-
Thông tin
-
Quiz
Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm phương trình đường thẳng Toán 12
Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm phương trình đường thẳng Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian 143 tài liệu
Toán 12 3.8 K tài liệu
Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm phương trình đường thẳng Toán 12
Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm phương trình đường thẳng Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Chủ đề: Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian 143 tài liệu
Môn: Toán 12 3.8 K tài liệu
Thông tin:
Tác giả:
Preview text:
CHỦ ĐỀ 4. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. Phương trình đường thẳng:
• Cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M x ; y ; z và nhận vectơ a = (a ;a ;a với 1 2 3 ) 0 ( 0 0 0 ) 2 2 2
a + a + a ≠ 0 làm vectơ chỉ phương. Khi đó ∆ có phương trình tham số là : 1 2 3
x = x + a t 0 1
y = y + a t; t ∈ 0 2 ( ) z = z + a t 0 2
• Cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M x ; y ; z và nhận vectơ a = (a ;a ;a sao cho 1 2 3 ) 0 ( 0 0 0 )
a a a ≠ 0 làm vectơ chỉ phương. Khi đó ∆ có phương trình chính tắc là : 1 2 3 − − − x x y y z z 0 0 0 = = a a a 1 2 3 II. Góc:
1. Góc giữa hai đường thẳng:
∆ có vectơ chỉ phương a 1 1
∆ có vectơ chỉ phương a 2 2 a .a
Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng ∆ và ∆ . Ta có: 1 2 cosϕ = 1 2 a . a 1 2
2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
∆ có vectơ chỉ phương a ∆ (
α ) có vectơ chỉ phương nα a∆.n
Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng ∆ và (α) . Ta có: sinϕ = α a∆ . nα III. Khoảng cách:
1. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ :
∆ đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương a 0 ∆ a ∆ , M M d (M , ) 0 ∆ = a∆
2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
∆ đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương a 1 1
∆ đi qua điểm N và có vectơ chỉ phương a 2 2
a ,a .MN d ( , ) 1 2 = ∆ ∆ 1 2 a ,a 1 2
IV. Các dạng toán thường gặp:
1. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua hai điểm phân biệt , A B .
Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là AB .
2. Đường thẳng ∆ đi qua điểm M và song song với d . Cách giải:
Trong trường hợp đặc biệt: Trang 1/42
• Nếu ∆ song song hoặc trùng bới trục Ox thì ∆ có vectơ chỉ phương là a = = ∆ i (1;0;0)
• Nếu ∆ song song hoặc trùng bới trục Oy thì ∆ có vectơ chỉ phương là a = = ∆ j (0;1;0)
• Nếu ∆ song song hoặc trùng bới trục Oz thì ∆ có vectơ chỉ phương là a = = ∆ k (0;1;0)
Các trường hợp khác thì ∆ có vectơ chỉ phương là a =
, với a là vectơ chỉ phương ∆ ad d của d
3. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (α ) .
Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là a =
, với n là vectơ pháp tuyến của ∆ nα α (α) .
4. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M và vuông góc với hai đường thẳng
d ,d (hai đường thẳng không cùng phương). 1 2
Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là a =
, với a ,a lần lượt là vectơ ∆ a ,a 1 2 1 2
chỉ phương của d ,d . 1 2
5. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M vuông góc với đường thẳng d và song
song với mặt phẳng (α ) .
Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là a =
, với a là vectơ chỉ ∆ a n d , α d
phương của d , n α
α là vectơ pháp tuyến của ( ) .
6. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A và song song với hai mặt phẳng
(α),(β ); ((α),(β ) là hai mặt phẳng cắt nhau)
Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là a =
, với nα,n lần lượt là ∆ nα,nβ β
vectơ pháp tuyến của (α ),(β ) .
7. Viết phương trình đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng (α ) và (β ) . Cách giải:
• Lấy một điểm bất kì trên ∆ , bằng cách cho một ẩn bằng một số tùy ý.
• Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là a =
, với nα,n lần lượt là vectơ ∆ nα,nβ β
pháp tuyến của (α ),(β ) .
8. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A và cắt hai đường thẳng
d ,d A∉d , A∉d . 1 2 ( 1 2 )
Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là a =
, với n ,n lần lượt là vectơ ∆ n ,n 1 2 1 2
pháp tuyến của mp ( , A d ,mp , A d . 1 ) ( 2 )
9. Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (α ) và cắt hai đường thẳng d ,d . 1 2
Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là a =
, với A = d ∩ α , B = d ∩ α 1 ( ) 2 ( ) ∆ AB
10. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A , vuông góc và cắt d .
Cách giải:
• Xác định B = ∆ ∩ d .
• Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua , A B .
11. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A , vuông góc với d và cắt d , với 1 2 A∉d . 2
Cách giải: Trang 2/42
• Xác định B = ∆ ∩ d . 2
• Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua , A B .
12. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A , cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng (α ) .
Cách giải:
• Xác định B = ∆ ∩ d .
• Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua , A B .
13. Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (α ) cắt và vuông góc đường thẳng d .
Cách giải:
• Xác định A = d ∩ (α ) .
• Đường thẳng ∆ đi qua A và có vectơ chỉ phương của ∆ là a = , với a ∆ a n d , α d
là vectơ chỉ phương của d , n α
α là vectơ pháp tuyến của ( ) .
14. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng
(α) , nằm trong (α) và vuông góc đường thẳng d (ở đây d không vuông góc với (α) ) .
Cách giải:
• Xác định A = d ∩ (α ) .
• Đường thẳng ∆ đi qua A và có vectơ chỉ phương của ∆ là a = , với a ∆ a n d , α d
là vectơ chỉ phương của d , n α
α là vectơ pháp tuyến của ( ) .
15. Viết phương trình đường thẳng ∆ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo
nhau d ,d . 1 2
Cách giải: AB ⊥ d
• Xác định A = ∆ ∩ d , B = ∆ ∩ d sao cho 1 1 2 AB ⊥ d2
• Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua hai điểm , A B .
16. Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d và cắt cả hai đường thẳng d ,d . 1 2
Cách giải:
• Xác định A = ∆ ∩ d , B = ∆ ∩ d sao cho AB,a cùng phương, với a là vectơ chỉ 1 2 d d phương của d .
• Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A và có vectơ chỉ phương a = a . d ∆
17. Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (α ) và cắt cả hai đường thẳng d ,d . 1 2
Cách giải:
• Xác định A = ∆ ∩ d , B = ∆ ∩ d sao cho AB,n cùng phương, với n là vectơ 1 2 α α pháp tuyến của (α ) .
• Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A và có vectơ chỉ phương a = n . d α
18. Viết phương trình ∆ là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng (α ) .
Cách giải : Xác định H ∈ ∆ sao cho AH ⊥ a ,với a là vectơ chỉ phương của d . d d
• Viết phương trình mặt phẳng (β ) chứa d và vuông góc với mặt phẳng (α ) .
• Viết phương trình đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng (α ) và (β )
19. Viết phương trình ∆ là hình chiếu song song của d lên mặt phẳng (α ) theo phương d '. Trang 3/42
Cách giải :
• Viết phương trình mặt phẳng (β ) chứa d và có thêm một véc tơ chỉ phương u . d'
• Viết phương trình đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng (α ) và (β ) .
B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
1. Học sinh xác định được vectơ chỉ phương và điểm nào đó thuộc đường thẳng khi cho trước phương trình.
2. Học sinh biết cách chuyển từ phương trình tham số qua phương trình chính tắc và ngược lại.
3. Học sinh lập được phương trình chính tắc và phương trình tham số.
4. Học sinh tìm được hình chiếu, điểm đối xứng.
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM x = 2 − 2t x = 6 + 2t '
Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d :
y = 3 − 2t và d’: y = 3 + 2t ' . Xét các mệnh z =1− 3t z = 7 + 9t ' đề sau:
(I) d đi qua A(2 ;3 ;1) và có véctơ chỉ phương a (2;2;3)
(II) d’ đi qua A’ (0;-3;-11) và có véctơ chỉ phương a '(2;2;9)
(III) a và a ' không cùng phương nên d không song song với d’
(IV) Vì a ;a ' .AA' = 0
nên d và d’ đồng phẳng và chúng cắt nhau
Dựa vào các phát biểu trên, ta kết luận:
A. Các phát biểu (I), (III) đúng, các phát biểu (II), (IV) sai.
B. Các phát biểu (I), (II) đúng, các phát biểu (III), (IV) sai.
C. Các phát biểu (I) đúng, các phát biểu (II), (III), (IV) sai.
D. Các phát biểu (IV) sai, các phát biểu còn lại đúng. x = 2 + t
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình tham số y = −3t . z = −1+ 5t
Phương trình chính tắc của đường thẳng d là? A. − + x x y z
− 2 = y = z +1. B. 2 1 = = . 1 3 − 5
C. x + 2 y z −1 + − = = . D. x 2 y z 1 = = . 1 − 3 5 − 1 3 − 5
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ có phương trình chính tắc
x − 3 y +1 z =
= . Phương trình tham số của đường thẳng ∆ là? 2 −3 1 x = 3 + 2t x = 2 + 3t x = 3 − + 2t x = 3 − − 2t A. y = 1 − − 3t. B. y = 3 − − t.
C. y =1−3t .
D. y =1+ 3t . z = t z = t z = t z = t
Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
x 2 y 1 z 3 d + − − : = = . Đường thẳng d 2 −1 3
đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương a có tọa độ là: d A. M (2; 1; − 3),a = − B. M (2; 1 − ; 3 − ),a = − d (2; 1;3). d ( 2;1;3). C. M ( 2 − ;1;3),a = − D. M (2; 1 − ;3),a = − − d (2; 1; 3). d (2; 1;3). Trang 4/42 x = t − 2
Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz, cho đường thẳng d : y = 2 + 3t . Đường thẳng d đi qua z =1+ t
điểm M và có vectơ chỉ phương a có tọa độ là: d A. M ( 2; − 2; ) 1 ,a = B. M (1;2; ) 1 ,a = − d ( 2;3; ) 1 . d (1;3; ) 1 . C. M (2; 2; − − ) 1 ,a = D. M (1;2; ) 1 ,a = − d (2; 3; ) 1 . d (1;3; ) 1 .
Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình tham số của
đường thẳng d qua điểm M (−2;3; )
1 và có vectơ chỉ phương a = (1;−2;2) ? x = 2 + t x = 1+ 2t x = 1− 2t x = 2 − + t A. y = 3 − − 2t. B. y = 2 − − 3t . C. y = 2 − + 3t.
D. y = 3− 2t . z = 1 − + 2t z = 2 − t z = 2 + t z =1+ 2t
Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc ∆ của
đường thẳng đi qua hai điểm A(1;−2;5)và B (3;1 ) ;1 ?
A. x −1 y + 2 z − 5 − − − = = .
B. x 3 y 1 z 1 = = . 2 3 4 − 1 2 − 5
C. x +1 y − 2 z + 5 − + − = = .
D. x 1 y 2 z 5 = = . 2 3 4 − 3 1 1
Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(−1;3;2), B(2;0;5),C (0; 2 − ; ) 1 .
Phương trình đường trung tuyến AM của tam giác ABC là.
A. x −1 y + 3 z + 2 − + + = = .
B. x 1 y 3 z 2 = = . 2 − 4 1 − 2 4 − 1
C. x +1 y − 3 z − 2 − + + = = .
D. x 2 y 4 z 1 = = . 2 4 − 1 1 1 − 3
Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1;4;− ) 1 , B (2;4; ) 3 ,C (2;2;− ) 1 .
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và song song với BC là x = 1 x =1 x = 1 x = 1 A.
y = 4 + t .
B. y = 4 + t .
C. y = 4 + t .
D. y = 4 −t . z = 1 − + 2t z =1+ 2t z = 1 − − 2t z = 1 − + 2t Câu 10.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm
M (1;3;4) và song song với trục hoành là. x =1+ t x =1 x =1 x =1 A. y = 3 .
B. y = 3+ t.
C. y = 3 . D. y = 3 . y = 4 y = 4 y = 4 − t y = 4 + t x = 1− 2t Câu 11.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : y = t . Phương trình z = −3+ 2t
chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(3;1;− )
1 và song song với d là
A. x + 3 y +1 z −1 − − + = = .
B. x 3 y 1 z 1 = = . 2 − 1 2 2 − 1 2
C. x + 2 y −1 z − 2 − + + = = .
D. x 2 y 1 z 2 = = . 3 1 1 − 3 1 1 − Trang 5/42
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
x 2 y 1 z 3 d − − − : = = . Phương trình tham số 2 −1 3
của đường thẳng ∆ đi qua điểm M (1;3;−4) và song song với d là x = 2 + t x = 1 − + 2t x = 1 − + 2t x =1+ 2t A. y = 1 − + 3t. B. y = 3 − − t . C. y = 3 − − t .
D. y = 3−t . z = 3− 4t z = 4 + 3t z = 4 + 3t z = 4 − + 3t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x − y + z − 3 = 0 . Phương trình chính tắc của
của đường thẳng ∆ đi qua điểm M (−2;1 )
;1 và vuông góc với (P) là
A. x + 2 y −1 z −1 − − − = = .
B. x 2 y 1 z 1 = = . 2 1 − 1 2 1 − 1
C. x + 2 y −1 z −1 + − − = = .
D. x 2 y 1 z 1 = = . 2 1 1 2 1 − 1 −
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α ) : x − 2y + 2z − 3 = 0 .Phương trình tham số của
đường thẳng d đi qua A(2;1;−5) và vuông góc với (α ) là x = 2 − + t x = 2 − − t x = 2 + t x = 1+ 2t A. y = 1 − − 2t . B. y = 1 − + 2t.
C. y =1− 2t . D. y = 2 − + t. z = 5+ 2t z = 5 − 2t z = 5 − + 2t z = 2 − 5t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A(2;−1; ) 3 và vuông góc
với mặt phẳng (Oxz) là. x = 2 x = 2 x = 2 x = 2 + t A.
y =1− t .
B. y =1+ t. C. y = 1 − + t. D y = 1 − . z = 3 z = 3 z = 3 z = 3+ t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(2;1;−2), B(4;−1 ) ;1 ,C (0;−3 ) ;1 . Phương
trình d đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng ( ABC) là x = 2 + t x = 2 − + t x = 2 + t x = 2 + t A. y = 1 − − 2t. B. y = 1 − − 2t.
C. y =1− 2t.
D. y =1+ 2t. z = 2 − t z = 2 − t z = 2 − t z = 2t
(ĐH D2007). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;4;2) và B (−1;2;4) . Phương trình
d đi qua trọng tâm của OA ∆
B và vuông góc với mặt phẳng (OAB) là
A. x y − 2 z − 2 + + = = .
B. x y 2 z 2 = = . 2 1 − 1 2 1 − 1
C. x y − 2 z − 2 + + = = .
D. x y 2 z 2 = = . 2 1 1 2 1 1
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(0;1;2), B(−2;−1;−2),C (2;−3;− ) 3 .
Đường thẳng d đi qua điểm B và vuông góc với mặt phẳng ( ABC). Phương trình nào sau đây
không phải là phương trình của đường thẳng d . x = 2 − − t x = 2 − + t x = 2 − − 6t x = 2 − − t A. y = 1 − − 3t . B. y = 1 − + 3t . C. y = 1 − −18t . D. y = 1 − − 3t . z = 2 − + 2t z = 2 − − 2t z = 2 − +12t z = 2 − − 2t Trang 6/42
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M (2;1;−5), đồng thời
vuông góc với hai vectơ a = (1;0; ) 1 và b = (4;1;− ) 1 là
A. x − 2 y −1 z + 5 + + − = = .
B. x 2 y 1 z 5 = = . 1 − 5 1 1 − 5 1
C. x + 2 y +1 z − 5 + − − = = .
D. x 1 y 5 z 1 = = . 1 5 − 1 − 2 1 5 −
(ĐH B2013). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;−1; ) 1 , B ( 1;
− 2;3) và đường thẳng
x +1 y − 2 z − 3 ∆: = =
. Phương trình đường thẳng đi qua điểm A , đồng thời vuông góc với 2 − 1 3
hai đường thẳng AB và ∆ là
A. x − 7 y − 2 z − 4 − + − = = .
B. x 1 y 1 z 1 = = . 1 1 − 1 7 2 4
C. x +1 y −1 z +1 + − + = = .
D. x 1 y 1 z 1 = = . 7 2 − 4 7 2 4 x = 1+ t
Trong không gian với hệ tọa độ − + Oxyz x 2 y z 1
, cho hai đường thẳng d : = =
và d : y = 3− 2t . 1 2 3 −1 2 z =5− 2t
Phương trình đường thẳng ∆ d , d
đi qua điểm A(2;3;− )
1 và vuông góc với hai đường thẳng 1 2 là x = 8 − + 2t x = 2 − 8t x = 2 − − 8t x = 2 − + 8t A.
y = 1+ 3t .
B. y = 3+ 3t . C. y = 3 − + t . D. y = 3 − − t . z = 7 − − t z = 1 − − 7t z =1− 7t z =1+ 7t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x + y + 2z −1 = 0 và đường thẳng x +1 y z − 3 ∆: = =
. Phương trình đường thẳng d đi qua điểm B (2;−1;5) song song với (P) 2 −1 3 và vuông góc với ∆ là
A. x − 2 y +1 z − 5 + − + = = .
B. x 2 y 1 z 5 = = . 5 − 2 4 5 − 2 4
C. x + 2 y −1 z + 5 − + + = = .
D. x 5 y 2 z 4 = = . 5 2 − 4 − 2 1 − 5
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α ) : x − 2y + 2z + 3 = 0 và
(β ) : 3x − 5y − 2z −1 = 0 . Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M (1;3;− )1, song song với
hai mặt phẳng (α),(β ) là x =1+14t x = 1 − +14t x = 1 − + t x = 1 − + t A.
y = 3 + 8t .
B. y = 3+8t .
C. y = 3+8t .
D. y = 3−t . z = 1 − + t z = 1 − + t z =1+ t
z =1+ t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α ) : 2x − y + 2z − 3 = 0 . Phương trình đường thẳng
d đi qua điểm A(2;−3;− )
1 , song song với hai mặt phẳng (α),(Oyz) là. x = 2 − t x = 2 x = 2 x = 2t A. y = 3 − . B. y = 3 − + 2t. C. y = 3 − − 2t.
D. y = 2 −3t. z = 1 − + t z = 1 − + t z = 1 − + t
z =1− t Trang 7/42
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (α ) : x − 3y + z = 0 và
(β ): x + y − z + 4 = 0 = 0 . Phương trình tham số của đường thẳng d là x = 2 + t x = 2 + t x = 2 − t x = 2 − + t A. y = t .
B. y = t .
C. y = t − .
D. y = t . z = 2+ 2t z = 2 − + 2t z = 2 − − 2t z = 2 + 2t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng
(α) : x − 2y − z +1= 0 và (β ) : 2x + 2y − 3z − 4 = 0. Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M (1; 1;
− 0) và song song với đường thẳng ∆ là
A. x −1 y −1 z + − = = .
B. x 1 y 1 z = = . 8 1 6 8 1 6
C. x −1 y +1 z − − = = .
D. x 8 y 1 z = = . 8 1 6 1 1 6 x 1 y 3 z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d − + : = =
. Phương trình đường thẳng 2 1 −2
∆ đi qua điểm A(2;−1;− )
3 , vuông góc với trục Oz và d là x = 2 − t x = 2 − − t x = 2 − t x = 2 − t A. y = 1 − + 2t.
B. y =1+ 2t .
C. y =1− 2t. D. y = 1 − + 2t. y = 3 − y = 3 y = 3 y = 3 −
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x − 3y + 5z − 4 = 0 . Phương trình đường
thẳng ∆ đi qua điểm A(−2;1;− )
3 , song song với (P) và vuông góc với trục tung là x = 2 − + 5t x = 2 − + 5t x = 2 − − 5t x = 2 − + 5t A. y =1 . B. y =1 .
C. y =1−t . D. y =1 . y = 3 − + 2t y = 3 − + 2t y = 3 − + 2t y = 3 − − 2t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) (x − )2 + ( y + )2 + (z − )2 : 1 2 3 = 9 . Phương trình
đường thẳng d đi qua tâm của mặt cầu (S) , song song với (α ) : 2x + 2y − z − 4 = 0 và vuông góc với đường thẳng
x +1 y − 6 z − 2 ∆ : = = là. 3 −1 1 x =1− t x = 1 − + t x =1− t x =1− t A. y = 2 − + 5t.
B. y = 2 −5t . C. y = 2 − − 5t. D. y = 2 − + 5t. z = 3 −8t z = 3 − −8t z = 3 − 8t z = 3 + 8t x = 1+ 2t
Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz, cho đường thẳng d : y = −1+ t . Hình chiếu vuông góc của d lên z = 2 + t
mặt phẳng (Oxy) có phương trình là. x =1+ 2t x = 1 − + 2t x = 1 − + 2t x = 0 A. y = 1 − + t. B. y = 1 − + t .
C. y =1+ t . D. y = 1 − − t. z = 0 z = 0 z = 0 z = 0 Trang 8/42 x = 1+ 2t
Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz, cho đường thẳng d : y = −2 + 3t . Hình chiếu vuông góc của d lên z = 3+ t
mặt phẳng (Oxz) có phương trình là. x = 1 − + 2t x = 0 x =1+ 2t x =1+ 2t A. y = 0 .
B. y = 0 . C. y = 0 . D. y = 0 . z = 3+ t z = 3+ t z = 3+ t z = 3 − + t
x −12 y − 9 z −1
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = , và mặt thẳng 4 3 1
(P):3x +5y − z − 2 = 0. Gọi d ' là hình chiếu của d lên (P).Phương trình tham số của d ' là x = 62 − t x = 62t x = 62t x = 62t A. y = 25t . B. y = 25 − t . C. y = 25 − t . D. y = 25 − t . z = 2− 61t z = 2 + 61t z = 2 − + 61t z = 2 + 61t x =1+ 2t
Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz, cho đường thẳng d : y = 2
− + 4t . Hình chiếu song song của d lên z = 3+ t
mặt phẳng (Oxz) theo phương
x +1 y − 6 z − 2 ∆ : = = có phương trình là: 1 − 1 − 1 x = 3+ 2t x = 3+ t x = 1 − − 2t x = 3− 2t A. y = 0 . B. y = 0 . C. y = 0 . D. y = 0 . z =1− 4t z =1+ 2t z = 5 − 4t z =1+ t x = 1− 3t
x − 2 y −1 z −1
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d : = = = − + 1 và d : y 2 t . −1 3 2 2 z = 1−− t
Phương trình đường thẳng nằm trong (α ) : x + 2y − 3z − 2 = 0 và cắt hai đường thẳng d , d 1 2 là:
x + 3 y − 2 z −1
x + 3 y − 2 z −1 A. = = . B. = = . 5 −1 1 −5 1 −1
x −3 y + 2 z +1 x + 8 y − 3 z C. = = . D. = = . 5 − 1 1 − 1 3 4 − x + 2 y − 2 z
(ĐH D2009) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : = = và mặt 1 1 −1
phẳng (P) : x + 2y − 3z + 4 = 0 . Phương trình tham số của đường thẳng d nằm trong (P) , cắt
và vuông góc đường thẳng ∆ là: x =1− 3t x = 3 − + 2t x = 3 − − 3t x = −3 + t A. y = 2 − + 3t.
B. y =1−t .
C. y =1+ 2t .
D. y = 1− 2t . z = 1 − + t z =1+ t z =1+ t z = 1− t
x − 2 y + 2 z − 3
(ĐH D2006) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d : = = 1 và 2 −1 1
x −1 y −1 z +1 d : = = A 1;2;3 d 2
. Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm ( ) vuông góc với −1 2 1 1 và cắt d2 là: Trang 9/42
x −1 y − 2 z − 3
x −1 y + 2 z + 3 A. = = . B. = = . 1 −3 −5 1 3 − 5 −
x +1 y + 2 z + 3
x −1 y + 3 z + 5 C. = = . D. = = . −1 3 5 1 −2 −3 x = −3 + 2t
(ĐH B2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : y =1− t . Phương trình z = −1+ 4t
chính tắc của đường thẳng đi qua điểm A(−4;−2;4) , cắt và vuông góc với d là:
x − 3 y − 2 z +1
x − 4 y − 2 z + 4 A. = = B. = = −4 −2 4 3 2 −1
x − 4 y − 2 z + 4
x + 4 y + 2 z − 4 C. = = D. = = −3 −2 1 3 2 −1
x −1 y + 3 z − 3
(ĐH A2005). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = và mặt −1 2 1
phẳng (P) : 2x + y − 2z + 9 = 0 . Gọi A là giao điểm của d và (P) . Phương trình tham số của
đường thẳng ∆ nằm trong (P) , đi qua điểm A và vuông góc với d là: x = 1 x = t x = t x = 1+ t A.
y = −1+ t.
B. y = −1.
C. y = −1 . D. y = 1 . z = −4 + t z = t z = 4 + t z = t
x − 3 y − 3 z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;− )
1 và đường thẳng d : = = . 1 3 2
Phương trình đường thẳng đi qua điểm A , cắt d và song song với mặt phẳng
(Q): x + y − z + 3 = 0 là:
x −1 y − 2 z +1
x +1 y + 2 z −1 A. = = . B. = = . 1 −2 −1 1 2 1
x +1 y + 2 z −1
x −1 y − 2 z +1 C. = = . D. = = . −1 2 1 1 2 −1
x +1 y − 2 z −1
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ∆ : = = 1 và 3 1 2 x = 3 x −1 y z +1 ∆ : = = = − + 2
. Phương trình đường thẳng song song với d : y 1 t và cắt hai 1 2 3 z = 4 + t đường thẳng ∆ ;∆ 1 2 là: x = 2 x = −2 x = −2 x = 2 A.
y = 3 − t.
B. y = −3− t.
C. y = −3+ t.
D. y = −3+ t. z = 3− t z = −3− t z = −3+ t z = 3+ t x y 1 z 2
(ĐH A2007) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d − + : = = 1 và 2 −1 1 x = −1+ 2t
d : y =1+ t . Phương trình đường thẳng vuông góc với (P) : 7x + y − 4z = 0 và cắt hai 2 z = 3
đường thẳng d , d 1 2 là: Trang 10/42 x − 7 y z + 4 x − 2 y z +1 A. = = . B. = = . 2 1 1 7 1 −4 x + 2 y z −1 x − 2 y z +1 C. = = . D. = = . −7 −1 4 7 1 4 x 1 y 2 z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d − − : = =
. Viết phương trình đường 1 2 −1
thẳng ∆ đi qua điểm A(2;3;− )
1 cắt d tại B sao cho khoảng cách từ B đến mặt phẳng
(α): x + y + z −1= 0 bằng 2 3 .
x − 3 y − 6 z + 2 A. = = . 1 3 −1 x − 7 y z + 4 B. = = . 2 1 1
x −3 y − 6 z + 2 C. = = . 2 − 3 − 2
x + 3 y + 6 z − 2
x − 3 y − 6 z + 2 D. = = và = = . −5 −9 5 1 3 −1
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A(−2;2; ) 1 cắt trục
tung tại B sao cho OB = 2 . OA x y + 6 z x y − 6 z A. = = . B. = = . 2 −8 −1 2 4 −1
x + 3 y + 6 z − 2 x y − 6 z x y + 6 z C. = = . D. = = và = = . −5 −9 3 2 4 −1 2 −8 −1
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm B(1;1;2) cắt đường
x 2 y 3 z 1 thẳng d − − + : = =
tại C sao cho tam giác OBC có diện tích bằng 83 . 1 −2 1 2
x −1 y −1 z − 2 A. = = . 3 −2 −1 x y − 6 z B. = = . 2 4 −1
x −1 y −1 z − 2
x −1 y −1 z − 2 C. = = và = = . 3 −2 −1 31 78 −109
x −1 y −1 z − 2 D. = = . 31 78 109 − x = t
x − 2 y −1 z − 2
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d : = = = 1 và d : y 3 . 1 −1 −1 2 z = −2+ t
Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng d , d 1 2 là. x = 2 + t x = 3 + t x = 2 + 3t x = 3 + t A.
y = 1+ 2t .
B. y = 3− 2t.
C. y =1− 2t . D. y = 3 . z = 2− t z =1− t z = 2 − 5t z =1− t x +1 y z − 2
(ĐH A2012) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = , mặt phẳng 2 1 1
(P) : x + y − 2z + 5 = 0 và A(1; 1;
− 2). Đường thẳng ∆ cắt d và (P) lần lượt tại M và N sao
cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN . Phương trình đường thẳng ∆ là. Trang 11/42
x −1 y +1 z − 2
x +1 y −1 z + 2 A. = = . B. = = . 2 3 2 2 3 2
x +1 y + 4 z + 2
x − 2 y − 3 z − 2 C. = = . D. = = . 2 − 3 2 1 1 − 2
x − 2 y −1 z −1
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = , mặt cầu 1 2 −1
(S) (x − )2 + ( y + )2 + (z + )2 : 1 3 1 = 29 và A(1;−2; )
1 . Đường thẳng ∆ cắt d và (S) lần lượt tại
M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN . Phương trình đường thẳng ∆ là
x −1 y + 2 z −1 A. = =
và x +1 y − 2 z +1 = = . 2 5 −1 7 11 10 −
x +1 y − 2 z +1 B. = =
và x −1 y + 2 z −1 = = . 2 5 −1 7 11 10 −
x −1 y + 2 z −1 C. = =
và x −1 y + 2 z −1 = = . 2 5 −1 7 11 10 −
x +1 y − 2 z +1 D. = =
và x +1 y − 2 z +1 = = . 2 5 −1 7 11 10 −
(ĐH B2009) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x − 2y + 2z −5 = 0 và hai điểm A(−3;0; ) 1 , B ( 1; 1;
− 3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P) , đường thẳng
mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất có phương trình là. x + 3 y z −1
x − 2 y +1 z − 3 A. = = . B. = = . 26 11 2 − 26 11 2 − x − 3 y z +1
x + 2 y −1 z + 3 C. = = . D. = = . 26 11 2 − 26 11 2 −
x 3 y 2 z 1
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d − + + : = = , mặt phẳng 2 1 −1
(P) : x + y + z + 2 = 0 . Gọi M là giao điểm của d và (P) . Gọi ∆ là đường thẳng nằm trong
(P) vuông góc với d và cách M một khoảng bằng 42 . Phương trình đường thẳng ∆ là.
x − 5 y + 2 z + 5
x + 3 y + 4 z − 5 A. = = và = = . 2 −3 1 2 3 − 1
x − 5 y + 2 z + 5 B. = = . 2 3 − 1
x + 3 y + 4 z − 5 C. = = . 2 3 − 1
x + 3 y + 4 z − 5
x + 3 y + 4 z − 5 D. = = và = = . 2 3 1 2 3 1 x = 3 + t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I (1;1;2) , hai đường thẳng :
∆ y = −1+ 2t và 1 z = 4 x + 2 y z − 2 ∆ : = = 2
. Phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và cắt hai đường thẳng 1 1 2 ∆ ,∆ 1 2 là. x = 1+ 2t
x −1 y −1 z − 2 A. = = .
B. y =1−t . 1 1 − 1 z = 2+ t Trang 12/42 x = 1+ 2t
x −1 y −1 z − 2 C. = = .
D. y =1+ t . 1 1 1 − z = 2+ t x 1 y 1 z x 1 y 2 z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d − + : = = d − − : = = 1 , 2 1 1 2 1 2 1
và mặt phẳng (P) : x + y − 2z + 3 = 0 . Gọi ∆ là đường thẳng song song với (P) và cắt d , d 1 2
lần lượt tại hai điểm ,
A B sao cho AB = 29 . Phương trình tham số của đường thẳng ∆ là x = 3 + 4t x = 1 − + 2t x = 3 + 4t A. ∆
: y = 2t
hoặc ∆ : y = 2 − + 4t.
B. ∆ : y = 2t . z =1+ 3t z = 1 − + 3t z =1+ 3t x = 3 + 4t x = 1 − + 2t C. ∆ : y = 2 − t .
D. ∆ : y = 2 − + 4t. z =1+ 3t z = 1 − + 3t x 1 y z 2
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d − + : = = 1 và 2 1 1 −
x 1 y 2 z 2 d − + − : = =
P x + y + z − = 2
. Gọi ∆ là đường thẳng song song với ( ) : 7 0 và cắt 1 3 −2 d , d 1
2 lần lượt tại hai điểm ,
A B sao cho AB ngắn nhất. Phương trình của đường thẳng ∆ là. x = 6 − t x = 6 x = 6 − 2t x =12 − t A. 5 5 5 y = 5 . B. y = .
C. y = −t .
D. y = + t . 2 2 2 z = 9 − + t 9 z = − + t 9 9 z = − + t z = − + t 2 2 2
x +1 y + 2 z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ∆ : = = 1 và 1 2 1
x − 2 y −1 z −1 ∆ : = =
P x + y − z + = 2
. Đường thẳng d song song với ( ) : 2 5 0 và cắt hai 2 1 1 đường thẳng ∆ ;∆ 1 2 lần lượt tại ,
A B sao cho AB ngắn nhất. Phương trình đường thẳng d là
x −1 y − 2 z − 2
A. x −1 = y − 2 = z − 2. B. = = . 2 1 1
x +1 y + 2 z + 2
C. x +1 = y + 2 = z + 2. D. = = . 2 1 1 x − 2 y z + 2
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = , mặt phẳng 2 1 1
(P): 2x − y − z + 5 = 0 và M (1;−1;0). Đường thẳng ∆ đi qua điểm M , cắt d và tạo với (P) một góc 0
30 . Phương trình đường thẳng ∆ là. x + 2 y z − 2 A. = =
và x + 4 y + 3 z + 5 = = . 1 1 −2 5 2 5 x − 2 y z + 2 B. = =
và x − 4 y − 3 z − 5 = = . 1 1 −2 5 2 5 x −1 y +1 z
x −1 y +1 z C. = = và = = . 1 1 −2 23 14 1 − Trang 13/42 x + 2 y z − 2 D. = =
và x − 4 y − 3 z − 5 = = . 1 1 −2 5 2 5
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d đi qua A(3;−1; ) 1 , nằm trong mặt phẳng ( x y − 2 z
P) : x − y + z − 5 = 0, đồng thời tạo với ∆ : = = một góc 0
45 . Phương trình đường 1 2 2 thẳng d là x = 3 + 7t x = 3 + t A. y = 1 − − 8t . B. y = 1 − − t. z = 1 − − 15t z = 1 x = 3 + 7t x = 3 + t x = 3 + 7t C. y = 1 − − 8t .
D. y = −1− t và y = 1 − − 8t . z =1− 15t z = 1 z =1− 15t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d đi qua điểm A(1;−1;2) , song song với (
x +1 y −1 z
P) : 2x − y − z + 3 = 0 , đồng thời tạo với đường thẳng ∆ : = = một góc lớn nhất. 1 −2 2
Phương trình đường thẳng d là.
x −1 y +1 z − 2
x −1 y +1 z + 2 A. = = . B. = = . 1 5 − 7 4 5 − 7
x −1 y +1 z − 2
x −1 y +1 z − 2 C. = = . D. = = . 4 5 7 1 5 − 7 −
x −1 y − 2 z + 2
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d đi qua A(−1;0;− ) 1 , cắt ∆ : = = 1 , sao cho 2 1 −1
x − 3 y − 2 z + 3
góc giữa d và ∆ : = = 2
là nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng d là −1 2 2 x +1 y z +1 x +1 y z +1 x +1 y z +1 x +1 y z +1 A. = = . B. = = . C. = = . D. = = . 2 2 1 − 4 5 2 − 4 5 − 2 − 2 2 1 x = t x y 2 z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
cho ba đường thẳng d : y = 4 − t d − : = = và 1 2 1 −3 −3 z = −1+ 2t
x 1 y 1 z 1 d + − + : = = d ,d ,d 2
. Gọi ∆ là đường thẳng cắt
lần lượt tại các điểm , A B,C sao 5 2 1 1 2 3
cho AB = BC . Phương trình đường thẳng ∆ là
x − 2 y − 2 z x y − 2 z x y − 3 z −1 x y −3 z −1 A. = = . B. = = . C. = = . D. = = . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − 1 1 − 1 Trang 14/42
D. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I – ĐÁP ÁN 8.4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A B A C A D A C A A B D A C C A A D A B
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
B A A B D C A D D A C C B C D A D C A A
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
B D D C A A C A A D A B A C D A A B
II –HƯỚNG DẪN GIẢI x = 2 − 2t x = 6 + 2t '
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d :
y = 3 − 2t và d’: y = 3 + 2t ' . Xét các mệnh đề sau: z =1− 3t z = 7 + 9t '
(V) d đi qua A(2 ;3 ;1) và có véctơ chỉ phương a (2;2;3)
(VI) d’ đi qua A’ (0;-3;-11) và có véctơ chỉ phương a '(2;2;9)
(VII) a và a ' không cùng phương nên d không song song với d’
(VIII)
Vì a ;a ' .AA' = 0
nên d và d’ đồng phẳng và chúng cắt nhau
Dựa vào các phát biểu trên, ta kết luận:
A. Các phát biểu (I), (III) đúng, các phát biểu (II), (IV) sai.
B. Các phát biểu (I), (II) đúng, các phát biểu (III), (IV) sai.
C. Các phát biểu (I) đúng, các phát biểu (II), (III), (IV) sai.
D. Các phát biểu (IV) sai, các phát biểu còn lại đúng. x = 2 + t
Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình tham số y = −3t . Phương z = −1+ 5t
trình chính tắc của đường thẳng d là? A. − + x x y z
− 2 = y = z +1. B. 2 1 = = . 1 3 − 5
C. x + 2 y z −1 + − = = . D. x 2 y z 1 = = . 1 − 3 5 − 1 3 − 5 Hướng dẫn giải Cách 1:
d đi qua điểm A(2;0;− )
1 và có vectơ chỉ phương a = − d (1; 3;5)
Vậy phương trình chính tắc của − + d là x 2 y z 1 = = 1 −3 5 Cách 2: x − 2 = = 2 t x + t = −3 y y t ⇔ = t −3 z 1 5t = − + z +1 = t 5
Vậy phương trình chính tắc của d là x − 2 y z +1 = = 1 −3 5
Trong không gian với hệ tọa độ − + Oxyz x y z
, cho đường thẳng ∆ có phương trình chính tắc 3 1 = = . 2 −3 1
Phương trình tham số của đường thẳng ∆ là? Trang 15/42 x = 3 + 2t x = 2 + 3t x = 3 − + 2t x = 3 − − 2t A. y = 1 − − 3t. B. y = 3 − − t.
C. y =1−3t .
D. y =1+ 3t . z = t z = t z = t z = t Hướng dẫn giải Cách 1:
∆ đi qua điểm A(3;−1;0) và có vectơ chỉ phương a = − ∆ (2; 3; ) 1 x = 3 + 2t
Vậy phương trình tham số của ∆ là y = −1− 3t z = t Cách 2: x − 3 = t 2 x − 3 y +1 z y +1 = = = t ⇔ = t 2 3 − 1 3 − z = t 1 x = 3 + 2t
Vậy phương trình tham số của ∆ là y = −1− 3t z = t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
x 2 y 1 z 3 d + − − : = =
. Đường thẳng d đi qua 2 −1 3
điểm M và có vectơ chỉ phương a có tọa độ là: d A. M (2; 1; − 3),a = − B. M (2; 1 − ; 3 − ),a = − d (2; 1;3). d ( 2;1;3). C. M ( 2 − ;1;3),a = − D. M (2; 1 − ;3),a = − − d (2; 1; 3). d (2; 1;3). Hướng dẫn giải
d đi qua điểm M ( 2 − ;1; )
3 và có vectơ chỉ phương a = − d (2; 1; ) 3 x = t − 2
Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz, cho đường thẳng d : y = 2 + 3t . Đường thẳng d đi qua điểm M z =1+ t
và có vectơ chỉ phương a có tọa độ là: d A. M ( 2; − 2; ) 1 ,a = B. M (1;2; ) 1 ,a = − d ( 2;3; ) 1 . d (1;3; ) 1 . C. M (2; 2; − − ) 1 ,a = D. M (1;2; ) 1 ,a = − d (2; 3; ) 1 . d (1;3; ) 1 . Hướng dẫn giải d đi qua M (−2;2; )
1 và có vectơ chỉ phương a = d (1;3; ) 1
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình tham số của đường
thẳng d qua điểm M (−2;3; )
1 và có vectơ chỉ phương a = (1;−2;2) ? x = 2 + t x = 1+ 2t x = 1− 2t x = 2 − + t A. y = 3 − − 2t. B. y = 2 − − 3t . C. y = 2 − + 3t.
D. y = 3− 2t . z = 1 − + 2t z = 2 − t z = 2 + t z =1+ 2t Hướng dẫn giải Trang 16/42
Phương trình tham số của đường thẳng d qua điểm M ( 2 − ;3; )
1 và có vectơ chỉ phương x = −2 + t
a = (1;−2;2) là y =3−2t z =1+ 2t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc ∆ của đường
thẳng đi qua hai điểm A(1;−2;5) và B (3;1 ) ;1 ?
A. x −1 y + 2 z − 5 − − − = = .
B. x 3 y 1 z 1 = = . 2 3 4 − 1 2 − 5
C. x +1 y − 2 z + 5 − + − = = .
D. x 1 y 2 z 5 = = . 2 3 4 − 3 1 1 Hướng dẫn giải
∆ đi qua hai điểm A và B nên có vectơ chỉ phương AB = (2;3;−4)
Vậy phương trình chính tắc của ∆ là x −1 y + 2 z − 5 = = 2 3 −4
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(−1;3;2), B(2;0;5),C (0; 2 − ; ) 1 . Phương
trình đường trung tuyến AM của tam giác ABC là.
A. x −1 y + 3 z + 2 − + + = = .
B. x 1 y 3 z 2 = = . 2 − 4 1 − 2 4 − 1
C. x +1 y − 3 z − 2 − + + = = .
D. x 2 y 4 z 1 = = . 2 4 − 1 1 1 − 3 Hướng dẫn giải
M là trung điểm BC ⇒ M (1;−1; ) 3
AM đi qua điểm A( 1;
− 3;2) và có vectơ chỉ phương AM = (2;−4; ) 1
Vậy phương trình chính tắc của AM là x +1 y − 3 z − 2 = = 2 −4 1
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1;4;− ) 1 , B (2;4; ) 3 ,C (2;2;− ) 1 . Phương
trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và song song với BC là x = 1 x =1 x = 1 x = 1 A.
y = 4 + t .
B. y = 4 + t .
C. y = 4 + t .
D. y = 4 −t . z = 1 − + 2t z =1+ 2t z = 1 − − 2t z = 1 − + 2t Hướng dẫn giải
Gọi d là đường thẳng cẩn tìm.
BC = (0;−2;−4) = −2(0;1;2)
Vì d song song với BC nên d có vectơ chỉ phương a = d (0;1;2)
d qua A(1;4;− )
1 và có vectơ chỉ phương ad x = 1
Vậy phương trình tham số của d là y = 4 + t z = −1+ 2t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M (1;3;4) và
song song với trục hoành là. x =1+ t x =1 x =1 x =1 A. y = 3 .
B. y = 3+ t.
C. y = 3 . D. y = 3 . y = 4 y = 4 y = 4 − t y = 4 + t Trang 17/42 Hướng dẫn giải
Gọi d là đường thẳng cẩn tìm.
Vì d song song với trục hoành nên d có vectơ chỉ phương a = i = d (1;0;0)
d đi qua M (1;3;4) và có vectơ chỉ phương ad x = 1+ t
Vậy phương trình tham số của d là y = 3 y = 4 x = 1− 2t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : y = t
. Phương trình chính tắc của z = −3+ 2t
đường thẳng ∆ đi qua điểm A(3;1;− )
1 và song song với d là
A. x + 3 y +1 z −1 − − + = = .
B. x 3 y 1 z 1 = = . 2 − 1 2 2 − 1 2
C. x + 2 y −1 z − 2 − + + = = .
D. x 2 y 1 z 2 = = . 3 1 1 − 3 1 1 − Hướng dẫn giải
d có vectơ chỉ phương a = − d ( 2;1;2)
Vì ∆ song song với d nên ∆ có vectơ chỉ phương a = = − ∆ ad ( 2;1;2)
∆ đi qua điểm A(3;1;− )
1 và có vectơ chỉ phương a = − ∆ ( 2;1;2)
Vậy phương trình chính tắc của ∆ là x − 3 y −1 z +1 = = −2 1 2
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
x 2 y 1 z 3 d − − − : = = . Phương trình tham số 2 −1 3
của đường thẳng ∆ đi qua điểm M (1;3;−4) và song song với d là x = 2 + t x = 1 − + 2t x = 1 − + 2t x =1+ 2t A. y = 1 − + 3t. B. y = 3 − − t . C. y = 3 − − t .
D. y = 3−t . z = 3− 4t z = 4 + 3t z = 4 + 3t z = 4 − + 3t Hướng dẫn giải
d có vectơ chỉ phương a = − d (2; 1; ) 3
Vì ∆ song song với d nên ∆ có vectơ chỉ phương a = = − ∆ ad (2; 1; ) 3
∆ đi qua điểm M (1;3;−4) và có vectơ chỉ phương a∆ x = 1+ 2t
Vậy phương trình tham số của
∆ là y = 3− t z = −4 + 3t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x − y + z − 3 = 0 . Phương trình chính tắc của
của đường thẳng ∆ đi qua điểm M (−2;1 )
;1 và vuông góc với (P) là
A. x + 2 y −1 z −1 − − − = = .
B. x 2 y 1 z 1 = = . 2 1 − 1 2 1 − 1
C. x + 2 y −1 z −1 + − − = = .
D. x 2 y 1 z 1 = = . 2 1 1 2 1 − 1 − Hướng dẫn giải (
P) có vectơ pháp tuyến n = − P (2; 1; ) 1
Vì ∆ vuông góc với (P) nên d có vectơ chỉ phương a = = − ∆ nP (2; 1; ) 1 Trang 18/42
∆ đi qua điểm M (−2;1 )
;1 và có vectơ chỉ phương a∆
Vậy phương trình chính tắc của ∆ là x + 2 y −1 z −1 = = 2 −1 1
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α ) : x − 2y + 2z − 3 = 0 .Phương trình tham số của
đường thẳng d đi qua A(2;1;−5) và vuông góc với (α ) là x = 2 − + t x = 2 − − t x = 2 + t x = 1+ 2t A. y = 1 − − 2t . B. y = 1 − + 2t.
C. y =1− 2t . D. y = 2 − + t. z = 5+ 2t z = 5 − 2t z = 5 − + 2t z = 2 − 5t Hướng dẫn giải (
α ) có vectơ pháp tuyến n = − α (1; 2;2)
Vì d vuông góc với (α ) nên d có vectơ chỉ phương a = n = − d α (1; 2;2)
d đi qua A(2;1;−5) và có vectơ chỉ phương a = − d (1; 2;2) x = 2 + t
Vậy phương trình tham số của d là y =1− 2t z = −5+ 2t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A(2;−1; ) 3 và vuông góc
với mặt phẳng (Oxz) là. x = 2 x = 2 x = 2 x = 2 + t A.
y =1− t .
B. y =1+ t. C. y = 1 − + t. D y = 1 − . z = 3 z = 3 z = 3 z = 3+ t Hướng dẫn giải (
Oxz) có vectơ pháp tuyến j = (0;1;0)
Vì ∆ vuông góc với (Oxz) nên ∆ có vectơ chỉ phương a = = ∆ j (0;1;0)
∆ đi qua điểm A(2;−1; )
3 và có vectơ chỉ phương a∆ x = 2
Vậy phương trình tham số của
∆ là y = −1+ t z = 3
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(2;1;−2), B(4;−1 ) ;1 ,C (0;−3 ) ;1 . Phương
trình d đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng ( ABC) là x = 2 + t x = 2 − + t x = 2 + t x = 2 + t A. y = 1 − − 2t. B. y = 1 − − 2t.
C. y =1− 2t.
D. y =1+ 2t. z = 2 − t z = 2 − t z = 2 − t z = 2t Hướng dẫn giải
Gọi G là trọng tâm ABC ∆ , ta có G (2;−1;0)
Gọi ad là vectơ chỉ phương của d AB = (2;−2; ) 3 AC = (−2;−4; ) 3 ⊥ ⊥ d ⊥ ( ABC) d AB a AB d ⇒
⇒ ⇒ a = AB AC = − − = − − d , (6; 12; 12) 6(1; 2; 2) d AC a AC ⊥ ⊥ d Trang 19/42
d đi qua G (2;−1;0) và có vectơ chỉ phương là a = − − d (1; 2; 2) x = 2 + t
Vậy phương trình tham số của d là y = −1− 2t z = − 2t
(ĐH D2007). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;4;2) và B (−1;2;4) . Phương trình
d đi qua trọng tâm của OA ∆
B và vuông góc với mặt phẳng (OAB) là
A. x y − 2 z − 2 + + = = .
B. x y 2 z 2 = = . 2 1 − 1 2 1 − 1
C. x y − 2 z − 2 + + = = .
D. x y 2 z 2 = = . 2 1 1 2 1 1 Hướng dẫn giải
Gọi G là trọng tâm OA ∆
B , ta có G(0;2;2) OA = (1;4;2) OB = (−1;2;4)
Gọi ad là vectơ chỉ phương của d ⊥ ⊥ d ⊥ (OAB) d OA a OA d ⇒
⇒ ⇒ a = OA OB = − = − d , (12; 6;6) 6(2; 1; )1 d OB a OB ⊥ ⊥ d
Vậy phương trình của d là x y − 2 z − 2 = = 2 −1 1
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(0;1;2), B(−2;−1;−2),C (2;−3;− ) 3 .
Đường thẳng d đi qua điểm B và vuông góc với mặt phẳng ( ABC). Phương trình nào sau đây
không phải là phương trình của đường thẳng d . x = 2 − − t x = 2 − + t x = 2 − − 6t x = 2 − − t A. y = 1 − − 3t . B. y = 1 − + 3t . C. y = 1 − −18t . D. y = 1 − − 3t . z = 2 − + 2t z = 2 − − 2t z = 2 − +12t z = 2 − − 2t Hướng dẫn giải AB = (−2;−2;−4) AC = (2;−4;−5)
Đường thẳng d đi qua điểm B (−2;−1;−2) và có vectơ chỉ phương là
a = AB AC = − − = − − d , ( 6; 18;12) 6(1;3; 2) Đáp án sai là câu A
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M (2;1; 5 − ), đồng thời
vuông góc với hai vectơ a = (1;0; ) 1 và b = (4;1;− ) 1 là
A. x − 2 y −1 z + 5 + + − = = .
B. x 2 y 1 z 5 = = . 1 − 5 1 1 − 5 1
C. x + 2 y +1 z − 5 + − − = = .
D. x 1 y 5 z 1 = = . 1 5 − 1 − 2 1 5 − Hướng dẫn giải
∆ đi qua điểm M (2;1;−5), và có vectơ chỉ phương a = = − ∆ a,b ( 1;5; ) 1
Vậy phương trình chính tắc của ∆ là x − 2 y −1 z + 5 = = −1 5 1 Trang 20/42
(ĐH B2013). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;−1; ) 1 , B ( 1;
− 2;3) và đường thẳng
x +1 y − 2 z − 3 ∆: = =
. Phương trình đường thẳng đi qua điểm A , đồng thời vuông góc với −2 1 3
hai đường thẳng AB và ∆ là
A. x − 7 y − 2 z − 4 − + − = = .
B. x 1 y 1 z 1 = = . 1 1 − 1 7 2 4
C. x +1 y −1 z +1 + − + = = .
D. x 1 y 1 z 1 = = . 7 2 − 4 7 2 4 Hướng dẫn giải
Gọi d là đường thẳng cần tìm và có vectơ chỉ phương a d AB = (−2;3;2)
∆ có vectơ chỉ phương a = − ∆ ( 2;1;3) d ⊥ AB a ⊥ AB d
⇒ ⇒ a = AB a = d ; (7;2;4) d a a ∆ ⊥ ∆ ⊥ d ∆
Vậy phương trình chính tắc của d là x −1 y +1 z −1 = = 7 2 4 x = 1+ t
Trong không gian với hệ tọa độ − + Oxyz x 2 y z 1
, cho hai đường thẳng d : = =
và d : y = 3− 2t . 1 2 3 −1 2 z =5− 2t
Phương trình đường thẳng ∆ d , d
đi qua điểm A(2;3;− )
1 và vuông góc với hai đường thẳng 1 2 là x = 8 − + 2t x = 2 − 8t x = 2 − − 8t x = 2 − + 8t A.
y = 1+ 3t .
B. y = 3+ 3t . C. y = 3 − + t . D. y = 3 − − t . z = 7 − − t z = 1 − − 7t z =1− 7t z =1+ 7t Hướng dẫn giải d
1 có vectơ chỉ phương a = 2; 3; −1 1 ( ) d
2 có vectơ chỉ phương a = 1; −2; −2 2 ( )
Gọi a là vectơ chỉ phương ∆ ∆ ∆ ⊥ d a ⊥ ∆ a 1 1
⇒ ⇒ a = = − − ∆ a ;a 8;3; 7 1 2 ( ) d ∆ ⊥ 2 a ⊥ ∆ a2 x = 2 − 8t
Vậy phương trình tham số của ∆ là y = 3+ 3t z = −1− 7t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x + y + 2z −1 = 0 và đường thẳng x +1 y z − 3 ∆: = =
. Phương trình đường thẳng d đi qua điểm B (2;−1;5) song song với (P) 2 1 − 3 và vuông góc với ∆ là
A. x − 2 y +1 z − 5 + − + = = .
B. x 2 y 1 z 5 = = . 5 − 2 4 5 − 2 4
C. x + 2 y −1 z + 5 − + + = = .
D. x 5 y 2 z 4 = = . 5 2 − 4 − 2 1 − 5 Hướng dẫn giải
∆ có vectơ chỉ phương a = − ∆ (2; 1;3) Trang 21/42 (
P) có vectơ pháp tuyến n = P (2;1;2)
Gọi a là vectơ chỉ phương d d d / / (P) a ⊥ n d P
⇒ ⇒ a = a n = − d ; P ( 5;2;4) d a a ∆ ⊥ ∆ ⊥ d ∆
Vậy phương trình chính tắc của d là x − 2 y +1 z − 5 = = −5 2 4
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α ) : x − 2y + 2z + 3 = 0 và
(β ) : 3x − 5y − 2z −1 = 0 . Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M (1;3;− )1, song song với
hai mặt phẳng (α),(β ) là x =1+14t x = 1 − +14t x = 1 − + t x = 1 − + t A.
y = 3 + 8t .
B. y = 3+8t .
C. y = 3+8t .
D. y = 3−t . z = 1 − + t z = 1 − + t z =1+ t
z =1+ t Hướng dẫn giải (
α ) có vectơ pháp tuyến n = − α (1; 2;2) (
β ) có vectơ pháp tuyến n = − − β (3; 5; 2)
d đi qua điểm M (1;3;− )
1 và có vectơ chỉ phương là a = n = α n d , β (14;8; )1 x = 1+14t
Vậy phương của d là y = 3+ 8t
z = −1+ t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α ) : 2x − y + 2z − 3 = 0 . Phương trình đường thẳng
d đi qua điểm A(2;−3;− )
1 , song song với hai mặt phẳng (α),(Oyz) là. x = 2 − t x = 2 x = 2 x = 2t A. y = 3 − . B. y = 3 − + 2t. C. y = 3 − − 2t.
D. y = 2 −3t. z = 1 − + t z = 1 − + t z = 1 − + t
z =1− t Hướng dẫn giải (
α ) có vectơ pháp tuyến n = − α (2; 1;2) (
Oyz) có vectơ pháp tuyến i = (1;0;0)
d đi qua điểm A(2;−3;− )
1 và có vectơ chỉ phương là a = n = α i d , (0;2; )1 x = 2
Vậy phương của d là y = −3+ 2t
z = −1+ t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (α ) : x − 3y + z = 0 và
(β ): x + y − z + 4 = 0 = 0 . Phương trình tham số của đường thẳng d là x = 2 + t x = 2 + t x = 2 − t x = 2 − + t A. y = t .
B. y = t .
C. y = t − .
D. y = t . z = 2+ 2t z = 2 − + 2t z = 2 − − 2t z = 2 + 2t Hướng dẫn giải Cách 1:
x + z = 3t x = −2 + t
Đặt y = t , ta có ⇒ x z 4 t − = − − z = 2 + 2t Trang 22/42 x = −2 + t
Vậy phương trình tham số của d là y = t z = 2 + 2t Cách 2:
Tìm một điểm thuộc d , bằng cách cho y = 0 x + z = 0 x = −2 Ta có hệ ⇒
⇒ M (−2;0;2)∈d
x − z = −4 z = 2 (
α ) có vectơ pháp tuyến n = − α (1; 3; ) 1 (
β ) có vectơ pháp tuyến n = − β (1;1; ) 1
d có vectơ chỉ phương a = n = α n d ; β (2;2;4)
d đi qua điểm M (−2;0;2) và có vectơ chỉ phương là ad x = −2 + t
Vậy phương trình tham số của d là y = t z = 2 + 2t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng
(α) : x − 2y − z +1= 0 và (β ) : 2x + 2y − 3z − 4 = 0. Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M (1; 1;
− 0) và song song với đường thẳng ∆ là
A. x −1 y −1 z + − = = .
B. x 1 y 1 z = = . 8 1 6 8 1 6
C. x −1 y +1 z − − = = .
D. x 8 y 1 z = = . 8 1 6 1 1 6 Hướng dẫn giải (
α ) có vec tơ pháp tuyến n = − − α (1; 2; ) 1
(β )có vec tơ pháp tuyến n = − β (2;2; 3)
d đi qua điểm M (1; 1;
− 0) và có vectơ chỉ phương là a = n = α n d , β (8;1;6)
Vậy phương trình của d là x −1 y +1 z = = 8 1
6 x 1 y 3 z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d − + : = =
. Phương trình đường thẳng 2 1 −2
∆ đi qua điểm A(2;−1;− )
3 , vuông góc với trục Oz và d là x = 2 − t x = 2 − − t x = 2 − t x = 2 − t A. y = 1 − + 2t.
B. y =1+ 2t .
C. y =1− 2t. D. y = 1 − + 2t. y = 3 − y = 3 y = 3 y = 3 − Hướng dẫn giải
Oz có vectơ chỉ phương k = (0;0; ) 1
d có vectơ chỉ phương a = − d (2;1; 2)
∆ đi qua điểm A(2;−1;− )
3 , và có vectơ chỉ phương là a = = − ∆ k,ad ( 1;2;0) x = 2 − t Vậy phương của
∆ là y = −1+ 2t y = − 3 Trang 23/42
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x − 3y + 5z − 4 = 0 . Phương trình đường
thẳng ∆ đi qua điểm A(−2;1;− )
3 , song song với (P) và vuông góc với trục tung là x = 2 − + 5t x = 2 − + 5t x = 2 − − 5t x = 2 − + 5t A. y =1 . B. y =1 .
C. y =1−t . D. y =1 . y = 3 − + 2t y = 3 − + 2t y = 3 − + 2t y = 3 − − 2t Hướng dẫn giải
Oy có vectơ chỉ phương j = (0;1;0) (
P) có vectơ pháp tuyến n = − P (2; 3;5)
∆ đi qua điểm A(−2;1;− )
3 , và có vectơ chỉ phương là a = = − ∆ j,nP (5;0; 2) x = −2 + 5t Vậy phương của ∆ là y = 1 y = −3− 2t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) (x − )2 + ( y + )2 + (z − )2 : 1 2 3 = 9 . Phương trình
đường thẳng d đi qua tâm của mặt cầu (S) , song song với (α ) : 2x + 2y − z − 4 = 0 và vuông góc với đường thẳng
x +1 y − 6 z − 2 ∆ : = = là. 3 1 − 1 x =1− t x = 1 − + t x =1− t x =1− t A. y = 2 − + 5t.
B. y = 2 −5t . C. y = 2 − − 5t. D. y = 2 − + 5t. z = 3 −8t z = 3 − −8t z = 3 − 8t z = 3 + 8t Hướng dẫn giải
Tâm của mặt cầu (S) là I (1;−2; ) 3
∆ có vectơ chỉ phương a = − ∆ (3; 1; ) 1 (
α ) có vectơ pháp tuyến n = − α (2;2; ) 1
d đi qua điểm I (1;−2; )
3 và có vectơ chỉ phương là a = a = − ∆ n d , α ( 1;5;8) x = 1− t
Vậy phương của d là y = −2 + 5t z = 3+8t x = 1+ 2t
Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz, cho đường thẳng d : y = −1+ t . Hình chiếu vuông góc của d lên z = 2 + t
mặt phẳng (Oxy) có phương trình là. x =1+ 2t x = 1 − + 2t x = 1 − + 2t x = 0 A. y = 1 − + t. B. y = 1 − + t .
C. y =1+ t . D. y = 1 − − t. z = 0 z = 0 z = 0 z = 0 Hướng dẫn giải x = 1+ 2t Cho z
= 0, phương trình của d ' là y = −1+ t z = 0 Trang 24/42 x = 1+ 2t
Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz, cho đường thẳng d : y = −2 + 3t . Hình chiếu vuông góc của d lên z = 3+ t
mặt phẳng (Oxz) có phương trình là. x = 1 − + 2t x = 0 x =1+ 2t x =1+ 2t A. y = 0 .
B. y = 0 . C. y = 0 . D. y = 0 . z = 3+ t z = 3+ t z = 3+ t z = 3 − + t Hướng dẫn giải x = 1+ 2t Cho y
= 0 , phương trình của d lên mặt phẳng (Oxz) là y = 0 z = 3+ t
x −12 y − 9 z −1
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = , và mặt thẳng 4 3 1
(P):3x + 5y − z − 2 = 0. Gọi d ' là hình chiếu của d lên (P).Phương trình tham số của d ' là x = 62 − t x = 62t x = 62t x = 62t A. y = 25t . B. y = 25 − t . C. y = 25 − t . D. y = 25 − t . z = 2− 61t z = 2 + 61t z = 2 − + 61t z = 2 + 61t Hướng dẫn giải Cách 1:
Gọi A = d ∩ (P)
A∈d ⇒ A(12 + 4 ; a 9 + 3 ; a 1+ a)
A∈(P) ⇒ a = 3 − ⇒ A(0;0; 2 − )
d đi qua điểm B (12;9; ) 1
Gọi H là hình chiếu của B lên (P) (
P) có vectơ pháp tuyến n = − P (3;5; )1
BH đi qua B (12;9; )
1 và có vectơ chỉ phương a = n = − BH P (3;5; ) 1 x = 12 + 3t
BH : y = 9 + 5t z =1− t
H ∈ BH ⇒ H (12 + 3t;9 + 5t;1− t) H (P) 78 186 15 113 t H ; ; ∈ ⇒ = − ⇒ − 35 35 7 35 186 15 183 AH ; ; = − 35 7 35
d ' đi qua A(0;0;−2) và có vectơ chỉ phương a = − d 62; 25;61 ' ( ) x = 62t
Vậy phương trình tham số của d ' là y = −25t z = −2 + 61t Cách 2:
• Gọi (Q) qua d và vuông góc với (P) Trang 25/42
d đi qua điểm B (12;9; )
1 và có vectơ chỉ phương a = d (4;3; ) 1 (
P) có vectơ pháp tuyến n = − P
(3;5; )1
(Q) qua B(12;9; )1 có vectơ pháp tuyến n = a n = − Q d , P ( 8;7;1 )1
(Q):8x − 7y −11z − 22 = 0
• d ' là giao tuyến của (Q) và (P)
Tìm một điểm thuộc d ', bằng cách cho y = 0 3x − z = 2 x = 0 Ta có hệ ⇒
⇒ M (0;0;−2)∈d ' 8
x −11z = 22 y = −2
d ' đi qua điểm M (0;0;−2) và có vectơ chỉ phương a = n n = − d P ; Q (62; 25; ) 61 x = 62t
Vậy phương trình tham số của d ' là y = −25t z = −2 + 61t x =1+ 2t
Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz, cho đường thẳng d : y = 2
− + 4t . Hình chiếu song song của d lên z = 3+ t
mặt phẳng (Oxz) theo phương
x +1 y − 6 z − 2 ∆ : = = có phương trình là: 1 − 1 − 1 x = 3+ 2t x = 3+ t x = 1 − − 2t x = 3− 2t A. y = 0 . B. y = 0 . C. y = 0 . D. y = 0 . z =1− 4t z =1+ 2t z = 5 − 4t z =1+ t Hướng dẫn giải
Giao điểm của d và mặt phẳng (Oxz) là : M (5;0;5) . 0 x =1+ 2t
Trên d : y = 2
− + 4t chọn M bất kỳ không trùng với M (5;0;5) ; ví dụ: M (1; 2; − 3). Gọi A là 0 z = 3+ t
hình chiếu song song của M lên mặt phẳng (Oxz) theo phương
x +1 y − 6 z − 2 ∆ : = = . 1 − 1 − 1
+/ Lập phương trình d’ đi qua M và song song hoặc trùng với
x +1 y − 6 z − 2 ∆ : = = . 1 − 1 − 1
+/ Điểm A chính là giao điểm của d’ và (Oxz) +/ Ta tìm được ( A 3;0;1) x =1+ 2t
Hình chiếu song song của d : y = 2
− + 4t lên mặt phẳng (Oxz) theo phương z = 3+ t
x +1 y − 6 z − 2 ∆ : = =
là đường thẳng đi qua M (5;0;5) và ( A 3;0;1) . 1 − 1 − 1 0 x = 3+ t
Vậy phương trình là: y = 0 z =1+ 2t Trang 26/42 x = 1− 3t
x − 2 y −1 z −1
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d : = = = − + 1 và d : y 2 t . −1 3 2 2 z = −1− t
Phương trình đường thẳng nằm trong (α ) : x + 2y − 3z − 2 = 0 và cắt hai đường thẳng d , d 1 2 là:
x + 3 y − 2 z −1
x + 3 y − 2 z −1 A. = = . B. = = . 5 −1 1 −5 1 −1
x −3 y + 2 z +1 x + 8 y − 3 z C. = = . D. = = . 5 − 1 1 − 1 3 4 − Hướng dẫn giải
Gọi d là đường thẳng cần tìm
• Gọi A = d ∩ α 1 ( )
A∈d ⇒ A 2 − a;1+ 3a;1+ 2a 1 ( )
A∈(α ) ⇒ a = −1⇒ A(3;−2;− ) 1
• Gọi B = d ∩ α 2 ( )
B ∈d ⇒ B 1− 3 ; b −2 + ; b −1− b 2 ( )
B ∈(α ) ⇒ b =1⇒ B (−2;−1;−2)
• d đi qua điểm A(3;−2;− )
1 và có vectơ chỉ phương AB = (−5;1;− ) 1
x − 3 y + 2 z +1
Vậy phương trình chính tắc của d là = = . −5 1 −1 x + 2 y − 2 z
(ĐH D2009) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : = = và mặt 1 1 −1
phẳng (P) : x + 2y − 3z + 4 = 0 . Phương trình tham số của đường thẳng d nằm trong (P) , cắt
và vuông góc đường thẳng ∆ là: x =1− 3t x = 3 − + 2t x = 3 − − 3t x = −3 + t A. y = 2 − + 3t.
B. y =1−t .
C. y =1+ 2t .
D. y = 1− 2t . z = 1 − + t z =1+ t z =1+ t z = 1− t Hướng dẫn giải
Gọi M = ∆ ∩ (P)
M ∈∆ ⇒ M (−2 + t;2 + t;−t)
M ∈(P) ⇒ t = −1⇒ M (−3;1 ) ;1 (
P) có vectơ pháp tuyến n = − P (1;2; 3)
∆ có vectơ chỉ phương a = − ∆ (1;1; )1
d ⊂ (P) ⇒ a ⊥ n d P
⇒ a = n a = − − d P , (1; 2; )1 Có d a a ∆ ⊥ ∆ ⇒ ⊥ d ∆
d đi qua điểm M (−3;1 )
;1 và có vectơ chỉ phương là ad x = −3 + t
Vậy phương trình tham số của d là y = 1− 2t . z =1− t Trang 27/42
x − 2 y + 2 z − 3
(ĐH D2006) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d : = = 1 và 2 −1 1
x −1 y −1 z +1 d : = = A 1;2;3 d 2
. Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm ( ) vuông góc với −1 2 1 1 và cắt d2 là:
x −1 y − 2 z − 3
x −1 y + 2 z + 3 A. = = . B. = = . 1 −3 −5 1 3 − 5 −
x +1 y + 2 z + 3
x −1 y + 3 z + 5 C. = = . D. = = . −1 3 5 1 −2 −3 Hướng dẫn giải
Gọi B = ∆ ∩ d2
B ∈d ⇒ B 1− t;1+ 2t;−1+ t 2 ( )
AB = (−t;2t −1;t − 4) d a = − 1 có vectơ chỉ phương 2; 1;1 1 ( )
∆ ⊥ d ⇔ AB ⊥ a 1 1 ⇔ . AB a = 0 1 ⇔ t = −1
∆ đi qua điểm A(1;2;3) và có vectơ chỉ phương AB = (1;−3;−5)
x −1 y − 2 z − 3
Vậy phương trình của ∆ là = = . 1 −3 −5 x = −3 + 2t
(ĐH B2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : y =1− t . Phương trình z = −1+ 4t
chính tắc của đường thẳng đi qua điểm A(−4;−2;4) , cắt và vuông góc với d là:
x − 3 y − 2 z +1
x − 4 y − 2 z + 4 A. = = B. = = −4 −2 4 3 2 −1
x − 4 y − 2 z + 4
x + 4 y + 2 z − 4 C. = = D. = = −3 −2 1 3 2 −1 Hướng dẫn giải
Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm
Gọi B = ∆ ∩ d
B ∈d ⇒ B (−3+ 2t;1− t;−1+ 4t)
AB = (1+ 2t;3− t;−5 + 4t)
d có vectơ chỉ phương a = − d (2; 1;4)
∆ ⊥ d ⇔ AB ⊥ ad ⇔ . AB a = d 0 ⇔ t = 1
∆ đi qua điểm A(−4;−2;4) và có vectơ chỉ phương AB = (3;2;− ) 1
x + 4 y + 2 z − 4
Vậy phương trình của ∆ là = = 3 2 −1 Trang 28/42
x −1 y + 3 z − 3
(ĐH A2005). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = và mặt −1 2 1
phẳng (P) : 2x + y − 2z + 9 = 0 . Gọi A là giao điểm của d và (P) . Phương trình tham số của
đường thẳng ∆ nằm trong (P) , đi qua điểm A và vuông góc với d là: x = 1 x = t x = t x = 1+ t A.
y = −1+ t.
B. y = −1. C. y = 1 − . D. y = 1 . z = −4 + t z = t z = 4 + t z = t Hướng dẫn giải
Gọi A = d ∩ (P)
A∈d ⇒ A(1− t; 3 − + 2t;3 + t)
A∈(P) ⇒ t =1⇒ A(0;−1;4) (
P) có vectơ pháp tuyến n = − P (2;1; 2)
d có vectơ chỉ phương a = − d ( 1;2; )1
Gọi vecto chỉ phương của ∆ là a∆ Ta có :
∆ ⊂ (P) ⇒ a ⊥ ∆ nP
⇒ a = = ∆ n a P , d (5;0;5) d a a ⊥ ∆ ⇒ ⊥ d ∆
∆ đi qua điểm A(0;−1;4) và có vectơ chỉ phương là a = ∆ (5;0;5) x = t
Vậy phương trình tham số của ∆ là y = −1 z = 4 + t
x − 3 y − 3 z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;− )
1 và đường thẳng d : = = . 1 3 2
Phương trình đường thẳng đi qua điểm A , cắt d và song song với mặt phẳng
(Q): x + y − z + 3 = 0 là:
x −1 y − 2 z +1
x +1 y + 2 z −1 A. = = . B. = = . 1 −2 −1 1 2 1
x +1 y + 2 z −1
x −1 y − 2 z +1 C. = = . D. = = . −1 2 1 1 2 −1 Hướng dẫn giải
Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm
Gọi B = ∆ ∩ d
B ∈d ⇒ B (3+ t;3+ 3t;2t)
AB = (t + 2;3t +1;2t + ) 1 (
Q) có vectơ pháp tuyến n = − Q (1;1 )1
∆ / / (Q) ⇒ AB ⊥ nQ ⇔ . AB n = Q 0 ⇔ t = −1
∆ đi qua điểm A(1;2;− )
1 và có vectơ chỉ phương AB = (1;−2;− ) 1
x −1 y − 2 z +1
Vậy phương trình của ∆ là = = 1 −2 −1 Trang 29/42
x +1 y − 2 z −1
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ∆ : = = 1 và 3 1 2 x = 3 x −1 y z +1 ∆ : = = = − + 2
. Phương trình đường thẳng song song với d : y 1 t và cắt hai 1 2 3 z = 4 + t đường thẳng ∆ ;∆ 1 2 là: x = 2 x = −2 x = −2 x = 2 A.
y = 3 − t.
B. y = −3− t.
C. y = −3+ t.
D. y = −3+ t. z = 3− t z = −3− t z = −3+ t z = 3+ t Hướng dẫn giải
Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm
Gọi A = ∆ ∩ ∆ , B = ∆ ∩ ∆ 1 2
A∈∆ ⇒ A −1+ 3a;2 + a;1+ 2a 1 ( )
B ∈∆ ⇒ B 1+ ;2 b ; b −1+ 3b 2 ( )
AB = (−3a + b + 2;−a + 2b − 2;−2a + 3b − 2)
d có vectơ chỉ phương a = d (0;1 ) ;1
∆ / /d ⇔ AB,a cùng phương d
⇔ có một số k thỏa AB = kad
−3a + b + 2 = 0
−3a + b = −2 a = 1
a 2b 2 k a 2b k 2 ⇔ − + − = ⇔ − + − = ⇔ b = 1 2a 3b 2 k
2a 3b k 2 − + − = − + − = k = 1 −
Ta có A(2;3;3);B(2;2;2)
∆ đi qua điểm A(2;3;3) và có vectơ chỉ phương AB = (0;−1;− ) 1 x = 2
Vậy phương trình của ∆ là y = 3− t z = 3− t x y 1 z 2
(ĐH A2007) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d − + : = = 1 và 2 −1 1 x = −1+ 2t
d : y =1+ t . Phương trình đường thẳng vuông góc với (P) : 7x + y − 4z = 0 và cắt hai 2 z = 3
đường thẳng d , d 1 2 là: x − 7 y z + 4 x − 2 y z +1 A. = = . B. = = . 2 1 1 7 1 −4 x + 2 y z −1 x − 2 y z +1 C. = = . D. = = . −7 −1 4 7 1 4 Hướng dẫn giải
Gọi d là đường thẳng cần tìm
Gọi A = d ∩ d , B = d ∩ d 1 2 Trang 30/42
A∈d ⇒ A 2a;1− a;−2 + a 1 ( )
B ∈d ⇒ B −1+ 2 ;1 b + ; b 3 2 ( )
AB = (−2a + 2b −1;a + ; b −a + 5) (
P) có vectơ pháp tuyến n = − P (7;1; 4)
d ⊥ (P) ⇔ AB,n cùng phương p
⇔ có một số k thỏa AB = knp
−2a + 2b −1 = 7k
−2a + 2b − 7k = 1 a = 1 a b k a b k 0 ⇔ + = ⇔ + − = ⇔ b = −2 a 5 4k a 4k 5 − + = − − + = − k = − 1 A 2;0;−1 = = d đi qua điểm (
) và có vectơ chỉ phương a n − d P (7;1 4) x − 2 y z +1
Vậy phương trình của d là = = 7 1 −4 x 1 y 2 z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d − − : = =
. Viết phương trình đường 1 2 −1
thẳng ∆ đi qua điểm A(2;3;− )
1 cắt d tại B sao cho khoảng cách từ B đến mặt phẳng
(α): x + y + z −1= 0 bằng 2 3 .
x − 3 y − 6 z + 2 A. = = . 1 3 −1 x − 7 y z + 4 B. = = . 2 1 1
x − 3 y − 6 z + 2 C. = = . 2 − 3 − 2
x + 3 y + 6 z − 2
x − 3 y − 6 z + 2 D. = = và = = . −5 −9 5 1 3 −1 Hướng dẫn giải
B∈d ⇒ B(1+ t;2 + 2t; t − ) = − = − d ( t B AB B,(α )) 2 (3;6; 2), ( 1;3; ) 1 = 2 3 ⇔ ⇒ t = 4 − B ( 3 − ; 6; − 4), AB = ( 5 − ; 9; − 5)
∆ đi qua điểm B và có vectơ chỉ phương AB
x + 3 y + 6 z − 2
x − 3 y − 6 z + 2
Vậy phương trình của ∆ là = = và = = . 5 − 9 − 5 1 3 −1
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A(−2;2; ) 1 cắt trục
tung tại B sao cho OB = 2 . OA x y + 6 z x y − 6 z A. = = . B. = = . 2 −8 −1 2 4 −1
x + 3 y + 6 z − 2 x y − 6 z x y + 6 z C. = = . D. = = và = = . −5 −9 3 2 4 −1 2 −8 −1 Hướng dẫn giải
B ∈Oy ⇒ B(0; ; b 0) b = 6
B(0;6;0), AB = ( 2;4;− ) 1 OB = 2OA ⇔ ⇒ b = −6 B (0;−6;0), AB = (2;−8;− ) 1 Trang 31/42
∆ đi qua điểm B và có vectơ chỉ phương AB x y − 6 z x y + 6 z
Vậy phương trình của ∆ là = = và = = . 2 4 −1 2 −8 −1
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm B(1;1;2) cắt đường
x 2 y 3 z 1 thẳng d − − + : = =
tại C sao cho tam giác OBC có diện tích bằng 83 . 1 −2 1 2
x −1 y −1 z − 2 A. = = . 3 −2 −1 x y − 6 z B. = = . 2 4 −1
x −1 y −1 z − 2
x −1 y −1 z − 2 C. = = và = = . 3 −2 −1 31 78 −109
x −1 y −1 z − 2 D. = = . 31 78 109 − Hướng dẫn giải
C ∈d ⇒ C (2 + t;3− 2t;−1+ t)
OC = (2 + t;3− 2t;−1+ t) OB = (1;1;2)
OB,OC = (5t − 7;t + 5;1− 3t)
t = 2 ⇒ BC = (3;−2;− ) 1 1 S = ⇔ ∆ OB OC OBC , −4 31 78 109 2 t = ⇒ BC = ; ; − 35 35 35 35
∆ đi qua điểm B và có vectơ chỉ phương BC
x −1 y −1 z − 2
x −1 y −1 z − 2
Vậy phương trình của ∆ là = = và = = . 3 −2 −1 31 78 −109 x = t
x − 2 y −1 z − 2
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d : = = = 1 và d : y 3 . 1 −1 −1 2 z = −2+ t
Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng d , d 1 2 là. x = 2 + t x = 3 + t x = 2 + 3t x = 3 + t A.
y =1+ 2t .
B. y = 3− 2t.
C. y =1− 2t . D. y = 3 . z = 2− t z =1− t z = 2 − 5t z =1− t Hướng dẫn giải
Gọi d là đường thẳng cần tìm
Gọi A = d ∩ d , B = d ∩ d 1 2
A∈d ⇒ A 2 + a;1− a;2 − a 1 ( )
B ∈d ⇒ B ; b 3;−2 + b 2 ( )
AB = (−a + b − 2;a + 2;a + b − 4) d a = − − 1 có vectơ chỉ phương 1; 1; 1 1 ( ) d a = 2 có vectơ chỉ phương 1;0;1 2 ( ) Trang 32/42 d ⊥ d AB ⊥ a . AB a = 0 a = 0 1 1 1
⇔ ⇔ ⇔
⇒ A(2;1;2);B(3;3; ) 1 d ⊥ d AB ⊥ a . AB a = 0 b = 3 2 2 2
d đi qua điểm A(2;1;2) và có vectơ chỉ phương a = AB = − d (1;2; )1 x = 2 + t
Vậy phương trình của d là y =1+ 2t. z = 2− t x +1 y z − 2
(ĐH A2012) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = , mặt phẳng 2 1 1
(P) : x + y − 2z + 5 = 0 và A(1; 1;
− 2). Đường thẳng ∆ cắt d và (P) lần lượt tại M và N sao
cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN . Phương trình đường thẳng ∆ là.
x −1 y +1 z − 2
x +1 y −1 z + 2 A. = = . B. = = . 2 3 2 2 3 2
x +1 y + 4 z + 2
x − 2 y − 3 z − 2 C. = = . D. = = . 2 − 3 2 1 1 − 2 Hướng dẫn giải
M ∈d ⇒ M (−1+ 2t;t;t + 2)
A là trung điểm MN ⇒ N (3− 2t;−2 − t;2 − t)
N ∈(P) ⇒ t = 2 ⇒ M (3;2;4)
∆ đi qua điểm M (3;2;4) và có vectơ chỉ phương a = = ∆ AM (2;3;2)
x −1 y +1 z − 2
Vậy phương trình của ∆ là = = 2 3 2
x − 2 y −1 z −1
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = , mặt cầu 1 2 −1
(S) (x − )2 + ( y + )2 + (z + )2 : 1 3 1 = 29 và A(1;−2; )
1 . Đường thẳng ∆ cắt d và (S) lần lượt tại
M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN . Phương trình đường thẳng ∆ là
x −1 y + 2 z −1 A. = =
và x +1 y − 2 z +1 = = . 2 5 −1 7 11 10 −
x +1 y − 2 z +1 B. = =
và x −1 y + 2 z −1 = = . 2 5 −1 7 11 10 −
x −1 y + 2 z −1 C. = =
và x −1 y + 2 z −1 = = . 2 5 −1 7 11 10 −
x +1 y − 2 z +1 D. = =
và x +1 y − 2 z +1 = = . 2 5 −1 7 11 10 − Hướng dẫn giải
M ∈d ⇒ M (2 + t;1+ 2t;1− t)
A là trung điểm MN ⇒ N (−t;−5 − 2t;1+ t)
t = 1⇒ MN = ( 4; − 1 − 0;2) = 2 − (2;5;− ) 1 N (S) 2 6t 14t 20 0 ∈ ⇒ + − = ⇒ 10
14 22 20 2 t = − ⇒ MN = ; ;− = (7;11; 10 − ) 3 3 3 3 3
∆ đi qua điểm A(1;−2; )
1 và có vectơ chỉ phương a = ∆ MN
x −1 y + 2 z −1
Vậy phương trình của ∆ là = =
và x −1 y + 2 z −1 = = 2 5 −1 7 11 −10 Trang 33/42
(ĐH B2009) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x − 2y + 2z −5 = 0 và hai điểm A(−3;0; ) 1 , B ( 1; 1;
− 3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P) , đường thẳng
mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất có phương trình là. x + 3 y z −1
x − 2 y +1 z − 3 A. = = . B. = = . 26 11 2 − 26 11 2 − x − 3 y z +1
x + 2 y −1 z + 3 C. = = . D. = = . 26 11 2 − 26 11 2 − Hướng dẫn giải
Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm
Gọi mặt phẳng (Q) qua A(−3;0; )
1 và song song với (P) . Khi đó: (Q) : x − 2y + 2z +1 = 0
Gọi K, H lần lượt là hình chiếu của B lên ∆,(Q) . Ta có d (B,∆) = BK ≥ BH . Do đó AH là đường thẳng cần tìm. (
Q) có vectơ pháp tuyến n = − Q (1; 2;2)
BH qua B và có vectơ chỉ phương a = n = − BH Q (1; 2;2) x = 1+ t
BH : y = −1− 2t z = 3+ 2t
H ∈ BH ⇒ H (1+ t;−1− 2t;3+ 2t) H (P) 10 1 11 7 t H ; ; ∈ ⇒ = − ⇒ − 9 9 9 9
26 11 2 1
∆ đi qua điểm A(−3;0; )
1 và có vectơ chỉ phương a = = − = − ∆ AH ; ; (26;11; 2) 9 9 9 9 x + 3 y z −1
Vậy phương trình của ∆ là ∆ : = = 26 11 −2
x 3 y 2 z 1
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d − + + : = = , mặt phẳng 2 1 −1
(P) : x + y + z + 2 = 0 . Gọi M là giao điểm của d và (P) . Gọi ∆ là đường thẳng nằm trong
(P) vuông góc với d và cách M một khoảng bằng 42 . Phương trình đường thẳng ∆ là.
x − 5 y + 2 z + 5
x + 3 y + 4 z − 5 A. = = và = = . 2 −3 1 2 3 − 1
x − 5 y + 2 z + 5 B. = = . 2 3 − 1
x + 3 y + 4 z − 5 C. = = . 2 3 − 1
x + 3 y + 4 z − 5
x + 3 y + 4 z − 5 D. = = và = = . 2 3 1 2 3 1 Hướng dẫn giải
Gọi M = d ∩ (P)
M ∈d ⇒ M (3+ 2t;−2 + t;−1− t)
M ∈(P) ⇒ t = −1⇒ M (1;−3;0) (
P) có vecttơ pháp tuyến n = P (1;1; ) 1
d có vecttơ chỉ phương a = − d (2;1; )1 Trang 34/42
∆ có vecttơ chỉ phương a = = − ∆ a n d , P (2; 3; )1
Gọi N (x; y; z) là hình chiếu vuông góc của M trên ∆ , khi đó MN = (x −1; y + 3; z) . MN ⊥ a ∆
2x − 3y + z −11 = 0
Ta có: N ∈(P) ⇔ x + y + z + 2 = 0 MN = 42 ( x − )2 1 + ( y + )2 2 3 + z = 42
Giải hệ ta tìm được hai điểm N (5;−2;−5) và N (−3;−4;5)
x − 5 y + 2 z + 5
Với N (5;−2;−5) , ta có ∆ : = = 2 −3 1
x + 3 y + 4 z − 5
Với N (−3;−4;5) , ta có ∆ : = = 2 3 − 1 x = 3 + t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I (1;1;2) , hai đường thẳng :
∆ y = −1+ 2t và 1 z = 4 x + 2 y z − 2 ∆ : = = 2
. Phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và cắt hai đường thẳng 1 1 2 ∆ ,∆ 1 2 là. x = 1+ 2t
x −1 y −1 z − 2 A. = = .
B. y =1−t . 1 1 − 1 z = 2+ t x = 1+ 2t
x −1 y −1 z − 2 C. = = .
D. y =1+ t . 1 1 1 − z = 2+ t Hướng dẫn giải
• Gọi (α là mặt phẳng qua I và ∆ 1 ) 1 ∆ a = 1 đi qua M
3;−1;4 và có vectơ chỉ phương 1;2;0 1 ( ) 1 ( ) IM = 2; 2; − 2 1 ( )
(α có vectơ pháp tuyến n = a , IM = 4; 2; − 6 − 1 1 1 ( ) 1 )
• Gọi (α là mặt phẳng qua I và ∆ 2 ) 2 ∆ a = 2 đi qua M
−2;0;2 và có vectơ chỉ phương 1;1;2 2 ( ) 2 ( ) IM = −3;−1;0 2 ( )
(α có vectơ pháp tuyến n = a , IM = 2;−6;2 2 2 2 ( ) 2 )
• d đi qua điểm I (1;1;2) và có vectơ chỉ phương a = n n = − − − d , 40; 20; 20 1 2 ( ) x = 1+ 2t
Vậy phương trình đường thẳng d là y = 1+ t z = 2 + t x 1 y 1 z x 1 y 2 z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d − + : = = d − − : = = 1 , 2 1 1 2 1 2 1
và mặt phẳng (P) : x + y − 2z + 3 = 0 . Gọi ∆ là đường thẳng song song với (P) và cắt d , d 1 2
lần lượt tại hai điểm ,
A B sao cho AB = 29 . Phương trình tham số của đường thẳng ∆ là Trang 35/42 x = 3 + 4t x = 1 − + 2t x = 3 + 4t A. ∆
: y = 2t
hoặc ∆ : y = 2 − + 4t.
B. ∆ : y = 2t . z =1+ 3t z = 1 − + 3t z =1+ 3t x = 3 + 4t x = 1 − + 2t C. ∆ : y = 2 − t .
D. ∆ : y = 2 − + 4t. z =1+ 3t z = 1 − + 3t Hướng dẫn giải
A∈d ⇒ A 1+ 2a;−1+ a;a 1 ( )
B ∈d ⇒ B 1+ ;2 b + 2 ; b b 2 ( )
∆ có vectơ chỉ phương AB = (b − 2a;3+ 2b − a;b − a)
(P) có vectơ pháp tuyến n = − P (1;1; 2)
Vì ∆ / / (P) nên AB ⊥ n ⇔ b = a − .Khi đó AB = (−a − 3;a − 3;− ) 3 P 3 a = 1 A(3;0; )
1 , AB = (−4;−2;− ) 3
Theo đề bài: AB = 29 ⇔ ⇒ a = −1 A (−1;−2;− )
1 , AB = (−2;−4;− ) 3 x = 3 + 4t x = −1+ 2t
Vậy phương trình đưởng thẳng ∆ là y = 2t
và y = −2 + 4t z =1+ 3t z = −1+ 3t x 1 y z 2
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d − + : = = 1 và 2 1 −1
x 1 y 2 z 2 d − + − : = =
P x + y + z − = 2
. Gọi ∆ là đường thẳng song song với ( ) : 7 0 và cắt 1 3 −2 d , d 1
2 lần lượt tại hai điểm ,
A B sao cho AB ngắn nhất. Phương trình của đường thẳng ∆ là. x = 6 − t x = 6 x = 6 − 2t x =12 − t A. 5 5 5 y = 5 . B. y = .
C. y = −t .
D. y = + t . 2 2 2 z = 9 − + t 9 z = − + t 9 9 z = − + t z = − + t 2 2 2 Hướng dẫn giải
A∈d ⇒ A 1+ 2a;a;−2 − a 1 ( )
B∈d ⇒ B 1+ ; b −2 + 3 ; b 2 − 2b 2 ( )
∆ có vectơ chỉ phương AB = (b − 2a;3b − a − 2;−2b + a + 4)
(P)có vectơ pháp tuyến n = P (1;1; )1
Vì ∆ / / (P) nên AB ⊥ n ⇔ AB n = ⇔ b = a − .Khi đó AB = (−a −1;2a − 5;6 − a) P . P 0 1
AB = (−a − )2
1 + (2a − 5)2 + (6 − a)2 2
= 6a − 30a + 62 2 5 49 7 2 = 6 a − + ≥ ;∀a ∈ 2 2 2 Trang 36/42 Dấu " = " xảy ra khi 5 5 9 7 7 a A6; ; , AB ;0; = ⇒ − = − 2 2 2 2 2
Đường thẳng ∆ đi qua điểm 5 9 A6; ; −
và vec tơ chỉ phương u = − d ( 1;0; )1 2 2 x = 6 − t
Vậy phương trình của ∆ là 5 y = 2 9 z = − + t 2
x +1 y + 2 z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ∆ : = = 1 và 1 2 1
x − 2 y −1 z −1 ∆ : = =
P x + y − z + = 2
. Đường thẳng d song song với ( ) : 2 5 0 và cắt hai 2 1 1 đường thẳng ∆ ;∆ 1 2 lần lượt tại ,
A B sao cho AB ngắn nhất. Phương trình đường thẳng d là
x −1 y − 2 z − 2
A. x −1 = y − 2 = z − 2. B. = = . 2 1 1
x +1 y + 2 z + 2
C. x +1 = y + 2 = z + 2. D. = = . 2 1 1 Hướng dẫn giải
Gọi A = d ∩ ∆ , B = d ∩ ∆ 1 2
A∈ ∆ ⇒ A −1+ a;−2 + 2a;a 1 ( )
B ∈ ∆ ⇒ B 2 + 2 ;1 b + ;1 b + b 2 ( )
AB = (−a + 2b + 3;−2a + b + 3;−a + b + ) 1 d / / (P) ⇒ .
AB n = ⇔ b = a − P 0 4
AB = (a − 5;−a −1;− ) 3
AB = 2(a − 2)2 + 27 ≥ 3 3;∀a ∈
Dấu " = " xảy ra khi a = 2 ⇒ A(1;2;2), B ( 2 − ;−1;− ) 1 AB = (−3;−3;−3)
d đi qua điểm A(1;2;2) và có vectơ chỉ phương a = d (1;1; )1
Vậy phương trình của d là x −1 = y − 2 = z − 2 x − 2 y z + 2
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = , mặt phẳng 2 1 1
(P): 2x − y − z + 5 = 0 và M (1;−1;0). Đường thẳng ∆ đi qua điểm M , cắt d và tạo với (P) một góc 0
30 . Phương trình đường thẳng ∆ là. x + 2 y z − 2 A. = =
và x + 4 y + 3 z + 5 = = . 1 1 −2 5 2 5 x − 2 y z + 2 B. = =
và x − 4 y − 3 z − 5 = = . 1 1 −2 5 2 5 x −1 y +1 z
x −1 y +1 z C. = = và = = . 1 1 −2 23 14 1 − Trang 37/42 x + 2 y z − 2 D. = =
và x − 4 y − 3 z − 5 = = . 1 1 −2 5 2 5 Hướng dẫn giải
Gọi N = ∆ ∩ d
N ∈d ⇒ N (2 + 2t;t;−2 + t)
∆ có vectơ chỉ phương MN = (1+ 2t;1+ t;−2 + t) (
P) có vectơ pháp tuyến n = − − P (2; 1; )1
t = 0 ⇒ MN = (1;1− 2) MN.n sin d, (P) P
= ⇔ 9 23 14 1 MN . n t = ⇒ MN = − P ; ; 5 5 5 5
∆ đi qua điểm M (1;−1;0) và có vectơ chỉ phương a = MN d x −1 y +1 z x −1 y +1 z
Vậy phương trình của ∆ là = = và = = 1 1 −2 23 14 −1
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d đi qua A(3;−1; ) 1 , nằm trong mặt phẳng ( x y − 2 z
P) : x − y + z − 5 = 0, đồng thời tạo với ∆ : = = một góc 0
45 . Phương trình đường 1 2 2 thẳng d là x = 3 + 7t x = 3 + t A. y = 1 − − 8t . B. y = 1 − − t. z = 1 − − 15t z = 1 x = 3 + 7t x = 3 + t x = 3 + 7t C. y = 1 − − 8t .
D. y = −1− t và y = 1 − − 8t . z =1− 15t z = 1 z =1− 15t Hướng dẫn giải
∆ có vectơ chỉ phương a = ∆ (1;2;2)
d có vectơ chỉ phương a = a b c d ( ; ; )
(P) có vectơ pháp tuyến n = − P (1; 1; )1
d ⊂ (P) ⇒ a ⊥ n ⇔ b = a + c d P ( ) ; 1 (∆,d ) 0 = 45 ⇔ cos(∆,d ) 0 = cos45
a + 2b + 2c 2 ⇔ = 2 2 2
3 a + b + c 2
⇔ 2(a + 2b + 2c)2 = 9( 2 2 2
a + b + c ); (2) c = 0 Từ ( ) 1 và (2) , ta có: 2
14c + 30ac = 0 ⇔ 15 a + 7c = 0 x = 3 + t
Với c = 0 , chọn a = b = 1, phương trình đường thẳng d là y = −1− t z = 1 x = 3 + 7t
Với 15a + 7c = 0 , chọn a = 7 ⇒ c = −15;b = −8, phương trình đường thẳng d là y = −1− 8t z =1− 15t Trang 38/42
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d đi qua điểm A(1;−1;2) , song song với (
x +1 y −1 z
P) : 2x − y − z + 3 = 0 , đồng thời tạo với đường thẳng ∆ : = = một góc lớn nhất. 1 −2 2
Phương trình đường thẳng d là.
x −1 y +1 z − 2
x −1 y +1 z + 2 A. = = . B. = = . 1 5 − 7 4 5 − 7
x −1 y +1 z − 2
x −1 y +1 z − 2 C. = = . D. = = . 4 5 7 1 5 − 7 − Hướng dẫn giải
∆ có vectơ chỉ phương a = − ∆ (1; 2;2)
d có vectơ chỉ phương a = a b c d ( ; ; )
(P) có vectơ pháp tuyến n = − − P (2; 1; )1
Vì d / / (P) nên a ⊥ n ⇔ a n = ⇔ a − b − c = ⇔ c = a − b d P d . P 0 2 0 2 a − b a − b cos(∆,d ) 5 4 1 (5 4 )2 = = 2 2 2 2
3 5a − 4ab + 2b
3 5a − 4ab + 2b a 1 5t − 4
Đặt t = , ta có: cos(∆,d ) ( )2 = b 2 3 5t − 4t + 2 5t − 4
Xét hàm số f (t) ( )2 = , ta suy ra được: f (t) 1 5 3 max f = − = 2 5t − 4t + 2 5 3 Do đó: (∆ d ) 5 3 1 a 1 max cos , = ⇔ t = − ⇒ = − 27 5 b 5
Chọn a = 1 ⇒ b = −5,c = 7
x −1 y +1 z − 2
Vậy phương trình đường thẳng d là = = 1 −5 7
x −1 y − 2 z + 2
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d đi qua A(−1;0;− ) 1 , cắt ∆ : = = 1 , sao cho 2 1 −1
x − 3 y − 2 z + 3
góc giữa d và ∆ : = = 2
là nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng d là 1 − 2 2 x +1 y z +1 x +1 y z +1 x +1 y z +1 x +1 y z +1 A. = = . B. = = . C. = = . D. = = . 2 2 1 − 4 5 2 − 4 5 − 2 − 2 2 1 Hướng dẫn giải
Gọi M = d ∩ ∆ ⇒ M 1+ 2t;2 + t;−2 − t 1 ( )
d có vectơ chỉ phương a = AM = t + t + − − t d (2 2; 2; 1 ) ∆ a = − 2 có vectơ chỉ phương 1;2;2 2 ( ) 2 ( 2 cos ; t d ∆ = 2 ) 2 3 6t +14t + 9 2 Xét hàm số ( ) t f t =
, ta suy ra được min f (t) = f (0) = 0 ⇔ t = 0 2 6t +14t + 9 Do đó min cos
(∆,d ) = 0 ⇔ t = 0 ⇒ AM = (2;2 − ) 1 x +1 y z +1
Vậy phương trình đường thẳng d là = = 2 2 −1 Trang 39/42 x = t x y 2 z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng d : y = 4 − t d − : = = và 1 2 1 −3 −3 z = −1+ 2t
x 1 y 1 z 1 d + − + : = = d ,d ,d 2
. Gọi ∆ là đường thẳng cắt
lần lượt tại các điểm , A B,C sao 5 2 1 1 2 3
cho AB = BC . Phương trình đường thẳng ∆ là
x − 2 y − 2 z x y − 2 z x y −3 z −1 x y −3 z −1 A. = = . B. = = . C. = = . D. = = . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − 1 1 − 1 Hướng dẫn giải
Gọi A∈d , B ∈d ,C ∈d 1 2 3
Ta có: A(a;4 − a;−1+ 2a), B( ; b 2 − 3 ; b 3
− b),C (−1+ 5 ; c 1+ 2 ; c 1 − + c) Yêu cầu bài toán ⇔ ,
A B,C thẳng hàng và AB = BC
a −1+ 5c = 2b a = 1
⇔ B là trung điểm AC ⇔ 4 − a +1+ 2c = 2(2 − 3b) ⇔ b = 0 −
1+ 2a − a + c = 2( 3 − b) c = 0 Suy ra A(1;3; )
1 , B (0;2;0,),C (−1;1;− ) 1
∆ đi qua điểm B (0;2;0,) và có vectơ chỉ phương là CB = (1;1; ) 1 x y − 2 z
Vậy phương trình đường thẳng ∆ là = = 1 1 1 Trang 40/42
Document Outline
- DS_C8_PHUONG TRINH DUONG THANG
- A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
- B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
- C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
- D. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM