16 trang 12 lượt tải

Tóm tắt công thức Xác Suất - Thống Kê (XSTK) | Toán cao cấp 1 | Đại học Tôn Đức Thắng

23

Xác suất cổ điển  Công thức cộng xác suất: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).  A1, A2,…, An xung khắc từng đôi P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).  Ta có o A, B xung khắc P(A+B)=P(A)+P(B). o A, B, C xung khắc từng đôi P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C). o P( A)  1 P( A) .  Công thức xác suất có điều kiện. Tài liệu được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

Môn: Toán cao cấp 1 (TCC1) 22 tài liệu

Trường: Đại học Tôn Đức Thắng 4.2 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Mai Nguyệt

3 tuần trước
Danh sách Quiz
/16
- 1 - Tóm t ắt công thức
- 1 - XSTK
Tóm t t công th c Xác Su t - Th ng Kêắ ứ ấ ố
I. Ph n Xác Su t ầ ấ
1. Xác su t c n ấ ổ điể
Công th c c ng xác su t: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB). ứ ộ ấ
A
1
, A
2
,…, A
n
xung kh c tắ ừng đôi
Ta có
o A, B xung kh cắ
P(A+B)=P(A)+P(B).
o A, B, C xung kh c tắ ừng đôi
P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C).
o
( ) 1 ( )
P A P A
.
Công th c xác suứ ất có điều kiện:
( )
( / )
( )
P AB
P A B
P B
,
( )
( / )
( )
P AB
P B A
P A
.
Công th c nhân xác su t: P(AB)=P(A).P(B/A)=P(B).P(A/B). ứ ấ
A
1
, A
2
,…, A
n
độc l p v i nhauậ ớ
P(A .A ….A )=P(A ).P(A ).….P( A
1 2. n 1 2 n
).
Ta có
o A, B độc lập
P(AB)=P(A).P(B).
o A, B, C độc lập với nhau
P(A.B.C)=P(A).P(B).P(C).
Công th c Bernoulli: ứ ( ; ; )
k k n k
n
B k n p C p q
, với p=P(A): xác su biất để ến cố A
x y ra m i phép th và q=1-p. ả ở ỗ ử
Công th c xác suứ ất đầy đủ - Công thức Bayes
o H bi n c gệ ế ố ồm n ph n t Aầ ử
1
, A
2
,…, A
n
được g i là mọ ột phép phân
ho ch c a ạ ủ
1 2
. ; , 1,
...
i j
n
A A i j i j n
A A A

o Công th c xác suứ ất đầy đủ:
1 1 2 2
1
( ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) ... ( ). ( /
n
i i n n
i
P B P A P B A P A P B A P A P B A P A P B
o Công th c Bayes: ứ
( ). ( / )
( / )
( )
i i
i
P A P B A
P A B
P B
( ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) ... ( ). ( /
n n
P B P A P B A P A P B A P A P B
2. Bi ến ng u nhiên ẫ
a. Bi ến ng u nhiên r i r c ẫ ờ ạ
Lu t phân ph i xác su t ậ ố ấ
v i ớ
( ), 1, .
i i
p P X x i n
Ta có:
1
1
n
i
i
p
và
f(
{a f(X) b}=
i
i
a x b
P p
X x x … x
1 2 n
P p p … p
1 2 n
- 2 - Tóm t ắt công thức
- 2 - XSTK
Hàm phân ph i xác su t ố ấ
( ) ( )
i
X i
x x
F x P X x p
Mode
0 0
ModX max{ : 1, }
i
x p p i n
Median
0,5
( ) 0,5
MedX
( ) 0,5
0,5
i e
i e
i
x x
e
e
e
i
x x
p
P X x
x
P X x
p
K v ng ỳ ọ
1 1 2 2
1
( . ) . . ... .
n
i i n n
i
EX x p x p x p x
1 1 2 2
1
( ( )) ( ( ). ) ( ). ( ). ... ( ).
n
i i n n
i
E X x p x p x p x p
Phương sai
2 2
( ) ( )
VarX E X EX
v i
ớ
2 2 2 2 2
1 1 2 2
1
( ) ( . ) . . ... .
n
i i n n
i
E X x p x p x p x
b. Bi ến ng u nhiên liên t c. ẫ ụ
f(x) là hàm m xác su t c a Xật độ ấ ủ
( ) 1


f x dx
,
{a X b} ( ).
b
a
P f x dx
Hàm phân ph i xác su t ố ấ
( ) ( ) ( )
x
X
F x P X x f t d
Mode
0
ModX x
Hàm mật độ xác su t f(x) c t c i t i x . ấ ủa X đạ ực đạ ạ
0
Median
1 1
( ) ( )
2 2
e
x
e X e
MedX x F x f x dx
.
K v ng ỳ ọ
EX . ( )
x f x d


.
( ( )) ( ). ( )
E X x f x dx


- 3 - Tóm t ắt công thức
- 3 - XSTK
Phương sai
2 2
( ) ( )
VarX E X EX
v i ớ
2 2
EX . ( )
x f x dx


.
c. Tính ch t ấ
-
( ) , ( )
E C C Var C
, C là một hằng số.
-
2
( ) , ( )
E kX kEX Var kX k VarX
- ( )
E aX bY aEX bE
- N c l
ếu X, Y độ ập thì
2 2
( ) . , ( )
E XY EX EY Var aX bY a VarX b Va
- ( )
X VarX
: Độ lệch chu n c a X, có cùng th nguyên vẩ ủ ứ ới X và EX.
3. Lu t phân ph i xác su t ậ ố ấ
a. Phân ph i Chu n ố ẩ
2
( ~ ( ; ))
X N
( )X
, EX=ModX=MedX=
,
2
VarX
Hàm mđxs
2
2
( )
2
1
( , , )
2
x
f x e
V i ớ
0, 1
2
2
1
( )
2
x
f x e
(Hàm Gauss)
(a X b) ( ) ( )
b a
P
v i ớ
2
2
0
1
( )
2
t
x
x e d
(Hàm Laplace)
Cách s d ng máy tính bử ụ ỏ túi để tính giá trị hàm Laplace, hàm phân ph i ố
xác su t c a phân ph i chu n chu n t c ấ ủ ố ẩ ẩ ắ
Tác v Máy CASIO 570MS Máy CASIO 570ES ụ
Khởi động gói Th ng kê Mode…(tìm)…SD Mode…(tìm)…STAT 1-Var ố
Tính
2
2
0
1
( )
2
t
x
x e d
2
2
1
( )
2
t
x
F x e dt
Shift 3 2 x ) =
Shift 3 1 x ) =
Shift 1 7 2 x ) =
Shift 1 7 1 x ) =
Thoát kh i gói Thỏ ống kê Mode 1 Mode 1
Lưu ý:
( ) 0,5 (
F x x
b. Phân ph i Poisson ố
( ~ ( ))
X P
( )X
,
EX . odX=k -1 kVarX M
(X=k)=e ,
!
k
P k
k
- 4 - Tóm t ắt công thức
- 4 - XSTK
c. Phân ph i Nh ố ị th c ứ
( ~ ( ; ))
X B n p
( ) {0..n}
X
, EX=np, VarX=npq, ModX=k
( 1) 1 ( 1)
n p k n
(X=k)=C . . , q p 0 ,
k k n k
n
P p q k n k
N u ế
( 30; 0,1 0,9; 5, 5
n p np nq thì
2
~ ( ; ) ( ; )
X B n p N với
. ,
n p npq
1
(X=k) ( ), 0 ,
k
P f k n k
(a X<b) ( ) (
b a
P
N u ế
( 30, 5
n p np thì
~ ( ; ) ( )
X B n p P v i ớ
np
(X=k) e ,
!
k
P k
k
N u ế
( 30, 0,9, 5
n p nq
(X=k) e ,
( )!
n k
P k
n k
v i ớ
nq
d. Phân ph i Siêu b i ố ộ
( ~ ( ; ; ))
A
X H N N n
( ) {max{0; ( )}..min{n;N }}
A A
X n N N
EX=np, VarX=npq
1
N n
N
v i ớ
A
N
p
N
, q=1-p.
( 1)( 1) 2 ( 1)( 1)
1
2 2
A A
N n N n
ModX k k
N N
.
(X=k)= , ( )
A A
k n k
N N N
n
N
C C
P k X
C
N u ế
20
N
n
thì
~ ( ; ; ) ( ; )
A
X H N N n B n p
v i ớ
A
N
p
N
.
(X=k) C . . , ( ), 1
k k n k
n
P p q k X q p
.
- 5 - Tóm t ắt công thức
- 5 - XSTK
X
Y
Sơ đồ tóm t t các d ng phân ph i xác su t thông ắ ạ ố ấ
d ng: ụ
n
30, np<5
p
0,1
=np
N>20n
p=
A
N
N
, q=1-p
n
30, np
5
, nq
5
0,1<p<0,9
1
( ) ( )
k
P X k f
( ) ( ) ( )
b a
P a X b
v i ớ ,
np npq
Siêu bội: X~H(N;N ;n)
A
.
( )
A A
k n k
N N N
n
N
C C
P X k
C
Poisson: X~
( )
P
( )
!
k
P X k e
k
Nhị thức: X~B(n;p)
( ) . .
k k n k
n
P X k C p q
Chu n: X~ẩ
2
( ; )
N
2
2
( )
2
1
( ; ; ) .
2
x
f x e
Chu n chu n t c: Y~ N(0;1) ẩ ẩ ắ
2
2
1
( ) .
2
y
f y e
- 6 - Tóm t ắt công thức
- 6 - XSTK
II. Phần Thống Kê.
1. Lý thuy t m ế ẫu.
a. Các công th n. ức cơ bả
Các giá trị đặc trưng Mẫu ngẫu nhiên Mẫu cụ thể
Giá trị trung bình
1
...
n
X X
X
n
1
...
n
x x
x
n
Phương sai không hiệu chỉnh
2 2
2
1
( ) ... ( )
ˆ
n
X
X X X X
S
n
2 2
2
1
( ) ... ( )
ˆ
n
x
x x x x
s
n
Phương sai hiệu chỉnh
2 2
2
1
( ) ... ( )
1
n
X
X X X X
S
n
2 2
2
1
( ) ... ( )
1
n
x
x x x x
s
n
b. d x Để ễ ử lý ta viế ệt số li u c a m u c th i d ng t n sủ ẫ ụ ể dướ ạ ầ ố như sau:
Khi đó
Các giá trị đặc trưng Mẫu cụ thể
Giá tr
ị trung bình
1 1
...
k k
x n x n
x
n
Phương sai không hiệu chỉnh
2 2
2
1 1
( ) ... ( )
ˆ
k k
x
x x n x x n
s
n
Phương sai hiệu chỉnh
2 2
2
1 1
( ) ... ( )
1
k k
x
x x n x x n
s
n
c. Cách s d ng máy tính b túi tính các giá tr ử ụ ỏ để ị đặc trưng mẫu
- N u sế ố liệu thống kê thu th p theo mi n ậ ề
[ ; )
a b
hay
( ; ]
a b
thì ta s d ng giá ử ụ
trị đại diện cho miền đó là
2
a b
để tính toán.
Tác v Dòng CASIO MS Dòng CASIO ES ụ
B t chậ ế độ nh p t n s Không c n ậ ầ ố ầ
Shift Mode
4 1
Kh iở động gói Th ng kê Mode…(tìm)…SD Mode…(tìm)…STAT 1-Var ố
Nhập s liố ệu
1
x
Shift ,
1
n
M+
k
x
Shift ,
k
n
M+
N u ế
1
i
n
thì chỉ c n ầ
nh n ấ
i
x
M+
X FREQ
1
x
=
k
x
=
1
n
=
k
n
=
i
x
1
x
2
x
…
k
x
i
n
1
n
2
n
…
k
n
- 7 - Tóm t ắt công thức
- 7 - XSTK
Xóa màn hình hi n th AC AC ể ị
Xác định:
Kích thước mẫu (n)
Giá trị trung bình
(
x
)
Độ lệch chuẩn không
hi u ch nh (ệ ỉ
ˆ
x
s
)
Độ lệch chuẩn hiệu
ch nh (ỉ
x
s
)
Shift 1 3 =
Shift 2 1 =
Shift 2 2 =
Shift 2 3 =
Shift 1 5 1 =
Shift 1 5 2 =
Shift 1 5 3 =
Shift 1 5 4 =
Thoát kh i gói Thỏ ống kê Mode 1 Mode 1
2. Ước lượng kho ng. ả
a) Kho ng tin c y cho giá tr ả ậ ị trung bình.
Trườ ợng h p 1. (
đã biết)
Ước lượng đối x ng. ứ
2 2 2
1
( ) . ; )
2
z z z x x
n
Ước lượng ch ch trái. ệ
( ) 0,5 . ; )
z z z x
n

Ước lượng ch ch ph i. ệ ả
( ) 0,5 . )
z z z x
n
Trườ ợng h p 2. (
chưa biết,
30
n
)
Ước lượng đối x ng. ứ
2 2 2
1
( ) . ; )
2
s
z z z x x
n
Ước lượng ch ch trái. ệ
( ) 0,5 . ; )
s
z z z x
n

Ước lượng ch ch ph i. ệ ả
( ) 0,5 . )
s
z z z x
n
Trườ ợng h p 3. (
chưa biết, n<30)
Ước lượng đối x ng. ứ
( 1; ) ( 1; )
2 2
1 . ; )
2
n n
s
t t x x
n
Ước lượng ch ch trái. ệ
( 1; ) ( 1; )
1 . ; )
n n
s
t t x
n
- 8 - Tóm t ắt công thức
- 8 - XSTK
Ước lượng ch ch ph i. ệ ả
( 1; ) ( 1; )
1 . ; )
n n
s
t t x
n
b) Kho ng tin c y cho t ả ậ ỉ l . ệ
Ước lượng đối x ng. ứ
2 2 2
(1 )
1
( ) . ; )
2
f f
z z z f f
n
Ước lượng ch ch trái. ệ
(1 )
( ) 0,5 . ; )
f f
z z z f
n

Ước lượng ch ch ph i. ệ ả
(1 )
( ) 0,5 .
f f
z z z f
n

c) Kho ng tin c ả ậy cho phương sai.
Trườ ợng h p 1. (
chưa biết)
- Nếu đề bài chưa cho s mà cho mẫu cụ thể thì ph nh s (b ng máy ải xác đị ằ
tính).
Ước lượng không ch ch. ệ
2
2
( 1; )
2
1
2
n
,
1
2
( 1;1 )
2
1 1
2
n
2 2
2 1
( 1) ( 1)
( ;
n s n s
Ước lượng ch ch trái. ệ
2
2
1 ( 1;1 )
1
( 1)
1 (0; )
n
n s
Ước lượng ch ch ph i. ệ ả
2
2
2 ( 1; )
2
( 1)
1 ( ; )
n
n s
Trườ ợng h p 2. (
đã biết)
- Tính
2 2
1
( 1) .( )
k
i i
i
n s n x
Ước lượng không ch ch. ệ
2
2
( ; )
2
1
2
n
,
2
1
( ;1 )
2
1 1
2
n
2 2
2 1
( 1) ( 1)
( ;
n s n s
- 9 - Tóm t ắt công thức
- 9 - XSTK
Ước lượng ch ch trái. ệ
2
2
1 ( ;1 )
1
( 1)
1 (0; )
n
n s
Ước lượng ch ch ph i. ệ ả
2
2
2 ( ; )
2
( 1)
1 ( ; )
n
n s
3. Ki ểm định tham s . ố
a) Ki nh giá tr ểm đị ị trung bình.
ng h p 1. (Trườ ợ
đã biết)
1
: , :
o o o
H H
2 2
1
( ) , .
2
o
x
z z z n
- N u ế
2
z z
: Bác b H , ch p nh n Hỏ
o
ấ ậ
1
.
- N u ế
2
z z
: Ch p nh n H . ấ ậ
o
1
: , :
o o o
H H
( ) 0,5 , .
o
x
z z z n
- N u ế
z z
: Bác b H , ch p nh n Hỏ
o
ấ ậ
1
.
- N u ế
z z
: Ch p nh n H . ấ ậ
o
1
: , :
o o o
H H
( ) 0,5 , .
o
x
z z z n
- N u ế
z z
: Bác b H , ch p nh n Hỏ
o
ấ ậ
1
.
- N u ế
z z
: Ch p nh n H . ấ ậ
o
ng h p 2. (Trườ ợ
chưa biết,
30
n
)
1
: , :
o o o
H H
2 2
1
( ) , .
2
o
x
z z z n
s
- N u ế
2
z z
: Bác b H , ch p nh n Hỏ
o
ấ ậ
1
.
- N u ế
2
z z
: Ch p nh n H . ấ ậ
o
1
: , :
o o o
H H
( ) 0,5 , .
o
x
z z z n
s
- 10 - Tóm t ắt công thức
- 10 - XSTK
- N u ế
z z
: Bác b H , ch p nh n Hỏ
o
ấ ậ
1
.
- N u ế
z z
: Ch p nh n H . ấ ậ
o
1
: , :
o o o
H H
( ) 0,5 , .
o
x
z z z n
s
- N u ế
z z
: Bác b H , ch p nh n Hỏ
o
ấ ậ
1
.
- N u ế
z z
: Ch p nh n H . ấ ậ
o
ng h p 3. (Trườ ợ
chưa biết, n<30)
1
: , :
o o o
H H
( 1; )
2
, .
2
o
n
x
t t n
s
- N u ế
( 1; )
2
n
t t
: Bác b H , ch p nh n Hỏ
o
ấ ậ
1
.
- N u ế
( 1; )
2
n
t t
: Ch p nh n H . ấ ậ
o
1
: , :
o o o
H H
( 1; )
, .
o
n
x
t t n
s
- N u ế
( 1; )
n
t t
: Bác b H , chỏ
o
ấp nhận H
1
.
- N u ế
( 1; )
n
t t
: Chấp nhận H .
o
1
: , :
o o o
H H
( 1; )
, .
o
n
x
t t n
s
- N u ế
( 1; )
n
t t
: Bác b H , ch p nh n Hỏ
o
ấ ậ
1
.
- N u ế
( 1; )
n
t t
: Ch p nh n H . ấ ậ
o
b) Ki ểm định tỉ lệ.
1
: , :
o o o
H p p H p p
2 2
1
( ) , , .
2
(1 )
o
o o
f p
k
z z f z n
n
p p
- N u ế
2
z z
: Bác b H , ch p nh n Hỏ
o
ấ ậ
1
.
- N u ế
2
z z
: Ch p nh n H . ấ ậ
o
1
: , :
o o o
H p p H p p
( ) 0,5 , , .
(1 )
o
o o
f p
k
z z f z n
n
p p
- 11 - Tóm t ắt công thức
- 11 - XSTK
- N u ế
z z
: Bác b H , ch p nh n Hỏ
o
ấ ậ
1
.
- N u ế
z z
: Ch p nh n H . ấ ậ
o
1
: , :
o o o
H p p H p p
( ) 0,5 , , .
(1 )
o
o o
f p
k
z z f z n
n
p p
- N u ế
z z
: Bác b H , ch p nh n Hỏ
o
ấ ậ
1
.
- N u ế
z z
: Ch p nh n H . ấ ậ
o
c) Ki ểm định phương sai.
Trườ ợng h p 1. (
chưa biết)
- Nếu đề chưa cho s mà cho mẫu cụ thể thì ph i s dả ử ụng máy tính để xác
định s.
2 2 2 2
1
: , :
o o o
H H
2 2
1
( 1;1 )
2
1
2
n
,
2 2
2
( 1; )
2
2
n
,
2
2
2
( 1)
o
n s
- N u ế
2 2
2
2 2
1
: Bác b H , ch p nh n Hỏ
0
ấ ậ
1
.
- N u ế
2 2 2
1 2
: Ch p nh n H . ấ ậ
o
2 2 2 2
1
: , :
o o o
H H
2 2
1 ( 1;1 )
1
n
,
2
2
2
( 1)
o
n s
- N u ế
2 2
1
: Bác b H , ch p nh n Hỏ
0
ấ ậ
1
.
- N u ế
2 2
1
: Ch p nh n H . ấ ậ
o
2 2 2 2
1
: , :
o o o
H H
2 2
2 ( 1; )
n
,
2
2
2
( 1)
o
n s
- N u ế
2 2
2
: Bác b H , ch p nh n Hỏ
0
ấ ậ
1
.
- N u ế
2 2
2
: Ch p nh n H . ấ ậ
o
4. Ki ểm định so sánh tham s . ố
a) Ki nh so sánh giá tr trung bình. ểm đị ị
Trườ ợng h p 1. (
1 2
,
đã biết)
1 2 1 1 2
: , :
o
H H
1 2
2 2
2 2
1 2
1 2
1
( ) ,
2
x x
z z z
n n
- 12 - Tóm t ắt công thức
- 12 - XSTK
- N u ế
2
z z
: Bác b H , ch p nh n Hỏ
o
ấ ậ
1
.
- N u ế
2
z z
: Ch p nh n H . ấ ậ
o
1 2 1 1 2
: , :
o
H H
1 2
2 2
1 2
1 2
( ) 0,5 ,
x x
z z z
n n
- N u ế
z z
: Bác b H , ch p nh n Hỏ
o
ấ ậ
1
.
- N u ế
z z
: Ch p nh n H . ấ ậ
o
1 2 1 1 2
: , :
o
H H
1 2
2 2
1 2
1 2
( ) 0,5 ,
x x
z z z
n n
- N u ế
z z
: Bác b H , ch p nh n Hỏ
o
ấ ậ
1
.
- N u ế
z z
: Ch p nh n H . ấ ậ
o
ng h p 2. (Trườ ợ
1 2
,
chưa biết,
1 2
30
n n
)
1 2 1 1 2
: , :
o
H H
1 2
2 2
2 2
1 2
1 2
1
( ) ,
2
x x
z z z
s s
n n
- N u ế
2
z z
: Bác b H , ch p nh n Hỏ
o
ấ ậ
1
.
- N u ế
2
z z
: Ch p nh n H . ấ ậ
o
1 2 1 1 2
: , :
o
H H
1 2
2 2
1 2
1 2
( ) 0,5 ,
x x
z z z
s s
n n
- N u ế
z z
: Bác b H , ch p nh n Hỏ
o
ấ ậ
1
.
- N u ế
z z
: Ch p nh n H . ấ ậ
o
1 2 1 1 2
: , :
o
H H
1 2
2 2
1 2
1 2
( ) 0,5 ,
x x
z z z
s s
n n

Tài liệu khác của Đại học Tôn Đức Thắng

Preview text:

- 1 - Tóm tắt công thức
Tóm tắt công thức Xác Suất - Thống Kê I. Phần Xác Suất 1. Xác suất cổ điển  Công th c
ứ cộng xác suất: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).
 A1, A2,…, An xung khắc từng đôi P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).  Ta có
o A, B xung khắc P(A+B)=P(A)+P(B).
o A, B, C xung khắc từng đôi P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C). o P( ) A  1 ( P ) A.  Công th c
ứ xác suất có điều kiện: P( ) AB P AB ( P A/ B ) , ( ) ( P B/ A ) . ( P ) B ( P ) A  Công th c
ứ nhân xác suất: P(AB)=P(A).P(B/A)=P(B).P(A/B).
 A1, A2,…, An độc lập với nhau P(A1.A2.….An)=P(A1).P(A2).….P( An).  Ta có
o A, B độc lập  P(AB)=P(A).P(B).
o A, B, C độc lập với nhau P(A.B.C)=P(A).P(B).P(C).  Công th c
ứ Bernoulli: ( ; ; ) k k n k B k n p
, với p=P(A): xác suất để biến cố A n C p q
xảy ra ở mỗi phép th và q=1- ử p.  Công th c
ứ xác suất đầy đủ - Công thức Bayes
o Hệ biến cố gồm n phần tử A1, A2,…, An được gọi là một phép phân       hoạch của  A .A i j; i , j 1,n i j          1 A 2 A ... n A o Công th c ứ xác suất đầy đủ: n P( ) B   ( P     i ) A. ( P / B i )A ( 1 P ).A (P / 1 B ) A ( 2) P .A ( / P 2B ) . A .. (n ) P .A ( / P nB i 1  o Công thức Bayes: P( i A ).P (B / iA) ( P A/ ) i B ( P ) B với P( ) B  ( P 1). A (P / B 1 ) A (P 2 ). A (P /B 2 )A  ... ( n P ). A (P /n B 2. Biến ngẫu nhiên
a. Biến ngẫu nhiên rời rạc
 Luật phân phối xác suất X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn với     i p ( P X i) x , i 1, . n Ta có: n   và    i p 1 { P a f(X) b}= ip i 1  af(  ix b - 1 - XSTK - 2 - Tóm tắt công thức
 Hàm phân phối xác suất     X F ( x ) P( X )x ip  i x x  Mode ModX     0 x p0 max{ ip : i 1, } n  Median    i p 0,5  ( P X   e) x 0,5  MedX i x e x      e x P ( X    ex ) 0,5   ip 0,5   ix ex  K v ỳ ọng n EX  (      ix . i p ) 1x . 1 p 2 x . 2p ... nx. n i 1  n ( E  (X ))  ( (        ix ). ip ) 1 (x ). 1p ( 2x ). 2p ... (nx ). np i 1   Phương sai 2 2 VarX  E( X ) (EX) n với 2 2 2 2 2 E (X )  (      i
x . ip ) 1x . 1p 2x. 2p ... n .x n i 1 
b. Biến ngẫu nhiên liên tục.   f(x) là hàm mật xác su độ ất của X  ( )   f x dx 1,  b {a P  X b}   (f ). x dx a
 Hàm phân phối xác suất x     X F ( ) x ( P X )x (f ) t d   Mode ModX
 Hàm mật độ xác suất f(x) của X đạt c i ực đạ tại x0. 0x  Median 1 e x 1 MedX      . e x X F ( )e x (f ) x dx 2  2  K v ỳ ọng  EX   . x f( ) x d.   ( E ( )) X    ( ).x (f )x dx  - 2 - XSTK - 3 - Tóm tắt công thức  Phương sai  2 2 VarX  E( X ) (EX) với 2 2 EX   x .f (x )dx.  c. Tính chất - E( C) , C Var( )
C , C là một hằng số. - 2
E(kX ) kEX ,Var(kX ) k VarX - E(aX  b ) Y aEX bE - Nếu c l X, Y độ ập thì 2 2 E( ) XY  E . X , EY V ( ar aX ) bY a VarX  b Va
- (X ) VarX : Độ lệch chuẩn của X, có cùng th nguyên ứ với X và EX.
3. Luật phân phối xác suất a. Phân phối Chuẩn 2 (X ~ ( N ; ))  (
X )  , EX=ModX=MedX= , 2 VarX   2 ( x )   Hàm mđxs 1 2  2 f ( , x , ) e     Với   0,   1  2 2 x 1   2 f ( ) x e (Hàm Gauss) 2 2     x t   b a 1 ( P a  X b)  ( )  ( ) với   2  (Hàm Laplace)   ( x ) e d  0 2
 Cách sử dụng máy tính bỏ túi để tính giá trị hàm Laplace, hàm phân phối
xác suất của phân phối chuẩn chuẩn tắc Tác vụ Máy CASIO 570MS Máy CASIO 570ES
Khởi động gói Thống kê Mode…(tìm)…SD Mode…(tìm)…STAT 1-Var Tính 2 x t 1    2 (x )  e d Shift 3 2 x ) = Shift 1 7 2 x ) =  0 2 2 x t 1   2 F ( x)  e dt Shift 3 1 x ) = Shift 1 7 1 x ) =  2
Thoát khỏi gói Thống kê Mode 1 Mode 1 Lưu ý: F( ) x  0,5 (x b. Phân phối Poisson ( X ~ ( P ))  (
X )  , EX  VarX . od M X=k   -1 k  k  (X=k)=e  , P  k k! - 3 - XSTK - 4 - Tóm tắt công thức c. Phân phối Nhị thức (X ~ ( B ; n ) p )
 X( ) {0..n}, EX=np, VarX=npq, ModX=k (n 1)p 1 k (n 1)  (  P X=k)=Ck. k p . n q
,k q  p 0 k n,  n k
 Nếu (  30; 0,1  0,9;  5,  n p np nq 5 thì 2 X ~ ( B ;n )p ( N ; ) với   . n , p  npq 1 k    P(X=k)  f (
), 0 k  n , k    b   a   P(a X)  (  
 Nếu (n 30,p  n  p 5 thì X ~ ( B ; n ) p ( P ) với   np k  (X=k) e   , P  k ! k
 Nếu (n 30,p 0,9,n  q 5 n k   P(X=k)  e
, k  với   nq (n  k)!
d. Phân phối Siêu bội( X ~ H (N; N ; )) A n  X( ) {m  ax{0; n ( N  N A)}..min{n;N }} A   EX=np, VarX=npqN n với N A p  , q=1-p. N  1 N        (N A 1)( n 1) 2 ( A N 1)( n 1) ModX  k  1 k . N  2 N 2 k n k  C C  P(X=k)= NA N A N , k  ( X  ) n N C  Nếu N  N 20 thì X ~ H (N ; N ; ) n  ( B ; n ) p với A p  . n A N  ( P X=k)  Ck . k p . n k q
, k X( ), q 1 n p. - 4 - XSTK - 5 - Tóm tắt công thức
Sơ đồ tóm t t các d ắ ạng phân ph i x ố ác su t thông ấ dụng: Siêu bội: X~H(N;NA;n) k n k N C . C ( P X ) A N A N k n N C N>20n N p= A , q=1-p N n30, np<5 Nhị thức: X~B(n;p) p0,1 Poisson: X~ ( P  )  =np k   ( P X ) k k n. k C p. n k q   ( P X ) k  e ! k n30, np 5, nq 5 0,1

1 k   ( P X )k  (f )   b   a  P ( a X ) b  ( )  ( )   với   n , p  npq X   Chuẩn: X~ 2 N( ; ) Y 
Chuẩn chuẩn tắc: Y~ N(0;1)  2 2 y ( x  )  1  1 2 2  2 f ( ; x ; ) .e    f ( y) .e   2 2 - 5 - XSTK - 6 - Tóm tắt công thức II. Phần Thống Kê. 1. Lý thuyết mẫu. a. Các công th n. ức cơ bả
Các giá trị đặc trưng
Mẫu ngẫu nhiên
Mẫu cụ thể Giá trị trung bình X  ...    1 n X x ... x X  1 n x  n n
Phương sai không hiệu chỉnh 2 2 2 2 ˆ         2 (X 1 ) X ... (X X ) 2 ( 1 x )x ... (x ) ˆ x S  n s  n X n x n Phương sai hiệu chỉnh 2 2     2 2     2 (X 1 ) X ... ( n X X )  (x )x ... ( nx ) x S 2 1  X s n 1 x n 1  b. d
Để ễ xử lý ta viết số liệu của mẫu cụ th i
ể dướ dạng tần số như sau: i x 1 x x2 … k x i n 1 n 2 n … k n Khi đó
Các giá trị đặc trưng
Mẫu cụ thể x n  ...  x n Giá trị trung bình 1 1 k k x  n
Phương sai không hiệu chỉnh 2 2     2 ( 1 x ) x 1 n ... ( x ) ˆ  k x kn x s n 2 2     Phương sai hiệu chỉnh 2 ( 1 x ) x 1 n ... ( kx )  x kn x s  n 1 c. Cách s d
ử ụng máy tính bỏ túi để tính các giá trị đặc trưng mẫu
- Nếu số liệu thống kê thu thập theo miền [a ; ) b hay (a ; ] b thì ta s d ử ụng giá 
trị đại diện cho miền đó là a b để tính toán. 2 Tác vụ Dòng CASIO MS Dòng CASIO ES
Bật chế độ nhập tần số Không cần Shift Mode  4 1
Khởi động gói Thống kê Mode…(tìm)…SD Mode…(tìm)…STAT 1-Var 1 x Shift , 1 n M+  X FREQ xk Shift , k n M+ 1 x = 1 n = Nhập số liệu   Nếu thì chỉ cần x = i n  1 k k n = nhấn i x M+ - 6 - XSTK - 7 - Tóm tắt công thức Xóa màn hình hiển thị AC AC Xác định:  Kích thước mẫu (n) Shift 1 3 = Shift 1 5 1 =  Giá trị trung bình (x ) Shift 2 1 = Shift 1 5 2 =
 Độ lệch chuẩn không hiệu chỉnh (ˆ Shift 2 2 = Shift 1 5 3 = x s )
 Độ lệch chuẩn hiệu Shift 2 3 = Shift 1 5 4 = chỉnh (sx)
Thoát khỏi gói Thống kê Mode 1 Mode 1 2. Ước lượng khoảng.
a) Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình.
Trường hợp 1. ( đã biết)
 Ước lượng đối xứng. 1    (z              ) z z . x ; x ) 2 n 2 2 2
 Ước lượng chệch trái.  (z              ) 0,5 z z  . ; x ) n
 Ước lượng chệch phải.  (z             ) 0,5 z z  . x ) n
Trường hợp 2. ( chưa biết, n  30)
 Ước lượng đối xứng. 1   s (z              ) z z . x ; x ) 2 n 2 2 2
 Ước lượng chệch trái. s (z              ) 0,5 z z  . ; x ) n
 Ước lượng chệch phải. s (z             ) 0,5 z z  . x ) n
Trường hợp 3. ( chưa biết, n<30)
 Ước lượng đối xứng.  s 1    t     t  .
  x  ; x  ) 2 (n1; ) (n 1; ) n 2 2
 Ước lượng chệch trái. s 1             ( t 1  ;) (t 1  ; ). ; x ) n n n - 7 - XSTK - 8 - Tóm tắt công thức
 Ước lượng chệch phải. s 1              ( t n 1  ; ) ( t n 1; ). x ; ) n
b) Khoảng tin cậy cho tỉ lệ.
 Ước lượng đối xứng. 1  f (1 f ) (z              ) z z . f ; f ) 2 2 2 2 n
 Ước lượng chệch trái. f (1 f ) (z              ) 0,5 z z  . ; f ) n
 Ước lượng chệch phải. f (1 f ) (z             ) 0,5 z z  . f n
c) Khoảng tin cậy cho phương sai.
Trường hợp 1. ( chưa biết)
- Nếu đề bài chưa cho s mà cho mẫu cụ thể thì phải xác định s (bằng máy tính).
 Ước lượng không chệch.   2 1       2  , 1   1      2 2 1 (n 1  ; ) 2 (  n 1;1 ) 2 2 2 2 (n  1)s (  n 1)  s ( ;   2 1
 Ước lượng chệch trái. 2  2 (n 1)s 1       1 (n 1;1 ) (0; ) 1
 Ước lượng chệch phải. 2  2 ( n 1) s
1          2 ( 1; ) ( ; ) n 2
Trường hợp 2. ( đã biết) k - Tính 2 2 (n  1)s     i n .( ix ) i 1 
 Ước lượng không chệch.   2 1             2    , 2 1 1  2 1 (n ; ) 2 ( n;1 ) 2 2 2 2 (  n 1)s (  n 1)  s ( ;   2 1 - 8 - XSTK - 9 - Tóm tắt công thức
 Ước lượng chệch trái. 2  2 (n 1)s 1       1 (n ;1 ) (0; )  1
 Ước lượng chệch phải. 2  2 (n 1)s
1          2 (n ; ) ( ; )  2 3. Kiểm định tham số.
a) Kiểm định giá trị trung bình.
Trường hợp 1. ( đã biết)  H        o : , 1 o H : o 1   x   (z      ) z , o z . n 2  2 2
- Nếu z  z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. 2
- Nếu z  z : Chấp nhận Ho. 2  H :    , 1 H :   o o o x   (z        ) 0,5 z , o z . n 
- Nếu z   z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
- Nếu z   z : Chấp nhận Ho.  H :    , 1 H :   o o o x   (z        ) 0,5 z , o z . n 
- Nếu z  z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
- Nếu z  z : Chấp nhận Ho.
Trường hợp 2. ( chưa biết, n 30 )  H        o : , 1 o H : o 1   x   (z      ) z , o z . n 2 s 2 2
- Nếu z  z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. 2
- Nếu z  z : Chấp nhận Ho. 2  H        o : , 1 o H : o x   (z        ) 0,5 z , o z . n s - 9 - XSTK - 10 - Tóm tắt công thức
- Nếu z   z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
- Nếu z   z : Chấp nhận Ho.  H :    , 1 H :   o o o x   (z        ) 0,5 z , o z . n s
- Nếu z  z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
- Nếu z  z : Chấp nhận Ho.
Trường hợp 3. ( chưa biết, n<30)  H        o : , 1 o H : o  x      t  , o  t . n 2 ( n 1  ; ) s 2
- Nếu t  t  : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. (n 1  ; ) 2
- Nếu t  t  : Chấp nhận Ho. (n 1  ; ) 2  H :    , 1 H :   o o o x  o     ( t n 1  ; ), t . n s - Nếu t  
: Bác bỏ Ho, chấp nhận H (tn 1  ; ) 1. - Nếu t   : Chấp nhận Ho. (tn 1  ; )  H        o : , 1 o H : o x  o     ( t n 1  ; ), t . n s - Nếu t 
: Bác bỏ Ho, chấp nhận H (n t 1  ; ) 1. - Nếu t  : Chấp nhận Ho. (n t 1  ; ) b) Kiểm định tỉ lệ.  H : p  p , 1 H :  o o p o p 1   k f  p (z        ) z , f , o z . n 2 n  o p (1 o p ) 2 2
- Nếu z  z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. 2
- Nếu z  z : Chấp nhận Ho. 2  H    o : p p , 1 o H : p o p k f  p (z          ) 0,5 z , f , o z . n n  o p (1 o p ) - 10 - XSTK - 11 - Tóm tắt công thức
- Nếu z   z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
- Nếu z   z : Chấp nhận Ho.  H : p  p , 1 H :  o o p o p k f  p (z          ) 0,5 z , f , o z . n n  o p (1 o p )
- Nếu z  z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
- Nếu z  z : Chấp nhận Ho.
c) Kiểm định phương sai.
Trường hợp 1. ( chưa biết)
- Nếu đề chưa cho s mà cho mẫu cụ thể thì phải s d
ử ụng máy tính để xác định s.  2 2 2 2 H        o : ,o 1 H : o   2  2 2 (n 1)s  1         , 2   1    , 2 2  2 2 (n 1;1 ) 2 (n 1  ; ) 2  2 2 o  2 2    - Nếu 2 
: Bác bỏ H0, chấp nhận H1. 2 2      1 - Nếu 2 2 2
     : Chấp nhận Ho. 1 2  2 2 2 2 H        o : ,o 1 H : o 2 2 2    (n 1) s 1      , 2   1 (n 1;1 ) 2  o - Nếu 2 2
   : Bác bỏ H0, chấp nhận H 1 1. - Nếu 2 2
   : Chấp nhận Ho. 1  2 2 2 2 H        o : ,o 1 H : o 2 2 2       , 2 (n 1) s   2 (n 1  ; ) 2 o - Nếu 2 2
   : Bác bỏ H0, chấp nhận H 2 1. - Nếu 2 2
   : Chấp nhận Ho. 2
4. Kiểm định so sánh tham số.
a) Kiểm định so sánh giá trị trung bình.
Trường hợp 1. (  đã biết) 1, 2  H        o : 1 2, 1 H : 1 2 1    1 x 2 x (z      ) z , z 2 2 2   2 2 1 2  1 n 2 n - 11 - XSTK - 12 - Tóm tắt công thức
- Nếu z  z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. 2
- Nếu z  z : Chấp nhận Ho. 2  H :        1 2, 1 H : o 1 2  1 x 2 x (z        ) 0,5 z , z 2 2   1  2 1 n 2 n
- Nếu z   z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
- Nếu z   z : Chấp nhận Ho.  H :        1 2, 1 H : o 1 2  1 x 2 x (z        ) 0,5 z , z 2 2   1 2  1 n 2 n
- Nếu z  z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
- Nếu z  z : Chấp nhận Ho.
Trường hợp 2. (  chưa biết,   1, 2 1 n 2 n 30)  H :        1 2, 1 H : o 1 2 1    1 x 2 x (z      ) z , z 2 2 2 2 2 1 s 2 s  1 n 2 n
- Nếu z  z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. 2
- Nếu z  z : Chấp nhận Ho. 2  H :        1 2, 1 H : o 1 2  1 x 2 x (z        ) 0,5 z , z 2 2 1 s 2 s  1 n 2 n
- Nếu z   z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
- Nếu z   z : Chấp nhận Ho.  H        o : 1 2, 1 H : 1 2  1 x 2 x (z        ) 0,5 z , z 2 2 1 s 2 s  1 n 2 n - 12 - XSTK

Tài liệu liên quan: