Tổng hợp lý thuyết môn Toán 12 – Nguyễn Hoàng Việt

Tổng hợp lý thuyết môn Toán 12 – Nguyễn Hoàng Việt được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

28 14 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu chung

Môn: Toán 12

Thông tin:

153 trang 7 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
MỤC LỤC
PHẦN I Đại số 1
CHƯƠNG 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 3
1 Sự đồng biến nghịch biến của hàm số . . .. . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . 3
2 Cực trị hàm số . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . 15
4 Đường tiệm cận của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6 Tiếp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7 Tương giao đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
8 Điểm đặc biệt của họ đường cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30
CHƯƠNG 2 Mũ và Logarit 35
1 Lũy thừa và hàm số lũy thừa. . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2 Lôgarit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. . . . . . . 38
3 Bất phương trình mũ và logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4 Bài toán lãi suất ngân hàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. . 41
CHƯƠNG 3 Nguyên hàm - Tích phân Ứng dụng tích phân 45
1 Nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2 Các phương pháp tính nguyên hàm .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3 Tích phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4 Phương pháp tính tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. . . . . . . . . . 52
5 Tích phân các hàm số sơ cấp cơ bản . . . . . . . . .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6 Ứng dụng của tích phân . . .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
CHƯƠNG 4 Số phức 69
1 Số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . 69
2 Phép cộng trừ, nhân chia số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3 Phương trình bậc hai với hệ số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. 71
MỤC LỤC i
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
4 Tập hợp điểm biểu diễn số phức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . 72
5 Bài toán liên quan đến max, min mô-đun số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
PHẦN II Hình học 75
CHƯƠNG 1 Khối đa diện 77
1 Khối lăng trụ và khối chóp. . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2 Khái niệm về hình đa diện và khối đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3 Hai đa diện bằng nhau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4 Phân chia và lắp ghép các khối đa diện. . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . 80
5 Khối đa diện lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6 Thể tích khối đa diện. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
7 Các công thức hình phẳng . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8 Một số công thức tính nhanh thể tích khối chóp thường gặp. . . . . . . . . . . . . . . . 87
9 Các công thức đặc biệt của thể tích tứ diện. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
CHƯƠNG 2 Mặt nón - mặt trụ - mặt cầu 93
1 Mặt nón tròn xoay và khối nón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2 Mặt trụ tròn xoay và khối trụ . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3 Mặt cầu và khối cầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4 Một số dạng toán và công thức giải nón và trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5 Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6 Tổng hợp các công thức đặc biệt về khối tròn xoay. . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. ..118
CHƯƠNG 3 Hệ tọa độ trong không gian 123
1 Hệ tọa độ trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2 Mặt phẳng .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3 Đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4 Mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5 Một số bài toán giải nhanh cực trị không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
ii Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
PHẦN
I
ĐẠI SỐ
1
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
2 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
CHƯƠNG
1
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ
KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ
HÀM SỐ
BÀI 1 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
A ĐỊNH NGHĨA
Ký hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên
K, ta có
Hàm số y = f (x) được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi x
1
, x
2
∈ K,
x
1
< x
2
thì f (x
1
) < f (x
2
).
Hàm số y = f (x) được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi x
1
, x
2
∈ K,
x
1
< x
2
thì f (x
1
) > f (x
2
).
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K.
Nhận xét.
Hàm số f(x) đồng biến trên K khi và chỉ khi
f (x
2
) − f (x
1
)
x
2
− x
1
> 0, ∀x
1
, x
2
∈ K, x
1
6= x
2
.
Khi đó đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải.
x
y
O
Hàm số f(x) nghịch biến trên K khi và chỉ khi
f (x
2
) − f (x
1
)
x
2
− x
1
< 0, ∀x
1
, x
2
∈ K, x
1
6= x
2
.
Khi đó đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.
x
y
O
3
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Nếu f
0
(x) > 0, ∀x ∈ (a; b) thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a; b).
Nếu f
0
(x) < 0, ∀x ∈ (a; b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a; b).
Nếu f
0
(x) = 0, ∀x ∈ (a; b) thì hàm số f(x) không đổi trên khoảng (a; b).
Nếu hàm số f (x) đồng biến trên khoảng (a; b) thì f
0
(x) ≥ 0, ∀x ∈ (a; b).
Nếu hàm số f (x) nghịch biến trên khoảng (a; b) thì f
0
(x) ≤ 0, ∀x ∈ (a; b).
Nếu thay đổi khoảng (a; b) bằng một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung
thêm giả thiết “hàm số f(x) liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”.
B QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
Cho u = u(x), v = v(x) và C là hằng số.
Tổng, hiệu: (u ± v)
0
= u
0
± v
0
.
Tích: (uv)
0
= u
0
v + v
0
u ⇒ (C · u)
0
= C · u
0
.
Thương:
u
v
0
=
u
0
· v − v
0
· u
v
2
, (v 6= 0) ⇒
Å
C
u
ã
0
= −
C · u
0
u
2
.
Đạo hàm hàm hợp: Nếu y = f(u) với u = u(x) thì y
0
x
= y
0
u
· u
0
x
.
C CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM HÀM PHÂN THỨC
y =
ax + b
cx + d
⇒ y
0
=
Å
ax + b
cx + d
ã
0
=
ad − bc
(cx + d)
2
.
y =
ax
2
+ bx + c
a
0
x
2
+ b
0
x + c
0
⇒ y
0
=
Å
ax
2
+ bx + c
a
0
x
2
+ b
0
x + c
0
ã
0
=
a b
a
0
b
0
x
2
+ 2
a c
a
0
c
0
x +
b c
b
0
c
0
(a
0
x
2
+ b
0
x + c
0
)
2
.
D BẢNG CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM
Hàm sơ cấp Hàm hợp
(C)
0
= 0, (C là hằng số)
(x
α
)
0
= α · x
α−1
(u
α
)
0
= α · u
α−1
· u
0
Å
1
x
ã
0
= −
1
x
2
, (x 6= 0)
Å
1
u
ã
0
= −
u
0
u
2
, (u 6= 0)
(
√
x)
0
=
1
2
√
x
, (x > 0) (
√
u)
0
=
u
0
2
√
u
, (u > 0)
4
Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
(sin x)
0
= cos x (sin u)
0
= u
0
· cos u
(cos x)
0
= −sin x (cos u)
0
= −u
0
· sin u
(tan x)
0
=
1
cos
2
x
(tan u)
0
=
u
0
cos
2
u
(cot x)
0
= −
1
sin
2
x
(cot u)
0
= −
u
0
sin
2
u
(sin
n
x)
0
= n · sin
n−1
x · cos x (sin
n
u)
0
= n · u
0
· sin
n−1
u · cos u
(cos
n
x)
0
= −n · cos
n−1
x · sin x (cos
n
u)
0
= −n · u
0
· cos
n−1
u · sin u
(tan
n
x)
0
= n · tan
n−1
x ·
1
cos
2
x
(tan
n
u)
0
= n · u
0
· tan
n−1
u ·
1
cos
2
u
(cot
n
x)
0
= −n · cot
n−1
x ·
1
sin
2
x
(cot
n
u)
0
= −n · u
0
· cot
n−1
u ·
1
sin
2
u
(e
x
)
0
= e
x
(e
u
)
0
= u
0
· e
u
(a
x
)
0
= a
x
· ln a (a
u
)
0
= u
0
· a
u
· ln a
(ln |x|)
0
=
1
x
, (x 6= 0) (ln |u|)
0
=
u
0
u
, (u 6= 0)
(log
a
|x|)
0
=
1
x ln a
, (x 6= 0) (log
a
|u|)
0
=
u
0
u · ln a
, (u 6= 0)
E ĐẠO HÀM CẤP HAI
1 Định nghĩa
f
00
(x) = [f
0
(x)]
0
.
2 Ý nghĩa cơ học
Gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t
0
là a (t
0
) = f
00
(t
0
).
3 Đạo hàm cấp cao
f
(n)
(x) =
î
f
(n−1)
(x)
ó
0
, (n ∈ N, n ≥ 2).
F MỘT SỐ CHÚ Ý
Nếu hàm số f(x) và g(x) cùng đồng biến (nghịch biến) trên K thì hàm số f(x)+g(x)
cũng đồng biến (nghịch biến) trên K. Tính chất này có thể không đúng đối với hiệu
f(x) − g(x).
Nếu hàm số f(x) và g(x) là các hàm số dương và cùng đồng biến (nghịch biến) trên
K thì hàm số f(x) · g(x) cũng đồng biến (nghịch biến) trên K. Tính chất này có
thể không đúng khi các hàm số f (x), g(x) không là các hàm số dương trên K.
1. Sự đồng biến nghịch biến của hàm số 5
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Nhận xét. Cho hàm số u = u(x) xác định với mọi x ∈ (a; b) và u(x) ∈ (c; d). Hàm số
f [u(x)] cũng xác định với x ∈ (a; b).
Giả sử hàm số u = u(x) đồng biến với x ∈ (a; b). Khi đó, hàm số f [u(x)] đồng biến
với x ∈ (a; b) khi và chỉ khi f (u) đồng biến với u ∈ (c; d).
Giả sử hàm số u = u(x) nghịch biến với x ∈ (a; b). Khi đó, hàm số f [u(x)] nghịch
biến với x ∈ (a; b) khi và chỉ khi f(u) nghịch biến với u ∈ (c; d).
G QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên K.
Nếu f
0
(x) ≥ 0 với mọi x ∈ K và f
0
(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm
x ∈ K thì hàm số f đồng biến trên K.
Nếu f
0
(x) ≤ 0 với mọi x ∈ K và f
0
(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm
x ∈ K thì hàm số f nghịch biến trên K.
Chú ý
Đối với hàm phân thức hữu tỉ y =
ax + b
cx + d
,
Å
x 6= −
d
c
ã
thì dấu “=” khi xét
dấu đạo hàm y
0
không xảy ra.
Giả sử y = f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d ⇒ f
0
(x) = 3ax
2
+ 2bx + c.
• Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi
f
0
(x) ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔
®
a > 0
∆ ≤ 0
a = 0
b = 0
c > 0.
• Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi
f
0
(x) ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔
®
a < 0
∆ ≤ 0
a = 0
b = 0
c < 0.
6 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Trường hợp a = b = 0 thì c phải khác 0. Vì nếu a = b = c = 0 thì
f(x) = d có đồ thị là đường thẳng song song hoặc trùng với Ox nên
không đơn điệu.
Với dạng toán tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu một chiều trên
khoảng có độ dài bằng ` ta giải như sau
• Bước 1. Tính y
0
= f
0
(x; m) = ax
2
+ bx + c.
• Bước 2. Hàm số đơn điệu trên (x
1
; x
2
) khi và chỉ khi y
0
= 0 có 2
nghiệm phân biệt. Điều kiện tương đương là
®
a 6= 0
∆ > 0.
(∗)
• Bước 3. Hàm số đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng ` khi và chỉ khi
|x
1
− x
2
| = ` ⇔ (x
1
+ x
2
)
2
− 4x
1
x
2
= `
2
⇔ S
2
− 4P = `
2
. (∗∗)
• Bước 4. Giải (∗) và giao với (∗∗) để suy ra giá trị m cần tìm.
BÀI 2 CỰC TRỊ HÀM SỐ
A ĐỊNH NGHĨA
Giả sử hàm f xác định trên tập K và x
0
∈ K. Ta nói
x
0
là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa x
0
sao cho
(a; b) ⊂ K và f(x) > f(x
0
), ∀x ∈ (a; b) \ {x
0
}. Khi đó f(x
0
) được gọi là giá trị
cực tiểu của hàm số f.
x
0
là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa x
0
sao cho
(a; b) ⊂ K và f(x) < f(x
0
), ∀x ∈ (a; b) \ {x
0
}. Khi đó f(x
0
) được gọi là giá trị
cực đại của hàm số f.
Điểm cực đại và cực tiểu gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị
phải là một điểm trong tập hợp K.
Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của
hàm số.
Nếu x
0
là điểm cực trị của hàm số thì điểm (x
0
; f(x
0
)) được gọi là điểm cực trị
của đồ thị hàm số f .
Nhận xét.
2. Cực trị hàm số 7
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Giá trị cực đại (cực tiểu) f(x
0
) nói chung không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất)
của hàm số f trên tập D; f(x
0
) chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f
trên một khoảng (a; b) nào đó chứa x
0
hay nói cách khác khi x
0
là điểm cực đại
(cực tiểu) sẽ tồn tại khoảng (a; b) chứa x
0
sao cho f(x
0
) là giá trị lớn nhất (nhỏ
nhất) của hàm số f trên khoảng (a; b).
Hàm số f có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập K. Hàm số có
thể không có cực trị trên một tập cho trước.
B MINH HỌA ĐỒ THỊ
Với (a; b) là khoảng chứa tất cả các số thực thỏa a < x < b.
x
y
c
(c; f(c))
f(c)
O
x
y
c
(c; f(c))
f(c)
O
Hàm số f đạt cực đại tại x = c Hàm số f đạt cực tiểu tại x = c
C MỘT SỐ ĐIỂM CẦN LƯU Ý
Hàm số f có cực trị khi và chỉ khi y
0
đổi dấu.
Hàm số f không có cực trị khi và chỉ khi y
0
không đổi dấu.
Hàm số f chỉ có 1 cực trị khi và chỉ khi y
0
đổi
dấu 1 lần.
Hàm số f có 2 cực trị (cực đại và cực tiểu) khi
và chỉ khi y
0
đổi dấu 2 lần.
Hàm số f có 3 cực trị khi và chỉ khi y
0
đổi dấu
3 lần.
Đối với một hàm số bất kỳ, hàm số chỉ có thể
đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm
triệt tiêu hoặc đạo hàm không xác định.
Cách gọi tên: cực trị, điểm cực trị của hàm số,
điểm cực trị của đồ thị hàm số,. . .
x
y
x
CĐ
y
CĐ
x
CT
y
CT
O
Điểm cực đại
của đồ thị
Điểm cực đại
của hàm số
Giá trị cực đại
(cực đại) của
hàm số
Điểm cực
tiểu của
hàm số
Điểm cực tiểu
của đồ thị
Giá trị cực tiểu
(cực tiểu) của
hàm số
8 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
D ĐIỀU KIỆN CẦN ĐỂ HÀM SỐ ĐẠT CỰC TRỊ
Định lí 1. Giả sử hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x
0
. Khi đó, nếu y = f(x) có đạo
hàm tại điểm x
0
thì f
0
(x
0
) = 0.
!
Chú ý
Đạo hàm f
0
(x) có thể bằng 0 tại điểm x
0
nhưng hàm số f không đạt cực trị
tại điểm x
0
.
Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.
Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số
bằng 0 hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm.
E ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ
Định lí 2. Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x
0
. Khi đó, nếu hàm số f có đạo hàm
tại điểm x
0
thì f
0
(x
0
) = 0.
Nếu f
0
(x) > 0 trên khoảng (x
0
−h; x
0
) và f
0
(x) < 0 trên khoảng (x
0
; x
0
+ h) thì x
0
là một điểm cực đại của hàm số f(x).
Nếu f
0
(x) < 0 trên khoảng (x
0
−h; x
0
) và f
0
(x) > 0 trên khoảng (x
0
; x
0
+ h) thì x
0
là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).
F QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ
1 Quy tắc 1
Để tìm cực trị của hàm số y = f(x) ta thực hiện theo các bước sau
Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm f
0
(x).
Bước 2: Tìm các điểm x
i
(i = 1; 2; . . .) mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc
hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.
Bước 3: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu của f
0
(x). Nếu f
0
(x) đổi dấu khi
đi qua x
i
thì hàm số đạt cực trị tại x
i
.
Định lí 3. Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng (x
0
−h; x
0
+ h) với
h > 0. Khi đó
Nếu f
0
(x
0
) = 0, f
00
(x
0
) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại x
0
.
Nếu f
0
(x
0
) = 0, f
00
(x
0
) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại x
0
.
Từ định lí trên, ta có một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số.
2. Cực trị hàm số 9
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
2 Quy tắc 2
Để tìm cực trị của hàm số y = f(x) ta thực hiện theo các bước sau
Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm f
0
(x).
Bước 2: Tìm các nghiệm x
i
(i = 1; 2; . . .) của phương trình f
0
(x) = 0.
Bước 3: Tính f
00
(x) và tính f
00
(x
i
).
• Nếu f
00
(x
i
) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x
i
.
• Nếu f
00
(x
i
) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x
i
.
G MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ
1 Cực trị của hàm số bậc ba y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d, (a 6= 0)
1 Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ cho trước.
(a) Bài toán tổng quát
Cho hàm số y = f(x; m) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d. Tìm tham số m để hàm số có
cực đại, cực tiểu tại x
1
, x
2
thỏa mãn điều kiện K cho trước.
Phương pháp
Bước 1: Tập xác định D = R.
Đạo hàm y
0
= 3ax
2
+ 2bx + c = Ax
2
+ Bx + C.
Bước 2: Hàm số có cực trị (hay có hai cực trị, hai cực trị phân biệt hay
có cực đại và cực tiểu) khi và chỉ khi y
0
= 0 có hai nghiệm phân biệt và
y
0
đổi dấu qua hai nghiệm đó.
Phương trình y
0
= 0 có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
®
A = 3a 6= 0
∆
y
0
= B
2
− 4AC = 4b
2
− 12ac > 0
⇔
®
a 6= 0
b
2
− 3ac > 0
⇒ m ∈ D
1
.
Bước 3: Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình y
0
= 0. Khi đó
S = x
1
+ x
2
= −
B
A
= −
2b
3a
P = x
1
x
2
=
C
A
=
c
3a
.
Bước 4: Biến đổi điều kiện K về dạng tổng S và tích P . Từ đó giải ra
tìm được m ∈ D
2
.
Bước 5: Kết luận các giá trị m thỏa mãn m ∈ D
1
∩ D
2
.
4
!
Hàm số bậc ba y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a 6= 0). Ta có y
0
= 3ax
2
+ 2bx + c.
10 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Hàm số không có cực trị khi b
2
− 3ac ≤ 0.
Hàm số có hai điểm cực trị khi b
2
− 3ac > 0.
(b) Điều kiện để hàm số có các điểm cực trị cùng dấu, trái dấu.
Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu khi và chỉ khi phương trình y
0
= 0 có
hai nghiệm phân biệt trái dấu, tức là
A · C = 3ac < 0 ⇔ ac < 0.
Hàm số có hai điểm cực trị cùng dấu khi và chỉ khi phương trình y
0
= 0
có hai nghiệm phân biệt cùng dấu, tức là
∆
y
0
> 0
P = x
1
x
2
=
C
A
> 0.
Hàm số có hai điểm cực trị cùng dấu dương khi và chỉ khi phương trình
y
0
= 0 có hai nghiệm dương phân biệt, tức là
∆
y
0
> 0
S = x
1
+ x
2
= −
B
A
> 0
P = x
1
x
2
=
C
A
> 0.
Hàm số có hai điểm cực trị cùng dấu âm khi và chỉ khi phương trình y
0
= 0
có hai nghiệm âm phân biệt, tức là
∆
y
0
> 0
S = x
1
+ x
2
= −
B
A
< 0
P = x
1
x
2
=
C
A
> 0.
(c) Tìm điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn
±
x
1
< α < x
2
x
1
< x
2
< α
α < x
1
< x
2
.
Hai điểm cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn x
1
< α < x
2
khi và chỉ khi
(x
1
− α)(x
2
− α) < 0 ⇔ x
1
x
2
− α(x
1
+ x
2
) + α
2
< 0.
Hai điểm cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn x
1
< x
2
< α khi và chỉ khi
®
(x
1
− α)(x
2
− α) > 0
x
1
+ x
2
< 2α
⇔
®
x
1
x
2
− α(x
1
+ x
2
) + α
2
> 0
x
1
+ x
2
< 2α.
2. Cực trị hàm số 11
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Hai điểm cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn α < x
1
< x
2
khi và chỉ khi
®
(x
1
− α)(x
2
− α) > 0
x
1
+ x
2
> 2α
⇔
®
x
1
x
2
− α(x
1
+ x
2
) + α
2
> 0
x
1
+ x
2
> 2α.
2 Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu nằm cùng phía, khác
phía so với một đường thẳng.
(a) Vị trí tương đối của hai điểm với đường thẳng.
Cho hai điểm A(x
A
; y
A
), B(x
B
; y
B
) và đường thẳng ∆: ax + by + c = 0.
Nếu (ax
A
+ by
A
+ c)(ax
B
+ by
B
+ C) < 0 thì hai điểm A, B nằm về hai
phía so với đường thẳng ∆.
Nếu (ax
A
+ by
A
+ c)(ax
B
+ by
B
+ C) > 0 thì hai điểm A, B nằm cùng
phía so với đường thẳng ∆.
(b) Một số trường hợp đặc biệt.
Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về một phía đối với trục Oy khi và
chỉ khi hàm số có 2 điểm cực trị cùng dấu, tức là phương trình y
0
= 0 có
hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về hai phía đối với trục Oy khi và
chỉ khi hàm số có 2 điểm cực trị trái dấu, tức là phương trình y
0
= 0 có
hai nghiệm trái dấu.
Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về một phía đối với trục Ox khi và
chỉ khi phương trình y
0
= 0 có hai nghiệm phân biệt và y
CĐ
· y
CT
> 0.
Đặc biệt
• Các điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm cùng về phía trên đối với
trục Ox khi và chỉ khi phương trình y
0
= 0 có hai nghiệm phân biệt
và
®
y
CĐ
· y
CT
> 0
y
CĐ
+ y
CT
> 0.
• Các điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm cùng về phía dưới đối với
trục Ox khi và chỉ khi phương trình y
0
= 0 có hai nghiệm phân biệt
và
®
y
CĐ
· y
CT
> 0
y
CĐ
+ y
CT
< 0.
Các điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm về hai phía đối với trục Ox khi
và chỉ khi phương trình y
0
= 0 có hai nghiệm phân biệt và y
CĐ
·y
CT
< 0.
(Áp dụng khi không nhẩm được nghiệm và viết được phương trình đường
thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số).
Hoặc các điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm về hai phía đối với trục Ox
khi và chỉ khi đồ thị cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt (khi nhẩm được
nghiệm) hay phương trình hoành độ giao điểm f(x) = 0 có 3 nghiệm phân
biệt.
3 Phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị.
12 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
g(x) =
Å
2c
3
−
2b
2
9a
ã
x + d −
bc
9a
hoặc g(x) = y −
y
0
· y
00
18a
hoặc g(x) = y −
y
0
· y
00
3y
000
4 Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba là
AB =
4e + 16e
3
a
với e =
b
2
− 3ac
9a
.
2 Cực trị của hàm số bậc bốn trùng phương y = ax
4
+ bx
2
+ c, (a 6= 0)
1 Một số kết quả cần nhớ.
Hàm số có một cực trị khi và chỉ khi ab ≥ 0.
Hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi ab < 0.
Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực tiểu khi và chỉ khi
®
a > 0
b ≥ 0.
Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực đại khi và chỉ khi
®
a < 0
b ≤ 0.
Hàm số có hai cực tiểu và một cực đại khi và chỉ khi
®
a > 0
b < 0.
Hàm số có một cực tiểu và hai cực đại khi và chỉ khi
®
a < 0
b > 0.
2 Một số công thức tính nhanh.
Giả sử đồ thị hàm số y = ax
4
+bx
2
+c có 3 điểm cực trị là A(0; c), B
Ç
−
…
−
b
2a
; −
∆
4a
å
,
C
Ç
…
−
b
2a
; −
∆
4a
å
tạo thành tam giác ABC thỏa mãn điều kiện ab < 0.
Đặt
’
BAC = α thì cot
2
α
2
= −
b
3
8a
.
a > 0, b < 0 Công thức a < 0, b > 0
2. Cực trị hàm số 13
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
A
B C
x
y
O
x
1
x
2
x
1
= −
…
−
b
2a
, x
2
=
…
−
b
2a
,
A(0; c), B
Ç
−
…
−
b
2a
; −
∆
4a
å
,
C
Ç
…
−
b
2a
; −
∆
4a
å
.
Đặt
’
BAC = α thì cot
2
α
2
= −
b
3
8a
.
A
B C
x
y
O
x
1
x
2
MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH
LIÊN QUAN ĐẾN BA ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA ĐỒ THỊ HÀM BẬC BỐN
TRÙNG PHƯƠNG
STT Dữ Kiện Công thức thoả mãn
ab < 0 và c 6= 0
1 Tam giác ABC vuông cân tại A b
3
= −8a
2 Tam giác ABC đều b
3
= −24a
3 Tam giác ABC có diện tích S
4ABC
= S
0
32a
3
(S
0
)
2
+ b
5
= 0
4 Tam giác ABC có diện tích maxS
0
S
0
=
…
−
b
5
32a
3
5 Tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp
r
4ABC
= r
0
r =
b
2
4|a|
Ç
1 +
…
1 −
b
3
8a
å
6 Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại
tiếp R
4ABC
= R
R =
b
3
− 8a
8|a|b
7 Tam giác ABC có độ dài cạnh BC = m
0
am
2
0
+ 2b = 0
8 Tam giác ABC có độ dài cạnh AB = AC = n
0
16a
2
n
2
0
− b
4
+ 8ab = 0
9 Tam giác ABC có cực trị B, C ∈ Ox b
2
= 4ac
10 Tam giác ABC có 3 góc nhọn b
8a + b
3
> 0
11 Tam giác ABC có trọng tâm O b
2
= 6ac
12 Tam giác ABC có trực tâm O b
3
+ 8a − 4ac = 0
13 Tam giác ABC cùng điểm O tạo thành hình
thoi
b
2
= 2ac
14 Tam giác ABC có O là tâm đường tròn nội tiếp b
3
− 8a − 4abc = 0
14 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
15 Tam giác ABC có O là tâm đường tròn ngoại
tiếp
b
3
− 8a − 8abc = 0
16 Tam giác ABC có cạnh BC = kAB = kAC b
3
· k
2
− 8a
k
2
− 4
= 0
17 Trục hoành chia tam giác ABC thành hai phần
có diện tích bằng nhau
b
2
= 4
√
2|ac|
18 Tam giác ABC có điểm cực trị cách đều trục
hoành
b
2
= 8ac
19 Phương trình đường tròn ngoại tiếp 4ABC là
x
2
+ y
2
−
Å
2
b
−
∆
4a
+ c
ã
y + c
Å
2
b
−
∆
4a
ã
= 0
BÀI 3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
A ĐỊNH NGHĨA
1 Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu
®
f(x) ≤ M, ∀x ∈ D
∃x
0
∈ D, f(x
0
) = M.
Kí hiệu: M = max
x∈D
f(x).
2 Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu
®
f(x) ≥ m, ∀x ∈ D
∃x
0
∈ D, f(x
0
) = m.
Kí hiệu: m = min
x∈D
f(x).
B PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN, GTNN
1 Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp
Tính f
0
(x) và tìm các điểm x
1
, x
2
, . . ., x
n
∈ D mà tại đó f
0
(x) = 0 hoặc hàm
số không có đạo hàm.
Lập bảng biến thiên và từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm
số.
2 Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn
3. Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất 15
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Hàm số đã cho y = f(x) xác định và liên tục trên trên đoạn [a; b].
Tìm các điểm x
1
, x
2
, . . ., x
n
trên khoảng (a; b), tại đó f
0
(x) = 0 hoặc f
0
(x)
không xác định.
Tính f (a), f(x
1
), f(x
2
), . . ., f(x
n
), f(b).
Khi đó
• max
x∈[a;b]
f(x) = max{f(x
1
), f(x
2
), . . . , f(x
n
), f(a), f(b)}.
• min
x∈[a;b]
f(x) = min{f(x
1
), f(x
2
), . . . , f(x
n
), f(a), f(b)}.
3 Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng
Tính đạo hàm f
0
(x).
Tìm tất cả các nghiệm x
i
∈ (a; b) của phương trình f
0
(x) = 0 và tất cả các
điểm α
i
∈ (a; b) làm cho f
0
(x) không xác định.
Tính A = lim
x→a
+
f(x), B = lim
x→b
−
f(x), f (x
i
), f(α
i
).
So sánh các giá trị và kết luận M = max
x∈(a;b)
f(x), m = min
x∈(a;b)
f(x).
Lưu ý: Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận hàm số không
có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất).
Chú ý:
Nếu y = f(x) đồng biến trên [a; b] thì min
x∈[a;b]
f(x) = f(a) và max
x∈[a;b]
f(x) = f(b).
Nếu y = f(x) nghịch biến trên [a; b] thì min
x∈[a;b]
f(x) = f(b) và max
x∈[a;b]
f(x) = f(a).
Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất trên khoảng đó.
Ngoài phương pháp dùng đạo hàm, ta có thể dùng phương pháp MGT, BĐT, ...
BÀI 4 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ
A ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG
Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng (a; +∞), (−∞; b)
hoặc (−∞; +∞)). Đường thẳng y = y
0
là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang)
của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
lim
x→+∞
f(x) = y
0
, lim
x→−∞
f(x) = y
0
.
16 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
B ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG
Đường thẳng x = x
0
được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ
thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn:
lim
x→x
+
0
f(x) = +∞, lim
x→x
−
0
f(x) = −∞, lim
x→x
+
0
f(x) = −∞, lim
x→x
−
0
f(x) = +∞.
Lưu ý : Với đồ thị hàm phân thức dạng y =
ax + b
cx + d
(c 6= 0; ad − bc 6= 0) luôn có tiệm
cận ngang là đường thẳng y =
a
c
và tiệm cận đứng là đường thẳng x = −
d
c
.
BÀI 5 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
A KHẢO SÁT MỘT SỐ HÀM ĐA THỨC VÀ HÀM PHÂN THỨC
1 Hàm số bậc ba y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a 6= 0)
Tập xác định D = R.
Tính y
0
và cho y
0
= 0 (y
0
= 0 hoặc có 2 nghiệm, hoặc có nghiệm kép, hoặc vô
nghiệm).
Tính các giới hạn lim
x→+∞
f(x), lim
x→−∞
f(x).
Lập bảng biến thiên
• Nếu y
0
= 0 có hai nghiệm thì dấu của y
0
là “Trong trái ngoài cùng”.
• Nếu y
0
= 0 có nghiệm kép thì dấu của y
0
là “Luôn cùng dấu với a” (ngoại
trừ tại nghiệm kép).
• Nếu y
0
= 0 vô nghiệm thì dấu của y
0
là “Luôn cùng dấu với a”.
Kết luận
• Tính chất đơn điệu của hàm số.
• Cực trị của hàm số.
Tính y
00
và cho y
00
= 0. Suy ra điểm uốn.
Chọn hai điểm đặc biệt của đồ thị.
Vẽ đồ thị: Đồ thị có 6 dạng và luôn luôn nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 17
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
y
0
= 0 a > 0 a < 0
Có 2 nghiệm
x
y
O x
y
O
Có nghiệm
kép
x
y
O x
y
O
Vô nghiệm
x
y
O x
y
O
2 Hàm số trùng phương y = ax
4
+ bx
2
+ c (a 6= 0)
Tập xác định D = R.
Tính y
0
và cho y
0
= 0 (y
0
= 0 hoặc có 3 nghiệm, hoặc có 1 nghiệm và luôn có
nghiệm x = 0).
Tính các giới hạn lim
x→+∞
f(x), lim
x→−∞
f(x).
Lập bảng biến thiên: “Bên phải bảng biến thiên, dấu y
0
luôn luôn cùng dấu với a”
18 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Kết luận
• Tính chất đơn điệu của hàm số.
• Cực trị của hàm số.
Chọn hai điểm đặc biệt của đồ thị.
Vẽ đồ thị: Đồ thị có 4 dạng và luôn luôn nhận trục tung làm trục đối xứng.
y
0
= 0 a > 0 a < 0
Có 3 nghiệm
x
y
O
x
y
O
Có 1 nghiệm
x
y
O
x
y
O
3 Hàm số nhất biến y =
ax + b
cx + d
(c 6= 0, ad − bc 6= 0)
Tập xác định D = R \
ß
−
d
c
™
.
Tính y
0
=
ad − bc
(cx + d)
2
(y
0
hoặc luôn dương, hoặc luôn âm ∀x ∈ D)
Đường tiệm cận:
• Tiệm cận đứng là đường thẳng x = −
d
c
vì lim
x→
(
−
d
c
)
+
y = . . . và lim
x→
(
−
d
c
)
−
y = . . ..
• Tiệm cận ngang là đường thẳng y =
a
c
vì lim
x→±∞
y =
a
c
.
Lập bảng biến thiên: Nhớ: Khi x → ±∞ thì y →
a
c
.
“Nghĩa là hai đầu bảng biến thiên là giá trị của tiệm cận ngang”
5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 19
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Kết luận
• Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định hoặc luôn nghịch biến trên
từng khoảng xác định.
• Hàm số không có cực trị.
Chọn ít nhất 4 điểm đặc biệt của đồ thị và phải có tọa độ giao điểm của đồ thị với
2 trục tọa độ.
Vẽ đồ thị: Đồ thị có 2 dạng và luôn luôn nhận giao điểm của hai đường tiệm cận
làm tâm đối xứng.
ad − bc > 0 ad − bc < 0
x
y
O x
y
O
B ĐỒ THỊ HÀM CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI
1 Dạng 1: (C
0
): y = f(|x|)
Từ đồ thị (C) : y = f(x) suy ra đồ thị (C
0
): y = f(|x|).
Ta có y = f(|x|) =
®
f(x) khi x ≥ 0
f(−x) khi x < 0
và y = f (|x|) là hàm chẵn nên đồ thị (C
0
) nhận Oy làm trục đối xứng.
Cách vẽ (C
0
) từ (C):
Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy của đồ thị (C): y = f(x).
Bỏ phần đồ thị bên trái Oy của (C), lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua
Oy.
20 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
d Ví dụ 1
x
y
O
1 3
4
x
y
O
1 3−1−3
4
(C): y = x
3
− 6x + 9x (C
0
): y = |x|
3
− 6x
2
+ 9|x|
2 Dạng 2: (C
0
): y = |f(x)|
Từ đồ thị (C) : y = f(x) suy ra đồ thị (C
0
): y = |f(x)|.
Ta có y = |f(x)| =
®
f(x) khi x ≥ 0
− f(x) khi x < 0.
Cách vẽ (C
0
) từ (C):
Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox của đồ thị (C): y = f(x).
Bỏ phần đồ thị phía dưới Ox của (C), lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox.
d Ví dụ 2
x
y
O
2
−2
1−2
x
y
O
1−1−2−3
2
(C): y = x
3
+ 3x
2
− 2 (C
0
): y =
x
3
+ 3x
2
− 2
!
Với dạng y = |f(|x|)| ta lần lượt biến đổi 2 đồ thị y = f(|x|) và y = |f(x)|.
5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 21
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
3 Dạng 3: (C
0
): y = |u(x)|· v(x)
Từ đồ thị (C) : y = u(x) · v(x) suy ra đồ thị (C
0
): y = |u(x)|· v(x).
Ta có y = |u(x)| · v(x) =
®
u(x) · v(x) khi x ≥ 0
− u(x) · v(x) khi x < 0.
Cách vẽ (C
0
) từ (C):
Giữ nguyên phần đồ thị trên miền u(x) ≥ 0 của đồ thị (C): y = f(x).
Bỏ phần đồ thị trên miền u(x) < 0 của (C), lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ
qua Ox.
d Ví dụ 3
x
y
O
1
1
x
y
O
1
−1
1
(C): y = 2x
3
− 3x + 1 (C
0
): y = |x − 1| · (2x
2
− x − 1)
d Ví dụ 4
x
y
O
1 2
1
2
x
y
O
−2
−1
1 2
22 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
(C): y =
x − 2
x − 1
(C
0
): y =
x − 2
|x − 1|
C MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C), hãy suy ra đồ thị (C
0
) của hàm số.
STT
ĐỒ THỊ
CÁCH VẼ
1 y = f(−x) Lấy đối xứng (C) qua trục Oy.
2 y = −f(x) Lấy đối xứng (C) qua trục Ox.
3 y = f (|x|)
Giữ nguyên phần đồ thị
bên phải Oy.
Bỏ phần đồ thị bên trái Oy của
(C), lấy đối xứng đồ thị được
giữ qua Oy.
4 y = |f(x)|
Giữ nguyên phần đồ thị
phía trên Ox của đồ thị (C).
Bỏ phần đồ thị phía dưới Ox của
(C), lấy đối xứng phần đồ thị
bị bỏ qua Ox.
5 y = |f (|x|)|
Ta lần lượt biến đổi 2 đồ thị y = f(|x|)
và y = |f (x)|.
6
y = |u(x)| · v(x)
với (C) : y = u(x) · v(x)
Giữ nguyên phần đồ thị trên miền
u(x) ≥ 0 của đồ thị (C).
Bỏ phần đồ thị trên miền u(x) < 0
của (C), lấy đối xứng phần đồ
thị bị bỏ qua Ox.
5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 23
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
7 y = f(x) + p, p > 0 Tịnh tiến đồ thị (C) lên trên p đơn vị.
8 y = f(x) − p, p > 0 Tịnh tiến đồ thị (C) xuống dưới p đơn
vị.
9 y = f(x + q), q > 0 Tịnh tiến đồ thị (C) sang trái q đơn vị.
10 y = f(x − q), q > 0 Tịnh tiến đồ thị (C) sang phải q đơn vị.
11 y = f(kx), k > 1 Co đồ thị (C) theo chiều ngang hệ số k.
12 y = f(kx), 0 < k < 1 Giãn đồ thị (C) theo chiều ngang hệ số
1
k
.
13 y = kf(x), k > 1 Giãn đồ thị (C) theo chiều dọc hệ số k.
14 y = kf(x), 0 < k < 1 Co đồ thị (C) theo chiều dọc hệ số
1
k
.
15 y = |f(x)| + m
Vẽ đồ thị y = |f(x)|.
Tịnh tiến đồ thị lên hoặc xuống m
đơn vị.
16 y = |f(x + m)|
Tịnh tiến đồ thị sang phải hoặc
sang trái m đơn vị.
Sau đó vẽ như cách vẽ đồ thị y =
|f(x)|.
17 y = |f(|x| + m)|
Tịnh tiến đồ thị sang phải hoặc
sang trái m đơn vị.
Sau đó vẽ như cách vẽ đồ thị y =
f(|x|).
18 y = |f(|x + m|)|
Vẽ đồ thị y = |f(x)|.
Tịnh tiến đồ thị sang phải hoặc
sang trái m đơn vị.
24 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
BÀI 6 TIẾP TUYẾN
A TIẾP TUYẾN
Cho hàm số y = f(x), có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm
M
0
(x
0
; y
0
) ∈ (C) có dạng
y = f
0
(x
0
)(x − x
0
) + y
0
Trong đó điểm M
0
(x
0
; y
0
) ∈ (C) được gọi là tiếp điểm với y
0
= f(x
0
) và k = f
0
(x
0
) là
hệ số góc của tiếp tuyến.
{ DẠNG 1. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M (x
0
; y
0
)
Phương pháp giải.
1 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng số a.
Gọi M (x
0
; y
0
) là tiếp điểm.
Ta có x
0
= a.
Thế x = a vào phương trình y = f (x) tìm được y
0
.
Tính f
0
(x) từ đó tính f
0
(x
0
).
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có dạng
y − y
0
= f
0
(x
0
)(x − x
0
).
2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ bằng số
b.
Gọi M (x
0
; y
0
) là tiếp điểm.
Ta có y
0
= b.
Thế y = b vào phương trình y = f (x) từ đó tìm được x
0
.
Tính f
0
(x), từ đó tính được f
0
(x
0
).
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có dạng
y − y
0
= f
0
(x
0
)(x − x
0
).
{ DẠNG 2. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) có phương cho trước
Phương pháp giải.
1 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hệ số góc của tiếp tuyến
6. Tiếp tuyến 25
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
bằng k.
Gọi M (x
0
; y
0
) là tiếp điểm.
Hệ số góc tiếp tuyến bằng k nên f
0
(x
0
) = k. Giải phương trình này ta
tìm được x
0
.
Thế x
0
vào phương trình y = f (x) tìm được y
0
.
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có dạng
y − y
0
= f
0
(x
0
)(x − x
0
).
2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với
đường thẳng d: y = ax + b.
Gọi M (x
0
; y
0
) là tiếp điểm.
Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y = ax + b ⇒ f
0
(x
0
) = a. Giải
phương trình này tìm được x
0
.
Thế x
0
vào phương trình y = f (x) tìm được y
0
.
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có dạng
y − y
0
= f
0
(x
0
)(x − x
0
).
!
Nhớ kiểm tra tính song song của tiếp tuyến cần tìm để loại bỏ
đáp án.
3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với
đường thẳng d: y = ax + b.
Gọi M (x
0
; y
0
) là tiếp điểm.
Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : y = ax + b ⇒ f
0
(x
0
) = −
1
a
.
Giải phương trình này tìm được x
0
.
Thế x
0
vào phương trình y = f (x) tìm được y
0
.
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có dạng
y − y
0
= f
0
(x
0
)(x − x
0
).
{ DẠNG 3. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) đi qua điểm M(x
0
; y
0
)
Phương pháp giải.
26 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến d đi qua M.
Suy ra d: y − y
0
= k(x − x
0
) ⇔ y = kx − kx
0
+ y
0
(∗).
d tiếp xúc với (C) ⇔
®
f(x) = kx − kx
0
+ y
0
(1)
f
0
(x) = k (2)
có nghiệm.
Thế (2) vào (1) để tìm hoành độ tiếp điểm x.
Thế x vào phương trình (2) để tìm hệ số góc k của tiếp tuyến.
Thế k vào (∗) tìm được phương trình tiếp tuyến đi qua M.
!
Khi thế (2) vào (1) và giả sử thu được phương trình ẩn số là x và được kí
hiệu là (1). Thông thường phương trình (1) có bao nhiêu nghiệm x thì qua
điểm M có bấy nhiêu tiếp tuyến đến đồ thị (C). Từ đó ta giải quyết được bài
toán “Tìm điều kiện để qua M có thể vẽ được đến đồ thị (C) n tiếp tuyến”.
B ĐIỀU KIỆN TIẾP XÚC
Cho hai hàm số (C): y = f(x) và (C
0
): y = g(x). Đồ thị (C) và (C
0
) tiếp xúc với nhau
khi và chỉ khi hệ phương trình
®
f(x) = g(x)
f
0
(x) = g
0
(x)
có nghiệm.
BÀI 7 TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C
1
) và y = g(x) có đồ thị (C
2
).
Phương trình hoành độ giao điểm của (C
1
) và (C
2
) là f(x) = g(x) (1). Khi đó
1 Số giao điểm của (C
1
) và (C
2
) bằng số nghiệm của phương trình (1).
2 Nghiệm x
0
của phương trình (1) chính là hoành độ x
0
của giao điểm .
3 Để tính tung độ y
0
của giao điểm, ta thay hoành độ x
0
vào y = f(x) hoặc y = g(x).
4 Điểm M(x
0
; y
0
) là giao điểm của (C
1
) và (C
2
).
7. Tương giao đồ thị 27
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
{ DẠNG 1. Tìm tham số để đồ thị (C) : y =
ax + b
cx + d
cắt đường thẳng (d) tại
hai điểm
Phương pháp giải.
1 Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d ta được
g(x) = ax
2
+ bx + c = 0 (∗) (x 6= x
0
)
với x
0
là nghiệm của mẫu số.
2 d cắt (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (∗) có hai nghiệm
phân biệt khác x
0
⇔
a 6= 0
∆ > 0
g(x
0
) 6= 0
⇒ tìm được tham số.
{ DẠNG 2. Tìm tham số để đồ thị (C): y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d cắt đường thẳng
(d) tại 3 điểm
Phương pháp giải.
1 Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) gọi là phương trình (∗).
2 Nhẩm nghiệm của phương trình (∗) và giả sử được một nghiệm x = x
0
. Dùng
sơ đồ Hoocner để biến đổi phương trình (∗) về dạng
(x − x
0
)(ax
2
+ Bx + C) = 0 ⇔
ñ
x = x
0
g(x) = ax
2
+ Bx + C = 0 (1).
3 (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (∗) có 3 nghiệm
phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác
x
0
⇔
a 6= 0
∆
g
> 0
g(x
0
) 6= 0
⇒ tìm được tham số.
28 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
!
Công thức trắc nghiệm
1 Đồ thị hàm số y = ax
3
+bx
2
+cx+d cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành
độ lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi phương trình ax
3
+bx
2
+cx+d =
0 có 1 nghiệm là x = −
b
3a
.
2 Đồ thị hàm số y = ax
3
+bx
2
+cx+d cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành
độ lập thành cấp số nhân khi và chỉ khi phương trình ax
3
+bx
2
+cx+d =
0 có 1 nghiệm là x = −
3
…
d
a
.
{ DẠNG 3. Tìm tham số để đồ thị (C): y = ax
4
+ bx
2
+ c cắt đường thẳng d
tại 4 điểm
Phương pháp giải.
1 Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d giả sử được phương trình
Ax
4
+ Bx
2
+ C = 0 (∗).
2 Đặt t = x
2
, t ≥ 0. Phương trình (∗) trở thành At
2
+ Bt + C = 0 (1).
3 d cắt (C) tại 4 điểm khi và chỉ khi phương trình (∗) có 4 nghiệm khi và chỉ
khi phương trình (1) có hai nghiệm dương ⇔
∆ > 0
S > 0
P > 0
với
S = −
B
A
P =
C
A
từ đây
tìm được tham số.
!
Công thức trắc nghiệm
Đồ thị hàm số y = ax
4
+ bx
2
+ c cắt trục hoành tại 4 điểm có hoành độ lập
thành cấp số cộng ⇔ phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt t
1
, t
2
(t
1
< t
2
) thỏa mãn t
2
= 9t
1
⇔
b
2
− 4ac > 0
−
b
a
> 0
c
a
> 0
9ab
2
= 100a
2
c.
7. Tương giao đồ thị 29
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
{ DẠNG 4. Tìm tham số để đồ thị (C) : y = f(x) cắt đường thẳng d tại n điểm
thỏa mãn tính chất nào đó
Phương pháp giải.
1 Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là g(x) = 0 (∗).
2 d cắt (C) tại n điểm ⇔ phương trình (∗) có n nghiệm.
3 Khi đó hoành độ giao điểm của (C) và d là nghiệm của phương trình (∗) và
thông thường sử dụng định lí Vi-ét để giải quyết bài toán.
BÀI 8 ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG
A BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG
Xét họ đường cong (C
m
) có phương trình y = f(x, m), trong đó f là hàm đa thức theo
biến x với m là tham số sao cho bậc của m không quá 2. Tìm những điểm cố định thuộc
họ đường cong khi m thay đổi.
Phương pháp giải
Bước 1: Đưa phương trình y = f (x, m) về dạng phương trình theo ẩn m có dạng
sau: Am + B = 0 hoặc Am
2
+ Bm + C = 0.
Bước 2: Cho các hệ số bằng 0, ta thu được hệ phương trình và giải hệ phương
trình
®
A = 0
B = 0
hoặc
A = 0
B = 0
C = 0.
Bước 3: Kết luận
• Nếu hệ vô nghiệm thì họ đường cong (C
m
) không có điểm cố định.
• Nếu hệ có nghiệm thì nghiệm đó là điểm cố định của (C
m
)
B BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM CÓ TỌA ĐỘ NGUYÊN
Cho đường cong (C) có phương trình (C
m
): y =
P (x)
Q(x)
(hàm phân thức). Hãy tìm những
điểm có tọa độ nguyên của đường cong?
Phương pháp giải
Bước 1: Thực hiện chia đa thức, ta được: y =
P (x)
Q(x)
= H(x) +
k
Q(x)
, trong đó
H(x) là đa thức và k ∈ R.
30 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Bước 2: y ∈ Z ⇔ H(x) +
k
Q(x)
∈ Z ⇔
k
Q(x)
∈ Z ⇔ k ∈ Ư(k).
Bước 3: Lần lượt cho Q(x) nhận giá trị (là các ước của k) để tìm giá trị của x và
y tương ứng.
!
Những điểm có tọa độ nguyên là những điểm sao cho cả hoành độ và tung độ của
điểm đó đều là số nguyên.
C BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM CÓ TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG
Cho đường cong (C) có phương trình y = f(x). Tìm những điểm đối xứng nhau qua một
điểm, qua đường thẳng.
1 Bài toán 1: Cho đồ thị (C) : y = Ax
3
+ Bx
2
+ Cx + D trên đồ thị (C) tìm những
cặp điểm đối xứng nhau qua điểm I(x
I
; y
I
)
Phương pháp giải
Gọi M(a; Aa
3
+ Ba
2
+ Ca + D), N (b; Ab
3
+ Bb
2
+ Cb + D) là hai điểm trên
(C) đối xứng nhau qua điểm I.
Ta có
®
a + b = 2x
I
A(a
3
+ b
3
) + B(a
2
+ b
2
) + C(a + b) + 2D = 2y
I
.
Giải hệ phương trình tìm được a, b từ đó tìm được tọa độ M, N .
2 Bài toán 2: Cho đồ thị (C): y = Ax
3
+ Bx
2
+ Cx + D. Trên đồ thị (C) tìm những
cặp điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ.
Phương pháp giải
Gọi M(a; Aa
3
+ Ba
2
+ Ca + D), N (b; Ab
3
+ Bb
2
+ Cb + D) là hai điểm trên
(C) đối xứng với nhau qua gốc tọa độ.
Ta có
®
a + b = 0
A(a
3
+ b
3
) + B(a
2
+ b
2
) + C(a + b) + 2D = 0.
Giải hệ phương trình tìm được a, b từ đó tìm được tọa độ M, N .
3 Bài toán 3: Cho đồ thị (C) : y = Ax
3
+ Bx
2
+ Cx + D trên đồ thị (C) tìm những
cặp điểm đối xứng với nhau qua đường thẳng (d) : y = A
1
x + B
1
.
Phương pháp giải
8. Điểm đặc biệt của họ đường cong 31
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Gọi M(a; Aa
3
+ Ba
2
+ Ca + D), N (b; Ab
3
+ Bb
2
+ Cb + D) là hai điểm trên
(C) đối xứng với nhau qua đường thẳng d.
Ta có:
(
I ∈ (d)
−−→
MN ·
−→
u
d
= 0
(với I là trung điểm của M N và
−→
u
d
là véc-tơ chỉ
phương của đường thẳng (d)).
Giải hệ phương trình tìm được M, N .
D BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM ĐẶC BIỆT, KHOẢNG CÁCH
1 Lý thuyết
Cho hai điểm A(x
1
; y
1
), B(x
2
; y
2
), suy ra AB =
p
(x
2
− x
1
)
2
+ (y
2
− y
1
)
2
.
Cho điểm M(x
0
; y
0
) và đường thẳng (d): Ax + By + C = 0, thì khoảng cách từ M
đến d là h(M ; (d)) =
|Ax
0
+ By
0
+ C|
√
A
2
+ B
2
.
Cho hàm phân thức: y =
ax + b
cx + d
tiếp tuyến tại M cắt tiệm cận đứng, tiệm cận
ngang ở A và B thì M là trung điểm của AB. Khi đó diện tích của 4M AB không
đổi: S
MAB
=
2
c
2
|ad − bc|.
2 Các bài toán thường gặp
1 Bài toán 1: Cho hàm số y =
ax + b
cx + d
(c 6= 0, ad − bc 6= 0) có đồ thị (C). Hãy tìm
trên (C) hai điểm A và B thuộc hai nhánh đồ thị hàm số sao cho khoảng cách AB
ngắn nhất.
Phương pháp giải
(C) có tiệm cận đứng x = −
d
c
do tính chất của hàm phân thức, đồ thị nằm
về hai phía của tiệm cận đứng. Nên gọi hai số α, β là hai số dương.
Nếu A thuộc nhánh trái: x
A
< −
d
c
⇒ x
A
= −
d
c
− α < −
d
c
; y
A
= f(x
A
).
Nếu B thuộc nhánh phải: x
B
> −
d
c
⇒ x
B
= −
d
c
+ β > −
d
c
; y
B
= f(x
B
).
Sau đó tính: AB
2
= (x
B
−x
A
)+(y
B
−y
A
)
2
= [(α + β) − (a − α)]
2
+(y
B
− y
A
)
2
.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si sẽ tìm ra kết quả.
32 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
2 Bài toán 2: Cho đồ thị hàm số (C) có phương trình y = f(x). Tìm tọa độ điểm
M thuộc (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhất.
Phương pháp giải
Gọi M(x; y) và tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là d thì d = |x|+|y|.
Xét các khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ khi M nằm ở các vị trí đặc
biệt: Trên trục hoành, trên trục tung.
Sau đó xét tổng quát, những điểm M có hoành độ, hoặc tung độ lớn hơn hoành
độ hoặc tung độ của M khi nằm trên hai trục thì loại đi không xét đến.
Những điểm còn lại ta đưa về tìm giá trị nhỏ nhất của đồ thi hàm số dựa vào
đạo hàm rồi tìm được giá trị nhỏ nhất của d.
3 Bài toán 3: Cho đồ thị (C) có phương trình y = f(x). Tìm điểm M trên (C) sao
cho khoảng cách từ M đến Ox bằng k lần khoảng cách từ M đến trục Oy.
Theo đầu bài ta có |y| = k|x| ⇔
ñ
y = kx
y = −kx
⇔
ñ
f(x) = kx
f(x) = −kx.
4 Bài toán 4: Cho đồ thị hàm số (C) có phương trình y = f(x) =
ax + b
cx + d
(c 6= 0,
ad − bc 6= 0) tìm tọa độ điểm M trên (C) sao cho độ dài MI ngắn nhất (với I là
giao điểm hai tiệm cận).
Phương pháp giải
Tiệm cận đứng x = −
d
c
; tiệm cận ngang y =
a
c
.
Ta tìm được tọa độ giao điểm I
Å
−
d
c
;
a
c
ã
của hai tiệm cận.
Gọi M (x
M
; y
M
) là điểm cần tìm thì IM
2
=
Å
x
M
+
d
c
ã
2
y
M
−
a
c
2
= g (x
M
).
Sử dụng phương pháp tìm GTLN - GTNN cho hàm số g để thu được kết quả.
5 Cho đồ thị hàm số (C) có phương trình y = f(x) và đường thẳng (d) : Ax+By+C =
0. Tìm điểm I trên (C) sao cho khoảng cách từ I đến d là ngắn nhất.
Phương pháp giải
Gọi I ∈ (C), suy ra I (x
0
; y
0
) và y
0
= f(x
0
).
8. Điểm đặc biệt của họ đường cong 33
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Khoảng cách từ I đến d là g(x
0
) = h(I; (d)) =
|Ax
0
+ By
0
+ C|
√
A
2
+ B
2
.
Khảo sát hàm số y = g(x) để tìm ra điểm I thỏa mãn yêu cầu.
34 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
CHƯƠNG
2
MŨ VÀ LOGARIT
BÀI 1 LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA
A KHÁI NIỆM LŨY THỪA
1 Lũy thừa với số mũ nguyên
Cho n là một số nguyên dương.
Với a là một số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a.
a
n
= a · a · ···a
| {z }
n
(n thừa số a).
Với a 6= 0 thì a
0
= 1, a
−n
=
1
a
n
.
Ta gọi a là cơ số, n là số mũ. Và chú ý 0
0
và 0
−n
không có nghĩa.
2 Một số tính chất của lũy thừa
Giả thiết rằng mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa
a
α
· a
β
= a
α+β
a
α
a
β
= a
α−β
(a
α
)
β
= a
α·β
(ab)
α
= a
α
· b
α
a
b
α
=
a
α
b
α
Å
b
a
ã
−α
=
a
b
α
Nếu a > 1 thì a
α
> a
β
⇔ α > β Nếu 0 < a < 1 thì a
α
> a
β
⇔ α < β
Với 0 < a < b thì a
m
< b
m
⇔ m > 0 Với 0 < a < b thì a
m
> b
m
⇔ m < 0
4
!
Các tính chất trên đúng trong trường hợp số mũ nguyên hoặc không nguyên.
Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.
Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.
35
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
B PHƯƠNG TRÌNH X
N
= B
Ta có kết quả biện luận số nghiệm phương trình x
n
= b như sau
TH.1 Khi n lẻ: Với mọi số thực b phương trình có nghiệm duy nhất.
TH.2 Khi n chẵn:
a) Với b < 0, phương trình vô nghiệm.
b) Với b = 0, phương trình có một nghiệm x = 0.
c) Với b > 0, phương trình có hai nghiệm trái dấu, kí hiệu giá trị dương là
n
√
b, giá
trị âm là −
n
√
b.
C MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA CĂN BẬC N
Với a, b ∈ R và n ∈ N
∗
, ta có
2n
√
a
2n
= |a|.
2n+1
√
a
2n+1
= a.
2n
√
ab =
2n
p
|a| ·
2n
p
|b|, ∀ab ≥ 0.
2n+1
√
ab =
2n+1
√
a ·
2n+1
√
b, ∀a, b.
2n
…
a
b
=
2n
p
|a|
2n
p
|b|
, ∀ab ≥ 0, b 6= 0.
2n+1
…
a
b
=
2n+1
√
a
2n+1
√
b
, ∀a ≥ 0, b 6= 0.
n
√
a
m
= (
n
√
a)
m
, ∀m ∈ Z, a > 0.
n
p
m
√
a =
mn
√
a, ∀m ∈ N
∗
, a > 0.
Nếu
p
n
=
q
m
thì
n
√
a
p
=
m
√
a
q
, ∀m ∈
N
∗
, ∀p, q ∈ Z, a > 0.
n
√
a =
mn
√
a
m
, a > 0, m ∈ N
∗
.
D HÀM SỐ LŨY THỪA
1 Khái niệm
Xét hàm số y = x
α
với α là số thực cho trước.
Hàm số y = x
α
, với α ∈ R được gọi là hàm số lũy thừa.
4
!
Tập xác định của hàm số lũy thừa y = x
α
tùy thuộc vào giá trị của α.
Với α nguyên dương thì D = R.
Với α nguyên âm hoặc bằng 0 thì D = R \ {0}.
Với α không nguyên thì D = (0; +∞).
2 Khảo sát hàm số lũy thừa
Tập xác định của hàm số lũy thừa y = x
α
luôn chứa khoảng (0; +∞). Trong trường hợp
tổng quát, chúng ta khảo sát hàm số y = x
α
trên (0; +∞).
36 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
y = x
α
, α > 0 y = x
α
, α < 0
1 Tập xác định (0; +∞).
2 Sự biến thiên
y
0
= α · x
α−1
> 0, ∀x > 0.
Giới hạn đặc biệt
lim
x→0
+
x
α
= 0, lim
x→+∞
x
α
= +∞.
Tiệm cận:
không có.
3 Bảng biến thiên
x
y
0
y
0
+∞
+
00
+∞+∞
1 Tập xác định (0; +∞).
2 Sự biến thiên
y
0
= α · x
α−1
< 0, ∀x > 0.
Giới hạn đặc biệt
lim
x→0
+
x
α
= +∞, lim
x→+∞
x
α
= 0.
Tiệm cận: Ox là tiệm cận
ngang; Oy là tiệm cận đứng.
3 Bảng biến thiên
x
y
0
y
0
+∞
−
+∞+∞
00
Đồ thị hàm số
O
1
x
1
y
α = 1
α > 1
0 < α < 1
α = 0
α < 0
Đồ thị hàm số y = x
α
luôn đi qua điểm I(1; 1).
1. Lũy thừa và hàm số lũy thừa 37
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
E KHẢO SÁT HÀM SỐ MŨ Y = A
X
y = a
x
, a > 1 y = a
x
, 0 < a < 1
1 Tập xác định R.
2 Sự biến thiên
y
0
= a
x
· ln a > 0, ∀x.
Giới hạn đặc biệt
lim
x→−∞
a
x
= 0, lim
x→+∞
a
x
= +∞.
Tiệm cận: Ox là tiệm cận
ngang.
3 Bảng biến thiên
x
y
0
y
−∞ +∞
+
00
+∞+∞
0
1
1
a
4 Đồ thị như hình sau
O
1
x
1
y
a
y = a
x
1 Tập xác định R.
2 Sự biến thiên
y
0
= a
x
· ln a < 0, ∀x.
Giới hạn đặc biệt
lim
x→−∞
a
x
= +∞, lim
x→+∞
a
x
= 0.
Tiệm cận: Ox là tiệm cận
ngang.
3 Bảng biến thiên
x
y
0
y
−∞ +∞
−
+∞+∞
00
1
a
0
1
4 Đồ thị như hình sau
O
1
x
1
y
a
y = a
x
BÀI 2 LÔGARIT
38 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
A KHÁI NIỆM LÔGARIT
Cho hai số dương a, b với a 6= 1. Số α thỏa mãn đẳng thức a
α
= b được gọi là lôgarit cơ
số a của b và được kí hiệu là log
a
b.
α = log
a
b ⇔ a
α
= b.
Không có lôgarit của số âm và số 0.
B BẢNG TÓM TẮT CÔNG THỨC MŨ - LÔGARIT THƯỜNG GẶP
Với các điều kiện của a, b, c để mỗi biểu thức có nghĩa, ta có bảng sau
Công thức mũ Công thức lôgarit
a
0
= 1, a 6= 0.
a
1
= a.
a
−α
=
1
a
α
.
a
α
a
β
= a
α−β
.
a
α
· a
β
= a
α+β
a
α
· b
α
= (a · b)
α
.
a
α
b
α
=
a
b
α
, b 6= 0.
a
m
n
=
n
√
a
m
, n ∈ N, n ≥ 2, m ∈ Z.
(a
α
)
β
= a
αβ
.
a
α
= b ⇒ α = log
a
b.
log
a
1 = 0.
log
a
a = 1.
log
a
a
α
= α.
log
α
a
a =
1
α
.
log
a
b
α
= α log
a
b, b > 0.
log
a
β
b =
1
β
log
a
b.
log
a
β
b
α
=
α
β
log
a
b.
log
a
b + log
a
c = log
a
(bc).
log
a
b − log
a
c = log
a
b
c
.
log
a
b =
1
log
b
a
, 1 6= b > 0.
BÀI 3 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
3. Bất phương trình mũ và logarit 39
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
A BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ CƠ BẢN
Bất phương trình mũ cơ bản có dạng a
x
> b (hoặc a
x
≥ b, a
x
< b, a
x
≤ b) với a > 0,
a 6= 1.
Ta xét bất phương trình có dạng a
x
> b.
Nếu b ≤ 0, tập nghiệm của bất phương trình là R, vì a
x
> b, ∀x ∈ R.
Nếu b > 0 thì bất phương trình tương đương với a
x
> a
log
a
b
.
• Với a > 1, nghiệm của bất phương trình là x > log
a
b.
• Với 0 < a < 1, nghiệm của bất phương trình là x < log
a
b.
Ta minh họa bằng đồ thị như sau:
Với a > 1 ta có đồ thị sau Với 0 < a < 1 ta có đồ thị sau
O
log
a
b
x
1
b
y
y = b
y = a
x
log
a
b
O
x
1
b
y
y = b
y = a
x
B BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT CƠ BẢN
Bất phương trình logarit cơ bản có dạng log
a
x > b (hoặc log
a
x ≥ b, log
a
x < b, log
a
x ≤ b)
với a > 0, a 6= 1.
Ta xét bất phương trình có dạng a
x
> b.
Với a > 1, nghiệm của bất phương trình là x > a
b
.
Với 0 < a < 1, nghiệm của bất phương trình là 0 < x < a
b
.
Ta minh họa bằng đồ thị như sau:
40 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Với a > 1 ta có đồ thị sau Với 0 < a < 1 ta có đồ thị sau
O
1
a
b
x
b
y
y = log
a
x
y = b
O
1 a
b
x
b
y
y = log
a
x
y = b
Quan sát đồ thị, ta thấy rằng:
Với a > 1, ta có log
a
x > b khi và chỉ khi x > a
b
.
Với 0 < a < 1, ta có log
a
x > b khi và chỉ khi 0 < x < a
b
.
BÀI 4 BÀI TOÁN LÃI SUẤT NGÂN HÀNG
A LÃI ĐƠN
1 Định nghĩa
Lãi đơn là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền
gốc sinh ra, tức là tiền lãi của kì hạn trước không được tính vào vốn để tính lãi cho kì
hạn kế tiếp, cho dù đến kì hạn người gửi không đến rút tiền ra.
2 Công thức tính
Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi đơn r%/kì hạn thì số tiền khách hàng nhận
được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn (n ∈ N
∗
) là
S
n
= A + nAr = A(1 + nr).
4
!
Trong tính toán các bài toán lãi suất và các bài toán liên quan, ta nhớ r% là
r
100
.
B LÃI KÉP
4. Bài toán lãi suất ngân hàng 41
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
1 Định nghĩa
Lãi kép là tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút ra thì được tính vào vốn để
tính lãi cho kì hạn sau.
2 Công thức tính
Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r%/kì hạn thì số tiền khách hàng nhận
được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn (n ∈ N
∗
) là
S
n
= A(1 + r)
n
.
Các công thức liên quan
n = log
1+r
Å
S
n
A
ã
;a) r% =
n
…
S
n
A
− 1;b) A =
S
n
(1 + r)
n
.c)
C TIỀN GỬI HÀNG THÁNG
1 Định nghĩa
Tiền gửi hàng tháng là mỗi tháng gửi đúng cùng một số tiền vào một thời gian cố định.
2
Công thức tính
Đầu mỗi tháng khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi kép r%/tháng thì
số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n tháng (n ∈ N
∗
) (nhận tiền cuối tháng,
khi ngân hàng đã tính lãi) là
S
n
=
A
r
[(1 + r)
n
− 1] (1 + r).
Các công thức liên quan
n = log
1+r
Å
rS
n
A(1 + r)
+ 1
ã
;a) A =
rS
n
(1 + r) [(1 + r)
n
− 1]
.b)
D GỬI NGÂN HÀNG VÀ RÚT TIỀN GỬI HÀNG THÁNG
Công thức tính
Gửi ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suất r%/tháng. Mỗi tháng vào ngày ngân hàng
tính lãi, rút ra số tiền là X đồng. Tính số tiền còn lại sau n tháng là
S
n
= A(1 + r)
n
− X ·
(1 + r)
n
− 1
r
.
42 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
E VAY VỐN TRẢ GÓP
1 Định nghĩa
Vay vốn trả góp là vay ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suất r%/tháng. Sau đúng một
tháng kể từ ngày vay, bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ cách nhau đúng một tháng, mỗi
hoàn nợ số tiền là X đồng và trả hết tiền nợ sau đúng n tháng.
2 Công thức tính
Cách tính số tiền còn lại sau n tháng giống hoàn toàn công thức tính gửi ngân hàng và
rút tiền hàng tháng nên ta có
S
n
= A(1 + r)
n
− X ·
(1 + r)
n
− 1
r
.
Để sau đúng n tháng trả hết nợ thì S
n
= 0 nên
A(1 + r)
n
− X ·
(1 + r)
n
− 1
r
= 0 ⇔ X =
Ar(1 + r)
n
(1 + r)
n
− 1
.
F BÀI TOÁN TĂNG LƯƠNG
1 Định nghĩa
Bài toán tăng lương được mô tả như sau: Một người được lãnh lương khởi điểm là A
đồng/tháng. Cứ sau n tháng thì lương người đó được tăng thêm r%/tháng. Hỏi sau kn
tháng người đó lĩnh được tất cả số tiền là bao nhiêu?
2 Công thức tính
Tổng số tiền nhận được sau kn tháng là
S
kn
= Ak ·
(1 + r)
k
− 1
r
.
G BÀI TOÁN TĂNG TRƯỞNG DÂN SỐ
Công thức tính tăng trưởng dân số là
X
m
= X
n
(1 + r)
m−n
, m, n ∈ Z
+
, m ≥ n.
Trong đó
r% là tỉ lệ tăng dân số từ năm n đến năm m;
4. Bài toán lãi suất ngân hàng 43
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
X
m
là dân số năm m, X
n
là dân số năm n.
Từ đó ta có công thức tính tỉ lệ tăng dân số là
r% =
m−n
X
m
X
n
− 1.
H LÃI KÉP LIÊN TỤC
Gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r%/năm thì số tiền nhận được cả vốn lẫn lãi sau
n năm (n ∈ N
∗
) là S
n
= A(1 + r)
n
.
Giả sử ta chia mỗi năm thành m kì hạn để tính lãi và lãi suất mỗi kì hạn là
r
m
% thì số
tiền thu được sau n năm là S
n
= A
1 +
r
m
mn
.
Khi tăng số kì hạn của mỗi năm lên vô cực, tức là m → +∞, gọi là hình thức lãi kép tiên
tục thì người ta chứng minh được số tiền nhận được cả gốc lẫn lãi là S = Ae
nr
(công
thức tăng trưởng mũ).
44 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
CHƯƠNG
3
NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
BÀI 1 NGUYÊN HÀM
A ĐỊNH NGHĨA
Cho hàm số f (x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F (x)
được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F
0
(x) = f(x) với mọi x ∈ K. Kí
hiệu:
Z
f(x) dx = F (x) + C.
Định lí 1. 1) Nếu F (x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm
số G(x) = F (x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.
2) Nếu F (x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K
đều có dạng F (x) + C, với C là một hằng số.
Do đó F (x) + C, C ∈ R là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K.
B TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM
Å
Z
f(x) dx
ã
0
= f(x) và
Z
f
0
(x) dx = f(x) + C; d
Å
Z
f(x) dx
ã
= f(x) dx.
Nếu F (x) có đạo hàm thì:
Z
d(F (x)) = F (x) + C.
Z
kf(x) dx = k
Z
f(x) dx với k là hằng số khác 0.
Z
[f(x) ± g(x)] dx =
Z
f(x) dx ±
Z
g(x) dx.
Công thức đổi biến số: Cho y = f(u) và y = g(x).
Nếu
Z
f(x) dx = F (x) + C thì
Z
f(g(x))g
0
(x) dx =
Z
f(u) du = F (u) + C.
45
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
C SỰ TỒN TẠI NGUYÊN HÀM
Định lí 2. Mọi hàm số f (x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
D BẢNG NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
Z
0 dx = C
Z
dx = x + C
Z
x
a
dx =
1
α + 1
x
a+1
+ C,
(α 6= −1)
Z
(ax + b)
α
dx =
1
a
(ax + b)
α+1
α + 1
+ C, α 6=
−1
Z
1
x
2
dx = −
1
x
+ C
Z
x dx =
x
2
2
+ C
Z
1
x
dx = ln |x|+ C
Z
dx
ax + b
=
1
a
ln |ax + b| + C
Z
e
x
dx = e
x
+ C
Z
e
ax+b
dx =
1
a
e
ax+b
+ C
Z
a
x
dx =
a
x
ln a
+ C
Z
a
kx+b
dx =
1
k
a
kx+b
ln a
+ C
Z
cos x dx = sin x + C
Z
cos(ax + b) dx =
1
a
sin(ax + b) + C
Z
sin x dx = −cos x + C
Z
sin(ax + b) dx = −
1
a
cos(ax + b) + C
Z
tan x dx = −ln |cos x|+ C
Z
tan(ax+ b) dx = −
1
a
ln |cos(ax +b)|+ C
Z
cot x dx = ln |sin x| + C
Z
cot(ax + b) dx =
1
a
ln |sin(ax + b)| + C
Z
1
cos
2
x
dx = tan x + C
Z
1
cos
2
(ax + b)
dx =
1
a
tan(ax + b) + C
Z
1
sin
2
x
dx = −cot x + C
Z
1
sin
2
(ax + b)
dx = −
1
a
cot(ax + b) + C
Z
1 + tan
2
x
dx = tan x +
C
Z
1 + tan
2
(ax + b)
dx =
1
a
tan(ax+b)+
C
Z
1 + cot
2
x
dx = −cot x+
C
Z
1 + cot
2
(ax + b)
dx = −
1
a
cot(ax +
b) + C
E BẢNG NGUYÊN HÀM MỞ RỘNG
46 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Z
dx
a
2
+ x
2
=
1
a
arctan
x
a
+ C
Z
arcsin
x
a
dx = x arcsin
x
a
+
p
a
2
− x
2
+ C
Z
dx
a
2
− x
2
=
1
2a
ln
a + x
a − x
+ C
Z
arccos
x
a
dx = x arccos
x
a
−
p
a
2
− x
2
+ C
Z
dx
√
x
2
+ a
2
= ln(x+
p
x
2
+ a
2
)+C
Z
arctan
x
a
dx = x arctan
x
a
−
a
2
ln
a
2
+ x
2
+ C
Z
dx
√
a
2
− x
2
= arcsin
x
|a|
+ C
Z
arccot
x
a
dx = x arccot
x
a
+
a
2
ln
a
2
+ x
2
+ C
Z
dx
x
√
x
2
− a
2
=
1
a
arccos
x
a
+ C
Z
dx
x
√
x
2
+ a
2
=
−
1
a
ln
a +
√
x
2
+ a
2
x
+ C
Z
dx
sin(ax + b)
=
1
a
ln
tan
ax + b
2
+
C
Z
ln(ax + b) dx =
Å
x +
b
a
ã
ln(ax +
b) − x + C
Z
e
ax
cos bx dx =
e
ax
(a cos bx + b sin bx)
a
2
+ b
2
+ C
Z
p
a
2
− x
2
dx =
x
√
a
2
− x
2
2
+
a
2
2
arcsin
x
a
+ C
Z
e
ax
sin bx dx =
e
ax
(a sin bx − b cos bx)
a
2
+ b
2
+ C
BÀI 2 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
A PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
1 Đổi biến dạng 1
Nếu
Z
f(x) dx = F (x) + C và với u = ϕ(t) là hàm số có đạo hàm thì
Z
f(u) du = F (ϕ(t)) + C
2. Các phương pháp tính nguyên hàm 47
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
1 Phương pháp chung
Bước 1: Chọn x = ϕ(t) , trong đó ϕ(t) là hàm số mà ta chọn thích hợp.
Bước 2: Lấy vi phân hai vế : dx = ϕ
0
(t) dt.
Bước 3: Biến đổi : f(x) dx = f[ϕ(t)]ϕ
0
(t) dt = g(t) dt.
Bước 4: Khi đó tính :
Z
f(x) dx =
Z
g(t) dt = G(t) + C.
2 Các dấu hiệu đổi biến thường gặp
Dấu hiệu Cách chọn
√
a
2
− x
2
Đặt x = |a|sin t; với t ∈
h
−
π
2
;
π
2
i
hoặc x =
|a|cos t; với t ∈ [0; π].
√
x
2
− a
2
Đặt x =
|a|
sin t
; với t ∈
h
−
π
2
;
π
2
i
\ {0} hoặc
x =
|a|
cos t
; với t ∈ [0; π] \
n
π
2
o
.
√
a
2
+ x
2
Đặt x = |a|tan t; với t ∈
−
π
2
;
π
2
hoặc x =
|a|cot t; với t ∈ (0; π).
…
a + x
a − x
hoặc
…
a − x
a + x
Đặt x = a cos 2t
p
(x − a)(b − x) Đặt x = a + (b − a) sin
2
t
1
a
2
+ x
2
Đặt x = a tan t; với t ∈
−
π
2
;
π
2
.
2 Đổi biến dạng 2
Nếu hàm số f(x) liên tục thì đặtx = ϕ(t). Trong đó ϕ(t) cùng với đạo hàm của nó (ϕ
0
(t)
là những hàm số liên tục) thì ta được:
Z
f(x) dx =
Z
f[ϕ(t)]ϕ
0
(t) dt =
Z
g(t) dt = G(t) + C
1 Phương pháp chung
Bước 1: Chọn t = ϕ(x) , trong đó ϕ(x) là hàm số mà ta chọn thích hợp.
Bước 2: Lấy vi phân hai vế : dt = ϕ
0
(t) dt.
Bước 3: Biến đổi : f(x) dx = f[ϕ(t)]ϕ
0
(t) dt = g(t) dt.
48 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Bước 4: Khi đó tính : I =
Z
f(x) dx =
Z
g(t) dt = G(t) + C.
2 Các dấu hiệu đổi biến thường gặp
Dấu hiệu Cách chọn
Hàm số có mẫu số t là mẫu số
Hàm số f(x;
p
ϕ(x)) Đặt t =
p
ϕ(x).
Hàm số f(x) =
a sin x + b cos x
c sin x + d cos x + e
Đặt t = tan
x
2
;
cos
x
2
6= 0
.
Hàm số f(x) =
1
p
(x + a)(x + b)
Với x + a > 0 và x + b > 0.
Đặt t =
√
x + a +
√
x + b.
Với x + a < 0 và x + b < 0.
Đặt t =
√
−x − a +
√
−x − b.
B PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
Nếu u(x), v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K:
Z
u(x) · v
0
(x) dx = u(x) · v(x) −
Z
v(x) · u
0
(x) dx
Hay
Z
u dv = uv −
Z
v du ,
với du = u
0
(x) dx, dv = v
0
(x) dx
.
1 Phương pháp chung
Bước 1: Ta biến đổi tích phân ban đầu về dạng :
I =
Z
f(x) dx =
Z
f
1
(x) · f
2
(x) dx.
Bước 2: Đặt
®
u = f
1
(x)
dv = f
2
(x)
⇒
du = f
0
1
(x) dx
v =
Z
f
2
(x) dx.
Bước 3: Khi đó:
Z
u dv = uv −
Z
v du.
2. Các phương pháp tính nguyên hàm 49
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
2 Các dạng thường gặp
{ DẠNG 1.
Phương pháp giải. I =
Z
P (x)
sin x
cos x
e
x
dx.
Đặt
u = P (x)
dv =
sin x
cos x
e
x
dx
⇒
u
0
· du = P
0
(x) dx
v =
−cos x
sin x
e
x
Vậy I = P (x)
−cos x
sin x
e
x
−
Z
−cos x
sin x
e
x
· P
0
(x) dx.
{ DẠNG 2.
Phương pháp giải. I =
Z
P (x) · ln x dx.
Đặt
®
u = ln x
dv = P (x) dx
⇒
du =
1
x
dx
v =
Z
P (x) dx = Q(x).
Vậy I = ln x · Q(x) −
Z
Q(x) ·
1
x
dx.
{ DẠNG 3.
Phương pháp giải. I =
Z
e
x
sin x
cos x
dx.
Đặt
®
u = e
x
dv =
sin x
cos x
dx
⇒
®
du = e
x
dx
v =
− cos x
sin x
.
Vậy I = e
x
·
− cos x
sin x
−
Z
− cos x
sin x
· e
x
dx.
Bằng phương pháp tương tự ta tính được
Z
− cos x
sin x
·e
x
dx sau đó thay vào
I.
50 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
BÀI 3 TÍCH PHÂN
A CÔNG THỨC TÍNH TÍCH PHÂN
b
Z
a
f(x) dx = F (x)|
b
a
= F (b) − F (a) .
Nhận xét. Tích phân của hàm số f từ a đến b được kí hiệu là
b
Z
a
f(x) dx hay
b
Z
a
f(t) dt.
Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến
số.
B TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN
Cho hàm số f (x) và g(x) liên tục trên K, a, b, c là ba số thuộc K. Khi đó ta có:
1
a
Z
a
f(x) dx = 0.
2
b
Z
a
f(x) dx = −
a
Z
b
f(x) dx.
3
b
Z
a
f(x) dx =
c
Z
a
f(x) dx +
b
Z
c
f(x) dx.
4
b
Z
a
[f(x) ± g(x)] dx =
b
Z
a
f(x) dx + ±
b
Z
a
g(x) dx.
5
b
Z
a
k · f (x) dx = k ·
b
Z
a
f(x) dx.
6 Nếu f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a; b] thì
b
Z
a
f(x) dx ≥ 0, ∀x ∈ [a; b].
3. Tích phân 51
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
7 ∀x ∈ [a; b] : f(x) ≤ g(x) ⇒
b
Z
a
f(x) dx ≤
b
Z
a
g(x) dx.
8 ∀x ∈ [a; b], nếu M ≥ f (x) ≥ N ⇒ M(b − a) ≤
b
Z
a
f(x) dx ≤ N (b − a).
BÀI 4 PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
A PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
1 Phương pháp đổi biến số dạng 1
Định lý
Nếu
1 Hàm x = u(t) có đạo hàm liên tục trên [α; β].
2 Hàm hợp f(u(t)) được xác định trên [α; β].
3 u(α) = a, u(β) = b.
Khi đó
b
Z
a
f(x) dx =
β
Z
α
f(u(t))u
0
(t) dt.
Phương pháp chung
Bước 1. Đặt x = u(t).
Bước 2. Tính vi phân hai vế x = u(t) ⇒ dx = u
0
(t) dt. Đổi cận |
x=a
x=b
⇒ |
t=α
t=β
.
Bước 3. Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t.
Vậy I =
b
Z
a
f(x) dx =
β
Z
α
f(u[t])u
0
(t) dt =
β
Z
α
g(t) dt = G(t)|
β
α
= G(β) − G(α).
52 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
2 Phương pháp đổi biến số dạng 2
Định lý
Nếu hàm số u = u(x) đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] sao cho f(x) dx =
g (u(x)) u
0
(x) dx = g(u) du thì I =
u(b)
Z
u(a)
g(u) du.
Phương pháp chung
Đặt u = u(x) ⇒ du = u
0
(x)dx.
Đổi cận:
x=b
x=a
⇒
u=u(b)
u=u(a)
.
Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo u.
Vậy I =
b
Z
a
f(x) dx =
b
Z
a
g [u(x)] .u
0
(x) dx =
u(a)
Z
u(b)
g(u) du.
B PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
1 Định lý
Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên [a; b] thì
b
Z
a
u(x)v
0
(x) dx = (u(x)v(x))
b
a
−
b
Z
a
v(x)u
0
(x) dx,
hay
b
Z
a
u dv = uv
b
a
−
b
Z
a
v du.
2 Phương pháp chung
Bước 1: Viết f (x) dưới dạng u dv = uv
0
dx bằng cách chọn một phần thích hợp
của f(x) làm u(x) và phần còn lại dv = v
0
(x) dx.
Tính du = u
0
dx và v =
Z
dv =
Z
v
0
(x) dx.
4. Phương pháp tính tích phân 53
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Tính
b
Z
a
vu
0
(x) dx = và uv
b
a
.
Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần
Đặt u theo thứ tự ưu tiên
Log - đa - mũ - lượng
b
Z
a
P (x)e
x
dx
b
Z
a
P (x) ln(x) dx
b
Z
a
P (x) cos x dx
b
Z
a
e
x
cos x dx
u P (x) ln x P (x) e
x
dv e
x
dx P (x) dx cos x dx cos x dx
Chú ý: Nên chọn u là phần của f(x) mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn dv = v
0
dx
là phần của f (x) dx là vi phân của một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm.
BÀI 5 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN
A TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ
DẠNG 1:
I =
β
Z
α
dx
ax + b
=
1
a
=
β
Z
α
adx
ax + b
=
1
a
ln |ax + b|
β
α
(a 6= 0).
Chú ý: Nếu I =
β
Z
α
dx
(ax + b)
k
=
1
a
β
Z
α
(ax + b)
−k
.a dx =
1
a(1 − k)
.(ax + b)
−k+1
β
α
.
DẠNG 2:
I =
β
Z
α
dx
ax
2
+ bx + c
(a 6= 0, ax
2
+ bx + c 6= 0 ∀x ∈ [α; β] .
Xét ∆ = b
2
− 4ac.
Nếu ∆ > 0 thì x
1
=
−b +
√
∆
2a
, x
2
=
−b +
√
∆
2a
, khi đó
1
ax
2
+ bx + c
=
1
a(x − x
1
)(x − x
2
)
=
1
a(x
1
− x
2
)
Å
1
x − x
1
−
1
x − x
2
ã
,
54 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
suy ra
I =
1
a(x
1
− x
2
)
β
Z
α
Å
1
x − x
1
−
1
x − x
2
ã
dx =
1
a(x
1
− x
2
)
. ln
x − x
1
x − x
2
β
α
.
Nếu ∆ = 0 thì
1
ax
2
+ bx + c
=
1
a(x − x
0
)
2
trong đó x
0
=
−b
2a
. Suy ra
I =
β
Z
α
dx
ax
2
+ bx + c
=
1
a
β
Z
α
dx
(x − x
0
)
2
= −
1
a(x − x
0
)
β
α
.
Nếu ∆ < 0 thì I =
β
Z
α
dx
ax
2
+ bx + c
=
β
Z
α
dx
a
"
Å
x +
b
2a
ã
2
+
Ç
…
−∆
4a
2
å
2
#
.
Đặt x +
b
2a
=
…
−∆
4a
2
tan t ⇒ dx =
…
−∆
4a
2
1 + tan
2
t
dt. Khi đó
I =
β
Z
α
…
−∆
4a
2
1 + tan
2
t
a
"
Ç
…
−∆
4a
2
tan t
å
2
+
Ç
…
−∆
4a
2
å
2
#
dt =
β
Z
α
1
a
4a
2
−∆
dt =
1
a
4a
2
−∆
(β − α).
DẠNG 3:
I =
β
Z
α
mx + n
ax
2
+ bx + c
dx.
trong đó, a 6= 0 và f(x) =
mx + n
ax
2
+ bx + c
liên tục trên đoạn [α; β].
1 Bằng phương pháp đồng nhất hệ số ta tìm được A và B sao cho
mx + n
ax
2
+ bx + c
=
A(ax
2
+ bx + c)
0
ax
2
+ bx + c
+
B
ax
2
+ bx + c
=
A(2ax + b)
ax
2
+ bx + c
+
B
ax
2
+ bx + c
.
2 Suy ra
β
Z
α
mx + n
ax
2
+ bx + c
dx =
β
Z
α
A(2ax + b)
ax
2
+ bx + c
dx +
β
Z
α
B
ax
2
+ bx + c
dx.
5. Tích phân các hàm số sơ cấp cơ bản 55
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
I
1
=
β
Z
α
A(2ax + b)
ax
2
+ bx + c
dx = A ln
ax
2
+ bx + c
β
α
.
I
2
=
β
Z
α
B
ax
2
+ bx + c
dx thuộc dạng 2.
DẠNG 4:
I =
β
Z
α
P (x)
Q(x)
dx.
trong đó, P (x) và Q(x) là các đa thức biến x.
1 Nếu bậc P (x) lớn hơn hoặc bằng bậc Q(x) thì ta dùng phép chia đa thức.
2 Nếu bậc của P (x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì có thể xét các trường hợp:
Q(x) chỉ có các nghiệm đơn α
1
, α
2
, ··· , α
n
thì
P (x)
Q(x)
=
A
1
x − α
1
+
A
2
x − α
2
+ ··· +
A
n
x − α
n
.
Khi Q(x) có nghiệm đơn và vô nghiệm: Q(x) = (x − α)
x
2
+ px + q
với
∆ = p
2
− 4q < 0 thì
P (x)
Q(x)
=
A
x − α
+
Bx + C
x
2
+ px + q
.
Khi Q(x) có nghiệm bội
• Q(x) = (x − α)(x − β)
2
thì
P (x)
Q(x)
=
A
x − α
+
B
x − β
+
C
(x − β)
2
.
• Q(x) = (x − α)
2
(x − β)
3
thì
P (x)
Q(x)
=
A
x − α
+
B
(x − α)
2
+
C
x − β
+
D
(x − β)
2
+
E
(x − β)
3
.
B TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ
I =
β
Z
α
R [x; f(x)] dx.
trong đó, R [x; f (x)] có dạng
56
Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
R
Å
x;
…
a − x
a + x
ã
đặt x = a · cos 2t, t ∈
h
0;
π
2
i
.
R
Ä
x;
√
a
2
− x
2
ä
đặt x = |a| · cos t, t ∈ [0; π] hoặc x = |a| · sin t, t ∈
h
−
π
2
;
π
2
i
.
R
Ä
x;
√
x
2
− a
2
ä
đặt x =
|a|
cos t
, t ∈ [0; π]\
n
π
2
o
.
R
Ä
x;
√
a
2
+ x
2
ä
đặt x = |a| · tan t, t ∈
−
π
2
;
π
2
.
R
Ç
x;
n
…
ax + b
cx + d
å
đặt t =
n
…
ax + b
cx + d
.
R (x; f(x)) =
1
(ax + b)
p
αx
2
+ βx + γ
với (αx
2
+ βx + γ)
0
= ax + b.
Đặt t =
p
αx
2
+ βx + γ hoặc t =
1
ax + b
.
R (x;
n
1
√
x,
n
2
√
x, ··· ,
n
k
√
x), gọi k = BSCNN {n
1
, ··· , n
k
} đặt x = t
k
.
DẠNG 1:
I =
β
Z
α
1
√
ax
2
+ bx + c
dx , a 6= 0.
Ta có f(x) = ax
2
+ bx + c = a
ñ
Å
x +
b
2a
ã
2
−
∆
4a
ô
.
Đặt
u = x +
b
2a
k =
∆
4a
⇒ du = dx.
Nếu a > 0 và ∆ < 0 suy ra
p
f(x) =
p
a(u
2
+ k
2
).
Phương pháp giải
Đặt
√
ax
2
+ bx + c = t −
√
a · x suy ra
®
bx + c = t
2
− 2
√
a · x
x = α ⇒ t = t
0
; x = β ⇒ t = t
1
⇒
x =
t
2
− c
b + 2
√
a
; dx =
2
b + 2
√
a
tdt
t −
√
a · x = t −
√
a
t
2
− c
b + 2
√
a
.
5. Tích phân các hàm số sơ cấp cơ bản 57
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Nếu ∆ = 0 suy ra
p
f(x) =
√
a
x +
b
2a
.
Phương pháp giải
Khi đó I =
β
Z
α
1
√
a
x +
b
2a
dx =
1
√
a
· ln
x +
b
2a
β
α
nếu x +
b
2a
> 0
−
1
√
a
· ln
x +
b
2a
β
α
nếu x +
b
2a
< 0.
Nếu ∆ > 0 suy ra
p
f(x) =
p
a(x − x
1
)(x − x
2
).
• Nếu a > 0 đặt
p
a(x − x
1
)(x − x
2
) =
ñ
(x − x
1
)t
(x − x
2
)t.
• Nếu a < 0 đặt
p
a(x − x
1
)(x − x
2
) =
ñ
(x
1
− x)t
(x
2
− x)t.
DẠNG 2:
I =
β
Z
α
mx + n
√
ax
2
+ bx + c
dx , a 6= 0.
Phương pháp giải
Phân tích
mx + n
√
ax
2
+ bx + c
=
A
ax
2
+ bx + c
0
√
ax
2
+ bx + c
+
B
√
ax
2
+ bx + c
(∗).
Quy đồng mẫu số, sau đó đồng nhất hệ số hai tử số để suy ra hệ hai ẩn số A, B.
Giải hệ tìm A, B thay vào (∗).
Tính I = 2A
p
ax
2
+ bx + c
β
α
+ B
β
Z
α
1
√
ax
2
+ bx + c
dx.
Trong đó
β
Z
α
1
√
ax
2
+ bx + c
dx được tính ở dạng 1.
DẠNG 3:
I =
β
Z
α
1
(mx + n)
√
ax
2
+ bx + c
dx , a · m 6= 0.
Phương pháp giải
58 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Phân tích
1
(mx + n)
√
ax
2
+ bx + c
=
1
m
x +
n
m
√
ax
2
+ bx + c
(1).
Đặt
1
y
= x +
n
m
⇒
y =
1
x + t
⇒ dy = −
1
(x + t)
2
dt
x =
1
y
− t ⇒ ax
2
+ bx + c = a
Å
1
y
− t
ã
2
+ b
Å
1
y
− t
ã
+ c.
Thay tất cả vào (1) ta được I =
β
0
Z
α
0
1
p
Ly
2
+ My + N
dy, tích phân này đã tính ở
dạng 1.
DẠNG 4:
I =
β
Z
α
R
x;
m
ax + b
cx + d
!
dx.
trong đó R(x; y) là hàm số hữu tỷ đối với hai biến số x, y và α, β, γ, δ là các hằng số đã
biết.
Phương pháp giải
Đặt t =
m
…
ax + b
cx + d
(1).
Tính x theo t (bằng cách nâng lũy thừa bậc m hai vế của (1) ta có dạng x = ϕ(t)).
Tính vi phân hai vế dx = ϕ
0
(t)dt và đổi cận.
Khi đó I =
β
0
Z
α
0
R (t; ϕ(t)) ϕ
0
(t)dt.
C TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC
1 Một số công thức lượng giác
1 Công thức cộng
cos(a ± b) = cos a · cos b ∓ sin a · sin b;
sin(a ± b) = sin a · cos b ± sin b · cos a;
5. Tích phân các hàm số sơ cấp cơ bản 59
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
tan(a ± b) =
tan a ± tan b
1 ∓ tan a · tan b
.
2 Công thức nhân đôi
cos 2a = cos
2
a − sin
2
a = 2 cos
2
a − 1 = 1 − 2 sin
2
a =
1 − tan
2
a
1 + tan
2
a
;
sin 2a = 2 sin a · cos a =
2 tan a
1 + tan
2
a
; tan 2a =
2 tan a
1 − tan
2
a
;
cos 3α = 4 cos
3
α − 3 cos α; sin 3α = 3 sin α − 4 sin
3
α.
3 Công thức hạ bậc
sin
2
a =
1 − cos 2a
2
; cos
2
a =
1 + cos 2a
2
; tan
2
a =
1 − cos 2a
1 + cos 2a
;
sin
3
α =
3 sin α − sin 3α
4
; cos
3
α =
cos 3α + 3 cos α
4
.
4 Công thức tính theo t
Với t = tan
a
2
thì sin a =
2t
1 + t
2
; cos a =
1 − t
2
1 + t
2
; tan a =
2t
1 − t
2
.
5 Công thức biến đổi tích thành tổng
cos α · cos β =
1
2
[cos(α + β) + cos(α − β)];
sin α · sin β =
1
2
[cos(α − β) − cos(α + β)];
sin α · cos β =
1
2
[sin(α + β) + sin(α − β)].
6 Công thức biến đổi tổng thành tích
cos α + cos β = 2 cos
α + β
2
· cos
α − β
2
;
cos α − cos β = −2 sin
α + β
2
· sin
α − β
2
;
sin α + sin β = 2 sin
α + β
2
· cos
α − β
2
;
sin α − sin β = 2 cos
α + β
2
· sin
α − β
2
;
tan α + tan β =
sin(α + β)
cos α cos β
;
60
Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
tan α − tan β =
sin(α − β)
cos α cos β
.
7 Công thức thường dùng
cos
4
α + sin
4
α =
3 + cos 4α
4
;
cos
6
α + sin
6
α =
5 + 3 cos 4α
8
.
Hệ quả
cos α + sin α =
√
2 cos
α −
π
4
=
√
2 sin
α +
π
4
;
cos α − sin α =
√
2 cos
α +
π
4
= −
√
2 sin
α −
π
4
.
2 Một số dạng tích phân lượng giác
Nếu gặp dạng I =
b
Z
a
f(sin x) cos xdx ta đặt t = sin x.
Nếu gặp dạng I =
b
Z
a
f(cos x) sin xdx ta đặt t = cos x.
Nếu gặp dạng I =
b
Z
a
f(tan x)
dx
cos
2
x
ta đặt t = tan x.
Nếu gặp dạng I =
b
Z
a
f(cot x)
dx
sin
2
x
ta đặt t = cot x.
DẠNG 1. I
1
=
Z
(sin x)
n
dx; I
2
Z
(cos x)
n
dx
Phương pháp giải
Nếu n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc.
5. Tích phân các hàm số sơ cấp cơ bản 61
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Nếu n = 3 thì sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi.
Nếu 3n lẻ (n = 2p + 1) thì thực hiện biến đổi
I
1
=
Z
(sin x)
n
dx =
Z
(sin x)
2p
+ 1dx
=
Z
(sin x)
2p
sin xdx = −
Z
1 − cos
2
x
p
d(cos x)
= −
Z
h
C
0
p
− C
1
p
cos
2
x + ···+ (−1)
k
C
k
p
cos
2
x
k
+ . . . + (−1)
p
C
p
p
cos
2
x
p
ó
d(cos x)
= −
ñ
C
0
p
cos x −
1
3
C
1
p
cos
3
x + ···+
(−1)
k
2k + 1
C
k
p
(cos x)
2k+1
+ ··· +
(−1)
p
2p + 1
C
p
p
(cos x)
2p+1
ò
+ C.
I
2
=
Z
(cos x)
n
dx =
Z
(cos x)
2p
+ 1dx
=
Z
(cos x)
2p
cos xdx =
Z
1 − sin
2
x
p
d(sin x)
=
Z
h
C
0
p
− C
1
p
sin
2
x + ···+ (−1)
k
C
k
p
sin
2
x
k
+ ··· + (−1)
p
C
p
p
sin
2
x
p
ó
d(sin x)
=
ñ
C
0
p
sin x −
1
3
C
1
p
sin
3
x + ···+
(−1)
k
2k + 1
C
k
p
(sin x)
2k+1
+ ··· +
(−1)
p
2p + 1
C
p
p
(sin x)
2p+1
ò
+ C.
DẠNG 2. I =
Z
sin
m
x cos
n
xdx (m, n ∈ N)
Phương pháp giải
1 Trường hợp 1: m, n là các số nguyên.
Nếu m chẵn, n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tích thành
tổng.
62 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Nếu m chẵn, n lẻ (n = 2p + 1) thì biến đổi
I =
Z
(sin x)
m
(cos x)
2p
+ 1dx =
Z
(sin x)
m
(cos x)
2p
cos xdx
=
Z
(sin x)
m
1 − sin
2
x
p
d(sin x)
=
Z
(sin x)
m
h
C
0
p
− C
1
p
sin
2
x + ···+ (−1)
k
C
k
p
sin
2
x
k
+ ··· + (−1)
p
C
p
p
sin
2
x
p
ó
d(sin x)
=
ï
C
0
p
(sin x)
m+1
m + 1
− C
1
p
(sin x)
m+3
m + 3
+ ···+ (−1)
k
C
k
p
(sin x)
2k+1+m
2k + 1 + m
+ ···+ (−1)
p
C
p
p
(sin x)
2p+1+m
2p + 1 + m
ò
+ C.
Nếu m lẻ (m = 2p + 1), n chẵn thì biến đổi
I =
Z
(sin x)
2p
+ 1(cos x)
n
dx =
Z
(cos x)
n
(sin x)
2p
sin xdx
= −
Z
(cos x)
n
1 − cos
2
x
p
d(cos x)
= −
Z
(cos x)
n
h
C
0
p
− C
1
p
cos
2
x + ···+ (−1)
k
C
k
p
cos
2
x
k
+ ··· + (−1)
p
C
p
p
cos
2
x
p
ó
d(cos x)
= −
ï
C
0
p
(cos x)
n+1
n + 1
− C
1
p
(cos x)
n+3
n + 3
+ ···+ (−1)
k
C
k
p
(cos x)
2k+1+n
2k + 1 + n
+ ···+ (−1)
p
C
p
p
(cos x)
2p+1+n
2p + 1 + n
ò
+ C.
Nếu m lẻ, n lẻ thì sử dụng biến đổi 1.2. hoặc 1.3. cho số mũ lẻ bé hơn.
Nếu m, n là các số hữu tỉ thì biến đổi và đặt u = sin x.
B =
Z
sin
m
x cos
n
xdx =
Z
(sin x)
m
cos
2
x
n−1
2
cos xdx
=
Z
u
m
1 − u
2
n−1
2
du (∗)
5. Tích phân các hàm số sơ cấp cơ bản 63
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Tích phân (∗) tính được ⇔ 1 trong 3 số
m + 1
2
;
n − 1
2
;
m + k
2
là số
nguyên.
DẠNG 3. I
1
=
Z
(tan x)
n
dx; I
2
=
Z
(cot x)
n
dx(n ∈ N)
Phương pháp giải
Z
1 + tan
2
x
dx =
Z
dx
cos
2
x
=
Z
d(tan x) = tan x + C;
Z
1 + cot
2
x
dx =
Z
dx
sin
2
x
= −
Z
d(cot x) = −cot x + C;
Z
tan xdx =
Z
sin x
cos x
dx = −
Z
d(cos x)
cos x
= −ln |cos x| + C;
Z
cot xdx =
Z
cos x
sin x
dx =
Z
d(sin x)
sin x
= ln |sin x|+ C.
BÀI 6 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
A DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và trục hoành
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b],
trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b được xác định: S =
Z
b
a
|f(x)|dx.
64 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
x
y
y = f(x)
O
a
c1 c2 c3
b
(H)
y = f(x)
y = 0
x = a
x = b
S =
Z
b
a
|f(x)|dx
2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên
đoạn [a; b] và hai đường thẳng x = a, x = b được xác định:
S =
Z
b
a
|f(x) − g(x)|dx.
x
y
O
(C
1
)
(C
2
)
c1 c2
a
b
(H)
(C
1
) : y = f
1
(x)
(C
2
) : y = f
2
(x)
x = a
x = b
S =
Z
b
a
|f
1
(x) − f
2
(x)|dx
6. Ứng dụng của tích phân 65
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Nếu trên đoạn [a; b] hàm số f(x) không đổi dấu thì:
Z
b
a
|f(x)|dx =
Z
b
a
f(x)dx
.
Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối.
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g(y), x = h(y) và hai
đường thẳng y = c, y = d được xác định:
Z
d
c
|g(y) − h(y)|dy.
B THỂ TÍCH VẬT THỂ VÀ THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY
1 Thể tích vật thể
Gọi B là phần vật thể giới hạn
bởi hai mặt phẳng vuông góc với
trục Ox tại các điểm a và b; S(x)
là diện tích thiết diện của vật thể
bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc
với trục Ox tại điểm x, (a ≤ x ≤
b). Giả sử S(x) là hàm số liên tục
trên đoạn [a; b].
O
a
(V )
b
x
x
S(x)
V =
Z
b
a
S(x)dx
2 Thể tích khối tròn xoay
Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các
đường y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục
Ox:
66 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
x
y
O
y = f(x)
a
b
(C): y = f (x)
(Ox): y = 0
x = a
x = b
V
x
= π
Z
b
a
[f(x)]
2
dx
Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các
đường x = g(y), trục hoành và hai đường thẳng y = c, y = d quanh trục
Oy:
y
x
O
d
c
(C): x = g(y)
(Oy): x = 0
y = c
y = d
V
y
= π
Z
d
c
[g(y)]
2
dy
Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các
đường y = f (x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox:
V = π
Z
b
a
f
2
(x) − g
2
(x)
dx.
6. Ứng dụng của tích phân 67
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
68 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
CHƯƠNG
4
SỐ PHỨC
BÀI 1 SỐ PHỨC
A KHÁI NIỆM SỐ PHỨC
Số phức (dạng đại số): z = a + bi (a, b ∈ R). Trong đó a là phần thực, b là phần
ảo, i là đơn vị ảo, i
2
= −1.
Tập hợp số phức kí hiệu là C.
z là số thực ⇔ phần ảo của z bằng 0 (b = 0).
z là số ảo (hay còn gọi là thuần ảo) ⇔ phần thực bằng 0 (a = 0).
Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
B HAI SỐ PHỨC BẰNG NHAU
Hai số phức z
1
= a + bi (a, b ∈ R) và z
2
= c + di (c, d ∈ R) bằng nhau khi phần
thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau.
Khi đó ta viết z
1
= z
2
⇔ a + bi = c + di ⇔
ñ
a = c
b = d.
C BIỂU DIỄN HÌNH HỌC SỐ PHỨC
Số phức z = a + bi (a, b ∈ R) được biểu diễn bởi điểm
M (a; b) hay bởi
−→
u = (a; b) trong mặt phẳng phức (mặt
phẳng với hệ tọa độ Oxy).
x
y
a
M
b
O
69
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
D SỐ PHỨC LIÊN HỢP
Số phức liên hợp của z = a + bi (a, b ∈ R) là z = a − bi.
z = z; z ± z
0
= z ± z
0
; z · z
0
= z · z
0
.
Å
z
1
z
2
ã
=
z
1
z
2
; z · z = a
2
+ b
2
.
z là số thực ⇔ z = z; z là số ảo khi và chỉ khi z = −z.
E MÔ-ĐUN CỦA SỐ PHỨC
1 Định nghĩa
Độ dài của véc-tơ
−−→
OM được gọi là mô-đun của số phức z và kí hiệu là |z|.
Vậy |z| =
−−→
OM
hay |z| = |a + bi| =
−−→
OM
=
√
a
2
+ b
2
.
2 Một số tính chất
|z| =
√
a
2
+ b
2
=
√
zz =
−−→
OM
; |z| = |z|.
|z| ≥ 0, ∀z ∈ C; |z| = 0 ⇔ z = 0.
|z
1
· z
2
| = |z
1
| · |z
2
|;
z
1
z
2
=
|z
1
|
|z
2
|
;
z
1
z
2
=
z
1
z
2
|z
2
|
2
.
||z
1
| − |z
2
|| ≤ |z
1
± z
2
| ≤ |z
1
| + |z
2
|.
BÀI 2 PHÉP CỘNG TRỪ, NHÂN CHIA SỐ PHỨC
A PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ SỐ PHỨC
Cho hai số phức z
1
= a + bi (a, b ∈ R) và z
2
= c + di (c, d ∈ R). Khi đó
z
1
± z
2
= (a + c) ± (b + d) i.
Số đối của số phức z = a + bi là −z = −a − bi.
Tổng của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng hai lần phần thực của số
phức đó: z = a + bi, z + z = 2a.
70 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
B PHÉP NHÂN SỐ PHỨC
Cho hai số phức z
1
= a + bi (a, b ∈ R) và z
2
= c + di (c, d ∈ R), khi đó
z
1
z
2
= (a + bi) (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc) i.
Với mọi số thực k và mọi số phức z = a + bi (a, b ∈ R), ta có
kz = k · (a + bi) = ka + kbi.
Đặc biệt, 0 · z = 0 với mọi số phức z.
Lũy thừa của i, với mọi n ∈ N
∗
ta có
• i
0
= 1.
• i
1
= i.
• i
2
= −1.
• i
3
= i
2
· i = −i.
• i
4n
= 1.
• i
4n+1
= i.
• i
4n+2
= −1.
• i
4n+3
= −i.
C CHIA HAI SỐ PHỨC
Số phức nghịch đảo của z khác 0 là số z
−1
=
1
|z|
2
· z.
Phép chia hai số phức z
0
và z 6= 0 là
z
0
z
= z
0
z
−1
=
z
0
· z
|z|
2
=
z
0
· z
z · z
.
BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC
A CĂN BẬC HAI CỦA SỐ THỰC ÂM
Cho số z, nếu có số phức z
1
sao cho z
2
1
= z thì ta nói z
1
là một căn bậc hai của z.
Mọi số phức z 6= 0 đều có hai căn bậc hai.
Căn bậc hai của số thực z âm là ±i
p
|z|.
Tổng quát, các căn bậc hai của số thực a âm là ±i
p
|a|.
3. Phương trình bậc hai với hệ số thực 71
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
B PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC
Cho phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0, ∀a, b, c ∈ R, a 6= 0. Xét biệt số ∆ = b
2
−4ac
của phương trình. Ta thấy
Khi ∆ = 0, phương trình có một nghiệm thực x =
−b
2a
.
Khi ∆ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt x
1,2
=
−b ±
√
∆
2
.
Khi ∆ < 0, phương trình có hai nghiệm phức x
1,2
=
−b ± i
p
|∆|
2a
.
BÀI 4 TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC
A ĐỊNH NGHĨA
Trong mặt phẳng phức, số phức z = x+y ·i với x, y ∈ R được biểu diễn bởi điểm M (x, y).
Một số tập hợp điểm biểu diễn số phức z thường gặp
ax + by + c = 0 ⇒ tập hợp điểm là đường thẳng.
x = 0 ⇒ tập hợp điểm là trục tung Oy.
y = 0 ⇒ tập hợp điểm là trục hoành Ox.
(x − a)
2
+ (y − b)
2
< R
2
⇒ tập hợp điểm là hình tròn tâm I (a; b), bán kính R.
ñ
(x − a)
2
+ (y − b)
2
= R
2
x
2
+ y
2
− 2ax − 2by + c = 0
⇒ tập hợp điểm là đường tròn có tâm I (a; b), bán
kính R =
√
a
2
+ b
2
− c.
x > 0 ⇒ tập hợp điểm là miền bên phải trục tung.
y < 0 ⇒ tập hợp điểm là miền phía dưới trục hoành.
x < 0 ⇒ tập hợp điểm là miền bên trái trục tung.
y > 0 ⇒ tập hợp điểm là miền phía trên trục hoành.
y = ax
2
+ bx + c ⇒ tập hợp điểm là đường Parabol.
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1 ⇒ tập hợp điểm là đường Elip.
x
2
a
2
−
y
2
b
2
= 1 ⇒ tập hợp điểm là đường Hyperbol.
72 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
BÀI 5 BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MAX, MIN MÔ-ĐUN
SỐ PHỨC
Cho số phức z thỏa mãn |z
1
· z + z
2
| = r, (r > 0), thì
max |x| =
z
2
z
1
+
r
|z
1
|
min |z| =
z
2
z
1
−
r
|z
1
|
.
Cho số phức z thỏa mãn |z
1
· z − z
2
| = r, (r > 0).
max P =
z
2
z
1
− z
3
+
r
|z
1
|
và min P =
z
2
z
1
− z
3
−
r
|z
1
|
.
Cho số phức z thỏa mãn |z
1
· z + z
2
| + |z
1
· z − z
2
| = k, (r > 0) thì
max |z| =
k
2 |z
1
|
và min |z| =
»
k
2
− 4 |z
2
|
2
2 |z
1
|
.
5. Bài toán liên quan đến max, min mô-đun số phức 73
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
74 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
PHẦN
II
HÌNH HỌC
75
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
76 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
CHƯƠNG
1
KHỐI ĐA DIỆN
BÀI 1 KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHÓP
1 Khối lăng trụ (chóp) là phần không gian được giới hạn bởi một hình lăng trụ (chóp)
kể cả hình lăng trụ (chóp) ấy. Khối chóp cụt là phần không gian được giới hạn bởi
một hình chóp cụt kể cả hình chóp cụt ấy.
2 Điểm không thuộc khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) được gọi là điểm ngoài
của khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt). Điểm thuộc khối lăng trụ nhưng không
thuộc hình lăng trụ ứng với khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) đó được gọi
là điểm trong của khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt).
BÀI 2 KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN
A KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN
1 Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là hình được tạo
bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính
chất:
Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không
có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung,
hoặc chỉ có một cạnh chung.
Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung
của đúng hai đa giác.
2 Mỗi đa giác gọi là một mặt của hình đa diện. Các
đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo thứ tự được
gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.
đỉnh
cạnh
mặt
77
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
B KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN
Khối đa diện là phần
không gian được giới hạn
bởi một hình đa diện, kể
cả hình đa diện đó.
Những điểm không thuộc
khối đa diện được gọi là
điểm ngoài của khối đa
diện.
N
M
điểm trong
điểm ngoài
Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện đó được gọi là
điểm trong của khối đa diện. Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong, tập
hợp những điểm ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa diện.
Mỗi hình đa diện chia các điểm còn lại của không gian thành hai miền không giao
nhau là miền trong và miền ngoài của hình đa diện, trong đó chỉ có miền ngoài là
chứa hoàn toàn một đường thẳng nào đó.
BÀI 3 HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU
A PHÉP DỜI HÌNH TRONG KHÔNG GIAN
Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M
0
xác định duy nhất
được gọi là một phép biến hình trong không gian.
Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách
giữa hai điểm tùy ý.
* Một số phép dời hình trong không gian:
1 Phép tịnh tiến theo vectơ ~v
Nội dung Hình vẽ
Là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M
0
sao cho
−−−→
MM
0
=
−→
v .
−→
v
M
M
0
2 Phép đối xứng qua mặt phẳng (P )
78 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Nội dung Hình vẽ
Là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc
(P ) thành chính nó, biến mỗi điểm M
không thuộc (P ) thành điểm M
0
sao
cho (P ) là mặt phẳng trung trực của
MM
0
.
M
M
0
I
P
Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P )
biến hình H thành chính nó thì (P )
được gọi là mặt phẳng đối xứng của H.
3 Phép đối xứng qua tâm O
Nội dung Hình vẽ
Là phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến
mỗi điểm M khác O thành điểm M
0
sao cho O là
trung điểm MM
0
.
M
M
0
O
Nếu phép đối xứng tâm O biến hình (H) thành chính
nó thì O được gọi là tâm đối xứng của (H).
4 Phép đối xứng qua đường thẳng ∆ (phép đối xứng trục ∆)
Nội dung Hình vẽ
Là phép biến hình biến mọi điểm thuộc đường thẳng
∆ thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc ∆
thành điểm M
0
sao cho ∆ là đường trung trực của
MM
0
.
Nếu phép đối xứng trục ∆ biến hình (H) thành chính
nó thì ∆ được gọi là trục đối xứng của (H).
Nhận xét. Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình.
Phép dời hình biến đa diện (H) thành đa diện (H
0
), biến đỉnh, cạnh, mặt của (H)
thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của (H
0
).
3. Hai đa diện bằng nhau 79
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
B HAI HÌNH BẰNG NHAU
Hai hình đa diện được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành
hình kia.
BÀI 4 PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN
Nội dung Hình vẽ
Nếu khối đa diện (H) là hợp của hai
khối đa diện (H
1
), (H
2
) sao cho (H
1
)
và (H
2
) không có chung điểm trong
nào thì ta nói có thể chia được khối đa
diện (H) thành hai khối đa diện (H
1
)
và (H
2
), hay có thể lắp ghép hai khối
đa diện (H
1
) và (H
2
) với nhau để được
khối đa diện (H).
(H)
(H
1
)
(H
2
)
BÀI 5 KHỐI ĐA DIỆN LỒI
A KHỐI ĐA DIỆN LỒI
Một khối đa diện được gọi là khối đa diện
lồi nếu với bất kì hai điểm A và B nào của
nó thì mọi điểm của đoạn AB cũng thuộc
khối đó.
Khối đa diện lồi
Khối đa diện không lồi
80 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Lưu ý :
1 Một khối đa diện là khối đa diện lồi khi và
chỉ khi miền trong của nó luôn nằm một phía
đối với mỗi mặt phẳng đi qua một mặt của
nó.
2 Công thức Ơ-le: Trong một khối đa diện
lồi nếu gọi Đ là số đỉnh, C là số cạnh, M là
số mặt thì ta luôn có Đ + M = C + 2.
B KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU
1 Định nghĩa
1 Khối đa diện đều là một khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây
Các mặt là những đa giác đều p cạnh.
Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng q cạnh.
2 Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại {p; q}.
2 Định lí
Chỉ có năm khối đa diện đều. Đó là:
Loại {3; 3}: khối tứ diện đều.
Loại {4; 3}: khối lập phương.
Loại {3; 4}: khối bát diện đều.
Loại {5; 3}: khối mười hai mặt đều.
Loại {3; 5}: khối hai mươi mặt đều.
Tham khảo hình biểu diễn của năm loại khối đa diện.
Khối tứ diện đều
Khối lập phương
Khối bát diện đều
Khối mười hai
mặt đều
Khối hai mươi
mặt đều
5. Khối đa diện lồi 81
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
3 Bảng tóm tắt của năm loại khối đa diện đều
Đa diện đều cạnh a Số
đỉnh
Số
cạnh
Số
mặt
Thể tích
V
Bán kính R mặt
cầu ngoại tiếp
Tứ diện đều {3; 3} 4 6 4
√
2a
3
12
a
√
6
4
Lập phương {4; 3} 8 12 6 a
3
a
√
3
2
Bát diện đều {3; 4} 6 12 8
√
2a
3
3
a
√
2
2
Mười hai mặt đều {5; 3} 20 30 12
15 + 7
√
5
4
a
3
√
3 +
√
15
4
a
Hai mươi mặt đều {3; 5} 12 30 20
15 + 5
√
5
12
a
3
√
10 +
√
20
4
a
Giả sử khối đa diện đều loại {p; q} có Đ đỉnh, C cạnh và M mặt thì ta luôn có
q · Đ = 2C = p · M
C MỘT SỐ KẾT QUẢ QUAN TRỌNG VỀ KHỐI ĐA DIỆN LỒI
1 Kết quả 1
Cho một khối tứ diện đều. Khi đó:
Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một khối tứ diện đều;
Các trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối bát diện đều (khối
tám mặt đều).
2 Kết quả 2
Tâm của các mặt của một khối lập phương là các đỉnh của một khối bát diện đều.
3 Kết quả 3
Tâm của các mặt của một khối bát diện đều là các đỉnh của một khối lập phương.
4 Kết quả 4
Hai đỉnh của một khối bát diện đều được gọi là hai đỉnh đối diện nếu chúng không cùng
thuộc một cạnh của khối đó. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo của
khối bát diện đều. Khi đó:
Ba đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường;
82 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Ba đường chéo đôi một vuông góc với nhau;
Ba đường chéo bằng nhau.
BÀI 6 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
A THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
Nội dung Hình vẽ
V
Chóp
=
1
3
S
đáy
· h
Trong đó
®
S
đáy
là diện tích mặt đáy
h là chiều cao khối chóp.
V
S.ABCD
=
1
3
S
ABCD
· d(S, (ABCD))
S
A
B
C
D
h
H
B THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
Nội dung Hình vẽ
V
Lăng trụ
= S
đáy
· h
Trong đó
®
S
đáy
là diện tích mặt đáy
h là chiều cao lăng trụ.
Lưu ý : Lăng trụ đứng có chiều cao
chính là độ dài cạnh bên.
A
A
0
C
C
0
h
B
0
H
B
6. Thể tích khối đa diện 83
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
C THỂ TÍCH KHỐI HỘP CHỮ NHẬT
Nội dung Hình vẽ
V
Hộp chữ nhật
= abc
Trong đó a, b, c là độ dài các cạnh
khối hộp chữ nhật.
B
B
0
A
A
0
C
D
D
0
C
0
c
a
b
D THỂ TÍCH KHỐI LẬP PHƯƠNG
Nội dung Hình vẽ
V = a
3
B
A
C
D
A
0
B
0
C
0
D
0
E TỈ SỐ THỂ TÍCH
Nội dung Hình vẽ
V
S.A
0
B
0
C
0
V
S.ABC
=
SA
0
SA
·
SB
0
SB
·
SC
0
SC
Thể tích khối chóp cụt ABC.A
0
B
0
C
0
V =
h
3
Ä
B + B
0
+
√
BB
0
ä
Với B, B
0
, h là diện tích hai đáy và chiều cao
A C
B
S
A
0
C
0
B
0
84 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
F MỘT SỐ CHÚ Ý VỀ ĐỘ DÀI CÁC ĐƯỜNG ĐẶC BIỆT
Đường chéo của hình vuông cạnh a là a
√
2.
Đường chéo của hình lập phương cạnh a là a
√
3.
Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là
√
a
2
+ b
2
+ c
2
.
Đường cao của tam giác đều cạnh a là
a
√
3
2
.
BÀI 7 CÁC CÔNG THỨC HÌNH PHẲNG
A HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
1 Cho 4ABC vuông tại A, đường cao AH
AB
2
+ AC
2
= BC
2
.
AB
2
= BH · BC.
AC
2
= CH · BC.
AH · BC = AB · AC.
1
AH
2
=
1
AB
2
+
1
AC
2
.
A
B H C
AB = BC · sin C = BC cos B = AC tan C = AC cot B.
2 Cho 4 ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c, độ dài các đường trung tuyến là
m
a
, m
b
, m
c
; bán kính đường tròn ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp
r; nửa chu vi là p
Định lí hàm số côsin
a
2
= b
2
+c
2
−2bc cos A. b
2
= a
2
+c
2
−2ac cos B. c
2
= a
2
+b
2
−2ab cos C.
Định lí hàm số sin:
a
sin A
=
b
sin B
=
c
sin C
= 2R.
Độ dài trung tuyến
m
2
a
=
2(b
2
+ c
2
) − a
2
4
. m
2
b
=
2(a
2
+ c
2
) − b
2
4
. m
2
c
=
2(a
2
+ b
2
) − c
2
4
.
7. Các công thức hình phẳng 85
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
3 Các công thức tính diện tích
3.1 Tam giác
S =
1
2
a · h
a
=
1
2
b · h
b
=
1
2
c · h
c
.
S =
1
2
bc sin A =
1
2
ca sin B =
1
2
ab sin C.
S =
abc
4R
.
S = pr.
S =
p
p(p − a)(p − b)(p − c).
4ABC vuông tại A: S =
AB · AC
2
=
BC · AH
2
.
4ABC đều, cạnh a: AH =
a
√
3
2
, S =
a
2
√
3
4
.
3.2 Hình vuông
S = a
2
( a là cạnh hình vuông )
3.3 Hình chữ nhật
S = a · b ( a, b là hai kích thước )
3.4 Hình bình hành
S = đáy × cao = AB · AD · sin
’
BAD
3.5 Hình thoi
S = AB · AD · sin
’
BAD =
1
2
AC · AD ( a, b là hai kích thước )
3.6 Hình thang
S =
1
2
(a + b) h ( a, b là hai đáy, h là chiều cao )
86 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
3.7 Tứ giác có hai đường chéo vuông góc AC và BD
S =
1
2
AC · BD
BÀI 8 MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH
KHỐI CHÓP THƯỜNG GẶP
Nội dung Hình vẽ
Cho hình chóp S.ABC với các mặt phẳng
(SAB), (SBC), (SAC) vuông góc với nhau
từng đôi một, diện tích các tam giác SAB,
SBC, SAC lần lượt là S
1
, S
2
, S
3
. Khi đó
V
S.ABC
=
√
2S
1
· S
2
· S
3
3
.
S
B
C
A
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với
(ABC), hai mặt phẳng (SAB) và (SBC)
vuông góc với nhau,
’
ASB = α,
’
BSC = β.
Khi đó
V
S.ABC
=
SB
3
· sin 2α · tan β
12
.
A
B
C
S
Cho hình chóp đều S.ABC có đáy ABC là
tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên bằng b.
Khi đó
V
S.ABC
=
a
2
√
3b
2
− a
2
12
.
A
B
G
C
M
S
8. Một số công thức tính nhanh thể tích khối chóp thường gặp 87
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh
đáy bằng a và mặt bên tạo với mặt phẳng đáy
góc α. Khi đó
V
S.ABC
=
a
3
tan α
24
.
A
B
G
C
M
S
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các
cạnh bên bằng b và cạnh bên tạo với mặt
phẳng đáy góc β. Khi đó
V
S.ABC
=
√
3b
3
· sin β · cos
2
β
4
.
A
B
G
C
M
S
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các
cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với mặt
phẳng đáy góc β. Khi đó
V
S.ABC
=
a
3
· tan β
12
A
B
G
C
M
S
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là
hình vuông cạnh bằng a và SA = SB = SC =
SD = b. Khi đó
V
S.ABCD
=
a
2
√
4b
2
− 2a
2
6
.
C
D
O
A
B
M
S
88 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh
đáy bằng a, góc tạo bởi mặt bên và mặt phẳng
đáy là α. Khi đó
V
S.ABCD
=
a
3
tan α
6
.
A
B
C
O
M
D
S
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh
đáy bằng a,
’
SAB = α với α ∈ (45
◦
; 90
◦
). Khi
đó
V
S.ABCD
=
a
3
√
tan
2
α − 1
6
.
S
B C
O
D
A
α
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các
cạnh bên bằng a, góc tạo bởi giữa mặt bên và
mặt đáy bằng α với α ∈ (0
◦
; 90
◦
). Khi đó
V
S.ABCD
=
4a
3
tan α
3
p
(2 + tan
2
α)
3
.
S
B C
O
D
M
A
α
Cho hình tam giác đều S.ABC có cạnh đáy
bằng a. Gọi (P ) là mặt phẳng đi qua A, song
song với BC và vuông góc với mặt phẳng
(SBC). Biết α là góc giữa (P ) và mặt phẳng
đáy. Khi đó
V
S.ABC
=
a
3
cot α
24
.
S
B
G
A C
F
M
N
E
8. Một số công thức tính nhanh thể tích khối chóp thường gặp 89
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Khối bát diện đều có các đỉnh là tâm các mặt
của hình lập phương cạnh a. Khi đó thể tích
khối bát diện đều là
V =
a
3
6
.
A
0
D
0
C
0
CB
B
0
D
A
Tâm các mặt bên của một bát diện đều cạnh
a là đỉnh của một khối lập phương. Khi đó thể
tích của khối lập phương là
V =
2a
3
√
2
27
.
S
B
S
0
D
A
C
BÀI 9 CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT CỦA THỂ TÍCH TỨ
DIỆN
Công thức Điều kiện
Thể tích tứ diện khi biết ba cạnh chung
một đỉnh và ba góc giữa các cạnh ở đỉnh
đó
V
SABC
=
abc
6
p
1 − x
2
− y
2
− z
2
+ 2xyz.
Trong đó x = cos α, y = cos β, z = cos γ.
S
B
G
M
A
C
B
0
C
0
(
SA = a, SB = b, SC = c
’
ASB = α,
’
BSC = β,
’
CSA = γ.
90 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Thể tích tứ diện khi biết cặp cạnh đối,
khoảng cách và góc giữa cặp cạnh đó
V
ABCD
=
1
6
abd sin α.
B D
0
M C
M
0
C
0
D
A
α
AB = a, CD = b
d(AB, CD) = d
(AB, CD) = α.
Thể tích của tứ diện khi biết độ dài cạnh
chung của hai mặt, diện tích và góc giữa
hai mặt đó
V
SABC
=
2S
1
S
2
sin α
3a
.
S
B
A
H
K
C
α
®
S
4SAB
= S
1
, S
4SAC
= S
2
SA = a, ((SAB), (SAC)) = α.
Thể tích khối chóp tam giác khi biết ba
cạnh bên, hai góc ở đỉnh và một góc giữa
hai mặt bên (góc nhị diện)
V
S.ABC
=
abc
6
sin α sin β sin ϕ.
S
B
A
H
K
C
B
0
ϕ
SA = a, SB = b, SC = c
’
ASB = α,
’
ASC = β
((SAB), (SAC)) = ϕ.
9. Các công thức đặc biệt của thể tích tứ diện 91
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Thể tích khối tứ diện đều V
ABCD
=
a
3
√
2
12
.
Tứ diện có tất cả các cạnh bằng a.
D
B
G
M
A C
Thể tích tứ diện gần đều V =
√
2xyz
12
.
Với x = a
2
+ b
2
− c
2
, y = b
2
+ c
2
− a
2
,
z = c
2
+ a
2
− b
2
.
Tứ diện ABCD có AB = CD = a,
AC = BD = b, AD = BC = c.
A
B
C
0
D
B
0
C
D
0
92 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
CHƯƠNG
2
MẶT NÓN - MẶT TRỤ - MẶT
CẦU
BÀI 1 MẶT NÓN TRÒN XOAY VÀ KHỐI NÓN
A MẶT NÓN TRÒN XOAY
Nội dung Hình vẽ
Đường thẳng d, ∆ cắt nhau tại O và tạo thành góc
β với 0
◦
< β < 90
◦
, mặt phẳng (P ) chứa d, ∆. (P )
quay quanh trục ∆ với góc β không đổi ⇒ mặt nón
tròn xoay đỉnh O.
∆ gọi là trục.
d được gọi là đường sinh.
Góc 2β gọi là góc ở đỉnh.
r
d
O
β
∆
B KHỐI NÓN
Nội dung Hình vẽ
1. Mặt nón tròn xoay và khối nón 93
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Là phần không gian được giới hạn bởi một hình
nón tròn xoay kể cả hình nón đó. Những điểm
không thuộc khối nón gọi là những điểm ngoài
của khối nón.
Những điểm thuộc khối nón nhưng không
thuộc hình nón tương ứng gọi là những điểm
trong của khối nón. Đỉnh, mặt đáy, đường sinh
của một hình nón cũng là đỉnh, mặt đáy, đường
sinh của khối nón tương ứng.
M
O
r
I
l
h
Cho hình nón có chiều cao h, đường sinh l và bán kính đáy r.
Diện tích xung quanh của hình nón: S
xq nón
= πrl .
Diện tích đáy (hình tròn): S
đáy
= πr
2
.
Diện tích toàn phần của hình nón: S
tp
= S
xq
+ S
đáy
= πrl + πr
2
.
Thể tích khối nón: V
nón
=
1
3
S
đáy
h =
1
3
πr
2
h .
C THIẾT DIỆN KHI CẮT BỞI MẶT PHẲNG
Điều kiện Kết quả
Cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng (Q) đi qua đỉnh của mặt nón.
Mp (Q) cắt mặt nón theo 2 đường
sinh.
Mp (Q) tiếp xúc với mặt nón theo
một đường sinh.
Thiết diện là tam giác cân.
(Q) là mặt phẳng tiếp diện
của hình nón.
Cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng (Q) không đi qua đỉnh của mặt nón.
94 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Mp (Q) vuông góc với trục hình
nón.
Mp (Q) song song với 2 đường
sinh hình nón.
Mp (Q) song song với 1 đường
sinh hình nón.
Giao tuyến là 1 đường
parabol.
Giao tuyến là 2 nhánh của
1 hypebol.
Giao tuyến là một đường
tròn.
BÀI 2 MẶT TRỤ TRÒN XOAY VÀ KHỐI TRỤ
A MẶT TRỤ
Nội dung Hình vẽ
Trong mặt phẳng (P ) cho hai đường thẳng ∆ và l
song song với nhau, cách nhau một khoảng bằng r.
Khi quay mặt phẳng (P ) xung quanh ∆ thì đường
thẳng l sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt
trụ tròn xoay, gọi tắt là mặt trụ.
Đường thẳng ∆ gọi là trục.
Đường thẳng l là đường sinh.
r là bán kính của mặt trụ đó.
D
C
A
B
∆
l
r
h
B HÌNH TRỤ TRÒN XOAY VÀ KHỐI TRỤ TRÒN XOAY
Nội dung Hình vẽ
2. Mặt trụ tròn xoay và khối trụ 95
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Ta xét hình chữ nhật ABCD. Khi
quay hình chữ nhật ABCD xung
quanh đường thẳng chứa một cạnh
nào đó, chẳng hạn cạnh AB thì
đường gấp khúc ABCD sẽ tạo
thành một hình gọi là hình trụ tròn
xoay, hay gọi tắt là hình trụ.
D
C
A
B
∆
l
r
h
Khi quay quanh AB, hai cạnh AD và BC sẽ vạch ra hai hình tròn bằng nhau gọi
là hai đáy của hình trụ, bán kính của chúng gọi là bán kính của hình trụ.
Độ dài đoạn CD gọi là độ dài đường sinh của hình trụ.
Phần mặt tròn xoay được sinh ra bởi các điểm trên CD khi quay xung quanh AB
gọi là mặt xung quanh của hình trụ.
Khoảng cách AB giữa hai mặt phẳng song song chứa hai đáy là chiều cao của hình
trụ.
Khối trụ tròn xoay hay khối trụ là phần không gian được giới hạn bởi một hình trụ tròn
xoay kể cả hình trụ tròn xoay đó. Những điểm không thuộc khối trụ gọi là những điểm
ngoài của khối trụ. Những điểm thuộc khối trụ nhưng không thuộc hình trụ tương ứng
gọi là những điểm trong của khối trụ. Mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính của một
hình trụ cũng là Mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính của khối trụ tương ứng. Hình
trụ có chiều cao h, đường sinh l và bán kính đáy r.
Diện tích xung quanh: S
xq
= 2πrh .
Diện tích toàn phần: S
tp
= S
xq
+ 2 · S
đáy
= 2πrh + 2πr
2
.
Thể tích khối trụ: V
trụ
= S
đáy
· h = πr
2
h .
BÀI 3 MẶT CẦU VÀ KHỐI CẦU
96 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
A MẶT CẦU
Nội dung Hình vẽ
Cho điểm I cố định và một số thực dương R.
Tập hợp tất cả những điểm M trong không
gian cách I một khoảng R được gọi là mặt
cầu tâm I, bán kính R.
Kí hiệu S(I; R).
Khi đó S(I; R) = {M|IM = R}
I
B A
R
B VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG
Cho mặt cầu S(I; R) và mặt phẳng (P ). Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm I lên
mặt phẳng (P ). Suy ra d = IH là khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P ). Khi đó
d > R d = R d < R
Mặt cầu và mặt phẳng
không có điểm chung.
Mặt phẳng tiếp xúc mặt
cầu: (P ) là mặt phẳng
tiếp diện của mặt cầu và
H là tiếp điểm.
Mặt phẳng cắt mặt cầu
theo thiết diện là đường
tròn có tâm H và bán
kính r =
√
R
2
− d
2
.
H
I
d
R
P
I
H
d
R
P
H
I
M
d
r
R
P
Lưu ý:
Khi mặt phẳng (P ) đi qua tâm I của mặt cầu thì mặt phẳng được gọi là mặt phẳng kính
và thiết diện lúc đó được gọi là đường tròn lớn.
3. Mặt cầu và khối cầu 97
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
C VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT CẦU VÀ ĐƯỜNG THẲNG
Cho mặt cầu S(I; R) và đường thẳng ∆. Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm I lên
đường thẳng ∆. Khi đó
IH > R IH = R IH < R
∆ không cắt mặt cầu. ∆ tiếp xúc với mặt cầu.
∆: Tiếp tuyến của (S).
H : Tiếp điểm.
∆ cắt mặt cầu (S) tại hai
điểm phân biệt.
∆
R
I
H
∆
R
I
H
∆
R
I
A
B
H
Lưu ý:
Trong trường hợp ∆ cắt (S) tại hai điểm phân biệt A, B thì bán kính R của (S) được
tính như sau:
d (I, ∆) = IH
R =
p
IH
2
+ AH
2
=
IH
2
+
Å
AB
2
ã
2
.
D ĐƯỜNG KINH TUYẾN VÀ VĨ TUYẾN CỦA MẶT CẦU
98 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Nội dung Hình vẽ
Giao tuyến của mặt cầu với nửa mặt phẳng có
bờ là trục của mặt cầu được gọi là kinh tuyến.
Giao tuyến (nếu có) của mặt cầu với các mặt
phẳng vuông góc với trục được gọi là vĩ tuyến
của mặt cầu.
Hai giao điểm của mặt cầu với trục được gọi
là hai cực của mặt cầu.
A
B
O
vĩ tuyến
kinh tuyến
* Mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình đa diện.
Nội dung Hình vẽ
Mặt cầu nội tiếp hình đa diện nếu mặt
cầu đó tiếp xúc với tất cả các mặt của
hình đa diện. Còn nói hình đa diện
ngoại tiếp mặt cầu.
Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu tất
cả các đỉnh của hình đa diện đều nằm
trên mặt cầu. Còn nói hình đa diện nội
tiếp mặt cầu.
Mặt cầu tâm O bán kính r ngoại tiếp
hình chóp S.ABCD khi và chỉ khi
OA = OB = OC = OD = OS = r
A
C
B
D
O
S
Cho mặt cầu S(I; R)
Diện tích mặt cầu: S = 4πR
2
3. Mặt cầu và khối cầu 99
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Thể tích khối cầu: V =
4
3
πR
3
BÀI 4 MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÔNG THỨC GIẢI NÓN
VÀ TRỤ
A BÀI TOÁN MẶT NÓN
1 Dạng 1. Thiết diện của hình nón cắt bởi một mặt phẳng
Nội dung Hình vẽ
Thiết diện qua trục của hình nón là tam
giác cân.
A
B
S
O
Thiết diện qua đỉnh của hình nón là những
tam giác cân có hai cạnh bên là hai đường sinh
của hình nón.
B
O
S
A
Thiết diện vuông góc với trục của hình
nón là những đường tròn có tâm nằm trên
trục của hình nón.
A B
S
O
100 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
2 Dạng 2. Bài toán liên quan đến thiết diện qua đỉnh của hình nón
Cho hình nón có chiều cao là h, bán kính đáy r và đường sinh `.
Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng
chứa thiết diện là d.
Nội dung Hình vẽ
Gọi M là trung điểm của AC. Khi đó:
AC ⊥ (SM I).
Góc giữa (SAC) và (ABC) là góc
’
SMI.
Góc giữa (SAC) và (SI) là góc
’
MSI.
d (I, (SAC)) = IH = d.
Diện tích thiết diện
S
td
= S
4SAC
=
1
2
SM · AC
=
1
2
p
SI
2
+ IM
2
· 2
p
AI
2
− IM
2
=
h
2
+
h
2
d
2
h
2
− d
2
·
r
2
−
h
2
d
2
h
2
− d
2
.
I
S
A B
C
H
M
3 Dạng 3. Bài toán hình nón ngoại tiếp và nội tiếp hình chóp
Nội dung Hình vẽ
Hình nón nội tiếp hình chóp S.ABCD đều
là hình nón có đỉnh S, đáy là đường tròn nội
tiếp hình vuông ABCD. Khi đó hình nón có:
Bán kính đáy r = IM =
AB
2
.
Đường cao h = SI, đường sinh ` = SM.
Hình chóp tứ giác đều S.ABCD
S
I
A
D
M
CB
4. Một số dạng toán và công thức giải nón và trụ 101
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Hình nón ngoại tiếp hình chóp đều S.ABCD
đều là hình nón có đỉnh S, đáy là đường tròn
ngoại tiếp hình vuông ABCD. Khi đó hình
nón có:
Bán kính đáy
r = IA =
AC
2
=
AB
√
2
2
.
Chiều cao h = SI.
Đường sinh ` = SA.
Hình chóp tứ giác đều S.ABCD
S
A
B
C
D
I
Hình nón nội tiếp hình chóp S.ABC đều là
hình nón có đỉnh S, đáy là đường tròn nội tiếp
tam giác ABC. Khi đó hình nón có
Bán kính đáy
r = IM =
AM
3
=
AB
√
3
6
.
Chiều cao h = SI.
Đường sinh ` = SM .
Hình chóp tam giác đều S.ABC
A
S
B
C
M
I
102 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Hình nón ngoại tiếp hình chóp S.ABC đều
là hình nón có đỉnh S, đáy là đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC. Khi đó hình nón có
Bán kính đáy
r = IA =
2AM
3
=
AB
√
3
3
.
Chiều cao h = SI.
Đường sinh ` = SA.
Hình chóp tam giác đều S.ABC
A
S
B
C
M
I
4 Dạng 4. Bài toán hình nón cụt
Khi cắt hình nón bởi một mặt phẳng song song với đáy thì phần mặt phẳng nằm trong
hình nón là một hình tròn. Phần hình nón nằm giữa hai mặt phẳng nói trên được gọi là
hình nón cụt.
Nội dung Hình vẽ
Khi cắt hình nón cụt bởi một mặt phẳng song song
với đáy thì được mặt cắt là một hình tròn.
Khi cắt hình nón cụt bởi một mặt phẳng song song
với trục thì được mặt cắt là một hình thang cân.
4. Một số dạng toán và công thức giải nón và trụ 103
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Cho hình nón cụt có R, r, h lần lượt là bán kính đáy
lớn, bán kính đáy nhỏ và chiều cao.
Diện tích xung quanh của hình nón cụt
S
xq
= π · ` · (R + r).
Diện tích đáy (hình tròn)
®
S
đáy 1
= πr
2
S
đáy 2
= πR
2
⇒
X
S
đáy
= π(r
2
+ R
2
).
Diện tích toàn phần của hình chóp cụt
S
tp
= π · ` · (R + r) + πr
2
+ πR
2
.
Thể tích khối nón cụt
V =
1
3
πh(R
2
+ r
2
+ Rr).
R
h `
r
5 Dạng 5. Bài toán hình nón tạo bởi phần còn lại của hình tròn sau khi cắt bỏ đi
hình quạt
Nội dung Hình vẽ
Từ hình tròn (O; R) cắt bỏ đi hình quạt
AmB. Độ dài cung
˘
AnB bằng x. Phần
còn lại của hình tròn ghép lại được một
hình nón. Tìm bán kính, chiều cao và
độ dài đường sinh của hình nón đó.
Hình nón được tạo thành có
` = R
2πr = x ⇒ r =
x
2π
h =
p
`
2
− r
2
.
O
A ≡ B
O
A B
m
n
R
h
r
R
B MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÔNG THỨC GIẢI BÀI TOÁN MẶT TRỤ
104 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
1 Dạng 1. Thiết diện của hình trụ cắt bởi một mặt phẳng
Nội dung Hình vẽ
Thiết diện vuông góc trục là một đường tròn bán
kính R.
Thiết diện chứa trục là một hình chữ nhật ABCD
trong đó AB = 2R và AD = h. Nếu thiết diện qua
trục là một hình vuông thì h = 2R.
Thiết diện song song với trục và không chứa
trục là hình chữ nhật BGHC có khoảng cách tới
trục là d(OO
0
, (BGHC)) = OM.
C
B
D
H
A
G
O
O
0
M
4. Một số dạng toán và công thức giải nón và trụ 105
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
2 Dạng 2. Thể tích khối tứ diện có 2 cạnh là đường kính 2 đáy
Nội dung Hình vẽ
Nếu như AB và CD là hai đường kính bất kỳ trên
hai đáy của hình trụ thì
V
ABCD
=
1
6
AB · CD · OO
0
· sin(AB, CD).
Đặc biệt: Nếu AB và CD vuông góc nhau thì
V
ABCD
=
1
6
AB · CD · OO
0
.
B
D
C
A
O
O
0
3 Dạng 3. Xác định góc, khoảng cách
Nội dung Hình vẽ
Góc giữa AB và trục OO
0
bằng
÷
A
0
AB.
A
0
A
O
O
0
B
Khoảng cách giữa AB và trục OO
0
bằng O
0
M.
A
0
A
O
O
0
M
B
106 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Nếu ABCD là một hình vuông nội tiếp trong
hình trụ thì đường chéo của hình vuông cũng
bằng đường chéo của hình trụ.
Nghĩa là cạnh hình vuông bằng
AB =
2R
2
+
h
2
2
.
B
D
A
C
O
O
0
I
4 Dạng 4. Xác định mối liên hệ giữa diện tích xung quanh, toàn phần và thể tích
khối trụ trong bài toán tối ưu
Nội dung Hình vẽ
Một khối trụ có thể tích V không đổi.
Tìm bán kính đáy và chiều cao hình trụ
để diện tích toàn phần nhỏ nhất
S
tp
min ⇔
R =
3
…
V
4π
h = 2
3
…
V
4π
.
Tìm bán kính đáy và chiều cao hình trụ
để diện tích xung quanh cộng với diện
tích một đáy và nhỏ nhất
S min ⇔
R =
3
…
V
π
h =
3
…
V
π
.
M
O
O
0
R
h
5 Dạng 5. Hình trụ ngoại tiếp, nội tiếp một hình lăng trụ đứng
Cho hình lăng trụ tam giác đều nội tiếp trong một hình trụ. Thể tích khối lăng trụ là V
thì thể tích khối trụ là V
(T )
=
4πV
9
.
Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
ngoại tiếp trong một hình trụ. Diện tích
xung quanh hình trụ là S thì diện tích xung quanh của hình lăng trụ là S
xq
=
2S
π
.
4. Một số dạng toán và công thức giải nón và trụ 107
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
BÀI 5 MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÔNG THỨC GIẢI BÀI
TOÁN MẶT CẦU
A MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN
1 Các khái niệm cơ bản
Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại
tiếp của đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy. Bất kì một điểm nào
nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy thì cách đều các đỉnh của đa giác đó.
Đường trung trực của đoạn thẳng là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng
và vuông góc với đoạn thẳng đó. Bất kì một điểm nào nằm trên đường trung trực thì
cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.
Mặt trung trực của đoạn thẳng là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và
vuông góc với đoạn thẳng đó. Bất kì một điểm nào nằm trên mặt trung trực thì cách
đều hai đầu mút của đoạn thẳng.
2 Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là điểm cách đều các đỉnh của hình chóp. Hay
nói cách khác, nó chính là giao điểm I của trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và mặt
phẳng trung trực của một cạnh bên hình chóp.
Bán kính là khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp.
3 Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu của một số hình đa diện
Hình hộp chữ nhật, hình lập phương
Nội dung Hình vẽ
Tâm: trùng với tâm đối xứng của hình
hộp chữ nhật (hình lập phương). Suy ra
tâm là I, là trung điểm của A
0
C
Bán kính: bằng nửa độ dài đường chéo
hình hộp chữ nhật (hình lập phương).
Suy ra bán kính: R =
AC
0
2
.
A
0
D
0
B
0
I
BA
D C
C
0
108
Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Hình lăng trụ đứng có đáy nội tiếp đường tròn
Nội dung Hình vẽ
Xét hình lăng trụ đứng
A
1
, A
2
, A
3
···A
n
.A
0
1
, A
0
2
, A
0
3
, ···A
0
n
,
trong đó có 2 đáy A
1
A
2
A
3
···A
n
và
A
0
1
A
0
2
A
0
3
···A
0
n
nội tiếp đường tròn (O)
và (O
0
). Lúc đó, mặt cầu nội tiếp hình
lăng trụ đứng có
Tâm: I, với I là trung điểm của
OO
0
.
Bán kính: R = IA
1
= IA
2
=
··· = IA
0
n
A
0
1
A
1
A
0
3
A
3
A
0
2
A
2
A
n
A
0
n
O
O
0
I
Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối 2 đỉnh còn lại dưới 1 góc vuông
Nội dung Hình vẽ
Hình chóp S.ABC có
’
SAC =
’
SBC = 90
◦
.
Tâm: I là trung điểm SC.
Bán kính: R =
SC
2
= IA = IB = IC.
S
A C
B
I
5. Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt cầu 109
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Hình chóp S.ABCD có
’
SAC =
’
SBC =
’
SDC = 90
◦
.
Tâm: I là trung điểm SC.
Bán kính: R =
SC
2
= IA = IB = IC = ID.
S
A
B C
D
I
Hình chóp đều
Nội dung Hình vẽ
Hình chóp đều S.ABC ···
Gọi O là tâm của đáy ⇒ SO là
trụ của đáy.
Trong mặt phẳng xác định bởi SO
và một cạnh bên, chẳng hạn như
mặt phẳng (SAO), ta vẽ đường
trung trực của cạnh SA là ∆ cắt
SA tại M và cắt SO tại I ⇒ I là
tâm của mặt cầu.
Bán kính:
Ta có 4SMI ∼ 4SOA ⇒
SM
SO
=
SI
SA
⇒ R = IS =
SM · SA
SO
=
SA
2
2 · SO
=
IA = IB = IC = ···
∆
S
A
M
B
C
D
O
I
Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy
Nội dung Hình vẽ
110 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Cho hình chóp S.ABC ··· có cạnh bên
SA ⊥ (ABC ···) và đáy ABC ··· nội
tiếp đường tròn tâm O.
Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp S.ABC ··· được xác định
như sau:
Từ tâm O ngoại tiếp đáy, ta vẽ
đường thẳng d vuông góc với mặt
phẳng (ABC ···) tại O.
Trong mặt phẳng (d, SA), ta
dựng đường trung trực ∆ của
cạnh SA cắt SA tại M, cắt d tại
I ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp và bán kính R = IA =
IC = IS = ···
Tìm bán kính.
Ta có MIOB là hình chữ nhật.
Xét 4MAI vuông tại M có:
R = AI =
√
MI
2
+ MA
2
=
AO
2
+
Å
SA
2
ã
2
.
∆
d
S
A
M
B
C
O
I
Hình chóp khác
Dựng trục ∆ của đáy.
Dựng mặt phẳng trung trực (α) của một cạnh bên bất kì.
(α) ∩ ∆ = I ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp.
Bán kính: khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp.
Đường tròn ngoại tiếp một số đa giác thường gặp
Khi xác định tâm mặt cầu, ta cần xác định trục của mặt phẳng đáy, đó chính là đường
thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy tại tâm O của đường tròn ngoại tiếp đáy. Do đó,
việc xác định tâm O là yếu tố rất quan trọng của bài toán.
5. Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt cầu 111
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
O
Hình vuông: O là giao điểm 2 đường chéo.
O
Hình chữ nhật: O là giao điểm 2 đường chéo.
O
Tam giác đều: O là trọng tâm tam giác.
O
Tam giác vuông: O là trung điểm của cạnh huyền.
O
Tam giác thường: O là giao điểm của 2 đường trung trực của
112
Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
2 cạnh trong tam giác.
B KỸ THUẬT XÁC ĐỊNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP
Nội dung Hình vẽ
Cho hình chóp S.A
1
A
2
. . . A
n
(thỏa mãn điều
kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp). Thông
thường, để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp ta thực hiện theo hai bước
Bước 1: Xác định tâm của đường tròn
ngoại tiếp đa giác đáy. Dựng ∆ là trục
đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
Bước 2: Lập mặt phẳng trung trực (α)
của một cạnh bên. Lúc đó Tâm O của
mặt cầu là giao điểm của đường thẳng ∆
và mặt phẳng (α). Bán kính R = SA =
SO. Tùy vào từng trường hợp.
S
D
H
B
A
I
C
O
α
C KỸ NĂNG XÁC ĐỊNH TRỤC ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP ĐA GIÁC ĐÁY
1 Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy
Nội dung Hình vẽ
Định nghĩa
Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy là
đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp
đáy và vuông góc với mặt phẳng đáy.
Tính chất
Với mọi M ∈ d
0
thì M A = M B = MC.
Suy ra MA = MB = MC ⇔ M ∈ d
0
.
5. Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt cầu 113
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Các bước xác định trục
Bước 1: Xác định tâm H của đường
tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
Bước 2: Qua H dựng đường thẳng d
0
vuông góc với mặt phẳng đáy.
Một số trường hợp đặc biệt
Đáy là tam giác vuông.
Đáy là tam giác đều.
Đáy là tam giác thường.
M
d
0
B
A
C
H
H
A
B
d
0
C
H
A
B
d
0
C
H
A
B
d
0
C
2 Kỹ năng tam giác đồng dạng
Nội dung Hình vẽ
114 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
4SMO đồng dạng với 4SIA, suy ra
SO
SA
=
SM
SI
.
S
I
O
A
M
3 Nhận xét quan trọng
∃M, S sao cho
®
MA = MB = MC
SA = SB = SC
thì SM là trục đường tròn ngoại tiếp 4ABC.
D KỸ THUẬT SỬ DỤNG HAI TRỤC XÁC ĐỊNH TÂM MẶT CẦU NGOẠI TIẾP ĐA DIỆN
Nội dung Hình vẽ
Cho hình chóp S.A
1
A
2
. . . A
n
(thỏa mãn điều
kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp). Thông
thường, để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp ta thực hiện theo hai bước
Bước 1: Xác định tâm của đường tròn
ngoại tiếp đa giác đáy. Dựng d
0
là trục
đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
Bước 2: Xác định trục d của đường tròn
ngoại tiếp một mặt bên (dễ xác định)
của khối chóp. Lúc đó
• Tâm I của mặt cầu là {I} = d
0
∩d.
• Bán kính R = IA = IS. Tùy vào
từng trường hợp.
S
A
D C
I
B
d
d
0
E TỔNG KẾT CÁC DẠNG TÌM TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU
1 Dạng 1
Nội dung Hình vẽ
5. Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt cầu 115
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Cạnh bên SA vuông góc đáy và
’
ABC = 90
◦
.
Khi đó R =
SC
2
và tâm là trung điểm của
SC.
S
B
A C
S
A
D
B
C
2 Dạng 2
Nội dung Hình vẽ
Cạnh bên SA vuông góc đáy và bất kể đáy là hình
gì, chỉ cần tìm được bán kính đường tròn ngoại tiếp
của đáy là R
D
, khi đó R
2
= R
2
D
+
SA
2
4
.
• R
D
=
abc
4
p
p(p − a)(p − b)(p − c)
với p là nửa
chu vi.
• Nếu 4ABC vuông tại A thì R
D
=
1
4
AB
2
+ AC
2
+ SA
2
.
• Đáy là hình vuông cạnh a thì R
D
=
a
√
2
2
.
• Nếu đáy là tam giác đều cạnh a thì R
D
=
a
√
3
3
.
S
I
B
A
K
C
O
116 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
3 Dạng 3
Nội dung Hình vẽ
Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau SA = SB =
SC = SD, ta có
R =
SA
2
2SO
.
ABCD là hình vuông, hình chữ nhật, khi đó
O là giao của hai đường chéo.
4ABC vuông, khi đó O là trung điểm cạnh
huyền.
4ABC đều, khi đó O là trọng tâm, trực tâm,
tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.
A
B C
D
O
S
4 Dạng 4
Nội dung Hình vẽ
Hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) vuông góc
với nhau và có giao tuyến AB. Khi đó, ta gọi
R
1
, R
2
lần lượt là bán kính đường tròn ngoại
tiếp các tam giác SAB và SAC. Bán kính mặt
cầu ngoại tiếp
R
2
= R
2
1
+ R
2
2
−
AB
2
4
.
A
B
C
S
I
O
J
5. Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt cầu 117
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
5 Dạng 5
Cho hình chóp S.ABCD có đường cao SH, tâm đường tròn ngoại tiếp đáy là O. Khi đó,
ta giải phương trình (SH − x)
2
+ OH
2
= x
2
+ R
2
D
. Với giá trị x vừa tìm được, ta có
R
2
= x
2
+ R
2
D
.
F DẠNG 6
Bán kính mặt cầu nội tiếp r =
3V
S
tp
.
BÀI 6 TỔNG HỢP CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT VỀ KHỐI
TRÒN XOAY
A CHỎM CẦU
Nội dung Hình vẽ
Ta có công thức tính diện tích và thể tích
S
xq
= 2πRh = π
r
2
+ h
2
V = πh
2
Å
R −
h
3
ã
=
πh
6
h
2
+ 3r
2
R
h
r
B HÌNH TRỤ CỤT
Nội dung Hình vẽ
118 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Ta có công thức tính thể tích, diện tích
S
xq
= πR (h
1
+ h
2
)
V = πR
Å
h
1
+ h
2
2
ã
h
1
h
2
R
C HÌNH NÊM LOẠI 1
Nội dung Hình vẽ
Ta có công thức tính thể tích
V =
2
3
R
3
tan α.
R
α
D HÌNH NÊM LOẠI 2
Nội dung Hình vẽ
6. Tổng hợp các công thức đặc biệt về khối tròn xoay 119
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Ta có công thức tính thể tích
V =
Å
π
2
−
2
3
ã
R
3
tan α.
α
R
E PARABOL BẬC HAI - PARABOLOID
Nội dung Hình vẽ
S
parabol
=
4
3
Rh
S
0
S
=
Å
…
x
h
ã
3
=
a
R
3
V =
1
2
πR
2
h =
1
2
V
trụ
.
x
a
h
R
h
R
F DIỆN TÍCH ELIP VÀ THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY SINH BỞI ELIP
Nội dung Hình vẽ
120 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
S
elip
= πab
V
xoay quanh 2a
=
4
3
πab
2
V
xoay quanh 2b
=
4
3
πa
2
b.
a a
b
b
G DIỆN TÍCH HÌNH VÀNH KHĂN
Nội dung Hình vẽ
S = π
R
2
− r
2
.
r
R
H THỂ TÍCH HÌNH XUYẾN (PHAO)
Nội dung Hình vẽ
V = 2π
2
Å
R + r
2
ãÅ
R − r
2
ã
2
.
r
R
6. Tổng hợp các công thức đặc biệt về khối tròn xoay 121
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
122 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
CHƯƠNG
3
HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG
GIAN
BÀI 1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT
1 Khái niệm mở đầu
Trong không gian cho ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc. Gốc tọa độ O, trục hoành
Ox, trục tung Oy, trục cao Oz, các mặt tọa độ (Oxy), (Oyz), (Ozx).
2 Khái niệm về hệ trục tọa độ
Khi không gian có hệ trục tọa độ thì gọi là không gian tọa độ Oxyz hay không gian
Oxyz.
4
!
Chú ý
−→
i
2
=
−→
j
2
=
−→
k
2
= 1.
−→
a
2
= |
−→
a |
2
.
−→
i ·
−→
j =
−→
j ·
−→
k =
−→
k ·
−→
i = 0.
3 Tọa độ véctơ
−→
u = (x; y; z) ⇔
−→
u = x
−→
i + y
−→
j + z
−→
k .
4 Tọa độ điểm
M(x; y; z) ⇔
−−→
OM = x
−→
i + y
−→
j + z
−→
k .
123
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
5 Các công thức tọa độ cần nhớ
Cho
−→
u = (a; b; c),
−→
v = (a
0
; b
0
; c
0
).
−→
u =
−→
v ⇔
a = a
0
b = b
0
c = c
0
.
−→
u ±
−→
v = (a ± a
0
; b ± b
0
; c ± c
0
).
k ·
−→
u = (ka; kb; kc).
−→
u ·
−→
v = |
−→
u | · |
−→
v | · cos (
−→
u ,
−→
v ) = aa
0
+ bb
0
+ cc
0
.
cos (
−→
u ,
−→
v ) =
−→
u ·
−→
v
|
−→
u | · |
−→
v |
=
aa
0
+ bb
0
+ cc
0
√
a
2
+ b
2
+ c
2
·
√
a
02
+ b
02
+ c
02
.
|
−→
u | =
√
−→
u
2
=
√
a
2
+ b
2
+ c
2
.
−→
u ⊥
−→
v ⇔
−→
u ·
−→
v = 0.
−−→
AB = (x
B
− x
A
; y
B
− y
A
; z
B
− z
A
).
AB =
−−→
AB
=
»
(x
B
− x
A
)
2
+ (y
B
− y
A
)
2
+ (z
B
− z
A
)
2
.
6 Chú ý
Góc của hai véc-tơ (
−→
u ,
−→
v ) là góc hình học (nhỏ) giữa hai tia mang các véc-tơ đó, giá trị
trong [0; π] là sin (
−→
u ;
−→
v ) =
p
1 − cos
2
(
−→
u ,
−→
v ) ≥ 0.
7 Chia tỉ lệ đoạn thẳng
Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k nghĩa là
−−→
MA = k
−−→
MB. Công thức tọa độ của M là
x
M
=
x
A
− kx
B
1 − k
y
M
=
y
A
− ky
B
1 − k
z
M
=
z
A
− kz
B
1 − k
.
124 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
8 Công thức trung điểm
Nếu M là trung điểm của đoạn AB thì
−−→
MA +
−−→
MB =
−→
0 ⇔
x
M
=
x
A
+ x
B
2
y
M
=
y
A
+ y
B
2
z
M
=
z
A
+ z
B
2
.
9 Công thức trọng tâm tam giác
Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì
−→
GA +
−−→
GB +
−−→
GC =
−→
0 ⇔
x
G
=
x
A
+ x
B
+ x
C
3
y
G
=
y
A
+ y
B
+ y
C
3
z
G
=
z
A
+ z
B
+ z
C
3
.
10
Công thức trọng tâm tứ diện
Nếu G là trọng tâm tứ diện ABCD thì
−→
GA +
−−→
GB +
−−→
GC +
−−→
GD =
−→
0 ⇔
x
G
=
x
A
+ x
B
+ x
C
+ x
D
4
y
G
=
y
A
+ y
B
+ y
C
+ y
D
4
z
G
=
z
A
+ z
B
+ z
C
+ z
D
4
.
11 Tích có hướng của hai véc-tơ
Cho hai véc-tơ
−→
u = (a; b; c) và
−→
v = (a
0
; b
0
; c
0
). Tích có hướng của hai véc-tơ
−→
u và
−→
v là
một véc-tơ, kí hiệu [
−→
u ,
−→
v ] hay
−→
u ∧
−→
v , có tọa độ
[
−→
u ,
−→
v ] =
b c
b
0
c
0
;
c a
c
0
a
0
;
a b
a
0
b
0
!
= (bc
0
− b
0
c; ca
0
− ac
0
; ab
0
− ba
0
) .
12 Tính chất của tích có hướng của hai véc-tơ
[
−→
u ,
−→
v ] vuông góc với
−→
u và
−→
v .
1. Hệ tọa độ trong không gian 125
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
|[
−→
u ,
−→
v ]| = |
−→
u | · |
−→
v | · sin (
−→
u ,
−→
v ).
[
−→
u ,
−→
v ] =
−→
0 ⇔
−→
u ,
−→
v cùng phương.
13 Ứng dụng của tích có hướng của hai véc-tơ
Diện tích hình bình hành ABCD: S =
î
−−→
AB,
−−→
AD
ó
.
Diện tích tam giác ABC: S =
1
2
·
î
−−→
AB,
−→
AC
ó
.
Ba véc-tơ
−→
u ,
−→
v ,
−→
w đồng phẳng ⇔ [
−→
u ,
−→
v ] ·
−→
w = 0.
Thể tích khối hộp có đáy là hình bình hành ABCD và cạnh bên AA
0
:
V =
î
−−→
AB,
−−→
AD
ó
·
−−→
AA
0
.
Thể tích khối tứ diện S.ABC: V =
1
6
·
î
−−→
AB,
−→
AC
ó
·
−→
SA
.
B PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP
1 Các phép toán về tọa độ của véc-tơ và của điểm
Phương pháp giải
Sử dụng các công thức về tọa độ của véc-tơ và của điểm trong không gian.
Sử dụng các phép toán về véc-tơ trong không gian.
2 Xác định điểm trong không gian. Chứng minh tính chất hình học. Diện tích -
Thể tích
Phương pháp giải
Sử dụng các công thức về tọa độ của véc-tơ và của điểm trong không gian.
Sử dụng các phép toán về véc-tơ trong không gian.
Công thức xác định tọa độ của các điểm đặc biệt.
Tính chất hình học của các điểm đặc biệt.
• A, B, C thẳng hàng ⇔
−−→
AB,
−→
AC cùng phương ⇔
−−→
AB = k
−→
AC ⇔
î
−−→
AB,
−→
AC
ó
=
−→
0 .
126
Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
• ABCD là hình bình hành ⇔
−−→
AB =
−−→
DC.
• Cho 4ABC có các chân E, F của các đường phân giác trong và ngoài của
góc A trên BC. Ta có
−−→
EB = −
AB
AC
·
−−→
EC,
−−→
F B =
AB
AC
·
−−→
F C.
• A, B, C, D không đồng phẳng ⇔
−−→
AB,
−→
AC,
−−→
AD không đồng phẳng ⇔
î
−−→
AB,
−→
AC
ó
·
−−→
AD 6= 0.
BÀI 2 MẶT PHẲNG
A CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT
1 Khái niệm về véc-tơ pháp tuyến
Véc-tơ
−→
n khác
−→
0 và có giá vuông góc mp(P ) được gọi là véc-tơ pháp tuyến của (P ).
2 Tính chất của véc-tơ pháp tuyến
Nếu
−→
n là véc-tơ pháp tuyến của (P ) thì k
−→
n (k 6= 0) cũng là véc-tơ pháp tuyến của (P ).
3 Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P ) qua M (x
0
; y
0
; z
0
) và có véc-tơ pháp tuyến
−→
n = (A; B; C) là
A(x − x
0
) + B(y − y
0
) + C(z − z
0
) = 0.
4 Khai triển của phương trình tổng quát
Dạng khai triển của phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 (trong đó A, B,
C không đồng thời bằng 0).
5 Những trường hợp riêng của phương trình tổng quát
(P ) qua gốc tọa độ ⇔ D = 0.
(P ) song song hoặc trùng (Oxy) ⇔ A = B = 0.
(P ) song song hoặc trùng (Oyz) ⇔ B = C = 0.
(P ) song song hoặc trùng (Ozx) ⇔ A = C = 0.
(P ) song song hoặc chứa trục Ox ⇔ A = 0.
2. Mặt phẳng 127
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
(P ) song song hoặc chứa trục Oy ⇔ B = 0.
(P ) song song hoặc chứa trục Oz ⇔ C = 0.
(P ) (không qua gốc tọa độ) cắt Ox tại A(a; 0; 0), cắt Oy tại B(0; y; 0), cắt Oz tại
C(0; 0; c) ⇔ (P ) có phương trình
x
a
+
y
b
+
z
c
= 1.
6 Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
Cho M (x
0
; y
0
; z
0
) và (P ): Ax + By + Cz + D = 0, khi đó
d [M; (P )] =
|Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
+ D|
√
A
2
+ B
2
+ C
2
.
7 Chùm mặt phẳng
Nội dung Hình vẽ
Tập hợp tất cả các mặt phẳng qua giao tuyến
của hai mặt phẳng (α) và (β) gọi là một chùm
mặt phẳng.
Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng
(α): A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0 và (β) : A
2
x +
B
2
y + C
2
z + D
2
= 0.
Khi đó nếu (P ) là mặt phẳng chứa d thì mặt
phẳng (P ) có dạng
m(A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
) + n(A
2
x + B
2
y +
C
2
z + D
2
) = 0 với m
2
+ n
2
6= 0.
(α)
(P )
(β)
d
B VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Để lập phương trình mặt phẳng (α) ta cần xác định một điểm thuộc (α) và một VTPT
của nó.
1 Dạng 1
Mặt phẳng (α) đi qua điểm M (x
0
; y
0
; z
0
) và có VTPT ~n = (A; B; C) thì
(α): A(x − x
0
) + B(y − y
0
) + C(z − z
0
) = 0.
128 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
2 Dạng 2
Mặt phẳng (α) đi qua điểm M (x
0
; y
0
; z
0
) và có cặp VTCP ~a,
~
b thì ~n =
î
~a,
~
b
ó
là một
VTPT của (α).
3 Dạng 3
Mặt phẳng (α) đi qua điểm M (x
0
; y
0
; z
0
) và song song với (β) : Ax + By + Cz = 0 thì
(α): A(x − x
0
) + B(y − y
0
) + C(z − z
0
) = 0.
4 Dạng 4
Mặt phẳng (α) đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Khi đó ta có thể xác định
một VTPT của (α) là ~n =
î
−−→
AB,
−→
AC
ó
.
5 Dạng 5
Mặt phẳng (α) đi qua một điểm M và một đường thẳng d không chứa M:
Trên d lấy điểm A và VTCP ~u.
Một VTPT của (α) là ~n =
î
−−→
AM, ~u
ó
.
6 Dạng 6
Mặt phẳng (α) đi qua một điểm M, vuông góc với đường thẳng d thì VTCP ~u của đường
thẳng d là một VTPT của (α).
7 Dạng 7
Mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng cắt nhau d
1
, d
2
:
Xác định các VTCP ~a,
~
b của các đường thẳng d
1
, d
2
.
Một VTPT của (α) là ~n =
î
~a,
~
b
ó
.
Lấy một điểm M thuộc d
1
hoặc d
2
⇒ M ∈ (α).
2. Mặt phẳng 129
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
8 Dạng 8
Mặt phẳng (α) chứa đường thẳng d
1
và song song với đường thẳng d
2
(hai đường d
1
, d
2
chéo nhau):
Xác định các VTCP ~a,
~
b của các đường thẳng d
1
, d
2
.
Một VTPT của (α) là ~n =
î
~a,
~
b
ó
.
Lấy một điểm M thuộc d
1
⇒ M ∈ (α).
9 Dạng 9
Mặt phẳng (α) đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau d
1
, d
2
:
Xác định các VTCP ~a,
~
b của các đường thẳng d
1
, d
2
.
Một VTPT của (α) là ~n =
î
~a,
~
b
ó
.
10 Dạng 10
Mặt phẳng (α) chứa một đường thẳng d và vuông góc với một mặt phẳng (β):
Xác định VTCP ~u của d và VTPT ~n
β
của (β).
Một VTPT của (α) là ~n = [~u, ~n
β
].
Lấy một điểm M thuộc d ⇒ M ∈ (α).
11 Dạng 11
Mặt phẳng (α) đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau (β), (γ):
Xác định các VTPT ~n
β
, ~n
γ
của (β) và (γ).
Một VTPT của (α) là ~n = [~n
β
, ~n
γ
].
12 Dạng 12
Mặt phẳng (α) chứa đường thẳng d cho trước và cách điểm M cho trước một khoảng k
cho trước:
Giả sử (α) có phương trình A + By + Cz + D = 0,
A
2
+ B
2
+ C
2
6= 0
.
Lấy hai điểm A, B ∈ d ⇒ A, B ∈ (α), ta được hai phương trình (1) và (2).
130 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Từ điều kiện khoảng cách d [M, (α)] = k, ta được phương trình (3).
Giải hệ phương trình (1), (2), (3) (bằng cách cho giá trị một ẩn, tìm các ẩn còn
lại).
13 Dạng 13
Mặt phẳng (α) tiếp xúc mặt cầu (S) tại điểm H:
Giả sử mặt cầu (S) có tâm I và bán kính R.
Một VTPT của (α) là ~n =
−→
IH.
C VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG
Cho hai mặt phẳng (P ): Ax + By + Cz + D = 0 và (P
0
): A
0
x + B
0
y + C
0
z + D
0
= 0. Khi
đó
(P ) cắt (P
0
) ⇔ A : B : C 6= A
0
: B
0
: C
0
.
(P ) k (P
0
) ⇔
A
A
0
=
B
B
0
=
C
C
0
6=
D
D
0
.
(P ) ≡ (P
0
) ⇔
A
A
0
=
B
B
0
=
C
C
0
=
D
D
0
.
(P ) ⊥ (P
0
) ⇔ ~n
(P )
⊥ ~n
(P
0
)
⇔ ~n
(P )
·~n
(P
0
)
= 0 ⇔ AA
0
+ BB
0
+ CC
0
= 0.
D KHOẢNG CÁCH VÀ HÌNH CHIẾU
1 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Khoảng cách từ điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 là
d [M
0
; (α)] =
|Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
+ D|
√
A
2
+ B
2
+ C
2
.
2 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên
mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
3 Hình chiếu của một điểm lên một mặt
Điểm H là hình chiếu của điểm M lên (P ) ⇔
®
−−→
MH, ~n cùng phương
H ∈ (P )
.
2. Mặt phẳng 131
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
4 Điểm đối xứng của một điểm qua mặt phẳng
Điểm M
0
đối xứng M qua (P ) ⇔
−−−→
MM
0
= 2
−−→
MH.
E GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
Cho hai mặt phẳng (α), (β) có phương trình (α): A
1
x+B
1
y+C
1
z+D
1
= 0 và (β): A
2
x+
B
2
y + C
2
z + D
2
= 0.
Góc giữa (α), (β) bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT ~n
1
, ~n
2
.
cos [(α); (β)] =
|~n
1
·~n
2
|
|~n
1
| · |~n
2
|
=
|A
1
A
2
+ B
1
B
2
+ C
1
C
2
|
p
A
2
1
+ B
2
1
+ C
2
1
·
p
A
2
2
+ B
2
2
+ C
2
2
.
4
!
0
◦
≤
h
◊
(α); (β)
i
≤ 90
◦
; (α) ⊥ (β) ⇔ A
1
A
2
+ B
1
B
2
+ C
1
C
2
= 0.
F VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT PHẲNG VÀ MẶT CẦU. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
TIẾP XÚC MẶT CẦU.
Cho mặt phẳng (α) : Ax+By+Cz+D = 0 và mặt cầu (S) : (x−a)
2
+(y−b)
2
+(z−c)
2
= R
2
có tâm I.
(α) và (S) không có điểm chung ⇔ d [I; (α)] > R.
(α) tiếp xúc (S) ⇔ d [I; (α)] = R với (α) là tiếp diện.
Để tìm tọa độ tiếp điểm, ta có thể thực hiện như sau
Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của (S) và vuông góc (α).
Tìm tọa độ giao điểm H của d và (α), H là giao điểm của (S) với (α).
(α) cắt (S) theo một đường tròn ⇔ d [I; (α)] < R.
Để xác định tâm và bán kính r của đường tròn giao tuyến ta có thể thực hiện như
sau
Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của (S) và vuông góc (α).
Tìm tọa độ giao điểm H của d và (α), với H là tâm của đường tròn giao tuyến của
(S) với (α).
Bán kính r của đường tròn giao tuyến r =
√
R
2
− IH
2
.
132 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
BÀI 3 ĐƯỜNG THẲNG
A PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG
1 Véc-tơ chỉ phương của đường thẳng
Định nghĩa 1. Cho đường thẳng d. Nếu véc-tơ
−→
a 6=
−→
0 và có giá song song hoặc trùng
với đường phẳng d thì được gọi là véc-tơ chỉ phương của đường phẳng d. Kí hiệu:
−→
a =
(a
1
; a
2
; a
3
).
4
!
−→
a là VTCP của d thì k
−→
a (k 6= 0) cũng là VTCP của d;
Nếu d đi qua hai điểm A, B thì
−−→
AB là một VTCP của d;
Trục Ox có véc-tơ chỉ phương
−→
a =
−→
i = (1; 0; 0);
Trục Oy có vectơ chỉ phương
−→
a =
−→
j = (0; 1; 0);
Trục Oz có vectơ chỉ phương
−→
a =
−→
k = (0; 0; 1).
2 Phương trình tham số của đường thẳng
Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm
M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) và nhận
−→
a = (a
1
; a
2
; a
3
) làm VTCP là
∆:
x = x
0
+ a
1
t
y = y
0
+ a
2
t
z = z
0
+ a
3
t
(t ∈ R).
z
y
x
O
∆
M
0
M(x; y; z)
−→
a
3 Phương trình chính tắc của đường thẳng
Phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) và nhận
−→
a =
(a
1
; a
2
; a
3
) làm VTCP là
x − x
0
a
1
=
y − y
0
a
2
=
z − z
0
a
3
(a
1
, a
2
, a
3
6= 0) .
3. Đường thẳng 133
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
B VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
1 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
M
∆
−→
a
−→
n
α
∆
−→
a
M
−→
n
α
∆
−→
a
M
−→
n
α
Phương pháp hình học
Định lí 1. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆:
x = x
0
+ a
1
t (1)
y = y
0
+ a
2
t (2)
z = z
0
+ a
3
t (3)
có véc-tơ
chỉ phương
−→
a = (a
1
; a
2
; a
3
) và đi qua M = (x
0
; y
0
; z
0
) và mặt phẳng (α) : Ax + By +
Cz + D = 0 có véc-tơ pháp tuyến
−→
n = (A; B; C).
Khi đó
∆ ∩ (α) = {A} ⇔
−→
a ·
−→
n 6= 0 ⇔ Aa
1
+ Ba
2
+ Ca
3
6= 0;
∆ k (α) ⇔
®
−→
a ·
−→
n = 0
M /∈ (α)
⇔
®
Aa
1
+ Ba
2
+ Ca
3
= 0
Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
+ D 6= 0;
∆ ⊂ (α) ⇔
®
−→
a ·
−→
n = 0
M ∈ (α)
⇔
®
Aa
1
+ Ba
2
+ Ca
3
= 0
Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
+ D = 0.
Đặc biệt. ∆ ⊥ (α) ⇔
−→
a và
−→
n cùng phương ⇔ a
1
: a
2
: a
3
= A : B : C.
∆
−→
a
−→
n
α
Phương pháp đại số
Muốn tìm giao điểm M của ∆ và (α), ta giải hệ phương trình
®
pt (∆)
pt (α)
tìm x, y, z. Suy
ra M (x; y; z).
Thế (1), (2) và (3) vào phương trình (α) và rút gọn đưa về dạng at + b = 0. (∗)
∆ cắt (α) tại một điểm ⇔ pt(∗) có một nghiệm t;
∆ song song với (α) ⇔ pt(∗) vô nghiệm;
∆ nằm trong (α) ⇔ pt(∗) có vô số nghiệm t;
∆ ⊥ (α) ⇔
−→
a và
−→
n cùng phương.
134 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
2 Vị trí tương đối của hai đường thẳng
∆
1
∆
2
M
N
−→
u
1
−→
u
2
∆
1
∆
2
M
N
−→
u
1
−→
u
2
∆
2
∆
1
M N
−→
u
1
−→
u
2
∆
1
∆
2
M
N
−→
u
1
−→
u
2
Phương pháp hình học
Cho hai đường thẳng: ∆
1
đi qua M và có một véc-tơ chỉ phương
−→
u
1
;
∆
2
đi qua N và có một véc-tơ chỉ phương
−→
u
2
.
∆
1
≡ ∆
2
⇔ [
−→
u
1
,
−→
u
2
] =
î
−→
u
1
,
−−→
MN
ó
=
−→
0 ;
∆
1
k ∆
2
⇔
[
−→
u
1
,
−→
u
2
] =
−→
0
î
−→
u
1
,
−−→
MN
ó
6=
−→
0 ;
∆
1
cắt ∆
2
⇔
(
[
−→
u
1
,
−→
u
2
] 6=
−→
0
[
−→
u
1
,
−→
u
2
] ·
−−→
MN = 0;
∆
1
và ∆
2
chéo nhau ⇔ [
−→
u
1
,
−→
u
2
] ·
−−→
MN 6= 0.
Phương pháp đại số
Muốn tìm giao điểm M của ∆
1
và ∆
2
, ta giải hệ phương trình
®
pt (∆
1
)
pt (∆
2
)
tìm x, y, z. Suy
ra M (x; y; z).
3 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu
Cho đường thẳng ∆:
x = x
0
+ a
1
t (1)
y = y
0
+ a
2
t (2)
z = z
0
+ a
3
t (3)
và mặt cầu (S): (x−a)
2
+(y−b)
2
+(z−c)
2
= R
2
có tâm I(a; b; c), bán kính R.
Phương pháp hình học
Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) đến đường thẳng ∆ là
h = d(I, ∆) =
î
−−→
IM,
−→
a
ó
|
−→
a |
.
Bước 2: So sánh d(I, ∆) với bán kính R của mặt cầu:
3. Đường thẳng 135
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Nếu d(I, ∆) > R thì ∆ không cắt (S);
Nếu d(I, ∆) = R thì ∆ tiếp xúc với (S);
Nếu d(I, ∆) < R thì ∆ cắt (S) tại hai điểm phân biệt M, N và MN vuông
góc với đường kính (bán kính) mặt cầu.
Phương pháp đại số
Thế (1), (2) và (3) vào phương trình (S) và rút gọn và đưa về phương trình bậc hai theo
t. (∗)
Nếu phương trình (∗) vô nghiệm thì ∆ không cắt (S);
Nếu phương trình (∗) có một nghiệm thì ∆ không cắt (S);
Nếu phương trình (∗) có hai nghiệm thì d cắt (S) tại hai điểm phân biệt M , N.
!
Để tìm tọa độ M, N, ta thay giá trị vào phương trình đường thẳng ∆.
C GÓC TRONG KHÔNG GIAN
1 Góc giữa hai mặt phẳng
Nội dung Hình vẽ
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng
(α), (β) xác định bởi phương trình:
(α): A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0
(β) : A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0
Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β),
ta có công thức:
cos ϕ =
|A
1
A
2
+ B
1
B
2
+ C
1
C
2
|
p
A
2
1
+ B
2
1
+ C
2
1
·
p
A
2
2
+ B
2
2
+ C
2
2
−→
n
1
= (A
1
; B
1
; C
1
)
−→
n
2
= (A
2
; B
2
; C
2
)
β
α
2 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Nội dung Hình vẽ
136 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Cho đường thẳng
(∆):
x − x
0
a
=
y − y
0
b
=
z − z
0
c
và mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = 0.
Gọi ϕ là góc giữa đường thẳng ∆ và mặt
phẳng (α) ta có công thức:
sin ϕ =
|Aa + Bb + Cc|
√
A
2
+ B
2
+ C
2
·
√
a
2
+ b
2
+ c
2
−→
n = (A; B; C)
(∆)
−→
u = (a; b; c)
0
◦
≤ ϕ ≤ 90
◦
α
3 Góc giữa hai đường thẳng
Nội dung Hình vẽ
Cho hai đường thẳng:
(∆
1
):
x − x
0
a
=
y − y
0
b
=
z − z
0
c
(∆
2
):
x − x
0
0
a
0
=
y − y
0
0
b
0
=
z − z
0
0
c
0
Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng (∆
1
) và
(∆
2
) ta có công thức:
cos ϕ =
|aa
0
+ bb
0
+ cc
0
|
√
a
2
+ b
2
+ c
2
·
√
a
02
+ b
02
+ c
02
−→
a
1
= (a; b; c)
−→
a
2
= (a
0
; b
0
; c
0
)
0
◦
≤ ϕ ≤ 90
◦
∆
1
∆
2
D KHOẢNG CÁCH
1 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Nội dung Hình vẽ
3. Đường thẳng 137
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Cho mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0
và điểm M(x
0
; y
0
; z
0
). Khoảng cách từ điểm
M đến mặt phẳng (α) được tính bởi:
d [M, (α)] =
|Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
+ D|
√
A
2
+ B
2
+ C
2
.
H
M(x
0
; y
0
; z
0
)
α
2 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Nội dung Hình vẽ
Cho đường thẳng (∆) đi qua điểm
M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) và có VTCP
−→
u = (a; b; c).
Khi đó khoảng cách từ điểm M
1
đến (∆)
được tính bởi công thức:
d(M
1
, ∆) =
î
−−−−→
M
0
M
1
;
−→
u
ó
|
−→
u |
.
M
0
(x
0
; y
0
; z
0
)
M
1
H
−→
u
(∆)
3 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Nội dung Hình vẽ
Trong không gian (Oxyz) cho hai đường thẳng chéo
nhau:
(∆
1
) có VTCP
−→
u = (a; b; c) và qua M
0
(x
0
; y
0
; z
0
)
(∆
2
) có VTCP
−→
u
0
= (a
0
; b
0
; c
0
) và qua M
0
0
(x
0
0
; y
0
0
; z
0
0
)
Khi đó khoảng cách giữa (∆
1
) và (∆
2
) được tính bởi
công thức
d(∆
1
, ∆
2
) =
h
−→
u ,
−→
u
0
i
·
−−−−→
M
0
M
0
0
h
−→
u ,
−→
u
0
i
.
−→
u
−→
u
0
∆
1
∆
2
M
0
M
0
0
138 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
E LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định một điểm thuộc d và một VTCP của
nó.
1 Dạng 1
d đi qua điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) và có VTCP
−→
a = (a
1
; a
2
; a
3
) là d:
x = x
0
+ a
1
t
y = y
0
+ a
2
t
z = z
0
+ a
3
t
(t ∈ R).
2 Dạng 2
d đi qua hai điểm A, B: d có một VTCP là
−−→
AB.
3 Dạng 3
d đi qua điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) và song song với đường thẳng ∆ cho trước: Vì d k ∆ nên
VTCP của ∆ cũng là VTCP của d.
4 Dạng 4
d đi qua điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) và vuông góc với mặt phẳng (P ) cho trước. Vì d ⊥ (P ) nên
VTPT của (P ) cũng là VTCP của d.
5 Dạng 5
d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P ), (Q):
Cách 1: Tìm một điểm và một VTCP.
Tìm tọa độ một điểm A ∈ d bằng cách giải hệ phương trình
®
(P )
(Q)
(với việc chọn
giá trị cho một ẩn).
Tìm một VTCP của d:
−→
a = [
−→
n
P
,
−→
n
Q
].
Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d, rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
đó.
6 Dạng 6
d đi qua điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) và vuông góc với hai đường thẳng d
1
, d
2
:
Vì d ⊥ d
1
, d ⊥ d
2
nên một VTCP của d là
−→
a = [
−→
a
d
1
,
−→
a
d
2
].
3. Đường thẳng 139
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
7 Dạng 7
d đi qua điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
), vuông góc và cắt đường thẳng ∆.
Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M
0
trên đường thẳng ∆.
Ta có
(
H ∈ ∆
−−−→
M
0
H ⊥
−→
u
∆
. Khi đó đường thẳng d là đường thẳng đi qua M
0
, H.
Cách 2: Gọi (P ) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d; Q là mặt phẳng đi qua
A và chứa d. Khi đó d = (P ) ∩ (Q).
8 Dạng 8
d đi qua điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) và cắt hai đường thẳng d
1
, d
2
:
Cách 1: Gọi M
1
∈ d
1
, M
2
∈ d
2
. Từ điều kiện M , M
1
, M
2
thẳng hàng ta tìm được
M
1
, M
2
. Từ đó suy ra phương trình đường thẳng d.
Cách 2: Gọi (P ) = (M
0
, d
1
), (Q) = (M
0
, d
2
). Khi đó d = (P ) ∩ (Q). Do đó một
VTCP của d có thể chọn là
−→
a = [
−→
n
P
,
−→
n
Q
].
9 Dạng 9
d nằm trong mặt phẳng (P ) và cắt cả hai đường thẳng d
1
, d
2
:
Tìm các giao điểm A = d
1
∩ (P ), B = d
2
∩ (P ).
Khi đó d chính là đường thẳng AB.
10 Dạng 10
Viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa ∆ và d
1
, mặt phẳng (Q) chứa ∆ và d
2
.
Khi đó d = (P ) ∩ (Q).
11 Dạng 11
d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d
1
, d
2
chéo nhau.
1 Cách 1:
Gọi M
1
∈ d
1
, M
2
∈ d
2
. Từ điều kiện
®
MN ⊥ d
1
MN ⊥ d
2
ta tìm được M, N. Khi đó
d là đường thẳng MN.
2 Cách 2:
140 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Vì d ⊥ d
1
và d ⊥ nên một véc-tơ chỉ phương của d là
−→
a = [
−→
a
d
1
;
−→
a
d
2
].
Lập phương trình mặt phẳng (P ) chứa d và d
1
bằng cách.
• Lấy một điểm A trên d
1
.
• Một véc-tơ chỉ phương của (P ) là
−→
n
P
= [
−→
a ,
−→
a
d
1
].
Tương tự lập phương trình của mặt phẳng (Q) chứa d và d
2
. Khi đó
d = (P ) ∩ (Q).
12 Dạng 12
d đi qua điểm M, vuông góc với d
1
và cắt d
2
.
1 Cách 1:
Gọi N là giao điểm của d và d
2
. Từ điều kiện MN ⊥ d
1
, ta tìm được N.
Khi đó, d là đường thẳng MN.
2 Cách 2:
Viết phương trình mặt phẳng (P ) và qua M và vuông góc với d
1
.
Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa M và d
2
.
Khi đó d = (P ) ∩ (Q).
13 Dạng 13
d đi qua M , vuông góc với d
1
và cắt d
2
.
1 Cách 1:
Gọi N là giao điểm của d và d
2
. Từ điều kiện M N ⊥ d
1
ta tìm được N. Khi
đó, d là đường thẳng M N.
2 Cách 2:
Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua M và vuông góc với d
1
.
Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa M và d
2
.
Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa M và d
2
.
Khi đó d = (P ) ∩ (Q).
3. Đường thẳng 141
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
F VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
1 Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Để xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, ta có thể sử dụng một trong các
phương pháp sau:
1 Phương pháp hình học:
Dụa vào mối quan hệ giữa các véc-tơ chỉ phương và các điểm thuộc đường
thẳng.
2 Phương pháp đại số:
Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình các đường thẳng.
2 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
Để xét vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta có thể sử dụng một
trong các phương pháp sau:
1 Phương pháp hình học:
Dựa vào mối quan hệ giữa véc-tơ chỉ phuwpwng của đường thẳng và véc-tơ
pháp tuyến của mặt phẳng.
2 Phương pháp đại số:
Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và mặt phẳng.
G KHOẢNG CÁCH
1 Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d
1 Cách 1:
Cho đường thẳng d đi qua M
0
và có véc-tơ chỉ phương
−→
a thì
d (M, d) =
î
−−−→
M
0
M,
−→
a
ó
|
−→
a |
.
2 Cách 2:
Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên đường thẳng d.
d (M, d) = MH.
3 Cách 3:
142
Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Gọi N (x; y; z) ∈ d. Tính M N
2
theo t (t là tham số trong đường thẳng
d).
Tìm t để M N
2
nhỏ nhất.
Khi đó N ≡ H, do đó d (M, d) = MH.
2 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cho hai đường thẳng chéo nhau d
1
và d
2
. Biết d
1
đi qua điểm M
1
và có véc-tơ chỉ
phương
−→
a
1
, d
2
đi qua điểm M
2
và có véc-tơ chỉ phương
−→
a
2
thì
d (d
1
, d
2
) =
[
−→
a
1
,
−→
a
2
] ·
−−−−→
M
1
M
2
|[
−→
a
1
,
−→
a
2
]|
.
• Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d
1
, d
2
bằng khoảng cách
giữa d
1
mà mặt phẳng (α) chứa d
2
và song song với d
1
.
3 Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm thuộc
đường thẳng này đến đường thẳng kia.
4 Khoảng cách giữa một đường thẳng mà mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa đường thẳng d với mặt (α) song song với nó bằng khoảng cách
từ một điểm bất kì trên d đến mặt phẳng (α).
H GÓC
1 Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng d
1
, d
2
lần lượt có các véc-tơ chỉ phương
−→
a
1
,
−→
a
2
. Gọi α là
góc giữa d
1
, d
2
d
1
, d
2
, ta có
cos α = |cos (
−→
a
1
,
−→
a
2
)| =
|
−→
a
1
·
−→
a
2
|
|
−→
a
1
| · |
−→
a
2
|
.
2 Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
Cho đường thẳng d có véc-tơ chỉ phương
−→
a = (a
1
; a
2
; a
3
) và mặt phẳng (α) có
véc-tơ pháp tuyến
−→
n = (A; B; C).
3. Đường thẳng 143
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) bằng góc giữa d và hình chiếu vuông
góc d
0
của nó trên (α). Ta có
sin
’
d, (α)
=
|Aa
1
+ Ba
2
+ Ca
3
|
√
A
2
+ B
2
+ C
2
·
p
a
2
1
+ a
2
2
+ a
2
3
.
BÀI 4 MẶT CẦU
A PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
1 Phương trình chính tắc
Phương trình của mặt cầu (S) tâm I (a; b; c), bán kính R là
(S) : (x − a)
2
+ (y − b)
2
+ (z − c)
2
= R
2
(1)
Phương trình (1) được gọi là phương trình chính tắc của mặt cầu
Đặc biệt: Khi I ≡ O thì (S) : x
2
+ y
2
+ z
2
= R
2
2 Phương trình tổng quát
Phương trình : x
2
+ y
2
+ z
2
− 2ax − 2by − 2cz + d = 0 với a
2
+ b
2
+
c
2
−d > 0 là phương trình của mặt cầu (S) có tâm I (a; b; c), bán kính
R =
√
a
2
+ b
2
+ c
2
− d
B GIAO CỦA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG
Cho mặt phẳng (α) và mặt cầu (S) có phương trình :
(α) : Ax + By + Cz + D = 0
(S) : (x − a)
2
+ (y − b)
2
+ (z − c)
2
= R
2
Gọi d (I; (α)) là khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mặt phẳng (α).
Cho mặt cầu S (I; R) và mặt phẳng (P ).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên (P ) ⇒ d = IH = d (I, (P ))
d > R d = R d < R
144 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Mặt cầu và mặt phẳng
không có điểm chung.
Mặt phẳng tiếp xúc mặt
cầu : (P ) là mặt phẳng
tiếp diện của mặt cầu và
H : tiếp điểm.
Mặt phẳng cắt mặt cầu
theo thiết diện là đường
tròn có tâm I
0
và bán kính
r =
√
R
2
− IH
2
I
H
P
I
H
P
I
H
M
P
R
r
d
C MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
1 Dạng 1
(S) có tâm I (a; b; c) và bán kính R thì (S) : (x − a)
2
+ (y − b)
2
+ (z − c)
2
= R
2
.
2 Dạng 2
(S) có tâm I (a; b; c) và đi qua điểm A thì bán kính R = IA.
3 Dạng 3
(S) nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính
Tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB : x
I
=
x
A
+ x
B
2
; y
I
=
y
A
+ y
B
2
; z
I
=
z
A
+ z
B
2
.
Bán kính R = IA =
AB
2
.
4 Dạng 4
(S) đi qua bốn điểm A, B, C, D ( mặt cầu ngoại tiếp tứ diện)
Giả sử phương trình mặt cầu (S) có dạng : x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2ax + 2by + 2cz + d = 0
(*).
4. Mặt cầu 145
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Thay lần lượt toạ độ của các điểm A, B, C, D vào (*), ta được 4 phương trình.
Giải hệ phương trình đó, ta tìm được a, b, c, d ⇒ phương trình mặt cầu (S).
5 Dạng 5
(S) đi qua ba điểm A, B, C và có tâm I nằm trên mặt phẳng (P ) cho trước thì giải
tương tự dạng 4.
6 Dạng 6
(S) có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu (T ) cho trước
Xác định tâm I và bán kính R
0
của mặt cầu (T ).
Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai mặt cầu để tính bán kính R của mặt cầu (S).
(Xét hai trường hợp tiếp xúc trong và ngoài)
Chú ý : Với phương trình mặt cầu (S) : x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2ax + 2by + 2cz + d = 0 vói
a
2
+ b
2
+ c
2
−d > 0 thì (S) có tâm I (−a; −b; − c) và bán kính R =
√
a
2
+ b
2
+ c
2
− d.
Đặc biệt :
Cho hai mặt cầu S
1
(I
1
; R
1
) và S
2
(I
2
; R
2
).
I
1
I
2
< |R
1
− R
2
| ⇔ (S
1
) , (S
2
) trong nhau.
I
1
I
2
> R
1
+ R
2
⇔ (S
1
) , (S
2
) ngoài nhau.
I
1
I
2
= |R
1
− R
2
| ⇔ (S
1
) , (S
2
) tiếp xúc trong.
I
1
I
2
= R
1
+ R
2
⇔ (S
1
) , (S
2
) tiếp xúc ngoài.
|R − 1 − R
2
| < I
1
I
2
< R
1
+ R
2
⇔ (S
1
) , (S
2
) cắt nhau theo một đường tròn (đường
tròn giao tuyến).
7 Dạng 7
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a; b; c), tiếp xúc với mặt phẳng (P ) cho trước
thì bán kính mặt cầu R = d (I; (P )).
8 Dạng 8
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a; b; c), cắt mặt phẳng (P ) cho trước theo giao
tuyến là một đường tròn thoả điều kiện.
Đường tròn cho trước (bán kính hoặc diện tích hoặc chu vi) thì từ công thức diện
tích đường tròn S = πr
2
hoặc chu vi đường tròn P = 2πr ta tìm được bán kính
đường tròn giao tuyến r.
146
Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Tính d = d (I, (P)).
Tính bán kính mặt cầu R =
√
d
2
+ r
2
.
Kết luận phương trình mặt cầu.
9 Dạng 9
Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với một đường thẳng ∆ cho trước và có tâm
I (a; b; c) cho trước thì đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) ta có R = d (I, ∆).
10 Dạng 10
Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với một đường thẳng ∆ tại tiếp điểm M (x
0
; y
0
; z
0
)
thuộc ∆ và có tâm I thuộc đường thẳng d cho trước thì ta làm như sau
Viết phương trình mặt phẳng (P ) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng
∆.
Toạ độ tâm I = (P ) ∪ ∆ là nghiệm của phương trình.
Bán kính mặt cầu R = IM = d (I, ∆).
Kết luận về phương trình mặt cầu (S).
11 Dạng 11
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a; b; c) và cắt đường thẳng ∆ tại hai điểm
A, B thoả mãn điều kiện
Độ dài AB là một hằng số.
Tam giác IAB là tam giác vuông.
Tam giác IAB là tam giác đều.
Thì ta xác định d (I, ∆) = IH, vì 4IAB cân tại I nên HB =
AB
2
và bán kính mặt cầu
R được tính như sau
R =
√
IH
2
+ HB
2
.
R =
IH
sin 45
◦
.
R =
IH
sin 60
◦
.
4. Mặt cầu 147
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
12 Dạng 12
Tập hợp điểm là mặt cầu. Giả sử tìm tập hợp điểm M thoả tính chất (P ) nào đó.
Tìm hệ thức giữa các toạ độ x, y, z của điểm M .
(x − a)
2
+ (y − b)
2
+ (z − c)
2
= R
2
hoặc x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2ax + 2by + 2cz + d = 0.
Tìm giới hạn quỹ tích (nếu có).
13 Dạng 13
Tìm tập hợp tâm mặt cầu
Tìm toạ độ của tâm I, chẳng hạn :
x = f (t)
y = g (t)
z = h (t)
(*)
Khử t trong (*) ta có phương trình tập hợp điểm.
Tìm giới hạn quỹ tích (nếu có).
BÀI 5 MỘT SỐ BÀI TOÁN GIẢI NHANH CỰC TRỊ KHÔNG
GIAN
A DẠNG 1.
Cho mặt phẳng (P ) và hai điểm A, B. Tìm M ∈ (P ) để (M A + MB)
min
.
• Phương pháp
Nếu A và B nằm khác phía so với (P ) ⇒M, A, B thẳng hàng ⇒ M = AB ∩ (P ).
Nếu A và B nằm cùng phía so với (P ) ⇒ B
0
là điểm đối xứng với B qua (P ).
B DẠNG 2.
Cho mặt phẳng (P ) và hai điểm A, B. Tìm M ∈ (P ) để |MA − M B|
max
.
• Phương pháp
Nếu A và B nằm khác phía so với (P ) ⇒ M, A, B thẳng hàng ⇒ M = AB ∩ (P ).
Nếu A và B nằm cùng phía so với (P) ⇒ B
0
là điểm đối xứng với B qua (P )
⇒ |MA − M B
0
| = AB
0
.
148 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
C DẠNG 3.
Cho điểm M(x
M
; y
M
; z
M
) không thuộc các trục và các mặt phẳng tọa độ. Viết phương
trình mặt phẳng (P ) qua M và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho V
O.ABC
nhỏ nhất.
• Phương pháp
(P ):
x
3x
M
+
y
3y
M
+
z
3z
M
= 1.
D DẠNG 4.
Viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa đường thẳng d, sao cho khoảng cách từ điểm
M /∈ d đến (P ) là lớn nhất .
• Phương pháp
(P ):
(
Qua A ∈ d
−→
n
P
=
îî
−→
u
d
;
−−→
AM
ó
;
−→
u
d
ó
.
E DẠNG 5.
Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua A và cách M một khoảng lớn nhất.
• Phương pháp
(P ):
(
Qua A
−→
n
P
=
−−→
AM.
F DẠNG 6.
Viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa đường thẳng d, sao cho (P ) tạo với ∆ một góc
lớn nhất(∆ không song song với đường thẳng d ).
• Phương pháp
(P ):
®
Qua A ∈ d
−→
n
P
= [[
−→
u
d
,
−→
u
∆
] ,
−→
u
d
] .
G DẠNG 7.
Cho ∆ k (P ). Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P ) song song với ∆ và cách
∆ một khoảng nhỏ nhất .
• Phương pháp
5. Một số bài toán giải nhanh cực trị không gian 149
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Lấy điểm A ∈ ∆, gọi A
0
là hình chiếu vuông góc của A lên (P ) thì d:
®
Qua A
0
−→
u
d
=
−→
u
∆
.
H DẠNG 8.
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A ∈ (P ) cho trước và nằm trong mặt
phẳng (P ) cho trước sao cho khoảng cách từ điểm M cho trước đến d là lớn nhất (AM
không vuông góc với (P )).
• Phương pháp
Lấy điểm A ∈ ∆, gọi A
0
là hình chiếu vuông góc của A lên (P ) thì
(d):
(
Qua A ∈ d
−→
u
d
=
î
−→
n
P
,
−−→
AM
ó
.
I DẠNG 9.
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A ∈ (P ) cho trước và nằm trong mặt
phẳng (P ) cho trước sao cho khoảng cách từ điểm M cho trước đến d là nhỏ nhất (AM
không vuông góc với (P )).
• Phương pháp
d:
(
Qua A ∈ d
−→
u
d
=
îî
−→
n
P
,
−−→
AM
ó
,
−→
n
P
ó
.
J DẠNG 10.
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A ∈ (P ) cho trước, sao cho d nằm trong
(P ) và tạo với đường thẳng ∆ một góc nhỏ nhất (∆ cắt nhưng không vuông góc với (P )).
• Phương pháp
d:
(
Qua A ∈ d
−→
u
d
=
îî
−→
n
P
,
−−→
AM
ó
,
−→
n
P
ó
.
150 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
| 1/153
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star MỤC LỤC PHẦN I Đại số 1 CHƯƠNG 1
Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 3 1
Sự đồng biến nghịch biến của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2
Cực trị hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3
Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4
Đường tiệm cận của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 5
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 6
Tiếp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 7
Tương giao đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 8
Điểm đặc biệt của họ đường cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 CHƯƠNG 2 Mũ và Logarit 35 1
Lũy thừa và hàm số lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2
Lôgarit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3
Bất phương trình mũ và logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4
Bài toán lãi suất ngân hàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 CHƯƠNG 3
Nguyên hàm - Tích phân Ứng dụng tích phân 45 1
Nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2
Các phương pháp tính nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3
Tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4
Phương pháp tính tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5
Tích phân các hàm số sơ cấp cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 6
Ứng dụng của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 CHƯƠNG 4 Số phức 69 1
Số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2
Phép cộng trừ, nhân chia số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3
Phương trình bậc hai với hệ số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 MỤC LỤC i
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star 4
Tập hợp điểm biểu diễn số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5
Bài toán liên quan đến max, min mô-đun số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 PHẦN II Hình học 75 CHƯƠNG 1 Khối đa diện 77 1
Khối lăng trụ và khối chóp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2
Khái niệm về hình đa diện và khối đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3
Hai đa diện bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4
Phân chia và lắp ghép các khối đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5
Khối đa diện lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 6
Thể tích khối đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 7
Các công thức hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 8
Một số công thức tính nhanh thể tích khối chóp thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . 87 9
Các công thức đặc biệt của thể tích tứ diện. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 CHƯƠNG 2
Mặt nón - mặt trụ - mặt cầu 93 1
Mặt nón tròn xoay và khối nón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 2
Mặt trụ tròn xoay và khối trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3
Mặt cầu và khối cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4
Một số dạng toán và công thức giải nón và trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 5
Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 6
Tổng hợp các công thức đặc biệt về khối tròn xoay. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 CHƯƠNG 3
Hệ tọa độ trong không gian 123 1
Hệ tọa độ trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 2
Mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 3
Đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4
Mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 5
Một số bài toán giải nhanh cực trị không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
ii Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star PHẦN I ĐẠI SỐ 1
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
2 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star CHƯƠNG
1 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ
KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
BÀI 1 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ A ĐỊNH NGHĨA
Ký hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f (x) xác định trên K, ta có
Hàm số y = f (x) được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi x1, x2 ∈ K,
x1 < x2 thì f (x1) < f (x2).
Hàm số y = f (x) được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi x1, x2 ∈ K,
x1 < x2 thì f (x1) > f (x2).
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K. Nhận xét.
Hàm số f (x) đồng biến trên K khi và chỉ khi y
f (x2) − f (x1) > 0, ∀x1, x2 ∈ K, x1 6= x2. x2 − x1 O
Khi đó đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải. x
Hàm số f (x) nghịch biến trên K khi và chỉ khi y
f (x2) − f (x1) < 0, ∀x1, x2 ∈ K, x1 6= x2. x2 − x1
Khi đó đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải. x O 3
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Nếu f 0(x) > 0, ∀x ∈ (a; b) thì hàm số f (x) đồng biến trên khoảng (a; b).
Nếu f 0(x) < 0, ∀x ∈ (a; b) thì hàm số f (x) nghịch biến trên khoảng (a; b).
Nếu f 0(x) = 0, ∀x ∈ (a; b) thì hàm số f (x) không đổi trên khoảng (a; b).
Nếu hàm số f (x) đồng biến trên khoảng (a; b) thì f 0(x) ≥ 0, ∀x ∈ (a; b).
Nếu hàm số f (x) nghịch biến trên khoảng (a; b) thì f 0(x) ≤ 0, ∀x ∈ (a; b).
Nếu thay đổi khoảng (a; b) bằng một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung
thêm giả thiết “hàm số f (x) liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”.
B QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
Cho u = u(x), v = v(x) và C là hằng số. 0
Tổng, hiệu: (u ± v) = u0 ± v0.
Tích: (uv)0 = u0v + v0u ⇒ (C · u)0 = C · u0. Å ã0 u 0 u0 · v − v0 · u C C · u0 Thương: = , (v 6= 0) ⇒ = − . v v2 u u2
Đạo hàm hàm hợp: Nếu y = f (u) với u = u(x) thì y0 = y0 · u0 . x u x
C CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM HÀM PHÂN THỨC ax + b Å ax + b ã0 ad − bc y = ⇒ y0 = = . cx + d cx + d (cx + d)2 a b a c b c x2 + 2 x + 0 ax2 + bx + c Å ax2 + bx + c ã a0 b0 a0 c0 b0 c0 y = ⇒ y0 = = . a0x2 + b0x + c0 a0x2 + b0x + c0 (a0x2 + b0x + c0)2
D BẢNG CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM Hàm sơ cấp Hàm hợp (C)0 = 0, (C là hằng số) 0 0 (xα) = α · xα−1 (uα) = α · uα−1 · u0 Å 1 ã0 1 Å 1 ã0 u0 = − , (x 6= 0) = − , (u 6= 0) x x2 u u2 √ 1 √ u0 ( x)0 = √ , (x > 0) ( u)0 = √ , (u > 0) 2 x 2 u
4 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star (sin x)0 = cos x (sin u)0 = u0 · cos u (cos x)0 = − sin x (cos u)0 = −u0 · sin u 1 u0 (tan x)0 = (tan u)0 = cos2 x cos2 u 1 u0 (cot x)0 = − (cot u)0 = − sin2 x sin2 u 0 0
(sinn x) = n · sinn−1 x · cos x
(sinn u) = n · u0 · sinn−1 u · cos u 0 0
(cosn x) = −n · cosn−1 x · sin x
(cosn u) = −n · u0 · cosn−1 u · sin u 0 1 0 1 (tann x) = n · tann−1 x ·
(tann u) = n · u0 · tann−1 u · cos2 x cos2 u 0 1 0 1
(cotn x) = −n · cotn−1 x ·
(cotn u) = −n · u0 · cotn−1 u · sin2 x sin2 u 0 0 (ex) = ex (eu) = u0 · eu 0 0 (ax) = ax · ln a (au) = u0 · au · ln a 1 u0 (ln |x|)0 = , (x 6= 0) (ln |u|)0 = , (u 6= 0) x u 0 1 0 u0 (log |x|) = , (x 6= 0) (log |u|) = , (u 6= 0) a x ln a a u · ln a E ĐẠO HÀM CẤP HAI 1 Định nghĩa 0 f 00(x) = [f 0(x)] . 2 Ý nghĩa cơ học
Gia tốc tức thời của chuyển động s = f (t) tại thời điểm t0 là a (t0) = f 00 (t0). 3 Đạo hàm cấp cao î ó0 f (n)(x) = f (n−1)(x) , (n ∈ N, n ≥ 2). F MỘT SỐ CHÚ Ý
Nếu hàm số f (x) và g(x) cùng đồng biến (nghịch biến) trên K thì hàm số f (x)+g(x)
cũng đồng biến (nghịch biến) trên K. Tính chất này có thể không đúng đối với hiệu f (x) − g(x).
Nếu hàm số f (x) và g(x) là các hàm số dương và cùng đồng biến (nghịch biến) trên
K thì hàm số f (x) · g(x) cũng đồng biến (nghịch biến) trên K. Tính chất này có
thể không đúng khi các hàm số f (x), g(x) không là các hàm số dương trên K.
1. Sự đồng biến nghịch biến của hàm số 5
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Nhận xét. Cho hàm số u = u(x) xác định với mọi x ∈ (a; b) và u(x) ∈ (c; d). Hàm số
f [u(x)] cũng xác định với x ∈ (a; b).
Giả sử hàm số u = u(x) đồng biến với x ∈ (a; b). Khi đó, hàm số f [u(x)] đồng biến
với x ∈ (a; b) khi và chỉ khi f (u) đồng biến với u ∈ (c; d).
Giả sử hàm số u = u(x) nghịch biến với x ∈ (a; b). Khi đó, hàm số f [u(x)] nghịch
biến với x ∈ (a; b) khi và chỉ khi f (u) nghịch biến với u ∈ (c; d).
G QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên K.
Nếu f 0(x) ≥ 0 với mọi x ∈ K và f 0(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm
x ∈ K thì hàm số f đồng biến trên K.
Nếu f 0(x) ≤ 0 với mọi x ∈ K và f 0(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm
x ∈ K thì hàm số f nghịch biến trên K. Chú ý ax + b Å d ã
Đối với hàm phân thức hữu tỉ y = , x 6= − thì dấu “=” khi xét cx + d c
dấu đạo hàm y0 không xảy ra.
Giả sử y = f (x) = ax3 + bx2 + cx + d ⇒ f 0(x) = 3ax2 + 2bx + c.
• Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi  ®a > 0  ∆ ≤ 0  f 0(x) ≥ 0, ∀x ∈   R ⇔  a = 0     b = 0   c > 0.
• Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi  ®a < 0  ∆ ≤ 0  f 0(x) ≤ 0, ∀x ∈   R ⇔  a = 0     b = 0   c < 0.
6 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Trường hợp a = b = 0 thì c phải khác 0. Vì nếu a = b = c = 0 thì
f (x) = d có đồ thị là đường thẳng song song hoặc trùng với Ox nên không đơn điệu.
Với dạng toán tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu một chiều trên
khoảng có độ dài bằng ` ta giải như sau
• Bước 1. Tính y0 = f 0(x; m) = ax2 + bx + c.
• Bước 2. Hàm số đơn điệu trên (x1; x2) khi và chỉ khi y0 = 0 có 2 ®a 6= 0
nghiệm phân biệt. Điều kiện tương đương là (∗) ∆ > 0.
• Bước 3. Hàm số đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng ` khi và chỉ khi
|x1 − x2| = ` ⇔ (x1 + x2)2 − 4x1x2 = `2 ⇔ S2 − 4P = `2. (∗∗)
• Bước 4. Giải (∗) và giao với (∗∗) để suy ra giá trị m cần tìm.
BÀI 2 CỰC TRỊ HÀM SỐ A ĐỊNH NGHĨA
Giả sử hàm f xác định trên tập K và x0 ∈ K. Ta nói
x0 là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa x0 sao cho
(a; b) ⊂ K và f (x) > f (x0), ∀x ∈ (a; b) \ {x0}. Khi đó f (x0) được gọi là giá trị
cực tiểu của hàm số f .
x0 là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa x0 sao cho
(a; b) ⊂ K và f (x) < f (x0), ∀x ∈ (a; b) \ {x0}. Khi đó f (x0) được gọi là giá trị
cực đại của hàm số f .
Điểm cực đại và cực tiểu gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị
phải là một điểm trong tập hợp K.
Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số.
Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số thì điểm (x0; f(x0)) được gọi là điểm cực trị
của đồ thị hàm số f . Nhận xét. 2. Cực trị hàm số 7
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Giá trị cực đại (cực tiểu) f (x0) nói chung không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất)
của hàm số f trên tập D; f (x0) chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f
trên một khoảng (a; b) nào đó chứa x0 hay nói cách khác khi x0 là điểm cực đại
(cực tiểu) sẽ tồn tại khoảng (a; b) chứa x0 sao cho f (x0) là giá trị lớn nhất (nhỏ
nhất) của hàm số f trên khoảng (a; b).
Hàm số f có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập K. Hàm số có
thể không có cực trị trên một tập cho trước.
B MINH HỌA ĐỒ THỊ
Với (a; b) là khoảng chứa tất cả các số thực thỏa a < x < b. y y (c; f (c)) f (c) f (c) (c; f (c)) c x O c x O
Hàm số f đạt cực đại tại x = c
Hàm số f đạt cực tiểu tại x = c
C MỘT SỐ ĐIỂM CẦN LƯU Ý
Hàm số f có cực trị khi và chỉ khi y0 đổi dấu. y Điểm cực đại Giá trị cực đại
Hàm số f không có cực trị khi và chỉ khi y0 của đồ thị (cực đại) của không đổi dấu. hàm số
Hàm số f chỉ có 1 cực trị khi và chỉ khi y0 đổi yCĐ dấu 1 lần. Điểm cực Điểm cực đại tiểu của
Hàm số f có 2 cực trị (cực đại và cực tiểu) khi của hàm số hàm số
và chỉ khi y0 đổi dấu 2 lần.
Hàm số f có 3 cực trị khi và chỉ khi y0 đổi dấu xCT 3 lần. xCĐ x O
Đối với một hàm số bất kỳ, hàm số chỉ có thể yCT
đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm
triệt tiêu hoặc đạo hàm không xác định. Giá trị cực tiểu Điểm cực tiểu (cực tiểu) của của đồ thị
Cách gọi tên: cực trị, điểm cực trị của hàm số, hàm số
điểm cực trị của đồ thị hàm số,. . .
8 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
D ĐIỀU KIỆN CẦN ĐỂ HÀM SỐ ĐẠT CỰC TRỊ
Định lí 1. Giả sử hàm số y = f (x) đạt cực trị tại điểm x0. Khi đó, nếu y = f (x) có đạo
hàm tại điểm x0 thì f 0(x0) = 0. Chú ý
Đạo hàm f 0(x) có thể bằng 0 tại điểm x0 nhưng hàm số f không đạt cực trị tại điểm x ! 0.
Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.
Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số
bằng 0 hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm.
E ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ
Định lí 2. Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0. Khi đó, nếu hàm số f có đạo hàm
tại điểm x0 thì f 0(x0) = 0.
Nếu f 0(x) > 0 trên khoảng (x0 − h; x0) và f0(x) < 0 trên khoảng (x0; x0 + h) thì x0
là một điểm cực đại của hàm số f (x).
Nếu f 0(x) < 0 trên khoảng (x0 − h; x0) và f0(x) > 0 trên khoảng (x0; x0 + h) thì x0
là một điểm cực tiểu của hàm số f (x).
F QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ 1 Quy tắc 1
Để tìm cực trị của hàm số y = f (x) ta thực hiện theo các bước sau
Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm f 0(x).
Bước 2: Tìm các điểm xi (i = 1; 2; . . .) mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc
hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.
Bước 3: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu của f 0(x). Nếu f 0(x) đổi dấu khi
đi qua xi thì hàm số đạt cực trị tại xi.
Định lí 3. Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng (x0 − h; x0 + h) với h > 0. Khi đó
Nếu f 0(x0) = 0, f00(x0) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại x0.
Nếu f 0(x0) = 0, f00(x0) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại x0.
Từ định lí trên, ta có một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số. 2. Cực trị hàm số 9
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star 2 Quy tắc 2
Để tìm cực trị của hàm số y = f (x) ta thực hiện theo các bước sau
Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm f 0(x).
Bước 2: Tìm các nghiệm xi (i = 1; 2; . . .) của phương trình f0(x) = 0.
Bước 3: Tính f 00(x) và tính f 00(xi).
• Nếu f 00(xi) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm xi.
• Nếu f 00(xi) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm xi.
G MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ
1 Cực trị của hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d, (a 6= 0) 1
Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ cho trước. (a) Bài toán tổng quát
Cho hàm số y = f (x; m) = ax3 + bx2 + cx + d. Tìm tham số m để hàm số có
cực đại, cực tiểu tại x1, x2 thỏa mãn điều kiện K cho trước. Phương pháp
Bước 1: Tập xác định D = R.
Đạo hàm y0 = 3ax2 + 2bx + c = Ax2 + Bx + C.
Bước 2: Hàm số có cực trị (hay có hai cực trị, hai cực trị phân biệt hay
có cực đại và cực tiểu) khi và chỉ khi y0 = 0 có hai nghiệm phân biệt và
y0 đổi dấu qua hai nghiệm đó.
Phương trình y0 = 0 có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ®A = 3a 6= 0 ®a 6= 0 ⇔ ⇒ m ∈ D1.
∆y0 = B2 − 4AC = 4b2 − 12ac > 0 b2 − 3ac > 0
Bước 3: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình y0 = 0. Khi đó  B 2b S = x = −  1 + x2 = − A 3a C c  P = x1x2 = = . A 3a
Bước 4: Biến đổi điều kiện K về dạng tổng S và tích P . Từ đó giải ra tìm được m ∈ D2.
Bước 5: Kết luận các giá trị m thỏa mãn m ∈ D1 ∩ D2. 4 !
Hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a 6= 0). Ta có y0 = 3ax2 + 2bx + c.
10 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Hàm số không có cực trị khi b2 − 3ac ≤ 0.
Hàm số có hai điểm cực trị khi b2 − 3ac > 0.
(b) Điều kiện để hàm số có các điểm cực trị cùng dấu, trái dấu.
Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu khi và chỉ khi phương trình y0 = 0 có
hai nghiệm phân biệt trái dấu, tức là
A · C = 3ac < 0 ⇔ ac < 0.
Hàm số có hai điểm cực trị cùng dấu khi và chỉ khi phương trình y0 = 0
có hai nghiệm phân biệt cùng dấu, tức là ∆y0 > 0  C P = x1x2 = > 0. A
Hàm số có hai điểm cực trị cùng dấu dương khi và chỉ khi phương trình
y0 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt, tức là ∆y0 > 0     B S = x1 + x2 = − > 0 A   C   P = x1x2 = > 0. A
Hàm số có hai điểm cực trị cùng dấu âm khi và chỉ khi phương trình y0 = 0
có hai nghiệm âm phân biệt, tức là ∆y0 > 0     B S = x1 + x2 = − < 0 A   C   P = x1x2 = > 0. A ±x1 < α < x2
(c) Tìm điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị x1, x2 thỏa mãn x1 < x2 < α α < x1 < x2.
Hai điểm cực trị x1, x2 thỏa mãn x1 < α < x2 khi và chỉ khi
(x1 − α)(x2 − α) < 0 ⇔ x1x2 − α(x1 + x2) + α2 < 0.
Hai điểm cực trị x1, x2 thỏa mãn x1 < x2 < α khi và chỉ khi ®(x ® 1 − α)(x2 − α) > 0
x1x2 − α(x1 + x2) + α2 > 0 ⇔ x1 + x2 < 2α x1 + x2 < 2α. 2. Cực trị hàm số 11
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Hai điểm cực trị x1, x2 thỏa mãn α < x1 < x2 khi và chỉ khi ®(x ® 1 − α)(x2 − α) > 0
x1x2 − α(x1 + x2) + α2 > 0 ⇔ x1 + x2 > 2α x1 + x2 > 2α. 2
Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu nằm cùng phía, khác
phía so với một đường thẳng.
(a) Vị trí tương đối của hai điểm với đường thẳng.
Cho hai điểm A(xA; yA), B(xB; yB) và đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0.
Nếu (axA + byA + c)(axB + byB + C) < 0 thì hai điểm A, B nằm về hai
phía so với đường thẳng ∆.
Nếu (axA + byA + c)(axB + byB + C) > 0 thì hai điểm A, B nằm cùng
phía so với đường thẳng ∆.
(b) Một số trường hợp đặc biệt.
Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về một phía đối với trục Oy khi và
chỉ khi hàm số có 2 điểm cực trị cùng dấu, tức là phương trình y0 = 0 có
hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về hai phía đối với trục Oy khi và
chỉ khi hàm số có 2 điểm cực trị trái dấu, tức là phương trình y0 = 0 có hai nghiệm trái dấu.
Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về một phía đối với trục Ox khi và
chỉ khi phương trình y0 = 0 có hai nghiệm phân biệt và yCĐ · yCT > 0. Đặc biệt
• Các điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm cùng về phía trên đối với
trục Ox khi và chỉ khi phương trình y0 = 0 có hai nghiệm phân biệt ®yCĐ · yCT > 0 và yCĐ + yCT > 0.
• Các điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm cùng về phía dưới đối với
trục Ox khi và chỉ khi phương trình y0 = 0 có hai nghiệm phân biệt ®yCĐ · yCT > 0 và yCĐ + yCT < 0.
Các điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm về hai phía đối với trục Ox khi
và chỉ khi phương trình y0 = 0 có hai nghiệm phân biệt và yCĐ · yCT < 0.
(Áp dụng khi không nhẩm được nghiệm và viết được phương trình đường
thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số).
Hoặc các điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm về hai phía đối với trục Ox
khi và chỉ khi đồ thị cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt (khi nhẩm được
nghiệm) hay phương trình hoành độ giao điểm f (x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt. 3
Phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị.
12 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star Å 2c 2b2 ã bc y0 · y00 g(x) = − x + d − hoặc g(x) = y − 3 9a 9a 18a y0 · y00 hoặc g(x) = y − 3y000 4
Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba là 4e + 16e3 b2 − 3ac AB = với e = . a 9a
2 Cực trị của hàm số bậc bốn trùng phương y = ax4 + bx2 + c, (a 6= 0) 1
Một số kết quả cần nhớ.
Hàm số có một cực trị khi và chỉ khi ab ≥ 0.
Hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi ab < 0. ®a > 0
Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực tiểu khi và chỉ khi b ≥ 0. ®a < 0
Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực đại khi và chỉ khi b ≤ 0. ®a > 0
Hàm số có hai cực tiểu và một cực đại khi và chỉ khi b < 0. ®a < 0
Hàm số có một cực tiểu và hai cực đại khi và chỉ khi b > 0. 2
Một số công thức tính nhanh. Ç … å b ∆
Giả sử đồ thị hàm số y = ax4+bx2+c có 3 điểm cực trị là A(0; c), B − − ; − , 2a 4a Ç… å b ∆ C − ; −
tạo thành tam giác ABC thỏa mãn điều kiện ab < 0. 2a 4a α b3 Đặt ’ BAC = α thì cot2 = − . 2 8a a > 0, b < 0 Công thức a < 0, b > 0 2. Cực trị hàm số 13
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star … … y b b y A x1 = − − , x2 = − , B C 2a 2a x1 x2 Ç O … å b ∆ x O A(0; c), B − − ; − , x1 x2 x 2a 4a B C A Ç… å b ∆ C − ; − . 2a 4a α b3 Đặt ’ BAC = α thì cot2 = − . 2 8a
MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH
LIÊN QUAN ĐẾN BA ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA ĐỒ THỊ HÀM BẬC BỐN TRÙNG PHƯƠNG STT Dữ Kiện Công thức thoả mãn ab < 0 và c 6= 0 1
Tam giác ABC vuông cân tại A b3 = −8a 2 Tam giác ABC đều b3 = −24a 3
Tam giác ABC có diện tích S4ABC = S0 32a3 (S0)2 + b5 = 0 … b5 4
Tam giác ABC có diện tích maxS0 S0 = − 32a3 b2 5
Tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp r = Ç … å r b3 4ABC = r0 4|a| 1 + 1 − 8a b3 − 8a 6
Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại R = 8|a|b tiếp R4ABC = R 7
Tam giác ABC có độ dài cạnh BC = m0 am2 + 2b = 0 0 8
Tam giác ABC có độ dài cạnh AB = AC = n0 16a2n2 − b4 + 8ab = 0 0 9
Tam giác ABC có cực trị B, C ∈ Ox b2 = 4ac 10
Tam giác ABC có 3 góc nhọn b 8a + b3 > 0 11
Tam giác ABC có trọng tâm O b2 = 6ac 12
Tam giác ABC có trực tâm O b3 + 8a − 4ac = 0 13
Tam giác ABC cùng điểm O tạo thành hình b2 = 2ac thoi 14
Tam giác ABC có O là tâm đường tròn nội tiếp b3 − 8a − 4abc = 0
14 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star 15
Tam giác ABC có O là tâm đường tròn ngoại b3 − 8a − 8abc = 0 tiếp 16
Tam giác ABC có cạnh BC = kAB = kAC b3 · k2 − 8a k2 − 4 = 0 √ 17
Trục hoành chia tam giác ABC thành hai phần b2 = 4 2|ac| có diện tích bằng nhau 18
Tam giác ABC có điểm cực trị cách đều trục b2 = 8ac hoành 19
Phương trình đường tròn ngoại tiếp 4ABC là Å 2 ∆ ã Å 2 ∆ ã x2 + y2 − − + c y + c − = 0 b 4a b 4a
BÀI 3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT A ĐỊNH NGHĨA 1
Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f (x) trên D nếu ®f (x) ≤ M, ∀x ∈ D ∃x0 ∈ D, f(x0) = M. Kí hiệu: M = max f (x). x∈D 2
Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên D nếu ®f (x) ≥ m, ∀x ∈ D ∃x0 ∈ D, f(x0) = m. Kí hiệu: m = min f (x). x∈D
B PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN, GTNN 1
Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp
Tính f 0(x) và tìm các điểm x1, x2, . . ., xn ∈ D mà tại đó f0(x) = 0 hoặc hàm số không có đạo hàm.
Lập bảng biến thiên và từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. 2
Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn
3. Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất 15
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Hàm số đã cho y = f (x) xác định và liên tục trên trên đoạn [a; b].
Tìm các điểm x1, x2, . . ., xn trên khoảng (a; b), tại đó f0(x) = 0 hoặc f0(x) không xác định.
Tính f (a), f (x1), f(x2), . . ., f(xn), f(b). Khi đó
• max f (x) = max{f (x1), f (x2), . . . , f (xn), f (a), f (b)}. x∈[a;b]
• min f (x) = min{f (x1), f (x2), . . . , f (xn), f (a), f (b)}. x∈[a;b] 3
Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng Tính đạo hàm f 0(x).
Tìm tất cả các nghiệm xi ∈ (a; b) của phương trình f0(x) = 0 và tất cả các
điểm αi ∈ (a; b) làm cho f 0(x) không xác định.
Tính A = lim f (x), B = lim f (x), f (xi), f(αi). x→a+ x→b−
So sánh các giá trị và kết luận M = max f (x), m = min f (x). x∈(a;b) x∈(a;b)
Lưu ý: Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận hàm số không
có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất). Chú ý:
Nếu y = f (x) đồng biến trên [a; b] thì min f (x) = f (a) và max f (x) = f (b). x∈[a;b] x∈[a;b]
Nếu y = f (x) nghịch biến trên [a; b] thì min f (x) = f (b) và max f (x) = f (a). x∈[a;b] x∈[a;b]
Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó.
Ngoài phương pháp dùng đạo hàm, ta có thể dùng phương pháp MGT, BĐT, ...
BÀI 4 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ
A ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG
Cho hàm số y = f (x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng (a; +∞), (−∞; b)
hoặc (−∞; +∞)). Đường thẳng y = y0 là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang)
của đồ thị hàm số y = f (x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
lim f (x) = y0, lim f (x) = y0. x→+∞ x→−∞
16 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
B ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG
Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ
thị hàm số y = f (x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn:
lim f (x) = +∞, lim f (x) = −∞, lim f (x) = −∞, lim f (x) = +∞. x→x+ x→x− x→x+ x→x− 0 0 0 0 ax + b
Lưu ý : Với đồ thị hàm phân thức dạng y =
(c 6= 0; ad − bc 6= 0) luôn có tiệm cx + d a d
cận ngang là đường thẳng y =
và tiệm cận đứng là đường thẳng x = − . c c
BÀI 5 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
A KHẢO SÁT MỘT SỐ HÀM ĐA THỨC VÀ HÀM PHÂN THỨC
1 Hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a 6= 0) Tập xác định D = R.
Tính y0 và cho y0 = 0 (y0 = 0 hoặc có 2 nghiệm, hoặc có nghiệm kép, hoặc vô nghiệm).
Tính các giới hạn lim f (x), lim f (x). x→+∞ x→−∞ Lập bảng biến thiên
• Nếu y0 = 0 có hai nghiệm thì dấu của y0 là “Trong trái ngoài cùng”.
• Nếu y0 = 0 có nghiệm kép thì dấu của y0 là “Luôn cùng dấu với a” (ngoại trừ tại nghiệm kép).
• Nếu y0 = 0 vô nghiệm thì dấu của y0 là “Luôn cùng dấu với a”. Kết luận
• Tính chất đơn điệu của hàm số.
• Cực trị của hàm số.
Tính y00 và cho y00 = 0. Suy ra điểm uốn.
Chọn hai điểm đặc biệt của đồ thị.
Vẽ đồ thị: Đồ thị có 6 dạng và luôn luôn nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 17
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star y0 = 0 a > 0 a < 0 y y Có 2 nghiệm O x O x y y Có nghiệm kép O x O x y y Vô nghiệm O x O x
2 Hàm số trùng phương y = ax4 + bx2 + c (a 6= 0) Tập xác định D = R.
Tính y0 và cho y0 = 0 (y0 = 0 hoặc có 3 nghiệm, hoặc có 1 nghiệm và luôn có nghiệm x = 0).
Tính các giới hạn lim f (x), lim f (x). x→+∞ x→−∞
Lập bảng biến thiên: “Bên phải bảng biến thiên, dấu y0 luôn luôn cùng dấu với a”
18 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star Kết luận
• Tính chất đơn điệu của hàm số.
• Cực trị của hàm số.
Chọn hai điểm đặc biệt của đồ thị.
Vẽ đồ thị: Đồ thị có 4 dạng và luôn luôn nhận trục tung làm trục đối xứng. y0 = 0 a > 0 a < 0 y y Có 3 nghiệm O x O x y y Có 1 nghiệm O x O x ax + b
3 Hàm số nhất biến y = (c 6= 0, ad − bc 6= 0) cx + d ß d ™
Tập xác định D = R \ − . c ad − bc Tính y0 =
(y0 hoặc luôn dương, hoặc luôn âm ∀x ∈ D) (cx + d)2 Đường tiệm cận: d
• Tiệm cận đứng là đường thẳng x = − vì lim y = . . . và lim y = . . .. c x→(− d )+ x→(− d )− c c a a
• Tiệm cận ngang là đường thẳng y = vì lim y = . c x→±∞ c a
Lập bảng biến thiên: Nhớ: Khi x → ±∞ thì y → . c
“Nghĩa là hai đầu bảng biến thiên là giá trị của tiệm cận ngang”
5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 19
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star Kết luận
• Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định hoặc luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.
• Hàm số không có cực trị.
Chọn ít nhất 4 điểm đặc biệt của đồ thị và phải có tọa độ giao điểm của đồ thị với 2 trục tọa độ.
Vẽ đồ thị: Đồ thị có 2 dạng và luôn luôn nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng. ad − bc > 0 ad − bc < 0 y y O x O x
B ĐỒ THỊ HÀM CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI
1 Dạng 1: (C0) : y = f (|x|)
Từ đồ thị (C) : y = f (x) suy ra đồ thị (C0) : y = f (|x|). ®f (x) khi x ≥ 0 Ta có y = f (|x|) = f (−x) khi x < 0
và y = f (|x|) là hàm chẵn nên đồ thị (C0) nhận Oy làm trục đối xứng. Cách vẽ (C0) từ (C):
Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy của đồ thị (C) : y = f (x).
Bỏ phần đồ thị bên trái Oy của (C), lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua Oy.
20 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star d Ví dụ 1 y y 4 4 O O x 1 3 x −3 −1 1 3 (C) : y = x3 − 6x + 9x (C0) : y = |x|3 − 6x2 + 9|x|
2 Dạng 2: (C0) : y = |f (x)|
Từ đồ thị (C) : y = f (x) suy ra đồ thị (C0) : y = |f (x)|. ®f (x) khi x ≥ 0 Ta có y = |f (x)| = − f (x) khi x < 0. Cách vẽ (C0) từ (C):
Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox của đồ thị (C) : y = f (x).
Bỏ phần đồ thị phía dưới Ox của (C), lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox. d Ví dụ 2 y y 2 O 2 x −2 1 −2 O x −3 −2 −1 1 (C) : y = x3 + 3x2 − 2 (C0) : y = x3 + 3x2 − 2
! Với dạng y = |f(|x|)| ta lần lượt biến đổi 2 đồ thị y = f(|x|) và y = |f(x)|.
5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 21
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
3 Dạng 3: (C0) : y = |u(x)| · v(x)
Từ đồ thị (C) : y = u(x) · v(x) suy ra đồ thị (C0) : y = |u(x)| · v(x). ®u(x) · v(x) khi x ≥ 0 Ta có y = |u(x)| · v(x) = − u(x) · v(x) khi x < 0. Cách vẽ (C0) từ (C):
Giữ nguyên phần đồ thị trên miền u(x) ≥ 0 của đồ thị (C) : y = f (x).
Bỏ phần đồ thị trên miền u(x) < 0 của (C), lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox. d Ví dụ 3 y y 1 1 O O x 1 x 1 −1 (C) : y = 2x3 − 3x + 1
(C0) : y = |x − 1| · (2x2 − x − 1) d Ví dụ 4 y y 2 1 O 1 2 x O 1 2 x −1 −2
22 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star x − 2 x − 2 (C) : y = (C0) : y = x − 1 |x − 1|
C MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ
Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C), hãy suy ra đồ thị (C0) của hàm số. STT ĐỒ THỊ CÁCH VẼ 1 y = f (−x)
Lấy đối xứng (C) qua trục Oy. 2 y = −f (x)
Lấy đối xứng (C) qua trục Ox. Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy. 3 y = f (|x|)
Bỏ phần đồ thị bên trái Oy của
(C), lấy đối xứng đồ thị được giữ qua Oy. Giữ nguyên phần đồ thị
phía trên Ox của đồ thị (C). 4 y = |f (x)|
Bỏ phần đồ thị phía dưới Ox của
(C), lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox.
Ta lần lượt biến đổi 2 đồ thị y = f (|x|) 5 y = |f (|x|)| và y = |f (x)|.
Giữ nguyên phần đồ thị trên miền
u(x) ≥ 0 của đồ thị (C). y = |u(x)| · v(x) 6 với (C) : y = u(x) · v(x)
Bỏ phần đồ thị trên miền u(x) < 0
của (C), lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox.
5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 23
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star 7 y = f (x) + p, p > 0
Tịnh tiến đồ thị (C) lên trên p đơn vị. 8 y = f (x) − p, p > 0
Tịnh tiến đồ thị (C) xuống dưới p đơn vị. 9 y = f (x + q), q > 0
Tịnh tiến đồ thị (C) sang trái q đơn vị. 10 y = f (x − q), q > 0
Tịnh tiến đồ thị (C) sang phải q đơn vị. 11 y = f (kx), k > 1
Co đồ thị (C) theo chiều ngang hệ số k. 12 y = f (kx), 0 < k < 1
Giãn đồ thị (C) theo chiều ngang hệ số 1 . k 13 y = kf (x), k > 1
Giãn đồ thị (C) theo chiều dọc hệ số k. 1 14 y = kf (x), 0 < k < 1
Co đồ thị (C) theo chiều dọc hệ số . k Vẽ đồ thị y = |f (x)|. 15 y = |f (x)| + m
Tịnh tiến đồ thị lên hoặc xuống m đơn vị.
Tịnh tiến đồ thị sang phải hoặc sang trái m đơn vị. 16 y = |f (x + m)|
Sau đó vẽ như cách vẽ đồ thị y = |f (x)|.
Tịnh tiến đồ thị sang phải hoặc sang trái m đơn vị. 17 y = |f (|x| + m)|
Sau đó vẽ như cách vẽ đồ thị y = f (|x|). Vẽ đồ thị y = |f (x)|. 18 y = |f (|x + m|)|
Tịnh tiến đồ thị sang phải hoặc sang trái m đơn vị.
24 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star BÀI 6 TIẾP TUYẾN A TIẾP TUYẾN
Cho hàm số y = f (x), có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M0(x0; y0) ∈ (C) có dạng y = f 0(x0)(x − x0) + y0
Trong đó điểm M0(x0; y0) ∈ (C) được gọi là tiếp điểm với y0 = f (x0) và k = f 0(x0) là
hệ số góc của tiếp tuyến.
{ DẠNG 1. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) tại điểm M (x0; y0) Phương pháp giải. 1
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng số a.
Gọi M (x0; y0) là tiếp điểm. Ta có x0 = a.
Thế x = a vào phương trình y = f (x) tìm được y0.
Tính f 0(x) từ đó tính f 0(x0).
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có dạng y − y0 = f 0(x0)(x − x0). 2
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ bằng số b.
Gọi M (x0; y0) là tiếp điểm. Ta có y0 = b.
Thế y = b vào phương trình y = f (x) từ đó tìm được x0.
Tính f 0(x), từ đó tính được f 0(x0).
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có dạng y − y0 = f 0(x0)(x − x0).
{ DẠNG 2. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) có phương cho trước Phương pháp giải. 1
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hệ số góc của tiếp tuyến 6. Tiếp tuyến 25
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star bằng k.
Gọi M (x0; y0) là tiếp điểm.
Hệ số góc tiếp tuyến bằng k nên f 0(x0) = k. Giải phương trình này ta tìm được x0.
Thế x0 vào phương trình y = f(x) tìm được y0.
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có dạng y − y0 = f 0(x0)(x − x0). 2
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với
đường thẳng d : y = ax + b.
Gọi M (x0; y0) là tiếp điểm.
Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y = ax + b ⇒ f 0(x0) = a. Giải
phương trình này tìm được x0.
Thế x0 vào phương trình y = f(x) tìm được y0.
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có dạng y − y0 = f 0(x0)(x − x0).
! Nhớ kiểm tra tính song song của tiếp tuyến cần tìm để loại bỏ đáp án. 3
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với
đường thẳng d : y = ax + b.
Gọi M (x0; y0) là tiếp điểm. 1
Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : y = ax + b ⇒ f 0(x0) = − . a
Giải phương trình này tìm được x0.
Thế x0 vào phương trình y = f(x) tìm được y0.
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có dạng y − y0 = f 0(x0)(x − x0).
{ DẠNG 3. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) đi qua điểm M (x0; y0) Phương pháp giải.
26 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến d đi qua M .
Suy ra d : y − y0 = k(x − x0) ⇔ y = kx − kx0 + y0 (∗). ®f (x) = kx − kx 0 + y0 (1) d tiếp xúc với (C) ⇔ có nghiệm. f 0(x) = k (2)
Thế (2) vào (1) để tìm hoành độ tiếp điểm x.
Thế x vào phương trình (2) để tìm hệ số góc k của tiếp tuyến.
Thế k vào (∗) tìm được phương trình tiếp tuyến đi qua M .
Khi thế (2) vào (1) và giả sử thu được phương trình ẩn số là x và được kí
! hiệu là (1). Thông thường phương trình (1) có bao nhiêu nghiệm x thì qua
điểm M có bấy nhiêu tiếp tuyến đến đồ thị (C). Từ đó ta giải quyết được bài
toán “Tìm điều kiện để qua M có thể vẽ được đến đồ thị (C) n tiếp tuyến”.
B ĐIỀU KIỆN TIẾP XÚC
Cho hai hàm số (C) : y = f (x) và (C0) : y = g(x). Đồ thị (C) và (C0) tiếp xúc với nhau ®f (x) = g(x)
khi và chỉ khi hệ phương trình có nghiệm. f 0(x) = g0(x)
BÀI 7 TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ
Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C1) và y = g(x) có đồ thị (C2).
Phương trình hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) là f (x) = g(x) (1). Khi đó 1
Số giao điểm của (C1) và (C2) bằng số nghiệm của phương trình (1). 2
Nghiệm x0 của phương trình (1) chính là hoành độ x0 của giao điểm . 3
Để tính tung độ y0 của giao điểm, ta thay hoành độ x0 vào y = f (x) hoặc y = g(x). 4
Điểm M (x0; y0) là giao điểm của (C1) và (C2). 7. Tương giao đồ thị 27
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star ax + b
{ DẠNG 1. Tìm tham số để đồ thị (C) : y =
cắt đường thẳng (d) tại cx + d hai điểm Phương pháp giải. 1
Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d ta được g(x) = ax2 + bx + c = 0 (∗) (x 6= x0)
với x0 là nghiệm của mẫu số. 2
d cắt (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (∗) có hai nghiệm a 6= 0   phân biệt khác x0 ⇔ ∆ > 0 ⇒ tìm được tham số.  g(x0) 6= 0
{ DẠNG 2. Tìm tham số để đồ thị (C) : y = ax3 + bx2 + cx + d cắt đường thẳng (d) tại 3 điểm Phương pháp giải. 1
Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) gọi là phương trình (∗). 2
Nhẩm nghiệm của phương trình (∗) và giả sử được một nghiệm x = x0. Dùng
sơ đồ Hoocner để biến đổi phương trình (∗) về dạng ñx = x0
(x − x0)(ax2 + Bx + C) = 0 ⇔ g(x) = ax2 + Bx + C = 0 (1). 3
(d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (∗) có 3 nghiệm
phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác a 6= 0   x0 ⇔ ∆g > 0 ⇒ tìm được tham số.  g(x0) 6= 0
28 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star Công thức trắc nghiệm 1
Đồ thị hàm số y = ax3 +bx2 +cx+d cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành
độ lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi phương trình ax3+bx2+cx+d = b ! 0 có 1 nghiệm là x = − . 3a 2
Đồ thị hàm số y = ax3 +bx2 +cx+d cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành
độ lập thành cấp số nhân khi và chỉ khi phương trình ax3+bx2+cx+d = … d 0 có 1 nghiệm là x = − 3 . a
{ DẠNG 3. Tìm tham số để đồ thị (C) : y = ax4 + bx2 + c cắt đường thẳng d tại 4 điểm Phương pháp giải. 1
Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d giả sử được phương trình Ax4 + Bx2 + C = 0 (∗). 2
Đặt t = x2, t ≥ 0. Phương trình (∗) trở thành At2 + Bt + C = 0 (1). 3
d cắt (C) tại 4 điểm khi và chỉ khi phương trình (∗) có 4 nghiệm khi và chỉ ∆ > 0  B  S = −   A
khi phương trình (1) có hai nghiệm dương ⇔ S > 0 với từ đây C   P > 0 P = A tìm được tham số. Công thức trắc nghiệm
Đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c cắt trục hoành tại 4 điểm có hoành độ lập
thành cấp số cộng ⇔ phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt t1, t2 b2 − 4ac > 0 !     b   − > 0  (t a
1 < t2) thỏa mãn t2 = 9t1 ⇔ c   > 0   a   9ab2 = 100a2c. 7. Tương giao đồ thị 29
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
{ DẠNG 4. Tìm tham số để đồ thị (C) : y = f (x) cắt đường thẳng d tại n điểm
thỏa mãn tính chất nào đó Phương pháp giải. 1
Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là g(x) = 0 (∗). 2
d cắt (C) tại n điểm ⇔ phương trình (∗) có n nghiệm. 3
Khi đó hoành độ giao điểm của (C) và d là nghiệm của phương trình (∗) và
thông thường sử dụng định lí Vi-ét để giải quyết bài toán.
BÀI 8 ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG
A BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG
Xét họ đường cong (Cm) có phương trình y = f (x, m), trong đó f là hàm đa thức theo
biến x với m là tham số sao cho bậc của m không quá 2. Tìm những điểm cố định thuộc
họ đường cong khi m thay đổi. Phương pháp giải
Bước 1: Đưa phương trình y = f (x, m) về dạng phương trình theo ẩn m có dạng
sau: Am + B = 0 hoặc Am2 + Bm + C = 0.
Bước 2: Cho các hệ số bằng 0, ta thu được hệ phương trình và giải hệ phương A = 0 ®A = 0   trình hoặc B = 0 B = 0  C = 0. Bước 3: Kết luận
• Nếu hệ vô nghiệm thì họ đường cong (Cm) không có điểm cố định.
• Nếu hệ có nghiệm thì nghiệm đó là điểm cố định của (Cm)
B BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM CÓ TỌA ĐỘ NGUYÊN P (x)
Cho đường cong (C) có phương trình (Cm) : y =
(hàm phân thức). Hãy tìm những Q(x)
điểm có tọa độ nguyên của đường cong? Phương pháp giải P (x) k
Bước 1: Thực hiện chia đa thức, ta được: y = = H(x) + , trong đó Q(x) Q(x)
H(x) là đa thức và k ∈ R.
30 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star k k Bước 2: y ∈ Z ⇔ H(x) + ∈ Z ⇔ ∈ Z ⇔ k ∈ Ư(k). Q(x) Q(x)
Bước 3: Lần lượt cho Q(x) nhận giá trị (là các ước của k) để tìm giá trị của x và y tương ứng.
! Những điểm có tọa độ nguyên là những điểm sao cho cả hoành độ và tung độ của
điểm đó đều là số nguyên.
C BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM CÓ TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG
Cho đường cong (C) có phương trình y = f (x). Tìm những điểm đối xứng nhau qua một
điểm, qua đường thẳng. 1
Bài toán 1: Cho đồ thị (C) : y = Ax3 + Bx2 + Cx + D trên đồ thị (C) tìm những
cặp điểm đối xứng nhau qua điểm I(xI ; yI ) Phương pháp giải
Gọi M (a; Aa3 + Ba2 + Ca + D), N (b; Ab3 + Bb2 + Cb + D) là hai điểm trên
(C) đối xứng nhau qua điểm I. ®a + b = 2x I Ta có
A(a3 + b3) + B(a2 + b2) + C(a + b) + 2D = 2yI .
Giải hệ phương trình tìm được a, b từ đó tìm được tọa độ M , N . 2
Bài toán 2: Cho đồ thị (C) : y = Ax3 + Bx2 + Cx + D. Trên đồ thị (C) tìm những
cặp điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ. Phương pháp giải
Gọi M (a; Aa3 + Ba2 + Ca + D), N (b; Ab3 + Bb2 + Cb + D) là hai điểm trên
(C) đối xứng với nhau qua gốc tọa độ. ®a + b = 0 Ta có
A(a3 + b3) + B(a2 + b2) + C(a + b) + 2D = 0.
Giải hệ phương trình tìm được a, b từ đó tìm được tọa độ M , N . 3
Bài toán 3: Cho đồ thị (C) : y = Ax3 + Bx2 + Cx + D trên đồ thị (C) tìm những
cặp điểm đối xứng với nhau qua đường thẳng (d) : y = A1x + B1. Phương pháp giải
8. Điểm đặc biệt của họ đường cong 31
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Gọi M (a; Aa3 + Ba2 + Ca + D), N (b; Ab3 + Bb2 + Cb + D) là hai điểm trên
(C) đối xứng với nhau qua đường thẳng d. (I ∈ (d) − → Ta có: −−→
(với I là trung điểm của M N và u d là véc-tơ chỉ M N · − → u d = 0
phương của đường thẳng (d)).
Giải hệ phương trình tìm được M , N .
D BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM ĐẶC BIỆT, KHOẢNG CÁCH 1 Lý thuyết
Cho hai điểm A(x1; y1), B(x2; y2), suy ra AB = p(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2.
Cho điểm M (x0; y0) và đường thẳng (d): Ax + By + C = 0, thì khoảng cách từ M |Ax0 + By0 + C| đến d là h(M ; (d)) = √ . A2 + B2 ax + b Cho hàm phân thức: y =
tiếp tuyến tại M cắt tiệm cận đứng, tiệm cận cx + d
ngang ở A và B thì M là trung điểm của AB. Khi đó diện tích của 4M AB không 2 đổi: SMAB = |ad − bc|. c2
2 Các bài toán thường gặp ax + b 1
Bài toán 1: Cho hàm số y =
(c 6= 0, ad − bc 6= 0) có đồ thị (C). Hãy tìm cx + d
trên (C) hai điểm A và B thuộc hai nhánh đồ thị hàm số sao cho khoảng cách AB ngắn nhất. Phương pháp giải d
(C) có tiệm cận đứng x = −
do tính chất của hàm phân thức, đồ thị nằm c
về hai phía của tiệm cận đứng. Nên gọi hai số α, β là hai số dương. d d d
Nếu A thuộc nhánh trái: xA < − ⇒ xA = − − α < − ; yA = f(xA). c c c d d d
Nếu B thuộc nhánh phải: xB > − ⇒ xB = − + β > − ; yB = f(xB). c c c
Sau đó tính: AB2 = (xB−xA)+(yB−yA)2 = [(α + β) − (a − α)]2+(yB − yA)2.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si sẽ tìm ra kết quả.
32 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star 2
Bài toán 2: Cho đồ thị hàm số (C) có phương trình y = f (x). Tìm tọa độ điểm
M thuộc (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhất. Phương pháp giải
Gọi M (x; y) và tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là d thì d = |x|+|y|.
Xét các khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ khi M nằm ở các vị trí đặc
biệt: Trên trục hoành, trên trục tung.
Sau đó xét tổng quát, những điểm M có hoành độ, hoặc tung độ lớn hơn hoành
độ hoặc tung độ của M khi nằm trên hai trục thì loại đi không xét đến.
Những điểm còn lại ta đưa về tìm giá trị nhỏ nhất của đồ thi hàm số dựa vào
đạo hàm rồi tìm được giá trị nhỏ nhất của d. 3
Bài toán 3: Cho đồ thị (C) có phương trình y = f (x). Tìm điểm M trên (C) sao
cho khoảng cách từ M đến Ox bằng k lần khoảng cách từ M đến trục Oy. ñy = kx ñf (x) = kx
Theo đầu bài ta có |y| = k|x| ⇔ ⇔ y = −kx f (x) = −kx. ax + b 4
Bài toán 4: Cho đồ thị hàm số (C) có phương trình y = f (x) = (c 6= 0, cx + d
ad − bc 6= 0) tìm tọa độ điểm M trên (C) sao cho độ dài M I ngắn nhất (với I là
giao điểm hai tiệm cận). Phương pháp giải d a
Tiệm cận đứng x = − ; tiệm cận ngang y = . c c Å d a ã
Ta tìm được tọa độ giao điểm I − ; của hai tiệm cận. c c Å d ã2 a 2
Gọi M (xM ; yM ) là điểm cần tìm thì IM2 = xM + yM − = g (xM ). c c
Sử dụng phương pháp tìm GTLN - GTNN cho hàm số g để thu được kết quả. 5
Cho đồ thị hàm số (C) có phương trình y = f (x) và đường thẳng (d) : Ax+By+C =
0. Tìm điểm I trên (C) sao cho khoảng cách từ I đến d là ngắn nhất. Phương pháp giải
Gọi I ∈ (C), suy ra I (x0; y0) và y0 = f(x0).
8. Điểm đặc biệt của họ đường cong 33
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star |Ax 0 + By0 + C |
Khoảng cách từ I đến d là g(x0) = h(I; (d)) = √ . A2 + B2
Khảo sát hàm số y = g(x) để tìm ra điểm I thỏa mãn yêu cầu.
34 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star CHƯƠNG 2 MŨ VÀ LOGARIT
BÀI 1 LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA
A KHÁI NIỆM LŨY THỪA
1 Lũy thừa với số mũ nguyên
Cho n là một số nguyên dương.
Với a là một số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a. an = a · a · · · · a (n thừa số a). | {z } n 1
Với a 6= 0 thì a0 = 1, a−n = . an
Ta gọi a là cơ số, n là số mũ. Và chú ý 00 và 0−n không có nghĩa.
2 Một số tính chất của lũy thừa
Giả thiết rằng mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa aα · aβ = aα+β (aα)β = aα·β a α aα = b bα Å ã−α aα b a α = aα−β (ab)α = aα · bα = aβ a b
Nếu a > 1 thì aα > aβ ⇔ α > β
Nếu 0 < a < 1 thì aα > aβ ⇔ α < β
Với 0 < a < b thì am < bm ⇔ m > 0
Với 0 < a < b thì am > bm ⇔ m < 0 4 !
Các tính chất trên đúng trong trường hợp số mũ nguyên hoặc không nguyên.
Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.
Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương. 35
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
B PHƯƠNG TRÌNH XN = B
Ta có kết quả biện luận số nghiệm phương trình xn = b như sau
TH.1 Khi n lẻ: Với mọi số thực b phương trình có nghiệm duy nhất. TH.2 Khi n chẵn:
a) Với b < 0, phương trình vô nghiệm.
b) Với b = 0, phương trình có một nghiệm x = 0. √
c) Với b > 0, phương trình có hai nghiệm trái dấu, kí hiệu giá trị dương là n b, giá √ trị âm là − n b.
C MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA CĂN BẬC N Với a, b ∈ ∗ R và n ∈ N , ta có √ √ 2n … a2n = |a|. a 2n+1 a 2n+1 = √ , ∀a ≥ 0, b 6= 0. 2n+1 √ b b 2n+1 a2n+1 = a. √ √ n m
am = ( n a) , ∀m ∈ Z, a > 0. √ 2n ab = 2n p|a| · 2n p|b|, ∀ab ≥ 0. √ √ n p m a = mn a, ∀m ∈ ∗ N , a > 0. √ √ √ √ √ 2n+1 ab = p q 2n+1 a · 2n+1 b, ∀a, b. Nếu = thì n ap = m aq, ∀m ∈ n m ∗ N , ∀p, q ∈ Z, a > 0. … a 2n p|a| 2n = , ∀ab ≥ 0, b 6= 0. √ √ b ∗ 2n p|b|
n a = mn am, a > 0, m ∈ N . D HÀM SỐ LŨY THỪA 1 Khái niệm
Xét hàm số y = xα với α là số thực cho trước.
Hàm số y = xα, với α ∈ R được gọi là hàm số lũy thừa. 4 !
Tập xác định của hàm số lũy thừa y = xα tùy thuộc vào giá trị của α.
Với α nguyên dương thì D = R.
Với α nguyên âm hoặc bằng 0 thì D = R \ {0}.
Với α không nguyên thì D = (0; +∞).
2 Khảo sát hàm số lũy thừa
Tập xác định của hàm số lũy thừa y = xα luôn chứa khoảng (0; +∞). Trong trường hợp
tổng quát, chúng ta khảo sát hàm số y = xα trên (0; +∞).
36 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star y = xα, α > 0 y = xα, α < 0 1 Tập xác định (0; +∞). 1 Tập xác định (0; +∞). 2 Sự biến thiên 2 Sự biến thiên
y0 = α · xα−1 > 0, ∀x > 0.
y0 = α · xα−1 < 0, ∀x > 0. Giới hạn đặc biệt Giới hạn đặc biệt lim xα = 0, lim xα = +∞. lim xα = +∞, lim xα = 0. x→0+ x→+∞ x→0+ x→+∞ Tiệm cận:
Tiệm cận: Ox là tiệm cận không có.
ngang; Oy là tiệm cận đứng. 3 Bảng biến thiên 3 Bảng biến thiên x 0 +∞ x 0 +∞ y0 + y0 − +∞ +∞ y y 0 0 Đồ thị hàm số y α > 1 α = 1 0 < α < 1 1 α = 0 α < 0 O 1 x
Đồ thị hàm số y = xα luôn đi qua điểm I(1; 1).
1. Lũy thừa và hàm số lũy thừa 37
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
E KHẢO SÁT HÀM SỐ MŨ Y = AX y = ax, a > 1 y = ax, 0 < a < 1 1 Tập xác định R. 1 Tập xác định R. 2 Sự biến thiên 2 Sự biến thiên y0 = ax · ln a > 0, ∀x. y0 = ax · ln a < 0, ∀x. Giới hạn đặc biệt Giới hạn đặc biệt lim ax = 0, lim ax = +∞. lim ax = +∞, lim ax = 0. x→−∞ x→+∞ x→−∞ x→+∞
Tiệm cận: Ox là tiệm cận
Tiệm cận: Ox là tiệm cận ngang. ngang. 3 Bảng biến thiên 3 Bảng biến thiên x −∞ 0 1 +∞ x −∞ 0 1 +∞ y0 + y0 − +∞ +∞ y a y 1 1 a 0 0 4 Đồ thị như hình sau 4 Đồ thị như hình sau y y = ax y y = ax a 1 1 a O 1 x O 1 x BÀI 2 LÔGARIT
38 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star A KHÁI NIỆM LÔGARIT
Cho hai số dương a, b với a 6= 1. Số α thỏa mãn đẳng thức aα = b được gọi là lôgarit cơ
số a của b và được kí hiệu là log b. a α = log b ⇔ aα = b. a
Không có lôgarit của số âm và số 0.
B BẢNG TÓM TẮT CÔNG THỨC MŨ - LÔGARIT THƯỜNG GẶP
Với các điều kiện của a, b, c để mỗi biểu thức có nghĩa, ta có bảng sau Công thức mũ Công thức lôgarit a0 = 1, a 6= 0. log 1 = 0. a a1 = a. log a = 1. a 1 a−α = . log aα = α. a aα 1 aα logα a = . = aα−β. a α aβ log bα = α log b, b > 0. aα · aβ = aα+β a a 1 aα · bα = (a · b)α. log log b. aβ b = β a aα a α α = , b 6= 0. log log b. bα b aβ bα = β a √ m
a n = n am, n ∈ N, n ≥ 2, m ∈ Z. log b + log c = log (bc). a a a (aα)β = aαβ. b log b − log c = log . a a a c aα = b ⇒ α = log b. a 1 log b = , 1 6= b > 0. a log a b
BÀI 3 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
3. Bất phương trình mũ và logarit 39
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
A BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ CƠ BẢN
Bất phương trình mũ cơ bản có dạng ax > b (hoặc ax ≥ b, ax < b, ax ≤ b) với a > 0, a 6= 1.
Ta xét bất phương trình có dạng ax > b.
Nếu b ≤ 0, tập nghiệm của bất phương trình là R, vì ax > b, ∀x ∈ R.
Nếu b > 0 thì bất phương trình tương đương với ax > alog b a .
• Với a > 1, nghiệm của bất phương trình là x > log b. a
• Với 0 < a < 1, nghiệm của bất phương trình là x < log b. a
Ta minh họa bằng đồ thị như sau:
Với a > 1 ta có đồ thị sau
Với 0 < a < 1 ta có đồ thị sau y y y = ax y = ax b y = b y = b b 1 1 O loga b x loga b O x
B BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT CƠ BẢN
Bất phương trình logarit cơ bản có dạng log x > b (hoặc log x ≥ b, log x < b, log x ≤ b) a a a a với a > 0, a 6= 1.
Ta xét bất phương trình có dạng ax > b.
Với a > 1, nghiệm của bất phương trình là x > ab.
Với 0 < a < 1, nghiệm của bất phương trình là 0 < x < ab.
Ta minh họa bằng đồ thị như sau:
40 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Với a > 1 ta có đồ thị sau
Với 0 < a < 1 ta có đồ thị sau y y y = loga x b 1 ab y = b O x b y = b O 1 ab x y = loga x
Quan sát đồ thị, ta thấy rằng:
Với a > 1, ta có log x > b khi và chỉ khi x > ab. a
Với 0 < a < 1, ta có log x > b khi và chỉ khi 0 < x < ab. a
BÀI 4 BÀI TOÁN LÃI SUẤT NGÂN HÀNG A LÃI ĐƠN 1 Định nghĩa
Lãi đơn là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền
gốc sinh ra, tức là tiền lãi của kì hạn trước không được tính vào vốn để tính lãi cho kì
hạn kế tiếp, cho dù đến kì hạn người gửi không đến rút tiền ra. 2 Công thức tính
Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi đơn r%/kì hạn thì số tiền khách hàng nhận
được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn (n ∈ ∗ N ) là Sn = A + nAr = A(1 + nr). 4 r !
Trong tính toán các bài toán lãi suất và các bài toán liên quan, ta nhớ r% là . 100 B LÃI KÉP
4. Bài toán lãi suất ngân hàng 41
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star 1 Định nghĩa
Lãi kép là tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau. 2 Công thức tính
Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r%/kì hạn thì số tiền khách hàng nhận
được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn (n ∈ ∗ N ) là Sn = A(1 + r)n. Các công thức liên quan Å S ã … n Sn Sn a) n = log ; b) r% = n − 1; c) A = . 1+r A A (1 + r)n
C TIỀN GỬI HÀNG THÁNG 1 Định nghĩa
Tiền gửi hàng tháng là mỗi tháng gửi đúng cùng một số tiền vào một thời gian cố định. 2 Công thức tính
Đầu mỗi tháng khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi kép r%/tháng thì
số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n tháng (n ∈ ∗
N ) (nhận tiền cuối tháng,
khi ngân hàng đã tính lãi) là A Sn = [(1 + r)n − 1] (1 + r). r Các công thức liên quan Å rS ã n rSn a) n = log + 1 ; b) A = . 1+r A(1 + r) (1 + r) [(1 + r)n − 1]
D GỬI NGÂN HÀNG VÀ RÚT TIỀN GỬI HÀNG THÁNG Công thức tính
Gửi ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suất r%/tháng. Mỗi tháng vào ngày ngân hàng
tính lãi, rút ra số tiền là X đồng. Tính số tiền còn lại sau n tháng là (1 + r)n − 1 Sn = A(1 + r)n − X · . r
42 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star E VAY VỐN TRẢ GÓP 1 Định nghĩa
Vay vốn trả góp là vay ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suất r%/tháng. Sau đúng một
tháng kể từ ngày vay, bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ cách nhau đúng một tháng, mỗi
hoàn nợ số tiền là X đồng và trả hết tiền nợ sau đúng n tháng. 2 Công thức tính
Cách tính số tiền còn lại sau n tháng giống hoàn toàn công thức tính gửi ngân hàng và
rút tiền hàng tháng nên ta có (1 + r)n − 1 Sn = A(1 + r)n − X · . r
Để sau đúng n tháng trả hết nợ thì Sn = 0 nên (1 + r)n − 1 Ar(1 + r)n A(1 + r)n − X · = 0 ⇔ X = . r (1 + r)n − 1
F BÀI TOÁN TĂNG LƯƠNG 1 Định nghĩa
Bài toán tăng lương được mô tả như sau: Một người được lãnh lương khởi điểm là A
đồng/tháng. Cứ sau n tháng thì lương người đó được tăng thêm r%/tháng. Hỏi sau kn
tháng người đó lĩnh được tất cả số tiền là bao nhiêu? 2 Công thức tính
Tổng số tiền nhận được sau kn tháng là (1 + r)k − 1 Skn = Ak · . r
G BÀI TOÁN TĂNG TRƯỞNG DÂN SỐ
Công thức tính tăng trưởng dân số là X +
m = Xn(1 + r)m−n, m, n ∈ Z , m ≥ n. Trong đó
r% là tỉ lệ tăng dân số từ năm n đến năm m;
4. Bài toán lãi suất ngân hàng 43
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Xm là dân số năm m, Xn là dân số năm n.
Từ đó ta có công thức tính tỉ lệ tăng dân số là Xm r% = m−n − 1. Xn H LÃI KÉP LIÊN TỤC
Gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r%/năm thì số tiền nhận được cả vốn lẫn lãi sau n năm (n ∈ ∗ N ) là Sn = A(1 + r)n. r
Giả sử ta chia mỗi năm thành m kì hạn để tính lãi và lãi suất mỗi kì hạn là % thì số m r mn
tiền thu được sau n năm là Sn = A 1 + . m
Khi tăng số kì hạn của mỗi năm lên vô cực, tức là m → +∞, gọi là hình thức lãi kép tiên
tục thì người ta chứng minh được số tiền nhận được cả gốc lẫn lãi là S = Aenr (công thức tăng trưởng mũ).
44 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star CHƯƠNG
3 NGUYÊNHÀM-TÍCHPHÂN
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN BÀI 1 NGUYÊN HÀM A ĐỊNH NGHĨA
Cho hàm số f (x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F (x)
được gọi là nguyên hàm của hàm số f (x) trên K nếu F 0(x) = f (x) với mọi x ∈ K. Kí Z hiệu: f (x) dx = F (x) + C.
Định lí 1. 1) Nếu F (x) là một nguyên hàm của f (x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm
số G(x) = F (x) + C cũng là một nguyên hàm của f (x) trên K.
2) Nếu F (x) là một nguyên hàm của f (x) trên K thì mọi nguyên hàm của f (x) trên K
đều có dạng F (x) + C, với C là một hằng số.
Do đó F (x) + C, C ∈ R là họ tất cả các nguyên hàm của f (x) trên K.
B TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM ÅZ ã0 Z ÅZ ã f (x) dx = f (x) và f 0(x) dx = f (x) + C; d f (x) dx = f (x) dx. Z
Nếu F (x) có đạo hàm thì: d(F (x)) = F (x) + C. Z Z kf (x) dx = k
f (x) dx với k là hằng số khác 0. Z Z Z [f (x) ± g(x)] dx = f (x) dx ± g(x) dx.
Công thức đổi biến số: Cho y = f (u) và y = g(x). Z Z Z Nếu f (x) dx = F (x) + C thì f (g(x))g0(x) dx = f (u) du = F (u) + C. 45
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
C SỰ TỒN TẠI NGUYÊN HÀM
Định lí 2. Mọi hàm số f (x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
D BẢNG NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP Z 0 dx = C Z dx = x + C Z 1 Z 1 (ax + b)α+1 xa dx = xa+1 + C, (ax + b)α dx = + C, α 6= α + 1 a α + 1 (α 6= −1) −1 Z 1 1 Z x2 dx = − + C x dx = + C x2 x 2 Z 1 Z dx 1 dx = ln |x| + C = ln |ax + b| + C x ax + b a Z Z 1 ex dx = ex + C eax+b dx = eax+b + C a Z ax Z 1 akx+b ax dx = + C akx+b dx = + C ln a k ln a Z Z 1 cos x dx = sin x + C cos(ax + b) dx = sin(ax + b) + C a Z Z 1 sin x dx = − cos x + C sin(ax + b) dx = − cos(ax + b) + C a Z Z 1 tan x dx = − ln | cos x| + C tan(ax + b) dx = − ln | cos(ax + b)| + C a Z Z 1 cot x dx = ln | sin x| + C cot(ax + b) dx = ln | sin(ax + b)| + C a Z 1 Z 1 1 dx = tan x + C dx = tan(ax + b) + C cos2 x cos2(ax + b) a Z 1 Z 1 1 dx = − cot x + C dx = − cot(ax + b) + C sin2 x sin2(ax + b) a Z Z 1 1 + tan2 x dx = tan x + 1 + tan2(ax + b) dx = tan(ax+b)+ a C C Z Z 1 1 + cot2 x dx = − cot x+ 1 + cot2(ax + b) dx = − cot(ax + a C b) + C
E BẢNG NGUYÊN HÀM MỞ RỘNG
46 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star Z dx 1 x Z x x = arctan + C arcsin dx = x arcsin + a2 + x2 a a a a pa2 − x2 + C Z dx 1 a + x Z x x = ln + C arccos dx = x arccos − a2 − x2 2a a − x a a pa2 − x2 + C Z dx Z x x p √ = ln(x+ x2 + a2)+C arctan dx = x arctan − x2 + a2 a a a ln a2 + x2 + C 2 Z dx x Z x x √ = arcsin + C arccot dx = x arccot + a2 − x2 |a| a a a ln a2 + x2 + C 2 Z dx 1 x √ = arccos + C x x2 − a2 a a Z dx Z dx 1 ax + b √ = = ln tan + x x2 + a2 sin(ax + b) a 2 √ 1 C a + x2 + a2 − ln + C a x Z Å b ã Z ln(ax + b) dx = x + ln(ax + eax cos bx dx = a b) − x + C eax(a cos bx + b sin bx) + C a2 + b2 √ Z x a2 − x2 Z pa2 − x2 dx = + eax sin bx dx = 2 a2 x eax(a sin bx − b cos bx) arcsin + C + C 2 a a2 + b2
BÀI 2 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
A PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
1 Đổi biến dạng 1 Z Nếu
f (x) dx = F (x) + C và với u = ϕ(t) là hàm số có đạo hàm thì Z f (u) du = F (ϕ(t)) + C
2. Các phương pháp tính nguyên hàm 47
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star 1 Phương pháp chung
Bước 1: Chọn x = ϕ(t) , trong đó ϕ(t) là hàm số mà ta chọn thích hợp.
Bước 2: Lấy vi phân hai vế : dx = ϕ0(t) dt.
Bước 3: Biến đổi : f (x) dx = f [ϕ(t)]ϕ0(t) dt = g(t) dt. Z Z Bước 4: Khi đó tính : f (x) dx = g(t) dt = G(t) + C. 2
Các dấu hiệu đổi biến thường gặp Dấu hiệu Cách chọn √ h π π i a2 − x2
Đặt x = |a| sin t; với t ∈ − ; hoặc x = 2 2
|a| cos t; với t ∈ [0; π]. √ |a| h π π i x2 − a2 Đặt x = ; với t ∈ − ; \ {0} hoặc sin t 2 2 |a| n π o x = ; với t ∈ [0; π] \ . cos t 2 √ π π a2 + x2
Đặt x = |a| tan t; với t ∈ − ; hoặc x = 2 2
|a| cot t; với t ∈ (0; π). … a + x … a − x hoặc Đặt x = a cos 2t a − x a + x p(x − a)(b − x)
Đặt x = a + (b − a) sin2 t 1 π π
Đặt x = a tan t; với t ∈ − ; . a2 + x2 2 2
2 Đổi biến dạng 2
Nếu hàm số f (x) liên tục thì đặtx = ϕ(t). Trong đó ϕ(t) cùng với đạo hàm của nó (ϕ0(t)
là những hàm số liên tục) thì ta được: Z Z Z f (x) dx = f [ϕ(t)]ϕ0(t) dt = g(t) dt = G(t) + C 1 Phương pháp chung
Bước 1: Chọn t = ϕ(x) , trong đó ϕ(x) là hàm số mà ta chọn thích hợp.
Bước 2: Lấy vi phân hai vế : dt = ϕ0(t) dt.
Bước 3: Biến đổi : f (x) dx = f [ϕ(t)]ϕ0(t) dt = g(t) dt.
48 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star Z Z
Bước 4: Khi đó tính : I = f (x) dx = g(t) dt = G(t) + C. 2
Các dấu hiệu đổi biến thường gặp Dấu hiệu Cách chọn Hàm số có mẫu số t là mẫu số Hàm số f (x; pϕ(x)) Đặt t = pϕ(x). a sin x + b cos x x x Hàm số f (x) = Đặt t = tan ; cos 6= 0 . c sin x + d cos x + e 2 2 1 Hàm số f (x) =
Với x + a > 0 và x + b > 0. p √ (x + a)(x + b) √ Đặt t = x + a + x + b.
Với x + a < 0 và x + b < 0. √ √ Đặt t = −x − a + −x − b.
B PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
Nếu u(x), v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K: Z Z
u(x) · v0(x) dx = u(x) · v(x) − v(x) · u0(x) dx Z Z Hay u dv = uv −
v du , với du = u0(x) dx, dv = v0(x) dx. 1 Phương pháp chung
Bước 1: Ta biến đổi tích phân ban đầu về dạng : Z Z I = f (x) dx = f1(x) · f2(x) dx.  ® du = f 0 (x) dx u = f 1  1(x) Bước 2: Đặt ⇒ Z dv = f2(x) v = f  2(x) dx. Z Z Bước 3: Khi đó: u dv = uv − v du.
2. Các phương pháp tính nguyên hàm 49
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
2 Các dạng thường gặp { DẠNG 1.   sin x Z     Phương pháp giải. I = P (x) cos x dx.    ex    u = P (x) u0 · du = P 0(x) dx              sin x  − cos x Đặt       ⇒   dv = cos x dx v = sin x               ex    ex   −    cos x − cos x   Z       Vậy I = P (x) sin x − sin x · P 0(x) dx.      ex   ex  { DẠNG 2. Z Phương pháp giải. I = P (x) · ln x dx.  1 ® du = dx u = ln x   x Đặt ⇒ Z dv = P (x) dx  v = P (x) dx = Q(x). Z 1 Vậy I = ln x · Q(x) − Q(x) · dx. x { DẠNG 3. Z Phương pháp giải. I = ex sin x dx. cos x ®u = ex ® du = ex dx Đặt ⇒ . dv = sin x dx v = − cos x cos x sin x Z Vậy I = ex · − cos x − − cos x · ex dx. sin x sin x Z
Bằng phương pháp tương tự ta tính được
− cos x · ex dx sau đó thay vào sin x I.
50 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star BÀI 3 TÍCH PHÂN
A CÔNG THỨC TÍNH TÍCH PHÂN b Z
f (x) dx = F (x)|b = F (b) − F (a) . a a b b Z Z
Nhận xét. Tích phân của hàm số f từ a đến b được kí hiệu là f (x) dx hay f (t) dt. a a
Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.
B TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN
Cho hàm số f (x) và g(x) liên tục trên K, a, b, c là ba số thuộc K. Khi đó ta có: a Z 1 f (x) dx = 0. a b a Z Z 2 f (x) dx = − f (x) dx. a b b c b Z Z Z 3 f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx. a a c b b b Z Z Z 4 [f (x) ± g(x)] dx = f (x) dx + ± g(x) dx. a a a b b Z Z 5 k · f (x) dx = k · f (x) dx. a a b Z 6
Nếu f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [a; b] thì
f (x) dx ≥ 0, ∀x ∈ [a; b]. a 3. Tích phân 51
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star b b Z Z 7
∀x ∈ [a; b] : f (x) ≤ g(x) ⇒ f (x) dx ≤ g(x) dx. a a b Z 8
∀x ∈ [a; b], nếu M ≥ f (x) ≥ N ⇒ M (b − a) ≤ f (x) dx ≤ N (b − a). a
BÀI 4 PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
A PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
1 Phương pháp đổi biến số dạng 1 Định lý Nếu 1
Hàm x = u(t) có đạo hàm liên tục trên [α; β]. 2
Hàm hợp f (u(t)) được xác định trên [α; β]. 3 u(α) = a, u(β) = b. b β Z Z Khi đó f (x) dx = f (u(t))u0(t) dt. a α Phương pháp chung Bước 1. Đặt x = u(t).
Bước 2. Tính vi phân hai vế x = u(t) ⇒ dx = u0(t) dt. Đổi cận |x=a ⇒ |t=α. x=b t=β
Bước 3. Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t. b β β Z Z Z Vậy I = f (x) dx = f (u[t])u0(t) dt =
g(t) dt = G(t)|β = G(β) − G(α). α a α α
52 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
2 Phương pháp đổi biến số dạng 2 Định lý
Nếu hàm số u = u(x) đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] sao cho f (x) dx = u(b) Z
g (u(x)) u0(x) dx = g(u) du thì I = g(u) du. u(a) Phương pháp chung
Đặt u = u(x) ⇒ du = u0(x)dx. x=b u=u(b) Đổi cận: ⇒ . x=a u=u(a)
Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo u. b b u(a) Z Z Z Vậy I = f (x) dx = g [u(x)] .u0(x) dx = g(u) du. a a u(b)
B PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 1 Định lý
Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên [a; b] thì b b Z Z b u(x)v0(x) dx = (u(x)v(x)) − v(x)u0(x) dx, a a a hay b b Z Z b u dv = uv − v du. a a a 2 Phương pháp chung
Bước 1: Viết f (x) dưới dạng u dv = uv0 dx bằng cách chọn một phần thích hợp
của f (x) làm u(x) và phần còn lại dv = v0(x) dx. Z Z Tính du = u0dx và v = dv = v0(x) dx.
4. Phương pháp tính tích phân 53
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star b Z b Tính vu0(x) dx = và uv . a a
Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần b b b b Z Z Z Z
Đặt u theo thứ tự ưu tiên P (x)ex dx P (x) ln(x) dx P (x) cos x dx ex cos x dx Log - đa - mũ - lượng a a a a u P (x) ln x P (x) ex dv ex dx P (x) dx cos x dx cos x dx
Chú ý: Nên chọn u là phần của f (x) mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn dv = v0 dx
là phần của f (x) dx là vi phân của một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm.
BÀI 5 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN
A TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ DẠNG 1: β β Z dx 1 Z adx 1 β I = = = = ln |ax + b| (a 6= 0). ax + b a ax + b a α α α β β Z dx 1 Z 1 β Chú ý: Nếu I = = (ax + b)−k.a dx = .(ax + b)−k+1 . (ax + b)k a a(1 − k) α α α DẠNG 2: β Z dx I =
(a 6= 0, ax2 + bx + c 6= 0 ∀x ∈ [α; β] . ax2 + bx + c α Xét ∆ = b2 − 4ac. √ √ −b + ∆ −b + ∆ Nếu ∆ > 0 thì x1 = , x2 = , khi đó 2a 2a 1 1 1 Å 1 1 ã = = − , ax2 + bx + c a(x − x1)(x − x2) a(x1 − x2) x − x1 x − x2
54 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star suy ra β 1 Z Å 1 1 ã 1 x − x β 1 I = − dx = . ln . a(x 1 − x2) x − x1 x − x2 a(x1 − x2) x − x2 α α 1 1 −b Nếu ∆ = 0 thì = trong đó x0 = . Suy ra ax2 + bx + c a(x − x0)2 2a β β Z dx 1 Z dx 1 β I = = = − . ax2 + bx + c a (x − x 0)2 a(x − x0) α α α β β Z dx Z dx Nếu ∆ < 0 thì I = = . ax2 + bx + c "Å Ç å2 # b ã2 … −∆ α α a x + + 2a 4a2 b … −∆ … −∆ Đặt x + = tan t ⇒ dx = 1 + tan2 t dt. Khi đó 2a 4a2 4a2 … − β ∆ 1 + tan2 t β Z Z 4a2 1 4a2 1 4a2 I = dt = dt = (β − α). "Ç… − å2 Ç å2 # ∆ … −∆ a −∆ a −∆ α a tan t + α 4a2 4a2 DẠNG 3: β Z mx + n I = dx. ax2 + bx + c α mx + n trong đó, a 6= 0 và f (x) =
liên tục trên đoạn [α; β]. ax2 + bx + c 1
Bằng phương pháp đồng nhất hệ số ta tìm được A và B sao cho mx + n A(ax2 + bx + c)0 B = + ax2 + bx + c ax2 + bx + c ax2 + bx + c A(2ax + b) B = + . ax2 + bx + c ax2 + bx + c β β β Z mx + n Z A(2ax + b) Z B 2 Suy ra dx = dx + dx. ax2 + bx + c ax2 + bx + c ax2 + bx + c α α α
5. Tích phân các hàm số sơ cấp cơ bản 55
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star β Z A(2ax + b) β I 1 = dx = A ln ax2 + bx + c . ax2 + bx + c α α β Z B I2 = dx thuộc dạng 2. ax2 + bx + c α DẠNG 4: β Z P (x) I = dx. Q(x) α
trong đó, P (x) và Q(x) là các đa thức biến x. 1
Nếu bậc P (x) lớn hơn hoặc bằng bậc Q(x) thì ta dùng phép chia đa thức. 2
Nếu bậc của P (x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì có thể xét các trường hợp:
Q(x) chỉ có các nghiệm đơn α1, α2, · · · , αn thì P (x) A1 A2 An = + + · · · + . Q(x) x − α1 x − α2 x − αn
Khi Q(x) có nghiệm đơn và vô nghiệm: Q(x) = (x − α) x2 + px + q với ∆ = p2 − 4q < 0 thì P (x) A Bx + C = + . Q(x) x − α x2 + px + q Khi Q(x) có nghiệm bội P (x) A B C
• Q(x) = (x − α)(x − β)2 thì = + + . Q(x) x − α x − β (x − β)2
• Q(x) = (x − α)2(x − β)3 thì P (x) A B C D E = + + + + . Q(x) x − α (x − α)2 x − β (x − β)2 (x − β)3
B TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ β Z I = R [x; f (x)] dx. α
trong đó, R [x; f (x)] có dạng
56 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star Å … a − x ã h π i R x; đặt x = a · cos 2t, t ∈ 0; . a + x 2 √ h π π i Ä ä R x; a2 − x2 đặt x = |a| · cos t,
t ∈ [0; π] hoặc x = |a| · sin t, t ∈ − ; . 2 2 √ |a| n π o Ä ä R x; x2 − a2 đặt x = , t ∈ [0; π]\ . cos t 2 √ π π Ä ä R x; a2 + x2 đặt x = |a| · tan t, t ∈ − ; . 2 2 Ç … å ax + b … ax + b R x; n đặt t = n . cx + d cx + d 1 R (x; f (x)) =
với (αx2 + βx + γ)0 = ax + b. (ax + b)pαx2 + βx + γ 1
Đặt t = pαx2 + βx + γ hoặc t = . ax + b √ √ √
R (x; n1 x, n2 x, · · · , nk x), gọi k = BSCNN {n1, · · · , nk} đặt x = tk. DẠNG 1: β Z 1 I = √ dx , a 6= 0. ax2 + bx + c α ñÅ ô b ã2 ∆
Ta có f (x) = ax2 + bx + c = a x + − . 2a 4a  b u = x +  2a Đặt ⇒ du = dx. ∆  k = 4a
Nếu a > 0 và ∆ < 0 suy ra pf (x) = pa(u2 + k2). Phương pháp giải √ √ Đặt ax2 + bx + c = t − a · x suy ra  t2 − c 2 √ x = √ ; dx = √ tdt ®  bx + c = t2 − 2 a · x   b + 2 a b + 2 a ⇒ x = α ⇒ t = t √ √ 0; x = β ⇒ t = t1 t2 − c  t − a · x = t − a √ .  b + 2 a
5. Tích phân các hàm số sơ cấp cơ bản 57
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star √ b Nếu ∆ = 0 suy ra pf (x) = a x + . 2a Phương pháp giải  1 b β b β √ · ln x + nếu x + > 0 Z 1 a 2a α 2a Khi đó I = √ dx =   a 1 b β b x + b  2a α − √ · ln x + nếu x + < 0. a 2a α 2a
Nếu ∆ > 0 suy ra pf (x) = pa(x − x1)(x − x2). ñ(x − x1)t
• Nếu a > 0 đặt pa(x − x1)(x − x2) = (x − x2)t. ñ(x1 − x)t
• Nếu a < 0 đặt pa(x − x1)(x − x2) = (x2 − x)t. DẠNG 2: β Z mx + n I = √ dx , a 6= 0. ax2 + bx + c α Phương pháp giải mx + n A ax2 + bx + c0 B Phân tích √ = √ + √ (∗). ax2 + bx + c ax2 + bx + c ax2 + bx + c
Quy đồng mẫu số, sau đó đồng nhất hệ số hai tử số để suy ra hệ hai ẩn số A, B.
Giải hệ tìm A, B thay vào (∗). β Z β 1 p Tính I = 2A ax2 + bx + c + B √ dx. α ax2 + bx + c α β Z 1 Trong đó √
dx được tính ở dạng 1. ax2 + bx + c α DẠNG 3: β Z 1 I = √ dx , a · m 6= 0. (mx + n) ax2 + bx + c α Phương pháp giải
58 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star 1 1 Phân tích √ = (1). (mx + n) ax2 + bx + c n √ m x + ax2 + bx + c m  1 1 ⇒ y = dy = − dt 1 n   x + t (x + t)2 Đặt = x + ⇒ y m 1 Å 1 ã2 Å 1 ã  x = − t ⇒ ax2 + bx + c = a − t + b − t + c.  y y y β0 Z 1
Thay tất cả vào (1) ta được I =
dy, tích phân này đã tính ở pLy2 + My + N α0 dạng 1. DẠNG 4: β ! Z ax + b I = R x; m dx. cx + d α
trong đó R(x; y) là hàm số hữu tỷ đối với hai biến số x, y và α, β, γ, δ là các hằng số đã biết. Phương pháp giải … ax + b Đặt t = m (1). cx + d
Tính x theo t (bằng cách nâng lũy thừa bậc m hai vế của (1) ta có dạng x = ϕ(t)).
Tính vi phân hai vế dx = ϕ0(t)dt và đổi cận. β0 Z Khi đó I = R (t; ϕ(t)) ϕ0(t)dt. α0
C TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC
1 Một số công thức lượng giác 1 Công thức cộng
cos(a ± b) = cos a · cos b ∓ sin a · sin b;
sin(a ± b) = sin a · cos b ± sin b · cos a;
5. Tích phân các hàm số sơ cấp cơ bản 59
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star tan a ± tan b tan(a ± b) = . 1 ∓ tan a · tan b 2 Công thức nhân đôi 1 − tan2 a
cos 2a = cos2 a − sin2 a = 2 cos2 a − 1 = 1 − 2 sin2 a = ; 1 + tan2 a 2 tan a 2 tan a sin 2a = 2 sin a · cos a = ; tan 2a = ; 1 + tan2 a 1 − tan2 a
cos 3α = 4 cos3 α − 3 cos α; sin 3α = 3 sin α − 4 sin3 α. 3 Công thức hạ bậc 1 − cos 2a 1 + cos 2a 1 − cos 2a sin2 a = ; cos2 a = ; tan2 a = ; 2 2 1 + cos 2a 3 sin α − sin 3α cos 3α + 3 cos α sin3 α = ; cos3 α = . 4 4 4 Công thức tính theo t a 2t 1 − t2 2t Với t = tan thì sin a = ; cos a = ; tan a = . 2 1 + t2 1 + t2 1 − t2 5
Công thức biến đổi tích thành tổng 1
cos α · cos β = [cos(α + β) + cos(α − β)]; 2 1
sin α · sin β = [cos(α − β) − cos(α + β)]; 2 1
sin α · cos β = [sin(α + β) + sin(α − β)]. 2 6
Công thức biến đổi tổng thành tích α + β α − β cos α + cos β = 2 cos · cos ; 2 2 α + β α − β cos α − cos β = −2 sin · sin ; 2 2 α + β α − β sin α + sin β = 2 sin · cos ; 2 2 α + β α − β sin α − sin β = 2 cos · sin ; 2 2 sin(α + β) tan α + tan β = ; cos α cos β
60 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star sin(α − β) tan α − tan β = . cos α cos β 7 Công thức thường dùng 3 + cos 4α cos4 α + sin4 α = ; 4 5 + 3 cos 4α cos6 α + sin6 α = . 8 Hệ quả √ π √ π cos α + sin α = 2 cos α − = 2 sin α + ; 4 4 √ π √ π cos α − sin α = 2 cos α + = − 2 sin α − . 4 4
2 Một số dạng tích phân lượng giác b Z Nếu gặp dạng I =
f (sin x) cos xdx ta đặt t = sin x. a b Z Nếu gặp dạng I =
f (cos x) sin xdx ta đặt t = cos x. a b Z dx Nếu gặp dạng I = f (tan x) ta đặt t = tan x. cos2 x a b Z dx Nếu gặp dạng I = f (cot x) ta đặt t = cot x. sin2 x a Z Z DẠNG 1. I1 = (sin x)ndx; I2 (cos x)ndx Phương pháp giải
Nếu n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc.
5. Tích phân các hàm số sơ cấp cơ bản 61
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Nếu n = 3 thì sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi.
Nếu 3n lẻ (n = 2p + 1) thì thực hiện biến đổi Z Z I1 = (sin x)ndx = (sin x)2p + 1dx Z Z = (sin x)2p sin xdx = − 1 − cos2 xp d(cos x) Z h = −
C0 − C1 cos2 x + · · · + (−1)kCk cos2 xk p p p
+ . . . + (−1)pCp cos2 xpó d(cos x) p ñ 1 (−1)k = − C0 cos x − C1 cos3 x + · · · + Ck(cos x)2k+1 p 3 p 2k + 1 p (−1)p ò + · · · + Cp(cos x)2p+1 + C. 2p + 1 p Z Z I2 = (cos x)ndx = (cos x)2p + 1dx Z Z = (cos x)2p cos xdx = 1 − sin2 xp d(sin x) Z h =
C0 − C1 sin2 x + · · · + (−1)kCk sin2 xk p p p
+ · · · + (−1)pCp sin2 xpó d(sin x) p ñ 1 (−1)k = C0 sin x − C1 sin3 x + · · · + Ck(sin x)2k+1 p 3 p 2k + 1 p (−1)p ò + · · · + Cp(sin x)2p+1 + C. 2p + 1 p Z DẠNG 2. I = sinm x cosn xdx (m, n ∈ N) Phương pháp giải 1
Trường hợp 1: m, n là các số nguyên.
Nếu m chẵn, n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng.
62 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Nếu m chẵn, n lẻ (n = 2p + 1) thì biến đổi Z Z I = (sin x)m(cos x)2p + 1dx = (sin x)m(cos x)2p cos xdx Z =
(sin x)m 1 − sin2 xp d(sin x) Z h =
(sin x)m C0 − C1 sin2 x + · · · + (−1)kCk sin2 xk p p p
+ · · · + (−1)pCp sin2 xpó d(sin x) p ï (sin x)m+1 (sin x)m+3 = C0 − C1 p m + 1 p m + 3 (sin x)2k+1+m
+ · · · + (−1)kCkp 2k + 1 + m (sin x)2p+1+m ò + · · · + (−1)pCp + C. p 2p + 1 + m
Nếu m lẻ (m = 2p + 1), n chẵn thì biến đổi Z Z I = (sin x)2p + 1(cos x)ndx = (cos x)n(sin x)2p sin xdx Z = −
(cos x)n 1 − cos2 xp d(cos x) Z h = −
(cos x)n C0 − C1 cos2 x + · · · + (−1)kCk cos2 xk p p p
+ · · · + (−1)pCp cos2 xpó d(cos x) p ï (cos x)n+1 (cos x)n+3 = − C0 − C1 p n + 1 p n + 3 (cos x)2k+1+n
+ · · · + (−1)kCkp 2k + 1 + n (cos x)2p+1+n ò + · · · + (−1)pCp + C. p 2p + 1 + n
Nếu m lẻ, n lẻ thì sử dụng biến đổi 1.2. hoặc 1.3. cho số mũ lẻ bé hơn.
Nếu m, n là các số hữu tỉ thì biến đổi và đặt u = sin x. Z Z n−1 B = sinm x cosn xdx = (sin x)m cos2 x 2 cos xdx Z n−1 = um 1 − u2 2 du (∗)
5. Tích phân các hàm số sơ cấp cơ bản 63
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star m + 1 n − 1 m + k
Tích phân (∗) tính được ⇔ 1 trong 3 số ; ; là số 2 2 2 nguyên. Z Z DẠNG 3. I1 = (tan x)ndx; I2 = (cot x)ndx(n ∈ N) Phương pháp giải Z Z dx Z 1 + tan2 x dx = = d(tan x) = tan x + C; cos2 x Z Z dx Z 1 + cot2 x dx = = − d(cot x) = − cot x + C; sin2 x Z Z sin x Z d(cos x) tan xdx = dx = − = − ln | cos x| + C; cos x cos x Z Z cos x Z d(sin x) cot xdx = dx = = ln | sin x| + C. sin x sin x
BÀI 6 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
A DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và trục hoành
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b], Z b
trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b được xác định: S = |f (x)|dx. a
64 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star y y = f (x) y = f (x)    Z b y = 0 (H) S = |f (x)|dx x = a  a   x = b x O a c1 c2 c3 b
2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), y = g(x) liên tục trên
đoạn [a; b] và hai đường thẳng x = a, x = b được xác định: Z b S = |f (x) − g(x)|dx. a y  (C1) : y = f1(x)     (C2) : y = f2(x) (H) x = a  (C  2)  x = b Z b S = |f1(x) − f2(x)| dx a a x O c1 c2 b (C1)
6. Ứng dụng của tích phân 65
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Nếu trên đoạn [a; b] hàm số f (x) không đổi dấu thì: Z b Z b |f (x)|dx = f (x)dx . a a
Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối.
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g(y), x = h(y) và hai Z d
đường thẳng y = c, y = d được xác định: |g(y) − h(y)|dy. c
B THỂ TÍCH VẬT THỂ VÀ THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY
1 Thể tích vật thể
Gọi B là phần vật thể giới hạn
bởi hai mặt phẳng vuông góc với
trục Ox tại các điểm a và b; S(x) (V )
là diện tích thiết diện của vật thể
bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc x
với trục Ox tại điểm x, (a ≤ x ≤ O a b x
b). Giả sử S(x) là hàm số liên tục S(x) trên đoạn [a; b]. Z b V = S(x)dx a
2 Thể tích khối tròn xoay
Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các
đường y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox:
66 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star y (C) : y = f (x) y = f (x)    (Ox) : y = 0 x = a    a x  O b x = b Z b Vx = π [f (x)]2dx a
Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các
đường x = g(y), trục hoành và hai đường thẳng y = c, y = d quanh trục Oy: y d (C) : x = g(y)    (Oy) : x = 0 y = c    y = d Z d Vy = π [g(y)]2dy c c x O
Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các
đường y = f (x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox: Z b V = π f 2 (x) − g2 (x) dx. a
6. Ứng dụng của tích phân 67
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
68 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star CHƯƠNG 4 SỐ PHỨC BÀI 1 SỐ PHỨC
A KHÁI NIỆM SỐ PHỨC
Số phức (dạng đại số): z = a + bi (a, b ∈ R). Trong đó a là phần thực, b là phần
ảo, i là đơn vị ảo, i2 = −1.
Tập hợp số phức kí hiệu là C.
z là số thực ⇔ phần ảo của z bằng 0 (b = 0).
z là số ảo (hay còn gọi là thuần ảo) ⇔ phần thực bằng 0 (a = 0).
Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
B HAI SỐ PHỨC BẰNG NHAU
Hai số phức z1 = a + bi (a, b ∈ R) và z2 = c + di (c, d ∈ R) bằng nhau khi phần
thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau. ña = c
Khi đó ta viết z1 = z2 ⇔ a + bi = c + di ⇔ b = d.
C BIỂU DIỄN HÌNH HỌC SỐ PHỨC
Số phức z = a + bi (a, b ∈ R) được biểu diễn bởi điểm y − →
M (a; b) hay bởi u = (a; b) trong mặt phẳng phức (mặt M b
phẳng với hệ tọa độ Oxy). a x O 69
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
D SỐ PHỨC LIÊN HỢP
Số phức liên hợp của z = a + bi (a, b ∈ R) là z = a − bi. z = z; z ± z0 = z ± z0; z · z0 = z · z0. Å z ã z 1 1 = ; z · z = a2 + b2. z2 z2
z là số thực ⇔ z = z; z là số ảo khi và chỉ khi z = −z.
E MÔ-ĐUN CỦA SỐ PHỨC 1 Định nghĩa −−→
Độ dài của véc-tơ OM được gọi là mô-đun của số phức z và kí hiệu là |z|. − −→ − −→ √
Vậy |z| = OM hay |z| = |a + bi| = OM = a2 + b2.
2 Một số tính chất √ √ − −→ |z| = a2 + b2 = zz = OM ; |z| = |z|.
|z| ≥ 0, ∀z ∈ C; |z| = 0 ⇔ z = 0. z |z z z | 1 1| 1 1z2 z 1 · z2| = |z1| · |z2|; = ; = . z2 |z2| z2 |z2|2
||z1| − |z2|| ≤ |z1 ± z2| ≤ |z1| + |z2|.
BÀI 2 PHÉP CỘNG TRỪ, NHÂN CHIA SỐ PHỨC
A PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ SỐ PHỨC
Cho hai số phức z1 = a + bi (a, b ∈ R) và z2 = c + di (c, d ∈ R). Khi đó
z1 ± z2 = (a + c) ± (b + d) i.
Số đối của số phức z = a + bi là −z = −a − bi.
Tổng của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng hai lần phần thực của số
phức đó: z = a + bi, z + z = 2a.
70 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
B PHÉP NHÂN SỐ PHỨC
Cho hai số phức z1 = a + bi (a, b ∈ R) và z2 = c + di (c, d ∈ R), khi đó
z1z2 = (a + bi) (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc) i.
Với mọi số thực k và mọi số phức z = a + bi (a, b ∈ R), ta có kz = k · (a + bi) = ka + kbi.
Đặc biệt, 0 · z = 0 với mọi số phức z.
Lũy thừa của i, với mọi n ∈ ∗ N ta có • i0 = 1. • i4n = 1. • i1 = i. • i4n+1 = i. • i2 = −1. • i4n+2 = −1. • i3 = i2 · i = −i. • i4n+3 = −i. C CHIA HAI SỐ PHỨC 1
Số phức nghịch đảo của z khác 0 là số z−1 = · z. |z|2 z0 z0 · z z0 · z
Phép chia hai số phức z0 và z 6= 0 là = z0z−1 = = . z |z|2 z · z
BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC
A CĂN BẬC HAI CỦA SỐ THỰC ÂM
Cho số z, nếu có số phức z1 sao cho z2 = z thì ta nói z 1
1 là một căn bậc hai của z.
Mọi số phức z 6= 0 đều có hai căn bậc hai.
Căn bậc hai của số thực z âm là ±ip|z|.
Tổng quát, các căn bậc hai của số thực a âm là ±ip|a|.
3. Phương trình bậc hai với hệ số thực 71
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
B PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC
Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0, ∀a, b, c ∈ R, a 6= 0. Xét biệt số ∆ = b2 − 4ac
của phương trình. Ta thấy −b
Khi ∆ = 0, phương trình có một nghiệm thực x = . 2a √ −b ± ∆
Khi ∆ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,2 = . 2 −b ± ip|∆|
Khi ∆ < 0, phương trình có hai nghiệm phức x1,2 = . 2a
BÀI 4 TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC A ĐỊNH NGHĨA
Trong mặt phẳng phức, số phức z = x+y ·i với x, y ∈ R được biểu diễn bởi điểm M (x, y).
Một số tập hợp điểm biểu diễn số phức z thường gặp
ax + by + c = 0 ⇒ tập hợp điểm là đường thẳng.
x = 0 ⇒ tập hợp điểm là trục tung Oy.
y = 0 ⇒ tập hợp điểm là trục hoành Ox.
(x − a)2 + (y − b)2 < R2 ⇒ tập hợp điểm là hình tròn tâm I (a; b), bán kính R.
ñ (x − a)2 + (y − b)2 = R2
⇒ tập hợp điểm là đường tròn có tâm I (a; b), bán
x2 + y2 − 2ax − 2by + c = 0 √ kính R = a2 + b2 − c.
x > 0 ⇒ tập hợp điểm là miền bên phải trục tung.
y < 0 ⇒ tập hợp điểm là miền phía dưới trục hoành.
x < 0 ⇒ tập hợp điểm là miền bên trái trục tung.
y > 0 ⇒ tập hợp điểm là miền phía trên trục hoành.
y = ax2 + bx + c ⇒ tập hợp điểm là đường Parabol. x2 y2 +
= 1 ⇒ tập hợp điểm là đường Elip. a2 b2 x2 y2 −
= 1 ⇒ tập hợp điểm là đường Hyperbol. a2 b2
72 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
BÀI 5 BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MAX, MIN MÔ-ĐUN SỐ PHỨC  z r 2  max |x| = +   z |z 1 1|
Cho số phức z thỏa mãn |z1 · z + z2| = r, (r > 0), thì z r  2  min |z| = − .  z1 |z1|
Cho số phức z thỏa mãn |z1 · z − z2| = r, (r > 0). z 2 r z2 r max P = − z3 + và min P = − z3 − . z1 |z1| z1 |z1|
Cho số phức z thỏa mãn |z1 · z + z2| + |z1 · z − z2| = k, (r > 0) thì » k k2 − 4 |z2|2 max |z| = và min |z| = . 2 |z1| 2 |z1|
5. Bài toán liên quan đến max, min mô-đun số phức 73
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
74 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star PHẦN II HÌNH HỌC 75
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
76 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star CHƯƠNG 1 KHỐI ĐA DIỆN
BÀI 1 KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHÓP 1
Khối lăng trụ (chóp) là phần không gian được giới hạn bởi một hình lăng trụ (chóp)
kể cả hình lăng trụ (chóp) ấy. Khối chóp cụt là phần không gian được giới hạn bởi
một hình chóp cụt kể cả hình chóp cụt ấy. 2
Điểm không thuộc khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) được gọi là điểm ngoài
của khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt). Điểm thuộc khối lăng trụ nhưng không
thuộc hình lăng trụ ứng với khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) đó được gọi
là điểm trong của khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt).
BÀI 2 KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN
A KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN đỉnh 1
Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là hình được tạo
bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất:
Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không
có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung,
hoặc chỉ có một cạnh chung.
Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác. cạnh mặt 2
Mỗi đa giác gọi là một mặt của hình đa diện. Các
đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo thứ tự được
gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện. 77
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
B KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN Khối đa diện là phần
không gian được giới hạn điểm trong điểm ngoài
bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó. M
Những điểm không thuộc N
khối đa diện được gọi là
điểm ngoài của khối đa diện.
Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện đó được gọi là
điểm trong của khối đa diện. Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong, tập
hợp những điểm ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa diện.
Mỗi hình đa diện chia các điểm còn lại của không gian thành hai miền không giao
nhau là miền trong và miền ngoài của hình đa diện, trong đó chỉ có miền ngoài là
chứa hoàn toàn một đường thẳng nào đó.
BÀI 3 HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU
A PHÉP DỜI HÌNH TRONG KHÔNG GIAN
Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M 0 xác định duy nhất
được gọi là một phép biến hình trong không gian.
Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tùy ý.
* Một số phép dời hình trong không gian:
1 Phép tịnh tiến theo vectơ ~v Nội dung Hình vẽ
Là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M 0 − → v M 0 −−−→ − → sao cho M M 0 = v . M
2 Phép đối xứng qua mặt phẳng (P )
78 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star Nội dung Hình vẽ M
Là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc
(P ) thành chính nó, biến mỗi điểm M
không thuộc (P ) thành điểm M 0 sao I
cho (P ) là mặt phẳng trung trực của M M 0. P M 0
Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P )
biến hình H thành chính nó thì (P )
được gọi là mặt phẳng đối xứng của H.
3 Phép đối xứng qua tâm O Nội dung Hình vẽ
Là phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến
mỗi điểm M khác O thành điểm M 0 sao cho O là trung điểm M M 0. M M 0 O
Nếu phép đối xứng tâm O biến hình (H) thành chính
nó thì O được gọi là tâm đối xứng của (H).
4 Phép đối xứng qua đường thẳng ∆ (phép đối xứng trục ∆) Nội dung Hình vẽ
Là phép biến hình biến mọi điểm thuộc đường thẳng ∆
∆ thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc ∆
thành điểm M 0 sao cho ∆ là đường trung trực của M M 0 O M M 0.
Nếu phép đối xứng trục ∆ biến hình (H) thành chính
nó thì ∆ được gọi là trục đối xứng của (H). Nhận xét.
Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình.
Phép dời hình biến đa diện (H) thành đa diện (H0), biến đỉnh, cạnh, mặt của (H)
thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của (H0).
3. Hai đa diện bằng nhau 79
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star B HAI HÌNH BẰNG NHAU
Hai hình đa diện được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.
BÀI 4 PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN Nội dung Hình vẽ
Nếu khối đa diện (H) là hợp của hai (H1)
khối đa diện (H1), (H2) sao cho (H1)
và (H2) không có chung điểm trong
nào thì ta nói có thể chia được khối đa
diện (H) thành hai khối đa diện (H1)
và (H2), hay có thể lắp ghép hai khối
đa diện (H1) và (H2) với nhau để được (H) khối đa diện (H). (H2)
BÀI 5 KHỐI ĐA DIỆN LỒI
A KHỐI ĐA DIỆN LỒI
Một khối đa diện được gọi là khối đa diện
lồi nếu với bất kì hai điểm A và B nào của
nó thì mọi điểm của đoạn AB cũng thuộc khối đó. Khối đa diện lồi Khối đa diện không lồi
80 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star Lưu ý : 1
Một khối đa diện là khối đa diện lồi khi và
chỉ khi miền trong của nó luôn nằm một phía
đối với mỗi mặt phẳng đi qua một mặt của nó. 2
Công thức Ơ-le: Trong một khối đa diện
lồi nếu gọi Đ là số đỉnh, C là số cạnh, M là
số mặt thì ta luôn có Đ + M = C + 2.
B KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU 1 Định nghĩa 1
Khối đa diện đều là một khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây
Các mặt là những đa giác đều p cạnh.
Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng q cạnh. 2
Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại {p; q}. 2 Định lí
Chỉ có năm khối đa diện đều. Đó là:
Loại {3; 3}: khối tứ diện đều.
Loại {4; 3}: khối lập phương.
Loại {3; 4}: khối bát diện đều.
Loại {5; 3}: khối mười hai mặt đều.
Loại {3; 5}: khối hai mươi mặt đều.
Tham khảo hình biểu diễn của năm loại khối đa diện. Khối hai mươi Khối lập phương Khối mười hai Khối tứ diện đều Khối bát diện đều mặt đều mặt đều 5. Khối đa diện lồi 81
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
3 Bảng tóm tắt của năm loại khối đa diện đều Đa diện đều cạnh a Số Số Số Thể tích Bán kính R mặt đỉnh cạnh mặt V cầu ngoại tiếp √ √ 2a3 a 6 Tứ diện đều {3; 3} 4 6 4 12 4 √ a 3 Lập phương {4; 3} 8 12 6 a3 √ 2 √ 2a3 a 2 Bát diện đều {3; 4} 6 12 8 3 √ √ 2√ 15 + 7 5 3 + 15
Mười hai mặt đều {5; 3} 20 30 12 a3 a 4 √ √ 4 √ 15 + 5 5 10 + 20 Hai mươi mặt đều {3; 5} 12 30 20 a3 a 12 4
Giả sử khối đa diện đều loại {p; q} có Đ đỉnh, C cạnh và M mặt thì ta luôn có q · Đ = 2C = p · M
C MỘT SỐ KẾT QUẢ QUAN TRỌNG VỀ KHỐI ĐA DIỆN LỒI 1 Kết quả 1
Cho một khối tứ diện đều. Khi đó:
Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một khối tứ diện đều;
Các trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối bát diện đều (khối tám mặt đều). 2 Kết quả 2
Tâm của các mặt của một khối lập phương là các đỉnh của một khối bát diện đều. 3 Kết quả 3
Tâm của các mặt của một khối bát diện đều là các đỉnh của một khối lập phương. 4 Kết quả 4
Hai đỉnh của một khối bát diện đều được gọi là hai đỉnh đối diện nếu chúng không cùng
thuộc một cạnh của khối đó. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo của
khối bát diện đều. Khi đó:
Ba đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường;
82 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Ba đường chéo đôi một vuông góc với nhau;
Ba đường chéo bằng nhau.
BÀI 6 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
A THỂ TÍCH KHỐI CHÓP Nội dung Hình vẽ 1 S V = S · h Chóp 3 đáy ®S là diện tích mặt đáy đáy Trong đó h
h là chiều cao khối chóp. A D 1 VS.ABCD = SABCD · d(S, (ABCD)) 3 H C B
B THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ Nội dung Hình vẽ V = S · h A0 C0 Lăng trụ đáy ®S là diện tích mặt đáy đáy Trong đó h là chiều cao lăng trụ. h B0
Lưu ý : Lăng trụ đứng có chiều cao
chính là độ dài cạnh bên. A C H B
6. Thể tích khối đa diện 83
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
C THỂ TÍCH KHỐI HỘP CHỮ NHẬT Nội dung Hình vẽ V = abc A0 D0 Hộp chữ nhật
Trong đó a, b, c là độ dài các cạnh B0 C0 c khối hộp chữ nhật. A D a b B C
D THỂ TÍCH KHỐI LẬP PHƯƠNG Nội dung Hình vẽ A0 D0 B0 C0 V = a3 A D B C E TỈ SỐ THỂ TÍCH Nội dung Hình vẽ S VS.A0B0C0 SA0 SB0 SC0 A0 = · · V C0 S.ABC SA SB SC
Thể tích khối chóp cụt ABC.A0B0C0 B0 A C h √ Ä V = B + B0 + BB0ä 3
Với B, B0, h là diện tích hai đáy và chiều cao B
84 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
F MỘT SỐ CHÚ Ý VỀ ĐỘ DÀI CÁC ĐƯỜNG ĐẶC BIỆT √
Đường chéo của hình vuông cạnh a là a 2. √
Đường chéo của hình lập phương cạnh a là a 3. √
Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là a2 + b2 + c2. √ a 3
Đường cao của tam giác đều cạnh a là . 2
BÀI 7 CÁC CÔNG THỨC HÌNH PHẲNG
A HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
1 Cho 4ABC vuông tại A, đường cao AH AB2 + AC2 = BC2. A AB2 = BH · BC. AC2 = CH · BC. AH · BC = AB · AC. B H C 1 1 1 = + . AH2 AB2 AC2
AB = BC · sin C = BC cos B = AC tan C = AC cot B.
2 Cho 4 ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c, độ dài các đường trung tuyến là
ma, mb, mc; bán kính đường tròn ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp
r; nửa chu vi là p Định lí hàm số côsin a2 = b2+c2−2bc cos A. b2 = a2+c2−2ac cos B. c2 = a2+b2−2ab cos C. a b c Định lí hàm số sin : = = = 2R. sin A sin B sin C Độ dài trung tuyến 2(b2 + c2) − a2 2(a2 + c2) − b2 2(a2 + b2) − c2 m2 = . m2 = . m2 = . a 4 b 4 c 4
7. Các công thức hình phẳng 85
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
3 Các công thức tính diện tích 3.1 Tam giác 1 1 1
S = a · ha = b · hb = c · hc. 2 2 2 1 1 1
S = bc sin A = ca sin B = ab sin C. 2 2 2 abc S = . 4R S = pr.
S = pp(p − a)(p − b)(p − c). AB · AC BC · AH 4ABC vuông tại A : S = = . 2 2 √ √ a 3 a2 3 4ABC đều, cạnh a : AH = , S = . 2 4 3.2 Hình vuông S = a2 ( a là cạnh hình vuông ) 3.3 Hình chữ nhật S = a · b
( a, b là hai kích thước ) 3.4 Hình bình hành
S = đáy × cao = AB · AD · sin ’ BAD 3.5 Hình thoi 1 S = AB · AD · sin ’ BAD = AC · AD
( a, b là hai kích thước ) 2 3.6 Hình thang 1 S = (a + b) h
( a, b là hai đáy, h là chiều cao ) 2
86 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star 3.7
Tứ giác có hai đường chéo vuông góc AC và BD 1 S = AC · BD 2
BÀI 8 MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH
KHỐI CHÓP THƯỜNG GẶP Nội dung Hình vẽ A
Cho hình chóp S.ABC với các mặt phẳng
(SAB), (SBC), (SAC) vuông góc với nhau
từng đôi một, diện tích các tam giác SAB,
SBC, SAC lần lượt là S1, S2, S3. Khi đó √2S1 · S2 · S3 S C VS.ABC = . 3 B
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với S
(ABC), hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc với nhau, ’ ASB = α, ’ BSC = β. Khi đó A C SB3 · sin 2α · tan β VS.ABC = . 12 B
Cho hình chóp đều S.ABC có đáy ABC là S
tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên bằng b. Khi đó √ a2 3b2 − a2 VS.ABC = . 12 A C G M B
8. Một số công thức tính nhanh thể tích khối chóp thường gặp 87
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh S
đáy bằng a và mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc α. Khi đó a3 tan α VS.ABC = . 24 A C G M B
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các S
cạnh bên bằng b và cạnh bên tạo với mặt
phẳng đáy góc β. Khi đó √3b3 · sinβ · cos2 β VS.ABC = . 4 A C G M B
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các S
cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với mặt
phẳng đáy góc β. Khi đó a3 · tan β VS.ABC = 12 A C G M B
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là S
hình vuông cạnh bằng a và SA = SB = SC = SD = b. Khi đó √ a2 4b2 − 2a2 VS.ABCD = . D A 6 M O C B
88 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh S
đáy bằng a, góc tạo bởi mặt bên và mặt phẳng đáy là α. Khi đó a3 tan α V D S.ABCD = . A 6 M O B C S
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, ’
SAB = α với α ∈ (45◦; 90◦). Khi đó √ a3 tan2 α − 1 VS.ABCD = . α 6 D A O B C S
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các
cạnh bên bằng a, góc tạo bởi giữa mặt bên và
mặt đáy bằng α với α ∈ (0◦; 90◦). Khi đó 4a3 tan α V A S.ABCD = . D p 3 (2 + tan2 α)3 α O M B C S
Cho hình tam giác đều S.ABC có cạnh đáy
bằng a. Gọi (P ) là mặt phẳng đi qua A, song
song với BC và vuông góc với mặt phẳng F
(SBC). Biết α là góc giữa (P ) và mặt phẳng N đáy. Khi đó E a3 cot α A C VS.ABC = . 24 G M B
8. Một số công thức tính nhanh thể tích khối chóp thường gặp 89
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star A0 D0
Khối bát diện đều có các đỉnh là tâm các mặt C0 B0
của hình lập phương cạnh a. Khi đó thể tích khối bát diện đều là a3 V = . 6 A D B C S
Tâm các mặt bên của một bát diện đều cạnh
a là đỉnh của một khối lập phương. Khi đó thể
tích của khối lập phương là D √ A 2a3 2 V = . 27 B C S0
BÀI 9 CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT CỦA THỂ TÍCH TỨ DIỆN Công thức Điều kiện S
Thể tích tứ diện khi biết ba cạnh chung
một đỉnh và ba góc giữa các cạnh ở đỉnh đó abc C0 p A VSABC = 1 − x2 − y2 − z2 + 2xyz. 6 G C M
Trong đó x = cos α, y = cos β, z = cos γ. B0 B (SA = a, SB = b, SC = c ’ ASB = α, ’ BSC = β, ’ CSA = γ.
90 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star B D0
Thể tích tứ diện khi biết cặp cạnh đối,
khoảng cách và góc giữa cặp cạnh đó M 0 C0 1 VABCD = abd sin α. 6 A α D M C AB = a, CD = b   d(AB, CD) = d  (AB, CD) = α. S
Thể tích của tứ diện khi biết độ dài cạnh
chung của hai mặt, diện tích và góc giữa hai mặt đó H α 2S1S2 sin α K V A C SABC = . 3a B ®S4SAB = S1, S4SAC = S2 SA = a, ((SAB), (SAC)) = α. S
Thể tích khối chóp tam giác khi biết ba
cạnh bên, hai góc ở đỉnh và một góc giữa
hai mặt bên (góc nhị diện) H ϕ abc VS.ABC = sin α sin β sin ϕ. K 6 A C B0 B SA = a, SB = b, SC = c   ’ ASB = α, ’ ASC = β   ((SAB), (SAC)) = ϕ.
9. Các công thức đặc biệt của thể tích tứ diện 91
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star √ a3 2
Thể tích khối tứ diện đều VABCD = .
Tứ diện có tất cả các cạnh bằng a. 12 D A C G M B √2xyz
Thể tích tứ diện gần đều V = . 12
Tứ diện ABCD có AB = CD = a,
Với x = a2 + b2 − c2, y = b2 + c2 − a2, AC = BD = b, AD = BC = c. z = c2 + a2 − b2. A B0 C D0 D B C0
92 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star CHƯƠNG
2 MẶT NÓN - MẶT TRỤ - MẶT CẦU
BÀI 1 MẶT NÓN TRÒN XOAY VÀ KHỐI NÓN A MẶT NÓN TRÒN XOAY Nội dung Hình vẽ
Đường thẳng d, ∆ cắt nhau tại O và tạo thành góc
β với 0◦ < β < 90◦, mặt phẳng (P ) chứa d, ∆. (P )
quay quanh trục ∆ với góc β không đổi ⇒ mặt nón O tròn xoay đỉnh O. β ∆ gọi là trục. d ∆
d được gọi là đường sinh.
Góc 2β gọi là góc ở đỉnh. r B KHỐI NÓN Nội dung Hình vẽ
1. Mặt nón tròn xoay và khối nón 93
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star O
Là phần không gian được giới hạn bởi một hình
nón tròn xoay kể cả hình nón đó. Những điểm
không thuộc khối nón gọi là những điểm ngoài của khối nón. h l
Những điểm thuộc khối nón nhưng không
thuộc hình nón tương ứng gọi là những điểm
trong của khối nón. Đỉnh, mặt đáy, đường sinh
của một hình nón cũng là đỉnh, mặt đáy, đường I
sinh của khối nón tương ứng. r M
Cho hình nón có chiều cao h, đường sinh l và bán kính đáy r.
Diện tích xung quanh của hình nón: S = πrl . xq nón
Diện tích đáy (hình tròn): S = πr2 . đáy
Diện tích toàn phần của hình nón: Stp = Sxq + S = πrl + πr2 . đáy 1 1 Thể tích khối nón: V = S h = πr2h . nón 3 đáy 3
C THIẾT DIỆN KHI CẮT BỞI MẶT PHẲNG Điều kiện Kết quả
Cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng (Q) đi qua đỉnh của mặt nón.
Mp (Q) cắt mặt nón theo 2 đường
Thiết diện là tam giác cân. sinh.
(Q) là mặt phẳng tiếp diện
Mp (Q) tiếp xúc với mặt nón theo của hình nón. một đường sinh.
Cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng (Q) không đi qua đỉnh của mặt nón.
94 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Mp (Q) vuông góc với trục hình Giao tuyến là 1 đường nón. parabol.
Mp (Q) song song với 2 đường
Giao tuyến là 2 nhánh của sinh hình nón. 1 hypebol.
Mp (Q) song song với 1 đường
Giao tuyến là một đường sinh hình nón. tròn.
BÀI 2 MẶT TRỤ TRÒN XOAY VÀ KHỐI TRỤ A MẶT TRỤ Nội dung Hình vẽ ∆
Trong mặt phẳng (P ) cho hai đường thẳng ∆ và l
song song với nhau, cách nhau một khoảng bằng r. A
Khi quay mặt phẳng (P ) xung quanh ∆ thì đường
thẳng l sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt D
trụ tròn xoay, gọi tắt là mặt trụ.
Đường thẳng ∆ gọi là trục. h l
Đường thẳng l là đường sinh.
r là bán kính của mặt trụ đó. B r C
B HÌNH TRỤ TRÒN XOAY VÀ KHỐI TRỤ TRÒN XOAY Nội dung Hình vẽ
2. Mặt trụ tròn xoay và khối trụ 95
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star ∆ A
Ta xét hình chữ nhật ABCD. Khi
quay hình chữ nhật ABCD xung D
quanh đường thẳng chứa một cạnh
nào đó, chẳng hạn cạnh AB thì h l
đường gấp khúc ABCD sẽ tạo
thành một hình gọi là hình trụ tròn
xoay, hay gọi tắt là hình trụ. B r C
Khi quay quanh AB, hai cạnh AD và BC sẽ vạch ra hai hình tròn bằng nhau gọi
là hai đáy của hình trụ, bán kính của chúng gọi là bán kính của hình trụ.
Độ dài đoạn CD gọi là độ dài đường sinh của hình trụ.
Phần mặt tròn xoay được sinh ra bởi các điểm trên CD khi quay xung quanh AB
gọi là mặt xung quanh của hình trụ.
Khoảng cách AB giữa hai mặt phẳng song song chứa hai đáy là chiều cao của hình trụ.
Khối trụ tròn xoay hay khối trụ là phần không gian được giới hạn bởi một hình trụ tròn
xoay kể cả hình trụ tròn xoay đó. Những điểm không thuộc khối trụ gọi là những điểm
ngoài của khối trụ. Những điểm thuộc khối trụ nhưng không thuộc hình trụ tương ứng
gọi là những điểm trong của khối trụ. Mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính của một
hình trụ cũng là Mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính của khối trụ tương ứng. Hình
trụ có chiều cao h, đường sinh l và bán kính đáy r.
Diện tích xung quanh: Sxq = 2πrh .
Diện tích toàn phần: Stp = Sxq + 2 · S = 2πrh + 2πr2 . đáy
Thể tích khối trụ: Vtrụ = S · h = πr2h . đáy
BÀI 3 MẶT CẦU VÀ KHỐI CẦU
96 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star A MẶT CẦU Nội dung Hình vẽ
Cho điểm I cố định và một số thực dương R.
Tập hợp tất cả những điểm M trong không
gian cách I một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm I, bán kính R. I R Kí hiệu S(I; R). B A Khi đó S(I; R) = {M |IM = R}
B VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG
Cho mặt cầu S(I; R) và mặt phẳng (P ). Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm I lên
mặt phẳng (P ). Suy ra d = IH là khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P ). Khi đó d > R d = R d < R Mặt cầu và mặt phẳng
Mặt phẳng tiếp xúc mặt
Mặt phẳng cắt mặt cầu không có điểm chung. cầu: (P ) là mặt phẳng
theo thiết diện là đường
tiếp diện của mặt cầu và tròn có tâm H và bán √ H là tiếp điểm. kính r = R2 − d2. R I R I I d d R d r H H M P H P P Lưu ý:
Khi mặt phẳng (P ) đi qua tâm I của mặt cầu thì mặt phẳng được gọi là mặt phẳng kính
và thiết diện lúc đó được gọi là đường tròn lớn.
3. Mặt cầu và khối cầu 97
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
C VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT CẦU VÀ ĐƯỜNG THẲNG
Cho mặt cầu S(I; R) và đường thẳng ∆. Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm I lên
đường thẳng ∆. Khi đó IH > R IH = R IH < R ∆ không cắt mặt cầu.
∆ tiếp xúc với mặt cầu.
∆ cắt mặt cầu (S) tại hai
∆ : Tiếp tuyến của (S). điểm phân biệt. H : Tiếp điểm. ∆ H B H H R R R A ∆ ∆ I I I Lưu ý:
Trong trường hợp ∆ cắt (S) tại hai điểm phân biệt A, B thì bán kính R của (S) được tính như sau: d (I, ∆) = IH   Å ã2 p AB R = IH2 + AH2 = IH2 + .  2
D ĐƯỜNG KINH TUYẾN VÀ VĨ TUYẾN CỦA MẶT CẦU
98 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star Nội dung Hình vẽ
Giao tuyến của mặt cầu với nửa mặt phẳng có
bờ là trục của mặt cầu được gọi là kinh tuyến.
Giao tuyến (nếu có) của mặt cầu với các mặt A
phẳng vuông góc với trục được gọi là vĩ tuyến của mặt cầu. vĩ tuyến
Hai giao điểm của mặt cầu với trục được gọi O
là hai cực của mặt cầu. B kinh tuyến
* Mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình đa diện. Nội dung Hình vẽ
Mặt cầu nội tiếp hình đa diện nếu mặt
cầu đó tiếp xúc với tất cả các mặt của
hình đa diện. Còn nói hình đa diện ngoại tiếp mặt cầu.
Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu tất S
cả các đỉnh của hình đa diện đều nằm
trên mặt cầu. Còn nói hình đa diện nội tiếp mặt cầu.
Mặt cầu tâm O bán kính r ngoại tiếp
hình chóp S.ABCD khi và chỉ khi O B OA = OB = OC = OD = OS = r A D C Cho mặt cầu S(I; R)
Diện tích mặt cầu: S = 4πR2
3. Mặt cầu và khối cầu 99
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star 4
Thể tích khối cầu: V = πR3 3
BÀI 4 MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÔNG THỨC GIẢI NÓN VÀ TRỤ A BÀI TOÁN MẶT NÓN
1 Dạng 1. Thiết diện của hình nón cắt bởi một mặt phẳng Nội dung Hình vẽ
Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác cân. S O A B
Thiết diện qua đỉnh của hình nón là những
tam giác cân có hai cạnh bên là hai đường sinh S của hình nón. A O B
Thiết diện vuông góc với trục của hình
nón là những đường tròn có tâm nằm trên S trục của hình nón. O A B
100 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
2 Dạng 2. Bài toán liên quan đến thiết diện qua đỉnh của hình nón
Cho hình nón có chiều cao là h, bán kính đáy r và đường sinh `.
Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là d. Nội dung Hình vẽ
Gọi M là trung điểm của AC. Khi đó: AC ⊥ (SM I).
Góc giữa (SAC) và (ABC) là góc S ’ SM I.
Góc giữa (SAC) và (SI) là góc ’ M SI. d (I, (SAC)) = IH = d. Diện tích thiết diện H 1 Std = S4SAC = SM · AC A I B 2 M 1 p p = SI2 + IM 2 · 2 AI2 − IM 2 C 2 h2d2 h2d2 = h2 + · r2 − . h2 − d2 h2 − d2
3 Dạng 3. Bài toán hình nón ngoại tiếp và nội tiếp hình chóp Nội dung Hình vẽ
Hình nón nội tiếp hình chóp S.ABCD đều
là hình nón có đỉnh S, đáy là đường tròn nội
Hình chóp tứ giác đều S.ABCD
tiếp hình vuông ABCD. Khi đó hình nón có: S AB Bán kính đáy r = IM = . 2
Đường cao h = SI, đường sinh ` = SM . A D I M B C
4. Một số dạng toán và công thức giải nón và trụ 101
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Hình nón ngoại tiếp hình chóp đều S.ABCD
đều là hình nón có đỉnh S, đáy là đường tròn
Hình chóp tứ giác đều S.ABCD
ngoại tiếp hình vuông ABCD. Khi đó hình S nón có: Bán kính đáy √ AC AB 2 r = IA = = . 2 2 A Chiều cao h = SI. D I Đường sinh ` = SA. B C
Hình nón nội tiếp hình chóp S.ABC đều là
hình nón có đỉnh S, đáy là đường tròn nội tiếp
Hình chóp tam giác đều S.ABC
tam giác ABC. Khi đó hình nón có S Bán kính đáy √ AM AB 3 r = IM = = . 3 6 A C Chiều cao h = SI. I Đường sinh ` = SM . M B
102 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Hình nón ngoại tiếp hình chóp S.ABC đều
là hình nón có đỉnh S, đáy là đường tròn ngoại
Hình chóp tam giác đều S.ABC
tiếp tam giác ABC. Khi đó hình nón có S Bán kính đáy √ 2AM AB 3 r = IA = = . 3 3 Chiều cao h = SI. A C Đường sinh ` = SA. I M B
4 Dạng 4. Bài toán hình nón cụt
Khi cắt hình nón bởi một mặt phẳng song song với đáy thì phần mặt phẳng nằm trong
hình nón là một hình tròn. Phần hình nón nằm giữa hai mặt phẳng nói trên được gọi là hình nón cụt. Nội dung Hình vẽ
Khi cắt hình nón cụt bởi một mặt phẳng song song
với đáy thì được mặt cắt là một hình tròn.
Khi cắt hình nón cụt bởi một mặt phẳng song song
với trục thì được mặt cắt là một hình thang cân.
4. Một số dạng toán và công thức giải nón và trụ 103
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Cho hình nón cụt có R, r, h lần lượt là bán kính đáy
lớn, bán kính đáy nhỏ và chiều cao.
Diện tích xung quanh của hình nón cụt Sxq = π · ` · (R + r). r
Diện tích đáy (hình tròn) ®S = πr2 đáy 1 X ⇒ S = π(r2 + R2). h ` đáy S = πR2 đáy 2 R
Diện tích toàn phần của hình chóp cụt
Stp = π · ` · (R + r) + πr2 + πR2. Thể tích khối nón cụt 1 V = πh(R2 + r2 + Rr). 3
5 Dạng 5. Bài toán hình nón tạo bởi phần còn lại của hình tròn sau khi cắt bỏ đi hình quạt Nội dung Hình vẽ
Từ hình tròn (O; R) cắt bỏ đi hình quạt AmB. Độ dài cung ˘ AnB bằng x. Phần
còn lại của hình tròn ghép lại được một n O
hình nón. Tìm bán kính, chiều cao và
độ dài đường sinh của hình nón đó.
Hình nón được tạo thành có O R h R ` = R A B r   A ≡ B  x m 2πr = x ⇒ r = 2π    p h = `2 − r2.
B MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÔNG THỨC GIẢI BÀI TOÁN MẶT TRỤ
104 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
1 Dạng 1. Thiết diện của hình trụ cắt bởi một mặt phẳng Nội dung Hình vẽ
Thiết diện vuông góc trục là một đường tròn bán O kính R. A B G
Thiết diện chứa trục là một hình chữ nhật ABCD M
trong đó AB = 2R và AD = h. Nếu thiết diện qua
trục là một hình vuông thì h = 2R.
Thiết diện song song với trục và không chứa
trục là hình chữ nhật BGHC có khoảng cách tới D C
trục là d(OO0, (BGHC)) = OM . O0 H
4. Một số dạng toán và công thức giải nón và trụ 105
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
2 Dạng 2. Thể tích khối tứ diện có 2 cạnh là đường kính 2 đáy Nội dung Hình vẽ
Nếu như AB và CD là hai đường kính bất kỳ trên
hai đáy của hình trụ thì O A B 1 VABCD =
AB · CD · OO0 · sin(AB, CD). 6
Đặc biệt: Nếu AB và CD vuông góc nhau thì 1 C VABCD = AB · CD · OO0. 6 O0 D
3 Dạng 3. Xác định góc, khoảng cách Nội dung Hình vẽ O A
Góc giữa AB và trục OO0 bằng ÷ A0AB. O0 B A0 O A
Khoảng cách giữa AB và trục OO0 bằng O0M . O0 M B A0
106 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Nếu ABCD là một hình vuông nội tiếp trong A
hình trụ thì đường chéo của hình vuông cũng O B
bằng đường chéo của hình trụ.
Nghĩa là cạnh hình vuông bằng I h2 AB = 2R2 + . 2 D O0 C
4 Dạng 4. Xác định mối liên hệ giữa diện tích xung quanh, toàn phần và thể tích
khối trụ trong bài toán tối ưu Nội dung Hình vẽ
Một khối trụ có thể tích V không đổi.
Tìm bán kính đáy và chiều cao hình trụ
để diện tích toàn phần nhỏ nhất  … V  R = 3  4π O Stp min ⇔ R …  V  h = 2 3 . 4π M h
Tìm bán kính đáy và chiều cao hình trụ
để diện tích xung quanh cộng với diện
tích một đáy và nhỏ nhất O0  … V  R = 3  π S min ⇔ …  V  h = 3 . π
5 Dạng 5. Hình trụ ngoại tiếp, nội tiếp một hình lăng trụ đứng
Cho hình lăng trụ tam giác đều nội tiếp trong một hình trụ. Thể tích khối lăng trụ là V 4πV
thì thể tích khối trụ là V(T ) = . 9
Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A0B0C0D0 ngoại tiếp trong một hình trụ. Diện tích 2S
xung quanh hình trụ là S thì diện tích xung quanh của hình lăng trụ là Sxq = . π
4. Một số dạng toán và công thức giải nón và trụ 107
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
BÀI 5 MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÔNG THỨC GIẢI BÀI TOÁN MẶT CẦU
A MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN
1 Các khái niệm cơ bản
Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại
tiếp của đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy. Bất kì một điểm nào
nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy thì cách đều các đỉnh của đa giác đó.
Đường trung trực của đoạn thẳng là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng
và vuông góc với đoạn thẳng đó. Bất kì một điểm nào nằm trên đường trung trực thì
cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.
Mặt trung trực của đoạn thẳng là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và
vuông góc với đoạn thẳng đó. Bất kì một điểm nào nằm trên mặt trung trực thì cách
đều hai đầu mút của đoạn thẳng.
2 Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là điểm cách đều các đỉnh của hình chóp. Hay
nói cách khác, nó chính là giao điểm I của trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và mặt
phẳng trung trực của một cạnh bên hình chóp.
Bán kính là khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp.
3 Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu của một số hình đa diện
Hình hộp chữ nhật, hình lập phương Nội dung Hình vẽ A0 B0
Tâm: trùng với tâm đối xứng của hình
hộp chữ nhật (hình lập phương). Suy ra D0
tâm là I, là trung điểm của A0C C0 I
Bán kính: bằng nửa độ dài đường chéo
hình hộp chữ nhật (hình lập phương). AC0 A B Suy ra bán kính: R = . 2 D C
108 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Hình lăng trụ đứng có đáy nội tiếp đường tròn Nội dung Hình vẽ Xét hình lăng trụ đứng A A A 1 n
1, A2, A3 · · · An.A0 , A0 , A0 , · · · A0 , 1 2 3 n
trong đó có 2 đáy A1A2A3 · · · An và A2 O0
A0 A0 A0 · · · A0 nội tiếp đường tròn (O) 1 2 3 n
và (O0). Lúc đó, mặt cầu nội tiếp hình A3 lăng trụ đứng có I
Tâm: I, với I là trung điểm của A0 A0 1 n OO0. A0 O 2 Bán kính: R = IA1 = IA2 = · · · = IA0 A03 n
Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối 2 đỉnh còn lại dưới 1 góc vuông Nội dung Hình vẽ S Hình chóp S.ABC có ’ SAC = ’ SBC = 90◦. I Tâm: I là trung điểm SC. SC Bán kính: R = = IA = IB = IC. 2 A C B
5. Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt cầu 109
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star S Hình chóp S.ABCD có ’ SAC = ’ SBC = ’ SDC = 90◦. Tâm: I là trung điểm SC. SC I Bán kính: R = = IA = IB = IC = ID. A D 2 B C Hình chóp đều Nội dung Hình vẽ
Hình chóp đều S.ABC · · · S
Gọi O là tâm của đáy ⇒ SO là trụ của đáy. ∆
Trong mặt phẳng xác định bởi SO
và một cạnh bên, chẳng hạn như M
mặt phẳng (SAO), ta vẽ đường
trung trực của cạnh SA là ∆ cắt I
SA tại M và cắt SO tại I ⇒ I là A tâm của mặt cầu. D Bán kính: O SM SI Ta có 4SM I ∼ 4SOA ⇒ = SO SA B SM · SA SA2 ⇒ R = IS = = = SO 2 · SO C IA = IB = IC = · · ·
Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy Nội dung Hình vẽ
110 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Cho hình chóp S.ABC · · · có cạnh bên
SA ⊥ (ABC · · · ) và đáy ABC · · · nội tiếp đường tròn tâm O. S
Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp S.ABC · · · được xác định d như sau:
Từ tâm O ngoại tiếp đáy, ta vẽ
đường thẳng d vuông góc với mặt
phẳng (ABC · · · ) tại O. M I ∆
Trong mặt phẳng (d, SA), ta
dựng đường trung trực ∆ của
cạnh SA cắt SA tại M , cắt d tại
I ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp và bán kính R = IA = IC = IS = · · · A C O Tìm bán kính.
Ta có M IOB là hình chữ nhật. Xét 4M AI vuông tại M có: √ R = AI = M I2 + M A2 = Å SA ã2 B AO2 + . 2 Hình chóp khác
Dựng trục ∆ của đáy.
Dựng mặt phẳng trung trực (α) của một cạnh bên bất kì.
(α) ∩ ∆ = I ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp.
Bán kính: khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp.
Đường tròn ngoại tiếp một số đa giác thường gặp
Khi xác định tâm mặt cầu, ta cần xác định trục của mặt phẳng đáy, đó chính là đường
thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy tại tâm O của đường tròn ngoại tiếp đáy. Do đó,
việc xác định tâm O là yếu tố rất quan trọng của bài toán.
5. Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt cầu 111
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Hình vuông: O là giao điểm 2 đường chéo. O
Hình chữ nhật: O là giao điểm 2 đường chéo. O O
Tam giác đều: O là trọng tâm tam giác. O
Tam giác vuông: O là trung điểm của cạnh huyền. O
Tam giác thường: O là giao điểm của 2 đường trung trực của
112 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star 2 cạnh trong tam giác.
B KỸ THUẬT XÁC ĐỊNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP Nội dung Hình vẽ
Cho hình chóp S.A1A2 . . . An (thỏa mãn điều
kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp). Thông S
thường, để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp ta thực hiện theo hai bước α
Bước 1: Xác định tâm của đường tròn I
ngoại tiếp đa giác đáy. Dựng ∆ là trục
đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. O D
Bước 2: Lập mặt phẳng trung trực (α) A C
của một cạnh bên. Lúc đó Tâm O của H
mặt cầu là giao điểm của đường thẳng ∆ B
và mặt phẳng (α). Bán kính R = SA =
SO. Tùy vào từng trường hợp.
C KỸ NĂNG XÁC ĐỊNH TRỤC ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP ĐA GIÁC ĐÁY
1 Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Nội dung Hình vẽ Định nghĩa
Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy là
đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp
đáy và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính chất
Với mọi M ∈ d0 thì M A = M B = M C.
Suy ra M A = M B = M C ⇔ M ∈ d0.
5. Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt cầu 113
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Các bước xác định trục d0
Bước 1: Xác định tâm H của đường
tròn ngoại tiếp đa giác đáy. M
Bước 2: Qua H dựng đường thẳng d0
vuông góc với mặt phẳng đáy.
Một số trường hợp đặc biệt A C Đáy là tam giác vuông. H Đáy là tam giác đều. B
Đáy là tam giác thường. d0 H B C A d0 B H C A d0 B H C A
2 Kỹ năng tam giác đồng dạng Nội dung Hình vẽ
114 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star SO SM
4SM O đồng dạng với 4SIA, suy ra = . S SA SI M O I A
3 Nhận xét quan trọng ®M A = M B = M C ∃M, S sao cho
thì SM là trục đường tròn ngoại tiếp 4ABC. SA = SB = SC
D KỸ THUẬT SỬ DỤNG HAI TRỤC XÁC ĐỊNH TÂM MẶT CẦU NGOẠI TIẾP ĐA DIỆN Nội dung Hình vẽ
Cho hình chóp S.A1A2 . . . An (thỏa mãn điều
kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp). Thông S d0
thường, để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp ta thực hiện theo hai bước I d
Bước 1: Xác định tâm của đường tròn B A
ngoại tiếp đa giác đáy. Dựng d0 là trục
đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
Bước 2: Xác định trục d của đường tròn D C
ngoại tiếp một mặt bên (dễ xác định) của khối chóp. Lúc đó
• Tâm I của mặt cầu là {I} = d0 ∩ d.
• Bán kính R = IA = IS. Tùy vào từng trường hợp.
E TỔNG KẾT CÁC DẠNG TÌM TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU 1 Dạng 1 Nội dung Hình vẽ
5. Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt cầu 115
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star S A C
Cạnh bên SA vuông góc đáy và B ’ ABC = 90◦. SC S Khi đó R =
và tâm là trung điểm của 2 SC. A B D C 2 Dạng 2 Nội dung Hình vẽ
Cạnh bên SA vuông góc đáy và bất kể đáy là hình
gì, chỉ cần tìm được bán kính đường tròn ngoại tiếp S SA2
của đáy là RD, khi đó R2 = R2 + . D 4 K abc • R I D = với p là nửa 4pp(p − a)(p − b)(p − c) A C chu vi. O • Nếu 4ABC vuông tại A thì RD = 1 AB2 + AC2 + SA2. B 4 √ a 2
• Đáy là hình vuông cạnh a thì RD = . 2 √ a 3
• Nếu đáy là tam giác đều cạnh a thì RD = . 3
116 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star 3 Dạng 3 Nội dung Hình vẽ
Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau SA = SB = SC = SD, ta có S SA2 R = . 2SO
ABCD là hình vuông, hình chữ nhật, khi đó A D
O là giao của hai đường chéo. O
4ABC vuông, khi đó O là trung điểm cạnh huyền. B C
4ABC đều, khi đó O là trọng tâm, trực tâm,
tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác. 4 Dạng 4 Nội dung Hình vẽ
Hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) vuông góc
với nhau và có giao tuyến AB. Khi đó, ta gọi S
R1, R2 lần lượt là bán kính đường tròn ngoại
tiếp các tam giác SAB và SAC. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp O I AB2 R2 = R2 + R2 − . 1 2 A 4 C J B
5. Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt cầu 117
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star 5 Dạng 5
Cho hình chóp S.ABCD có đường cao SH, tâm đường tròn ngoại tiếp đáy là O. Khi đó,
ta giải phương trình (SH − x)2 + OH2 = x2 + R2 . Với giá trị x vừa tìm được, ta có D R2 = x2 + R2 . D F DẠNG 6 3V
Bán kính mặt cầu nội tiếp r = . Stp
BÀI 6 TỔNG HỢP CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT VỀ KHỐI TRÒN XOAY A CHỎM CẦU Nội dung Hình vẽ
Ta có công thức tính diện tích và thể tích Sxq = 2πRh = π r2 + h2  Å h ã πh V = πh2 R − = h2 + 3r2  3 6 R r h B HÌNH TRỤ CỤT Nội dung Hình vẽ
118 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Ta có công thức tính thể tích, diện tích Sxq = πR (h1 + h2)  Å h ã 1 + h2 h1 V = πR  2 h2 R C HÌNH NÊM LOẠI 1 Nội dung Hình vẽ
Ta có công thức tính thể tích 2 V = R3 tan α. 3 α R D HÌNH NÊM LOẠI 2 Nội dung Hình vẽ
6. Tổng hợp các công thức đặc biệt về khối tròn xoay 119
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Ta có công thức tính thể tích Å π 2 ã V = − R3 tan α. 2 3 α R
E PARABOL BẬC HAI - PARABOLOID Nội dung Hình vẽ  4 R R S Rh  parabol =  3    3  S0 Å… x ã a 3 = = S h R  h h     1 1  a V = πR2h = Vtrụ. 2 2 x
F DIỆN TÍCH ELIP VÀ THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY SINH BỞI ELIP Nội dung Hình vẽ
120 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star Selip = πab  b  a a   4 Vxoay quanh 2a = πab2 b 3   4   Vxoay quanh 2b = πa2b. 3
G DIỆN TÍCH HÌNH VÀNH KHĂN Nội dung Hình vẽ S = π R2 − r2 . R r
H THỂ TÍCH HÌNH XUYẾN (PHAO) Nội dung Hình vẽ Å R + r ã Å R − r ã2 V = 2π2 . r 2 2 R
6. Tổng hợp các công thức đặc biệt về khối tròn xoay 121
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
122 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star CHƯƠNG
3 HỆTỌAĐỘTRONGKHÔNG GIAN
BÀI 1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT
1 Khái niệm mở đầu
Trong không gian cho ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc. Gốc tọa độ O, trục hoành
Ox, trục tung Oy, trục cao Oz, các mặt tọa độ (Oxy), (Oyz), (Ozx).
2 Khái niệm về hệ trục tọa độ
Khi không gian có hệ trục tọa độ thì gọi là không gian tọa độ Oxyz hay không gian Oxyz. 4 ! Chú ý − → − → − → i 2 = j 2 = k 2 = 1. − → a 2 = |− → a |2. − → − → − → − → − → − → i · j = j · k = k · i = 0. 3 Tọa độ véctơ − → − → − → − → u = (x; y; z) ⇔ − → u = x i + y j + z k . 4 Tọa độ điểm −−→ − → − → − →
M (x; y; z) ⇔ OM = x i + y j + z k . 123
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
5 Các công thức tọa độ cần nhớ − → − →
Cho u = (a; b; c), v = (a0; b0; c0). a = a0   − → − → u = v ⇔ b = b0  c = c0. − → u ± − →
v = (a ± a0; b ± b0; c ± c0). k · − → u = (ka; kb; kc). − → − → − → u · − → v = |− → u | · |− →
v | · cos ( u , v ) = aa0 + bb0 + cc0. − → u · − → v aa0 + bb0 + cc0 − → − → cos ( u , v ) = = √ √ . |− → u | · |− → v | a2 + b2 + c2 · a02 + b02 + c02 √ √ |− → − → u | = u 2 = a2 + b2 + c2. − → u ⊥ − → v ⇔ − → u · − → v = 0. − − →
AB = (xB − xA; yB − yA; zB − zA). − − → » AB = AB =
(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2. 6 Chú ý − → − →
Góc của hai véc-tơ ( u , v ) là góc hình học (nhỏ) giữa hai tia mang các véc-tơ đó, giá trị − → − → − → − →
trong [0; π] là sin ( u ; v ) = p1 − cos2 ( u , v ) ≥ 0.
7 Chia tỉ lệ đoạn thẳng −−→ −−→
Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k nghĩa là M A = kM B. Công thức tọa độ của M là  xA − kxB x  M =   1 − k    yA − kyB yM = 1 − k     z  A − kzB z .  M = 1 − k
124 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
8 Công thức trung điểm
Nếu M là trung điểm của đoạn AB thì  xA + xB x  M =  2  −−→ −−→ − →   y M A + M B = 0 ⇔ A + yB yM = 2    z  A + zB  zM = . 2
9 Công thức trọng tâm tam giác
Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì  xA + xB + xC x  G =  3  −→ − − → − − → − →   y GA + GB + GC = 0 ⇔ A + yB + yC yG = 3    z  A + zB + zC  zG = . 3
10 Công thức trọng tâm tứ diện
Nếu G là trọng tâm tứ diện ABCD thì  xA + xB + xC + xD x  G =  4  −→ − − → − − → −−→ − →   y GA + GB + GC + GD = 0 ⇔ A + yB + yC + yD yG = 4    z  A + zB + zC + zD  zG = . 4
11 Tích có hướng của hai véc-tơ − → − → − → − →
Cho hai véc-tơ u = (a; b; c) và v = (a0; b0; c0). Tích có hướng của hai véc-tơ u và v là − → − → − →
một véc-tơ, kí hiệu [ u , v ] hay u ∧ − → v , có tọa độ ! − → − → b c c a a b [ u , v ] = ; ;
= (bc0 − b0c; ca0 − ac0; ab0 − ba0) . b0 c0 c0 a0 a0 b0
12 Tính chất của tích có hướng của hai véc-tơ − → − → − → − →
[ u , v ] vuông góc với u và v .
1. Hệ tọa độ trong không gian 125
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star | − → − → − → − → [ u , v ]| = |− → u | · |− → v | · sin ( u , v ). − → − → − → − → [ u , v ] = 0 ⇔ − → u , v cùng phương.
13 Ứng dụng của tích có hướng của hai véc-tơ − − → î− − → ó
Diện tích hình bình hành ABCD: S = AB, AD . 1 −→ î− − → ó
Diện tích tam giác ABC: S = · AB, AC . 2 − → − → − → − → − →
Ba véc-tơ u , v , w đồng phẳng ⇔ [ u , v ] · − → w = 0.
Thể tích khối hộp có đáy là hình bình hành ABCD và cạnh bên AA0: −−→ î− − → − − →ó V = AB, AD · AA0 . 1 −→ −→ î− − → ó
Thể tích khối tứ diện S.ABC: V = · AB, AC · SA. 6
B PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP
1 Các phép toán về tọa độ của véc-tơ và của điểm Phương pháp giải
Sử dụng các công thức về tọa độ của véc-tơ và của điểm trong không gian.
Sử dụng các phép toán về véc-tơ trong không gian.
2 Xác định điểm trong không gian. Chứng minh tính chất hình học. Diện tích - Thể tích Phương pháp giải
Sử dụng các công thức về tọa độ của véc-tơ và của điểm trong không gian.
Sử dụng các phép toán về véc-tơ trong không gian.
Công thức xác định tọa độ của các điểm đặc biệt.
Tính chất hình học của các điểm đặc biệt. − − → −→ − − → −→ î− − → −→ó
• A, B, C thẳng hàng ⇔ AB, AC cùng phương ⇔ AB = kAC ⇔ AB, AC = − → 0 .
126 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star − − → −−→
• ABCD là hình bình hành ⇔ AB = DC.
• Cho 4ABC có các chân E, F của các đường phân giác trong và ngoài của − − → AB − − → − − → AB − − →
góc A trên BC. Ta có EB = − · EC, F B = · F C. AC AC − − → −→ − − →
• A, B, C, D không đồng phẳng ⇔ AB, AC, AD không đồng phẳng ⇔ î− − → −→ó − − → AB, AC · AD 6= 0. BÀI 2 MẶT PHẲNG
A CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT
1 Khái niệm về véc-tơ pháp tuyến − → − →
Véc-tơ n khác 0 và có giá vuông góc mp(P ) được gọi là véc-tơ pháp tuyến của (P ).
2 Tính chất của véc-tơ pháp tuyến − → − →
Nếu n là véc-tơ pháp tuyến của (P ) thì k n (k 6= 0) cũng là véc-tơ pháp tuyến của (P ).
3 Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P ) qua M (x0; y0; z0) và có véc-tơ pháp tuyến − → n = (A; B; C) là
A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0.
4 Khai triển của phương trình tổng quát
Dạng khai triển của phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 (trong đó A, B,
C không đồng thời bằng 0).
5 Những trường hợp riêng của phương trình tổng quát
(P ) qua gốc tọa độ ⇔ D = 0.
(P ) song song hoặc trùng (Oxy) ⇔ A = B = 0.
(P ) song song hoặc trùng (Oyz) ⇔ B = C = 0.
(P ) song song hoặc trùng (Ozx) ⇔ A = C = 0.
(P ) song song hoặc chứa trục Ox ⇔ A = 0. 2. Mặt phẳng 127
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
(P ) song song hoặc chứa trục Oy ⇔ B = 0.
(P ) song song hoặc chứa trục Oz ⇔ C = 0.
(P ) (không qua gốc tọa độ) cắt Ox tại A(a; 0; 0), cắt Oy tại B(0; y; 0), cắt Oz tại x y z
C(0; 0; c) ⇔ (P ) có phương trình + + = 1. a b c
6 Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
Cho M (x0; y0; z0) và (P ) : Ax + By + Cz + D = 0, khi đó |Ax0 + By0 + Cz0 + D| d [M ; (P )] = √ . A2 + B2 + C2 7 Chùm mặt phẳng Nội dung Hình vẽ
Tập hợp tất cả các mặt phẳng qua giao tuyến
của hai mặt phẳng (α) và (β) gọi là một chùm mặt phẳng.
Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng d
(α) : A1x + B1y + C1z + D1 = 0 và (β) : A2x + B2y + C2z + D2 = 0. (β) (α)
Khi đó nếu (P ) là mặt phẳng chứa d thì mặt phẳng (P ) có dạng (P )
m(A1x + B1y + C1z + D1) + n(A2x + B2y +
C2z + D2) = 0 với m2 + n2 6= 0.
B VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Để lập phương trình mặt phẳng (α) ta cần xác định một điểm thuộc (α) và một VTPT của nó. 1 Dạng 1
Mặt phẳng (α) đi qua điểm M (x0; y0; z0) và có VTPT ~n = (A; B; C) thì
(α) : A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0.
128 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star 2 Dạng 2 î ó
Mặt phẳng (α) đi qua điểm M (x0; y0; z0) và có cặp VTCP ~a, ~b thì ~n = ~a,~b là một VTPT của (α). 3 Dạng 3
Mặt phẳng (α) đi qua điểm M (x0; y0; z0) và song song với (β) : Ax + By + Cz = 0 thì
(α) : A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0. 4 Dạng 4
Mặt phẳng (α) đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Khi đó ta có thể xác định î− − → −→ó một VTPT của (α) là ~ n = AB, AC . 5 Dạng 5
Mặt phẳng (α) đi qua một điểm M và một đường thẳng d không chứa M :
Trên d lấy điểm A và VTCP ~u. î− −→ ó Một VTPT của (α) là ~ n = AM , ~ u . 6 Dạng 6
Mặt phẳng (α) đi qua một điểm M , vuông góc với đường thẳng d thì VTCP ~ u của đường
thẳng d là một VTPT của (α). 7 Dạng 7
Mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng cắt nhau d1, d2:
Xác định các VTCP ~a, ~b của các đường thẳng d1, d2. î ó Một VTPT của (α) là ~ n = ~a,~b .
Lấy một điểm M thuộc d1 hoặc d2 ⇒ M ∈ (α). 2. Mặt phẳng 129
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star 8 Dạng 8
Mặt phẳng (α) chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d2 (hai đường d1, d2 chéo nhau):
Xác định các VTCP ~a, ~b của các đường thẳng d1, d2. î ó Một VTPT của (α) là ~ n = ~a,~b .
Lấy một điểm M thuộc d1 ⇒ M ∈ (α). 9 Dạng 9
Mặt phẳng (α) đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau d1, d2:
Xác định các VTCP ~a, ~b của các đường thẳng d1, d2. î ó Một VTPT của (α) là ~ n = ~a,~b . 10 Dạng 10
Mặt phẳng (α) chứa một đường thẳng d và vuông góc với một mặt phẳng (β):
Xác định VTCP ~u của d và VTPT ~nβ của (β).
Một VTPT của (α) là ~n = [~u, ~nβ].
Lấy một điểm M thuộc d ⇒ M ∈ (α). 11 Dạng 11
Mặt phẳng (α) đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau (β), (γ):
Xác định các VTPT ~nβ, ~nγ của (β) và (γ).
Một VTPT của (α) là ~n = [~nβ, ~nγ]. 12 Dạng 12
Mặt phẳng (α) chứa đường thẳng d cho trước và cách điểm M cho trước một khoảng k cho trước:
Giả sử (α) có phương trình A + By + Cz + D = 0, A2 + B2 + C2 6= 0.
Lấy hai điểm A, B ∈ d ⇒ A, B ∈ (α), ta được hai phương trình (1) và (2).
130 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Từ điều kiện khoảng cách d [M, (α)] = k, ta được phương trình (3).
Giải hệ phương trình (1), (2), (3) (bằng cách cho giá trị một ẩn, tìm các ẩn còn lại). 13 Dạng 13
Mặt phẳng (α) tiếp xúc mặt cầu (S) tại điểm H:
Giả sử mặt cầu (S) có tâm I và bán kính R. −→
Một VTPT của (α) là ~n = IH.
C VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG
Cho hai mặt phẳng (P ) : Ax + By + Cz + D = 0 và (P 0) : A0x + B0y + C0z + D0 = 0. Khi đó
(P ) cắt (P 0) ⇔ A : B : C 6= A0 : B0 : C0. A B C D (P ) k (P 0) ⇔ = = 6= . A0 B0 C0 D0 A B C D (P ) ≡ (P 0) ⇔ = = = . A0 B0 C0 D0
(P ) ⊥ (P 0) ⇔ ~n(P) ⊥ ~n(P0) ⇔ ~n(P) · ~n(P0) = 0 ⇔ AA0 + BB0 + CC0 = 0.
D KHOẢNG CÁCH VÀ HÌNH CHIẾU
1 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Khoảng cách từ điểm M0 (x0; y0; z0) đến mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = 0 là |Ax0 + By0 + Cz0 + D| d [M0; (α)] = √ . A2 + B2 + C2
2 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên
mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
3 Hình chiếu của một điểm lên một mặt −−→ ®MH, ~n cùng phương
Điểm H là hình chiếu của điểm M lên (P ) ⇔ . H ∈ (P ) 2. Mặt phẳng 131
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
4 Điểm đối xứng của một điểm qua mặt phẳng −−−→ −−→
Điểm M 0 đối xứng M qua (P ) ⇔ M M 0 = 2M H.
E GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
Cho hai mặt phẳng (α), (β) có phương trình (α) : A1x+B1y +C1z +D1 = 0 và (β) : A2x+ B2y + C2z + D2 = 0.
Góc giữa (α), (β) bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT ~ n1, ~n2. |~ n1 · ~n2| |A1A2 + B1B2 + C1C2| cos [(α); (β)] = = . |~ n p 1| · |~ n2| A2 + B2 + C2 · pA2 + B2 + C2 1 1 1 2 2 2 4 h i ! 0◦ ≤ ◊
(α); (β) ≤ 90◦; (α) ⊥ (β) ⇔ A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0.
F VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT PHẲNG VÀ MẶT CẦU. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
TIẾP XÚC MẶT CẦU.
Cho mặt phẳng (α) : Ax+By+Cz+D = 0 và mặt cầu (S) : (x−a)2+(y−b)2+(z−c)2 = R2 có tâm I.
(α) và (S) không có điểm chung ⇔ d [I; (α)] > R.
(α) tiếp xúc (S) ⇔ d [I; (α)] = R với (α) là tiếp diện.
Để tìm tọa độ tiếp điểm, ta có thể thực hiện như sau
Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của (S) và vuông góc (α).
Tìm tọa độ giao điểm H của d và (α), H là giao điểm của (S) với (α).
(α) cắt (S) theo một đường tròn ⇔ d [I; (α)] < R.
Để xác định tâm và bán kính r của đường tròn giao tuyến ta có thể thực hiện như sau
Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của (S) và vuông góc (α).
Tìm tọa độ giao điểm H của d và (α), với H là tâm của đường tròn giao tuyến của (S) với (α). √
Bán kính r của đường tròn giao tuyến r = R2 − IH2.
132 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
BÀI 3 ĐƯỜNG THẲNG
A PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG
1 Véc-tơ chỉ phương của đường thẳng − → − →
Định nghĩa 1. Cho đường thẳng d. Nếu véc-tơ a 6= 0 và có giá song song hoặc trùng − →
với đường phẳng d thì được gọi là véc-tơ chỉ phương của đường phẳng d. Kí hiệu: a = (a1; a2; a3). 4 ! − → − →
a là VTCP của d thì k a (k 6= 0) cũng là VTCP của d; − − →
Nếu d đi qua hai điểm A, B thì AB là một VTCP của d; − → − →
Trục Ox có véc-tơ chỉ phương a = i = (1; 0; 0); − → − →
Trục Oy có vectơ chỉ phương a = j = (0; 1; 0); − → − →
Trục Oz có vectơ chỉ phương a = k = (0; 0; 1).
2 Phương trình tham số của đường thẳng
Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm z − → M − →
0 (x0; y0; z0) và nhận a = (a1; a2; a3) làm VTCP là a ∆ x = x0 + a1t   M (x; y; z) ∆ : y = y0 + a2t (t ∈ R).  M y 0 z = z O 0 + a3t x
3 Phương trình chính tắc của đường thẳng − →
Phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua điểm M0 (x0; y0; z0) và nhận a = (a1; a2; a3) làm VTCP là x − x0 y − y0 z − z0 = = (a1, a2, a3 6= 0) . a1 a2 a3 3. Đường thẳng 133
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
B VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
1 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng ∆ − → M a ∆ − → − → a − → n n − → n M − → α α α M a ∆ Phương pháp hình học x = x0 + a1t (1)  
Định lí 1. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ : y = y0 + a2t (2) có véc-tơ  z = z0 + a3t (3) − →
chỉ phương a = (a1; a2; a3) và đi qua M = (x0; y0; z0) và mặt phẳng (α) : Ax + By + − →
Cz + D = 0 có véc-tơ pháp tuyến n = (A; B; C). Khi đó ∆ ∩ (α) = {A} ⇔ − → a · − →
n 6= 0 ⇔ Aa1 + Ba2 + Ca3 6= 0; ®− → a · − → n = 0 ®Aa 1 + Ba2 + C a3 = 0 ∆ k (α) ⇔ ⇔ M / ∈ (α) Ax0 + By0 + Cz0 + D 6= 0; ®− → a · − → n = 0 ®Aa 1 + Ba2 + C a3 = 0 ∆ ⊂ (α) ⇔ ⇔ M ∈ (α) Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0. − →
Đặc biệt. ∆ ⊥ (α) ⇔ − →
a và n cùng phương ⇔ a1 : a2 : a3 = A : B : C. ∆ − → a − → n α Phương pháp đại số ®pt (∆)
Muốn tìm giao điểm M của ∆ và (α), ta giải hệ phương trình tìm x, y, z. Suy pt (α) ra M (x; y; z).
Thế (1), (2) và (3) vào phương trình (α) và rút gọn đưa về dạng at + b = 0. (∗)
∆ cắt (α) tại một điểm ⇔ pt(∗) có một nghiệm t;
∆ song song với (α) ⇔ pt(∗) vô nghiệm;
∆ nằm trong (α) ⇔ pt(∗) có vô số nghiệm t; − → ∆ ⊥ (α) ⇔ − → a và n cùng phương.
134 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
2 Vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆1 N ∆ ∆ 2 1 − → M N u − → 2 u − → 1 u 1 ∆ ∆1 ∆2 2 − → N ∆2 u − → − → − → M 2 M u 1 M N − → u u ∆ 1 2 1 u 2 Phương pháp hình học − → Cho hai đường thẳng:
∆1 đi qua M và có một véc-tơ chỉ phương u 1; − →
∆2 đi qua N và có một véc-tơ chỉ phương u 2. −−→ − → − → − → î− → ó
∆1 ≡ ∆2 ⇔ [ u 1, u 2] = u 1, M N = 0 ;  − → − → − →  [ u 1, u 2] = 0 ∆1 k ∆2 ⇔ î− → −−→ó − →  u 1, M N 6= 0 ; − → ( − → − → [ u 1, u 2] 6= 0 ∆1 cắt ∆2 ⇔ − → − → −−→ [ u 1, u 2] · M N = 0; −−→ − → − →
∆1 và ∆2 chéo nhau ⇔ [ u 1, u 2] · M N 6= 0. Phương pháp đại số ®pt (∆1)
Muốn tìm giao điểm M của ∆1 và ∆2, ta giải hệ phương trình tìm x, y, z. Suy pt (∆2) ra M (x; y; z).
3 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu x = x0 + a1t (1)   Cho đường thẳng ∆ : y = y0 + a2t
(2) và mặt cầu (S) : (x−a)2+(y−b)2+(z−c)2 = R2  z = z0 + a3t (3)
có tâm I(a; b; c), bán kính R. Phương pháp hình học
Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) đến đường thẳng ∆ là î− − → − →ó IM , a h = d(I, ∆) = . |− → a |
Bước 2: So sánh d(I, ∆) với bán kính R của mặt cầu: 3. Đường thẳng 135
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Nếu d(I, ∆) > R thì ∆ không cắt (S);
Nếu d(I, ∆) = R thì ∆ tiếp xúc với (S);
Nếu d(I, ∆) < R thì ∆ cắt (S) tại hai điểm phân biệt M, N và M N vuông
góc với đường kính (bán kính) mặt cầu. Phương pháp đại số
Thế (1), (2) và (3) vào phương trình (S) và rút gọn và đưa về phương trình bậc hai theo t. (∗)
Nếu phương trình (∗) vô nghiệm thì ∆ không cắt (S);
Nếu phương trình (∗) có một nghiệm thì ∆ không cắt (S);
Nếu phương trình (∗) có hai nghiệm thì d cắt (S) tại hai điểm phân biệt M , N .
! Để tìm tọa độ M, N, ta thay giá trị vào phương trình đường thẳng ∆.
C GÓC TRONG KHÔNG GIAN
1 Góc giữa hai mặt phẳng Nội dung Hình vẽ
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng
(α), (β) xác định bởi phương trình: − → n 1 = (A1; B1; C1)
(α) : A1x + B1y + C1z + D1 = 0 − → n 2 = (A2; B2; C2)
(β) : A2x + B2y + C2z + D2 = 0
Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β), ta có công thức: β |A1A2 + B1B2 + C1C2| cos ϕ = p α A2 + B2 + C2 · pA2 + B2 + C2 1 1 1 2 2 2
2 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Nội dung Hình vẽ
136 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star Cho đường thẳng (∆) x − x0 y − y0 z − z0 (∆) : = = a b c − → u = (a; b; c)
và mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = 0. − → n = (A; B; C)
Gọi ϕ là góc giữa đường thẳng ∆ và mặt
phẳng (α) ta có công thức: α |Aa + Bb + Cc| sin ϕ = √ √ 0◦ ≤ ϕ ≤ 90◦ A2 + B2 + C2 · a2 + b2 + c2
3 Góc giữa hai đường thẳng Nội dung Hình vẽ Cho hai đường thẳng: x − x0 y − y0 z − z0 − → = (a; b; c) (∆1) : = = a 1 a b c x − x0 y − y0 z − z0 ∆1 (∆ 0 0 0 2) : = = a0 b0 c0 − → a 2 ∆ = 2 (a0
Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng (∆ ; b0; 1) và c0) (∆2) ta có công thức: |aa0 + bb0 + cc0| 0◦ ≤ ϕ ≤ 90◦ cos ϕ = √ √ a2 + b2 + c2 · a02 + b02 + c02 D KHOẢNG CÁCH
1 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Nội dung Hình vẽ 3. Đường thẳng 137
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Cho mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = 0
và điểm M (x0; y0; z0). Khoảng cách từ điểm M (x0; y0; z0)
M đến mặt phẳng (α) được tính bởi: |Ax0 + By0 + Cz0 + D| d [M, (α)] = √ . α H A2 + B2 + C2
2 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Nội dung Hình vẽ Cho đường thẳng (∆) đi qua điểm − → M0(x0; y0; z0) và có VTCP u = (a; b; c).
Khi đó khoảng cách từ điểm M1 đến (∆) M1
được tính bởi công thức: − → î− −−−→ − →ó u (∆) M 0M1; u d(M H 1, ∆) = . M0(x0; y0; z0) |− → u |
3 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Nội dung Hình vẽ
Trong không gian (Oxyz) cho hai đường thẳng chéo nhau: M − → 0 − → (∆ u
1) có VTCP u = (a; b; c) và qua M0(x0; y0; z0) − → (∆ ∆1
2) có VTCP u0 = (a0; b0; c0) và qua M 0 (x0 ; y0 ; z0 ) 0 0 0 0 − →
Khi đó khoảng cách giữa (∆1) và (∆2) được tính bởi u0 ∆ công thức 2 M 00 h− → − →i −−−−→ u , u0 · M 0M 0 0 d(∆1, ∆2) = . h− → − →i u , u0
138 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
E LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định một điểm thuộc d và một VTCP của nó. 1 Dạng 1 x = x0 + a1t  − → 
d đi qua điểm M0(x0; y0; z0) và có VTCP a = (a1; a2; a3) là d : y = y0 + a2t (t ∈ R).  z = z0 + a3t 2 Dạng 2 − − →
d đi qua hai điểm A, B: d có một VTCP là AB. 3 Dạng 3
d đi qua điểm M0(x0; y0; z0) và song song với đường thẳng ∆ cho trước: Vì d k ∆ nên
VTCP của ∆ cũng là VTCP của d. 4 Dạng 4
d đi qua điểm M0(x0; y0; z0) và vuông góc với mặt phẳng (P ) cho trước. Vì d ⊥ (P ) nên
VTPT của (P ) cũng là VTCP của d. 5 Dạng 5
d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P ), (Q):
Cách 1: Tìm một điểm và một VTCP. ®(P )
Tìm tọa độ một điểm A ∈ d bằng cách giải hệ phương trình (với việc chọn (Q) giá trị cho một ẩn). − → − → − →
Tìm một VTCP của d: a = [ n P , n Q].
Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d, rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó. 6 Dạng 6
d đi qua điểm M0(x0; y0; z0) và vuông góc với hai đường thẳng d1, d2: − → − → − →
Vì d ⊥ d1, d ⊥ d2 nên một VTCP của d là a = [ a d , a ]. 1 d2 3. Đường thẳng 139
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star 7 Dạng 7
d đi qua điểm M0(x0; y0; z0), vuông góc và cắt đường thẳng ∆.
Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M0 trên đường thẳng ∆. (H ∈ ∆ Ta có −−−→
. Khi đó đường thẳng d là đường thẳng đi qua M0, H. M0H ⊥ − → u ∆
Cách 2: Gọi (P ) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d; Q là mặt phẳng đi qua
A và chứa d. Khi đó d = (P ) ∩ (Q). 8 Dạng 8
d đi qua điểm M0(x0; y0; z0) và cắt hai đường thẳng d1, d2:
Cách 1: Gọi M1 ∈ d1, M2 ∈ d2. Từ điều kiện M, M1, M2 thẳng hàng ta tìm được
M1, M2. Từ đó suy ra phương trình đường thẳng d.
Cách 2: Gọi (P ) = (M0, d1), (Q) = (M0, d2). Khi đó d = (P ) ∩ (Q). Do đó một − → − → − →
VTCP của d có thể chọn là a = [ n P , n Q]. 9 Dạng 9
d nằm trong mặt phẳng (P ) và cắt cả hai đường thẳng d1, d2:
Tìm các giao điểm A = d1 ∩ (P ), B = d2 ∩ (P ).
Khi đó d chính là đường thẳng AB. 10 Dạng 10
Viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa ∆ và d1, mặt phẳng (Q) chứa ∆ và d2. Khi đó d = (P ) ∩ (Q). 11 Dạng 11
d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1, d2 chéo nhau. 1 Cách 1: ®M N ⊥ d1
Gọi M1 ∈ d1, M2 ∈ d2. Từ điều kiện
ta tìm được M, N . Khi đó M N ⊥ d2 d là đường thẳng M N . 2 Cách 2:
140 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star − → − → − →
Vì d ⊥ d1 và d ⊥ nên một véc-tơ chỉ phương của d là a = [ a d ; a ]. 1 d2
Lập phương trình mặt phẳng (P ) chứa d và d1 bằng cách.
• Lấy một điểm A trên d1. • − → − → − →
Một véc-tơ chỉ phương của (P ) là n P = [ a , a d ]. 1
Tương tự lập phương trình của mặt phẳng (Q) chứa d và d2. Khi đó d = (P ) ∩ (Q). 12 Dạng 12
d đi qua điểm M , vuông góc với d1 và cắt d2. 1 Cách 1:
Gọi N là giao điểm của d và d2. Từ điều kiện M N ⊥ d1, ta tìm được N .
Khi đó, d là đường thẳng M N . 2 Cách 2:
Viết phương trình mặt phẳng (P ) và qua M và vuông góc với d1.
Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa M và d2. Khi đó d = (P ) ∩ (Q). 13 Dạng 13
d đi qua M , vuông góc với d1 và cắt d2. 1 Cách 1:
Gọi N là giao điểm của d và d2. Từ điều kiện M N ⊥ d1 ta tìm được N . Khi
đó, d là đường thẳng M N . 2 Cách 2:
Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua M và vuông góc với d1.
Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa M và d2.
Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa M và d2. Khi đó d = (P ) ∩ (Q). 3. Đường thẳng 141
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
F VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
1 Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Để xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau: 1 Phương pháp hình học:
Dụa vào mối quan hệ giữa các véc-tơ chỉ phương và các điểm thuộc đường thẳng. 2 Phương pháp đại số:
Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình các đường thẳng.
2 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
Để xét vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau: 1 Phương pháp hình học:
Dựa vào mối quan hệ giữa véc-tơ chỉ phuwpwng của đường thẳng và véc-tơ
pháp tuyến của mặt phẳng. 2 Phương pháp đại số:
Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và mặt phẳng. G KHOẢNG CÁCH
1 Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d 1 Cách 1: − →
Cho đường thẳng d đi qua M0 và có véc-tơ chỉ phương a thì î−−−→ − →ó M 0M , a d (M, d) = . |− → a | 2 Cách 2:
Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên đường thẳng d. d (M, d) = M H. 3 Cách 3:
142 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Gọi N (x; y; z) ∈ d. Tính M N 2 theo t (t là tham số trong đường thẳng d).
Tìm t để M N 2 nhỏ nhất.
Khi đó N ≡ H, do đó d (M, d) = M H.
2 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cho hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2. Biết d1 đi qua điểm M1 và có véc-tơ chỉ − → − →
phương a 1, d2 đi qua điểm M2 và có véc-tơ chỉ phương a 2 thì − → − → −−−−→ [ a 1, a 2] · M1M2 d (d1, d2) = . | − → − → [ a 1, a 2]|
• Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d1, d2 bằng khoảng cách
giữa d1 mà mặt phẳng (α) chứa d2 và song song với d1.
3 Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm thuộc
đường thẳng này đến đường thẳng kia.
4 Khoảng cách giữa một đường thẳng mà mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa đường thẳng d với mặt (α) song song với nó bằng khoảng cách
từ một điểm bất kì trên d đến mặt phẳng (α). H GÓC
1 Góc giữa hai đường thẳng − → − →
Cho hai đường thẳng d1, d2 lần lượt có các véc-tơ chỉ phương a 1, a 2. Gọi α là
góc giữa d1, d2 d1, d2, ta có − → − → |− → a 1 · − → a 2| cos α = |cos ( a 1, a 2)| = . |− → a 1| · |− → a 2|
2 Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng − →
Cho đường thẳng d có véc-tơ chỉ phương a = (a1; a2; a3) và mặt phẳng (α) có − →
véc-tơ pháp tuyến n = (A; B; C). 3. Đường thẳng 143
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) bằng góc giữa d và hình chiếu vuông
góc d0 của nó trên (α). Ta có |Aa1 + Ba2 + Ca3| sin ’ d, (α) = √ . A2 + B2 + C2 · pa2 + a2 + a2 1 2 3 BÀI 4 MẶT CẦU
A PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU 1 Phương trình chính tắc
Phương trình của mặt cầu (S) tâm I (a; b; c), bán kính R là
(S) : (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 (1)
Phương trình (1) được gọi là phương trình chính tắc của mặt cầu
Đặc biệt : Khi I ≡ O thì (S) : x2 + y2 + z2 = R2 2 Phương trình tổng quát
Phương trình : x2 + y2 + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 với a2 + b2 +
c2 − d > 0 là phương trình của mặt cầu (S) có tâm I (a; b; c), bán kính √ R = a2 + b2 + c2 − d
B GIAO CỦA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG
Cho mặt phẳng (α) và mặt cầu (S) có phương trình : (α) : Ax + By + Cz + D = 0
(S) : (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2
Gọi d (I; (α)) là khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mặt phẳng (α).
Cho mặt cầu S (I; R) và mặt phẳng (P ).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên (P ) ⇒ d = IH = d (I, (P )) d > R d = R d < R
144 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Mặt phẳng tiếp xúc mặt
Mặt phẳng cắt mặt cầu Mặt cầu và mặt phẳng cầu : (P ) là mặt phẳng
theo thiết diện là đường không có điểm chung.
tiếp diện của mặt cầu và
tròn có tâm I0 và bán kính √ H : tiếp điểm. r = R2 − IH2 I I I R d P H r M P H P H
C MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN 1 Dạng 1
(S) có tâm I (a; b; c) và bán kính R thì (S) : (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2. 2 Dạng 2
(S) có tâm I (a; b; c) và đi qua điểm A thì bán kính R = IA. 3 Dạng 3
(S) nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính x y A + xB A + yB
Tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB : xI = ; yI = ; zI = 2 2 zA + zB . 2 AB Bán kính R = IA = . 2 4 Dạng 4
(S) đi qua bốn điểm A, B, C, D ( mặt cầu ngoại tiếp tứ diện)
Giả sử phương trình mặt cầu (S) có dạng : x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 (*). 4. Mặt cầu 145
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star
Thay lần lượt toạ độ của các điểm A, B, C, D vào (*), ta được 4 phương trình.
Giải hệ phương trình đó, ta tìm được a, b, c, d ⇒ phương trình mặt cầu (S). 5 Dạng 5
(S) đi qua ba điểm A, B, C và có tâm I nằm trên mặt phẳng (P ) cho trước thì giải tương tự dạng 4. 6 Dạng 6
(S) có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu (T ) cho trước
Xác định tâm I và bán kính R0 của mặt cầu (T ).
Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai mặt cầu để tính bán kính R của mặt cầu (S).
(Xét hai trường hợp tiếp xúc trong và ngoài)
Chú ý : Với phương trình mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 vói √
a2 + b2 + c2 − d > 0 thì (S) có tâm I (−a; − b; − c) và bán kính R = a2 + b2 + c2 − d. Đặc biệt :
Cho hai mặt cầu S1 (I1; R1) và S2 (I2; R2).
I1I2 < |R1 − R2| ⇔ (S1) , (S2) trong nhau.
I1I2 > R1 + R2 ⇔ (S1) , (S2) ngoài nhau.
I1I2 = |R1 − R2| ⇔ (S1) , (S2) tiếp xúc trong.
I1I2 = R1 + R2 ⇔ (S1) , (S2) tiếp xúc ngoài.
|R − 1 − R2| < I1I2 < R1 + R2 ⇔ (S1) , (S2) cắt nhau theo một đường tròn (đường tròn giao tuyến). 7 Dạng 7
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a; b; c), tiếp xúc với mặt phẳng (P ) cho trước
thì bán kính mặt cầu R = d (I; (P )). 8 Dạng 8
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a; b; c), cắt mặt phẳng (P ) cho trước theo giao
tuyến là một đường tròn thoả điều kiện.
Đường tròn cho trước (bán kính hoặc diện tích hoặc chu vi) thì từ công thức diện
tích đường tròn S = πr2 hoặc chu vi đường tròn P = 2πr ta tìm được bán kính
đường tròn giao tuyến r.
146 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star Tính d = d (I, (P )). √
Tính bán kính mặt cầu R = d2 + r2.
Kết luận phương trình mặt cầu. 9 Dạng 9
Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với một đường thẳng ∆ cho trước và có tâm
I (a; b; c) cho trước thì đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) ta có R = d (I, ∆). 10 Dạng 10
Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với một đường thẳng ∆ tại tiếp điểm M (x0; y0; z0)
thuộc ∆ và có tâm I thuộc đường thẳng d cho trước thì ta làm như sau
Viết phương trình mặt phẳng (P ) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng ∆.
Toạ độ tâm I = (P ) ∪ ∆ là nghiệm của phương trình.
Bán kính mặt cầu R = IM = d (I, ∆).
Kết luận về phương trình mặt cầu (S). 11 Dạng 11
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a; b; c) và cắt đường thẳng ∆ tại hai điểm
A, B thoả mãn điều kiện
Độ dài AB là một hằng số.
Tam giác IAB là tam giác vuông.
Tam giác IAB là tam giác đều. AB
Thì ta xác định d (I, ∆) = IH, vì 4IAB cân tại I nên HB = và bán kính mặt cầu 2 R được tính như sau √ R = IH2 + HB2. IH R = . sin 45◦ IH R = . sin 60◦ 4. Mặt cầu 147
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star 12 Dạng 12
Tập hợp điểm là mặt cầu. Giả sử tìm tập hợp điểm M thoả tính chất (P ) nào đó.
Tìm hệ thức giữa các toạ độ x, y, z của điểm M .
(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 hoặc x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0.
Tìm giới hạn quỹ tích (nếu có). 13 Dạng 13
Tìm tập hợp tâm mặt cầu x = f (t)  
Tìm toạ độ của tâm I, chẳng hạn : y = g (t) (*)  z = h (t)
Khử t trong (*) ta có phương trình tập hợp điểm.
Tìm giới hạn quỹ tích (nếu có).
BÀI 5 MỘT SỐ BÀI TOÁN GIẢI NHANH CỰC TRỊ KHÔNG GIAN A DẠNG 1.
Cho mặt phẳng (P ) và hai điểm A, B. Tìm M ∈ (P ) để (M A + M B)min. • Phương pháp
Nếu A và B nằm khác phía so với (P ) ⇒M , A, B thẳng hàng ⇒ M = AB ∩ (P ).
Nếu A và B nằm cùng phía so với (P ) ⇒ B0 là điểm đối xứng với B qua (P ). B DẠNG 2.
Cho mặt phẳng (P ) và hai điểm A, B. Tìm M ∈ (P ) để |M A − M B|max. • Phương pháp
Nếu A và B nằm khác phía so với (P ) ⇒ M , A, B thẳng hàng ⇒ M = AB ∩ (P ).
Nếu A và B nằm cùng phía so với (P ) ⇒ B0 là điểm đối xứng với B qua (P ) ⇒ |M A − M B0| = AB0.
148 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star C DẠNG 3.
Cho điểm M (xM ; yM ; zM ) không thuộc các trục và các mặt phẳng tọa độ. Viết phương
trình mặt phẳng (P ) qua M và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho VO.ABC nhỏ nhất. • Phương pháp x y z (P ) : + + = 1. 3xM 3yM 3zM D DẠNG 4.
Viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa đường thẳng d, sao cho khoảng cách từ điểm M /
∈ d đến (P ) là lớn nhất . • Phương pháp (Qua A ∈ d (P ) : − → îî− → −−→ó − → ó n P = u d; AM ; u d . E DẠNG 5.
Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua A và cách M một khoảng lớn nhất. • Phương pháp (Qua A (P ) : − → −−→ n P = AM . F DẠNG 6.
Viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa đường thẳng d, sao cho (P ) tạo với ∆ một góc
lớn nhất(∆ không song song với đường thẳng d ). • Phương pháp ®Qua A ∈ d (P ) : − → − → − → − → n P = [[ u d, u ∆] , u d] . G DẠNG 7.
Cho ∆ k (P ). Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P ) song song với ∆ và cách
∆ một khoảng nhỏ nhất . • Phương pháp
5. Một số bài toán giải nhanh cực trị không gian 149
Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star ®Qua A0
Lấy điểm A ∈ ∆, gọi A0 là hình chiếu vuông góc của A lên (P ) thì d : − → − → u d = u ∆. H DẠNG 8.
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A ∈ (P ) cho trước và nằm trong mặt
phẳng (P ) cho trước sao cho khoảng cách từ điểm M cho trước đến d là lớn nhất (AM
không vuông góc với (P )). • Phương pháp
Lấy điểm A ∈ ∆, gọi A0 là hình chiếu vuông góc của A lên (P ) thì (Qua A ∈ d (d) : − → î− → −−→ó u d = n P , AM . I DẠNG 9.
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A ∈ (P ) cho trước và nằm trong mặt
phẳng (P ) cho trước sao cho khoảng cách từ điểm M cho trước đến d là nhỏ nhất (AM
không vuông góc với (P )). • Phương pháp (Qua A ∈ d d : − → îî− → −−→ó − → ó u d = n P , AM , n P . J DẠNG 10.
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A ∈ (P ) cho trước, sao cho d nằm trong
(P ) và tạo với đường thẳng ∆ một góc nhỏ nhất (∆ cắt nhưng không vuông góc với (P )). • Phương pháp (Qua A ∈ d d : − → îî− → −−→ó − → ó u d = n P , AM , n P .
150 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
Document Outline

  • I Đại số
    • Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
      • Sự đồng biến nghịch biến của hàm số
      • Cực trị hàm số
      • Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất
      • Đường tiệm cận của hàm số
      • Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
      • Tiếp tuyến
      • Tương giao đồ thị
      • Điểm đặc biệt của họ đường cong
    • Mũ và Logarit
      • Lũy thừa và hàm số lũy thừa
      • Lôgarit
      • Bất phương trình mũ và logarit
      • Bài toán lãi suất ngân hàng
    • Nguyên hàm - Tích phân Ứng dụng tích phân
      • Nguyên hàm
      • Các phương pháp tính nguyên hàm
      • Tích phân
      • Phương pháp tính tích phân
      • Tích phân các hàm số sơ cấp cơ bản
      • Ứng dụng của tích phân
    • Số phức
      • Số phức
      • Phép cộng trừ, nhân chia số phức
      • Phương trình bậc hai với hệ số thực
      • Tập hợp điểm biểu diễn số phức
      • Bài toán liên quan đến max, min mô-đun số phức
  • II Hình học
    • Khối đa diện
      • Khối lăng trụ và khối chóp
      • Khái niệm về hình đa diện và khối đa diện
      • Hai đa diện bằng nhau
      • Phân chia và lắp ghép các khối đa diện
      • Khối đa diện lồi
      • Thể tích khối đa diện
      • Các công thức hình phẳng
      • Một số công thức tính nhanh thể tích khối chóp thường gặp
      • Các công thức đặc biệt của thể tích tứ diện
    • Mặt nón - mặt trụ - mặt cầu
      • Mặt nón tròn xoay và khối nón
      • Mặt trụ tròn xoay và khối trụ
      • Mặt cầu và khối cầu
      • Một số dạng toán và công thức giải nón và trụ
      • Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt cầu
      • Tổng hợp các công thức đặc biệt về khối tròn xoay
    • Hệ tọa độ trong không gian
      • Hệ tọa độ trong không gian
      • Mặt phẳng
      • Đường thẳng
      • Mặt cầu
      • Một số bài toán giải nhanh cực trị không gian