Toàn tập thể tích khối đa diện vận dụng cao

Tài liệu gồm 92 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Lương Tuấn Đức (Giang Sơn), tuyển tập hệ thống bài tập trắc nghiệm chuyên đề thể tích khối đa diện vận dụng cao (VDC) lớp 12 THPT..Mời bạn đọc đón xem.

82 41 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 1: Khối đa diện

Môn: Toán 12

Thông tin:

92 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Lan Tường
1
THÂN TẶNG QUÝ THẦY CÔ VÀ CÁC EM HỌC SINH TOÀN QUỐC
HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHUYÊN ĐỀ
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN VẬN DỤNG CAO
LỚP 12 THPT
CREATED BY GIANG SƠN; TEL 0333275320
TP.THÁI BÌNH; 20/8/2021
TOÀN TẬP
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
VẬN DỤNG CAO
PHIÊN BẢN 2021
2
TOÀN TẬP
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN VẬN DỤNG CAO
__________________________________________________________________________________________________
VẬN DỤNG CAO THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN ĐẶC BIỆT – P1
VẬN DỤNG CAO THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN ĐẶC BIỆT – P2
VẬN DỤNG CAO BÀI TOÁN THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN – P1
VẬN DỤNG CAO BÀI TOÁN THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN – P2
VẬN DỤNG CAO BÀI TOÁN THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN – P3
VẬN DỤNG CAO CỰC TRỊ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN – P1
VẬN DỤNG CAO CỰC TRỊ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN – P2
VẬN DỤNG CAO CỰC TRỊ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN – P3
VẬN DỤNG CAO CỰC TRỊ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN – P4
VẬN DỤNG CAO CỰC TRỊ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN – P5
VẬN DỤNG CAO CỰC TRỊ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN – P6
VẬN DỤNG CAO HỖN HỢP GÓC, THỂ TÍCH, KHOẢNG CÁCH – P1
VẬN DỤNG CAO HỖN HỢP GÓC, THỂ TÍCH, KHOẢNG CÁCH – P2
VẬN DỤNG CAO HỖN HỢP GÓC, THỂ TÍCH, KHOẢNG CÁCH – P3
VẬN DỤNG CAO HỖN HỢP GÓC, THỂ TÍCH, KHOẢNG CÁCH – P4
VẬN DỤNG CAO HỖN HỢP GÓC, THỂ TÍCH, KHOẢNG CÁCH – P5
VẬN DỤNG CAO HỖN HỢP GÓC, THỂ TÍCH, KHOẢNG CÁCH – P6
VẬN DỤNG CAO HỖN HỢP GÓC, THỂ TÍCH, KHOẢNG CÁCH – P7
VẬN DỤNG CAO HỖN HỢP GÓC, THỂ TÍCH, KHOẢNG CÁCH – P8
VẬN DỤNG CAO HỖN HỢP GÓC, THỂ TÍCH, KHOẢNG CÁCH – P9
VẬN DỤNG CAO HỖN HỢP GÓC, THỂ TÍCH, KHOẢNG CÁCH – P10
VẬN DỤNG CAO TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI CHÓP TAM GIÁC – P1
VẬN DỤNG CAO TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI CHÓP TAM GIÁC – P2
VẬN DỤNG CAO TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI CHÓP TAM GIÁC – P3
VẬN DỤNG CAO TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI CHÓP TAM GIÁC – P4
VẬN DỤNG CAO TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI CHÓP TAM GIÁC – P5
VẬN DỤNG CAO TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI CHÓP TỨ GIÁC – P1
VẬN DỤNG CAO TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI CHÓP TỨ GIÁC – P2
VẬN DỤNG CAO TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI CHÓP TỨ GIÁC – P3
VẬN DỤNG CAO TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI CHÓP TỨ GIÁC – P4
VẬN DỤNG CAO TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI HỘP – P1
VẬN DỤNG CAO TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI HỘP – P2
VẬN DỤNG CAO TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI HỘP – P3
VẬN DỤNG CAO TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ – P1
VẬN DỤNG CAO TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ – P2
VẬN DỤNG CAO TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ – P3
VẬN DỤNG CAO TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ – P4
VẬN DỤNG CAO TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ – P5
VẬN DỤNG CAO BÀI TOÁN TỔNG HỢP TỈ SỐ THỂ TÍCH – P1
VẬN DỤNG CAO BÀI TOÁN TỔNG HỢP TỈ SỐ THỂ TÍCH – P2
VẬN DỤNG CAO BÀI TOÁN TỔNG HỢP TỈ SỐ THỂ TÍCH – P3
VẬN DỤNG CAO BÀI TOÁN TỔNG HỢP TỈ SỐ THỂ TÍCH – P4
VẬN DỤNG CAO BÀI TOÁN TỔNG HỢP TỈ SỐ THỂ TÍCH – P5
VẬN DỤNG CAO BÀI TOÁN TỔNG HỢP TỈ SỐ THỂ TÍCH – P6
VẬN DỤNG CAO BÀI TOÁN TỔNG HỢP TỈ SỐ THỂ TÍCH – P7
VẬN DỤNG CAO BÀI TOÁN TỔNG HỢP TỈ SỐ THỂ TÍCH – P8
VẬN DỤNG CAO BÀI TOÁN TỔNG HỢP TỈ SỐ THỂ TÍCH – P9
VẬN DỤNG CAO BÀI TOÁN TỔNG HỢP TỈ SỐ THỂ TÍCH – P10
3
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN ĐẶC BIỆT – P1)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho đa diện S.ABCD như hình vẽ có SA = 6, SB = 3, SC = 4, SD = 2.
Ngoài ra
·
·
·
·
60
ASB BSC CSD DSA BSD
o
. Tính thể tích khối đa
diện S.ABCD.
A.
10 2
B.
6 2
C.
5 2
D.
30 2
Câu 2. Tứ diện ABCD có
·
·
·
90 ; 60 ; 120 ;
BAC CAD BAD AB AC AD a
o o o
. Khoảng cách từ đỉnh C
đến mặt phẳng (ABD) bằng
A.
3
2
a
B.
6
3
a
C.
6
2
a
D.
2
2
a
Câu 3. Cho hình chóp .
S ABC
, có đáy
ABC
là tam giác đều cạnh
a
. Các
mặt bên
SAB
,
SAC
,
SBC
lần lượt tạo với đáy các góc lần lượt là
o
30
,
o
45
,
o
60
. Tính thể tích
V
của khối chóp .
S ABC
. Biết rằng hình chiếu vuông
góc của
S
trên mặt phẳng
ABC
nằm bên trong tam giác
ABC
.
A.
3
3
8 4 3
a
V
. B.
3
3
2 4 3
a
V
.
C.
3
3
4 4 3
a
V
. D.
3
3
4 3
a
V
.
Câu 4. Cho tứ diện ABCD biết rằng
·
·
·
0
2, 2 3, 90
AB CD ABC BAD BCD
và góc giữa hai đường thẳng
AD, BC bằng
0
30
. Tìm thể tích khối tứ diện trên.
A.
8 3
.
3
B.
2 3.
C.
4 3
.
3
D.
3 3.
Câu 5. Cho tứ diện
ABCD
có
AB
là đoạn vuông góc chung của
BC
và
AD
,
2 ,
AB a AD BC a
và
·
( , )AB CD
. Tìm thể tích của khối tứ diện trên theo
,
a
.
A.
3 2
.tan . 1 tan .
a
B.
3 3
2 .tan .
a
C.
3 2
2 .tan . 1 tan .
a
D.
3 3
.tan .
a
Câu 6. Cho hình chóp .
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
B
,
3
BA BC a
. Khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
SBC
bằng
2
a
và
·
·
90
SAB SCB
o
. Tính thể tích khối chóp đã cho.
A.
3
a
. B.
3
6
a . C.
3
2
a
. D.
3
6
2
a
.
Câu 7. Cho hình chóp
.
S ABC
có , ,
SA a SB b SC c
và
·
·
·
0
60 .
ASB BSC CSA Tính thể tích khối chóp
.
S ABC
theo
, , .
a b c
A.
2
12
abc
B.
2
.
12
abc
C.
2
.
4
abc
D.
2
4
abc
Câu 8. Cho hình chóp .
S ABC
có tam giác
ABC
vuông tại
B
,
1, 3
AB AC
,
·
·
0
90
SAB SCB
,
2
SB
và
3 10
cos
10
với
là góc hợp bởi giữa đường thẳng
SB
và mặt phẳng
SAC
.
Tính thể tích khối chóp .
S ABC
.
A.
2
4
V
. B.
1
3
V
. C.
1
2
V
. D.
1
6
V
.
Câu 9. Cho hình chóp .
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
B
,
2 ;
AB a
·
·
0
90
SAB SCB
và góc
giữa đường thẳng
AB
và mặt phẳng
SBC
bằng
0
30 .
Tính thể tích
V
của khối chóp đã cho.
4
A.
3
3
3
a
V B.
3
4 3
9
a
V C.
3
2 3
3
a
V D.
3
8 3
3
a
V
Câu 10. Cho khối chóp S.ABC có cạnh đáy
5 , 6
AB AC a BC a
và các mặt bên tạo với đáy một góc
0
60
.
Hãy tính thể tích V của khối chóp đó?
A.
3
2 3.
V a B.
3
6 3.
V a C.
3
12 3.
V a D.
3
18 3.
V a
Câu 11. Cho hình chóp .
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
B
,
3
BA BC a
. Khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
SBC
bằng
2
a
và
·
·
90
SAB SCB
o
. Tính thể tích khối chóp đã cho.
A.
3
a
. B.
3
6
a . C.
3
2
a
. D.
3
6
2
a
.
Câu 12. Cho hình chóp đều .
S ABC
có đáy là tam giác đều cạnh
a
. Gọi
,
M N
lần lượt là trung điểm của
,
SB SC
. Biết
AMN SBC
. Thể tích khối chóp
.
S ABC
bằng
A.
3
26
24
a
. B.
3
5
24
a
. C.
3
5
8
a
. D.
3
13
18
a
.
Câu 13. Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
2
a
. Tam giác
SAB
vuông tại
S
và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi
là góc tạo bởi đường thẳng
SD
và mặt phẳng
SBC
, với
1
tan
2
. Gọi (P) là mặt phẳng chứa CD và vuông góc với (ABCD), trên (P) lấy điểm M bất kỳ. Tìm thể tích
khối chóp M.SAB.
A.
3
3
2
a
. B.
3
3
3
a
. C.
3
3
6
a
. D.
3
3
4
a
.
Câu 14. Cho khối chóp .
S ABC
, đáy
ABC
là tam giác có
·
0
4 , 5 , 60
AB a AC a BAC ,
·
·
0
90
SBA SCA
,
góc giữa
SAB
và
SAC
bằng
0
60
. Thể tích của khối chóp đã cho bằng:
A.
3
20 39
13
a
. B.
3
10 13
13
a
. C.
3
20 13
13
a
. D.
3
10 39
13
a
.
Câu 15. Cho khối chóp .
S ABC
có đáy là tam giác cân tại
A
,
AB a
,
·
120
BAC
,
·
·
90
SBA SCA
. Gọi
là
góc giữa hai mặt phẳng
SAB
và
SAC
. Khi
3
cos
4
thì thể tích khối chóp đã cho bằng
A.
3
3
a
. B.
3
a
. C.
3
3
4
a
. D.
3
4
a
.
Câu 16. Cho tứ diện ABCD có
90 ; ; 5; 135
O o
DAB CBD AB a AC a ABC . Biết góc giữa hai mặt
phẳng
,
ABD BCD
bằng
30
o
. Thể tích của tứ diện
ABCD
bằng
A.
3
2 3
a
. B.
3
2
a
. C.
3
3 2
a
. D.
3
6
a
.
Câu 17. Cho khối chóp .
S ABC
có
·
·
·
0
60
ASB BSC CSA
,
, 2 , 4
SA a SB a SC a
. Tính thể tích khối chóp
.
S ABC
theo
a
.
A.
3
2 2
3
a
. B.
3
2
3
a
. C.
3
4 2
3
a
. D.
3
8 2
3
a
.
Câu 18. Cho hình chóp .
S ABC
, có
5 cm
AB
,
6 cm
BC
,
7 cm
AC
. Các mặt bên tạo với đáy một góc
60
. Thể tích của khối chóp bằng
A.
3
105 3
cm
2
. B.
3
35 3
cm
2
. C.
3
24 3 cm
. D.
3
8 3 cm
5
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN ĐẶC BIỆT – P2)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho tứ diện
ABCD
có
·
·
·
90
ABC BCD CDA
,
,
BC CD a
2
AD a
. Góc giữa hai mặt phẳng
ABC
và
ACD
bằng
A.
60
. B.
30
. C.
45
. D.
90
.
Câu 2. Cho lăng trụ tam giác
. ' ' '
ABC A B C
có
'
BB a
, góc giữa đường thẳng
'
BB
và
ABC
bằng
60
, tam
giác
ABC
vuông tại
C
và góc
·
60
BAC
. Hình chiếu vuông góc của điểm
'
B
lên
ABC
trùng với trọng tâm
của
ABC
. Thể tích của khối tứ diện
'.
A ABC
theo
a
bằng
A.
3
13
.
108
a
B.
3
7
.
10 6
a
C.
3
15
.
108
a
D.
3
9
.
208
a
Câu 3. Cho khối chóp tam giác đều S.ABC, một mặt cầu tiếp xúc với tia đối của tia SA tại M, tiếp xúc với tia đối
của tia BA tại N và tiếp xúc với cạnh SB tại P. Biết SM = 2a, BN = 3a. Thể tích khối chóp S.ABC là
A.
3
2 59
3
a
B.
3
59
3
a
C.
3
4 59
3
a
D.
3
4 59
9
a
Câu 4. Tính thể tích khối 12 mặt đều cạnh a.
A.
3
(15 7 5)
4
a
B.
3
(15 7 5)
2
a
C.
3
(14 7 5)
4
a
D.
3
(16 7 5)
4
a
Câu 5. Cho miếng bìa hình chữ nhật ABCD có AB = 6; AD = 9. Trên cạnh AD lấy điểm E sao cho AE = 3. Gọi F
là trung điểm của cạnh BC. Cuốn miếng bìa sao cho AB trùng với CD để tạo thành một hình trụ. Tính thể tích
của tứ diện ABEF.
A.
2
81 3
8
B.
2
81 3
4
C.
81 3
4
D.
2
3
4
Câu 6. Cho tứ diện ABCD có
6
AB a
, tam giác ACD đều, hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (BCD)
trùng với trực tâm H của tam giác BCD. Mặt phẳng (ADH) tạo với mặt phẳng (ACD) một góc
45
o
. Tính thể tích
của khối tứ diện ABCD.
A.
3
1,5
a
B.
3
2,25
a
C.
3
6,75
a
D.
3
0,75
a
Câu 7. Tính thể tích khối 20 mặt đều cạnh a.
A.
3
(14 7 5)
4
a
B.
3
5 (3 7 5)
4
a
C.
3
5 (3 5)
12
a
D.
3
5 (3 7 5)
8
a
Câu 8. Cho hình chóp .
S ABC
có tam giác
SAB
nhọn và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy
ABC
,
tam giác
ABC
vuông tại
C
có
·
, 30
AC a ABC . Mặt bên
SAC
và
SBC
cùng tạo với đáy góc bằng nhau
và bằng
60
. Thể tích của khối chóp .
S ABC
theo
a
là:
A.
3
2(1 5)
a
V
. B.
3
3
2(1 3)
a
V
. C.
3
2
1 3
a
V
. D.
3
2
2(1 2)
a
V
.
Câu 9. Cho hình chóp .
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
B
,
3
BA BC a
. Khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
SBC
bằng
2
a
và
·
·
90
SAB SCB
o
. Tính thể tích khối chóp đã cho.
A.
3
a
. B.
3
6
a . C.
3
2
a
. D.
3
6
2
a
.
Câu 10. Cho tứ diện
ABCD
có
· ·
90
DAB CBD
º
;
·
; 5; 135
AB a AC a ABC
. Biết góc giữa hai mặt
phẳng
,
ABD BCD
bằng
30
. Thể tích của tứ diện
ABCD
bằng
A.
3
2 3
a
. B.
3
2
a
. C.
3
3 2
a
. D.
3
6
a
.
Câu 11. Cho hình chóp .
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác đều cạnh bằng
a
. Biết khoảng cách từ
A
đến mặt
phẳng
SBC
là
6
4
a
, từ
B
đến mặt phẳng
SAC
là
15
10
a
, từ
C
đến mặt phẳng
SAB
là
30
20
a
và hình
chiếu vuông góc của
S
xuống đáy nằm trong tam giác
ABC
. Tính thể tích khối chóp
.
S ABC
.
6
A.
3
36
a
. B.
3
48
a
. C.
3
12
a
. D.
3
24
a
.
Câu 12. Cho tứ diện
ABCD
có
· ·
90
DAB CBD
º
;
·
; 5; 135
AB a AC a ABC
. Biết góc giữa hai mặt
phẳng
,
ABD BCD
bằng
30
. Thể tích của tứ diện
ABCD
bằng
A.
3
2 3
a
. B.
3
2
a
. C.
3
3 2
a
. D.
3
6
a
.
Câu 13. Tính thể tích khối chóp
.
S ABC
có góc
·
·
·
60
ASB BSC CSA
và
2, 3, 4
SA SB SC
.
A.
4 3
. B.
2 3
. C.
2 2
. D.
3 2
.
Câu 14. Cho hình chóp S.ABC, mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC),
·
·
·
60
ASB BSC CSA
o
,
SB = SC = 1. Gọi M, N là các điểm lần lượt thuộc các cạnh SA, SB sao cho SA = xSM (x > 0), SB = 2SN. Giá trị
x bằng bao nhiêu để thể tích khối tứ diện SCMN bằng
2
32
A. 2,5 B. 2 C.
4
3
D. 1,5
Câu 15. Cho khối tứ diện ABCD có AB = CD = 5a, AC = BD = 6a, AD = BC = 7a. Tính thể tích khối tứ diện
ABCD.
A.
3
95
a B.
3
2 95
a C.
3
8 95
a D.
3
4 95
a
Câu 16. Cho khối tứ diện ABCD có
5; 10; 2 2; 3 3; 22; 13
AB CD AC BD AD BC
. Tính
thể tích của khối tứ diện đó.
A. 20 B. 5 C. 10 D. 15
Câu 17. Cho khối tứ diện S.ABC có
·
·
·
; 60 ; 90 ; 120
SA SB SC a ASB BSC CSA
o o o
. Gọi M, N lần lượt
là các điểm trên cạnh AB, SC sao cho
11
;
12
CN AM
MN a
SC AB
. Tính thể tích V của khối chóp S.AMN.
A.
3
2
72
a
B.
3
5 2
432
a
C.
3
5 2
72
a
D.
3
2
432
a
Câu 18. Tính thể tích khối chóp S.ABC có
3; 2 ; 3
SA SB SC a AB AC a BC a
.
A.
3
5
2
a
B.
3
35
2
a
C.
3
35
6
a
D.
3
5
4
a
Câu 19. Cho hai hình chóp tam giác đều có cùng chiều cao. Biết đỉnh của hình chóp này trùng với tâm của đáy
hình chóp kia, mỗi cạnh bên của hình chóp này đều cắt một cạnh bên của hình chóp kia. Cạnh bên có độ dài
bằng a của hình chóp thứ nhất tạo với đường cao một góc
30
o
, cạnh bên của hình chóp thứ hai tạo với đường
cao một góc
45
o
. Tính thể tích phần chung của hai hình chóp đã cho.
A.
3
3(2 3)
64
a
B.
3
(2 3)
64
a
C.
3
9(2 3)
64
a
D.
3
27(2 3)
64
a
Câu 20. Cho tứ diện ABCD có
2 ; 7; 3
AB BD AD a AC a BC a
. Biết khoảng cách giữa hai
đường thẳng AB, CD bằng a. Tính thể tích của khối tứ diện ABCD.
A.
3
2 6
3
a
B.
3
2 2
3
a
C.
3
2 6
a
D.
3
2 2
a
Câu 21. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có SA = 2, D và E lần lượt là trung điểm của SA, SC. Tính thể tích
khối chóp S.ABC biết BD vuông góc với AE.
A.
4 21
7
B.
4 21
3
C.
4 21
9
D.
4 21
27
Câu 22. Hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều, mặt bên SCD là tam
giác vuông cân tại S. Gọi M là điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM vuông góc với SA. Tính thể tích khối
chóp S.BDM theo a
A.
3
3
16
a
B.
3
3
32
a
C.
3
3
48
a
D.
3
3
24
a
7
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN THỰC TẾ KHỐI ĐA DIỆN – PHẦN 1)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Một người thợ xây cần xây một bể chứa 180m
3
nước có dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông
và không có nắp. Hỏi chiều dài, chiều rộng và chiều cao của lòng bể bằng bao nhiêu để số viên gạch dùng để
xây bể là ít nhất, biết rằng thành bể và đáy bể đều được xây bằng gạch, độ dày của thành bể và đáy bể như
nhau, các viên gạch có kích thước như nhau và số viên gạch trên một đơn vị diện tích bằng nhau
A. 6;6;3 B.
2 3;2 3;9
C.
3 2;3 2;6
D.
3 3;3 3;4
Câu 2. Từ một miếng bìa hình vuông có cạnh bằng 5, người ta cắt 4 góc bìa 4 tứ
giác bằng nhau và gập lại phần còn lại của tấm bìa để được một khối chóp tứ giác
có cạnh đáy bằng x. Nếu chiều cao khối chóp tứ giác đều này bằng
5
2
thì x bằng
bao nhiêu
A. x = 2 B. x = 1 C. x = 3 D. x = 4
Câu 3. Ông A dự định sử dụng 6,5m
2
kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp,
chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bao
nhiêu (kết quả làm tròn).
A. 2,26m
3
B. 1,61m
3
C. 1,33m
3
D. 1,5m
3
Câu 4. Người thợ cần làm một cái bể cá hai ngăn, không có nắp ở phía trên
với thể tích 1,296m
3
. Người thợ này cắt các tấm kính ghép lại một bể cá dạng
hình hộp chữ nhật với 3 kích thước a, b, c như hình vẽ. Người thợ phải thiết kế
các thước a, b,c để đỡ tốn kính nhất, giả sử độ dày của kính không đáng kể.
Khi đó a + b nhận giá trị bằng
A. 4,2m B. 3,3m C. 3m D. 2,4m
Câu 5. Cho một chiếc bàn tròn hình tròn bán kính bằng 4. Có 6 miếng vải hình
chữ nhật với chiều dài x, chiều rộng là 1 đặt vào bàn như hình vẽ. Tìm x.
A.
3 7 3
2
B.
5 2 3
2
x
C.
2 3
x D.
5 3
x
Câu 6. Từ một tấm bạt hình chữ nhật có kích thước
12 6
m m
như hình vẽ. Một nhóm học sinh trong quá trình đi dã ngoại đã
gập đôi tấm bạt lại theo đoạn nối trung điểm 2 cạnh là chi rộng
của tấm bạt sao cho 2 mép chiều dài của tấm bạt sát đất và
cách nhau
( )
x m
(như hình vẽ). Tìm x để khoảng không gian
trong lều là lớn nhất.
A.
4.
x
B.
3 3.
x
C.
3.
x
D.
3 2.
x
Câu 7. Một người muốn xây một cái bể chứa nước, dạng một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng
288dm
3
. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê nhân công để xây bể là 500000
đồng/m
2
. Nếu người đó biết xác định các kích thước của bể hợp lí thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi
người đó trả chi phí thấp nhất để thuê nhân công xây dựng bể đó là bao nhiêu?
A. 1,08 triệu đồng B. 0,91 triệu đồng C. 1,68 triệu đồng D. 0,54 triệu đồng
Câu 8. Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh
1 m
như hình
vẽ dưới đây. Người ta cắt phần tô đậm của tấm nhôm rồi gập
thành một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng
m
x
,
sao cho bốn đỉnh của hình vuông gập lại thành đỉnh của hình
chóp. Tìm
x
để khối chóp nhận được có thể tích lớn nhất.
A.
2
4
x
. B.
2
3
x
. C.
2 2
5
x
. D.
1
2
x
8
Câu 9. Ông A sử dụng hết 5m
2
kính để làm bể cá có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều
rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (làm tròn).
A. 0,96m
3
B. 1,01m
3
C. 1,51m
3
D. 1,33m
3
Câu 10. Người ta muốn xây một cái bể cá chứa nước lớn dạng một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích
bằng 288m3. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, tiền chi phí xây bể là 500000 đồng/m2.
Xác định các kích thước của bể hợp lý thì chi phí sẽ thấp nhất. Hỏi chi phí thấp nhất để xây bể là bao nhiêu
A. 168 triệu đồng B. 54 triệu đồng C. 108 triệu đồng D. 90 triệu đồng
Câu 11. Một xưởng sản xuất những thùng kẽm hình hộp chữ nhật không nắp và có các kích thước x, y, z (dm).
Biết tỉ số hai cạnh đáy là x:y = 1:3 và thể tích của hộp bằng 18dm
3
. Để tốn ít vật liệu nhất thì x + y + z bằng
A.
26
3
B. 10 C. 9,5 D. 26
Câu 12. Một người thợ thủ công cần làm một cái thùng hình hộp đứng không nắp đáy là hình vuông có thể tích
100cm3. Để tiết kiệm vật liệu làm thùng, người đó cần thiết kế sao cho tổng S của diện tích xung quanh và diện
tích mặt đáy là nhỏ nhất. Tổng S bằng
A.
3
30 40
B.
3
40 40
C.
3
10 40
D.
3
20 40
Câu 13. Một công ty muốn thiết kế một loại hộp có dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông sao cho thể
tích của khối hộp được tạo thành là 8dm
3
và diện tích toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất. Độ dài của mỗi hộp là
A. 2dm B. 4dm C.
2 2
dm
D.
3
2 2
dm
Câu 14. Khi xây dựng nhà, chủ nhà cần làm một bể nước bằng gạch có dạng hình hộp có đáy là hình chữ nhật
chiều dài d (m) và chiều rộng r (m) với d = 2r. Chiều cao bể nước là h (m) và thể tích bể là 2m3. Hỏi chiều cao
bể nước như thế nào thì chi phí xây dựng thấp nhất
A.
3 3
2 2
m
B.
3
2
3
m
C.
3
3
2
m
D.
2 2
3 3
m
Câu 15. Một người dự định làm một thùng đựng đồ hình lăng trụ tứ giác đều có thể tích V. Để làm thùng hàng
tốn ít nguyên liệu nhất thì chiều cao của thùng đựng đồ bằng
A.
2
3
V
B.
3
V
C.
1
4
V
D.
V
9
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN LỚP 11 – 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN THỰC TẾ KHỐI ĐA DIỆN – PHẦN 2)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Một viên đá có hình dạng là khối chóp tứ giác đều với tất cả các cạnh bằng
a
. Người ta cắt khối đá đó
bởi mặt phẳng song song với đáy của khối chóp để chia khối đá thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính diện
tích của thiết diện khối đá bị cắt bởi mặt phẳng nói trên. (Cho biết tổng thể tích của hai khối đá sau bằng thể tích
của khối đá ban đầu).
A.
2
2
3
a
. B.
2
3
2
a
. C.
2
4
a
. D.
2
3
4
a
Câu 2. Ông Khoa muốn xây một cái bể chứa nước lớn dạng một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng
3
288 m
. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê nhân công để xây bể là
500000
đồng/
2
m
. Nếu ông Khoa biết xác định các kích thước của bể hợp lí thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi
ông Khoa trả chi phí thấp nhất để xây dựng bể đó là bao nhiêu (Biết độ dày thành bể và đáy bể không đáng kể)?
A.
90
triệu đồng. B.
168
triệu đồng. C.
54
triệu đồng. D.
108
triệu đồng.
Câu 3. Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm.
Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình
vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x (cm),
rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một
cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể
tích lớn nhất.
A. x = 6cm B. x = 2cm C. x = 3cm D. x = 4cm
Câu 4. Một tấm kẽm hình vuông
ABCD
có cạnh bằng
30 (cm).
Người ta gập tấm kẽm theo hai cạnh
EF
và
GH
cho đến khi
AD
và
BC
trùng nhau như hình vẽ dưới đây để
được một hình lăng trụ khuyết hai đáy. Biết rằng
AE BG
.
Tìm giá trị của
x
để thể tích khối lăng trụ lớn nhất.
A. x = 5cm B. x = 8cm C. x = 9cm D. x = 10cm
Câu 5. Một người muốn xây một cái bể chứa nước, dạng một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng
256
3
3
m
, đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công để xây bể là
500000
đồng/
3
m
. Nếu người đó biết xác định các kích thước của bể hợp lí thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi
người đó trả chi phí thấp nhất để thuê nhân công xây dựng bể đó là bao nhiêu?
A.
48
triệu đồng. B.
47
triệu đồng. C.
96
triệu đồng. D.
46
triệu đồng.
Câu 6. Cắt ba góc của một tam giác đều cạnh bằng
a
các đoạn
bằng
, 0
2
a
x x
phần còn lại là một tam giác đều bên ngoài
là các hình chữ nhật, rồi gấp các hình chữ nhật lại tạo thành khối
lăng trụ tam giác đều như hình vẽ. Tìm độ dài
x
để thể tích khối
lăng trụ lớn nhất.
A.
3
a
. B.
4
a
. C.
5
a
. D.
6
a
.
Câu 7. Cho tam giác đều
ABC
có cạnh bằng
a
. Dựng hình chữ nhật
MNPQ
có đỉnh
,
M N
nằm trên cạnh
BC
, hai đỉnh
P
và
Q
theo thứ tự nằm
trên hai cạnh
AC
và
AB
của tam giác (tham khảo hình vẽ). Hình chữ nhật
MNPQ
có diện tích lớn nhất là
A.
2
4
a
. B.
2
3
2
a
. C.
2
3
4
a
. D.
2
3
8
a
.
N
M
P
A
B
C
Q
10
Câu 8. Một người xây nhà xưởng hình hộp chữ nhật có diện tích
mặt sàn là
2
1152 m
và chiều cao cố định. Người đó xây các bức
tường xung quanh và bên trong để ngăn nhà xưởng thành ba
phòng hình chữ nhật có kích thước như nhau (không kể trần
nhà). Vậy cần phải xây các phòng theo kích thước nào để tiết
kiệm chi phí nhất (bỏ qua độ dày các bức tường).
A.
16 m 24 m
. B.
8 m 48 m
. C.
12 m 32 m
. D.
24 m 32 m
.
Câu 9. Có một khối gỗ dạng hình chóp
.
O ABC
có
, ,
OA OB OC
đôi một
vuông góc với nhau,
3 ,
OA cm
6 ,
OB cm
12
OC cm
. Trên
mặt
ABC
người ta đánh dấu một điểm
M
sau đó người ta cắt gọt khối
gỗ để thu được một hình hộp chữ nhật có
OM
là một đường chéo đồng
thời hình hộp có 3 mặt nằm trên 3 mặt của tứ diện (xem hình vẽ). Thể tích
lớn nhất của khối gỗ hình hộp chữ nhật bằng
A.
3
8
cm
. B.
3
24
cm
. C.
3
12
cm
. D.
3
36
cm
.
Câu 10. Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là
3
6 3 cm
. Để ít
hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này bằng bao nhiêu?
A. Cạnh đáy bằng
2 6 cm
và cạnh bên bằng
1 cm
.
B. Cạnh đáy bằng
2 3 cm
và cạnh bên bằng
2 cm
.
C. Cạnh đáy bằng
2 2 cm
và cạnh bên bằng
3 cm
.
D. Cạnh đáy bằng
4 3 cm
và cạnh bên bằng
1
cm
2
.
Câu 11. Một mảnh giấy có hình dạng là tam giác nhọn
ABC
có
10 cm,
AB
16 cm,
BC
14 cm.
AC
Gọi
, ,
M N P
lần lượt là
trung điểm của
, , .
AB BC CA
Người ta gấp mảnh giấy theo các
đường , ,
MN NP PM
sau đó dán trùng các cặp cạnh
AM
và
;
BM
BN
và
;
CN
CP
và
AP
(các điểm
, ,
A B C
trùng nhau) để
t
ạ
o thành m
ộ
t t
ứ
di
ệ
n
.
Th
ể
tích c
ủ
a kh
ố
i t
ứ
di
ệ
n nêu trên là
A.
3
20 11
cm
3
. B.
3
10 11
cm
3
. C.
3
280
cm
3
. D.
3
160 11
cm
3
.
Câu 12. Một khối gỗ hình hộp chữ nhật có chiều dài, chiều rộng và chiều cao
lần lượt là
30 ; 20
cm cm
và
30
cm
. Một con kiến xuất phát từ điểm A
muốn tới điểm B thì quãng đường ngắn nhất nó phải đi dài bao nhiêu
cm
?
A.
10 34
cm
. B.
30 10 14
cm
.
C.
10 22
cm
. D.
20 30 2
cm
.
11
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN LỚP 11 – 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN THỰC TẾ KHỐI ĐA DIỆN – PHẦN 3)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Người ta muốn làm một cái bình thủy tinh hình lăng trụ đứng có nắp đậy, đáy là tam giác đều để đựng
16 lit nước. Để tiết kiệm chi phí nhất (xem tấm thủy tinh làm vỏ bình là rất mỏng) thì cạnh đáy của bình là
A.
3
2 4
dm B. 4m C. 4dm D.
3
2 2
dm
Câu 2. Kim tự tháp Cheops (có dạng hình chóp) là kim tự tháp cao nhất tại Ai Cập. Chiều cao của kim tự tháp
này là 144m, đáy là hình vuông có cạnh dài 230m. Các lối đi và phòng bên trong chiếm 30% thể tích của kim tự
tháp. Biết một lần vận chuyển gồm 10 xe, mỗi xe chở 6 tấn đá, và khối lượng riêng của đá bằng
3 3
2,5.10 /
kg m
. Số lần vận chuyển đá đủ để xây dựng kim tự tháp là
A. 740600 B. 76040 C. 7406 D. 74060
Câu 3. Bên cạnh con đường trước khi vào thành phố người ta xây một ngọn
tháp đèn lộng lẫy. Ngọn tháp hình tứ giác đều S.ABCD cạnh bên SA =
600m,
·
15
ASB
o
. Do có sự cố đường dây điện tại điểm Q (trung điểm của
SA) bị hỏng, người ta tạo ra một con đường từ A đến Q gồm bốn đoạn
thẳng: AM, MN, NP, PQ. Để tiết kiệm kinh phí, kỹ sư đã nghiên cứu và có
được chiều dài con đường từ A đến Q ngắn nhất. Tính tỉ số
AM MN
NP PQ
.
A. 2 B. 1,5 C. 2,5 D.
4
3
Câu 4. Người ta cần xây một bể chứa nước sản xuất dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng
200m
3
. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Chi phí để xây bể là 300 nghìn đồng/m
2
(chi phí
được tính theo diện tích xây dựng, bao gồm diện tích đáy và diện tích xung quanh, không tính chiều dày của
đáy và diện tích xung quanh, không tính chiều dày của đáy và thành bể). Hãy xác định chi phí thấp nhất để xây
bể (làm tròn đến đơn vị triệu đồng).
A. 36 triệu đồng B. 46 triệu đồng C. 75 triệu đồng D. 51 triệu đồng
Câu 5. Người ta muốn xây một bể chứa nước dạng khối hộp chữ nhật trong
phòng tắm. Biết chiều dài, chiều rộng, chiều cao của khối hộp đó lần lượt là
3m; 1,2m; 1,8m (người ta chỉ xây hai mặt thành bể như hình vẽ bên). Biết mỗi
viên gạch có chiều dài 20cm, chiều rộng 10cm, chiều cao 5cm. Hỏi người ta
sử dụng ít nhất bao nhiêu viên gạch để xây bể đó và thể tích thực của bể
chứa bao nhiêu lít nước (giả sử lượng xi măng và cát không đáng kể).
A. 738 viên, 5742 lit B. 730 viên, 5742 lit C. 738 viên, 5740 lit D. 730 viên, 5740 lit
Câu 6. Người ta cần xây một hồ nước với dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng
3
500
3
m
. Đáy hồ
là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công để xây hồ là 500000 đồng/m2. Hãy xác
định kích thước của hồ nước sao cho chi phí thuê nhân công thấp nhất. Chi phí đó bằng
A. 74 triệu đồng B. 75 triệu đồng C. 76 triệu đồng D. 77 triệu đồng
Câu 7. Một hộp đựng chocolate bằng kim loại có hình dạng lúc mở nắp như
hình vẽ dưới đây. Một phần tư thể tích phía trên của hộp được dải một lớp bơ
sữa ngọt, phần còn lại phía dưới đầy choscolate nguyên chất. Với kích thước
như hình vẽ, gọi
0
x x
là giá trị làm cho hộp kim loại có thể tích lớn nhất, khi
đó thể tích chocolate nguyên chất có giá trị
0
V
. Tìm
0
V
.
A. 48 đvtt B. 16 đvtt C. 64 đvtt D.
64
3
đvtt
Câu 8. Ông An muốn xây một cái bể chứa nước lớn dạng một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích 288m
3
.
Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê nhân công để xây dựng để là 500000
đồng/m
2
. Nếu ông An biết xác định các kích thước của bể hợp lý thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi
ông An trả chi phí thấp nhất để xây dựng bể đó là bao nhiêu
A. 90 triệu đồng B. 108 triệu đồng C. 54 triệu đồng D. 168 triệu đồng
12
Câu 9. Một khối gỗ hình lập phương có độ dài bằng x (cm). Ở chính giữa một mặt của
hình lập phương người ta đục một lỗ hình vuông thông sang mặt đối diện, tâm của lỗ
hình vuông là tâm của mặt hình lập phương, các cạnh lỗ hình vuông song song với
các cạnh của hình lập phương và có độ dài y (cm) như hình vẽ bên. Tính thể tích V
của khối gỗ sau khi đục biết rằng x = 80cm, y = 20cm.
A. 490000cm
3
B. 432000cm
3
C. 400000cm
3
D. 390000c
m
3
Câu 10. Người ta muốn mạ vàng cho bề mặt phía ngoài của một cái hộp dạng hình hộp đứng không nắp (nắp
trên), có đáy là hình vuông. Tìm chiều cao của hộp để lượng vàng phải dùng để mạ là ít nhất, biết lớp mạ ở mọi
nơi như nhau, giao giữa các mặt là không đáng kể và thể tích của hộp là 4dm
3
.
A. 1dm B. 0,5dm C. 2dm D. 1,5dm
Câu 11. Cho một cây nến hình lăng trụ lục giác đều có chiều cao và độ dài cạnh đáy lần lượt là 15cm và 5cm.
Người ta xếp cây nến vào trong một hộp có dạng hình hộp chữ nhật sao cho cây nến nằm khít trong hộp. Thể
tích của chiếc hộp đó bằng
A. 1500ml B. 1800ml C.
600 6
ml D.
750 3
ml
Câu 12. Cho một tấm tôn hình chữ nhật ABCD có AD = 60cm, AB = 40cm. Ta gập tấm nhôm theo hai cạnh MN
và PQ vào phía trong cho đến khi AB và DC trùng nhau như hình vẽ bên để được một hình trụ khuyết hai đáy.
Khi đó có thể tạo được khối lăng trụ với thể tích lớn nhất bằng
A.
3
4000 3
cm
B.
3
2000 3
cm
C.
3
400 3
cm
D.
3
4000 2
cm
Câu 13. Một người đã cắt tấm bìa carton và đặt kích thước như hình vẽ. Sau đó bạn ấy gấp theo đường nét đứt
thành cái hộp chữ nhật. Hình hộp có đáy là hình vuông cạnh a (cm), chiều cao h (cm) và diện tích toàn phần
bằng 6m
2
. Tổng a + h bằng bao nhiêu để thể tích hộp lớn nhất.
A. a + h = 2cm B. a + h = 3cm C. a + h = 4cm D. a + h = 6cm
13
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN CỰC TRỊ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN – P1)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho tam giác
ABC
đều cạnh
a
, gọi
d
là đường thẳng qua
A
và vuông góc với mặt phẳng
ABC
.
Trên
d
lấy điểm
S
và đặt
AS x
,
0
x
. Gọi
H
và
K
lần lượt là trực tâm của các tam giác
ABC
và
SBC
.
Biết
HK
cắt
d
tại điểm
S
. Khi
SS
ngắn nhất thì khối chóp
.
S ABC
có thể tích bằng
A.
3
6
24
a
. B.
3
6
6
a
. C.
3
3
8
a
. D.
3
2
27
a
.
Câu 2. Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
, 2
C AB
. Cạnh bên
1
SA
và vuông góc với
mặt phẳng đáy
.
ABC
Tính thể tích lớn nhất
max
V
của khối chóp đã cho.
A.
max
1
.
3
V
B.
max
1
.
4
V
C.
max
1
.
12
V
D.
max
1
.
6
V
Câu 3. Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
,
C
cạnh bên
SA
vuông góc với mặt phẳng
đáy
.
ABC
Biết
1,
SC
tính thể tích lớn nhất
max
V
của khối chóp đã cho.
A.
max
3
.
12
V
B.
max
2
.
12
V
C.
max
2 3
.
27
V
D.
max
3
.
27
V
Câu 4. Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
A
và
1.
AB
Các cạnh bên
2.
SA SB SC
Tính thể tích lớn nhất
max
V
của khối chóp đã cho.
A.
max
5
.
8
V
B.
max
5
.
4
V C.
max
2
.
3
V
D.
max
4
.
3
V
Câu 5. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
, cạnh bên
SA y
0
y
và vuông góc với
mặt đáy
ABCD
. Trên cạnh
AD
lấy điểm
M
và đặt
AM x
0
x a
. Tính thể tích lớn nhất
max
V
của khối
chóp
. ,
S ABCM
biết
2 2 2
.
x y a
A.
3
max
3
.
3
a
V B.
3
max
3
.
8
a
V C.
3
max
3
.
24
a
V
D.
3
max
3 3
.
8
a
V
Câu 6. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật với
4, 6
AB SC
và mặt bên
SAD
là tam giác
cân tại
S
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích lớn nhất
max
V
của khối chóp đã cho.
A.
max
40
.
3
V
B.
max
40.
V
C.
max
80.
V
D.
max
80
.
3
V
Câu 7. Cho hình chóp
.
S ABC
có
SA x
0 3
x , tất cả các cạnh còn lại đều bằng
1
. Tính thể tích lớn nhất
max
V
của khối chóp đã cho.
A.
max
1
.
4
V
B.
max
1
.
8
V
C.
max
1
.
12
V
D.
max
1
.
16
V
Câu 8. Xét khối tứ diện
ABCD
có cạnh
AB x
và các cạnh còn lại đều bằng
2 3
. Tìm
x
để thể tích khối tứ
diện
ABCD
đạt giá trị lớn nhất.
A.
3 2.
x
B.
6.
x
C.
2 3.
x
D.
14.
x
Câu 9. Trên ba tia
, ,
Ox Oy Oz
vuông góc với nhau từng đôi, lần lượt lấy các điểm
,
A
,
B C
sao cho
, , .
OA a OB b OC c
Giả sử
A
cố định còn
,
B C
thay đổi nhưng luôn luôn thỏa
.
OA OB OC
Tính thể tích lớn
nhất
max
V
của khối tứ diện
.
OABC
A.
3
max
.
6
a
V
B.
3
max
.
8
a
V
C.
3
max
.
24
a
V
D.
3
max
.
32
a
V
Câu 10. Cho tứ diện
SABC
có
, ,
SA AB AC
đôi một vuông góc với nhau, độ dài các cạnh
,
BC a
,
SB b
SC c
.
Tính thể tích lớn nhất
max
V
khối tứ diện đã cho.
A.
max
2
.
4
abc
V
B.
max
2
.
8
abc
V
C.
max
2
.
12
abc
V
D.
max
2
.
24
abc
V
Câu 11. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
hình vuông cạnh
,
a
cạnh bên
SA a
và vuông góc với mặt đáy
.
ABCD
Trên
,
SB SD
lần lượt lấy hai điểm
,
M N
sao cho
0,
SM
m
SB
0.
SN
n
SD
Tính thể tích lớn nhất
max
V
của khối chóp
.
S AMN
biết
2 2
2 3 1.
m n
A.
3
max
.
6
a
V
B.
3
max
6
.
72
a
V
C.
3
max
3
.
24
a
V
D.
3
max
.
48
a
V
Câu 12. Cho hình hộp chữ nhật
. ' ' ' '
ABCD A B C D
có đáy
ABCD
là một hình vuông. Biết tổng diện tích tất cả các
14
mặt của khối hộp bằng
32.
Tính thể tích lớn nhất
max
V
của khối hộp đã cho.
A.
max
56 3
.
9
V
B.
max
80 3
.
9
V
C.
max
70 3
.
9
V
D.
max
64 3
.
9
V
Câu 13. Cho hình lăng trụ đứng có thể tích
V
và có đáy là tam giác đều. Khi diện tích toàn phần của hình lăng
trụ nhỏ nhất thì độ dài cạnh đáy bằng bao nhiêu?
A.
3
4 .
V
B.
3
.
V
C.
3
2 .
V
D.
3
6 .
V
Câu 14. Cho hình chóp
.
S ABCD
có
0 3
SA x x
, tất cả các cạnh còn lại bằng nhau và bằng
1
. Với giá trị
nào của
x
thì thể tích khối chóp
.
S ABCD
lớn nhất?
A.
3
.
3
x B.
2
.
2
x
C.
6
.
2
x
D.
3
.
2
x
Câu 15. Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
A
,
SA
vuông góc với đáy, khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
SBC
bằng
3
. Gọi
là góc giữa hai mặt phẳng
SBC
và
ABC
, tính
cos
khi thể tích khối
chóp
.
S ABC
nhỏ nhất.
A.
1
cos .
3
B.
3
cos .
3
C.
2
cos .
2
D.
2
cos .
3
Câu 16. Cho khối chóp
.
S ABC
có đáy là tam giác vuông cân tại
.
B
Khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
SBC
bằng
2,
a
0
90 .
SAB SCB
Xác định độ dài cạnh
AB
để khối chóp
.
S ABC
có thể tích nhỏ nhất.
A.
10
.
2
a
AB
B.
3.
AB a
C.
2 .
AB a
D.
3 5.
AB a
Câu 17. Cho tam giác
OAB
đều cạnh
a
. Trên đường thẳng
d
qua
O
và vuông góc với mặt phẳng
OAB
lấy
điểm
M
sao cho
OM x
. Gọi
,
E F
lần lượt là hình chiếu vuông góc của
A
trên
MB
và
OB
. Gọi
N
là giao
điểm của
EF
và
d
. Tìm
x
để thể tích tứ diện
ABMN
có giá trị nhỏ nhất.
A.
2.
x a
B.
2
.
2
a
x
C.
6
.
12
a
x
D.
3
.
2
a
x
Câu 18. Cho tam giác
ABC
vuông cân tại
B
,
2
AC
. Trên đường thẳng qua
A
vuông góc với mặt phẳng
ABC
lấy các điểm
,
M N
khác phía so với mặt phẳng
ABC
sao cho
. 1
AM AN
. Tính thể tích nhỏ nhất
min
V
của khối tứ diện
MNBC
.
A.
min
1
.
3
V
B.
min
1
.
6
V
C.
min
1
.
12
V
D.
min
2
.
3
V
Câu 19. Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
,
C
2.
SA AB
Cạnh bên
SA
vuông góc với
mặt phẳng đáy
ABC
. Gọi
,
H K
lần lượt là hình chiếu vuông góc của
A
lên
SB
và
SC
. Tính thể tích lớn nhất
max
V
của khối chóp
.
S AHK
.
A.
max
2
.
6
V
B.
max
3
.
6
V
C.
max
3
.
3
V
D.
max
2
.
3
V
Câu 20. Cho hình hộp chữ nhật
.
ABCD A B C D
có
, 3,
AB x AD
góc giữa đường thẳng
A C
và mặt phẳng
ABB A
bằng
0
30 .
Tìm
x
để thể tích khối hộp chữ nhật có thể tích lớn nhất.
A.
3 15
.
5
x
B.
3 6
.
2
x
C.
3 3
.
2
x
D.
3 5
.
5
x
______________________________________
15
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN CỰC TRỊ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN – P2)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành, một cạnh đáy bằng 4a và các cạnh bên đều bằng
6
a
. Tìm
thể tích lớn nhất của khối chóp đã cho.
A.
3
8
3
a
. B.
3
2 6
3
a
. C.
3
8
a
. D.
3
2 6
a
.
Câu 2. Cho tứ diện ABCD có
AB x
thay đổi, tất cả các cạnh còn lại có độ dài
.
a
Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng AB và CD trong trường hợp thể tích của khối tứ diện ABCD lớn nhất.
A.
6
3
a
B.
6
4
a
C.
3
4
a
D.
3
3
a
Câu 3. Cho hình chóp
.
S ABC
có
SA x
,
BC y
(x, y là các số dương thay đổi);
AB AC
SB
1
SC
.
Thể tích khối chóp
SABC
lớn nhất khi tổng
x y
bằng:
A.
3
. B.
2
3
. C.
4
3
. D.
4 3
.
Câu 4. Cho hình hộp chữ nhật .
ABCD A B C D
có
AB x
,
1
AD
. Biết rằng góc giữa đường thẳng
A C
và
mặt phẳng
ABB A
bằng
0
30
. Tìm giá trị lớn nhất
max
V
của thể tích khối hộp .
ABCD A B C D
.
A.
max
3 3
4
V
. B.
max
3
4
V
. C.
max
1
2
V
. D.
max
3
2
V
.
Câu 5. Xét hình chóp .
S ABC
có đáy là tam giác vuông cân tại
A
,
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy, khoảng
cách từ
A
đến mặt phẳng
SBC
bằng 3. Gọi
là góc giữa
SBC
và
ABC
, giá trị
cos
khi thể tích khối
chóp
.
S ABC
nhỏ nhất là:
A.
2
2
. B.
2
3
. C.
3
3
. D.
6
3
.
Câu 6. Cho khối lăng trụ tam giác đều .
ABC A B C
có
3
ABC
S
, mặt phẳng
ABC
tạo với mặt phẳng đáy
góc
. Tính
cos
khi thể tích khối lăng trụ .
ABC A B C
lớn nhất.
A.
1
cos
3
. B.
1
cos
3
. C.
2
cos
3
. D.
2
cos
3
.
Câu 7. Hình chóp tứ giác đều
.
S ABCD
có chu vi tam giác
SAC
bằng
8
. Trong trường hợp thể tích của hình
chóp
.
S ABCD
lớn nhất, hãy tính côsin của góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy của hình chóp
.
S ABCD
.
A.
2
3
. B.
1
3
. C.
3
4
. D.
1
4
.
Câu 8. Khối tứ diện ABCD có
AB x
, các cạnh còn lại bằng
2 3
. Tìm
x
để thể tích khối tứ diện
ABCD
lớn
nhất.
A.
6
x . B.
2 2
x . C.
14
x . D.
3 2
x .
Câu 9. Cho hình chóp .
S ABCD
có cạnh
SA x
còn tất cả các cạnh khác có độ dài bằng
2
. Tính thể tích
V
lớn
nhất của khối chóp .
S ABCD
.
A.
1
V
B. V = 0,5 C.
3
V
. D.
2
V
.
Câu 10. Khối chóp .
S ABCD
có đáy là hình bình hành, có thể tích bằng
24
3
cm
. Gọi
E
là trung điểm
SC
. Một
mặt phẳng chứa
AE
cắt các cạnh
SB
và
SD
lần lượt tại
M
và
N
. Tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp
.
S AMEN
.
A.
9
3
cm
. B.
8
3
cm
. C.
6
3
cm
. D.
7
3
cm
.
Câu 11. Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
2
a
. Tam giác
SAB
vuông tại
S
và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi
là góc tạo bởi đường thẳng
SD
và mặt phẳng
SBC
, với
45
.
Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp
.
S ABCD
.
A.
3
4
a
. B.
3
8
3
a
. C.
3
4
3
a
. D.
3
2
3
a
.
Câu 12. Cho hình chóp tứ giác đều .
S ABCD
có khoảng cách từ tâm
O
của đáy đến
SCD
bằng
2
a
,
a
là
16
hằng số dương. Đặt
AB x
. Giá trị của
x
để thể tích của khối chóp
.
S ABCD
đạt giá trị nhỏ nhất là
A.
3
a
. B.
2 6
a
. C.
2
a
. D.
6
a
.
Câu 13. Khối chóp có đáy là hình bình hành, một cạnh đáy bằng 4a và các cạnh bên đều bằng
6
a
. Thể tích
của khối chóp đó có giá trị lớn nhất là?
A.
3
8
3
a
. B.
3
2 6
3
a
. C.
3
8
a
. D.
3
2 6
a
.
Câu 14. Cho hình hộp chữ nhật
.
ABCD A B C D
có
AB x
,
1
AD
. Biết rằng góc giữa đường thẳng
A C
và
mặt phẳng
ABB A
bằng
0
30
. Tìm giá trị lớn nhất
max
V
của thể tích khối hộp
.
ABCD A B C D
.
A.
max
3 3
4
V
. B.
max
3
4
V
. C.
max
1
2
V
. D.
max
3
2
V
.
Câu 15. Cho hình chóp tứ giác đều
.
S ABCD
có chu vi tam giác
SAC
bằng
8
. Trong trường hợp thể tích của
hình chóp .
S ABCD
lớn nhất, hãy tính côsin của góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy của hình chóp .
S ABCD
.
A.
2
3
. B.
1
3
. C.
3
4
. D.
1
4
.
Câu 16. Cho hình chóp
.
S ABCD
có
SC x
0 3
x a
, các cạnh còn lại đều bằng
a
. Biết rằng thể tích khối
chóp
.
S ABCD
lớn nhất khi và chỉ khi
a m
x
n
*
,m n
¥
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
2 10
m n
. B.
2
30
m n
. C.
2
2 3 15
n m
. D.
2
4 20
m n
.
Câu 17. Khối chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thoi cạnh bằng
a
,
SA SB SC a
. Gọi
O
là giao điểm
của
AC
và
BD
,
H
là hình chiếu của
S
lên mp
ABCD
,
.
H BO
Thể tích lớn nhất của khối chóp
.
S ABCD
là
A.
3
.
8
a
B.
3
.
2
a
C.
3
3
.
8
a
D.
3
.
4
a
______________________________________
17
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN CỰC TRỊ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN – P3)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành với
4
AD a
. Các cạnh bên của hình chóp bằng
nhau và bằng
6
a . Tính thể tích lớn nhất
max
V
của khối chóp đã cho.
A.
3
max
8
.
3
a
V
B.
3
max
4 6
.
3
V a
C.
3
max
8 .
V a
D.
3
max
4 6 .
V a
Câu 2. Cho hình chóp .
S ABC
có
, , 1.
SA x BC y AB AC SB SC
Thể tích khối chóp .
S ABC
đạt giá trị
lớn nhất khi tổng
( )
x y
bằng
A.
2
3
. B.
3
. C.
4
3
. D.
4 3
.
Câu 3. Cho tam giác
OAB
đều cạnh
a
. Trên đường thẳng
d
qua
O
và vuông góc với mặt phẳng
OAB
lấy
điểm
M
sao cho
OM x
. Gọi
,
E F
lần lượt là hình chiếu vuông góc của
A
trên
MB
và
OB
. Gọi
N
là giao
điểm của
EF
và
d
. Thể tích tứ diện
ABMN
có giá trị nhỏ nhất là:
A.
3
2
12
a
. B.
3
3
12
a
. C.
3
6
12
a
. D.
3
2
6
a
.
Câu 4. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành tâm
O
. Gọi
I
là điểm thuộc đoạn
SO
sao
cho
1
3
SI SO
. Mặt phẳng
thay đổi đi qua
B
và
I
.
cắt các cạnh
, ,
SA SC SD
lần lượt tại
, ,
M N P
. Gọi
,
m n
lần lượt là GTLN, GTNN của
.
.
S BMPN
S ABCD
V
V
. Tính
m
n
.
A.
2
. B.
7
5
. C.
9
5
. D.
8
5
.
Câu 5. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
,
a
2
SA a
và vuông góc với mặt đáy
.
ABCD
Gọi
M
là điểm di động trên cạnh
CD
và
H
là hình chiếu vuông góc của
S
lên đường thẳng
.
BM
Khi
điểm
M
di động trên cạnh
,
CD
thể tích khối chóp
.
S ABH
có giá trị lớn nhất bằng
A.
3
2
.
6
a
B.
3
2
.
8
a
C.
3
2
.
12
a
D.
3
2
.
15
a
Câu 6. Khối chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thoi cạnh
a
.
SA SB SC a
, Cạnh
SD
thay đổi. Thể tích
lớn nhất của khối chóp
.
S ABCD
là:
A.
3
8
a
. B.
3
4
a
. C.
3
3
8
a
. D.
3
2
a
.
Câu 7. Cho khối chóp ABCS.
có đáy ABC là tam giác vuông cân tại
A
,
·
·
90
SBA SCA
o
. Khoảng cách từ C
đến
)(SAB
bằng 2a. Khi đó thể tích khối chóp ABCS. nhỏ nhất bằng
A. 32
3
a . B. 3
3
a . C.
2
3
3
a
. D.
6
3
a
.
Câu 8. Cho khối chóp
ABCS.
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
A
,
·
·
90
SBA SCA
o
. Khoảng cách từ
C
đến
)(SAB
bằng 2a. Khi đó thể tích khối chóp ABCS. nhỏ nhất bằng
A.
32
3
a
. B.
3
3
a
. C.
2
3
3
a
. D.
6
3
a
.
Câu 9. Cho
x
,
y
là các số thực dương. Xét khối chóp .
S ABC
có
SA x
,
BC y
, các cạnh còn lại đều bẳng
1. Khi
x
,
y
thay đổi, thể tích khối chóp
.
S ABC
có giá trị lớn nhất bằng
A.
2
12
B.
1
8
C.
3
8
D.
2 3
27
18
Câu 10. Cho hình chóp
.
S ABC
,
( )
SA ABC
, tam giác
ABC
vuông tại
A
,
BC a
không đổi. Gọi hình chiếu vuông
góc của
A
trên
SB
,
SC
lần lượt là
H
,
K
, biết số đo góc giữa hai mặt phẳng
ABC
và
AHK
bằng
30
.
Thể tích lớn nhất của khối chóp
.
S ABC
bằng
A.
3
3
12
a
. B.
3
3
36
a
. C.
3
3
6
a
. D.
3
3
4
a
.
Câu 11. Hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành. Gọi
M
là trung điểm của
SA
,
N
là điểm trên
đoạn
SB
sao cho
2
SN NB
. Mặt phẳng
R
chứa
MN
cắt đoạn
SD
tại
Q
và cắt đoạn
SC
tại
P
. Tỉ số
.
.
S MNPQ
S ABCD
V
V
lớn nhất bằng
A.
2
5
. B.
1
3
. C.
1
4
. D.
3
8
.
Câu 12. Cho hình chóp .
S ABC
có
, , 1.
SA x BC y AB AC SB SC
Thể tích khối chóp .
S ABC
đạt giá
trị lớn nhất khi tổng
( )
x y
bằng
A.
2
3
. B.
3
. C.
4
3
. D.
4 3
.
Câu 13. Cho hình chóp
.
S ABC
có
SA a
,
2
SB a
,
3
SC a
. Tính thể tích lớn nhất
max
V
của khối chóp đã cho.
A.
3
max
6.
V a
B.
3
max
6
.
2
a
V
C.
3
max
6
.
3
a
V
D.
3
max
6
.
6
a
V
Câu 14. Cho hình hộp chữ nhật
. ' ' ' '
ABCD A B C D
có độ dài đường chéo
' 18.
AC
Gọi
S
là diện tích toàn phần
của hình hộp đã cho. Tìm giá trị lớn nhất
max
S
của
.
S
A.
max
36 3.
S
B.
max
18 3.
S
C.
max
18.
S
D.
max
36.
S
Câu 15. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật với
4
AB
, cạnh bên
SA
vuông góc với mặt
phẳng đáy
ABCD
và
6
SC
. Tính thể tích lớn nhất
max
V
của khối chóp đã cho.
A.
max
40
.
3
V
B.
max
80
.
3
V
C.
max
20
.
3
V
D.
max
24.
V
Câu 16. Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác đều và có
1
SA SB SC
. Tính thể tích lớn nhất
max
V
của khối chóp đã cho.
A.
max
1
.
6
V
B.
max
2
.
12
V
C.
max
3
.
12
V
D.
max
1
.
12
V
Câu 17. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật,
4
AD
. Các cạnh bên bằng nhau và bằng
6
.
Tìm thể tích lớn nhất
max
V
của khối chóp đã cho.
A.
max
130
.
3
V
B.
max
128
.
3
V
C.
max
125
.
3
V
D.
max
250
.
3
V
Câu 18. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thoi tâm
O
, cạnh bằng
1;
SO
vuông góc với mặt phẳng
đáy
ABCD
và
1
SC
. Tính thể tích lớn nhất
max
V
của khối chóp đã cho.
A.
max
2 3
.
9
V
B.
max
2 3
.
3
V
C.
max
2 3
.
27
V
D.
max
4 3
.
27
V
19
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN CỰC TRỊ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN – P4)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có thể tích bằng 2160cm
3
. M là điểm tùy tý nằm bên trong tam giác ABC. Các
đường thẳng qua M song song với SA, SB, SC cắt các mặt phẳng (SBC), (SAC), (SAB) tương ứng tại A’, B’, C’.
Thể tích lớn nhất của khối tứ diện MA’B’C’ bằng
A. 160cm
3
B. 720cm
3
C. 120cm
3
D. 80cm
3
Câu 2. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Khoảng cách từ đường thẳng A’A
đến mặt phẳng (BCC’B’) bằng khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (ABC’) và cùng bằng 1. Góc giữa hai mặt
phẳng (ABC’) và (ABC) bằng
. Tính
tan
khi thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ nhỏ nhất.
A.
tan 2
B.
1
tan
3
C.
tan 3
D.
1
tan
2
Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng 2,
·
60
BAD
o
, SA = SC và tam giác SBD vuông
cân tại S. Gọi E là trung điểm của cạnh SC. Mặt phẳng (P) qua AE và cắt hai cạnh SB, SD lần lượt tại M, N.
Tính thể tích lớn nhất
0
V
của khối đa diện ABCDNEM.
A.
0
2 3
9
V B.
0
2 3
7
V C.
0
8 3
21
V D.
0
4 3
9
V
Câu 4. Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên bằng
2
a
. Xét điểm M thay
đổi trên mặt phẳng (SCD) sao cho tổng
2 2 2 2 2
MA MB MC MD MS
đạt giá trị nhỏ nhất. Gọi
1
V
là thể tích
của khối chóp S.ABCD và
2
V
là thể tích khối chóp M.ACD. Tính tỉ số
2
1
V
V
.
A.
11
35
B.
11
140
C.
22
35
D.
11
70
Câu 5. Cho tứ diện ABCD. Hai điểm M, N lần lượt di động trên hai đoạn thẳng BC và BD sao cho
6
BC BD
BM BN
. Gọi
1 2
,
V V
lần lượt là thể tích khối tứ diện ABMN và ABCD. Giá trị nhỏ nhất của
1
2
V
V
là
A.
3
8
B. 0,5 C.
1
9
D.
5
8
Câu 6. Cho tứ diện ABCD. Hai điểm M, N lần lượt di động trên hai đoạn thẳng BC và BD sao cho
2. 6
BC BD
BM BN
. Gọi
1 2
,
V V
lần lượt là thể tích khối tứ diện ABMN và ABCD. Giá trị nhỏ nhất của
1
2
V
V
là
A.
5
36
B.
2
9
C.
1
9
D.
1
6
Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, AD song song với BC, AD = 2BC. Gọi E, F là hai
điểm lần lượt nằm trên cạnh AB và AD sao cho
3
5
AB AD
AE AF
. Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của tỉ số thể tích hai khối chóp
.
.
S BCDFE
S ABCD
V
V
.
A. 1,25 B.
4
3
C.
7
6
D.
17
12
Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là một điểm di động trên cạnh SC và
CM
k
SM
với k > 0. Mặt phẳng
chứa AM và song song với BD,
cắt SB, SD lần lượt tại N, P. Gọi V là
thể tích của khối chóp S.ABCD. Khi đó thể tích khối chóp C.APMN lớn nhất bằng
A.
(10 4 2)
V
B.
(6 4 2)
V
C.
(12 4 2)
V
D.
(8 4 2)
V
Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Hai điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh AB và
AD (M, N không trùng với A) sao cho
3. 6
AB AD
AM AN
. Ký hiệu V
1
, V
2
lần lượt là thể tích của các khối chóp
20
S.ABCD và S.MBCDN. Tìm giá trị lớn nhất của
1
V
V
.
A. 0,75 B.
5
6
C.
2
3
D.
14
17
Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Điểm M di động trên cạnh SC, đặt
MC
k
MS
.
Mặt phẳng qua A, M song song với BD cắt SB, SD theo thứ tự tại N, P. Thể tích khối chóp C.APMN lớn nhất khi
A. k = 1 B. k = 2 C. k =
2
D.
3
k
Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích là V. Gọi P là trung điểm của SC,
mặt phẳng
chứa AP và cắt cạnh SD, SB lần lượt tại M và N. Gọi V’ là thể tích của khối chóp S.AMPN. Tìm
giá trị nhỏ nhất của
V
V
.
A.
3
8
B.
1
3
C.
1
8
D.
2
3
Câu 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng
6
. Biết rằng các mặt bên của hình
chóp có diện tích bằng nhau và một trong các cạnh bên bằng
3 2
. Tính thể tích nhỏ nhất của khối chóp
S.ABC.
A. 3 B. 4 C.
2 2
D.
2 3
Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi I là điểm thuộc đoạn SO sao cho
3SI = SO. Mặt phẳng
thay đổi đi qua B và I,
cắt các cạnh SA, SC, SD lần lượt tại M, N, P. Gọi m, n lần
lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
.
.
S BMPN
S ABCD
V
V
. Tính m + n.
A. 0,2 B.
4
15
C.
2
25
D.
14
75
Câu 14. Cho hình chóp S.BCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích V. Điểm P là trung điểm của SC,
mặt phẳng
chứa AP cắt hai cạnh SB, SD lần lượt tại M và N. Gọi V1 là thể tích của khối chóp S.AMPN. Tìm
giá trị nhỏ nhất của tỷ số
1
V
V
.
A.
2
3
B.
1
3
C. 0,125 D. 0,375
Câu 15. Cho khối chóp
.
S ABC
có
SA SB SC a
và
·
·
·
30
ASB BSC CSA
Mặt phẳng
qua
A
và cắt
hai cạnh
SB
,
SC
tại
B
,
C
sao cho chu vi tam giác
AB C
nhỏ nhất. Tính
.
.
S AB C
S ABC
V
k
V
.
A.
2 2
k
. B.
4 2 3
k . C.
1
4
k . D.
2 2 2
k
.
Câu 16. Cho hình hộp chữ nhật có tổng diện tích các mặt bằng
36
và độ dài đường chéo bằng
6.
Tính thể tích
lớn nhất
max
V
của khối hộp chữ nhật đã cho.
A.
max
16 2.
V
B.
max
12.
V
C.
max
8 2.
V
D.
max
6 6.
V
21
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN CỰC TRỊ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN – P5)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Hai điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh AB và
AD (M, N không trùng với A) sao cho
2. 3. 8
AB AD
AM AN
. Ký hiệu V
1
, V
2
lần lượt là thể tích của các khối chóp
S.ABCD và S.MBCDN. Tìm giá trị lớn nhất của
1
V
V
.
A.
13
16
B.
11
12
C.
1
6
D.
2
3
Câu 2. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Trên các tia A’A, AB, AD lần lượt lấy các điểm M,
N, P khác A sao cho AM = m, AN = n, AP = p và (MNP) đi qua đỉnh C’. Tính thể tích nhỏ nhất V của khối tứ diện
AMNP.
A. 3,375 B. 4,5 C. 6,75 D.
2
9
Câu 3. Cho khối chóp S.ABC có SA = SB = SC = a (a > 0) và
·
·
·
30
ASB ASC CSA
o
. Mặt phẳng
cắt hai
cạnh SB, SC tại B’, C’ sao cho chu vi tam giác AB’C’ nhỏ nhất. Tính
.
.
S AB C
S ABC
V
V
.
A. 0,25 B.
4 2 3
C.
2 2
D.
2(2 2)
Câu 4. Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước là
, ,
a b c
. Dựng một hình lập phương có cạnh bằng tổng ba
kích thước của hình hộp chữ nhật trên. Biết rằng thể tích hình lập phương luôn gấp 32 lần thể tích hình hộp chữ
nhật. Gọi
S
là tỉ số giữa diện tích toàn phần hình lập phương và diện tích toàn phần hình hộp chữ nhật. Tìm giá
trị lớn nhất
max
S
của
.
S
A.
max
1
.
10
S
B.
max
16
.
5
S
C.
max
32
.
5
S
D.
max
48
.
5
S
Câu 5. Cho hình chóp
.
S ABC
có
1, 2, 3
SA SB SC
. Gọi
G
là trọng tâm tam giác
ABC
. Mặt phẳng
đi qua
trung điểm
I
của
SG
cắt các cạnh
, ,
SA SB SC
lần lượt tại
, ,
M N P
. Tính giá trị nhỏ nhất
min
T
của biểu thức
2 2 2
1 1 1
T
SM SN SP
.
A.
min
2
.
7
T
B.
min
3
.
7
T
C.
min
18
.
7
T
D.
min
6.
T
Câu 6. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành, thể tích là
.
V
Gọi
M
là trung điểm của cạnh
,
SA N
là điểm nằm trên cạnh
SB
sao cho
2 ;
SN NB
mặt phẳng
di động qua các điểm
,
M N
và cắt các
cạnh
,
SC SD
lần lượt tại hai điểm phân biệt
,
K Q
. Tính thể tích lớn nhất
max
V
của khối chóp
.
S MNKQ
.
A.
max
.
2
V
V
B.
max
.
3
V
V
C.
max
3
.
4
V
V
D.
max
2
.
3
V
V
Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V. Điểm P là trung điểm của SC, một
mặt phẳng qua AP cắt các cạnh SD và SB lần lượt tại M, N. Gọi V
1
là thể tích khối chóp S.AMPN. Tìm giá trị nhỏ
nhất của
1
V
V
.
A.
1
3
B.
2
3
C. 0,375 D. 0,125
Câu 8. Cho tứ diện ABCD có thể tích V. Điểm M thay đổi trong tam giác BCD. Các đường thẳng qua M và song
song với AB, AC, AD lần lượt các mặt phẳng (ACD), (ABD), (ABC) tại N, P, Q. Giá trị lớn nhất của khối MNPQ là
A.
8
V
B.
54
V
C.
27
V
D.
16
V
Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có thể tích v, có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi N là trung điểm của SC. Một
mặt phẳng đi qua AN cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại M, P. Gọi V’ là thể tích của khối chóp S.AMNP. Tính giá
trị nhỏ nhất của
V
V
.
22
A. 0,375 B. 0,125 C.
1
3
D.
2
3
Câu 10. Cho khối chóp S.ABCD có thể tích là V và đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh SA, N
là điểm nằm trên cạnh SB sao cho SN = 2NB. Mặt phẳng
di động đi qua các điểm M, N và cắt các cạnh SC,
SD lần lượt tại hai điểm phân biệt K, Q. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.MNKQ theo V.
A. 0,5V B. 0,75V C.
3
V
D.
2
3
V
Câu 11. Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC đều cạnh bằng 8cm, một điểm S di động ngoài mặt phẳng (P)
sao cho tam giác MAB luôn có diện tích bằng
2
16 3
cm
, với M là trung điểm của SC. Gọi (S) là mặt cầu đi qua
bốn đỉnh M, A, B, C. Khi thể tích hình chóp S.ABC lớn nhất, tính bán kính nhỏ nhất của (S).
A.
16 6
9
cm
B.
4 3
3
cm
C.
4 15
3
cm
D.
4 39
3
cm
Câu 12. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = x, AD = 3, góc giữa đường thẳng A’C và mặt phẳng
(ABB’A’) bằng
30
o
. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối hộp chữ nhật.
A.
9 2
B. 40,5 C. 13,5 D.
27 2
Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
Biết rằng khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng a. Khi thể tích khối chóp S.ABCD đạt giá trị nhỏ
nhất, tính thể tích khối chóp H.ABC với H là chân đường cao kẻ từ A đến (SBC).
A.
3
3
4
a
B.
3
3
2
a
C.
3
4 3
a
D.
3
2 3
a
Câu 14. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, các cạnh bên bằng nhau. Một mặt phẳng thay
đổi nhưng luôn song song với đáy và cắt các cạnh bên SA, SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P, Q. Gọi M’, N’, P’, Q’
lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, N, P, Q lên mặt phẳng (ABCD). Tính tỉ số
SM
SA
để thể tích khối đa diện
MNPQ.M’N’P’Q’ đạt giá trị lớn nhất.
A.
1
3
B.
2
3
C. 0,5 D. 0,75
Câu 15. Cho hình chóp S.ABC có thể tích bằng 1. Mặt phẳng (Q) thay đổi song song với mặt phẳng (ABC) lần
lượt cắt các cạnh SA, SB, SC tại M, N, P. Qua M, N, P kẻ các đường thẳng song song với nhau lần lượt cắt mặt
phẳng (ABC) tại M’, N’, P’. Tính giá trị lớn nhất của thể tích khối lăng trụ MNP.M’N’P’.
A. 0,5 B.
8
27
C.
1
3
D.
4
9
Câu 16. Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ A đến
(SBC) bằng 3. Khi thể tích khối chóp S.ABC nhỏ nhất, tính
cos
với
·
( ),( )SBC ABC
.
A.
1
cos
3
B.
2
cos
3
C.
3
cos
3
D.
2
cos
2
______________________________________
23
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN CỰC TRỊ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN – P6)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho khối tứ diện ABCD có cạnh AC, BD thỏa mãn
2 2
16
AC BD
và các cạnh còn lại đều bằng 6. Thể
tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất bằng
A.
32 2
3
B.
16 2
3
C.
32 3
3
D.
16 3
3
Câu 2. Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Các mặt bên của hình chóp có diện
tích bằng nhau và một trong các cạnh bên bằng
3
a
. Tính thể tích nhỏ nhất của khối chóp S.ABC.
A.
3
2
6
a
B.
3
2
2
a
C.
3
6
12
a
D.
3
6
4
a
Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có
·
30
ASB
o
, một mặt phẳng thay đổi qua A cắt các cạnh SB, SC lần lượt tại M,
N. Tính tỉ số thể tích các khối chóp S.AMN và S.ABC khi chu vi tam giác AMN đạt giá trị nhỏ nhất.
A.
2( 3 1)
B.
3 2
5
C.
3( 3 1)
4
D.
2(2 3)
Câu 4. Cho hình vuông ABCD cạnh a, trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại A lấy điểm S di
động không trùng với A. Hình chiếu vuông góc của A lên Sb, SD lần lượt là H, K. Tìm giá trị lớn nhất của khối tứ
diện ACHK.
A.
3
6
32
a
B.
3
6
16
a
C.
3
2
12
a
D.
3
6
a
Câu 5. Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác ABC có
5; 2 2
AB BC AC BC
, hình chiếu của S lên mặt
phẳng (ABC) là trung điểm của AC, khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 2. Mặt phẳng (SBC) hợp với
mặt phẳng (ABC) một góc
không đổi. Biết rằng giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp S.ABC bằng
a
b
, trong
đó a, b là các số nguyên dương, a nguyên tố. Tính a + b.
A. 6 B. 5 C. 7 D. 4
Câu 6. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ với ABCD là hình chữ nhật có diện tích bằng 9 và
15
C C
. Hai mặt
phẳng (ABB’A’), (ADD’A’) cùng tạo với mặt phẳng đáy một góc
;
6 3
. Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’
có giá trị lớn nhất bằng
A. 9 B. 27 C.
27 3
D.
9 5
Câu 7. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có AB = 1, BC = 2, A’A = 3. Mặt phẳng (P) đi qua C’ và cắt các tia AB, AD,
A’A lần lượt tại E, F, G (khác A) sao cho thể tích khối tứ diện AEFG nhỏ nhất. Tính tổng AE + AF + AG.
A. 11 B. 12 C. 18 D. 17
Câu 8. Cho hình chóp đều
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
,
a
cạnh bên bằng
2.
a Xét điểm
M
thay đổi trên mặt phẳng
SCD
sao cho tổng
2 2 2 2 2
Q MA MB MC MD MS
nhỏ nhất. Gọi
1
V
là
thể tích của khối chóp
.
S ABCD
và
2
V
là thể tích của khối chóp
. .
M ACD
Tỉ số
2
1
V
V
bằng
A.
11
140
. B.
22
35
. C.
11
70
. D.
11
35
.
Câu 9. Xét khối tứ diện
ABCD
có cạnh
AB x
và các cạnh còn lại đều bằng
2 3
. Tìm
x
để thể tích khối tứ
diện
ABCD
đạt giá trị lớn nhất.
A.
14
x
B.
3 2
x
C.
6
x
D.
2 3
x
Câu 10. Xét khối chóp
.
S ABC
có đáy là tam giác vuông cân tại
A
,
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy, khoảng
cách từ
A
đến mặt phẳng
SBC
bằng 3. Gọi
là góc giữa hai mặt phẳng
SBC
và
ABC
, giá trị
cos
khi
thể tích khối chóp .
S ABC
nhỏ nhất là
A.
2
2
. B.
2
3
. C.
3
3
. D.
6
3
.
Câu 11. Cho hình hộp chữ nhật .
ABCD A B C D
có
AB x
,
1
AD
. Biết rằng góc giữa đường thẳng
A C
và
24
mặt phẳng
ABB A
bằng
30
. Tìm giá trị lớn nhất
max
V
của thể tích khối hộp
.
ABCD A B C D
.
A.
3 3
4
max
V
. B.
3
4
max
V
. C.
1
2
max
V . D.
3
2
max
V .
Câu 12. Xét tứ diện
ABCD
có các cạnh
1
AB BC CD DA
và
AC
,
BD
thay đổi. Giá trị lớn nhất của thể
tích khối tứ diện
ABCD
bằng
A.
2 3
27
B.
4 3
27
C.
2 3
9
D.
4 3
9
Câu 13. Cho hình chóp
SABC
có
, , 1.
SA x SB y AB AC SB SC
Thể tích khối chóp
SABC
đạt giá trị
lớn nhất khi tổng
x y
bằng
A.
2
3
B.
3
C.
4
3
D.
4 3
Câu 14. Cho hình hộp chữ nhật
. ' ' ' '
ABCD A B C D
có tổng diện tích tất cả các mặt là 36, độ dài đường chéo
'
AC
bằng 6. Hỏi thể tích của khối hộp lớn nhất là bao nhiêu?
A.
8 2
B.
6 6
C.
24 3
D.
16 2
Câu 15. Cho hình chóp
.
S ABCD
có
SC x
0 3
x a
, các cạnh còn lại đều bằng
a
. Biết rằng thể tích
khối chóp .
S ABCD
lớn nhất khi và chỉ khi
a m
x
n
*
,m n
¥
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
2 10
m n
. B.
2
30
m n
. C.
2
2 3 15
n m
. D.
2
4 20
m n
.
Câu 16. Cho tứ diện
ABCD
có
AB x
,
CD y
, tất cả các cạnh còn lại bằng
2
. Khi thể tích tứ diện
ABCD
là
lớn nhất tính
xy
.
A.
2
3
. B.
4
3
. C.
16
3
. D.
1
3
.
Câu 17. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành và có thể tích
V
. Điểm
P
là trung điểm của
SC
, một mặt phẳng qua
AP
cắt hai cạnh
SD
và
SB
lần lượt tại
M
và
N
. Gọi
1
V
là thể tích khối chóp
.
S AMPN
. Giá trị lớn nhất của
1
V
V
thuộc khoảng nào sau đây?
A.
1
0;
5
. B.
1 1
;
5 3
. C.
1 1
;
3 2
. D.
1
;1
2
.
Câu 18. Cho khối lập phương
.
ABCD A B C D
cạnh
a
. Các điểm
,
M N
lần lượt di động trên các tia
,
AC B D
sao cho
2
AM B N a
.Thể tích khối tứ diện
AMNB
có giá trị lớn nhất là
A.
3
12
a
B.
3
6
a
C.
3
3
6
a
D.
3
2
12
a
Câu 19. Cho tứ diện
SABC
có
G
là trọng tâm tứ diện, mặt phẳng quay quanh
AG
cắt các cạnh
,
SB SC
lần
lượt tại
,
M N
. Giá trị nhỏ nhất của tỉ số
.
.
S AMN
S ABC
V
V
là?
A.
4
9
. B.
3
8
. C.
1
3
. D.
1
2
.
Câu 20. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành. Hai điểm
M
,
N
lần lượt thuộc các đoạn
thẳng
AB
và
AD
(
M
và
N
không trùng với
A
) sao cho
2 3 8
AB AD
AM AN
. Kí hiệu
V
,
1
V
lần lượt là thể tích
của các khối chóp
.
S ABCD
và
.
S MBCDN
. Tìm giá trị lớn nhất của tỉ số
1
V
V
.
A.
13
16
. B.
11
12
. C.
1
6
. D.
2
3
.
Câu 21. Cho lăng trụ tam giác đều .
ABC A B C
có độ dài cạnh đáy bằng
a
. Gọi
là góc giữa
BC
và mặt
phẳng
A BC
. Khi
sin
đạt giá trị lớn nhất, tính thể tích khối lăng trụ đã cho?
A.
3
6
4
a
. B.
3
3
4
a
. C.
3
4
12
4 3
a
. D.
3
4
27
4 2
a
.
25
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN HỖN HỢP THỂ TÍCH, GÓC, KHOẢNG CÁCH – P1)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
2
a
. Tam giác
SAD
cân tại
S
và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với đáy. Biết thể tích của khối chóp bằng
3
4
3
a
. Tính khoảng cách từ
B
đến mặt phẳng
SCD
.
A.
3
3
a
. B.
2
2
a
. C.
3
a
. D.
2
a
.
Câu 2. Cho hình chóp tứ giác
.
S ABC
có
,
SA SB SC
đáy
ABC
là tam giác đều
cạnh
a
. Biết thể tích của
khối chóp
.
S ABC
bằng
3
3
3
a
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
SA
và
BC
bằng
A.
4
7
a
. B.
3 3
13
a
. C.
6
7
a
. D.
3
4
a
.
Câu 3. Cho khối hộp
.
ABCD A B C D
có thể tích bằng
6
,
A BC
là tam giác đều có cạnh bằng
2.
Khoảng cách
từ điểm
B
đến mặt phẳng
A BC
bằng
A.
3
. B.
3
2
. C.
3
3
. D.
3
6
.
Câu 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B,
3
BA BC a
, góc
·
·
0
90
SAB SCB
và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
( )
SBC
bằng
2
a
. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.
A.
3
6
.
2
V a
B.
3
3
.
2
V a
C.
3
6 .
V a
D.
3
3 2
.
2
V a
Câu 5. Cho hình chóp tứ giác đều
SABC D
có cạnh đáy bằng
a
. Gọi
M
là trung điểm của
A D
. Biết khoảng
cách giữa hai đường thẳng
C M
và
SA
bằng
6
a
. Thể tích khối chóp
SABC D
bằng
A.
3
6
a
. B.
3
4
a
. C.
3
3
a
. D.
3
12
a
.
Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi; hai đường chéo
2 3 , 2
AC a BD a
và cắt nhau tại
O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt
phẳng (SAB) bằng
3
4
a
, tính thể tích khối chóp S.ABCD theoa.
A.
3
3
.
3
a
B.
3
.
3
a
C.
3
7
.
3
a
D.
3
3 .
a
Câu 7. Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thoi; hai đường chéo
2 3 , 2
AC a BD a
và cắt nhau
tại
.
O
Hai mặt phẳng
SAC
và
SBD
cùng vuông góc với mặt phẳng
.
ABCD
Biết khoảng cách từ điểm
O
đến mặt phẳng
SAB
bằng
3
.
4
a
Tính thể tích khối chóp
.
S ABCD
theo
.
a
A.
3
3
.
3
a
B.
3
.
3
a
C.
3
7
.
3
a
D.
3
3 .
a
Câu 8. Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác đều cạnh bằng
a
. Biết tam giác
SBA
vuông tại
B
, tam
giác
SCA
vuông tại
C
và khoảng cách giữa hai đường thẳng
AC
và
SB
bằng
3
13
a
. Tính thể tích khối chóp
.
S ABC
.
A.
3
4
a
. B.
3
3
12
a
. C.
3
a
. D.
3
3
3
a
.
Câu 9. Cho hình chóp
.
S ABCD
có
ABCD
là hình thang vuông tại đỉnh A và D. Biết
4 , 3 , 5
AB a AD a CD a
26
và tam giác
SBC
đều và góc giữa mặt phẳng
SBC
và
( )
ABCD
bằng
0
60
.Thể tích khối chóp
.
S ABCD
tính theo
a bằng:
A.
3
27 10
8
a
. B.
3
27 10
4
a
. C.
3
27
8
a
. D.
3
27
4
a
.
Câu 10. Hình chóp .
S ABCD
có
SC ABCD
, đáy
ABCD
là hình thoi có cạnh bằng
3
a
và
·
120
ABC
.Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng
SAB
và
ABCD
bằng
45
. Tính thể tích
V
của khối chóp
.
S ABCD
.
A.
3
3 3
4
a
V . B.
3
3
V a
. C.
3
4
a
V . D.
3
3 3
8
a
V .
Câu 11. Cho hình chóp .
S ABCD
với đáy
ABCD
là hình thang vuông tại
A
và
D
, đáy nhỏ của hình thang là
CD
, cạnh bên
15
SC a
. Tam giác
SAD
là tam giác đều cạnh
2
a
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với
đáy hình chóp. Gọi
H
là trung điểm cạnh
AD
, khoảng cách từ
B
tới mặt phẳng
SHC
bằng
2 6
a
. Tính thể
tích
V
của khối chóp
.
S ABCD
?
A.
3
24 6
V a
. B.
3
8 6
V a
. C.
3
12 6
V a
. D.
3
4 6
V a
.
Câu 12. Cho hình chóp
.
S ABC
, đáy là tam giác
ABC
có
; 2
AB a AC a
và
·
135
CAB
, tam giác
SAB
vuông tại
B
và tam giác
SAC
vuông tại
A
. Biết góc giữa hai mặt phẳng
SAC
và
SAB
bằng
30
. Tính thể
tích khối chóp
.
S ABC
.
A.
3
6
a
. B.
3
3
a
. C.
3
6
3
a
. D.
3
6
6
a
.
Câu 13. Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
, cạnh bên
SA
vuông góc với đáy
ABCD
. Gọi
M
là trung điểm
SD
; góc giữa
SBC
và
AMC
là
thỏa mãn
2 5
tan
5
. Tính thể tích
V
của khối đa diện .
S ABCM
?
A.
3
2
a
V . B.
3
3
a
V
. C.
3
5
9
a
V
. D.
3
2
3
a
V
.
Câu 14. Cho hình chóp tứ giác
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh bằng
2
a
. Tam giác
SAD
cân tại
S
, mặt bên
( )
SAD
vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối chóp
.
S ABCD
bằng
3
4
3
a
, điểm
N
là trung
điểm cạnh
SB
. Khoảng cách từ điểm
N
đến mặt phẳng
( )
SCD
bằng
A.
2
3
a
. B.
4
3
a
. C.
8
3
a
. D.
3
4
a
.
Câu 15. Cho hình hộp chữ nhật
ABCDA B C D
. Khoảng cách giữa
AB
và
B C
là
2 5
5
a
, giữa
BC
và
AB
là
2 5
5
a
, giữa
AC
và
BD
là
3
3
a
. Thể tích của khối hộp đó là
A.
3
8
a
. B.
3
2
a
. C.
3
4
a
.
D.
3
a
.
Câu 16. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình thang vuông tại
A
và
B
với
BC
là đáy nhỏ. Biết rằng tam giác
SAB
đều có cạnh là
2
a
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy,
5
SC a
và khoảng cách từ
D
tới mặt
phẳng
SHC
bằng
2 2
a
( với
H
là trung điểm của
AB
). Thể tích khối chóp .
S ABCD
là
A.
3
3
.
3
a
B.
3
.
3
a
C.
3
4
.
3
a
D.
3
4 3
.
3
a
______________________________________
27
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN HỖN HỢP THỂ TÍCH, GÓC, KHOẢNG CÁCH – P2)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho hình chóp tứ giác đều
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông tâm
O
cạnh
2
a
. Thể tích khối chóp
bằng
3
4
a
. Tính khoảng cách từ tâm
O
đến mặt bên của hình chóp.
A.
2
2
a
. B.
3
4
a
. C.
3 10
10
a
. D.
10
10
a
.
Câu 2. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình vuông có cạnh là
2
đơn vị. Tam giác
SAD
cân tại
S
, mặt bên
SAD
vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối chóp .
S ABCD
bằng
4
3
. Tính khoảng cách
h
từ
B
đến
mặt phẳng
SCD
A.
4
3
h
. B.
2
3
h
. C.
8
3
h
. D.
3
4
h
.
Câu 3. Cho khối chóp .
S ABCD
có đáy là hình bình hành với
3
AB a
,
2
AD a
và
·
1
cos
9
BAD
. Hai mặt
phẳng
SAC
và
SBD
cùng vuông góc với mặt phẳng
ABCD
. Tính thể tích của khối chóp .
S ABCD
biết
rằng
BM DN
với
M
và
N
lần lượt là trung điểm của các cạnh
SC
và
SA
A.
3
28 5
3
a
. B.
3
7 5
9
a
. C.
3
28 5
9
a
. D.
3
14 5
9
a
.
Câu 4. Cho hình chóp S.ABC có
·
·
·
0
60 , , 2 , 3
ASB ASC CSB SA a SB a SC a
. Tính khoảng cách h từ B
đến mặt phẳng (SAC).
A.
6
3
a
h
. B.
2 6
3
a
h
. C.
2 21
7
a
h
. D.
21
7
a
h
Câu 5. Hình chóp .
S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
2
a
. Tam giác
SAD
cân tại
S
và nằm trong mặt phẳng
vuông góc với đáy. Biết thể tích của khối chóp bằng
3
4
3
a
. Tính khoảng cách từ
B
đến mặt phẳng
SCD
.
A.
3
3
a
. B.
2
2
a
. C.
3
a
. D.
2
a
.
Câu 6. Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thang cân,
2 2 2 2
AD AB BC CD a
. Hai mặt
phẳng
SAB
và
SAD
cùng vuông góc với mặt phẳng
ABCD
. Gọi
,
M N
lần lượt là trung điểm của
SB
và
CD
. Tính cosin góc giữa
MN
và
SAC
, biết thể tích khối chóp
.
S ABCD
bằng
3
3
4
a
.
A.
5
10
. B.
3 310
20
. C.
310
20
. D.
3 5
10
.
Câu 7. Cho hình chóp .
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
A
với cạnh huyền
2
BC a
. Hình chiếu
vuông góc của điểm
S
lên mặt đáy
ABC
nằm trong tam giác
ABC
. Biết các mặt bên
( ),
SAB
( )
SBC
( )
SCA
lần lượt tạo với đáy các góc
0 0 0
60 , 60 , 45
. Thể tích của khối chóp .
S ABC
tính theo
a
tương ứng bằng:
A.
3
3
3 2 6
a
. B.
3
2 3
2 3 2 6
a
. C.
3
2
2 3 3 2 6
a
. D.
3
6
2 3
a
.
Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi; hai đường chéo
2 3 , 2
AC a BD a
và cắt nhau tại
O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt
phẳng (SAB) bằng
3
4
a
, tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
A.
3
3
.
3
a
B.
3
.
3
a
C.
3
7
.
3
a
D.
3
3 .
a
Câu 9. Cho hình chóp .
S ABC
có đáy là tam giác
ABC
đều cạnh
a
, tam giác
SBA
vuông tại
B
, tam giác
SAC
28
vuông tại
C
. Biết góc giữa hai mặt phẳng
SAB
và
ABC
bằng
60
. Tính thể tích khối chóp .
S ABC
theo
a
.
A.
3
3
8
a
. B.
3
3
12
a
. C.
3
3
6
a
. D.
3
3
4
a
.
Câu 10. Cho hình chóp
.
S ABC
có tam giác
ABC
vuông tại
, 1,
B AB BC SA
vuông góc với mặt phẳng
( )
ABC
, góc giữa 2 mặt phẳng
( )
SAC
và
( )
SBC
bằng
0
60
. Tính thể tích của khối chóp
.
S ABC
A.
3
6
V
. B.
1
6
V . C.
2
6
V
. D.
1
3
V .
Câu 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu của điểm S trên mặt phẳng đáy thuộc
miền trong của tam giác ABC, mặt bên (SAB) tạo với đáy góc
0
45
và diện tích tam giác SAB bằng
2
2
.
4
a
Tìm
thể tích khối chóp trên.
A.
3
12
a
. B.
3
16
a
V . C.
3
2
14
a
V
. D.
3
3
24
a
.
Câu 12. Cho lăng trụ đứng
.
ABC A B C
có ABC là tam giác vuông tại
B
,
; 2
AB a BC a
. Mặt phẳng
A BC
hợp với mặt đáy
ABC
một góc
30
. Tính thể tích khối lăng trụ.
A.
3
6
3
a
. B.
3
6
6
a
. C.
3
3
3
a
. D.
3
3
6
a
.
Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = a, CD = 2a. Hình
chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm của BD. Biết thể tích tứ diện S.BCD bằng
3
6
a
. Tính
khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
A.
3
2
a
B.
2
6
a
C.
3
6
a
D.
6
4
a
Câu 14. Cho lăng trụ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,
·
60
ABC
o
. Chân đường cao hạ từ B’ trùng với tâm O
của đáy ABCD, góc giữa mặt phẳng (BB’C’C) với đáy bằng
60
o
. Thể tích lăng trụ đã cho bằng
A.
3
3 3
8
a
B.
3
2 3
9
a
C.
3
3 2
8
a
D.
3
3
4
a
Câu 15. Cho khối lăng trụ
.
ABC A B C
, khoảng cách từ
C
đến
BB
bằng
5
, khoảng cách từ
A
đến các
đường thẳng
BB
và
CC
lần lượt bằng
3
và
4
, hình chiếu vuông góc của
A
lên
mp A B C
là trung điểm
H
của
B C
và
5
A H
. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng :
A.
15 3
. B.
20 3
C.
10 3
. D.
5 3
.
______________________________________
29
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN HỖN HỢP THỂ TÍCH, GÓC, KHOẢNG CÁCH – P3)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho hình lăng trụ
. ' ' '
ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác đều cạnh
·
·
2 , ' ' 90
o
a A AB A CB . Gọi
M
là
trung điểm của cạnh
'
A A
và khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
MBC
bằng
6
21
a
. Thể tích của khối lăng trụ
đã cho bằng
A.
3
6a 3.
B.
3
8 39
.
3
a
C.
3
4 13
.
3
a
D.
3
10 3
.
3
a
Câu 2. Cho khối lăng trụ
.
ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
A
,
, 2
AB a BC a
. Hình chiếu
vuông góc của đỉnh
A
lên mặt phẳng
ABC
là trung điểm
H
của cạnh
AC
. Góc giữa hai mặt phẳng
BCC B
và
ABC
bằng
60
. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
A.
3
3 3
4
a
. B.
3
3
8
a
. C.
3
3 3
8
a
. D.
3
3
16
a
.
Câu 3. Cho khối chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật,
AB a
,
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và
SA a
. Góc giữa hai mặt phẳng
SBC
và
SCD
bằng
, với
1
cos
3
. Thể tích của khối chóp đã cho
bằng
A.
3
2
3
a
. B.
3
2
a
. C.
3
2 2
3
a
. D.
3
2
3
a
.
Câu 4. Cho hình lăng trụ đứng
.
ABCD A B C D
có
2cm
AB
,
4
CD cm
,
6
AA cm
,
AB
song song với
CD
.
Gọi
M
là trung điểm của đoạn
AC
, khoảng cách từ điểm
M
đến mặt phẳng
CC D D
bằng
2cm
. Thể tích
lăng trụ
.
ABCD A B C D
.
A.
2
12cm
. B.
2
72cm
. C.
2
24 cm
. D.
2
36cm
.
Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB đều nằm trong mặt phẳng vuông góc
với đáy, M là trung điểm của CD, khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBM) bằng
2 57
19
a
. Thể tích khối chóp
S.ABCD bằng
A.
3
3
6
a
B.
3
3
a
C.
3
3
12
a
D.
3
3
9
a
Câu 6. Cho tứ diện
ABCD
có
6,
AB a tam giác
ACD
đều, hình chiếu vuông góc của
A
lên mặt phẳng
BCD
trùng với trực tâm
H
của tam giác
,
BCD
mặt phẳng
ADH
tạo với mặt phẳng
ACD
một góc
0
45 .
Tính thể tích khối tứ diện
.
ABCD
A.
2
3
2
a
. B.
2
27
4
a
. C.
2
9
4
a
. D.
2
3
4
a
.
Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = 2a, AD = a. Tam giác SAB là tam giác cân tại S
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng
45
o
. Khi đó thể tích
khối chóp S.ABCD là
A.
3
3
3
a
B.
3
3
a
C.
3
2
a
D.
3
2
3
a
Câu 8. Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A,
·
·
, 90
AB a SBA SCA
o
. Gọi O là trung
điểm của BC. Biết góc giữa hai đường thẳng SB và OA bằng
60
o
. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A.
3
2
a
B.
3
6
a
C.
3
3
3
a
D.
3
3
a
Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, hình chiếu vuông góc của S với mặt phẳng
đáy là trung điểm cạnh AB và mặt phẳng (SCD) tạo với mặt phẳng đáy một góc
60
o
. Mặt phẳng chứa AB và
vuông góc với (SCD) cắt SC, SD lần lượt tại M, N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN
30
A.
3
21
4
a
B.
3
7 3
2
a
C.
3
21 3
4
a
D.
3
7 3
4
a
Câu 10. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại C, tam giác SAB vuông tại A, tam giác SAC cân
tại S biết AB = 2a, đường thẳng SB tạo với mặt phẳng (ABC) góc
45
o
. Thể tích khối chóp S.ABC bằng
A.
3
5
a
B.
3
5
3
a
C.
3
10
6
a
D.
3
10
2
a
Câu 11. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có cạnh AB = a, diện tích tứ giác A’B’CD bằng
3
2
a
. Mặt phẳng (A’B’CD)
tạo với mặt phẳng đáy góc
60
o
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng A’A và CD bằng
3 21
7
a
. Biết hình chiếu
của A’ thuộc miền giữa hai đường thẳng AB và CD. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD nhỏ hơn 4a.
Tính thể tích V của khối hộp ABCD.A’B’C’D’.
A.
3
3
a
B.
3
3 3
a
C.
3
2 3
a
D.
3
6 3
a
Câu 12. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh BC = 2a và
·
60
ABC
o
. Biết tứ giác
BCC’B’ là hình thoi có
·
B BC
nhọn. Mặt phẳng (BCC’B’) vuông góc với (ABC) và mặt phẳng (ABB’A’) tạo với
(ABC) góc
45
o
. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
A.
3
7
7
a
B.
3
3 7
7
a
C.
3
6 7
7
a
D.
3
7
21
a
Câu 13. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A, AB = 1, BC = 2 và
·
·
90 ; 120
CBB ABB
o o
. Gọi M là trung điểm của cạnh A’A. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AB’ và
CM bằng
7
7
. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
A.
2 2
B.
4 2
3
C.
4 2
D.
4 2
9
Câu 14. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A,
·
30 ;
ABC BC a
o
. Hai mặt bên (SAB), (SAC)
cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, mặt bên (SBC) tạo với đáy một góc
45
o
. Tính thể tích khối chóp S.ABC
A.
3
64
a
B.
3
16
a
C.
3
9
a
D.
3
32
a
Câu 15. Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vuông tại C, AC = a, AB = 2a và SA vuông góc với mặt
phẳng đáy. Góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SBC) bằng
60
o
. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
A.
3
6
12
a
B.
3
5 6
12
a
C.
3
6
72
a
D.
3
2
a
Câu 16. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi,
·
60 ; 2
ABC SA SB a
o
. Biết rằng góc giữa các
mặt phẳng (SAB), (SCD) và mặt phẳng đáy (ABCD) bằng nhau, góc giữa mặt phẳng (SAD) và mặt phẳng đáy
bằng
thỏa mãn
2 19
tan
3
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
A.
3
19
4
a
B.
3
19
8
a
C.
3
57
4
a
D.
3
57
16
a
31
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN HỖN HỢP THỂ TÍCH, GÓC, KHOẢNG CÁCH – P4)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của điểm A’ trên mặt phẳng
(ABC) là trung điểm của AB. Biết rằng góc giữa đường thẳng CC’ và mặt phẳng đáy bằng
60
o
. Tính thể tích của
khối chóp ACC’B’.
A.
3
3
8
a
B.
3
4
a
C.
3
3
4
a
D.
3
8
a
Câu 2. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA
= a. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng
với
1
cos
3
. Tính thể tích khối chóp đã cho.
A.
3
2
3
a
B.
3
2
a
C.
3
2 2
3
a
D.
3
2
3
a
Câu 3. Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, BC = 2a. Hình chiếu vuông
góc đỉnh A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của cạnh AC. Góc giữa hai mặt phẳng (BCC’B’) và (ABC)
bằng
60
o
. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A.
3
3 3
4
a
B.
3
3
8
a
C.
3
3 3
8
a
D.
3
3
16
a
Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,
2 2; 1; ;
AD AB SA SB SC SD
. Biết
rằng mặt phẳng (SAB) và (SCD) vuông góc với nhau và có
3
SAB SCD
S S
. Thể tích khối chóp S.ABCD bằng
A. 1 B.
2
C.
2
3
D.
2 6
3
Câu 5. Cho hình chóp S.BACD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AD = 2CD. Biết hai mặt phẳng (SAC), (SBD)
cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và BD = 6. Góc giữa (SCD) và mặt đáy bằng
60
o
. Hai điểm M, N lần lượt là
trung điểm của SA, SB. Thể tích khối đa diện ABCDMN bằng
A.
108 15
25
B.
128 15
25
C.
16 15
25
D.
18 15
5
Câu 6. Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật với
6; 3; 3
AB AD A C
và mặt
phẳng (AA’C’C) vuông góc với mặt đáy. Biết hai mặt phẳng (AA’C’C), (AA’B’B) tạo với nhau góc
3
: tan
4
.
Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’.
A. 12 B. 6 C. 8 D. 10
Câu 7. Cho hình chóp S.ABC có BC = 2BA = 4a,
·
·
90
BAS ABC
o
. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC),
(SBA) bằng
60
o
và SC = SB. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
A.
3
32
3
a
B.
3
8
3
a
C.
3
16
3
a
D.
3
16
9
a
Câu 8. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a,
·
·
90
SAB SAC
o
, góc giữa hai mặt phẳng
(SAB) và (SCB) bằng
60
o
. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
A.
3
3
24
a
B.
3
2
24
a
C.
3
2
8
a
D.
3
2
12
a
Câu 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A,
2
AB a
. Gọi I là trung điểm của
BC, hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng (ABC) là điểm H thỏa mãn
2
IA IH
uur uuur
. Góc giữa SC và
mặt phẳng (ABC) bằng
60
o
.
A.
3
5
2
a
B.
3
5
6
a
C.
3
15
6
a
D.
3
15
12
a
Câu 10. Cho hình lăng tụ tam giác đều ABC.A’B’C’. Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (ABC’) bằng a,
góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (BCC’B’) bằng
1
: cos
3
. Tính thể tích của khối chóp C’.ABC.
32
A.
3
9 15
20
a
B.
3
3 15
20
a
C.
3
9 15
10
a
D.
3
3 15
10
a
Câu 11. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a, biết
A’B hợp với mặt đáy (ABC) một góc
60
o
. Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng
A.
3
12
35
a
B.
3
12
5
a
C.
3
3
12
a
D.
3
3
2
a
Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a. Tam giác SAB cân tại S và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng
45
o
. M là trung
điểm của SD. Tính theo a khoảng cách từ điểm M đến (SAC).
A.
1513
89
a
B.
2 1315
89
a
C.
1315
89
a
D.
2 1513
89
a
Câu 13. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tam giác ABC cân tại A, B’BC là tam giác đều cạnh a và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Góc giữa đường thẳng B’A và mặt phẳng (ABC) bằng
45
o
. Tính
thể tích V của khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
A.
3
3
24
a
B.
3
3
8
a
C.
3
1
8
a
D.
3
3
8
a
Câu 14. Hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng
(ABC) là trung điểm của AB. Mặt bên (ACC’A’) tạo với đáy góc
45
o
. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
A.
3
2 3
3
a
B.
3
3
3
a
C.
3
16
a
D.
3
3
16
a
Câu 15. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC có
·
; 2; 135
AB a AC a CAB
o
. Tam giác SAB
vuông tại B và tam giác SAC vuông tại A. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SAB) bằng
30
o
. Tính thể tích
khối chóp S.ABC.
A.
3
6
a
B.
3
3
a
C.
3
6
3
a
D.
3
6
6
a
Câu 16. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2a, SA
vuông góc với (ABCD), góc giữa hai mặt phẳng (SBC), (SCD) và số đo bằng
10
: cos
5
. Tính thể tích
khối chóp đã cho bằng
A.
3
2
4
a
B.
3
3
4
a
C.
3
3
4
a
D.
3
1
4
a
Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành AD = 2AB = 2a,
·
60
BAD
o
. Biết hình chiếu
của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm I của BC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) là
60
o
. Tính thể
tích khối chóp S.ABCD.
A.
3
3
3
a
B.
3
3
6
a
C.
3
2
8
a
D.
3
2
4
a
______________________________________
33
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN HỖN HỢP THỂ TÍCH, GÓC, KHOẢNG CÁCH – P5)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a,
·
·
90
SAB SAC
o
và góc giữa hai mặt
phẳng (SAB) và (SBC) bằng
60
o
. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
A.
3
2
2
a
B.
3
2
4
a
C.
3
2
6
a
D.
3
2
3
a
Câu 2. Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a, tam giác SAB vuông tại A, tam
giác SBC cân tại S và khoảng cách hai đường thẳng SB và AC bằng
2
3
a
. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A.
3
6
a
B.
3
3
2
a
C.
3
2
a
D.
3
3
a
Câu 3. Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A,
·
; 120
AB a BAC
o
và
·
·
90
SBA SCA
o
. Gọi
là
góc giữa hai mặt phẳng (SAB), (SAC). Tính thể tích khối chóp S.ABC khi
cos 0,75
.
A.
3
3
a
B.
3
a
C.
3
0,75
a
D.
3
0,25
a
Câu 4. Cho hình chóp S.ABC có
·
·
·
; 120 ; 90
AB BC a ABC SAB SCB
o o
và khoảng cách từ B đến mặt
phẳng (SAC) bằng
2
21
a
. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
A.
3
5
10
a
B.
3
15
10
a
C.
3
15
5
a
D.
3
5
2
a
Câu 5. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu của A’ lên mặt phẳng (ABC)
trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng A’A và BC bằng
3
4
a
. Tính theo a
thể tích của khối lăng trụ đó.
A.
3
3
12
a
B.
3
3
6
a
C.
3
3
3
a
D.
3
3
24
a
Câu 6. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’, khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và B’C là
2 5
5
a
, khoảng
cách giữa hai đường thẳng BC và AB’ bằng
2 5
5
a
, khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD’ bằng
3
3
a
.
Tính thể tích khối hộp A’B’C’D’.ABCD.
A. 8
3
a
B. 4
3
a
C. 2
3
a
D.
3
a
Câu 7. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A’B vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD), góc giữa A’A và (ABCD)
bằng
45
o
. Khoảng cách từ A đến các đường thẳng B’B và DD’ bằng 1. Góc giữa hai mặt phẳng (BBC’C),
(CC’D’D) bằng
60
o
. Tính thể tích khối hộp đã cho.
A. 2 B.
2 3
C.
3
D.
3 3
Câu 8. Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A với AB = 1, tam giác SAC vuông tại C,
·
60
SBA
o
và góc giữa hai mặt phẳng (SAB), (SAC) bằng
·
60
SBA
o
. Khi đó
.
S ABC
V gần với giá trị nào nhất
A.
1
12
B.
1
9
C.
1
8
D.
1
6
Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,
·
120
BAD
o
. Gọi O là giao điểm của hai
đường chéo AC, BD. Biết SA = SC, SB = SD, mặt phẳng (SCD) tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc
: tan 2
. Mặt phẳng
qua A và vuông góc với SC,
cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’.
Tính thể tích khối chóp O.AB’C’D’.
A.
3
12
a
B.
3
16
a
C.
3
24
a
D.
3
3
12
a
34
Câu 10. Cho khối chóp S.ABC có đáy (ABC) là tam giác vuông cân tại A,
·
·
; 90
AB a SBA SCA
o
. Góc giữa
hai mặt phẳng (SAB), (SAC) bằng
60
o
. Tính thể tích khối chóp đã cho.
A.
3
a
B.
3
3
a
C.
3
2
a
D.
3
6
a
Câu 11. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng 2a. Biết
·
·
·
60 ; 120
BAD A AB A AD
o o
. Tính thể
tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’.
A.
3
4 2
a
B.
3
2 2
a
C.
3
8
a
D.
3
2
a
Câu 12. Lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A,
·
30
ABC
o
. Điểm M là trung điểm cạnh AB,
tam giác MA’C đều có cạnh
3
a
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’
là
A.
3
72 3
7
a
B.
3
24 3
7
a
C.
3
9 3
7
a
D.
3
9 2
7
a
Câu 13. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên tạo với đáy một góc
60
o
. Gọi M là trung điểm của SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD cắt SB tại E và cắt SD tại F. Tính
thể tích khối chóp S.AEMF.
A.
3
6
36
a
B.
3
4 6
9
a
C.
3
6
6
a
D.
3
6
18
a
Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. Biết AB = BC = 1, AD = 2. Các
mặt chéo (SAC), (SBD) cùng vuông góc với mặt đáy (ABCD). Biết góc giữa hai mặt phẳng (SAB), (ABCD) bằng
60
o
. Tính bán kính mặt cầu tâm D tiếp xúc với mặt phẳng (SAB).
A.
3
3
B.
2 3
C.
2 3
3
D.
3
Câu 15. Hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại C, cạnh bên
3
a
SB . Hình chiếu vuông góc của S
trên mặt phẳng (ABC) là điểm H trên cạnh AB thỏa mãn HB = 2HA. Tính
.
S ABC
V biết
SBC SAB
S S
.
A.
3
9
8
a
B.
3
1
72
a
C.
3
27
8
a
D.
3
1
24
a
Câu 16. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh
3
a
, BD = 3a. Hình chiếu vuông góc của B trên
mặt phẳng (A’B’C’D’) trùng với trung điểm của A’C’. Gọi
là góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABCD) và (CDD’C’)
sao cho
21
cos
7
. Tính thể tích khối hộp.
A. 0,75
3
a
B. 2,25
3
a
C.
3
9 3
4
a
D.
3
3 3
4
a
Câu 17. Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, AA’ = A’D, hình chiếu vuông góc của
A’ thuộc hình vuông ABCD, khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và AB’ bằng
6
10
a
. Tính thể tích khối chóp
A’MNP, trong đó M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh CD, CC’, DD’.
A. 12
3
a
B.
3
a
C. 2
3
a
D. 3
3
a
35
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN HỖN HỢP THỂ TÍCH, GÓC, KHOẢNG CÁCH – P6)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có
·
60 ; 3 ; 4
BAC AB a AC a
o
. Gọi M là trung điểm của B’C’,
khoảng cách từ M đến mặt phẳng (B’AC) bằng
3 15
10
a
. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
A. 27
3
a
B. 9
3
a
C. 4
3
a
D.
3
a
Câu 2. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bằng a,
·
60
BAC
o
. Gọi I, J lần
lượt là tâm các mặt bên ABB’A’, CDD’C’. Biết
7
; 2
2
a
AI A A a
và góc giữa hai mặt phẳng (ABB’A’),
(A’B’C’D’) bằng
60
o
. Tính thể tích khối tứ diện AOIJ.
A.
3
3 3
64
a
B.
3
3
48
a
C.
3
3
32
a
D.
3
3
192
a
Câu 3. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều. Biết A’A = AB = a. Các mặt bên
(A’AB) và (A’AC) cùng hợp với đáy (ABC) một góc
60
o
. Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng
A.
3
3 7
28
a
B.
3
3 7
4
a
C.
3
7
28
a
D.
3
3
7
a
Câu 4. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB = 2, BC = 4. Mặt bên ABB’A’ là
hình thoi có
µ
60
B
o
. Gọi K là trung điểm của B’C’, tính thể tích khối lăng trụ
( ; ) 1,5
d A B BK
.
A. 6 B. 4
3
C. 3
3
D. 2
3
Câu 5. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông với SA vuông góc với (ABCD) và
2 3
SB SC
a
.
Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
A.
3
12
a
B.
3
3
a
C.
3
2
a
D.
3
6
a
Câu 6. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt đáy bằng
30
o
, khoảng cách từ
chân đường cao hình chóp đến mặt phẳng(SAB) bằng a. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
A.
3
24
a
B.
3
8 3
a
C.
3
8
a
D.
3
8
3
a
Câu 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 8,
·
·
90
SAB SCB
o
, hai mặt phẳng (SAB),
(SCB) vuông góc với nhau. Thể tích của khối chóp S.ABC là
A.
64 2
3
B.
128 2
3
C.
128 3
3
D.
64 2
Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB và tam giác SCD cân tại S,
hai mặt bên (SAB), (SCD) có tổng diện tích bằng
2
3
4
a
và chúng vuông góc với nhau. Tính thể tích khối chóp
S.ABCD.
A. 0,25
2
a
B. 1,25
2
a
C.
2
6
a
D.
2
23
24
a
Câu 9. Cho khối hộp S.ABCD có A’B vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD), góc giữa A’A với (ABCD) bằng
45
o
. Khoảng cách từ A đến các đường thẳng B’B, D’D cùng bằng 1. Góc giữa hai mặt phẳng (BB’C’C) và
(C’CDD’) bằng
60
o
. Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’.
A. 2 B.
2 3
C.
3
D.
3 3
Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,
·
60
BAD
o
, I là giao điểm của AC và BD,
hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của BI. Góc giữa SC và (ABCD) bằng
45
o
.
Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
36
A.
39
24
a
B.
39
12
a
C.
39
8
a
D.
39
48
a
Câu 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
(SBC) là
15
5
a
, khoảng cách giữa SA và BC là
15
5
a
. Biết hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) nằm trong
tam giác ABC. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
A. 0,25
3
a
B. 0,125
3
a
C.
3
3
4
a
D.
3
3
8
a
Câu 12. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại B,
2
AC a
, mặt phẳng (SAC) vuông góc với
mặt đáy (ABC). Các mặt bên (SAB), (SAC) tạo với mặt đáy các góc bằng nhau và bằng
60
o
. Tính thể tích khối
chóp S.ABC.
A.
3
3
12
a
B.
3
3
4
a
C.
3
3
6
a
D.
3
3
2
a
Câu 13. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều, mặt phẳng (A1BC) tạo với đáy góc
30
o
và
tam giác A1BC có diện tích bằng 8. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
A.
64 3
V
B.
2 3
V
C.
16 3
V
D.
8 3
V
Câu 14. Tính thể tích khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AD = 2a, tam giác SAB vuông cân tại S và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, tổng diện tích tam giác SAB và ABCD bằng
2
33
4
a
.
A.
3
3
a
B.
3
9
a
C.
3
3
a
D.
3
a
Câu 15. Cho hình chóp S.ABC có
·
8; 4; 60
AB BC ABC
o
. Hình chiếu của S lên cạnh AB là điểm K sao
cho KB = 3KA. Biết SB, SC hợp với đáy một góc
60
o
. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
A.
9 21
B.
7 21
C.
32 21
3
D.
32 21
9
Câu 16. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật có diện tích bằng
3
. Tính thể tích V của
khối hộp biết
7
C C
, các mặt phẳng (ABB’A’), (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy ABCD các góc
45 ,60
o o
.
A. V = 3 B.
7 3
V C.
21
V D.
3 7
V
Câu 17. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, BC = 2a và
·
60
ABC
o
. Tứ giác
BCC’B’ là hình thoi có B’BC nhọn. Biết (BCC’B’) vuông góc với (ABC) và (ABB’A’) tạo với (ABC) góc
45
o
. Tính
thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
A.
3
7
a
B.
3
3
7
a
C.
3
6
7
a
D.
3
3 7
a
Câu 18. Khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A,
; 2
AB a AC a
. Góc giữa cạnh bên và
đáy là
30
o
.
A A A B A C
. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
A.
3
2
8
a
B.
3
3
4
a
C.
3
2
4
a
D.
3
3
12
a
______________________________________
37
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN HỖN HỢP THỂ TÍCH, GÓC, KHOẢNG CÁCH – P7)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a,
·
60
ABC
o
. Biết rằng SA = SC, SB = SD và
(SAB), (SBC). G là trọng tâm tam giác (SAD). Tính thể tích V của tứ diện GSAC.
A.
3
2
48
a
B.
3
2
24
a
C.
3
2
12
a
D.
3
2
96
a
Câu 2. Cho hình chóp
.
S ABCD
có
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy,
3
SA a
, tứ giác
ABCD
là hình vuông,
2
BD a
(minh họa như hình bên). Góc giữa đường thẳng
SB
và mặt phẳng
SAD
bằng
A.
0
. B.
30
. C.
45
. D.
60
.
Câu 3. Cho hình chóp tứ giác đều .
S ABCD
có đáy là hình vuông tâm
O
, cạnh
a
. Gọi
,
M N
lần lượt là trung
điểm của
SA
và
BC
. Góc giữa đường thẳng
MN
và mặt phẳng
ABCD
bằng
60
. Tính cos của góc giữa
đường thẳng
MN
và mặt phẳng
SBD
.
A.
41
4
. B.
5
5
. C.
2 5
5
. D.
2 41
4
.
Câu 4. Cho hình chóp tứ giác đều
.
S ABCD
có cạnh đáy bằng
a
, tâm
O
. Gọi
M
và
N
lần lượt là trung điểm
của
SA
và
BC
. Biết rằng góc giữa
MN
và
ABCD
bằng
60
, côsin của góc giữa đường thẳng
MN
và mặt
phẳng
SBD
bằng:
A.
5
5
. B.
41
41
. C.
2 5
5
. D.
2 41
41
.
Câu 5. Hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh bằng
2
a
. Tam giác
SAB
cân tại
S
và
SAB ABCD
;thể tích của khối chóp .
S ABCD
là
3
4
3
a
. Gọi
là góc giữa
SC
và
ABCD
. Tính
tan
.
A.
5
tan
5
. B.
2 5
tan
5
. C.
3
tan
3
. D.
7
tan
7
.
Câu 6. Cho tứ diện đều
SABC
cạnh
a
. Gọi
,
M N
lần lượt là trung điểm của các cạnh
,
AB SC
. Tính tan của
góc giữa đường thẳng
MN
và mặt phẳng
ABC
.
A.
3
2
. B.
1
2
. C.
2
2
. D.
1
.
Câu 7. Cho hình lăng trụ
.
ABC A B C
có đáy là tam giác đều cạnh
a
. Hình chiếu vuông góc của điểm
A
lên
mặt phẳng
ABC
trùng với trọng tâm tam giác
ABC
. Biết khoảng cách giữa hai đường
AA
và
BC
bằng
3
4
a
. Tính thể tích
V
của khối lăng trụ
.
ABC A B C
.
A.
3
3
6
a
V
. B.
3
3
24
a
V . C.
3
3
12
a
V . D.
3
3
3
a
V .
Câu 8. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật, mặt bên
SAD
là tam giác vuông tại
S
.
Hình chiếu vuông góc của
S
trên mặt phẳng đáy là điểm
H
thuộc cạnh
AD
sao cho 3
HA HD
. Biết
rằng
2 3
SA a
và
SC
tạo với đáy một góc bằng
30
. Tính theo
a
thể tích
V
của khối chóp .
S ABCD
.
A.
3
8 6
V a
. B.
3
8 6
3
a
V
. C.
3
8 2
V a
. D.
3
8 6
9
a
V
.
38
Câu 9. Khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a. Nếu thể tích khối lăng
trụ bằng
3
2
4
a
thì số đó góc giữa hai mặt phẳng (A’BC), (ABC) bằng
A.
75
o
B.
60
o
C.
45
o
D.
30
o
Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi,
·
2 , 120
AC a BAD
o
. Biết SA = SB = SC và góc
giữa mặt phẳng (SCD) với đáy bằng
45
o
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
A.
3
4 3
3
a
B.
3
4
3
a
C.
3
4 3
a
D.
3
4
a
Câu 11. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’B’C’) bằng
2
3
a
,
góc giữa mặt phẳng (A’BC) với đáy bằng
2
: cos
3
. Tính thể tích khối hộp đã cho.
A.
3
2 5
a
B.
3
2
a
C.
3
4
3
a
D.
3
4 5
9
a
Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a,
·
120
ABC
o
, SA vuông góc với (ABCD). Biết góc
giữa hai mặt phẳng (SBC), (SCD) bằng
60
o
. Khi đó
A.
3
2
a
SA
B.
6
2
a
SA
C.
6
SA a
D.
6
4
a
SA
Câu 13. Cho hình chóp S.ABC có AB = 5cm, BC = 6cm, AC = 7cm, các mặt bên tạo với đáy một góc
60
o
. Tính
thể tích khối chóp S.ABC.
A.
3
8 3
cm
B.
3
35 3
2
cm
C.
3
24 3
cm
D.
3
105 3
2
cm
Câu 14. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Khoảng cách từ tâm O của tam
giác ABC đến mặt phẳng (A’BC) bằng
6
a
. Tính thể tích khối lăng trụ.
A.
3
3 2
4
a
B.
3
3 2
8
a
C.
3
3 2
28
a
D.
3
3 2
16
a
Câu 15. Cho hình chóp tứ giác .
S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh bằng
2
a
. Tam giác
SAD
cân tại
S
và
mặt bên
SAD
vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối chóp .
S ABCD
bằng
3
4
3
a
. Tính khoảng cách
h
từ
B
đến mặt phẳng
SCD
A.
3
4
h a
B.
2
3
h a
C.
4
3
h a
D.
8
3
h a
Câu 18. Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy là hình chữ nhật;
; 2
AB a AD a
. Tam giác
SAB
cân tại
S
và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng
SC
và mp
ABCD
bằng
45
. Gọi
M
là trung điểm của
SD
. Tính theo
a
khoảng cách
d
từ điểm
M
đến
SAC
.
A.
1513
89
a
d
. B.
2 1315
89
a
d
. C.
1315
89
a
d
. D.
2 1513
89
a
d
.
Câu 17. Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thang vuông tại
A
và
B
,
1
2
BC AD a
. Tam
giác
SAB
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, góc giữa
SC
và mặt phẳng
ABCD
bằng
sao cho
15
tan
5
. Tính thể tích khối chóp
.
S ACD
theo
a
.
A.
3
.
2
S ACD
a
V . B.
3
.
3
S ACD
a
V . C.
3
.
2
6
S ACD
a
V
. D.
3
.
3
6
S ACD
a
V
.
39
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN HỖN HỢP THỂ TÍCH, GÓC, KHOẢNG CÁCH – P8)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho lăng trụ tam giác
. ' ' '
ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác đều cạnh
a
. Hình chiếu của điểm
'
A
trên
mặt phẳng
ABC
trùng vào trọng tâm
G
của tam giác
ABC
. Biết tam giác
' '
A BB
có diện tích bằng
2
2 3
3
a
.
Tính thể tích khối lăng trụ
. ' ' '
ABC A B C
.
A.
3
6 2
7
a
B.
3
3 7
8
a
C.
3
3 5
8
a
D.
3
3 3
8
a
Câu 2. Cho hình lăng trụ
.
ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
B
và
2
AC a
. Hình chiếu vuông
góc của
A
trên mặt phẳng
ABC
là trung điểm
H
của cạnh
AB
và
a 2
AA
. Tính thể tích
V
của khối
lăng trụ đã cho.
A.
3
6
6
a
V
. B.
3
6
2
a
V
. C.
2
2 2
V a
. D.
3
3
V a
.
Câu 3. Cho hình lăng trụ
.
ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác đều cạnh
a
,
3
2
a
AA
. Biết rằng hình chiếu
vuông góc của điểm
A
lên mặt phẳng
ABC
là trung điểm của cạnh
BC
. Tính thể tích
V
của khối lăng trụ đó
theo
a
.
A.
3
3
2
V a
. B.
3
2
3
a
V
. C.
3
3
4 2
a
V
. D.
3
V a
.
Câu 4. Cho hình lăng trụ .
ABC A B C
có đáy là tam giác vuông cân đỉnh
,
A
,
AB a
2 ,
AA a
hình chiếu
vuông góc của
A
lên mặt phẳng
ABC
là trung điểm
H
của cạnh
.
BC
Thể tích của khối lăng trụ
.
ABC A B C
bằng
A.
3
14
2
a
. B.
3
14
4
a
. C.
3
7
4
a
. D.
3
3
2
a
.
Câu 5. Cho hình lăng trụ đều
.
ABC A B C
. Biết khoảng cách từ điểm
C
đến mặt phẳng
ABC
bằng
a
, góc
giữa hai mặt phẳng
ABC
và
BCC B
bằng
với
1
cos
2 3
. Tính thể tích khối lăng trụ .
ABC A B C
.
A.
3
3 2
4
a
V
. B.
3
3 2
2
a
V
. C.
3
2
2
a
V
. D.
3
3 2
8
a
V
.
Câu 6. Cho khối lăng trụ tam giác đều .
ABC A B C
có
6
A B a
, đường thẳng
'
A B
vuông góc với đường
thẳng
B C
. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho theo
a
.
A.
3
6
3
a
. B.
3
6
a
. C.
3
3
4
a
. D.
3
9
4
a
.
Câu 7. Cho lăng trụ
. ' ' '
ABC A B C
có đáy là tam giác đều cạnh
2
a
, cạnh bên
2
AA a
. Hình chiếu vuông góc
của
A
lên mặt phẳng
ABC
là trung điểm
BC
. Thể tích của khối lăng trụ đã cho là
A.
3
3
a . B.
3
2 3
a . C.
3
3 2
a . D.
3
2 6
a .
Câu 8. Cho lăng trụ .
ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác đều cạnh
a
, độ dài cạnh bên bằng
2
3
a
, hình chiếu
của đỉnh
A
trên mặt phẳng
ABC
trùng với trọng tâm của tam giác
ABC
. Thể tích khối lăng trụ
.
ABC A B C
bằng:
A.
3
3
36
a
. B.
3
3
6
a
. C.
3
3
12
a
. D.
3
3
24
a
.
Câu 9. Cho hình lăng trụ
. ' ' '
ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác đều cạnh
a
,
3
AA'
2
a
. Biết rằng hình chiếu
vuông góc của
'
A
lên
ABC
là trung điểm
BC
. Thể tích của khối lăng trụ
. ' ' '
ABC A B C
là
40
A.
3
. 2
8
a
. B.
3
3 . 2
8
a
. C.
3
. 6
2
a
. D.
3
2
3
a
.
Câu 10. Cho hình lăng trụ
. ' ' '
ABC A B C
có đáy là tam giác đều cạnh bằng
a
, hình chiếu vuông góc của
'
A
lên
mặt phẳng
ABC
trùng với trọng tâm
G
của tam giác
ABC
. Biết khoảng cách giữa
BC
và
'
AA
bằng
3
4
a
.
Thể tích khối chóp '.
B ABC
bằng:
A.
3
3
36
a
. B.
3
3
9
a
. C.
3
3
18
a
. D.
3
3
12
a
.
Câu 11. Cho lăng trụ
.
ABCD A B C D
có đáy
ACBD
là hình thoi cạnh
a
, biết
.
A ABC
là hình chóp đều và
A D
hợp với mặt đáy một góc
45
. Thể tích khối lăng trụ
.
ABCD A B C D
là :
A.
3
a
. B.
3
6
12
a
. C.
3
3
a
. D.
3
6
3
a
.
Câu 12. Cho hình lăng trụ .
ABC A B C
có đáy là tam giác đều cạnh
a
. Hình chiếu vuông góc của điểm
A
lên
mặt phẳng
ABC
trùng với trọng tâm tam giác
ABC
. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng
AA
và
BC
bằng
3
4
a
. Tính thể tích
V
của khối lăng trụ .
ABC A B C
.
A.
3
3
6
a
V
. B.
3
3
3
a
V
. C.
3
3
24
a
V
. D.
3
3
12
a
V
.
Câu 13. TÍnh thể tích khối lăng trụ
.
ABCD A B C D
có đáy
ABCD
là hình thoi cạnh
a
, tâm
O
và
·
120
ABC
.
Góc giữa cạnh bên
AA
và mặt đáy bằng
60
. Đỉnh
A
cách đều các điểm
A
,
B
,
D
.
A.
3
3
2
a
V . B.
3
3
6
a
V . C.
3
3
2
a
V . D.
3
3
V a .
Câu 14. Cho hình lăng trụ .
ABC A B C
có đáy ABC là tam giác vuông tại
A
,
AB a
,
3
AC a
. Hình chiếu
vuông góc của đỉnh
A
lên
ABC
trùng với tâm của đường tròn ngoại tiếp của tam giác
ABC
. Trên cạnh
AC
lấy điểm
M
sao cho 2
CM MA
. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng
A M
và
BC
bằng
2
a
. Tính thể tích
V
của khối lăng trụ đã cho.
A.
3
3
2
a
V
. B.
3
V a
. C.
2
3
3
a
V . D.
3
2 3
3
a
V
.
Câu 15. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a. M là trung điểm của C’C, hai mặt phẳng
(MAB), (MA’B’) tạo với nhau một góc
60
o
. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
A.
3
2
a
B.
3
3
4
a
C.
3
3
3
a
D.
3
3
2
a
Câu 16. Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
A
. Hình chiếu của
S
lên mặt phẳng
ABC
là trung điểm
H
của
BC
,
AB a
,
3
AC a
,
2
SB a
. Thể tích của khối chóp
.
S ABC
bằng
A.
3
3
2
a
. B.
3
6
2
a
. C.
3
3
6
a
. D.
3
6
6
a
.
Câu 17. Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy là hình thang vuông tại
A
và
D
,
AB AD a
,
2
CD a
. Hình
chiếu của đỉnh
S
lên mặt
ABCD
trùng với trung điểm của
BD
. Biết thể tích tứ diện
SBCD
bằng
3
6
a
.
Khoảng cách từ đỉnh
A
đến mặt phẳng
SBC
là?
A.
3
2
a
B.
2
6
a
C.
3
6
a
D.
6
4
a
Câu 18. Hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là vuông cạnh
a
, hình chiếu vuông góc của
S
trên mặt
phẳng
ABCD
trùng với trung điểm của cạnh
;
AD
gọi
M
là trung điểm của
;
CD
cạnh bên
SB
hợp
với đáy góc
60
. Tính theo
a
thể tích của khối chóp
.
S ABM
.
A.
3
15
3
a
B.
3
15
6
a
C.
3
15
4
a
D.
3
15
12
a
41
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN HỖN HỢP THỂ TÍCH, GÓC, KHOẢNG CÁCH – P9)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho hình lăng trụ đứng
. ' ' '
ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
A
,
·
30
ACB
, biết góc giữa
'
B C
và mặt phẳng
' '
ACC A
bằng
thỏa mãn
1
sin
2 5
. Cho khoảng cách giữa hai đường thẳng
'
A B
và
'
CC
bằng
3
a
. Tính thể tích
V
của khối lăng trụ
. ' ' '
ABC A B C
.
A.
3
6
V a . B.
3
3 6
2
a
V
. C.
3
3
V a . D.
3
2 3
V a .
Câu 2. Cho khối lăng trụ đều
. ' ' '
ABC A B C
có cạnh đáy bằng
a
. Khoảng cách từ điểm
'
A
đến mặt phẳng
' '
AB C
bằng
2 3
19
a
. Thể tích của khối lăng trụ đã cho là
A.
3
3
4
a
B.
3
3
6
a
C.
3
3
2
a
D.
3
3
2
a
Câu 3. Cho hình lăng trụ đứng
.
ABC A B C
, biết đáy
ABC
là tam giác đều cạnh
a
. Khoảng cách từ tâm
O
của
tam giác
ABC
đến mặt phẳng
A BC
bằng
6
a
. Tính thể tích khối lăng trụ
.
ABC A B C
.
A.
3
3 2
8
a
. B.
3
3 2
28
a
. C.
3
3 2
4
a
. D.
3
3 2
16
a
.
Câu 4. Cho một lăng trụ tam giác đều .
ABC A B C
có cạnh đáy bằng
a
, góc giữa
A C
và mặt phẳng đáy bằng
60
. Tính diện tích xung quanh
xp
S
của hình nón có đáy là đường tròn nội tiếp tam giác
ABC
và đỉnh là trọng
tâm của tam giác
A B C
.
A.
2
333
36
xq
a
S
. B.
2
333
6
xq
a
S
. C.
2
111
6
xq
a
S
. D.
2
111
36
xq
a
S
.
Câu 5. Cho hình lăng trụ .
ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
, 2 2
A AC
, biết góc giữa
AC
và
ABC
bằng
0
60
và
4
AC
. Tính thể tích
V
của khối lăng trụ .
ABC A B C
.
A.
8
3
V
B.
16
3
V
C.
8 3
3
V
D.
8 3
Câu 6. Cho lăng trụ tam giác
. ' ' '
ABC A B C
có đáy là tam giác đều cạnh
a
, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
0
30
. Hình chiếu của
'
A
lên
ABC
là trung điểm
I
của
BC
. Tính thể tích khối lăng trụ
A.
3
3
2
a
B.
3
13
12
a
C.
3
3
8
a
D.
3
3
6
a
Câu 7. Cho hình lăng trụ .
ABC A B C
có đáy là tam giác đều cạnh bằng
2
. Hình chiếu vuống góc của
A
lên
mặt phẳng
ABC
trùng với trung điểm
H
của cạnh
BC
. Góc tạo bởi cạnh bên
A A
với đáy bằng
0
45
(hình vẽ
bên). Tính thể tích
V
của khối lăng trụ .
ABC A B C
.
A.
6
24
V . B.
1
V
. C.
6
8
V . D.
3
V
.
Câu 8. Cho lăng trụ tam giác
.
ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác đều cạnh
a
, hình chiếu của
A
xuống
ABC
là tâm
O
đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
. Biết
AA
hợp với đáy
ABC
một góc
60
, thể tích
khối lăng trụ là
42
A.
3
3
4
a
. B.
3
3 3
4
a
. C.
3
3
12
a
. D.
3
3
36
a
.
Câu 9. Cho lăng trụ tam giác .
ABC A B C
có đáy là tam giác đều cạnh
a
. Độ dài cạnh bên bằng 4
a
. Mặt
phẳng
BCC B
vuông góc với đáy và
·
30
B BC
. Thể tích khối chóp
.
ACC B
là:
A.
3
3
2
a
. B.
3
3
12
a
. C.
3
3
18
a
. D.
3
3
6
a
.
Câu 10. Cho lăng trụ tam giác .
ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
A
, cạnh
2 2
AC
. Biết
AC
tạo với mặt phẳng
ABC
một góc
60
và
4
AC
. Tính thể tích
V
của khối đa diện
ABCB C
.
A.
8
3
V
B.
16
3
V
C.
8 3
3
V
D.
16 3
3
V
Câu 11. Cho lăng trụ tam giác
. ' ' '
ABC A B C
có độ dài cạnh bên bằng
8
a
và khoảng cách từ điểm A đến các
đường thẳng
,
BB CC
lần lượt bằng
2
a
và
4 .
a
Biết góc giữa hai mặt phẳng (ABB′A′) và (ACC′A′) bằng
60
.
Tính thể tích khối lăng trụ
. ' ' '.
ABC A B C
A.
3
16
3 .
3
a
B.
3
8 3 .
a
C.
3
24 3 .
a
D.
3
16 3 .
a
Câu 12. Cho lăng trụ
. ' ' '
ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
B
, đường cao
BH
. Biết
'
A H ABC
và
1, 2, ' 2
AB AC AA
. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A.
21
12
. B.
7
4
. C.
21
4
. D.
3 7
4
.
Câu 13. Cho hình lăng trụ
. ' ' '
ABC A B C
có đáy là tam giác đều cạnh
a
, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy
bằng
0
30
. Hình chiếu của
'
A
xuống
ABC
là trung điểm
BC
. Tính thể tích khối lăng trụ
. ' ' '
ABC A B C
.
A.
3
3
8
a
B.
3
8
a
C.
3
3
24
a
D.
3
3
4
a
Câu 14. Cho hình lăng trụ
.
ABCD A B C D
có đáy
ABCD
là hình thoi cạnh
a
,
·
60
ABC
. Chân đường cao hạ
từ
B
trùng với tâm
O
của đáy
ABCD
; góc giữa mặt phẳng
BB C C
với đáy bằng
60
. Thể tích lăng trụ
bằng:
A.
3
3 3
8
a
B.
3
2 3
9
a
C.
3
3 2
8
a
D.
3
3
4
a
Câu 15. Cho lăng trụ
.
ABC A B C
có đáy là tam giác đều cạnh
a
, hình chiếu vuông góc của điểm
’
A
lên mặt
phẳng
ABC
trùng với trọng tâm tam giác
.
ABC
Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng
’
AA
và
BC
bằng
3
4
a
. Tính theo
a
thể tích của khối lăng trụ đã cho.
A.
3
3
3
a
B.
3
3
24
a
C.
3
3
6
a
D.
3
3
12
a
Câu 16. Cho hình lăng trụ .
ABC A B C
có
2
AA a
, tam giác
ABC
vuông tại
C
và
·
60
BAC
, góc giữa
cạnh bên
BB
và mặt đáy
ABC
bằng
60
. Hình chiếu vuông góc của
B
lên mặt phẳng
ABC
trùng với
trọng tâm của tam giác
ABC
. Thể tích của khối tứ diện .
A ABC
theo
a
bằng
A.
3
9
208
a
. B.
3
3
26
a
. C.
3
9
26
a
. D.
3
27
208
a
.
Câu 17. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thang vuông tại
A
và
B
,
1
2
BC AD a
. Tam
giác
SAB
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy; góc giữa
SC
và mặt phẳng
ABCD
bằng
sao cho
15
tan
5
. Tính thể tích khối chóp .
S ACD
theo
a
A.
3
.
2
S ACD
a
V
. B.
3
.
3
S ACD
a
V
. C.
3
.
2
6
S ACD
a
V
. D.
3
.
3
6
S ACD
a
V
.
43
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TỈ SỐ KHỐI CHÓP TAM GIÁC – P1)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho khối chóp tam giác S.ABC có thể tích V. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC.
Tính thể tích khối chóp S.MNP.
A. 0,25V B. 0,125V C. 0,75V D. 0,5V
Câu 2. Cho khối chóp S.ABC có thể tích bằng 18. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc SA, SB, SC sao cho MS =
MA, SN = 2NB, SP = 2PC. Gọi Q là trung điểm của SN. Tính thể tích khối chóp M.QPN.
A. 2 B. 1 C. 3 D. 6
Câu 3. Cho khối chóp S.ABC có thể tích bằng 27. Các điểm N, P lần lượt thuộc các cạnh SB, SC sao cho 3SN =
2SB, 3SC = 2SP. Điểm M thuộc cạnh SA sao cho
SA kSM
và khối chóp S.MNP có thể tích bằng 4. Giá trị của
k là
A. 3 B. 4 C. 2 D. 6
Câu 4. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc, AB = 6, AC = 7, AD = 4. Các điểm M, N,
P tương ứng là trung điểm của BC, CD, DB. Tính thể tích khối tứ diện AMNP.
A. 3,5 B. 14 C. 7 D. 6
Câu 5. Cho khối chóp S.ABC có thể tích bằng 16. Tính thể tích khối chóp C.MNP biết rằng các điểm M, N, P
thỏa mãn điều kiện
2 , 2 3 , 4 3
SA SM SC SP SN SB
uur uuur uuur uur uuur uur
.
A. 2 B. 1 C. 4 D. 3,5
Câu 6. Cho hình chóp S.ABC, M là trung điểm cạnh SA, N là điểm trên cạnh SC sao cho SN = 3SC. Tính tỉ số k
giữa thể tích khối chóp ABMN và thể tích khối chóp S.ABC.
A.
3
8
k
B.
2
5
k
C.
1
3
k
D.
3
4
k
Câu 7. Khối chóp S.ABC có thể tích bằng 18; G là trọng tâm tam giác SAB. Mặt phẳng
chứa AG và song
song với BC cắt SB tại M, cắt SC tại N. Tính thể tích khối chóp B.GMN.
A. 1,5 B. 2 C. 3 D. 2,5
Câu 8. Khối chóp S.ABC có thể tích bằng 9. M và N lần lượt thuộc các cạnh AB, AC sao cho AM = 2AB, NC =
2AN. Tính thể tích khối chóp S.MNCB.
A. 6 B. 7 C. 8 D. 5
Câu 9. Khối chóp S.ABC có thể tích bằng 81. Các điểm M, N, P thuộc các cạnh SA, SB, SC thỏa mãn điều kiện
2
3
SM SN SP
SA SB SC
. Tính thể tích khối chóp H.MNP với H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
A. 8 B. 16 C. 4 D. 9
Câu 10. Cho khối tứ diện có thể tích bằng V. Gọi V’ là thể tích khối đa diện có các đỉnh là các đỉnh là trung điểm
các cạnh của khối tứ diện đã cho. Tính tỉ số
V
V
.
A.
1
2
B.
1
4
C.
2
3
D.
5
8
Câu 11. Khối tứ diện S.ABC có thể tích bằng 18. Các điểm E, F lần lượt thuộc các cạnh AB, BC sao cho BA =
3BE, BC = 4FC. Thể tích khối chóp S.AMFE với M là trung điểm của SC.
A. 5 B. 4,25 C. 6,75 D. 4,5
Câu 12. Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt
phẳng (ABC), góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng
60
o
. Tính thể tích khối chóp M.ABC với M là
trung điểm của SB.
A.
3
3
2
a
B.
3
3
4
a
C.
3
3
12
a
D.
3
3
6
a
Câu 13. Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC thỏa mãn AB = 2a, BC = 4a,
2 5
AC a
. Cạnh bên SA
vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. Tính thể tích V của
khối chóp S.AMN.
A.
3
2
9
a
B.
3
5
2
a
C.
3
5
3
a
D.
3
1
12
a
Câu 14. Khối chóp S.ABC có thể tích bằng 90. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh AB, AC, SA sao cho
AM = MB, AN = 2NC, SA = 3SP. Tính thể tích khối chóp S.MNP.
A. 10 B. 18 C. 30 D. 20
Câu 15. Khối chóp S.ABC có thể tích bằng 18. Các điểm M, N, P lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB, SAC,
44
SBC. Thể tích khối chóp S.MNP là
A. 2 B. 1 C. 3 D. 4
Câu 16. Cho hình chóp đều S.ABC có SA = 3a. D thuộc cạnh SB và DB = a. Mặt phẳng
chứa cạnh AD và
song song với BC cắt SC tại E. Tính tỉ số giữa thể tích khối tứ diện S.ADE và thể tích khối chóp S.ABC.
A.
2
9
B.
4
9
C.
1
3
D.
1
4
Câu 17. Hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = AC = a, SC vuông góc với mặt (ABC) và
SC = a. Mặt phẳng qua C, vuông góc với SB và cắt SA, SB lần lượt tại E, F. Tính thể tích khối chóp S.CEF.
A.
3
2
12
a
B.
3
2
36
a
C.
3
36
a
D.
3
12
a
Câu 18. Tứ diện ABCD có thể tích V = 18. G là trọng tâm tam giác BCD, M là trung điểm CD. Thể tích khối chóp
AGMC là
A. 2 B. 1 C. 3 D. 6
Câu 19. Cho tứ diện EFGH có EF, EG, EH đôi một vuông góc thỏa mãn EF = 6, EG = 8, EH = 12. Gọi I, J tương
ứng là trung điểm của FG, FH. Khoảng cách từ điểm F đến mặt phẳng (EIJ) gần nhất với giá trị nào sau đây
A. 2,22 B. 1,11 C. 4,45 D. 1,48
Câu 20. Khối chóp S.ABC có thể tích bằng 54. Gọi G và H lần lượt là trọng tâm các tam giác SBC, ABC, mặt
phẳng
chứa AG và song song với BC cắt SB, SC lần lượt tại I, J. Tính thể tích khối chóp H.AIJ.
A. 16 B. 8 C. 15 D. 18
Câu 21. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với đáy (ABC). Gọi M,
N lần lượt là trung điểm của SA, SB và P là hình chiếu vuông góc của A lên SC. Tính thể tích khối chóp S.MNP.
A.
3
3
30
a
B.
3
3
6
a
C.
3
3
15
a
D.
3
3
10
a
Câu 22. Hình chóp S.ABCD có đáy BCD là tam giác vuông tại C với
; 3
BC a CD a
. Hai mặt phẳng (ABD),
(ABC) cùng vuông góc với mặt phẳng (BCD). Biết AB = a và M, N lần lượt thuộc các cạnh AC, AD sao cho AM =
2MC, AN = ND. Thể tích khối chóp A.BMN bằng
A.
3
2 3
9
a
B.
3
3
3
a
C.
3
3
18
a
D.
3
3
9
a
______________________________________
45
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TỈ SỐ KHỐI CHÓP TAM GIÁC – P2)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Khi tăng cả ba cạnh đáy của một khối chóp có đáy là tam giác đều lên hai lần còn đường cao của khối
chóp giữ nguyên thì thể tích của khối chóp tăng bao nhiêu lần?
A.
4
. B.
2
. C.
8
. D. 0,5
Câu 2. Cho khối chóp tam giác đều. Nếu tăng cạnh đáy lên hai lần và giảm chiều cao đi bốn lần thì thể tích của
khối chóp đó sẽ:
A. Không thay đổi. B. Tăng 2 lần. C. Giảm 3 lần. D. Giảm 2 lần.
Câu 3. Cho khối tứ diện
ABCD
có thể tích
V
và điểm
E
trên cạnh
AB
sao cho
3
AE EB
. Tính thể tích khối
tứ diện
EBCD
theo
V
.
A.
4
V
. B.
2
V
. C.
3
V
. D.
5
V
.
Câu 4. Khối tứ diện
ABCD
có , ,
AB AC AD
đôi một vuông góc và
AB a
;
2
AC a
;
3
AD a
. Các điểm M, N,
P thứ tự thuộc các cạnh , ,
AB AC AD
sao cho 2 , 2 ,
AM MB AN NC AP PD
. Tính thể tích khối tứ diện
AMNP
.
A.
3
2
9
a
. B.
3
2
3
a
. C.
3
a
. D.
3
9
a
.
Câu 4. Hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
2
a
,
SA a
,
3
SB a
. Biết
rằng
SAB ABCD
. Gọi
,
M N
lần lượt là trung điểm của các cạnh
,
AB BC
. Tính theo
a
thể tích của khối
chóp .
S BMDN
.
A.
3
3
6
a
. B.
3
3
3
a
. C.
3
2 3
a
. D.
3
3
4
a
.
Câu 5. Cho hình lăng trụ .
ABC A B C
có thể tích bằng
V
. Gọi
M
là trung điểm cạnh
BB
, điểm
N
thuộc cạnh
CC
sao cho 2
CN C N
. Tính thể tích khối chóp .
A BCNM
theo
V
.
A.
.
7
12
A BCNM
V
V . B.
.
7
18
A BCNM
V
V . C.
.
5
18
A BCNM
V
V . D.
.
3
A BCNM
V
V .
Câu 6. Cho tứ diện
ABCD
có các cạnh
AB
,
AC
và
AD
đôi một vuông góc với nhau;
6
AB a
,
7
AC a
và
12
AD a
. Gọi
M
,
N
,
P
tương ứng là trung điểm các cạnh
BC
,
CD
,
BD
. Tính thể tích
V
của tứ diện
AMNP
.
A.
3
21
V a
. B.
3
21
4
V a
. C.
3
56
V a
. D.
3
7
V a
.
Câu 7. Cho tứ diện
ABCD
. Gọi
B
và
C
lần lượt là trung điểm của
AB
và
AC
. Tính tỉ số thể tích của khối tứ
diện
AB C D
và khối tứ diện
ABCD
.
A.
1
6
. B.
1
8
. C.
1
2
. D.
1
4
.
Câu 8. Hình chóp S.ABC có M là trung điểm SB và N là điểm thuộc cạnh SC sao cho SN = 2SC. Tính
.
.
S AMN
S ABC
V
V
A.
.
.
1
3
S AMN
S ABC
V
V
B.
.
.
2
3
S AMN
S ABC
V
V
. C.
.
.
2
S AMN
S ABC
V
V
. D.
.
.
1
2
S AMN
S ABC
V
V
.
Câu 9. Cho hình chóp .
S ABCD
. Gọi
, , ,
I J K H
lần lượt là trung điểm của các cạnh
, , ,
SA SA SC SD
. Tính thể
tích khối chóp
.
S ABCD
biết thể tích của khối chóp
.
S IJKH
là
1
.
A.
16
. B.
8
. C.
2
. D.
4
.
Câu 10. Cho lăng trụ .
ABC A B C
. Gọi
M
,
N
lần lượt là trung điểm của
CC
và
BB
. Tính tỉ số
.
ABCMN
ABC A B C
V
V
A.
1
6
. B.
1
3
. C.
1
2
. D.
2
3
.
Câu 11. Hình chóp
.
S ABC
, trên các cạnh
SA
,
SB
,
SC
lần lượt lấy các điểm
, ,
M N P
sao cho
2, 3
SA SB
SM SN
,
4
SC
SP
. Biết thể tích của khối chóp
.
S ABC
bằng
1
. Tính thể tích của khối đa diện
MNPABC
46
A.
5
24
. B.
3
4
. C.
1
24
. D.
23
24
.
Câu 12. Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thoi và có thể tích bằng
2
. Gọi
M
,
N
lần lượt là các
điểm trên cạnh
SB
và
SD
sao cho
SM SN
k
SB SD
. Tìm giá trị của
k
để thể tích khối chóp .
S AMN
bằng
1
8
.
A.
1
8
k
. B.
2
4
k
. C.
1
4
k
. D.
2
2
k
.
Câu 13. Cho hình chóp
.
S ABC
có thể tích là
V
biết
, ,
M N P
lần lượt thuộc các cạnh
, ,
SA SB SC
sao cho
, 2 , 3
SM MA SN NB SC SP
. Gọi
V
là thể tích của
.
S MNP
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
6
V
V
. B.
12
V
V
. C.
9
V
V
. D.
3
V
V
.
Câu 14. Cho khối chóp
SABC
có thể tích bằng
3
5
a
. Trên các cạnh
,
SB SC
lần lượt lấy các điểm
M
và
N
sao
cho 3
SM MB
, 4
SN NC
. Tính thể tích
V
của khối chóp
AMNCB
.
A.
3
3
5
V a
. B.
3
3
4
V a
. C.
3
V a
. D.
3
2
V a
.
Câu 15. Cho khối tứ diện có thể tích
V
. Gọi
'
V
là thể tích của khối đa diện có các đỉnh là các trung điểm của
các cạnh tứ diện đã cho. Tính tỷ số
'
V
V
.
A.
' 1
4
V
V
. B.
' 5
8
V
V
. C.
' 3
8
V
V
. D.
' 1
2
V
V
.
Câu 16. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình bình hành và có thể tích bằng
1
. Trên cạnh
SC
lấy điểm
E
sao cho
2
SE EC
. Tính thể tích
V
của khối tứ diện
SEBD
.
A.
1
3
V
. B.
2
3
V
. C.
1
6
V
. D.
1
12
V
.
Câu 17. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 2cm. Gọi M là trung điểm cạnh AB và N là điểm thuộc cạnh CD
sao cho
2
NC ND
uuur uuur
. Mặt phẳng
chứa MN và song song với cạnh AC, cắt cạnh AD tại K và cắt
cạnh BC tại H. Thể tích của khối đa diện có tất cả các đỉnh là các điểm B, D, N, H, M, K bằng
A.
3
11 2
27
cm
B.
3
7 2
27
cm
C.
3
7 2
216
cm
D.
3
11 2
216
cm
Câu 18. Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AC = 2AB = 2a. Hình chiếu của S trên mặt phẳng
(ABC) là trung điểm của đoạn thẳng BC và góc giữa các mặt phẳng (SAB) và (ABC) bằng
60
o
. Gọi M, N lần
lượt là các điểm sao cho
2 ; 3
BM AS CN AS
uuuur uuur uuur uuur
. Tính thể tích của khối đa diện ABCSMN.
A.
3
4 3
3
a
B.
3
2 3
3
a
C.
3
2 3
a
D.
3
3 3
a
Câu 19. Cho tứ diện đều có chiều cao bằng h, ở ba góc của tứ diện người ta
cắt đi các tứ diện đều bằng nhau có độ dài bằng x để khối đa diện còn lại có
thể tích bằng một nửa thể tích khối tứ diện đều ban đầu. Tìm x.
A.
3
6
6
h
x B.
3
6
2
h
x
C.
6
6
6
h
x D.
6
6
2
h
x
47
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TỈ SỐ KHỐI CHÓP TAM GIÁC – P3)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Khi tăng cả ba cạnh đáy của một khối chóp có đáy là tam giác đều lên hai lần còn đường cao của khối
chóp giữ nguyên thì thể tích của khối chóp tăng bao nhiêu lần?
A.
4
. B.
2
. C.
8
. D.
1
2
.
Câu 2. Khi tăng độ dài đường cao của một hình chóp đáy tam giác lên 2 lần và giảm mỗi cạnh đáy của nó
xuống 2 lần thì thể tích khối chóp sau đó tăng hay giảm bao nhiêu lần so với ban đầu?
A. tăng
4
lần. B. tăng
2
lần. C. giảm
2
lần. D. không đổi.
Câu 3. Cho hình chóp .
S ABC
có thể tích là
V
biết
, ,
M N P
lần lượt thuộc các cạnh
, ,
SA SB SC
sao cho
, 2 , 3
SM MA SN NB SC SP
. Gọi
V
là thể tích của
.
S MNP
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
6
V
V
. B.
12
V
V
. C.
9
V
V
. D.
3
V
V
.
Câu 4. Cho tứ diện
ABCD
. Gọi
B
và
C
lần lượt là trung điểm của
AB
và
AC
. Tính tỉ số thể tích của khối tứ
diện
AB C D
và khối tứ diện
ABCD
.
A.
1
6
. B.
1
8
. C.
1
2
. D.
1
4
.
Câu 5. Cho khối chóp
. ,
S ABCD
các điểm
, , ,
M N P Q
lần lượt là trung điểm của các cạnh
, , , .
SA SB SC SD
Tỉ số
thể tích của khối chóp
.
S MNPQ
và khối chóp .
S ABCD
là
A.
1
.
16
B.
1
.
8
C.
1
.
2
D.
1
.
4
Câu 6. Cho khối chóp .
S ABCD
có thể tích bằng
1
và đáy
ABCD
là hình bình hành. Trên cạnh
SC
lấy điểm
E
sao cho
2 .
SE EC
Tính thể tích
V
của khối tứ diện
SEBD
.
A.
1
6
V
. B.
1
3
V
. C.
1
12
V
. D.
2
3
V
.
Câu 7. Cho hình chóp
.
S ABC
có
, ,
SA a SB b SC c
và
·
·
·
0
60 .
ASB BSC CSA Tính thể tích khối chóp
.
S ABC
theo
, , .
a b c
A.
2
12
abc
B.
2
.
12
abc
C.
2
.
4
abc
D.
2
4
abc
Câu 8. Cho tứ diện
.
ABCD
Gọi
G
là trọng tâm tam giác
BCD
, mặt phẳng
P
chứa cạnh
CD
và đi qua trung
điểm
E
của
AG
,
P
cắt
AB
tại
.
N
Gọi thể tích của hai tứ diện
ACDN
và tứ diện
BCDN
lần lượt là
1
V
và
2
V
. Tính tỷ số
1
2
V
V
.
A.
1
3
B.
1
2
C.
2
3
D.
1
4
Câu 9. Cho tứ diện
ABCD
có thể tích bằng
12.
Gọi
A
là điểm trên đường thẳng
d
đi qua điểm
C
và song
song với
AB
sao cho
A
,
A
cùng phía so với mặt phẳng
.
BCD
Gọi
V
là thể tích phần chung của hai khối tứ
diện
ABCD
và
.
A BCD
Tính thể tích
V
, biết
3 .
AB A C
A.
6.
V
B.
2
V
C.
3.
V
D.
4
V
.
Câu 10. Cho hình chóp
.
S ABC
có thể tích
.
V
Gọi
,
P
Q
lần lượt là trung điểm của
,
SB
SC
và
G
là trọng tâm
tam giác
ABC
. Tính thể tích
1
V
của khối chóp
.
G APQ
theo
.
V
A.
1
1
8
V V
. B.
1
1
12
V V
. C.
1
1
6
V V
. D.
1
3
8
V V
.
Câu 11. Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành.
M
và
N
theo thứ tự là trung điểm của
SA
,
SB
. Tỉ số thể tích
.
.
S CDMN
S CDAB
V
V
.
A.
5
8
. B.
3
8
. C.
1
4
. D.
1
2
.
48
Câu 12. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thoi cạnh
2
a
;
2
SA SB SC a
,
M
là trung điểm
của cạnh
SA
;
N
là giao điểm của đường thẳng
SD
và mặt phẳng
MBC
. Gọi
1
,
V V
lần lượt là thể tích của các
khối chóp
.
S ABCD
và
.
S BCNM
, Tỷ số
1
V
V
là?
A.
1
6
. B.
3
8
. C.
1
8
. D.
1
4
.
Câu 13. Cho hình chóp tam giác .
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác đều cạnh bằng
a
,
SA a
và
SA
vuông góc
với mặt phẳng
ABC
. Gọi
M
và
N
lần lượt là hình chiếu vuông góc của
A
trên các đường thẳng
SB
và
SC
. Tỉ số thể tích của khối chóp .
S AMN
và .
S ABC
bằng:
A.
1
2
. B.
1
3
. C.
1
6
. D.
1
4
.
Câu 14. Cho khối chóp .
S ABC
. Gọi
M
là điểm trên đoạn
SB
sao cho 3
SM MB
,
N
là điểm trên đoạn
AC
sao cho 2
AN NC
. Tỉ số thể tích khối chóp .
M ABN
và .
S ABC
bằng
A.
4
9
. B.
2
9
. C.
1
2
. D.
1
4
.
Câu 15. Cho hình chóp S.ABC có
·
·
60 ; 1; 3
ASB CSB SA SB SC
o
. Gọi M là điểm trên cạnh SC sao cho
3SM = SC. Khi đó thể tích của khối chóp S.ABM bằng
A.
6
36
B.
3
36
C.
2
12
D.
2
4
Câu 16. Hình chóp S.ABC có thể tích V, gọi H, K lần lượt là trung điểm của SB, SC. Tính thể tích khối chóp
S.AHK theo V.
A.
2
V
B.
4
V
C.
12
V
D.
6
V
Câu 17. Cho tứ diện ABCD. M là một điểm nằm trong tứ diện, bốn mặt phẳng chứa M lần lượt song song với
các mặt phẳng (BCD), (CDA), (DAB), (ABC) chia khối tứ diện ABCD thành các khối đa diện trong đó có bốn khối
tứ diện có thể tích lần lượt là 1, 1, 1, 8. Thể tích của khối tứ diện ABCD bằng
A. 121 B. 64 C. 125 D. 100
49
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TỈ SỐ KHỐI CHÓP TAM GIÁC – P4)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho khối tứ diện ABCD có thể tích bằng 18. Gọi N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD, M là điểm thuộc
cạnh AB sao cho BM = 2AM, mặt phẳng (MNP) cắt cạnh AD tại Q. Thể tích khối đa diện lồi MAQNCP là
A. 7 B. 8 C. 9 D. 5
Câu 2. Cho khối tứ diện OABC với OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = a; OB = 2a; OC = 3a. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của hai cạnh AC, BC. Thể tích của khối tứ diện OCMN bằng
A.
3
3
4
a
B.
3
1
4
a
C.
3
2
3
a
D.
3
a
Câu 3. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi I là trung điểm
của cạnh BC, tính thể tích V của khối chóp S.ABI
A.
3
11
12
a
B.
3
11
24
a
C.
3
11
8
a
D.
3
11
6
a
Câu 4. Cho hình chóp S.ABC có thể tích V, gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA. Các
điểm G, H, K thỏa mãn
5 ;6 ;7
SG SM SH SN SK SP
uuur uuur uuur uuur uuur uur
. Tính theo V thể tích khối chóp S.GHK
A.
96
V
V
B.
240
V
V
C.
480
V
V
D.
840
V
V
Câu 5. Cho hình chóp S.ABC, gọi M là trung điểm của SA, lấy điểm N trên cạnh SB sao cho
2
3
SN
SB
. Mặt
phẳng (P) qua MN và song song với SC chia khối chóp thành hai phần. Gọi
1
V
là thể tích của khối đa diện chứa
đỉnh A,
2
V
là thể tích của khối đa diện còn lại. Tính tỉ số
1
2
V
V
.
A.
1
2
7
16
V
V
B.
1
2
7
18
V
V
C.
1
2
7
11
V
V
D.
1
2
7
9
V
V
Câu 6. Cho hình chóp S.ABC có thể tích bằng 48, điểm M là trung điểm cạnh AB, lấy các điểm N, P, Q thỏa
mãn điều kiện
4 4 , 2 0
AC AN PC CQ BQ
uuur uuur uuur uuur uuur r
. Tính thể tích khối chóp S.MNPQ.
A. 24 B. 14 C. 8 D. 16
Câu 7. Cho khối chóp S.ABC có thể tích bằng 48, tam giác ABC là tam giác đều,
3
SA AB
và SA vuông góc
với mặt phẳng đáy (ABC). M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính
thể tích khối chóp S.AMN.
A. 27 B. 18 C. 14,5 D. 15
Câu 8. Cho hình chóp S.ABC có SC = 2a, cạnh SC vuông góc với (ABC), đáy ABC là tam giác vuông cân tại B
và
2
AB a
. Mặt phẳng (P) qua C và vuông góc với SA cắt SA, SB lần lượt tại D, E. Tính thể tích khối chóp
S.CDE.
A.
3
2
9
a
B.
3
9
a
C.
3
5
9
a
D.
3
5
8
a
Câu 9. Cho tứ diện
ABCD
. Mặt phẳng
song song với
AB
và
CD
cắt các cạnh
; ; ;
AD DB BC CA
lần lượt tại
; ; ; .
M N P Q
Giả sử
1
,
2
MA
MD
mặt phẳng
chia khối tứ diện
ABCD
thành hai phần. Tỉ số
thể tích
1
2
V
V
của hai khối đa diện
ABMNPQ
và
CDMNPQ
bằng:
A.
7
20
. B.
1
3
. C.
1
2
. D.
5
16
.
Câu 10. Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 90, trên các cạnh BC, BD, AC lần lượt lấy các điểm M, N, P sao
cho BC = 3BM, 2BD = 3BN và AC = 2AP. Mặt phẳng (MNP) chia khối tứ diện ABCD thành hai phần, phần nhỏ
hơn có thể tích bằng
A. 38 B. 40 C. 36 D. 42
Câu 11. Cho khối tứ diện đều ABCD có thể tích bằng 16. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AC, AD, BD,
BC. Thể tích khối chóp BMNPQ bằng
A. 6 B. 8 C. 4 D. 6,5
Câu 12. Cho khối tứ diện ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N là trung điểm các cạnh AB, BC và E là điểm thuộc tia
50
đối của tia DB sao cho BD = kBE. Tìm k để mặt phẳng (MNE) chia khối tứ diện thành hai khối đa diện trong đó
khối đa diện chứa đỉnh B có thể tích bằng
3
11 2
294
a
.
A. k = 1,2 B. k = 5 C. k = 4 D. k = 6
Câu 13. Cho tứ diện ABCD và ba điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, BD, AC sao cho BC = 4BM, BD =
2BN, AC = 3AP. Mặt phẳng (MNP) cắt AD tại Q. Tính tỉ số thể tích hai phần khối tứ diện ABCD bị chia bởi mặt
phẳng (MNP).
A.
2
3
B.
7
13
C.
5
13
D.
1
3
Câu 13. Cho tứ diện S.ABC, M và N là các điểm thuộc các cạnh SA, SB sao cho MA = 2SM, SN = 2NB, mặt
phẳng
qua MN và song song với SC chia khối chóp thành hai khối đa diện. Gọi
1
V
là thể tích của khối đa
diện chứa đỉnh A,
2
V
là thể tích của khối đa diện còn lại. Tính tỉ số
1
2
V
V
A. 0,8 B. 1,25 C. 0,75 D.
4
3
Câu 14. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, mặt phẳng
chứa cạnh BC cắt cạnh AD tại E. Biết góc giữa hai mặt
phẳng
và (BCD) có số đo là
với
5 2
tan
7
. Gọi thể tích của hai tứ diện ABCE và tứ diện BCDE lần
lượt là
1
V
và
2
V
. Tính tỉ số
1
2
V
V
A.
3
8
B.
1
8
C.
5
8
D.
3
5
Câu 15. Cho khối tứ diện đều
ABCD
có thể tích
.
V
Gọi
M
là trung điểm của
,
BC
N
là điểm thuộc cạnh
CD
thỏa mãn
2 ,
CN ND G
là trọng tâm của tam giác
.
ABD
Mặt phẳng
MNG
chia khối tứ diện
ABCD
thành
hai khối đa diện. Gọi
1
V
là thể tích khối đa diện chứa đỉnh
.
A
Tính
1
.
V
V
A.
41
.
60
B.
31
.
60
C.
51
.
60
D.
43
.
60
Câu 16. Cho tứ diện đều
ABCD
có cạnh bằng
2.
Gọi
,
M N
lần lượt là trung điểm của các cạnh
,
AB BC
và
E
là điểm đối xứng với
B
qua
.
D
Mặt phẳng
MNE
chia khối tứ diện thành hai khối đa diện, gọi
V
là thể
tích khối đa diện chứa đỉnh
A
(tham khảo hình vẽ). Khi đó
V
bằng:
A.
11 2
27
. B.
11
54
. C.
11
27
. D.
11 2
54
.
51
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TỈ SỐ KHỐI CHÓP TAM GIÁC – P5)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho khối chóp S.ABC có
6; 2; 2; 4; 2 10
SA SB SB SC AB
và
·
90
SBC
o
,
·
120
ASC
o
. Mặt
phẳng (P) qua B và trung điểm N của SC, vuông góc với mặt phẳng (SAC) cắt cạnh SA tại M. Tính tỉ số
.
.
S MBN
S ABC
V
V
.
A. 0,25 B. 0,4 C.
1
6
D.
2
9
Câu 2. Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung
điểm của BC. Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với SM cắt SB, SC lần lượt tại E, F sao cho
. .
4
S ABC S AEF
V V
. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC
A. 0,25
3
a
B. 0,5
3
a
C. 0,25
3
a
D.
3
a
Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc với SA = a, SB = 2a, SC = 3a. Gọi M, N, P, Q
theo thứ tự là trọng tâm các tam giác ABC, SAB, SBC, SCA. Tính thể tích khối tứ diện MNPQ theo a.
A.
3
2
27
a
B.
3
27
a
C.
3
2
9
a
D.
3
9
a
Câu 4. Cho hình chóp S.ABC có thể tích bằng 18. Điểm M là trung điểm AB và điểm N thuộc cạnh BC sao cho
BC = 4 NC. Tính thể tích khối chóp S.CNP.
A. 1,5 B. 2 C. 3 D. 2,5
Câu 5. Cho khối tứ diện đều ABCD có thể tích bằng 90. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AC, AD, BD, BC.
Tính thể tích khối chóp A.MNPQ
A. 22,5 B. 15 C. 30 D. 24
Câu 6. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với M, N lần lượt là trung điểm của BC, SM. Mặt phẳng (ABN) cắt
SC tại E. Tính thể tích khối chóp S.ABE khi khối chóp S.ABC có thể tích bằng 90.
A. 16 B. 30 C. 32 D. 25
Câu 7. Cho tứ diện OABC có OA = a, OB = 2a, OC = 3a đôi một vuông góc với nhau tại O. Lấy M là trung điểm
của cạnh AC, N nằm trên cạnh CB sao cho 3CN = 2CB. Tính thể tích khối chóp OAMNB.
A.
3
2
3
a
B.
3
1
3
a
C.
3
4
3
a
D.
3
1
5
a
Câu 8. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc và AB = 3, AC = 6, AD = 4. Gọi M, N, P
lần lượt là trung điểm của BC, CD, BD. Tính thể tích khối chóp AMNP.
A. 3 B. 12 C. 1 D. 2
Câu 9. Hình chóp S.ABC có
·
·
·
60
ASB BSC CSA
o
và SA = 2; SB = 3;SC = 7. Tính thể tích khối chóp S.ABC
A.
4 2
B.
7 2
C. 5 D.
6 3
Câu 10. Hình chóp đều S.ABC cạnh a có E, F tương ứng là trung điểm các cạnh SB, SC. Mặt phẳng (AEF)
vuông góc với mặt phẳng (SBC). Tính thể tích khối chóp S.ABC
A.
3
6
12
a
B.
3
5
8
a
C.
3
3
24
a
D.
3
5
24
a
Câu 11. Cho tứ diện ABCD có M, N, P lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CD sao cho MA = MB, NB = 2NC, PC =
2PD. Mặt phẳng (MNP) chia tứ diện thành hai phần. Gọi T là tỉ số thể tích của phần nhỏ chia cho phần lớn. Giá
trị của T bằng
A.
19
26
B.
26
45
C.
13
25
D.
25
43
Câu 12. Điểm M nằm trên cạnh SA, điểm N nằm trên cạnh SB của hình chóp tam giác đều S.ABC sao cho MA =
2SM, SN = 2NB. Mặt phẳng
qua MN và song song với SC chia khối chóp thành hai phần có tỉ số bằng
(phần chứa đỉnh A/ phần còn lại)
A. 1,25 B. 1,2 C. 1,4 D. 1,45
Câu 13. Cho tứ diện đều ABCD có các cạnh bằng a, gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, E là điểm
đối xứng với B qua D. Mặt phẳng (MNE) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện
chứa đỉnh A có thể tích bằng
A.
3
7 2
216
a
B.
3
11 2
216
a
C.
3
13 2
216
a
D.
3
2
18
a
Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy BCD là tam giác vuông tại C,
; 3
BC a CD a
. Hai mặt phẳng
52
(ABD) và (ABC) cùng vuông góc với mặt phẳng (BCD). Biết AB = a, M và N lần lượt thuộc cạnh AC, AD sao cho
AM = 2MC, AN = ND. Tính thể tích khối chóp A.BMN
A.
3
2 3
9
a
B.
3
3
3
a
C.
3
3
9
a
D.
3
3
18
a
Câu 15. Hình chóp tam giác S.ABC có
·
·
·
60 ; 90
ASB CSB ASC
o o
và SA = SB = 1; SC = 3. Gọi M là điểm
trên cạnh SC sao cho 3SM = SC. Tính thể tích khối chóp S.ABM
A.
2
12
B.
3
36
C.
6
36
D.
2
4
Câu 16. Khối tứ diện ABCD có thể tích bằng 60, tính thể tích khối đa diện có các đỉnh là trung điểm các cạnh
của khối tứ diện đã cho.
A. 30 B. 20 C. 25 D. 32
Câu 17. Hình chóp S.ABC có SA = 4; SB = 5;SC = 6 và
·
·
45
ASB BSC
o
,
·
60
CSA
o
. Các điểm M, N, P thỏa
mãn
4 , 4 , 4
AB AM BC BN CA CP
uuur uuuur uuur uuur uuur uuur
. Tính thể tích khối chóp S.MNP
A.
128 2
3
B.
35
8
C.
245
32
D.
35 2
8
Câu 18. Khối tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = a, OB = 4a, OC = 3a. Gọi M, N lần lượt
là trung điểm của AC, BC. Tính thể tích khối chóp OCMN.
A.
3
2
3
a
B.
3
2
a
C.
3
3
4
a
D.
3
4
a
Câu 19. Cho khối tứ diện ABCD có thể tích bằng 2017. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC,
ABD, ACD, BCD. Thể tích khối tứ diện MNPQ gần nhất giá trị nào
A. 74 B. 75 C. 68 D. 65
Câu 20. Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân ở B,
2
AC a
và SA vuông góc với mặt phẳng
(ABC), SA = a. Gọi G là trọng tâm tam giác SBC, mặt phẳng
qua AG và song song với BC chia khối chóp
thành hai phần. Gọi V là thể tích khối đa diện không chứa đỉnh S. Tính V.
A.
3
4
9
a
B.
3
4
27
a
C.
3
5
54
a
D.
3
2
9
a
______________________________________
53
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TỈ SỐ KHỐI CHÓP TỨ GIÁC – P1)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Hình chóp S.ABCD có thể tích V và đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm thuộc
SA, SB, SC sao cho SM = SMA, SN = NB, SP = 2PC. Mặt phẳng (MNP) cắt SD tại Q. Tính thể tích khối chóp
S.MNPQ
A.
7
36
V
B.
4
V
C.
5
9
V
D.
11
36
V
Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, P là trung điểm của SC, M và Q lần lượt thuộc
các cạnh SA, SD sao cho SA = 3SM, SQ = 2QD. Mặt phẳng (MPQ) cắt SB tại điểm N. Tính
.
.
S MNPQ
S ABCD
V
V
.
A.
5
63
B. 0,5 C.
10
63
D.
11
72
Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có thể tích V và đáy là hình bình hành, mặt phẳng qua A, M, P cắt cạnh SC tại N
với M, P là các điểm thuộc các cạnh SB, SD sao cho SB = 2SM, 2SD = 3SP. Tính thể tích khối tứ diện
ABCD.MNP
A.
23
30
V
B.
7
30
V
C.
7
15
V
D.
13
20
V
Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, O là giao điểm hai đường chéo AC, BD. Gọi K
là trung điểm của SC, I là giao điểm của SO và AK. Mặt phẳng (P) đi qua I và song song với đáy cắt các cạnh
SA, SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P, Q. Tính tỉ số
.
S MNPQ
V
khi khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 27.
A. 8 B. 12 C. 10 D. 15
Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. M là trung điểm của cạnh SC, mặt phẳng (P) đi qua A,
M song song với BD chia khối chóp thành hai phần, trong đó
1
V
là thể tích khối đa diện chứa đỉnh S. Biết khối
chóp S.ABD có thể tích bằng 30, tính thể tích
1
V
.
A. 20 B. 30 C. 25 D. 24
Câu 6. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,
; 3
AB a AD a
. Cạnh SA = 2a và vuông góc
với mặt phẳng đáy. Mặt phẳng
qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại H, I, K. Tính thể tích
V của khối chóp S.AHIK
A.
3
8 3
35
a
B.
3
6 3
35
a
C.
3
12 3
35
a
D.
3
4 3
35
a
Câu 7. Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy (ABCD) và ABCD là hình vuông cạnh a, góc giữa SC và
mặt phẳng (ABCD) bằng
45
o
. Mặt phẳng
qua A vuông góc với SC và chia khối chóp thành hai khối đa diện.
Tính thể tích khối đa diện chứa đỉnh S khi khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 60.
A. 24 B. 20 C. 30 D. 25
Câu 8. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
45
o
. Gọi M, N, P
lần lượt là trung điểm của SA, SB và CD. Tính thể tích khối tứ diện AMNP theo a.
A.
3
48
a
B.
3
96
a
C.
3
32
a
D.
3
24
a
Câu 9. Hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác lồi với O là giao điểm của AC và BD. Gọi M, N, P, Q là trọng tâm
các tam giác SAb, SBC, SCD, SDA. Tính tỉ số
.
.
O MNPQ
S ABCD
V
V
.
A. 8 B. 9 C. 13,5 D. 6,25
Câu 10. Hình chóp S.ABCD có thể tích bằng 36, đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy. Gọi M, N
lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC, tính thể tích khối chóp ANIB.
A. 4 B. 3 C. 8 D. 6
Câu 11. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA,
SD. Mặt phẳng
chứa MN và cắt các tia SB, SC lần lượt tại P, Q. Ký hiệu thể tích khối chóp S.MNPQ là
1
V
,
thể tích khối chóp S.ABCD là V. Tính tỉ số
SP
SB
sao cho
1
2
V V
.
54
A. 0,5 B.
33 1
4
C.
5 1
2
D.
6 1
2
Câu 12. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD. Mặt phẳng
đi qua A, B và trung điểm M của SC chia khối chóp
thành hai khối đa diện. Tính thể tích khối đa diện chứa đỉnh S biết khối chóp S.ABC bằng 24.
A. 18 B. 20 C. 16 D. 20
Câu 13. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 3a, SA vuông góc với đáy (ABCD).
Góc giữa SB và (ABCD) bằng
60
o
, điểm M thuộc SA sao cho
3
3
a
AM , mặt phẳng (BCM) cắt SD tại N.
Tính thể tích khối chóp S.BCMN
A.
3
5 3
9
a
B.
3
10 3
9
a
C.
3
3
27
a
D.
3
3
3
a
Câu 14. Hình chóp đều S.ABCD có độ dài cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Gọi M, N, O lần lượt là trung điểm
SC, SD, AC. Tính thể tích khối chóp S.OMN khi khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 32
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có thể tích bằng 18, đáy ABCD là hình bình hành. Điểm M thuộc cạnh SD sao
cho SM = 2MD, mặt phẳng (ABM) cắt SC tại N, tính thể tích khối chóp S.ABNM
A. 9 B. 10 C. 6 D. 12
Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD, các điểm M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Tính thể
tích khối chóp S.MNPQ khi khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 16
A. 2 B. 4 C. 6 D. 3
Câu 17. Cho khối chóp S.ABCD có thể tích là 3, G là trọng tâm tam giác SAB. Tính thể tích khối chóp G.ABCD
A. 1 B. 2 C.
4
3
D.
1
3
Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA vuông góc với (ABC). Biết AB = a,
SA = 2a, mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC lần lượt tại H, K. Tính theo a thể tích V của khối
chóp S.AHK.
A.
3
8
15
a
B.
3
8
45
a
C.
3
8
15
a
D.
3
4
45
a
Câu 19. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, mặt bên tạo với đáy góc
60
o
. Mặt phẳng (P)
chứa AB và đi qua trọng tâm G của tam giác SAC. Mặt phẳng (P) cắt SC, SD lần lượt tại M, N. Tính theo a thể
tích khối chóp S.ABMN
A.
3
2 3
3
a
B.
3
5 3
3
a
C.
3
4 3
3
a
D.
3
3
2
a
______________________________________
55
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TỈ SỐ KHỐI CHÓP TỨ GIÁC – P2)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
,
a SA a
và
SA
vuông góc với đáy. Gọi
M
là
trung điểm
,
SB N
thuộc cạnh
SD
sao cho 2
SN ND
. Tính thể tích
V
của khối tứ diện
ACMN
?
A.
3
1
.
12
V a
B.
3
1
.
6
V a
C.
3
1
.
8
V a
D.
3
1
.
36
V a
Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh SB, BC, CD. Tính thể tích khối tứ
diện CMNP
A.
3
3
72
a
B.
3
3
54
a
C.
3
3
96
a
D.
3
3
48
a
Câu 3. Hình chóp đều S.ABCD có SA = a, góc giữa mặt bên và mặt đáy là
60
o
. Gọi M là trung điểm của SA,
mặt phẳng (P) đi qua CM và song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại E, F. Tính thể tích khối chóp S.CEMF
A.
3
15
75
a
B.
3
15
225
a
C.
3
4 15
225
a
D.
3
4 15
75
a
Câu 4. Hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a. Mặt bên hình chóp tạo với mặt phẳng đáy một góc
60
o
.
Mặt phẳng (P) chứa AB đi qua trọng tâm G của tam giác SAC cắt SC, SD lần lượt tại M, N. Tính theo a thể tích
khối chóp S.ABMN
A.
3
3
a
B.
3
3
2
a
C.
3
3
4
a
D.
3
3 3
2
a
Câu 5. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA = a. Gọi G là
trọng tâm tam giác SCD. Tính thể tích khối chóp G.ABCD
A.
3
6
a
B.
3
12
a
C.
3
2
17
a
D.
3
9
a
Câu 6. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích V. Gọi M là trung điểm SB, P là điểm thuộc
cạnh SD sao cho SP = 2DP. Mặt phẳng (AMP) cắt cạnh SC tại N. Tính thể tích khối đa diện ABCDMNP theo V.
A.
23
30
V
B.
19
30
V
C.
2
5
V
D.
7
30
V
Câu 7. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AD = 2AB = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, M và N
tương ứng là trung điểm của SB, SD. Biết khoảng cách từ S đến mặt phẳng (AMN) bằng
6
3
a
. Tính thể tích V
của khối chóp S.ABCD theo a.
A.
3
4
a
B.
3
2 6
9
a
C.
3
3
3
a
D.
3
4
a
Câu 8. Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
,
a SA a
và
SA
vuông góc với đáy. Gọi
M
là
trung điểm
,
SB N
thuộc cạnh
SD
sao cho 2
SN ND
. Tính thể tích
V
của khối tứ diện
ACMN
?
A.
3
1
.
12
V a
B.
3
1
.
6
V a
C.
3
1
.
8
V a
D.
3
1
.
36
V a
Câu 9. Hình chóp S.ABCD có thể tích V, đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh SB,
CD, DA. Tính theo V thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh M, N, P, D, S.
A.
3
8
V
B.
5
8
V
C.
3
16
V
D.
5
16
V
Câu 10. Khối chóp S.ABCD có thể tích V, đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm SC, N thuộc cạnh
SD sao cho SN = 3SD. Mặt phẳng (AMN) cắt khối chóp thành hai phần, tính thể tích khối đa diện chứa đỉnh S
theo V.
A.
27
80
V
B.
1
3
V
C.
27
53
V
D.
29
80
V
Câu 11. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, thể tích bằng 30. Gọi H, K lần lượt là trung điểm
của SB, SD. Tính thể tích khối đa diện AOHK.
A. 5 B. 2,5 C. 3,75 D. 7,5
Câu 12. Cho hình chóp tứ giác đều
.
S ABCD
, đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
,
a
cạnh bên tạo với đáy góc
56
60
. Gọi
M
là trung điểm
SC
. Mặt phẳng đi qua
AM
và song song với
BD
, cắt
SB
tại
E
và cắt
SD
tại
F
. Tính thể tích khối chóp
. .
S AEMF
A.
3
6
12
a
. B.
3
6
27
a
. C.
3
6
36
a
. D.
3
6
18
a
.
Câu 13. Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
,
a
SA
vuông góc với đáy. Góc giữa hai mặt
phẳng
SBD
và
ABCD
là
60
. Gọi
,
M N
là trung điểm của
,
SB SC
. Tính thể tích khối
.
S ADNM
?
A.
3
6
16
a
V
. B.
3
6
24
a
V
. C.
3
3 6
16
a
V
. D.
3
6
8
a
V
Câu 14. Khối chóp tứ giác đều S.ABCD có thể tích V; M là trung điểm SC, mặt phẳng (P) chứa AM và song
song với BD chia khối chóp thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh S chiếm thể tích là
A. 0,5V B.
3
V
C. 0,4V D. 0,25
Câu 15. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA
= a. Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Tính thể tích V của khối đa
diện ABCD.A’B’C’D’.
A.
3
5
18
a
B.
3
5
9
a
C.
3
5
12
a
D.
3
5
6
a
Câu 16. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a. Gọi M,
N tương ứng là trung điểm của AD, DC. Góc giữa mặt phẳng (SBM) và mặt phẳng (ABC) bằng
45
o
. Tính thể
tích khối chóp S.ABNM.
A.
3
25
8
a
B.
3
25
16
a
C.
3
25
18
a
D.
3
25
24
a
Câu 17. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD, mặt phẳng (P) chứa AB đi qua điểm C’ nằm trên cạnh SC, (P) chia
khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính tỉ số
SC
SC
.
A. 0,8 B. 0,5 C.
2
3
D.
5 1
2
Câu 18. Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có N là trung điểm SB, M là điểm đối xứng với B qua A. Mặt phẳng
(MNC) chia khối chóp thành hai phần có thể tích lần lượt là
1 2
,
V V
với
1
1 2
2
;
V
V V k
V
. Tìm k
A.
5
7
B.
5
9
C.
5
11
D.
5
13
57
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TỈ SỐ KHỐI CHÓP TỨ GIÁC – P3)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Các điểm M, N, P, Q lần lượt là trọng tâm các tam giác
SAB, SBC, SCD, SDA. O là điểm bất kỳ trên mặt phẳng đáy ABCD. Biết thể tích khối chóp OMNPQ bằng 4, tính
thể tích khối chóp S.ABCD.
A. 54 B. 48 C. 60 D. 56
Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, H và K lần lượt là trung điểm của SB, SD.
Tính thể tích khối chóp AOHK khi khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 32.
A. 4 B. 6 C. 8 D. 5
Câu 3. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, thể tích bằng 12. Gọi M là trung điểm cạnh SA, các
điểm E, F lần lượt đối xứng với A qua B và D. Mặt phẳng (MEF) cắt các cạnh SB, SD tương ứng tại N, P. Thể
tích khối đa diện ABCDMNP bằng
A. 4 B. 6 C. 8 D. 3
Câu 4. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành với thể tích bằng 12. Gọi M là điểm đối xứng của C
qua B, N là trung điểm cạnh SC, mặt phẳng (MDN) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện, thể tích khối
đa diện chứa đỉnh S bằng
A. 6 B. 7 C. 5 D. 8
Câu 5. Khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA = 2a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD)
cùng vuông góc với (ABCD). Một mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt
tại B’, C’, D’. Gọi
1 2
,
V V
lần lượt là thể tích của khối chóp
.
S AB C D
và khối đa diện
.
ABCD B C D
. Khi đó tỉ số
1 2
:
V V
bằng
A.
8
7
B.
7
6
C.
13
12
D.
12
7
Câu 6. Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 16 với đáy ABCD là hình bình hành, M và N lần lượt là trung
điểm các cạnh SA, SB và P là điểm bất kỳ thuộc cạnh CD. Thể tích khối tứ diện AMNP là
A. 2 B. 3 C.
4
3
D. 5
Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, các điểm M, N, P, Q lần lượt là trọng tâm các
tam giác SAB, SBC, SCD, SDA. Thể tích khối chóp S.MNPQ là 4, thể tích của khối chóp S.ABCD là
A. 27 B. 21 C. 16 D. 10,125
Câu 8. Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
a
,
SA
vuông góc với mặt phẳng
ABCD
,
SA a
.
,
M K
tương ứng là trọng tâm tam giác ,
SAB SCD
;
N
là trung điểm của
BC
. Thể tích khối tứ
diện .
S MNK
bằng
3
.
m
a
n
với ,m n
¥
,
, 1
m n
. Giá trị
m n
bằng
A.
28
. B.
12
. C.
19
. D.
32
.
Câu 9. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng
60 .
Gọi M là điểm đối xứng với C qua D và N là trung điểm của cạnh
SC
. Mặt phẳng
BMN
chia khối chóp
S.ABCD thành hai khối đa diện
1
H
và
2
H ,
trong đó
1
H
chứa điểm
C
. Thể tích của khối
1
H
là
A.
3
7 6a
72
. B.
3
5 6a
72
. C.
3
5 6a
36
. D.
3
7 6a
36
.
Câu 10. Cho khối chóp
.
S ABCD
có chiều cao bằng 9 và đáy là hình bình hành có diện tích bằng 10. Gọi
, ,
M N P
và
Q
lần lượt là trọng tâm của các mặt bên
SAB
,
SBC
,
SCD
và
SDA
. Thể tích của khối đa diện lồi
có đỉnh là các điểm
, , , ,
M N P Q B
và
D
bằng
A.
9
. B.
30
. C.
25
3
. D.
50
9
.
Câu 11. Cho hình chóp tứ giác đều .
S ABCD
có tất cả các cạnh đều bằng
a
, tâm của đáy là
O
. Gọi
,
M N
tương ứng là trung điểm các cạnh
,
SA SC
. Gọi
E
là giao điểm của
SD
và mặt phẳng
( ).
BMN
Tính thể tích
V
của khối chóp
.
O BMEN
.
A.
3
2
18
a
V
. B.
3
2
24
a
V
. C.
3
2
12
a
V
. D.
3
2
36
a
V
.
Câu 12. Hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành có diện tích bằng
2
12
a
; khoảng cách từ
S
tới
mặt phẳng
ABCD
bằng
4
a
. Gọi
L
là trọng tâm tam giác
ACD
; gọi
T
và
V
lần lượt là trung điểm các cạnh
58
SB
và SC. Mặt phẳng
LTV
chia hình chóp thành hai khối đa diện, hãy tính thể tích của khối đa diện chứa
đỉnh
S
.
A.
3
20
3
a
. B.
3
8
a
. C.
3
28
3
a
. D.
3
32
3
a
.
Câu 13. Cho hình chóp tứ giác đều .
S ABCD
có tất cả các cạnh đều bằng
a
. Gọi
, , ,
M N P Q
lần lượt là trọng
tâm các tam giác
, , ,
SAB SBC SCD SDA
và
O
là giao điểm của
AC
với
BD
. Thể tích khối chóp
.
O MNPQ
bằng
A.
3
2 2
81
a
. B.
3
2
81
a
. C.
3
2
81
a
. D.
3
2
54
a
.
Câu 14. Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
,
SA
vuông góc với mặt phẳng
ABCD
và
3
SA a
. Gọi
,
M N
lần lượt là trung điểm của các cạnh
SB
và
SD
; mặt phẳng
AMN
cắt
SC
tại
I
. Tính thể tích của khối đa diện
ABCDMNI
.
A.
3
5 3
18
a
. B.
3
5 3
6
a
. C.
3
5 3
36
a
. D.
3
3
18
a
.
Câu 15. Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy là hình thang vuông tại
A
và
B
,
SA ABCD
,
3
AD a
,
SA BC AB a
. Gọi
S
là điểm thỏa mãn
1
2
SS AB
uuur uuur
. Tính thể tích khối đa diện
SS ABCD
.
A.
3
13
10
a
. B.
3
11
12
a
. C.
3
11
10
a
. D.
3
13
12
a
.
Câu 16. Cho hình chóp tứ giác đều
.
S ABCD
có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc
60
o
. Gọi M là
điểm đối xứng của C qua D, N là trung điểm SC. Mặt phẳng
( )
BMN
chia khối chóp
.
S ABCD
thành hai phần
(như hình vẽ bên). Tỉ số thể tích giữa hai phần
SABFEN
BFDCNE
V
V
bằng
A.
7
5
. B.
7
6
. C.
7
3
. D.
7
4
.
Câu 17. Cho hình chóp
.
S ABCD
có chiều cao bằng
9
và đáy là hình bình hành có diện tích bằng
27
. Gọi
, , ,
M N P Q
lần lượt là các trọng tâm của các mặt bên
SAB
,
SBC
,
SCD
,
SDA
. Tính thể tích khối đa diện lồi có
các đỉnh
, , , , , , ,
A B C D M N P Q
.
A.
54
. B.
51
. C.
41
. D.
57
.
59
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TỈ SỐ KHỐI CHÓP TỨ GIÁC – P4)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a, SA vuông góc với đáy (ABCD). Góc
giữa SB và (ABCD) bằng
60
o
, điểm M thuộc SA sao cho
3
3
a
AM , mặt phẳng (BCM) cắt SD tại N. Tính thể
tích khối chóp S.BCMN
A.
3
5 3
9
a
B.
3
10 3
9
a
C.
3
10 3
27
a
D.
3
10
27
a
Câu 2. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích bằng 48. Trên các cạnh SA, SB, SC, SD lần
lượt lấy các điểm A’, B’, C’, D’ sao cho
1 3
;
3 4
SA SC SB SD
SA SC SB SD
. Tính thể tích khối đa diện lồi
S.A’B’C’D’.
A. 9 B. 10 C. 12 D. 15
Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy (ABCD), ABCD là hình chữ nhật với SA = AD = 2, góc
hợp bởi (SBC) và mặt phẳng đáy (ABCD) là
60
o
. Gọi G là trọng tâm tam giác SBC, E là trung điểm của SA, thể
tích khối chóp E.AGD gần nhất giá trị nào ?
A. 0,256 B. 0,252 C. 0,564 D. 0,418
Câu 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc
60
o
. M là điểm
đối xứng với C qua D, N là trung điểm của SC, mặt phẳng (BMN) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần, tính tỉ
số thể tích của hai phần đó (phần lớn chia cho phần bé).
A. 1,4 B. 1,8 C. 1,2 D.
7
3
Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M là trung điểm của SB và G là trọng tâm tam
giác SBC. Tính thể tích khối chóp G.ABD khi khối chóp M.ABC có thể tích bằng 18.
A. 12 B. 15 C. 10 D. 16
Câu 6. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, B’ và D’ theo thứ tự là trung điểm của SB, SD. Mặt
phẳng (AB’D’) cắt cạnh SC tại C’. Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện được chia ra bởi mặt phẳng (AB’D’).
A. 0,5 B.
1
6
C.
1
12
D.
1
5
Câu 7. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Mặt phẳng
qua A và vuông góc với SC SB, SC, SD lần lượt tại
M, N, P sao cho 3SN = 2SB. Tính thể tích khối chóp S.AMNP khi khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 18
A. 6 B. 8 C. 9 D. 7,5
Câu 8. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 4, hai mặt phẳng (SAB), (SAD) cùng vuông
góc với đáy, biết rằng
4 3
SC . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh SB, SD, CD, BC. Tính thể tích
khối chóp A.MNPQ.
A. 12 B. 8 C. 10 D. 9
Câu 9. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M và N lần lượt là trung điểm của BC, SC. Mặt
phẳng (AMN) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần. Tính thể tích khối đa diện chứa đỉnh B khi thể tích khối
chóp S.ABCD bằng 70.
A. 22 B. 20 C. 25 D. 24
Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, I là trung điểm của SC. Tính thể tích khối chóp
S.ABCD khi thể tích khối chóp S.ABI bằng V.
A. 4V B. 6V C. 8V D. 5V
Câu 11. Hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
45
o
. Gọi M, N, P lần
lượt là trung điểm của SA, SB, SD. Tính thể tích khối chóp A.MNP
A.
3
3
18
a
B.
3
16
a
C.
3
24
a
D.
3
6
a
Câu 12. Hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc
60
o
. Gọi M là
trung điểm của SC, mặt phẳng qua AM và song song với BD cắt SB tại P, đồng thời cắt SD tại Q. Thể tích khối
chóp S.APMQ là V. Tính
3
18
V
a
.
A. 1 B.
3
C.
6
D.
2
Câu 13. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy (ABCD), góc giữa SC và
60
đáy bằng
45
o
, M là trung điểm SB, N thuộc cạnh SC sao cho SC = 3SN. Tính thể tích khối chóp D.MNCB
A.
3
5 2
36
a
B.
3
7 2
36
a
C.
3
7 2
30
a
D.
3
11 2
30
a
Câu 14. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, trong không gian lấy điểm S’ sao cho
2
SS BC
uuur uuur
,
1
V
là phần thể tích chung giữa hai khối chóp S.ABCD và S’.ABCD. Biết khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 90,
khi đó thể tích
1
V
bằng
A. 40 B. 45 C. 50 D. 36
Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M và N lần lượt là trung điểm của AB, BC.
Điểm I thuộc đoạn SA, mặt phẳng (MNI) chia khối chóp thành hai phần, phần chứa đỉnh S có thể tích bằng
7
13
lần phần còn lại. Tính tỉ số
IA
IS
.
A.
2
3
B.
1
3
C. 0,75 D. 0,5
Câu 16. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, K và M lần lượt là trung điểm của SA, SB. Mặt
phẳng
chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện. Tính thể tích khối đa diện chứa đỉnh S biết rằng thể
tích khối đa diện S.BCD bằng 32.
A. 18 B. 20 C. 24 D. 16
Câu 17. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với đáy (ABCD). Trên đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại S lấy điểm S’ sao cho SA = 2S’D (S và S’ cùng phía đối với mặt phẳng
đáy). Tính thể tích phần chung giữa hai khối chóp S.ABCD và S’ABCD khi khối chóp S.ABD bằng 18.
A. 14 B. 12 C. 10 D. 15
Câu 18. Cho khối chóp tứ giác S.ABCD có thể tích bằng 54. Mặt phẳng đi qua trọng tâm các tam giác SAB,
SAC, SAD chia khối chóp thành hai phần, trong đó thể tích phần bé hơn bằng
A. 16 B. 18 C. 20 D. 12
Câu 19. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh bằng a. Cạnh bên bằng
3
a
. M
là trung điểm của CD, H là điểm đối xứng với O qua đường thẳng SM. Tính thể tích khối đa diện ABCDSH.
A.
3
10
12
a
B.
3
10
18
a
C.
3
10
24
a
D.
3
5 10
24
a
______________________________________
61
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TỈ SỐ KHỐI HỘP – P1)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Tính thể tích V của khối tứ diện ACD’B’.
A.
3
3
a
B.
3
2
3
a
C.
3
4
a
D.
3
6
4
a
Câu 2. Cho khối hộp chữ nhật
.
ABCD A B C D
có thể tích bằng 48. Tính thể tích tứ diện A’ABC
A. 8 B. 6 C. 4 D. 12
Câu 3. Cho hình lập phương
.
ABCD A B C D
, M là điểm trên đường chéo CA’ sao cho
3
MC MA
uuuur uuuur
. Tính
thể tích khối chóp M.ABCD biết thể tích khối lập phương
.
ABCD A B C D
bằng 36.
A. 12 B. 27 C. 4 D. 9
Câu 4. Cho khối hộp
.
ABCD A B C D
, M thuộc cạnh AB sao cho MB = 2MA, mặt phẳng (MB’D’) chia khối hộp
thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.
A.
5
12
B.
7
17
C.
13
41
D.
5
17
Câu 5. Cho khối hộp
.
ABCD A B C D
có thể tích bằng 30. Tính thể tích khối chóp ACB’D’
A. 10 B. 20 C. 6 D. 24
Câu 6. Cho hình hộp
.
ABCD A B C D
có chiều cao bằng 8 và diện tích đáy bằng 9, các điểm M, N, P, Q lần
lượt là tâm các mặt bên ABB’A’, BCC’B’, CDD’C’, DAA’D’. Thể tích của khối đa diện có các đỉnh A, B, C, D, M,
N, P, Q bằng
A. 27 B. 30 C. 18 D. 36
Câu 7. Khối hộp
.
ABCD A B C D
có thể tích bằng 48, M là trung điểm cạnh AB, mặt phẳng (MB’D’) chia khối
chóp
.
ABCD A B C D
thành hai khối đa diện, thể tích khối đa diện chứa đỉnh A bằng
A. 14 B. 16 C. 15 D. 21
Câu 8. Cho khối lập phương
.
ABCD A B C D
có thể tích bằng 144. M là trung điểm của BC, N thuộc cạnh CD
sao cho CD = 3CN, mặt phẳng (A’MN) chia khối lập phương thành hai khối, (H) là khối đa diện chứa điểm A thì
thể tích của (H) bằng
A. 55 B. 56 C. 60 D. 49
Câu 9. Cho khối hộp
.
ABCD A B C D
có thể tích bằng 226, các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của BC,
C’D’, DD’. Thể tích khối đa diện AMNP bằng
A. 28,25 B. 28,5 C. 29 D. 29,25
Câu 10. Cho khối hộp
.
ABCD A B C D
có thể tích bằng 54. Điểm E thỏa mãn
3
AE AB
uuur uuur
. Thể tích khối đa
diện gồm các điểm chung của khối hộp và khối chóp E.ADD’ bằng
A. 19 B. 20 C. 18 D. 21
Câu 11. Cho khối hộp
.
ABCD A B C D
có thể tích bằng 54. Điểm E thỏa mãn
3
AE AB
uuur uuur
. Thể tích khối đa
diện gồm các điểm chung của khối hộp và khối chóp E.ADD’ bằng
A. 19 B. 20 C. 18 D. 21
Câu 12. Cho khối hộp
.
ABCD A B C D
có thể tích bằng 226, các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của BC,
C’D’, DD’. Thể tích khối đa diện AMNP bằng
A. 28,25 B. 28,5 C. 29 D. 29,25
Câu 13. Khối hộp
.
ABCD A B C D
có thể tích bằng 48, M là trung điểm cạnh AB, mặt phẳng (MB’D’) chia khối
chóp
.
ABCD A B C D
thành hai khối đa diện, thể tích khối đa diện chứa đỉnh A bằng
A. 14 B. 16 C. 15 D. 21
Câu 14. Cho hình hộp
.
ABCD A B C D
có chiều cao bằng 8 và diện tích đáy bằng 9, các điểm M, N, P, Q lần
lượt là tâm các mặt bên ABB’A’, BCC’B’, CDD’C’, DAA’D’. Thể tích của khối đa diện có các đỉnh A, B, C, D, M,
N, P, Q bằng
A. 27 B. 30 C. 18 D. 36
Câu 15. Khối hộp
. ' ' ' ',M
ABCD A B C D
là trung điểm của
' '.N
C D
là điểm trên cạnh
AD
sao cho DN = 2AN.
Mặt phẳng
'
B MN
chia khối hộp thành hai phần có thể tích lần lượt là
1 2
;
V V
thoả mãn
1 2
.
V V
Tỉ lệ
1
2
V
V
bằng
A.
1
.
3
B.
47
.
135
C.
47
.
88
D.
88
.
135
Câu 16. Cho
1 1 1 1
ABCDA B C D
là hình lập phương cạnh
a
. Tính thể tích của tứ diện
1 1
ACB D
.
A.
3
a
6
. B.
3
a 2
3
. C.
3
a
3
. D.
3
a 6
4
.
62
Câu 17. Cho hình lập phương
. ' ' ' '
ABCD A B C D
có cạnh bằng
a
. Gọi
, , , , ,
M N P Q R S
là tâm các mặt của hình
lập phương. Thể tích khối bát diện đều tạo bởi sáu đỉnh
, , , , ,
M N P Q R S
bằng
A.
3
2
24
a
B.
3
4
a
C.
3
12
a
D.
3
6
a
Câu 18. Cho hình hộp chữ nhật
. ' ' ' '
ABCD A B C D
có
, 3, ' 3
AB a AD a AA a
. Gọi
M
là điểm thuộc
cạnh
'
CC
sao cho
( )
mp MBD
vuông góc với
( ' )
mp A BD
. Thể tích khối tứ diện
'
A BDM
bằng
A.
3
13 3
8
a
. B.
3
10
9
a
. C.
3
100
3
a
. D.
3
100
7
a
Câu 19. Cho khối hộp
. ' ' ' '
ABCD A B C D
có thể tích bằng 2019. Gọi
M
là trung điểm của cạnh
AB
. Mặt phẳng
( ' ')
MB D
chia khối hộp
. ' ' ' '
ABCD A B C D
thành hai khối đa diện. Tính thể tích phần khối đa diện chứa đỉnh
A
.
A.
7063
12
. B.
14133
8
. C.
4711
8
. D.
4711
4
.
Câu 20. Cho khối hộp
. ' ' ' '
ABCD A B C D
có thể tích bằng 2020, M là trung điểm của AB. Mặt phẳng (MB’D’) chia
khối hộp thành hai khối đa diện. Tính thể tích phần khối đa diện chứa đỉnh A.
A. 1767,5 B. 252,5 C.
3535
6
D.
8585
6
Câu 21. Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’, M và N lần lượt là trung điểm AB, AD. Mặt phẳng (C’MN) chia
khối lập phương thành hai khối đa diện có thể tích V
1
, V
2
trong đó V
1
< V
2
. Tính
1
2
V
V
.
A.
1
3
B.
13
23
C. 0,5 D.
25
47
Câu 22. Cho hình hộp chữ nhật
.
ABCD A B C D
. M là trung điểm của B’B. Mặt phẳng (MDC’) chia khối hộp
chữ nhật thành hai khối đa diện, một khối chứa đỉnh C và một khối chứa đỉnh A’. Gọi
1 2
,
V V
lần lượt là thể tích
của hai khối đa diện chứa đỉnh C và A’. Tính tỉ số
1
2
V
V
.
A.
7
24
B.
7
17
C.
7
12
D.
17
24
______________________________________
63
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TỈ SỐ KHỐI HỘP – P2)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho hình hộp
.
ABCD A B C D
có thể tích bằng 36. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD’. Tính thể tích của
khối chóp G.ABC’.
A. 12 B. 6 C. 3 D. 2
Câu 2. Cho hình hộp
.
ABCD A B C D
có đáy là hình chữ nhật với
3; 7
AB AD
. Hai mặt phẳng
(ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy các góc
45 ,60
o o
. Tính thể tích của khối hộp nếu biết cạnh bên hình
hộp bằng 1.
A. 3 B. 5 C. 4 D. 2
Câu 3. Cho hình hộp
.
ABCD A B C D
có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a,
·
60
ABC
o
. Biết rằng A’O
vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và cạnh bên hợp với đáy một góc
60
o
. Tính thể tích V của khối đa diện
OABC’D’
A.
3
6
a
B.
3
12
a
C.
3
8
a
D.
3
3
4
a
Câu 4. Cho khối lập phương
.
ABCD A B C D
. Gọi I là trung điểm của BB’. Mặt phẳng (DIC’) chia khối lập
phương thành hai phần có tỉ số thể tích phần bé chia phần lớn bằng
A.
3
8
B.
2
3
C.
7
17
D.
5
12
Câu 5. Cho khối lập phương
.
ABCD A B C D
. M và N lần lượt là trung điểm AB, AD. Mặt phẳng (C’MN) chia
khối lập phương thành hai khối đa diện, đặt V
1
là thể tích khối đa diện có thể tích nhỏ và V
2
là thể tích khối đa
diện có thể tích lớn. Tính
1
2
V
V
.
A.
1
3
B.
13
23
C.
25
47
D. 0,5
Câu 6. Cho hình lập phương
.
ABCD A B C D
, gọi M là trung điểm BB’ và điểm P thuộc cạnh D’D sao cho D’P
= 2DP. Mặt phẳng (AMP) chia hình lập phương thành hai khối đa diện, trong đó V
1
là thể tích khối đa diện chứa
đỉnh C, V
2
là thể tích khối đa diện còn lại. Tính
1
2
V
V
.
A.
19
29
B. 0,75 C. 0,6 D.
5
7
Câu 7. Cho hình hộp
.
ABCD A B C D
có thể tích bằng 80. Gọi M, N lần lượt là trung điểm A’A, B’B. Điểm P
thuộc cạnh C’C sao cho CC’ = 4CP. Mặt phẳng (MNP) chia hình hộp thành hai khối đa diện, trong đó khối đa
diện nhỏ hơn có thể tích bằng
A. 30 B. 40 C. 25 D. 32
Câu 8. Người ta cắt một khối lập phương thành hai khối đa diện bởi
một mặt phẳng đi qua A như hình vẽ sao cho phần thể tích của khối đa
diện chứa điểm B bằng một nửa thể tích khối đa diện còn lại. Tính
CN
C C
.
A. 0,5 B. 0,75 C.
1
3
D.
2
3
Câu 9. Cho hình hộp
.
ABCD A B C D
có thể tích bằng 12; trên mặt phẳng (ABCD) lấy điểm M. Tính
.
M A B C
V
.
A. 2 B. 4 C. 3 D. 6
Câu 10. Với mỗi đỉnh của hình lập phương, xét tứ diện xác định bởi đỉnh ấy và các trung điểm của ba cạnh cùng
xuất phát từ đỉnh ấy. Khi ta cắt bỏ các khối tứ diện này thì tỉ số thể tích phần còn lại so với khối lập phương
bằng
A. 0,75 B.
39
50
C. 0,8 D.
39
50
Câu 11. Cho hình lập phương
.
ABCD A B C D
, gọi N, P là các điểm lần lượt thuộc các cạnh BC, CD sao cho
64
BN = 2NC và DP = 2PC. Mặt phẳng (A’MN) chia khối lập phương thành hai phần V
1
là thể tích khối đa diện
chứa đỉnh A, V
2
là thể tích khối đa diện còn lại. Tính
1
2
V
V
.
A.
25
47
B.
25
49
C.
105
161
D.
109
161
Câu 12. Hình lập phương
.
ABCD A B C D
có cạnh bằng a, tâm O. Tính thể tích khối tứ diện A.A’B’O’ theo a
A.
3
8
a
B.
3
12
a
C.
3
9
a
D.
3
2
3
a
Câu 13. Cho hình hộp chữ nhật
.
ABCD A B C D
có AB = a, AB = 2a. Diện tích tam giác A’DC bằng
2
13
2
a
.
Tính thể tích của khối chóp A’.BCC’B’.
A.
3
8 13
39
a
B.
3
2
a
C.
3
3
a
D.
3
6
a
Câu 14. Khối lập phương
.
ABCD A B C D
có cạnh a, tính thể tích khối chóp tứ giác D.ABC’D’
A.
3
3
a
B.
3
2
6
a
C.
3
2
3
a
D.
3
4
a
Câu 15. Cho hình lập phương
.
ABCD A B C D
cạnh a. Gọi M là trung điểm của A’B’, N là trung điểm BC. Tính
thể tích của khối tứ diện của khối tứ diện ADMN.
A.
3
3
a
B.
3
6
a
C.
3
12
a
D.
3
2
a
Câu 16. Cho hình lập phương
.
ABCD A B C D
, M và N lần lượt là trung điểm của AB, AD. Mặt phẳng (C’MN)
chia khối lập phương thành hai khối đa diện, đặt V
1
là thể tích khối đa diện có chứa đỉnh C và V
2
là thể tích khối
đa diện còn lại. Tính
1
2
V
V
.
A.
25
47
B.
13
23
C.
11
19
D.
10
27
Câu 17. Hình lập phương
.
ABCD A B C D
, M là điểm thuộc cạnh AD sao cho AM = 2MD. Mặt phẳng (C’BM)
chia khối lập phương thành hai phần, phần 1 chứa đỉnh C và có thể tích V
1
, phần còn lại có thể tích V
2
. Tính
1
2
V
V
.
A.
13
41
B.
13
27
C.
15
47
D.
11
43
Câu 18. Cho hình lập phương
.
ABCD A B C D
, gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh A’B’, BC. Mặt
phẳng (DMN) chia hình lập phương thành hai phần, V
1
là thể tích của phần chứa đỉnh A, V
2
là thể tích của phần
còn lại. Tính tỉ số
1
2
V
V
.
A.
55
89
B.
37
48
C.
2
3
D. 0,5
______________________________________
65
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TỈ SỐ KHỐI HỘP – P3)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Các điểm E, F lần lượt là trung điểm của C’B’ và C’D’. Mặt
phẳng (AEF) cắt khối lập phương đã cho thành hai phần, gọi V
1
là thể tích khối đa diện chứa điểm A’ và V
2
là
thể tích khối đa diện chứa điểm C’. Tính tỉ số
1
2
V
V
.
A. 1 B.
25
47
C.
8
17
D.
17
25
Câu 2. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. M và N lần lượt là trung điểm của A’B’ và BC. Mặt phẳng
(DMN) chia khối lập phương thành hai khối đa diện. Gọi (H) là khối đa diện chứa đỉn9h A và (H’) là khối đa diện
còn lại. Tính
( )
( )
H
H
V
V
.
A.
55
89
B.
37
48
C.
1
2
D.
2
3
Câu 3. Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có thể tích bằng 1. Gọi E, F lần lượt là các điểm thuộc các cạnh BB’ và DD’
sao cho BE = 2EB’, DF = 2FD’. Tính thể tích khối tứ diện ACEF.
A.
2
3
B.
2
9
C.
1
9
D.
1
6
Câu 4. Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ có thể tích bằng 2018. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Mặt
phẳng (MB’D’) chia khối lập phương thành hai khối đa diện. Khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích gần bằng
A. 840,8 B. 1177,6 C. 593,5 D. 588,5
Câu 5. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = 2a, AC’ = 3a. Điểm N thuộc cạnh BB’ sao cho
NB = 2NB’. Điểm M thuộc cạnh DD’ sao cho D’M = 2MD. Mặt phẳng (A’MN) chia hình hộp chữ nhật thành hai
phần, tính thể tích phần chứa điểm C’.
A.
3
4
a
B.
3
a
C.
3
2
a
D.
3
3
a
Câu 6. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và A’B. Mặt phẳng
(MND’) chia khối lập phương thành hai khối đa diện trong đó khối chứa điểm C gọi là (H). Thể tích khối (H) là
A.
3
55
17
a
B.
3
55
144
a
C.
3
181
486
a
D.
3
55
48
a
Câu 7. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có thể tích V, gọi M, N là hai điểm thỏa mãn
2 ; 2
D M MD C N NC
uuuuur uuuur uuuur uuur
.
Đường thẳng AM cắt đường thẳng A’D’ tại P, đường thẳng BN cắt đường thẳng B’C’ tại Q. Thể tích của khối
PQNMD’C’ bằng
A.
2
3
V
B.
3
V
C.
2
V
D.
3
4
V
Câu 8. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có thể tích bằng 1. Gọi M là điểm thỏa mãn
2
3
BM BB
uuuur uuur
và N là trung
điểm của DD’. Mặt phẳng (AMN) chia hình hộp thành hai phần, thể tích phần có chứa điểm A’ bằng
A.
67
144
B.
4
9
C.
3
8
D.
181
432
Câu 9. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Gọi N là trung điểm của B’C’, P đối xứng với B qua B’. Khi đó
mặt phẳng (PAC) chia khối hộp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích phần lớn và phần bé.
A.
7
3
B.
17
7
C.
25
7
D.
25
14
Câu 10. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BC, C’D’, DD’. Biết
thể tích khối hộp bằng 144. Tính thể tích khối tứ diện AMNP.
A. 15 B. 24 C. 20 D. 18
Câu 11. Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có A’A = 2, đáy ABCD là hình thoi với ABC là tam giác đều cạnh 4.
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của B’C’; C’D’;DD’ và Q thuộc cạnh BC sao cho QC = 3QB. Tính thể tích tứ
diện MNPQ.
A.
3 3
B.
3 3
2
C.
3
4
D.
3
2
Câu 12. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Gọi M, N, P, Q lần lượt là tâm các hình vuông
66
ABB’A’, A’B’C’D’, ADD’A’, CDD’C’. Tính thể tích MNPR với R là trung điểm BQ.
A.
3
12
B.
2
24
C.
1
12
D.
1
24
Câu 13. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bằng a và
·
60
BAC
o
. Gọi I, J lần
lượt là tâm của các mặt bên ABB’A’, CDD’C’. Biết
7
2
a
AI , A’A = 2a và góc giữa hai mặt phẳng (ABB’A’),
(A’B’C’D’) bằng
60
o
. Tính theo a thể tích khối tứ diện AOIJ.
A.
3
3 3
64
a
B.
3
3
48
a
C.
3
3
32
a
D.
3
3
192
a
Câu 14. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có chiều cao bằng 8 và diện tích đáy bằng 11. Gọi M là trung điểm của
A’A, N là điểm trên cạnh B’B sao cho BN = 3B’N và P là điểm trên cạnh C’C sao cho 6CP = 5C’P. Mặt phẳng
(MNP) cắt cạnh D’D tại Q. Tính thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B, C, D, M, N, P, Q.
A. 42 B. 44 C.
88
3
D.
220
3
Câu 15. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của A’B’ và BC.
Mặt phẳng (DMN) chia hình lập phương thành hai phần. Gọi V
1
là thể tích của phần chứa đỉnh A và V
2
là thể
tích phần còn lại. Tính tỉ số
1
2
V
V
.
A. 0,5 B.
55
89
C.
2
3
D.
37
48
Câu 16. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A’A = a. Gọi M, N là hai điểm thuộc cạnh BB’ và DD’ sao cho
3
a
BM DN
. Mặt phẳng (AMN) chia khối hộp thành hai phần, gọi V
1
là thể tích khối đa diện chứa A’ và V
2
là
thể tích phần còn lại. Tỉ số
1
2
V
V
bằng
A. 1,5 B. 2 C. 2,5 D. 3
Câu 17. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Điểm M là trung điểm cạnh BC và I là tâm hình
vuông CDD’C’. Mặt phẳng (AMI) chia khối lập phương thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện không chứa
điểm D có thể tích bằng
A.
3
7
36
a
B.
3
7
29
a
C.
3
29
36
a
D.
3
22
29
a
______________________________________
67
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TỈ SỐ KHỐI LĂNG TRỤ – P1)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho hình lăng trụ .
ABC A B C
có thể tích
1
V
, E là trung điểm của A’C’, F là giao điểm của AE và A’C.
Khối chóp F.A’B’C’ có thể tích
2
V
. Tính tỉ số
2
1
V
V
A.
1
3
B.
1
6
C.
1
9
D.
2
9
Câu 2. Khối lăng trụ .
ABC A B C
có thể tích
V
khi đó thể tích khối chóp tứ giác .
A BCC B
bằng
A.
2
3
V
. B.
1
2
V
. C.
1
3
V
. D.
3
4
V
.
Câu 3. Cho hình lăng trụ .
ABC A B C
;
M
,
N
lần lượt là trung điểm của
CC
và
BB
. Tính tỉ số
.
ABCMN
ABC A B C
V
V
.
A.
1
6
. B.
1
3
. C.
1
2
. D.
2
3
.
Câu 4. Cho hình lăng trụ
.
ABC A B C
,
M
là trung điểm của
CC
. Mặt phẳng
ABM
chia khối lăng trụ thành
hai khối đa diện. Gọi
1
V
là thể tích khối đa diện chứa đỉnh
C
và
2
V
là thể tích khối đa diện còn lại. Tính tỉ số
1
2
V
V
.
A.
1
5
. B.
1
6
. C.
1
2
. D.
2
5
.
Câu 5. Cho hình hộp .
ABCD A B C D
có
M
,
N
lần lượt trung điểm
AA
,
CC
.
1
V
là thể tích khối đa diện
chứa đỉnh
A
và
2
V
là thể tích khối đa diện còn lại. Tính tỉ số
1
2
.
V
V
A.
2.
B.
1
.
2
C.
1.
D.
2
.
3
Câu 6. Khối hộp chữ nhật
.
ABCD A B C D
có thể tích bằng
2110
.
Biết
A M MA
;
3
DN ND
;
2
CP PC
. Mặt phẳng
MNP
chia
khối hộp đã cho thành hai khối đa diện. Thể tích khối đa diện nhỏ
hơn bằng
A.
7385
18
. B.
5275
12
. C.
8440
9
. D.
5275
6
.
Câu 7. Cho lăng trụ .
ABC A B C
có thể tích bằng
2
. Gọi
,
M N
lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh
AA
và
BB
sao cho
M
là trung điểm của
AA
và
2
3
BN BB
. Đường thẳng
CM
cắt đường thẳng
C A
tại
P
và
đường thẳng
CN
cắt đường thẳng
C B
tại
Q
. Thể tích khối đa diện
A MPB NQ
bằng
A.
5
9
. B.
13
18
. C.
7
18
. D.
7
9
.
Câu 8. Cho khối lăng trụ
.
ABC A B C
có thể tích bằng 12. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng
A’A và B’B. Đường thẳng CM cắt đường thẳng C’A’ tại P, đường thẳng CN cắt đường thẳng C’B’ tại Q. Thể tích
khối đa diện lồi
A MPB NQ
bằng
A. 6 B. 8 C. 9 D. 5
Câu 9. Cho khối lăng trụ
.
ABC A B C
có thể tích bằng 18. Gọi M, N lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh A’A
và B’B sao cho M là trung điểm của A’A và 3B’N = 2B’B. Đường thẳng CM cắt đường thẳng A’C’ tại P và đường
thẳng CN cắt đường thẳng B’C’ tại Q. Thể tích khối đa diện A’MPB’NQ bằng
A. 6 B. 5 C. 7 D. 8
Câu 10. Cho lăng trụ đều
.
ABC A B C
có độ dài tất cả các cạnh bằng 3. Gọi M, N là trung điểm của hai cạnh
AB và AC. Thể tích khối đa diện
.
AMN A B C
gần nhất với giá trị nào ?
A. 6,82 B. 5,84 C. 7,12 D. 6,64
Câu 11. Cho khối lăng trụ .
ABC A B C
có thể tích bằng
3
12
a
và điểm
M
là một điểm nằm trên cạnh
CC
sao cho
3
MC MC
. Tính thể tích của khối tứ diện
AB MC
theo
.
a
68
A.
3
2
a
. B.
3
4
a
. C.
3
3
a
. D.
3
a
.
Câu 12. Lăng trụ tam giác đều .
ABC A B C
cạnh đáy bằng
a
, chiều cao
2
a
. Mặt phẳng
P
qua
B
và
vuông góc với
A C
chia lăng trụ thành hai khối. Thể tích của hai khối là
1
V
và
2
V
với
1 2
V V
. Tỉ số
1
2
V
V
bằng
A.
1
23
. B.
1
11
. C.
1
7
. D.
1
47
.
Câu 13. Cho khối lăng trụ
.
ABC A B C
có thể tích bằng
1
. Gọi
,
M N
lần lượt là trung điểm của các
đoạn thẳng
AA
và
BB
. Đường thẳng
CM
cắt đường thẳng
C A
tại
P
, đường thẳng
CN
cắt đường
thẳng
C B
tại
Q
. Thể tích khối đa diện lồi
A MPB NQ
bằng
A.
1
. B.
1
2
. C.
2
3
. D.
1
3
.
Câu 14. Cho khối lăng trụ tam giác .
ABC A B C
, đường thẳng đi qua trọng tâm tam giác
ABC
song song với
BC
cắt
AB
tại
M
, cắt
AC
tại
N
. Mặt phẳng
A MN
chia khối lăng trụ thành hai phần, tỉ số thể tích khối nhỏ và khối lớn bằng
A.
2
3
. B.
4
9
. C.
4
23
. D.
4
27
.
Câu 15. Cho lăng trụ đứng
.
ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
A
,
AB a
,
2
BC a
và mặt bên
ACC A
là hình vuông. Gọi
M
,
N
lần lượt là trung điểm của
AC
,
CC
và
H
là hình chiếu của
A
lên
BC
(
Tham khảo hình vẽ bên ). Thể tích khối chóp
'.
A HMN
bằng
A.
3
3
4
a
. B.
3
32
a
. C.
3
9
16
a
. D.
3
9
32
a
.
Câu 16. Cho hình lăng trụ đứng tam giác
. ' ' '
ABC A B C
có tất cả các cạnh đều bằng
2
a
. Mặt phẳng đi
qua
' '
A B
và trọng tâm tam giác
ABC
cắt
AC
và
BC
lần lượt tại
E
và
F
. Tính thể tích
V
của khối
chóp
. ' '
C A B FE
.
A.
3
8 3
.
27
a
V
B.
3
2 3
.
27
a
V
C.
3
2 3
.
9
a
V
D.
3
20 3
.
27
a
V
Câu 17. Cho khối lăng trụ
.
ABC A B C
có thể tích bằng
1
. Gọi
,
M N
lần lượt là trung điểm của các
đoạn thẳng
AA
và
BB
. Đường thẳng
CM
cắt đường thẳng
C A
tại
P
, đường thẳng
CN
cắt đường
thẳng
C B
tại
Q
. Thể tích khối đa diện lồi
A MPB NQ
bằng
A.
1
. B.
1
2
. C.
2
3
. D.
1
3
.
69
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TỈ SỐ KHỐI LĂNG TRỤ – P2)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Biết hình hộp
.
ABCD A B C D
có thể tích
V
. Nếu tăng mỗi cạnh của hình hộp lên gấp hai lần thì thể
tích khối hộp mới là:
A.
16
V
. B.
4
V
. C.
2
V
. D.
8
V
.
Câu 2. Cho hình lăng trụ
.
ABC A B C
có thể tích bằng
V
. Gọi
M
là trung điểm cạnh
BB
, điểm
N
thuộc cạnh
CC
sao cho
2
CN C N
. Tính thể tích khối chóp
.
A BCNM
theo
V
.
A.
.
7
12
A BCNM
V
V . B.
.
7
18
A BCNM
V
V . C.
.
5
18
A BCNM
V
V . D.
.
3
A BCNM
V
V
.
Câu 3. Cho hình lăng trụ
.
ABC A B C
. Gọi
M
,
N
lần lượt là trung điểm của
CC
và
BB
. Tính
.
ABCMN
ABC A B C
V
V
.
A.
1
6
. B.
1
3
. C.
1
2
. D.
2
3
.
Câu 4. Khối lăng trụ .
ABC A B C
có thể tích
V
khi đó thể tích khối chóp tứ giác .
A BCC B
bằng
A.
2
3
V
. B.
1
2
V
. C.
1
3
V
. D.
3
4
V
.
Câu 5. Cho hình lăng trụ .
ABC A B C
,
M
là trung điểm của
CC
. Mặt phẳng
ABM
chia khối lăng trụ thành
hai khối đa diện. Gọi
1
V
là thể tích khối đa diện chứa đỉnh
C
và
2
V
là thể tích khối đa diện còn lại. Tính
1
2
V
V
.
A.
1
5
. B.
1
6
. C.
1
2
. D.
2
5
.
Câu 6. Cho hình hộp
. ' ' ' '
ABCD A B C D
có
M
,
N
lần lượt trung điểm
'
AA
,
'
CC
.
1
V
là thể tích khối đa diện
chứa đỉnh
A
và
2
V
là thể tích khối đa diện còn lại. Tính tỉ số
1
2
.
V
V
A.
2.
B.
1
.
2
C.
1.
D.
2
.
3
Câu 7. Cho khối lăng trụ
.
ABC A B C
có thể tích bằng
V
. Tính thể tích khối đa diện
ABCB C
.
A.
3
4
V
. B.
2
3
V
. C.
2
V
. D.
4
V
.
Câu 8. Gọi
V
là thể tích của hình lập phương
.
ABCD A B C D
,
2
V
là thể tích của khối tứ diện
A ABD
. Hệ thức
nào sau đây đúng.
A.
1
3
V V
. B.
1
4
V V
. C.
1
6
V V
. D.
1
2
V V
.
Câu 9. Cho khối lăng trụ
.
ABC A B C
có thể tích là
V
. Tính thể tích khối đa diện
ABCB C
.
A.
3
4
V
. B.
2
3
V
. C.
2
V
. D.
4
V
.
Câu 10. Cho hình lăng trụ .
ABC A B C
có thể tích
V
,
M
là điểm tùy ý trên cạnh
CC
. Thể tích khối
.
M ABB A
là
A.
2
3
V
. B.
3
V
. C.
2
V
. D.
6
V
.
Câu 11. Gọi
V
là thể tích khối lập phương
.
ABCD A B C D
,
V
là thể tích khối tứ diện
A ABD
. Hệ thức nào
dưới đây là đúng?
A.
4
V V
. B.
8
V V
. C.
6
V V
. D.
2
V V
.
Câu 12. Cho lăng trụ đều
. ' ' '
ABC A B C
có tất cả các cạnh bằnga. Gọi S là điểm đối xứng của A qua
'
BC
. Thể
tích khối đa diện
' '
ABCSB C
là
A.
3
3
3
a
. B.
3
3
a . C.
3
3
6
a
. D.
3
3
2
a
.
70
Câu 13. Cho khối lăng trụ .
ABC A B C
có thể tích bằng 9. Điểm M thuộc cạnh C’C sao cho MC = 2MC’. Thể tích
khối đa diện AB’CM bằng
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 14. Cho lăng trụ đứng .
ABCD A B C D
, có đáy là hình thoi cạnh
4
a
,
·
8 , 120
AA a BAD
. Gọi
, ,
M N K
lần
lượt là trung điểm của các cạnh , ,
AB B C BD
. Thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm
, , , , ,
A B C M N K
bằng
A.
3
12 3
a
. B.
3
28 3
3
a
. C.
3
16 3
a
. D.
3
40 3
3
a
.
Câu 15. Lăng trụ tam giác đều .
ABC A B C
cạnh đáy bằng
a
, chiều cao
2
a
. Mặt phẳng
P
qua
B
và
vuông góc với
A C
chia lăng trụ thành hai khối. Thể tích của hai khối là
1
V
và
2
V
với
1 2
V V
. Tỉ số
1
2
V
V
bằng
A.
1
23
. B.
1
11
. C.
1
7
. D.
1
47
.
Câu 16. Cho hình lăng trụ đứng tam giác
. ' ' '
ABC A B C
có tất cả các cạnh đều bằng
2
a
. Mặt phẳng đi
qua
' '
A B
và trọng tâm tam giác
ABC
cắt
AC
và
BC
lần lượt tại
E
và
F
. Tính thể tích
V
của khối
chóp
. ' '
C A B FE
.
A.
3
8 3
.
27
a
V
B.
3
2 3
.
27
a
V
C.
3
2 3
.
9
a
V
D.
3
20 3
.
27
a
V
Câu 17. Cho lăng trụ đứng
.
ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
A
,
AB a
,
2
BC a
và mặt bên
ACC A
là hình vuông. Gọi
M
,
N
lần lượt là trung điểm của
AC
,
CC
và
H
là hình chiếu của
A
lên
BC
(
Tham khảo hình vẽ bên ). Thể tích khối chóp
'.
A HMN
bằng
A.
3
3
4
a
. B.
3
32
a
. C.
3
9
16
a
. D.
3
9
32
a
.
Câu 18. Cho khối lăng trụ tam giác
.
ABC A B C
, đường thẳng đi qua trọng tâm tam giác
ABC
song song với
BC
cắt
AB
tại
M
, cắt
AC
tại
N
. Mặt phẳng
A MN
chia khối lăng trụ thành hai phần, tỉ số thể tích khối nhỏ và khối lớn bằng
A.
2
3
. B.
4
9
. C.
4
23
. D.
4
27
.
71
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TỈ SỐ KHỐI LĂNG TRỤ – P3)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho lăng trụ .
ABC A B C
có chiều cao bằng 8 và đáy là tam giác đều cạnh bằng 4. Gọi M, N và P lần
lượt là tâm các mặt bên
,
ABB A ACC A
và
BCC B
. Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A,
B, C, M, N, P bằng
A.
12 3
B.
16 3
C.
28 3
3
D.
40 3
3
Câu 2. Cho hình lăng trụ tam giác đều .
ABC A B C
có tất cả các cạnh bằng
a
. Gọi
,
M N
lần lượt là trung điểm
của các cạnh
AB
và
B C
. Mặt phẳng
A MN
cắt cạnh
BC
tại
.
P
Thể tích khối đa diện .
MBP A B N
bằng.
A.
3
3
32
a
. B.
3
7 3
96
a
. C.
3
7 3
32
a
. D.
3
7 3
68
a
.
Câu 3. Cho hình lăng trụ
.
ABC A B C
có đáy là tam giác đều cạnh
a
, đường cao bằng
6
a
. Gọi
M
là trung điểm của cạnh
B C
, biết
hình chiếu vuông góc của
M
trên mặt phẳng
ABC
là trọng tâm
G
của tam giác
ABC
. Gọi
S
là điểm đối xứng của
M
qua tâm
O
của
mặt bên
BCC B
(minh họa như hình bên dưới). Thể tích khối đa
diện
SBACA B C
bằng:
S
O
A'
C'
G
A
C
B
M
B'
A.
3
11 3
216
a
. B.
3
5 3
72
a
. C.
3
5 3
216
a
. D.
3
11 3
72
a
.
Câu 4. Cho khối lăng trụ đứng
.
ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
C
,
2
AB a
và góc tạo bởi
hai mặt phẳng
ABC
và
ABC
bằng
60
. Gọi
,
M N
lần lượt là trung điểm của
A C
và
BC
. Mặt phẳng
AMN
chia khối lăng trụ thành hai phần. Thể tích của phần nhỏ bằng
A.
3
7 3
24
a
. B.
3
6
6
a
. C.
3
7 6
24
a
. D.
3
3
3
a
.
Câu 5. Cho hình lăng trụ
. ' ' ' '
ABCD A B C D
có
2 ,
AD BC AD
song song với
,
BC M
là trung điểm của cạnh
',
CC N
thuộc cạnh
'
AA
sao cho
' 3 .
A N AN
Mặt phẳng
DMN
chia khối trụ đã cho thành hai phần có thể
tích là
1
V
và
2 1 2
.
V V V
Tính
1
2
.
V
V
A.
1
2
11
.
25
V
V
B.
1
2
11
.
36
V
V
C.
1
2
23
.
49
V
V
D.
1
2
23
.
36
V
V
Câu 6. Cho khối lăng trụ .
ABC A B C
có thể tích bằng
3
12
a
và điểm
M
là một điểm nằm trên cạnh
CC
sao cho 3
MC MC
. Tính thể tích
của khối tứ diện
AB MC
theo
.
a
A.
3
2
a
. B.
3
4
a
. C.
3
3
a
. D.
3
a
.
M
C'
B'
A
B
C
A'
Câu 7. Cho hình lăng trụ tam giác đều .
ABC A B C
có tất cả các cạnh bằng
a
. Gọi
,
M N
lần lượt là trung điểm
của các cạnh
AB
và
B C
. Mặt phẳng
A MN
cắt cạnh
BC
tại
.
P
Thể tích khối đa diện
.
MBP A B N
bằng.
A.
a
3
3
32
. B.
a
3
7 3
96
. C.
a
3
7 3
32
. D.
a
3
7 3
68
.
72
Câu 8. Cho hình lăng trụ đều
.
ABC A B C
có tất cả các cạnh
bằng
1
. Gọi
E
,
F
lần lượt là trung điểm
AA
và
BB
; đường
thẳng
CE
cắt đường thẳng
C A
tại
E
, đường thẳng
CF
cắt
đường thẳng
'
C B
tại
F
. Thể tích khối đa diện
EFA B E F
bằng
A.
3
6
. B.
3
2
. C.
3
3
D.
3
12
.
M
F'
E'
F
E
B
C
A'
C'
B'
A
Câu 9. Cho lăng trụ
. ' ' '
ABC A B C
có thể tích bằng
2
. Gọi
,
M N
lần
lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh
'
AA
và
'
BB
sao cho
M
là trung
điểm của
'
AA
và
2
'
3
BN BB
. Đường thẳng
CM
cắt đường thẳng
' '
C A
tại
P
và đường thẳng
CN
cắt đường thẳng
' '
C B
tại
Q
. Thể
tích khối đa diện
' '
A MPB NQ
bằng
A.
5
9
. B.
13
18
. C.
7
18
. D.
7
9
.
P
Q
N
M
C'
B'
A'
C
B
A
Câu 10. Nếu cạnh của hình lập phương tăng lên gấp
2
lần thì thể tích của khối lập phương đó sẽ tăng lên bao
nhiêu lần?
A.
6
. B.
4
. C.
9
. D.
8
.
Câu 11. Cho hình lăng trụ đều
.
ABC A B C
có tất cả các cạnh bằng
1
. Gọi
,
E F
lần lượt là trung điểm
AA
và
,
BB
đường thẳng
CE
cắt đường thẳng
C A
tại
E
, đường thẳng
CF
cắt đường thẳng
C B
tại
.
F
Thể
tích khối đa diện
EFB A E F
bằng
A.
3
6
. B.
3
2
. C.
3
3
. D.
3
12
.
Câu 12. Cho khối hộp
.
ABCD A B C D
, điểm
M
nằm trên cạnh
CC
thỏa mãn
3
CC CM
. Mặt phẳng
AB M
chia khối hộp thành hai khối đa diện. Gọi
1
V
là thể tích khối đa diện chứa đỉnh
A
,
2
V
là thể tích khối đa
diện chứa đỉnh
B
. Tính tỉ số thể tích
1
V
và
2
V
.
A.
41
13
. B.
27
7
. C.
7
20
. D.
9
4
.
Câu 13. Cho lăng trụ đứng tam giác
. ' ' '
ABC A B C
. Gọi
, , ,
M N P Q
là các điểm lần lượt thuộc các cạnh
', ', ', ' '
AA BB CC B C
thỏa mãn
1
' 2
AM
AA
,
1
' 3
BN
BB
,
' 1
' ' 5
C Q
B C
. Gọi
1 2
,
V V
lần lượt là thể tích khối tứ diện
MNPQ
và khối lăng trụ
. ' ' '
ABC A B C
. Tính tỷ số
1
2
V
V
.
A.
1
2
11
30
V
V
. B.
1
2
11
45
V
V
. C.
1
2
19
45
V
V
. D.
1
2
22
45
V
V
.
73
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TỈ SỐ KHỐI LĂNG TRỤ – P4)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên bằng b và tạo với mặt phẳng đáy một góc
.
Thể tích của khối chóp có đáy là đáy của lăng trụ và đỉnh là một điểm bất kỳ trên đáy còn lại là
A.
2
3
cos
4
a b
B.
2
3
sin
4
a b
C.
2
3
sin
12
a b
D.
2
3
cos
12
a b
Câu 2. Cho lăng trụ đều
.
ABC A B C
. Lấy H, G lần lượt là tâm của hình chữ nhật BCC’B’ và ACC’A’, I là trung
điểm của CC’. Tính tỉ số thể tích của tứ diện CHGI và tứ diện CB’A’C’.
A. 0,125 B. 0,8 C. 3,75 D. 7,5
Câu 3. Cho lăng trụ
.
ABC A B C
có chiều cao bằng 4 và diện tích đáy bằng 3. Gọi M, N, P lần lượt là tâm của
các mặt bên ABB’A’, BCC’B’, CAA’C’. Thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B, C, M, N, P.
A. 6 B. 2,25 C. 4,5 D. 3
Câu 4. Cho lăng trụ
.
ABC A B C
có thể tích bằng 30. Điểm M là trung điểm cạnh A’A. Tính thể tích khối chóp
M.BCC’B’.
A. 20 B. 22,5 C. 10 D. 15
Câu 5. Cho lăng trụ tam giác đều
.
ABC A B C
có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
các cạnh AB và B’C’. Mặt phẳng (A’MN) cắt cạnh BC tại P. Tính thể tích khối đa diện MBP.A’B’N
A.
3
3
32
a
B.
3
7 3
96
a
C.
3
7 3
48
a
D.
3
7 3
32
a
Câu 6. Cho lăng trụ đứng
.
ABC A B C
có thể tích bằng 30. Gọi O là tâm của hình bình hành ABB’A’ và G là
trọng tâm tam giác A’B’C’. Thể tích tứ diện COGB’ bằng
A. 2,5 B.
15
14
C.
10
3
D.
7
3
Câu 7. Cho lăng trụ đứng
.
ABC A B C
, gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm các cạnh C’C, BC, B’C’. Khi đó tỉ
số thể tích của khối chóp A’.MNP với lăng trụ
.
ABC A B C
là
A. 0,5 B. 0,25 C. 0,125 D.
1
6
Câu 8. Cho lăng trụ đứng
.
ABC A B C
có E là trọng tâm tam giác A’B’C’ và F là trung điểm của BC. Tính tỉ số
thể tích giữa khối chóp B’.EAF và khối lăng trụ
.
ABC A B C
.
A. 0,25 B. 0,125 C. 0,2 D.
1
6
Câu 9. Cho lăng trụ đứng
.
ABC A B C
có O, G lần lượt là tâm của mặt bên ABB’A’ và trọng tâm của tam giác
ABC. Tính thể tích khối chóp AOGB khi thể tích khối lăng trụ bằng 270.
A. 15 B. 30 C. 45 D. 15
Câu 10. Cho khối lăng trụ đứng tam giác
.
ABC A B C
có thể tích bằng 36. Gọi E là trung điểm của A’C’, F là
giao điểm của AE và A’C. Tính thể tích của khối chóp F.A’B’C’
A. 12 B. 6 C. 8 D. 4
Câu 11. Cho khối lăng trụ đứng tam giác
.
ABC A B C
có thể tích bằng 36. M là trung điểm của cạnh bên BB’.
Tính thể tích khối chóp M.AA’C’C.
A. 24 B. 6 C. 30 D. 12
Câu 12. Cho khối lăng trụ đứng tam giác
.
ABC A B C
có thể tích bằng 18. M và N lần lượt là trung điểm của
A’A và B’B. Tính thể tích của khối đa diện CNMA’B’C’.
A. 12 B. 6 C. 9 D. 15
Câu 13. Cho khối lăng trụ đứng tam giác
.
ABC A B C
có đáy là tam giác đều. Mặt phẳng (A’BC) có diện tích
bằng
2 3
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của B’B và C’C. Tính thể tích khối tứ diện A’AMN.
A.
2 3
B.
3
C. 3
3
D. 4
3
Câu 14. Cho lăng trụ
.
ABC A B C
có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu H của A’ lên mặt phẳng (ABC)
trùng với trung điểm của BC. Góc giữa mặt phẳng (A’ABB’) và mặt phẳng đáy bằng
60
o
. Tính thể tích khối tứ
diện ABCA’
A.
3
3
8
a
B.
3
3 3
8
a
C.
3
3
16
a
D.
3
3 3
16
a
Câu 15. Cho lăng trụ đứng
.
ABC A B C
có
·
; 2 ; 2 3; 120
AB a AC a A A a BAC
o
. Gọi K, I lần lượt là
74
trung điểm của các cạnh C’C, B’B. Tính thể tích khối chóp IA’BK
A.
3
2
a
B.
3
3
6
a
C.
3
5
2
a
D.
3
6
a
Câu 16. Cho lăng trụ đứng
.
ABC A B C
có thể tích bằng 15, gọi I, K lần lượt là trung điểm của A’A, B’B. Tính
thể tích khối đa diện ABCIKC’.
A. 9 B. 5 C. 10 D. 12
Câu 17. Cho khối lăng trụ đứng
.
ABC A B C
có đáy là tam giác đều cạnh a, chiều cao h. Biết thể tích khối tứ
diện ABC’A’ bằng
3
3
6
a
. Tính theo a chiều cao h của lăng trụ.
A. 2a B. 3a C. 4a D. a
Câu 18. Cho khối lăng trụ đứng
.
ABC A B C
có tất cả các cạnh đều bằng a. Một mặt phẳng đi qua A’B’ và
trọng tâm G của tam giác ABC, cắt AC và BC lần lượt tại E và F. Tính thể tích V của khối A’B’ABFE.
A.
3
3
27
a
B.
3
2 3
27
a
C.
3
3
18
a
D.
3
5 3
54
a
Câu 19. Cho lăng trụ
. ' ' '
ABC A B C
. Trên các cạnh
AA'
,
'
BB
lần lượt lấy các điểm E, F sao cho
' k.A'E
AA
,
' . '
BB k B F
. Mặt phẳng
'
C EF
chia khối lăng trụ đã cho thành hai khối đa diện bao gồm khối
chóp
'. ' '
C A B FE
có thể tích
1
V
và khối đa diên
'
ABCEFC
có thể tích
2
V
. Biết rằng
1
2
7
V
V
. Tìm k.
A.
4
k
. B.
3
k
. C.
1
k
. D.
2
k
.
Câu 20. Cho khối lăng trụ tam giác
.
ABC A B C
. Gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc các cạnh bên A’A, C’C
sao cho MA = MA’, NC = 4NC’. Gọi G là trọng tâm tam giác tam giác ABC. Trong bốn khối tứ diện GA’B’C’,
BB’MN, ABB’C’, A’BCN, khối tứ diện nào có thể tích nhỏ nhất
A. Khối A’BCN B. Khối GA’B’C’ C. Khối ABB’C’ D. Khối BB’MN
Câu 21. Cho lăng trụ đứng
.
ABC A B C
có A’A = a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
60
o
. Tam giác ABC
vuông tại C và
·
60
ABC
o
. Hình chiếu vuông góc của B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác
ABC. Tính thể tích của khối tứ diện A’ABC.
A.
3
9
208
a
B.
3
3
208
a
C.
3
27
208
a
D.
3
81
208
a
______________________________________
75
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TỈ SỐ KHỐI LĂNG TRỤ – P5)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho khối hộp chữ nhật
.
ABCD A B C D
có thể tích bằng
2110
. Biết
A M MA
;
3
DN ND
;
2
CP PC
. Mặt phẳng
MNP
chia khối hộp đã
cho thành hai khối đa diện. Thể tích khối đa diện nhỏ hơn bằng
A.
7385
18
. B.
5275
12
. C.
8440
9
. D.
5275
6
.
Câu 2. Cho khối lăng trụ
.
ABC A B C
có thể tích bằng 30. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, tính thể tích khối
chóp G.A’B’C’
A. 10 B. 15 C. 20 D. 18
Câu 3. Cho khối lăng trụ đứng
.
ABC A B C
có thể tích bằng 30. Tính thể tích khối lăng trụ AB’A’C.
A. 10 B. 12 C. 9 D. 14
Câu 4. Cho lăng trụ đứng
.
ABC A B C
có thể tích bằng 36. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của A’A, B’B. Tính
thể tích V của khối tứ diện AC’MN.
A. 4 B. 6 C. 9 D. 12
Câu 5. Cho khối lập phương
.
ABCD A B C D
cạnh
a
. Các
điểm
E
,
F
lần lượt là trung điểm của
C B
và
C D
. Mặt
phẳng
AEF
cắt khối lập phương đã cho thành hai phần,
gọi
1
V
là thể tích của khối chứa điểm
A
,
2
V
là thể tích khối
chứa điểm
C
. Khi đó
1
2
V
V
là
A.
25
47
. B.
1
. C.
8
17
. D.
17
25
.
L
K
N
M
F
E
A'
D'
C'
C
A
D
B
B'
Câu 6. Cho khối lăng trụ .
ABC A B C
có thể tích bằng
V
. Gọi điểm
M
là
trung điểm
AA
và điểm
N
thuộc cạnh
BB
sao cho
1
'
3
BN BB
.Đường
thẳng
C M
cắt đường thẳng
CA
tại
D
, đường thẳng
C N
cắt đường thẳng
CB
tại
E
. Tỉ số thể tích khối đa diện lồi
AMDBNE
và khối lăng trụ
.
ABC A B C
là
A.
13
.
18
B.
7
.
18
C.
7
.
12
D.
8
.
15
Câu 7. Cho khối lăng trụ
.
ABC A B C
. Gọi
E
,
F
lần lượt là trung
điểm của các đoạn thẳng
CC
và
BB
. Đường thẳng
A E
cắt đường
thẳng
AC
tại
K
, đường thẳng
A F
cắt đường thẳng
AB
tại
H
.
Tính tỉ số thể tích khối đa diện lồi
BFHCEK
và khối chóp
A ABC
.
A.
1
.
3
B.
1
.
2
C.
2
. D.
1.
Câu 8. Cho hình hộp
.
MNPQ M N P Q
. Tỉ số thể tích của khối tứ diện
MPN Q
và khối hộp
.
MNPQ M N P Q
bằng
A.
1
3
. B.
1
2
. C.
1
4
. D.
1
6
.
Câu 9. Cho hình lăng trụ tam giác đều
.
ABC A B C
có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
B
C
D
A
A
D
B
C
M
N
P
76
của các cạnh AB, B’C’. Mặt phẳng (A’MN) cắt cạnh BC tại P. Tính thể tích khối đa diện MBPA’B’N.
A.
3
7 3
96
a
B.
3
3
24
a
C.
3
3
12
a
D.
3
2 3
32
a
Câu 10. Cho lăng trụ tam giác
.
ABC A B C
có thể tích bằng 630. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của B’B, C’C.
Mặt phẳng (AMN) chia khối lăng trụ thành hai phần, trong đó thể tích phần đa diện chứa điểm B có thể tích bằng
A. 140 B. 157,5 C. 180 D. 210
Câu 11. Cho lăng trụ tam giác
. ' ' '
ABC A B C
. Một mặt phẳng
( )
qua đường
thẳng
' '
A B
và trọng tâm tam giác
ABC
, chia khối lăng trụ
. ' ' '
ABC A B C
thành hai phần. Gọi
1
V
là thể tích khối đa diện chứa đỉnh
C
và
2
V
là thể tích
khối đa diện còn lại. Khi đó tỉ số
1
2
V
V
bằng
A.
1
2
17
10
V
V
. B.
1
2
19
8
V
V
. C.
1
2
10
17
V
V
. D.
1
2
8
19
V
V
.
Câu 12. Cho khối lăng trụ
.
ABC A B C
có thể tích bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng
A’A, B’B. Đường thẳng CM cắt đường thẳng C’A’ tại P, đường thẳng CN cắt đường thẳng C’B’ tại Q. Thể tích
khối đa diện lồi A’MPB’NQ bằng
A. 0,5 B.
1
3
C.
2
3
D.
3
4
Câu 13. Cho khối lăng trụ tam giác
/ / /
.
ABC A B C
Trên
/
AA
,
/
BB
lần lượt lấy
các điểm
,
M N
sao cho
/
/
A M BN
k
AM B N
0 1
k
.
P
là điểm bất kì trên
cạnh
/
CC
. Tỉ số thể của khối chóp
.
P ABNM
và thể tích khối lăng trụ
/ / /
.
ABC A B C
bằng
A.
3
k
. B.
1
3
. C.
k
. D.
2
3 1
k
.
C
/
B
/
M
P
N
A
/
C
B
A
Câu 14. Cho khối lăng trụ
.
ABC A B C
. Điểm M thuộc cạnh A’B’ sao cho A’B’ = 3A’M. Đường thẳng BM cắt
đường thẳng A’A tại điểm F, đường thẳng CF cắt đường thẳng A’C’ tại G. Tính tỉ số khối chóp FA’MG và thể tích
khối đa diện lồi GMB’C’CB.
A.
1
11
B.
1
27
C.
3
22
D.
1
28
______________________________________
77
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TỔNG HỢP TỈ SỐ THỂ TÍCH – P1)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có thể tích bằng 48, điểm M là trung điểm cạnh AB, lấy các điểm N, P, Q thỏa
mãn điều kiện
4 4 , 2 0
AC AN PC CQ BQ
uuur uuur uuur uuur uuur r
. Tính thể tích khối chóp S.MNPQ.
A. 24 B. 14 C. 8 D. 16
Câu 2. Cho khối chóp S.ABC có thể tích bằng 48, tam giác ABC là tam giác đều,
3
SA AB
và SA vuông góc
với mặt phẳng đáy (ABC). M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính
thể tích khối chóp S.AMN.
A. 27 B. 18 C. 14,5 D. 15
Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có SC = 2a, cạnh SC vuông góc với (ABC), đáy ABC là tam giác vuông cân tại B
và
2
AB a
. Mặt phẳng (P) qua C và vuông góc với SA cắt SA, SB lần lượt tại D, E. Tính thể tích khối chóp
S.CDE.
A.
3
2
9
a
B.
3
9
a
C.
3
5
9
a
D.
3
5
8
a
Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Các điểm M, N, P, Q lần lượt là trọng tâm các tam giác
SAB, SBC, SCD, SDA. O là điểm bất kỳ trên mặt phẳng đáy ABCD. Biết thể tích khối chóp OMNPQ bằng 4, tính
thể tích khối chóp S.ABCD.
A. 54 B. 48 C. 60 D. 56
Câu 5. Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 90, trên các cạnh BC, BD, AC lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho
BC = 3BM, 2BD = 3BN và AC = 2AP. Mặt phẳng (MNP) chia khối tứ diện ABCD thành hai phần, phần nhỏ hơn
có thể tích bằng
A. 38 B. 40 C. 36 D. 42
Câu 6. Cho khối tứ diện đều ABCD có thể tích bằng 16. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AC, AD, BD,
BC. Thể tích khối chóp BMNPQ bằng
A. 6 B. 8 C. 4 D. 6,5
Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, H và K lần lượt là trung điểm của SB, SD.
Tính thể tích khối chóp AOHK khi khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 32.
A. 4 B. 6 C. 8 D. 5
Câu 8. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, thể tích bằng 12. Gọi M là trung điểm cạnh SA, các
điểm E, F lần lượt đối xứng với A qua B và D. Mặt phẳng (MEF) cắt các cạnh SB, SD tương ứng tại N, P. Thể
tích khối đa diện ABCDMNP bằng
A. 4 B. 6 C. 8 D. 3
Câu 9. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành với thể tích bằng 12. Gọi M là điểm đối xứng của C
qua B, N là trung điểm cạnh SC, mặt phẳng (MDN) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện, thể tích khối
đa diện chứa đỉnh S bằng
A. 6 B. 7 C. 5 D. 8
Câu 10. Cho khối lăng trụ
.
ABC A B C
có thể tích bằng 12. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng
A’A và B’B. Đường thẳng CM cắt đường thẳng C’A’ tại P, đường thẳng CN cắt đường thẳng C’B’ tại Q. Thể tích
khối đa diện lồi
A MPB NQ
bằng
A. 6 B. 8 C. 9 D. 5
Câu 11. Cho khối hộp
.
ABCD A B C D
có thể tích bằng 54. Điểm E thỏa mãn
3
AE AB
uuur uuur
. Thể tích khối đa
diện gồm các điểm chung của khối hộp và khối chóp E.ADD’ bằng
A. 19 B. 20 C. 18 D. 21
Câu 12. Khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA = 2a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD)
cùng vuông góc với (ABCD). Một mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt
tại B’, C’, D’. Gọi
1 2
,
V V
lần lượt là thể tích của khối chóp
.
S AB C D
và khối đa diện
.
ABCD B C D
. Khi đó tỉ số
1 2
:
V V
bằng
A.
8
7
B.
7
6
C.
13
12
D.
12
7
Câu 13. Cho khối hộp
.
ABCD A B C D
có thể tích bằng 226, các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của BC,
C’D’, DD’. Thể tích khối đa diện AMNP bằng
A. 28,25 B. 28,5 C. 29 D. 29,25
Câu 14. Cho khối lập phương
.
ABCD A B C D
có thể tích bằng 144. M là trung điểm của BC, N thuộc cạnh
CD sao cho CD = 3CN, mặt phẳng (A’MN) chia khối lập phương thành hai khối, (H) là khối đa diện chứa điểm A
thì thể tích của (H) bằng
A. 55 B. 56 C. 60 D. 49
78
Câu 15. Cho khối lăng trụ
.
ABC A B C
có thể tích bằng 18. Gọi M, N lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh A’A
và B’B sao cho M là trung điểm của A’A và 3B’N = 2B’B. Đường thẳng CM cắt đường thẳng A’C’ tại P và đường
thẳng CN cắt đường thẳng B’C’ tại Q. Thể tích khối đa diện A’MPB’NQ bằng
A. 6 B. 5 C. 7 D. 8
Câu 16. Khối hộp
.
ABCD A B C D
có thể tích bằng 48, M là trung điểm cạnh AB, mặt phẳng (MB’D’) chia khối
chóp
.
ABCD A B C D
thành hai khối đa diện, thể tích khối đa diện chứa đỉnh A bằng
A. 14 B. 16 C. 15 D. 21
Câu 17. Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 16 với đáy ABCD là hình bình hành, M và N lần lượt là trung
điểm các cạnh SA, SB và P là điểm bất kỳ thuộc cạnh CD. Thể tích khối tứ diện AMNP là
A. 2 B. 3 C.
4
3
D. 5
Câu 18. Cho khối tứ diện ABCD có thể tích bằng 18. Gọi N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD, M là điểm
thuộc cạnh AB sao cho BM = 2AM, mặt phẳng (MNP) cắt cạnh AD tại Q. Thể tích khối đa diện lồi MAQNCP là
A. 7 B. 8 C. 9 D. 5
Câu 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, các điểm M, N, P, Q lần lượt là trọng tâm các
tam giác SAB, SBC, SCD, SDA. Thể tích khối chóp S.MNPQ là 4, thể tích của khối chóp S.ABCD là
A. 27 B. 21 C. 16 D. 10,125
Câu 20. Cho hình hộp
.
ABCD A B C D
có chiều cao bằng 8 và diện tích đáy bằng 9, các điểm M, N, P, Q lần
lượt là tâm các mặt bên ABB’A’, BCC’B’, CDD’C’, DAA’D’. Thể tích của khối đa diện có các đỉnh A, B, C, D, M,
N, P, Q bằng
A. 27 B. 30 C. 18 D. 36
Câu 21. Cho lăng trụ đều
.
ABC A B C
có độ dài tất cả các cạnh bằng 3. Gọi M, N là trung điểm của hai cạnh
AB và AC. Thể tích khối đa diện
.
AMN A B C
gần nhất với giá trị nào ?
A. 6,82 B. 5,84 C. 7,12 D. 6,64
______________________________________
79
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TỔNG HỢP TỈ SỐ THỂ TÍCH – P2)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho hình chóp đều S.ABC có tất cả các cạnh bằng a. Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng đáy
(ABC) và cắt các cạnh bên SA, SB, SC lần lượt tại các điểm M, N, P. Mặt phẳng (P) chia khối chóp đã cho thành
hai phần có thể tích bằng nhau. Chu vi tam giác MNP bằng
A.
3
2
a
B.
3 3
2
a
C.
3
3
2
a
D.
3
3
2
a
Câu 2. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng 2a. Mặt phẳng (P) qua B’ và
vuông góc với A’C chia lăng trụ thành hai khối. Biết thể tích của hai khối là
1 2
,
V V
. Tính
1
2
V
V
biết rằng
1
2
1
V
V
.
A.
1
7
B.
1
11
C.
1
23
D.
1
47
Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V. Gọi M là trung điểm của SB. P là
điểm thuộc cạnh SD sao cho SP = 2DP. Mặt phẳng (AMP) cắt cạnh SC tại N. Tính thể tích của khối đa diện
ABCDMNP theo V.
A.
23
30
ABCDMNP
V V
B.
2
5
ABCDMNP
V V
C.
19
30
ABCDMNP
V V
D.
7
30
ABCDMNP
V V
Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB
và P là điểm bất kỳ thuộc cạnh CD. Biết thể tích khối chóp S.ABCD là 48. Tính thể tích khối tứ diện AMNP
A.6 B. 8 C. 12 D. 10
Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có thể tích bằng 81. Gọi A’, B’, C’, D’ là các điểm thuộc lần lượt các cạnh SA,
SB, SC, SD sao cho
1
3
SA SB SC SD
SA SB SC SD
. Tính thể tích khối chóp S.A’B’C’D’
A.3 B. 9 C. 3 D. 1,5
Câu 6. Cho hình chóp đều S.ABCD có thể tích bằng 12, cạnh bên hợp với đáy một góc
60
. Gọi M là điểm đối
xứng của C qua D, N là trung điểm của SC. Mặt phẳng (BMN) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần. Tỉ số thể
tích phần lớn hơn bằng
A.7 B. 7,5 C. 9 D. 8
Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông
góc với mặt đáy. Góc giữa hai mặt (SCD), (ABCD) bằng
45
. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của SC và SD.
Tính tỉ số thể tích
.
.
S ACD
S AKH
V
V
.
A.3 B. 4 C. 6 D. 5
Câu 8. Khối lập phương
.
ABCD A B C D
có thể tích bằng 72. Các điểm E, F lần lượt là trung điểm của C’B’ và
C’D’. Mặt phẳng (AEF) cắt khối lập phương đã cho thành hai phần, tính thể tích khối đa diện chứa đỉnh A’.
A.25 B. 28 C. 30 D. 27
Câu 9. Cho tứ diện ABCD có thể tích 855, lấy điểm M thuộc cạnh BC sao cho
3
BC BM
 
, điểm N thuộc BD
sao cho
2 3
BD BN
 
và điểm P thuộc AC sao cho
2
AC AP
 
. Mặt phẳng (MNP) chia khối tứ diện ABCD
thành hai phần, thể tích khối đa diện chứa đỉnh A là
A.494 B. 675 C. 180 D. 361
Câu 10. Cho khối tứ diện đều ABCD có thể tích 60. Gọi M là trung điểm của BC, N là điểm thuộc cạnh CD sao
cho 2DN = CN, G là trọng tâm tam giác ABD. Mặt phẳng (MNG) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện.
Tính thể tích khối đa diện chứa đỉnh A.
A.43 B. 41 C. 51 D. 30
Câu 11. Cho hình lập phương
.
ABCD A B C D
có cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm BC và I là tâm hình vuông
CDD’C’. Mặt phẳng (AMI) chia khối lập phương thành hai khối đa diện trong đó khối đa diện không chứa điểm D
có thể tích bằng
A.
3
7
36
a
B.
3
22
29
a
C.
3
7
29
a
D.
3
29
36
a
Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều, mặt bên
SCD là tam giác vuông cân tại S. Gọi M là điểm thuộc đường thẳng CD sao cho SA vuông góc với BM. Thể tích
của khối chóp S.BDM bằng
80
A.
3
3
48
a
B.
3
3
32
a
C.
3
3
24
a
D.
3
3
16
a
Câu 13. Cho lăng trụ tam giác
.
ABC A B C
có thể tích bằng 144. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của A’A,
B’B, C’C. Mặt phẳng (MNP) chia khối lăng trụ trên thành hai khối đa diện. Thể tích khối đa diện chứa đỉnh B là
A.95 B. 60 C. 82 D. 74
Câu 14. Cho khối hộp
.
ABCD A B C D
có thể tích bằng 210. Biết A’M = MA, DN = 3ND’, CP = 2C’P như hình
vẽ. Mặt phẳng (MNP) chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện. Thể tích khối đa diện nhỏ hơn gần nhất với
A.879 B. 850 C. 740 D. 720
Câu 15. Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 24, đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AD và AD = 3BC. Gọi
M là trung điểm của cạnh SA, N là điểm thuộc CD sao cho ND = 3NC. Mặt phẳng (BMN) cắt SD tại P. Thể tích
khối chóp AMBNP bằng
A.9 B. 10 C. 7,5 D. 6,75
Câu 16. Khối chóp S.ABCD có đáy là hình thang với hai đáy AB, CD với AB = 2CD. Gọi E là một điểm trên cạnh
SC, mặt phẳng (ABE) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện có thể tích bằng nhau. Tính
SE
SC
.
A.
10 2
2
B.
6 2
C.
2 1
D.
26 4
2
Câu 17. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA vuông góc với mặt đáy (ABC), BC =
a, góc hợp bởi hai mặt (SBC), (ABC) là
60
. Mặt phẳng (P) qua A vuông góc với SC cắt SB, SC lần lượt tại D,
E. Tính thể tích khối đa diện ABCED.
A.
3
3 3
40
a
B.
3
3
6
a
C.
3
11 3
120
a
D.
3
3 3
60
a
Câu 18. Cho khối hộp chữ nhật
.
ABCD A B C D
có thể tích bằng 2019. Thể tích phần chung của hai khối
AB’CD’ và A’BC’D bằng
A.336,5 B. 340 C. 335 D. 320,5
Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với (ABCD). Trên đường thẳng vuông góc với
(ABCD) tại D lấy điểm S’ sao cho SA = 2S’D, S và S ở cùng phía đối với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối
chóp S’ABCD biết khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 18.
A.7 B. 8 C. 9 D. 6
Câu 19. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có thể tích bằng 42, G là trọng tâm tam giác ABC, góc tạo bởi SG
và (SBC) bằng
30
. Mặt phẳng chứa BC và vuông góc với SA chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích,
trong thể tích khối chóp chứa điểm S bằng
A.6 B. 7 C. 8 D. 12
Câu 20. Cho lăng trụ đứng tam giác
.
ABC A B C
. Gọi M, N, P, Q là các điểm lần lượt thuộc các cạnh A’A, B’B,
C’C, B’C’ thỏa mãn
1 1 1 1
; ; ;
2 3 4 5
AM BN CP CQ
A A B B C C C B
. Tính thể tích khối tứ diện MNPQ biết khối lăng trụ
đã cho có thể tích bằng 45.
A.11 B. 12 C. 19 D. 18
Câu 21. Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, thể tích bằng 12. Gọi M là trung điểm của cạnh SA, các
điểm E, F lần lượt là điểm đối xứng của A qua B và D. Mặt phẳng (MEF) cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại các
điểm N, P. Thể tích khối đa diện ABCDMNP bằng
A.8 B. 9 C. 6 D. 10
Câu 22. Khối lăng trụ tam giác
.
ABC A B C
có thể tích bằng 30. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn
thẳng AC, B’C’. Gọi (P) là mặt phẳng qua M và song song với mặt phẳng (A’NC). Mặt phẳng (P) chia khối lăng
trụ đã cho thành hai khối đa diện, thể tích khối đa diện chứa đỉnh A bằng
A.15 B. 20 C. 12 D. 18
Câu 23. Cho hình lập phương
.
ABCD A B C D
có thể tích bằng 8. Gọi M là trung điểm của B’B và P thuộc
cạnh D’D sao cho D’D = 4DP. Mặt phẳng (AMP) cắt C’C tại N, thể tích của khối đa diện AMNPBCD bằng
A.3 B. 2 C. 2,25 D. 4
Câu 24. Cho khối lăng trụ
.
ABC A B C
có thể tích bằng 18. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của A’B’, AC và P là
điểm thuộc cạnh C’C sao cho CP = 2C’P. Tính thể tích khối tứ diện BMNP.
A.4 B. 6 C. 4,5 D. 6,5
Câu 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, thể tích bằng 12. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
SA, SC. Mặt phẳng (BMN) cắt SD tại P. Tính thể tích khối chóp S.BMPN
A.2 B. 3 C. 4 D. 5
_________________________________
81
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TỔNG HỢP TỈ SỐ THỂ TÍCH – P3)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho lăng trụ tam giác đều
.
ABC A B C
có cạnh đáy bằng
a
, chiều cao bằng
2
a
. Mặt phẳng
P
qua
B
và vuông góc
A C
chia lăng trụ thành hai khối. Biết thể tích của hai khối là
1 2
;
V V
với
1 2
V V
. Tỉ số
1
2
V
V
bằng
A.
1
47
. B.
1
7
. C.
1
23
. D.
1
11
.
Câu 2. Cho khối hộp
. ' ' ' ',M
ABCD A B C D là trung điểm của
' '.N
C D
là điểm trên cạnh
AD
sao cho DN =
2AN. Mặt phẳng
'
B MN
chia khối hộp thành hai phần có thể tích lần lượt là
1 2
;
V V
thoả mãn
1 2
.
V V
Tỉ lệ
1
2
V
V
bằng
A.
1
.
3
B.
47
.
135
C.
47
.
88
D.
88
.
135
Câu 3. Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy ABCD là hình thang vuông tại
A
và
B
,
SA ABCD
,
3
AD a
,
SA BC AB a
. Gọi
S
là điểm thỏa mãn
1
2
SS AB
uuur uuur
. Tính thể tích khối đa diện
SS ABCD
.
A.
3
13
10
a
. B.
3
11
12
a
. C.
3
11
10
a
. D.
3
13
12
a
.
Câu 4. Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
a
,
SA
vuông góc với mặt phẳng
ABCD
,
SA a
.
,
M K
tương ứng là trọng tâm tam giác ,
SAB SCD
;
N
là trung
điểm của
BC
. Thể tích khối tứ diện .
S MNK
bằng
3
.
m
a
n
với
,m n
¥
,
, 1
m n
. Giá trị
m n
bằng
A.
28
. B.
12
. C.
19
. D.
32
.
K
N
M
D
C
B
A
S
Câu 5. Cho lăng trụ đứng .
ABCD A B C D
, có đáy là hình thoi cạnh
4
a
,
·
8 , 120
AA a BAD
. Gọi
, ,
M N K
lần lượt là trung điểm của
các cạnh , ,
AB B C BD
. Thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là các
điểm
, , , , ,
A B C M N K
bằng
A.
3
12 3
a
. B.
3
28 3
3
a
. C.
3
16 3
a
. D.
3
40 3
3
a
.
K
N
M
D'
C'
B'
A'
D
C
B
A
Câu 6. Cho lăng trụ
. ' ' '
ABC A B C
có chiều cao bằng
8
và đáy là tam giác đều cạnh bằng
4.
Gọi
, ,
M N P
lần
lượt là tâm của các mặt bên
' ', ' , ' '.
ABB A ACC A BCC B
Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm
, , , , ,
A B C M N P
bằng
A.
28 3
.
3
B.
12 3.
C.
16 3.
D.
40 3
.
3
Câu 7. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thang vuông tại
A
và
B
,
2, 1
AD BA BC
. Cạnh
bên
SA
vuông góc với đáy và
2
SA
. Gọi
H
là hình chiếu vuông góc của
A
trên
SB
. Tính thể tích
V
của
khối đa diện
SAHCD
.
A.
4 2
9
V
. B.
2 2
3
V
. C.
4 2
3
V
. D.
2 2
9
V
.
Câu 8. Cho tứ diện .
S ABC
,
M
và
N
là các điểm thuộc các cạnh
SA
và
SB
sao cho
3 , 2 ,MA SM SN NB
là mặt phẳng qua
MN
và song song với
.
SC
Kí hiệu
1
H
và
2
H
là các khối đa
diện có được khi chia khối tứ diện
.
S ABC
bởi mặt phẳng
,
trong đó,
1
H
chứa điểm
2
,
S H
chứa điểm
82
1
;
A V
và
2
V
lần lượt là thể tích của
1
H
và
2
.
H
Tính tỉ số
2
1 2
.
2
V
V V
A.
47
.
119
B.
35
.
90
C.
4
.
5
D.
35
.
45
Câu 9. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng
60 .
Gọi M là điểm đối xứng với C qua D và N là trung điểm của cạnh
SC
. Mặt phẳng
BMN
chia khối chóp
S.ABCD thành hai khối đa diện
1
H
và
2
H ,
trong đó
1
H
chứa điểm
C
. Thể tích của khối
1
H
là
A.
3
7 6a
72
. B.
3
5 6a
72
. C.
3
5 6a
36
. D.
3
7 6a
36
.
Câu 10. Cho khối lập phương
L
và gọi
B
là khối bát diện đều có các đỉnh là tâm các mặt của
L
. Tỉ số thể tích
của
B
và
L
là
A.
1
2
. B.
1
4
. C.
1
6
. D.
1
3
.
Câu 11. Cho lăng trụ đều
. ' ' '
ABC A B C
có tất cả các cạnh bằnga. Gọi S là điểm đối xứng của A qua
'
BC
. Thể
tích khối đa diện
' '
ABCSB C
là
A.
3
3
3
a
. B.
3
3
a
. C.
3
3
6
a
. D.
3
3
2
a
.
Câu 12. Cho khối chóp .
S ABCD
có chiều cao bằng 9 và đáy là hình bình hành có diện tích bằng 10. Gọi
, ,
M N P
và
Q
lần lượt là trọng tâm của các mặt bên
SAB
,
SBC
,
SCD
và
SDA
. Thể tích của khối đa diện lồi
có đỉnh là các điểm
, , , ,
M N P Q B
và
D
bằng
A.
9
. B.
30
. C.
25
3
. D.
50
9
.
Câu 13. Cho hình chóp tứ giác đều .
S ABCD
có tất cả các cạnh đều bằng
a
, tâm của đáy là
O
. Gọi
,
M N
tương ứng là trung điểm các cạnh
,
SA SC
. Gọi
E
là giao điểm của
SD
và mặt phẳng
( ).
BMN
Tính thể tích
V
của khối chóp .
O BMEN
.
A.
3
2
18
a
V
. B.
3
2
24
a
V
. C.
3
2
12
a
V
. D.
3
2
36
a
V
.
Câu 14. Cho hình chóp tứ giác đều .
S ABCD
có tất cả các cạnh đều bằng
a
. Gọi
, , ,
M N P Q
lần lượt là trọng
tâm các tam giác
, , ,
SAB SBC SCD SDA
và
O
là giao điểm của
AC
với
BD
. Thể tích khối chóp
.
O MNPQ
bằng
A.
3
2 2
81
a
. B.
3
2
81
a
. C.
3
2
81
a
. D.
3
2
54
a
.
Câu 15. Hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành có diện tích bằng
2
12
a
; khoảng cách từ
S
tới
mặt phẳng
ABCD
bằng
4
a
. Gọi
L
là trọng tâm tam giác
ACD
; gọi
T
và
V
lần lượt là trung điểm các cạnh
SB
và SC. Mặt phẳng
LTV
chia hình chóp thành hai khối đa diện, hãy tính thể tích của khối đa diện chứa
đỉnh
S
.
A.
3
20
3
a
. B.
3
8
a
. C.
3
28
3
a
. D.
3
32
3
a
.
Câu 16. Cho tứ diện
ABCD
có thể tích bằng
,
V
hai điểm
,
M P
lần lượt là trung điểm của ,
AB CD
;
N
là
điểm thuộc đoạn
AD
sao cho
3 .
AD AN
Tính thể tích tứ diện
.
BMNP
A.
.
4
V
B.
.
6
V
C.
.
8
V
D.
.
12
V
______________________________________
83
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TỔNG HỢP TỈ SỐ THỂ TÍCH – P5)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho hình chóp tứ giác đều
.
S ABCD
có cạnh đáy bằng
a, cạnh bên hợp với đáy một góc
60
o
. Gọi M là điểm đối xứng
của C qua D, N là trung điểm SC. Mặt phẳng
( )
BMN
chia khối
chóp
.
S ABCD
thành hai phần (như hình vẽ bên). Tỉ số thể tích
giữa hai phần
SABFEN
BFDCNE
V
V
bằng
A.
7
5
. B.
7
6
. C.
7
3
. D.
7
4
.
Câu 2. Cho hình hộp chữ nhật
. ' ' ' '
ABCD A B C D
có
, 3, ' 3
AB a AD a AA a
. Gọi
M
là điểm thuộc
cạnh
'
CC
sao cho
( )
mp MBD
vuông góc với
( ' )
mp A BD
. Thể tích khối tứ diện
'
A BDM
bằng
A.
3
13 3
8
a
. B.
3
10
9
a
. C.
3
100
3
a
. D.
3
13 3
24
a
.
Câu 3. Cho lăng trụ đều
. ' ' '
ABC A B C
có tất cả các cạnh bằnga. Gọi S là điểm đối xứng của A qua
'
BC
. Thể
tích khối đa diện
' '
ABCSB C
là
A.
3
3
3
a
. B.
3
3
a . C.
3
3
6
a
. D.
3
3
2
a
.
Câu 4. Cho hình lăng trụ .
ABC A B C
có đáy là tam giác đều cạnh
a
, đường cao bằng
6
a
. Gọi
M
là trung điểm của cạnh
B C
, biết
hình chiếu vuông góc của
M
trên mặt phẳng
ABC
là trọng tâm
G
của tam giác
ABC
. Gọi
S
là điểm đối xứng của
M
qua tâm
O
của
mặt bên
BCC B
(minh họa như hình bên dưới). Thể tích khối đa diện
SBACA B C
bằng:
S
O
A'
C'
G
A
C
B
M
B'
A.
3
11 3
216
a
. B.
3
5 3
72
a
. C.
3
5 3
216
a
. D.
3
11 3
72
a
.
Câu 5. Cho hình chóp
.
S ABCD
có chiều cao bằng
9
và đáy là hình bình hành có diện tích bằng
27
. Gọi
, , ,
M N P Q
lần lượt là các trọng tâm của các mặt bên
SAB
,
SBC
,
SCD
,
SDA
. Tính thể tích khối đa diện lồi có
các đỉnh
, , , , , , ,
A B C D M N P Q
.
A.
54
. B.
51
. C.
41
. D.
57
.
Câu 6. Cho hình hộp
.
ABCD A B C D
có đáy là hình thoi tâm
O
và cạnh bằng
a
, góc
0
60
BAC . Gọi
,
I J
lần
lượt là tâm của các mặt bên
ABB A
,
CDD C
. Biết
7
2
a
AI
,
2
AA a
và góc giữa hai mặt phẳng
ABB A
,
A B C D
bằng
0
60
. Tính theo
a
thể tích của khối tứ diện
AOIJ
?
A.
3
3 3
64
a
. B.
3
3
48
a
. C.
3
3
32
a
. D.
3
3
192
a
.
Câu 7. Cho khối lăng trụ .
ABC A B C
có thể tích bằng 9. Điểm M thuộc cạnh C’C sao cho MC = 2MC’. Thể tích
khối đa diện AB’CM bằng
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
84
Câu 8. Cho lăng trụ đứng
.
ABCD A B C D
, có đáy là hình thoi cạnh
4
a
,
·
8 , 120
AA a BAD
. Gọi
, ,
M N K
lần lượt là trung điểm của các
cạnh , ,
AB B C BD
. Thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm
, , , , ,
A B C M N K
bằng
A.
3
12 3
a
. B.
3
28 3
3
a
. C.
3
16 3
a
. D.
3
40 3
3
a
.
K
N
M
D'
C'
B'
A'
D
C
B
A
Câu 9. Cho tứ diện
ABCD
có thể tích là
V
.Gọi
, , , ,
M N P Q R
lần lượt là trung điểm các cạnh
,
AB AD
,
, ,
AC DC BD
và
G
là trọng tâm tam giác
ABC
(như hình
vẽ). Tính thể tích khối đa diện lồi
MNPQRG
theo
V
.
A.
3
V
. B.
2
5
V
. C.
6
V
. D.
2
V
.
Câu 10. Cho khối lăng trụ đứng .
ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
C
,
2
AB a
và góc tạo bởi
hai mặt phẳng
ABC
và
ABC
bằng
60
. Gọi
,
M N
lần lượt là trung điểm của
A C
và
BC
. Mặt phẳng
AMN
chia khối lăng trụ thành hai phần. Thể tích của phần nhỏ bằng
A.
3
7 3
24
a
. B.
3
6
6
a
. C.
3
7 6
24
a
. D.
3
3
3
a
.
Câu 11. Cho hình lăng trụ
. ' ' ' '
ABCD A B C D
có
2 ,
AD BC AD
song song với
,
BC M
là trung điểm của cạnh
',
CC N
thuộc cạnh
'
AA
sao cho
' 3 .
A N AN
Mặt phẳng
DMN
chia khối trụ đã cho thành hai phần có thể
tích là
1
V
và
2 1 2
.
V V V
Tính
1
2
.
V
V
A.
1
2
11
.
25
V
V
B.
1
2
11
.
36
V
V
C.
1
2
23
.
49
V
V
D.
1
2
23
.
36
V
V
Câu 12. Cho khối hộp
. ' ' ' '
ABCD A B C D
có thể tích bằng 2019. Gọi
M
là trung điểm của cạnh
AB
. Mặt phẳng
( ' ')
MB D
chia khối hộp
. ' ' ' '
ABCD A B C D
thành hai khối đa diện. Tính thể tích phần khối đa diện chứa đỉnh
A
.
A.
7063
12
. B.
14133
8
. C.
4711
8
. D.
4711
4
.
Câu 13. Cho khối lập phương
. ' ' ' '
ABCD A B C D
có cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của C’C và
A’D’. Mặt phẳng (BMN) chia khối lập phương thành hai phần có thể tích lần lượt là
1 2
,
V V
với
1
2
1
V p
V q
, p và q
nguyên tố cùng nhau. Tính p – q
A. – 22 B. 34 C. 22 D. 15
Câu 14. Cho khối hộp
. ' ' ' '
ABCD A B C D
có thể tích bằng 2020, M là trung điểm của AB. Mặt phẳng (MB’D’) chia
khối hộp thành hai khối đa diện. Tính thể tích phần khối đa diện chứa đỉnh A.
A. 1767,5 B. 252,5 C.
3535
6
D.
8585
6
______________________________________
85
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TỔNG HỢP TỈ SỐ THỂ TÍCH – P7)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho hình chóp đều
.
S ABCD
có cạnh đáy bằng
a
, cạnh bên bằng
a
3
và
O
là tâm của đáy. Gọi
, , ,
M N P Q
lần lượt là các điểm đối xứng với
O
qua trọng tâm của các tam giác , , ,
SAB SBC SCD SDA
và
S
là
điểm đối xứng với
S
qua
O
. Thể tích của khối chóp .
S MNPQ
bằng
A.
a
3
40 10
81
. B.
a
3
10 10
81
. C.
a
3
20 10
81
. D.
a
3
2 10
9
.
Câu 2. Cho hình chóp đều .
S ABCD
có cạnh đáy bằng
a
, cạnh bên bằng
2
a
và
O
là tâm của đáy. Gọi
, , ,
M N P Q
lần lượt là các điểm đối xứng với
O
qua trọng tâm của các tam giác
, , ,
SAB SBC SCD SDA
và
S
là
điểm đối xứng với
S
qua
O
. Thể tích khối chóp
.
S MNPQ
bằng.
A.
3
2 6
9
a
. B.
3
40 6
81
a
. C.
3
10 6
81
a
. D.
3
20 6
81
a
.
Câu 3. Cho tứ diện
ABCD
có thể tích bằng
18
. Gọi
1
A
là trọng tâm của tam giác
BCD
;
P
là mặt phẳng qua
A
sao cho góc giữa
P
và mặt phẳng
BCD
bằng
0
60
. Các đường thẳng qua
; ;
B C D
song song với
1
AA
cắt
P
lần lượt tại
1 1 1
; ;
B C D
. Thể tích khối tứ diện
1 1 1 1
A B C D
bằng?
A.
12 3
B.
18
C.
9 3
D.
12
Câu 4. Cho hình chóp đều
.
S ABCD
có cạnh đáy bằng
a
. Mặt bên tạo với đáy góc
0
60
. Mặt phẳng (P) chứa
AB và tạo với đáy góc
0
30
và cắt SC, SD lần lượt tại M và N. Tính thể tích V của khối chóp S.ABMN theo a.
A.
3
3
6
a
V
. B.
3
5 3
48
a
V
. C.
3
3
8
a
V
. D.
3
3
16
a
V
Câu 5. Cho hình hộp .
ABCD A B C D
có chiều cao 8 và diện tích đáy bằng 11. Gọi
M
là trung điểm của
,
AA N
là điểm trên cạnh
BB
sao cho 3
BN B N
và
P
là điểm trên cạnh
CC
sao cho 6 5
CP C P
. Mặt
phẳng
MNP
cắt cạnh
DD
tại
Q
. Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm
, , , , , ,
A B C D M N P
và
Q
bằng
A.
88
3
. B.
42
. C.
44
. D.
220
3
.
Câu 6. Cho hai hình chóp tam giác đều có cùng chiều cao. Biết đỉnh của hình chóp này trùng với tâm của đáy
hình chóp kia, mỗi cạnh bên của hình chóp này đều cắt một cạnh bên của hình chóp kia. Cạnh bên có độ dài
bằng
a
của hình chóp thứ nhất tạo với đường cao một góc
0
30
, cạnh bên của hình chóp thứ hai tạo với đường
cao một góc
0
45
. Tính thể tích phần chung của hai hình chóp đã cho?
A.
3
3 2 3
64
a
. B.
3
2 3
32
a
. C.
3
9 2 3
64
a
. D.
3
27 2 3
64
a
.
Câu 7. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành có diện tích bằng
2
12
a
; khoảng cách từ
S
tới mặt phẳng
ABCD
bằng
4
a
. Gọi
L
là trọng tâm tam giác
ACD
; gọi
T
và
V
lần lượt là trung điểm các
cạnh
SB
và SC. Mặt phẳng
LTV
chia hình chóp thành hai khối đa diện, hãy tính thể tích của khối đa diện
chứa đỉnh
S
.
A.
3
20
3
a
. B.
3
8
a
. C.
3
28
3
a
. D.
3
32
3
a
.
Câu 8. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với đáy góc
60
o
, mặt phẳng (P) chứa AB
và tạo với đáy góc
30
o
và cắt SC, SD lần lượt tại M, N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN.
A.
3
3
6
a
B.
3
5 3
48
a
C.
3
3
8
a
D.
3
3
16
a
Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với (ABCD), SA = 45, đáy ABCD là hình vuông cạnh AB = 30,
điểm I là một điểm thuộc miền trong hình vuông ABCD sao cho AI = 12, BI = 26. Điểm M, N, P, Q, G lần lượt là
trọng tâm của các tam giác IAB, IBC, ICD, IDA, SCD. Tính thể tích của khối chóp G.PQMN.
A. (1300;1500) B. (1100;1300) C. (900;1100) D. (1500;1700)
Câu 10. Cho hình lăng trụ đứng
.
ABCD A B C D
có đáy là hình thoi có cạnh
4
a
,
8
A A a
,
·
120
BAD
. Gọi
86
, ,
M N K
lần lượt là trung điểm cạnh , ,
AB B C BD
. Thể tích khối da diện lồi có các đỉnh là các điểm
, , , , ,
A B C M N K
là:
A.
3
12 3
a
B.
3
28 3
3
a
C.
3
16 3
a
D.
3
40 3
3
a
Câu 11. Cho hình chóp đều .
S ABCD
có tất cả các cạnh bằng
a
và
O
là tâm của đáy. Gọi
, , ,
M N P Q
lần lượt
là các điểm đối xứng với
O
qua trọng tâm của các tam giác
, , ,
SAB SBC SCD SDA
và
S
là điểm đối xứng với
S
qua
O
. Thể tích khối chóp
S MNPQ
bằng
A.
3
2 2
.
9
a
B.
3
20 2
81
a
. C.
3
40 2
.
81
a
D.
3
10 2
.
81
a
Câu 12. Cho hình chóp đều
.
S ABCD
có cạnh đáy bằng
4
a
, cạnh bên bằng
2 3
a
và
O
là tâm của đáy. Gọi
M
,
N
,
P
,
Q
lần lượt là hình chiếu vuông góc của
O
lên các mặt phẳng
( )
SAB
,
( )
SBC
,
( )
SCD
và
( )
SDA
.
Thể tích của khối chóp .
O MNPQ
bằng
A.
3
4
3
a
. B.
3
64
81
a
. C.
3
128
81
a
. D.
3
2
3
a
.
Câu 13. Cho khối tứ diện
ABCD
có thể tích
V
. Gọi
1 2 3 4
,G , ,
G G G
là trọng tâm của bốn mặt của tứ diện
ABCD
. Thể tích khối tứ diện
1 2 3 4
G
G G G
là:
A.
12
V
. B.
4
V
. C.
27
V
. D.
18
V
.
Câu 14. Cho hình lập phương
.
ABCD A B C D
có thể tích
V
. Gọi
M
là điểm thuộc cạnh
BB
sao cho
2
BM MB
. Mặt phẳng
( )
đi qua
M
và vuông góc với
AC
cắt các cạnh
, ,
DD DC BC
lần lượt tại
, ,
N P Q
.
Gọi
1
V
là thể tích khối đa diện
CPQMNC
. Tính tỷ số
1
V
V
A.
31
162
. B.
35
162
. C.
34
162
. D.
13
162
.
Câu 15. Cho một hình lập phương có cạnh bằng
a
. Tính theo
a
thể tích của khối bát diện đều có các đỉnh là
tâm các mặt của hình lập phương.
A.
3
1
4
a
. B.
3
1
6
a
. C.
3
1
12
a
. D.
3
1
8
a
.
Câu 16. Cho khối chóp .
S ABCD
có chiều cao bằng 9 và đáy là hình bình hành có diện tích bằng 10.
Gọi
, ,
M N P
và
Q
lần lượt là trọng tâm của các mặt bên
, ,
SAB SBC SCD
và
SDA
. Thể tích của khối đa diện
lồi có đỉnh là các điểm
, , , ,
M N P Q B
và
D
là
A.
9.
B.
50
.
9
C.
30.
D.
25
3
.
Câu 17. Cho hình hộp đứng
. ' ' ' '
ABCD A B C D
có
' 2
AA
, đáy
ABCD
là hình thoi với
ABC
là tam giác đều
cạnh
4
. Gọi
M
,
N
,
P
lần lượt là trung điểm của
' '
B C
,
' '
C D
,
'
DD
và
Q
thuộc cạnh
BC
sao cho
3
QC QB
.
Tính thể tích tứ diện
MNPQ
.
A.
3 3
. B.
3 3
2
. C.
3
4
. D.
3
2
.
Câu 18. Cho hình hộp chữ nhật
. ' ' ' '
ABCD A B C D
có
, ,
M N P
lần lượt là trung điểm các cạnh
, ' ', '
BC C D DD
(tham khảo hình vẽ). Biết thể tích khối hộp bằng
144
, thể tích khối tứ diện
AMNP
bằng
A.
15.
B.
24.
C.
20.
D.
18.
87
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TỔNG HỢP TỈ SỐ THỂ TÍCH – P8)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho tứ diện S.ABC có M, N lần lượt thuộc các điểm SA, SB sao cho MA = 3SM, SN = 2NB, mặt phẳng
qua MN và song song với SC. Ký hiệu (H1), (H
2
) là cac khối đa diện có được khi chia khối tứ diện S.ABC
bởi mặt phẳng
, trong đó (H
1
) chứa điểm S, (H
2
) chứa điểm A, V
1
và V
2
lần lượt là thể tích của (H
1
), (H
2
).
Tính tỉ số
2
1 2
2
V
V V
.
A. 0,8 B.
35
90
C.
7
9
D.
47
119
Câu 2. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với (ABCD), góc giữa hai mặt phẳng
(SBD), (ABCD) bằng
60
o
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SC. Thể tích của hình chóp S.ADNM bằng
A.
3
6
16
a
B.
3
6
24
a
C.
3
3 6
16
a
D.
3
6
8
a
Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB,
SBC, SCD, SDA. Gọi O là điểm bất kỳ trên mặt đáy ABCD, biết thể tích khối chóp O.MNPQ bằng 8, tính thể tích
khối chóp S.ABCD.
A. 27 B. 108 C. 18 D. 54
Câu 4. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có chiều cao bằng 8 và diện tích bằng 11. Gọi M là trung điểm của A’A, N
là điểm trên cạnh BB’ sao cho BN = 3B’N và P là điểm trên cạnh CC’ sao cho 6CP = 5C’P. Mặt phẳng (MNP) cắt
cạnh DD’ tại Q. Tính thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B, C, D, M, N, P, Q.
A. 42 B. 44 C.
88
3
D.
220
3
Câu 5. Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có A’A = 2, đáy ABCD là hình thoi với ABC là tam giác đều cạnh
bằng 4. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của B’C’, C’D’, DD’ và Q thuộc cạnh BC sao cho QC = 3QB. Tính thể
tích khối tứ diện MNPQ.
A.
3
4
B.
3 3
2
C.
3
2
D.
3 3
Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a, tâm của đáy là O. Gọi M, N tương ứng là trung
điểm các cạnh SA, SC. Gọi E là giao điểm của SD và mặt phẳng (BMN). Tính thể tích của khối chóp O.BMEN.
A.
3
2
18
a
B.
3
2
24
a
C.
3
2
12
a
D.
3
2
36
a
Câu 7. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 1, AD = 2, SA vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) và SA = 2. Điểm M trên cạnh SA sao cho mặt phẳng (MBC) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có
thể tích bằng nhau. Tính diện tích của tam giác MAC.
A.
3 5 5
2
B.
5
2
C.
5
3
D.
5 5
4
Câu 8. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng
6 2
. Ở bốn đỉnh tứ diện người ta cắt các tứ diện đều bằng nhau
có cạnh bằng x. Biết khối đa diện còn lại sau khi cắt có thể tích bằng một nửa thể tích khối tứ diện ABCD. Tìm x.
A.
3 2
x
B.
2 3
x
C.
2 2
x
D.
2
x
Câu 9. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích V. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm
trên các cạnh SA, SC, SB sao cho SM = 2MA, SN = 3NC, SP = 4BP. Mặt phẳng (MNP) chia khối chóp thành hai
phần, tính thể tích của phần nhỏ hơn.
A.
24
V
B.
6
19
V
C.
34
95
V
D.
2
5
V
Câu 10. Cho hình chóp đều .
S ABCD
có cạnh đáy bằng
2
a
, cạnh bên bằng
3
a
và
O
là tâm của đáy. Gọi
M
,
N
,
P
và
Q
lần lượt là hình chiếu vuông góc của
O
lên các mặt phẳng
SAB
,
SBC
,
SCD
và
SDA
. Thể
tích khối chóp .
O MNPQ
bằng:
A.
3
8
81
a
. B.
3
6
a
. C.
3
12
a
. D.
3
16
81
a
.
Câu 11. Cho lăng trụ
. ' ' '
ABC A B C
có chiều cao bằng
8
và đáy là tam giác đều cạnh bằng
4
. Gọi
,
M N
và
P
88
lần lượt là tâm các mặt bên
' ', ' '
ABB A ACC A
và
' '
BCC B
. Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm
, , , , ,
A B C M N P
bằng
A.
40 3
3
. B.
16 3
. C.
28 3
3
. D.
12 3
.
Câu 12. Cho hình chóp đều .
S ABC
có đáy cạnh bằng
a
, góc giữa đường thẳng
SA
và mặt phẳng
ABC
bằng
60
. Gọi
A
,
B
,
C
tương ứng là các điểm đối xứng của
A
,
B
,
C
qua
S
. Thể tích
V
của khối bát diện có các
mặt
,
ABC
A B C
,
A BC
,
B CA
,
C AB
,
AB C
,
BA C
,
CA B
là
A.
3
2 3
3
a
V
. B.
3
2 3
V a
. C.
3
3
2
a
V
. D.
3
4 3
3
a
V
.
Câu 13. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có thể tích V. Gọi M là điểm thuộc cạnh BB’ sao cho MB = 2MB’.
Mặt phẳng
đi qua M và vuông góc với AC’ cắt các cạnh DD’, DC, BC lần lượt tại N, P, Q. Gọi V1 là thể tích
của khối đa diện CPQMNC’. Tính
1
V
V
.
A.
31
162
B.
35
162
C.
34
162
D.
13
162
Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân có đường chéo BD vuông góc với cạnh bên
BC, BD là tia phân giác trong của góc
·
; 3; ( )
ADC BC SA ABCD
. Gọi N là một điểm trên cạnh SC. Mặt
phẳng
qua A, N song song với BD. Biết rằng nếu mặt phẳng
chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có
thể tích bằng nhau thì
2 7
NS a
NC b
. Tính 2a + 3b.
A. 11 B. 13 C. 17 D. 14
Câu 15. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trọng tâm của các
tam giác SAB, SBC, SCD, SDA. Biết thể tích khối chóp S.MNPQ là 8, tính thể tích khối chóp S.ABCD.
A. 27 B. 162 C. 18 D. 81
Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SB, N là điểm thuộc
cạnh SC sao cho SN = 2NC, P là điểm thuộc cạnh SD sao cho SP = 3DP. Mặt phẳng (MNP) cắt SA tại Q. Biết
khối chóp S.MNPQ có thể tích bằng 1, khối đa diện ABCD.QMNP có thể tích bằng
A. 4 B. 2,8 C. 1,8 D. 3,4
Câu 17. Cho hình lập phương
. ' ' ' '
ABCD A B C D
có cạnh bằng
a
. Gọi
, , , , ,
M N P Q R S
là tâm các mặt của hình
lập phương. Thể tích khối bát diện đều tạo bởi sáu đỉnh
, , , , ,
M N P Q R S
bằng
A.
3
2
24
a
B.
3
4
a
C.
3
12
a
D.
3
6
a
Câu 18. Cho hình chóp tứ giác đều
.
S ABCD
có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc
60
o
. Gọi M là
điểm đối xứng của C qua D, N là trung điểm SC. Mặt phẳng
( )
BMN
chia khối chóp
.
S ABCD
thành hai phần
(như hình vẽ bên). Tỉ số thể tích giữa hai phần
SABFEN
BFDCNE
V
V
bằng
A.
7
5
. B.
7
6
. C.
7
3
. D.
7
4
.
______________________________________
89
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TỔNG HỢP TỈ SỐ THỂ TÍCH – P9)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho hình hộp .
ABCD A B C D
có chiều cao bằng
8
và diện tích đáy bằng
9
. Gọi
, ,
M N P
và
Q
lần lượt
là tâm của các mặt bên
, ,
ABB A BCC B CDD C
và
DAA D
. Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các
điểm
, , , , , ,
A B C D M N P
và
Q
bằng
A.
27
. B.
30
. C.
18
. D.
36
.
Câu 2. Cho hình chóp đều
.
S ABCD
có cạnh đáy bằng
a
, cạnh bên bằng
2
a
và
O
là tâm của đáy. Gọi
M
,
N
,
P
,
Q
lần lượt là các điểm đối xứng với
O
qua trọng tâm của các tam giác
SAB
,
SBC
,
SCD
,
SDA
và
'
S
là
điểm đối xứng với
S
qua
O
. Thể tích của khối chóp '.
S MNPQ
bằng
A.
3
20 14
81
a
. B.
3
40 14
81
a
. C.
3
10 14
81
a
. D.
3
2 14
9
a
.
Câu 3. Cho hình vuông
ABCD
và
ABEF
có cạnh bằng
1
, lần lượt nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với
nhau. Gọi
S
là điểm đối xứng của
B
qua đường thẳng
DE
. Thể tích của khối đa diện
ABCDSEF
bằng
A.
7
6
B.
11
12
C.
2
3
D.
5
6
Câu 4. Cho lăng trụ .
ABC A B C
có chiều cao bằng 4 và đáy là tam giác đều cạnh bằng 4. Gọi
,
M N
và
P
lần
lượt là tâm của các mặt bên ,
ABB A ACC A
và
BCC B
. Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm
, , , , ,
A B C M N P
bằng
A.
8 3
. B.
6 3
. C.
20 3
3
. D.
14 3
3
.
Câu 5. Cho lăng trụ
.
ABC A B C
có chiều cao bằng 6 và đáy là tam giác đều cạnh bằng 4. Gọi
, ,
M N P
lần
lượt là tâm các mặt bên , ,
ABB A ACC A BCC B
. Thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm
, , , , ,
A B C M N P
bằng
A.
9 3
. B.
10 3
. C.
7 3
. D.
12 3
.
Câu 6. Cho lăng trụ
. ' ' '
ABC A B C
có chiều cao bằng
8
và đáy là tam giác đều cạnh bằng
6
. Gọi
,
M N
và
P
lần lượt là tâm của các mặt bên
' ', ' '
ABB A ACC A
và
' '
BCC B
. Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các
điểm
, , , , ,
A B C M N P
bằng
A.
30 3
. B.
36 3
. C.
27 3
. D.
21 3
.
Câu 7. Cho hình chóp
.
S ABCD
đáy là hình vuông cạnh
a
,
SA
vuông góc với mặt phẳng
ABCD
,
SA a
.
,
M K
tương ứng là trọng tâm tam giác ,
SAB SCD
;
N
là trung điểm
BC
. Thể tích khối tứ diện
SMNK
bằng
3
.
m
a
n
với
, , , 1
m n m n
¥
. Giá trị
m n
bằng:
A.
28
. B
12
. C.
19
. D.
32
.
Câu 8. Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân đỉnh
B
,
4
AB
,
12
SA SB SC
. Gọi
, ,
M N E
lần lượt là trung điểm của
, ,
AC BC AB
. Trên cạnh
SB
lấy điểm
F
sao cho
2
3
BF
BS
. Thể tích khối tứ
diện
MNEF
bằng
A.
8 34
3
. B.
4 34
3
. C.
8 34
9
. D.
16 34
9
.
Câu 9. Cho hình chóp tam giác đều .
S ABC
có cạnh bên tạo với đường cao một góc
30
o
,
O
là trọng tâm tam
90
giác
ABC
. Một hình chóp đều thứ hai
. ' ' '
O A B C
có
S
là tâm của tam giác
' ' '
A B C
và cạnh bên của hình
chóp
. ' ' '
O A B C
tạo với đường cao một góc
60
o
sao cho mỗi cạnh bên
, ,
SA SB SC
lần lượt cắt các cạnh
bên
', ', '.
OA OB OC
Gọi
1
V
là phần thể tích phần chung của hai khối chóp
.
S ABC
và
. ' ' ',
O A B C
2
V
là thể tích khối
chóp .
S ABC
. Tỉ số
1
2
V
V
bằng:
A.
9
.
16
B.
1
.
4
C.
27
.
64
D.
9
.
64
Câu 10. Cho hình chóp tứ giác đều .
S ABCD
có tất cả các cạnh đều bằng
a
, tâm của đáy là
O
. Gọi
,
M N
tương ứng là trung điểm các cạnh
,
SA SC
. Gọi
E
là giao điểm của
SD
và mặt phẳng
BMN
. Tính thể tích
V
của khối chóp
.
O BMEN
.
A.
3
2
18
a
V
. B.
3
2
24
a
V
. C.
3
2
12
a
V
. D.
3
2
36
a
V
.
Câu 11. Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy là hình vuông, mặt bên
SAB
là một tam giác đều nằm trong mặt
phẳng vuông góc với mặt đáy
ABCD
và có diện tích bằng
27 3
4
(đvdt). Một mặt phẳng đi qua trọng tâm tam
giác
SAB
và song song với mặt đáy
ABCD
chia khối chóp .
S ABCD
thành hai phần, tính thể tích
V
của
phần chứa điểm
S
.
A.
8
V
. B.
24
V
. C.
36
V
. D.
12
V
.
Câu 12. Cho hình chóp tứ giác đều .
S ABCD
có thể tích bằng 1. Gọi
M
là trung điểm của
SA
và
N
là điểm
đối xứng của của
A
qua
D
. Mặt phẳng
( )
BMN
chia khối chóp thành hai khối đa diện. Gọi
( )
H
là khối đa diện
có chứa đỉnh. Thể tích của khối đa diện
( )
H
bằng
A.
7
12
. B.
4
7
. C.
5
12
. D.
3
7
.
Câu 13. Tứ diện
ABCD
có thể tích
V
. Gọi
, , , ,
M N P Q R
lần lượt là trung điểm của các cạnh
, , , ,
AB AD AC DC BD
và
G
là trọng tâm tam giác
ABC
(như hình vẽ). Tính thể tích khối đa diện lồi
MNPQRG
.
Q
R
P
M
N
B
D
C
A
G
A.
2
V
. B.
6
V
. C.
3
V
. D.
2
5
V
.
Câu 14. Cho lăng trụ .
ABC A B C
có thể tích bằng 6. Gọi
,
M N
và
P
là các điểm nằm trên cạnh
,
A B B C
và
BC
sao cho
M
là trung điểm của
A B
,
3
4
B N B C
và
1
.
4
BP BC
Đường thẳng
NP
cắt đường thẳng
BB
tại
E
và đường thẳng
EM
cắt đường thẳng
AB
tại
.
Q
Thể tích của khối đa diện lồi
'
AQPCA MNC
bằng
A.
23
3
. B.
23
6
. C.
59
12
. D.
19
6
.
Câu 15. Cho hình hộp chữ nhật
ABCDA B C D
. Khoảng cách giữa
AB
và
B C
là
2 5
5
a
, giữa
BC
và
AB
là
2 5
5
a
, giữa
AC
và
BD
là
3
3
a
. Thể tích của khối hộp đó là
A.
3
8
a
. B.
3
4
a
. C.
3
2
a
. D.
3
a
.
91
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TỔNG HỢP TỈ SỐ THỂ TÍCH – P10)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có thể tích V. Gọi M là điểm thuộc đoạn AB’, N là trung điểm của D’C’, V
1
là thể tích
của khối đa diện lồi gồm 5 đỉnh D, M, B’, N, D’. Tìm tỉ số
MB
MA
để V = 9V
1
.
A. 0,25 B. 0,5 C.
2
3
D.
1
3
Câu 2. Cho khối hộp ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
có thể tích bằng 1. Gọi M là trung điểm của cạnh A
1
D
1
, N là điểm trên cạnh DD
1
sao
cho ND = 2ND
1
, mặt phẳng (BMN) chia khối lập phương ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
thành hai khối đa diện, gọi (H) là khối đa diện
chứa đỉnh A. Thể tích khối đa diện (H) bằng
A.
41
108
B.
89
144
C.
23
72
D.
55
144
Câu 3. Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BC, C’D’, D’D. Tính thể tích khối
tứ diện AMNP khi thể tích khối hộp bằng 48.
A, 5 B. 7 C. 9 D. 11
Câu 4. Hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 2a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BB’, F thuộc DD’ sao Cho
hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Điểm S, M, N thỏa mãn
2 ; 3
SA AA A B A M
uuur uuur uuuur uuuur
và
4
A C NC
uuuur uuuur
.
Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của SM với AB và SN với AC. Tính phần thể tích khối lập phương ABCD.A’B’C’D’không
chứa phần chung với khối chóp S.APQ.
A.
26
99
B.
289
360
C.
71
360
D.
73
99
Câu 5. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có thể tích V, các điểm M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm các cạnh A’B’, B’B, BC,
CD, D’D, D’A’. Tính thể tích khối đa diện AMNPQRS.
A.
3
V
B.
3
8
V
C.
4
V
D.
2
5
V
Câu 6. Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh AB = AD = a,
3
2
a
A A
và góc
·
60
BAD
o
. Gọi M, N lần lượt
là trung điểm các cạnh A’D’, A’B’. Tính thể tích khối chóp A.BDMN.
A.
3
16
a
B.
3
3 3
16
a
C.
3
3
16
a
D.
3
3
16
a
Câu 7. Người ta cần cắt một khối lập phương thành hai khối đa diện bởi một mặt phẳng đi qua A và lần lượt cắt B’B, C’C,
D’D tại M, N, P sao cho phần thể tích của khối đa diện chứa điểm B bằng một nửa thể tích của khối đa diện còn lại. Tính tỉ
số
CN
C C
.
A. 0,75 B. 0,8 C.
2
3
D.
5
6
Câu 8. Cho tứ diện đều ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Gọi S là điểm sao cho
AS BG
uuur uuur
. Tính thể tích khối đa diện S.ABCD.
A.
3
2
12
a
B.
3
2
24
a
C.
3
5 2
36
a
D.
3
3 2
24
a
Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích 162. Gọi E là điểm trên cạnh SC sao cho EC
= 2ES, mặt phẳng
chứa đường thẳng AE và song song với đường thẳng BD,
cắt hai cạnh SB, SD lần lượt tại hai
điểm M, N. Tính theo V thể tích khối chóp S.AMEN.
A. 6 B. 13,5 C. 27 D. 18
Câu 10. Cho tứ diện S.ABC có thể tích bằng 96, gọi H, M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, AB, BC, CA. Tính
thể tích khối chóp H.MNP.
A. 8 B. 6 C. 12 D. 36
Câu 11. Cho hình chóp đều .
S ABCD
có cạnh đáy bằng
a
, cạnh bên bằng
3
2
a
và
O
là tâm của đáy. Gọi
, ,
M N P
và
Q
lần lượt là hình chiếu vuông góc của
O
trên các mặt phẳng
SAB
,
SBC
,
SCD
và
SDA
. Thể tích của khối
chóp
.
O MNPQ
bằng
92
A.
3
48
a
. B.
3
2
81
a
. C.
3
81
a
. D.
3
96
a
.
Câu 12. Hình chóp đều
.
S ABCD
có cạnh đáy bằng
3
a
, cạnh bên bằng
3 3
2
a
và
O
là tâm của đáy. Gọi
M
,
N
,
P
và
Q
lần lượt là hình chiếu vuông góc của
O
trên các mặt phẳng
( )
SAB
,
( )
SBC
,
( )
SCD
và
( )
SAD
. Thể tích khối chóp
.
O MNPQ
bằng
A.
3
9
16
a
. B.
3
2
3
a
. C.
3
9
32
a
. D.
3
3
a
.
Câu 13. Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 18. Gọi A
1
là trọng tâm tam giác BCD, (P) là mặt phẳng qua A sao cho góc
giữa (P) và (BCD) bằng
60
o
. Các đường thẳng qua B, C, D song song với A
1
A cắt mặt phẳng (P) lần lượt tại B
1
, C
1
, D
1
.
Tính thể tích khối tứ diện A
1
B
1
C
1
D
1
.
A. 12 B. 18 C. 12
3
D. 9
3
Câu 14. Cho khối chóp S.ABC, M là điểm trên cạnh SB, mặt phẳng (P) đi qua A, M và song song với BC chia khối chóp
thành hai phần có cùng thể tích. Tìm tỉ số
SM
MB
.
A. 1 B. 0,5 C.
2 1
D.
2 1
Câu 15. Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có thể tích bằng 18. Gọi E, F lần lượt là các điểm thuộc các cạnh B’B, D’D sao cho
BE = 2EB’, DF = 2FD’. Tính thể tích khối tứ diện ACEF.
A. 12 B. 4 C. 2 D. 3
Câu 16. Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 27, đáy ABCD là hình thang có AB || CD và AB = 2CD. Gọi M là trung
điểm của cạnh SA, N là điểm thuộc cạnh BC sao cho NB = 2NC. Mặt phẳng (DMN) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối
đa diện, thể tích khối đa diện chứa đỉnh A bằng
A. 11,25 B. 14 C. 13 D. 15,75
Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SD. Mặt
phẳng
chứa MN cắt các cạnh SB, SC lần lượt tại Q, P. Đặt
SQ
x
SB
, V
1
là thể tích của khối chóp S.MNPQ, V là thể
tích của khối chóp S.ABCD. Tìm x để V = 2V
1
.
A. x = 0,5 B.
2
x
C.
41 1
4
x
D.
33 1
4
x
Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có diện tích bằng 12a
2
, khoảng cách từ S tới mặt phẳng
(ABCD) bằng 4a. Gọi L là trọng tâm tam giác ACD, gọi T và V lần lượt là trung điểm các cạnh SB và SC. Mặt phẳng (LTV)
chia hình chóp S.ABCD thành hai khối đa diện, tính thể tích của khối đa diện chứa đỉnh S.
A.
3
28
3
a
B.
3
8
a
C.
3
20
3
a
D.
3
32
3
a
Câu 19. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có thể tích bằng 1, gọi M là trung điểm của SA, N là điểm đối xứng của A qua
D. Mặt phẳng (BMN) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện, (H) là khối đa diện chứa đỉnh S, tính thể tích khối đa
diện (H).
A.
7
12
B.
4
7
C.
5
12
D.
3
7
Câu 20. Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với (ABCD), SA = 45, đáy ABCD là hình vuông cạnh AB = 30. Điểm I là
một điểm thuộc miền trong của hình vuông ABCD sao cho AI = 12, BI = 26. Điểm M, N, P, Q, G lần lượt là trọng tâm của
các tam giác IAB, IBC, ICD, IDA, SCD. Thể tích của khối chóp G.PQMN thuộc khoảng nào
A. (1300;1500) B. (1100;1300) C. (900;1100) D. (1500;1700)
Câu 21. Cho hình chóp S.ABCD có thể tích V, đáy ABCD là hình thang với AB || CD và AB = 3CD. Gọi M là trung điểm
cạnh SA, N là điểm thuộc cạnh BC sao cho NB = 3NC. Mặt phẳng (DMN) cắt cạnh SB tại P. Thể tích của khối chóp
A.MDNP bằng
A.
2
7
V
B.
3
5
V
C.
3
8
V
D.
7
12
V
Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi có và có thể tích bằng 2. Gọi M, N lần lượt là các điểm trên cạnh
SB, SD sao cho
SM SN
k
SB SD
. Tìm giá trị của k để
.
1
8
S AMN
V
.
A. k = 0,125 B. k = 0,25 C.
2
2
k D.
2
4
k
______________________________________
| 1/92
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:


THÂN TẶNG QUÝ THẦY CÔ VÀ CÁC EM HỌC SINH TOÀN QUỐC
HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHUYÊN ĐỀ
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN VẬN DỤNG CAO LỚP 12 THPT
CREATED BY GIANG SƠN; TEL 0333275320 TP.THÁI BÌNH; 20/8/2021 TOÀN TẬP THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN VẬN DỤNG CAO PHIÊN BẢN 2021 1 TOÀN TẬP
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN VẬN DỤNG CAO
__________________________________________________________________________________________________
VẬN DỤNG CAO THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN ĐẶC BIỆT – P1
VẬN DỤNG CAO THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN ĐẶC BIỆT – P2
VẬN DỤNG CAO BÀI TOÁN THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN – P1
VẬN DỤNG CAO BÀI TOÁN THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN – P2
VẬN DỤNG CAO BÀI TOÁN THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN – P3
VẬN DỤNG CAO CỰC TRỊ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN – P1
VẬN DỤNG CAO CỰC TRỊ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN – P2
VẬN DỤNG CAO CỰC TRỊ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN – P3
VẬN DỤNG CAO CỰC TRỊ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN – P4
VẬN DỤNG CAO CỰC TRỊ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN – P5
VẬN DỤNG CAO CỰC TRỊ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN – P6
VẬN DỤNG CAO HỖN HỢP GÓC, THỂ TÍCH, KHOẢNG CÁCH – P1
VẬN DỤNG CAO HỖN HỢP GÓC, THỂ TÍCH, KHOẢNG CÁCH – P2
VẬN DỤNG CAO HỖN HỢP GÓC, THỂ TÍCH, KHOẢNG CÁCH – P3
VẬN DỤNG CAO HỖN HỢP GÓC, THỂ TÍCH, KHOẢNG CÁCH – P4
VẬN DỤNG CAO HỖN HỢP GÓC, THỂ TÍCH, KHOẢNG CÁCH – P5
VẬN DỤNG CAO HỖN HỢP GÓC, THỂ TÍCH, KHOẢNG CÁCH – P6
VẬN DỤNG CAO HỖN HỢP GÓC, THỂ TÍCH, KHOẢNG CÁCH – P7
VẬN DỤNG CAO HỖN HỢP GÓC, THỂ TÍCH, KHOẢNG CÁCH – P8
VẬN DỤNG CAO HỖN HỢP GÓC, THỂ TÍCH, KHOẢNG CÁCH – P9
VẬN DỤNG CAO HỖN HỢP GÓC, THỂ TÍCH, KHOẢNG CÁCH – P10
VẬN DỤNG CAO TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI CHÓP TAM GIÁC – P1
VẬN DỤNG CAO TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI CHÓP TAM GIÁC – P2
VẬN DỤNG CAO TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI CHÓP TAM GIÁC – P3
VẬN DỤNG CAO TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI CHÓP TAM GIÁC – P4
VẬN DỤNG CAO TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI CHÓP TAM GIÁC – P5
VẬN DỤNG CAO TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI CHÓP TỨ GIÁC – P1
VẬN DỤNG CAO TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI CHÓP TỨ GIÁC – P2
VẬN DỤNG CAO TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI CHÓP TỨ GIÁC – P3
VẬN DỤNG CAO TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI CHÓP TỨ GIÁC – P4
VẬN DỤNG CAO TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI HỘP – P1
VẬN DỤNG CAO TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI HỘP – P2
VẬN DỤNG CAO TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI HỘP – P3
VẬN DỤNG CAO TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ – P1
VẬN DỤNG CAO TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ – P2
VẬN DỤNG CAO TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ – P3
VẬN DỤNG CAO TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ – P4
VẬN DỤNG CAO TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ – P5
VẬN DỤNG CAO BÀI TOÁN TỔNG HỢP TỈ SỐ THỂ TÍCH – P1
VẬN DỤNG CAO BÀI TOÁN TỔNG HỢP TỈ SỐ THỂ TÍCH – P2
VẬN DỤNG CAO BÀI TOÁN TỔNG HỢP TỈ SỐ THỂ TÍCH – P3
VẬN DỤNG CAO BÀI TOÁN TỔNG HỢP TỈ SỐ THỂ TÍCH – P4
VẬN DỤNG CAO BÀI TOÁN TỔNG HỢP TỈ SỐ THỂ TÍCH – P5
VẬN DỤNG CAO BÀI TOÁN TỔNG HỢP TỈ SỐ THỂ TÍCH – P6
VẬN DỤNG CAO BÀI TOÁN TỔNG HỢP TỈ SỐ THỂ TÍCH – P7
VẬN DỤNG CAO BÀI TOÁN TỔNG HỢP TỈ SỐ THỂ TÍCH – P8
VẬN DỤNG CAO BÀI TOÁN TỔNG HỢP TỈ SỐ THỂ TÍCH – P9
VẬN DỤNG CAO BÀI TOÁN TỔNG HỢP TỈ SỐ THỂ TÍCH – P10 2
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN ĐẶC BIỆT – P1)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho đa diện S.ABCD như hình vẽ có SA = 6, SB = 3, SC = 4, SD = 2. Ngoài ra · · · · ·
ASB  BSC  CSD  DSA  BSD  60o. Tính thể tích khối đa diện S.ABCD. A. 10 2 B. 6 2 C. 5 2 D. 30 2
Câu 2. Tứ diện ABCD có · o · o ·
BAC  90 ;CAD  60 ; BAD  120o; AB  AC  AD  a . Khoảng cách từ đỉnh C
đến mặt phẳng (ABD) bằng a 3 a 6 a 6 a 2 A. B. C. D. 2 3 2 2
Câu 3. Cho hình chóp S.ABC , có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Các
mặt bên SAB , SAC , SBC lần lượt tạo với đáy các góc lần lượt là o 30 , o 45 , o
60 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC . Biết rằng hình chiếu vuông
góc của S trên mặt phẳng  ABC nằm bên trong tam giác ABC . 3 a 3 3 a 3 A. V  . B. V  . 84  3 24  3 3 a 3 3 a 3 C. V  . D. V  . 44  3 4  3
Câu 4. Cho tứ diện ABCD biết rằng · · · 0
AB  2, CD  2 3, ABC  BAD  BCD  90 và góc giữa hai đường thẳng AD, BC bằng 0
30 . Tìm thể tích khối tứ diện trên. 8 3 4 3 A. . B. 2 3. C. . D. 3 3. 3 3
Câu 5. Cho tứ diện ABCD có AB là đoạn vuông góc chung của BC và AD , AB  2a, AD  BC  a và ·
(AB,CD)   . Tìm thể tích của khối tứ diện trên theo a,  . A. 3 2 a .tan. 1 tan  . B. 3 3 2a .tan . C. 3 2 2a .tan. 1 tan  . D. 3 3 a .tan .
Câu 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , BA  BC  a 3 . Khoảng cách từ A
đến mặt phẳng SBC  bằng a 2 và · ·
SAB  SCB  90o. Tính thể tích khối chóp đã cho. 3 a 3 a 6 A. 3 a . B. 3 a 6 . C. . D. . 2 2
Câu 7. Cho hình chóp S.ABC có SA  a, SB  , b SC  c và · · · 0
ASB  BSC  CSA  60 . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a, , b . c 2 2 2 2 A.  B. ab . c C. ab . c D.  12abc 12 4 4abc
Câu 8. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B , AB  1, AC  3 , · · 0
SAB  SCB  90 , SB  2 và 3 10 cos 
với  là góc hợp bởi giữa đường thẳng SB và mặt phẳng SAC  . 10
Tính thể tích khối chóp S.ABC . 2 1 1 1 A. V  . B.V  . C. V  . D. V  . 4 3 2 6
Câu 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB  2a; · · 0 SAB  SCB  90 và góc
giữa đường thẳng AB và mặt phẳng SBC bằng 0
30 . Tính thể tích V của khối chóp đã cho. 3 3 3a 3 4 3a 3 2 3a 3 8 3a A.V  B.V  C.V  D.V  3 9 3 3
Câu 10. Cho khối chóp S.ABC có cạnh đáy AB  AC  5a, BC  6a và các mặt bên tạo với đáy một góc 0 60 .
Hãy tính thể tích V của khối chóp đó? A. 3 V  2a 3. B. 3 V  6a 3. C. 3 V  12a 3. D. 3 V  18a 3.
Câu 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , BA  BC  a 3 . Khoảng cách từ A
đến mặt phẳng SBC  bằng a 2 và · ·
SAB  SCB  90o. Tính thể tích khối chóp đã cho. 3 a 3 a 6 A. 3 a . B. 3 a 6 . C. . D. . 2 2
Câu 12. Cho hình chóp đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của
SB, SC . Biết  AMN   SBC . Thể tích khối chóp S.ABC bằng 3 a 26 3 a 5 3 a 5 3 a 13 A. . B. . C. . D. . 24 24 8 18
Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a . Tam giác SAB vuông tại S và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi  là góc tạo bởi đường thẳng SD và mặt phẳng SBC , với 1
tan  . Gọi (P) là mặt phẳng chứa CD và vuông góc với (ABCD), trên (P) lấy điểm M bất kỳ. Tìm thể tích 2 khối chóp M.SAB. 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 2 3 6 4
Câu 14. Cho khối chóp S.ABC , đáy ABC là tam giác có · 0
AB  4a, AC  5a, BAC  60 , · · 0 SBA  SCA  90 ,
góc giữa SAB và SAC bằng 0
60 . Thể tích của khối chóp đã cho bằng: 3 20 39a 3 10 13a 3 20 13a 3 10 39a A. . B. . C. . D. . 13 13 13 13
Câu 15. Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A, AB  a , · BAC  120 , · ·
SBA  SCA  90 . Gọi  là 3
góc giữa hai mặt phẳng SAB và SAC . Khi cos  thì thể tích khối chóp đã cho bằng 4 3 3a 3 a A. 3 3a . B. 3 a . C. . D. . 4 4
Câu 16. Cho tứ diện ABCD có   90O;  ;  5;  135o DAB CBD AB a AC a ABC
. Biết góc giữa hai mặt
phẳng  ABD, BCD bằng 30o . Thể tích của tứ diện ABCD bằng 3 a 3 a 3 a 3 a A. . B. . C. . D. . 2 3 2 3 2 6
Câu 17. Cho khối chóp S.ABC có · · · 0
ASB  BSC  CSA  60 , SA  a, SB  2a, SC  4a . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a . 3 2 2a 3 2a 3 4 2a 3 8 2a A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3
Câu 18. Cho hình chóp S.ABC , có AB  5cm , BC  6cm , AC  7cm . Các mặt bên tạo với đáy một góc
60 . Thể tích của khối chóp bằng 105 3 35 3 A.  3 cm  . B.  3 cm . C.  3 24 3 cm  . D.  3 8 3 cm  2 2 4
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN ĐẶC BIỆT – P2)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho tứ diện ABCD có · · ·
ABC  BCD  CDA  90 , BC  CD  a, AD  a 2 . Góc giữa hai mặt phẳng
 ABC và ACD bằng A. 60 . B. 30 . C. 45 . D. 90 .
Câu 2. Cho lăng trụ tam giác ABC.A' B 'C ' có BB '  a , góc giữa đường thẳng BB' và  ABC bằng 60 , tam
giác ABC vuông tại C và góc ·
BAC  60 . Hình chiếu vuông góc của điểm B ' lên  ABC trùng với trọng tâm
của ABC . Thể tích của khối tứ diện A'.ABC theo a bằng 3 3 3 3 A. 13a 7 a 15a 9 a . B. . C. . D. . 108 1 0 6 108 208
Câu 3. Cho khối chóp tam giác đều S.ABC, một mặt cầu tiếp xúc với tia đối của tia SA tại M, tiếp xúc với tia đối
của tia BA tại N và tiếp xúc với cạnh SB tại P. Biết SM = 2a, BN = 3a. Thể tích khối chóp S.ABC là 2 59 3 59 4 59 4 59 a B. 3 a C. 3 a D. 3 a A. 3 3 3 9
Câu 4. Tính thể tích khối 12 mặt đều cạnh a. 3 a (15  7 5) 3 a (15  7 5) 3 a (14  7 5) 3 a (16  7 5) A. B. C. D. 4 2 4 4
Câu 5. Cho miếng bìa hình chữ nhật ABCD có AB = 6; AD = 9. Trên cạnh AD lấy điểm E sao cho AE = 3. Gọi F
là trung điểm của cạnh BC. Cuốn miếng bìa sao cho AB trùng với CD để tạo thành một hình trụ. Tính thể tích của tứ diện ABEF. 81 3 81 3 81 3 3 A. B. C. D. 2 8 2 4 4 2 4
Câu 6. Cho tứ diện ABCD có AB  a 6 , tam giác ACD đều, hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (BCD)
trùng với trực tâm H của tam giác BCD. Mặt phẳng (ADH) tạo với mặt phẳng (ACD) một góc 45o . Tính thể tích
của khối tứ diện ABCD. A. 3 1,5a B. 3 2,25a C. 3 6,75a D. 3 0,75a
Câu 7. Tính thể tích khối 20 mặt đều cạnh a. 3 a (14  7 5) 3 5a (3  7 5) 3 5a (3  5) 3 5a (3  7 5) A. B. C. D. 4 4 12 8
Câu 8. Cho hình chóp S.ABC có tam giác SAB nhọn và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy  ABC ,
tam giác ABC vuông tại C có ·
AC  a, ABC  30 . Mặt bên SAC và SBC cùng tạo với đáy góc bằng nhau
và bằng 60 . Thể tích của khối chóp S.ABC theo a là: 3 a 3 3a 3 2a 3 2a A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 2(1 5) 2(1 3) 1 3 2(1 2)
Câu 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , BA  BC  a 3 . Khoảng cách từ A
đến mặt phẳng SBC  bằng a 2 và · ·
SAB  SCB  90o. Tính thể tích khối chóp đã cho. 3 a 3 a 6 A. 3 a . B. 3 a 6 . C. . D. . 2 2
Câu 10. Cho tứ diện ABCD có · · DAB  CBD  90º ; ·
AB  a; AC  a 5; ABC  135 . Biết góc giữa hai mặt
phẳng  ABD,  BCD bằng 30 . Thể tích của tứ diện ABCD bằng 3 a 3 a 3 a 3 a A. . B. . C. . D. . 2 3 2 3 2 6
Câu 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a . Biết khoảng cách từ A đến mặt a 6 a 15 a 30 phẳng SBC là
, từ B đến mặt phẳng SAC là
, từ C đến mặt phẳng SAB là và hình 4 10 20
chiếu vuông góc của S xuống đáy nằm trong tam giác ABC . Tính thể tích khối chóp S.ABC . 5 3 a 3 a 3 a 3 a A. . B. . C. . D. . 36 48 12 24 · ·
Câu 12. Cho tứ diện ABCD có DAB CBD90º; · AB  ;
a AC  a 5; ABC 135. Biết góc giữa hai mặt
phẳng  ABD, BCD bằng 30 . Thể tích của tứ diện ABCD bằng 3 a 3 a 3 a 3 a A. . B. . C. . D. . 2 3 2 3 2 6
Câu 13. Tính thể tích khối chóp . S ABC có góc · · ·
ASB  BSC  CSA  60 và SA  2, SB  3, SC  4 . A. 4 3 . B. 2 3 . C. 2 2 . D. 3 2 .
Câu 14. Cho hình chóp S.ABC, mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC), · · · ASB  BSC  CSA  60o,
SB = SC = 1. Gọi M, N là các điểm lần lượt thuộc các cạnh SA, SB sao cho SA = xSM (x > 0), SB = 2SN. Giá trị 2
x bằng bao nhiêu để thể tích khối tứ diện SCMN bằng 32 4 A. 2,5 B. 2 C. D. 1,5 3
Câu 15. Cho khối tứ diện ABCD có AB = CD = 5a, AC = BD = 6a, AD = BC = 7a. Tính thể tích khối tứ diện ABCD. A. 3 a 95 B. 3 2a 95 C. 3 8a 95 D. 3 4a 95
Câu 16. Cho khối tứ diện ABCD có AB  5;CD  10; AC  2 2; BD  3 3; AD  22; BC  13 . Tính
thể tích của khối tứ diện đó. A. 20 B. 5 C. 10 D. 15
Câu 17. Cho khối tứ diện S.ABC có · o · o ·
SA  SB  SC  a; ASB  60 ; BSC  90 ;CSA  120o. Gọi M, N lần lượt CN AM 11
là các điểm trên cạnh AB, SC sao cho  ; MN  a
. Tính thể tích V của khối chóp S.AMN. SC AB 12 3 2a 3 5 2a 3 5 2a 3 2a A. B. C. D. 72 432 72 432
Câu 18. Tính thể tích khối chóp S.ABC có SA  SB  SC  a 3; AB  AC  2a; BC  3a . 5 35 35 5 A. 3 a B. 3 a C. 3 a D. 3 a 2 2 6 4
Câu 19. Cho hai hình chóp tam giác đều có cùng chiều cao. Biết đỉnh của hình chóp này trùng với tâm của đáy
hình chóp kia, mỗi cạnh bên của hình chóp này đều cắt một cạnh bên của hình chóp kia. Cạnh bên có độ dài
bằng a của hình chóp thứ nhất tạo với đường cao một góc 30o , cạnh bên của hình chóp thứ hai tạo với đường
cao một góc 45o . Tính thể tích phần chung của hai hình chóp đã cho. 3(2  3) (2  3) 9(2  3) 27(2  3) A. 3 a B. 3 a C. 3 a D. 3 a 64 64 64 64
Câu 20. Cho tứ diện ABCD có AB  BD  AD  2a; AC  a 7; BC  a 3 . Biết khoảng cách giữa hai
đường thẳng AB, CD bằng a. Tính thể tích của khối tứ diện ABCD. 2 6 2 2 A. 3 a B. 3 a C. 3 2 6a D. 3 2 2a 3 3
Câu 21. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có SA = 2, D và E lần lượt là trung điểm của SA, SC. Tính thể tích
khối chóp S.ABC biết BD vuông góc với AE. 4 21 4 21 4 21 4 21 A. B. C. D. 7 3 9 27
Câu 22. Hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều, mặt bên SCD là tam
giác vuông cân tại S. Gọi M là điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM vuông góc với SA. Tính thể tích khối chóp S.BDM theo a 3 3 3 3 A. 3 a B. 3 a C. 3 a D. 3 a 16 32 48 24 6
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN THỰC TẾ KHỐI ĐA DIỆN – PHẦN 1)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Một người thợ xây cần xây một bể chứa 180m3 nước có dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông
và không có nắp. Hỏi chiều dài, chiều rộng và chiều cao của lòng bể bằng bao nhiêu để số viên gạch dùng để
xây bể là ít nhất, biết rằng thành bể và đáy bể đều được xây bằng gạch, độ dày của thành bể và đáy bể như
nhau, các viên gạch có kích thước như nhau và số viên gạch trên một đơn vị diện tích bằng nhau A. 6;6;3 B. 2 3; 2 3;9 C. 3 2;3 2;6 D. 3 3;3 3; 4
Câu 2. Từ một miếng bìa hình vuông có cạnh bằng 5, người ta cắt 4 góc bìa 4 tứ
giác bằng nhau và gập lại phần còn lại của tấm bìa để được một khối chóp tứ giác 5
có cạnh đáy bằng x. Nếu chiều cao khối chóp tứ giác đều này bằng thì x bằng 2 bao nhiêu
A. x = 2 B. x = 1 C. x = 3 D. x = 4
Câu 3. Ông A dự định sử dụng 6,5m2 kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp,
chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bao
nhiêu (kết quả làm tròn). A. 2,26m3 B. 1,61m3 C. 1,33m3 D. 1,5m3
Câu 4. Người thợ cần làm một cái bể cá hai ngăn, không có nắp ở phía trên
với thể tích 1,296m3. Người thợ này cắt các tấm kính ghép lại một bể cá dạng
hình hộp chữ nhật với 3 kích thước a, b, c như hình vẽ. Người thợ phải thiết kế
các thước a, b,c để đỡ tốn kính nhất, giả sử độ dày của kính không đáng kể.
Khi đó a + b nhận giá trị bằng A. 4,2m B. 3,3m C. 3m D. 2,4m
Câu 5. Cho một chiếc bàn tròn hình tròn bán kính bằng 4. Có 6 miếng vải hình
chữ nhật với chiều dài x, chiều rộng là 1 đặt vào bàn như hình vẽ. Tìm x. 3 7  3 5  2 3 A. B. x  2 2 C. x  2 3 D. x  5  3
Câu 6. Từ một tấm bạt hình chữ nhật có kích thước 12m6m
như hình vẽ. Một nhóm học sinh trong quá trình đi dã ngoại đã
gập đôi tấm bạt lại theo đoạn nối trung điểm 2 cạnh là chi rộng
của tấm bạt sao cho 2 mép chiều dài của tấm bạt sát đất và
cách nhau x (m) (như hình vẽ). Tìm x để khoảng không gian trong lều là lớn nhất. A. x  4. B. x  3 3. C. x  3. D. x  3 2.
Câu 7. Một người muốn xây một cái bể chứa nước, dạng một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng
288dm3. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê nhân công để xây bể là 500000
đồng/m2. Nếu người đó biết xác định các kích thước của bể hợp lí thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi
người đó trả chi phí thấp nhất để thuê nhân công xây dựng bể đó là bao nhiêu? A. 1,08 triệu đồng B. 0,91 triệu đồng C. 1,68 triệu đồng D. 0,54 triệu đồng
Câu 8. Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 1m như hình
vẽ dưới đây. Người ta cắt phần tô đậm của tấm nhôm rồi gập
thành một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng x m ,
sao cho bốn đỉnh của hình vuông gập lại thành đỉnh của hình
chóp. Tìm x để khối chóp nhận được có thể tích lớn nhất. 2 2 2 2 1 A. x  . B. x  . C. x  . D. x  4 3 5 2 7
Câu 9. Ông A sử dụng hết 5m2 kính để làm bể cá có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều
rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (làm tròn). A. 0,96m3 B. 1,01m3 C. 1,51m3 D. 1,33m3
Câu 10. Người ta muốn xây một cái bể cá chứa nước lớn dạng một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích
bằng 288m3. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, tiền chi phí xây bể là 500000 đồng/m2.
Xác định các kích thước của bể hợp lý thì chi phí sẽ thấp nhất. Hỏi chi phí thấp nhất để xây bể là bao nhiêu A. 168 triệu đồng B. 54 triệu đồng C. 108 triệu đồng D. 90 triệu đồng
Câu 11. Một xưởng sản xuất những thùng kẽm hình hộp chữ nhật không nắp và có các kích thước x, y, z (dm).
Biết tỉ số hai cạnh đáy là x:y = 1:3 và thể tích của hộp bằng 18dm3. Để tốn ít vật liệu nhất thì x + y + z bằng 26 A. B. 10 C. 9,5 D. 26 3
Câu 12. Một người thợ thủ công cần làm một cái thùng hình hộp đứng không nắp đáy là hình vuông có thể tích
100cm3. Để tiết kiệm vật liệu làm thùng, người đó cần thiết kế sao cho tổng S của diện tích xung quanh và diện
tích mặt đáy là nhỏ nhất. Tổng S bằng A. 3 30 40 B. 3 40 40 C. 3 10 40 D. 3 20 40
Câu 13. Một công ty muốn thiết kế một loại hộp có dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông sao cho thể
tích của khối hộp được tạo thành là 8dm3 và diện tích toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất. Độ dài của mỗi hộp là A. 2dm B. 4dm C. 2 2dm D. 3 2 2dm
Câu 14. Khi xây dựng nhà, chủ nhà cần làm một bể nước bằng gạch có dạng hình hộp có đáy là hình chữ nhật
chiều dài d (m) và chiều rộng r (m) với d = 2r. Chiều cao bể nước là h (m) và thể tích bể là 2m3. Hỏi chiều cao
bể nước như thế nào thì chi phí xây dựng thấp nhất 3 3 2 3 2 2 A. m B. 3 m C. 3 m D. m 2 2 3 2 3 3
Câu 15. Một người dự định làm một thùng đựng đồ hình lăng trụ tứ giác đều có thể tích V. Để làm thùng hàng
tốn ít nguyên liệu nhất thì chiều cao của thùng đựng đồ bằng 2 1 A. 3 V B. 3 V C. 4 V D. V 8
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN LỚP 11 – 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN THỰC TẾ KHỐI ĐA DIỆN – PHẦN 2)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Một viên đá có hình dạng là khối chóp tứ giác đều với tất cả các cạnh bằng a. Người ta cắt khối đá đó
bởi mặt phẳng song song với đáy của khối chóp để chia khối đá thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính diện
tích của thiết diện khối đá bị cắt bởi mặt phẳng nói trên. (Cho biết tổng thể tích của hai khối đá sau bằng thể tích
của khối đá ban đầu). 2 2a 2 a 2 a 2 a A. . B. . C. . D. 3 3 2 4 3 4
Câu 2. Ông Khoa muốn xây một cái bể chứa nước lớn dạng một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 3
288 m . Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê nhân công để xây bể là 500000 đồng/ 2
m . Nếu ông Khoa biết xác định các kích thước của bể hợp lí thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi
ông Khoa trả chi phí thấp nhất để xây dựng bể đó là bao nhiêu (Biết độ dày thành bể và đáy bể không đáng kể)? A. 90 triệu đồng. B. 168 triệu đồng. C. 54 triệu đồng. D. 108 triệu đồng.
Câu 3. Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm.
Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình
vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x (cm),
rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một
cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất. A. x = 6cm B. x = 2cm C. x = 3cm D. x = 4cm
Câu 4. Một tấm kẽm hình vuông ABCD có cạnh bằng
30 (cm). Người ta gập tấm kẽm theo hai cạnh EF và GH
cho đến khi AD và BC trùng nhau như hình vẽ dưới đây để
được một hình lăng trụ khuyết hai đáy. Biết rằng AE  BG .
Tìm giá trị của x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất. A. x = 5cm B. x = 8cm C. x = 9cm D. x = 10cm
Câu 5. Một người muốn xây một cái bể chứa nước, dạng một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 256 3
m , đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công để xây bể là 500000 3 đồng/ 3
m . Nếu người đó biết xác định các kích thước của bể hợp lí thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi
người đó trả chi phí thấp nhất để thuê nhân công xây dựng bể đó là bao nhiêu? A. 48 triệu đồng. B. 47 triệu đồng. C. 96 triệu đồng. D. 46 triệu đồng.
Câu 6. Cắt ba góc của một tam giác đều cạnh bằng a các đoạn  a  bằng x, 0  x  
 phần còn lại là một tam giác đều bên ngoài  2 
là các hình chữ nhật, rồi gấp các hình chữ nhật lại tạo thành khối
lăng trụ tam giác đều như hình vẽ. Tìm độ dài x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất. a a a a A. . B. . C. . D. . 3 4 5 6 A
Câu 7. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a . Dựng hình chữ nhật
MNPQ có đỉnh M , N nằm trên cạnh BC , hai đỉnh P và Q theo thứ tự nằm
trên hai cạnh AC và AB của tam giác (tham khảo hình vẽ). Hình chữ nhật Q P
MNPQ có diện tích lớn nhất là 2 a 2 a 3 2 a 3 2 a 3 A. . B. . C. . D. . B C 4 2 4 8 M N 9
Câu 8. Một người xây nhà xưởng hình hộp chữ nhật có diện tích mặt sàn là 2
1152 m và chiều cao cố định. Người đó xây các bức
tường xung quanh và bên trong để ngăn nhà xưởng thành ba
phòng hình chữ nhật có kích thước như nhau (không kể trần
nhà). Vậy cần phải xây các phòng theo kích thước nào để tiết
kiệm chi phí nhất (bỏ qua độ dày các bức tường). A. 16 m 24 m . B. 8 m  48 m . C. 12 m32 m . D. 24 m  32 m .
Câu 9. Có một khối gỗ dạng hình chóp . O ABC có O , A OB,OC đôi một
vuông góc với nhau, OA  3 c , m OB  6 c , m OC  12 cm . Trên
mặt  ABC người ta đánh dấu một điểm M sau đó người ta cắt gọt khối
gỗ để thu được một hình hộp chữ nhật có OM là một đường chéo đồng
thời hình hộp có 3 mặt nằm trên 3 mặt của tứ diện (xem hình vẽ). Thể tích
lớn nhất của khối gỗ hình hộp chữ nhật bằng A. 3 8 cm . B. 3 24 cm . C. 3 12 cm . D. 3 36 cm .
Câu 10. Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là 3 6 3 cm . Để ít
hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này bằng bao nhiêu?
A. Cạnh đáy bằng 2 6 cm và cạnh bên bằng 1 cm .
B. Cạnh đáy bằng 2 3 cm và cạnh bên bằng 2 cm .
C. Cạnh đáy bằng 2 2 cm và cạnh bên bằng 3 cm . 1
D. Cạnh đáy bằng 4 3 cm và cạnh bên bằng cm . 2
Câu 11. Một mảnh giấy có hình dạng là tam giác nhọn ABC có
AB 10 cm, BC  16 cm, AC  14 cm. Gọi M , N, P lần lượt là
trung điểm của AB, BC, C .
A Người ta gấp mảnh giấy theo các
đường MN, NP, PM sau đó dán trùng các cặp cạnh AM và
BM ; BN và CN; CP và AP (các điểm , A B,C trùng nhau) để
tạo thành một tứ diện. Thể tích của khối tứ diện nêu trên là 20 11 10 11 280 160 11 A. 3 cm . B. 3 cm . C. 3 cm . D. 3 cm . 3 3 3 3
Câu 12. Một khối gỗ hình hộp chữ nhật có chiều dài, chiều rộng và chiều cao
lần lượt là 30cm; 20cm và 30cm . Một con kiến xuất phát từ điểm A
muốn tới điểm B thì quãng đường ngắn nhất nó phải đi dài bao nhiêu cm ? A. 10 34 cm . B. 30 10 14 cm . C. 10 22 cm . D. 20  30 2 cm . 10
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN LỚP 11 – 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN THỰC TẾ KHỐI ĐA DIỆN – PHẦN 3)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Người ta muốn làm một cái bình thủy tinh hình lăng trụ đứng có nắp đậy, đáy là tam giác đều để đựng
16 lit nước. Để tiết kiệm chi phí nhất (xem tấm thủy tinh làm vỏ bình là rất mỏng) thì cạnh đáy của bình là A. 3 2 4 dm B. 4m C. 4dm D. 3 2 2dm
Câu 2. Kim tự tháp Cheops (có dạng hình chóp) là kim tự tháp cao nhất tại Ai Cập. Chiều cao của kim tự tháp
này là 144m, đáy là hình vuông có cạnh dài 230m. Các lối đi và phòng bên trong chiếm 30% thể tích của kim tự
tháp. Biết một lần vận chuyển gồm 10 xe, mỗi xe chở 6 tấn đá, và khối lượng riêng của đá bằng 3 3
2,5.10 kg / m . Số lần vận chuyển đá đủ để xây dựng kim tự tháp là A. 740600 B. 76040 C. 7406 D. 74060
Câu 3. Bên cạnh con đường trước khi vào thành phố người ta xây một ngọn
tháp đèn lộng lẫy. Ngọn tháp hình tứ giác đều S.ABCD cạnh bên SA = 600m, ·
ASB  15o. Do có sự cố đường dây điện tại điểm Q (trung điểm của
SA) bị hỏng, người ta tạo ra một con đường từ A đến Q gồm bốn đoạn
thẳng: AM, MN, NP, PQ. Để tiết kiệm kinh phí, kỹ sư đã nghiên cứu và có AM  MN
được chiều dài con đường từ A đến Q ngắn nhất. Tính tỉ số . NP  PQ 4 A. 2 B. 1,5 C. 2,5 D. 3
Câu 4. Người ta cần xây một bể chứa nước sản xuất dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng
200m3. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Chi phí để xây bể là 300 nghìn đồng/m2 (chi phí
được tính theo diện tích xây dựng, bao gồm diện tích đáy và diện tích xung quanh, không tính chiều dày của
đáy và diện tích xung quanh, không tính chiều dày của đáy và thành bể). Hãy xác định chi phí thấp nhất để xây
bể (làm tròn đến đơn vị triệu đồng). A. 36 triệu đồng B. 46 triệu đồng C. 75 triệu đồng D. 51 triệu đồng
Câu 5. Người ta muốn xây một bể chứa nước dạng khối hộp chữ nhật trong
phòng tắm. Biết chiều dài, chiều rộng, chiều cao của khối hộp đó lần lượt là
3m; 1,2m; 1,8m (người ta chỉ xây hai mặt thành bể như hình vẽ bên). Biết mỗi
viên gạch có chiều dài 20cm, chiều rộng 10cm, chiều cao 5cm. Hỏi người ta
sử dụng ít nhất bao nhiêu viên gạch để xây bể đó và thể tích thực của bể
chứa bao nhiêu lít nước (giả sử lượng xi măng và cát không đáng kể). A. 738 viên, 5742 lit
B. 730 viên, 5742 lit C. 738 viên, 5740 lit D. 730 viên, 5740 lit 500
Câu 6. Người ta cần xây một hồ nước với dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 3 m . Đáy hồ 3
là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công để xây hồ là 500000 đồng/m2. Hãy xác
định kích thước của hồ nước sao cho chi phí thuê nhân công thấp nhất. Chi phí đó bằng A. 74 triệu đồng B. 75 triệu đồng C. 76 triệu đồng D. 77 triệu đồng
Câu 7. Một hộp đựng chocolate bằng kim loại có hình dạng lúc mở nắp như
hình vẽ dưới đây. Một phần tư thể tích phía trên của hộp được dải một lớp bơ
sữa ngọt, phần còn lại phía dưới đầy choscolate nguyên chất. Với kích thước
như hình vẽ, gọi x  x là giá trị làm cho hộp kim loại có thể tích lớn nhất, khi 0
đó thể tích chocolate nguyên chất có giá trị V . Tìm V . 0 0 64 A. 48 đvtt B. 16 đvtt C. 64 đvtt D. đvtt 3
Câu 8. Ông An muốn xây một cái bể chứa nước lớn dạng một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích 288m3.
Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê nhân công để xây dựng để là 500000
đồng/m2. Nếu ông An biết xác định các kích thước của bể hợp lý thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi
ông An trả chi phí thấp nhất để xây dựng bể đó là bao nhiêu A. 90 triệu đồng B. 108 triệu đồng C. 54 triệu đồng D. 168 triệu đồng 11
Câu 9. Một khối gỗ hình lập phương có độ dài bằng x (cm). Ở chính giữa một mặt của
hình lập phương người ta đục một lỗ hình vuông thông sang mặt đối diện, tâm của lỗ
hình vuông là tâm của mặt hình lập phương, các cạnh lỗ hình vuông song song với
các cạnh của hình lập phương và có độ dài y (cm) như hình vẽ bên. Tính thể tích V
của khối gỗ sau khi đục biết rằng x = 80cm, y = 20cm. A. 490000cm3 B. 432000cm3 C. 400000cm3 D. 390000cm3
Câu 10. Người ta muốn mạ vàng cho bề mặt phía ngoài của một cái hộp dạng hình hộp đứng không nắp (nắp
trên), có đáy là hình vuông. Tìm chiều cao của hộp để lượng vàng phải dùng để mạ là ít nhất, biết lớp mạ ở mọi
nơi như nhau, giao giữa các mặt là không đáng kể và thể tích của hộp là 4dm3. A. 1dm B. 0,5dm C. 2dm D. 1,5dm
Câu 11. Cho một cây nến hình lăng trụ lục giác đều có chiều cao và độ dài cạnh đáy lần lượt là 15cm và 5cm.
Người ta xếp cây nến vào trong một hộp có dạng hình hộp chữ nhật sao cho cây nến nằm khít trong hộp. Thể
tích của chiếc hộp đó bằng A. 1500ml B. 1800ml C. 600 6 ml D. 750 3 ml
Câu 12. Cho một tấm tôn hình chữ nhật ABCD có AD = 60cm, AB = 40cm. Ta gập tấm nhôm theo hai cạnh MN
và PQ vào phía trong cho đến khi AB và DC trùng nhau như hình vẽ bên để được một hình trụ khuyết hai đáy.
Khi đó có thể tạo được khối lăng trụ với thể tích lớn nhất bằng A. 3 4000 3cm B. 3 2000 3cm C. 3 400 3cm D. 3 4000 2cm
Câu 13. Một người đã cắt tấm bìa carton và đặt kích thước như hình vẽ. Sau đó bạn ấy gấp theo đường nét đứt
thành cái hộp chữ nhật. Hình hộp có đáy là hình vuông cạnh a (cm), chiều cao h (cm) và diện tích toàn phần
bằng 6m2. Tổng a + h bằng bao nhiêu để thể tích hộp lớn nhất. A. a + h = 2cm B. a + h = 3cm C. a + h = 4cm D. a + h = 6cm 12
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN CỰC TRỊ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN – P1)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho tam giác ABC đều cạnh a , gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc với mặt phẳng  ABC  .
Trên d lấy điểm S và đặt AS  x ,  x  0 . Gọi H và K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC .
Biết HK cắt d tại điểm S . Khi SS ngắn nhất thì khối chóp S.ABC có thể tích bằng 3 a 6 3 a 6 3 a 3 3 a 2 A. . B. . C. . D. . 24 6 8 27
Câu 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, AB  2 . Cạnh bên SA 1và vuông góc với
mặt phẳng đáy ABC. Tính thể tích lớn nhất V của khối chóp đã cho. max A. 1 1 1 1 V  . B. V  . C. V  . D. V  . max 3 max 4 max 12 max 6
Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng
đáy ABC. Biết SC 1, tính thể tích lớn nhất V của khối chóp đã cho. max 3 2 A. 2 3 3 V  . B. V  . C. V  . D. V  . max 12 max 12 max 27 max 27
Câu 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AB  1. Các cạnh bên SA  SB  SC  2.
Tính thể tích lớn nhất V của khối chóp đã cho. max A. 5 5 2 4 V  . B. V  . C. V  . D. V  . max 8 max 4 max 3 max 3
Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA  y y  0 và vuông góc với
mặt đáy ABCD. Trên cạnh AD lấy điểm M và đặt AM  x 0  x  a. Tính thể tích lớn nhất V của khối max chóp S.ABCM , biết 2 2 2 x  y  a . 3 3 3 a 3 3 A. a 3 a 3 3a 3 V  . B. V  . C. V  . D. V  . max 3 max 8 max 24 max 8
Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  4, SC  6 và mặt bên SAD là tam giác
cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích lớn nhất V của khối chóp đã cho. max A. 40 80 V  . B. V  40. C. V  80. D. V  . max 3 max max max 3
Câu 7. Cho hình chóp S.ABC có SA  x 0  x  3 , tất cả các cạnh còn lại đều bằng 1. Tính thể tích lớn nhất V của khối chóp đã cho. max A. 1 1 1 1 V  . B. V  . C. V  . D. V  . max 4 max 8 max 12 max 16
Câu 8. Xét khối tứ diện ABCD có cạn h AB  x v à c á c c ạ n h còn lại đều bằng 2 3 . Tìm x để thể tích khối tứ
diện ABCD đạt giá trị lớn nhất. A. x  3 2. B. x  6. C. x  2 3. D. x  14. Câu 9. Trên ba tia Ox, O ,
y Oz vuông góc với nhau từng đôi, lần lượt lấy các điểm , A B, C sao cho OA  ,
a OB  b, OC  c. Giả sử A cố định còn B, C thay đổi nhưng luôn luôn thỏa OA  OB OC. Tính thể tích lớn nhất V
của khối tứ diện OABC. max 3 3 3 3 A. a a a a V  . B. V  . C. V  . D. V  . max 6 max 8 max 24 max 32
Câu 10. Cho tứ diện SABC có SA, AB, A C đôi một vuông góc với nhau, độ dài c ác cạnh BC  a, SB  ,b SC  c .
Tính thể tích lớn nhất V khối tứ diện đã cho. max abc 2 abc 2 abc 2 A. abc 2 V  . B. V  . C. V  . D. V  . max 4 max 8 max 12 max 24
Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy A BCD hình vuông cạnh a, cạnh bê n S A a và vuông góc với mặt đáy ABCD. Trên SM SN
SB, SD lần lượt lấy hai điểm M , N sao cho  m  0,
 n  0. Tính thể tích lớn nhất V SB SD max
của khối chóp S.AMN biết 2 2 2m 3n 1. 3 3 3 a 3 3 A. a a 6 a V  . B. V  . C. V  . D. V  . max 6 max 72 max 24 max 48
Câu 12. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B 'C ' D ' có đáy ABCD là một hình vuông. Biết tổng diện tích tất cả các 13
mặt của khối hộp bằng 32. Tính thể tích lớn nhất V của khối hộp đã cho. max A. 56 3 80 3 70 3 64 3 V  . B. V  . C. V  . D. V  . max 9 max 9 max 9 max 9
Câu 13. Cho hình lăng trụ đứng có thể tích V và có đáy là tam giác đều. Khi diện tích toàn phần của hình lăng
trụ nhỏ nhất thì độ dài cạnh đáy bằng bao nhiêu? A. 3 4V . B. 3 V . C. 3 2V . D. 3 6V .
Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có SA  x 0  x  3, tất cả các cạnh còn lại bằng nhau và bằng 1. Với giá trị
nào của x thì thể tích khối chóp S.ABCD lớn nhất? 2 6 3 A. 3 x  . B. x  . C. x  . D. x  . 3 2 2 2
Câu 15. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ
A đến mặt phẳng SBC bằng 3 . Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC, tính cos khi thể tích khối chóp S.ABC nhỏ nhất. 2 A. 1 cos   . B. 3 cos  . C. cos  . D. 2 cos   . 3 3 2 3
Câu 16. Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại .
B Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng a 2,  SAB  0
 SCB  90 . Xác định độ dài cạnh AB để khối chóp S.ABC có thể tích nhỏ nhất. a 10 A. AB  . B. AB  a 3. C. AB  2a. D. AB  3a 5. 2
Câu 17. Cho tam giác OAB đều cạnh a . Trên đường thẳng d qua O và vuông góc với mặt phẳng OAB lấy
điểm M sao cho OM  x . Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên MB và OB . Gọi N là giao
điểm của EF và d . Tìm x để thể tích tứ diện ABMN có giá trị nhỏ nhất. a 2 a 6 a 3 A. x  a 2. B. x  . C. x  . D. x  . 2 12 2
Câu 18. Cho tam giác ABC vuông cân tại B , AC  2 . Trên đường thẳng qua A vuông góc với mặt phẳng
ABC lấy các điểm M, N khác phía so với mặt phẳng ABC sao cho AM.AN 1. Tính thể tích nhỏ nhất V min
của khối tứ diện MNBC . A. 1 1 1 2 V  . B. V  . C. V  . D. V  . min 3 min 6 min 12 min 3
Câu 19. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, SA  AB  2. Cạnh bên SA vuông góc với
mặt phẳng đáy ABC. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC . Tính thể tích lớn nhất V của khối chóp S.AHK . max A. 2 3 3 2 V  . B. V  . C. V  . D. V  . max 6 max 6 max 3 max 3
Câu 20. Cho hình hộp chữ nhật ABC . D A B  C  D
  có AB  x, AD  3, góc giữa đường thẳng A C  và mặt phẳng ABB A bằng 0
30 . Tìm x để thể tích khối hộp chữ nhật có thể tích lớn nhất. 3 6 3 3 A. 3 15 3 5 x  . B. x  . C. x  . D. x  . 5 2 2 5
______________________________________ 14
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN CỰC TRỊ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN – P2)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành, một cạnh đáy bằng 4a và các cạnh bên đều bằng a 6 . Tìm
thể tích lớn nhất của khối chóp đã cho. 3 8a 2 6 A. . B. 3 a . C. 3 8a . D. 3 2 6a . 3 3
Câu 2. Cho tứ diện ABCD có AB  x thay đổi, tất cả các cạnh còn lại có độ dài .
a Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng AB và CD trong trường hợp thể tích của khối tứ diện ABCD lớn nhất. a 6 a 6 a 3 a 3 A.  B.  C.  D.  3 4 4 3
Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có SA  x , BC  y (x, y là các số dương thay đổi); AB  AC  SB  SC  1.
Thể tích khối chóp SABC lớn nhất khi tổng x  y bằng: 2 4 A. 3 . B. . C. . D. 4 3 . 3 3
Câu 4. Cho hình hộp chữ nhật ABC . D A B  C  D
  có AB  x , AD  1. Biết rằng góc giữa đường thẳng A C  và mặt phẳng  ABB A   bằng 0
30 . Tìm giá trị lớn nhất V
của thể tích khối hộp ABC . D A B  C  D   . max 3 3 3 1 3 A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . max 4 max 4 max 2 max 2
Câu 5. Xét hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A , SA vuông góc với mặt phẳng đáy, khoảng
cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng 3. Gọi  là góc giữa SBC và  ABC , giá trị cos khi thể tích khối chóp S.ABC nhỏ nhất là: 2 2 3 6 A. . B. . C. . D. . 2 3 3 3
Câu 6. Cho khối lăng trụ tam giác đều AB . C A B  C   có S
 3 , mặt phẳng  ABC tạo với mặt phẳng đáy ABC
góc  . Tính cos khi thể tích khối lăng trụ AB . C A B  C   lớn nhất. 1 1 2 2 A. cos  . B. cos  . C. cos  . D. cos  . 3 3 3 3
Câu 7. Hình chóp tứ giác đều S. ABCD có chu vi tam giác SAC bằng 8. Trong trường hợp thể tích của hình
chóp S. ABCD lớn nhất, hãy tính côsin của góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy của hình chóp S. ABCD . 2 1 3 1 A. . B. . C. . D. . 3 3 4 4
Câu 8. Khối tứ diện ABCD có AB  x , các cạnh còn lại bằng 2 3 . Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD lớn nhất.
A. x  6 . B. x  2 2 . C. x  14 . D. x  3 2 .
Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA  x còn tất cả các cạnh khác có độ dài bằng 2. Tính thể tích V lớn
nhất của khối chóp S.ABCD . A. V  1 B. V = 0,5 C. V  3 . D. V  2 .
Câu 10. Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, có thể tích bằng 24 3
cm . Gọi E là trung điểm SC . Một
mặt phẳng chứa AE cắt các cạnh SB và SD lần lượt tại M và N . Tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp S.AMEN . A. 9 3 cm . B. 8 3 cm . C. 6 3 cm . D. 7 3 cm .
Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a . Tam giác SAB vuông tại S và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi  là góc tạo bởi đường thẳng SD và mặt phẳng SBC , với   45 .
Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABCD . 3 8a 3 4a 3 2a A. 3 4a . B. . C. . D. . 3 3 3
Câu 12. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có khoảng cách từ tâm O của đáy đến SCD bằng 2a , a là 15
hằng số dương. Đặt AB  x . Giá trị của x để thể tích của khối chóp S.ABCD đạt giá trị nhỏ nhất là A. a 3 . B. 2a 6 . C. a 2 . D. a 6 .
Câu 13. Khối chóp có đáy là hình bình hành, một cạnh đáy bằng 4a và các cạnh bên đều bằng a 6 . Thể tích
của khối chóp đó có giá trị lớn nhất là? 3 8a 2 6 A. . B. 3 a . C. 3 8a . D. 3 2 6a . 3 3
Câu 14. Cho hình hộp chữ nhật ABC . D A B  C  D
  có AB  x , AD 1. Biết rằng góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng  ABB A   bằng 0
30 . Tìm giá trị lớn nhất V
của thể tích khối hộp ABC . D A B  C  D   . max 3 3 3 1 3 A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . max 4 max 4 max 2 max 2
Câu 15. Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có chu vi tam giác SAC bằng 8. Trong trường hợp thể tích của
hình chóp S. ABCD lớn nhất, hãy tính côsin của góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy của hình chóp S. ABCD . 2 1 3 1 A. . B. . C. . D. . 3 3 4 4
Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có SC  x 0  x  a 3, các cạnh còn lại đều bằng a. Biết rằng thể tích khối a m
chóp S.ABCD lớn nhất khi và chỉ khi x   * ,
m n  ¥  . Mệnh đề nào sau đây đúng? n A. m  2n  10 . B. 2 m  n  30 . C. 2 2n  3m  15. D. 2 4m  n  2  0 .
Câu 17. Khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a , SA  SB  SC  a . Gọi O là giao điểm
của AC và BD , H là hình chiếu của S lên mp  ABCD , H  B .
O Thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABCD là 3 a 3 a 3 3a 3 a A. . B. . C. . D. . 8 2 8 4
______________________________________ 16
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN CỰC TRỊ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN – P3)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AD  4a . Các cạnh bên của hình chóp bằng
nhau và bằng a 6 . Tính thể tích lớn nhất V của khối chóp đã cho. max 3 8 A. a 4 6 V  . B. 3 V  a . C. 3 V  8a . D. 3 V  4 6 a . max 3 max 3 max max
Câu 2. Cho hình chóp S.ABC có SA  x, BC  y, AB  AC  SB  SC  1. Thể tích khối chóp S.ABC đạt giá trị
lớn nhất khi tổng (x  y) bằng 2 4 A. . B. 3 . C. . D. 4 3 . 3 3
Câu 3. Cho tam giác OAB đều cạnh a . Trên đường thẳng d qua O và vuông góc với mặt phẳng OAB lấy
điểm M sao cho OM  x . Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên MB và OB . Gọi N là giao
điểm của EF và d . Thể tích tứ diện ABMN có giá trị nhỏ nhất là: 3 a 2 3 a 3 3 a 6 3 a 2 A. . B. . C. . D. . 12 12 12 6
Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi I là điểm thuộc đoạn SO sao 1
cho SI  SO . Mặt phẳng   thay đổi đi qua B và I .   cắt các cạnh S ,
A SC, SD lần lượt tại M , N , P . Gọi 3 V m
m, n lần lượt là GTLN, GTNN của S.BMPN . Tính . V n S. ABCD 7 9 8 A. 2 . B. . C. . D. . 5 5 5
Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  a 2 và vuông góc với mặt đáy
ABCD. Gọi M là điểm di động trên cạnh CD và H là hình chiếu vuông góc của S lên đường thẳng BM. Khi
điểm M di động trên cạnh CD, thể tích khối chóp S.ABH có giá trị lớn nhất bằng 3 3 3 a 2 3 A. a 2 a 2 a 2 . B. . C. . D. . 6 8 12 15
Câu 6. Khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a . SA  SB  SC  a , Cạnh SD thay đổi. Thể tích
lớn nhất của khối chóp S.ABCD là: 3 a 3 a 3 3a 3 a A. . B. . C. . D. . 8 4 8 2 Câu 7. Cho khối chóp S.ABC o
có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , · ·
SBA  SCA  90 . Khoảng cách từ C
đến (SAB) bằng 2a. Khi đó thể tích khối chóp S.ABC nhỏ nhất bằng 3 a 3 3 a A. 2 3 a 3 . B. 3 a 3 . C. . D. . 2 6 Câu 8. Cho khối chóp S.ABC o
có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , · ·
SBA  SCA  90 . Khoảng cách từ C
đến (SAB) bằng 2a. Khi đó thể tích khối chóp S.ABC nhỏ nhất bằng 3 a 3 3 a A. 2 3 a 3 . B. 3 a 3 . C. . D. . 2 6
Câu 9. Cho x , y là các số thực dương. Xét khối chóp S.ABC có SA  x , BC  y , các cạnh còn lại đều bẳng
1. Khi x , y thay đổi, thể tích khối chóp S.ABC có giá trị lớn nhất bằng 2 1 3 2 3 A. B. C. D. 12 8 8 27 17
Câu 10. Cho hình chóp S.ABC , SA  (ABC) , tam giác ABC vuông tại A , BC  a không đổi. Gọi hình chiếu vuông
góc của A trên SB , SC lần lượt là H , K , biết số đo góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và  AHK  bằng 30 .
Thể tích lớn nhất của khối chóp . S ABC bằng 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 12 36 6 4
Câu 11. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SA , N là điểm trên
đoạn SB sao cho SN  2NB . Mặt phẳng  R chứa MN cắt đoạn SD tại Q và cắt đoạn SC tại P . Tỉ số VS.MNPQ lớn nhất bằng VS.ABCD 2 1 1 3 A. . B. . C. . D. . 5 3 4 8
Câu 12. Cho hình chóp S.ABC có SA  x, BC  y, AB  AC  SB  SC  1. Thể tích khối chóp S.ABC đạt giá
trị lớn nhất khi tổng (x  y) bằng 2 4 A. . B. 3 . C. . D. 4 3 . 3 3
Câu 13. Cho hình chóp S.ABC có SA  a , SB  a 2 , SC  a 3 . Tính thể tích lớn nhất V của khối chóp đã cho. max 3 a 6 3 3 A. 3 a 6 a 6 V  a 6. B. V  . C. V  . D. V  . max max 2 max 3 max 6
Câu 14. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B 'C ' D ' có độ dài đường chéo AC '  18. Gọi S là diện tích toàn phần
của hình hộp đã cho. Tìm giá trị lớn nhất S của S. max A. S  36 3. B. S 18 3. C. S  18. D. S  36. max max max max
Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  4 , cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy ABCD và SC  6 . Tính thể tích lớn nhất V của khối chóp đã cho. max A. 40 80 20 V  . B. V  . C. V  . D. V  24. max 3 max 3 max 3 max
Câu 16. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều và có SA  SB  SC  1. Tính thể tích lớn nhất V max của khối chóp đã cho. 2 3 A. 1 1 V  . B. V  . C. V  . D. V  . max 6 max 12 max 12 max 12
Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AD  4 . Các cạnh bên bằng nhau và bằng 6 .
Tìm thể tích lớn nhất V của khối chóp đã cho. max A. 130 128 125 250 V  . B. V  . C. V  . D. V  . max 3 max 3 max 3 max 3
Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , cạnh bằng 1; SO vuông góc với mặt phẳng
đáy ABCD và SC  1 . Tính thể tích lớn nhất V của khối chóp đã cho. max A. 2 3 2 3 2 3 4 3 V  . B. V  . C. V  . D. V  . max 9 max 3 max 27 max 27 18
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN CỰC TRỊ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN – P4)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có thể tích bằng 2160cm3. M là điểm tùy tý nằm bên trong tam giác ABC. Các
đường thẳng qua M song song với SA, SB, SC cắt các mặt phẳng (SBC), (SAC), (SAB) tương ứng tại A’, B’, C’.
Thể tích lớn nhất của khối tứ diện MA’B’C’ bằng A. 160cm3 B. 720cm3 C. 120cm3 D. 80cm3
Câu 2. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Khoảng cách từ đường thẳng A’A
đến mặt phẳng (BCC’B’) bằng khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (ABC’) và cùng bằng 1. Góc giữa hai mặt
phẳng (ABC’) và (ABC) bằng  . Tính tan khi thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ nhỏ nhất. 1 1 A. tan  2 B. tan  C. tan  3 D. tan  3 2
Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng 2, ·
BAD  60o , SA = SC và tam giác SBD vuông
cân tại S. Gọi E là trung điểm của cạnh SC. Mặt phẳng (P) qua AE và cắt hai cạnh SB, SD lần lượt tại M, N.
Tính thể tích lớn nhất V của khối đa diện ABCDNEM. 0 2 3 2 3 8 3 4 3 A. V  B. V  C. V  D. V  0 9 0 7 0 21 0 9
Câu 4. Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên bằng a 2 . Xét điểm M thay
đổi trên mặt phẳng (SCD) sao cho tổng 2 2 2 2 2
MA  MB  MC  MD  MS đạt giá trị nhỏ nhất. Gọi V là thể tích 1 V
của khối chóp S.ABCD và V là thể tích khối chóp M.ACD. Tính tỉ số 2 . 2 V1 11 11 22 11 A. B. C. D. 35 140 35 70
Câu 5. Cho tứ diện ABCD. Hai điểm M, N lần lượt di động trên hai đoạn thẳng BC và BD sao cho BC BD   V
6 . Gọi V ,V lần lượt là thể tích khối tứ diện ABMN và ABCD. Giá trị nhỏ nhất của 1 là BM BN 1 2 V2 3 1 5 A. B. 0,5 C. D. 8 9 8
Câu 6. Cho tứ diện ABCD. Hai điểm M, N lần lượt di động trên hai đoạn thẳng BC và BD sao cho BC BD V 2. 
 6. Gọi V ,V lần lượt là thể tích khối tứ diện ABMN và ABCD. Giá trị nhỏ nhất của 1 là BM BN 1 2 V2 5 2 1 1 A. B. C. D. 36 9 9 6
Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, AD song song với BC, AD = 2BC. Gọi E, F là hai 3AB AD
điểm lần lượt nằm trên cạnh AB và AD sao cho 
 5 . Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất AE AF V
của tỉ số thể tích hai khối chóp S.BCDFE . VS.ABCD 4 7 17 A. 1,25 B. C. D. 3 6 12
Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là một điểm di động trên cạnh SC và
CM  k với k > 0. Mặt phẳng chứa AM và song song với BD,  cắt SB, SD lần lượt tại N, P. Gọi V là SM
thể tích của khối chóp S.ABCD. Khi đó thể tích khối chóp C.APMN lớn nhất bằng A. (10  4 2)V B. (6  4 2)V C. (12  4 2)V D. (8  4 2)V
Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Hai điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh AB và AB AD
AD (M, N không trùng với A) sao cho  3.
 6. Ký hiệu V1, V2 lần lượt là thể tích của các khối chóp AM AN 19 V
S.ABCD và S.MBCDN. Tìm giá trị lớn nhất của 1 . V 5 2 14 A. 0,75 B. C. D. 6 3 17 MC
Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Điểm M di động trên cạnh SC, đặt  k . MS
Mặt phẳng qua A, M song song với BD cắt SB, SD theo thứ tự tại N, P. Thể tích khối chóp C.APMN lớn nhất khi A. k = 1 B. k = 2 C. k = 2 D. k  3
Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích là V. Gọi P là trung điểm của SC,
mặt phẳng   chứa AP và cắt cạnh SD, SB lần lượt tại M và N. Gọi V’ là thể tích của khối chóp S.AMPN. Tìm V  giá trị nhỏ nhất của . V 3 1 1 2 A. B. C. D. 8 3 8 3
Câu 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 6 . Biết rằng các mặt bên của hình
chóp có diện tích bằng nhau và một trong các cạnh bên bằng 3 2 . Tính thể tích nhỏ nhất của khối chóp S.ABC. A. 3 B. 4 C. 2 2 D. 2 3
Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi I là điểm thuộc đoạn SO sao cho
3SI = SO. Mặt phẳng   thay đổi đi qua B và I,   cắt các cạnh SA, SC, SD lần lượt tại M, N, P. Gọi m, n lần V
lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của S.BMPN . Tính m + n. VS.ABCD 4 2 14 A. 0,2 B. C. D. 15 25 75
Câu 14. Cho hình chóp S.BCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích V. Điểm P là trung điểm của SC,
mặt phẳng   chứa AP cắt hai cạnh SB, SD lần lượt tại M và N. Gọi V1 là thể tích của khối chóp S.AMPN. Tìm V
giá trị nhỏ nhất của tỷ số 1 . V 2 1 A. B. C. 0,125 D. 0,375 3 3
Câu 15. Cho khối chóp S.ABC có SA  SB  SC  a và · · ·
ASB  BSC  CSA  30 Mặt phẳng   qua A và cắt V hai cạnh SB , SC tại 
B , C sao cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất. Tính .   k  S AB C . VS.ABC 1
A. k  2  2 . B. k  4  2 3 . C. k  . D. k  2 2  2 . 4
Câu 16. Cho hình hộp chữ nhật có tổng diện tích các mặt bằng 36 và độ dài đường chéo bằng 6. Tính thể tích lớn nhất V
của khối hộp chữ nhật đã cho. max A. V 16 2. B. V 12. C. V  8 2. D. V  6 6. max max max max 20
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN CỰC TRỊ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN – P5)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Hai điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh AB và AB AD
AD (M, N không trùng với A) sao cho 2.  3.
 8. Ký hiệu V1, V2 lần lượt là thể tích của các khối chóp AM AN V
S.ABCD và S.MBCDN. Tìm giá trị lớn nhất của 1 . V 13 11 1 2 A. B. C. D. 16 12 6 3
Câu 2. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Trên các tia A’A, AB, AD lần lượt lấy các điểm M,
N, P khác A sao cho AM = m, AN = n, AP = p và (MNP) đi qua đỉnh C’. Tính thể tích nhỏ nhất V của khối tứ diện AMNP. 2 A. 3,375 B. 4,5 C. 6,75 D. 9
Câu 3. Cho khối chóp S.ABC có SA = SB = SC = a (a > 0) và · · ·
ASB  ASC  CSA  30o. Mặt phẳng   cắt hai V
cạnh SB, SC tại B’, C’ sao cho chu vi tam giác AB’C’ nhỏ nhất. Tính S.AB C   . VS.ABC A. 0,25 B. 4  2 3 C. 2  2 D. 2(2  2)
Câu 4. Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước là , a ,
b c . Dựng một hình lập phương có cạnh bằng tổng ba
kích thước của hình hộp chữ nhật trên. Biết rằng thể tích hình lập phương luôn gấp 32 lần thể tích hình hộp chữ
nhật. Gọi S là tỉ số giữa diện tích toàn phần hình lập phương và diện tích toàn phần hình hộp chữ nhật. Tìm giá trị lớn nhất S của S. max A. 1 16 32 48 S  . B. S  . C. S  . D. S  . max 10 max 5 max 5 max 5
Câu 5. Cho hình chóp S.ABC có SA 1, SB  2, SC  3 . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Mặt phẳng  đi qua
trung điểm I của SG cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại M , N, P . Tính giá trị nhỏ nhất T của biểu thức min 1 1 1 T    . 2 2 2 SM SN SP A. 2 3 18 T  . B. T  . C. T  . D. T  6. min 7 min 7 min 7 min
Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, thể tích là V. Gọi M là trung điểm của cạnh S ,
A N là điểm nằm trên cạnh SB sao cho SN  2NB; mặt phẳng  di động qua các điểm M , N và cắt các
cạnh SC, SD lần lượt tại hai điểm phân biệt K , Q . Tính thể tích lớn nhất V của khối chóp S.MNKQ . max A. V V 3V 2V V  . B. V  . C. V  . D. V  . max 2 max 3 max 4 max 3
Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V. Điểm P là trung điểm của SC, một
mặt phẳng qua AP cắt các cạnh SD và SB lần lượt tại M, N. Gọi V1 là thể tích khối chóp S.AMPN. Tìm giá trị nhỏ V nhất của 1 . V 1 2 A. B. C. 0,375 D. 0,125 3 3
Câu 8. Cho tứ diện ABCD có thể tích V. Điểm M thay đổi trong tam giác BCD. Các đường thẳng qua M và song
song với AB, AC, AD lần lượt các mặt phẳng (ACD), (ABD), (ABC) tại N, P, Q. Giá trị lớn nhất của khối MNPQ là V V V V A. B. C. D. 8 54 27 16
Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có thể tích v, có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi N là trung điểm của SC. Một
mặt phẳng đi qua AN cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại M, P. Gọi V’ là thể tích của khối chóp S.AMNP. Tính giá V  trị nhỏ nhất của . V 21 1 2 A. 0,375 B. 0,125 C. D. 3 3
Câu 10. Cho khối chóp S.ABCD có thể tích là V và đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh SA, N
là điểm nằm trên cạnh SB sao cho SN = 2NB. Mặt phẳng   di động đi qua các điểm M, N và cắt các cạnh SC,
SD lần lượt tại hai điểm phân biệt K, Q. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.MNKQ theo V. V 2V A. 0,5V B. 0,75V C. D. 3 3
Câu 11. Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC đều cạnh bằng 8cm, một điểm S di động ngoài mặt phẳng (P)
sao cho tam giác MAB luôn có diện tích bằng 2
16 3cm , với M là trung điểm của SC. Gọi (S) là mặt cầu đi qua
bốn đỉnh M, A, B, C. Khi thể tích hình chóp S.ABC lớn nhất, tính bán kính nhỏ nhất của (S). 16 6 4 3 4 15 4 39 A. cm B. cm C. cm D. cm 9 3 3 3
Câu 12. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = x, AD = 3, góc giữa đường thẳng A’C và mặt phẳng
(ABB’A’) bằng 30o . Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối hộp chữ nhật. A. 9 2 B. 40,5 C. 13,5 D. 27 2
Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
Biết rằng khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng a. Khi thể tích khối chóp S.ABCD đạt giá trị nhỏ
nhất, tính thể tích khối chóp H.ABC với H là chân đường cao kẻ từ A đến (SBC). 3 a 3 3 a 3 3 a 3 a A. B. C. D. 4 2 4 3 2 3
Câu 14. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, các cạnh bên bằng nhau. Một mặt phẳng thay
đổi nhưng luôn song song với đáy và cắt các cạnh bên SA, SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P, Q. Gọi M’, N’, P’, Q’ SM
lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, N, P, Q lên mặt phẳng (ABCD). Tính tỉ số
để thể tích khối đa diện SA
MNPQ.M’N’P’Q’ đạt giá trị lớn nhất. 1 2 A. B. C. 0,5 D. 0,75 3 3
Câu 15. Cho hình chóp S.ABC có thể tích bằng 1. Mặt phẳng (Q) thay đổi song song với mặt phẳng (ABC) lần
lượt cắt các cạnh SA, SB, SC tại M, N, P. Qua M, N, P kẻ các đường thẳng song song với nhau lần lượt cắt mặt
phẳng (ABC) tại M’, N’, P’. Tính giá trị lớn nhất của thể tích khối lăng trụ MNP.M’N’P’. 8 1 4 A. 0,5 B. C. D. 27 3 9
Câu 16. Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ A đến
(SBC) bằng 3. Khi thể tích khối chóp S.ABC nhỏ nhất, tính cos với · (SBC),(ABC)   . 1 2 3 2 A. cos  B. cos  C. cos  D. cos  3 3 3 2
______________________________________ 22
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN CỰC TRỊ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN – P6)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho khối tứ diện ABCD có cạnh AC, BD thỏa mãn 2 2
AC  BD  16 và các cạnh còn lại đều bằng 6. Thể
tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất bằng 32 2 16 2 32 3 16 3 A. B. C. D. 3 3 3 3
Câu 2. Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Các mặt bên của hình chóp có diện
tích bằng nhau và một trong các cạnh bên bằng a 3 . Tính thể tích nhỏ nhất của khối chóp S.ABC. 3 a 2 3 a 2 3 a 6 3 a 6 A. B. C. D. 6 2 12 4
Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có ·
ASB  30o, một mặt phẳng thay đổi qua A cắt các cạnh SB, SC lần lượt tại M,
N. Tính tỉ số thể tích các khối chóp S.AMN và S.ABC khi chu vi tam giác AMN đạt giá trị nhỏ nhất. 3  2 3( 3 1) A. 2( 3 1) B. C. D. 2(2  3) 5 4
Câu 4. Cho hình vuông ABCD cạnh a, trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại A lấy điểm S di
động không trùng với A. Hình chiếu vuông góc của A lên Sb, SD lần lượt là H, K. Tìm giá trị lớn nhất của khối tứ diện ACHK. 3 a 6 3 a 6 3 a 2 3 a A. B. C. D. 32 16 12 6
Câu 5. Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác ABC có AB  BC 5; AC  2BC 2 , hình chiếu của S lên mặt
phẳng (ABC) là trung điểm của AC, khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 2. Mặt phẳng (SBC) hợp với a
mặt phẳng (ABC) một góc  không đổi. Biết rằng giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp S.ABC bằng , trong b
đó a, b là các số nguyên dương, a nguyên tố. Tính a + b. A. 6 B. 5 C. 7 D. 4
Câu 6. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ với ABCD là hình chữ nhật có diện tích bằng 9 và C C   15 . Hai mặt  
phẳng (ABB’A’), (ADD’A’) cùng tạo với mặt phẳng đáy một góc     ; 
. Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ 6 3   
có giá trị lớn nhất bằng A. 9 B. 27 C. 27 3 D. 9 5
Câu 7. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có AB = 1, BC = 2, A’A = 3. Mặt phẳng (P) đi qua C’ và cắt các tia AB, AD,
A’A lần lượt tại E, F, G (khác A) sao cho thể tích khối tứ diện AEFG nhỏ nhất. Tính tổng AE + AF + AG. A. 11 B. 12 C. 18 D. 17
Câu 8. Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên bằng a 2. Xét điểm
M thay đổi trên mặt phẳng SCD sao cho tổng  2  2  2  2  2 Q MA MB MC MD MS nhỏ nhất. Gọi V là 1 V
thể tích của khối chóp S.ABCD và V là thể tích của khối chóp M.ACD. Tỉ số 2 bằng 2 V1 11 22 11 11 A. . B. . C. . D. . 140 35 70 35
Câu 9. Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB  x và các cạnh còn lại đều bằng 2 3 . Tìm x để thể tích khối tứ
diện ABCD đạt giá trị lớn nhất. A. x  14 B. x  3 2 C. x  6 D. x  2 3
Câu 10. Xét khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A , SA vuông góc với mặt phẳng đáy, khoảng
cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng 3. Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng SBC và  ABC , giá trị cos khi
thể tích khối chóp S.ABC nhỏ nhất là 2 2 3 6 A. . B. . C. . D. . 2 3 3 3
Câu 11. Cho hình hộp chữ nhật ABC . D 
A BCD có AB  x , AD  1. Biết rằng góc giữa đường thẳng  A C và 23 mặt phẳng  ABB 
A  bằng 30 . Tìm giá trị lớn nhất V của thể tích khối hộp ABCD.  A BCD . max 3 3 3 1 3 A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . max 4 max 4 max 2 max 2
Câu 12. Xét tứ diện ABCD có các cạnh AB  BC  CD  DA  1 và AC , BD thay đổi. Giá trị lớn nhất của thể
tích khối tứ diện ABCD bằng 2 3 4 3 2 3 4 3 A. B. C. D. 27 27 9 9
Câu 13. Cho hình chóp SABC có SA  x, SB  y, AB  AC  SB  SC  1. Thể tích khối chóp SABC đạt giá trị
lớn nhất khi tổng x  y bằng 2 4 A. B. 3 C. D. 4 3 3 3
Câu 14. Cho hình hộp chữ nhật ABC .
D A' B 'C ' D ' có tổng diện tích tất cả các mặt là 36, độ dài đường chéo
AC ' bằng 6. Hỏi thể tích của khối hộp lớn nhất là bao nhiêu? A. 8 2 B. 6 6 C. 24 3 D. 16 2
Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có SC  x 0  x  a 3, các cạnh còn lại đều bằng a . Biết rằng thể tích a m
khối chóp S.ABCD lớn nhất khi và chỉ khi x   * ,
m n  ¥  . Mệnh đề nào sau đây đúng? n A. m  2n  10 . B. 2 m  n  30 . C. 2 2n  3m  15. D. 2 4m  n  2  0 . Câu 16. Cho tứ diện ABCD  có AB  x , CD
y , tất cả các cạnh còn lại bằng 2 . Khi thể tích tứ diện ABCD là lớn nhất tính xy . 2 4 16 1 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Câu 17. Cho hình chóp .
S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích V. Điểm P là trung điểm của
SC , một mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD và SB lần lượt tại M và N . Gọi V1 là thể tích khối chóp . S AMPN V
. Giá trị lớn nhất của 1 thuộc khoảng nào sau đây? V  1   1 1  1 1   1  A. 0;   . B. ;   . C. ;   . D. ;1   .  5   5 3  3 2   2 
Câu 18. Cho khối lập phương ABC . D AB C  D
  cạnh a . Các điểm M, N lần lượt di động trên các tia AC, B D   sao cho AM  B N
  a 2 .Thể tích khối tứ diện AMNBcó giá trị lớn nhất là 3 a 3 a 3 a 3 3 a 2 A. B. C. D. 12 6 6 12
Câu 19. Cho tứ diện SABC có G là trọng tâm tứ diện, mặt phẳng quay quanh AG cắt các cạnh SB, SC lần V
lượt tại M , N . Giá trị nhỏ nhất của tỉ số S.AMN là? VS.ABC 4 3 1 1 A. . B. . C. . D. . 9 8 3 2
Câu 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Hai điểm M , N lần lượt thuộc các đoạn AB AD
thẳng AB và AD ( M và N không trùng với A ) sao cho 2  3
 8 . Kí hiệu V , V lần lượt là thể tích AM AN 1 V
của các khối chóp S.ABCD và S.MBCDN . Tìm giá trị lớn nhất của tỉ số 1 . V 13 11 1 2 A. . B. . C. . D. . 16 12 6 3
Câu 21. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.AB C
  có độ dài cạnh đáy bằng a . Gọi  là góc giữa BC và mặt phẳng  A B
 C . Khi sin đạt giá trị lớn nhất, tính thể tích khối lăng trụ đã cho? 3 6a 3 3a 4 3 12a 4 3 27a A. . B. . C. . D. . 4 4 4 3 4 2 24
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN HỖN HỢP THỂ TÍCH, GÓC, KHOẢNG CÁCH – P1)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a . Tam giác SAD cân tại S và nằm trong mặt 3 4a
phẳng vuông góc với đáy. Biết thể tích của khối chóp bằng
. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng 3 SCD. a 3 a 2 A. . B. . C. a 3 . D. a 2 . 3 2
Câu 2. Cho hình chóp tứ giác S.ABC có SA  SB  SC, đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Biết thể tích của 3 a 3 khối chóp S.ABC bằng
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng 3 4a 3a 3 6a a 3 A. . B. . C. . D. . 7 13 7 4 Câu 3. Cho khối hộp ABC . D A B  C  D
  có thể tích bằng 6 , ABC là tam giác đều có cạnh bằng 2. Khoảng cách
từ điểm B đến mặt phẳng  ABC bằng 3 3 3 A. 3 . B. . C. . D. . 2 3 6
Câu 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, BA  BC  a 3 , góc · · 0 SAB  SCB  90
và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng a 2 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. 6 3 3 2 A. 3 V  a . B. 3 V  a . C. 3 V  6a . D. 3 V  a . 2 2 2
Câu 5. Cho hình chóp tứ giác đều SABC D có cạnh đáy bằng a . Gọi M là trung điểm của A D . Biết khoảng a
cách giữa hai đường thẳng C M và SA bằng
. Thể tích khối chóp SABC D bằng 6 3 a 3 a 3 a 3 a A. . B. . C. . D. . 6 4 3 12
Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi; hai đường chéo AC  2 3a, BD  2a và cắt nhau tại
O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt a 3 phẳng (SAB) bằng
, tính thể tích khối chóp S.ABCD theoa. 4 3 3a 3 a 3 7a A. . B. . C. . D. 3 3a . 3 3 3
Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi; hai đường chéo AC  2 3a, BD  2a và cắt nhau tại .
O Hai mặt phẳng SAC và SBD cùng vuông góc với mặt phẳng  ABCD. Biết khoảng cách từ điểm O a 3
đến mặt phẳng SAB bằng
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo . a 4 3 3a 3 a 3 7a A. . B. . C. . D. 3 3a . 3 3 3 Câu 8. Cho hình chóp .
S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a. Biết tam giác SBA vuông tại B , tam 3a
giác SCA vuông tại C và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB bằng
. Tính thể tích khối chóp 13 . S ABC . 3 a 3 a 3 3 a 3 A. . B. . C. 3 a . D. . 4 12 3
Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại đỉnh A và D. Biết AB  4a, AD  3 , a CD  5a 25
và tam giác SBC đều và góc giữa mặt phẳng SBC và (ABCD) bằng 0
60 .Thể tích khối chóp S.ABCD tính theo a bằng: 3 27 10a 3 27 10a 3 27a 3 27a A. . B. . C. . D. . 8 4 8 4
Câu 10. Hình chóp S.ABCD có SC  ABCD, đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng a 3 và ·
ABC 120.Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng SAB và ABCD bằng 45. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD . 3 3 3a 3 a 3 3 3a A. V  . B. 3 V a 3. C. V  . D. V  . 4 4 8
Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , đáy nhỏ của hình thang là
CD , cạnh bên SC  a 15 . Tam giác SAD là tam giác đều cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với
đáy hình chóp. Gọi H là trung điểm cạnh AD , khoảng cách từ B tới mặt phẳng SHC bằng 2 6a . Tính thể
tích V của khối chóp S.ABCD ? A. 3 V  24 6a . B. 3 V  8 6a . C. 3 V 12 6a . D. 3 V  4 6a .
Câu 12. Cho hình chóp S.ABC , đáy là tam giác ABC có AB  ; a AC  a 2 và ·
CAB  135 , tam giác SAB
vuông tại B và tam giác SAC vuông tại A . Biết góc giữa hai mặt phẳng SAC và SAB bằng 30 . Tính thể tích khối chóp S.ABC . 3 a 3 a 3 a 6 3 a 6 A. . B. . C. . D. . 6 3 3 6
Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy  2 5
ABCD. Gọi M là trung điểm SD ; góc giữa SBC và  AMC là  thỏa mãn tan  . Tính thể tích V 5
của khối đa diện S.ABCM ? 3 a 3 a 3 5a 3 2a A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 2 3 9 3
Câu 14. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a 2 . Tam giác SAD cân tại 3 4a
S , mặt bên (SAD) vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng , điểm N là trung 3
điểm cạnh SB . Khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng (SCD) bằng 2 4 8 3 A. a . B. a . C. a . D. a . 3 3 3 4 2a 5
Câu 15. Cho hình hộp chữ nhật ABCDAB C  D
  . Khoảng cách giữa AB và B C  là , giữa BC và AB là 5 2a 5 a 3 , giữa AC và BD là
. Thể tích của khối hộp đó là 5 3 A. 3 8a . B. 3 2a . C. 3 4a . D. 3 a .
Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B với BC là đáy nhỏ. Biết rằng tam giác
SAB đều có cạnh là 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SC  a 5 và khoảng cách từ D tới mặt
phẳng SHC  bằng 2a 2 ( với H là trung điểm của AB ). Thể tích khối chóp S.ABCD là 3 a 3 3 a 3 4a 3 4a 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3
______________________________________ 26
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN HỖN HỢP THỂ TÍCH, GÓC, KHOẢNG CÁCH – P2)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh 2a . Thể tích khối chóp bằng 3
4a . Tính khoảng cách từ tâm O đến mặt bên của hình chóp. a 2 3a 3a 10 a 10 A. . B. . C. . D. . 2 4 10 10
Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông có cạnh là 2 đơn vị. Tam giác SAD cân tại S , mặt bên  4
SAD vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng . Tính khoảng cách h từ B đến 3 mặt phẳng SCD 4 2 8 3 A. h  . B. h  . C. h  . D. h  . 3 3 3 4
Câu 3. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành với AB  3a , AD  2a và · 1 cos BAD   . Hai mặt 9
phẳng SAC và SBD cùng vuông góc với mặt phẳng  ABCD . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD biết
rằng BM  DN với M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh SC và SA 3 28a 5 3 7a 5 3 28a 5 3 14a 5 A. . B. . C. . D. . 3 9 9 9
Câu 4. Cho hình chóp S.ABC có · · · 0
ASB  ASC  CSB  60 , SA  a, SB  2a, SC  3a . Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng (SAC). a 6 2a 6 2a 21 a 21 A. h  . B. h  . C. h  . D. h  3 3 7 7
Câu 5. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a . Tam giác SAD cân tại S và nằm trong mặt phẳng 3 4a
vuông góc với đáy. Biết thể tích của khối chóp bằng
. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng SCD . 3 a 3 a 2 A. . B. . C. a 3 . D. a 2 . 3 2
Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, AD  2AB  2BC  2CD  2a . Hai mặt
phẳng SAB và SAD cùng vuông góc với mặt phẳng  ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SB và 3 a 3
CD . Tính cosin góc giữa MN và SAC , biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng . 4 5 3 310 310 3 5 A. . B. . C. . D. . 10 20 20 10
Câu 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A với cạnh huyền BC  2a . Hình chiếu
vuông góc của điểm S lên mặt đáy ABC nằm trong tam giác ABC . Biết các mặt bên (SAB), (SBC) (SCA)
lần lượt tạo với đáy các góc 0 0 0
60 , 60 , 45 . Thể tích của khối chóp S.ABC tính theo a tương ứng bằng: 3 3a 3 2a 3 3 2a 3 6a A. . B. . C. . D. . 3  2  6 2  3 2  6 2 3  3 2  6 2  3
Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi; hai đường chéo AC  2 3a, BD  2a và cắt nhau tại
O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt a 3 phẳng (SAB) bằng
, tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. 4 3 3a 3 a 3 7a A. . B. . C. . D. 3 3a . 3 3 3
Câu 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a , tam giác SBA vuông tại B , tam giác SAC 27
vuông tại C . Biết góc giữa hai mặt phẳng SAB và  ABC bằng 60 . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. 3 3a 3 3a 3 3a 3 3a A. . B. . C. . D. . 8 12 6 4
Câu 10. Cho hình chóp S. ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB  BC  1, SA vuông góc với mặt phẳng
( ABC) , góc giữa 2 mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng 0
60 . Tính thể tích của khối chóp S. ABC 3 1 2 1 A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 6 6 6 3
Câu 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu của điểm S trên mặt phẳng đáy thuộc 2 a 2
miền trong của tam giác ABC, mặt bên (SAB) tạo với đáy góc 0
45 và diện tích tam giác SAB bằng . Tìm 4
thể tích khối chóp trên. 3 a 3 a 3 a 2 3 a 3 A. . B. V  . C. V  . D. . 12 16 14 24
Câu 12. Cho lăng trụ đứng ABC.A B  C
  có ABC là tam giác vuông tại B , AB  a; BC  a 2 . Mặt phẳng
 ABC hợp với mặt đáy  ABC một góc 30. Tính thể tích khối lăng trụ. 3 a 6 3 a 6 3 a 3 3 3a A. . B. . C. . D. . 3 6 3 6
Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = a, CD = 2a. Hình 3 a
chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm của BD. Biết thể tích tứ diện S.BCD bằng . Tính 6
khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC). a 3 a 2 a 3 a 6 A. B. C. D. 2 6 6 4
Câu 14. Cho lăng trụ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ·
ABC  60o. Chân đường cao hạ từ B’ trùng với tâm O
của đáy ABCD, góc giữa mặt phẳng (BB’C’C) với đáy bằng 60o . Thể tích lăng trụ đã cho bằng 3 3a 3 3 2a 3 3 3a 2 3 3a A. B. C. D. 8 9 8 4
Câu 15. Cho khối lăng trụ ABC.AB C
 , khoảng cách từ C đến BB bằng 5, khoảng cách từ A đến các
đường thẳng BB và CC lần lượt bằng 3 và 4 , hình chiếu vuông góc của A lên mp A B  C   là trung điểm H của B C   và A H
  5. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng : A. 15 3 . B. 20 3 C. 10 3 . D. 5 3 .
______________________________________ 28
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN HỖN HỢP THỂ TÍCH, GÓC, KHOẢNG CÁCH – P3)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho hình lăng trụ AB .
C A' B 'C 'có đáy ABC là tam giác đều cạnh · · 2 , '  '  90o a A AB A CB . Gọi M là 6a
trung điểm của cạnh A' A và khoảng cách từ A đến mặt phẳng MBC bằng
. Thể tích của khối lăng trụ 21 đã cho bằng 3 8a 39 3 4a 13 3 10a 3 A. 3 6a 3. B. . C. . D. . 3 3 3
Câu 2. Cho khối lăng trụ ABC.AB C
  có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB  a, BC  2a . Hình chiếu
vuông góc của đỉnh A lên mặt phẳng  ABC là trung điểm H của cạnh AC . Góc giữa hai mặt phẳng
BCC B và  ABC bằng 60. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng 3 3 3a 3 3a 3 3 3a 3 3a A. . B. . C. . D. . 4 8 8 16
Câu 3. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB  a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và 1
SA  a . Góc giữa hai mặt phẳng SBC và SCD bằng  , với cos 
. Thể tích của khối chóp đã cho 3 bằng 3 a 2 3 2 2a 3 2a A. . B. 3 a 2 . C. . D. . 3 3 3
Câu 4. Cho hình lăng trụ đứng ABC . D A B  C  D
  có AB  2cm , CD  4cm , AA  6cm , AB song song với CD .
Gọi M là trung điểm của đoạn AC , khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng CC D  D
  bằng 2cm . Thể tích lăng trụ ABC . D A B  C  D   . A. 2 12cm . B. 2 72 cm . C. 2 24 cm . D. 2 36cm .
Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB đều nằm trong mặt phẳng vuông góc 2a 57
với đáy, M là trung điểm của CD, khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBM) bằng . Thể tích khối chóp 19 S.ABCD bằng 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. B. 3 3a C. D. 6 12 9
Câu 6. Cho tứ diện ABCD có AB  a 6, tam giác ACD đều, hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng
BCD trùng với trực tâm H của tam giác BC ,
D mặt phẳng  ADH  tạo với mặt phẳng  ACD một góc 0 45 .
Tính thể tích khối tứ diện ABC . D 2 3a 2 27a 2 9a 2 3a A. . B. . C. . D. . 2 4 4 4
Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = 2a, AD = a. Tam giác SAB là tam giác cân tại S
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 45o . Khi đó thể tích khối chóp S.ABCD là 3 3 a 2 A. 3 a B. C. 3 2a D. 3 a 3 3 3
Câu 8. Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, · ·
AB  a, SBA  SCA  90o. Gọi O là trung
điểm của BC. Biết góc giữa hai đường thẳng SB và OA bằng 60o . Thể tích của khối chóp đã cho bằng 3 a 3 a 3 3a 3 a A. B. C. D. 2 6 3 3
Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, hình chiếu vuông góc của S với mặt phẳng
đáy là trung điểm cạnh AB và mặt phẳng (SCD) tạo với mặt phẳng đáy một góc 60o . Mặt phẳng chứa AB và
vuông góc với (SCD) cắt SC, SD lần lượt tại M, N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN 29 3 21a 3 7 3a 3 21 3a 3 7 3a A. B. C. D. 4 2 4 4
Câu 10. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại C, tam giác SAB vuông tại A, tam giác SAC cân
tại S biết AB = 2a, đường thẳng SB tạo với mặt phẳng (ABC) góc 45o . Thể tích khối chóp S.ABC bằng 3 a 5 3 a 10 3 a 10 A. 3 a 5 B. C. D. 3 6 2
Câu 11. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có cạnh AB = a, diện tích tứ giác A’B’CD bằng 3
2a . Mặt phẳng (A’B’CD) 3a 21
tạo với mặt phẳng đáy góc 60o . Khoảng cách giữa hai đường thẳng A’A và CD bằng . Biết hình chiếu 7
của A’ thuộc miền giữa hai đường thẳng AB và CD. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD nhỏ hơn 4a.
Tính thể tích V của khối hộp ABCD.A’B’C’D’. A. 3 3a B. 3 3 3a C. 3 2 3a D. 3 6 3a
Câu 12. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh BC = 2a và ·
ABC  60o. Biết tứ giác
BCC’B’ là hình thoi có · B B
 C nhọn. Mặt phẳng (BCC’B’) vuông góc với (ABC) và mặt phẳng (ABB’A’) tạo với
(ABC) góc 45o . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’. 3 7a 3 3 7a 3 6 7a 3 7a A. B. C. D. 7 7 7 21
Câu 13. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A, AB = 1, BC = 2 và · o ·
CBB  90 ; ABB  120o. Gọi M là trung điểm của cạnh A’A. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AB’ và 7 CM bằng
. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho. 7 4 2 4 2 A. 2 2 B. C. 4 2 D. 3 9
Câu 14. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, ·
ABC  30o; BC  a . Hai mặt bên (SAB), (SAC)
cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, mặt bên (SBC) tạo với đáy một góc 45o . Tính thể tích khối chóp S.ABC 3 a 3 a 3 a 3 a A. B. C. D. 64 16 9 32
Câu 15. Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vuông tại C, AC = a, AB = 2a và SA vuông góc với mặt
phẳng đáy. Góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SBC) bằng 60o . Tính thể tích của khối chóp S.ABC. 3 a 6 3 5a 6 3 a 6 3 a A. B. C. D. 12 12 72 2
Câu 16. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, ·
ABC  60o; SA  SB  2a . Biết rằng góc giữa các
mặt phẳng (SAB), (SCD) và mặt phẳng đáy (ABCD) bằng nhau, góc giữa mặt phẳng (SAD) và mặt phẳng đáy 2 19
bằng  thỏa mãn tan 
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. 3 3 a 19 3 a 19 3 a 57 3 a 57 A. B. C. D. 4 8 4 16 30
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN HỖN HỢP THỂ TÍCH, GÓC, KHOẢNG CÁCH – P4)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của điểm A’ trên mặt phẳng
(ABC) là trung điểm của AB. Biết rằng góc giữa đường thẳng CC’ và mặt phẳng đáy bằng 60o . Tính thể tích của khối chóp ACC’B’. 3 3a 3 a 3 3a 3 a A. B. C. D. 8 4 4 8
Câu 2. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA 1
= a. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng  với cos 
. Tính thể tích khối chóp đã cho. 3 3 a 2 3 2 2a 3 2a A. B. 3 a 2 C. D. 3 3 3
Câu 3. Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, BC = 2a. Hình chiếu vuông
góc đỉnh A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của cạnh AC. Góc giữa hai mặt phẳng (BCC’B’) và (ABC)
bằng 60o . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng 3 3 3 3 3 3 A. 3 a B. 3 a C. 3 a D. 3 a 4 8 8 16
Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AD  2 2; AB  1; SA  S ; B SC  SD . Biết
rằng mặt phẳng (SAB) và (SCD) vuông góc với nhau và có S  S
 3 . Thể tích khối chóp S.ABCD bằng SAB SCD 2 2 6 A. 1 B. 2 C. D. 3 3
Câu 5. Cho hình chóp S.BACD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AD = 2CD. Biết hai mặt phẳng (SAC), (SBD)
cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và BD = 6. Góc giữa (SCD) và mặt đáy bằng 60o . Hai điểm M, N lần lượt là
trung điểm của SA, SB. Thể tích khối đa diện ABCDMN bằng 108 15 128 15 16 15 18 15 A. B. C. D. 25 25 25 5
Câu 6. Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  6; AD  3; AC  3 và mặt 3
phẳng (AA’C’C) vuông góc với mặt đáy. Biết hai mặt phẳng (AA’C’C), (AA’B’B) tạo với nhau góc  : tan  . 4
Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’. A. 12 B. 6 C. 8 D. 10
Câu 7. Cho hình chóp S.ABC có BC = 2BA = 4a, · ·
BAS  ABC  90o. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC),
(SBA) bằng 60o và SC = SB. Tính thể tích của khối chóp S.ABC. 32 8 16 16 A. 3 a B. 3 a C. 3 a D. 3 a 3 3 3 9
Câu 8. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, · ·
SAB  SAC  90o, góc giữa hai mặt phẳng
(SAB) và (SCB) bằng 60o . Tính thể tích khối chóp S.ABC. 3 2 2 2 A. 3 a B. 3 a C. 3 a D. 3 a 24 24 8 12
Câu 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A, AB  a 2 . Gọi I là trung điểm của uur uuur
BC, hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng (ABC) là điểm H thỏa mãn IA  2  IH . Góc giữa SC và
mặt phẳng (ABC) bằng 60o . 3 a 5 3 a 5 3 a 15 3 a 15 A. B. C. D. 2 6 6 12
Câu 10. Cho hình lăng tụ tam giác đều ABC.A’B’C’. Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (ABC’) bằng a, 1
góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (BCC’B’) bằng  : cos  . Tính thể tích của khối chóp C’.ABC. 3 31 3 9a 15 3 3a 15 3 9a 15 3 3a 15 A. B. C. D. 20 20 10 10
Câu 11. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a, biết
A’B hợp với mặt đáy (ABC) một góc 60o . Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng 3 a 12 3 a 12 3 a 3 3 a 3 A. B. C. D. 35 5 12 2
Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a. Tam giác SAB cân tại S và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 45o . M là trung
điểm của SD. Tính theo a khoảng cách từ điểm M đến (SAC). a 1513 2a 1315 a 1315 2a 1513 A. B. C. D. 89 89 89 89
Câu 13. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tam giác ABC cân tại A, B’BC là tam giác đều cạnh a và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Góc giữa đường thẳng B’A và mặt phẳng (ABC) bằng 45o . Tính
thể tích V của khối lăng trụ ABC.A’B’C’. 3 3 1 3 A. 3 a B. 3 a C. 3 a D. 3 a 24 8 8 8
Câu 14. Hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng
(ABC) là trung điểm của AB. Mặt bên (ACC’A’) tạo với đáy góc 45o . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’. 3 2a 3 3 a 3 3 a 3 3a A. B. C. D. 3 3 16 16
Câu 15. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC có ·
AB  a; AC  a 2;CAB  135o. Tam giác SAB
vuông tại B và tam giác SAC vuông tại A. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SAB) bằng 30o . Tính thể tích khối chóp S.ABC. 3 a 3 a 3 a 6 3 a 6 A. B. C. D. 6 3 3 6
Câu 16. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2a, SA 10
vuông góc với (ABCD), góc giữa hai mặt phẳng (SBC), (SCD) và số đo bằng  : cos  . Tính thể tích 5 khối chóp đã cho bằng 2 3 3 1 A. 3 a B. 3 a C. 3 a D. 3 a 4 4 4 4
Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành AD = 2AB = 2a, ·
BAD  60o . Biết hình chiếu
của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm I của BC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) là 60o . Tính thể tích khối chóp S.ABCD. 3 a 3 3 a 3 3 a 2 3 a 2 A. B. C. D. 3 6 8 4
______________________________________ 32
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN HỖN HỢP THỂ TÍCH, GÓC, KHOẢNG CÁCH – P5)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, · ·
SAB  SAC  90ovà góc giữa hai mặt
phẳng (SAB) và (SBC) bằng 60o . Tính thể tích khối chóp S.ABC. 2 2 2 2 A. 3 a B. 3 a C. 3 a D. 3 a 2 4 6 3
Câu 2. Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a, tam giác SAB vuông tại A, tam 2a
giác SBC cân tại S và khoảng cách hai đường thẳng SB và AC bằng
. Thể tích của khối chóp đã cho bằng 3 3 a 3 3a 3 a 3 a A. B. C. D. 6 2 2 3
Câu 3. Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A, · AB  ; a BAC  120o và · ·
SBA  SCA  90o. Gọi  là
góc giữa hai mặt phẳng (SAB), (SAC). Tính thể tích khối chóp S.ABC khi cos  0,75 . A. 3 3a B. 3 a C. 3 0,75a D. 3 0, 25a
Câu 4. Cho hình chóp S.ABC có · o · · AB  BC  ;
a ABC  120 ; SAB  SCB  90ovà khoảng cách từ B đến mặt 2a phẳng (SAC) bằng
. Tính thể tích khối chóp S.ABC. 21 3 a 5 3 a 15 3 a 15 3 a 5 A. B. C. D. 10 10 5 2
Câu 5. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu của A’ lên mặt phẳng (ABC) a 3
trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng A’A và BC bằng . Tính theo a 4
thể tích của khối lăng trụ đó. 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. B. C. D. 12 6 3 24 2a 5
Câu 6. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’, khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và B’C là , khoảng 5 2a 5 a 3
cách giữa hai đường thẳng BC và AB’ bằng
, khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD’ bằng . 5 3
Tính thể tích khối hộp A’B’C’D’.ABCD. A. 8 3 a B. 4 3 a C. 2 3 a D. 3 a
Câu 7. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A’B vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD), góc giữa A’A và (ABCD)
bằng 45o . Khoảng cách từ A đến các đường thẳng B’B và DD’ bằng 1. Góc giữa hai mặt phẳng (BBC’C),
(CC’D’D) bằng 60o . Tính thể tích khối hộp đã cho. A. 2 B. 2 3 C. 3 D. 3 3
Câu 8. Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A với AB = 1, tam giác SAC vuông tại C, ·
SBA  60ovà góc giữa hai mặt phẳng (SAB), (SAC) bằng · SBA  60o. Khi đó V
gần với giá trị nào nhất S .ABC 1 1 1 1 A. B. C. D. 12 9 8 6
Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ·
BAD  120o. Gọi O là giao điểm của hai
đường chéo AC, BD. Biết SA = SC, SB = SD, mặt phẳng (SCD) tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc
 : tan  2 . Mặt phẳng  qua A và vuông góc với SC,  cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’.
Tính thể tích khối chóp O.AB’C’D’. 3 a 3 a 3 a 3 a 3 A. B. C. D. 12 16 24 12 33
Câu 10. Cho khối chóp S.ABC có đáy (ABC) là tam giác vuông cân tại A, · ·
AB  a; SBA  SCA  90o. Góc giữa
hai mặt phẳng (SAB), (SAC) bằng 60o . Tính thể tích khối chóp đã cho. 3 a 3 a 3 a A. 3 a B. C. D. 3 2 6
Câu 11. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng 2a. Biết · o · · BAD  60 ; A A  B  A A  D 120o. Tính thể
tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’. A. 3 4 2a B. 3 2 2a C. 3 8a D. 3 2a
Câu 12. Lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, ·
ABC  30o. Điểm M là trung điểm cạnh AB,
tam giác MA’C đều có cạnh a 3 và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là 3 72 3a 3 24 3a 3 9 3a 3 9 2a A. B. C. D. 7 7 7 7
Câu 13. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên tạo với đáy một góc
60o . Gọi M là trung điểm của SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD cắt SB tại E và cắt SD tại F. Tính
thể tích khối chóp S.AEMF. 3 a 6 3 4a 6 3 a 6 3 a 6 A. B. C. D. 36 9 6 18
Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. Biết AB = BC = 1, AD = 2. Các
mặt chéo (SAC), (SBD) cùng vuông góc với mặt đáy (ABCD). Biết góc giữa hai mặt phẳng (SAB), (ABCD) bằng
60o . Tính bán kính mặt cầu tâm D tiếp xúc với mặt phẳng (SAB). 3 2 3 A. B. 2 3 C. D. 3 3 3 a
Câu 15. Hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại C, cạnh bên SB 
. Hình chiếu vuông góc của S 3
trên mặt phẳng (ABC) là điểm H trên cạnh AB thỏa mãn HB = 2HA. Tính V biết S  S . S .ABC SBC SAB 9 1 27 1 A. 3 a B. 3 a C. 3 a D. 3 a 8 72 8 24
Câu 16. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a 3 , BD = 3a. Hình chiếu vuông góc của B trên
mặt phẳng (A’B’C’D’) trùng với trung điểm của A’C’. Gọi   là góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABCD) và (CDD’C’) 21 sao cho cos 
. Tính thể tích khối hộp. 7 9 3 3 3 A. 0,75 3 a B. 2,25 3 a C. 3 a D. 3 a 4 4
Câu 17. Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, AA’ = A’D, hình chiếu vuông góc của 6a
A’ thuộc hình vuông ABCD, khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và AB’ bằng
. Tính thể tích khối chóp 10
A’MNP, trong đó M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh CD, CC’, DD’. A. 12 3 a B. 3 a C. 2 3 a D. 3 3 a 34
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN HỖN HỢP THỂ TÍCH, GÓC, KHOẢNG CÁCH – P6)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có ·
BAC  60o; AB  3a; AC  4a . Gọi M là trung điểm của B’C’, 3a 15
khoảng cách từ M đến mặt phẳng (B’AC) bằng
. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho. 10 A. 27 3 a B. 9 3 a C. 4 3 a D. 3 a
Câu 2. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bằng a, ·
BAC  60o . Gọi I, J lần a 7
lượt là tâm các mặt bên ABB’A’, CDD’C’. Biết AI  ; A A
  2a và góc giữa hai mặt phẳng (ABB’A’), 2
(A’B’C’D’) bằng 60o . Tính thể tích khối tứ diện AOIJ. 3 3 3 3 3 A. 3 a B. 3 a C. 3 a D. 3 a 64 48 32 192
Câu 3. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều. Biết A’A = AB = a. Các mặt bên
(A’AB) và (A’AC) cùng hợp với đáy (ABC) một góc 60o . Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng 3 3a 7 3 3a 7 3 a 7 3 3a A. B. C. D. 28 4 28 7
Câu 4. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB = 2, BC = 4. Mặt bên ABB’A’ là hình thoi có µ
B  60o . Gọi K là trung điểm của B’C’, tính thể tích khối lăng trụ d(A B  ;BK)  1,5. A. 6 B. 4 3 C. 3 3 D. 2 3 SB SC
Câu 5. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông với SA vuông góc với (ABCD) và   a . 2 3
Tính thể tích khối chóp S.ABCD. 3 a 3 a 3 a 3 a A. B. C. D. 12 3 2 6
Câu 6. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt đáy bằng 30o , khoảng cách từ
chân đường cao hình chóp đến mặt phẳng(SAB) bằng a. Tính thể tích khối chóp S.ABC. 8 A. 3 24a B. 3 8 3a C. 3 8a D. 3 a 3
Câu 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 8, · ·
SAB  SCB  90o , hai mặt phẳng (SAB),
(SCB) vuông góc với nhau. Thể tích của khối chóp S.ABC là 64 2 128 2 128 3 A. B. C. D. 64 2 3 3 3
Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB và tam giác SCD cân tại S, 2 3a
hai mặt bên (SAB), (SCD) có tổng diện tích bằng
và chúng vuông góc với nhau. Tính thể tích khối chóp 4 S.ABCD. 2 a 2 23a A. 0,25 2 a B. 1,25 2 a C. D. 6 24
Câu 9. Cho khối hộp S.ABCD có A’B vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD), góc giữa A’A với (ABCD) bằng
45o . Khoảng cách từ A đến các đường thẳng B’B, D’D cùng bằng 1. Góc giữa hai mặt phẳng (BB’C’C) và
(C’CDD’) bằng 60o . Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’. A. 2 B. 2 3 C. 3 D. 3 3
Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ·
BAD  60o , I là giao điểm của AC và BD,
hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của BI. Góc giữa SC và (ABCD) bằng 45o .
Tính thể tích khối chóp S.ABCD. 35 a 39 a 39 a 39 a 39 A. B. C. D. 24 12 8 48
Câu 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng a 15 a 15 (SBC) là
, khoảng cách giữa SA và BC là
. Biết hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) nằm trong 5 5
tam giác ABC. Tính thể tích khối chóp S.ABC. 3 a 3 3 a 3 A. 0,25 3 a B. 0,125 3 a C. D. 4 8
Câu 12. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại B, AC  a 2 , mặt phẳng (SAC) vuông góc với
mặt đáy (ABC). Các mặt bên (SAB), (SAC) tạo với mặt đáy các góc bằng nhau và bằng 60o . Tính thể tích khối chóp S.ABC. 3 3 3 3 A. 3 a B. 3 a C. 3 a D. 3 a 12 4 6 2
Câu 13. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều, mặt phẳng (A1BC) tạo với đáy góc 30o và
tam giác A1BC có diện tích bằng 8. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. A. V  64 3 B. V  2 3 C. V  16 3 D. V  8 3
Câu 14. Tính thể tích khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AD = 2a, tam giác SAB vuông cân tại S và 2 33a
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, tổng diện tích tam giác SAB và ABCD bằng . 4 3 a A. 3 3a B. C. 3 3a D. 3 a 9
Câu 15. Cho hình chóp S.ABC có ·
AB  8; BC  4; ABC  60o. Hình chiếu của S lên cạnh AB là điểm K sao
cho KB = 3KA. Biết SB, SC hợp với đáy một góc 60o . Tính thể tích khối chóp S.ABC. 32 21 32 21 A. 9 21 B. 7 21 C. D. 3 9
Câu 16. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật có diện tích bằng 3 . Tính thể tích V của khối hộp biết C C
  7 , các mặt phẳng (ABB’A’), (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy ABCD các góc 45o,60o. A. V = 3 B. V  7 3 C. V  21 D. V  3 7
Câu 17. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, BC = 2a và · ABC  60o. Tứ giác
BCC’B’ là hình thoi có B’BC nhọn. Biết (BCC’B’) vuông góc với (ABC) và (ABB’A’) tạo với (ABC) góc 45o . Tính
thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’. 3 a 3 3a 3 6a 3 a A. B. C. D. 7 7 7 3 7
Câu 18. Khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A, AB  ;
a AC  a 2 . Góc giữa cạnh bên và
đáy là 30o . AA  AB  AC . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho. 3 a 2 3 a 3 3 a 2 3 a 3 A. B. C. D. 8 4 4 12
______________________________________ 36
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN HỖN HỢP THỂ TÍCH, GÓC, KHOẢNG CÁCH – P7)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a, ·
ABC  60o. Biết rằng SA = SC, SB = SD và
(SAB), (SBC). G là trọng tâm tam giác (SAD). Tính thể tích V của tứ diện GSAC. 3 a 2 3 a 2 3 a 2 3 a 2 A. B. C. D. 48 24 12 96
Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA  a 3 , tứ giác ABCD là hình vuông,
BD  a 2 (minh họa như hình bên). Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng SAD bằng A. 0 . B. 30 . C. 45 . D. 60 .
Câu 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O , cạnh a . Gọi M , N lần lượt là trung
điểm của SA và BC . Góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng  ABCD bằng 60 . Tính cos của góc giữa
đường thẳng MN và mặt phẳng SBD . 41 5 2 5 2 41 A. . B. . C. . D. . 4 5 5 4
Câu 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , tâm O . Gọi M và N lần lượt là trung điểm
của SA và BC . Biết rằng góc giữa MN và  ABCD bằng 60 , côsin của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng SBD bằng: 5 41 2 5 2 41 A. . B. . C. . D. . 5 41 5 41
Câu 5. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a . Tam giác SAB cân tại S và  3 4a
SAB   ABCD ;thể tích của khối chóp S.ABCD là
. Gọi  là góc giữa SC và  ABCD. Tính tan . 3 5 2 5 3 7 A. tan  . B. tan  . C. tan  . D. tan  . 5 5 3 7
Câu 6. Cho tứ diện đều SABC cạnh a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, SC . Tính tan của
góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng  ABC . 3 1 2 A. . B. . C. . D. 1. 2 2 2
Câu 7. Cho hình lăng trụ ABC.A B  C
  có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm A lên
mặt phẳng  ABC  trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường AA và BC bằng
a 3 . Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A B C. 4 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 6 24 12 3
Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác vuông tại S .
Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy là điểm H thuộc cạnh AD sao cho HA  3HD . Biết
rằng SA  2a 3 và SC tạo với đáy một góc bằng 30 . Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD . 3 8 6a 3 8 6a A. 3 V 8 6a . B. V  . C. 3 V 8 2a . D. V  . 3 9 37
Câu 9. Khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a. Nếu thể tích khối lăng 3 a 2 trụ bằng
thì số đó góc giữa hai mặt phẳng (A’BC), (ABC) bằng 4 A. 75o B. 60o C. 45o D. 30o
Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, ·
AC  2a, BAD  120o. Biết SA = SB = SC và góc
giữa mặt phẳng (SCD) với đáy bằng 45o . Tính thể tích khối chóp S.ABCD. 4 3 4 A. 3 a B. 3 a C. 3 4 3a D. 3 4a 3 3 2a
Câu 11. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’B’C’) bằng , 3 2
góc giữa mặt phẳng (A’BC) với đáy bằng  : cos 
. Tính thể tích khối hộp đã cho. 3 4 4 5 A. 3 2 5a B. 3 2a C. 3 a D. 3 a 3 9
Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, ·
ABC  120o , SA vuông góc với (ABCD). Biết góc
giữa hai mặt phẳng (SBC), (SCD) bằng 60o . Khi đó a 3 a 6 a 6 A. SA  B. SA  C. SA  a 6 D. SA  2 2 4
Câu 13. Cho hình chóp S.ABC có AB = 5cm, BC = 6cm, AC = 7cm, các mặt bên tạo với đáy một góc 60o . Tính
thể tích khối chóp S.ABC. 35 3 105 3 A. 3 8 3cm B. 3 cm C. 3 24 3cm D. 3 cm 2 2
Câu 14. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Khoảng cách từ tâm O của tam a
giác ABC đến mặt phẳng (A’BC) bằng
. Tính thể tích khối lăng trụ. 6 3 3a 2 3 3a 2 3 3a 2 3 3a 2 A. B. C. D. 4 8 28 16
Câu 15. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2a . Tam giác SAD cân tại S và 4
mặt bên SAD vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng 3 a . Tính khoảng cách h 3
từ B đến mặt phẳng SCD 3 2 4 8 A. h  a B. h  a C. h  a D. h  a 4 3 3 3
Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật; AB  a; AD  2a . Tam giác SAB cân tại S và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SC và mp  ABCD bằng 45 . Gọi M
là trung điểm của SD . Tính theo a khoảng cách d từ điểm M đến SAC . a 1513 2a 1315 a 1315 2a 1513 A. d  . B. d  . C. d  . D. d  . 89 89 89 89 1
Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , BC  AD  a . Tam 2
giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, góc giữa SC và mặt phẳng  ABCD bằng  15 sao cho tan 
. Tính thể tích khối chóp S.ACD theo a . 5 3 a 3 a 3 a 2 3 a 3 A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . S.ACD 2 S.ACD 3 S.ACD 6 S.ACD 6 38
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN HỖN HỢP THỂ TÍCH, GÓC, KHOẢNG CÁCH – P8)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho lăng trụ tam giác ABC.A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu của điểm A ' trên 2 2a 3
mặt phẳng  ABC  trùng vào trọng tâm G của tam giác ABC . Biết tam giác A' BB ' có diện tích bằng . 3
Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A ' B 'C ' . 3 6a 2 3 3a 7 3 3a 5 3 3a 3 A. B. C. D. 7 8 8 8
Câu 2. Cho hình lăng trụ ABC.AB C
  có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC  2a. Hình chiếu vuông
góc của A trên mặt phẳng ABC là trung điểm H của cạnh AB và AA  a 2 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. 3 a 6 3 a 6 A. V  . B. V  . C. 2 V  2a 2 . D. 3 V  a 3 . 6 2 3a
Câu 3. Cho hình lăng trụ ABC.AB C
  có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , AA  . Biết rằng hình chiếu 2
vuông góc của điểm A lên mặt phẳng  ABC là trung điểm của cạnh BC . Tính thể tích V của khối lăng trụ đó theo a . 3 2a 3 A. 3 3 3a V  a . B. V  . C. V  . D. 3 V  a . 2 3 4 2
Câu 4. Cho hình lăng trụ ABC.AB C
  có đáy là tam giác vuông cân đỉnh ,
A AB  a, AA  2a, hình chiếu
vuông góc của A lên mặt phẳng  ABC là trung điểm H của cạnh B .
C Thể tích của khối lăng trụ ABC.AB C   bằng 3 a 14 3 a 14 3 a 7 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 2 4 4 2
Câu 5. Cho hình lăng trụ đều ABC.AB C
  . Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ABC bằng a , góc 1
giữa hai mặt phẳng ABC và BCC B
  bằng  với cos 
. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.AB C   . 2 3 3 3a 2 3 3a 2 3 a 2 3 3a 2 A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 4 2 2 8
Câu 6. Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.AB C   có A B
  a 6 , đường thẳng A'B vuông góc với đường thẳng B C
 . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho theo a . 3 a 6 3 3a 3 9a A. . B. 3 a 6 . C. . D. . 3 4 4
Câu 7. Cho lăng trụ ABC.A' B 'C ' có đáy là tam giác đều cạnh 2a , cạnh bên AA  2a . Hình chiếu vuông góc
của A lên mặt phẳng ABC là trung điểm BC . Thể tích của khối lăng trụ đã cho là A. 3 a 3 . B. 3 2a 3 . C. 3 3a 2 . D. 3 2a 6 . 2a
Câu 8. Cho lăng trụ ABC.AB C
  có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, độ dài cạnh bên bằng , hình chiếu 3
của đỉnh A trên mặt phẳng  ABC  trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Thể tích khối lăng trụ ABC.AB C   bằng: 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 36 6 12 24 3a
Câu 9. Cho hình lăng trụ ABC.A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , AA '  . Biết rằng hình chiếu 2
vuông góc của A' lên  ABC  là trung điểm BC . Thể tích của khối lăng trụ ABC.A' B 'C 'là 39 3 a . 2 3 3a . 2 3 a . 6 3 2a A. . B. . C. . D. . 8 8 2 3
Câu 10. Cho hình lăng trụ ABC.A' B 'C ' có đáy là tam giác đều cạnh bằng a , hình chiếu vuông góc của A' lên a 3
mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm G của tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa BC và AA' bằng . 4
Thể tích khối chóp B '.ABC bằng: 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 36 9 18 12 Câu 11. Cho lăng trụ ABC . D AB C  D
  có đáy ACBD là hình thoi cạnh a , biết A .ABC là hình chóp đều và A D
 hợp với mặt đáy một góc 45. Thể tích khối lăng trụ ABC . D AB C  D   là : 3 a 6 3 a 6 A. 3 a . B. . C. 3 a 3 . D. . 12 3
Câu 12. Cho hình lăng trụ ABC.AB C
  có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm A lên
mặt phẳng  ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và BC a 3 bằng
. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.AB C  . 4 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 6 3 24 12
Câu 13. TÍnh thể tích khối lăng trụ ABC . D AB C  D
  có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , tâm O và · ABC  120 .
Góc giữa cạnh bên AA và mặt đáy bằng 60 . Đỉnh A cách đều các điểm A , B , D . 3 3a 3 a 3 3 a 3 A. V  . B. V  . C. V  . D. 3 V  a 3 . 2 6 2
Câu 14. Cho hình lăng trụ AB . C A B  C
  có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB  a , AC  a 3 . Hình chiếu
vuông góc của đỉnh A lên  ABC trùng với tâm của đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC . Trên cạnh AC a
lấy điểm M sao cho CM  2MA . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng A M
 và BC bằng . Tính thể tích 2
V của khối lăng trụ đã cho. 3 a 3 3 3 a 3 2a 3 A. V  . B. 3 V  a . C. V  . D. V  . 2 2 3
Câu 15. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a. M là trung điểm của C’C, hai mặt phẳng
(MAB), (MA’B’) tạo với nhau một góc 60o . Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’. 3 a 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. B. C. D. 2 4 3 2
Câu 16. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A . Hình chiếu của S lên mặt phẳng
 ABC là trung điểm H của BC , AB  a , AC  a 3 , SB  a 2 . Thể tích của khối chóp S.ABC bằng 3 a 3 3 a 6 3 a 3 3 a 6 A. . B. . C. . D. . 2 2 6 6
Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D , AB  AD  a , CD  2a . Hình 3 a
chiếu của đỉnh S lên mặt  ABCD trùng với trung điểm của BD . Biết thể tích tứ diện SBCD bằng . 6
Khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng SBC là? a 3 a 2 a 3 a 6 A. B. C. D. 2 6 6 4 Câu 18. Hình chóp .
S ABCD có đáy ABCD là vuông cạnh a , hình chiếu vuông góc của S trên mặt
phẳng  ABCD trùng với trung điểm của cạnh AD; gọi M là trung điểm của CD; cạnh bên SB hợp
với đáy góc 60 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABM . 3 a 15 3 a 15 3 a 15 3 a 15 A. B. C. D. 3 6 4 12 40
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN HỖN HỢP THỂ TÍCH, GÓC, KHOẢNG CÁCH – P9)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A' B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A , ·
ACB  30 , biết góc giữa 1
B 'C và mặt phẳng  ACC ' A' bằng  thỏa mãn sin 
. Cho khoảng cách giữa hai đường thẳng A' B 2 5
và CC ' bằng a 3 . Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A' B 'C '. 3 3a 6 A. 3 V  a 6 . B. V  . C. 3 V  a 3 . D. 3 V  2a 3 . 2
Câu 2. Cho khối lăng trụ đều ABC.A' B 'C ' có cạnh đáy bằng a . Khoảng cách từ điểm A' đến mặt phẳng  2a 3 AB 'C ' bằng
. Thể tích của khối lăng trụ đã cho là 19 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 3a A. B. C. D. 4 6 2 2
Câu 3. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B  C
 , biết đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Khoảng cách từ tâm O của a
tam giác ABC đến mặt phẳng  ABC  bằng . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A B  C  . 6 3 3a 2 3 3a 2 3 3a 2 3 3a 2 A. . B. . C. . D. . 8 28 4 16
Câu 4. Cho một lăng trụ tam giác đều ABC.A B  C
  có cạnh đáy bằng a , góc giữa A C
 và mặt phẳng đáy bằng
60 . Tính diện tích xung quanh S của hình nón có đáy là đường tròn nội tiếp tam giác ABC và đỉnh là trọng xp tâm của tam giác AB C   . 2  a 333 2  a 333 2  a 111 2  a 111 A. S  . B. S  . C. S  . D. S  . xq 36 xq 6 xq 6 xq 36
Câu 5. Cho hình lăng trụ ABC.AB C
 có đáy ABC là tam giác vuông cân tại ,
A AC  2 2 , biết góc giữa AC và  ABC  bằng 0
60 và AC  4 . Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.AB C  . 8 16 8 3 A. V  B. V  C. V  D. 8 3 3 3 3
Câu 6. Cho lăng trụ tam giác ABC.A ' B 'C ' có đáy là tam giác đều cạnh a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 0
30 . Hình chiếu của A ' lên  ABC  là trung điểm I của BC . Tính thể tích khối lăng trụ 3 a 3 3 a 13 3 a 3 3 a 3 A. B. C. D. 2 12 8 6
Câu 7. Cho hình lăng trụ ABC.AB C
  có đáy là tam giác đều cạnh bằng 2 . Hình chiếu vuống góc của A lên
mặt phẳng ABC trùng với trung điểm H của cạnh BC . Góc tạo bởi cạnh bên AA với đáy bằng 0 45 (hình vẽ
bên). Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.AB C   . 6 6 A. V  . B. V 1. C. V  . D. V  3 . 24 8
Câu 8. Cho lăng trụ tam giác AB . C A B  C
  có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hình chiếu của A xuống
 ABC  là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Biết AA hợp với đáy  ABC một góc 60 , thể tích khối lăng trụ là 41 3 a 3 3 3a 3 3 a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 4 4 12 36
Câu 9. Cho lăng trụ tam giác ABC.A B  C
  có đáy là tam giác đều cạnh a . Độ dài cạnh bên bằng 4 a . Mặt phẳng BCC B
  vuông góc với đáy và ·B B
 C  30. Thể tích khối chóp . ACC B   là: 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 2 12 18 6
Câu 10. Cho lăng trụ tam giác ABC. 
A BC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , cạnh AC  2 2 . Biết A 
C tạo với mặt phẳng  ABC một góc 60 và AC  4 . Tính thể tích V của khối đa diện ABCBC . 8 3 16 3 A. 8 V  B. 16 V  C. V  D. V  3 3 3 3
Câu 11. Cho lăng trụ tam giác ABC.A ' B 'C ' có độ dài cạnh bên bằng 8a và khoảng cách từ điểm A đến các
đường thẳng BB ,CC lần lượt bằng 2a và 4a. Biết góc giữa hai mặt phẳng (ABB′A′) và (ACC′A′) bằng 60.
Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A ' B 'C '. 16 A. 3 3a . B. 3 8 3a . C. 3 24 3a . D. 3 16 3a . 3
Câu 12. Cho lăng trụ ABC.A' B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B , đường cao BH . Biết A' H   ABC
và AB  1, AC  2, AA'  2 . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng 21 7 21 3 7 A. . B. . C. . D. . 12 4 4 4
Câu 13. Cho hình lăng trụ ABC.A' B 'C ' có đáy là tam giác đều cạnh a , góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 0
30 . Hình chiếu của A ' xuống ABC là trung điểm BC . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B 'C '. 3 a 3 3 a 3 a 3 3 a 3 A. B. C. D. 8 8 24 4
Câu 14. Cho hình lăng trụ ABC . D AB C  D
  có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , ·
ABC  60 . Chân đường cao hạ
từ B trùng với tâm O của đáy ABCD ; góc giữa mặt phẳng  BB C  C
  với đáy bằng 60. Thể tích lăng trụ bằng: 3 3a 3 3 2a 3 3 3a 2 3 3a A. B. C. D. 8 9 8 4
Câu 15. Cho lăng trụ ABC.AB C
  có đáy là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông góc của điểm ’ A lên mặt
phẳng  ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng A ’ A và BC bằng
a 3 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ đã cho. 4 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. B. C. D. 3 24 6 12
Câu 16. Cho hình lăng trụ ABC.AB C
  có AA  2a , tam giác ABC vuông tại C và ·BAC  60 , góc giữa
cạnh bên BB và mặt đáy ABC bằng 60 . Hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng ABC trùng với
trọng tâm của tam giác ABC . Thể tích của khối tứ diện A .ABC theo a bằng 3 9a 3 3a 3 9a 3 27a A. . B. . C. . D. . 208 26 26 208 1
Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , BC  AD  a . Tam 2
giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy; góc giữa SC và mặt phẳng  ABCD bằng  15 sao cho tan 
. Tính thể tích khối chóp S.ACD theo a 5 3 a 3 a 3 a 2 3 a 3 A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . S.ACD 2 S.ACD 3 S .ACD 6 S.ACD 6 42
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TỈ SỐ KHỐI CHÓP TAM GIÁC – P1)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho khối chóp tam giác S.ABC có thể tích V. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC.
Tính thể tích khối chóp S.MNP. A. 0,25V B. 0,125V C. 0,75V D. 0,5V
Câu 2. Cho khối chóp S.ABC có thể tích bằng 18. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc SA, SB, SC sao cho MS =
MA, SN = 2NB, SP = 2PC. Gọi Q là trung điểm của SN. Tính thể tích khối chóp M.QPN. A. 2 B. 1 C. 3 D. 6
Câu 3. Cho khối chóp S.ABC có thể tích bằng 27. Các điểm N, P lần lượt thuộc các cạnh SB, SC sao cho 3SN =
2SB, 3SC = 2SP. Điểm M thuộc cạnh SA sao cho SA  kSM và khối chóp S.MNP có thể tích bằng 4. Giá trị của k là A. 3 B. 4 C. 2 D. 6
Câu 4. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc, AB = 6, AC = 7, AD = 4. Các điểm M, N,
P tương ứng là trung điểm của BC, CD, DB. Tính thể tích khối tứ diện AMNP. A. 3,5 B. 14 C. 7 D. 6
Câu 5. Cho khối chóp S.ABC có thể tích bằng 16. Tính thể tích khối chóp C.MNP biết rằng các điểm M, N, P uur uuur uuur uur uuur uur
thỏa mãn điều kiện SA  2SM , 2SC  3SP, 4SN  3SB . A. 2 B. 1 C. 4 D. 3,5
Câu 6. Cho hình chóp S.ABC, M là trung điểm cạnh SA, N là điểm trên cạnh SC sao cho SN = 3SC. Tính tỉ số k
giữa thể tích khối chóp ABMN và thể tích khối chóp S.ABC. 3 2 1 3 A. k  B. k  C. k  D. k  8 5 3 4
Câu 7. Khối chóp S.ABC có thể tích bằng 18; G là trọng tâm tam giác SAB. Mặt phẳng   chứa AG và song
song với BC cắt SB tại M, cắt SC tại N. Tính thể tích khối chóp B.GMN. A. 1,5 B. 2 C. 3 D. 2,5
Câu 8. Khối chóp S.ABC có thể tích bằng 9. M và N lần lượt thuộc các cạnh AB, AC sao cho AM = 2AB, NC =
2AN. Tính thể tích khối chóp S.MNCB. A. 6 B. 7 C. 8 D. 5
Câu 9. Khối chóp S.ABC có thể tích bằng 81. Các điểm M, N, P thuộc các cạnh SA, SB, SC thỏa mãn điều kiện SM SN SP 2  
 . Tính thể tích khối chóp H.MNP với H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. SA SB SC 3 A. 8 B. 16 C. 4 D. 9
Câu 10. Cho khối tứ diện có thể tích bằng V. Gọi V’ là thể tích khối đa diện có các đỉnh là các đỉnh là trung điểm V 
các cạnh của khối tứ diện đã cho. Tính tỉ số . V 1 1 2 5 A. B. C. D. 2 4 3 8
Câu 11. Khối tứ diện S.ABC có thể tích bằng 18. Các điểm E, F lần lượt thuộc các cạnh AB, BC sao cho BA =
3BE, BC = 4FC. Thể tích khối chóp S.AMFE với M là trung điểm của SC. A. 5 B. 4,25 C. 6,75 D. 4,5
Câu 12. Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt
phẳng (ABC), góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng 60o . Tính thể tích khối chóp M.ABC với M là trung điểm của SB. 3 3 3 3 A. 3 a B. 3 a C. 3 a D. 3 a 2 4 12 6
Câu 13. Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC thỏa mãn AB = 2a, BC = 4a, AC  2 5a . Cạnh bên SA
vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. Tính thể tích V của khối chóp S.AMN. 2 5 5 1 A. 3 a B. 3 a C. 3 a D. 3 a 9 2 3 12
Câu 14. Khối chóp S.ABC có thể tích bằng 90. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh AB, AC, SA sao cho
AM = MB, AN = 2NC, SA = 3SP. Tính thể tích khối chóp S.MNP. A. 10 B. 18 C. 30 D. 20
Câu 15. Khối chóp S.ABC có thể tích bằng 18. Các điểm M, N, P lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB, SAC, 43
SBC. Thể tích khối chóp S.MNP là A. 2 B. 1 C. 3 D. 4
Câu 16. Cho hình chóp đều S.ABC có SA = 3a. D thuộc cạnh SB và DB = a. Mặt phẳng   chứa cạnh AD và
song song với BC cắt SC tại E. Tính tỉ số giữa thể tích khối tứ diện S.ADE và thể tích khối chóp S.ABC. 2 4 1 1 A. B. C. D. 9 9 3 4
Câu 17. Hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = AC = a, SC vuông góc với mặt (ABC) và
SC = a. Mặt phẳng qua C, vuông góc với SB và cắt SA, SB lần lượt tại E, F. Tính thể tích khối chóp S.CEF. 3 a 2 3 a 2 3 a 3 a A. B. C. D. 12 36 36 12
Câu 18. Tứ diện ABCD có thể tích V = 18. G là trọng tâm tam giác BCD, M là trung điểm CD. Thể tích khối chóp AGMC là A. 2 B. 1 C. 3 D. 6
Câu 19. Cho tứ diện EFGH có EF, EG, EH đôi một vuông góc thỏa mãn EF = 6, EG = 8, EH = 12. Gọi I, J tương
ứng là trung điểm của FG, FH. Khoảng cách từ điểm F đến mặt phẳng (EIJ) gần nhất với giá trị nào sau đây A. 2,22 B. 1,11 C. 4,45 D. 1,48
Câu 20. Khối chóp S.ABC có thể tích bằng 54. Gọi G và H lần lượt là trọng tâm các tam giác SBC, ABC, mặt
phẳng  chứa AG và song song với BC cắt SB, SC lần lượt tại I, J. Tính thể tích khối chóp H.AIJ. A. 16 B. 8 C. 15 D. 18
Câu 21. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với đáy (ABC). Gọi M,
N lần lượt là trung điểm của SA, SB và P là hình chiếu vuông góc của A lên SC. Tính thể tích khối chóp S.MNP. 3 3 3 3 A. 3 a B. 3 a C. 3 a D. 3 a 30 6 15 10
Câu 22. Hình chóp S.ABCD có đáy BCD là tam giác vuông tại C với BC  a;CD  a 3 . Hai mặt phẳng (ABD),
(ABC) cùng vuông góc với mặt phẳng (BCD). Biết AB = a và M, N lần lượt thuộc các cạnh AC, AD sao cho AM =
2MC, AN = ND. Thể tích khối chóp A.BMN bằng 3 2a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. B. C. D. 9 3 18 9
______________________________________ 44
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TỈ SỐ KHỐI CHÓP TAM GIÁC – P2)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Khi tăng cả ba cạnh đáy của một khối chóp có đáy là tam giác đều lên hai lần còn đường cao của khối
chóp giữ nguyên thì thể tích của khối chóp tăng bao nhiêu lần? A. 4. B. 2. C. 8 . D. 0,5
Câu 2. Cho khối chóp tam giác đều. Nếu tăng cạnh đáy lên hai lần và giảm chiều cao đi bốn lần thì thể tích của khối chóp đó sẽ: A. Không thay đổi. B. Tăng 2 lần. C. Giảm 3 lần. D. Giảm 2 lần.
Câu 3. Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V và điểm E trên cạnh AB sao cho AE  3EB . Tính thể tích khối tứ diện EBCD theo V . V V V V A. . B. . C. . D. . 4 2 3 5
Câu 4. Khối tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc và AB  a ; AC  2a ; AD  3a . Các điểm M, N,
P thứ tự thuộc các cạnh AB, AC, AD sao cho AM  2MB, AN  2NC, AP  PD . Tính thể tích khối tứ diện AMNP . 3 2a 3 2a 3 a A. . B. . C. 3 a . D. . 9 3 9 Câu 4. Hình chóp
S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , SA  a , SB  a 3 . Biết
rằng SAB   ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC . Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN . 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. . B. . C. 3 2a 3 . D. . 6 3 4
Câu 5. Cho hình lăng trụ AB . C  A 
B C có thể tích bằng V . Gọi M là trung điểm cạnh B  B , điểm N thuộc cạnh
CC sao cho CN  2CN . Tính thể tích khối chóp . A BCNM theo V . 7V 7V 5V V A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . . A BCNM 12 . A BCNM 18 . A BCNM 18 . A BCNM 3
Câu 6. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB , AC và AD đôi một vuông góc với nhau; AB  6a , AC  7a và
AD  12a . Gọi M , N , P tương ứng là trung điểm các cạnh BC , CD , BD . Tính thể tích V của tứ diện AMNP . 21 A. 3 V  21a . B. 3 V  a . C. 3 V  56a . D. 3 V  7a . 4
Câu 7. Cho tứ diện ABCD . Gọi B và C lần lượt là trung điểm của AB và AC . Tính tỉ số thể tích của khối tứ diện AB C  D
 và khối tứ diện ABCD . 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 6 8 2 4 V
Câu 8. Hình chóp S.ABC có M là trung điểm SB và N là điểm thuộc cạnh SC sao cho SN = 2SC. Tính S.AMN VS.ABC V 1 V 2 V V 1 A. S.AMN  B. S.AMN  . C. S.AMN  2 . D. S.AMN  . V 3 V 3 V V 2 S.ABC S. ABC S .ABC S. ABC
Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD . Gọi I, J , K, H lần lượt là trung điểm của các cạnh S , A S , A SC, SD . Tính thể
tích khối chóp S.ABCD biết thể tích của khối chóp S.IJKH là 1. A. 16 . B. 8. C. 2. D. 4. V
Câu 10. Cho lăng trụ ABC.AB C
  . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của CC và BB . Tính tỉ số ABCMN VABC.A B C 1 1 1 2 A. . B. . C. . D. . 6 3 2 3
Câu 11. Hình chóp S.ABC , trên các cạnh SA , SB , SC lần lượt lấy các điểm M , N , P sao cho SA SB  SC 2,  3,
 4 . Biết thể tích của khối chóp S.ABC bằng 1. Tính thể tích của khối đa diện MNPABC SM SN SP 45 5 3 1 23 A. . B. . C. . D. . 24 4 24 24
Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi và có thể tích bằng 2 . Gọi M , N lần lượt là các SM SN 1
điểm trên cạnh SB và SD sao cho 
 k . Tìm giá trị của k để thể tích khối chóp S.AMN bằng . SB SD 8 1 2 1 2 A. k  . B. k  . C. k  . D. k  . 8 4 4 2
Câu 13. Cho hình chóp S.ABC có thể tích là V biết M , N, P lần lượt thuộc các cạnh S , A SB, SC sao cho SM  M ,
A SN  2NB, SC  3SP . Gọi V  là thể tích của S.MNP . Mệnh đề nào sau đây đúng? A.   V V . B.   V V . C.   V V . D.   V V . 6 12 9 3
Câu 14. Cho khối chóp SABC có thể tích bằng 3
5a . Trên các cạnh SB, SC lần lượt lấy các điểm M và N sao
cho SM  3MB , SN  4NC . Tính thể tích V của khối chóp AMNCB . 3 3 A. 3 V  a . B. 3 V  a . C. 3 V  a . D. 3 V  2a . 5 4
Câu 15. Cho khối tứ diện có thể tích V . Gọi V ' là thể tích của khối đa diện có các đỉnh là các trung điểm của V '
các cạnh tứ diện đã cho. Tính tỷ số . V V ' 1 V ' 5 V ' 3 V ' 1 A.  . B.  . C.  . D.  . V 4 V 8 V 8 V 2
Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích bằng 1. Trên cạnh SC lấy điểm E
sao cho SE  2EC . Tính thể tích V của khối tứ diện SEBD . 1 2 1 1 A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 3 3 6 12
Câu 17. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 2cm. Gọi M là trung điểm cạnh AB và N là điểm thuộc cạnh CD uuur uuur
sao cho NC  2ND . Mặt phẳng  chứa MN và song song với cạnh AC, cắt cạnh AD tại K và cắt
cạnh BC tại H. Thể tích của khối đa diện có tất cả các đỉnh là các điểm B, D, N, H, M, K bằng 11 2 7 2 7 2 11 2 A. 3 cm B. 3 cm C. 3 cm D. 3 cm 27 27 216 216
Câu 18. Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AC = 2AB = 2a. Hình chiếu của S trên mặt phẳng
(ABC) là trung điểm của đoạn thẳng BC và góc giữa các mặt phẳng (SAB) và (ABC) bằng 60o . Gọi M, N lần uuuur uuur uuur uuur
lượt là các điểm sao cho BM  2AS;CN  3AS . Tính thể tích của khối đa diện ABCSMN. 4 3 2 3 A. 3 a B. 3 a C. 3 2 3a D. 3 3 3a 3 3
Câu 19. Cho tứ diện đều có chiều cao bằng h, ở ba góc của tứ diện người ta
cắt đi các tứ diện đều bằng nhau có độ dài bằng x để khối đa diện còn lại có
thể tích bằng một nửa thể tích khối tứ diện đều ban đầu. Tìm x. 3 h 6 3 h 6 A. x  B. x  6 2 6 h 6 6 h 6 C. x  D. x  6 2 46
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TỈ SỐ KHỐI CHÓP TAM GIÁC – P3)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Khi tăng cả ba cạnh đáy của một khối chóp có đáy là tam giác đều lên hai lần còn đường cao của khối
chóp giữ nguyên thì thể tích của khối chóp tăng bao nhiêu lần? 1 A. 4 . B. 2 . C. 8. D. . 2
Câu 2. Khi tăng độ dài đường cao của một hình chóp đáy tam giác lên 2 lần và giảm mỗi cạnh đáy của nó
xuống 2 lần thì thể tích khối chóp sau đó tăng hay giảm bao nhiêu lần so với ban đầu? A. tăng 4 lần. B. tăng 2 lần. C. giảm 2 lần. D. không đổi.
Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có thể tích là V biết M , N , P lần lượt thuộc các cạnh S , A SB, SC sao cho SM  M ,
A SN  2NB, SC  3SP . Gọi V  là thể tích của S.MNP . Mệnh đề nào sau đây đúng? A.   V V . B.   V V . C.   V V . D.   V V . 6 12 9 3
Câu 4. Cho tứ diện ABCD . Gọi B và C lần lượt là trung điểm của AB và AC . Tính tỉ số thể tích của khối tứ diện AB C  D
 và khối tứ diện ABCD . 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 6 8 2 4
Câu 5. Cho khối chóp S.ABCD, các điểm M , N , P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh S , A SB, SC, S . D Tỉ số
thể tích của khối chóp S.MNPQ và khối chóp S.ABCD là 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 16 8 2 4
Câu 6. Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 1 và đáy ABCD là hình bình hành. Trên cạnh SC lấy điểm E
sao cho SE  2EC. Tính thể tích V của khối tứ diện SEBD . 1 1 1 2 A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 6 3 12 3
Câu 7. Cho hình chóp S.ABC có SA  a, SB  b, SC  c và · · · 0
ASB  BSC  CSA  60 . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a, b, . c 2 2 2 2 A.  B. ab . c C. ab . c D.  12abc 12 4 4abc Câu 8. Cho tứ diện ABC .
D Gọi G là trọng tâm tam giác BCD , mặt phẳng  
P chứa cạnh CD và đi qua trung điểm E của AG ,  
P cắt AB tại N. Gọi thể tích của hai tứ diện ACDN và tứ diện BCDN lần lượt là V và 1 V V . Tính tỷ số 1 . 2 V2 1 1 2 1 A.  B.  C.  D.  3 2 3 4
Câu 9. Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12. Gọi A là điểm trên đường thẳng d đi qua điểm C và song
song với AB sao cho A , A cùng phía so với mặt phẳng  BCD. Gọi V là thể tích phần chung của hai khối tứ diện ABCD và A B  C .
D Tính thể tích V , biết AB  3AC. A. V  6. B. V  2 C. V  3. D. V  4 .
Câu 10. Cho hình chóp S.ABC có thể tích V . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của SB, SC và G là trọng tâm
tam giác ABC . Tính thể tích V của khối chóp G.APQ theo V . 1 1 1 1 3 A. V  V . B. V  V . C. V  V . D.V  V . 1 8 1 12 1 6 1 8
Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M và N theo thứ tự là trung điểm của SA , V
SB . Tỉ số thể tích S.CDMN . VS.CDAB 5 3 1 1 A. . B. . C. . D. . 8 8 4 2 47
Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a ; SA  SB  SC  2a , M là trung điểm
của cạnh SA ; N là giao điểm của đường thẳng SD và mặt phẳng MBC . Gọi V ,V lần lượt là thể tích của các 1 V
khối chóp S.ABCD và S.BCNM , Tỷ số 1 là? V 1 3 1 1 A. . B. . C. . D. . 6 8 8 4
Câu 13. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a , SA  a và SA vuông góc
với mặt phẳng  ABC . Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và
SC . Tỉ số thể tích của khối chóp S.AMN và S.ABC bằng: 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2 3 6 4
Câu 14. Cho khối chóp S.ABC . Gọi M là điểm trên đoạn SB sao cho 3SM  MB , N là điểm trên đoạn AC
sao cho AN  2NC . Tỉ số thể tích khối chóp M.ABN và S.ABC bằng 4 2 1 1 A. . B. . C. . D. . 9 9 2 4
Câu 15. Cho hình chóp S.ABC có · · ASB  CSB  60 ;
o SA  SB  1;SC  3. Gọi M là điểm trên cạnh SC sao cho
3SM = SC. Khi đó thể tích của khối chóp S.ABM bằng 6 3 2 2 A. B. C. D. 36 36 12 4
Câu 16. Hình chóp S.ABC có thể tích V, gọi H, K lần lượt là trung điểm của SB, SC. Tính thể tích khối chóp S.AHK theo V. V V V V A. B. C. D. 2 4 12 6
Câu 17. Cho tứ diện ABCD. M là một điểm nằm trong tứ diện, bốn mặt phẳng chứa M lần lượt song song với
các mặt phẳng (BCD), (CDA), (DAB), (ABC) chia khối tứ diện ABCD thành các khối đa diện trong đó có bốn khối
tứ diện có thể tích lần lượt là 1, 1, 1, 8. Thể tích của khối tứ diện ABCD bằng A. 121 B. 64 C. 125 D. 100 48
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TỈ SỐ KHỐI CHÓP TAM GIÁC – P4)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho khối tứ diện ABCD có thể tích bằng 18. Gọi N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD, M là điểm thuộc
cạnh AB sao cho BM = 2AM, mặt phẳng (MNP) cắt cạnh AD tại Q. Thể tích khối đa diện lồi MAQNCP là A. 7 B. 8 C. 9 D. 5
Câu 2. Cho khối tứ diện OABC với OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = a; OB = 2a; OC = 3a. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của hai cạnh AC, BC. Thể tích của khối tứ diện OCMN bằng 3 1 2 A. 3 a B. 3 a C. 3 a D. 3 a 4 4 3
Câu 3. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi I là trung điểm
của cạnh BC, tính thể tích V của khối chóp S.ABI 3 a 11 3 a 11 3 a 11 3 a 11 A. B. C. D. 12 24 8 6
Câu 4. Cho hình chóp S.ABC có thể tích V, gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA. Các uuur uuur uuur uuur uuur uur
điểm G, H, K thỏa mãn 5SG  SM ;6SH  SN;7SK  SP . Tính theo V thể tích khối chóp S.GHK V V V V A. V   B. V   C. V   D. V   96 240 480 840 SN 2
Câu 5. Cho hình chóp S.ABC, gọi M là trung điểm của SA, lấy điểm N trên cạnh SB sao cho  . Mặt SB 3
phẳng (P) qua MN và song song với SC chia khối chóp thành hai phần. Gọi V là thể tích của khối đa diện chứa 1 V
đỉnh A, V là thể tích của khối đa diện còn lại. Tính tỉ số 1 . 2 V2 V 7 V 7 V 7 V 7 A. 1  B. 1  C. 1  D. 1  V 16 V 18 V 11 V 9 2 2 2 2
Câu 6. Cho hình chóp S.ABC có thể tích bằng 48, điểm M là trung điểm cạnh AB, lấy các điểm N, P, Q thỏa uuur uuur uuur uuur uuur r
mãn điều kiện AC  4 AN  4PC,CQ  2BQ  0 . Tính thể tích khối chóp S.MNPQ. A. 24 B. 14 C. 8 D. 16
Câu 7. Cho khối chóp S.ABC có thể tích bằng 48, tam giác ABC là tam giác đều, SA  3AB và SA vuông góc
với mặt phẳng đáy (ABC). M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính
thể tích khối chóp S.AMN. A. 27 B. 18 C. 14,5 D. 15
Câu 8. Cho hình chóp S.ABC có SC = 2a, cạnh SC vuông góc với (ABC), đáy ABC là tam giác vuông cân tại B
và AB  a 2 . Mặt phẳng (P) qua C và vuông góc với SA cắt SA, SB lần lượt tại D, E. Tính thể tích khối chóp S.CDE. 3 2a 3 a 3 5a 3 5a A. B. C. D. 9 9 9 8
Câu 9. Cho tứ diện ABCD . Mặt phẳng   song song với AB và CD cắt các cạnh AD; DB; BC;CA MA 1
lần lượt tại M ; N ; P;Q. Giả sử
 , mặt phẳng   chia khối tứ diện ABCD thành hai phần. Tỉ số MD 2 V
thể tích 1 của hai khối đa diện ABMNPQ và CDMNPQ bằng: V2 7 1 1 5 A. . B. . C. . D. . 20 3 2 16
Câu 10. Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 90, trên các cạnh BC, BD, AC lần lượt lấy các điểm M, N, P sao
cho BC = 3BM, 2BD = 3BN và AC = 2AP. Mặt phẳng (MNP) chia khối tứ diện ABCD thành hai phần, phần nhỏ hơn có thể tích bằng A. 38 B. 40 C. 36 D. 42
Câu 11. Cho khối tứ diện đều ABCD có thể tích bằng 16. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AC, AD, BD,
BC. Thể tích khối chóp BMNPQ bằng A. 6 B. 8 C. 4 D. 6,5
Câu 12. Cho khối tứ diện ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N là trung điểm các cạnh AB, BC và E là điểm thuộc tia 49
đối của tia DB sao cho BD = kBE. Tìm k để mặt phẳng (MNE) chia khối tứ diện thành hai khối đa diện trong đó 3 11 2a
khối đa diện chứa đỉnh B có thể tích bằng . 294 A. k = 1,2 B. k = 5 C. k = 4 D. k = 6
Câu 13. Cho tứ diện ABCD và ba điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, BD, AC sao cho BC = 4BM, BD =
2BN, AC = 3AP. Mặt phẳng (MNP) cắt AD tại Q. Tính tỉ số thể tích hai phần khối tứ diện ABCD bị chia bởi mặt phẳng (MNP). 2 7 5 1 A. B. C. D. 3 13 13 3
Câu 13. Cho tứ diện S.ABC, M và N là các điểm thuộc các cạnh SA, SB sao cho MA = 2SM, SN = 2NB, mặt
phẳng   qua MN và song song với SC chia khối chóp thành hai khối đa diện. Gọi V là thể tích của khối đa 1 V
diện chứa đỉnh A, V là thể tích của khối đa diện còn lại. Tính tỉ số 1 2 V2 4 A. 0,8 B. 1,25 C. 0,75 D. 3
Câu 14. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, mặt phẳng  chứa cạnh BC cắt cạnh AD tại E. Biết góc giữa hai mặt 5 2
phẳng   và (BCD) có số đo là  với tan 
. Gọi thể tích của hai tứ diện ABCE và tứ diện BCDE lần 7 V
lượt là V và V . Tính tỉ số 1 1 2 V2 3 1 5 3 A. B. C. D. 8 8 8 5
Câu 15. Cho khối tứ diện đều ABCD có thể tích V . Gọi M là trung điểm của BC, N là điểm thuộc cạnh CD
thỏa mãn CN  2ND, G là trọng tâm của tam giác AB .
D Mặt phẳng MNG chia khối tứ diện ABCD thành V
hai khối đa diện. Gọi V là thể tích khối đa diện chứa đỉnh . A Tính 1 . 1 V 41 31 51 43 A. . B. . C. . D. . 60 60 60 60
Câu 16. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 2. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và
E là điểm đối xứng với B qua .
D Mặt phẳng MNE chia khối tứ diện thành hai khối đa diện, gọi V là thể
tích khối đa diện chứa đỉnh A (tham khảo hình vẽ). Khi đó V bằng: 11 2 11 11 11 2 A. . B. . C. . D. . 27 54 27 54 50
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TỈ SỐ KHỐI CHÓP TAM GIÁC – P5)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho khối chóp S.ABC có SA  6; SB  2; SB  2; SC  4; AB  2 10 và · SBC  90o, · ASC  120o. Mặt V
phẳng (P) qua B và trung điểm N của SC, vuông góc với mặt phẳng (SAC) cắt cạnh SA tại M. Tính tỉ số S.MBN . VS.ABC 1 2 A. 0,25 B. 0,4 C. D. 6 9
Câu 2. Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung
điểm của BC. Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với SM cắt SB, SC lần lượt tại E, F sao cho V  4V
. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC S .ABC S .AEF A. 0,25 3 a B. 0,5 3 a C. 0,25 3 a D. 3 a
Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc với SA = a, SB = 2a, SC = 3a. Gọi M, N, P, Q
theo thứ tự là trọng tâm các tam giác ABC, SAB, SBC, SCA. Tính thể tích khối tứ diện MNPQ theo a. 3 2a 3 a 3 2a 3 a A. B. C. D. 27 27 9 9
Câu 4. Cho hình chóp S.ABC có thể tích bằng 18. Điểm M là trung điểm AB và điểm N thuộc cạnh BC sao cho
BC = 4 NC. Tính thể tích khối chóp S.CNP. A. 1,5 B. 2 C. 3 D. 2,5
Câu 5. Cho khối tứ diện đều ABCD có thể tích bằng 90. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AC, AD, BD, BC.
Tính thể tích khối chóp A.MNPQ A. 22,5 B. 15 C. 30 D. 24
Câu 6. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với M, N lần lượt là trung điểm của BC, SM. Mặt phẳng (ABN) cắt
SC tại E. Tính thể tích khối chóp S.ABE khi khối chóp S.ABC có thể tích bằng 90. A. 16 B. 30 C. 32 D. 25
Câu 7. Cho tứ diện OABC có OA = a, OB = 2a, OC = 3a đôi một vuông góc với nhau tại O. Lấy M là trung điểm
của cạnh AC, N nằm trên cạnh CB sao cho 3CN = 2CB. Tính thể tích khối chóp OAMNB. 2 1 4 1 A. 3 a B. 3 a C. 3 a D. 3 a 3 3 3 5
Câu 8. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc và AB = 3, AC = 6, AD = 4. Gọi M, N, P
lần lượt là trung điểm của BC, CD, BD. Tính thể tích khối chóp AMNP. A. 3 B. 12 C. 1 D. 2
Câu 9. Hình chóp S.ABC có · · ·
ASB  BSC  CSA  60ovà SA = 2; SB = 3;SC = 7. Tính thể tích khối chóp S.ABC A. 4 2 B. 7 2 C. 5 D. 6 3
Câu 10. Hình chóp đều S.ABC cạnh a có E, F tương ứng là trung điểm các cạnh SB, SC. Mặt phẳng (AEF)
vuông góc với mặt phẳng (SBC). Tính thể tích khối chóp S.ABC 3 a 6 3 a 5 3 a 3 3 a 5 A. B. C. D. 12 8 24 24
Câu 11. Cho tứ diện ABCD có M, N, P lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CD sao cho MA = MB, NB = 2NC, PC =
2PD. Mặt phẳng (MNP) chia tứ diện thành hai phần. Gọi T là tỉ số thể tích của phần nhỏ chia cho phần lớn. Giá trị của T bằng 19 26 13 25 A. B. C. D. 26 45 25 43
Câu 12. Điểm M nằm trên cạnh SA, điểm N nằm trên cạnh SB của hình chóp tam giác đều S.ABC sao cho MA =
2SM, SN = 2NB. Mặt phẳng  qua MN và song song với SC chia khối chóp thành hai phần có tỉ số bằng
(phần chứa đỉnh A/ phần còn lại) A. 1,25 B. 1,2 C. 1,4 D. 1,45
Câu 13. Cho tứ diện đều ABCD có các cạnh bằng a, gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, E là điểm
đối xứng với B qua D. Mặt phẳng (MNE) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện
chứa đỉnh A có thể tích bằng 3 7 2a 3 11 2a 3 13 2a 3 2a A. B. C. D. 216 216 216 18
Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy BCD là tam giác vuông tại C, BC  a;CD  a 3 . Hai mặt phẳng 51
(ABD) và (ABC) cùng vuông góc với mặt phẳng (BCD). Biết AB = a, M và N lần lượt thuộc cạnh AC, AD sao cho
AM = 2MC, AN = ND. Tính thể tích khối chóp A.BMN 3 2 3a 3 3a 3 3a 3 3a A. B. C. D. 9 3 9 18
Câu 15. Hình chóp tam giác S.ABC có · · o ·
ASB  CSB  60 ; ASC  90o và SA = SB = 1; SC = 3. Gọi M là điểm
trên cạnh SC sao cho 3SM = SC. Tính thể tích khối chóp S.ABM 2 3 6 2 A. B. C. D. 12 36 36 4
Câu 16. Khối tứ diện ABCD có thể tích bằng 60, tính thể tích khối đa diện có các đỉnh là trung điểm các cạnh
của khối tứ diện đã cho. A. 30 B. 20 C. 25 D. 32
Câu 17. Hình chóp S.ABC có SA = 4; SB = 5;SC = 6 và · · ASB  BSC  45o, ·
CSA  60o. Các điểm M, N, P thỏa uuur uuuur uuur uuur uuur uuur
mãn AB  4 AM , BC  4BN ,CA  4CP . Tính thể tích khối chóp S.MNP 128 2 35 245 35 2 A. B. C. D. 3 8 32 8
Câu 18. Khối tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = a, OB = 4a, OC = 3a. Gọi M, N lần lượt
là trung điểm của AC, BC. Tính thể tích khối chóp OCMN. 2 3 a 3 3a 3 a A. 3 a B. C. D. 3 2 4 4
Câu 19. Cho khối tứ diện ABCD có thể tích bằng 2017. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC,
ABD, ACD, BCD. Thể tích khối tứ diện MNPQ gần nhất giá trị nào A. 74 B. 75 C. 68 D. 65
Câu 20. Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân ở B, AC  a 2 và SA vuông góc với mặt phẳng
(ABC), SA = a. Gọi G là trọng tâm tam giác SBC, mặt phẳng   qua AG và song song với BC chia khối chóp
thành hai phần. Gọi V là thể tích khối đa diện không chứa đỉnh S. Tính V. 3 4a 3 4a 3 5a 3 2a A. B. C. D. 9 27 54 9
______________________________________ 52
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TỈ SỐ KHỐI CHÓP TỨ GIÁC – P1)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Hình chóp S.ABCD có thể tích V và đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm thuộc
SA, SB, SC sao cho SM = SMA, SN = NB, SP = 2PC. Mặt phẳng (MNP) cắt SD tại Q. Tính thể tích khối chóp S.MNPQ 7 V 5V 11V A. V B. C. D. 36 4 9 36
Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, P là trung điểm của SC, M và Q lần lượt thuộc V
các cạnh SA, SD sao cho SA = 3SM, SQ = 2QD. Mặt phẳng (MPQ) cắt SB tại điểm N. Tính S.MNPQ . VS.ABCD 5 10 11 A. B. 0,5 C. D. 63 63 72
Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có thể tích V và đáy là hình bình hành, mặt phẳng qua A, M, P cắt cạnh SC tại N
với M, P là các điểm thuộc các cạnh SB, SD sao cho SB = 2SM, 2SD = 3SP. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.MNP 23 7 7 13 A. V B. V C. V D. V 30 30 15 20
Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, O là giao điểm hai đường chéo AC, BD. Gọi K
là trung điểm của SC, I là giao điểm của SO và AK. Mặt phẳng (P) đi qua I và song song với đáy cắt các cạnh
SA, SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P, Q. Tính tỉ số V
khi khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 27. S.MNPQ A. 8 B. 12 C. 10 D. 15
Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. M là trung điểm của cạnh SC, mặt phẳng (P) đi qua A,
M song song với BD chia khối chóp thành hai phần, trong đó V là thể tích khối đa diện chứa đỉnh S. Biết khối 1
chóp S.ABD có thể tích bằng 30, tính thể tích V . 1 A. 20 B. 30 C. 25 D. 24
Câu 6. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB  a; AD  a 3 . Cạnh SA = 2a và vuông góc
với mặt phẳng đáy. Mặt phẳng   qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại H, I, K. Tính thể tích V của khối chóp S.AHIK 3 8a 3 3 6a 3 3 12a 3 3 4a 3 A. B. C. D. 35 35 35 35
Câu 7. Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy (ABCD) và ABCD là hình vuông cạnh a, góc giữa SC và
mặt phẳng (ABCD) bằng 45o . Mặt phẳng  qua A vuông góc với SC và chia khối chóp thành hai khối đa diện.
Tính thể tích khối đa diện chứa đỉnh S khi khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 60. A. 24 B. 20 C. 30 D. 25
Câu 8. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 45o . Gọi M, N, P
lần lượt là trung điểm của SA, SB và CD. Tính thể tích khối tứ diện AMNP theo a. 3 a 3 a 3 a 3 a A. B. C. D. 48 96 32 24
Câu 9. Hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác lồi với O là giao điểm của AC và BD. Gọi M, N, P, Q là trọng tâm V
các tam giác SAb, SBC, SCD, SDA. Tính tỉ số O.MNPQ . VS.ABCD A. 8 B. 9 C. 13,5 D. 6,25
Câu 10. Hình chóp S.ABCD có thể tích bằng 36, đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy. Gọi M, N
lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC, tính thể tích khối chóp ANIB. A. 4 B. 3 C. 8 D. 6
Câu 11. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA,
SD. Mặt phẳng  chứa MN và cắt các tia SB, SC lần lượt tại P, Q. Ký hiệu thể tích khối chóp S.MNPQ là V , 1 SP
thể tích khối chóp S.ABCD là V. Tính tỉ số sao cho V  2V . SB 1 53 33 1 5 1 6 1 A. 0,5 B. C. D. 4 2 2
Câu 12. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD. Mặt phẳng  đi qua A, B và trung điểm M của SC chia khối chóp
thành hai khối đa diện. Tính thể tích khối đa diện chứa đỉnh S biết khối chóp S.ABC bằng 24. A. 18 B. 20 C. 16 D. 20
Câu 13. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 3a, SA vuông góc với đáy (ABCD). a 3
Góc giữa SB và (ABCD) bằng 60o , điểm M thuộc SA sao cho AM 
, mặt phẳng (BCM) cắt SD tại N. 3
Tính thể tích khối chóp S.BCMN 3 5a 3 3 10a 3 3 a 3 3 a 3 A. B. C. D. 9 9 27 3
Câu 14. Hình chóp đều S.ABCD có độ dài cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Gọi M, N, O lần lượt là trung điểm
SC, SD, AC. Tính thể tích khối chóp S.OMN khi khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 32 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có thể tích bằng 18, đáy ABCD là hình bình hành. Điểm M thuộc cạnh SD sao
cho SM = 2MD, mặt phẳng (ABM) cắt SC tại N, tính thể tích khối chóp S.ABNM A. 9 B. 10 C. 6 D. 12
Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD, các điểm M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Tính thể
tích khối chóp S.MNPQ khi khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 16 A. 2 B. 4 C. 6 D. 3
Câu 17. Cho khối chóp S.ABCD có thể tích là 3, G là trọng tâm tam giác SAB. Tính thể tích khối chóp G.ABCD 4 1 A. 1 B. 2 C. D. 3 3
Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA vuông góc với (ABC). Biết AB = a,
SA = 2a, mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC lần lượt tại H, K. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.AHK. 3 8a 3 8a 3 8a 3 4a A. B. C. D. 15 45 15 45
Câu 19. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, mặt bên tạo với đáy góc 60o . Mặt phẳng (P)
chứa AB và đi qua trọng tâm G của tam giác SAC. Mặt phẳng (P) cắt SC, SD lần lượt tại M, N. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABMN 3 2a 3 3 5a 3 3 4a 3 3 a 3 A. B. C. D. 3 3 3 2
______________________________________ 54
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TỈ SỐ KHỐI CHÓP TỨ GIÁC – P2)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  a và SA vuông góc với đáy. Gọi M là
trung điểm SB, N thuộc cạnh SD sao cho SN  2ND . Tính thể tích V của khối tứ diện ACMN ? 1 1 1 1 A. 3 V  a . B. 3 V  a . C. 3 V  a . D. 3 V  a . 12 6 8 36
Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh SB, BC, CD. Tính thể tích khối tứ diện CMNP 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. B. C. D. 72 54 96 48
Câu 3. Hình chóp đều S.ABCD có SA = a, góc giữa mặt bên và mặt đáy là 60o . Gọi M là trung điểm của SA,
mặt phẳng (P) đi qua CM và song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại E, F. Tính thể tích khối chóp S.CEMF 3 a 15 3 a 15 3 4a 15 3 4a 15 A. B. C. D. 75 225 225 75
Câu 4. Hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a. Mặt bên hình chóp tạo với mặt phẳng đáy một góc 60o .
Mặt phẳng (P) chứa AB đi qua trọng tâm G của tam giác SAC cắt SC, SD lần lượt tại M, N. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABMN 3 3 3 3 A. 3 3a B. 3 a C. 3 a D. 3 a 2 4 2
Câu 5. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA = a. Gọi G là
trọng tâm tam giác SCD. Tính thể tích khối chóp G.ABCD 3 a 3 a 3 2a 3 a A. B. C. D. 6 12 17 9
Câu 6. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích V. Gọi M là trung điểm SB, P là điểm thuộc
cạnh SD sao cho SP = 2DP. Mặt phẳng (AMP) cắt cạnh SC tại N. Tính thể tích khối đa diện ABCDMNP theo V. 23 19 2 7 A. V B. V C. V D. V 30 30 5 30
Câu 7. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AD = 2AB = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, M và N a 6
tương ứng là trung điểm của SB, SD. Biết khoảng cách từ S đến mặt phẳng (AMN) bằng . Tính thể tích V 3
của khối chóp S.ABCD theo a. 3 2a 6 3 a 3 A. 3 4a B. C. D. 3 4a 9 3
Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  a và SA vuông góc với đáy. Gọi M là
trung điểm SB, N thuộc cạnh SD sao cho SN  2ND . Tính thể tích V của khối tứ diện ACMN ? 1 1 1 1 A. 3 V  a . B. 3 V  a . C. 3 V  a . D. 3 V  a . 12 6 8 36
Câu 9. Hình chóp S.ABCD có thể tích V, đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh SB,
CD, DA. Tính theo V thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh M, N, P, D, S. 3V 5V 3V 5V A. B. C. D. 8 8 16 16
Câu 10. Khối chóp S.ABCD có thể tích V, đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm SC, N thuộc cạnh
SD sao cho SN = 3SD. Mặt phẳng (AMN) cắt khối chóp thành hai phần, tính thể tích khối đa diện chứa đỉnh S theo V. 27 1 27 29 A. V B. V C. V D. V 80 3 53 80
Câu 11. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, thể tích bằng 30. Gọi H, K lần lượt là trung điểm
của SB, SD. Tính thể tích khối đa diện AOHK. A. 5 B. 2,5 C. 3,75 D. 7,5
Câu 12. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 55
60 . Gọi M là trung điểm SC . Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD , cắt SB tại E và cắt SD tại
F . Tính thể tích khối chóp S.AEMF. 3 a 6 3 a 6 3 a 6 3 a 6 A. . B. . C. . D. . 12 27 36 18
Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy. Góc giữa hai mặt
phẳng SBD và  ABCD là 60. Gọi M , N là trung điểm của SB, SC . Tính thể tích khối S.ADNM ? 3 a 6 3 a 6 3 3a 6 3 a 6 A. V  . B. V  . C. V  . D. V  16 24 16 8
Câu 14. Khối chóp tứ giác đều S.ABCD có thể tích V; M là trung điểm SC, mặt phẳng (P) chứa AM và song
song với BD chia khối chóp thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh S chiếm thể tích là V A. 0,5V B. C. 0,4V D. 0,25 3
Câu 15. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA
= a. Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Tính thể tích V của khối đa diện ABCD.A’B’C’D’. 3 5a 3 5a 3 5a 3 5a A. B. C. D. 18 9 12 6
Câu 16. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a. Gọi M,
N tương ứng là trung điểm của AD, DC. Góc giữa mặt phẳng (SBM) và mặt phẳng (ABC) bằng 45o . Tính thể tích khối chóp S.ABNM. 3 25a 3 25a 3 25a 3 25a A. B. C. D. 8 16 18 24
Câu 17. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD, mặt phẳng (P) chứa AB đi qua điểm C’ nằm trên cạnh SC, (P) chia SC
khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính tỉ số . SC 2 5 1 A. 0,8 B. 0,5 C. D. 3 2
Câu 18. Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có N là trung điểm SB, M là điểm đối xứng với B qua A. Mặt phẳng V
(MNC) chia khối chóp thành hai phần có thể tích lần lượt là V ,V với 1 V  V ;  k . Tìm k 1 2 1 2 V2 5 5 5 5 A. B. C. D. 7 9 11 13 56
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TỈ SỐ KHỐI CHÓP TỨ GIÁC – P3)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Các điểm M, N, P, Q lần lượt là trọng tâm các tam giác
SAB, SBC, SCD, SDA. O là điểm bất kỳ trên mặt phẳng đáy ABCD. Biết thể tích khối chóp OMNPQ bằng 4, tính
thể tích khối chóp S.ABCD. A. 54 B. 48 C. 60 D. 56
Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, H và K lần lượt là trung điểm của SB, SD.
Tính thể tích khối chóp AOHK khi khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 32. A. 4 B. 6 C. 8 D. 5
Câu 3. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, thể tích bằng 12. Gọi M là trung điểm cạnh SA, các
điểm E, F lần lượt đối xứng với A qua B và D. Mặt phẳng (MEF) cắt các cạnh SB, SD tương ứng tại N, P. Thể
tích khối đa diện ABCDMNP bằng A. 4 B. 6 C. 8 D. 3
Câu 4. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành với thể tích bằng 12. Gọi M là điểm đối xứng của C
qua B, N là trung điểm cạnh SC, mặt phẳng (MDN) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện, thể tích khối
đa diện chứa đỉnh S bằng A. 6 B. 7 C. 5 D. 8
Câu 5. Khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA = 2a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD)
cùng vuông góc với (ABCD). Một mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt
tại B’, C’, D’. Gọi V ,V lần lượt là thể tích của khối chóp S.AB C  D
 và khối đa diện ABC . D B C  D  . Khi đó tỉ số 1 2 V :V bằng 1 2 8 7 13 12 A. B. C. D. 7 6 12 7
Câu 6. Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 16 với đáy ABCD là hình bình hành, M và N lần lượt là trung
điểm các cạnh SA, SB và P là điểm bất kỳ thuộc cạnh CD. Thể tích khối tứ diện AMNP là 4 A. 2 B. 3 C. D. 5 3
Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, các điểm M, N, P, Q lần lượt là trọng tâm các
tam giác SAB, SBC, SCD, SDA. Thể tích khối chóp S.MNPQ là 4, thể tích của khối chóp S.ABCD là A. 27 B. 21 C. 16 D. 10,125
Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD ,
SA  a . M , K tương ứng là trọng tâm tam giác SAB, SCD ; N là trung điểm của BC . Thể tích khối tứ diện m S.MNK bằng 3 .a với m, n  ¥ ,  ,
m n 1. Giá trị m  n bằng n
A. 28 . B. 12 . C. 19 . D. 32 .
Câu 9. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 6 
0 . Gọi M là điểm đối xứng với C qua D và N là trung điểm của cạnh SC . Mặt phẳng BMN chia khối chóp
S.ABCD thành hai khối đa diện H và H , trong đó H chứa điểm C . Thể tích của khối H là 1  1  2  1  3 7 6a 3 5 6a 3 5 6a 3 7 6a A. . B. . C. . D. . 72 72 36 36
Câu 10. Cho khối chóp S.ABCD có chiều cao bằng 9 và đáy là hình bình hành có diện tích bằng 10. Gọi
M , N , P và Q lần lượt là trọng tâm của các mặt bên SAB , SBC , SCD và SDA . Thể tích của khối đa diện lồi
có đỉnh là các điểm M , N , P,Q, B và D bằng 25 50 A. 9 . B. 30 . C. . D. . 3 9
Câu 11. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a , tâm của đáy là O . Gọi M , N
tương ứng là trung điểm các cạnh S ,
A SC . Gọi E là giao điểm của SD và mặt phẳng (BMN ). Tính thể tích V của khối chóp . O BMEN . 3 a 2 3 a 2 3 a 2 3 a 2 A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 18 24 12 36
Câu 12. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có diện tích bằng 2
12a ; khoảng cách từ S tới
mặt phẳng  ABCD bằng 4a . Gọi L là trọng tâm tam giác ACD ; gọi T và V lần lượt là trung điểm các cạnh 57
SB và SC. Mặt phẳng LTV  chia hình chóp thành hai khối đa diện, hãy tính thể tích của khối đa diện chứa đỉnh S . 3 20a 3 28a 3 32a A. . B. 3 8a . C. . D. . 3 3 3
Câu 13. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi M , N , P, Q lần lượt là trọng
tâm các tam giác SAB, SBC, SCD, SDA và O là giao điểm của AC với BD . Thể tích khối chóp . O MNPQ bằng 3 2a 2 3 a 2 3 2a 3 a 2 A. . B. . C. . D. . 81 81 81 54
Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng
ABCD và SA  a 3 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và SD; mặt phẳng  AMN
cắt SC tại I . Tính thể tích của khối đa diện ABCDMNI . 3 5a 3 3 5a 3 3 5a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 18 6 36 18
Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B , SA   ABCD , AD  3a , uuur 1 uuur
SA  BC  AB  a . Gọi S là điểm thỏa mãn SS  AB . Tính thể tích khối đa diện SS A  BCD . 2 3 13a 3 11a 3 11a 3 13a A. . B. . C. . D. . 10 12 10 12
Câu 16. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc 60o . Gọi M là
điểm đối xứng của C qua D, N là trung điểm SC. Mặt phẳng (BMN ) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần V
(như hình vẽ bên). Tỉ số thể tích giữa hai phần SABFEN bằng VBFDCNE 7 7 7 7 A. . B. . C. . D. . 5 6 3 4
Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có chiều cao bằng 9 và đáy là hình bình hành có diện tích bằng 27 . Gọi
M , N , P,Q lần lượt là các trọng tâm của các mặt bên SAB , SBC , SCD , SDA . Tính thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh , A B,C, D, M , N , P,Q . A. 54 . B. 51 . C. 41. D. 57 . 58
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TỈ SỐ KHỐI CHÓP TỨ GIÁC – P4)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a, SA vuông góc với đáy (ABCD). Góc a 3
giữa SB và (ABCD) bằng 60o , điểm M thuộc SA sao cho AM 
, mặt phẳng (BCM) cắt SD tại N. Tính thể 3 tích khối chóp S.BCMN 3 5a 3 3 10a 3 3 10a 3 3 10a A. B. C. D. 9 9 27 27
Câu 2. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích bằng 48. Trên các cạnh SA, SB, SC, SD lần SA SC 1 SB SD 3
lượt lấy các điểm A’, B’, C’, D’ sao cho   ; 
 . Tính thể tích khối đa diện lồi SA SC 3 SB SD 4 S.A’B’C’D’. A. 9 B. 10 C. 12 D. 15
Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy (ABCD), ABCD là hình chữ nhật với SA = AD = 2, góc
hợp bởi (SBC) và mặt phẳng đáy (ABCD) là 60o . Gọi G là trọng tâm tam giác SBC, E là trung điểm của SA, thể
tích khối chóp E.AGD gần nhất giá trị nào ? A. 0,256 B. 0,252 C. 0,564 D. 0,418
Câu 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc 60o . M là điểm
đối xứng với C qua D, N là trung điểm của SC, mặt phẳng (BMN) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần, tính tỉ
số thể tích của hai phần đó (phần lớn chia cho phần bé). 7 A. 1,4 B. 1,8 C. 1,2 D. 3
Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M là trung điểm của SB và G là trọng tâm tam
giác SBC. Tính thể tích khối chóp G.ABD khi khối chóp M.ABC có thể tích bằng 18. A. 12 B. 15 C. 10 D. 16
Câu 6. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, B’ và D’ theo thứ tự là trung điểm của SB, SD. Mặt
phẳng (AB’D’) cắt cạnh SC tại C’. Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện được chia ra bởi mặt phẳng (AB’D’). 1 1 1 A. 0,5 B. C. D. 6 12 5
Câu 7. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Mặt phẳng   qua A và vuông góc với SC SB, SC, SD lần lượt tại
M, N, P sao cho 3SN = 2SB. Tính thể tích khối chóp S.AMNP khi khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 18 A. 6 B. 8 C. 9 D. 7,5
Câu 8. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 4, hai mặt phẳng (SAB), (SAD) cùng vuông
góc với đáy, biết rằng SC  4 3 . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh SB, SD, CD, BC. Tính thể tích khối chóp A.MNPQ. A. 12 B. 8 C. 10 D. 9
Câu 9. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M và N lần lượt là trung điểm của BC, SC. Mặt
phẳng (AMN) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần. Tính thể tích khối đa diện chứa đỉnh B khi thể tích khối chóp S.ABCD bằng 70. A. 22 B. 20 C. 25 D. 24
Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, I là trung điểm của SC. Tính thể tích khối chóp
S.ABCD khi thể tích khối chóp S.ABI bằng V. A. 4V B. 6V C. 8V D. 5V
Câu 11. Hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 45o . Gọi M, N, P lần
lượt là trung điểm của SA, SB, SD. Tính thể tích khối chóp A.MNP 3 a 3 3 a 3 a 3 a A. B. C. D. 18 16 24 6
Câu 12. Hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 60o . Gọi M là
trung điểm của SC, mặt phẳng qua AM và song song với BD cắt SB tại P, đồng thời cắt SD tại Q. Thể tích khối 18V chóp S.APMQ là V. Tính . 3 a A. 1 B. 3 C. 6 D. 2
Câu 13. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy (ABCD), góc giữa SC và 59
đáy bằng 45o , M là trung điểm SB, N thuộc cạnh SC sao cho SC = 3SN. Tính thể tích khối chóp D.MNCB 5 2 7 2 7 2 11 2 A. 3 a B. 3 a C. 3 a D. 3 a 36 36 30 30 uuur uuur
Câu 14. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, trong không gian lấy điểm S’ sao cho SS  2BC ,
V là phần thể tích chung giữa hai khối chóp S.ABCD và S’.ABCD. Biết khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 90, 1 khi đó thể tích V bằng 1 A. 40 B. 45 C. 50 D. 36
Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M và N lần lượt là trung điểm của AB, BC.
Điểm I thuộc đoạn SA, mặt phẳng (MNI) chia khối chóp thành hai phần, phần chứa đỉnh S có thể tích bằng 7 IA
lần phần còn lại. Tính tỉ số . 13 IS 2 1 A. B. C. 0,75 D. 0,5 3 3
Câu 16. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, K và M lần lượt là trung điểm của SA, SB. Mặt
phẳng   chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện. Tính thể tích khối đa diện chứa đỉnh S biết rằng thể
tích khối đa diện S.BCD bằng 32. A. 18 B. 20 C. 24 D. 16
Câu 17. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với đáy (ABCD). Trên đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại S lấy điểm S’ sao cho SA = 2S’D (S và S’ cùng phía đối với mặt phẳng
đáy). Tính thể tích phần chung giữa hai khối chóp S.ABCD và S’ABCD khi khối chóp S.ABD bằng 18. A. 14 B. 12 C. 10 D. 15
Câu 18. Cho khối chóp tứ giác S.ABCD có thể tích bằng 54. Mặt phẳng đi qua trọng tâm các tam giác SAB,
SAC, SAD chia khối chóp thành hai phần, trong đó thể tích phần bé hơn bằng A. 16 B. 18 C. 20 D. 12
Câu 19. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh bằng a. Cạnh bên bằng a 3 . M
là trung điểm của CD, H là điểm đối xứng với O qua đường thẳng SM. Tính thể tích khối đa diện ABCDSH. 3 a 10 3 a 10 3 a 10 3 5a 10 A. B. C. D. 12 18 24 24
______________________________________ 60
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TỈ SỐ KHỐI HỘP – P1)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Tính thể tích V của khối tứ diện ACD’B’. 3 a 3 a 2 3 a 3 a 6 A. B. C. D. 3 3 4 4
Câu 2. Cho khối hộp chữ nhật ABC . D AB C  D
  có thể tích bằng 48. Tính thể tích tứ diện A’ABC A. 8 B. 6 C. 4 D. 12 uuuur uuuur
Câu 3. Cho hình lập phương ABC . D AB C  D
  , M là điểm trên đường chéo CA’ sao cho MC  3MA. Tính
thể tích khối chóp M.ABCD biết thể tích khối lập phương ABC . D AB C  D   bằng 36. A. 12 B. 27 C. 4 D. 9 Câu 4. Cho khối hộp ABC . D AB C  D
  , M thuộc cạnh AB sao cho MB = 2MA, mặt phẳng (MB’D’) chia khối hộp
thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó. 5 7 13 5 A. B. C. D. 12 17 41 17 Câu 5. Cho khối hộp ABC . D AB C  D
  có thể tích bằng 30. Tính thể tích khối chóp ACB’D’ A. 10 B. 20 C. 6 D. 24 Câu 6. Cho hình hộp ABC . D AB C  D
  có chiều cao bằng 8 và diện tích đáy bằng 9, các điểm M, N, P, Q lần
lượt là tâm các mặt bên ABB’A’, BCC’B’, CDD’C’, DAA’D’. Thể tích của khối đa diện có các đỉnh A, B, C, D, M, N, P, Q bằng A. 27 B. 30 C. 18 D. 36 Câu 7. Khối hộp ABC . D AB C  D
  có thể tích bằng 48, M là trung điểm cạnh AB, mặt phẳng (MB’D’) chia khối chóp ABC . D AB C  D
  thành hai khối đa diện, thể tích khối đa diện chứa đỉnh A bằng A. 14 B. 16 C. 15 D. 21
Câu 8. Cho khối lập phương ABC . D A B  C  D
  có thể tích bằng 144. M là trung điểm của BC, N thuộc cạnh CD
sao cho CD = 3CN, mặt phẳng (A’MN) chia khối lập phương thành hai khối, (H) là khối đa diện chứa điểm A thì thể tích của (H) bằng A. 55 B. 56 C. 60 D. 49 Câu 9. Cho khối hộp ABC . D AB C  D
  có thể tích bằng 226, các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của BC,
C’D’, DD’. Thể tích khối đa diện AMNP bằng A. 28,25 B. 28,5 C. 29 D. 29,25 uuur uuur
Câu 10. Cho khối hộp ABC . D A B  C  D
  có thể tích bằng 54. Điểm E thỏa mãn AE  3AB . Thể tích khối đa
diện gồm các điểm chung của khối hộp và khối chóp E.ADD’ bằng A. 19 B. 20 C. 18 D. 21 uuur uuur
Câu 11. Cho khối hộp ABC . D A B  C  D
  có thể tích bằng 54. Điểm E thỏa mãn AE  3AB . Thể tích khối đa
diện gồm các điểm chung của khối hộp và khối chóp E.ADD’ bằng A. 19 B. 20 C. 18 D. 21
Câu 12. Cho khối hộp ABC . D AB C  D
  có thể tích bằng 226, các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của BC,
C’D’, DD’. Thể tích khối đa diện AMNP bằng A. 28,25 B. 28,5 C. 29 D. 29,25 Câu 13. Khối hộp ABC . D AB C  D
  có thể tích bằng 48, M là trung điểm cạnh AB, mặt phẳng (MB’D’) chia khối chóp ABC . D AB C  D
  thành hai khối đa diện, thể tích khối đa diện chứa đỉnh A bằng A. 14 B. 16 C. 15 D. 21 Câu 14. Cho hình hộp ABC . D AB C  D
  có chiều cao bằng 8 và diện tích đáy bằng 9, các điểm M, N, P, Q lần
lượt là tâm các mặt bên ABB’A’, BCC’B’, CDD’C’, DAA’D’. Thể tích của khối đa diện có các đỉnh A, B, C, D, M, N, P, Q bằng A. 27 B. 30 C. 18 D. 36 Câu 15. Khối hộp ABC .
D A' B 'C ' D ', M là trung điểm của C ' D '.N là điểm trên cạnh AD sao cho DN = 2AN. V
Mặt phẳng  B ' MN  chia khối hộp thành hai phần có thể tích lần lượt là V ;V thoả mãn V  V . Tỉ lệ 1 bằng 1 2 1 2 V2 1 47 47 88 A. . B. . C. . D. . 3 135 88 135
Câu 16. Cho ABCDA B C D là hình lập phương cạnh a . Tính thể tích của tứ diện ACB D . 1 1 1 1 1 1 3 a 3 a 2 3 a 3 a 6 A. . B. . C. . D. . 6 3 3 4 61
Câu 17. Cho hình lập phương ABC .
D A' B 'C ' D ' có cạnh bằng a . Gọi M , N, P,Q, R, S là tâm các mặt của hình
lập phương. Thể tích khối bát diện đều tạo bởi sáu đỉnh M , N , P, Q, R, S bằng 3 a 2 3 a 3 a 3 a A. B. C. D. 24 4 12 6
Câu 18. Cho hình hộp chữ nhật ABC . D A' B 'C ' D ' có AB  ,
a AD  a 3, AA'  3a . Gọi M là điểm thuộc
cạnh CC ' sao cho mp(MBD) vuông góc với mp(A' BD) . Thể tích khối tứ diện A' BDM bằng 3 13 3a 3 10a 3 100a 3 100a A. . B. . C. . D. 8 9 3 7
Câu 19. Cho khối hộp ABC .
D A' B 'C ' D ' có thể tích bằng 2019. Gọi M là trung điểm của cạnh AB . Mặt phẳng
(MB ' D ') chia khối hộp ABC .
D A' B 'C ' D 'thành hai khối đa diện. Tính thể tích phần khối đa diện chứa đỉnh A . 7063 14133 4711 4711 A. . B. . C. . D. . 12 8 8 4
Câu 20. Cho khối hộp ABC .
D A' B 'C ' D 'có thể tích bằng 2020, M là trung điểm của AB. Mặt phẳng (MB’D’) chia
khối hộp thành hai khối đa diện. Tính thể tích phần khối đa diện chứa đỉnh A. 3535 8585 A. 1767,5 B. 252,5 C. D. 6 6
Câu 21. Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’, M và N lần lượt là trung điểm AB, AD. Mặt phẳng (C’MN) chia V
khối lập phương thành hai khối đa diện có thể tích V1, V2 trong đó V1< V2. Tính 1 . V2 1 13 25 A. B. C. 0,5 D. 3 23 47
Câu 22. Cho hình hộp chữ nhật ABC . D AB C  D
  . M là trung điểm của B’B. Mặt phẳng (MDC’) chia khối hộp
chữ nhật thành hai khối đa diện, một khối chứa đỉnh C và một khối chứa đỉnh A’. Gọi V ,V lần lượt là thể tích 1 2 V
của hai khối đa diện chứa đỉnh C và A’. Tính tỉ số 1 . V2 7 7 7 17 A. B. C. D. 24 17 12 24
______________________________________ 62
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TỈ SỐ KHỐI HỘP – P2)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Câu 1. Cho hình hộp ABC . D AB C  D
  có thể tích bằng 36. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD’. Tính thể tích của khối chóp G.ABC’. A. 12 B. 6 C. 3 D. 2 Câu 2. Cho hình hộp ABC . D AB C  D
  có đáy là hình chữ nhật với AB  3; AD  7 . Hai mặt phẳng
(ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy các góc 45o,60o. Tính thể tích của khối hộp nếu biết cạnh bên hình hộp bằng 1. A. 3 B. 5 C. 4 D. 2 Câu 3. Cho hình hộp ABC . D AB C  D
  có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, ·
ABC  60o. Biết rằng A’O
vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và cạnh bên hợp với đáy một góc 60o . Tính thể tích V của khối đa diện OABC’D’ 3 a 3 a 3 a 3 3a A. B. C. D. 6 12 8 4
Câu 4. Cho khối lập phương ABC . D AB C  D
  . Gọi I là trung điểm của BB’. Mặt phẳng (DIC’) chia khối lập
phương thành hai phần có tỉ số thể tích phần bé chia phần lớn bằng 3 2 7 5 A. B. C. D. 8 3 17 12
Câu 5. Cho khối lập phương ABC . D AB C  D
  . M và N lần lượt là trung điểm AB, AD. Mặt phẳng (C’MN) chia
khối lập phương thành hai khối đa diện, đặt V1 là thể tích khối đa diện có thể tích nhỏ và V2 là thể tích khối đa V
diện có thể tích lớn. Tính 1 . V2 1 13 25 A. B. C. D. 0,5 3 23 47
Câu 6. Cho hình lập phương ABC . D AB C  D
  , gọi M là trung điểm BB’ và điểm P thuộc cạnh D’D sao cho D’P
= 2DP. Mặt phẳng (AMP) chia hình lập phương thành hai khối đa diện, trong đó V1 là thể tích khối đa diện chứa V
đỉnh C, V2 là thể tích khối đa diện còn lại. Tính 1 . V2 19 5 A. B. 0,75 C. 0,6 D. 29 7 Câu 7. Cho hình hộp ABC . D A B  C  D
  có thể tích bằng 80. Gọi M, N lần lượt là trung điểm A’A, B’B. Điểm P
thuộc cạnh C’C sao cho CC’ = 4CP. Mặt phẳng (MNP) chia hình hộp thành hai khối đa diện, trong đó khối đa
diện nhỏ hơn có thể tích bằng A. 30 B. 40 C. 25 D. 32
Câu 8. Người ta cắt một khối lập phương thành hai khối đa diện bởi
một mặt phẳng đi qua A như hình vẽ sao cho phần thể tích của khối đa
diện chứa điểm B bằng một nửa thể tích khối đa diện còn lại. Tính CN . C C  1 2 A. 0,5 B. 0,75 C. D. 3 3 Câu 9. Cho hình hộp ABC . D AB C  D
  có thể tích bằng 12; trên mặt phẳng (ABCD) lấy điểm M. Tính VM.ABC. A. 2 B. 4 C. 3 D. 6
Câu 10. Với mỗi đỉnh của hình lập phương, xét tứ diện xác định bởi đỉnh ấy và các trung điểm của ba cạnh cùng
xuất phát từ đỉnh ấy. Khi ta cắt bỏ các khối tứ diện này thì tỉ số thể tích phần còn lại so với khối lập phương bằng 39 39 A. 0,75 B. C. 0,8 D. 50 50
Câu 11. Cho hình lập phương ABC . D AB C  D
  , gọi N, P là các điểm lần lượt thuộc các cạnh BC, CD sao cho 63
BN = 2NC và DP = 2PC. Mặt phẳng (A’MN) chia khối lập phương thành hai phần V1 là thể tích khối đa diện V
chứa đỉnh A, V2 là thể tích khối đa diện còn lại. Tính 1 . V2 25 25 105 109 A. B. C. D. 47 49 161 161
Câu 12. Hình lập phương ABC . D AB C  D
  có cạnh bằng a, tâm O. Tính thể tích khối tứ diện A.A’B’O’ theo a 3 a 3 a 3 a 3 a 2 A. B. C. D. 8 12 9 3 2 a 13
Câu 13. Cho hình hộp chữ nhật ABC . D AB C  D
  có AB = a, AB = 2a. Diện tích tam giác A’DC bằng . 2
Tính thể tích của khối chóp A’.BCC’B’. 3 8a 13 A. B. 3 2a C. 3 3a D. 3 6a 39
Câu 14. Khối lập phương ABC . D AB C  D
  có cạnh a, tính thể tích khối chóp tứ giác D.ABC’D’ 3 a 3 a 2 3 a 2 3 a A. B. C. D. 3 6 3 4
Câu 15. Cho hình lập phương ABC . D AB C  D
  cạnh a. Gọi M là trung điểm của A’B’, N là trung điểm BC. Tính
thể tích của khối tứ diện của khối tứ diện ADMN. 3 a 3 a 3 a 3 a A. B. C. D. 3 6 12 2
Câu 16. Cho hình lập phương ABC . D AB C  D
  , M và N lần lượt là trung điểm của AB, AD. Mặt phẳng (C’MN)
chia khối lập phương thành hai khối đa diện, đặt V1 là thể tích khối đa diện có chứa đỉnh C và V2 là thể tích khối V
đa diện còn lại. Tính 1 . V2 25 13 11 10 A. B. C. D. 47 23 19 27
Câu 17. Hình lập phương ABC . D AB C  D
  , M là điểm thuộc cạnh AD sao cho AM = 2MD. Mặt phẳng (C’BM)
chia khối lập phương thành hai phần, phần 1 chứa đỉnh C và có thể tích V1, phần còn lại có thể tích V2. Tính V1 . V2 13 13 15 11 A. B. C. D. 41 27 47 43
Câu 18. Cho hình lập phương ABC . D A B  C  D
  , gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh A’B’, BC. Mặt
phẳng (DMN) chia hình lập phương thành hai phần, V1 là thể tích của phần chứa đỉnh A, V2 là thể tích của phần V
còn lại. Tính tỉ số 1 . V2 55 37 2 A. B. C. D. 0,5 89 48 3
______________________________________ 64
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TỈ SỐ KHỐI HỘP – P3)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Các điểm E, F lần lượt là trung điểm của C’B’ và C’D’. Mặt
phẳng (AEF) cắt khối lập phương đã cho thành hai phần, gọi V1 là thể tích khối đa diện chứa điểm A’ và V2 là V
thể tích khối đa diện chứa điểm C’. Tính tỉ số 1 . V2 25 8 17 A. 1 B. C. D. 47 17 25
Câu 2. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. M và N lần lượt là trung điểm của A’B’ và BC. Mặt phẳng
(DMN) chia khối lập phương thành hai khối đa diện. Gọi (H) là khối đa diện chứa đỉn9h A và (H’) là khối đa diện V còn lại. Tính (H ) . V(H) 55 37 1 2 A. B. C. D. 89 48 2 3
Câu 3. Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có thể tích bằng 1. Gọi E, F lần lượt là các điểm thuộc các cạnh BB’ và DD’
sao cho BE = 2EB’, DF = 2FD’. Tính thể tích khối tứ diện ACEF. 2 2 1 1 A. B. C. D. 3 9 9 6
Câu 4. Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ có thể tích bằng 2018. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Mặt
phẳng (MB’D’) chia khối lập phương thành hai khối đa diện. Khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích gần bằng A. 840,8 B. 1177,6 C. 593,5 D. 588,5
Câu 5. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = 2a, AC’ = 3a. Điểm N thuộc cạnh BB’ sao cho
NB = 2NB’. Điểm M thuộc cạnh DD’ sao cho D’M = 2MD. Mặt phẳng (A’MN) chia hình hộp chữ nhật thành hai
phần, tính thể tích phần chứa điểm C’. A. 3 4a B. 3 a C. 3 2a D. 3 3a
Câu 6. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và A’B. Mặt phẳng
(MND’) chia khối lập phương thành hai khối đa diện trong đó khối chứa điểm C gọi là (H). Thể tích khối (H) là 3 55a 3 55a 3 181a 3 55a A. B. C. D. 17 144 486 48 uuuuur uuuur uuuur uuur
Câu 7. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có thể tích V, gọi M, N là hai điểm thỏa mãn D M   2MD;C N   2NC .
Đường thẳng AM cắt đường thẳng A’D’ tại P, đường thẳng BN cắt đường thẳng B’C’ tại Q. Thể tích của khối PQNMD’C’ bằng 2V V V 3V A. B. C. D. 3 3 2 4 uuuur 2 uuur
Câu 8. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có thể tích bằng 1. Gọi M là điểm thỏa mãn BM  BB và N là trung 3
điểm của DD’. Mặt phẳng (AMN) chia hình hộp thành hai phần, thể tích phần có chứa điểm A’ bằng 67 4 3 181 A. B. C. D. 144 9 8 432
Câu 9. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Gọi N là trung điểm của B’C’, P đối xứng với B qua B’. Khi đó
mặt phẳng (PAC) chia khối hộp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích phần lớn và phần bé. 7 17 25 25 A. B. C. D. 3 7 7 14
Câu 10. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BC, C’D’, DD’. Biết
thể tích khối hộp bằng 144. Tính thể tích khối tứ diện AMNP. A. 15 B. 24 C. 20 D. 18
Câu 11. Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có A’A = 2, đáy ABCD là hình thoi với ABC là tam giác đều cạnh 4.
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của B’C’; C’D’;DD’ và Q thuộc cạnh BC sao cho QC = 3QB. Tính thể tích tứ diện MNPQ. 3 3 3 3 A. 3 3 B. C. D. 2 4 2
Câu 12. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Gọi M, N, P, Q lần lượt là tâm các hình vuông 65
ABB’A’, A’B’C’D’, ADD’A’, CDD’C’. Tính thể tích MNPR với R là trung điểm BQ. 3 2 1 1 A. B. C. D. 12 24 12 24
Câu 13. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bằng a và ·
BAC  60o . Gọi I, J lần a 7
lượt là tâm của các mặt bên ABB’A’, CDD’C’. Biết AI 
, A’A = 2a và góc giữa hai mặt phẳng (ABB’A’), 2
(A’B’C’D’) bằng 60o . Tính theo a thể tích khối tứ diện AOIJ. 3 3 3 3 3 A. 3 a B. 3 a C. 3 a D. 3 a 64 48 32 192
Câu 14. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có chiều cao bằng 8 và diện tích đáy bằng 11. Gọi M là trung điểm của
A’A, N là điểm trên cạnh B’B sao cho BN = 3B’N và P là điểm trên cạnh C’C sao cho 6CP = 5C’P. Mặt phẳng
(MNP) cắt cạnh D’D tại Q. Tính thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B, C, D, M, N, P, Q. 88 220 A. 42 B. 44 C. D. 3 3
Câu 15. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của A’B’ và BC.
Mặt phẳng (DMN) chia hình lập phương thành hai phần. Gọi V1 là thể tích của phần chứa đỉnh A và V2 là thể V
tích phần còn lại. Tính tỉ số 1 . V2 55 2 37 A. 0,5 B. C. D. 89 3 48
Câu 16. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A’A = a. Gọi M, N là hai điểm thuộc cạnh BB’ và DD’ sao cho a
BM  DN  . Mặt phẳng (AMN) chia khối hộp thành hai phần, gọi V 3
1 là thể tích khối đa diện chứa A’ và V2 là V
thể tích phần còn lại. Tỉ số 1 bằng V2 A. 1,5 B. 2 C. 2,5 D. 3
Câu 17. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Điểm M là trung điểm cạnh BC và I là tâm hình
vuông CDD’C’. Mặt phẳng (AMI) chia khối lập phương thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện không chứa
điểm D có thể tích bằng 7 7 29 22 A. 3 a B. 3 a C. 3 a D. 3 a 36 29 36 29
______________________________________ 66
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TỈ SỐ KHỐI LĂNG TRỤ – P1)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho hình lăng trụ ABC.A B  C
 có thể tích V , E là trung điểm của A’C’, F là giao điểm của AE và A’C. 1 V
Khối chóp F.A’B’C’ có thể tích V . Tính tỉ số 2 2 V1 1 1 1 2 A. B. C. D. 3 6 9 9
Câu 2. Khối lăng trụ AB . C A B  C
  có thể tích V khi đó thể tích khối chóp tứ giác . A BCC B   bằng 2 1 1 3 A. V . B. V . C. V . D. V . 3 2 3 4 V
Câu 3. Cho hình lăng trụ AB . C A B  C
  ; M , N lần lượt là trung điểm của CC và BB . Tính tỉ số ABCMN . VABC.AB C 1 1 1 2 A. . B. . C. . D. . 6 3 2 3
Câu 4. Cho hình lăng trụ ABC.A B  C
 , M là trung điểm của CC . Mặt phẳng  ABM  chia khối lăng trụ thành V
hai khối đa diện. Gọi V là thể tích khối đa diện chứa đỉnh C và V là thể tích khối đa diện còn lại. Tính tỉ số 1 . 1 2 V2 1 1 1 2 A. . B. . C. . D. . 5 6 2 5 Câu 5. Cho hình hộp ABC . D A B  C  D
  có M , N lần lượt trung điểm AA , CC . V là thể tích khối đa diện 1 V
chứa đỉnh A và V là thể tích khối đa diện còn lại. Tính tỉ số 1 . 2 V2 1 2 A. 2. B. . C. 1. D. . 2 3
Câu 6. Khối hộp chữ nhật ABC . D A B  C  D
  có thể tích bằng 2110 .
Biết AM  MA ; DN  3ND ; CP  2PC . Mặt phẳng MNP chia
khối hộp đã cho thành hai khối đa diện. Thể tích khối đa diện nhỏ hơn bằng 7385 5275 8440 5275 A. . B. . C. . D. . 18 12 9 6 Câu 7. Cho lăng trụ AB . C A B  C
  có thể tích bằng 2 . Gọi M , N lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh AA và 2
BB sao cho M là trung điểm của AA và BN 
BB . Đường thẳng CM cắt đường thẳng C A   tại P và 3
đường thẳng CN cắt đường thẳng C B
  tại Q. Thể tích khối đa diện AMPB N  Q bằng 5 13 7 7 A. . B. . C. . D. . 9 18 18 9
Câu 8. Cho khối lăng trụ ABC.AB C
  có thể tích bằng 12. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng
A’A và B’B. Đường thẳng CM cắt đường thẳng C’A’ tại P, đường thẳng CN cắt đường thẳng C’B’ tại Q. Thể tích
khối đa diện lồi AMPB N  Q bằng A. 6 B. 8 C. 9 D. 5
Câu 9. Cho khối lăng trụ ABC.A B  C
  có thể tích bằng 18. Gọi M, N lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh A’A
và B’B sao cho M là trung điểm của A’A và 3B’N = 2B’B. Đường thẳng CM cắt đường thẳng A’C’ tại P và đường
thẳng CN cắt đường thẳng B’C’ tại Q. Thể tích khối đa diện A’MPB’NQ bằng A. 6 B. 5 C. 7 D. 8
Câu 10. Cho lăng trụ đều ABC.AB C
  có độ dài tất cả các cạnh bằng 3. Gọi M, N là trung điểm của hai cạnh
AB và AC. Thể tích khối đa diện AMN.AB C
 gần nhất với giá trị nào ? A. 6,82 B. 5,84 C. 7,12 D. 6,64
Câu 11. Cho khối lăng trụ ABC.A B  C  có thể tích bằng 3
12a và điểm M là một điểm nằm trên cạnh
CC sao cho MC  3MC . Tính thể tích của khối tứ diện AB M  C theo a. 67 A. 3 2a . B. 3 4a . C. 3 3a . D. 3 a .
Câu 12. Lăng trụ tam giác đều AB . C A B  C
 cạnh đáy bằng a , chiều cao 2a . Mặt phẳng P qua B và V
vuông góc với AC chia lăng trụ thành hai khối. Thể tích của hai khối là V và V với V  V . Tỉ số 1 1 2 1 2 V2 bằng 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 23 11 7 47
Câu 13. Cho khối lăng trụ ABC.A B  C
  có thể tích bằng 1. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các
đoạn thẳng AA và BB . Đường thẳng CM cắt đường thẳng C A
  tại P , đường thẳng CN cắt đường thẳng C B
  tại Q . Thể tích khối đa diện lồi A M  PB N  Q bằng 1 2 1 A. 1. B. . C. . D. . 2 3 3
Câu 14. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.AB C
  , đường thẳng đi qua trọng tâm tam giác ABC song song với BC cắt
AB tại M , cắt AC tại N . Mặt phẳng  AMN  chia khối lăng trụ thành hai phần, tỉ số thể tích khối nhỏ và khối lớn bằng 2 4 4 4 A. . B. . C. . D. . 3 9 23 27
Câu 15. Cho lăng trụ đứng ABC.AB C
  có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB  a , BC  2a và mặt bên ACC A
  là hình vuông. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AC , CC và H là hình chiếu của A lên BC (
Tham khảo hình vẽ bên ). Thể tích khối chóp A '.HMN bằng 3 3a 3 a 3 9a 3 9a A. . B. . C. . D. . 4 32 16 32
Câu 16. Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A' B 'C ' có tất cả các cạnh đều bằng 2a . Mặt phẳng đi
qua A' B ' và trọng tâm tam giác ABC cắt AC và BC lần lượt tại E và F . Tính thể tích V của khối chóp . C A' B ' FE . 3 8a 3 3 2a 3 3 2a 3 3 20a 3 A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 27 27 9 27
Câu 17. Cho khối lăng trụ ABC.A B  C
  có thể tích bằng 1. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các
đoạn thẳng AA và BB . Đường thẳng CM cắt đường thẳng C A
  tại P , đường thẳng CN cắt đường thẳng C B
  tại Q . Thể tích khối đa diện lồi A M  PB N  Q bằng 1 2 1 A. 1. B. . C. . D. . 2 3 3 68
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TỈ SỐ KHỐI LĂNG TRỤ – P2)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Biết hình hộp ABC . D A B  C  D
  có thể tích V . Nếu tăng mỗi cạnh của hình hộp lên gấp hai lần thì thể tích khối hộp mới là: A. 16V . B. 4V . C. 2V . D. 8V .
Câu 2. Cho hình lăng trụ ABC.AB C
  có thể tích bằng V . Gọi M là trung điểm cạnh BB , điểm N thuộc cạnh CC sao cho CN  2C N
 . Tính thể tích khối chóp . A BCNM theo V . 7V 7V 5V V A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . . A BCNM 12 . A BCNM 18 . A BCNM 18 . A BCNM 3 V
Câu 3. Cho hình lăng trụ ABC.AB C
  . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của CC và BB . Tính ABCMN . VABC.A B C 1 1 1 2 A. . B. . C. . D. . 6 3 2 3
Câu 4. Khối lăng trụ ABC.AB C
  có thể tích V khi đó thể tích khối chóp tứ giác . A BCC B   bằng 2 1 1 3 A. V . B. V . C. V . D. V . 3 2 3 4
Câu 5. Cho hình lăng trụ ABC.AB C
 , M là trung điểm của CC . Mặt phẳng  ABM  chia khối lăng trụ thành V
hai khối đa diện. Gọi V là thể tích khối đa diện chứa đỉnh C và V là thể tích khối đa diện còn lại. Tính 1 . 1 2 V2 1 1 1 2 A. . B. . C. . D. . 5 6 2 5 Câu 6. Cho hình hộp ABC .
D A' B 'C ' D ' có M , N lần lượt trung điểm AA', CC '. V là thể tích khối đa diện 1 V
chứa đỉnh A và V là thể tích khối đa diện còn lại. Tính tỉ số 1 . 2 V2 1 2 A. 2. B. . C. 1. D. . 2 3
Câu 7. Cho khối lăng trụ ABC.AB C
  có thể tích bằng V . Tính thể tích khối đa diện ABCB C   . 3V 2V V V A. . B. . C. . D. . 4 3 2 4
Câu 8. Gọi V là thể tích của hình lập phương ABC . D A B  C  D
  , V là thể tích của khối tứ diện A A  BD. Hệ thức 2 nào sau đây đúng. A. V  3V . B. V  4V . C. V  6V . D. V  2V . 1 1 1 1
Câu 9. Cho khối lăng trụ ABC.AB C
  có thể tích là V . Tính thể tích khối đa diện ABCB C   . 3V 2V V V A. . B. . C. . D. . 4 3 2 4
Câu 10. Cho hình lăng trụ ABC. AB C
  có thể tích V , M là điểm tùy ý trên cạnh CC . Thể tích khối M . ABB A   là 2V V V V A. . B. . C. . D. . 3 3 2 6
Câu 11. Gọi V là thể tích khối lập phương ABC . D A B  C  D
  , V  là thể tích khối tứ diện A A  BD . Hệ thức nào dưới đây là đúng? A. V  4V  . B. V  8V  . C. V  6V  . D. V  2V  .
Câu 12. Cho lăng trụ đều ABC.A' B 'C ' có tất cả các cạnh bằnga. Gọi S là điểm đối xứng của A qua BC ' . Thể
tích khối đa diện ABCSB 'C ' là 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. . B. 3 a 3 . C. . D. . 3 6 2 69
Câu 13. Cho khối lăng trụ AB . C A B  C
 có thể tích bằng 9. Điểm M thuộc cạnh C’C sao cho MC = 2MC’. Thể tích
khối đa diện AB’CM bằng A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 14. Cho lăng trụ đứng ABCD.A B  C  D
  , có đáy là hình thoi cạnh 4a , ·
AA  8a, BAD 120 . Gọi M , N, K lần
lượt là trung điểm của các cạnh AB , B C
 , BD . Thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm , A B, C, M , N , K bằng 28 3 40 3 A. 3 12 3a . B. 3 a . C. 3 16 3a . D. 3 a . 3 3
Câu 15. Lăng trụ tam giác đều AB . C A B  C
 cạnh đáy bằng a , chiều cao 2a . Mặt phẳng P qua B và V
vuông góc với AC chia lăng trụ thành hai khối. Thể tích của hai khối là V và V với V  V . Tỉ số 1 1 2 1 2 V2 bằng 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 23 11 7 47
Câu 16. Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A' B 'C ' có tất cả các cạnh đều bằng 2a . Mặt phẳng đi
qua A' B ' và trọng tâm tam giác ABC cắt AC và BC lần lượt tại E và F . Tính thể tích V của khối chóp . C A' B ' FE . 3 8a 3 3 2a 3 3 2a 3 3 20a 3 A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 27 27 9 27
Câu 17. Cho lăng trụ đứng ABC.AB C
  có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB  a , BC  2a và mặt bên ACC A
  là hình vuông. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AC , CC và H là hình chiếu của A lên BC (
Tham khảo hình vẽ bên ). Thể tích khối chóp A '.HMN bằng 3 3a 3 a 3 9a 3 9a A. . B. . C. . D. . 4 32 16 32
Câu 18. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.AB C
  , đường thẳng đi qua trọng tâm tam giác ABC song song với BC cắt
AB tại M , cắt AC tại N . Mặt phẳng  AMN  chia khối lăng trụ thành hai phần, tỉ số thể tích khối nhỏ và khối lớn bằng 2 4 4 4 A. . B. . C. . D. . 3 9 23 27 70
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TỈ SỐ KHỐI LĂNG TRỤ – P3)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Câu 1. Cho lăng trụ AB . C 
A BC có chiều cao bằng 8 và đáy là tam giác đều cạnh bằng 4. Gọi M, N và P lần
lượt là tâm các mặt bên ABBA , ACC A và BCCB . Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B, C, M, N, P bằng 28 3 40 3 A. 12 3 B. 16 3 C. D. 3 3
Câu 2. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.AB C
  có tất cả các cạnh bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và B C  . Mặt phẳng  A M
 N  cắt cạnh BC tại .
P Thể tích khối đa diện MB . P A B  N  bằng. 3 a 3 3 7a 3 3 7a 3 3 7a 3 A. . B. . C. . D. . 32 96 32 68 A' C' M
Câu 3. Cho hình lăng trụ ABC.A B  C
  có đáy là tam giác đều cạnh S B' a a , đường cao bằng
. Gọi M là trung điểm của cạnh B C  , biết 6 O
hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng  ABC là trọng tâm G
của tam giác ABC . Gọi S là điểm đối xứng của M qua tâm O của A C mặt bên BCC B
  (minh họa như hình bên dưới). Thể tích khối đa G diện SBACAB C   bằng: B 3 11a 3 3 5a 3 3 5a 3 3 11a 3 A. . B. . C. . D. . 216 72 216 72
Câu 4. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A B  C
  có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C , AB  2a và góc tạo bởi
hai mặt phẳng  ABC và  ABC bằng 60 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AC và BC . Mặt phẳng
 AMN chia khối lăng trụ thành hai phần. Thể tích của phần nhỏ bằng 3 7 3a 3 6a 3 7 6a 3 3a A. . B. . C. . D. . 24 6 24 3
Câu 5. Cho hình lăng trụ ABC .
D A' B 'C ' D ' có AD  2BC, AD song song với BC, M là trung điểm của cạnh
CC ', N thuộc cạnh AA ' sao cho A' N  3AN. Mặt phẳng  DMN  chia khối trụ đã cho thành hai phần có thể V
tích là V và V V  V . Tính 1 . 2  1 2  1 V2 V 11 V 11 V 23 V 23 A. 1  . B. 1  . C. 1  . D. 1  . V 25 V 36 V 49 V 36 2 2 2 2 A' C' M B'
Câu 6. Cho khối lăng trụ ABC.A B  C  có thể tích bằng 3 12a và điểm
M là một điểm nằm trên cạnh CC sao cho MC  3MC . Tính thể tích của khối tứ diện AB M  C theo A a. C 3 3 3 3 A. 2a . B. 4a . C. 3a . D. a . B
Câu 7. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.AB C
  có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và B C  . Mặt phẳng  A M
 N  cắt cạnh BC tại .
P Thể tích khối đa diện MB . P A B  N  bằng. a3 3 a3 7 3 a3 7 3 a3 7 3 A. . B. . C. . D. . 32 96 32 68 71 E' A' C'
Câu 8. Cho hình lăng trụ đều ABC.AB C
  có tất cả các cạnh E B'
bằng 1. Gọi E , F lần lượt là trung điểm AA và BB ; đường
thẳng CE cắt đường thẳng C A
  tại E , đường thẳng CF cắt F' F đường thẳng C B
 ' tại F. Thể tích khối đa diện EFA B  E  F   bằng A C 3 3 3 3 M A. . B. . C. D. . 6 2 3 12 B
Câu 9. Cho lăng trụ ABC.A' B 'C ' có thể tích bằng 2. Gọi M , N lần Q P
lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh AA' và BB ' sao cho M là trung B' A' 2 N
điểm của AA' và BN  BB ' . Đường thẳng CM cắt đường thẳng 3 C' M
C ' A ' tại P và đường thẳng CN cắt đường thẳng C ' B ' tại Q . Thể
tích khối đa diện A' MPB ' NQ bằng B A 5 13 7 7 A. . B. . C. . D. . C 9 18 18 9
Câu 10. Nếu cạnh của hình lập phương tăng lên gấp 2 lần thì thể tích của khối lập phương đó sẽ tăng lên bao nhiêu lần? A. 6 . B. 4. C. 9. D. 8 .
Câu 11. Cho hình lăng trụ đều ABC.AB C
  có tất cả các cạnh bằng 1. Gọi E, F lần lượt là trung điểm AA
và BB , đường thẳng CE cắt đường thẳng C A
  tại E , đường thẳng CF cắt đường thẳng C B   tại F . Thể tích khối đa diện EFB A  E F   bằng 3 3 3 3 A. . B. . C. . D. . 6 2 3 12
Câu 12. Cho khối hộp ABCD.AB C  D
  , điểm M nằm trên cạnh CC thỏa mãn CC  3CM . Mặt phẳng  AB M
  chia khối hộp thành hai khối đa diện. Gọi V là thể tích khối đa diện chứa đỉnh A, V là thể tích khối đa 1 2
diện chứa đỉnh B. Tính tỉ số thể tích V và V . 1 2 41 27 7 9 A. . B. . C. . D. . 13 7 20 4
Câu 13. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A' B 'C '. Gọi M , N, P,Q là các điểm lần lượt thuộc các cạnh AM 1 BN 1 C 'Q 1
AA', BB ',CC ', B 'C ' thỏa mãn  ,  ,
 . Gọi V ,V lần lượt là thể tích khối tứ diện AA' 2 BB ' 3 B 'C ' 5 1 2 V
MNPQ và khối lăng trụ ABC.A' B 'C '. Tính tỷ số 1 . V2 V 11 V 11 V 19 V 22 A. 1  . B. 1  . C. 1  . D. 1  . V 30 V 45 V 45 V 45 2 2 2 2 72
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TỈ SỐ KHỐI LĂNG TRỤ – P4)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên bằng b và tạo với mặt phẳng đáy một góc  .
Thể tích của khối chóp có đáy là đáy của lăng trụ và đỉnh là một điểm bất kỳ trên đáy còn lại là 3 3 3 3 A. 2 a b cos B. 2 a bsin C. 2 a bsin D. 2 a bcos 4 4 12 12
Câu 2. Cho lăng trụ đều ABC.A B  C
  . Lấy H, G lần lượt là tâm của hình chữ nhật BCC’B’ và ACC’A’, I là trung
điểm của CC’. Tính tỉ số thể tích của tứ diện CHGI và tứ diện CB’A’C’. A. 0,125 B. 0,8 C. 3,75 D. 7,5
Câu 3. Cho lăng trụ ABC.AB C
  có chiều cao bằng 4 và diện tích đáy bằng 3. Gọi M, N, P lần lượt là tâm của
các mặt bên ABB’A’, BCC’B’, CAA’C’. Thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B, C, M, N, P. A. 6 B. 2,25 C. 4,5 D. 3
Câu 4. Cho lăng trụ ABC.A B  C
  có thể tích bằng 30. Điểm M là trung điểm cạnh A’A. Tính thể tích khối chóp M.BCC’B’. A. 20 B. 22,5 C. 10 D. 15
Câu 5. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A B  C
  có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
các cạnh AB và B’C’. Mặt phẳng (A’MN) cắt cạnh BC tại P. Tính thể tích khối đa diện MBP.A’B’N 3 a 3 3 7a 3 3 7a 3 3 7a 3 A. B. C. D. 32 96 48 32
Câu 6. Cho lăng trụ đứng ABC.AB C
  có thể tích bằng 30. Gọi O là tâm của hình bình hành ABB’A’ và G là
trọng tâm tam giác A’B’C’. Thể tích tứ diện COGB’ bằng 15 10 7 A. 2,5 B. C. D. 14 3 3
Câu 7. Cho lăng trụ đứng ABC.AB C
  , gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm các cạnh C’C, BC, B’C’. Khi đó tỉ
số thể tích của khối chóp A’.MNP với lăng trụ ABC.AB C   là 1 A. 0,5 B. 0,25 C. 0,125 D. 6
Câu 8. Cho lăng trụ đứng ABC.AB C
  có E là trọng tâm tam giác A’B’C’ và F là trung điểm của BC. Tính tỉ số
thể tích giữa khối chóp B’.EAF và khối lăng trụ ABC.AB C   . 1 A. 0,25 B. 0,125 C. 0,2 D. 6
Câu 9. Cho lăng trụ đứng ABC.AB C
  có O, G lần lượt là tâm của mặt bên ABB’A’ và trọng tâm của tam giác
ABC. Tính thể tích khối chóp AOGB khi thể tích khối lăng trụ bằng 270. A. 15 B. 30 C. 45 D. 15
Câu 10. Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABC.AB C
  có thể tích bằng 36. Gọi E là trung điểm của A’C’, F là
giao điểm của AE và A’C. Tính thể tích của khối chóp F.A’B’C’ A. 12 B. 6 C. 8 D. 4
Câu 11. Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABC.AB C
  có thể tích bằng 36. M là trung điểm của cạnh bên BB’.
Tính thể tích khối chóp M.AA’C’C. A. 24 B. 6 C. 30 D. 12
Câu 12. Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABC.AB C
  có thể tích bằng 18. M và N lần lượt là trung điểm của
A’A và B’B. Tính thể tích của khối đa diện CNMA’B’C’. A. 12 B. 6 C. 9 D. 15
Câu 13. Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABC.AB C
  có đáy là tam giác đều. Mặt phẳng (A’BC) có diện tích
bằng 2 3 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của B’B và C’C. Tính thể tích khối tứ diện A’AMN. A. 2 3 B. 3 C. 3 3 D. 4 3
Câu 14. Cho lăng trụ ABC.A B  C
  có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu H của A’ lên mặt phẳng (ABC)
trùng với trung điểm của BC. Góc giữa mặt phẳng (A’ABB’) và mặt phẳng đáy bằng 60o . Tính thể tích khối tứ diện ABCA’ 3 a 3 3 3a 3 3 a 3 3 3a 3 A. B. C. D. 8 8 16 16
Câu 15. Cho lăng trụ đứng ABC.AB C   có · AB  a; AC  2a; A A
  2a 3;BAC 120o. Gọi K, I lần lượt là 73
trung điểm của các cạnh C’C, B’B. Tính thể tích khối chóp IA’BK 3 a 3 a 3 3 a 5 3 a A. B. C. D. 2 6 2 6
Câu 16. Cho lăng trụ đứng ABC.A B  C
  có thể tích bằng 15, gọi I, K lần lượt là trung điểm của A’A, B’B. Tính
thể tích khối đa diện ABCIKC’. A. 9 B. 5 C. 10 D. 12
Câu 17. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A B  C
  có đáy là tam giác đều cạnh a, chiều cao h. Biết thể tích khối tứ 3 a 3 diện ABC’A’ bằng
. Tính theo a chiều cao h của lăng trụ. 6 A. 2a B. 3a C. 4a D. a
Câu 18. Cho khối lăng trụ đứng ABC.AB C
  có tất cả các cạnh đều bằng a. Một mặt phẳng đi qua A’B’ và
trọng tâm G của tam giác ABC, cắt AC và BC lần lượt tại E và F. Tính thể tích V của khối A’B’ABFE. 3 a 3 3 2a 3 3 a 3 3 5a 3 A. B. C. D. 27 27 18 54
Câu 19. Cho lăng trụ ABC.A' B 'C '. Trên các cạnh AA ' , BB ' lần lượt lấy các điểm E, F sao cho
AA'  k.A'E , BB '  k.B ' F . Mặt phẳng C 'EF  chia khối lăng trụ đã cho thành hai khối đa diện bao gồm khối V 2
chóp C '.A' B ' FE có thể tích V và khối đa diên ABCEFC ' có thể tích V . Biết rằng 1  . Tìm k. 1 2 V 7 A. k  4 . B. k  3. C. k  1. D. k  2 .
Câu 20. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.AB C
  . Gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc các cạnh bên A’A, C’C
sao cho MA = MA’, NC = 4NC’. Gọi G là trọng tâm tam giác tam giác ABC. Trong bốn khối tứ diện GA’B’C’,
BB’MN, ABB’C’, A’BCN, khối tứ diện nào có thể tích nhỏ nhất A. Khối A’BCN B. Khối GA’B’C’ C. Khối ABB’C’ D. Khối BB’MN
Câu 21. Cho lăng trụ đứng ABC.A B  C
  có A’A = a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60o. Tam giác ABC vuông tại C và ·
ABC  60o. Hình chiếu vuông góc của B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác
ABC. Tính thể tích của khối tứ diện A’ABC. 3 9a 3 3a 3 27a 3 81a A. B. C. D. 208 208 208 208
______________________________________ 74
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TỈ SỐ KHỐI LĂNG TRỤ – P5)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ D C
Câu 1. Cho khối hộp chữ nhật ABC . D A B  C  D
  có thể tích bằng 2110 . Biết A B A M   MA N
; DN  3ND ; CP  2PC . Mặt phẳng MNP chia khối hộp đã P
cho thành hai khối đa diện. Thể tích khối đa diện nhỏ hơn bằng M 7385 5275 8440 5275 A. . B. . C. . D. . D C 18 12 9 6 A B
Câu 2. Cho khối lăng trụ ABC.AB C
  có thể tích bằng 30. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, tính thể tích khối chóp G.A’B’C’ A. 10 B. 15 C. 20 D. 18
Câu 3. Cho khối lăng trụ đứng ABC.AB C
  có thể tích bằng 30. Tính thể tích khối lăng trụ AB’A’C. A. 10 B. 12 C. 9 D. 14
Câu 4. Cho lăng trụ đứng ABC.AB C
  có thể tích bằng 36. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của A’A, B’B. Tính
thể tích V của khối tứ diện AC’MN. A. 4 B. 6 C. 9 D. 12
Câu 5. Cho khối lập phương ABC . D A B  C  D   cạnh a. Các A D
điểm E , F lần lượt là trung điểm của C B   và C D   . Mặt C B
phẳng  AEF  cắt khối lập phương đã cho thành hai phần,
gọi V là thể tích của khối chứa điểm A, V là thể tích khối L 1 2 V
chứa điểm C . Khi đó 1 là K A' D' V N 2 B' F 25 8 17 A. . B. 1. C. . D. . E C' M 47 17 25
Câu 6. Cho khối lăng trụ ABC.AB C
  có thể tích bằng V . Gọi điểm M là 1
trung điểm AA và điểm N thuộc cạnh BB sao cho BN  BB ' .Đường 3 thẳng C M
 cắt đường thẳng CA tại D , đường thẳng C N  cắt đường thẳng
CB tại E . Tỉ số thể tích khối đa diện lồi AMDBNE và khối lăng trụ ABC.AB C   là 13 7 7 8 A. . B. . C. . D. . 18 18 12 15
Câu 7. Cho khối lăng trụ ABC.AB C
 . Gọi E , F lần lượt là trung
điểm của các đoạn thẳng CC và BB . Đường thẳng A E  cắt đường
thẳng AC tại K , đường thẳng A F
 cắt đường thẳng AB tại H .
Tính tỉ số thể tích khối đa diện lồi BFHCEK và khối chóp A A  BC . 1 1 A. . B. . C. 2. D. 1. 3 2 Câu 8. Cho hình hộp MNP . Q M N  P  Q
  . Tỉ số thể tích của khối tứ diện MPN Q   và khối hộp MNP . Q M N  P  Q   bằng 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 3 2 4 6
Câu 9. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.AB C
  có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm 75
của các cạnh AB, B’C’. Mặt phẳng (A’MN) cắt cạnh BC tại P. Tính thể tích khối đa diện MBPA’B’N. 3 7 3a 3 3a 3 3a 3 2 3a A. B. C. D. 96 24 12 32
Câu 10. Cho lăng trụ tam giác ABC.A B  C
  có thể tích bằng 630. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của B’B, C’C.
Mặt phẳng (AMN) chia khối lăng trụ thành hai phần, trong đó thể tích phần đa diện chứa điểm B có thể tích bằng A. 140 B. 157,5 C. 180 D. 210
Câu 11. Cho lăng trụ tam giác ABC.A' B 'C ' . Một mặt phẳng ( ) qua đường
thẳng A' B' và trọng tâm tam giác ABC , chia khối lăng trụ ABC.A' B 'C '
thành hai phần. Gọi V là thể tích khối đa diện chứa đỉnh C và V là thể tích 1 2 V
khối đa diện còn lại. Khi đó tỉ số 1 bằng V2 V 17 V 19 V 10 V 8 A. 1  . B. 1  . C. 1  . D. 1  . V 10 V 8 V 17 V 19 2 2 2 2
Câu 12. Cho khối lăng trụ ABC.AB C
  có thể tích bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng
A’A, B’B. Đường thẳng CM cắt đường thẳng C’A’ tại P, đường thẳng CN cắt đường thẳng C’B’ tại Q. Thể tích
khối đa diện lồi A’MPB’NQ bằng 1 2 3 A. 0,5 B. C. D. 3 3 4
Câu 13. Cho khối lăng trụ tam giác / / / ABC.A B C Trên / AA , / BB lần lượt lấy C A / A M BN các điểm M , N sao cho   k 0  k  
1 . P là điểm bất kì trên P / AM B N M B cạnh /
CC . Tỉ số thể của khối chóp .
P ABNM và thể tích khối lăng trụ A/ C/ / / / ABC.A B C bằng k 1 2 N A. . B. . C. k . D. . 3 3 3k   1 B/
Câu 14. Cho khối lăng trụ ABC.A B  C
  . Điểm M thuộc cạnh A’B’ sao cho A’B’ = 3A’M. Đường thẳng BM cắt
đường thẳng A’A tại điểm F, đường thẳng CF cắt đường thẳng A’C’ tại G. Tính tỉ số khối chóp FA’MG và thể tích
khối đa diện lồi GMB’C’CB. 1 1 3 1 A. B. C. D. 11 27 22 28
______________________________________ 76
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TỔNG HỢP TỈ SỐ THỂ TÍCH – P1)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có thể tích bằng 48, điểm M là trung điểm cạnh AB, lấy các điểm N, P, Q thỏa uuur uuur uuur uuur uuur r
mãn điều kiện AC  4 AN  4PC,CQ  2BQ  0 . Tính thể tích khối chóp S.MNPQ. A. 24 B. 14 C. 8 D. 16
Câu 2. Cho khối chóp S.ABC có thể tích bằng 48, tam giác ABC là tam giác đều, SA  3AB và SA vuông góc
với mặt phẳng đáy (ABC). M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính
thể tích khối chóp S.AMN. A. 27 B. 18 C. 14,5 D. 15
Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có SC = 2a, cạnh SC vuông góc với (ABC), đáy ABC là tam giác vuông cân tại B
và AB  a 2 . Mặt phẳng (P) qua C và vuông góc với SA cắt SA, SB lần lượt tại D, E. Tính thể tích khối chóp S.CDE. 3 2a 3 a 3 5a 3 5a A. B. C. D. 9 9 9 8
Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Các điểm M, N, P, Q lần lượt là trọng tâm các tam giác
SAB, SBC, SCD, SDA. O là điểm bất kỳ trên mặt phẳng đáy ABCD. Biết thể tích khối chóp OMNPQ bằng 4, tính
thể tích khối chóp S.ABCD. A. 54 B. 48 C. 60 D. 56
Câu 5. Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 90, trên các cạnh BC, BD, AC lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho
BC = 3BM, 2BD = 3BN và AC = 2AP. Mặt phẳng (MNP) chia khối tứ diện ABCD thành hai phần, phần nhỏ hơn có thể tích bằng A. 38 B. 40 C. 36 D. 42
Câu 6. Cho khối tứ diện đều ABCD có thể tích bằng 16. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AC, AD, BD,
BC. Thể tích khối chóp BMNPQ bằng A. 6 B. 8 C. 4 D. 6,5
Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, H và K lần lượt là trung điểm của SB, SD.
Tính thể tích khối chóp AOHK khi khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 32. A. 4 B. 6 C. 8 D. 5
Câu 8. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, thể tích bằng 12. Gọi M là trung điểm cạnh SA, các
điểm E, F lần lượt đối xứng với A qua B và D. Mặt phẳng (MEF) cắt các cạnh SB, SD tương ứng tại N, P. Thể
tích khối đa diện ABCDMNP bằng A. 4 B. 6 C. 8 D. 3
Câu 9. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành với thể tích bằng 12. Gọi M là điểm đối xứng của C
qua B, N là trung điểm cạnh SC, mặt phẳng (MDN) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện, thể tích khối
đa diện chứa đỉnh S bằng A. 6 B. 7 C. 5 D. 8
Câu 10. Cho khối lăng trụ ABC.AB C
  có thể tích bằng 12. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng
A’A và B’B. Đường thẳng CM cắt đường thẳng C’A’ tại P, đường thẳng CN cắt đường thẳng C’B’ tại Q. Thể tích
khối đa diện lồi AMPB N  Q bằng A. 6 B. 8 C. 9 D. 5 uuur uuur
Câu 11. Cho khối hộp ABC . D A B  C  D
  có thể tích bằng 54. Điểm E thỏa mãn AE  3AB . Thể tích khối đa
diện gồm các điểm chung của khối hộp và khối chóp E.ADD’ bằng A. 19 B. 20 C. 18 D. 21
Câu 12. Khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA = 2a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD)
cùng vuông góc với (ABCD). Một mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt
tại B’, C’, D’. Gọi V ,V lần lượt là thể tích của khối chóp S.AB C  D
 và khối đa diện ABC . D B C  D  . Khi đó tỉ số 1 2 V :V bằng 1 2 8 7 13 12 A. B. C. D. 7 6 12 7
Câu 13. Cho khối hộp ABC . D AB C  D
  có thể tích bằng 226, các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của BC,
C’D’, DD’. Thể tích khối đa diện AMNP bằng A. 28,25 B. 28,5 C. 29 D. 29,25
Câu 14. Cho khối lập phương ABC . D A B  C  D
  có thể tích bằng 144. M là trung điểm của BC, N thuộc cạnh
CD sao cho CD = 3CN, mặt phẳng (A’MN) chia khối lập phương thành hai khối, (H) là khối đa diện chứa điểm A
thì thể tích của (H) bằng A. 55 B. 56 C. 60 D. 49 77
Câu 15. Cho khối lăng trụ ABC.AB C
  có thể tích bằng 18. Gọi M, N lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh A’A
và B’B sao cho M là trung điểm của A’A và 3B’N = 2B’B. Đường thẳng CM cắt đường thẳng A’C’ tại P và đường
thẳng CN cắt đường thẳng B’C’ tại Q. Thể tích khối đa diện A’MPB’NQ bằng A. 6 B. 5 C. 7 D. 8 Câu 16. Khối hộp ABC . D AB C  D
  có thể tích bằng 48, M là trung điểm cạnh AB, mặt phẳng (MB’D’) chia khối chóp ABC . D AB C  D
  thành hai khối đa diện, thể tích khối đa diện chứa đỉnh A bằng A. 14 B. 16 C. 15 D. 21
Câu 17. Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 16 với đáy ABCD là hình bình hành, M và N lần lượt là trung
điểm các cạnh SA, SB và P là điểm bất kỳ thuộc cạnh CD. Thể tích khối tứ diện AMNP là 4 A. 2 B. 3 C. D. 5 3
Câu 18. Cho khối tứ diện ABCD có thể tích bằng 18. Gọi N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD, M là điểm
thuộc cạnh AB sao cho BM = 2AM, mặt phẳng (MNP) cắt cạnh AD tại Q. Thể tích khối đa diện lồi MAQNCP là A. 7 B. 8 C. 9 D. 5
Câu 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, các điểm M, N, P, Q lần lượt là trọng tâm các
tam giác SAB, SBC, SCD, SDA. Thể tích khối chóp S.MNPQ là 4, thể tích của khối chóp S.ABCD là A. 27 B. 21 C. 16 D. 10,125 Câu 20. Cho hình hộp ABC . D AB C  D
  có chiều cao bằng 8 và diện tích đáy bằng 9, các điểm M, N, P, Q lần
lượt là tâm các mặt bên ABB’A’, BCC’B’, CDD’C’, DAA’D’. Thể tích của khối đa diện có các đỉnh A, B, C, D, M, N, P, Q bằng A. 27 B. 30 C. 18 D. 36
Câu 21. Cho lăng trụ đều ABC.AB C
  có độ dài tất cả các cạnh bằng 3. Gọi M, N là trung điểm của hai cạnh
AB và AC. Thể tích khối đa diện AMN.AB C
 gần nhất với giá trị nào ? A. 6,82 B. 5,84 C. 7,12 D. 6,64
______________________________________ 78
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TỔNG HỢP TỈ SỐ THỂ TÍCH – P2)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho hình chóp đều S.ABC có tất cả các cạnh bằng a. Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng đáy
(ABC) và cắt các cạnh bên SA, SB, SC lần lượt tại các điểm M, N, P. Mặt phẳng (P) chia khối chóp đã cho thành
hai phần có thể tích bằng nhau. Chu vi tam giác MNP bằng a 3 3a 3 3a a 3 A. B. C. D. 2 2 3 2 3 2
Câu 2. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng 2a. Mặt phẳng (P) qua B’ và V V
vuông góc với A’C chia lăng trụ thành hai khối. Biết thể tích của hai khối là V ,V . Tính 1 biết rằng 1  1. 1 2 V V 2 2 1 1 1 1 A. B. C. D. 7 11 23 47
Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V. Gọi M là trung điểm của SB. P là
điểm thuộc cạnh SD sao cho SP = 2DP. Mặt phẳng (AMP) cắt cạnh SC tại N. Tính thể tích của khối đa diện ABCDMNP theo V. 23 2 19 7 A. V  V B. V  V C. V  V D. V  V ABCDMNP 30 ABCDMNP 5 ABCDMNP 30 ABCDMNP 30
Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB
và P là điểm bất kỳ thuộc cạnh CD. Biết thể tích khối chóp S.ABCD là 48. Tính thể tích khối tứ diện AMNP A.6 B. 8 C. 12 D. 10
Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có thể tích bằng 81. Gọi A’, B’, C’, D’ là các điểm thuộc lần lượt các cạnh SA, SA SB SC SD 1 SB, SC, SD sao cho   
 . Tính thể tích khối chóp S.A’B’C’D’ SA SB SC SD 3 A.3 B. 9 C. 3 D. 1,5
Câu 6. Cho hình chóp đều S.ABCD có thể tích bằng 12, cạnh bên hợp với đáy một góc 60 . Gọi M là điểm đối
xứng của C qua D, N là trung điểm của SC. Mặt phẳng (BMN) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần. Tỉ số thể
tích phần lớn hơn bằng A.7 B. 7,5 C. 9 D. 8
Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông
góc với mặt đáy. Góc giữa hai mặt (SCD), (ABCD) bằng 45 . Gọi H, K lần lượt là trung điểm của SC và SD. V
Tính tỉ số thể tích S.ACD . VS.AKH A.3 B. 4 C. 6 D. 5
Câu 8. Khối lập phương ABC . D AB C  D
  có thể tích bằng 72. Các điểm E, F lần lượt là trung điểm của C’B’ và
C’D’. Mặt phẳng (AEF) cắt khối lập phương đã cho thành hai phần, tính thể tích khối đa diện chứa đỉnh A’. A.25 B. 28 C. 30 D. 27  
Câu 9. Cho tứ diện ABCD có thể tích 855, lấy điểm M thuộc cạnh BC sao cho BC  3BM , điểm N thuộc BD    
sao cho 2BD  3BN và điểm P thuộc AC sao cho AC  2AP . Mặt phẳng (MNP) chia khối tứ diện ABCD
thành hai phần, thể tích khối đa diện chứa đỉnh A là A.494 B. 675 C. 180 D. 361
Câu 10. Cho khối tứ diện đều ABCD có thể tích 60. Gọi M là trung điểm của BC, N là điểm thuộc cạnh CD sao
cho 2DN = CN, G là trọng tâm tam giác ABD. Mặt phẳng (MNG) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện.
Tính thể tích khối đa diện chứa đỉnh A. A.43 B. 41 C. 51 D. 30
Câu 11. Cho hình lập phương ABC . D AB C  D
  có cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm BC và I là tâm hình vuông
CDD’C’. Mặt phẳng (AMI) chia khối lập phương thành hai khối đa diện trong đó khối đa diện không chứa điểm D có thể tích bằng 3 7a 3 22a 3 7a 3 29a A. B. C. D. 36 29 29 36
Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều, mặt bên
SCD là tam giác vuông cân tại S. Gọi M là điểm thuộc đường thẳng CD sao cho SA vuông góc với BM. Thể tích
của khối chóp S.BDM bằng 79 3 3 3 3 A. 3 a B. 3 a C. 3 a D. 3 a 48 32 24 16
Câu 13. Cho lăng trụ tam giác ABC.AB C
  có thể tích bằng 144. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của A’A,
B’B, C’C. Mặt phẳng (MNP) chia khối lăng trụ trên thành hai khối đa diện. Thể tích khối đa diện chứa đỉnh B là A.95 B. 60 C. 82 D. 74
Câu 14. Cho khối hộp ABC . D AB C  D
  có thể tích bằng 210. Biết A’M = MA, DN = 3ND’, CP = 2C’P như hình
vẽ. Mặt phẳng (MNP) chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện. Thể tích khối đa diện nhỏ hơn gần nhất với A.879 B. 850 C. 740 D. 720
Câu 15. Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 24, đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AD và AD = 3BC. Gọi
M là trung điểm của cạnh SA, N là điểm thuộc CD sao cho ND = 3NC. Mặt phẳng (BMN) cắt SD tại P. Thể tích khối chóp AMBNP bằng A.9 B. 10 C. 7,5 D. 6,75
Câu 16. Khối chóp S.ABCD có đáy là hình thang với hai đáy AB, CD với AB = 2CD. Gọi E là một điểm trên cạnh SE
SC, mặt phẳng (ABE) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện có thể tích bằng nhau. Tính . SC 10  2 26  4 A. B. 6  2 C. 2 1 D. 2 2
Câu 17. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA vuông góc với mặt đáy (ABC), BC =
a, góc hợp bởi hai mặt (SBC), (ABC) là 60 . Mặt phẳng (P) qua A vuông góc với SC cắt SB, SC lần lượt tại D,
E. Tính thể tích khối đa diện ABCED. 3 3 3 11 3 3 3 A. 3 a B. 3 a C. 3 a D. 3 a 40 6 120 60
Câu 18. Cho khối hộp chữ nhật ABC . D AB C  D
  có thể tích bằng 2019. Thể tích phần chung của hai khối
AB’CD’ và A’BC’D bằng A.336,5 B. 340 C. 335 D. 320,5
Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với (ABCD). Trên đường thẳng vuông góc với
(ABCD) tại D lấy điểm S’ sao cho SA = 2S’D, S và S ở cùng phía đối với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối
chóp S’ABCD biết khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 18. A.7 B. 8 C. 9 D. 6
Câu 19. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có thể tích bằng 42, G là trọng tâm tam giác ABC, góc tạo bởi SG
và (SBC) bằng 30 . Mặt phẳng chứa BC và vuông góc với SA chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích,
trong thể tích khối chóp chứa điểm S bằng A.6 B. 7 C. 8 D. 12
Câu 20. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.AB C
  . Gọi M, N, P, Q là các điểm lần lượt thuộc các cạnh A’A, B’B, AM 1 BN 1 CP 1 CQ 1 C’C, B’C’ thỏa mãn  ;  ;  ;  AA 2 B B  3 C C  4 C B  
. Tính thể tích khối tứ diện MNPQ biết khối lăng trụ 5
đã cho có thể tích bằng 45. A.11 B. 12 C. 19 D. 18
Câu 21. Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, thể tích bằng 12. Gọi M là trung điểm của cạnh SA, các
điểm E, F lần lượt là điểm đối xứng của A qua B và D. Mặt phẳng (MEF) cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại các
điểm N, P. Thể tích khối đa diện ABCDMNP bằng A.8 B. 9 C. 6 D. 10
Câu 22. Khối lăng trụ tam giác ABC.AB C
  có thể tích bằng 30. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn
thẳng AC, B’C’. Gọi (P) là mặt phẳng qua M và song song với mặt phẳng (A’NC). Mặt phẳng (P) chia khối lăng
trụ đã cho thành hai khối đa diện, thể tích khối đa diện chứa đỉnh A bằng A.15 B. 20 C. 12 D. 18
Câu 23. Cho hình lập phương ABC . D AB C  D
  có thể tích bằng 8. Gọi M là trung điểm của B’B và P thuộc
cạnh D’D sao cho D’D = 4DP. Mặt phẳng (AMP) cắt C’C tại N, thể tích của khối đa diện AMNPBCD bằng A.3 B. 2 C. 2,25 D. 4
Câu 24. Cho khối lăng trụ ABC.AB C
  có thể tích bằng 18. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của A’B’, AC và P là
điểm thuộc cạnh C’C sao cho CP = 2C’P. Tính thể tích khối tứ diện BMNP. A.4 B. 6 C. 4,5 D. 6,5
Câu 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, thể tích bằng 12. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
SA, SC. Mặt phẳng (BMN) cắt SD tại P. Tính thể tích khối chóp S.BMPN A.2 B. 3 C. 4 D. 5
_________________________________ 80
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TỔNG HỢP TỈ SỐ THỂ TÍCH – P3)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A B  C
  có cạnh đáy bằng a , chiều cao bằng 2a . Mặt phẳng P qua V
B và vuông góc AC chia lăng trụ thành hai khối. Biết thể tích của hai khối là V ; V với V  V . Tỉ số 1 bằng 1 2 1 2 V2 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 47 7 23 11 Câu 2. Cho khối hộp ABC .
D A' B 'C ' D ', M là trung điểm của C ' D '.N là điểm trên cạnh AD sao cho DN = V
2AN. Mặt phẳng  B 'MN  chia khối hộp thành hai phần có thể tích lần lượt là V ;V thoả mãn V  V . Tỉ lệ 1 1 2 1 2 V2 bằng 1 47 47 88 A. . B. . C. . D. . 3 135 88 135
Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , SA   ABCD , AD  3a , uuur 1 uuur
SA  BC  AB  a . Gọi S là điểm thỏa mãn SS  AB . Tính thể tích khối đa diện SS A  BCD . 2 3 13a 3 11a 3 11a 3 13a A. . B. . C. . D. . 10 12 10 12 S
Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh
a , SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD , SA  a . M , K
tương ứng là trọng tâm tam giác SAB, SCD ; N là trung M K điểm của m
BC . Thể tích khối tứ diện S.MNK bằng 3 .a D n A với m, n  ¥ ,  ,
m n 1. Giá trị m  n bằng B A. 28 . B. 12 . C. 19 . D. 32 . N C D' C' B'
Câu 5. Cho lăng trụ đứng ABCD.A B  C  D
  , có đáy là hình thoi cạnh A' 4a , ·
AA  8a, BAD 120 . Gọi M , N, K lần lượt là trung điểm của K N các cạnh AB , B C
 , BD . Thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là các M điểm , A B, C, M , N , K bằng D C 28 3 40 3 A. 3 12 3a . B. 3 a . C. 3 16 3a . D. 3 a . 3 3 B A
Câu 6. Cho lăng trụ ABC.A' B 'C ' có chiều cao bằng 8 và đáy là tam giác đều cạnh bằng 4. Gọi M , N, P lần
lượt là tâm của các mặt bên ABB ' A', ACC ' ,
A BCC ' B '. Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm , A , B C, M , N, P bằng 28 3 40 3 A. . B. 12 3. C. 16 3. D. . 3 3
Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , AD  2, BA  BC  1. Cạnh
bên SA vuông góc với đáy và SA  2 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB . Tính thể tích V của khối đa diện SAHCD . 4 2 2 2 4 2 2 2 A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 9 3 3 9
Câu 8. Cho tứ diện S.ABC , M và N là các điểm thuộc các cạnh SA và SB sao cho
MA  3SM , SN  2NB,  là mặt phẳng qua MN và song song với SC. Kí hiệu H và H là các khối đa 2  1 
diện có được khi chia khối tứ diện S.ABC bởi mặt phẳng  , trong đó,  H chứa điểm S,H chứa điểm 2  1  81 V ;
A V và V lần lượt là thể tích của  H và H . Tính tỉ số 2 . 2  1  1 2 V  2V 1 2 47 35 4 35 A. . B. . C. . D. . 119 90 5 45
Câu 9. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 6 
0 . Gọi M là điểm đối xứng với C qua D và N là trung điểm của cạnh SC . Mặt phẳng BMN chia khối chóp
S.ABCD thành hai khối đa diện H và H , trong đó H chứa điểm C . Thể tích của khối H là 1  1  2  1  3 7 6a 3 5 6a 3 5 6a 3 7 6a A. . B. . C. . D. . 72 72 36 36
Câu 10. Cho khối lập phương L và gọi B là khối bát diện đều có các đỉnh là tâm các mặt của L . Tỉ số thể tích của B và L là 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2 4 6 3
Câu 11. Cho lăng trụ đều ABC.A' B 'C ' có tất cả các cạnh bằnga. Gọi S là điểm đối xứng của A qua BC ' . Thể
tích khối đa diện ABCSB 'C ' là 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. . B. 3 a 3 . C. . D. . 3 6 2
Câu 12. Cho khối chóp S.ABCD có chiều cao bằng 9 và đáy là hình bình hành có diện tích bằng 10. Gọi
M , N , P và Q lần lượt là trọng tâm của các mặt bên SAB , SBC , SCD và SDA . Thể tích của khối đa diện lồi
có đỉnh là các điểm M , N , P,Q, B và D bằng 25 50 A. 9 . B. 30 . C. . D. . 3 9
Câu 13. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a , tâm của đáy là O . Gọi M , N
tương ứng là trung điểm các cạnh S ,
A SC . Gọi E là giao điểm của SD và mặt phẳng (BMN ). Tính thể tích V của khối chóp . O BMEN . 3 a 2 3 a 2 3 a 2 3 a 2 A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 18 24 12 36
Câu 14. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi M , N , P, Q lần lượt là trọng
tâm các tam giác SAB, SBC, SCD, SDA và O là giao điểm của AC với BD . Thể tích khối chóp O.MNPQ bằng 3 2a 2 3 a 2 3 2a 3 a 2 A. . B. . C. . D. . 81 81 81 54
Câu 15. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có diện tích bằng 2
12a ; khoảng cách từ S tới
mặt phẳng  ABCD bằng 4a . Gọi L là trọng tâm tam giác ACD ; gọi T và V lần lượt là trung điểm các cạnh
SB và SC. Mặt phẳng LTV  chia hình chóp thành hai khối đa diện, hãy tính thể tích của khối đa diện chứa đỉnh S . 3 20a 3 28a 3 32a A. . B. 3 8a . C. . D. . 3 3 3
Câu 16. Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng V , hai điểm M , P lần lượt là trung điểm của AB, CD ; N là
điểm thuộc đoạn AD sao cho AD  3AN. Tính thể tích tứ diện BMN . P V V V V A. . B. . C. . D. . 4 6 8 12
______________________________________ 82
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TỔNG HỢP TỈ SỐ THỂ TÍCH – P5)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng
a, cạnh bên hợp với đáy một góc 60o . Gọi M là điểm đối xứng
của C qua D, N là trung điểm SC. Mặt phẳng (BMN) chia khối
chóp S.ABCD thành hai phần (như hình vẽ bên). Tỉ số thể tích V
giữa hai phần SABFEN bằng VBFDCNE 7 7 7 7 A. . B. . C. . D. . 5 6 3 4
Câu 2. Cho hình hộp chữ nhật ABC . D A' B 'C ' D ' có AB  ,
a AD  a 3, AA'  3a . Gọi M là điểm thuộc
cạnh CC ' sao cho mp(MBD) vuông góc với mp(A' BD) . Thể tích khối tứ diện A' BDM bằng 3 13 3a 3 10a 3 100a 3 13 3a A. . B. . C. . D. . 8 9 3 24
Câu 3. Cho lăng trụ đều ABC.A' B 'C ' có tất cả các cạnh bằnga. Gọi S là điểm đối xứng của A qua BC ' . Thể
tích khối đa diện ABCSB 'C ' là 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. . B. 3 a 3 . C. . D. . 3 6 2 A' C' M
Câu 4. Cho hình lăng trụ ABC.AB C
  có đáy là tam giác đều cạnh S B' a a , đường cao bằng
. Gọi M là trung điểm của cạnh B C  , biết 6 O
hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng  ABC  là trọng tâm G
của tam giác ABC . Gọi S là điểm đối xứng của M qua tâm O của A C mặt bên BCC B
  (minh họa như hình bên dưới). Thể tích khối đa diện G SBACA B  C   bằng: B 3 11a 3 3 5a 3 3 5a 3 3 11a 3 A. . B. . C. . D. . 216 72 216 72
Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có chiều cao bằng 9 và đáy là hình bình hành có diện tích bằng 27 . Gọi
M , N , P,Q lần lượt là các trọng tâm của các mặt bên SAB , SBC , SCD , SDA . Tính thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh , A B,C, D, M , N , P,Q . A. 54 . B. 51 . C. 41 . D. 57 . Câu 6. Cho hình hộp ABC . D A B  C  D
  có đáy là hình thoi tâm O và cạnh bằng a , góc 0 BAC  60 . Gọi I, J lần a 7
lượt là tâm của các mặt bên ABB A   , CDD C   . Biết AI 
, AA  2a và góc giữa hai mặt phẳng 2  ABB A  ,  A B  C  D   bằng 0
60 . Tính theo a thể tích của khối tứ diện AOIJ ? 3 3 3a 3 3a 3 3a 3 3a A. . B. . C. . D. . 64 48 32 192
Câu 7. Cho khối lăng trụ AB . C A B  C
 có thể tích bằng 9. Điểm M thuộc cạnh C’C sao cho MC = 2MC’. Thể tích
khối đa diện AB’CM bằng A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 83 D' C' B'
Câu 8. Cho lăng trụ đứng ABCD.A B  C  D
  , có đáy là hình thoi cạnh A' 4a , ·
AA  8a, BAD 120 . Gọi M , N, K lần lượt là trung điểm của các K N cạnh AB , B C
 , BD . Thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm , A B, C, M , N , K bằng M D C 28 3 40 3 A. 3 12 3a . B. 3 a . C. 3 16 3a . D. 3 a . 3 3 B A
Câu 9. Cho tứ diện ABCD có thể tích là V .Gọi
M , N , P, Q, R lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AD ,
AC, DC, BD và G là trọng tâm tam giác ABC (như hình
vẽ). Tính thể tích khối đa diện lồi MNPQRG theo V . V 2V V V A. . B. . C. . D. . 3 5 6 2
Câu 10. Cho khối lăng trụ đứng AB . C A B  C
  có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C , AB  2a và góc tạo bởi
hai mặt phẳng  ABC và  ABC bằng 60 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AC và BC . Mặt phẳng
 AMN chia khối lăng trụ thành hai phần. Thể tích của phần nhỏ bằng 3 7 3a 3 6a 3 7 6a 3 3a A. . B. . C. . D. . 24 6 24 3
Câu 11. Cho hình lăng trụ ABC .
D A' B 'C ' D ' có AD  2BC, AD song song với BC, M là trung điểm của cạnh
CC ', N thuộc cạnh AA ' sao cho A' N  3AN. Mặt phẳng  DMN  chia khối trụ đã cho thành hai phần có thể V
tích là V và V V  V . Tính 1 . 2  1 2  1 V2 V 11 V 11 V 23 V 23 A. 1  . B. 1  . C. 1  . D. 1  . V 25 V 36 V 49 V 36 2 2 2 2
Câu 12. Cho khối hộp ABC .
D A' B 'C ' D ' có thể tích bằng 2019. Gọi M là trung điểm của cạnh AB . Mặt phẳng
(MB ' D ') chia khối hộp ABC .
D A' B 'C ' D 'thành hai khối đa diện. Tính thể tích phần khối đa diện chứa đỉnh A . 7063 14133 4711 4711 A. . B. . C. . D. . 12 8 8 4
Câu 13. Cho khối lập phương ABCD.A' B 'C ' D ' có cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của C’C và V p
A’D’. Mặt phẳng (BMN) chia khối lập phương thành hai phần có thể tích lần lượt là V ,V với 1  1, p và q 1 2 V q 2
nguyên tố cùng nhau. Tính p – q A. – 22 B. 34 C. 22 D. 15
Câu 14. Cho khối hộp ABC .
D A' B 'C ' D 'có thể tích bằng 2020, M là trung điểm của AB. Mặt phẳng (MB’D’) chia
khối hộp thành hai khối đa diện. Tính thể tích phần khối đa diện chứa đỉnh A. 3535 8585 A. 1767,5 B. 252,5 C. D. 6 6
______________________________________ 84
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TỔNG HỢP TỈ SỐ THỂ TÍCH – P7)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng a 3 và O là tâm của đáy. Gọi
M , N, P,Q lần lượt là các điểm đối xứng với O qua trọng tâm của các tam giác SAB, SBC, SCD, SDA và S là
điểm đối xứng với S qua O . Thể tích của khối chóp S .MNPQ bằng a3 40 10 a3 10 10 a3 20 10 a3 2 10 A. . B. . C. . D. . 81 81 81 9
Câu 2. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a và O là tâm của đáy. Gọi
M , N , P,Q lần lượt là các điểm đối xứng với O qua trọng tâm của các tam giác SAB, SBC, SCD, SDA và S là
điểm đối xứng với S qua O . Thể tích khối chóp S .MNPQ bằng. 3 2 6a 3 40 6a 3 10 6a 3 20 6a A. . B. . C. . D. . 9 81 81 81
Câu 3. Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 18 . Gọi A là trọng tâm của tam giác BCD ;  P là mặt phẳng qua 1
A sao cho góc giữa P và mặt phẳng BCD bằng 0
60 . Các đường thẳng qua ; B C; D song song với AA 1
cắt P lần lượt tại B ;C ; D . Thể tích khối tứ diện A B C D bằng? 1 1 1 1 1 1 1 A. 12 3 B. 18 C. 9 3 D. 12
Câu 4. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a . Mặt bên tạo với đáy góc 0 60 . Mặt phẳng (P) chứa AB và tạo với đáy góc 0
30 và cắt SC, SD lần lượt tại M và N. Tính thể tích V của khối chóp S.ABMN theo a. 3 a 3 3 5a 3 3 a 3 3 a 3 A. V  . B. V  . C. V  . D. V  6 48 8 16 Câu 5. Cho hình hộp ABC . D A B  C  D
  có chiều cao 8 và diện tích đáy bằng 11. Gọi M là trung điểm của
AA , N là điểm trên cạnh BB sao cho BN  3B N
 và P là điểm trên cạnh CC sao cho 6CP  5C P  . Mặt
phẳng MNP cắt cạnh DD tại Q . Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm , A B, C, D, M , N , P và Q bằng 88 220 A. . B. 42 . C. 44 . D. . 3 3
Câu 6. Cho hai hình chóp tam giác đều có cùng chiều cao. Biết đỉnh của hình chóp này trùng với tâm của đáy
hình chóp kia, mỗi cạnh bên của hình chóp này đều cắt một cạnh bên của hình chóp kia. Cạnh bên có độ dài
bằng a của hình chóp thứ nhất tạo với đường cao một góc 0
30 , cạnh bên của hình chóp thứ hai tạo với đường cao một góc 0
45 . Tính thể tích phần chung của hai hình chóp đã cho?    3 3 2 3 a    3 2 3 a    3 9 2 3 a    3 27 2 3 a A. . B. . C. . D. . 64 32 64 64
Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có diện tích bằng 2 12a ; khoảng cách từ S
tới mặt phẳng  ABCD bằng 4a . Gọi L là trọng tâm tam giác ACD ; gọi T và V lần lượt là trung điểm các
cạnh SB và SC. Mặt phẳng LTV  chia hình chóp thành hai khối đa diện, hãy tính thể tích của khối đa diện chứa đỉnh S . 3 20a 3 28a 3 32a A. . B. 3 8a . C. . D. . 3 3 3
Câu 8. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với đáy góc 60o , mặt phẳng (P) chứa AB
và tạo với đáy góc 30o và cắt SC, SD lần lượt tại M, N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN. 3 a 3 3 5a 3 3 a 3 3 a 3 A. B. C. D. 6 48 8 16
Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với (ABCD), SA = 45, đáy ABCD là hình vuông cạnh AB = 30,
điểm I là một điểm thuộc miền trong hình vuông ABCD sao cho AI = 12, BI = 26. Điểm M, N, P, Q, G lần lượt là
trọng tâm của các tam giác IAB, IBC, ICD, IDA, SCD. Tính thể tích của khối chóp G.PQMN. A. (1300;1500) B. (1100;1300) C. (900;1100) D. (1500;1700)
Câu 10. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.AB C  D
  có đáy là hình thoi có cạnh 4a , AA  8a , · BAD 120  . Gọi 85
M , N, K lần lượt là trung điểm cạnh AB , B C
 , BD. Thể tích khối da diện lồi có các đỉnh là các điểm , A B,C, M , N, K là: 28 3 40 3 A. 3 12 3 a B. 3 a C. 3 16 3 a D. 3 a 3 3
Câu 11. Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a và O là tâm của đáy. Gọi M , N , P,Q lần lượt
là các điểm đối xứng với O qua trọng tâm của các tam giác SAB, SBC, SCD, SDA và S là điểm đối xứng với S
qua O . Thể tích khối chóp S M  NPQ bằng 3 2 2a 3 20 2a 3 40 2a 3 10 2a A. . B. . C. . D. . 9 81 81 81
Câu 12. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 4a , cạnh bên bằng 2 3a và O là tâm của đáy. Gọi
M , N , P , Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của O lên các mặt phẳng (SA ) B , (SBC) , (SC ) D và (SD ) A .
Thể tích của khối chóp . O MNPQ bằng 3 4a 3 64a 3 128a 3 2a A. . B. . C. . D. . 3 81 81 3
Câu 13. Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V . Gọi G ,G ,G ,G là trọng tâm của bốn mặt của tứ diện 1 2 3 4
ABCD . Thể tích khối tứ diện G G G G là: 1 2 3 4 V V V V A. . B. . C. . D. . 12 4 27 18
Câu 14. Cho hình lập phương ABCD.AB C  D
  có thể tích V . Gọi M là điểm thuộc cạnh BB sao cho
BM  2MB . Mặt phẳng ( ) đi qua M và vuông góc với AC cắt các cạnh DD , DC, BC lần lượt tại N, P,Q . V
Gọi V là thể tích khối đa diện CPQMNC . Tính tỷ số 1 1 V 31 35 34 13 A. . B. . C. . D. . 162 162 162 162
Câu 15. Cho một hình lập phương có cạnh bằng a . Tính theo a thể tích của khối bát diện đều có các đỉnh là
tâm các mặt của hình lập phương. 1 1 1 1 A. 3 a . B. 3 a . C. 3 a . D. 3 a . 4 6 12 8
Câu 16. Cho khối chóp S.ABCD có chiều cao bằng 9 và đáy là hình bình hành có diện tích bằng 10.
Gọi M , N , P và Q lần lượt là trọng tâm của các mặt bên SAB, SBC, SCD và SDA . Thể tích của khối đa diện
lồi có đỉnh là các điểm M , N , P, Q, B và D là 50 25 A. 9. B. . C. 30. D. . 9 3
Câu 17. Cho hình hộp đứng ABC .
D A' B 'C ' D ' có AA '  2 , đáy ABCD là hình thoi với ABC là tam giác đều
cạnh 4 . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của B 'C ' , C ' D ', DD ' và Q thuộc cạnh BC sao cho QC  3QB .
Tính thể tích tứ diện MNPQ . 3 3 3 3 A. 3 3 . B. . C. . D. . 2 4 2
Câu 18. Cho hình hộp chữ nhật ABC .
D A' B 'C ' D ' có M , N, P lần lượt là trung điểm các cạnh
BC, C ' D ', DD ' (tham khảo hình vẽ). Biết thể tích khối hộp bằng 144 , thể tích khối tứ diện AMNP bằng A. 15. B. 24. C. 20. D. 18. 86
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TỔNG HỢP TỈ SỐ THỂ TÍCH – P8)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho tứ diện S.ABC có M, N lần lượt thuộc các điểm SA, SB sao cho MA = 3SM, SN = 2NB, mặt phẳng
 qua MN và song song với SC. Ký hiệu (H1), (H2) là cac khối đa diện có được khi chia khối tứ diện S.ABC
bởi mặt phẳng   , trong đó (H1) chứa điểm S, (H2) chứa điểm A, V1 và V2 lần lượt là thể tích của (H1), (H2). V Tính tỉ số 2 . V  2V 1 2 35 7 47 A. 0,8 B. C. D. 90 9 119
Câu 2. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với (ABCD), góc giữa hai mặt phẳng
(SBD), (ABCD) bằng 60o . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SC. Thể tích của hình chóp S.ADNM bằng 3 a 6 3 a 6 3 3a 6 3 a 6 A. B. C. D. 16 24 16 8
Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB,
SBC, SCD, SDA. Gọi O là điểm bất kỳ trên mặt đáy ABCD, biết thể tích khối chóp O.MNPQ bằng 8, tính thể tích khối chóp S.ABCD. A. 27 B. 108 C. 18 D. 54
Câu 4. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có chiều cao bằng 8 và diện tích bằng 11. Gọi M là trung điểm của A’A, N
là điểm trên cạnh BB’ sao cho BN = 3B’N và P là điểm trên cạnh CC’ sao cho 6CP = 5C’P. Mặt phẳng (MNP) cắt
cạnh DD’ tại Q. Tính thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B, C, D, M, N, P, Q. 88 220 A. 42 B. 44 C. D. 3 3
Câu 5. Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có A’A = 2, đáy ABCD là hình thoi với ABC là tam giác đều cạnh
bằng 4. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của B’C’, C’D’, DD’ và Q thuộc cạnh BC sao cho QC = 3QB. Tính thể
tích khối tứ diện MNPQ. 3 3 3 3 A. B. C. D. 3 3 4 2 2
Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a, tâm của đáy là O. Gọi M, N tương ứng là trung
điểm các cạnh SA, SC. Gọi E là giao điểm của SD và mặt phẳng (BMN). Tính thể tích của khối chóp O.BMEN. 3 a 2 3 a 2 3 a 2 3 a 2 A. B. C. D. 18 24 12 36
Câu 7. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 1, AD = 2, SA vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) và SA = 2. Điểm M trên cạnh SA sao cho mặt phẳng (MBC) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có
thể tích bằng nhau. Tính diện tích của tam giác MAC. 3 5  5 5 5 5  5 A. B. C. D. 2 2 3 4
Câu 8. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 6 2 . Ở bốn đỉnh tứ diện người ta cắt các tứ diện đều bằng nhau
có cạnh bằng x. Biết khối đa diện còn lại sau khi cắt có thể tích bằng một nửa thể tích khối tứ diện ABCD. Tìm x. A. x  3 2 B. x  2 3 C. x  2 2 D. x  2
Câu 9. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích V. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm
trên các cạnh SA, SC, SB sao cho SM = 2MA, SN = 3NC, SP = 4BP. Mặt phẳng (MNP) chia khối chóp thành hai
phần, tính thể tích của phần nhỏ hơn. V 6V 34V 2V A. B. C. D. 24 19 95 5
Câu 10. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a , cạnh bên bằng a 3 và O là tâm của đáy. Gọi M ,
N , P và Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của O lên các mặt phẳng SAB , SBC , SCD và SDA. Thể tích khối chóp . O MNPQ bằng: 3 8a 3 a 3 a 3 16a A. . B. . C. . D. . 81 6 12 81
Câu 11. Cho lăng trụ ABC.A ' B 'C ' có chiều cao bằng 8 và đáy là tam giác đều cạnh bằng 4 . Gọi M , N và P 87
lần lượt là tâm các mặt bên ABB ' A', ACC ' A' và BCC ' B ' . Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm , A , B C, M, N, P bằng 40 3 28 3 A. . B. 16 3 . C. . D. 12 3 . 3 3
Câu 12. Cho hình chóp đều S.ABC có đáy cạnh bằng a , góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng  ABC bằng
60 . Gọi A , B , C tương ứng là các điểm đối xứng của A , B , C qua S . Thể tích V của khối bát diện có các mặt ABC, AB C  , A B  C , B C  A, C A  B , AB C
  , BAC, CAB là 3 2 3a 3 3a 3 4 3a A. V  . B. 3 V  2 3a . C. V  . D. V  . 3 2 3
Câu 13. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có thể tích V. Gọi M là điểm thuộc cạnh BB’ sao cho MB = 2MB’.
Mặt phẳng  đi qua M và vuông góc với AC’ cắt các cạnh DD’, DC, BC lần lượt tại N, P, Q. Gọi V1 là thể tích V
của khối đa diện CPQMNC’. Tính 1 . V 31 35 34 13 A. B. C. D. 162 162 162 162
Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân có đường chéo BD vuông góc với cạnh bên
BC, BD là tia phân giác trong của góc ·
ADC; BC  3; SA  (ABCD) . Gọi N là một điểm trên cạnh SC. Mặt
phẳng  qua A, N song song với BD. Biết rằng nếu mặt phẳng   chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có NS 2  a 7 thể tích bằng nhau thì  . Tính 2a + 3b. NC b A. 11 B. 13 C. 17 D. 14
Câu 15. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trọng tâm của các
tam giác SAB, SBC, SCD, SDA. Biết thể tích khối chóp S.MNPQ là 8, tính thể tích khối chóp S.ABCD. A. 27 B. 162 C. 18 D. 81
Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SB, N là điểm thuộc
cạnh SC sao cho SN = 2NC, P là điểm thuộc cạnh SD sao cho SP = 3DP. Mặt phẳng (MNP) cắt SA tại Q. Biết
khối chóp S.MNPQ có thể tích bằng 1, khối đa diện ABCD.QMNP có thể tích bằng A. 4 B. 2,8 C. 1,8 D. 3,4
Câu 17. Cho hình lập phương ABC .
D A' B 'C ' D ' có cạnh bằng a . Gọi M , N, ,
P Q, R, S là tâm các mặt của hình
lập phương. Thể tích khối bát diện đều tạo bởi sáu đỉnh M , N, , P Q, R, S bằng 3 a 2 3 a 3 a 3 a A. B. C. D. 24 4 12 6
Câu 18. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc 60o . Gọi M là
điểm đối xứng của C qua D, N là trung điểm SC. Mặt phẳng (BMN ) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần V
(như hình vẽ bên). Tỉ số thể tích giữa hai phần SABFEN bằng VBFDCNE 7 7 7 7 A. . B. . C. . D. . 5 6 3 4
______________________________________ 88
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TỔNG HỢP TỈ SỐ THỂ TÍCH – P9)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Câu 1. Cho hình hộp ABC . D A B  C  D
  có chiều cao bằng 8 và diện tích đáy bằng 9. Gọi M, N, P và Q lần lượt
là tâm của các mặt bên ABB A  , BCC B  , CDD C
  và DAAD . Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm , A , B C, , D M, N, P và Q bằng A. 27 . B. 30 . C. 18 . D. 36 .
Câu 2. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a và O là tâm của đáy. Gọi M , N ,
P , Q lần lượt là các điểm đối xứng với O qua trọng tâm của các tam giác SAB , SBC , SCD , SDA và S ' là
điểm đối xứng với S qua O . Thể tích của khối chóp S '.MNPQ bằng 3 20 14a 3 40 14a 3 10 14a 3 2 14a A. . B. . C. . D. . 81 81 81 9
Câu 3. Cho hình vuông ABCD và ABEF có cạnh bằng 1 , lần lượt nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với
nhau. Gọi S là điểm đối xứng của B qua đường thẳng DE . Thể tích của khối đa diện ABCDSEF bằng 7 11 2 5 A. B. C. D. 6 12 3 6
Câu 4. Cho lăng trụ ABC.AB C
 có chiều cao bằng 4 và đáy là tam giác đều cạnh bằng 4. Gọi M , N và P lần
lượt là tâm của các mặt bên ABB A  , ACC A   và BCC B
 . Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm , A B,C, M , N, P bằng 20 3 14 3 A. 8 3 . B. 6 3 . C. . D. . 3 3
Câu 5. Cho lăng trụ ABC.AB C
 có chiều cao bằng 6 và đáy là tam giác đều cạnh bằng 4. Gọi M , N, P lần
lượt là tâm các mặt bên ABB A  , ACC A  , BCC B
  . Thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm , A B,C, M , N, P bằng A. 9 3 . B. 10 3 . C. 7 3 . D. 12 3 .
Câu 6. Cho lăng trụ ABC.A' B 'C ' có chiều cao bằng 8 và đáy là tam giác đều cạnh bằng 6 . Gọi M , N và P
lần lượt là tâm của các mặt bên ABB ' A', ACC ' A' và BCC ' B ' . Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm , A B,C, M , N, P bằng A. 30 3 . B. 36 3 . C. 27 3 . D. 21 3 .
Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD, SA  a .
M , K tương ứng là trọng tâm tam giác SAB, SCD ; N là trung điểm BC . Thể tích khối tứ diện SMNK bằng m 3
.a với m, n  ¥ ,m,n  1. Giá trị m  n bằng: n A. 28 . B 12 . C. 19 . D. 32 .
Câu 8. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh B , AB  4 , SA  SB  SC  12 . Gọi BF 2
M , N , E lần lượt là trung điểm của AC, BC, AB . Trên cạnh SB lấy điểm F sao cho  . Thể tích khối tứ BS 3 diện MNEF bằng 8 34 4 34 8 34 16 34 A. . B. . C. . D. . 3 3 9 9
Câu 9. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên tạo với đường cao một góc 30o , O là trọng tâm tam 89
giác ABC . Một hình chóp đều thứ hai .
O A' B 'C ' có S là tâm của tam giác A' B 'C ' và cạnh bên của hình chóp .
O A' B 'C ' tạo với đường cao một góc 60o sao cho mỗi cạnh bên SA, SB, SC lần lượt cắt các cạnh
bên OA ', OB ',OC '.GọiV là phần thể tích phần chung của hai khối chóp S.ABC vàO.A ' B 'C ', V 1 2 là thể tích khối V
chóp S.ABC . Tỉ số 1 bằng: V2 9 1 27 9 A. . B. . C. . D. . 16 4 64 64
Câu 10. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a , tâm của đáy là O . Gọi M , N
tương ứng là trung điểm các cạnh SA, SC . Gọi E là giao điểm của SD và mặt phẳng  BMN  . Tính thể tích V của khối chóp . O BMEN . 3 a 2 3 a 2 3 a 2 3 a 2 A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 18 24 12 36
Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, mặt bên SAB là một tam giác đều nằm trong mặt 27 3
phẳng vuông góc với mặt đáy  ABCD và có diện tích bằng
(đvdt). Một mặt phẳng đi qua trọng tâm tam 4
giác SAB và song song với mặt đáy  ABCD chia khối chóp S.ABCD thành hai phần, tính thể tích V của phần chứa điểm S . A. V  8 . B. V  24 . C. V  36 . D. V  12 .
Câu 12. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có thể tích bằng 1. Gọi M là trung điểm của SA và N là điểm
đối xứng của của A qua D . Mặt phẳng (BMN ) chia khối chóp thành hai khối đa diện. Gọi (H ) là khối đa diện
có chứa đỉnh. Thể tích của khối đa diện (H ) bằng 7 4 5 3 A. . B. . C. . D. . 12 7 12 7
Câu 13. Tứ diện ABCD có thể tích V . Gọi M , N , P,Q, R lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB, AD, AC, DC, BD và G là trọng tâm tam giác ABC (như hình vẽ). Tính thể tích khối đa diện lồi MNPQRG . A M N P G B R D Q C V V V 2V A. . B. . C. . D. . 2 6 3 5
Câu 14. Cho lăng trụ ABC.A B  C
  có thể tích bằng 6. Gọi M , N và P là các điểm nằm trên cạnh AB, B C   và 3 1
BC sao cho M là trung điểm của A B   , B N   B C
  và BP  BC. Đường thẳng NP cắt đường thẳng BB 4 4
tại E và đường thẳng EM cắt đường thẳng AB tại .
Q Thể tích của khối đa diện lồi AQPCAMNC ' bằng 23 23 59 19 A. . B. . C. . D. . 3 6 12 6 2a 5
Câu 15. Cho hình hộp chữ nhật ABCDAB C  D
  . Khoảng cách giữa AB và B C  là , giữa BC và AB là 5 2a 5 a 3 , giữa AC và BD là
. Thể tích của khối hộp đó là 5 3 A. 3 8a . B. 3 4a . C. 3 2a . D. 3 a . 90
VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 THPT
(LỚP BÀI TOÁN TỔNG HỢP TỈ SỐ THỂ TÍCH – P10)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Câu 1. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có thể tích V. Gọi M là điểm thuộc đoạn AB’, N là trung điểm của D’C’, V1 là thể tích MB
của khối đa diện lồi gồm 5 đỉnh D, M, B’, N, D’. Tìm tỉ số để V = 9V1. MA 2 1 A. 0,25 B. 0,5 C. D. 3 3
Câu 2. Cho khối hộp ABCD.A1B1C1D1 có thể tích bằng 1. Gọi M là trung điểm của cạnh A1D1, N là điểm trên cạnh DD1 sao
cho ND = 2ND1, mặt phẳng (BMN) chia khối lập phương ABCD.A1B1C1D1 thành hai khối đa diện, gọi (H) là khối đa diện
chứa đỉnh A. Thể tích khối đa diện (H) bằng 41 89 23 55 A. B. C. D. 108 144 72 144
Câu 3. Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BC, C’D’, D’D. Tính thể tích khối
tứ diện AMNP khi thể tích khối hộp bằng 48. A, 5 B. 7 C. 9 D. 11
Câu 4. Hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 2a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BB’, F thuộc DD’ sao Cho uuur uuur uuuur uuuur uuuur uuuur
hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Điểm S, M, N thỏa mãn SA  2 AA ;
 AB  3AM và AC  4NC.
Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của SM với AB và SN với AC. Tính phần thể tích khối lập phương ABCD.A’B’C’D’không
chứa phần chung với khối chóp S.APQ. 26 289 71 73 A. B. C. D. 99 360 360 99
Câu 5. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có thể tích V, các điểm M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm các cạnh A’B’, B’B, BC,
CD, D’D, D’A’. Tính thể tích khối đa diện AMNPQRS. V 3V V 2V A. B. C. D. 3 8 4 5 a 3
Câu 6. Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh AB = AD = a, AA  và góc ·
BAD  60o. Gọi M, N lần lượt 2
là trung điểm các cạnh A’D’, A’B’. Tính thể tích khối chóp A.BDMN. 3 a 3 3a 3 3 a 3 3 3a A. B. C. D. 16 16 16 16
Câu 7. Người ta cần cắt một khối lập phương thành hai khối đa diện bởi một mặt phẳng đi qua A và lần lượt cắt B’B, C’C,
D’D tại M, N, P sao cho phần thể tích của khối đa diện chứa điểm B bằng một nửa thể tích của khối đa diện còn lại. Tính tỉ CN số C C . 2 5 A. 0,75 B. 0,8 C. D. 3 6
Câu 8. Cho tứ diện đều ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Gọi S là điểm sao cho uuur uuur
AS  BG . Tính thể tích khối đa diện S.ABCD. 3 a 2 3 a 2 3 5a 2 3 3a 2 A. B. C. D. 12 24 36 24
Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích 162. Gọi E là điểm trên cạnh SC sao cho EC
= 2ES, mặt phẳng   chứa đường thẳng AE và song song với đường thẳng BD,   cắt hai cạnh SB, SD lần lượt tại hai
điểm M, N. Tính theo V thể tích khối chóp S.AMEN. A. 6 B. 13,5 C. 27 D. 18
Câu 10. Cho tứ diện S.ABC có thể tích bằng 96, gọi H, M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, AB, BC, CA. Tính
thể tích khối chóp H.MNP. A. 8 B. 6 C. 12 D. 36 3a
Câu 11. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng
và O là tâm của đáy. Gọi M , N , P và 2
Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của O trên các mặt phẳng SAB , SBC  , SCD và SDA . Thể tích của khối chóp . O MNPQ bằng 91 3 a 3 2a 3 a 3 a A. . B. . C. . D. . 48 81 81 96 3a 3
Câu 12. Hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 3a , cạnh bên bằng
và O là tâm của đáy. Gọi M , N , P và 2
Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của O trên các mặt phẳng (SAB) , (SBC) , (SCD) và (SAD) . Thể tích khối chóp . O MNPQ bằng 3 9a 3 2a 3 9a 3 a A. . B. . C. . D. . 16 3 32 3
Câu 13. Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 18. Gọi A1 là trọng tâm tam giác BCD, (P) là mặt phẳng qua A sao cho góc
giữa (P) và (BCD) bằng 60o . Các đường thẳng qua B, C, D song song với A1A cắt mặt phẳng (P) lần lượt tại B1, C1, D1.
Tính thể tích khối tứ diện A1B1C1D1. A. 12 B. 18 C. 12 3 D. 9 3
Câu 14. Cho khối chóp S.ABC, M là điểm trên cạnh SB, mặt phẳng (P) đi qua A, M và song song với BC chia khối chóp SM
thành hai phần có cùng thể tích. Tìm tỉ số . MB A. 1 B. 0,5 C. 2  1 D. 2 1
Câu 15. Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có thể tích bằng 18. Gọi E, F lần lượt là các điểm thuộc các cạnh B’B, D’D sao cho
BE = 2EB’, DF = 2FD’. Tính thể tích khối tứ diện ACEF. A. 12 B. 4 C. 2 D. 3
Câu 16. Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 27, đáy ABCD là hình thang có AB || CD và AB = 2CD. Gọi M là trung
điểm của cạnh SA, N là điểm thuộc cạnh BC sao cho NB = 2NC. Mặt phẳng (DMN) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối
đa diện, thể tích khối đa diện chứa đỉnh A bằng A. 11,25 B. 14 C. 13 D. 15,75
Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SD. Mặt SQ
phẳng   chứa MN cắt các cạnh SB, SC lần lượt tại Q, P. Đặt
 x , V1 là thể tích của khối chóp S.MNPQ, V là thể SB
tích của khối chóp S.ABCD. Tìm x để V = 2V1. 41 1 33 1 A. x = 0,5 B. x  2 C. x  D. x  4 4
Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có diện tích bằng 12a2, khoảng cách từ S tới mặt phẳng
(ABCD) bằng 4a. Gọi L là trọng tâm tam giác ACD, gọi T và V lần lượt là trung điểm các cạnh SB và SC. Mặt phẳng (LTV)
chia hình chóp S.ABCD thành hai khối đa diện, tính thể tích của khối đa diện chứa đỉnh S. 3 28a 3 20a 3 32a A. B. 3 8a C. D. 3 3 3
Câu 19. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có thể tích bằng 1, gọi M là trung điểm của SA, N là điểm đối xứng của A qua
D. Mặt phẳng (BMN) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện, (H) là khối đa diện chứa đỉnh S, tính thể tích khối đa diện (H). 7 4 5 3 A. B. C. D. 12 7 12 7
Câu 20. Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với (ABCD), SA = 45, đáy ABCD là hình vuông cạnh AB = 30. Điểm I là
một điểm thuộc miền trong của hình vuông ABCD sao cho AI = 12, BI = 26. Điểm M, N, P, Q, G lần lượt là trọng tâm của
các tam giác IAB, IBC, ICD, IDA, SCD. Thể tích của khối chóp G.PQMN thuộc khoảng nào A. (1300;1500) B. (1100;1300) C. (900;1100) D. (1500;1700)
Câu 21. Cho hình chóp S.ABCD có thể tích V, đáy ABCD là hình thang với AB || CD và AB = 3CD. Gọi M là trung điểm
cạnh SA, N là điểm thuộc cạnh BC sao cho NB = 3NC. Mặt phẳng (DMN) cắt cạnh SB tại P. Thể tích của khối chóp A.MDNP bằng 2V 3V 3V 7V A. B. C. D. 7 5 8 12
Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi có và có thể tích bằng 2. Gọi M, N lần lượt là các điểm trên cạnh SM SN 1 SB, SD sao cho 
 k . Tìm giá trị của k để V  . SB SD S.AMN 8 2 2 A. k = 0,125 B. k = 0,25 C. k  D. k  2 4
______________________________________ 92