Tổng hợp lý thuyết chương 2 (hàm số)- Giải tích 1 | Trường đại học Bách Khoa, Đại học Đà Nẵng

ọ ạ
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT: GIẢI TÍCH I CHƯƠNG II: HÀM SỐ
I. Định nghĩa hàm số
• Định nghĩa: X, Y  R
Hàm số từ X vào Y là quy tắc tương ứng: với mỗi xX với chỉ một y Y f : X → Y x = x )
• Tập xác định: X
Tập giá trị: yY x
 X, f (x) =  y
• Giải bài toán tìm TXĐ và TGT
o TXĐ: xét điều kiện từ ngoài vào trong o TGT: kh o sát hàm s ả ố nếu c n ầ x a
(a  0;a  1) TXĐ: (−;+)
TGT: tăng từ 0 → + log x
a  0; a  1 TXĐ: (0;+)
TGT: tăng từ − → + a ( ) π π arcsinx TXĐ: −1;1   TGT: tăng từ − → 2 2 arccos x TXĐ: −1;1   TGT: gi m t ả ừ π → 0 π π arctanx TXĐ: (−;+) TGT: tăng từ − → 2 2 arccot x TXĐ: (−;+) TGT: gi m t ả ừ π → 0
II. Các dạng hàm số 1. Hàm chẵn lẻ
• D đối xứng ( x D, − x D) •
f (x ) = f (−x) x   D → Chẵn •
f (x) = − f (−x ) x   D → Lẻ Thầy Vũ Ngọc Anh − VNA 1 ọ ạ
+) Đồ t ị hàm số: h
Chẵn → đối xứng qua Oy Lẻ → đối xứng qua O
2. Hàm đơn điệu: D (a,b)
• Nếu x  x  D → f (x ) f x ( ồng biế đ n) 1 2 1 ( 2 )
• Nếu x  x  D → f (x )  f x (nghịch biến) 1 2 1 ( 2 )
• Ta thường sử dụng bảng biến thiên để xét tính đơn điệu của hàm số trên các khoảng 3. Hàm bị chặn •
f (x)  M x → bị c ặn trên h •
f (x)  m x→ bị c ặn dưới h
• Sử dụng các phép biến đổi, áp dụng các bất đẳng thức để c ứng minh h 4. Hàm số sơ cấp
Hàm số sơ cấp cơ bản: 1) Lũy thừa: α x 2) Mũ: x a
3) log x a  0 a ( ) 4) Lượng giác 5) Lượng giác ngược 5. Hàm hợp •  f g X ⎯⎯ → Y ⎯⎯ → Z x
• Hàm hợp của f và : g g : X → Z x = f (x )) 6. Hàm ngược • Khái ni m ệ f X ⎯⎯ → − Y 1 f Thầy Vũ Ngọc Anh − VNA 2 ọ ạ 1
f − : Hàm ngược của f
• Tìm hàm ngược: = ( ) −1 y
f x → x = f (y)
Sau khi tìm x theo y → đổi vai trò (v trí): ị 1 y f − = (x )
• Tính chất: Đồ thị hàm y = f ( ) x và − = 1 y f
(x) đối xứng nhau qua đồ thị y = x 7. Hàm tu n hoàn: ầ
➢ Nếu có chu kì T > 0:
• x TXD → (x +T)TXD • f ( x + ) T = f ( ) x  x ⎯⎯
→ Hàm tuần hoàn với chu kì T
➢ T nhỏ nhất gọi là chu kì cơ sở (To)
➢ Các tính chất cần lưu ý:
• Nếu f ( x) là hàm tuần hoàn với chu kì cơ sở To thì T = nTo cũng là chu kì của f ( x) , + nZ
• Một hàm số tuần hoàn có nhiều chu kì nhưng chỉ có một chu kì cơ sở • Nếu T T
1, T2, là các chu kì của các hàm số tuần hoàn f ( )
x , g (x ) và 1 là số hữu tỉ thì các T2
hàm số f (x)  g (x) , f (x).g (x) cũng là các hàm số tuần hoàn với chu kì +
T = mT = nT ,m,n Z 1 2
➢ Tìm chu kỳ cơ sở (nếu có):
• Dự đoán chu kỳ cơ sở là T, c/m T là chu kỳ
• Chỉ ra không có chu kỳ nhỏ hơn T
➢ Chứng minh hàm số không tuần hoàn:
Hàm tuần hoàn TXĐ Chỉ ra một trong hai không thỏa mãn = +  ___HẾT___ Thầy Vũ Ngọc Anh − VNA 3