;2 ) ;1 C
Khẳng định A, B, C hiển nhiên đúng. Khẳng định C
vuông góc với (d ) hay nhận u là vecto pháp d
sai vì mặt phẳng ( R) : z + 3 = 0 giao với Oz tại điểm tuyến là C (0;0; 3
− ) . Vậy đáp án đúng là C. 1.( x − )
1 + 2.( y − 0) +1.( z − 0) = 0 + + − = Câu 16: Đáp án x 2 y z 1 0 B Giao điể
Cách 1: (d ) vuông góc với (Q) nên:
m H ( x ; y ; z
của (d ) và ( P) chính là H H H )
hình chiếu vuông góc của M lên (d ) , ta có: u = n = (4;3; 7 − d Q ) ( ) − − ( x 1 y 1 z H H H
d ) đi qua điểm M (1; 2;3) nên: = = 2 1 1 − 1 2 1 H ; ; 3 3 3 + + − = x = 1+ 4t x 2 y z 1 0 H H H (
d ) : y = 2 + 3t (t )
M ' đối xứng với M qua (d ) khi và chỉ khi H là z = 3−7t
trung điểm MM ' . Do đó, ta có:
Vậy đáp án đúng là B. 2 1 a = 2. −1 a =
Cách 2: Từ u = (4;3; 7 − suy ra B đúng. 3 3 d ) 1 2 Câu 17: Đáp án A b = 2. − 0 b = 3 3
Cách 1: Trung điểm AB là: 1 2 c = 2. − − 0 c = − 2 + 4 3 − −1 1 − + 2 1 3 3 M ; ; M 3; 2 − ; 2 2 2 2
a − b + c = 1 −
Vậy đáp án đúng là A. LOVEBOOK.VN|36
Chủ đề 7: Phương pháp tọa độ trong không gian The best or nothing Câu 20: Đáp án D ( ) x y z ABC : + + =1 Góc giữa (P) và (Q) là: a b c
Vậy đáp án đúng là C. n = − n = P (2; 1 ) ;1 ; Q (1;1;2) Câu 24: Đáp án A ( + − + ) n .n P Q 2.1 ( ) 1 .1 1.2 1 cos = = =
Cách 1: Gọi H ( x ; y ; z
là hình chiếu của A lên H H H ) n n P Q + (− )2 2 2 2 2 2 2 2 1 +1 . 1 +1 + 2
(Q): x + 2y −5z −3 = 0 . Khi đó ta có: = 60
Vậy đáp án đúng là D. AH ⊥
(Q) AH = k.n = k − Q (1;2; 5) ( ) Câu 21: Đáp án D H (Q)
x + 2y − 5z − 3 = 0 H H H
Theo giả thiết ta có: A( 3 − ;0;0) ; B(0;2;0) ;
AH = ( x − 2; y − H H ) 1 C (0;0; 4) x − 2 y −1 z −1 H H H = = = k 1 2 5 −
Phương trình mặt phẳng ( ABC ) là:
x + 2y −5z −3 = 0 H H H x y z + + =
x = k + 2; y = 2k +1; z = −5k +1
1 4x − 6 y − 3z +12 = 0 H H H 3 − 2 4
(k + 2) + 2(2k + ) 1 − 5( 5 − k + ) 1 − 3 = 0
Do đó, mặt phẳng song song với ( ABC ) có dạng: 2 23 19 1 k = H ; ; 15 15 15 3
4x − 6 y − 3z + m = 0;(m 12)
Mặt phẳng ( P) là mặt phẳng ( ABH ) có dạng:
Vậy đáp án đúng là D. + + + = Câu 22: Đáp án ax by cz d 0 . Từ đó suy ra: D
Gọi B ( x ; y ; z
là giao điểm của (d ) với () . B B B ) a = −d Khi đó, ta + + + = có: 2a b c d 0 6d 3
a + 2b + 2c + d = 0 b = x + 3 y −1 z +1 B B B = = = k 7 13a 19b 1 2 1 − 4 + + c + 7 = 0 d = c
B (2k − 3; −k +1; 4k − ) 1 15 15 3 7
AB = (2k +1;−k + 3: 4k − 5);u = − (P) − − − = d (2; 1;4) : 7x 6 y z 7 0
AB ⊥ (d ) A . B u = 0 d
Vậy đáp án đúng là A. 2(2k + )
1 − (−k + 3) + 4.(4k − 5) = 0
Cách 2: Ta có n
= AB, n = − P ( 7;6 ) ( ) ;1 Q . Nên ta 21 k = = 1 B( 1 − ;0;3);(3;2;− ) 1 loại C; D. 21
Thay tọa độ điểm A của đề bài vào hai đáp án còn
Phương trình () chính là phương trình AB và là: lại. x + 4 y + 2 z − 4 Khi đó, đáp án A thỏ : = + a mãn. 3 2 1 − Câu 25: Đáp án A
Vậy đáp án đúng là D.
Phương trình mặt phẳng ( ABC ) là: Câu 23: Đáp án C
Thực chất bài toán chỉ là kiểm tra kiến thức phương
trình mặt phẳng dạng chắn: A( ; a 0; 0); B (0; ;
b 0);C (0;0; c) LOVEBOOK.VN|37
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB 0 0 0 + + − H ( ) 1
( ) :3(x − 3) − 4( y + 4) + (z − ) = x y z a b c 1 0 + + =1 d = d( = O H = n O,( P)) a b c 1 1 1 + + ( ) − + − = 2 2 2 : 3x 4 y z 26 0 a b c 1 1 1 1 = + +
Vậy đáp án đúng là A. 2 2 2 2 d a b c Câu 28: Đáp án B 2 7 (
= a + b + c ) 1 1 1 4 16 + + (1+ 2 + 4)2 2 2 2
m = 3a − 2b + c = 3(5;7; 2) − 2(3;0; 4) + 6( 6 − ;1;− ) 1 2 2 2 d a b c m = (3;22; 3 − ) 7 7 d 1 d
Vậy đáp án đúng là B. Dấu " = " xảy ra khi: Câu 29: Đáp án C ( 1 1 1 2 2 2
a + 4b +16c ) + + Ta có: 2 2 2 a b c M ( ABC) 2 2 2 a 4b 16c 2 2 2 = =
a = 2b = 4c 1 1 1 OM = ( n ABC) 2 2 2 a b c
( ABC) :3(x −3) + 2( y − 2) +1(z − ) 1 = 0 2 2 2 2 2 2
a + 4b +16c = 49 4c + 8c +16c = 49
( ) :3x + 2y + z −14 = 0 49 7 49 2 2 2 2 2 c =
= a + b + c = 7c = 28 4 4
Vậy đáp án đúng là C.
Vậy đáp án đúng là A. Câu 30: Đáp án D Câu 26: Đáp án C Gọi I ( ;
x y; z ) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
Gọi M ( x ; y ; z P thì ta có: OABC 0 0 0 ) ( )
Khi đó ta có: IO = IA = IB = IC
x + y + z = 0 z = x − y 0 0 0 0 0 0 a
MA + MB = ( x + 3)2 + ( y − 5)2 + ( z + 5)2 2 2 + x = 0 0 0
x + y + z = ( x − a)2 2 2 2 2 2 + y + z 2 (
x − 5)2 + ( y + 3)2 + ( z − 7)2 0 0 0
x + y + z = x + ( y −b)2 b 2 2 2 2 2 + z y = = 2 ( x − )2 1 + ( y − )2 1 + 2 ( z − )2 1 +136 2 0 0 0
x + y + z = x + y + ( z − c)2 2 2 2 2 2 c = ( z x −1+ y − )2 1 + 2 ( z − )2 1 +136 2 0 0 0
= (2 + z )2 + 2(z − )2 2
1 +136 = 3z +142 142 a b c 0 0 0 I ; ; 2 2 2 Dấu " = " xảy ra khi:
Do a + b + c = 2 nên I thay đổi trên mặt phẳng
x = y ; z = 0 x = y = z = 0 0 0 0 0 0 0
(P): x + y + z −1= 0
Do đó, M O . Vậy đáp án đúng là C. 2016 + 0 + 0 −1 Câu 27: Đáp án 2015 A d( = = M ,( P)) 2 2 2 1 +1 +1 3
Bài toán này sử dụng tính chất quen thuộc của tứ
diện vuông: H là trực tâm của tam giác MNP khi và
Vậy đáp án đúng là D.
chỉ khi: OH ⊥ ( MNP) . Ta có: Câu 31: Đáp án A
Vì M (d ) nên: M (1+ 2 ; m ; m 2 − − 3m)
M ( P) nên: 2(1+ 2m) + m + ( 2 − − 3m) − 2 = 0 LOVEBOOK.VN|38
Chủ đề 7: Phương pháp tọa độ trong không gian The best or nothing 2 Câu 35: Đáp án A m = = 1 M (3;1; 5 − ) 2
Cách 1. u = (1; 1 − ;3);u = ( 1 − ;1;3 d d ) 1 2
Vậy đáp án đúng là A.
u = u ;u = − − = − d d d ( 6; 6;0) 6(1;1;0) Câu 32: Đáp án C 1 2 Phương trình mặ = + t phẳng ( ) là: x 1 t (
d ) : y = 2
− + t (t ). ( ) x y z : +
+ =1 3x − 6y + 2z −12 = 0 z = 3 4 2 − 6
Vậy đáp án đúng là A.
Vậy đáp án đúng là C. Câu 33: Đáp án B
Cách 2: Sau khi tìm được u = (−6; −6;0 ta chọn d ) Gọi M (a; ;
b c) . Vì M ( P) nên: a − b + c + 3 = 0 luôn A. Câu 36: Đáp án B Ta có:
Mặt phẳng vuông góc với Oyz có dạng: AM = ( ;
a b −1; c − 2); BM = (a −1;b −1;c − ) 1 ;
ay + bz + c = 0
CM = (a − 2;b + 2;c − 3) Dễ thấy A(2; 3
− ;4), B(4;0;5)(d ) nên ta có:
MA + MB + MC = (3a −3)2 + (3b)2 + (3c − 6)2 c a = − + + =
MA + MB + MC = 3. 3 (a − )2 1 + ( b − )2 + (c − 2)2 3a 4b c 0 15
(d ) : y − 3z +15 = 0
0a + 5b + c = 0 −c = b
3. (a −1− b + c − 2)2 = 3. (a − b + c − 3)2 = 6 3 5 Dấu " = " xảy ra khi:
Vậy đáp án đúng là B. a −1 = b
− = c − 2;a − b + c + 3 = 0 Câu 37: Đáp án B a = 1
− ;b = 2;c = 0 M ( 1 − ; 2; 0)
Gọi M là giao điểm của và d. Khi đó
Vậy đáp án đúng là B.
M (3m +1; −m −1; −m). Do ( P) nên M ( P) Câu 34: Đáp án A
M (3m +1;−m −1;−m);(P) : x + y + z + 3 = 0 (S) 2 2 2
: x + y + z − 2x + 6 y − 4z +13 = 0 (3m + ) 1 + (−m − )
1 − m + 3 = 0 m = −3
(S ) :(x − )2
1 + ( y + 3)2 + ( z − 2)2 = 1 M ( 8 − ;2;3)
d cắt ( S ) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi
Giả sử đi qua N (a; ;
b c) khác M. Ta có:
phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: N (P)
a + b + c + 3 = 0 (( 2 + t ) − )2
1 + ((1+ mt ) + 3)2 + ( 2 − t − 2)2 =1 MN u = ( a + 8
)+ 2(b − 2)+3(c −3) = 0 . 0 (t + )2
1 + (mt + 4)2 + (2t + 2)2 = 1 a = 10 − c = 1 N ( 10 − ;6 ) ;1 ( 2 m + 5) 2
t + 2 (4m + 5)t + 20 = 0 b = 6 MN = ( 2 − ;4; 2 − ) ' = (4m + 5)2 − 20( 2 m + 5) 2 = 4
− m + 40m − 75 x + 8 y − 2 z − 3 5 15 () = = 2 :
' 0 4m − 40m + 75 0 m 2 − 4 2 − 2 2 x + 8 y − 2 z − 3 m m3;4;5;6; 7 () : = = 1 2 − 1
Vậy đáp án đúng là A.
Vậy đáp án đúng là B. LOVEBOOK.VN|39
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Câu 38: Đáp án B ; a b .c = 0 x y z 1 1 1 Ta có: ( P) : + + =1 ( 2
m − 4; 2 m+1; − m − m + 2).(0; m − 2;2) = ( n = − 0 P) ; ; 2 − 3 3 − 2 − 3 3 ( 2m + ) 1 (m − 2) + 2( 2
−m − m + 2) = 0 Bằng cách kiểm tra , n (
n ) = 0 thì đáp án đúng là B. P 2 − 4 2 = = Câu 39: Đáp án m D 4 − +1− 2 5
G thuộc Ox khi: G ( g;0;0) . Theo công thức trọng
Vậy đáp án đúng là A. tâm ta suy ra: Câu 43: Đáp án D 2 + 0 + y = Giả sử A( ; a 0; 0); B (0; ;
b 0);C (0;0; c). Ta có: 0 y = 2 3 − 9 1 1 9 9 3 +1+ z z = 4 − = 3 3 + + = 1 3 = 3 0 a b c abc 6V 3 81
Vậy đáp án đúng là D. V 2 Câu 40: Đáp án C
Vậy đáp án đúng là D.
Do ( P) ⊥ d nên mặt phẳng ( P) có vectơ pháp Câu 44: Đáp án C tuyến là n = u = −
Dễ dàng nhìn thấy ngay ra điểu này. P (3; 2 ) ( ) ;1 . d Câu 45: Đáp án A Điể m M (3; 1 − ; )
1 ( P) nên phương trình mặt Ta có: phẳng ( P) là: ( ) x y z P : + + =1
3( x − 3) − 2( y + ) 1 +1( z − ) 1 = 0 8 2 4
3x − 2y + z −12 = 0
x + 4y + 2z −8 = 0 Câu 41: Đáp án C
Vậy đáp án đúng là A Ta có: Câu 46: Đáp án B BA = (m − 2; 1 − ; 2 − ); BC = ( 2 − ;1;− ) 1
Cách 1: ( P) đi qua gốc tọa độ nên: 1 1 S = ; BA BC = m + m −
(P):ax +by +cz = 0 ABC (3; 2; 4) 2 2 ( P ) ⊥ (Q)
2a − b + 3c = 0 35 S = 9 + m + + m − = ABC ( 2)2 ( 4)2 35 ( P ) ⊥ (R) + + = 2 a 2b c 0 2
2m − 4m − 6 = 0 m = 3;m = 1 − 7c a = −
Vậy đáp án đúng là C. 5
(P) : 7x − y −5z = 0 c Câu 42: Đáp án A b = 5 a = (1; ;
m 2);b = (m +1; 2 )
;1 ; c = (0; m − 2; 2) đồng
Vậy đáp án đúng là B. phẳng khi:
Cách 2: Ta có n
= n ;u = ( 7 − ;1;5 P Q R ) ( ) ( ) ( ) Chọn B. Câu 47: Đáp án D LOVEBOOK.VN|40
Chủ đề 7: Phương pháp tọa độ trong không gian The best or nothing
Cách 1: Gọi H (a; ;
b c) là hình chiếu của B lên ( P) 7 − d a = . Khi đó ta có: 55
a + 6b + 2c + d = 0 13 − d − + − = 5
a + b + 3c + d = 0 b = H (P) a 2b c 1 0 110 − + −
4a + 6c + d = 0 BH = k ( − ) a 3 b 1 c 1 1; 2;1 = + 9 − d 1 2 − 1 c = 110 13 a =
( ABC) :14x +13y + 9z −110 = 0 6 2 13 2 1
Vậy đáp án đúng là D. b = H ; ; 3 6 3 6 Cách 2: n
= AB, AC = (14;13;9 ABC ) ( ) suy ra loại 1 c = 6 B; C.
Thay tọa độ điểm A ta tính được hệ số d bởi công
Khi đó, (Q) chính là ( ABH ) : ax + by + cz + d = 0 thức: d
− = Ax + By +Cz d = 110 − chọn D. 0 0 0 4 − d a = Câu 50: Đáp án A 11
a + b + 2c + d = 0 1 3 − d t = 3
a − b + c + d = 0 b = 2 11 1
+ 2t = 7 + 3m 13a 2b c + + + 5 d = 0 2 − d Xét hệ: 2
− − 3t = 2 + 2m m = − 6 3 6 c = 3 11 5 + 4t = 1− 2m + = − ( 4t 2m 4
Q) : 4x + 3y + 2z −11 = 0
Cách 2: AB = (2; 2 − ;− ) 1 ; n = (1; 2 − ) ;1 R
Hệ vô nghiệm nên loại B và D. Dễ thấy chúng
không song song với nhau. Vì thế đáp án đúng là A.
n = AB, n = P R (4;3;2) Câu 51: Đáp án B
(P) : 4x + 3y + 2z −11= 0 A( 2 − ;1;0), B( 3 − ;0;4),C (0;7;3)
Vậy đáp án đúng là D. AB = ( 1 − ; 1
− ;4); BC = (3;7;− ) 1 Câu 48: Đáp án A A . B BC = 1. − 3−1.7 + 4.(− ) 1 = 14 −
Nhận xét: A,B nằm về hai phía so với mặt phẳng ( − Oxy ) A . B BC 14
, gọi B ' là điểm đối xứng của B qua mặt cos( A ; B BC ) = = . AB BC 18. 59 phẳng (Oxy) . − cos( A ; B BC ) 7 118 =
Khi đó B '(0;1;2) và MA − MB = MA − MB ' 177
Vậy đáp án đúng là B.
Gọi I là giao điểm của AB ' với mặt phẳng (Oxy) . Câu 52: Đáp án A
Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác MAB ' ta có
Cách 1: Xác định ( ABC ) : ax + by + cz + d = 0
MA = MB ' AB ' . Dấu bằng xảy ra khi M I .
Khi đó MA − MB = MA − MB ' = AB ' 2 2 2 = (1− 0) + ( 1 − − ) 1 + (1− 2) = 6 Câu 49: Đáp án D
Cách 1: ( ABC ) : ax + by + cz + d = 0 LOVEBOOK.VN|41
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB 3 − d . a (0 − ) 1 + . b (4 − 2) + . c (0 + ) 1 = 0 a = 22
2a + 3b + c + d = 0
−a + 2b + c = 0 a = 2b + c 3 − d
4a + b − 2c + d = 0 b =
(Q) :(2b + c)(x − )
1 + b ( y − 2) + c ( z + ) 1 = 0 11
6a + 3b + 7c + d = 0
n = b + c b Q (2 ; ; c) d ( ) c = 11
(P):2x − y − 2z + 2015 = 0 n = − − P (2; 1; 2) ( )
( ABC) :3x + 6y − 2z − 22 = 0
cos ((P);(Q)) = cos(n ;n P Q ) ( ) ( ) 3.( 5 − ) + 6.( 4 − ) − 2.8 − 22 h = d( = D,( ABC ))
2 2b + c − b − 2c 3 + 6 + ( 2 − )2 2 2
cos ((P);(Q)) ( )
= (2b+c)2 +b +c . 2 +(− )2 2 2 2 2 1 + 2 77 = =11 7 ( ) 3b cos =
Vậy đáp án đúng là A. 2 2
3. 5b + 4bc + 2c
Cách 2: Sử dụng công thức tích có hướng để tính Ta cần tìm cos min ( )max V S và V d D ABC = đáp án A. 3b b 1 ABCD ( ( )) 3 ; ABC S cos = = 2 2
3. 5b + 4bc + 2c
3b + 2(b + c)2 2 3 Câu 53: Đáp án A
Do ( ) đi qua gốc tọa độ nên ( ) : ax + by + cz = 0
Dấu " = " xảy ra khi: b = c −
a + 2b − c Đáp án đúng là d D. ( = M ( ; )) 2 2 2 a + b + c Câu 56: Đáp án C (1 +2 +(− )2 2 2 1 )( 2 2 2
a + b + c )
(P) ⊥ (d) n = u = − P d (2;1; ) 1 ( ) 2 2 2 a + b + c
(P) : 2(x − 2) + ( y − 0) − (z + ) 1 = 0 d(
(P) : 2x + y − z − 5 = 0 M ( 6 ; )) Dấu " = " xảy ra khi:
Vậy đáp án đúng là C. a b c Câu 57: Đáp án D = =
(Q) : x + 2y − z = 0 1 2 1 −
Giao điểm A của và (P) là nghiệm của hệ:
Đáp án đúng là A. x + 2 y − 2 z Câu 54: Đáp án = = B 1 1 1 − A( 3 − ;1 ) ;1
M thuộc d nên: M (1+ ; m 1− ; m 2m)
x + 2y −3z + 4 = 0
Vậy đáp án đúng là B.
Giả sử d đi qua B ( ;
x y; 0) . Khi đó, ta có: Câu 55: Đáp án D B (P)
x + 2y + 44 = 0 (
Q) đi qua A nên: = ( x + 3 ).1+( y AB u − ) 1 .1+ (− ) 1 .(− ) 1 = 0 . 0
(Q):a(x − )1+b( y − 2)+ c(z + )1 = 0 x = 2 − B( 2 − ; 1 − ;0) AB = (1; 2 − ;− ) ( 1
Q) đi qua B nên: y = 1 − ( + − −
d ) x 3 y 1 z 1 : = = 1 2 − 1 −
Vậy đáp án đúng là D. LOVEBOOK.VN|42
Chủ đề 7: Phương pháp tọa độ trong không gian The best or nothing Câu 58: Đáp án C
Vậy đáp án đúng là B.
Dễ thấy A(1;0; − ) 1 ; B (3;1; 2 − )() Cách 2: n
= n ,u = − P Q ( 4;8;0 d ) ( ) ( ) từ đây ta chọn
Giả sử: (Q) : a ( x − )
1 + by + c ( z + ) 1 = 0 B. Câu 61: Đáp án C a (3 − ) 1 + .1 b + c ( 2 − + ) 1 = 0
Kiểm tra ta thấy đáp án đúng là C.
b = c − 2a ( Câu 62: Đáp án D
Q) : a ( x − )
1 + (c − 2a) y + c ( z + ) 1 = 0 (
(P) vuông góc với d nên:
P) : 2x + y + 2z −1 = 0 (( ) ( + − + n = u = − P d (2;1; ) 1 ( ) Q))
2a (c 2a) 2c cos P ; =
a + (2a − c)2 2 2 + c 9
( P) : 2( x − )
1 +1( y − 2) − ( z) = 0
(P) : 2x + y − z − 4 = 0 (( ) (Q)) 4c cos P ; = 2 2
3 5a − 4ac + 2c
Vậy đáp án đúng là D. Câu 63: Đáp án
cos ((P) (Q)) c 1 ; = C. 2 6 2 6 2 5 a − c + c
Cách 1: Mặt phẳng ( P) song song với Ox nên: 5 5 5
(P):ay +bz + c = 0 Dấu " = " xảy ra khi: b = −c + + = 2 .0 a , b 1 c 0 c ( P) a =
c (Q) 2 ( x − ) 4 : 1 1− y + (z + ) 1 = 0
: y − 2z + 2 = 0 + + = 5 5 5 = .2 a .2 b c 0 a 2
(Q) : 2x + y + 5z + 3 = 0
Đáp án đúng là C.
Đáp án đúng là C.
Cách 2: Mặt phẳng song song với Ox loại A; D. Câu 59: Đáp án D
Thay tọa độ điểm A vào đáp án đáp án B đúng. Câu 64: Đáp án
cos (d ;d = cos n ;n D 1 2 ) ( 1d d2 )
Giao điểm I là nghiệm của hệ: 1.(− ) 1 + (− ) 1 .1+ 2.1 = = 0 y − 2 z − 4 − = = 1 + (− )2 1 + 2 (− )2 2 2 2 2 1 +1 +1 x 1 2 3 I (0;0 ) ;1 ( d ; d = 90
x + 4y + 9z − 9 = 0 1 2 )
Đáp án đúng là D.
Vậy đáp án đúng là D. Câu 65: Đáp án Câu 60: Đáp án B A Q P x − y z +
Mặt phẳn ( ) song song với ( ) nên: Cách 1: A( − ) B( ) 1 1 1; 0; 1 ; 3;1; 2 d : = = 2 1 3
(Q):2x − y +3z + m = 0
(P) : a(x − )
1 + b ( y − 0) + c ( z + ) 1 = 0
A thuộc (Q) nên: 2.1− 3 + 3.( 2
− ) + m = 0 m − 7 a(3− )
1 + b (1− 0) + c (2 + ) 1 = 0 b = 2 − a − 3c (
Vậy đáp án đúng là A.
P) : a ( x − )
1 − (2a + 3c) y + c ( x + ) 1 = 0 ( Câu 66: Đáp án B
Q) : 2x + y − z = 0 (
M ( x ; y ; z là điểm nằm trên đoạn BC sao cho 0 0 0 )
P) ⊥ (Q) 2a − (2a + 3c) − c = 0 c = 0 ( MC = 2MB thì:
P) : x −1− 2 y = 0 LOVEBOOK.VN|43
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB x + 3 = 2 − x − 0
Cách 2: Ta có n = u ,u = − P d d (0;1; ) 1 0 ( 0 ) ( ) loại A; 1 2 MC = 2
− MB y − 6 = 2 − y − 3 0 ( 0 ) C. z −4 = 2 − z −1 0 ( 0 )
Lấy một điểm trên d ; d rồi tính khoảng cách từ 1 2 hai điểm đó đế x = 1 −
n các mặt phẳng đáp án, nếu bằng thì 0 chọn. y = 4 M 1 − ;4;2 0 ( )
Đáp án đúng là B. z = 2 0 Câu 69: Đáp án B AM = ( 1
− − 2)2 + (4 − 0)2 + (2 − 0)2 = 29
Gọi M;N là trung điểm A ; C B ' D ' thì:
Vậy đáp án đúng là B.
O là trung điểm MN sẽ đồng thời là trung điểm Câu 67: Đáp án D B ' D . Ta có: AB = (1; 2 − ; 3 − ); AC = (2; 2 − ;0) 1+ 3 2 − 4 1 − +1 M ; ; M (2; 1 − ;0) AD = (3; 1 − ; 2 − ) 2 2 2 2 + 0 1 − + 3 3 + 5 1 N ; ; N (1;1;4) V = ; AB AC .AD ABCD 6 2 2 2 1 2 +1 1 − +1 3 + 5 3 V = − − − − = O ; ; O ; 0; 2 ABCD ( ) ( ) 8 6; 6; 2 . 3; 1; 2 6 3 2 2 2 2
Vậy đáp án đúng là D. 3 D 2. − 2;2.0 − (− ) 1 ; 2.2 − 3 D (1;1 ) ;1 Câu 68: Đáp án 2 B
x + 2y − 3z = 0
Cách 1: Gọi A d ; B d sao cho AB là đường 1 2
Vậy đáp án đúng là B.
vuông góc chung của d ; d . Khi đó ta có: 1 2 Câu 70: Đáp án C
A d ; B d A −a + 2; a; a ; B 2 ; b b − +1; b − + 2 1 2 ( ) ( )
Giả sử là góc giữa d và ( P) . Ta có:
AB = (2b + a − 2; b − +1− a; b − + 2 − a) 1.2 + 2.2 + 2.(− ) 1 AB ⊥ d = 1 sin 2 2 2 2 2 2 AB ⊥ d 1 + 2 + 2 . 2 + 2 + (− ) 1 2 −
(2b + a − 2) + ( b
− +1− a) + (−b + 2 − a) = 0 4 8 = = = sin d( M . A sin M ,( P)) 9 9 2
(2b + a − 2) − ( b
− +1− a) − (−b + 2 − a) = 0
Vậy đáp án đúng là C. a = 1 Câu 71: Đáp án A 1 A( ) 1 1 1 1 1;1;1 ; B 1; ; AB = 0;− ; b = 2 3 2 2 2 Ta có u = ( 3 − ;1; 2 − );u = 6; 2 − ;4 = 2 − u . d d ' ( ) d
Mặt phẳng ( P) đi qua trung điểm M của AB và Lấy A(2; 2 − ;− )
1 d , nhận thấy A d ' . Do vậy
vuông góc với AB nên: d //d '. 1 3 1+ 1+ Câu 72: Đáp án A ( P) 1 1 2 2 : 0x − y − + x − = 0 2 2 2 2 (P) 1 : − y + z − = 0 2
Vậy đáp án đúng là B. LOVEBOOK.VN|44
Chủ đề 7: Phương pháp tọa độ trong không gian The best or nothing A( 1 − ;2;4), B( 1 − ;1;4),C (0;0;4) ( 2
− b − 2c)(1− )
1 + b (2 + 3) + c ( 2 − ) d = R = 5 I /( P) AB = (0; 1 − ;0); BC = (1; 1 − ;0) (2b − 2c)2 2 2 + b + c 5b − 2c cos ( AB BC) A . B BC 1 , = = = 5 AB . BC 2 2 2
5b + 8bc + 5c
180 − ABC = 45 ABC = 135 2 2
25b − 20bc + 4c = 25( 2 2
5b + 8bc + 5c )
Vậy đáp án đúng là A. 2 2
100b + 220bc +121c = 0 Câu 73: Đáp án C ( − b + c)2 11 10 11 = 0 b = c x = 1 − + 2t 10 Đườ −
ng thẳng : y = 2
− − t (t ) . (P) 11 − − ( x − ) 11 : 2. 2 1 − ( y +3)+ z = 0 10 10 z = 2t
(P) : 2x −11y +10z −35 = 0
Gọi d là đường thẳng đi qua M và vuông góc với
Vậy đáp án đúng là C.
, d = N , suy ra N là trung điểm của MM ' . Câu 75: Đáp án B Khi đó N = ( 1 − + 2t; 2 − − t;2t )
Giả sử đường thẳng cần tìm là d ' đi qua M: + + − MN = ( 3
− + 2t;1− t;2t − ) 1 . x 2 y 2 z 1 d ' : = = a b c
Do d vuông góc với nên
d ⊥ d ' 2a + 2b − c = 0 c = 2a + 2b ( 3
− + 2t).2 −1.(1− t) + 2(2t − ) 1 = 0 t = 1.
Gọi H là hình chiếu của A lên d ' . Khi đó M '(0; 3 − ;3)
H d ' H (ah − 2;bh − 2;ch + ) 1 Câu 74: Đáp án
AH = (ah −3;bh − 4;ch + 4) C (
AH ⊥ d ' (ah − 3).a+ (bh − 4).b + (ch + 4).c = 0
S ) ( x − )2 + ( y − )2 + ( z + )2 : 1 2 2 = 25
3a + 4b − 4c I (1; 2; 2 − ); R = 5 h = 2 2 2 a + b + c Dễ thấy A(1; 3
− ;0); B(3;1;4)d nên: AH =
− h( a + b − c) 2 + h ( 2 2 2 41 2. 3 4 4
a + b + c )
(P):a(x − )
1 + b ( y + 3) + cz = 0
(3a + 4b − 4c)2 . a (3 − ) 1 + b (1+ 3) + .4 c = 0 AH = 41− 2 2 2 a + b + c a = 2 − b − 2c 2 (
(3a + 4b−4 2a + 2b ) P) : ( 2
− b − 2c)(x − )
1 + b ( y + 3) + cz = 0 ( ) AH = 41− 2 ( 2 2
a + b + (2a + 2b)
P) tiếp xúc với (S ) khi: 2 2
25a + 40ab +16b AH = 41− 2 2
5a + 5b + 8ab 5( 2 2
5a + 5b + 8ab) AH 41− 2 2
5a + 5b + 8ab AH 6
Dấu " = " xảy ra khi b = 0 . Do đó, ta có: x + 2 z −1 d ' : = u = (1;0;2) 1 2 LOVEBOOK.VN|45
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB
Vậy đáp án đúng là B.
a + 4b − 2c + 9 = 0 Câu 76: Đáp án B
a − 2 b +1 c −1 B(3; 2 − ;2) AB(2; 1 − ;− ) 1 = = −
Chọn B (3; −1; − )
1 , C (1;0;0) là hai điểm nằm trên 1 1 1 x −1 y +1 z − 3
đường thẳng d, suy ra hai điểm A, B cũng nằm
( AB) (d ) : = = 2 1 − 1 −
trong mặt phẳng ( P) cần tìm.
Vậy đáp án đúng là C.
Bài toán trở thành viết phương trình mặt phẳng ( P) Câu 81: Đáp án A
đi qua ba điểm A(3;1;0), B (3; 1 − ;− ) 1 , C (1;0;0) . AB = ( 1 − ;1;0)
A(2; 2;3), B (1;3;3),C (1; 2; 4) AC = ( 1 − ;0 )
Mặt phẳng ( P) có vtpt ;1 BC = (0; 1 − ) ;1
n = AB, BC = ( 1 − ;2; 4 − ) = 1 − (1; 2 − ;4)
AB = BC = AC nên ABC đều
Mà mặt phẳng ( P) chứa điểm C (1;0;0) nên Câu 82: Đáp án B
(P): x − 2y + 4z −1= 0
M d M ( ;
m 2m −1;3m − 2) với m 0 Câu 77: Đáp án A + − − − +
d (M ( P)) m 2 (2m ) 1 2 (3m 2) 3 , = = 2
D song song với mặt phẳng ( P) khi: 2 2 2 1 + 2 + 2
5 − m = 6 m = 1 − M ( 1 − ;−3;−5) u .n = 0 − m = d P (2;1 ) ;1 .(1; 3; 2 ) ( ) 0 Câu 83: Đáp án D + (− ) 1 2.1 1.
3 +1.2m = 0 m = 2
Theo công thức tọa độ trọng tâm ta có
Vậy đáp án đúng là A. x + x + x 1+ 2 + 0 A B C x = = = 1 Câu 78: Đáp án D C 3 3 + + + + 1 − + 3 1+1 0 − 2 y y y 3 0 9 A B C = = = Cách 1: I ; ; I (1;1;− ) 1 y 4 C 2 2 2 3 3 z + z + z 5 +1+ 0 A B C z = = = 2 AB = (4;0; 2 − ) C 3 3
(P) : 4(x − ) 1 + 0 ( y − ) 1 − 2 ( z + ) 1 = 0 G (1;4;2)
(P) : 4x − 2z − 6 = 0 Câu 84: Đáp án A
Vậy đáp án đúng là D. Gọi A(0;0; ) 1 ()
Cách 2: Ta có n = AB = (4;0; 2 − chọn D (do P ) ( )
Ta có: MA = (0; −3;3)
cùng phương với (2;0;− ) 1 .
Từ đó: n = M ; A u = − ( 15;3;3 P ) Câu 79: Đáp án C (P) : 1
− 5x + 3( y −3) + 3(z + 2) =
Gọi ( P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với 0 (
(P) :5x − y − z +1= 0 d . Khi đó, có: 1 ) (
Vậy đáp án đúng là A. P) :1( x − ) 1 + 4( y + ) 1 − 2 ( z − 3) = 0 Câu 85: Đáp án A
x + 4 y − 2z + 9 = 0 Gọi A(0;0; )
1 ; B (1;1;5) . Khi đó, ta có:
Gọi giao điểm (d và ( P) là B ( ; a ; b c) . 2 ) LOVEBOOK.VN|46
Chủ đề 7: Phương pháp tọa độ trong không gian The best or nothing
M (Q) (Q) : a ( x − 0) + b ( y − 3) + c ( z + 2) = 0
(MNP) ax +by + cy + d = ( 2 2 2 :
0 a + b + c 0). d( = d = 3 A,(Q)) (B,(Q)) d a =
a (0 − 0) + b (0 − 3) + c (1+ 2) 31
a + 2c = d = 0 3d 2 2 2 a + b + c 3
− a − 4b + c + d = 0 b = 31
a (1− 0) + b (1− 3) + c (5 + 2)
2a + 5b + 3c + d = 0 = = − 3 16d c = 2 2 2 a + b + c 31 3b − 3c
a − 2b + 7c (MNP) = =
: x + 3y −16z + 31 = 0 3 2 2 2 2 2 2 a + b + c a + b + c
Vậy đáp án đúng là B. Nếu c = 0 thì Câu 89: Đáp án A b =1;a = 1 −
(P) ⊥ n = u = − P d (2; 2 ) ;1 b = 1; a = 5
3b = a − 2b = 3
(P) : 2(x − x − 2 y − y + z − z = 0 0 ) ( 0 ) ( 0 ) b = 1 − ;a =1 2 2 2 b = 1 − ;a = 5 − (S):(x − )
1 + ( y + 2) + ( z − ) 1 = 9 I (1; 2 − ) =
Nếu c 0 thì chọn c = 1. Giải hệ hai ẩn trên được: ;1 ; R 3 a = 4;b = 8 −
(P) tiếp xúc (S) khi: d( = 3 I ,( P))
Do đó, đáp án đúng là A. 2 (1− x − 2 2
− − y + 1− z 0 ) ( 0 ) ( 0 ) Câu 86: Đáp án D = 3 2 2 2 2 + 2 +1
N d N (2a +1; −a − 2; 2a + 3)
2x − 2y + z − 7 = 9 0 0 0
AN = (2a +1; −a − 3; 2a + 3);
Do đó, đáp án đúng là A.
BN = (2a −1; −a − 4; 2a + ) 1 Câu 90: Đáp án C 1 1 S = ; NA NB = (4a +9; 4 − ; 4 − a − 7) 2 2
Mặt phẳng ( P) đi qua A và vuông góc với ( ) : 1 = . (4a + 9)2 + ( 4 − )2 + ( 4 − a − 7)2
(P):3(x − 4)+ 0( y + 2)−1(z −3) = 0 2
3x − z − 9 = 0 1 1 = 32a +128a +146 = 2 (4a + 8)2 1 2 +18 18 2 2 2
Giao điểm B của và (P) là:
Dấu " = " xảy ra khi: a = 2 − N ( 3 − ;0;− ) 1 16 x = 2 + 3t x =
Vậy đáp án đúng là D. 5 y = 4 16 3 Câu 87: Đáp án = B y 4 B ; 4; z = 1− t 6 5 3 B ( 1 − ;0;3),C (2; 2 − ;0), D( 3 − ;2 ) ;1 3
x − z −9 = 0 z = 5 BC = (3; 2 − ; 3 − ) BD = ( 2 − ;2; 2 − ) 4 12 AB = − ;6;− u = ( 2 − ;15; 6 − ) 1 1 2 2 2 S = BC; BD = 10 +12 + 2 = 62 5 5 d BCD 2 2
Vậy đáp án đúng là C.
Vậy đáp án đúng là B. Câu 91: Đáp án A Câu 88: Đáp án B LOVEBOOK.VN|47
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB + − + − Câu 98: Đáp án A
cos ((P),(Q)) 1.2 ( ) 1 .0 4.( 2) = u = n = (1;2;−2 d P ) 1 + (− )2 2 2 2 2 1 + 4 . 2 + 2 Ta có: ( ) x + y − z −
cos ((P) (Q)) 6 1 , =
= ((P),(Q)) = 60 (d ) 2 1 3 : = = 12 2 1 2 2 −
Vậy đáp án đúng là A.
Vậy đáp án đúng là A. Câu 92: Đáp án A Câu 99: Đáp án A
M M (3a +1; 2 ; a a − 2)
N Oz N (0;0; z)
MA = MB (3a)2 + (2a − 2)2 + (a − 2)2 z −17 NM = d( = N ,( P)) = ( 2 2
3a + 3)2 + (2a − 3)2 + (a − 3)2 2 + 3 +1 19 15 − 19 − 43 − − z 17 a = − M ; ; 2 + 3 + (z − 4)2 2 2 = z = 3 12 4 6 12 2 2 2 + 3 +1
Vậy đáp án đúng là A. Câu 100: Đáp án D Câu 93: Đáp án B
Mặt phẳng ( P) có vec-tơ pháp tuyến n = (1;1; ) ( ) 1 . P
Hiển nhiên nhìn ra ngay vì nó vuông góc với (Oxz )
Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến là Câu 94: Đáp án C n = (1; 1 − ; ) ( ) 1 . Q
M Oy M (0; y;0)
Khi đó n , n = − P Q (2;0; 2). ( ) ( )
MA + MB = 1+ ( y − )2 1
+ 4 + ( y − 3)2
Gọi d là đường thẳng cần tìm. Ta có:
(1+ 2)2 + ( y −1+ 3− y)2 = 13 d // (P) u = − . d (1;0; ) y −1 3 − y 5 1 Dấu " = " xảy ra khi: = y = d // (Q) 1 2 3
Vậy đáp án đúng là C.
Phương trình đường thẳng d đi qua A(1; 2 − ;3) là: Câu 95: Đáp án C x = 1+ t
M là trung điểm AC cũng là trung điểm BD nên:
y = −2 ,(t R). x = 1+1−1 = 1 z = 3 − t D
y = 2 + 0 −1 =1 D D (1;1;3) Câu 101: Đáp án B z =1+ 2−0 = 3 D 3+ 5 3+1 2 + 4 I ; ; I (4;2;3)
Vậy đáp án đúng là C 2 2 2 Câu 96: Đáp án A Câu 102: Đáp án C ( ) x y z Câu 103: Đáp án A ABC :
+ + =1 6x + 3y + 2z − 6 = 0 1 2 3
Vậy đáp án đúng là A. Câu 97: Đáp án A ( − P) (Q) 1 2 m 5 3 / / = =
n = 4;m = 2 −n 3 3 2
Vậy đáp án đúng là A. LOVEBOOK.VN|48
Chủ đề 7: Phương pháp tọa độ trong không gian The best or nothing
( ABC):ax +by + cx + d = 0 x = 1+1 = 2 2d
Với phương án B: Với t = 1 thì y = 3.1 = 3 nên a = −
4a + 2b + 5c + d = 0 3 = − = z 1 1 0 3
a + b + 3c + d = 0 b = 0 = + x 1 t
2a + 6b + c + d = 0 d c =
đường thẳng y = 3t (t ) đi qua điểm 3 = − ( z 1 t
ABC ) : 2x − z − 3 = 0 A(2;3;0) .
Vậy đáp án đúng là A. Câu 107: Đáp án Câu 104: Đáp án D C + + + = Do ( P) // (Q)
(P): x 2y z m 0 A (P) Gọi ( P) = ( khi đó: P ) , ⊥ d 1+ 2.0 + 3 + m 1
Lại có: d (D,(P)) = 6 = 6 2 2 2 ( 1 + 2 +1
P) : 2( x − 2) +1( y − 2) + 2( z − ) 1 = 0 ( m + 4
P) : 2x + y + 2z − 8 = 0 = 6 m + 4 = 6 6
a − 3 b − 2 c = = m = 2
(P) : x + 2y + z + 2 = 0 B ( ; a ;
b c) = (d P 1 2 3 2 ) ( ) = −
2a + b + 2c − 8 = 0 m 10
(P) : x + 2y + z −10 = 0
B (3;2;0) AB u = (1;0;− ) 1
Vậy đáp án đúng là D d Câu 108: Đáp án A x = 2 + t ( Có ,
A B (Q) AB ⊥ n d ) : y = 2 (t ) Q z =1−t
(P) ⊥ (Q) n ⊥ n P Q
Vậy đáp án đúng là C
n = AB,n = Q P (0;8;12) Câu 105: Đáp án C
Vậy đáp án đúng là A do cùng phương với (0; 2;3)
(d) (P) u ⊥ n d P ( Câu 109: Đáp án A
d ) ⊥ () u ⊥ u d
BC = (4 − 0)2 + (2 − 2)2 + (1− 4)2 = 5
u = n , u = − − d P ( 4;3; ) 1
D Ox D (a;0;0) Chọn C. Câu 106: Đáp án 2 2 2 B
AD = BC (a − 3) + (0 + 4) + (0 − 0) = 5
Do d ⊥ ( P) nên đường thẳng d có vec-tơ chỉ
(a − 3)2 +16 = 5 (a −3)2 = 9
phương là u = n = (1;3;− ) 1 . a = 6 D(6;0;0) d P
Ta loại được hai đáp án A và D. a = 0 D (0;0;0)
Vậy đáp án đúng là A. Câu 110: Đáp án A LOVEBOOK.VN|49
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB
AB, AC = ( 3 − ; 6 − ;6) H (a; 2
− a + 2c −1;c) − − + + − 1 HA ⊥ ( P) a 1 2a 2c 1 c 3 = = S = AB AC = ABC ( ) 9 ; − 2 2 2 1 2 3V 9 19 = d a ( = = = 2 − M ,( ABC )) S 9 / 2 9 19 13 17 H ; ;
( ABC):(x −0)+ 2( y − ) 1 − 2z = 0 17 9 9 9 c = 9
M (d ) M (2m +1; −m − 2; 2m + 3) (P) ( ABH ) + + + = ( : mx ny pz q 0 2m + )
1 + 2 (−m − 3) − 2(2m + 3) d( = 2 = 2 2q M ,( ABC )) m = − 1 + 2 + ( 2 − )2 2 2 7
m − 2n + 3p + q = 0 − 3 − 3 1 2q 5 = + − + = = − M ; − ; 3m 2n p q 0 n m 2 4 2 7 4 − + + = 4m +11 = 6
19m 13n 17 p 9q 0 3q 17 − 15 9 11 − p = − m = M − ; ; 7 4 2 4 2
(P):2x + 2y +3z −7 = 0
Vậy đáp án đúng là A. Câu 111: Đáp án C
Đáp án đúng là A. Gọi = n = (a b c) ( 2 2 2 ; ;
; a + b + c 0
Cách 2: Ta có n AB, n = ( 4 − ; 4 − ;−6 Q P ) P ) ( ) ( ) Ta có: loại B và D. ,
A B ( P) AB ⊥ n 3a − 2b = 0
Thay tọa độ điểm A vào phương án chỉ thấy A thỏa P
mãn. Từ đấy ta chọn A. 2 2
3a = 2b 9a = 4b ( ) 1 Câu 113: Đáp án D
cos ((P) (Oyz)) n . 2 n P Oyz a 2 , = = =
Đường thẳng có vec-tơ chỉ phương là 2 2 2 7 n . n + + 7 a b c . 1 P Oyz n = 3; 2;1 ; 1 ( ) a 2 a 2 = =
Đường thẳng ' có vec-tơ chỉ phương là 2 7 13 7 2 2 3a n = 1;3; 2 − . 2 ( ) 2 2 a + c a + + c 4 2
Ta có u ;u = 7 − ;7;7 1 2 ( ) 4 13 . 2 2 2 2 2 a = a + c 9a = c (2) 49 4
Đường thẳng d cần tìm có vec-tơ chỉ phương là u . d ( ) c = b 1 , (2) 2 2 2
c = 4b ⊥ d c = 2 − b Từ giả thiết: u = ( 1 − ;1 ) ;1 . Loại đáp án ⊥ Chọn: d ' d A, C.
a = 2 b = 3 c = 6 ( P) : 2x + 3y + 6z −12 = 0
Đường thẳng d đi qua điểm M ( 1 − ;1;3) nên có a = 2 − b = 3
− c = 6 (P) : 2x + 3y − 6z = 0 x = 1 − − t
Vậy đáp án đúng là C.
phương trình: y =1+ t ,(t ) Câu 112: Đáp án A z = 3+t
Cách 1: Gọi H là hình chiếu của A lên ( P) . Câu 114: Đáp án D LOVEBOOK.VN|50
Chủ đề 7: Phương pháp tọa độ trong không gian The best or nothing A (P) AB = ( 3 − ;4;0); AC (0;0 ) ;1 Gọi ( P) = ( khi đó: P ) , ⊥ d − 1 AB AC 3 4 u = + = ; ;1 d ( AB AC 5 5 P) : 2( x − )
1 −1( y − 2) +1( z − 3) = 0 x −1 y + 2 z −1
(P) : 2x − y + z − 3 = 0 (d ) : = = 3 4 − 5 − a =1− t
(d ) (Oyz) = A(0; ; a b) ( = + − + −
b c) = () ( P) b 1 2t B a, , 0 1 a 2 b 1 2 8 = = A 0;− ; c = 1 − + t 3 4 − 5 − 3 3
2a −b + c −3 = 0
Vậy đáp án đúng là C. B(2; 1 − ; 2
− ) AB u = − − (1; 3; 5) Câu 117: Đáp án B
() x −1 y − 2 z −3 : = =
( ABC):ax +by + cz + d = 0 1 3 − 5 −
a + 2c + d = 0 a = d
Vậy đáp án đúng là D.
a + b + c + d = 0 b = −d Câu 115: Đáp án C
2a + 3b + d = 0 c = −d
Giao điểm của d và (P) có tọa độ thỏa mãn hệ 1
( ABC) : x − y − z +1 = 0 phương trình:
Vậy đáp án đúng là B. x =1+ 3t Câu 118: Đáp án A y = 2 − + t 2(1+ 3t) + 2( 2 − + t) −3.3 = 0 Sử dụng công thức: z = 2
2x + 2y −3z = 0 AB = (2; 3 − ) ;1 ; AC = (0; 1 − ) ;1 t =1 1 2 3 S = AB, AC = = 3 ABC
Vậy giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng 2 2 1 (P) là: M (4; 1 − ;2).
Vậy đáp án đúng là A. Câu 119: Đáp án C
Gọi (Q) là mặt phẳng cần tìm. Từ giả thiết, ta có
Gọi H là hình chiếu của O lên ( ABC ) .
d ⊥ Q nên mặt phẳng (Q) có vec-tơ pháp tuyến 2 ( ) 1 1 1 1 1 là n = u = − Ta có: + + − Q (2; 1;2) ( ) . d 2 2 2 2 2 2 OA OB OC OH OM Phương trình (Q) :
Dấu " = " xảy ra khi: H M tức là OM ⊥ ( ABC )
2( x − 4) − ( y + ) 1 + 2 ( z − 2) = 0
( ABC) :(x − )
1 + 2( y − 2) + ( z − ) = 1 0
2x − y + 2z −13 = 0
( ABC) : x + 2y + z − 6 = 0 Câu 116: Đáp án C
Vậy đáp án đúng là C. Câu 120: Đáp án A
Cách 1: Giả sử A( ; a 0; 0); B (0; ;
b 0);C (0;0; c) thì: LOVEBOOK.VN|51
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB ( ) x y z
H (d ) H (2b +1; ; b 2b + 2) P : + + =1; a b c AH ⊥ (d )
a + 0 + 0 0 + b + 0 0 + 0 + c G ; ; G (1;2;3)
2.(2b +1− 2) +1.(b −5) + 2(2b + 2 −3) = 0 3 3 3 9 a = 3
b = =1 H (3;1;4) AH = (1; 4 − ) ;1 x y z 9 b
= 6 (P) : + + =1 3 6 9
(P) :(x −3) − 4( y − ) 1 + ( z − 4) = 0 c = 9
(P) : x − 4y + z −3 = 0
Vậy đáp án đúng là A.
Vậy đáp án đúng là D
Cách 2: Mẹo: nhân 3 vào tọa độ điểm G rồi đẩy Câu 124: Đáp án A
xuống các giá trị a,b,c tương ứng → đáp án A đúng. Câu 121: Đáp án C
Vì M (Oxz) nên M ( ;
x 0; y ) . Ta có:
MA + MB + MC = ( x − )2 1 + (0 − )2 1 + ( y − 0)2 2 2 2
+(x − 3)2 + (0 −(− ) 1 )2 + ( y − 2)2 +(x −(− )
1 )2 + (0 − 6)2 + ( y − 7)2 = (
Gọi K là hình chiếu của điểm A(4;6; 2) trên mặt
x − )2 + ( y − )2 3 1 3 3 + 72 72
phẳng ( P) : x + y + z = 0
Dấu " = ' xảy ra khi: x = 1; y = 3 M (1;0;3) . x = 4 + t
Vậy đáp án đúng là C.
Phương trình tham số của AK: y = 6 + t ,(t ). Câu 122: Đáp án C z = 2+t x − y − z − Dễ thấy M ( )(d) 1 7 3 1; 7;3 : = = . = 2 1 4
Khi đó ta tìm được tọa độ điêm K AK (P) là Khi đó ta có: K (0; 2; 2 − ) . 3.1− 2.7 − 3 + 5 9 ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ d Ta có d AH , d AK d (AHK ) d HK ( = = = = ( ) d d ,( )) ((d),()) (M ,()) 2 2 3 + 2 +1 14 B
HK vuông tại H, khi đó điểm H luôn thuộc
Vậy đáp án đúng là C.
đường tròn đường kính BK cố định. Câu 123: Đáp án D
Bán kính đường tròn là
Theo tính chất đường xiên đường vuông góc dễ BK (0−2)2 +(2+ 2)2 +(0+ 2)2 thấy: R = = = 6. d 2 2 ( d
= const. Điều này xảy ra khi: A,( P)) (A,(d)) Câu 125: Đáp án A H ( ; a ;
b c) là hình chiếu của A lên (d ) cũng là hình
Trung điểm của AB là I (1;1;2) .
chiếu của A lên ( P) . Do đó, ta có:
Ta có AB = (−6; 2; 2). Gọi ( P) là mặt phẳng trung
trực của đoạn AB nên ( P) có vec-tơ pháp tuyến là LOVEBOOK.VN|52
Chủ đề 7: Phương pháp tọa độ trong không gian The best or nothing n = (3; 1 − ;− )
1 (do P ⊥ AB và đi qua điểm − P ( ) ) ( ) * I I R R S ; S trong nhau. 1 2 1 2 ( 1) ( 2 ) I (1;1; 2) .
* I I R + R S ; S ngoài nhau. 1 2 1 2 ( 1) ( 2 )
Phương trình (P) : 3( x − ) 1 − ( y − ) 1 − ( z − 2) = 0
* I I = R − R S ; S tiếp xúc trong. 1 2 1 2 ( 1) ( 2 )
3x − y − z = 0.
* I I = R + R S ; S tiếp xúc ngoài. 1 2 1 2 ( 1) ( 2 ) IV. Mặt cầu
* R − R I I R + R S ; S cắt nhau 1 2 1 2 1 2 ( 1) ( 2 )
1. Phương trình mặt cầu theo 1 đường tròn. Định lý
Đọc thêm: Với trường hợp 2: Ta dễ thấy với N , =
Trong không gian Oxyz, mặt cầu ( S ) tâm I (a; ; b c ) ta có N (P) 2 IM .IN
R . Từ đó ta thu được bán kính R có phương trình là kết quả sau. ( − )2 +( − )2 +( − )2 2 x a y b z c = R (1). 2 2 2
Cho mặt cầu (S ) ( x − a) + ( y − b) + ( z − c) 2 : = R
Phương trình có dạng như phương trình (1) được
và điểm M ( x ; y ; z S . Khi đó tiếp diện của 0 0 0 ) ( )
gọi là phương trình chính tắc của mặt cầu tâm I,
(S) tại M có phương trình: bán kính R.
Nhận xét: Khi biến đổi phương trình (1) ta được:
(x − a)(x − a)+( y −b)( y −b)+(z −c)(z −c) 2 = R 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2
x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + a + b + c − R = 0 . Nếu đặt 2 2 2 2
a + b + c − R = d thì phương trình trên trở thành
Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với 2 2 2
x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 (2) mặt cầu 2 2 2
x + y + z = 9 tại điểm M (2; 2 − ; ) 1 . Với điều kiện 2 2 2
a + b + c − d 0 thì phương trình Lời giải
(2) được gọi là phương trình tổng quát của mặt
Áp dụng công thức ở trên ta được mặt phẳng ( P) cầu có tâm I (a; ; b c) và bán kính
có phương trình 2x − 2y + z −9 = 0 . 2 2 2 R =
a + b + c − d
c. Trường hợp 3: d R (S ) (P) = (C ) , (C)
2. Vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng
là đường tròn có tâm H là hình chiếu của I trên
Cho mặt cầu S ( I; R) và mặt phẳng ( P) . Đặt (P) , có bán kính 2 2 r = R − d . d = d Phương trình mặt phẳng
(I;(P)). Khi đó ta có các trường hợp:
3. Các dạng toán thường gặp liên quan đến
tiếp xúc với mặt cầu
a. Trường hợp 1: d R (S ) (P) = mặt cầu tâm bán
b. Trường hợp 2: d = R (S ) (P) = M , M là kính R tại điểm
Dạng I: Viết phương trình mặt cầu cho trước tâm I có phương (a; ;bc)
hình chiếu của I lên mặt phẳng ( P) . Trường hợp .
này ta nói mặt phẳng ( P) tiếp xúc với mặt cầu ( S ) a. Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P)
tại M. Lúc này ( P) được gọi là tiếp diện của mặt
: Ax + By + Cz + D = 0 .
cầu ( S ) , M được gọi là tiếp điểm của ( P) và ( S ) . + + + . A a . B b C.d D
mặt cầu có bán kính R = 2 2 2 A + B + C
Tóm lại: Cho hai mặt cầu S I ; R ; S I ; R 1 ( 1 1 ) 2 ( 2 2 ) LOVEBOOK.VN|53
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB b. Mặt cầu cắt mặt phẳng .
(P): Ax + By +Cz + D = 0 theo một đường tròn có
Vậy ở đây khi đã biết mặt phẳng ( P) , điểm M nên
bán kính r cho trước.
ta sẽ tìm tâm I và bán kính R bằng cách đồng nhất
bán kính mặt cầu được xác định bởi:
hệ số phương trình mặt phẳng ( P) .
R = r + d (I (P)) 2 2 2 ; Cách 2:
c. Mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng
Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng ( P) tại điểm M x − x y − y z − z 0 0 0 d : = = A B C ⊥ ( )
I = x + At y + Bt z + Ct IM P u = u = A B C IM P ( ) ( ; ; ; ; 0 0 0 )
bán kính mặt cầu được xác định bởi công thức: 2 2 2 R = IM R = IM
R = A + B + C . t u , MI d R =
trong đó M là một điểm trên đường u
Tiếp theo, sử dụng các công thức ở dạng I tìm ra t. d
thẳng d. (công thức ở phần khoảng cách từ một
Từ đây ta có l, có R nên viết được phương trình
điểm đến một đường thẳng trong bài Phương trình
chính tắc của mặt cầu. đường thẳng).
Dạng IV: Viết phương trình mặt cầu ( S ) đi qua
d. Mặt cầu cắt đường thẳng d theo một dây cung
bốn điểm không đồng phẳng cho trước trong không
có độ dài l cho trước. gian.
bán kính mặt cầu được tính bằng công thức: Ta gọi phương trình mặt cầu là 2 l 2 2 2 R = + d (I d ) 2 2 ,
x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 (1). 2
Do A, B, C, D thuộc mặt cầu ( S ) thế nên thay tọa
Dạng II: Viết phương trình mặt cầu có tâm I thuộc độ đườ
từng điểm vào (1) ta sẽ có hệ phương trình bốn
ng thẳng d cho trước và thỏa mãn một điều kiện nào đó trong phầ ẩn a, b, c, d. n I.
Giải hệ ta tìm được a, b, c, d. Từ đây ta có mặt cầu
Cách làm: Viết phương trình đường thẳng d về = + + −
dạng tham số, khi đó tham số hóa tọa độ điểm I tâm I (a; ; b c) và bán kính 2 2 2 R a b c d .
theo một ẩn, sử dụng dữ kiện đề bài tìm ra I, từ đó
quay về dạng I, tìm R.
Dạng III: Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với
mặt phẳng ( P) : Ax + By + Cz + D = 0 tại điểm M cho trước. Cách 1:
Ở phần 2. Vị trí tương đối của mặt cầu và mặt
phẳng (trường hợp 2) ta có bài toán ngược của bài toán này. 2 2 2
Với mặt cầu (S ) ( x − a) + ( y − b) + ( z − c) 2 : = R
tiếp xúc với mặt phẳng ( P) tại M ( x ; y ; z thì có 0 0 0 ) Phương trình mặt phẳng phương trình
(P):(x − a)(x − a)+( y −b)( y −b)+(z −c)(z −c) 2 = R 0 0 0 LOVEBOOK.VN|54
Do vậy khi đã biết phương trình mặt phẳng
Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân và ứng dụng The best or nothing 2 2 2 C.
Bài tập rèn luyện kỹ năng
(x −5) +( y − 4) +(z −7) =17 . 2 2 2 − + − + − =
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho D. ( x 6)
( y 2) (z 10) 17 . − − điể x 1 y 2 z m (
A 2;1;3) và đường thẳng d : = =
Câu 5: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm 2 1 − 1 I (1; 4; 7
− ) và tiếp xúc với mặt phẳng
Mặt phẳng (P) chứa A và d. Phương trình mặt cầu + − + =
tâm O tiếp xúc với mặt phẳng (P) là: ( ) P : 6 x 6 y 7 z 42 0 . 12 2 2 2 3 A. 2 2 2
x + y + z = .
A. (S) : ( x − 5) + ( y − 3) + ( z + ) 1 = 5 4 2 2 2 B. 2 2 2
x + y + z = 3 . B. (S) : ( x + ) 1
+ ( y − 3) + (z − 3) =1. C. 2 2 2
x + y + z = 6 . 2 2 2
C. (S) : ( x − ) 1
+ ( y − 4) + (z + 7) =121. 24 D. 2 2 2
x + y + z = . 2 2 2
D. (S ) : ( x − ) 1
+ ( y − 2) + (z − 2) = 9. 5
Câu 2: Gọi I là tâm mặt cầu đi qua 4 điểm M (1;0;0) ,
Câu 6: Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu: 2 2 2 + + − + − + =
N(0;1;0) , P(0;0;1) , (
Q 1;1;1) . Tìm tọa độ tâm I. (S) : x y z
6x 4y 2z 5 0 .
A. I (0;0;1;) , R = 3 . B. I (3; 2 − ;1), R = 3 . 1 1 1 2 2 2 A. ; − ; . B. ; ; . 2 2 2 3 3 3 C. I (3; 1
− ;8), R = 4 .
D. I (1; 2; 2), R = 3 . 1 1 1 1 1 1 C.
Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai ; ; . D. − ; − ; − . 2 2 2 2 2 2 điểm ( A 1; 1
− ;2) và B(3;1;4) . Mặt cầu (S) đường kính
AB có phương trình là:
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 2 2 2 2
mặt cầu (S ) : ( x − 2) + ( y + ) 1
+ (z − 3) = 9 . Mệnh A. ( x − ) 2 2
+ y + (z − 3) = 3 . đề nào đúng? 2 2 B. ( x − ) 2 2
+ y + (z − 3) = 3.
A. Mặt cầu (S) tiếp xúc với (Oxy). 2 2 2
B. Mặt cầu (S) không tiếp xúc với cả 3 mặt phẳng
C. ( x + 2) + y + ( z + 3) = 3 .
(Oxy ), (Oxz), (Oyz). 2 2 D. ( x + ) 2 2
+ y + (z + 3) = 3 .
C. Mặt cầu (S) tiếp xúc với (Oyz).
D. Mặt cầu (S) tiếp xúc với (Oxz).
Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
mặt cầu (S) có tâm I (2; 1
− ;3) và cắt mặt phẳng
Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai ( )
P : 2x − y − 2z +10 = 0 theo một đường tròn có chu điểm ( A 1; 2
− ;3) và B(5;4;7). Phương trình mặt cầu
vi bằng 8 . Phương trình mặt cầu (S) là:
nhận AB làm đường kính là: 2 2 2
A. ( x + 2) + ( y − )
1 + ( z + 3) = 5 . 2 2 2 A. ( x − ) 1
+ ( y + 2) + (z − 3) =17 . 2 2 2
B. ( x − 2) + ( y + ) 1 + ( z − 3) = 5 . 2 2 2
B. ( x − 3) + ( y − ) 1 + ( z − 5) = 17 . LOVEBOOK.VN|55
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB 2 2 2
C. ( x − 2) + ( y + )
1 + ( z − 3) = 25 .
biệt A,B sao cho các mặt phẳng tiếp diện của (S) tại A
và tại B vuông góc với nhau. 2 2 2
D. ( x + 2) + ( y − ) 1 + (z + 3) = 25 . A. m = 1 − hoặc m = 4 − .
Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
B. m = 0 hoặc m = 4 − . bốn điểm A(1;1; ) 1 , B (1; 2; )
1 , C (1;1; 2), D (2; 2; ) 1 . C. m = 1 − hoặc m = 0.
Tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tọa độ:
C. Cả A, B, C đều sai. 3 3 3
Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A. (3;3; −3) . B. ; − ; . + + + + − − = 2 2 2 mặt cầu 2 2 2 (S) : x y z
2x 6y 4z 2 0 . Xác
định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S). 3 3 3 C. ; ; . D. (3;3;3) . − 2 2 2
A. I (1;3; 2) , R = 2 3 .
Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho B. I ( 1 − ; 3 − ;2) , R = 2 3 .
mặt cầu (S) có tâm I (1; 2; 3
− ) đi qua điểm A(1;0;4) C. I ( 1 − ; 3
− ;2) , R = 4 . có phương trình là: D. I (1;3; 2 − ) , R = 4 . 2 2 2 A. ( x + )
1 + ( y + 2) + ( z − 3) = 53 .
Câu 14: Mặt cầu (S) có tâm I (1; 2; 3 − ) và bán kính 2 2 2 B. ( x + )
1 + ( y + 2) + ( z + 3) = 53 .
R = 2 có phương trình: 2 2 2 2 2 2 − + − + + = C. ( x − )
1 + ( y − 2) + ( z + 3) = 53 . A. ( x ) 1
( y 2) (z 3) 4 . 2 2 2 2 2 2 + + − + − = D. ( x − )
1 + ( y − 2) + ( z − 3) = 53 . B. ( x 3)
( y 2) (z 2) 4 . 2 2 2
Câu 11: Cho hai điểm ( A 1;1;0), ( B 1; 1 − ; 4 − ) . Phương C. ( x − ) 1
+ ( y − 2) + (z + 3) = 2 .
trình của mặt cầu (S) đường kính AB là: 2 2 2 D. ( x + ) 1
+ ( y + 2) + (z − 3) = 4 . A. 2 2 2
x + ( y −1) + (z + 2) = 5 .
Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 2 B. ( x + ) 2 1
+ y + (z + 4) = 5. 2 2 2
mặt cầu (S ) : ( x − ) 1
+ ( y + 2) + (z − ) 1 = 4 và mặt phẳng − −
+ = . Khẳng định nào sau 2 2 ( )
P : x 2y 2z 3 0 C. ( x + ) 2 1
+ y + (z − 2) = 5 . đây là đúng? 2 2 D. ( x − ) 2 1
+ y + (z + 2) = 5 .
A. (P) cắt (S).
Câu 12: Cho mặt cầu
B. (P) tiếp xúc với (S). 2 2 2
(S) : x + y + z − 2x + 4z +1 = 0 và đường thẳng
C. (P) không cắt (S). x = 2 − t
D. Tâm của mặt cầu (S) nằm trên mặt phẳng (P)
d y = t
. Tìm m để d cắt (S) tại hai điểm phân
z = m +t
Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 2 2
mặt cầu (S ) : ( x + ) 1
+ ( y − 2) + (z − 3) = 25 và mặt LOVEBOOK.VN|56
Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân và ứng dụng The best or nothing
phẳng () : 2 x+ y− 2z+ m = 0 . Tìm m để ( ) và C. I (1; 2
− ;3) và R = 5.
(S) không có điểm chung. D. I ( 1 − ;2; 3 − ) và R = 5.
A. m 9 hoặc m 21.
Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho B. 9 − m 21. mặt cầu 2 2 2
(S) : x + y + z − 4x + 2y − 2z − 3 = 0 . Tìm C. 9 − m 21.
tọa độ tâm I và bán kính R của (S). − D. m 9 − hoặc m 21.
A. I (2; 1;1) và R = 3 .
Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho B. I ( 2 − ;1; 1 − ) và R = 3. x = t C. I (2; 1
− ;1) và R = 9.
đường thẳng d : y = 1
− và 2 mặt phẳng (P) và (Q) z = t − D. I ( 2 − ;1; 1 − ) và R = 9.
lần lượt có phương trình
x + 2y + 2z + 3 = 0 ;
Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
x + 2y + 2z + 7 = 0 . Viết phương trình mặt cầu (S) có − − đườ x z 3 y 2 ng thẳng d : = = và hai mặt phẳng
tâm I thuộc đường thẳng (d), tiếp xúc với 2 mặt 2 1 1
phẳng (P) và (Q). ( )
P : x − 2y + 2z = 0 , ( )
Q : x − 2y + 3z − 5 = 0 . Mặt
cầu (S) có tâm I là giao điểm của đường thẳng d và 2 2 2 4
A. ( x + 3) + ( y + ) 1 + ( z − 3) = .
mặt phẳng (P). Mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt cầu 9
(S). Viết phương trình của mặt cầu (S). 2 2 2 4
B. ( x − 3) + ( y + ) 1 + ( z + 3) = . 2 2 2 2 9
A. (S) : ( x + 2) + ( y + 4) + ( z + 3) = . 7 2 2 2 4
C. ( x − 3) + ( y − ) 1 + ( z + 3) = . 2 2 2 9 9
B. (S) : ( x − 2) + ( y − 4) + ( z − 3) = . 14 2 2 2 4
D. ( x + 3) + ( y + ) 1 + ( z + 3) = . 2 2 2 2 9
C. (S) : ( x − 2) + ( y − 4) + ( z − 3) = . 7
Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 2 2 9 mặt cầu 2 2 2
(S) : x + y + z − 2x + 4y − 4z − m = 0 . có
D. (S) : ( x + 2) + ( y + 4) + ( z + 3) = . 14
bán kính R = 5 . Tìm giá trị của m.
Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A. m = 16 − .
B. m = 16 . điểm (
A 1; 2;1) . Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua
C. m = 4 . D. m = 4 − . điểm A, tiếp xúc với mặt phẳng ( )
P : x− 2 y+ 2 z+1 = 0 và có tâm nằm trên đường
Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho x −1 y − 2 z − 2
mặt cầu có phương trình: thẳng : = = . 1 2 − 1 2 2 2
x + y + z − 2x + 4y − 6z + 9 = 0 . Tìm tâm I và bán
kính R của mặt cầu? 2 2 A. ( x + ) 2 2
+ y + (z − 3) = 9 . A. I ( 1 − ;2; 3
− ) và R = 5 . 2 2 B. ( x − ) 2 2
+ ( y −1) + (z − 3) = 9 . B. I (1; 2 − ;3) và R = 5 . 2 2 C. ( x − ) 2 2
+ y + (z − 3) = 9 . LOVEBOOK.VN|57
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB 2 2 2 2 D. ( x − ) 2 2
+ y + (z + 3) = 9 .
D. ( x + ) + ( y + ) 2 5 1 + z = 9 .
Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu 2 2 2
(S) : x + y + z + 2x − 4y + 6z + m − 3 = 0 . ba điểm ( A 2 − ;0;0); ( B 0; 2 − ;0) và C(0;0; 2 − ) . Gọi D
Tìm số thực m để ( ) : 2x − y + 2z −8 = 0 cắt (S) theo
là điểm khác O sao cho DA, DB, DC đôi một vuông
một đường tròn có chu vi bằng 8 .
góc với nhau và I ( ; a ;
b c) là tâm mặt cầu ngoại tiếp
tứ diện ABCD. Tính S = a + b + c . A. –2. B. –4. C. –1. D. –3. A. S = 4 − . B. S = 1 − .
Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
điểm I(1;2;3) và mặt phẳng ( )
P : 2x − 2y − z − 4 = 0 . C. S = 2 − . D. S = 3 − .
Mặt cầu tâm I tiếp xúc với (P) tại H. Tìm tọa độ H.
Câu 30: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 4 A. H ( 3 − ;0; 2 − ) . B. H (3;0; 2) . điểm ( A 3; 2 − ; 2 − ),B(3;2;0),C(0;2;1) và ( D 1 − ;1;2) .
Mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCD) có C. H (1; 1 − ;0) . D. H ( 1 − ;4;4) . phương trình là:
Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 2 2
A. ( x − 3) + ( y + 2) + ( z + 2) = 14 .
mặt cầu (S) có phương trình: 2 2 2
x + y + z + 2x − 6y − 4z + 5 = 0 . Tọa độ tâm I và 2 2 2
B. ( x + 3) + ( y − 2) + ( z − 2) = 14 .
bán kính R của mặt cầu là: 2 2 2 + + − + − = A. I ( 1 − ;3;2) và R = 3. C. ( x 3)
( y 2) (z 2) 14 . B. I (2; 6 − ; 4 − ) và R = 5. 2 2 2
D. ( x − 3) + ( y + 2) + ( z + 2) = 14 . C. I (1; 3 − ; 2 − ) và R = 3.
Câu 31: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu đi D. I ( 1 − ;3;2) và R = 19 .
qua ba điểm M (2;3;3); N(2; 1 − ; 1 − ),P( 2 − ; 1 − ;3) và có
tâm thuộc mặt phẳng () : 2x + 3y − z + 2 = 0 . Câu 27: Mặt cầu 2 2 2
(x − 3) + ( y + 2) + (z −1) = 100 cắt mặt phẳng ( )
P : 2x − 2y − z + 9 = 0 theo giao A. 2 2 2
x + y + z − 2x + 2y − 2z −10 = 0 .
tuyến là một đường tròn có bán kính là: B. 2 2 2
x + y + z − 4x + 2y − 6z − 2 = 0 . A. 8. B. 2 2 . C. 10. D. 6. C. 2 2 2
x + y + z + 4x − 2y + 6z + 2 = 0 .
Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt D. 2 2 2
x + y + z − 2x + 2y − 2z − 2 = 0 . cầu có tâm I ( 1
− ;3;2) và tiếp xúc với mặt phẳng ( )
P : 2 x+ 2 y+ z+ 3 = 0 .
Câu 32: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho
mặt cầu (S) đi qua hai điểm (
A 1;1; 2), B(3;0;1) và có 2 2 2 A. ( x + )
1 + ( y − 3) + ( z − 2) = 9 .
tâm thuộc trục Ox. Phương trình mặt cầu (S) là: 2 2 2 − + + = B. ( x + )
1 + ( y − 3) + ( z − 2) = 1. A. 2 2 2 (x 1) y z 5 . − + + = 2 2 2 B. 2 2 2 (x 1) y z 5 . C. ( x + ) 1
+ ( y − 3) + (z − 2) = 4 . C. 2 2 2
(x +1) + y + z = 5. LOVEBOOK.VN|58
Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân và ứng dụng The best or nothing D. 2 2 2
(x +1) + y + z = 5 .
Phương trình nào dưới đâu là phương trình của một
mặt phẳng tiếp xúc với (S), song song với d và ?
Câu 33: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
A. x + z +1 = 0.
B. x + y +1 = 0. mặt cầu 2 2 2
(S) : x + y + z = 9, điểm M (1;1; 2) và mặt phẳng ( )
P : x + y + z − 4 = 0 . Gọi là đường thẳng
C. y + z + 3 = 0.
D. x + z −1 = 0.
đi qua M, thuộc (P) và cắt (S) tại hai điểm A, B sao
cho AB nhỏ nhất. Biết rằng có một vecto chỉ
phương là u(1; a;b) , tính T = a −b A. T = 2 − . B. T =1. C. T = 1 − . D. T = 0 .
Câu 34: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 2 2
mặt cầu (S ) : ( x + ) 1 + ( y − ) 1 + (z + 2) = 2 và hai − − đườ x 2 y z 1 x y z −1 ng thẳng d : = = , : = = . 1 2 1 − 1 1 1 − LOVEBOOK.VN|59
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB
Hướng dẫn giải chi tiết Câu 1: Đáp án D
Mặt phẳng (Oxy) : z = 0 d ( I;(Oxy)) = 3 = . R chøa ( A 1; 2;3)
Mặt phẳng (Oyz) : x = 0 d ( I;(Oyz)) = 2 . R x −1 y − 2 z Ta có: (P) chøa d: = = 2 1 − 1
Mặt phẳng (Oxz) : y = 0 d ( I;(Oxz)) = 1 . R chøa B(1;2;0) Câu 4: Đáp án B
u = AB,u = ( 2 − ; 5 − ; 1 − ) Ta có: ( A 1; 2 − ;3), ( B 5; 4;7). P d
Gọi I là trung điểm của AB I (3;1;5) . chøa A(2;1;3) (P) vtpt n = ( 2 − ; 5 − ; 1 − )
Theo bài ra, mặt cầu (S) có tâm I (3;1;5) và bán kính P AB ( ) P : 2
− (x − 2) −5(y −1) −(z −3) = 0 R = = AI = 17. 2 2
− x −5y − z +12 = 0
Vậy phương tình mặt cầu (S) là: 2 − .0 − 5.0 − 0 +12 12 2 2 2
(x −3) +( y − ) 1 + (z − 5) = d = = . 17 . (O;(P)) 2 2 2 ( 2 − ) + ( 5 − ) + ( 1 − ) 30 Câu 5: Đáp án C
Vậy ta có phương trình mặt cầu cần tìm là:
Ta có: d ( I;(P)) = 11. 24 2 2 2
x + y + z = . 5
Do (S) tiếp xúc với (P) nên mặt cầu (S) có tâm Câu 2: Đáp án C = = I (1; 4; 7
− ) và bán kính R d (I;(P)) 11.
Phương trình mặt cầu có dạng:
Vậy phương trình mặt cầu (S) là: 2 2 2
x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = 0
(x − )2 +( y − )2 +(z + )2 (S) : 1 4 7 =121 . (ĐK: 2 2 2
a + b + c d ) Câu 6: Đáp án B
Do M, N, P, Q thuộc mặt cầu Mặt cầu 2 2 2
(S) : x + y + z − 6x + 4y − 2z + 5 = 0 1
− 2a + d = 0 2 2 2
(x −3) + (y + 2) + (z −1) = 9. 1
− 2b + d = 0
Vậy mặt cầu (S) có tâm I (3; 2 − ;1) và bán kính 1− 2c + d = 0 R = 3. 3
− 2a − 2b − 2c + d = 0 Câu 7: Đáp án B 1
a = b = c =
I là trung điểm AB I (2;0;3). 2 (thỏa mãn) d = 0
Do (S) nhận AB là đường kính nên mặt cầu (S) có tâm AB 1 1 1
I và bán kính AI = = 3. Vậy I ; ; . 2 2 2 2
Vậy phương trình mặt cầu (S) là: Câu 3: Đáp án A
(x − )2 + y +(z − )2 2 2 3 = 3.
Mặt cầu (S) có tâm I (2; 1
− ;3) và bán kính R = 3. LOVEBOOK.VN|60
Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân và ứng dụng The best or nothing Câu 8: Đáp án C
Mặt cầu (S) có tâm I (1;0; 2 − ) và bán kính
Mặt cầu (S) có tâm I (2; 1
− ;3) và bán kính R. R = IA = 5.
C = 8 r = 4.
Vậy phương trình mặt cầu (S) là: Mặt phẳng ( )
P : 2x − y − 2z +10 = 0.
(x − )2 + y +(z + )2 2 1 2 = 5 . d (I P ) 2
= R = d (I ) 2 ; ( ) 3 ; (P) + r = 5. Câu 12: Đáp án A
Vậy phương trình mặt cầu (S) là:
Phân tích: ta có nếu hai mặt phẳng tiếp diện của (S)
tại A và B vuông góc với nhau thì hai vtpt của hai mặt
(x − )2 +( y + )2 +(z − )2 2 1 3 = 25.
phẳng này cũng vuông góc với nhau. Mà hai vtpt của Câu 9: Đáp án C
hai mặt phẳng này chính là , IA .
IB Với I (1;0; 2 − ) là
Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ giác ABCD có
tâm của mặt cầu (S). dạng 2 2 2
x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = 0
Vậy ta có hai điều kiện sau: (ĐK: 2 2 2
1. d cắt (S) tại hai điểm phân biệt.
a + b + c d )
Do (S) ngoại tiếp ABCD nên , A ,
B C, D (S) 2. I . A IB = 0.
Lời giải: Để thỏa mãn yêu cầu đề bài thì trước tiên d 3
− 2a − 2b − 2c + d = 0
2a + 2b + 2c − d = 3 phải cắt mặt cầu, tức là phương trình
6 − 2a − 4b − 2c + d = 0 + + − = 2a 4b 2c d 6 2 2 2
(2 − t) + t + (m+1) − 2(2 − t) + 4(m+ t) +1 = 0 có
6 − 2a − 2b − 4c + d = 0
2a + 2b + 4c − d = 6 hai nghiệm phân biệt 9
− 4a − 4b − 2c + d = 0
4a + 2b + 2c − d = 9 2 2
3t + 2(m+1) t+ m + 4m +1= 0 Phương trình có 3 hai nghiệm phân biệt khi a = 2 2 2
' 0 (m+1) −3m −12m−3 0 3 2 b =
m + 5m +1 0. 2 (thỏa mãn)
Với phương trình có hai nghiệm phân biệt, áp dụng 3 c = 2 m + 4m +1 2
định lý Viet ta có t t = ; 1 2 d = 6 3 2 − + = + 3 3 3 t t (m 1) . 1 2 Vậy I ; ; . 3 2 2 2
Khi đó IA = (1− t ;t ; m + 2 + t ) , Câu 10: Đáp án C 1 1 1
IB = (1− t ;t ; m + 2 + t ).
Mặt cầu (S) có tâm I (1; 2; 3 − ) và bán kính 2 2 2 Vậy R = IA = 53 . I .
A IB = (1− t )(1− t ) + t t + (m+ 2 + t )(m+ 2 + t ) = 0
Vậy phương trình mặt cầu (S) là: 1 2 1 2 1 2 2
3t t + (m+1)(t + t ) + (m+ 2) +1 = 0 ( 1 2 1 2
x − )2 + ( y − )2 + ( z + )2 1 2 3 = 53 . 2 2 2 2 + + − + + + + = Câu 11: Đáp án D m 4m 1 (m 1) (m 2) 1 0 3
Ta có: AB là đường kính m = 1 − (TM).
I là trung điểm AB I (1;0; 2 − ). m = 4 − LOVEBOOK.VN|61
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Câu 13: Đáp án C
(x − )2 +( y + )2 +(z + )2 4 3 1 3 = Mặt cầu (S): 2 2 2
x + y + z + 2x + 6y − 4z − 2 = 0 9 Câu 19: Đáp án B 2 2 2 2
(x+1) + (y+3) + (z− 2) = 4 . Mặt cầu 2 2 2
(S) : (x−1) + (y+ 2) + (z− 2) − 9 − m = 0
Vậy mặt cầu (S) có tâm I ( 1 − ; 3 − ;2) và bán kính 2 2 2 R = 4.
(x−1) + (y+ 2) + (z− 2) = m+ 9 Câu 14: Đáp án A
m+9 = 25 m =16.
Mặt cầu (S) có tâm I (1; 2; 3
− ) và bán kính R = 2. Câu 20: Đáp án B
Vậy phương trình mặt cầu (S) là: Mặt cầu 2 2 2
(S) : x + y + z − 2x + 4y − 6z + 9 = 0 2 2 2
(x−1) + (y− 2) + (z+ 3) = 4. 2 2 2
(x−1) + (y+ 2) + (z−3) = 5. Câu 15: Đáp án B
Vậy mặt cầu (S) có tâm I (1; 2 − ;3) và bán kính
Mặt cầu (S) có tâm I (1; 2
− ;1) và bán kính R = 2. R = 5.
Mặt phẳng (P): x − 2y − 2z + 3 = 0. Câu 21: Đáp án A d(I;( )
P ) = 2 = R (P) tiếp xúc với (S). Mặt cầu 2 2 2
(S) : (x− 2) + (y+1) + (z−1) = 9. Câu 16: Đáp án A
Vậy mặt cầu (S) có tâm I (2; 1
− ;1) và bán kính R = 3.
Mặt cầu (S) có tâm I ( 1
− ;2;3) có bán kính R = 5. Câu 22: Đáp án A
(S) và () không có điểm chung
Mặt cầu (S) có tâm I và bán kính R. ( − + − + x = 0 + 2t ) 2 2 6 m
d I; ( ) R 5 3
Đường thẳng d : y = 3+ t (t R ) = + m 21 z 2 t
m − 6 15 m 9 −
I d I (2t;3 + t; 2 + t). Câu 17: Đáp án B Mặt khác I ( )
P 2t − 2(3 + t) + 2(2 + t) = 0
Ta có: I (d) I (t; 1 − ; t − ).
2t −6− 2t + 4+ 2t = 0 t =1
(S) tiếp xúc với (P) và (Q) I(2;4;3). d(I;( )
P ) = d(I;( ) Q ) = R 14
(S) tiếp xúc với (Q) R = d (I; (Q)) =
t − 2 − 2t + 3 = t − 2 − 2t + 7 7
Vậy phương trình mặt cầu (S) là:
1− t = 5 − t
(x − 2)2 +( y − 4)2 +(z −3)2 2 = 2 2 .
1− 2t + t = 25 −10t + t 7
8t = 24 t = 3. Câu 23: Đáp án C I(3; 1 − ; 3
− ) Mặt cầu (S) có tâm I(3; 1 − ; 3 − ) và x = 1+ t 2
bán kính R = d (I; (P)) = .
Đường thẳng d : y = 2 − 2t (t R ) 3 z = 2 +t
Vậy phương trình mặt cầu (S) là: LOVEBOOK.VN|62
Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân và ứng dụng The best or nothing
Mặt cầu (S) có tâm I và bán kính R.
Vậy mặt cầu (S) có tâm I ( 1
− ;3;2) và bán kính R = 3.
Do I d I (1+ t; 2 − 2t; 2 + t). Câu 27: Đáp án A
(S) qua A và (S) tiếp xúc với (P) IA = d(I;( ) P ) Mặt cầu 2 2 2
(S) : (x− 3) + (y+ 2) + (z−1) = 100
1+t −2(2−2t)+ 2(2+t) + 2 1
(S) có tâm I(3; 2
− ;1) và bán kính R =10. 2 2 2
t + 4t + (t +1) = 9 Mặt phẳng ( )
P : 2x − 2y − z + 9 = 0
(1+t − 4+ 4t + 4+ 2t + )2 1 2 2 2 = = − = 6t + 2t +1 =
d (I; (P)) 6 r R
d (I; (P)) 8. 9 Câu 28: Đáp án A (2+ 7t)2 2 6t + 2t +1 =
Mặt cầu (S) có tâm I ( 1 − ;3;2) và bán kính 9 R ( R 0) . 2
5t −10t +5 = 0 Mặt phẳng ( )
P : 2x + 2y + z + 3 = 0 . (t − )2 1 = 0 t = 1
Do (S) tiếp xúc với (P) R = d(I;(P)) = 3.
Mặt cầu (S) có tâm I(2;0;3) và bán kính R = 3.
Vậy phương trình mặt cầu (S) là:
Vậy phương trình mặt cầu (S) là:
(x + )2 +( y − )2 +(z − )2 1 3 2 = 9 .
(x − )2 + y +(z − )2 2 2 3 = 9 Câu 29: Đáp án B Câu 24: Đáp án D Giả sử (
D x ; y ; z ) . 0 0 0
Ta có: C = 8 = 2 r r = 4.
Ta có: AD = (x + 2; y ; z ), BD = (x ; y + 2; z ), 0 0 o 0 0 0 S
(x + )2 +( y − )2 +(z − )2 ( ) : 1 2 3 + m −17 = 0
CD = (x ; y ; z + 2) 0 0 0
(x + )2 + ( y − )2 + (z − )2 1 2 3
= 17 − m (m 17) Từ giả thiết:
Mặt cầu (S) có tâm I( 1 − ;2;3) và 2 R = 17 − . m . AD BD = 0 2
x (x + 2) + y (y + 2) + z = 0 0 0 0 0 0 Theo bài ra ta có: 2 2 2 2
R = d (I;( )) + r .
BD CD = 0 x + y ( y + 2) + z (z + 2) = 0 0 0 0 0 0 2
17 − m = 4 +16 m = 3 − (thỏa mãn) C . D AD = 0
x (x + 2) + y + z (z + 2) = 0 0 0 0 0 0 Câu 25: Đáp án B 2 2 2
x + y + z + 2x + 2y = 0 0 0 0 0 0
Gọi là đường thẳng qua I và vuông góc với (P) 2 2 2
x + y + z + 2y + 2z = 0 0 0 0 0 0 x = 1+ 2t 2 2 2
x + y + z + 2x + 2z = 0 0 0 0 0 0
có phương trình tham số y = 2 − 2t (t R ) = = = D(0;0;0) x y z 0 0 0 0 z = 3 − t 4 4 4 4
x = y = z = − D − ; − ; − Khi đó 0 0 0
H là giao điểm của và (P). Tìm được 3 3 3 3 H (3;0; 2). 4 4 4 Câu 26: Đáp án A − − −
Do D khác O nên D ; ; . 3 3 3 Mặt cầu 2 2 2
(S) : x + y + z + 2x − 6y − 4z + 5 = 0
Giả sử mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là (S) có 2 2 2
(x+1) + (y−3) + (z− 2) = 9. phương trình dạng: LOVEBOOK.VN|63
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB 2 2 2
x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 có tâm
Với phương án A: Mặt cầu 2 2 2 I ( ; a ; b c).
(S ) : x + y + z − 2x + 2 y − 2z −10 = 0 đi qua điểm 1 ( P 2 − ; 1
− ;3) , không đi qua hai điểm M(2;3;3) và Do , A ,
B C, D (S) nên có hệ: N(2; 1 − ; 1 − ) . Ta loại ngay A.
4 + 4a + d = 0 4+ 4b+ d = 0
Với phương án B: Mặt cầu 2 2 2
(S ) : x + y + z − 4x + 2 y − 6z − 2 = 0 đi qua ba 4 + 4b + d = 0 1 điể − − − − 16 8 8 8
m M (2;3;3) , N(2; 1; 1) , ( P 2; 1;3) .
+ a + b + c + d = 0 3 3 3 3
Mặt cầu (S ) có tâm I (2; 1 − ;3) thuộc mặt phẳng 2 1 8
a = b = c = − ;d = −
() : 2 x+ 3 y− z+ 2 = 0 . Vậy chọn ngay B. 3 3 Câu 32: Đáp án A 1
Vậy S = a + b + c = 3. − = 1 −
Mặt cầu (S) có tâm I và bán kính R (R 0). 3
Do I Ox I ( ; a 0;0) Câu 30: Đáp án D
Lại có (S) qua A, B IA = IB BC = ( 3 − ;0;1) 2 2 Ta có:
n = BC, BD = (1; 2;3)
(a −1) +5 = (a −3) +1 BC = ( 4 − ; 1 − ;2)
4a = 4 a =1
Mặt phẳng (BCD) có vectơ pháp tuyến n = (1; 2;3) và
Mặt cầu (S) có tâm I(1;0;0) và bán kính
đi qua điểm C(0;2;1). R = IA = 5.
Phưng trình mặt phẳng (P) là:
Vậy phương trình mặt cầu (S) là:
x + 2( y − 2) + 3(z −1) = 0 x + 2y + 3z − 7 = 0 2 2 2
(x −1) + y + z = 5 . d ( ; A (BCD)) = 14. Câu 33: Đáp án C
Mặt cầu (S) có tâm I (3; 2 − ; 2 − ) và bán kính R (R 0).
Do (S) tiếp xúc với (BCD) R = d( ; A (BCD)) = 14.
Vậy phương trình mặt cầu (S) là:
(x − )2 +( y + )2 +(z + )2 3 2 2 =14 .
Mặt cầu (S) có tâm (
O 0;0;0) và bán kính Câu 31: Đáp án B R = 3.
Phân tích: Nếu như giải bằng hình thức tự luận, thì
bài toán sẽ trở nên rất khó xử lí với những dữ kiện
Ta thấy điểm M (P) và OM = 6 R nên mặt
mà đề bài cho. Cách nhanh nhất ở đây là thử các kết
phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C)
quả được cho trong các đáp án A, B, C, D xem có
tâm H. Suy ra OH ⊥ ( ) P .
thỏa mãn với những dữ kiện đề cho không rồi kết
Từ giả thiết, ta có đi qua M và cắt đường trong luận.
(C) tại hai điểm A, B (do ( )
P ) . Gọi K là trung Lời giải: LOVEBOOK.VN|64
Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân và ứng dụng The best or nothing
điểm của AB, nên HK ⊥ AB và AB nhỏ nhất khi và Câu 34: Đáp án A
chỉ khi HK lớn nhất.
Mặt cầu (S) có tâm I ( 1 − ;1; 2
− ) , bán kính R = 2. Mà H
KM vuông tại K nên HK HM = const, hay
Đường thẳng d có vec-tơ chỉ phương u = (1; 2; −1); HK
= HM K M. 1 max
đường thẳng có vec-tơ chỉ phương là Vậy AB
khi K M (1;1; 2). Khi đó đường thẳng min u = (1;1; −1) . 2
đi qua M (1;1;2), có vtcp u = n , HM . ( P)
Ta có u , u = ( 1 − ;0; 1 − ). 1 2
Phương trình OH đi qua O, vec-tơ chỉ phương
Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm. Ta có: x = 1 n
= (1;1;1) : y = t ,(t ). (P)//d ( P) = n
(1; 0;1). Suy ra mặt phẳng (P) có ( ) z = t (P)// P
phương trình dạng x + z + m = 0. 4 4 4
Do H = OH (P) nên H ; ;
Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên 3 3 3 d(I;( ) P ) = R 1 1 2 HM = − ;− ; . − − + m = 5 1 2 m 3 3 3
= 2 m − 3 = 2 2 m =1
u = n ; HM = (1;−1;0) = . u ( P)
(P) : x + z + 5 = 0 . Vậy + + = a = 1
− ,b = 0 T = a −b = 1 − . (P) : x z 1 0 LOVEBOOK.VN|65
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB LOVEBOOK.VN|66
Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân và ứng dụng The best or nothing
V. Tổng ôn tập chủ đề 7
Quý độc giả vui lòng khai báo sách chính hãng tại web: congphatoan.com để nhận được đáp án chi tiết. BÀI KIỂM TRA LOVEBOOK.VN|67
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB
Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,
C. x − 4y + z − 3 = 0. mặt cầu 2 2 2
(S) : x + y + z −8x + 4y + 2z − 4 = 0 có
D. x + 4y − z +1 = 0. bán kính R là:
Câu 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, A. R = 5. B. R = 25. cho hai điểm (
A 1; 2; 2) , B(5; 4; 4) và mặt phẳng C. R = 2. D. R = 5. ( )
P : 2x + y − z + 6 = 0. Nếu M thay đổi thuộc (P) +
Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,
thì giá trị nhỏ nhất của 2 2 MA MB là:
mặt phẳng (P) đi qua hai điểm ( A 0;1;0), ( B 2;3;1) A. 60. B. 50.
và vuông góc với mặt phẳng ( )
Q : x + 2y − z = 0 phương trình là: 200 2968 C. . D. . 3 25
A. 4x + 3y − 2z − 3 = 0.
Câu 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,
B. 4x − 3y − 2z + 3 = 0.
cho tứ diện ABCD có ( A 2;3;1), ( B 4;1; 2 − ),C(6,3,7) và ( D 1; 2
− ;2) . Các mặt phẳng chứa các mặt của tứ
C. x − 2y − 3z −11 = 0.
diện ABCD chia không gian Oxyz thành số phần là:
D. x + 2y − 3z + 7 = 0. A. 9. B. 12. C. 15. D. 16.
Câu 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,
Câu 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ( A 1 − ; 2 − ;2), ( B 3 − ; 2 − ;0) và x +1 y − 4 z − 4 ( )
P : x + 3y − z + 2 = 0. Vectơ chỉ phương của cho đường thẳng : = = và các 3 2 − 1 −
đường thẳng là giao tuyến của (P) và mặt phẳng điểm A(2;3; 4 − ),B(4;6; 9
− ) . Gọi C, D là các điểm
trung trực của AB là:
thay đổi trên đường thẳng sao cho CD = 14 và A. (1; 1 − ;0). B. (2;3; 2 − ).
mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD có thể tích lớn nhất.
Khi đó trung điểm của CD là: C. (1; 2 − ;0). D. (3; 2 − ; 3 − ). 79 64 102 181 1 − 04 4 − 2
Câu 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, A. ; ; . B. ; ; . cho hai điểm ( A 1; 1
− ;5) và B(0;0;1). Mặt phẳng 35 35 35 5 5 5
(P) chứa A, B và song song với Oy có phương trình 101 13 69 là: C. ; ; . D. (2; 2;3). 28 14 28
A. 4x + y − z +1 = 0.
Câu 9: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,
B. 2x + z − 5 = 0. cho hai mặt phẳng
() : x + y − z +1 = 0 và ( ) : 2
− x + my + 2z − 2 = 0. Tìm m để () song
C. 4x − z +1 = 0. song với ( ) .
D. y + 4z −1 = 0.
A. Không tồn tại m.
Câu 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, − − B. m = 2. − cho đườ x 1 y z 2 ng thẳng : = = và điểm 2 1 2 C. m = 2.
M (2;5;3). Mặt phẳng (P) chứa sao cho khoảng D. m = 5.
cách từ M đến (P) lớn nhất có phương trình là:
Câu 10: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,
A. x − 4y − z +1 = 0.
mặt phẳng (P) đi qua các điểm ( A a;0;0), ( B 0; b;0)
B. x + 4y + z − 3 = 0.
và C(0;0;c) với abc 0 có phương trình là: LOVEBOOK.VN|68
Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân và ứng dụng The best or nothing x y z x y z
mặt cầu đi qua điểm A(1;1;1) đồng thời tiếp xúc với A. + + = 0. B. + + −1 = 0. a b c a b c hai mặt phẳng () : x+ y+ z− 6 = 0 ,
( ) : x+ y+ z+ 6 = 0. Diện tích của hình phẳng giới x y z C.
+ + +1 = 0. D. ax +by + cz −1= 0.
hạn bởi đường cong () bằng: a b c
Câu 11: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, A. 45. B. 3 5. C. 9. D. 3.
cho mặt phẳng () : x + 2y + 3z − 6 = 0 và đường
Câu 16: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, x +1 y +1 z − 3 thẳng : = = . Mệnh đề nào sau đây cho điểm ( A 2; 4;1) và mặt phẳng 1 − 1 − 1 − + − = đúng
(S) : x 3y 2z 5
0. Viết phương trình đường ?
thẳng d đi qua A và vuông góc với (P). A. //(). x − 2 y − 4 z −1 A. = = . B. ⊥ () . 1 − 3 2
C. cắt và không vuông góc với () . x + 2 y + 4 z +1 B. = = . 1 − 3 2 D. ( ). x − 2 y − 4 z −1 = =
Câu 12: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, C. . 1 − 3 2 − cho các điểm (0
A ;1; 2) , B(1; 2;3) và C(1; 2 − ; 5 − ). Điể + + +
m M nằm trong đoạn thẳng BC sao cho x 2 y 4 z 1 D. = = . MB = 3M .
C Độ dài đoạn thẳng AM bằng 1 3 − 2
Câu 17: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, A. 11. B. 7 3. C. 7 2. D. 30.
trong các điểm cho dưới đây điểm nào thuộc trục
Câu 13: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, Oy? − − − cho đườ x 2 y 2 z 1 ng thẳng : = = và mặt A. ( Q 0;3; 2). B. N(2;0;0). 1 1 2
phẳng () : x + y + z −1 = 0 . Gọi d là đường thẳng C. P(2;0;3). D. M (0; 3 − ;0).
nằm trên () đồng thời cắt đường thẳng và trục
Câu 18: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,
Oz. Một vectơ chỉ phương của d là cho các điểm ( A 1;1;1), ( B 0; 2
− ;0),C(0;0;5). Tìm tọa
A. u = (2; −1; −1). B. u = (1;1; 2). −
độ của vectơ pháp tuyến n của mặt phẳng (ABC) C. u = (1; 2 − ;1). D. u = (1; 2; 3 − ).
A. n = (13;5; 2).
B. n = (5;13; 2).
Câu 14: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,
C. n = (13; −5; 2).
D. n = (−13;5; 2).
cho mặt phẳng () : x + ay + bz −1 = 0 và đường
Câu 19: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, x y z −1 thẳng : = =
. Biết rằng ( )// và ( ) cho hai điểm ( A 1; 2;0), ( B 3
− ;5;7) và đường thẳng 1 1 − 1 − x −1 y z + 2
tạo với các trục Ox, Oz các góc bằng nhau. Tìm giá d : = =
. M là điểm nằm trên d sao cho 2 2 1 trị của a. MA = M .
B Tính cao độ z của điểm M. M A. a = 1
− hoặc a =1. B. a = 2 hoặc a = 0. 45 42 A. z = . B. z = . C. a = 0. D. a = 2. M 2 M 5
Câu 15: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, 47 43
cho biết đường cong () là tập hợp tâm của các C. z = . D. z = . M 5 M 2 LOVEBOOK.VN|69
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB
Câu 20: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,
Câu 24: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, − + − cho điể cho đườ x 3 y 1 z 4 m (
A 2;0;0) , B(0; 4;0) , C(0;0;6) . Tìm toạ ng thẳng d : = = và mặt 4 1 − 2
độ điểm I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
phẳng (S) : x + 2y − z + 3 = 0 . Chọn mệnh đề đúng 2 4 trong các mệnh đề sau. A. I ; ; 2 . B. I ( 5 − ;1;0). 3 3
A. Đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) tại đúng 1 điểm. C. I ( 2 − ;2;0). D. I (1; 2;3).
B. Đường thẳng d song song với mặt phẳng (P).
Câu 25: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, − − =
C. Đường thẳng d nằm trên mặt phẳng (P).
cho mặt phẳng (P) có phương trình x 2z 2 0.
Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của
D. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P). (P)?
Câu 21: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,
A. u = (1; 0; 2).
B. u = (1; 0; −2). + + 1 1 cho đườ x 1 y 1 z ng thẳng d : = = và mặt cầu 2 2 − 1
C. u = (1; −2; 2 − ).
D. u = (−1; 2; 2). 1 1 2 2 2
(S) : x + y + z − 2x + 4y − 2z − 3 = 0. Viết phương
trình mặt phẳng (P) vuông góc với d, (P) tiếp xúc
Câu 26: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,
với (S) đồng thời (P) cắt trục Oz tại điểm có cao độ
Viết phương trình mặt phẳng (P) song song và cách tương đương. − đều hai đườ x 2 y z ng thẳng d : = = và 1 1 − 1 1
A. 2x − 2y + z + 2 = 0. x y −1 z − 2 d : = = . 2 − −
B. 2x − 2y + z −16 = 0. 2 1 1
A. 2x − 2z +1 = 0.
B. 2y − 2z +1 = 0.
C. 2x − 2y + z −10 = 0.
C. 2x − 2y +1 = 0.
D. 2y − 2z −1 = 0.
D. 2x − 2y + z − 5 = 0.
Câu 27: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,
Câu 22: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm ( A 1;0; 2) , ( B 0; 1 − ;6) và mặt phẳng
cho tứ diện ABCD có tọa độ các đỉnh ( A 3;5; 1 − ), ( )
P : x + 2y − 2z +12 = 0 . M là điểm di động trên ( B 0; 1 − ;8),C( 1 − , 7 − ,3), (
D 0;1; 2) và điểm M (1;1;5). − Gọi ( )
P : x + ay + bz + c = 0 là mặt phẳng đi qua các
mặt phẳng (P). Tìm giá trị lớn nhất của MA MB .
điểm D, M sao cho (P) chia tứ diện ABCD thành hai
phần có thể tích bằng nhau. Tính S = a + b + . c A. 6 2. B. 10. C. 3 2. D. 2 10.
Câu 28: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, 1 4 7 A. S = . B. S = . C. S = . D. S = 0. hai mặt phẳng
4x − 4y + 2z − 7 = 0 và 3 3 3
2x − 2y + z +1 = 0 chứa hai mặt của hình lập
Câu 23: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,
phương. Thể tích khối lập phương đó là cho các điểm ( A 5;8; 1 − 1), ( B 3;5; 4 − ),C(2;1; 6 − ) và 9 3 81 3 mặt cầu 2 2 2
(S) : (x− 4) + (y− 2) + (z+1) = 9 . Gọi A. V = . B. V = . 2 8
M (x ; y ; z ) là điểm trên (S) sao cho biểu thức M M M 64 27
MA − MB − MC đạt giá trị nhỏ nhất. Tính C. V = . D. V = . 27 8
P = x + y . M M
Câu 29: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,
phương trình tham số của trục Oz là A. P = 4.
B. P = 0. C. P = 2. − D. P = 2. LOVEBOOK.VN|70
Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân và ứng dụng The best or nothing x = t x = 0 A. F (4;1; 4 − ). B. M (3;5; ) 1 .
A. y = 0 (t ) .
B. y = t (t ) . C. N (4;6; 3 − ). D. E ( 5 − ;1; 7 − ). z = 0 z = 0
Câu 34: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, x = 0 x = t − − cho đườ x y 1 z 1 = =
C. y = 0 (t ) .
D. y = t (t ) . ng thẳng : . Xét mặt 1 1 1 z = t z = 0 phẳng 2 ( )
P : m x − 2y + mz +1 = 0 , m là tham số
thực. Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng
Câu 30: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, −
nằm trong mặt phẳng (P). cho đườ x 2 y z ng thẳng d : = = và mặt cầu 2 1 − 4
A. m = 1 và m = 2. − B. m = 2. − 2 2 2
(S) : (x−1) + (y− 2) + (z−1) = 2. Hai mặt phẳng
C. m = 1. D. m = 1
− và m = 2.
(P) và (Q) chứa d và tiếp xúc với (S). Gọi M, N
Câu 35: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,
là tiếp điểm. Tính dộ dài đoạn thẳng MN. + − − cho đườ x 2 y 1 z 2 ng thẳng : = = và mặt 4 1 1 2 A. 4. B. 6. C. . D. 2 2. + + = 3 phẳng ( ) P : x y z 0. Đường thẳng ' là hình
chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng (P). Một
Câu 31: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,
vectơ chỉ phương u của đường thẳng ' là cho mặt phẳng ( )
P : 3x + 5y − z − 2 = 0 và đường x = 12 + 4t A. u = (1;1; 2). − B. u = (1; 1 − ;0).
thẳng d : y = 9 + 3t (t ) . Gọi M là giao của d C. u = (1; 0; 1 − ). D. u = (1; 2 − ;1). z = 1+ t
và (P). Viết phương trình mặt phẳng chứa M và
Câu 36: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, vuông góc với d. cho mặt cầu 2 2 2
(S) : (x−1) + (y+ 3) + (z+ 2) = 49.
Mặt phẳng nào trong các mặt phẳng có phương
A. 4x + 3y + z = 0.
trình sau đây tiếp xúc với mặt cầu (S).
B. 4x + 3y + z + 2 = 0.
A. 2x + 3y − 6z − 5 = 0.
C. 4x − 3y + z + 2 = 0.
B. 6x + 2y − 3z = 0.
D. 4x − 3y − z = 0.
C. x + 2y − 2z − 7 = 0.
Câu 32: : Trong không gian với hệ trục tọa độ D. 6
− x − 2y +3z +55 = 0.
Oxyz, cho mặt phẳng ( )
P : 3x − 2z − 2 = 0 . Vectơ
Câu 37: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,
pháp tuyến n của mặt phẳng (P) là x = 1+ t
A. n = (3; 0; 2).
B. n = (−3; 2; −1).
cho đường thẳng : y = 0 (t ) và các điểm z = −t C. n = (3; 2; 1 − ). D. n = ( 3 − ;0;2). ( A 2;1; 1 − ), ( B 1
− ;2;0). Gọi d là đường thẳng đi qua
Câu 33: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,
B, cắt đường thẳng và có khoảng cách từ A tới d − + + cho đườ x 1 y 1 z 3 ng thẳng : = = . Trong các
lớn nhất. Khẳng định nào sau đây đúng? 3 − 1 2 −
điểm M, N, E, F, được cho dưới đây, điểm nào
A. Đường thẳng d vuông góc với đưởng thẳng
thuộc đường thẳng . . LOVEBOOK.VN|71
Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB
B. Đường thẳng d vuông góc với trục Oz.
trình (Q) có dạng −x + ay + bz + c = 0 , giá trị của c sẽ là
C. Đường thẳng d vuông góc với trục Ox. A. –13. B. 13.
D. Đường thẳng d vuông góc với trục Oy. C. 1 hoặc 13. D. –1 hoặc 13.
Câu 38: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm ( A 1;3; 4 − ) và ( B 1 − ;2;2) . Viết
Câu 44: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,
phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng x = t AB.
cho đường thẳng : y = 1
− + 2t , (t ) và điểm
A. 4x − 2y +12z +17 = 0. z = 1 ( A 1
− ;2;3) . Biết phương trình mặt phẳng (P) chứa
B. 4x + 2y +12z −17 = 0.
có dạng x +by + cz + d = 0 và khoảng cách từ A
C. 4x − 2y −12z −17 = 0.
đến (P) là 3. Giá trị của d là
D. 4x + 2y −12z −17 = 0. 1 1 2 A. . B. . C. . D. 1. 4 2 3
Câu 39: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) qua ( A 2 − ;1;3), (
B 5; 4;1), C(2; 2; 1 − )
Câu 45: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,
có dạng ax + y + cz + d = 0 , chọn giá trị đúng của d. cho hai điểm ( A 2;1; 3
− ) , B(1;2;1) và mặt phẳng ( )
P : 2x + y + z − 7 = 0 . Nếu C là điểm trên (P) sao 3 5 1 A. . B. − . C. 2. D. .
cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, thì tổng hoành độ 2 4 2
và tung độ của C nhận giá trị nào sau đây?
Câu 40: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, A. 2. B. 3. C. –2. D. 1.
khối cầu đường kính AB với ( A 2;1;1), ( B 4;3;5) thì có thể tích là
Câu 46: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có ( A 3; 2; 1 − ), ( B 2; 3 − ;1) và C
A. 12 6 . B. 4 6 . C. 8 6. D. 8 6.
nằm trên trục Ox. Biết tam giác ABC vuông tại A,
khi đó hoành độ của C là
Câu 41: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm ( A 2;1; 1
− ) , B(1;2;3) . Khi đó, độ dài A. 15. B. 17. C. 16. D. -12.
đoạn AB nhận giá trị nào sau đây?
Câu 47: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, A. 3 18. B. 18. C. 4 18. D. 2 18. + + cho đườ x y 1 z 2 ng thẳng d : = = và mặt phẳng 1 2 3
Câu 42: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, ( )
P : x + 2y − 2z + 3 = 0. Điểm nào dưới đây thuộc d mặt phẳng (P) qua ( A 2 − ;1;3) và song song với
vàcó khoảng cách đến (P) bằng 2? ( )
Q : x− 3 y+ z+ 5 = 0 thì cắt Oy tại điểm có tung độ A. − − . B. − − − là M (0; 1; 2) N( 1; 3; 5). − − − 1 2 C. ( P 2; 5; 8). D. ( Q 1;1;1). A. 3. B. . C. 1. D. . 3 3
Câu 48: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,
Câu 43: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,
tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M (3; 4;1) mặt phẳng (Q) song song với trên đườ x y z ng thẳng : = = là ( )
P : x + 2y + 2z −1 = 0 và cắt mặt cầu 1 2 3 2 2 2
(S) : (x −1) + y + (z− 3) = 6 theo giao tuyến là A. (0;0;0). B. (1; 2 − ;3).
một đường tròn có diện tích là 2. Biết phương C. ( 1 − ; 2 − ; 3 − ). D. (1; 2;3). LOVEBOOK.VN|72
Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân và ứng dụng The best or nothing
Câu 49: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm (
A 1;1;0) , B(0;1;1) , C(1;0;1) . Tập hợp
các điểm M trên mặt phẳng Oxz sao cho 2 .
MA MB + MC = 2 là
A. một đường thẳng. B. một điểm.
C. một đường tròn. D. tập rỗng.
Câu 50: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm ( A 2; 2;0) , ( B 2;0; 2 − ) và mặt phẳng ( )
P : x + 2y − z −1 = 0 . Tìm điểm M thuộc (P) sao
cho MA = MB và góc AMB có số đo lớn nhất. 14 1 1 A. M ; − ; . 11 11 11 2 4 1 B. M ; ; − . 11 11 11 C. M (2; 1 − ; 1 − ). D. M ( 2 − ;2;1). LOVEBOOK.VN|73