Tổng hợp lý thuyết khối đa diện và thể tích khối đa diện – Lê Minh Tâm

Tổng hợp lý thuyết chung và hướng dẫn giải các dạng bài tập chuyên đề khối đa diện và thể tích khối đa diện, giúp học sinh lớp 12 tham khảo khi học chương trình môn Toán 12 phần Hình học chương 1.Mời bạn đọc đón xem.

TÀI LIU DÀNH CHO KHI 12
TÀI LIU DÀNH CHO KHI 12
TÀI LIU DÀNH CHO KHI 12
TÀI LIU DÀNH CHO KHI 12
TÀI LIU DÀNH CHO KHI 12
TÀI LIU DÀNH CHO KHI 12
Ch đề 01. HÌNH ĐA DIN KHỐI ĐA DIỆN
Ch đề 02. TH TÍCH KHI CHÓP
Dng 1.1. Chóp có cnh bên vuông góc với đáy ................................................................. 9
Dng 1.2. Chóp có mt bên vuông góc vi đáy ................................................................. 10
Dng 1.3. Chóp đều ..................................................................................................................... 11
Dng 1.4. T s th tích ............................................................................................................. 13
Dng 1.5. Tng hiu th tích .................................................................................................... 16
Ch đề 03. TH TÍCH KHI LĂNG TRỤ
Dng 2.1. Th tích lăng tr đứng ............................................................................................ 19
Dng 2.2. Th tích lăng trụ xiên ............................................................................................. 20
Dng 2.3. Th tích khi lập phương – khi hp ................................................................... 21
Dng 2.4. Khối đa diện được ct ra t khối lăng trụ ........................................................ 22
Dng 2.5. Max min th tích ................................................................................................... 25
Mc lc
Tng Hp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên son: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 2
A. LÝ THUYT CHUNG.
1. Khái nim v hình đa diện khối đa diện.
Hình lăng trụ, hình chóp ta thấy chúng những hình không gian được tạo bởi hữu
hạn đa giác.
Các đa giác ấy có tính chất:
Hai đa giác phân biệt chỉ có thể:
hoặc không giao nhau, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.
Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.
Mỗi đa giác như thế được gọi là một mặt của hình đa diện
H
.
Các đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo thứ tự gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện
H
2. Khái nim v khối đa diện.
Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi 1 hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.
Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện.
Điểm trong:
Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không
thuộc hình đa diện giới hạn khối đa diện ấy.
Miền trong khối đa diện:
Là tập hợp các điểm trong.
Miền ngoài khối đa diện:
Là tập hợp các điểm ngoài.
Mỗi đa diện chia các điểm còn lại của không gian thành hai
miền không giao nhau: miền trongmiền ngoài.
Trong đó chỉ có duy nhất miền ngoài là chứa hoàn toàn một
đường thẳng d nào đấy.
Khối đa diện
H
là hợp của hình đa diện
H
và miền trong của nó.
HÌNH ĐA DIỆN KHỐI ĐA DIỆN
KHỐI ĐA DIỆN
Tng Hp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên son: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 3
3. Phép biến hình.
Phép biến hình trong không gian:
Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm Mxác định
duy nhất được gọi là một phép biến hình trong không gian.
Phép dời hình :
Phép biến hình trong không gian được gọi phép dời hình nếu bảo
toàn khoảng cách giữa hai điểm tùy ý.
Nhận xét:
Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình.
Phép dời hình biến:
(+) Một đa diện
thành một đa diện
H
,
(+) Các đỉnh, cạnh, mặt của
thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của
H
.
Phép dời hình tịnh tiến theo vector
v
: là phép biến hình
biến điểm
M
thành
M
sao cho
MM v
.
Phép đối xứng qua mặt phẳng
P
: là phép biến hình
biến mọi điểm thuộc
P
thành chính nó,
biến điểm
MP
thành điểm
M
sao cho
P
là mặt phẳng trung trực của
MM
.
Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng
P
biến hình
thành chính
thì
P
được gọi là mặt phẳng đối xứng của
H
.
Phép đối xứng tâm
O
: là phép biến hình
biến điểm
O
thành chính nó,
biến điếm
M
khác
O
thành điểm
M
sao cho
O
là trung điểm của
MM
.
Nếu phép đối xứng tâm
O
biến hình
H
thành chính nó
thì
O
được gọi là tâm đối xứng của
.
Phép đối xứng qua đường thẳng
d
: là phép biến hình
biến mọi điểm thuộc
d
thành chính nó,
biến điểm
Md
thành điểm
M
sao cho
d
là trung trực của
MM
.
Nếu phép đối xứng qua đường thẳng
d
biến hình
thành chính
thì
d
được gọi là trục đối xứng của
H
.
Phép đối xứng qua đường thẳng
d
còn được gọi là phép đối xứng qua trục
d
.
4. Hai hình bng nhau.
Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.
Nhận xét:
Hai đa diện được gọi bằng nhau nếu một phép dời hình biến hình đa diện này
thành hình đa diện kia.
Hai tứ diện có các cạnh tương ứng bằng nhau thì bằng nhau.
Tng Hp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên son: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 4
5. Phân chia và lp ghép khối đa din.
Nếu khối đa diện
là hợp của hai khối đa diện
12
;HH
, sao cho
1
H
2
H
không có điểm trong chung thì ta nói:
(+) có thể chia được khối đa diện
H
thành hai khối đa diện
1
H
2
H
,
(+) có thể lắp ghép được hai khối đa diện
1
H
2
H
với nhau để được khối đa diện
H
.
Ví dụ.
Xét khối lập phương
.ABCD AB C D
.
Mặt
BDD B

cắt khối lập phương đó theo một thiết diện là hình chữ nhật
BDD B

.
Thiết diện này chia các điểm còn lại của khối lập phương ra làm hai phần.
Mỗi phần cùng với hình chữ nhật
BDD B

tạo thành khối lăng trụ, như vậy có hai khối
lăng trụ:
.ABD ABD
.BCD B C D
.
Khi đó ta nói mặt phẳng
P
chia khối lập phương
.ABCD AB C D
thành hai
khối lăng trụ
.ABD ABD
.BCD B C D
.
Tương tự trên ta thể chia tiếp khối trụ
.ABD ABD
thành ba khối tứ diện:
ADBB
,
ADB D

AA B D
.
Nhận xét:
Một khối đa diện bất kì luôn có thể phân chia được thành các khối tứ diện.
6. Khối đa diện li.
Khối đa diện
H
được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của
luôn thuộc
. Khi đó đa diện giới hạn
H
được gọi là đa diện li.
Lưu ý:
Một khối đa diện là khối đa diện lồi khi
chỉ khi miền trong của luôn nằm
về một phía đối với mỗi mặt phẳng đi
qua một mặt của nó. (Hình 6.1)
Công thức ƠLE:
Trong một đa diện lồi nếu gọi Đ số
đỉnh, C là số cạnh, M là số mặt
Tức là: Đ C + M=2
Tng Hp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên son: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 5
7. Khối đa diện đều.
Định nghĩa:
Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có các tính chất sau:
(1) Mỗi mặt của nó là một đa giác đều
p
cạnh.
(2) Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng
q
mặt.
Khối đa diện đều như vậy được gọi là khối đa diện đều loại
;pq
.
Nhận xét:
Các mặt của khối đa diện đều là những đa giác đều và bằng nhau.
Định lý:
Chỉ có năm loại khối đa diện đều.
loại
33;
, loại
34;
, loại
43;
, loại
53;
, và loại
35;
.
Nhận xét:
Hai khối đa diện đều có cùng số mặt và có cạnh bằng nhau thì bằng nhau.
Hai khối đa diện đều có cùng số mặt thì đồng dạng với nhau.
Ví dụ.
Quan sát khối tứ diện đều (Hình 7.1),
ta thấy các mặt của nó là những tam giác đều,
mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng 3 mặt.
Quan sát khối lập phương (Hình 7.2),
ta thấy các mặt của nó là những hình vuông,
mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung đúng 3 mặt.
Những khối đa diện nói trên được gọi là khối đa diện đều
Bảng tóm tắt của năm loại khối đa diện đều
Khối đa diện đu
S đỉnh
S cnh
S mt
Ký hiu
;pq
T diện đều
4
6
4
33;
Khi Lập Phương
8
12
6
43;
Khi Tám Mặt Đều
6
12
8
34;
Khối Mười Hai Mặt Đều
20
30
12
53;
Khối Hai Mươi Mặt Đều
12
30
20
35;
Tng Hp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên son: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 6
A. LÝ THUYT CHUNG.
1. Định nghĩa:
Hình chóp là hình có đáy là một đa giác, các mt bên là tam giác có chung một đỉnh.
2. Th tích khi chóp.
Công thc tính th tích khi chóp:
1
.
3
V S h
Trong đó:
S
là diện tích đáy
h
là chiu cao khi chóp
(khong cách t đỉnh đến mặt đáy).
Cách xác định đường cao khi chóp:
Loại
Đưng cao
Cạnh bên vuông đáy
Hình 1.1
Đường cao chính là cạnh bên.
Hai mặt bên vuông đáy
Hình 1.2
Đường cao là giao tuyến của hai mặt bên vuông góc đáy.
Mặt bên vuông đáy
Hình 1.3
Đường cao của mặt bên vuông góc đáy.
Chóp đều
Hình 1.4
Đường cao hạ từ đỉnh đến tâm đa giác đáy.
TH TÍCH KHI CHÓP
KHỐI ĐA DIỆN
Tng Hp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên son: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 7
4. Công thc tính diện tích đáy.
Ta có các đa giác thường gp sau:
Tam giác
vi là bán kính đường tròn ngoi tiếp .
vi là na chu vi và là bán kính đường tròn ni tiếp
ΔABC
vi
hoc
22
22
1
4
S a b c c a b
Tam giác vuông
ΔABC
vuông ti
A
:
11
..
22
S AB AC BC AH
.
Tam giác đều
ΔABC
đều, cnh
AB
:
2
3
.
4
S AB
;
Chiều cao tam giác đều
3
.
2
h AB
.
Hình vuông cnh
AB
Din tích hình vuông
ABCD
:
2
S AB
Hình ch nht
Din tích hình ch nht
ABCD
:
.S ABCD
Hình bình hành
Din tích hình bình hành
ABCD
:
. .sinS AB AD BAD
Hình thoi
Din tích hình thoi
ABCD
:
1
2
. .sin .S AB AD BAD AC BD
Hình thang
Din tích hình thang
ABCD
:
1
2
.S AB CD h
T giác có hai đường chéo vuông góc:
1
2
.S AC BD
111
222
. . .
a b c
S a h b h c h
111
222
. . .
a b c
S a h b h c h
1 1 1
2 2 2
.sinA .sinB .sinCS ba ca ba
2
2
4
R .sinA.sin .sin
R
abc
S B C
R
ABC
.S p r
p
r
S p p a p b p c
2
a b c
p

Tng Hp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên son: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 8
5. T s din tích.
Ta có các t s thường gp sau:
AM
trung tuyến,
đặt
12
2
ABC
S
S S S S 
.
G
là trọng tâm,
đặt
1 2 3
3
ABC
S
S S S S S 
.
BM MN NC
đặt
1 2 3
3
ABC
S
S S S S S 
.
;;M N F
lần lượt là trung điểm
;;AB AC BC
đặt
1 2 3 4
4
ABC
S
S S S S S S
.
1 2 3 4
4
ABCD
S
S S S S S S 
.
AMN
ABC
S
AM AN
S AB AC
Tng Hp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên son: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 9
B. CÁC DNG BÀI TP.
Dng 1.1. Chóp có cnh bên vuông góc vi đáy
Đây là dạng d xác định được đường cao (h).
Áp dng công thc:
1
.
3
V S h
Ví d 1.1.1
Cho khối chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
. Biết
SA
vuông góc
với
ABCD
3SA a
. Thể tích của khối chóp
.S ABCD
là:
A.
3
4
a
. B.
3
3a
. C.
3
3
3
a
. D.
3
3a
.
Li gii
Chn C
Thể tích khối chóp
3
13
33
..
ABCD
a
V S SA
Ví d 1.1.2
Cho khối chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật
2,AB a BC a
. Cạnh
bên
SA
vuông góc với đáy
2SA a
. Thể tích của khối chóp
.S ABCD
là:
A.
3
23
3
a
. B.
3
22a
. C.
3
2
2
a
. D.
3
22
3
a
.
Li gii
Chn D
Diện tích đáy:
2
2.
ABCD
S AD BC a
.
Thể tích:
3
1 2 2
33
..
ABCD
a
V S SA
.
Ví d 1.1.3
Cho khối chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông canh
a
. Cạnh bên
SA
vuông góc với đáy
2SA a
. Thể tích của khối chóp
.S BCD
là:
A.
3
5
3
a
. B.
3
3
a
. C.
3
2
a
. D.
3
2
3
a
.
Li gii
Chn B
Ta có:
2
1
22
BCD ABCD
a
SS
.
Suy ra
3
1
33
..
BCD
a
V S SA
.
S
A
B
C
D
Tng Hp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên son: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 10
Dng 1.2. Chóp có mt bên vuông góc với đáy
Khi chóp có mt bên vuông góc mt phẳng đáy.
Áp dng công thc:
1
.
3
V S h
.
Chiu cao khối chóp là đoạn thng t đỉnh ca chóp ta k vuông góc vào giao tuyến
ca mt bên và mặt đáy.
Mt s kiểu thường gp:
Mt bên vuông với đáy là tam giác
đều cnh vi là trung
đim .
Mt bên vuông với đáy là tam giác
cân ti vi là trung điểm .
Ví d 1.2.1
Hình chóp đáy là hình chữ nht có . Mt bên
Δ
đều và nm trong mt phng vuông góc với đáy. Thể tích khi là.
A. . B. . C. . D. .
Li gii
Chn D
Gi là trung dim ca .
ΔSAB
Δ
đều cnh nên .
Vy .
Ví d 1.2.2
Cho hình chóp có đáy là hình vuông cnh hình chiếu ca trên
trùng với trung điểm ca cnh cnh bên . Th tích ca khi
chóp tính theo bng:
A.
3
2
3
a
. B.
3
22a
. C.
3
a
. D.
.
Li gii
Chn D
Gi là trung điểm ca nên .
Li có
22
5
2
a
DH AD AH
.
Xét
ΔSDH
:
22
SH SH DH a
3
11
..
33
ABCD
V S SH a
SAB
ABCD
SAB
x
SH ABCD
3
2
x
h SH
H
AB
SAB
ABCD
SAB
S
SH ABCD
h SH
H
AB
.S ABCD
2 3 2; AB a AD a
SAB
.S ABD
3
23
3
a
3
43a
3
4a
3
23a
H
AB
SH ABCD
23a
2 3 3
3
2
a
SH a

3
1 1 1
3 2 3 2 2 3
3 3 2
ABD
V SH S a a a a
.S ABCD
;a
S
ABCD
;AB
3
2
a
SD
.S ABCD
a
H
AB
SH ABCD
Tng Hp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên son: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 11
Dng 1.3. Chóp đều
Khi chóp có các cnh bên bng nhau.
Áp dng công thc:
1
.
3
V S h
.
Chiu cao khối chóp là đoạn thng t đỉnh chóp h vuông góc xung tâm mặt đáy.
Mt s kiểu thường gp:
Chóp đều , góc gia mt phng bên và mặt đáy là hoc góc gia cnh bên
và mặt đáy là .
Chóp đều , góc gia mt phng bên và mặt đáy là hoc góc gia cnh bên
và mặt đáy là .
Mt s công thc tính nhanh:
Chóp đều cạnh
x
, đáy là tam giác
3
2
.
12
Vx
Chóp đều cạnh
x
, đáy là tứ giác
3
2
.
6
Vx
Chóp đều, cạnh bên bằng
x
, đáy là tam giác cạnh
y
.
2 2 2
3
12
y x y
V
Chóp đều, cạnh bên bằng
x
, đáy là tứ giác cạnh
y
.
2 2 2
42
6
y x y
V
Chóp đều, các mặt bên cùng tạo với đáy góc
φ
, đáy là tam giác cạnh
x
.
3
tan
24
x φ
V
Chóp đều, các mặt bên cùng tạo với đáy góc
φ
, đáy là tứ giác cạnh
x
.
3
tan
6
x φ
V
Ví d 1.3.1
Tính chiều cao của hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng b?
A. . B. . C. . D. .
Li gii
Chn B
.S ABCD
.S ABC
22
42
2
ba
22
42
2
ba
22
4
2
ba
22
4
2
ba
Tng Hp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên son: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 12
Gọi là tâm hình vuông ,
Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên .
Ta có .
Ví d 1.3.2
Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng b là:
A. . B. . C. . D. .
Li gii
Chn A
là chóp tứ giác đều nên .
là đường chéo hình vuông cạnh nên
.
Ta có .
.
Ví d 1.3.3
Một hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng và cnh bên tạo với mặt phng
đáy một góc . Thể tích của hình chóp đó là
A. . B. .
C. . D. .
Li gii
Chn D
Xét vuông ti :
.
Mà: .
.
1
..
3
S ABC ABC
V SH S
2
32
3 3 .cos
13
.sin . cos .sin
3 4 4
b α
b α b α α
H
ABCD
SH ABCD
2
22
2 2 2
42
2
2
a b a
SH SC HC b



2 2 2
42
6
a b a
2 2 2
2
6
a b a
2 2 2
42
6
a b a
2 2 2
4
6
a b a
.S ABCD
SO ABCD
BD
a
2
2
2
a
BD a OB
2
22
2 2 2
42
2
2
a b a
SO SB OB b



2 2 2 2 2
2
1 1 4 2 4 2
3 3 2 6
. . . .
ABCD
b a a b a
V SH S a

b
3
3
4
cos sinb
32
3
4
sin cosb
32
3
4
cos sinb
32
3
4
cos sinb
SHA
H
sin sin
cos cos
SH SA b
AH SA b


33
22
cosAM AH b
32
3
2
3
cos
AB AM
AM AB
Tng Hp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên son: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 13
Dng 1.4. T s th tích
Khi chóp có các cnh bên bng nhau.
Áp dng công thc:
1
.
3
V S h
.
A. Cho khối chóp
.S ABC
;;A B C
lần lượt là nm trên
;;SA SB SC
khi đó:
1. Nếu
;;A A B B C C
thì
.
.
S A B C A B C
S ABC ABC
VS
VS
(Hai khối chóp chung đỉnh và chung mặt đáy).
2. Định lý SIMSON cho khối chóp tam giác
.
.
..
S A B C
S ABC
V
SA SB SC
V SA SB SC
3. Cắt khối chóp bởi mặt phẳng song song với đáy sao cho
1
1
SB
k
SA
thì
12
12
. ...
3
. ...
n
n
S B B B
S A A A
V
k
V
B. Mặt phẳng cắt các cạnh của khối chóp tứ giác
.S ABCD
có đáy là hình bình hành
lần lượt ti
; ; ;M N P Q
:
; ; ;
SM SN SP SQ
α β γ λ
SA SB SC SD
:
.
.
. . .
1 1 1 1
4
S MNPQ
S ABCD
V
α β γ λ
V α β γ λ



1 1 1 1
α γ β λ
.
Tng Hp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên son: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 14
Ví d 1.4.1
Cho hình chóp
.S ABC
. Gọi lần lượt là trung điểm của
;;SA SB SC
. Tỉ số
thể tích bằng
A.
12
. B.
2
. C.
8
. D.
3
.
Li gii
Chn C
Ta có .
Ví d 1.4.2
Cho khối tứ diện có thể tích bằng . Gọi là thể tích của khối đa diện có
các đỉnh là các trung điểm của các cạnh của khối tứ diện đã cho, tính
V
V
.
A.
2
3
V
V
. B.
5
8
V
V
. C.
1
2
V
V
. D.
1
4
V
V
.
Li gii
Chn B
Cách 1.
Đặc biệt hóa tứ diện cho là tứ diện đều cạnh .
Hình đa diện cần tính có được bằng cách cắt góc
của tứ diện, mỗi góc cũng là một tứ diện đều có
cạnh bằng .
Do đó thể tích phần cắt bỏ là .
Vậy .
Cách 2.
Khối đa diện là hai khối chóp tứ giác có cùng đáy là hình bình hành úp lại.
Suy ra
Cách 3.
Ta có
.
,,M N P
.
.
S ABC
S MNP
V
V
2 2 2 8
.
.
. . . .
S ABC
S MNP
V
SA SB SC
V SM SN SP
V
V
a
4
2
a
4
82
.
VV
V


1
22
VV
V
V
1 1 1
2 4 4 4
2 4 2
. . .
. . . .
N MEPF N MEP P MNE
V V V V V V
. . . .
'
A QEP B QMF C MNE D NPF
V V V V V
V
VV
1
..
..
A QEP B QMF
C MNE D NPF
VV
VV
V V V V
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
. . . . . . . .
Tng Hp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên son: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 15
Ví d 1.4.3
Cho hình chóp . Gọi , , , theo thứ tự là trung điểm của
, , , . Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp
A.
1
16
. B.
1
4
. C.
1
8
. D.
1
2
.
Li gii
Chn C
Ta có .
.
Suy ra .
Ví d 1.4.4
Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi lần lượt là
trng tâm ca các tam giác . Gi là điểm bt k trên
mt phẳng đáy . Biết th tích khi chóp bng . Tính th
tích khi chóp .
A.
27
8
V
. B.
27
2
V
. C.
. D.
27
4
V
.
Li gii
Chn C
Ta có
//MNPQ ABCD
, 2 ,d S MNPQ d O MNPQ
..
22
S MNPQ O MNPQ
V V V
.
.
.
Ta có: .
Khi đó,
Nên .
.S ABCD
A
B
C
D
SA
SB
SC
SD
.S AB C D
.S ABCD
1
8
.
.
..
S A B D
S ABD
V
SA SB SD
V SA SB SD

1
16
.
.
S A B D
S ABCD
V
V

1
8
.
.
..
S B D C
S BDC
V
SB SD SC
V SB SD SC

1
16
.
.
S B D C
S ABCD
V
V

1 1 1
16 16 8
..
..
S A B D S B D C
S ABCD S ABCD
VV
VV
1
8
.
.
S A B C D
S ABCD
V
V

SABCD
, , ,M N P Q
, , ,SAB SBC SCD SDA
O
ABCD
OMNPQ
V
SABCD
2 2 2 8 8
3 3 3 27 27
. . . .
SMNQ
SMNQ SEFK
SEFK
V
SM SN SQ
VV
V SE SF SK
2 2 2 8 8
3 3 3 27 27
. . . .
SNPQ
SNPQ SFGK
SFGK
V
SN SP SQ
VV
V SF SG SK
8 8 8 27 27
27 27 27 8 4
SMNQ SNPQ SEFK SFGK SMNPQ SEFGK SEFGK SMNPQ
V V V V V V V V V
1
1 1 1
2
1
4 4 8
2
. .sin
. .sin
EBF
EBF ABC ABCD
ABC
BE BF B
S
S S S
S
BA BC B
4
EFGK ABCD ABF FCG GDK KAE ABCD EBF
S S S S S S S S
1
2
EFGK ABCD
SS
1
1 27
3
2
1
22
3
,
,
EFGK
SEFGK
SABCD SEFGK
SABCD
ABCD
d S EFGK S
V
V V V
V
d S ABCD S
Tng Hp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên son: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 16
Dng 1.5. Tng hiu thch
Trong quá trình tính th tích mt khối đa diện lng ghép trong khi chóp ta gặp khó khăn
vi cách tính thc tiếp thì khi đó:
Ta có th tách khi chóp ra thành các khi nh và tính trc tiếp tng khối đã tách.
Phn cn tính s là phn khi chóp b đi những khi nh đã tính.
Ví d: Cho khi chóp , chia khi chóp thành ; . Tính th tích khi .
Gii:
Để tính trc tiếp th tích khi ta s khó áp dng công thc vì thế ta s
ct khi chóp thành hai phn:
+ là phn chứa đỉnh .
+ là phần dưới mt phng .
Gi th tích khi chóp , vy .
Ví d 1.5.1
Cho tứ diện đều
ABCD
có cạnh bằng . Trên
AB
CD
lần lượt lấy các điểm
M
N
sao cho
0MA MB
2NC ND
. Mặt phẳng
P
chứa
MN
song song với
AC
chia khối tứ diện
ABCD
thành hai khối đa diện, trong đó khối
đa diện chứa đỉnh
A
có thể tích là
V
. Tính
V
.
A. . B. . C. . D. .
Li gii
Chn B
Từ kẻ ,
kẻ , . Mặt phẳng
Ta có
Ta có
Vậy .
.S ABCD
1
V
2
V
2
V
2
V
1
V
S
2
V
.S ABCD
V
1 2 2 1
V V V V V V
1
2
18
V
11 2
216
V
72
216
V
2
108
V
N
//NP AC
N AD
M
//MQ AC
Q BC
P
MPNQ
12
3 12
.
ABCD ABCD
V AH S
ACMPNQ AMPC MQNC MPNC
V V V V V
..
AMPC ABCD
AM AP
VV
AB AD
1 2 1
2 3 3
.
ABCD ABCD
VV
11
22
..
MQNC AQNC ABCD
CQ CN
V V V
CB CD

1 1 2 1
2 2 3 2
.
ABCD ABCD
VV
2 2 1
3 3 3
.
MPNC MPCD MACD
V V V
21
33
..
ABCD
AM
V
AB
2 1 1 1
3 3 2 9
.
ABCD ABCD
VV
1 1 1
3 6 9
ABCD
VV



11 11 2
18 216
ABCD
VV
Tng Hp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên son: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 17
Ví d 1.5.2
Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh ,
. Gọi là trung điểm , là điểm thuộc cạnh sao cho
. Tính thể tích của tứ diện .
A. . B. . C. . D. .
Li gii
Chn A
M là trung điểm SB, N là điểm thuộc cạnh SD:
nên
Ta có:
Lại có:
3
1
33
. . .
ABCD
a
V SA AB AD
33
6 12
. . .
;
S ABD S AOB S AOD
aa
V V V
Do đó: .
.S ABCD
ABCD
a
SA a
SA ABCD
M
SB
N
SD
2SN ND
V
ACMN
3
12
a
V
3
6
a
V
3
8
a
V
3
36
a
V
2SN ND
12
23
,
SM SN
SB SD

22
. . . . . .C AMN O AMN S ABD S AMN M AOB N AOD
V V V V V V
3
1 2 1 1
2 3 3 3 18
.
..
.
..
S AMN
S AMN S ABD
S ABD
V
SM SN a
VV
V SB SD
O
N
M
C
A
B
D
S
3
11
2 2 24
.
..
.
M AOB
M AOB S AOB
S AOB
V
MB a
VV
V SB
3
11
3 3 36
.
..
.
N AOD
N AOD S AOD
S AOD
V
ND a
VV
V SD
3 3 3 3 3
22
6 18 24 36 12
..C AMN O AMN
a a a a a
VV



Tng Hp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên son: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 18
A. LÝ THUYT CHUNG.
1. Định nghĩa:
Hình lăng trụ nh hai đáy hai đa giác bng nhau nm trên hai mt phng song
song vi nhau và các mặt bên đều là các hình bình hành.
Hình hp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.
2. Th tích khối lăng trụ.
Công thc tính th tích khi chóp:
.V S h
Trong đó:
S
là diện tích đáy
h
là chiu cao khi chóp
(khong cách t đỉnh đến mặt đáy).
Cách xác định đường cao lăng trụ:
Loại
Đưng cao
Cạnh bên vuông đáy
Hình 2.1
Đường cao chính là cạnh bên.
Lăng trụ đứng
Hình 2.1
Đường cao chính là cạnh bên.
Lăng trụ xiên
Hình 2.2
Đường cao hạ từ đỉnh xuống mặt đáy.
Lăng trụ có hình chiếu
Hình 2.3
Đường cao là hình chiếu vuông góc của 1 đỉnh xuống đáy.
TH TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
KHỐI ĐA DIỆN
Tng Hp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên son: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 19
B. CÁC DNG BÀI TP.
Dng 2.1. Th tích lăng trụ đứng
Áp dng công thc chính:
.V S h
.
Tính được diện tích đáy ta xem lại “Công thc tính diện tích đáy
Lăng tr đứng s các đường cao song song nhau, tùy vào trưng hợp đề ra ta s s
dụng đường cao hp lý.
Định nghĩa
Tính cht
nh lăng trụ
đứng
Là hình lăng trụ có cạnh
bên vuông góc với mặt đáy.
Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là các
hình chữ nhật và vuông góc với mặt đáy.
Hình lăng trụ đều
Là hình lăng trụ đứng có
đáy là đa giác đều.
Các mặt bên của hình lăng trụ đều các
hình chữ nhật bằng nhau vuông góc
với mặt đáy.
Ví d 2.1.1
Khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh đưng cao bng có th tích bng
A. . B. . C. . D. .
Li gii
Chn B
Ta có
Ví d 2.1.2
Cho hình lăng trụ đứng . Đáy là tam giác vuông cân
ti . Tính th tích ca khối lăng trụ đã cho.
A. . B. . C. . D. .
Li gii
Chn C
Theo gi thiết là lăng trụ đứng có đáy là tam
giác vuông cân ti .
Suy ra th tích ca khối lăng trụ
.
Ví d 2.1.3
Cho lăng trụ đứng
ABC
là tam giác vuông tại
A
;
2 ;BC a
0
30ABC
. Biết cạnh bên của lăng trụ bằng . Thể tích khối lăng trụ là.
A. . B. . C. . D. .
Li gii
Chn C
Xét
ABC
:
Ta có: .
Trong đó .
.
,a
3a
3
3
3
a
3
3a
3
23a
3
3
6
a
23
33. . .V S h a a a
.ABC A B C
AA a
ABC
A
AB a
V
3
3
a
V
3
6
a
V
3
2
a
V
3
Va
.ABC A B C
ABC
A
3
1
22
. . . .
ABC
a
V AA S AA AB AC

.ABC A B C
23a
3
23a
3
3a
3
3a
3
6a
2 30.sin ;AC a a
2 30 3.cos .AB a a
lt
V h S
23.h AA a

2
13
22
.
ABC
S AB AC a
Tng Hp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên son: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 20
Dng 2.2. Th tích lăng trụ xiên
Áp dng công thc chính:
.V S h
.
Tính được diện tích đáy ta xem lại “Công thc tính diện tích đáy
Lăng trụ xiên s có các đường cao đề ra c th.
Ví d 2.2.1
Cho lăng trụ t giác có đáy là hình vuông cnh và th
tích bng . Tính chiu cao ca lăng tr đã cho.
A. . B. . C. . D. .
Li gii
Chn D
Ta có: .
Ví d 2.2.2
Cho lăng trụ , đáy là tam giác đều cạnh . Độ dài cạnh bên bằng .
Mặt phẳng vuông góc với đáy và . Thể tích khối là:
A. . B. . C. . D. .
Li gii
Chn D
Gọi
H
là hình chiếu của
B
trên
BC
.
Từ giả thiết suy ra: .
.
Mặt khác: .
.
.
Ví d 2.2.3
Cho lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh bằng H là trọng
tâm, biết . Tính thể tích khối lăng trụ ?
A. . B. . C. . D. .
Li gii
Chn B
Ta có đều cạnh
Nên là tứ diện đều cạnh
Xét
A HA
: .
.ABCD AB C D
ABCD
a
3
3a
h
9ha
3
a
h
ha
3ha
.
.
ABCD A B C D ABCD
V S h
.ABCD A B C D
ABCD
V
h
S

3
2
3a
a
3a
.ABC A B C
a
4a
BCC B

30B BC

.ACC B

3
3
2
a
3
3
12
a
3
3
18
a
3
3
6
a
B H ABC
1
2
. .sin
BB C
S BB BC B BC

1
4 30
2
. .sinaa
2
a
1
2
.
BB C
S B H BC
2
BB C
S
BH
BC

2
2
2
a
a
a

.
LT ABC
V B H S
2
3
2
4
.
a
a
3
3
2
a
1
2
..A CC B A CC B B
VV
1 2 1
2 3 3
.
LT LT
VV
3
13
32
.
a
3
3
6
a
.ABC A B C
ABC
a
AA A B AC a
.ABC A B C
3
3
4
a
3
2
4
a
3
3
4
a
3
4
a
ABC
a
AA A B AC a
.A ABC
a
A H ABC
22
A H A A AH


6
3
a
1
60
2
. .sin
ABC
S a a
2
3
4
a
2
36
43
.ABC A B C
aa
V
3
2
4
a
Tng Hp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên son: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 21
Dng 2.3. Th tích khi lập phương – khi hp
Áp dng công thc chính:
.V S h
.
Định nghĩa
Tính cht
Hình hộp đứng
Là hình hộp có cạnh bên vuông
góc với mặt đáy
2 đáy hình bình hành, 4 mặt xung
quanh là 4 hình chữ nhật.
Hình hộp chữ nhật
Là hình hộp đứng có đáy là hình
chữ nhật.
Có 6 mặt là 6 hình chữ nhật.
Hình lập phương
Là hình hộp chữ nhật đáy và
mt bên đều là hình vuông
Có 6 mặt đều là hình vuông.
Đưng chéo hình hp vi là ba kích thước ca hình hp.
H qu: Đưng chéo hình lập phương vi là cnh ca hình lập phương.
Ví d 2.3.1
Tổng diện tích c mặt của một nh lập phương bằng 150. Thểch của khối
lập phương đó là.
A. . B. . C. . D. .
Li gii
Chn D
Gọi cạnh hình lập phương là . Ta có
.
Ví d 2.3.2
Tính theo a thể tích V của khối lập phương biết
A. . B. . C. . D. .
Li gii
Chn D
Ta có .
.
Ví d 2.3.3
Cho hình lập phương có diện tích tam giác bằng .
Tính thể tích V của hình lập phương.
A. . B. . C. . D. .
Li gii
Chn B
Giả sử cạnh của hình lập phương có độ dài là .
Ta có ,
.
.
2
4
222
d r c
;;d r c
3a
a
200
100
625
125
a
2
6 150 5aa
3
125Va
.ABCD AB C D
.AC a
3
27
a
V
3
3
3
a
V
3
33Va
3
3
9
a
V
3
3
a
AC AB AB
3
33
3
3
9
3 3 3
a a a
V AB



.ABCD AB C D
ACD
2
3a
3
33Va
3
22Va
3
Va
3
8Va
x
2AC x
22
6
2
x
OD OD A A

2
1 1 6 3
2
2 2 2 2
..
ACD
xx
S OD AC x
22
22
3
32
22
xx
a a x a
33
22V x a
Tng Hp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên son: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 22
Dng 2.4. Khối đa diện được ct ra t khối lăng trụ
A. Mt s mi liên h thường gp gia chóp lăng trụ và chóp th tích:
Mi liên h gia
Công thc
Hình minh ha
Chóp
Lăng tr
4 điểm thuộc mặt đáy
3 điểm thuộc mặt đáy
Chóp
Hình h
p
Với 3 điểm thuộc đáy và 1 điểm
thuc mt bên
Với 3 điểm thuc mt chéo
Với 4 điểm thuc mt bên
hoc mặt đáy
Với 4 điểm thuc mt chéo
5
2
3
d
.L Tr
C
VV
1
3
4d
.L Tr
C
VV
1
6
4d
Hop
C
VV
1
3
4d
Hop
C
VV
1
3
5d
Hop
C
VV
1
3
5d
Hop
C
VV
Tng Hp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên son: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 23
B. Mặt phẳng cắt các cạnh của khối lăng trụ tam giác lần lượt ti sao cho
:
C. Mặt phẳng cắt các cạnh của khối hộp lần lượt ti sao cho
:
.
Ví d 2.4.1
Hình lập phương cnh . Tính th tích khi t din .
A. B. C. D.
Li gii
Chn D
. . . .ACB D ABCDA B C D B ABC C B C D D ACD A A B D
V V V V V V
.
. . . .B ABC C B C D D ACD A A B D
V V V V
23
1 1 1 1
. . .
3 3 2 6
A B D
AA S a a a

.
.
. . . .B ABC C B C D D ACD A A B D
V V V V
Ví d 2.4.2
Cho hình lập phương cnh bng . Gi là giao điểm ca
. Th tích ca t din bng
A. B. C. D.
Li gii
Chn C
.ABC A B C
;;M N P
;;
AM BN CP
AA BB CC
3
.
.
ABC MNP
ABC A B C
V
V

.ABCD AB C D
; ; ;M N P Q
; ; ;
AM BN CP DQ
AA BB CC DD
4
.
.
ABCD MNPQ
ABCD A B C D
V
V
ABCDA B C D
a
ACBD

3
4
.
a
3
2
.
a
3
6
.
a
3
3
.
a
3
.ABCD A B C D
Va
3
33
4
63
ACB D
a
V a a

.ABCD AB C D
a
O
AC
BD
OA BC
3
6
a
3
4
a
3
12
a
3
24
a
3
1 1 2 2
6 6 2 2 12
. '.
. . . . .
O A BC A OBC
a a a
V V AA OBOC a
Tng Hp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên son: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 24
Ví d 2.4.3
Cho khối lăng trụ có thể tích bằng . Tính thể tích khối đa diện
.
A. B. C. D.
Li gii
Chn D
Ta có:
Ví d 2.4.4
Cho khối lăng trụ có thể tích là . Gọi là điểm bất kỳ trên đường
thẳng . Tính thể tích khối chóp theo .
A. B. C. D.
Li gii
Chn A
Gọi , là đường cao của ,
thì là đường cao của .
1 . 2
11
.
33
ABC M ABB A A B C
h S V S h
3
1 2 .
11
36
ABC M ABB A
S h h V a

.
2
3
M ABB A
V
V


Ví d 2.4.5
Khối lăng trụ . Mt chia khi lăng
tr thành khối đa diện. Tính th tích khi cha mt là hình bình hành
A. B. C. D.
Li gii
Chn A
Gi , .
Ta có .
.
Li có .
.
Vy .
.ABC A B C
V
ABCB C

2
3
V
2
V
4
V
3
4
V
2
3 3 3
ABCB C B ABC C B AC
V V V
V V V
.ABC A B C
V
M
CC
.M ABB A
V

V
2
V
2
9
V
2
3
V
3
V
1
h
2
h
.M ABC
.M AB C
12
h h h
.ABC A B C
. . .M ABC M ABB A M A B C
V V V V
.ABC A B C
3
36 cmV
AB C

A BC
4
BCC B

3
15 cm
3
9 cm
3
12 cm
3
18 cm
I AB A B


J A C AC


' ' . ' ' .IJBB C C A BB C C A BCIJ
V V V
. . .A A B C A BCC B ABC A B C
V V V

2
3
..A BCC B ABC A B C
VV

2
24
3
V
1 1 1
36 3
4 4 3
.
.
.
. . .
A IJA
A IJA
A A B C
V
AI AJ
V
V AB AC

1
36 3 9
3
. . .
.
A IJBC A ABC A IJA
V V V

3
24 9 15
''
cm
IJBB C C
V
Tng Hp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên son: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 25
Dng 2.5. Max min th tích
BĐT
Bunyakovsky
Dng
Dấu “=” xảy ra khi
BĐT
AM GM
Khảo sát hàm
số trên khoảng
xác định
Tính đạo hàm ri lp BBT, t đó kết lun theo yêu cu bài toán.
Ví d 2.5.1
Cho hình chóp có đáy là hình ch nht vi , cnh bên
vuông góc vi mt phẳng đáy . Tính th tích ln nht
ca khối chóp đã cho.
A. B. C. D.
Li gii
Chn A
Cách 1.
Đặt cnh
Δ
Δ
Din tích hình ch nht
Th tích khi chóp
Áp dụng BĐT Côsi: .
Suy ra
Du xy ra . Vy
Cách 2. Xét hàm s trên
Ví d 2.5.2
Cho hình chóp có đáy là tam giác đều và có . Tính
th tích ln nht ca khối chóp đã cho.
A. B. C. D.
Li gii
Chn C
2
2 2 2 2
a b c d ac bd
ab
cd
2
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2
... ... ...
n n n n
a a a b b b a b a b a b
12
12
...
n
n
a
aa
b b b
2
ab
ab
ab
12
12
1
...
. .....
n
n
n
a a a
a a a n
n

12
...
n
a a a
.S ABCD
ABCD
4AB
SA
ABCD
6SC
max
V
40
3
max
.V
80
3
max
.V
20
3
max
.V
24
max
.V
0.BC x
,ABC
22
16 .AC x
,SAC
2 2 2
20 .SA SC AC x
4..
ABCD
S AB BC x
2
14
20
33
.
..
S ABCD ABCD
V S SA x x
2
22
2
20
20 10
2
.
xx
xx

4 40
10
33
.
..
S ABCD
V 
""
2
20 10x x x
40
3
max
V
2
4
20
3
f x x x
0 2 5;.
.S ABC
ABC
1SA SB SC
max
V
1
6
max
.V
2
12
max
.V
3
12
max
.V
1
12
max
.V
Tng Hp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên son: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 26
Gi là tâm đường tròn ngoi tiếp tam giác đều
là hình chóp đều .
Đặt Diện tích tam giác đều
Gi là trung điểm
BC
3 2 3
2 3 3
xx
AM OA AM
ΔSOA
:
Khi đó
Xét hàm trên , ta được
Cách 2. Ta có
Ví d 2.5.3
Cho hình chóp có đáy là hình ch nht vi
mt bên là tam giácn ti và nm trong mt phng vuông góc với đáy.
Tính th tích ln nht ca khối chóp đã cho.
A. B. C. D.
Li gii
Chn D
Gi là trung điểm ca
Gi s . Suy ra
Tam giác vuông
Khi đó
Ví d 2.5.4
Người ta cn trang trí mt kim t tháp hình chóp t giác đều cnh bên
bng , góc bằng đường gấp khúc dây đèn led vòng quanh kim
t tháp . Trong đó đim c định và (tham kho hình
v). Hỏi khi đó cần dung ít nhất bao nhiêu mét dây đèn led để trang trí?
A. mét. B. mét.
C. mét. D. mét.
O
.ABC
.S ABC
SO ABC
0.AB x
2
3
4
.
ABC
x
S
M
2
22
1
3
.
x
SO SA OA
22
22
1 1 3 3 1
3
3 3 4 12
3
.
. . . .
S ABC ABC
xx
V S SO x x
22
1
3
12
.f x x x
03;
03
1
2
6
;
max .f x f
3
2 2 2
2 2 2 2 2
1 1 6 2
3 6 2 2
3
22
. . .
x x x
x x x x x



.S ABCD
ABCD
46,AB SC
SAD
S
max
V
40
3
max
.V
40
max
.V
80
max
.V
80
3
max
.V
H
.AD SH AD
.SAD ABCD SH ABCD
0AD x
2
22
16
4
.
x
HC HD CD
,SHC
2
22
20
4
.
x
SH SC HC
11
33
.
. . .
S ABCD ABCD
V S SH AB ADSH
2
2 2 2
1 1 1 80
4 20 2 80 80
3 4 3 3 3
. . .
x
x x x x x
.S ABCD
200m
15ASB 
AEFGHIJKLS
L
40mLS
40 67 40
20 111 40
40 31 40
40 111 40
Tng Hp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên son: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 27
Li gii
Chn C
Ta s dụng phương pháp trải đa diện
Ct hình chóp theo cnh bên ri tri ra mt phng hai ln, ta có hình v sau
T đó suy ra chiều dài dây đèn led ngắn nht là bng .
T gi thiết v hình chóp đều ta có .
Ta có .
Nên .
Vy, chiều dài dây đèn led cần ít nht là mét.
Ví d 2.5.5
Cho hình chóp có đáy là hình bình hành và có thể tích là . Điểm
trung điểm ca . Mt mt phng qua ct hai cnh và lần lượt ti
. Gi là th tích ca khi chóp . Tìm giá tr nh nht ca
A. B. C. D.
Li gii
Chn A
Đặt , , .
Ta có
(1)
Li có
(2).
Suy ra .
T điu kin , ta có , hay .
SA
AL LS
.S ABCD
120ASL 
2 2 2 2 2
2 200 40 2 200 40 120 49600. .cos . . .cosAL SA SL SASL ASL
49600 40 31AL 
40 31 40
.S ABCD
V
P
SC
AP
SB
SD
M
N
1
V
.S AMPN
1
V
V
1
3
1
8
2
3
3
8
SM
x
SB
SN
y
SD
01,xy
1
..S AMP S ANP
VV
V
VV
22
..
..
S AMP S ANP
S ABC S ADC
VV
VV

1
2
..
SM SP SN SP
SB SC SD SC




1
4
xy
1
..S AMN S PMN
VV
V
VV
22
..
..
S AMN S PMN
S ABD S CBD
VV
VV

1
2
. . .
SM SN SM SN SP
SB SD SB SD SC




3
4
xy
13
44
x y xy
3x y xy
31
x
y
x

01y
1
31
x
x
1
2
x
Tng Hp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên son: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 28
Thay vào (2) ta được t s th tích .
Đặt , ta có , .
, , do đó .
Ví d 2.5.6
Cho hình hộp chữ nhật . Gọi
trung điểm của , mặt phẳng đi qua và cắt các tia tương
ứng tại ba điểm phân biệt . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A. B. C. D.
Li gii
Chn C
Đặt .
ta có
Ta có
Do không đồng phẳng nên .
2
1
3
4 3 1
.
V
x
Vx
2
31
1
4 3 1 2
. , ;
x
f x x
x




2
2
3 3 2
4
31
.
xx
fx
x
0
0
2
3
()
()
xL
fx
xN

13
1
28
ff




21
33
f



1
1
1
2
;
min min
x
V
fx
V



21
33
f




.ABCD AB C D
23,,AB a AD a AA a
G
BD
P
G
,,AD CD D B
,,H I K
2 2 2
1 1 1
' ' '
T
D H D K D I
2
1
3
T
a
2
4
T
a
2
4
3
T
a
2
1
12
T
a
,,
D H D I D K
x y z
D A D C D B
1 1 1 1
2 2 2 2
D G D B D A D C D D
D H xD A x D D D A
1
D H D D D A
x
D I yD C y D D D C
1
D I D D D C
y
D K zD A z D A D C
1
D K D A D C
z
1 1 1
4 4 4
D G D H D I D K
x y z
, , ,DG DH DI DK
1 1 1
1
4 4 4xyz
4
D A D C D B
D H D I D K
2
2 2 2 2
2 2 2
1 1 1
4
D A D C D B
D A D C D B
D H D I D K
D H D I D K
2 2 2 2 2
16 16 4
12 3
T
D A D C D B a a

Tng Hp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên son: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 29
Ví d 2.5.7
Cho hình chóp . Mt mt phng song song mặt đáy cắt các cnh
lần lượt ti . Gi lần lượt là hình chiếu ca
lên mặt đáy. Tìm t s để th tích khối đa điện
.MNPQ M N P Q
ln nht.
A. B. C. D.
Li gii
Chn B
Đặt . Suy ra .
Gi là chiu cao
.S ABCD
.MNPQ M N P Q
.
Do nên
SM MN MN
x MN xAB
SA AB AB
.
Tương tự ta có
Ta có (
Δ ~ ΔMNP ABC
)
Mt khác
Ta có
Do không thay đổi nên
.
max
MNPQ M N P Q
V


2
max
1 xx



.
Ta có
Du xy ra khi và ch khi .
----------Hết----------
.S ABCD
; ; ;SA SB SC SD
, , ,M N P Q
', ', ', 'M N P Q
, , ,M N P Q
SM
SA
3
4
SM
SA
2
3
SM
SA
1
2
SM
SA
1
3
SM
SA
SM
x
SA
SN SP SQ
x
SB SC SD
,'hh
//MN AB
.BC x NP
22
.
MNP ABC MNPQ ABCD
S x S S x S
11
' ' '
'
AM h SA SM h h
x h x h
AS h SA h h
22
11
. ' ' ' '
'. . . . .
MNPQ M N P Q MNPQ ABCD ABCD
V h S x h x S x x hS
,
ABCD
hS
3
2
1
22
4
1 4 1 4
2 2 27 27
..
xx
x
xx
x x x



2
1
23
x
xx
| 1/31

Preview text:

TÀ T I À I L I L Ệ I U Ệ U D À D N À H N H C H C O H O K H K ỐI Ố 1 2 1 Mục lục
Chủ đề 01. HÌNH ĐA DIỆN – KHỐI ĐA DIỆN
Chủ đề 02. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
Dạng 1.1. Chóp có cạnh bên vuông góc với đáy ................................................................. 9
Dạng 1.2. Chóp có mặt bên vuông góc với đáy ................................................................. 10
Dạng 1.3. Chóp đều ..................................................................................................................... 11
Dạng 1.4. Tỷ số thể tích ............................................................................................................. 13
Dạng 1.5. Tổng hiệu thể tích .................................................................................................... 16
Chủ đề 03. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
Dạng 2.1. Thể tích lăng trụ đứng ............................................................................................ 19
Dạng 2.2. Thể tích lăng trụ xiên ............................................................................................. 20
Dạng 2.3. Thể tích khối lập phương – khối hộp ................................................................... 21
Dạng 2.4. Khối đa diện được cắt ra từ khối lăng trụ ........................................................ 22
Dạng 2.5. Max – min thể tích ................................................................................................... 25
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024 KHỐI ĐA DIỆN
HÌNH ĐA DIỆN – KHỐI ĐA DIỆN A. LÝ THUYẾT CHUNG.
1. Khái niệm về hình đa diện – khối đa diện.
Hình lăng trụ, hình chóp ta thấy chúng là những hình không gian được tạo bởi hữu hạn đa giác.
Các đa giác ấy có tính chất: 
Hai đa giác phân biệt chỉ có thể:
hoặc không giao nhau, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.

Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.
Mỗi đa giác như thế được gọi là một mặt của hình đa diện
H .
Các đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo thứ tự gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện H
2. Khái niệm về khối đa diện.
Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi 1 hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.
Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện.  Điểm trong:
Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không
thuộc
hình đa diện giới hạn khối đa diện ấy.
Miền trong khối đa diện:
Là tập hợp các điểm trong.
Miền ngoài khối đa diện:
Là tập hợp các điểm ngoài.
Mỗi đa diện chia các điểm còn lại của không gian thành hai
miền không giao nhau: miền trongmiền ngoài.
Trong đó chỉ có duy nhất miền ngoài là chứa hoàn toàn một
đường thẳng d nào đấy.
Khối đa diện  H  là hợp của hình đa diện  H  và miền trong của nó.
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 2
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024 3. Phép biến hình.
Phép biến hình trong không gian:
Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M’ xác định
duy nhất được gọi là một phép biến hình trong không gian.
Phép dời hình :
Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo
toàn khoảng cách giữa hai điểm tùy ý.  Nhận xét:
Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình.
Phép dời hình biến:
(+) Một đa diện H thành một đa diện H ,
(+) Các đỉnh, cạnh, mặt của H thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của H .
Phép dời hình tịnh tiến theo vector v : là phép biến hình
biến điểm M thành M sao cho MM  v .
Phép đối xứng qua mặt phẳng P: là phép biến hình
biến mọi điểm thuộc P thành chính nó,
biến điểm M P thành điểm M
sao cho P là mặt phẳng trung trực của MM .
Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng P biến hình H thành chính nó
thì P được gọi là mặt phẳng đối xứng của H.
Phép đối xứng tâm O : là phép biến hình
biến điểm O thành chính nó,
biến điếm M khác O thành điểm M
sao cho O là trung điểm của MM .
Nếu phép đối xứng tâm O biến hình H thành chính nó
thì O được gọi là tâm đối xứng của H.
Phép đối xứng qua đường thẳng d : là phép biến hình
biến mọi điểm thuộc d thành chính nó,
biến điểm M d thành điểm M
sao cho d là trung trực của MM .
Nếu phép đối xứng qua đường thẳng d biến hình H thành chính nó
thì d được gọi là trục đối xứng của H.
Phép đối xứng qua đường thẳng d còn được gọi là phép đối xứng qua trục d .
4. Hai hình bằng nhau.
Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia. Nhận xét:
Hai đa diện được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình đa diện này thành hình đa diện kia.
Hai tứ diện có các cạnh tương ứng bằng nhau thì bằng nhau.
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 3
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
5. Phân chia và lắp ghép khối đa diện.
Nếu khối đa diện H là hợp của hai khối đa diện H ; H , sao cho H và H 2  1  1   2 
không có điểm trong chung thì ta nói:
(+) có thể chia được khối đa diện H thành hai khối đa diện H và H , 2  1 
(+) có thể lắp ghép được hai khối đa diện H và H với nhau để được khối đa diện H. 2  1   Ví dụ.
Xét khối lập phương ABC . D A BCD   . Mặt BDD B
  cắt khối lập phương đó theo một thiết diện là hình chữ nhật BDD B   .
Thiết diện này chia các điểm còn lại của khối lập phương ra làm hai phần.
Mỗi phần cùng với hình chữ nhật BDD B
  tạo thành khối lăng trụ, như vậy có hai khối lăng trụ: AB . D A BD   và BC . D B CD  . 
Khi đó ta nói mặt phẳng P chia khối lập phương ABC . D A BCD   thành hai khối lăng trụ AB . D A BD   và BC . D B CD  .
Tương tự trên ta có thể chia tiếp khối trụ AB . D A BD
  thành ba khối tứ diện: ADBB , ADB D   và AA BD   .  Nhận xét:
Một khối đa diện bất kì luôn có thể phân chia được thành các khối tứ diện.
6. Khối đa diện lồi.
Khối đa diện H được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của
H luôn thuộc H. Khi đó đa diện giới hạn H được gọi là đa diện lồi.  Lưu ý:
Một khối đa diện là khối đa diện lồi khi
và chỉ khi miền trong của nó luôn nằm
về một phía đối với mỗi mặt phẳng đi
qua một mặt của nó. (Hình 6.1)
Công thức ƠLE:
Trong một đa diện lồi nếu gọi Đ là số
đỉnh, C là số cạnh, M là số mặt
Tức là: Đ – C + M=2
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 4
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
7. Khối đa diện đều. Định nghĩa:
Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có các tính chất sau:
(1) Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh.
(2) Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt.
Khối đa diện đều như vậy được gọi là khối đa diện đều loại p;  q .  Nhận xét:
Các mặt của khối đa diện đều là những đa giác đều và bằng nhau.  Định lý:
Chỉ có năm loại khối đa diện đều. loại 3;  3 , loại 3;  4 , loại 4;  3 , loại 5;  3 , và loại 3;  5 .  Nhận xét:
Hai khối đa diện đều có cùng số mặt và có cạnh bằng nhau thì bằng nhau.
Hai khối đa diện đều có cùng số mặt thì đồng dạng với nhau.  Ví dụ.
 Quan sát khối tứ diện đều (Hình 7.1),
ta thấy các mặt của nó là những tam giác đều,
mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng 3 mặt.
 Quan sát khối lập phương (Hình 7.2),
ta thấy các mặt của nó là những hình vuông,
mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung đúng 3 mặt.
Những khối đa diện nói trên được gọi là khối đa diện đều
Bảng tóm tắt của năm loại khối đa diện đều
Khối đa diện đều
Số đỉnh Số cạnh Số mặt Ký hiệu p;  q Tứ diện đều 4 6 4 3; 3 Khối Lập Phương 8 12 6 4; 3
Khối Tám Mặt Đều 6 12 8 3;  4
Khối Mười Hai Mặt Đều 20 30 12 5; 3
Khối Hai Mươi Mặt Đều 12 30 20 3; 5
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 5
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024 KHỐI ĐA DIỆN
THỂ TÍCH KHỐI CHÓP A. LÝ THUYẾT CHUNG. 1. Định nghĩa:
Hình chóp là hình có đáy là một đa giác, các mặt bên là tam giác có chung một đỉnh.
2. Thể tích khối chóp.
Công thức tính thể tích khối chóp: Trong đó: 1 S V  . S h là diện tích đáy 3
h là chiều cao khối chóp
(khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy).
Cách xác định đường cao khối chóp: Loại Đường cao Cạnh bên vuông đáy
Đường cao chính là cạnh bên. Hình 1.1
Hai mặt bên vuông đáy Đường cao là giao tuyến của hai mặt bên vuông góc đáy. Hình 1.2 Mặt bên vuông đáy
Đường cao của mặt bên vuông góc đáy. Hình 1.3 Chóp đều
Đường cao hạ từ đỉnh đến tâm đa giác đáy. Hình 1.4
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 6
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
4. Công thức tính diện tích đáy.
Ta có các đa giác thường gặp sau: 1 1 1 S  . a h  . b h  . c h 2 a 2 b 2 c 1 1 1 S  . a h  . b h  . c h 2 a 2 b 2 c Tam giác 1 1 1 S b . a sin A  c . a sin B  b . a sin C 2 2 2 abc 2 S   2R .sin A.sin . B sinC 4R
với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC .  S . p r p r
với là nửa chu vi và là bán kính đường tròn nội tiếp ΔABC
a b c
S pp ap bp c với p  2 1 2 2 hoặc S a b 2   2 c ca b       4    
Tam giác vuông ΔABC vuông tại A : 1 1 S A . B AC BC.AH . 2 2 Tam giác đều
ΔABC đều, cạnh AB : S   AB2 3 . ; 4 3
Chiều cao tam giác đều h A . B . 2 Hình vuông cạnh AB
Diện tích hình vuông ABCD :   2 S AB Hình chữ nhật
Diện tích hình chữ nhật ABCD :S A . BCD Hình bình hành
Diện tích hình bình hành ABCD :S A . B A . D sin BAD Hình thoi 1
Diện tích hình thoi ABCD :S A . B A . D sin BAD AC.BD 2 Hình thang 1
Diện tích hình thang ABCD :S   AB CD.h 2 1
Tứ giác có hai đường chéo vuông góc: S AC.BD 2
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 7
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
5. Tỷ số diện tích.
Ta có các tỷ số thường gặp sau:
AM trung tuyến, S đặt SS 
S S  . ABC 1 2 2 G là trọng tâm, S đặt SS 
S S S  . ABC 1 2 3 3
BM MN NC S đặt SS 
S S S  . ABC 1 2 3 3
M; N; F lần lượt là trung điểm A ; B AC; BC S đặt SS 
S S S S  . ABC 1 2 3 4 4 S SS 
S S S S ABCD 1 2 3 4 4 S AM AN AMN  . S AB AC ABC
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 8
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024 B. CÁC DẠNG BÀI TẬP.
Dạng 1.1. Chóp có cạnh bên vuông góc với đáy
 Đây là dạng dễ xác định được đường cao (h).  1
Áp dụng công thức: V  . S h 3  Ví dụ 1.1.1 Cho khối chóp .
S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Biết SA vuông góc
với  ABCD và SA a 3 . Thể tích của khối chóp . S ABCD là: 3 a 3 a 3 A. . B. 3 a 3 . C. . D. 3 3a . 4 3 Lời giải Chọn C S 3 1 a 3
Thể tích khối chóp V  .S .SA  3 ABCD 3 A D B CVí dụ 1.1.2 Cho khối chóp .
S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB a, BC  2a . Cạnh
bên SA vuông góc với đáy và SA a 2 . Thể tích của khối chóp . S ABCD là: 3 2a 3 3 a 2 3 2a 2 A. . B. 3 a 2 2 . C. . D. . 3 2 3 Lời giải Chọn D Diện tích đáy: 2 SA . D BC  2a . ABCD 3 1 2a 2
Thể tích: V  .S .SA  . 3 ABCD 3  Ví dụ 1.1.3 Cho khối chóp .
S ABCD có đáy ABCD là hình vuông canh a . Cạnh bên SA
vuông góc với đáy và SA  2a. Thể tích của khối chóp . S BCD là: 3 a 5 3 a 3 a 3 2a A. . B. . C. . D. . 3 3 2 3 Lời giải Chọn B 2 1 a Ta có: SS  . BCD 2 ABCD 2 3 1 a Suy ra V  .S .SA  . 3 BCD 3
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 9
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
Dạng 1.2. Chóp có mặt bên vuông góc với đáy
 Khối chóp có mặt bên vuông góc mặt phẳng đáy.  1
Áp dụng công thức: V  . S h . 3
 Chiều cao khối chóp là đoạn thẳng từ đỉnh của chóp ta kẻ vuông góc vào giao tuyến
của mặt bên và mặt đáy.
 Một số kiểu thường gặp:
 Mặt bên SAB vuông với đáy ABCD và SAB là tam giác x 3
đều cạnh x SH  ABCD  h SH  với H là trung 2 điểm AB .
 Mặt bên SAB vuông với đáy ABCD và SAB là tam giác
cân tại S SH  ABCD  h SH với H là trung điểm AB .  Ví dụ 1.2.1 Hình chóp .
S ABCD đáy là hình chữ nhật có AB  2a 3; AD  2a . Mặt bên SAB
là Δ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối . S ABD là. 2 3 A. 3 a . B. 3 4 3a . C. 3 4a . D. 3 2 3a . 3 Lời giải Chọn D
Gọi H là trung diểm của AB SH  ABCD . 2a 3  3
ΔSABlà Δ đều cạnh 2a 3 nên SH   3a . 2 1 1 1 Vậy 3
V  SH S
 3a 2a 3 2a  2 3a . 3 ABD 3 2  Ví dụ 1.2.2 Cho hình chóp .
S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; hình chiếu của S trên  3a
ABCD trùng với trung điểm của cạnh ;
AB cạnh bên SD  . Thể tích của khối 2 chóp .
S ABCD tính theo a bằng: 2 1 A. 3 a . B. 3 2 2a . C. 3 a . D. 3 a . 3 3 Lời giải Chọn D
Gọi H là trung điểm của AB nên SH  ABCD . a Lại có 2 2 5
DH AD AH  . 2 Xét ΔSDH : 2 2
SH SH DH a 1 1 3  V  .S .SH a 3 ABCD 3
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 10
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
Dạng 1.3. Chóp đều
 Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau.  1
Áp dụng công thức: V  . S h . 3
 Chiều cao khối chóp là đoạn thẳng từ đỉnh chóp hạ vuông góc xuống tâm mặt đáy.
 Một số kiểu thường gặp:  Chóp đều .
S ABCD, góc giữa mặt phẳng bên và mặt đáy là
hoặc góc giữa cạnh bên và mặt đáy là .  Chóp đều .
S ABC , góc giữa mặt phẳng bên và mặt đáy là hoặc góc giữa cạnh bên và mặt đáy là .
Một số công thức tính nhanh:
Chóp đều cạnh x , đáy là tam giác V  x3 2 . 12
Chóp đều cạnh x , đáy là tứ giác V  x3 2 . 6
y2 3x2 y2
Chóp đều, cạnh bên bằng x , đáy là tam giác cạnh y . V 12
y2 4x2 2y2
Chóp đều, cạnh bên bằng x , đáy là tứ giác cạnh y . V 6 x3
Chóp đều, các mặt bên cùng tạo với đáy góc φ , đáy là tam giác cạnh x . tan φ V 24 x3
Chóp đều, các mặt bên cùng tạo với đáy góc φ , đáy là tứ giác cạnh x . tan φ V 6  Ví dụ 1.3.1
Tính chiều cao của hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng b? 2 2 4b  2a 2 2 4b  2a 2 2 4b a 2 2 4b a A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Lời giải Chọn B
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 11
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
Gọi H là tâm hình vuông ABCD ,
Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SH  ABCD . 2 2 2  a  4b  2a Ta có 2 2 2
SH SC HC b     .  2  2  Ví dụ 1.3.2
Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng b là: 2 2 2 a 4b  2a 2 2 2 a b  2a 2 2 2 a 4b  2a 2 2 2 a 4b a A. . B. . C. . D. . 6 6 6 6 Lời giải Chọn A .
S ABCD là chóp tứ giác đều nên SO  ABCD .
BD là đường chéo hình vuông cạnh a nên a 2
BD a 2  OB  . 2 2 2 2  a  4b  2a Ta có 2 2 2
SO SB OB b     .  2  2 2 2 2 2 2 1 1 4b  2a a 4b  2a 2
V  .SH.S  . .a  . 3 ABCD 3 2 6  Ví dụ 1.3.3
Một hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng b và cạnh bên tạo với mặt phẳng
đáy một góc . Thể tích của hình chóp đó là 3 3 A. 3 b cos sin . B. 3 2 b sin cos . 4 4 3 3 C. 3 2 b cos sin . D. 3 2 b cos sin . 4 4 Lời giải Chọn D S
H SAsin  bsin
Xét SHA vuông tại H : 
AH SA cos   b cos 3 3
AM AH bcos . 2 2 AB 3 2AM Mà: AM   AB   3 cos . 2 3 1 V  .SH.S S.ABC 3 ABC 3  3 . b cos 1 α2 3 3 2  . b sin . αb cos . α sin α 3 4 4
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 12
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
Dạng 1.4. Tỷ số thể tích
 Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau.  1
Áp dụng công thức: V  . S h . 3
A. Cho khối chóp .
S ABC A; B;C lần lượt là nằm trên SA;SB;SC khi đó:
1. Nếu A A; B B;C C thì V    S S.A B C A BC   
(Hai khối chóp chung đỉnh và chung mặt đáy). V S S.ABC ABC
2. Định lý SIMSON cho khối chóp tam giác V       SA SB SC S.A B C  . . V SA SB SC S.ABC SB
3. Cắt khối chóp bởi mặt phẳng song song với đáy sao cho 1  k thì SA1
VS.B B ...B 1 2 n 3  k
VS.A A ...A 1 2 n
B. Mặt phẳng cắt các cạnh của khối chóp tứ giác .
S ABCD có đáy là hình bình hành SM SN SP SQ
lần lượt tại M; N; P;Q :α;  β;  γ;  λ : SA SB SC SD V   S.MNPQ . α . β . γ λ 1 1 1 1  1 1 1 1
     và    . V 4  α β γ λ α γ β λ S.ABCD
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 13
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024 Ví dụ 1.4.1 Cho hình chóp .
S ABC . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của S ; A S ; B SC . Tỉ số V
thể tích S.ABC bằng VS.MNP A. 12 . B. 2 . C. 8 . D. 3 . Lời giải Chọn C V SA SB SC Ta có S.ABC  . .  2 2 . 2 .  8 . V SM SN SP S.MNPVí dụ 1.4.2
Cho khối tứ diện có thể tích bằng V . Gọi V là thể tích của khối đa diện có V
các đỉnh là các trung điểm của các cạnh của khối tứ diện đã cho, tính . V V  2 V  5 V  1 V  1 A.  . B.  . C.  . D.  . V 3 V 8 V 2 V 4 Lời giải Chọn B Cách 1.
Đặc biệt hóa tứ diện cho là tứ diện đều cạnh a .
Hình đa diện cần tính có được bằng cách cắt 4 góc
của tứ diện, mỗi góc cũng là một tứ diện đều có a cạnh bằng . 2 V V
Do đó thể tích phần cắt bỏ là V   4.  . 8 2 V V  1 Vậy V     . 2 V 2 Cách 2.
Khối đa diện là hai khối chóp tứ giác có cùng đáy là hình bình hành úp lại. 1 1 1
Suy ra V   2V  4.V  4.V
 4. . V V N.MEPF N.MEP P.MNE 2 4 2 Cách 3. V ' V VVVV Ta có A.QEP B.QMF C.MNE D.NPFV V V V V V  1 A.QEP B.QMF C.MNE D.NPF     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 . .  . .  . .  . .  . V V V V 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 14
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024 Ví dụ 1.4.3 Cho hình chóp .
S ABCD . Gọi A , B , C , D theo thứ tự là trung điểm của
SA , SB, SC , SD. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp . S A BCD   và . S ABCD A. 1 . B. 1 . C. 1 . D. 1 . 16 4 8 2 Lời giải Chọn C V       SA SB SD 1 V
Ta có S.A B D  . .     1 S.A B D   . V SA SB SD 8 V 16 S.ABD S.ABCD V       SB SD SC 1 VS.B D C  . .     1 S.B D C   . V SB SD SC 8 V 16 S.BDC S.ABCD
V    V    1 1 1 V Suy ra S.A B D S.  BDC        1 S.A B C D   . V V 16 16 8 V 8 S.ABCD S.ABCD S.ABCDVí dụ 1.4.4
Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P,Q lần lượt là
trọng tâm của các tam giác SAB,SBC,SCD,SDA . Gọi O là điểm bất kỳ trên
mặt phẳng đáy ABCD . Biết thể tích khối chóp OMNPQ bằng V . Tính thể
tích khối chóp SABCD . 27 27 9 27 A. V . B. V . C. V . D. V . 8 2 4 4 Lời giải Chọn C
Ta có MNPQ// ABCD
dS,MNPQ  2dO,MNPQ  V  2V  2V S.MNPQ O.MNPQ VSMNQ SM SN SQ 2 2 2 8 8  . .  . .   VV . V SE SF SK 3 3 3 27 SMNQ 27 SEFK SEFK VSNPQ SN SP SQ 2 2 2 8 8  . .  . .   VV . V SF SG SK 3 3 3 27 SNPQ 27 SFGK SFGK 8 8 8 27 27  VVVVVVV VV . SMNQ SNPQ 27 SEFK 27 SFGK SMNPQ 27 SEFGK SEFGK 8 SMNPQ 4 1 B . E BF.sin B S 1 1 1 Ta có: EBF 2    SSS EBF ABC ABCD . S 1 4 4 8 ABC B . A BC.sin B 2 Khi đó, SSSSSSS  1 SSS EFGK ABCDABF FCG GDK KAE 4 ABCD EBF EFGK 2 ABCD
1 dS,EFGKSEFGK V 1 27 Nên SEFGK 3    V  2VV SABCD SEFGK . V 1 SABCD
dS,ABCD 2 2 S 3 ABCD
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 15
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
Dạng 1.5. Tổng hiệu thể tích
 Trong quá trình tính thể tích một khối đa diện lồng ghép trong khối chóp ta gặp khó khăn
với cách tính thực tiếp thì khi đó:
 Ta có thể tách khối chóp ra thành các khối nhỏ và tính trực tiếp từng khối đã tách.
 Phần cần tính sẽ là phần khối chóp bỏ đi những khối nhỏ đã tính.
Ví dụ: Cho khối chóp .
S ABCD ,   chia khối chóp thành V V V 1 ; 2 . Tính thể tích khối 2 .  Giải:
Để tính trực tiếp thể tích khối V2 ta sẽ khó áp dụng công thức vì thế ta sẽ
cắt khối chóp thành hai phần: + V S 1 là phần chứa đỉnh . + V  
2 là phần dưới mặt phẳng .
Gọi thể tích khối chóp .
S ABCD V , vậy V V V V V V . 1 2 2 1  Ví dụ 1.5.1
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1 . Trên AB CD lần lượt lấy các điểm
M N sao cho MA MB  0 và NC  2
ND . Mặt phẳng P chứa MN
song song với AC chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối
đa diện chứa đỉnh A có thể tích là V . Tính V . 2 A. V  11 2 . B. V  7 2 . C. V  2 . D. V  . 18 216 216 108 Lời giải Chọn B
Từ N kẻ NP//AC , N AD
M kẻ MQ//AC , Q BC . Mặt phẳng P là MPNQ 1 2 Ta có VAH.SABCD ABCD 3 12 V VVVV ACMPNQ AMPC MQNC MPNC AM AP Ta có V  1 2 1 . .V  . VV AMPC ABCD AB AD 2 3 ABCD 3 ABCD 1 1 CQ CN VV  1 1 2 1 . .V  . VV MQNC 2 AQNC 2 ABCD CB CD 2 2 3 ABCD 2 ABCD 2 2 1 AM VV  2 1 . V  2 1 1 1 . .V  . VV MPNC 3 MPCD 3 3 MACD 3 3 ABCD AB 3 3 2 ABCD 9 ABCD  1 1 1  11 11 2 Vậy V     VV V  .  3 6 9 ABCD  18 ABCD 216
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 16
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024 Ví dụ 1.5.2 Cho hình chóp .
S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA a
SA   ABCD . Gọi M là trung điểm SB , N là điểm thuộc cạnh SD sao cho
SN  2ND. Tính thể tích V của tứ diện ACMN . 3 a 3 a 3 a 3 a A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 12 6 8 36 Lời giải Chọn A
M là trung điểm SB, N là điểm thuộc cạnh SD: SN  2ND S SM 1 SN 2 nên  ,  SB 2 SD 3 Ta có: M V  2V  2 VVVV C.AMN O.AMN
S.ABD S.AMN M.AOB N.AOD Lại có: 3 A 1 a 3 3 a a N B V  . . SA A . B AD   V  ; VVABCD 3 3 S.ABD 6 S.AOB S.AOD 12 O 3 V SM SN 1 2 1 1 a S.AMN  .  .   VVV SB SD 2 3 3 S.AMN 3 S.ABD 18 S.ABD D C 3 V MB 1 1 a M.AOB    VVV SB 2 M.AOB 2 S.AOB 24 S.AOB 3 V ND 1 1 a N.AOD    VVV SD 3 N.AOD 3 S.AOD 36 S.AOD 3 3 3 3 3  a a a a a Do đó: V  2V  2      C.AMN O.AMN . 6 18 24 36 12  
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 17
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024 KHỐI ĐA DIỆN
THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ A. LÝ THUYẾT CHUNG. 1. Định nghĩa:
Hình lăng trụ là hình có hai đáy là hai đa giác bằng nhau nằm trên hai mặt phẳng song
song với nhau và các mặt bên đều là các hình bình hành.
Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.
2. Thể tích khối lăng trụ.
Công thức tính thể tích khối chóp: Trong đó: V  . S h
S là diện tích đáy
h là chiều cao khối chóp
(khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy).
Cách xác định đường cao lăng trụ: Loại Đường cao Cạnh bên vuông đáy
Đường cao chính là cạnh bên. Hình 2.1 Lăng trụ đứng
Đường cao chính là cạnh bên. Hình 2.1 Lăng trụ xiên
Đường cao hạ từ đỉnh xuống mặt đáy. Hình 2.2 Lăng trụ có hình chiếu
Đường cao là hình chiếu vuông góc của 1 đỉnh xuống đáy. Hình 2.3
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 18
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024 B. CÁC DẠNG BÀI TẬP.
Dạng 2.1. Thể tích lăng trụ đứng
 Áp dụng công thức chính: V  . S h .
 Tính được diện tích đáy ta xem lại “Công thức tính diện tích đáy
 Lăng trụ đứng sẽ có các đường cao song song nhau, tùy vào trường hợp đề ra ta sẽ sử
dụng đường cao hợp lý. Định nghĩa Tính chất
Hình lăng trụ
Là hình lăng trụ có cạnh
Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là các đứng
bên vuông góc với mặt đáy. hình chữ nhật và vuông góc với mặt đáy.
Các mặt bên của hình lăng trụ đều là các
Là hình lăng trụ đứng có
Hình lăng trụ đều
hình chữ nhật bằng nhau và vuông góc đáy là đa giác đều. với mặt đáy.  Ví dụ 2.1.1
Khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a, đường cao bằng a 3 có thể tích bằng 3 a 3 3 a 3 A. . B. 3 a 3 . C. 3 2a 3 . D. . 3 6 Lời giải Chọn B Ta có 2 3 V  .
S h a .a 3  a 3. Ví dụ 2.1.2
Cho hình lăng trụ đứng AB . C A BC
  có AA  a. Đáy ABC là tam giác vuông cân
tại A AB a . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. 3 a 3 a 3 a A. V  . B. V  . C. V  . D. 3
V a . 3 6 2 Lời giải Chọn C Theo giả thiết AB . C A BC
  là lăng trụ đứng có đáy là tam
giác ABC vuông cân tại A .
Suy ra thể tích của khối lăng trụ là 3 1 a
V AA .SAA . .A . B AC  . ABC 2 2  Ví dụ 2.1.3
Cho lăng trụ đứng AB . C A BC
  có ABC là tam giác vuông tại A ; BC  2a; 0
ABC  30 . Biết cạnh bên của lăng trụ bằng 2a 3 . Thể tích khối lăng trụ là. A. 3 2a 3 . B. 3 3a . C. 3 3a . D. 3 6a . Lời giải Chọn C
Xét ABC : AC  2 . a s 3
in 0  a; AB  2 . a co 3 s 0  a 3.
Ta có: V h S . lt
Trong đó h AA  2a 3. . 1 3 2 SABAC a . ABC . 2 2
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 19
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
Dạng 2.2. Thể tích lăng trụ xiên
 Áp dụng công thức chính: V  . S h .
 Tính được diện tích đáy ta xem lại “Công thức tính diện tích đáy
 Lăng trụ xiên sẽ có các đường cao đề ra cụ thể.  Ví dụ 2.2.1
Cho lăng trụ tứ giác ABC . D A BCD
  có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và thể tích bằng 3
3a . Tính chiều cao h của lăng trụ đã cho. a
A. h  9a . B. h  .
C. h a .
D. h  3a . 3 Lời giải Chọn D V 3 3a Ta có: VABCD.A BCD           S .h h 3a . ABC . D A B C D ABCD S 2 a ABCDVí dụ 2.2.2 Cho lăng trụ AB . C A BC
  , đáy là tam giác đều cạnh a . Độ dài cạnh bên bằng 4a. Mặt phẳng BCC B
  vuông góc với đáy và B B
C  30 . Thể tích khối . A CC B   là: 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 2 12 18 6 Lời giải Chọn D
Gọi H là hình chiếu của B trên BC .
Từ giả thiết suy ra: B H   ABC . 1 1 S      2   BB .B . C sin B BC 4 . a . a sin 30 a . BB C 2 2 1 2S 2 2a Mặt khác: S   BB C        B H.BC B H 2a . BB C 2 BC a 2 a 3 3 a 3 V B . H S  2 . a  . LT ABC 4 2 3 3 1 1 a 3 a 3 V  1 2 1    .    V   . V V . A.CC B 2 A.CC B B 2 3 LT 3 LT 3 2 6  Ví dụ 2.2.3 Cho lăng trụ AB . C A BC
  có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a H là trọng tâm, biết A A   A B   A C
  a. Tính thể tích khối lăng trụ AB . C A BC   ? 3 3a 3 a 2 3 a 3 3 a A. . B. . C. . D. . 4 4 4 4 Lời giải Chọn B
Ta có ABC là đều cạnh a A A   A B   A C   a
Nên A .ABC là tứ diện đều cạnh a A H   ABCa Xét A HA : 2 2 A H   A A   6 AH  . 3 2 2 3 1 a 3 a 3 a 6 a 2 S  . a . a sin 60   V   ABC.A BC   ABC 2 4 4 3 4
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 20
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
Dạng 2.3. Thể tích khối lập phương – khối hộp
 Áp dụng công thức chính: V  . S h . Định nghĩa Tính chất
Là hình hộp có cạnh bên vuông
Có 2 đáy là hình bình hành, 4 mặt xung
Hình hộp đứng góc với mặt đáy
quanh là 4 hình chữ nhật.
Là hình hộp đứng có đáy là hình
Hình hộp chữ nhật
Có 6 mặt là 6 hình chữ nhật. chữ nhật.
Là hình hộp chữ nhật 2 đáy và 4
Hình lập phương
Có 6 mặt đều là hình vuông.
mặt bên đều là hình vuông
 Đường chéo hình hộp 2 2 2
d r c với d;r ;c là ba kích thước của hình hộp.
Hệ quả: Đường chéo hình lập phương  a 3 với a là cạnh của hình lập phương.  Ví dụ 2.3.1
Tổng diện tích các mặt của một hình lập phương bằng 150. Thể tích của khối lập phương đó là. A. 200 . B. 100 . C. 625. D. 125 . Lời giải Chọn D
Gọi cạnh hình lập phương là a . Ta có 2
6a 150  a  5  3
V a  125 . Ví dụ 2.3.2
Tính theo a thể tích V của khối lập phương ABC . D A BCD
  biết AC  .a 3 a 3 3a 3 3a A. V  . B. V  . C. 3
V  3 3a . D. V  . 27 3 9 Lời giải Chọn D a
Ta có AC  AB 3  AB  . 3 3 3 3  a a a 3 3 V AB      .  3  3 3 9  Ví dụ 2.3.3
Cho hình lập phương ABC . D A BCD
  có diện tích tam giác ACD bằng 2 a 3 .
Tính thể tích V của hình lập phương. A. 3
V  3 3a . B. 3
V  2 2a . C. 3
V a . D. 3
V  8a . Lời giải Chọn B
Giả sử cạnh của hình lập phương có độ dài là x . x 6
Ta có AC x 2 , 2 2
OD  OD A A   2 2 1 1 x 6 x 3 S      OD .AC x 2. ACD . 2 2 2 2 2 2  x 3 x 2 2 a 3   a
x a 2  3 3
V x  2a 2 . 2 2
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 21
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
Dạng 2.4. Khối đa diện được cắt ra từ khối lăng trụ
A.
Một số mối liên hệ thường gặp giữa chóp – lăng trụ và chóp – thể tích:
Mối liên hệ giữa Công thức
Hình minh họa 2 VV 5d 3 L.Tr C
4 điểm thuộc mặt đáy p tr g Chó Lăn 1 VV 4d 3 L.Tr C
3 điểm thuộc mặt đáy 1 VV 4d 6 Hop C
Với 3 điểm thuộc đáy và 1 điểm thuộc mặt bên 1 VV 4d 3 Hop C
Với 3 điểm thuộc mặt chéo p p ộ h Chó Hình 1 VV 5d 3 Hop C
Với 4 điểm thuộc mặt bên hoặc mặt đáy 1 VV 5d 3 Hop C
Với 4 điểm thuộc mặt chéo
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 22
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
B. Mặt phẳng cắt các cạnh của khối lăng trụ tam giác AB . C A BC
  lần lượt tại M;N;P sao cho AM BN CP  ;  ;  : AABBCCV   ABC.MNP V 3 ABC.A BC  
C. Mặt phẳng cắt các cạnh của khối hộp ABC . D A BCD
  lần lượt tại M;N;P;Q sao cho AM BN CP DQ  ;  ;  ;  : AABBCCDDV    ABCD.MNPQ V 4 ABCD.A BCD   và    .  Ví dụ 2.4.1
Hình lập phương ABCDA BCD
  cạnh a . Tính thể tích khối tứ diện ACB D   . 3 a 3 a 3 a 3 a A. . B. . C. . D. . 4 2 6 3 Lời giải Chọn D V        V     V
V    V V . ACB D ABCDA B C D
B.ABC C.BCD D.ACD A.ABD Mà 3 V      a ABCD.A B C D V    
V    V V B .ABC C.B C D D .ACD A.A BD   1 1 1 2 1 3 AA .S      . . a a a . 3 A B D 3 2 6 3 4 a 3 3 V      a a . V    ACB D
V    V V B .ABC C.B C D D .ACD A.A BD   6 3  Ví dụ 2.4.2
Cho hình lập phương ABC . D A BCD
  cạnh bằng a . Gọi O là giao điểm của AC
BD . Thể tích của tứ diện OA BC bằng 3 a 3 a 3 a 3 a A. B. C. D. 6 4 12 24 Lời giải Chọn C 3 1 1 a 2 a 2 a V       V AA .O . B OC . . a . O.A BC A'.OBC 6 6 2 2 12
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 23
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024 Ví dụ 2.4.3
Cho khối lăng trụ AB . C A BC
  có thể tích bằng V . Tính thể tích khối đa diện ABCB C  . 2V V V 3V A. B. C. D. 3 2 4 4 Lời giải Chọn D V V 2V Ta có: V        V V   ABCB C B ABC C B AC 3 3 3  Ví dụ 2.4.4
Cho khối lăng trụ AB . C A BC
  có thể tích là V . Gọi M là điểm bất kỳ trên đường
thẳng CC . Tính thể tích khối chóp V   theo V . M.ABB A V 2V 2V V A. B. C. D. 2 9 3 3 Lời giải Chọn A
Gọi h , h là đường cao của . M ABC , . M A BC   1 2
thì h h h là đường cao của AB . C A BC   . 1 2 V VV    V    M.ABC M.ABB A M.A B C 1 1  h .SV    S   h 1 ABC M.ABB A A B C 2 3 3 1  2V S
h h V      a V ABC   1 3 1 2 M.   3 ABB A 6 M.ABB A 3  Ví dụ 2.4.5 Khối lăng trụ AB . C A BC   có 3
V  36 cm . Mặt  AB C   và A B
C chia khối lăng
trụ thành 4 khối đa diện. Tính thể tích khối chứa mặt là hình bình hành BCC B   A. 3 15 cm B. 3 9 cm C. 3 12 cm D. 3 18 cm Lời giải Chọn A
Gọi I AB  A B  , J A C   AC . Ta có VVV . IJBB'C 'C
A.BB'C 'C A.BCIJ V      V   V    . A A B C . A BCC B ABC.A B C 2  V  2     V    V 24 . A.BCC B 3 ABC.A B C 3 VA.IJAAI AJ 1 1 1 Lại có  .   V    . 3 . 6 3 . V      AB AC 4 A.IJA 4 3 A.A B C 1 VV      V 3  . 6 3 9 . A.IJBC A .ABC A.IJA 3 Vậy V    C C  3 24 9 15 cm IJBB' ' .
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 24
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
Dạng 2.5. Max – min thể tích Dạng
Dấu “=” xảy ra khi      a b BĐT    2 2 2 2 2 a b c d ac bd c d Bunyakovskya a a
a a  ...  a
b b  ...  b
a b a b  ... a b 1 2   ... n  1 2 n   1 2 n   1 1 2 2 n n 2 2 2 2 2 2 2 b b b 1 2 n
a b ab a b BĐT 2 AM – GM
a a  ...  a 1 2 n n
a .a .....a n  1
a a  ...  a 1 2 n   n 1 2 n
Khảo sát hàm
số trên khoảng Tính đạo hàm rồi lập BBT, từ đó kết luận theo yêu cầu bài toán. xác định Ví dụ 2.5.1 Cho hình chóp .
S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  4 , cạnh bên
SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD và SC  6. Tính thể tích lớn nhất V max của khối chóp đã cho. 40 A. V  80 . B. V  20 . C. V  . D. V  24. max 3 max 3 max 3 max Lời giải Chọn A Cách 1.
Đặt cạnh BC x  0. Δ ABC, có 2 2
AC 16  x . Δ SAC, có 2 2 2
SA SC AC  20  x .
Diện tích hình chữ nhật SA . B BC  4 . x ABCD 1 4 Thể tích khối chóp 2 VS
.SA x 20  x . S.ABCD 3 ABCD 3 x  20  x 2  2 2 2 Áp dụng BĐT Côsi: . x 20  x  10 . 2 4 40 Suy ra V  10 .  . S.ABCD 3 3 Dấu "  " xảy ra 2
x  20  x x  40 10 . Vậy V  max 3 4
Cách 2. Xét hàm số f x 2
x 20  x trên 0;2 5. 3  Ví dụ 2.5.2 Cho hình chóp .
S ABC có đáy ABC là tam giác đều và có SA SB SC 1. Tính
thể tích lớn nhất V của khối chóp đã cho. max 1 A. V  2 . B. V  3 . C. V  1 . D. V  . max 6 max 12 max 12 max 12 Lời giải Chọn C
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 25
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều AB . C Vì .
S ABC là hình chóp đều  SO  ABC. 2 x 3
Đặt AB x  0. Diện tích tam giác đều S  .  ABC 4
Gọi M là trung điểm BC x 3 2 x 3  AM
OA AM  2 3 3 2 x ΔSOA : 2 2
SO SA OA  1 . 3 2 2 1 1 x 3 3  x 1 Khi đó 2 2 VS .SO  . .  .x 3  x S.ABC 3 ABC 3 4 3 12 1 1
Xét hàm f x 2 2  .x
3  x trên 0; 3 , ta được max f x  f  2  . 12 0; 3 6 3 2 2 2 1 1
x x  6  2x
Cách 2. Ta có 2 2 2 2 x 3  x x .x . 2 6  2x      2. 2 2 3    Ví dụ 2.5.3 Cho hình chóp .
S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  4, SC  6 và
mặt bên SAD là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.
Tính thể tích lớn nhất V của khối chóp đã cho. max 40 A. V  . B. V  40. C. V  80 80. D. V  . max 3 max max max 3 Lời giải Chọn D
Gọi H là trung điểm của AD SH A . D
Mà SAD  ABCD  SH  ABCD. 2 x
Giả sử AD x  0 . Suy ra 2 2
HC HD CD  16. 4 2 x
Tam giác vuông SHC, có 2 2
SH SC HC  20  . 4 1 1 Khi đó VS .SH A . B A . D SH S.ABCD 3 ABCD 3 2 1 x 1  4 . .x 20    1 80 2
2x 80  x    2 2
x  80  x   . 3 4 3 3 3  Ví dụ 2.5.4
Người ta cần trang trí một kim tự tháp hình chóp tứ giác đều . S ABCD cạnh bên
bằng 200m, góc ASB 15 bằng đường gấp khúc dây đèn led vòng quanh kim
tự tháp AEFGHIJKLS . Trong đó điểm L cố định và LS  40m (tham khảo hình
vẽ). Hỏi khi đó cần dung ít nhất bao nhiêu mét dây đèn led để trang trí?
A. 40 67  40 mét.
B. 20 111  40 mét.
C. 40 31  40 mét.
D. 40 111  40 mét.
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 26
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024 Lời giải Chọn C
Ta sử dụng phương pháp trải đa diện
Cắt hình chóp theo cạnh bên SA rồi trải ra mặt phẳng hai lần, ta có hình vẽ sau
Từ đó suy ra chiều dài dây đèn led ngắn nhất là bằng AL LS.
Từ giả thiết về hình chóp đều .
S ABCD ta có ASL  120 . Ta có 2 2 2 2 2
AL SA SL  2S . A S .
L cos ASL  200  40  2 2 . 00 4 . 0.co 1 s 20  49600 .
Nên AL  49600  40 31 .
Vậy, chiều dài dây đèn led cần ít nhất là 40 31  40 mét.  Ví dụ 2.5.5 Cho hình chóp .
S ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V . Điểm P
trung điểm của SC . Một mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SB SD lần lượt tại V
M N . Gọi V là thể tích của khối chóp .
S AMPN . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 1 V 1 1 2 3 A. B. C. D. 3 8 3 8 Lời giải Chọn A SM Đặt x SN , y
, 0  x, y   1 . SB SD V VV V V Ta có 1 S.AMP S.ANPS.AMP S.ANP   V V 2V 2V S.ABC S.ADC 1  SM SP SN SP  1  .   .
  x y (1) 2  SB SC SD SC  4 V VV V V Lại có 1 S.AMN S.PMNS.AMN S.PMN   V V 2V 2V S.ABD S.CBD 1  SM SN SM SN SP  3  .   . .   xy (2). 2  SB SD SB SD SC  4 1 3 x
Suy ra x y  xy x y  3xy y  . 4 4 3x 1 x 1
Từ điều kiện 0  y  1, ta có 1, hay x  . 3x 1 2
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 27
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024 2 V 3 x
Thay vào (2) ta được tỉ số thể tích 1  . . V 4 3x 1 x  0 ( ) L x   2 3 3x  2x Đặt f x 2 3 1  . , x  ; 
1 , ta có f x  .
, f x  0  2 .   4 3x 1  2  4   3x  2 1 x  (N)  3  1   2  1 V   ff   3 1    , f    , do đó 1 min  2 1
min f x  f    .  2  8  3  3 1 V    3  3 x 1  ;  2   Ví dụ 2.5.6
Cho hình hộp chữ nhật ABC . D A BCD
  có AB a, AD a 2, AA  a 3 . Gọi G
trung điểm của BD , mặt phẳng P đi qua G và cắt các tia AD,CD,D B   tương
ứng tại ba điểm phân biệt H, I,K . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 1 T    2 2 2 D' H D' K D' I 1 4 4 1 A. T B. T C. T D. T 2 3a 2 a 2 3a 2 12a Lời giải Chọn C D HD ID K  Đặt  x,  y,  z . D AD CD B   1 1 1 1 ta có D G   D B   D A   D C   D D  2 2 2 2 Ta có D H   xD A   xD D   1 D A    D H   D D   D Ax D I   yD C   yD D   1 D C
   D I  D D   D C   y D K   zD A   zD A    1 D C    D K   D A    D C   z 1 1 1  D G   D H   D I   D K  4x 4y 4z 1 1 1
Do DG, DH, DI, DK không đồng phẳng nên   1. 4x 4y 4z D AD CD B      4 D HD ID K  2  D AD CD B    1 1 1  2  4        2 2 2 D A   D C       D B   2 2 2   D HD ID K    D HD ID K   16 16 4  T    2 2 2 2 2 D A   D C   D B   12a 3a
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 28
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024 Ví dụ 2.5.7 Cho hình chóp .
S ABCD . Một mặt phẳng song song mặt đáy cắt các cạnh S ; A S ;
B SC;SD lần lượt tại M, N , P,Q . Gọi M ', N ', P ',Q' lần lượt là hình chiếu của SM
M, N , P,Q lên mặt đáy. Tìm tỉ số
để thể tích khối đa điện M . NPQ M NPQ   SA lớn nhất. SM 3 SM SM SM A.  2 B.  1 C.  1 D. SA 4 SA 3 SA 2 SA 3 Lời giải Chọn B SM Đặt  SN SP SQ x . Suy ra    x . SA SB SC SD
Gọi h, h' là chiều cao . S ABCDM . NPQ M NPQ  . SM MN MN
Do MN / / AB nên   x
MN xAB . SA AB AB
Tương tự ta có BC  . x NP Ta có 2 2 Sx .SSx S ( MNP ABC MNPQ ABCD ΔMNP ~ ΔABC ) AM h' SA SM h' h' Mặt khác    1 x
h'  1 xh AS h SA h h Ta có Vh'.S   x . h x .S   x x . . h S
MNPQ.M'N'P'Q' MNPQ   2 ABCD   2 1 1 ABCD Do h,S
không thay đổi nên VABCD    1 x x MNPQ.M NPQ      2 . max max 3  x x  1 x     x x  2 2  4 Ta có 1 x 2
x  4.1 x  4.  2 2 27 27 x Dấu  2
xảy ra khi và chỉ khi 1 x   x  . 2 3 ----------Hết----------
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 29